Datasets:
id stringlengths 22 102 | source stringlengths 9 482 | question stringlengths 10 16.2k | solution stringlengths 1 14.5k ⌀ | elo_score int32 | detailed_score dict | knowledgepoint listlengths 0 7 | image dict | review_status stringclasses 2
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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
example/A1.1/example/代表元素不同的三个集合 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设 $A=\{x\mid y=x^2+1\}$，$B=\{y\mid y=x^2+1\}$，$C=\{(x,y)\mid y=x^2+1\}$，其中 $x,y\in\mathbb R$。
（1）分别说明 $A,B,C$ 是什么集合；
（2）判断 $1\in B$，$(0,1)\in C$，$1\in C$ 是否成立。 | **解**
## （1）$A$ 的代表元素是 $x$
对任意实数 $x$，$y=x^2+1$ 都有意义，所以 $A=\mathbb R$。
$B$ 的代表元素是 $y$。由 $x^2\ge0$，得 $y=x^2+1\ge1$；反之，对任意 $y\ge1$，取 $x=\sqrt{y-1}$ 即有 $y=x^2+1$。所以 $B=[1,+\infty)$。
$C$ 的代表元素是有序数对 $(x,y)$，$C$ 是抛物线 $y=x^2+1$ 上所有点组成的点集。
（2）取 $x=0$，得 $y=1$，所以 $1\in B$ 成立。
因为 $1=0^2+1$，点 $(0,1)$ 满足条件，所以 $(0,1)\in C$ 成立。
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example/A1.1/example/区间表示与参数 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | （1）用区间表示下列集合：$\{x\mid -1\le x<3\}$，$\{x\mid x>2\}$，$\{x\mid x\le0\}$；
（2）若集合 $\{x\mid 2a-1<x<a+1\}$ 可以用区间 $(2a-1,a+1)$ 表示，求实数 $a$ 的取值范围。 | **解**
（1）$-1$ 取得到、$3$ 取不到，所以 $\{x\mid -1\le x<3\}=[-1,3)$；
$\{x\mid x>2\}=(2,+\infty)$；
$\{x\mid x\le0\}=(-\infty,0]$。
（2）区间要求左端点小于右端点，所以
$$2a-1<a+1,$$
解得 $a<2$。
当 $a\ge2$ 时，$2a-1\ge a+1$，不存在满足 $2a-1<x<a+1$ 的实数，该集合是空集，不能写成区间。
> 所以 $a$ 的取值范围为 $(-\infty,2)$。 | null | {
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example/A1.1/example/同一集合的辨析 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 判断下列每组中的两个集合是否相等，并说明理由。
（1）$\{1,2\}$ 与 $\{2,1\}$；
（2）$\{(1,2)\}$ 与 $\{(2,1)\}$；
（3）$\{1,1,2\}$ 与 $\{1,2\}$；
（4）$\{x\mid x^2=1\}$ 与 $\{-1,1\}$；
（5）$\{0\}$ 与 $\varnothing$。 | **解**
## （1）相等
集合的元素没有顺序，两者的元素都是 $1$ 和 $2$。
## （2）不相等
两个集合各只有一个元素，分别是有序数对 $(1,2)$ 与 $(2,1)$。由于两者的第一个分量不同，$(1,2)\ne(2,1)$，所以 $(1,2)\notin\{(2,1)\}$。
## （3）相等
重复写出的 $1$ 只算一个元素，两者的元素都是 $1$ 和 $2$。
## （4）相等
$x^2=1\iff x=1$ 或 $x=-1$，所以 $\{x\mid x^2=1\}=\{-1,1\}$。
## （5）不相等
$\{0\}$ 含有一个元素 $0$，而 $\varnothing$ 不含任何元素。... | null | {
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example/A1.1/example/含参列举集合的互异性 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知集合 $A=\{1,a,a^2\}$，$a\in\mathbb R$。
（1）求实数 $a$ 应满足的条件；
（2）若 $4\in A$，求 $a$ 的值。 | （1）按现有题设，$a$ 可取任意实数。花括号中三个表达式取到同一数时，集合只把该数记一次，不使集合无定义。例如 $a=1$ 时 $A=\{1\}$，$a=0$ 时 $A=\{0,1\}$。
若额外要求 $|A|=3$，才需要 $a\ne1,a^2\ne1,a^2\ne a$，等价于 $a\notin\{-1,0,1\}$。这是附加条件下的答案，不能当成原题默认前提。
（2）由 $4\in A$，且 $1\ne4$，得到 $a=4$ 或 $a^2=4$，故 $a\in\{4,2,-2\}$。三个候选逐一代入分别得到 $\{1,4,16\},\{1,2,4\},\{1,-2,4\}$，都含4，均成立。 | null | {
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example/A1.1/example/形如 m+n√2 的元素判定 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $A=\{x\mid x=m+n\sqrt2,\ m,n\in\mathbb Z\}$。判断 $0$，$\dfrac1{\sqrt2-1}$，$\sqrt3$ 是否属于 $A$。 | **解** 由描述法的元素判定，只需检验能否写成 $m+n\sqrt2$（$m,n\in\mathbb Z$）的形式。
（1）$0=0+0\cdot\sqrt2$，$m=n=0\in\mathbb Z$，所以 $0\in A$。
（2）$\dfrac1{\sqrt2-1}=\dfrac{\sqrt2+1}{(\sqrt2-1)(\sqrt2+1)}=1+1\cdot\sqrt2$，$m=n=1\in\mathbb Z$，所以 $\dfrac1{\sqrt2-1}\in A$。
（3）假设 $\sqrt3=m+n\sqrt2$，$m,n\in\mathbb Z$。两边平方，得
$$3=m^2+2n^2+2mn\sqrt2.$$
... | null | {
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example/A1.1/example/描述法化列举法 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 用列举法表示下列集合：
（1）$\{x\in\mathbb N\mid x<4\}$；
（2）$\{x\in\mathbb Z\mid -2<x\le2\}$；
（3）$\{(x,y)\mid x+y=3,\ x\in\mathbb N,\ y\in\mathbb N\}$。 | **解**
（1）$\mathbb N$ 中小于 $4$ 的数为 $0,1,2,3$（注意 $0\in\mathbb N$），所以集合为 $\{0,1,2,3\}$。
（2）满足 $-2<x\le2$ 的整数为 $-1,0,1,2$（$-2$ 取不到，$2$ 取得到），所以集合为 $\{-1,0,1,2\}$。
## （3）代表元素是有序数对 $(x,y)$
由 $x,y\in\mathbb N$ 且 $x+y=3$，得 $x\in\{0,1,2,3\}$，对应 $y=3-x$，所以集合为
$$\{(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)\}.$$
这是一个含 $4$ 个点的点集，不能写成 $\{0,1,2,3\}$。... | null | {
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example/A1.1/example/整除条件下的列举 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | （1）用列举法表示 $A=\{x\in\mathbb N\mid \frac{6}{3-x}\in\mathbb N\}$；
（2）用列举法表示 $B=\{y\mid y=\frac{6}{3-x},\ x\in\mathbb N,\ y\in\mathbb N\}$。 | **解**
（1）要使 $\dfrac6{3-x}$ 有意义，需 $x\ne3$。$\dfrac6{3-x}\in\mathbb N$ 且分子为 $6\ne0$，所以 $\dfrac6{3-x}$ 是正整数，从而 $3-x>0$，即 $x<3$。又 $x\in\mathbb N$，故 $x\in\{0,1,2\}$。逐个检验：
$$x=0:\ \frac63=2;\qquad x=1:\ \frac62=3;\qquad x=2:\ \frac61=6,$$
都属于 $\mathbb N$。所以 $A=\{0,1,2\}$。
（2）代表元素是 $y$，即 $\dfrac6{3-x}$ 的值。由（1）的讨论，$x\in\mathb... | null | {
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example/A1.1/example/文字与列举转描述法 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 用描述法表示下列集合：
（1）所有奇数组成的集合；
（2）被 $3$ 除余 $1$ 的正整数组成的集合；
（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；
（4）$\{2,4,6,8,10\}$。 | **解** 先找出元素的共同特征，再选与元素类型一致的代表元素。
（1）奇数可以写成 $2k+1$（$k\in\mathbb Z$），所以集合为 $\{x\mid x=2k+1,\ k\in\mathbb Z\}$。
（2）被 $3$ 除余 $1$ 的正整数为 $1,4,7,\ldots$，可以写成 $3k+1$（$k\in\mathbb N$），所以集合为 $\{x\mid x=3k+1,\ k\in\mathbb N\}$。这里 $k$ 从 $0$ 开始，才能包含 $1$。
（3）第二象限内的点横坐标为负、纵坐标为正，代表元素取点 $(x,y)$：$\{(x,y)\mid x<0,\ y>0\}$。
（4）元素是前 $5... | null | {
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example/A1.1/example/方程解集的元素个数 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $A=\{x\in\mathbb R\mid ax^2+2x+1=0\}$，$a\in\mathbb R$。
（1）若 $A$ 中只有一个元素，求 $a$ 的值，并求出这个元素；
（2）若 $A$ 中至多有一个元素，求 $a$ 的取值范围。 | **解** 二次项系数含参数，先讨论 $a$ 是否为 $0$。
（1）当 $a=0$ 时，方程为 $2x+1=0$，解得 $x=-\dfrac12$，$A=\left\{-\dfrac12\right\}$，符合要求。
当 $a\ne0$ 时，方程是一元二次方程，只有一个解当且仅当 $\Delta=4-4a=0$，即 $a=1$。此时方程为 $(x+1)^2=0$，$A=\{-1\}$。
所以 $a=0$ 时元素为 $-\dfrac12$；$a=1$ 时元素为 $-1$。
## （2）“至多有一个元素”包括没有元素与只有一个元素两种情况
$A=\varnothing$：此时 $a\ne0$（$a=0$ 时方程有解），且 $... | null | {
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example/A1.1/example/由元素属于关系求参数 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知集合 $A=\{a+2,\ (a+1)^2,\ a^2+3a+3\}$，若 $1\in A$，求实数 $a$ 的值。 | 由 $1\in A$，1至少等于列举出的一个表达式：
$$a+2=1\quad\text{或}\quad(a+1)^2=1\quad\text{或}\quad a^2+3a+3=1.$$
三式的实数解分别为 $a=-1$，$a=0,-2$，$a=-1,-2$，取并集得 $a\in\{-2,-1,0\}$。
逐项回代：$a=-1$ 时 $A=\{1,0,1\}=\{0,1\}$；$a=-2$ 时 $A=\{0,1,1\}=\{0,1\}$；$a=0$ 时 $A=\{2,1,3\}$。三者都含1。原题没有要求集合恰有三个不同元素，不能因为列举式重复就排除前两个候选。若另加 $|A|=3$，才只剩 $a=0$。 | null | {
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example/A1.1/example/能否构成集合 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 判断下列各组对象能否构成集合；若能，用适当的方法表示该集合。
（1）所有很大的实数；
（2）方程 $x^2-3x+2=0$ 的实数解；
（3）平面内到定点 $O$ 的距离等于 $1$ 的点；
（4）某班身高较高的同学。 | **解** 能否构成集合，关键看元素是否确定。
（1）“很大”没有明确标准，任给一个实数无法判断它是否属于该总体，不满足确定性，不能构成集合。
（2）由 $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0$，得 $x=1$ 或 $x=2$。对象是确定的，能构成集合，用列举法表示为 $\{1,2\}$。
（3）任给平面内一点 $P$，$|PO|=1$ 是否成立是确定的，能构成集合，用描述法表示为
$$\{P\mid |PO|=1\},$$
即以 $O$ 为圆心、$1$ 为半径的圆上所有点组成的集合。
（4）“较高”没有明确标准，不能构成集合。
> 综上，（2）（3）能构成集合，（1）（4）不能。 | null | {
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example/A1.1/example/集合相等定参数 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $a,b\in\mathbb R$，且 $\{a,\frac ba,1\}=\{a^2,a+b,0\}$，求 $a^{2025}+b^{2025}$ 的值。 | 分母要求 $a\ne0$。右边含0，所以左边也含0；由于 $a\ne0,1\ne0$，只能 $b/a=0$，得 $b=0$。原条件化为
$$\{a,0,1\}=\{a^2,a,0\}.$$
左边含1，右边须有 $a^2=1$ 或 $a=1$，故 $a=\pm1$。$a=-1$ 时两边同为 $\{-1,0,1\}$；$a=1$ 时两边同为 $\{0,1\}$，也满足集合相等。
因此 $(a,b)=(-1,0)$ 或 $(1,0)$，所求值分别为 $-1$ 或 $1$。现有题设没有“两个集合各有三个元素”的要求，故不能只取−1。若明确补上该要求，才可排除 $a=1$。 | null | {
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example/A1.2/example/不同描述方式下的集合相等 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设 $A=\{2k\mid k\in\mathbb Z\}$，$B=\{2m+2\mid m\in\mathbb Z\}$。证明 $A=B$。 | **证明** 由集合相等的双向包含判据，只需分别证明 $A\subseteq B$ 和 $B\subseteq A$。
## （1）证明 $A\subseteq B$
任取 $x\in A$，则存在 $k\in\mathbb Z$，使得 $x=2k$。令 $m=k-1$，因为 $k$ 为整数，所以 $m$ 也是整数，且
$$x=2k=2(k-1)+2=2m+2.$$
因此，$x$ 可以表示为 $2m+2$ 的形式，其中 $m\in\mathbb Z$，故 $x\in B$。由 $x$ 的任意性，得 $A\subseteq B$。
## （2）证明 $B\subseteq A$
任取 $x\in B$，则存在 $m\in\ma... | null | {
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example/A1.2/example/包含与同基数的联合判定 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设 $A=\{x\in\mathbb Z\mid x^2<5\}$，有限集 $B$ 满足 $A\subseteq B$ 且 $|B|=5$。
（1）求集合 $B$；
（2）不附加包含关系时，能否仅凭两个有限集的元素个数相同，就断定它们相等？说明理由。 | **解**
## （1）求集合 $B$
由 $x^2<5$，得 $-\sqrt5<x<\sqrt5$。因为 $2<\sqrt5<3$，且 $x\in\mathbb Z$，所以
$$A=\{-2,-1,0,1,2\},\qquad |A|=5.$$
由题设 $A\subseteq B$，可知 $-2,-1,0,1,2$ 这五个不同的元素都属于 $B$。又因为 $|B|=5$，$B$ 不可能再含有其他元素，否则其元素个数至少为 $6$。因此
$$B=A=\{-2,-1,0,1,2\}.$$
## （2）判断仅有 $|A|=|B|$ 能否推出 $A=B$
不能。保持上述 $A$ 不变，另取
$$B_0=\{1,2,3,4,5\}.... | null | {
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example/A1.2/example/参数区间：先检查空集 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设 $a\in\mathbb R$，$A_a=\{x\in\mathbb R\mid a\le x\le2\}$，$B=[0,3]$。求使 $A_a\subseteq B$ 成立的 $a$ 的范围。 | **解** 集合 $A_a$ 是否为空集与参数 $a$ 有关，必须先分类讨论。
（1）当 $a>2$ 时，不存在实数 $x$ 同时满足 $a\le x$ 和 $x\le2$，故 $A_a=\varnothing$。因为空集是任意集合的子集，所以此时恒有 $A_a\subseteq B$。这一情形下的所有参数 $a>2$ 均符合要求。
（2）当 $a\le2$ 时，$A_a=[a,2]$ 为非空集。
**必要性** 若 $A_a\subseteq[0,3]$，由于左端点 $a\in A_a$，必有 $a\in[0,3]$。结合本情形的条件 $a\le2$，得到
$$0\le a\le2.$$
**充分性** 若 $0\le a... | null | {
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example/A1.2/example/双侧真包含及边界情形 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | （1）设 $A=\{1\}$，$B=\{1,2,3,4\}$，求满足 $A\subsetneq X\subsetneq B$ 的集合 $X$ 的个数；
（2）若将条件改为 $A=B=\{1\}$，求满足 $A\subsetneq X\subsetneq B$ 的集合 $X$ 的个数。 | **解**
（1）当 $A=\{1\}$，$B=\{1,2,3,4\}$ 时。
先考虑较宽的条件 $A\subseteq X\subseteq B$。元素 $1$ 必须属于 $X$，元素 $2,3,4$ 可以各自选择是否属于 $X$，因此共有
$$2^3=8$$
个符合这一条件的集合。
要求 $A\subsetneq X$ 时，应排除 $X=A=\{1\}$；要求 $X\subsetneq B$ 时，应排除 $X=B=\{1,2,3,4\}$。因为 $A\ne B$，这两种应排除的情形互不相同，所以满足两处真包含的集合个数为
$$8-2=6.$$
具体为
$$\begin{gathered} \{1,2\},\quad\{1,... | null | {
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example/A1.2/example/固定元素后的自由选择 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知集合 $B=\{1,2,3,4,5\}$。
（1）求满足 $\{1,2\}\subseteq X\subseteq B$ 且 $5\notin X$ 的集合 $X$ 的个数；
（2）在（1）的条件下，再要求 $\{1,2\}\subsetneq X$，求集合 $X$ 的个数。 | **解**
（1）求满足 $\{1,2\}\subseteq X\subseteq B$ 且 $5\notin X$ 的集合个数。
由 $\{1,2\}\subseteq X$，知 $1,2$ 必须属于 $X$；由 $X\subseteq B=\{1,2,3,4,5\}$，知 $X$ 不能含有 $B$ 以外的元素；再结合 $5\notin X$，可知只有元素 $3,4$ 可以自由选择是否放入 $X$。
对 $3,4$ 分别有“选入”和“不选入”两种选择，由分步乘法计数原理，共有 $2\times2=4$ 种。所对应的集合恰为
$$\{1,2\},\quad\{1,2,3\},\quad\{1,2,4\},\quad\{1,2,... | null | {
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example/A1.2/example/子集与非空真子集计数 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知集合 $A=\{1,2,3,4\}$，求：
（1）$A$ 的子集个数；
（2）$A$ 的真子集个数；
（3）$A$ 的非空真子集个数。 | **解** 集合 $A=\{1,2,3,4\}$ 中共有 $4$ 个不同元素。
## （1）计算子集个数
确定 $A$ 的一个子集时，对元素 $1,2,3,4$ 中的每一个元素，都有“选入”和“不选入”两种选择。四次选择互不影响，且每一种选择方式恰好确定一个子集。因此，由分步乘法计数原理，子集个数为
$$2\times2\times2\times2=2^4=16.$$
其中包含空集和集合 $A$ 自身。
## （2）计算真子集个数
真子集必须是 $A$ 的子集且不等于 $A$。在上述 $16$ 个子集中，只需排除 $A$ 自身，故真子集个数为
$$16-1=15.$$
## （3）计算非空真子集个数
由于 $A$ 非空，... | null | {
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example/A1.2/example/属于与包含的区分 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设 $A=\{\varnothing,\{1\},2\}$。判断下列命题是否正确，并说明理由。
（1）$\varnothing\in A$；
（2）$\varnothing\subseteq A$；
（3）$\{1\}\in A$；
（4）$\{1\}\subseteq A$；
（5）$\{2\}\subsetneq A$。 | **解** 集合 $A=\{\varnothing,\{1\},2\}$ 的三个元素分别为空集 $\varnothing$、集合 $\{1\}$ 和数 $2$。注意，数 $1$ 与集合 $\{1\}$ 是不同的对象。
## （1）判断 $\varnothing\in A$
因为空集 $\varnothing$ 本身就是 $A$ 的一个元素，所以 $\varnothing\in A$ 成立。
## （2）判断 $\varnothing\subseteq A$
因为空集是任意集合的子集，所以 $\varnothing\subseteq A$ 成立。这里的依据是子集的定义，与空集是否恰好为 $A$ 的一个元素无关。
## （3）... | null | {
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example/A1.2/example/开闭端点与真包含 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设 $a\in\mathbb R$，$A=(0,2]$，$B_a=[a,3)$。求使 $A\subsetneq B_a$ 成立的 $a$ 的范围。 | **解** 分别证明参数条件的必要性与充分性。
## （1）必要性
若 $A\subsetneq B_a$，则必有 $A\subseteq B_a$。因为 $2\in A$，所以 $2\in B_a=[a,3)$，从而 $a\le2$。
下面证明 $a$ 不能大于 $0$。若 $a>0$，结合 $a\le2$，得 $0<a\le2$。此时取 $x=\tfrac a2$，则
$$0<\frac a2\le1<2,$$
所以 $\tfrac a2\in A$；但 $\tfrac a2<a$，不满足 $B_a$ 的左端限制，故 $\tfrac a2\notin B_a$。这与 $A\subseteq B_a$ 矛盾。因此，必有 $a... | null | {
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example/A1.2/example/方程解集包含：退化与空集 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设 $a\in\mathbb R$，$A_a=\{x\in\mathbb R\mid ax^2-2x+1=0\}$，$B=(0,+\infty)$。求使 $A_a\subseteq B$ 成立的 $a$ 的范围。 | **解** $A_a$ 是方程 $ax^2-2x+1=0$ 的实数解集。条件 $A_a\subseteq(0,+\infty)$ 表示：若方程有实根，则每一个实根都必须为正数；若方程无实根，则 $A_a=\varnothing$，也满足包含关系。
## （1）当 $a=0$ 时
原方程化为一次方程 $-2x+1=0$，解得 $x=\tfrac12$。因此
$$A_0=\left\{\frac12\right\}\subseteq(0,+\infty),$$
所以 $a=0$ 符合要求。
## （2）当 $a\ne0$ 时
原方程为一元二次方程，其判别式为
$$\Delta=(-2)^2-4a\cdot1=4-4a.$$
①... | null | {
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example/A1.2/example/有限集合相等中的参数 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设 $a\in\mathbb R$，集合 $A=\{a,1\}$，$B=\{2,a^2\}$。若 $A=B$，求 $a$。 | **解** 先由集合相等的必要条件确定参数的候选值，再代入原条件检验。
假设存在实数 $a$，使 $A=B$。因为 $2\in B$，所以必有 $2\in A=\{a,1\}$。由 $2\ne1$，只能得到
$$a=2.$$
这说明：若原条件成立，则 $a$ 必须等于 $2$；但还不能据此断定 $a=2$ 满足原条件。
将 $a=2$ 代入，得
$$A=\{2,1\},\qquad B=\{2,4\}.$$
此时 $1\in A$，但 $1\notin B$，所以 $A\ne B$，与题设条件矛盾。因此，唯一可能的候选值 $a=2$ 也不满足要求。
综上，不存在使 $A=B$ 成立的实数 $a$，即所求参数的取值集合为
$$\... | null | {
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example/A1.2/example/用反例否定包含关系 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设 $A=\{x\in\mathbb Z\mid x^2\le4\}$，$B=\{x\in\mathbb Z\mid0\le x\le3\}$。分别判断 $A\subseteq B$ 与 $B\subseteq A$ 是否成立。 | **解** 先将两个集合分别用列举法表示。
由 $x^2\le4$，得 $-2\le x\le2$。又因为 $x\in\mathbb Z$，所以
$$A=\{-2,-1,0,1,2\}.$$
由 $x\in\mathbb Z$ 且 $0\le x\le3$，得
$$B=\{0,1,2,3\}.$$
## （1）判断 $A\subseteq B$
取 $x=-1$，则 $-1\in A$，但 $-1\notin B$。这说明 $A$ 中至少存在一个不属于 $B$ 的元素。由非包含关系的反例判据，得
$$A\nsubseteq B.$$
## （2）判断 $B\subseteq A$
取 $x=3$，则 $3\in B$。由于... | null | {
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example/A1.2/example/真包含的传递与见证元素 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设 $A=\{2k\mid k\in\mathbb Z\}$，$B=\mathbb Z$，$C=\mathbb R$。证明 $A\subsetneq B\subsetneq C$，并推出 $A\subsetneq C$。 | **证明**
## （1）证明 $A\subsetneq B$
任取 $x\in A$，则存在整数 $k$，使 $x=2k$。因为整数的 $2$ 倍仍为整数，所以 $x\in\mathbb Z=B$。由 $x$ 的任意性，得 $A\subseteq B$。
另一方面，$1\in B$。若 $1\in A$，则存在整数 $k$，使 $1=2k$，解得 $k=\tfrac12$，与 $k\in\mathbb Z$ 矛盾。因此 $1\notin A$，故 $A\ne B$。
结合 $A\subseteq B$，由真子集的定义得 $A\subsetneq B$。
## （2）证明 $B\subsetneq C$
任取 $x\in... | null | {
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example/A1.3/example/1 到 100 中的倍数计数 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 在 $1,2,3,\ldots,100$ 中，求：
（1）能被 $2$ 或 $3$ 整除的数的个数；
（2）既不能被 $2$ 整除、也不能被 $3$ 整除的数的个数。 | **解** 设 $U=\{1,2,\ldots,100\}$，$A,B$ 分别为其中 $2$ 的倍数、$3$ 的倍数组成的集合。
$\mathrm{card}(A)=50$；$3\times33=99\le100<102$，所以 $\mathrm{card}(B)=33$。
一个数同时被 $2$ 和 $3$ 整除，当且仅当它被 $6$ 整除（$2,3$ 互质），$6\times16=96\le100<102$，所以 $\mathrm{card}(A\cap B)=16$。
（1）由容斥原理，
$$\mathrm{card}(A\cup B)=50+33-16=67.$$
（2）所求为 $\complement_U(A\cup... | null | {
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example/A1.3/example/两个兴趣小组的人数 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 某班有 $50$ 名学生，参加数学兴趣小组的有 $30$ 人，参加物理兴趣小组的有 $26$ 人，两个小组都没有参加的有 $4$ 人。求：
（1）两个小组都参加的人数；
（2）只参加数学兴趣小组的人数。 | **解** 设全班学生为全集 $U$，参加数学、物理小组的学生分别组成集合 $A,B$。
（1）至少参加一个小组的人数为
$$\mathrm{card}(A\cup B)=50-4=46.$$
由容斥原理，
$$\mathrm{card}(A\cap B)=\mathrm{card}(A)+\mathrm{card}(B)-\mathrm{card}(A\cup B)=30+26-46=10.$$
（2）只参加数学小组的学生组成 $A\cap\complement_UB$，人数为
$$30-10=20.$$
**检验** 只参加物理的有 $26-10=16$ 人，$20+10+16+4=50$，与全班人数一致。
> **答*... | null | {
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"title... | null | pending_review | [] | null |
example/A1.3/example/二次方程解集的包含 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $A=\{x\mid x^2-3x+2=0\}$，$B=\{x\mid x^2-ax+a-1=0\}$，$C=\{x\mid x^2-mx+2=0\}$，$x\in\mathbb R$。
（1）若 $A\cup B=A$，求实数 $a$ 的值；
（2）若 $A\cap C=C$，求实数 $m$ 的取值范围。 | **解** $A=\{1,2\}$。
（1）$A\cup B=A\iff B\subseteq A$。因为
$$x^2-ax+a-1=(x-1)\,[x-(a-1)],$$
所以 $B=\{1,a-1\}$（$a=2$ 时 $B=\{1\}$）。$1\in A$，只需 $a-1\in A$，即 $a-1=1$ 或 $a-1=2$，所以 $a=2$ 或 $a=3$。
## （2）$A\cap C=C\iff C\subseteq A$
① $C=\varnothing$：$\Delta=m^2-8<0$，即 $-2\sqrt2<m<2\sqrt2$，符合要求。
② $C\ne\varnothing$：$C$ 是 $\{1,2\... | null | {
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example/A1.3/example/交集为空与非空 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $A=\{x\mid a\le x\le a+3\}$，$B=\{x\mid x<-1\ \text{或}\ x>5\}$。
（1）若 $A\cap B=\varnothing$，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）若 $A\cap B\ne\varnothing$，求实数 $a$ 的取值范围。 | **解** 因为 $a<a+3$，所以 $A=[a,a+3]$ 总是非空集合。全集取 $\mathbb R$，则 $\complement_{\mathbb R}B=[-1,5]$。
（1）$A\cap B=\varnothing$ 等价于 $A$ 中没有元素属于 $B$，即 $A\subseteq\complement_{\mathbb R}B=[-1,5]$，所以
$$a\ge-1,\qquad a+3\le5,$$
得 $-1\le a\le2$。
（2）“$A\cap B\ne\varnothing$”是“$A\cap B=\varnothing$”的反面，所以 $a$ 的取值范围是（1）中范围在 $\mathbb R$... | null | {
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"type": "concept"
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example/A1.3/example/区间的交并补 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设全集 $U=\mathbb R$，$A=\{x\mid -1\le x<3\}$，$B=\{x\mid 2<x\le5\}$。求 $A\cap B$，$A\cup B$，$\complement_UA$，$(\complement_UA)\cap B$。 | **解** $A=[-1,3)$，$B=(2,5]$，在数轴上表示后逐个核对端点。
$A\cap B$：公共部分是 $2<x<3$。端点 $2\notin B$，$3\notin A$，都不属于交集，所以 $A\cap B=(2,3)$。
$A\cup B$：从 $-1$ 到 $5$ 都被覆盖，且 $-1\in A$，$5\in B$，所以 $A\cup B=[-1,5]$。
$\complement_UA$：$\mathbb R$ 中不在 $[-1,3)$ 内的数，$-1$ 不属于补集，$3$ 属于补集，所以
$$\complement_UA=(-\infty,-1)\cup[3,+\infty).$$
$(\comple... | null | {
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{
"id": "pep2019-core-complement",
"title": "补集",... | null | pending_review | [] | null |
example/A1.3/example/对称差运算 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 对集合 $M,N$，定义 $M-N=\{x\mid x\in M\ \text{且}\ x\notin N\}$，$M\oplus N=(M-N)\cup(N-M)$。已知 $A=\{y\mid y=x^2-1,\ x\in\mathbb R\}$，$B=\{x\mid -3\le x\le2\}$，求 $A\oplus B$。 | **解** 先化简两个集合。$A$ 的代表元素是 $y=x^2-1\ge-1$，且每个 $y\ge-1$ 都能取到，所以 $A=[-1,+\infty)$；$B=[-3,2]$。
按定义逐项翻译：
$A-B$ 是 $A$ 中不属于 $B$ 的部分：$A-B=(2,+\infty)$；
$B-A$ 是 $B$ 中不属于 $A$ 的部分：$B-A=[-3,-1)$。
所以
$$A\oplus B=[-3,-1)\cup(2,+\infty).$$
> **答** $A\oplus B=[-3,-1)\cup(2,+\infty)$。 | null | {
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example/A1.3/example/并集元素个数的范围 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知有限集 $A,B$ 满足 $\mathrm{card}(A)=5$，$\mathrm{card}(B)=7$。求 $\mathrm{card}(A\cup B)$ 的所有可能取值。 | **解** 设 $k=\mathrm{card}(A\cap B)$。由 $A\cap B\subseteq A$，得 $0\le k\le5$。由容斥原理，
$$\mathrm{card}(A\cup B)=5+7-k=12-k,$$
所以 $\mathrm{card}(A\cup B)\in\{7,8,9,10,11,12\}$。
下面说明每个值都能取到。对 $k=0,1,\ldots,5$，取
$$B=\{1,2,\ldots,7\},\qquad A=\{1,\ldots,k\}\cup\{8,\ldots,12-k\},$$
（$k=0$ 时前一部分为空，$k=5$ 时后一部分为空），则 $\mathrm{card}(A... | null | {
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... | null | pending_review | [] | null |
example/A1.3/example/描述法集合先列举再运算 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设 $A=\{x\in\mathbb Z\mid x^2-2x-3<0\}$，$B=\{y\mid y=x^2,\ x\in A\}$。求 $A\cap B$ 与 $A\cup B$。 | **解** 由 $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)<0$，得 $-1<x<3$。又 $x\in\mathbb Z$，所以
$$A=\{0,1,2\}.$$
$B$ 的代表元素是 $y=x^2$，$x$ 取 $A$ 中的元素：$0^2=0$，$1^2=1$，$2^2=4$，所以
$$B=\{0,1,4\}.$$
因此
$$A\cap B=\{0,1\},\qquad A\cup B=\{0,1,2,4\}.$$
> **答** $A\cap B=\{0,1\}$，$A\cup B=\{0,1,2,4\}$。 | null | {
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example/A1.3/example/新定义的积集合 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 对集合 $A,B$，定义 $A*B=\{z\mid z=xy,\ x\in A,\ y\in B\}$。设 $A=\{1,2\}$，$B=\{0,2\}$，求 $A*B$ 的所有元素之和，以及 $A*B$ 的子集个数。 | **解** $x$ 取遍 $A$、$y$ 取遍 $B$，逐一计算 $z=xy$：
$$1\times0=0,\quad1\times2=2,\quad2\times0=0,\quad2\times2=4.$$
由互异性，相同的 $0$ 只算一个，所以 $A*B=\{0,2,4\}$。
元素之和为 $0+2+4=6$；$A*B$ 含 $3$ 个元素，子集个数为 $2^3=8$。
> **答** 元素之和为 $6$，子集个数为 $8$。 | null | {
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example/A1.3/example/由并集等于自身求参数 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $A=\{x\mid -2\le x\le5\}$，$B=\{x\mid m+1\le x\le2m-1\}$。若 $A\cup B=A$，求实数 $m$ 的取值范围。 | **解** 由交并运算与包含关系，$A\cup B=A\iff B\subseteq A$。$B$ 可能为空集，先讨论。
（1）当 $B=\varnothing$ 时，$m+1>2m-1$，即 $m<2$。空集是任何集合的子集，此时 $B\subseteq A$ 成立。
（2）当 $B\ne\varnothing$ 时，$m\ge2$。要使 $[m+1,2m-1]\subseteq[-2,5]$，需
$$m+1\ge-2,\qquad 2m-1\le5,$$
即 $m\ge-3$ 且 $m\le3$。结合 $m\ge2$，得 $2\le m\le3$。
合并（1）（2），$m$ 的取值范围为 $(-\infty,3]$。
检... | null | {
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example/A1.3/example/由运算结果反求集合 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设全集 $U=\{x\in\mathbb N^*\mid x\le9\}$，$A\cap B=\{2\}$，$(\complement_UA)\cap(\complement_UB)=\{1,9\}$，$(\complement_UA)\cap B=\{4,6,8\}$。求集合 $A$ 与 $B$。 | **解** $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$。$A,B$ 把 $U$ 分成四个互不重叠的部分：
$$A\cap B,\quad A\cap\complement_UB,\quad\complement_UA\cap B,\quad\complement_UA\cap\complement_UB.$$
已知其中三部分分别为 $\{2\}$，$\{4,6,8\}$，$\{1,9\}$，所以剩下的部分
$$A\cap\complement_UB=U\text{ 中其余元素}=\{3,5,7\}.$$
$A$ 由 $A\cap B$ 与 $A\cap\complement_UB$ 组成，$B$ 由 $A\cap B$ ... | null | {
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example/A1.3/example/离散集合的交并补 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，$A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{3,4,5,6\}$。
（1）求 $A\cap B$，$A\cup B$，$\complement_UA$，$(\complement_UA)\cap B$，$\complement_U(A\cup B)$；
（2）验证 $\complement_U(A\cup B)=(\complement_UA)\cap(\complement_UB)$。 | **解**
（1）$A,B$ 的公共元素为 $3,4$，所以 $A\cap B=\{3,4\}$。
把 $A,B$ 的元素合在一起，公共元素只写一次，得 $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}$。
$U$ 中不属于 $A$ 的元素为 $5,6,7,8$，所以 $\complement_UA=\{5,6,7,8\}$。
$(\complement_UA)\cap B=\{5,6,7,8\}\cap\{3,4,5,6\}=\{5,6\}$。
$\complement_U(A\cup B)=\{7,8\}$。
（2）$\complement_UB=\{1,2,7,8\}$，所以
$$(\complement_UA)\... | null | {
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example/A1.3/example/至少一个方程有实根 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 若关于 $x$ 的方程 $x^2+ax+1=0$ 与 $x^2+2x-a=0$ 中至少有一个有实数根，求实数 $a$ 的取值范围。 | **解** “至少有一个有实根”包含三种情形，正面讨论较繁，先考虑反面：两个方程都没有实数根。
方程 $x^2+ax+1=0$ 无实根 $\iff\Delta_1=a^2-4<0\iff-2<a<2$；
方程 $x^2+2x-a=0$ 无实根 $\iff\Delta_2=4+4a<0\iff a<-1$。
两者同时成立，得 $-2<a<-1$，即反面对应的范围为 $(-2,-1)$。
所求范围是它在 $\mathbb R$ 中的补集：$a\le-2$ 或 $a\ge-1$。
> **答** $a$ 的取值范围为 $(-\infty,-2]\cup[-1,+\infty)$。 | null | {
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example/A1.3/example/补集运算的两种算法 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设全集 $U=\mathbb R$，$A=\{x\mid x\le1\}$，$B=\{x\mid x>0\}$。分别用两种方法求 $\complement_U(A\cap B)$。 | **解** 方法一：先求交集再求补集。$A\cap B=\{x\mid 0<x\le1\}=(0,1]$，所以
$$\complement_U(A\cap B)=(-\infty,0]\cup(1,+\infty).$$
**方法二** 用德·摩根律。$\complement_UA=(1,+\infty)$，$\complement_UB=(-\infty,0]$，所以
$$\complement_U(A\cap B)=(\complement_UA)\cup(\complement_UB)=(-\infty,0]\cup(1,+\infty).$$
两种方法结果相同。其中 $0$ 属于结果（$0\notin B$），$1$ 不... | null | {
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example/A1.3/example/解不等式后求交并 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $A=\{x\mid x^2-x-6<0\}$，$B=\{x\mid |x-1|\ge2\}$。求 $A\cap B$ 与 $A\cup B$。 | **解** 由 $x^2-x-6=(x-3)(x+2)<0$，得 $A=(-2,3)$。
由 $|x-1|\ge2$，得 $x-1\ge2$ 或 $x-1\le-2$，即 $B=(-\infty,-1]\cup[3,+\infty)$。
$A\cap B$：$(-2,3)$ 与 $(-\infty,-1]$ 的公共部分为 $(-2,-1]$；与 $[3,+\infty)$ 没有公共部分（$3\notin A$）。所以 $A\cap B=(-2,-1]$。
$A\cup B$：任取实数 $x$。若 $x\le-1$ 或 $x\ge3$，则 $x\in B$；若 $-1<x<3$，则 $x\in(-2,3)=A$。
> 所以每个... | null | {
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example/A1.4/example/一元二次不等式与区间 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $p$：$x^2-3x+2\le0$，$q$：$0<x<3$。判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件。 | **解** 由 $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)\le0$，得 $1\le x\le2$。记
$$A=\{x\mid p(x)\}=[1,2],\qquad B=\{x\mid q(x)\}=(0,3).$$
$[1,2]$ 中每个数都满足 $0<x<3$，所以 $A\subseteq B$；又 $\dfrac12\in B$ 但 $\dfrac12\notin A$，所以 $A\ne B$。故 $A\subsetneq B$。
> 由条件关系的集合判据，$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。 | null | {
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example/A1.4/example/两数条件组的判断 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设 $a,b\in\mathbb R$，判断“$a>1$ 且 $b>1$”是“$a+b>2$ 且 $ab>1$”的什么条件。 | **解** 记 $p$：$a>1$ 且 $b>1$；$q$：$a+b>2$ 且 $ab>1$。
## （1）判断 $p\Rightarrow q$
若 $a>1$，$b>1$，则 $a+b>1+1=2$；又 $b>1>0$，所以 $ab>1\cdot b=b>1$。故 $p\Rightarrow q$。
## （2）判断 $q\Rightarrow p$
取 $a=3$，$b=\dfrac12$，则 $a+b=\dfrac72>2$，$ab=\dfrac32>1$，$q$ 成立；但 $b<1$，$p$ 不成立。故 $q\nRightarrow p$。
> 所以“$a>1$ 且 $b>1$”是“$a+b>2$ 且 $ab>1... | null | {
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example/A1.4/example/充分条件与必要条件分别求参 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $p$：$1\le x\le3$，$q$：$x\ge a$。
（1）若 $p$ 是 $q$ 的充分条件，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）是否存在实数 $a$，使 $p$ 是 $q$ 的必要条件？说明理由。 | **解** 记 $A=[1,3]$，$B=[a,+\infty)$。
（1）$p$ 是 $q$ 的充分条件 $\iff A\subseteq B$，即 $[1,3]$ 中每个数都不小于 $a$，等价于 $a\le1$。所以 $a$ 的取值范围为 $(-\infty,1]$。
（2）$p$ 是 $q$ 的必要条件 $\iff B\subseteq A$。但对任意实数 $a$，数 $x_0=\max\{a,3\}+1$ 满足 $x_0\ge a$，即 $x_0\in B$；又 $x_0>3$，$x_0\notin A$。所以 $B\nsubseteq A$。
> 故不存在实数 $a$，使 $p$ 是 $q$ 的必要条件。 | null | {
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example/A1.4/example/写出指定类型的条件 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $A=\{x\mid x>-1\}$，$B=\{x\mid x\le b\}$，$b\in\mathbb R$。分别写出：
（1）$A\cup B=\mathbb R$ 的充要条件；
（2）$A\cup B=\mathbb R$ 的一个必要不充分条件；
（3）$A\cup B=\mathbb R$ 的一个充分不必要条件。 | **解**
（1）$A$ 缺少的是 $(-\infty,-1]$，所以 $A\cup B=\mathbb R\iff(-\infty,-1]\subseteq B\iff b\ge-1$。充要条件为 $b\ge-1$。
（2）必要不充分条件对应的范围要**真包含** $[-1,+\infty)$，如 $b\ge-2$：由 $b\ge-1$ 可推出 $b\ge-2$，反之不行（取 $b=-\tfrac32$）。
（3）充分不必要条件对应的范围要**真包含于** $[-1,+\infty)$，如 $b\ge0$：由 $b\ge0$ 可推出 $b\ge-1$，反之不行（取 $b=-\tfrac12$）。
> **答** （1）$b... | null | {
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example/A1.4/example/分式不等式的条件 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $p$：$\frac1x>1$，$q$：$x<1$。判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件。 | **解** 先解 $\dfrac1x>1$，不能直接两边同乘 $x$（$x$ 的符号未知）。
若 $x<0$，则 $\dfrac1x<0<1$，不满足；若 $x>0$，两边同乘 $x$ 得 $1>x$，即 $0<x<1$。所以
$$A=\{x\mid p(x)\}=(0,1),\qquad B=\{x\mid q(x)\}=(-\infty,1).$$
$(0,1)\subseteq(-\infty,1)$，且 $-1\in B$ 但 $-1\notin A$，所以 $A\subsetneq B$。
> 故 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。 | null | {
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example/A1.4/example/区间端点的包含 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $p$：$a-4<x<a+4$，$q$：$(x-2)(x-3)<0$。若 $q$ 是 $p$ 的充分条件，求实数 $a$ 的取值范围。 | **解** $A=\{x\mid p(x)\}=(a-4,a+4)$，由 $(x-2)(x-3)<0$ 得 $B=\{x\mid q(x)\}=(2,3)$。
$q$ 是 $p$ 的充分条件 $\iff B\subseteq A$，即 $(2,3)\subseteq(a-4,a+4)$。两个区间都是开区间，端点可以重合，所以
$$a-4\le2,\qquad a+4\ge3,$$
得 $-1\le a\le6$。
检验边界：$a=6$ 时 $A=(2,10)\supseteq(2,3)$；$a=-1$ 时 $A=(-5,3)\supseteq(2,3)$，均符合。
> 所以 $a$ 的取值范围为 $[-1,6]$。 | null | {
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example/A1.4/example/和不等于 3 的条件 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设 $x,y\in\mathbb R$，$p$：$x+y\ne3$，$q$：$x\ne1$ 或 $y\ne2$。判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件。 | **解** $p,q$ 都是否定形式，转而考察
$$\lnot p:\ x+y=3,\qquad\lnot q:\ x=1\ \text{且}\ y=2.$$
（1）$\lnot q\Rightarrow\lnot p$：若 $x=1$ 且 $y=2$，则 $x+y=3$，成立。由逆否等价，$p\Rightarrow q$。
（2）$\lnot p\Rightarrow\lnot q$ 不成立：取 $x=0$，$y=3$，则 $x+y=3$，但 $x\ne1$。由逆否等价，$q\nRightarrow p$。
> 所以 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。 | null | {
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example/A1.4/example/四组条件的判断 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 判断下列各题中，$p$ 是 $q$ 的什么条件（$x,a,b\in\mathbb R$）。
（1）$p$：$x=1$，$q$：$x^2=1$；
（2）$p$：$a>b$，$q$：$a^2>b^2$；
（3）$p$：四边形的对角线互相平分，$q$：四边形是平行四边形；
（4）$p$：$x^2>4$，$q$：$x>2$。 | **解** 分别判断 $p\Rightarrow q$ 与 $q\Rightarrow p$。
（1）$x=1\Rightarrow x^2=1$ 成立；反之 $x=-1$ 时 $x^2=1$ 但 $x\ne1$，$q\nRightarrow p$。所以 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。
（2）取 $a=1$，$b=-2$，则 $a>b$ 但 $a^2=1<4=b^2$，$p\nRightarrow q$；取 $a=-2$，$b=1$，则 $a^2>b^2$ 但 $a<b$，$q\nRightarrow p$。所以 $p$ 是 $q$ 的既不充分也不必要条件。
（3）由平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四... | null | {
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example/A1.4/example/平方和为零与乘积为零 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设 $a,b\in\mathbb R$，判断“$ab=0$”是“$a^2+b^2=0$”的什么条件。 | **解** 记 $p$：$ab=0$；$q$：$a^2+b^2=0$。
## （1）判断 $q\Rightarrow p$
因为 $a^2\ge0$，$b^2\ge0$，若 $a^2+b^2=0$，则 $a^2=b^2=0$，即 $a=b=0$，所以 $ab=0$。故 $q\Rightarrow p$。
## （2）判断 $p\Rightarrow q$
取 $a=1$，$b=0$，则 $ab=0$，但 $a^2+b^2=1\ne0$。故 $p\nRightarrow q$。
> 所以“$ab=0$”是“$a^2+b^2=0$”的必要不充分条件。 | null | {
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example/A1.4/example/或命题与乘积条件 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 设 $a,b\in\mathbb R$，判断“$a\ne1$ 或 $b\ne1$”是“$ab\ne1$”的什么条件。 | **解** 记 $p$：$a\ne1$ 或 $b\ne1$；$q$：$ab\ne1$。则
$$\lnot p:\ a=1\ \text{且}\ b=1,\qquad\lnot q:\ ab=1.$$
（1）$\lnot p\Rightarrow\lnot q$：若 $a=b=1$，则 $ab=1$，成立。由逆否等价，$q\Rightarrow p$。
（2）$\lnot q\Rightarrow\lnot p$ 不成立：取 $a=2$，$b=\dfrac12$，则 $ab=1$，但 $a\ne1$。由逆否等价，$p\nRightarrow q$。
> 所以“$a\ne1$ 或 $b\ne1$”是“$ab\ne1$”的必要不充分... | null | {
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example/A1.4/example/探求两正根的充要条件 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 关于 $x$ 的方程 $x^2-2x+m=0$。
（1）求方程有两个不相等的正实数根的充要条件；
（2）写出它的一个必要不充分条件和一个充分不必要条件。 | **解**
## （1）设两根为 $x_1,x_2$
方程有两个不相等的正根，等价于
$$\Delta=4-4m>0,\qquad x_1+x_2=2>0,\qquad x_1x_2=m>0,$$
即 $0<m<1$。上述每一步都可逆，所以充要条件是 $0<m<1$。
（2）把范围放大得必要不充分条件，如 $m<1$；把范围缩小得充分不必要条件，如 $0<m<\tfrac12$。
> **答** （1）$0<m<1$；（2）如 $m<1$ 与 $0<m<\tfrac12$（答案不唯一）。 | null | {
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example/A1.4/example/推出链的传递判断 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件，$q$ 是 $r$ 的充要条件，$s$ 是 $r$ 的必要不充分条件。
（1）$p$ 是 $r$ 的什么条件？
（2）$s$ 是 $p$ 的什么条件？
（3）$q$ 是 $s$ 的什么条件？ | **解** 由已知，$p\Rightarrow q$，$q\nRightarrow p$；$q\Leftrightarrow r$；$r\Rightarrow s$，$s\nRightarrow r$。
（1）$p\Rightarrow q\Rightarrow r$，所以 $p\Rightarrow r$。若 $r\Rightarrow p$，则 $q\Rightarrow r\Rightarrow p$，与 $q\nRightarrow p$ 矛盾，所以 $r\nRightarrow p$。$p$ 是 $r$ 的充分不必要条件。
（2）$p\Rightarrow r\Rightarrow s$，所以 $p\Rightarro... | null | {
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example/A1.4/example/由否定条件求参数 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $p$：$x^2-8x-20\le0$，$q$：$x^2-2x+1-m^2\le0$（$m>0$）。若 $\lnot p$ 是 $\lnot q$ 的充分不必要条件，求实数 $m$ 的取值范围。 | **解** 由逆否等价，“$\lnot p$ 是 $\lnot q$ 的充分不必要条件”即 $\lnot p\Rightarrow\lnot q$ 且 $\lnot q\nRightarrow\lnot p$，等价于 $q\Rightarrow p$ 且 $p\nRightarrow q$，即 $q$ 是 $p$ 的充分不必要条件。
由 $x^2-8x-20=(x-10)(x+2)\le0$，得 $A=\{x\mid p(x)\}=[-2,10]$。
由 $x^2-2x+1-m^2=(x-1-m)(x-1+m)\le0$ 及 $m>0$，得 $B=\{x\mid q(x)\}=[1-m,1+m]$。
由集合判据，需 $B\su... | null | {
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example/A1.4/example/绝对值不等式与二次不等式 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $p$：$|x-1|<2$，$q$：$x(x-3)<0$。判断 $p$ 是 $q$ 的什么条件。 | **解** 由 $|x-1|<2$，得 $-2<x-1<2$，即 $A=\{x\mid p(x)\}=(-1,3)$。
由 $x(x-3)<0$，得 $B=\{x\mid q(x)\}=(0,3)$。
$(0,3)\subseteq(-1,3)$，且 $-\dfrac12\in A$ 但 $-\dfrac12\notin B$，所以 $B\subsetneq A$。
> 由条件关系的集合判据，$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。 | null | {
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example/A1.4/example/证明充要条件 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 求证：关于 $x$ 的方程 $x^2+mx+1=0$ 有两个不相等的正实数根的充要条件是 $m<-2$。 | **证明** 条件是 $m<-2$，结论是“方程有两个不相等的正实数根”。
## （1）充分性：设 $m<-2$
则 $\Delta=m^2-4>0$，方程有两个不相等的实数根 $x_1,x_2$。由根与系数的关系，
$$x_1x_2=1>0,\qquad x_1+x_2=-m>2>0.$$
积为正说明两根同号，和为正说明两根不同时为负，所以 $x_1>0$，$x_2>0$。
（2）必要性：设方程有两个不相等的正实数根 $x_1,x_2$。则 $\Delta=m^2-4>0$，即 $m<-2$ 或 $m>2$；又 $x_1+x_2=-m>0$，即 $m<0$。所以 $m<-2$。
> 综上，方程有两个不相等的正实数根的充要条... | null | {
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example/A1.5/example/两个量词命题恰有一个为真 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $p$：$\exists x\in\mathbb R,\ x^2+2ax+2-a=0$；$q$：$\forall x\in[1,2],\ x^2-a\ge0$。
（1）若 $p$ 与 $q$ 都是真命题，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）若 $p$ 与 $q$ 中恰有一个为真命题，求实数 $a$ 的取值范围。 | **解** $p$ 为真 $\iff$ 方程有实数根 $\iff\Delta=4a^2-4(2-a)\ge0\iff a^2+a-2\ge0\iff(a+2)(a-1)\ge0$，即 $a\le-2$ 或 $a\ge1$。
$q$ 为真 $\iff a\le\min\limits_{x\in[1,2]}x^2=1$，即 $a\le1$。
（1）两者都真：$(a\le-2$ 或 $a\ge1)$ 且 $a\le1$，得 $a\le-2$ 或 $a=1$。取值范围为 $(-\infty,-2]\cup\{1\}$。
（2）$p$ 为假 $\iff-2<a<1$；$q$ 为假 $\iff a>1$。
① $p$ 真 $q$ 假：$... | null | {
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example/A1.5/example/二次不等式在 R 上恒成立 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | （1）若命题“$\forall x\in\mathbb R,\ x^2+2x+a>0$”为真，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）若命题“$\exists x\in\mathbb R,\ x^2+2x+a\le0$”为真，求实数 $a$ 的取值范围。 | **解** 配方，$x^2+2x+a=(x+1)^2+a-1$，它在 $\mathbb R$ 上的最小值为 $a-1$（$x=-1$ 时取到）。
（1）命题为真 $\iff$ 最小值 $a-1>0$，即 $a>1$。所以 $a$ 的取值范围为 $(1,+\infty)$。
（2）该命题恰是（1）中命题的否定，两者一真一假。所以它为真 $\iff$（1）中命题为假 $\iff a\le1$。
也可直接看：存在 $x$ 使 $(x+1)^2+a-1\le0$，当且仅当最小值 $a-1\le0$。
> 所以 $a$ 的取值范围为 $(-\infty,1]$。 | null | {
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example/A1.5/example/全称量词命题为假求参数 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 若命题“$\forall x\in\mathbb R,\ |x-1|+|x+2|>a$”为假命题，求实数 $a$ 的取值范围。 | **解** 记 $f(x)=|x-1|+|x+2|$，分段去绝对值：
$$f(x)=\begin{cases}-2x-1,&x<-2,\\3,&-2\le x\le1,\\2x+1,&x>1.\end{cases}$$
$x<-2$ 时 $f(x)=-2x-1>3$；$x>1$ 时 $f(x)=2x+1>3$。所以 $f(x)$ 的最小值为 $3$，在 $-2\le x\le1$ 时取到。
由恒成立与有解的最值转化，原命题为真 $\iff a<\min f(x)=3$。
所以原命题为假 $\iff a\ge3$。此时取 $x_0=0$，$f(0)=3\le a$，就是一个反例。
> $a$ 的取值范围为 $[3,+\infty... | null | {
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example/A1.5/example/写出否定并判断真假 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：
（1）$\forall x\in\mathbb R,\ x^2+x+1>0$；
（2）$\exists x\in\mathbb Z,\ x^2=3$；
（3）所有的正方形都是矩形；
（4）有些三角形是直角三角形。 | **解**
（1）否定：$\exists x\in\mathbb R,\ x^2+x+1\le0$。因为 $x^2+x+1=\left(x+\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0$ 恒成立，原命题为真，所以否定为假。
（2）否定：$\forall x\in\mathbb Z,\ x^2\ne3$。$x^2=3$ 的解 $\pm\sqrt3$ 不是整数，原命题为假，所以否定为真。
## （3）否定：存在一个正方形不是矩形
正方形都是矩形，原命题为真，否定为假。
## （4）否定：所有的三角形都不是直角三角形
三边为 $3,4,5$ 的三角形是直角三角形，原命题为真，否定为假。
> **答** 四个否定依... | null | {
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example/A1.5/example/分离参数后求最值 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | （1）若命题“$\forall x\in[1,3],\ x^2-ax+4\ge0$”为真，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）若命题“$\exists x\in[1,3],\ x^2-ax+4\ge0$”为真，求实数 $a$ 的取值范围。 | **解** $x\in[1,3]$ 时 $x>0$，不等式等价于
$$a\le x+\frac4x=f(x).$$
求最小值：$f(x)-4=\dfrac{x^2-4x+4}{x}=\dfrac{(x-2)^2}{x}\ge0$，$x=2$ 时取等号，所以 $\min f(x)=4$。
求最大值：$f(x)-5=\dfrac{x^2-5x+4}{x}=\dfrac{(x-1)(x-4)}{x}$。$x\in[1,3]$ 时 $x-1\ge0$，$x-4<0$，所以 $f(x)\le5$，$x=1$ 时取等号，$\max f(x)=5$。
（1）命题为真 $\iff a\le\min f(x)=4$，$a$ 的取值范围为 $(-... | null | {
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example/A1.5/example/区间上的恒成立与有解 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | （1）若命题“$\forall x\in[1,2],\ x^2-a\ge0$”为真，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）若命题“$\exists x\in[1,2],\ x^2-a\ge0$”为真，求实数 $a$ 的取值范围。 | **解** $x^2-a\ge0\iff a\le x^2$。在 $[1,2]$ 上，$x^2$ 随 $x$ 增大而增大，最小值为 $1$，最大值为 $4$。
（1）由恒成立与有解的最值转化，命题为真 $\iff a\le\min x^2=1$。所以 $a$ 的取值范围为 $(-\infty,1]$。
## （2）命题为真 $\iff a\le\max x^2=4$
所以 $a$ 的取值范围为 $(-\infty,4]$。
两问的区别在于：“任意”要对最不利的 $x$ 成立，看最小值；“存在”只需最有利的 $x$ 成立，看最大值。
> **答** （1）$(-\infty,1]$；（2）$(-\infty,4]$。 | null | {
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example/A1.5/example/四个量词命题的真假 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 判断下列命题的真假：
（1）$\forall x\in\mathbb R,\ x^2+1>0$；
（2）$\forall x\in\mathbb N,\ x^2\ge1$；
（3）$\exists x\in\mathbb Z,\ x^2=2$；
（4）$\exists x\in\mathbb R,\ x^2-2x-3=0$。 | **解**
（1）对任意实数 $x$，$x^2\ge0$，所以 $x^2+1\ge1>0$。真命题。
（2）取 $x=0\in\mathbb N$，$0^2=0<1$，是一个反例。假命题。
（3）$x^2=2$ 的实数解只有 $x=\pm\sqrt2$，都不是整数，所以没有整数满足 $x^2=2$。假命题。
（4）取 $x=3$，$9-6-3=0$。真命题。
> **答** （1）真；（2）假；（3）假；（4）真。 | null | {
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example/A1.5/example/存在量词命题为假求参数 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 若命题“$\exists x\in\mathbb R,\ ax^2+2x+1<0$”为假命题，求实数 $a$ 的取值范围。 | **解** 原命题为假 $\iff$ 其否定“$\forall x\in\mathbb R,\ ax^2+2x+1\ge0$”为真。
（1）$a=0$ 时，不等式为 $2x+1\ge0$，取 $x=-1$ 得 $-1<0$，不恒成立，舍去。
（2）$a<0$ 时，$ax^2+2x+1=a\left(x+\dfrac1a\right)^2+1-\dfrac1a$，取 $x=-\dfrac1a+t$，函数值为 $at^2+1-\dfrac1a$，取 $t$ 使 $t^2>\dfrac{1-a}{a^2}$，由 $a<0$ 得
$$at^2+1-\frac1a<a\cdot\frac{1-a}{a^2}+\frac{a-1}{a}=0... | null | {
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example/A1.5/example/范围不变与“且”的否定 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 写出下列命题的否定，并判断原命题与其否定的真假：
（1）$\forall x>0,\ x+\frac1x\ge2$；
（2）$\exists x\in\mathbb R,\ x^2-1=0$ 且 $x>0$。 | **解**
（1）否定：$\exists x>0,\ x+\dfrac1x<2$。量词后的范围“$x>0$”保持不变，不能写成 $x\le0$。
对 $x>0$，
$$x+\frac1x-2=\frac{x^2-2x+1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x}\ge0,$$
所以原命题为真，否定为假。
（2）否定：$\forall x\in\mathbb R,\ x^2-1\ne0$ 或 $x\le0$。“且”的否定是“或”。
取 $x=1$，$x^2-1=0$ 且 $x>0$，原命题为真；所以否定为假（$x=1$ 时“$x^2-1\ne0$ 或 $x\le0$”不成立）。
> **答** 两个原命题都为真，它们的否定... | null | {
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example/A1.5/example/补出隐含量词再判断 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 写出下列命题中的量词（隐含的要补出），并判断真假：
（1）平行四边形的对角线互相平分；
（2）有的三角形是等边三角形；
（3）一个数的平方总是正数；
（4）有些实数的绝对值是负数。 | **解**
## （1）隐含全称量词：“所有平行四边形的对角线都互相平分”
由平行四边形的性质，真命题。
## （2）存在量词“有的”
边长都为 $1$ 的三角形是等边三角形，真命题。
（3）隐含全称量词：“$\forall x\in\mathbb R,\ x^2>0$”。取 $x=0$，$0^2=0$ 不是正数，假命题。
（4）存在量词“有些”：“$\exists x\in\mathbb R,\ |x|<0$”。对任意实数 $x$，$|x|\ge0$，假命题。
> **答** （1）（2）为真命题，（3）（4）为假命题。 | null | {
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example/A1.5/example/隐含量词命题的否定 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 写出下列命题的否定，并判断否定的真假：
（1）平行四边形的对角线相等；
（2）奇数的平方是奇数。 | **解** 先补出隐含的全称量词。
## （1）原命题：所有平行四边形的对角线都相等
否定：存在一个平行四边形，它的对角线不相等。
不能写成“平行四边形的对角线都不相等”。边长为 $1$、一个内角为 $60^\circ$ 的菱形，两条对角线长分别为 $1$ 和 $\sqrt3$，不相等，所以否定为真（原命题为假）。
## （2）原命题：所有奇数的平方都是奇数
否定：存在一个奇数，它的平方不是奇数。
设奇数为 $2k+1$（$k\in\mathbb Z$），则 $(2k+1)^2=2(2k^2+2k)+1$ 是奇数，原命题为真，
> 所以否定为假。 | null | {
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example/A1.5/example/验证有限个不能代替证明 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 判断命题“$\forall n\in\mathbb N^*$，$n^2+n+41$ 是质数”的真假。 | **解** 逐个代入，$n=1,2,3$ 时分别得 $43,47,53$，都是质数，而且直到 $n=39$ 都得到质数。但验证有限个情形不能说明全称量词命题为真。
取 $n=40$：
$$40^2+40+41=40\times41+41=41\times41=1681,$$
它有因数 $41$，不是质数。
> 所以 $n=40$ 是一个反例，原命题是假命题。 | null | {
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example/A2.1/example/不等式命题的真假辨析 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 判断下列命题的真假，并说明理由（$a,b,c,d\in\mathbb R$）。
（1）若 $a>b$，则 $ac^2>bc^2$；
（2）若 $ac^2>bc^2$，则 $a>b$；
（3）若 $a>b,\ c>d$，则 $a-c>b-d$；
（4）若 $a>b>0,\ c<d<0$，则 $ac<bd$。 | **解**
## （1）假
取 $c=0$，则 $ac^2=bc^2=0$。
## （2）真
由 $ac^2>bc^2$ 知 $c^2\ne0$，所以 $c^2>0$，两边同乘 $\dfrac1{c^2}>0$，得 $a>b$。
## （3）假
取 $a=3,\ b=2,\ c=2,\ d=0$，则 $a-c=1<2=b-d$。同向不等式不能相减。
## （4）真
由 $c<d<0$ 得 $-c>-d>0$，又 $a>b>0$，由同向同正可乘性得 $-ac>-bd$，所以 $ac<bd$。
> **答** （1）假；（2）真；（3）假；（4）真。 | null | {
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example/A2.1/example/作商比较 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $a>b>0$，比较 $\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$ 与 $\dfrac{a-b}{a+b}$ 的大小。 | **解** 由 $a>b>0$，两式都为正，作商：
$$\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\div\frac{a-b}{a+b}=\frac{(a+b)^2}{a^2+b^2}=1+\frac{2ab}{a^2+b^2}>1.$$
> **答** $\dfrac{a^2-b^2}{a^2+b^2}>\dfrac{a-b}{a+b}$。 | null | {
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example/A2.1/example/借助倒数法则的证明 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $a>b>c$，且 $a+b+c=0$，求证：$\dfrac c{a-c}>\dfrac c{b-c}$。 | **证明** 由 $a>b>c$ 得 $3c<a+b+c=0$，所以 $c<0$。
又 $a-c>b-c>0$，由倒数法则得
$$0<\frac1{a-c}<\frac1{b-c}.$$
两边同乘负数 $c$，不等号反向，得 $\dfrac c{a-c}>\dfrac c{b-c}$。
> 综上，不等式成立。 | null | {
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example/A2.1/example/同向同正可乘的证明 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $a>b>0,\ c>d>0$，求证：
（1）$\dfrac ad>\dfrac bc$；
（2）$\sqrt{\dfrac ad}>\sqrt{\dfrac bc}$。 | **证明**
（1）由 $c>d>0$，根据倒数法则得 $\dfrac1d>\dfrac1c>0$。又 $a>b>0$，由同向同正可乘性，$a\cdot\dfrac1d>b\cdot\dfrac1c$，即 $\dfrac ad>\dfrac bc$。
（2）由（1），$\dfrac ad>\dfrac bc>0$，由开方性质得 $\sqrt{\dfrac ad}>\sqrt{\dfrac bc}$。
> 综上，两个不等式均成立。 | null | {
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example/A2.1/example/和差积商的范围 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $2<a<5$，$-3<b<-1$，分别求 $a+b$，$a-b$，$ab$，$\dfrac ab$ 的取值范围。 | **解** 由 $-3<b<-1$，得 $1<-b<3$，$\dfrac13<-\dfrac1b<1$。
$a+b$：同向相加，$-1<a+b<4$。
$a-b=a+(-b)$：同向相加，$3<a-b<8$。
$ab=-a\cdot(-b)$：由同向同正可乘，$2<a\cdot(-b)<15$，所以 $-15<ab<-2$。
$\dfrac ab=-a\cdot\left(-\dfrac1b\right)$：由同向同正可乘，$\dfrac23<a\cdot\left(-\dfrac1b\right)<5$，所以 $-5<\dfrac ab<-\dfrac23$。
> **答** $a+b\in(-1,4)$，$a-b\in... | null | {
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"id": "entry/revised/inequalities/concept/inequality",
"title": "不等式",
"type": "concept"
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example/A2.1/example/因式分解后定号 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $a>0,\ b>0$，比较 $a^3+b^3$ 与 $a^2b+ab^2$ 的大小。 | **解** 作差并因式分解：
$$a^3+b^3-(a^2b+ab^2)=a^2(a-b)-b^2(a-b)=(a+b)(a-b)^2.$$
因为 $a+b>0$，$(a-b)^2\ge0$，所以差 $\ge0$，当且仅当 $a=b$ 时等于 $0$。
> **答** $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$，当且仅当 $a=b$ 时取等号。 | null | {
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example/A2.1/example/待定系数求线性组合的范围 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $1\le a+b\le4$，$-1\le a-b\le2$，求 $4a-2b$ 的取值范围。 | **解** 设 $4a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b$，比较系数得
$$m+n=4,\qquad m-n=-2,$$
解得 $m=1,\ n=3$，即 $4a-2b=(a+b)+3(a-b)$。
由 $1\le a+b\le4$，$-3\le3(a-b)\le6$，同向相加得
$$-2\le4a-2b\le10.$$
检验端点：$a+b=1,\ a-b=-1$ 即 $a=0,\ b=1$ 时取 $-2$；$a+b=4,\ a-b=2$ 即 $a=3,\ b=1$ 时取 $10$。
> **答** $4a-2b$ 的取值范围是 $[-2,10]$。
令 $u=a+b,v=a-b$，其逆换元为 $... | null | {
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example/A2.1/example/拆分条件导致范围扩大 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $-1<x+y<4$，$2<x-y<3$，求 $3x+2y$ 的取值范围，并说明“先分别求出 $x,y$ 的范围再相加”为什么会出错。 | **解** 设 $3x+2y=m(x+y)+n(x-y)$，则 $m+n=3,\ m-n=2$，解得 $m=\dfrac52,\ n=\dfrac12$。
由 $-\dfrac52<\dfrac52(x+y)<10$，$1<\dfrac12(x-y)<\dfrac32$，同向相加得
$$-\frac32<3x+2y<\frac{23}2.$$
错误做法：先得 $\dfrac12<x<\dfrac72$，$-2<y<1$，再得 $-\dfrac52<3x+2y<\dfrac{25}2$。范围变大，是因为 $x$ 与 $y$ 并不能**同时**取到各自的端点——拆分条件不是等价变形。
> **答** $3x+2y$ 的取值范围是 ... | null | {
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example/A2.1/example/移项与可乘性的证明 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $a>b$，$e>f$，$c>0$，求证：$f-ac<e-bc$。 | **证明** 由 $a>b,\ c>0$，根据可乘性得 $ac>bc$，从而 $-ac<-bc$。
又 $f<e$，由同向可加性得
$$f+(-ac)<e+(-bc),$$
即 $f-ac<e-bc$。
> 综上，不等式成立。 | null | {
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example/A2.1/example/负数条件下的倒数与乘方 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $a<b<0$，判断下列结论是否成立：
（1）$\dfrac1a>\dfrac1b$；
（2）$a^2>b^2$；
（3）$\dfrac ab<1$；
（4）$\dfrac ba+\dfrac ab>2$。 | **解**
## （1）成立
$a<b$ 且 $ab>0$，由倒数法则得 $\dfrac1a>\dfrac1b$。
## （2）成立
由 $a<b<0$ 得 $-a>-b>0$，由乘方性质得 $(-a)^2>(-b)^2$，即 $a^2>b^2$。
## （3）不成立
$b<0$，在 $a<b$ 两边同乘 $\dfrac1b<0$，不等号反向，得 $\dfrac ab>1$。
## （4）成立
作差：
$$\frac ba+\frac ab-2=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\frac{(a-b)^2}{ab},$$
其中 $a\ne b$，故 $(a-b)^2>0$；又 $ab>0$，所以差大于 $... | null | {
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example/A2.1/example/配方与平方后作差 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | （1）比较 $x^2+3$ 与 $3x$ 的大小（$x\in\mathbb R$）；
（2）比较 $\sqrt6+\sqrt7$ 与 $2\sqrt2+\sqrt5$ 的大小。 | **解**
（1）作差并配方：
$$x^2+3-3x=\left(x-\frac32\right)^2+\frac34>0,$$
所以 $x^2+3>3x$。
（2）两数都为正，先比较它们的平方：
$$(\sqrt6+\sqrt7)^2=13+2\sqrt{42},\qquad(2\sqrt2+\sqrt5)^2=13+2\sqrt{40}.$$
因为 $42>40$，所以前者的平方更大；两数都为正，由开方性质得 $\sqrt6+\sqrt7>2\sqrt2+\sqrt5$。
> **答** （1）$x^2+3>3x$；（2）$\sqrt6+\sqrt7>2\sqrt2+\sqrt5$。 | null | {
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example/A2.1/example/采光问题中的糖水不等式 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 按规定，住宅的窗户面积与地板面积之比不小于 $10\%$，且比值越大，采光越好。若窗户面积与地板面积同时增加相同的面积，采光条件是变好还是变差？请说明理由。 | 设原窗户总面积为 $a$、地板面积为 $b>0$，共同增加量为 $m>0$。由题给规定仅知 $a/b\ge0.1$，并未给 $a<b$。作差得
$$\frac{a+m}{b+m}-\frac ab=\frac{m(b-a)}{b(b+m)}.$$
因此 $a<b$ 时比值增大，$a=b$ 时不变，$a>b$ 时比值减小。新比值也可写为 $\frac b{b+m}\frac ab+\frac m{b+m}$，即原比值与1的正权平均；由二者都不小于0.1，增加后仍符合给定规定。
若题目另明确 $0<a<b$，才可断言按其采光模型条件变好。现有题文没有这一附加关系，不能从“不小于10%”推出“小于100%”。例如 $a=.2,b=1,m... | null | {
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"id": "entry/revised/inequalities/concept/inequality",
"title": "不等式",
"type": "concept"
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example/A2.2/example/两种购物方式的比较 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 甲、乙两人两次同时购买同一种大米，两次的单价分别为 $p_1,p_2$ 元/千克（$p_1\ne p_2$）。甲每次买相同的重量，乙每次花相同的钱。谁的平均单价更低？ | **解** 设甲每次买 $m$ 千克，乙每次花 $n$ 元。
甲的平均单价：$\dfrac{p_1m+p_2m}{2m}=\dfrac{p_1+p_2}2$，是算术平均数；
乙的平均单价：$\dfrac{2n}{\frac n{p_1}+\frac n{p_2}}=\dfrac2{\frac1{p_1}+\frac1{p_2}}$，是调和平均数。
由平均数不等式链，且 $p_1\ne p_2$，
$$\frac2{\frac1{p_1}+\frac1{p_2}}<\sqrt{p_1p_2}<\frac{p_1+p_2}2.$$
> **答** 乙的平均单价更低。 | null | {
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"id": "entry/revised/inequalities/concept/geometric-mean",
"title": "几何平均数",
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example/A2.2/example/交叉倒数平方和的同步取等 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据；原题摘录：分组并项例2；解答重写。；参考：53高中知识清单(数学)-2025版，书页27、28，PDF页48、49 | 若 $x,y$ 均为正数，求 $\left(x+\dfrac1{2y}\right)^2+\left(y+\dfrac1{2x}\right)^2$ 的最小值。 | **解** 先展开成三组可用基本不等式的项，再核对三组是否同时取等。
## （1）展开并分组
因 $x,y>0$，原式各分母均非零。展开后，交叉项恰可合并为一组倒数比：
$$\left(x+\frac{1}{2y}\right)^2+\left(y+\frac{1}{2x}\right)^2=\left(x^2+\frac{1}{4x^2}\right)+\left(y^2+\frac{1}{4y^2}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right).$$
## （2）逐组估计
各组的两项均为正数，乘积依次为 $\dfrac14,\dfrac14,1$。基本不等式给出
$$x^2+\f... | null | {
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example/A2.2/example/先把条件化为“1” | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $x>0,\ y>0$，且 $x+4y=xy$，求 $x+y$ 的最小值。 | **解** 两边同除以 $xy$，得 $\dfrac4x+\dfrac1y=1$。于是
$$x+y=(x+y)\left(\frac4x+\frac1y\right)=5+\frac xy+\frac{4y}x\ge5+2\sqrt4=9.$$
当且仅当 $\dfrac xy=\dfrac{4y}x$，即 $x=2y$ 时等号成立；代入得 $\dfrac4{2y}+\dfrac1y=\dfrac3y=1$，所以 $y=3,\ x=6$。
**检验** $x+4y=6+12=18=xy$，符合条件。
> **答** 最小值为 $9$，此时 $x=6,\ y=3$。 | null | {
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example/A2.2/example/基本不等式解决恒成立 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $x>0,\ y>0$，且 $\dfrac1x+\dfrac9y=1$。若 $x+y\ge m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围。 | **解** $x+y\ge m$ 恒成立 $\iff m\le(x+y)_{\min}$。
$$x+y=(x+y)\left(\frac1x+\frac9y\right)=10+\frac yx+\frac{9x}y\ge10+2\sqrt9=16,$$
当且仅当 $y=3x$，即 $x=4,\ y=12$ 时等号成立，所以 $(x+y)_{\min}=16$。
> **答** $m$ 的取值范围是 $(-\infty,16]$。 | null | {
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example/A2.2/example/实数条件下和的范围 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2=xy+1$，求 $x+y$ 的取值范围。 | **解** 设 $s=x+y$。由已知，$s^2=x^2+y^2+2xy=3xy+1$，所以 $xy=\dfrac{s^2-1}3$。
由 $xy\le\dfrac{(x+y)^2}4$（对一切实数成立），得
$$\frac{s^2-1}3\le\frac{s^2}4\iff s^2\le4\iff-2\le s\le2.$$
反过来，对任意 $s\in[-2,2]$，以 $x,y$ 为根的方程 $t^2-st+\dfrac{s^2-1}3=0$ 的判别式为 $\dfrac{4-s^2}3\ge0$，有实根，所以这些值都能取到。
> **答** $x+y$ 的取值范围是 $[-2,2]$。 | null | {
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example/A2.2/example/对称式的证明 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $a,b,c$ 都是正数，求证：
（1）$a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca$；
（2）$(a+b+c)\left(\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\right)\ge9$。 | **证明**
（1）由重要不等式，$a^2+b^2\ge2ab$，$b^2+c^2\ge2bc$，$c^2+a^2\ge2ca$。三式相加再除以 $2$，即得结论，当且仅当 $a=b=c$ 时取等号。
（2）展开得
$$(a+b+c)\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)=3+\left(\frac ab+\frac ba\right)+\left(\frac ac+\frac ca\right)+\left(\frac bc+\frac cb\right)\ge3+2+2+2=9,$$
当且仅当 $a=b=c$ 时取等号。
> 综上，两个不等式均成立。 | null | {
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example/A2.2/example/已知倒数和求和的最小值 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $x>0,\ y>0$，且 $\dfrac2x+\dfrac8y=1$，求 $x+y$ 的最小值。 | **解**
$$x+y=(x+y)\left(\frac2x+\frac8y\right)=10+\frac{2y}x+\frac{8x}y\ge10+2\sqrt{16}=18.$$
当且仅当 $\dfrac{2y}x=\dfrac{8x}y$，即 $y=2x$ 时等号成立；代入条件得 $\dfrac6x=1$，$x=6,\ y=12$。
> **答** 最小值为 $18$，此时 $x=6,\ y=12$。 | null | {
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example/A2.2/example/已知和求倒数和的最小值 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $x>0,\ y>0$，且 $x+2y=1$，求 $\dfrac1x+\dfrac1y$ 的最小值。 | **解** 用 $x+2y=1$ 作常数代换：
$$\frac1x+\frac1y=\left(\frac1x+\frac1y\right)(x+2y)=3+\frac{2y}x+\frac xy\ge3+2\sqrt2.$$
当且仅当 $\dfrac{2y}x=\dfrac xy$，即 $x=\sqrt2y$ 时等号成立；与 $x+2y=1$ 联立得 $x=\sqrt2-1,\ y=\dfrac{2-\sqrt2}2$。
> **答** 最小值为 $3+2\sqrt2$。 | null | {
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example/A2.2/example/拆项凑积为定值 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $x>1$，求 $y=x+\dfrac4{x-1}$ 的最小值。 | **解** $x-1>0$，把 $x$ 拆成 $(x-1)+1$，使两项之积为定值：
$$y=(x-1)+\frac4{x-1}+1\ge2\sqrt{(x-1)\cdot\frac4{x-1}}+1=5.$$
当且仅当 $x-1=\dfrac4{x-1}$，即 $x=3$ 时等号成立。
> **答** 最小值为 $5$，此时 $x=3$。 | null | {
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example/A2.2/example/由积与和的关系求范围 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知正数 $a,b$ 满足 $ab=a+b+3$，求：
（1）$ab$ 的最小值；
（2）$a+b$ 的最小值。 | **解**
（1）由 $a+b\ge2\sqrt{ab}$，得 $ab\ge2\sqrt{ab}+3$。令 $t=\sqrt{ab}>0$，则
$$t^2-2t-3\ge0\iff(t-3)(t+1)\ge0\iff t\ge3,$$
所以 $ab\ge9$，当且仅当 $a=b=3$ 时取等号。
（2）设 $s=a+b$，由 $ab\le\dfrac{s^2}4$，得 $s+3\le\dfrac{s^2}4$，即
$$s^2-4s-12\ge0\iff(s-6)(s+2)\ge0\iff s\ge6,$$
当且仅当 $a=b=3$ 时取等号。
> **答** （1）$ab$ 的最小值为 $9$；（2）$a+b$ 的最小值为 $... | null | {
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example/A2.2/example/积的上界再转倒数下界 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据；原题摘录：例3(3)；解答重写。；参考：53高中知识清单(数学)-2025版，书页27、28，PDF页48、49 | 设 $a>b>0$，求 $a^2+\dfrac1{b(a-b)}$ 的最小值。 | **解** 先利用定和给出乘积上界，再取倒数并检查两次放缩的共同取等点。
## （1）控制分母
由 $a>b>0$，知 $b$ 与 $a-b$ 都为正数，且两者之和为 $a$。因此
$$b(a-b)\le\left(\frac{b+(a-b)}{2}\right)^2=\frac{a^2}{4},$$
等号当且仅当 $b=a-b$，即 $b=\dfrac a2$。
## （2）取倒数并再次放缩
对正数取倒数会反转不等号，故
$$a^2+\frac{1}{b(a-b)}\ge a^2+\frac{4}{a^2}\ge2\sqrt{a^2\cdot\frac{4}{a^2}}=4.$$
第二次取等要求 $a^2=\dfrac4{... | null | {
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example/A2.2/example/约束放缩与配系数的共同边界 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据；原题摘录：例3(4)；解答重写。；参考：53高中知识清单(数学)-2025版，书页27、28，PDF页48、49 | 已知正数 $a,b,c$ 满足 $a+2b\ge c$，求 $\dfrac ba+\dfrac a{2b+c}$ 的最小值。 | **解** 先使用约束放大正分母，再将所得单变量式配成可同时取等的形式。
## （1）使用原约束
由 $c\le a+2b$，得 $2b+c\le a+4b$。因为分子、分母都为正，
$$\frac ba+\frac a{2b+c}\ge\frac ba+\frac a{a+4b}.$$
这一步等号要求 $c=a+2b$，不能在最后遗漏。
## （2）换元并配系数
令 $t=\dfrac ba>0$，再令 $u=1+4t>1$，右侧变成
$$t+\frac1{1+4t}=\frac u4+\frac1u-\frac14\ge2\sqrt{\frac u4\cdot\frac1u}-\frac14=\frac34.$$
等号要... | null | {
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example/A2.2/example/负数与分式型最值 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | （1）已知 $x<2$，求 $y=x+\dfrac1{x-2}$ 的最大值；
（2）已知 $x>-1$，求 $y=\dfrac{x^2+3x+3}{x+1}$ 的最小值。 | **解**
（1）$2-x>0$，先提出负号化为正数：
$$y=-\left[(2-x)+\frac1{2-x}\right]+2\le-2+2=0.$$
当且仅当 $2-x=1$，即 $x=1$ 时等号成立。
（2）令 $t=x+1>0$，则 $x^2+3x+3=t^2+t+1$，
$$y=\frac{t^2+t+1}t=t+\frac1t+1\ge3.$$
当且仅当 $t=1$，即 $x=0$ 时等号成立。
> **答** （1）最大值为 $0$（$x=1$）；（2）最小值为 $3$（$x=0$）。 | null | {
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example/A2.2/example/配系数凑和为定值 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 已知 $0<x<\dfrac32$，求 $x(3-2x)$ 的最大值。 | **解** $2x>0$，$3-2x>0$，且 $2x+(3-2x)=3$ 为定值，配上系数 $\dfrac12$：
$$x(3-2x)=\frac12\cdot2x\cdot(3-2x)\le\frac12\left(\frac{2x+3-2x}2\right)^2=\frac98.$$
当且仅当 $2x=3-2x$，即 $x=\dfrac34$ 时等号成立。
> **答** 最大值为 $\dfrac98$，此时 $x=\dfrac34$。 | null | {
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example/A2.2/example/靠墙围菜园 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 用 $36\ \text{m}$ 长的篱笆围一个矩形菜园，菜园一边靠墙（墙足够长，靠墙一边不用篱笆）。菜园的长、宽各为多少时面积最大？最大面积是多少？ | **解** 设垂直于墙的边长为 $x\ \text{m}$，平行于墙的边长为 $y\ \text{m}$，则 $2x+y=36$，面积
$$S=xy=\frac12\cdot2x\cdot y\le\frac12\left(\frac{2x+y}2\right)^2=\frac12\times18^2=162.$$
当且仅当 $2x=y$，即 $x=9,\ y=18$ 时等号成立。
> **答** 垂直于墙的边长 $9\ \text{m}$、平行于墙的边长 $18\ \text{m}$ 时面积最大，最大面积为 $162\ \text{m}^2$。 | null | {
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example/A2.3/example/一根大于 1 一根小于 1 与两正根 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 关于 $x$ 的方程 $x^2-2mx+m+6=0$。
（1）若方程一根大于 $1$、一根小于 $1$，求 $m$ 的取值范围；
（2）若方程有两个正实数根（可以相等），求 $m$ 的取值范围。 | **解** 设 $f(x)=x^2-2mx+m+6$。
（1）由根的分布，$f(1)=7-m<0$，得 $m>7$。
（2）由根与系数的关系，需
$$\Delta=4m^2-4(m+6)\ge0,\qquad x_1+x_2=2m>0,\qquad x_1x_2=m+6>0,$$
解得 $m\le-2$ 或 $m\ge3$；$m>0$；$m>-6$。取交集得 $m\ge3$。
> **答** （1）$(7,+\infty)$；（2）$[3,+\infty)$。 | null | {
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"title": "二次方程根分布判据",
"type": "theorem"
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example/A2.3/example/三种判别式情形 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 解下列不等式：
（1）$2x^2-5x-3>0$；
（2）$-x^2+4x-4<0$；
（3）$x^2-2x+3\le0$。 | **解**
（1）$2x^2-5x-3=(2x+1)(x-3)>0$，两根为 $-\dfrac12,\ 3$，“大于取两边”，解集为 $\left\{x\ \middle|\ x<-\dfrac12\ \text{或}\ x>3\right\}$。
（2）两边乘 $-1$ 化为 $x^2-4x+4>0$，即 $(x-2)^2>0$，解集为 $\{x\mid x\ne2\}$。
（3）$\Delta=4-12<0$，且二次项系数为正，$x^2-2x+3>0$ 恒成立，所以原不等式的解集为 $\varnothing$。
> **答** （1）$\left(-\infty,-\dfrac12\right)\cup(3,+\inft... | null | {
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"title": "一元二次不等式",
"type": "concept"
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"title": "二次式符号法则",
"type": "theorem"
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example/A2.3/example/两根都大于 2 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 若关于 $x$ 的方程 $x^2+(m-2)x+5-m=0$ 的两根都大于 $2$，求实数 $m$ 的取值范围。 | **解** 设 $f(x)=x^2+(m-2)x+5-m$，由根的分布，需
$$\Delta=(m-2)^2-4(5-m)=m^2-16\ge0,\qquad-\frac{m-2}2>2,\qquad f(2)=m+5>0.$$
解得 $m\le-4$ 或 $m\ge4$；$m<-2$；$m>-5$。三者取交集，得 $-5<m\le-4$。
**检验** $m=-4$ 时方程为 $(x-3)^2=0$，两根都为 $3>2$，符合。
> **答** $m$ 的取值范围是 $(-5,-4]$。 | null | {
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"title": "二次方程根分布判据",
"type": "theorem"
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example/A2.3/example/二次项系数含参 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 解关于 $x$ 的不等式 $ax^2-(a+1)x+1<0$（$a\in\mathbb R$）。 | **解** 原不等式即 $(ax-1)(x-1)<0$。
（1）$a=0$ 时，不等式为 $-x+1<0$，解集为 $(1,+\infty)$。
（2）$a<0$ 时，两边除以 $a$，不等号反向：$\left(x-\dfrac1a\right)(x-1)>0$，而 $\dfrac1a<0<1$，解集为 $\left(-\infty,\dfrac1a\right)\cup(1,+\infty)$。
（3）$a>0$ 时，化为 $\left(x-\dfrac1a\right)(x-1)<0$，再比较 $\dfrac1a$ 与 $1$：
$0<a<1$ 时 $\dfrac1a>1$，解集为 $\left(1,\dfrac1a\r... | null | {
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example/A2.3/example/分式不等式的两种类型 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 解下列不等式：
（1）$\dfrac{x-1}{x+2}\le0$；
（2）$\dfrac{2x+1}{x-3}\ge1$。 | **解**
（1）由同解变形，原不等式 $\iff(x-1)(x+2)\le0$ 且 $x+2\ne0$，解得 $-2<x\le1$。
（2）移项通分：$\dfrac{2x+1}{x-3}-1=\dfrac{x+4}{x-3}\ge0$，等价于 $(x+4)(x-3)\ge0$ 且 $x\ne3$，解得 $x\le-4$ 或 $x>3$。
> **答** （1）$(-2,1]$；（2）$(-\infty,-4]\cup(3,+\infty)$。 | null | {
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example/A2.3/example/利润问题中的一元二次不等式 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | 某商品每件成本 $40$ 元。当售价为 $x$ 元（$40\le x\le100$）时，日销量为 $(100-x)$ 件。要使日利润不少于 $800$ 元，售价应定在什么范围？ | **解** 日利润为 $(x-40)(100-x)$ 元，由题意
$$(x-40)(100-x)\ge800\iff x^2-140x+4800\le0\iff(x-60)(x-80)\le0,$$
解得 $60\le x\le80$，满足 $40\le x\le100$。
> **答** 售价应定在 $60$ 元到 $80$ 元之间（含端点）。 | null | {
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example/A2.3/example/恒成立求参数 | 高中数学知识图谱专题数据 · 高中数学知识图谱专题数据（原出处未注明） | （1）若不等式 $ax^2+ax-1<0$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
（2）若当 $x\in[1,2]$ 时，不等式 $x^2-ax+2>0$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围。 | **解**
（1）$a=0$ 时，不等式为 $-1<0$，恒成立。$a\ne0$ 时，需 $a<0$ 且 $\Delta=a^2+4a<0$，解得 $-4<a<0$。合并得 $-4<a\le0$。
（2）$x\in[1,2]$ 时 $x>0$，分离参数：$a<x+\dfrac2x$ 对 $x\in[1,2]$ 恒成立。
而 $x+\dfrac2x\ge2\sqrt2$，当且仅当 $x=\sqrt2\in[1,2]$ 时取等号，所以最小值为 $2\sqrt2$，从而 $a<2\sqrt2$。
> **答** （1）$(-4,0]$；（2）$(-\infty,2\sqrt2)$。 | null | {
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UniPrism 数学例题库
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