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NORMAS TECNICAS DE INGENIERIA: septiembre 2012
Ubicación de la sobrecarga - I
en que no se conoce la ubicación exacta de todas
cargas, los máximos
momentos mayorados
determinan para las condiciones de carga ilustradas
tres tramos de
la Figura 20-9, las cuales
a. Si la sobrecarga de servicio es menor o igual que tres cuartos de la carga permanente de servicio, para determinar los momentos negativos y positivos mayorados sólo es necesario analizar la distribución de cargas (1) suponiendo que en
todos los tramos actúa la totalidad de la sobrecarga mayorada.
b. Si la relación entre la sobrecarga
permanente de servicio
es mayor que tres cuartos, para determinar todos los momentos mayorados
en las vigas placa es necesario considerar las cinco distribuciones
de cargas ilustradas. Las distribuciones de cargas (2) a (5)
consideran sobrecargas mayoradas
momentos mayorados. Sin embargo, cuando hay sobrecargas parciales, los momentos mayorados no se pueden tomar menores que los que ocurren cuando la totalidad de la sobrecarga mayorada actúa en todos los tramos. En consecuencia,
el análisis también debe incluir la distribución
Columnas equivalentes (R13.7.4) - II
La rigidez flexional de la columna equivalente, Kec, se da en términos de su inversa, o flexibilidad, de la siguiente manera
Para los propósitos del cálculo, el diseñador tal vez prefiera la siguiente expresión, directamente en términos de la rigidez:
donde Kct = rigidez flexional en la parte superior de la columna inferior que concurre a la unión;
Kcb = rigidez flexional en la parte inferior de la columna superior que concurre a la unión;
Kta = rigidez torsional de cada elemento torsional, uno a cada lado de la columna, incrementada debido a la presencia de vigas paralelas (si es que hay vigas paralelas)
Columnas equivalentes (R13.7.4) - I
Con la publicación de ACI 318-83 se eliminó del Código el concepto de columna equivalente que definía un elemento de una rigidez única consistente en las columnas reales por encima y por debajo de las vigas placas más elementos torsionales transversales unidos a las mismas. Desde que gracias al uso de las computadoras comenzaron a popularizarse los análisis de losas en dos direcciones mediante el Método del Pórtico Equivalente, la idea de combinar las rigideces de las columnas con las rigideces de los elementos torsionales para obtener una rigidez única perdió gran parte de su atractivo. Sin embargo, el concepto de columna equivalente se retuvo en el comentario hasta la edición del Código de 1989, con el objetivo de que sirviera de ayuda para analizar vigas placas a diferentes niveles de piso solicitadas exclusivamente a cargas gravitatorias, particularmente cuando para el análisis se usaba distribución de momentos u otros procedimientos de cálculo manuales. Aunque en el artículo R13.7.5 aún se reconoce el concepto de columna equivalente, en la edición de 1995 del Código se eliminó del artículo R13.7.5 el procedimiento detallado para calcular la rigidez de la columna equivalente, Kec, que se había incluido en 1983.
Tanto en el Ejemplo 20-1 como en el Ejemplo 20-2 se utiliza el concepto de columna equivalente con distribución de momentos para análisis bajo cargas gravitatorias.
El concepto de columna equivalente modifica la rigidez de la columna para tomar en cuenta la flexibilidad torsional de la unión losa-columna que reduce su eficiencia para transmitir momentos. En la Figura 20-3 se ilustra una columna equivalente. La columna equivalente consiste en las columnas reales por encima y por debajo de las vigas placas, más elementos torsionales "unidos" a ambos lados de las columnas, los cuales se extienden hasta los ejes de los paneles adyacentes. Observar que para los pórticos de borde, sólo hay un elemento solicitado a torsión unido en uno de los lados. La presencia de vigas paralelas también afecta la rigidez de la columna equivalente.
Elementos torsionales - III
Figura 20-8 – Constante C,
que define las propiedades torsionales de un elemento
Elementos torsionales - II
El término C es una constante de la sección transversal que define las propiedades torsionales de cada uno de los elementos torsionales que concurren a una unión:
siendo x la menor dimensión de un componente rectangular e y la mayor dimensión de un componente rectangular.
El valor de C se calcula dividiendo la sección transversal del elemento torsional en componentes rectangulares independientes y asumiendo los valores de C para cada rectángulo. La sección transversal se debería subdividir de manera de obtener el mayor valor de C posible. En la Figura 20-8 se ilustra la aplicación de la expresión para C.
Si a un apoyo concurren vigas en la dirección en la cual se están determinando los momentos, la rigidez torsional Kt dada por la Ecuación (1) se debe incrementar de la siguiente manera:
donde: Kta = rigidez torsional aumentada debido a la viga paralela (observar la viga paralela ilustrada en la Figura 20-3)
Is = momento de inercia de un ancho de losa igual a la totalidad del ancho entre los ejes de los paneles, ℓ2, excluyendo
la porción del alma de la viga que se prolonga por encima y por debajo de la losa (observar la parte A en la
Figura 20-3)
Isb = momento de inercia de la sección de losa especificada para Is incluyendo la porción del alma de la viga que se prolonga por encima y por debajo de la losa (para la viga paralela ilustrada en la Figura 20-3, Isb corresponde a la totalidad de la sección Te ilustrada)
20-7 – Elementos torsionales
Elementos torsionales - I
En la Figura 20-7 se ilustran algunos elementos torsionales. La sección transversal de un elemento torsional es la mayor de las secciones definidas por las tres condiciones dadas en el artículo 13.7.5.1. En la Figura 20-7, debajo de cada ilustración se indica
la condición determinante, (a), (b) o (c).
Figura 20-6 – Secciones para calcular la rigidez de las columnas, Kc
La rigidez torsional Kt de un elemento torsional se calcula mediante la siguiente expresión
donde la sumatoria abarca los elementos torsionales que concurren a una unión: dos en el caso de los pórticos interiores, y uno en el caso de los pórticos exteriores.
En la Figura 20-6 se ilustran condiciones de apoyo habituales. La rigidez de las columnas se basa en una altura de columna, ℓc, medida entre el plano medio de la losa superior y el plano medio de la losa inferior. Para determinar la rigidez flexional de una columna, Kc, se pueden usar los diagramas de rigidez para columnas. Los diagramas de rigidez se basan en las siguientes consideraciones:
a. El momento de inercia de la columna fuera de la unión con la viga placa se basa en el área de la sección transversal bruta del hormigón. Se debe considerar la variación del momento de inercia a lo largo del eje de la columna entre las uniones con las vigas placa. En el caso de las columnas con capiteles, se asume que el momento de inercia varía linealmente desde la base del capitel hasta el fondo de la viga placa (13.7.4.1 y 13.7.4.2).
b. Se asume que en una unión el momento de inercia entre la parte superior y la parte inferior de la viga placa es infinito (I = ∞). Como en el caso de las vigas placas, el factor de rigidez de las columnas Kc no se puede basar en la hipótesis de elemento prismático uniforme (13.7.4.3).
Para determinar las rigideces reales de las columnas y los coeficientes de continuidad se puede usar la Tabla A7 del Apéndice 20A.
Vigas placa - II
Figura 20-4 – Secciones para calcular las rigideces de las vigas placa, Ksb
Figura 20-5 –
calcular las rigideces
de las vigas placa, Ksb
Las Tablas A1 a A6 del Apéndice 20A al final de este capítulo contienen coeficientes de rigidez, coeficientes de continuidad, y coeficientes para los momentos en los extremos empotrados correspondientes a diferentes configuraciones geométricas y de cargas. Estas tablas abarcan una amplia gama de relaciones tamaño/luz tanto para la dirección longitudinal como para la dirección transversal. La Tabla A1 se puede usar para placas planas y para losas en dos direcciones con vigas. Las Tablas A2 a A5 se utilizan para losas planas y losas nervuradas con diferentes alturas de ábaco (cabezas macizas). La Tabla A6 cubre el caso poco habitual de una placa plana combinada con una losa plana. Se proveen coeficientes para los momentos en los extremos empotrados tanto para cargas uniformes como para cargas uniformes parciales. Los coeficientes para cargas parciales fueron desarrollados para cargas distribuidas en una longitud igual a 0,2ℓ1. Sin embargo, las cargas que actúan sobre una porción mayor de la luz se pueden considerar sumando los efectos de cargas que actúan en cada intervalo equivalente a 0,2ℓ1.
Por ejemplo, si la carga parcial se extiende en una longitud igual a 0,6ℓ1 se deben sumar los coeficientes correspondientes a tres intervalos consecutivos de 0,2ℓ1. Esto permite gran flexibilidad en la disposición de las cargas. En el caso de las cargas concentradas, en la ubicación correspondiente se puede considerar una carga parcial de mayor intensidad, y asumir que ésta se distribuye en una luz de 0,2ℓ1. Para obtener los valores de los parámetros comprendidos entre los valores listados se puede interpolar linealmente. En cada tabla se ilustran diagramas de rigidez. Aplicando el criterio profesional, con ayuda de la información contenida en estas tablas es posible considerar otras numerosas condiciones diferentes
Figura 20-3 – Elementos
de un pórtico equivalente
En las Figuras 20-1 y 20-2 se ilustra la aplicación de las definiciones dadas en los artículos 13.7.2, 13.2.1 y 13.2.2. En el caso de los sistemas de losas en los cuales las longitudes de las luces varían a lo largo de la franja de diseño, el diseñador deberá aplicar su criterio profesional para aplicar las definiciones dadas en 13.2.1. Los elementos que componen el pórtico equivalente son vigas placa y elementos torsionales (elementos horizontales transversales) soportados por columnas (elementos verticales). Los elementos torsionales permiten transferir momentos entre las vigas placa y las columnas. En la Figura 20-3 se ilustran los elementos de un pórtico equivalente. El primer paso del análisis del pórtico exige determinar la rigidez flexional de los elementos del pórtico equivalente
Figura 20-1 – Pórticos
equivalentes para una estructura de cinco plantas
Antes de proceder con la aplicación del Método del Pórtico Equivalente es necesario determinar una altura preliminar para la losa, h, a fin de limitar las flechas de acuerdo con los requisitos de altura mínima del artículo 9.5.3. La Tabla 18-1 y la Figura 18-3 se pueden utilizar para simplificar el cálculo de la altura mínima. Para los sistemas de losas sin vigas, en esta etapa del diseño es aconsejable verificar la resistencia de la losa en la proximidad de las columnas u otros apoyos, de acuerdo con los requisitos especiales para losas del artículo 11.12. Ver la discusión sobre el artículo 13.5.4 en el Capítulo 18 de este documento.
El Método del Pórtico Equivalente convierte un sistema aporticado tridimensional con losas en dos direcciones en una serie de pórticos bidimensionales (vigas placa y columnas), un sistema en el cual cada pórtico se extiende en la totalidad de la altura de la estructura, como se ilustra en la Figura 20-1. El ancho de cada pórtico equivalente se extiende hasta la mitad de la luz entre los centros de las columnas. El análisis completo del sistema de losas en dos direcciones consiste en analizar una serie de pórticos interiores y exteriores equivalentes que atraviesan la estructura transversal y longitudinalmente. Para cargas gravitatorias, las vigas placa en cada entrepiso o cubierta (nivel) se pueden analizar de forma independiente, considerando empotrados los extremos más alejados de las columnas (13.7.2.5).
El análisis elástico mediante el Método del Pórtico Equivalente se aplica a estructuras en las cuales las columnas están dispuestas formando un patrón básicamente ortogonal, con hileras de columnas dispuestas en forma longitudinal y transversal.
El método de análisis se aplica a losas con o sin vigas entre apoyos.
El Método del Pórtico Equivalente se puede utilizar para analizar una estructura solicitada por cargas laterales, siempre que las rigideces de los elementos del pórtico se modifiquen para tomar en cuenta la fisuración y otros factores relevantes. Ver la discusión sobre el artículo 13.3.1.2 en el Capítulo 18 de este documento.
Proveer armadura de corte mínima de acuerdo con el artículo 11.5.5.3. 11.5.5.1
Vigas E-W:
Resistencia al corte requerida a ser provista por medio de armadura de corte:
b. Losas (bw = 12 in.; d = 5 in.).
La resistencia al corte de la losa es adecuada sin armadura de corte.
7. Las vigas de borde se deben diseñar para resistir el momento no transferido a las columnas exteriores por las vigas interiores, de acuerdo con el artículo 11.6.
b. Columnas exteriores.
El momento negativo exterior total de la losa se transfiere a las columnas exteriores. Como las columnas por encima y por debajo de la losa tienen las mismas dimensiones y son de igual longitud,
6. Resistencia al corte:
Como para todas las vigas α1ℓ2/ℓ1 > 1, éstas deben resistir la totalidad del corte (bw = 14 in.; d = 17 in.). 13.6.8.1
Sólo verificaremos las vigas interiores, ya que éstas soportan esfuerzos de corte mucho más elevados que las vigas de bode
Vigas N-S:
C se toma como el mayor de los valores calculados (con ayuda de la Tabla 21-2) para el elemento solicitado a torsión que se ilustra a continuación.
A continuación se resumen los momentos mayorados en las franjas de columna y franjas intermedias:
5. Momentos mayorados en las columnas: 13.6.9 a. Columnas interiores con luces iguales en la dirección de análisis y luces iguales (pero diferentes de las
primeras) en la dirección transversal.
Con columnas de iguales dimensiones y longitud tanto por encima como por debajo de la losa,
Para el diseño de las columnas interiores, este momento se combina con la carga axial mayorada (para cada piso).
4. Distribución de los momentos mayorados a las franjas de columna e intermedias: 13.6.4
Porcentaje de los momentos totales negativos y positivos a la franja de columna. En un apoyo interior
para lo cual α1 ya se determinó anteriormente: α1 = 3,16 (ver vigas interiores, dirección N-S)
En un apoyo exterior:
2. Verificar si se puede aplicar el Método de Diseño Directo: 13.6.1
En cada dirección hay como mínimo tres tramos continuos. 13.6.1.1
La relación entre el lado mayor y el lado menor es 1,26 < 2,0. 13.6.1.2
Las longitudes de los tramos sucesivos en cada dirección son iguales. 13.6.1.3
Las columnas no están desalineadas. 13.6.1.4 Las cargas están uniformemente distribuidas, y la relación entre la sobrecarga y la carga permanente es 1,33 < 2,0. 13.6.1.5
Verificar la rigidez relativa para los paneles de la losa 13.6.1.6
Por lo tanto está permitido usar el Método de Diseño Directo.
3. Momentos mayorados en la losa:
Momento mayorado total por tramo.
Distribución del momento en momentos negativos y positivos:
Nota: Los momentos mayorados se pueden modificar en 10 por ciento, siempre que el momento estático total mayorado en cualquier panel no sea menor que el calculado mediante la Ecuación (13-3). En este ejemplo no se incluye esta modificación.
Diseño preliminar para la altura de la losa h: 9.5.3
Control de las flechas.
Con la ayuda de las Figuras 19-6, 19-7 y 19-8, la relación entre la rigidez a flexión de las vigas y la rigidez a flexión de la losa, α, se calcula de la siguiente manera:
Vigas de borde, dirección N-S:
Vigas de borde, dirección E-W:
Vigas interiores, dirección N-S:
Como para todas las vigas se verifica α > 2,0 la Ecuación (9-13) determinará la altura mínima. 9.5.3.3
Aplicación del Método de Diseño Directo a una losa en dos direcciones con vigas Tweet
Usar el Método de Diseño Directo para determinar los momentos de diseño del sistema de losas en la dirección ilustrada.
Considerar que se trata de un piso intermedio
Dimensiones de las vigas de borde = 14 × 27 in. Dimensiones de las vigas interiores = 14 × 20 in. Dimensiones de las columnas = 18 × 18 in.
Altura de la losa = 6 in.
Sobrecarga de servicio = 100 lb/ft2
Tensión de corte admisible
iii. Determinar la armadura requerida para la franja intermedia. Como en las columnas exteriores todo el momento se transfiere a la franja de columna, proveer armadura mínima en la franja intermedia:
b. Verificar la tensión de corte combinada en la cara interna de la sección crítica de transferencia: 11.12.6.1
Las expresiones para determinar la resistencia al corte se discuten en la Parte 16.
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Cuando los momentos de los tramos extremos se determinan aplicando el Método de Diseño Directo, la fracción de momento no balanceado transferida por excentricidad del corte debe ser:
De la Figura 16-13, las propiedades de la sección crítica para una columna de borde solicitada a flexión
perpendicular al borde (Caso C):
ii. Verificar la armadura de la losa en una columna exterior para transferencia de momento entre la losa y la columna.
Fracción del momento no balanceado transferida por flexión f Mu De la Figura 16-13, Caso C:
Observar que se pueden utilizar los requisitos del artículo 13.5.3.3, aunque en este ejemplo no lo hacemos. Suponiendo comportamiento de sección controlada por tracción, determinar el área de armadura requerida
para f Mu15,1 ft-kips:
Por lo tanto, la sección es controlada por la tracción.
Proveer las 3 barras No. 4 requeridas concentrando 3 de las barras de la franja de columna (6 barras No. 4) dentro del ancho de losa de 37 in. sobre la columna. Por motivos de simetría, agregar una barra No. 4 adicional fuera del ancho de 37 in.
Observar que, aún con la adición de una barra No. 4 adicional, la sección continúa siendo controlada por
5. Verificar la resistencia a la flexión y al corte en una columna exterior. a. Armadura total de flexión requerida para la franja de diseño:
i. Determinar la armadura requerida para el momento de la franja Mu = 24,3 ft-kips
Asumir que se trata de una sección controlada por la tracción (= 0,9)
Verificar si se trata de una sección controlada por la tracción:
Usar 6 barras No. 4 en la franja de columna.
4. Momentos mayorados en las columnas. 13.6.9 a. Columnas interiores, con luces iguales en la dirección de análisis y luces iguales (pero diferentes a las primeras) en la dirección transversal.
Como las dimensiones y las longitudes de las columnas por encima y por debajo de la losa son iguales,
Para diseñar las columnas interiores, este momento se combina con la carga axial mayorada (para cada piso).
b. Columnas exteriores
El momento negativo exterior total de la losa se debe transferir directamente a las columnas: Mu = 24,3 ft- kips. Como las dimensiones y las longitudes de las columnas por encima y por debajo de la losa son iguales,
Para diseñar las columnas exteriores, este momento se combina con la carga axial mayorada (para cada piso).