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Timestamp: 2018-01-19 08:42:26+00:00
Document Index: 158706177

Matched Legal Cases: ['§ 4', '§ 1', '§ 1', '§ 1', '§ 1', '§ 1', '§ 1', '§ 1', '§ 1', '§ 11', '§ 16', 'arrêt ']

Traité du béton armé 2e édition 2017 by INFOPRO DIGITAL - issuu
Traité de béton armé s’adresse aux formateurs, enseignants et étudiants, techniciens supérieurs, ingénieurs, projeteurs, vérificateurs chargés de
c Béton armé : Généralités – Matériaux – Actions et sollicitations, analyse structurale – Association acier-béton c États-limites sous sollicitations normales : Hypothèses et données pour les calculs sous sollicitations normales – Traction simple – Flexion simple – Flexion composée – Flexion déviée – Poteaux en compression « centrée » – État-limite ultime de stabilité de forme (flambement) c États-limites sous sollicitation tangentes : Effort tranchant – Poinçonnement – Torsion c Dimensionnement : Bielles, tirants et nœuds c États-limites de service : Fissuration et déformations
ISSN 2262-5089 ISBN 978-2-281-14133-7
E X P E R T I S E T E C H N I Q U E Photographie de couverture © Photorack - fotolia.com
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Jean Perchat Préface de Jean-Armand Calgaro
Cette nouvelle édition a été revue et mise à jour pour tenir compte des dernières modifications de l’Eurocode 2, notamment de l’Annexe nationale de la partie 1-1.
Le CHEC (Centre des hautes études de la construction, www.chec.fr) propose aux diplômés des écoles d’ingénieurs, aux titulaires de maîtrises universitaires et aux techniciens en poste, une formation supérieure complémentaire, dans le domaine de la conception et de la réalisation des ouvrages en béton, en métal et en bois.
selon l’Eurocode 2
Jean Perchat fut ingénieur de l’École Centrale de Paris, Professeur honoraire de l’ESTP et du CHEC, ingénieur-conseil. Il a, pendant plus de trente ans, participé activement, au sein de commissions nationales ou internationales, à la rédaction des textes normatifs et a enseigné les méthodes de calcul qui en découlent.
Cet ouvrage, issu du travail pédagogique de l’auteur au Centre des hautes études de la construction (CHEC), a pour objectif de faciliter l’appropriation de l’Eurocode 2 en permettant notamment : – de comprendre ses fondements et ses principes et de se familiariser avec les notations ; – de maîtriser le processus général de calcul et les approches de justification des structures ; – d’étudier le comportement des matériaux et les solutions de dimensionnement ; – d’acquérir les repères nécessaires à l’application de ces règles à travers de nombreux exemples de calculs commentés.
la conception, du calcul, du dimensionnement et de la justification des structures de bâtiment en béton armé.
L’Eurocode 2, norme de référence commune aux États membres de l’Union européenne depuis mars 2010, a entraîné un changement profond dans la manière de concevoir et calculer les structures des constructions en béton et de vérifier les propriétés mécaniques de leurs composants.
Préalable...................................................................................... 7 Préface ..........................................................................................9 Avant-propos .............................................................................15 Abréviations ...............................................................................19 Chapitre 1
Généralités .................................................................................21
Matériaux ....................................................................................57
Actions et sollicitations, analyse structurale .......................133
Association acier-béton ..........................................................195
Hypothèses et données pour les calculs sous sollicitations normales ...............................243
Traction simple ........................................................................259
Flexion simple..........................................................................265
Flexion composée ...................................................................391
Flexion déviée ..........................................................................445
Poteaux en compression « centrée » ....................................493
État-limite ultime de stabilité de forme (flambement) .........505
Effort tranchant – Poinçonnement ........................................555
Torsion .....................................................................................639
Dimensionnement des bielles, tirants et nœuds .................669
Fissuration et déformations ...................................................683
Annexes ....................................................................................729 Table des matières ..................................................................793
CHAPITRE 1 GÉNÉRALITES
Le béton est un matériau obtenu en mélangeant en proportions convenables et de manière homogène : – du ciment ; – un « granulat » composé de sable et de matériaux pierreux (gravillons, cailloux) ; – de l’eau. Le mélange fait prise puis « durcit »1, ce qui se traduit par un accroissement de ses résistances à la compression et à la traction. La première atteint des valeurs élevées (couramment2, en moyenne, 25 à 35 MPa), mais la seconde reste relativement incertaine et faible (de l’ordre du douzième de la résistance à la compression, c’est-à-dire de 2 à 3 MPa). Le béton est donc un matériau fragile. Pour pallier les inconvénients résultant de cette fragilité, on associe au béton des armatures en acier : le matériau ainsi obtenu est le béton armé. La présence d’armatures dans le béton ne suffit pas à faire de celui-ci un béton armé. Il faut en plus une organisation structurale spécifique portant sur les formes des pièces, ainsi que sur la quantité et l’agencement des armatures. • Principe n° 1 Tout élément doit être armé suivant trois directions non coplanaires, généralement orthogonales. Toutefois, les éléments de faible épaisseur (comme les dalles) ne sont généralement armés que dans deux directions, parallèles à leur feuillet moyen (voir exemples de ferraillage, figures 1.1 et 1.2).
1. Contrairement à ce que l’on entend souvent, le béton ne « sèche » pas. Le durcissement n’est pas dû à une perte d’eau, mais à une réaction chimique d’hydratation du ciment. Si le béton devait sécher, comment aurait-on pu l’utiliser dans des ouvrages maritimes, où il est souvent coulé sous l’eau ? 2. Les bétons à hautes performances (BHP) permettent d’obtenir des résistances bien supérieures, pouvant atteindre 100 MPa, et même davantage.
Sans titre-1 21
22 Traité de béton armé • Principe n° 2 Seuls peuvent être considérés comme « éléments en béton armé » ceux qui sont encore aptes à jouer leur rôle dans la structure dont ils font partie lorsque la résistance à la traction de leur béton constitutif est supposée nulle. L’application de ce second principe conduit : 1. À toujours mener les calculs comme si le béton avait effectivement une résistance nulle à la traction, donc à déterminer les armatures des zones tendues pour qu’elles soient capables d’équilibrer la totalité des efforts de traction développés par le fonctionnement mécanique de la structure 2. À toujours prévoir une quantité d’armatures tendues au moins égale à celle nécessaire pour équilibrer la force de rupture par traction du béton tendu, supposé non armé (condition de non-fragilité, définissant le pourcentage minimal d’armatures tendues) • Exemple 1 (figure 1.1) : poutre encastrée à une extrémité, reposant librement sur un appui intermédiaire, avec porte-à-faux, uniformément chargée. Schémas de la Résistance des Matériaux (RdM)
Figure 1.1. Exemple de ferraillage d’une poutre
Sans titre-1 22
Chapitre 1 • Généralités 23 Certains des crochets représentés pour figurer des « ancrages » peuvent ne pas être indispensables. L’ancrage d’une armature n’exige pas obligatoirement un crochet (voir § 4.3).
• Exemple 2 (figure 1.2) : dalle encastrée sur son contour, uniformément chargée.
Figure 1.2. Dalle encastrée sur son contour
FORMES USUELLES DES ÉLÉMENTS
En béton armé, on retrouve constamment : – le poteau, élément vertical porteur ; – la dalle ou hourdis, plaque plane horizontale de faible épaisseur par rapport à ses dimensions en plan ; – la nervure, élément prismatique, à section généralement rectangulaire ; – le voile plan ou courbe délimité par deux surfaces planes ou courbes, l’épaisseur étant faible vis-à-vis des dimensions de sa surface. L’association hourdis-nervure constitue une poutre en T ou à table de compression (figure 1.3).
Figure 1.3. Association hourdis-nervure
La combinaison poteau-hourdis-nervure donne la solution classique pour réaliser des planchers.
Sans titre-1 23
24 Traité de béton armé La combinaison voiles plans-hourdis aboutit aux poutres-caissons (figure 1.4).
Figure 1.4. Association voiles plans-hourdis
Des voiles à simple ou double courbure permettent de réaliser des couvertures, des réservoirs, des réfrigérants, etc.
ÉVOLUTION DES MÉTHODES DE CALCUL DU BÉTON ARMÉ
Après une période de relative stabilité, jusqu’aux environs de 1945, les méthodes de calcul des constructions en béton armé ont subi une évolution continue qui a abouti, à la suite de concepts qui se sont développés dans la seconde moitié du siècle dernier, à une modification profonde des principes mêmes sur lesquels reposaient ces méthodes. Les changements successifs ont résulté : – d’une part, d’une connaissance plus précise du comportement du matériau « béton armé », acquise à la suite de nombreux essais effectués dans différents pays ; – d’autre part, d’une évolution de la notion même de la sécurité des constructions où l’on est passé d’une conception de caractère déterministe à une conception de caractère probabiliste ou plutôt semi-probabiliste (§ 1.34). Un rappel de cette évolution est nécessaire pour en mieux comprendre les raisons et la portée. Auparavant, nous devons nous livrer à un certain nombre de considérations à caractère général.
Un ouvrage doit être conçu et calculé de manière à présenter durant toute sa durée d’exploitation des sécurités appropriées vis-à-vis : – de sa ruine ou de celle de l’un quelconque de ses éléments ; – d’un comportement en service susceptible d’affecter gravement sa durabilité, son aspect ou encore le confort de ses usagers.
Sans titre-1 24
Chapitre 1 • Généralités 25 Or un certain nombre de facteurs sont susceptibles, par leur intervention isolée ou combinée, d’influer sur la sécurité d’une structure et éventuellement de la compromettre. Parmi ces facteurs, on peut citer : • la définition des actions appliquées à l’ouvrage ; • les propriétés des matériaux constitutifs ; • la détermination des « effets des actions »1 ; • les méthodes de calcul des sections ; • les règles de détail (disposition des armatures, enrobages, recouvrements, etc.) ; • la qualité de l’exécution qui dépend elle-même : – des règles de contrôle, – de la qualification du personnel, etc. Étant donné les incertitudes qui entachent ces différents facteurs, il est nécessaire de prendre des marges de sécurité, sous la forme de « coefficients » à introduire dans les calculs. 1°) Selon le mode d’introduction des coefficients relatifs à la sécurité, on distingue : a. Les méthodes de calcul aux « contraintes admissibles » (coefficients appliqués uniquement aux « résistances » des matériaux – voir § 1.32) b. Les méthodes de calcul à la rupture (coefficients appliqués uniquement aux « actions » qui, le plus souvent, sont des charges – voir § 1.33) c. Les méthodes de calcul avec coefficients partiels (appliqués d’une part aux résistances, d’autre part aux actions et éventuellement, aux sollicitations, voir § 1.34) 2°) Selon la conception même de la sécurité, suivant la manière dont on considère les paramètres de base, on distingue : a. Les méthodes déterministes (paramètres de base considérés comme non-aléatoires) b. Les méthodes probabilistes (paramètres de base considérés comme aléatoires) Toute méthode de calcul devrait donc normalement apparaître comme une combinaison des méthodes la, ou 1b, ou 1c, avec l’une des deux méthodes 2a ou 2b ci-avant. En fait, il arrive souvent que ces différentes méthodes s’interpénètrent plus ou moins. Dans les Règles BAEL, les lettres « EL » signifiaient « états-limites ». Il faut bien comprendre que ce mot, à la mode depuis les années soixante2, ne recouvre en fait que des
1. Le lecteur devra se garder d’utiliser dans les communications écrites ou orales en anglais le faux ami sollicitation, qui signifie racolage. Il emploiera à la place, comme dans le texte anglais de l’EC2, l’expression actions effects avec un sens plus général que celui réservé habituellement au terme « sollicitation ». Il peut s’agir d’un effort interne, d’une contrainte, d’un moment, d’une déformation unitaire, d’une flèche, etc. Nous continuerons en revanche de l’utiliser comme terme générique pour désigner les « éléments de réduction » de la RdM (moment de flexion M, effort normal N, effort tranchant V, moment de torsion T). 2. Mais dés 1926, en Allemagne, Max Meyer avait proposé de justifier la bonne tenue des ouvrages en béton armé non par le calcul des contraintes, mais par le calcul aux états-limites. Cette nouvelle fa-
Sans titre-1 25
26 Traité de béton armé concepts connus et appliqués depuis fort longtemps. En effet par le terme « état-limite », on désigne tout état au-delà duquel une structure ou une partie de cette structure deviendrait inapte à remplir les fonctions pour lesquelles elle a été conçue. Lorsqu’un étatlimite est atteint, l’une des conditions requises de la structure ou de l’un de ses éléments pour remplir son objet, et qui ont été fixées lors du projet, est donc strictement satisfaite, mais cesserait de l’être une fois franchi cet état. Envisagées sous cet aspect, les méthodes « aux contraintes admissibles » (§ 1.32) par exemple, sous la forme où elles étaient utilisées autrefois, étaient elles-mêmes des méthodes d’états-limites. On les retrouve d’ailleurs maintenant, avec leurs hypothèses propres, pour justifier les « états-limites de service ». Toutefois l’habitude s’est prise (et nous ferons donc de même) de réserver le nom de « méthode de calcul aux états-limites » à la méthode de calcul semi-probabiliste avec coefficients partiels (combinaison 1c-2b selon la classification précédente).
Méthodes aux contraintes admissibles
Cette méthode de calcul, longtemps considérée comme la seule scientifiquement valable, était la base des prescriptions des premiers règlements : Circulaires ministérielles de 1906 et de 1934 et, dans une large mesure, Règles BA 1945. Dans cette méthode, le modèle de calcul est le modèle élastique. En particulier, les matériaux acier et béton sont supposés obéir à la loi Hooke (σ = E ε). Pour chacun d’eux, la contrainte maximale σ sous sollicitations de service, calculée par les méthodes de la Résistance des Matériaux classique, étendue aux pièces hétérogènes par introduction d’un « coefficient d’équivalence » et en négligeant le béton tendu, est bornée à une 1 jugée convenable de la contrainte au-delà de laquelle le matériau se rompt fraction γ (béton) ou subit des déformations importantes (acier). Cette contrainte – ou « résistance » f – peut être évaluée en tenant compte (probabilisme) ou non (déterminisme) de la dispersion des résultats d’essais. f et la condition à La contrainte maximale admissible σlim est ainsi définie par σ lim = γ vérifier est donc : f σ≤ [1.1] γ où γ ( > 1) est un coefficient global tenant compte de toutes les causes d’incertitude.
çon de considérer le problème des calculs avait été étudiée par les spécialistes russes, et notamment par le Professeur A. F. Loleit qui, en juin 1932, avait fait à ce sujet une conférence à Leningrad. Les travaux, discussions et expériences qui suivirent cette conférence aboutirent aux règlements de 1939 rendant en URSS le calcul aux états-limites obligatoire pour toutes les constructions en béton armé.
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Chapitre 1 • Généralités 27
1 est fixée une fois pour toutes indépendamment du mode de sollicitation γ des pièces (méthode « classique »), on aboutit à des coefficients de sécurité non homogènes, car variant selon ce mode de sollicitation, et par voie de conséquence, à un dimensionnement parfois surabondant. Si la fraction
Méthode classique « aménagée »
L’un des moyens de pallier l’inconvénient mentionné au paragraphe précédent consiste 1 variable en fonction à apporter des correctifs à la méthode, en adoptant une fraction γ de la nature de la sollicitation (par exemple, en tenant compte des phénomènes d’adaptation plastique qui se manifestent dans les poutres fléchies) de manière à obtenir, sans complications excessives, des coefficients de sécurité homogènes (Règles BA 1960, Circulaire ministérielle de 1964, Règles CCBA 68). Un premier pas dans cette voie avait été fait dans les Règles BA 1945, qui admettaient une légère augmentation des contraintes sur appuis des poutres continues. Mais les Règles BA 1960 allaient beaucoup plus loin : c’est ainsi que, dans une poutre fléchie de section rectangulaire, la contrainte admissible de compression du béton était double de celle d’un poteau soumis à la compression simple. De même, les valeurs des contraintes admissibles des armatures d’âme sous l’effet de l’effort tranchant variaient en fonction de la valeur de la contrainte tangente, afin de tenir compte des résultats de nombreux essais. Les Règles CCBA 1968 avaient repris pour l’essentiel les prescriptions fixées par les Règles BA 1960. La méthode de vérification des sections par application de ces différents textes avait constitué un progrès notable par rapport à la méthode classique.
Critique des méthodes aux contraintes admissibles
Toute méthode de vérification en phase élastique, en limitant les contraintes à des valeurs fixées par avance, risque de présenter des inconvénients graves dans tous les cas où les contraintes ne sont plus proportionnelles aux sollicitations (M, N, V ou T) et donc aux forces appliquées, ce qui est notamment le cas de la flexion composée1. La relation [1.1] revient à s’assurer que la sollicitation S, c’est-à-dire M, N, V ou T, obtenue pour une combinaison ΣFi d’actions de service (par exemple de charges), demeure inférieure à la sollicitation résistante R(σmax) qui amènerait le dépassement de la contrainte limite σlim. Le principe de superposition étant ici applicable, S (ΣFi ) = ΣS (Fi ) et l’inégalité à vérifier peut donc s’écrire, sous forme symbolique :
f ∑ S (Fi ) ≤ R   γ
1. Attention aux notations : V désigne l’effort tranchant, T le moment de torsion.
Sans titre-1 27
28 Traité de béton armé a) Considérons d’abord le cas où l’élément que l’on calcule n’est soumis qu’à une seule action Q et où les sollicitations sont proportionnelles aux actions appliquées. Si, conformément à la méthode des coefficients partiels, on met en évidence les différentes causes d’incertitude (voir chap. 3), chacun des termes S, Q et f doit être affecté d’un coefficient partiel et la condition à vérifier est :
γ F 3σ S γ Q Q ≤
f γm
avec : γQ
coefficient partiel applicable à l’action Q considérée
sollicitation (M, N, V ou T) due à l’action γQ Q
contrainte du matériau calculée élastiquement sous la sollicitation S fonction elle-même de γQ Q
γF3, γm coefficients tenant compte des écarts possibles des sollicitations et résistances par rapport à leurs valeurs moyennes Les sollicitations étant supposées proportionnelles aux actions (forces) appliquées, dans l’hypothèse d’un modèle de calcul élastique, on a :
S γ Q Q = γ Q S (Q )
' et γ F 3σ S γQQ = γ F σ [S (Q )]
γ'F = γ F 3γQ
Les relations [1.1] et [l.3] sont donc équivalentes, car la relation [1.3] peut s’écrire, compte tenu de [1.5] : γ 'F σ [S (Q )] ≤
σ [S (Q )] ≤
f γ 'F γ m
b) Considérons maintenant le cas où les sollicitations ne sont plus proportionnelles aux actions appliquées. Ce cas est par exemple celui d’une cheminée en maçonnerie1 (figure 1.5).
1. Nous citons cet exemple car il est caractéristique. Vers la fin des années vingt en effet, un certain nombre de cheminées en maçonnerie, qui avaient été calculées uniquement en vue de résister à un vent conventionnellement considéré comme « normal » se sont rompues à mi-hauteur sous l'effet de bourrasques.
Sans titre-1 28
Chapitre 1 • Généralités 29 Une section droite quelconque d’aire Ac est en effet soumise : – à un effort normal N (dû au poids propre G de la partie située au-dessus de la section considérée), – à un moment M dû à l’action Q (ici, le vent).
Les contraintes extrêmes σmin et σmax sur cette section droite se calculent par les formules classiques de la Résistance des Matériaux : σ max =
N Mv + Ac I
N Mv − Ac I
N due au poids propre et une partie Ac variable σQ (M) due au moment de flexion (évalué au centre de gravité G de la section).
Ces formules comportent une partie fixe σ G (N ) =
Le poids propre et le vent constituant deux actions ne donnant pas lieu aux mêmes incertitudes, il faudrait écrire, au lieu de [1.3], en appliquant toujours la méthode des coefficients partiels :
γ F 3σ G [N (γ G G )] ± γ F 3σ Q N γ Q Q ≤
Cette dernière formule n’est plus équivalente à [1.1]. En effet la méthode des contraintes admissibles reviendrait à écrire (voir [1.7]) :
σ G [N (G )] ± σ Q [M (Q )] ≤
Sans titre-1 29
30 Traité de béton armé
γ = γ'F γ m
avec ou encore
γ 'F σG ± σ Q ≤
c’est-à-dire à affecter d’un même coefficient de sécurité « global » γ F les contraintes σG
et σQ dont les dispersions sont nécessairement très différentes puisque les causes d’incertitude sur le poids propre et sur le vent ne sont pas les mêmes. Ainsi, pour ne parler que du béton, la limitation de la contrainte à une valeur admissible f ne permet pas d’assurer que la construction ne se rompra pas tant que l’action Q ne γ sera pas multipliée par γ. On est au contraire certain que le coefficient de sécurité est inférieur à γ. Si donc les actions extérieures viennent pour une cause quelconque à dépasser la valeur maximale théorique Q prise en compte dans le calcul (et en particulier pour le vent comme pour toute autre action « naturelle », cette éventualité ne peut être écartée a priori), la contrainte maximale du béton risque de croître beaucoup plus vite que Q et même d’atteindre la valeur de la résistance à la compression. Ou bien encore, comme le montre la relation [1.9], dans le cas où σmin est positif mais voisin de zéro, ce dépassement de la valeur maximale théorique Q peut rendre σmin négatif, et donc entraîner un renversement d’effort puisque des tractions apparaîtront là où l’on avait auparavant des compressions. Pour se préserver contre un risque de rupture prématurée, il faut vérifier que la section présente une sécurité suffisante vis-à-vis de la rupture. On trouve là l’origine de la « vérification complémentaire de la sécurité à l’égard des charges variables » (charges d’exploitation ou charges climatiques), introduite par Albert Caquot dans les Règles BA 45 et reprise dans les textes suivants (BA 1960, CCBA 68), et dans laquelle des limites de contraintes étaient prises en compte après majoration des actions.
Méthodes de calcul à la rupture
Le but idéal de toute analyse de résistance est la prévision, par le calcul, du danger de rupture. Dans le cours qu’il professait à l’École polytechnique fédérale de Zurich, E. Mörsch disait en 1912 : « Le but de tout calcul statique est moins de déterminer exactement les fatigues causées dans un ouvrage par des forces extérieures quelconques que de prouver que la sécurité de cet ouvrage contre la rupture est suffisante. On devrait donc évaluer la résistance à la flexion des constructions en béton armé en se basant sur la phase de rupture ». De même A.-G. Considère, dans les commentaires de l’article 3 de la Circulaire Ministérielle du 20 octobre 1906, avait émis l’idée d’un calcul à la rupture où le coefficient de sécurité serait défini comme le coefficient d’amplification par lequel il faudrait multiplier les charges pour provoquer la rupture.
Sans titre-1 30
Chapitre 1 • Généralités 31 L’idée de déterminer les sollicitations probables de rupture d’une pièce (par exemple, le moment fléchissant probable de rupture d’une poutre) en fonction des caractères géométriques de la pièce (dimensions du béton, position et section des armatures) et des caractères mécaniques du béton et de l’acier, puis, par comparaison de la sollicitation de service et de la sollicitation probable de rupture, d’apprécier si le coefficient de sécurité est suffisant, n’est donc pas nouvelle. À l’inverse d’ailleurs, à partir d’une sollicitation de service donnée et d’un coefficient de sécurité fixé, on peut déterminer une sollicitation de rupture et en déduire le dimensionnement des sections. De telles méthodes sont dites « méthodes de calcul à la rupture ». Dans ces méthodes, le modèle de calcul est élastique pour les sollicitations. Pour les matériaux, on adopte les lois σ – ε réelles. La vérification consiste à s’assurer que la sollicitation S (M, N, V, T) obtenue pour une combinaison ∑ γ Fi Fi d’actions de calcul Fi majorées par γFi (i ≥ 1) demeure inférieure à celle, R(f), qui amènerait le dépassement de la résistance f.
Sous forme symbolique, l’inégalité à vérifier est :
(∑ γ Fi Fi ) ≤ R( f )
Les fonctions S (γFiFi), R (f) n’étant pas linéaires, les inégalités [1.2] et [1.13] ne sont pas identiques, et il ne revient donc nullement au même de minorer les résistances ou de majorer les actions. Dans les années cinquante, il a existé en France une méthode de calcul à la rupture, qui avait été mise au point par R. Chambaud à la suite d’essais sur des poutres en béton armé, qu’il avait conduits en 1948, sous l’égide de la Chambre syndicale des constructeurs en ciment armé. L’application de cette méthode était, dans certains cas, plutôt laborieuse, mais elle a permis de conserver, sans renforcement, certains éléments d’ouvrages non conformes aux prescriptions des règlements alors en vigueur. Toutefois, la méthode de R. Chambaud n’a jamais été officialisée et les Règles de calcul du béton armé (Règles BA 1945, Règles BA 1960, Circulaire Ministérielle de 1934 et Règles CCBA 1968), en imposant la vérification complémentaire de la sécurité, dont il a déjà été question ci-avant, sous des charges variables majorées (sollicitations du 2e genre), tout en conservant les principes généraux et les hypothèses de base du calcul élastique, se bornaient donc à ne demander qu’un « pseudo-calcul à la rupture ».
Méthode de calcul semi-probabiliste avec coefficients partiels (états-limites)
Les méthodes de calcul à la rupture permettent d’estimer d’une façon assez précise la sécurité des pièces en béton armé et, par conséquent, d’avoir des coefficients de sécurité sensiblement homogènes. Toutefois, comme les méthodes élastiques le sont elles-mêmes vis-à-vis de la rupture, ces méthodes s’avèrent incomplètes car elles ne dispensent pas de procéder à d’autres
Sans titre-1 31
32 Traité de béton armé vérifications, dont on avait tout d’abord cru que l’on pourrait se dispenser, effectuées suivant les méthodes élastiques sous les charges de service. En effet, une structure qui présente une sécurité suffisante vis-à-vis de la rupture n’a pas nécessairement un comportement convenable en service (notamment en ce qui concerne les déformations et la fissuration) car les critères sont absolument indépendants. Et, ainsi qu’on l’a vu, la réciproque peut aussi être vraie dans certains cas. Il convenait donc d’imaginer et de mettre au point une extension et une généralisation des méthodes de calcul : les méthodes dites « aux états-limites » répondent à cet objet.
Définition des états-limites
L’article A-1.2 des Règles BAEL 91 donnait d’un état-limite la définition suivante, plus précise que celle que nous avons donnée au § 1.31 : Un « état-limite » est un état particulier dans lequel une condition requise d’une construction (ou d’un de ses éléments) est strictement satisfaite et cesserait de l’être en cas de modification défavorable d’une action. Les divers états-limites que l’on peut envisager peuvent être classés en deux catégories selon le tableau 1.1 ci-dessous (dû à R. Favre, EPFL, Lausanne [1.1]). Tableau 1.1. Les états-limites
États-limites ultimes Mettent en jeu la sécurité des biens et des personnes (droit pénal)
Sont liés aux conditions normales d’exploitation et de durabilité (droit civil)
Correspondent au maximum de la capacité portante de l’ouvrage ou d’un de ses éléments par :
– ouverture excessive des fissures
– perte d’équilibre statique
– déformations excessives des éléments porteurs
– rupture de sections non ductiles ou déformations plastiques excessives – instabilité de forme (flambement) – transformation de la structure en un mécanisme
Sans titre-1 32
États-limites de service
– compression excessive du béton
– vibrations inconfortables pour les usagers, ou rendant la structure impropre à remplir sa fonction – étanchéité, isolation, etc.
– déformations relatives limites (ou courbure limite)
– contraintes admissibles (ou déformations admissibles)
– calculs de type « rupture » : lois réelles (idéalisées) σ – ε
– calculs de type « élastique » : loi de Hooke, coefficient d’équivalence...
Chapitre 1 • Généralités 33
Origine des méthodes de calcul aux états-limites
Les méthodes de calcul aux états-limites ont leur origine : – d’une part, dans les recherches théoriques dans le domaine du probabilisme concernant la sécurité des constructions ; – d’autre part, dans le développement continu des recherches théoriques et expérimentales sur le comportement des matériaux et des structures. C’est à Marcel Prot et Robert Levi que revient, en France, le mérite d’avoir montré dès 1936 qu’il ne peut exister de sécurité totale en matière de construction et d’avoir proposé des méthodes d’analyse statistique tenant compte de la variabilité des divers paramètres influant sur la sécurité. Une telle approche repose principalement sur la probabilité de ruine ou de dommages, définissant un risque « calculé » qui puisse être accepté a priori. Ces idées se sont développées sur le plan international et ont donné naissance à des principes de sécurité qui ont été exposés pour la première fois en 1957 dans un rapport du Conseil international du bâtiment, et adoptés par la suite par le Comité européen du béton (1964), la Fédération internationale de la précontrainte (1966), l’Organisation internationale de normalisation (norme internationale ISO 2394, 1972) et par la Convention européenne de la construction métallique. Ces principes de sécurité ont également constitué la base de la deuxième édition des Recommandations internationales CEB-FIP pour le calcul et l’exécution des ouvrages en béton (armé ou précontraint) publiées en 1970. Depuis 1970, le Comité Euro-international du Béton (CEB) a décidé que les éditions futures de ses Recommandations internationales devraient s’insérer dans un vaste « Système international de réglementation technique unifiée des structures », à établir par l’ensemble des associations techniques internationales, agissant en étroite collaboration. Les travaux, commencés en 1974, ont abouti à la publication en 19781 des deux premiers volumes de ce grand ensemble, à savoir : – le volume I, Règles unifiées communes aux différents types d’ouvrages et de matériaux, issu des travaux du Comité mixte Inter-associations sur la sécurité des structures (JCSS) ; – le volume II, Code-Modèle CEB-FIP pour les structures en béton, issu des travaux du Comité Euro-international du Béton. Ces deux documents tenaient compte de l’évolution scientifique et technique qui a profondément modifié, au cours de la deuxième moitié du siècle dernier, les concepts relatifs à la sécurité des structures et à l’analyse de leur comportement. Ils constituaient une synthèse des idées les plus évoluées à l’époque en matière de sécurité, conception et exécution des structures. Les règles des volumes I et II étaient le 1. Le CEB a procédé en 1990 à une quatrième édition des Recommandations internationales, sous le nom de « Code Modèle 1990 », qui a été suivie, en 2010, par une 5e édition, le « Code Modèle 2010 », publié par la fib. Ce texte comporte, comme celui qui l’a précédé, de nombreuses innovations, mais son usage courant demandera probablement une assez longue période d’adaptation.
Sans titre-1 33
34 Traité de béton armé résultat de compromis entre plusieurs tendances nationales, mais un accord international avait néanmoins pu être obtenu1. Ces deux textes ont eu un retentissement considérable sur les différents codes nationaux. En France, les Directives communes de 1979 et les Règles BAEL 80 et 91 s’en sont largement inspirées ; il en est de même en ce qui concerne l’Eurocode 2, maintenant en vigueur dans tous les pays de l’UE.
Idée de base du probabilisme
Un état-limite pourrait être atteint par intervention combinée de multiples facteurs aléatoires d’insécurité. L’idée de base du probabilisme est de limiter la probabilité d’atteindre l’un quelconque des états-limites à une valeur acceptable, en tenant compte du caractère aléatoire : – des propriétés (en particulier la résistance) des matériaux constitutifs de la structure : incertitudes dues à la dispersion des mesures en laboratoire sur éprouvettes, ou dues aux défauts locaux, conditions climatiques, etc., affectant la résistance effective du matériau en œuvre ; – des actions (charges d’exploitation, charges climatiques, etc.) : incertitudes sur les valeurs normalement prévisibles, les valeurs anormales ou imprévues et des combinaisons entre elles des différentes actions ; – des hypothèses de calcul faites pour déduire des actions les sollicitations (c’est-à-dire les efforts [normaux ou tranchants] ou les moments [de flexion ou de torsion]), de la convenance des modèles de calcul utilisés pour représenter le comportement de la structure, des conditions d’exécution et de contrôle sur le chantier : incertitudes dues aux approximations inévitables adoptées dans les modèles de calcul utilisés et aux imperfections de l’exécution.
Recours au « semi-probabilisme »
Malheureusement, si le problème exposé ci-avant est théoriquement résolu, il est loin de l’être pratiquement car toutes les données statistiques ne sont pas disponibles. En effet, certains facteurs d’insécurité ne sont pas « probabilisables » ; pour ceux qui le sont, les lois de probabilité à prendre en compte ne sont pas toujours connues. En pratique, on est obligé de s’en tenir au « semi-probabilisme », qui permet une approche suffisamment correcte des problèmes, sans complication excessive des calculs. Dans le procédé de calcul semi-probabiliste dit « de niveau 1 »2 tel qu’il a été préconisé par le Comité Euro-international du Béton et la Fédération Internationale de la Précontrainte et adopté par l’EC2, l’établissement du projet passe par deux séries d’opérations : a) processus destiné à couvrir la divergence statistique, ou variabilité, des résultats d’essais des matériaux et des observations d’actions au cours du temps : 1. Pour le volume I à Paris en novembre 1976 et pour le volume II à Grenade en septembre 1977. 2. Terminologie maintenant abandonnée.
Sans titre-1 34
Chapitre 1 • Généralités 35 – la variabilité de la résistance et des autres propriétés du béton et de 1’acier est prise en compte en définissant, sur une base statistique, à partir des mesures effectuées en laboratoire sur éprouvettes, des résistances caractéristiques associées à des propriétés caractéristiques ; – la variabilité des actions sur la structure est prise en compte en définissant pour cellesci des valeurs caractéristiques, déterminées soit par l’exploitation statistique des données nécessaires, lorsqu’elles existent, soit par une estimation basée sur l’expérience dans le cas contraire. b) processus destiné à couvrir les incertitudes résultant de la connaissance imparfaite des données de base, de l’imprécision des calculs et des imperfections de l’exécution au moyen de coefficients partiels γ transformant les valeurs caractéristiques en valeurs de calcul. Les valeurs numériques de ces coefficients (coefficients γm diviseurs pour les résistances ; coefficients γQ (ou γF) ou γS multiplicateurs pour les actions ou les sollicitations), ainsi que d’autres coefficients (ψ) qui interviennent dans les combinaisons d’actions, ont été fixées en fonction de l’état-limite considéré, sur la base de considérations probabilistes. Ces valeurs numériques sont évidemment plus élevées pour les états-limites ultimes (qui mettent en jeu de façon immédiate la sécurité des personnes et des biens) que pour les états-limites de service. Remarques 1. Du fait de l’introduction des coefficients partiels, un état-limite ultime est un état de ruine conventionnel normalement très éloigné de l’état physique de ruine tel qu’on peut l’observer au cours d’un essai en laboratoire. Il doit être bien compris que la charge de rupture observée au cours d’un essai en laboratoire, qui résulte d’une constatation sans intervention de la statistique et sans la prise en compte de coefficients partiels, diffère de la charge ultime ; celle-ci ne serait atteinte que si un certain nombre de circonstances défavorables se trouvaient réalisées en même temps, et n’a qu’une faible probabilité – c’est ainsi qu’elle est définie – d’être atteinte. 2. II est possible d’envisager des simplifications. A contrario, on trouve dans le volume I du Code-Modèle 78 la description d’un procédé dit « de niveau 2 », dans lequel les résistances et les actions sont représentées par leurs distributions connues ou supposées, et dans lequel une certaine probabilité de ruine est acceptée. Il s’agit donc là d’un procédé de calcul vraiment probabiliste, dont les applications, aussi bien théoriques que pratiques, sont restées très limitées.
La vérification d’une structure ou de l’un de ses éléments doit être effectuée en deux étapes : – la première étape consiste en général à déterminer les effets des actions de calcul γ Fi Fki correspondant au cas étudié (par exemple, dans le cas des états-limites de ré-
Sans titre-1 35
36 Traité de béton armé sistance à déterminer des « sollicitations agissantes » de calcul1 (Sd), les actions γ Qi Qi ayant leurs positions et configurations les plus défavorables et étant prises dans leurs combinaisons appropriées ; – la seconde étape diffère selon la nature de l’état-limite à vérifier.
1.345-1
Cas des états-limites ultimes de résistance (par ex. vis-à-vis de la flexion ou de l’effort tranchant)
Pour chaque état-limite et pour différentes sections de la structure étudiée, il faut montrer que pour le cas de charge le plus défavorable sous la combinaison d’actions considérée, la sollicitation agissante de calcul Sd correspondante ne dépasse pas la sollicitation résistante de calcul Rd. a) Sollicitation agissante de calcul Une structure est soumise à des combinaisons d’actions complexes et variées. La sollicitation de calcul (effort normal N, moment de flexion M, effort tranchant V, moment de torsion T) correspondant à une combinaison et à un état-limite donnés est dite « sollicitation agissante de calcul » et désignée symboliquement par la lettre Sd. Pour déterminer Sd, on est amené à faire un choix parmi toutes les combinaisons d’actions qui peuvent agir simultanément et à ne retenir que celles qui sont physiquement possibles et hautement probables. On définit ainsi, à partir de certaines combinaisons d’actions de calcul
(∑ γ Fi Fki ) et par
une méthode de calcul appropriée, des sollicitations agissantes de calcul γ S 3S ∑ γ Fi Fki que l’on peut simplifier en S (∑ γ si Fki ) avec γ si = γ S 3γ Fi . Selon
l’état-limite considéré et les valeurs de γsi prises en compte, ces sollicitations peuvent être des sollicitations agissantes ultimes Sd,u ou des sollicitations agissantes de service Sd,ser.
Lorsque plusieurs actions individuelles interviennent dans une même combinaison, la valeur du produit γ Fi Fki peut d’ailleurs, pour certaines actions, être réduite (par rapport à la valeur prise en compte pour la même action supposée isolée) pour tenir compte du fait que la probabilité que toutes les actions de la combinaison atteignent simultanément leur valeur caractéristique est faible. Ce résultat est obtenu en introduisant selon le cas, pour une même action variable Qk, des « valeurs représentatives » différentes : – valeur de combinaison ψo Qk à l’état-limite ultime, – valeurs fréquente ou quasi permanente ψ1 Qk, ψ2 Qk à l’état-limite de service (voir le chapitre 3).
1. Voir la note 1 en bas de la page 25.
Sans titre-1 36
Chapitre 1 • Généralités 37 b) Sollicitation résistante de calcul Pour chaque état-limite ultime de résistance, il existe une « sollicitation résistante de calcul » de chaque élément constitutif de la structure, qui est celle pour laquelle l’un des matériaux constitutifs a atteint soit une certaine déformation limite, soit une certaine contrainte limite. Cette sollicitation résistante de calcul, désignée symboliquement par Rd, est normalement déterminée dans l’hypothèse d’un comportement plastique des matériaux en prenant en compte leurs résistances de calcul (c’est-à-dire leurs résistances caractéristiques divisées par les coefficients γm). c) Équation de vérification de la sécurité L’équation de vérification de la sécurité est de la forme symbolique et vectorielle :
S d (Fd ) ≤ Rd ( f d ) avec1 f d =
f et Fd = ∑ γ i Qi γm
Elle doit être satisfaite pour un certain nombre de sections et d’éléments. On se borne donc à vérifier que la probabilité pour qu’un état-limite ultime de résistance soit atteint dans les différentes sections étudiées n’excède pas celle que l’on a acceptée a priori sans pouvoir conclure en ce qui concerne la probabilité d’atteindre ce même état-limite ultime pour l’ensemble de la structure. De façon plus précise, on peut écrire l’équation de vérification de la sécurité : – sous forme générale :  f yk f ck f tk γ S 3 S Σ γ Fi Fki ≤ Rd  , ,  γ s γc γc
– ou, sous forme simplifiée :  f yk f ck f tk S d Σ γ Fi Fki ≤ Rd  , ,  γ s γc γc
avec : fyk
limite d’élasticité (considérée comme « résistance caractéristique ») de l’acier ;
fck, ftk
résistances caractéristiques du béton à la compression et à la traction, respectivement ;
γs, γc
coefficients partiels au moins égaux à l’unité relatifs respectivement à l’acier et au béton.
Le processus de vérification est résumé de façon schématique figure 1.6. 1. L’indice d (de l’anglais design), désigne une valeur de calcul, c’est-à-dire dans laquelle les coefficients partiels γ ont été introduits. Dans l’Eurocode 0 (EN 1990), la valeur de calcul de l’effet des actions est désignée par Ed, et cette inégalité est donnée sous la forme Ed ≤ Rd.
Sans titre-1 37
38 Traité de béton armé
Figure 1.6. Processus de vérification
Remarque L’équation de vérification écrite sous la forme
 f γ F 3 S γ Fi Fki ≤ Rd   γm
est très générale. On peut en dériver toutes les méthodes de calcul possibles : 1. Contraintes admissibles Pour retrouver la méthode aux contraintes admissibles, il suffit de faire :
γF3 = 1
γ Fi = 1
Fki et f étant évalués de façon déterministe.
Sans titre-1 38
Chapitre 1 • Généralités 39 2. Calcul à la rupture Le calcul à la rupture correspond à :
Fki et f étant toujours évalués de façon déterministe. 3. Calcul aux états-limites Dans ce cas, plusieurs voies sont possibles1 : A. Méthode des coefficients partiels (CEB, BAEL 91, Code britannique BS 81l0, Eurocode 2) La formule complète est applicable, mais γF3 est éventuellement pris égal à 1 ; Fki et f sont évalués (en principe) de façon probabiliste, et plusieurs valeurs représentatives sont à considérer pour les actions variables contenues dans Fki. B. Méthode « load and resistance factor » (Code américain ACI 318) L’équation de la sécurité [1.14] peut aussi s’écrire :
S Σ γ Fi Fki ≤
 f 1 Rd  γF3  γm
 1   = φ Le Code ACI adopte2 γ m = 1 et pose   γ F3 
φ étant différent pour chaque type de sollicitation (par exemple φ = 0,9 pour la traction simple ou la flexion simple ; φ = 0,85 pour l’effort tranchant et la torsion ; φ = 0,70 pour la compression avec ou sans flexion) f est évaluée de façon probabiliste. C. Méthode du « coefficient global » (ancienne norme allemande DIN 1045) Dans l’équation ci-avant, la norme DIN adoptait : γFi = 1
La valeur du coefficient γF3 (= γ) n’intervenait que dans les calculs en flexion. Elle dépendait du type de rupture, soit par l’acier (γ = 1,75), soit par le béton (γ = 2,1).
1. Les codes cités ici sont ceux qui étaient en vigueur avant l’adoption de l’Eurocode 2. 2. Entre autres arguments d’ingénieurs américains pour l’adoption de cette valeur unité : 1. les coefficients partiels appliqués au béton et à l’acier risquent d’être mal interprétés par les constructeurs en donnant l’impression à ceux-ci qu’ils doivent viser, comme résistance réelle, la valeur f / γm prise en compte dans les calculs. 2. le coefficient appliqué au béton, nettement plus grand que celui appliqué à l’acier, risque d’être exploité dans la concurrence entre l’acier et le béton comme traduisant le fait que le béton est un matériau moins fiable que l’acier.
Sans titre-1 39
40 Traité de béton armé
1.345-2
Cas des états-limites ultimes de stabilité de forme
Dans ce cas, il faut montrer qu’il existe dans l’ensemble de la structure une distribution de contraintes qui équilibre dans chaque section les sollicitations de calcul à considérer, y compris celles du second ordre. Il n’y a pas toujours en ce cas de sollicitation résistante, et l’équation de vérification peut ne s’appliquer qu’aux actions, c’est-à-dire prendre la forme :
Fact ,d ≤ Fres,d
1.345-3
Cas des états-limites de service
Dans ce cas, il faut montrer que les sollicitations agissantes de calcul ne provoquent pas le dépassement des limites qui résultent des exigences fonctionnelles en ce qui concerne une contrainte σ ou τ, une flèche a, une ouverture de fissure w , etc. L’équation de vérification prend alors l’une des formes1 :
σ (M d et/ou N d ) ≤ σlim
τ (Vd et/ou Td ) ≤ τlim
w ( M d et/ou N d ) ≤ wlim
a (M d ) ≤ alim
Ces comparaisons ne sont pas toujours nécessaires si l’on a pris soin de respecter certaines dispositions constructives. Par exemple, il n’est pas utile de vérifier la condition a ≤ alim si l’on a pris soin de choisir judicieusement « l’élancement » l / d d’une poutre de portée l et de hauteur utile d (voir par exemple le tableau 15.3 du chapitre 15). Remarques importantes 1. Dans un ouvrage réel, on ne peut mesurer que des déformations et non des contraintes. Il n’est donc généralement pas possible de s’assurer directement par voie expérimentale que σ ≤ σ lim ou τ ≤ τlim . 2. Pour les fissures, l’expérience montre que leur « ouverture » est en fait une notion indéterminée. D’une part, le choix de la direction de mesure n’est pas évident (parallèle à la ligne moyenne, perpendiculaire à la fissure, parallèle à la direction principale des armatures par lesquelles elle est traversée...). D’autre part, cette ouverture varie considérablement aussi bien en parement, le long d’une même fissure et d’une fissure à l’autre qu’en profondeur. Il en résulte que la mesure d’une ouverture de fissure est très mal définie. Aucun projeteur ne doit tomber dans le piège qui consisterait à garantir par contrat2 que les ouvertures des fissures resteront inférieures à une valeur donnée3. Pour éviter ce piège, il est d’usage de parler d’ouvertures calculées, comme le fait l’Eurocode 2. 1. Forme générale de l’Eurocode 0 (EN 1990) : Ed ≤ Cd, avec Cd, valeur de calcul limite correspondant au critère d’aptitude au service considéré. 2. Ce que voudraient obtenir les poseurs d’étanchéité par exemple, qui ont eux-mêmes à garantir la tenue de leur produit. 3. Un expert n’aurait en effet aucun mal à trouver au moins une zone où les ouvertures des fissures dépasseraient les valeurs garanties.
Sans titre-1 40
Chapitre 1 • Généralités 41 De même, pour les bâtiments courants, il n’est généralement pas possible de mesurer les flèches à long terme. Aussi bien les ouvertures des fissures que les flèches dépendent d’ailleurs d’un grand nombre de paramètres, dont certains sont totalement inconnus lors de l’élaboration du projet (conditions thermo-hygrométriques, durée de 1’étaiement, etc.). Pour toutes ces raisons il serait vain de rechercher une identité entre la valeur calculée (ouverture de fissure ou flèche) et la valeur constatée en œuvre. Aussi, plus que pour tout autre calcul, les vérifications vis-à-vis des états-limites de service doivent-elles être considérées comme des vérifications conventionnelles permettant seulement d’assurer que la structure devrait avoir, avec une forte probabilité, un comportement satisfaisant en service.
1.345-4
Cas des états-limites ultimes d’équilibre statique
Pour les états-limites ultimes d’équilibre statique, il faut montrer que les combinaisons d’actions de calcul à considérer n’entraînent pas la perte d’équilibre de la construction ou de l’élément étudié. Dans ce cas, on compare donc les valeurs de calcul Ed,dst des actions déstabilisantes (dst) et celles Ed,stb des actions stabilisantes (stb). Il faut avoir :
Ed ,dst ≤ Ed ,stb
Distinction entre maître d’ouvrage et maître d’œuvre
Dans le cadre d’un marché : – le maître d’ouvrage est la personne physique ou morale pour laquelle les travaux ou ouvrages sont réalisés (en quelque sorte, le « client »). Son rôle est d’abord de définir l’ouvrage sous la forme d’un programme précis indiquant les données sur le site, les contraintes réglementaires et d’environnement auquel il est soumis, les exigences de qualité, de prix, de délais, etc. Il est ensuite chargé de passer le marché et d’assurer la réception. – le maître d’œuvre est la personne physique ou morale reconnue compétente, et chargée par le maître d’ouvrage de concevoir et de contrôler la bonne exécution du marché, de diriger et de surveiller les travaux et de veiller au respect des « règles de l’art » et de la réglementation (un architecte, par exemple, est un maître d’œuvre).
Sans titre-1 41
42 Traité de béton armé
Portée juridique des différents textes réglementaires
Les textes réglementaires français se composent de : – Cahiers des clauses techniques générales (CCTG) ; – Documents techniques unifiés (DTU) ; – Normes AFNOR ; – Règles professionnelles, Guides, etc. Tous ont des portées juridiques différentes. Cependant la plupart des DTU constituent aussi des fascicules CCTG (voir § 1.422b) ou des normes (voir remarque au § 1.423).
Les fascicules des CCTG sont des documents d’application obligatoire pour tous les marchés de l’État (marchés de travaux publics et marchés de bâtiment). Ils sont publiés dans les bulletins officiels du ministère en charge de l’Urbanisme et du Logement. La liste à jour de tous les CCTG est publiée chaque année au Journal officiel.
Normes et Documents techniques unifiés (DTU)1
Normes françaises AFNOR Les normes françaises sont constituées par trois types de documents : – des normes homologuées, ayant reçu une sanction officielle des pouvoirs publics parce que leur valeur technique est reconnue, et qu’elles jouent un rôle important dans le système de construction ; – des normes expérimentales soumises à une période de mise à l’épreuve avant, moyennant des amendements éventuels, de devenir normes françaises homologuées ; – des fascicules de documentation, à caractère essentiellement informatif. Ces documents sont établis par les bureaux de normalisation et des représentants des divers acteurs de la construction (Centres techniques, entrepreneurs, industriels, architectes, bureaux de contrôle, etc. et, bien entendu, l’Association Française de Normalisation AFNOR). Normes européennes EN Ces normes sont établies par le Comité Européen de Normalisation (CEN). Après une période de mise à l’essai, une norme expérimentale (ENV) est soumise au vote des États-membres. Si, selon les règles qui ont été fixées par l’UE, le résultat de ce vote est positif, cette norme (EN) devient ipso facto applicable dans tous les États, même ceux qui ont voté contre, et se substitue donc à toute norme nationale traitant du même sujet,
1. Paragraphe rédigé avec l’aimable concours de Charles Baloche, du CSTB.
Sans titre-1 42
Sans titre-1 793
Méthodes aux contraintes admissibles 1.321 Méthode « classique » 1.322 Méthode classique « aménagée » 1.323 Critique des méthodes aux contraintes admissibles
Méthode de calcul semi-probabiliste avec coefficients partiels (états-limites) 1.341 Définition des états-limites 1.342 Origine des méthodes de calcul aux états-limites 1.343 Idée de base du probabilisme 1.344 Recours au « semi-probabilisme » 1.345 Vérifications
Portée juridique des différents textes réglementaires 1.421 Cahiers des clauses techniques générales (CCTG) 1.422 Normes et Documents techniques unifiés (DTU) 1.423 Règles professionnelles, guides, etc.
Règles applicables au béton armé
794 Traité de béton armé 1.5
Présentation de l’Eurocode 2 (EC2) 1.521 Contenu de l’EC2 1.522 Documents d’accompagnement 1.523 Distinction entre Principes et Règles d’application
Sommaire détaillé de l’EC2, partie 1-1
Concept de sécurité structurale de l’Eurocode 2
Dispositions du présent traité
Bibliographie sélectionnée du chapitre 1
Ouvrages ou articles cités dans le présent chapitre
Ouvrages ou articles traitant des mêmes sujets
Diagramme contraintes-déformations d’un matériau
Diagramme élastoplastique parfait
Diagramme rigide-plastique
Chapitre 2 2.1
Béton 2.21
Brefs rappels sur les constituants du béton
Les résistances du béton 2.221 Rupture par compression 2.222 Rupture par traction
Diagramme contraintes-déformations du béton 2.231 Diagramme expérimental 2.232 Relation entre le diagramme σ – ε et la distribution des contraintes dans le béton comprimé 2.233 Valeur expérimentale des principaux paramètres 2.234 Loi de comportement « exacte »
Prescriptions réglementaires 2.241 Résistances 2.242 Déformations du béton 2.243 Béton confiné
84 84 90 97
Sans titre-1 794
Brefs rappels sur la fabrication de l’acier 2.311 Types d’aciéries
Table des matières 795 2.312 2.313 2.314 2.315
Classification des produits – Désignations 2.321 Classification 2.322 Désignations officielles et appellations pratiques
Description des différents types de produits 2.331 Barres laminées à chaud : ronds lisses, barres à haute adhérence 2.332 Fils tréfilés et/ou laminés à froid 2.333 Treillis soudés ou pré-assemblés 2.334 Treillis raidisseurs
Normes, certification et marquage 2.341 Normes 2.342 Certification 2.343 Marquage des aciers certifiés
Caractères géométriques 2.351 Barres et fils 2.352 Treillis soudés
Caractères mécaniques 2.361 Limite d’élasticité et contrainte de rupture par traction 2.362 Allongement sous charge maximale 2.363 Caractères mécaniques normalisés
Caractères technologiques 2.371 Aptitude au façonnage 2.372 Caractères d’adhérence – Surface relative des verrous 2.373 Aptitude au soudage
Identification 2.381 Barres 2.382 Treillis soudés 2.383 Autres produits
124 124 127 128
Aciers inoxydables 2.391 Le phénomène de corrosion des armatures 2.392 Définition d’un acier inoxydable 2.393 Désignations 2.394 Catégories
Sans titre-1 795
Coulée de l’acier Laminage à chaud Tréfilage et/ou laminage à froid du fil machine Traitements mécaniques ou thermiques
796 Traité de béton armé 2.395 2.396 2.4
Bibliographie sélectionnée du chapitre 2
ACTIONS ET SOLLICITATIONS, ANALYSE STRUTURALE
Actions variables 3.221 Valeurs « représentatives » 3.222 Charges d’exploitation des bâtiments 3.223 Charges de neige 3.224 Actions du vent 3.225 Actions thermiques 3.226 Actions en cours d’exécution 3.227 Autres actions variables
135 135 141 144 145 146 146 147
Sans titre-1 796
Fabrication Caractères mécaniques
Combinaisons d’actions
Généralités 3.311 Combinaisons d’actions 3.312 Cas de charge
Sollicitations de calcul 3.321 Combinaisons d’actions à prendre en compte pour les états-limites ultimes 3.322 Combinaisons à prendre en compte pour la vérification aux états-limites de service 3.323 Modalités pratiques d’application 3.324 Vérification de 1’état-limite de stabilité de forme 3.325 Vérification de l’équilibre statique
149 150 153 154 159 160
Modélisation de la structure 3.411 Largeur participante des tables des poutres en T (pour tous les états-limites) 3.412 Portées
Table des matières 797 3.42
Bibliographie sélectionnée du chapitre 3
Chapitre 4 4.1
Sans titre-1 797
ASSOCIATION ACIER-BETON
166 166 179 193 195
Distances entre barres
Adhérence des barres droites isolées
Phénomènes expérimentaux – Théorie de M. Caquot
Mesure des caractères d’adhérence d’une barre 4.231 Essai d’adhérence par traction (dit « pull-out test ») (POT) 4.232 Essai de flexion simple sur poutre ou « beam-test »
Facteurs dont dépend l’adhérence
Contrainte d’adhérence 4.251 Remarque préliminaire 4.252 Définition de la contrainte moyenne d’adhérence
Ancrage des barres droites isolées
Définition de l’ancrage droit
Valeurs limites de la contrainte d’adhérence à l’état-limite ultime 4.321 Conditions d’adhérence 4.322 Contrainte ultime d’adhérence
210 211 211
Longueurs d’ancrage de barres tendues 4.331 Longueur d’ancrage de référence 4.332 Longueur d’ancrage de calcul Ibd pour les ancrages droits 4.333 Ancrages assurés par des armatures transversales soudées
Méthodes d’analyse 3.421 Comprtement des éléments en béton armé 3.422 Types d’analyse
Ancrages de barres comprimées
Adhérence des barres courbes
212 212 214 215 218 218
Diamètres minimaux des mandrins de cintrage des barres
Modes d’ancrages usuels
798 Traité de béton armé 4.43
Longueur d’ancrage Ibd pour des barres courbes 4.431 Absence de confinement par des armatures transversales ou par une compression transversale 4.432 Confinement par des armatures transversales
Longueur d’ancrage « équivalente »
Ancrage des cadres et des étriers
Efforts exercés par une barre courbe sur le béton
Pression exercée sur le béton
Poussées au vide
Condition de non-écrasement du béton
Jonctions par recouvrement
229 229 230 231
Sans titre-1 798
Recouvrement des barres tendues 4.611 Transmission des efforts 4.612 Longueur de recouvrement 4.613 Dispositions des recouvrements 4.614 Armatures de couture d’un recouvrement de barres tendues 4.615 Barres couvre-joints Recouvrement de barres n’ayant à supporter que des efforts de compression 4.621 Longueur de recouvrement
Dispositions relatives aux paquets de barres
Enrobages et espacements
Ancrages des paquets de barres tendues
Ancrages des paquets de barres comprimées
Jonction par recouvrement des paquets de barres tendues
Ancrages et recouvrements des treillis soudés
Longueur d’ancrage équivalente
Diamètres admissibles des mandrins de cintrage
Recouvrements 4.841 Recouvrement des fils « porteurs » 4.842 Recouvrement des fils de répartition
Bibliographie sélectionnée du chapitre 4
Table des matières 799 Chapitre 5
Calculs vis-à-vis des états-limites ultimes de résistance sous sollicitations normales
Diagrammes contraintes-déformations de calcul 5.221 Acier 5.222 Béton
Calculs vis-à-vis des états-limites de service sous sollicitations normales (calculs élastiques)
Conséquences de ces hypothèses – coefficient d’équivalence
Vérifications relatives aux conditions de service 5.331 Limitation des contraintes 5.332 États-limites de fissuration
Bibliographie sélectionnée du chapitre 5
Comportement expérimental des éléments soumis à la traction simple
Dimensionnement d’un tirant (béton et armatures)
Armatures transversales des tirants
Ferraillage d’un tirant (exemple)
Sans titre-1 799
HYPOTHESES ET DONNEES POUR LES CALCULS SOUS SOLLICITATIONS NORMALES
Comportement expérimental des éléments en béton armé soumis à la flexion simple
Essais de poutres sous moment constant 7.221 Cas des poutres comportant un pourcentage « moyen » d’armatures tendues 7.222 Cas des poutres comportant un pourcentage « élevé » d’armatures tendues
267 268 272
800 Traité de béton armé 7.3
Principes généraux du calcul en flexion simple ou composée
Sans titre-1 800
Données générales concernant l’état-limite ultime de résistance 7.411 Différents aspects de la distribution des contraintes de compression du béton 7.412 Moments frontières ; définition du pivot
Données générales concernant les états-limites de service
Équations générales de la flexion pour une section à deux nappes d’armatures 7.431 Équations de compatibilité 7.432 Équations d’équilibre à l’état-limite ultime
277 278 282
Calcul des contraintes normales en service pour une section quelconque en flexion simple
Section rectangulaire en flexion simple
Section rectangulaire sans aciers comprimés 7.511 Données de base 7.512 Adoption du diagramme parabole-rectangle 7.513 Adoption du diagramme rectangulaire
292 292 296 311
Section rectangulaire avec aciers comprimés 7.521 Méthodes de calcul 7.522 Notion de moment limite 7.523 Sections rectangulaires pour lesquelles MEdu > Mls = µls bd2 fcd 7.524 Sections rectangulaires pour lesquelles MEdu > Mlu = µlu bd2 fcd 7.525 Sections rectangulaires à armatures symétriques (Asc = As) 7.526 Extension de la notion de moment limite
Dimensionnement d’une section rectangulaire
Moment résistant ultime maximal d’une section rectangulaire dont on connaît les armatures 7.541 Cas de la section sans aciers comprimés 7.542 Cas de la section avec aciers comprimés
Calcul des contraintes en service d’une section rectangulaire avec ou sans aciers comprimés
Table des matières 801 7.6
Section en T (à table de « compression »)
Calcul des contraintes normales en service
Autres formes de section
Section triangulaire 7.711 Diagramme parabole-rectangle 7.712 Diagramme rectangulaire
Section carrée simplement fléchie dans un plan diagonal 7.721 Calcul à l’état-limite ultime 7.722 Calcul en service
Sections trapézoïdales 7.731 Petite base du côté comprimé 7.732 Petite base du côté tendu
386 386 388
Bibliographie sélectionnée du chapitre 7
Définition – centre de pression – excentricités
Sollicitations à considérer
Sans titre-1 801
Dimensionnement 7.611 Dimensionnement à l’aide du diagramme rectangulaire 7.612 Dimensionnement à l’aide du diagramme parabolerectangle (dans le cas où Asc = 0)
Flexion composée avec traction Flexion composée avec compression
Sections partiellement comprimées
Méthode générale de calcul par assimilation à la flexion simple 8.311 Détermination des sections d’armatures 8.312 Section minimale
397 397 400
Application au dimensionnement des sections 8.321 Section rectangulaire 8.322 Section à table de compression
403 403 409
802 Traité de béton armé 8.4
Sections entièrement comprimées
Sections rectangulaires à deux nappes d’armatures 8.411 Coefficient de remplissage et coefficient de centre de gravité 8.412 Marche du calcul pour une section rectangulaire
Sections à table de compression
Sections entièrement tendues
Abaques et diagrammes d’interaction
Abaques type Caquot (états-limites de service)
Diagrammes d’interaction (état-limite ultime) 8.621 Courbe d’interaction 8.622 Diagrammes d’interaction
425 425 428
Calcul des contraintes normales
Section entièrement comprimée
Section entièrement tendue
Section partiellement comprimée
Condition pour qu’une section rectangulaire soit entièrement comprimée sous les sollicitations agissantes ultimes
Section carrée fléchie dans un plan diagonal
8.10 Bibliographie sélectionnée du chapitre 8 Chapitre 9
Flexion deviée simple Flexion deviée composée avec compression
Méthodes de calcul à l’état-limite de service
448 452 452
Flexion deviée simple : abaque de J. Rüdinger Flexion deviée composée : vérification des contraintes 9.321 Sections entièrement comprimées 9.322 Abaques de A. Roussopoulos pour les sections partiellement comprimées
Méthodes de calcul à l’état-limite ultime 9.41
Sans titre-1 802
Section rectangulaire sans aciers comprimés en flexion deviée simple 9.411 Dimensionnement des armatures 9.412 Vérification des sections
453 457 458 465 468
Table des matières 803 9.42
Sections rectangulaires en flexion déviée composée 9.421 Méthodes ramenant la flexion déviée à deux flexions droites 9.422 Méthodes de réduction à une flexion droite unique 9.423 Méthode « Montoya »
468 475 478
Abaques « en rosette »
Surfaces d’interaction Construction d’un abaque en rosette pour une section rectangulaire 9.521 Équations générales 9.522 Utilisation des abaques en rosette
Méthodes de calcul par itération
Bibliographie sélectionnée du chapitre 9
Ouvrages cités dans ce chapitre
Autres ouvrages traitant du même sujet
Chapitre 10 POTEAUX EN COMPRESSION « CENTREE »
10.2 Comportement expérimental des poteaux soumis à la compression « centrée »
Essais à caractère qualitatif et démonstratif Essais de recherche Conclusions à tirer des essais de poteaux
10.3 Élancement d’un poteau 10.31
Définitions 10.311 Élancement mécanique 10.312 Élancement géométrique
Critère d’élancement
10.4 Détermination des armatures
Sans titre-1 803
494 496 497 497 497 497 499 499 499
Armatures longitudinales 10.411 Calcul 10.412 Dispositions constructives
500 500 501
Armatures transversales 10.421 Choix du diamètre 10.422 Disposition 10.423 Espacement des différentes nappes
502 502 502 503
804 Traité de béton armé Chapitre 11 ÉTAT-LIMITE ULTIME DE STABILITE DE FORME (FLAMBEMENT) 11.1 Généralités
Le phénomène de flambement
Difficulté de l’étude du phénomène de flambement
11.2 Rappel des résultats de la théorie élastique
Flambement « eulérien » 11.211 Poteau bi-articulé soumis à une charge centrée – Charge critique d’Euler 11.212 Poteau soumis à une charge excentrée 11.213 Amplification du moment
Méthodes de vérification des anciens règlements 11.221 Circulaire Ministérielle de 1934 – Formule de Rankine 11.222 Règles BA 1960 11.223 Règles CCBA 68
Critique des méthodes élastiques
La première méthode de calcul à l’état-limite ultime
11.3 Comportement expérimental des poteaux en béton armé
508 510 512
514 514 515 516 517
Comportement sous charges de courte durée
Comportement sous charges de longue durée
11.4 Paramètres influant sur l’état-limite ultime atteint par flambement
11.5 Prise en compte des effets du second ordre
Critères simplifiés pour les effets du second ordre 11.531 Longueur de flambement lo 11.532 Élancement λ des éléments isolés 11.533 Critère d’élancement pour les poteaux isolés 11.534 Effets du second ordre globaux dans les bâtiments
Prise en compte du fluage
11.6 Méthodes d’analyse 11.61
Sans titre-1 804
Sollicitations agissantes 11.611 Hypothèses générales 11.612 Hypothèses de calcul
Table des matières 805 11.7 Les trois méthodes d’analyse de l’EC2 11.71
Méthode simplifiée basée sur une rigidité nominale (méthode « a ») 11.721 Généralités 11.722 Rigidité nominale 11.723 Coefficient d’amplification du moment (voir § 11.213)
Méthode simplifiée basée sur une courbure nominale (méthode « b ») 11.731 Généralités 11.732 Moments de flexion 11.733 Courbure
11.8 Flambement biaxial
535 536 536 537 537 538 538 538 539 546
Méthodes simplifiées 11.821 Vérifications séparées au flambement « monoaxial » 11.822 Méthode simplifiée basée sur la méthode de l’équilibre (voir § 16.4)
548 548 550
11.9 Instabilité latérale des poutres élancées
11.10 Bibliographie sélectionnée du chapitre 11
11.101 Ouvrages ou articles cités dans le présent chapitre
11.102 Ouvrages ou articles traitant des mêmes sujets
Chapitre 12 EFFORT TRANCHANT – POINÇONNEMENT
12.2 Effort de glissement – Contraintes tangentes
Expressions générales déduites des calculs élastiques
Application : contraintes tangentes sur un plan normal à la section droite et parallèle à l’axe neutre
Effets des contraintes tangentes
12.3 Comportement expérimental de poutres fléchies sous l’effet de l’effort tranchant
Sans titre-1 805
Dispositions particulières aux essais de poutres à l’effort tranchant
Poutres sans armatures d’âme
Poutres comportant des armatures d’âme « droites »
806 Traité de béton armé 12.34
Cas de poutres comportant des armatures d’âme sous forme de cadres ou d’étriers inclinés
Cas de poutres comportant des barres relevées à 45° au voisinage des appuis
12.4 Principes généraux des vérifications à l’effort tranchant
12.5 Éléments dépourvus d’armatures d’effort tranchant
Calcul de VRd,c
Prise en compte des phénomènes de transmission directe Valeur de VRd,max dans le cas où il n’y a pas d’armatures d’effort tranchant
12.6 Éléments requérant une armature d’effort tranchant
Analyse des essais de poutres
Conduite des calculs par référence à un modèle de treillis 12.621 Hypothèses 12.622 Équations du problème 12.623 Charges appliquées au voisinage d’un appui ; phénomène de transmission directe
575 576 576
Méthode de l’inclinaison variable des bielles 12.631 Limite imposée par la compression des bielles de béton 12.632 Armature d’effort tranchant
Sans titre-1 806
Cas particulier des armatures d’âme « droites » (α = 90°) 12.641 Détermination des armatures d’âme droites 12.642 Marche à suivre pour le calcul 12.643 Dispositions constructives
588 589 590 592
Problèmes particuliers 12.651 Effort de traction dans les armatures longitudinales 12.652 Barres relevées 12.653 Éléments de hauteur variable 12.654 Cas des sections circulaires ou annulaires
598 598 600 602 603
Couture des plans internes soumis à des actions tangentes 12.661 Règle des coutures généralisée 12.662 Liaison des membrures d’une poutre avec l’âme 12.663 Cisaillement le long des surfaces de reprise
605 605 608 615
Table des matières 807 12.7 Zones d’application des efforts 12.71
Appuis des poutres 12.711 Appui simple de rive (appui simple d’« about ») 12.712 Appuis intermédiaires
617 617 620
Efforts entraînant la mise en traction transversale de l’âme d’une poutre – Armatures de « suspension »
12.8 Poinçonnement
Principe du calcul de la résistance au poinçonnement
Contour et section de contrôle de référence
Évaluation de la contrainte maximale de poinçonnement
Dalles ou semelles sans armatures de poinçonnement
Dalles ou semelles avec armatures de poinçonnement
12.9 Bibliographie sélectionnée du chapitre 12
Chapitre 13 TORSION
13.2 Comportement expérimental des éléments en béton armé soumis à la torsion
13.3 Torsion d’équilibre et torsion de compatibilité
13.4 Méthodes de calcul
13.41 13.42
Théorie de la flexion biaise Méthode du treillis spatial
13.5 Résistance à la torsion circulaire d’une poutre caisson 13.51
Expression du flux de la contrainte tangente de torsion (rappels de Résistance des Matériaux)
Hypothèses simplificatrices de base du modèle de treillis spatial Équations d’équilibre Vérification de la sécurité Remarque sur la condition relative à la compression des bielles de béton
13.53 13.54 13.55
Sans titre-1 807
646 648 648 648 651 652 655 656
808 Traité de béton armé 13.6 Prespriptions de l’EC2 13.61 13.62
Principe général de la justification Épaisseur tef des parois
13.63 13.64 13.65 13.66
Vérification du béton Armatures de torsion Interaction torsion et effort tranchant Dispositions constructives 13.661 Cadres de torsion 12.662 Armatures longitudinales
658 659 661 662 662 663
13.7 Bibliographie sélectionnée du chapitre 13
Ouvrages cités dans le présent chapitre
Ouvrages traitant des mêmes sujets
Chapitre 14 DIMENSIONNEMENT DES BIELLES, TIRANTS ET NŒUDS
14.2 Bielles
14.3 Tirants
14.4 Nœuds
Chapitre 15 FISSURATION ET DEFORMATIONS
15.1 États-limites de service
15.2 Fissuration
Section minimale des armatures tendues
Maîtrise de la fissuration sans calcul direct
Justification par le calcul de l’ouverture des fissures 15.231 Mécanisme de la formation et du développement des fissures 15.232 Contribution du béton tendu 15.233 Vérification par le calcul d’un état-limite d’ouverture de fissure 15.234 Ouverture moyenne wm des fissures 15.235 Ouverture de fissure de calcul
15.3 Déformations (flèches)
Sans titre-1 808
693 695 698 698 699 705
Cas de dispense de calcul des flèches
Table des matières 809 15.33
Vérification des flèches par le calcul 15.331 Rappels de Résistance des Matériaux 15.332 Calcul des flèches 15.333 Calcul de la flèche par intégration numérique 15.334 Méthodes simplifiées
15.4 Formulaire
Récapitulatif des étapes du calcul des courbures
15.5 Bibliographie sélectionnée du chapitre 15
Chapitre 16 ANNEXES 16.1 Épures de repartition des armatures longitudinales et des armatures d’âme 16.11
Répartition des armatures longitudinales tendues 16.111 Moment résistant maximal d’un groupe de barres longitudinales 16.112 Règle du décalage 16.113 Épure d’arrêt des armatures 16.114 Cas particuliers
Répartition des armatures d’âme 16.121 Cas des poutres de section constante soumises uniquement à des charges uniformes 16.122 Cas général : poutres supportant des charges uniformes, des charges concentrées, et / ou de hauteur variable
16.2 Interprétation graphique des diagrammes d’interaction
16.3 Calcul des poteaux de bâtiments
730 732 733 740
Poteaux à section rectangulaire b × h
Poteaux à section circulaire de diamètre D
16.4 Compléments au chapitre 11 16.41
Sans titre-1 809
707 707 710 713 719
Méthode Faessel 16.411 Historique 16.412 Hypothèses simplificatrices pour le calcul des moments du second ordre
810 Traité de béton armé 16.413 16.414
Équations du problème Étude de l’équilibre par la représentation graphique de P. Faessel
Tables numériques d’état-limite ultime
Forme simplifiée de la vérification des conditions d’équilibre
Corrections diverses selon le mode de chargement 16.441 Prise en compte d’une variation de l’effort normal le long du poteau 16.442 Cas particulier des piles de contreventement
777 777 780
Prise en compte de la variation du moment du premier ordre le long du poteau
Poteaux bi-articulés soumis à des moments différents à leurs deux extrémités
Contrôle expérimental de la validité des hypothèses de calcul de la méthode de Faessel
16.5 Pressions localisées
Textes antérieurs à l’EC2 16.521 Règles BAEL 16.522 Code-modèle CEB – FIP 1978
16.6 Quelques recommandations concernant le ferraillage
Réduction du nombre de diamètres différents
Assemblage des armatures les unes aux autres
16.7 Bibliographie sélectionnée du chapitre 16 TABLE DES MATIERES
Sans titre-1 810
Traité du béton armé 2e édition 2017