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Timestamp: 2016-08-30 13:12:52+00:00
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Departamento de Engenharia Civil Carlos França Nº 980012
Carlos França nº 980012
Por acção entende-se una força ou um conjunto de forças que actuam sobre as estruturas. Em Portugal, a qualificação e quantificação das acções sobre as estruturas é feita no Regulamento de Segurança e Acções Rara Estruturas de Edifícios e Pontes (RSA) -Dec.- Lei no. 235/83 de 31 de Maio de 1983. Segundo este é possível definir três grandes grupos de acções, em função do tempo de actuação sobre as estruturas, a saber: Acções Permanentes (P) -são acções que assumem valores constantes, ou com pequena variação em tomo do seu valor médio, durante ou praticamente toda a vida útil da estrutura - Valores característicos Acções Variáveis (V) - são acções que assumem valores com variação significativa em tomo do seu valor médio durante a vida útil da estrutura -Valores característicos e reduzidos. Acções de Acidente (A) - são acções que só com muita fraca probabilidade de ocorrência assumem valores significativos, durante a vida útil da estrutura- Valores Nominais Assim, para cada uma das diferentes acções é possível agrupá-las a um dos três grupos, isto é: Permanentes ( P) - Peso próprio dos elementos da estrutura -Peso dos equipamentos fixos -Impulsos de terras (O) -Peso das paredes divisórias (O)
-Sobrecargas de utilização (Q) -Vento (W) -Neve (S) -Sismo (E) -Variações de temperatura (ilt) -Pressões hidrostáticas
-Explosões -Incêndios -Choques de veículos
Critérios de combinação Na verificação da segurança das estruturas deverão ser consideradas as combinações das acções cuja a actuação simultânea seja verosímil e que produza na estrutura os efeitos mais desfavoráveis. Assim, por exemplo, não é considerado verosímil a actuação simultânea, no mesmo elemento, de sobrecargas devido à concentração de pessoas com as acções da neve ou do vento. A verificação da segurança de urna estrutura deve ser efectuada em relação a determinados estados limites. Entende-se por estado limite um estado a partir do qual se considera que a estrutura fica prejudicada total ou parcialmente na sua capacidade para desempenhar as funções que lhe são atribuídas. Os estados limites a considerar na verificação da segurança são de dois tipos, a saber: - Estados limites Últimos: de cuja ocorrência resultam prejuízos muito severos para a estrutura; -Estados Limites de Utilização: de cuja ocorrência resultam prejuízos pouco severos para estrutura. Os estados limites últimos são independentes da sua duração, enquanto que os estados limites de utilização são definidos tendo em conta urna duração (permanência durante urna certa parcela do período de vida da estrutura). Assim, a verificação de estruturas aos estados limites de utilização serão verificados para uma ou várias das seguintes combinações:
Combinações raras: correspondentes a estados limites de muito curta duração Combinações frequentes: correspondentes a estados limites de curta duração Combinações quase permanentes: correspondentes a estados limites de longa duração
Tipos e Classes de Betões
R.E.B.A.P – Artigo 13.º B 20 B – representa Betão 20 – Tensão característica de rotura de um provete à compressão ao fim de 28 dias (f) fck ( compressão ) / fctk ( tracção ) – só para provetes cúbicos c – concrete ( betão ) k – tensão característica
Eurocódigo 2 ( EC2 )
C16 / 20 – B20
fck ( MPa)
fck ( Mpa ) Nome > Para usar no cálculo
Provetes cúbicos – 20 x 20 Provetes cilíndricos – 15 x 30 Efeito Cintagem - não deixa um cubo deformar para os lados, assim resiste mais à compressão. - Nos provetes cúbicos a área é maior que nos cilíndricos
Tensão de rotura à compressão
R.E.B.A.P – Artigo 15.º
- A tensão de rotura do betão deve ser determinada por ensaios de cubos de 20 cm de aresta ou por ensaios de cilindros de 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, sendo os ensaios realizados aos 28 dias de idade.
σn dias = coeficiente de endurecimento n dias * fck ( 28 dias ) Característica do betão sem ser aos 28 dias - muito importante em obra
Idade do Betão ( dias ) Coeficiente de Endurecimento
360 1.35
α 1.45
Por vezes tem interesse considerar a variação da tensão de rotura do betão com a idade, sendo conhecido experimentalmente. Quando não é preciso uma grande precisão, utilizámos os valores do coeficiente de endurecimento (relação entre as tensões de rotura aos j dias e aos 28 dias de idade).
Tensão de rotura à tracção
R.E.B.A.P – Artigo 16.º Valores médios e característicos da tensão de rotura do betão à tracção simples, fctm e fctk.
Classe do Betão fctm fctk
B15 1.6 1.2
B20 1.9 1.4
B25 2.2 1.6
B30 2.5 1.8
B35 2.8 2.0
B40 3.1 2.2
B45 3.4 2.4
B50 3.7 2.6
B55 4.0 2.8
fctm - os valores indicados são obtidos pela seguinte expressão:
fctm = 0.30 fck 2/3
fck - valor característico da tensão de rotura por compressão, referida a provetes cilíndricos. - Os valores de fctk são da ordem de 0.7 dos valores de fctm. Exemplo : B20 fck = 16 Mpa fctk = 1.4 Mpa fctm = 1.9 Mpa B25 fck = 20 Mpa
fctk = 1.6 Mpa fctm = 2.2 Mpa
Módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson
R.E.B.A.P – Artigo 17.º
Classe do Betão Ec,28
26.0 27.5 29.0 30.5 32.0 33.5 35.0 36.0 37.0
- Utiliza-se υ = 0.2 para aplicações corrente, variando de 0 a 0.2
0.2 – Valor referente a deformações em fase não fendilhada 0 – Valor referente admitindo que o betão traccionado está fendilhado.
Ecj = 9.5 3 fcm, j
Valores de cálculo das tensões de rotura
R.E.B.A.P – Artigo 19.º Os valores de cálculo da tensão de rotura do betão à compressão, fcd, são definidos a partir dos correspondentes valores característicos, referidos a provetes cilíndricos, dividindo estes valores por um coeficiente de segurança γc tomado igual a 1.5.
No caso de compressão:
Exemplo: B20 : = 16 / 1.5 = 10.7 Mpa
fck γ betão
No caso de tracção:
fctk γ betão
Classe do Betão fcd fctd
B15 8.0
B35 20
10.7 13.3 16.7
23.3 26.7 30.0 33.3
0.80 0.93 1.07 1.20 1.33 1.47 1.60 1.73 1.87
Diagrama de Cálculo : Relações tensões-extensões de cálculo do betão
R.E.B.A.P – Artigo 20.º A tracção no betão é na maior parte das vezes desprezável, porque é muito inferior em relação à sua resistência à compressão. Betão sujeito à compressão simples
Só se utiliza 35% do valor de tensa de rotura porque o betão vai perdendo qualidades ao longo do seu tempo de vida. Aço sujeito à tracção
Cálculo Orgânico Ec
d x E.n 2 z Fs = σs * As 1 – Zona Compressão 2 – Zona Tracção Equação de Equilíbrio : ∑F=0→Fc = Fs 0.85 fcd * 0.8x * b = σs * As = fsyd * As Binário Mrd = Fc*z = Fs*z Equação de Compatibilidade : As extensões variam linearmente:
εs εs = x d−x
Z = d – 0.4x
Uma secção rompe pelo betão ► εc = 3.5 % / εs < 10 % → α > 0.259 Uma secção rompe pelo aço ► εc < 3.5 % / εs = 10 % → α < 0.259 Se : εc = 3.5 % / εs = 10 % → α = 0.259 ( caso raro )
R.E.B.A.P – Artigo 21.º Características Gerais: - Processo de fabrico: -aço natural laminado ( N ) – Liso ( L ) / Rugoso ( R ) -aço endurecido a frio por torção, tracção, trefilagem ou laminagem a frio ( E )
- Características geométricas: - Forma da secção transversal - Dimensões da secção transversal - Configuração da superfície: Lisa, rugosa (nervurada ou deformada) - Características mecânicas: - Módulo de elasticidade - Tensão de cedência ou tensão limite convencional de proporcionalidade a 0,2% - Tensão de rotura - Extensão após rotura - O comportamento em ensaios de dobragem -resistência à fadiga (quando necessário) - Características de aderência: -aderência normal ( liso ) -alta aderência. ( sup. Rugosa ) Quando se preveja a realização de soldaduras: - soldabilidade do aço em face do processo de soldadura a empregar.
R.E.B.A.P – Artigo 22.º Tipos de Aço – A235 / A400 / A500
A235 Tensão de cedência ( Mpa) característica ( fsyk )
Steel ( aço )
característico Yieling (cedência)
L – superfície lisa R – superfície rugosa N – laminado a quente E – endurecido a frio
Diagrama de Cálculo: Relações tensões-extensões de cálculo do aço
fsyd – valor de cálculo da tensão de cedência ou da tensão limite de proporcionalidade a 0.2 % à tracção de um aço das armaduras ordinárias fsycd – igual a fsyd
fsyd =
fsyk 1.15
E = tgα =
fsyd εsyd
fsyk A235 A400 A500 235 Mpa 400 Mpa 500 Mpa
Fsyd=fsycd 204 Mpa 348 Mpa 435 Mpa
εsyd 1.02 E -3 1.74 E -3 2.175 E -3
Diagrama de Ensaio à Tracção
Aço de dureza natural (tracção) Diagrama de Ensaio σs
σsr = fsuk
fsyd E = tgα
Es (%0 ) Esyd Esyk Esp 10 %0 Esr
fsyd – tensão de cálculo de cedência / fsyk – tensão de cedência
Aço Endurecido a Frio (tracção) Diagrama de Ensaio σs Diagrama de Cálculo
Es = tgα
Es (%0 ) 2 %0 Esyd 10 %0 Esr
Tensão Convencional de proporcionalidade a 0.2 % de um Aço
No caso do alumínio ( fig.b ) e de muitos outros materiais dúcteis, o início do escoamento não é caracterizado pelo trecho horizontal do diagrama (trecho este conhecido como patamar de escoamento) Em vez disso as tensões continuam aumentando embora não mais de maneira linear até que a tensão última é alcançada. Começa então a estricção que pode levar à ruptura. Para esses materiais se define um valor convencional para a tensão σe. A tensão convencional de escoamento é obtida tomando-se no eixo das abcissas a deformação específica ε = 0,2% (ou ε = 0,002), e por esse ponto traçando-se uma recta paralela ao trecho linear inicial do diagrama (Fig. a). A tensão (σe corresponde ao ponto de intersecção dessa recta com o diagrama; é definida como tensão convencional a 0,2%. Para um aço : A400
fsyd 348 Mpa = E 200 × 10 6
εsyd =
εsyd
A400 - εsyd - 1.7 0/00
R.E.B.A.P – Artigo 30.º ( RSA ) Artigo 31.1º – Variações de Temperatura Variações de temperatura sazonais – variações lentas de temperatura No caso na determinação dos esforços devido ás variações de temperatura sazonais considerase que o módulo de elasticidade do betão tem valores iguais a metade dos valores indicados no artigo 17.º e que o coeficiente de dilatação térmica linear do betão e do aço têm o valor de 10 x 10 E-6 / º C Então temos:
Ec - artigo 17.º 2
α =10 × 10 −6 /º C
Porquê esta redução para metade?
O funcionamento do betão é diferente em relação a uma acção lenta, do que em relação a uma acção rápida. Graficamente: σ
Para uma variação rápida de temperatura – Utilizo apenas ε
∆L = α.∆t L
Para uma variação sazonal (Lenta) Utilizo esta curva ε
E= Ec 2
Artigo 31.2º – Se a estrutura é reticulada cuja as dimensões não excedam os 30 m , não considero a acção da temperatura.
Retracção do Betão
R.E.B.A.P – ANEXO I Artigo 32.1º Retracção – reacção química entre os componentes do cimento e a água, quando da feitura do
betão. Quando estes reagem forma-se a pasta de cimento ligando os materiais inertes, libertando-se calor, sendo portanto uma reacção exotérmica. Esta reacção traduz-se numa redução das dimensões das peças de betão durante o seu endurecimento, terminando teoricamente ao fim de 28 dias. No entanto, quando se trata de peças de grandes dimensões, poderá um período de 2 a 3 anos. A retracção é uma acção permanente, assim se considera visto o seu efeito ser gravoso para a estrutura.
Factores que influenciam a retracção do betão - Condições higrométricas do ambiente - Consistência do betão fresco (composição granulométrica, dosagem de cimento, relação
- Espessura fictícia do elemento.
Artigo 32.2º
Perante este artigo considera-se que em casos correntes, que os efeitos finais da retracção são assimiláveis aos de um abaixamento lento e uniforme de temperatura de 15ºC. Aplicados aos artigos 31.1 e 31.2, sendo o módulo de elasticidade reduzido para metade.
Fluência do Betão
R.E.B.A.P – ANEXO I Fluência – característica do betão, considera-se uma perda de resistência á medida que
envelhece. As cargas permanentes são as únicas que influenciam. Ao ser aplicada ao betão uma tensão, por hipótese constante no tempo, pode esquematicamente considerar-se uma deformação elástica instantânea, seguida de uma deformação que se processa no tempo – deformação de fluência.
A fluência depende essencialmente de:
- Intensidade da acção com carácter permanente - Idade do betão na altura do carregamento - Duração da acção - Módulo de elasticidade do betão
Quantificação simplificada da fluência
εc – deformação total εi – deformação inicial εz – deformação de fluência sendo : εz ≈ 2εi εc = εi + εz εc ≈ 3εi
Disposições Gerais relativas a armaduras Armaduras principais e secundárias
R.E.B.A.P – Artigo 74.º
Armaduras principais – são das armaduras dimensionadas de acordo com o REBAP, para
resistir a esforços transversos e torção.
Armaduras secundárias – garantem o bom funcionamento da peça
- garantem a eficiência das armaduras principais - ligar os blocos de betão - limitam a fendilhação localizada em zonas de singularidade na geometria
Tipos de armadura secundária:
- armadura de distribuição em lajes - armadura de alma em vigota - armadura de suspensão - cintas de pilares - armadura transversal em parede
Agrupamento de Armaduras
R.E.B.A.P – Artigo 76.º
- Os varões de um agrupamento devem ser dispostos de tal modo que, numa dada direcção, não existam mais de 2 varões em contacto. - Fazer agrupamentos de varões com o mesmo diâmetro, ou diâmetros consecutivos
Soluções correctas:
Soluções Incorrectas:
- Diâmetro equivalente do agrupamento: Øn
Ø32 Ø25 Ø32
φn = 32 2 + 25 2 + 32 2
R.E.B.A.P – Artigo 77.º 77.1)
- A distância livre entre armaduras deve ser suficiente para : - realizar a betonagem e compactação em boas condições - assegurar um bom envolvimento das armaduras pelo betão - realizar boas condições de aderência
- A distância livre entre varões não deve ser inferior a : - 2 cm - Ø dos varões em causa - Utilizar o maior valor !
Posicionadores – servem para garantir os espaçamentos antes e durante a betonagem.
Nota : o que condiciona igualmente o espaçamento das armaduras é o diâmetro dos inertes
que serão contabilizados pela seguinte maneira : 1,5 * dimensão máxima do inerte
Recobrimento mínimo das armaduras
R.E.B.A.P – Artigo 78.º
- O Recobrimento das armaduras ou bainhas deve permitir : - realizar a betonagem em boas condições - assegurar a protecção contra a corrosão e transmissão de forças entre as armaduras e o betão (fendilhação).
Factores de que depende o recobrimento: - Agressividade do ambiente : pouco, moderadamente e muito agressivo - Qualidade do betão ( B30 melhor que B15 ) - Tipo de peça de betão armado , laminares e não laminares.
Peças laminares : são aquelas cujas apresentam dimensões diferentes. Lajes, paredes Peças não Laminares : pilares e vigas.
Valores mínimos: - 1.5 Cm -Ø - dinerte + 0.5
Peças não laminares:
Para betão de classe inferior a B30: - Ambientes pouco agressivos - r ≥ 2 cm - Ambientes moderadamente agressivos - r ≥ 3 cm - Ambientes muito agressivos - r ≥ 4 cm
B30/B35/B40
(reduzo 0.5) 1.5 Cm 2.5 Cm 3.5 Cm
B45 / > B45
(reduzo 1.0) 1.5 Cm 1.5 Cm 2.5 Cm
Peças laminares:
reduzo 0.5
Para betão de classe inferior a B30: - Ambientes pouco agressivos - r ≥ 1.5 cm - Ambientes moderadamente agressivos - r ≥ 2.5 cm - Ambientes muito agressivos - r ≥ 3.5 cm
(reduzo 0.5) 1.0 Cm 2.0 Cm 3.0 Cm
( reduzo 1.0) 1.5 Cm 1.5 Cm 2.5 Cm
r ≥ 1.5 Cm r ≥ Ø maior
Além de satisfazer as condições anteriormente estabelecidas, o recobrimento mínimo não deve ser inferior ao diâmetro das armaduras ordinárias ( ou ao diâmetro equivalente dos seus agrupamentos )
B30 / Laje / Moderadamente agressivo
3 – 0.5 ( por ser B30 ) – 0.5 ( por ser laminar ) = 2 Cm
B20 / Laje /Pouco agressivo
2 – 0.5 ( por ser B30 ) – 0.5 ( por ser laminar ) = 1 Cm – K.O ! → 1.5 é o mínimo!
Quando o recobrimento é maior que 5 Cm o betão pode fendilhar então deve ser colocada uma armadura de pele ( armadura secundária )
Curvaturas máximas dos varões ( armaduras )
R.E.B.A.P – Artigo 79.º
Existem diâmetros mínimos para as curvas interiores, caso não sejam respeitados , provocará micro-fissuração que diminuirá as capacidades do aço. Pode também originar o esmagamento do betão que se encontra dentro dos ferros, ou ainda provocar o rompimento do recobrimento.
Diâmetro interior mínimo da dobragem depende do: - aço da armadura - tipo de dobra - diâmetro da armadura
Aderência das armaduras de betão
R.E.B.A.P – Artigo 80.º
Os esforços aplicados nas armaduras serão transmitidos ao betão através da aderência, devido a existir esta aderência surge o betão armado. Esta aderência também é fundamental para definir um compartimento de amarração a partir de um ponto. A aderência é quantificada através de uma tensão de rotura de aderência, cujos valores dependem das características de aderência das armaduras, da classe do betão e das condições de envolvimento das armaduras pelo betão.
80.2 )
Do ponto de vista de aderência as armaduras classificam-se em :
- armaduras de aderência normal ( varões lisos simples) - armaduras de alta aderência ( rugosos )
Consideram-se os varões em boa aderência quando:
- na altura da betonagem formem um ângulo compreendido entre 45º e 90º - se o varão é horizontal e se estiver numa peça laminar inferior a 25 cm - numa peça com alturas superiores a 25 cm e se a armadura estiver colocada abaixo do meio da peça, também é considerada boa aderência, assim como se a armadura estiver 30 cm mais abaixo do betão.
≥ 45 º a 90º
Amarração dos varões de armaduras ordinárias
R.E.B.A.P – Artigo 81.º
Tipos de amarração: - Amarração recta ( considerar no nosso estudo ) - Amarração curvas ( cotovelo e gancho ) - Amarração por varões transversais soldados - Amarração por dispositivos especiais.
Varões Lisos – Amarrações com gancho
Excepto : Se os varões estiverem sempre comprimidos , convém fazer amarrações rectas. Amarrações rectas no caso dos varões estarem comprimidos em qualquer combinações de acções ( Pilares)
Varões Nervurados ( alta aderência )
Regra – amarrações rectas – 99.9 % dos casos Excepção _ Amarrações com ganchos ou cotovelos é permitida se os varões estiverem sempre traccionados.
81.3) Na zona de amarração de varões ou emendas colocar cintas, distribuídas ao longo da
zona de amarração.
Comprimentos de Amarração ( lb,net )
81.4) Os comprimentos de amarração são definidos por:
As, cal × α1 ≤ lbmin As, ef Fad em que: Fad = F
Comprimento Básico de Amarração
lb, net = lb ×
φ fsyd lb = × 4 fbd
fbd × π × φ × lb = fsyd ×
π × φ2 4 Tensão de rotura por aderência
não devendo ser tomados valores tomados inferiores a :
lbmin = 0.3lb < 10Ø < 10 cm - no caso de varões traccionados lbmin = 0.6lb < 10Ø < 10 cm - no caso de varões comprimidos
As,cal – secção da armadura requerida para o cálculo As,ef – secção da armadura efectivamente adoptada α1 – coeficiente que toma o valor de 0.7 no caso de amarrações curvas em tracção, e igual á
unidade nos restantes casos.
fsyd – valor de cálculo da tensão de cedência ou da tensão limite convencional de
proporcionalidade a 0.2% do aço.
fbd – valor de cálculo da tensão de rotura da aderência, definido pelo artigo 80º.
Emenda de varões de armaduras ordinárias
R.E.B.A.P – Artigo 84.º
84.1) As emendas dos varões de armaduras ordinárias podem ser realizadas por :
- sobreposição - soldadura - por meio de dispositivos mecânicos especiais. Devem ser usadas o menos possível e em zonas que os varões estejam sujeitos a tensões pouco elevadas.
b) lb,o – comprimento mínimo de sobreposição , no caso de varões traccionados: 15Ø lb,o = α2 . lb,net ≥ 20 Cm Em que Lb,net deve respeitar o artigo 81.4 e α2 o quadro XII. As amarrações por sobreposição devem ser executadas por gancho terminais, respeitando o artigo 81.2
α2 depende de : - quantidade de armadura que vai ser amarrada - condições de envolvimento dos varões que tem de ser amarrados.
No caso de varões comprimidos as emendas de sobreposição devem ser feitas apenas por troços rectos, tendo comprimentos de sobreposição lb,o de acordo com o artigo 81.
c) No caso de varões traccionados
Varões Traccionados Alta aderência ( R )
Ø< Ø16 – Emendar tudo Ø≥ Ø16 – Emendar ≤ ½ Área
Varões Traccionados Alta normal ( L )
Ø< Ø16 – Emendar ≤ ½ Área Ø≥ Ø16 – Emendar ≤ ¼ Área
Emenda de redes electrosoldadas
R.E.B.A.P – Artigo 85.º 85.2) 45 Cm Lsobreposição ≥
Garantir que tenho 5 varões transversais.
Determinação do vão teórico
R.E.B.A.P – Artigo 87.º - Vão teórico EC2 – 2.5.2.2.2 – Vão Efectivo
Vão teórico – vão com o qual vamos fazer o cálculo Depende : - do vão real das peças de betão armado - largura dos apoios - condições de apoio
Viga Simplesmente Apoiada: a1 a2 h
Lteórico ≤ l Livre l Livre + d ⅓ a1 Vão livre + ⅓ a1 + ⅓ a2
Viga Encastrada :
Lteórico ≤ l Livre
Vão livre + 1/2 a1 + 1/2 a2
l Livre + d 1/2 a1
Vigas em Consola Isolada
Llivre + d/2
Llivre ½d
Lteórico ≤ Llivre + h/2
Lteórico = Llivre + ½ a2
Vigas Contínuas d/2 ≤ a/2 a
Largura do Banzo comprimido das vigas em T
R.E.B.A.P – Artigo 88.
- Resiste a M+ em vigas T como vigas quadradas, se o eixo neutro tiver na lajeta resiste igual a uma peça quadrada! - São mais económicas, utilizar sempre que possível - Boa opção estrutural
≤ ½ Llivre
1/10 lo
balma + 2/10 lo bz ≤ balma + ½ Lv1 + ½ Lv2
lo – distância entre pontos de momento nulo, ou 0.7 * Lteórico
Altura mínima de vigas
R.E.B.A.P – Artigo 89.º
li → Altura mínima 20 × η
Depende : - do vão - condições de apoio
li – vão equivalente
li = α.l
- l ( vão teórico , efectivo )
α. – Relacionado com as condições de apoio
α = 2.4
η – depende somente do tipo de aço utilizado
A235 → η = 1.4 A400 → η = 1.0 A500 → η = 1.8
Armadura Longitudinal Máxima e Mínima
R.E.B.A.P – Artigo 90.º / EC2 artº 5.4.2.1.1 Armadura Mínima
0.6 × b × d ≤ 0.0015 × b × d fyk
Amáx ≤ 0.04 * b * h
Espaçamentos máximos dos varões da armadura longitudinal de vigas
R.E.B.A.P – Artigo 91.º Vigas
Ambiente Pouco Agressivo Moderadamente Agressivo
A235 -
A400 12,5 7,5
A500 10 5
Interrupção da armadura longitudinal ( DECALAJE )
R.E.B.A.P – Artigo 92.º
Porque se aplica a Decalaje?
A “ decalaje “ tem a ver com o esforço transverso, tendo como razão o cálculo do esforço transverso, para isso apoia-se no modelo da Treliça de MORSH.
Cortando a estrutura em vários pontos, o esforço é constante ao longa da barra. Tenho que garantir que o esforço em 2 é igual a 1, fazendo então uma decalaje.
Entre estes 2 pontos tenho que aguentar o mesmo esforço máximo.
Toda esta barra tem que resistir ao esforço mais desfavorável, para isso utilizo o diagrama de momento.
Em termos práticos só utilizo o diagrama de momentos, tendo em conta o prolongamento al + lbnet, tudo isto numa situação de dispensa!
Faço a dispensa apartir do diagrama de translação!
Comparação entre o REBAP e o EC2 Método Bielas EC2 - Artigo 5.4.2.1.3
al = 0.45 x cotgθ
R.E.B.A.P – Artigo 92
2 Vsd ≤ .τ 2.bw.d 3
Armadura de Alma
R.E.B.A.P – Artigo 96.º
Porque é preciso a colocação da armadura de alma? Vamos evitar grandes volumes de betão de forma a absorver esforços de tracção, controlando a fendilhação.
Grandes Volumes de Betão
Como é um H elevado vai atravessar as fendas e evitar um grande volume de betão.
Apoio Indirecto – Viga descarrega em viga
R.E.B.A.P – Artigo 98.1.º
2 Tipos de Armadura de suspensão : Lajes com a mesma espessura que as vigas ( embebidas) Quando as cargas estão a ser transmitidas abaixo do C.G das vigas Viga principal – a que dá apoio Viga secundária – a que descarrega
Neste caso a viga apesar de levar o estribo principal, leva a armadura de suspensão ( que também são estribos )
 Asw   Asw  Asw(Total ) =  et +  susp  s   s 
Rvs fsyd
Asw(susp) =
Armadura total de armadura de suspensão de Apoios Indirectos
Vp b2 Vs ≥ ext
b2 – base da viga secundária ( Vs) h1 – altura da viga principal ( Vp)
 Asw   Asw  Asw(Total ) =  et +  ap.indirecto  s   s  Rvs fsyd * ext
Asw(susp)a.ind =
Redução da quantidade de armadura de suspensão
A viga Vs tem altura menor que Vp e estão alinadas pela face superior.
Asw(susp)a.ind = Rvs h2 × fsyd * ext h1
Não posso reduzir a armadura de suspensão
Amarração da armadura secundária na viga principal
A amarração é feita para o lado, não amarra para cima !!! Amarrar para o lado para controlar uma possível fendilhação, absorvendo as tracções verticais, estou a “ cozer “ a fenda ! Tendo fendas perpendiculares ás amarrações.
1/3 ( amarra + 1/3 apartir da face interior ) Apoios directos
2/3 Lbnet
≥ 10 Ø / 2/3 lbnet
Altura mínima de Lajes
R.E.B.A.P – Artigo 100.º
Larg Condições de uma laje : Larg > 5x espessura da laje Condições de uma viga : Larg ≤ 5x espessura da laje
R.E.B.A.P – Artigo 102.1.º - Espessura Mínima
Laje de terraço não acessíveis – h ≥ 5 cm Laje com carga uniforme distribuída - h ≥ 7 cm Laje com cargas concentradas relativamente importantes - h ≥ 10 cm Laje com cargas concentradas muito importantes - h ≥ 10 cm Laje funjiforme - h ≥ 15 cm
R.E.B.A.P – Artigo 102.2.º - Para cumprir o estado último de deformação
li → Altura mínima 30 × η
li – vão equivalente li = α.l
α – Relacionado com as condições de apoio
Laje Armada numa só direcção
- Laje simplesmente apoiada numa só direcção α=1 - Laje duplamente encastrada e a trabalhar numa só direcção α = 0.6
- Laje apoiada num bordo e encastrada no outro, armada numa só direcção
α = 0.8 - Laje em consola numa só direcção α = 2.4
Laje Armada em duas direcções
- Laje simplesmente apoiada α = 0.7 Laje duplamente encastrada α = 0.5
Quando afecta a deformação de paredes divisórias
li → Altura mínima 180 × η
Deformações do Betão
Deformações Elásticas – devidas as carregamento ou á variação de temperatura. Desaparecem completamente com a retirada do carregamento. Deformações Plásticas – devidas ás cargas elevadas de curta duração Não desaparecem totalmente com a retirada da carga
Deformações que são função do tempo e das condições climáticas
- Retracção – deformação independente do carregamento (dá-se em poucos dias) - Fluência – deformação que depende do carregamento (aumenta ao longo do tempo)
Método das Bielas de Inclinação Variável
Vrd1 – Valor de cálculo do esforço transverso resistente sem armadura de esforço transverso. Vrd2 – Valor máximo do esforço transverso que pode ser suportado sem esmagamento das
bielas fictícias de betão.
Verificação de Segurança :
Vsd ≤ Vrd2 Vsd ≤ Vrd3
Vsd ≤ Vrd1 – não necessita estribo / estribo mínimo Vsd > Vrd1 : - Vsd ≤ Vrd2 Carlos França nº 980012
Vsd ≤ Vrd3
Vrd1 = τrd × K × (1.2 + 40 × pl) × b × d
K=1 - se dispensa armadura longitudinal igual ou superior a 50 % K=1.6-d - se dispensa menos de 50% ou não faz qualquer dispensa
Asl ≤ 0.02 - se dispensamos a armadura, entramos com a armadura depois da dispensa. b.d Armadura de tracção.
Se : Vrd1 > Vsd , não calcular Vrd2 e Vrd3 – O betão resiste por si só – Estribo mínimo. - Z = 0.9 × d
b × z × υ × fcd Vrd2 = > Vsd cotgθ + tgθ
- Se Asl é contínua : Cotgθ = 2.5/ tg θ = 0.4 - Se Asl é dispensada : Cotgθ = 2.0 / tg θ = 0.5
- υ = 0.7 − fck > 0.5 200 fck em Mpa
fywd 204 Mpa 348 Mpa 435 Mpa
Vrd3 ≥ Vsd =
Asw × 0.9 × d × fwyd × cotgθ s
Asw Vsd ≥ cm 2 /m s 0.9 × d × fywdxcotg θ
Limitações de θ :
68.2 > θ > 21.8 0.4 > cotg θ > 2.5 Verificação Suplementar 63.4 > θ > 26.6
Asw 1 υ × fcd × b ≥ × s 2 fywd
0.5 > cotgθ > 2.0
maior cotgθ → menor θ ► menor quantidade de armadura de esforço transverso, maiores tensões no betão.
Percentagem de Armadura Transversal E.C – 5.4.2.2
ρw = Asw ≥ ... s.bw
Classe Do Betão C12/15 e C20/25 A235 0.0016 0.0024 0.0030 Classe de Aço A400 0.0009 0.0013 0.0016 A500 0.0007 0.0011 0.0013
Asw = ρw × b s min
C25/30 a C35/45 C40/45 a C50/60
Espaçamento longitudinal máximo Slmáx entre ramos sucessivos de estribos:
1 Vrd2 5
slmax ≤ 0.8d / < 30 cm Sl ( Longitudinal )
1 2 Vrd2 < Vsd ≤ Vrd2 stmax ≤ 0.6d / < 30 cm 5 3 Vsd > 21 Vrd2 3
slmax ≤ 0.3d / < 20 cm
O espaçamento transversal dos ramos de um estribo não deve ser superior a :
stmax ≤ d ou 80 cm ( o menor )
2 1 Vrd2 < Vsd ≤ Vrd2 stmax ≤ 0.6d / < 30 cm 3 5 Vsd > 21 Vrd2 3
stmax ≤ 0.3d / < 20 cm
Calcular o espaçamento do estribo
st ≤ Escolher diametro Asw/s
St ( Transversal )
Diga exemplificando o que entende por estados limites.
A verificação da segurança de urna estrutura deve ser efectuada em relação a determinados estados limites. Entende-se por estado limite um estado a partir do qual se considera que a estrutura fica prejudicada total ou parcialmente na sua capacidade para desempenhar as funções que lhe são atribuídas. Os estados limites a considerar na verificação da segurança são de dois tipos, a saber:
- Estados limites Últimos: de cuja ocorrência resultam prejuízos muito severos para a
-Estados Limites de Utilização: de cuja ocorrência resultam prejuízos pouco severos para estrutura. Os estados limites últimos são independentes da sua duração, enquanto que os estados limites de utilização são definidos tendo em conta urna duração (permanência durante urna certa parcela do período de vida da estrutura). Assim, a verificação de estruturas aos estados limites de utilização serão verificados para uma ou várias das seguintes combinações:
Diga o que representa a designação C20/25, dando o significado a cada um dos símbolos e explique as suas características principais.
R.E.B.A.P – Artigo 13.º B 25
B – representa Betão 25 – Tensão característica de rotura de um provete à compressão ao fim de 28 dias (f)
fck ( compressão ) / fctk ( tracção ) – só para provetes cúbicos
c – concrete ( betão ) k – tensão característica
C20 / 25 – B25
Provetes cúbicos – 20 x 20 Provetes cilíndricos – 15 x 30
Efeito Cintagem - não deixa um cubo deformar para os lados, assim resiste mais à compressão.
- Nos provetes cúbicos a área é maior que nos cilíndricos
Diga o que representa a designação A500NR, dando o significado a cada um dos símbolos e explicitando as suas principais características.
Considere o aço A500NR. Num sistema de eixos σs – εs desenhe o diagrama de cálculo que relaciona as tensões de tracção e de compressão com as respectivas extensões ( apresente os valores dos pontos notáveis desse diagrama )
fsyk 500 = = 435 Mpa 1.15 1.15
σs 435 = = 2.18 %. Es 200E^3
σs = fsyd
Considere o aço A500 ER e o REBAP. a) Num sistema de eixos σs – εs desenhe o diagrama que relaciona as tensões com as extensões a considerar na determinação dos valores de cálculo dos esforços resistentes de peças de betão armado; nesse diagrama atribua valores aos pontos notáveis, distinguindo claramente entre a zona correspondente à tracção e à compressão. b) O REBAP impõe diferentes limitações às extensões de alongamento e encurtamento. Explique o porquê deste procedimento.
Considere o aço A400EL. Num sistema de eixos σs – εs desenhe o diagrama de cálculo que relaciona as tensões de tracção e de compressão com as respectivas extensões ( apresente os valores dos pontos notáveis desse diagrama )
Num sistema de eixos σs – εs desenhe o diagrama de cálculo que relaciona as tensões de compressão do betão com as respectivas extensões ( apresente os valores dos pontos notáveis desse diagrama considerando um betão C16/20 (B20)
Tem por vezes interesse considerar a variação da tensão de rotura do betão com a idade.Como se podem obter esses valores? Dê uma ideia dessa variação ao longo do tempo.
- A tensão de rotura do betão deve ser determinada por ensaios de cubos de 20 cm de aresta
ou por ensaios de cilindros de 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, sendo os ensaios realizados aos 28 dias de idade.
fck - valor característico da tensão de rotura por compressão, referida a provetes cilíndricos. - Os valores de fctk são da ordem de 0.7 dos valores de fctm. Exemplo :
fck = 16 Mpa fctk = 1.4 Mpa fctm = 1.9 Mpa
Diga exemplificando o que entende por valor característico e por valor de cálculo das características resistentes de um dado material.
R.E.B.A.P – Artigo 19.º
Os valores de cálculo da tensão de rotura do betão à compressão, fcd, são definidos a partir dos correspondentes valores característicos, referidos a provetes cilíndricos, dividindo estes valores por um coeficiente de segurança γc tomado igual a 1.5.
Porque razão se impõe um valor mínimo para o recobrimento das armaduras? Como é medido? De que factores depende?
B30/B35/B40 B45 / > B45
2 – 0.5 ( por ser B30 ) – 0.5 ( por ser laminar ) = 1 Cm – K.O ! → 1.5 é o mínimo! Quando o recobrimento é maior que 5 Cm o betão pode fendilhar então deve ser colocada uma armadura de pele ( armadura secundária )
Defina armaduras principais e armaduras secundárias. Dê exemplos de cada um dos tipo de armaduras referidos.
Diga o que entende por retracção do Betão. Para os casos correntes de estruturas de betão armado, como pode ser feita simplificadamente a determinação dos esforços actuantes devidos à retracção?
- Espessura fictícia do elemento. Artigo 32.2º
Diga o que entende por fluência do betão? Quais as principais consequências deste efeito numa estoutra de betão? Em que tipo de estruturas este efeito assume a maior importância
Porque razão os comprimentos de amarração de varões de armaduras ordinárias variam em função das condições de aderência? Em que casos se pode considerar que os varões se encontram em condições de boa aderência.
Os esforços aplicados nas armaduras serão transmitidos ao betão através da aderência, devido a existir esta aderência surge o betão armado. Esta aderência também é fundamental para definir um compartimento de amarração a partir de um ponto. A aderência é quantificada através de uma tensão de rotura de aderência, cujos valores dependem das características de aderência das armaduras, da classe do betão e das condições de envolvimento das armaduras pelo betão. O comprimento de amarração de referência é o comprimento recto necessário para amarrar a força As.fyd num varão, admitindo uma tensão de cedência constante e igual a fbd.
81.5) Os comprimentos de amarração são definidos por:
As, cal × α1 ≤ lbmin As, ef Fad
em que: Fad = F
π × φ2 4
Tensão de rotura por aderência
Qual a finalidade da imposição regulamentar de armadura longitudinal mínima de tracção em vigas? Explique sucintamente como se obtêm as percentagens que vêm referidas no REBAP.
No caso de vigas a finalidade da aplicação da armadura está relacionada com o controlo da fendilhação, essa quantidade de armadura tem como objectivo evitar roturas súbitas dos varões quando surja a fendilhação do betão. Deste facto assim deriva a imposição da disposição duma percentagem mínima de armadura que é função do aço utilizado, mediante o REBAP.
R.E.B.A.P – Artigo 90.º Armadura Mínima
As × 100 b×d
p não deve ser inferior a 0.25 para A235 , 0.15 para A400 e 0.12 para A500. Sendo : As – área da secção da armadura b – largura média da zona traccionada da secção d- altura útil da secção
Porque razão se impõe uma limitação ao afastamento máximo de armaduras longitudinais de vigas e de lajes? Enumere os factores que condicionam a fixação desses afastamentos máximos.
Espaçamentos máximos dos varões da armadura longitudinal de vigas e lajes
R.E.B.A.P – Artigo 91.º Lajes
A400 25 15
A500 20 10
Diga o que entende por “ armadura de alma “. Segundo o REBAP em que situações deve ser obrigatoriamente utilizada e porquê?
No cálculo da armadura longitudinal de flexão, em que casos podem as vigas T ser tratadas como vigas de secção rectangular com a mesma altura e largura do banzo superior? Justifique convenientemente tal procedimento.
Por que razão no REBAP se impõe um valor mínimo para a altura de lajes maciças e de que factores depende?
Porque se impõe uma translação “ al “ ao diagrama de cálculo dos momentos flectores? De que depende esses valor “ al” no cálculo das vigas?
Devido à formação de fendas de esforço transverso, as tensões nas armaduras longitudinais de tracção dos elementos submetidos à flexão são maiores do que as que se obtêm pela simples consideração dos momentos flectores. Tal facto dá lugar à obrigatoriedade da translação do diagrama de momentos para o dimensionamento das armaduras longitudinais. Assim o REBAP especifica que a armadura longitudinal de tracção das vigas só pode ser interrompida desde que garanta a absorção das forcas de tracção correspondentes a um diagrama obtido por translação, paralela ao eixo da viga, do diagrama Msd/z, em que Msd é o valor de calculo do momento actuante numa secção e z é o braço das forças internas na secção. O valor de al depende : do valor de cálculo do esforço actuante Vsd do tipo de armadura de esforço transverso.
Estribos Verticais: 2 Vsd ≤ .τ 2.bw.d 3
O que representa Vrd1( EC2 ) e enuncie alguns dos factores de que depende.
Vrd1 = τrd × K × (1.2 + 40 × pl) × b × d Vrd1 - valor de cálculo do esforço transverso resistente do elemento sem armadura de esforço transverso.
τrd - valor de referência para cálculo do esforço transverso resistente de elementos sem
armadura de esforço transverso. K – constante relacionada com a altura da secção e a interrupção das armaduras. pl – percentagem de armadura correspondente a Asl. b- base d – altura útil
Se : Vrd1 > Vsd , não calcular Vrd2 e Vrd3 – O betão resiste por si só – Estribo mínimo.
O EC2 impõe a verificação Vsd ≤ Vrd2 no estudo do esforço transverso. Justifique este procedimento, mencionando o significado de Vrd2 e alguns dos factores de que depende.
- Z = 0.9 × d
Vrd2 – Valor máximo do esforço transverso que pode ser suportado sem esmagamento das bielas fictícias de compressão de betão. Depende de : b- base z – braço do binário das forças interiores correspondente ao momento flector máximo. v- factor de eficácia. θ – ângulo das bielas de betão com o eixo do elemento
Como explica que uma viga só de betão armado só com armadura de flexão e sem nenhuma armadura transversal resista a um determinado esforço transverso.
Para se verificar tal situação temos que verificar a condição : Vsd < Vrd1, assim o betão resiste por si só. Mas existem excepções, em que apesar desta situação acontecer temos que utilizar uma armadura mínima de esforço transverso.
Diga o que representa lbnet. De que factores depende?
81.6) Os comprimentos de amarração são definidos por: As, cal × α1 ≤ lbmin As, ef Fad em que: Fad = F
não devendo ser tomados valores tomados inferiores a : lbmin = 0.3lb < 10Ø < 10 cm - no caso de varões traccionados lbmin = 0.6lb < 10Ø < 10 cm - no caso de varões comprimidos As,cal – secção da armadura requerida para o cálculo As,ef – secção da armadura efectivamente adoptada α1 – coeficiente que toma o valor de 0.7 no caso de amarrações curvas em tracção, e igual á unidade nos restantes casos. fsyd – valor de cálculo da tensão de cedência ou da tensão limite convencional de proporcionalidade a 0.2% do aço. fbd – valor de cálculo da tensão de rotura da aderência, definido pelo artigo 80º.
As emendas dos varões das armaduras ordinárias podem ser feitas por sobreposição, por soldadura ou por meio de dispositivos mecânicos especiais. No caso de emendas por sobreposição, diga como é quantificado o comprimento de sobreposição de varões de armaduras ordinárias, mencionando os factores que influenciam.
84.2) As emendas dos varões de armaduras ordinárias podem ser realizadas por :
Varões Traccionados Alta aderência ( R ) Varões Traccionados Alta normal ( L )
Ø< Ø16 – Emendar tudo Ø≥ Ø16 – Emendar ≤ ½ Área Ø< Ø16 – Emendar ≤ ½ Área Ø≥ Ø16 – Emendar ≤ ¼ Área
R.E.B.A.P – Artigo 85.º 85.2) 45 Cm Lsobreposição ≥ Garantir que tenho 5 varões transversais. ≥ 45 Cm
As armaduras de esforço transverso em vigas podem ser realizadas por estribos ou varões inclinados. No entanto, o REBAP a utilização preferencial de estribos. Explique esta atitude, indicando as vantagens de utilização de estribos.
Os estribos verticais envolvem as armaduras longitudinais e podem ser dispostos com pequenos espaçamentos junto às faces da alma, apresentam-se com eficiência quer em serviço, que na rotura, sendo ainda as armaduras de mais simples execução. Os estribos inclinados são teoricamente a armadura ideal para o esforço transverso , pois conseguem controlar bem a fendilhação, diminuindo o valor dos esforços de compressão das bielas de betão e o valor do deslocamento do diagrama dos esforços de tracção.
Em relação aos varões inclinados, embora com a direcção das tensões principais de tracção, têm o inconveniente de se verificar a fendilhação das bielas de betão que nelas se apoiam, não devendo ser utilizado junto às faces da viga e não tendo assim praticamente contribuição para a limitação da abertura de fendas devido as esforço transverso. O regulamento sugere que no caso da sua utilização, seja atribuída aos estribos uma fracção apreciável do esforço transverso às armaduras (pelo menos 2/3 do valor a absorver por armaduras transversais)
No caso de cargas aplicadas à parte inferior das vigas, para além das armaduras transversais calculadas a partir do diagrama de esforço transverso, são usados estribos adicionais. Justifique convenientemente o uso destes estribos e indique como se calculam.
Neste caso a viga apesar de levar o estribo principal, leva a armadura de suspensão ( que também são estribos ) Armadura Total :
Armadura de Suspensão: Rvs fsyd
Em que modelo estrutural se baseia o EC2 para fazer o estudo do esforço transverso? Descreva sucintamente esse modelo.
O comportamento resistente de uma viga de betão armado em fase de fendilhação, com armadura transversal para resistir ao esforço transverso, pode ser avaliado pela clássica analogia da treliça, desenvolvida por E.Morsh. Morsh idealizou a treliça constituída por dois banzos paralelos, um banzo comprimido de betão e um banzo traccionado constituído pelas armaduras longitudinais. Estes banzos estavam ligados entre si por diagonais comprimidas a 45º e diagonais traccionadas formando um ângulo α com a horizontal, constituídas pela armadura transversal.
Modelo da treliça simples de E.Morsh
Explique porque devem ser cintadas as zonas de amarração de varões e porque se distingue entre varões traccionados e comprimidos no artigo 81.3 do REBAP, do qual seguidamente se transcreve um excerto.
81.3 – “ Nas zonas de amarração dos varões, o betão deve ser cintado por uma armadura transversal (estribos ou cintas) distribuída ao longo da zona de amarração, no caso de varões traccionados com amarrações recta, e concentrada junto aos extremos dos varões, nos restantes casos. “
Exponha sucintamente as principais diferenças entre o método preconizado pelo REBAP e o Método Padrão do EC2, na verificação do estado limite último de resistência ao esforço transverso de uma laje maciça de betão armado sem armadura de esforço transverso.
As vigas em T de betão são eficientes na resistência aos momentos positivos a) Comente a afirmação anterior, explicando-a. b) O que tem a dizer sobre a eficiência das vigas T na resistência aos momentos negativos e esforços transversos.
Nas estruturas reticuladas cuja maior dimensão em planta não exceda 30 metros, pode ser dispensada a determinação dos efeitos devido à retracção do betão. Justifique tal procedimento.
Este facto é justificado visto as acções produzidas pela retracção tem carácter de acção permanente, os coeficientes ψ a tomar nas suas combinações devem ser tomados iguais à unidade; por motivo idêntico, pode dizer-se que os coeficientes de segurança a aplicar deverão ser 1.0 ou 1.5, conforme os respectivos efeitos sejam favoráveis ou desfavoráveis à segurança.
Elaborado por : Carlos França Nº 980012 IPP – ISEP - DEC 12 / Janeiro / 2004
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