Source: http://chodor-projekt.net/encyclopedia/imperfekcyjna-metoda-projektowania-konstrukcji/
Timestamp: 2019-04-19 14:20:10+00:00
Document Index: 58728789

Matched Legal Cases: ['art 2019', 'arta\n6', 'art 1', 'art 2', 'art 2', 'art 1', 'art 1', 'art 1']

Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji ⋆ Chodor-Projekt⋆Projekty budowlane
1.1 Cele i sposób podejścia
1.2 Pojęcia podstawowe. Smukłość pręta
1.3 Zadania Benchmark teorii drugiego rzędu
1.4 Klasyfikacja metod wymiarowania konstrukcji z imperfekcjami
1.4.1 Metoda HWEM (elementarna – historyczna)
1.4.2 Metoda WWEM (wydzielonych elementów ze znaną siłą krytyczną)
1.4.3 Metoda OWM (pełna ogólna)
1.4.4 Metoda IM (imperfekcyjna)
1.4.5 Uwaga do analizy wyboczeniowej LBA
3 Bibliografia całości podręcznika
3.1 Książki, Czasopisma, Internet
3.2 Normy, instrukcje i wytyczne
3.3 Programy komputerowe
3.3.1 Related Hasła
3.3.2 Podobne
Niniejszy artykuł jest 1 rozdziałem podręcznika Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji
Cykl artykułów jest w trakcie edycji i będzie publikowany odcinkami,począwszy od 2 kwietnia 2019 w cyklach tygodniowych
(start 2019-04-02) 1 rozdział : Imperfekcyjna metoda projektowania konstrukcji – Wersja 1.0 (2019-04-07) ZAKOŃCZONE
(2019-04-08) 2 rozdział: Imperfekcje i geneza metod imperfekcyjnych–Wersja 1.0 (2019-04-15) ZAKOŃCZONE
(2019-04-12) Dodatek A : Teoria losowych wartości ekstremalnych – –Wersja 1.0 2019-04-18) ZAKOŃCZONE
(2019-04-19) 3 rozdział: Imperfekcje w postanowieniach normowych (2019-04-15) W TRAKCIE
Do wszystkich tych typów konstrukcji (stalowe, żelbetowe, drewniane) stosuje się wspólną metodologię projektowania, prowadzącą do konkluzji, że uproszczone metody uwzględniania efektów drugiego rzędu, w tym stosowanie współczynników wyboczeniowych (redukcyjnych) są już historyczne !
Celem podręcznika jest przedstawienie współczesnej, imperfekcyjnej metody projektowania konstrukcji budowlanych, zaleconej do stosowania na platformie norm Eurokod. Zaprezentowano podstawy metody imperfekcyjnej w odmianach geometrycznych i alternatywnych imperfekcji oraz równoważnych, fikcyjnych obciążeń. Na podstawie wieloletniej praktyki projektowej oraz wielu symulacji numerycznych pokazano praktyczny i prosty algorytm inżynierski obliczania i projektowania konstrukcji rzeczywistych (obarczonych imperfekcjami) z uwzględnieniem nieliniowych efektów geometrycznych oraz wielorakich form niestateczności prętów (wyboczenia giętnego, skrętnego, bocznego – zwichrzenia oraz przeskoku węzłów).
Prezentowany w konkluzji podręcznika algorytm jest uogólnieniem alternatywnej metody geometrycznej wdrożonej przez [33] i szczegółowo przedstawionej w pracach [34], [35].
W podręczniku przedstawiono obszerne analizy numeryczne dla szeregu rodzajów konstrukcji, wykonane współczesnymi programami obliczeniowymi, a szczególnie (Consteel Software, 2019) w których zaimplementowano uogólniony element prętowy (cienkościenny element Własowa o siedmiu stopniach swobody z paczeniem i bimomentem).
Publikacja powstawała w latach 2017-2019 i była pierwotnie przygotowywana jako podręcznik dla wydawnictwa PWN. Zakończenie edycji zostało przerwane na początku 2018 roku na skutek wypadku i rekonwalescencji autora.
Bibliografia dotyczy całości podręcznika a na końcu każdego rozdziału zestawiono literaturę w nim cytowaną
Spis docelowych rozdziałów
1.4 Klasyfikacja metod projektowania konstrukcji z imperfekcjami
1.4.1 Metoda HWEM (wydzielonych elementów – historyczna)
1.4.3 Metoda OWM (ogólna)
1.4.4 Metody IM (imperfekcyjne)
2.1 Imperfekcje i ich źródła. Klasyfikacja imperfekcji
2.2 Imperfekcje projektowe z tolerancji wykonawczych
2.2.1 Koncepcja współczynnika imperfekcji
2.2.2 Przykłady wyznaczenia imperfekcji projektowych z tolerancji
2.3 Geneza metod imperfekcyjnych
2.3.1 Klasyczna teoria współczynnika wyboczeniowego Ayrton-Perry
2.3.1.1 Równanie Ayrton-Perry
2.3.1.2 Efekt P-δ
2.3.1.3 Wykres Southwella
2.3.1.4 Formuła Robertson
2.3.1.5 Współczynnik wyboczeniowy i krzywe wyboczeniowe
2.3.2 Krzywe wyboczeniowe w normach światowych na tle eksperymentów
2.4 Pręt poprzecznie zginany i ściskany
2.4.1 Klasyczna koncepcja osiowego zginania wydzielonego pręta
2.4.2 Osiowe zginanie pręta w konstrukcji statycznie niewyznaczalnej
2.5 Osiowe zginanie niesprężystych konstrukcji
2.5.1 Zakres ważności teorii Eulera i Perry-Robertson
2.5.2 Hipotezy przejścia z krzywej Eulera w prostą fy
2.6 Sprężysto-plastyczne zginanie osiowe
2.6.1 Klasyczne koncepcje Engesser-Karman
2.6.2 Hipoteza Rankine-Merchant
2.6.3 Koncepcja Shanley
2.6.4 Koncepcja Hutchinson
2.7 Alternatywna amplituda imperfekcji
2.7.1 Skalowanie pierwszej postaci wyboczenia sprężystego
2.7.2 Hipoteza Chladný
2.7.3 Hipoteza Papp dla zwichrzenia pręta
2.8 Probabilistyczna podejście do stateczności konstrukcji
2.8.1 Koncepcja Bj¢rhovde
2.8.2 Koncepcja Murzewskiego
Imperfekcje w postanowieniach normowych
3.1 Imperfekcje konstrukcji, a współczynniki bezpieczeństwa
3 Imperfekcje konstrukcji stalowych w Eurokod 3 [N20]
3.3 Imperfekcje konstrukcji aluminiowych w Eurokod 9 [N30]
3.4 Imperfekcje konstrukcji zespolonych w Eurokod 4 [N29]
3.5 Imperfekcje łuków w Eurokod 3-2[N27]
3.6 Alternatywny sposób uwzględniania zintegrowanych imperfekcji
3.7 Imperfekcje konstrukcji żelbetowych w Eurokod 2 [N18]
3.7.1 Imperfekcje przechyłowe
3.7.2 Imperfekcje łukowe
3.7.3 Metody wyznaczania sztywności betonu zbrojonego
3.7.3.1 Metoda nominalnej sztywności
3.7.3.2 Metoda nominalnej krzywizny
3.8 Imperfekcje konstrukcji wsporczych dźwignic wg [N28]
3. 9 Analiza układów usztywniających
3.9.1 Kryterium „dziesięć procent” wrażliwości konstrukcji
3.9.2 Stężenia konstrukcji stalowych
3.9.2.1 Stężenie połaciowe podłużne T2 .
3.9.2.2 Stężenie pionowe między wiązarami T3
3.9.2.3 Stężenie pionowe w linii słupów T4
3.9.2.4 Przykłady rachunkowe – stężenia hali stalowej
3.9.3 Układy usztywniające konstrukcji żelbetowych
3.9.3.1 Identyfikacja układów usztywniających
3.9.3.2 Kryterium uwzględniania efektów drugiego rzędu
3.9.3.3 Przykłady rachunkowe- żelbetowe układy usztywniające
3.9.4 Stężenia mostu łukowego
3.10 Podsumowanie. Imperfekcje w normach światowych
Metoda imperfekcyjna projektowania konstrukcji
4.1 Fundamentalne założenia metody IM
4.2 Systemowe imperfekcje geometryczne konstrukcji
4.2.1 Imperfekcje, a efekty P-Delta
4.3 Imperfekcje łukowe
4.3.1 Przekształcenie efektu P- δ w P-Δ
4.3.2 Imperfekcje łukowe, a fikcyjne obciążenia
4.3.3 Aproksymacja imperfekcji łukowych łańcuchem elementów
4.3.4 Efekty P-Delta, a stopień geometrycznej nieliniowości
4.3.4.1 Układ przesuwny
4.3.4.2 Układ nieprzesuwny
4.3.5 Oszacowanie imperfekcji łukowych w diagnostyce konstrukcji
4.3.6 Imperfekcje łukowe konstrukcji żelbetowych
4.3.7 Imperfekcje łukowe, a analiza LBA
4.4 Imperfekcje przechyłowe
4.4.2 Imperfekcje przechyłowe w ciągach poziomych
4.5 Imperfekcje sprężyste i plastyczne
4.6 Probabilistyczny, alternatywny opis imperfekcji
4.6.1 Rozkład łączny i rozkłady brzegowe imperfekcji geometrycznych
4.6.2 Weryfikacja hipotezy HRI o rozkładzie brzegowym imperfekcji
4.6.3 Współczynniki kombinacyjne obciążenia imperfekcjami
Uogólniona, imperfekcyjna metoda alternatywna
5.1 Przekrój sprawczy i jego lokalizacja
5.2 Oszacowanie alternatywnej amplitudy imperfekcji
5.2.1 Alternatywna sprężysta amplituda imperfekcji
5.2.2 Amplituda plastycznego ugięcia przed zniszczeniem plastycznym
6.1 Pręt prosty jednogałęziowy
6.1.1 Ściskana belka stalowa bocznie stężona
6.1.2 Wspornik stalowy
6.1.3 Słup żelbetowy międzykondygnacyjny
6.1.4 Słup żelbetowy hali
6.1.4.1 Przechyły i mimośrody słupa
6.1.5 Pręt zespolony
6.2 Pręt dwugałęziowy
6.2.1 Słup stalowy
6.3 Łuk
6.3.1 Łuk jednogałęziowy
6.3.2 Łuk dwudrożny
6.4 Rama z połączeniami podatnymi
6.4.1 Rama sprężyście utwierdzona
6.4.2 Rama z podatnym połączeniem prętów
6.5 Kopuła prętowa
6.5.1 Kratownica Misesa
6.5.2 Kopuła geodezyjna
6.6 Konstrukcja wsporcza dźwignic
6.6.1 Dźwignica podwieszona
6.6.2 Suwnica podparta
6.7 Wpływ stężeń połaciowych na niezawodność hali
6.8 Klasyfikacja podatności konstrukcji na imperfekcje
Konstrukcje zaprojektowane metodą imperfekcyjną
7.2 Przekrycie rusztem kratownicowym
7.3 Kopuła prętowa
7.4 Kopuła żebrowa
7.5 Struktura przestrzenna
7.6 Belka podsuwnicowa
7.7 Budynek żelbetowy z analizą pushover
Książki, Czasopisma, Internet
Wstępne niedoskonałości (imperfekcje) takie jak wstępne wygięcia i naprężenia resztkowe, są jednym z głównych powodów nieliniowego zachowania systemów i elementów konstrukcyjnych oraz mają znaczny wpływ na wytrzymałość i stateczność całego systemu. Imperfekcje mogą być szkodliwe lub korzystne zależnie od kształtu i wielkości odchyłek od kształtu idealnego. (np. (Kim, Lee, 2002) [88]), choć najczęściej istotnie zmniejszają wytrzymałość konstrukcji (np. (Chebl, Neale, 1984) [31], (Rossow, Barley, Lee, 1967) [126]).
W celu uwzględnienia wpływu imperfekcji na pracę konstrukcji stosowane jest wiele podejść, które można zakwalifikować do jednego z dwóch rodzajów, zależnie od sposobu uwzględnienia imperfekcji w modelu systemu konstrukcyjnego:
1. WM – metody wyboczeniowe, polegające na redukcji sztywności konstrukcji poprzez zastosowanie systemu współczynników wyboczeniowych. Zredukowane nośności elementów odnosi się do sił przekrojowych, uzyskanych z analizy 1 rzędu konstrukcji nominalnej (bez imperfekcji).
2. IM – metody imperfekcyjne, polegające na amplifikowaniu sił przekrojowych, które odnosi się do nominalnej wytrzymałości przekrojów (a nie elementów). Amplifikacja sił następuje podczas nieliniowych geometrycznie obliczeń na konstrukcji z wymuszonymi geometrycznymi imperfekcjami systemowymi.
Obliczenia nieliniowe powinny mieć drugi rząd dla układów nieprzesuwnych i być co najmniej trzeciego rzędu dla układów przesuwnych, choć w większości praktycznych przypadków wystarcza drugi rząd.
W metodach wyboczeniowych WM imperfekcje są uwzględniane w sposób pośredni poprzez współczynniki redukcyjne (wyboczeniowe), specyfikowane mieszanymi metodami eksperymentalno-analitycznymi. Funkcjonuje skomplikowany system kilkunastu współczynników wyboczeniowych i współczynników korelacji form wyboczenia. Metody wyboczeniowe prowadzą do akceptowanych przez inżynierów wyników przybliżonych,
W metodach imperfekcyjnych IM niedoskonałości systemowe są uwzględniane w sposób bezpośredni poprzez wymuszenie fikcyjnych imperfekcji geometrycznych lub obciążenie systemu fikcyjnymi siłami równoważnymi imperfekcjom geometrycznym. Odmiany metod imperfekcyjnych wynikają ze sposobu wyznaczania fikcyjnych wymuszeń imperfekcjami, w tym ze sposobu szacowania amplitudy imperfekcji geometrycznych. Metody imperfekcyjne są w zasadzie wolne od skomplikowanego systemu współczynników wyboczeniowych, a jednocześnie prowadzą do dokładniejszych wyników i z reguły bardziej ekonomicznych projektów, co jest szczególnie ważne w erze energooszczędności i zrównoważonego rozwoju oraz projektowania.
Metody Imperfekcyjne IM wymagają przeprowadzenia analizy geometrycznie nieliniowej (GNA) drugiego lub wyższego rzędu dla całego przestrzennego modelu konstrukcji. Analiza GNA będzie skuteczna, jeśli konstrukcja zostanie wytrącona z położenia równowagi prostej (przedbifurkacyjnej) do położenia równowagi odkształconej. W celu wytrącenia konstrukcji z położenia nominalnego obciąża się ją niewielkimi fikcyjnymi siłami poziomymi lub bezpośrednio wymusza zmianę geometria układu o niewielkie odchylenia od położenia nominalnego. Te niewielkie odchylenia geometryczne, to właśnie imperfekcje systemowe, a siły fikcyjne uzyskuje się poprzez zamianę kinematycznych warunków brzegowych na statyczne warunki brzegowe,co jest możliwe zgodnie z podstawowymi zasadami teorii sprężystości i plastyczności (np (Piechnik, 2007)).
Współczesna praktyka projektowania i metody imperfekcyjne są nierozerwalnie związane z rozwojem procedur numerycznych, a szczególnie z implementacją nowoczesnych teorii i metod obliczeń statycznych oraz wymiarowania elementów, których zastosowanie w tradycyjnych sposobach projektowania byłoby żmudne, a często wręcz niemożliwe.
Metody imperfekcyjne stały się dostępne do powszechnego stosowania w związku z zaimplementowaniem stosownych metod i sposobów postępowania w szeregu inżynierskich programach obliczeniowych, a przede wszystkim: Consteel+csJoint (Consteel Software, 2019) [P1], RFEM, RSTAB (Dlubal Software, 2019) [P2], SAP2000 (Computer and Strutures Inc, 2019) [P3] , SCIA (SCIA A Nemetschek Company, 2018) [P4], Sofistik (Sofistik, 2018) [P5].
Fundamentalne zasady metody imperfekcyjnej są wspólne dla podstawowych rodzajów konstrukcji budowlanych: metalowych (stalowych (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) [N20] i aluminiowych (PN-EN 1999-1-1, 2010) [N30]), zespolonych (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008) [N29], a także betonowych, żelbetowych i sprężonych (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008) [N18]. W niniejszym podręczniku uogólniono je na konstrukcje drewniane i murowe.
Autor od kilkunastu lat, czyli jeszcze przed wejściem w życie norm Eurokod, w licznych, ważnych projektach konstrukcji stalowych, żelbetowych i zespolonych zrealizowanych w Polsce i Europie, stosował metodę wymiarowania prezentowaną w pracy, a mianowicie metodę imperfekcyjną, polegająca na obciążeniu konstrukcji siłami równoważnymi od imperfekcji i prowadzeniu nieliniowej geometrycznie analizy statycznej, a następnie wymiarowaniu elementów w modelu przestrzennym konstrukcji, bez wydzielania prętów oraz bez stosowania współczynników wyboczeniowych (redukcyjnych). O poprawności metody świadczy to, że konstrukcje są użytkowane bezawaryjnie od wielu lat, a o skuteczności metody świadczy to, że konstrukcje zostały zaprojektowane tak optymalnie, że nie przynosiły efektów wielokrotne próby ich zoptymalizowania przez niezależnych ekspertów.
Z praktyki projektowej wynika, metody imperfekcyjne stanowią tak istotny przełom dla teorii i praktyki projektowania konstrukcji, że są wprowadzane do praktyki z ostrożnością, a wręcz oporem. Nadal powszechnie stosowana jest metoda współczynników wyboczeniowych, w której stosuje się pół-empiryczne formuły projektowe.
Wraz z rozwojem inżynierskich programów obliczeniowych coraz szerzej zaczyna być stosowane podejście ogólne OM, polegające na wyznaczeniu jednego współczynnika wyboczeniowego dla całego systemu na podstawie smukłości całego systemu, a nie dla wydzielonych prętów. Autor, nie poleca do stosowania praktycznego również tej metoda, mimo że jest dużo dokładniejsza od klasycznych metod wyboczeniowych.
W podręczniku polecane są metody imperfekcyjne IM, a przede wszystkim w wersji uogólnionej metody alternatywnej UAIM. Metody imperfekcyjne są szeroko omówione w niniejszym podręczniku i objaśnione na licznych przykładach..
Autor ma nadzieję, że niniejszy podręcznik spopularyzuje współczesną, imperfekcyjną metodę projektowania konstrukcji i przyczyni się do jej powszechnego stosowania w praktyce projektowej zamiast metod wyboczeniowych WM, w tym metody ogólnej OM.
Wiele ze stosowanych w podręczniku podejść można już znaleźć w normach konstrukcyjnych Eurokod 2,3,4,9 ( (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008) [N18], (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) [N20], (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008) [N29], (PN-EN 1999-1-1, 2010) [N30]).
Niniejsza publikacja powstała z myślą o rozwoju tych metod poprzez wprowadzenie kilku opryginalnych koncepcji i rozwiązań w szczególności uogólnionej metody alternatywnej UAM.
Niniejszy publikacja, przedstawiająca imperfekcyjną metodę projektowania konstrukcji powstała na bazie praktyki projektowej, symulacji komputerowych i obserwacji wielu zrealizowanych obiektów budowlanych. Publikacja jest edytowana od roku 2017, pierwotnie jako podręcznik dla wydawnictwa PWN, a zakończenie edycji zostało przerwane na początku roku 2018 na skutek wypadku i rekonwalescencji autora podręcznika.
Cele i sposób podejścia
Badania nad metodą imperfekcyjną IM prowadzone w tej pracy zmierzają w kierunku opisu problemów:
1. Zaprezentowanie metody analizy konstrukcji, umożliwiającej zautomatyzowany proces obliczeń, uwzględniający wielorakie, sprzężone formy utraty stateczności i korelacje między nimi bez stosowania skomplikowanego systemu normowych współczynników redukcyjnych (wyboczeniowych) przypisanych do wyodrębnianych form utraty stateczności, wraz z systemem współczynników korelacji form wyboczenia wydzielonych elementów,
2. Opisanie imperfekcji kształtem zniszczenia granicznego, wyznaczonym z warunku sprężystej niestateczności oraz zniszczenia plastycznego lub uogólnionych przegubów w konstrukcjach żelbetowych, zespolonych drewnianych i murowych.
3. Opisanie losowego charakteru imperfekcji i probabilistycznej alternatywy typów imperfekcji, a także mechanizmów zniszczenia konstrukcji: wyboczenia sprężystego i utworzenia mechanizmu plastycznego.
4. Zdefiniowanie klas wrażliwości konstrukcji i elementów konstrukcyjnych na lokalne (łukowe) imperfekcje geometryczne, których uwzględnienie w modelu konstrukcji i kombinacjach jest utrudnione.
Do rozwiązania postawionych zagadnień uogólniono imperfekcyjną metodę alternatywną poprzez wyznaczenie strzałki imperfekcji sprężysto-plastycznych. Prezentowane uogólnienie UAIM polega na ogarnięciu tą metodą:
1) wszystkich form utraty stateczności, możliwych do ujawnienia w numerycznym modelu konstrukcji, a także na
2) traktowaniu imperfekcji, jako „losowej sumy” imperfekcji przeskalowanej z postaci sprężystej utraty stateczności systemu oraz stowarzyszonej z postacią utraty nośności plastycznej. Losowe imperfekcje opisano rozkładem Gumbela maksimów, a alternatywę typów imperfekcji oraz mechanizmów zniszczenia potraktowano, jako losowe zdarzenie łączne niezależnych losowo zdarzeń brzegowych.
Do opisu losowego charakteru procesu utraty stateczności pręta spowodowany losowanymi imperfekcjami geometrycznymi (przechyłowymi) globalnymi oraz lokalnymi (łukowymi), a także losową interakcją (korelacją) rozmaitych mechanizmów zniszczenia (sprężystego, plastycznego, wyboczenia itd. – zastosowano koncepcję Bj¢rhovde rozszerzoną na oba typy imperfekcji: łukowe elementu i przechyłowe systemu oraz na obie ich natury: sprężystą i plastyczną.
W metodzie UAIM nie traktuje postaci sprężystej utraty stateczności systemu, jako ortodoksyjnych wzorców zintegrowanych imperfekcji systemu. Odejście od powszechnie stosowanej zasady doboru kształtu imperfekcji geometrycznych, pojawiających się na całości konstrukcji, bądź na długości analizowanego elementu w kształcie najbardziej niekorzystnej pod względem kształtu, zasięgu i kierunku postaci własnej wyboczenia sprężystego – nie oznacza, że nie należy prowadzić pomocniczej analizy LBA całego systemu.
Żądamy więcej: analizę LBA należy przeprowadzić iteracyjnie dla zmieniającego się stopniowo schematu konstrukcji w miarę pojawiania się nowych przegubów plastycznych w miejscach maksymalnej krzywizny (momentów zginających) uzyskanych w iteracji poprzedzającej analizy LBA. Uogólnioną sprawczą postacią sprężystej utraty stateczności systemu jest postać odpowiadająca najniższej wartości własnej (najmniejszemu mnożnikowi obciążeń) w granicznym schemacie konstrukcji. Graniczny, plastyczny schemat konstrukcji zostanie osiągnięty po ukształtowaniu się ostatniego przegubu plastycznego potrzebnego do uruchomienia mechanizmu plastycznego. Ponieważ w rzeczywistości przeguby plastyczne w stanie granicznym formują się jednocześnie (Chodor, 1986) [36], więc nie trzeba uwzględniać form utraty stateczności w schematach poprzedzających. Obliczenia iteracyjne są potrzebne wyłącznie do opisu stanu granicznego w procesie pushover (Chodor, Podstawka, 2009) [50].
Podstawowe założenie metody UAIM jest zgodne z szerokimi badaniami (Godoy, 1998) [69] i innych (np. (Babcock, 1974) [9], (Elishakoff, Arbocz, 1985) [60]). W pracach tych pokazano, że w sytuacjach rzeczywistych, „czyste” postacie wyboczenia sprężystego praktycznie nie realizują się lub realizują na statystycznie nieistotnym poziomie nawet przy wymaganym współczynniku niezawodności budynków i budowli β>3 (zgodnie z normą od kilkunastu lat, czyli jeszcze przed wejściem w życie norm Eurokod, (PN-EN 1990, 2004) N15]). Można to wykazać również teoretycznie po zastosowaniu podstawowych twierdzeń metody funkcji ważności, stosowanej w losowych symulacjach Monte Carlo (np. (Chodor, 2015) [41], (Chodor, 2015; Rolski, 2013)). To samo można wykazać stosując podejście (Shanley, 1947)[132], a nie (Ayrton, Perry, 1886) [8], to znaczy podejście niesprężyste, opisujące rzeczywistą utratę stateczności.
W ramach problemu czwartego zbadano zasadę (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 5.2.2(7)) [N20], zgodnie z którą w przypadku, gdy pewne imperfekcje elementu (łukowe) miarodajne przy wyboczeniu lub zwichrzeniu nie zostały całkowicie uwzględnione, to stateczność i wytrzymałość systemu należy sprawdzać dla wydzielonych elementów dla sił drugiego rzędu wyznaczonych przy wymuszeniu imperfekcji globalnych (przechyłowych), ale nie poziomie przekroju, tylko na poziomie elementu z użyciem współczynnika wyboczeniowego, wyznaczonego dla długości wyboczeniowej równej długości teoretycznej pręta wyodrębnionego.
Podstawowym sposobem stosowanym w pracy do rozwiązania problemów są symulacje numeryczne przedstawione na licznych przykładach rachunkowych, dotyczące szerokiej klasy konstrukcji spotykanych w praktyce. Nie analizowano konstrukcji powłokowych (PN-EN 1993-1-6, 2010) [N23], płytowych (PN-EN 1993-1-7 + AC+Ap1, 2008) [N24], blachownic (PN-EN 1993-1-5, 2008) [N22] i innych specjalnych. Konstrukcje te powinny być przedmiotem odrębnych monografii. Rozważono sytuacje, które nie zawierają wpływów pożaru oraz zmęczenia.
Pojęcia podstawowe. Smukłość pręta
Tradycyjną analizą, stosowaną w projektowaniu konstrukcji wrażliwych na efekty niestateczności jest analiza wyboczeniowa. W podejściu inżynierskim jest ona realizowana z użyciem współczynników wyboczeniowych (najczęściej wyboczenia giętnego lub bocznego – zwichrzenia). Istotę współczynnika wyboczeniowego $\chi$ dobrze oddaje jego nazwa angielska reduction factor, czyli współczynnik redukcyjny, bo określa on redukcję (zmniejszenie) nośności elementu $F_{Rb}$ w stosunku do nośności jego przekroju $F_R$ .
$$\begin{equation} \chi=\cfrac{F_{Rb}}{F_R} \label {1.1} \end{equation}$$
współczynnik ($\ref{1.1}$) uwzględnia efekty niestateczności elementu (wyboczenie giętne lub skrętne lub giętno-skrętne, w tym zwichrzenie) i jest nieliniową funkcją smukłości elementu, którą przed wejściem w życie norm europejskich, powszechnie wyliczano na podstawie arbitralnie przyjmowanych długości wyboczeniowych prętów. Eurokody wprowadziły ogólniejszą definicję smukłości względnej pręta, jako pierwiastek ze stosunku nośności przekroju do nośności krytycznej elementu. Definicja ta w zapisie obejmującym kilka przypadków wyboczenia (*=_, ,LT, T, TF) i klas przekrojów (•= 1, 2, 3, 4) jest następująca:
$$\begin{equation} \overline \lambda_* =\sqrt{\cfrac{F_{R•}}{F_{cr*}}} \label {1.2} \end{equation}$$
* indeks przypadków wyboczenia:
_ (spacja) – wyboczenie giętne, LT- zwichrzenie (wyboczenie boczne), T- wyboczenie skrętne, TF – wyboczenie giętno-skrętne
• indeks klasy przekroju: 1,2,3,4, które omówiono w artykule Klasy przekroju stalowego. Przekroje żelbetowe oraz zespolone (a także drewniane) rozpatruje się analogicznie jak przekroje stalowe klasy 3 (metodami teorii sprężystości), ale z uwzględnieniem nieliniowego zachowania betonu oraz wpływu czasu i pełzania na wytrzymałość drewna.
$F_{R•}$ – nośność sprężysta (po uplastycznieniu lub utracie wytrzymałości tylko jednego punktu przekroju) – mierzona siłą przekrojową F (siłą osiową N, lub momentem zginającym M, lub momentem skręcającym T, lub bimomentem Bω, itd.), odpowiednia dla klasy przekroju (•=1,2,3,4),
na przykład: $N_{R,1,2,3} = A \cdot f_y$, $N_{R4}= A_{eff} \cdot f_y$; $M_R= W_y \cdot f_y$ , itd.
$F_{cr*}$ – nośność krytyczna elementu przy niestateczności typu *.
Dla przypadku wyboczenia giętnego (*=_) smukłość ($\ref{1.2}$) wyraża się formułą
$$\begin{equation} \overline \lambda =\sqrt{\cfrac{N_{R}}{N_{cr}}} \label {1.3} \end{equation}$$
gdzie nośność przekroju na ściskanie $N_R=A \cdot f_y$ , ( A- pole przekroju, $f_y$ – wytrzymałość materiału – granica plastyczności dla stali), a $N_{cr}$ jest siłą krytyczną (Eulera), przy której element traci stateczność i wybacza się.
Dla przypadku wyboczenia bocznego (zwichrzenia) (*=LT):
$$\begin{equation} \overline \lambda_{LT} =\sqrt{\cfrac{M_{R}}{M_{cr}}} \label {la_LT} \end{equation}$$
gdzie nośność przekroju na zginanie $M_{R}=W\cdot f_y$, ( W – wskażnik wytrzymałości przekroju, f_y jak wyżej), a $M_{cr}$ jest zginającym momentem krytycznym (Własowa), przy której element traci stateczności prze utratę płaskiej postaci zginania (zwichrzenie).
Osiowa siła krytyczna $N_{cr}$ nazywana często siłą Eulera $N_E$ obliczana jest ze wzoru:
$$\begin{equation} N_{cr}= \cfrac{\pi^2 \cdot EI} {L^2_{cr}} \label {1.4} \end{equation}$$
Długość wyboczeniowa $L_{cr}$ jest nazywana często długością Eulera $L_E$ i w praktyce wyznacza się ją z zależności:
$$\begin{equation} L_{cr}= \mu \cdot L \label {1.5} \end{equation}$$
$\mu$ – współczynnik długości wyboczeniowej,
L- długość teoretyczna pręta.
Siła krytyczna ($\ref{1.4}$) opisuje wyboczenie giętne idealnie prostego pręta o długości L i momencie bezwładności przekroju I, ściskanego czystą siłą osiową N. Pręt wykonany jest z materiału idealnie sprężystego o module Younga E. Wartość obciążenia osiowego pręta ($\ref{1.4}$) pierwiastkiem równania różniczkowego pręta zginanego i ściskanego, które uzyskał Euler już w XVIII w. i oznacza siłę, przy której następuje bifurkacja (rozdwojenie) stanu równowagi pręta, to znaczy punkt na ścieżce równowagi. w którym pręt może przeskoczyć ze stanu równowagi prostoliniowej do stanu równowagi krzywoliniowej. Takie zjawisko nazwano wyboczeniem.
Wprowadzenie wzoru Eulera ($\ref{1.4}$) do formuły ($\ref{1.2}$) dla przypadku wyboczenia giętnego, umożliwia otrzymanie klasycznej, powszechnie stosowanej również dzisiaj, postaci wyrażenia na smukłość względną $\overline \lambda$ pręta ściskanego o smukłości $\lambda$ (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.50)):
$$\begin{equation} \overline \lambda = \cfrac {\lambda} {\lambda_1} \label {1.6} \end{equation}$$
bezwględna smukłość pręta
$$\begin{equation} \lambda = \cfrac{L_{cr}}{i} \cdot k_• \label {1.7} \end{equation}$$
smukłość porównawcza
$$\begin{equation} \lambda_1=\pi \sqrt{\cfrac{E}{f_y}}=93,9\cdot \varepsilon \label {lam_1} \end{equation}$$
$$\begin{equation} \varepsilon= \sqrt{\cfrac{235}{f_y}} \label {eps} \end{equation}$$
$L_{cr}$ wg ($\ref{1.5}$).
współczynnik klasy przekroju
$k_•$ =1 dla przekroju klasy (•=1,2 i 3) oraz $k_•=\sqrt{\cfrac {A_{eff}} {A}}$ dla przekroju klasy (• = 4).
W tym miejscu najczęściej prezentuje się kilka podstawowych schematów statycznych prętów i podaje dla nich współczynniki długości wyboczeniowej (rys.1). Nie powinniśmy tego robić, bo może to wprowadzić wiele zamieszania, na przykład przez doprowadzenie do przekonania, że maksymalna wartość współczynnika μ wynosi 2 (jak dla wspornika). Jest to szkodliwa informacja, bowiem faktycznie współczynnik długości wyboczeniowej μ pręta może być znacznie większy od 2 i przyjąć wartości z przedziału:
$$\begin{equation} 0,5 \le \mu \le \infty \label {1.8} \end{equation}$$
$\mu=0,5$ odpowiada schematowi pręta obustronnie idealnie utwierdzonego (o nieskończonych sztywnościach podpór w tym zamocowania) (Rys.1 d),
$\mu=1,0 $ opowiada prętowi podpartemu nieprzesuwnie i idealnie przegubowo na obu końcach (Rys.1 a),
$\mu=\infty$ dotyczy pręta obustronnie sprężyście podpartego w podporach o zerowych sztywnościach (czyli pręta swobodnie zawieszonego w przestrzeni) (Rys.1 g),
Rys.1. Bazowe postacie wyboczenia
(PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008, rys 5.7)
Następnie należy stwierdzić, ze rzeczywiste pręty ściskane (słupy) nie są idealne:
1) oś pręta nie jest prosta ze względu na imperfekcje geometryczne osi pręta,
2) przekrój pręta i parametry materiałowe nie są stałe po długości, ze względu na niedoskonałości hutnicze, wpływające na charakterystyki przekroju,
3) siła ściskająca nie jest idealnie stała po długości pręta, ale co ważniejsze ze względu na wstępne mimośrody przyłożenia do głowicy słupa – pręt w zasadzie od początku pracy jest
obciążony dodatkowymi momentami zginającymi.
W związku z tymi niedoskonałościami wzór Eulera ($\ref{1.4}$) nie powinien być bezkrytycznie stosowany w odniesieniu do pręta rzeczywistego. Wzór jest, bowiem słuszny wyłącznie dla innego jakościowo przypadku – dla ściskanego pręta idealnego. Wzór ten ma natomiast duże znaczenie poznawcze, w szczególności jako ważący przykład w teorii katastrof (Chodor, 2016) [203] , (Thom, Giorello, Morini, Duda, 1991) [142] oraz w opisie zjawiska wyboczenia i utraty stateczności układów idealnych w naukach podstawowych: matematyce, fizyce i mechanice, w szczególności do definiowania klasycznego współczynnika amplifikacji (wzmocnienia) $a_{N}$
$$\begin{equation} a_{N}= \cfrac {1}{1-\cfrac{1}{\alpha_{cr}}} \label {1.9} \end{equation}$$
$$\begin{equation} \alpha_{cr}= \cfrac {N_{cr}}{N} \label {1.10} \end{equation}$$
jest mnożnikiem siły osiowej w stosunku do siły krytycznej Eulera ($\ref{1.4}$) odpowiedniej dla , $L_{cr}=L$ .
Współczynnik amplifikacji ($\ref{1.9}$) określa wzmocnienie efektów (sił i przemieszczeń) w pręcie wskutek działania osiowej siły N ściskającej pręt. Przy zbliżaniu się do stanu krytycznego,mamy;
$$\begin{equation} lim_{N \to N_{cr}} = \infty \label {1.11} \end{equation}$$
Podczas zwiększania zewnętrznego obciążenia konstrukcji w konfiguracji $P$ proporcjonalnie do mnożnika Λ pod obciążeniem $P_{cr}=Λ_{cr} \cdot P$ nastąpi utrata stateczności konstrukcji. Konfiguracja obciążenia jest dowolna (siły skupione, rozłożone, termiczne,wymuszenia geometryczne) i oddziałuje na dowolnie złożoną konstrukcję. Zdefiniowany w pokazy sposób mnożnik
$$\begin{equation} Λ_{cr}=\cfrac{P_{cr}}{P} \label {1.12} \end{equation}$$
jest krytycznym mnożnikiem obciążenia, a efekty tych wymuszeń w stanie krytycznym mogą być często oszacowane przez przemnożenie przez współczynnik amplifikacji
$$\begin{equation} \alpha_{\Lambda} =\cfrac{1}{1-\Lambda_{cr}} \label {1.13} \end{equation}$$
uzyskany przy prezentacji formuły (2.33) (rozdział 2) . Należy zwrócić uwagę, że współczynnik $\alpha_{cr}$ ($\ref{1.10}$) jest odwrotnością mnożnika obciążenia $\Lambda_{cr}$ ($\ref{1.13}$
Przez analogię w innych stanach granicznych, będą definiowane odpowiednie mnożniki obciążenia, uznawane za nośność konstrukcji zgodnie z przyjętym kryterium stanu granicznego. Przykładowo w granicznym stanie plastycznym na skutek utworzenia wystarczającej liczby przegubów plastycznych uruchamia się mechanizm plastyczny pod obciążeniem z mnożnikiem
$$\begin{equation} \Lambda_{pl}= \cfrac{P}{P_{pl}} \label {1.14} \end{equation}$$
Interakcja nośności krytycznej oraz plastycznej definiuje nośność graniczną $\Lambda_{lim}$, którą można oszacować z prostej formuły Rankine-Merchant (Merchant, 1954) [107] sumowania odwrotności nośności
$$\begin{equation} \cfrac{1}{\Lambda_{lim}}= \cfrac{1}{\Lambda_{cr}} + \cfrac{1}{\Lambda_{pl }} \label {1.15} \end{equation}$$
$\Lambda_{lim}$ jest nośnością graniczną systemu konstrukcyjnego otrzymaną z warunku interakcji nośności krytycznej $\Lambda_{cr}$ i plastycznej $\Lambda_{pl}$.
Nośność sprężysta jest obserwowana przy utracie stateczności wskutek przekroczenia krytycznej siły Eulera ($ \ref {1.4}$)
$\Lambda_{cr} =N_{cr}=\cfrac{\pi^2 EI}{L^2_{cr}}=\cfrac{\pi^2 EA}{\lambda^2}$,
przy założeniu, że element o smukłości $\lambda ($\ref{1.7}$) jest wykonany z materiału idealnie sprężystego.
Nośność plastyczna $\Lambda_{pl}$ jest obserwowana po uruchomienia mechanizmu plastycznego wskutek utworzenia się wystarczającej liczby przegubów plastycznych przy założeniu, że konstrukcja jest wykonana z materiału idealnie sztywno-plastycznego (p. np. (Chodor, 2016) [44]).
Zauważmy, że pręt rzeczywisty nie ulegnie wyboczeniu, bo od początku pracy jest zginany, więc zgodnie z fundamentalną teorią, właściwa dla niego jest analiza drugiego rzędu, w której uwzględnia się wpływ skrócenia pręta, wywołanego siłą osiową na ugięcie, a więc również uwzględnia się zwiększenie momentów zginających od obciążeń poprzecznych poprzez siły osiowe działające na ugięciach. Takie spostrzeżenie jest jeszcze bardziej oczywiste w przypadku pręta ewidentnie zginanego obciążeniami zewnętrznymi, a nie tylko siłami imperfekcji. Wbrew temu faktowi, wynikającemu z podstawowych matematycznych modeli teoretycznych, dobrze potwierdzonych eksperymentalnie – dla pręta zginanego i ściskanego posługuje się nadal oszacowaniami sił krytycznych $N_{cr}$ uzyskanymi z analizy wyboczeniowej pręta idealnego.
Zadania Benchmark teorii drugiego rzędu
W podręczniku (Lumpe, Gensichen, 2014) przedstawiono klasyfikację metod drugiego rzędu na tle licznych przykładów obliczeń wykonanych programami S3D (Lumpe, 2011) oraz KSTAB (Kindmann, Laumann, 2007). Oba programy wykorzystują teorię dużych przemieszczeń i obrotów z uwzględnieniem przestrzennego zginania i skręcania. Programy są oprogramowaniem badawczym na Uczelniach i nie są komercyjnie dostępne. Zaliczono je do kategorii „Dokładne”.
Przykłady obliczeniowe, z pracy (Lumpe, Gensichen, 2014) [201] przedstawiono w Tab. 1.1 . Zestaw zadań z tego podręcznika jest obecnie uznany za testy wzorcowe (ang. benchmark) oprogramowania do testowania oprogramowania do konstrukcji wg teorii drugiego rzędu.
Tab. 1.1.Zadania Benchmark do testowania oprogramowania drugiego rzędu [201], (Machowiak, 2018) [202]
(opracowano na podstawie (Lumpe, Gensichen, 2014) )
W kolumnie (5) i (6) tab.1.1. przedstawiono wyniki testów dla dwóch programów: KSTAB (Kindmann, Laumann, 2007) i stosowanego w niniejszym podręczniku programu Consteel w programu Consteel w aktualne wówczas wersji 11 SP2 (Consteel, 2018). Z testów wynika, że jeśli program KSTAB zalicza się do dokładnych, to program Consteel należy zaliczyć do kategorii wyższej o rząd. Taki wniosek został przedstawiony w pracy (Machowiak, 2018) [202].
Z testów oprogramowania komercyjnego wynika, że większość zadań inżynierskich może wiarygodnie analizować zadania inżynierskie w ramach teorii II rzędu kategorii WS, ale zadania typu 2 (niesymetryczna kratownica Misesa na podporach sprężystych) oraz typu 5 (układ tensegrity) i typu 7 (zwichrzenie z siła normalną – cięgnami zamocowanymi w osi belki) a także typu 10 ( niestateczność przy bardzo dużych ugięciach) – wiarygodna jest wyłącznie teoria dużych przemieszczeń i obrotów.
W tym przypadku należy stosować programy naukowe,np np. (Consteel, 2018; Simulia, 2014) [P7].
Należy zwrócić uwagę, że omówione testy dotyczą konstrukcji prętowych z wyłączeniem cięgnowych. Z doświadczenia wynika, że do analizy konstrukcji cięgnowych, a szczególnie cięgnowo- membranowych należy stosować teorię minimum III rzędu, co zapewniają specjalizowane programy, np. [P8].
Klasyfikacja metod wymiarowania konstrukcji z imperfekcjami
Ze względów porządkujących już na wstępie dokonamy klasyfikacji metod wymiarowania konstrukcji, stosowanych w praktyce inżynierskiej z odniesieniem do procedur proponowanych w normach do projektowania konstrukcji żelbetowych, stalowych, zespolonych i aluminiowych (PN-EN 1992-1+AC+Ap 1,2,3, 2008) [N18], (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) N20], (PN-EN 1994-1-1+Ap1+AC, 2008) [N29], [N30] (PN-EN 1999-1-1, 2010).
Na rys.2 pokazano schemat klasyfikacyjny metod projektowania konstrukcji z uwzględnieniem metod imperfekcyjnych. Wśród dwóch grup metod wymiarowania konstrukcji:
WWEM – Wyboczeniowa elementów wydzielonych, polegająca nawyznaczeniu smukłości elementu w Pomocniczej analizy LBA (liniowa analiza wyboczeniowa), w której uzyskiwane są siły krytyczne elementów
Rys,2, Klasyfikacja metod imperfekcyjnych projektowania konstrukcji
Często stosuje się metodę HIM , w której imperfekcje przechyłowe uwzględnia się metodą obciążeniową QIM, natomiast imperfekcje łukowe elementu metodą HWEM na poziomie wydzielonego elementu, traktowanego jak pręt przegubowo- przegubowy, czyli jako zastępczy przypadek elementarny, dla którego długość efektywna $L_{cr}=L$.
Wydzielony element jest wymiarowany na siły drugiego rzędu, uzyskane w systemie obarczonym imperfekcjami globalnymi. Dobrze zilustrowano to w normie do projektowania konstrukcji aluminiowych – Rys. 3.4b.
W praktyce inżynierskiej od lat (niemalże od zawsze) stosuje się elementarną metodę wyboczeniową HWEM, w której smukłość pręta wyznaczano dla znanej długości wyboczeniowej z formuły ($\ref{1.6}$). Metoda jest już historyczna, choć nadal często stosowanaprzez projektantów.
Metodę HWEM ulepszono poprzez wyznaczanie sił krytycznych w prętach na podstawie analizy wyboczeniowej systemu prętów (całej konstrukcji) i obliczenie smukłości pręta bezpośrednio z formuły (1.3) bez używania wzoru Eulera ($\ref{1.4}$). Ten ulepszony sposób wyznaczania smukłości pręta nazwaliśmy metodą WWEM.
Kolejny krok w poprawie oszacowania wynika ze spostrzeżenia, że system konstrukcyjny charakteryzuje jeden mnożnik krytyczny i rozdział tego mnożnika na poszczególne elementy nie jest ściśle możliwy, a taki rozdział był wcześniej stosowany w metodzie WWEM.
Obecnie w nowoczesnych programach komputerowych (np. [M1], [M5]) jest stosowana metoda OWM nazwana w normie Eurokod, 3 jako „ogólna”, w której używany jest jeden globalny współczynnik niestateczności $\chi_{op}$ wyznaczony dla smukłości względnej $\lambda_{op}$ układu podatnego na utratę stateczności z płaszczyzny i zwichrzenie elementów wg (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 6.3.4(1do4)) [N20].
W niniejszej pracy prezentujemy i analizujemy metody imperfekcyjne IM wskazywane w (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl.5.2.2(3)a) [N20]. Metody IM są naturalnym i w istocie najprostszym sposobem projektowania i obliczania konstrukcji inżynierskich w procedurze wspomaganej komputerowo. Nie występują w niej bezpośrednio elementy klasycznych metod wyboczeniowych, (długości ani współczynniki wyboczeniowe). Metodę IM szczegółowo opiszemy w niniejszym podręczniku, a występuje ona w kilku wersjach wskazanych na początku rozdziału.
Szczególne miejsce będzie zajmowała geometryczna metoda alternatywna AIM, którą uogólnimy do metody UAIM. W metodzie alternatywnej uogólnionej modyfikowanie geometrii systemu należy dokonać poprzez wymuszenie przestrzennych, alternatywnych zajmowała geometryczna metoda alternatywna AIM, którą uogólnimy do metody UAIM. W metodzie alternatywnej uogólnionej modyfikowanie geometrii systemu należy dokonać poprzez wymuszenie przestrzennych, alternatywnych imperfekcji geometrycznych. Taka uogólniona imperfekcja jest właściwa dla utraty stateczności podług dowolnej formy wyboczenia: giętnego, bocznego, skrętnego, i miejscowego od zależności od typu stosowanych elementów skończonych w modelu numerycznym konstrukcji. Uogólniona imperfekcja alternatywna jest skorelowanym probabilistycznie kształtem wyboczenia sprężystego i zniszczenia plastycznego. Wprowadzona systematyka metod projektowania konstrukcji podatnych na efekty nieliniowe nie zmienia systematyki obliczeń statycznych wprowadzonych w normach (PN-EN 1993-1-6, 2010) [N23] oraz (PN-EN 1993-1-7 + AC+Ap1, 2008)[N24], a mianowicie:
LA – analiza liniowo sprężysta – w pracy zamiennie stosowana nazwa: teoria 1 rzędu
LBA – analiza sprężysta bifurkacyjna,
GNA – geometrycznie nieliniowa analiza sprężysta
GMNIA – geometrycznie i fizycznie nieliniowa analiza konstrukcji z imperfekcjami,
Przedstawiane w podręczniku metody należy w większości zaliczyć do GNIA, a w wersji
uogólnionej metody alternatywnej UAIM do metod GMNIA.
Zalecenia normowe pozostawiają możliwość klasycznego wymiarowania pręta na podstawie długości wyboczeniowych, ale w bardzo ograniczonym zakresie. Zgodnie z (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 5.2.2(3)c) [N20] dopuszcza się sprawdzenie wytrzymałości i stateczności elementówv wyłącznie poprzez indywidualne sprawdzenia stateczności elementów, przyjmującv odpowiednie długości wyboczeniowe ustalone dla globalnej utraty stateczności wg pkt 6.3.(PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 6.3) [N20], ale tylko w przypadkach elementarnych.
Zauważmy, że w praktyce przypadki elementarne właściwie nie występują. Przypadek elementarny będzie miał miejsce wyłącznie wówczas, gdy znana jest podatność i przesuwność węzłów pręta. Autor zna w zasadzie tylko jeden przypadek elementarny – słupa-wahacza, to znaczy takiego pręta ściskanego, dla którego uzasadnimy, że będzie zachowywał się jak pręt przegubowo-przegubowy (np. Rys. 1.1, a lub e). Należy zwrócić uwagę, że projektant powinien przedstawić uzasadnienie dlaczego występuje przypadek elementarny. Niedopuszczalne jest przyjęcie schematu wyboczeniowego pręta wydzielonego z konstrukcji bez uzasadnienia dotyczącego przesuwności i podatności jego węzłów. Przeprowadzenie wystarczającego dowodu jest zwykle trudne i czasowo porównywalne z bezpośrednim zastosowaniem bardziej dokładnych metod, więc od razu zalecamy zastosowanie metody WEM lub OWM, a najlepiej i najłatwiej jednej z metod IM. Metody IM mogą być bowiem automatycznie stosowane w pracy we współczesnych programów komputerowych (np. [M1]), w zasadzie bez szczegółowego zgłębiania problemu przez inżyniera i prowadzenia oszacowań sił lub momentów krytycznych.
Dla znanej smukłości względnej pręta $\overline \lambda_*$ ($\ref{1.1}$)
gdzie $(*= [_, LT, T, TF]$= [ wyboczenie, zwichrzenie,skrętne, giętno-skrętne]),
od dziesiątków lat współczynnik wyboczeniowy $\chi_*$ ($\ref{1.1}$) szacuje się podług teorii (Ayrton, Perry, 1886).
We współczesnych normach przyjmuje się, że nie nastąpi utrata stateczności elementów o małej smukłości mniejszej od smukłości progowej (Tylek, Kuchta, 2018) $\overline \lambda_{*,0}$:
$$\begin{equation} \overline \lambda \le \overline \lambda_{*,0} \end{equation}$$
$$\begin{equation} \overline \lambda_{*,0}= \label {lam_0} \begin {cases}
0,2 & \text { dla * =_ (wyboczenie giętne ) }\\
0,2 & \text { dla * =_LTo (zwichrzenie w przypadku ogólnym }\\
0,4 & \text { dla * =LTs (zwichrzenie w przypadku szczególnym }\\
gdzie wprowadzono rozróżnienie dwóch przypadków zwichrzenia na ogólne i szczególne , wyłącznie na potrzeby odróżnienia szczególnych alternatywnych formuł podanych w normie (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006) dla dwuteowników walcowanych lub ich spawanych odpowiedników (przypadek szczególny zwichrzenia).
Współczynnik wyboczenia ( w tym zwichrzenia w obu przypadkach ogólnym i szczególnym ) elementów o smukłości większej od progowej wyznacza się z analitycznej formuły:
$$\begin{equation} \chi_{*}=\cfrac{1}{\Phi_{*} +\sqrt{\Phi_{*}^2-\overline \lambda_{*}^2}} \text { lecz $ \chi_{*} \le 1$ }\label {chi_*} \end{equation}$$
$$\begin{equation} \Phi_{*}=1/2\cdot \left [ 1+ \alpha_{*} (\overline \lambda _{*} -\overline \lambda_{*,0})+\overline \lambda_{*}^2 \right ] \label {Phi_*} \end{equation}$$
W przypadku szczególnym zwichrzenia wartość współczynnika wyboczeniowego jest dodatkowo ograniczona od góry $\chi_{LTs} \le \cfrac{1}{\overline \lambda_{op}^2}$.
Parametr imperfekcji $\alpha_*$ zależy od rodzaju niestateczności (*) oraz typu przekroju pręta zgodnie z (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, tab 6.1 i 6.2 ) dla wyboczenia giętnego i skrętnego oraz wg tab. 1.2 dla przypadku zwichrzenia.
Tab. 1.2. Krzywe wyboczeniowe dla przypadku zwichrzenia dwuteowników i innych kształtowników stalowych)
Dla ustalonych krzywych wyboczeniowych parametr imperfekcji przyjmuje się go z tabeli 1.3.
Tab. 1.3. Parametry imperfekcji dla krzywych wyboczeniowych w podstawowych formach wyboczenia
Warunek stateczności i wytrzymałości elementu obciążonego siłą ściskającą $N_{Ed}$ oraz momentem zginającym w płaszczyźnie potencjalnego zwichrzenia $M_{Rd,y}$ można zapisać w postaci liniowej interakcji:
$$\begin{equation} \cfrac{N_{Ed}}{\chi \cdot N_{Rd}}+ \cfrac{M_{Ed,y}}{\chi_{LT} \cdot M_{Rd,y}} \le 1 \label {R_HWEM} \end{equation}$$
O dokładności metody HWEM decyduje poprawność oszacowania długości wyboczeniowej pręta $L_{cr}$. ($\ref{1.5}$). Niedokładność rzędu kilkunastu procent w oszacowaniu długości wyboczeniowej może prowadzić do kilkudziesięcioprocentowego błędu w oszacowaniu współczynnika wyboczeniowego, a to z kolei nawet do kilkukrotnego przeszacowania lub niedoszacowania nośności pręta. To w zasadzie wyklucza metodę z praktycznego projektowania.
Podstawowa wada metody HWEM, polegająca na silnej zależności jej dokładności od precyzji wyznaczenia długości wyboczeniowych jest poprawiona w ten sposób, że smukłość pręta szacuje się bezpośrednio z formuły ($\ref{1.2}$) ( przy standardowym wyboczeniu giętnym z zależności ($\ref{1.3}$), przy zwichrzeniu z zależności ($\ref{La_LT}$) ), ale siły krytyczne $N_{cr}$ $M_{cr}$ i inne wyznacza się z rozwiązania zadania pomocniczego , a nie z wzorów Eulera lub Własowa. Siły te nalezy wyznaczyć eksperymentalnie lub z pomocniczej numerycznej analizy wyboczeniowej LBA.
Zwracamy uwagę, że w przypadku zwichrzenia układów prętów siły krytyczne istotnie zalezą od konstrukcji węzłów oraz połączeń między elementami ze względu na różne mechanizmy przenoszenia paczenia z rygla na słup lub z belki na belkę (tzn. transformacji bimomentu). Dlatego może być niedokładna analiza LBA wykonywana przez programy, w których nie zaimplementowano analizy wezłów. W tym zakresie poleca się sprzężenie programu do analizy systemyu (np Consteel) z programem do analizy węzłów (np Idea StatiCA).
Współczynniki wyboczeniowe dla sił krytycznych wyznaczonych w zadaniu pomocniczym wyznacza się ze standardowych formuł, analogicznych do ($\ref{chi_*}$) i ($\ref{Phi_*}$), a wskazanych w następujący klauzulach normowych :
ściskanych (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 6.3.1.) [N20],
ściskanych (PN-EN 1999-1-1, 2010, kl. 6.3.1.2) [N30],
Moment krytyczny $M_{cr}$ wyznacza się za pomocą kalkulatora LTBeamN (CTICM, 2013) [P10] . Kalkulator LTBeamN jest użyteczny do wyznaczania mnożnika krytycznego (momentu krytycznego) belek i słupów ciągłych złożonych z elementów ułożonych w linii prostej. Natomiast w przypadku ram (prętów łączonych pod kątem) można posłużyć się programem Consteel w najnowszej wersji 12 [M8], w którym zaimplementowano najważniejsze topologie połączeń w narożach ram: śrubowane lub spawane z żebrami diagonalnymi lub nakładkami.
Metodą WWEM nie będziemy się zajmowali, ponieważ zakładamy, że wyznaczanie a’priori (czyli w procesie projektowania) siły krytycznej następuje w analizie wyboczeniowej całego układu z użyciem programów komputerowych. Również w przypadku ram złożonych z elementów cienkościennych stosujemy współczesne programy z zaimplementowanym uogólnionym prętem ze stopniem swobody paczenia w węzłach. Po przeprowadzeniu takiej analizy, naturalne jest zastosowanie dokładniejszej metody OWM, czyli metody pełnej ogólnej, opisanej w kolejnym punkcie.
Zgodnie z (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 6.3.4.(1)) [N20] w przypadku, gdy nie są miarodajne warunki podane (pozwalające zastosować metody WEM (HWEM lub WWEM) ) – sprawdzenia stateczności elementów należy prowadzić metodą ogólną OWM.
Stosowanie metody OWM do oceny stateczności takich części składowych konstrukcji, jak (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 6.3.4(1)):
a) elementy pojedyncze lub złożone, o stałym lub zmiennym przekroju, i różnych warunkach podparcia, oraz
b) płaskie ramy lub podzespoły ram złożone z takich elementów. które to elementy są poddane ściskaniu i/lub jednokierunkowemu zginaniu w płaszczyźnie układu, przy czym zginanie ma charakter sprężysty.
W metodzie OWM (pełnej ogólnej) należy przeprowadzić analizę wyboczeniową systemu i określić mnożniki obciążeń:
graniczny $\alpha_{ult,k}$ ,
krytyczny $\alpha_{cr,op}$ .
Metoda ogólna uznaje (co jest zgodne z teorią), że cała konstrukcja posiada jeden mnożnik graniczny i krytyczny , co skutkuje jedną smukłością ($\ref{1.19}$).
Graniczny mnożnik obciążeń $\alpha_{ult,k}$, jest minimalnym mnożnikiem obciążeń obliczeniowych, przy którym przekrój krytyczny osiąga nośność charakterystyczną w warunkach płaskiego stanu deformacji z uwzględnieniem właściwych imperfekcji geometrycznych. Inaczej mówiąc mnożnik graniczny jest mnożnikiem plastycznym wyznaczonym zgodnie z teorią nośności granicznej (plastycznej). W przypadku konstrukcji statycznie wyznaczalnej, można wyróżnić jeden przekrój krytyczny (najbardziej wytężony), tzn. taki, który pierwszy osiągnie nośność graniczną i wówczas zgodnie z zasadą graniczny mnożnik obciążeń jest odwrotnością wytężenia $w_{ult}$ przekroju w stanie granicznym $ult$:
$$\begin{equation} \alpha_{ult}= \cfrac{1}{w_{ult}} \label {1.16} \end{equation}$$
gdzie dla przekroju mimośrodowo ściskanego/rozciąganego siłami $[N,M]_{Ed}$( przy pominięciu sił poprzecznych, momentu skręcającego oraz bimomentu), mamy:
$$\begin{equation} w_{ult}=w_N+w_M=\cfrac{N_{Ed}}{N_R}+\cfrac{M_{Ed}}{M_R} \label {1.17} \end{equation}$$
Dla nośności charakterystycznych (indeks $k$) i zginania względem większej sztywności $y$, otrzymujemy formułę normową (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl.6.65) (wpływ sił poprzecznych pominięto):
$$\begin{equation} \cfrac{1}{\alpha_{ult,k}} = \cfrac{N_{Ed}}{N_{Rk}}+\cfrac{M_{Ed}}{M_{y,Rk}} \label {1.18} \end{equation}$$
Nośności charakterystyczne przekroju zależą od jego klasy i wynoszą:
$N_{Rk}=f_y \cdot A_•$ ; $M_{Rk}= f_y \cdot W_•$ (• 1,2,3,4) – klasa przekroju ; $A_{1,2,3}=A$, $A_4=A_{eff}$
$M_{Rk}=f_y \cdot W_•$ ; $W_{1,2}=W_{pl}$, $W_3=W_{el}$,W_4=W_{eff}$
W przypadku konstrukcji statycznie niewyznaczalnych, które posiadają strukturalne zapasy nośności, ze względu na jej utratę dopiero po utworzenia się kilku przegubów plastycznych, a nie tylko jednego – mnożnik należy wyznaczać w procedurze nośności granicznej (np. zgodnie z pracą (Chodor, 2016) [44]), przy czym nośność przegubu plastycznego należy wyznaczać z uwzględnieniem interakcji sił przekrojowych, co najmniej momentów zginających i siły osiowej (np. zgodnie z pracą (Chodor, 2015) [43]). Po to by uzyskać minimalny mnożnik obciążeń należy stosować podejście statyczne.
Krytyczny mnożnik obciążeń $\alpha_{cr,op}$ jest minimalną, obliczeniową wartością własną analizy wyboczeniowej rozpatrywanej części lub całości systemu z warunku niestateczności sprężystej z płaszczyzny układu. Wyboczenie całej konstrukcji z płaszczyzny układu może przybrać formę wyboczenia bocznego (zwichrzenia), giętnego z płaszczyzny lub giętno-skrętnego. W analizie wyboczeniowej sprężystego przestrzennego systemu złożonego z uogólnionych prętów Własowa, nie prowadzi się rozdzielenia poszczególnych fizycznych postaci wyboczenia, ponieważ takie rozdzielenie w istocie sprzężonych postaci niestateczności nie jest możliwe, ale też nie jest potrzebne. W takiej analizie przyjmuje się, że mnożnik jest mnożnikiem krytycznym konfiguracji obciążeń obliczeniowych, wybranym jako minimalny z wszystkich teoretycznych postaci wyboczenia (czyli jest zapewne pierwszą wartością własną).
Oszacowania mnożników $\alpha_{cr,op}$ jest możliwe praktycznie tylko metodami numerycznymi. Na rynku funkcjonuje kilka programów, umożliwiających taką analizę (np. (Consteel Software, 2019) [P1], (Computer and Strutures Inc, 2019) [P3], dedykowane do analiz inżynierskich z zastosowaniem uogólnionego elementu prętowego (cienkościennego elementu Własowa).
Na podstawie wyznaczonych mnożników granicznego i krytycznego, oblicza się integralną smukłość systemu (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, (6.64)) z formuły analogicznej do ($\ref{1.2}$) po podstawieniu: $(*=op)$, $f_{R•}=\alpha_{ult,k}$ , $F_{cr,*}=\alpha_{cr,op}$, czyli:
$$\begin{equation} \overline \lambda_{op}=\sqrt{ \cfrac{\alpha_{ult,k}}{\alpha_{cr,op}}}\label {1.19} \end{equation}$$
W przypadku, gdy nie uwzględnimy imperfekcji lokalnych (łukowych), to należy zastosować metodę ogólną w odniesieniu do systemu jako całości (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 5.2.2. (3)b) [N20], a indywidualne sprawdzenia stateczności elementów dokonać zgodnie z (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 5.2.2. 6.3) [N20] .
W przypadku, gdy nie są miarodajne warunki podane w (pozwalające zastosować metody WEM), to sprawdzenia stateczności elementów należy prowadzić ogólniejszą metodą w wersji zgodnej (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl.6.3.4).
Smukłość ($\ref{1.19}$) zależnie od stosowanej analizy przy wyznaczaniu mnożnika obciążeń jako minimalnego, więc zawiera w sobie korelacje wszystkich uwzględnionych form wyboczenia (wyboczenia giętnego, bocznego itd.).
Integralny (globalny) współczynnik niestateczności $\chi_{op}$ wyznaczany jest dla smukłości ($\ref{1.19}$) z klasycznych zależności ($\ref{chi_*}$) oraz ($\ref{Phi_*}$) dla (*=op), czyli: $\chi_*=\chi_{op}$, $\overline \lambda_*= \overline \lambda_{op}$.
Parametr imperfekcji $ \alpha_{op} $ przyjmuje się z tab. 1.3 jako bardziej niekorzystną (większą) wartość dla przypadku wyboczenia i zwichrzenia. Takie postępowanie jest zgodne z (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl. 6.3.4((4) a)), w którym mnożnik $\alpha_{ult,k}$ został wyznaczony jako odwrotność wytężenia przekroju krytycznego zgodnie z formułą ($\ref{1.8}$) .
W takiej procedurze zbiór klasycznych warunków stateczności i wytrzymałości elementów systemu ($\ref {R_HWEM}$) przy indywidualnych dla każdego elementu współczynnikach wyboczenia ( w tym zwichrzenia) – zostaje zastąpiony jednym warunkiem nośności stateczności konstrukcji ( w istocie przekroju krytycznego konstrukcji):
$$\begin{equation} \cfrac {\chi_{op} \cdot \alpha_{ult,k}} {\gamma_{M1}} \ge 1 \label {1.23} \end{equation}$$
co oznacza, że spełniona jest stateczność i wytrzymałość każdego elementu
$$\begin{equation} \cfrac{N_{Ed} }{N_{Rd}}+ \cfrac{M_{y,Ed } }{M_{y,Rd}} \le \chi_{op}\label {1.24} \end{equation}$$
gdzie: $N_{Rd}=\cfrac {N_{Rk}} {\gamma_{M1}}$, $M_{y,Rd}= \cfrac {M_{y,Rk}} {\gamma_{M1}}$.
Formuły ($\ref{1.23}$) i ($\ref{1.24}$) mogą być stosowane zamiennie. Z punktu widzenia inżynierskiego bardziej interesujący są warunki ($\ref{1.24}$), bowiem dają one informacje o wytężeniu każdego elementu, a nawet każdego przekroju konstrukcji oddzielnie, co identyfikuje słabe elementy nawet przekroje, które podlegają wzmocnieniu lub wymianie na silniejsze .
Opisane w tym ustępie podejście nazywamy metodą OWM. Metoda ta jest traktowana jako ogólna, choć w istocie ma ograniczenia i nie można jej stosować poza przypadkami określonymi w normie; nadto wymaga dysponowania zaawansowanymi programami obliczeniowymi. Autor zaleca stosowanie metod IM, opisanych w ustępie niżej.
Zauważmy nadto , ze w metodzie OWM wytężenie elementu jest faktycznie wytężeniem przekroju i nie trzeba poszukiwać interakcji wyboczenia, zwichrzenia, ściskania i zginania. Wskazuje to w oczywisty sposób na to, że cały zbiór współczynników korelacji stosowany w klasycznych metodach wymiarowania konstrukcji jest zbiorem nienaturalnych współczynników.
Wszystkie te współczynniki korelacyjne wraz z zespołem współczynników wyboczeniowych wyznaczanych oddzielnie dla każdego elementu i każdej postaci niestateczności okazują się niepotrzebne, bo mogą być zastąpione jednym integralnym współczynnikiem wyboczenia. W ten sposób upraszcza się proces projektowania, ale również sprowadza zasadę projektowania na zgodną z teorią , a nadto zmniejsza ryzyko pomyłek i błędów obliczeniowych oraz przewymiarowania elementów (konstrukcja jest bowiem optymalna z definicji).
Ograniczenia stosowania metody OWM są znaczne i nie jest ona wcale metodą ogólną. Ponieważ jednak nie są znane jednoznaczne warunki miarodajności metod WEM, więc oznaczałoby to, że metodę ogólną OWM należałoby z ostrożności stosować w każdym przypadku, ale niestety nie można jej stosować do konstrukcji przestrzennych.
Dylemat ten rozwiązuje zastosowanie metod imperfekcyjnych IM, które stosujemy już bez ograniczeń, a nadto są one łatwiejsze do zastosowania i dokładniejsze. Oznacza to dalsze uproszczenie procesu wymiarowania oraz zbliżenie do logicznych zasad naturalnych daje wprowadzenie metody imperfekcyjnej IM zamiast metody ogólnej OWM.
Metoda IM (imperfekcyjna)
Podstawową i w istocie pojęciowo najprostszą metodą sprawdzania wytrzymałości i stateczności systemów konstrukcyjnych i ich elementów jest metoda imperfekcyjna, zgodna z procedurą wskazywaną w (PN-EN 1993-1-1+A1, 2006, kl.5.2.2(3)a) [N20], gdzie podano ogólny i nieprecyzyjny zarys możliwości projektowania.
W metodzie imperfekcyjnej procedury analizy globalnej stosuje się do całego systemu, obciążonego równoważnymi siłami od imperfekcji: globalnymi (przechyłowymi) i lokalnymi (łukowymi), ale już bez stosowania analizy wyboczeniowej i współczynników wyboczeniowych.
Niniejsza praca ma w zamyśle wypełnić treścią tę ogólną zasadę, tak by inżynierowie mogli ją wdrażać w praktyce projektowej i tak, by umożliwić budowę procedur i komputerowych programów wspomagających projektowanie. Całość podręcznika jest poświęcona imperfekcyjnej metodzie IM projektowania konstrukcji stalowych, żelbetowych i zespolonych ze zwróceniem uwagi na uniwersalne, wspólne cechy metody dla konstrukcji wykonanych z różnych materiałów, więc również+dla konstrukcji hybrydowych.
Uwaga do analizy wyboczeniowej LBA
Analiza wyboczeniowa polega na wyznaczeniu mnożnika krytycznego konfiguracji obciążeń idealnego systemu konstrukcyjnego. W tych procedurach uwzględnia się przesuwność i podatność węzłów, ale nadal lekceważony jest fakt, że w prętach zginanych i ściskanych nie zajdzie zjawisko wyboczenia w sensie bifurkacyjnym. W istocie analiza wyboczeniowa polega na rozwiązaniu problemu własnego algebry liniowej- czyli na wyznaczeniu wartości i wektorów własnych macierzy geometrycznej modelu mechanicznego idealnej konstrukcji, bo tylko w idealnej konstrukcji może zajść zjawisko bifurkacji (czyli utraty stateczności sprężystej). Z całą stanowczością należy przypomnieć, że wbrew powszechnemu przekonaniu – analiza wyboczeniowa nie jest analizą nieliniową. Jest analizą quasi-nieliniową, czyli w istocie liniową.
Analiza wyboczeniowa LBA może być traktowana jedynie jako pomocnicza analiza, służąca do rozpoznania niestatecznych miejsc konstrukcji, ale nie może ona zastąpić metod imperfekcyjnych stosowanych do sprawdzenia stateczności i wytrzymałości poszczególnych przekrojów konstrukcji.
Babcock, C. D. (1974). Experiments in shell buckling, In: Thin Shell Structures, Theory, Experiment, and Design. Prentice-Hall, Englewood Cliffs.
Chebl, C., & Neale, K. W. (1984). A finite element method for elastic-plastic beams and columns at large deflections. Computers & Structures, 18(2), 255–261.
Chodor, L. (2015). Szybka metoda Monte Carlo. Retrieved December 13, 2015, from http://chodor-projekt.net/encyclopedia/szybka-metoda-monte-carlo/
Consteel. (2018). Consteel. Program komercyjny (kategoria TII rząd- 3WS (Version 11 SP2) [Consteel].
Dlubal Software. (2019). RFEM, RSTAB Oprogramowanie do analizy statyczno-wytrzymałościowej (Version 8-18-01). Retrieved from https://www.dlubal.com/pl
Elishakoff, I., & Arbocz, J. (1985). Reliability of axially compressed cylindrical shells with general nonsymmetric imperfections. Journal of Applied Mechanics, 1985(52), 122–128.
Godoy, L. A. (1998). Stresses and pressures in thin-walled structures with damage and imperfections. Thin Walled Structures, 32, 181–206.
Kindmann, R., & Laumann, J. (2007). KSTAB. Program badawczy. Kategoria" dokładny - T II rz-3W" (Version 06/2007) [Lehrstuhl f. Stahl- und Verbundbau]. Bchum: Ruhr-Universität Bochum.
Lumpe, G. (2011). S3D. Program badawczy.Kategotria "dokłądny (Version 25.09.2011). Hochschule Biberach.
Lumpe, G., & Gensichen, V. (2014). Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie. Berlin: Ernst.
Machowiak, A. Klasyfikacja i zakres zastosowania Teorii II.rz. Obliczenia wykonane w ConSteel 11 SP3 (2018). Poznań: STRENCO.
PN-EN 1993-1-5. Eurokod 3: Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-5: Blachownice (2008). UE: PKN.
Rolski, T. (2013). Symulacje stochastyczne i teoria Monte Carlo (Wykład Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski). Wrocław: Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski. Retrieved from http://www.math.uni.wroc.pl/~rolski/Downloads/sym.pdf
Rossow, E. C., Barley, G. B., & Lee, S. L. (1967). Eccentrically Loade Steel Columns with Initial Curvature. Journal of Structural Division, ASCE, 93(ST2), 339–358.
SCIA A Nemetschek Company. (2018). Structural An alysis and Design with SCIA Enginee (Version 18) [SCIA]. Retrieved from https://www.scia.net/en
Thom, R., Giorello, G., Morini, S., & Duda, R. (1991). Parabole i katastrofy: rozmowy o matematyce, nauce i filozofii z Giulio Giorello i Simoną Morinii. Warszawa: Państ. Instytut Wydawniczy.
Tylek, I., & Kuchta, K. (2018). O belkach stalowych niewrażliwych na zwichrzenie. Przegląd Budowlany, 2018(1), 27–35. Retrieved from http://www.przegladbudowlany.pl/2018/01/2018-01-PB-27-PROBL-Kuchta-Belki.pdf
Bibliografia całości podręcznika
[1] Abel M., P-Delta Effects, (2012), SAP 2000, SAP2000, CSI Knowledge Base, [źródło:https://wiki.csiamerica.com/display/kb/P-Delta+effect, , dostęp 08-2017],
[2] Abramowitz, M., Stegun I., A., (1964), Handbook of mathematical functions: with formulas, graphs, and mathematical tables. Vol. 55. Courier Corporation,
[3] Aguero A., Pallares L., Pallares F.(2015), Equivalent geometric imperfection definition in steel structures sensitive to flexural and/or torsional buckling due to compression, Eng. Struct. 2015, 96, s. 60-71,
[4] Alvarenga, A.R., Silveira R.A., (2009), Second‐order plastic‐zone analysis of steel frames – Part II:effects of initial geometric imperfection and residual stress, Latin American Journal of Solids and Structures,2009. 6(4): p. 323 – 342.
[5] Arcelor-Mittal (2009), Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe. Część 4: Projekt wykonawczy ram portalowych [źródło: http://sections.arcelormittal.com/pl/biblioteka/poradnik-projektanta-konstrukcjestalowe-w-europie.html, dostęp 03-08-2017],
[6] Arcelor-Mittal (2009), Jednokondygnacyjne konstrukcje stalowe. Część 6: Projekt wykonawczy słupów złożonych [źródło: http://sections.arcelormittal.com/fileadmin/redaction/4-Library/4 BE/PL/SSB06_Projekt_wykonawczy_slupow_zlozonych.pdf, dostęp 13-08-2017],
[7] Augusti, G., Baratta, A.,(1971), Theorie probabiliste de la resistance des barres comprimees, Construction Metallique, No.2,1971
[8] Ayrton, W. E., & Perry, J. (1886). On Struts. The Engineer, 464–513, (R1)
[9] Babcock C.D., (1974), Experiments in shell buckling. Thin Shell Structures. Theory, Experiment, and Design. Prentice-Hall, Englewood Cliffs (1974), str. 345–369, (R1)
[10] Bachmann H., Steinle A., (2011), Precast Concrete Structure, Ernst&Sohn , A Wiley Company, Berlin,
[11] Baláž, I., Ároch, R., Chladný, E., Kmeť, S., Vičan, J.: (2007, 2010), Design of Steel Structures According to Eurocodes STN EN 1993-1-1:2006 a STN EN 1993-1-8:2007. Slovak Chamber of Civil Engineers (SKSI) Bratislava, 1st Edition 2007, 2nd Edition 2010. (In Slovak),
[12] Baláž I., Koleková Y., (2012). Structures with UGLI imperfections. In: Proc. 18th International Conference Engineering Mechanics, pp. 61-86, Svratka, Czech Republic, May 2012,Bratislava, 1st Edition 2007, 2nd Edition 2010. (In Slovak)
[13] Barlou R., Proschan F., 1975), Statistical Theory of Reliability and Life testing pobability models, Holt, Reinehart and Wilson Inc, 208
[14] Bauschinger, J. (1887). Zerknickungs-Versuche (Mitteilung an das No. Heft 15, Mitteilung XVII) (p. 11). München: Mechanische -Technologie Laboratorium, München,
[15] Beck, A.T. , Dória A.S., (2008), Reliability Analysis of I‐Section Steel Columns Designed According to New Brazilian Building Codes. Journal of the Brazilian, Society of Mechanical Sciences and Engineering, 2008. 3(2).
[16] Beaulieu, D. Adams, P. F., (1978), The Results of a Survey on Structural Out-ofplumbs, Canadian Journal of Civil Engineering, Vol. 5, pp. 642-470
[17] Bendat J.S., Piersol A.G., (1986), Random Data. Analysis and Measurement, Procedures, John Wiley and Sohn,
[18] Biegus A., Stalowe budynki halowe. Arkady, Warszawa 2003,
[19] Biegus A., Projektowanie stężeń stalowych budynków halowych, Wykłady. Politechnika Wrocławska, Wrocław 2012,
[20] Bijak R., Chodor L., Kołodziej G., Kowal Z., (1997), Sensitivity of cross-section shape for nonlinear thin-walled bars, Proc. XIII P. Conference Computer Methods in Mechanics, Poznan, Poland 5-8 May 1997, p. 175-182, NY/Chichester/Brisbone/Toronto/Signapore.
[21] Björnsson T., (2017) Structural Analysis of Columns with Initial Imperfections, Master Thesis, Faculty of Civil and Environmental Engineering School of Engineering and Natural Sciences University of Iceland, Reykjavik, June 2017,
[22] Bj¢rhovde, R. , Tall, L., (1971), Maximum column strength and the multiple column curve concept, Fritz Engineering Laboratory Report No. 337.29, Lehigh University, October 1971.
[23] Bj¢rhovde R., (1972) Deterministic and probabilistic approaches to the strength of steel columns, Ph.D. dissertation, Lehigh University, Fritz Laboratory Reports, Paper 1933,
[24] Bobrowski D., (1980), Probabilistyka w zastosowaniach technicznych, WNT, Warszawa
[25] Bolotin, V. V., Statistical methods in structural mechanics, Holden-Day Series in Mathematical Physics, HoldenDay, Inc., San Francisco. 1969
[26] Brodniansky J., Rudolf Ároch R. , (2014), Unique global and local initial imperfection in the shape of the elastic buckling mode (Application of “UGLI” imperfection method for frames with class 4 cross-sections), IASS-SLTE Symposium 2014: Shells, Membranes and Spatial Structures, Brasilia, Brazil, Sep 2014,
[27] Butterworth, J. W. (2005). Buckling of Columns. Lecture, The University of Auckland New Zeland. Faculty of Engineering,
[28] Buonopane, S.G., Strength and Reliability of Steel Frames with Random Properties. Journal of structural Engineering, ASCE, 2008. 134(2): p. 337‐344, 209
[29] Calladine C. R., (1973), Inelastic buckling of columns: trhe effect of imperfection, Int. J. Mech. Sci., 15, s. 593-604,
[30] Canadian Journal of Civil Engineering, 1978, Vol. 5, pp. 642-470.
[31] Chebl C. Neale K.W., A finite element method for elastic‐plastic beams and columns at large deflections. Computers & Structures, 1984. 18(2): p. 255‐261, (R1)
[32] Chladný E. (1958) Nosnosť tlačených pásov otvorených mostov (Buckling resistance of compressed chords of open truss bridges), PhD thesis, SVŠT (Slovak
Technical University of technology) Bratislava,
[33] Chladný E. (1974) Vzper pružne podopretých tlačených prútov (Buckling of elastically supported compressed members). Habilitation thesis, SVŠT Bratislava1974, (R1)
[34] Chladný E., Stujberova M., (2013) Frames with unique global and local imperfection in the shape of the elastic buckling mode. Part 1. Stahlbau, 82(8), 609–617, (R1)
[35] Chladný E., Stujberova M., (2013) Frames with unique global and local imperfection in the shape of the elastic buckling mode. Part 2. Stahlbau, 83(9),684–694, (R1)
[36] Chodor L., (1986), Losowa nośność ustrojów zginanych z uwzględnieniem sił stycznych, Raport PRE 68/86, stron 120, Instytut Budownictwa Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, [źródło http://chodor-projekt.net/wpcontent/
uploads/PIPress/Artykuly/1986-Chodor-Dissertation-Wroclaw.pdf , dostęp 2017-08], (R1)
[37] Chodor L., (1989), Algorytm szacowania losowych odpowiedzi systemów konstrukcyjnych przy użyciu Stochastycznej Metody Elementów Skończonych, Mat. IX Konf. Naukowej „Metody Komputerowe w Mechanice”, Kraków-Rytro, s. 115-122,
[38] Chodor L., (1991), Discretisation of Structures in the Stochastic Finite Element Method, Proc. of X Sc. Conf. „Computers Methods in Mechanics”, Szczecin-Świnoujście, s. 70-76,
[39] Chodor L., (2014), Belka Timoshenko na sprężystym podłożu, [źródło http://chodor-projekt.net/encyclopedia/belka-timoshenko-sprezyste-podloze ,dostęp 2016-12-20],
[40] Chodor L., (2015a), Kombinacje obciążeń w Eurokodach. [źródło http://chodorprojekt.net/encyclopedia/kombinacje-obciazen-wg-eurokodow/, dostęp 2015-12-08],
[41] Chodor L., (2015b), Szybka metoda Monte Carlo, [źródło http://chodorprojekt.net/encyclopedia/szybka-metoda-monte-carlo/, dostęp 2016-12-20], (R1)
[42] Chodor, L. (2016a), Przekrycia hal i galerii. In XXXI Ogólnopolskie Warsztaty Pracy Projektanta Konstrukcji (Vol. I, pp. 25 – 202). Katowice-Szczyrk. [źródło: http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/2016/03/Chodor_LPrzekrycia-hal-igalerii-WPPK-2016.pdf , dostęp 2016-05-08],
[43] Chodor L., (2016b), Interakcja ściskania i dwuosiowego zginania, [źródło: http://chodor-projekt.net/encyclopedia/interakcja-plastyczna-sily-osiowej-idwuosiowego-zginania/ , dostęp 2017-08], (R1)
[44] Chodor L., (2017a), Nośność plastyczna konstrukcji, [źródło: http://chodorprojekt. net/encyclopedia/nosnosc-plastyczna-konstrukcji/ , dostęp 2017-08], (R1)
[45] Chodor L. (2017b), Nieliniowy kalkulator żelbetu M-N, [źródło: http://chodorprojekt. net/encyclopedia/kalkulator-zelbetu-m-n/, dostęp 2017-08-04],
[46] Chodor L., Bijak R., (1997) Sensitivity analysis of initially curved thin-walled bars, Statyba, 3, 11, s. 30-34, [źródło: DOI 10.1080/13921525.1997.10531350]
[47] Chodor L., Bijak R.,(1998), Wrażliwość na imperfekcje prętów cienkościennych z połączeniami podatnymi, Mat. Konferencja Jubileuszowa z okazji 70-lecia prof. Z. Kowala, Szklarska Poręba,
[49] Chodor L., Piechnik St. (1983), Ujęcie macierzowe zagadnienia brzegowego teorii sprężystości, Zeszyty Naukowe Politechniki Świętokrzyskiej, Budownictwo 14, s. 7-14, Kielce,
[50] Chodor L., Podstawka R. (2009), Analiza Pushover oraz przeguby i załomy nieliniowe w konstrukcjach żelbetowych, Materiały 55 Konferencji KILiW PAN i KN PZITB Krynica 2009, Problemy naukowo-badawcze budownictwa, s.215–221,[źródło: http://chodor-projekt.net/wp-content/uploads/PIPress/Artykuly/2009-Chodor-Podstawka-Pushover-Krynica.pdf, dostęp 2017-08], (R1)
[51] Cox, D. R., Hinkley, D. V., (1979), Theoretical Statistics, Chapman and Hall, London
[52] Chung, B. T. K.,(1969), Random-Parameter Analysis of the Stability of Inelastic Structures, Ph.D. Dissertation, State University of New York, Buffalo, N. Y., 1969.
[53] Chung, B. T. K. and Lee, George C.,(1971), Buckling Strength of Columns Based on Random Parameters, Journal, ASCE Str. Div., Vol. 97, No. ST7, July, 1971
[54] Degenhard R., i.in, (2007) Experiments on buckling and postbuckling of thinwalled CFRP structures using advanced measurement systems, Int. J. Struct . Stability and Dynamics 2007 07:02, 337-358,
[55] Dallemule M., (2015) Equivalent imperfections in arched structures. Slovak Journal of Civil Engineering, 23(3), 9-15,
[56] Ditlevsen, O. (1979). Narrow reliability bounds for structural systems. Journal of Structural Mechanics., 7(4), 453–472,
[57] Dutheil, J. (1950)., Le Flambement et le Deversement, Extrait du Bulletin bimestriel de la Societe Royale des Ingenieurs et des Industriels, No.3,July 1950,
[58] Dutheil, J. (1952). The Theory of Instability through Disturbance of Equilibrium. Presented at the 4th Congress of I.A.B.S.E., , Cambridge,
[59] Dwight, J. B. (1975). Use of Perry formula to represent the new European strut curves (IABSE reports of the working commissions, Rapports des commissions de travail AIPC, IVBH, Berichte der Arbeitskommissionen No. 23 ,1975,
[60] Elishakoff I., Arbocz, (1985), Reliability of axially compressed cylindrical shells with general nonsymmetric imperfections. Journal of Applied Mechanics, 52, (1985), str. 122–128, (R1)
[61] Elishakoff I.,(2016), Probabilistic Methods in the Theory of Structures: Random Strength of Materials, Random Vibration, and Buckling, World Scientific, Singapore
[62] Engesser, F. R. (1895). Über Knickfragen. Schweizerische Bauzeitung, 36(4), 24–26,
[63] Frish-Fay R.,(1962), Flexible Bars, Lecturer of Civil Engineering University of New South Wales, Butterworth & Co (Publisher) London 1962,
[64] Fukumoto, Y., (1982) Numerical Data Bank for the Ultimate Strengths Steel Structures, Der Stahlbau, No 1, 1982,
[65] Galambos T.V., Surovek A.E. (2008), Structural stability of steel: Concepts and Applications for structural engineers, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey,
[66] Ghanem R., G., P., D. Spanos P., D., (1991), Stochastic Finite Elements: A Spectral Approach, Springer Verlag, 1991.
[67] Giżejowski, M. A., Szczerba, R. B., Gajewski, M. D., Stachura, Z., (2016), Beam-Column In-Plane Resistance Based On The Concept Of Equivalent Geometric Imperfections, Archives of Civil Engineering, Vol LXII, Issue 4, Part 2, 2016, pp.35-71
[68] Godfrey G. B. (1962). The Allowable Stresses in Axially Loaded Steel Struts. TheStruct. Engn, 40 (3),
[69] Godoy L.A. (1998), Stresses and pressures in thin-walled structures with damage and imperfections. Thin-Walled Structures, 32 (1998), str. 181–206, (R1)
[70] Godoy L.A., Mook D. T., (1996), Higher-order sensitivity to imperfections in bifurcation buckling analysis, Int. J. Solid Stru ct, Vol. 33, No 4, pp. 511-520,
[71] Gu J., X. , S.L. Chan S. ,L., Second‐order analysis and design of steel structures allowing for member and frame imperfections. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2005. 62(5): p. 601–615
[72] Gulbrandsen M., & Petersen, R. (2013). Advanced Analysis of Steel Structures. Aalborg University, Master Thesis. Aalborg, Denmark, 2013,
[73] Gwóźdź M., (1997), Zagadnienia nośności losowej prętów metalowych, Praca doktorska, Zeszyt Naukowy 69, Inżynieria Lądowa / Politechnika Krakowska, Kraków
[74] Gwóźdź M., Machowski A.,(2011), Wybrane badania i obliczenia konstrukcji budowlanych metodami probabilistycznymi, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków,
[75] Hajjar, J.F., Effective length and notional load approaches for assessing frame stability: Implications for American Steel, 1997, Technical Report, Task Committee on Effective Length of the Technical Committee on Load and Resistance Factor Design of the Technical Division of the Structural Engineering Institute of the American Society of Civil Engineers: Reston, Va.,
[76] Hutchinson J.W., (1974), Plastic Buckling, Advances in Applied Mechanics, Vol. 14, Academic Press Inc, New York, San Francisco, London
[77] Hutchinson J.W., Koiter W.T.(1971), Post buckling theory. Applied Mechanics, 24 str. 1353–1366,
[78] Herzog M. A. M. (2010). Kurze Geschichte der Baustatik und Baudynamik in der Praxis (1. Aufl). Berlin: Bauwerk.
[79] Ivčenko G., I., Medvedev J.I.,(2015) VVedenie v matematičeskuju statistiku, Wydawnictwo DKI, Moskva,
[80] Jacobs J., P. (Ed), (2010), Commentary Eurocode 2, European Concrete Platform ASBL, Brussels,
[81] Jasinski, F. (1895). Noch ein Wert zu den Knickfragen. Schweizerische Bauzeitung, 25(25), 172–175,
[82] Johnston B.G. (1966), Guide to Design Criteria for Metal Compression Members, 2nd Edt, Wiley, New York,
[83] Kala Z., The influence of initial curvature of the axis upon the member ultimate strength, (2003), Journal of Structural Mechanics, 2003. 36(1): p. 3‐14.
[84] Kala Z., Stability problems of steel structures in the presence of stochastic and fuzzy uncertainty, (2007), Thin‐Walled Structures, 2007. 45(10‐11): p. 861‐865.
[85] Kala, Z., Sensitivity assessment of steel members under compression, (2009), Engineering Structures, 2009, 31(6) S. 1344‐1348.
[86] Kapur K.,C., Lamberson L., R., (1977), Reliability in Engineering Design , John Wiley, New York,
[87] Karman von, T. (1910). Untersuchungen Uber Knickfestigkeit (Mitteilung und Forschungsareiten -Arb. Geb. Ing. -Wes. No. Heft 81),
[88] Kim S.E., Lee D.H., (2002), Second‐order distributed plasticity analysis of space steel frames. Engineering Structures, 2002. 24, p. 735–744, (R1)
[89] Der Kiureghian A., Ke J., B., (1988), A Structural reliability under incomplete probability information, I. Engrg. Mech. ASCE, 112(10), s. 85-104
[90] Kucukler M., Cardner L., Macorini L.(2015) , Lateral-torsional buckling assessment of steel beams through a stiffness reduction method. J. Constr., Steel Res. 20152015, 109, s. 87-100, 213
[91] Knauff M., Golubińska A., Knyziak P., (2014) Tablice i wzory do projektowania konstrukcji żelbetowych z przykładami obliczeń, II w., Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2013, 2014,
[92] Koiter, W.T., (1945), On the Stability of Elastic Equilibrium, Polytechnic Institute Delft, NASA TTF‐10833 (Thesis),
[93] Korn G.A., Korn T.M., (1983), Matematyka dla pracowników naukowych, cz. 1 i 2, PWN, Warszawa
[94] Kounadis A.N., Economou A.F., (1984), The Effects of Initial Curvature and other Parameters on the Nonlinear Buckling of Simple Frames. Journal of Structural Mechanics, 1984, 12(1) s. 27‐42.
[95] Lamarle, E. (1845), Memoire sur la flexion du l.elasticite des corps. Ann Trwav, 3, 1–64,
[96] Kozłowski A. (red), (2010), Konstrukcje stalowe. Część pierwsza, Wybrane elementy i połączenia, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów,
[97] Kozłowski A. (red), (2015), Konstrukcje stalowe. Część trzecia , Hale i wiaty hale, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów,
[98] Lindner, J. Gietzelt, R., (1984), Evaluation of Imperfections of Support –Elements”, Stahlbau, Vol. 4, pp. 97-98,
[99] Livesley R. K., (1975), Matrix Methods of Structural Analysis , 2nd Edition, Pergamon International Library of Science, Technology, Engineering and Social Studies,
[101] Liu W., K.,Belytschko T., Mani A., (1986), Probabilistic finite elements for non linear structural dynamics, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 56:61–86,
[102] Machowski, A., (2002), Initial Random Out-of-plumbs of Steel Frame Columns, Archives of Civil Engineering, 2002, XLVIII (2), pp. 207-226,
[103] Machowski A, Tylek I., (2012), Random Equivalent initial bow and Tilt in Steeel Frame, Advanced Steel Construction Vol. 8, No. 4, pp. 383-397
[104] Marek P., Křivy V., (2006), Probabilistic reliability assessment of a steel frame applying the SBRA method. 3rd ASRANet International Colloquium Glasgow, U.K., 10‐12 July 2006,
[105] Mahendran, M. Applications of Finite Element Analysis in Structural Engineering, In Proceedings, International Conference on Computer Aided Engineering. 2007. Chennai, India.
[106] Marsaglia G., (2006), Ratios of Normal Variables, Journal of Statistical Software, Vol. 16, Iss 4., [źródło: http://www.jstatsoft.org/, dostęp 25-10-2017]
[107] Merchant, W. (1954). The Failure Loads of Rigidly Jointed Frameworks as Influenced by Stability. The Structural Engineer, 32(7), 185–190, 214
[108] Migdalski (red.), (1982) Poradnik niezawodności. Podstawy matematyczne, Wydawnictwa Przemysłu Maszynowego “WEMA”, Warszawa
[109] Mrázik A., Škaloud M., Tocháček M.,(1987) Plastic design of steel structures, E. Horwood ; Halsted Press, Chichester [West Sussex] : New York,
[110] Murzewski J., (1976), Teoria nośności losowej konstrukcji prętowych, PWN, Warszawa
[111] Murzewski J., (1980), Jednolita formuła stateczności sprężysto-plastycznej konstrukcji stalowych , XXVI Konf. Nukowa KILiW PAN i KN PZITB , tom II, Krynica,
[112] Murzewski J., (1989), Niezawodność konstrukcji inżynierskich, Arkady,Warszawa,
[113] Omishore A., (2010), Sensitivity analysis of structures, problems and applications, In: Proceeding of the 6th WSEAS International Conference on Applied and Theoretical Mechanics (MECHANICS ’10), Athens (Greece), 2010: p. 120‐125.
[114] Omishore, A. and Z. Kala, (2009), Reliability Analysis of Steel Structures with Imperfections, Nordic Steel Construction Conference. Malmo, Švédsko, p. 540‐545.
[115] Panovko, J. G., Gubanova, I. I. (1967). Ustojchivost i kolebanija uprugich system. Sovremennyje koncepcii, paradoksy i oshibki (4th ed.). Moskwa, Nauka,
[116] Papadopoulus V., Soimiris G., Papadrakis M., Buckling analysis of I-section portal frames with stochastic imperfections, Engr. Struct. 47 (2013) s. 54-66,
[117] Papp, F. (2016). Buckling assessment of steel members through overall imperfection method. Engineering Structures, 106, 124–136,
[118] PAN, Polska Akademia Nauk, (2006) Podstawy projektowania konstrukcji żelbetowych i sprężonych według Eurokodu 2, Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław 2006,
[119] Papoulis A., (1965), Probability, Random Variables and Stochastic Process, WNT, Warszawa, tłumaczenie 1965,
[120] PEER/ATC (2010). Modelling and acceptance criteria for seismic design and analysis of tall buildings, PEER/ATC 72-1 Report, Redwood City, CA, Applied Technology Council,
[121] Piechnik St., Wytrzymałość materiałów dla Wydziałów Budowlanych (1980), Wyd. II, PWN, Warszawa-Kraków
[122] Powell G.H.,(2010), Modelling for Structural Analysis. Behaviour and Basics, Computers and Structures, Inc., Berkeley, California,
[123] Pugachev V., S., (1984), Probability Theory and Mathematical Statistics for Engineers, Pergamon Press, Oxford, NY ,
[124] Ravindra, M. K. and Galambos, T. V., (1972), Discussion of „Buckling Strength of Columns Based on Random Parameters” by B. T. K. Chung and G. C.Lee, Journal, ASCE Str. Div., Vol. 98, No. STl, January 1972.215
[125] Robertson, A. (1925). The Strength of Struts. London: The Institution of Civil Engineers,
[126] Rossow E.C., Barney G.B., Lee S.L., (1967), Eccentrically Loaded Steel Columns with Initial Curvatures, Journal of the Structural Division, ASCE, 1967. 93(ST2), s. 339‐358. (R1)
[127] Serna, M.A., E. Bayo, and J.R. Ibañez, (2009), Imperfections for Global Analysis of Frames: EC3 Drawbacks and Energy Based Procedure, 7th EUROMECH Solid Mechanics Conference, Lisbon, Portugal, September 7‐11, 2009.
[128] Shayan S. , Rasmussen K.J.R., Zhang H., (2014), On the modelling of initial geometric imperfections of steel frames in advanced analysis, Journal of Constructional Steel Research, 98, 2014, pp 167-177,
[129] Shaw F.S., (1972), Virtual Displacement and Analysis of Structures, Prentice-Hall, Inc, Englewood Clifs, New Jersey,
[130] Sedlacek, G., Eisel, H., Hensen, W., Kühn, B., Paschen, M. (2004), Leitfaden zum Fachbericht DIN 103. Stahlbrücken. Ausgabe März 2003. Ernst & Sohn, A Wiley,
[131] Shanley, F. R. (1946). The Column Paradox. Journal of the Aeronautical Sciences, 13(12), 678–678,
[132] Shanley, F. (1947). Inelastic column theory. Journal of the Aeronautical Sciences, 14(5), 261–268, (R1)
[133] Singer J., J. Arbocz J., Weller T., (1998, 2002), Buckling Experiments: Experimental Methods in Buckling of Thin-Walled Structures: Vol. 1: Basic Concepts, Columns, Beams and Plates, Vol 2: Shells, Built-Up Structures, Composites and dditional Topics, John Wiley &Sons Inc., New York,
[134] Shayan S., Rasmussen K.Jr., Zhang H., (2012) On the modelling of initial geometric imperfections and residual stress of steel frames, Research Report, School of Civil Engineering, The University of Sydney,
[135] Shweppe F.C., Układy dynamiczne w warunkach losowych (1978), Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa
[136] Skotny Ł., (2017) Imperfekcje w analizie wyboczenia, Blog FEMAP (Enterfea.com), 30 czerwiec 2017, [źródło https://enterfea.com/imperfekcje-wanalizie-wyboczenia/, dostęp 06-08-2017],
[137] Smith‐Pardo, J.P., Aristizábal‐Ochoa J.D.,(1999), Buckling Reversals of Axially Restrained Imperfect Beam‐Column. Journal of Engineering Mechanics, 1999. 125(4): p. 401‐409.
[138] Sudret B., Der Kiureghian A.(2000), Stochastic Finite Element and Reliability. A State of the Art. Technical Report, Department of Civil and Environmental Engineering, University of California, Berkeley,
[139] Steelconstruction.info. (2015). Braced frames. W: Encyclopedia for UK steel construction. [źródło http://www.steelconstruction.info/Braced_frames, dostęp 2015-11], 216
[140] Stocki R., (2010), Analiza niezawodności i optymalizacja odpornościowa złożonych konstrukcji i procesów technologicznych, Prace IPPT PAN, 2/2010,Warszawa,
[141] Tetmajer, L., (1890). Die Gesetze der Knickungs und der Zusammeng-Esetzten Druckfestigkeit der Technisch Wichtigsten Baustoffe (Mitteilung der Material Anstalt auf Schweizer Polytechnikum in Zürich No. Heft k, 1890, Heft 8, I896.).
[142] Thom, R., Giorello, G., Morini, S., Duda, R. (1991). Parabole i katastrofy: Rozmowy o matematyce, nauce i filozofii z Giulio Giorello i Simona Morini.Państwowy Instytut Wydawniczy, Warszawa 1991, (R1)
[143] Tiltman K., O., (1977) Was kostet die Genauigkeitim Betonferitgteilbau ?, Baugewerbe , No 5, 21-26
[144] Wilde P., (1981), Random Fields Discretization in Engineering Calculations. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa,
[145] Vanmarcke E. H., (1983), Random fields: analuysis anmd synthesis, The MIT Press, Cambridge, Mass,
[146] Vanmarcke E. H., Grigoriu M., (1983), Stochastic finite element analysis of simple beams, J. Engrg., Mech., ASCE., 109(5), s. 1203-1214,
[147] Xu L. , Wang X.H., Storey‐based column effective length factors with accounting for initial geometric imperfections, (2008), Engineering Structures, 2008. 30(12),s. 3434‐3444,
[148] Zhang, Y., Zhao J., Zhang W., (2008), Parametric Studies on Inter‐Column Brace Forces. Advances in Structural Engineering, 2008. 11(3) s. 293‐303,
[149] Zhu W.Q, Ren Y., J., Wu W., Q., (1992), Stochastic FEM Base. On Local Averages of Random Vector Fields, J. Eng. Mech, Vol. 118, No3 , ASCE, s. 496-509,
[150] Żurański J.A., Gaczek M., Obciążenia środowiskowe według Eurokodów, Materiały XXVI Ogólnopolska Konferencja Warsztat Pracy Projektanta Konstrukcji, Szczyrk, 9-12 marca 2011, s. 487-516.
[151] Żurański J. A., Sobolewski A., Obciążenie śniegiem w Polsce, Wydawnictwa Instytutu Techniki Budowlanej, Warszawa 2009
[201]Lumpe G. Gensichen V., Evaluierung der linearen und nichtlinearen Stabstatik in Theorie und Software: Prüfbeispiele, Fehlerursachen, genaue Theorie, Ernst, Berlin, 2014, (R1)
[202] Machowiak, Klasyfikacja i zakres zastosowania Teorii II. rz. Obliczenia wykonane w ConSteel 11 SP3, Raport Constell, 2018, (R1)
[203] Thom R., Stabilite Structurelle et Morphogenese, Benjamin, New York, 1972, (R1)
[N1] AISC, (1993), AISC. Load and resistance factor design specification, 2nd Ed.,American Institute of Steel Construction, Chicago 1993,
[N2] ANSI/AISC and 360-5, (2005), Specification for Structural Steel Buildings, American Institute of Steel Construction, Chicago,
[N3] Australian Standard AS4100, (2004), Steel Structures. Standards Australia, North Sydney, New South Wales, Australia,
[N4] British Standard BS5950-1, (2003), Structural Use of Steelwork in Buildings, Part 1: Code of Practice for Design, British Standards Institution, London,
[N5] Canadian Standards Association CAN/CAS-S16, (2004), S16-01 Limit States Design of Steel Structures, Toronto, Ontario, Canada: Canadian Standards Association,
[N6] DIN18800‐2, (1990), Stahlbauten, Stabilitätsfälle, Knicken von Stäben und Stabwerken,
[N7] Eurocode, (2003), Design of Steel Structure, Part 1‐1 : General Rules and Rules for Buildings 2003, Commission of European Communities, Brussels,
[N8] ECCS, (1984) Ultimate limit state calculation of sway frames with rigid joints. Technical Committee 8- Structural Stability Technical Working Group 8.2—System. Publication No. 33. European Convention for Constructional Steelwork,
[N9] GB50205 , (2001), Code for Acceptance of Construction Quality of Steel structures , China Planning Press, China,
[N10] HKC, (2005), Code of Practice for the Structural Use of steel 2005, Building Department, The Government of the Hong Kong Special Administrative Region,
[N11] ISO 4463-1, Measurement methods for building. Setting-out and measurement; Part 1: Planning and organization, Measuring procedures, Acceptance criteria, CEN,
[N12] Japan Road Association,(1980), Specification for Highway Bridges,
[N13] PN-EN 1090-2+A1,(2012), Wykonanie konstrukcji stalowych i aluminiowych-Część 2: Wymagania techniczne dotyczące konstrukcji stalowych. CEN, PKN,
[N14] PN-EN 13670, (2011), Wykonywanie konstrukcji z betonu. CEN, PKN,
[N15] PN-EN 1990, (2004), Eurokod: Podstawy projektowania konstrukcji. CEN, PKN,
[N16] PN-EN 1991-3, Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. Część 3:Oddziaływania wywołane dźwignicami i maszynami, CEN, PKN,
[N17] PN-EN 1991, Eurokod 1: Oddziaływania na konstrukcje. CEN, PKN
[N18] PN-EN 1992-1-1, (2008), Eurokod 2, Projektowanie konstrukcji z betonu. Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków. CEN, PKN, (R1)
[N19] PN-EN 1992-1-2, (2008), Eurokod 2 – Projektowanie z betonu. Część 1-2: Projektowanie z uwagi na warunki pożarowe. CEN, PKN,
[N20] PN-EN 1993-1-1, (2007), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków, CEN, PKN, (R1)
[N21] PN-EN 1993-1-2, (2006), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-2: Obliczanie konstrukcji z uwagi na warunki pożarowe, CEN, PKN
[N22] PN-EN 1993-1-5, (2009), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-5: Blachownice. CEN, PKN, (R1)
[N23] PN-EN 1993-1-6, (2009), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-6: Wytrzymałość i stateczność konstrukcji powłokowych. CEN, PKN, (R1)
[N24] PN-EN 1993-1-7, (2008), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część1-7: Konstrukcje płytowe. CEN, PKN, (R1)
[N25] PN-EN 1993-1-8, (2006), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część1-8: Projektowanie węzłów, CEN, PKN,
[N26] PN-EN 1993-1-9, (2007), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 1-9: Zmęczenie. CEN, PKN,
[N27] PN-EN 1993-2, (2010), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 2: Mosty stalowe. CEN, PKN, (R1)
[N28] PN-EN 1993-6, (2009), Eurokod 3 – Projektowanie konstrukcji stalowych. Część 6: Konstrukcje wsporcze dźwignic, CEN, PKN, (R1)
[N29] PN-EN 1994-1-1, (2008), Eurokod 4, Projektowanie zespolonych konstrukcji stalowo- betonowych – Część 1-1: Reguły ogólne i reguły dla budynków. CEN,PKN, (R1)
[N30] PN-EN 1999-1-1, (2010), Eurokod 9, Projektowanie konstrukcji aluminiowych. Część 1-1: Reguły ogólne, CEN, PKN, (R1)
[N31] PN-ISO 2394, (2000), Ogólne zasady niezawodności konstrukcji budowlanych. CEN, PKN,
[N32] STN-EN 1993-1-1/NA Eurokód 3. Navrhovanie oceľových konštrukcií. Časť 1-1: Všeobecné pravidlá a pravidlá pre budowy, CEN. ÚNMS SR,
[N33] STN EN 1993-2/NA Eurokód 3. Navrhovanie oceľových konštrukcií. Časť 2: Oceľové mosty, CEN. ÚNMS SR,
[P1] Consteel Software, ConSteel and csJoint, (R1)
[P2] Dlubal, Structural Engineering Software for Analysis and Design, (R1)
[P3] SAP 2000, Integrated Software for Structural Analysis and Design (R1)
[P4] Nemetschek Company, SCIA Engineer (R1)
[P5] Sofistik, (R1)
[P6] KSTAB FE-STAB: [ http://www.ruhruni-bochum.de/stahlbau/software/software.html.de ]
[P7] S3D, Program badawczy (R1)
[P8] Simulia, Abaqus, (R1)
[P9] Wolfram MathWorld, Mathematica, ExtremeValueDistributionSzyb
[P10] CTCIM, LTBeamN w. 1.0.3 [ https://www.cticm.com/logiciel/ltbeamn/ ], (R1)
[P11] Matlab