user
stringlengths 38
73
| assistant
stringlengths 161
89.2k
⌀ |
|---|---|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен 4. Доказать, что один из учеников получил четвёрку. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.На квадратной доске 7 × 7 расставлено 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали квадрата. Доказать, что одна из шашек стоит на этой диагонали. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Три кузнечика на прямой играют в чехарду. Каждую секунду один из них перепрыгивает через другого (но не через двух). Доказать, что они могут вернуться в исходное положение только через чётное число секунд. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.Могут ли 9 шестерёнок, сцепленных по кругу, вращаться? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.Улитка каждые 15 минут поворачивает на 90 градусов (а в промежутках ползёт по прямой). Доказать, что она может вернуться в исходную точку лишь через целое число часов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
7.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 9 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.Можно ли так расставить знаки в выражении:
±1 ± 2 ± 3 ± . . . ± 9 ± 10, чтобы получился нуль? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Окружность разделена точками на 99 дуг, из которых 3 имеют длину 3 см, ещё 3 имеют длину 2 см, и оставшиеся 3 имеют длину 1 см. Доказать, что какие-то две из точек деления диаметрально противоположны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Могут ли 9 шестерёнок, сцепленных по кругу, вращаться? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.Почему произведение двух нечётных чисел нечётно? 5. При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? 6. При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? 7. Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? 8. Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. 9. В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.На квадратной доске 7 × 7 расставлено 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали квадрата. Доказать, что одна из шашек стоит на этой диагонали. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
7.При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
8.На прямой имеется 11 точек, причём сумма расстояний от них до некоторой точки A равна сумме расстояний от них до другой точки B. Доказать, что хотя бы одна из этих 11 точек лежит на отрезке AB. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
9.По кругу написаны 4 целых числа. Между каждыми двумя записывают абсолютную величину их разности, а исходные числа стирают. Так повторяют несколько раз. Доказать, что рано или поздно останутся одни нули.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.x > y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.y = 2x; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.max(x, y) >= 2; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.x + y = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.точка 1 лежит на числовой оси между точками x иy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.Вершины треугольника имеют координаты ⟨0, 0⟩, ⟨3, 5⟩ и ⟨5, 8⟩. Какова его площадь? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 3 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.Окружность разделена точками на 99 дуг, из которых 3 имеют длину 3 см, ещё 3 имеют длину 2 см, и оставшиеся 3 имеют длину 1 см. Доказать, что какие-то две из точек деления диаметрально противоположны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Может ли прямая пересекать все 11 сторон невыпуклого 11-угольника (не проходя через его вершины)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Графики движений". | 1.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
2.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
3.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.Улитка ползла в течение 5 минут, всё время находясь под наблюдением. Каждый наблюдатель наблюдал за ней в течение 1 минуты, и за эту минуту она проползла ровно 1 метр. Могла ли улитка проползти 6 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
5.Идя навстречу трамваям, пешеход встречал их каждые 5 минут, идя в одну с ними сторону | каждые 7. Как часто он будет их встречать, стоя на месте? (Трамваи движутся с постоянной скоростью и с одинаковыми интервалами. Скорость пешехода также постоянна.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
6.Два пешехода вышли навстречу друг другу одновременно из пунктов А и Б. Каждый из них идёт с постоянной скоростью, и дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через час после начала движения. Когда они встретятся во второй раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
|
Создай 5 задач по математике 7 класса по теме "Тождества". | 1.Простое число после увеличения на 1 становится точным квадратом. Найти все такие числа. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
2.Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы двух точных квадратов. (Например, 5 хорошее, так как 5 = 2^2 + 1^2 , а 3 -- нет.) Доказать, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
3.Доказать, что при положительном целом n число n2 + n не может быть точным квадратом. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.Доказать, что (a + b)^2 − (a − b)^2 = 4ab. Как выглядит соответствующая картинка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.Доказать, что сумма кубов двух положительных целых чисел не может быть простым числом (за исключением единственного случая 1^3 + 1^3 = 2). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
|
Создай 1 задач по математике 7 класса. | 1.Можно ли разрезать фигуру, изображенную на рис. 1, на две, на три и на четыре одинаковые части? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
|
Создай 58 задач по математике 7 класса. | 1.Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых нечётны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
2.x^2 = y^2 ; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.Каких чисел больше среди чисел от 000000 до 999999:
тех, у которых сумма цифр чётна или тех, у которых она нечётна? Сколько тех и других? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
4.Следующий текст получен из хорошо известного заменой каждой буквы на какую-то другую. Последнее слово пропущено. Восстановите его. -- Сагдау ра накя, сагдау ра накя? -- пудгэбуз Увнюв Сушванщэб, лсгецуе л цгяжюь сюсюзуь галлдэм цзуцюз нака ву шгувтаплдэм зуф. -- Е вя ьюца фюгьэг р сюняьдуж. -Фяшюгч вя сювез яцю рюлдзэтувэе э сючязуз яьа фючгюм вюбэ. -- Сгюдзеном чулагьув, -- сгюрюгбуз Лсэтов, пуданоруелщ р юфяезю. -- Вачвю яьа чозю лрябда накэнщ. Яьа чя жачя. Е лсунщ вя ьюца чяп юцве. -- Ьалщя, ьалщя, -сгюфюзчуз юв, -- чя ря уряд ра сугзя. -- Вю шгувтап вя юнрябуз э рлдюгя пужгусяз . . . Увнюв Сушванщэб пуьюзбуз, алнузюлнщ э рэввоя суго ьузю-сюьуза сгярюпьюцзэ яцю чюепзэрюлнщ, юв лнуз фгяьунщ, э рлдюгя цзачюдэм люв юрзуфяз эь люрягкяввю. Лнгуввюя цюнюрэзюлщ яьа сгючючфявэя. Юв барлнрюруз лдрюпщ люв, бню дню-ню нэжювщдю фягцуз яцю пу рюгюн гачукдэ. Увнюв Сушванщэб юндгоз цзупу э сгэ чзяфвюь лряня юляввяцю ангу арэфяз сягяф лючюм Фяшюгчу: шгувтап р юфвюм гадя фягчуз дугьуввом сэлнюзян, у фгацюи юнлняцэруз пурянваи лаьа. Увнюв Сушванэщэб ючьяг. -- Дялщ дя ля, ьалщя, дялщ дя ля, -- сгюэпвял юв нгясяхахэь цюзюлюь. -- Нэкя, ьюзбунщ, -- юнрябуз абэнязщ бэлноь галлдэь еподюь, -- ьюзбунщ эзэ ро сгюсузэ. ЕРесурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
5.В треугольнике ABC угол B равен 20 градусам, а угол C равен 40 градусам. Биссектриса AD угла A равна 2. Найти разность сторон BC − AB. (Подсказка: на стороне BC постройте точку E, для которой угол AEB равен 80 гардусам.)Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
6.Обозначая дни недели от воскресенья до субботы числами 0, 1, 2, ... , 6, Вася придумал формулу:
день недели = 7 · {число/7}, которая годится, если первое число месяца было понедельником. Как надо её изменить, если первое число месяца было пятницей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
7.На прямой выбраны две точки A и B на расстоянии 10. Где на прямой может находиться точка C, если известно, что расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC? (Укажите все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
8.Какое из чисел x и y больше и почему? 3. Вася тренируется на катке. Он положил три шайбы в вершины треугольника, а затем бьёт по одной из шайб так, чтобы она (двигаясь по прямой) прошла в ворота, образуемые двумя другими шайбами. Могут ли после 7 бросков все три шайбы оказаться в прежних местах? Могут ли они после 7 бросков оказаться в вершинах того же треугольника? 4. Даны две бутылки с растворами разной концентрации. В одной бутылке 0,5 литра, в другой 0,3 литра. Два одинаковых стаканчика налили доверху (каждый из своей бутылки), после чего растворы влили обратно в бутылки, поменяв их местами. В результате в обеих бутылках получился раствор одинаковой концентрации. Найти объём стаканчиков. 5. Петя и Боря смотрят на большой кусок пчелиных сот. Соты состоят из шестиугольников, примыкающих друг к другу так, что в вершине сходятся три шестиугольника. Петя считает число шестиугольников, Боря -- число вершин шестиугольников. У кого из них получится больше? Во сколько раз (примерно)? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
9.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
10.Какие значения может принимать сумма [x] + [−x]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
11.Вася влил стакан кислоты в банку с водой. Получился 10-процентный раствор кислоты в воде. Потом он добавил в раствор ещё один такой же стакан кислоты. Какой раствор получился в результате? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
12.Доказать, что сумма:
1/1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(1*2) + 1/(1*3) + ... + 1/(1*n) + ... + 1/((n - 1) * n) + 1/(1 * 2 * 3) + ... + 1/(1 * 2 * 3 ... n) (в знаменателях стоят все комбинации чисел от 1 до n, в которых числа не повторяются) равна n.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
13.Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
14.Саша утверждает, что при подстановке вместо x в выражение x2 +x+41 чисел 1, 2, 3, 4, . . . всегда получится простое число. Прав ли он? (Число называется простым, если оно делится только на единицу и само себя.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
15.Можно ли разрезать фигуру, изображенную на рис. 1, на две, на три и на четыре одинаковые части? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
16.Продолжите последовательность: 4, 3, 3, 6, 4, 5, 4, 6, 6, 6, 11, . . . Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
17.Простое число -- это число, которое не разлагается в произведение двух меньших целых чисел. (Например, 7 -простое число, а 10 = 2 × 5 -- нет.) Докажите, что полусумма двух соседних нечётных простых чисел -- составное число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
18.(x − y)(x + y)(y − 2x) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
19.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
20.У Димы было 7 картофелин, у Гриши было 5, а у Яши вообще не было. Они сварили картошку и разделили полученную тюрю поровну на троих. Благодарный Яша дал Диме с Гришей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
21.Какое наибольшее число (а) ладей; (б) слонов можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
22.Сократимы ли дроби: 39/57; 6/1357; 1363/1357=1*(6/1357)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
23.Дальтоники не различают цветов. Могут ли они пользоваться светофором? Если да, то почему ГАИ неохотно выдаёт им права? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
24.Нарисовать на числовой оси точки x, дробная часть которых равна 1/3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
25.Нарисовать на числовой оси точки x, целая часть которых чётна. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
26.Что больше: общее количество цифр в числах 1, 2, 3, 4, . . . , 999, 1000 или количество нулей в числах 1, 2, 3, 4, . . . , 9999, 10000? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
27.В последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Могут ли в ней оказаться рядом (а) два чётных числа? (б) два числа, делящихся на 13? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
28.Чтобы завернуть винт, отвёртку крутят по часовой стрелке. В какую сторону нужно крутить гайку, чтобы навернуть её на винт, головка которого вмурована в стену -по часовой стрелке или против? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
29.Мистер и миссис Смит по очереди переводят стрелку часов на два или три часа вперёд. Сначала стрелка показывала 1 час. Тот, после чьего хода стрелка показала 5 часов, считается победителем; другой считается проигравшим и идёт готовить чай. Верно ли, что мистеру Смиту не придётся готовить чай, если он уступит право первого хода миссис Смит и будет играть правильно? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
30.Перемножить: (1 + x)(1 + x^2 )(1 + x^4 )(1 + x^8 )(1 + x^16 ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
31.Маховик подвешен на двух нитках, намотанных на ось. Его отпускают, и он движется вниз, раскручиваясь. Дойдя донизу, он начинает подниматься вверх. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
32.В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы «четвертей квадратов», которые указывали значения (x^2) /4 для 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
33.Простое число после увеличения на 1 становится точным квадратом. Найти все такие числа. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
34.На следующем уроке Вова сказал: «Я забыл, какое число задали, и делил другое, два раза остатка не было, на третий был». Учительница сказала:
«Ты ошибся». Почему она так сказала? 2. Делится ли на 7 сумма двух слагаемых, если (а) оба слагаемых делятся на 7; (б) ровно одно из них делится на 7? (в) ни одно из них не делится на 7? 3. У числа 100! = 1·2·. . .·99·100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и так поступали до тех пор, пока не получили число из одной цифры. Что это за число? 4. Целое число, большее 2, называется простым, если оно не разлагается в произведение двух меньших целых положительных чисел. Докажите, что число 999 991 -- не простое. 5. Почему трамвайные провода идут не прямо, а зигзагом? Что плохого было бы, если пустить их ровно? (Указание: с троллейбусом этой проблемы нет.) 6. Можно ли расположить 6 длинных круглых карандашей так, чтобы каждый из них касался всех остальных?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
35.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
36.Написать формулы для частного и остатка при делении двух целых положительных чисел с остатком (формулы должны использовать арифметические операции и знак целой части). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
37.Натуральные числа раскрашены в два цвета. Докажите, что можно так выбрать три числа A, B и C одного цвета, что A + B = 2*C. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
38.Почему парикмахер в Женеве охотнее побреет двух французов, чем одного немца? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
39.Могут ли 9 шестерёнок, сцепленных по кругу, вращаться? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
40.В строку написаны точные квадраты: 1, 4, 9, 16, . . . Под каждыми двумя числами написали их разность: 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16−9 = 7 и т. д. Доказать, что каждое следующая разность больше предыдущей на 2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
41.Идя навстречу трамваям, пешеход встречал их каждые 5 минут, идя в одну с ними сторону | каждые 7. Как часто он будет их встречать, стоя на месте? (Трамваи движутся с постоянной скоростью и с одинаковыми интервалами. Скорость пешехода также постоянна.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
42.точка 1 лежит на числовой оси между точками x иy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
43.Внутри квадрата размером 1 × 1 поставлено 105 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не больше 0,2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
44.Дима считает, что |−a| при a < 0 равно a, а Володя | что −a. Кто из них прав? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
45.Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте. (Режут не на сгибе и сразу все нити.) (а) Сколько кусочков получилось? (б) Два из этих кусочков имели длину 7 см и 3 см. Какова длина верёвки? Укажите все возможности. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
46.Целое число, большее 2, называется простым, если оно не разлагается в произведение двух меньших целых положительных чисел. Докажите, что число 999 991 -- не простое. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
47.На берегу реки крестьянин, волк, коза и капуста. Волк, оставленный с козой без крестьянина, её съедает -- в свою очередь, коза съедает капусту, оставшись с ней без присмотра. Как крестьянину перевезти всех на другой берег, если в лодку можно взять только один из трех объектов (за раз)?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
48.На прямой дороге стоят 6 домов на равных расстояниях друг от друга. В каком месте дороги надо сделать автобусную остановку, чтобы суммарное расстояние от неё до всех домов было бы как можно меньше? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
49.Дима и Сэм играют в такую игру. Вначале ладья стоит в левом нижнем углу шахматной доски. Ходят по очереди. На каждом ходу ладью можно сдвинуть или вправо, или вверх (на любое число клеток). Проигрывает тот, кто не может сделать ход (ладья в правом верхнем углу). Первым ходит Дима. Кто выигрывает при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
50.Какие значения может принимать сумма {x} + {−x}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
51.x + y = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
52.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
53.При каких x точка с координатой x находится правее точки с координатой x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
54.Собака преследует зайца, который находится на расстоянии 40 своих прыжков впереди собаки. Собака делает 7 прыжков за то же время, что заяц -- 9, но 3 прыжка собаки равносильны 5 прыжкам зайца. Сколько прыжков надо сделать собаке, чтобы догнать зайца? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
55.Двое лыжников шли друг за другом с постоянной скоростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров. (а) Начался более трудный участок, где на котором скорость лыжников стала 4 км/ч. Каково расстояние между лыжниками на этом участке? (б) Затем был лёгкий участок со скоростью 7 км/ч, затем очень трудный со скоростью 3 км/ч и, наконец, они вышли снова на участок со скоростью 6 км/ч. Каково расстояние между ними в этот момент? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
56.y = 2x; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
57.В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен 4. Доказать, что один из учеников получил четвёрку. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
58.В стакане с водой плавает кусочек льда. Как изменится уровень воды в стакане, когда лёд растает? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.Окружность разделена точками на 99 дуг, из которых 3 имеют длину 3 см, ещё 3 имеют длину 2 см, и оставшиеся 3 имеют длину 1 см. Доказать, что какие-то две из точек деления диаметрально противоположны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 57. Разрешается заменить любые два числа на их сумму или разность, пока не останется одно число. Может ли это число быть нулём? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.(Продолжение) Доказать, что если расположение шашек симметрично относительно обеих диагоналей квадрата, то в центральной клетке стоит шашка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.Можно ли разрезать шахматную доску без клеток a1 и h8 на прямоугольники 1 × 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.На прямой имеется 11 точек, причём сумма расстояний от них до некоторой точки A равна сумме расстояний от них до другой точки B. Доказать, что хотя бы одна из этих 11 точек лежит на отрезке AB. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.Можно ли так расставить знаки в выражении:
±1 ± 2 ± 3 ± . . . ± 9 ± 10, чтобы получился нуль? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
7.При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Графики движений". | 1.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
2.Машина проехала половину пути со скоростью v, а вторую половину со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
3.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.Идя навстречу трамваям, пешеход встречал их каждые 5 минут, идя в одну с ними сторону | каждые 7. Как часто он будет их встречать, стоя на месте? (Трамваи движутся с постоянной скоростью и с одинаковыми интервалами. Скорость пешехода также постоянна.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
5.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
6.Улитка ползла в течение 5 минут, всё время находясь под наблюдением. Каждый наблюдатель наблюдал за ней в течение 1 минуты, и за эту минуту она проползла ровно 1 метр. Могла ли улитка проползти 6 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
|
Создай 0 задач по математике 7 класса. | null |
Создай 33 задач по математике 7 класса. | 1.При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.На квадратной доске 7 × 7 расставлено 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали квадрата. Доказать, что одна из шашек стоит на этой диагонали. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.(Продолжение.) Доказать, что произведение двух хороших чисел всегда хорошее. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.|x| = |y|; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.Вася тренируется на катке. Он положил три шайбы в вершины треугольника, а затем бьёт по одной из шайб так, чтобы она (двигаясь по прямой) прошла в ворота, образуемые двумя другими шайбами. Могут ли после 7 бросков все три шайбы оказаться в прежних местах? Могут ли они после 7 бросков оказаться в вершинах того же треугольника? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
7.Являются ли старейший художник среди шахматистов и старейший шахматист среди художников одним и тем же лицом -- или это не обязательно? Являются ли лучший шахматист среди художников и лучший художник среди шахматистов одним и тем же лицом? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
8.Машина проехала половину времени со скоростью v, а вторую половину | со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
9.Профессор в командировке, а сын отца профессора пьёт дома чай с отцом сына профессора. Как такое может быть?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
10.(б) Тот же вопрос для суммы (1/1000) + (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/1995) + (1/1996). 2. Найдите самое большое натуральное число, при делении которого с остатком на 57 частное и остаток получаются равными. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
11.Написать выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
12.В четырёхугольнике ABCD продолжения противоположных сторон AB и CD пересекаются под углом 20 градусов; продолжения противоположных сторон BC и AD также пересекаются под углом в 20 градусов. Докажите, что два угла в этом четырёхугольнике равны, а два других отличаются на 40 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
13.Вася вычеркнул каждое десятое число, считая от начала (т. е. 10, 20, 30, . . . ). После этого он вычеркнул каждое девятое число из оставшихся, затем каждое восьмое, каждое седьмое, . . . , каждое второе. Сколько чисел останется? Какое число будет стоять на последнем месте? 2. Докажите равенство: (1/(1*199))+(1/(3*197))+(1/(5*195))+...+(1/(197*3))+(1/(199*1))=(1/100)*(1+(1/3)+(1/5)+...+(1/199)). 3. В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? 4. В треугольнике ABC угол A равен 60 градусов. Известно, что биссектриса угла A, медиана, проведённая из вершины B, и высота, опущенная из вершины C, пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник равносторонний. 5. На плоскости лежит картонный квадрат, который разрешается перекатывать через рёбра (при перекатывании ребро остаётся на месте, а квадрат переворачивается на другую сторону). После нескольких перекатываний квадрат вернулся в то же место плоскости. Докажите, что он оказался в прежнем положении (т. е. все его вершины оказались на исходных местах).Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
14.Разрежьте (а) тупоугольный треугольник; (б) квадрат на остроугольные треугольники.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
15.Написать формулы для частного и остатка при делении двух целых положительных чисел с остатком (формулы должны использовать арифметические операции и знак целой части). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
16.Нарисовать на числовой оси те точки x, для которых среди неравенств x > 1, x > 2, . . . , x > 9, x > 10 ровно три верных. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
17.В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен 4. Доказать, что один из учеников получил четвёрку. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
18.Доказать, что при положительном целом n число n2 + n не может быть точным квадратом. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
19.На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
20.На плоскости нарисовано 1000 точек. Всегда ли можно провести прямую так, чтобы по каждую сторону от неё было ровно 500 точек? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
21.В комнате стоят три электрические лампочки, в соседней -- три выключателя к ним, причем на каждом написано «включено» и «выключено», но неизвестно, какой выключатель соответствует какой лампочке. Лампочки из комнаты с выключателями не видны. Как определить, какой выключатель соответствует какой лампочке? Разрешается зайти в комнату с выключателями, проделать с ними любые действия, а после этого войти в комнату с лампочками и проделать любые действия с ними, после чего дать ответ.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
22.Можно ли нарисовать многоугольник и точку вне него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
23.Сколько нужно провести непересекающихся диагоналей в 100-угольнике, чтобы разрезать его на треугольники? Почему всегда получается одно и то же число диагоналей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
24.Найти координаты точек, делящих отрезок [−1, 4] в отношении 2 : 3 и 3 : 4. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
25.Какое число (одно и то же) надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 11/41 , чтобы она превратилась в 3/8? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
26.Доказать, что [[x/y]/z] = [x/(yz)] для любых положительных целых x, y, z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
27.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
28.Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 11 часов 20 минут? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
29.Река с параллельными прямыми берегами имеет ширину 100 метров. На одном из берегов реки есть пристань. Есть остров периметра 800 метров; других островов нет. Докажите, что можно доплыть от пристани до другого берега реки, проплыв не более 300 метров (минуя остров). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
30.Три кузнечика на прямой играют в чехарду. Каждую секунду один из них перепрыгивает через другого (но не через двух). Доказать, что они могут вернуться в исходное положение только через чётное число секунд. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
31.Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
32.Сумма углов треугольника всегда равна 180 . Чему равна сумма углов пятиугольника? Чему равна сумма углов пятиконечной звезды? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
33.Замените во фразе:
'И ВСЕ ЖЕ ОН НЕ ПРАВ' каждую из десяти букв И, В, С, Е, Ж, О, Н, П, Р, А одной из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (разные буквы заменяются на разные цифры) так, чтобы все слова превратились в десятичные записи точных квадратов.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.По кругу написано 30 чисел. Между каждыми двумя записали модуль их разности, а исходные числа стёрли. Доказать, что полученные 30 чисел можно разделить на две группы с равной суммой.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x| > 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x + 1| + |x + 2| = 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 10 задач по математике 7 класса по теме "Тождества". | 1.В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы «четвертей квадратов», которые указывали значения (x^2) /4 для 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
2.Простое число после увеличения на 1 становится точным квадратом. Найти все такие числа. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
3.Проиллюстрировать формулу a^2 − b^2 = (a + b)(a − b), разрезав квадрат a × a с вырезанным углом b × b на две части, из которых можно сложить прямоугольник со сторонами a − b и a + b. (Достаточно одного прямого разреза.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.Написать формулу для (a + b)^3 и описать соответствующее ей разрезание куба со стороной a + b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.Доказать, что число 999991 составное (т. е. не простое). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
6.Доказать, что при положительном целом n число n2 + n не может быть точным квадратом. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
7.Доказать, что сумма:
1/1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(1*2) + 1/(1*3) + ... + 1/(1*n) + ... + 1/((n - 1) * n) + 1/(1 * 2 * 3) + ... + 1/(1 * 2 * 3 ... n) (в знаменателях стоят все комбинации чисел от 1 до n, в которых числа не повторяются) равна n.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
8.Проиллюстрировать формулу (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 , сложив квадрат со стороной a + b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
9.Доказать, что (a + b)^2 − (a − b)^2 = 4ab. Как выглядит соответствующая картинка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
10.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.Какое наибольшее число решений может иметь уравнение ||||x − a| − b| − c| − d| = e относительно x при фиксированных a, b, c, d, e? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Решить уравнение 2*|x − 1| = 3*|x − 7|. 10. Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. 11. Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? 12. Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? 13. Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. 14. Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. 15. Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? 16. На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? 17. По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? 18. Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x| > 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 8 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.точка 1 лежит на числовой оси между точками x иy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.y = 2x; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.xy = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.Нарисовать те точки ⟨x, y⟩, для которых (а) x+x^2 = y+y^2 ; (б) x + x^3 = y + y^3 ; (в) x + |x| = y + |y|.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.(x − y)(x + y)(y − 2x) >= 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.x^2 = y^2 ; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
8.{x} = {y}; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.Дима считает, что |−a| при a < 0 равно a, а Володя | что −a. Кто из них прав? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Как записать расстояние между точками числовой оси с координатами x и y, используя знак абсолютной величины? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Тождества". | 1.Доказать, что число 999991 составное (т. е. не простое). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
2.В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы «четвертей квадратов», которые указывали значения (x^2) /4 для 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
3.Проиллюстрировать формулу a^2 − b^2 = (a + b)(a − b), разрезав квадрат a × a с вырезанным углом b × b на две части, из которых можно сложить прямоугольник со сторонами a − b и a + b. (Достаточно одного прямого разреза.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.Написать формулу для (a + b)^3 и описать соответствующее ей разрезание куба со стороной a + b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.(Продолжение.) Доказать, что произведение двух хороших чисел всегда хорошее. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
6.Найти (a + b + c)(a + b − c), (a + b + c)(a − b + c), (a + b − c)(a − b + c) (не пользуясь бумагой для промежуточных вычислений). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Целая часть". | 1.Вася знает, что [x] = 3, [y] = 4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти [x + y]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
2.Обозначая дни недели от воскресенья до субботы числами 0, 1, 2, ... , 6, Вася придумал формулу:
день недели = 7 · {число/7}, которая годится, если первое число месяца было понедельником. Как надо её изменить, если первое число месяца было пятницей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
3.Всегда ли верны формулы [[x + y] + z] = [x + [y + z]] и {{x + y} + z} = {x + {y + z}}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
4.Какие значения может принимать сумма [x] + [−x]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
5.Доказать, что [[x/y]/z] = [x/(yz)] для любых положительных целых x, y, z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
6.Существует ли такое x, что [x] + [2x] + [3x] + [4x] = 99? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
|
Создай 5 задач по математике 7 класса по теме "Графики движений". | 1.Бассейн разделён перегородками на две равные части, к каждой из которых ведёт своя труба. Первая половина заполняется за t часов, вторая | за u часов. За сколько времени наполнят бассейн обе трубы, если перегородку снять? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
2.По шоссе в одном направлении, с постоянной скоростью и с равными интервалами идут автобусы. Однажды человек прошёл по шоссе 4 км и его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл (с той же скоростью) 6 км и его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов его обогнали?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
3.Улитка ползла в течение 5 минут, всё время находясь под наблюдением. Каждый наблюдатель наблюдал за ней в течение 1 минуты, и за эту минуту она проползла ровно 1 метр. Могла ли улитка проползти 6 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.(Продолжение) Могла ли она проползти 11 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
5.Два пешехода вышли навстречу друг другу одновременно из пунктов А и Б. Каждый из них идёт с постоянной скоростью, и дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через час после начала движения. Когда они встретятся во второй раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
|
Создай 9 задач по математике 7 класса по теме "Целая часть". | 1.Какие значения может принимать сумма {x} + {−x}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
2.Нарисовать на числовой оси точки x, целая часть которых чётна. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
3.Доказать, что: [35/23] + [2 * (35/23)] + [3 * (35/23)] + ... + [22 * (35/23)] = [23/35] + [2 * (23/35)] + [3 * (23/35)] + ... + [35 * (23/35)].Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
4.Доказать, что (при всех x) [x] + [x + 1/n] + [x + 2/n] + . . . + [x + (n−1)/n] = [nx]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
5.Написать выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
6.Существует ли такое x, что [x] + [2x] + [3x] + [4x] = 99? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
7.Обозначая дни недели от воскресенья до субботы числами 0, 1, 2, ... , 6, Вася придумал формулу:
день недели = 7 · {число/7}, которая годится, если первое число месяца было понедельником. Как надо её изменить, если первое число месяца было пятницей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
8.Доказать, что [[x/y]/z] = [x/(yz)] для любых положительных целых x, y, z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
9.Найти сумму: [sqrt(1)] + [sqrt(2)] + [sqrt(3)] + . . . + [sqrt(10000)]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.точка 1 лежит на числовой оси между точками x иy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.x^2 + y^2 = 2xy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.y = 2x; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.|x − 1| < 1/3; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.x = y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.Точку с координатами ⟨x, y⟩ повернули на 90 градусов вокруг точки ⟨0, 0⟩ против часовой стрелки. Найти координаты получившейся точки. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.x^2 + y^2 = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 9 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.x = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.Две вершины квадрата имеют координаты ⟨5, 0⟩ и ⟨0, 2⟩. Каковы координаты двух остальных вершин? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.(x − y)(x + y)(y − 2x) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.x = y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.Нарисовать те точки ⟨x, y⟩, для которых (а) x+x^2 = y+y^2 ; (б) x + x^3 = y + y^3 ; (в) x + |x| = y + |y|.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.x + y = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.(x − y)(x + y)(y − 2x) >= 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
8.x^2 + y^2 = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
9.{x} = {y}; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 12 задач по математике 7 класса. | 1.При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Как разделить 7 одинаковых яблок поровну между 12 людьми, если яблоки разрешается резать не более чем на 5 частей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
3.Все кости домино расположили в цепь. Доказать, что на концах цепи стоят равные цифры. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.x^2 + y^2 = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.Выключатель имеет три контакта 1, 2 и 3 и два положения. В одном положении контакт 1 соединён с контактом 2, а в другом положении контакт 1 соединён с контактом 3. Как, имея два таких выключателя и много провода, сделать так, чтобы свет на лестнице можно было включать и выключать и сверху, и снизу? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
6.Работа была поделена поровну между работниками в бригаде. После первого дня посчитали, сколько человек выполнило не менее 30% своей доли -- таких оказалось 70% всех работающих. Когда стали считать только тех, кто выполнил не менее 70% своей доли -- таких оказалось 30% работавших. Можно ли быть уверенным, что выполнена хотя бы треть работы? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
7.Чему может быть равно последнее число? 3. В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? 4. Квадратная площадь размера 50 × 50 метров выложена плитами размера 1 × 1 четырёх цветов -- белого, красного, синего и зелёного. При этом плиты одного цвета не лежат рядом и не имеют общего угла. Сколько красных плит на площади? 5. Стакан наполнили водой, накрыли картонкой и перевернули. Почему вода не выливается? 6. Бизнесмен заключил с чёртом следующее соглашение:
каждый день бизнесмен даёт чёрту одну купюру, а взамен получает любое (указанное бизнесменом) число купюр меньшего достоинства. Может ли бизнесмен бесконечно долго выполнять свои обязательства, если другого источника денежных купюр у него нет?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
8.Фирма «Русский сувенир» обнаружила в результате «маркетинга», что многие граждане хотели бы иметь на память десятитысячную купюру, номер на которой совпадает с их телефонным номером. Но их начальный капитал недостаточен, чтобы приобрести купюры со всеми возможными номерами. Тем не менее фирма нашла выход из положения. Какой?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
9.Какое число (одно и то же) надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 36/91 , чтобы она превратилась в 4/9 ? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
10.Квадрат разрезан на 5 прямоугольников, четыре из которых имеют по одному общем углу с квадратом и равновелики друг другу, а пятый находится внутри квадрата (не имея с ним общих кусков сторон). Докажите, что он будет квадратом.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
11.Три кузнечика на прямой играют в чехарду. Каждую секунду один из них перепрыгивает через другого (но не через двух). Доказать, что они могут вернуться в исходное положение только через чётное число секунд. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
12.Каких чисел больше среди чисел от 1 до 1000 | чётных или нечётных? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 2 задач по математике 7 класса. | 1.При каких n и на что можно сократить дроби:
(n+6)/n; (n+19)/(n+13); (5n+3)/(3n+2)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
2.В треугольнике ABC на стороне AB взята точка D, а на стороне AC взята точка E. При этом отрезок DE параллелен BC и равен по длине отрезку EC. Найдите угол ABC, если углы BAC и BCD равны соответственно 55 градусов и 25 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.(Продолжение) Доказать, что если расположение шашек симметрично относительно обеих диагоналей квадрата, то в центральной клетке стоит шашка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Можно ли разрезать шахматную доску без клеток a1 и h8 на прямоугольники 1 × 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.На прямой имеется 11 точек, причём сумма расстояний от них до некоторой точки A равна сумме расстояний от них до другой точки B. Доказать, что хотя бы одна из этих 11 точек лежит на отрезке AB. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Доказать, что хотя бы у одного из сидящих оба соседа | мальчики. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 57. Разрешается заменить любые два числа на их сумму или разность, пока не останется одно число. Может ли это число быть нулём? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 159 задач по математике 7 класса. | 1.На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.(а) Найдите сумму всех чётных четырехзначных чисел. (б) Найдите сумму всех четырехзначных чисел, все цифры которых чётны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
3.Двое играют в такую игру. Первый называет число от 1 до 10, затем второй называет число от 1 до 10. Первый выигрывает, если сумма чисел чётна. Кто выигрывает при правильной игре (первый или второй) и как он должен играть? Тот же вопрос, если вместо суммы чисел вычисляют их произведение. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
4.Найдите минимальное целое число, большее 40 100 и являющееся точным квадратом (квадратом другого целого числа). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
5.Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab = 2, bc = 3, cd = 4, de = Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
6.Все грани кубика размером 3 × 3 × 3 покрасили. Потом его разрезали на 27 кубиков размером 1 × 1 × 1. Сколько при этом получилось кубиков со всеми неокрашенными гранями? с одной окрашенной гранью? с двумя окрашенными гранями? с тремя окрашенными гранями? с четырьмя окрашенными гранями? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
7.Не пользуясь калькулятором, скажите, какая из дробей:
13/21 и 21/34 больше. Можете ли вы указать дробь, которая по величине находится между ними? Обыкновенную дробь m/n называют сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число (большее 1). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
8.Может ли кот Леопольд подарить 10 мышатам конфеты, если он хочет, чтобы каждый получил хотя бы одну конфету, никакие два мышонка не получили одинакового числа конфет и всего у него (а) 15 конфет; (б) 50 конфет; (в) 100 конфет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
9.Нарисовать на числовой оси те числа x, для которых [x] = [x + 2/3]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
10.Может ли прямая пересекать все 11 сторон невыпуклого 11-угольника (не проходя через его вершины)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
11.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
12.Посмотрите на ключ от своей квартиры. Объясните, как работает замок. Как Вы думаете, могут ли все замки в новом 500-квартирном доме (выпущенные одной фирмой) быть разными? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
13.Квадратный пруд имеет сторону 500 метров. На одной из его сторон выбрана точка, отстоящая от одного угла на 200 метров и от другого угла на 300 метров. Нарисуйте точки, до которых можно дойти, пройдя не более 900 метров по суше. Из каких кривых состоит граница получившейся области? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
14.Доказать, что число 999991 составное (т. е. не простое). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
15.Нарисовать на числовой оси те точки x, для которых среди неравенств x > 1, x > 2, . . . , x > 9, x > 10 ровно три верных. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
16.Внутри квадрата размером 1 × 1 поставлено 105 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не больше 0,2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
17.Четыре подряд идущих целых числа перемножили и к произведению прибавили 1. Доказать, что получился точный квадрат. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
18.Найти отношение a/e. 5. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 2 м; в результате его площадь увеличилась на 28 м^2 . Найдите периметр исходного прямоугольника. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
19.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
20.Можно ли нарисовать многоугольник и точку вне него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
21.Передние покрышки у автомобиля стираются через 25000 км пути, а задние через 15000 км пути. Сколько можно проехать, если вовремя поменять покрышки местами, чтобы они стёрлись одновременно? В какой момент их нужно менять? (Считается, что в передних и задних колёсах стирается одна и та же часть покрышки, причём стирается она равномерно.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
22.Вася тренируется на катке. Он положил три шайбы в вершины треугольника, а затем бьёт по одной из шайб так, чтобы она (двигаясь по прямой) прошла в ворота, образуемые двумя другими шайбами. Могут ли после 7 бросков все три шайбы оказаться в прежних местах? Могут ли они после 7 бросков оказаться в вершинах того же треугольника? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
23.Каких чисел больше среди чисел от 1 до 1000 | чётных или нечётных? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
24.Квадратное колесо катится по дороге. Нарисуйте траекторию его оси (находящейся в центре колеса). Из каких кривых она состоит? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
25.(б) Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 123? (Пятизначные числа -- это числа от 10000 до 99999.) 3. Автомат отрезает от помещённого в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 2 больших квадрата, 3 квадрата поменьше и 5 маленьких квадратов со стороной 1 см. Какой прямоугольник у него был? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
26.(а) Найдите минимальное пятизначное число, делящееся на 21Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
27.Как записать расстояние между точками числовой оси с координатами x и y, используя знак абсолютной величины? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
28.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
29.Доказать, что сумма кубов двух положительных целых чисел не может быть простым числом (за исключением единственного случая 1^3 + 1^3 = 2). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
30.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) > 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
31.По кругу написано 30 чисел. Между каждыми двумя записали модуль их разности, а исходные числа стёрли. Доказать, что полученные 30 чисел можно разделить на две группы с равной суммой.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
32.Проиллюстрировать формулу (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 , сложив квадрат со стороной a + b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
33.Как расставить 5 бутылок по 6 подносам так, чтобы на каждом подносе было по одной бутылке? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
34.Сократимы ли дроби: 39/57; 6/1357; 1363/1357=1*(6/1357)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
35.Доказать, что [[x/y]/z] = [x/(yz)] для любых положительных целых x, y, z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
36.Машина проехала половину времени со скоростью v, а вторую половину | со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
37.(Продолжение) Доказать, что если расположение шашек симметрично относительно обеих диагоналей квадрата, то в центральной клетке стоит шашка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
38.В комнате стоят три электрические лампочки, в соседней -- три выключателя к ним, причем на каждом написано «включено» и «выключено», но неизвестно, какой выключатель соответствует какой лампочке. Лампочки из комнаты с выключателями не видны. Как определить, какой выключатель соответствует какой лампочке? Разрешается зайти в комнату с выключателями, проделать с ними любые действия, а после этого войти в комнату с лампочками и проделать любые действия с ними, после чего дать ответ.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
39.В классе 20 учеников. Было проведены две контрольные, за каждую из которых ставились отметки от 2 до 5 (не участвовавшие получили двойки). Докажите, что есть два ученика с одинаковыми результатами (по обеим контрольным). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
40.Вычислите произведение, приведя подобные члены:
(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 )(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
41.xy = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
42.Вася знает, что [x] = 3, [y] = 4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти [x + y]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
43.Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
44.Написать выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
45.x + y = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
46.Можно ли нарисовать многоугольник и точку внутри него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
47.Почему произведение двух нечётных чисел нечётно? 5. При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? 6. При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? 7. Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? 8. Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. 9. В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
48.Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте. (Режут не на сгибе и сразу все нити.) (а) Сколько кусочков получилось? (б) Два из этих кусочков имели длину 7 см и 3 см. Какова длина верёвки? Укажите все возможности. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
49.Вася приходит на станцию метро в случайное время и садится в первый пришедший поезд (либо в одну сторону -в школу, либо в другую -- в кино). Хотя поезда ходят точно по расписанию, и в обе стороны идет примерно одинаковое число поездов, получается так, что Вася в школу попадает в среднем в три раза реже, чем в кино. Как так может быть?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
50.Нарисовать на числовой оси точки x, для которых x − − 1/3 -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
51.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
52.На конце верёвки сделаны петли, надетые на запястья (не туго, но с рук они не снимаются). Можно ли, не развязывая верёвку (и тем самым не снимая её с рук), завязать на ней узел?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
53.Известно, что (n + 3)(n + 5)(n + 7)(n + 11) = 4095 и что n -- целое положительное число. Найдите его. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
54.Две вершины квадрата имеют координаты ⟨5, 0⟩ и ⟨0, 2⟩. Каковы координаты двух остальных вершин? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
55.Бассейн разделён перегородками на две равные части, к каждой из которых ведёт своя труба. Первая половина заполняется за t часов, вторая | за u часов. За сколько времени наполнят бассейн обе трубы, если перегородку снять? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
56.По кругу написаны 4 целых числа. Между каждыми двумя записывают абсолютную величину их разности, а исходные числа стирают. Так повторяют несколько раз. Доказать, что рано или поздно останутся одни нули.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
57.(а) Найдите положительное число (не обязательно целое), при делении которого на 10/21 и 4/15 в частном получаются целые числа. (б) Найдите наименьшее такое число.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
58.В треугольнике ABC угол B равен 40 градусам, а угол C равен 20 градусам, разность сторон BC − AC равна 4. Найти длину биссектрисы угла A. (Подсказка: возьмите на стороне BC точку E, для которой угол AEB равен 100 градусам.)Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
59.Решить уравнение 2*|x − 1| = 3*|x − 7|. 10. Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. 11. Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? 12. Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? 13. Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. 14. Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. 15. Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? 16. На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? 17. По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? 18. Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
60.Доказать, что (при всех x) [x] + [x + 1/n] + [x + 2/n] + . . . + [x + (n−1)/n] = [nx]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
61.Известно, что a/b = c/d. Докажите, что (a − b)/(a + b) = (c − d)/(c + d). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
62.При проигрывании магнитофонной кассеты плёнка движется с постоянной скоростью (4,77 см/с). Какая из втулок кассеты крутится быстрее -- приёмная или подающая? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
63.В турнире по крестикам-ноликам по олимпийской системе участвует миллион (1 000 000) игроков. Сколько партий будет сыграно в этом турнире? (В турнире по олимпийской системе проигравший выбывает.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
64.На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 8 клеток и высотой 6 клеток. Можно ли поставить в нём крестики так, чтобы (а) в каждой строке стояло 4 крестика, а в каждом столбце -- 3? (б) в каждой строке стояло 3 крестика, а в каждом столбце -- 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
65.Известно, что 57 = 2^5 + 5^2 . Найдите аналогичное разложение числа 5757 (т. е. такие целые числа c и d, что 5757 = c^d + d^c ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
66.Точки A и B имеют координаты 1 и 7. Найти координату точки C, если расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC. (Указать все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
67.Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
68.Найти сумму:
(1/(1*2))+(1/(2*3))+(1/(3*4))+...+(1/(99*100)) (Указание: начните складывать.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
69.Из города А в город Б ведут 2 дороги, из города Б в город В ведут 3 дороги, из города В в город Г ведут 7 дорог. Сколько различных маршрутов ведут из А в В через Б? Сколько различных маршрутов ведут из А в Г через Б и В? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
70.Докажите равенство: (1/(1*199))+(1/(3*197))+(1/(5*195))+...+(1/(197*3))+(1/(199*1))=(1/100)*(1+(1/3)+(1/5)+...+(1/199)). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
71.Сколько раз входит 2 в разложение на простые сомножители числа 100 · 101 · 102 · 103 · . . . · 199 · 200? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
72.В пятирожковой люстре можно отдельно включать три и два рожка (двумя клавишами выключателя). Нарисуйте схему соединения люстры и выключателей с электросетью, учитывая, что из потолка в люстру идут 3 провода. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
73.Точку с координатами ⟨x, y⟩ отразили симметрично относительно оси OX, оси OY и относительно прямой x = y. Найти координаты трёх получившихся точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
74.Как разделить 7 одинаковых яблок поровну между 12 людьми, если яблоки разрешается резать не более чем на 5 частей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
75.Какое наименьшее количество карточек и какие именно нужно перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения «Если на одной стороне карточки четное число, то на другой -- гласная буква»? 4. Из Москвы во Владивосток ежедневно ровно в полночь (по московскому времени) выходит поезд, который идет ровно 6 суток. Из Владивостока в Москву ежедневно в полдень (по московскому времени) выходит поезд, который идет также 6 суток. Когда поезда встречаются, машинисты кричат «Ура!». (а) Сколько раз машинист кричит «Ура!» на пути из Москвы во Владивосток? (б) Сколько криков «Ура!» раздается в течение суток? Наконец, (в) сколько железнодорожных составов нужно, чтобы организовать такое движение? 5. У катушки внутренний диаметр равен 1 см, а внешний -- 2 см. Катушка катится со скоростью 30 см/с. С какой скоростью для этого человек должен тянуть конец нитки? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
76.Найти координаты точек, делящих отрезок [−1, 4] в отношении 2 : 3 и 3 : 4. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
77.Двое хотят перейти прямую канаву шириной 4 метра. На краю они нашли две прочные доски длиной 3, 5 метра каждая. Как им перейти на другую сторону? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
78.[x] = [y]; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
79.Чтобы завернуть винт, отвёртку крутят по часовой стрелке. В какую сторону нужно крутить гайку, чтобы навернуть её на винт, головка которого вмурована в стену -по часовой стрелке или против? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
80.Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 12 часов 20 минут? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
81.Есть несколько алмазов и мензурка с делениями. Как измерить суммарный объем всех алмазов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
82.Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте. (а) Сколько кусочков получилось? (б) Два из этих кусочков имели длину 9 см и 4 см. Какова длина верёвки? Укажите все возможности. (Режут не на сгибе и сразу все нити.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
83.Доказать, что при положительном целом n число n2 + n не может быть точным квадратом. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
84.У Васи в комоде лежат 10 черных, 16 синих и 20 зелёных носков. Сколько носков надо достать не глядя, чтобы среди них заведомо была пара носков одного цвета? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
85.По шоссе в одном направлении, с постоянной скоростью и с равными интервалами идут автобусы. Однажды человек прошёл по шоссе 4 км и его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл (с той же скоростью) 6 км и его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов его обогнали?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
86.Какое число (одно и то же) надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 11/41 , чтобы она превратилась в 3/8? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
87.В треугольнике ABC на стороне AB взята точка D, а на стороне BC взята точка E. При этом отрезок DE параллелен AB и равен по длине отрезку AD. Найдите угол EAB, если углы B и C треугольника равны соответственно 45 градусов и 60 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
88.Вершины треугольника имеют координаты ⟨0, 0⟩, ⟨3, 5⟩ и ⟨5, 8⟩. Какова его площадь? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
89.Что случится с периметром и площадью прямоугольника, если одну его сторону увеличить на 10 процентов, а другую уменьшить на 10 процентов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
90.Дальтоники не различают цветов. Могут ли они пользоваться светофором? Если да, то почему ГАИ неохотно выдаёт им права? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
91.На столе лежала верёвка (без узла). Лёня подошел к столу, взял веревку за концы двумя руками, и, не выпуская концов верёвки из рук, завязал на ней узел. Как он это сделал? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
92.Сколько чисел от 00 до 99 содержат в своей записи цифру 3 и сколько не содержат? Сколько чисел от 000 до 999 содержат в своей записи цифру 3 и сколько не содержат? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
93.В Москве живёт более 5 миллионов человек. Вася купил карту масштаба 1 : 100 000, расстелил её на земле и думает, что на неё встанут 50 человек (50 = 5 000 000/100 000). Прав ли он? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
94.Прямоугольный город 5×7 разбит на квадратные кварталы 1 × 1. Мы хотим пройти из юго-западного угла в северо-восточный, идя на север и на восток. Все возможные пути имеют одинаковую длину. (Почему?) Сколько различных путей существует? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
95.Вася знает, что {x} = 0,3, {y} = 0,4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти {x + y}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
96.Как движется Солнце с точки зрения жителей Южного полушария -- слева направо или справа налево? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
97.Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab = = 3, bc = 2, cd = 4, de = Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
98.Доказать, что: [35/23] + [2 * (35/23)] + [3 * (35/23)] + ... + [22 * (35/23)] = [23/35] + [2 * (23/35)] + [3 * (23/35)] + ... + [35 * (23/35)].Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
99.Двое пловцов одновременно начали плыть по 25-метровой дорожке бассейна со скоростями 1,4 м/с и 1,1 м/с. Доплывая до конца дорожки, каждый из пловцов поворачивает назад. Когда более быстрый пловец впервые обгонит более медленного (плывя в ту же сторону)? На каком расстоянии от места старта это произойдёт? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
100.Доказать, что (a + b)^2 − (a − b)^2 = 4ab. Как выглядит соответствующая картинка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
101.Бизнесмен договорился о партии в шахматы по переписке с двумя гроссмейстерами. Он похваляется своему приятелю: «Ну уж у одного я точно выиграю. В крайнем случае, будут две ничьи». Почему он в этом так уверен?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
102.Проиллюстрировать формулу a^2 − b^2 = (a + b)(a − b), разрезав квадрат a × a с вырезанным углом b × b на две части, из которых можно сложить прямоугольник со сторонами a − b и a + b. (Достаточно одного прямого разреза.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
103.Вычислите произведение, приведя подобные члены:
(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 )(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
104.Может ли сторона треугольника быть вдвое больше другой стороны и вдвое меньше третьей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
105.Отгадайте закон и продолжите таблицу:
1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
106.Могут ли 9 шестерёнок, сцепленных по кругу, вращаться? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
107.По кругу стоят 10 корзин. При каких n можно разложить n яблок по этим корзинам так, чтобы количества яблок в соседних корзинах отличались ровно на 1?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
108.Написать формулу для (a + b)^3 и описать соответствующее ей разрезание куба со стороной a + b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
109.(Продолжение) Могла ли она проползти 11 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
110.В строку написаны точные квадраты: 1, 4, 9, 16, . . . Под каждыми двумя числами написали их разность: 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16−9 = 7 и т. д. Доказать, что каждое следующая разность больше предыдущей на 2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
111.. . . 2x -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
112.Некоторые целые числа объявлены хорошими, остальные -- плохими. Известно, что (а) если x хорошее, то x + 15 тоже хорошее; (б) если x плохое, то x + 6 тоже плохое. Сколько плохих чисел может быть среди чисел от 1 до 1000? Укажите все варианты и докажите, что других быть не может. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
113.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 57. Разрешается заменить любые два числа на их сумму или разность, пока не останется одно число. Может ли это число быть нулём? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
114.Улитка ползла в течение 5 минут, всё время находясь под наблюдением. Каждый наблюдатель наблюдал за ней в течение 1 минуты, и за эту минуту она проползла ровно 1 метр. Могла ли улитка проползти 6 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
115.Процессия движется из пункта А в пункт Б со скоростью 5 км/ч. Каждые полчаса высылаются гонцы в пункт Б, которые движутся со скоростью 20 км/ч. С какими интервалами прибывают гонцы в Б? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
116.На плоскости нарисовали треугольник и квадрат. Потом покрасили все точки, попадающие внутрь хотя бы одной из фигур. Может ли при этом получиться 7-угольник? 8-угольник? 13-угольник?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
117.Улитка каждые 15 минут поворачивает на 90 градусов (а в промежутках ползёт по прямой). Доказать, что она может вернуться в исходную точку лишь через целое число часов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
118.Почему крышки канализационных люков делают круглыми, а не овальными или квадратными? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
119.Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
120.Как замостить плоскость одинаковыми плитками, имеющими вид квадрата с отрезанным углом (рис. 7)? (Нарисуйте подробную схему укладки плит.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
121.Нарисовать на числовой оси точки x, целая часть которых чётна. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
122.Нарисовать на числовой оси точки x, дробная часть которых равна 1/3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
123.Проделайте в тетрадном листе отверстие, в которое может пролезть человек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
124.. . . чётное число верных. 13. Точки A и B имеют координаты a и b. Найти координату точки C, делящей отрезок AB в отношении 2 : 3. 14. Нарисовать на числовой оси те точки x, для которых (x − 1)(x − 2) . . . (x − 9)(x − 10) > 0. Линейку повернули на 180 градусов и приложили к другой такой же. При этом точка 4 нижней линейки совпала с точкой 7 верхней, а точка 5 нижней совпала с точкой 6 верхней. Какое число находится напротив числа 10 на нижней линейке? Напротив числа x на нижней линейке? 16. При каких x точка с координатой x^2 находится правее точки с координатой x? 17. На сколько сдвинется середина отрезка на числовой оси, если один его конец неподвижен, а второй сдвинулся на 3 единицы? 18. На числовой оси находятся точки A, B, C, D. Петя нашел середины отрезков AB и CD, соединил их отрезком и взял середину этого отрезка. Вася сделал то же с отрезками AC и BD. Доказать, что Петя и Вася получили одну и ту же точку. 19. Нарисовать на числовой оси положительные числа, в десятичной записи которых первая цифра после запятой равна 3. 20. На числовой оси отмечены точки с координатами 0 и 1. Разрешается отметить середину отрезка, если его концы уже отмечены. Можно ли, соблюдая это правило, отметить точку с координатой 1/3?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
125.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
126.На окружности поставлено (в некотором порядке) 10 красных точек и 10 синих. Докажите, что число пар соседних красных точек равно числу пар соседних синих точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
127.При каких x точка с координатой x находится правее точки с координатой x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
128.У Пети в комоде валяются 10 чёрных рукавиц (5 пар), 16 синих (8 пар) и 20 зелёных (10 пар). Сколько рукавиц надо достать не глядя, чтобы заведомо можно было выйти на улицу в рукавицах одного цвета? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
129.Можно ли из квадрата со стороной 1 вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 1996? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
130.Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
131.Петя задумал число от 1 до 1000. Вася хочет узнать это число, задавая Пете вопросы, на которые возможны ответы «да» и «нет». Какие вопросы он должен задавать, чтобы гарантированно узнать задуманное число после 10 вопросов? Может ли он сделать то же самое, если список из 10 вопросов он должен составить заранее? ∘ Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
132.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
133.В треугольнике ABC взяли точку D на стороне BC, точку E на стороне AC и точку F на стороне AB. При этом AF = AE, BD = BF и CE = CD. Известно, что ∠ABC = 20 градусов. Найдите угол FED. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
134.Из утверждений «x > 1», «x > 2», «x > 3», «x > 4», «x > 5» три верных и два неверных. Какие? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
135.Прямоугольную шоколадку размером 3 × 4 разламывают на дольки 1 × 1. Сколько разломов для этого необходимо (ломать одновременно два кусочка не разрешается)? Можно ли обойтись меньшим числом разломов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
136.Если к произведению двух целых чисел, отличающихся на 2, прибавить единицу, то получится точный квадрат (например, 4 · 6 + 1 = 5^2 ). Почему? Простое число | это целое число, большее 1, которое нельзя представить как произведение двух меньших целых положительных чисел. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
137.Как изменится внутренний диаметр кольца (рис. 3) при нагревании?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
138.Двузначное число написали подряд три раза. (Например, из числа 67 получилось число 676767. Полученное число всегда делится на 7, 13 и на 111. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
139.В Вестляндии 64 города. Докажите, что в каких-то трёх из них число дождливых дней в сентябре было одинаково. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
140.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
141.x^2 + y^2 = 2xy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
142.Саша утверждает, что при подстановке вместо x в выражение x2 +x+41 чисел 1, 2, 3, 4, . . . всегда получится простое число. Прав ли он? (Число называется простым, если оно делится только на единицу и само себя.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
143.(а) Найдите минимальное пятизначное число, делящееся на 12Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
144.Сумма трех различных чисел (не обязательно целых) равна 10, а разница между большим и меньшим из них равна 2. Каким может быть среднее по величине число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
145.У числа 100! = 1·2·. . .·99·100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и так поступали до тех пор, пока не получили число из одной цифры. Что это за число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
146.Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 одинаковых ладей, не бьющих друг друга? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
147.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
148.Можно ли так расположить в пространстве три одинаковых кубика, чтобы сверху, сбоку и спереди была видна одна и та же фигура -- три квадрата, приложенных друг к другу сторонами (буквой «Г»)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
149.(б) Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 213? (Пятизначные числа -- это числа от 10000 до 99999.) 3. Автомат отрезает от помещённого в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 3 больших квадрата, 2 квадрата поменьше и 6 маленьких квадратов со стороной 1 см. Какой прямоугольник у него был? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
150.Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых нечётны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
151.Нарисуйте фигуру из 11 точек и нескольких отрезков между ними так, чтобы каждая точка была соединена ровно с двумя другими. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
152.. . . x/2 -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
153.Почему парикмахер в Женеве охотнее побреет двух французов, чем одного немца? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
154.За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Доказать, что хотя бы у одного из сидящих оба соседа | мальчики. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
155.Володя и Сева по очереди пишут кладут на прямоугольный стол круглые монеты (все монеты одинаковы). Уже лежащие монеты сдвигать нельзя; класть монету поверх других -- тоже. Кто не может положить монету так, чтобы она не упала со стола, проигрывает. Первым ходит Володя. Кто выигрывает при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
156.Дима и Сэм играют в такую игру. Вначале ладья стоит в левом нижнем углу шахматной доски. Ходят по очереди. На каждом ходу ладью можно сдвинуть или вправо, или вверх (на любое число клеток). Проигрывает тот, кто не может сделать ход (ладья в правом верхнем углу). Первым ходит Дима. Кто выигрывает при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
157.Можно ли так написать на шести гранях кубика числа от 1 до 6, чтобы числа на соседних гранях не были соседними (то есть отличались бы на 2 или больше)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
158.Простое число -- это число, которое не разлагается в произведение двух меньших целых чисел. (Например, 7 -простое число, а 10 = 2 × 5 -- нет.) Докажите, что полусумма двух соседних нечётных простых чисел -- составное число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
159.Найти координату середины отрезка, если его концы имеют координаты 17 и 33. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
|
Создай 10 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.(x − y)(x + y)(y − 2x) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.Точку с координатами ⟨x, y⟩ отразили симметрично относительно оси OX, оси OY и относительно прямой x = y. Найти координаты трёх получившихся точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.Две вершины квадрата имеют координаты ⟨5, 0⟩ и ⟨0, 2⟩. Каковы координаты двух остальных вершин? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.xy = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.|x − 1| < 1/3; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.x = y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.Нарисовать те точки ⟨x, y⟩, для которых (а) x+x^2 = y+y^2 ; (б) x + x^3 = y + y^3 ; (в) x + |x| = y + |y|.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
8.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) > 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
9.x = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
10.x > y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 5 задач по математике 7 класса по теме "Графики движений". | 1.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
2.(Продолжение) Могла ли она проползти 11 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
3.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
5.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
|
End of preview. Expand
in Data Studio
README.md exists but content is empty.
- Downloads last month
- 51