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1 Jürgen Edelmann-Nusser Forschungsmethoden SS 2024 | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
2 Jürgen Edelmann-Nusser Abschluss : Studiengänge S portwissenschaft, Sport und Technik : Studiennachweis : Klausur am 02. 07. 2023 Alle St udierenden anderer Studiengänge, die einen Studiennachweis benötigen schreiben diese Klausur ebenfalls. Zur Klausur darf jeder/jede einbeschriebenes DINA4Blatt (Vorder-und Rückseite) mitbringen und verwenden (falls sie in Präsenz stattfindet). Lehramtsstudiengänge: P rüfung! Bewertung Klausur/Prüfung: von 80 möglichen Punkten müssen 4 0 Punkte zum Bestehen erreicht w erden. Während des Semesters gibt es zwei nicht angesagte Tes ts. Dort können jeweils bis zu 20 Punkte erreicht werden. Alles über 10 Punkte je Test wird für die Klausur/Prüfung angerechnet. (Also z. B. im Test 1 16 Punkte erreicht, im Test 2 1 4 Punkt e erreicht bedeutet man hat für di e Klausur/Prüfung schon mal 6+4=10 Punkte. ) T ermine: 16. 04. : entfällt 02. 07. : Klausur 09. 07. : e ntfällt Studiengänge Sportwissenschaft, Sport und Technik: im Wintersemester findet ein Seminar zu der V orlesung statt. Im Rahmen dieses Seminars ist die Teilnahme am Landeskadertest der Kanuten Pflicht!Voraussichtlicher Termin des Kadertests: ein Samstag im Oktober 2024 von 9:00 Uhr bis ca. 16:00 Uhr | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
3 Jürgen Edelmann-Nusser Was ist das Ziel der Veranstaltung: Methoden (dazu gehört Statistik) in der Forschung verstehen, d. h. verstehen, was bestimmte Aussagen (z. B. „der Unterschied ist signifikant“) bedeuten, beurteilen zu können ob Methoden adäquat gewählt sind. Aussagen methodisch hinterfragen zu können. Methoden problemadäquat auswählen zu können | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
4 Jürgen Edelmann-Nusser Aussagen hinterfragen: Beispiel Tempolimit auf Autobahnen: Luczak, 2020 | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
5 Jürgen Edelmann-Nusser Luczak, 2020 | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
6 Jürgen Edelmann-Nusser Quelle: Luczak, 2020 | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
7 Jürgen Edelmann-Nusser Quelle: Luczak, 2020 | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
8 Jürgen Edelmann-Nusser Quelle: Luczak, 2020 | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
9 Jürgen Edelmann-Nusser | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
10 Jürgen Edelmann-Nusser Aufbau einer wissenschaftlichen Arbeit Wissenschaftliche Arbeiten, egal ob in der Sportwissenschaft, der Bildungswissenschaft, der Physik, Chemie, Biologie, Medizin, Elektrotechnik, Informatik, dem Maschinenbau, etc. sollten möglichst aus folgenden vier inhaltlichen Abschnitten in genau dieser Reihenfolge bestehen. Das gilt für wissenschaftliche Artikel in Zeitschriften, für Bachelorarbeiten, Masterarbeiten, Doktorarbeiten usw.. Je umfangreicher entsprechende Arbeiten sind, desto feiner werden die vier Abschnitte dann untergliedert oder es kommen Abschnitte dazu. Im Prinzip gibt es aber immer auf jeden Fall diese vier Abschnitte. Die erleichtert sowohl das Lesen als auch das Verfassen wissenschaftlicher Arbeiten erheblich. So verhindert man, dass Arbeiten entstehen, die eher an Erlebnisberichte („mein schönster Tag bei der Bachelorarbeit“) als an wissenschaftliche Arbeiten erinnern!In der deutschen Sprache sind in wiss. Arbeiten Formulierungen mit „ich“ oder „wir“ möglichst zu vermeiden! Abschnitte: 1. Einleitung 2. Methoden 3. Ergebnisse 4. Diskussion Danach kommt dann noch formale Abschnitte wie „Quellenverzeichnis“ oder „Literatur“ sowie eventuelle Anhänge. Bei größeren wiss. Arbeiten gibt es vor der Einleitung oft noch ein Vorwort. | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
11 Jürgen Edelmann-Nusser Aufbau einer wissenschaftlichen Arbeit: Inhalte der vier Abschnitte: 1. Einleitung. Hier sollte der Forschungsstand und der theoretische Hintergrund dargelegt werden und darauf basierend ein Forschungsdefizit abgeleitet werden. D. h. es die Problem-und Zielstellung werden beschrieben. Daraus werden konkrete wissenschaftliche Fragestellungen und Hypothesen (siehe nächste Folie) abgeleitet. Hilfreich ist der Satz „ Ziel der Arbeit ist es..... “. Hier bringt man auf den Punkt, was man eigentlich möchte. Das ist dann der „rote Faden“ für einen selbst und den Leser! 2. Methoden: Alles was mit Datenerhebung, Datenerfassung und Datenauswertung zu tun hat. D. h. verwendete Messinstrumente, Messtechnik, Fragebögen, Tests. Welche Personen (Probanden) oder Gegenstände/Geräte werden untersucht, wie viele Personen/Gegenstände/Geräte werden untersucht. Wie werden die Daten nachher ausgewertet, also welche statistischen Verfahren werden benutzt, was wird berechnet/bestimmt. Damit befassen wir uns dann im Rahmen dieser Vorlesung!!! Es muss hier alles so beschrieben werden, dass der Leser die Untersuchung anschließend im Prinzip so nachstellen könnte. Der Methodenteil muss nahezu vollständig fertig sein, bevor man mit der eigentlichen Untersuchung beginnt, also bevor irgendwelche Daten gemessen oder Fragebögen ausgegeben werden! Nach der abgeschlossenen Datenerhebung werden hier höchstens noch Gegebenheiten, die nicht kontrollierbar sind, ergänzt: Z. B. Wetterbedingungen bei einer Untersuchung im Fußball oder wenn die Untersuchung mit 20 Probanden geplant war und einer erkrankt ist. | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
12 Jürgen Edelmann-Nusser3. Ergebnisse: Hier werden die Ergebnisse deskriptiv dargestellt, z. B. in Form von Tabellen, Balkendiagrammen, Tortendiagrammen.... Sie werden aber hier erstmal nur dargestellt, nicht interpretiert! 4. Diskussion: Hier erfolgt jetzt die Interpretation und Kommentierung der Ergebnisse: Es muss auf die Fragestellungen und Hypothesen aus der Einleitung eingegangen werden!Wenn es drei Fragestellungen und zwei Hypothesen gab, müssen hier auch die Antworten zu allen drei Fragestellungen zu finden sein und die Aussagen, welche der beiden Hypothesen jeweils gilt oder nicht gilt! D. h. gibt es in der Einleitung Fragestellung 1, 2 und 3 so gibt es hier explizit und klar gekennzeichnet die „Antwort zu Fragestellung 1“, „Antwort zu Fragestellung 2“, „Antwort zu Fragestellung 3“ | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
13 Jürgen Edelmann-Nusser Hypothesen: Man unterscheidet zwischen: Alternativhypothese H1: Das ist das was man vermutet, was man nachweisen will Nullhypothese H0: Der in H1 formulierte Zusammenhang ist „null und nichtig“ Dies bedeutet: H1 und H0 schließen sich zwingend gegenseitig aus und lassen möglichst keine weitere Möglichkeit offen! Es gilt entweder H1 oder H0, entsprechend müssen die Hypothesen formuliert sein! Beispiel: H1: Basketballspieler sind größer als Turner. Dann muss H0 lauten: Basketballspieler sind nicht größer als Turner. Nicht korrekt wäre für H0 : Basketballspieler sind kleiner als Turner. Warum: Sie könnten gleich groß sein! | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
14 Jürgen Edelmann-Nusser Entsprechend der Hypothesen H1 und H0 gibt es zwei mögliche Fehler, die man beim Versuch des Nachweises der Hypothesen begehen kann (Versuch des Nachweises bedeutet: Ich mache eine entsprechende empirische Untersuchung und versuche H1 über die erfassten Daten nachzuweisen. In dem Beispiel oben: Im messe die Körpergrößen von 50 Basketballern und 50 Turnern und schaue mir an wer im Mittel größer ist): Fehler-Arten: Alpha-Fehler oder Fehler erster Art: Ich nehme auf Basis meiner Daten H1 an, aber es gilt eigentlich H0. Beta-Fehler oder Fehler zweiter Art: Ich verwerfe auf Basis meiner Daten H1 und nehme H0 an obwohl eigentlich H1 gilt. | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
15 Jürgen Edelmann-Nusser Es gilt H0 Es gilt H1 Entscheidung auf Grund der empirischen Untersuchung für H0richtig Beta-Fehler Entscheidung auf Grund der empirischen Untersuchung für H1Alpha-Fehler richtig Fehler-Arten: | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
16 Jürgen Edelmann-Nusser Hier kommt der Begriff der Signifikanz ins Spiel: Die Nullhypothese wird dann verworfen und H1 angenommen, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit für H1 kleiner als 5% ist. Diese Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% bezeichnet man als Alpha-Fehlerniveau oder Signifikanzniveau. Ist die Irrtumswahrscheinlichkeit für H1 kleiner als 5% bezeichnet man das Ergebnis als signifikant, ist die Irrtumswahrscheinlichkeit für H1 kleiner als 1% bezeichnet man das Ergebnis als hoch signifikant. Wenn also im Beispiel mit den Basketballern und Turnern herauskommt, dass die Basketballer mit 98% Wahrscheinlichkeit größer sind als die Turner, dann wird die Hypothese H1 „Basketballer sind größer als Turner“ angenommen, da das Ergebnis signifikant ist. Wie man diese Wahrscheinlichkeiten bestimmt kommt dann im weiteren Verlauf der Vorlesung: 1. Wenn jeder einzelne Basketballer größer war als jeder einzelne Turner, also der kleinste Basketballer immer noch größer war, als der größte Turner, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass H1 gilt, nahezu 100%, d. h. die Irrtumswahrscheinlichkeit für H1 nahezu 0%. 2. Wenn aber jetzt der größte Turner etwas größer als der kleinste gemessene Basketballer war, so ist die Irrtumswahrscheinlichkeit für H1 etwas größer als 0%. 3. Wenn aber zwei Turner etwas größer sind als der kleinste gemessene Basketballer war, so ist die Irrtumswahrscheinlichkeit für H1 noch etwas größer unter 2. 4. Usw. D. h. irgendwann ist die Irrtumswahrscheinlichkeit so groß, dass H1 nicht mehr angenommen werden darf. Sie hängt von der Anzahl der Basketballer und Turner ab, deren Körpergrößen gemessen wurden (hier je 50) und der Zahl der Basketballer die kleiner als irgendeiner der Turner waren und um wieviel sie kleiner waren. | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
17 Jürgen Edelmann-Nusser Statistische Verfahren oder die Statistik haben dabei folgende Aufgaben oder folgende Funktion: Funktion und Aufgaben der Statistik Deskriptive Statistik: dient der Darstellung von Zahlen. Beispiele: Tabellen, Balken-, Säulendiagramm, Kreisdiagramme,... Inferenzstatistik: Schließende Statistik, Prüfstatistik, induktive Statistik. Dient der Prüfung von Fragestellungen/Hypothesen/Prognosen. Im Allgemeinen: Prüfung der Alternativhypothese H1 (siehe oben) | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
18 Jürgen Edelmann-Nusser Population und Stichprobe Stichproben sollen eine Population repräsentieren. Die Population wird beschrieben über Parameter oder Merkmale, die man aber nicht vollständig kennt. Über statistische Methoden bestimmt man aus der Stichprobe entsprechende Merkmale. Diese sind aber, da die Stichprobe sehr viel kleiner als die Population ist, nicht exakt identisch mit den tatsächlichen Merkmalsausprägungen in der Population. Man spricht hier vom Stichprobenfehler. In dem Beispiel oben mit den Basketballern und Turnern besteht die Stichprobe aus je 50 Personen. Je nachdem, wie diese 50 Personen ausgewählt werden, ist der Stichprobenfehler mehr oder weniger groß: Man kann die Stichproben quer durch alle jeweiligen Leistungsniveaus der beiden Sportarten wählen, oder sich evtl. auf bestimmte Leistungsniveaus beschränken. So wäre es recht einfach, die 50 Basketballer und Turner aus der Weltspitze zu nehmen, da hier oft entsprechende Daten wie Körpergrößen aus öffentlich zugänglichen Datenbanken entnommen werden können. Dies repräsentiert aber dann nicht alle Leistungsklassen und führt möglicherweise zu einem falschen Schluss. | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
19 Jürgen Edelmann-Nusser Begriff der abhängigen und unabhängigen und Variablen: Frage ist immer: übt die unabhängige Variable oder üben die unabhängigen Variablen einen Effekt auf die abhängige Variable aus. Bsp: unabh. Variable: Alter, Geschlecht, Gewicht, Körpergröße Abhhängige Variable: sportliche Leistungsfähigkeit Bsp. Sporteignungsprüfung: Es wird eine Reihe unabhängiger Variablen erhoben und daraus auf die abhängige Variable „Eignung zum Sportstudium“ geschlossen. Die unabhängige Variable wird auch als Prädiktorvariable bezeichnet, die abhängige Variable als Kriteriumsvariable | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
20 Jürgen Edelmann-Nusser Experimentelle und quasi-experimentelle Methode Experimentelles Untersuchungsdesign/experimentelle Methode: Die unabhängige Variable wird systematisch variiert (manipuliert) und ihr Einfluss auf die abhängige Variable beobachtet oder gemessen. Bsp. : Wie beeinflusst die Temperatur des Wassers die Leistungsfähigkeit im Schwimmen (z. B. 100m Zeit). Quasi-Experimentelles Untersuchungsdesign/quasi-experimentelle Methode : Keine systematische Veränderung (Manipulation) der unabhängigen Variable, sondern Vergleich von Gruppen mit unterschiedlicher Merkmalsausprägung und dadurch Bestimmung des Einflusses auf die abhängige Variable. Bsp. : Alter und sportliche Leistungsfähigkeit. Geschlecht und sportliche Leistungsfähigkeit. (Den Einfluss des Alters auf die sportliche Leistungsfähigkeit könnte man natürlich theoretisch auch experimentell untersuchen: Möchte man wissen, ob sich 20-jährige von 40-jährigen bzgl. der 100m-Sprint-Zeiten unterscheiden, könnte man heute 20-jährige testen, dann 20 Jahre warten und erneut testen) | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
21 Jürgen Edelmann-Nusser Man unterscheidet zwischen verschiedenen Skalentypen, in denen Variablen vorliegen können: Skala Nominalskala Ordinalskala Intervallskala Proportional Relation Äquivalenz =,≠Äquivalenz, Ordnung =, ≠, <,>Äquivalenz, Ordnung, Distanz Äquivalenz, Ordnung, Distanz, Quotienten-bildung Bsp. Geschlecht, Studiengang Schulnoten, Platzierung bei Rennen Temperatur, Celsius Temperatur, Kelvin | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
22 Jürgen Edelmann-Nusser Nominalskala: Benennt die Variable lediglich, gibt einen Namen. Keine Wertung!! Ordinalskala: Die Variable ordnet und unterscheidet damit nach „besser“-„schlechter“ oder „größer“-„kleiner“,... Sie wertet, aber kennt den Abstand nicht wirklich: Wenn ich nur weiß, wer in einem Rennen oder einer Tabelle erster, zweiter usw. ist, kenne ich nur die Platzierung, nicht aber den Abstand zwischen den Plätzen: Es kann sein, der Erste ist nur 0,001s vor dem Zweiten oder er ist 1s vor dem Zweiten. Intervall-/Proportionalskala: Hier kenne ich den Abstand zwischen dem Ersten und Zweiten, also die Distanz. Der Unterschied zwischen Intervall-und Proportionalskala ist die Frage, inwiefern der Wert „NULL“ inhaltlich sinnvoll oder willkürlich gewählt ist: Intervallskala: Temperatur in Grad Celsius: Die 0 ist willkürlich auf den Gefrierpunkt des Wassers festgelegt. D. h. man kann nicht sagen: „ Heute ist es 20 Grad warm, gestern waren es 10 Grad, also nur halb so warm“. Proportionalskala: Temperatur in Kelvin: Die 0 ist der absolute Nullpunkt (entspricht -273 Gad Celsius). D. h. bei 0 Kelvin kann einem Körper keine weitere Wärmeenergie mehr entzogen werden. Erwärmt man einen Körper von 5 Kelvin auf 10 Kelvin verdoppelt man seine Wärmeenergie. D. h. die Relation „doppelt so warm“ macht hier Sinn! | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
23 Jürgen Edelmann-Nusser Beispiele: Welche Skala ist Augenzahl eines Würfels: Proportionalskala! Welche Skala ist die Höhe eines Berges in m über NN: Intervall (da die 0 willkürlich ist! Proportionalskala wäre der Abstand zum Erdmittelpunkt) Tabellenplatz Fußball Bundesliga: Ordinalskala Punkte in der Fußball Bundesliga: Proportionalskala Automarke: Nominalskala Laufzeit 100m Lauf: Proportionalskala Körpergrößen in m: Proportionalskala Note in der Klausur: Ordinalskala Lottozahlen: Nominalskala, Zahlen sind Nummern ohne weitere Bedeutung, man könnte den Kugeln statt Nummern auch Namen geben Achtung: theoretischer Hintergrund ist wichtig: Beispiel: Schallpegelmessung ist eine logarithmische Skala in d B: +3d B heißt doppelte Leistung, + 6 d B vierfache: Ein Flugzeug mit laufenden Triebwerken erzeugt einen Schallpegel von 100 d B, wenn ich ein zweites mit laufenden Triebwerken daneben stelle habe ich 103 d B, nicht 200 d B!D. h. der Schallpegel in d B ist zwar eine Proportionalskala aber 200d B sind nicht das Doppelte von 100d B! Nur genau 6 d B sind das Doppelte von 3 d B!D. h. behandeln wie Intervallskala! | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
24 Jürgen Edelmann-Nusser Man unterscheidet zwischen Diskreten und kontinuierlichen (stetige) Variablen (dies hat grundsätzlich erstmal nichts mit dem Skalenniveau zu tun, allerdings sind kontinuierliche Variablen meist Intervall-oder proportionalskaliert)!!!) Diskrete Variable: Nur diskrete Werte möglich: Augen eines Würfels, Zahl der richtigen Antworten, Anzahl von Studierenden im 2. Semester,....Kontinuierliche oder stetige Variable: Zwischen zwei benachbarten Werten gibt es unendlich viele weitere Werte:Körpergröße, Gewicht, Temperatur, Zeit, Geschwindigkeit,... | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
25 Jürgen Edelmann-Nusser | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
26 Jürgen Edelmann-Nusser In der Statistik gibt es eine Reihe von Maßzahlen Statistische Maßzahlen Liste arithmetischer Mittelwert: x=1 n i=1n xi D. h. Der Mittelwert xist die Summe aller n Messwerte xi dividiert durch die Anzahl n der Messwerte. Beispiel: Messwerte 1,5m / 2,0m / 2,5m. Dann ist der Mittelwert die Summe der drei Werte 1,5m + 2,0m + 2,5m geteilt durch n=3, also 6,0m/3 = 2,0m Bitte beachten: die physikalischen Einheiten sind wichtig, nicht nur die Zahlen: Der Mittelwert aus 1,5m und 200cm ist 1,75m=175cm=1750mm Summenzeichen: Links hierzu: https://www. mathebibel. de/summenzeichen https://de. wikipedia. org/wiki/Summe | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
27 Jürgen Edelmann-Nusser Modus: Häufigster Wert oder häufigste Werte: Ab Nominalskala! Bsp: Würfeln: ich würfle 50 mal, die Augenzahl, die häufigsten vorkam ist der Modus. Studiengang: 80 Studierende aus 5 Studiengängen. Der Studiengang, der von den meisten der 80 Personen studiert wird ist der Modus. Vornamen: 100 Personen, der Vornamen, der bei den 100 Personen am häufigsten vorkommt, ist der Modus. | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
28 Jürgen Edelmann-Nusser Median (= Zentralwert der Datenreihe): Ab Ordinalskala! Teilt eine Datenreihe in zwei Hälften mit gleicher Anzahl von Datenpunkten: Alle Werte aufsteigend ordnen Wenn die Zahl der Werte ungerade ist, ist die mittlere Zahl der Median. Wenn die Zahl der Werte gerade ist, ist der Median das arithmetische Mittel der beiden mittleren Zahlen. Die beiden Zahlen werden auch Ober-und Untermedian genannt. Bsp: Körpergröße von 5 Personen: 1,63m 1,72m 1,80m 1,81m 1,99m 1,80m ist Median Körpergröße von 6 Personen: 1,63m 1,72m 1,80m 1,82m 1,83m 1,99m 1,81m ist Median | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
29 Jürgen Edelmann-Nusser Geometrisches Mittel: Bsp: Vermehrung von Bakterienkulturen: Verdopplung jeweils innerhalb von 1 Stunde; Nach 1 Stunde doppelt so viele Bakterien nach 2 Stunden 4 mal so viel, nach 3 Stunden 8 mal so viel: Geometrisches Mittel aus Verdopplung (nach 1 Stunde) und Verachtfachung (nach 3 Stunden) ist die Wurzel aus 2 x 8=16 also 4, nämlich die Vervierfachung (nach 2 Stunden)! | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
30 Jürgen Edelmann-Nusser Streuungsmaße 1. Standardabweichung 2. Varianz 1. Empirische Varianz: v=s2=1 n-1 i=1n (xi-x)2 2. empirische Standardabweichung : s=1 n-1 i=1n (xi-x)2 Wichtig istdas 1 n-1!!! Achtung : nicht1 n!!! Immer wenn essichum empirische Daten wie Messwerte handelt muss 1 n-1in den Gleichungen verwendet werden. Aufpassen : in Excel z. B. sind Formeln für die Varianz und die empirische Varianz hinterlegt. Immer die nehmen, die 1 n-1enthält !!!!! Die empirische Standardabweichung istalso die Wurzel ausder empirischen Varianz ! Physikalische Einheiten : Die empirische Standardabweichung hat dieselbe physikalische Einheit wie die gemessene Größe. Wird also z. B. eine Länge in Metern gemessen, so hat die empirische Standardabweichung auch die Einheit “Meter” | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
31 Jürgen Edelmann-Nusser Beispiel für Berechnung Mittelwert, Varianz und Standardabweichung: Messreihe: 1m, 2m, 3m, 4m, 5m Mittelwert: 3m Empirische Varianz ergibt sich dann zu (2² +1² +0² +1²+ 2²)m² / 4 = 2,5 m 2 Standardabw. : Wurzel daraus: 1,581m Weiteres Streuungsmaß falls der Mittelwert nicht 0 ist:Variationskoeffizient ( Coefficient ofvariation) s2 x2=1 n-1xi x-1²= s x= CV Falls x≠0 Wozu Variationskoeffizient: Bsp: Messe eine Strecke. Kann die Messwerte in Meter oder Zentimeter oder auch Inch angeben. Dies führt zu unterschiedlichen Standardabweichungen aber gleichen Variationskoeffizienten! | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
32 Jürgen Edelmann-Nusser Spannweite: 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚≔max{x1... xn} 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 :=min{x1....xn} Spannweite sp= xmax-xmin Einfach gesagt : der größte Wert minus dem kleinsten Wert | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
33 Jürgen Edelmann-Nusser Standardfehler SE (Standard Error) Der Standardfehler liefert eine Aussage über die Güte des geschätzten Parameters. Je mehr Einzelwerte es gibt, desto kleiner ist der Standardfehler, und umso genauer kann der unbekannte Parameter geschätzt werden. Der Standardfehler macht die gemessene Streuung (Standardabweichung) zweier Datensätze mit unterschiedlichen Stichprobenumfängen vergleichbar, indem er die Standardabweichung auf den Stichprobenumfang normiert. Wird mit Hilfe von mehreren Stichproben der unbekannte Parameter geschätzt, so werden die Ergebnisse von Stichprobe zu Stichprobe variieren. Natürlich stammt diese Variation nicht von einer Variation des unbekannten Parameters (denn der ist fix), sondern von Zufallseinflüssen, z. B. Messungenauigkeiten. Der Standardfehler ist die Standardabweichung der geschätzten Parameter in vielen Stichproben. Im Allgemeinen gilt: Für eine Halbierung des Standardfehlers ist eine Vervierfachung des Stichprobenumfangs nötig. Im Gegensatz dazu bildet die Standardabweichung die in einer Population (= Grundgesamtheit) tatsächlich vorhandene Streuung ab, die auch bei höchster Messgenauigkeit und unendlich vielen Einzelmessungen vorhanden ist (z. B. bei Gewichtsverteilung, Größenverteilung, Monatseinkommen). Sie zeigt, ob die Einzelwerte nahe beieinander liegen oder eine starke Spreizung der Daten vorliegt. Beispiel Angenommen, man untersucht die Population von Kindern, die Gymnasien besuchen, hinsichtlich ihrer Intelligenzleistung. Der unbekannte Parameter ist also die mittlere Intelligenzleistung der Kinder, die ein Gymnasium besuchen. Wenn nun zufällig aus dieser Population eine Stichprobe des Umfanges n(also mit n Kindern) gezogen wird, dann kann man aus allen n Messergebnissen den Mittelwert berechnen. Wenn nun nach dieser Stichprobe noch eine weitere, zufällig gezogene Stichprobe mit der gleichen Anzahl von n Kinder gezogen und deren Mittelwert ermittelt wird, so werden die beiden Mittelwerte nicht exakt übereinstimmen. | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
34 Jürgen Edelmann-Nusser Zieht man noch eine Vielzahl weiterer zufälliger Stichproben des Umfanges n, dann kann die Streuung aller empirisch ermittelten Mittelwerte um den Populationsmittelwert ermittelt werden. Diese Streuung ist der Standardfehler. Da der Mittelwert der Stichprobenmittelwerte der beste Schätzer für den Populationsmittelwert ist, entspricht der Standardfehler der Streuung der empirischen Mittelwerte um den Populationsmittelwert. Er bildet nicht die Intelligenzstreuung der Kinder, sondern die Genauigkeit des errechneten Mittelwerts ab. Da aber normalerweise niemand 10 Stichproben mit n Personen erfasst, sondern nur eine einzige Stichprobe mit n Personen wird der Standardfehler wie folgt abgeschätzt/berechnet: Berechnung: Standardabweichung / (Wurzel aus n) | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
35 Jürgen Edelmann-Nusser Zweidimensionale Variable: Man hat zwei Messreihen oder Datenreihen (z. B. Körpergröße und Körpergewicht von n Personen) mit den Messwerten xiund yimit1≤i≤n(die xiwären dann die Körpergrößen, die yidie Körpergewichte der n Personen) Mittelwerte der Messreihen: x,y=1 n i=1n xi;1n i=1n yi Standardabweichung x sx=1 n-1 i=1n (xi-x)2 Standardabweichung y: sy=1 n-1 i=1n (yi-y)2 | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
36 Jürgen Edelmann-Nusser Das war bisher nichts Neues. Hinzu kommen jetzt die empirische Kovarianz : sxy=1 n-1 i=1n [xi-x(yi-y)] =1 n-1 i=1n [xiyi-nxy] und der empirische Korrelationskoeffizient: rxy=sxy sxsy Der Korrelationskoeffizient ist ein Maß für den Grad der linearen Abhängig zwischen x und y. Im Beispiel mit den Körpergrößen und dem Körpergewicht also ein Maß für den Grad der linearen Abhängigkeit zwischen Körpergröße und Körpergewicht. Der empirische Korrelationskoeffizient liegt immer zwischen den Werten +1 und-1. Werte, die größer als 1 oder kleiner als-1 sind, sind nicht möglich! Beträgt der Wert des empirischen Korrelationskoeffizienten exakt + 1 oder-1, so gibt es reelle Zahlen a und b, die in der Gleichung y = a x + b den linearen Zusammenhang zwischen x und y beschreiben. | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
37 Jürgen Edelmann-Nusser Korrelationskoeffizienten, Beispiele: In dem Diagramm ist der Korrelationskoeffizient rxyzwischen den aufgetragenen Messwerten xi, yigenau 1, da alle Messwerte auf einer Geraden liegen. Die y-Werte sind direkt proportional zu den x-Werten! y xrxy=1 | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
38 Jürgen Edelmann-Nusser In dem Diagramm ist der Korrelationskoeffizient rxyzwischen den aufgetragenen Messwerten xi, yigenau-1, da alle Messwerte auf einer Geraden mit negativer Steigung liegen (x-Werte werden größer, zugehörige y-Werte dabei kleiner ! yx rxy=-1 | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
39 Jürgen Edelmann-Nusser In dem Diagramm ist der Korrelationskoeffizient rxyzwischen den aufgetragenen Messwerten xi, und yiungefähr 0,9: Die Messwerte liegen alle in der Nähe einer Geraden, aber eben nicht alle darauf: D. h. die y-Werte nehmen tendenziell zu, wenn die x-Werte ansteigen. y x rxyungefähr 0,9 | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
40 Jürgen Edelmann-Nusser In dem Diagramm ist der Korrelationskoeffizient rxyzwischen den aufgetragenen Messwerten xi, und yiungefähr 0,7: Die Messwerte liegen alle in der Nähe einer Geraden, aber eben nicht alle darauf, sie sind weiter entfernt als in der vorigen Folie mit einem Korrelationskoeffizienten von 0,9. y xrxyungefähr 0,7 | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
41 Jürgen Edelmann-Nusser In dem Diagramm ist der Korrelationskoeffizient rxyzwischen den aufgetragenen Messwerten xi, und yiungefähr 0: Es ist keine Tendenz zu erkennen, dass die y-Werte mit zunehmenden x-Werten ansteigen oder abfallen. y rxyungefähr 0 x | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
42 Jürgen Edelmann-Nusser In dem Diagramm ist der Korrelationskoeffizient rxyzwischen den aufgetragenen Messwerten xi, und yiexakt 0: Alle y-Werte sind immer gleich groß, egal wie groß x ist, d. h. die y-Werte sind nicht abhängig von den x-Werten! y rxy= 0 x | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
43 Jürgen Edelmann-Nusser In dem Diagramm ist der Korrelationskoeffizient rxyzwischen den aufgetragenen Messwerten xi, und yiexakt 0: Alle x-Werte sind immer gleich groß, egal wie groß y ist, d. h. die y-Werte sind nicht abhängig von den x-Werten! y rxy= 0 x | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
44 Jürgen Edelmann-Nusser | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
45 Jürgen Edelmann-Nusser Z-Transformation Messwerte können z-transformiert werden. D. h. aus Messwerten werden z-transformierte Werte berechnet. Das geschieht mit folgender Umrechnung: 𝑧𝑧𝑚𝑚=𝑥𝑥𝑚𝑚-̅𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑚𝑚 D. h. wenn man 10 Messwerte hat berechnet man erst den Mittelwert und die Standardabweichung der 10 Werte, dann berechnet man zu jedem Messwert den zugehörigen z-Wert nach der obigen Formel. Sinn: nach der z-Transformation haben die zikeine physikalische Einheit mehr und es gilt: z-Transformation: Mittelwert der z-Transformierten Messwerte ist 0, Standardabweichung ist 1 Die z-Transformation hat heute für Anwender statistischer Methoden eine eher geringe Bedeutung. Bevor Computer für solche Berechnungen eingesetzt werden konnten war sie jedoch fast immer nötig: Zur Durchführung statistischer Berechnungen benötigte man Tabellen. Diese Tabellen gab es jedoch nur für Mittelwerte=0 und Standardabweichung=1, es konnten ja nicht unendlich viele Tabellen mit allen möglichen Mittelwerten und Standardabweichungen erstellt werden. Die z-Transformation läuft heute im Hintergrund bei Berechnungen auf Computern immer noch ab, ist aber für den Anwender nicht sichtbar. | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
46 Jürgen Edelmann-Nusser Histogramme Histogramme stellen die Verteilung von Messwerten dar. Die Abbildung unten links zeigt eine ideale Verteilung, wenn man mit einem Würfel 600 mal würfelt: es fällt 100 mal die Eins, 100 mal die Zwei, 100 mal die Drei usw.. Dies ist eine ideale Gleichverteilung einer diskreten Variablen (diskret heißt: beim Würfeln kann ich nur 1 oder 2 oder 3... 6 würfeln, ich kann keine 1,75 würfeln, dieser Wert ist nicht möglich, es sind nur die diskreten Werte 1 oder 2 oder ... 6 möglich). Rechts ist dann ein Beispiel für eine reale Verteilung (Histogramm) von 600 Würfen mit einem Würfel dargestellt.. 020406080100 Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs020406080100 Eins Zwei Drei Vier Fünf Sechs Histogramme der diskreten Variablen „Würfelergebnisse“, links ideal, rechts real Histogramme | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
47 Jürgen Edelmann-Nusser Begriffserläuterung: Diskrete Variable Diskrete Variablen sind numerische Variablen, die zwischen zwei beliebigen Werten eine zählbare Anzahl von Werten aufweisen. Eine diskrete Variable ist immer numerisch. Beispiele: Die Anzahl von Studierenden in verschiedenen Studiengängen oder die Anzahl der verschiedenen Noten in einer Klausur Kontinuierliche oder stetige Variable Kontinuierliche Variablen sind Variablen, die zwischen zwei beliebigen Werten eine unendliche Anzahl von Werten aufweisen können. Bsp. Körpergröße, Körpergewicht. Histogramme | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
48 Jürgen Edelmann-Nusser Histogramme Beispiele für Histogramme kontinuierlicher Variablen und ihre Darstellung: Genau wie in dem Beispiel mit dem Würfeln stellen Histogramme kontinuierlicher Variablen die Verteilung von Messwerten dar. Als Beispiel nehmen wir Körpergrößen: Gegeben sind folgende Messwerte für die Körpergrößen von 20 Personen: 1,61m, 1,63m, 1,67m, 1,69m, 1,69m, 1,70m, 1,70m, 1,73m, 1,77m, 1,79m, 1,81m, 1,83m, 1,83m, 1,85m, 1,88m, 1,88m, 1,88m, 1,89m, 1,90m, 1,92m. Der erste Schritt zum Histogramm ist bereit erledigt: Das sortieren der Messwerte der Größe nach! Der zweite Schritt ist nun die Bildung von Bereichen, Intervallen oder Klassen: In dem Beispiel bilden wir Bereiche, Intervalle oder Klassen mit einer Breite von 10cm. D. h. die Bereichsbreite/Intervallbreite/Klassenbreite b i= konstant = 10cm. Eine Bereichsbreite/Intervallbreite/Klassenbreite muss nicht über den gesamten Messbereich gleich groß sein. Im Allgemeinen ist sie aber gleich groß, das macht es übersichtlicher. bi= 10cm bedeutet, dass wir immer die Messwerte, die innerhalb von 10cm liegen, zusammenfassen. Im vorliegenden Beispiel machen wir das wie folgt: | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
49 Jürgen Edelmann-Nusser Anzahl der Messwerte von 1,60m bis 1,699m Anzahl der Messwerte von 1,70m bis 1,799m Anzahl der Messwerte von 1,80m bis 1,899m Anzahl der Messwerte von 1,90m bis 1,999m 1,61m, 1,63m, 1,67m, 1,69m, 1,69m, 1,70m, 1,70m, 1,73m, 1,77m, 1,79m, 1,81m, 1,83m, 1,83m, 1,85m, 1,88m, 1,88m, 1,88m, 1,89m, 1,90m, 1,92m. Dies ergibt: Anzahl der Messwerte von 1,60m bis 1,699m ( rot) : 5 Anzahl der Messwerte von 1,70m bis 1,799m ( grün): 5 Anzahl der Messwerte von 1,80m bis 1,899m ( blau) : 8 Anzahl der Messwerte von 1,90m bis 1,999m ( pink): 2Histogramme | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
50 Jürgen Edelmann-Nussera) Histogramm der absoluten Häufigkeit: Bei diesem Diagramm tragen wir auf der y-Achse (vertikale Achse) die Anzahl n der Messwerte auf, die jeweils in einem der Bereiche 1,60m bis 1,699m / 1,70m bis 1,799m / 1,80m bis 1,899m / 1,90m bis 1,999m liegen. Die x-Achse (horizontale Achse) ist die Körpergröße n Körpergröße Histogramme | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
51 Jürgen Edelmann-Nusser Körpergröße Histogramme b) Histogramm der relativen Häufigkeit: Bei diesem Diagramm tragen wir auf der y-Achse die relative Anzahl der Messwerte in % auf, die jeweils in einem der Bereiche 1,60m bis 1,699m / 1,70m bis 1,799m / 1,80m bis 1,899m / 1,90m bis 1,999m liegen. Die x-Achse ist die Körpergröße Prozent | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
52 Jürgen Edelmann-Nusser Körpergröße𝟏𝟏 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒄𝒄𝒄𝒄Histogramme c) Histogramm der Häufigkeitsdichte: Die Häufigkeitsdichte ist der Quotient aus absoluter Häufigkeit niund Klassenbreite bi= 10 cm ; d. h. bei diesem Diagramm tragen wir auf der y-Achse die Anzahl der Messwerte, die jeweils in einem der Bereiche 1,60m bis 1,699m / 1,70m bis 1,799m / 1,80m bis 1,899m / 1,90m bis 1,999m liegen, geteilt durch Klassenbreite von 10cm auf. Damit hat die y-Achse hat die Einheit 1/10cm, x-Achse ist die Körpergröße. Gegenüber a) ändert sich nur die Einheit der y-Achse!! Häufigkeits-dichte | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
53 Jürgen Edelmann-Nusser Körpergröße% 𝟏𝟏𝟏𝟏𝒄𝒄𝒄𝒄Histogramme d) Histogramm der relativen Häufigkeitsdichte: Die relative Häufigkeitsdichte ist der Quotient aus relativer Häufigkeit ni/ m (m=20, da 20 Messwerte) und Klassenbreite bi= 10 cm ; d. h. bei diesem Diagramm tragen wir auf der y-Achse die relative Anzahl der Messwerte, die jeweils in einem der Bereiche 1,60m bis 1,699m / 1,70m bis 1,799m / 1,80m bis 1,899m / 1,90m bis 1,999m liegen, in % geteilt durch Klassenbreite von 10cm auf. d. h. y-Achse hat die Einheit [%/10cm], x-Achse ist die Körpergröße. Gegenüber b) ändert sich nur die Einheit der y-Achse von % zu %/10cm !! relative Häufigkeits-dichte | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
54 Jürgen Edelmann-Nusser Histogramme Jetzt kann man die Frage stellen: wozu das Ganze? Hierzu schauen wir uns Histogramme und die sogenannte Normalverteilung nach Gauß an. Bei Größen wie dem Körpergröße oder Körpergewicht erwartet man eine sogenannte Normalverteilung: Es gibt sehr wenige Leute, die sehr klein sind, sehr wenige, die sehr groß sind, die meisten Personen gruppieren sich um den Mittelwert. Beispiel: Geht man davon aus, dass Männer im Durchschnitt 1,80 Meter groß sind, zeigt die Normalverteilung, dass die Größe vieler Männer um diesen Wert herum liegt, z. B. 1,78 m, 1,79 m, 1,81 m oder 1,82 m. Viel weniger häufig sind 1,60 m oder 2,00 m etc. ; die Symmetrie der Normalverteilung bedeutet, dass 1,79 m annähernd genauso häufig bzw. wahrscheinlich ist wie 1,81 m und 1,60 m genauso wahrscheinlich wie 2,00 m usw.. Zeichnet man die Normalverteilung, indem man im Beispiel die Körpergröße auf der horizontalen x-Achse und die absolute oder relative Häufigkeit auf der vertikalen y-Achse abträgt, erhält man eine Glockenkurve (die Linie hat die Form einer Glocke, siehe nächste Folie). Die Dicke / Breite der Glockenkurve wird durch die Standardabweichung bestimmt, der höchste Punkt durch den Mittelwert. Graphisch sieht die sogenannte Dichtefunktion dieser Normalverteilung wie folgt aus: | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
55 Jürgen Edelmann-Nusser 𝑓𝑓𝑥𝑥=1 𝑠𝑠𝑚𝑚2𝜋𝜋𝑒𝑒-1 2𝑚𝑚-̅𝑚𝑚 𝑠𝑠𝑥𝑥2 𝐺𝐺𝐺𝐺. (1)Die Gleichung dieser Funktion lautet: Dabei ist 𝒙𝒙der Mittelwert (hier 1,80m) und sxdie Standardabweichung Histogramme und Normalverteilung | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
56 Jürgen Edelmann-Nusser : Normalverteilung: Wir schauen uns jetzt die Normalverteilung genauer an, d. h. wo liegen der Hochpunkt und die Wendepunkte, welche y-Werte haben die Hoch-und Wendepunkte: (siehe oben) Histogramme und Normalverteilung | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
57 Jürgen Edelmann-Nusser Histogramme und Normalverteilung | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
58 Jürgen Edelmann-Nusser Beispiele: Blaue Kurve: der Mittelwert ist 0, sx=1. Damit ergibt sich nach Gl. 2 ymax= 0,3989, also ca. 0,4 Beider roten und grünen Kurve istsx=2, damit ergibt sich ymax= 0,2 Wendepunkte: Blaue Kurve: Wendepunkte bei 1 und-1, y Wert der Wendepunkte: 0,3989*0,607 ergibt ca. 0,24 Wendepunkte: grünen Kurve: Wendepunkte bei 2 und-2, y Wert der Wendepunkte: 0,2*0,607 ergibt ca. 0,12Die rote Kurve ist lediglich eine Verschiebung der grünen Kurve nach links. Histogramme und Normalverteilung | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
59 Jürgen Edelmann-Nusser Eine Normalverteilung nach der obigen Gleichung 1 kann nach Bestimmung von Mittelwert und Standardabweichung der Messdaten, im Beispiel die Körpergrößen von 20 Personen, nur in das Histogramm der relativen Häufigkeitsdichte eingezeichnet werden! Achtung: die physikalische Einheiten, y-Achse: Nach Gleichung 1 ergibt sich die physikalische Einheit der Normalverteilung über 1/s x. Habe ich also Körpergrößen in Metern gemessen, so hat die Standardabweichung die Einheit Meter und damit ist die physikalische Einheit der y-Achse 1/m. Die relative Häufigkeitsdichte hat dieselbe Einheit!! Möchte ich jetzt in ein Histogramm mit absoluter Häufigkeit zusätzlich eine Normalverteilung einzeichnen um mir anzuschauen, wie ähnlich meine Verteilung einer Normalverteilung ist, muss ich wie folgt vorgehen:Ich muss die Normalverteilung multiplizieren mit (m*b i)also der Anzahl der Messwerte * Klassenbreite Histogramme und Normalverteilung | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
60 Jürgen Edelmann-Nusser Dies führen wir jetzt für das Beispiel der 20 Personen und der Körpergröße durch: Histogramme und Normalverteilung | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
61 Jürgen Edelmann-Nusser n Körpergröße Rote Punkte : eben berechnete Hoch-und Wendepunkte Hoch-und Wendepunkte werden jetzt in das Histogramm der absoluten Häufigkeit eingezeichnet: Histogramme und Normalverteilung | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
62 Jürgen Edelmann-Nusser Jetzt kann noch der Verlauf der Glockenkurve (grün) mit eingezeichnet werden, so dass man die Abweichung der Verteilung von der Normalverteilung erkennen kann. Histogramme und Normalverteilung | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
63 Jürgen Edelmann-Nusser Weiteres Beispiel: Die Abbildung zeigt ein Histogramm der absoluten Häufigkeit der Körpergrößen von 400 Personen. Die Klassenbreite ist jetzt nur noch 5cm. Dies ähnelt einer Normalverteilung schon deutlich mehr. n Man kann nun entsprechend Mittelwert und Standardabweichung berechnen und die Glockenkurve einzeichnen:Histogramme und Normalverteilung Körpergröße | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
64 Jürgen Edelmann-Nusser n Dies sehen wir hier, grüne Kurve. Die Abweichung des Histogramms von der Normalverteilung scheint nun eher gering. Histogramme und Normalverteilung Körpergröße | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
65 Jürgen Edelmann-Nusser | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
66 Jürgen Edelmann-Nusser n Man sieht zwar jetzt, dass die Abweichung von der Normalverteilung eher gering zu sein scheint, inwiefern man aber jetzt sagen kann, „die gemessenen Werte sind normalverteilt“ damit beschäftigen wir uns jetzt: Histogramme und Normalverteilung Körpergröße | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
67 Jürgen Edelmann-Nusser Verfahren zur Prüfung auf Normalverteilung Zur Prüfung, ob die Verteilung von Messdaten/Messwerten einer bestimmten Verteilung (Normalverteilung oder andere Verteilung z. B. Gleichverteilung beim Würfeln wie Folie 39) entsprechen, wurden mathematische Verfahren entwickelt. Diese Verfahren schauen sich im Prinzip an, wie sind die Daten verteilt, wie müssten sie idealerweise bei einer bestimmten Verteilung verteilt sein und wie sieht die Differenz zwischen der tatsächlichen Verteilung und dem Idealfall aus. Also in den Abbildungen der Folien vorne wie weit das Histogramm (blaue Säulen) von der grünen Kurve abweicht. Daraus wird dann eine Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass die Messdaten der angenommenen Verteilung entsprechen oder eben nicht entsprechen. Auf Basis dieser Wahrscheinlichkeit wird dann entschieden, ob man eine bestimmte Verteilung annehmen darf oder nicht. Heutzutage sind diese Verfahren in entsprechenden Computerprogrammen implementiert. Wir werden ein solches im Rahmen der Vorlesung auch noch kennenlernen und nutzen. D. h. man muss das nicht mehr selbst rechnen. Man muss aber wissen, wie die entsprechenden Tests heißen, zum einen, um in den Computerprogrammen die richtigen Tests auszuwählen, zum anderen um beim Lesen von wissenschaftlichen Artikeln/Büchern zu verstehen, was es bedeutet, wenn ein bestimmter Test-z. B. „Shapiro-Wilk“-Test (siehe später)-gemacht wurde. Verfahren zur Prüfung auf Normalverteilung | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
68 Jürgen Edelmann-Nusser Zur Prüfung auf Normalverteilung sind folgende Tests üblich: Kolmogorov-Smirnov-Test. Dieser ist ein allgemeiner Anpassungstest, mit dem die Übereinstimmung mit einer beliebigen Verteilung-und damit auch der Normalverteilung-geprüft werden kann. Lilliefors-Test Der Lilliefors-Test beziehungsweise Kolmogorov-Smirnov-Lilliefors-Test ist ein statistischer Test, mit dem die Häufigkeitsverteilung der Daten einer Stichprobe auf Abweichungen von der Normalverteilung untersucht werden kann. Es handelt sich um einen modifizierten Kolmogorow-Smirnow-Test. Der Kolmogorow-Smirnow-Lilliefors-Test ist wegen der Modifikation besser geeignet als der Kolmogorow-Smirnow-Test! Benannt nach Hubert Lilliefors, der ihn Mitte der 60er Jahre des 20 Jahrhunderts beschrieb. Shapiro-Wilk-Test Dieser Test hat eine höhere Teststärke als die beiden anderen Tests. Deshalb ist er diesen beiden Tests vorzuziehen!!! Wir wollen uns diesen Test jetzt etwas genauer ansehen: Wichtig ist hierbei, wie auch bei den oben genannten Verfahren, wie bei dem Testverfahren die Hypothesen formuliert sind: Dies führt gelegentlich zu Verwirrung und Fehlinterpretationen der berechneten Ergebnisse. Die Computerprogramme geben nämlich nicht den Satz aus: „Entspricht einer Normalverteilung“ oder „Entspricht der Normalverteilung nicht“ sondern sie geben die alpha-Fehlerwahrscheinlichkeit (siehe vorne) aus, die man dann selbst richtig interpretieren muss!!!Verfahren zur Prüfung auf Normalverteilung | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
69 Jürgen Edelmann-Nusser Der Shapiro-Wilk-Test prüft die Hypothese, dass eine Stichprobe normalverteilt ist. H0nimmt an, dass eine Normalverteilung der Grundgesamtheit vorliegt. demgegenüber unterstellt die Alternativhypothese H1, dass keine Normalverteilung vorliegt H0: Stichprobe stammt aus einer Normalverteilung H1: Stichprobe stammt nicht aus einer Normalverteilung Wenn der Wert W der sogenannten Teststatistik größer ist als der kritische Wert, wird die Nullhypothese nicht abgelehnt und es wird angenommen, dass eine Normalverteilung vorliegt (der Satz ist verwirrend: Normalverteilung heißt, dass H1 verworfen werden muss, also H0 gilt). d. h. kleine Werte von W zeigen Nicht-Normalverteilung an, große Werte von W zeigen Normalverteilung an. Stichproben können 3 bis 5000 Messwerte enthalten. D. h. wir könnten damit prüfen ob bei der Messung der Körpergröße von 20 Personen bei den erhaltenen Messwerten eine Normalverteilung vorliegt. Verfahren zur Prüfung auf Normalverteilung Shapiro-Wilk-Test Achtung: dies ist wichtig und das muss man bei der Interpretation der Ergebnisse des Tests wissen! | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
70 Jürgen Edelmann-Nusser Wir betrachten jetzt, wie ein solcher Test mathematisch abläuft (man muss das in der Klausur nicht rechnen können, aber man sollte es sich mal ansehen, da solche Tests immer ein ähnliches Muster haben). Berechnet werden muss der erwähnte Wert W aus den Werten b² und s². s ist dabei die Standardabweichung : größter Messwert kleinster Messwertzweitgrößter Messwertzweitkleinster Messwert Tabelle 5 auf der übernächsten Folie Verfahren zur Prüfung auf Normalverteilung Shapiro-Wilk-Test Die Berechnung der Standardabweichung s aus vorliegenden Messwerten hatten wir vorne schon, wir betrachten jetzt die Berechnung von b | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
71 Jürgen Edelmann-Nusser Ein Nicht-Mathematiker versteht das kaum, es ist aber, wenn man sich ein Beispiel anschaut nicht schwer. Die Tabellen, die nachfolgend benutzt werden, sind in mathematischen Tabellenbüchern und Tafelwerken zu finden: Praktisches Beispiel Eine Stichprobe besteht aus n=7 Werten, : 6, 1,-4, 8,-2, 5, 0 1. Wir ordnen sie der Größe nach: -4,-2, 0, 1, 5, 6, 8 2. Mittelwert und Standardabweichung berechnen: Mittelwert: 2 S²*(n-1)= 6²+4²+2²+1²+3²+4²+6²=118 S²=118/6 3. aus der Tabelle auf der nächsten Folie für n=7 (Spalte 7, rote Ellipse ) : k=(7-1)/2 = 3 Gewichte Diese sind 0,6233; 0,3031; 0,1401; Verfahren zur Prüfung auf Normalverteilung Shapiro-Wilk-Test | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
72 Jürgen Edelmann-Nusser Verfahren zur Prüfung auf Normalverteilung Shapiro-Wilk-Test | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
73 Jürgen Edelmann-Nusser Damit ergibt sich: b= 0,6233 * (8+4) + 0,3031*(6+2) + 0,1401*(5-0) = 10,6049 4. größter Messwert kleinster Messwertzweitgrößter Messwertzweitkleinster Messwert drittgrößter Messwert drittkleinster Messwert Damit berechnet sich W = 10,6049² / 118 = 0,9530. Verfahren zur Prüfung auf Normalverteilung Shapiro-Wilk-Test | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
74 Jürgen Edelmann-Nusser5. Vergleich mit Tabelle 6, n=7: 0,9530 ist größer als für n= 7 das 50% Level von 0,928 !. Verfahren zur Prüfung auf Normalverteilung Shapiro-Wilk-Test | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
75 Jürgen Edelmann-Nusser D. h. die Irrtumswahrscheinlichkeit für H1 "Stichprobe stammt nicht aus einer Normalverteilung" ist größer als 50% (liegt irgendwo zwischen 50% und 90%, da 0,9530 zwischen dem 50% Level mit dem Wert 0,928 und dem 90% Level mit dem Wert 0,972 liegt). Damit wird H1 nicht angenommen (da alpha Fehler-Wahrscheinlichkeit > 5%),es gilt H0: „Stichprobe stammt aus einer Normalverteilung“ Also: die 7 Werte 6, 1,-4, 8,-2, 5, 0 sind normalverteilt!!Verfahren zur Prüfung auf Normalverteilung Shapiro-Wilk-Test | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
76 Jürgen Edelmann-Nusser Zweites Beispiel Verfahren zur Prüfung auf Normalverteilung Shapiro-Wilk-Test (Rote Ellipse, nächste Folie!)größter Messwert kleinster Messwert | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
77 Jürgen Edelmann-Nusser | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
78 Jürgen Edelmann-Nusser4. Damit: 5. Vergleich mit Tabelle 6 (nächste Folie), n=10: 0,76 ist kleiner als für n=10 (roter Pfeil, nächste Folie) das 1% Niveau von 0,781 (grüne Ellipse, nächste Folie) ! Dies bedeutet, dass die Irrtumswahrscheinlichkeit für H1 "Stichprobe stammt nicht aus einer Normalverteilung" kleiner als 1% ist. H1 wird also angenommen, H0 verworfen. Folglich wird mit hoher Wahrscheinlichkeit angenommen, dass die Stichprobe keiner Normalverteilung entspricht!Verfahren zur Prüfung auf Normalverteilung Shapiro-Wilk-Test | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
79 Jürgen Edelmann-Nusser Verfahren zur Prüfung auf Normalverteilung Shapiro-Wilk-Test | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
80 Jürgen Edelmann-Nusser Wichtig ist, dass man bei der Anwendung eines entsprechenden Verfahrens, das auf Normalverteilung prüft oder auf irgendetwas anderes (Beispiele kommen noch im Laufe der Vorlesung) immer weiß, wie die Hypothesen H1 und H0 lauten und wie die Ergebnisse des Verfahrens, das prüft, damit zu interpretieren sind: Beim Shapiro-Wilk-Test liegt ja Normalverteilung dann vor, wenn H1 verworfen wird, also die alpha-Fehlerwahrscheinlichkeit größer als 5% ist!! Beim Kolmogorov-Smirnov-Test und beim Lilliefors-Test lauten H1 und H0 genauso wie beim Shapiro-Wilk-Test : H0: Stichprobe stammt aus einer Normalverteilung H1: Stichprobe stammt nicht aus einer Normalverteilungd. h. auch bei diesen Tests liegt Normalverteilung dann vor, wenn H1 verworfen wird, also die alpha-Fehlerwahrscheinlichkeit größer als 5% ist!!Verfahren zur Prüfung auf Normalverteilung Shapiro-Wilk-Test | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
81 Jürgen Edelmann-Nusser | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
82 Jürgen Edelmann-Nusser Verfahren zur Prüfung von Unterschiedshypothesen, Mittelwertsvergleiche:Prüfung von Unterschiedshypothesen Wir wollen hier nachprüfen, ob ein Mittelwertsunterschied rein zufällig ist oder ob er statistisch bedeutsam ist: Beispiel: Wir messen die Körpergrößen aller Torhüter aller Fußballmannschaften zweier unterschiedlicher Ligen (z. B. 1. Bundesliga / 2. Bundesliga) und möchten jetzt wissen ob die Torhüter der höheren Liga größer sind als die Torhüter der niedrigeren Liga, also ob es hier einen bedeutsamen Unterschied in der Körpergröße gibt. H1 lautet damit: Die Torhüter der 1. Liga sind signifikant größer als die der 2. Liga H0 lautet damit: Die Torhüter der 1. Liga sind nicht signifikant größer als die der 2. Liga Wir machen jetzt drei unterschiedliche fiktive Annahmen für die Ergebnisse:: Annahme 1: Wir bekommen wir heraus, dass die mittlere Körpergröße der Torhüter der 1. Liga 2cm mehr beträgt als die mittlere Körpergröße der Torhüter der 2. Liga. Annahme 2: Wir bekommen wir heraus, dass die mittlere Körpergröße der Torhüter der 1. Liga 20 cm mehr beträgt als die mittlere Körpergröße der Torhüter der 2. Liga. Annahme 3: Wir bekommen wir heraus, dass die mittlere Körpergröße der Torhüter der 1. Liga 2mm mehr beträgt als die mittlere Körpergröße der Torhüter der 2. Liga. | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
83 Jürgen Edelmann-Nusser Dargestellt ist dies über Säulendiagramme unten. Bei Annahme 2 würden wir bei Betrachtung des Diagramms in der Mitte jetzt so aus dem Bauchgefühl heraus sagen: Der Unterschied erscheint bedeutsam, es sind ja 20cm, das scheint deutlich zu sein. Bei Annahme 3 würden wir bei Betrachtung des Diagramms rechts aus dem Bauchgefühl heraus sagen: Der Unterschied erscheint eher gering und damit wohl eher nicht bedeutsam, sind ja nur 2mm, also kaum erkennbar in dem Diagramm. Bei Annahme 1 würden wir bei Betrachtung des Diagramms links aus dem Bauchgefühl heraus sagen: Der Unterschied könnte bedeutsam sein, muss aber nicht, sind ja nur 2cm, erscheint eher gering, ist aber in dem Diagramm erkennbar. Annahme 1: Differenz der Mittelwerte: 2cm Annahme 2: Differenz der Mittelwerte: 20cm Annahme 3: Differenz der Mittelwerte: 0,2cm Prüfung von Unterschiedshypothesen Körpergröße [m] | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
84 Jürgen Edelmann-Nusser Bei Ergebnissen entsprechend der Annahmen 2 und 3 liegen wir mit unserem Bauchgefühl vermutlich richtig, bei Annahme 1 ist eine Entscheidung schwierig. Wir befassen uns deshalb jetzt damit, wie wir herausbekommen, ob entsprechende Mittelwertsunterschiede signifikant-also statistisch bedeutsam -sind! Dazu müssen wir die Wahrscheinlichkeit eines alpha-Fehlers bestimmen, also die Wahrscheinlichkeit H1 (H1 lautet: Die Torhüter der 1. Liga sind signifikant größer als die der 2. Liga) fälschlicherweise anzunehmen. Diese darf nicht über 5% liegen! Dazu gibt es entsprechende mathematische Verfahren. Heutzutage sind diese Verfahren-wie schon erwähnt-in entsprechenden Computerprogrammen implementiert. D. h. man muss die Verfahren nicht mehr selbst rechnen, man muss aber wissen, wann man welches Verfahren anwenden muss bzw. darf: Dies hängt z. B. davon ab, ob eine Variable wie hier proportionalskaliert ist, oder ob sie nur ordinalskaliert ist. Weiterhin muss man Wissen ob es sich bei der Stichprobe (hier die Torhüter der 1. und 2. Liga) um eine sogenannte abhängige oder unabhängige Stichprobe handelt. Diese Frage muss zu aller erst geklärt werden! Deshalb geht es jetzt in der nächsten Folie erstmal um a bhängige und unabhängige Stichproben Prüfung von Unterschiedshypothesen | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
85 Jürgen Edelmann-Nusser Abhängige und unabhängige Stichproben Prüfung von Unterschiedshypothesen Unabhängige Stichproben setzen sich aus voneinander unabhängigen Messwerten/Messdaten zusammen. Im Gegensatz dazu handelt es sich bei abhängigen oder auch verbundenen Stichproben um Datenpaare oder Datengruppen, die zusammengehören und keine statistisch voneinander unabhängigen Messungen darstellen. Verständlich wird dies bei der Betrachtung von Beispielen: Ich möchte wissen, ob Männer signifikant größer sind als Frauen. Ich messe dazu die Körpergrößen von 100 zufällig ausgewählten Frauen und 100 zufällig ausgewählten Männern. Dies sind unabhängige Stichproben, da ich Frauen und Männer unabhängig voneinander zufällig auswähle. Ich möchte wissen, ob Männer signifikant größer sind als die Frauen, mit denen sie verheiratet sind. Ich messe hierzu die Körpergrößen von 100 zufällig ausgewählten Paaren. Dies ist eine abhängige (gepaarte) Stichprobe, da es zu jeder Frau einen zugehörigen Mann gibt, die Männer also abhängig von den Frauen und umgekehrt ausgewählt wurden. Es gibt folgende Begriffe in der Literatur, die dasselbe bedeuten: abhängige / unabhängige Stichproben oder verbundene / unverbundene Stichproben oder gepaarte / nicht gepaarte Stichproben und in englischer Sprache paired / independent samples | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
86 Jürgen Edelmann-Nusser Prüfung von Unterschiedshypothesen Es kommt jetzt ein Beispiel, in dem wir zuerst mit einer unabhängigen Stichprobe einer Fragestellung nachgehen und dann mit einer abhängigen Stichprobe: Fragestellung: Springen Tennisbälle bei höherer Temperatur höher vom Boden ab? Wir kaufen hierzu 10 Tennisbälle und prüfen jetzt, ob sie bei 30 °C höher vom Boden abspringen als bei 20° C. Hierzu lassen wir die Bälle aus 1,5m senkrecht fallen und messen wie weit sie nach dem Aufprall auf dem Boden wieder hochspringen. Variante 1: unabhängige Stichprobe: Ich nehme die 10 Bälle und lagere sie für 5 Stunden bei 20°C. Dann lasse ich jeden Ball einmal aus 1,5m senkrecht fallen und messe die Rückprallhöhe bei den 20 °C warmen Bällen. Nun lagere ich die Bälle für 5 Stunden bei 30°C. Dann lasse ich jeden Ball einmal aus 1,5m senkrecht fallen und messe die Rückprallhöhe bei den 30 °C warmen Bällen. Nun vergleiche ich die mittleren Rückprallhöhen bei 20 °C und 30° C Wie sieht es jetzt im dem Beispiel mit den Körpergrößen der Torhütern der 1. und 2. Liga aus? Es gibt keine paarweise Zuordnung der Torhüter und deren Körpergrößen, also handelt es sich um eine unabhängige Stichprobe! | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
87 Jürgen Edelmann-Nusser Prüfung von Unterschiedshypothesen Variante 2: abhängige Stichprobe: Ich nehme die 10 Bälle und markiere die Bälle eindeutig mit einer Nummer (siehe rechts). Man könnte auch auf jeden Ball einen Buchstaben malen oder ihn sonst irgendwie eindeutig erkennbar markieren Nun gehe ich wieder vor wie eben: Ich nehme die 10 Bälle und lagere sie für 5 Stunden bei 20°C. Dann lasse ich jeden Ball einmal aus 1,5m senkrecht fallen und messe die Rückprallhöhe bei den 20 °C warmen Bällen. Nun lagere ich die Bälle für 5 Stunden bei 30°C. Dann lasse ich jeden Ball einmal aus 1,5m senkrecht fallen und messe die Rückprallhöhe bei den 30 °C warmen Bällen. Nun vergleiche ich die mittleren Rückprallhöhen bei 20 °C und 30° C Der Unterschied ist, dass ich bei Variante 2 weiß, wie hoch der jeweilige Ball bei 20° C und bei 30°C springt, d. h. die beiden Messwerte bilden ein Paar. Bei Variante 1 habe ich 10 Messwerte für 20°C und 10 Messwerte für 30 °C, aber keine paarweise Zuordnung, da ja alle Bälle gleich aussehen, ich also nicht mehr die einzelnen Messwerte bestimmten Bällen zuordnen kann. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
88 Jürgen Edelmann-Nusser Gerichtete / ungerichtete Hypothese: Ein weiterer wichtiger Punkt bei der Prüfung von Unterschiedshypothesen ist, ob die Hypothesen gerichtet oder ungerichtet sind: In unserem Beispiel mit den Torhütern waren die Hypothesen gerichtet, die Torhüter der 1. Liga sollten größer sein ( dies ist das was gerichtet bedeutet !): H1: Die Torhüter der 1. Liga sind signifikant größe r als die der 2. Liga H0: Die Torhüter der 1. Liga sind nicht signifikant größer als die der 2. Liga Ungerichtet würden die Hypothesen wie folgt lauten: H1: Die Torhüter der 1. Liga unterscheiden sich bzgl. der Körpergröße von den Torhütern der 2. Liga H0: Die Torhüter der 1. Liga unterscheiden sich bzgl. der Körpergröße nicht von den Torhütern der 2. Liga D. h. die ungerichtete Hypothese besagt nur, es gibt einen Unterschied bei den Mittelwerten, sie sagt aber nicht ob größer oder kleiner, gibt also keine Richtung für den Unterschied vor. Meist werden Hypothesen gerichtet formuliert, das ist aber kein Zwang!Prüfung von Unterschiedshypothesen | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
89 Jürgen Edelmann-Nusser Wir schauen uns das mit den gerichteten und ungerichteten Hypothesen in dem Beispiel mit den Tennisbällen mal an: a. Die Überlegung könnte lauten: Bei 30 °C ist der Druck in den Bällen höher als bei 20°C also springen sie höher. Damit lauten die gerichteten Hypothesen wie folgt: H1_a: Die Bälle springen bei 30° C höher als bei 20° C H0_a: Die Bälle springen bei 30° C nicht höher als bei 20° C b. Alternativ könnten wir überlegen: Bei 30° C ist der Gummi der Bälle weicher, sie prallen deshalb weniger weit hoch als bei 20 °C. Damit lauten die gerichteten Hypothesen wie folgt: H1_b: Die Bälle springen bei 20° C höher als bei 30° C H0_b: Die Bälle springen bei 20° C nicht höher als bei 30° C c. Alternativ könnten wir überlegen: Bei 30° C ist der Gummi der Bälle weicher aber Druck im Ball höher als bei 20 °C, ich kann nicht sagen, welcher Effekt überwiegt, gehe aber davon aus, dass sich das Springverhalten irgendwie ändert. So kann man die ungerichteten Hypothesen formulieren: H1_c: Die Bälle springen bei 20° C nicht in dieselbe Höhe wie bei 30° C H0_c: Die Bälle springen bei 20° C in dieselbe Höhe wie bei 30° C Wenn jetzt herauskommt, dass die Bälle bei 30° C um 10cm höher springen und dieser Unterschied signifikant ist, dann würde H1_a gelten, ebenso H1_c, H1_b wird verworfen, es gilt H0_b Wenn herauskommt, dass die Bälle bei 30 °C um 10cm niedriger springen und dieser Unterschied signifikant ist, dann würde H1_b gelten, ebenso H1_c, H1_a wird verworfen, es gilt H0_a Prüfung von Unterschiedshypothesen | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
90 Jürgen Edelmann-Nusser Prüfung von Unterschiedshypothesen Vorgehensweise bei Mittelwertsvergleichen, Prüfung von Unterschiedshypothesen (Schema zum Vorgehen siehe Folie hinten) : Die ersten drei Schritte sind immer wie folgt: 1. Formulieren der Hypothese H1 und H0; Zu beachten ist hierbei, ob die Hypothesen gerichtet oder ungerichtet formuliert werden! 2. Klären ob man abhängige oder unabhängige Stichproben hat! 3. Wie sind meine Variablen skaliert: Habe ich proportional-oder intervallskalierte Daten oder ordinalskalierte Daten Bei intervall-oder proportionalskalierten Daten (also z. B. der Körpergröße der Torhüter oder der Sprunghöhe der Bälle):Prüfung auf Normalverteilung (Shapiro-Wilk-Test): Bei unabhängigen Stichproben wird hierbei geprüft, ob jede der beiden Stichproben einer Normalverteilung entspricht. D. h. beide Stichproben werden separat auf Normalverteilung geprüft, der Shapiro-Wilk-Test wird für beide Stichproben gerechnet. Entspricht nur eine der beiden Stichproben nicht einer Normalverteilung, muss man so vorgehen wie später für ordinalskalierte Variablen beschrieben. Bei abhängigen Stichproben wird hierbei geprüft, ob die Differenz der Messwertpaare einer Normalverteilung entspricht. D. h. bei den Körpergrößen der verheirateten Männer und Frauen wird für jedes Ehepaar die Größe der Frau von der Größe ihres Mannes subtrahiert. Die Ergebnisse dieser Subtraktion müssen normalverteilt sein. Es wird also nur ein Shapiro-Wilk-Test (für die Differenzen der Messwertpaare) gerechnet. Liegt keine Normalverteilung vor, muss man so vorgehen wie später für ordinalskalierte Variablen beschrieben Dann geht es wie folgt weiter: | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
91 Jürgen Edelmann-Nusser Prüfung auf Varianzhomogenität: Beiunabhängigen Stichproben muss weiterhin auf Varianzhomogenität geprüft werden: Hierzu dient der Levene-Test* oder Brown und Forsythe Test*. Es wird geprüft, inwiefern die Streuungen (Standardabweichungen/Varianzen) der beiden Stichproben ungefähr in der gleichen Größenordnung liegen um nicht sehr homogene mit sehr heterogenen Stichproben zu vergleichen. Liegt keine Varianzhomogenität vor, muss man so vorgehen wie später für ordinalskalierte Variablen beschrieben. Hypothesen beim Levene-Test: H0 esliegt Varianzhomogenität vor H1 esliegt keine Varianzhomogenität vor d. h. es liegt Varianzhomogenität dann vor, wenn H1 verworfen wird, also die alpha-Fehlerwahrscheinlichkeit größer als 5% ist!! Beiabhängigen Stichproben wird nicht auf Varianzhomogenität geprüft! (Grund: Ist nicht nötig, da ja nur die Differenz der Messwertpaare betrachtet wird, also nicht zwei unterschiedliche Gruppen, die stark unterschiedliche Streuungen (Standardabweichungen/Varianzen) aufweisen könnten). Prüfung von Unterschiedshypothesen *diese Tests sind in den entsprechenden Computerprogrammen implementiert. | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
92 Jürgen Edelmann-Nusser Liegt Normalverteilung vor und bei unabhängigen Stichproben zusätzlich noch Varianzhomogenität, so geht es weiter wie folgt: Beiunabhängigen Stichproben: t-Test für unabhängige Stichproben* durchführen Beiabhängigen Stichproben: t-Test für abhängige Stichproben* durchführen Liegt keine Normalverteilung vor oder bei unabhängigen Stichproben keine Varianzhomogenität, so geht es weiter wie folgt: Beiunabhängigen Stichproben: U-Test* (U-Test von Mann & Whitney) durchführen Beiabhängigen Stichproben: Wilcoxon-Test* durchführen Bei ordinalskalierten Daten: Beiunabhängigen Stichproben: U-Test* (U-Test von Mann & Whitney) durchführen Beiabhängigen Stichproben: Wilcoxon-Test* durchführen Gleiche Tests!!!!Prüfung von Unterschiedshypothesen *diese Tests sind in den entsprechenden Computerprogrammen implementiert, ich muss wissen welcher der Tests jetzt für meine Fragestellung und meine Daten der richtige ist, welcher angewendet werden muss! | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
93 Jürgen Edelmann-Nusser Prüfung von Unterschiedshypothesen Man muss bei intervall-oder proportionalskalierten Daten, die normalverteilt sind und Varianzhomogenität aufweisen (Varianzhomogenität ist nur bei unabhängigen Stichproben notwendig) nicht unbedingt den t-Test für abhängige oder den t-Test für unabhängige Stichproben anwenden, man darf auch stattdessen bei unabhängigen Stichproben den U-Test und bei abhängigen Stichproben den Wilcoxon-Test anwenden! Dies ist erlaubt! D. h. man kann sich die Tests auf Normalverteilung und Varianzhomogenität sparen, wenn man einfach gleich den U-Test oder Wilcoxon-Test verwendet. Nachteil dieser Vorgehensweise ist es, dass die alpha-Fehlerwahrscheinlichkeit bei Anwendung eines t-Tests im Allgemeinen geringer ist, als bei Anwendung eines U-Tests oder Wilcoxon-Tests. Es kann also passieren, dass bei Anwendung des U-Tests H1 verworfen werden muss, da die alpha-Fehlerwahrscheinlichkeit 8% ergibt, bei Anwendung eines t-Tests dagegen die alpha-Fehlerwahrscheinlichkeit lediglich 4,5% ergibt und damit H1 angenommen werden kann! D. h. wenn ein t-Test möglich ist, sollte man diesen auch dem U-Test oder Wilcoxon-Test vorziehen! | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
94 Jürgen Edelmann-Nusser In diesem Zusammenhang mit statistischen Tests fallen oft die Begriffe parametrischer Test und nicht-parametrischer Test: „Parametrisch“ bedeutet, dass eine bestimmte Verteilung, z. B. Normalverteilung vorliegen muss, „nicht-parametrisch“ bedeutet, dass die Tests keine bestimmte Verteilung der Daten voraussetzen. Diet-Tests, die nur bei Normalverteilung durchgeführt werden dürfen, gehören zu den parametrischen Tests. Der U-Test (U-Test von Mann & Whitney) und der Wilcoxon-Test, für die ordinalskalierte Daten ausreichen und die entsprechend keine Normalverteilung fordern, gehören zu den nicht-parametrischen Tests oder verteilungsfreien Tests, d. h. sie sind unabhängig von der Verteilung erlaubt. Die nächste Folie zeigt schematisch eine Übersicht, wie man bei der Prüfung von Mittelwertsunterschieden vorgeht. Prüfung von Unterschiedshypothesen | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
95 Jürgen Edelmann-Nusser Schema zur Vorgehensweise bei Mittelwertsvergleichen, Prüfung von Unterschieds-hypothesen: Prüfung von Unterschiedshypothesen | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
96 Jürgen Edelmann-Nusser Wie bereits mehrfach erwähnt, sind die genannten Tests sind in entsprechenden Computerprogrammen implementiert. Eines der bekanntesten dieser Programme ist SPSS der Firma IBM. Die Nutzung des Programms lässt sich IBM allerdings sehr gut bezahlen. Für Studenten gibt es zeitlich begrenzte Testversionen. Ein Programm, das frei verfügbar ist, ist JASP. Das Programm kann kostenlos heruntergeladen werden und ist ähnlich aufgebaut wie SPSS. Für die meisten Fragestellungen reicht dieses Programm erstmal aus. Wir wollen es deshalb beim nächten mal einmal ausprobieren und damit t-Tests, Shapiro-Wilk-Tests, Levene-Tests, U-Tests und Wilxoxon-Tests durchführen. Hierzu bitte das Programm herunterladen (Link siehe nächste Folie) und installieren. | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
97 Jürgen Edelmann-Nusserhttps://jasp-stats. org/download / | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
98 Jürgen Edelmann-Nusser Modulhandbücher Probandenstunden: Sport und Technik: 15h Sportwissenschaft: 10h 27. 09.-29. 09. dvs-Biomachanik | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
99 Jürgen Edelmann-Nusser | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
100 Jürgen Edelmann-Nusser Das Programm JASP Nötige Dateien: Tennisbaelle_unabh_S. csv, Tennisbaelle_abh_S. csv, Test_Punkt_Komma. csv, Test_Punkt_Komma2. csv | Forschungsmethoden_SS_24.pdf |
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