user
stringlengths 38
73
| assistant
stringlengths 161
89.2k
⌀ |
|---|---|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен 4. Доказать, что один из учеников получил четвёрку. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.На квадратной доске 7 × 7 расставлено 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали квадрата. Доказать, что одна из шашек стоит на этой диагонали. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Три кузнечика на прямой играют в чехарду. Каждую секунду один из них перепрыгивает через другого (но не через двух). Доказать, что они могут вернуться в исходное положение только через чётное число секунд. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.Могут ли 9 шестерёнок, сцепленных по кругу, вращаться? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.Улитка каждые 15 минут поворачивает на 90 градусов (а в промежутках ползёт по прямой). Доказать, что она может вернуться в исходную точку лишь через целое число часов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
7.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 9 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.Можно ли так расставить знаки в выражении:
±1 ± 2 ± 3 ± . . . ± 9 ± 10, чтобы получился нуль? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Окружность разделена точками на 99 дуг, из которых 3 имеют длину 3 см, ещё 3 имеют длину 2 см, и оставшиеся 3 имеют длину 1 см. Доказать, что какие-то две из точек деления диаметрально противоположны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Могут ли 9 шестерёнок, сцепленных по кругу, вращаться? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.Почему произведение двух нечётных чисел нечётно? 5. При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? 6. При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? 7. Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? 8. Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. 9. В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.На квадратной доске 7 × 7 расставлено 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали квадрата. Доказать, что одна из шашек стоит на этой диагонали. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
7.При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
8.На прямой имеется 11 точек, причём сумма расстояний от них до некоторой точки A равна сумме расстояний от них до другой точки B. Доказать, что хотя бы одна из этих 11 точек лежит на отрезке AB. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
9.По кругу написаны 4 целых числа. Между каждыми двумя записывают абсолютную величину их разности, а исходные числа стирают. Так повторяют несколько раз. Доказать, что рано или поздно останутся одни нули.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.x > y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.y = 2x; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.max(x, y) >= 2; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.x + y = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.точка 1 лежит на числовой оси между точками x иy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.Вершины треугольника имеют координаты ⟨0, 0⟩, ⟨3, 5⟩ и ⟨5, 8⟩. Какова его площадь? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 3 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.Окружность разделена точками на 99 дуг, из которых 3 имеют длину 3 см, ещё 3 имеют длину 2 см, и оставшиеся 3 имеют длину 1 см. Доказать, что какие-то две из точек деления диаметрально противоположны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Может ли прямая пересекать все 11 сторон невыпуклого 11-угольника (не проходя через его вершины)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Графики движений". | 1.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
2.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
3.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.Улитка ползла в течение 5 минут, всё время находясь под наблюдением. Каждый наблюдатель наблюдал за ней в течение 1 минуты, и за эту минуту она проползла ровно 1 метр. Могла ли улитка проползти 6 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
5.Идя навстречу трамваям, пешеход встречал их каждые 5 минут, идя в одну с ними сторону | каждые 7. Как часто он будет их встречать, стоя на месте? (Трамваи движутся с постоянной скоростью и с одинаковыми интервалами. Скорость пешехода также постоянна.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
6.Два пешехода вышли навстречу друг другу одновременно из пунктов А и Б. Каждый из них идёт с постоянной скоростью, и дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через час после начала движения. Когда они встретятся во второй раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
|
Создай 5 задач по математике 7 класса по теме "Тождества". | 1.Простое число после увеличения на 1 становится точным квадратом. Найти все такие числа. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
2.Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы двух точных квадратов. (Например, 5 хорошее, так как 5 = 2^2 + 1^2 , а 3 -- нет.) Доказать, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
3.Доказать, что при положительном целом n число n2 + n не может быть точным квадратом. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.Доказать, что (a + b)^2 − (a − b)^2 = 4ab. Как выглядит соответствующая картинка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.Доказать, что сумма кубов двух положительных целых чисел не может быть простым числом (за исключением единственного случая 1^3 + 1^3 = 2). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
|
Создай 1 задач по математике 7 класса. | 1.Можно ли разрезать фигуру, изображенную на рис. 1, на две, на три и на четыре одинаковые части? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
|
Создай 58 задач по математике 7 класса. | 1.Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых нечётны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
2.x^2 = y^2 ; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.Каких чисел больше среди чисел от 000000 до 999999:
тех, у которых сумма цифр чётна или тех, у которых она нечётна? Сколько тех и других? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
4.Следующий текст получен из хорошо известного заменой каждой буквы на какую-то другую. Последнее слово пропущено. Восстановите его. -- Сагдау ра накя, сагдау ра накя? -- пудгэбуз Увнюв Сушванщэб, лсгецуе л цгяжюь сюсюзуь галлдэм цзуцюз нака ву шгувтаплдэм зуф. -- Е вя ьюца фюгьэг р сюняьдуж. -Фяшюгч вя сювез яцю рюлдзэтувэе э сючязуз яьа фючгюм вюбэ. -- Сгюдзеном чулагьув, -- сгюрюгбуз Лсэтов, пуданоруелщ р юфяезю. -- Вачвю яьа чозю лрябда накэнщ. Яьа чя жачя. Е лсунщ вя ьюца чяп юцве. -- Ьалщя, ьалщя, -сгюфюзчуз юв, -- чя ря уряд ра сугзя. -- Вю шгувтап вя юнрябуз э рлдюгя пужгусяз . . . Увнюв Сушванщэб пуьюзбуз, алнузюлнщ э рэввоя суго ьузю-сюьуза сгярюпьюцзэ яцю чюепзэрюлнщ, юв лнуз фгяьунщ, э рлдюгя цзачюдэм люв юрзуфяз эь люрягкяввю. Лнгуввюя цюнюрэзюлщ яьа сгючючфявэя. Юв барлнрюруз лдрюпщ люв, бню дню-ню нэжювщдю фягцуз яцю пу рюгюн гачукдэ. Увнюв Сушванщэб юндгоз цзупу э сгэ чзяфвюь лряня юляввяцю ангу арэфяз сягяф лючюм Фяшюгчу: шгувтап р юфвюм гадя фягчуз дугьуввом сэлнюзян, у фгацюи юнлняцэруз пурянваи лаьа. Увнюв Сушванэщэб ючьяг. -- Дялщ дя ля, ьалщя, дялщ дя ля, -- сгюэпвял юв нгясяхахэь цюзюлюь. -- Нэкя, ьюзбунщ, -- юнрябуз абэнязщ бэлноь галлдэь еподюь, -- ьюзбунщ эзэ ро сгюсузэ. ЕРесурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
5.В треугольнике ABC угол B равен 20 градусам, а угол C равен 40 градусам. Биссектриса AD угла A равна 2. Найти разность сторон BC − AB. (Подсказка: на стороне BC постройте точку E, для которой угол AEB равен 80 гардусам.)Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
6.Обозначая дни недели от воскресенья до субботы числами 0, 1, 2, ... , 6, Вася придумал формулу:
день недели = 7 · {число/7}, которая годится, если первое число месяца было понедельником. Как надо её изменить, если первое число месяца было пятницей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
7.На прямой выбраны две точки A и B на расстоянии 10. Где на прямой может находиться точка C, если известно, что расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC? (Укажите все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
8.Какое из чисел x и y больше и почему? 3. Вася тренируется на катке. Он положил три шайбы в вершины треугольника, а затем бьёт по одной из шайб так, чтобы она (двигаясь по прямой) прошла в ворота, образуемые двумя другими шайбами. Могут ли после 7 бросков все три шайбы оказаться в прежних местах? Могут ли они после 7 бросков оказаться в вершинах того же треугольника? 4. Даны две бутылки с растворами разной концентрации. В одной бутылке 0,5 литра, в другой 0,3 литра. Два одинаковых стаканчика налили доверху (каждый из своей бутылки), после чего растворы влили обратно в бутылки, поменяв их местами. В результате в обеих бутылках получился раствор одинаковой концентрации. Найти объём стаканчиков. 5. Петя и Боря смотрят на большой кусок пчелиных сот. Соты состоят из шестиугольников, примыкающих друг к другу так, что в вершине сходятся три шестиугольника. Петя считает число шестиугольников, Боря -- число вершин шестиугольников. У кого из них получится больше? Во сколько раз (примерно)? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
9.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
10.Какие значения может принимать сумма [x] + [−x]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
11.Вася влил стакан кислоты в банку с водой. Получился 10-процентный раствор кислоты в воде. Потом он добавил в раствор ещё один такой же стакан кислоты. Какой раствор получился в результате? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
12.Доказать, что сумма:
1/1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(1*2) + 1/(1*3) + ... + 1/(1*n) + ... + 1/((n - 1) * n) + 1/(1 * 2 * 3) + ... + 1/(1 * 2 * 3 ... n) (в знаменателях стоят все комбинации чисел от 1 до n, в которых числа не повторяются) равна n.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
13.Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
14.Саша утверждает, что при подстановке вместо x в выражение x2 +x+41 чисел 1, 2, 3, 4, . . . всегда получится простое число. Прав ли он? (Число называется простым, если оно делится только на единицу и само себя.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
15.Можно ли разрезать фигуру, изображенную на рис. 1, на две, на три и на четыре одинаковые части? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
16.Продолжите последовательность: 4, 3, 3, 6, 4, 5, 4, 6, 6, 6, 11, . . . Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
17.Простое число -- это число, которое не разлагается в произведение двух меньших целых чисел. (Например, 7 -простое число, а 10 = 2 × 5 -- нет.) Докажите, что полусумма двух соседних нечётных простых чисел -- составное число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
18.(x − y)(x + y)(y − 2x) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
19.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
20.У Димы было 7 картофелин, у Гриши было 5, а у Яши вообще не было. Они сварили картошку и разделили полученную тюрю поровну на троих. Благодарный Яша дал Диме с Гришей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
21.Какое наибольшее число (а) ладей; (б) слонов можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
22.Сократимы ли дроби: 39/57; 6/1357; 1363/1357=1*(6/1357)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
23.Дальтоники не различают цветов. Могут ли они пользоваться светофором? Если да, то почему ГАИ неохотно выдаёт им права? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
24.Нарисовать на числовой оси точки x, дробная часть которых равна 1/3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
25.Нарисовать на числовой оси точки x, целая часть которых чётна. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
26.Что больше: общее количество цифр в числах 1, 2, 3, 4, . . . , 999, 1000 или количество нулей в числах 1, 2, 3, 4, . . . , 9999, 10000? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
27.В последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Могут ли в ней оказаться рядом (а) два чётных числа? (б) два числа, делящихся на 13? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
28.Чтобы завернуть винт, отвёртку крутят по часовой стрелке. В какую сторону нужно крутить гайку, чтобы навернуть её на винт, головка которого вмурована в стену -по часовой стрелке или против? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
29.Мистер и миссис Смит по очереди переводят стрелку часов на два или три часа вперёд. Сначала стрелка показывала 1 час. Тот, после чьего хода стрелка показала 5 часов, считается победителем; другой считается проигравшим и идёт готовить чай. Верно ли, что мистеру Смиту не придётся готовить чай, если он уступит право первого хода миссис Смит и будет играть правильно? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
30.Перемножить: (1 + x)(1 + x^2 )(1 + x^4 )(1 + x^8 )(1 + x^16 ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
31.Маховик подвешен на двух нитках, намотанных на ось. Его отпускают, и он движется вниз, раскручиваясь. Дойдя донизу, он начинает подниматься вверх. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
32.В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы «четвертей квадратов», которые указывали значения (x^2) /4 для 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
33.Простое число после увеличения на 1 становится точным квадратом. Найти все такие числа. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
34.На следующем уроке Вова сказал: «Я забыл, какое число задали, и делил другое, два раза остатка не было, на третий был». Учительница сказала:
«Ты ошибся». Почему она так сказала? 2. Делится ли на 7 сумма двух слагаемых, если (а) оба слагаемых делятся на 7; (б) ровно одно из них делится на 7? (в) ни одно из них не делится на 7? 3. У числа 100! = 1·2·. . .·99·100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и так поступали до тех пор, пока не получили число из одной цифры. Что это за число? 4. Целое число, большее 2, называется простым, если оно не разлагается в произведение двух меньших целых положительных чисел. Докажите, что число 999 991 -- не простое. 5. Почему трамвайные провода идут не прямо, а зигзагом? Что плохого было бы, если пустить их ровно? (Указание: с троллейбусом этой проблемы нет.) 6. Можно ли расположить 6 длинных круглых карандашей так, чтобы каждый из них касался всех остальных?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
35.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
36.Написать формулы для частного и остатка при делении двух целых положительных чисел с остатком (формулы должны использовать арифметические операции и знак целой части). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
37.Натуральные числа раскрашены в два цвета. Докажите, что можно так выбрать три числа A, B и C одного цвета, что A + B = 2*C. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
38.Почему парикмахер в Женеве охотнее побреет двух французов, чем одного немца? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
39.Могут ли 9 шестерёнок, сцепленных по кругу, вращаться? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
40.В строку написаны точные квадраты: 1, 4, 9, 16, . . . Под каждыми двумя числами написали их разность: 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16−9 = 7 и т. д. Доказать, что каждое следующая разность больше предыдущей на 2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
41.Идя навстречу трамваям, пешеход встречал их каждые 5 минут, идя в одну с ними сторону | каждые 7. Как часто он будет их встречать, стоя на месте? (Трамваи движутся с постоянной скоростью и с одинаковыми интервалами. Скорость пешехода также постоянна.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
42.точка 1 лежит на числовой оси между точками x иy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
43.Внутри квадрата размером 1 × 1 поставлено 105 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не больше 0,2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
44.Дима считает, что |−a| при a < 0 равно a, а Володя | что −a. Кто из них прав? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
45.Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте. (Режут не на сгибе и сразу все нити.) (а) Сколько кусочков получилось? (б) Два из этих кусочков имели длину 7 см и 3 см. Какова длина верёвки? Укажите все возможности. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
46.Целое число, большее 2, называется простым, если оно не разлагается в произведение двух меньших целых положительных чисел. Докажите, что число 999 991 -- не простое. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
47.На берегу реки крестьянин, волк, коза и капуста. Волк, оставленный с козой без крестьянина, её съедает -- в свою очередь, коза съедает капусту, оставшись с ней без присмотра. Как крестьянину перевезти всех на другой берег, если в лодку можно взять только один из трех объектов (за раз)?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
48.На прямой дороге стоят 6 домов на равных расстояниях друг от друга. В каком месте дороги надо сделать автобусную остановку, чтобы суммарное расстояние от неё до всех домов было бы как можно меньше? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
49.Дима и Сэм играют в такую игру. Вначале ладья стоит в левом нижнем углу шахматной доски. Ходят по очереди. На каждом ходу ладью можно сдвинуть или вправо, или вверх (на любое число клеток). Проигрывает тот, кто не может сделать ход (ладья в правом верхнем углу). Первым ходит Дима. Кто выигрывает при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
50.Какие значения может принимать сумма {x} + {−x}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
51.x + y = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
52.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
53.При каких x точка с координатой x находится правее точки с координатой x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
54.Собака преследует зайца, который находится на расстоянии 40 своих прыжков впереди собаки. Собака делает 7 прыжков за то же время, что заяц -- 9, но 3 прыжка собаки равносильны 5 прыжкам зайца. Сколько прыжков надо сделать собаке, чтобы догнать зайца? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
55.Двое лыжников шли друг за другом с постоянной скоростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров. (а) Начался более трудный участок, где на котором скорость лыжников стала 4 км/ч. Каково расстояние между лыжниками на этом участке? (б) Затем был лёгкий участок со скоростью 7 км/ч, затем очень трудный со скоростью 3 км/ч и, наконец, они вышли снова на участок со скоростью 6 км/ч. Каково расстояние между ними в этот момент? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
56.y = 2x; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
57.В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен 4. Доказать, что один из учеников получил четвёрку. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
58.В стакане с водой плавает кусочек льда. Как изменится уровень воды в стакане, когда лёд растает? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.Окружность разделена точками на 99 дуг, из которых 3 имеют длину 3 см, ещё 3 имеют длину 2 см, и оставшиеся 3 имеют длину 1 см. Доказать, что какие-то две из точек деления диаметрально противоположны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 57. Разрешается заменить любые два числа на их сумму или разность, пока не останется одно число. Может ли это число быть нулём? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.(Продолжение) Доказать, что если расположение шашек симметрично относительно обеих диагоналей квадрата, то в центральной клетке стоит шашка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.Можно ли разрезать шахматную доску без клеток a1 и h8 на прямоугольники 1 × 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.На прямой имеется 11 точек, причём сумма расстояний от них до некоторой точки A равна сумме расстояний от них до другой точки B. Доказать, что хотя бы одна из этих 11 точек лежит на отрезке AB. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.Можно ли так расставить знаки в выражении:
±1 ± 2 ± 3 ± . . . ± 9 ± 10, чтобы получился нуль? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
7.При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Графики движений". | 1.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
2.Машина проехала половину пути со скоростью v, а вторую половину со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
3.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.Идя навстречу трамваям, пешеход встречал их каждые 5 минут, идя в одну с ними сторону | каждые 7. Как часто он будет их встречать, стоя на месте? (Трамваи движутся с постоянной скоростью и с одинаковыми интервалами. Скорость пешехода также постоянна.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
5.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
6.Улитка ползла в течение 5 минут, всё время находясь под наблюдением. Каждый наблюдатель наблюдал за ней в течение 1 минуты, и за эту минуту она проползла ровно 1 метр. Могла ли улитка проползти 6 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
|
Создай 0 задач по математике 7 класса. | null |
Создай 33 задач по математике 7 класса. | 1.При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.На квадратной доске 7 × 7 расставлено 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали квадрата. Доказать, что одна из шашек стоит на этой диагонали. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.(Продолжение.) Доказать, что произведение двух хороших чисел всегда хорошее. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.|x| = |y|; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.Вася тренируется на катке. Он положил три шайбы в вершины треугольника, а затем бьёт по одной из шайб так, чтобы она (двигаясь по прямой) прошла в ворота, образуемые двумя другими шайбами. Могут ли после 7 бросков все три шайбы оказаться в прежних местах? Могут ли они после 7 бросков оказаться в вершинах того же треугольника? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
7.Являются ли старейший художник среди шахматистов и старейший шахматист среди художников одним и тем же лицом -- или это не обязательно? Являются ли лучший шахматист среди художников и лучший художник среди шахматистов одним и тем же лицом? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
8.Машина проехала половину времени со скоростью v, а вторую половину | со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
9.Профессор в командировке, а сын отца профессора пьёт дома чай с отцом сына профессора. Как такое может быть?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
10.(б) Тот же вопрос для суммы (1/1000) + (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/1995) + (1/1996). 2. Найдите самое большое натуральное число, при делении которого с остатком на 57 частное и остаток получаются равными. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
11.Написать выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
12.В четырёхугольнике ABCD продолжения противоположных сторон AB и CD пересекаются под углом 20 градусов; продолжения противоположных сторон BC и AD также пересекаются под углом в 20 градусов. Докажите, что два угла в этом четырёхугольнике равны, а два других отличаются на 40 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
13.Вася вычеркнул каждое десятое число, считая от начала (т. е. 10, 20, 30, . . . ). После этого он вычеркнул каждое девятое число из оставшихся, затем каждое восьмое, каждое седьмое, . . . , каждое второе. Сколько чисел останется? Какое число будет стоять на последнем месте? 2. Докажите равенство: (1/(1*199))+(1/(3*197))+(1/(5*195))+...+(1/(197*3))+(1/(199*1))=(1/100)*(1+(1/3)+(1/5)+...+(1/199)). 3. В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? 4. В треугольнике ABC угол A равен 60 градусов. Известно, что биссектриса угла A, медиана, проведённая из вершины B, и высота, опущенная из вершины C, пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник равносторонний. 5. На плоскости лежит картонный квадрат, который разрешается перекатывать через рёбра (при перекатывании ребро остаётся на месте, а квадрат переворачивается на другую сторону). После нескольких перекатываний квадрат вернулся в то же место плоскости. Докажите, что он оказался в прежнем положении (т. е. все его вершины оказались на исходных местах).Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
14.Разрежьте (а) тупоугольный треугольник; (б) квадрат на остроугольные треугольники.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
15.Написать формулы для частного и остатка при делении двух целых положительных чисел с остатком (формулы должны использовать арифметические операции и знак целой части). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
16.Нарисовать на числовой оси те точки x, для которых среди неравенств x > 1, x > 2, . . . , x > 9, x > 10 ровно три верных. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
17.В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен 4. Доказать, что один из учеников получил четвёрку. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
18.Доказать, что при положительном целом n число n2 + n не может быть точным квадратом. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
19.На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
20.На плоскости нарисовано 1000 точек. Всегда ли можно провести прямую так, чтобы по каждую сторону от неё было ровно 500 точек? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
21.В комнате стоят три электрические лампочки, в соседней -- три выключателя к ним, причем на каждом написано «включено» и «выключено», но неизвестно, какой выключатель соответствует какой лампочке. Лампочки из комнаты с выключателями не видны. Как определить, какой выключатель соответствует какой лампочке? Разрешается зайти в комнату с выключателями, проделать с ними любые действия, а после этого войти в комнату с лампочками и проделать любые действия с ними, после чего дать ответ.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
22.Можно ли нарисовать многоугольник и точку вне него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
23.Сколько нужно провести непересекающихся диагоналей в 100-угольнике, чтобы разрезать его на треугольники? Почему всегда получается одно и то же число диагоналей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
24.Найти координаты точек, делящих отрезок [−1, 4] в отношении 2 : 3 и 3 : 4. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
25.Какое число (одно и то же) надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 11/41 , чтобы она превратилась в 3/8? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
26.Доказать, что [[x/y]/z] = [x/(yz)] для любых положительных целых x, y, z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
27.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
28.Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 11 часов 20 минут? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
29.Река с параллельными прямыми берегами имеет ширину 100 метров. На одном из берегов реки есть пристань. Есть остров периметра 800 метров; других островов нет. Докажите, что можно доплыть от пристани до другого берега реки, проплыв не более 300 метров (минуя остров). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
30.Три кузнечика на прямой играют в чехарду. Каждую секунду один из них перепрыгивает через другого (но не через двух). Доказать, что они могут вернуться в исходное положение только через чётное число секунд. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
31.Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
32.Сумма углов треугольника всегда равна 180 . Чему равна сумма углов пятиугольника? Чему равна сумма углов пятиконечной звезды? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
33.Замените во фразе:
'И ВСЕ ЖЕ ОН НЕ ПРАВ' каждую из десяти букв И, В, С, Е, Ж, О, Н, П, Р, А одной из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (разные буквы заменяются на разные цифры) так, чтобы все слова превратились в десятичные записи точных квадратов.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.По кругу написано 30 чисел. Между каждыми двумя записали модуль их разности, а исходные числа стёрли. Доказать, что полученные 30 чисел можно разделить на две группы с равной суммой.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x| > 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x + 1| + |x + 2| = 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 10 задач по математике 7 класса по теме "Тождества". | 1.В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы «четвертей квадратов», которые указывали значения (x^2) /4 для 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
2.Простое число после увеличения на 1 становится точным квадратом. Найти все такие числа. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
3.Проиллюстрировать формулу a^2 − b^2 = (a + b)(a − b), разрезав квадрат a × a с вырезанным углом b × b на две части, из которых можно сложить прямоугольник со сторонами a − b и a + b. (Достаточно одного прямого разреза.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.Написать формулу для (a + b)^3 и описать соответствующее ей разрезание куба со стороной a + b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.Доказать, что число 999991 составное (т. е. не простое). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
6.Доказать, что при положительном целом n число n2 + n не может быть точным квадратом. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
7.Доказать, что сумма:
1/1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(1*2) + 1/(1*3) + ... + 1/(1*n) + ... + 1/((n - 1) * n) + 1/(1 * 2 * 3) + ... + 1/(1 * 2 * 3 ... n) (в знаменателях стоят все комбинации чисел от 1 до n, в которых числа не повторяются) равна n.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
8.Проиллюстрировать формулу (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 , сложив квадрат со стороной a + b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
9.Доказать, что (a + b)^2 − (a − b)^2 = 4ab. Как выглядит соответствующая картинка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
10.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.Какое наибольшее число решений может иметь уравнение ||||x − a| − b| − c| − d| = e относительно x при фиксированных a, b, c, d, e? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Решить уравнение 2*|x − 1| = 3*|x − 7|. 10. Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. 11. Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? 12. Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? 13. Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. 14. Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. 15. Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? 16. На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? 17. По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? 18. Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x| > 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 8 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.точка 1 лежит на числовой оси между точками x иy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.y = 2x; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.xy = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.Нарисовать те точки ⟨x, y⟩, для которых (а) x+x^2 = y+y^2 ; (б) x + x^3 = y + y^3 ; (в) x + |x| = y + |y|.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.(x − y)(x + y)(y − 2x) >= 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.x^2 = y^2 ; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
8.{x} = {y}; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.Дима считает, что |−a| при a < 0 равно a, а Володя | что −a. Кто из них прав? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Как записать расстояние между точками числовой оси с координатами x и y, используя знак абсолютной величины? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Тождества". | 1.Доказать, что число 999991 составное (т. е. не простое). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
2.В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы «четвертей квадратов», которые указывали значения (x^2) /4 для 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
3.Проиллюстрировать формулу a^2 − b^2 = (a + b)(a − b), разрезав квадрат a × a с вырезанным углом b × b на две части, из которых можно сложить прямоугольник со сторонами a − b и a + b. (Достаточно одного прямого разреза.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.Написать формулу для (a + b)^3 и описать соответствующее ей разрезание куба со стороной a + b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.(Продолжение.) Доказать, что произведение двух хороших чисел всегда хорошее. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
6.Найти (a + b + c)(a + b − c), (a + b + c)(a − b + c), (a + b − c)(a − b + c) (не пользуясь бумагой для промежуточных вычислений). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Целая часть". | 1.Вася знает, что [x] = 3, [y] = 4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти [x + y]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
2.Обозначая дни недели от воскресенья до субботы числами 0, 1, 2, ... , 6, Вася придумал формулу:
день недели = 7 · {число/7}, которая годится, если первое число месяца было понедельником. Как надо её изменить, если первое число месяца было пятницей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
3.Всегда ли верны формулы [[x + y] + z] = [x + [y + z]] и {{x + y} + z} = {x + {y + z}}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
4.Какие значения может принимать сумма [x] + [−x]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
5.Доказать, что [[x/y]/z] = [x/(yz)] для любых положительных целых x, y, z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
6.Существует ли такое x, что [x] + [2x] + [3x] + [4x] = 99? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
|
Создай 5 задач по математике 7 класса по теме "Графики движений". | 1.Бассейн разделён перегородками на две равные части, к каждой из которых ведёт своя труба. Первая половина заполняется за t часов, вторая | за u часов. За сколько времени наполнят бассейн обе трубы, если перегородку снять? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
2.По шоссе в одном направлении, с постоянной скоростью и с равными интервалами идут автобусы. Однажды человек прошёл по шоссе 4 км и его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл (с той же скоростью) 6 км и его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов его обогнали?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
3.Улитка ползла в течение 5 минут, всё время находясь под наблюдением. Каждый наблюдатель наблюдал за ней в течение 1 минуты, и за эту минуту она проползла ровно 1 метр. Могла ли улитка проползти 6 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.(Продолжение) Могла ли она проползти 11 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
5.Два пешехода вышли навстречу друг другу одновременно из пунктов А и Б. Каждый из них идёт с постоянной скоростью, и дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через час после начала движения. Когда они встретятся во второй раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
|
Создай 9 задач по математике 7 класса по теме "Целая часть". | 1.Какие значения может принимать сумма {x} + {−x}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
2.Нарисовать на числовой оси точки x, целая часть которых чётна. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
3.Доказать, что: [35/23] + [2 * (35/23)] + [3 * (35/23)] + ... + [22 * (35/23)] = [23/35] + [2 * (23/35)] + [3 * (23/35)] + ... + [35 * (23/35)].Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
4.Доказать, что (при всех x) [x] + [x + 1/n] + [x + 2/n] + . . . + [x + (n−1)/n] = [nx]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
5.Написать выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
6.Существует ли такое x, что [x] + [2x] + [3x] + [4x] = 99? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
7.Обозначая дни недели от воскресенья до субботы числами 0, 1, 2, ... , 6, Вася придумал формулу:
день недели = 7 · {число/7}, которая годится, если первое число месяца было понедельником. Как надо её изменить, если первое число месяца было пятницей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
8.Доказать, что [[x/y]/z] = [x/(yz)] для любых положительных целых x, y, z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
9.Найти сумму: [sqrt(1)] + [sqrt(2)] + [sqrt(3)] + . . . + [sqrt(10000)]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.точка 1 лежит на числовой оси между точками x иy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.x^2 + y^2 = 2xy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.y = 2x; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.|x − 1| < 1/3; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.x = y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.Точку с координатами ⟨x, y⟩ повернули на 90 градусов вокруг точки ⟨0, 0⟩ против часовой стрелки. Найти координаты получившейся точки. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.x^2 + y^2 = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 9 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.x = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.Две вершины квадрата имеют координаты ⟨5, 0⟩ и ⟨0, 2⟩. Каковы координаты двух остальных вершин? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.(x − y)(x + y)(y − 2x) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.x = y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.Нарисовать те точки ⟨x, y⟩, для которых (а) x+x^2 = y+y^2 ; (б) x + x^3 = y + y^3 ; (в) x + |x| = y + |y|.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.x + y = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.(x − y)(x + y)(y − 2x) >= 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
8.x^2 + y^2 = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
9.{x} = {y}; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 12 задач по математике 7 класса. | 1.При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Как разделить 7 одинаковых яблок поровну между 12 людьми, если яблоки разрешается резать не более чем на 5 частей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
3.Все кости домино расположили в цепь. Доказать, что на концах цепи стоят равные цифры. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.x^2 + y^2 = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.Выключатель имеет три контакта 1, 2 и 3 и два положения. В одном положении контакт 1 соединён с контактом 2, а в другом положении контакт 1 соединён с контактом 3. Как, имея два таких выключателя и много провода, сделать так, чтобы свет на лестнице можно было включать и выключать и сверху, и снизу? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
6.Работа была поделена поровну между работниками в бригаде. После первого дня посчитали, сколько человек выполнило не менее 30% своей доли -- таких оказалось 70% всех работающих. Когда стали считать только тех, кто выполнил не менее 70% своей доли -- таких оказалось 30% работавших. Можно ли быть уверенным, что выполнена хотя бы треть работы? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
7.Чему может быть равно последнее число? 3. В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? 4. Квадратная площадь размера 50 × 50 метров выложена плитами размера 1 × 1 четырёх цветов -- белого, красного, синего и зелёного. При этом плиты одного цвета не лежат рядом и не имеют общего угла. Сколько красных плит на площади? 5. Стакан наполнили водой, накрыли картонкой и перевернули. Почему вода не выливается? 6. Бизнесмен заключил с чёртом следующее соглашение:
каждый день бизнесмен даёт чёрту одну купюру, а взамен получает любое (указанное бизнесменом) число купюр меньшего достоинства. Может ли бизнесмен бесконечно долго выполнять свои обязательства, если другого источника денежных купюр у него нет?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
8.Фирма «Русский сувенир» обнаружила в результате «маркетинга», что многие граждане хотели бы иметь на память десятитысячную купюру, номер на которой совпадает с их телефонным номером. Но их начальный капитал недостаточен, чтобы приобрести купюры со всеми возможными номерами. Тем не менее фирма нашла выход из положения. Какой?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
9.Какое число (одно и то же) надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 36/91 , чтобы она превратилась в 4/9 ? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
10.Квадрат разрезан на 5 прямоугольников, четыре из которых имеют по одному общем углу с квадратом и равновелики друг другу, а пятый находится внутри квадрата (не имея с ним общих кусков сторон). Докажите, что он будет квадратом.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
11.Три кузнечика на прямой играют в чехарду. Каждую секунду один из них перепрыгивает через другого (но не через двух). Доказать, что они могут вернуться в исходное положение только через чётное число секунд. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
12.Каких чисел больше среди чисел от 1 до 1000 | чётных или нечётных? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 2 задач по математике 7 класса. | 1.При каких n и на что можно сократить дроби:
(n+6)/n; (n+19)/(n+13); (5n+3)/(3n+2)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
2.В треугольнике ABC на стороне AB взята точка D, а на стороне AC взята точка E. При этом отрезок DE параллелен BC и равен по длине отрезку EC. Найдите угол ABC, если углы BAC и BCD равны соответственно 55 градусов и 25 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.(Продолжение) Доказать, что если расположение шашек симметрично относительно обеих диагоналей квадрата, то в центральной клетке стоит шашка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Можно ли разрезать шахматную доску без клеток a1 и h8 на прямоугольники 1 × 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.На прямой имеется 11 точек, причём сумма расстояний от них до некоторой точки A равна сумме расстояний от них до другой точки B. Доказать, что хотя бы одна из этих 11 точек лежит на отрезке AB. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Доказать, что хотя бы у одного из сидящих оба соседа | мальчики. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 57. Разрешается заменить любые два числа на их сумму или разность, пока не останется одно число. Может ли это число быть нулём? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 159 задач по математике 7 класса. | 1.На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.(а) Найдите сумму всех чётных четырехзначных чисел. (б) Найдите сумму всех четырехзначных чисел, все цифры которых чётны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
3.Двое играют в такую игру. Первый называет число от 1 до 10, затем второй называет число от 1 до 10. Первый выигрывает, если сумма чисел чётна. Кто выигрывает при правильной игре (первый или второй) и как он должен играть? Тот же вопрос, если вместо суммы чисел вычисляют их произведение. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
4.Найдите минимальное целое число, большее 40 100 и являющееся точным квадратом (квадратом другого целого числа). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
5.Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab = 2, bc = 3, cd = 4, de = Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
6.Все грани кубика размером 3 × 3 × 3 покрасили. Потом его разрезали на 27 кубиков размером 1 × 1 × 1. Сколько при этом получилось кубиков со всеми неокрашенными гранями? с одной окрашенной гранью? с двумя окрашенными гранями? с тремя окрашенными гранями? с четырьмя окрашенными гранями? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
7.Не пользуясь калькулятором, скажите, какая из дробей:
13/21 и 21/34 больше. Можете ли вы указать дробь, которая по величине находится между ними? Обыкновенную дробь m/n называют сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число (большее 1). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
8.Может ли кот Леопольд подарить 10 мышатам конфеты, если он хочет, чтобы каждый получил хотя бы одну конфету, никакие два мышонка не получили одинакового числа конфет и всего у него (а) 15 конфет; (б) 50 конфет; (в) 100 конфет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
9.Нарисовать на числовой оси те числа x, для которых [x] = [x + 2/3]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
10.Может ли прямая пересекать все 11 сторон невыпуклого 11-угольника (не проходя через его вершины)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
11.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
12.Посмотрите на ключ от своей квартиры. Объясните, как работает замок. Как Вы думаете, могут ли все замки в новом 500-квартирном доме (выпущенные одной фирмой) быть разными? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
13.Квадратный пруд имеет сторону 500 метров. На одной из его сторон выбрана точка, отстоящая от одного угла на 200 метров и от другого угла на 300 метров. Нарисуйте точки, до которых можно дойти, пройдя не более 900 метров по суше. Из каких кривых состоит граница получившейся области? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
14.Доказать, что число 999991 составное (т. е. не простое). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
15.Нарисовать на числовой оси те точки x, для которых среди неравенств x > 1, x > 2, . . . , x > 9, x > 10 ровно три верных. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
16.Внутри квадрата размером 1 × 1 поставлено 105 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не больше 0,2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
17.Четыре подряд идущих целых числа перемножили и к произведению прибавили 1. Доказать, что получился точный квадрат. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
18.Найти отношение a/e. 5. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 2 м; в результате его площадь увеличилась на 28 м^2 . Найдите периметр исходного прямоугольника. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
19.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
20.Можно ли нарисовать многоугольник и точку вне него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
21.Передние покрышки у автомобиля стираются через 25000 км пути, а задние через 15000 км пути. Сколько можно проехать, если вовремя поменять покрышки местами, чтобы они стёрлись одновременно? В какой момент их нужно менять? (Считается, что в передних и задних колёсах стирается одна и та же часть покрышки, причём стирается она равномерно.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
22.Вася тренируется на катке. Он положил три шайбы в вершины треугольника, а затем бьёт по одной из шайб так, чтобы она (двигаясь по прямой) прошла в ворота, образуемые двумя другими шайбами. Могут ли после 7 бросков все три шайбы оказаться в прежних местах? Могут ли они после 7 бросков оказаться в вершинах того же треугольника? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
23.Каких чисел больше среди чисел от 1 до 1000 | чётных или нечётных? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
24.Квадратное колесо катится по дороге. Нарисуйте траекторию его оси (находящейся в центре колеса). Из каких кривых она состоит? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
25.(б) Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 123? (Пятизначные числа -- это числа от 10000 до 99999.) 3. Автомат отрезает от помещённого в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 2 больших квадрата, 3 квадрата поменьше и 5 маленьких квадратов со стороной 1 см. Какой прямоугольник у него был? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
26.(а) Найдите минимальное пятизначное число, делящееся на 21Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
27.Как записать расстояние между точками числовой оси с координатами x и y, используя знак абсолютной величины? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
28.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
29.Доказать, что сумма кубов двух положительных целых чисел не может быть простым числом (за исключением единственного случая 1^3 + 1^3 = 2). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
30.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) > 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
31.По кругу написано 30 чисел. Между каждыми двумя записали модуль их разности, а исходные числа стёрли. Доказать, что полученные 30 чисел можно разделить на две группы с равной суммой.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
32.Проиллюстрировать формулу (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 , сложив квадрат со стороной a + b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
33.Как расставить 5 бутылок по 6 подносам так, чтобы на каждом подносе было по одной бутылке? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
34.Сократимы ли дроби: 39/57; 6/1357; 1363/1357=1*(6/1357)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
35.Доказать, что [[x/y]/z] = [x/(yz)] для любых положительных целых x, y, z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
36.Машина проехала половину времени со скоростью v, а вторую половину | со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
37.(Продолжение) Доказать, что если расположение шашек симметрично относительно обеих диагоналей квадрата, то в центральной клетке стоит шашка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
38.В комнате стоят три электрические лампочки, в соседней -- три выключателя к ним, причем на каждом написано «включено» и «выключено», но неизвестно, какой выключатель соответствует какой лампочке. Лампочки из комнаты с выключателями не видны. Как определить, какой выключатель соответствует какой лампочке? Разрешается зайти в комнату с выключателями, проделать с ними любые действия, а после этого войти в комнату с лампочками и проделать любые действия с ними, после чего дать ответ.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
39.В классе 20 учеников. Было проведены две контрольные, за каждую из которых ставились отметки от 2 до 5 (не участвовавшие получили двойки). Докажите, что есть два ученика с одинаковыми результатами (по обеим контрольным). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
40.Вычислите произведение, приведя подобные члены:
(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 )(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
41.xy = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
42.Вася знает, что [x] = 3, [y] = 4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти [x + y]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
43.Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
44.Написать выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
45.x + y = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
46.Можно ли нарисовать многоугольник и точку внутри него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
47.Почему произведение двух нечётных чисел нечётно? 5. При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? 6. При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? 7. Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? 8. Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. 9. В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
48.Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте. (Режут не на сгибе и сразу все нити.) (а) Сколько кусочков получилось? (б) Два из этих кусочков имели длину 7 см и 3 см. Какова длина верёвки? Укажите все возможности. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
49.Вася приходит на станцию метро в случайное время и садится в первый пришедший поезд (либо в одну сторону -в школу, либо в другую -- в кино). Хотя поезда ходят точно по расписанию, и в обе стороны идет примерно одинаковое число поездов, получается так, что Вася в школу попадает в среднем в три раза реже, чем в кино. Как так может быть?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
50.Нарисовать на числовой оси точки x, для которых x − − 1/3 -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
51.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
52.На конце верёвки сделаны петли, надетые на запястья (не туго, но с рук они не снимаются). Можно ли, не развязывая верёвку (и тем самым не снимая её с рук), завязать на ней узел?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
53.Известно, что (n + 3)(n + 5)(n + 7)(n + 11) = 4095 и что n -- целое положительное число. Найдите его. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
54.Две вершины квадрата имеют координаты ⟨5, 0⟩ и ⟨0, 2⟩. Каковы координаты двух остальных вершин? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
55.Бассейн разделён перегородками на две равные части, к каждой из которых ведёт своя труба. Первая половина заполняется за t часов, вторая | за u часов. За сколько времени наполнят бассейн обе трубы, если перегородку снять? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
56.По кругу написаны 4 целых числа. Между каждыми двумя записывают абсолютную величину их разности, а исходные числа стирают. Так повторяют несколько раз. Доказать, что рано или поздно останутся одни нули.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
57.(а) Найдите положительное число (не обязательно целое), при делении которого на 10/21 и 4/15 в частном получаются целые числа. (б) Найдите наименьшее такое число.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
58.В треугольнике ABC угол B равен 40 градусам, а угол C равен 20 градусам, разность сторон BC − AC равна 4. Найти длину биссектрисы угла A. (Подсказка: возьмите на стороне BC точку E, для которой угол AEB равен 100 градусам.)Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
59.Решить уравнение 2*|x − 1| = 3*|x − 7|. 10. Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. 11. Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? 12. Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? 13. Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. 14. Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. 15. Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? 16. На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? 17. По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? 18. Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
60.Доказать, что (при всех x) [x] + [x + 1/n] + [x + 2/n] + . . . + [x + (n−1)/n] = [nx]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
61.Известно, что a/b = c/d. Докажите, что (a − b)/(a + b) = (c − d)/(c + d). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
62.При проигрывании магнитофонной кассеты плёнка движется с постоянной скоростью (4,77 см/с). Какая из втулок кассеты крутится быстрее -- приёмная или подающая? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
63.В турнире по крестикам-ноликам по олимпийской системе участвует миллион (1 000 000) игроков. Сколько партий будет сыграно в этом турнире? (В турнире по олимпийской системе проигравший выбывает.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
64.На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 8 клеток и высотой 6 клеток. Можно ли поставить в нём крестики так, чтобы (а) в каждой строке стояло 4 крестика, а в каждом столбце -- 3? (б) в каждой строке стояло 3 крестика, а в каждом столбце -- 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
65.Известно, что 57 = 2^5 + 5^2 . Найдите аналогичное разложение числа 5757 (т. е. такие целые числа c и d, что 5757 = c^d + d^c ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
66.Точки A и B имеют координаты 1 и 7. Найти координату точки C, если расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC. (Указать все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
67.Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
68.Найти сумму:
(1/(1*2))+(1/(2*3))+(1/(3*4))+...+(1/(99*100)) (Указание: начните складывать.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
69.Из города А в город Б ведут 2 дороги, из города Б в город В ведут 3 дороги, из города В в город Г ведут 7 дорог. Сколько различных маршрутов ведут из А в В через Б? Сколько различных маршрутов ведут из А в Г через Б и В? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
70.Докажите равенство: (1/(1*199))+(1/(3*197))+(1/(5*195))+...+(1/(197*3))+(1/(199*1))=(1/100)*(1+(1/3)+(1/5)+...+(1/199)). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
71.Сколько раз входит 2 в разложение на простые сомножители числа 100 · 101 · 102 · 103 · . . . · 199 · 200? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
72.В пятирожковой люстре можно отдельно включать три и два рожка (двумя клавишами выключателя). Нарисуйте схему соединения люстры и выключателей с электросетью, учитывая, что из потолка в люстру идут 3 провода. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
73.Точку с координатами ⟨x, y⟩ отразили симметрично относительно оси OX, оси OY и относительно прямой x = y. Найти координаты трёх получившихся точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
74.Как разделить 7 одинаковых яблок поровну между 12 людьми, если яблоки разрешается резать не более чем на 5 частей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
75.Какое наименьшее количество карточек и какие именно нужно перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения «Если на одной стороне карточки четное число, то на другой -- гласная буква»? 4. Из Москвы во Владивосток ежедневно ровно в полночь (по московскому времени) выходит поезд, который идет ровно 6 суток. Из Владивостока в Москву ежедневно в полдень (по московскому времени) выходит поезд, который идет также 6 суток. Когда поезда встречаются, машинисты кричат «Ура!». (а) Сколько раз машинист кричит «Ура!» на пути из Москвы во Владивосток? (б) Сколько криков «Ура!» раздается в течение суток? Наконец, (в) сколько железнодорожных составов нужно, чтобы организовать такое движение? 5. У катушки внутренний диаметр равен 1 см, а внешний -- 2 см. Катушка катится со скоростью 30 см/с. С какой скоростью для этого человек должен тянуть конец нитки? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
76.Найти координаты точек, делящих отрезок [−1, 4] в отношении 2 : 3 и 3 : 4. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
77.Двое хотят перейти прямую канаву шириной 4 метра. На краю они нашли две прочные доски длиной 3, 5 метра каждая. Как им перейти на другую сторону? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
78.[x] = [y]; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
79.Чтобы завернуть винт, отвёртку крутят по часовой стрелке. В какую сторону нужно крутить гайку, чтобы навернуть её на винт, головка которого вмурована в стену -по часовой стрелке или против? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
80.Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 12 часов 20 минут? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
81.Есть несколько алмазов и мензурка с делениями. Как измерить суммарный объем всех алмазов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
82.Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте. (а) Сколько кусочков получилось? (б) Два из этих кусочков имели длину 9 см и 4 см. Какова длина верёвки? Укажите все возможности. (Режут не на сгибе и сразу все нити.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
83.Доказать, что при положительном целом n число n2 + n не может быть точным квадратом. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
84.У Васи в комоде лежат 10 черных, 16 синих и 20 зелёных носков. Сколько носков надо достать не глядя, чтобы среди них заведомо была пара носков одного цвета? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
85.По шоссе в одном направлении, с постоянной скоростью и с равными интервалами идут автобусы. Однажды человек прошёл по шоссе 4 км и его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл (с той же скоростью) 6 км и его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов его обогнали?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
86.Какое число (одно и то же) надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 11/41 , чтобы она превратилась в 3/8? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
87.В треугольнике ABC на стороне AB взята точка D, а на стороне BC взята точка E. При этом отрезок DE параллелен AB и равен по длине отрезку AD. Найдите угол EAB, если углы B и C треугольника равны соответственно 45 градусов и 60 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
88.Вершины треугольника имеют координаты ⟨0, 0⟩, ⟨3, 5⟩ и ⟨5, 8⟩. Какова его площадь? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
89.Что случится с периметром и площадью прямоугольника, если одну его сторону увеличить на 10 процентов, а другую уменьшить на 10 процентов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
90.Дальтоники не различают цветов. Могут ли они пользоваться светофором? Если да, то почему ГАИ неохотно выдаёт им права? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
91.На столе лежала верёвка (без узла). Лёня подошел к столу, взял веревку за концы двумя руками, и, не выпуская концов верёвки из рук, завязал на ней узел. Как он это сделал? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
92.Сколько чисел от 00 до 99 содержат в своей записи цифру 3 и сколько не содержат? Сколько чисел от 000 до 999 содержат в своей записи цифру 3 и сколько не содержат? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
93.В Москве живёт более 5 миллионов человек. Вася купил карту масштаба 1 : 100 000, расстелил её на земле и думает, что на неё встанут 50 человек (50 = 5 000 000/100 000). Прав ли он? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
94.Прямоугольный город 5×7 разбит на квадратные кварталы 1 × 1. Мы хотим пройти из юго-западного угла в северо-восточный, идя на север и на восток. Все возможные пути имеют одинаковую длину. (Почему?) Сколько различных путей существует? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
95.Вася знает, что {x} = 0,3, {y} = 0,4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти {x + y}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
96.Как движется Солнце с точки зрения жителей Южного полушария -- слева направо или справа налево? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
97.Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab = = 3, bc = 2, cd = 4, de = Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
98.Доказать, что: [35/23] + [2 * (35/23)] + [3 * (35/23)] + ... + [22 * (35/23)] = [23/35] + [2 * (23/35)] + [3 * (23/35)] + ... + [35 * (23/35)].Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
99.Двое пловцов одновременно начали плыть по 25-метровой дорожке бассейна со скоростями 1,4 м/с и 1,1 м/с. Доплывая до конца дорожки, каждый из пловцов поворачивает назад. Когда более быстрый пловец впервые обгонит более медленного (плывя в ту же сторону)? На каком расстоянии от места старта это произойдёт? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
100.Доказать, что (a + b)^2 − (a − b)^2 = 4ab. Как выглядит соответствующая картинка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
101.Бизнесмен договорился о партии в шахматы по переписке с двумя гроссмейстерами. Он похваляется своему приятелю: «Ну уж у одного я точно выиграю. В крайнем случае, будут две ничьи». Почему он в этом так уверен?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
102.Проиллюстрировать формулу a^2 − b^2 = (a + b)(a − b), разрезав квадрат a × a с вырезанным углом b × b на две части, из которых можно сложить прямоугольник со сторонами a − b и a + b. (Достаточно одного прямого разреза.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
103.Вычислите произведение, приведя подобные члены:
(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 )(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
104.Может ли сторона треугольника быть вдвое больше другой стороны и вдвое меньше третьей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
105.Отгадайте закон и продолжите таблицу:
1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
106.Могут ли 9 шестерёнок, сцепленных по кругу, вращаться? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
107.По кругу стоят 10 корзин. При каких n можно разложить n яблок по этим корзинам так, чтобы количества яблок в соседних корзинах отличались ровно на 1?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
108.Написать формулу для (a + b)^3 и описать соответствующее ей разрезание куба со стороной a + b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
109.(Продолжение) Могла ли она проползти 11 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
110.В строку написаны точные квадраты: 1, 4, 9, 16, . . . Под каждыми двумя числами написали их разность: 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16−9 = 7 и т. д. Доказать, что каждое следующая разность больше предыдущей на 2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
111.. . . 2x -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
112.Некоторые целые числа объявлены хорошими, остальные -- плохими. Известно, что (а) если x хорошее, то x + 15 тоже хорошее; (б) если x плохое, то x + 6 тоже плохое. Сколько плохих чисел может быть среди чисел от 1 до 1000? Укажите все варианты и докажите, что других быть не может. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
113.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 57. Разрешается заменить любые два числа на их сумму или разность, пока не останется одно число. Может ли это число быть нулём? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
114.Улитка ползла в течение 5 минут, всё время находясь под наблюдением. Каждый наблюдатель наблюдал за ней в течение 1 минуты, и за эту минуту она проползла ровно 1 метр. Могла ли улитка проползти 6 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
115.Процессия движется из пункта А в пункт Б со скоростью 5 км/ч. Каждые полчаса высылаются гонцы в пункт Б, которые движутся со скоростью 20 км/ч. С какими интервалами прибывают гонцы в Б? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
116.На плоскости нарисовали треугольник и квадрат. Потом покрасили все точки, попадающие внутрь хотя бы одной из фигур. Может ли при этом получиться 7-угольник? 8-угольник? 13-угольник?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
117.Улитка каждые 15 минут поворачивает на 90 градусов (а в промежутках ползёт по прямой). Доказать, что она может вернуться в исходную точку лишь через целое число часов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
118.Почему крышки канализационных люков делают круглыми, а не овальными или квадратными? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
119.Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
120.Как замостить плоскость одинаковыми плитками, имеющими вид квадрата с отрезанным углом (рис. 7)? (Нарисуйте подробную схему укладки плит.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
121.Нарисовать на числовой оси точки x, целая часть которых чётна. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
122.Нарисовать на числовой оси точки x, дробная часть которых равна 1/3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
123.Проделайте в тетрадном листе отверстие, в которое может пролезть человек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
124.. . . чётное число верных. 13. Точки A и B имеют координаты a и b. Найти координату точки C, делящей отрезок AB в отношении 2 : 3. 14. Нарисовать на числовой оси те точки x, для которых (x − 1)(x − 2) . . . (x − 9)(x − 10) > 0. Линейку повернули на 180 градусов и приложили к другой такой же. При этом точка 4 нижней линейки совпала с точкой 7 верхней, а точка 5 нижней совпала с точкой 6 верхней. Какое число находится напротив числа 10 на нижней линейке? Напротив числа x на нижней линейке? 16. При каких x точка с координатой x^2 находится правее точки с координатой x? 17. На сколько сдвинется середина отрезка на числовой оси, если один его конец неподвижен, а второй сдвинулся на 3 единицы? 18. На числовой оси находятся точки A, B, C, D. Петя нашел середины отрезков AB и CD, соединил их отрезком и взял середину этого отрезка. Вася сделал то же с отрезками AC и BD. Доказать, что Петя и Вася получили одну и ту же точку. 19. Нарисовать на числовой оси положительные числа, в десятичной записи которых первая цифра после запятой равна 3. 20. На числовой оси отмечены точки с координатами 0 и 1. Разрешается отметить середину отрезка, если его концы уже отмечены. Можно ли, соблюдая это правило, отметить точку с координатой 1/3?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
125.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
126.На окружности поставлено (в некотором порядке) 10 красных точек и 10 синих. Докажите, что число пар соседних красных точек равно числу пар соседних синих точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
127.При каких x точка с координатой x находится правее точки с координатой x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
128.У Пети в комоде валяются 10 чёрных рукавиц (5 пар), 16 синих (8 пар) и 20 зелёных (10 пар). Сколько рукавиц надо достать не глядя, чтобы заведомо можно было выйти на улицу в рукавицах одного цвета? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
129.Можно ли из квадрата со стороной 1 вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 1996? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
130.Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
131.Петя задумал число от 1 до 1000. Вася хочет узнать это число, задавая Пете вопросы, на которые возможны ответы «да» и «нет». Какие вопросы он должен задавать, чтобы гарантированно узнать задуманное число после 10 вопросов? Может ли он сделать то же самое, если список из 10 вопросов он должен составить заранее? ∘ Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
132.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
133.В треугольнике ABC взяли точку D на стороне BC, точку E на стороне AC и точку F на стороне AB. При этом AF = AE, BD = BF и CE = CD. Известно, что ∠ABC = 20 градусов. Найдите угол FED. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
134.Из утверждений «x > 1», «x > 2», «x > 3», «x > 4», «x > 5» три верных и два неверных. Какие? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
135.Прямоугольную шоколадку размером 3 × 4 разламывают на дольки 1 × 1. Сколько разломов для этого необходимо (ломать одновременно два кусочка не разрешается)? Можно ли обойтись меньшим числом разломов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
136.Если к произведению двух целых чисел, отличающихся на 2, прибавить единицу, то получится точный квадрат (например, 4 · 6 + 1 = 5^2 ). Почему? Простое число | это целое число, большее 1, которое нельзя представить как произведение двух меньших целых положительных чисел. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
137.Как изменится внутренний диаметр кольца (рис. 3) при нагревании?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
138.Двузначное число написали подряд три раза. (Например, из числа 67 получилось число 676767. Полученное число всегда делится на 7, 13 и на 111. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
139.В Вестляндии 64 города. Докажите, что в каких-то трёх из них число дождливых дней в сентябре было одинаково. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
140.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
141.x^2 + y^2 = 2xy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
142.Саша утверждает, что при подстановке вместо x в выражение x2 +x+41 чисел 1, 2, 3, 4, . . . всегда получится простое число. Прав ли он? (Число называется простым, если оно делится только на единицу и само себя.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
143.(а) Найдите минимальное пятизначное число, делящееся на 12Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
144.Сумма трех различных чисел (не обязательно целых) равна 10, а разница между большим и меньшим из них равна 2. Каким может быть среднее по величине число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
145.У числа 100! = 1·2·. . .·99·100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и так поступали до тех пор, пока не получили число из одной цифры. Что это за число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
146.Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 одинаковых ладей, не бьющих друг друга? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
147.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
148.Можно ли так расположить в пространстве три одинаковых кубика, чтобы сверху, сбоку и спереди была видна одна и та же фигура -- три квадрата, приложенных друг к другу сторонами (буквой «Г»)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
149.(б) Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 213? (Пятизначные числа -- это числа от 10000 до 99999.) 3. Автомат отрезает от помещённого в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 3 больших квадрата, 2 квадрата поменьше и 6 маленьких квадратов со стороной 1 см. Какой прямоугольник у него был? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
150.Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых нечётны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
151.Нарисуйте фигуру из 11 точек и нескольких отрезков между ними так, чтобы каждая точка была соединена ровно с двумя другими. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
152.. . . x/2 -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
153.Почему парикмахер в Женеве охотнее побреет двух французов, чем одного немца? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
154.За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Доказать, что хотя бы у одного из сидящих оба соседа | мальчики. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
155.Володя и Сева по очереди пишут кладут на прямоугольный стол круглые монеты (все монеты одинаковы). Уже лежащие монеты сдвигать нельзя; класть монету поверх других -- тоже. Кто не может положить монету так, чтобы она не упала со стола, проигрывает. Первым ходит Володя. Кто выигрывает при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
156.Дима и Сэм играют в такую игру. Вначале ладья стоит в левом нижнем углу шахматной доски. Ходят по очереди. На каждом ходу ладью можно сдвинуть или вправо, или вверх (на любое число клеток). Проигрывает тот, кто не может сделать ход (ладья в правом верхнем углу). Первым ходит Дима. Кто выигрывает при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
157.Можно ли так написать на шести гранях кубика числа от 1 до 6, чтобы числа на соседних гранях не были соседними (то есть отличались бы на 2 или больше)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
158.Простое число -- это число, которое не разлагается в произведение двух меньших целых чисел. (Например, 7 -простое число, а 10 = 2 × 5 -- нет.) Докажите, что полусумма двух соседних нечётных простых чисел -- составное число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
159.Найти координату середины отрезка, если его концы имеют координаты 17 и 33. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
|
Создай 10 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.(x − y)(x + y)(y − 2x) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.Точку с координатами ⟨x, y⟩ отразили симметрично относительно оси OX, оси OY и относительно прямой x = y. Найти координаты трёх получившихся точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.Две вершины квадрата имеют координаты ⟨5, 0⟩ и ⟨0, 2⟩. Каковы координаты двух остальных вершин? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.xy = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.|x − 1| < 1/3; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.x = y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.Нарисовать те точки ⟨x, y⟩, для которых (а) x+x^2 = y+y^2 ; (б) x + x^3 = y + y^3 ; (в) x + |x| = y + |y|.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
8.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) > 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
9.x = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
10.x > y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 5 задач по математике 7 класса по теме "Графики движений". | 1.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
2.(Продолжение) Могла ли она проползти 11 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
3.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
5.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
|
Создай 79 задач по математике 7 класса. | 1.Найдите наименьшее целое число, большее 10100, которое является точным квадратом (квадратом другого целого числа). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
2.Как измерить толщину нитки, имея катушку с ниткой, карандаш и линейку с сантиметровыми делениями? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
3.При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.По кругу стоят 10 корзин. При каких n можно разложить n яблок по этим корзинам так, чтобы количества яблок в соседних корзинах отличались ровно на 1?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
5.Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.Есть несколько алмазов и мензурка с делениями. Как измерить суммарный объем всех алмазов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
7.Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков, кубик за кубиком. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
8.Проиллюстрировать формулу (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 , сложив квадрат со стороной a + b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
9.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) > 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
10.Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 12 часов 20 минут? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
11.(Продолжение) Могла ли она проползти 11 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
12.В треугольнике ABC угол B равен 40 градусам, а угол C равен 20 градусам, разность сторон BC − AC равна 4. Найти длину биссектрисы угла A. (Подсказка: возьмите на стороне BC точку E, для которой угол AEB равен 100 градусам.)Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
13.Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
14.Почему парикмахер в Женеве охотнее побреет двух французов, чем одного немца? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
15.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x − 5| 6<=3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
16.Как вы думаете, в записи числа 21000 (произведение тысячи двоек) больше 500 цифр или меньше? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
17.Найти (a + b + c)(a + b − c), (a + b + c)(a − b + c), (a + b − c)(a − b + c) (не пользуясь бумагой для промежуточных вычислений). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
18.Какие значения может принимать сумма [x] + [−x]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
19.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
20.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
21.(Продолжение) Доказать, что если расположение шашек симметрично относительно обеих диагоналей квадрата, то в центральной клетке стоит шашка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
22.(а) Найдите сумму всех чётных четырехзначных чисел. (б) Найдите сумму всех четырехзначных чисел, все цифры которых чётны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
23.Улитка каждые 15 минут поворачивает на 90 градусов (а в промежутках ползёт по прямой). Доказать, что она может вернуться в исходную точку лишь через целое число часов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
24.. . . 2x -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
25.Можно ли так написать на шести гранях кубика числа от 1 до 6, чтобы числа на соседних гранях не были соседними (то есть отличались бы на 2 или больше)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
26.Можно ли нарисовать многоугольник и точку вне него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
27.Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы двух точных квадратов. (Например, 5 хорошее, так как 5 = 2^2 + 1^2 , а 3 -- нет.) Доказать, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
28.Какое число (одно и то же) надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 11/41 , чтобы она превратилась в 3/8? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
29.Доказать, что (при всех x) [x] + [x + 1/n] + [x + 2/n] + . . . + [x + (n−1)/n] = [nx]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
30.У Васи в комоде лежат 10 черных, 16 синих и 20 зелёных носков. Сколько носков надо достать не глядя, чтобы среди них заведомо была пара носков одного цвета? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
31.Вася вычеркнул каждое десятое число, считая от начала (т. е. 10, 20, 30, . . . ). После этого он вычеркнул каждое девятое число из оставшихся, затем каждое восьмое, каждое седьмое, . . . , каждое второе. Сколько чисел останется? Какое число будет стоять на последнем месте? 2. Докажите равенство: (1/(1*199))+(1/(3*197))+(1/(5*195))+...+(1/(197*3))+(1/(199*1))=(1/100)*(1+(1/3)+(1/5)+...+(1/199)). 3. В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? 4. В треугольнике ABC угол A равен 60 градусов. Известно, что биссектриса угла A, медиана, проведённая из вершины B, и высота, опущенная из вершины C, пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник равносторонний. 5. На плоскости лежит картонный квадрат, который разрешается перекатывать через рёбра (при перекатывании ребро остаётся на месте, а квадрат переворачивается на другую сторону). После нескольких перекатываний квадрат вернулся в то же место плоскости. Докажите, что он оказался в прежнем положении (т. е. все его вершины оказались на исходных местах).Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
32.На конце верёвки сделаны петли, надетые на запястья (не туго, но с рук они не снимаются). Можно ли, не развязывая верёвку (и тем самым не снимая её с рук), завязать на ней узел?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
33.Из утверждений «x > 1», «x > 2», «x > 3», «x > 4», «x > 5» три верных и два неверных. Какие? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
34.Можно ли нарисовать пятиугольник и точку внутри него так, чтобы любая сторона пятиугольника была бы видна из неё под углом 70∘ ? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
35.Боря и Игорь играют в такую игру. На столе лежат две кучки спичек по 7 спичек в каждой. Ходят по очереди. За один ход можно взять любое число спичек (хоть все), но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Боря начинает. Кто выиграет при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
36.Река с параллельными прямыми берегами имеет ширину 100 метров. На одном из берегов реки есть пристань. Есть остров периметра 800 метров; других островов нет. Докажите, что можно доплыть от пристани до другого берега реки, проплыв не более 300 метров (минуя остров). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
37.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
38.Нарисовать на числовой оси точки x, дробная часть которых равна 1/3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
39.Может ли шахматный конь обойти все 9 полей доски 3 × 3? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
40.Прямоугольник 7×9 разбит на клетки 1×1. Требуется закрасить 4 клетки, образующие квадрат 2 × 2. Сколькими разными способами можно выбрать такой квадрат? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
41.При всех целых x число ax^2 + bx + c целое. Можно ли утверждать, что числа a, b, c --- целые?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
42.В треугольнике ABC взяли точку D на стороне BC, точку E на стороне AC и точку F на стороне AB. При этом AF = AE, BD = BF и CE = CD. Известно, что ∠ABC = 20 градусов. Найдите угол FED. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
43.Мистер и миссис Смит по очереди переводят стрелку часов на два или три часа вперёд. Сначала стрелка показывала 1 час. Тот, после чьего хода стрелка показала 5 часов, считается победителем; другой считается проигравшим и идёт готовить чай. Верно ли, что мистеру Смиту не придётся готовить чай, если он уступит право первого хода миссис Смит и будет играть правильно? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
44.x = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
45.x + y = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
46.Нарисовать те точки ⟨x, y⟩, для которых (а) x+x^2 = y+y^2 ; (б) x + x^3 = y + y^3 ; (в) x + |x| = y + |y|.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
47.Процессия движется из пункта А в пункт Б со скоростью 5 км/ч. Каждые полчаса высылаются гонцы в пункт Б, которые движутся со скоростью 20 км/ч. С какими интервалами прибывают гонцы в Б? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
48.Двое лыжников шли друг за другом с постоянной скоростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров. (а) Начался более трудный участок, где на котором скорость лыжников стала 4 км/ч. Каково расстояние между лыжниками на этом участке? (б) Затем был лёгкий участок со скоростью 7 км/ч, затем очень трудный со скоростью 3 км/ч и, наконец, они вышли снова на участок со скоростью 6 км/ч. Каково расстояние между ними в этот момент? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
49.(x − y)(x + y)(y − 2x) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
50.У Пети в комоде валяются 10 чёрных рукавиц (5 пар), 16 синих (8 пар) и 20 зелёных (10 пар). Сколько рукавиц надо достать не глядя, чтобы заведомо можно было выйти на улицу в рукавицах одного цвета? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
51.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
52.На сколько частей делят пространство плоскости, являющиеся гранями куба? тетраэдра (треугольного молочного пакета)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
53.Двое играют в такую игру. Первый называет число от 1 до 10, затем второй называет число от 1 до 10. Первый выигрывает, если сумма чисел чётна. Кто выигрывает при правильной игре (первый или второй) и как он должен играть? Тот же вопрос, если вместо суммы чисел вычисляют их произведение. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
54.На прямой имеется 11 точек, причём сумма расстояний от них до некоторой точки A равна сумме расстояний от них до другой точки B. Доказать, что хотя бы одна из этих 11 точек лежит на отрезке AB. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
55.Сколько нужно провести непересекающихся диагоналей в 100-угольнике, чтобы разрезать его на треугольники? Почему всегда получается одно и то же число диагоналей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
56.Бизнесмен договорился о партии в шахматы по переписке с двумя гроссмейстерами. Он похваляется своему приятелю: «Ну уж у одного я точно выиграю. В крайнем случае, будут две ничьи». Почему он в этом так уверен?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
57.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
58.За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Доказать, что хотя бы у одного из сидящих оба соседа | мальчики. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
59.(а) Найдите положительное число (не обязательно целое), при делении которого на 10/21 и 4/15 в частном получаются целые числа. (б) Найдите наименьшее такое число.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
60.В турнире по крестикам-ноликам по олимпийской системе участвует миллион (1 000 000) игроков. Сколько партий будет сыграно в этом турнире? (В турнире по олимпийской системе проигравший выбывает.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
61.Квадратное колесо катится по дороге. Нарисуйте траекторию его оси (находящейся в центре колеса). Из каких кривых она состоит? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
62.Японские названия некоторых годов по традиционному восточному календарю: каното уси (1901), хиноэ ума (1966), цутиноэ ума (1978), цутиното хицудзи (1979), каноэ сару (1980), хиноэ тора (1986), цутиното ми (1989), мидзуноэ ума (2002), мидзуното хицудзи (2003), хиноэ ума (2026). (а) Запишите названия годов 1991, 1993, 1997. (б) Через сколько лет наступит ближайший год хиноэ сару? каното ми? мидзуноэ уси?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
63.Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 11 часов 20 минут? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
64.Известно, что 57 = 2^5 + 5^2 . Найдите аналогичное разложение числа 5757 (т. е. такие целые числа c и d, что 5757 = c^d + d^c ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
65.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x + 1| + |x + 2| = 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
66.Найдите минимальное целое число, большее 40 100 и являющееся точным квадратом (квадратом другого целого числа). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
67.Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте. (а) Сколько кусочков получилось? (б) Два из этих кусочков имели длину 9 см и 4 см. Какова длина верёвки? Укажите все возможности. (Режут не на сгибе и сразу все нити.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
68.Идя навстречу трамваям, пешеход встречал их каждые 5 минут, идя в одну с ними сторону | каждые 7. Как часто он будет их встречать, стоя на месте? (Трамваи движутся с постоянной скоростью и с одинаковыми интервалами. Скорость пешехода также постоянна.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
69.Как замостить плоскость одинаковыми плитками, имеющими вид квадрата с отрезанным углом (рис. 7)? (Нарисуйте подробную схему укладки плит.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
70.Найдите положительное целое число n, если известно, что: \n (n + 2)(n + 3)(n + 5)(n + 7) = 4158. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
71.Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющих равное число знакомых в этой компании. (Знакомства симметричны: если А знаком с Б, то Б знаком с А.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
72.Сумма трех различных чисел (не обязательно целых) равна 10, а разница между большим и меньшим из них равна 2. Каким может быть среднее по величине число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
73.Доказать, что сумма:
1/1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(1*2) + 1/(1*3) + ... + 1/(1*n) + ... + 1/((n - 1) * n) + 1/(1 * 2 * 3) + ... + 1/(1 * 2 * 3 ... n) (в знаменателях стоят все комбинации чисел от 1 до n, в которых числа не повторяются) равна n.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
74.В комнате стоят три электрические лампочки, в соседней -- три выключателя к ним, причем на каждом написано «включено» и «выключено», но неизвестно, какой выключатель соответствует какой лампочке. Лампочки из комнаты с выключателями не видны. Как определить, какой выключатель соответствует какой лампочке? Разрешается зайти в комнату с выключателями, проделать с ними любые действия, а после этого войти в комнату с лампочками и проделать любые действия с ними, после чего дать ответ.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
75.(а) Найдите минимальное пятизначное число, делящееся на 21Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
76.Земной шар обвязали по экватору верёвкой. Затем верёвку удлинили на метр и приподняли над экватором так, что образовалась щель постоянной ширины. Сможет ли в эту щель пролезть кошка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
77.Простое число после увеличения на 1 становится точным квадратом. Найти все такие числа. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
78.Написать формулу для (a + b)^3 и описать соответствующее ей разрезание куба со стороной a + b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
79.В каких пределах могут находиться сумма a + b, разность a−b, произведение a·b и частное a/b, если 6 < a < 7 и 2 < b < 3? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
|
Создай 10 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.На прямой дорожке стоят несколько школьников. Вдоль неё ходит учитель физкультуры. По сигналу «Хоп!» каждый из школьников бежит к тому месту, где стоит учитель, а затем возвращается на своё место. Так повторяется несколько раз. Доказать, что наибольшее расстояние пробежал один из двух крайних школьников. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Какое наибольшее число решений может иметь уравнение ||||x − a| − b| − c| − d| = e относительно x при фиксированных a, b, c, d, e? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x − 5| 6<=3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x| > 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Точки A и B имеют координаты 1 и 7. Найти координату точки C, если расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC. (Указать все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
7.Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
8.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
9.Дима считает, что |−a| при a < 0 равно a, а Володя | что −a. Кто из них прав? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
10.Решить уравнение 2*|x − 1| = 3*|x − 7|. 10. Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. 11. Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? 12. Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? 13. Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. 14. Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. 15. Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? 16. На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? 17. По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? 18. Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 8 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.По кругу написаны 4 целых числа. Между каждыми двумя записывают абсолютную величину их разности, а исходные числа стирают. Так повторяют несколько раз. Доказать, что рано или поздно останутся одни нули.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Три кузнечика на прямой играют в чехарду. Каждую секунду один из них перепрыгивает через другого (но не через двух). Доказать, что они могут вернуться в исходное положение только через чётное число секунд. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Можно ли так расставить знаки в выражении:
±1 ± 2 ± 3 ± . . . ± 9 ± 10, чтобы получился нуль? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.Улитка каждые 15 минут поворачивает на 90 градусов (а в промежутках ползёт по прямой). Доказать, что она может вернуться в исходную точку лишь через целое число часов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.Каких чисел больше среди чисел от 1 до 1000 | чётных или нечётных? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.Все кости домино расположили в цепь. Доказать, что на концах цепи стоят равные цифры. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
7.В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен 4. Доказать, что один из учеников получил четвёрку. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
8.На квадратной доске 7 × 7 расставлено 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали квадрата. Доказать, что одна из шашек стоит на этой диагонали. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 8 задач по математике 7 класса по теме "Целая часть". | 1.Какие значения может принимать сумма {x} + {−x}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
2.Написать формулы для частного и остатка при делении двух целых положительных чисел с остатком (формулы должны использовать арифметические операции и знак целой части). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
3.Вася знает, что [x] = 3, [y] = 4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти [x + y]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
4.Доказать, что: [35/23] + [2 * (35/23)] + [3 * (35/23)] + ... + [22 * (35/23)] = [23/35] + [2 * (23/35)] + [3 * (23/35)] + ... + [35 * (23/35)].Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
5.Какие значения может принимать сумма [x] + [−x]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
6.Обозначая дни недели от воскресенья до субботы числами 0, 1, 2, ... , 6, Вася придумал формулу:
день недели = 7 · {число/7}, которая годится, если первое число месяца было понедельником. Как надо её изменить, если первое число месяца было пятницей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
7.Нарисовать на числовой оси точки x, дробная часть которых равна 1/3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
8.Вася знает, что {x} = 0,3, {y} = 0,4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти {x + y}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Целая часть". | 1.Существует ли такое x, что [x] + [2x] + [3x] + [4x] = 99? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
2.Нарисовать на числовой оси те числа x, для которых [x] = [x + 2/3]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
3.Вася знает, что {x} = 0,3, {y} = 0,4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти {x + y}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
4.Нарисовать на числовой оси точки x, дробная часть которых равна 1/3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
5.Найти сумму: [sqrt(1)] + [sqrt(2)] + [sqrt(3)] + . . . + [sqrt(10000)]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
6.Написать выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
|
Создай 5 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Могут ли 9 шестерёнок, сцепленных по кругу, вращаться? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.По кругу написаны 4 целых числа. Между каждыми двумя записывают абсолютную величину их разности, а исходные числа стирают. Так повторяют несколько раз. Доказать, что рано или поздно останутся одни нули.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.Почему произведение двух нечётных чисел нечётно? 5. При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? 6. При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? 7. Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? 8. Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. 9. В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 10 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.x + y = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.y = 2x; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.x = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.x > y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.Точку с координатами ⟨x, y⟩ повернули на 90 градусов вокруг точки ⟨0, 0⟩ против часовой стрелки. Найти координаты получившейся точки. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.(x − y)(x + y)(y − 2x) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.{x} = {y}; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
8.x^2 + y^2 = 2xy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
9.Точку с координатами ⟨x, y⟩ отразили симметрично относительно оси OX, оси OY и относительно прямой x = y. Найти координаты трёх получившихся точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
10.x + y = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 9 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) > 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.max(x, y) >= 2; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.[x] = [y]; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.x = y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.x^2 + y^2 = 2xy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.x^2 = y^2 ; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
8.x^2 + y^2 = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
9.Точку с координатами ⟨x, y⟩ повернули на 90 градусов вокруг точки ⟨0, 0⟩ против часовой стрелки. Найти координаты получившейся точки. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 193 задач по математике 7 класса. | 1.Можно ли нарисовать многоугольник и точку внутри него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
2.Какое наибольшее число решений может иметь уравнение ||||x − a| − b| − c| − d| = e относительно x при фиксированных a, b, c, d, e? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.Какое наибольшее число (а) ладей; (б) слонов можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
4.Как записать расстояние между точками числовой оси с координатами x и y, используя знак абсолютной величины? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Можно ли так расставить знаки в выражении:
±1 ± 2 ± 3 ± . . . ± 9 ± 10, чтобы получился нуль? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.На следующем уроке Вова сказал: «Я забыл, какое число задали, и делил другое, два раза остатка не было, на третий был». Учительница сказала:
«Ты ошибся». Почему она так сказала? 2. Делится ли на 7 сумма двух слагаемых, если (а) оба слагаемых делятся на 7; (б) ровно одно из них делится на 7? (в) ни одно из них не делится на 7? 3. У числа 100! = 1·2·. . .·99·100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и так поступали до тех пор, пока не получили число из одной цифры. Что это за число? 4. Целое число, большее 2, называется простым, если оно не разлагается в произведение двух меньших целых положительных чисел. Докажите, что число 999 991 -- не простое. 5. Почему трамвайные провода идут не прямо, а зигзагом? Что плохого было бы, если пустить их ровно? (Указание: с троллейбусом этой проблемы нет.) 6. Можно ли расположить 6 длинных круглых карандашей так, чтобы каждый из них касался всех остальных?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
7.На столе лежала верёвка (без узла). Лёня подошел к столу, взял веревку за концы двумя руками, и, не выпуская концов верёвки из рук, завязал на ней узел. Как он это сделал? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
8.Посмотрите на ключ от своей квартиры. Объясните, как работает замок. Как Вы думаете, могут ли все замки в новом 500-квартирном доме (выпущенные одной фирмой) быть разными? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
9.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
10.В последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Могут ли в ней оказаться рядом (а) два чётных числа? (б) два числа, делящихся на 13? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
11.Вычислите произведение, приведя подобные члены:
(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 )(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
12.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
13.(а) Найдите минимальное пятизначное число, делящееся на 21Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
14.Лыжи обычно делают вогнутыми (середина лыжи приподнимается над землёй, когда концы стоят на земле), при этом среднюю часть лыжи обычно намазывают мазью, прилипающей к снегу, а концы -- мазью, хорошо скользящей по снегу. Зачем всё это делается?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
15.Известно, что a/b = c/d. Докажите, что (a − b)/(a + b) = (c − d)/(c + d). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
16.Машина проехала половину пути со скоростью v, а вторую половину со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
17.y = 2x; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
18.Сколько раз в сутки стрелки часов образуют прямой угол? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
19.Какие значения может принимать сумма [x] + [−x]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
20.Можно ли разрезать шахматную доску без клеток a1 и h8 на прямоугольники 1 × 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
21.Какие значения может принимать сумма {x} + {−x}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
22.Прямоугольный город 5×7 разбит на квадратные кварталы 1 × 1. Мы хотим пройти из юго-западного угла в северо-восточный, идя на север и на восток. Все возможные пути имеют одинаковую длину. (Почему?) Сколько различных путей существует? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
23.Чему равно e/a? 5. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 3 см; в результате его площадь увеличилась на 39 см2 . Найдите периметр исходного прямоугольника. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
24.Написать формулы для частного и остатка при делении двух целых положительных чисел с остатком (формулы должны использовать арифметические операции и знак целой части). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
25.. . . x − 2 <= 2x. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
26.Как вы думаете, в записи числа 21000 (произведение тысячи двоек) больше 500 цифр или меньше? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
27.Двое хотят перейти прямую канаву шириной 4 метра. На краю они нашли две прочные доски длиной 3, 5 метра каждая. Как им перейти на другую сторону? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
28.Есть несколько алмазов и мензурка с делениями. Как измерить суммарный объем всех алмазов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
29.Доказать, что (при всех x) [x] + [x + 1/n] + [x + 2/n] + . . . + [x + (n−1)/n] = [nx]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
30.Доказать, что при положительном целом n число n2 + n не может быть точным квадратом. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
31.Вася приходит на станцию метро в случайное время и садится в первый пришедший поезд (либо в одну сторону -в школу, либо в другую -- в кино). Хотя поезда ходят точно по расписанию, и в обе стороны идет примерно одинаковое число поездов, получается так, что Вася в школу попадает в среднем в три раза реже, чем в кино. Как так может быть?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
32.(б) Тот же вопрос для суммы (1/1000) + (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/1995) + (1/1996). 2. Найдите самое большое натуральное число, при делении которого с остатком на 57 частное и остаток получаются равными. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
33.Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков, кубик за кубиком. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
34.Чему может быть равно последнее число? 3. В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? 4. Квадратная площадь размера 50 × 50 метров выложена плитами размера 1 × 1 четырёх цветов -- белого, красного, синего и зелёного. При этом плиты одного цвета не лежат рядом и не имеют общего угла. Сколько красных плит на площади? 5. Стакан наполнили водой, накрыли картонкой и перевернули. Почему вода не выливается? 6. Бизнесмен заключил с чёртом следующее соглашение:
каждый день бизнесмен даёт чёрту одну купюру, а взамен получает любое (указанное бизнесменом) число купюр меньшего достоинства. Может ли бизнесмен бесконечно долго выполнять свои обязательства, если другого источника денежных купюр у него нет?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
35.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
36.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
37.Что больше: общее количество цифр в числах 1, 2, 3, 4, . . . , 999, 1000 или количество нулей в числах 1, 2, 3, 4, . . . , 9999, 10000? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
38.Какое из чисел x и y больше и почему? 3. Вася тренируется на катке. Он положил три шайбы в вершины треугольника, а затем бьёт по одной из шайб так, чтобы она (двигаясь по прямой) прошла в ворота, образуемые двумя другими шайбами. Могут ли после 7 бросков все три шайбы оказаться в прежних местах? Могут ли они после 7 бросков оказаться в вершинах того же треугольника? 4. Даны две бутылки с растворами разной концентрации. В одной бутылке 0,5 литра, в другой 0,3 литра. Два одинаковых стаканчика налили доверху (каждый из своей бутылки), после чего растворы влили обратно в бутылки, поменяв их местами. В результате в обеих бутылках получился раствор одинаковой концентрации. Найти объём стаканчиков. 5. Петя и Боря смотрят на большой кусок пчелиных сот. Соты состоят из шестиугольников, примыкающих друг к другу так, что в вершине сходятся три шестиугольника. Петя считает число шестиугольников, Боря -- число вершин шестиугольников. У кого из них получится больше? Во сколько раз (примерно)? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
39.Прямоугольную шоколадку размером 3 × 4 разламывают на дольки 1 × 1. Сколько разломов для этого необходимо (ломать одновременно два кусочка не разрешается)? Можно ли обойтись меньшим числом разломов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
40.Большой ящик заполнен мелкой картошкой. Другой столь же большой ящик заполнен ещё более мелкой картошкой. Как вы думаете, в каком из ящиков больше картошки (по весу)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
41.Вася вычеркнул каждое десятое число, считая от начала (т. е. 10, 20, 30, . . . ). После этого он вычеркнул каждое девятое число из оставшихся, затем каждое восьмое, каждое седьмое, . . . , каждое второе. Сколько чисел останется? Какое число будет стоять на последнем месте? 2. Докажите равенство: (1/(1*199))+(1/(3*197))+(1/(5*195))+...+(1/(197*3))+(1/(199*1))=(1/100)*(1+(1/3)+(1/5)+...+(1/199)). 3. В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? 4. В треугольнике ABC угол A равен 60 градусов. Известно, что биссектриса угла A, медиана, проведённая из вершины B, и высота, опущенная из вершины C, пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник равносторонний. 5. На плоскости лежит картонный квадрат, который разрешается перекатывать через рёбра (при перекатывании ребро остаётся на месте, а квадрат переворачивается на другую сторону). После нескольких перекатываний квадрат вернулся в то же место плоскости. Докажите, что он оказался в прежнем положении (т. е. все его вершины оказались на исходных местах).Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
42.(x − y)(x + y)(y − 2x) >= 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
43.Почему парикмахер в Женеве охотнее побреет двух французов, чем одного немца? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
44.x = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
45.Боря и Игорь играют в такую игру. На столе лежат две кучки спичек по 7 спичек в каждой. Ходят по очереди. За один ход можно взять любое число спичек (хоть все), но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Боря начинает. Кто выиграет при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
46.Процессия движется из пункта А в пункт Б со скоростью 5 км/ч. Каждые полчаса высылаются гонцы в пункт Б, которые движутся со скоростью 20 км/ч. С какими интервалами прибывают гонцы в Б? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
47.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x| > 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
48.Любую сумму денег, начиная с 8 копеек, можно уплатить пятаками и алтынами. Почему? (Пятак -- пять копеек, алтын -- три копейки; это старинные русские монеты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
49.Из города А в город Б ведут 2 дороги, из города Б в город В ведут 3 дороги, из города В в город Г ведут 7 дорог. Сколько различных маршрутов ведут из А в В через Б? Сколько различных маршрутов ведут из А в Г через Б и В? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
50.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
51.Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в три раза? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
52.Как движется Солнце с точки зрения жителей Южного полушария -- слева направо или справа налево? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
53.Нарисовать те точки ⟨x, y⟩, для которых (а) x+x^2 = y+y^2 ; (б) x + x^3 = y + y^3 ; (в) x + |x| = y + |y|.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
54.Целое число, большее 2, называется простым, если оно не разлагается в произведение двух меньших целых положительных чисел. Докажите, что число 999 991 -- не простое. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
55.(а) Докажите, что сумма дробей (1/1000) + (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/1999) + (1/2000) не меньше 1/Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
56.Правила хорошего тона запрещают женщине стоять первой в очереди, а мужчине стоять перед женщиной. Может ли в очереди, где все правила соблюдены, оказаться женщина? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
57.Японские названия некоторых годов по традиционному восточному календарю: каното уси (1901), хиноэ ума (1966), цутиноэ ума (1978), цутиното хицудзи (1979), каноэ сару (1980), хиноэ тора (1986), цутиното ми (1989), мидзуноэ ума (2002), мидзуното хицудзи (2003), хиноэ ума (2026). (а) Запишите названия годов 1991, 1993, 1997. (б) Через сколько лет наступит ближайший год хиноэ сару? каното ми? мидзуноэ уси?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
58.В Вестляндии 64 города. Докажите, что в каких-то трёх из них число дождливых дней в сентябре было одинаково. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
59.Двое играют в такую игру. Первый называет число от 1 до 10, затем второй называет число от 1 до 10. Первый выигрывает, если сумма чисел чётна. Кто выигрывает при правильной игре (первый или второй) и как он должен играть? Тот же вопрос, если вместо суммы чисел вычисляют их произведение. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
60.В каких пределах могут находиться сумма a + b, разность a−b, произведение a·b и частное a/b, если 6 < a < 7 и 2 < b < 3? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
61.У Васи в комоде лежат 10 черных, 16 синих и 20 зелёных носков. Сколько носков надо достать не глядя, чтобы среди них заведомо была пара носков одного цвета? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
62.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
63.Улитка каждые 15 минут поворачивает на 90 градусов (а в промежутках ползёт по прямой). Доказать, что она может вернуться в исходную точку лишь через целое число часов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
64.Три черепахи участвовали в кроссе. Первая сказала:
«Я пришла к финишу раньше второй.». Вторая сказала: «Я пришла к финишу раньше третьей.» Третья сказала: «Я пришла к финишу раньше первой.» Как такое может быть? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
65.Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
66.Доказать, что число 999991 составное (т. е. не простое). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
67.Найти сумму:
(1/(1*2))+(1/(2*3))+(1/(3*4))+...+(1/(99*100)) (Указание: начните складывать.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
68.На плоскости нарисовали треугольник и квадрат. Потом покрасили все точки, попадающие внутрь хотя бы одной из фигур. Может ли при этом получиться 7-угольник? 8-угольник? 13-угольник?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
69.Двое лыжников шли друг за другом с постоянной скоростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров. (а) Начался более трудный участок, где на котором скорость лыжников стала 4 км/ч. Каково расстояние между лыжниками на этом участке? (б) Затем был лёгкий участок со скоростью 7 км/ч, затем очень трудный со скоростью 3 км/ч и, наконец, они вышли снова на участок со скоростью 6 км/ч. Каково расстояние между ними в этот момент? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
70.Маховик подвешен на двух нитках, намотанных на ось. Его отпускают, и он движется вниз, раскручиваясь. Дойдя донизу, он начинает подниматься вверх. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
71.Какое число (одно и то же) надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 11/41 , чтобы она превратилась в 3/8? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
72.Найти (a + b + c)(a + b − c), (a + b + c)(a − b + c), (a + b − c)(a − b + c) (не пользуясь бумагой для промежуточных вычислений). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
73.Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab = = 3, bc = 2, cd = 4, de = Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
74.Река с параллельными прямыми берегами имеет ширину 100 метров. На одном из берегов реки есть пристань. Есть остров периметра 800 метров; других островов нет. Докажите, что можно доплыть от пристани до другого берега реки, проплыв не более 300 метров (минуя остров). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
75.Можно ли из квадрата со стороной 1 вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 1996? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
76.Петя задумал число от 1 до 1000. Вася хочет узнать это число, задавая Пете вопросы, на которые возможны ответы «да» и «нет». Какие вопросы он должен задавать, чтобы гарантированно узнать задуманное число после 10 вопросов? Может ли он сделать то же самое, если список из 10 вопросов он должен составить заранее? ∘ Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
77.На прямой имеется 11 точек, причём сумма расстояний от них до некоторой точки A равна сумме расстояний от них до другой точки B. Доказать, что хотя бы одна из этих 11 точек лежит на отрезке AB. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
78.Можно ли так расположить в пространстве три одинаковых кубика, чтобы сверху, сбоку и спереди была видна одна и та же фигура -- три квадрата, приложенных друг к другу сторонами (буквой «Г»)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
79.Двузначное число написали подряд три раза. (Например, из числа 67 получилось число 676767. Полученное число всегда делится на 7, 13 и на 111. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
80.На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 8 клеток и высотой 6 клеток. Можно ли поставить в нём крестики так, чтобы (а) в каждой строке стояло 4 крестика, а в каждом столбце -- 3? (б) в каждой строке стояло 3 крестика, а в каждом столбце -- 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
81.В стакане с водой плавает кусочек льда. Как изменится уровень воды в стакане, когда лёд растает? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
82.Можно ли замостить плоскость одинаковыми (а) треугольниками; (б) четырехугольниками; (в) пятиугольниками; (г) шестиугольниками; (д) семиугольниками? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
83.Вася тренируется на катке. Он положил три шайбы в вершины треугольника, а затем бьёт по одной из шайб так, чтобы она (двигаясь по прямой) прошла в ворота, образуемые двумя другими шайбами. Могут ли после 7 бросков все три шайбы оказаться в прежних местах? Могут ли они после 7 бросков оказаться в вершинах того же треугольника? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
84.|x − 1| < 1/3; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
85.Точки A и B имеют координаты 1 и 7. Найти координату точки C, если расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC. (Указать все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
86.Нарисовать на числовой оси точки x, целая часть которых чётна. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
87.При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
88.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
89.Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
90.(б) Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 213? (Пятизначные числа -- это числа от 10000 до 99999.) 3. Автомат отрезает от помещённого в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 3 больших квадрата, 2 квадрата поменьше и 6 маленьких квадратов со стороной 1 см. Какой прямоугольник у него был? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
91.(а) Найдите положительное число (не обязательно целое), при делении которого на 10/21 и 4/15 в частном получаются целые числа. (б) Найдите наименьшее такое число.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
92.Может ли шахматный конь обойти все 9 полей доски 3 × 3? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
93.По шоссе в одном направлении, с постоянной скоростью и с равными интервалами идут автобусы. Однажды человек прошёл по шоссе 4 км и его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл (с той же скоростью) 6 км и его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов его обогнали?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
94.Не пользуясь калькулятором, скажите, какая из дробей:
13/21 и 21/34 больше. Можете ли вы указать дробь, которая по величине находится между ними? Обыкновенную дробь m/n называют сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число (большее 1). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
95.. . . 2x -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
96.Любая из сторон первого треугольника больше любой стороны второго треугольника, а площадь второго больше площади первого. Может ли так быть? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
97.Первое число равно 7. Чему может быть равно последнее число? 3. В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? 4. Квадратная площадь размера 50 × 50 метров выложена плитами размера 1 × 1 четырёх цветов -- белого, красного, синего и зелёного. При этом плиты одного цвета не лежат рядом и не имеют общего угла. Сколько красных плит на площади? 5. Стакан наполнили водой, накрыли картонкой и перевернули. Почему вода не выливается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
98.(а) Найдите минимальное пятизначное число, делящееся на 12Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
99.В строку написаны 10 единиц подряд. Перед каждой из них (в том числе и перед первой) стоит плюс или минус. Какие числа могут получиться в сумме? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
100.Являются ли старейший художник среди шахматистов и старейший шахматист среди художников одним и тем же лицом -- или это не обязательно? Являются ли лучший шахматист среди художников и лучший художник среди шахматистов одним и тем же лицом? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
101.x + y = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
102.Если к произведению двух целых чисел, отличающихся на 2, прибавить единицу, то получится точный квадрат (например, 4 · 6 + 1 = 5^2 ). Почему? Простое число | это целое число, большее 1, которое нельзя представить как произведение двух меньших целых положительных чисел. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
103.На конце верёвки сделаны петли, надетые на запястья (не туго, но с рук они не снимаются). Можно ли, не развязывая верёвку (и тем самым не снимая её с рук), завязать на ней узел?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
104.Может ли прямая пересекать все 11 сторон невыпуклого 11-угольника (не проходя через его вершины)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
105.Продолжите последовательность: 4, 3, 3, 6, 4, 5, 4, 6, 6, 6, 11, . . . Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
106.Володя и Сева по очереди пишут кладут на прямоугольный стол круглые монеты (все монеты одинаковы). Уже лежащие монеты сдвигать нельзя; класть монету поверх других -- тоже. Кто не может положить монету так, чтобы она не упала со стола, проигрывает. Первым ходит Володя. Кто выигрывает при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
107.Три разбойника делят между собой большой пирог. Каждый из них мог бы разрезать пирог на три равные части, но остальные ему не доверяют. «Если бы нас было двое, -говорит один из разбойников, -- то один разрезал бы пирог на две части, а второй выбрал одну из частей, и каждый был бы уверен, что получил не меньше половины.» Предложите разбойникам способ поделить пирог так, чтобы каждый был уверен, что ему досталось не меньше трети.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
108.Точку с координатами ⟨x, y⟩ отразили симметрично относительно оси OX, оси OY и относительно прямой x = y. Найти координаты трёх получившихся точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
109.Дима считает, что |−a| при a < 0 равно a, а Володя | что −a. Кто из них прав? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
110.Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы двух точных квадратов. (Например, 5 хорошее, так как 5 = 2^2 + 1^2 , а 3 -- нет.) Доказать, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
111.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
112.Царь вызвал двух мудрецов, дал каждому из них карточку (так, чтобы другой её не видел), и сказал: «У каждого из вас на карточке написано целое положительное число, причём эти числа отличаются на единицу». После этого царь спросил первого мудреца: «Какое у второго число?». -- «Не знаю», -- ответил первый. Царь спросил второго: «А ты не знаешь, какое число у первого?». -- «И я не знаю», -- ответил второй. И снова спросил царь первого, и снова тот ответил, что не знает. После этого он спросил второго, и тот сказал, какое число у первого. Какие числа могли быть на карточках и как рассуждал второй?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
113.По кругу стоят 10 корзин. При каких n можно разложить n яблок по этим корзинам так, чтобы количества яблок в соседних корзинах отличались ровно на 1?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
114.Имеются неверные чашечные весы (плечи неодинаковой длины, так что для равновесия на одну чашку надо класть больше, чем на другую), правильная килограммовая гиря и мешок сахарного песка. Как отвесить килограмм сахарного песка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
115.Доказать, что (a + b)^2 − (a − b)^2 = 4ab. Как выглядит соответствующая картинка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
116.Сколько нужно провести непересекающихся диагоналей в 100-угольнике, чтобы разрезать его на треугольники? Почему всегда получается одно и то же число диагоналей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
117.На прямой дорожке стоят несколько школьников. Вдоль неё ходит учитель физкультуры. По сигналу «Хоп!» каждый из школьников бежит к тому месту, где стоит учитель, а затем возвращается на своё место. Так повторяется несколько раз. Доказать, что наибольшее расстояние пробежал один из двух крайних школьников. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
118.Найти сумму: [sqrt(1)] + [sqrt(2)] + [sqrt(3)] + . . . + [sqrt(10000)]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
119.Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab = 2, bc = 3, cd = 4, de = Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
120.Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
121.В турнире по крестикам-ноликам по олимпийской системе участвует миллион (1 000 000) игроков. Сколько партий будет сыграно в этом турнире? (В турнире по олимпийской системе проигравший выбывает.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
122.Передние покрышки у автомобиля стираются через 25000 км пути, а задние через 15000 км пути. Сколько можно проехать, если вовремя поменять покрышки местами, чтобы они стёрлись одновременно? В какой момент их нужно менять? (Считается, что в передних и задних колёсах стирается одна и та же часть покрышки, причём стирается она равномерно.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
123.У числа 100! = 1·2·. . .·99·100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и так поступали до тех пор, пока не получили число из одной цифры. Что это за число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
124.|x| = |y|; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
125.Известно, что положительные числа x и y таковы, что x^4 = 37, y^3 = 15. Какое из чисел x и y больше и почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
126.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
127.Можно ли так написать на шести гранях кубика числа от 1 до 6, чтобы числа на соседних гранях не были соседними (то есть отличались бы на 2 или больше)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
128.Как расставить 5 бутылок по 6 подносам так, чтобы на каждом подносе было по одной бутылке? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
129.. . . x/2 -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
130.Вычислите произведение, приведя подобные члены:
(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 )(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
131.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
132.Каким днём недели было 6 апреля 1957 года? В году 365 дней, если он не високосный (366 дней); високосные годы -- это те, которые делятся на 4 (исключения бывают только в начале столетий). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
133.В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы «четвертей квадратов», которые указывали значения (x^2) /4 для 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
134.Вершины треугольника имеют координаты ⟨0, 0⟩, ⟨3, 5⟩ и ⟨5, 8⟩. Какова его площадь? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
135.На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: А, Б, 4, 5. Какое наименьшее количество карточек и какие именно нужно перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения «Если на одной стороне карточки четное число, то на другой -- гласная буква»? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
136.Груз прицеплен к безмену, который висит на другом безмене. Сколько весит груз, если безмены показывают 300 и 500 граммов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
137.Учительница задала на дом задачу: проверить, делится ли некоторое число на 2, 3 и 6. На следующем уроке Вова сказал: «Я забыл, какое число задали, и делил другое, два раза остатка не было, на третий был». Учительница сказала:
«Ты ошибся». Почему она так сказала? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
138.Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
139.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
140.При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
141.Мерный цилиндр заполнен водой. Перевёрнутая пробирка, частично заполненная водой, плавает в толще воды. Почему она опускается, если нажать на резиновую плёнку, затягивающую отверстие цилиндра? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
142.По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
143.Всегда ли верны формулы [[x + y] + z] = [x + [y + z]] и {{x + y} + z} = {x + {y + z}}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
144.Найти координату середины отрезка, если его концы имеют координаты 17 и 33. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
145.Есть три карандаша и нитки. Сделайте из них «жёсткую» конструкцию, в которой карандаши не касались бы друг друга (даже через слой ниток), но удерживались бы нитками в определённом положении друг относительно друга.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
146.Прямоугольник 7×9 разбит на клетки 1×1. Требуется закрасить 4 клетки, образующие квадрат 2 × 2. Сколькими разными способами можно выбрать такой квадрат? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
147.Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
148.В строку написаны точные квадраты: 1, 4, 9, 16, . . . Под каждыми двумя числами написали их разность: 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16−9 = 7 и т. д. Доказать, что каждое следующая разность больше предыдущей на 2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
149.Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых нечётны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
150.В треугольнике ABC угол B равен 20 градусам, а угол C равен 40 градусам. Биссектриса AD угла A равна 2. Найти разность сторон BC − AB. (Подсказка: на стороне BC постройте точку E, для которой угол AEB равен 80 гардусам.)Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
151.Все грани кубика размером 3 × 3 × 3 покрасили. Потом его разрезали на 27 кубиков размером 1 × 1 × 1. Сколько при этом получилось кубиков со всеми неокрашенными гранями? с одной окрашенной гранью? с двумя окрашенными гранями? с тремя окрашенными гранями? с четырьмя окрашенными гранями? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
152.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
153.Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 одинаковых ладей, не бьющих друг друга? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
154.Что случится с периметром и площадью прямоугольника, если одну его сторону увеличить на 10 процентов, а другую уменьшить на 10 процентов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
155.Купец продал кафтан покупателю за 10 рублей. У него не было сдачи с 25 рублей, и он разменял 25-рублевую купюру покупателя у соседа. Покупатель ушел. Сосед приходит: «Бумажка фальшивая». Пришлось купцу дать настоящую. Что потерял купец? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
156.В классе 20 учеников. Было проведены две контрольные, за каждую из которых ставились отметки от 2 до 5 (не участвовавшие получили двойки). Докажите, что есть два ученика с одинаковыми результатами (по обеим контрольным). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
157.max(x, y) <= 2 (здесь max(x, y) | наибольшее из чисел x и y); Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
158.На плоскости нарисовано 1000 точек. Всегда ли можно провести прямую так, чтобы по каждую сторону от неё было ровно 500 точек? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
159.В комнате стоят три электрические лампочки, в соседней -- три выключателя к ним, причем на каждом написано «включено» и «выключено», но неизвестно, какой выключатель соответствует какой лампочке. Лампочки из комнаты с выключателями не видны. Как определить, какой выключатель соответствует какой лампочке? Разрешается зайти в комнату с выключателями, проделать с ними любые действия, а после этого войти в комнату с лампочками и проделать любые действия с ними, после чего дать ответ.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
160.Найти отношение a/e. 5. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 2 м; в результате его площадь увеличилась на 28 м^2 . Найдите периметр исходного прямоугольника. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
161.На столе в ряд стоят банки объёмом 1 литр, 1/2 литра, 1/3 литра, 1/4 литра, . . . , 1/100 литра. Первая из них полна воды, остальные пустые. Из первой банки переливают воду (сколько поместится) во вторую, затем из второй в третью, из третьей в четвёртую и т. д. (на последнем шаге последняя банка будет наполнена доверху). Сколько воды окажется в каждой из банок? Найти общее количество воды в первых 50 банках после всех переливаний. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
162.На сколько частей делят пространство плоскости, являющиеся гранями куба? тетраэдра (треугольного молочного пакета)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
163.Чтобы завернуть винт, отвёртку крутят по часовой стрелке. В какую сторону нужно крутить гайку, чтобы навернуть её на винт, головка которого вмурована в стену -по часовой стрелке или против? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
164.Квадратный пруд имеет сторону 500 метров. На одной из его сторон выбрана точка, отстоящая от одного угла на 200 метров и от другого угла на 300 метров. Нарисуйте точки, до которых можно дойти, пройдя не более 900 метров по суше. Из каких кривых состоит граница получившейся области? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
165.Существует ли такое x, что [x] + [2x] + [3x] + [4x] = 99? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
166.Квадратное колесо катится по дороге. Нарисуйте траекторию его оси (находящейся в центре колеса). Из каких кривых она состоит? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
167.Точку с координатами ⟨x, y⟩ повернули на 90 градусов вокруг точки ⟨0, 0⟩ против часовой стрелки. Найти координаты получившейся точки. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
168.Из утверждений «x > 1», «x > 2», «x > 3», «x > 4», «x > 5» три верных и два неверных. Какие? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
169.Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 25.Найдите уменьшаемое. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
170.Натуральные числа раскрашены в два цвета. Докажите, что можно так выбрать три числа A, B и C одного цвета, что A + B = 2*C. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
171.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
172.Может ли кот Леопольд подарить 10 мышатам конфеты, если он хочет, чтобы каждый получил хотя бы одну конфету, никакие два мышонка не получили одинакового числа конфет и всего у него (а) 15 конфет; (б) 50 конфет; (в) 100 конфет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
173.Грани куба 2 × 2 × 2 раскрашены в несколько цветов (каждый из четырёх квадратиков каждой грани -- в один из цветов). При этом квадратики, имеющие общую сторону (в том числе находящиеся на разных гранях) имеют разные цвета. Какое максимальное количество квадратиков одного цвета может быть? Какое минимальное число цветов может быть использовано?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
174.Написать выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
175.Фирма «Русский сувенир» обнаружила в результате «маркетинга», что многие граждане хотели бы иметь на память десятитысячную купюру, номер на которой совпадает с их телефонным номером. Но их начальный капитал недостаточен, чтобы приобрести купюры со всеми возможными номерами. Тем не менее фирма нашла выход из положения. Какой?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
176.Улитка ползла в течение 5 минут, всё время находясь под наблюдением. Каждый наблюдатель наблюдал за ней в течение 1 минуты, и за эту минуту она проползла ровно 1 метр. Могла ли улитка проползти 6 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
177.По кругу написаны 4 целых числа. Между каждыми двумя записывают абсолютную величину их разности, а исходные числа стирают. Так повторяют несколько раз. Доказать, что рано или поздно останутся одни нули.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
178.Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте. (а) Сколько кусочков получилось? (б) Два из этих кусочков имели длину 9 см и 4 см. Какова длина верёвки? Укажите все возможности. (Режут не на сгибе и сразу все нити.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
179.Петя стоит на балконе 2-го этажа, а Вася -- на балконе 5-го этажа того же дома. В некоторый момент они одновременно выкрикивают слово «раз». Оказалось, что Петя услышал васино слово немного раньше, чем Вася -- петино. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
180.. . . чётное число верных. 13. Точки A и B имеют координаты a и b. Найти координату точки C, делящей отрезок AB в отношении 2 : 3. 14. Нарисовать на числовой оси те точки x, для которых (x − 1)(x − 2) . . . (x − 9)(x − 10) > 0. Линейку повернули на 180 градусов и приложили к другой такой же. При этом точка 4 нижней линейки совпала с точкой 7 верхней, а точка 5 нижней совпала с точкой 6 верхней. Какое число находится напротив числа 10 на нижней линейке? Напротив числа x на нижней линейке? 16. При каких x точка с координатой x^2 находится правее точки с координатой x? 17. На сколько сдвинется середина отрезка на числовой оси, если один его конец неподвижен, а второй сдвинулся на 3 единицы? 18. На числовой оси находятся точки A, B, C, D. Петя нашел середины отрезков AB и CD, соединил их отрезком и взял середину этого отрезка. Вася сделал то же с отрезками AC и BD. Доказать, что Петя и Вася получили одну и ту же точку. 19. Нарисовать на числовой оси положительные числа, в десятичной записи которых первая цифра после запятой равна 3. 20. На числовой оси отмечены точки с координатами 0 и 1. Разрешается отметить середину отрезка, если его концы уже отмечены. Можно ли, соблюдая это правило, отметить точку с координатой 1/3?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
181.Доказать, что сумма кубов двух положительных целых чисел не может быть простым числом (за исключением единственного случая 1^3 + 1^3 = 2). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
182.В четырёхугольнике ABCD продолжения противоположных сторон AB и CD пересекаются под углом 20 градусов; продолжения противоположных сторон BC и AD также пересекаются под углом в 20 градусов. Докажите, что два угла в этом четырёхугольнике равны, а два других отличаются на 40 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
183.x^2 + y^2 = 2xy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
184.В строчку написаны 10 чисел, причём сумма любых трёх соседних равна 15. Первое число равно 7. Чему может быть равно последнее число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
185.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
186.Сумма углов треугольника всегда равна 180 . Чему равна сумма углов пятиугольника? Чему равна сумма углов пятиконечной звезды? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
187.Окружность разделена точками на 99 дуг, из которых 3 имеют длину 3 см, ещё 3 имеют длину 2 см, и оставшиеся 3 имеют длину 1 см. Доказать, что какие-то две из точек деления диаметрально противоположны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
188.Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
189.Найдите положительное целое число n, если известно, что: \n (n + 2)(n + 3)(n + 5)(n + 7) = 4158. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
190.На доске написано число 100. Таня и Оля ходят по очереди. За один ход разрешается уменьшить написанное на доске число на 1, 2 или 3. У кого получится отрицательное число, проиграл. Первой ходит Таня. Кто выиграет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
191.Дальтоники не различают цветов. Могут ли они пользоваться светофором? Если да, то почему ГАИ неохотно выдаёт им права? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
192.Простое число после увеличения на 1 становится точным квадратом. Найти все такие числа. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
193.Известно, что 57 = 2^5 + 5^2 . Найдите аналогичное разложение числа 5757 (т. е. такие целые числа c и d, что 5757 = c^d + d^c ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Графики движений". | 1.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
2.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
3.Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.По шоссе в одном направлении, с постоянной скоростью и с равными интервалами идут автобусы. Однажды человек прошёл по шоссе 4 км и его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл (с той же скоростью) 6 км и его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов его обогнали?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
5.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
6.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
7.(Продолжение) Могла ли она проползти 11 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
|
Создай 4 задач по математике 7 класса. | 1.Сколькими способами можно поставить на шахматную доску (а) белую и черную ладьи, не бьющие друг друга? (б) две белые ладьи, не бьющие друг друга? (В чём разница между этими задачами?) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
2.Делится ли на 7 сумма двух слагаемых, если (а) оба слагаемых делятся на 7; (б) ровно одно из них делится на 7? (в) ни одно из них не делится на 7? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
3.Двое пловцов одновременно начали плыть по 25-метровой дорожке бассейна со скоростями 1,4 м/с и 1,1 м/с. Доплывая до конца дорожки, каждый из пловцов поворачивает назад. Когда более быстрый пловец впервые обгонит более медленного (плывя в ту же сторону)? На каком расстоянии от места старта это произойдёт? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
4.Почему не горит бумажная коробочка, в которой кипятят воду? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
|
Создай 5 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.На прямой дорожке стоят несколько школьников. Вдоль неё ходит учитель физкультуры. По сигналу «Хоп!» каждый из школьников бежит к тому месту, где стоит учитель, а затем возвращается на своё место. Так повторяется несколько раз. Доказать, что наибольшее расстояние пробежал один из двух крайних школьников. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Как записать расстояние между точками числовой оси с координатами x и y, используя знак абсолютной величины? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 10 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.Точку с координатами ⟨x, y⟩ отразили симметрично относительно оси OX, оси OY и относительно прямой x = y. Найти координаты трёх получившихся точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.{x} = {y}; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.x > y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.x^2 = y^2 ; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.x + y = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.Две вершины квадрата имеют координаты ⟨5, 0⟩ и ⟨0, 2⟩. Каковы координаты двух остальных вершин? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
8.[x] = [y]; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
9.(x − y)(x + y)(y − 2x) >= 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
10.|x − 1| < 1/3; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Целая часть". | 1.Нарисовать на числовой оси те числа x, для которых [x] = [x + 2/3]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
2.Обозначая дни недели от воскресенья до субботы числами 0, 1, 2, ... , 6, Вася придумал формулу:
день недели = 7 · {число/7}, которая годится, если первое число месяца было понедельником. Как надо её изменить, если первое число месяца было пятницей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
3.Написать формулы для частного и остатка при делении двух целых положительных чисел с остатком (формулы должны использовать арифметические операции и знак целой части). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
4.Вася знает, что {x} = 0,3, {y} = 0,4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти {x + y}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
5.Нарисовать на числовой оси точки x, целая часть которых чётна. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
6.Вася знает, что [x] = 3, [y] = 4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти [x + y]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
7.Нарисовать на числовой оси точки x, дробная часть которых равна 1/3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Графики движений". | 1.Бассейн разделён перегородками на две равные части, к каждой из которых ведёт своя труба. Первая половина заполняется за t часов, вторая | за u часов. За сколько времени наполнят бассейн обе трубы, если перегородку снять? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
2.Машина проехала половину пути со скоростью v, а вторую половину со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
3.(Продолжение) Могла ли она проползти 11 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
5.Два пешехода вышли навстречу друг другу одновременно из пунктов А и Б. Каждый из них идёт с постоянной скоростью, и дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через час после начала движения. Когда они встретятся во второй раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
6.По шоссе в одном направлении, с постоянной скоростью и с равными интервалами идут автобусы. Однажды человек прошёл по шоссе 4 км и его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл (с той же скоростью) 6 км и его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов его обогнали?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
|
Создай 23 задач по математике 7 класса. | 1.Известно, что |x| = 5, |y| = 3. Какие значения может принимать |x + y|? Тот же вопрос для |x − y| и |x · y|. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Каким днём недели было 6 апреля 1957 года? В году 365 дней, если он не високосный (366 дней); високосные годы -- это те, которые делятся на 4 (исключения бывают только в начале столетий). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
3.Окружность разделена точками на 99 дуг, из которых 3 имеют длину 3 см, ещё 3 имеют длину 2 см, и оставшиеся 3 имеют длину 1 см. Доказать, что какие-то две из точек деления диаметрально противоположны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.Володя и Лёша играют в крестики на доске 3 × 3 по таким правилам: ходят по очереди, ставя крестик в любую свободную клетку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход (некуда). Первым ходит Володя. Кто выиграет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
5.(x − y)(x + y)(y − 2x) >= 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
7.Известно, что 57 = 2^5 + 5^2 . Найдите аналогичное разложение числа 5757 (т. е. такие целые числа c и d, что 5757 = c^d + d^c ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
8.Какое наименьшее количество карточек и какие именно нужно перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения «Если на одной стороне карточки четное число, то на другой -- гласная буква»? 4. Из Москвы во Владивосток ежедневно ровно в полночь (по московскому времени) выходит поезд, который идет ровно 6 суток. Из Владивостока в Москву ежедневно в полдень (по московскому времени) выходит поезд, который идет также 6 суток. Когда поезда встречаются, машинисты кричат «Ура!». (а) Сколько раз машинист кричит «Ура!» на пути из Москвы во Владивосток? (б) Сколько криков «Ура!» раздается в течение суток? Наконец, (в) сколько железнодорожных составов нужно, чтобы организовать такое движение? 5. У катушки внутренний диаметр равен 1 см, а внешний -- 2 см. Катушка катится со скоростью 30 см/с. С какой скоростью для этого человек должен тянуть конец нитки? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
9.Доказать, что [[x/y]/z] = [x/(yz)] для любых положительных целых x, y, z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
10.Можно ли так расставить знаки в выражении:
±1 ± 2 ± 3 ± . . . ± 9 ± 10, чтобы получился нуль? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
11.Точку с координатами ⟨x, y⟩ повернули на 90 градусов вокруг точки ⟨0, 0⟩ против часовой стрелки. Найти координаты получившейся точки. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
12.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x| > 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
13.Найти сумму: [sqrt(1)] + [sqrt(2)] + [sqrt(3)] + . . . + [sqrt(10000)]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
14.Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
15.Можно ли так написать на шести гранях кубика числа от 1 до 6, чтобы числа на соседних гранях не были соседними (то есть отличались бы на 2 или больше)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
16.Вася приходит на станцию метро в случайное время и садится в первый пришедший поезд (либо в одну сторону -в школу, либо в другую -- в кино). Хотя поезда ходят точно по расписанию, и в обе стороны идет примерно одинаковое число поездов, получается так, что Вася в школу попадает в среднем в три раза реже, чем в кино. Как так может быть?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
17.Имеется кирпич, карандаш, лист бумаги и линейка с делениями. Как найти найти длину большой диагонали кирпича (расстояние между противоположными вершинами)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
18.Саша утверждает, что при подстановке вместо x в выражение x2 +x+41 чисел 1, 2, 3, 4, . . . всегда получится простое число. Прав ли он? (Число называется простым, если оно делится только на единицу и само себя.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
19.Можно ли разрезать шахматную доску без клеток a1 и h8 на прямоугольники 1 × 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
20.Как вы думаете, в записи числа 21000 (произведение тысячи двоек) больше 500 цифр или меньше? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
21.По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
22.Найдите наименьшее целое число, большее 10100, которое является точным квадратом (квадратом другого целого числа). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
23.Царь вызвал двух мудрецов, дал каждому из них карточку (так, чтобы другой её не видел), и сказал: «У каждого из вас на карточке написано целое положительное число, причём эти числа отличаются на единицу». После этого царь спросил первого мудреца: «Какое у второго число?». -- «Не знаю», -- ответил первый. Царь спросил второго: «А ты не знаешь, какое число у первого?». -- «И я не знаю», -- ответил второй. И снова спросил царь первого, и снова тот ответил, что не знает. После этого он спросил второго, и тот сказал, какое число у первого. Какие числа могли быть на карточках и как рассуждал второй?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
|
Создай 5 задач по математике 7 класса по теме "Графики движений". | 1.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
2.Бассейн разделён перегородками на две равные части, к каждой из которых ведёт своя труба. Первая половина заполняется за t часов, вторая | за u часов. За сколько времени наполнят бассейн обе трубы, если перегородку снять? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
3.Два пешехода вышли навстречу друг другу одновременно из пунктов А и Б. Каждый из них идёт с постоянной скоростью, и дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через час после начала движения. Когда они встретятся во второй раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
5.Идя навстречу трамваям, пешеход встречал их каждые 5 минут, идя в одну с ними сторону | каждые 7. Как часто он будет их встречать, стоя на месте? (Трамваи движутся с постоянной скоростью и с одинаковыми интервалами. Скорость пешехода также постоянна.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
|
Создай 5 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.x^2 + y^2 = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.xy = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.|x| = |y|; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.Нарисовать те точки ⟨x, y⟩, для которых (а) x+x^2 = y+y^2 ; (б) x + x^3 = y + y^3 ; (в) x + |x| = y + |y|.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.x + y = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 8 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x − 5| 6<=3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Известно, что |x| = 5, |y| = 3. Какие значения может принимать |x + y|? Тот же вопрос для |x − y| и |x · y|. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
7.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x + 1| + |x + 2| = 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
8.На прямой дорожке стоят несколько школьников. Вдоль неё ходит учитель физкультуры. По сигналу «Хоп!» каждый из школьников бежит к тому месту, где стоит учитель, а затем возвращается на своё место. Так повторяется несколько раз. Доказать, что наибольшее расстояние пробежал один из двух крайних школьников. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.По окружности написано несколько чисел. Среди произведений соседних чисел ровно 5 отрицательных. Доказать, что одно из чисел равно 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Все кости домино расположили в цепь. Доказать, что на концах цепи стоят равные цифры. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен 4. Доказать, что один из учеников получил четвёрку. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.Три кузнечика на прямой играют в чехарду. Каждую секунду один из них перепрыгивает через другого (но не через двух). Доказать, что они могут вернуться в исходное положение только через чётное число секунд. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.Каких чисел больше среди чисел от 1 до 1000 | чётных или нечётных? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
7.Может ли прямая пересекать все 11 сторон невыпуклого 11-угольника (не проходя через его вершины)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 10 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.max(x, y) <= 2 (здесь max(x, y) | наибольшее из чисел x и y); Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.(x − y)(x + y)(y − 2x) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.Вершины треугольника имеют координаты ⟨0, 0⟩, ⟨3, 5⟩ и ⟨5, 8⟩. Какова его площадь? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.|x| = |y|; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.x = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.x^2 + y^2 = 2xy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.xy = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
8.|x − 1| < 1/3; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
9.(x − y)(x + y)(y − 2x) >= 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
10.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) > 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.(x − y)(x + y)(y − 2x) >= 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.max(x, y) >= 2; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.Точку с координатами ⟨x, y⟩ повернули на 90 градусов вокруг точки ⟨0, 0⟩ против часовой стрелки. Найти координаты получившейся точки. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.x + y = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.Вершины треугольника имеют координаты ⟨0, 0⟩, ⟨3, 5⟩ и ⟨5, 8⟩. Какова его площадь? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.|x| = |y|; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.max(x, y) <= 2 (здесь max(x, y) | наибольшее из чисел x и y); Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 10 задач по математике 7 класса по теме "Графики движений". | 1.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
2.По шоссе в одном направлении, с постоянной скоростью и с равными интервалами идут автобусы. Однажды человек прошёл по шоссе 4 км и его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл (с той же скоростью) 6 км и его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов его обогнали?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
3.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
5.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
6.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
7.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
8.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
9.Машина проехала половину времени со скоростью v, а вторую половину | со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
10.Улитка ползла в течение 5 минут, всё время находясь под наблюдением. Каждый наблюдатель наблюдал за ней в течение 1 минуты, и за эту минуту она проползла ровно 1 метр. Могла ли улитка проползти 6 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
|
Создай 9 задач по математике 7 класса по теме "Тождества". | 1.Перемножить: (1 + x)(1 + x^2 )(1 + x^4 )(1 + x^8 )(1 + x^16 ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
2.Проиллюстрировать формулу (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 , сложив квадрат со стороной a + b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
3.Доказать, что сумма:
1/1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(1*2) + 1/(1*3) + ... + 1/(1*n) + ... + 1/((n - 1) * n) + 1/(1 * 2 * 3) + ... + 1/(1 * 2 * 3 ... n) (в знаменателях стоят все комбинации чисел от 1 до n, в которых числа не повторяются) равна n.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.Проиллюстрировать формулу a^2 − b^2 = (a + b)(a − b), разрезав квадрат a × a с вырезанным углом b × b на две части, из которых можно сложить прямоугольник со сторонами a − b и a + b. (Достаточно одного прямого разреза.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.Написать формулу для (a + b)^3 и описать соответствующее ей разрезание куба со стороной a + b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
6.Четыре подряд идущих целых числа перемножили и к произведению прибавили 1. Доказать, что получился точный квадрат. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
7.В строку написаны точные квадраты: 1, 4, 9, 16, . . . Под каждыми двумя числами написали их разность: 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16−9 = 7 и т. д. Доказать, что каждое следующая разность больше предыдущей на 2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
8.Доказать, что сумма кубов двух положительных целых чисел не может быть простым числом (за исключением единственного случая 1^3 + 1^3 = 2). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
9.Доказать, что (a + b)^2 − (a − b)^2 = 4ab. Как выглядит соответствующая картинка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
|
Создай 270 задач по математике 7 класса. | 1.Точку с координатой x сдвинули на 5 единиц вправо. Какова её координата теперь? 2 Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
2.По окружности написано несколько чисел. Среди произведений соседних чисел ровно 5 отрицательных. Доказать, что одно из чисел равно 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.Каких чисел больше среди чисел от 000000 до 999999:
тех, у которых сумма цифр чётна или тех, у которых она нечётна? Сколько тех и других? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
5.Полученное число всегда делится на 7, 13 и на 111. Почему? 3. Можно ли из квадрата со стороной 1 вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 1996? 4. Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков, кубик за кубиком. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика? 5. Имеется кирпич, карандаш, лист бумаги и линейка с делениями. Как найти найти длину большой диагонали кирпича (расстояние между противоположными вершинами)? 6. Миша горько плачет: «Ну почему мне так не повезло с днём рождения! Я уж и не помню, что мне дарили в прошлый раз . . . » В чём его беда?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
6.Андрей и Рома играют в азартную игру. Каждый из них пишет на бумажке целое число, не показывая другому. Затем они открывают бумажки, складывают числа и смотрят, делится ли сумма на 3. Если делится, то Рома платит Андрею 3 рубля, если нет, Андрей платит Роме 2 рубля. Кому выгодна эта игра? Как надо изменить её правила, чтобы игра была честной? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
7.(x − y)(x + y)(y − 2x) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
8.Можно ли нарисовать многоугольник и точку внутри него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
9.Купец продал кафтан покупателю за 10 рублей. У него не было сдачи с 25 рублей, и он разменял 25-рублевую купюру покупателя у соседа. Покупатель ушел. Сосед приходит: «Бумажка фальшивая». Пришлось купцу дать настоящую. Что потерял купец? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
10.Перемножить: (1 + x)(1 + x^2 )(1 + x^4 )(1 + x^8 )(1 + x^16 ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
11.Вершины треугольника имеют координаты ⟨0, 0⟩, ⟨3, 5⟩ и ⟨5, 8⟩. Какова его площадь? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
12.x = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
13.На плоскости нарисовали треугольник и квадрат. Потом покрасили все точки, попадающие внутрь хотя бы одной из фигур. Может ли при этом получиться 7-угольник? 8-угольник? 13-угольник?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
14.В четырёхугольнике ABCD продолжения противоположных сторон AB и CD пересекаются под углом 20 градусов; продолжения противоположных сторон BC и AD также пересекаются под углом в 20 градусов. Докажите, что два угла в этом четырёхугольнике равны, а два других отличаются на 40 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
15.Двое хотят перейти прямую канаву шириной 4 метра. На краю они нашли две прочные доски длиной 3, 5 метра каждая. Как им перейти на другую сторону? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
16.Проиллюстрировать формулу a^2 − b^2 = (a + b)(a − b), разрезав квадрат a × a с вырезанным углом b × b на две части, из которых можно сложить прямоугольник со сторонами a − b и a + b. (Достаточно одного прямого разреза.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
17.Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
18.У Пети в комоде валяются 10 чёрных рукавиц (5 пар), 16 синих (8 пар) и 20 зелёных (10 пар). Сколько рукавиц надо достать не глядя, чтобы заведомо можно было выйти на улицу в рукавицах одного цвета? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
19.Написать формулу для (a + b)^3 и описать соответствующее ей разрезание куба со стороной a + b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
20.Вася знает, что [x] = 3, [y] = 4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти [x + y]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
21.Внутри квадрата размером 1 × 1 поставлено 105 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не больше 0,2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
22.Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющих равное число знакомых в этой компании. (Знакомства симметричны: если А знаком с Б, то Б знаком с А.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
23.На следующем уроке Вова сказал: «Я забыл, какое число задали, и делил другое, два раза остатка не было, на третий был». Учительница сказала:
«Ты ошибся». Почему она так сказала? 2. Делится ли на 7 сумма двух слагаемых, если (а) оба слагаемых делятся на 7; (б) ровно одно из них делится на 7? (в) ни одно из них не делится на 7? 3. У числа 100! = 1·2·. . .·99·100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и так поступали до тех пор, пока не получили число из одной цифры. Что это за число? 4. Целое число, большее 2, называется простым, если оно не разлагается в произведение двух меньших целых положительных чисел. Докажите, что число 999 991 -- не простое. 5. Почему трамвайные провода идут не прямо, а зигзагом? Что плохого было бы, если пустить их ровно? (Указание: с троллейбусом этой проблемы нет.) 6. Можно ли расположить 6 длинных круглых карандашей так, чтобы каждый из них касался всех остальных?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
24.На столе лежала верёвка (без узла). Лёня подошел к столу, взял веревку за концы двумя руками, и, не выпуская концов верёвки из рук, завязал на ней узел. Как он это сделал? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
25.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
26.Вася закрыл правый глаз и смотрит в зеркало левым. Он видит муху, сидящую на зеркале, на фоне закрытого правого глаза. После этого он открыл правый глаз и закрыл левый. На фоне чего он теперь увидит муху (которая осталась в той же точке зеркала)? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
27.В строчку написаны 10 чисел, причём сумма любых трёх соседних равна 15. Первое число равно 7. Чему может быть равно последнее число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
28.Как движется Солнце с точки зрения жителей Южного полушария -- слева направо или справа налево? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
29.(x − y)(x + y)(y − 2x) >= 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
30.На плоскости нарисовано несколько окружностей, любые две из которых пересекаются. Докажите, что такую фигуру можно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги, не проходя ни по одному участку дважды и не пропустив ни одного участка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
31.В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
32.В треугольнике ABC на стороне AB взята точка D, а на стороне AC взята точка E. При этом отрезок DE параллелен BC и равен по длине отрезку EC. Найдите угол ABC, если углы BAC и BCD равны соответственно 55 градусов и 25 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
33.На прямой имеется 11 точек, причём сумма расстояний от них до некоторой точки A равна сумме расстояний от них до другой точки B. Доказать, что хотя бы одна из этих 11 точек лежит на отрезке AB. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
34.Нарисуйте фигуру из 11 точек и нескольких отрезков между ними так, чтобы каждая точка была соединена ровно с двумя другими. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
35.В треугольнике ABC на стороне AB взята точка D, а на стороне BC взята точка E. При этом отрезок DE параллелен AB и равен по длине отрезку AD. Найдите угол EAB, если углы B и C треугольника равны соответственно 45 градусов и 60 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
36.Нарисовать на числовой оси те точки x, для которых среди неравенств x > 1, x > 2, . . . , x > 9, x > 10 ровно три верных. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
37.Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков, кубик за кубиком. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
38.Известно, что (n + 3)(n + 5)(n + 7)(n + 11) = 4095 и что n -- целое положительное число. Найдите его. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
39.Саша утверждает, что при подстановке вместо x в выражение x2 +x+41 чисел 1, 2, 3, 4, . . . всегда получится простое число. Прав ли он? (Число называется простым, если оно делится только на единицу и само себя.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
40.Все кости домино расположили в цепь. Доказать, что на концах цепи стоят равные цифры. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
41.Володя и Лёша играют в крестики на доске 3 × 3 по таким правилам: ходят по очереди, ставя крестик в любую свободную клетку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход (некуда). Первым ходит Володя. Кто выиграет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
42.У Димы было 7 картофелин, у Гриши было 5, а у Яши вообще не было. Они сварили картошку и разделили полученную тюрю поровну на троих. Благодарный Яша дал Диме с Гришей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
43.Найдите наименьшее целое число, большее 10100, которое является точным квадратом (квадратом другого целого числа). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
44.Не пользуясь калькулятором, скажите, какая из дробей:
13/21 и 21/34 больше. Можете ли вы указать дробь, которая по величине находится между ними? Обыкновенную дробь m/n называют сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число (большее 1). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
45.Дима считает, что |−a| при a < 0 равно a, а Володя | что −a. Кто из них прав? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
46.Могут ли 9 шестерёнок, сцепленных по кругу, вращаться? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
47.(а) Докажите, что сумма дробей (1/1000) + (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/1999) + (1/2000) не меньше 1/Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
48.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
49.На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
50.Двузначное число написали подряд три раза. (Например, из числа 67 получилось число 676767. Полученное число всегда делится на 7, 13 и на 111. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
51.Найдите положительное целое число n, если известно, что: \n (n + 2)(n + 3)(n + 5)(n + 7) = 4158. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
52.Какое наибольшее число решений может иметь уравнение ||||x − a| − b| − c| − d| = e относительно x при фиксированных a, b, c, d, e? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
53.В треугольнике ABC угол A равен 60 градусов. Известно, что биссектриса угла A, медиана, проведённая из вершины B, и высота, опущенная из вершины C, пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник равносторонний. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
54.Сколько раз в сутки стрелки часов образуют прямой угол? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
55.x > y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
56.Маховик подвешен на двух нитках, намотанных на ось. Его отпускают, и он движется вниз, раскручиваясь. Дойдя донизу, он начинает подниматься вверх. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
57.При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
58.(б) Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 123? (Пятизначные числа -- это числа от 10000 до 99999.) 3. Автомат отрезает от помещённого в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 2 больших квадрата, 3 квадрата поменьше и 5 маленьких квадратов со стороной 1 см. Какой прямоугольник у него был? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
59.Петя задумал число от 1 до 1000. Вася хочет узнать это число, задавая Пете вопросы, на которые возможны ответы «да» и «нет». Какие вопросы он должен задавать, чтобы гарантированно узнать задуманное число после 10 вопросов? Может ли он сделать то же самое, если список из 10 вопросов он должен составить заранее? ∘ Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
60.Все грани кубика размером 3 × 3 × 3 покрасили. Потом его разрезали на 27 кубиков размером 1 × 1 × 1. Сколько при этом получилось кубиков со всеми неокрашенными гранями? с одной окрашенной гранью? с двумя окрашенными гранями? с тремя окрашенными гранями? с четырьмя окрашенными гранями? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
61.Прямоугольную шоколадку размером 3 × 4 разламывают на дольки 1 × 1. Сколько разломов для этого необходимо (ломать одновременно два кусочка не разрешается)? Можно ли обойтись меньшим числом разломов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
62.. . . x − 2 <= 2x. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
63.Что случится с периметром и площадью прямоугольника, если одну его сторону увеличить на 10 процентов, а другую уменьшить на 10 процентов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
64.x^2 + y^2 = 2xy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
65.Среди любых трёх школьников 7а класса хотя бы один играет в компьютерные игры. Преподаватели решили выгнать всех, кто играет в компьютерные игры. Сколько школьников останется, если это решение выполнить?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
66.xy = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
67.Точки A и B имеют координаты 1 и 7. Найти координату точки C, если расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC. (Указать все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
68.Фирма «Русский сувенир» обнаружила в результате «маркетинга», что многие граждане хотели бы иметь на память десятитысячную купюру, номер на которой совпадает с их телефонным номером. Но их начальный капитал недостаточен, чтобы приобрести купюры со всеми возможными номерами. Тем не менее фирма нашла выход из положения. Какой?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
69.{x} = {y}; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
70.Вася знает, что {x} = 0,3, {y} = 0,4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти {x + y}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
71.Существует ли такое x, что [x] + [2x] + [3x] + [4x] = 99? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
72.На плоскости нарисовано 1000 точек. Всегда ли можно провести прямую так, чтобы по каждую сторону от неё было ровно 500 точек? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
73.Как вы думаете, в записи числа 21000 (произведение тысячи двоек) больше 500 цифр или меньше? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
74.Может ли шахматный конь обойти все 9 полей доски 3 × 3? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
75.Имеется кирпич, карандаш, лист бумаги и линейка с делениями. Как найти найти длину большой диагонали кирпича (расстояние между противоположными вершинами)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
76.Доказать, что: [35/23] + [2 * (35/23)] + [3 * (35/23)] + ... + [22 * (35/23)] = [23/35] + [2 * (23/35)] + [3 * (23/35)] + ... + [35 * (23/35)].Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
77.Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
78.Найти координату середины отрезка, если его концы имеют координаты 17 и 33. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
79.Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в три раза? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
80.Лыжи обычно делают вогнутыми (середина лыжи приподнимается над землёй, когда концы стоят на земле), при этом среднюю часть лыжи обычно намазывают мазью, прилипающей к снегу, а концы -- мазью, хорошо скользящей по снегу. Зачем всё это делается?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
81.Бизнесмен договорился о партии в шахматы по переписке с двумя гроссмейстерами. Он похваляется своему приятелю: «Ну уж у одного я точно выиграю. В крайнем случае, будут две ничьи». Почему он в этом так уверен?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
82.Чтобы завернуть винт, отвёртку крутят по часовой стрелке. В какую сторону нужно крутить гайку, чтобы навернуть её на винт, головка которого вмурована в стену -по часовой стрелке или против? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
83.У числа 100! = 1·2·. . .·99·100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и так поступали до тех пор, пока не получили число из одной цифры. Что это за число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
84.Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab = = 3, bc = 2, cd = 4, de = Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
85.Какое из чисел x и y больше и почему? 3. Вася тренируется на катке. Он положил три шайбы в вершины треугольника, а затем бьёт по одной из шайб так, чтобы она (двигаясь по прямой) прошла в ворота, образуемые двумя другими шайбами. Могут ли после 7 бросков все три шайбы оказаться в прежних местах? Могут ли они после 7 бросков оказаться в вершинах того же треугольника? 4. Даны две бутылки с растворами разной концентрации. В одной бутылке 0,5 литра, в другой 0,3 литра. Два одинаковых стаканчика налили доверху (каждый из своей бутылки), после чего растворы влили обратно в бутылки, поменяв их местами. В результате в обеих бутылках получился раствор одинаковой концентрации. Найти объём стаканчиков. 5. Петя и Боря смотрят на большой кусок пчелиных сот. Соты состоят из шестиугольников, примыкающих друг к другу так, что в вершине сходятся три шестиугольника. Петя считает число шестиугольников, Боря -- число вершин шестиугольников. У кого из них получится больше? Во сколько раз (примерно)? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
86.Любая из сторон первого треугольника больше любой стороны второго треугольника, а площадь второго больше площади первого. Может ли так быть? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
87.Какое наибольшее число (а) ладей; (б) слонов можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
88.Идя навстречу трамваям, пешеход встречал их каждые 5 минут, идя в одну с ними сторону | каждые 7. Как часто он будет их встречать, стоя на месте? (Трамваи движутся с постоянной скоростью и с одинаковыми интервалами. Скорость пешехода также постоянна.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
89.Найти сумму:
(1/(1*2))+(1/(2*3))+(1/(3*4))+...+(1/(99*100)) (Указание: начните складывать.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
90.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
91.|x − 1| < 1/3; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
92.Можно ли разрезать шахматную доску без клеток a1 и h8 на прямоугольники 1 × 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
93.Почему не горит бумажная коробочка, в которой кипятят воду? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
94.Из города А в город Б ведут 2 дороги, из города Б в город В ведут 3 дороги, из города В в город Г ведут 7 дорог. Сколько различных маршрутов ведут из А в В через Б? Сколько различных маршрутов ведут из А в Г через Б и В? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
95.(а) Найдите минимальное пятизначное число, делящееся на 12Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
96.Написать формулы для частного и остатка при делении двух целых положительных чисел с остатком (формулы должны использовать арифметические операции и знак целой части). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
97.Нарисовать на числовой оси те числа x, для которых [x] = [x + 2/3]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
98.Любую сумму денег, начиная с 8 копеек, можно уплатить пятаками и алтынами. Почему? (Пятак -- пять копеек, алтын -- три копейки; это старинные русские монеты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
99.При всех целых x число ax^2 + bx + c целое. Можно ли утверждать, что числа a, b, c --- целые?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
100.Можно ли прямолинейным разрезом поделить одновременно пополам прямоугольный кусок хлеба и лежащий на нем круглый кусок колбасы (рис. 2)? Сколькими способами это можно сделать? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
101.Точку с координатами ⟨x, y⟩ повернули на 90 градусов вокруг точки ⟨0, 0⟩ против часовой стрелки. Найти координаты получившейся точки. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
102.Как записать расстояние между точками числовой оси с координатами x и y, используя знак абсолютной величины? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
103.Квадратный пруд имеет сторону 500 метров. На одной из его сторон выбрана точка, отстоящая от одного угла на 200 метров и от другого угла на 300 метров. Нарисуйте точки, до которых можно дойти, пройдя не более 900 метров по суше. Из каких кривых состоит граница получившейся области? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
104.y = 2x; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
105.Можно ли замостить плоскость одинаковыми (а) треугольниками; (б) четырехугольниками; (в) пятиугольниками; (г) шестиугольниками; (д) семиугольниками? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
106.Ветер дует на север. В какую сторону развевается флаг, закреплённый на воздушном шаре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
107.Двое играют в такую игру. Первый называет число от 1 до 10, затем второй называет число от 1 до 10. Первый выигрывает, если сумма чисел чётна. Кто выигрывает при правильной игре (первый или второй) и как он должен играть? Тот же вопрос, если вместо суммы чисел вычисляют их произведение. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
108.Может ли сторона треугольника быть вдвое больше другой стороны и вдвое меньше третьей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
109.За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Доказать, что хотя бы у одного из сидящих оба соседа | мальчики. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
110.Что больше: общее количество цифр в числах 1, 2, 3, 4, . . . , 999, 1000 или количество нулей в числах 1, 2, 3, 4, . . . , 9999, 10000? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
111.Следующий текст получен из хорошо известного заменой каждой буквы на какую-то другую. Последнее слово пропущено. Восстановите его. -- Сагдау ра накя, сагдау ра накя? -- пудгэбуз Увнюв Сушванщэб, лсгецуе л цгяжюь сюсюзуь галлдэм цзуцюз нака ву шгувтаплдэм зуф. -- Е вя ьюца фюгьэг р сюняьдуж. -Фяшюгч вя сювез яцю рюлдзэтувэе э сючязуз яьа фючгюм вюбэ. -- Сгюдзеном чулагьув, -- сгюрюгбуз Лсэтов, пуданоруелщ р юфяезю. -- Вачвю яьа чозю лрябда накэнщ. Яьа чя жачя. Е лсунщ вя ьюца чяп юцве. -- Ьалщя, ьалщя, -сгюфюзчуз юв, -- чя ря уряд ра сугзя. -- Вю шгувтап вя юнрябуз э рлдюгя пужгусяз . . . Увнюв Сушванщэб пуьюзбуз, алнузюлнщ э рэввоя суго ьузю-сюьуза сгярюпьюцзэ яцю чюепзэрюлнщ, юв лнуз фгяьунщ, э рлдюгя цзачюдэм люв юрзуфяз эь люрягкяввю. Лнгуввюя цюнюрэзюлщ яьа сгючючфявэя. Юв барлнрюруз лдрюпщ люв, бню дню-ню нэжювщдю фягцуз яцю пу рюгюн гачукдэ. Увнюв Сушванщэб юндгоз цзупу э сгэ чзяфвюь лряня юляввяцю ангу арэфяз сягяф лючюм Фяшюгчу: шгувтап р юфвюм гадя фягчуз дугьуввом сэлнюзян, у фгацюи юнлняцэруз пурянваи лаьа. Увнюв Сушванэщэб ючьяг. -- Дялщ дя ля, ьалщя, дялщ дя ля, -- сгюэпвял юв нгясяхахэь цюзюлюь. -- Нэкя, ьюзбунщ, -- юнрябуз абэнязщ бэлноь галлдэь еподюь, -- ьюзбунщ эзэ ро сгюсузэ. ЕРесурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
112.x^2 + y^2 = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
113.Вычислите произведение, приведя подобные члены:
(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 )(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
114.Нарисовать те точки ⟨x, y⟩, для которых (а) x+x^2 = y+y^2 ; (б) x + x^3 = y + y^3 ; (в) x + |x| = y + |y|.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
115.(а) Найдите сумму всех чётных четырехзначных чисел. (б) Найдите сумму всех четырехзначных чисел, все цифры которых чётны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
116.Дальтоники не различают цветов. Могут ли они пользоваться светофором? Если да, то почему ГАИ неохотно выдаёт им права? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
117.В стакане с водой плавает кусочек льда. Как изменится уровень воды в стакане, когда лёд растает? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
118.Почему крышки канализационных люков делают круглыми, а не овальными или квадратными? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
119.При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
120.Квадрат разрезан на 5 прямоугольников, четыре из которых имеют по одному общем углу с квадратом и равновелики друг другу, а пятый находится внутри квадрата (не имея с ним общих кусков сторон). Докажите, что он будет квадратом.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
121.Некоторые целые числа объявлены хорошими, остальные -- плохими. Известно, что (а) если x хорошее, то x + 15 тоже хорошее; (б) если x плохое, то x + 6 тоже плохое. Сколько плохих чисел может быть среди чисел от 1 до 1000? Укажите все варианты и докажите, что других быть не может. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
122.Известно, что |x| = 5, |y| = 3. Какие значения может принимать |x + y|? Тот же вопрос для |x − y| и |x · y|. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
123.На прямой выбраны две точки A и B на расстоянии 10. Где на прямой может находиться точка C, если известно, что расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC? (Укажите все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
124.В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен 4. Доказать, что один из учеников получил четвёрку. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
125.[x] = [y]; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
126.(б) Тот же вопрос для суммы (1/1000) + (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/1995) + (1/1996). 2. Найдите самое большое натуральное число, при делении которого с остатком на 57 частное и остаток получаются равными. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
127.По кругу написаны 4 целых числа. Между каждыми двумя записывают абсолютную величину их разности, а исходные числа стирают. Так повторяют несколько раз. Доказать, что рано или поздно останутся одни нули.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
128.max(x, y) <= 2 (здесь max(x, y) | наибольшее из чисел x и y); Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
129.Половина симметричной U-образной трубки заполнена водой, половина -- подсолнечным маслом (до той же высоты). Что произойдёт, если открыть кран внизу трубки? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
130.Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых нечётны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
131.Может ли прямая пересекать все 11 сторон невыпуклого 11-угольника (не проходя через его вершины)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
132.Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 11 часов 20 минут? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
133.Можно ли из квадрата со стороной 1 вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 1996? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
134.В Москве живёт более 5 миллионов человек. Вася купил карту масштаба 1 : 100 000, расстелил её на земле и думает, что на неё встанут 50 человек (50 = 5 000 000/100 000). Прав ли он? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
135.Какое число (одно и то же) надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 36/91 , чтобы она превратилась в 4/9 ? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
136.Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
137.Простое число -- это число, которое не разлагается в произведение двух меньших целых чисел. (Например, 7 -простое число, а 10 = 2 × 5 -- нет.) Докажите, что полусумма двух соседних нечётных простых чисел -- составное число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
138.Три разбойника делят между собой большой пирог. Каждый из них мог бы разрезать пирог на три равные части, но остальные ему не доверяют. «Если бы нас было двое, -говорит один из разбойников, -- то один разрезал бы пирог на две части, а второй выбрал одну из частей, и каждый был бы уверен, что получил не меньше половины.» Предложите разбойникам способ поделить пирог так, чтобы каждый был уверен, что ему досталось не меньше трети.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
139.Сколько чисел от 00 до 99 содержат в своей записи цифру 3 и сколько не содержат? Сколько чисел от 000 до 999 содержат в своей записи цифру 3 и сколько не содержат? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
140.Учительница задала на дом задачу: проверить, делится ли некоторое число на 2, 3 и 6. На следующем уроке Вова сказал: «Я забыл, какое число задали, и делил другое, два раза остатка не было, на третий был». Учительница сказала:
«Ты ошибся». Почему она так сказала? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
141.Сократимы ли дроби: 39/57; 6/1357; 1363/1357=1*(6/1357)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
142.Двое пловцов одновременно начали плыть по 25-метровой дорожке бассейна со скоростями 1,4 м/с и 1,1 м/с. Доплывая до конца дорожки, каждый из пловцов поворачивает назад. Когда более быстрый пловец впервые обгонит более медленного (плывя в ту же сторону)? На каком расстоянии от места старта это произойдёт? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
143.Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
144.Вася влил стакан кислоты в банку с водой. Получился 10-процентный раствор кислоты в воде. Потом он добавил в раствор ещё один такой же стакан кислоты. Какой раствор получился в результате? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
145.В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы «четвертей квадратов», которые указывали значения (x^2) /4 для 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
146.Как измерить толщину нитки, имея катушку с ниткой, карандаш и линейку с сантиметровыми делениями? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
147.(а) Найдите положительное число (не обязательно целое), при делении которого на 15/8 и 21/10 в частном получаются целые числа. (б) Найдите наименьшее такое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
148.Доказать, что (a + b)^2 − (a − b)^2 = 4ab. Как выглядит соответствующая картинка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
149.Можно ли так расставить знаки в выражении:
±1 ± 2 ± 3 ± . . . ± 9 ± 10, чтобы получился нуль? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
150.Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 12 часов 20 минут? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
151.На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 8 клеток и высотой 6 клеток. Можно ли поставить в нём крестики так, чтобы (а) в каждой строке стояло 4 крестика, а в каждом столбце -- 3? (б) в каждой строке стояло 3 крестика, а в каждом столбце -- 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
152.Как изменится внутренний диаметр кольца (рис. 3) при нагревании?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
153.На прямой дороге стоят 6 домов на равных расстояниях друг от друга. В каком месте дороги надо сделать автобусную остановку, чтобы суммарное расстояние от неё до всех домов было бы как можно меньше? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
154.Грани куба 2 × 2 × 2 раскрашены в несколько цветов (каждый из четырёх квадратиков каждой грани -- в один из цветов). При этом квадратики, имеющие общую сторону (в том числе находящиеся на разных гранях) имеют разные цвета. Какое максимальное количество квадратиков одного цвета может быть? Какое минимальное число цветов может быть использовано?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
155.|x| = |y|; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
156.На столе в ряд стоят банки объёмом 1 литр, 1/2 литра, 1/3 литра, 1/4 литра, . . . , 1/100 литра. Первая из них полна воды, остальные пустые. Из первой банки переливают воду (сколько поместится) во вторую, затем из второй в третью, из третьей в четвёртую и т. д. (на последнем шаге последняя банка будет наполнена доверху). Сколько воды окажется в каждой из банок? Найти общее количество воды в первых 50 банках после всех переливаний. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
157.В каких пределах могут находиться сумма a + b, разность a−b, произведение a·b и частное a/b, если 6 < a < 7 и 2 < b < 3? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
158.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x| > 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
159.Окружность разделена точками на 99 дуг, из которых 3 имеют длину 3 см, ещё 3 имеют длину 2 см, и оставшиеся 3 имеют длину 1 см. Доказать, что какие-то две из точек деления диаметрально противоположны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
160.Какие значения может принимать сумма {x} + {−x}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
161.Делится ли на 7 сумма двух слагаемых, если (а) оба слагаемых делятся на 7; (б) ровно одно из них делится на 7? (в) ни одно из них не делится на 7? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
162.Продолжите последовательность: 4, 3, 3, 6, 4, 5, 4, 6, 6, 6, 11, . . . Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
163.Являются ли старейший художник среди шахматистов и старейший шахматист среди художников одним и тем же лицом -- или это не обязательно? Являются ли лучший шахматист среди художников и лучший художник среди шахматистов одним и тем же лицом? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
164.Сравните дроби: 1994/1995 и 1995/1996 Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
165.Доказать, что число 999991 составное (т. е. не простое). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
166.(б) Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 213? (Пятизначные числа -- это числа от 10000 до 99999.) 3. Автомат отрезает от помещённого в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 3 больших квадрата, 2 квадрата поменьше и 6 маленьких квадратов со стороной 1 см. Какой прямоугольник у него был? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
167.В треугольнике ABC взяли точку D на стороне BC, точку E на стороне AC и точку F на стороне AB. При этом AF = AE, BD = BF и CE = CD. Известно, что ∠ABC = 20 градусов. Найдите угол FED. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
168.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
169.Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 одинаковых ладей, не бьющих друг друга? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
170.Большой ящик заполнен мелкой картошкой. Другой столь же большой ящик заполнен ещё более мелкой картошкой. Как вы думаете, в каком из ящиков больше картошки (по весу)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
171.Собака преследует зайца, который находится на расстоянии 40 своих прыжков впереди собаки. Собака делает 7 прыжков за то же время, что заяц -- 9, но 3 прыжка собаки равносильны 5 прыжкам зайца. Сколько прыжков надо сделать собаке, чтобы догнать зайца? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
172.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
173.В классе 20 учеников. Было проведены две контрольные, за каждую из которых ставились отметки от 2 до 5 (не участвовавшие получили двойки). Докажите, что есть два ученика с одинаковыми результатами (по обеим контрольным). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
174.Машина проехала половину пути со скоростью v, а вторую половину со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
175.Целое число, большее 2, называется простым, если оно не разлагается в произведение двух меньших целых положительных чисел. Докажите, что число 999 991 -- не простое. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
176.Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab = 2, bc = 3, cd = 4, de = Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
177.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 1996. Вася вычеркнул каждое десятое число, считая от начала (т. е. 10, 20, 30, . . . ). После этого он вычеркнул каждое девятое число из оставшихся, затем каждое восьмое, каждое седьмое, . . . , каждое второе. Сколько чисел останется? Какое число будет стоять на последнем месте? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
178.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
179.Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
180.Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 25.Найдите уменьшаемое. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
181.Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
182.. . . 2x -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
183.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
184.Можно ли нарисовать пятиугольник и точку внутри него так, чтобы любая сторона пятиугольника была бы видна из неё под углом 70∘ ? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
185.x + y = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
186.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
187.Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
188.Найти сумму: [sqrt(1)] + [sqrt(2)] + [sqrt(3)] + . . . + [sqrt(10000)]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
189.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
190.. . . чётное число верных. 13. Точки A и B имеют координаты a и b. Найти координату точки C, делящей отрезок AB в отношении 2 : 3. 14. Нарисовать на числовой оси те точки x, для которых (x − 1)(x − 2) . . . (x − 9)(x − 10) > 0. Линейку повернули на 180 градусов и приложили к другой такой же. При этом точка 4 нижней линейки совпала с точкой 7 верхней, а точка 5 нижней совпала с точкой 6 верхней. Какое число находится напротив числа 10 на нижней линейке? Напротив числа x на нижней линейке? 16. При каких x точка с координатой x^2 находится правее точки с координатой x? 17. На сколько сдвинется середина отрезка на числовой оси, если один его конец неподвижен, а второй сдвинулся на 3 единицы? 18. На числовой оси находятся точки A, B, C, D. Петя нашел середины отрезков AB и CD, соединил их отрезком и взял середину этого отрезка. Вася сделал то же с отрезками AC и BD. Доказать, что Петя и Вася получили одну и ту же точку. 19. Нарисовать на числовой оси положительные числа, в десятичной записи которых первая цифра после запятой равна 3. 20. На числовой оси отмечены точки с координатами 0 и 1. Разрешается отметить середину отрезка, если его концы уже отмечены. Можно ли, соблюдая это правило, отметить точку с координатой 1/3?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
191.max(x, y) >= 2; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
192.(Продолжение) Доказать, что если расположение шашек симметрично относительно обеих диагоналей квадрата, то в центральной клетке стоит шашка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
193.Работа была поделена поровну между работниками в бригаде. После первого дня посчитали, сколько человек выполнило не менее 30% своей доли -- таких оказалось 70% всех работающих. Когда стали считать только тех, кто выполнил не менее 70% своей доли -- таких оказалось 30% работавших. Можно ли быть уверенным, что выполнена хотя бы треть работы? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
194.Японские названия некоторых годов по традиционному восточному календарю: каното уси (1901), хиноэ ума (1966), цутиноэ ума (1978), цутиното хицудзи (1979), каноэ сару (1980), хиноэ тора (1986), цутиното ми (1989), мидзуноэ ума (2002), мидзуното хицудзи (2003), хиноэ ума (2026). (а) Запишите названия годов 1991, 1993, 1997. (б) Через сколько лет наступит ближайший год хиноэ сару? каното ми? мидзуноэ уси?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
195.Боря и Игорь играют в такую игру. На столе лежат две кучки спичек по 7 спичек в каждой. Ходят по очереди. За один ход можно взять любое число спичек (хоть все), но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Боря начинает. Кто выиграет при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
196.На берегу реки крестьянин, волк, коза и капуста. Волк, оставленный с козой без крестьянина, её съедает -- в свою очередь, коза съедает капусту, оставшись с ней без присмотра. Как крестьянину перевезти всех на другой берег, если в лодку можно взять только один из трех объектов (за раз)?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
197.Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы двух точных квадратов. (Например, 5 хорошее, так как 5 = 2^2 + 1^2 , а 3 -- нет.) Доказать, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
198.Как замостить плоскость одинаковыми плитками, имеющими вид квадрата с отрезанным углом (рис. 7)? (Нарисуйте подробную схему укладки плит.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
199.По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
200.В пятирожковой люстре можно отдельно включать три и два рожка (двумя клавишами выключателя). Нарисуйте схему соединения люстры и выключателей с электросетью, учитывая, что из потолка в люстру идут 3 провода. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
201.Доказать, что сумма:
1/1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(1*2) + 1/(1*3) + ... + 1/(1*n) + ... + 1/((n - 1) * n) + 1/(1 * 2 * 3) + ... + 1/(1 * 2 * 3 ... n) (в знаменателях стоят все комбинации чисел от 1 до n, в которых числа не повторяются) равна n.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
202.Есть три карандаша и нитки. Сделайте из них «жёсткую» конструкцию, в которой карандаши не касались бы друг друга (даже через слой ниток), но удерживались бы нитками в определённом положении друг относительно друга.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
203.Сколько раз входит 2 в разложение на простые сомножители числа 100 · 101 · 102 · 103 · . . . · 199 · 200? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
204.Можно ли так расположить в пространстве три одинаковых кубика, чтобы сверху, сбоку и спереди была видна одна и та же фигура -- три квадрата, приложенных друг к другу сторонами (буквой «Г»)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
205.x + y = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
206.x = y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
207.Бассейн разделён перегородками на две равные части, к каждой из которых ведёт своя труба. Первая половина заполняется за t часов, вторая | за u часов. За сколько времени наполнят бассейн обе трубы, если перегородку снять? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
208.Как разделить 7 одинаковых яблок поровну между 12 людьми, если яблоки разрешается резать не более чем на 5 частей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
209.Разрежьте (а) тупоугольный треугольник; (б) квадрат на остроугольные треугольники.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
210.В строку написаны точные квадраты: 1, 4, 9, 16, . . . Под каждыми двумя числами написали их разность: 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16−9 = 7 и т. д. Доказать, что каждое следующая разность больше предыдущей на 2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
211.Обозначая дни недели от воскресенья до субботы числами 0, 1, 2, ... , 6, Вася придумал формулу:
день недели = 7 · {число/7}, которая годится, если первое число месяца было понедельником. Как надо её изменить, если первое число месяца было пятницей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
212.точка 1 лежит на числовой оси между точками x иy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
213.Нарисовать на числовой оси точки x, целая часть которых чётна. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
214.Имеются неверные чашечные весы (плечи неодинаковой длины, так что для равновесия на одну чашку надо класть больше, чем на другую), правильная килограммовая гиря и мешок сахарного песка. Как отвесить килограмм сахарного песка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
215.Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
216.Найти координаты точек, делящих отрезок [−1, 4] в отношении 2 : 3 и 3 : 4. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
217.Процессия движется из пункта А в пункт Б со скоростью 5 км/ч. Каждые полчаса высылаются гонцы в пункт Б, которые движутся со скоростью 20 км/ч. С какими интервалами прибывают гонцы в Б? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
218.Отгадайте закон и продолжите таблицу:
1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
219.На доске написано число 100. Таня и Оля ходят по очереди. За один ход разрешается уменьшить написанное на доске число на 1, 2 или 3. У кого получится отрицательное число, проиграл. Первой ходит Таня. Кто выиграет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
220.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
221.Петя стоит на балконе 2-го этажа, а Вася -- на балконе 5-го этажа того же дома. В некоторый момент они одновременно выкрикивают слово «раз». Оказалось, что Петя услышал васино слово немного раньше, чем Вася -- петино. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
222.Найдите минимальное целое число, большее 40 100 и являющееся точным квадратом (квадратом другого целого числа). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
223.При каких x точка с координатой x находится правее точки с координатой x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
224.Дима и Сэм играют в такую игру. Вначале ладья стоит в левом нижнем углу шахматной доски. Ходят по очереди. На каждом ходу ладью можно сдвинуть или вправо, или вверх (на любое число клеток). Проигрывает тот, кто не может сделать ход (ладья в правом верхнем углу). Первым ходит Дима. Кто выигрывает при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
225.В треугольнике ABC угол B равен 20 градусам, а угол C равен 40 градусам. Биссектриса AD угла A равна 2. Найти разность сторон BC − AB. (Подсказка: на стороне BC постройте точку E, для которой угол AEB равен 80 гардусам.)Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
226.Улитка ползла в течение 5 минут, всё время находясь под наблюдением. Каждый наблюдатель наблюдал за ней в течение 1 минуты, и за эту минуту она проползла ровно 1 метр. Могла ли улитка проползти 6 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
227.Земной шар обвязали по экватору верёвкой. Затем верёвку удлинили на метр и приподняли над экватором так, что образовалась щель постоянной ширины. Сможет ли в эту щель пролезть кошка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
228.Всегда ли верны формулы [[x + y] + z] = [x + [y + z]] и {{x + y} + z} = {x + {y + z}}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
229.Известно, что положительные числа x и y таковы, что x^4 = 37, y^3 = 15. Какое из чисел x и y больше и почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
230.Точку с координатами ⟨x, y⟩ отразили симметрично относительно оси OX, оси OY и относительно прямой x = y. Найти координаты трёх получившихся точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
231.Нарисовать на числовой оси точки x, дробная часть которых равна 1/3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
232.Замените во фразе:
'И ВСЕ ЖЕ ОН НЕ ПРАВ' каждую из десяти букв И, В, С, Е, Ж, О, Н, П, Р, А одной из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (разные буквы заменяются на разные цифры) так, чтобы все слова превратились в десятичные записи точных квадратов.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
233.Решить уравнение 2*|x − 1| = 3*|x − 7|. 10. Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. 11. Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? 12. Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? 13. Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. 14. Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. 15. Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? 16. На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? 17. По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? 18. Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
234.Сколькими способами можно поставить на шахматную доску (а) белую и черную ладьи, не бьющие друг друга? (б) две белые ладьи, не бьющие друг друга? (В чём разница между этими задачами?) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
235.Три черепахи участвовали в кроссе. Первая сказала:
«Я пришла к финишу раньше второй.». Вторая сказала: «Я пришла к финишу раньше третьей.» Третья сказала: «Я пришла к финишу раньше первой.» Как такое может быть? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
236.Проиллюстрировать формулу (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 , сложив квадрат со стороной a + b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
237.На окружности поставлено (в некотором порядке) 10 красных точек и 10 синих. Докажите, что число пар соседних красных точек равно числу пар соседних синих точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
238.(Продолжение.) Доказать, что произведение двух хороших чисел всегда хорошее. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
239.Нарисовать на числовой оси точки x, для которых x − − 1/3 -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
240.Посмотрите на ключ от своей квартиры. Объясните, как работает замок. Как Вы думаете, могут ли все замки в новом 500-квартирном доме (выпущенные одной фирмой) быть разными? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
241.По плоскости катают (без проскальзывания) кубик: вправо { вверх { влево { вниз { вправо { вверх { . . . Вернётся ли он в исходное положение, и если да, то через сколько раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
242.Найти координаты середины отрезка, если его концы имеют координаты x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
243.Профессор в командировке, а сын отца профессора пьёт дома чай с отцом сына профессора. Как такое может быть?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
244.Какое наименьшее количество карточек и какие именно нужно перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения «Если на одной стороне карточки четное число, то на другой -- гласная буква»? 4. Из Москвы во Владивосток ежедневно ровно в полночь (по московскому времени) выходит поезд, который идет ровно 6 суток. Из Владивостока в Москву ежедневно в полдень (по московскому времени) выходит поезд, который идет также 6 суток. Когда поезда встречаются, машинисты кричат «Ура!». (а) Сколько раз машинист кричит «Ура!» на пути из Москвы во Владивосток? (б) Сколько криков «Ура!» раздается в течение суток? Наконец, (в) сколько железнодорожных составов нужно, чтобы организовать такое движение? 5. У катушки внутренний диаметр равен 1 см, а внешний -- 2 см. Катушка катится со скоростью 30 см/с. С какой скоростью для этого человек должен тянуть конец нитки? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
245.Почему произведение двух нечётных чисел нечётно? 5. При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? 6. При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? 7. Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? 8. Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. 9. В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
246.На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: А, Б, 4, 5. Какое наименьшее количество карточек и какие именно нужно перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения «Если на одной стороне карточки четное число, то на другой -- гласная буква»? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
247.Найти (a + b + c)(a + b − c), (a + b + c)(a − b + c), (a + b − c)(a − b + c) (не пользуясь бумагой для промежуточных вычислений). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
248.В треугольнике ABC угол B равен 40 градусам, а угол C равен 20 градусам, разность сторон BC − AC равна 4. Найти длину биссектрисы угла A. (Подсказка: возьмите на стороне BC точку E, для которой угол AEB равен 100 градусам.)Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
249.Как расставить 5 бутылок по 6 подносам так, чтобы на каждом подносе было по одной бутылке? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
250.Чему равно e/a? 5. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 3 см; в результате его площадь увеличилась на 39 см2 . Найдите периметр исходного прямоугольника. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
251.Сумма углов треугольника всегда равна 180 . Чему равна сумма углов пятиугольника? Чему равна сумма углов пятиконечной звезды? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
252.Первое число равно 7. Чему может быть равно последнее число? 3. В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? 4. Квадратная площадь размера 50 × 50 метров выложена плитами размера 1 × 1 четырёх цветов -- белого, красного, синего и зелёного. При этом плиты одного цвета не лежат рядом и не имеют общего угла. Сколько красных плит на площади? 5. Стакан наполнили водой, накрыли картонкой и перевернули. Почему вода не выливается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
253.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
254.Резиновый шарик падает вертикально, крутясь вокруг горизонтальной оси. Отклонится ли он от вертикали, когда отскочит? Если да, до в какую сторону? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
255.Володя и Сева по очереди пишут кладут на прямоугольный стол круглые монеты (все монеты одинаковы). Уже лежащие монеты сдвигать нельзя; класть монету поверх других -- тоже. Кто не может положить монету так, чтобы она не упала со стола, проигрывает. Первым ходит Володя. Кто выигрывает при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
256.Может ли кот Леопольд подарить 10 мышатам конфеты, если он хочет, чтобы каждый получил хотя бы одну конфету, никакие два мышонка не получили одинакового числа конфет и всего у него (а) 15 конфет; (б) 50 конфет; (в) 100 конфет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
257.Выключатель имеет три контакта 1, 2 и 3 и два положения. В одном положении контакт 1 соединён с контактом 2, а в другом положении контакт 1 соединён с контактом 3. Как, имея два таких выключателя и много провода, сделать так, чтобы свет на лестнице можно было включать и выключать и сверху, и снизу? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
258.Мистер и миссис Смит по очереди переводят стрелку часов на два или три часа вперёд. Сначала стрелка показывала 1 час. Тот, после чьего хода стрелка показала 5 часов, считается победителем; другой считается проигравшим и идёт готовить чай. Верно ли, что мистеру Смиту не придётся готовить чай, если он уступит право первого хода миссис Смит и будет играть правильно? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
259.Четыре подряд идущих целых числа перемножили и к произведению прибавили 1. Доказать, что получился точный квадрат. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
260.Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
261.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x + 1| + |x + 2| = 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
262.Прямоугольник 7×9 разбит на клетки 1×1. Требуется закрасить 4 клетки, образующие квадрат 2 × 2. Сколькими разными способами можно выбрать такой квадрат? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
263.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x − 5| 6<=3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
264.Турист вышел из своей палатки, прошел 5 км на юг, 5 км на восток и 5 км на север, после чего снова оказался у своей палатки. Где такое могло произойти?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
265.(Продолжение) Могла ли она проползти 11 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
266.Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
267.Груз прицеплен к безмену, который висит на другом безмене. Сколько весит груз, если безмены показывают 300 и 500 граммов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
268.По кругу написано 30 чисел. Между каждыми двумя записали модуль их разности, а исходные числа стёрли. Доказать, что полученные 30 чисел можно разделить на две группы с равной суммой.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
269.В строку написаны 10 единиц подряд. Перед каждой из них (в том числе и перед первой) стоит плюс или минус. Какие числа могут получиться в сумме? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
270.Две вершины квадрата имеют координаты ⟨5, 0⟩ и ⟨0, 2⟩. Каковы координаты двух остальных вершин? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 15 задач по математике 7 класса. | 1.xy = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.Какое наибольшее число (а) ладей; (б) слонов можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
3.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
5.Доказать, что: [35/23] + [2 * (35/23)] + [3 * (35/23)] + ... + [22 * (35/23)] = [23/35] + [2 * (23/35)] + [3 * (23/35)] + ... + [35 * (23/35)].Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
6.Можно ли так расположить в пространстве три одинаковых кубика, чтобы сверху, сбоку и спереди была видна одна и та же фигура -- три квадрата, приложенных друг к другу сторонами (буквой «Г»)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
7.Посмотрите на ключ от своей квартиры. Объясните, как работает замок. Как Вы думаете, могут ли все замки в новом 500-квартирном доме (выпущенные одной фирмой) быть разными? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
8.В строчку написаны 10 чисел, причём сумма любых трёх соседних равна 15. Первое число равно 7. Чему может быть равно последнее число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
9.Найдите положительное целое число n, если известно, что: \n (n + 2)(n + 3)(n + 5)(n + 7) = 4158. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
10.Квадрат разрезан на 5 прямоугольников, четыре из которых имеют по одному общем углу с квадратом и равновелики друг другу, а пятый находится внутри квадрата (не имея с ним общих кусков сторон). Докажите, что он будет квадратом.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
11.Сократимы ли дроби: 39/57; 6/1357; 1363/1357=1*(6/1357)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
12.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
13.Двое лыжников шли друг за другом с постоянной скоростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров. (а) Начался более трудный участок, где на котором скорость лыжников стала 4 км/ч. Каково расстояние между лыжниками на этом участке? (б) Затем был лёгкий участок со скоростью 7 км/ч, затем очень трудный со скоростью 3 км/ч и, наконец, они вышли снова на участок со скоростью 6 км/ч. Каково расстояние между ними в этот момент? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
14.На окружности поставлено (в некотором порядке) 10 красных точек и 10 синих. Докажите, что число пар соседних красных точек равно числу пар соседних синих точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
15.У Димы было 7 картофелин, у Гриши было 5, а у Яши вообще не было. Они сварили картошку и разделили полученную тюрю поровну на троих. Благодарный Яша дал Диме с Гришей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
|
Создай 213 задач по математике 7 класса. | 1.Машина проехала половину пути со скоростью v, а вторую половину со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
2.Есть три карандаша и нитки. Сделайте из них «жёсткую» конструкцию, в которой карандаши не касались бы друг друга (даже через слой ниток), но удерживались бы нитками в определённом положении друг относительно друга.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
3.Написать формулу для (a + b)^3 и описать соответствующее ей разрезание куба со стороной a + b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.В четырёхугольнике ABCD продолжения противоположных сторон AB и CD пересекаются под углом 20 градусов; продолжения противоположных сторон BC и AD также пересекаются под углом в 20 градусов. Докажите, что два угла в этом четырёхугольнике равны, а два других отличаются на 40 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
5.Некоторые целые числа объявлены хорошими, остальные -- плохими. Известно, что (а) если x хорошее, то x + 15 тоже хорошее; (б) если x плохое, то x + 6 тоже плохое. Сколько плохих чисел может быть среди чисел от 1 до 1000? Укажите все варианты и докажите, что других быть не может. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
6.Собака преследует зайца, который находится на расстоянии 40 своих прыжков впереди собаки. Собака делает 7 прыжков за то же время, что заяц -- 9, но 3 прыжка собаки равносильны 5 прыжкам зайца. Сколько прыжков надо сделать собаке, чтобы догнать зайца? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
7.x^2 + y^2 = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
8.Турист вышел из своей палатки, прошел 5 км на юг, 5 км на восток и 5 км на север, после чего снова оказался у своей палатки. Где такое могло произойти?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
9.Сумма трех различных чисел (не обязательно целых) равна 10, а разница между большим и меньшим из них равна 2. Каким может быть среднее по величине число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
10.Володя и Лёша играют в крестики на доске 3 × 3 по таким правилам: ходят по очереди, ставя крестик в любую свободную клетку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход (некуда). Первым ходит Володя. Кто выиграет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
11.При всех целых x число ax^2 + bx + c целое. Можно ли утверждать, что числа a, b, c --- целые?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
12.Доказать, что (a + b)^2 − (a − b)^2 = 4ab. Как выглядит соответствующая картинка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
13.|x − 1| < 1/3; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
14.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
15.Машина проехала половину времени со скоростью v, а вторую половину | со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
16.За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Доказать, что хотя бы у одного из сидящих оба соседа | мальчики. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
17.Найдите минимальное целое число, большее 40 100 и являющееся точным квадратом (квадратом другого целого числа). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
18.Сколько нужно провести непересекающихся диагоналей в 100-угольнике, чтобы разрезать его на треугольники? Почему всегда получается одно и то же число диагоналей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
19.Найдите наименьшее целое число, большее 10100, которое является точным квадратом (квадратом другого целого числа). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
20.Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
21.max(x, y) >= 2; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
22.Река с параллельными прямыми берегами имеет ширину 100 метров. На одном из берегов реки есть пристань. Есть остров периметра 800 метров; других островов нет. Докажите, что можно доплыть от пристани до другого берега реки, проплыв не более 300 метров (минуя остров). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
23.Квадратное колесо катится по дороге. Нарисуйте траекторию его оси (находящейся в центре колеса). Из каких кривых она состоит? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
24.Сколько раз в сутки стрелки часов образуют прямой угол? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
25.Найти отношение a/e. 5. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 2 м; в результате его площадь увеличилась на 28 м^2 . Найдите периметр исходного прямоугольника. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
26.Каким днём недели было 6 апреля 1957 года? В году 365 дней, если он не високосный (366 дней); високосные годы -- это те, которые делятся на 4 (исключения бывают только в начале столетий). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
27.Какое число (одно и то же) надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 11/41 , чтобы она превратилась в 3/8? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
28.Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 одинаковых ладей, не бьющих друг друга? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
29.Найти координату середины отрезка, если его концы имеют координаты 17 и 33. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
30.В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
31.Можно ли разрезать шахматную доску без клеток a1 и h8 на прямоугольники 1 × 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
32.Всегда ли верны формулы [[x + y] + z] = [x + [y + z]] и {{x + y} + z} = {x + {y + z}}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
33.Можно ли нарисовать пятиугольник и точку внутри него так, чтобы любая сторона пятиугольника была бы видна из неё под углом 70∘ ? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
34.На сколько частей делят пространство плоскости, являющиеся гранями куба? тетраэдра (треугольного молочного пакета)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
35.Любую сумму денег, начиная с 8 копеек, можно уплатить пятаками и алтынами. Почему? (Пятак -- пять копеек, алтын -- три копейки; это старинные русские монеты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
36.На плоскости нарисовали треугольник и квадрат. Потом покрасили все точки, попадающие внутрь хотя бы одной из фигур. Может ли при этом получиться 7-угольник? 8-угольник? 13-угольник?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
37.Можно ли замостить плоскость одинаковыми (а) треугольниками; (б) четырехугольниками; (в) пятиугольниками; (г) шестиугольниками; (д) семиугольниками? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
38.Доказать, что (при всех x) [x] + [x + 1/n] + [x + 2/n] + . . . + [x + (n−1)/n] = [nx]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
39.На берегу реки крестьянин, волк, коза и капуста. Волк, оставленный с козой без крестьянина, её съедает -- в свою очередь, коза съедает капусту, оставшись с ней без присмотра. Как крестьянину перевезти всех на другой берег, если в лодку можно взять только один из трех объектов (за раз)?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
40.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
41.По кругу написаны 4 целых числа. Между каждыми двумя записывают абсолютную величину их разности, а исходные числа стирают. Так повторяют несколько раз. Доказать, что рано или поздно останутся одни нули.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
42.На прямой выбраны две точки A и B на расстоянии 10. Где на прямой может находиться точка C, если известно, что расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC? (Укажите все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
43.Правила хорошего тона запрещают женщине стоять первой в очереди, а мужчине стоять перед женщиной. Может ли в очереди, где все правила соблюдены, оказаться женщина? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
44.Что больше: общее количество цифр в числах 1, 2, 3, 4, . . . , 999, 1000 или количество нулей в числах 1, 2, 3, 4, . . . , 9999, 10000? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
45.Царь вызвал двух мудрецов, дал каждому из них карточку (так, чтобы другой её не видел), и сказал: «У каждого из вас на карточке написано целое положительное число, причём эти числа отличаются на единицу». После этого царь спросил первого мудреца: «Какое у второго число?». -- «Не знаю», -- ответил первый. Царь спросил второго: «А ты не знаешь, какое число у первого?». -- «И я не знаю», -- ответил второй. И снова спросил царь первого, и снова тот ответил, что не знает. После этого он спросил второго, и тот сказал, какое число у первого. Какие числа могли быть на карточках и как рассуждал второй?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
46.Прямоугольный город 5×7 разбит на квадратные кварталы 1 × 1. Мы хотим пройти из юго-западного угла в северо-восточный, идя на север и на восток. Все возможные пути имеют одинаковую длину. (Почему?) Сколько различных путей существует? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
47.Точку с координатами ⟨x, y⟩ повернули на 90 градусов вокруг точки ⟨0, 0⟩ против часовой стрелки. Найти координаты получившейся точки. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
48.Половина симметричной U-образной трубки заполнена водой, половина -- подсолнечным маслом (до той же высоты). Что произойдёт, если открыть кран внизу трубки? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
49.Может ли сторона треугольника быть вдвое больше другой стороны и вдвое меньше третьей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
50.На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: А, Б, 4, 5. Какое наименьшее количество карточек и какие именно нужно перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения «Если на одной стороне карточки четное число, то на другой -- гласная буква»? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
51.На плоскости нарисовано 1000 точек. Всегда ли можно провести прямую так, чтобы по каждую сторону от неё было ровно 500 точек? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
52.Целое число, большее 2, называется простым, если оно не разлагается в произведение двух меньших целых положительных чисел. Докажите, что число 999 991 -- не простое. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
53.Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
54.Как движется Солнце с точки зрения жителей Южного полушария -- слева направо или справа налево? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
55.Как расставить 5 бутылок по 6 подносам так, чтобы на каждом подносе было по одной бутылке? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
56.Доказать, что сумма кубов двух положительных целых чисел не может быть простым числом (за исключением единственного случая 1^3 + 1^3 = 2). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
57.Первое число равно 7. Чему может быть равно последнее число? 3. В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? 4. Квадратная площадь размера 50 × 50 метров выложена плитами размера 1 × 1 четырёх цветов -- белого, красного, синего и зелёного. При этом плиты одного цвета не лежат рядом и не имеют общего угла. Сколько красных плит на площади? 5. Стакан наполнили водой, накрыли картонкой и перевернули. Почему вода не выливается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
58.Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 25.Найдите уменьшаемое. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
59.Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы двух точных квадратов. (Например, 5 хорошее, так как 5 = 2^2 + 1^2 , а 3 -- нет.) Доказать, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
60.Лыжи обычно делают вогнутыми (середина лыжи приподнимается над землёй, когда концы стоят на земле), при этом среднюю часть лыжи обычно намазывают мазью, прилипающей к снегу, а концы -- мазью, хорошо скользящей по снегу. Зачем всё это делается?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
61.По шоссе в одном направлении, с постоянной скоростью и с равными интервалами идут автобусы. Однажды человек прошёл по шоссе 4 км и его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл (с той же скоростью) 6 км и его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов его обогнали?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
62.x^2 = y^2 ; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
63.Как измерить толщину нитки, имея катушку с ниткой, карандаш и линейку с сантиметровыми делениями? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
64.У Пети в комоде валяются 10 чёрных рукавиц (5 пар), 16 синих (8 пар) и 20 зелёных (10 пар). Сколько рукавиц надо достать не глядя, чтобы заведомо можно было выйти на улицу в рукавицах одного цвета? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
65.Вася знает, что [x] = 3, [y] = 4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти [x + y]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
66.Петя задумал число от 1 до 1000. Вася хочет узнать это число, задавая Пете вопросы, на которые возможны ответы «да» и «нет». Какие вопросы он должен задавать, чтобы гарантированно узнать задуманное число после 10 вопросов? Может ли он сделать то же самое, если список из 10 вопросов он должен составить заранее? ∘ Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
67.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
68.В Вестляндии 64 города. Докажите, что в каких-то трёх из них число дождливых дней в сентябре было одинаково. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
69.Вася закрыл правый глаз и смотрит в зеркало левым. Он видит муху, сидящую на зеркале, на фоне закрытого правого глаза. После этого он открыл правый глаз и закрыл левый. На фоне чего он теперь увидит муху (которая осталась в той же точке зеркала)? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
70.Доказать, что число 999991 составное (т. е. не простое). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
71.В Москве живёт более 5 миллионов человек. Вася купил карту масштаба 1 : 100 000, расстелил её на земле и думает, что на неё встанут 50 человек (50 = 5 000 000/100 000). Прав ли он? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
72.На прямой дороге стоят 6 домов на равных расстояниях друг от друга. В каком месте дороги надо сделать автобусную остановку, чтобы суммарное расстояние от неё до всех домов было бы как можно меньше? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
73.Проиллюстрировать формулу a^2 − b^2 = (a + b)(a − b), разрезав квадрат a × a с вырезанным углом b × b на две части, из которых можно сложить прямоугольник со сторонами a − b и a + b. (Достаточно одного прямого разреза.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
74.В треугольнике ABC угол A равен 60 градусов. Известно, что биссектриса угла A, медиана, проведённая из вершины B, и высота, опущенная из вершины C, пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник равносторонний. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
75.В турнире по крестикам-ноликам по олимпийской системе участвует миллион (1 000 000) игроков. Сколько партий будет сыграно в этом турнире? (В турнире по олимпийской системе проигравший выбывает.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
76.Есть несколько алмазов и мензурка с делениями. Как измерить суммарный объем всех алмазов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
77.Вася вычеркнул каждое десятое число, считая от начала (т. е. 10, 20, 30, . . . ). После этого он вычеркнул каждое девятое число из оставшихся, затем каждое восьмое, каждое седьмое, . . . , каждое второе. Сколько чисел останется? Какое число будет стоять на последнем месте? 2. Докажите равенство: (1/(1*199))+(1/(3*197))+(1/(5*195))+...+(1/(197*3))+(1/(199*1))=(1/100)*(1+(1/3)+(1/5)+...+(1/199)). 3. В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? 4. В треугольнике ABC угол A равен 60 градусов. Известно, что биссектриса угла A, медиана, проведённая из вершины B, и высота, опущенная из вершины C, пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник равносторонний. 5. На плоскости лежит картонный квадрат, который разрешается перекатывать через рёбра (при перекатывании ребро остаётся на месте, а квадрат переворачивается на другую сторону). После нескольких перекатываний квадрат вернулся в то же место плоскости. Докажите, что он оказался в прежнем положении (т. е. все его вершины оказались на исходных местах).Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
78.Вася влил стакан кислоты в банку с водой. Получился 10-процентный раствор кислоты в воде. Потом он добавил в раствор ещё один такой же стакан кислоты. Какой раствор получился в результате? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
79.Груз прицеплен к безмену, который висит на другом безмене. Сколько весит груз, если безмены показывают 300 и 500 граммов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
80.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
81.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
82.Имеется кирпич, карандаш, лист бумаги и линейка с делениями. Как найти найти длину большой диагонали кирпича (расстояние между противоположными вершинами)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
83.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
84.(x − y)(x + y)(y − 2x) >= 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
85.x + y = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
86.Среди любых трёх школьников 7а класса хотя бы один играет в компьютерные игры. Преподаватели решили выгнать всех, кто играет в компьютерные игры. Сколько школьников останется, если это решение выполнить?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
87.Вычислите произведение, приведя подобные члены:
(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 )(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
88.На прямой дорожке стоят несколько школьников. Вдоль неё ходит учитель физкультуры. По сигналу «Хоп!» каждый из школьников бежит к тому месту, где стоит учитель, а затем возвращается на своё место. Так повторяется несколько раз. Доказать, что наибольшее расстояние пробежал один из двух крайних школьников. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
89.В последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Могут ли в ней оказаться рядом (а) два чётных числа? (б) два числа, делящихся на 13? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
90.По плоскости катают (без проскальзывания) кубик: вправо { вверх { влево { вниз { вправо { вверх { . . . Вернётся ли он в исходное положение, и если да, то через сколько раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
91.Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
92.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x| > 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
93.Можно ли так расставить знаки в выражении:
±1 ± 2 ± 3 ± . . . ± 9 ± 10, чтобы получился нуль? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
94.Обозначая дни недели от воскресенья до субботы числами 0, 1, 2, ... , 6, Вася придумал формулу:
день недели = 7 · {число/7}, которая годится, если первое число месяца было понедельником. Как надо её изменить, если первое число месяца было пятницей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
95.Земной шар обвязали по экватору верёвкой. Затем верёвку удлинили на метр и приподняли над экватором так, что образовалась щель постоянной ширины. Сможет ли в эту щель пролезть кошка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
96.Квадратный пруд имеет сторону 500 метров. На одной из его сторон выбрана точка, отстоящая от одного угла на 200 метров и от другого угла на 300 метров. Нарисуйте точки, до которых можно дойти, пройдя не более 900 метров по суше. Из каких кривых состоит граница получившейся области? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
97.Можно ли прямолинейным разрезом поделить одновременно пополам прямоугольный кусок хлеба и лежащий на нем круглый кусок колбасы (рис. 2)? Сколькими способами это можно сделать? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
98.Доказать, что: [35/23] + [2 * (35/23)] + [3 * (35/23)] + ... + [22 * (35/23)] = [23/35] + [2 * (23/35)] + [3 * (23/35)] + ... + [35 * (23/35)].Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
99.(б) Тот же вопрос для суммы (1/1000) + (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/1995) + (1/1996). 2. Найдите самое большое натуральное число, при делении которого с остатком на 57 частное и остаток получаются равными. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
100.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
101.Улитка ползла в течение 5 минут, всё время находясь под наблюдением. Каждый наблюдатель наблюдал за ней в течение 1 минуты, и за эту минуту она проползла ровно 1 метр. Могла ли улитка проползти 6 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
102.Два пешехода вышли навстречу друг другу одновременно из пунктов А и Б. Каждый из них идёт с постоянной скоростью, и дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через час после начала движения. Когда они встретятся во второй раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
103.В каких пределах могут находиться сумма a + b, разность a−b, произведение a·b и частное a/b, если 6 < a < 7 и 2 < b < 3? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
104.По кругу стоят 10 корзин. При каких n можно разложить n яблок по этим корзинам так, чтобы количества яблок в соседних корзинах отличались ровно на 1?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
105.Сколько раз входит 2 в разложение на простые сомножители числа 100 · 101 · 102 · 103 · . . . · 199 · 200? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
106.В треугольнике ABC угол B равен 40 градусам, а угол C равен 20 градусам, разность сторон BC − AC равна 4. Найти длину биссектрисы угла A. (Подсказка: возьмите на стороне BC точку E, для которой угол AEB равен 100 градусам.)Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
107.Следующий текст получен из хорошо известного заменой каждой буквы на какую-то другую. Последнее слово пропущено. Восстановите его. -- Сагдау ра накя, сагдау ра накя? -- пудгэбуз Увнюв Сушванщэб, лсгецуе л цгяжюь сюсюзуь галлдэм цзуцюз нака ву шгувтаплдэм зуф. -- Е вя ьюца фюгьэг р сюняьдуж. -Фяшюгч вя сювез яцю рюлдзэтувэе э сючязуз яьа фючгюм вюбэ. -- Сгюдзеном чулагьув, -- сгюрюгбуз Лсэтов, пуданоруелщ р юфяезю. -- Вачвю яьа чозю лрябда накэнщ. Яьа чя жачя. Е лсунщ вя ьюца чяп юцве. -- Ьалщя, ьалщя, -сгюфюзчуз юв, -- чя ря уряд ра сугзя. -- Вю шгувтап вя юнрябуз э рлдюгя пужгусяз . . . Увнюв Сушванщэб пуьюзбуз, алнузюлнщ э рэввоя суго ьузю-сюьуза сгярюпьюцзэ яцю чюепзэрюлнщ, юв лнуз фгяьунщ, э рлдюгя цзачюдэм люв юрзуфяз эь люрягкяввю. Лнгуввюя цюнюрэзюлщ яьа сгючючфявэя. Юв барлнрюруз лдрюпщ люв, бню дню-ню нэжювщдю фягцуз яцю пу рюгюн гачукдэ. Увнюв Сушванщэб юндгоз цзупу э сгэ чзяфвюь лряня юляввяцю ангу арэфяз сягяф лючюм Фяшюгчу: шгувтап р юфвюм гадя фягчуз дугьуввом сэлнюзян, у фгацюи юнлняцэруз пурянваи лаьа. Увнюв Сушванэщэб ючьяг. -- Дялщ дя ля, ьалщя, дялщ дя ля, -- сгюэпвял юв нгясяхахэь цюзюлюь. -- Нэкя, ьюзбунщ, -- юнрябуз абэнязщ бэлноь галлдэь еподюь, -- ьюзбунщ эзэ ро сгюсузэ. ЕРесурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
108.Нарисуйте фигуру из 11 точек и нескольких отрезков между ними так, чтобы каждая точка была соединена ровно с двумя другими. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
109.(а) Найдите минимальное пятизначное число, делящееся на 21Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
110.Решить уравнение 2*|x − 1| = 3*|x − 7|. 10. Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. 11. Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? 12. Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? 13. Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. 14. Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. 15. Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? 16. На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? 17. По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? 18. Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
111.x + y = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
112.Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 12 часов 20 минут? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
113.x = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
114.Точку с координатой x сдвинули на 5 единиц вправо. Какова её координата теперь? 2 Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
115.Известно, что (n + 3)(n + 5)(n + 7)(n + 11) = 4095 и что n -- целое положительное число. Найдите его. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
116.Вася тренируется на катке. Он положил три шайбы в вершины треугольника, а затем бьёт по одной из шайб так, чтобы она (двигаясь по прямой) прошла в ворота, образуемые двумя другими шайбами. Могут ли после 7 бросков все три шайбы оказаться в прежних местах? Могут ли они после 7 бросков оказаться в вершинах того же треугольника? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
117.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 1996. Вася вычеркнул каждое десятое число, считая от начала (т. е. 10, 20, 30, . . . ). После этого он вычеркнул каждое девятое число из оставшихся, затем каждое восьмое, каждое седьмое, . . . , каждое второе. Сколько чисел останется? Какое число будет стоять на последнем месте? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
118.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
119.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
120.Вычислите произведение, приведя подобные члены:
(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 )(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
121.Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющих равное число знакомых в этой компании. (Знакомства симметричны: если А знаком с Б, то Б знаком с А.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
122.Известно, что положительные числа x и y таковы, что x^4 = 37, y^3 = 15. Какое из чисел x и y больше и почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
123.Из утверждений «x > 1», «x > 2», «x > 3», «x > 4», «x > 5» три верных и два неверных. Какие? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
124.Почему произведение двух нечётных чисел нечётно? 5. При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? 6. При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? 7. Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? 8. Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. 9. В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
125.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) > 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
126.xy = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
127.В строку написаны 10 единиц подряд. Перед каждой из них (в том числе и перед первой) стоит плюс или минус. Какие числа могут получиться в сумме? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
128.Полученное число всегда делится на 7, 13 и на 111. Почему? 3. Можно ли из квадрата со стороной 1 вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 1996? 4. Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков, кубик за кубиком. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика? 5. Имеется кирпич, карандаш, лист бумаги и линейка с делениями. Как найти найти длину большой диагонали кирпича (расстояние между противоположными вершинами)? 6. Миша горько плачет: «Ну почему мне так не повезло с днём рождения! Я уж и не помню, что мне дарили в прошлый раз . . . » В чём его беда?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
129.Петя стоит на балконе 2-го этажа, а Вася -- на балконе 5-го этажа того же дома. В некоторый момент они одновременно выкрикивают слово «раз». Оказалось, что Петя услышал васино слово немного раньше, чем Вася -- петино. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
130.Мистер и миссис Смит по очереди переводят стрелку часов на два или три часа вперёд. Сначала стрелка показывала 1 час. Тот, после чьего хода стрелка показала 5 часов, считается победителем; другой считается проигравшим и идёт готовить чай. Верно ли, что мистеру Смиту не придётся готовить чай, если он уступит право первого хода миссис Смит и будет играть правильно? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
131.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
132.Любая из сторон первого треугольника больше любой стороны второго треугольника, а площадь второго больше площади первого. Может ли так быть? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
133.Как изменится внутренний диаметр кольца (рис. 3) при нагревании?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
134.Отгадайте закон и продолжите таблицу:
1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
135.По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
136.Имеются неверные чашечные весы (плечи неодинаковой длины, так что для равновесия на одну чашку надо класть больше, чем на другую), правильная килограммовая гиря и мешок сахарного песка. Как отвесить килограмм сахарного песка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
137.Две вершины квадрата имеют координаты ⟨5, 0⟩ и ⟨0, 2⟩. Каковы координаты двух остальных вершин? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
138.Бизнесмен договорился о партии в шахматы по переписке с двумя гроссмейстерами. Он похваляется своему приятелю: «Ну уж у одного я точно выиграю. В крайнем случае, будут две ничьи». Почему он в этом так уверен?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
139.Четыре подряд идущих целых числа перемножили и к произведению прибавили 1. Доказать, что получился точный квадрат. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
140.(а) Найдите сумму всех чётных четырехзначных чисел. (б) Найдите сумму всех четырехзначных чисел, все цифры которых чётны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
141.Можно ли из квадрата со стороной 1 вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 1996? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
142.Точки A и B имеют координаты 1 и 7. Найти координату точки C, если расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC. (Указать все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
143.Из города А в город Б ведут 2 дороги, из города Б в город В ведут 3 дороги, из города В в город Г ведут 7 дорог. Сколько различных маршрутов ведут из А в В через Б? Сколько различных маршрутов ведут из А в Г через Б и В? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
144.В пятирожковой люстре можно отдельно включать три и два рожка (двумя клавишами выключателя). Нарисуйте схему соединения люстры и выключателей с электросетью, учитывая, что из потолка в люстру идут 3 провода. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
145.Продолжите последовательность: 4, 3, 3, 6, 4, 5, 4, 6, 6, 6, 11, . . . Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
146.Бассейн разделён перегородками на две равные части, к каждой из которых ведёт своя труба. Первая половина заполняется за t часов, вторая | за u часов. За сколько времени наполнят бассейн обе трубы, если перегородку снять? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
147.Что случится с периметром и площадью прямоугольника, если одну его сторону увеличить на 10 процентов, а другую уменьшить на 10 процентов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
148.На конце верёвки сделаны петли, надетые на запястья (не туго, но с рук они не снимаются). Можно ли, не развязывая верёвку (и тем самым не снимая её с рук), завязать на ней узел?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
149.Существует ли такое x, что [x] + [2x] + [3x] + [4x] = 99? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
150.На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
151.Можно ли разрезать фигуру, изображенную на рис. 1, на две, на три и на четыре одинаковые части? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
152.Почему не горит бумажная коробочка, в которой кипятят воду? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
153.Почему крышки канализационных люков делают круглыми, а не овальными или квадратными? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
154.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 57. Разрешается заменить любые два числа на их сумму или разность, пока не останется одно число. Может ли это число быть нулём? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
155.Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab = = 3, bc = 2, cd = 4, de = Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
156.На плоскости нарисовано несколько окружностей, любые две из которых пересекаются. Докажите, что такую фигуру можно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги, не проходя ни по одному участку дважды и не пропустив ни одного участка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
157.Можно ли так написать на шести гранях кубика числа от 1 до 6, чтобы числа на соседних гранях не были соседними (то есть отличались бы на 2 или больше)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
158.Три черепахи участвовали в кроссе. Первая сказала:
«Я пришла к финишу раньше второй.». Вторая сказала: «Я пришла к финишу раньше третьей.» Третья сказала: «Я пришла к финишу раньше первой.» Как такое может быть? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
159.Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
160.Двое хотят перейти прямую канаву шириной 4 метра. На краю они нашли две прочные доски длиной 3, 5 метра каждая. Как им перейти на другую сторону? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
161.Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
162.Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
163.У Васи в комоде лежат 10 черных, 16 синих и 20 зелёных носков. Сколько носков надо достать не глядя, чтобы среди них заведомо была пара носков одного цвета? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
164.Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте. (а) Сколько кусочков получилось? (б) Два из этих кусочков имели длину 9 см и 4 см. Какова длина верёвки? Укажите все возможности. (Режут не на сгибе и сразу все нити.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
165.Внутри квадрата размером 1 × 1 поставлено 105 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не больше 0,2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
166.Все кости домино расположили в цепь. Доказать, что на концах цепи стоят равные цифры. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
167.Улитка каждые 15 минут поворачивает на 90 градусов (а в промежутках ползёт по прямой). Доказать, что она может вернуться в исходную точку лишь через целое число часов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
168.На следующем уроке Вова сказал: «Я забыл, какое число задали, и делил другое, два раза остатка не было, на третий был». Учительница сказала:
«Ты ошибся». Почему она так сказала? 2. Делится ли на 7 сумма двух слагаемых, если (а) оба слагаемых делятся на 7; (б) ровно одно из них делится на 7? (в) ни одно из них не делится на 7? 3. У числа 100! = 1·2·. . .·99·100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и так поступали до тех пор, пока не получили число из одной цифры. Что это за число? 4. Целое число, большее 2, называется простым, если оно не разлагается в произведение двух меньших целых положительных чисел. Докажите, что число 999 991 -- не простое. 5. Почему трамвайные провода идут не прямо, а зигзагом? Что плохого было бы, если пустить их ровно? (Указание: с троллейбусом этой проблемы нет.) 6. Можно ли расположить 6 длинных круглых карандашей так, чтобы каждый из них касался всех остальных?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
169.Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
170.Если к произведению двух целых чисел, отличающихся на 2, прибавить единицу, то получится точный квадрат (например, 4 · 6 + 1 = 5^2 ). Почему? Простое число | это целое число, большее 1, которое нельзя представить как произведение двух меньших целых положительных чисел. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
171.(x − y)(x + y)(y − 2x) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
172.Найти сумму:
(1/(1*2))+(1/(2*3))+(1/(3*4))+...+(1/(99*100)) (Указание: начните складывать.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
173.Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в три раза? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
174.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x − 5| 6<=3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
175.Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
176.Сколько чисел от 00 до 99 содержат в своей записи цифру 3 и сколько не содержат? Сколько чисел от 000 до 999 содержат в своей записи цифру 3 и сколько не содержат? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
177.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
178.Все грани кубика размером 3 × 3 × 3 покрасили. Потом его разрезали на 27 кубиков размером 1 × 1 × 1. Сколько при этом получилось кубиков со всеми неокрашенными гранями? с одной окрашенной гранью? с двумя окрашенными гранями? с тремя окрашенными гранями? с четырьмя окрашенными гранями? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
179.max(x, y) <= 2 (здесь max(x, y) | наибольшее из чисел x и y); Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
180.Прямоугольник 7×9 разбит на клетки 1×1. Требуется закрасить 4 клетки, образующие квадрат 2 × 2. Сколькими разными способами можно выбрать такой квадрат? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
181.Простое число -- это число, которое не разлагается в произведение двух меньших целых чисел. (Например, 7 -простое число, а 10 = 2 × 5 -- нет.) Докажите, что полусумма двух соседних нечётных простых чисел -- составное число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
182.На доске написано число 100. Таня и Оля ходят по очереди. За один ход разрешается уменьшить написанное на доске число на 1, 2 или 3. У кого получится отрицательное число, проиграл. Первой ходит Таня. Кто выиграет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
183.x^2 + y^2 = 2xy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
184.(Продолжение) Доказать, что если расположение шашек симметрично относительно обеих диагоналей квадрата, то в центральной клетке стоит шашка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
185.Идя навстречу трамваям, пешеход встречал их каждые 5 минут, идя в одну с ними сторону | каждые 7. Как часто он будет их встречать, стоя на месте? (Трамваи движутся с постоянной скоростью и с одинаковыми интервалами. Скорость пешехода также постоянна.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
186.Какие значения может принимать сумма [x] + [−x]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
187.Может ли шахматный конь обойти все 9 полей доски 3 × 3? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
188.Доказать, что [[x/y]/z] = [x/(yz)] для любых положительных целых x, y, z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
189.Чему равно e/a? 5. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 3 см; в результате его площадь увеличилась на 39 см2 . Найдите периметр исходного прямоугольника. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
190.Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 11 часов 20 минут? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
191.(а) Найдите положительное число (не обязательно целое), при делении которого на 10/21 и 4/15 в частном получаются целые числа. (б) Найдите наименьшее такое число.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
192.Вася приходит на станцию метро в случайное время и садится в первый пришедший поезд (либо в одну сторону -в школу, либо в другую -- в кино). Хотя поезда ходят точно по расписанию, и в обе стороны идет примерно одинаковое число поездов, получается так, что Вася в школу попадает в среднем в три раза реже, чем в кино. Как так может быть?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
193.Какие значения может принимать сумма {x} + {−x}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
194.Известно, что a/b = c/d. Докажите, что (a − b)/(a + b) = (c − d)/(c + d). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
195.Сумма углов треугольника всегда равна 180 . Чему равна сумма углов пятиугольника? Чему равна сумма углов пятиконечной звезды? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
196.Написать выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
197.[x] = [y]; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
198.Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
199.(б) Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 213? (Пятизначные числа -- это числа от 10000 до 99999.) 3. Автомат отрезает от помещённого в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 3 больших квадрата, 2 квадрата поменьше и 6 маленьких квадратов со стороной 1 см. Какой прямоугольник у него был? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
200.Каких чисел больше среди чисел от 1 до 1000 | чётных или нечётных? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
201.Вершины треугольника имеют координаты ⟨0, 0⟩, ⟨3, 5⟩ и ⟨5, 8⟩. Какова его площадь? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
202.Маховик подвешен на двух нитках, намотанных на ось. Его отпускают, и он движется вниз, раскручиваясь. Дойдя донизу, он начинает подниматься вверх. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
203.Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте. (Режут не на сгибе и сразу все нити.) (а) Сколько кусочков получилось? (б) Два из этих кусочков имели длину 7 см и 3 см. Какова длина верёвки? Укажите все возможности. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
204.Не пользуясь калькулятором, скажите, какая из дробей:
13/21 и 21/34 больше. Можете ли вы указать дробь, которая по величине находится между ними? Обыкновенную дробь m/n называют сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число (большее 1). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
205.Доказать, что при положительном целом n число n2 + n не может быть точным квадратом. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
206.При проигрывании магнитофонной кассеты плёнка движется с постоянной скоростью (4,77 см/с). Какая из втулок кассеты крутится быстрее -- приёмная или подающая? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
207.Ветер дует на север. В какую сторону развевается флаг, закреплённый на воздушном шаре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
208.Можно ли нарисовать многоугольник и точку внутри него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
209.Как разделить 7 одинаковых яблок поровну между 12 людьми, если яблоки разрешается резать не более чем на 5 частей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
210.. . . x/2 -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
211.На квадратной доске 7 × 7 расставлено 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали квадрата. Доказать, что одна из шашек стоит на этой диагонали. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
212.Нарисовать на числовой оси те точки x, для которых среди неравенств x > 1, x > 2, . . . , x > 9, x > 10 ровно три верных. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
213.Известно, что |x| = 5, |y| = 3. Какие значения может принимать |x + y|? Тот же вопрос для |x − y| и |x · y|. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 5 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.Почему произведение двух нечётных чисел нечётно? 5. При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? 6. При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? 7. Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? 8. Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. 9. В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.(Продолжение) Доказать, что если расположение шашек симметрично относительно обеих диагоналей квадрата, то в центральной клетке стоит шашка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.На квадратной доске 7 × 7 расставлено 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали квадрата. Доказать, что одна из шашек стоит на этой диагонали. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 4 задач по математике 7 класса. | 1.По окружности написано несколько чисел. Среди произведений соседних чисел ровно 5 отрицательных. Доказать, что одно из чисел равно 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Чему может быть равно последнее число? 3. В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? 4. Квадратная площадь размера 50 × 50 метров выложена плитами размера 1 × 1 четырёх цветов -- белого, красного, синего и зелёного. При этом плиты одного цвета не лежат рядом и не имеют общего угла. Сколько красных плит на площади? 5. Стакан наполнили водой, накрыли картонкой и перевернули. Почему вода не выливается? 6. Бизнесмен заключил с чёртом следующее соглашение:
каждый день бизнесмен даёт чёрту одну купюру, а взамен получает любое (указанное бизнесменом) число купюр меньшего достоинства. Может ли бизнесмен бесконечно долго выполнять свои обязательства, если другого источника денежных купюр у него нет?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
3.Перемножить: (1 + x)(1 + x^2 )(1 + x^4 )(1 + x^8 )(1 + x^16 ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.В треугольнике ABC на стороне AB взята точка D, а на стороне AC взята точка E. При этом отрезок DE параллелен BC и равен по длине отрезку EC. Найдите угол ABC, если углы BAC и BCD равны соответственно 55 градусов и 25 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 57. Разрешается заменить любые два числа на их сумму или разность, пока не останется одно число. Может ли это число быть нулём? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.По кругу написаны 4 целых числа. Между каждыми двумя записывают абсолютную величину их разности, а исходные числа стирают. Так повторяют несколько раз. Доказать, что рано или поздно останутся одни нули.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.По окружности написано несколько чисел. Среди произведений соседних чисел ровно 5 отрицательных. Доказать, что одно из чисел равно 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.Окружность разделена точками на 99 дуг, из которых 3 имеют длину 3 см, ещё 3 имеют длину 2 см, и оставшиеся 3 имеют длину 1 см. Доказать, что какие-то две из точек деления диаметрально противоположны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.(Продолжение) Доказать, что если расположение шашек симметрично относительно обеих диагоналей квадрата, то в центральной клетке стоит шашка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
7.Все кости домино расположили в цепь. Доказать, что на концах цепи стоят равные цифры. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 9 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.x + y = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.Две вершины квадрата имеют координаты ⟨5, 0⟩ и ⟨0, 2⟩. Каковы координаты двух остальных вершин? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.x + y = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.точка 1 лежит на числовой оси между точками x иy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.Точку с координатами ⟨x, y⟩ отразили симметрично относительно оси OX, оси OY и относительно прямой x = y. Найти координаты трёх получившихся точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.|x − 1| < 1/3; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.x^2 = y^2 ; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
8.(x − y)(x + y)(y − 2x) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
9.x > y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 9 задач по математике 7 класса по теме "Целая часть". | 1.Доказать, что: [35/23] + [2 * (35/23)] + [3 * (35/23)] + ... + [22 * (35/23)] = [23/35] + [2 * (23/35)] + [3 * (23/35)] + ... + [35 * (23/35)].Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
2.Доказать, что [[x/y]/z] = [x/(yz)] для любых положительных целых x, y, z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
3.Написать выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
4.Доказать, что (при всех x) [x] + [x + 1/n] + [x + 2/n] + . . . + [x + (n−1)/n] = [nx]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
5.Обозначая дни недели от воскресенья до субботы числами 0, 1, 2, ... , 6, Вася придумал формулу:
день недели = 7 · {число/7}, которая годится, если первое число месяца было понедельником. Как надо её изменить, если первое число месяца было пятницей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
6.Нарисовать на числовой оси те числа x, для которых [x] = [x + 2/3]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
7.Написать формулы для частного и остатка при делении двух целых положительных чисел с остатком (формулы должны использовать арифметические операции и знак целой части). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
8.Всегда ли верны формулы [[x + y] + z] = [x + [y + z]] и {{x + y} + z} = {x + {y + z}}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
9.Какие значения может принимать сумма {x} + {−x}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
|
Создай 1 задач по математике 7 класса. | 1.Проделайте в тетрадном листе отверстие, в которое может пролезть человек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
|
Создай 9 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x − 5| 6<=3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.На прямой дорожке стоят несколько школьников. Вдоль неё ходит учитель физкультуры. По сигналу «Хоп!» каждый из школьников бежит к тому месту, где стоит учитель, а затем возвращается на своё место. Так повторяется несколько раз. Доказать, что наибольшее расстояние пробежал один из двух крайних школьников. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Дима считает, что |−a| при a < 0 равно a, а Володя | что −a. Кто из них прав? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
7.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
8.Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
9.Точки A и B имеют координаты 1 и 7. Найти координату точки C, если расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC. (Указать все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Целая часть". | 1.Какие значения может принимать сумма {x} + {−x}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
2.Нарисовать на числовой оси те числа x, для которых [x] = [x + 2/3]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
3.Доказать, что (при всех x) [x] + [x + 1/n] + [x + 2/n] + . . . + [x + (n−1)/n] = [nx]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
4.Существует ли такое x, что [x] + [2x] + [3x] + [4x] = 99? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
5.Найти сумму: [sqrt(1)] + [sqrt(2)] + [sqrt(3)] + . . . + [sqrt(10000)]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
6.Нарисовать на числовой оси точки x, целая часть которых чётна. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
7.Нарисовать на числовой оси точки x, дробная часть которых равна 1/3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
|
Создай 1 задач по математике 7 класса. | 1.Купец продал кафтан покупателю за 10 рублей. У него не было сдачи с 25 рублей, и он разменял 25-рублевую купюру покупателя у соседа. Покупатель ушел. Сосед приходит: «Бумажка фальшивая». Пришлось купцу дать настоящую. Что потерял купец? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Графики движений". | 1.По шоссе в одном направлении, с постоянной скоростью и с равными интервалами идут автобусы. Однажды человек прошёл по шоссе 4 км и его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл (с той же скоростью) 6 км и его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов его обогнали?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
2.Улитка ползла в течение 5 минут, всё время находясь под наблюдением. Каждый наблюдатель наблюдал за ней в течение 1 минуты, и за эту минуту она проползла ровно 1 метр. Могла ли улитка проползти 6 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
3.Машина проехала половину времени со скоростью v, а вторую половину | со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.Идя навстречу трамваям, пешеход встречал их каждые 5 минут, идя в одну с ними сторону | каждые 7. Как часто он будет их встречать, стоя на месте? (Трамваи движутся с постоянной скоростью и с одинаковыми интервалами. Скорость пешехода также постоянна.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
5.Два пешехода вышли навстречу друг другу одновременно из пунктов А и Б. Каждый из них идёт с постоянной скоростью, и дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через час после начала движения. Когда они встретятся во второй раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
6.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
|
Создай 333 задач по математике 7 класса. | 1.Земной шар обвязали по экватору верёвкой. Затем верёвку удлинили на метр и приподняли над экватором так, что образовалась щель постоянной ширины. Сможет ли в эту щель пролезть кошка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
2.Доказать, что число 999991 составное (т. е. не простое). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
3.Может ли кот Леопольд подарить 10 мышатам конфеты, если он хочет, чтобы каждый получил хотя бы одну конфету, никакие два мышонка не получили одинакового числа конфет и всего у него (а) 15 конфет; (б) 50 конфет; (в) 100 конфет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
4.(а) Докажите, что сумма дробей (1/1000) + (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/1999) + (1/2000) не меньше 1/Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
5.На следующем уроке Вова сказал: «Я забыл, какое число задали, и делил другое, два раза остатка не было, на третий был». Учительница сказала:
«Ты ошибся». Почему она так сказала? 2. Делится ли на 7 сумма двух слагаемых, если (а) оба слагаемых делятся на 7; (б) ровно одно из них делится на 7? (в) ни одно из них не делится на 7? 3. У числа 100! = 1·2·. . .·99·100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и так поступали до тех пор, пока не получили число из одной цифры. Что это за число? 4. Целое число, большее 2, называется простым, если оно не разлагается в произведение двух меньших целых положительных чисел. Докажите, что число 999 991 -- не простое. 5. Почему трамвайные провода идут не прямо, а зигзагом? Что плохого было бы, если пустить их ровно? (Указание: с троллейбусом этой проблемы нет.) 6. Можно ли расположить 6 длинных круглых карандашей так, чтобы каждый из них касался всех остальных?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
6.max(x, y) <= 2 (здесь max(x, y) | наибольшее из чисел x и y); Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.Квадрат разрезан на 5 прямоугольников, четыре из которых имеют по одному общем углу с квадратом и равновелики друг другу, а пятый находится внутри квадрата (не имея с ним общих кусков сторон). Докажите, что он будет квадратом.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
8.На прямой выбраны две точки A и B на расстоянии 10. Где на прямой может находиться точка C, если известно, что расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC? (Укажите все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
9.Целое число, большее 2, называется простым, если оно не разлагается в произведение двух меньших целых положительных чисел. Докажите, что число 999 991 -- не простое. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
10.(Продолжение) Могла ли она проползти 11 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
11.На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: А, Б, 4, 5. Какое наименьшее количество карточек и какие именно нужно перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения «Если на одной стороне карточки четное число, то на другой -- гласная буква»? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
12.Среди любых трёх школьников 7а класса хотя бы один играет в компьютерные игры. Преподаватели решили выгнать всех, кто играет в компьютерные игры. Сколько школьников останется, если это решение выполнить?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
13.Вася приходит на станцию метро в случайное время и садится в первый пришедший поезд (либо в одну сторону -в школу, либо в другую -- в кино). Хотя поезда ходят точно по расписанию, и в обе стороны идет примерно одинаковое число поездов, получается так, что Вася в школу попадает в среднем в три раза реже, чем в кино. Как так может быть?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
14.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 1996. Вася вычеркнул каждое десятое число, считая от начала (т. е. 10, 20, 30, . . . ). После этого он вычеркнул каждое девятое число из оставшихся, затем каждое восьмое, каждое седьмое, . . . , каждое второе. Сколько чисел останется? Какое число будет стоять на последнем месте? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
15.Каким днём недели было 6 апреля 1957 года? В году 365 дней, если он не високосный (366 дней); високосные годы -- это те, которые делятся на 4 (исключения бывают только в начале столетий). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
16.Некоторые целые числа объявлены хорошими, остальные -- плохими. Известно, что (а) если x хорошее, то x + 15 тоже хорошее; (б) если x плохое, то x + 6 тоже плохое. Сколько плохих чисел может быть среди чисел от 1 до 1000? Укажите все варианты и докажите, что других быть не может. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
17.Нарисовать на числовой оси точки x, для которых x − − 1/3 -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
18.В строку написаны точные квадраты: 1, 4, 9, 16, . . . Под каждыми двумя числами написали их разность: 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16−9 = 7 и т. д. Доказать, что каждое следующая разность больше предыдущей на 2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
19.Передние покрышки у автомобиля стираются через 25000 км пути, а задние через 15000 км пути. Сколько можно проехать, если вовремя поменять покрышки местами, чтобы они стёрлись одновременно? В какой момент их нужно менять? (Считается, что в передних и задних колёсах стирается одна и та же часть покрышки, причём стирается она равномерно.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
20.Вася влил стакан кислоты в банку с водой. Получился 10-процентный раствор кислоты в воде. Потом он добавил в раствор ещё один такой же стакан кислоты. Какой раствор получился в результате? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
21.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
22.Можно ли замостить плоскость одинаковыми (а) треугольниками; (б) четырехугольниками; (в) пятиугольниками; (г) шестиугольниками; (д) семиугольниками? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
23.Двое хотят перейти прямую канаву шириной 4 метра. На краю они нашли две прочные доски длиной 3, 5 метра каждая. Как им перейти на другую сторону? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
24.Резиновый шарик падает вертикально, крутясь вокруг горизонтальной оси. Отклонится ли он от вертикали, когда отскочит? Если да, до в какую сторону? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
25.Можно ли разрезать фигуру, изображенную на рис. 1, на две, на три и на четыре одинаковые части? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
26.Можно ли так расставить знаки в выражении:
±1 ± 2 ± 3 ± . . . ± 9 ± 10, чтобы получился нуль? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
27.Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
28.Сколькими способами можно поставить на шахматную доску 8 одинаковых ладей, не бьющих друг друга? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
29.Какие значения может принимать сумма [x] + [−x]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
30.Двузначное число написали подряд три раза. (Например, из числа 67 получилось число 676767. Полученное число всегда делится на 7, 13 и на 111. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
31.Каких чисел больше среди чисел от 1 до 1000 | чётных или нечётных? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
32.(а) Найдите положительное число (не обязательно целое), при делении которого на 15/8 и 21/10 в частном получаются целые числа. (б) Найдите наименьшее такое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
33.точка 1 лежит на числовой оси между точками x иy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
34.Полученное число всегда делится на 7, 13 и на 111. Почему? 3. Можно ли из квадрата со стороной 1 вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 1996? 4. Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков, кубик за кубиком. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика? 5. Имеется кирпич, карандаш, лист бумаги и линейка с делениями. Как найти найти длину большой диагонали кирпича (расстояние между противоположными вершинами)? 6. Миша горько плачет: «Ну почему мне так не повезло с днём рождения! Я уж и не помню, что мне дарили в прошлый раз . . . » В чём его беда?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
35.Река с параллельными прямыми берегами имеет ширину 100 метров. На одном из берегов реки есть пристань. Есть остров периметра 800 метров; других островов нет. Докажите, что можно доплыть от пристани до другого берега реки, проплыв не более 300 метров (минуя остров). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
36.На прямой имеется 11 точек, причём сумма расстояний от них до некоторой точки A равна сумме расстояний от них до другой точки B. Доказать, что хотя бы одна из этих 11 точек лежит на отрезке AB. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
37.Боря и Игорь играют в такую игру. На столе лежат две кучки спичек по 7 спичек в каждой. Ходят по очереди. За один ход можно взять любое число спичек (хоть все), но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Боря начинает. Кто выиграет при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
38.В последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Могут ли в ней оказаться рядом (а) два чётных числа? (б) два числа, делящихся на 13? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
39.При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
40.Вася знает, что [x] = 3, [y] = 4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти [x + y]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
41.Машина проехала половину пути со скоростью v, а вторую половину со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
42.В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
43.Дима считает, что |−a| при a < 0 равно a, а Володя | что −a. Кто из них прав? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
44.На столе лежала верёвка (без узла). Лёня подошел к столу, взял веревку за концы двумя руками, и, не выпуская концов верёвки из рук, завязал на ней узел. Как он это сделал? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
45.(Продолжение.) Доказать, что произведение двух хороших чисел всегда хорошее. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
46.Можно ли нарисовать многоугольник и точку вне него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
47.Точку с координатами ⟨x, y⟩ отразили симметрично относительно оси OX, оси OY и относительно прямой x = y. Найти координаты трёх получившихся точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
48.Все грани кубика размером 3 × 3 × 3 покрасили. Потом его разрезали на 27 кубиков размером 1 × 1 × 1. Сколько при этом получилось кубиков со всеми неокрашенными гранями? с одной окрашенной гранью? с двумя окрашенными гранями? с тремя окрашенными гранями? с четырьмя окрашенными гранями? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
49.Прямоугольник 7×9 разбит на клетки 1×1. Требуется закрасить 4 клетки, образующие квадрат 2 × 2. Сколькими разными способами можно выбрать такой квадрат? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
50.По плоскости катают (без проскальзывания) кубик: вправо { вверх { влево { вниз { вправо { вверх { . . . Вернётся ли он в исходное положение, и если да, то через сколько раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
51.Нарисовать на числовой оси точки x, дробная часть которых равна 1/3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
52.x > y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
53.Известно, что положительные числа x и y таковы, что x^4 = 37, y^3 = 15. Какое из чисел x и y больше и почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
54.Почему парикмахер в Женеве охотнее побреет двух французов, чем одного немца? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
55.Фирма «Русский сувенир» обнаружила в результате «маркетинга», что многие граждане хотели бы иметь на память десятитысячную купюру, номер на которой совпадает с их телефонным номером. Но их начальный капитал недостаточен, чтобы приобрести купюры со всеми возможными номерами. Тем не менее фирма нашла выход из положения. Какой?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
56.Точки A и B имеют координаты 1 и 7. Найти координату точки C, если расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC. (Указать все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
57.Нарисуйте фигуру из 11 точек и нескольких отрезков между ними так, чтобы каждая точка была соединена ровно с двумя другими. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
58.На сколько частей делят пространство плоскости, являющиеся гранями куба? тетраэдра (треугольного молочного пакета)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
59.Петя стоит на балконе 2-го этажа, а Вася -- на балконе 5-го этажа того же дома. В некоторый момент они одновременно выкрикивают слово «раз». Оказалось, что Петя услышал васино слово немного раньше, чем Вася -- петино. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
60.Как разделить 7 одинаковых яблок поровну между 12 людьми, если яблоки разрешается резать не более чем на 5 частей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
61.. . . x/2 -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
62.Улитка каждые 15 минут поворачивает на 90 градусов (а в промежутках ползёт по прямой). Доказать, что она может вернуться в исходную точку лишь через целое число часов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
63.Следующий текст получен из хорошо известного заменой каждой буквы на какую-то другую. Последнее слово пропущено. Восстановите его. -- Сагдау ра накя, сагдау ра накя? -- пудгэбуз Увнюв Сушванщэб, лсгецуе л цгяжюь сюсюзуь галлдэм цзуцюз нака ву шгувтаплдэм зуф. -- Е вя ьюца фюгьэг р сюняьдуж. -Фяшюгч вя сювез яцю рюлдзэтувэе э сючязуз яьа фючгюм вюбэ. -- Сгюдзеном чулагьув, -- сгюрюгбуз Лсэтов, пуданоруелщ р юфяезю. -- Вачвю яьа чозю лрябда накэнщ. Яьа чя жачя. Е лсунщ вя ьюца чяп юцве. -- Ьалщя, ьалщя, -сгюфюзчуз юв, -- чя ря уряд ра сугзя. -- Вю шгувтап вя юнрябуз э рлдюгя пужгусяз . . . Увнюв Сушванщэб пуьюзбуз, алнузюлнщ э рэввоя суго ьузю-сюьуза сгярюпьюцзэ яцю чюепзэрюлнщ, юв лнуз фгяьунщ, э рлдюгя цзачюдэм люв юрзуфяз эь люрягкяввю. Лнгуввюя цюнюрэзюлщ яьа сгючючфявэя. Юв барлнрюруз лдрюпщ люв, бню дню-ню нэжювщдю фягцуз яцю пу рюгюн гачукдэ. Увнюв Сушванщэб юндгоз цзупу э сгэ чзяфвюь лряня юляввяцю ангу арэфяз сягяф лючюм Фяшюгчу: шгувтап р юфвюм гадя фягчуз дугьуввом сэлнюзян, у фгацюи юнлняцэруз пурянваи лаьа. Увнюв Сушванэщэб ючьяг. -- Дялщ дя ля, ьалщя, дялщ дя ля, -- сгюэпвял юв нгясяхахэь цюзюлюь. -- Нэкя, ьюзбунщ, -- юнрябуз абэнязщ бэлноь галлдэь еподюь, -- ьюзбунщ эзэ ро сгюсузэ. ЕРесурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
64.Какое наименьшее количество карточек и какие именно нужно перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения «Если на одной стороне карточки четное число, то на другой -- гласная буква»? 4. Из Москвы во Владивосток ежедневно ровно в полночь (по московскому времени) выходит поезд, который идет ровно 6 суток. Из Владивостока в Москву ежедневно в полдень (по московскому времени) выходит поезд, который идет также 6 суток. Когда поезда встречаются, машинисты кричат «Ура!». (а) Сколько раз машинист кричит «Ура!» на пути из Москвы во Владивосток? (б) Сколько криков «Ура!» раздается в течение суток? Наконец, (в) сколько железнодорожных составов нужно, чтобы организовать такое движение? 5. У катушки внутренний диаметр равен 1 см, а внешний -- 2 см. Катушка катится со скоростью 30 см/с. С какой скоростью для этого человек должен тянуть конец нитки? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
65.Как вы думаете, в записи числа 21000 (произведение тысячи двоек) больше 500 цифр или меньше? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
66.В треугольнике ABC взяли точку D на стороне BC, точку E на стороне AC и точку F на стороне AB. При этом AF = AE, BD = BF и CE = CD. Известно, что ∠ABC = 20 градусов. Найдите угол FED. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
67.На доске написано число 100. Таня и Оля ходят по очереди. За один ход разрешается уменьшить написанное на доске число на 1, 2 или 3. У кого получится отрицательное число, проиграл. Первой ходит Таня. Кто выиграет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
68.Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
69.(а) Найдите минимальное пятизначное число, делящееся на 21Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
70.Найдите положительное целое число n, если известно, что: \n (n + 2)(n + 3)(n + 5)(n + 7) = 4158. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
71.Груз прицеплен к безмену, который висит на другом безмене. Сколько весит груз, если безмены показывают 300 и 500 граммов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
72.Какое наибольшее число решений может иметь уравнение ||||x − a| − b| − c| − d| = e относительно x при фиксированных a, b, c, d, e? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
73.В классе 20 учеников. Было проведены две контрольные, за каждую из которых ставились отметки от 2 до 5 (не участвовавшие получили двойки). Докажите, что есть два ученика с одинаковыми результатами (по обеим контрольным). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
74.Каких чисел больше среди чисел от 000000 до 999999:
тех, у которых сумма цифр чётна или тех, у которых она нечётна? Сколько тех и других? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
75.По окружности написано несколько чисел. Среди произведений соседних чисел ровно 5 отрицательных. Доказать, что одно из чисел равно 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
76.Сколько раз в сутки стрелки часов образуют прямой угол? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
77.Найти координату середины отрезка, если его концы имеют координаты 17 и 33. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
78.Простое число после увеличения на 1 становится точным квадратом. Найти все такие числа. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
79.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
80.Двое пловцов одновременно начали плыть по 25-метровой дорожке бассейна со скоростями 1,4 м/с и 1,1 м/с. Доплывая до конца дорожки, каждый из пловцов поворачивает назад. Когда более быстрый пловец впервые обгонит более медленного (плывя в ту же сторону)? На каком расстоянии от места старта это произойдёт? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
81.На плоскости нарисовано несколько окружностей, любые две из которых пересекаются. Докажите, что такую фигуру можно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги, не проходя ни по одному участку дважды и не пропустив ни одного участка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
82.Можно ли так расположить в пространстве три одинаковых кубика, чтобы сверху, сбоку и спереди была видна одна и та же фигура -- три квадрата, приложенных друг к другу сторонами (буквой «Г»)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
83.Любую сумму денег, начиная с 8 копеек, можно уплатить пятаками и алтынами. Почему? (Пятак -- пять копеек, алтын -- три копейки; это старинные русские монеты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
84.. . . чётное число верных. 13. Точки A и B имеют координаты a и b. Найти координату точки C, делящей отрезок AB в отношении 2 : 3. 14. Нарисовать на числовой оси те точки x, для которых (x − 1)(x − 2) . . . (x − 9)(x − 10) > 0. Линейку повернули на 180 градусов и приложили к другой такой же. При этом точка 4 нижней линейки совпала с точкой 7 верхней, а точка 5 нижней совпала с точкой 6 верхней. Какое число находится напротив числа 10 на нижней линейке? Напротив числа x на нижней линейке? 16. При каких x точка с координатой x^2 находится правее точки с координатой x? 17. На сколько сдвинется середина отрезка на числовой оси, если один его конец неподвижен, а второй сдвинулся на 3 единицы? 18. На числовой оси находятся точки A, B, C, D. Петя нашел середины отрезков AB и CD, соединил их отрезком и взял середину этого отрезка. Вася сделал то же с отрезками AC и BD. Доказать, что Петя и Вася получили одну и ту же точку. 19. Нарисовать на числовой оси положительные числа, в десятичной записи которых первая цифра после запятой равна 3. 20. На числовой оси отмечены точки с координатами 0 и 1. Разрешается отметить середину отрезка, если его концы уже отмечены. Можно ли, соблюдая это правило, отметить точку с координатой 1/3?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
85.При каких x точка с координатой x находится правее точки с координатой x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
86.Нарисовать те точки ⟨x, y⟩, для которых (а) x+x^2 = y+y^2 ; (б) x + x^3 = y + y^3 ; (в) x + |x| = y + |y|.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
87.Три разбойника делят между собой большой пирог. Каждый из них мог бы разрезать пирог на три равные части, но остальные ему не доверяют. «Если бы нас было двое, -говорит один из разбойников, -- то один разрезал бы пирог на две части, а второй выбрал одну из частей, и каждый был бы уверен, что получил не меньше половины.» Предложите разбойникам способ поделить пирог так, чтобы каждый был уверен, что ему досталось не меньше трети.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
88.Лыжи обычно делают вогнутыми (середина лыжи приподнимается над землёй, когда концы стоят на земле), при этом среднюю часть лыжи обычно намазывают мазью, прилипающей к снегу, а концы -- мазью, хорошо скользящей по снегу. Зачем всё это делается?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
89.Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющих равное число знакомых в этой компании. (Знакомства симметричны: если А знаком с Б, то Б знаком с А.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
90.В Москве живёт более 5 миллионов человек. Вася купил карту масштаба 1 : 100 000, расстелил её на земле и думает, что на неё встанут 50 человек (50 = 5 000 000/100 000). Прав ли он? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
91.Выключатель имеет три контакта 1, 2 и 3 и два положения. В одном положении контакт 1 соединён с контактом 2, а в другом положении контакт 1 соединён с контактом 3. Как, имея два таких выключателя и много провода, сделать так, чтобы свет на лестнице можно было включать и выключать и сверху, и снизу? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
92.Можно ли нарисовать пятиугольник и точку внутри него так, чтобы любая сторона пятиугольника была бы видна из неё под углом 70∘ ? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
93.(x − y)(x + y)(y − 2x) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
94.Делится ли на 7 сумма двух слагаемых, если (а) оба слагаемых делятся на 7; (б) ровно одно из них делится на 7? (в) ни одно из них не делится на 7? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
95.xy = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
96.Доказать, что сумма:
1/1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(1*2) + 1/(1*3) + ... + 1/(1*n) + ... + 1/((n - 1) * n) + 1/(1 * 2 * 3) + ... + 1/(1 * 2 * 3 ... n) (в знаменателях стоят все комбинации чисел от 1 до n, в которых числа не повторяются) равна n.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
97.В строку написаны 10 единиц подряд. Перед каждой из них (в том числе и перед первой) стоит плюс или минус. Какие числа могут получиться в сумме? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
98.Не пользуясь калькулятором, скажите, какая из дробей:
13/21 и 21/34 больше. Можете ли вы указать дробь, которая по величине находится между ними? Обыкновенную дробь m/n называют сократимой, если её можно сократить, то есть нацело разделить числитель и знаменатель на одно и то же целое число (большее 1). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
99.Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков, кубик за кубиком. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
100.Как измерить толщину нитки, имея катушку с ниткой, карандаш и линейку с сантиметровыми делениями? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
101.Почему произведение двух нечётных чисел нечётно? 5. При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? 6. При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? 7. Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? 8. Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. 9. В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
102.Есть несколько алмазов и мензурка с делениями. Как измерить суммарный объем всех алмазов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
103.Купец продал кафтан покупателю за 10 рублей. У него не было сдачи с 25 рублей, и он разменял 25-рублевую купюру покупателя у соседа. Покупатель ушел. Сосед приходит: «Бумажка фальшивая». Пришлось купцу дать настоящую. Что потерял купец? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
104.Дальтоники не различают цветов. Могут ли они пользоваться светофором? Если да, то почему ГАИ неохотно выдаёт им права? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
105.Маховик подвешен на двух нитках, намотанных на ось. Его отпускают, и он движется вниз, раскручиваясь. Дойдя донизу, он начинает подниматься вверх. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
106.Замените во фразе:
'И ВСЕ ЖЕ ОН НЕ ПРАВ' каждую из десяти букв И, В, С, Е, Ж, О, Н, П, Р, А одной из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (разные буквы заменяются на разные цифры) так, чтобы все слова превратились в десятичные записи точных квадратов.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
107.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
108.Сравните дроби: 1994/1995 и 1995/1996 Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
109.Двое играют в такую игру. Первый называет число от 1 до 10, затем второй называет число от 1 до 10. Первый выигрывает, если сумма чисел чётна. Кто выигрывает при правильной игре (первый или второй) и как он должен играть? Тот же вопрос, если вместо суммы чисел вычисляют их произведение. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
110.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
111.Собака преследует зайца, который находится на расстоянии 40 своих прыжков впереди собаки. Собака делает 7 прыжков за то же время, что заяц -- 9, но 3 прыжка собаки равносильны 5 прыжкам зайца. Сколько прыжков надо сделать собаке, чтобы догнать зайца? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
112.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x| > 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
113.(б) Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 213? (Пятизначные числа -- это числа от 10000 до 99999.) 3. Автомат отрезает от помещённого в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 3 больших квадрата, 2 квадрата поменьше и 6 маленьких квадратов со стороной 1 см. Какой прямоугольник у него был? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
114.Прямоугольную шоколадку размером 3 × 4 разламывают на дольки 1 × 1. Сколько разломов для этого необходимо (ломать одновременно два кусочка не разрешается)? Можно ли обойтись меньшим числом разломов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
115.На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
116.Почему не горит бумажная коробочка, в которой кипятят воду? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
117.На квадратной доске 7 × 7 расставлено 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали квадрата. Доказать, что одна из шашек стоит на этой диагонали. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
118.Турист вышел из своей палатки, прошел 5 км на юг, 5 км на восток и 5 км на север, после чего снова оказался у своей палатки. Где такое могло произойти?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
119.Ветер дует на север. В какую сторону развевается флаг, закреплённый на воздушном шаре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
120.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
121.Натуральные числа раскрашены в два цвета. Докажите, что можно так выбрать три числа A, B и C одного цвета, что A + B = 2*C. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
122.При проигрывании магнитофонной кассеты плёнка движется с постоянной скоростью (4,77 см/с). Какая из втулок кассеты крутится быстрее -- приёмная или подающая? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
123.Может ли прямая пересекать все 11 сторон невыпуклого 11-угольника (не проходя через его вершины)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
124.Двое лыжников шли друг за другом с постоянной скоростью 6 км/ч на расстоянии 200 метров. (а) Начался более трудный участок, где на котором скорость лыжников стала 4 км/ч. Каково расстояние между лыжниками на этом участке? (б) Затем был лёгкий участок со скоростью 7 км/ч, затем очень трудный со скоростью 3 км/ч и, наконец, они вышли снова на участок со скоростью 6 км/ч. Каково расстояние между ними в этот момент? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
125.Почему крышки канализационных люков делают круглыми, а не овальными или квадратными? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
126.Написать выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
127.Проиллюстрировать формулу a^2 − b^2 = (a + b)(a − b), разрезав квадрат a × a с вырезанным углом b × b на две части, из которых можно сложить прямоугольник со сторонами a − b и a + b. (Достаточно одного прямого разреза.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
128.Грани куба 2 × 2 × 2 раскрашены в несколько цветов (каждый из четырёх квадратиков каждой грани -- в один из цветов). При этом квадратики, имеющие общую сторону (в том числе находящиеся на разных гранях) имеют разные цвета. Какое максимальное количество квадратиков одного цвета может быть? Какое минимальное число цветов может быть использовано?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
129.За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Доказать, что хотя бы у одного из сидящих оба соседа | мальчики. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
130.Что больше: общее количество цифр в числах 1, 2, 3, 4, . . . , 999, 1000 или количество нулей в числах 1, 2, 3, 4, . . . , 9999, 10000? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
131.Володя и Сева по очереди пишут кладут на прямоугольный стол круглые монеты (все монеты одинаковы). Уже лежащие монеты сдвигать нельзя; класть монету поверх других -- тоже. Кто не может положить монету так, чтобы она не упала со стола, проигрывает. Первым ходит Володя. Кто выигрывает при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
132.В треугольнике ABC угол A равен 60 градусов. Известно, что биссектриса угла A, медиана, проведённая из вершины B, и высота, опущенная из вершины C, пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник равносторонний. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
133.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) > 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
134.Простое число -- это число, которое не разлагается в произведение двух меньших целых чисел. (Например, 7 -простое число, а 10 = 2 × 5 -- нет.) Докажите, что полусумма двух соседних нечётных простых чисел -- составное число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
135.Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
136.Можно ли нарисовать многоугольник и точку внутри него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
137.На плоскости нарисовано 1000 точек. Всегда ли можно провести прямую так, чтобы по каждую сторону от неё было ровно 500 точек? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
138.Володя и Лёша играют в крестики на доске 3 × 3 по таким правилам: ходят по очереди, ставя крестик в любую свободную клетку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход (некуда). Первым ходит Володя. Кто выиграет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
139.Улитка ползла в течение 5 минут, всё время находясь под наблюдением. Каждый наблюдатель наблюдал за ней в течение 1 минуты, и за эту минуту она проползла ровно 1 метр. Могла ли улитка проползти 6 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
140.Доказать, что (a + b)^2 − (a − b)^2 = 4ab. Как выглядит соответствующая картинка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
141.(а) Найдите минимальное пятизначное число, делящееся на 12Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
142.Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
143.Найти сумму:
(1/(1*2))+(1/(2*3))+(1/(3*4))+...+(1/(99*100)) (Указание: начните складывать.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
144.Известно, что |x| = 5, |y| = 3. Какие значения может принимать |x + y|? Тот же вопрос для |x − y| и |x · y|. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
145.Все кости домино расположили в цепь. Доказать, что на концах цепи стоят равные цифры. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
146.Доказать, что (при всех x) [x] + [x + 1/n] + [x + 2/n] + . . . + [x + (n−1)/n] = [nx]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
147.Вершины треугольника имеют координаты ⟨0, 0⟩, ⟨3, 5⟩ и ⟨5, 8⟩. Какова его площадь? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
148.Какое наибольшее число (а) ладей; (б) слонов можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
149.В строчку написаны 10 чисел, причём сумма любых трёх соседних равна 15. Первое число равно 7. Чему может быть равно последнее число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
150.Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 11 часов 20 минут? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
151.Найти сумму: [sqrt(1)] + [sqrt(2)] + [sqrt(3)] + . . . + [sqrt(10000)]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
152.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
153.На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 8 клеток и высотой 6 клеток. Можно ли поставить в нём крестики так, чтобы (а) в каждой строке стояло 4 крестика, а в каждом столбце -- 3? (б) в каждой строке стояло 3 крестика, а в каждом столбце -- 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
154.Петя задумал число от 1 до 1000. Вася хочет узнать это число, задавая Пете вопросы, на которые возможны ответы «да» и «нет». Какие вопросы он должен задавать, чтобы гарантированно узнать задуманное число после 10 вопросов? Может ли он сделать то же самое, если список из 10 вопросов он должен составить заранее? ∘ Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
155.Отгадайте закон и продолжите таблицу:
1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
156.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
157.Вася закрыл правый глаз и смотрит в зеркало левым. Он видит муху, сидящую на зеркале, на фоне закрытого правого глаза. После этого он открыл правый глаз и закрыл левый. На фоне чего он теперь увидит муху (которая осталась в той же точке зеркала)? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
158.Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab = = 3, bc = 2, cd = 4, de = Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
159.Два пешехода вышли навстречу друг другу одновременно из пунктов А и Б. Каждый из них идёт с постоянной скоростью, и дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через час после начала движения. Когда они встретятся во второй раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
160.Проиллюстрировать формулу (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 , сложив квадрат со стороной a + b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
161.|x| = |y|; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
162.y = 2x; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
163.Точку с координатой x сдвинули на 5 единиц вправо. Какова её координата теперь? 2 Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
164.Саша утверждает, что при подстановке вместо x в выражение x2 +x+41 чисел 1, 2, 3, 4, . . . всегда получится простое число. Прав ли он? (Число называется простым, если оно делится только на единицу и само себя.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
165.Точку с координатами ⟨x, y⟩ повернули на 90 градусов вокруг точки ⟨0, 0⟩ против часовой стрелки. Найти координаты получившейся точки. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
166.Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы двух точных квадратов. (Например, 5 хорошее, так как 5 = 2^2 + 1^2 , а 3 -- нет.) Доказать, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
167.Любая из сторон первого треугольника больше любой стороны второго треугольника, а площадь второго больше площади первого. Может ли так быть? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
168.Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
169.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
170.Известно, что (n + 3)(n + 5)(n + 7)(n + 11) = 4095 и что n -- целое положительное число. Найдите его. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
171.Сумма трех различных чисел (не обязательно целых) равна 10, а разница между большим и меньшим из них равна 2. Каким может быть среднее по величине число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
172.Четыре подряд идущих целых числа перемножили и к произведению прибавили 1. Доказать, что получился точный квадрат. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
173.max(x, y) >= 2; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
174.По кругу написано 30 чисел. Между каждыми двумя записали модуль их разности, а исходные числа стёрли. Доказать, что полученные 30 чисел можно разделить на две группы с равной суммой.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
175.Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 25.Найдите уменьшаемое. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
176.Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
177.Как замостить плоскость одинаковыми плитками, имеющими вид квадрата с отрезанным углом (рис. 7)? (Нарисуйте подробную схему укладки плит.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
178.При каких n и на что можно сократить дроби:
(n+6)/n; (n+19)/(n+13); (5n+3)/(3n+2)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
179.Правила хорошего тона запрещают женщине стоять первой в очереди, а мужчине стоять перед женщиной. Может ли в очереди, где все правила соблюдены, оказаться женщина? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
180.Решить уравнение 2*|x − 1| = 3*|x − 7|. 10. Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. 11. Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? 12. Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? 13. Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. 14. Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. 15. Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? 16. На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? 17. По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? 18. Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
181.(x − y)(x + y)(y − 2x) >= 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
182.[x] = [y]; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
183.x = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
184.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x − 5| 6<=3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
185.Три черепахи участвовали в кроссе. Первая сказала:
«Я пришла к финишу раньше второй.». Вторая сказала: «Я пришла к финишу раньше третьей.» Третья сказала: «Я пришла к финишу раньше первой.» Как такое может быть? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
186.Бизнесмен договорился о партии в шахматы по переписке с двумя гроссмейстерами. Он похваляется своему приятелю: «Ну уж у одного я точно выиграю. В крайнем случае, будут две ничьи». Почему он в этом так уверен?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
187.Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
188.В треугольнике ABC на стороне AB взята точка D, а на стороне BC взята точка E. При этом отрезок DE параллелен AB и равен по длине отрезку AD. Найдите угол EAB, если углы B и C треугольника равны соответственно 45 градусов и 60 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
189.Идя навстречу трамваям, пешеход встречал их каждые 5 минут, идя в одну с ними сторону | каждые 7. Как часто он будет их встречать, стоя на месте? (Трамваи движутся с постоянной скоростью и с одинаковыми интервалами. Скорость пешехода также постоянна.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
190.Сумма углов треугольника всегда равна 180 . Чему равна сумма углов пятиугольника? Чему равна сумма углов пятиконечной звезды? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
191.{x} = {y}; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
192.Перемножить: (1 + x)(1 + x^2 )(1 + x^4 )(1 + x^8 )(1 + x^16 ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
193.При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
194.Найти отношение a/e. 5. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 2 м; в результате его площадь увеличилась на 28 м^2 . Найдите периметр исходного прямоугольника. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
195.Имеются неверные чашечные весы (плечи неодинаковой длины, так что для равновесия на одну чашку надо класть больше, чем на другую), правильная килограммовая гиря и мешок сахарного песка. Как отвесить килограмм сахарного песка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
196.Являются ли старейший художник среди шахматистов и старейший шахматист среди художников одним и тем же лицом -- или это не обязательно? Являются ли лучший шахматист среди художников и лучший художник среди шахматистов одним и тем же лицом? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
197.У Димы было 7 картофелин, у Гриши было 5, а у Яши вообще не было. Они сварили картошку и разделили полученную тюрю поровну на троих. Благодарный Яша дал Диме с Гришей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
198.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x + 1| + |x + 2| = 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
199.Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab = 2, bc = 3, cd = 4, de = Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
200.Имеется кирпич, карандаш, лист бумаги и линейка с делениями. Как найти найти длину большой диагонали кирпича (расстояние между противоположными вершинами)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
201.В треугольнике ABC угол B равен 20 градусам, а угол C равен 40 градусам. Биссектриса AD угла A равна 2. Найти разность сторон BC − AB. (Подсказка: на стороне BC постройте точку E, для которой угол AEB равен 80 гардусам.)Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
202.Профессор в командировке, а сын отца профессора пьёт дома чай с отцом сына профессора. Как такое может быть?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
203.Вычислите произведение, приведя подобные члены:
(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 )(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
204.Чему равно e/a? 5. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 3 см; в результате его площадь увеличилась на 39 см2 . Найдите периметр исходного прямоугольника. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
205.По кругу стоят 10 корзин. При каких n можно разложить n яблок по этим корзинам так, чтобы количества яблок в соседних корзинах отличались ровно на 1?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
206.Разрежьте (а) тупоугольный треугольник; (б) квадрат на остроугольные треугольники.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
207.У числа 100! = 1·2·. . .·99·100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и так поступали до тех пор, пока не получили число из одной цифры. Что это за число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
208.Три кузнечика на прямой играют в чехарду. Каждую секунду один из них перепрыгивает через другого (но не через двух). Доказать, что они могут вернуться в исходное положение только через чётное число секунд. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
209.Известно, что a/b = c/d. Докажите, что (a − b)/(a + b) = (c − d)/(c + d). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
210.В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен 4. Доказать, что один из учеников получил четвёрку. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
211.Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 12 часов 20 минут? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
212.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
213.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
214.Можно ли прямолинейным разрезом поделить одновременно пополам прямоугольный кусок хлеба и лежащий на нем круглый кусок колбасы (рис. 2)? Сколькими способами это можно сделать? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
215.Нарисовать на числовой оси те точки x, для которых среди неравенств x > 1, x > 2, . . . , x > 9, x > 10 ровно три верных. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
216.Вычислите произведение, приведя подобные члены:
(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 )(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
217.При всех целых x число ax^2 + bx + c целое. Можно ли утверждать, что числа a, b, c --- целые?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
218.Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
219.Проделайте в тетрадном листе отверстие, в которое может пролезть человек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
220.На столе в ряд стоят банки объёмом 1 литр, 1/2 литра, 1/3 литра, 1/4 литра, . . . , 1/100 литра. Первая из них полна воды, остальные пустые. Из первой банки переливают воду (сколько поместится) во вторую, затем из второй в третью, из третьей в четвёртую и т. д. (на последнем шаге последняя банка будет наполнена доверху). Сколько воды окажется в каждой из банок? Найти общее количество воды в первых 50 банках после всех переливаний. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
221.Нарисовать на числовой оси те числа x, для которых [x] = [x + 2/3]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
222.Доказать, что сумма кубов двух положительных целых чисел не может быть простым числом (за исключением единственного случая 1^3 + 1^3 = 2). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
223.x + y = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
224.Какое из чисел x и y больше и почему? 3. Вася тренируется на катке. Он положил три шайбы в вершины треугольника, а затем бьёт по одной из шайб так, чтобы она (двигаясь по прямой) прошла в ворота, образуемые двумя другими шайбами. Могут ли после 7 бросков все три шайбы оказаться в прежних местах? Могут ли они после 7 бросков оказаться в вершинах того же треугольника? 4. Даны две бутылки с растворами разной концентрации. В одной бутылке 0,5 литра, в другой 0,3 литра. Два одинаковых стаканчика налили доверху (каждый из своей бутылки), после чего растворы влили обратно в бутылки, поменяв их местами. В результате в обеих бутылках получился раствор одинаковой концентрации. Найти объём стаканчиков. 5. Петя и Боря смотрят на большой кусок пчелиных сот. Соты состоят из шестиугольников, примыкающих друг к другу так, что в вершине сходятся три шестиугольника. Петя считает число шестиугольников, Боря -- число вершин шестиугольников. У кого из них получится больше? Во сколько раз (примерно)? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
225.В турнире по крестикам-ноликам по олимпийской системе участвует миллион (1 000 000) игроков. Сколько партий будет сыграно в этом турнире? (В турнире по олимпийской системе проигравший выбывает.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
226.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
227.По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
228.В Вестляндии 64 города. Докажите, что в каких-то трёх из них число дождливых дней в сентябре было одинаково. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
229.Найти координаты точек, делящих отрезок [−1, 4] в отношении 2 : 3 и 3 : 4. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
230.Найдите наименьшее целое число, большее 10100, которое является точным квадратом (квадратом другого целого числа). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
231.Как изменится внутренний диаметр кольца (рис. 3) при нагревании?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
232.На конце верёвки сделаны петли, надетые на запястья (не туго, но с рук они не снимаются). Можно ли, не развязывая верёвку (и тем самым не снимая её с рук), завязать на ней узел?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
233.Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте. (Режут не на сгибе и сразу все нити.) (а) Сколько кусочков получилось? (б) Два из этих кусочков имели длину 7 см и 3 см. Какова длина верёвки? Укажите все возможности. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
234.Найти (a + b + c)(a + b − c), (a + b + c)(a − b + c), (a + b − c)(a − b + c) (не пользуясь бумагой для промежуточных вычислений). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
235.Мерный цилиндр заполнен водой. Перевёрнутая пробирка, частично заполненная водой, плавает в толще воды. Почему она опускается, если нажать на резиновую плёнку, затягивающую отверстие цилиндра? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
236.Квадратный пруд имеет сторону 500 метров. На одной из его сторон выбрана точка, отстоящая от одного угла на 200 метров и от другого угла на 300 метров. Нарисуйте точки, до которых можно дойти, пройдя не более 900 метров по суше. Из каких кривых состоит граница получившейся области? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
237.В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы «четвертей квадратов», которые указывали значения (x^2) /4 для 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
238.Из утверждений «x > 1», «x > 2», «x > 3», «x > 4», «x > 5» три верных и два неверных. Какие? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
239.В комнате стоят три электрические лампочки, в соседней -- три выключателя к ним, причем на каждом написано «включено» и «выключено», но неизвестно, какой выключатель соответствует какой лампочке. Лампочки из комнаты с выключателями не видны. Как определить, какой выключатель соответствует какой лампочке? Разрешается зайти в комнату с выключателями, проделать с ними любые действия, а после этого войти в комнату с лампочками и проделать любые действия с ними, после чего дать ответ.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
240.Может ли сторона треугольника быть вдвое больше другой стороны и вдвое меньше третьей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
241.Сколькими способами можно поставить на шахматную доску (а) белую и черную ладьи, не бьющие друг друга? (б) две белые ладьи, не бьющие друг друга? (В чём разница между этими задачами?) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
242.Две вершины квадрата имеют координаты ⟨5, 0⟩ и ⟨0, 2⟩. Каковы координаты двух остальных вершин? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
243.На берегу реки крестьянин, волк, коза и капуста. Волк, оставленный с козой без крестьянина, её съедает -- в свою очередь, коза съедает капусту, оставшись с ней без присмотра. Как крестьянину перевезти всех на другой берег, если в лодку можно взять только один из трех объектов (за раз)?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
244.Дима и Сэм играют в такую игру. Вначале ладья стоит в левом нижнем углу шахматной доски. Ходят по очереди. На каждом ходу ладью можно сдвинуть или вправо, или вверх (на любое число клеток). Проигрывает тот, кто не может сделать ход (ладья в правом верхнем углу). Первым ходит Дима. Кто выигрывает при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
245.Всегда ли верны формулы [[x + y] + z] = [x + [y + z]] и {{x + y} + z} = {x + {y + z}}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
246.Что случится с периметром и площадью прямоугольника, если одну его сторону увеличить на 10 процентов, а другую уменьшить на 10 процентов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
247.Как движется Солнце с точки зрения жителей Южного полушария -- слева направо или справа налево? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
248.Окружность разделена точками на 99 дуг, из которых 3 имеют длину 3 см, ещё 3 имеют длину 2 см, и оставшиеся 3 имеют длину 1 см. Доказать, что какие-то две из точек деления диаметрально противоположны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
249.(б) Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 123? (Пятизначные числа -- это числа от 10000 до 99999.) 3. Автомат отрезает от помещённого в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 2 больших квадрата, 3 квадрата поменьше и 5 маленьких квадратов со стороной 1 см. Какой прямоугольник у него был? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
250.Нарисовать на числовой оси точки x, целая часть которых чётна. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
251.Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте. (а) Сколько кусочков получилось? (б) Два из этих кусочков имели длину 9 см и 4 см. Какова длина верёвки? Укажите все возможности. (Режут не на сгибе и сразу все нити.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
252.Мистер и миссис Смит по очереди переводят стрелку часов на два или три часа вперёд. Сначала стрелка показывала 1 час. Тот, после чьего хода стрелка показала 5 часов, считается победителем; другой считается проигравшим и идёт готовить чай. Верно ли, что мистеру Смиту не придётся готовить чай, если он уступит право первого хода миссис Смит и будет играть правильно? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
253.Как записать расстояние между точками числовой оси с координатами x и y, используя знак абсолютной величины? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
254.Доказать, что: [35/23] + [2 * (35/23)] + [3 * (35/23)] + ... + [22 * (35/23)] = [23/35] + [2 * (23/35)] + [3 * (23/35)] + ... + [35 * (23/35)].Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
255.Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
256.Вася знает, что {x} = 0,3, {y} = 0,4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти {x + y}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
257.Чтобы завернуть винт, отвёртку крутят по часовой стрелке. В какую сторону нужно крутить гайку, чтобы навернуть её на винт, головка которого вмурована в стену -по часовой стрелке или против? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
258.Японские названия некоторых годов по традиционному восточному календарю: каното уси (1901), хиноэ ума (1966), цутиноэ ума (1978), цутиното хицудзи (1979), каноэ сару (1980), хиноэ тора (1986), цутиното ми (1989), мидзуноэ ума (2002), мидзуното хицудзи (2003), хиноэ ума (2026). (а) Запишите названия годов 1991, 1993, 1997. (б) Через сколько лет наступит ближайший год хиноэ сару? каното ми? мидзуноэ уси?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
259.(б) Тот же вопрос для суммы (1/1000) + (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/1995) + (1/1996). 2. Найдите самое большое натуральное число, при делении которого с остатком на 57 частное и остаток получаются равными. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
260.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
261.x = y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
262.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
263.Машина проехала половину времени со скоростью v, а вторую половину | со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
264.Посмотрите на ключ от своей квартиры. Объясните, как работает замок. Как Вы думаете, могут ли все замки в новом 500-квартирном доме (выпущенные одной фирмой) быть разными? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
265.Можно ли разрезать шахматную доску без клеток a1 и h8 на прямоугольники 1 × 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
266.Учительница задала на дом задачу: проверить, делится ли некоторое число на 2, 3 и 6. На следующем уроке Вова сказал: «Я забыл, какое число задали, и делил другое, два раза остатка не было, на третий был». Учительница сказала:
«Ты ошибся». Почему она так сказала? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
267.Докажите равенство: (1/(1*199))+(1/(3*197))+(1/(5*195))+...+(1/(197*3))+(1/(199*1))=(1/100)*(1+(1/3)+(1/5)+...+(1/199)). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
268.x^2 = y^2 ; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
269.На плоскости нарисовали треугольник и квадрат. Потом покрасили все точки, попадающие внутрь хотя бы одной из фигур. Может ли при этом получиться 7-угольник? 8-угольник? 13-угольник?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
270.Если к произведению двух целых чисел, отличающихся на 2, прибавить единицу, то получится точный квадрат (например, 4 · 6 + 1 = 5^2 ). Почему? Простое число | это целое число, большее 1, которое нельзя представить как произведение двух меньших целых положительных чисел. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
271.Андрей и Рома играют в азартную игру. Каждый из них пишет на бумажке целое число, не показывая другому. Затем они открывают бумажки, складывают числа и смотрят, делится ли сумма на 3. Если делится, то Рома платит Андрею 3 рубля, если нет, Андрей платит Роме 2 рубля. Кому выгодна эта игра? Как надо изменить её правила, чтобы игра была честной? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
272.Вася вычеркнул каждое десятое число, считая от начала (т. е. 10, 20, 30, . . . ). После этого он вычеркнул каждое девятое число из оставшихся, затем каждое восьмое, каждое седьмое, . . . , каждое второе. Сколько чисел останется? Какое число будет стоять на последнем месте? 2. Докажите равенство: (1/(1*199))+(1/(3*197))+(1/(5*195))+...+(1/(197*3))+(1/(199*1))=(1/100)*(1+(1/3)+(1/5)+...+(1/199)). 3. В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? 4. В треугольнике ABC угол A равен 60 градусов. Известно, что биссектриса угла A, медиана, проведённая из вершины B, и высота, опущенная из вершины C, пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник равносторонний. 5. На плоскости лежит картонный квадрат, который разрешается перекатывать через рёбра (при перекатывании ребро остаётся на месте, а квадрат переворачивается на другую сторону). После нескольких перекатываний квадрат вернулся в то же место плоскости. Докажите, что он оказался в прежнем положении (т. е. все его вершины оказались на исходных местах).Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
273.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
274.Первое число равно 7. Чему может быть равно последнее число? 3. В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? 4. Квадратная площадь размера 50 × 50 метров выложена плитами размера 1 × 1 четырёх цветов -- белого, красного, синего и зелёного. При этом плиты одного цвета не лежат рядом и не имеют общего угла. Сколько красных плит на площади? 5. Стакан наполнили водой, накрыли картонкой и перевернули. Почему вода не выливается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
275.Обозначая дни недели от воскресенья до субботы числами 0, 1, 2, ... , 6, Вася придумал формулу:
день недели = 7 · {число/7}, которая годится, если первое число месяца было понедельником. Как надо её изменить, если первое число месяца было пятницей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
276.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 57. Разрешается заменить любые два числа на их сумму или разность, пока не останется одно число. Может ли это число быть нулём? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
277.На прямой дороге стоят 6 домов на равных расстояниях друг от друга. В каком месте дороги надо сделать автобусную остановку, чтобы суммарное расстояние от неё до всех домов было бы как можно меньше? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
278.(а) Найдите положительное число (не обязательно целое), при делении которого на 10/21 и 4/15 в частном получаются целые числа. (б) Найдите наименьшее такое число.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
279.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
280.Можно ли из квадрата со стороной 1 вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 1996? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
281.В треугольнике ABC угол B равен 40 градусам, а угол C равен 20 градусам, разность сторон BC − AC равна 4. Найти длину биссектрисы угла A. (Подсказка: возьмите на стороне BC точку E, для которой угол AEB равен 100 градусам.)Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
282.Процессия движется из пункта А в пункт Б со скоростью 5 км/ч. Каждые полчаса высылаются гонцы в пункт Б, которые движутся со скоростью 20 км/ч. С какими интервалами прибывают гонцы в Б? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
283.Сколько нужно провести непересекающихся диагоналей в 100-угольнике, чтобы разрезать его на треугольники? Почему всегда получается одно и то же число диагоналей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
284.В треугольнике ABC на стороне AB взята точка D, а на стороне AC взята точка E. При этом отрезок DE параллелен BC и равен по длине отрезку EC. Найдите угол ABC, если углы BAC и BCD равны соответственно 55 градусов и 25 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
285.Сократимы ли дроби: 39/57; 6/1357; 1363/1357=1*(6/1357)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
286.Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
287.Царь вызвал двух мудрецов, дал каждому из них карточку (так, чтобы другой её не видел), и сказал: «У каждого из вас на карточке написано целое положительное число, причём эти числа отличаются на единицу». После этого царь спросил первого мудреца: «Какое у второго число?». -- «Не знаю», -- ответил первый. Царь спросил второго: «А ты не знаешь, какое число у первого?». -- «И я не знаю», -- ответил второй. И снова спросил царь первого, и снова тот ответил, что не знает. После этого он спросил второго, и тот сказал, какое число у первого. Какие числа могли быть на карточках и как рассуждал второй?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
288.Сколько чисел от 00 до 99 содержат в своей записи цифру 3 и сколько не содержат? Сколько чисел от 000 до 999 содержат в своей записи цифру 3 и сколько не содержат? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
289.В четырёхугольнике ABCD продолжения противоположных сторон AB и CD пересекаются под углом 20 градусов; продолжения противоположных сторон BC и AD также пересекаются под углом в 20 градусов. Докажите, что два угла в этом четырёхугольнике равны, а два других отличаются на 40 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
290.По кругу написаны 4 целых числа. Между каждыми двумя записывают абсолютную величину их разности, а исходные числа стирают. Так повторяют несколько раз. Доказать, что рано или поздно останутся одни нули.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
291.x^2 + y^2 = 2xy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
292.Найти координаты середины отрезка, если его концы имеют координаты x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
293.Большой ящик заполнен мелкой картошкой. Другой столь же большой ящик заполнен ещё более мелкой картошкой. Как вы думаете, в каком из ящиков больше картошки (по весу)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
294.x^2 + y^2 = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
295.(а) Найдите сумму всех чётных четырехзначных чисел. (б) Найдите сумму всех четырехзначных чисел, все цифры которых чётны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
296.Написать формулы для частного и остатка при делении двух целых положительных чисел с остатком (формулы должны использовать арифметические операции и знак целой части). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
297.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
298.Из города А в город Б ведут 2 дороги, из города Б в город В ведут 3 дороги, из города В в город Г ведут 7 дорог. Сколько различных маршрутов ведут из А в В через Б? Сколько различных маршрутов ведут из А в Г через Б и В? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
299.Существует ли такое x, что [x] + [2x] + [3x] + [4x] = 99? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
300.Квадратное колесо катится по дороге. Нарисуйте траекторию его оси (находящейся в центре колеса). Из каких кривых она состоит? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
301.Прямоугольный город 5×7 разбит на квадратные кварталы 1 × 1. Мы хотим пройти из юго-западного угла в северо-восточный, идя на север и на восток. Все возможные пути имеют одинаковую длину. (Почему?) Сколько различных путей существует? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
302.|x − 1| < 1/3; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
303.Как расставить 5 бутылок по 6 подносам так, чтобы на каждом подносе было по одной бутылке? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
304.Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых нечётны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
305.Доказать, что при положительном целом n число n2 + n не может быть точным квадратом. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
306.В пятирожковой люстре можно отдельно включать три и два рожка (двумя клавишами выключателя). Нарисуйте схему соединения люстры и выключателей с электросетью, учитывая, что из потолка в люстру идут 3 провода. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
307.(Продолжение) Доказать, что если расположение шашек симметрично относительно обеих диагоналей квадрата, то в центральной клетке стоит шашка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
308.Вася тренируется на катке. Он положил три шайбы в вершины треугольника, а затем бьёт по одной из шайб так, чтобы она (двигаясь по прямой) прошла в ворота, образуемые двумя другими шайбами. Могут ли после 7 бросков все три шайбы оказаться в прежних местах? Могут ли они после 7 бросков оказаться в вершинах того же треугольника? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
309.Какие значения может принимать сумма {x} + {−x}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
310.Внутри квадрата размером 1 × 1 поставлено 105 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не больше 0,2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
311.По шоссе в одном направлении, с постоянной скоростью и с равными интервалами идут автобусы. Однажды человек прошёл по шоссе 4 км и его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл (с той же скоростью) 6 км и его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов его обогнали?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
312.На окружности поставлено (в некотором порядке) 10 красных точек и 10 синих. Докажите, что число пар соседних красных точек равно числу пар соседних синих точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
313.Найдите минимальное целое число, большее 40 100 и являющееся точным квадратом (квадратом другого целого числа). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
314.Написать формулу для (a + b)^3 и описать соответствующее ей разрезание куба со стороной a + b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
315.Могут ли 9 шестерёнок, сцепленных по кругу, вращаться? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
316.Работа была поделена поровну между работниками в бригаде. После первого дня посчитали, сколько человек выполнило не менее 30% своей доли -- таких оказалось 70% всех работающих. Когда стали считать только тех, кто выполнил не менее 70% своей доли -- таких оказалось 30% работавших. Можно ли быть уверенным, что выполнена хотя бы треть работы? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
317.Продолжите последовательность: 4, 3, 3, 6, 4, 5, 4, 6, 6, 6, 11, . . . Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
318.Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
319.В стакане с водой плавает кусочек льда. Как изменится уровень воды в стакане, когда лёд растает? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
320.Половина симметричной U-образной трубки заполнена водой, половина -- подсолнечным маслом (до той же высоты). Что произойдёт, если открыть кран внизу трубки? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
321.Есть три карандаша и нитки. Сделайте из них «жёсткую» конструкцию, в которой карандаши не касались бы друг друга (даже через слой ниток), но удерживались бы нитками в определённом положении друг относительно друга.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
322.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
323.. . . 2x -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
324.Чему может быть равно последнее число? 3. В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? 4. Квадратная площадь размера 50 × 50 метров выложена плитами размера 1 × 1 четырёх цветов -- белого, красного, синего и зелёного. При этом плиты одного цвета не лежат рядом и не имеют общего угла. Сколько красных плит на площади? 5. Стакан наполнили водой, накрыли картонкой и перевернули. Почему вода не выливается? 6. Бизнесмен заключил с чёртом следующее соглашение:
каждый день бизнесмен даёт чёрту одну купюру, а взамен получает любое (указанное бизнесменом) число купюр меньшего достоинства. Может ли бизнесмен бесконечно долго выполнять свои обязательства, если другого источника денежных купюр у него нет?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
325.Сколько раз входит 2 в разложение на простые сомножители числа 100 · 101 · 102 · 103 · . . . · 199 · 200? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
326.Какое число (одно и то же) надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 36/91 , чтобы она превратилась в 4/9 ? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
327.У Пети в комоде валяются 10 чёрных рукавиц (5 пар), 16 синих (8 пар) и 20 зелёных (10 пар). Сколько рукавиц надо достать не глядя, чтобы заведомо можно было выйти на улицу в рукавицах одного цвета? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
328.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
329.На прямой дорожке стоят несколько школьников. Вдоль неё ходит учитель физкультуры. По сигналу «Хоп!» каждый из школьников бежит к тому месту, где стоит учитель, а затем возвращается на своё место. Так повторяется несколько раз. Доказать, что наибольшее расстояние пробежал один из двух крайних школьников. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
330.В каких пределах могут находиться сумма a + b, разность a−b, произведение a·b и частное a/b, если 6 < a < 7 и 2 < b < 3? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
331.Бассейн разделён перегородками на две равные части, к каждой из которых ведёт своя труба. Первая половина заполняется за t часов, вторая | за u часов. За сколько времени наполнят бассейн обе трубы, если перегородку снять? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
332.. . . x − 2 <= 2x. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
333.У Васи в комоде лежат 10 черных, 16 синих и 20 зелёных носков. Сколько носков надо достать не глядя, чтобы среди них заведомо была пара носков одного цвета? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
|
Создай 8 задач по математике 7 класса по теме "Тождества". | 1.Простое число после увеличения на 1 становится точным квадратом. Найти все такие числа. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
2.Доказать, что сумма кубов двух положительных целых чисел не может быть простым числом (за исключением единственного случая 1^3 + 1^3 = 2). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
3.Проиллюстрировать формулу (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 , сложив квадрат со стороной a + b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.Доказать, что (a + b)^2 − (a − b)^2 = 4ab. Как выглядит соответствующая картинка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.Доказать, что число 999991 составное (т. е. не простое). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
6.Если к произведению двух целых чисел, отличающихся на 2, прибавить единицу, то получится точный квадрат (например, 4 · 6 + 1 = 5^2 ). Почему? Простое число | это целое число, большее 1, которое нельзя представить как произведение двух меньших целых положительных чисел. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
7.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
8.Доказать, что при положительном целом n число n2 + n не может быть точным квадратом. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) > 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.Нарисовать те точки ⟨x, y⟩, для которых (а) x+x^2 = y+y^2 ; (б) x + x^3 = y + y^3 ; (в) x + |x| = y + |y|.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.y = 2x; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.max(x, y) <= 2 (здесь max(x, y) | наибольшее из чисел x и y); Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.x^2 + y^2 = 2xy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.max(x, y) >= 2; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
7.xy = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.Как записать расстояние между точками числовой оси с координатами x и y, используя знак абсолютной величины? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Какое наибольшее число решений может иметь уравнение ||||x − a| − b| − c| − d| = e относительно x при фиксированных a, b, c, d, e? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.Решить уравнение 2*|x − 1| = 3*|x − 7|. 10. Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. 11. Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? 12. Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? 13. Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. 14. Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. 15. Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? 16. На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? 17. По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? 18. Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Точки A и B имеют координаты 1 и 7. Найти координату точки C, если расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC. (Указать все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Координаты на плоскости". | 1.Две вершины квадрата имеют координаты ⟨5, 0⟩ и ⟨0, 2⟩. Каковы координаты двух остальных вершин? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.x = 1; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
4.[x] = [y]; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.точка 1 лежит на числовой оси между точками x иy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.Точку с координатами ⟨x, y⟩ отразили симметрично относительно оси OX, оси OY и относительно прямой x = y. Найти координаты трёх получившихся точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
|
Создай 8 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x − 5| 6<=3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Как записать расстояние между точками числовой оси с координатами x и y, используя знак абсолютной величины? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.Точки A и B имеют координаты 1 и 7. Найти координату точки C, если расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC. (Указать все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Известно, что |x| = 5, |y| = 3. Какие значения может принимать |x + y|? Тот же вопрос для |x − y| и |x · y|. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x + 1| + |x + 2| = 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x| > 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
7.Решить уравнение 2*|x − 1| = 3*|x − 7|. 10. Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. 11. Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? 12. Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? 13. Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. 14. Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. 15. Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? 16. На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? 17. По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? 18. Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
8.Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 12 задач по математике 7 класса. | 1.Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Сравните дроби: 1994/1995 и 1995/1996 Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
3.Работа была поделена поровну между работниками в бригаде. После первого дня посчитали, сколько человек выполнило не менее 30% своей доли -- таких оказалось 70% всех работающих. Когда стали считать только тех, кто выполнил не менее 70% своей доли -- таких оказалось 30% работавших. Можно ли быть уверенным, что выполнена хотя бы треть работы? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
4.. . . x − 2 <= 2x. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
5.Каких чисел больше среди чисел от 000000 до 999999:
тех, у которых сумма цифр чётна или тех, у которых она нечётна? Сколько тех и других? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
6.Резиновый шарик падает вертикально, крутясь вокруг горизонтальной оси. Отклонится ли он от вертикали, когда отскочит? Если да, до в какую сторону? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
7.Вася закрыл правый глаз и смотрит в зеркало левым. Он видит муху, сидящую на зеркале, на фоне закрытого правого глаза. После этого он открыл правый глаз и закрыл левый. На фоне чего он теперь увидит муху (которая осталась в той же точке зеркала)? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
8.При каких n и на что можно сократить дроби:
(n+6)/n; (n+19)/(n+13); (5n+3)/(3n+2)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
9.Андрей и Рома играют в азартную игру. Каждый из них пишет на бумажке целое число, не показывая другому. Затем они открывают бумажки, складывают числа и смотрят, делится ли сумма на 3. Если делится, то Рома платит Андрею 3 рубля, если нет, Андрей платит Роме 2 рубля. Кому выгодна эта игра? Как надо изменить её правила, чтобы игра была честной? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
10.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x + 1| + |x + 2| = 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
11.Два пешехода вышли навстречу друг другу одновременно из пунктов А и Б. Каждый из них идёт с постоянной скоростью, и дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через час после начала движения. Когда они встретятся во второй раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
12.Найти координаты середины отрезка, если его концы имеют координаты x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Графики движений". | 1.Бассейн разделён перегородками на две равные части, к каждой из которых ведёт своя труба. Первая половина заполняется за t часов, вторая | за u часов. За сколько времени наполнят бассейн обе трубы, если перегородку снять? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
2.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
3.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
4.Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
5.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
6.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
7.Идя навстречу трамваям, пешеход встречал их каждые 5 минут, идя в одну с ними сторону | каждые 7. Как часто он будет их встречать, стоя на месте? (Трамваи движутся с постоянной скоростью и с одинаковыми интервалами. Скорость пешехода также постоянна.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
|
Создай 6 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.Можно ли разрезать шахматную доску без клеток a1 и h8 на прямоугольники 1 × 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Можно ли так расставить знаки в выражении:
±1 ± 2 ± 3 ± . . . ± 9 ± 10, чтобы получился нуль? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.На прямой имеется 11 точек, причём сумма расстояний от них до некоторой точки A равна сумме расстояний от них до другой точки B. Доказать, что хотя бы одна из этих 11 точек лежит на отрезке AB. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.Окружность разделена точками на 99 дуг, из которых 3 имеют длину 3 см, ещё 3 имеют длину 2 см, и оставшиеся 3 имеют длину 1 см. Доказать, что какие-то две из точек деления диаметрально противоположны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Доказать, что хотя бы у одного из сидящих оба соседа | мальчики. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 9 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.Могут ли 9 шестерёнок, сцепленных по кругу, вращаться? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Улитка каждые 15 минут поворачивает на 90 градусов (а в промежутках ползёт по прямой). Доказать, что она может вернуться в исходную точку лишь через целое число часов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.Каких чисел больше среди чисел от 1 до 1000 | чётных или нечётных? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.Может ли прямая пересекать все 11 сторон невыпуклого 11-угольника (не проходя через его вершины)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Доказать, что хотя бы у одного из сидящих оба соседа | мальчики. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
7.В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен 4. Доказать, что один из учеников получил четвёрку. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
8.Все кости домино расположили в цепь. Доказать, что на концах цепи стоят равные цифры. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
9.При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 3 задач по математике 7 класса. | 1.Сравните дроби: 1994/1995 и 1995/1996 Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
2.Проделайте в тетрадном листе отверстие, в которое может пролезть человек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
3.Найти координаты середины отрезка, если его концы имеют координаты x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
|
Создай 9 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.Какое наибольшее число решений может иметь уравнение ||||x − a| − b| − c| − d| = e относительно x при фиксированных a, b, c, d, e? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.Точки A и B имеют координаты 1 и 7. Найти координату точки C, если расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC. (Указать все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x − 5| 6<=3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.Решить уравнение 2*|x − 1| = 3*|x − 7|. 10. Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. 11. Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? 12. Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? 13. Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. 14. Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. 15. Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? 16. На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? 17. По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? 18. Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
7.Известно, что |x| = 5, |y| = 3. Какие значения может принимать |x + y|? Тот же вопрос для |x − y| и |x · y|. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
8.По кругу написано 30 чисел. Между каждыми двумя записали модуль их разности, а исходные числа стёрли. Доказать, что полученные 30 чисел можно разделить на две группы с равной суммой.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
9.Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 10 задач по математике 7 класса по теме "Целая часть". | 1.Найти сумму: [sqrt(1)] + [sqrt(2)] + [sqrt(3)] + . . . + [sqrt(10000)]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
2.Вася знает, что [x] = 3, [y] = 4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти [x + y]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
3.Какие значения может принимать сумма [x] + [−x]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
4.Всегда ли верны формулы [[x + y] + z] = [x + [y + z]] и {{x + y} + z} = {x + {y + z}}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
5.Доказать, что (при всех x) [x] + [x + 1/n] + [x + 2/n] + . . . + [x + (n−1)/n] = [nx]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
6.Существует ли такое x, что [x] + [2x] + [3x] + [4x] = 99? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
7.Нарисовать на числовой оси точки x, целая часть которых чётна. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
8.Доказать, что: [35/23] + [2 * (35/23)] + [3 * (35/23)] + ... + [22 * (35/23)] = [23/35] + [2 * (23/35)] + [3 * (23/35)] + ... + [35 * (23/35)].Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
9.Нарисовать на числовой оси точки x, дробная часть которых равна 1/3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
10.Вася знает, что {x} = 0,3, {y} = 0,4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти {x + y}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
|
Создай 8 задач по математике 7 класса по теме "Тождества". | 1.В строку написаны точные квадраты: 1, 4, 9, 16, . . . Под каждыми двумя числами написали их разность: 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16−9 = 7 и т. д. Доказать, что каждое следующая разность больше предыдущей на 2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
2.Перемножить: (1 + x)(1 + x^2 )(1 + x^4 )(1 + x^8 )(1 + x^16 ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
3.Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы двух точных квадратов. (Например, 5 хорошее, так как 5 = 2^2 + 1^2 , а 3 -- нет.) Доказать, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.Доказать, что число 999991 составное (т. е. не простое). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
6.Написать формулу для (a + b)^3 и описать соответствующее ей разрезание куба со стороной a + b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
7.Четыре подряд идущих целых числа перемножили и к произведению прибавили 1. Доказать, что получился точный квадрат. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
8.(Продолжение.) Доказать, что произведение двух хороших чисел всегда хорошее. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Тождества". | 1.Проиллюстрировать формулу a^2 − b^2 = (a + b)(a − b), разрезав квадрат a × a с вырезанным углом b × b на две части, из которых можно сложить прямоугольник со сторонами a − b и a + b. (Достаточно одного прямого разреза.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
2.В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы «четвертей квадратов», которые указывали значения (x^2) /4 для 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
3.Четыре подряд идущих целых числа перемножили и к произведению прибавили 1. Доказать, что получился точный квадрат. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.Доказать, что сумма кубов двух положительных целых чисел не может быть простым числом (за исключением единственного случая 1^3 + 1^3 = 2). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.Доказать, что сумма:
1/1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(1*2) + 1/(1*3) + ... + 1/(1*n) + ... + 1/((n - 1) * n) + 1/(1 * 2 * 3) + ... + 1/(1 * 2 * 3 ... n) (в знаменателях стоят все комбинации чисел от 1 до n, в которых числа не повторяются) равна n.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
6.В строку написаны точные квадраты: 1, 4, 9, 16, . . . Под каждыми двумя числами написали их разность: 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16−9 = 7 и т. д. Доказать, что каждое следующая разность больше предыдущей на 2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
7.Перемножить: (1 + x)(1 + x^2 )(1 + x^4 )(1 + x^8 )(1 + x^16 ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
|
Создай 5 задач по математике 7 класса по теме "Тождества". | 1.Четыре подряд идущих целых числа перемножили и к произведению прибавили 1. Доказать, что получился точный квадрат. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
2.Простое число после увеличения на 1 становится точным квадратом. Найти все такие числа. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
3.Если к произведению двух целых чисел, отличающихся на 2, прибавить единицу, то получится точный квадрат (например, 4 · 6 + 1 = 5^2 ). Почему? Простое число | это целое число, большее 1, которое нельзя представить как произведение двух меньших целых положительных чисел. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.Найти (a + b + c)(a + b − c), (a + b + c)(a − b + c), (a + b − c)(a − b + c) (не пользуясь бумагой для промежуточных вычислений). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
|
Создай 3 задач по математике 7 класса. | 1.Резиновый шарик падает вертикально, крутясь вокруг горизонтальной оси. Отклонится ли он от вертикали, когда отскочит? Если да, до в какую сторону? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
2.{x} = {y}; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
3.Замените во фразе:
'И ВСЕ ЖЕ ОН НЕ ПРАВ' каждую из десяти букв И, В, С, Е, Ж, О, Н, П, Р, А одной из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (разные буквы заменяются на разные цифры) так, чтобы все слова превратились в десятичные записи точных квадратов.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
|
Создай 36 задач по математике 7 класса. | 1.x = y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.Мерный цилиндр заполнен водой. Перевёрнутая пробирка, частично заполненная водой, плавает в толще воды. Почему она опускается, если нажать на резиновую плёнку, затягивающую отверстие цилиндра? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
3.Купец продал кафтан покупателю за 10 рублей. У него не было сдачи с 25 рублей, и он разменял 25-рублевую купюру покупателя у соседа. Покупатель ушел. Сосед приходит: «Бумажка фальшивая». Пришлось купцу дать настоящую. Что потерял купец? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
4.На квадратной доске 7 × 7 расставлено 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали квадрата. Доказать, что одна из шашек стоит на этой диагонали. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.На прямой дорожке стоят несколько школьников. Вдоль неё ходит учитель физкультуры. По сигналу «Хоп!» каждый из школьников бежит к тому месту, где стоит учитель, а затем возвращается на своё место. Так повторяется несколько раз. Доказать, что наибольшее расстояние пробежал один из двух крайних школьников. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.На столе в ряд стоят банки объёмом 1 литр, 1/2 литра, 1/3 литра, 1/4 литра, . . . , 1/100 литра. Первая из них полна воды, остальные пустые. Из первой банки переливают воду (сколько поместится) во вторую, затем из второй в третью, из третьей в четвёртую и т. д. (на последнем шаге последняя банка будет наполнена доверху). Сколько воды окажется в каждой из банок? Найти общее количество воды в первых 50 банках после всех переливаний. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
7.В треугольнике ABC угол A равен 60 градусов. Известно, что биссектриса угла A, медиана, проведённая из вершины B, и высота, опущенная из вершины C, пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник равносторонний. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
8.Три разбойника делят между собой большой пирог. Каждый из них мог бы разрезать пирог на три равные части, но остальные ему не доверяют. «Если бы нас было двое, -говорит один из разбойников, -- то один разрезал бы пирог на две части, а второй выбрал одну из частей, и каждый был бы уверен, что получил не меньше половины.» Предложите разбойникам способ поделить пирог так, чтобы каждый был уверен, что ему досталось не меньше трети.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
9.Три кузнечика на прямой играют в чехарду. Каждую секунду один из них перепрыгивает через другого (но не через двух). Доказать, что они могут вернуться в исходное положение только через чётное число секунд. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
10.x > y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
11.Докажите равенство: (1/(1*199))+(1/(3*197))+(1/(5*195))+...+(1/(197*3))+(1/(199*1))=(1/100)*(1+(1/3)+(1/5)+...+(1/199)). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
12.Числа a, b, c, d, e положительны. Известно, что ab = 2, bc = 3, cd = 4, de = Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
13.Земной шар обвязали по экватору верёвкой. Затем верёвку удлинили на метр и приподняли над экватором так, что образовалась щель постоянной ширины. Сможет ли в эту щель пролезть кошка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
14.Каких чисел больше среди чисел от 000000 до 999999:
тех, у которых сумма цифр чётна или тех, у которых она нечётна? Сколько тех и других? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
15.Какое число (одно и то же) надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 36/91 , чтобы она превратилась в 4/9 ? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
16.Работа была поделена поровну между работниками в бригаде. После первого дня посчитали, сколько человек выполнило не менее 30% своей доли -- таких оказалось 70% всех работающих. Когда стали считать только тех, кто выполнил не менее 70% своей доли -- таких оказалось 30% работавших. Можно ли быть уверенным, что выполнена хотя бы треть работы? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
17.Перемножить: (1 + x)(1 + x^2 )(1 + x^4 )(1 + x^8 )(1 + x^16 ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
18.(а) Найдите положительное число (не обязательно целое), при делении которого на 15/8 и 21/10 в частном получаются целые числа. (б) Найдите наименьшее такое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
19.Ветер дует на север. В какую сторону развевается флаг, закреплённый на воздушном шаре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
20.Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
21.Володя и Лёша играют в крестики на доске 3 × 3 по таким правилам: ходят по очереди, ставя крестик в любую свободную клетку. Проигрывает тот, кто не может сделать ход (некуда). Первым ходит Володя. Кто выиграет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
22.По плоскости катают (без проскальзывания) кубик: вправо { вверх { влево { вниз { вправо { вверх { . . . Вернётся ли он в исходное положение, и если да, то через сколько раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
23.Выключатель имеет три контакта 1, 2 и 3 и два положения. В одном положении контакт 1 соединён с контактом 2, а в другом положении контакт 1 соединён с контактом 3. Как, имея два таких выключателя и много провода, сделать так, чтобы свет на лестнице можно было включать и выключать и сверху, и снизу? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
24.В треугольнике ABC на стороне AB взята точка D, а на стороне AC взята точка E. При этом отрезок DE параллелен BC и равен по длине отрезку EC. Найдите угол ABC, если углы BAC и BCD равны соответственно 55 градусов и 25 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
25.. . . x − 2 <= 2x. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
26.Передние покрышки у автомобиля стираются через 25000 км пути, а задние через 15000 км пути. Сколько можно проехать, если вовремя поменять покрышки местами, чтобы они стёрлись одновременно? В какой момент их нужно менять? (Считается, что в передних и задних колёсах стирается одна и та же часть покрышки, причём стирается она равномерно.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
27.Вася знает, что {x} = 0,3, {y} = 0,4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти {x + y}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
28.Андрей и Рома играют в азартную игру. Каждый из них пишет на бумажке целое число, не показывая другому. Затем они открывают бумажки, складывают числа и смотрят, делится ли сумма на 3. Если делится, то Рома платит Андрею 3 рубля, если нет, Андрей платит Роме 2 рубля. Кому выгодна эта игра? Как надо изменить её правила, чтобы игра была честной? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
29.(б) Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 123? (Пятизначные числа -- это числа от 10000 до 99999.) 3. Автомат отрезает от помещённого в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 2 больших квадрата, 3 квадрата поменьше и 5 маленьких квадратов со стороной 1 см. Какой прямоугольник у него был? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
30.Докажите, что в любой компании найдутся два человека, имеющих равное число знакомых в этой компании. (Знакомства симметричны: если А знаком с Б, то Б знаком с А.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
31.{x} = {y}; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
32.Турист вышел из своей палатки, прошел 5 км на юг, 5 км на восток и 5 км на север, после чего снова оказался у своей палатки. Где такое могло произойти?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
33.Сколькими способами можно поставить на шахматную доску (а) белую и черную ладьи, не бьющие друг друга? (б) две белые ладьи, не бьющие друг друга? (В чём разница между этими задачами?) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
34.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 1996. Вася вычеркнул каждое десятое число, считая от начала (т. е. 10, 20, 30, . . . ). После этого он вычеркнул каждое девятое число из оставшихся, затем каждое восьмое, каждое седьмое, . . . , каждое второе. Сколько чисел останется? Какое число будет стоять на последнем месте? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
35.Нарисовать на числовой оси точки x, для которых x − − 1/3 -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
36.В треугольнике ABC на стороне AB взята точка D, а на стороне BC взята точка E. При этом отрезок DE параллелен AB и равен по длине отрезку AD. Найдите угол EAB, если углы B и C треугольника равны соответственно 45 градусов и 60 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
|
Создай 157 задач по математике 7 класса. | 1.x > y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
2.Учительница задала на дом задачу: проверить, делится ли некоторое число на 2, 3 и 6. На следующем уроке Вова сказал: «Я забыл, какое число задали, и делил другое, два раза остатка не было, на третий был». Учительница сказала:
«Ты ошибся». Почему она так сказала? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
3.Первое число равно 7. Чему может быть равно последнее число? 3. В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? 4. Квадратная площадь размера 50 × 50 метров выложена плитами размера 1 × 1 четырёх цветов -- белого, красного, синего и зелёного. При этом плиты одного цвета не лежат рядом и не имеют общего угла. Сколько красных плит на площади? 5. Стакан наполнили водой, накрыли картонкой и перевернули. Почему вода не выливается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
4.Почему произведение двух нечётных чисел нечётно? 5. При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? 6. При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? 7. Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? 8. Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. 9. В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.Можно ли прямолинейным разрезом поделить одновременно пополам прямоугольный кусок хлеба и лежащий на нем круглый кусок колбасы (рис. 2)? Сколькими способами это можно сделать? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
6.Можно ли нарисовать пятиугольник и точку внутри него так, чтобы любая сторона пятиугольника была бы видна из неё под углом 70∘ ? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
7.Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам. Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске, найдётся точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и то же время (с разницей ровно в сутки). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
8.Все кости домино расположили в цепь. Доказать, что на концах цепи стоят равные цифры. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
9.Вася знает, что {x} = 0,3, {y} = 0,4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти {x + y}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
10.Петя стоит на балконе 2-го этажа, а Вася -- на балконе 5-го этажа того же дома. В некоторый момент они одновременно выкрикивают слово «раз». Оказалось, что Петя услышал васино слово немного раньше, чем Вася -- петино. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
11.При каких n и на что можно сократить дроби:
(n+6)/n; (n+19)/(n+13); (5n+3)/(3n+2)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
12.На плоскости нарисовано несколько окружностей, любые две из которых пересекаются. Докажите, что такую фигуру можно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги, не проходя ни по одному участку дважды и не пропустив ни одного участка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
13.Делится ли на 7 сумма двух слагаемых, если (а) оба слагаемых делятся на 7; (б) ровно одно из них делится на 7? (в) ни одно из них не делится на 7? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
14.Проделайте в тетрадном листе отверстие, в которое может пролезть человек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
15.|x − 1| < 1/3; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
16.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 1996. Вася вычеркнул каждое десятое число, считая от начала (т. е. 10, 20, 30, . . . ). После этого он вычеркнул каждое девятое число из оставшихся, затем каждое восьмое, каждое седьмое, . . . , каждое второе. Сколько чисел останется? Какое число будет стоять на последнем месте? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
17.Три разбойника делят между собой большой пирог. Каждый из них мог бы разрезать пирог на три равные части, но остальные ему не доверяют. «Если бы нас было двое, -говорит один из разбойников, -- то один разрезал бы пирог на две части, а второй выбрал одну из частей, и каждый был бы уверен, что получил не меньше половины.» Предложите разбойникам способ поделить пирог так, чтобы каждый был уверен, что ему досталось не меньше трети.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
18.Известно, что |x| = 5, |y| = 3. Какие значения может принимать |x + y|? Тот же вопрос для |x − y| и |x · y|. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
19.. . . x/2 -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
20.Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
21.Три черепахи участвовали в кроссе. Первая сказала:
«Я пришла к финишу раньше второй.». Вторая сказала: «Я пришла к финишу раньше третьей.» Третья сказала: «Я пришла к финишу раньше первой.» Как такое может быть? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
22.Могут ли 9 шестерёнок, сцепленных по кругу, вращаться? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
23.Точку с координатами ⟨x, y⟩ отразили симметрично относительно оси OX, оси OY и относительно прямой x = y. Найти координаты трёх получившихся точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
24.Найти координаты середины отрезка, если его концы имеют координаты x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
25.Бассейн разделён перегородками на две равные части, к каждой из которых ведёт своя труба. Первая половина заполняется за t часов, вторая | за u часов. За сколько времени наполнят бассейн обе трубы, если перегородку снять? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
26.Натуральные числа раскрашены в два цвета. Докажите, что можно так выбрать три числа A, B и C одного цвета, что A + B = 2*C. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
27.Являются ли старейший художник среди шахматистов и старейший шахматист среди художников одним и тем же лицом -- или это не обязательно? Являются ли лучший шахматист среди художников и лучший художник среди шахматистов одним и тем же лицом? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
28.Три кузнечика на прямой играют в чехарду. Каждую секунду один из них перепрыгивает через другого (но не через двух). Доказать, что они могут вернуться в исходное положение только через чётное число секунд. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
29.При каких x точка с координатой x находится правее точки с координатой x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
30.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
31.Докажите равенство: (1/(1*199))+(1/(3*197))+(1/(5*195))+...+(1/(197*3))+(1/(199*1))=(1/100)*(1+(1/3)+(1/5)+...+(1/199)). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
32.Груз прицеплен к безмену, который висит на другом безмене. Сколько весит груз, если безмены показывают 300 и 500 граммов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
33.Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
34.На прямой дороге стоят 6 домов на равных расстояниях друг от друга. В каком месте дороги надо сделать автобусную остановку, чтобы суммарное расстояние от неё до всех домов было бы как можно меньше? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
35.Разрежьте (а) тупоугольный треугольник; (б) квадрат на остроугольные треугольники.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
36.В строку написаны 10 единиц подряд. Перед каждой из них (в том числе и перед первой) стоит плюс или минус. Какие числа могут получиться в сумме? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
37.По окружности написано несколько чисел. Среди произведений соседних чисел ровно 5 отрицательных. Доказать, что одно из чисел равно 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
38.Замените во фразе:
'И ВСЕ ЖЕ ОН НЕ ПРАВ' каждую из десяти букв И, В, С, Е, Ж, О, Н, П, Р, А одной из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (разные буквы заменяются на разные цифры) так, чтобы все слова превратились в десятичные записи точных квадратов.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
39.(Продолжение) Могла ли она проползти 11 метров? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
40.Как измерить толщину нитки, имея катушку с ниткой, карандаш и линейку с сантиметровыми делениями? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
41.Окружность разделена точками на 99 дуг, из которых 3 имеют длину 3 см, ещё 3 имеют длину 2 см, и оставшиеся 3 имеют длину 1 см. Доказать, что какие-то две из точек деления диаметрально противоположны. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
42.Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте. (Режут не на сгибе и сразу все нити.) (а) Сколько кусочков получилось? (б) Два из этих кусочков имели длину 7 см и 3 см. Какова длина верёвки? Укажите все возможности. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
43.max(x, y) <= 2 (здесь max(x, y) | наибольшее из чисел x и y); Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
44.Профессор в командировке, а сын отца профессора пьёт дома чай с отцом сына профессора. Как такое может быть?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
45.На окружности поставлено (в некотором порядке) 10 красных точек и 10 синих. Докажите, что число пар соседних красных точек равно числу пар соседних синих точек. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
46.Почему не горит бумажная коробочка, в которой кипятят воду? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
47.Вася влил стакан кислоты в банку с водой. Получился 10-процентный раствор кислоты в воде. Потом он добавил в раствор ещё один такой же стакан кислоты. Какой раствор получился в результате? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
48.y = 2x; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
49.Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в три раза? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
50.По кругу написано 30 чисел. Между каждыми двумя записали модуль их разности, а исходные числа стёрли. Доказать, что полученные 30 чисел можно разделить на две группы с равной суммой.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
51.У числа 100! = 1·2·. . .·99·100 посчитали сумму цифр, у суммы снова посчитали сумму цифр, и так поступали до тех пор, пока не получили число из одной цифры. Что это за число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
52.Каких чисел больше среди чисел от 1 до 1000 | чётных или нечётных? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
53.В строчку написаны 10 чисел, причём сумма любых трёх соседних равна 15. Первое число равно 7. Чему может быть равно последнее число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
54.Машина проехала половину пути со скоростью v, а вторую половину со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
55.Имеется кирпич, карандаш, лист бумаги и линейка с делениями. Как найти найти длину большой диагонали кирпича (расстояние между противоположными вершинами)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
56.В треугольнике ABC на стороне AB взята точка D, а на стороне BC взята точка E. При этом отрезок DE параллелен AB и равен по длине отрезку AD. Найдите угол EAB, если углы B и C треугольника равны соответственно 45 градусов и 60 градусов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
57.На доске написано число 100. Таня и Оля ходят по очереди. За один ход разрешается уменьшить написанное на доске число на 1, 2 или 3. У кого получится отрицательное число, проиграл. Первой ходит Таня. Кто выиграет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
58.Японские названия некоторых годов по традиционному восточному календарю: каното уси (1901), хиноэ ума (1966), цутиноэ ума (1978), цутиното хицудзи (1979), каноэ сару (1980), хиноэ тора (1986), цутиното ми (1989), мидзуноэ ума (2002), мидзуното хицудзи (2003), хиноэ ума (2026). (а) Запишите названия годов 1991, 1993, 1997. (б) Через сколько лет наступит ближайший год хиноэ сару? каното ми? мидзуноэ уси?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
59.Грани куба 2 × 2 × 2 раскрашены в несколько цветов (каждый из четырёх квадратиков каждой грани -- в один из цветов). При этом квадратики, имеющие общую сторону (в том числе находящиеся на разных гранях) имеют разные цвета. Какое максимальное количество квадратиков одного цвета может быть? Какое минимальное число цветов может быть использовано?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
60.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
61.Отгадайте закон и продолжите таблицу:
1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 2 2 1 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
62.Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 25.Найдите уменьшаемое. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
63.Как записать расстояние между точками числовой оси с координатами x и y, используя знак абсолютной величины? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
64.точка 1 лежит на числовой оси между точками x иy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
65.Машина двигалась в одном направлении, причём за любой промежуток в 1 час она перемещалась на 60 км. Могла ли она за 2,5 часа проехать больше 150 км? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
66.Резиновый шарик падает вертикально, крутясь вокруг горизонтальной оси. Отклонится ли он от вертикали, когда отскочит? Если да, до в какую сторону? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
67.Известно, что (n + 3)(n + 5)(n + 7)(n + 11) = 4095 и что n -- целое положительное число. Найдите его. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
68.Мерный цилиндр заполнен водой. Перевёрнутая пробирка, частично заполненная водой, плавает в толще воды. Почему она опускается, если нажать на резиновую плёнку, затягивающую отверстие цилиндра? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
69.Известно, что положительные числа x и y таковы, что x^4 = 37, y^3 = 15. Какое из чисел x и y больше и почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
70.Доказать, что сумма:
1/1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(1*2) + 1/(1*3) + ... + 1/(1*n) + ... + 1/((n - 1) * n) + 1/(1 * 2 * 3) + ... + 1/(1 * 2 * 3 ... n) (в знаменателях стоят все комбинации чисел от 1 до n, в которых числа не повторяются) равна n.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
71.В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
72.На столе лежат четыре карточки, на которых сверху написано: А, Б, 4, 5. Какое наименьшее количество карточек и какие именно нужно перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения «Если на одной стороне карточки четное число, то на другой -- гласная буква»? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
73.Нарисовать на числовой оси точки x, для которых x − − 1/3 -- целое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
74.|x| = |y|; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
75.Чему может быть равно последнее число? 3. В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? 4. Квадратная площадь размера 50 × 50 метров выложена плитами размера 1 × 1 четырёх цветов -- белого, красного, синего и зелёного. При этом плиты одного цвета не лежат рядом и не имеют общего угла. Сколько красных плит на площади? 5. Стакан наполнили водой, накрыли картонкой и перевернули. Почему вода не выливается? 6. Бизнесмен заключил с чёртом следующее соглашение:
каждый день бизнесмен даёт чёрту одну купюру, а взамен получает любое (указанное бизнесменом) число купюр меньшего достоинства. Может ли бизнесмен бесконечно долго выполнять свои обязательства, если другого источника денежных купюр у него нет?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
76.В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы «четвертей квадратов», которые указывали значения (x^2) /4 для 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
77.x(x − 1)(x − 2)y(y − 1)(y − 2) > 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
78.Вася закрыл правый глаз и смотрит в зеркало левым. Он видит муху, сидящую на зеркале, на фоне закрытого правого глаза. После этого он открыл правый глаз и закрыл левый. На фоне чего он теперь увидит муху (которая осталась в той же точке зеркала)? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
79.(Продолжение.) Доказать, что произведение двух хороших чисел всегда хорошее. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
80.Две вершины квадрата имеют координаты ⟨5, 0⟩ и ⟨0, 2⟩. Каковы координаты двух остальных вершин? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
81.В Москве живёт более 5 миллионов человек. Вася купил карту масштаба 1 : 100 000, расстелил её на земле и думает, что на неё встанут 50 человек (50 = 5 000 000/100 000). Прав ли он? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
82.Обозначая дни недели от воскресенья до субботы числами 0, 1, 2, ... , 6, Вася придумал формулу:
день недели = 7 · {число/7}, которая годится, если первое число месяца было понедельником. Как надо её изменить, если первое число месяца было пятницей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
83.Дима и Сэм играют в такую игру. Вначале ладья стоит в левом нижнем углу шахматной доски. Ходят по очереди. На каждом ходу ладью можно сдвинуть или вправо, или вверх (на любое число клеток). Проигрывает тот, кто не может сделать ход (ладья в правом верхнем углу). Первым ходит Дима. Кто выигрывает при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
84.Решить уравнение 2*|x − 1| = 3*|x − 7|. 10. Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. 11. Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? 12. Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? 13. Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. 14. Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. 15. Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? 16. На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? 17. По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? 18. Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
85.Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков, кубик за кубиком. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
86.В треугольнике ABC угол A равен 60 градусов. Известно, что биссектриса угла A, медиана, проведённая из вершины B, и высота, опущенная из вершины C, пересекаются в одной точке. Докажите, что треугольник равносторонний. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
87.max(x, y) >= 2; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
88.При всех целых x число ax^2 + bx + c целое. Можно ли утверждать, что числа a, b, c --- целые?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
89.В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен 4. Доказать, что один из учеников получил четвёрку. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
90.Проиллюстрировать формулу a^2 − b^2 = (a + b)(a − b), разрезав квадрат a × a с вырезанным углом b × b на две части, из которых можно сложить прямоугольник со сторонами a − b и a + b. (Достаточно одного прямого разреза.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
91.Прямоугольную шоколадку размером 3 × 4 разламывают на дольки 1 × 1. Сколько разломов для этого необходимо (ломать одновременно два кусочка не разрешается)? Можно ли обойтись меньшим числом разломов? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
92.Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
93.x = y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
94.Двузначное число написали подряд три раза. (Например, из числа 67 получилось число 676767. Полученное число всегда делится на 7, 13 и на 111. Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
95.(а) Найдите положительное число (не обязательно целое), при делении которого на 15/8 и 21/10 в частном получаются целые числа. (б) Найдите наименьшее такое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
96.Существует ли такое x, что [x] + [2x] + [3x] + [4x] = 99? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
97.Какое наибольшее число решений может иметь уравнение ||||x − a| − b| − c| − d| = e относительно x при фиксированных a, b, c, d, e? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
98.На столе лежала верёвка (без узла). Лёня подошел к столу, взял веревку за концы двумя руками, и, не выпуская концов верёвки из рук, завязал на ней узел. Как он это сделал? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
99.Человек приехал на станцию на час раньше обычного и не стал ждать посланную за ним машину, а пошёл ей навстречу, встретил, сел и приехал на 20 минут раньше обычного. Сколько минут он шёл пешком? (Скорости человека и машины постоянны.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
100.x^2 + y^2 = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
101.Большой ящик заполнен мелкой картошкой. Другой столь же большой ящик заполнен ещё более мелкой картошкой. Как вы думаете, в каком из ящиков больше картошки (по весу)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
102.[x] = [y]; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
103.В последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Могут ли в ней оказаться рядом (а) два чётных числа? (б) два числа, делящихся на 13? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
104.x^2 = y^2 ; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
105.Нарисовать на числовой оси те числа x, для которых [x] = [x + 2/3]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
106.Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
107.У Димы было 7 картофелин, у Гриши было 5, а у Яши вообще не было. Они сварили картошку и разделили полученную тюрю поровну на троих. Благодарный Яша дал Диме с Гришей 12 конфет. Как они должны поделить их по справедливости?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
108.Выключатель имеет три контакта 1, 2 и 3 и два положения. В одном положении контакт 1 соединён с контактом 2, а в другом положении контакт 1 соединён с контактом 3. Как, имея два таких выключателя и много провода, сделать так, чтобы свет на лестнице можно было включать и выключать и сверху, и снизу? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
109.Фирма «Русский сувенир» обнаружила в результате «маркетинга», что многие граждане хотели бы иметь на память десятитысячную купюру, номер на которой совпадает с их телефонным номером. Но их начальный капитал недостаточен, чтобы приобрести купюры со всеми возможными номерами. Тем не менее фирма нашла выход из положения. Какой?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
110.Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
111.Передние покрышки у автомобиля стираются через 25000 км пути, а задние через 15000 км пути. Сколько можно проехать, если вовремя поменять покрышки местами, чтобы они стёрлись одновременно? В какой момент их нужно менять? (Считается, что в передних и задних колёсах стирается одна и та же часть покрышки, причём стирается она равномерно.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
112.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
113.Правила хорошего тона запрещают женщине стоять первой в очереди, а мужчине стоять перед женщиной. Может ли в очереди, где все правила соблюдены, оказаться женщина? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
114.Всегда ли верны формулы [[x + y] + z] = [x + [y + z]] и {{x + y} + z} = {x + {y + z}}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
115.В треугольнике ABC угол B равен 20 градусам, а угол C равен 40 градусам. Биссектриса AD угла A равна 2. Найти разность сторон BC − AB. (Подсказка: на стороне BC постройте точку E, для которой угол AEB равен 80 гардусам.)Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
116.Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
117.Полученное число всегда делится на 7, 13 и на 111. Почему? 3. Можно ли из квадрата со стороной 1 вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 1996? 4. Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков, кубик за кубиком. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика? 5. Имеется кирпич, карандаш, лист бумаги и линейка с делениями. Как найти найти длину большой диагонали кирпича (расстояние между противоположными вершинами)? 6. Миша горько плачет: «Ну почему мне так не повезло с днём рождения! Я уж и не помню, что мне дарили в прошлый раз . . . » В чём его беда?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
118.Андрей и Рома играют в азартную игру. Каждый из них пишет на бумажке целое число, не показывая другому. Затем они открывают бумажки, складывают числа и смотрят, делится ли сумма на 3. Если делится, то Рома платит Андрею 3 рубля, если нет, Андрей платит Роме 2 рубля. Кому выгодна эта игра? Как надо изменить её правила, чтобы игра была честной? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
119.Найти координаты точек, делящих отрезок [−1, 4] в отношении 2 : 3 и 3 : 4. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
120.(а) Докажите, что сумма дробей (1/1000) + (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/1999) + (1/2000) не меньше 1/Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
121.Вася знает, что [x] = 3, [y] = 4. Достаточно ли у него данных, чтобы найти [x + y]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
122.Двое пловцов одновременно начали плыть по 25-метровой дорожке бассейна со скоростями 1,4 м/с и 1,1 м/с. Доплывая до конца дорожки, каждый из пловцов поворачивает назад. Когда более быстрый пловец впервые обгонит более медленного (плывя в ту же сторону)? На каком расстоянии от места старта это произойдёт? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
123.Можно ли замостить плоскость одинаковыми (а) треугольниками; (б) четырехугольниками; (в) пятиугольниками; (г) шестиугольниками; (д) семиугольниками? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
124.Может ли сторона треугольника быть вдвое больше другой стороны и вдвое меньше третьей? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
125.Любая из сторон первого треугольника больше любой стороны второго треугольника, а площадь второго больше площади первого. Может ли так быть? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
126.На прямой выбраны две точки A и B на расстоянии 10. Где на прямой может находиться точка C, если известно, что расстояние AC в полтора раза больше расстояния BC? (Укажите все варианты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
127.Квадрат разрезан на 5 прямоугольников, четыре из которых имеют по одному общем углу с квадратом и равновелики друг другу, а пятый находится внутри квадрата (не имея с ним общих кусков сторон). Докажите, что он будет квадратом.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
128.Ветер дует на север. В какую сторону развевается флаг, закреплённый на воздушном шаре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
129.Среди любых трёх школьников 7а класса хотя бы один играет в компьютерные игры. Преподаватели решили выгнать всех, кто играет в компьютерные игры. Сколько школьников останется, если это решение выполнить?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
130.Можно ли разрезать фигуру, изображенную на рис. 1, на две, на три и на четыре одинаковые части? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
131.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. 1Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
132.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
133.В стакане с водой плавает кусочек льда. Как изменится уровень воды в стакане, когда лёд растает? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 11 октября 1995
134.x + y = 0; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
135.Лыжи обычно делают вогнутыми (середина лыжи приподнимается над землёй, когда концы стоят на земле), при этом среднюю часть лыжи обычно намазывают мазью, прилипающей к снегу, а концы -- мазью, хорошо скользящей по снегу. Зачем всё это делается?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
136.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
137.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x − 5| 6<=3. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
138.В треугольнике ABC взяли точку D на стороне BC, точку E на стороне AC и точку F на стороне AB. При этом AF = AE, BD = BF и CE = CD. Известно, что ∠ABC = 20 градусов. Найдите угол FED. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
139.Четыре подряд идущих целых числа перемножили и к произведению прибавили 1. Доказать, что получился точный квадрат. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
140.Собака преследует зайца, который находится на расстоянии 40 своих прыжков впереди собаки. Собака делает 7 прыжков за то же время, что заяц -- 9, но 3 прыжка собаки равносильны 5 прыжкам зайца. Сколько прыжков надо сделать собаке, чтобы догнать зайца? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
141.Следующий текст получен из хорошо известного заменой каждой буквы на какую-то другую. Последнее слово пропущено. Восстановите его. -- Сагдау ра накя, сагдау ра накя? -- пудгэбуз Увнюв Сушванщэб, лсгецуе л цгяжюь сюсюзуь галлдэм цзуцюз нака ву шгувтаплдэм зуф. -- Е вя ьюца фюгьэг р сюняьдуж. -Фяшюгч вя сювез яцю рюлдзэтувэе э сючязуз яьа фючгюм вюбэ. -- Сгюдзеном чулагьув, -- сгюрюгбуз Лсэтов, пуданоруелщ р юфяезю. -- Вачвю яьа чозю лрябда накэнщ. Яьа чя жачя. Е лсунщ вя ьюца чяп юцве. -- Ьалщя, ьалщя, -сгюфюзчуз юв, -- чя ря уряд ра сугзя. -- Вю шгувтап вя юнрябуз э рлдюгя пужгусяз . . . Увнюв Сушванщэб пуьюзбуз, алнузюлнщ э рэввоя суго ьузю-сюьуза сгярюпьюцзэ яцю чюепзэрюлнщ, юв лнуз фгяьунщ, э рлдюгя цзачюдэм люв юрзуфяз эь люрягкяввю. Лнгуввюя цюнюрэзюлщ яьа сгючючфявэя. Юв барлнрюруз лдрюпщ люв, бню дню-ню нэжювщдю фягцуз яцю пу рюгюн гачукдэ. Увнюв Сушванщэб юндгоз цзупу э сгэ чзяфвюь лряня юляввяцю ангу арэфяз сягяф лючюм Фяшюгчу: шгувтап р юфвюм гадя фягчуз дугьуввом сэлнюзян, у фгацюи юнлняцэруз пурянваи лаьа. Увнюв Сушванэщэб ючьяг. -- Дялщ дя ля, ьалщя, дялщ дя ля, -- сгюэпвял юв нгясяхахэь цюзюлюь. -- Нэкя, ьюзбунщ, -- юнрябуз абэнязщ бэлноь галлдэь еподюь, -- ьюзбунщ эзэ ро сгюсузэ. ЕРесурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
142.На прямой имеется 11 точек, причём сумма расстояний от них до некоторой точки A равна сумме расстояний от них до другой точки B. Доказать, что хотя бы одна из этих 11 точек лежит на отрезке AB. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
143.Какое наименьшее количество карточек и какие именно нужно перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения «Если на одной стороне карточки четное число, то на другой -- гласная буква»? 4. Из Москвы во Владивосток ежедневно ровно в полночь (по московскому времени) выходит поезд, который идет ровно 6 суток. Из Владивостока в Москву ежедневно в полдень (по московскому времени) выходит поезд, который идет также 6 суток. Когда поезда встречаются, машинисты кричат «Ура!». (а) Сколько раз машинист кричит «Ура!» на пути из Москвы во Владивосток? (б) Сколько криков «Ура!» раздается в течение суток? Наконец, (в) сколько железнодорожных составов нужно, чтобы организовать такое движение? 5. У катушки внутренний диаметр равен 1 см, а внешний -- 2 см. Катушка катится со скоростью 30 см/с. С какой скоростью для этого человек должен тянуть конец нитки? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 31 января 1996
144.Может ли прямая пересекать все 11 сторон невыпуклого 11-угольника (не проходя через его вершины)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
145.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
146.На клетчатой бумаге нарисован прямоугольник шириной 8 клеток и высотой 6 клеток. Можно ли поставить в нём крестики так, чтобы (а) в каждой строке стояло 4 крестика, а в каждом столбце -- 3? (б) в каждой строке стояло 3 крестика, а в каждом столбце -- 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
147.Какое из чисел x и y больше и почему? 3. Вася тренируется на катке. Он положил три шайбы в вершины треугольника, а затем бьёт по одной из шайб так, чтобы она (двигаясь по прямой) прошла в ворота, образуемые двумя другими шайбами. Могут ли после 7 бросков все три шайбы оказаться в прежних местах? Могут ли они после 7 бросков оказаться в вершинах того же треугольника? 4. Даны две бутылки с растворами разной концентрации. В одной бутылке 0,5 литра, в другой 0,3 литра. Два одинаковых стаканчика налили доверху (каждый из своей бутылки), после чего растворы влили обратно в бутылки, поменяв их местами. В результате в обеих бутылках получился раствор одинаковой концентрации. Найти объём стаканчиков. 5. Петя и Боря смотрят на большой кусок пчелиных сот. Соты состоят из шестиугольников, примыкающих друг к другу так, что в вершине сходятся три шестиугольника. Петя считает число шестиугольников, Боря -- число вершин шестиугольников. У кого из них получится больше? Во сколько раз (примерно)? Почему? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
148.Как замостить плоскость одинаковыми плитками, имеющими вид квадрата с отрезанным углом (рис. 7)? (Нарисуйте подробную схему укладки плит.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
149.При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
150.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 57. Разрешается заменить любые два числа на их сумму или разность, пока не останется одно число. Может ли это число быть нулём? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
151.Точку с координатой x сдвинули на 5 единиц вправо. Какова её координата теперь? 2 Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
152.На берегу реки крестьянин, волк, коза и капуста. Волк, оставленный с козой без крестьянина, её съедает -- в свою очередь, коза съедает капусту, оставшись с ней без присмотра. Как крестьянину перевезти всех на другой берег, если в лодку можно взять только один из трех объектов (за раз)?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
153.Чему равно e/a? 5. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 3 см; в результате его площадь увеличилась на 39 см2 . Найдите периметр исходного прямоугольника. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 1
154.. . . чётное число верных. 13. Точки A и B имеют координаты a и b. Найти координату точки C, делящей отрезок AB в отношении 2 : 3. 14. Нарисовать на числовой оси те точки x, для которых (x − 1)(x − 2) . . . (x − 9)(x − 10) > 0. Линейку повернули на 180 градусов и приложили к другой такой же. При этом точка 4 нижней линейки совпала с точкой 7 верхней, а точка 5 нижней совпала с точкой 6 верхней. Какое число находится напротив числа 10 на нижней линейке? Напротив числа x на нижней линейке? 16. При каких x точка с координатой x^2 находится правее точки с координатой x? 17. На сколько сдвинется середина отрезка на числовой оси, если один его конец неподвижен, а второй сдвинулся на 3 единицы? 18. На числовой оси находятся точки A, B, C, D. Петя нашел середины отрезков AB и CD, соединил их отрезком и взял середину этого отрезка. Вася сделал то же с отрезками AC и BD. Доказать, что Петя и Вася получили одну и ту же точку. 19. Нарисовать на числовой оси положительные числа, в десятичной записи которых первая цифра после запятой равна 3. 20. На числовой оси отмечены точки с координатами 0 и 1. Разрешается отметить середину отрезка, если его концы уже отмечены. Можно ли, соблюдая это правило, отметить точку с координатой 1/3?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
155.Два пешехода вышли навстречу друг другу одновременно из пунктов А и Б. Каждый из них идёт с постоянной скоростью, и дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через час после начала движения. Когда они встретятся во второй раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
156.Сколько раз в сутки стрелки часов образуют прямой угол? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
157.При проигрывании магнитофонной кассеты плёнка движется с постоянной скоростью (4,77 см/с). Какая из втулок кассеты крутится быстрее -- приёмная или подающая? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
|
Создай 10 задач по математике 7 класса по теме "Тождества". | 1.В строку написаны точные квадраты: 1, 4, 9, 16, . . . Под каждыми двумя числами написали их разность: 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16−9 = 7 и т. д. Доказать, что каждое следующая разность больше предыдущей на 2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
2.Доказать, что (a + b)^2 − (a − b)^2 = 4ab. Как выглядит соответствующая картинка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
3.Если к произведению двух целых чисел, отличающихся на 2, прибавить единицу, то получится точный квадрат (например, 4 · 6 + 1 = 5^2 ). Почему? Простое число | это целое число, большее 1, которое нельзя представить как произведение двух меньших целых положительных чисел. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.Перемножить: (1 + x)(1 + x^2 )(1 + x^4 )(1 + x^8 )(1 + x^16 ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.Найти (a + b + c)(a + b − c), (a + b + c)(a − b + c), (a + b − c)(a − b + c) (не пользуясь бумагой для промежуточных вычислений). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
6.Доказать, что при положительном целом n число n2 + n не может быть точным квадратом. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
7.Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы двух точных квадратов. (Например, 5 хорошее, так как 5 = 2^2 + 1^2 , а 3 -- нет.) Доказать, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
8.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
9.Написать формулу для (a + b)^3 и описать соответствующее ей разрезание куба со стороной a + b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
10.(Продолжение.) Доказать, что произведение двух хороших чисел всегда хорошее. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
|
Создай 8 задач по математике 7 класса по теме "Целая часть". | 1.Нарисовать на числовой оси точки x, целая часть которых чётна. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
2.Написать выражение, содержащее букву x, числа, операцию взятия целой части и арифметические операции, которое равнялось бы ближайшему к x целому числу (любому, если их два). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
3.Написать формулы для частного и остатка при делении двух целых положительных чисел с остатком (формулы должны использовать арифметические операции и знак целой части). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
4.Доказать, что [[x/y]/z] = [x/(yz)] для любых положительных целых x, y, z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
5.Доказать, что (при всех x) [x] + [x + 1/n] + [x + 2/n] + . . . + [x + (n−1)/n] = [nx]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
6.Нарисовать на числовой оси те числа x, для которых [x] = [x + 2/3]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
7.Какие значения может принимать сумма [x] + [−x]? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
8.Всегда ли верны формулы [[x + y] + z] = [x + [y + z]] и {{x + y} + z} = {x + {y + z}}? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
|
Создай 4 задач по математике 7 класса. | 1.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x + 1| + |x + 2| = 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Два пешехода вышли навстречу друг другу одновременно из пунктов А и Б. Каждый из них идёт с постоянной скоростью, и дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз они встретились через час после начала движения. Когда они встретятся во второй раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
3.При каких n и на что можно сократить дроби:
(n+6)/n; (n+19)/(n+13); (5n+3)/(3n+2)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
4.По окружности написано несколько чисел. Среди произведений соседних чисел ровно 5 отрицательных. Доказать, что одно из чисел равно 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 10 задач по математике 7 класса по теме "Тождества". | 1.Найти (a + b + c)(a + b − c), (a + b + c)(a − b + c), (a + b − c)(a − b + c) (не пользуясь бумагой для промежуточных вычислений). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
2.Проиллюстрировать формулу (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 , сложив квадрат со стороной a + b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
3.В строку написаны точные квадраты: 1, 4, 9, 16, . . . Под каждыми двумя числами написали их разность: 4 − 1 = 3, 9 − 4 = 5, 16−9 = 7 и т. д. Доказать, что каждое следующая разность больше предыдущей на 2. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.Четыре подряд идущих целых числа перемножили и к произведению прибавили 1. Доказать, что получился точный квадрат. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.Доказать, что сумма:
1/1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(1*2) + 1/(1*3) + ... + 1/(1*n) + ... + 1/((n - 1) * n) + 1/(1 * 2 * 3) + ... + 1/(1 * 2 * 3 ... n) (в знаменателях стоят все комбинации чисел от 1 до n, в которых числа не повторяются) равна n.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
6.Простое число после увеличения на 1 становится точным квадратом. Найти все такие числа. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
7.Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы двух точных квадратов. (Например, 5 хорошее, так как 5 = 2^2 + 1^2 , а 3 -- нет.) Доказать, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
8.Если к произведению двух целых чисел, отличающихся на 2, прибавить единицу, то получится точный квадрат (например, 4 · 6 + 1 = 5^2 ). Почему? Простое число | это целое число, большее 1, которое нельзя представить как произведение двух меньших целых положительных чисел. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
9.В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы «четвертей квадратов», которые указывали значения (x^2) /4 для 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
10.(Продолжение.) Доказать, что произведение двух хороших чисел всегда хорошее. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
|
Создай 10 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.На прямом шоссе через равные промежутки стоят 6 домов. Где нужно вырыть колодец, чтобы суммарное расстояние от всех домов до колодца было как можно меньше? А если промежутки между домами различны? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.Известно, что |x + 2y| <= 4, |x + y| <= 3. Какие значения может принимать x? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Дима считает, что |−a| при a < 0 равно a, а Володя | что −a. Кто из них прав? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
7.Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
8.Известно, что |x + 2| <= 3, |x − 4| <= 5. Доказать, что |x| <= 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
9.Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
10.По кругу написано 30 чисел. Между каждыми двумя записали модуль их разности, а исходные числа стёрли. Доказать, что полученные 30 чисел можно разделить на две группы с равной суммой.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 7 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 57. Разрешается заменить любые два числа на их сумму или разность, пока не останется одно число. Может ли это число быть нулём? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Каких чисел больше среди чисел от 1 до 1000 | чётных или нечётных? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.Почему произведение двух нечётных чисел нечётно? 5. При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? 6. При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? 7. Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? 8. Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. 9. В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Доказать, что хотя бы у одного из сидящих оба соседа | мальчики. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
7.По окружности написано несколько чисел. Среди произведений соседних чисел ровно 5 отрицательных. Доказать, что одно из чисел равно 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 25 задач по математике 7 класса. | 1.В мешке лежит 57 чёрных фасолин и 43 белых. Борис Петрович вынимает из мешка наугад две фасолины. Если они оказываются одного цвета, то он заменяет их на белую фасолину, если разного -- то на чёрную. Так он делает до тех пор, пока в мешке не останется только одна фасолина. Какого цвета она будет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 7 февраля 1996
2.В классе 20 учеников. Было проведены две контрольные, за каждую из которых ставились отметки от 2 до 5 (не участвовавшие получили двойки). Докажите, что есть два ученика с одинаковыми результатами (по обеим контрольным). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
3.Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в три раза? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задание 13 марта 1996
4.Нарисовать те точки ⟨x, y⟩, для которых (а) x+x^2 = y+y^2 ; (б) x + x^3 = y + y^3 ; (в) x + |x| = y + |y|.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
5.Если к произведению двух целых чисел, отличающихся на 2, прибавить единицу, то получится точный квадрат (например, 4 · 6 + 1 = 5^2 ). Почему? Простое число | это целое число, большее 1, которое нельзя представить как произведение двух меньших целых положительных чисел. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
6.Половина симметричной U-образной трубки заполнена водой, половина -- подсолнечным маслом (до той же высоты). Что произойдёт, если открыть кран внизу трубки? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
7.По кругу написано 30 чисел. Между каждыми двумя записали модуль их разности, а исходные числа стёрли. Доказать, что полученные 30 чисел можно разделить на две группы с равной суммой.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
8.Царь вызвал двух мудрецов, дал каждому из них карточку (так, чтобы другой её не видел), и сказал: «У каждого из вас на карточке написано целое положительное число, причём эти числа отличаются на единицу». После этого царь спросил первого мудреца: «Какое у второго число?». -- «Не знаю», -- ответил первый. Царь спросил второго: «А ты не знаешь, какое число у первого?». -- «И я не знаю», -- ответил второй. И снова спросил царь первого, и снова тот ответил, что не знает. После этого он спросил второго, и тот сказал, какое число у первого. Какие числа могли быть на карточках и как рассуждал второй?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 24 января 1995
9.Как изменится внутренний диаметр кольца (рис. 3) при нагревании?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
10.Найти (a + b + c)(a + b − c), (a + b + c)(a − b + c), (a + b − c)(a − b + c) (не пользуясь бумагой для промежуточных вычислений). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
11.Грани куба 2 × 2 × 2 раскрашены в несколько цветов (каждый из четырёх квадратиков каждой грани -- в один из цветов). При этом квадратики, имеющие общую сторону (в том числе находящиеся на разных гранях) имеют разные цвета. Какое максимальное количество квадратиков одного цвета может быть? Какое минимальное число цветов может быть использовано?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
12.По плоскости катают (без проскальзывания) кубик: вправо { вверх { влево { вниз { вправо { вверх { . . . Вернётся ли он в исходное положение, и если да, то через сколько раз? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
13.Учительница задала на дом задачу: проверить, делится ли некоторое число на 2, 3 и 6. На следующем уроке Вова сказал: «Я забыл, какое число задали, и делил другое, два раза остатка не было, на третий был». Учительница сказала:
«Ты ошибся». Почему она так сказала? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
14.На сколько частей делят пространство плоскости, являющиеся гранями куба? тетраэдра (треугольного молочного пакета)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
15.По шоссе в одном направлении, с постоянной скоростью и с равными интервалами идут автобусы. Однажды человек прошёл по шоссе 4 км и его обогнали 6 автобусов. В другой раз он прошёл (с той же скоростью) 6 км и его обогнали 8 автобусов. В третий раз он прошёл 17 км. Сколько автобусов его обогнали?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
16.Найти отношение a/e. 5. Каждую сторону прямоугольника увеличили на 2 м; в результате его площадь увеличилась на 28 м^2 . Найдите периметр исходного прямоугольника. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 27 марта 1996 года. Вариант 2
17.Вода выливается из цилиндрической бочки через дырку в дне. Нарисовать примерный график зависимости высоты воды от времени. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
18.Почему крышки канализационных люков делают круглыми, а не овальными или квадратными? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 1 ноября 1995
19.Нарисуйте фигуру из 11 точек и нескольких отрезков между ними так, чтобы каждая точка была соединена ровно с двумя другими. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
20.Сколько раз входит 2 в разложение на простые сомножители числа 100 · 101 · 102 · 103 · . . . · 199 · 200? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
21.Некоторые целые числа объявлены хорошими, остальные -- плохими. Известно, что (а) если x хорошее, то x + 15 тоже хорошее; (б) если x плохое, то x + 6 тоже плохое. Сколько плохих чисел может быть среди чисел от 1 до 1000? Укажите все варианты и докажите, что других быть не может. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Домашняя олимпиада
22.Сколько чисел от 00 до 99 содержат в своей записи цифру 3 и сколько не содержат? Сколько чисел от 000 до 999 содержат в своей записи цифру 3 и сколько не содержат? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
23.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
24.Можно ли нарисовать многоугольник и точку вне него, из которой ни одна сторона многоугольника не видна целиком? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
25.Володя и Сева по очереди пишут кладут на прямоугольный стол круглые монеты (все монеты одинаковы). Уже лежащие монеты сдвигать нельзя; класть монету поверх других -- тоже. Кто не может положить монету так, чтобы она не упала со стола, проигрывает. Первым ходит Володя. Кто выигрывает при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
|
Создай 16 задач по математике 7 класса. | 1.Дима считает, что |−a| при a < 0 равно a, а Володя | что −a. Кто из них прав? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.Известно, что 57 = 2^5 + 5^2 . Найдите аналогичное разложение числа 5757 (т. е. такие целые числа c и d, что 5757 = c^d + d^c ). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 27 декабря 1995
3.Есть три карандаша и нитки. Сделайте из них «жёсткую» конструкцию, в которой карандаши не касались бы друг друга (даже через слой ниток), но удерживались бы нитками в определённом положении друг относительно друга.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
4.Доказать, что [[x/y]/z] = [x/(yz)] для любых положительных целых x, y, z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
5.Простое число после увеличения на 1 становится точным квадратом. Найти все такие числа. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
6.Каким днём недели было 6 апреля 1957 года? В году 365 дней, если он не високосный (366 дней); високосные годы -- это те, которые делятся на 4 (исключения бывают только в начале столетий). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
7.Доказать, что сумма кубов двух положительных целых чисел не может быть простым числом (за исключением единственного случая 1^3 + 1^3 = 2). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
8.На столе в ряд стоят банки объёмом 1 литр, 1/2 литра, 1/3 литра, 1/4 литра, . . . , 1/100 литра. Первая из них полна воды, остальные пустые. Из первой банки переливают воду (сколько поместится) во вторую, затем из второй в третью, из третьей в четвёртую и т. д. (на последнем шаге последняя банка будет наполнена доверху). Сколько воды окажется в каждой из банок? Найти общее количество воды в первых 50 банках после всех переливаний. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 10 апреля 1996
9.Сумма трех различных чисел (не обязательно целых) равна 10, а разница между большим и меньшим из них равна 2. Каким может быть среднее по величине число? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 6 апреля 1996 года
10.Какое наибольшее число решений может иметь уравнение ||||x − a| − b| − c| − d| = e относительно x при фиксированных a, b, c, d, e? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
11.Известно, что a/b = c/d. Докажите, что (a − b)/(a + b) = (c − d)/(c + d). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
12.Найти сумму: [sqrt(1)] + [sqrt(2)] + [sqrt(3)] + . . . + [sqrt(10000)]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
13.В Вестляндии 64 города. Докажите, что в каких-то трёх из них число дождливых дней в сентябре было одинаково. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
14.Машина проехала половину времени со скоростью v, а вторую половину | со скоростью w. Какова её средняя скорость? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Графики движений
15.Прямоугольный город 5×7 разбит на квадратные кварталы 1 × 1. Мы хотим пройти из юго-западного угла в северо-восточный, идя на север и на восток. Все возможные пути имеют одинаковую длину. (Почему?) Сколько различных путей существует? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 25 октября 1995
16.Точку с координатой x сдвинули на 5 единиц вправо. Какова её координата теперь? 2 Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Задачи 1996 - 1997 года
|
Создай 10 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен 4. Доказать, что один из учеников получил четвёрку. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Три кузнечика на прямой играют в чехарду. Каждую секунду один из них перепрыгивает через другого (но не через двух). Доказать, что они могут вернуться в исходное положение только через чётное число секунд. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.На квадратной доске 7 × 7 расставлено 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали квадрата. Доказать, что одна из шашек стоит на этой диагонали. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
7.Могут ли 9 шестерёнок, сцепленных по кругу, вращаться? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
8.Можно ли разрезать шахматную доску без клеток a1 и h8 на прямоугольники 1 × 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
9.При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
10.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 57. Разрешается заменить любые два числа на их сумму или разность, пока не останется одно число. Может ли это число быть нулём? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 43 задач по математике 7 класса. | 1.(а) Найдите минимальное пятизначное число, делящееся на 12Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
2.Турист вышел из своей палатки, прошел 5 км на юг, 5 км на восток и 5 км на север, после чего снова оказался у своей палатки. Где такое могло произойти?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 декабря 1995
3.(а) Докажите, что сумма дробей (1/1000) + (1/1001) + (1/1002) + ... + (1/1999) + (1/2000) не меньше 1/Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 17 апреля 1996 года
4.(б) Сколько существует пятизначных чисел, делящихся на 123? (Пятизначные числа -- это числа от 10000 до 99999.) 3. Автомат отрезает от помещённого в него прямоугольника квадрат со стороной, равной меньшей из сторон прямоугольника. Применяя несколько раз подряд этот автомат к имевшемуся у него прямоугольнику, Вася в конце концов разрезал его на 2 больших квадрата, 3 квадрата поменьше и 5 маленьких квадратов со стороной 1 см. Какой прямоугольник у него был? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
5.x > y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
6.Нарисовать на числовой оси те числа x, для которых [x] = [x + 2/3]. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Целая часть
7.Профессор в командировке, а сын отца профессора пьёт дома чай с отцом сына профессора. Как такое может быть?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
8.Сколькими способами можно поставить на шахматную доску (а) белую и черную ладьи, не бьющие друг друга? (б) две белые ладьи, не бьющие друг друга? (В чём разница между этими задачами?) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 21 февраля 1996
9.Разрежьте (а) тупоугольный треугольник; (б) квадрат на остроугольные треугольники.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
10.x = y; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
11.Большой ящик заполнен мелкой картошкой. Другой столь же большой ящик заполнен ещё более мелкой картошкой. Как вы думаете, в каком из ящиков больше картошки (по весу)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 18 октября 1995
12.В выражении (a + b − c)(d − e − f)(g − h + i)(k + l + m) раскрыли скобки. Сколько членов получится? Перед сколькими из них будет стоять знак минус? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
13.(а) Найдите положительное число (не обязательно целое), при делении которого на 15/8 и 21/10 в частном получаются целые числа. (б) Найдите наименьшее такое число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
14.Докажите равенство: (1/(1*199))+(1/(3*197))+(1/(5*195))+...+(1/(197*3))+(1/(199*1))=(1/100)*(1+(1/3)+(1/5)+...+(1/199)). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 13 апреля 1996 года
15.Проиллюстрировать формулу (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 , сложив квадрат со стороной a + b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
16.Какое число (одно и то же) надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 36/91 , чтобы она превратилась в 4/9 ? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 2
17.Боря и Игорь играют в такую игру. На столе лежат две кучки спичек по 7 спичек в каждой. Ходят по очереди. За один ход можно взять любое число спичек (хоть все), но только из одной кучки. Выигрывает тот, кто взял последнюю спичку. Боря начинает. Кто выиграет при правильной игре? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 14 февраля 1996
18.При проигрывании магнитофонной кассеты плёнка движется с постоянной скоростью (4,77 см/с). Какая из втулок кассеты крутится быстрее -- приёмная или подающая? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
19.Может ли шахматный конь обойти все 9 полей доски 3 × 3? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
20.x^2 = y^2 ; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
21.(Продолжение.) Доказать, что произведение двух хороших чисел всегда хорошее. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
22.Может ли кот Леопольд подарить 10 мышатам конфеты, если он хочет, чтобы каждый получил хотя бы одну конфету, никакие два мышонка не получили одинакового числа конфет и всего у него (а) 15 конфет; (б) 50 конфет; (в) 100 конфет? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 15 ноября 1995
23.На доске написаны числа 1, 2, 3, . . . , 57. Разрешается заменить любые два числа на их сумму или разность, пока не останется одно число. Может ли это число быть нулём? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
24.Мерный цилиндр заполнен водой. Перевёрнутая пробирка, частично заполненная водой, плавает в толще воды. Почему она опускается, если нажать на резиновую плёнку, затягивающую отверстие цилиндра? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 17 января 1995
25.Полученное число всегда делится на 7, 13 и на 111. Почему? 3. Можно ли из квадрата со стороной 1 вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 1996? 4. Мышка грызёт куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков, кубик за кубиком. Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим. Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика? 5. Имеется кирпич, карандаш, лист бумаги и линейка с делениями. Как найти найти длину большой диагонали кирпича (расстояние между противоположными вершинами)? 6. Миша горько плачет: «Ну почему мне так не повезло с днём рождения! Я уж и не помню, что мне дарили в прошлый раз . . . » В чём его беда?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 28 февраля 1996
26.Имеются неверные чашечные весы (плечи неодинаковой длины, так что для равновесия на одну чашку надо класть больше, чем на другую), правильная килограммовая гиря и мешок сахарного песка. Как отвесить килограмм сахарного песка? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 29 ноября 1995
27.max(x, y) >= 2; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
28.На плоскости нарисовано несколько окружностей, любые две из которых пересекаются. Докажите, что такую фигуру можно обвести карандашом, не отрывая его от бумаги, не проходя ни по одному участку дважды и не пропустив ни одного участка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
29.Любую сумму денег, начиная с 8 копеек, можно уплатить пятаками и алтынами. Почему? (Пятак -- пять копеек, алтын -- три копейки; это старинные русские монеты.) Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
30.На квадратной доске 7 × 7 расставлено 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали квадрата. Доказать, что одна из шашек стоит на этой диагонали. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
31.В пятирожковой люстре можно отдельно включать три и два рожка (двумя клавишами выключателя). Нарисуйте схему соединения люстры и выключателей с электросетью, учитывая, что из потолка в люстру идут 3 провода. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
32.точка 1 лежит на числовой оси между точками x иy; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
33.Сравните дроби: 1994/1995 и 1995/1996 Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 4 октября 1995
34.Вычислите произведение, приведя подобные члены:
(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 )(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 3 апреля 1996 года. Вариант 1
35.Можно ли прямолинейным разрезом поделить одновременно пополам прямоугольный кусок хлеба и лежащий на нем круглый кусок колбасы (рис. 2)? Сколькими способами это можно сделать? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 декабря 1995
36.Правила хорошего тона запрещают женщине стоять первой в очереди, а мужчине стоять перед женщиной. Может ли в очереди, где все правила соблюдены, оказаться женщина? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 22 ноября 1995
37.Натуральные числа раскрашены в два цвета. Докажите, что можно так выбрать три числа A, B и C одного цвета, что A + B = 2*C. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 6 марта 1996
38.Половина симметричной U-образной трубки заполнена водой, половина -- подсолнечным маслом (до той же высоты). Что произойдёт, если открыть кран внизу трубки? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 26 апреля 1996 года (физика)
39.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Собеседование 20 апреля 1996
40.Среди любых трёх школьников 7а класса хотя бы один играет в компьютерные игры. Преподаватели решили выгнать всех, кто играет в компьютерные игры. Сколько школьников останется, если это решение выполнить?Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 20 марта 1996
41.{x} = {y}; Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Координаты на плоскости
42.На прямой дорожке стоят несколько школьников. Вдоль неё ходит учитель физкультуры. По сигналу «Хоп!» каждый из школьников бежит к тому месту, где стоит учитель, а затем возвращается на своё место. Так повторяется несколько раз. Доказать, что наибольшее расстояние пробежал один из двух крайних школьников. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
43.Делится ли на 7 сумма двух слагаемых, если (а) оба слагаемых делятся на 7; (б) ровно одно из них делится на 7? (в) ни одно из них не делится на 7? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Занятие 13 декабря 1995
|
Создай 9 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.На прямой дорожке стоят несколько школьников. Вдоль неё ходит учитель физкультуры. По сигналу «Хоп!» каждый из школьников бежит к тому месту, где стоит учитель, а затем возвращается на своё место. Так повторяется несколько раз. Доказать, что наибольшее расстояние пробежал один из двух крайних школьников. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.Даны два числа a и b. Может ли так случиться, что среди утверждений a <= b, −a <= b и |a| <= b два верных и одно неверное? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Как записать расстояние между точками числовой оси с координатами x и y, используя знак абсолютной величины? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Дима считает, что |−a| при a < 0 равно a, а Володя | что −a. Кто из них прав? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.Доказать, что |x − z| <= |x − y| + |y − z| при любых x, y и z. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
7.По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
8.Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
9.Известно, что |x| = 5, |y| = 3. Какие значения может принимать |x + y|? Тот же вопрос для |x − y| и |x · y|. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Создай 9 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.Три кузнечика на прямой играют в чехарду. Каждую секунду один из них перепрыгивает через другого (но не через двух). Доказать, что они могут вернуться в исходное положение только через чётное число секунд. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Улитка каждые 15 минут поворачивает на 90 градусов (а в промежутках ползёт по прямой). Доказать, что она может вернуться в исходную точку лишь через целое число часов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.(Продолжение) Доказать, что если расположение шашек симметрично относительно обеих диагоналей квадрата, то в центральной клетке стоит шашка. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.По кругу написаны 4 целых числа. Между каждыми двумя записывают абсолютную величину их разности, а исходные числа стирают. Так повторяют несколько раз. Доказать, что рано или поздно останутся одни нули.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.Все кости домино расположили в цепь. Доказать, что на концах цепи стоят равные цифры. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.За круглым столом сидят 25 мальчиков и 25 девочек. Доказать, что хотя бы у одного из сидящих оба соседа | мальчики. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
7.По окружности написано несколько чисел. Среди произведений соседних чисел ровно 5 отрицательных. Доказать, что одно из чисел равно 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
8.На прямой имеется 11 точек, причём сумма расстояний от них до некоторой точки A равна сумме расстояний от них до другой точки B. Доказать, что хотя бы одна из этих 11 точек лежит на отрезке AB. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
9.При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 10 задач по математике 7 класса по теме "Тождества". | 1.В старину, когда не было калькуляторов, для быстрого умножения чисел применялись таблицы «четвертей квадратов», которые указывали значения (x^2) /4 для 0, 1, 2, 3, ... Как выполнить умножение с помощью такой таблицы (и нескольких сложений и вычитаний)? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
2.Проиллюстрировать формулу (a+b)^2 = a^2 +2ab+b^2 , сложив квадрат со стороной a + b из квадрата со стороной a, квадрата со стороной b и двух прямоугольников со сторонами a и b. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
3.Доказать, что при положительном целом n число n2 + n не может быть точным квадратом. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
4.Найти (a + b + c)(a + b − c), (a + b + c)(a − b + c), (a + b − c)(a − b + c) (не пользуясь бумагой для промежуточных вычислений). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
5.Если к произведению двух целых чисел, отличающихся на 2, прибавить единицу, то получится точный квадрат (например, 4 · 6 + 1 = 5^2 ). Почему? Простое число | это целое число, большее 1, которое нельзя представить как произведение двух меньших целых положительных чисел. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
6.Доказать, что сумма кубов двух положительных целых чисел не может быть простым числом (за исключением единственного случая 1^3 + 1^3 = 2). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
7.Назовём целое число хорошим, если оно представимо в виде суммы двух точных квадратов. (Например, 5 хорошее, так как 5 = 2^2 + 1^2 , а 3 -- нет.) Доказать, что удвоив хорошее число, мы снова получим хорошее число. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
8.(Продолжение.) Доказать, что произведение двух хороших чисел всегда хорошее. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
9.Доказать, что число 999991 составное (т. е. не простое). Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
10.Доказать, что сумма:
1/1 + 1/2 + ... + 1/n + 1/(1*2) + 1/(1*3) + ... + 1/(1*n) + ... + 1/((n - 1) * n) + 1/(1 * 2 * 3) + ... + 1/(1 * 2 * 3 ... n) (в знаменателях стоят все комбинации чисел от 1 до n, в которых числа не повторяются) равна n.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Тождества
|
Создай 8 задач по математике 7 класса по теме "Четные и нечётные числа". | 1.По окружности написано несколько чисел. Среди произведений соседних чисел ровно 5 отрицательных. Доказать, что одно из чисел равно 0. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
2.Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
3.Почему произведение двух нечётных чисел нечётно? 5. При каких n сумма:
1 + 2 + 3 + ... + n чётна? 6. При каких n сумма 1^2 + 2^2 + 3^2 + . . . + n^2 чётна? 7. Может ли квадрат целого числа быть чётным, но не делиться на 4? 8. Придя утром в класс, некоторые из школьников пожали друг другу руки. Доказать, что число школьников, сделавших нечётное число рукопожатий, чётно. 9. В контрольной участвовало 25 человек. Каждый участник получил тройку, четвёрку или пятёрку, причём средний балл оказался равен Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
4.Можно ли так расставить знаки в выражении:
±1 ± 2 ± 3 ± . . . ± 9 ± 10, чтобы получился нуль? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
5.Можно ли разрезать шахматную доску без клеток a1 и h8 на прямоугольники 1 × 2? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
6.Каких чисел больше среди чисел от 1 до 1000 | чётных или нечётных? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
7.Улитка каждые 15 минут поворачивает на 90 градусов (а в промежутках ползёт по прямой). Доказать, что она может вернуться в исходную точку лишь через целое число часов. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
8.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Четные и нечётные числа
|
Создай 8 задач по математике 7 класса по теме "Абсолютная величина". | 1.Какое наибольшее число решений может иметь уравнение ||||x − a| − b| − c| − d| = e относительно x при фиксированных a, b, c, d, e? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
2.По кругу расположены 7 коробков, в которых лежат 19, 9, 26, 8, 18, 11, 14 спичек (считая по часовой стрелке). За один шаг разрешается переложить спичку из любого коробка в соседний. Какое наименьшее число шагов необходимо, чтобы уравнять число спичек во всех коробках? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
3.Известно, что |x| = 5, |y| = 3. Какие значения может принимать |x + y|? Тот же вопрос для |x − y| и |x · y|. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
4.Найти выражение, содержащее буквы x и y, арифметические операции и знаки абсолютной величины, значение которого равно наибольшему из чисел x и y. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
5.Нарисовать на числовой оси все точки x, для которых |x + 1| + |x + 2| = 1. Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
6.Найти наименьшее значение выражения |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| + |x − 4| + |x − 5| + |x − 6|. При каких x оно достигается? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
7.Какие значения может принимать x + y + z + t + u, если |x| = 1, |y| = 2, |z| = 4, |t| = 8, |u| = 16? Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
8.Ресурс: "ЗАДАЧИ ПО МАТЕМАТИКЕ. Под редакцией А. Шеня." Тема: Абсолютная величина
|
Subsets and Splits