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1 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um modelo econômico de insumo-produto, a matriz tecnológica A = [[1, 2], [2, 2]] representa as relações entre dois setores da economia. Determine a matriz inversa A⁻¹ e explique seu significado no contexto do modelo. | A matriz inversa é A⁻¹ = [[-1, 1], [1, -0,5000]], com determinante det(A) = -2. | Para uma matriz 2×2 A = [[a, b], [c, d]], a inversa existe se e somente se det(A) = ad − bc ≠ 0. Aqui, det(A) = 1·2 − 2·2 = -2 ≠ 0, portanto A é inversível. A fórmula da inversa é A⁻¹ = (1/det(A)) · [[d, −b], [−c, a]] = (1/-2) · [[2, −2], [−2, 1]] = [[-1, 1], [1, -0,5000]]. No modelo insumo-produto de Leontief, a inver... |
2 | Estatística | Superior | Desafiador | Um teste diagnóstico para uma doença que afeta 2% da população tem sensibilidade de 98% (probabilidade de positivo dado que o paciente está doente) e especificidade de 98% (probabilidade de negativo dado que o paciente está saudável). Se um paciente recebe resultado positivo, qual a probabilidade de ele estar realmente... | A probabilidade de o paciente estar doente dado resultado positivo é 50%. | Aplicamos o Teorema de Bayes: P(D|+) = P(+|D)·P(D) / P(+), onde P(+) = P(+|D)·P(D) + P(+|¬D)·P(¬D). Temos: P(+|D) = 0.98 (sensibilidade), P(D) = 0.02 (prevalência), P(+|¬D) = 1 − 0.98 = 0,02 (1 − especificidade), P(¬D) = 0,98. Logo, P(D|+) = (0.98·0.02) / (0.98·0.02 + 0,02·0,98) = 0,019600 / (0,019600 + 0,019600) = 0,0... |
3 | Geometria | Superior | Desafiador | Em um projeto de urbanismo, uma avenida será construída segundo a reta 5x − 3y + 6 = 0 (coordenadas em quilômetros a partir do marco zero da cidade). Um edifício histórico está localizado no ponto P(2, 2). Determine a menor distância do edifício à avenida e avalie se o projeto atende à legislação que exige afastamento ... | A menor distância do ponto P(2, 2) à reta é 1,7150 km. Portanto, o projeto atende à legislação de afastamento mínimo de 0,5 km. | A distância de um ponto P(x₀, y₀) a uma reta ax + by + c = 0 é dada por d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²). Substituindo os valores da reta 5x − 3y + 6 = 0 e do ponto P(2, 2): d = |5·2 − 3·2 + 6| / √(5² + 9) = |10 − 6 + 6| / √(25 + 9) = |4 + 6| / 5,8310 = |10| / 5,8310 = 1,7150 km. A fórmula decorre da projeção ortogon... |
4 | Aritmética | Superior | Desafiador | Uma família financiou um terreno para construção no valor de R$ 250.000,00 pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), com taxa de 1,50% ao mês e prazo de 180 meses. Calcule o valor da primeira prestação, da última prestação e justifique por que as prestações decrescem ao longo do tempo. | Primeira prestação: R$ 5.138,89. Última prestação: R$ 1.409,72. As prestações decrescem porque a amortização é constante (R$ 1.388,89), mas os juros diminuem a cada mês porque incidem sobre um saldo devedor cada vez menor. | No SAC, a amortização mensal é constante: A = R$ 250.000,00 / 180 = R$ 1.388,89. Os juros de cada prestação são calculados sobre o saldo devedor remanescente: J = saldo × i. Na primeira prestação, o saldo é igual ao valor financiado, logo J₁ = R$ 250.000,00 × 0,01 = R$ 3.750,00 e a prestação P₁ = A + J₁ = R$ 1.388,89 +... |
5 | Estatística | Superior | Desafiador | Uma fábrica afirma que a vida útil média de suas lâmpadas é de 150 horas. Uma amostra de 50 lâmpadas apresentou média de 155 horas com desvio padrão de 12 horas. Ao nível de significância de 5%, teste a hipótese nula H₀: μ = 150 contra H₁: μ ≠ 150 e conclua se há evidência para refutar a afirmação da fábrica. | Estatística de teste Z = 2,9463. Como |Z| excede o valor crítico 1,96, rejeitamos H₀ ao nível de 5% de significância. | Sob H₀: μ = 150, a estatística de teste é Z = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (155 − 150)/(12/√50) = 5/1,6971 = 2,9463. Para um teste bilateral ao nível de 5%, os valores críticos são ±1,96. Como |Z| = 2,9463 > 1,96, rejeitamos H₀. Há evidência estatística de que a vida útil média difere de 150 horas, contradizendo a afirmação da f... |
6 | Álgebra | Superior | Desafiador | O lucro mensal (em milhares de reais) de uma empresa que vende um serviço é modelado pela função L(x) = -2x² + 70x + 172, onde x representa a quantidade vendida em centenas de unidades. Determine a quantidade que maximiza o lucro e o valor do lucro máximo obtido. | A quantidade que maximiza o lucro é 17,50 centenas de unidades (ou 1750 unidades), e o lucro máximo corresponde a 784,50 milhares de reais (≈ R$ 784.500,00). | A função L(x) = -2x² + 70x + 172 é uma parábola com concavidade voltada para baixo (a = -2 < 0), portanto admite ponto de máximo no vértice. A abscissa do vértice é x_v = −b/(2a) = −70/(2·(-2)) = 17,5000. Substituindo na função: L(17,50) = -2·(17,50)² + 70·17,50 + 172 = -612,5000 + 1225 + 172 = 784,5000 milhares de rea... |
7 | Geometria | Superior | Desafiador | Em um armazém logístico, uma caixa em formato de paralelepípedo retângulo tem dimensões 5 m × 6 m × 11 m. Determine o comprimento da diagonal espacial da caixa e avalie se ela pode ser transportada por uma esteira cuja largura útil é de 16 m. | A diagonal espacial mede 13,4907 m. A caixa pode ser transportada pela esteira, considerando folga de 2 m. | A diagonal espacial de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b, c é dada por d = √(a² + b² + c²), generalização do Teorema de Pitágoras para três dimensões. Substituindo: d = √(5² + 6² + 11²) = √(25 + 36 + 121) = √182 = 13,4907 m. Como a diagonal (13,4907 m) somada à folga de 2 m resulta em 15,4907 m, e a esteira... |
8 | Estatística | Superior | Desafiador | As notas de um vestibular seguem uma distribuição normal com média 150 e desvio padrão 5. Um estudante deseja saber a probabilidade de tirar uma nota superior a 145. Utilize a padronização Z e a tabela da normal padrão para responder. | A probabilidade de um estudante tirar nota superior a 145 é aproximadamente 84,13%. | Para calcular P(X > 145) numa normal com μ = 150 e σ = 5, padronizamos: Z = (X − μ)/σ = (145 − 150)/5 = -1.0/5 = -1. Assim, P(X > 145) = P(Z > -1) = 1 − Φ(-1), onde Φ é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Consultando a tabela padrão (ou usando Φ(z) = 0,5·[1 + erf(z/√2)]), obtemos Φ(-1) ≈ 0,1587, logo P... |
9 | Geometria | Superior | Desafiador | Um radar de tráfego aéreo tem alcance circular centrado na estação de controle localizada em (-5, -5) km, com raio de 10 km. Determine a equação geral da circunferência que descreve a área de cobertura do radar e verifique se uma aeronave em voo na posição (0, -4) está dentro da zona monitorada. | A equação da circunferência é (x − -5)² + (y − -5)² = 100, ou na forma geral x² + y² + 10x + 10y − 50 = 0. A aeronave em (0, -4) está dentro da zona monitorada. | A equação reduzida da circunferência com centro (h, k) e raio r é (x − h)² + (y − k)² = r². Substituindo h = -5, k = -5 e r = 10: (x − -5)² + (y − -5)² = 100. Expandindo: x² + 10x + 25 + y² + 10y + 25 = 100, logo a forma geral é x² + y² + 10x + 10y − 50 = 0. Para verificar se o ponto (0, -4) está na região monitorada... |
10 | Estatística | Superior | Desafiador | Um estudo de econometria ajustou um modelo de regressão linear simples entre o investimento em publicidad (x, em milhares de reais) e as vendas (y, em milhares de unidades), obtendo a equação ŷ = 20 + 1,5·x, com coeficiente de determinação R² = 0.85, baseado em 50 observações. Estime as vendas esperadas quando o invest... | As vendas esperadas para um investimento de 12 mil reais são 38 mil unidades. O R² = 0.85 indica que 85% da variação nas vendas é explicada pela variação no investimento em publicidade. | No modelo de regressão linear simples ŷ = a + b·x, o valor predito para x = 12 é ŷ = 20 + 1,5·12 = 20 + 18 = 38 mil unidades. O coeficiente angular b = 1,5 indica que, para cada mil real adicional investido em publicidade, as vendas aumentam em média 1,5 mil unidades. O coeficiente de determinação R² = 0.85 mede a prop... |
11 | Geometria | Superior | Desafiador | Em uma simulação de robótica, dois braços articulados são representados pelos vetores u⃗ = (2, 1) e v⃗ = (2, -1), em unidades cartesianas. Determine o ângulo entre os dois vetores utilizando o produto escalar e classifique a orientação relativa dos braços. | O ângulo entre os vetores é aproximadamente 53,13°, portanto os braços são convergentes (ângulo agudo). | O produto escalar de u⃗ = (2, 1) e v⃗ = (2, -1) é u⃗·v⃗ = 2·2 + 1·-1 = 3. As normas são ‖u⃗‖ = √(2² + 1²) = √5 = 2,2361 e ‖v⃗‖ = √(2² + 1²) = √5 = 2,2361. A relação fundamental é u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖·‖v⃗‖·cos(θ), logo cos(θ) = 3/(2,2361·2,2361) = 0,6000. Aplicando o arco cosseno: θ = arccos(0,6000) ≈ 53,13°. Como cos(θ) > 0, o... |
12 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um laboratório de física nuclear, uma amostra radioativa contém inicialmente 100 g de um isótopo cuja meia-vida é de 15 anos. Determine a massa restante após 45 anos e a constante de decaimento do isótopo. | Após 45 anos, restam aproximadamente 12,50 g do isótopo. A constante de decaimento é k = 0,046210 por ano. | O decaimento radioativo segue a lei exponencial M(t) = M₀·e^(−kt), onde k é a constante de decaimento. A meia-vida t_0.5 relaciona-se com k por t_0.5 = ln(2)/k, logo k = ln(2)/15 = 0,693147/15 = 0,046210 por ano. Após t = 45 anos, a massa remanescente é M(45) = 100·e^(−0,046210·45) = 100·e^(−2,0794) = 100·0,125000 ≈ 12... |
13 | Geometria | Superior | Desafiador | Um radar de tráfego aéreo tem alcance circular centrado na estação de controle localizada em (-5, -1) km, com raio de 7 km. Determine a equação geral da circunferência que descreve a área de cobertura do radar e verifique se uma aeronave em voo na posição (-2, 0) está dentro da zona monitorada. | A equação da circunferência é (x − -5)² + (y − -1)² = 49, ou na forma geral x² + y² + 10x + 2y − 23 = 0. A aeronave em (-2, 0) está dentro da zona monitorada. | A equação reduzida da circunferência com centro (h, k) e raio r é (x − h)² + (y − k)² = r². Substituindo h = -5, k = -1 e r = 7: (x − -5)² + (y − -1)² = 49. Expandindo: x² + 10x + 25 + y² + 2y + 1 = 49, logo a forma geral é x² + y² + 10x + 2y − 23 = 0. Para verificar se o ponto (-2, 0) está na região monitorada, calc... |
14 | Aritmética | Superior | Desafiador | Em um esquema simplificado de criptografia RSA, uma mensagem representada pelo número 133 deve ser criptografada usando a chave pública (n=437, e=17), onde n é produto de dois primos distintos e e é o expoente público. Sabendo que a função totiente de Euler φ(n) = 396, determine a mensagem criptografada e justifique o ... | A mensagem criptografada é 399. A chave privada é d = 233, calculada como o inverso multiplicativo de e módulo φ(n), ou seja, 17·233 ≡ 1 (mod 396). | No RSA, a criptografia é feita por C ≡ M^e (mod n), onde M é a mensagem. Assim, C = 133^17 mod 437 = 399. A chave privada d deve satisfazer a congruência e·d ≡ 1 (mod φ(n)), ou seja, d é o inverso multiplicativo de e módulo φ(n) = 396. Calculando pelo Algoritmo de Euclides Estendido: d = 233, pois 17·233 = 3961 e 3961 ... |
15 | Geometria | Superior | Desafiador | Em um armazém logístico, uma caixa em formato de paralelepípedo retângulo tem dimensões 9 m × 4 m × 8 m. Determine o comprimento da diagonal espacial da caixa e avalie se ela pode ser transportada por uma esteira cuja largura útil é de 15 m. | A diagonal espacial mede 12,6886 m. A caixa pode ser transportada pela esteira, considerando folga de 2 m. | A diagonal espacial de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b, c é dada por d = √(a² + b² + c²), generalização do Teorema de Pitágoras para três dimensões. Substituindo: d = √(9² + 4² + 8²) = √(81 + 16 + 64) = √161 = 12,6886 m. Como a diagonal (12,6886 m) somada à folga de 2 m resulta em 14,6886 m, e a esteira t... |
16 | Aritmética | Superior | Desafiador | Uma empresa de logística precisa distribuir peças de dois modelos diferentes, sendo 70 unidades do primeiro tipo e 329 unidades do segundo tipo, para seus lojas de modo que cada loja receba quantidades iguais de cada modelo. Determine o número máximo de lojas que poderão ser atendidas simultaneamente e quantas unidades... | O número máximo de lojas é 7. Cada uma receberá 10 unidades do primeiro tipo e 47 unidades do segundo tipo. | O problema consiste em encontrar o máximo divisor comum (MDC) de 70 e 329, pois o número de destinatários deve dividir simultaneamente ambas as quantidades sem deixar resto. Aplicando o Algoritmo de Euclides: MDC(70, 329) = 7. Verificando: 70 / 7 = 10 (exato) e 329 / 7 = 47 (exato). Portanto, é possível atender exatame... |
17 | Aritmética | Superior | Desafiador | Para montar uma estrutura metálica, 15 operários trabalhando 10 horas por dia concluem o serviço em 25 dias. Se a equipe for aumentada para 30 operários e a jornada diária reduzida para 8 horas, em quantos dias a obra será concluída, mantendo o mesmo rendimento por operário? | A obra será concluída em 15,6 dias com a nova configuração da equipe. | A quantidade total de trabalho é proporcional ao produto operários × dias × horas/dia. Calculamos o trabalho total: T = 15 × 25 × 10 = 3750 homem-hora. Como o trabalho é o mesmo, 30 × d₂ × 8 = 3750, donde d₂ = 3750 / (30 × 8) = 3750 / 240 ≈ 15,62 dias. O aumento do número de operários (15 → 30) e a manutenção ou reduçã... |
18 | Álgebra | Superior | Desafiador | Uma empresa registou, em seu primeiro período, R$ 3.016,00 de arrecadação de impostos em uma cidade. Esse valor aumenta em R$ 788,00 a cada anos subsequente, formando uma progressão aritmética. Calcule o valor registrado no 20º período e o total acumulado até essa data. | O valor no 20º período será R$ 17.988,00 e o total acumulado ao longo dos 20 períodos é R$ 210.040,00. | Trata-se de uma progressão aritmética (PA) de primeiro termo a₁ = 3016 e razão r = 788. O termo geral da PA é a_n = a₁ + (n − 1)·r = 3016 + (20−1)·788 = 3016 + 14972 = 17988. A soma dos n primeiros termos é dada por S_n = n·(a₁ + a_n)/2 = 20·(3016 + 17988)/2 = 20·21004/2 = 210040.0. Essa fórmula decorre do pareamento s... |
19 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um laboratório de física nuclear, uma amostra radioativa contém inicialmente 100 g de um isótopo cuja meia-vida é de 30 anos. Determine a massa restante após 120 anos e a constante de decaimento do isótopo. | Após 120 anos, restam aproximadamente 6,25 g do isótopo. A constante de decaimento é k = 0,023105 por ano. | O decaimento radioativo segue a lei exponencial M(t) = M₀·e^(−kt), onde k é a constante de decaimento. A meia-vida t_0.5 relaciona-se com k por t_0.5 = ln(2)/k, logo k = ln(2)/30 = 0,693147/30 = 0,023105 por ano. Após t = 120 anos, a massa remanescente é M(120) = 100·e^(−0,023105·120) = 100·e^(−2,7726) = 100·0,062500 ≈... |
20 | Estatística | Superior | Desafiador | Em um processo de controle de qualidade, sabe-se que 50% das peças produzidas por uma máquina apresentam defeito. Em uma amostra de 10 peças, qual a probabilidade de exatamente 6 apresentarem defeito? Determine também a esperança e a variância do número de peças defeituosas. | A probabilidade de exatamente 6 peças defeituosas é 20,5078%. A esperança é 5 peças e a variância é 2,5000. | A variável X = número de peças defeituosas em 10 ensaios independentes, com probabilidade constante p = 0.5, segue distribuição binomial B(10, 0.5). A função de probabilidade é P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k), onde C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!) é o coeficiente binomial. Para k = 6: P(X = 6) = C(10,6)·0.5^6·0,50^4 = 210·0,0... |
21 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um sistema de geoprocessamento, um terreno triangular é delimitado pelos vértices A(0, 0), B(10, 5) e C(4, 4), em coordenadas UTM (km). Utilize o determinante para calcular a área do terreno em hectares (1 km² = 100 ha). | A área do terreno é 10 km², equivalente a 1000 hectares. | A área de um triângulo com vértices A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) e C(x₃,y₃) pode ser calculada por Área = |det(M)|/2, onde M = [[x₁, y₁, 1], [x₂, y₂, 1], [x₃, y₃, 1]]. Substituindo: M = [[0, 0, 1], [10, 5, 1], [4, 4, 1]] e det(M) = 0·(5−4) − 0·(10−4) + 1·(10·4 − 5·4) = 20. Portanto, Área = |20|/2 = 10.0 km². Convertendo para hec... |
22 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um modelo econômico de insumo-produto, a matriz tecnológica A = [[1, 4], [1, 2]] representa as relações entre dois setores da economia. Determine a matriz inversa A⁻¹ e explique seu significado no contexto do modelo. | A matriz inversa é A⁻¹ = [[-1, 2], [0,5000, -0,5000]], com determinante det(A) = -2. | Para uma matriz 2×2 A = [[a, b], [c, d]], a inversa existe se e somente se det(A) = ad − bc ≠ 0. Aqui, det(A) = 1·2 − 4·1 = -2 ≠ 0, portanto A é inversível. A fórmula da inversa é A⁻¹ = (1/det(A)) · [[d, −b], [−c, a]] = (1/-2) · [[2, −4], [−1, 1]] = [[-1, 2], [0,5000, -0,5000]]. No modelo insumo-produto de Leontief, a ... |
23 | Estatística | Superior | Desafiador | Em um processo de controle de qualidade, sabe-se que 30% das peças produzidas por uma máquina apresentam defeito. Em uma amostra de 25 peças, qual a probabilidade de exatamente 3 apresentarem defeito? Determine também a esperança e a variância do número de peças defeituosas. | A probabilidade de exatamente 3 peças defeituosas é 2,4280%. A esperança é 7,50 peças e a variância é 5,2500. | A variável X = número de peças defeituosas em 25 ensaios independentes, com probabilidade constante p = 0.3, segue distribuição binomial B(25, 0.3). A função de probabilidade é P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k), onde C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!) é o coeficiente binomial. Para k = 3: P(X = 3) = C(25,3)·0.3^3·0,70^22 = 2300·0... |
24 | Álgebra | Superior | Desafiador | O lucro mensal (em milhares de reais) de uma empresa que vende um produto eletrônico é modelado pela função L(x) = -1x² + 24x + 179, onde x representa a quantidade vendida em centenas de unidades. Determine a quantidade que maximiza o lucro e o valor do lucro máximo obtido. | A quantidade que maximiza o lucro é 12 centenas de unidades (ou 1200 unidades), e o lucro máximo corresponde a 323 milhares de reais (≈ R$ 323.000,00). | A função L(x) = -1x² + 24x + 179 é uma parábola com concavidade voltada para baixo (a = -1 < 0), portanto admite ponto de máximo no vértice. A abscissa do vértice é x_v = −b/(2a) = −24/(2·(-1)) = 12. Substituindo na função: L(12) = -1·(12)² + 24·12 + 179 = -144 + 288 + 179 = 323 milhares de reais. Esse resultado também... |
25 | Estatística | Superior | Desafiador | Um estudo de econometria ajustou um modelo de regressão linear simples entre o investimento em publicidad (x, em milhares de reais) e as vendas (y, em milhares de unidades), obtendo a equação ŷ = 40 + 2·x, com coeficiente de determinação R² = 0.95, baseado em 30 observações. Estime as vendas esperadas quando o investim... | As vendas esperadas para um investimento de 12 mil reais são 64 mil unidades. O R² = 0.95 indica que 95% da variação nas vendas é explicada pela variação no investimento em publicidade. | No modelo de regressão linear simples ŷ = a + b·x, o valor predito para x = 12 é ŷ = 40 + 2·12 = 40 + 24 = 64 mil unidades. O coeficiente angular b = 2 indica que, para cada mil real adicional investido em publicidade, as vendas aumentam em média 2 mil unidades. O coeficiente de determinação R² = 0.95 mede a proporção ... |
26 | Geometria | Superior | Desafiador | Em uma simulação de robótica, dois braços articulados são representados pelos vetores u⃗ = (-1, -2) e v⃗ = (-5, -4), em unidades cartesianas. Determine o ângulo entre os dois vetores utilizando o produto escalar e classifique a orientação relativa dos braços. | O ângulo entre os vetores é aproximadamente 24,78°, portanto os braços são convergentes (ângulo agudo). | O produto escalar de u⃗ = (-1, -2) e v⃗ = (-5, -4) é u⃗·v⃗ = -1·-5 + -2·-4 = 13. As normas são ‖u⃗‖ = √(-1² + -2²) = √5 = 2,2361 e ‖v⃗‖ = √(5² + 4²) = √41 = 6,4031. A relação fundamental é u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖·‖v⃗‖·cos(θ), logo cos(θ) = 13/(2,2361·6,4031) = 0,9080. Aplicando o arco cosseno: θ = arccos(0,9080) ≈ 24,78°. Como co... |
27 | Geometria | Superior | Desafiador | Um radar de tráfego aéreo tem alcance circular centrado na estação de controle localizada em (1, 4) km, com raio de 6 km. Determine a equação geral da circunferência que descreve a área de cobertura do radar e verifique se uma aeronave em voo na posição (4, 5) está dentro da zona monitorada. | A equação da circunferência é (x − 1)² + (y − 4)² = 36, ou na forma geral x² + y² − 2x − 8y − 19 = 0. A aeronave em (4, 5) está dentro da zona monitorada. | A equação reduzida da circunferência com centro (h, k) e raio r é (x − h)² + (y − k)² = r². Substituindo h = 1, k = 4 e r = 6: (x − 1)² + (y − 4)² = 36. Expandindo: x² − 2x + 1 + y² − 8y + 16 = 36, logo a forma geral é x² + y² − 2x − 8y − 19 = 0. Para verificar se o ponto (4, 5) está na região monitorada, calculamos ... |
28 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um modelo econômico de insumo-produto, a matriz tecnológica A = [[2, 2], [1, 4]] representa as relações entre dois setores da economia. Determine a matriz inversa A⁻¹ e explique seu significado no contexto do modelo. | A matriz inversa é A⁻¹ = [[0,6667, -0,3333], [-0,1667, 0,3333]], com determinante det(A) = 6. | Para uma matriz 2×2 A = [[a, b], [c, d]], a inversa existe se e somente se det(A) = ad − bc ≠ 0. Aqui, det(A) = 2·4 − 2·1 = 6 ≠ 0, portanto A é inversível. A fórmula da inversa é A⁻¹ = (1/det(A)) · [[d, −b], [−c, a]] = (1/6) · [[4, −2], [−1, 2]] = [[0,6667, -0,3333], [-0,1667, 0,3333]]. No modelo insumo-produto de Leon... |
29 | Geometria | Superior | Desafiador | Em uma simulação de robótica, dois braços articulados são representados pelos vetores u⃗ = (0, 2) e v⃗ = (-1, -2), em unidades cartesianas. Determine o ângulo entre os dois vetores utilizando o produto escalar e classifique a orientação relativa dos braços. | O ângulo entre os vetores é aproximadamente 153,43°, portanto os braços são divergentes (ângulo obtuso). | O produto escalar de u⃗ = (0, 2) e v⃗ = (-1, -2) é u⃗·v⃗ = 0·-1 + 2·-2 = -4. As normas são ‖u⃗‖ = √(0² + 2²) = √4 = 2 e ‖v⃗‖ = √(1² + 2²) = √5 = 2,2361. A relação fundamental é u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖·‖v⃗‖·cos(θ), logo cos(θ) = -4/(2·2,2361) = -0,8944. Aplicando o arco cosseno: θ = arccos(-0,8944) ≈ 153,43°. Como cos(θ) < 0, os v... |
30 | Estatística | Superior | Desafiador | As notas de um vestibular seguem uma distribuição normal com média 150 e desvio padrão 12. Um estudante deseja saber a probabilidade de tirar uma nota superior a 126. Utilize a padronização Z e a tabela da normal padrão para responder. | A probabilidade de um estudante tirar nota superior a 126 é aproximadamente 97,72%. | Para calcular P(X > 126) numa normal com μ = 150 e σ = 12, padronizamos: Z = (X − μ)/σ = (126 − 150)/12 = -2.0/12 = -2. Assim, P(X > 126) = P(Z > -2) = 1 − Φ(-2), onde Φ é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Consultando a tabela padrão (ou usando Φ(z) = 0,5·[1 + erf(z/√2)]), obtemos Φ(-2) ≈ 0,0228, log... |
31 | Álgebra | Superior | Desafiador | Uma loja comercializa três produtos: camisetas, calças e jaquetas. Sabe-se que: (i) a venda de 1 camisetas, 1 calças e 2 jaquetas totaliza R$ 487,00; (ii) 2 camisetas, 1 calças e 3 jaquetas totalizam R$ 809,00; (iii) 1 camisetas, 2 calças e 1 jaquetas totalizam R$ 450,00. Determine o preço unitário de cada produto reso... | Preços: camisetas = R$ 221,00, calças = R$ 64,00, jaquetas = R$ 101,00. | Montamos o sistema linear AX = B, onde A é a matriz dos coeficientes, X = [camisetas, calças, jaquetas]^T e B = [487, 809, 450]^T. Pela Regra de Cramer, x_i = det(A_i) / det(A), onde A_i é a matriz A com a coluna i substituída por B. Calculando os determinantes: det(A) = 2, e analogamente para det(A_1), det(A_2) e det(... |
32 | Aritmética | Superior | Desafiador | Em 10 anos, um município litorâneo terá sua população projetada crescer a uma taxa geométrica anual de 3%. Se a população atual é de 50.000 habitantes, estime a população ao final desse período e determine em quantos anos ela dobrará em relação ao valor atual. | A população projetada após 10 anos será de aproximadamente 67.196 habitantes. e o tempo necessário para duplicar a população atual é de aproximadamente 23.4 anos. | O crescimento populacional segue uma progressão geométrica de razão q = 1 + 0,03 = 1,03. O termo geral é P_n = P_0 · q^n = 50000 · 1,03^10 ≈ 67196. Para determinar o tempo de duplicação, igualamos P_n = 2·P_0, ou seja, (1 + 0,03)^n = 2. Aplicando logaritmo natural: n = ln(2) / ln(1 + 0,03) = 0,693147 / 0,029559 ≈ 23,45... |
33 | Estatística | Superior | Desafiador | Uma pesquisa de mercado avaliou o tempo médio (em minutos) que 100 consumidores passam em um aplicativo de delivery, obtendo média amostral de 60 minutos e desvio padrão amostral de 15 minutos. Construa um intervalo de confiança de 95% para a verdadeira média populacional e interprete o resultado. | O intervalo de confiança de 95% para a média populacional é (57,06, 62,94) minutos. | Para amostras grandes (n ≥ 30), usamos a aproximação normal pelo Teorema Central do Limite. O intervalo de confiança é IC = x̄ ± z·(s/√n), onde z = 1,96 para 95% de confiança. Calculando o erro padrão: EP = s/√n = 15/√100 = 15/10 = 1,5000. Erro = 1,96·1,5000 = 2,9400. Portanto, IC = 60 ± 2,94 = (57,06, 62,94) minutos. ... |
34 | Aritmética | Superior | Desafiador | Em um esquema simplificado de criptografia RSA, uma mensagem representada pelo número 68 deve ser criptografada usando a chave pública (n=187, e=23), onde n é produto de dois primos distintos e e é o expoente público. Sabendo que a função totiente de Euler φ(n) = 160, determine a mensagem criptografada e justifique o c... | A mensagem criptografada é 85. A chave privada é d = 7, calculada como o inverso multiplicativo de e módulo φ(n), ou seja, 23·7 ≡ 1 (mod 160). | No RSA, a criptografia é feita por C ≡ M^e (mod n), onde M é a mensagem. Assim, C = 68^23 mod 187 = 85. A chave privada d deve satisfazer a congruência e·d ≡ 1 (mod φ(n)), ou seja, d é o inverso multiplicativo de e módulo φ(n) = 160. Calculando pelo Algoritmo de Euclides Estendido: d = 7, pois 23·7 = 161 e 161 mod 160 ... |
35 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um laboratório de física nuclear, uma amostra radioativa contém inicialmente 200 g de um isótopo cuja meia-vida é de 12 anos. Determine a massa restante após 60 anos e a constante de decaimento do isótopo. | Após 60 anos, restam aproximadamente 6,25 g do isótopo. A constante de decaimento é k = 0,057762 por ano. | O decaimento radioativo segue a lei exponencial M(t) = M₀·e^(−kt), onde k é a constante de decaimento. A meia-vida t_0.5 relaciona-se com k por t_0.5 = ln(2)/k, logo k = ln(2)/12 = 0,693147/12 = 0,057762 por ano. Após t = 60 anos, a massa remanescente é M(60) = 200·e^(−0,057762·60) = 200·e^(−3,4657) = 200·0,031250 ≈ 6,... |
36 | Aritmética | Superior | Desafiador | Uma construtora aplicou R$ 120.000,00 em um fundo de investimento que rende 1,20% ao mês em regime de juros compostos. Considerando que o capital permaneça aplicado por 24 meses sem saques nem aportes adicionais, determine o montante final e o valor total de juros auferidos nesse período. | O montante final ao término de 24 meses será de R$ 159.776,74, dos quais R$ 39.776,74 correspondem aos juros compostos auferidos sobre o capital inicial. | Aplicamos a fórmula dos juros compostos M = C·(1 + i)^n, onde C = R$ 120.000,00, i = 1,20% = 0,01 e n = 24. O fator de capitalização (1 + 0,01)^24 = 1,331473. Multiplicando pelo capital: M = R$ 120.000,00 × 1,331473 = R$ 159.776,74. Os juros são J = M − C = R$ 159.776,74 − R$ 120.000,00 = R$ 39.776,74. Observa-se o efe... |
37 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em uma análise de componentes principais (PCA), a matriz de covariância de duas variáveis aleatórias é dada por A = [[4, 1], [1, 5]]. Determine os autovalores dessa matriz e interprete qual direção explica maior variância dos dados. | Os autovalores são λ₁ = 5,6180 e λ₂ = 3,3820. A direção associada a λ₁ = 5,6180 explica maior variância, pois corresponde ao maior autovalor. | Os autovalores de uma matriz A são as raízes do polinômio característico p(λ) = det(A − λI). Para A = [[4, 1], [1, 5]], temos p(λ) = (4−λ)(5−λ) − 1² = λ² − 9λ + 19. Aplicando a fórmula quadrática: λ = (9 ± √(9² − 4·19)) / 2 = (9 ± √5) / 2. Logo, λ₁ = 5,6180 e λ₂ = 3,3820. Como a matriz é simétrica, os autovalores são r... |
38 | Geometria | Superior | Desafiador | Em um projeto de urbanismo, uma avenida será construída segundo a reta 2x + 2y − 6 = 0 (coordenadas em quilômetros a partir do marco zero da cidade). Um edifício histórico está localizado no ponto P(1, 5). Determine a menor distância do edifício à avenida e avalie se o projeto atende à legislação que exige afastamento ... | A menor distância do ponto P(1, 5) à reta é 2,1213 km. Portanto, o projeto atende à legislação de afastamento mínimo de 0,5 km. | A distância de um ponto P(x₀, y₀) a uma reta ax + by + c = 0 é dada por d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²). Substituindo os valores da reta 2x + 2y − 6 = 0 e do ponto P(1, 5): d = |2·1 + 2·5 − 6| / √(2² + 4) = |2 + 10 − 6| / √(4 + 4) = |12 − 6| / 2,8284 = |6| / 2,8284 = 2,1213 km. A fórmula decorre da projeção ortogona... |
39 | Geometria | Superior | Desafiador | Em um armazém logístico, uma caixa em formato de paralelepípedo retângulo tem dimensões 12 m × 5 m × 4 m. Determine o comprimento da diagonal espacial da caixa e avalie se ela pode ser transportada por uma esteira cuja largura útil é de 16 m. | A diagonal espacial mede 13,6015 m. A caixa pode ser transportada pela esteira, considerando folga de 2 m. | A diagonal espacial de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b, c é dada por d = √(a² + b² + c²), generalização do Teorema de Pitágoras para três dimensões. Substituindo: d = √(12² + 5² + 4²) = √(144 + 25 + 16) = √185 = 13,6015 m. Como a diagonal (13,6015 m) somada à folga de 2 m resulta em 15,6015 m, e a esteira... |
40 | Aritmética | Superior | Desafiador | Uma família financiou uma clínica médica no valor de R$ 600.000,00 pelo Sistema de Amortização Constante (SAC), com taxa de 1,50% ao mês e prazo de 360 meses. Calcule o valor da primeira prestação, da última prestação e justifique por que as prestações decrescem ao longo do tempo. | Primeira prestação: R$ 10.666,67. Última prestação: R$ 1.691,67. As prestações decrescem porque a amortização é constante (R$ 1.666,67), mas os juros diminuem a cada mês porque incidem sobre um saldo devedor cada vez menor. | No SAC, a amortização mensal é constante: A = R$ 600.000,00 / 360 = R$ 1.666,67. Os juros de cada prestação são calculados sobre o saldo devedor remanescente: J = saldo × i. Na primeira prestação, o saldo é igual ao valor financiado, logo J₁ = R$ 600.000,00 × 0,01 = R$ 9.000,00 e a prestação P₁ = A + J₁ = R$ 1.666,67 +... |
41 | Geometria | Superior | Desafiador | Em um projeto de urbanismo, uma avenida será construída segundo a reta 3x − 3y + 8 = 0 (coordenadas em quilômetros a partir do marco zero da cidade). Um edifício histórico está localizado no ponto P(2, -4). Determine a menor distância do edifício à avenida e avalie se o projeto atende à legislação que exige afastamento... | A menor distância do ponto P(2, -4) à reta é 6,1283 km. Portanto, o projeto atende à legislação de afastamento mínimo de 0,5 km. | A distância de um ponto P(x₀, y₀) a uma reta ax + by + c = 0 é dada por d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²). Substituindo os valores da reta 3x − 3y + 8 = 0 e do ponto P(2, -4): d = |3·2 − 3·-4 + 8| / √(3² + 9) = |6 + 12 + 8| / √(9 + 9) = |18 + 8| / 4,2426 = |26| / 4,2426 = 6,1283 km. A fórmula decorre da projeção ortog... |
42 | Aritmética | Superior | Desafiador | Uma indústria têxtil aplicou R$ 750.000,00 em um fundo de investimento que rende 2,50% ao mês em regime de juros compostos. Considerando que o capital permaneça aplicado por 48 meses sem saques nem aportes adicionais, determine o montante final e o valor total de juros auferidos nesse período. | O montante final ao término de 48 meses será de R$ 2.453.617,17, dos quais R$ 1.703.617,17 correspondem aos juros compostos auferidos sobre o capital inicial. | Aplicamos a fórmula dos juros compostos M = C·(1 + i)^n, onde C = R$ 750.000,00, i = 2,50% = 0,03 e n = 48. O fator de capitalização (1 + 0,03)^48 = 3,271490. Multiplicando pelo capital: M = R$ 750.000,00 × 3,271490 = R$ 2.453.617,17. Os juros são J = M − C = R$ 2.453.617,17 − R$ 750.000,00 = R$ 1.703.617,17. Observa-s... |
43 | Geometria | Superior | Desafiador | Em um projeto de urbanismo, uma avenida será construída segundo a reta 4x − 1y + 10 = 0 (coordenadas em quilômetros a partir do marco zero da cidade). Um edifício histórico está localizado no ponto P(2, 3). Determine a menor distância do edifício à avenida e avalie se o projeto atende à legislação que exige afastamento... | A menor distância do ponto P(2, 3) à reta é 3,6380 km. Portanto, o projeto atende à legislação de afastamento mínimo de 0,5 km. | A distância de um ponto P(x₀, y₀) a uma reta ax + by + c = 0 é dada por d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²). Substituindo os valores da reta 4x − 1y + 10 = 0 e do ponto P(2, 3): d = |4·2 − 1·3 + 10| / √(4² + 1) = |8 − 3 + 10| / √(16 + 1) = |5 + 10| / 4,1231 = |15| / 4,1231 = 3,6380 km. A fórmula decorre da projeção orto... |
44 | Geometria | Superior | Desafiador | Em um projeto de urbanismo, uma avenida será construída segundo a reta 2x − 2y + 6 = 0 (coordenadas em quilômetros a partir do marco zero da cidade). Um edifício histórico está localizado no ponto P(1, 4). Determine a menor distância do edifício à avenida e avalie se o projeto atende à legislação que exige afastamento ... | A menor distância do ponto P(1, 4) à reta é 0 km. Portanto, o projeto não atende à legislação de afastamento mínimo de 0,5 km. | A distância de um ponto P(x₀, y₀) a uma reta ax + by + c = 0 é dada por d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²). Substituindo os valores da reta 2x − 2y + 6 = 0 e do ponto P(1, 4): d = |2·1 − 2·4 + 6| / √(2² + 4) = |2 − 8 + 6| / √(4 + 4) = |-6 + 6| / 2,8284 = |0| / 2,8284 = 0 km. A fórmula decorre da projeção ortogonal do v... |
45 | Estatística | Superior | Desafiador | As notas de um vestibular seguem uma distribuição normal com média 200 e desvio padrão 15. Um estudante deseja saber a probabilidade de tirar uma nota superior a 170. Utilize a padronização Z e a tabela da normal padrão para responder. | A probabilidade de um estudante tirar nota superior a 170 é aproximadamente 97,72%. | Para calcular P(X > 170) numa normal com μ = 200 e σ = 15, padronizamos: Z = (X − μ)/σ = (170 − 200)/15 = -2.0/15 = -2. Assim, P(X > 170) = P(Z > -2) = 1 − Φ(-2), onde Φ é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Consultando a tabela padrão (ou usando Φ(z) = 0,5·[1 + erf(z/√2)]), obtemos Φ(-2) ≈ 0,0228, log... |
46 | Estatística | Superior | Desafiador | Um estudo de econometria ajustou um modelo de regressão linear simples entre o investimento em publicidad (x, em milhares de reais) e as vendas (y, em milhares de unidades), obtendo a equação ŷ = 40 + 2·x, com coeficiente de determinação R² = 0.9, baseado em 30 observações. Estime as vendas esperadas quando o investime... | As vendas esperadas para um investimento de 10 mil reais são 60 mil unidades. O R² = 0.9 indica que 90% da variação nas vendas é explicada pela variação no investimento em publicidade. | No modelo de regressão linear simples ŷ = a + b·x, o valor predito para x = 10 é ŷ = 40 + 2·10 = 40 + 20 = 60 mil unidades. O coeficiente angular b = 2 indica que, para cada mil real adicional investido em publicidade, as vendas aumentam em média 2 mil unidades. O coeficiente de determinação R² = 0.9 mede a proporção d... |
47 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um laboratório de física nuclear, uma amostra radioativa contém inicialmente 100 g de um isótopo cuja meia-vida é de 12 anos. Determine a massa restante após 60 anos e a constante de decaimento do isótopo. | Após 60 anos, restam aproximadamente 3,13 g do isótopo. A constante de decaimento é k = 0,057762 por ano. | O decaimento radioativo segue a lei exponencial M(t) = M₀·e^(−kt), onde k é a constante de decaimento. A meia-vida t_0.5 relaciona-se com k por t_0.5 = ln(2)/k, logo k = ln(2)/12 = 0,693147/12 = 0,057762 por ano. Após t = 60 anos, a massa remanescente é M(60) = 100·e^(−0,057762·60) = 100·e^(−3,4657) = 100·0,031250 ≈ 3,... |
48 | Estatística | Superior | Desafiador | Um teste diagnóstico para uma doença que afeta 5% da população tem sensibilidade de 90% (probabilidade de positivo dado que o paciente está doente) e especificidade de 90% (probabilidade de negativo dado que o paciente está saudável). Se um paciente recebe resultado positivo, qual a probabilidade de ele estar realmente... | A probabilidade de o paciente estar doente dado resultado positivo é 32,14%. | Aplicamos o Teorema de Bayes: P(D|+) = P(+|D)·P(D) / P(+), onde P(+) = P(+|D)·P(D) + P(+|¬D)·P(¬D). Temos: P(+|D) = 0.9 (sensibilidade), P(D) = 0.05 (prevalência), P(+|¬D) = 1 − 0.9 = 0,10 (1 − especificidade), P(¬D) = 0,95. Logo, P(D|+) = (0.9·0.05) / (0.9·0.05 + 0,10·0,95) = 0,045000 / (0,045000 + 0,095000) = 0,04500... |
49 | Aritmética | Superior | Desafiador | Para montar uma estrutura metálica, 12 operários trabalhando 6 horas por dia concluem o serviço em 40 dias. Se a equipe for aumentada para 20 operários e a jornada diária reduzida para 5 horas, em quantos dias a obra será concluída, mantendo o mesmo rendimento por operário? | A obra será concluída em 28,8 dias com a nova configuração da equipe. | A quantidade total de trabalho é proporcional ao produto operários × dias × horas/dia. Calculamos o trabalho total: T = 12 × 40 × 6 = 2880 homem-hora. Como o trabalho é o mesmo, 20 × d₂ × 5 = 2880, donde d₂ = 2880 / (20 × 5) = 2880 / 100 ≈ 28,80 dias. O aumento do número de operários (12 → 20) e a manutenção ou redução... |
50 | Estatística | Superior | Desafiador | Em um processo de controle de qualidade, sabe-se que 20% das peças produzidas por uma máquina apresentam defeito. Em uma amostra de 15 peças, qual a probabilidade de exatamente 4 apresentarem defeito? Determine também a esperança e a variância do número de peças defeituosas. | A probabilidade de exatamente 4 peças defeituosas é 18,7604%. A esperança é 3 peças e a variância é 2,4000. | A variável X = número de peças defeituosas em 15 ensaios independentes, com probabilidade constante p = 0.2, segue distribuição binomial B(15, 0.2). A função de probabilidade é P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k), onde C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!) é o coeficiente binomial. Para k = 4: P(X = 4) = C(15,4)·0.2^4·0,80^11 = 1365·0... |
51 | Geometria | Superior | Desafiador | Dois topógrafos, distantes 300 metros entre si em terreno plano, observam o topo de um prédio sob ângulos de elevação de 30° e 65°, respectivamente, a partir do mesmo lado da construção. Utilize a Lei dos Senos para determinar a altura do prédio. | A altura do prédio é aproximadamente 136,47 metros. | Sejam A e B os pontos de observação, C o topo do prédio e H o ponto no solo abaixo de C. No triângulo ABC, conhecemos AB = 300 m, ∠A = 30° (ângulo de elevação de A) e ∠B = 180° − 65° = 115° (suplemento do ângulo de elevação em B). O ângulo em C é ∠C = 180° − 30° − 115° = 85°. Pela Lei dos Senos: AC/sen(115°) = AB/sen(8... |
52 | Geometria | Superior | Desafiador | Dois topógrafos, distantes 300 metros entre si em terreno plano, observam o topo de um prédio sob ângulos de elevação de 50° e 45°, respectivamente, a partir do mesmo lado da construção. Utilize a Lei dos Senos para determinar a altura do prédio. | A altura do prédio é aproximadamente 163,12 metros. | Sejam A e B os pontos de observação, C o topo do prédio e H o ponto no solo abaixo de C. No triângulo ABC, conhecemos AB = 300 m, ∠A = 50° (ângulo de elevação de A) e ∠B = 180° − 45° = 135° (suplemento do ângulo de elevação em B). O ângulo em C é ∠C = 180° − 50° − 135° = 85°. Pela Lei dos Senos: AC/sen(135°) = AB/sen(8... |
53 | Estatística | Superior | Desafiador | Uma empresa deseja verificar se as vendas de um produto são uniformemente distribuídas entre 4 regiões. Coletou-se uma amostra de 400 vendas com as seguintes frequências observadas: [130, 84, 132, 54]. Ao nível de 5% de significância (valor crítico com 3 gl = 7,815), aplique o teste qui-quadrado de aderência e conclua ... | A estatística qui-quadrado calculada é χ² = 42,9600. Como χ² excede o valor crítico 7,815, rejeitamos a hipótese de distribuição uniforme. | No teste qui-quadrado de aderência, comparamos frequências observadas (O_i) com frequências esperadas (E_i) sob H₀. A estatística é χ² = Σ (O_i − E_i)²/E_i. Aqui, esperamos 100 vendas por região (distribuição uniforme). Calculando: χ² = (130−100)²/100 + (84−100)²/100 + (132−100)²/100 + (54−100)²/100 = 9 + 2,5600 + 10,2... |
54 | Álgebra | Superior | Desafiador | Uma loja comercializa três produtos: consultas, exames e procedimentos. Sabe-se que: (i) a venda de 1 consultas, 2 exames e 1 procedimentos totaliza R$ 659,00; (ii) 1 consultas, 2 exames e 3 procedimentos totalizam R$ 941,00; (iii) 1 consultas, 1 exames e 2 procedimentos totalizam R$ 654,00. Determine o preço unitário ... | Preços: consultas = R$ 226,00, exames = R$ 146,00, procedimentos = R$ 141,00. | Montamos o sistema linear AX = B, onde A é a matriz dos coeficientes, X = [consultas, exames, procedimentos]^T e B = [659, 941, 654]^T. Pela Regra de Cramer, x_i = det(A_i) / det(A), onde A_i é a matriz A com a coluna i substituída por B. Calculando os determinantes: det(A) = 2, e analogamente para det(A_1), det(A_2) e... |
55 | Estatística | Superior | Desafiador | Um estudo de econometria ajustou um modelo de regressão linear simples entre o investimento em publicidad (x, em milhares de reais) e as vendas (y, em milhares de unidades), obtendo a equação ŷ = 50 + 2,5·x, com coeficiente de determinação R² = 0.9, baseado em 20 observações. Estime as vendas esperadas quando o investi... | As vendas esperadas para um investimento de 12 mil reais são 80 mil unidades. O R² = 0.9 indica que 90% da variação nas vendas é explicada pela variação no investimento em publicidade. | No modelo de regressão linear simples ŷ = a + b·x, o valor predito para x = 12 é ŷ = 50 + 2,5·12 = 50 + 30 = 80 mil unidades. O coeficiente angular b = 2,5 indica que, para cada mil real adicional investido em publicidade, as vendas aumentam em média 2,5 mil unidades. O coeficiente de determinação R² = 0.9 mede a propo... |
56 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um problema de engenharia, o comportamento de um sistema é descrito pelo polinômio P(x) = x³ − 3x². Determine todas as raízes reais e a fatoração completa de P(x) no campo dos reais. | As raízes são x₁ = 0, x₂ = 0, x₃ = 3. A fatoração completa é P(x) = (x − 0)(x − 0)(x − 3). | Para encontrar as raízes de P(x) = x³ − 3x², aplicamos as relações de Girard: a soma das raízes é x₁ + x₂ + x₃ = 3 (coeficiente de x² com sinal trocado), a soma dos produtos dois a dois é x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 0, e o produto é x₁·x₂·x₃ = 0. Testando divisores racionais pelo Teorema das Raízes Racionais, encontramos que ... |
57 | Geometria | Superior | Desafiador | Em uma simulação de robótica, dois braços articulados são representados pelos vetores u⃗ = (4, -2) e v⃗ = (-3, 5), em unidades cartesianas. Determine o ângulo entre os dois vetores utilizando o produto escalar e classifique a orientação relativa dos braços. | O ângulo entre os vetores é aproximadamente 147,53°, portanto os braços são divergentes (ângulo obtuso). | O produto escalar de u⃗ = (4, -2) e v⃗ = (-3, 5) é u⃗·v⃗ = 4·-3 + -2·5 = -22. As normas são ‖u⃗‖ = √(4² + -2²) = √20 = 4,4721 e ‖v⃗‖ = √(3² + 5²) = √34 = 5,8310. A relação fundamental é u⃗·v⃗ = ‖u⃗‖·‖v⃗‖·cos(θ), logo cos(θ) = -22/(4,4721·5,8310) = -0,8437. Aplicando o arco cosseno: θ = arccos(-0,8437) ≈ 147,53°. Como c... |
58 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um laboratório de física nuclear, uma amostra radioativa contém inicialmente 500 g de um isótopo cuja meia-vida é de 8 anos. Determine a massa restante após 32 anos e a constante de decaimento do isótopo. | Após 32 anos, restam aproximadamente 31,25 g do isótopo. A constante de decaimento é k = 0,086643 por ano. | O decaimento radioativo segue a lei exponencial M(t) = M₀·e^(−kt), onde k é a constante de decaimento. A meia-vida t_0.5 relaciona-se com k por t_0.5 = ln(2)/k, logo k = ln(2)/8 = 0,693147/8 = 0,086643 por ano. Após t = 32 anos, a massa remanescente é M(32) = 500·e^(−0,086643·32) = 500·e^(−2,7726) = 500·0,062500 ≈ 31,2... |
59 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em uma análise de componentes principais (PCA), a matriz de covariância de duas variáveis aleatórias é dada por A = [[3, 2], [2, 5]]. Determine os autovalores dessa matriz e interprete qual direção explica maior variância dos dados. | Os autovalores são λ₁ = 6,2361 e λ₂ = 1,7639. A direção associada a λ₁ = 6,2361 explica maior variância, pois corresponde ao maior autovalor. | Os autovalores de uma matriz A são as raízes do polinômio característico p(λ) = det(A − λI). Para A = [[3, 2], [2, 5]], temos p(λ) = (3−λ)(5−λ) − 2² = λ² − 8λ + 11. Aplicando a fórmula quadrática: λ = (8 ± √(8² − 4·11)) / 2 = (8 ± √20) / 2. Logo, λ₁ = 6,2361 e λ₂ = 1,7639. Como a matriz é simétrica, os autovalores são ... |
60 | Aritmética | Superior | Desafiador | Uma indústria têxtil aplicou R$ 750.000,00 em um fundo de investimento que rende 1,50% ao mês em regime de juros compostos. Considerando que o capital permaneça aplicado por 48 meses sem saques nem aportes adicionais, determine o montante final e o valor total de juros auferidos nesse período. | O montante final ao término de 48 meses será de R$ 1.532.608,72, dos quais R$ 782.608,72 correspondem aos juros compostos auferidos sobre o capital inicial. | Aplicamos a fórmula dos juros compostos M = C·(1 + i)^n, onde C = R$ 750.000,00, i = 1,50% = 0,01 e n = 48. O fator de capitalização (1 + 0,01)^48 = 2,043478. Multiplicando pelo capital: M = R$ 750.000,00 × 2,043478 = R$ 1.532.608,72. Os juros são J = M − C = R$ 1.532.608,72 − R$ 750.000,00 = R$ 782.608,72. Observa-se ... |
61 | Aritmética | Superior | Desafiador | Uma empresa avalia a implantação de uma nova fábrica, que exige investimento inicial de R$ 200.000,00 e promete retornos anuais iguais de R$ 75.172,05 durante 3 anos. Considerando uma taxa mínima de atratividade de 18% ao ano, calcule o Valor Presente Líquido (VPL) e indique se o projeto é viável. | O VPL do projeto é R$ -36.555,44, portanto o projeto é inviável, pois o valor presente dos retornos não compensa o investimento inicial, destruindo valor. | O VPL é calculado descontando cada fluxo de caixa futuro a valor presente pela taxa mínima de atratividade e subtraindo o investimento inicial. A fórmula é VPL = −I + Σ(F_t / (1+i)^t) para t = 1 a 3. Como os fluxos são iguais, usamos a fórmula da série uniforme: VP = R$ 75.172,05 × [(1+0,18)^3 − 1] / [0,18 × (1+0,18)^3... |
62 | Aritmética | Superior | Desafiador | Uma empresa de logística aplicou R$ 50.000,00 em um fundo de investimento que rende 0,80% ao mês em regime de juros compostos. Considerando que o capital permaneça aplicado por 18 meses sem saques nem aportes adicionais, determine o montante final e o valor total de juros auferidos nesse período. | O montante final ao término de 18 meses será de R$ 57.711,13, dos quais R$ 7.711,13 correspondem aos juros compostos auferidos sobre o capital inicial. | Aplicamos a fórmula dos juros compostos M = C·(1 + i)^n, onde C = R$ 50.000,00, i = 0,80% = 0,01 e n = 18. O fator de capitalização (1 + 0,01)^18 = 1,154223. Multiplicando pelo capital: M = R$ 50.000,00 × 1,154223 = R$ 57.711,13. Os juros são J = M − C = R$ 57.711,13 − R$ 50.000,00 = R$ 7.711,13. Observa-se o efeito ex... |
63 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em uma análise de componentes principais (PCA), a matriz de covariância de duas variáveis aleatórias é dada por A = [[2, 2], [2, 5]]. Determine os autovalores dessa matriz e interprete qual direção explica maior variância dos dados. | Os autovalores são λ₁ = 6 e λ₂ = 1. A direção associada a λ₁ = 6 explica maior variância, pois corresponde ao maior autovalor. | Os autovalores de uma matriz A são as raízes do polinômio característico p(λ) = det(A − λI). Para A = [[2, 2], [2, 5]], temos p(λ) = (2−λ)(5−λ) − 2² = λ² − 7λ + 6. Aplicando a fórmula quadrática: λ = (7 ± √(7² − 4·6)) / 2 = (7 ± √25) / 2. Logo, λ₁ = 6 e λ₂ = 1. Como a matriz é simétrica, os autovalores são reais. Na PC... |
64 | Álgebra | Superior | Desafiador | O lucro mensal (em milhares de reais) de uma empresa que vende uma mercadoria é modelado pela função L(x) = -2x² + 96x + -55, onde x representa a quantidade vendida em centenas de unidades. Determine a quantidade que maximiza o lucro e o valor do lucro máximo obtido. | A quantidade que maximiza o lucro é 24 centenas de unidades (ou 2400 unidades), e o lucro máximo corresponde a 1097 milhares de reais (≈ R$ 1.097.000,00). | A função L(x) = -2x² + 96x + -55 é uma parábola com concavidade voltada para baixo (a = -2 < 0), portanto admite ponto de máximo no vértice. A abscissa do vértice é x_v = −b/(2a) = −96/(2·(-2)) = 24. Substituindo na função: L(24) = -2·(24)² + 96·24 + -55 = -1152 + 2304 + -55 = 1097 milhares de reais. Esse resultado tam... |
65 | Geometria | Superior | Desafiador | Um reservatório de água tem formato de cone circular reto, obtido pela rotação da reta y = (5/10)·x em torno do eixo x, no intervalo de 0 a 10 metros. Utilize o método do disco para calcular o volume do reservatório e determine quantos litros de água ele pode armazenar (1 m³ = 1000 L). | O volume do reservatório é 261,7994 m³, o que corresponde a aproximadamente 261799,39 litros de capacidade. | O método do disco calcula o volume pela integral V = π·∫[a,b] [f(x)]² dx. Aqui, f(x) = (5/10)·x e o intervalo é [0, 10]. Assim, V = π·∫[0,10] [(5/10)·x]² dx = π·(5/10)²·∫[0,10] x² dx = π·(5/10)²·[x³/3]_0^10 = π·(5²/10²)·(10³/3) = π·5²·10/3 = 3,141593·25·10/3 ≈ 261,7994 m³. Esse resultado coincide com a fórmula clássica... |
66 | Aritmética | Superior | Desafiador | Uma empresa de logística precisa distribuir peças de dois modelos diferentes, sendo 361 unidades do primeiro tipo e 76 unidades do segundo tipo, para seus lojas de modo que cada loja receba quantidades iguais de cada modelo. Determine o número máximo de lojas que poderão ser atendidas simultaneamente e quantas unidades... | O número máximo de lojas é 19. Cada uma receberá 19 unidades do primeiro tipo e 4 unidades do segundo tipo. | O problema consiste em encontrar o máximo divisor comum (MDC) de 361 e 76, pois o número de destinatários deve dividir simultaneamente ambas as quantidades sem deixar resto. Aplicando o Algoritmo de Euclides: MDC(361, 76) = 19. Verificando: 361 / 19 = 19 (exato) e 76 / 19 = 4 (exato). Portanto, é possível atender exata... |
67 | Álgebra | Superior | Desafiador | O lucro mensal (em milhares de reais) de uma empresa que vende um serviço é modelado pela função L(x) = -1x² + 69x + -184, onde x representa a quantidade vendida em centenas de unidades. Determine a quantidade que maximiza o lucro e o valor do lucro máximo obtido. | A quantidade que maximiza o lucro é 34,50 centenas de unidades (ou 3450 unidades), e o lucro máximo corresponde a 1006,25 milhares de reais (≈ R$ 1.006.250,00). | A função L(x) = -1x² + 69x + -184 é uma parábola com concavidade voltada para baixo (a = -1 < 0), portanto admite ponto de máximo no vértice. A abscissa do vértice é x_v = −b/(2a) = −69/(2·(-1)) = 34,5000. Substituindo na função: L(34,50) = -1·(34,50)² + 69·34,50 + -184 = -1190,2500 + 2380,5000 + -184 = 1006,2500 milha... |
68 | Geometria | Superior | Desafiador | Em um projeto de urbanismo, uma avenida será construída segundo a reta 5x + 3y + 4 = 0 (coordenadas em quilômetros a partir do marco zero da cidade). Um edifício histórico está localizado no ponto P(2, 4). Determine a menor distância do edifício à avenida e avalie se o projeto atende à legislação que exige afastamento ... | A menor distância do ponto P(2, 4) à reta é 4,4590 km. Portanto, o projeto atende à legislação de afastamento mínimo de 0,5 km. | A distância de um ponto P(x₀, y₀) a uma reta ax + by + c = 0 é dada por d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²). Substituindo os valores da reta 5x + 3y + 4 = 0 e do ponto P(2, 4): d = |5·2 + 3·4 + 4| / √(5² + 9) = |10 + 12 + 4| / √(25 + 9) = |22 + 4| / 5,8310 = |26| / 5,8310 = 4,4590 km. A fórmula decorre da projeção ortog... |
69 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um sistema de geoprocessamento, um terreno triangular é delimitado pelos vértices A(0, 0), B(9, 3) e C(1, 2), em coordenadas UTM (km). Utilize o determinante para calcular a área do terreno em hectares (1 km² = 100 ha). | A área do terreno é 7,5000 km², equivalente a 750 hectares. | A área de um triângulo com vértices A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) e C(x₃,y₃) pode ser calculada por Área = |det(M)|/2, onde M = [[x₁, y₁, 1], [x₂, y₂, 1], [x₃, y₃, 1]]. Substituindo: M = [[0, 0, 1], [9, 3, 1], [1, 2, 1]] e det(M) = 0·(3−2) − 0·(9−1) + 1·(9·2 − 3·1) = 15. Portanto, Área = |15|/2 = 7.5 km². Convertendo para hectare... |
70 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um laboratório de física nuclear, uma amostra radioativa contém inicialmente 1000 g de um isótopo cuja meia-vida é de 20 anos. Determine a massa restante após 80 anos e a constante de decaimento do isótopo. | Após 80 anos, restam aproximadamente 62,50 g do isótopo. A constante de decaimento é k = 0,034657 por ano. | O decaimento radioativo segue a lei exponencial M(t) = M₀·e^(−kt), onde k é a constante de decaimento. A meia-vida t_0.5 relaciona-se com k por t_0.5 = ln(2)/k, logo k = ln(2)/20 = 0,693147/20 = 0,034657 por ano. Após t = 80 anos, a massa remanescente é M(80) = 1000·e^(−0,034657·80) = 1000·e^(−2,7726) = 1000·0,062500 ≈... |
71 | Álgebra | Superior | Desafiador | O lucro mensal (em milhares de reais) de uma empresa que vende um item de moda é modelado pela função L(x) = -1x² + 87x + -342, onde x representa a quantidade vendida em centenas de unidades. Determine a quantidade que maximiza o lucro e o valor do lucro máximo obtido. | A quantidade que maximiza o lucro é 43,50 centenas de unidades (ou 4350 unidades), e o lucro máximo corresponde a 1550,25 milhares de reais (≈ R$ 1.550.250,00). | A função L(x) = -1x² + 87x + -342 é uma parábola com concavidade voltada para baixo (a = -1 < 0), portanto admite ponto de máximo no vértice. A abscissa do vértice é x_v = −b/(2a) = −87/(2·(-1)) = 43,5000. Substituindo na função: L(43,50) = -1·(43,50)² + 87·43,50 + -342 = -1892,2500 + 3784,5000 + -342 = 1550,2500 milha... |
72 | Geometria | Superior | Desafiador | Um reservatório de água tem formato de cone circular reto, obtido pela rotação da reta y = (3/6)·x em torno do eixo x, no intervalo de 0 a 6 metros. Utilize o método do disco para calcular o volume do reservatório e determine quantos litros de água ele pode armazenar (1 m³ = 1000 L). | O volume do reservatório é 56,5487 m³, o que corresponde a aproximadamente 56548,67 litros de capacidade. | O método do disco calcula o volume pela integral V = π·∫[a,b] [f(x)]² dx. Aqui, f(x) = (3/6)·x e o intervalo é [0, 6]. Assim, V = π·∫[0,6] [(3/6)·x]² dx = π·(3/6)²·∫[0,6] x² dx = π·(3/6)²·[x³/3]_0^6 = π·(3²/6²)·(6³/3) = π·3²·6/3 = 3,141593·9·6/3 ≈ 56,5487 m³. Esse resultado coincide com a fórmula clássica do volume do ... |
73 | Estatística | Superior | Desafiador | Uma fábrica afirma que a vida útil média de suas lâmpadas é de 70 horas. Uma amostra de 50 lâmpadas apresentou média de 73 horas com desvio padrão de 10 horas. Ao nível de significância de 5%, teste a hipótese nula H₀: μ = 70 contra H₁: μ ≠ 70 e conclua se há evidência para refutar a afirmação da fábrica. | Estatística de teste Z = 2,1213. Como |Z| excede o valor crítico 1,96, rejeitamos H₀ ao nível de 5% de significância. | Sob H₀: μ = 70, a estatística de teste é Z = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (73 − 70)/(10/√50) = 3/1,4142 = 2,1213. Para um teste bilateral ao nível de 5%, os valores críticos são ±1,96. Como |Z| = 2,1213 > 1,96, rejeitamos H₀. Há evidência estatística de que a vida útil média difere de 70 horas, contradizendo a afirmação da fábri... |
74 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um modelo econômico de insumo-produto, a matriz tecnológica A = [[2, 4], [3, 4]] representa as relações entre dois setores da economia. Determine a matriz inversa A⁻¹ e explique seu significado no contexto do modelo. | A matriz inversa é A⁻¹ = [[-1, 1], [0,7500, -0,5000]], com determinante det(A) = -4. | Para uma matriz 2×2 A = [[a, b], [c, d]], a inversa existe se e somente se det(A) = ad − bc ≠ 0. Aqui, det(A) = 2·4 − 4·3 = -4 ≠ 0, portanto A é inversível. A fórmula da inversa é A⁻¹ = (1/det(A)) · [[d, −b], [−c, a]] = (1/-4) · [[4, −4], [−3, 2]] = [[-1, 1], [0,7500, -0,5000]]. No modelo insumo-produto de Leontief, a ... |
75 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um problema de engenharia, o comportamento de um sistema é descrito pelo polinômio P(x) = x³ − 7x + 6. Determine todas as raízes reais e a fatoração completa de P(x) no campo dos reais. | As raízes são x₁ = 2, x₂ = -3, x₃ = 1. A fatoração completa é P(x) = (x − 2)(x − -3)(x − 1). | Para encontrar as raízes de P(x) = x³ − 7x + 6, aplicamos as relações de Girard: a soma das raízes é x₁ + x₂ + x₃ = 0 (coeficiente de x² com sinal trocado), a soma dos produtos dois a dois é x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = -7, e o produto é x₁·x₂·x₃ = -6. Testando divisores racionais pelo Teorema das Raízes Racionais, encontramos... |
76 | Estatística | Superior | Desafiador | Uma fábrica afirma que a vida útil média de suas lâmpadas é de 150 horas. Uma amostra de 200 lâmpadas apresentou média de 145 horas com desvio padrão de 10 horas. Ao nível de significância de 5%, teste a hipótese nula H₀: μ = 150 contra H₁: μ ≠ 150 e conclua se há evidência para refutar a afirmação da fábrica. | Estatística de teste Z = -7,0711. Como |Z| excede o valor crítico 1,96, rejeitamos H₀ ao nível de 5% de significância. | Sob H₀: μ = 150, a estatística de teste é Z = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (145 − 150)/(10/√200) = -5/0,7071 = -7,0711. Para um teste bilateral ao nível de 5%, os valores críticos são ±1,96. Como |Z| = 7,0711 > 1,96, rejeitamos H₀. Há evidência estatística de que a vida útil média difere de 150 horas, contradizendo a afirmação d... |
77 | Estatística | Superior | Desafiador | Um estudo de econometria ajustou um modelo de regressão linear simples entre o investimento em publicidad (x, em milhares de reais) e as vendas (y, em milhares de unidades), obtendo a equação ŷ = 40 + 1·x, com coeficiente de determinação R² = 0.8, baseado em 50 observações. Estime as vendas esperadas quando o investime... | As vendas esperadas para um investimento de 8 mil reais são 48 mil unidades. O R² = 0.8 indica que 80% da variação nas vendas é explicada pela variação no investimento em publicidade. | No modelo de regressão linear simples ŷ = a + b·x, o valor predito para x = 8 é ŷ = 40 + 1·8 = 40 + 8 = 48 mil unidades. O coeficiente angular b = 1 indica que, para cada mil real adicional investido em publicidade, as vendas aumentam em média 1 mil unidades. O coeficiente de determinação R² = 0.8 mede a proporção da v... |
78 | Geometria | Superior | Desafiador | Em um projeto de urbanismo, uma avenida será construída segundo a reta 5x + 2y + 10 = 0 (coordenadas em quilômetros a partir do marco zero da cidade). Um edifício histórico está localizado no ponto P(-2, 4). Determine a menor distância do edifício à avenida e avalie se o projeto atende à legislação que exige afastament... | A menor distância do ponto P(-2, 4) à reta é 1,4856 km. Portanto, o projeto atende à legislação de afastamento mínimo de 0,5 km. | A distância de um ponto P(x₀, y₀) a uma reta ax + by + c = 0 é dada por d = |a·x₀ + b·y₀ + c| / √(a² + b²). Substituindo os valores da reta 5x + 2y + 10 = 0 e do ponto P(-2, 4): d = |5·-2 + 2·4 + 10| / √(5² + 4) = |-10 + 8 + 10| / √(25 + 4) = |-2 + 10| / 5,3852 = |8| / 5,3852 = 1,4856 km. A fórmula decorre da projeção ... |
79 | Estatística | Superior | Desafiador | Uma fábrica afirma que a vida útil média de suas lâmpadas é de 150 horas. Uma amostra de 200 lâmpadas apresentou média de 153 horas com desvio padrão de 12 horas. Ao nível de significância de 5%, teste a hipótese nula H₀: μ = 150 contra H₁: μ ≠ 150 e conclua se há evidência para refutar a afirmação da fábrica. | Estatística de teste Z = 3,5355. Como |Z| excede o valor crítico 1,96, rejeitamos H₀ ao nível de 5% de significância. | Sob H₀: μ = 150, a estatística de teste é Z = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (153 − 150)/(12/√200) = 3/0,8485 = 3,5355. Para um teste bilateral ao nível de 5%, os valores críticos são ±1,96. Como |Z| = 3,5355 > 1,96, rejeitamos H₀. Há evidência estatística de que a vida útil média difere de 150 horas, contradizendo a afirmação da ... |
80 | Geometria | Superior | Desafiador | Em um armazém logístico, uma caixa em formato de paralelepípedo retângulo tem dimensões 12 m × 3 m × 8 m. Determine o comprimento da diagonal espacial da caixa e avalie se ela pode ser transportada por uma esteira cuja largura útil é de 17 m. | A diagonal espacial mede 14,7309 m. A caixa pode ser transportada pela esteira, considerando folga de 2 m. | A diagonal espacial de um paralelepípedo retângulo de dimensões a, b, c é dada por d = √(a² + b² + c²), generalização do Teorema de Pitágoras para três dimensões. Substituindo: d = √(12² + 3² + 8²) = √(144 + 9 + 64) = √217 = 14,7309 m. Como a diagonal (14,7309 m) somada à folga de 2 m resulta em 16,7309 m, e a esteira ... |
81 | Geometria | Superior | Desafiador | Um silo de armazenamento de grãos tem formato cilíndrico com raio interno de 4 metros e altura de 10 metros. Calcule o volume útil do silo e a área total da superfície externa (incluindo as duas bases), que receberá pintura protetora. Considere π = 3,14159. | O volume útil é 502,65 m³ e a área total da superfície é 351,86 m². | O volume de um cilindro circular reto é V = π·r²·h, onde r é o raio da base e h é a altura. Substituindo: V = 3,14159·4²·10 = 3,14159·16·10 ≈ 502,65 m³. A área total inclui a área lateral (A_l = 2π·r·h) e as áreas das duas bases circulares (2·π·r²). Portanto, A_total = 2π·r·(r + h) = 2·3,14159·4·(4 + 10) = 2·3,14159·4·... |
82 | Geometria | Superior | Desafiador | Um radar de tráfego aéreo tem alcance circular centrado na estação de controle localizada em (2, 5) km, com raio de 4 km. Determine a equação geral da circunferência que descreve a área de cobertura do radar e verifique se uma aeronave em voo na posição (4, 6) está dentro da zona monitorada. | A equação da circunferência é (x − 2)² + (y − 5)² = 16, ou na forma geral x² + y² − 4x − 10y + 13 = 0. A aeronave em (4, 6) está dentro da zona monitorada. | A equação reduzida da circunferência com centro (h, k) e raio r é (x − h)² + (y − k)² = r². Substituindo h = 2, k = 5 e r = 4: (x − 2)² + (y − 5)² = 16. Expandindo: x² − 4x + 4 + y² − 10y + 25 = 16, logo a forma geral é x² + y² − 4x − 10y + 13 = 0. Para verificar se o ponto (4, 6) está na região monitorada, calculamo... |
83 | Aritmética | Superior | Desafiador | Para pavimentar uma rua, 8 operários trabalhando 10 horas por dia concluem o serviço em 50 dias. Se a equipe for aumentada para 16 operários e a jornada diária reduzida para 11 horas, em quantos dias a obra será concluída, mantendo o mesmo rendimento por operário? | A obra será concluída em 22,7 dias com a nova configuração da equipe. | A quantidade total de trabalho é proporcional ao produto operários × dias × horas/dia. Calculamos o trabalho total: T = 8 × 50 × 10 = 4000 homem-hora. Como o trabalho é o mesmo, 16 × d₂ × 11 = 4000, donde d₂ = 4000 / (16 × 11) = 4000 / 176 ≈ 22,73 dias. O aumento do número de operários (8 → 16) e a manutenção ou reduçã... |
84 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um modelo econômico de insumo-produto, a matriz tecnológica A = [[2, 1], [4, 5]] representa as relações entre dois setores da economia. Determine a matriz inversa A⁻¹ e explique seu significado no contexto do modelo. | A matriz inversa é A⁻¹ = [[0,8333, -0,1667], [-0,6667, 0,3333]], com determinante det(A) = 6. | Para uma matriz 2×2 A = [[a, b], [c, d]], a inversa existe se e somente se det(A) = ad − bc ≠ 0. Aqui, det(A) = 2·5 − 1·4 = 6 ≠ 0, portanto A é inversível. A fórmula da inversa é A⁻¹ = (1/det(A)) · [[d, −b], [−c, a]] = (1/6) · [[5, −1], [−4, 2]] = [[0,8333, -0,1667], [-0,6667, 0,3333]]. No modelo insumo-produto de Leon... |
85 | Aritmética | Superior | Desafiador | Para montar uma estrutura metálica, 12 operários trabalhando 10 horas por dia concluem o serviço em 40 dias. Se a equipe for aumentada para 18 operários e a jornada diária reduzida para 9 horas, em quantos dias a obra será concluída, mantendo o mesmo rendimento por operário? | A obra será concluída em 29,6 dias com a nova configuração da equipe. | A quantidade total de trabalho é proporcional ao produto operários × dias × horas/dia. Calculamos o trabalho total: T = 12 × 40 × 10 = 4800 homem-hora. Como o trabalho é o mesmo, 18 × d₂ × 9 = 4800, donde d₂ = 4800 / (18 × 9) = 4800 / 162 ≈ 29,63 dias. O aumento do número de operários (12 → 18) e a manutenção ou reduçã... |
86 | Aritmética | Superior | Desafiador | Para escavar uma fundação, 12 operários trabalhando 8 horas por dia concluem o serviço em 40 dias. Se a equipe for aumentada para 16 operários e a jornada diária reduzida para 6 horas, em quantos dias a obra será concluída, mantendo o mesmo rendimento por operário? | A obra será concluída em 40 dias com a nova configuração da equipe. | A quantidade total de trabalho é proporcional ao produto operários × dias × horas/dia. Calculamos o trabalho total: T = 12 × 40 × 8 = 3840 homem-hora. Como o trabalho é o mesmo, 16 × d₂ × 6 = 3840, donde d₂ = 3840 / (16 × 6) = 3840 / 96 ≈ 40 dias. O aumento do número de operários (12 → 16) e a manutenção ou redução da ... |
87 | Aritmética | Superior | Desafiador | Em um esquema simplificado de criptografia RSA, uma mensagem representada pelo número 174 deve ser criptografada usando a chave pública (n=527, e=13), onde n é produto de dois primos distintos e e é o expoente público. Sabendo que a função totiente de Euler φ(n) = 480, determine a mensagem criptografada e justifique o ... | A mensagem criptografada é 293. A chave privada é d = 37, calculada como o inverso multiplicativo de e módulo φ(n), ou seja, 13·37 ≡ 1 (mod 480). | No RSA, a criptografia é feita por C ≡ M^e (mod n), onde M é a mensagem. Assim, C = 174^13 mod 527 = 293. A chave privada d deve satisfazer a congruência e·d ≡ 1 (mod φ(n)), ou seja, d é o inverso multiplicativo de e módulo φ(n) = 480. Calculando pelo Algoritmo de Euclides Estendido: d = 37, pois 13·37 = 481 e 481 mod ... |
88 | Estatística | Superior | Desafiador | Em um processo de controle de qualidade, sabe-se que 40% das peças produzidas por uma máquina apresentam defeito. Em uma amostra de 25 peças, qual a probabilidade de exatamente 16 apresentarem defeito? Determine também a esperança e a variância do número de peças defeituosas. | A probabilidade de exatamente 16 peças defeituosas é 0,8843%. A esperança é 10 peças e a variância é 6. | A variável X = número de peças defeituosas em 25 ensaios independentes, com probabilidade constante p = 0.4, segue distribuição binomial B(25, 0.4). A função de probabilidade é P(X = k) = C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k), onde C(n,k) = n!/(k!·(n−k)!) é o coeficiente binomial. Para k = 16: P(X = 16) = C(25,16)·0.4^16·0,60^9 = 204... |
89 | Estatística | Superior | Desafiador | Uma fábrica afirma que a vida útil média de suas lâmpadas é de 50 horas. Uma amostra de 100 lâmpadas apresentou média de 53 horas com desvio padrão de 12 horas. Ao nível de significância de 5%, teste a hipótese nula H₀: μ = 50 contra H₁: μ ≠ 50 e conclua se há evidência para refutar a afirmação da fábrica. | Estatística de teste Z = 2,5000. Como |Z| excede o valor crítico 1,96, rejeitamos H₀ ao nível de 5% de significância. | Sob H₀: μ = 50, a estatística de teste é Z = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (53 − 50)/(12/√100) = 3/1,2000 = 2,5000. Para um teste bilateral ao nível de 5%, os valores críticos são ±1,96. Como |Z| = 2,5000 > 1,96, rejeitamos H₀. Há evidência estatística de que a vida útil média difere de 50 horas, contradizendo a afirmação da fábr... |
90 | Aritmética | Superior | Desafiador | Para pavimentar uma rua, 12 operários trabalhando 6 horas por dia concluem o serviço em 20 dias. Se a equipe for aumentada para 24 operários e a jornada diária reduzida para 7 horas, em quantos dias a obra será concluída, mantendo o mesmo rendimento por operário? | A obra será concluída em 8,6 dias com a nova configuração da equipe. | A quantidade total de trabalho é proporcional ao produto operários × dias × horas/dia. Calculamos o trabalho total: T = 12 × 20 × 6 = 1440 homem-hora. Como o trabalho é o mesmo, 24 × d₂ × 7 = 1440, donde d₂ = 1440 / (24 × 7) = 1440 / 168 ≈ 8,57 dias. O aumento do número de operários (12 → 24) e a manutenção ou redução ... |
91 | Estatística | Superior | Desafiador | Um teste diagnóstico para uma doença que afeta 2% da população tem sensibilidade de 95% (probabilidade de positivo dado que o paciente está doente) e especificidade de 98% (probabilidade de negativo dado que o paciente está saudável). Se um paciente recebe resultado positivo, qual a probabilidade de ele estar realmente... | A probabilidade de o paciente estar doente dado resultado positivo é 49,22%. | Aplicamos o Teorema de Bayes: P(D|+) = P(+|D)·P(D) / P(+), onde P(+) = P(+|D)·P(D) + P(+|¬D)·P(¬D). Temos: P(+|D) = 0.95 (sensibilidade), P(D) = 0.02 (prevalência), P(+|¬D) = 1 − 0.98 = 0,02 (1 − especificidade), P(¬D) = 0,98. Logo, P(D|+) = (0.95·0.02) / (0.95·0.02 + 0,02·0,98) = 0,019000 / (0,019000 + 0,019600) = 0,0... |
92 | Aritmética | Superior | Desafiador | Em um esquema simplificado de criptografia RSA, uma mensagem representada pelo número 64 deve ser criptografada usando a chave pública (n=551, e=5), onde n é produto de dois primos distintos e e é o expoente público. Sabendo que a função totiente de Euler φ(n) = 504, determine a mensagem criptografada e justifique o cá... | A mensagem criptografada é 410. A chave privada é d = 101, calculada como o inverso multiplicativo de e módulo φ(n), ou seja, 5·101 ≡ 1 (mod 504). | No RSA, a criptografia é feita por C ≡ M^e (mod n), onde M é a mensagem. Assim, C = 64^5 mod 551 = 410. A chave privada d deve satisfazer a congruência e·d ≡ 1 (mod φ(n)), ou seja, d é o inverso multiplicativo de e módulo φ(n) = 504. Calculando pelo Algoritmo de Euclides Estendido: d = 101, pois 5·101 = 505 e 505 mod 5... |
93 | Aritmética | Superior | Desafiador | Uma rede de supermercados aplicou R$ 250.000,00 em um fundo de investimento que rende 2,50% ao mês em regime de juros compostos. Considerando que o capital permaneça aplicado por 48 meses sem saques nem aportes adicionais, determine o montante final e o valor total de juros auferidos nesse período. | O montante final ao término de 48 meses será de R$ 817.872,39, dos quais R$ 567.872,39 correspondem aos juros compostos auferidos sobre o capital inicial. | Aplicamos a fórmula dos juros compostos M = C·(1 + i)^n, onde C = R$ 250.000,00, i = 2,50% = 0,03 e n = 48. O fator de capitalização (1 + 0,03)^48 = 3,271490. Multiplicando pelo capital: M = R$ 250.000,00 × 3,271490 = R$ 817.872,39. Os juros são J = M − C = R$ 817.872,39 − R$ 250.000,00 = R$ 567.872,39. Observa-se o ef... |
94 | Estatística | Superior | Desafiador | Uma cooperativa registrou as seguintes produções semanais de leite (em litros) de 7 vacas: [26, 35, 38, 53, 61, 68, 72]. Calcule a média, mediana, desvio padrão amostral e coeficiente de variação, e analise a homogeneidade da produção. | Média = 50,43 L, mediana = 53 L, desvio padrão = 17,71 L, coeficiente de variação = 35,12%. A produção é heterogênea. | Média: x̄ = Σx_i/n = 353/7 = 50,43 L. Mediana (n ímpar): valor central = 53 L. Variância amostral: s² = Σ(x_i − x̄)²/(n−1) = 1881,71/6 = 313,6190. Desvio padrão: s = √313,6190 = 17,7093 L. Coeficiente de variação: CV = (s/x̄)·100 = (17,71/50,43)·100 = 35,12%. O CV ≥ 30% indica produção heterogênea (alta dispersão relat... |
95 | Estatística | Superior | Desafiador | Uma fábrica afirma que a vida útil média de suas lâmpadas é de 70 horas. Uma amostra de 50 lâmpadas apresentou média de 67 horas com desvio padrão de 12 horas. Ao nível de significância de 5%, teste a hipótese nula H₀: μ = 70 contra H₁: μ ≠ 70 e conclua se há evidência para refutar a afirmação da fábrica. | Estatística de teste Z = -1,7678. Como |Z| não excede o valor crítico 1,96, não rejeitamos H₀ ao nível de 5% de significância. | Sob H₀: μ = 70, a estatística de teste é Z = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (67 − 70)/(12/√50) = -3/1,6971 = -1,7678. Para um teste bilateral ao nível de 5%, os valores críticos são ±1,96. Como |Z| = 1,7678 ≤ 1,96, não rejeitamos H₀. Não há evidência suficiente para refutar a afirmação da fábrica de que a vida útil média é de 70 h... |
96 | Álgebra | Superior | Desafiador | Em um modelo econômico de insumo-produto, a matriz tecnológica A = [[4, 1], [4, 2]] representa as relações entre dois setores da economia. Determine a matriz inversa A⁻¹ e explique seu significado no contexto do modelo. | A matriz inversa é A⁻¹ = [[0,5000, -0,2500], [-1, 1]], com determinante det(A) = 4. | Para uma matriz 2×2 A = [[a, b], [c, d]], a inversa existe se e somente se det(A) = ad − bc ≠ 0. Aqui, det(A) = 4·2 − 1·4 = 4 ≠ 0, portanto A é inversível. A fórmula da inversa é A⁻¹ = (1/det(A)) · [[d, −b], [−c, a]] = (1/4) · [[2, −1], [−4, 4]] = [[0,5000, -0,2500], [-1, 1]]. No modelo insumo-produto de Leontief, a in... |
97 | Estatística | Superior | Desafiador | Um estudo de econometria ajustou um modelo de regressão linear simples entre o investimento em publicidad (x, em milhares de reais) e as vendas (y, em milhares de unidades), obtendo a equação ŷ = 10 + 2,5·x, com coeficiente de determinação R² = 0.95, baseado em 50 observações. Estime as vendas esperadas quando o invest... | As vendas esperadas para um investimento de 8 mil reais são 30 mil unidades. O R² = 0.95 indica que 95% da variação nas vendas é explicada pela variação no investimento em publicidade. | No modelo de regressão linear simples ŷ = a + b·x, o valor predito para x = 8 é ŷ = 10 + 2,5·8 = 10 + 20 = 30 mil unidades. O coeficiente angular b = 2,5 indica que, para cada mil real adicional investido em publicidade, as vendas aumentam em média 2,5 mil unidades. O coeficiente de determinação R² = 0.95 mede a propor... |
98 | Aritmética | Superior | Desafiador | Em um esquema simplificado de criptografia RSA, uma mensagem representada pelo número 23 deve ser criptografada usando a chave pública (n=91, e=11), onde n é produto de dois primos distintos e e é o expoente público. Sabendo que a função totiente de Euler φ(n) = 72, determine a mensagem criptografada e justifique o cál... | A mensagem criptografada é 4. A chave privada é d = 59, calculada como o inverso multiplicativo de e módulo φ(n), ou seja, 11·59 ≡ 1 (mod 72). | No RSA, a criptografia é feita por C ≡ M^e (mod n), onde M é a mensagem. Assim, C = 23^11 mod 91 = 4. A chave privada d deve satisfazer a congruência e·d ≡ 1 (mod φ(n)), ou seja, d é o inverso multiplicativo de e módulo φ(n) = 72. Calculando pelo Algoritmo de Euclides Estendido: d = 59, pois 11·59 = 649 e 649 mod 72 = ... |
99 | Álgebra | Superior | Desafiador | O lucro mensal (em milhares de reais) de uma empresa que vende um serviço é modelado pela função L(x) = -3x² + 44x + 10, onde x representa a quantidade vendida em centenas de unidades. Determine a quantidade que maximiza o lucro e o valor do lucro máximo obtido. | A quantidade que maximiza o lucro é 7,33 centenas de unidades (ou 733 unidades), e o lucro máximo corresponde a 171,33 milhares de reais (≈ R$ 171.333,33). | A função L(x) = -3x² + 44x + 10 é uma parábola com concavidade voltada para baixo (a = -3 < 0), portanto admite ponto de máximo no vértice. A abscissa do vértice é x_v = −b/(2a) = −44/(2·(-3)) = 7,3333. Substituindo na função: L(7,33) = -3·(7,33)² + 44·7,33 + 10 = -161,3333 + 322,6667 + 10 = 171,3333 milhares de reais.... |
100 | Estatística | Superior | Desafiador | Uma fábrica afirma que a vida útil média de suas lâmpadas é de 50 horas. Uma amostra de 50 lâmpadas apresentou média de 53 horas com desvio padrão de 15 horas. Ao nível de significância de 5%, teste a hipótese nula H₀: μ = 50 contra H₁: μ ≠ 50 e conclua se há evidência para refutar a afirmação da fábrica. | Estatística de teste Z = 1,4142. Como |Z| não excede o valor crítico 1,96, não rejeitamos H₀ ao nível de 5% de significância. | Sob H₀: μ = 50, a estatística de teste é Z = (x̄ − μ₀)/(s/√n) = (53 − 50)/(15/√50) = 3/2,1213 = 1,4142. Para um teste bilateral ao nível de 5%, os valores críticos são ±1,96. Como |Z| = 1,4142 ≤ 1,96, não rejeitamos H₀. Não há evidência suficiente para refutar a afirmação da fábrica de que a vida útil média é de 50 hor... |
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