Question stringlengths 13 266 | Response stringlengths 1 707 | Complex_CoT stringlengths 50 334 |
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假设有一个池塘，里面有无穷多的水。现有2个空水壶，容积分别为5升和6升。问题是如何只用这2个水壶从池塘里取得3升的水。 | 由满6向空5倒，剩1升，把这1升倒5里，然后6剩满，倒5里面，由于5里面有1升水，因此6只能向5倒4升水，然后将6剩余的2升，倒入空的5里面，再灌满6向5里倒3升，剩余3升。 | 第一步，将6升水壶装满（6,0）；第二步，把6升壶的水倒入5升壶，5升壶满，6升壶剩1升（1,5）；第三步，将6升壶中剩余的1升倒入空的5升壶（0,1）；第四步，再次将6升壶装满（6,1）；第五步，将6升壶向已有1升的5升壶倒水，5升壶只能再接4升，6升壶剩2升（2,5）；第六步，将6升壶的2升倒入空的5升壶（0,2）；第七步，再次将6升壶装满（6,2）；第八步，将6升壶向已有2升的5升壶倒水，只能倒3升，使5升壶满，6升壶剩3升，达成目标（3,5）。 |
周雯的妈妈是豫林水泥厂的化验员。一天，周雯来到化验室做作业。做完后想出去玩。“等等，妈妈还要考你一个题目，”她接着说，“你看这6只做化验用的玻璃杯，前面3只盛满了水，后面3只是空的。你能只移动1只玻璃杯，就便盛满水的杯子和空杯子间隔起来吗?“爱动脑筋的周雯，是学校里有名的“小机灵”，她只想了一会儿就做到了。请你想想看，“小机灵”是怎样做的? | 设杯子编号为ABCDEF，ABC为满，DEF为空，把B中的水倒进E中即可。 | 要在不改变其他杯子位置的前提下实现满空交替，只需对中间那只满杯（B）进行操作：将B杯中的水倒入第5位的空杯E。此时原有的顺序变为 A(满)、B(空)、C(满)、D(空)、E(满)、F(空)，恰好实现满、空、满、空、满、空的交错排列。 |
三个小伙子同时爱上了一个姑娘，为了决定他们谁能娶这个姑娘，他们决定用手枪进行一次决斗。小李的命中率是30％，小黄比他好些，命中率是50％，最出色的枪手是小林，他从不失误，命中率是100％。由于这个显而易见的事实，为公平起见，他们决定按这样的顺序：小李先开枪，小黄第二，小林最后。然后这样循环，直到他们只剩下一个人。那么这三个人中谁活下来的机会最大呢？他们都应该采取什么样的策略？ | 小林在轮到自己且小黄没死的条件下必杀黄，再跟菜鸟李单挑。
所以黄在林没死的情况下必打林，否则自己必死。
小李经过计算比较（过程略），会决定自己先打小林。
于是经计算，小李有873/2600≈33.6%的生机；
小黄有109/260≈41.9%的生机；
小林有24.5%的生机。
哦，这样，那小李的第一枪会朝天开，以后当然是打敌人，谁活着打谁；
小黄一如既往先打林，小林还是先干掉黄，冤家路窄啊！
最后李，黄，林存活率约38：27：35；
菜鸟活下来抱得美人归的几率大。
李先放一空枪（如果合伙干中林，自己最吃亏）黄会选林打一枪（如不打林，自己肯定先玩完了）林会选黄打一枪（毕竟它命中率高）李黄对决0.3:0.280.4可... | 1. 分析每个人的命中率和威胁程度：小林最强（100%）、小黄次之（50%）、小李最弱（30%）。
2. 小李回合先开枪，若灭掉任何一人，下轮就成剩余两人对决，自己极易被击杀，因此最优策略是故意空枪，让小黄和小林互相厮杀。
3. 小黄若轮到且小林尚存，应优先瞄准命中率更高的小林；若小林已死，则锁定小李。
4. 小林每次轮到必先击杀小黄，因为小黄比小李威胁更大。
5. 按此策略构建决策树，计算所有可能分支的存活概率，统计汇总得出：
- 小李≈38%、小黄≈27%、小林≈35%的存活率。
6. 结论：小李通过第一枪空枪策略，反而获得了最高的生存机会。 |
一间囚房里关押着两个犯人。每天监狱都会为这间囚房提供一罐汤，让这两个犯人自己来分。起初，这两个人经常会发生争执，因为他们总是有人认为对方的汤比自己的多。后来他们找到了一个两全其美的办法：一个人分汤，让另一个人先选。于是争端就这么解决了。可是，现在这间囚房里又加进来一个新犯人，现在是三个人来分汤。必须寻找一个新的方法来维持他们之间的和平。该怎么办呢？按：心理问题，不是逻辑问题 | 是让甲分汤，分好后由乙和丙按任意顺序给自己挑汤，剩余一碗留给甲。这样乙和丙两人的总和肯定是他们两人可拿到的最大。然后将他们两人的汤混合之后再按两人的方法再次分汤。 | 1. 由甲先将整罐汤分成两份，使甲对两份满意。
2. 让乙和丙按任意顺序各自挑选一份，使他们总量最大且互不争执，剩余一份给甲，保证甲也满意。
3. 将乙、丙各自选到的两份汤混合，等量共分出的水量是两人可获最大。
4. 再由乙负责将混合后的汤分成两份，丙先选，剩余给乙，完成二人间的公平分配。
5. 该方法层层分割与选择兼顾了三人的偏好，实现了三方都无怨的公平分配。 |
在一张长方形的桌面上放了n个一样大小的圆形硬币。这些硬币中可能有一些不完全在桌面内，也可能有一些彼此重叠；当再多放一个硬币而它的圆心在桌面内时，新放的硬币便必定与原先某些硬币重叠。请证明整个桌面可以用4n个硬币完全覆盖。 | 要想让新放的硬币不与原先的硬币重叠，两个硬币的圆心距必须大于直径。也就是说，对于桌面上任意一点，到最近的圆心的距离都小于2，所以，整个桌面可以用n个半径为2的硬币覆盖。
把桌面和硬币的尺度都缩小一倍，那么，长、宽各是原桌面一半的小桌面，就可以用n个半径为1的硬币覆盖。那么，把原来的桌子分割成相等的4块小桌子，那么每块小桌子都可以用n个半径为1的硬币覆盖，因此，整个桌面就可以用4n个半径为1的硬币覆盖。 | 1. 根据题意，原布置n枚同半径r的硬币已让任一点到最近硬币圆心距离<2r，否则可再放一枚不重叠硬币。故若硬币半径取2r，则n枚足以覆盖整个桌面。
2. 将桌面及硬币等比缩小一半，硬币半径变为r，桌面长宽各为原来的一半，此时n枚半径r的硬币可覆盖缩小后桌面。
3. 将原桌面划分为4个大小相同的子桌面，每个子桌面与缩小后表面等价，均可用n枚半径r硬币覆盖。
4. 因此，原桌面可用4n枚半径r的硬币覆盖，完成证明。 |
一个球、一把长度大约是球的直径2/3长度的直尺.你怎样测出球的半径？方法很多，看看谁的比较巧妙 | 用绳子围球一周后测绳长来计算半径（用纸筒套住球来测更准）；借助排水法测体积后计算半径。 | 1. 用绳子环绕球一周，测得绳长C；
2. 利用公式 C = 2πr，解得球半径 r = C / (2π)；
3. 或将球完全浸入量筒，测出排开的水的体积V；
4. 利用球体积公式 V = 4/3·π·r³，解得 r = (3V / (4π))^(1/3)。 |
五个大小相同的一元人民币硬币。要求两两相接触，应该怎么摆？ | 底下放一个1，然后2、3放在1上面，另外的4、5竖起来放在1的两侧即可实现每枚硬币都与其他4枚接触。 | 1. 要求每枚硬币都与其余4枚都接触，中心硬币必须与所有其他硬币直接接触；
2. 选定硬币①作为中心平放；
3. 将硬币②、③平放在硬币①的上半部，使它们同时与①接触且彼此接触；
4. 将硬币④、⑤竖立（稍倾斜）放在①的左右侧，使它们各自与①以及与上方的②或③接触；
5. 此布置下，每枚硬币都有四个接触点，满足条件。 |
猜牌问题S先生、P先生、Q先生他们知道桌子的抽屉里有16张扑克牌：红桃A、Q、4；黑桃J、8、4、2、7、3；草花K、Q、5、4、6；方块A、5。约翰教授从这16张牌中挑出一张牌来，并把这张牌的点数告诉P先生，把这张牌的花色告诉Q先生。这时，约翰教授问P先生和Q先生：你们能从已知的点数或花色中推知这张牌是什么牌吗？于是，S先生听到如下的对话：P先生：我不知道这张牌。Q先生：我知道你不知道这张牌。P先生：现在我知道这张牌了。Q先生：我也知道了。听罢以上的对话，S先生想了一想之后，就正确地推出这张牌是什么牌。请问：这张牌是什么牌？ | 方块5 | 1. P先说“我不知道”，说明该点数至少对应多于1张牌；
2. Q说“我知道你不知道”，说明他看到的花色所含牌的所有点数都至少各有多张，否则若有唯一点数P就能知道；
3. P再说“现在我知道了”，说明在排除了那些点数——即那些因Q的判断而不可能的点数后，仅剩一张牌与其已知点数匹配；
4. Q最后也能推出，说明那张牌的花色在剩余可能中唯一；
5. 唯一满足这一连串排除分析的是方块5。 |
一个教授逻辑学的教授，有三个学生，而且三个学生均非常聪明！一天教授给他们出了一个题，教授在每个人脑门上贴了一张纸条并告诉他们，每个人的纸条上都写了一个正整数，且某两个数的和等于第三个！（每个人可以看见另两个数，但看不见自己的）教授问第一个学生：你能猜出自己的数吗？回答：不能，问第二个，不能，第三个，不能，再问第一个，不能，第二个，不能，第三个：我猜出来了，是144！教授很满意的笑了。请问您能猜出另外两个人的数吗？ | 另两数是108和36。 | 1. 三数满足两数之和等于第三，且均为正整数；
2. 首轮无一人能确定，说明任意两数都不唯一对应第三（排除两数之差或两数之和直接唯一的情况）；
3. 第二轮同样无法确定，说明无任何一个数是其他数的两倍；
4. 第三人能在第二轮后推出自己的数144，说明他的数必须是看到的另两数之和：x + y = 144；
5. 结合“非两倍”排除“差”情况，解得x=108, y=36；
6. 因题中第三人是144，则他看到的是108和36，两者之和正好等于144。 |
某城市发生一汽车撞人逃跑事件，该城市只有两种颜色的车,蓝15%绿85%，事发时有一个人在现场看见的，他指证是蓝车，但是根据专家在现场分析,当时那种条件能看正确的可能性是80%那么,肇事的车是蓝车的概率到底是多少? | 15%×80%／(85%×20% + 15%×80%) | 1. 设 B=蓝车, G=绿车, R=目击者报告蓝车;
2. P(B)=0.15, P(G)=0.85, P(R|B)=0.80, P(R|G)=0.20 (误报率);
3. 依据贝叶斯公式：
P(B|R) = P(R|B)P(B) / [P(R|B)P(B) + P(R|G)P(G)];
4. 代入数值得：
= 0.15×0.80 / [0.15×0.80 + 0.85×0.20]. |
有一人有240公斤水，他想运往干旱地区赚钱。他每次最多携带60公斤，并且每前进一公里须耗水1公斤（均匀耗水）。假设水的价格在出发地为0，以后，与运输路程成正比，（即在10公里处为10元/公斤，在20公里处为20元/公斤…），又假设他必须安全返回，请问，他最多可赚多少钱？ | 1800元 | 1. 总共有240 kg水，需要分成4次60 kg的运输；
2. 每次运输，往返消耗水量是2 x（x为单程公里数），到达终点能卖出的净水量是60−2x；
3. 终点售价为x元/公斤，单次收入 f(x)=x·(60−2x)；
4. 求导得 f'(x)=60−4x=0 ⇒ x=15 km，此时 f(15)=15·30=450 元；
5. 共4次运输，总收入=450×4=1800 元。 |
现在共有100匹马跟100块石头，马分3种，大型马、中型马和小型马。其中一匹大马一次可以驮3块石头，中型马可以驮2块，而小型马2头可以驮一块石头。问需要多少匹大马、中型马和小型马？（问题的关键是刚好必须是用完100匹马） | 共有6种有效组合 | 1. 设大马 D 匹，中马 M 匹，小马 S 匹，需满足 D+M+S=100；
2. 运石能力：3D + 2M + (S/2) = 100 ⇒ 6D + 4M + S = 200；
3. 消去 S：S = 200 − 6D − 4M，代入第一式得 D+M+(200−6D−4M)=100 ⇒ 5D+3M=100；
4. 解 Diophantine 方程 5D+3M=100，D,M ≥ 0 整数，得 M=5k, D=20−3k, k=1…6；
5. 对应每个 k 计算 S=100−D−M，得到6组正整数解。 |
1=5，2=15，3=215，4=2145那么5=? | 1 | 1. 观察到符号“=”在此处表示一种对换映射：1↔5；
2. 因此若1=5，则反向映射得5=1。 |
有2n个人排队进电影院，票价是50美分。在这2n个人当中，其中n个人只有50美分，另外n个人有1美元（纸票子）。愚蠢的电影院开始卖票时1分钱也没有。问：有多少种排队方法使得每当一个拥有1美元买票时，电影院都有50美分找钱？ | 排队种数 = (2n)! / [ n! (n+1)! ] | 1. 将50美分视为“+1”，1美元视为“−1”；
2. 合法队列要求任何前缀中“+1”的数量 ≥ “−1”的数量；
3. 该计数即 Catalan 数 C_n = 1/(n+1)·C(2n,n) = (2n)!/[n!(n+1)!]。 |
一个人花8块钱买了一只鸡，9块钱卖掉了，然后他觉得不划算，花10块钱又买回来了，11块卖给另外一个人。问他赚了多少？ | 2元 | 1. 第一次交易：买入成本8元，卖出得9元，净赚1元；
2. 第二次交易：再买入成本10元，卖出得11元，净赚1元；
3. 总利润 = 1 + 1 = 2元。 |
有一种体育竞赛共含M个项目，有运动员A，B，C参加，在每一项目中，第一、第二、第三名分别得X、Y、Z分，其中X、Y、Z为正整数且X>Y>Z。最后A得22分，B与C均得9分，B在百米赛中取得第一。求M的值，并问在跳高中谁得第二名。 | M=5，跳高中第二名是C。 | 1. 三人总分22+9+9=40；每项得分之和=X+Y+Z，M项共得40分，故(X+Y+Z)=40/M，且X+Y+Z≥1+2+3=6，所以40/M≥6⇒M≤6且M整除40。
2. 试M=5得每项和8，符合≥6且整除；M=4得和10也可能，但检查后发现只有M=5才能满足后续分配。
3. 解X+Y+Z=8且X>Y>Z≥1，唯一可行为X=5,Y=2,Z=1。
4. A得22=4×5+1×2 ⇒4次第一、1次第二；B得9=1×5+4×1 ⇒1次第一、4次第三；C得9=4×2+1×1 ⇒4次第二、1次第三。
5. B在百米赛第一，故那项B得5分；A和C在此项分别得2分和1分，A的那次第二正是百米赛，C在其他4项均为第二，且跳高... |
有五栋五种颜色的房子……问题是：谁养鱼？？？（省略题干提示） | 德国人 | 1. 按提示定位房屋顺序与颜色：挪威-黄1号、牛奶-红3号、绿在白左且绿喝咖啡等，推出房色依次为黄、蓝、红、绿、白；
2. 国籍与饮料对应：英国-红3号、丹麦-茶2号、瑞典-啤酒5号、德国剩4号；
3. 烟与宠物关联：DUNHILL-黄1号、PALL MALL-红3号养鸟、BLUE MASTER-白5号、PRINCE-绿4号；
4. 剩余宠物只有鱼，落在德国人（绿房子）那一间。 |
5个人来自不同地方，住不同房子，养不同动物，吸不同牌子香烟，喝不同饮料，喜欢不同食物。根据线索确定谁是养猫的人。 | 天津人（住红房子） | 1. 根据“来自上海的人住左数第二”、“爱喝矿泉水的人住中间”、“天津人的邻居一个爱吃牛肉、另一个来自成都”等，逐步定位五座房子颜色与居民；
2. 依序排出：1号蓝—北京—马、健牌—茅台—豆腐；2号绿—上海—狗、希尔顿—葡萄酒—面条；3号黄—香港—蛇、万宝路—矿泉水—牛肉；4号红—天津—?、555—茶—比萨；5号白—成都—鱼、红塔山—啤酒—鸡；
3. 唯一未分配的宠物“猫”自然归于天津人（红房子）。 |
斗地主附残局：地主手中牌…三家都是明手，互知底牌。问：哪方会赢？ | 地主必输。 | 1. 全部底牌公开，农民甲乙能互相配合对抗地主；
2. 在给定牌型下，无论地主如何出牌，农民总有应对策略；
3. 这种完全信息博弈中，优势在合作方（农民），因此地主无法避免失败。 |
一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，钻石大小不一。你乘坐电梯从一楼到十楼，每层楼电梯门都会打开一次，只能拿一次钻石，问怎样才能拿到最大的一颗？ | 先拿下第一楼的钻石，然后在每一楼把手中的钻石与那一楼的钻石相比较，如果那一楼的钻石比手中的钻石大的话那就把手中的钻石换成那一层的钻石。 | 1. 因为只能选一次，需在线性扫描所有10颗；
2. 维护当前已拿的钻石大小的“最优值”；
3. 每到一层，若新钻石更大，则交换；否则继续使用手中钻石；
4. 这样第10层结束后，手中的钻石即为全局最大。 |
U2合唱团在17分钟内得赶到演唱会场，途中必需跨过一座桥……Bono需花1分钟过桥，Edge需花2分钟过桥，Adam需花5分钟过桥，Larry需花10分钟过桥。他们要如何在17分钟内过桥？ | 2＋1先过 2
然后1回来送手电筒 1
5＋10再过 10
2回来送手电筒 2
2＋1过去 2
总共2＋1＋10＋2＋2＝17分钟 | 1. 最快的两人 (1 分 & 2 分) 担任"摆渡人"，先一起过桥，用时2分钟；
2. 速度1分钟者带手电筒返回，用时1分钟；
3. 最慢的两人 (5 分 & 10 分) 一同过桥，用时10分钟；
4. 速度2分钟者带手电筒返回，用时2分钟；
5. 再由两位最快者 (1 分 & 2 分) 最后一起过桥，用时2分钟；
6. 总计 2+1+10+2+2 = 17 分钟，恰好完成。 |
一个家庭有两个小孩，其中有一个是女孩，问另一个也是女孩的概率（假定生男生女的概率一样） | 1/3
样本空间为（男男）（女女）（男女）（女男）
A＝（已知其中一个是女孩）＝（女女）（男女）（女男）
B＝（另一个也是女孩）＝（女女）
于是P（B／A）＝P（AB）／P（A）＝（1／4）／（3／4）＝1／3
如果题目换成 已知第一个是女孩 那么第二个是女孩的概率就是1／2了) | 1. 列出所有可能的性别对：{BB, BG, GB, GG}；
2. 条件“至少有一个女孩”剔除BB，只剩{BG, GB, GG}；
3. “另一个也是女孩”即只有GG；
4. 条件概率 P(GG | 至少一女) = 1 / 3；
5. 若改为“已知第一个是女孩”，样本空间仅为{GB, GG}，故 P(第二个是女孩)=1/2。 |
为什么下水道的盖子是圆的？ | 不会掉下去 | 1. 圆形盖子的直径在任意方向上都相同；
2. 无论如何旋转或倾斜，都无法通过开口跌落下去；
3. 方形或其他形状可能存在较小对角线或短边，可让盖子跌入井中。 |
有7克、2克砝码各一个，天平一只，如何只用这些物品三次将140克的盐分成50、90克各一份？ | 140->70＋70 70->35＋35
35＋70＝105
105->50＋7 ＋ 55＋2
55＋35＝90 | 1. 第一次称：将140g盐分成70g+70g；
2. 第二次称：将一份70g分成35g+35g；
3. 将另一份70g与其中一份35g合并，得到105g；
4. 第三次称：利用7g和2g砝码，一边放7g砝码和盐，一边放2g砝码，通过加减盐块使天平平衡，从35g中剔出20g；
5. 这样得出90g和50g两份。 |
芯片测试：有2k块芯片，已知好芯片比坏芯片多．请设计算法从其中找出一片好芯片，说明你所用的比较次数上限．其中：好芯片和其它芯片比较时，能正确给出另一块芯片是好还是坏．坏芯片和其它芯片比较时，会随机的给出好或是坏。 | 把第一块芯片与其它逐一对比，看看其它芯片对第一块芯片给出的是好是坏，如果给出是好的过半，那么说明这是好芯片，完毕。如果给出的是坏的过半，说明第一块芯片是坏的，那么就要在那些在给出第一块芯片是坏的芯片中，重复上述步骤，直到找到好的芯片为止。 | 1. 对第一块芯片，与其余2k−1块逐一比较，记录“好/坏”投票；
2. 若“好”票多数，则该芯片必为真好（坏芯片给出的结果随机，但好芯片正确判断），直接返回；
3. 否则，第一块为坏，从那些判它“坏”的芯片子集中（其中好芯片占多数）挑出新的候选集；
4. 对该子集重复同样流程，不断剔除坏芯片；
5. 每轮比较次数≤N, 轮数按候选集大小递减，总比较次数上限为O(2k)。 |
12个球一个天平，现知道只有一个和其它的重量不同，问怎样称才能用三次就找到那个球。13个呢？（注意此题并未说明那个球的重量是轻是重） | 12个时可以找出那个是重还是轻，13个时只能找出是哪个球，轻重不知。
把球编为①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑾⑿。（13个时编号为⒀）
第一次称：先把①②③④与⑤⑥⑦⑧放天平两边，
㈠如相等，说明特别球在剩下4个球中。
把①⑨与⑩⑾作第二次称量，
⒈如相等，说明⑿特别，把①与⑿作第三次称量即可判断是⑿是重还是轻
⒉如①⑨＜⑩⑾说明要么是⑩⑾中有一个重的，要么⑨是轻的。
把⑩与⑾作第三次称量，如相等说明⑨轻，不等可找出谁是重球。
⒊如①⑨＞⑩⑾说明要么是⑩⑾中有一个轻的，要么⑨是重的。
把⑩与⑾作第三次称量，如相等说明⑨重，不等可找... | 1. 将12球分三组：A={1–4}, B={5–8}, C={9–12}；
2. 第一次称 A vs B：若平衡，则重/轻球在C；否则在A∪B且可判断是“重”一侧或“轻”一侧；
3. 第二次称：对确定组内再分两两称，继续缩小到2–3个候选；
4. 第三次称：在最后2–3个球中称两球，可确定哪一个不同及其轻重；
5. 对13球，将额外球加入C组，若首次平衡，候选为C∪{13}，后两次称可定位球但因情景不知轻重。 |
100个人回答五道试题，有81人答对第一题，91人答对第二题，85人答对第三题，79人答对第四题，74人答对第五题，答对三道题或三道题以上的人算及格，那么，在这100人中，至少有（ ）人及格。 | 70人。 | 1. 每题答错人数分别为：19, 9, 15, 21, 26；
2. 为让不及格（答错≥3题）的人数最多，令他们尽量答错多题；
3. 最多答错3题的人数 ≤ ⌊(总错题数)/3⌋ = ⌊(19+9+15+21+26)/3⌋ = ⌊90/3⌋ = 30；
4. 至多30人不及格，则最少及格人数 = 100 − 30 = 70。 |
陈奕迅有首歌叫十年，吕珊有首歌叫3650夜，那现在问,十年可能有多少天? | 十年可能包含2–3个闰年，3652或3653天。
1900年这个闰年就是28天，1898~1907这10年就是3651天，闰年如果是整百的倍数，如1800，1900，那么这个数必须是400的倍数才有29天，比如1900年2月有28天，2000年2月有29天。 | 1. 平年365天，闰年366天；
2. 闰年规则：能被4整除但不能被100整除，或能被400整除；
3. 任意十年中，跨越边界时可能有2或3个闰年：2×366+8×365=3652；3×366+7×365=3653；
4. 若周期含世纪但非400倍年（如1900），则少一个闰年，可得3651天。 |
1，11，21，1211，111221，下一个数是什么？ | 312211 | “看-说”数列的生成法：每一项描述上一项的数字出现次数和数值。
1. “1”→“一个1”→11；
2. “11”→“两个1”→21；
3. “21”→“一个2一个1”→1211；
4. “1211”→“一个1一个2两个1”→111221；
5. 因此下一项是“三个1两个2一个1”→312211。 |
烧一根不均匀的绳要用一个小时，如何用它来判断半个小时？烧一根不均匀的绳,从头烧到尾总共需要1个小时。现在有若干条材质相同的绳子,问如何用烧绳的方法来计时一个小时十五分钟呢? （微软的笔试题） | 1. 一根绳子从两头同时点燃，烧完即过半小时；
2. 要量1小时15分钟：
- 同时点燃第一根绳子两端和第二根绳子一端，第一根烧尽时（30分钟）点燃第二根另一端；
- 第二根两端继续燃烧，烧尽时即再过15分钟，总计45分钟；
- 再点燃第三根绳子两端，烧尽时再过30分钟，总计1小时15分钟。 | 1. 不均匀绳燃烧总时1h，但燃速不定；
2. 同时点两端，燃速加倍，总时减半→0.5h；
3. 对1h15min：第1根两端+第2根一端同时点，第1根30min烧尽→第2根剩0.5h/2=0.25h燃时；
4. 点燃第2根另一端，两端共燃0.25h→再过15min得45min；
5. 第3根两端点燃，30min后完成，合计1h15min。 |
共有三类药，分别重1g,2g,3g，放到若干个瓶子中，现在能确定每个瓶子中只有其中一种药，且每瓶中的药片足够多，能只称一次就知道各个瓶子中都是盛的哪类药吗？如果有4类药呢？5类呢？N类呢(N可数)？如果是共有m个瓶子盛着n类药呢(m，n为正整数，药的质量各不相同但各种药的质量已知)？你能只称一次就知道每瓶的药是什么吗？
注：当然是有代价的，称过的药我们就不用了 | 第一个瓶子拿出一片，第二个瓶子拿出(n+1)¹片，第三个拿出(n+1)²片，……第m个拿出(n+1)^(m−1)片。把所有这些药片放在一起称重量。 | 1. 每种药片的单位重量 t₁、t₂…tₙ 已知且互不相同；
2. 取自第 i 瓶药片 cᵢ = (n+1)^(i−1) 片，合计重量 W = Σᵢ cᵢ·t_{type(i)}；
3. 将 W 用 (n+1)-进制展开，可唯一恢复每个 cᵢ 对应的 t 值；
4. 因此一次称重即可识别每瓶所盛药型。 |
假设在桌上有三个密封的盒，一个盒中有2枚银币(1银币=10便士)，一个盒中有2枚镍币(1镍币=5便士)，还有一个盒中有1枚银币和1枚镍币。这些盒子被标上10便士、15便士和20便士，但每个标签都是错误的。允许你从一个盒中拿出1枚硬币放在盒前，看到这枚硬币，你能否说出每个盒内装的东西呢？ | 取出标着15便士的盒中的一个硬币，如果是银的说明这个盒是20便士的，如果是镍的说明这个盒是10便士的，再由每个盒的标签都是错误的可以推出其它两个盒里的东西。 | 1. 三个盒子标签全错，标15p的盒子不可能是混合盒；
2. 若从其取出银币，则该盒必须为双银(20p)盒；若取出镍币，则该盒为双镍(10p)盒；
3. 剩余一盒标10p、一盒标20p，且标签皆错：剩下标10p的即为混合盒、标20p的即为另一种双币盒。 |
有一个大西瓜,用水果刀平整地切,总共切9刀,最多能切成多少份,最少能切成多少份?主要是过程，结果并不是最重要的 | 最少10，最多130
见下表，表中蓝色部分服从2为底的指数函数规律，红色部分的数值均为其左边与左上角的两个数之和。
x | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
---|--------------------------------------
点分割→ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
线分割→ 1 2 4 7 11 16 22 29 37 46
面分割→ 1 2 4 8 15 26 42 64 93 130 | 1. 最少切法：所有切口平行，一刀一片，9刀产生10块；
2. 最多切法：每次切面都尽量穿过已有所有分界，空间分割数公式为 Σ_{k=0}^3 C(9,k) = 1 + 9 + 36 + 84 = 130；
3. 表格分别列出点、线、面分割的递增规律以验证上述极值。 |
一个巨大的圆形水池……猫追老鼠到水池边……已知V猫=4V鼠。问老鼠是否有办法摆脱猫的追逐？ | 第一步：游到水池中心。
第二步：从水池中心游到距中心R/4处，并始终保持鼠、水池中心、猫在一直线上。
第三步：沿与中心相反方向的直线游3R/4就可以到达水池边，而猫沿圆周到达那里需要3.14R，所以捉不到老鼠。 | 1. 老鼠先直线游向中心，猫沿弧线绕行，因中心—边界距离最短，老鼠先抵达中心；
2. 老鼠再朝猫所在方向游至半径 R/4 处，使猫需沿更长弧线才到同一点；
3. 最后老鼠反向直线游3R/4 回到边缘，用时(3R/4)/Vₘ ；猫沿周长行3πR/2≈4.71R/V꜀，因 V꜀=4Vₘ，弧行时间≈4.71R/(4Vₘ)=1.18R/Vₘ>0.75R/Vₘ，故老鼠先出水。 |
有三个桶，两个大的可装8斤的水，一个小的可装3斤的水，现在有16斤水装满了两大桶就是8斤的桶，小桶空着，如何把这16斤水分给4个人，每人4斤。没有其他任何工具，4人自备容器，分出去的水不可再要回来。 | 880→853：将3斤给第1个人，变为850（此时4人分别有水3-0-0-0）
850→823：将2斤给第2个人，变为803（此时4人分别有水3-2-0-0）
803→830→533→560→263→281：将1斤给第1个人，变为280（此时4人分别有水4-2-0-0）
280→253→703→730→433→460→163：将1斤给第3个人，变为063（此时4人分别有水4-2-1-0）
063→081：将1斤给第4个人，变为080（此时4人分别有水4-2-1-1）
080→053→350→323：将2斤给第2个人，将2个3斤分别给第3、4个人，（此时4人分别有水4-4-4-4） | 1. 用状态表示三桶水量如‘ABC’，初始‘880’；
2. 利用小桶3斤精确转移，先给1号3斤→‘853’，再给2号2斤→‘823’；
3. 通过反复倒换和小桶补偿，逐步使1号得4斤（280状态）；
4. 按同样方法依次让3号、4号获得4斤；
5. 最终四人各得4斤，桶中水量归零，满足分配。 |
从前有一位老钟表匠...老钟表匠第一次对表的时候是7点几分？第二次对表又是8点几分？ | 第一次是7点38分，第二次是8点44分。 | 1. 设时钟走快：长针、短针装反后短针速度为长针12倍，长针为正常时针速度；
2. 第一次校对时，老匠以自己表对标准表，时间读作7点x分，满足(7+ x/60)/12 = x/60，解得 x = 420/11 ≈38.18 →约38分；
3. 第二次校对：同理(8+ y/60)/12 = y/60，解得 y = 480/11 ≈43.64 →约44分。 |
今有2匹马、3头牛和4只羊...问：马、牛、羊的单价各是多少文钱？ | 马3600文，牛2800文，羊1600文。 | 1. 设马价M、牛价B、羊价S；给出方程：2M+ B = 10000，3B+ S = 10000，4S+ M = 10000；
2. 从第一式 B = 10000−2M；代入第二式 3(10000−2M) + S =10000 → S = 10000−30000+6M = 6M−20000；
3. 代入第三式 4(6M−20000) + M =10000 →24M−80000+ M =10000 →25M=90000 →M=3600；
4. 则 B=10000−7200=2800，S=6*3600−20000=16000−20000=1600。 |
一天，harlan的店里来了一位顾客...问harlan赔了多少钱？ | 100文。 | 1. 顾客给出假100元，harlan取真100去邻店换零并给顾客75元找零；
2. 顾客拿走价值25元的货品和75元零钱；
3. 飞白后发现是假钱，harlan再补真100给飞白；
4. 合计损失：货品25 + 给顾客的找零75 =100元。 |
猴子爬绳...问砝码将如何动作？ | 砝码将以与猴子相同的速度上升，因为它们质量相同，受力也相同。 | 1. 绳和重物无摩擦，系统质量对称；
2. 猴子向上爬动时通过绳向下拉，绳对猴子的张力与对砝码相同；
3. 由于猴子和砝码质量相等，受力相等、加速度相等；
4. 因此砝码以与猴子相同的速度向上移动。 |
两个空心球，大小及重量相同，但材料不同...要求在不破坏表面油漆的条件下指出哪个是金的，哪个是铅的。 | 旋转看速度，金球的转动惯量大，角加速度小，转得较慢。 | 1. 外半径相同、质量相同，金密度>铅密度，故金球壳更薄、内半径更大；
2. 空心球转动惯量 I = (2/5)m(R⁵−r⁵)/(R³−r³)，内半径越大、I越大；
3. 施加相同外力矩，角加速度 α=τ/I，I大者α小；
4. 因此金球转得比铅球慢，肉眼可辨。 |
有23枚硬币在桌上，10枚正面朝上。假设别人蒙住你的眼睛，而你的手又摸不出硬币的反正面。让你用最好的方法把这些硬币分成两堆，每堆正面朝上的硬币个数相同。 | 分成10＋13两堆，然后翻转10的那堆。 | 1. 任意取出10枚硬币作为一堆，剩余13枚为另一堆；
2. 第一堆中的正面朝上数为k，第二堆中为10−k（因总正面10枚）；
3. 翻转第一堆后，正面数变为10−k；第二堆保持10−k；
4. 两堆正面数相等，均为10−k。 |
三个村庄A、B、C和三个城镇A、B、C坐落在如图所示的环形山内。由于历史原因，只有同名的村与镇之间才有来往。为方便交通，他们准备修铁路。问题是：如何在这个环形山内修三条铁路连通A村与A镇， B村与B镇，C村与C镇。而这些铁路相互不能相交。（挖山洞、修立交桥都不算，绝对是平面问题）。想出答案再想想这个题说明什么问题。 | 答案如右图所示。 | 1. 该连接问题等价于完全双分图 K₃,₃ 的平面化；
2. K₃,₃ 在平面上不可无交点嵌入，故无解；
3. 这说明 K₃,₃ 是非平面图，也即“三公用事业问题”无平面解。 |
屋里三盏灯泡,屋外三个开关,一个开关仅控制一盏灯,屋外看不到屋里,怎样只进屋一次,就知道哪个开关控制哪盏灯? 四盏呢~ | 先开一盏，足够长时间后关了，开另一盏，进屋看，亮的为后来开的，摸起来热的为先开的，剩下的一盏也就确定了。
四盏的情况：设开关为A、B、C、D，先开A、B，长开A后关B并开C，然后进屋：亮且热的为A，只热不亮的为B，只亮不热的为C，不亮不热的为D。 | 1. 利用灯泡通电发光与发热延迟：先让一盏加热，再关闭以保留余热；
2. 第二盏新开启保持亮度而无余热；
3. 进屋后用“亮/热”四种状态对应“先开/后开/永不开”组合；
4. 四灯时用两次开两盏的方法创造4种状态，依亮温即可区分。 |
2+7-2+7全部有火柴根组成，移动其中任何一根，答案要求为30 | 将式子变为 247 − 217 = 30。 | 1. 将第一个“+”的竖短棒与最后一个“+”的横短棒重组为数字“4”；
2. 同理将“-”触点移为形成“1”；
3. 得到算式“247−217=30”，成立且只动了一根火柴。 |
5名海盗抢得了窖藏的100块金子，并打算瓜分这些战利品……最凶的一名海盗应当提出什么样的分配方案才能使他获得最多的金子？ | 第一个海盗应提出分配方案：97、0、1、0、2。 | 1. 用逆向归纳：若只剩2海盗，分100、0得票过半；
2. 加入第三海盗，需2/3支持，提出99、0、1，得第三海盗支持；
3. 加入第四海盗，需3/4支持，提出98、0、1、0，得第3、第4支持；
4. 加入第五（最强）海盗，需3/5支持，提出97、0、1、0、2，能赢得第3、第5的票；
5. 第一个海盗获3票（包括自己），方案通过且获97金块最大化。 |
5个囚犯分别按1-5号在装有100颗绿豆的麻袋抓绿豆，规定每人至少抓一颗，而抓得最多和最少的人将被处死，而且，他们之间不能交流，但在抓的时候，可以摸出剩下的豆子数。问他们中谁的存活几率最大？ | 第一个人选择17时最优。 | 1. 先动者（1号）选择一个数，其它囚犯将根据剩余豆数决定自己的选择；
2. 若1号选得过大或过小，2-4号可联合逼其成为最少或最多，导致1号处死；
3. 为避免被确定性逼死，1号需选一个接近中位的数≈100/6≈16.7；
4. 计算16与17两种策略的存活概率，发现17略优；
5. 故1号选17可获得最高存活几率。 |
有5只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分。第二天清晨，第一只猴子最早来到，左分右分分不开，就朝海里扔了一只，恰好可以分成5份，它拿走一份走了。第2、3、4、5只猴子也做了同样的事情。问这堆桃子至少有多少只？ | 这堆桃子至少有3121只。 | 1. 设初始桃数为 x；第 k 只猴子扔掉1后剩余(4/5)(上一余数)；
2. 迭代5次后，对应方程：(4/5)^5 x − sum = 4·(4/5)^4 + … +4 = 0 mod 5^5；
3. 解得 x = 5^5 − 4 = 3125 − 4 = 3121；
4. 故最小整数解为3121。 |
话说某天一艘海盗船被天下砸下来的一头牛给击中了，5个倒霉的家伙只好逃难到一个孤岛，发现岛上孤零零的，幸好有棵椰子树，还有一只猴子！大家把椰子全部采摘下来放在一起，晚上各自悄悄分椰子并给猴子扔掉一只，重复5次，早上一起分时又多一只。问这堆椰子最少有多少个？ | 这堆椰子最少有15621个。 | 1. 每次分前扔掉1个后余数须能被5整除；
2. 设初始椰子数为 N，满足迭代关系 N₁=(4/5)(N−1), … 5 次后(N₅−1)≡0 mod5；
3. 解方程得 N = 5^6 − 4 = 15625 − 4 = 15621；
4. 因此最小满足条件的椰子数为15621。 |
小明和小强都是张老师的学生，张老师的生日是M月N日，2人都知道张老师的生日是下列10组中的一天……小明说：如果我不知道的话，小强肯定也不知道；小强说：本来我也不知道，但是现在我知道了；小明说：哦，那我也知道了。请根据以上对话推断出张老师的生日是哪一天？ | 9.1 | 1. 初始候选：3/4,3/5,3/8,6/4,6/7,9/1,9/5,12/1,12/2,12/8；
2. 小明说他“不知道”、并确定小强也“不知道”，排除所有唯一日（1月和其他唯一日）；
3. 小强据此获知后能确定，说明日为唯一剩余日“1日”；
4. 小明再据此也能唯一定位月份，仅9月剩下9/1；
5. 故生日为9月1日。 |
一逻辑学家误入某部落，被囚于牢狱……今有两门，一为自由，一为死亡，你可任意开启一门。现从两个战士中选择一人负责解答你所提的任何一个问题（Y/N），其中一个天性诚实，一人说谎成性……逻辑学家应如何发问？ | 问：如果我问另一个人死亡之门在哪里，他会怎么回答？最终得到的回答肯定是指向自由之门的。 | 1. 无论对象是诚实者还是说谎者，对“另一个人会怎么回答”发问，都将产生相反于真相的谎言；
2. 其回答会指向死亡之门；
3. 因此取相反方向（另一扇门）即可到自由之门。 |
说从前啊,有一个富人,他有30个孩子,其中15个是已故的前妻所生,其余15个是继室所生…富人让孩子排成圆圈，每逢数到10就让那个孩子站出去,直到最后剩下哪个孩子,哪个孩子就继承财产。结果前14个被剔除的孩子都是前妻生的，而下一个要剔除的还是前妻生的,富人停,从这个孩子倒回去数,继室的儿子就是继承人。你猜,到底谁做了继承人呢？ | 继室所生的儿子。 | 1. 这是 Josephus 问题，参数 n=30, k=10；
2. 标准递推解法或模拟可得最后幸存编号为 stepmotherIndex；
3. 题中前14位剔除的都是前妻所生，由此推断剩余共计16人，其中剔除逻辑将指向第15位时仍为前妻子，富人倒退一步计数即落在继室子中；
4. 因此继承人是继室所生的儿子。 |
有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。 | 12天。 | 1. 设牛每天吃草 x，草每天生长 y，总草量 a；
2. 列方程：27x·6 − y·6 = a，23x·9 − y·9 = a；
3. 解得 y = 15x，a = 72x；
4. 对21头牛：21x·T − y·T = a ⇒ (21x−15x)T = 72x ⇒ T=72x/6x=12。 |
一个商人骑一头驴要穿越1000公里长的沙漠，去卖3000根胡萝卜…已知驴一次性可驮1000根胡萝卜，但每走一公里又要吃掉一根胡萝卜。问：商人共可卖出多少胡萝卜？ | 500根。 | 1. 首段：商人驮1000根出发，需往返多次在中点存粮，最后在250km处存500根后返回；
2. 第二段：再带1000根到250km处，驴吃250根，剩750，再补250根存粮，抵500km时剩500根；
3. 最后一段：携500根直接走完后500km，驴再吃500根，正好剩500根到终点。 |
10箱黄金，每箱100块，每块一两。有贪官，把某一箱的每块都磨去一钱。请称一次找到不足量的那个箱子。 | 从第1箱取1块，第2箱取2块，…第10箱取10块，合称一次，缺了 n 钱则是第 n 箱出现问题。 | 1. 每块正常重量为1两＝10钱；坏箱每块少1钱；
2. 从箱 i 取 i 块，合计正常重量应为Σ(i×10)；
3. 实称总重少 Δ 钱，Δ = i 时，唯一对应第 i 箱；
4. 一次称重即可定位。 |
你让工人为你工作7天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的7段，你必须在每天结束时都付费，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费？ | 将金条按1、2、4三段切分：
- 第1天给1；第2天收回1再给2；第3天给1；第4天收回1+2再给4；依此类推。 | 1. 切分金条为长度1、2、4（三段），可用二进制覆盖1~7；
2. 第1天给1；
3. 第2天回收1再给2；
4. 第3天再给1，总给3；
5. 第4天回收1+2再给4；
6. 第5~7天按二进制续加1或2或1+2补齐即可，确保每天给足当日累计天数的金条长度。 |
有十瓶药，每瓶里都装有100片药，其中有八瓶里的药每片重10克，另有两瓶里的药每片重9克。用一个蛮精确的小秤，只称一次，如何找出份量较轻的那两个药瓶？ | 等同54，但此题有一些变化，与众不同的瓶子有两个，只称一次的话，只能得到两个瓶子所缺的克数的总和，我们必须保证能从总和中唯一地得出两个瓶子的所缺数。第一个瓶可拿出1片，第二个拿2片，第三个拿3片，但第四个不能拿4片，因为如果结果缺了5克的话，你就不知道是缺了2+3还是1+4。所以第四个应拿5片，第五个应拿8片，第n个应拿a(n-1)+a(n-2)片。 | 1. 标记药瓶1～10，记轻瓶片重比正常少1克；
2. 从瓶i取出Fibonacci数列f_i片（f₁=1,f₂=2,f₃=3,f₄=5,…），其余瓶勿动；
3. 将所取药片一并称重，计算比正常重量少的克数Δ；
4. 由于Δ是两瓶f_i之和，按照Zeckendorf定理，每个Δ可唯一分解为两项Fibonacci数，即可确定是哪两瓶；
5. 只需一次称重便能识别两瓶异常药。 |
一个经理有三个女儿，三个女儿的年龄加起来等于13，三个女儿的年龄乘起来等于经理自己的年龄，有一个下属已知道经理的年龄，但仍不能确定经理三个女儿的年龄，这时经理说只有一个女儿的头发是黑的，然后这个下属就知道了经理三个女儿的年龄。请问三个女儿的年龄分别是多少？为什么？ | 3个女儿的年龄分别为2，2，9。 | 1. 列出所有三正整数和为13的组合及其乘积；
2. 下属仅凭乘积无法确定，说明乘积对应不止一组年龄——即可能是36，对应(1,6,6)和(2,2,9)；
3. “只有一个女儿头发是黑的”意味着只有一个年龄较大（其余两龄小），排除(1,6,6)（两个大龄6），剩(2,2,9)；
4. 因此年龄为2、2、9。 |
有三个人去住旅馆，住三间房，每一间房?元，于是他们一共付给老板?，第二天，老板觉得三间房只需要?元就够了于是叫小弟退回?给三位客人，谁知小弟贪心,只退回每人?，自己偷偷拿了ū，这样一来便等于那三位客人每人各花了九元，于是三个人一共花了?，再加上小弟独吞了不ū，总共是?。可是当初他们三个人一共付出?那么还有?呢？ | 应该是三个人付了9*3=27，其中2付给了小弟，25付给了老板。 | 1. 三人最初支付30元，酒店实际收取25元，找零5元；
2. 服务生私吞2元，实际退给客人3元，每人得1元；
3. 每人实际净付30/3−1=9元，共付27元；
4. 这27元中25归酒店，2归服务生，款项对账无缺失。 |
有两位盲人，他们都各自买了两对黑袜和两对白袜，八对袜子的布质、大小完全相同，而每对袜子都有一张商标纸连着。两位盲人不小心将八对袜子混在一起。他们每人怎样才能取回黑袜和白袜各两对呢？ | 拆开所有的袜子，每人一个。 | 1. 每对袜子带有可触摸的商标标签以区分；
2. 将所有袜子拆开，商标标签从原对上分离；
3. 盲人听标签指示分别取回带相同商标的袜子两只，重新配对；
4. 因为每对标签唯一，故每人都能正确组回两对黑袜、两对白袜。 |
有一辆火车以每小时15公里的速度离开洛杉矶直奔纽约，另一辆火车以每小时20公里的速度从纽约开往洛杉矶。如果有一只鸟，以30公里每小时的速度和两辆火车同时启动，从洛杉矶出发，碰到另一辆车后返回，依次在两辆火车来回飞行，直到两辆火车相遇，请问，这只小鸟飞行了多长距离？ | 6d/7 | 1. 设两车之间初始距离为 d；
2. 相遇时间 T = d/(15+20)=d/35 小时；
3. 鸟速30 km/h，持续飞行 T，则飞行距离 = 30·(d/35) = (6/7)d。 |
你有两个罐子，每个罐子各有若干红色弹球和蓝色弹球，两个罐子共有50个红色弹球，50个蓝色弹球，随机选出一个罐子，随机从中选取出一个弹球，要使取出的是红球的概率最大，一开始两个罐子应放几个红球，几个蓝球？在你的计划中，得到红球的准确几率是多少？ | 一个罐子放1个红球，另一个罐子放49个红球和50个蓝球。这样得到红球的概率接近75%。 | 1. 设罐子A放r红、0蓝；罐子B放(50−r)红、50蓝；
2. 选A或B概率各½，总红球概率 = ½·(r/r) + ½·[(50−r)/(100−r)] = ½ + ½·[(50−r)/(100−r)];
3. 该式随r减小而增大，最优取r=1：P=½ + ½·(49/99) = ½ + 0.2475 ≈ 0.7475；
4. 即约74.75%，最接近3/4。 |
你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？ | 与前面的54、56题相似：从罐i取2^(i−1)片（或Fibonacci数列片），一次称重，根据总重量超出的Δ对应编号唯一确定污染罐。 | 1. 标记罐子1–4；从罐 i 取取片数 cᵢ=2^(i−1)（即1,2,4,8）；
2. 若无污染，总重 = Σ cᵢ·w；污染时多出Δ = Σ_{污染罐 j} cⱼ；
3. 由于2^(i−1)仅有唯一二进制表示，可将Δ二进制位映射回罐号；
4. 一次称重即可定位哪个罐被污染。 |
对一批编号为1～100，全部开关朝上(开)的灯进行以下操作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号。 | 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100。 | 1. 灯 i 被切换次数等于其正因子个数；
2. 因子成对出现，只有完全平方数有奇数个因子；
3. 因此最终关闭（奇数次切换）的灯编号为所有完全平方数≤100。 |
想象你在镜子前，请问，为什么镜子中的影像可以颠倒左右，却不能颠倒上下？ | 实际上镜子并没有颠倒左右，而是颠倒了前后；左右颠倒是因为人心智上将面对镜子时的前后转换理解为左右交换。 | 1. 镜子反射深度轴：将“前”与“后”对调；
2. 人脸向镜面时，自己会在心中做旋转，让自己面向镜中像，导致左右互换的错觉；
3. 垂直方向未做类似心智旋转，故看似上下不颠倒。 |
一群人开舞会，每人头上都戴着一顶帽子。帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶。每个人都能看到其他人帽子的颜色，却看不到自己的。主持人先让大家看看别人头上戴的是什么帽子，然后关灯……第一次关灯，没有声音。于是再开灯，……一直到第三次关灯，才有劈劈啪啪打耳光的声音响起。问有多少人戴着黑帽子？ | 3人戴黑帽子。 | 1. 若只有1顶黑帽，则第一轮其戴黑者看见全白，会立即拍自己；
2. 若有2顶黑帽，则他们第一轮各见1黑1白，不确定；第二轮见对方未拍，则知自己也黑；会在第二轮拍；
3. 实际直到第三轮才拍，故黑帽数=3；
4. 归纳：n顶黑帽者在第n轮拍。 |
两个圆环，半径分别是1和2，小圆在大圆内部绕大圆圆周一周，问小圆自身转了几周？如果在大圆的外部，小圆自身转几周？ | 小圆在大圆内部转了1周，在大圆外部转了3周。 | 1. 将大圆“剪开”展开为一条长度为2π·2的直线，相当于小圆沿直线滚动一周，需滚动长度4π；
2. 小圆周长2π·1=2π，则在滚动4π时自身需转4π/2π=2圈；
3. 同时，小圆沿圆周绕行一周又产生1圈自转，总计2+1=3圈；
4. 在内部滚动时，滚动方向与自转方向相反，故净转圈数为2−1=1圈。 |
1元钱一瓶汽水，喝完后两个空瓶换一瓶汽水。问：你有20元钱，最多可以喝几瓶汽水？ | 40瓶。 | 1. 用20元买20瓶，得20个空瓶；
2. 用20空瓶换10瓶，空瓶剩10；
3. 再用10空瓶换5瓶，空瓶剩5；
4. 用5空瓶换2瓶，空瓶剩3；
5. 用2空瓶换1瓶，空瓶剩2；
6. 用2空瓶换1瓶，空瓶剩1；
7. 向店主借1空瓶，换1瓶，喝完归还，合计20+10+5+2+1+1+1=40瓶。 |
有3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子。让10个人从矮到高站成一队，每人只能看到前面所有人的帽子颜色。现在从最后那个人开始问：“你知道自己头上戴的帽子颜色吗？”如果他答“不知道”就问前一个人，如此进行。已知最前面那个人一定会知道自己戴的是什么颜色的帽子，为什么？ | 因为在他后面的所有人都回答“不知道”，说明每个人都至少看见了一顶黑帽子；最前面那个人看不到别人，唯一可能的黑帽子就戴在他头上，所以他能确定自己戴的是黑帽。 | 1. 只有看到前面没人戴某色时，才能排除自己不是那色；
2. 最后一个人“不知道”说明他至少看见一顶非白色帽，否则他会立刻知道自己是白帽；
3. 中间每个人同理推理“不知道”说明他也看见至少一顶其他颜色帽；
4. 最前面那人看不见任何人，听到后面所有人都“不知道”，由此推断自己必须戴着那顶被所有人看见的黑帽子。 |
假设排列着100个乒乓球，由两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。条件是：每次拿球者至少要拿1个，但最多不能超过5个，问：如果你是最先拿球的人，你该拿几个？以后怎么拿就能保证你能得到第100个乒乓球？ | 先拿4个，此后每次对方拿n个，你就拿6−n个。 | 1. 目标是让每轮两人合计拿6个，这样从100向后每6个一循环；
2. 首次拿4后剩96，正好96是6的倍数；
3. 若对手拿n，你取6−n，保持每轮拿6；
4. 最终你必拿到第100个球获胜。 |
卢姆教授说：一只山羊重54磅，与一只重57磅的山羊相撞致死…已知从20英尺高坠落30磅物能产生足够破脑能量813.669焦耳。问：轻山羊撞击时至少要有多大速度？ | 1英尺（ft）=0.3048米（m）
1磅（lb）=0.454千克（kg）
通过实验得到撞破脑壳所需要的机械能是mgh=（30×0.454）×9.8×(20×0.3048)=813.669J。对于两只山羊撞击瞬间来说，较重的那只仅仅是站在原地，只有较轻的山羊具有速度。现在我们只需要求得碰撞瞬间轻山羊的瞬时速度就可以了，根据机械能守恒定律：mgh=½(m₁v²)可以得出速度。m₁是轻山羊的重量。 | 1. 已知所需能量E=mgh=813.669J；
2. 设轻山羊质量m₁=54lb×0.454=24.516kg；
3. 能量守恒：½m₁v²=E ⇒ v=√(2E/m₁)=√(2×813.669/24.516)≈8.15m/s；
4. 故轻山羊需约8.15米/秒的速度撞击。 |
据说有人给酒肆的老板娘出了一个难题：此人明明知道店里只有两个舀酒的勺子，分别能舀7两和11两酒，却硬要老板娘卖给他2两酒。聪明的老板娘毫不含糊，用这两个勺子在酒缸里舀酒，并倒来倒去，居然量出了2两酒，聪明的你能做到吗？ | 11→0: (11,0) → (4,7) → (4,0) → (0,4) → (11,4) → (8,7) → (8,0) → (1,7) → (1,0) → (0,1) → (11,1) → (5,7) → (5,0) → (0,5) → (11,5) → (9,7) → (9,0) → (2,7), 得2两。 | 1. 状态记为(大勺量,小勺量)，初始(0,0)；
2. 每步要么舀满某一勺，要么倒满另一勺或倒空；
3. 按序操作：先将11舀满→(11,0)，倒入7→(4,7)，清空7→(4,0)，11舀入7→(0,4)，11再满→(11,4)，倒入7→(8,7)，清空7→(8,0)，11倒7→(1,7)，清空7→(1,0)，将1倒入11→(0,1)，11再满→(11,1)，倒入7→(5,7)，清空7→(5,0)，倒入7→(0,5)，11满→(11,5)，倒入7→(9,7)，清空7→(9,0)，11倒7→(2,7)，得大勺剩2两。 |
已知：每个飞机只有一个油箱，飞机之间可以相互加油…一箱油可供一架飞机绕地球飞半圈，为使至少一架飞机绕地球一圈回到起飞机场，至少需要出动几架飞机？ | 3架飞机。 | 1. 设三架 A、B、C 同时起飞，每架装满1箱；
2. A与B同行至1/6圈，两者共耗1/6+1/6=1/3箱，剩余各2/3； B给A加1/6使其满油，各剩1/2； B返航到基地耗1/12后刚好安全；
3. A与C同行至1/6圈，重复上述加油策略，C返航安全，A剩1/2箱；
4. A携1/2箱续飞剩余2/3圈正好回到起点。 |
在9个点上画10条直线，要求每条直线上有三个点？ | 不可能做到。 | 1. 9点总共可构成的3点直线数有限；
2. 若有10条，每条含3点，则点—线关系总关联数=30；
3. 按每点至多通过k条线计数会产生矛盾，超出可能最大值；
4. 因此不存在满足条件的无交叉配置。 |
一个岔路口分别通向诚实国和说谎国。来了两个人，已知一个是诚实国的，另一个是说谎国的。诚实国永远说实话，说谎国永远说谎话。现在你要去说谎国，但不知道应该走哪条路，需要问这两个人。请问应该怎么问？ | 问其中一人：“如果我问另一人，哪条路通向说谎国，他会怎么回答？”然后走相反的那条路。 | 1. 设 A 为所问者，B 为另一人；
2. 若 A 诚实，则会如实转述 B（谎言者）的回答，指向错误路；
3. 若 A 说谎，则会谎报 B（诚实者）的正确回答，同样指向错误路；
4. 因此所问回答必指错误的道路，取其对面即通向说谎国。 |
在一天的24小时之中，时钟的时针、分针和秒针完全重合在一起的时候有几次？都分别是什么时间？你怎样算出来的？ | 2次，分别为 00:00:00 和 12:00:00。 | 1. 时针角速度 ωₕ=360°/12h=0.5°/min，分针 ωₘ=6°/min，秒针 ωₛ=360°/60s=6°/s；
2. 仅有在整点整秒时三针才可能同时重合；
3. 分针与时针每12/11小时重合一次，秒针与分针每65/11秒重合一次，二者最小公共周期为12小时；
4. 因而每天仅在00:00:00和12:00:00两次三针完全对齐。 |
你让工人为你工作7天，给工人的回报是一根金条。金条平分成相连的7段，你必须在每天结束时给他们一段金条，如果只许你两次把金条弄断，你如何给你的工人付费？ | 将金条切成长度为1、2、4的三段。第一天给1；第二天收回1再给2；第三天给1；第四天收回1+2再给4；随后依此类推，合成每天对应1~7的长度。 | 1. 把7天用二进制表示（1,2,3,4,5,6,7）需用1、2、4三段覆盖所有天数；
2. 切分段为1、2、4；
3. 每日操作：若当日需付X，组合1、2、4可唯一表示；
4. 通过“先归还再给新段”的方式，只需两次折断就能每天支付正确段数。 |
请把一盒蛋糕切成8份，分给8个人，但蛋糕盒里还必须留有一份。 | 先把蛋糕均匀切成8份，取出7份分给7个人，最后剩下的第8份连同蛋糕盒一起留在盒中。 | 1. 一次性将蛋糕切成8等份；
2. 分给前7人各一份；
3. 最后一份自然留在原盒中，满足“盒中还留有一份”的要求。 |
小明一家过一座桥，过桥时是黑夜，所以必须有灯。小明要1秒，弟弟3秒，爸爸6秒，妈妈8秒，爷爷12秒。每次最多两人同行，手电筒限一把，30秒后熄灭。如何在30秒内全家过桥？ | 1s+3s过桥(3s)，1s返回(4s)，8s+12s过桥(16s，总20s)，3s返回(23s)，1s+6s过桥(6s，总29s)，全家过桥。 | 1. 最快的1s(A)和3s(B)先过桥，用3s；
2. A返回用1s，累计4s；
3. 最慢的8s(D)和12s(E)一起过，用12s，累计16+4=20s；
4. B返回用3s，累计23s；
5. A(1s)和C(6s)最后过，用6s，累计23+6=29s；
6. 全员到达，29s内完成。 |
一群人开舞会，每人头上都戴着一顶帽子。帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶。每个人都能看到在他前面所有人的帽子颜色，却看不到自己的。主持人先让大家看别人帽子，然后关灯问：“你知道自己戴的帽子颜色吗？”前三次都无人回答，第三次后才有人拍自己耳光。请问有多少人戴黑帽？ | 3 人戴黑帽子。 | 1. 若只有1顶黑帽，第一轮那人会立刻知道并打自己；
2. 若有2顶黑帽，第二轮两人会根据对方第一轮未打而知晓并打自己；
3. 事实直到第三轮才打，说明有3顶黑帽；
4. 此归纳法适用于n顶黑帽者在第n轮打自己。 |
一楼到十楼的每层电梯门口都放着一颗钻石，大小各不相同。你乘电梯从一楼到十楼，每层门开一次，只能拿一次钻石，怎样才能拿到最大的那一颗？ | 一楼拿下钻石作为当前最优，然后每到一层都将手中与新见钻石比较，若新钻更大则交换，直到十楼手中即为最大。 | 1. 到达第一层时必拿该钻，初始化“当前最大”；
2. 每到新层，比较手中与该层钻石大小；
3. 若遇更大钻石，则放下旧钻、拿走新钻；
4. 这样一次扫描后，手中钻石即为全局最大值。 |
烧一根不均匀的绳要用一个小时，如何用它来判断半个小时？ | 将这根绳的两端同时点燃，绳子两端燃烧速度相加，总时长减半，烧完时正好是半小时。 | 1. 一根不均匀的绳，从一端烧到底需要1小时；
2. 如果同时在两端点燃，绳子任意位置燃烧速度相加，总燃烧时间为½小时；
3. 因此两端同时点燃即能准确计时30分钟。 |
为什么下水道的盖子是圆的？ | 圆形盖子的直径在任何方向上都一致，不会掉进下水道口。 | 1. 盖子要防止掉入洞中，需保证任意方向的直径都大于洞口；
2. 圆形在所有方向上直径相同，故无论怎样旋转都无法通过开口；
3. 方形或椭圆形存在较短的对角线或边长，可能掉入洞中。 |
有7克、2克砝码各一个，如何只用这些物品三次将140克的盐分成50、90克各一份？ | 1) 第一次：将140g分成70g+70g；
2) 第二次：将其中一份70g分成35g+35g；
3) 第三次：用7g和2g砝码配合称，精确剔出20g，使得剩余35g的那份变为15g，然后将这15g加到另一份70g中，得90g和50g。 | 1. 第一次称：用70g+70g分两等份；
2. 第二次称：将其中一份70g再等分为35g+35g；
3. 第三次称：在一边放7g砝码和部分盐，在另一边放2g砝码，通过调整盐量使两边平衡，剔出20g；
4. 将20g加入未动的70g，得90g，剩余50g。 |
想象你在镜子前，请问，为什么镜子中的影像可以颠倒左右，却不能颠倒上下？ | 镜子实际上颠倒的是前后，而人们习惯性地将前后对换理解为左右互换，上下未做此心智旋转，因此看似上下不变。 | 1. 镜子反射使得“前”与“后”轴线对调；
2. 人们习惯转身以面对镜中像，会将前后颠倒感知为左右互换；
3. 上下方向无此心智旋转，故感觉上下未颠倒。 |
你有两个罐子，50个红色弹球，50个蓝色弹球，随机选一个罐子并取一个球，为使取到红球概率最大，应如何分配？概率是多少？ | 一个罐子放1个红球，另一个放49红+50蓝。此时取红球的概率约为74.75%。 | 1. 设罐A放r红、0蓝，罐B放(50−r)红、50蓝；
2. 总取红概率=½·1 + ½·[(50−r)/(100−r)]；
3. 该式随r减小增大，最优取r=1：P=½ + ½·(49/99)≈0.7475；
4. 因此约74.75%，最接近75%。 |
你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？ | 从罐子i取出2^(i–1)片药丸（即1、2、4、8片），一次称重，根据总重量比预期多出的克数Δ，用二进制拆分即可唯一定位被污染的罐子。 | 1. 标记罐子1–4；从第i号罐取出2^(i–1)片；
2. 未污染时总重为Σ2^(i–1)·w；污染罐每片多1克，实际称重多出Δ克；
3. 将Δ写成二进制，其二进制位中“1”所在的位置即对应被污染的罐号；
4. 一次称重即可唯一确定哪罐药被污染。 |
对一批编号为1～100，全部开关朝上(开)的灯进行以下操作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号。 | 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 | 1. 灯i会被切换的次数等于i的正约数个数；
2. 除了完全平方数外，所有i的约数成对出现，切换次数为偶数（最终开）；
3. 完全平方数有奇数个约数，切换次数为奇数（最终关）；
4. ≤100 的完全平方数即为答案列表。 |
假设一张圆盘像唱机上的唱盘那样转动。这张盘一半是黑色，一半是白色。假设你有数量不限的一些颜色传感器。要想确定圆盘转动的方向，你需要在它周围摆多少个颜色传感器？它们应该被摆放在什么位置？ | 只需要两个传感器，分别放在圆盘左侧的上方和下方。当圆盘转动时，先变色的传感器对应方向：上方先变则顺时针，下方先变则逆时针。 | 1. 圆盘旋转会依次让某侧区域由黑到白或白到黑；
2. 放两个感应点在左侧——一高一低，保证同侧不同高度；
3. 若上点先检测到颜色变化，则旋转方向为顺时针；若下点先触发，则为逆时针；
4. 两点足以区分方向，无需更多传感器。 |
假设时钟到了12点。注意时针和分针重叠在一起。在一天之中，时针、分针和秒针完全重合在一起的时候有几次？都分别是什么时间？你怎样算出来的？ | 一天之中只有两次：00:00:00 和 12:00:00。 | 1. 时针、分针、秒针三者重合要求同一时刻角度完全一致；
2. 分针与时针每12/11小时重合一次，但此时秒针通常不在整秒；
3. 秒针与分针重合每65/11秒，但此时时针通常不在整分整点；
4. 唯一同时满足整点整秒的只有00:00:00和12:00:00；
5. 因此全天仅此两次三针完全对齐。 |
一个屋子有一个门（门是关闭的）和3盏电灯。屋外有3个开关，分别与这3盏灯相连。你可以随意操纵这些开关，可一旦你将门打开，就不能变换开关了。怎样只进屋一次，就知道哪个开关控制哪盏灯？ | 先打开开关A和B，让它们通电一段时间后关闭B，保持A打开，然后进屋：\n– 点亮且发热的灯对应A；\n– 不亮但发热的对应B；\n– 不亮且不热的对应C。 | 1. 用开关A让灯泡通电并发热；
2. 再打开B但不让足够发热；
3. 关闭B，保持A继续发亮；
4. 进屋后检查：亮+热→A，热无光→B，既不热不亮→C；
5. 一次入屋即可分辨三盏灯对应开关。 |
假设你有8个球，其中一个略微重一些，但是找出这个球的惟一方法是将两个球放在天平上对比。最少要称多少次才能找出这个较重的球？ | 2次 | 1. 将8球分为3、3、2三组；
2. 第一次称量：比较两组三球，若不平衡，重球在重的一组；若平衡，重球在剩下的两球中；
3. 第二次称量：若候选3球，则比较其中两球；若候选2球，则直接称这两球；
4. 由此两次称量即可定位重球。 |
如果你有两个桶，一个装的是红色的颜料，另一个装的是蓝色的颜料。你从蓝色颜料桶里舀一杯，倒入红色颜料桶，再从红色颜料桶里舀一杯倒入蓝色颜料桶。两个桶中红蓝颜料的比例哪个更高？ | 两个桶中红色与蓝色的比例相同。 | 1. 设两桶初始各含V升纯色颜料；舀取一杯量为c；
2. 第一步将c蓝倒入红桶后，红桶中红=V，蓝=c；总量V+c；
3. 再舀同样体积c混合后颜料倒回蓝桶，回桶中红量为c·c/(V+c)，蓝量V−c+c·V/(V+c)；
4. 计算可得两桶红/蓝比例均为(V−c)/(c)，相等；
5. 因此两桶中红蓝比例一致。 |
有趣的算法、逻辑面试题：A、B两人分别在两座岛上…箱子被偷问题。A应该如何发问以安全递交药物？ | A先将药放入箱中，用自己的锁锁上后交给C；B收到后在箱外加上自己的锁后再交还A；A解开自己的锁后再次交给B；B解开自己的锁后即可取出药物。 | 1. C会偷未上锁的箱子，因此箱内必须始终至少有一把锁；
2. A加自己锁，箱只能由A开启；
3. B加第二把锁，箱锁两把，C无法打开；
4. A取回后去掉自己的锁，箱仍有B的锁；
5. B最后去掉自己的锁，安全取出药。 |
有一个软件公司，1/2的人是系统分析员，2/5的人是软件工程师，有1/4的人两者都是，问有多少人两者都不是？ | 7/20（35%） | 1. 设总人数为1；系统分析员=1/2，软件工程师=2/5，重复者=1/4；
2. 用集合公式：非两者 = 1 − [P(分析)+P(工程) − P(两者)] = 1 − [1/2 + 2/5 − 1/4] ;
3. 计算：1/2+2/5=9/10，9/10−1/4=9/10−0.25=9/10−1/4=18/20−5/20=13/20；
4. 非两者 =1−13/20=7/20。 |
有25匹马，速度都不同，但每匹马的速度都是定值。现在只有5条赛道，无法计时，即每赛一场最多只能知道5匹马的相对快慢。问最少赛几场可以找出25匹马中速度最快的前3名？ | 7场 | 1. 将25匹马分成5组（A–E），每组5匹，进行前5场比赛以确定每组内部的排序；
2. 第6场比赛让5组冠军（A1,B1,C1,D1,E1）同场竞技，确定它们的相对名次，记为A1最快、B1次之、C1第三；
3. 只有这几匹和它们各组的次名、三名有可能进入总的前3：A2、A3、B1、B2、C1；
4. 第7场比赛这5匹马，取前两名即为全体马的第2、第3快（A1已是第一）；
5. 因此共需7场即可找出最快的三名。 |
考虑一个双人游戏。游戏在一个圆桌上进行。每个玩家轮流放置一枚硬币，每次必须且只能放置一枚硬币，要求硬币完全置于桌面内，且不能与原来放过的硬币重叠。谁没有地方放置新的硬币，谁就输了。先行者还是后行者有必胜策略？这种策略是什么？ | 先行者必胜。策略是第一枚硬币放在圆心，然后每次都将对方所放硬币关于圆心点对称放置。 | 1. 圆桌关于中心点具有径向对称性；
2. 先行者首步放置于圆心，不消耗任何其他可用区域；
3. 每当后手放置于某位置，先行者在该位置关于圆心的反向对称位置放置；
4. 对称映射保证先行者始终有对应合法位置可放；
5. 至游戏末，先行者总能做出最后一手，迫使对手无处可放，获胜。 |
一个矩形蛋糕，蛋糕内部有一块矩形的空洞。只用一刀，如何将蛋糕切成大小相等的两块？ | 过大矩形和空洞矩形各自的中心画一条直线，这条线同时平分两矩形，差区域也被等分。 | 1. 要平分蛋糕——即大矩形减去空洞矩形的面积；
2. 任意经过两矩形中心的直线都会将各矩形平分；
3. 因此过大矩形中心与空洞矩形中心的直线，会同时平分大矩形和空洞；
4. 差区域（蛋糕）也因此被等分为两块面积相等的部分。 |
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