doc_id large_stringlengths 36 36 | en_text large_stringlengths 390 135k | ar_text large_stringlengths 318 127k | num_chunks int64 1 95 |
|---|---|---|---|
3a4cb526-6e95-4633-953d-dcfd89129b94 | The \( n \)-th root of a negative number is defined when \( n \) is odd. This is because when \( n \) is odd, the product of \( n \) negative numbers is negative. For example, the cube root of \(-8\) is \(-2\) because \((-2)^3 = -8\). In contrast, the \( n \)-th root of a negative number is not defined when \( n \) is ... | يُعرّف الجذر النوني لعدد سالب عندما يكون "ن" عددًا فرديًا. وذلك لأن حاصل ضرب عدد فردي من الأعداد السالبة يكون سالبًا. على سبيل المثال، الجذر التكعيبي للعدد -8 هو -2، لأن (-2)^3 = -8. على النقيض من ذلك، فإن الجذر النوني لعدد سالب غير معرف عندما يكون "ن" عددًا زوجيًا، لأن حاصل ضرب عدد زوجي من الأعداد السالبة يكون موجبًا.... | 1 |
e0fa0755-c19b-4c7f-9fc9-3b9b1b571dee | When solving a system involving a linear equation and a perimeter formula, substitution is a powerful algebraic method. It allows one variable to be expressed in terms of the other, thereby reducing the system to a single equation with one variable. This technique is especially useful when one of the equations can be e... | عند حل نظام يتضمن معادلة خطية وصيغة محيط، فإن طريقة التعويض هي أسلوب جبري قوي. فهي تسمح بالتعبير عن متغير واحد بدلالة المتغير الآخر، مما يقلل النظام إلى معادلة واحدة تحتوي على متغير واحد. هذه التقنية مفيدة بشكل خاص عندما يمكن حل إحدى المعادلات بسهولة بالنسبة لمتغير واحد. على سبيل المثال، لنفترض أن لدينا مستطيلاً بطول $... | 2 |
54bb106d-ded1-4363-8eeb-6cf7649b0245 | **Explanation:**
The property of absolute value equations states that for any equation of the form \(|A| = |B|\), the solutions are given by the two cases:
1. \(A = B\)
2. \(A = -B\)
This property arises from the definition of absolute value, which ensures that any expression inside the absolute value bars can be eit... | **شرح:**
تنص خاصية المعادلات ذات القيمة المطلقة على أنه لأي معادلة من الشكل |A| = |B|، تكون الحلول هي الحالتان التاليتان:
1. A = B
2. A = -B
تستند هذه الخاصية إلى تعريف القيمة المطلقة، والذي يضمن أن أي تعبير داخل علامتي القيمة المطلقة يمكن أن يكون إما موجبًا أو سالبًا، مما ينتج عنه نفس المقدار عند تقييمه. لحل المعادل... | 3 |
192fa15e-f7ca-4639-a1df-62e326149fde | The circumference of a circle is given by the formula \( C = 2 \pi r \), where \( r \) is the radius of the circle. When two circles share the same center and have radii \( r_1 \) and \( r_2 \) such that \( r_2 = r_1 - d \), the difference in their circumferences is directly proportional to the difference in their radi... | محيط الدائرة يُعطى بالصيغة التالية: \( C = 2 \pi r \)، حيث \( r \) هو نصف قطر الدائرة. عندما تتشارك دائرتان نفس المركز ولهما نصفي قطريين \( r_1 \) و \( r_2 \) بحيث أن \( r_2 = r_1 - d \)، فإن الفرق بين محيطيهما يتناسب طرديًا مع الفرق بين نصفي قطريهما. يمكن إثبات ذلك على النحو التالي:
معطيات:
- \( C_1 = 2 \pi r_1 \) (م... | 2 |
fa69a54b-ba3a-4574-b884-c39b6b5e90e7 | The perimeter of a triangle is the sum of the lengths of its three sides. If the side lengths are denoted as \( a \), \( b \), and \( c \), then the perimeter \( P \) is given by:
\[
P = a + b + c
\]
This formula is a direct application of the definition of perimeter for a polygon, which is the total length of its boun... | محيط المثلث هو مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة. إذا كانت أطوال الأضلاع ممثلة بالرموز a و b و c، فإن محيط المثلث (P) يُعطى بالمعادلة التالية:
\[
P = a + b + c
\]
تعتبر هذه الصيغة تطبيقًا مباشرًا لتعريف المحيط لأي مضلع، وهو إجمالي طول حدوده. إن فهم هذا المفهوم أمر بالغ الأهمية لحل المشكلات المتعلقة بقياس الأشكال وحدودها. التم... | 2 |
b0a97ea8-1359-4b52-938b-1cb1c34bdf68 | In a right triangle inscribed in a semicircle with radius 1, the hypotenuse of the triangle is the diameter of the semicircle. Since the radius of the semicircle is 1, the diameter, which is the hypotenuse of the right triangle, is 2. If the shortest side of the triangle is denoted as \( a \), then the length of the ot... | في مثلث قائم الزاوية محاط بنصف دائرة بنصف قطر 1، يكون الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة) هو قطر نصف الدائرة. وبما أن نصف قطر نصف الدائرة هو 1، فإن القطر، وهو الوتر في المثلث القائم الزاوية، يساوي 2. إذا كان أقصر ضلع في المثلث يُرمز له بـ \( a \)، فيمكن إيجاد طول الضلع الآخر \( AC \) باستخدام نظرية فيثاغورس. تنص نظري... | 2 |
5d84d257-1472-43c7-a830-41bb1a75b82a | The histogram is a fundamental graphical representation used to summarize and visualize the distribution of a dataset. It divides the entire range of values into a series of intervals, called bins, and then counts how many values fall into each interval. These counts are referred to as frequencies. A key property of hi... | الرسم البياني التكراري هو تمثيل رسومي أساسي يُستخدم لتلخيص وتصور توزيع مجموعة بيانات. يقسم هذا الرسم النطاق الكامل للقيم إلى سلسلة من الفترات، تُسمى "الخانات"، ثم يحسب عدد القيم التي تقع في كل فترة. تُعرف هذه الأعداد بـ "التكرارات". إحدى الخصائص الأساسية للرسوم البيانية التكرارية هي أن العدد الإجمالي لنقاط البيانات N ف... | 2 |
612d1edf-6fd0-4b12-a732-728737c7188e | The FOIL method is a mnemonic device used to compute the product of two binomials. It stands for First, Outer, Inner, Last, and refers to the four distinct multiplications performed when expanding expressions of the form \((a + b)(c + d)\). Here is a step-by-step breakdown of the FOIL method:
1. **First**: Multiply th... | تُستخدم طريقة "FOIL" كأداة مساعدة للذاكرة لحساب حاصل ضرب عبارتين حدوديتين. وهي اختصار لكلمات: الأول، الخارجي، الداخلي، والأخير، وتشير إلى الأربع عمليات ضرب متميزة التي تُجرى عند توسيع العبارات التي تأخذ الشكل (a + b)(c + d). فيما يلي شرح تفصيلي لخطوات طريقة "FOIL":
1. **الأول:** اضرب الحد الأول في كل من العبارتين الحد... | 2 |
92908072-5a62-446c-a281-3622524da1e9 | The derivative of a function $ f(x) $ at a point $ x = a $ is defined as
$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}, $$
provided the limit exists. This represents the slope of the tangent line to the graph of $ f $ at the point $ (a, f(a)) $. The derivative measures the instantaneous rate of change of the functi... | المشتقة للدالة $f(x)$ عند نقطة $x = a$ تُعرّف على النحو التالي:
$$ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}, $$
بشرط أن يكون للمحدودية وجود. يمثل هذا ميل الخط المماس للرسم البياني للدالة $f$ عند النقطة $(a, f(a))$. تقيس المشتقة معدل التغير اللحظي للدالة عند نقطة معينة. لحساب المشتقة باستخدام تعريف المحدودية، اتبع... | 3 |
a5683bff-660b-4b0d-80af-238e4f0e46dc | The internal axial force \( N \) at the end of an axial bar is equal in magnitude to the concentrated external axial force \( F_{\text{ext}} \) applied at the end. If \( F_{\text{ext}} = 0 \), then the boundary condition is \( N = 0 \). This principle arises from the equilibrium of forces in a one-dimensional axial bar... | القوة المحورية الداخلية (N) عند نهاية قضيب محوري تساوي في مقدارها القوة المحورية الخارجية المركزة (Fext) المطبقة عند تلك النهاية. إذا كانت (Fext = 0)، فإن الشرط الحدودي يكون (N = 0). ينبع هذا المبدأ من توازن القوى في قضيب محوري أحادي البعد. عندما يتم تطبيق قوى خارجية على القضيب، يجب أن تتوازن القوة المحورية الداخلية (N... | 3 |
241c848f-adfd-4dd3-ac24-c73c5eee84b1 | A perfect square is a number that can be expressed as the square of an integer. For example, \( 81 \) is a perfect square because \( 9^2 = 81 \). In mathematical terms, a number \( n \) is a perfect square if there exists an integer \( k \) such that \( n = k^2 \). The exercise:
Determine whether each of the following ... | العدد المربع الكامل هو العدد الذي يمكن التعبير عنه كتربيع عدد صحيح. على سبيل المثال، العدد 81 هو عدد مربع كامل لأن 9² = 81. من الناحية الرياضية، العدد n هو عدد مربع كامل إذا كان هناك عدد صحيح k بحيث أن n = k². التمرين:
حدد ما إذا كان كل من الأعداد التالية عددًا مربعًا كاملاً. إذا كان كذلك، فابحث عن العدد الصحيح k بحيث ... | 2 |
94523919-bd96-47a1-b9e9-4b9647c38e14 | The readability of mathematical notation is a critical factor in understanding and working with mathematical expressions. Two-dimensional mathematical notation, often referred to as "pretty" math, presents expressions in a visual format that reflects their hierarchical structure and spatial relationships. For example, ... | إن سهولة قراءة الترميز الرياضي هي عامل حاسم في فهم العمليات الحسابية والتعامل معها. يقدم الترميز الرياضي ثنائي الأبعاد، والذي يشار إليه غالبًا بـ "الرياضيات الجميلة"، التعبيرات بصيغة مرئية تعكس هيكلها الهرمي وعلاقاتها المكانية. على سبيل المثال، يتم عرض الكسور والقوى والتكاملات والمجموعات بطريقة أكثر بديهية وسهولة في ال... | 3 |
1b30d5ff-1669-4f1c-8b16-fd87a94b537a | The Pythagorean identity is a fundamental trigonometric identity that states that for any angle \( \theta \), the sum of the squares of the sine and cosine of \( \theta \) equals 1. Mathematically, this is expressed as:
\[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
\]
This identity is derived from the Pythagorean theorem applie... | تُعتبر متطابقة فيثاغورس متطابقة مثلثية أساسية تنص على أنه لأي زاوية \( \theta \)، فإن مجموع مربعي جيب الزاوية وجيب التمام للزاوية \( \theta \) يساوي 1. رياضياً، يتم التعبير عن ذلك على النحو التالي:
\[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
\]
تُشتق هذه المتطابقة من نظرية فيثاغورس المطبقة على مثلث قائم الزاوية مُدرج داخل دائ... | 2 |
892581e4-9fe9-4174-b2f9-e4ee4d9b7c74 | The circumference \( C \) of a circle is the distance around the circle and is a fundamental property of circular shapes. It can be expressed in terms of the radius \( r \) using the formula:
\[ C = 2\pi r \]
where \( r \) is the radius of the circle, and \( \pi \) (pi) is a mathematical constant approximately equal to... | محيط الدائرة (C) هو المسافة المحيطة بالدائرة، وهو خاصية أساسية للأشكال الدائرية. ويمكن التعبير عنه بدلالة نصف القطر (r) باستخدام الصيغة التالية:
\[ C = 2\pi r \]
حيث أن (r) هو نصف قطر الدائرة، و (π) (باي) هو ثابت رياضي يساوي تقريبًا 3.14159. تنشأ هذه الصيغة من العلاقة بين قطر الدائرة (d) ومحيطها، وهي: \( C = \pi d \). ... | 1 |
9387907b-84e2-4841-912f-e010a4b40bff | An event is typically considered "unusually high" or "unusually low" if its probability is less than a predetermined threshold, commonly 0.05. In this context, if $ P(X = 5) < 0.05 $, then five is considered an unusually high number of successes. This concept is used to determine whether a particular outcome in a proba... | عادةً ما يُعتبر حدث ما "غير اعتيادي الارتفاع" أو "غير اعتيادي الانخفاض" إذا كانت احتماليته أقل من حد معين، وعادةً ما يكون هذا الحد 0.05. في هذا السياق، إذا كان $P(X = 5) < 0.05$، فإن الرقم خمسة يعتبر عددًا غير اعتيادي الارتفاع من النجاحات. تُستخدم هذه الفكرة لتحديد ما إذا كانت نتيجة معينة في توزيع احتمالي نادرة أو ذات ... | 2 |
012e8e38-2aca-4816-962f-2050fc60c82e | The expected value of the exponential of a normal random variable \( X \sim N(0, \sigma^2 t) \) is given by \( E[e^{\sigma X}] = e^{\frac{1}{2} \sigma^2 t} \). This property is useful in various applications, including financial mathematics and probability theory. Let's derive this result step-by-step. Consider a norma... | القيمة المتوقعة للدالة الأسية لمتغير عشوائي طبيعي، حيث \( X \sim N(0, \sigma^2 t) \)، تعطى بالصيغة التالية: \( E[e^{\sigma X}] = e^{\frac{1}{2} \sigma^2 t} \). هذه الخاصية مفيدة في العديد من التطبيقات، بما في ذلك الرياضيات المالية ونظرية الاحتمالات. دعونا نستنتج هذه النتيجة خطوة بخطوة. لنفترض متغيرًا عشوائيًا طبيعيًا \... | 4 |
7f8abae3-6892-4a3d-b81d-c1a9924a6fa1 | The general equation of a circle is given by \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\). To find the center \((h, k)\) and the radius \(r\) of the circle, we can rewrite the equation in the standard form \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) by completing the square. Starting with the general equation: \[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]... | الصيغة العامة للدائرة هي: \(x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0\). لإيجاد مركز الدائرة \((h, k)\) ونصف قطرها \(r\)، يمكننا إعادة كتابة المعادلة في الشكل القياسي \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\) عن طريق إكمال المربع. بالبدء بالمعادلة العامة:
\[ x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0 \]
نجمع حدود \(x\) و \(y\):
\[ (x^2 + Dx) + (y^2 + Ey) ... | 3 |
23517aaa-aebe-46e7-80e5-94f4ea739191 | The equation of motion for constant acceleration, $ v = u + at $, is a fundamental relation in kinematics. It is derived from the definition of acceleration, which is the rate of change of velocity with respect to time. Mathematically, acceleration $ a $ is given by:
$$
a = \frac{v - u}{t}
$$
where:
- $ v $ is the fi... | المعادلة التي تصف حركة الجسم بتسارع ثابت، وهي: $ v = u + at $، هي علاقة أساسية في علم الحركة. وهي مشتقة من تعريف التسارع، والذي هو معدل تغير السرعة بالنسبة للزمن. رياضياً، يُعطى التسارع $ a $ بالمعادلة التالية:
$$
a = \frac{v - u}{t}
$$
حيث:
- $ v $ هي السرعة النهائية للجسم،
- $ u $ هي السرعة الابتدائية للجسم،
- $ t... | 1 |
692f2d19-307a-42bf-8d07-d51c2a051c20 | The property of odd indices in the equation \( x^n = m \) states that for any real number \( m \), the equation has exactly one real solution when \( n \) is an odd integer. The sign of this solution is the same as the sign of \( m \).
### Explanation:
1. **Existence and Uniqueness**: For any real number \( m \) and a... | خاصية الفهارس الفردية في المعادلة x^n = m تنص على أنه لأي عدد حقيقي m، فإن المعادلة لها حل حقيقي واحد فقط عندما يكون n عددًا صحيحًا فرديًا. يكون إشارة هذا الحل هي نفسها إشارة m.
### الشرح:
1. **الوجود والوحدة**: لأي عدد حقيقي m وأي عدد صحيح فردي n، فإن المعادلة x^n = m لها حل حقيقي واحد فقط. وذلك لأن الد... | 5 |
2e788805-ac4f-4cc7-b6cb-61b5af1c0837 | Theorem: Linear Transformation Matrix Representation
Given a linear transformation \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) and its action on two basis vectors \( u_1 = (4,7) \) and \( u_2 = (3,5) \), the matrix of \( T \) with respect to the standard basis \( \{e_1, e_2\} \) can be determined by solving the system:
\[
... | النظرية: تمثيل المصفوفة للتحويل الخطي
بالنظر إلى تحويل خطي \( T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \) وتأثيره على متجهين أساسيين هما \( u_1 = (4,7) \) و \( u_2 = (3,5) \)، يمكن تحديد مصفوفة \( T \) بالنسبة للأساس القياسي \( \{e_1, e_2\} \) عن طريق حل النظام التالي:
\[
\begin{cases}
4T(e_1) + 7T(e_2) = (3,4) \\
3T(e_1) + 5... | 7 |
a53c790b-7a37-463a-87e0-28a02ca29ccf | The equation of motion for vertical displacement is a fundamental kinematic equation used to describe the motion of an object under constant acceleration. It is given by:
$$
s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a_c t^2
$$
Where:
- $ s $ is the final position of the object,
- $ s_0 $ is the initial position of the object,
- ... | المعادلة التي تصف حركة الجسم في الاتجاه الرأسي هي معادلة حركية أساسية تستخدم لوصف حركة جسم ما تحت تأثير تسارع ثابت. وهي تعطى بالصيغة التالية:
$$
s = s_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a_c t^2
$$
حيث:
- $ s $ هو الموضع النهائي للجسم.
- $ s_0 $ هو الموضع الابتدائي للجسم.
- $ v_0 $ هو السرعة الابتدائية للجسم.
- $ a_c $ هو التسار... | 3 |
9d338e19-053d-4a20-a58d-8550c5bef28c | The average of a subset of outcomes does not directly yield the expected value unless it is multiplied by the probability of being in that subset. For instance, consider a game where there are two possible outcomes: winning and losing. The average of the losing outcomes is $-3$, and the average of the winning outcomes ... | متوسط مجموعة جزئية من النتائج لا يعطي القيمة المتوقعة بشكل مباشر، إلا إذا تم ضربه في احتمال وجود المجموعة الجزئية. على سبيل المثال، لنفترض لعبة يوجد فيها نتيجتان محتملتان: الفوز والخسارة. متوسط نتائج الخسارة هو -3، ومتوسط نتائج الفوز هو 4. يتم حساب القيمة المتوقعة E[X] من خلال النظر في احتمال كل نتيجة. إذا كان احتمال ا... | 2 |
2ef594db-3daa-4dae-95ca-dcb2264fc13f | The instantaneous rate of change of a function \( f(x) \) at a point \( x \) is given by the derivative \( f'(x) \), defined as
\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.
\]
This measures how fast \( f(x) \) is changing at the specific point \( x \). To understand this concept, consider the following steps:
1. ... | معدل التغير اللحظي لدالة \( f(x) \) عند نقطة \( x \) يُعطى بواسطة المشتقة \( f'(x) \)، والتي تُعرّف على النحو التالي:
\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.
\]
يقيس هذا مدى سرعة تغير الدالة \( f(x) \) عند النقطة المحددة \( x \). لفهم هذا المفهوم، ضع في اعتبارك الخطوات التالية:
1. **حاصل القسمة التفاضلية**: ... | 3 |
e6f49085-7b0a-4cfe-9d8e-3207ce901eaf | The speed \( v \) of a transverse wave on a rope is given by the formula
\[ v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}, \]
where \( T \) is the tension in the rope and \( \mu \) is the linear mass density of the rope. The linear mass density \( \mu \) is defined as the mass per unit length of the rope and can be expressed as
\[ \mu = \f... | تُعطى سرعة \( v \) للموجة العرضية على حبل بالصيغة:
\[ v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}, \]
حيث \( T \) هو الشد في الحبل، و \( \mu \) هي الكثافة الخطية للحبل. تُعرّف الكثافة الخطية \( \mu \) بأنها الكتلة لكل وحدة طول من الحبل، ويمكن التعبير عنها كالتالي:
\[ \mu = \frac{m}{L}, \]
حيث \( m \) هي كتلة الحبل، و \( L \) هي طول الحبل... | 2 |
379598ea-d2cc-4856-9a86-c42aa9418c95 | Theorem: Addition of Like Fractions
For like fractions \( \frac{a}{b} \) and \( \frac{c}{b} \), their sum is \( \frac{a + c}{b} \). Explanation:
When adding two fractions that have the same denominator, we can add the numerators directly while keeping the denominator unchanged. This is because the denominator represent... | النظرية: جمع الكسور المتشابهة
بالنسبة للكسور المتشابهة \( \frac{a}{b} \) و \( \frac{c}{b} \)، يكون مجموعهما \( \frac{a + c}{b} \).
شرح:
عند جمع كسرين لهما نفس المقام، يمكننا جمع البسطين مباشرة مع الحفاظ على المقام دون تغيير. وذلك لأن المقام يمثل عدد الأجزاء المتساوية التي ينقسم إليها الكل، وإذا كانت المقامات متساوية، ف... | 1 |
d7e919c5-6942-44cb-817f-da2b9cac7620 | In a parallelogram, the opposite angles are equal. A parallelogram is a quadrilateral with both pairs of opposite sides parallel. This property of opposite angles being equal can be derived from the fact that adjacent angles in a parallelogram are supplementary (their measures add up to $180^\circ$). Specifically, if o... | في متوازي الأضلاع، الزوايا المقابلة متساوية. متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع تكون فيه كلتا مجموعتي الأضلاع المتقابلة متوازيتين. يمكن استنتاج خاصية تساوي الزوايا المقابلة من حقيقة أن الزوايا المتجاورة في متوازي الأضلاع مكملة (مجموع قياساتها يساوي 180 درجة). على وجه التحديد، إذا تم تسمية إحدى زوايا متوازي الأضلاع بال... | 2 |
d499cf04-d3a7-4dd8-8648-61b67a7e59c2 | The area enclosed between the parabola \( y^2 = 4ax \) and the line \( y = mx \) can be calculated by finding the points of intersection and integrating the difference between the functions over the interval defined by these points. Here is a detailed explanation of the process: 1. **Find the Points of Intersection:** ... | يمكن حساب المساحة المحصورة بين القطع المكافئ \( y^2 = 4ax \) والخط المستقيم \( y = mx \) عن طريق إيجاد نقاط التقاطع بينهما، ثم حساب التكامل للدالة الناتجة عن طرح الدالتين عن بعضهما البعض على الفترة المحددة بنقاط التقاطع هذه. فيما يلي شرح تفصيلي للعملية:
1. **إيجاد نقاط التقاطع:** لإيجاد نقاط التقاطع بين القطع المكافئ \... | 8 |
a6bfef03-ef25-46f7-941a-2f2ca6baa153 | The area of a parallelogram defined by two vectors \( A \) and \( B \) in 2D can be calculated using the cross-product. The formula for the area is given by:
\[ \text{Area} = A.x \times B.y - A.y \times B.x. \]
This area is also the determinant of a 2x2 matrix formed by the coordinates of the vectors \( A \) and \( B \... | يمكن حساب مساحة متوازي الأضلاع المحدد بمتجهين \(A\) و \(B\) في بعدين باستخدام حاصل الضرب الاتجاهي. الصيغة المستخدمة لحساب المساحة هي:
\[ \text{المساحة} = A.x \times B.y - A.y \times B.x. \]
تمثل هذه المساحة أيضًا محدد مصفوفة مربعة بحجم 2x2 تتكون من إحداثيات المتجهين \(A\) و \(B\). المصفوفة هي:
\[ \begin{vmatrix} A.x & ... | 2 |
7628e1a0-9001-4631-b4cc-7b3fd8045fe5 | The sum of the interior angles of a triangle is \(180^\circ\). This property is fundamental in geometry and is used to solve various problems involving triangles. To understand this property, consider a triangle with angles \(A\), \(B\), and \(C\). The sum of these angles can be expressed as:
\[ A + B + C = 180^\circ \... | مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي \(180^\circ\). هذه الخاصية أساسية في الهندسة وتستخدم لحل العديد من المشكلات المتعلقة بالمثلثات. لفهم هذه الخاصية، تخيل مثلثًا يحتوي على زوايا \(A\) و \(B\) و \(C\). يمكن التعبير عن مجموع هذه الزوايا على النحو التالي:
\[ A + B + C = 180^\circ \]
يمكن إثبات هذه الخاصية باستخدام مفهوم ... | 1 |
c4ceadbf-6c49-40c7-bcc3-680dc9c57f43 | In calculus, the arc length of a curve defined by a function \( f(x) \) from \( a \) to \( b \) is given by the integral
\[
L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx.
\]
When the integrand \( \sqrt{1 + (f'(x))^2} \) can be simplified using algebraic identities, the evaluation of the arc length integral becomes more manag... | في علم التفاضل والتكامل، يُعطى طول القوس لمنحنى معرف بدالة \( f(x) \) من النقطة \( a \) إلى النقطة \( b \) بالتكامل التالي:
\[
L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx.
\]
عندما يمكن تبسيط التكامل \( \sqrt{1 + (f'(x))^2} \) باستخدام المتطابقات الجبرية، يصبح حساب تكامل طول القوس أسهل. إحدى هذه المتطابقات هي متطابقة المرب... | 5 |
74d706c2-594f-402d-93c2-6b02bffa54cc | A liter is a unit of capacity in the metric system. It is defined as the volume of a cube with sides of 10 centimeters (10 cm) in length, which is equivalent to 1,000 cubic centimeters (1,000 cm³). One liter is also equal to 1 cubic decimeter (1 dm³). In terms of more familiar units, one liter is slightly larger than a... | الليتر هو وحدة قياس للحجم في النظام المتري. ويُعرّف بأنه حجم مكعب أطوال أضلاعه 10 سنتيمترات (10 سم)، وهو ما يعادل 1000 سنتيمتر مكعب (1000 سم³). كما أن الليتر الواحد يعادل 1 ديسيمتر مكعب (1 دسم³). وبشكل أكثر شيوعًا، الليتر الواحد أكبر قليلًا من الكوب، والذي يبلغ حوالي 0.946 لتر. من الأمثلة الشائعة للأشياء التي تُقاس بال... | 2 |
5144fb2b-27ab-409a-a73c-ff0906f0075b | **Explanation**:
Percentage is a mathematical concept used to express a ratio or a fraction as a portion of 100. It is a way to standardize proportions, making comparisons easier. The percentage of a part relative to the whole is calculated using the formula:
\[
\text{Percentage} = \frac{\text{part}}{\text{total}} \t... | **شرح:**
النسبة المئوية هي مفهوم رياضي يُستخدم للتعبير عن نسبة أو كسر كجزء من 100. إنها طريقة لتوحيد المقاييس، مما يسهل المقارنة. يتم حساب النسبة المئوية لجزء ما بالنسبة للكل باستخدام الصيغة التالية:
\[
\text{النسبة المئوية} = \frac{\text{الجزء}}{\text{المجموع}} \times 100
\]
تحول هذه الصيغة العلاقة بين الجزء والكل إلى... | 2 |
6c55a056-6346-4d20-8146-4dcac216fd2f | A set of points is said to be **concyclic** if there exists a single circle that passes through all of them. The circle is known as the **circumcircle** of the set of points. For a set of points to be concyclic, they must all lie on the circumference of a common circle. This concept is fundamental in geometry and has a... | تُقال عن مجموعة من النقاط أنها **تقع على دائرة واحدة** إذا كانت هناك دائرة واحدة تمر بجميع هذه النقاط. تُعرف هذه الدائرة بـ **الدائرة المحيطة** بمجموعة النقاط. لكي تكون مجموعة من النقاط تقع على دائرة واحدة، يجب أن تقع جميعها على محيط دائرة مشتركة. هذا المفهوم أساسي في الهندسة وله تطبيقات في العديد من المسائل الرياضية، ... | 3 |
54beb705-d0b2-4dcb-bdf0-7e6b2877aa8f | **Explanation:**
The perpendicular bisector of a line segment joining two points \(\mathbf{v}_1\) and \(\mathbf{v}_2\) is the locus of all points equidistant from \(\mathbf{v}_1\) and \(\mathbf{v}_2\). In vector geometry, this can be expressed using the midpoint of the segment and a direction perpendicular to \(\mathb... | **شرح:**
العمود المنصف لقطعة مستقيمة تربط بين نقطتين، وهما \( \mathbf{v}_1 \) و \( \mathbf{v}_2 \)، هو مجموعة جميع النقاط التي تبعد نفس المسافة عن \( \mathbf{v}_1 \) و \( \mathbf{v}_2 \). في الهندسة المتجهة، يمكن التعبير عن ذلك باستخدام نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة واتجاه عمودي على \( \mathbf{v}_2 - \mathbf{v}_1 \). ن... | 3 |
End of preview. Expand in Data Studio
No dataset card yet
- Downloads last month
- 1,105