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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
thm_probe_v2_001 | pass | false | UniformConvergence | Convergence/UniformConvergence | Let (x_n) be a sequence in a topological space. If x_n converges to L, then every subsequence (x_{n_k}) also converges to L. The claim concerns convergence of one sequence, not uniform convergence of functions. | Convergence | en | Let (x_n) be a sequence in a topological space. If x_n converges to L, then every subsequence (x_{n_k}) also converges to L. The claim concerns convergence of one sequence, not uniform convergence of functions. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct theorem in an arbitrary topological space; passage to a subsequence preserves eventual membership in every neighborhood of L. The contrast with uniform convergence is type-correct. | yes | 2 | yes | false | false |
thm_probe_v2_001 | pass | false | UniformConvergence | Convergence/UniformConvergence | Niech (x_n) będzie ciągiem w przestrzeni topologicznej. Jeżeli x_n zbiega do L, to każdy podciąg (x_{n_k}) również zbiega do L. Stwierdzenie dotyczy zbieżności jednego ciągu, a nie jednostajnej zbieżności funkcji. | Convergence | pl | Niech (x_n) będzie ciągiem w przestrzeni topologicznej. Jeżeli x_n zbiega do L, to każdy podciąg (x_{n_k}) również zbiega do L. Stwierdzenie dotyczy zbieżności jednego ciągu, a nie jednostajnej zbieżności funkcji. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Twierdzenie o dziedziczeniu granicy przez każdy podciąg jest poprawne w dowolnej przestrzeni topologicznej. Tłumaczenie pl jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 3 | yes | false | false |
thm_probe_v2_001 | pass | false | UniformConvergence | Convergence/UniformConvergence | Sei (x_n) eine Folge in einem topologischen Raum. Konvergiert x_n gegen L, so konvergiert jede Teilfolge (x_{n_k}) ebenfalls gegen L. Die Aussage betrifft die Konvergenz einer einzelnen Folge, nicht die gleichmäßige Konvergenz von Funktionen. | Convergence | de | Sei (x_n) eine Folge in einem topologischen Raum. Konvergiert x_n gegen L, so konvergiert jede Teilfolge (x_{n_k}) ebenfalls gegen L. Die Aussage betrifft die Konvergenz einer einzelnen Folge, nicht die gleichmäßige Konvergenz von Funktionen. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Mathematically correct and idiomatic German; Folge, Teilfolge and gleichmäßige Konvergenz have the right object types. | yes | 4 | yes | false | false |
thm_probe_v2_001 | pass | false | UniformConvergence | Convergence/UniformConvergence | Soit (x_n) une suite dans un espace topologique. Si x_n converge vers L, alors toute sous-suite (x_{n_k}) converge aussi vers L. L'énoncé concerne la convergence d'une seule suite, et non la convergence uniforme de fonctions. | Convergence | fr | Soit (x_n) une suite dans un espace topologique. Si x_n converge vers L, alors toute sous-suite (x_{n_k}) converge aussi vers L. L'énoncé concerne la convergence d'une seule suite, et non la convergence uniforme de fonctions. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Twierdzenie o dziedziczeniu granicy przez każdy podciąg jest poprawne w dowolnej przestrzeni topologicznej. Tłumaczenie fr jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 5 | yes | false | false |
thm_probe_v2_001 | pass | false | UniformConvergence | Convergence/UniformConvergence | Sea (x_n) una sucesión en un espacio topológico. Si x_n converge a L, entonces toda subsucesión (x_{n_k}) también converge a L. El enunciado trata de la convergencia de una sola sucesión, no de la convergencia uniforme de funciones. | Convergence | es | Sea (x_n) una sucesión en un espacio topológico. Si x_n converge a L, entonces toda subsucesión (x_{n_k}) también converge a L. El enunciado trata de la convergencia de una sola sucesión, no de la convergencia uniforme de funciones. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correctly states preservation of an ordinary sequence limit under subsequences and naturally contrasts it with uniform convergence of functions. | yes | 6 | yes | false | false |
thm_probe_v2_002 | pass | false | Convergence | Convergence/UniformConvergence | Let X be a topological space and Y a metric space. If continuous functions f_n : X -> Y converge uniformly to f, then f is continuous. The hypothesis is uniform convergence, not merely pointwise convergence. | UniformConvergence | en | Let X be a topological space and Y a metric space. If continuous functions f_n : X -> Y converge uniformly to f, then f is continuous. The hypothesis is uniform convergence, not merely pointwise convergence. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct uniform-limit theorem: the metric on Y supplies the uniform control needed to pass continuity to f. The contrast with pointwise convergence is accurate. | yes | 7 | yes | false | false |
thm_probe_v2_002 | pass | false | Convergence | Convergence/UniformConvergence | Niech X będzie przestrzenią topologiczną, a Y przestrzenią metryczną. Jeżeli funkcje ciągłe f_n : X -> Y zbiegają jednostajnie do f, to f jest ciągła. Założeniem jest zbieżność jednostajna, a nie jedynie punktowa. | UniformConvergence | pl | Niech X będzie przestrzenią topologiczną, a Y przestrzenią metryczną. Jeżeli funkcje ciągłe f_n : X -> Y zbiegają jednostajnie do f, to f jest ciągła. Założeniem jest zbieżność jednostajna, a nie jedynie punktowa. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Jednostajna granica funkcji ciągłych do przestrzeni metrycznej jest ciągła; założenia są wystarczające. Tłumaczenie pl jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 8 | yes | false | false |
thm_probe_v2_002 | pass | false | Convergence | Convergence/UniformConvergence | Seien X ein topologischer Raum und Y ein metrischer Raum. Wenn stetige Funktionen f_n : X -> Y gleichmäßig gegen f konvergieren, dann ist f stetig. Vorausgesetzt wird gleichmäßige und nicht nur punktweise Konvergenz. | UniformConvergence | de | Seien X ein topologischer Raum und Y ein metrischer Raum. Wenn stetige Funktionen f_n : X -> Y gleichmäßig gegen f konvergieren, dann ist f stetig. Vorausgesetzt wird gleichmäßige und nicht nur punktweise Konvergenz. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct and natural German formulation of the uniform-limit theorem; punktweise and gleichmäßig are used in their standard senses for function sequences. | yes | 9 | yes | false | false |
thm_probe_v2_002 | pass | false | Convergence | Convergence/UniformConvergence | Soient X un espace topologique et Y un espace métrique. Si des fonctions continues f_n : X -> Y convergent uniformément vers f, alors f est continue. L'hypothèse est la convergence uniforme, et non la seule convergence simple. | UniformConvergence | fr | Soient X un espace topologique et Y un espace métrique. Si des fonctions continues f_n : X -> Y convergent uniformément vers f, alors f est continue. L'hypothèse est la convergence uniforme, et non la seule convergence simple. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Jednostajna granica funkcji ciągłych do przestrzeni metrycznej jest ciągła; założenia są wystarczające. Tłumaczenie fr jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 10 | yes | false | false |
thm_probe_v2_002 | pass | false | Convergence | Convergence/UniformConvergence | Sean X un espacio topológico e Y un espacio métrico. Si las funciones continuas f_n : X -> Y convergen uniformemente a f, entonces f es continua. La hipótesis es convergencia uniforme, no solo convergencia puntual. | UniformConvergence | es | Sean X un espacio topológico e Y un espacio métrico. Si las funciones continuas f_n : X -> Y convergen uniformemente a f, entonces f es continua. La hipótesis es convergencia uniforme, no solo convergencia puntual. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | The Spanish is natural and correctly identifies uniform convergence, rather than mere pointwise convergence, as the essential hypothesis. | yes | 11 | yes | false | false |
thm_probe_v2_003 | pass | false | Limit | Sequence/Limit | A sequence in X is a function a : N -> X. A subsequence has the form a composed with a strictly increasing map phi : N -> N. This defines the sequence object without asserting that it has a limit. | Sequence | en | A sequence in X is a function a : N -> X. A subsequence has the form a composed with a strictly increasing map phi : N -> N. This defines the sequence object without asserting that it has a limit. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | The sequence type N -> X and the standard strictly increasing reindexing for a subsequence are both correct. No convergence or limit is asserted. | yes | 12 | yes | false | false |
thm_probe_v2_003 | pass | false | Limit | Sequence/Limit | Ciąg w X jest funkcją a : N -> X. Podciąg ma postać złożenia a z funkcją ściśle rosnącą phi : N -> N. Jest to definicja obiektu będącego ciągiem, bez stwierdzenia, że ma on granicę. | Sequence | pl | Ciąg w X jest funkcją a : N -> X. Podciąg ma postać złożenia a z funkcją ściśle rosnącą phi : N -> N. Jest to definicja obiektu będącego ciągiem, bez stwierdzenia, że ma on granicę. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Definicje ciągu i podciągu przez funkcję z N oraz ściśle rosnącą reindeksację są poprawne. Tłumaczenie pl jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 13 | yes | false | false |
thm_probe_v2_003 | pass | true | Limit | Sequence/Limit | Eine Folge in X ist eine Abbildung a : N -> X. Eine Teilfolge ist von der Form a ∘ phi, wobei phi : N -> N streng monoton wachsend ist. Damit wird eine Folge beschrieben, ohne die Existenz eines Grenzwerts vorauszusetzen. | Sequence | de | Eine Folge in X ist eine Funktion a : N -> X. Eine Teilfolge hat die Form der Komposition von a mit einer streng wachsenden Abbildung phi : N -> N. Damit wird das Folgenobjekt definiert, ohne die Existenz eines Grenzwerts zu behaupten. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct German mathematical terminology and correct composition order a ∘ phi. Folgenobjekt is slightly formal but understandable and not unnatural in this contrastive context. | yes | 14 | yes | true | false |
thm_probe_v2_003 | pass | false | Limit | Sequence/Limit | Une suite dans X est une fonction a : N -> X. Une sous-suite est la composée de a avec une application strictement croissante phi : N -> N. Cela définit l'objet suite sans affirmer qu'il possède une limite. | Sequence | fr | Une suite dans X est une fonction a : N -> X. Une sous-suite est la composée de a avec une application strictement croissante phi : N -> N. Cela définit l'objet suite sans affirmer qu'il possède une limite. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Definicje ciągu i podciągu przez funkcję z N oraz ściśle rosnącą reindeksację są poprawne. Tłumaczenie fr jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 15 | yes | false | false |
thm_probe_v2_003 | pass | false | Limit | Sequence/Limit | Una sucesión en X es una función a : N -> X. Una subsucesión es la composición de a con una aplicación estrictamente creciente phi : N -> N. Esto define el objeto sucesión sin afirmar que tenga un límite. | Sequence | es | Una sucesión en X es una función a : N -> X. Una subsucesión es la composición de a con una aplicación estrictamente creciente phi : N -> N. Esto define el objeto sucesión sin afirmar que tenga un límite. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Standard Spanish terminology (`sucesión`, `subsucesión`, `aplicación estrictamente creciente`) and correct identification of the sequence object. | yes | 16 | yes | false | false |
thm_probe_v2_004 | global_semantic_rewrite | true | Sequence | Sequence/Limit | Let X be a topological space, let a : N -> X be a sequence, and let L be a point of X. We call L a limit of a if every neighborhood U of L contains a_n for all sufficiently large n. The input object is the sequence a; the target concept is the limit value L, not the sequence itself. | Limit | en | For a sequence a : N -> X and L in X, convergence of a to L means that every neighborhood U of L contains a_n for all sufficiently large n. The sequence is the input object; the target relation is its limit at L. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | The neighborhood criterion is correct only after X is declared topological, but the last sentence commits a category error: L is a limit value, whereas convergence to L is the relation. The phrase 'its limit at L' is not standard English. Final adjudication: semantic=no in every language because X lacks an explicit top... | no | 17 | no | false | true |
thm_probe_v2_004 | global_semantic_rewrite | true | Sequence | Sequence/Limit | Niech X będzie przestrzenią topologiczną, a a : N -> X ciągiem i L punktem X. Mówimy, że L jest granicą ciągu a, jeżeli każde otoczenie U punktu L zawiera a_n dla wszystkich dostatecznie dużych n. Ciąg a jest obiektem wejściowym; pojęciem docelowym jest wartość graniczna L, a nie sam ciąg. | Limit | pl | Dla ciągu a : N -> X i punktu L w X zbieżność a do L oznacza, że każde otoczenie U punktu L zawiera a_n dla wszystkich dostatecznie dużych n. Ciąg jest obiektem wejściowym, a celem jest relacja granicy w L. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Brakuje założenia topologii na X, a „relacja granicy w L” jest nienaturalna i myli wartość graniczną z relacją zbieżności. Final adjudication: semantic=no in every language because X lacks an explicit topology and the text conflates the limit value L with the convergence relation. | no | 18 | no | false | true |
thm_probe_v2_004 | global_semantic_rewrite | true | Sequence | Sequence/Limit | Sei X ein topologischer Raum, a : N -> X eine Folge und L ein Punkt von X. Man nennt L einen Grenzwert von a, wenn jede Umgebung U von L alle a_n für hinreichend große n enthält. Die Folge a ist das Eingabeobjekt; der Zielbegriff ist der Grenzwert L, nicht die Folge selbst. | Limit | de | Für eine Folge a : N -> X und L in X bedeutet die Konvergenz von a gegen L, dass jede Umgebung U von L alle a_n für hinreichend große n enthält. Die Folge ist das Eingabeobjekt; gesucht ist ihre Grenzwertrelation bei L. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | The topological structure on X is unstated, and Grenzwertrelation bei L is nonstandard and conflates the limit L with the convergence relation. Eingabeobjekt also sounds machine-generated here. Final adjudication: semantic=no in every language because X lacks an explicit topology and the text conflates the limit value ... | no | 19 | no | false | true |
thm_probe_v2_004 | global_semantic_rewrite | true | Sequence | Sequence/Limit | Soit X un espace topologique, a : N -> X une suite et L un point de X. On dit que L est une limite de a si tout voisinage U de L contient a_n pour tout n assez grand. La suite a est l’objet d’entrée; la notion visée est la valeur limite L, et non la suite elle-même. | Limit | fr | Pour une suite a : N -> X et L dans X, la convergence de a vers L signifie que tout voisinage U de L contient a_n pour tout n assez grand. La suite est l'objet d'entrée; la relation visée est sa limite en L. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Il manque l'hypothèse que X est topologique; « sa limite en L » est en outre une formulation non idiomatique pour la convergence vers L. Final adjudication: semantic=no in every language because X lacks an explicit topology and the text conflates the limit value L with the convergence relation. | no | 20 | no | false | true |
thm_probe_v2_004 | global_semantic_rewrite | true | Sequence | Sequence/Limit | Sea X un espacio topológico, a : N -> X una sucesión y L un punto de X. Se dice que L es un límite de a si todo entorno U de L contiene a_n para todo n suficientemente grande. La sucesión a es el dato de entrada; el concepto objetivo es el valor límite L, no la sucesión misma. | Limit | es | Para una sucesión a : N -> X y L en X, la convergencia de a a L significa que todo entorno U de L contiene a_n para todo n suficientemente grande. La sucesión es el objeto de entrada; la relación objetivo es su límite en L. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | The neighborhood condition supports L being a limit and is closer to gold `Limit` than to `Sequence`, but the probe grammatically defines the convergence relation while the registry defines Limit as a value; `la relación objetivo es su límite en L` is unnatural and conflates the relation with L. Final adjudication: sem... | no | 21 | no | false | true |
thm_probe_v2_005 | copyedit | true | UniformContinuity | Continuous/UniformContinuity | Let f : X -> Y be a map between topological spaces. The map f is continuous if the preimage of every open subset of Y is open in X. This definition uses only the topologies; it requires neither a uniform structure nor a condition uniform over all points. | Continuous | en | Let f : X -> Y be a map between topological spaces. The function f is continuous when the preimage of every open subset of Y is open in X. No uniform structure or global delta is required. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | The inverse-image definition is exactly correct. 'Global delta' is informal and undefined for arbitrary topological spaces; it communicates the intended contrast but is not clean mathematical prose. | yes | 22 | uncertain | false | true |
thm_probe_v2_005 | copyedit | false | UniformContinuity | Continuous/UniformContinuity | Niech f : X -> Y będzie funkcją między przestrzeniami topologicznymi. Funkcja f jest ciągła, gdy przeciwobraz każdego otwartego podzbioru Y jest otwarty w X. Nie wymaga się struktury jednostajnej ani wspólnej delty. | Continuous | pl | Niech f : X -> Y będzie funkcją między przestrzeniami topologicznymi. Funkcja f jest ciągła, gdy przeciwobraz każdego otwartego podzbioru Y jest otwarty w X. Nie wymaga się struktury jednostajnej ani wspólnej delty. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Definicja ciągłości przez przeciwobrazy zbiorów otwartych jest poprawna i trafnie odróżnia ciągłość jednostajną. Tłumaczenie pl jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 23 | yes | false | false |
thm_probe_v2_005 | copyedit | true | UniformContinuity | Continuous/UniformContinuity | Sei f : X -> Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen. Die Abbildung f ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Teilmenge von Y offen in X ist. Dafür ist keine Uniformstruktur erforderlich, und die Bedingung muss nicht gleichmäßig für alle Punkte gelten. | Continuous | de | Sei f : X -> Y eine Abbildung zwischen topologischen Räumen. Die Funktion f ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Teilmenge von Y in X offen ist. Eine uniforme Struktur oder ein globales Delta wird nicht vorausgesetzt. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | The inverse-image criterion is correct. Uniforme Struktur is defensible terminology, but globales Delta is an informal calque and has no definition for general topological spaces. | yes | 24 | uncertain | false | true |
thm_probe_v2_005 | copyedit | false | UniformContinuity | Continuous/UniformContinuity | Soit f : X -> Y une application entre espaces topologiques. La fonction f est continue lorsque l'image réciproque de tout ouvert de Y est ouverte dans X. Aucune structure uniforme ni delta global n'est requis. | Continuous | fr | Soit f : X -> Y une application entre espaces topologiques. La fonction f est continue lorsque l'image réciproque de tout ouvert de Y est ouverte dans X. Aucune structure uniforme ni delta global n'est requis. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Definicja ciągłości przez przeciwobrazy zbiorów otwartych jest poprawna i trafnie odróżnia ciągłość jednostajną. Tłumaczenie fr jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 25 | yes | false | false |
thm_probe_v2_005 | copyedit | false | UniformContinuity | Continuous/UniformContinuity | Sea f : X -> Y una aplicación entre espacios topológicos. La función f es continua cuando la preimagen de todo abierto de Y es abierta en X. No se requiere una estructura uniforme ni un delta global. | Continuous | es | Sea f : X -> Y una aplicación entre espacios topológicos. La función f es continua cuando la preimagen de todo abierto de Y es abierta en X. No se requiere una estructura uniforme ni un delta global. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Natural Spanish statement of topological continuity by inverse images of open sets; it correctly excludes any uniform-structure requirement. | yes | 26 | yes | false | false |
thm_probe_v2_006 | pass | true | Continuous | Continuous/UniformContinuity | Let f : X -> Y be a map between metric spaces. It is uniformly continuous if, for every epsilon > 0, there is delta > 0 such that d_X(x,y) < delta implies d_Y(f(x),f(y)) < epsilon for all x,y in X. Unlike ordinary continuity at a fixed base point, the same delta works uniformly for all x and y. | UniformContinuity | en | Let f : X -> Y be a map between metric spaces. It is uniformly continuous if for every epsilon > 0 there is delta > 0 such that, for all x,y in X, d_X(x,y) < delta implies d_Y(f(x),f(y)) < epsilon. Unlike pointwise continuity, delta does not depend on x. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | The quantifier order and metric implication are correct. 'Pointwise continuity' is attested in the comparison with uniform continuity, although 'ordinary continuity at each point' would avoid confusion with pointwise convergence. | yes | 27 | yes | true | false |
thm_probe_v2_006 | pass | false | Continuous | Continuous/UniformContinuity | Niech f : X -> Y będzie funkcją między przestrzeniami metrycznymi. Jest ona jednostajnie ciągła, gdy dla każdego epsilon > 0 istnieje delta > 0 taka, że dla wszystkich x,y w X nierówność d_X(x,y) < delta pociąga d_Y(f(x),f(y)) < epsilon. W odróżnieniu od ciągłości punktowej delta nie zależy od x. | UniformContinuity | pl | Niech f : X -> Y będzie funkcją między przestrzeniami metrycznymi. Jest ona jednostajnie ciągła, gdy dla każdego epsilon > 0 istnieje delta > 0 taka, że dla wszystkich x,y w X nierówność d_X(x,y) < delta pociąga d_Y(f(x),f(y)) < epsilon. W odróżnieniu od ciągłości punktowej delta nie zależy od x. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Metryczna definicja ciągłości jednostajnej ma prawidłowe kwantyfikatory i niezależność delty od punktu. Tłumaczenie pl jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 28 | yes | false | false |
thm_probe_v2_006 | pass | true | Continuous | Continuous/UniformContinuity | Sei f : X -> Y eine Abbildung zwischen metrischen Räumen. Sie heißt gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem epsilon > 0 ein delta > 0 gibt, sodass für alle x,y in X aus d_X(x,y) < delta folgt, dass d_Y(f(x),f(y)) < epsilon ist. Im Unterschied zur Stetigkeit in einem einzelnen Punkt kann dasselbe delta unabhängig vom Basis... | UniformContinuity | de | Sei f : X -> Y eine Abbildung zwischen metrischen Räumen. Sie ist gleichmäßig stetig, wenn es zu jedem epsilon > 0 ein delta > 0 gibt, so dass für alle x,y in X aus d_X(x,y) < delta die Ungleichung d_Y(f(x),f(y)) < epsilon folgt. Anders als bei punktweiser Stetigkeit hängt delta nicht von x ab. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct quantifier order and natural German. Punktweise Stetigkeit is used in German analysis, but Stetigkeit in jedem Punkt is less liable to be confused with punktweise Konvergenz. | yes | 29 | yes | true | false |
thm_probe_v2_006 | pass | false | Continuous | Continuous/UniformContinuity | Soit f : X -> Y une application entre espaces métriques. Elle est uniformément continue si, pour tout epsilon > 0, il existe delta > 0 tel que, pour tous x,y dans X, d_X(x,y) < delta implique d_Y(f(x),f(y)) < epsilon. Contrairement à la continuité ponctuelle, delta ne dépend pas de x. | UniformContinuity | fr | Soit f : X -> Y une application entre espaces métriques. Elle est uniformément continue si, pour tout epsilon > 0, il existe delta > 0 tel que, pour tous x,y dans X, d_X(x,y) < delta implique d_Y(f(x),f(y)) < epsilon. Contrairement à la continuité ponctuelle, delta ne dépend pas de x. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Metryczna definicja ciągłości jednostajnej ma prawidłowe kwantyfikatory i niezależność delty od punktu. Tłumaczenie fr jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 30 | yes | false | false |
thm_probe_v2_006 | pass | false | Continuous | Continuous/UniformContinuity | Sea f : X -> Y una aplicación entre espacios métricos. Es uniformemente continua si para todo epsilon > 0 existe delta > 0 tal que, para cualesquiera x,y en X, d_X(x,y) < delta implica d_Y(f(x),f(y)) < epsilon. A diferencia de la continuidad puntual, delta no depende de x. | UniformContinuity | es | Sea f : X -> Y una aplicación entre espacios métricos. Es uniformemente continua si para todo epsilon > 0 existe delta > 0 tal que, para cualesquiera x,y en X, d_X(x,y) < delta implica d_Y(f(x),f(y)) < epsilon. A diferencia de la continuidad puntual, delta no depende de x. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | The epsilon-delta quantifiers and the point-independent delta are correct and naturally expressed in Spanish. | yes | 31 | yes | false | false |
thm_probe_v2_007 | pass | false | InnerProduct | VectorSpace/InnerProduct | In a vector space V over a field K, scalar multiplication distributes over vector addition: a * (u + v) = a * u + a * v. This law uses the vector-space structure and does not require an inner product. | VectorSpace | en | In a vector space V over a field K, scalar multiplication distributes over vector addition: a * (u + v) = a * u + a * v. This law uses the vector-space structure and does not require an inner product. | axiom | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct vector-space axiom and correct separation from the additional inner-product structure. | yes | 32 | yes | false | false |
thm_probe_v2_007 | pass | false | InnerProduct | VectorSpace/InnerProduct | W przestrzeni wektorowej V nad ciałem K mnożenie przez skalar rozdziela się względem dodawania wektorów: a * (u + v) = a * u + a * v. To prawo korzysta ze struktury przestrzeni wektorowej i nie wymaga iloczynu wewnętrznego. | VectorSpace | pl | W przestrzeni wektorowej V nad ciałem K mnożenie przez skalar rozdziela się względem dodawania wektorów: a * (u + v) = a * u + a * v. To prawo korzysta ze struktury przestrzeni wektorowej i nie wymaga iloczynu wewnętrznego. | axiom | expert_adjudication_assisted_by_ai | Rozdzielność mnożenia przez skalar względem dodawania wektorów jest aksjomatem przestrzeni wektorowej, niezależnym od iloczynu wewnętrznego. Tłumaczenie pl jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 33 | yes | false | false |
thm_probe_v2_007 | pass | false | InnerProduct | VectorSpace/InnerProduct | In einem Vektorraum V über einem Körper K ist die Skalarmultiplikation distributiv bezüglich der Vektoraddition: a * (u + v) = a * u + a * v. Dieses Gesetz verwendet die Vektorraumstruktur und benötigt kein Skalarprodukt. | VectorSpace | de | In einem Vektorraum V über einem Körper K ist die Skalarmultiplikation distributiv bezüglich der Vektoraddition: a * (u + v) = a * u + a * v. Dieses Gesetz verwendet die Vektorraumstruktur und benötigt kein Skalarprodukt. | axiom | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct and idiomatic German; Körper, Skalarmultiplikation and Skalarprodukt are used in their standard algebraic senses. | yes | 34 | yes | false | false |
thm_probe_v2_007 | pass | false | InnerProduct | VectorSpace/InnerProduct | Dans un espace vectoriel V sur un corps K, la multiplication scalaire est distributive par rapport à l'addition: a * (u + v) = a * u + a * v. Cette loi utilise la structure d'espace vectoriel et ne requiert aucun produit scalaire. | VectorSpace | fr | Dans un espace vectoriel V sur un corps K, la multiplication scalaire est distributive par rapport à l'addition: a * (u + v) = a * u + a * v. Cette loi utilise la structure d'espace vectoriel et ne requiert aucun produit scalaire. | axiom | expert_adjudication_assisted_by_ai | Rozdzielność mnożenia przez skalar względem dodawania wektorów jest aksjomatem przestrzeni wektorowej, niezależnym od iloczynu wewnętrznego. Tłumaczenie fr jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 35 | yes | false | false |
thm_probe_v2_007 | pass | false | InnerProduct | VectorSpace/InnerProduct | En un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, la multiplicación por escalares es distributiva respecto de la suma: a * (u + v) = a * u + a * v. Esta ley usa la estructura de espacio vectorial y no requiere un producto interior. | VectorSpace | es | En un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, la multiplicación por escalares es distributiva respecto de la suma: a * (u + v) = a * u + a * v. Esta ley usa la estructura de espacio vectorial y no requiere un producto interior. | axiom | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct vector-space distributivity axiom with standard Spanish terminology; no inner product is used. | yes | 36 | yes | false | false |
thm_probe_v2_008 | copyedit | false | VectorSpace | VectorSpace/InnerProduct | In an inner-product space, the Cauchy-Schwarz inequality states |<x,y>| <= ||x|| * ||y||. The vector-space operations provide ambient structure, while the statement specifically uses the inner product. | InnerProduct | en | In an inner-product space, the Cauchy-Schwarz inequality states |<x,y>| <= ||x|| * ||y||. The vector-space operations provide ambient structure, while the statement specifically uses the inner product. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct over real or complex inner-product spaces; the absolute value handles the complex case, and the theorem genuinely requires the inner product. | yes | 37 | yes | false | false |
thm_probe_v2_008 | copyedit | true | VectorSpace | VectorSpace/InnerProduct | W przestrzeni z iloczynem wewnętrznym nierówność Cauchy’ego–Schwarza ma postać |<x,y>| <= ||x|| * ||y||. Struktura przestrzeni wektorowej stanowi tło, lecz twierdzenie korzysta bezpośrednio z iloczynu wewnętrznego. | InnerProduct | pl | W przestrzeni z iloczynem wewnętrznym nierówność Cauchy'ego-Schwarza ma postać |<x,y>| <= ||x|| * ||y||. Działania przestrzeni wektorowej tworzą strukturę otoczenia, lecz stwierdzenie korzysta bezpośrednio z iloczynu wewnętrznego. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | „Struktura otoczenia” jest błędną kalką `ambient structure`; naturalnie: „struktura liniowa stanowi tło”. | yes | 38 | no | false | true |
thm_probe_v2_008 | copyedit | true | VectorSpace | VectorSpace/InnerProduct | In einem Skalarproduktraum gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung |<x,y>| <= ||x|| * ||y||. Die Vektorraumstruktur bildet die Grundlage; für die Aussage selbst ist jedoch das Skalarprodukt wesentlich. | InnerProduct | de | In einem Skalarproduktraum lautet die Cauchy-Schwarz-Ungleichung |<x,y>| <= ||x|| * ||y||. Die Vektorraumoperationen bilden die umgebende Struktur; die Aussage verwendet jedoch ausdrücklich das Skalarprodukt. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct German statement. Umgebende Struktur is mildly literal but remains clear and grammatical in mathematical prose. | yes | 39 | yes | true | false |
thm_probe_v2_008 | copyedit | false | VectorSpace | VectorSpace/InnerProduct | Dans un espace préhilbertien, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit |<x,y>| <= ||x|| * ||y||. Les opérations vectorielles fournissent la structure ambiante, mais l'énoncé utilise précisément le produit scalaire. | InnerProduct | fr | Dans un espace préhilbertien, l'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit |<x,y>| <= ||x|| * ||y||. Les opérations vectorielles fournissent la structure ambiante, mais l'énoncé utilise précisément le produit scalaire. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Nierówność Cauchy’ego–Schwarza jest poprawnie przypisana strukturze iloczynu wewnętrznego. Tłumaczenie fr jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 40 | yes | false | false |
thm_probe_v2_008 | copyedit | false | VectorSpace | VectorSpace/InnerProduct | En un espacio con producto interior, la desigualdad de Cauchy-Schwarz afirma |<x,y>| <= ||x|| * ||y||. Las operaciones vectoriales proporcionan la estructura ambiente, pero el enunciado usa específicamente el producto interior. | InnerProduct | es | En un espacio con producto interior, la desigualdad de Cauchy-Schwarz afirma |<x,y>| <= ||x|| * ||y||. Las operaciones vectoriales proporcionan la estructura ambiente, pero el enunciado usa específicamente el producto interior. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | `Espacio con producto interior` and `desigualdad de Cauchy-Schwarz` are acceptable Spanish terms, and the statement specifically depends on the inner product. | yes | 41 | yes | false | false |
thm_probe_v2_009 | copyedit | true | OrthogonalComplement | Subspace/OrthogonalComplement | If U and W are linear subspaces of V, then U ∩ W is a linear subspace of V: it contains 0 and is closed under addition and scalar multiplication. No inner product or orthogonality assumption is needed. | Subspace | en | If U and W are linear subspaces of V, then U intersection W is a linear subspace of V. The statement uses only closure under addition and scalar multiplication; no orthogonality is assumed. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | The theorem is correct, but the explanation omits the zero-vector condition from the usual subspace verification. 'U intersection W' is an unnatural textual rendering of U ∩ W. Final adjudication: semantic=yes. Because U and W are already subspaces, 0 belongs to both automatically; mentioning it improves exposition but... | yes | 42 | no | false | true |
thm_probe_v2_009 | copyedit | true | OrthogonalComplement | Subspace/OrthogonalComplement | Jeżeli U i W są podprzestrzeniami liniowymi V, to ich przecięcie U ∩ W jest podprzestrzenią liniową V. Dowód wykorzystuje zwykłe aksjomaty podprzestrzeni, w tym 0 w U ∩ W oraz domknięcie na dodawanie i mnożenie przez skalary; nie zakłada ortogonalności. | Subspace | pl | Jeżeli U i W są podprzestrzeniami liniowymi V, to U przecięcie W jest podprzestrzenią liniową V. Stwierdzenie korzysta wyłącznie z domknięcia na dodawanie i mnożenie przez skalary; nie zakłada ortogonalności. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Twierdzenie jest prawdziwe, lecz „U przecięcie W” jest nienaturalne, a wyliczenie aksjomatów pomija obecność wektora zerowego. Final adjudication: semantic=yes. Because U and W are already subspaces, 0 belongs to both automatically; mentioning it improves exposition but is not required for truth. | yes | 43 | no | false | true |
thm_probe_v2_009 | copyedit | true | OrthogonalComplement | Subspace/OrthogonalComplement | Sind U und W lineare Unterräume von V, so ist auch ihr Durchschnitt U ∩ W ein linearer Unterraum von V: Er enthält den Nullvektor und ist unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen. Ein Skalarprodukt oder eine Orthogonalitätsannahme ist nicht erforderlich. | Subspace | de | Sind U und W lineare Unterräume von V, so ist U geschnitten W ein linearer Unterraum von V. Die Aussage verwendet nur Abgeschlossenheit unter Addition und Skalarmultiplikation; Orthogonalität wird nicht vorausgesetzt. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | The theorem is correct, with the same minor omission of the zero-vector condition. U geschnitten W is not natural German mathematical prose; der Durchschnitt U ∩ W is standard. Final adjudication: semantic=yes. Because U and W are already subspaces, 0 belongs to both automatically; mentioning it improves exposition but... | yes | 44 | no | false | true |
thm_probe_v2_009 | copyedit | true | OrthogonalComplement | Subspace/OrthogonalComplement | Si U et W sont des sous-espaces vectoriels de V, alors leur intersection U ∩ W est un sous-espace vectoriel de V. La preuve utilise les axiomes usuels des sous-espaces, notamment 0 dans U ∩ W et la stabilité par addition et multiplication scalaire; aucune orthogonalité n'est supposée. | Subspace | fr | Si U et W sont des sous-espaces vectoriels de V, alors leur intersection est un sous-espace vectoriel de V. L'énoncé utilise seulement la stabilité par addition et multiplication scalaire; aucune orthogonalité n'est supposée. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Le français est naturel, mais l'explication mathématique omet la condition de zéro/non-vacuité parmi les axiomes du sous-espace. Final adjudication: semantic=yes. Because U and W are already subspaces, 0 belongs to both automatically; mentioning it improves exposition but is not required for truth. | yes | 45 | yes | true | false |
thm_probe_v2_009 | copyedit | false | OrthogonalComplement | Subspace/OrthogonalComplement | Si U y W son subespacios lineales de V, entonces su intersección es un subespacio lineal de V. El enunciado usa solo el cierre bajo suma y multiplicación por escalares; no se supone ortogonalidad. | Subspace | es | Si U y W son subespacios lineales de V, entonces su intersección es un subespacio lineal de V. El enunciado usa solo el cierre bajo suma y multiplicación por escalares; no se supone ortogonalidad. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correctly states that intersections of linear subspaces are linear subspaces and naturally excludes orthogonality. Final adjudication: semantic=yes. Because U and W are already subspaces, 0 belongs to both automatically; mentioning it improves exposition but is not required for truth. | yes | 46 | yes | false | false |
thm_probe_v2_010 | copyedit | false | Subspace | Subspace/OrthogonalComplement | For a subspace U of an inner-product space V, its orthogonal complement is U^perp = {v in V | for every u in U, <v,u> = 0}. Here U is the input subspace and the target object is the construction U^perp. | OrthogonalComplement | en | For a subspace U of an inner-product space V, its orthogonal complement is U^perp = {v in V | for every u in U, <v,u> = 0}. Here U is the input subspace and the target object is the construction U^perp. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct definition and correct distinction between the input subspace U and the constructed subspace U^perp. 'Target object' is benchmark-oriented but comprehensible. | yes | 47 | yes | false | false |
thm_probe_v2_010 | copyedit | false | Subspace | Subspace/OrthogonalComplement | Dla podprzestrzeni U przestrzeni V z iloczynem wewnętrznym jej dopełnienie ortogonalne ma postać U^perp = {v w V | dla każdego u w U zachodzi <v,u> = 0}. U jest podprzestrzenią wejściową, a obiektem docelowym jest konstrukcja U^perp. | OrthogonalComplement | pl | Dla podprzestrzeni U przestrzeni V z iloczynem wewnętrznym jej dopełnienie ortogonalne ma postać U^perp = {v w V | dla każdego u w U zachodzi <v,u> = 0}. U jest podprzestrzenią wejściową, a obiektem docelowym jest konstrukcja U^perp. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Definicja dopełnienia ortogonalnego jest poprawna; kolejność argumentów iloczynu nie zmienia warunku zerowości. Tłumaczenie pl jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 48 | yes | false | false |
thm_probe_v2_010 | copyedit | true | Subspace | Subspace/OrthogonalComplement | Für einen Unterraum U eines Skalarproduktraums V ist das orthogonale Komplement durch U^perp = {v in V | <v,u> = 0 für alle u in U} definiert. Ausgehend von U wird hier also der Unterraum U^perp konstruiert. | OrthogonalComplement | de | Für einen Unterraum U eines Skalarproduktraums V ist sein orthogonales Komplement U^perp = {v in V | für alle u in U gilt <v,u> = 0}. Dabei ist U der Eingabeunterraum und das Zielobjekt die Konstruktion U^perp. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | The definition is correct, but Eingabeunterraum and Zielobjekt die Konstruktion are artificial compounds rather than normal German mathematical exposition. | yes | 49 | uncertain | false | true |
thm_probe_v2_010 | copyedit | false | Subspace | Subspace/OrthogonalComplement | Pour un sous-espace U d'un espace V muni d'un produit scalaire, son complément orthogonal est U^perp = {v dans V | pour tout u dans U, <v,u> = 0}. Ici U est le sous-espace d'entrée et l'objet visé est la construction U^perp. | OrthogonalComplement | fr | Pour un sous-espace U d'un espace V muni d'un produit scalaire, son complément orthogonal est U^perp = {v dans V | pour tout u dans U, <v,u> = 0}. Ici U est le sous-espace d'entrée et l'objet visé est la construction U^perp. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Definicja dopełnienia ortogonalnego jest poprawna; kolejność argumentów iloczynu nie zmienia warunku zerowości. Tłumaczenie fr jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 50 | yes | false | false |
thm_probe_v2_010 | copyedit | true | Subspace | Subspace/OrthogonalComplement | Para un subespacio U de un espacio V con producto interior, su complemento ortogonal es U^perp = {v en V | para todo u en U, <v,u> = 0}. Aquí U es el subespacio dado y U^perp es el objeto que se define. | OrthogonalComplement | es | Para un subespacio U de un espacio V con producto interior, su complemento ortogonal es U^perp = {v en V | para todo u en U, <v,u> = 0}. Aquí U es el subespacio de entrada y el objeto objetivo es la construcción U^perp. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | The formula and gold identification are correct, but `subespacio de entrada` and especially `objeto objetivo` are unnatural machine-translated phrasing in mathematical Spanish. | yes | 51 | no | false | true |
thm_probe_v2_011 | pass | false | TopologicalBasis | Basis/TopologicalBasis | A family B is a basis of the vector space V when B is linearly independent and spans V. Both algebraic conditions are required; the statement is not about generating open sets of a topology. | Basis | en | A family B is a basis of the vector space V when B is linearly independent and spans V. Both algebraic conditions are required; the statement is not about generating open sets of a topology. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct definition of a Hamel/vector-space basis and correct contrast with a topological basis. | yes | 52 | yes | false | false |
thm_probe_v2_011 | pass | false | TopologicalBasis | Basis/TopologicalBasis | Rodzina B jest bazą przestrzeni wektorowej V, gdy jest liniowo niezależna i generuje V. Wymagane są oba warunki algebraiczne; stwierdzenie nie dotyczy generowania zbiorów otwartych topologii. | Basis | pl | Rodzina B jest bazą przestrzeni wektorowej V, gdy jest liniowo niezależna i generuje V. Wymagane są oba warunki algebraiczne; stwierdzenie nie dotyczy generowania zbiorów otwartych topologii. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Liniowa niezależność i generowanie całej przestrzeni prawidłowo definiują bazę algebraiczną. Tłumaczenie pl jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 53 | yes | false | false |
thm_probe_v2_011 | pass | false | TopologicalBasis | Basis/TopologicalBasis | Eine Familie B ist eine Basis des Vektorraums V, wenn B linear unabhängig ist und V aufspannt. Beide algebraischen Bedingungen sind erforderlich; es geht nicht um die Erzeugung offener Mengen einer Topologie. | Basis | de | Eine Familie B ist eine Basis des Vektorraums V, wenn B linear unabhängig ist und V aufspannt. Beide algebraischen Bedingungen sind erforderlich; es geht nicht um die Erzeugung offener Mengen einer Topologie. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct and natural German definition of a vector-space basis; the topology contrast is clear. | yes | 54 | yes | false | false |
thm_probe_v2_011 | pass | false | TopologicalBasis | Basis/TopologicalBasis | Une famille B est une base de l'espace vectoriel V lorsqu'elle est linéairement indépendante et engendre V. Les deux conditions algébriques sont requises; il ne s'agit pas d'engendrer les ouverts d'une topologie. | Basis | fr | Une famille B est une base de l'espace vectoriel V lorsqu'elle est linéairement indépendante et engendre V. Les deux conditions algébriques sont requises; il ne s'agit pas d'engendrer les ouverts d'une topologie. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Liniowa niezależność i generowanie całej przestrzeni prawidłowo definiują bazę algebraiczną. Tłumaczenie fr jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 55 | yes | false | false |
thm_probe_v2_011 | pass | false | TopologicalBasis | Basis/TopologicalBasis | Una familia B es una base del espacio vectorial V cuando es linealmente independiente y genera V. Se requieren ambas condiciones algebraicas; el enunciado no trata de generar los abiertos de una topología. | Basis | es | Una familia B es una base del espacio vectorial V cuando es linealmente independiente y genera V. Se requieren ambas condiciones algebraicas; el enunciado no trata de generar los abiertos de una topología. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Natural and complete characterization of a vector-space basis by linear independence and spanning; the topological-basis confusable is clearly excluded. | yes | 56 | yes | false | false |
thm_probe_v2_012 | pass | false | Basis | Basis/TopologicalBasis | A collection B of open subsets of X is a basis for the topology when every open set is a union of members of B. Its elements are open sets, not vectors in a linearly independent family. | TopologicalBasis | en | A collection B of open subsets of X is a basis for the topology when every open set is a union of members of B. Its elements are open sets, not vectors in a linearly independent family. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct equivalent characterization of a topological basis, with B explicitly restricted to open subsets. The object-type contrast is accurate. | yes | 57 | yes | false | false |
thm_probe_v2_012 | pass | false | Basis | Basis/TopologicalBasis | Rodzina B otwartych podzbiorów X jest bazą topologii, gdy każdy zbiór otwarty jest sumą elementów B. Elementami B są zbiory otwarte, a nie wektory tworzące rodzinę liniowo niezależną. | TopologicalBasis | pl | Rodzina B otwartych podzbiorów X jest bazą topologii, gdy każdy zbiór otwarty jest sumą elementów B. Elementami B są zbiory otwarte, a nie wektory tworzące rodzinę liniowo niezależną. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Rodzina zbiorów otwartych, z której każdy otwarty jest sumą, poprawnie charakteryzuje bazę danej topologii. Tłumaczenie pl jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 58 | yes | false | false |
thm_probe_v2_012 | pass | false | Basis | Basis/TopologicalBasis | Eine Familie B offener Teilmengen von X ist eine Basis der Topologie, wenn jede offene Menge eine Vereinigung von Elementen aus B ist. Die Elemente von B sind offene Mengen und keine Vektoren einer linear unabhängigen Familie. | TopologicalBasis | de | Eine Familie B offener Teilmengen von X ist eine Basis der Topologie, wenn jede offene Menge eine Vereinigung von Elementen aus B ist. Die Elemente von B sind offene Mengen und keine Vektoren einer linear unabhängigen Familie. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct and idiomatic German characterization of a topological basis. | yes | 59 | yes | false | false |
thm_probe_v2_012 | pass | false | Basis | Basis/TopologicalBasis | Une collection B d'ouverts de X est une base de la topologie lorsque tout ouvert est une union d'éléments de B. Les éléments de B sont des ouverts, et non des vecteurs d'une famille linéairement indépendante. | TopologicalBasis | fr | Une collection B d'ouverts de X est une base de la topologie lorsque tout ouvert est une union d'éléments de B. Les éléments de B sont des ouverts, et non des vecteurs d'une famille linéairement indépendante. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Rodzina zbiorów otwartych, z której każdy otwarty jest sumą, poprawnie charakteryzuje bazę danej topologii. Tłumaczenie fr jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 60 | yes | false | false |
thm_probe_v2_012 | pass | false | Basis | Basis/TopologicalBasis | Una colección B de subconjuntos abiertos de X es una base de la topología cuando todo abierto es una unión de elementos de B. Los elementos de B son conjuntos abiertos, no vectores de una familia linealmente independiente. | TopologicalBasis | es | Una colección B de subconjuntos abiertos de X es una base de la topología cuando todo abierto es una unión de elementos de B. Los elementos de B son conjuntos abiertos, no vectores de una familia linealmente independiente. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Natural Spanish definition of a basis of a fixed topology: the members are open sets and every open set is their union. | yes | 61 | yes | false | false |
thm_probe_v2_013 | global_semantic_rewrite | true | ProbabilityMeasure | Measure/ProbabilityMeasure | Let (X, Sigma) be a measurable space. A measure is a function mu : Sigma -> [0, infinity] with mu(empty) = 0 and mu(union_n A_n) = sum_n mu(A_n) for every pairwise disjoint measurable family (A_n). No normalization mu(X) = 1 is imposed. | Measure | en | A measure mu is countably additive on pairwise disjoint measurable sets: mu(union_n A_n) = sum_n mu(A_n). Its total mass mu(X) is not required to equal one. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Every measure has the stated additivity and need not have mass one, so the assertions are true. As a definition, however, it is incomplete: the measurable domain, codomain [0,infinity], and mu(empty)=0 condition are unstated; countable additivity alone does not exclude the identically-infinite set function. Final adjud... | no | 62 | yes | false | true |
thm_probe_v2_013 | global_semantic_rewrite | true | ProbabilityMeasure | Measure/ProbabilityMeasure | Niech (X, Sigma) będzie przestrzenią mierzalną. Miara jest funkcją mu : Sigma -> [0, infinity] taką, że mu(empty) = 0 oraz mu(union_n A_n) = sum_n mu(A_n) dla każdej parami rozłącznej rodziny mierzalnej (A_n). Nie wymaga się normalizacji mu(X) = 1. | Measure | pl | Miara mu jest przeliczalnie addytywna na parami rozłącznych zbiorach mierzalnych: mu(suma_n A_n) = suma_n mu(A_n). Jej masa całkowita mu(X) nie musi być równa jeden. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | „Addytywna na ... zbiorach” jest kalką; standardowo mówi się o σ-addytywności dla parami rozłącznej rodziny zbiorów. Final adjudication: semantic=no under the declared query_kind=definition. Countable additivity alone omits the measurable domain, nonnegative extended-real codomain, and mu(empty)=0. | no | 63 | no | false | true |
thm_probe_v2_013 | global_semantic_rewrite | true | ProbabilityMeasure | Measure/ProbabilityMeasure | Sei (X, Sigma) ein messbarer Raum. Ein Maß ist eine Abbildung mu : Sigma -> [0, infinity] mit mu(empty) = 0 und mu(union_n A_n) = sum_n mu(A_n) für jede Folge paarweise disjunkter messbarer Mengen (A_n). Die Normierung mu(X) = 1 wird nicht verlangt. | Measure | de | Ein Maß mu ist auf paarweise disjunkten messbaren Mengen abzählbar additiv: mu(Vereinigung_n A_n) = Summe_n mu(A_n). Seine Gesamtmasse mu(X) muss nicht eins sein. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | The mathematical assertions are true but incomplete as a definition for the same reason as the English version: domain, codomain and mu(empty)=0 are omitted. Vereinigung_n and Summe_n are understandable placeholders but not natural German notation. Final adjudication: semantic=no under the declared query_kind=definitio... | no | 64 | uncertain | false | true |
thm_probe_v2_013 | global_semantic_rewrite | true | ProbabilityMeasure | Measure/ProbabilityMeasure | Soit (X, Sigma) un espace mesurable. Une mesure est une application mu : Sigma -> [0, infinity] telle que mu(empty) = 0 et mu(union_n A_n) = sum_n mu(A_n) pour toute famille (A_n) de parties mesurables deux à deux disjointes. On n’impose pas la normalisation mu(X) = 1. | Measure | fr | Une mesure mu est dénombrablement additive sur les ensembles mesurables deux à deux disjoints: mu(union_n A_n) = somme_n mu(A_n). Sa masse totale mu(X) n'est pas nécessairement égale à un. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | « additif sur les ensembles ... disjoints » est peu idiomatique; la formulation standard porte sur toute famille dénombrable de parties mesurables deux à deux disjointes. Final adjudication: semantic=no under the declared query_kind=definition. Countable additivity alone omits the measurable domain, nonnegative extende... | no | 65 | no | false | true |
thm_probe_v2_013 | global_semantic_rewrite | true | ProbabilityMeasure | Measure/ProbabilityMeasure | Sea (X, Sigma) un espacio medible. Una medida es una función mu : Sigma -> [0, infinity] tal que mu(empty) = 0 y, para toda familia (A_n) de conjuntos medibles disjuntos dos a dos, mu(union_n A_n) = sum_n mu(A_n). No se exige la normalización mu(X) = 1. | Measure | es | Una medida mu es numerablemente aditiva sobre conjuntos medibles disjuntos dos a dos: mu(unión_n A_n) = suma_n mu(A_n). Su masa total mu(X) no tiene que ser uno. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | As a definition it is incomplete: countable additivity alone does not define a measure; nonnegative extended-real codomain and mu(empty)=0 are missing. `Numerablemente aditiva` and `no tiene que ser uno` are understandable but less natural than `sigma-aditiva` and `no tiene por qué ser igual a 1`. Final adjudication: s... | no | 66 | no | false | true |
thm_probe_v2_014 | global_semantic_rewrite | true | Measure | Measure/ProbabilityMeasure | A probability measure P on (X, Sigma) is a measure satisfying P(X) = 1. It therefore satisfies all measure axioms; normalization of total mass to one distinguishes it from a general measure. | ProbabilityMeasure | en | A probability measure P is a measure normalized by P(X) = 1. Countable additivity alone describes a general measure; the mass-one condition is essential here. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | The first sentence is correct. The second is literally false: countable additivity alone is not a complete definition of a measure; null-empty-set and codomain/domain requirements also matter. Final adjudication: semantic=no in every language because the sentence 'countable additivity alone describes a general measure'... | no | 67 | yes | false | true |
thm_probe_v2_014 | global_semantic_rewrite | true | Measure | Measure/ProbabilityMeasure | Miara prawdopodobieństwa P na (X, Sigma) jest miarą spełniającą P(X) = 1. Spełnia więc wszystkie aksjomaty miary; od miary ogólnej odróżnia ją normalizacja całkowitej masy do 1. | ProbabilityMeasure | pl | Miara prawdopodobieństwa P jest miarą znormalizowaną warunkiem P(X) = 1. Sama przeliczalna addytywność opisuje miarę ogólną; warunek masy jeden jest tutaj niezbędny. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | „Znormalizowana warunkiem” i „warunek masy jeden” są nienaturalne; należy napisać „spełniająca P(X)=1” i „masa równa 1”. Final adjudication: semantic=no in every language because the sentence 'countable additivity alone describes a general measure' is literally incomplete/false. | no | 68 | no | false | true |
thm_probe_v2_014 | global_semantic_rewrite | true | Measure | Measure/ProbabilityMeasure | Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P auf (X, Sigma) ist ein Maß mit P(X) = 1. Es erfüllt daher alle Maßaxiome; die Normierung der Gesamtmasse auf eins unterscheidet es von einem allgemeinen Maß. | ProbabilityMeasure | de | Ein Wahrscheinlichkeitsmaß P ist ein durch P(X) = 1 normiertes Maß. Abzählbare Additivität allein beschreibt ein allgemeines Maß; die Bedingung Gesamtmasse eins ist hier wesentlich. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Abzählbare Additivität allein is mathematically insufficient to define a measure. Die Bedingung Gesamtmasse eins is also grammatically compressed and unnatural German. Final adjudication: semantic=no in every language because the sentence 'countable additivity alone describes a general measure' is literally incomplete/... | no | 69 | no | false | true |
thm_probe_v2_014 | global_semantic_rewrite | true | Measure | Measure/ProbabilityMeasure | Une mesure de probabilité P sur (X, Sigma) est une mesure telle que P(X) = 1. Elle satisfait donc tous les axiomes d’une mesure; la normalisation de la masse totale à 1 la distingue d’une mesure générale. | ProbabilityMeasure | fr | Une mesure de probabilité P est une mesure normalisée par P(X) = 1. L'additivité dénombrable seule décrit une mesure générale; la condition de masse totale un est essentielle ici. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | « normalisée par » est compréhensible, mais « condition de masse totale un » requiert « égale à un » et l'ensemble est peu naturel. Final adjudication: semantic=no in every language because the sentence 'countable additivity alone describes a general measure' is literally incomplete/false. | no | 70 | no | false | true |
thm_probe_v2_014 | global_semantic_rewrite | true | Measure | Measure/ProbabilityMeasure | Una medida de probabilidad P sobre (X, Sigma) es una medida que satisface P(X) = 1. Por tanto, cumple todos los axiomas de una medida; la normalización de la masa total a 1 la distingue de una medida general. | ProbabilityMeasure | es | Una medida de probabilidad P es una medida normalizada por P(X) = 1. La aditividad numerable por sí sola describe una medida general; la condición de masa uno es esencial aquí. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | P(X)=1 is the right normalization, but the sentence claiming that countable additivity alone describes a general measure is false/incomplete. `Condición de masa uno` is also less natural than `masa total igual a 1`. Final adjudication: semantic=no in every language because the sentence 'countable additivity alone descr... | no | 71 | no | false | true |
thm_probe_v2_015 | global_semantic_rewrite | true | VectorField | Field/VectorField | Let K be a field. Every nonzero x in K has a multiplicative inverse x^(-1) in K satisfying x * x^(-1) = 1. Here field denotes the algebraic structure, not a vector field on a manifold. | Field | en | Let K be an algebraic field. Every nonzero x in K has a multiplicative inverse x^(-1) in K with x * x^(-1) = 1. The word field denotes the scalar algebraic structure, not a pointwise vector assignment. | axiom | expert_adjudication_assisted_by_ai | The inverse axiom is correct. Algebraic field is attested as a name for the algebraic structure, but it is uncommon and can be misread as an algebraic extension; scalar algebraic structure is likewise heavy phrasing. The safer canonical term is simply field. Final fail-closed adjudication: semantic=no. The qualified ph... | no | 72 | uncertain | false | true |
thm_probe_v2_015 | global_semantic_rewrite | true | VectorField | Field/VectorField | Niech K będzie ciałem. Każdy niezerowy x w K ma odwrotność multiplikatywną x^(-1) w K taką, że x * x^(-1) = 1. Termin „ciało” oznacza tu strukturę algebraiczną, a nie pole wektorowe na rozmaitości. | Field | pl | Niech K będzie ciałem algebraicznym. Każdy niezerowy x w K ma odwrotność multiplikatywną x^(-1) w K taką, że x * x^(-1) = 1. Słowo ciało oznacza skalarną strukturę algebraiczną, a nie punktowe przypisanie wektorów. | axiom | expert_adjudication_assisted_by_ai | „Ciało algebraiczne” nie jest naturalną nazwą dowolnego ciała i wprowadza niezamierzone zawężenie; poprawnie: „Niech K będzie ciałem”. Final fail-closed adjudication: semantic=no. The qualified phrase algebraic field/corresponding translation is not a stable synonym for an arbitrary Field and narrows or ambiguates the ... | no | 73 | no | false | true |
thm_probe_v2_015 | global_semantic_rewrite | true | VectorField | Field/VectorField | Sei K ein Körper. Jedes von null verschiedene x in K besitzt ein multiplikatives Inverses x^(-1) in K mit x * x^(-1) = 1. Körper bezeichnet hier die algebraische Struktur, nicht ein Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit. | Field | de | Sei K ein algebraischer Körper. Jedes von null verschiedene x in K besitzt ein multiplikatives Inverses x^(-1) in K mit x * x^(-1) = 1. Der Begriff Körper bezeichnet die skalare algebraische Struktur und kein punktweises Vektorfeld. | axiom | expert_adjudication_assisted_by_ai | The inverse axiom is correct, but algebraischer Körper is not the unambiguous standard German name for an arbitrary field and may suggest an algebraic extension. Kein punktweises Vektorfeld is also a category-mismatched, unnatural contrast. Final fail-closed adjudication: semantic=no. The qualified phrase algebraic fie... | no | 74 | no | false | true |
thm_probe_v2_015 | global_semantic_rewrite | true | VectorField | Field/VectorField | Soit K un corps. Tout x non nul dans K possède un inverse multiplicatif x^(-1) dans K tel que x * x^(-1) = 1. Le mot « corps » désigne ici la structure algébrique, et non un champ de vecteurs sur une variété. | Field | fr | Soit K un corps algébrique. Tout x non nul dans K possède un inverse multiplicatif x^(-1) dans K tel que x * x^(-1) = 1. Le mot corps désigne la structure algébrique scalaire, et non une affectation ponctuelle de vecteurs. | axiom | expert_adjudication_assisted_by_ai | « corps algébrique » ne désigne pas un corps arbitraire et restreint indûment le concept; il faut écrire « Soit K un corps ». Final fail-closed adjudication: semantic=no. The qualified phrase algebraic field/corresponding translation is not a stable synonym for an arbitrary Field and narrows or ambiguates the target. | no | 75 | no | false | true |
thm_probe_v2_015 | global_semantic_rewrite | true | VectorField | Field/VectorField | Sea K un cuerpo. Todo x no nulo de K tiene un inverso multiplicativo x^(-1) en K tal que x * x^(-1) = 1. El término « cuerpo » designa aquí la estructura algebraica, no un campo vectorial sobre una variedad. | Field | es | Sea K un cuerpo algebraico. Todo x no nulo de K tiene un inverso multiplicativo x^(-1) en K tal que x * x^(-1) = 1. El término cuerpo denota la estructura algebraica escalar, no una asignación puntual de vectores. | axiom | expert_adjudication_assisted_by_ai | `Cuerpo algebraico` does not mean an arbitrary field: it normally suggests an algebraic extension or algebraic number field. The inverse axiom supports gold `Field`, but the added adjective incorrectly narrows the object. Final fail-closed adjudication: semantic=no. The qualified phrase algebraic field/corresponding tr... | no | 76 | no | false | true |
thm_probe_v2_016 | localized_semantic_rewrite | true | Field | Field/VectorField | A smooth vector field X on a smooth manifold M is a smooth section of the tangent bundle: for every p in M, X(p) lies in T_p M. This is a geometric section assigning tangent vectors to points, not a field in the sense of abstract algebra. | VectorField | en | A smooth vector field X on a smooth manifold M is a smooth section of the tangent bundle: for every p in M, X(p) lies in the tangent space T_p M. This is a geometric pointwise assignment, not an algebraic scalar field. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | The vector-field definition is correct. The contrast 'algebraic scalar field' is terminologically defective: scalar field normally means a scalar-valued function on a space, while the confusable concept is a field in abstract algebra. | no | 77 | no | false | true |
thm_probe_v2_016 | localized_semantic_rewrite | true | Field | Field/VectorField | Gładkie pole wektorowe X na gładkiej rozmaitości M jest gładkim cięciem wiązki stycznej: dla każdego p w M wektor X(p) należy do przestrzeni stycznej T_p M. Jest to geometryczne przyporządkowanie wektorów punktom rozmaitości, a nie ciało w sensie algebry abstrakcyjnej. | VectorField | pl | Gładkie pole wektorowe X na gładkiej rozmaitości M jest gładkim cięciem wiązki stycznej: dla każdego p w M wektor X(p) należy do przestrzeni stycznej T_p M. Jest to geometryczne przypisanie punktowe, a nie algebraiczne ciało skalarów. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | „Geometryczne przypisanie punktowe” jest zrozumiałe, ale brzmi jak kalka; naturalniej mówić o przyporządkowaniu wektora każdemu punktowi. | yes | 78 | uncertain | false | true |
thm_probe_v2_016 | localized_semantic_rewrite | true | Field | Field/VectorField | Ein glattes Vektorfeld X auf einer glatten Mannigfaltigkeit M ist ein glatter Schnitt des Tangentialbündels: Für jedes p in M liegt X(p) im Tangentialraum T_p M. Es ordnet jedem Punkt einen Tangentialvektor zu und ist kein Körper im Sinne der abstrakten Algebra. | VectorField | de | Ein glattes Vektorfeld X auf einer glatten Mannigfaltigkeit M ist ein glatter Schnitt des Tangentialbündels: Für jedes p in M liegt X(p) im Tangentialraum T_p M. Es ist eine geometrische punktweise Zuordnung und kein algebraischer Skalarkörper. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Glatter Schnitt des Tangentialbündels is correct. Algebraischer Skalarkörper is not a standard German term and mixes Körper with the separate notion of a scalar field; the final contrast is semantically misleading. | no | 79 | no | false | true |
thm_probe_v2_016 | localized_semantic_rewrite | true | Field | Field/VectorField | Un champ de vecteurs lisse X sur une variété lisse M est une section lisse du fibré tangent: à tout p dans M, il associe un vecteur X(p) de l’espace tangent T_p M. Il s’agit d’une assignation géométrique à chaque point, et non d’un corps au sens de l’algèbre abstraite. | VectorField | fr | Un champ de vecteurs lisse X sur une variété lisse M est une section lisse du fibré tangent: pour tout p dans M, X(p) appartient à l'espace tangent T_p M. Il s'agit d'une affectation géométrique ponctuelle, et non d'un corps de scalaires. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | « affectation géométrique ponctuelle » est une tournure calquée et peu usuelle; préférer une assignation/association à chaque point. | yes | 80 | no | false | true |
thm_probe_v2_016 | localized_semantic_rewrite | true | Field | Field/VectorField | Un campo vectorial suave X sobre una variedad suave M es una sección suave del fibrado tangente: para cada p en M, X(p) pertenece al espacio tangente T_p M. Asigna geométricamente vectores tangentes a puntos y no es un cuerpo en el sentido del álgebra abstracta. | VectorField | es | Un campo vectorial suave X sobre una variedad suave M es una sección suave del fibrado tangente: para todo p en M, X(p) pertenece al espacio tangente T_p M. Es una asignación geométrica puntual, no un cuerpo de escalares. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct and natural description of a smooth vector field as a smooth tangent-bundle section, distinct from an algebraic scalar field. | yes | 81 | yes | true | false |
thm_probe_v2_017 | copyedit | false | PrimeIdeal | Ideal/PrimeIdeal | If I and J are ideals of a ring R, then I + J = {i + j | i in I and j in J} is an ideal of R. The construction uses the ordinary ideal axioms and assumes no primality condition. | Ideal | en | If I and J are ideals of a ring R, then I + J = {i + j | i in I and j in J} is an ideal of R. The construction uses the ordinary ideal axioms and assumes no primality condition. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct theorem for ideals of a ring; the sum ideal needs no primeness assumption. | yes | 82 | yes | false | false |
thm_probe_v2_017 | copyedit | false | PrimeIdeal | Ideal/PrimeIdeal | Jeżeli I i J są ideałami pierścienia R, to I + J = {i + j | i w I oraz j w J} jest ideałem R. Konstrukcja korzysta ze zwykłych aksjomatów ideału i nie zakłada pierwszości. | Ideal | pl | Jeżeli I i J są ideałami pierścienia R, to I + J = {i + j | i w I oraz j w J} jest ideałem R. Konstrukcja korzysta ze zwykłych aksjomatów ideału i nie zakłada pierwszości. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Suma dwóch ideałów jest ideałem także bez założenia pierwszości. Tłumaczenie pl jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 83 | yes | false | false |
thm_probe_v2_017 | copyedit | false | PrimeIdeal | Ideal/PrimeIdeal | Sind I und J Ideale eines Rings R, so ist I + J = {i + j | i in I und j in J} ein Ideal von R. Die Konstruktion verwendet nur die gewöhnlichen Idealaxiome und setzt keine Primidealbedingung voraus. | Ideal | de | Sind I und J Ideale eines Rings R, so ist I + J = {i + j | i in I und j in J} ein Ideal von R. Die Konstruktion verwendet nur die gewöhnlichen Idealaxiome und setzt keine Primidealbedingung voraus. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct and natural German statement; Primidealbedingung is understandable and appropriately denied. | yes | 84 | yes | false | false |
thm_probe_v2_017 | copyedit | true | PrimeIdeal | Ideal/PrimeIdeal | Si I et J sont des idéaux d'un anneau R, alors I + J = {i + j | i dans I et j dans J} est un idéal de R. La construction n'utilise que les axiomes usuels des idéaux et ne suppose pas que I ou J soit premier. | Ideal | fr | Si I et J sont des idéaux d'un anneau R, alors I + J = {i + j | i dans I et j dans J} est un idéal de R. La construction utilise les axiomes ordinaires d'un idéal et ne suppose aucune primalité. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | « ne suppose aucune primalité » renvoie normalement à la primalité des entiers et n'est pas idiomatique pour un idéal; dire qu'I ou J n'est pas supposé premier. | yes | 85 | no | false | true |
thm_probe_v2_017 | copyedit | false | PrimeIdeal | Ideal/PrimeIdeal | Si I y J son ideales de un anillo R, entonces I + J = {i + j | i en I y j en J} es un ideal de R. La construcción usa los axiomas ordinarios de ideal y no supone ninguna condición de primalidad. | Ideal | es | Si I y J son ideales de un anillo R, entonces I + J = {i + j | i en I y j en J} es un ideal de R. La construcción usa los axiomas ordinarios de ideal y no supone ninguna condición de primalidad. | theorem | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct theorem about the sum of two ideals; `condición de primalidad` is understandable and the PrimeIdeal confusable is clearly excluded. | yes | 86 | yes | false | false |
thm_probe_v2_018 | copyedit | false | Ideal | Ideal/PrimeIdeal | An ideal P of a commutative ring R is prime when P is proper (P != R) and, for all a,b in R, a*b in P implies a in P or b in P. Properness and the product-membership implication are both required. | PrimeIdeal | en | An ideal P of a commutative ring R is prime when P is proper (P != R) and, for all a,b in R, a*b in P implies a in P or b in P. Properness and the product-membership implication are both required. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct standard definition of a prime ideal in a commutative ring, including the essential properness condition. | yes | 87 | yes | false | false |
thm_probe_v2_018 | copyedit | false | Ideal | Ideal/PrimeIdeal | Ideał P pierścienia przemiennego R jest pierwszy, gdy jest właściwy (P != R) oraz dla wszystkich a,b w R z a*b w P wynika a w P lub b w P. Wymagane są zarówno właściwość ideału, jak i implikacja dotycząca iloczynu. | PrimeIdeal | pl | Ideał P pierścienia przemiennego R jest pierwszy, gdy jest właściwy (P != R) oraz dla wszystkich a,b w R z a*b w P wynika a w P lub b w P. Wymagane są zarówno właściwość ideału, jak i implikacja dotycząca iloczynu. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Właściwość ideału oraz implikacja ab∈P => a∈P lub b∈P poprawnie definiują ideał pierwszy w pierścieniu przemiennym. Tłumaczenie pl jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 88 | yes | false | false |
thm_probe_v2_018 | copyedit | false | Ideal | Ideal/PrimeIdeal | Ein Ideal P eines kommutativen Rings R ist prim, wenn es echt ist (P != R) und für alle a,b in R aus a*b in P folgt, dass a in P oder b in P liegt. Sowohl Echtheit als auch die Produktbedingung sind erforderlich. | PrimeIdeal | de | Ein Ideal P eines kommutativen Rings R ist prim, wenn es echt ist (P != R) und für alle a,b in R aus a*b in P folgt, dass a in P oder b in P liegt. Sowohl Echtheit als auch die Produktbedingung sind erforderlich. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct and idiomatic German definition; echtes Ideal and Produktbedingung convey the two required clauses. | yes | 89 | yes | false | false |
thm_probe_v2_018 | copyedit | true | Ideal | Ideal/PrimeIdeal | Un idéal P d'un anneau commutatif R est premier s'il est propre (P != R) et si, pour tous a,b dans R, a*b dans P implique a dans P ou b dans P. Les deux conditions — P propre et l'implication sur le produit — sont nécessaires. | PrimeIdeal | fr | Un idéal P d'un anneau commutatif R est premier s'il est propre (P != R) et si, pour tous a,b dans R, a*b dans P implique a dans P ou b dans P. La propreté et l'implication sur le produit sont toutes deux requises. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | « La propreté » est peu idiomatique ici; répéter directement la condition « P est propre ». | yes | 90 | no | false | true |
thm_probe_v2_018 | copyedit | false | Ideal | Ideal/PrimeIdeal | Un ideal P de un anillo conmutativo R es primo si es propio (P != R) y si, para todos a,b en R, a*b en P implica a en P o b en P. Se requieren tanto la propiedad de ser propio como la implicación sobre el producto. | PrimeIdeal | es | Un ideal P de un anillo conmutativo R es primo si es propio (P != R) y si, para todos a,b en R, a*b en P implica a en P o b en P. Se requieren tanto la propiedad de ser propio como la implicación sobre el producto. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct and natural Spanish definition of a prime ideal in a commutative ring, including properness and the product-membership implication. | yes | 91 | yes | false | false |
thm_probe_v2_019 | copyedit | false | CompleteLattice | CompleteSpace/CompleteLattice | A metric space X is complete when every Cauchy sequence in X converges to a point of X. This is metric completeness and does not concern suprema or infima in an ordered lattice. | CompleteSpace | en | A metric space X is complete when every Cauchy sequence in X converges to a point of X. This is metric completeness and does not concern suprema or infima in an ordered lattice. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct sequential characterization of completeness for metric spaces and correct separation from order-theoretic completeness. | yes | 92 | yes | false | false |
thm_probe_v2_019 | copyedit | false | CompleteLattice | CompleteSpace/CompleteLattice | Przestrzeń metryczna X jest zupełna, gdy każdy ciąg Cauchy'ego w X zbiega do punktu należącego do X. Jest to zupełność metryczna, niezwiązana z supremami ani infimami w kracie uporządkowanej. | CompleteSpace | pl | Przestrzeń metryczna X jest zupełna, gdy każdy ciąg Cauchy'ego w X zbiega do punktu należącego do X. Jest to zupełność metryczna, niezwiązana z supremami ani infimami w kracie uporządkowanej. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Zbieżność każdego ciągu Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej jest poprawną metryczną instancją zupełności. Tłumaczenie pl jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 93 | yes | false | false |
thm_probe_v2_019 | copyedit | false | CompleteLattice | CompleteSpace/CompleteLattice | Ein metrischer Raum X ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in X gegen einen Punkt aus X konvergiert. Dies ist metrische Vollständigkeit und betrifft weder Suprema noch Infima in einem geordneten Verband. | CompleteSpace | de | Ein metrischer Raum X ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in X gegen einen Punkt aus X konvergiert. Dies ist metrische Vollständigkeit und betrifft weder Suprema noch Infima in einem geordneten Verband. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct and natural German formulation of metric completeness. | yes | 94 | yes | false | false |
thm_probe_v2_019 | copyedit | false | CompleteLattice | CompleteSpace/CompleteLattice | Un espace métrique X est complet lorsque toute suite de Cauchy dans X converge vers un point de X. Il s'agit de complétude métrique, sans rapport avec les suprema ou infima d'un treillis ordonné. | CompleteSpace | fr | Un espace métrique X est complet lorsque toute suite de Cauchy dans X converge vers un point de X. Il s'agit de complétude métrique, sans rapport avec les suprema ou infima d'un treillis ordonné. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Zbieżność każdego ciągu Cauchy’ego w przestrzeni metrycznej jest poprawną metryczną instancją zupełności. Tłumaczenie fr jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 95 | yes | false | false |
thm_probe_v2_019 | copyedit | true | CompleteLattice | CompleteSpace/CompleteLattice | Un espacio métrico X es completo cuando toda sucesión de Cauchy en X converge a un punto de X. Esto expresa la completitud métrica y no tiene relación con supremos ni ínfimos de un retículo ordenado. | CompleteSpace | es | Un espacio métrico X es completo cuando toda sucesión de Cauchy en X converge a un punto de X. Esta es completitud métrica y no trata de supremos o ínfimos en un retículo ordenado. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | The metric-completeness definition and gold identification are correct, but `Esta es completitud métrica y no trata de...` is an unnatural calque. | yes | 96 | no | false | true |
thm_probe_v2_020 | copyedit | false | CompleteSpace | CompleteSpace/CompleteLattice | A lattice L is complete when every subset A of L has both a supremum and an infimum in L. This is order-theoretic completeness and does not refer to Cauchy sequences or a metric. | CompleteLattice | en | A lattice L is complete when every subset A of L has both a supremum and an infimum in L. This is order-theoretic completeness and does not refer to Cauchy sequences or a metric. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct definition, including arbitrary subsets; the contrast with metric completeness is exact. | yes | 97 | yes | false | false |
thm_probe_v2_020 | copyedit | false | CompleteSpace | CompleteSpace/CompleteLattice | Kratka L jest zupełna, gdy każdy podzbiór A kraty L ma w L zarówno supremum, jak i infimum. Jest to zupełność porządkowa, która nie odwołuje się do ciągów Cauchy'ego ani metryki. | CompleteLattice | pl | Kratka L jest zupełna, gdy każdy podzbiór A kraty L ma w L zarówno supremum, jak i infimum. Jest to zupełność porządkowa, która nie odwołuje się do ciągów Cauchy'ego ani metryki. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Istnienie supremum i infimum każdego podzbioru poprawnie definiuje kratę zupełną. Tłumaczenie pl jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 98 | yes | false | false |
thm_probe_v2_020 | copyedit | false | CompleteSpace | CompleteSpace/CompleteLattice | Ein Verband L ist vollständig, wenn jede Teilmenge A von L sowohl ein Supremum als auch ein Infimum in L besitzt. Dies ist ordnungstheoretische Vollständigkeit und bezieht sich weder auf Cauchy-Folgen noch auf eine Metrik. | CompleteLattice | de | Ein Verband L ist vollständig, wenn jede Teilmenge A von L sowohl ein Supremum als auch ein Infimum in L besitzt. Dies ist ordnungstheoretische Vollständigkeit und bezieht sich weder auf Cauchy-Folgen noch auf eine Metrik. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Correct and idiomatic German order-theoretic definition. | yes | 99 | yes | false | false |
thm_probe_v2_020 | copyedit | false | CompleteSpace | CompleteSpace/CompleteLattice | Un treillis L est complet lorsque toute partie A de L possède dans L un supremum et un infimum. Il s'agit de complétude d'ordre, sans référence aux suites de Cauchy ni à une métrique. | CompleteLattice | fr | Un treillis L est complet lorsque toute partie A de L possède dans L un supremum et un infimum. Il s'agit de complétude d'ordre, sans référence aux suites de Cauchy ni à une métrique. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | Istnienie supremum i infimum każdego podzbioru poprawnie definiuje kratę zupełną. Tłumaczenie fr jest naturalne i zachowuje rozróżnienie gold/confusable. | yes | 100 | yes | false | false |
thm_probe_v2_020 | copyedit | true | CompleteSpace | CompleteSpace/CompleteLattice | Un retículo L es completo cuando todo subconjunto A de L tiene en L tanto un supremo como un ínfimo. Esto expresa la completitud en teoría del orden y no hace referencia a sucesiones de Cauchy ni a una métrica. | CompleteLattice | es | Un retículo L es completo cuando todo subconjunto A de L tiene en L tanto un supremo como un ínfimo. Esta es completitud de orden y no se refiere a sucesiones de Cauchy ni a una métrica. | definition | expert_adjudication_assisted_by_ai | The complete-lattice definition is correct, but `Esta es completitud de orden` is an unnatural nominal construction in Spanish. | yes | 101 | no | false | true |
End of preview. Expand in Data Studio
FACBench
FACBench: A Benchmark for Formal-Anchor Collisions in Multilingual Mathematical Grounding
Piotr Kuterba and Józef Spałek, Jagiellonian University.
FACBench is a targeted diagnostic of multilingual formal-object selection before proof generation. It tests whether retrieval selects the intended mathematical role rather than a nearby, formally different concept. It is not an open-world prevalence estimate, a proof-generation benchmark, or a newly trained retriever.
Current Scientific Release
The artifact version is v110.1. The public repository is
zussini/FACBench.
The dataset DOI is 10.57967/hf/11400.
Its registered version 87fdbc4 identifies the verified Hugging Face snapshot
87fdbc494ff6e8fb6ae142b03f2f5b2c8ed1fdfd; the scientific artifact version is
v110.1. Later publication PDFs and citation metadata supplement that frozen
snapshot without changing its experimental data or saved rankings.
The final adjudicated panel has 130 contrastive mathematical statements in
13 bidirectional concept families and five languages: English, Polish, German,
French, and Spanish. Each family contains two target directions in five languages.
There are 95 definition queries, 25 theorem queries, and 10 axiom queries.
All rankings use a closed inventory of 52 concept cards. The Mathlib mappings include 45 verified mappings and seven proxies; the primary endpoint is concept-ID accuracy, not accuracy over 52 independently verified declarations.
Files and Logical Views
| File | Contents |
|---|---|
FACBench_v110_1_concepts.json |
52 concept cards, aliases, formal representations, and mapping-status provenance. |
FACBench_v110_1_queries.json |
130 final queries with original/final wording, language, family, gold, confusable, and curation evidence. |
FACBench_v110_1_alias_decisions.json |
590 alias decisions: 484 positive and 106 excluded. |
FACBench_v110_1_query_decisions.json |
The same 130 query records exposed as the curation-decision view. |
FACBench_v110_1_dataverse_20261101.tar.gz |
Complete frozen data/code/evidence release, saved rankings, historical snapshots, reproduction commands, and prepublication manuscript. |
SHA256SUMS.txt |
SHA-256 checksums of the five data/code files above. |
The query and query-decision exports are byte-identical logical views, not two
independent evaluation sets. The archive filename records its original packaging
target; the same bytes are publicly hosted here. Download the full archive for
reproduction code and complete evidence, not just the convenience JSON exports.
Do not treat fields such as gold, confusable, family labels, mapping status,
or reviewer notes as model-facing query text.
Main Results and Experimental Units
On the final semantic-only panel, each configuration ranks all 52 cards:
| Configuration | Acc@1 | Recall@5 |
|---|---|---|
| BM25 | .554 | .954 |
| multilingual-E5-large-instruct | .823 | .969 |
| BGE-M3 dense | .838 | .992 |
| BGE-M3 sparse | .746 | .985 |
| BGE-M3 multivector | .808 | .969 |
Strong retrieval improves performance but does not saturate exact selection. BGE-M3 dense makes 21 Top-1 errors, including 12 selections of the prespecified confusable. The full panel contains five candidate representations, five retrieval configurations, and two executions per cell: 50 complete runs with 25 byte-identical repeat pairs. These repeats establish computational reproducibility, not additional independent samples. The 13 families, not the 130 translated rows, are the units for family-cluster resampling and leave-one-family-out analysis.
Curation, Provenance, and Limitations
An author-led re-adjudication with AI assistance reviewed all 590 alias decisions and 130 post-submission queries. Authors made the final decisions. The audit produced 22 state changes, including 16 alias-membership changes: 15 removals and one restoration. There are 53 flagged rewrites and 62 actual final-text changes, including nine additional meaning-preserving copyedits. Historical labels using "expert adjudication" are retained for provenance; they do not establish independent expert or native-speaker validation.
The inventory is small and purposive. Queries deliberately contain contrasts, and historical controlled/graph/blind views have answer-bearing structure; these are diagnostic instrumentation rather than evidence of natural grounding. Historical submitted "MRR" is MRR@5; full-ranking metrics are reported separately. The source/context policy helps its designed controlled setting, while fixed fusion with neural retrieval degrades an earlier contrastive snapshot.
The Isabelle experiment replaces formal metadata under the same 52-concept and 130-query schema. It is count-balanced and fixed-schema, not information-matched or Isabelle-native retrieval, library equivalence, or proof transfer. The native AFP graph pilot is exploratory and did not meet its frozen confirmation threshold. No downstream proof-generation or training-efficiency benefit is established. Multilingual agreement is a diagnostic signal, never proof of correctness.
Reproduction and Version History
After unpacking the full archive, start with README.md, REPRODUCING.md,
DATASET_CARD.md, and metadata/TABLE_TO_ARTIFACT.json. Saved-ranking CPU audit,
neural inference, and formal-toolchain rebuilding are distinct reproduction levels.
Model weights and complete Lean/Isabelle/AFP distributions are not bundled.
Submitted, intermediate, and final snapshots remain separate. For example, semantic-only BGE-M3 multivector Acc@1 is .885 in the initial panel, .846 in the intermediate snapshot, and .808 in the final adjudicated rerun. These are curation stages, not stochastic repetitions. Earlier guard-fusion evidence uses its own pre-adjudication snapshot and should not be mixed with the .808 final result.
The original submitted archive is preserved locally. Its sanitized public
mirror, already inside the full v110.1 artifact, removes private review URLs
without changing scientific data or results. Public and original hashes are
documented in metadata/PUBLIC_SANITIZATION.json. There is no need for a separate
public upload of the unsanitized submission archive.
Pin the Hugging Face commit as well as artifact version v110.1 when reproducing downloads. The paper PDF inside the full archive is the frozen prepublication manuscript. A separately uploaded final publication PDF, when available, is the authoritative camera-ready manuscript; hosting-status changes do not alter results.
Licensing and Responsible Use
Author-created code, benchmark records, generated queries, documentation, reports,
and figures are licensed under CC BY 4.0. External components retain their original
licenses; see LICENSE and the archive's ATTRIBUTION.md. Mathematical-library
sources and model weights are not relicensed by this dataset.
The data concern mathematical concepts, not human subjects. Synthetic query construction and author-led curation can create biases and ambiguities. Use this small, collision-focused diagnostic to inspect retrieval behavior and regression failures, not to infer real-world prevalence or certify generated proofs. Core and minimal Responsible AI metadata must be retained in the validated public Croissant descriptor; an incomplete platform-generated export is not a substitute.
Funding and Acknowledgements
Supported by the National Science Centre, Poland (NCN), under grants UMO-2021/41/B/ST3/04070 and 2023/49/B/ST3/03545. We thank Drs. Danuta Goc-Jagło and Maciej Fidrysiak for general discussions. The authors declare no competing interests.
Citation
Please cite the FACBench paper and its dataset separately. The following DOI is for the dataset, not a DOI for the conference paper:
Piotr Kuterba and Józef Spałek (2026). FACBench (DOI snapshot 87fdbc4,
artifact release v110.1) [Dataset]. Hugging Face.
https://doi.org/10.57967/hf/11400
See CITATION.cff and CITATION.bib. Also record the exact Hugging Face revision
used for reproducibility; the DOI does not replace per-file SHA-256 checks.
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