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d s ^ { 2 } = ( 1 - { \frac { q c o s \theta } { r } } ) ^ { \frac { 2 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } } \lbrace d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } + r ^ { 2 } s i n ^ { 2 } \theta d \varphi ^ { 2 } \rbrace - { \frac { d t ^ { 2 } } { ( 1 - { \frac { q c o s \theta } { r } } ) ^ { \frac { 2 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } } } } . |
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\widetilde \gamma _ { \mathrm { h o p f } } \simeq \sum _ { n > 0 } \widetilde { G } _ { n } { \frac { ( - a ) ^ { n } } { 2 ^ { 2 n - 1 } } } |
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\rho _ { L } ( q ) = \sum _ { m = 1 } ^ { L } \ P _ { L } ( m ) \ { \frac { 1 } { q ^ { m - 1 } } } . |
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{ \frac { d ^ { 2 } \varphi } { d \tau ^ { 2 } } } = \sin \varphi \ , |
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| t _ { i , j } | ^ { 2 } \leq t _ { i , i } t _ { j , j } , t _ { i , i } > 0 \forall i , j |
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s + t + u = - \frac { 8 } { \alpha ^ { \prime } } |
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m _ { \phi _ { 0 } } ^ { 2 } \sim { \frac { m ^ { 2 } v ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } . |
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( \partial b ) ^ { * } = - q ^ { 2 } ( D ^ { - 1 } ) \left( - q ^ { 3 } c d ( \partial a ) + q a d ( \partial c ) + q ^ { 2 } c ^ { 2 } ( \partial b ) - a c ( \partial d ) \right) , |
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d _ { k } > \frac { 9 } { ( k + 2 ) ^ { 2 } } ( \bar { \varphi } \varphi ) _ { 0 } ^ { \frac { 4 } { 3 } } ( \bar { F } F ) _ { 0 } ^ { - 1 } d _ { k - 1 } \ . |
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\varepsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \partial _ { \nu } B _ { \alpha \beta } = 0 . |
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\mathrm { I ) } \quad { \cal L } = \partial _ { z } \varphi \partial _ { \bar { z } } \varphi - 4 \varphi ^ { 2 } + 2 \varphi ^ { 4 } \quad \mathrm { a n d } \quad \mathrm { I I ) } \quad { \cal L } = \partial _ { z } \varphi \partial _ { \bar { z } } \varphi + 2 \varphi ^ { 2 } - 2 \varphi ^ { 4 } . |
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{ \cal W } \equiv { \frac { 1 } { 4 \rho ^ { 2 } } } \Big [ \cosh ( 2 \varphi _ { 2 } ) ( \rho ^ { 6 } - 2 ) - ( 3 \rho ^ { 6 } + 2 ) \Big ] , \qquad \rho \equiv e ^ { { \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } } \varphi _ { 1 } } . |
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\zeta _ { \mathrm { f r } } ( K , P ) = \omega ( K , P ) t - { \bf k } ( { \bf x } - { \bf y } ) - { \bf p } ( { \bf x } |
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d s ^ { 2 } = \frac { 1 } { 4 \lambda ^ { 2 } } t a n h ^ { 2 } ( \lambda y ) d \theta ^ { 2 } + d y ^ { 2 } |
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\sigma ( 0 ) = \frac { 8 T \sqrt { 2 \mu } } { b } = \sqrt { \frac { 8 g ^ { 2 } \zeta } { \pi ^ { 2 } } } = \sigma _ { 0 } , |
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\varepsilon _ { 0 } ^ { \beta \rightarrow 0 } = A + B + C |
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N _ { n } ( x ) = - \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { n } \nu _ { i } } { ( n - 3 ) ! } \left. \partial _ { a } ^ { ( n - 3 ) } a ^ { \frac { 1 } { 2 } ( x + n - 4 ) } \right| _ { a = 1 } . |
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\Phi = R ^ { 3 } ( t ) \chi ( t ) = \varepsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \varepsilon _ { a b c d } \partial _ { \mu } \varphi _ { a } \partial _ { \nu } \varphi _ { b } \partial _ { \alpha } \varphi _ { c } \partial _ { \beta } \varphi _ { d } |
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E = { \frac { 1 } { 2 i } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { d \omega } { 2 \pi } } e ^ { - i \omega \tau } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } ( 2 l + 1 ) \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } d r 2 k ^ { 2 } [ F _ { l } ( r , r ) + G _ { l } ( r , r ) ] . |
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\mathcal { R } _ { a } \equiv ( R _ { a b } - \frac { 1 } { 2 ( n - 1 ) } \eta _ { a b } R ) \mathbf { e } ^ { b } |
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E _ { n } = \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) \omega , |
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\mathrm { K } = \mathrm { \^ { K } } ( M ^ { a } , M ^ { a * } ) + \mathrm { { K } } ( M ^ { a } , M ^ { a * } ) _ { \alpha \beta } T r ( \Phi ^ { \alpha * } \Phi ^ { \beta } ) + . . . , |
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h _ { \mu \nu } ^ { c o m p } = \sum _ { n } \tilde { h } _ { \mu \nu } ( \tilde { x } ^ { 0 } , \tilde { x } ^ { i } , \tilde { x } ^ { 1 0 } + 2 \pi n R _ { s } ) . |
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z ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } - 2 \pi \overline { { G } } ( z ) + 2 \pi i r ( z ) = 0 . |
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\widetilde \Psi _ { \xi } ^ { \prime } \ = \ ( \cosh V _ { \xi } ^ { \prime } ) ( \cosh V _ { \xi } ) ^ { - 1 } \widetilde \Psi _ { \xi } \ . |
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\mathrm { e x p } \left[ ( { \bf k } _ { i } \times { \bar { \bf k } } _ { j } ) \sigma _ { i j } \right] = \mathrm { e x p } \left[ - { \frac { i } { 2 } } \Theta ^ { \mu \nu } p _ { \mu } ^ { i } p _ { \nu } ^ { j } \sigma _ { i j } \right] \quad . |
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d \tilde { K } _ { 7 } = - { \frac { 1 } { 2 } } K _ { 4 } { } ^ { 2 } + ( 2 \pi ) ^ { 4 } { \tilde { \beta } } ^ { \prime } { \tilde { X } } _ { 8 } \ , |
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Z _ { 1 } ^ { c ^ { 2 } } ( s ; 1 , a ) = \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } \left[ c ^ { 2 } + ( n + a ) ^ { 2 } \right] ^ { - s } , |
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2 M = \frac { 1 - k ^ { 2 } - 2 l } { 1 + k ^ { 2 } } \rho _ { 0 } , \beta = 1 , \gamma = 1 + \frac { 2 l \rho _ { 0 } } { ( 1 + k ^ { 2 } ) M } . |
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V ( \phi ) = - { \frac { 2 k } { 2 k + 1 } } ( { \frac { 2 k } { a } } ) ^ { \frac { 1 } { 2 k } } \phi ^ { 1 + 1 / 2 k } - R _ { 0 } \phi + c |
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\left\{ \begin{array} { l l } { 1 \leq \rho \leq \frac { g - 2 } { 2 } , \quad 1 \leq y \leq | \tilde { G } | , } & { \quad \mathrm { g e v e n } , } \\ { 1 \leq \rho \leq g - 2 , \quad 1 \leq y \leq \frac { g - 1 } { 2 } , } & { \quad \mathrm { G = A _ { g - 1 } , g o d d , } } \\ \end{array} \right. |
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E _ { e f f ( 3 + 1 ) } = - \frac { B _ { m } } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } y \ln \left( \frac { y ^ { 2 } + m _ { f } ^ { 2 } / B _ { m } } { m _ { f } ^ { 2 } / B _ { m } } \right) \left( G ( y , B _ { m } d ^ { 2 } ) - c \right) d y |
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y ^ { \delta } \tilde { \Gamma } ^ { \alpha } { } _ { \beta \delta } \tilde { B } ^ { \beta } | _ { 1 } = y ^ { \delta } ( \Gamma ^ { \alpha } { } _ { \beta \delta } + \Gamma ^ { \alpha } { } _ { \beta \delta , \sigma } x ^ { \sigma } / 2 ) [ B ^ { \beta } + ( B ^ { \beta } { } _ { , \sigma } + \Gamma ^ { \beta } { } _ { \sigma \tau } B ^ { \tau } ) d ^ { \sigma } / 2 ] |
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\left\vert E , p _ { 1 } ^ { \mathrm { m i n } } , \ldots , p _ { N - 1 } ^ { \mathrm { m i n } } \right> = \left\vert \begin{array} { c } { E , \left[ 0 \right] } \\ { \left[ q \right] } \\ \end{array} \right> = \left\vert \begin{array} { c } { E , 0 , \ldots , 0 } \\ { q _ { 1 } , \ldots , q _ { k } , \ldots , q _ { N } } \\ \end{array} \right> . |
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\hat { x } _ { 1 } = \lambda _ { 1 } + \frac { \theta } { 2 } ( \partial _ { \lambda _ { 1 } } + i \partial _ { \lambda _ { 2 } } ) \quad , \quad \hat { x } _ { 2 } = \lambda _ { 2 } + \frac { \theta } { 2 } ( \partial _ { \lambda _ { 2 } } - i \partial _ { \lambda _ { 1 } } ) \quad , |
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R ( u _ { 1 } , u _ { 2 } , u _ { 3 } ) _ { i _ { 1 } i _ { 2 } i _ { 3 } } ^ { j _ { 1 } j _ { 2 } j _ { 3 } } \stackrel { \rho } { = } R ( ( \omega u _ { 2 } ) ^ { - 1 } , u _ { 1 } , ( \omega u _ { 3 } ) ^ { - 1 } ) _ { - j _ { 2 } i _ { 1 } - i _ { 3 } } ^ { - i _ { 2 } j _ { 1 } - j _ { 3 } } . |
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W _ { f i } [ K ] = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \hbar } } \exp \left\{ - \frac { i } { \hbar } \left( p _ { f } q _ { i } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \epsilon H ( p _ { f } - \epsilon K _ { j - 1 } - \sum _ { l = 1 } ^ { j } \epsilon J _ { l } ) \right) \right\} . |
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\hat { \alpha } ( Q ) = \sqrt { { \frac { 3 + 4 Q ^ { 2 } } { 4 ( 1 + Q ^ { 2 } ) } } } \ , |
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\psi _ { A } ( \bar { D } ^ { 2 } \phi ) _ { A } + \psi _ { A } ( \bar { D } _ { \mu A E } ( A _ { \mu B } f _ { E B C } \phi _ { C } ) ) + \psi _ { A } f _ { A a B } A _ { \mu B } \phi _ { C } f _ { C a D } A _ { \mu D } |
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L _ { \mu a } = - e \varepsilon _ { a b } D _ { \mu } \phi _ { b } \ , |
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{ \delta } \ddot { \phi } + 3 [ 3 { H _ { 0 } } ^ { 2 } - 4 { \pi } { \rho } _ { 0 } ] { \delta } { \phi } = \frac { 8 { \pi } } { 3 } { \delta } { \rho } + \frac { 1 6 { \pi } ^ { 2 } } { { \phi } _ { 0 } } { \delta } { { \sigma } ^ { 2 } } |
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w ^ { { \dot { \alpha } } } \nabla _ { { \dot { \alpha } } t } \Psi ^ { { \cal S D } } ( w ) = 0 |
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\alpha N _ { f } = \alpha ( \sum _ { I = 1 } ^ { 9 } v _ { I } \gamma _ { I } + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { i \mu x ^ { i } } { 4 } \{ \gamma _ { i } , \gamma _ { 1 2 3 } \} ) + \alpha ^ { 2 } \mu ^ { 2 } / 4 ^ { 2 } |
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S [ \phi ] = \int d ^ { 4 } x ^ { \mu } { \cal L } _ { 0 } ( \phi , \partial _ { \mu } \phi ) \ , |
|
T _ { 1 2 } = T _ { 2 2 } = T _ { 3 2 } = T _ { 4 2 } = 0 |
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\epsilon _ { \mathrm { m } } = { \frac { 8 k ^ { 2 } } { \ell _ { 0 } ^ { 2 } } } B _ { 1 } - k ^ { 2 } \eta ^ { 2 } B _ { 2 } . |
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G _ { a b } = \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \xi ^ { a } \partial \xi ^ { b } } \log \left( \kappa _ { c d e } \xi ^ { c } \xi ^ { d } \xi ^ { e } \right) . |
|
P _ { C } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \mathop \to _ { \Omega ( x ) } \Omega ( x _ { 1 } ) P _ { \ell } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \Omega ^ { \dagger } ( x _ { 2 } ) |
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f ( x ) \ast g ( x ) = \exp \left. \left( \frac { i } { 2 } \theta ^ { i j } \frac { \partial } { \partial \xi ^ { i } } \frac { \partial } { \partial \zeta ^ { j } } \right) f ( x + \xi ) g ( x + \zeta ) \right| _ { \xi = \zeta = 0 } , |
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t ( \nu ) q ( \nu ) = a ^ { N } q ( \nu + 2 i \eta ) + b ^ { N } q ( \nu - 2 i \eta ) . |
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< \alpha \vert \beta > = t r ( \alpha ^ { * } \beta ) . |
|
\frac { \partial \sigma } { \partial \tau } + \frac { \partial } { \partial \theta } ( \sigma s ) = 0 , |
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\overline { { { \cal Y } ^ { \alpha } } } ( { \bf r } ) = { \textstyle \frac { \partial _ { j } } { \partial ^ { 2 } } \overline { { { \cal A } _ { j } ^ { \alpha } } } ( { \bf r } ) } , |
|
f _ { 2 } = - \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } \phi + \frac { \sqrt { 2 } } { 3 } \psi _ { 1 } - \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } \psi \ , \ f = \sqrt { 2 } ( \psi - \phi ) , |
|
c = { \frac { i ( - z _ { \infty } ) ^ { ( k + l ) / N } } { 2 } } { \frac { \Gamma ( ( k + l ) / N ) v } { \sin ( k l \pi / N ) \Gamma ( k / N ) \Gamma ( l / N ) } } . |
|
\Xi \left( \theta \right) = Q _ { \alpha } ^ { k } \theta _ { k } ^ { \alpha } , |
|
\lambda _ { + } ( x ) = - i \sqrt { { \frac { \pi } { L } } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \sqrt { p _ { - } ( n ) } } } \left( C ( n ) e ^ { - i p ( n ) x } + C ^ { * } ( n ) e ^ { i p ( n ) x } \right) |
|
\Phi _ { A } = \phi _ { A } + i \psi _ { A \alpha } \theta _ { \alpha } + f _ { A } \theta ^ { 2 } |
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Z = \int D \bar { \Psi } D \Psi e ^ { - S } , |
|
K = \frac { \pi ^ { 2 } \Gamma ( \frac { \Delta _ { 1 } + \ldots + \Delta _ { 4 } } { 2 } - 2 ) } { 2 \Gamma ( \Delta _ { 1 } ) \ldots \Gamma ( \Delta _ { 4 } ) } . |
|
< m , \bar { m } ; \tilde { \tau } | \alpha , \beta > = \frac { \beta - m \alpha } { \pi \tilde { \tau } \sqrt { 2 m _ { 2 } } } \exp ( \frac { - i } { m _ { 2 } \tilde { \tau } } | \beta - m \alpha | ^ { 2 } ) . |
|
\hat { G } ( p , k _ { 0 } ) \propto { \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } h ( b ) ^ { 2 } \hat { f } ( p ) } { 1 - k _ { 0 } \hat { f } ( p ) h ^ { \prime } ( b ) } } . |
|
\Sigma ( p , m ) = \frac { 1 } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d w } { \gamma \cdotp - w + i \epsilon } \Im \Sigma ( w , m ) , |
|
P H P = \left[ \begin{array} { r r } { H _ { 1 1 } } & { H _ { 1 2 } } \\ { H _ { 2 1 } } & { H _ { 2 2 } } \\ \end{array} \right] , |
|
W ( C ) \sim \exp [ - \mu P ( C ) ] , |
|
2 i \int _ { o } ^ { \infty } d x | f ( g ; \tau ; x ) | ^ { 2 } [ I m V ( g , x ) ] = M ( \nu , \tau ) \Lambda ^ { * } ( \nu , \tau ) - M ^ { * } ( \nu , \tau ) \Lambda ( \nu , \tau ) , |
|
e _ { [ \alpha } e _ { \beta ] } ^ { \mu } = e _ { \gamma } ^ { \mu } I ^ { \gamma } { } _ { \alpha \beta } . |
|
\tilde { B } _ { \mu : k } ^ { j } = \frac { 1 } { ( 1 + | u | ^ { 2 } ) ^ { j + 1 } } \left\{ j ( \partial _ { \mu } u \bar { u } - u \partial _ { \mu } \bar { u } ) u ^ { k } - k ( 1 + | u | ^ { 2 } ) u ^ { k - 1 } \partial _ { \mu } u \right\} |
|
W _ { \bf a } = - { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { \frac { 4 \pi \epsilon } { \bf a } } ^ { + \infty } { \frac { d \tau } { \tau } } e ^ { \tau ^ { 2 } } ( 1 - \Phi ( \tau ) ) \simeq { \frac { 1 } { 2 } } \ln ( { \frac { 4 \pi \epsilon } { \bf a } } ) . |
|
W P ^ { 2 } = - { \frac { 1 } { 4 \tau ^ { 2 } } } \quad \mathrm { f o r } \quad \tau > { \frac { 1 } { P } } , \nonumber |
|
( \partial _ { \pm } X ^ { 0 } ) ^ { 2 } = R ( X ^ { 0 } ) ^ { 2 } ( \partial _ { \pm } X ) ^ { 2 } . |
|
A _ { i } ^ { 2 } \equiv \epsilon ^ { i j k } \nabla ^ { - 2 } \partial _ { j } \pi _ { k } ^ { 1 } , \quad \pi _ { i } ^ { 2 } \equiv \epsilon ^ { i j k } \partial _ { j } A _ { k } ^ { 1 } , |
|
n ^ { + } ( m , d ) \approx 2 \left( m + 1 - { \frac { 1 } { m } } \right) { \frac { \rho _ { 1 1 } ( d ) } { 4 - d } } . |
|
{ \frac { 3 } { 2 } } { \frac { d ^ { 2 } f ( | y | ) } { d | y | ^ { 2 } } } = - \kappa _ { 5 } ^ { 2 } \Lambda _ { 5 } f ( | y | ) |
|
{ \sum _ { n > 0 } } \frac { 1 } { L } u _ { n } ^ { + } ( x ) u _ { n } ^ { + } ( y ) + \frac { 1 } { L } u _ { 0 } ^ { + } ( x ) u _ { 0 } ^ { + } ( y ) = \delta ( x - y ) . |
|
d s ^ { 2 } = \frac { 1 } { ( 1 + | z | / L ) ^ { 2 } } [ d x _ { 4 } ^ { 2 } + T ^ { 2 } ( x ) d z ^ { 2 } ] . |
|
f ^ { i a } = \left( \begin{matrix} { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { A \partial } \\ \end{matrix} \right) \ . |
|
a ( t ) = t ^ { \frac { 2 } { 3 ( \gamma + 1 ) } } \ . |
|
- \frac { \delta D _ { 1 2 } } { \delta D _ { 3 4 } ^ { - 1 } } = \frac { 1 } { 2 } \left\{ D _ { 1 3 } D _ { 4 2 } + D _ { 1 4 } D _ { 3 2 } \right\} . |
|
\mathrm { e x p } \{ ( i / \hbar ) S _ { m , \mathrm { e x t } } \} = \hat { U } _ { m } ( F ) \mathrm { e x p } \{ ( i / \hbar ) S _ { m } \} , |
|
Z = - \frac { 1 } { e ^ { 2 } { \phi _ { 0 } } ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } x \left[ \frac { e } { 2 } \epsilon ^ { i j } F _ { i j } ( \vert \Phi \vert ^ { 2 } - { \Phi _ { 0 } } ^ { 2 } ) + i \epsilon ^ { i j } ( D _ { i } \Phi ) ( D _ { j } \Phi ) ^ { * } \right] |
|
T _ { i } ( \vec { q } ) \to T ( \vec { x } , t ; \vec { q } ) |
|
{ \partial } ( \omega ^ { n - 1 } \wedge h ^ { - 1 } \overline { { \partial } } h ) = 0 |
|
\left. { \frac { d ^ { 2 } c _ { l } } { d y ^ { 2 } } } \right| _ { y = 0 } = 0 , |
|
{ \mathit { K } } _ { \frac { 1 } { 2 } } ( z ) = \sqrt { \frac { \pi } { 2 z } } e ^ { - z } , |
|
d s ^ { 2 } = r ^ { 2 } [ - { \cal F } d u d v + d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \! \theta d \phi ^ { 2 } ] \: . |
|
e ^ { \textstyle - J \alpha _ { - } \Phi ( \sigma , \tau ) } = c _ { J } \sum _ { m = - J } ^ { J } { \frac { ( - 1 ) ^ { J - m } \lambda _ { m } ^ { ( J ) } ( \varpi ) } { \sqrt { \lfloor \varpi \rfloor } \sqrt { \lfloor \varpi + 2 m \rfloor } } } \psi _ { m } ^ { ( J ) } ( x _ { + } ) { \overline { \psi } _ { m } ^ { ( J ) } } ( x _ { - } ) |
|
( D _ { \mu } D ^ { \mu } + m _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } ) B ^ { \nu } + i e g F _ { \rho } ^ { \mu } B ^ { \rho } = 0 , |
|
{ \cal G } = M _ { a b } d { \bf x } _ { a } \cdot d { \bf x } _ { b } + ( M ^ { - 1 } ) _ { a b } ( d \xi _ { a } + { \bf W } _ { a c } \cdot d { \bf x } _ { c } ) ( d \xi _ { b } + { \bf W } _ { b d } \cdot d { \bf x } _ { d } ) , |
|
{ \frac { \pi } { 1 2 } } ( k T ) ^ { 2 } \left( \begin{matrix} { - 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } \\ \end{matrix} \right) . |
|
\Omega ( \mid x \mid _ { p } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { 0 \leq \mid x \mid _ { p } \leq 1 , } \\ { 0 , } & { \mid x \mid _ { p } > 1 , } \\ \end{array} \right. |
|
R ( t ) = \sum _ { r = 1 } ^ { D - 2 } { \frac { \beta _ { r } } { t ^ { r } } } + { \frac { \beta _ { D - 1 } } { t ^ { D - 1 } } } e ^ { - \left| { \frac { 1 } { t } } \right| } , |
|
\begin{array} { c } { a a ^ { \dagger } - q a ^ { \dagger } a = 1 , } \\ { \varphi ( n ) = \frac { q ^ { n } - 1 } { q - 1 } , } \\ \end{array} |
|
\tilde { W } _ { \Gamma } ( E ) = \int { \mathcal D } A e ^ { i \int \mathrm { T r } ( E A ) } W _ { \Gamma } ( A ) . |
|
Z = \int d \left[ \psi , \bar { \psi } \right] \prod _ { \mu = 0 } ^ { 2 } d \left[ A _ { \mu } \right] \prod _ { c _ { 0 } = 1 } ^ { N - 1 } d \left[ A _ { 3 } ^ { c _ { 0 } } \right] \Delta _ { \mathrm { F P } } \left[ A \right] e ^ { i ( S \left[ A , \psi , \bar { \psi } \right] + S _ { \mathrm { g f } } \left[ A \right] ) } \ . |
|
r _ { + } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \sqrt { l ^ { 4 } + 8 m } - l ^ { 2 } \right) . |
|
T _ { \nu } ^ { \mu } = \delta _ { \nu } ^ { \mu } f _ { 0 } ( \rho ) , \quad T _ { \rho } ^ { \rho } = f _ { \rho } ( \rho ) , \quad \mathrm { a n d } \quad T _ { \theta } ^ { \theta } = f _ { \theta } ( \rho ) , |
|
i D _ { R \mu \nu } ( k ) = e ^ { \int _ { 1 } ^ { \lambda } \frac { d \lambda } \lambda \gamma _ { 3 } ( \lambda ) } i D _ { R \mu \nu } ^ { ( 0 ) } ( k ) |
|
\epsilon _ { \mu \nu } ( k ) = \epsilon _ { \nu \mu } ( k ) , \qquad \epsilon _ { \mu \nu } ( k ) k ^ { \nu } = 0 , \qquad \eta ^ { \mu \nu } \epsilon _ { \mu \nu } ( k ) = 0 . |
|
\left\langle \phi _ { 2 } ( { \bf x } ) , t _ { 2 } \left| \right. \phi _ { 1 } ( { \bf x } ) , t _ { 1 } \right\rangle = \left\langle \phi _ { 2 } ( { \bf x } ) \left| \hat { T } \exp \left[ - \frac { i } { \hbar } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \hat { H } d t \right] \right| \phi _ { 1 } ( { \bf x } ) \right\rangle , |
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in Dataset Viewer.
LaTeX OCR 的数据仓库
本数据仓库是专为 LaTeX_OCR 及 LaTeX_OCR_PRO 制作的数据，来源于 https://zenodo.org/record/56198#.V2p0KTXT6eA 以及 https://www.isical.ac.in/~crohme/ 以及我们自己构建。
如果这个数据仓库有帮助到你的话，请点亮 ❤️like ++
后续追加新的数据也会放在这个仓库 ~~
原始数据仓库在github LinXueyuanStdio/Data-for-LaTeX_OCR.
数据集
本仓库有 5 个数据集
small是小数据集，样本数 110 条，用于测试full是印刷体约 100k 的完整数据集。实际上样本数略小于 100k，因为用 LaTeX 的抽象语法树剔除了很多不能渲染的 LaTeX。synthetic_handwrite是手写体 100k 的完整数据集，基于full的公式，使用手写字体合成而来，可以视为人类在纸上的手写体。样本数实际上略小于 100k，理由同上。human_handwrite是手写体较小数据集，更符合人类在电子屏上的手写体。主要来源于CROHME。我们用 LaTeX 的抽象语法树校验过了。human_handwrite_print是来自human_handwrite的印刷体数据集，公式部分和human_handwrite相同，图片部分由公式用 LaTeX 渲染而来。
使用
加载训练集
- name 可选 small, full, synthetic_handwrite, human_handwrite, human_handwrite_print
- split 可选 train, validation, test
>>> from datasets import load_dataset
>>> train_dataset = load_dataset("linxy/LaTeX_OCR", name="small", split="train")
>>> train_dataset[2]["text"]
\rho _ { L } ( q ) = \sum _ { m = 1 } ^ { L } \ P _ { L } ( m ) \ { \frac { 1 } { q ^ { m - 1 } } } .
>>> train_dataset[2]
{'image': <PIL.PngImagePlugin.PngImageFile image mode=RGB size=200x50 at 0x15A5D6CE210>,
'text': '\\rho _ { L } ( q ) = \\sum _ { m = 1 } ^ { L } \\ P _ { L } ( m ) \\ { \\frac { 1 } { q ^ { m - 1 } } } .'}
>>> len(train_dataset)
50
加载所有
>>> from datasets import load_dataset
>>> dataset = load_dataset("linxy/LaTeX_OCR", name="small")
>>> dataset
DatasetDict({
train: Dataset({
features: ['image', 'text'],
num_rows: 50
})
validation: Dataset({
features: ['image', 'text'],
num_rows: 30
})
test: Dataset({
features: ['image', 'text'],
num_rows: 30
})
})
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Size of downloaded dataset files:
1.49 GB
Size of the auto-converted Parquet files:
1.49 GB
Number of rows:
268,764
Models trained or fine-tuned on linxy/LaTeX_OCR