Source: http://docplayer.fi/1364730-Suomen-aktuaariyhdistys-the-actuarial-society-of-finland.html
Timestamp: 2017-01-18 06:39:16+00:00
Document Index: 3520618

Matched Legal Cases: ['kko ', 'kko ', 'kko ', 'kko ', 'kko ', 'kko ']

1 124 SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS THE ACTUARIAL SOCIETY OF FINLAND WORKING PAPERS ISSN xxxx- xxxx SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS The Actuarial Society of Finland 124 Punkkinen, Olli Koronvaihtosopimukset vastuuvelan suojaamisessa ja korkosijoittamisessa (2014)2 Koronvaihtosopimukset vastuuvelan suojaamisessa ja korkosijoittamisessa Punkkinen Olli3 Sisällysluettelo Abstract... 2 Tiivistelmä Johdanto Markkina-arvoinen vastuuvelka ja vakavaraisuuspääomavaade Solvenssi II - direktiivissä.. 5 Markkina-arvoinen vastuuvelka... 5 Vakavaraisuusvaade (eng. solvency capital requirement) Työeläkevakuutusyhtiön vastuuvelka Peruskäsitteitä ja teoriaa koroista... 6 Yksinkertaiset korot... 6 Koronvaihtosopimus Korkodatan muodostus... 8 Korkokäyrän laskenta bootstrap-mentelmällä... 8 Swappien arvostus Matlabilla Markkina-arvoisen vastuuvelan korkoriskin eliminointi Kassavirtojen yhteensovittaminen Vastuuvelan ja suojaavan swap-portfolion korkoriskin määrittäminen Tuoton laskenta ja kaupankäyntistrategiat swap-tuottojen historiadatalla Korkotasoon perustuva strategia Swap-tuottoon perustuva strategia Koko portfoliota koskevat strategiat Strategiaparametrin vaikutus Strategian tehokkuus yksittäiseen swap-sopimukseen Optimaalinen strategia tenorin funktiona Sharpen luku kiinteällä tuottorajalla tenorin ja lagin funktiona Sharpen luku kiinteälle lagille tenorin ja tuottorajan funktiona Sharpen luku kiinteälle lagille tenorin, strategiaparametrin ja tuottorajan funktiona Tuottorajastrategian ristiin testaaminen Johtopäätökset Viittaukset Liitteet Liite 1: Optimaalisen asset-portfolion ja swap-portfolion VaR-Sharpe Strategiaparametrin huomioiminen4 Abstract Life and pension funds are investing their assets largely to bonds and stocks leading to substantial interest rate risk and equity risk at their balance sheet. From the point of view of ordinary investor the equity risk typically dominates the interest rate risk. However, due to the long duration of the life and pension fund liabilities, typically of the order 15 to 20 years, the interest rate risk is the leading risk source for these companies. During the observation period of this assignment ( ) the solvency ratio of pension funds in Finland has varied between 15% and 35%. In the Finnish system the total balance sheet consists of liabilities and solvency capital. In the solvency II regulation liabilities are discounted by risk free interest rate, which means that a large amount of liabilities leads to major interest rate risk. In the current Finnish system, however, the liabilities are discounted by fixed 3% interest rate, which eliminates the interest rate risk. In this assignment we consider the interest rate risk due to the best estimate of liabilities, valued by zero coupon swap curve according to Solvency II directive. We consider eliminating the interest rate risk by full cash flow hedging by interest rate swaps. The idea is to receive a fixed rate that fully matches the cash flows of the liabilities. In addition, the pension fund pays a 6 month euribor as a floating rate. In this work we use liability cash flows that are artificial, but resemble the cash flows of the typical Finnish pension fund. In this assignment the consideration is limited to liabilities and the interest rate swaps used to hedge the liability cash flows. In particular, as an alternative to full cash flow hedge (Receiver swap strategy) we consider various interest rate levels and swap return dependent strategies, and their effect on the 2.5% value at risk and expected return of the portfolio consisting of liabilities and interest rate swaps. As an alternative to Receiver swap strategy we develop a countercyclical strategy, in which the pension fund invests on interest rate swaps only if the swap return has been poor enough during the recent period. The idea behind that is based on the following observation made for swap returns during the consideration period The return of the hedging swap portfolio during the period (so called lag period) prior to the investment decision time, is negatively correlated with the return on the same swap portfolio during the year following the starting time. The main part of the work considers the efficiency of this so-called return limited strategy with respect to full Receiver swap strategy. The efficiency in this assignment is defined as the expected return divided by the 2.5% value at risk during the year following the starting time. The swap return series ( ) is divided into in sample (training data) used for constructing the optimal model, and out of the sample (test data) used to test the efficiency of the optimal model. This division into independent data sets is done using various sizes for both samples. The main observation made during this research is, that the return strategies work better than the full Receiver swap strategy within the observation period only if the financial crisis (2008) is included into training data. 25 Tiivistelmä Henkivakuutus- ja työeläkevakuutusyhtiöiden varat on sijoitettu suurimmaksi osaksi joukkovelkakirjoihin ja osakkeisiin, mistä johtuen näiden yhtiöiden vakavaraisuuspääoman suurimmat riskitekijät ovat korkoriski (riskitön korko, luottoriski jne.) ja osakeriski. Tyypillisesti osakeriski dominoi tavallisen portfoliosijoittajan riskejä. Solvenssi II säännösten alaisten eläke- ja henkivakuutusyhtiöiden tapauksessa kuitenkin vastuuvelan pitkä duraatio johtaa siihen, että yhtiön kokonaisvarallisuuden markkinakorkoriski dominoi varallisuutta. Suomalaisten työeläkeyhtiöiden vakavaraisuuspääoma suhteessa vastuuvelkaan on ollut tarkastelujaksolla ( ) pääsääntöisesti 15 ja 35 %:n välillä. Koko työeläkeyhtiön omaisuus koostuu vastuuvelasta ja vakavaraisuuspääomasta. Mikäli ajatellaan niin, että vastuuvelka määritellään tulevien kassavirtojen nykyarvona, jossa kassavirtojen diskonttaamiseen käytetään markkinakorkoa, niin voidaan helposti ymmärtää, että markkinakorkoriski dominoi työeläkeyhtiön varallisuutta. Suomalaisessa työeläkejärjestelmässä tosin vastuuvelka diskontataan nykyisessä järjestelmässä kiinteällä korolla (3 % vuonna 2013). Tässä tutkielmassa tarkastellaan kuitenkin vain markkinakorolla diskontattua vastuuvelkaa, ja erityisesti Solvenssi II direktiivin mukaista nk. vastuuvelan parasta arviota. Työssä tutkitaan yhtiön vastuuvelan korkoriskin eliminointia koronvaihtosopimuksilla (eng. Interest rate swap). Ideana on tehdä koronvaihtosopimuksia, joissa saadaan kiinteää swap-korkoa ja maksetaan vaihtuvaa 6 kuukauden euribor korkoa (eng. Receiver swap). Työssä käytettävä vastuuvelan kassavirtajakauma on kuvitteellinen, mutta muistuttaa muodoltaan tyypillisen Suomalaisen työeläkeyhtiön kassavirtajakaumaa. Korkoriski eliminoidaan työssä tekemällä täydellinen kassavirtojen yhteen sovittaminen koronvaihtosopimuksilla ja vastuuvelan kassavirroilla. Työssä ei tarkastella vakuutusyhtiön muuta varallisuutta kuin vastuuvelkaa ja sen suojaamiseen käytettyjä koronvaihtosopimuksia. Työssä tutkitaan erityisesti erilaisten sijoitusstrategioiden vaikutusta vakuutusyhtiön vastuuvelkaa suojaavien koronvaihtosopimusten tuottojen 2,5 %:n VaRiin sekä tämän portfolion odotettuun tuottoon. Vaihtoehtona edellä kuvatulle täydellistä vastuuvelan suojausta vastaavalle Receiver swap-strategialle kehitetään vastasykliseen ajatteluun pohjautuva tuottorajastrategia, jossa ainoastaan riittävän huonojen swap-tuottojen jälkeen tehdään Receiver swap-sopimukset. Strategia perustuu seuraavanlaiseen swaptuottoja koskevaan havaintoon, joka tehtiin työn aikana. Lähtöhetkeä edeltäneen ajanjakson (nk. lag aika) aikana swap-portfolion tuotossa tapahtunut muutos korreloi negatiivisesti lähtöhetkeä seuraavan vuoden swap-tuoton kanssa. Tämä ilmiö havaittiin historiallisella swap-tuottodatalla aikavälillä Suurin osa työstä keskittyy vertaamaan tuottorajastrategian tehokkuutta täydellistä suojausta nimellisarvoiltaan vastaavan Receiver swap-strategian tehokkuuteen. Lisäksi testataan absoluuttiseen korkotasoon perustuvia strategioita. Tehokkuus on määritelty tässä vuoden odotetulla tuotolla jaettuna tuoton yhden vuoden 2.5 %:n VaRilla, eli nk. VaR-Sharpe lukuna. Historiadatalla tehdyssä osassa työtä swap-tuottoaikasarja jaetaan opetusdataan ja testidataan. Opetusdatalla tehdään mallin muodostaminen ja optimaalisten parametrien laskeminen. Tämän jälkeen testidatalla tutkitaan sitä, miten tehokas mallin antama strategia oli, ja voittaako se tehokkuudessa täydellisen suojauksen swap-portfolion VaR-Sharpen mielessä. Tulosten valossa näyttää siltä, että tuottorajastrategia toimii VaR-Sharpen mielessä tehokkaammin kuin Receiver swap-strategia vain, mikäli finanssikriisi ja osa sen jälkeisestä tuottoaikasarjasta sisällytetään opetusdataan. 36 1. Johdanto Tässä työssä käsiteltiin vakuutusyhtiön vastuuvelan korkoriskin eliminointia koronvaihtosopimuksilla (eng. Interest rate swap). Solvenssi II direktiivin mukaan vahinko-, jälleen- ja henkivakuutusyhtiöiden tulee markkina-arvoistaa vastuuvelkansa swap-korkokäyrällä. Markkinakorkoriskiä mitataan Solvenssi II vakavaraisuuskehikossa markkinaehtoisen taseen (tässä työssä tase tarkoittaa vastuuvelkaa ja sitä suojaavaa swap portfoliota) arvonmuutoksella huonoimmassa sellaisista skenaarioista, joissa korkokäyrä liikkuu ylös tai alaspäin (korkoliike vastaa 99.5 %:n Value-at-risk lukua). Monissa Keski-Euroopan maissa käytetään jo tällä hetkellä markkinakorkokäyrää (tyypillisesti AAA-luokiteltujen valtioiden korkokäyrää tai swap-korkokäyrää, jotka lähentelevät toisiaan) henki- ja eläkevakuutuslaitosten vastuuvelan markkinaarvoistamiseen. Keskieurooppalaiset eläkelaitokset ovatkin alkaneet ostaa swap-sopimuksia vaihtaakseen vastuuvelkaansa sisältyvän korkoriskin markkinakorkoiseksi. Suomessa työeläkelain mukaan työeläkevakuutusyhtiön tulee täällä hetkellä diskontata vastuuvelkansa käyttäen kiinteää 3 prosentin korkoa. Suomalaisen työeläkevakuutusyhtiön kannalta on tärkeä tietää miten tulevaisuudessa tulee menetellä, mikäli myös Suomessa työeläkeyhtiöiden vastuuvelka aletaan markkina-arvoistaa Solvenssi II direktiivin mukaisesti. Työssä esitettiin kassavirtojen täydelliseen yhteensovittamiseen perustuva suojausmenetelmä käyttäen nk. plain vanilla swap-sopimuksia Suojausmenetelmässä tehdään swap-sopimukset, joissa maksetaan vaihtuvaa korkoa ja saadaan kiinteää korkoa (Receiver swap).. Ideana suojauksessa on se, että swapsopimusten nimellisarvoa vastaavat summat talletetaan lähtöhetkellä kassaan. Sitten vuoden päästä lähtöhetkestä tämä nimellisarvo yhdessä kiinteän legin kuponkituoton kanssa riittää maksamaan vastuuvelan erääntyvän kassavirran. Vaihtoehtona edellä kuvatulle täydellistä suojausta nimellisarvoiltaan vastaavan swap-portfolion ostamiselle etsittiin strategiaa, jolla saavutetaan vielä parempi riski-tuottosuhde nk. VaR-Sharpe luvun mielessä. Tämä vastasyklinen tuottorajastrategia perustui siihen tosiasiaan, että swap-tuotoissa tapahtuneet muutokset tietyn aikaperiodin (nk. lag aika) sisällä korreloivat negatiivisesti tätä aikaperiodia seuraavan vuoden swap-tuottojen kanssa Vastasykliseen käyttäytymiseen perustuva strategia osoittautui tietyin parametrein tehokkaammaksi strategiaksi verrattuna Receiver swap - strategiaan. Erityisesti finanssikriisin (2008) jälkeisessä maailmassa vastasyklinen strategia näyttäisi toimivan paremmin kuin vertailustrategia. Historiadatalla muodostetun optimaalisen tuottorajastrategian kriittinen tuottoraja osoittautui olevan lähellä keskimääräisiä swaptuottoja erityisesti pitkillä tenoreilla. Lisäksi optimaalisessa strategiassa 22-vuotinen ja sitä lyhyemmät swapit tuottivat parhaiten osin myötäsyklisellä strategialla, kun taas yli 22-vuotiaat swapit tuottivat parhaiten vastasyklisellä strategialla. Optimaaliseksi lag ajaksi, jonka kuluessa tapahtuneita muutoksia swap-tuotoissa kannatti tarkastella, osoittautui noin kolme ja puoli kalenterikuukautta. Perinteisen korkosijoittajan näkökulmasta työssä tutkitut strategiat mahdollistavat historiasimulaation valossa paremman tuottoriski suhteen verrattuna siihen, että ostettaisiin (tai myytäisiin) suoraan Receiver swap - sopimuksia spekuloiden korkojen laskulla (nousulla) tulevaisuudessa. Solvenssi II - säännöksiä noudattavat yhtiöt puolestaan voivat käyttää työssä esitettyä suojausstrategiaa vastuuvelan korkoriskin lähes täydelliseen suojaukseen. Toisaalta, mikäli tällainen yhtiö ei halua suojata pois koko korkoriskiä, työssä tutkitut strategiat mahdollistavat paremman tuottoriskisuhteen vastuuvelan ja suojaavien swappien muodostaman portfolion riskiä kasvattamalla. Tämä voidaan toteuttaa esimerkiksi siten, että suojataan ensin koko vastuuvelan korkoriski pois swap-sopimuksilla, ja optimoidaan tämän jälkeen jäljelle jäävän sijoitussalkun tehokkuus lisättävän swap-portfolion nimellisarvon suhteen. Lopuksi valitaan swapstrategioista se, jolla portfolion tehokkuus saavuttaa maksimin (ks. Liite 1). 47 2. Markkina-arvoinen vastuuvelka ja vakavaraisuuspääomavaade Solvenssi II - direktiivissä Solvenssi II direktiivin tavoitteena on yhtenäistää vakuutusyhtiöiden vakavaraisuusvaatimukset sekä vakavaraisuuden valvontamekanismit EU:n sisällä. Lisäksi direktiivi pyrkii yhtenäistämään varojen ja velkojen arvostusmenetelmät. Solvenssi II direktiiviä tullaan soveltamaan Euroopan unionin alueella toimiluvan saaneille vahinko-, henki- ja jälleenvakuutusyhtiöille. Direktiivi on tarkoitus näillä näkymin saattaa voimaan viimeistään vuoden 2016 aikana. Direktiivin soveltamisalan ulkopuolelle jää toistaiseksi kuitenkin mm. Suomen työeläkelainsäädännön alaiset työeläkevakuutusyhtiöt. On kuitenkin mahdollista, että tulevaisuudessa Solvenssi II direktiiviä aletaan soveltaa ainakin osittain myös Suomen työeläkejärjestelmään [11]. Markkina-arvoinen vastuuvelka Solvenssi II-direktiivissä määrätään, että vakuutusyhtiön vastuuvelan suuruutena on käytettävä sellaista rahamäärää, joka vakuutusyhtiön tulisi maksaa siirtääkseen kaikki velvoitteensa toiselle vakuutusyhtiölle (nk. irtautumisarvo) [5]. Vastuuvelkaa laskettaessa tulee huomioida kaikki tulevina vuosina ulos maksettavat (eläkkeet, hoitokulut yms.) ja sisään tulevat (maksutulo) rahavirrat, jotka tarvitaan vakuutuksiin sitoutuvien velvoitteiden täyttämiseen vakuutussopimusten päättymiseen asti. Vastuuvelka on lisäksi laskettava markkinaehtoisesti, eli vastuuvelan kassavirrat tulee diskontata markkinakoroilla (swap-korkokäyrä) ja lisäksi on otettava huomioon rahoitusmarkkinoiden tarjoamat tiedot vakuutusriskeistä. Näin saatua arvoa kutsutaan vastuuvelan parhaaksi estimaatiksi. Koska rahamarkkinoilla ei noteerata vakuutusvelkoja, parhaan arvion lisäksi vastuuvelan arvoon tulee lisätä riskimarginaali. Riskimarginaali kuvaa vakavaraisuusvaatimuksen suuruisen pääoman kustannusta vakuutusten päättymiseen asti. QIS5-spesifikaatiossa riskimarginaali on määritelty vastaamaan BBB-luokitellun yhtiön pääomavaadetta, ja on suuruudeltaan 6 % kaikkien tulevien vuosien vakavaraisuusvaateiden (SCR) diskontatusta arvosta. Koska riskimarginaali on henki- ja eläkevakuutuksen tyyppisissä vakuutuslajeissa pieni verrattuna vastuuvelan parhaaseen arvioon, ei tässä työssä tarkastella riskimarginaalia. Esimerkkinä riskimarginaalista mainittakoon Saraste [16], joka arvioi henkivakuutusyhtiön riskimarginaalin (takuukorkoisille vakuutuksille) suuruudeksi noin 0.5 % vastuuvelan parhaasta arviosta. Dalby [6] puolestaan arvioi henki- ja eläkevakuutusyhtiöiden riskimarginaaliksi noin 3.3 % vastuuvelan parhaasta arviosta. Markkina-arvoinen vastuuvelka määritellään lopulta parhaan arvion ja riskimarginaalin summana Vakavaraisuusvaade (eng. solvency capital requirement) Vakuutusyhtiöön vakavaraisuuspääoma määritellään vastaamaan yhtiön varojen ja velkojen erotusta. Selvensi II direktiivin vakavaraisuuspääomavaade (SCR) vastaa sellaista oman pääoman määrää, jonka vakuutusyhtiö voisi menettää vuoden aikana hyvin epäsuotuisan markkinakehityksen seurauksena. QIS5- laskentaspesifikaatissa SCR määritellään vastaamaan vakavaraisuuspääoman 0.5 %:n Value-at-risk lukua, eli 0.5 %:n prosenttipistettä. Vakavaraisuusrajan laskentaan voi käyttää joko nk. standardikaavaa, tai sitten valvojan hyväksymää omaa mallia. Standardikaavassa eri riskimoduulit summataan yhteen korrelaatiomatriisin avulla. Markkinakorkoriski muodostaa oman moduulinsa, ja se vastaa sellaista vakavaraisuuspääoman menetystä, jonka riskittömän korkokäyrän epäsuotuisa muutos vuoden aikana aiheuttaa taseeseen. Taseen muutos lasketaan siten, että korkokäyrän jokaista korkopistettä liikutetaan sekä ylöspäin että alaspäin, ja näin ollen realisoituvista taseen muutoksista valitaan negatiivisempi. Korkopisteiden liikkeet on valittu vastaamaan suuruudeltaan 0.5 %:n VaRia historiallisella aikasarjalla. 3. Työeläkevakuutusyhtiön vastuuvelka Suomalaisten työeläkeyhtiöiden vastuuvelka koostuu korvausvastuusta ja vakuutusmaksuvastuusta. Vakuutusmaksuvastuu vastaa tulevista vakuutustapahtumista aiheutuvien kassavirtojen pääoma-arvoa siltä osin, kun yhtiölle on syntynyt vastuuta yrittäjien eläkelain tai työntekijän eläkelain nojalla. Vakuutusmaksuvastuuseen kuuluu myös ositettu ja osittamaton lisävakuutusvastuu, sekä osaketuottosidonnainen lisävakuutusvastuu. Korvausvastuu puolestaan tarkoittaa jo sattuneista 58 vakuutustapahtumista vielä maksamatta olevia korvausmääriä. Lisäksi korvausvastuuseen luetaan työeläkejärjestelmän yhteisesti kustannettavia eläkemaksuja varten varattu tasausvastuu. Tässä työssä tarkastellaan kuitenkin vain varsinaista korvausvastuuta ja vakuutusmaksuvastuuta, jotka liittyvät suoraan rahastoituun osaan eläkemenoa, ja josta on jätetty pois osittamaton, ositettu ja osaketuottosidonnainen vakuutusmaksuvastuu sekä tasausvastuu. Tämän nk. VIU-vastuiden osuus yhtiöiden vastuuvelasta on merkittävä, yleensä yli 80 %. Suomalaisten työeläkeyhtiöiden vastuuvelkaa ei nykyisessä järjestelmässä diskontata markkinakorolla. Tässä työssä haluttiin kuitenkin tutkia hypoteettista tilannetta, jossa vastuuvelan korkoriski huomioitaisiin myös Suomalaisissa työeläkeyhtiöissä. Tausta-ajatuksena tässä on se, että työeläkeyhtiöiden vastuuvelan korkoriski on niin suuri, että tullessaan voimaan Solvenssi II -direktiivi aiheuttaisi työeläkeyhtiöille merkittävän lisäpääomavaateen. Laskien vuoden 2013 keskimääräisen korkotason mukaan vastuuvelan nykyarvo tulisi kasvamaan nykyisestä vakiokorolla diskontatusta arvosta noin 10%, joka seurauksena aiheuttaisi työeläkeyhtiöille noin 10 20%-yksikön laskun vakavaraisuusasteeseen, ja sitä kautta alhaisen vakavaraisuusasteen yhtiöille vaaran ajautua vakavaraisuusrajan alapuolelle (olettaen, että vakavaraisuusraja pysyy samana). Nykyisellään tämän korkoriskin huomioiminen esimerkiksi vakavaraisuusrajan laskennassa aiheuttaisi sen, että työeläkeyhtiöt joutuisivat vähentämään portfolioidensa kokonaisriskillisyyttä. TyEL:ssä ei kuitenkaan viimeisten päätösten mukaan olla siirtymässä kiinteästä diskonttokorosta muunlaiseen järjestelmään [19]. Mikäli näin tehtäisiin, se tarkoittaisi koko TyELin rahoitusjärjestelmän uudelleen miettimistä alusta saakka uudestaan. Siten on hyvin todennäköistä, että Solvenssi II kehikkoon siirtymisen myötä myös työeläkeyhtiöiden vastuun laskentaa ja vakavaraisuusrajasäännöksiä muutettaisiin perusteellisesti. 4. Peruskäsitteitä ja teoriaa koroista Yksinkertaiset korot Maturiteetin T nollakuponki bondi, on sellainen sopimus, joka maksaa yhden yksikön kysyttyä valuuttaa hetkellä T. Tämän sopimuksen arvo hetkellä t = T on P(t, T), ja sen arvo voidaan kirjoittaa odotusarvona yli koron seuraavasti [3,11] P(t, T) = E t Q [ B(t) B(T) 1] = E t Q [e T dsr(s) t ], (1) missä B(t) on pankkitili, joka noudattaa determinististä dynamiikkaa db(t) = r(t)b(t)dt, (2) ja r(s) on spot-koron nk. short-rate malli, joka noudattaa stokastista differentiaaliyhtälöä dr(t) = b(t, r(t))dt + σ(t, r(t))dw t. (3) 69 Tässä edelleen W(t) on tavallinen normaalijakautunut Brownin liike (W t ~N(0,1)) keskiarvonaan 0 ja keskihajontana 1. Yhtälössä (1) odotusarvo on ehdollinen (ts. prosessin r(s) arvo on tunnettu hetkellä t) hetkellä t, ja se lasketaan normaalijakautuneen riskineutraalin todennäköisyysmitan Q yli (ts. satunnaismuuttuja W t on normaalijakautunut) [3]. Yksinkertainen korko L(t, T) on sellainen maturiteetin T korko, joka kiinnitetään hetkellä t ja maksaa yksikkövaluutan hetkellä T, ja jonka hinta hetkellä t on sama kuin maturiteetin T nollakuponkibondin. Koronvaihtosopimus P(t, T)[1 + (T t)l(t, T)] = 1. (4) FRA (eng. Forward rate agreement) on sellainen sopimus, joka maksaa nimellisarvolle korkoa K erääntymishetkestä T maturiteettiin S asti. Käytännössä tällainen sopimus antaa ostajan lukita itselleen sopivan korkotason tulevaisuuteen hetkestä T hetkeen S. Sopimuksen hinta on: FRA(t, T, S, K) = P(t, S)(S T)K P(t, T) + P(t, S). (5) Forward-korko on se vakiokoron K arvo, jolla edellinen sopimus (FRA) on arbitraasivapaa eli reilu F(t; T, S) = 1 (S T) (P(t,T) 1) (6) P(t,S) Korkoswap on sellainen sopimus, jossa vaihtuva korkovirta, esim. Libor korko, vaihdetaan kiinteään korkoon K ajan hetkillä T 0, T 1, T 2,, T N. Tällaisen sopimuksen arvo hetkellä t on N IRS(t, [T 0, T 1,, T N ], K) = i=1 D(t, T i )τ i [K L(T i 1, T i )], (7) missä D(t, T) on stokastinen diskonttotekijä T dsr(s) D(t, T) = e t, (8) 710 ja τ on aika peräkkäisten koronmaksuhetkien välillä τ i = T i T i 1. Edelleen ottamalla odotusarvot yhtälöstä (7) puolittain, ja korvaamalla Libor-koron tuntematon arvo L(T i 1, T i ) hetkellä T i 1 hetkellä t Libor-koron forward-arvolla (6) (nk. Forward-projection menetelmä), saadaan tulos N SWAP(t, K) = P(t, T i )τ i [K F(t; T i 1, T i )] i=1 N = i=1 P(t, T i )τ i K + P(t, T N ) P(t, T 0 ), (9) Kutsutaan sitä vakiokoron arvoa, jolla swapin arvo on reilu saadaan asettamalla yhtälössä (9) oikea puoli nollaksi, nimellä forward swap korko K = S 0,N (t) = [P(t,T 1 ) P(t,T N)], (10) N i=1 τ i P(t,T i ) missä τ i = T i T i 1 on sen ajanjakson pituus jonka alussa vaihtuva korko kiinnitetään ja lopussa korkotuotto maksetaan. Yhtälöstä (10) voidaan puolestaan ratkaista nollakuponki swap korkokäyrä hetkellä t kappaleessa 5 esitettävillä menetelmillä. 5. Korkodatan muodostus Työssä käytettävien swap-sopimusten hintadata on ladattu Bloombergista Matlabiin. Korkodata koostuu vuoden 2003 alusta ( ) lähtien vuoden 2013 heinäkuun 5.päivään asti päivittäisistä swap-koroista (nk. swap par) jokaiselle maturiteetille, sekä kyseisiin sopimuksiin liittyvistä liikkeellelaskupäivistä, lomapäivistä ja maturiteeteista ja muista laskennan kannalta tarpeellisista tiedoista. Kyseistä korkodataa käyttäen on laskettu nollakuponki swap-käyrät, jotka on saatu edellä kuvatuista swapsopimuksista bootstrappaamalla Matlabin funktiolla IRDataCurve.bootstrap. Alla on selitetty hieman bootstrap-menetelmää. Korkokäyrän laskenta bootstrap-mentelmällä Korkokäyrä tulee rakentaa olemassa olevan markkinainformaation perusteella. Tyypillisesti tarjolla ei ole riittävästi nollakuponkibondeja, joista korot saisi suoralla menetelmällä laskettua. Siksi pääsääntöisesti turvaudutaan ns. bootstrap menetelmiin. Bootstrapping-menetelmässä korkokäyrä lasketaan rekursiivisesti niin sanotun forward substituution avulla. Bootstrap-menetelmässä korkokäyrän maturiteetit yhdestä päivästä vuoteen muodostetaan tyypillisesti suorilla menetelmillä esimerkiksi eonia- ja euribor-koroista. Nämä korot ovat talletuksille maksettavia yksinkertaisia vuosikorkoja, joten näistä koroista voidaan laskea kyseistä maturiteettia vastaava korko. Esimerkiksi 1,, 12kk euribor-noteerauksille saadaan vuosikorot kaavalla 811 (1 + r k ) = (1 + k 12 r k eur ) eli r k eur = 12 k r k, k=1, 12. (11) Edellisessä siis r k eur on k kuukauden pituiselle talletukselle maksettava vuotuinen euribor-korko. Eonia-korko on päivittäin laskettava yliyön viitekorko. Euroopan keskuspankki on valinnut joukon pankkeja paneeliksi näiden markkinavolyymin ja luottokelpoisuuden perusteella. Tähän paneeliin kuuluu 44 erillistä pankkia. Euribor-korot lasketaan näiden pankkien antamien noteerausten pohjalta. Euribor- ja eoniapaneelit koostuvat samoista pankeista. Jokainen paneelin jäsenpankki toimittaa illalla EKP:lle päivän aikana antamiensa vakuudettomien yliyön lainojen keskimääräisen koron. Euribor on puolestaan päivittäin julkaistava euromaiden yhteinen viitekorko, jolla pankit tarjoutuvat lainaamaan vakuudettomasti varoja toisille pankeille euromääräisillä rahamarkkinoilla. Reuters laskee euriborin viidelletoista eri lainasopimuksen kestoajalle (1 3 viikkoa ja 1 12 kuukautta) jokaisena TARGET-järjestelmän aukiolopäivänä ja julkaisee korot aamupäivällä kello Keski-Euroopan aikaa. Euribor ilmoitetaan kolmen desimaalin tarkkuudella ja todelliset päivät/360 -perustaisena. Vastaava vakuudellisen lainan korko on nimeltään eurepo, ja siinä käytetään vakuutena euroalueen valtioiden joukkolainoja ja valtion velkasitoumuksia. Swap-korkokäyrän yli vuoden pituiset korkopisteet lasketaan nk. OTC-markkinoilla kaupattavista koronvaihtosopimuksista, eli swapeista. Swap-sopimuksia laskevat liikkeelle erilaiset institutionaaliset sijoittajat ja investointipankit. Swap-markkinat ovat hyvin tehokkaat, ja käytännössä swap-korkojen luottoluokitus lähentelee AAA-luokiteltujen valtioiden luottoluokitusta. Swap-korkoihin liittyvä matematiikka on kuvattu tarkemmin edellä luvussa 4. Tässä työssä käytettiin euroalueella tyypillistä swap-sopimusta, jossa vaihtuvakorkoiselle (floating) legille maksetaan puolivuosittain 6 kuukauden euribor korkoa, jonka arvo vahvistetaan 6 kuukautta ennen maksupäivää. Sen sijaan kiinteälle legille maksetaan sopimuksentekopäivänä vallitsevaa kiinteää (par) swap-korkoa. Kiinteä legi vastaanottaa kassavirrat vuosittain, ja kiinteä legin kassavirran suuruus on jokaisena maksupäivänä sopimuksen nimellisarvo kerrottuna swapin liikkeellelaskupäivän parilla. Bootstrappauksen yleinen metodologia: 1. Määritellään korkotuotteet joista korkokäyrä lasketaan. Tyypillisesti nämä ovat kuponkia maksavia bondeja tai swappeja, kuten tässä työssä. Olkoon P(t) = (P 1 (t), P j (t),, P n (t)) n-ulotteinen j=1, n. hintavektori hetkellä t, ja lisäksi C = (F j ti ) nxm - kassavirtamatriisi (kupongit ja nimellisarvo) i=1,,m vastaten n joukkovelkalainaa. Tässä m on joukkolainaan i sisältyvien kassavirtojen lukumäärä. Tällöin arbitraasivapaassa ympäristössä tulee päteä seuraava yhteys m P j (t) = i=1 P(t, t i ), missä j = 1,, n. (12) F ti j 2. Määritellään diskonttotekijät P(t, t i ) kaikille halutuille maturiteeteille. 3. Bootstrapataan nollakuponkikäyrä askeleittain rekursiivisesti yhtälön (12) mukaisesti. Swap-korkojen yhteydessä saadaan vaatimalla, että sopimuksen hinta hetkellä t on sama kuin j.nnen sopimuksen nimellisarvo N j (F ti j = N j (δ i,m + C i ) ja P j (t) = N j ), yhtälöstä (1) yksinkertaistettu versio 912 missä S 0,i (t) on hetkellä t noteerattu i vuoden pituinen swap-korko. n 1 = i=1 S 0,i (t)p(t, T i )τ i + S 0,n τ n, (13) Olettamalla, että diskonttotekijät on jo ratkaistu hetkeen T n 1 asti, voidaan edellä olevasta yhtälöstä ratkaista maturiteettia T n vastaava diskonttaustekijä. P(t, T n ) = (1 n 1 i=1 S 0,nP(t,T i )τ i 1+τ n S 0,n (14) Ne maturiteetit, joille ei löydy suoraa noteerausta, interpoloidaan lineaarisesti. Interpolointia voidaan käyttää joko itse korkoon tai sitten diskonttotekijään. Tässä työssä valittiin lineaarinen interpolointi yksinkertaiselle korolle maturiteetin suhteen seuraavasti L(t, T) = (T 2 T)L(t,T 1 )+(T T 1 )L(t,T 2 ) T 2 T 1, missä T [T 1 ; T 2 ]. (15) Swappien arvostus Matlabilla Jokaista eri maturiteettia vastaava swap hinnoitellaan siten, että swapin kiinteä ja vaihtuva legi hinnoitellaan erikseen. Matlabissa kiinteän legin hinnoitteluun käytetään Matlabin bondbyzero-funktiota, joka arvostaa kaikki kiinteät kassavirrat arvostuspäivän nollakuponki swap-käyrällä, joka on rakennettu kuten edellä kaavoissa (13)-(15). Tällöin n-vuoden pituisen swapin kiinteän legin arvoksi hetkellä t tulee [11] n P fixed,n = N n [ i=1 S 0,2n (t)p(t, T 2i )τ 2i + P(t, T 2n )], (16) missä N n on n-vuoden pituisen swapin nimellisarvo, ja kuponkimaksut tapahtuvat vuosittain. Tässä indeksöinti menee niin, että peräkkäisten indeksien välinen aikaero on yksi vuosi, eli τ 2i = T 2i T 2i 2 = 12kk. Vaihtuva legi puolestaan hinnoitellaan käyttäen Matlabin valmista funktiota floatbyzero, joka hyödyntää arbitraasivapaaseen hinnoitteluun perustuvaa forward-projektio menetelmää. Forward-projektiossa euribor-korkoina käytetään tämän hetken forward-korkoja kaavan (9) mukaan [11]. Nyt kuitenkin ensimmäiseen kuponkiin liittyvä euribor-korko kiinnitetään lähtöhetkellä, joten siksi F 0,1 = r1(t 0 ) P float = N n [ 2n F i 1,i i=2 2n (t)p(t, T i )τ i + δ i,2n P(t, T i ) + r 0.5 (t)p(t, T 1 )τ 1 ] = N n 1 [ P(t, T i 1) τ i P(t, T i ) 1] P(t, T i )τ i + N n P(t, T 2n ) i=2 + r 0.5 (t)p(t, T 1 )τ 1 N n 2n = N n i=2 [P(t, T i 1 ) P(t, T i )] + N n P(t, T 2n ) + N n r 0.5 (T 0 )P(t, T 1 )τ 1 = N n [P(t, T 1 ) P(t, T 2n ) + P(t, T 2n )] + N n r 0.5 (T 0 )P(t, T 1 )τ 1 = N n P(t, T 1 )(1 + r 0.5 (T 0 )τ 1 ) (17) Kaavassa (17) vaihtuvalla legillä kuponkimaksut tapahtuvat siis puolen vuoden välein, eli τ i = T i T i 1 = 6kk. Lisäksi arvostusmenetelmässä kuponkikorkona käytetään 6 kuukauden Euriborin forward-arvoa13 lähtöhetkellä. Kaavassa (17) oletetaan, että arvostushetki on täsmälleen sama kuin itse swapin liikkeellelaskuhetki, eli t = T 0. Tässä työssä swapit arvostettiin lähtöhetkellä ja myös vuoden päästä lähtöhetkestä. Jälkimmäisessä tapauksessa swapin kaksi ensimmäistä (kiinteällä legillä vain yksi) kuponkimaksua putoaa kaavojen (16) ja (17) summasta pois, ja lisäksi T i T i 2 (kaavassa (16) T i T i 1 ). Kaavasta (17) nähdään se tosiasia, että vaihtuvakorkoinen legi sisältää korkoriskiä liittyen ainoastaan ensimmäiseen kassavirtaan. Sen sijaan kaavan (16) mukainen kiinteä legi sisältää korkoriskiä liittyen jokaiseen kassavirtaan. Yhtälöiden (16) ja (17) avulla voidaan swapin arvo hetkellä t ratkaista SWAP(t, S 0,2i ) = P fixed P float = N n [ i=1 S 0,2i (t)p(t, T 2i )τ 2i + P(t, T 2n ) P(t, T 1 )(1 + r 0.5 (T 0 )τ 1 )P(t, T 1 )]. (18) Lähtöhetken swap-korkokäyrä ja sen diskonttaustekijät P(t, T i ) on laskettu lähtöhetken swap-koroista S 0,i (t). Siksi koko swap-sopimuksen arvo hetkellä t on nolla, eli yhtälöiden (16) ja (17) arvot yhtyvät. n 6. Markkina-arvoisen vastuuvelan korkoriskin eliminointi Tässä työssä tarkastellaan markkina-arvoisen vastuuvelan parhaan arvion korkoriskin suojaamista swap koronvaihtosopimuksilla. Markkina-arvoinen vastuuvelka määritellään Solvenssi II direktiivin mukaisen nk. parhaan arvion ja riskimarginaalin summana [5]. Koska riskimarginaali on henki- ja eläkevakuutuksen tyyppisissä vakuutuslajeissa hyvin pieni verrattuna vastuuvelan parhaaseen arvioon, ei tässä työssä tarkastella riskimarginaalia [5,13]. Solvenssi II direktiivin mukaan korkoriski määritellään koko taseen markkina-arvon muutoksena huonoimmassa kahdesta eri skenaariosta, joissa toisessa korkokäyrä liikkuu ylöspäin ja toisessa alaspäin koronmuutoksen vastaten suuruudeltaan 0.5 %:n prosenttipistettä. Tässä työssä korkoriski määritellään kuitenkin Suomen työeläkevakuutusyhtiölain vakavaraisuusrajaa silmällä pitäen vastaamaan vastuuvelan ja sitä suojaavan portfolion tuottojen 2.5 %:n prosenttipistettä. Käytännössä vastuuvelan korkoriskin (lähes) täydellinen eliminointi tarkoittaa vastuuvelan kassavirtojen ja swap-sopimusten kiinteän legin kassavirtojen täydellistä yhteensovittamista. Näin ollen yhtälön (16) mukainen kiinteän legin arvonmuutoksiin sisältyvä korkoriski eliminoi täysin vastuuvelan korkoriskin, mutta vaihtuvan legin markkina-arvon mukaisen yhtälön (17) ensimmäiseen kassavirtaan jää hieman korkoriskiä. Työssä tehtiin yksinkertaistava oletus, jonka mukaan vastuuvelan kassavirrat olivat jokaisella lähtöhetkellä historiassa täsmälleen yhtä suuret. Vastuuvelkana on käytetty kuvitteellista mutta todellisen työeläkevakuutusyhtiön VIU-vastuiden (ks. kappale 3) vastuuvelkaa muistuttavia kassavirtoja 50 vuodeksi eteenpäin. Vastuuvelan kassavirtojen suuruus on vakio riippumatta markkinakoron laskentahetkestä, joten vastuita ei indeksöidä mitenkään. Vastuuvelan suuruus tenorin pituuden funktiona on esitetty kuvassa 1 eri historiallisilla lähtöhetkillä. Kuvasta nähdään, että vastuuvelan markkina-arvon suuruus on kasvanut tarkastellulla ajanjaksolla , johtuen yleisestä markkinakorkotason laskusta. Kassavirtojen yhteensovittaminen Korkoriskin eliminointi tehdään etsimällä sellaiset swap-sopimusten nimellisarvot, joilla vastuuvelan jokaisen kassavirran korkoriski eliminoituu täysin. Ideana tässä on se, että swappien nimellisarvon verran pääomaa on varattu alun perin vastuuvelan maksamiseen (esim. kassaan), ja näitä nimellisarvoja vastaten halutaan saada sellainen korko, että kassavirran maksuhetkellä summa on kasvanut täsmälleen lähtöhetken kassavirtojen suuruiseksi. Swap-sopimuksiin ei sitoudu itsessään pääomaa nimellisarvoa vastaavaa määrää toisin kuin bondeilla. Siksi nimellisarvoa vastaavan määrän voidaan ajatella olevan talletettuna kassaan tai vaihtoehtoisesti sijoitettuna muihin omaisuusluokkiin. Korkoriskin voi ajatella riippuvan vastuuvelan 1114 kassavirtojen diskonttokorosta. Vastuuvelan kassavirtoja nimittäin diskontataan lähtöhetkellä markkinakorolla (ks. kaava (21)), ja juuri lähtöhetken markkinakoron suuruisella korkotuotolla vastuuvelan kassavirtojen diskontattua nykyarvoa vastaavat talletukset kasvaisivat täsmälleen kassavirtojen suuruisiksi maksuhetkellä. Mikäli korkotuottoa saadaan vähemmän kuin lähtöhetken korkotaso on, lähtöhetken nimellisarvojen suuruiset talletukset eivät riitä kattamaan kassavirtoja. Kiinnittämällä korko swapsopimuksen avulla, saadaan korkotuotto täsmälleen halutun suuruiseksi. Mikäli vastuuvelka koostuisi ainoastaan yhdestä kassavirrasta hetkellä t = 1 vuosi, niin tällöin vuoden pituisen swap-sopimuksen kuponkimaksu hetkellä t = 1 vuotta olisi N 1 S 0,1. Lisäksi hetkellä t = 1 on kassaan talletettuna swapin nimellisarvon suuruinen summa N 1. Vaaditaan, että yhdessä kuponkimaksu ja nimellisarvon suuruinen pääoma muodostavat vastuuvelan kassavirran V 1, eli matemaattisesti esitettynä N 1 + N 1 S 0,1(0) = V 1. Yhtälön mukaan saadaan yhden vuoden pituisen swapin nimellisarvoksi N 1 = V 1 /(1 + S 0,1 (0)). Kassaan talletettavan nimellisarvon sijoittamista edelleen ei tässä työssä pohdita, vaan ainoastaan todetaan että kyseinen talletus voidaan tehdä, ja että vastuuvelan kassavirran arvo ei vuoden aikana muutu mihinkään (todellisuudessa esim. vanhuuseläkkeitä indeksoitaisiin i v -korotuksilla). Käytettään suojaukseen jokaisen kokonaislukuvuoden k = 1,, 50 swappeja. Tässä Bloombergista puuttuvat swap-noteeraukset lasketaan kaavalla (10). Swappien kiinteän legin kassavirtamatriisi S on sellainen, jossa jokaisella rivillä on aina yhden swapin kuponkikorko aladiagonaaleilla, sekä diagonaalilla swapin kuponkikorko lisättynä ykkösellä. Todellisuudessa diagonaalilla olevaa pääoman-arvon palautusta ei koskaan tapahdu, ja vastaava pääoma-arvon siirto sisältyy myös kelluvan legin kassavirtoihin, ks. kaava (17). Ainoastaan siis kelluvan ja kiinteän legin kuponkimaksut liikkuvat vakuutusyhtiön ja vastapuolen välillä puolivuosittain. Nimellisarvo tulee lisätä diagonaalille siksi, että korkoriski saadaan täysin eliminoiduksi (ks. esimerkki yllä). Formaalisti kiinteän legin kassavirtamatriisin aladiagonaali voidaan kirjoittaa S i,j = S i,0 + δ i,j, missä siis T i on i-vuoden pituisen swapin maturiteetti, ja S i,0 on lähtöhetkeä vastaava kuponkikorko maturiteetilla T i. Olkoon N = {N 1, N 2,, N 50 } ostettavien swappien nimellisarvovektori. Lisäksi olkoon V j, j = 1,,50, vastuuvelan kassavirtavektori, jossa sen V j on vuonna j erääntyvä korvausmeno. Tällöin täydellisessä suojauksessa tulee päteä S T N = V, (19) Koska neliöllinen matriisi S on positiividefiniitti, se on myös kääntyvä [9], ja yhtälö (19) voidaan ratkaista helposti N = (S T ) 1 V. (20) 1215 Kuva 1. Kuvassa on esitetty yhtälön (17) mukaan lasketut (tenori) swappien nimellisarvot eri laskentahetkillä ( ). Nimellisarvot ovat keskimäärin kasvaneet tarkastelujakson aikana johtuen siitä, että keskimääräinen korkotaso ja sitä kautta swap-sopimusten korot (=swap-sopimuksen kuponkikorko) on laskenut. Vastuuvelan ja suojaavan swap-portfolion korkoriskin määrittäminen Lasketaan päivittäisellä korkodatalla swapeista koostuvan portfolion arvonmuutos vuoden aikana kaavalla (9), sekä vastaavasti vastuuvelan arvonmuutos diskonttaamalla vastuuvelan kassavirrat 50 V(t) = i=1 V i P(t, T i ). (21) Tämä tehdään siten, että simulaation lähtöhetkinä käytetään välisiä ajanhetkiä. Lähtöhetkellä käytetään näin ollen toteutuneita markkinahintoja kyseisellä aikavälillä. Laskennan loppuhetkellä puolestaan käytetään aikavälin toteutuneita euroalueen swapkorkokäyriä ja vuotta aikaisemman lähtöhetken swap-korkoja. Kuvassa 2 näytetään edellä kuvatulla aikavälillä ja yhtälön (20) mukaisella portfoliolla lasketut yhdistetyt swap-portfolion ja vastuuvelan tuotto (punainen käyrä) sekä pelkkä vastuuvelan tuotto (sininen käyrä). Riskin mittarina käytetään jatkossa yhden vuoden Value-at-Risk lukua 2.5 %:n riskitasolla. Value-at-risk luku lasketaan tässä työssä aina ei-parametrisesti suoraan järjestämällä historiallisen tuottoaikasarjan tuotot suurusjärjestykseen, ja valitsemalla näistä haluttua prosenttipistettä vastaavan tuoton arvo. Mikäli tuottoaikasarjan suuruus on esimerkiksi 1000 skenaariota, niin VaR2.5% kertoo sen tuoton suuruuden, joka on 25.huonoin koko tuottoaikasarjasta. VaR2.5% -luku on parempi riskimittari kuin volatiliteetti, koska volatiliteetti kertoo vain keskimääräisestä tuottojen hajonnasta, kun taas VaR2.5% saa kiinni nimenomaan mahdollisimman epäsuotuisat skenaariot. Kahden ja puolen prosentin riskitaso puolestaan on luonnollinen valinta, koska se on tällöin yhtenevä työeläkeyhtiöiden vakavaraisuusrajan kanssa. Näin ollen, jos pelkän vastuuvelan VaR2.5 % pienenee yli 70 %, kun suojattavan kohteen kanssa huomioidaan suojaava korkojohdannainen, voidaan kyseinen korkojohdannainen luokitella riskiä pienentäväksi FIVAn määräys- ja 1316 ohjekokoelman mukaisesti [15]. Tehokkuuden mittarina puolestaan käytettiin nk. VaR-Sharpen lukua, eli vuoden odotettua tuottoa jaettuna sillä tappiolla, joka aiheutuu 2.5 %:n häntätapahtuman sattuessa vuoden kuluessa. Jatkossa odotetun tuoton ja vuoden VaR2.5 %:n erotusta, eli tappiota 2.5%:n häntätapahtuman sattuessa kutsutaan VaRiksi, ja yhden vuoden tuottoa suhteessa VaRiin puolestaan VaR- Sharpeksi. Formaalisti VaR-Sharpe määritellään seuraavasti: VaR Sharpe = Tuotto(1v) = Tuotto(1v) Tuotto(1v) VaR2.5%(1v) VaR, (22) missä VaR2.5 % on swap portfolion tuotto 2.5 %:n häntätapahtuman sattuessa vuoden aikana, ja nimittäjässä oleva odotetun tuoton ja VaR2.5 %:n erotus VaR kuvaa siis tappiota kyseisessä tapahtumassa. Maksimitappio suojaamattomassa tapauksessa on n. 2.54Mrd, ja swap-portfolion kanssa ainoastaan n. 246M. Pelkän vastuuvelan odotettu tuotto n. 627M, kun taas vastuuvelan ja swap-portfolion yhteinen odotettu tuotto on vain n. 165M. Erityisesti siis vastuuvelan ja swap-portfolion muodostaman kokonaisuuden realisoituva tuotto on rajattu hyvin pieneen marginaaliin, kun taas pelkällä vastuuvelalla sekä suuret voitot mutta ennen kaikkea erittäin merkittävät tappiot ovat mahdollisia. Edellä esitettyjen tulosten valossa VaR pienentyy n % täydellisessä suojauksessa. Portfolion maksimitappio sen sijaan pienentyy n %. Molemmissa tapauksissa edellä kuvattu MOKin mukainen 70 %:n suojaavuusvaatimus toteutuu [15]. Kuva 2a. Kuvassa on esitetty swap-portfolion tuotto sekä yhdistetty swap-portfolion ja vastuuvelan muodostaman salkun tuotto. Nähdään, että vastuuvelan korkoriski eliminoituu lähes täydellisesti. Tuoton estimaattorina käytetään tuottoaikasarjan keskiarvoa, kun taas VaRin estimaattorina käytetään edellä kuvattua ei-parametristä menetelmää. Tuoton odotusarvon virhe-estimaattorina voidaan pitää perustellusti otoskeskihajontaa. Sen sijaan ei-parametrisen VaRin virhe-estimaattori on hankalampi laskea. 1417 Jorion [10] arvioi VaRin laskennan otoskeskihajontaa (suhteessa otoskeskiarvoon) asymptoottisesti kaavalla: st. error(var)/var = α(1 α) Nf(VaR) 2, (22b) missä α on kysytty prosenttipiste, ja vastaavasti f(var) on jakauman todennäköisyystiheyden arvo VaRia vastaavan prosenttipisteen kohdalla. Kaava johtaa kuitenkin erittäin suuriin virheisiin jakauman äärimmäisissä hännissä, joista työssä ollaan kiinnostuneita. Toinen yleinen menetelmä VaRin keskihajonnan laskemiseen on nk. bootstrap-menetelmä [1], jossa alkuperäisestä datajoukosta luodaan yksinkertaista satunnaisotantaa takaisin palauttaen uusia riippumattomia datajoukkoja (satunnaisotannan bootsrap-menetelmää ei tule sekoittaa kappaleessa 5 esitettyyn korkokäyrän bootstrap-menetelmään). Näille joukoille voidaan kullekin laskea VaR (tai muu tunnusluku), ja edelleen VaRin otoskeskihajonta, jota käytetään arvioimaan menetelmän tarkkuutta. Bootstrap-menetelmässä tutkittavasta aineistosta X = (x 1, x 2,, x n ) poimitaan satunnaisesti bootsrapotos X = (x 1, x 2,, x n ). Bootsrap-otoksen koko on siis sama kuin aineiston havaintojen lukumäärä. Tällöin aineistossa vain kerran esiintyvät lukuarvot voivat esiintyä lukuisia kertoja bootstrap-otoksessa. Lisäksi bootstrap-otoksia muodostetaan lukuisia kertoja, ja jokaisesta bootstrap-otoksesta määritetään tutkittavan suureen (esim. VaR-luku) keskiarvo. Näin saaduista tutkitun suureen keskiarvoista lasketaan lopuksi keskihajonta. Ongelmana bootstrap-menetelmän käytössä on se, että työssä käytetty swap-portfolion yhden vuoden tuottoaikasarja on voimakkaasti korreloitunut, kuten kuvasta 2a ilmenee. Tällöin edellä kuvatussa menetelmässä taustalla oleva itsenäisesti ja riippumattomasti jakautuneiden havaintojen oletus ei toteudu. Bootstrap-menetelmästä on olemassa laajennuksia, joissa alkuperäisestä aikasarjasta poimitaan yksittäisten havaintojen sijasta tietyn kokoisia blokkeja (blokin pituus l kaupankäyntipäivää) satunnaisesti, ja edelleen bootstrap-aikasarja muodostetaan näistä blokeista (blokkien lukumäärä valitaan siten, että blokeista muodostuu alkuperäisen aikasarjan pituutta vastaavaa bootstrap-aikasarja) X = (x 1, x 2,, x n ) = (x u1, x u1 +1, x u1 +l,, x u2, x u2 +1,, x uk +l), missä k valitaan siten, että yhteensä saadaan alkuperäisen datan pituinen otos. Kirjallisuudessa on esitetty erilaisia menetelmiä sille, miten blokkien optimaalisen koon pystyy määrittämään. Nämä menetelmät ovat kuitenkin erittäin työläitä implementoitaviksi itsenäisesti, ja lisäksi niitä ei löydy valmiiksi implementoituina Matlabista eikä Excelistä [7,12]. Yksi tapa poistaa korrelaatiota olisi käyttää alkuperäiseen dataan autokorrelaatiorakenteen huomioon ottavaa AR(p)-prosessia, ja käyttää kyseisen menetelmän virhetermeille yksinkertaista takaisinotantaan perustuvaa bootstrap-menetelmää. AR(p) prosessi voidaan kuvata seuraavanlaisella yhtälöllä: 15 y t = φ 1 y t 1 + φ 2 y t φ p y t p + ε t, missä ε t ~iid. Yleisesti ottaen AR-prosessin astelukua ei tiedetä etukäteen, vaan aikasarjaan sovitetaan eri asteluvun ARprosesseja lähtien liikkeelle arvosta p=1. Tämän jälkeen virhetermeille tai virheiden neliöille tehdään esimerkiksi Ljung-Box testi, joka testaa aikasarjan autokorreloimattomuutta. Mikäli testi antaa negatiivisen tuloksen, kasvatetaan p:n arvoa yhdellä ja toistetaan mallin rakennus. Mikäli puolestaan testin mukaan virheet ovat korreloimattomia, niin siinä tapauksessa mallin rakentaminen lopetetaan, ja ollaan löydetty aikasarjan AR(p)-prosessin kertoimet. Kuvassa 2b on esitetty AR(1)-prosessin residuaalit vastuuvelan tuottojen aikasarjalle. Ljung-Box testin mukaan hypoteesi residuaalien aikakorreloituneisuudesta hylätään P-arvolla 11.9 % (merkitsevyystaso 5 %), eli kyseessä saattaa olla AR(1)-prosessi. Sen sijaan vastuuvelan ja swap-portfolion muodostaman portfolion AR(1)-prosessin residuaalien virhetermi on merkittävästi aikakorreloitunut, ja Ljung-Box testi hylkääkin nollahypoteesin P-arvolla 0.0 %. Lisäksi vastuuvelan tuottoaikasarjan virheiden neliöiden Ljung- Box testi hylkää neliöllisten virheiden aikakorreloimattomuushypoteesin P-arvolla 0.0 %. Tämä ennakoi18 sitä, että AR(1)-prosessien virhetermit ovat heteroskedastisia ja saattavat noudattaa jotain GARCH(k,q)- prosessia. Kun vastuutuottojoen residuaaleille tehdään heteroskedastisuutta testaava Engelin ARCH-testi, saadaan tulokseksi P-arvolla 0.0%, että virhetermit ovat heteroskedastisia. Siten pelkkä AR(1)-bootstrap menetelmä ei myöskään johtaisi kovin luotettaviin tuloksiin. Kuvassa 2c on esitetty neliöidyt residuaalit, jotka heti paljastavat volatiliteetin heteroskedastisuuden. Kuriositeettina mainittakoon se, että ennen finanssikriisiä muodostetun vastuuvelan tuottodatan AR(1)-residuaalien Ljung-Box testi ei hylkää oletusta datan autokorreloimattomuudesta. Kuvat 2b ja 2c. Pelkän vastuuvelan vuosituottodatalle sovitetun AR(1)-mallin residuaalit kuvassa vasemmalla ja residuaalien neliöt oikealla. Nähdään, että finanssikriisin jälkeisenä aikana virheet ovat selvästi korreloituneita, ja siten heteroskedastiset mallit saattaisivat kuvata tuottodataa paremmin. Lisäksi virheiden absoluuttinen suuruus on hieman kasvanut. Hiljattain tehdyssä tutkielmassa Loois toteaa, että rullaavalla datalla muodostetun mallin ennustamat vuosituotot kasvattavat VaR-tapahtumien todennäköisyyden jopa 7-kertaiseksi verrattuna puhtaisiin vuosituottoihin [13]. Loois arvioi osaketuottojen (MSCI World ja SP500) häntätapahtumien riskiä sekä AR(1) että random walk malleilla. Hän laskee ennusteet sekä puhtaalla vuosidatalla sekä puhtaasta vuosidatasta muodostetulla rullaavalla datalla (kuukasidata ja kvartaalidata). Tutkimus ei ota kuitenkaan kantaa siihen, että miten itse VaR-tapahtuman suuruus muuttuu käytettäessä rullaavaa tuottodataa puhtaan vuosituottodatan sijasta. Mikään edellä esitellyistä mallinnusmenetelmistä ei varsinaisesti tuntunut soveltuvan käytettyyn rullaavan vuosituottodatan käsittelyyn. Lisäksi edellä viitattuun tutkimukseen [13] perustuen rullaavan tuottoaikasarjan mallinnus vääristää häntätapahtumien todennäköisyyksiä, ja siten myös tekee häntätapahtumien virhe-estimaattoreista hyvin harhaisia. Näihin seikkoihin vedoten tässä työssä päädyttiin käyttämään vuosituottojen erotukselle yksinkertaisen satunnaisotannan bootstrap-menetelmää. Tämä menetelmä ei anna välttämättä kovinkaan tarkkaa arviota virheen todellisesta suuruudesta, mutta se on yksinkertainen ja valmiiksi implementoitu Matlabiin. Tässä työssä VaRin ja VaR-Sharpen estimointivirheiden arvioimiseen käytettiin Matlabin Bootstrap-funktiota Bootstrp. Kuvasta 2 nähdään, että verrattuna suojaamattomaan vastuuvelkaan swap-portfolion tapauksessa tappiopotentiaali (mitattuna VaRilla) on merkittävästi pienentynyt. Pelkän vastuuvelan VaR on n. 1.58Mrd (n. 17% vastuuvelasta), kun yhdistetyn vastuuvelan ja swap-portfolion VaR on ainoastaan 164M. Edellä mainitulla Bootstrap-menetelmällä [1] arvioiden VaR-estimaatin otoskeskihajonnaksi saadaan vastaavasti 39M (2.4% VaRin otoskeskiarvosta) pelkän vastuuvelan tapauksessa ja 3.4M (2.1% VaRin otoskeskiarvosta) vastuuvelan ja suojaavan swap-portfolion tapauksessa, ks. kuvat 3a ja 3b. Nähdään, että menetelmän antama VaRin estimointivirhe on melko pieni, joten VaRin estimaattoria voidaan pitää luotettavana. VaR-estimaattorin luotettavuuteen liittyen tutkittiin edellä esitettyä kaavaa VaRin estimointivirheen suuruudesta näytekoon funktiona. Kuvissa 3a ja 3b on esitetty Bootstrap-menetelmällä laskettu VaRin 1619 otoskeskihajonta jaettuna näytteestä estimoidulla VaRin otoskeskiarvolla historiadatan pituuden funktiona (Bootstrap otosten lukumäärä 1000). Vertailun vuoksi on esitetty otoskeskihajonnan asymptoottisen kaavan mukainen riippuvuus näytekoosta N. Nähdään, että erityisesti pelkän vastuuvelan arvonmuutoksen (kuva 3a) VaRin arvioinnissa virhe-estimaattorin 1/N 0.5 riippuvuus (22b) näyttäisi toimivan kohtuullisesti. Kuvassa 3c on tarkasteltu Bootstrap-otannalla lasketun VaR-Sharpen estimaattorin otoskeskiarvolla normitettua otoskeskihajontaa näytekoon N funktiona. Nähdään, että työssä käytetyillä N:n arvoilla (N = 2439) VaR-Sharpen estimointivirhe on pelkälle vastuuvelalle (ja samoin replikoivalle swap-portfoliolle) 3.5%, ja puolestaan vastuuvelan ja swap-portfolion muodostamalle kokonaisuudelle n. 2.4%. Kuvassa 3d on esitetty Bootstrap-poiminnalla muodostettu histogrammi VaR-Sharpeista (suhteessa VaR-Sharpen otoskeskiarvoon). Nähdään, että VaR-Sharpen arvot ovat piikittyneet lähelle otoskeskiarvoa. Kuvat 3a ja 3b. Kuvissa on arvioitu Bootstrap-menetelmällä (iid) poimittujen VaR-estimaattien (VaR) prosentuaalista otoskeskihajontaa (eng. st.error). Kuvassa 3a on pelkän vastuuvelan arvonmuutosten VaRin otoskeskihajonta jaettuna estimaattorin otoskeskiarvolla. Kuvassa 3b on puolestaan vastuuvelan ja suojaavan swap-portfolion muodostaman salkun arvonmuutosten VaRin otoskeskihajonta jaettuna estimaattorin otoskeskiarvolla. Vertailun vuoksi kuviin on liitetty teoreettinen 1/N sovite. Työssä käytetyllä näytekoon suuruudella N = 2439 vastuuvelan VaR-estimaattorin virhe on n. 2.4% ja vastuuvelan ja swap-portfolion kokonaisuuden VaRin estimointivirhe n. 2.1%. Kuva 3c ja 3d. Bootstrap-menetelmällä (iid) poimittujen VaR-Sharpe estimaattien prosentuaalinen otoskeskihajonta alkuperäisen datan otoskoon N suhteen. Nähdään, että työssä käytetyllä N:n arvolla (N = 2439) virhe on pelkän vastuuvelan tapauksessa n. 3.5%, ja puolestaan vastuuvelan ja swap-portfolion 1720 kokonaisuudelle hieman pienempi n. 2.4%. Oikealla Bootstrap-otannalla lasketun VaR-Sharpen jakauman (normitettu VaR-Sharpen otoskeskiarvolla) histogrammi. Jatkossa tässä työssä käytetään täsmälleen samaa historiallista swap-tuottodataa VaRin arviointiin. Tästä johtuen VaRin ja VaR-Sharpen estimointivirhettä ei enää lasketa joka strategialle erikseen. Sen sijaan virheenä käytetään samaa suhteellista virhettä kerrottuna kulloisellakin VaR-Sharpen arvolla, eli kuvan 3c mukaista arvoa 3.5%. Kuriositeettina voidaan mainita, että itse keskiarvon keskivirhe on samaa suuruusluokkaa kuin VaRin otoskeskihajonta, edellisessä tapauksessa n. 2.4% ja jälkimmäisessä 1%:n luokkaa. 7. Tuoton laskenta ja kaupankäyntistrategiat swap-tuottojen historiadatalla Tässä luvussa tutkitaan erilaisia kaupankäyntistrategioita swap-sopimuksilla, ja verrataan näitä tehokkuudessa Receiver swap - strategiaan, jossa ostetaan koko vastuuvelkaa suojaava Receiver swap portfolio. Liitteessä 1 on osoitettu, että realistisilla sijoitussalkun tuotto- ja korrelaatioparametreilla koko asset-portfolion tehokkuus maksimoituu sillä swap-portfoliolla, joka maksimoi swap-portfolion tehokkuuden. Siksi tässä kappaleessa tutkitaan yksistään swap-portfolion (ilman vastuuvelkaa) tehokkuutta erilaisilla kaupankäyntistrategioilla. Mikäli asiaa halutaan ajatella laajemmin koko salkun kannalta, voidaan menetellä seuraavasti. Ajatellaan ensin, että sijoittajalla on vastuuvelan suojaamisen jälkeen hallussaan sijoitussalkku, jonka yhden vuoden tuotto-odotus on R A ja riski VaR A. Oletetaan lisäksi, että kyseisen asset-salkun korrelaatio swap-portfolion kanssa on vakio ρ, ja että tämän vakion arvo ei riipu swap-portfoliolle valitusta sijoitusstrategiasta. Nyt voidaan valita asset-portfoliosta ja swap-portfoliosta sellainen kombinaatio, joka optimoi koko portfolion tehokkuuden VaR-Sharpen mielessä. Tämän jälkeen voidaan valita swap-strategioista se, joka maksimoi edellä kuvatun asset-salkun ja swap-portfolion muodostaman salkun VaR-Sharpen. Liitteessä 1 on näytetty, että lähes kaikilla asset-salkun tuottoparametreilla koko portfolion VaR-Sharpe maksimoituu juuri samalla kaupankäyntistrategialla, kuin millä itse swap-portfolion VaR-Sharpe yksistään maksimoituu. Kuvassa 4 on esitetty se, miten swap-portfolion tuotot ja keskimääräisen swapin kuponkikorko (puhdas keskiarvo 50:stä eri swap-korosta) muuttuvat ajan funktiona. Selvästi suurimmat tappiot on realisoitu silloin, jos swap-sopimukset on tehty talouskuplien syntymisen yhteydessä, jolloin korot ovat nousseet voimakkaasti. Talouskuplien puhkeamisista mainittakoon finanssikriisi syksyllä 2008, Kreikan velkakriisi kevät-kesällä 2010 sekä velkakriisin tarttuminen Italiaan ja Espanjaan kesällä Kuvissa näkyvät tuotot on siis saavutettu siten, että kyseiset swap-sopimukset on sovittu täsmälleen yhtä business-vuotta kuvissa näkyviä arvostushetkiä aiemmin. 18 Näytä lisää
Korko riippuu usein laina-ajan pituudesta ja pitkille talletuksille maksetaan korkeampaa korkoa. Spot-korko s t on se korko, joka kertyy lainatulle pääomalle hetkeen t (=kokonaisluku) mennessä. Spot-korot Lisätiedot Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka
Solvenssi II:n markkinaehtoinen vastuuvelka Mikä on riskitön korko ja pääoman tuottovaatimus Suomen Aktuaariyhdistys 13.10.2008 Pasi Laaksonen Yleistä Mikäli vastuuvelka on ei-suojattavissa (non-hedgeable) Lisätiedot Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: 1 (qv (1, 1) + (1 q)v (0, 1)) V (s, T ) = C + F
Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan Lisätiedot Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 6. Swap -sopimukset
Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 6 Swap -sopimukset 1. Swapit eli vaihtosopimukset Swap -sopimus on kahden yrityksen välinen sopimus vaihtaa niiden saamat tai maksamat rahavirrat keskenään. Lisätiedot Vahinkovakuutuksen vakavaraisuusvalvonnan kehittämishaasteet: Vastuuvelan Best Estimaten laskeminen. Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous 26.4.
Vahinkovakuutuksen vakavaraisuusvalvonnan kehittämishaasteet: Vastuuvelan Best Estimaten laskeminen Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous 26.4.2007 Pasi Laaksonen Vastuuvelka Solvenssi II: kehikossa Vastuuvelka Lisätiedot Korkomarkkinoiden erityispiirteet
Mat-2.3114 Investointiteoria - Kotitehtävät Kotitehtäviä on yhteensä kahdeksan ja ne ratkeavat tavallisilla taulukkolaskentaohjelmistoilla. Jokaisesta kotitehtävistä saa maksimissaan 5 pistettä: 4p/oikea Lisätiedot r1 2 (1 0,02) 1 0,027556 (1 0, 0125) A250A0100 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset 21.4.2015 Futuuri, termiinit ja swapit
A50A000 Finanssi-investoinnit 6. harjoitukset.4.05 Futuuri, termiinit ja swapit Tehtävä 6. Mikä on kahden vuoden bonditermiinin käypä markkinahinta, kun kohdeetuutena on viitelaina, jonka nimellisarvo Lisätiedot Määräykset ja ohjeet 2/2012
Määräykset ja ohjeet 2/2012 Vastuuvelan suojaaminen, kirjanpito- ja Dnro FIVA 10/01.00/2011 Antopäivä 23.2.2012 Voimaantulopäivä 31.12.2011 FINANSSIVALVONTA puh. 010 831 51 faksi 010 831 5328 etunimi.sukunimi@finanssivalvonta.fi Lisätiedot Kansainvälinen rahatalous Matti Estola. Termiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa
Kansainvälinen rahatalous Matti Estola ermiinikurssit ja swapit valuuttariskien hallinnassa 1. Valuuttariskien suojauskeinot Rahoitusalan yritykset tekevät asiakkailleen valuuttojen välisiä termiinisopimuksia Lisätiedot Matalan korkotason vaikutus vakuutustoimintaan yhtiön näkökulma
Matalan korkotason vaikutus vakuutustoimintaan yhtiön näkökulma Markkinoista 20.3.2014 2 Eonia 20.3.2014 3 Regulaatio muokkaa markkinoita 20.3.2014 4 Tehokkaat markkinat fantasiaa? Täydellisen tehokkaita Lisätiedot Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 7 Swap sopimuksista lisää
Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 7 Swap sopimuksista lisää 1. Pankki swapin välittäjänä Yleensä 2 eri-rahoitusalan yritystä eivät tee swap sopimusta keskenään vaan pankin tai yleensäkin Lisätiedot HENKIVAKUUTUSYHTIÖIDEN VAKAVARAISUUSASEMAN ENNAKOIVA VALVONTAJÄRJESTELMÄ UUSI LAKIEHDOTUS. (odotettu voimaantulo 1.1.2008)
HENKIVAKUUTUSYHTIÖIDEN VAKAVARAISUUSASEMAN ENNAKOIVA VALVONTAJÄRJESTELMÄ Suomen Aktuaariyhdistys 15.5.2007 Raoul Berglund raoul.berglund@vakuutusvalvonta.fi - UUSI LAKIEHDOTUS (odotettu voimaantulo 1.1.2008) Lisätiedot 25.9.2008 klo 9-15. 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen.
SHV-tutkinto Vakavaraisuus 25.9.28 klo 9-15 1(5) 1. Selvitä vakuutustekniseen vastuuvelkaan liittyvät riskit ja niiltä suojautuminen. (1p) 2. Henkivakuutusyhtiö Huolekas harjoittaa vapaaehtoista henkivakuutustoimintaa Lisätiedot Ilmarinen 1.1. - 30.6.2007
Ilmarinen 1.1. - 30.6.2007 1 1.1. - 30.6.2007 1.1. - 30.6.2006 1.1. - 31.12.2006 Vakuutusmaksutulo, milj. euroa 1 365,0 1 360,0 2 652,6 Sijoitustoiminnan nettotuotto käyvin arvoin, milj. euroa 1 245,1 Lisätiedot Sijoitustodistuksen nykyinen markkinahinta: euroa. Jos viitekorko laskee 0,5 %-yksikköä, uusi markkinahinta: euroa
AB30A0101 Finanssi-investoinnit 4. harjoitukset 7.4.015 Tehtävä 4.1 45 päivän kuluttua erääntyvälle, nimellisarvoltaan 100 000 euron sijoitustodistukselle maksettava vuosikorko on 3,0 %. Jos viitekorko Lisätiedot PIENSIJOITTAJAN PERUSKURSSI HENRI HUOVINEN henri.huovinen.1@gmail.com
PIENSIJOITTAJAN PERUSKURSSI HENRI HUOVINEN henri.huovinen.1@gmail.com Korkosijoitusten analysointi Korkosijoituksiin luokitellaan mm. pankkitalletukset, rahamarkkinasijoitukset, yrityslainat ja valtioiden Lisätiedot Veritas Eläkevakuutuksen tuloskatsaus 1 9/2009
Veritas Eläkevakuutuksen tuloskatsaus 1 9/2009 Ajattelemme eteenpäin Kausi 1.1.-30.9.2009 lyhyesti Yhtiön maksutulo kasvoi lähes 9 % verrattuna viime vuoden vastaavaan ajanjaksoon Sijoitusten tuotto oli Lisätiedot KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN
00 N:o 22 LIITE KAUPANKÄYNTIVARASTON POSITIORISKIN LASKEMINEN. Positioriskin laskemisessa käytettävät määritelmät Tässä liitteessä tarkoitetaan: arvopaperin nettopositiolla samanlajisen arvopaperin pitkien Lisätiedot Veritas Eläkevakuutus Tuloskatsaus 2014
Veritas Eläkevakuutus Tuloskatsaus 2014 Vakuutusliike Vakuutusliike - avainluvut 2014 2013 % Vakuutusmaksutulo, milj. 470,2 452,8 3,9 Maksetut eläkkeet ja muut korvaukset, milj. 1) 454,8 432,0 5,3 TyEL-palkkasumma, Lisätiedot TELA/Laskuperustejaos 16.10.2014 TYEL:N MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEIDEN PERUSTELUT
TYEL:N MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEIDEN PERUSTELUT 1. Vuoden 2015 vakuutusmaksu 1.1. Vuoden 2015 vakuutusmaksun rakenne Vuoden 2015 maksutasoa määrättäessä on käytetty seuraavia taloudellisia Lisätiedot Veritas Eläkevakuutuksen tuloskatsaus v. 2013
Veritas Eläkevakuutuksen tuloskatsaus v. 2013 Vakuutusliike Vakuutusliike avainluvut 2013 2012 % Vakuutusmaksutulo, milj. 452,8 458,2-1,2 Maksetut eläkkeet ja muut korvaukset, milj. 1) 432,0 402,8 7,3 Lisätiedot PIENSIJOITTAJAN PERUSKURSSI HENRI HUOVINEN
PIENSIJOITTAJAN PERUSKURSSI HENRI HUOVINEN Korkosijoituksiin luokitellaan mm. pankkitalletukset, rahamarkkinasijoitukset, yrityslainat ja valtioiden joukkolainat. Korkosijoitukset ovat yleensä osakkeita Lisätiedot Markkina- ja vastapuoliriski
Markkina- ja vastapuoliriski Aktuaariyhdistys 14.4.2010 Kai Niemi 4/23/10 / 1 Yleistä Perustuu pitkälti CEIOPS:n antamiin ehdotuksiin komissiolle 2. tason ohjeistuksesta Riskien vaikutus lasketaan delta-nav-periaatteella Lisätiedot Pankkitalletukset ja rahamarkkinasijoitukset. Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry
Pankkitalletukset ja rahamarkkinasijoitukset Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry Korkosijoitukset Korkosijoituksiin luokitellaan mm. pankkitalletukset, rahamarkkinasijoitukset, Lisätiedot Keskinäinen Työeläkevakuutusyhtiö Elo Tilinpäätös 31.12.2014
Keskinäinen Työeläkevakuutusyhtiö Elo Tilinpäätös 31.12.2014 Keskeiset tunnusluvut Pro forma 31.12.2014 31.12.2013 31.12.2013 Yhtiön koko Vakuutusmaksutulo, milj. e 3 022,9 1 602,7 2 929,0 Eläkkeensaajille Lisätiedot SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS THE ACTUARIAL SOCIETY OF FINLAND
112 SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS THE ACTUARIAL SOCIETY OF FINLAND WORKING PAPERS ISSN 0781-4410 SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS The Actuarial Society of Finland 112 Puranen, Anssi FED-mallin soveltaminen työeläkevakuutusyhtiöiden Lisätiedot Työkalut rahoitusriskien hallintaan käytännön ratkaisuja. Jukka Leppänen rahoituspäällikkö, johdannaiset
1 Työkalut rahoitusriskien hallintaan käytännön ratkaisuja Jukka Leppänen rahoituspäällikkö, johdannaiset KORKORISKI KOKONAISKORKO = Markkinakorko Marginaali Muut kulut Markkinakorko Markkinakorko aiheuttaa Lisätiedot TULOSKATSAUS 1.1.-31.12.2005. Veritas-ryhmä. Ennakkotiedot
TULOSKATSAUS 1.1.-31.12.2005 Veritas-ryhmä Ennakkotiedot Veritas-ryhmä AVAINLUVUT 2005 2004 % Vakuutusmaksutulo, milj. 427,8 397,2 7,7 Sijoitustoiminnan nettotuotot, käyvin arvoin, milj. 219,2 155,8 40,7 Lisätiedot Testejä suhdeasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman Lisätiedot Jatkuvat satunnaismuuttujat
Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään Lisätiedot Todellinen vuosikorko. Efektiivinen/sisäinen korkokanta. Huomioitavaa
Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko. Lisätiedot Määräykset ja ohjeet 4/2011
Määräykset ja ohjeet 4/2011 Asuntoluoton ennenaikaisesta takaisinmaksusta perittävän enimmäiskorvauksen laskentaan käytettävät Dnro FIVA 9/01.00/2011 Antopäivä 15.12.2011 Voimaantulopäivä 31.3.2012 FIASSIVALVOTA Lisätiedot Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi
Harjoitus 9: Excel - Tilastollinen analyysi Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt Syksy 2006 Mat-2.2107 Sovelletun matematiikan tietokonetyöt 1 Harjoituksen aiheita Tutustuminen regressioanalyysiin Lisätiedot a) 3500000 (1, 0735) 8 6172831, 68. b) Korkojaksoa vastaava nettokorkokanta on
Rahoitusmuodot HUOM. Tässä esitetään vain teoriaa ja joitakin esimerkkejä. Enemmän esimerkkejä ja laskuja löytyy ratkaistuina EXCEL-tiedostosta "Rahoitusmuodot - laskut ja esimerkit", joka on MOODLESSA Lisätiedot VAKUUTUSYHTIÖIDEN VAKAVARAISUUS 30.9.2004
LEHDISTÖTIEDOTE 11/04 1 (5) 3.12.2004 VAKUUTUSYHTIÖIDEN VAKAVARAISUUS 30.9.2004 Vakuutusyhtiöiden yhteenlaskettu vakavaraisuus vahvistui kuluvan vuoden tammi- syyskuussa. Vahinkovakuutusyhtiöiden yhteenlaskettu Lisätiedot SELVITYS KOHTUUSPERIAATTEEN TOTEUTUMISESTA VUONNA 2015
SELVITYS KOHTUUSPERIAATTEEN TOTEUTUMISESTA VUONNA 2015 Lisäetutavoitteet n tavoitteena on antaa ylijäämän jakoon oikeutettujen vakuutusten vakuutussäästöille pitkällä aikavälillä vähintään riskittömän Lisätiedot Vahinkovakuutuksen vakavaraisuusvalvonnan kehittämishaasteet : tasoitusvastuu
1 Vahinkovakuutuksen vakavaraisuusvalvonnan kehittämishaasteet : tasoitusvastuu Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous 26.4.2007 Markku Miettinen 2 Esityksen sisältö Taustaa tasoitusvastuujärjestelmästä ja Lisätiedot Puolivuosikatsaus 2011. Eläke-Tapiola. Puolivuosikatsaus 2011. Tilintarkastamaton
Eläke-Tapiola Tilintarkastamaton Tunnusluvut Tiivistelmä tunnusluvuista 1-6/2011 1-6/2010 1-12/2010 Yhtiön koko Vakuutusmaksutulo Milj. euroa 758,5 717,5 1 425,7 Maksutulon muutos % 5,7 0,3 2,7 Vastuuvelka Lisätiedot laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä eläkevakuutuksia, kapitalisaatiosopimuksia sekä sairauskuluvakuutuksia.
SHV - TUTKINTO Vakavaraisuus 30.9.2010 klo 9-15 1(6) 1. Henkivakuutusosakeyhtiö Tuoni myöntää yksilöllisiä henkivakuutuksia (sijoitussidonnaisia, laskuperustekorkoisia ja ns. riskihenkivakuutuksia), yksilöllisiä Lisätiedot jälkeen Return on Knowledge Arvopaperin Rahapäivä, 16. syyskuuta 2009 Finlandia-talo Aku Leijala Sampo Rahastoyhtiö Oy
Rahastojen tuottonäkymät finanssikriisin jälkeen Arvopaperin Rahapäivä, 16. syyskuuta 2009 Finlandia-talo Aku Leijala Sampo Rahastoyhtiö Oy Return on Knowledge Houkuttelevat vaihtoehdot eri markkinatilanteisiin. Lisätiedot 1. Lakisääteistä työeläkevakuutusta harjoittavan yhtiön tilivuoden 2010 tase on esitetty seuraavassa: TASE 31.12.2010 (1000 )
1. Lakisääteistä työeläkevakuutusta harjoittavan yhtiön tilivuoden 2010 tase on esitetty seuraavassa: TASE 31.12.2010 (1000 ) VASTAAVAA Aineettomat hyödykkeet Muut pitkävaikutteiset menot 70,9 Sijoitukset Lisätiedot Korkojen aikarakenne
Korkojen aikarakenne opetusnäyte: osa kuvitteellista Raha- ja pankkiteorian aineopintojen kurssia Antti Ripatti Taloustiede 4.11.2011 Antti Ripatti (Taloustiede) Korkojen aikarakenne 4.11.2011 1 / 30 2003), Lisätiedot Projektin arvon määritys
Projektin arvon määritys Luku 6, s. 175-186 Optimointiopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Tehtävä Johdetaan menetelmä projektiin oikeuttavan option määrittämiseksi kohde-etuuden hinnan P perusteella projektin Lisätiedot Osavuosikatsaus 1.1.-30.6.2005. Veritas-ryhmä
Veritas Eläkevakuutuksen osavuositulos 1 6/2011 Vakuutusliike Ajattelemme eteenpäin Vakuutusliike - avainluvut 1 6/2011 1 6/2010 2010 Vakuutusmaksutulo, milj. 207,4 187,5 380,4 TyEL-palkkasumma, milj. Lisätiedot Matemaatikkona vakuutusyhtiössä. Sari Ropponen Suomen Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous 27.10.2014 Kumpulan kampus
Matemaatikkona vakuutusyhtiössä Sari Ropponen Suomen Aktuaariyhdistyksen kuukausikokous 27.10.2014 Kumpulan kampus Miksi vakuutusmatemaatikoilla on töitä Vakuutusyhtiölaki (2008/521) 6. luku Vakuutusyhtiössä Lisätiedot 8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia
8. Vertailuperiaatteita ja johdannaisia 1. Hyötyfunktio Nykyarvo ei mittaa riskiasennetta, joka vaikuttaa valintakäyttäytymiseen (minkä investointivaihtoehdon valitset?). Esim. Kumpi seuraavista vaihtoehdoista Lisätiedot VAKUUTUSYHTIÖIDEN VAKAVARAISUUS 31.3.2007
LEHDISTÖTIEDOTE 4/2007 1 (6) 8.6.2007 VAKUUTUSYHTIÖIDEN VAKAVARAISUUS 31.3.2007 Vakuutusyhtiöiden vakavaraisuus kehittyi suotuisasti vuoden ensimmäisellä neljänneksellä. Vahinkovakuutusyhtiöiden yhteenlaskettu Lisätiedot r = 0.221 n = 121 Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit.
A. r = 0. n = Tilastollista testausta varten määritetään aluksi hypoteesit. H 0 : Korrelaatiokerroin on nolla. H : Korrelaatiokerroin on nollasta poikkeava. Tarkastetaan oletukset: - Kirjoittavat väittävät Lisätiedot Selvitys vakuutussäästöille annetuista kokonaishyvityksistä vuodelta 2014
Mandatum Life Selvitys vakuutussäästöille annetuista kokonaishyvityksistä vuodelta 2014 Suomi-yhtiöstä 30.12.2014 siirtyneen ryhmäeläkevakuutuskannan asiakashyvityksen vuodelta 2014 on päättänyt Suomi-yhtiö. Lisätiedot HENKIVAKUUTUKSEN VASTUUVELKA
HENKIVAKUUTUKSEN VASTUUVELKA Solvenssiseminaari 14.4.2010 Suomen Aktuaariyhdistys 14.4.2010 Henkivakuutuksen vastuuvelka / PS 1 VAIHE Esitykseni perustuu ensisijassa Komission luonnoksiin, mihin vastuuvelan Lisätiedot 1 Aritmeettiset ja geometriset jonot
1 Aritmeettiset ja geometriset jonot Johdatus Johdatteleva esimerkki 1 Kasvutulille talletetaan vuoden jokaisen kuukauden alussa tammikuusta alkaen 100 euroa. Tilin nettokorkokanta on 6%. Korko lisätään Lisätiedot diskonttaus ja summamerkintä, L6
diskonttaus ja summamerkintä, L6 1 Edellä aina laskettiin kasvanut pääoma alkupääoman ja koron perusteella. Seuraavaksi pohdimme käänteistä ongelmaa: Miten suuri tulee alkupääoman K 0 olla, jotta n jakson Lisätiedot SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS THE ACTUARIAL SOCIETY OF FINLAND
102 SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS THE ACTUARIAL SOCIETY OF FINLAND WORKING PAPERS ISSN 0781-4410 SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS The Actuarial Society of Finland 102 Saraste, Lauri Henkivakuutusyhtiön korkoriski, sen Lisätiedot SAMPO PANKKI KORKO-OBLIGAATIO 1609: KORKOKAULURI XV
Danske Bank Oyj, www.danskebank.ﬁ SAMPO PANKKI KORKO-OBLIGAATIO 1609: KORKOKAULURI XV Tietoa lainasta: Lainan liikkeeseenlaskija: Danske Bank Oyj Lainan ISIN-koodi: FI4000050000 KORKOKAULURI XV Viiden Lisätiedot 10 Liiketaloudellisia algoritmeja
218 Liiketaloudellisia algoritmeja 10 Liiketaloudellisia algoritmeja Tämä luku sisältää liiketaloudellisia laskelmia. Aiheita voi hyödyntää vaikkapa liiketalouden opetuksessa. 10.1 Investointien kannattavuuden Lisätiedot ILMARISEN OSAVUOSITULOS Q2 / 2012. Lehdistötilaisuus 23.8.2012 Toimitusjohtaja Harri Sailas
ILMARISEN OSAVUOSITULOS Q2 / 2012 Lehdistötilaisuus 23.8.2012 Toimitusjohtaja Harri Sailas KESKEISIÄ HAVAINTOJA ALKUVUODESTA 2012 Sijoitustuotto kohtuullinen, 3,3 prosenttia Pitkän aikavälin reaalituotto Lisätiedot OSAVUOSIKATSAUS 1 6/2015. Veritas Eläkevakuutus
OSAVUOSIKATSAUS 1 6/2015 Veritas Eläkevakuutus VAHVA TULOS ENSIMMÄISELTÄ VUOSIPUOLISKOLTA Tuotto 5,8 % Parhaiten tuottivat noteeratut osakkeet 13,3 % Vakavaraisuus 31,8 % TyEL-palkkasumma 1 618,6 milj. Lisätiedot Raha- ja rahoitusmarkkinoiden myllerrys Mistä oikein on kysymys?
Raha- ja rahoitusmarkkinoiden myllerrys Mistä oikein on kysymys? Jouni Timonen Rahamuseo 13.11.2007 1 Neljä pääkysymystä markkinoiden levottomuuksista Mitä vuoden 2007 elokuussa pintaan nousseet rahamarkkinoiden Lisätiedot Tasoitusmääräjärjestelmän sopeuttaminen solvenssi II ympäristöön
Eläkerahastot Pertti Honkanen 25.4.2010 1 Työeläkerahastot 31.12.2009 Yhteensä 124,9 mrd. Yhtiöt 78,9 mrd. Kassat ja säätiöt 6,6 mrd. MEK ja MELA 0,8 mrd. Julkinen sektori 39,4 mrd. Lähde: TELA Rahastot Lisätiedot Sijoittaisinko indeksilainaan, rahastoon tai sijoitussidonnaiseen vakuutukseen
Sijoittaisinko indeksilainaan, rahastoon tai sijoitussidonnaiseen vakuutukseen Rahamuseo 2.11.2010 2.11.2010 Tero Oikarinen ja Johanna Örndahl Esimerkkejä suorista sijoituksista Osakkeet Korot Hyödykkeet Lisätiedot 2.12.2005 1 (5) Vakuutusvalvontaviraston tietojen mukaan kaikki vakuutuslaitokset täyttävät lain asettamat toimintapääomavaatimukset.
LEHDISTÖTIEDOTE 5/2005 2.12.2005 1 (5) VAKUUTUSYHTIÖIDEN VAKAVARAISUUS 30.9.2005 Vakuutusyhtiöiden yhteenlaskettu vakavaraisuus vahvistui selvästi tammi-syyskuussa. Vahinkovakuutusyhtiöiden yhteenlaskettu Lisätiedot Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN
Aki Taanila AIKASARJAENNUSTAMINEN 26.4.2011 SISÄLLYS JOHDANTO... 1 1 AIKASARJA ILMAN SYSTEMAATTISTA VAIHTELUA... 2 1.1 Liukuvan keskiarvon menetelmä... 2 1.2 Eksponentiaalinen tasoitus... 3 2 AIKASARJASSA Lisätiedot Front Capital Parkki -sijoitusrahasto
Front Capital Parkki -sijoitusrahaston säännöt vahvistettiin Finanssivalvonnan toimesta 14.9.2009 ja rahasto aloitti sijoitustoiminnan 26.10.2009. Rahaston tavoitteena on matalalla riskillä sekä alhaisilla Lisätiedot 7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut
7. laskuharjoituskierros, vko 10, ratkaisut D1. a) Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y noudattavat kaksiulotteista normaalijakaumaa parametrein E(X) = 0, E(Y ) = 1, Var(X) = 1, Var(Y ) = 4 ja Cov(X, Lisätiedot SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS
109 SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS THE ACTUARIAL SOCIETY OF FINLAND WORKING PAPERS ISSN 0781-4410 SUOMEN AKTUAARIYHDISTYS The Actuarial Society of Finland 109 Vilska, Petri Coc-menetelmä vahinkovakuutusyhtiön Lisätiedot S-114.3812 Laskennallinen Neurotiede
S-114.381 Laskennallinen Neurotiede Projektityö 30.1.007 Heikki Hyyti 60451P Tehtävä 1: Virityskäyrästön laskeminen Luokitellaan neuroni ensin sen mukaan, miten se vastaa sinimuotoisiin syötteisiin. Syöte Lisätiedot Varman tilinpäätös 2014 12.2.2015
Varman tilinpäätös 2014 12.2.2015 Vahva vuosi, hyviä tuloksia 7,1 % Sijoitusten tuotto 40,0 mrd. Sijoitusten markkina-arvo 10,3 mrd., 34,0 % Vakavaraisuus 862 000 Suomalaisen eläketurva 4,3 mrd. Vakuutusmaksutulo Lisätiedot Distance to Default. Agenda. listaamattomien yritysten analysoinnissa 5.5.2009. Riku Nevalainen HSE 8.5.2009
Distance to Default Riku Nevalainen HSE 8.5.2009 Agenda 1. Distance to default malli osakemarkkinoilla 2. Osakemarkkinoiden informaation hyödyntäminen listaamattomien yritysten analysoinnissa 3. Moody Lisätiedot Black ja Scholes ilman Gaussia
Black ja Scholes ilman Gaussia Tommi Sottinen Vaasan yliopisto SMY:n vuosikokousesitelmä 19.3.2012 1 / 21 Johdanto Tarkastelemme johdannaisten, eli kansankielellä optioiden, hinnoittelua. Kuuluisin hinnoittelumalli Lisätiedot Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 8 Optioiden hinnoittelusta
Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola luento 8 Optioiden hinnoittelusta 1. Optioiden erilaiset kohde-etuudet 1.1. Osakeoptiot Yksi optio antaa yleensä oikeuden ostaa/myydä 1 kpl kohdeetuutena olevia Lisätiedot Markkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla
Markkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla Tutkimus Marraskuu 2005 *connectedthinking Sisällysluettelo Yhteenveto... 3 Yleistä... 3 Kyselytutkimuksen tulokset... 3 Markkinariskipreemio Suomen osakemarkkinoilla... Lisätiedot Joukkolainat sijoituskohteena. Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry
Henri Huovinen, analyytikko Osakesäästäjien Keskusliitto ry Korkosijoituksiin luokitellaan mm. pankkitalletukset, rahamarkkinasijoitukset, yrityslainat ja valtioiden joukkolainat. Korkosijoitukset ovat Lisätiedot Luotto- ja vastapuoliriski Basel 2 ja Solvenssi 2 kehikoissa
Luotto- ja vastapuoliriski Basel 2 ja Solvenssi 2 kehikoissa Aktuaariyhdistyksen kokous 13.12.2011 KEVA Pasi Laaksonen / Matti Tienari Vakuutusyhtiö vs. Pankki Vakuutusyhtiö Pankki Kiinteistöt Osakkeet Lisätiedot Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät. Osa 3: Tilastolliset testit. Tilastollinen testaus. TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Tilastollinen testaus TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Tilastolliset testit >> Tilastollinen testaus Tilastolliset hypoteesit Tilastolliset Lisätiedot Tunnusluvut ja analyysit
VS Eläkelaitoksen vakavaraisuusrajan laskeminen ja sijoitusten hajauttaminen VS-tiedonkeruussa kerätään vuosineljänneksittäin tietoa eläkelaitosten vakavaraisuusrajan laskemisesta ja sijoitusten hajauttamisesta. Lisätiedot Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto
Probabilistiset mallit (osa 2) Matemaattisen mallinnuksen kurssi Kevät 2002, luento 10, osa 2 Jorma Merikoski Tampereen yliopisto Esimerkki Tarkastelemme ilmiötä I, joka on a) tiettyyn kauppaan tulee asiakkaita Lisätiedot RAHOITUSTARKASTUKSELLE TOIMITETTAVA NYKYARVOMENETELMÄN MUKAINEN KORKORISKILASKELMA
1 (7) RAHOITUSTARKASTUKSELLE TOIMITETTAVA NYKYARVOMENETELMÄN MUKAINEN KORKORISKILASKELMA 1 Nykyarvomenetelmän mukainen korkoriski 1.1 Standardimenetelmä Rahoitustarkastuksen standardiin RA4.5 liittyvään Lisätiedot Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely)
Monte Carlo -menetelmä optioiden hinnoittelussa (valmiin työn esittely) 17.09.2015 Ohjaaja: TkT Eeva Vilkkumaa Valvoja: Prof. Harri Ehtamo Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Lisätiedot Testit järjestysasteikollisille muuttujille
Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testit järjestysasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Testit järjestysasteikollisille muuttujille >> Järjestysasteikollisten Lisätiedot Vastuuvelan ja vakavaraisuusaseman markkinaherkkyyksien mallintaminen
Vastuuvelan ja vakavaraisuusaseman markkinaherkkyyksien mallintaminen proxy-malleilla SII-maailmassa Timo Salminen, Model IT Matias Leppisaari, Mandatum Life Esityksen sisältö Markkinaehtoinen tase & vastuuvelka Lisätiedot 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 Lisätiedot ILMARINEN TAMMI KESÄKUU 2015. Timo Ritakallio, toimitusjohtaja Lehdistötilaisuus 11.8.2015
ILMARINEN TAMMI KESÄKUU 2015 Timo Ritakallio, toimitusjohtaja Lehdistötilaisuus 11.8.2015 1 KESKEISIÄ HAVAINTOJA TOIMINTAYMPÄRISTÖSTÄ Tammi kesäkuu 2015 Sijoitusympäristö muuttui hyvin haastavaksi osakekurssien Lisätiedot Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä. Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012
Luentokalvoja tilastollisesta päättelystä Kalvot laatinut Aki Taanila Päivitetty 30.11.2012 Otanta Otantamenetelmiä Näyte Tilastollinen päättely Otantavirhe Otanta Tavoitteena edustava otos = perusjoukko Lisätiedot Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C.
Luku 1 Johdatteleva esimerkki Herra K. tarjoaa osto-option Aloitamme yksinkertaisella leluesimerkillä. Tarkastelemme yhtä osaketta S. Oletamme että tänään, hetkellä t = 0, osakkeen hinta on S 0 = 100=C. Lisätiedot Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit
Tilastollisen analyysin perusteet Luento 3: Epäparametriset tilastolliset testit s t ja t kahden Sisältö t ja t t ja t kahden kahden t ja t kahden t ja t Tällä luennolla käsitellään epäparametrisia eli Lisätiedot Lookthroughmenetelmää koskevat ohjeet
EIOPABoS14/171 FI Lookthroughmenetelmää koskevat ohjeet EIOPA Westhafen Tower, Westhafenplatz 1 60327 Frankfurt Germany Tel. + 49 6995111920; Fax. + 49 6995111919; email: info@eiopa.europa.eu site: https://eiopa.europa.eu/ Lisätiedot Perustelut laskuperustehakemukselle
Perustelut laskuperustehakemukselle Yrittäjien eläkekassa Oma asetettiin selvitystilaan huhtikuussa 2012. Eläkekassan toimintapääoman alhainen taso osoittautui esteeksi sille, että eläkekassan vakuutustoiminnan Lisätiedot Rahoitusriskit teoriassa - käytännön esimerkkejä. 8.5.2013 / Jarno Kosonen, osastonjohtaja, Kuntarahoitus Oyj
Rahoitusriskit teoriassa - käytännön esimerkkejä 8.5.2013 / Jarno Kosonen, osastonjohtaja, Kuntarahoitus Oyj Johdanto Mitä rahoitusriskit ovat? Miten Euroopan velkakriisi vaikuttaa meidän kuntamme toimintaan? Lisätiedot RAHA- JA PANKKITEORIA 31C00900, Harjoitukset 2/2015
RAHA- JA PANKKITEORIA 31C00900, Harjoitukset 2/2015 1. Valuuttakurssien korkopariteettiteoria Seuraavassa on todellista dataa Suomesta 1990-luvun alusta. Saksan 1 kk Suomen rahamarkk 1 kk inakorko korko Lisätiedot Nykyarvo ja investoinnit, L7
Nykyarvo ja investoinnit, L7 netto netto 1 Tarkastellaan tulovirtaa, joka kestää n jakson ajana, ja jossa jakson j lopussa kassaan tulee tulo k j. k n k 1 k 2 k 3 k 4 k 5 k 6... 0 1 2 3 4 5 6... n j netto Lisätiedot Syksyn 2007 sijoitusnäkymät Arvopaperilehti. 27.9.2007 Vesa Ollikainen
Syksyn 2007 sijoitusnäkymät Arvopaperilehti 27.9.2007 Vesa Ollikainen Osakkeissa jälleen parhaat tuotot 124 120 Euroopan osakkeet 116 112 108 Maailman osakkeet 104 Euro-rahamarkkina 100 Euro-valtionobligaatiot Lisätiedot Talousmatematiikka (3 op)
Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu Lisätiedot Rahoituksen hinnan määräytyminen yritysrahoituksessa
Rahoituksen hinnan määräytyminen yritysrahoituksessa Tommi Mattila Konttorinjohtaja, Hämeenlinnan yrityskonttori 23/10/2014 Talouden kehitys ja muutokset finanssimarkkinoilla nostavat pankkien kustannuksia Lisätiedot Hajauttamisen perusteet