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The dataset generation failed
Error code: DatasetGenerationError
Exception: IndexError
Message: list index out of range
Traceback: Traceback (most recent call last):
File "/usr/local/lib/python3.14/site-packages/datasets/builder.py", line 1859, in _prepare_split_single
original_shard_lengths[original_shard_id] += len(table)
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
IndexError: list index out of range
The above exception was the direct cause of the following exception:
Traceback (most recent call last):
File "/src/services/worker/src/worker/job_runners/config/parquet_and_info.py", line 1369, in compute_config_parquet_and_info_response
parquet_operations, partial, estimated_dataset_info = stream_convert_to_parquet(
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^
builder, max_dataset_size_bytes=max_dataset_size_bytes
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
)
^
File "/src/services/worker/src/worker/job_runners/config/parquet_and_info.py", line 948, in stream_convert_to_parquet
builder._prepare_split(split_generator=splits_generators[split], file_format="parquet")
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
File "/usr/local/lib/python3.14/site-packages/datasets/builder.py", line 1694, in _prepare_split
for job_id, done, content in self._prepare_split_single(
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~^
gen_kwargs=gen_kwargs, job_id=job_id, **_prepare_split_args
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
):
^
File "/usr/local/lib/python3.14/site-packages/datasets/builder.py", line 1880, in _prepare_split_single
raise DatasetGenerationError("An error occurred while generating the dataset") from e
datasets.exceptions.DatasetGenerationError: An error occurred while generating the datasetNeed help to make the dataset viewer work? Make sure to review how to configure the dataset viewer, and open a discussion for direct support.
text string |
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모든 가능한 결과의 확률의 합이 1$이므로, 스피너가 $C$에 착륙할 확률을 구하려면 스피너가 $A$와 $B$에 착륙할 확률을 1$에서 빼야 합니다. 이를 방정식으로 쓸 수 있습니다: $P(C) = 1 - P(A) - P(B)$. P(A) = rac{1}{3}$, $P(B) = rac{5}{12}$라는 것을 알고 있으므로 이 값을 방정식에 대입하여 단순화할 수 있습니다. 결과는 다음과 같습니다: P(C) = 1 - rac{1}{3} - frac{5}{12} = rac{12}{12} - frac{4}{12} - frac{5}{12} = rac{3}{12}$. 분자와 분... |
14명 중 6명을 선택해야 하는데 순서는 중요하지 않습니다. 이것은 순열 문제가 아니라 조합 문제입니다. 조합의 공식은 nCr = n! / (r! * (n-r)!)이며, 여기서 n은 총 선택의 개수이고 r은 선택의 개수입니다. 숫자를 연결하면 14C6 = 14! / (6! * 8!) = 3003. |
먼저 단어에 제한을 두지 않고 4글자로 된 모든 단어의 개수를 세어봅니다. 그런 다음 자음이 없는 4글자 단어의 개수를 세어봅니다. 그런 다음 뺄셈을 통해 답을 얻습니다. |
단어의 각 글자는 $A$, $B$, $C$, $D$ 또는 $E$ 중 하나여야 하므로 단어에 제한이 없는 4글자 단어의 수는 $5\배수 5\배수 5\배수 5=625$입니다. 자음이 없는 단어의 각 글자는 $A$ 또는 $E$ 중 하나여야 합니다. 따라서 자음이 없는 모든 4글자 단어의 수는 $2\배수 2\배수 2\배수 2=16$입니다. 따라서 자음이 하나 이상 있는 4글자 단어의 수는 $625-16=609$입니다. |
주사위 중 하나 이상이 1에 나올 때만 가능합니다. 두 주사위가 모두 1이 아닐 확률은 $\left(rac{5}{6} ight) \left(rac{5}{6} ight) = rac{25}{36}$입니다. 따라서 적어도 하나의 주사위가 1일 확률은 $1-rac{25}{36} = rac{11}{36}$입니다. |
문제를 H와 T의 시퀀스라고 생각하세요. 두 개의 T가 연속으로 나타날 수 없으므로, 이 수열은 $1$에서 $4$ 사이의 H 블록이 T로 구분되고 $5$의 H로 끝나는 수열입니다. 첫 글자가 T이거나 시퀀스가 H 블록으로 시작될 수 있으므로 총 확률은 3/2$가 H로 시작해야 한다는 것입니다. |
그러면 문제에 대한 답은 $rac 32 \left( rac 1{2^a} \cdot rac 12 \cdot rac 1{2^b} \cdot rac 12 \cdot rac 1{2^c} \오른쪽) \cdot \left(rac 12 ight)^5$, 여기서 $a,b,c \ldots$는 모두 숫자 $1-4$이며, H의 블록은 길이가 $1-4$ 범위일 수 있기 때문입니다. (1/2)^a$ 형태의 모든 수의 합은 $1/2+1/4+1/8+1/16=15/16$이므로, 마지막 5개의 H 앞에 n개의 H 블록이 있으면 답을 쓸 수 있습니다, 답은 $rac 32\left( \left(rac... |
첫 번째 숫자는 7가지(3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)를 선택할 수 있습니다. 마지막 자리에는 10개의 선택지(0~9)가 있습니다. |
중간 자릿수 중 하나가 0이면 그 곱이 5를 초과하지 않는다는 것을 알고 있습니다. 따라서 1에서 9 사이의 두 숫자를 선택하여 형성된 중간 자릿수 쌍만 고려합니다. 이러한 쌍은 $9 \cdot 9$ 개가 가능합니다. 곱이 5를 초과하지 않는 유일한 쌍은 11, 12, 13, 14, 15, 21, 22, 31, 41, 51입니다. 따라서 중간 두 자릿수를 선택할 수 있는 방법은 $9 \cdot 9 - 10 = 71$ 개입니다. |
따라서 $7 \cdot 71 \cdot 10 = 4970$의 숫자가 있습니다. |
가방에서 두 개의 서로 다른 구슬의 가능한 모든 합의 평균을 구해야 합니다. 이를 위해 가능한 모든 결과와 그 확률을 나열한 다음 각 결과에 확률을 곱하여 합산하면 됩니다. 가방에서 서로 다른 두 개의 구슬을 꺼내는 방법은 5개 또는 10개를 선택할 수 있습니다. 가방이 잘 섞여 있고 각 구슬이 뽑힐 확률이 같다고 가정하기 때문에 각 방법은 1/10의 동일한 확률을 갖습니다. 가능한 결과와 그 합은 다음과 같습니다: (1, 2) 합계 3, (1, 3) 합계 4, (1, 4) 합계 5, (1, 5) 합계 6, (2, 3) 합계 5, (2, 4) 합계 6, (2, 5) ... |
두 개의 공을 뽑을 수 있는 조합은 $inom{11}{2} = 55$ 개입니다. 뽑을 수 있는 두 개의 흰색 공의 조합은 $inom{5}{2} = 10$ 개입니다. 따라서 뽑은 두 개의 공이 모두 흰색일 확률은 $\dfrac{10}{55} = \dfrac{2}{11}$입니다. |
숫자 $a_i - i$는 집합 $\{0, 1, 2, \ldots, 1997\}$에서 반드시 구별되지 않는 짝수 원소 10개입니다. 또한, $\{0, 1, 2, \ldots, 1997\}$의 반드시 구별되지 않는 10개의 원소가 주어지면, 가장 작은 원소에 1을 더한 다음 두 번째로 작은 원소(실제로는 가장 작은 원소와 같을 수 있음)에 2를 더하는 식으로 정확히 한 가지 방법으로 $a_1, a_2, \ldots, a_{10}$ 목록을 재구성할 수 있습니다. |
따라서 999개의 원소가 있는 집합 $\{0, 2, 4, \ldots, 1996\}$에서 치환을 통해 10개의 원소를 선택하는 방법의 수와 같은 답이 나옵니다. 이것은 조합론의 고전적인 문제로, 일반적으로 $n$ 집합에서 치환을 통해 $m$ 개를 선택하는 방법은 ${m + n - 1 \choose m}$ 개가 있습니다. 이 경우 ${999 + 10 - 1 \choose 10} = {1008 \choose 10}$의 값이 나오므로 답은 $8$입니다. |
단위 자릿수가 0인 1000까지의 $\left\lfloorrac{999}{10} ight floor = 99$ 숫자가 있습니다. 제외된 다른 모든 가능성은 $a$ 또는 $b$의 10번째 자릿수가 0인 경우이며, 방정식은 대칭이므로 $a$의 10번째 자릿수가 0일 때만 계산하고 2를 곱합니다($a$와 $b$ 모두 10번째 자릿수가 0일 수 있는 유일한 경우는 100으로 나눌 수 있는 경우로, 위의 범주에 해당하므로 초과 계산에 대해 걱정하지 않아도 됩니다.). |
이미 세어본 100으로 나눌 수 있는 숫자를 제외하면 100개의 숫자마다 10번째 자리가 0인 숫자가 $9$개씩 있으므로(100에서 900까지 해당), 총 $9 \cdot 9 = 81$개의 숫자가 있으며, $b$도 고려하면 $81 \cdot 2 = 162$개가 있습니다. 따라서 $999 - (99 + 162) = 738$ 개의 정렬된 쌍이 있습니다. |
단어의 글자를 정렬하기 위해 일부가 동일한 n 개체의 순열 공식을 사용할 수 있습니다. 이 경우 TARTAR에는 6개의 글자가 있으므로 n = 6입니다. A 유형의 동일한 문자가 두 개, R 유형의 동일한 문자가 두 개, T 유형의 동일한 문자가 두 개 있습니다. 따라서 k1 = k2 = k3 = 2입니다. 이 값을 공식에 대입하면 6! / (2! * 2! * 2!) = 90. 따라서 TARTAR라는 단어의 글자를 배열하는 방법은 90 가지가 있습니다. |
시퀀스에 0이 하나만 포함된 경우 $7\cdot 6\cdot |
5\cdot 4\cdot 3 = 2520$ 수열은 문자 A, I, M, E, 2, 0, 7로 구성됩니다. 수열에 두 개의 0이 포함된 경우, 0은 $inom{5}{2} = 10$ 방식으로 배치할 수 있고, 나머지 문자는 $inom{6}{3} = 20$ 방식으로 선택할 수 있으며, 나머지 문자는 $3! = 6$ 방식으로 배열할 수 있으므로 총 10\cdot 20\cdot 6 |
1200$ 시퀀스입니다. 따라서 $N = 2520 + 1200 = 3720$이고, $rac{N}{10} = |
각 패에서 한 장의 카드를 얻을 확률을 구하고 싶은데, 이는 같은 패에서 두 장 이상의 카드를 얻지 않아야 한다는 뜻입니다. 표준 덱에는 클럽, 다이아몬드, 하트, 스페이드의 네 가지 수트가 있습니다. 매번 카드를 뽑을 때마다 카드를 교체하기 때문에 어떤 카드를 뽑을 때 특정 수트를 얻을 확률은 항상 $rac{1}{4}$입니다. 따라서 각 수트에서 한 장의 카드를 얻을 확률은 어떤 순서로든 네 개의 서로 다른 수트가 연속적으로 나올 확률과 같습니다. C-D-H-S, S-H-D-C 등과 같이 서로 다른 네 가지 수트의 시퀀스는 $4! = 24$ 개가 가능합니다. 이러한... |
이것은 선택 순서는 중요하지 않은 조합을 세는 문제입니다. 한 번에 r씩 가져온 n 개체의 조합 수에 대한 공식을 사용할 수 있는데, 이는 nCr = n! / (r! (n-r)!)로, 여기서! 는 계승을 의미합니다. 이 경우 n은 11이고 r은 3이므로 이 값을 공식에 대입하여 단순화합니다. 11C3 = 11! / (3! (11-3)!) = 11! / (3! 8!) = (11 * 10 * 9 * 8!) / (3! 8!) = (11 * 10 * 9) / (3 * 2 * 1) = 165. 따라서 11명으로 구성된 팀에서 3명의 주장을 선택할 수 있는 방법은 165가지가 ... |
원점에서 한 단위 내에 있는 영역의 넓이를 구하고 이를 정사각형의 전체 넓이로 나눠야 합니다. 원점에서 한 단위 이내의 영역은 반지름이 1이고 중심이 원점인 원입니다. 반지름이 $r$인 원의 넓이는 $\pi r^2$이므로 이 원의 넓이는 $\pi \cdot 1^2 = \pi$입니다. 정사각형의 넓이는 변의 길이가 4이므로 $4 \cdot 4 = 16$입니다. 따라서 $P$가 원 안에 있을 확률은 $rac{\pi}{16}$입니다. |
P(x)$의 값 표입니다: |
lfloor \sqrt{P(x)} floor = \sqrt{P(\lfloor x floor)}$가 유지되려면 $\sqrt{P(\lfloor x floor)}$가 정수여야 하므로 $P(\lfloor x floor)$는 완벽한 제곱이 되어야 합니다. 이는 $x$를 $5 \le x < 6$ 또는 $6 \le x < 7$ 또는 $13 \le x < 14$로 제한하는데, 위의 표에서 $P(\lfloor x floor)$가 완전 제곱인 $x$의 값은 이 두 가지뿐이기 때문입니다. 그러나 $\sqrt{P(x)}$가 $P(\lfloor x floor)$로 반내림되려면 $P(x)$가... |
케이스 5 \le x < 6$: |
P(x)$는 $1$ 뒤의 첫 번째 완전 제곱, 즉 $4$보다 작아야 합니다: |
1 \le P(x) < 4$ ($\lfloor \sqrt{P(x)} floor = 1$은 $1 \le \sqrt{P(x)} < 2$를 의미하기 때문입니다). |
P(x)$는 $x \ge 5$에 대해 증가하므로 $v \ge 5$에서 $P(v) = 4$인 값을 구하면 작동 범위 $5 \le x < v$를 구할 수 있습니다. |
따라서 이 경우 작동하는 유일한 값은 $5 \le x < rac{3 + \sqrt{61}}{2}$입니다. |
케이스 $6 \le x < 7$: |
P(x)$는 $9$ 뒤의 첫 번째 완전 제곱인 $16$보다 작아야 합니다. |
따라서 이 경우 작동하는 유일한 값은 $6 \le x < rac{3 + \sqrt{109}}{2}$입니다. |
케이스 $13 \le x < 14$: |
P(x)$는 $121$ 뒤의 첫 번째 완전 제곱인 $144$보다 작아야 합니다. |
따라서 이 경우 작동하는 유일한 값은 $13 \le x < rac{3 + \sqrt{621}}{2}$입니다. |
이제 작업 간격의 길이를 구하고 이를 전체 간격의 길이인 $15 - 5 = 10$로 나눕니다: |
따라서 답은 $61 + 109 + 621 + 39 + 20 = 850$입니다. |
6개의 숫자를 선택할 수 있는 방법의 총 개수는 ${10\choose 6} = 210$입니다. |
3$이 두 번째로 낮은 수라고 가정합니다. 선택해야 할 숫자는 $5$개이며, 그 중 $4$개는 $3$보다 커야 하고, $1$개는 $3$보다 작아야 합니다. 이는 3$보다 큰 $7$의 수에서 $4$의 수를 선택하고, 3$보다 작은 $2$의 수에서 $1$의 수를 선택하는 것과 같습니다\[{7\choose 4} {2\choose 1}= 35 imes2\]. |
따라서 $rac{35 imes2}{210} = rac{1}{3}$입니다. |
이 그룹의 구성원 두 명을 선택하는 방법은 $inom{10}{2} = 45$이고, 여학생 두 명을 선택하는 방법은 $inom{5}{2} = 10$입니다. 따라서 무작위로 선택된 두 명의 구성원이 여자일 확률은 $\dfrac{10}{45} = \dfrac{2}{9}$입니다. |
우리는 7단위 경로를 따라야 한다는 것을 알고 있습니다. 그리드를 좀 더 자세히 살펴보면 경로가 오른쪽으로 4단계, 위로 3단계로 구성되어야 한다는 것을 알 수 있으며, 이러한 단계는 어떤 순서로든 이동할 수 있습니다. 따라서 경로를 지정하려면 7단계 중 3단계를 '위로'로 선택해야 합니다(따라서 나머지 4단계는 '오른쪽'이 됩니다). 따라서 경로의 수는 $$ inom{7}{3} = rac{7 imes 6 imes 5}{3 imes 2 imes 1} = 35입니다. $$ |
첫 번째 위치는 $C$로 고정되어 있으므로 계산할 때 고려할 필요가 없으며 나머지 세 위치에 집중할 수 있습니다. 이 포지션 중 하나는 $B$여야 하므로 두 번째, 세 번째 또는 네 번째 세 가지 방법으로 선택할 수 있습니다. B$로 선택한 위치는 더 이상 선택의 여지가 없지만, 다른 두 위치는 $B$ 또는 $C$를 반복하지 않아야 하므로 선택할 수 있는 글자는 $A, D, E, $F$의 네 글자가 남습니다. 이 두 위치 중 첫 번째 위치의 경우 네 글자 중 아무 글자나 선택할 수 있고 두 번째 위치의 경우 나머지 세 글자 중 아무 글자나 선택할 수 있습니다. 따라서... |
팔린드롬은 121 또는 313과 같이 앞뒤가 같은 숫자를 말합니다. 그래서 저는 팔린드롬이 아닌 11의 가장 작은 거듭제곱을 찾고 싶습니다. 11^0 = 1, 11^1 = 11, 11^2 = 121은 모두 팔린드롬이라는 것을 알고 있습니다. 그래서 11^3을 확인하고 그것이 팔린드롬인지 아닌지 확인해야 합니다. 계산기를 사용하거나 손으로 곱셈을 할 수 있습니다. 11^3 = 1331을 얻습니다. 이것도 팔린드롬이므로 계속 진행해야 합니다. 11^4를 확인하고 14641을 얻습니다. 이것도 여전히 팔린드롬이므로 11^5를 확인해야 합니다. 11^5 = 161051을 얻... |
이 문제는 두 그룹의 책의 순열 수를 세는 문제인데, 각 그룹 내의 순서가 중요합니다. 이를 위해 곱셈 원리를 사용할 수 있습니다. 먼저 수학 책을 주문하는 방법을 선택한 다음 영어 책을 주문하는 방법을 선택한 다음 두 그룹을 선반에 배치하는 방법을 선택할 수 있습니다. 수학 책이 3권이 있으므로 3! = 6가지 방법으로 주문할 수 있습니다. 영어 책이 5권이 있으므로 5! = 120가지 방법으로 주문할 수 있습니다. 각 그룹에 속한 책을 주문하고 나면 각 그룹을 하나의 단위로 취급할 수 있습니다. 그런 다음 선반에 배치할 두 개의 유닛이 있으므로 2! = 2가지 방... |
반복되는 숫자가 있는 4자리 숫자의 분수를 찾은 다음 100을 곱하여 백분율을 구해야 합니다. 1000에서 9999까지 가능한 4자리 숫자는 9000개입니다. 그 중 반복되는 숫자는 몇 개일까요? 이에 접근하는 한 가지 방법은 반복되는 숫자가 없는 숫자를 세어 9000에서 빼는 것입니다. 반복되는 숫자가 없으려면 숫자의 자릿수가 4자리여야 합니다. 첫 번째 숫자는 1부터 9까지 9개 중 하나를 선택할 수 있습니다(0은 안 됨). 두 번째 숫자는 0을 포함한 나머지 9개 선택지 중 하나(첫 번째 숫자와 같을 수 없음)일 수 있습니다. 세 번째 숫자는 나머지 8개 선택 ... |
오른쪽으로 5단계, 위로 4단계가 있습니다. 이 9단계는 어떤 순서로든 만들 수 있으므로 9단계 중 4단계를 $inom{9}{4} = 126$의 방법으로 "위로"로 선택할 수 있습니다. |
사례 1: 세 가지 속성이 모두 동일합니다. 세트에는 서로 다른 카드가 포함되어 있으므로 불가능합니다. |
사례 2: 세 가지 속성 중 두 가지가 동일합니다. 문제의 두 속성을 선택하는 방법은 ${3\선택 2}$가지가 있습니다. 그런 다음 첫 번째 속성의 값을 선택하는 방법은 3개, 두 번째 속성의 값을 선택하는 방법은 3개, 세 번째 속성의 위치를 정렬하는 방법은 1개이므로 ${3\choose 2} \cdot 3 \cdot 3 = 27개$의 방법이 있습니다. |
사례 3: 세 속성 중 하나가 동일한 경우. 문제의 속성 하나를 선택하는 방법은 ${3\choose 1}$개이고, 그 속성의 값을 선택하는 방법은 $3$개입니다. 그런 다음 다음 두 속성의 위치를 정렬하는 방법이 $3!$ 개 있으므로 ${3\choose 1} \3 \cdot 3! = 54$ 방법이 됩니다. |
사례 4: 세 속성이 모두 동일하지 않습니다. 첫 번째 속성의 순서를 고정한 다음 두 번째 속성의 순서를 고르는 방법은 $3!$개, 세 번째 속성의 순서를 고르는 방법은 $3!$개가 있습니다. 따라서 $(3!)^2 = 36$ 개의 방법이 있습니다. |
대소문자를 더하면 $27 + 54 + 36 = 117$이 됩니다. |
학교에 있는 개들의 총 수를 구하려면 각 개를 정확히 한 번씩 세어야 합니다. 벤 다이어그램을 사용하여 서로 다른 개들의 집합과 그 겹치는 부분을 나타낼 수 있습니다. 벤 다이어그램의 가장 안쪽 영역은 세 가지 트릭을 모두 할 수 있는 9마리의 개입니다. 정확히 두 가지 묘기를 할 수 있는 개의 수를 찾으려면 각 묘기를 할 수 있는 개의 수에서 세 가지 묘기를 모두 할 수 있는 개의 수를 빼야 합니다. 예를 들어, 17마리의 개가 앉아서 가만히 있을 수 있지만 9마리는 뒤집기도 할 수 있으므로 17 - 9 = 8마리의 개만 정확히 앉아서 가만히 있을 수 있습니다. 마... |
왼쪽(rac{3}{5}x-rac{y}{2} ight)^8$의 확장에서 $x^2y^6$ 계수를 구하려면 이항 정리를 사용해야 하는데, 이항 정리는 확장의 각 항을 이항 계수, 첫 번째 항의 거듭제곱, 두 번째 항의 거듭제곱으로 작성하는 방법을 알려주는 함수입니다. 이항 계수는 더 큰 집합에서 특정 수의 항목을 선택하는 방법의 수와 같으며, $inom{n}{k}$로 쓰는데, 여기서 $n$은 더 큰 집합의 크기이고 $k$는 더 작은 집합의 크기입니다. 이 경우 큰 집합은 $\left(rac{3}{5}x-rac{y}{2} ight)$의 8요인이고, 작은 집합은 $y$ 항 대... |
메가볼이 일치할 확률은 $\dfrac{1}{27}$ 입니다. 5개의 위너볼이 일치할 확률은 $\dfrac{1}{inom{44}{5}}$ 입니다. 따라서 내가 이길 확률은 $\left(\dfrac{1}{27} ight) imes\left(\dfrac{1}{inom{44}{5}} ight) = \dfrac{1}{29,\!322,\!216}$입니다. |
존이 선택한 다섯 개의 구슬 중 녹색인 두 개의 구슬을 선택하는 방법은 $inom{5}{2}=10$가지가 있습니다. 이 10가지 선택 중 어느 것이든 해당 선택이 일어날 확률은 $\left( rac{6}{10} ight) ^2 \left( rac{4}{10} ight) ^3 = rac{72}{3125}$입니다. 그러면 총 확률은 $10 \cdot rac{72}{3125}= rac{144}{625}$입니다. |
x$ 축은 Allen이 도착한 시간을 나타내고, $y$ 축은 Bethany가 도착한 시간을 나타내도록 합니다. |
음영 처리된 영역은 알렌과 베서니가 파티에서 서로를 볼 수 있는 시간을 나타냅니다. 예를 들어 알렌이 1:30에 도착한 경우 베서니는 1:15에서 1:45 사이의 시간에 도착하여 파티에서 알렌을 볼 수 있습니다. 한 시간을 한 단위로 가정합니다. 그런 다음 음영 처리된 영역의 면적은 전체 정사각형의 면적에서 음영 처리되지 않은 두 삼각형의 면적을 뺀 값으로 계산할 수 있습니다. 이는 $2\cdot rac{1}{2}와 같습니다. \cdot rac{3}{4} \cdot rac{3}{4}=rac{9}{16}$. 따라서 음영 영역의 면적은 $1-rac{9}{16}=rac{7... |
두 이벤트는 독립적이므로 각각을 개별적으로 고려합니다. A의 타일이 15보다 작을 확률은 $rac{14}{20} = rac{7}{10}$입니다. B의 타일이 짝수이거나 25보다 클 확률은 $rac{10+2}{20} = rac{3}{5}$입니다. 따라서 독립적인 이벤트에 대한 확률을 곱하면 $rac{7}{10}의 확률이 나옵니다. \cdot rac{3}{5} = rac{21}{50}$입니다. |
3개의 섬을 선택하는 방법은 $inom{6}{3}=20$가지가 있습니다. 이러한 각 선택에 대해, 선택한 섬에 보물이 있고 나머지 섬에는 보물이나 함정이 없을 확률은 $\left( rac{1}{4} ight)^3 \left( rac{2}{3} ight)^3$입니다. 따라서 해적이 보물이 있는 섬은 정확히 3개이고 함정이 있는 섬은 하나도 없을 확률은 $20 \left( rac{1}{4} ight)^3 \left( rac{2}{3} ight)^3 = rac{5}{54}$입니다. |
가장 비싼 품목인 재그의 수를 최대로 늘리고 싶으므로 재그와 지그에 지출하는 금액을 최소화해야 합니다. 각 품목을 하나 이상 구입하는 가장 저렴한 방법은 $\$1 + \$2 = \$3$에 재그와 지그를 각각 하나씩 구입하는 것입니다. 그러면 $\$50 - \$3 = \$47$을 조그에 쓸 수 있습니다. 각 조그의 가격은 $\$7$이므로 $\$47$을 $\$7$로 나누어 구입할 수 있는 조그의 개수를 구할 수 있습니다. $\$47 \div \$7 = 6$이고 나머지는 $\$5$입니다. 조그의 분수를 살 수 없으므로 가장 가까운 정수로 반내림해야 합니다. 따라서 내가 살... |
계산기 없이 $9!/8!$를 계산하려면 계승 표기법의 정의를 기억해야 합니다. n!으로 표시되는 양의 정수 n의 계승은 1에서 n까지의 모든 양의 정수의 곱입니다. 예를 들어, 5!= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120입니다. 따라서 $9!/8!$을 계산하려면 $rac{9!}{8!} = rac{9 \배수 8 \배수 7 \배수 6 \배수 5 \배수 4 \배수 3 \배수 2 \배수 1}{8 \배수 7 \배수 6 \배수 5 \배수 4 \배수 3 \배수 2 \배수 1}$로 적을 수 있습니다. 분자와 분모에서 많은 계수가 상쇄되어 분자에 9만 남는 것을 알 수 있습니다... |
파스칼의 항등식 $inom{n-1}{k-1}+inom{n-1}{k}=inom{n}{k}$를 사용하여 $inom{24}{4}$와 $inom{24}{5}$를 구할 수 있습니다. |
이제 $inom{24}{4}$와 $inom{24}{5}$를 얻었으므로 파스칼의 공식을 다시 사용하여 $inom{25}{5}$를 구할 수 있습니다. |
30보다 상대적으로 소수가 아닌 30보다 작거나 같은 정수를 찾는 것이 더 쉬울 수 있습니다. 여기에는 2, 4, 6, 8, 10, $\점$, 28, 30 또는 15개의 짝수 정수가 포함됩니다. 또한 3, 9, 15, 21, 27 또는 3의 홀수 배수인 5, 25, 2와 3에 상대적으로 소수인 5의 배수도 포함됩니다. 따라서 총 $15+5+2 = 22$의 숫자가 30과 소수를 공유합니다. 따라서 상대적으로 소인수인 8개의 정수가 있으므로 $rac{8}{30} = rac{4}{15}$의 비율을 구할 수 있습니다. |
30의 소인수는 2, 3, 5이며, $$30\left(1-rac{1}{2} ight)\left(1-rac{1}{3} ight)\left(1-rac{1}{5} ight)= 30 \cdot rac{1}{2}입니다. \cdot rac{2}{3} \cdot rac{4}{5} = 8,$$은 30보다 작은 양의 정수 중 상대적으로 소인수인 30의 수와 같습니다. 우연일까요? |
첫 번째 카드를 $\스페이드 수트$로 선택하는 방법은 13가지, 두 번째 카드를 다른 $\스페이드 수트$로 선택하는 방법은 12가지, 세 번째 카드를 $\스페이드 수트$로 선택하는 방법은 11가지가 있습니다. 세 장의 카드를 선택할 수 있는 방법은 $52 \배 51 \배 50$입니다. 따라서 확률은 $\dfrac{13 \배 12 \배 11}{52 \배 51 \배 50} = \dfrac{11}{850}$입니다. |
이 문제를 풀기 위해 500보다 작은 세 자리 숫자 중 두 자리 이상이 같은 숫자가 몇 개 있는지 세고 500보다 작은 세 자리 숫자의 총 수에서 빼겠습니다. 500보다 작은 세 자리 숫자의 총 개수는 4 * 10 * 10 = 400이므로 첫 번째 자리는 1, 2, 3, 4가 될 수 있고 두 번째와 세 번째 자리는 0에서 9까지가 될 수 있습니다. 이제 이 400개의 숫자 중 같은 자릿수가 없는 숫자가 몇 개인지 세어보겠습니다. 같은 숫자가 없는 숫자는 첫 번째 숫자는 4가지 중에서 선택할 수 있지만, 두 번째 숫자는 첫 번째 숫자와 달라야 하므로 9가지 중에서 선택... |
[참고] 문제에서 달리 명시하지 않았으므로 두 번째 숫자는 0일 수 있다고 가정합니다. 따라서 같은 자릿수가 없는 500 미만의 세 자리 숫자의 수는 4 * 9 * 8 = 288입니다. 즉, 500보다 작은 세 자리 숫자 중 두 자리 이상이 같은 숫자의 개수는 400 - 288 = 112입니다. |
이 문제는 5개의 공을 2개의 상자로 나눈 칸의 개수를 세는 문제로, 상자의 순서가 중요합니다. 이 문제에 접근하는 한 가지 방법은 첫 번째 상자에는 0에서 5까지 가변적인 수의 공이 있고 두 번째 상자에는 나머지 공이 있다고 생각하는 것입니다. 예를 들어 첫 번째 상자에 공이 0개이면 두 번째 상자에는 공이 5개가 있습니다. 첫 번째 상자에 공이 1개 있으면 두 번째 상자에 공이 4개 있는 식으로 열거할 수 있습니다. 이렇게 하면 첫 번째 상자의 공 수를 매번 하나씩 늘려서 5개의 공이 될 때까지 가능한 모든 파티션을 열거할 수 있습니다. 파티션은 다음과 같습니다:... |
n$을 6으로 나누든 8로 나누든 나머지는 같으므로 $n = 6a + r = 8b + r$이라고 쓸 수 있으며, 여기서 $0\leq r \leq 5$가 됩니다. 이는 $3a = 4b$이므로 $a$는 4의 배수이며, 정수 $k$에 대해 $a = 4k$라고 쓸 수 있습니다. 100<n<200$이므로 $95<6a<200$, 즉 $rac{95}{24} < k <rac{200}{24}$입니다. k$는 정수이므로 $4\leq k \leq 8$입니다. k = 4$이면 $r = 5$가 되어야 합니다. 그렇지 않으면 $r = 0,1,2,3,4,5$가 모두 허용됩니다. 따라서 $n$에... |
왼쪽(\sqrt{4!\cdot 3!} ight)^2 = 4!\cdot 3! = 24\cdot 6 = 144.$$임을 알 수 있습니다. |
컵스가 월드 시리즈에서 우승할 수 있는 경우는 레드삭스가 4번째 경기에서 승리하기 전에 레드삭스가 승리하는 경기 수에 따라 4가지가 있습니다: 레드삭스가 무승부, 1경기, 2경기 또는 3경기를 이길 수 있습니다. 일반적으로, 레드삭스가 컵스가 4번째 게임에서 승리하기 전에 정확히 $k$ 게임을 이긴다면, 마지막 게임(컵스가 반드시 이겨야 하는) 전에 총 $3+k$ 게임이 진행되며, 이 중에서 레드삭스가 승리하는 게임을 선택하는 방법은 총 $\dbinom{3+k}{k}$ 가지가 있습니다, 그리고 각 배열에 대해 컵스는 $\left(\dfrac{3}{5} ight)^4$... |
\end{align*}은 egin{align*}으로 단순화됩니다. |
\end{align*}이므로 답은 $71$ 퍼센트입니다. |
MADAM이라는 단어에는 서로 구별할 수 없는 두 개의 A와 두 개의 M이 있다는 것을 알 수 있습니다. 즉, 다섯 글자의 가능한 배열을 모두 나열하면 일부가 반복될 수 있습니다. 예를 들어 AMMAD와 AMMAD는 두 M의 위치를 바꿨지만 동일한 배열입니다. 중복을 계산하지 않으려면 총 배열 수를 동일한 글자를 배열하는 방법의 수로 나누어야 합니다. 첫 번째 글자는 5개, 두 번째 글자는 4개, 이렇게 다섯 글자를 배열할 수 있으므로 중복 여부와 상관없이 총 배열 수는 5입니다. 두 개의 A를 배열하는 방법의 수는 첫 번째 A에 대해 두 가지, 두 번째에 대해 한 ... |
필요한 경우 선행 0을 삽입하여 모든 페이지 번호에 세 자리 숫자를 부여합니다. 00, 01, 02, ..., 98, 99 숫자를 쓸 때 모든 숫자가 같은 횟수만큼 사용되므로 1페이지부터 399페이지까지 사용된 4의 수와 사용된 8의 수가 같습니다. |
400페이지부터 488페이지까지는 4가 백분위 숫자로 89번 나오는 반면 8이 백분위 숫자로 0번 나옵니다. 4가 십진수로 사용된 숫자 440, 441, ..., 449는 10번 모두 인쇄된 반면, 8이 십진수로 사용된 숫자 480, 481, ..., 488은 9번만 인쇄되었습니다. 따라서 4는 10자리 숫자로 8보다 한 번 더 사용됩니다. 숫자 400, 401, ..., 488에서는 4와 8이 단위 숫자로 각각 9번씩 나타나므로 단위 자리에 여분의 4가 없습니다. 총 $89+1+0=90$은 8보다 4가 더 많이 인쇄됩니다. |
각 친구를 세 팀 중 하나에 배정하는 방법의 수를 세고 싶습니다. 첫 번째 친구에게는 3개의 팀을 선택할 수 있습니다. 두 번째 친구에게는 첫 번째 친구가 선택한 팀과 상관없이 3개의 팀을 선택할 수 있습니다. 마찬가지로 나머지 친구들 각각에 대해 3개의 팀을 선택할 수 있습니다. 따라서 친구를 나누는 총 방법은 3×3×3×3×3×3, 즉 3^6입니다. 계산기 또는 지수 규칙을 사용하여 3^6 = 729임을 알 수 있습니다. |
이항 계수 $\dbinom{n}{k}$ 는 순서에 관계없이 $n$ 개의 별개의 객체 중에서 $k$ 개의 객체를 선택하는 방법의 수를 세는 계수입니다. 여기서 $n!$은 $n$의 계승, 즉 $n$까지의 모든 양의 정수의 곱을 의미하는 $\dbinom{n}{k} = rac{n!}{k!(n-k)!}$라는 공식을 사용할 수 있습니다. 따라서 순서에 관계없이 $16$에서 $5$ 개체를 선택할 수 있는 정확한 수를 구하려면 $16 \배 15 \배 14 \배 13 \배 12$를 $5!$로 나누어야 합니다. 이렇게 하면 $rac{16 \배수 15 \배수 14 \배수 13 \배수 1... |
파란 눈을 가진 학생의 수를 구해야 하므로 이를 x라고 합니다. 또한 파란 눈보다 금발 머리를 가진 학생이 두 배 더 많다는 것을 알고 있으므로 금발 머리를 가진 학생의 수는 2배가 되어야 합니다. 금발 머리와 파란 눈을 모두 가진 학생은 6명이므로 포함-제외 원리를 사용하여 금발 머리 또는 파란 눈을 가진 학생의 수를 구할 수 있습니다. 기호로 표현하면 2x + x - 6입니다. 또한 금발 머리와 파란 눈을 모두 가진 학생이 3명이라는 것을 알고 있으므로 금발 머리 또는 파란 눈을 가진 학생의 수는 30에서 3을 뺀 27이 되어야 합니다. 기호로 표현하면 2x + ... |
A$를 구하려면 네 자리의 홀수를 어떻게 구성할지 생각해야 합니다. 첫 번째 자리는 0이 3자리 숫자가 되므로 0이 아닌 9자리 숫자 중 어느 것이든 될 수 있습니다. 두 번째와 세 번째 자리는 숫자의 패리티나 길이에 영향을 주지 않으므로 10자리 중 아무 숫자나 사용할 수 있습니다. 네 번째 숫자는 숫자의 패리티를 결정하므로 1, 3, 5, 7, 9의 다섯 홀수 숫자 중 하나이어야 합니다. 따라서 $A$를 구하려면 각 자릿수에 선택의 수를 곱하면 됩니다: $9 \배수 10 \배수 10 \배수 5 = 4500$. B$를 구하려면 5의 네 자리 배수를 어떻게 구성할지 ... |
10명의 주자 모두의 점수의 합계는 $55$가 되어야 합니다. 따라서 우승 점수는 $1+2+3+4+5=15$에서 $\lfloor frac{55}{2} floor=27$ 사이입니다. 1+2+3+4+x$, $1+2+3+x+10$, $1+2+x+9+10$을 고려하면 이 범위가 포함된다는 것을 쉽게 확인할 수 있으므로 정답은 $13$입니다. |
이 문제에 답하려면 그룹에 속한 사람들의 순서에 관계없이 5명 중 3명을 선택할 수 있는 방법이 몇 가지나 있는지 세어봐야 합니다. 이것은 조합 문제이며, 한 번에 r씩 취하는 n개의 객체의 조합 수에 대한 공식을 사용할 수 있습니다: nCr = n! / (r! (n - r)!), 여기서 ! 는 계승을 의미합니다. 이 경우 n = 5, r = 3이므로 이 값을 공식에 대입하여 단순화합니다: 5C3 = 5! / (3! (5 - 3)!) = 120 / (6 * 2) = 120 / 12 = 10. 따라서 다섯 친구가 만들 수 있는 세 명씩의 그룹은 10개가 됩니다. |
1 자리, 10 자리 또는 100 자리에 5가 있는 숫자가 몇 개 있는지 세고 싶습니다. 이중 계산을 피하기 위해 포함-제외의 원리를 사용할 수 있습니다. 포함-배제의 원리를 적용하려면 1 자리에 5가 있는 수의 수, 10 자리에 5가 있는 수의 수, 100 자리에 5가 있는 수의 수, 1 자리와 10 자리 모두에 5가 있는 수의 수, 1 자리와 100 자리 모두에 5가 있는 수의 수, 10 자리와 100 자리 모두에 5가 있는 수의 수, 세 자리 모두에 5가 있는 수의 수를 찾아야 합니다. 10자리에서 가능한 10자리와 100자리에서 가능한 6자리마다 5로 끝나는 ... |
3달러짜리 기본 맛은 3달러짜리 구별 가능한 상자로, 4달러짜리 스쿱은 4달러짜리 구별 불가능한 공으로 생각할 수 있습니다. 예를 들어 초콜릿 상자에 볼을 넣을 때마다 블렌딩 머신에 초콜릿 아이스크림 한 스쿱을 넣습니다. 이렇게 하면 각각의 새로운 맛을 상자 안의 볼 배열과 연관시킬 수 있습니다. 따라서 다양한 새로운 맛의 수는 볼을 상자에 넣는 방법의 수와 같습니다. |
이를 "막대기와 점" 문제로 풀 수 있습니다. 4$짜리 구별할 수 없는 공과 2$짜리 구별할 수 없는 막대기가 있다고 가정합니다. 이들을 일렬로 배열합니다. 초콜릿 상자에는 가장 왼쪽 막대기의 왼쪽에 있는 공을 모두 넣고, 바닐라 상자에는 두 막대기 사이의 공을, 딸기 상자에는 가장 오른쪽 막대기의 오른쪽에 있는 공을 넣어 상자를 채웁니다. 막대기와 공의 각 배열은 상자를 채우는 한 가지 방법에 해당하며, 상자를 채우는 각 방법은 이 막대기와 공으로 한 줄로 나타낼 수 있습니다. 막대기를 배치하기 위해 $6$ 중 2$ 지점을 선택하여 공이 나머지 $4$ 지점을 차지하... |
한 사람이 두 사람과 악수한다고 가정하면 그래프 이론을 통해 이 모든 것을 '고리'로 볼 수 있습니다. 이렇게 하면 네 가지 경우로 나뉩니다: 3명의 고리 3개, 3명의 고리 1개와 6명의 고리 1개, 4명의 고리 1개와 5명의 고리 1개, 9명의 고리 1개입니다. (합이 9가 되는 다른 모든 경우는 문제의 악수 조건을 충족하지 않는 2점 이하의 '링'이 하나 이상 있기 때문에 작동하지 않습니다.) |
사례 1: 세 개의 그룹을 만들기 위해 $\dfrac{\dbinom{9}{3}\dbinom{6}{3}\dbinom{3}{3}}{3!}$가 있습니다. 일반적으로 고리 안에 사람을 배열하는 방법이 $(n-1)!$ 개이므로 고리 안에 사람을 배열하여 제대로 계산할 수 있는 방법은 $\dfrac{(n-1)!}{2}$이며, 반사를 별도의 개체로 간주하고 싶지 않기 때문입니다. 따라서 세 가지 경우 각각 $\dfrac{(3-1)!}{2}=1$ 배열을 갖습니다. 따라서 이 경우 $\left(\dfrac{\dbinom{9}{3}\dbinom{6}{3}\dbinom{3}{3}}{3!... |
사례 2: 3과 6의 경우, 고리에 대한 $\dbinom{9}{6}=84$ 집합이 있습니다. 이전과 마찬가지로 고리 내의 조직을 위해 3의 고리를 배열하는 방법은 한 가지뿐입니다. 6의 경우 $\dfrac{(6-1)!}{2}=60$이 있습니다. 즉, $(84)(1)(60)=5040$의 배열이 있습니다. |
사례 3: 4와 5의 경우, 고리에 대한 $\dbinom{9}{5}=126$ 집합이 있습니다. 5개 내에는 $\dfrac{4!}{2}=12$ 배열이 있고, 4개 내에는 $\dfrac{3!}{2}=3$ 배열이 있습니다. 즉, 총합은 $(126)(12)(3)=4536$입니다. |
사례 4: 9의 경우, 고리에 대한 $\dbinom{9}{9}=1$ 배열이 있습니다. 그 안에는 $\dfrac{8!}{2}=20160$ 배열이 있습니다. |
이 경우들을 합하면 $280+5040+4536+20160=30016 o 16$이 됩니다. |
팔린드롬은 12321 또는 경주용 자동차와 같이 앞뒤로 읽는 숫자 또는 단어입니다. 5자리 팔린드롬을 만들려면 첫 번째, 두 번째, 세 번째 숫자를 선택해야 하고 네 번째와 다섯 번째 숫자는 대칭에 따라 결정됩니다. 첫 번째 숫자의 경우 0이 될 수 없기 때문에 9개의 선택지가 있습니다. 두 번째 숫자의 경우 0에서 9까지의 숫자가 될 수 있으므로 10개의 선택지가 있습니다. 세 번째 숫자도 0에서 9까지의 숫자가 될 수 있으므로 10개의 선택지가 있습니다. 네 번째 숫자는 두 번째 숫자와 같아야 하고 다섯 번째 숫자는 첫 번째 숫자와 같아야 합니다. 따라서 5자리 ... |
먼저 곱이 12인 4자리 숫자의 여러 그룹을 알아내야 합니다. 12를 숫자 중 하나로 사용할 수 없으며 9, 8 또는 7도 사용할 수 없습니다(12를 나눌 수 없는 숫자). 6을 사용할 수 있는데, 이 경우 다른 숫자 중 하나는 2이고 나머지 두 개는 1입니다. 따라서 6211이라는 숫자 또는 이 숫자들을 재배열하여 만들 수 있는 모든 숫자를 가질 수 있습니다. 이 네 개의 숫자를 순서대로 배열하는 방법에는 $4!$가 있지만, 두 개의 1이 동일하므로 $4!$는 가능한 각 숫자를 두 번 계산하므로 $2!$로 나누어야 합니다. 따라서 6, 2, 2개의 1로 구성된 $4... |
다음으로 5를 가질 수 없으므로 4를 생각해 봅니다. 4가 있다면 나머지 세 숫자는 3, 1, 1입니다. 6211에서 숫자를 정렬하는 방법이 12가지인 것처럼 4311에서 숫자를 정렬하는 방법도 12가지가 있습니다. 마지막으로 자릿수가 3 이하인 12의 곱을 구할 수 있는 방법이 있는지 확인합니다. 그런 그룹은 3221의 숫자 하나뿐입니다. 6211 및 4311과 마찬가지로 3221의 자릿수를 정렬하는 방법은 12가지가 있습니다. |
세 가지 경우를 결합하면 $12+12+12=36$의 가능한 정수가 있습니다. |
50개의 항목 중 순서에 상관없이 2개의 항목을 선택하는 방법의 수를 구해야 합니다. 이항 계수 $\dbinom{n}{k}$의 공식은 $rac{n!}{k!(n-k)!}$이며, 여기서 $n!$은 $n$의 계승으로, $n$까지 모든 양의 정수의 곱을 의미합니다. 따라서 $n=50$과 $k=2$를 이 공식에 대입하면 $\dbinom{50}{2}=rac{50!}{2!(50-2)!}$로 단순화할 수 있습니다. 분모의 계승이 분자의 많은 항을 상쇄하는 것을 알 수 있으므로 $rac{50\배수 49\배수 48!}{2\배수 1\배수 48!}$로 작성할 수 있습니다. 48!$ 항이 ... |
직사각형 영역을 형성하려면 가로선 두 개와 세로선 두 개를 선택해야 합니다. 가로선이 네 개이므로 가로선 중 두 개를 선택할 수 있는 방법은 2에 3을 곱한 4 선택 2, 즉 6가지 방법이 있습니다. 마찬가지로 두 개의 수직선을 선택하는 방법도 6가지가 있습니다. 각 가로선 쌍에 대해 어떤 세로선 쌍과도 짝을 이룰 수 있으므로 방법 수를 곱할 수 있습니다. 따라서 직사각형을 이루는 네 개의 선을 선택할 수 있는 총 방법은 6의 6배인 36개입니다. |
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