Source: https://fr.scribd.com/document/53071933/Ba-effort-tranchant-EC2
Timestamp: 2019-08-19 23:03:47+00:00
Document Index: 110008316

Matched Legal Cases: ['§ 6', '§ 6', '§ 6', '§ 6', '§ 6', '§ 6', 'arrêt ', 'arrêt ', 'arrêt ']

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Fascicule65 nouveau_06-03-2008_Exécution des Ouvrages GC en BA, ou béton Précontraint
- COURS béton armé -
Cisaillement. Justification vis à vis de l’ E.L.U.R. des poutres
de sections rectangulaires et en « Té »soumises à l’effort
♦ Powerpoint de M : J-M. Jaeger - T. Genest - C. Boileau - F. Lebrun cours ECP (diapositives expérimentation) site
♦ Vérification des contraintes tangentielles suivant l’eurocode 2
Henri Thonier Franco Levi et Piero Marro annales de l’ITBTP n° 508 novembre 1992 et n° 522 1994
♦ Application de l’eurocode 2. Calcul des bâtiments en béton Jean-Armand Calgaro et Jacques Cortade Presses de
l’école des Ponts et Chaussées
♦ Poutres en béton : effort tranchant et bielles d’appui Jacques Cortade site : btp.equipement.gouv.fr
♦ Tome 7 Conception et calcul des structures de bâtiment L’Eurocode 2 pratique Henri Thonier Presses de l’école des
Si vous détectez des erreurs (et il y en a), merci de bien vouloir me les communiquer à l’adresse : christian.albouy@ac-
HYPOTHÈSES.............................................................................................................................................................................................6
COMPORTEMENT EXPÉRIMENTAL D'UNE POUTRE EN B.A. SOUS L'ACTION DE L'EFFORT TRANCHANT :.................6
JUSTIFICATION VIS A VIS DE L'E.L.U.R. DES PIÈCES PRISMATIQUES SOUMISES À DES SOLLICITATIONS
TANGENTES................................................................................................................................................................................................8
1.1. POUTRE EN BÉTON ARMÉ DE SECTION RECTANGULAIRE DONT LE FERRAILLAGE EST CONSTITUÉ UNIQUEMENT
D’ARMATURES LONGITUDINALES EN PARTIE INFÉRIEURE..............................................................................8
NOTATIONS UTILISÉES........................................................................................................................................................................10
MODÉLISATION : (TREILLIS DE RITTER-MÖRSH)......................................................................................................................11
1.2. ELABORATION D’UN MODÈLE STABLE...........................................................................................11
1.3. RELATIONS ENTRE L’EFFORT TRANCHANT ET LES EFFORTS DANS LES MONTANTS ET LES DIAGONALES DU
TREILLIS (ARMATURES D’ÂME DROITES)...............................................................................................13
1.3.1. DÉTERMINONS L’EFFORT DANS UN MONTANT :........................................................................................13
1.3.2. DÉTERMINONS L’EFFORT DANS UNE DIAGONALE (BIELLE):..........................................................................14
1.4. MODÉLISATION : (TREILLIS DE RITTER-MÖRSH) ARMATURES D’ÂME INCLINÉES.....................................14
ÉTUDE D'UN TRONÇON ÉLÉMENTAIRE:................................................................................................14
FORCE DE TRACTION DES ARMATURES LONGITUDINALES DUE À L’EXISTENCE DE L’EFFORT TRANCHANT........16
1.5. ASPECT NORMATIF.................................................................................................................16
1.6. DÉTERMINATION DU DÉCALAGE PAR H. THONIER ( TOME 7 CONCEPTION ET CALCUL DES STRUCTURES DE
BÂTIMENTS PAGE 250)...................................................................................................................17
1.LIMITES DE CISAILLEMENT ...........................................................................................................................................................20
1.7. PROCÉDURES GÉNÉRALES DE VÉRIFICATION À LA RÉSISTANCE À L’EFFORT TRANCHANT CLAUSE 6.2.1(1)P. .20
1.8. PRINCIPES DE VÉRIFICATION À L’EFFORT TRANCHANT, POUTRES DE HAUTEUR CONSTANTE........................21
ÉLÉMENTS NE NÉCESSITANT PAS D’ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT .....................................................................22
1.9. PRISE EN COMPTE DU BÉTON:...................................................................................................22
1.10. ÉLÉMENTS NE NÉCESSITANT PAS D’ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT ..............................................23
1.10.1. EN FLEXION COMPOSÉE..................................................................................................................23
1.10.2. FLEXION SIMPLE AUTRE FORME DE {6.2.}.....................................................................................24
ÉLÉMENTS POUR LESQUELS DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT SONT REQUISES EFFORT TRANCHANT
RÉSISTANT : ..........................................................................................................................................................................................26
1.11. ASPECT RÉGLEMENTAIRE.......................................................................................................26
1.12. ÉLÉMENTS POUR LESQUELS DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT SONT REQUISES MÉTHODE DES BIELLES
D’INCLINAISON VARIABLE .................................................................................................................27
1.13. DÉTERMINONS : EFFORT TRANCHANT DE CALCUL POUVANT ÊTRE REPRIS PAR LES ARMATURES D’EFFORT
TRANCHANT TRAVAILLANT À LA LIMITE D’ÉLASTICITÉ DE CALCUL..................................................................29
1.14. DÉTERMINATION DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT DROITES : MÉTHODOLOGIE.............................30
1.14.1. DÉTERMINATION DE ......................................................................................................................30
1.14.2. IL FAUT DONC DÉTERMINER .............................................................................................................31
1.14.3. CONDITION SUR L’AIRE DE LA SECTION D’ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT MAX..........................................32
CALCUL ET CHOIX DES EFFORTS TRANCHANTS .......................................................................................................................33
DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES RELATIVES AUX ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT.........................................37
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1.15. CONSTITUTION D’UN COURS D’ARMATURES TRANSVERSALES............................................................37
FIGURE 18 BIS: DIVERSES FORMES DE CADRES, ÉTRIERS ET ÉPINGLES.....................................................37
1.16. LE POURCENTAGE MINIMUM D’ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT EST DONNÉ PAR L’ÉQUATION : 9.2.2(5)
1.17. L’ESPACEMENT MAXIMAL........................................................................................................38
2.RÉPARTITION DES ARMATURES TRANSVERSALES.............................................................................................................39
1.18. POSITION DE LA PREMIÈRE NAPPE............................................................................................39
1.19. CHOIX DE LA SECTION D’ARMATURES :......................................................................................39
1.20. DÉTERMINATION DES ESPACEMENTS..........................................................................................39
EXEMPLES ...............................................................................................................................................................................................42
1.21. EXEMPLE 1 .......................................................................................................................42
1.22. EXEMPLE 2 SECTION RECTANGULAIRE « APPLICATION DE L’EC 2 CHAP.10 ».....................................43
1.23. EXEMPLE 3 SECTION EN TÉ APPLICATION DE « L’EC 2 CHAP.8 POUTRE ISOSTATIQUE DE 14 M DE PORTÉE,
PLAQUES D’APPUI DE 400 MM ».......................................................................................................44
ORGANIGRAMME DE CALCUL DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT EN FLEXION SIMPLE :..............................46
1.24. DONNÉES...........................................................................................................................47
1.25. ORGANIGRAMME DE CALCUL DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT : MÉTHODE DES BIELLES D’INCLINAISON
VARIABLE :...................................................................................................................................48
1.26. POUR UN EFFORT TRANCHANT MODÉRÉ (CAS COURANTS), ORGANIGRAMME SIMPLIFIÉ DE CALCUL DES
ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT : .................................................................................................49
1.27. ORGANIGRAMME SIMPLIFIÉ DE CALCUL DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT : .................................50
1.28. TRANSMISSIONS DIRECTES.....................................................................................................51
1.29. ÉLÉMENTS POUR LESQUELS DES ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT SONT REQUISES. 6.2.3(8) , ASPECT
RÉGLEMENTAIRE............................................................................................................................51
1.30. JUSTIFICATION 6.2.1(8)........................................................................................................52
1.31. TRANSMISSION DIRECTES : (APPUI MONOLITHIQUE ET PLAQUE D’APPUI).............................................54
1.32. DIAGRAMME DE L’EFFORT TRANCHANT RÉDUIT. APPUI SOUPLE (EN TENANT COMPTE DES TRANSMISSIONS
DIRECTES)...................................................................................................................................54
DÉTERMINONS LE DIAGRAMME ENVELOPPE DE L’EFFORT TRANCHANT (APPLICATION NUMÉRIQUE)................55
CAS OU LA BIELLE D’ABOUT EST TROP COMPRIMÉE ..............................................................................................................59
LES SUSPENTES À PRÉVOIR AU NIVEAU DES APPUIS INDIRECTS ....................................................................................60
CISAILLEMENT LE LONG DES SURFACES DE REPRISE.............................................................................................................62
1.33. GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE CALCUL......................................................................................62
1.34. POUR UN PLANCHER CONFECTIONNÉ À PARTIR DE PRÉDALLES, ÉTUDE DE LA SURFACE DE REPRISE DE LA
RETOMBÉE PRÉFABRIQUÉE D’UNE POUTRE. ..........................................................................................64
1.35. CAS DES DALLES CONFECTIONNÉES À PARTIR DE PRÉDALLES SANS ARMATURES DE COUTURE...................65
CISAILLEMENT À LA JONCTION ÂME-MEMBRURES.:...............................................................................................................66
1.36. CISAILLEMENT À LA JONCTION ÂME-MEMBRURE. CAS DE MEMBRURE (OU TABLE) COMPRIMÉE..................66
1.36.1. POSITION DU PROBLÈME.................................................................................................................66
1.36.2. MODÉLISATION :...........................................................................................................................67
1.36.3. DÉTERMINATION DES ARMATURES TRANSVERSALES À LA JONCTION ÂME-MEMBRURE.......................................68
1.36.4. VÉRIFICATION DES BIELLES DE BÉTON COMPRIMÉ:..................................................................................68
1.37. CISAILLEMENT À LA JONCTION ÂME-MEMBRURE. MEMBRURE (OU TABLE) TENDUE ................................69
1.37.1. SECTION DES ARMATURES TRANSVERSALES À LA JONCTION ÂME-MEMBRURE.................................................70
1.37.2. VÉRIFICATION DES BIELLES DE BÉTON COMPRIMÉ:..................................................................................71
1.37.3. MODÉLISATION :...........................................................................................................................71
1.38. ARMATURES MINIMALES 9.2.2.................................................................................................71
1.39. ARMATURES RÉGLEMENTAIRES : CISAILLEMENT ENTRE MEMBRURE ET ÂME COMBINÉ À LA FLEXION
TRANSVERSALE.............................................................................................................................72
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1.40. MÉTHODE APPROCHÉE..........................................................................................................72
1.1. CAS D'UN CHARGEMENT EXCENTRÉ..............................................................................................76
3. TORSION .............................................................................................................................................................................................77
4.TABLEAU VALEUR DE NOTE 3 :....................................................................................................................................................82
ANNEXES..................................................................................................................................................................................................83
1.2. JUSTIFICATION DE L’EXPRESSIONS DE : EFFORT TRANCHANT DE CALCUL POUVANT ÊTRE REPRIS PAR LES
ARMATURES D’EFFORT TRANCHANT TRAVAILLANT À LA LIMITE D’ÉLASTICITÉ DE CALCUL { 6.13 }......................83
1.3. JUSTIFICATION DE L’EXPRESSION DE { 6.14 }............................................................................84
1.4. AUTRE FORMALISATION POUR LA RECHERCHE DES ÉQUATIONS...........................................................86
1.5. ÉTUDE STATIQUE : SYSTÈME DE 2 ÉQUATIONS...............................................................................87
1.6. EXPRESSION DE EFFORT TRANCHANT DE CALCUL MAXIMAL POUVANT ÊTRE SUPPORTÉ SANS PROVOQUER
L’ÉCRASEMENT DES BIELLES DE BÉTON ARMÉ ;......................................................................................88
1.7. EXPRESSION DE EFFORT TRANCHANT DE CALCUL POUVANT ÊTRE REPRIS PAR LES ARMATURES D’EFFORT
TRANCHANT TRAVAILLANT À LA LIMITE D’ÉLASTICITÉ DE CALCUL .................................................................89
1.8. RELATIONS SI .......................................................................................................................90
1.9. MÉTHODOLOGIE POUR DES ARMATURES VERTICALES ......................................................................92
1.10. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE ................................................................................................93
1.11. CONCLUSION .....................................................................................................................94
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 Sections 6 et 9
♦ éléments en béton armé (pas de précontrainte) α cw = 1 .
♦ de hauteur constante h = cte dans le cas contraire voir 6.2.1.
♦ en flexion simple, on peut considérer l’expression forfaitaire : z = 0 ,9d .
♦ armatures d’effort tranchant droites : α = 90° .
Comportement expérimental d'une poutre en B.A. sous l'action de l'effort tranchant
V Ed :
Trois types de ruptures.
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Schéma mécanique et diagrammes de
 / 3 2P sollicitations associés.
 /3
M P / 3
− P / 3
Figure 1’
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JUSTIFICATION VIS A VIS DE L'E.L.U.R. des pièces prismatiques soumises à des
sollicitations tangentes  6.2
1.1. Poutre en béton armé de section rectangulaire dont le ferraillage est
constitué uniquement d’armatures longitudinales en partie inférieure.
Cette poutre est sollicitée par des charges uniformément réparties.
Sur la figure 2, sont représentés les diagrammes des sollicitations : effort tranchant et moment de flexion.
L = 10 z L = 8h
diagramme du moment de flexion L
p = 5 pz
Figure 2. Diagrammes de l’effort tranchant et du moment de flexion
La résistance des matériaux nous apprend que sous l’action du moment de flexion positif, la poutre est
sollicitée en compression dans la partie supérieure et en traction dans la partie inférieure.
Dans les zones tendues, comme la résistance du béton à la traction est faible, on ne peut pas compter sur
lui pour la reprise de l’effort de traction donc il est négligé dans les calculs.
Cet effort de traction doit être repris par un matériau compatible bon en traction c’est-à-dire l’acier, d’où la
mise en place d’armatures longitudinales.
Ce premier modèle (= 2 membrures distantes de z) (Figure 2) permet de comprendre comment s’effectue la
reprise du moment de flexion mais pas celle l’effort tranchant.
M V z Ftd V h
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Figure 3. Première modélisation de la poutre en béton armé
Flexion simple : Fcd = Ftd M = Fcd × z = Ftd × z
Le paramètre géométrique z est appelé bras de levier, parfois on utilise la valeur approchée forfaitaire : z =
0,8h pour les poutres de section rectangulaire.
Lors d'essais sur une poutre B.A (voir figure 4). sans armatures d’âme, on constate l'apparition de fissures
inclinées, celles-ci délimitent des prismes de béton inclinés à environ 45° sollicités en compression simple,
ces prismes sont appelés bielles.
Ces fissures apparaissent d’abord au voisinage des appuis et se propagent ensuite vers la zone centrale de
la travée. Montrons qu’il y a une corrélation entre l’intensité de l’effort tranchant et l’apparition et la
propagation de ces fissures.
Lors d'essais sur une poutre B.A. sans armatures d’âme, on constate l'apparition de fissures inclinées, celles-
ci délimitent des prismes de béton inclinés à 45° environ sollicités en compression simple, ces prismes sont appelés
Si nous isolons un élément de volume situé dans la zone tendue d’une poutre soumise à un effort tranchant.
Sur la fig. ci-dessous, cet élément est situé proche de l’appui gauche, l’effort tranchant y est négatif. On peut montrer
qu’il est soumis uniquement à des contraintes tangentes τ u . On montre qu’une diagonale est comprimée tandis que
l’autre est tendue. Si nous faisons varier l’intensité du chargement. p↑ ⇒ V Ed ↑ ⇒ τu↑
Lorsque la contrainte de traction (qui est aussi égale en intensité à la contrainte tangente) atteint la résistance de
traction du béton σ = τ u = f ctm , il se produit une fissure sensiblement inclinée à 45°.
 Compléments :
Avant l’apparition des fissures , la RDM (section homogénéisée et béton tendu négligé) permet de déterminer la
VSGz ( Ω ) V V V
contrainte g= hc
= z bras de levier ; τ = ≈
I Gz ( Ω h ) z bw z 0 ,9bw d
S Gz ( Ω hc ) Moment statique / axe passant par G (le cdg de la section homogénéisée) pour la section
homogénéisée restreinte au béton comprimé.
I Gz Ω h ) Moment quadratique / axe passant par G (le cdg de la section homogénéisée) pour la
section totale homogénéisée.
Après l’apparition des fissures à 45°, le modèle précédent n’est plus valide, il faut considérer un arc sous-
tendu par les armatures longitudinales. Une redistribution d’efforts s’instaure dans la poutre.
σ=τ u σ=τu
VEd τu τu
τu τu
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sens d'apparition des fissures
 .. 6.2.2  .. 6.2.3.
Ftd valeur de calcul de l’effort de traction dans les armatures longitudinales.
Fcd valeur de calcul de l’effort de compression dans le béton dans la direction de l’axe longitudinal de
Fswd valeur de calcul de l’effort pour le montant tendu représentant les armatures d’effort tranchant.
Fbd effort normal de calcul dans la bielle de béton comprimé.
bw plus petite largeur de la section comprise entre la membrure tendue et la membrure comprimée. (figure 6)
α valeur absolue de l’angle des armatures d’effort tranchant avec la ligne moyenne de la poutre (origine
ouest). Cadre vertical : α = 90°
θ valeur absolue de l’angle d’inclinaison des bielles de béton avec la ligne moyenne de la poutre. (origine
z bras de levier des forces normales internes, en flexion simple on peut adopter 0 ,9 d clause 6.2.3.(1).
d hauteur utile de la section.
Figure 6. Largeur bw à considérer
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Modélisation : (Treillis de Ritter-Mörsh)
1.2. Elaboration d’un modèle stable
Pour un chargement composé de 2 forces ponctuelles, on peut imaginer une modélisation comme
indiqué sur la figure ci-dessous.
vôute de décharge tirant
Figure 6’. Modélisation de la poutre en béton armé pour deux charges ponctuelles faibles
Si nous remplaçons les charges uniformément réparties par des forces ponctuelles régulièrement
espacées, nous pouvons imaginer une modélisation tenant compte de la symétrie.
A 2 charges ponctuelles symétriques est associé une voûte sous-tendue mais une seule est stable,
celle qui repose sur les appuis d’extrémités ; les autres ne sont pas équilibrées, les charges verticales ne
peuvent pas être transmises aux appuis (l’armature longitudinale ne peut reprendre que des efforts
normaux donc horizontaux). Cette modélisation par une structure instable est représentée sur les figures
θ =45°
Figure 6’’. Modélisation de la poutre en béton armé dépourvue d’armatures d’effort tranchant
par une structure (instable) composée d’arcs sous-tendus.
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Figure 6’’’. Modélisation de la poutre en béton armé dépourvue d’armatures d’effort
tranchant par une structure stable composée d’arcs sous-tendus superposés. Cela tend
vers la modélisation d’un arc sous-tendu.
Si nous remplaçons les charges uniformément réparties par des forces ponctuelles régulièrement espacées, nous
pouvons imaginer une modélisation tenant compte de la symétrie. Le schéma mécanique est représenté (cf. figure
Montrons que ce modèle est instable.
Déterminons le degré d’hyperstaticité (noté L) de la poutre treillis correspondant à la poutre en béton armé
confectionnée sans armatures d’effort tranchant. Les barres sont articulées au niveau de tous les nœuds.
Figure 7. Treillis associé à la modélisation de la poutre en béton armé dépourvue
d’armatures d’effort tranchant = mécanisme = structure instable
La membrure comprimée comprend 6 barres, la membrure tendue comprend 7 barres, 8 diagonales soit 21 barres
en tout : L = i - 3b , le nombre d’inconnue total i obtenu en isolant tous les nœuds est égal à :
i = 57 d’où L = 57 -3 × 21 = -6
L < 0, c’est un mécanisme donc instable, on peut le remarquer sur la figure 7, le treillis est constitué de 6 panneaux
formant des parallélogrammes (lesquels sont déformables). Cette structure est à rejeter par le projeteur ou à
Pour rigidifier ces panneaux, il faudrait placer 6 diagonales qui sont ici verticales, on les appelle alors des
Si nous plaçons des montants constituant les diagonales des parallélogrammes : nous avons l’égalité
2n = b + 3 (n = nombre de nœuds et b = nombre de barres) relation des systèmes matériels constitués de
triangles, la structure est isostatique donc stable. L = 0. (figure 8)
Ces montants représentent les armatures d’effort tranchant qu’il faut impérativement disposer dans la poutre pour
assurer sa stabilité.
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Figure 8. Treillis associé à la modélisation de la poutre en béton armé avec armatures
d’effort tranchant verticales.
On modélise le fonctionnement mécanique d’une poutre en béton armé comme celui d’un treillis que l’on nomme
treillis de Ritter-Mörsch.
Les barres d’un treillis sont sollicitées uniquement à des efforts normaux soit de compression soit de traction. En
béton armé, la barre comprimée est appelée bielle, la barre tendue tirant.
 D’une membrure qui représente le béton comprimé en partie supérieure de poutre ;
 D’une membrure tendue constituée des aciers longitudinaux ;
 De diagonales constituées de bielles de béton inclinées d’un angle : θ = 45° ;
 De montants constitués par les armatures d’effort tranchant verticales ;
Les 2 membrures reprennent le moment de flexion.
Les diagonales et montants reprennent l’effort tranchant.
On montrera en étudiant le treillis que les montants sont tendus et les diagonales (bielles de béton) comprimées.
Les montants tendus constituent les armatures d’âme ou d’effort tranchant. Pour des raisons de facilité de montage
de la cage d’armatures elles sont verticales (90°) mais elles pourraient être inclinées, l’Eurocode permet une
inclinaison de 45° à 90°.
Figure 9. Treillis associé à la modélisation de la poutre en béton armé avec armatures
d’effort tranchant inclinées
Si nous plaçons des diagonales inclinées, nous avons aussi l’égalité 2n = b + 3, la structure est isostatique donc
stable. L = 0 (figure 9)
1.3. Relations entre l’effort tranchant et les efforts dans les montants et les diagonales
du treillis (armatures d’âme droites)
Le schéma mécanique associé à la poutre en béton armé uniformément chargée est représenté figure 10.
z θ =45°
L 5 pz
Figure 10. Schéma mécanique associé à la poutre en béton armé uniformément
chargée représentée figure 2.
1.3.1.Déterminons l’effort dans un montant :
Utilisons la méthode de Ritter : pratiquons une coupure, celle-ci doit couper le montant étudié et les 2 membrures
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B Fcd C
z z cot θ
Figure 11. Détermination des efforts dans les montants
La section droite considérée est soumise au moment de flexion M Ed et l’effort tranchant V Ed lequel est constant
entre B+ et C-.
Pour des armatures d’effort tranchant droites V Ed = Fsw
Le montant est tendu.
Entre B+ et C-, l'effort tranchant V Ed est donc "repris" par le montant tendu positionné en C (constitué d’un cadre et
éventuellement d’étriers ou d’épingles)
1.3.2.Déterminons l’effort dans une diagonale (bielle):
Utilisons la méthode de Ritter : pratiquons une coupure entre les nœuds B et C coupant une diagonale (bielle) et
les 2 membrures (figure 12)
Fbd = =V 2
sin θ Fbd B Fcd C
Ftd θ
θ =45° A
Figure 12. Détermination des efforts dans les diagonales (bielles)
Cas des bielles inclinées de θ : Fb =
Cas des bielles à 45° Fb = V Ed 2
Entre B et C , l'effort tranchantV Ed est donc "repris" par la bielle de béton. On remarque que l’effort de
compression des bielles augmente lorsque θ diminue.
1.4. Modélisation : (Treillis de Ritter-Mörsh) armatures d’âme inclinées
Étude d'un tronçon élémentaire:
On étudiera uniquement un tronçon de poutre comprenant une bielle de béton.
EUROCODE 2 - Effort tranchant ELU. LT « le Garros » AUCH ...............Ch. ALBOUY ..................................................n°14/94
C On définit donc les efforts dans une
section quelconque :
Fcd dans la membrure comprimée
- Ftd dans la membrure tendue
α θ - Fsw pour la diagonale tendue.
A z cot θ z cot α B Fc ,bielle effort normal dans la
bielle de béton comprimé
z ( cot θ + cot α )
Utilisons la méthode de Ritter : coupure entre les
nœuds C et C’
La section droite considérée est soumise à M Ed et
C Fcd C' V Ed .
Armature Soit V Ed l’effort tranchant entre les points C et B .
d’effort On peut établir la relation entre l’effort tranchant et
tranchant z l’effort normal dans la diagonale tendue représentant
α Fsw
les armatures d’effort tranchant : Fsw =
A Ftd B Pour des armatures d’effort tranchant droites
V Ed = Fsw
Entre C et B, l'effort tranchant V Ed est donc
"repris" par la diagonale tendue (cadre, étriers ou
épingles)
C'' Fcd C
nœuds A et C , soit V Ed l’effort tranchant.
Armature d’effort
tranchant V Ed
transversale Cas des bielles inclinées de θ Fc ,bielle =
Fc,bielle z Cas des bielles à 45° Fc ,bielle = V Ed 2
θ Entre A et C, l'effort tranchant V Ed est donc
B "repris" par la bielle de béton. On remarque que
l’effort de compression des bielles augmente
lorsque θ diminue.
• D’après l’article 6.2.3(5), dans les zones ou il n’y a pas de discontinuité de V Ed (par exemple, pour une charge
répartie), la détermination des armatures d’effort tranchant sur une longueur élémentaire l = z cot θ peut être
effectuée en utilisant la plus petite valeur de V Ed sur cet intervalle. Cela revient à considérer un décalage de la
courbe enveloppe théorique d’effort tranchant de : l = z cot θ ;
Cette longueur est égale à la projection horizontale de AC.
 ..
• Inclinaison des bielles
Dans le cas de poutres, l’angle θ des bielles de béton avec la fibre moyenne est limitée par : 6.2.3(2)
En flexion simple 1 ≤ cot θ ≤ 2 ,5 soit 22° ≤ θ ≤ 45° (6.7a NF)
 .. 9.2.2(1)
 Inclinaison des armatures d’effort tranchant
L’angle α des armatures d’effort tranchant avec la ligne moyenne doit être tel que : 45° ≤ α ≤ 90° .
En pratique α = 90°
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Force de traction des armatures longitudinales due à l’existence de l’effort tranchant
1.5. Aspect normatif
 .. 6.2.1 (7)
6.2.3(7)
II convient que les armatures longitudinales tendues soient capables de résister à l'effort de traction ∆ Ftd
supplémentaire généré par l'effort tranchant
La force de traction des armatures principales est donc représentée par l’expression
M M Ed ,max  1
Ftd = min  Ed + ∆ Ftd ;  ∆ Ftd = V Ed ( cot θ − cot α ) avec z = 0,9d {6.18}
 z z  2
Cela équivaut à admettre un décalage de la courbe enveloppe des moments de al = z ( cot θ − cot α )
Figure 6.5 : Modèle de treillis et notations dans le cas d’éléments comportant des armatures d’effort
d α z=0,9d VEd VEd [ cot θ − cot α ] VEd N Ed
θ z 2
∆ Ftd = VEd [ cot θ − cot α ]
A membrure comprimée B bielles
C membrure tendue D armatures
d'effort tranchant bw bw
∆ Fcd = ∆ Ftd 1
Fcd 1 VEd cot θ
VEd cot α 2
N Ed M Ed VEd effort
VEd VEd effort dans
z sinθ dans la bielle
VEd [ cot θ − cot α ] V Ed l'armature
sin α d'effort tranchant
∆ Ftd 1
Ftd 1 V Ed cot θ
1 VEd cot θ
∆ Ftd = V Ed ( cot θ − cot α ) VEd cot α
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Dans la section droite de la poutre (voir fig 6.5), l’âme est soumise d’une part à un effort tranchant V Ed et d’autre
part en raison de l’existence des bielles et armatures d’effort tranchant à un effort normal V Ed ( cot θ − cot α )
L’équilibre de la section droite en projection sur la ligne moyenne entraîne l’existence d’efforts complémentaires
dans les membrures.
∆ Ftd = V Ed ( cot θ − cot α ) {6.18} représente la contribution de l’effort tranchant à l’effort normal appliqué à la
membrure tendue (armatures longitudinales)
Une contribution identique est appliquée à la membrure comprimée qui s’en trouve soulagée d’autant.
M ( x + al )
L’effort dans l’armature à l’abscisse x se détermine à partir du moment situé à x + a l : Ftd ( x ) =
L’effort de traction supplémentaire dans les armatures longitudinales
∆ M M( x+ al ) − M ( x ) VEd al
∆ Ftd ( x ) = = =
∆ Ftd z 1
soit a l = = z ( cot θ − cot α ) z = 0 ,9d
Pour des armatures d’effort tranchant droites a l = cot θ
Pour cot θ = 2 ,5 a l = 1,25 z
Pour cot θ = 1 a l = 0 ,5z
1.6. Détermination du décalage par H. Thonier ( tome 7 conception et calcul des
structures de bâtiments page 250)
n treillis élémentaires.
Soit un treillis multiple constitué de
L’espacement des cours d’armatures transversales : s = [ cot θ + cot α ]
Sur le tronçon considéré A1 B1, on suppose s constant.
Le segment A1 B3 de longueur s constitue la membrure tendue de n treillis élémentaires
Hypothèse : On considère
que chacun des treillis
reprend un même moment
de flexion : , le
choix de M ( x ) peut se
tre i l
justifier par le fait que l’on
se place en sécurité en
considérant la valeur du
moment la plus grande soit
A3 A2 A1 B3 B2 B1 en C1 sur le tronçon
x considéré A1 B1.
z ( cot θ + cot α ) z cot θ z cot α
Déterminons l’effort Ftd dans la membrure tendue en sommant les efforts normaux déterminés pour chacun des
treillis élémentaires. Cet effort existe au point A1 d’abscisse x = 0
M C1 M ( x )
Pour le treillis n° 1 : =
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M C2 M ( x − s)
Pour le treillis n° 2 : =
M C3 M ( x − 2 s )
Pour le treillis n° 3 : =
M C i M ( x − ( i − 1) s )
Pour le treillis n° i : =
M C n M ( x − ( n − 1) s )
Pour le treillis n° n : =
Ftd = [ M ( x ) + M ( x − s ) + M ( x − 2 s ) + M ( x − 3s ) + ... + M ( x − ( i − 1) s ) + ... + M ( x − ( n − 1) s ) ]
∑ M ( x − ( i − 1) s )
Soit M m =
∑ M ( x − ( i − 1) s ) : M m représente le moment correspondant à l’effort Ftd dans la membrure au
point A1 d’abscisse x=0 M m = Ftd z
Soit M m = f ( x ) ; l’abscisse correspondant au moment M m est fourni par la fonction inverse x = f − 1 ( M m )
1 n 
Déterminons l’abscisse a correspondant à M m a = f − 1  ∑ M ( x − ( i − 1) s ) 
n 1 
Hypothèse : on fait l’hypothèse que sur le tronçon considéré M est une fonction affine :
M ( 0) − M ( x )
M ( x ) = M ( 0 ) − V ( 0 ) .x x=
V ( 0)
pour l’abscisse x M ( x ) = M ( 0 ) − V ( 0 ) .x
pour l’abscisse x − s M ( x − s ) = M ( 0) − V ( 0) .( x − s )
pour l’abscisse x − ( i − 1) s M ( x − ( i − 1) s ) = M ( 0 ) − V ( 0 ) .( x − ( i − 1) s )
( i − 1) 
∑ M ( x − ( i − 1) s ) = ∑ [ M ( 0 ) − V ( 0 ) .( x − ( i − 1) s ) ] =  n .M ( 0 ) − n .
V ( 0 ) . x + V ( 0 ) .s .∑
n 1 n 1 n 1 
1 n 1  n( n − 1)   ( n − 1) s
∑ M ( x − ( i − 1) s ) =  n .M ( 0) − V ( 0 ) [ n .x ] + V ( 0) .  s  = M ( 0 ) − V ( 0 ) .x + V ( 0 ) .
n 1 n  2   2
M ( 0 ) −  M ( 0 ) − V ( 0 ) .x + V ( 0 ) .
( n − 1) s 
a = f −1 ∑
M ( x − ( i − 1) s )  = f − 1  M ( 0 ) − V ( 0 ) .x + V ( 0 ) .
( n − 1) s  =  2 
 V ( 0)
n 1   2 
a= x−
( n − 1) s
En remplaçant s et x par leurs expressions : s = [ cot θ + cot α ] x = z cot θ
( n − 1) s = z cot θ − ( n − 1) z [ cot θ + cot α ] = z cot θ  1 − ( n − 1)  − z cot α ( n − 1)
2 2 n  2n  2n
z cot θ  1  z cot α  1
a=  1+  −  1− 
2  n 2  n
Pour déterminer Ftd dans la membrure tendue (armatures longitudinales tendues) dans une section droite, il faut
considérer le moment dans une section éloignée de a .
a correspond au décalage de la courbe des moments pour tenir compte de l’effort tranchant.
( z cot θ − z cot α )
Cette expression doit être comparée avec celle imposée par l’EC2 :
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z cot θ  1
Pour des cours d’armatures verticaux : a=  1+ 
2  n
n= 1 a = z cot θ
n= 2 3 1
a = z cot θ − z cot α
n= 3 2 1
n= 4 5 3
n= ∞ ( z cot θ − z cot α ) =
a= a l expression EC2
 1+  −  1− 
a 2  n 2  n 1  cot θ + cot α 
Formons le rapport :
z cot θ z cot α
= 1+ 
n  cot θ − cot α  >1
− 
Ce rapport est toujours supérieur à 1, donc l’expression donnée de l’EC2 n’est pas sécuritaire.
Avec des cours verticaux = 1+
Ce rapport est max. pour n = 1 soit = 2 a = 2a l = z cot θ
Cherchons nmin ; n = z cot θ / s nmin = [ z cot θ ] min / smax =
z / 0 ,75d = 0 ,9d / 0 ,75d = 1,2
Pour être toujours du côté de la sécurité, il faudrait adopter : a = 2a l = z cot θ
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1. Limites de cisaillement
1.7. Procédures générales de vérification à la résistance à l’effort tranchant clause
6.2.1(1)P
La vérification de la résistance à l’effort tranchant s’effectue uniquement à l’ELU.
VEd est l'effort tranchant agissant de calcul.
VRd,c est l’effort tranchant résistant de calcul de l'élément en l'absence d'armatures d'effort Tranchant.
VRd,s est l’effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d'effort tranchant travaillant à la limite
d'élasticité (de calcul fywd).
VRd,max est la valeur de calcul de l'effort tranchant maximal pouvant être repris par l'élément, avant écrasement des
bielles de compression.
Dans les éléments de hauteur variable, on définit également (voir Figure 13) :
Vccd est la valeur de calcul de la composante d'effort tranchant de la force de compression, dans le cas d'une
membrure comprimée inclinée.
Vtd est la valeur de calcul de la composante d'effort tranchant de la force dans l'armature tendue, dans le cas d'une
membrure tendue inclinée.
Figure 13 : Fig :6.2 de l’EN 1992-1-1: Composantes d'effort tranchant dans le cas
d'éléments de hauteur variable
Clause 6.2.1(2) La résistance à l'effort tranchant d'un élément comportant des armatures d'effort tranchant est
VRd = VRd,s + Vccd + Vtd (6.1)
Clause 6.2.1 (3) Dans les zones de l'élément où V Ed ≤ V Rd ,c , aucune armature d'effort tranchant n'est requise par
le calcul. VEd est l'effort tranchant agissant de calcul dans la section considérée, résultant des charges extérieures
appliquées et de la précontrainte (armatures adhérentes ou non).
Dans le cas d'éléments de hauteur variable V Ed − Vccd − Vtd ≤ V Rd ,c
Clause 6.2.1 (4) Même lorsque aucune armature d'effort tranchant n'est requise, il convient de prévoir un ferraillage
transversal minimal comme indiqué en 9.2.2. Ce ferraillage minimal peut être omis dans les éléments tels que les
dalles (pleines, nervurées ou alvéolées) lorsqu'une redistribution transversale des charges est possible. Le
ferraillage minimal peut également être omis dans les éléments secondaires
(linteaux de portée ≤ 2 m par exemple) qui ne contribuent pas de manière significative à la résistance et à la
stabilité d'ensemble de la structure.
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Clause 6.2.1 (5) Dans les régions où V Ed > V Rd ,c (VRd,c étant donné par l'Expression (6.2)), il convient de prévoir
des armatures d'effort tranchant en quantité suffisante de telle sorte que V Ed ≤ V Rd (voir l'Expression (6.1)).
Clause 6.2.1 (6) Il convient qu'en tout point de l'élément, la somme de l'effort tranchant agissant de calcul (sans
réduction due aux transmissions directes aux appuis) et des contributions des membrures,
VEd - Vccd - Vtd, soit inférieure ou égale à la valeur maximale admise VRd,max (voir 6.2.3).
V Ed ≤ V Rd ,max + Vccd + Vtd ⇔ V Ed − Vccd − Vtd ≤ V Rd ,max
1.8. Principes de vérification à l’effort tranchant, poutres de hauteur constante.
1. La vérification à l’effort tranchant s’effectue uniquement à l’ELU.
2. Le règlement est basé sur la comparaison de l’effort tranchant de calcul noté V Ed à 3 valeurs de calcul des
efforts tranchants résistants. 6.2.1
V Rd ,c Effort tranchant résistant de calcul de l’élément sans armatures d‘effort tranchant ;
V Rd ,max Effort tranchant de calcul maximal pouvant être repris par l’élément avant écrasement des bielles
debéton comprimées;
V Rd ,s Effort tranchant de calcul pouvant être repris par les armatures d’effort tranchant travaillant à la limite
d’élasticité ;
V Rd Effort tranchant de calcul pouvant être supporté par un élément avec armatures d‘effort tranchant.
(la contribution des armatures d’âme)
Si V Ed ≤ V Rd ,c il convient de prévoir des armatures d’effort tranchant minimales selon les indications de l’article
Ce ferraillage minimal peut être omis dans les éléments tels que les dalles (pleines, nervurées ou alvéolées) lorsqu'une redistribution
transversale des charges est possible. Le ferraillage minimal peut également être omis dans les éléments secondaires (linteaux de portée
≤ 2 m par exemple) qui ne contribuent pas de manière significative à la résistance et à la stabilité d'ensemble de la structure.
Si V Ed > V Rd ,c il convient de prévoir des armatures d’effort tranchant de manière à vérifier la relation :
V Ed ≤ min V Rd ,max ,V Rd ,s ] et vérifier le pourcentage minimal indiqué en 9.2.2
Dans le cas où les armatures d’effort tranchant seraient nécessaires, la norme actuelle utilise la méthode des bielles
d’inclinaison variable.
Dans ce cas, on optimise l’inclinaison des bielles. 22° ≤ θ ≤ 45°
Elle ne prend pas en compte la contribution forfaitaire secondaire du béton à la reprise de l’effort tranchant.
Elle conduit à une économie d’armatures d’effort tranchant mais peut exiger plus d’armatures longitudinales.
• Dans le cas d’une charge non située à la partie supérieure de la poutre, il faut prévoir des suspentes pour transmettre
correctement cette charge.
 .. 6.2.1
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Éléments ne nécessitant pas d’armatures d’effort tranchant V Ed ≤ V Rd ,c
Ce sont principalement des dalles, des semelles superficielles,…
1.9. Prise en compte du béton:
Si les charges appliquées p sont faibles, la poutre est stable.
Les expérimentations le montrent, le béton participe à la reprise de l'effort tranchant.
Dans le cas d’une poutre sans armatures d’effort tranchant, les bielles d’appuis et la membrure comprimée forment
une voûte de décharge sous-tendue par les armatures longitudinales jouant le rôle de tirant et maintenant
l’écartement des naissances de la voûte. Cet arc sous-tendu est une structure stable et repose sur les appuis
La hauteur de la voûte étant faible, les efforts normaux sont très importants. La capacité portante de la voûte sous-
tendue est liée à la résistance à la compression du béton (pour la voûte) et à l’aire de la section des armatures
tendues (tirant).
Les éléments en béton armé sans armatures d’effort tranchant sont essentiellement les dalles ainsi que des
éléments secondaires (linteaux de portée inférieure à 2 m par exemple) qui ne contribuent pas de manière
significative à la résistance et à la stabilité d'ensemble de la structure.
Figure 14. Modélisation de la poutre en béton armé pour des charges uniformément
réparties faibles : Éléments fonctionnant comme une voûte sous-tendue.
Pour un chargement composé de 2 forces ponctuelles, on peut imaginer une modélisation comme proposé sur la
Figure 14. Modélisation de la poutre en ba pour deux charges ponctuelles faibles
La capacité de résistance au cisaillement : effort tranchant résistant de calcul en l’absence d’armatures d’effort
tranchant est noté : V Rd ,c .
Des essais ont fait apparaître des différences sensibles entre les résultats expérimentaux et théoriques. Ces
différences sont d’autant plus marquées que l’effort tranchant V Ed est plus faible. Les essais montrent qu’il y a un
décalage à l’origine qui est dû en grande partie au fait que tant que le béton n’est pas fissuré, il équilibre la grande
majorité de V Ed .
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Tout se passe en fait comme si l’armature d’âme n’avait à équilibrer qu’une partie de l’effort tranchant notée VSw .
avec V Sw = V Ed − V Rd ,c .
membrure comprimée Fsw effort dans l’armature d’effort
Vu me
éri les droites sont Remarque :
xp parallèles
ee La méthode des bielles d’inclinaison
urb variable ne prend pas en compte
explicitement la reprise d’une partie de
l’effort tranchant par le béton. Cependant,
rsh lorsqu’il n’y a pas de discontinuité de l’effort
r Mö tranchant, l’EC2 permet de calculer les
VRdc R espacement des cours en effectuant un
décalage du diagramme de l’effort tranchant
courbe théorique de : z cot θ . On peut montrer que la
modèle de Ritter Mörsh Fsw modélisation en treillis conduit un décalage
de : 0 , 5 z cot θ . On pourrait penser que le
complément : 0 , 5 z cot θ est dû à la
reprise par le béton.
1.10. Éléments ne nécessitant pas d’armatures d’effort tranchant V Ed ≤ V Rd ,c
V Rd ,c est d’origine expérimentale, les paramètres pris en compte sont :
 la résistance caractéristique du béton à la compression f ck ;
 les dimensions des pièces k ;
 le pourcentage des armatures longitudinales ρ l ;
 la présence d’un effort normal (en flexion composée) σ cp ;
1.10.1. En flexion composée
V( =  C Rd ,c k ( 100 ρ l f ck ) + k1σ cp  bw d
{6.2.a}
Rd ,c
Valeur minimale V
Rd ,c = v min + k1σ cp bw d ] {6.2.b}
On peut aussi l’écrire : V
Rd ,c {
= max  vmin + k1σ cp
 ;  C Rd ,c k ( 100 ρ l f ck ) + k1σ
 × b d {6.2.}
 w
 200 
f ck en MPa k = min  1 + ; 2
 
Le pourcentage ρ l d’acier longitudinal de flexion : ρl = ≤ 0,02
Asl : Aire de la section des armatures tendues, prolongée d’une longueur supérieure à d + l bd au delà de
la section considérée. ( l bd étant la longueur d’ancrage de calcul)
bw : est la plus petite largeur de la section droite dans la zone tendue, en mm.
σ cp = Ed < 0 ,2 f cd en MPa
N Ed est l’effort normal agissant dans la section droite, dû aux charges extérieures appliquées et ou à la
précontrainte (en Newtons, N Ed > 0 en compression)
en flexion simple N Ed = 0
Ac aire de la section droite de béton en mm2
k1 = 0 ,15 ; C Rd ,c =
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0 ,034 1 / 2
v min = f ck pour les dalles bénéficiant d’un effet de redistribution transversale sous le cas de
charge considéré.
0 ,053 3 2 1 / 2
v min = k f ck poutres et dalles autres que celles ci-dessus
0 ,035 1 / 2
v min = f ck voiles
Pour les éléments précontraints voir 6.2.2(2) et (3)
(5) Lorsque les armatures d’effort tranchant ne sont pas requises, pour le calcul des armatures longitudinales, dans
les régions fissurées en flexion, il convient de décaler la courbe enveloppe des moments de :
• a l = d dans la direction défavorable (voir 9.2.1.3(2))
Voir (6) pour les transmissions directes.
A section considérée section considérée
l bd l bd A
V Ed V Ed
Asl A section considérée
Figure 6.3 : Définition de Asl dans l'Expression (6.2)
1.10.2. Flexion simple Autre forme de {6.2.}
vminbw d ≤ V ( = C Rd ,c k ( 100 ρ l f ck )
Rd ,c bw d {6.2.}  .. 6.2.2
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VEd ≤ bw d × max  v min ;C Rd ,c k ( 100 ρ l f ck ) 
en flexion simple pour les poutres et dalles portant dans un sens :
    1/ 2
b d  200    200   Asl 
VEd ≤ w  min  1 + ; 2   × max  0 , 053  min  1 + ; 2   f ck ; 0 ,18 ×  100 × min  ; 0 , 02  fck  
γ C   d( )
mm    d ( )  
mm 
         bw d   
en flexion simple pour les dalles portant dans 2 sens :
     Asl   
b d  200
VEd ≤ w × max  0 , 034 f ck1 / 2 ; 0 ,18 ×  min  1 + ; 2    100 × min  ; 0 , 02  f ck  
d(    
γC     bw d   
• a l = d dans la direction défavorable (voir 9.2.1.3(2)) (par exemple les dalles)
• Attention al = zcotθ / 2 , lorsque les armatures d’effort tranchant sont requises.
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Éléments pour lesquels des armatures d’effort tranchant sont requises V Ed > V Rd ,c Effort
tranchant résistant : V Rd = min( V Rd ,s ;V Rd ,max )
1.11. Aspect réglementaire  6.2.3(2) (3) (4)
• Si les armatures d’effort tranchant sont inclinées
VRd ,s = zf ywd ( cot θ + cot α ) sin α { 6.13 }
VRd ,max = α cw bw zν 1 f cd
( cot θ + cot α )
{ 6.14 }
1 + cot 2 θ
L’aire effective maximale de la section des armatures transversales
Asw ,max f ywd α cwν 1 f cd
≤ {6.15}
bw s 2 sin α
• Si les armatures d’effort tranchant sont verticales
VRd ,s = Vwd = zf ywd cot θ {6.8}
α cw bw zν 1 fcd
VRd ,max = { 6.9 }
( tanθ + cot θ )
≤ {6.12}
bw s 2
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1.12. Éléments pour lesquels des armatures d’effort tranchant sont requises V Ed > V Rd ,c
Méthode des bielles d’inclinaison variable
 6.2.3
Dans le cas de poutres, en flexion simple, l’angle θ des bielles de béton avec la fibre moyenne est limitée
par 1 ≤ cot θ ≤ 2 ,5
soit 22°≤θ ≤45°
{6.7N}
Cas des bielles inclinées à θ
largeur de la bielle
z ( cot θ + cot α ) sin θ
 Justification de V Rd ,max Effort tranchant de calcul maximal pouvant être supporté sans provoquer
VRd ,max = α b zν 1 f cd
( 1 + cot θ )
l’écrasement des bielles de béton armé ; cw w 2 { 6.14 }
La largeur de la bielle de béton est égale à : z ( cot θ + cot α ) sinθ
L’aire de la section droite : z ( cot θ + cot α ) sinθ .bw
La contrainte de compression des bielles de béton ne doit pas dépasser σ c ≤ ν 1 f cd ;
L’effort normal maximal dans la bielle est : zbwν 1 f cd ( cot θ + cot α ) sinθ
Cela correspond à un effort tranchant
VRd ,max = zbwν 1 f cd ( cot θ + cot α ) sin θ sin θ = zbwν 1 f cd ( cot θ + cot α ) sin 2 θ
V = b zν f
( 1 + cot 2 θ ) ( )
Or d’où l’expression théorique : Rd ,max w 1 cd
expression donnée par EC2 : cw w 2 { 6.14 }
Avec α cw : coefficient tenant compte de l’état de contrainte dans la membrure comprimée.
Pour α fixé, cherchons la valeur de θ qui rende maximum V Rd ,max
( cot θ + cot α ) =α b zν 1 f cd ( cot θ + cot α ) sin 2 θ
( 1 + cot θ ) 2 cw w
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VRd ,max = α cw bw zν 1 f cd sin θ cos θ + sin 2 θ cot α )
dVRd ,max
=α b zν 1 f cd [ cos 2θ + sin 2θ cot α
cw w ]
 α 
[ cos 2θ + sin 2θ cot α ] = 0 cot 2θ = − cot α = cot (180° − α ) θ =  90° − 
Pour des armatures droites : α = 90° ; θ = 45°
 Si les armatures sont verticales
bw zν 1 f cd
( θ + cot θ
1 cot θ sin 2θ
( tan θ + cot θ ) (
1 + cot θ
Pour 1 ≤ cot θ ≤ 2 ,5 soit 22° ≤ θ ≤ 45° {6.7N} est une fonction croissante de θ , il en est de même pour
V Rd ,max .
VRd ,max = bw zν 1 f cd { 6.9 }
V Ed soit tel que V Ed ≤ V Rd ,max . Cette condition pourrait définir la largeur
Il faut que l’effort tranchant appliqué
minimale de l’âme de la poutre, en se fixant une valeur de θ = 45° ou connaissant le coffrage déterminer
l’inclinaison de la bielle θ .
sin 2θ 1 1
Pour θ = 45° , = ⇒ V Rd ,max est maximum VRd ,max = 2 bw zν 1 f cd
si VEd > VRd ,max = bw zν 1 f cd alors il faut redimensionner le coffrage ou augmenter la résistance du béton pour
obtenir V Ed ≤ V Rd ,max
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1.13. Déterminons V Rd ,s : Effort tranchant de calcul pouvant être repris par
les armatures d’effort tranchant travaillant à la limite d’élasticité de calcul
L’effort dans un cours d’armatures transversales est donné par Asw f ywd ;
pour n cours l’effort est donné par nAsw f ywd . Nous avons vu la relation entre l’effort tranchant et l’effort dans la
V Ed VRd ,s
diagonale tendue du treillis Fsw = ; = nAsw f ywd ; VRd ,s = nAsw f ywd sin α
sin α sin α
C cas des bielles inclinées à θ
sachant que s représente
l’espacement de 2 cours
consécutifs, mesuré suivant la fibre
moyenne, le nombre de cours est :
α θ z( cot θ + cot α )
B n=
A z cot θ z cot α s
z ( cot θ + cot α ) Asw
VRd ,s = Asw f ywd sin α VRd ,s = zf ywd ( cot θ + cot α ) sin α { 6.13 }
Il serait possible d’optimiser la valeur de α pour rendre minimum la section des armatures transversales,
cependant du fait du coût supplémentaire de main d’œuvre, cela n’a pas d’intérêt pratique.
Si les armatures sont verticales VRd ,s = zf ywd cot θ {6.8}
Cette expression fixe ainsi la section d’armatures nécessaire et l’espacement
On remarque que pour fixé, V Rd ,s est une fonction décroissante de θ .
On remarque que pour V Rd ,s fixé, est une fonction croissante de θ .
Soit Asw la section des brins constitutifs d’un cours Asw
d'armatures transversales dans une section droite.
1. aire effective maximale de la section des armatures d’effort tranchant
L’aire effective maximale de la section des armatures d’effort tranchant Asw ,max est donnée par la relation :
cas des barres inclinées : ≤ {6.15}
cas des barres droites ≤ {6.12}
sin 2θ 1
Pour θ = 45° , = ; cot θ = 1 ⇒ V Rd ,max est maximum
VRd ,s ≤ VRd ,max ⇔ zf ywd ≤ bw zν 1 f cd
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1.14. Détermination des armatures d’effort tranchant droites : Méthodologie
Méthode basée sur l’inclinaison variable des bielles  .. 9.2.2
1 ≤ cot θ ≤ 2 ,5 ⇔
45° ≥ θ ≥ 22°
hyp : armatures d’âme droites α = 90° ; structure non précontrainte α cw = 1
V Ed représente l’effort tranchant de calcul.
On a montré que plus θ est faible, plus la section d’armatures d’effort tranchant nécessaire est faible, mais en
contrepartie la compression des bielles augmente ainsi que la valeur du décalage de la courbe des moments (ce
qui entraîne une augmentation des armatures longitudinales).
Le principe consiste à incliner les bielles sur l’horizontale d’un angle θ le plus petit possible pour réduire tout
en contrôlant la contrainte dans la bielle V Ed ≤ V Rd ,max .
Si V Ed est faible, θ = 22° ⇔ cot θ = 2,5
Si V Ed est élevé, θ est déterminé par V Ed = V Rd ,max .
Si V Ed est très élevé, comme θ ≤ θ max = 45° ,il faut redimensionner ou augmenter la résistance du béton,
déterminé par V Ed = V Rd ,max .
1.14.1. Détermination de V Rd ,c
• Si V Ed ≤ V Rd ,c il convient de prévoir des armatures d’effort tranchant minimales selon les
indications de l’article 5.4, à l’exception des cas définis en 6.2.1 (4) et 9.2.2 (5)
V( = max  vmin ;C Rd ,c k ( 100 ρ 1 f ck )  bw d {6.2.}
en flexion simple :: Rd ,c
• Si V Ed > V Rd ,c les armatures d’effort tranchant sont requises.
Nous devons vérifier : V Ed ≤ V Rd [
V Rd = min V Rd ,max ;V Rd ,s ]
Il faut donc que V Rd ,s ne puisse en aucun cas dépasser la valeur de V Rd ,max pour que les cadres atteignent leur
limite élastique, soit V Rd ,max ≥ V Rd ,s
Asw ρ w f ywd
On pose : avec ρ = {9.4} zbw τ =ψ
bw .s = =τ v1 f cd
v1 f cd v1 f cd
♦ Détermination de V Rd ,max :
bw zν 1 f cd 1 cot θ sin 2θ
VRd ,max = = =
( tan θ + cot θ ) { 6.9 } ;
( tanθ + cot θ ) (
VRd ,max
τ τ = = =
zbw ;
= Rd ,max = τ Rd ,max
tanθ + cot θ 1 + cot θ
v1 fcd v1 fcd
θ = 21,8° ⇔ cot θ = 2,5 = = = 0 ,345
2 ,5 + 0 ,4 2 ,9
θ = 45° ⇔ cot θ = 1 =
tanθ + cot θ 2 )
1 ≤ cot θ ≤ 2 ,5 ⇔ 45° ≥ θ ≥ 22° ⇔ 0 ,345 ≤ τ Rd ,max ≤ 0 ,5
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1.14.2. Il faut donc déterminer τ
zbw τ
= =τ
Si on veut exploiter la résistance des bielles au maximum, on écrit :
V Ed ≤ V Rd ,max ⇔ τ ≤τ Rd ,max 0 ,345 ≤ τ Rd ,max ≤ 0 ,5
Comparons τ
Si τ > 0,5 ⇔ V Ed > V Rd ,max il faudrait incliner les bielles d’un angle θ 1 > 45° ce que le règlement ne
permet pas, alors il faut redimensionner ou augmenter la résistance du béton pour obtenir V Ed ≤ V Rd ,max
Pour θ = 45° , ⇒ VRd ,max = bw zν 1 f cd VEd < VRd ,max = bw zν 1 f cd
On peut agir sur bw ou d (hauteur h ) ou f cd .
Dans l’intervalle 0 < τ < 0 ,345 droite OB
Ceci peut se produire lorsque, pour des raisons architecturales, nous disposons d’une âme de dimensions
excessives. V Ed est faible. L’optimisation bielles-armatures d’effort tranchant n’est plus possible.
Si nous voulons réduire au max. les armatures d’effort tranchant, il faut choisir θ = 21,8° , mais dans ce cas les
armatures longitudinales seront plus importantes. Choix cot θ 1 = 2 ,5 .
{6.8} VRd ,s = zf ywd cot θ
ρ w f ywd τ Rd ,s τ Asw Asw VEd
{6.8} ψ =
v1 f cd
cot θ 1
= Rd ,s
ρw=
V Ed ≤ V Rd ,s ⇔ τ ≤ τ Rd ,s s
zf ywd 2 , 5
La valeur de τ peut être déterminée à partir de l’effort tranchant réduit. VEd = VEd ,r
♦ V Ed est élevé, 0 ,345 < τ < 0 ,5 arc de cercle BD
Dans l’intervalle 0 ,345 < τ < 0 ,5 arc de cercle BD (annexes page …..)
Nous sommes dans les conditions d’atteinte simultanée de l’état limite ultime dans les bielles et dans les
armatures. La lecture du diagramme donne directement les sections d’armatures et la solution est toujours
θ 1 est déterminé par V Ed = V Rd ,max .
arc sin[ 2τ ]
De τ = on en déduit θ 1 =
ρ w f ywd Asw τ Asw
ψ = ρw= ψ = = sin 2 θ 1 {6.8} ⇒
v1 f cd bw s cot θ 1 s
Il est préférable d’utiliser ψ = car la valeur de τ peut être déterminée à partir de l’effort tranchant
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VEd = z .bw 1 cot θ sin 2θ
( tanθ + cot θ ) posons
tanθ + cot θ
τ = τ comme V Rd ,max est une fonction décroissante de cot θ pour cot θ ≥ 1
1 + cot 2 θ )
1± 1 − 4τ 2
τ cot 2 θ − cot θ + τ = 0 équation du second degré en cot θ cot θ =
le produit des racines est = 1, la somme = , comme cot θ 1 > 1
on en déduit θ 1
1+ 1 − 4τ 2
1 ≤ cot θ 1 ≤ 2 ,5
cot θ 1 =
Asw VEd Asw VEd Asw f ywd 2τ 2
≥ f ywd ≥ ;
s zf ywd cot θ 1 bw s zbw cot θ 1 bw s v1 f cd 1 + 1 − 4τ 2
(1 − 1 − 4τ 2
ψ ≥
(1 + 1 − 4τ 2
1.14.3. Condition sur l’aire de la section d’armatures d’effort tranchant max.
 aire de la section d’armatures d’effort tranchant max.
Asw ,max f ywd ν 1 f cd Asw ,max f ywd 1 1
≤ {6.12} ≤ soit ψ ≤
bw s 2 bw s ν 1 f cd 2 max
 l’espacement maximal longitudinal s l ,max des cours successifs de cadres ou armatures d’effort tranchant est
défini par : pour des armatures droites s l ,max = 0 ,75d {9.6N}
L’espacement maximal longitudinal sb ,max des barres relevées est défini par : s b ,max = 0 ,6.d (1 + cot α )
{9.7N}
 Calculons l’espacement maximal transversal des brins verticaux dans un cours d’armatures d’effort tranchant
Pour des armatures droites s t ,max = inf [ 0 ,75d ;600mm ] {9.8N}
 Calculons la section d’acier mini
Le pourcentage d’armatures d’effort tranchant est donné par l’équation : ρ w ≥ ρ w ,min
ρw = {9.4} avec :
ρw pourcentage (taux) d’armatures d’effort tranchant
Asw section d’un cours d’armatures d’effort tranchant
bw largeur de l’âme de l’élément (largeur minimale de la section dans la hauteur utile)
s espacement des cours d’armatures d’effort tranchant
0 ,08 f ck
Les valeurs minimales ρ w ,min sont données dans l’Annexe Nationale , voir le tableau 5.5 ρ w ,min = {9.5N}
 Choix de la section d’armatures Asw : ρ w = ≥ ρ w ,min ; Asw ≥ ρ w ,min bw smax ≥ ρ w ,min bw s
bw .s
Asw ≥ ρ w ,minbw sl ,max = 0 , 75ρ w ,minbw d
permet de définir une valeur min de la section d’armature d’un cours.
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Calcul et choix des efforts tranchants V Ed
 L’effort tranchant au nu de l’appui calculé d’après la résistance des matériaux sera noté : V Ed ,nu . Cet effort
servira à :
• vérifier la résistance de la bielle d’about. (fig. 18) ;
• vérifier la résistance à la compression des bielles de béton : VEd ,nu ≤ VRd ,max .
V Ed Ln
VEd ,nu
• Pour vérifier la résistance de l’appui lui-même, il faut considérer l’effort tranchant V Ed = l’effort tranchant
au nu de l’appui V Ed ,nu + les charges appliquées directement sur l’appui.
 Si la poutre est soumise principalement à des charges réparties, il n’y a pas lieu d’effectuer de vérification à
l’effort tranchant à une distance au nu de l’appui < d. Il convient de maintenir les armatures d’effort tranchant
requises jusqu’au droit de l’appui. clause 6.2.1(8) Voir justification 6.2.1(8)
Cet effort tranchant réduit, noté VEd ,r , sera déterminé à une distance d du nu de l’appui. Considérer cet effort
tranchant réduit traduit qu’une partie des charges proches de l’appui est transmise directement, véhiculées par la
bielle d’about.
Ces charges ne sollicitent donc pas les armatures de la poutre. Pour la détermination des armatures d’effort
tranchant, on pourrait ne pas les représenter sur le schéma mécanique de la poutre.
Dans les zones où il n’y a pas de discontinuité de V Ed (par exemple, pour une charge répartie), la détermination
des armatures d’effort tranchant sur une longueur élémentaire z cot θ peut être effectuée en utilisant la plus petite
valeur de V Ed sur cet intervalle. Cela revient à considérer un décalage (translation horizontale) de la courbe
enveloppe d’effort tranchant de z cot θ . Clause 6.2.3(5)
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β pz cot θ ' + 0 ,5 pz cot θ pz cot θ pz cot θ pz cot θ pz cot θ
θ' θ
pz [ 4 cot θ + β cot θ ' ] z cot θ
z cot θ ' L
pL L = portée utile (de calcul)
2 a' nu de l'appui
p[ L 2 − a' ] effort tranchant RDM charges unif. réparties
pz [4 cot θ + β cot θ ' ]
3 ,5 pz cot θ
décalage de 0 ,5z cot:θ clause 6.2.3(5) à modifier
2 ,5 pz cot θ
effort tranchant RDM treillis
1,5 pz cot θ z cot θ ' + 0 ,5 z cot θ
0 ,5 pz cot θ
effort dans les montants
(cours d'armatures transversales)
 Remarque 1 :
Le diagramme de l’effort tranchant dans la travée isostatique n’est pas modifié lorsqu’on considère la portée aux
nus des appuis Ln .
 Remarque 2 :
L’application de la méthode des bielles, avec un treillis simple, montre que l’effort repris par un tirant vertical (ou
montant du treillis) situé à l’abscisse x est inférieur à l’effort tranchant théorique à la même abscisse x pour une
poutre chargée uniformément.
Ce qui signifie que la courbe d’effort tranchant permettant de déterminer les armatures d’effort tranchant peut être
décalée de z cot θ en direction des efforts tranchants croissants en valeur absolue.
On peut remarquer que les efforts dans les montants sont indépendants de l’inclinaison de la bielle d’about ainsi
que de la charge appliquée sur le nœud supérieur voisin de rive.
 Remarque 3.
Soit la modélisation en treillis simple en considérant la portée aux nus des appuis Ln . Considérons la même
inclinaison θ des bielles le long de la travée. Figure 19b
Pour une charge répartie uniforme, l’application de la méthode des bielles à un treillis simple où toutes les bielles
sont inclinées du même angle θ , montre que les aciers calculés au droit du premier tirant à partir de l’appui sont
calculés avec l’effort tranchant correspondant à l’abscisse 1,5 z cot θ . Cette distance est la somme du décalage
0 ,5z cot θ vu ci-dessus et de la distance du 1er tirant au nu de l’appui qui vaut z cot θ .
On remarque donc que les clauses 6.2.3 (5) (décalage) et 6.2.1 (8) (transmissions directes) se cumulent.
Cependant, on notera que la clause 6.2.3 (5) de l’EC2 est non sécuritaire. (On peut aussi penser que 0 , 5 z cot θ
correspond à la contribution du béton à la reprise de l’effort tranchant)
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pz cot θ pz cot θ pz cot θ pz cot θ pz cot θ
pz cot θ z
5 pz cot θ z cot θ
V Ed ,nu
L = portée aux nus des appuis
nu de l'appui
4 ,5 pz cot θ effort tranchant RDM charges unif. réparties
décalage de 0 ,5 z cot:θ clause 6.2.3(5) à modifier
2 ,5 pz cot θ 1,5 z cot θ
1,5 pz cot θ
(cours d'armatures
Figuretransversales)
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Pour l’application des 2 clauses 6.2.1(8) et 6.2.3(5), on pourrait envisager les trois interprétations
 Procédure n. 1 :
On ne cumule pas les 2 clauses. Cela correspond à d’abord écrêter pour tenir compte des transmissions directes
sur la longueur d à partir du nu de l’appui (§ 6.2.1(8) ) puis pour x > d à effectuer une translation de la courbe des
efforts tranchants de z cot θ . (§ 6.2.3(5))
Les recommandations Professionnelles préconisent le non-cumul des 2 clauses sans préciser.
Certains auteurs utilisent la plus favorable économiquement des 2 clauses.
H Thonier utilise cette procédure reoprésentée ci-dessous.
diagramme de chargement sollicitant la poutre
a1 Ln
transmissions directes: clause 6.2.1(8)
V Ed ,r
z cot θ décalage: clause 6.2.3(5)
effort tranchant RDM
diagramme d'effort tranchant de calcul (sollicitant)
- pour déterminer l'épure des espacements
des cours d'armatures d'âme
 - pour vérifier
Procédure n. la2 résistance
: à la compression des bielles
On cumule les 2 clauses, c’est-à-dire que l’on procède d’abord au décalage de la courbe de la courbe des efforts
tranchants de z cot θ et non z cot θ (§ 6.2.3(5) modifiée ou demi-décalage) puis on écrête sur la longueur d à
partir de l’appui pour tenir compte des transmissions directes. (§ 6.2.1(8) )
Si on compare cette interprétation avec la modélisation en treillis :
d + 0 , 5 z cot θ ≤ 1, 5 z cot θ soit + 0 ,5z cot θ ≤ 1,5z cot θ
On montre que cette interprétation n’est sécuritaire que si cot θ ≥ 1,11
Cependant, c’est le meilleur compromis entre sécurité et économie, tout en respectant la distance d à l’appui.
 Procédure n. 3 :
tranchants de z cot θ comme indiqué dans l’EN 1992-1-1(§ 6.2.3(5)) puis on écrête sur la longueur d. (§ 6.2.1(8) )
Rien, dans le texte de l’EN 1992-1-1 n’interdit de cumuler ces 2 diminutions d’effort tranchant.
d + z cot θ ≤ 1, 5 z cot θ soit + z cot θ ≤ 1,5 z cot θ
On montre que l’application du cumul de ces 2 clauses n’est sécuritaire que pour : cot θ ≥ 2,22 .
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Dispositions constructives relatives aux armatures d’effort tranchant
1.15. Constitution d’un cours d’armatures transversales
Les armatures d’effort tranchant peuvent être composées d’une combinaison de : (voir Fig. 18)
- cadres, étriers ou épingles entourant les armatures longitudinales tendues et la zone comprimée ;
- barres relevées ; (rares en France)
- cadres ouverts, échelles, épingles etc… façonnés sans entourer les armatures longitudinales mais correctement
ancrées dans les zones tendues et comprimées.
Dans les poutres, la résistance à l’effort tranchant ne peut être assurée par des barres relevées sans le concours
d’armatures transversales sous forme de cadres, étriers ou épingles ; celles-ci doivent reprendre au moins
β 3 = 0 ,5 soit 50% de V Ed . 9.2.2(4)  .. 9.2.2
Dans le cas d’une charge non située à la partie supérieure de la poutre, il faut prévoir des suspentes pour
transmettre correctement cette charge. 6.2.1(9)
Il convient que les cadres, étriers et épingles soient efficacement ancrés. Un recouvrement sur le brin vertical situé
près de la surface de l’âme est autorisé sous réserve que le cadre ne participe pas à la résistance à la torsion.
A cadres, épingles,
étriers intérieurs
Figure 18 Fig : 9.5 : Exemples d’armatures d’effort tranchant
cadre fermé cadre fermé cadre fermé
à 135 ° à 90° à plat cadre ouvert cadre ouvrable
étrier 180° épingle 180 ° épingle 135 °
Figure 18 bis: Diverses formes de cadres, étriers et épingles
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1.16. Le pourcentage minimum d’armatures d’effort tranchant est donné par l’équation :
ρ w ≥ ρ w ,min 9.2.2(5)
 .. 9.2.2
ρw= {9.4}
bw s sin α  .. 9.2.2
Pourl es armatures d’âme droites : ρ w = {9.4} avec :  .. 6.2.1
bw s (4)
ρw pourcentage géométrique (taux) d’armatures d’effort tranchant (par rapport à une section de béton
orthogonale aux armatures)
Asw section d’un cours d’armatures transversales régnant sur la longueur s
bw largeur de l’âme de l’élément
s espacement des cours d’armatures transversales
α angle formé par les armatures d’effort tranchant et l’axe longitudinal de la poutre ; si les armatures sont
droites α = 90° et sinα = 1
La valeur minimale ρ w ,min : ρ w ,min = {9.5N}
Les éléments pour lesquels ce ferraillage minimal peut être omis sont définis en 6.2.1 (4).
1.17. L’espacement maximal  .. 9.2.2
Tableau 3 : espacement maximal des armatures inclinées
L’espacement maximal longitudinal s l ,max des
cours successifs de cadres ou armatures d’effort
sl ,max = 0 ,75d ( 1 + cot α )
tranchant est défini pour des armatures droites {9.6N}
Annexe nationale s l ,max = 0 ,9d
Pour les poutres de hauteur h ≤ 250mm
L’espacement maximal longitudinal s b ,max des sb ,max = 0 ,6d ( 1 + cot α ) {9.7N}
barres relevées est :
Annexe nationale : Pour les poutres de hauteur s l ,max = 0 ,9d
h ≤ 250mm
Tableau 4 : espacement maximal des armatures droites
L’espacement maximal longitudinal s l ,max des cours s l ,max = 0 ,75d
successifs de cadres ou armatures d’effort tranchant est {9.6N}
défini pour des armatures droites par :
L’espacement maximal longitudinal s b ,max des barres sb ,max = 0 , 6d {9.7N}
relevées est :
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2. Répartition des armatures transversales.
1.18. Position de la première nappe
Position de la première nappe s0 par rapport au nu de l’appui, à ne pas confondre avec le premier espacement qui
dépend de l’effort tranchant.
Elle est déterminée empiriquement, pour des raisons d’efficacité du premier cours, on prendra:
 h  s 
s0 = min  sup  ;70mm  ; 1  article des annales de l’ITBTP n°445 de juin 1986
 6  2
Certains bureaux d’études prennent une valeur forfaitaire par exemple : 50 ou 100 mm selon l’importance de la
poutre pour simplifier la mise en place du premier cours lors de la fabrication de la cage d’armatures.
1.19. Choix de la section d’armatures Asw :
On peut utiliser ρ w = ≥ ρ w ,min
Asw ≥ ρ w ,min bw smax ≥ ρ w ,min bw s
La quantité obtenue avec l’expression 0 , 75 ρ b d constitue une valeur minimum de la section d’un cours
w ,min w
d’armatures d’effort tranchant qui satisfait la condition d’espacement max. ( h > 250mm )
Pour h ≤ 250mm , 0 , 90 ρ w ,minbw d constitue une valeur minimum de la section.
Remarque : Avec Asw ≥ ρ w ,min bw sl ,max , si le premier espacement calculé vérifie s1 > sl ,max , pour optimiser le
poids d’acier, il faut diminuer la section d’armatures pour ne pas être pénalisé par l’espacement maximum.
Il faut vérifier que cela ne conduit pas à des espacements à l’appui trop faibles eu égard aux dimensions de la
Le choix de Asw est à diminuer si le premier espacement dépasse environ 0,2h.
1.20. Détermination des espacements
Pour la détermination des autres espacements, on utilise soit :
La méthode utilisant la suite numérique de Caquot ;
La méthode générale basée sur le diagramme de l’effort tranchant : épure d’espacement.
En général, la variation de V Ed est représentée par un ensemble de segments de droite, c’est une fonction affine sur
chacun des tronçons, la représentation de sera aussi un ensemble de segments de droite.
Les méthodes qui consistent à déterminer les espacements successifs seront graphiques.(Voir exercice)
La méthode simplifiée de CAQUOT est valable uniquement pour les charges réparties.
On détermine ensuite s1 avec l’effort tranchant au nu de l’appui. Le nombre de répétition s0 + n1 × s1réel > d
On détermine ensuite s2 avec l’effort tranchant à la distance d du nu de l’appui
On choisit s2réel tel que: s2 réel ≤ s2 théorique dans la suite numérique de Caquot:
7 8 9 10 11 13 16 20 25 35 60 en cm
On détermine ensuite le nombre de répétitions d'espacements n tel que:
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 portée de la travée de la poutre 
n = partie entière  , portée de la console 
On Les espacements suivants s3 , ...si sont ceux de la suite de Caquot répétés n fois.
Le procédé est réitéré sur l’appui opposé, pour x = l (voir figure 21)
Le tracé des sollicitations (moment de flexion et effort tranchant) est représenté en correspondance avec le
On remarque que les armatures longitudinales sont en relation (leur section est une fonction croissante) avec le
moment de flexion et les armatures transversales avec l’effort tranchant (espacement des cadres d’autant plus petit
que l’effort tranchant est grand).
Remarque : méthode de caquot restreinte au nombre de répétitions
Pour simplifier la confection de la cage d’armature, on peut déterminer forfaitairement n qui correspond au
nombre de répétitions d'espacements.
Les espacements s1 , s2 , .s3 , ..si sont calculés et répétés n fois.
Le procédé est réitéré sur l’appui opposé. (voir figure 25)
n1 .s2' n1 .s1' st0 n2 .s1 n2.s2
n1 = partie entière de L1 n2 = partie entière de
V diagramme de l'effort tranchant
diagramme du moment de flexion
Figure 21 : Schéma de principe du ferraillage d’une poutre à une travée se prolongeant
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 La méthode générale basée sur le diagramme de l’effort tranchant : épure d’espacement.
L’ordonnée est graduée en et s . Un autre choix est possible par exemple sw et s .
Asw V Ed = V Rd ,s
-4 VRd , s = zf ywd cot θ
cot θ = 2,5
150 pu = 72 ,75 kN / m
140 choix pour un cours: 3 HA 6 Asw = 84 ,9 mm 2 f ck = 25 MPa f yk = 500 MPa
120 bw = 250 mm d = 0 ,9 h = 400 mm z = 0 ,9d = 360 mm f ywd =
90 γS
150 a1 + s0 + 3 × s1 = 200 + 75 + 3 × 150 = 725 mm s0 = 75 mm
60 transmissions directes: clause 6.2.1(8)
200 effort tranchant résistant
250 2 × s2 = 2 × 250 = 500 mm
40 z cot θ décalage clause 6.2.3(5)
300 sl ,max = 0 ,75 d = 300 mm
200 d = 0 ,9h = 400 mm
section d'effort tranchant nul
246 ,8
abscisse définie par: xV = 0 = = 3 ,393 mm
Figure 26. Exemple d’épure de détermination des espacements des cours d’armatures
d’effort tranchant.
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1.21. Exemple 1
 Section rectangulaire : bw = 200 mm ; h = 450 mm d = 400 mm z = 0 ,9d
Effort tranchant au nu de l’appui : VEd ,nu = 350 kN ; pu = 140 kN / m ;
f ck 30
f ck = 30 MPa f cd = = = 20 MPa
γ C 1,5
 f ( MPa ) 
ν 1 = 0 ,6  1 − ck  ν 1 = 0 ,528 ν 1 f cd = 10 ,56 MPa
 250 
f ywk 500
f ywd = = = 435 MPa
γS 1,15
0 , 9dbw τ nu τ nu = = 0 , 46
= = τ nu 200 × 0 , 9 × 400 × 10 , 56
Cette valeur est inférieure à 0 , 5 , la résistance du béton des bielles est vérifiée.
Pour déterminer le premier espacement, on peut utiliser l’effort tranchant à la distance = d du nu de l’appui soit :
VEd ,r = VEd ,nu − pu d = 350 − 0 , 4 × 140 = 294 kN .
τr= = 0 , 3864
200 × 0 , 9 × 400 × 10 , 56
Cette valeur est supérieure à 0,345 , on peut se placer dans les conditions d’épuisement simultané des bielles et
L’angle θ des bielles est donné par l’expression : θ = arc sin[ 2τ ] , θ = 25 , 3° cot θ = 2 ,115
ρ w f ywd Asw
La section des armatures transversales =ψ ; ρw =
v1 f cd bw s
τ Asw v f Asw
{6.8} ψ ' = ψ = sin 2 θ = ; ψ = 0 ,182 ; = ψ 1 cd bw ; = 0 , 887
cot θ s f ywd s
 Soit l’effort tranchant réduit : VEd = 220 kN
0 , 9dbw τ τ = = 0 , 289
= =τ 200 × 0 , 9 × 400 × 10 , 56
Cette valeur est inférieure à 0,345 . La résistance des bielles est surabondante
L’angle θ des bielles est choisi : θ = 21,8° ; cot θ = 2,5 ;
τ 0 ,289
{6.8} ψ = ; ψ == 0 ,116 ;
cot θ 2 ,5
La section des armatures transversales : =ψ ; ρw =
Asw v f
= ψ 1 cd bw ; Asw = 0,562 ;
s f ywd s
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1.22. Exemple 2 section rectangulaire « application de l’EC 2 chap.10 »
Poutre continue de n travées de 8 mètres : bw = 180 mm ; h = 600 mm ; d = 550 mm ;
puv = 34 , 3kN / m ; profondeur d’appui 200 mm en rive et 300 mm sur appuis intermédiaires
f ywk 500 f 25
f ywd = = = 435 MPa ; f ck = 25 MPa ; f cd = ck = = 16 , 7 MPa
γS 1,15 γ C 1, 5
ν 1 = 0 ,6  1 − ck  ; ν 1 = 0 ,54 ν 1 f cd = 9 MPa ;
117 , 9 103
Au nu de l’appui A: VEd ,nu = 117 , 9 kN ; 0 , 9dbw τ nu ; τ nu = = 0 ,147
= = τ nu 180 × 0 , 9 × 550 × 9
Cette valeur est inférieure à : 0,345 . La résistance des bielles est surabondante ;
Pour le calcul des armatures transversales, on peut considérer l’effort tranchant réduit (transmissions
directes) sur une distance = d du nu de l’appui+ 0,100 m d’appui : VEd ,r = 117 , 9 − 34 , 3 × 0 , 55 = 99 ,1 kN
En considérant effort tranchant réduit (transmissions directes) VEdr = 99 ,1 kN ;
99 ,1 103
τr = = 0 ,124
180 × 0 , 9 × 550 × 9
Certains auteurs utilisent aussi : (la plus favorable des 2 clauses)
VEd ( x = max [ d + 0 ,100m; z cot θ ] ) = VEd ( x = max [ 0 , 550 + 0 ,100m; 0 , 9 × 0 , 550 × 2 , 5] ) = VEd ( x = 1, 2375m ) au lieu
de VEd ,r = 99 ,1 kN pour déterminer τ ; VEd ( x = 1, 2375 ) = 78 , 9 kN
99 ,1 103 τ 0 ,124
pour VEd = 99 ,1 kN ; τ = = 0 ,124 ; {6.8} ; ψ = ;ψ = = 0 , 05
180 × 0 , 9 × 550 × 9 cot θ 2 ,5
ρ w f ywd A
La section des armatures d’effort tranchant : = ψ ; ρ w = sw ;
v1 f cd bw .s
= ψ 1 cd bw ; Asw = 0 ,161 soit 161 mm2 / mètre
♦ Au nu de l’appui B : V = 171, 4 kN 171, 4 103
0 , 9db τ ;τ = = 0 , 214
Ed ; w
= =τ 180 × 0 , 9 × 550 × 9
Cette valeur est inférieure à : 0,345 . La résistance des bielles est surabondante.
L’angle θ des bielles est choisi : θ = 21,8° ; cot θ = 2,5
En considérant effort tranchant réduit (transmissions directes) : VEd ,r = 152 , 6 kN ;
152 , 6 103
τ = = 0 ,19 ;
On peut aussi utiliser dans {6.8} V Ed ( x = max [ d + 0 ,150m ; z cot θ ])
au lieu deVEd ,r = 152 , 6 kN pour déterminer τ ;
z cot θ = 0 , 9 × 550 × 2 , 5 = 1237 , 5mm ; VEd ( x = 1, 2375) = 132 , 4 kN ;
152 , 6 10 3
τ 0 ,191
Pour VEd ,r = 152 , 6 kN : τ = = 0 ,191 ; {6.8} ψ = ;ψ = = 0 , 076 ;
180 × 0 , 9 × 550 × 9 cot θ 2,5
La section des armatures d’effort tranchant : = ψ ; ρ w = sw
Asw v f Asw
= ψ 1 cd bw ; = 0 , 247 soit 247 mm2 / mètre
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1.23. Exemple 3 section en Té application de « l’EC 2 chap.8 poutre isostatique de
14 m de portée, plaques d’appui de 400 mm »
bw = 550 mm ; h = 1250 mm ; d = 1100 mm ; z = 0 ,9d = 990 mm
f 35 f 500
f ck = 35 MPa f cd = ck = = 23 ,3 MPa ; f ywd = ywk = = 435 MPa ;
γ C 1,5 γS 1,15
Béton armé ⇔ α cw = 1 ; ν 1 = 0 ,6  1 − ck  ; ν 1 = 0 ,516 ν 1 f cd = 12 ,04 MPa ;
g = 70 kN / m ; q = 80 kN / m ; pu = 1,35 g + 1,5q = 214 ,5 kN / m
Armatures longitudinales 3 lit de 5 HA 32
♦ A l’appui A : (du modèle) ; V Ed = 1501,5 kN
♦ les armatures d’effort tranchant sont-elles nécessaires ?
v min bw d ≤ V ( N ) Rd ,c = C Rd ,c .k (100 ρ 1 f ck ) bw d {6.2.}
en flexion simple ::
200 200 0 ,18 0 ,18
k = 1+ ( mm ) = 1 + = 1,43 ≤ 2 ; C Rd ,c = = = 0 ,12
d 1100 γC 1,5
ρ l = sl = = 0 , 0065 ≤ 0 , 02 (1 lit de 5 HA 32)
bw d 550 × 1100
v min = k f ck ; v min = 0 , 03533k 3 2 f ck1 2 = 0 , 03533 × 1, 433 2 × 351 2 = 0 , 356
0 , 356 × 550 × 1100 = 215445 ≤ V ( = 0 ,12 × 1, 43 ( 100 × 0 , 0065 × 35)
Rd ,c 550 × 1100 = 295591 N
V Rd ,c= 295591 N = 295 kN
Ici V Ed > V Rd ,c les armatures d’effort tranchant sont nécessaires.
♦ Vérification de la résistance des bielles de béton effectuée avec l’effort tranchant VEd théorique
1501, 5 103
0 , 9dbw τ τ = = 0 , 23
= =τ 550 × 0 , 9 × 1100 × 12 , 04
0,345 . La résistance des bielles est surabondante
Cette valeur est inférieure à
L’angle θ des bielles est choisi θ = 21,8° cot θ 1 = 2 ,5
On aurait pu considérer l’effort tranchant au nu de l’appui : x = 0,200 m
♦ Déterminons la section des armatures transversales
Effort tranchant réduit (transmissions directes)
Distance d depuis le nu de l’appui VEd ,r = VEd − pu ( d + 200 ) = VEd − pu ( 1,100 + 0 , 200 ) = 1222 , 65 kN
 .. 6.2.3
En tenant compte de l’article
Dans les zones ou il n’y a pas de discontinuité de VEd , la détermination des armatures sur un longueur de
z cot θ peut être effectuée en utilisant la plus petite valeur de VEd sur cette longueur. L’étude du treillis
montre que le décalage est de : 0 ,5 z cot θ .
Certains auteur considère la plus favorable des 2 clauses : 6.2.1(8) et 6.2.3(5)
On peut considérer un décalage de la courbe de l’effort tranchant de z cot θ = 0 , 9 × d × 2 , 5 = 2475 mm .
Soit VEd ,r = VEd − pu z cot θ = VEd − pu × 2 , 475 = 970 , 7 kN
Avec VEd ,r = 970 , 7 kN
La section des armatures transversales est représentée par : =ψ ; ρ w =
En considérant effort tranchant réduit :
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970 , 2 103
V Edr = 970 ,2 kN ; τ = = 0 ,148
550 × 0 , 9 × 1100 × 12 , 04
τ 0 ,148
{6.8} ψ = ; ψ = = 0 ,059 ;
= ψ 1 cd bw ; = 0,9 soit 902 mm2 / mètre
Avec VEd ,r = 1222 , 65 kN ;
La section des armatures transversales est représentée par : =ψ ; ρw = ;
En considérant effort tranchant réduit
1222 , 65 103
τ = = 0 ,187
τ 0 ,187
{6.8} ψ = ; ψ = = 0 , 075 ;
= ψ 1 cd bw ; Asw = 0 , 988 soit 988 mm2 / mètre
♦ décalage de la courbe des moments (pour le tracé de l’épure d’arrêt des barres longitudinales)
z 0 , 9 × 1100
( cot θ ) = × 2 , 5 = 1238 mm
♦ condition aire max. des armatures transversales
≤ {6.12} ≤ soit ψ ≤ implicitement vérifié
♦ Le pourcentage mini. d’armatures d’effort tranchant est donné par l’équation : ρ w ≥ ρ w ,min
0 ,08 f ck 0 ,08 35
ρ w ,min = {9.5N} ; ρ w ,min = = 0 ,00095
f yk 500
♦ Conditions sur l’espacement
Pour des armatures droites sl ,max = 0 , 75d = 0 , 75 × 1100 = 825 mm {9.6N}
♦ choix de la section d’acier
♦ ρw = ≥ 0 , 00095 ; Asw ≥ 0 , 00095bw smax ≥ 0 , 00095bw sl
bw sl
Asw ≥ 0 , 00095bw smax = 0 , 00095 × 550 × 825 = 432 mm 2 soit 6 HA 10 471 mm2
♦ Calcul du premier espacement
Asw 471
= 0 , 988 s1 ≤ = 477 mm
s 0 , 906
s t ,max = min( 0 ,75d ,600 ) = 600 mm = distance entre les brins d’un cours. Vérifié.
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Organigramme de calcul des armatures d’effort tranchant en flexion simple :
3 organigrammes sont présentés :
Organigramme de la méthode des bielles d’inclinaison variable, c’est la méthode générale. Voir formalisation
Organigramme simplifié de calcul des armatures d’effort tranchant en flexion : cot θ = 2,5
Pour un effort tranchant modéré, c’est la même procédure utilisée dans la méthode générale. Considérer les bielles
de béton inclinées à 21,8° conduit à :
Minimaliser en poids d’acier les armatures d’effort tranchant, les cours sont très espacées ;
Maximaliser en poids d’acier les armatures longitudinales, (augmenter la longueur des armatures longitudinales
pour le 2ème lit et les suivants s’ils existent du décalage maximum). Pour des armatures d’âme droites, l’expression
du décalage proposé par l’Eurocode 2 est : a l = z cot θ = 1,25 z , on montre par le calcul qu’il faudrait le double
soit 2 ,5z pour être en sécurité.
Organigramme simplifié de calcul des armatures d’effort tranchant en flexion : cot θ = 1
Considérer les bielles de béton inclinées à 45° conduit à :
Maximaliser en poids d’acier la quantité d’armatures d’effort tranchant ;
Minimaliser en poids d’acier les armatures longitudinales, le décalage de la longueur des armatures longitudinales
pour le 2ème lit et les suivants s’ils existent est minimal, l’expression du décalage proposé par l’Eurocode 2 est :
al = z cot θ = 0 ,5 z , on montre par le calcul qu’il faudrait le double soit z pour être en sécurité.
Quelle est la méthode optimum ?
Avec cot θ = 2,5 , si le gain pour les armatures d’effort tranchant est important (poids et façonnage) il y a
augmentation en poids d’acier pour les armatures longitudinales. De plus cot θ = 2,5 pénalise la bielle d’about et
l’ancrage des armatures qui arrivent sur l’appui de rive.
Pour les poutres dont la retombée est préfabriquée, la vérification du cisaillement sur les surfaces de reprise (6.2.5
EN 1992-1-1 et paragraphe 11) conduit à un pourcentage réglementaire d’armatures (de couture). Si la poutre est
peu sollicitée, celui-ci peut être déterminant et imposer une valeur maximum de cot θ inférieure à 2,5.
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1.24. Données
Classe structurale : S4
Section droite : bw h;
Environnement : Classes d’exposition X ...
Béton C .. / .. f ck f cd = ck
Enrobage nominal : c nom = c min + ∆ c dev
c min = max {c min,b ; c min,dur ;10mm }
⇒ hauteur utile : d
si z inconnu ⇒ élément en ba, en flexion simple z = 0 ,9d
Acier B500 classe B f yk = 500 MPa f ywd = = = 435 MPa
γ S 1,15
Armatures d’effort tranchant verticales α = 90°
Unités : celles de la norme NF EN 1992-1-1 (mm, N, MPa) sinon (m, MN, MPa)
Effort tranchant à considérer :
 Effort tranchant max. de calcul (au nu de l’appui) VEd ,nu pour vérifier :
• La compression de la bielle d’about.
• La section droite des armatures devant être prolongées sur cet appui et leur ancrage.
• Vérifier la résistance des bielles de béton au voisinage immédiat du nu de l’appui VRd ,max .
 Effort tranchant max. de calcul VEd ,r pour:
• Déterminer les armatures d’effort tranchant (espacement et section droite) ; compte tenu des
Recommandations Professionnelles, considérer l’effort tranchant réduit VEd ,r sur la distance d depuis le
nu de l’appui (transmissions directes) puis au-delà effectuer la translation (ou décalage) du diagramme de
l’effort tranchant issu de la RDM de: z cot θ .
 f ( MPa )   200  0 ,18
ν 1 = 0 ,6  1 − ck  ⇒ ν 1 f cd ; k = min  1 + ( mm ) ;2 ; C Rd ,c =
 250   d  γC
Asl ≤ 0,02
Le pourcentage ρ l d’acier longitudinal de flexion ρ l =
Asl : aire de la section des armatures tendues, prolongée d’une longueur supérieure à d + l bd au delà de la
section considérée.( l bd étant la longueur d’ancrage de calcul)
Valeurs de v min (6.2.2(1) NOTE NF EN 1992-1-1/NA)
0 , 34 1 / 2
v min = f ck pour les dalles bénéficiant d’un effet de redistribution transversale sous le
cas de charge considéré.
v min = k f ck pour les poutres et dalles autres que celles ci-dessus
0 , 35 1 / 2
v min = f ck pour les voiles
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1.25. Organigramme de calcul des armatures d’effort tranchant : méthode des
bielles d’inclinaison variable :
VRd ,c = max  C Rd ,c k ( 100 ρ 1 f ck ) ;v min  bw d
{6.2.}
oui VEd > VRd ,c non
Les armatures d’effort
Les armatures d’effort tranchant sont
tranchant ne sont pas
nécessaires, VEd = VEd ,nu effort tranchant requises 6.2.2
max. de calcul au nu de l’appui pour Armatures min 9.2.2(5)
vérifier la compression des bielles. Poutres uniquement.
VEd τ
zbw v1 f cd v1 fcd Il faut redimensionner
1 ≤ cot θ ≤ 2 ,5 0 ≤ τ ≤ 0 ,5 le coffrage.
τ ≤ 0,345 non τ > 0,5 oui
oui Épuisement simultané des
non bielles et des armatures
La résistance des bielles est d’effort tranchant.
surabondante L’angle θ 1 des
bielles est choisi : θ 1 = 21,8° , En considérant l’effort tranchant
cot θ 1 = 2 ,5 réduit ; l’angle θ 1 des bielles est
déterminé par : θ 1 = arc sin[ 2τ ]
Soit VEd = VEd ,r : l’effort tranchant 2
τ τ Asw τ Asw
ψ = = {6.8} ⇒ ψ = = sin 2 θ 1 {6.8} ⇒
cot θ 1 2 ,5 s cot θ 1 s
ρ w f ywd A ρ w f ywd Asw
=ψ ρ w = sw =ψ ρw =
v1 f cd bw s v1 f cd bw s
 Asw zf ywd cot θ Asw 
Dispositions constructives : s ≤ min  ; ; sl ,max 
 VEd bw ρ w ,min 
Taux min. d’armatures d’effort tranchant : ρ w ,min = {9.5N}
Distance max. des cours : si h > 250mm alors s l ,max = 0 ,75d sinon s l ,max = 0 ,90d
Distance entre les brins dans un cours :
si h > 250mm alors st ,max = min [ 0 , 75d ; 600mm ] sinon st ,max = 0 , 90d
Cette valeur de cot θ 1 sera utilisée pour toutes les sections de la partie de poutre
ayant un VEd de même signe ou sur la totalité de la travée.
Déterminer les espacements sur le reste de la poutre : épure basée sur le
diagramme d’effort tranchant ; vérifier la bielle d’about la plus sollicitée ;
vérifier et ancrer les armatures longitudinales sur les appuis.
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1.26. Pour un effort tranchant modéré (cas courants), organigramme simplifié
de calcul des armatures d’effort tranchant : cot θ = 2,5
VRd ,c = sup  C Rd ,c k ( 100 ρ 1 f ck ) ;vmin  bw d
Les armatures d’effort tranchant Les armatures d’effort
sont nécessaires. tranchant ne sont pas
On se fixe : cot θ = 2,5 requises 6.2.2
bw zν 1 f cd Armatures min 9.2.2(5)
VRd ,max = {6.9} Poutres uniquement.
VRd ,max = 0 , 345bw zν 1 f cd
Vérification de la capacité
portante des bielles 6.2.2
V Ed ≤ V Rd ,max non
Choisir θ 1 =45°
La résistance des bielles est Ou
surabondante. L’angle θ 1 des bielles doit
Asw être déterminé par
VRd ,s = zf ywd cot θ {6.8} épuisement simultané des
On se fixe cot θ = 2 , 5 bielles et des armatures
d’âme. 1 ≤ cot θ ≤ 2 ,5 .
Asw Asw V
VEd ≤ 2 , 5 zf ywd ⇒ ≥ 0 , 4 Ed
s s zf ywd
Choix de la section d’acier Asw Dispositions constructives :
Asw ≥ ρ w ,min bw sl ,max si cela conduit à s1 ≤ sl ,max 0 ,08 f ck
ρ w ,min = {9.5N}
Calcul du premier espacement s1 avec {6.8} f yk
2 , 5 Asw zf ywd Distance max. des cours
s1 ≤ Si h > 250mm s l ,max = 0 ,75d sinon
s l ,max = 0 ,90d .
Vérifier que la valeur de s1 trouvée est convenable
eu égard aux dimensions de la poutre. Distance max. entre les brins
Si h > 250mm st ,max = inf( 0 , 75d ; 600mm )
 2 , 5 Asw zf ywd Asw 
s ≤ min  ; ; sl ,max  sinon st ,max = 0 , 90d .
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1.27. Organigramme simplifié de calcul des armatures d’effort tranchant :
cot θ = 1
VRd ,c = sup  C Rd ,c k ( 100 ρ l f ck ) ;v min  bw d
oui VEd > VRd ,c
Les armatures d’effort Les armatures d’effort
tranchant sont nécessaires. tranchant ne sont pas
bw zν 1 f cd requises 6.2.2.
VRd ,max = {6.9} Armatures min 9.2.2(5)
( tanθ + cot θ ) Poutres uniquement.
On se fixe cot θ = 1 soit θ = 45°
VRd ,max = 0 , 5bw zν 1 f cd Vérification de la capacité
oui V Ed ≤ V Rd ,max non
L’angle θ = 45° des
La résistance des bielles est surabondante
bielles ne peut pas
Asw être augmenté.
VRd ,s = zf ywd cot θ {6.8}
s Il faut
Asw redimensionner le
On se fixe cot θ = 1 : VEd ≤ zf ywd coffrage.
Asw VEd
s zf ywd
Asw zf ywd Distance max. des cours
 A zf  Si h > 250mm st ,max = inf( 0 , 75d ; 600mm )
s ≤ min  sw ywd ; ; sl ,max  sinon st ,max = 0 , 90d .
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1.28. Transmissions directes
1.29. éléments pour lesquels des armatures d’effort tranchant sont requises.
6.2.3(8) , Aspect réglementaire
Lorsque des charges sont appliquées sur la face supérieure de l'élément, à une distance a v du nu de
l'appui telle que 0 ,5d ≤ a v < 2d , la contribution de cette charge à l'effort tranchant agissant V Ed peut être
minorée par β = v . (figure 22)
Pour la valeur de l’effort tranchant V Ed ainsi calculé, il convient de satisfaire V Ed ≤ Asw . f ywd . sin α , Asw
représente la section des armatures d’effort tranchant dans la partie centrale sur une longueur de 0 ,75a v .
(voir fig. 22)
Cette réduction est uniquement valable lorsque les armatures longitudinales sont complètement ancrées au
droit de l’appui.
0 ,75av 0 ,75a v
Figure 22 Fig.6.6 : Armatures d'effort tranchant dans des travées courtes, avec bielle de
Pour a v ≤ 0 ,5d , il convient de prendre la valeur a v = 0 ,5d . β = 0,25
Pour la valeur de V Ed calculée sans appliquer le facteur de réduction β , il convient de satisfaire la
condition : V Ed ≤ V Rd ,max
0 ,5 d 2 ,0 d
Figure 23 Transmissions directes : cas des charges ponctuelles : coefficient β
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av F av F
≤ a v ≤ 2d av ≤
V Ed ,r = 0 ,25 V Ed
V Ed ,r = v V Ed
V Ed = − F ( 1 − v ) V Ed = − F ( 1 − )
Figure 24 Transmissions directes : cas des charges ponctuelles
1.30. justification 6.2.1(8)
Clause 6.2.1(8) de l’EN 1992-1-1
Si la poutre est soumise principalement à des charges réparties, il n’y a pas lieu d’effectuer de vérification à
requises jusqu’au droit de l’appui.
Au niveau des appuis, sur la largeur d’appui, la charge est intégralement transmise à l'appui mais de plus,
une partie de la charge au delà de l'appui est aussi transmise directement à l'appui véhiculée par le bielle
d’about.
On utilise l’article 6.2.3(8) de l’EN 1992-1-1
Les charges (réparties ou ponctuelles) situées à une distance a v des appuis sont:
multipliées par : β = si 0 , 5d ≤ av ≤ 2d
β = 0,25 si 0 ≤ av ≤ 0 , 5d
La charge transmise directement à l’appui correspond à :
0 , 5d × 0 , 75 p + 1, 5d × 0 , 75 p / 2 = 0 , 9375dp
On montre qu’il est équivalent de considérer comme transmission directe la charge uniformément répartie
sur la longueur : 0 ,9375 d
Pour simplifier l’EN 1992-1-1 considère d.
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volume des charges volume des charges
appliquées sur la poutre 0,94d.p appliquées sur le poteau
et transmises directement et transmises directement
av 0,5 d
charge transmise
par la poutre p
2d av h
effort tranchant compte tenu
des transmissions équivalentes trait 0,94.d.p
droite cte
effort tranchant théorique
transmissions équivalentes
EN 1992-1-1 6.2.1(8) d 0,94 d
Figure Représentation des charges transmises directement avec transmission
équivalente dans le cas d’une charge répartie.
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1.31. Transmission directes : (appui monolithique et plaque d’appui)
charges transmises
chargement de calcul
Vu(L)
Vur(L)
Vur(0)
Vu(0)
1.32. Diagramme de l’effort tranchant réduit. Appui souple (en tenant compte
des transmissions directes)
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Déterminons le diagramme enveloppe de l’effort tranchant (application numérique)
caractéristiques dimensionnelles : poteaux 300 × 300 , poutre : section droite 300 × 1100 , portée L = 10 m
caractéristiques mécaniques : béton : f ck = 25 MPa , acier : f yk = 500 MPa ;
Chargement appliqué : g = q = 30 kN / m (le poids propre n’est pas compris) ;
• Poids propre de la poutre :
g = 0 , 30 × 1,10 × 25 = 8 , 25 kN / m ;
• charges permanentes :
g = 30 + 0 , 30 × 1,10 × 25 = 38 , 25 kN / m ;
1,35g = 51,64 kN / m ;
• charge d’exploitation :
q = 30 kN / m 1,50q = 45 kN / m ;
1,35g + 1,50q = 96,64 kN / m ;
Posons d = 1000 mm ;
• Vu (1,35 g , x = 0 ) = − 1,35 g = − 258 ,19 kN ;
• Vur (1,35 g , x = 0 ) = − 1,35 g  − d − 0 ,15  = − 199 kN ;
• Vu (1,50q , x = 0 ) = − 1,50q = − 225 kN ;
• Vur (1,50q , x = 0 ) = − 1,50q − d − 0 ,15  = − 174 kN ;
• Vu ( x = 0 ) = − 483 ,2 kN ; Vur ( x = 0 ) = − 372 kN ;
Pour obtenir le diagramme enveloppe de Vu
On a considéré que la charge d’exploitation n’est pas forcément répartie sur la longueur de la travée, lorsqu’elle est
répartie sur la moitié de la travée par exemple, on obtient la valeur max de Vu au milieu de la travée.
 L L
Vu  x =  = ± 1,50q , dans la pratique, on néglige souvent cette valeur, car elle est relativement faible et de
 2 8
plus l’espacement des armatures transversales est borné.
A partir du diagramme de l’effort tranchant représenté au verso, tracez l’épure d’arrêt des armatures
transversales dans les deux cas suivants :
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1,50 q chargement de calcul
300 h=1100
L =10 000
Vu (1,35g)
Vu (1,50q)
1,5q L =56,25
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bw = 300 mm ; h = 1100 mm ; d = 1000 mm ; z = 0 ,9d = 900 mm ;
f ck 30 f 500
f ck = 30 MPa f cd = = = 20 MPa ; f ywd = ywk = = 435 MPa ;
γ C 1, 5 γS 1,15
 f ck( MPa ) 
béton armé ⇔ α cw = 1 ; ν 1 = 0 ,6  1 −  ; ν 1 = 0 ,54 ν 1 f cd = 10 ,8 MPa
g = 38 ,25 kN / m ; q = 30 kN / m ; pu = 1,35 g + 1,5q = 96 ,64 kN / m ;
As1 ≥ 3135 mm Armatures longitudinales 3 lit :3HA 25 3HA20 et 3HA20
♦ A l’appui A :
V Ed = 483,2 kN
v min bw d ≤ V ( N ) Rd ,c = C Rd ,c .k (100 ρ 1 f ck ) bw d
En flexion simple : {6.2.}
k = 1+ ( mm ) = 1 + = 1,45 ≤ 2 ; C Rd ,c = = = 0 ,12 ;
d 1000 γC 1,5
ρ l = sl = = 0 , 0042 ≤ 0 , 02 (1 lit de 3 HA 25)
bw d 300 × 1000
v min = k f ck ; v min = 0 , 03533k 3 2 f ck1 2 = 0 , 03533 × 1, 453 2 × 301 2 = 0 , 337
0 , 337 × 300 × 1000 = 101080 ≤ V ( = 0 ,12 × 1, 45 × ( 100 × 0 , 0042 × 30 ) 300 × 1000 = 127627 N
V ( N ) Rd ,c = 127627 N = 127 kN
On peut utiliser l’effort tranchant au nu de l’appui VEd = 372 kN
483 , 2 103
0 , 9dbw τ τ = = 0 ,165
= =τ 300 × 0 , 9 × 1000 × 10 , 8
L’angle θ des bielles est choisi : θ = 21,8° ; cot θ 1 = 2 ,5
Distance d depuis le nu de l’appui VEdr = VEd − pu × ( d + 150 ) = 372 kN  .. 6.2.1
en tenant compte de l’article  .. 6.2.3
Dans les zones ou il n’y a pas de discontinuité de VEd , la détermination des armatures sur un
longueur de z ( cot θ + cot α ) peut être effectuée en utilisant la plus petite valeur de VEd sur cette
On peut considérer un décalage de la courbe de l’effort tranchant de z cot θ = 0 , 9 × 1000 × 2 , 5 = 2250 mm .
Soit VEdr = VEd − pu z cot θ = VEd − pu × 2 , 25 = 266 kN
La section des armatures transversales est représentée par : =ψ ρ w =
V Edr = 266 kN τ = = 0 , 091
300 × 0 , 9 × 1000 × 10 , 8
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τ 0 ,091
{6.8} ψ = ; ψ = = 0 ,0365 ;
= ψ 1 cd bw ; = 0,272 soit 272 mm2 / mètre
♦ décalage de la courbe des moments (pour le tracé de l’épure d’arrêt des barres longitudinales):
z 0 , 9 × 1000
( cot θ ) = × 2 , 5 = 1125 mm
pour être en sécurité, il faudrait z cot θ
0 ,08 f ck 0 ,08 30
ρ w ,min = {9.5N} ρ w ,min = = 0 ,000875
Pour des armatures droites sl ,max = 0 , 75d = 0 , 75 × 1000 = 750 mm {9.6N}
♦ ρ w = ≥ 0,000875 Asw ≥ 0 ,000875bw .s max ≥ 0 ,000875bw .s l
bw .s l
Asw ≥ 0 , 000875bw smax = 0 , 000875 × 300 × 750 = 198 mm 2 soit 4 HA 8 201 mm2
Asw 201
= 0,902 ; s1 ≤ = 739mm ;
s 0 ,272
st ,max = min( 0 , 75d ; 600 ) = 600 mm entre les brins d’un cours vérifié
483 , 2 103 0 ,165
Avec V Ed = 483,2 kN ; τ = = 0 ,165 ; ψ = = 0 ,0663 ;
300 × 0 , 9 × 1000 × 10 , 8 2 ,5
= 0,494 ; s1 ≤ = 406 mm ;
s 0 ,494
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Cas ou la bielle d’about est trop comprimée
Toutefois en cas de poutre haute, on pourra superposer plusieurs bielles d’about suivant le principe ci dessous
illustré pour 2 bielles. Les bielles et ses tirants seront calculés comme ci-avant, chacun avec sa part de charge
(ici 0,5. VEd).(BAEL)°
Pour soulager la bielle d’about, nous pouvons utiliser un réseau croisé d’armatures reprenant une partie de
l’effort tranchant.
Si la largeur d’appui est insuffisante pour permettre le passage de Vu (bielle trop comprimée), nous pouvons faire
intervenir une largeur de bielle supérieure en disposant des armatures horizontales réparties sur la hauteur de la poutre
et ancrées au-delà de la ligne AB ; Il ne faut cependant pas oublier de « remonter » la part d’effort tranchant Vu2 par
l’intermédiaire de cadres et d’étrier situés tout près du voisinage de l’appui.
Aw3= Ast2
B isolons la seconde bielle
 6.2.3 (7)
~ 0,9d
(z-a)/2 z+Lb,net Vu2
Vu = Vu1 + Vu 2 ; Vu1 effort tranchant repris par la première bielle, on peut la faire travailler à sa valeur limite soit Vu1 .
D’après le règlement BAEL, il faut que Vu1 ≥ , cela
3 boucle disposée à plat Ast2
suppose que Vu 2 < ; or les règles de bonne
construction conseillent de ne pas compter exagérément sur
ces bielles secondaires au risque de désordres graves
Vu 2 < .
Pour les armatures Ast 2 , on peut utiliser des boucles
disposées à plat comme indiqué sur le schéma ci-contre.
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Les suspentes à prévoir au niveau des appuis indirects  9.2.5
(9) Lorsqu'une charge est appliquée en partie inférieure de l'élément, il convient, en plus des armatures
nécessaires pour reprendre l'effort tranchant, de prévoir des armatures verticales (suspentes) suffisantes pour
transmettre la charge à la partie supérieure.
 6.2.1 (9)
Dispositif permettant de relever les charges ponctuelles. Par »relever », il faut entendre « remonter » les
charges, c’est à dire les transférer en partie supérieure dans la membrure comprimée.
Par exemple au croisement poutre porteuse poutre portée, il faut relever la réaction d’appui transmise par la
poutre portée.
La poutre secondaire s’appuie sur la partie tendue de la poutre principale, il faut donc remonter la réaction
d’appui à la partie supérieure comprimée de la poutre principale par l’intermédiaire de suspentes.
isolons un tronçon de suspente
Ru Asw = 2 = Ru
2 f yd f yd 2
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Les suspentes à prévoir au niveau des appuis indirects 9.2.5
Clause 6.2.1 (9) Lorsqu'une charge est appliquée en partie inférieure de l'élément, il convient, en plus des
armatures nécessaires pour reprendre l'effort tranchant, de prévoir des armatures verticales (suspentes)
suffisantes pour transmettre la charge à la partie supérieure.
≤ h2 / 3 ≤ h2 / 2
≤ h1 / 3
≤ h1 / 2
figure 50 Figure 9.7
Voir Figure 9.7 : Disposition des suspentes dans la zone d'intersection de deux poutres (vue en plan) (A =
poutre support de hauteur h1, B = poutre supportée de hauteur h2 (h1 ≥ h2)
h1 h2 section droite
d'une suspente
R ≤ h1 / 3
figure 51 Disposition des suspentes dans la zone d'intersection de deux
poutres (vue en élévation)
Asw section résistante d’un cours
Ces cours doivent être répartis sur min  h1 ; h1 + bw 2  et coudre les fissures probables qui se
3  
développent à 45°.
1  2 
Partie entière { min  h1 ; h1 + bw 2  } = nombre de cours
s  3 
La section droite de l’ensemble des cadres formant suspente doit vérifier :
1  2  R
Asw . .min  h1 ; h1 + bw 2  ≥
s  3  f yd
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Cisaillement le long des surfaces de reprise
1.33. Généralités et méthode de calcul
(1) A l'interface entre des bétons coulés à des dates différentes, outre les exigences de 6.2.1 à 6.2.4, il
convient également de vérifier :
v Edi ≤ v Rdi (6.23)
v Edi est la valeur de calcul de la contrainte de cisaillement à l'interface ; elle est donnée par :
v Edi = β (6.24)
où : β est le rapport de l'effort normal (longitudinal) dans le béton de reprise à l'effort longitudinal total dans
la zone comprimée ou dans la zone tendue, calculé, à chaque fois, pour la section considérée
V Ed est l'effort tranchant transversal
z est le bras de levier des forces internes de la section composite
bi est la largeur de l'interface (voir Figure 6.8)
v Rdi est la valeur de calcul de la contrainte résistante de cisaillement à l'interface :
v Rdi = min  0 , 5ν f cd ; cf ctd + µ σ n + ρ w f yd ( µ sin α + cos α )  (6.25)
c et µ sont des coefficients qui dépendent de la rugosité de l'interface (voir (2))
f ctd est défini en 3.1.6 (2)P
σn est la contrainte engendrée par la force normale externe minimale à l'interface susceptible d'agir en
même temps que l'effort de cisaillement ; elle est positive en compression, avec σ n < 0 ,6 f cd , et négative
en traction. Lorsque σn est une contrainte de traction, il convient de prendre cf ctd = 0.
ρ w =
As aire de la surface des armatures traversant l'interface, armatures d'effort tranchant comprises, le
cas échéant, correctement ancrées de part et d'autre de l'interface
Ai aire du joint
α défini sur la Figure 6.9 ; il convient de limiter α de telle sorte que 45° ≤ α ≤ 90°
ν coefficient de réduction de la résistance donné par l'Expression (6.6)
ν = 0 ,6[1 − f ck / 250] (6.6N) ( f ck en MPa)
(3) Les armatures transversales (armatures de coutures) peuvent être réparties par zones de pas constant le
long de l'élément, comme indiqué sur la Figure 6.10. Lorsque la liaison entre deux bétons différents est
assurée par des armatures (poutrelles en treillis), la contribution de l'acier à v Rdi peut être prise égale à la
résultante des efforts dans chaque diagonale, sous réserve que 45° ≤ α ≤ 135° .
(4) La résistance au cisaillement longitudinal de joints coulés en place entre éléments de dalles ou de voiles
peut être calculée comme indiqué en 6.2.5 (1). Toutefois, lorsque le joint peut être significativement fissuré, il
convient de prendre c = 0 pour les joints lisses et rugueux et c = 0,5 pour les joints avec indentation (voir
également 10.9.3 (12)).
(5) Sous charges de fatigue ou charges dynamiques, il convient de diviser par deux les valeurs de c
données en 6.2.5 (1).
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largeur de l'interface de reprise
béton de reprise
Figure 30 (Fig.6.8 EN 1992-1-1) : Exemples de surfaces de reprise.
Tableau 5 : paramètres c et µ
État de surface : c µ
Très lisse : surface coulée au contact de moules en acier, en matière 0,25 0,5
plastique ou en bois traité spécialement.
Lisse (surface non coffrée laissée sans traitement ultérieur après 0,35 0,6
Rugueuse : surface présentant des aspérités d'au moins 3 mm de haut, 0,45 0,7
espacées d'environ 40 mm, obtenues par striage, lavage direct ou toute
autre méthode donnant un comportement équivalent.
Avec indentation : surface présentant des clés comme sur la Figure 6.9 0,5 0,9
de l’EN 1992-1-1
v Edi
ρ f yd ( µ sin α + cos α )
diagramme résistant dû aux armatures
v Rdi
Ai sbi
cf ctd + µ σ n
diagramme résistant du béton seul
armatures de
couture requises le béton seul résiste aux contraintes de cisaillement
Figure 31 : (Fig.6.10 EN 1992-1-1) Diagramme de cisaillement indiquant les armatures
de couture requises, avec une répartition par 2 paliers.
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1.34. Pour un plancher confectionné à partir de prédalles, étude de la surface
de reprise de la retombée préfabriquée d’une poutre.
bi largeur de l'interface de reprise
Figure 32. Surface de reprise pour une poutre rectangulaire
Sachant que la largeur de repos de la prédalle est de l’ordre de 20 mm
Largeur de la surface de reprise (interface) bi = bw − 40 mm
v Edi = β
β = 1 si l’axe neutre est situé dans le béton de reprise.
v Edi ≤ v Rdi v Rdi = min  0 , 5ν f cd ; cf ctd + µ σ n + ρ w f yd ( µ sin α + cos α ) 
avec des armatures orthogonales à la surface de reprise α = 90°
σn= 0 en négligeant la contrainte normale orthogonale à la surface de reprise
v Rdi = min  0 , 5ν f cd ; cf ctd + µ ρ w f yd  ; ν = 0 ,6( 1 − ck ) (6.6) ;
α ct f ctk ,0 ,05
VEd  f  A
≤ min  0 , 3( 1 − ck ) f cd ; cf ctd + µ ρ w f yd  ρ w = sw
zbi  250  bi .s
VEd  f A 
Surface non coffrée : ≤ min  0 , 3( 1 − ck ) f cd ; 0 , 35 f ctd + 0 , 6 sw f yd 
zbi  250 sbi 
Surface rugueuse : ≤ min  0 , 3( 1 − ck ) f cd ; 0 , 45 f ctd + 0 , 7 sw f yd 
Armatures minimales transversales des poutres : ρ w ,min =
Tableau 6 : Valeurs max. (en MPa) de (obtenues pour le pourcentage min. d’armatures transversales
de la poutre) pour lesquelles les armatures de couture supplémentaires sont inutiles.
Béton C25/30 Béton C30/37
État de surface ρ = 0,0008 w ,minρ = 0,000876 w ,min
Lisse (surface non coffrée) 0,62 0,69
Rugueuse 0,78 0,82
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Tableau 7 : Vérification du cisaillement sur la surface de reprise (avec des armatures transversales
traversant l’interface).
État de C25/30 C30/37
Lisse VEd  A  VEd  A 
Surface non ≤ min  4 , 5 ; 0 , 42 + 260 ,87 sw  ≤ min  5 , 28 ; 0 , 46 + 260 , 87 sw 
zbi sbi  zbi  sbi 
coffrée 
VEd  A  VEd  A 
Rugueuse ≤ min  4 , 5 ; 0 , 54 + 304 , 3 sw  ≤ min  5 , 28 ; 0 , 6 + 304 , 3 sw 
zbi  sbi  zbi  sbi 
1.35. cas des dalles confectionnées à partir de prédalles sans armatures de
On considère une surface rugueuse et β = 1
VEd  f 
Surface rugueuse : ≤ min  0 , 3( 1 − ck ) f cd ; 0 , 45 f ctd 
zbi  250 
Tableau 8: Valeurs max. (en MPa) de obtenues sans armatures de couture
C25/30 C30/37
surface rugueuse 0,54 0,6
v Edi orthogonales à la surface de reprise
µ ρ f yd ρ = =
cf ctd
armatures de couture le béton seul résiste aux
requises contraintes de cisaillement
Figure 33. Diagramme de cisaillement indiquant les armatures de couture requises,
avec une répartition par 2 paliers. (cas particulier d’armatures droites et σ n = 0 )
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 6.2.4
Cisaillement à la jonction âme-membrures.:
Dans les plans de liaison de 2 éléments ou existent des variations brutales de section (par exemple à la
jonction nervure-table des poutres en Té que nous allons étudier), sollicités par des contraintes tangentes, il
faut placer des armatures traversant ces plans. Ces armatures viennent coudre les fissures probables
engendrées par les contraintes tangentes, ces armatures dites de couture ou transversales empêchent le
glissement relatif des 2 plans.
∆ FEd
∆ FEd v Ed
Figure 34. Jonction nervure-table des poutres en Té : distribution des contraintes
barre longitudinale ancrée
B au-delà du point obtenu par
construction avec θ f (voir 6.2.4(7):
FEd ∆x
A bielles de béton:
lbd FEd + ∆ FEd
Asf FEd + ∆ FEd
Figure 35. Fig.6.7 Notations pour la jonction âme-membrure.
1.36. Cisaillement à la jonction âme-membrure. Cas de membrure (ou table)
1.36.1. Position du problème
La largeur efficace d’une poutre en Té est notée beff .
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On détermine l’effort de compression dans la section droite distante de ∆ x du point de moment nul:
FEd = .
M Ed : variation du moment de flexion à l’ELU sur la distance ∆ x ,
z est le bras de levier
Soit ∆ FEd , la variation de l’effort de compression agissant sur le débord (ou partie extérieure de la table) de
la poutre en Té, pour une longueur de poutre ∆ x .
Déterminons l’effort de compression sur le débord de la poutre en Té au prorata de sa largeur. Si l’axe
neutre est situé dans la table, cas le plus fréquent en bâtiment : ∆ FEd =
beff − bw
2 beff
La contrainte de cisaillement longitudinal (glissement longitudinal moyen) v Ed développée à la jonction entre
l’âme (nervure) et un coté de la membrure (table ou hourdis) est définie par : v Ed =
hf ∆ x
∆x plafonné à la moitié de la distance du point de moment maximal au point de moment nul ; lorsqu’il
existe des charges ponctuelles, ∆ x est plafonné à la distance entre ces charges.
hf : hauteur de la membrure
si v Ed ≤ kf ctd les armatures de cisaillement des membrures ne sont pas nécessaires.
f ctd = α ct f ctk , 0 ,05 γ C
Tableau 9 : Définition des valeurs numériques de k
NF EN 1992-1-1 k = 0,4
Pour une surface de bétonnage k = 0,5
Annexe nationale 6.2.4(6) Note verticale et rugueuse
S’il n’existe pas de reprise k = 1
verticale de bétonnage
1.36.2. Modélisation :
La résistance au cisaillement de la membrure peut être justifiée par la considération d'un treillis formé par
des bielles de béton comprimé et les armatures transversales tendues.
L'état ultime peut être atteint par écrasement des bielles de béton ou par rupture des armatures
transversales de liaison de l'âme à la membrure.
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b − bw ) (b − bw )
∆ FEd / cos θ ∆ FEd tan θ ∆ FEd = F . eff eff
f f 2 Ed beff
bw beff
bw 26 ,5° ≤ θ ≤ 45°
FEd . f
FEd =
θ h-hf
1 b − bw ( )
∆ FEd = F . eff ∆ FEd
2 Ed beff
∆ FEd / cos θ f
θ bw
f FEd . ∆ FEd tan θ
beff f
membrure comprimée 26 ,5° ≤ θ f
Figure 36: Modélisation table comprimée.
1.36.3. Détermination des armatures transversales à la jonction âme-
La section des armatures transversales à la jonction âme-membrure est déterminée par l’équation :
Asf f yd hf
> v Ed {6.21}
sf cot θ f
Équation équivalente Asf f yd > ∆ FEd tan θ f , avec ∆ FEd tan θ f = l’effort dans les armatures
Pour les membrures comprimées : 26 ,5° ≤ θ f ≤ 45°
En prenant θ f = 26,5° ; cot θ f = 2 , on minimise la section des armatures transversales.
Cette section Asf peut être disposée sur les faces supérieures et inférieures de la table.
1.36.4. Vérification des bielles de béton comprimé:
1  ( Mpa ) 
v Ed ≤ ν f cd sinθ f cos θ = ν f cd sin 2θ  f ck 
{6.22} ν = 0 ,6 1 − 
 250 
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∆ FEd ∆ FEd
équation équivalente ≤ ν f cd h f ∆ x sin θ f avec l’effort dans la bielle
cos θ f cos θ f
en prenant θ f = 45° cot θ f =1 v Ed ≤ 0 ,5ν f cd
en prenant θ f = 26,5° cot θ f = 2 v Ed ≤ 0 ,4ν f cd
Leff ;i (M − M i− 1 )
x0 i =
pi .Leff ;i M i− 1 + M i ( M i − M i− 1 )2
M ti ;max = + M i0 +
2 16 M i0
0 ,25 M ti ;max
0 ,75 M ti ;max 0 ,75 M ti ;max
0 ,75 M ti ;max
M i0
x0 i +
x0 i −
2 zone 1 zone 2 zone 1
zone 3 zone
8 M ti ;max M i max 3
ai = = Li
pi M i0
M n 2 ;i
∆x= i ∆x ∆x ∆x
M n1;i Mi
M i− 1
Leff ;i / 2
pi charge uniformément répartie
a1;i Ln ;i a 2 ;i
Leff ;i
Figure 37. Définition des zones et notations
Pour simplifier, on peut considérer pour longueur de la table comprimée ai :
figure 5.2 NF EN 1992-1-1
Travée de rive d’une poutre continue : 0 ,85 Leff
Travée intermédiaire d’une poutre continue : 0 ,70 Leff
1.37. Cisaillement à la jonction âme-membrure. Membrure (ou table) tendue
Cette vérification n’est à effectuer que si on prend en compte les armatures tendues de la table situées à
l’extérieur de la largeur de la nervure. (voir figue 38)
Lorsque la membrure (table) est tendue : 38 ,6° ≤ θ f ≤ 45° 1 ≤ cot θ f ≤ 1,25
Pour minimiser ces armatures il faut considérer des bielles avec θ f = 38,6° cot θ f = 1,25
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FEd = M i moment de flexion sur l’appui i
z = 0 ,9d : bras de levier forfaitaire
si on note As ,dt la fraction de la section totale d’acier située dans le débord (ou partie extérieure de la table)
As ,dt M i As ,dt
(figure 38 ) ∆ FEd = FEd ∆ FEd =
As z As
As ,dt
Figure 38. Armatures de la table tendue d’une poutre en Té.
La contrainte de cisaillement longitudinal (glissement longitudinal moyen) v Ed
Expression définie précédemment : v Ed =
h f .∆ x
∆ x peut être estimé à : 0 ,15 Leff longueur de la zone 3
1.37.1. section des armatures transversales à la jonction âme-membrure
Équation équivalente : Asf f yd > ∆ FEd tan θ f ; avec ∆ FEd .tanθ f = l’effort dans les armatures
M i As ,dt Asf 1 M i As ,dt 1
∆ FEd = > tanθ f
z As sf ∆ x z As f yd
Pour minimiser ces armatures, il faut des bielles avec θ f = 38,6° ; cot θ f = 1,25
∆ x = 0 ,15 Leff
Asf 1 M i As ,dt 1
sf 0 ,1875 Leff 0 ,9d As f yd
La section Asf peut être disposée sur les faces supérieures et inférieures de la table.
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1.37.2. Vérification des bielles de béton comprimé:
v Ed ≤ ν f cd sinθ f cos θ = ν f cd sin 2θ f
{6.22} ν = 0 ,6 1 − ck 
M i As ,dt 1 1 1
≤ ν f cd sin 2θ f
z As h f 0 ,15 Leff 2
1.37.3. Modélisation :
∆ FEd = FEd
∆ FEd As ,dt
membrure tendue 38 ,6° ≤ θ f ≤ 45°
appui i z ( cot θ + cot α )
Figure 39. Modélisation table tendue
1.38. armatures minimales 9.2.2
ρ w = {9.4} avec :
Asw section d’un cours d’armatures transversales ici Asf
bw largeur de l’âme de l’élément ici h f
0 ,08 f ck Asf f ck
ρ w ,min = {9.5N} soit ≥ 0 ,08h f
f yk sf f yk
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1.39. Armatures réglementaires : cisaillement entre membrure et âme combiné
à la flexion transversale
6.2.4(5) Dans le cas où le cisaillement entre membrure et âme est combiné à la flexion transversale, il
convient de prendre pour l'aire de la section des armatures la valeur donnée par l'Expression (6.21) ou la
moitié de celle-ci plus l'aire requise pour la flexion transversale, si l'aire ainsi obtenue est supérieure.
Soit As l’aire de la section des armatures pour la flexion transversale / mètre (unité de longueur). Ces
armatures seront disposées en partie supérieure de la table.
 Asf Asf f ck 
On doit disposer une section égale aumax  ; 0 ,5 + As ; 0 ,08h f 
 s f sf f yk 
L’espacement des barres de flexion dans les dalles 9.3.1.1(3) s f ≤ inf 3h f ;400mm [ ]
(Remarque : s’il n’y a pas d’armatures de flexion, cette condition ne s’applique pas)
1.40. Méthode approchée
Soit ∆x= pour la membrure comprimée et ∆ x = 0 ,15 Leff pour la membrure tendue. On définit 3
zones (voir figure 40)
l’âme (nervure) et un coté de la membrure (table, hourdis) est définie par : v Ed = avec :
simax ( v Ed 1 , v Ed 3 ) ≤ kf ctd les armatures de cisaillement des membrures ne sont pas nécessaires.
Avec f ctd = α ct f ctk , 0 ,05 γ C α ct = 1
armatures seront disposées généralement en partie supérieure de la table.
L’espacement des barres dans les dalles 9.3.1.1(3) [
s f ≤ inf 3h f ;400mm ]
Équation équivalente Asf f yd > ∆ FEd tanθ f , avec ∆ FEd tan θ f = l’effort dans les armatures
Pour minimiser les armatures il faut considérer des bielles inclinées :
Pour la membrure comprimée : θ f = 26,5° cot θ f = 2
Pour la membrure tendue : θ f = 38,6° cot θ f = 1,25 (si on
prend en compte les armatures tendues de la table situées à l’extérieur de la largeur de la nervure. (voir
figue 33)
vérification des bielles
 ( Mpa ) 
v Ed ≤ ν f cd sinθ f cos θ = ν f cd sin 2θ {6.22} ν = 0 ,6 1 − ck 
 250 
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f ctd = α ct f ctk , 0 ,05 γ c α ct = 1
Si v Ed 1 ≤ 0 ,4ν f cd , la vérification des bielles dans la membrure comprimée est satisfaite.
Si v Ed 3 ≤ 0 ,48ν f cd la vérification des bielles dans la membrure tendue est satisfaite.
Tableau 10: Cas ou des armatures supplémentaires sont nécessaires : v Ed > kf ctd .
zones ∆ FEd v Ed Armatures transversales section des
nécessaires pour la armatures
vérification du transversales
cisaillement table- 6.2.4(5)
1 0 ,75 M ti ,max 3 M ti ,max Asf 1 3 M ti ,max
v Ed 1 = >
z h f ai z sf 2 za i f yd
 Asf 
z = d − 0 ,5h f z = d − 0 ,5h f  
 sf 
2 0 ,25 M ti ,max M ti ,max Asf 2 1 M ti ,max Asf
v Ed 2 = > max  0 ,5 + As 
z h f ai z sf 2 za i f yd  
 f ck 
z = d − 0 ,5h f z = d − 0 ,5h f  0 ,08h f 
 f yk 
3 M i As ,dt v Ed 3 = Asf 3
(appui i) 0 ,9d As M i As ,dt 1 1 sf
0 ,9d As h f 0 ,15 Leff 1 M i As ,dt 1
0 ,1875 Leff 0 ,9d As f yd
(s’il existe des
armatures tendues de
flexion à l’extérieur de
la largeur de la nervure)
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M ti ,max
zone 1 zone 2 zone 1
a i = 0 ,7 Leff ,i
M n1;i
Figure 40. Définition des zones.
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∆ FEd / cos θ FEd .
∆ FEd tan θ ∆ FEd =
1 b − bw
F . eff (beff
− bw )
f 2 Ed beff
26 ,5° ≤ θ f
z cot θ
∆ FEd = F . eff
2 Ed beff ∆ FEd
Figure 41. Modélisation table comprimée (armatures transversales droites).
appui i z cot θ
Figure 42. Modélisation table tendue (armatures transversales droites).
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1.1. cas d'un chargement excentré
Dans le cas d'un chargement excentré
V Ed ,red  M Ed u 
v Ed = 1+ k  (6.51)
ud  V Ed ,redW 
k est le coefficient qui dépend du rapport des dimensions b et c du poteau : sa valeur est fonction de la
proportion du moment non équilibré transmis par cisaillement non uniforme et par flexion et torsion (voir
Tableau 6.1)
tableau 6.1 Valeur de k pour les aires chargées rectangulaires
b/c ≤ 0,5 1,0 2,0 ≥ 3,0
k 0,45 0,60 0,70 0,80
b est la dimension du poteau parallèlement à l'excentricité de la charge
c est la dimension du poteau perpendiculairement à l'excentricité de la charge
W correspond à une répartition des contraintes de cisaillement telle que représentée sur la
Figure 6.19 de l’EN 1992-1-1 ; est fonction du périmètre du contour de contrôle de référence u :
W = b + bc + 4cd + 16d 2 + 2π db (6.41)
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6.3.2(1) Le flux de cisaillement en torsion pure dans la paroi est constant, il peut être obtenu par :
t ,i ef ,i = (6.26)
V Ed ,i
t ef ,i ef ,i
V Ed , j
Figure 41 Fig. 6.11 : symboles et définitions utilisés en 6.3
La sollicitation tangente V Ed ,i dans une paroi i du fait de la torsion est donnée par :
V Ed ,i = τ t
t ,i ef ,i .z i (6.27)
où (voir Figure 6.11 de l’EN 1992-1.1)
TEd est le moment de torsion agissant de calcul
Ak est l'aire intérieure au feuillet moyen des parois, partie creuse comprise
τ t ,i est la contrainte tangente de torsion dans la paroi i
A est l'aire totale de la section délimitée par le périmètre extérieur, partie creuse comprise
u est le périmètre extérieur de la section
zi est la longueur de la paroi i, définie par la distance entre points d'intersection des parois adjacentes
t ef ,i est l'épaisseur de la paroi fictive. Elle peut être prise égale à A/u, mais il convient qu'elle ne soit
pas inférieure à deux fois la distance entre le parement extérieur et l'axe des armatures longitudinales. Dans
le cas de sections creuses, elle est limitée par l'épaisseur réelle de la paroi.
c enrobage des armatures longitudinales
t épaisseur réelle de la paroi si elle est creuse
φl diamètre des armatures longitudinales
 φ A 
t ef ,i = max  2( c + l ); ; t 
 2 u 
Dans le cas des profils de section creuse comme dans celui des profils de section pleine, les effets de la
torsion peuvent être superposés à ceux de l'effort tranchant, en prenant une même valeur pour l'inclinaison
θ des bielles. Les valeurs limites de θ données en 6.2.3 (2) s'appliquent également entièrement dans le
cas de sollicitations combinées d'effort tranchant et de torsion. Clause 6.3.2 (2)
La résistance d'un élément soumis à des sollicitations d'effort tranchant et de torsion se déduit de 6.3.2 (4).
Clause 6.3.2(4) : La résistance d'un élément soumis aux sollicitations d'effort tranchant et de torsion est
limitée par la résistance des bielles de béton. Afin de ne pas dépasser cette résistance, il convient de
satisfaire la condition suivante :
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TEd / TRd,max + VEd / VRd,max ≤ 1,0 (6.29)
En torsion pure TEd / TRd,max ≤ 1,0
VEd est l'effort tranchant agissant de calcul
TRd,max est le moment de torsion résistant de calcul donné par :
TRd ,max = 2ν α cw f cd Ak t ef ,i sinθ cos θ (6.30)
ν est donné en 6.2.2 (6) ν = 0 ,6[1 − f ck / 250] (6.6N) (fck en MPa)
α cw par l'Expression (6.9)
VRd,max est la valeur maximale de l'effort tranchant résistant de calcul selon les Expressions (6.9) ou (6.14).
Dans les sections pleines, on peut utiliser la largeur complète de l'âme pour déterminer VRd,max
Clause 6.3.2(5) Les sections pleines approximativement rectangulaires ne requièrent qu'un ferraillage
minimal (voir 9.2.1.1) sous réserve que la condition ci-après soit vérifiée :
TEd / TRd,c + VEd / VRd,c ≤ 1,0 (6.31)
VRd,c se déduit de l'Expression (6.2)
TRd,c est le moment de fissuration en torsion, qui peut être déterminé en posant
τ ti = f ctd TRd,c = 2Ak tef,i fctd
Justification de l’expression de TRd,max est le moment de torsion résistant de calcul donné par : 6.30
bielle i
VEd , j
Figure 42. Section rectangulaire sollicitée en torsion pure : on a représenté le moment
de torsion et son équivalent en termes d’efforts de cisaillement sur les parois de la
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A bielle i C
θi Fb ,i
Fl ,i
V Ed ,i = Fl ,i + Fb ,i
B θi
j Fl , j
Fb , j
Figure 43. Section rectangulaire sollicitée en torsion pure : on a représenté le moment
de torsion et son équivalent en termes d’efforts de compression dans les bielles et les
efforts dans les armatures longitudinales. L’équilibre de la section montre la nécessité
de placer des armatures longitudinales.
θi θi
τ B τ
t ,i t ,i zi
zi θi
Fl ,i Fsw ,i C
τ t ,i .t ef ,i . i = Ed ,i
tan θ i tan θ i θi
B V Ed ,i = τ t ,i .t ef ,i .z i
tan θ i
Figure 44. Isolement d’un tronçon de bielle ABC. . L’équilibre montre la nécessité de
placer des armatures longitudinales et transversales
Fb ,i effort dans la bielle i
V Ed ,i = Fl ,i + Fb ,i V Ed ,i = Fb ,i sin θ i
VEd ,i
Fl ,i = Fb ,i cos θ i =
VEd ,i = τ t ,i .t ef ,i .zi τ t ,i t ef ,i = VEd ,i = .z i
2 Ak 2 Ak
Fb ,i
la contrainte dans la bielle σ b ,i =
t ef ,i z i cos θ i
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σ b ,i ≤ ν f cd TEd ≤ 2ν f cd Ak t ef ,i sinθ i cos θ i
TEd ≤ TRd ,max TRd ,max = 2ν α cw f cd Ak t ef ,i sinθ i cos θ i (6.30)
Justification de l’expression de la section des armatures longitudinales (6.28)
Armatures longitudinales hypothèse : θ i = θ
VEd ,i TEd TEd TEd
Fl = ∑ i
Fl ,i = ∑
i tan θ i
i 2 Ak tan θ i
.z i =
2 Ak tan θ
Asl f yd
∑ Asl f yd
uk 2 Ak
Justification de l’expression de la section des armatures transversales
L’étude de l’équilibre du coin de bielle de ABC : Le théorème de Cauchy égalité des contraintes tangentes
sur les parois AB et BC
On en déduit la force de cisaillement sur la paroi AB
Sur la paroi AC effort dans les armatures longitudinales opposé à l’effort de cisaillement sur AB soit
Fl ,i = L’équilibre exige un effort de traction transversal opposé à V Ed ,i : Fsw ,i = V Ed ,i
T zi Asw ,i f yd TEd
nAsw ,i f yd = V Ed ,i = Ed .z i n= =
2 Ak s tan θ i s 2 Ak cot θ
Asw f yd TEd
Hypothèse : θ i = θ armatures transversales = (6.28)
s 2 Ak cot θ
Clause 6.3.2(2) de l’annexe de l’EN 1992-1-1
Soit une section rectangulaire :
Soit un tronçon de poutre de longueur dx
θi C
dx dx tan θ i
dx tan θ θi
dx sin θ i
j θi
Figure 45. Isolement d’un tronçon de bielle ABC . Traduction du principe des actions
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Le principe des actions mutuelles sur dx impose : F' b ,i cos θ i = F' b , j cos θ j
L’effort dans la bielle i de longueur dx : F ' b ,i :
L’effort dans la bielle j de longueur dx : F' b , j :
Fb ,i Fb ,i
σ b ,i = F'b ,i = σ b ,i .dx sinθ i t ef ,i = .dx sinθ i
t ef ,i z i cosθ i z i cosθ i
Fb ,i Fb , j
sin θ i = sin θ j Fb ,i z j sin θ i = Fb , j z i sin θ j
TEd = VEd ,i .z j + VEd , j .z i TEd = Fb ,i sin θ i .z j + Fb , j sin θ j .z i
TEd = 2Fb ,i sin θ i .z j = 2 Fb , j sin θ j .z i
Relation entre le moment de torsion, les efforts de cisaillement et les caractéristiques géométriques :
VEd ,i z i
TEd = 2VEd ,i .z j = 2VEd , j .z i =
VEd , j z j
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4. Tableau valeur de α cw Note 3 :
Tableau valeur de α cw Note 3 :
EN 1992-1.1 pour les structures non précontraintes α cw = 1
valeur pour 0 < σ cp ≤ 0 ,25 f cd α cw = ( 1 + σ cp / f cd )
(6.11.aN)
de α cw
pour 0 ,25 f cd < σ cp ≤ 0 ,5 f cd α cw = 1,25
(6.11.bN)
pour 0 ,5 f cd < σ cp < 1,0 f cd α cw = 2 ,5( 1 − σ cp / f cd ) (6.11.cN)
σ cp est la contrainte de compression moyenne dans le
béton due à l'effort normal de calcul, mesurée positivement.
Il convient de la déterminer en faisant la moyenne sur toute
la section de béton, en tenant compte des armatures. Il n'y
a pas lieu de calculer σ cp à une distance inférieure
à 0 ,5d cot θ du nu de l'appui.
avec traction, avec Remplacer dans (6.9) α cw par α cw ,t = ( 1 + σ ct / f ctm )
Section entièrement
tendue Non traité
et celui σ ct ≥ f ctm
Sections sans effort pour les structures non précontraintes α cw = 1
de traction pour 0 < σ cp ≤ 0 ,25 f cd α cw = ( 1 + σ cp / f cd )
pour 0 ,5 f cd < σ cp < 1,0 f cd α cw = 2 ,5( 1 − σ cp / f cd )
(6.11.cN)
béton due à l'effort normal de calcul, mesurée
positivement. Il convient de la déterminer en faisant la
moyenne sur toute la section de béton, en tenant compte
des armatures. Il n'y a pas lieu de calculer σ cp à une
distance inférieure
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1.2. Justification de l’expressions de V Rd ,s : Effort tranchant de calcul
pouvant être repris par les armatures d’effort tranchant travaillant à la
limite d’élasticité de calcul VRd ,s = sw zf ywd ( cot θ + cot α ) sin α { 6.13 }
La modélisation de la poutre en treillis simple doit être abandonnée au profit d’un treillis multiple résultant de
la superposition de treillis simples.
A z cot θ z cot α B
figure 46 modélisation de la poutre en treillis simple
A z cot θ z cot α
figure 47 modélisation de la poutre :superposition de treillis simples
pour n cours l’effort est donné par nAsw f ywd .
Relation entre l’effort tranchant et l’effort dans la diagonale tendue du treillis :
Fsw = ; = nAsw f ywd ; VRd ,s = nAsw f ywd sin α
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sachant que s représente l’espacement de 2 cours consécutifs, mesuré suivant la fibre moyenne, le nombre
de cours est : n =
z ( cot θ + cot α ) A
VRd ,s = Asw f ywd sin α ; VRd ,s = sw zf ywd ( cot θ + cot α ) sin α {6.13}
Il serait possible d’optimiser la valeur de α pour rendre minimum la section des armatures transversales.
Si les armatures sont verticales VRd ,s = sw zf ywd cot θ {6.8}
Cette expression fixe ainsi la section d’armatures nécessaire et l’espacement sw
On remarque que pour sw fixé, V Rd ,s est une fonction décroissante de θ .
Pour θ = 45° VRd ,s = sw zf ywd
1.3. Justification de l’expression de VRd ,max = α b zν 1 f cd { 6.14 }
l’aire de la section droite
zbw ( cot θ + cot α ) sin θ
La contrainte de compression des bielles de béton ne doit pas dépasser :ν 1 . f cd ;
L’effort normal maximal dans la bielle est : zbwν 1 f cd ( cot θ + cot α ) sin θ
VRd ,max = z ( cot θ + cot α ) sin θ bwν 1 f cd sin θ = zbwν 1 f cd ( cot θ + cot α ) sin 2 θ
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sin 2 θ =
d’où l’expression théorique :
VRd ,max = bw zν 1 f cd
expression donnée par EC2 : cw w 2 (6.14)
VRd ,max = α
( cot θ + cot α ) b zν 1 f cd ( cot θ + cot α ) sin 2 θ
cw bw zν 1 f cd =α
2 cw w
Si les armatures sont verticales
( tan θ + cot θ )
Pour 1 ≤ cot θ ≤ 2 ,5 soit 22° ≤ θ ≤ 45° {6.7N} est une fonction croissante de θ , il en est de
même pour V Rd ,max .
Il faut que l’effort tranchant appliqué V Ed soit tel que V Ed ≤ V Rd ,max . Cette condition pourrait définir la
largeur minimale de l’âme de la poutre, en se fixant θ = 45°
Pour θ = 45° , = ⇒ V Rd ,max est maximum VRd ,max = bw zν 1 f cd
si VEd > VRd ,max = bw zν 1 f cd alors il faut redimensionner le coffrage ou augmenter la résistance du béton
pour obtenir V Ed ≤ V Rd ,max
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Montrons que plus θ est faible, plus la section d’armatures transversales nécessaire sera faible, mais en
contrepartie la compression des bielles augmente ainsi que la valeur du décalage de la courbe des
1.4. Autre formalisation pour la recherche des équations
Isolons une bielle de béton de
dx sinα largeur bw et un tronçon d’armature
dFc ,bielle Cet ensemble est soumis à :
une force élémentaire de
dFsw compression : dFc ,bielle sur la bielle
de béton comprimé,
dx sinθ une force élémentaire de traction
dans l’armature transversale dFsw
et l’action du tronçon d’armature
bw longitudinale de longueur dx sur la
bielle bielle noté dFsl = gdx
Cette force est due à l’adhérence
entre l’armature et le béton, on note
g le glissement par unité de
θ longueur.
M Ed M Ed
dFsl = gdx Fsl =
0 ,9d
∂ M Ed V dx
∂ Fsl = = Ed
z 0 ,9d
g = Ed
La section droite de la bielle étant bw dx sinθ dF c ,bielle = b w dx sin θ .σ c
σ c désigne la contrainte de compression
ρw pourcentage (taux) d’armatures d’effort tranchant ρw =
bw .s . sinα
{9.4}
Asw section d’un cours d’armatures transversales
Désignons la contrainte de traction dans l’armature transversale σ sw
représente le nombre de cours d’armatures transversales sur la longueur dx
dx Asw
dFsw = Asw σ sw = σ sw bw sin α × dx = ρ wσ sw bw sin α × dx
s bw s sin α
dFsl = gdx
dFsw = ρ wσ sw bw sin α × dx
dFc ,bielle = σ c bw sin θ × dx
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1.5. Étude statique : système de 2 équations
 Projetons les forces sur l’horizontale
dFsl − dFsw cos α − dFc ,bielle cos θ = 0
g.dx − ρ wσ sw bw dx sin α cos α − σ c bw dx sin θ cos θ = 0
− ρ wσ sw sin α cos α − σ c sin θ cos θ = 0
0 , 9dbw
posons = = τ
zbw 0 ,9dbw
τ − ρ wσ sw sin α cos α − σ c sin θ cos θ = 0
 τ = ρ wσ sw sin α cos α + σ c sin θ cos θ
 Projetons les forces sur la verticale
dFsw sin α − dFc ,bielle sin θ = 0
ρ wσ sw wb dx sin 2 α − σ c bw dx sin 2 θ = 0
 ρ wσ sw sin 2 α − σ c sin 2 θ = 0
 Nous obtenons 2 équations
 ρ σ sin α cos α + σ sin θ cos θ
w sw c =τ
sin2 θ sin2 θ
 ρ wσ sw =σ c
 σ c sin α cos α + σ c sin θ cos θ = τ
sin2 α sin2 α
 σ =  ρ wσ =
sin 2 θ [ cot θ + cot α ] sin 2 α [ cot θ + cot α ]
Asw V Ed V Ed
 Avec des armatures droites ρ w = = = τ
bw .s zbw 0 ,9dbw
τ 2τ τ
 σ = =  ρ wσ =
sinθ cos θ sin 2θ cot θ
La contrainte dans les armatures transversales ne pourra atteindre la résistance de calcul que si la
résistance à la compression dans la bielle n’est pas dépassée.
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1.6. Expression de V Rd ,max Effort tranchant de calcul maximal pouvant
être supporté sans provoquer l’écrasement des bielles de béton armé ;
La contrainte de compression des bielles de béton ne doit pas dépasser  σ c ≤ ν 1 . f cd ;
ν 1 est un coefficient de réduction de la résistance du béton fissuré à l’effort tranchant, c’est un facteur
 f ck( MPa )  f ywk
d’efficacité défini par : ν 1 = ν = 0 ,6  1 −  avec σ sw = f ywd = {6.6N}
 250  γ s
si σ sw ≤ 0 ,8 f ywk ν 1 = 0 ,6 f ck ≤ 60 MPa
ν 1 = 0 ,9 − f ck > 60 MPa
V Ed ≤ ν 1 f cd zbw
[ cot θ + cot α ] = VRd ,max
Montrons que {6.14}
( 1 + cot 2 θ )
τ V Ed V Ed
À partir des équations  ,  σc= ≤ ν 1 f cd avec = =τ
sin θ [ cot θ + cot α ]
 zbw  VEd ≤ ν 1 f cd zbw sin2 θ [ cot θ + cot α ]
≤ ν 1 f cd
1 [ cot θ + cot α ]
en utilisant sin 2 θ =  V Ed ≤ ν 1 f cd zbw = VRd ,max {6.14}
1 + cot 2 θ ( 1 + cot θ )
♦ Avec des armatures droites
À partir des équations   σc= ≤ ν 1 f cd posons τ =
ν 1 f cd
sin θ cot θ
τ ≤ sin 2 θ cot θ
1 1 cot θ sin 2θ
sin 2 θ = sin 2 θ cot θ = = =
1 + cot 2 θ tanθ + cot θ( 1 + cot θ
sin 2θ cot θ
V Ed ≤ V Rd ,max ⇔ τ ≤ ou τ ≤
V Ed = V Rd ,max ⇔ τ
( 1 + cot 2 θ )=
V Rd ,max est une fonction décroissante de cot θ pour cot θ ≥ 1
V Rd ,max est une fonction croissante de θ pour 22° ≤ θ ≤ 45°
u dτ 1− u2
τ = = < 0
Posons cot θ = u
1 + u2 ( ) (
du 1 + u 2 2 ) u = cot θ ≥ 1
τ est extremum pour u = 1 soit pour θ = 45°
Il serait donc inutile d’augmenter l’inclinaison de la bielle au delà de 45°
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1.7. Expression de V Rd ,s effort tranchant de calcul pouvant être repris par les
armatures d’effort tranchant travaillant à la limite d’élasticité de calcul
♦ Si l’effort tranchant agissant V Ed est au plus égal à V Rd ,max , la contrainte σ sw peut atteindre f ywd , de
sorte que la borne de l’effort tranchant qui définit l’ELU atteint par la contrainte max. des armatures
d’âme est : V Rd ,s VRd ,s = Vwd = zf ywd ( cot θ + cot α ) sin α {6.13}
À partir de l’équation  ρ wσ =
sin 2 α [ cot θ + cot α ]
Asw V Rd ,s
en remplaçant ρw = pour σ sw = f ywd et V Ed = VRd ,s τ =
bw s sin α zbw
VRd ,s = ρw f ywd zbw sin 2 α [cot θ + cot α ]
on retrouve {6.13} VRd ,s = Vwd = zf ywd ( cot θ + cot α ) sin α
♦ pour α = 90° armatures d’âme droites
VRd ,s = zf ywd cot θ {6.8} en posant =ψ {6.8} est équivalent à τ = cot θ .ψ
s v1 f cd
On peut aussi utiliser l’équation  ρ wσ =
En replaçant σ sw par f ywd (en faisant travailler l’armature à la limite de calcul) on retrouve [6.8}
τ =ψ cot θ
la ligne représentative de τ (ψ ) est une droite passant par l’origine
pour cot θ = 1 τ = ψ droite passant par l’origine de pente 1
pour cot θ = 2,5 τ = 2 , 5ψ droite passant par l’origine de pente 2,5
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1.8. relations si V Rd ,s = V Rd ,max
On se place dans la configuration ou σ c = v1 f cd et σ sw = f ywd ⇔ on utilise la capacité
portante de la bielle et de l’armature transversale
ρ w f ywd
posons zbw τ =ψ
= =τ v1 f cd
les 2 équations
 ρ wσ sw sin α cos α + σ c sin θ cos θ = τ
 ρ wσ sw sin2 α − σ c sin 2 θ = 0
 ρ w f ywd sin α cos α + v1 f cd sin θ cos θ = τ
 ρ w f ywd sin2 α − v1 f cd sin2 θ = 0
 ψ sin α cos α + sin θ cos θ = τ
ψ . sin 2 α − sin 2 θ = 0
 posons ψ ' = ψ sin 2 α  ψ ' = sin 2 θ
+ ψ ' cot α + ψ' (1 − ψ ' ) =τ
 si on utilise des armatures d’âme droites, α = 90° , cot α = cot 90° = 0
avec zbw τ =ψ
 ψ' = ψ = sin 2 θ + ψ' (1 − ψ ' ) =τ
ψ (1 − ψ ) = τ ⇔ ψ (1 − ψ ) = τ 2
τ (ψ ) est un arc de cercle pour 0 ≤ ψ ≤ de diamètre 1,
ψ' (1 − ψ ' ) =τ en remplaçant ψ' = ψ = sin 2 θ on obtient sin θ cos θ = τ soit 2
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V Ed Représentations graphiques
Armatures droites α = 90°
0 ,9d .bw
τ = 2 ,5.ψ
τ =ψ
= τ Pour un béton f ck = 30 MPa f cd = 20 MPa
0 ,9d .bw D
ρ w ,min =
θ variable cot θ = 1
ρ w ,min f ywd = = 0 ,38 MPa
B γ s
Asw ,max f ywd ν 1 f cd
ρ w ,max f ywd = ≤ = 5 , 28 MPa
cot θ = 2,5 bw s 2
θ = 21,8°
τ = 2 ,5 ρ w f ywd
avec : ν 1 = ν = 0 ,6  1 −  = 0 ,528 {6.6N}
Asw . f ywd f ywd = f yk γ s = 435 MPa
ρ w f ywd =
bw .s Dans le cas de contraintes de cisaillement faibles ou
O moyenne, la quantité minimale d’armatures d’effort
ρ f ywd = 0 ,38 MPa ρ f ywd = 5 ,28 MPa tranchant est obtenue généralement en attribuant à
cot θ la valeur maximale permise cot θ = 2,5 .
w ,min w ,max
Pour des contraintes plus élevées, la valeur maximale
de cot θ peut être obtenue en choisissant une valeur
de V Rd ,max égale à l’effort tranchant de calcul V Ed . La
valeur de cot θ peut également être choisie de façon
à optimiser le projet, en minimisant la quantité totale
d’armatures transversales et longitudinales.
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1.9. Méthodologie pour des armatures verticales
structure non précontrainte α cw = 1 ; z = 0 ,9d
A V Ed ρ w f ywd
avec ρ = sw =τ zbw τ =ψ
bw .s zbw = =τ v1 f cd
ρ w ,min f ywd
pour le pourcentage minimum =ψ min
 ρ w f ywd = devient =ψ
cot θ cot θ
2τ sin 2θ
 σ = avec σ c = v1 f cd devient τ =
 soit V Ed = V Rd ,max VEd = équation du second degré en cot θ
τ cot 2 θ − cot θ + τ = 0 cot θ =
le produit des racines est 1 et comme cot θ ≥ 1 on en déduit θ 1 cot θ 1 =
on peut aussi déduire θ 1 de  θ1 = arc sin[ 2τ ]
♦ sicot θ 1 est tel que 1 ≤ cot θ 1 ≤ 2 ,5 ⇔ 0 ,345 ≤ τ ≤ 0 ,5
pour déterminer ψ soit à partir de  =ψ
ou utiliser VRd ,s = Vwd = sw zf ywd cot θ 1 {6.8} ; V Ed ≤ V Rd ,s ; VEd ≤ sw 0 , 9df ywd cot θ 1
VEd Asw VEd Asw 2τ 2 v1 f cd A
≤ sw f ywd
0 , 9d cot θ 1
f ywd ; ≤
0 , 9dbw cot θ 1 bw s
f ywd ;
1 + 1 − 4τ 2 bw s
Asw f ywd
( 1− 1 − 4τ 2
)≤ A f ywd ρ w f ywd 1 − 1 − 4τ( 2
( 1 + 1 − 4τ 2
) bw s v1 f cd ;
bw s v1 f cd
= ψ ; soit ψ ≥
♦ sicot θ 1 n’appartient pas à 1 ≤ cot θ 1 ≤ 2 ,5
c’est-à-dire si τ ≤ 0,345 il faut considérer cot θ 1 = 2 ,5
VEd A τ A f ρ f τ
≤ sw f ywd ; ≤ sw ywd = w ywd = ψ soit ψ ≥
zbw 2 , 5 bw s 2 , 5 bw s v1 fcd v1 f cd 2,5
♦ si τ > 0,5 il faut redimensionner le coffrage de la poutre ou augmenter la résistance du béton
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1.10. Représentation graphique
- structure non précontrainteα cw = 1 ; bâtiment : z = 0 ,9d
- armatures d’âme droites, α = 90° , cot α = cot 90° = 0
- avec ρw = sw ; =τ ; 0 , 9dbw τ ;
bw s zbw = =τ
- pour le pourcentage minimum =ψ min
θ = 45° cot θ = 1
on se fixe θ = 45° droite OD
Méthode des bielles
0,3 d'inclinaison variable
cot θ = 1 arc de cercle BD
VRd ,max = VRd ,s
on se fixe cot θ = 2,5 droite OB θ = 21,8°
τ = 2,5ψ
0 ,9d .bw τ
pourcentage min. v1 f cd v1 f cd
O 0,1 0,2 0,3 0,345 0,4 0,5
min τ > 0,5 domaine exclu de L'EC2
v1 f cd il faut redimensionner
arc OB exclu car θ ≤ 21,8° le coffrage ou augmenter
la classe du béton
figure 63 Diagramme pour le dimensionnement : Armatures droites α = 90°
Pour cot θ = 2 , 5 ; θ = 21, 8° ; sin 2θ = sin 43 , 6° = 0 , 69 ; τ = 0 , 345 ; ψ = 0 ,1379
Pour cot θ = 1 θ = 45° sin 2θ = 1 τ = 0 ,5 ψ = 0 ,5
Dans l’intervalle 0 , 345 < τ < 0 , 5 arc de cercle BD.
armatures transversales. La lecture du diagramme donne directement les sections d’armatures et la solution
est toujours optimale (pour les armatures transversales).
Dans l’intervalle 0 < τ < 0 , 345 droite OB
La bielle n’est pas sollicitée au maximum car l’inclinaison de la bielle est fixée par le règlement : θ 1 = 21, 8°
θ ≤ 21, 8° , point situé sur l’arc de cercle
La méthode des bielles d’inclinaison variable conduirait à un angle
OB, ce que le règlement n’autorise pas. L’angle est donc fixé réglementairement : θ 1 = 21, 8° . Les
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armatures d’âme sont dimensionnées par l’équation VEd = VRd ,s qui est équivalente à τ = ψ cot θ = 2 , 5ψ
{6.8}, représentée par le segment de droite OB.
Le pourcentage d’armature varie linéairement avec l’effort tranchant.
Ceci se produit lorsque nous disposons d’une âme de dimensions excessives. (souvent le cas en bâtiment).
L’optimisation bielles armatures transversales n’est plus possible. Cela se traduit par une augmentation en
poids des armatures longitudinales due au décalage de la courbe enveloppe des moments.
al = 0 , 5 z cot θ = 1, 25 z
Droite OD
Le projeteur peut choisir l’inclinaison des bielles : θ 1 = 45° cot θ 1 = 1
L’équation {6.8} se réduit à : τ = ψ ; la ligne représentative correspond au segment de droite OD.
Sur la figure 63, on remarque que ce choix conduit à une valeur du pourcentage d’armatures transversales
par excès. La solution n’est pas optimale (pour les armatures transversales) mais située du coté de la
Il faut aussi noter que le décalage de la courbe enveloppe des moments sera moindre.
al = 0 , 5z cot θ = 0 , 5 z
Au point D : τ = 0 , 5 θ 1 = 45° cela correspond aussi à la section max. des armatures transversales
donnée par {6.12}.
Si τ > 0 , 5 , il faut redimensionner, soit augmenter bw soit f cd pour que :
τ VEd
τ = = ≤ 0 ,5
v1 f cd 0 , 9dbw v1 f cd
Asw ,max f ywd 1 1
≤ soit ψ ≤ .
bw s ν 1 f cd 2 max
Si τ dépasse légèrement 0,5 : D’après 6.2.3(3) Notes 1 et 2 EN 1992-1-1
Note 1 La valeur de recommandée de ν 1
ν1=ν ν = 0 , 6 [ 1 − f ck / 250] (6.6N) ( f ck en MPa)
Note 2 : Pour les éléments en béton armé ou en béton précontraint, si la contrainte de calcul des armatures
d'effort tranchant est inférieure à 80 % de la limite caractéristique d'élasticité fyk, on peut adopter pour ν 1 :
ν 1 = 0,6 pour f ck ≤ 60 MPa (6.10.aN)
ν 1 = 0 , 9 − f ck / 200 > 0 , 5 pour f ck > 60 MPa (6.10.bN)
Intérêt : Si la capacité portante de la bielle est insuffisante pour reprendre l’effort tranchant, ces valeurs de
ν 1 permettent de l’augmenter mais il faut limiter la contrainte de traction dans les armatures transversales à
0 , 8 f ywk au lieu de f ywk / γ S ce qui entraîne un surcroît d’acier.
L’économie de ces nouvelles méthodes par rapport au BAEL n’est pas évidente. En effet si le gain d’aciers pour
les cadres et étriers est important puisque, en dehors des zones ferraillées au pourcentage minimum, la quantité
peut être divisée par 2,5 au maximum, il peut y avoir, dans ce cas, perte sur l’ancrage des barres longitudinales
sur appui ainsi qu’allongement de ces mêmes barres longitudinales du fait d’une courbe de décalage des
moments supérieure. Ce décalage est a l = (9.2.1.3), donc il peut être 1,25 fois plus grand que celui du
BAEL. Par ailleurs l’augmentation de cot θ pénalise les bielles d’about.
Dans le cas d’une poutre dont le soffite est préfabriqué, le critère de cesaillement sur la surface de reprise est
souvent déterminant et impose un cot θ proche de 1.
Or l’Eurocode ne donne aucune indication sur la manière de procéder pour trouver l’optimum des possibilités
offertes. En conséquence, ce sera au projeteur, en fonction des poutres étudiées et de son expérience, de trouver
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