Datasets:

ohadnir
/

AlephBERT_wikipedia

Modalities:

Text

Formats:

text

Size:

1M - 10M

Libraries:

Datasets

Dataset card Data Studio Files Files and versions

xet

Community

Dataset Viewer

Auto-converted to Parquet Duplicate

Split (1)

train · 3.83M rows

text stringlengths 12 3.34k
מָתֵמָטִיקָה היא תחום הדעת שעוסק במושגים כגון כמות, מבנה, מרחב ושינוי.
יש המציגים אותה כמדע של דפוסים (תבניות משותפות), וכי המתמטיקאים מחפשים דפוסים: במספרים, במרחב, במדע, במחשבים ובהפשטות דמיוניות.
המתמטיקה התפתחה ממנייה, חישוב ומדידה ומהמחקר השיטתי של צורות ותנועה של עצמים מוחשיים.
הידע והשימוש במתמטיקה בסיסית היוו תמיד חלק טבעי וחיוני בחיי האדם והקבוצה.
ניתן למצוא שכלולים של הרעיונות הבסיסיים בטקסטים המתמטיים שהגו המצרים, הבבלים, ההודים, הסינים, היוונים והמוסלמים.
כבר בשלב מוקדם בלטו שלושה מאפיינים המלווים את המתמטיקה עד היום:.
הפשטה: אף שמקורם של חלק מן העצמים המתמטיים בעולם הממשי, הדיון המתמטי בהם כרוך בהפשטה ניכרת.
המספר 5 עשוי לייצג 5 אבנים או 5 תפוחים, אך המתמטיקה עוסקת במספר כישות עצמאית, שאינה מייצגת דבר.
המעגל מזכיר לנו חפצים מוחשיים עגולים, כגון גלגל, אך הגאומטריה עוסקת במעגל מופשט, חסר משקל וחסר נפח ומושלם בצורתו.
הכללה: המתמטיקה בוחנת את עצמיה המופשטים בראייה רחבה, תוך חיפוש מאפיינים כלליים שלהם.
מושג המספר כולל בתוכו סדרה של הכללות: מעבר ממספרים טבעיים למספרים שלמים, מהם למספרים רציונליים, מהם למספרים ממשיים ומהם למספרים מרוכבים.
בכל אחת ממערכות המספרים הללו מוכלת המערכת שקדמה לה.
הוכחה: כל טענה מתמטית יש להוכיח, כלומר לנמק את נכונות הטענה באמצעות סדרה של כללי היסק.
המתמטיקאי מעלה השערות חדשות, שאת אמיתותן עליו לבסס באמצעות הוכחות פורמליות דדוקטיביות הנובעות מתוך אקסיומות (הנחות יסוד שקובעים כי הן נכונות), והגדרות שנבחרו בהתאם.
הוכחות פורמליות הופיעו לראשונה במתמטיקה היוונית, ובמיוחד ב"יסודות" של אוקלידס.
פיתוח המתמטיקה המשיך, בצורה בלתי מסודרת, עד תקופת הרנסאנס במאה ה-16, שבה החידושים המתמטיים קיימו יחסי גומלין עם התגליות המדעיות של התקופה.
דבר זה הוביל להאצה במחקר המתמטי, ובמקביל לכך החלה התרחבות מהירה של המתמטיקה כמדע עצמאי.
שני כיווני התפתחות אלה נמשכים עד היום.
המתמטיקה משמשת ככלי חיוני בתחומים רבים, ובכלל זה במדעי הטבע, בהנדסה, ברפואה ואף במדעי החברה כגון כלכלה ופסיכולוגיה.
בעיות שמקורן בענפי מדע אחרים ממשיכות להוות זרז ומניע לתגליות מתמטיות חדשות, ולעתים מתפתחים תחומים מתמטיים חדשים לחלוטין בעקבות זאת.
במקביל מתפתחת המתמטיקה כענף ידע נרחב ועצמאי, ללא התייחסות ליישומו בענפי מדע אחרים, אם כי לעתים קרובות מתגלים בהמשך יישומים מעשיים לתגליות שהחלו כמתמטיקה עיונית בלבד.
מקור המילה "מתמטיקה" במילה היוונית העתיקה μάθημα (מתמה, máthēma), שפירושה: "למידה, לימוד, מדע".
בנוסף קיבלה המילה, עוד בעת העתיקה, את המשמעות הצרה יותר של "לימוד מתמטי".
שם התואר המתאים ביוונית הוא μαθηματικός (מתמטיקוס, mathēmatikós), שפירושו: "קשור ללמידה"; כמו השם שהוא נגזר ממנו, גם התואר קיבל משמעות צרה יותר, דהיינו "מתמטי, קשור למתמטיקה".
התואר משמש בפרט בביטוי μαθηματικὴ τέχνη (מתמטיקה טכנה, mathēmatikḗ tékhnē), כלומר (בתרגום חופשי) "מקצוע המתמטיקה", או בלטינית ars mathematica (ארס מתמטיקה), כלומר "אמנות המתמטיקה".
שמואל אבן תיבון, בתרגומו ל"מורה נבוכים", בתחילת המאה ה-13, השתמש במילה "לימודיים" במשמעות של מתמטיקה.
בכך הלך ישירות על פי הערבית ("תעאלים") והיוונית.
יהודה אלחריזי, שתרגם אף הוא את "מורה נבוכים", השתמש בביטויים "חכמת הלימודים" ו"חכמות לימודיות" במשמעות של מתמטיקה.
בכיתות הנמוכות מכונים לימודי המתמטיקה "חשבון" (אריתמטיקה בסיסית) ו"הנדסה" (גאומטריה בסיסית).
[את התפתחות המתמטיקה ניתן לראות כסדרה גדלה והולכת של הפשטות או פיתוחים של נושאים שונים.
ההפשטה הראשונה הייתה, ככל הנראה, של המספרים: ההבחנה, כי לשני תפוחים ולשני תפוזים (לדוגמה) יש תכונה משותפת, היוותה פריצת דרך בחשיבה האנושית.
בנוסף להבנה כיצד לספור חפצים מוחשיים, בני האדם הפרהיסטוריים הבינו גם כיצד לספור חפצים מופשטים, כגון יחידות זמן - ימים, עונות ושנים.
משם נבעה באופן טבעי האריתמטיקה, הכוללת את ארבע פעולות החשבון: חיבור, חיסור, כפל וחילוק.
על מנת להשיג התקדמות נוספת, נדרשה כתיבה או מערכת אחרת לרשימת מספרים, כגון מקל ספירה או קיפו, התקן ספירה הבנוי מחוטים וקשרים ושימש את בני האינקה לשמירת מידע מספרי.
שיטות ספירה רבות ומגוונות הומצאו, כאשר המספרים הכתובים העתיקים ביותר הידועים כיום נרשמו על ידי המצרים כ-2000 שנה לפני הספירה בטקסטים כגון פפירוס רינד.
בראשית ההיסטוריה המתועדת, נוצרו התחומים המרכזיים במתמטיקה מתוך הצורך בחישובים לצורכי מס ומסחר, בהבנת הקשר בין המספרים, במדידת שטחים ובחיזוי אירועים שמיימיים.
מכאן נבעה החלוקה הבסיסית של המתמטיקה למחקר של כמות, מבנה, מרחב ושינוי.
חפירות ארכאולוגיות מעידות על כך שלחכמי בבל ובמצרים היה ידע במתמטיקה, בין השאר במשוואות ריבועיות, שורש ריבועי, שטחים של צורות מישוריות ושימוש בטבלאות שונות.
מאז, הורחבה המתמטיקה בצורה ניכרת, ויצרה יחסי גומלין פוריים עם תחומי המדע השונים.
תגליות מתמטיות חדשות נתגלו לכל אורך ההיסטוריה, וממשיכות להתגלות עד היום.
התפתחות המתמטיקה בעת העתיקה הגיעה לשיאה ביוון העתיקה, בזכות מתמטיקאים מפורסמים כמו אוקלידס וארכימדס.
בימי הביניים היה עיקר ההתפתחות על ידי הערבים, שפיתחו את האלגברה והטריגונומטריה.
במאה ה-17 הייתה פריחה של ענפים שונים במתמטיקה, כגון גאומטריה אנליטית וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, ששימשו הזנק לענפים מדעיים רבים.
פיתוח הגאומטריה הלא אוקלידית במאה ה-19 הדגיש את חשיבותן של האקסיומות במתמטיקה, ואת התרחקותה מהגישה האינטואיטיבית.
בסוף המאה ה-19 פותחה תורת הקבוצות, והתפתח דיון ביסודות המתמטיקה.
במאה ה-20 המשיכה המתמטיקה בהתפתחותה המהירה והושגו הישגים רבים, בהם פתירת רוב הבעיות שנכללו ב-23 הבעיות של הילברט.
תחום הלוגיקה זכה להישגים בולטים במאה זו, ונולד תחום מתמטי חדש, מדעי המחשב.
למרות כל ההישגים הללו, המתמטיקה רחוקה מלהיות מושלמת.
מתמטיקאים עודם שוקדים על הוכחות למשפטים חדשים ופיתוח רעיונות מתמטיים מקוריים.
לשם הדגמה, בבסיס הנתונים של כתב העת Mathematical Review, שנוסד ב-1940, היו בינואר 2006 מעל 1,900,000 מאמרים וספרים, תוך שכ-75 אלף נוספים אליו מדי שנה.
רובן המוחלט של עבודות אלו עוסק במשפטים מתמטיים חדשים ובהוכחותיהם.
המתמטיקה דרושה לפתרון בעיות העוסקות בכמות, מבנה, מרחב או שינוי.
בעיות כאלו נמצאו לראשונה במסחר, במדידת שטחים ומאוחר יותר באסטרונומיה; כיום, הן קיימות בכל המדעים, ואף בתוך המתמטיקה עצמה.
הפיזיקאי ריצ'רד פיינמן המציא את ניסוח אינטגרלי המסלול של מכניקת הקוונטים באמצעות שילוב של טיעונים מתמטיים ותובנה פיזיקלית; כיום תורת המיתרים, תאוריה מדעית שעודה בתהליכי פיתוח ואשר מנסה לאחד את ארבעת כוחות היסוד של הטבע, מהווה השראה לפיתוח מתמטיקה חדשה (אדוארד ויטן, פיזיקאי שהוא מאבות תורת המיתרים, זכה במדליית פילדס, שה...
רעיונות מסוימים במתמטיקה משמשים אך ורק בתחום שהיווה השראה ליצירתם, אך לעתים רעיונות שנוצרו במקור על מנת לפתור בעיות בתחום מסוים מוכיחים את עצמם כשימושיים בתחומים רבים נוספים, והם מצטרפים לאוסף הכולל של הרעיונות המתמטיים.
העובדה הלא-רגילה כי לעתים קרובות ניתן למצוא יישומים מעשיים אף לרעיונות המתמטיים ה"טהורים" ביותר היא מה שכינה הפיזיקאי יוג'ין ויגנר "היעילות הבלתי-הגיונית של המתמטיקה" במאמר משנת 1960.
כמו ברוב תחומי המחקר, גם במתמטיקה נוצר צורך בהתמקצעות עקב הגידול המהיר בהיקף הידע בעידן המדעי.
רוב המתמטיקאים בוחרים, לעתים כבר במהלך לימודי התואר הראשון, להתמקצע באחד מתתי-הענפים של המתמטיקה, ובפרט מתמטיקה עיונית או מתמטיקה שימושית.
מספר תחומים במתמטיקה השתלבו עם תחומים חוץ-מתמטיים והפכו לתחומי מחקר בפני עצמם, ובכלל זה חקר ביצועים ומדעי המחשב.
עבור העוסקים במתמטיקה, קיים לתחום זה פן אסתטי בלתי מבוטל.
מתמטיקאים רבים מדברים על האלגנטיות של המתמטיקה, האסתטיקה העצמית והיופי הפנימי שבה.
פשטות והכללה הם עקרונות אסתטיים מוערכים.
לדידם, ישנו יופי בכל הוכחה פשוטה ואלגנטית, כגון ההוכחה בדרך השלילה של אוקלידס לקיום אינסוף מספרים ראשוניים, ואף בשיטה נומרית נאה אשר מאיצה חישובים, כגון התמרת פורייה מהירה.
גודפרי הרולד הארדי טען בספרו "התנצלותו של מתמטיקאי" כי שיקולים אסתטיים אלו הם, כשלעצמם, סיבה מספקת לעיסוק במחקר במתמטיקה טהורה, ואתו מסכימים רבים מהמתמטיקאים.
מתמטיקאים שואפים לעתים קרובות למצוא הוכחות אלגנטיות ככל האפשר למשפטים מתמטיים, תהליך אליו התייחס פאול ארדש כמציאת הוכחות מתוך "הספר בו אלוהים כתב את ההוכחות החביבות עליו".
הפופולריות לה זוכים שעשועי מתמטיקה מעידה על ההנאה והעניין אשר רבים מוצאים בפתרון בעיות מתמטיות.
מרבית הסימונים המתמטיים שבשימוש כיום הומצאו רק במאה ה-16 ואילך.
לפני כן, המתמטיקה נכתבה במלים ולא בסימנים - תהליך איטי שהגביל את היכולת המתמטית של בני אותן תקופות.
לאונרד אוילר המציא, במאה ה-18, רבים מהסימנים שבשימוש כיום.
הסימון המתמטי המודרני הופך את העיסוק במתמטיקה נוח ביותר למקצוענים, אך מתחילים מוצאים אותו מרתיע לעתים.
הסימון המתמטי "דחוס" מאוד: ניתן להביע באמצעותו מידע רב מאוד תוך שימוש במספר מועט של סמלים.
בדומה לתיווי מוזיקלי, גם לתיווי המתמטי המודרני תחביר מדויק ונוקשה, והוא מקודד מידע שיהיה קשה לכתבו בכל צורה אחרת.
גם השפה המתמטית עשויה להיות קשה להבנה למתחילים.
למילים כגון "או" יש משמעות מדויקת, ולעתים שונה, מבלשון היומיומית.
בנוסף, מלים כגון "פתוח" ו"שדה" קיבלו משמעות מתמטית מיוחדת.
הז'רגון המתמטי כולל מונחים טכניים חדשים רבים, כגון הומיאומורפיזם ואינטגרביליות.
ישנה סיבה לכל הסימונים והמונחים המיוחדים: המתמטיקה דורשת דיוק רב בהרבה מלשון היום-יום.
המתמטיקאים קוראים לרמת הדיוק הזו בשפה "ריגורוזיות".
ריגורוזיוּ‏ת היא מרכיב יסודי בכל הוכחה מתמטית.
המתמטיקאים מעוניינים שהמשפטים שהם מנסחים ינבעו מאקסיומות באמצעות הסקת מסקנות שיטתית.
רק כך ניתן להימנע מ"משפטים" שגויים, המבוססים על אינטואיציה בלבד, שכמותם הופיעו רבים במהלך ההיסטוריה המתמטית.
רמת הריגורוזיות המקובלת אצל המתמטיקאים השתנתה במשך ההיסטוריה.
היוונים, שטיפלו בעיקר ביצורים גאומטריים קונקרטיים, דרשו טיעונים מפורטים.
בתקופתו של אייזק ניוטון היה מקובל להשתמש בשיטות פחות קפדניות, וגם ההגדרות שנתנו ניוטון ולייבניץ למושגי היסוד של האנליזה, כמו הגבול של סדרה, לא היו מדוקדקים די הצורך בסטנדרטים מודרניים.
אוגוסטן לואי קושי קבע שהמספר L ייקרא גבול של הסדרה , אם לכל מספר חיובי קיים מספר טבעי n0, כך שלכל מספר טבעי n הגדול ממנו, המרחק בין an ל-L קטן מ-.
הגדרה זו אינה נסמכת על מושג האינסוף, על כל הבעיות הפילוסופיות שהוא עשוי לעורר, ומסתפקת בנוסחה מפותלת אך החלטית, שיש בה כמתים.
בעיות מהותיות בהגדרת מושג הפונקציה, שהתעוררו בעיקר סביב עבודתו של פורייה, הובילו לתחייה המחודשת של ניתוח מדוקדק והוכחות פורמליות במאה ה-19.
גם כיום, המתמטיקאים ממשיכים להתווכח בינם לבין עצמם בנוגע להוכחות מתמטיות באמצעות מחשב.
חישובים בהיקף גדול קשים לאימות, ולכן יש הטוענים כי הוכחות כאלה אינן ריגורוזיוֹ‏ת מספיק.
בהשקפת העולם המסורתית, אקסיומות היו "אמיתות מובנות מאליהן", אך תפיסה זו היא בעייתית.
במישור הפורמלי, אקסיומה היא שרשרת של סמלים, המקבלת משמעות רק בהקשר של נוסחאות הנגזרות ממערכת אקסיומטית.
מטרתה של תוכנית הילברט הייתה לבסס את כל המתמטיקה על בסיס אקסיומטי מוצק, אך לפי משפטי האי שלמות של גדל בכל מערכת אקסיומטית חזקה מספיק קיימים משפטים שלא ניתן להוכיחם, ולכן אקסיומטיזציה כפי שהציע אותה הילברט אינה אפשרית.
למרות זאת, לעתים קרובות מדברים על המתמטיקה, בכל הנוגע לתוכן הפורמלי שלה, כעל אקסיומטיזציה של תורת הקבוצות ותו לא - במובן שבו כל טענה מתמטית ניתנת לייצוג על ידי נוסחאות בתחום תורת הקבוצות.
אחת מדרישות הריגורוזיות היא הסתמכות על דדוקציה ולא על אינדוקציה.
בניגוד למדעי הטבע, בהם הסקת מסקנות מכמות גדולה של מקרים פרטיים אל הכלל מתקבלת כראייה מספקת לנכונותה של טענה, במתמטיקה נדרשות הוכחות ש"לוכדות את האינסוף" ולא רק מספר סופי של מספרים, גדול ככל שיהיה.
דרישה זו יכולה להיראות קנטרנית, אך במהלך ההיסטוריה התברר שהיא הכרחית.
לדוגמה, משפט המספרים הראשוניים, שמספק את הקירוב למספר הראשוניים הקטנים מ-x.
(היחס בין ערך זה לבין הפונקציה , x מחולק בלוגריתם הטבעי שלו, שואף ל-1).
הערכה זו מפריזה במספר הראשוניים לכל ערך שעבורו היא נבדקה, אך ג'ון אדנזור ליטלווד הראה שבשלב כלשהו הנוסחה תמעיט בכמות המספרים הראשוניים.
משום כך השערות חשובות כמו המשפט האחרון של פרמה והשערת רימן נשארו פתוחות במשך שנים רבות (האחרונה עד היום), למרות שנמצאו להן ראיות, באמצעות מחשבי על, התקפות למספרים רבים.

End of preview. Expand in Data Studio

No dataset card yet

Downloads last month: 3