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I Hackathon Somos NLP: PLN en Español 182

Sparsity-certifying Graph Decompositions

Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity Ileana Streinu1*, Louis Theran2 1 Departamento de Ciencias de la Computación, Smith College, Northampton, MA. Correo electrónico: streinu@cs.smith.edu 2 Departamento de Ciencias de la Computación, Universidad de Massachusetts Amherst. Correo electrónico: theran@cs.umass.edu Resumen. Describimos un nuevo algoritmo, el (k, `)-pebble juego con colores, y usarlo para obtener un charac- la terización de la familia de gráficos (k, `)-sparse y soluciones algorítmicas a una familia de problemas ing árbol descomposicións de gráficos. Casos especiales de gráficos escasos aparecen en la teoría de la rigidez y tienen ha recibido una mayor atención en los últimos años. En particular, nuestros guijarros de colores generalizan y fortalecen los resultados anteriores de Lee y Streinu [12] y dar una nueva prueba de la Tutte-Nash-Williams carácteri- Zación de arboricidad. También presentamos una nueva descomposición que certifica la esparcidad basada en la (k, `)-pebble juego con colores. Nuestro trabajo también expone conexiones entre los algoritmos de juego de guijarros y anteriores algoritmos gráficos escasos de Gabow [5], Gabow y Westermann [6] y Hendrickson [9]. 1. Introducción y preliminares El foco de este documento son las descomposicións de (k, `)-sparse gráficos en bordes-disjunto subgraphs que certifique la escasez. Usamos el gráfico para significar un múltiplo, posiblemente con bucles. Nosotros decimos que un grafo es (k, `)-sparse si ningún subconjunto de n′ vértices abarca más de kn ` bordes en el gráfico; a (k, `)-sparse gráfico con kn ` bordes es (k, `)-estrechado. Llamamos al rango k ≤ 2k−1 el superior rango de gráficos escasos y 0≤ k el rango inferior. En este artículo, presentamos algoritmos eficientes para encontrar descomposicións que certifiquen la escasez en el rango superior de `. Nuestros algoritmos también se aplican en el rango inferior, que ya era ad- vestido por [3, 4, 5, 6, 19]. Una descomposición certifica la escasez de un gráfico si los gráficos dispersos y los gráficos que admiten la descomposición coinciden. Nuestros algoritmos se basan en una nueva caracterización de gráficos escasos, que llamamos el juego de guijarros con colores. El juego de guijarros con colores es una regla de construcción de gráficos simples que produce un gráfico escaso junto con una descomposición certificadora de la escasez. Definimos y estudiamos una clase canónica de construcciones de juego de guijarros, que corresponden a previamente estudiado las descomposiciones de los gráficos escasos en los árboles disjuntos del borde. Nuestros resultados proporcionan un marco unificador para todos los casos especiales conocidos anteriormente, incluidos Nash-Williams- Tutte y [7, 24]. De hecho, en el rango inferior, las construcciones canónicas de juego de guijarros capturan la propiedades de las rutas de aumento utilizadas en los algoritmos de unión de matroides y de intersección[5, 6]. Dado que los gráficos escasos en el rango superior no se sabe que son uniones o intersecciones de la matroides para los que hay algoritmos de ruta de aumento eficiente, estos no se aplican fácilmente en * Investigación de ambos autores financiada por la NSF bajo subvenciones NSF CCF-0430990 y NSF-DARPA CARGO CCR-0310661 al primer autor. 2 Ileana Streinu, Louis Theran Significado del término Gráfico escaso G Cada subgrafo no vacío en n′ vértices tiene ≤ kn ` bordes El gráfico ajustado G G = (V,E) es escaso y V = n, E= kn− ` El bloque H en G G es escaso, y H es un subgrafo apretado El componente H de G G es escaso y H es un bloqueo máximo Gráfico cartográfico que admite una orientación de grado-exactamente-uno (k, `)-maps-and-trees Edge-disjunt union de ` árboles y (k- `) map-grpahs `Tk Unión de ` árboles, cada vértice está exactamente en k de ellos Conjunto de piezas arbóreas de un `Tk inducido en V ′ ́V Piezas de árboles en el `Tk extendido por E(V ′) `Tk Apropiado Cada V ′ V contiene ≥ ` pedazos de árboles de la `Tk Cuadro 1 Gráfico escaso y terminología de descomposición utilizada en este artículo. el rango superior. Pebble juego con construcciones de colores por lo tanto puede ser considerado un fortalecimiento de caminos de aumento a la gama superior de gráficos de la escasez matroidal. 1.1. Gráficos escasos Un gráfico es (k, `)-sparse si para cualquier subgrafo no vacío con bordes m′ y n′ vértices, m′ ≤ kn `. Observamos que esta condición implica que 0 ≤ ` ≤ 2k− 1, y a partir de ahora en este Haremos esta suposición. Un gráfico escaso que tiene n vértices y exactamente bordes kn se llama apretado. Para un gráfico G = (V,E), y V ′ V, utilizamos el intervalo de notación (V ′) para el número de bordes en el subgráfico inducido por V ′. En un gráfico dirigido, out(V ′) es el número de bordes con la cola en V ′ y la cabeza en V −V ′; para un subgráfico inducido por V ′, llamamos a tal borde un borde superior. Hay dos tipos importantes de subgrafías de gráficos escasos. Un bloque es un subgrafo apretado de un gráfico escaso. Un componente es un bloque máximo. La Tabla 1 resume la escasa terminología gráfica utilizada en este artículo. 1.2. Descomposiciónes de certificación de la sparsidad Un k-arborescencia es un gráfico que admite una descomposición en k borde-desjunto que abarca los árboles. La Figura 1(a) muestra un ejemplo de una 3-arborescencia. Se describen los gráficos k-arborescentes por los conocidos teoremas de Tutte [23] y Nash-Williams [17] como exactamente el (k,k) apretado gráficos. Un map-graph es un gráfico que admite una orientación tal que el grado de cada vértice es Exactamente uno. Un k-map-graph es un gráfico que admite una descomposición en k borde-disjunto mapa- gráficos. La Figura 1(b) muestra un ejemplo de un 2-map-graphs; los bordes están orientados en uno posible configuración que certifica que cada color forma un mapa gráfico. Los mapas pueden ser equivalentes definido (véase, por ejemplo, [18]) como tener exactamente un ciclo por componente conectado.1 A (k, `)-maps-and-trees es un gráfico que admite una descomposición en k− ` borde-disjunta - mapas y árboles que se extienden por los árboles. Otra caracterización de los mapas, que utilizaremos ampliamente en este artículo, es la siguiente: los gráficos (1,0) ajustados [8, 24]. Los k-map-graphs son evidentemente (k,0)-stight, y [8, 24] muestran que lo contrario se sostiene también. 1 Nuestra terminología sigue a Lovász en [16]. En la literatura matroide los mapas a veces se conocen como bases del matroide de la bicicleta o pseudobosques que se extienden. Descomposiciones del gráfico de certificación de la Sparsity 3 Fig. 1. Ejemplos de descomposiciones certificadoras de la escasez: a) una 3-arborescencia; b) una 2-map-graph; c) una (2,1)-maps-y-árboles. Los bordes con el mismo estilo de línea pertenecen al mismo subgrafo. El 2-map-graph es se muestra con una orientación certificadora. Un `Tk es una descomposición en `árboles disjuntos de borde (que no necesariamente abarcan) de tal manera que cada uno vértice está en exactamente k de ellos. La figura 2 a) muestra un ejemplo de un 3T2. Dado un subgrafo G′ de un gráfico `Tk G, el conjunto de piezas arbóreas en G′ es la colección del componentes de los árboles en G inducidos por G′ (dado que G′ es un subgrafo cada árbol puede contribuir piezas múltiples en el conjunto de piezas de árbol en G′). Observamos que estas piezas de árboles pueden venir del mismo árbol o ser un solo vertex “árboles vacíos.” También es útil tener en cuenta que la definición de un árbol-pieza es relativo a un subgrafo específico. Una descomposición `Tk es apropiada si el conjunto de las piezas arbóreas de cualquier subpárrafo G′ tienen un tamaño mínimo `. La Figura 2(a) muestra un gráfico con una descomposición 3T2; observamos que uno de los árboles es un vértice aislado en la esquina inferior derecha. El subgrafo de la Figura 2(b) tiene tres árboles negros- piezas y un árbol-pieza gris: un vértice aislado en la esquina superior derecha, y dos bordes individuales. Estos cuentan como tres árboles-piezas, a pesar de que vienen del mismo árbol trasero cuando el Gráfico completo considerado. La figura 2 c) muestra otro subgráfico; en este caso hay tres piezas de árboles grises y una negra. En el cuadro 1 figura la terminología de descomposición utilizada en este documento. El problema de descomposición. Definimos el problema de descomposición para gráficos escasos como tak- • un gráfico como su entrada y producción como salida, una descomposición que se puede utilizar para certificar sity. En el presente documento se estudiarán tres tipos de productos: mapas y árboles; descomposiciones adecuadas de `Tk; y la descomposición de guijarros-juego-con-colores, que se define en la siguiente sección. 2. Antecedentes históricos Los conocidos teoremas de Tutte [23] y Nash-Williams [17] relacionan los gráficos (k,k) ajustados a la existencia de descomposicións en los árboles que se extienden por los bordes. Tomando un punto de vista matroidal, 4 Ileana Streinu, Louis Theran Fig. 2. (a) Un gráfico con una descomposición 3T2; uno de los tres árboles es un único vértice en la parte inferior derecha esquina. (b) El subgrafo resaltado dentro del conteo rayado tiene tres piezas de árbol negro y una gris pieza de árbol. (c) El subgrafo resaltado dentro del conteo rayado tiene tres piezas de árbol grises (uno es un solo vértice) y una pieza de árbol negro. Edmonds [3, 4] dio otra prueba de este resultado usando uniones de matroide. La equivalencia de los mapas- los gráficos y árboles y los gráficos ajustados en el rango inferior se muestran utilizando uniones de los matroides en [24], y rutas de aumento matroide son la base de los algoritmos para el rango inferior de [5, 6, 19]. En la teoría de la rigidez un teorema fundacional de Laman [11] muestra que (2,3)-ajustado (Laman) los gráficos corresponden a marcos de barras y conjuntos genéricamente mínimamente rígidos en el plano. Tay [21] ha demostrado ser un resultado análogo para los marcos de la barra del cuerpo en cualquier dimensión utilizando (k,k) gráficos. Rigidez por conteos de interés motivado en el rango superior, y Crapo [2] probó la equivalencia de gráficos Laman y gráficos 3T2 apropiados. Tay [22] utilizó esta condición para dar un prueba directa del teorema de Laman y generalizada la condición 3T2 a todos `Tk para k≤ 2k−1. Haas [7] estudió detalladamente las descomposicións de `Tk y demostró la equivalencia de gráficos ajustados y gráficos `Tk apropiados para el rango superior general. Observamos que aparte de nuestro nuevo guijarro... game-with-colors descomposición, todas las caracterizaciones combinatoria de la gama superior de Los gráficos escasos, incluidos los conteos, tienen una interpretación geométrica [11, 21, 22, 24]. Un algoritmo de juego de guijarros fue propuesto por primera vez en [10] como una alternativa elegante a Hendrick- algoritmos de gráfico Laman de hijo [9]. Berg y Jordania [1], facilitaron el análisis formal de la juego de guijarros de [10] e introdujo la idea de jugar el juego en un gráfico dirigido. Lee y Streinu [12] generalizó el juego de guijarros a toda la gama de parámetros 0≤ 2k−1, y izquierda como un problema abierto utilizando el juego de guijarros para encontrar la escasez certificando las descomposicións. 3. El juego de guijarros con colores Nuestro juego de guijarros con colores es un conjunto de reglas para la construcción de gráficos indexados por no negativos enteros k y `. Usaremos el juego de guijarros con colores como la base de un algoritmo eficiente para el problema de descomposición más adelante en este documento. Puesto que la frase “con colores” es necesaria Sólo en comparación con [12], lo omitiremos en el resto del documento cuando el contexto sea claro. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 5 Ahora presentamos el juego de guijarros con colores. El juego es jugado por un solo jugador en un conjunto finito fijo de vértices. El jugador hace una secuencia finita de movimientos; un movimiento consiste en el adición y/o orientación de un borde. En cualquier momento, el estado del juego es capturado por un gráfico dirigido H, con guijarros de colores sobre vértices y bordes. Los bordes de H son de color por los guijarros en ellos. Mientras que jugando el juego de guijarros todos los bordes están dirigidos, y utilizamos el notación vw para indicar un borde dirigido de v a w. Describimos el juego de guijarros con colores en términos de su configuración inicial y el permitido se mueve. Fig. 3. Ejemplos de juego de guijarros con movimientos de colores: (a) add-edge. b) Deslizamiento de guijarros. Guijarros sobre vértices se muestran como puntos negros o grises. Los bordes están coloreados con el color de la rocalla en ellos. Inicialización: Al principio del juego de guijarros, H tiene n vértices y no tiene bordes. Comenzamos colocando k guijarros en cada vértice de H, uno de cada color ci, para i = 1,2,...,k. Add-edge-with-colors: Dejar v y w ser vértices con al menos â € 1 guijarros en ellos. Asumir (w.l.o.g.) que v tiene al menos un guijarro en él. Recoger un guijarro de v, añadir el borde orientado vw a E(H) y poner el guijarro recogido de v en el nuevo borde. La Figura 3(a) muestra ejemplos del movimiento de add-edge. Pebble-slide: Dejar w ser un vértice con un guijarro p en él, y dejar vw ser un borde en H. Reemplazar vw con wv en E(H); poner el guijarro que estaba en vw en v; y poner p en wv. Tenga en cuenta que el color de un borde puede cambiar con un movimiento de guijarros. La figura 3 b) muestra ejemplos. La convención en estas figuras, y a lo largo de este documento, es que los guijarros sobre los vértices se representan como puntos de color, y que los bordes se muestran en el color de la rocalla en ellos. A partir de la definición del movimiento de guijarros-deslizamiento, es fácil ver que un guijarro en particular es siempre en el vértice donde empezó o en un borde que tiene este vértice como la cola. Sin embargo, al hacer una secuencia de movimientos de guijarros que invierten la orientación de un camino en H, es a veces es conveniente pensar en esta secuencia de inversión del camino como trayendo un guijarro desde el final del camino al principio. La salida de jugar el juego de guijarros es su configuración completa. Salida: Al final del juego, obtenemos el gráfico dirigido H, junto con la ubicación y los colores de los guijarros. Observe que ya que cada borde tiene exactamente un guijarro en él, el guijarro la configuración del juego colorea los bordes. Decimos que el gráfico G de H subyacente no dirigido es construido por el juego (k, `)-pebble o que H es un gráfico de juego de guijarros. Puesto que cada borde de H tiene exactamente un guijarro, las particiones de configuración del juego de guijarro los bordes de H, y así G, en k diferentes colores. Llamamos a esta descomposición de H un guijarro... juego-con-colores descomposición. La Figura 4(a) muestra un ejemplo de un gráfico ajustado (2,2) con un Descomposición de juego de guijarros. Que G = (V,E) sea gráfico de juego de guijarros con la coloración inducida por los guijarros en los bordes, y dejar que G′ sea un subgrafo de G. Entonces la coloración de G induce un conjunto de con- 6 Ileana Streinu, Louis Theran a) b) c) Fig. 4. A (2,2)-término gráfico con una posible descomposición del juego de guijarros. Los bordes están orientados a mostrar (1,0)-esparsidad para cada color. a) El gráfico K4 con una descomposición del juego de guijarros. Hay un árbol negro vacío en el vértice central y un árbol gris que se extiende. b) El subgráfico resaltado consta de dos: árboles negros y un árbol gris; los bordes negros son parte de un ciclo más grande pero aportan un árbol al subgrafo. c) El subgrafo resaltado (con fondo gris claro) tiene tres árboles grises vacíos; los bordes negros contienen un ciclo y no aportan un pedazo de árbol al subgrafo. Significado de la notación longitud (V ′) Número de bordes que se extienden en H por V ′ V ; es decir, EH(V ′) Peb(V ′) Número de guijarros en V ′ ́V fuera (V ′) Número de bordes vw en H con v ́V ′ y w ́V −V ′ pebi(v) Número de guijarros de color ci en v • V outi(v) Número de bordes vw coloreados ci para v â € € TM V Cuadro 2 Pebble notación de juego utilizado en este papel. Subgrafías de G′ (puede haber más de uno del mismo color). Tan monocromático subgraph se llama un mapa-foto-pieza de G′ si contiene un ciclo (en G′) y un árbol-pieza de G′ De lo contrario. El conjunto de piezas arbóreas de G′ es la colección de piezas arbóreas inducidas por G′. Al igual que con la definición correspondiente para `Tk s, el conjunto de piezas arbóreas se define en relación con un sub- grafo; en particular, una pieza de árbol puede formar parte de un ciclo más grande que incluye bordes que no se extienden por G′. Las propiedades de las descomposicións del juego de guijarros se estudian en la Sección 6 y en el Teorema 2 muestra que cada color debe ser (1,0)-sparse. La orientación de los bordes en la Figura 4(a) muestra Esto. Por ejemplo, la Figura 4(a) muestra un gráfico ajustado (2,2) con un posible decom de juego de guijarro- posición. El gráfico completo contiene una pieza de árbol gris y una pieza de árbol negro que es un aislado vértice. El subgrafo de la Figura 4(b) tiene un árbol negro y un árbol gris, con los bordes del negro árbol procedente de un ciclo en el gráfico más grande. En la Figura 4(c), sin embargo, el ciclo negro no contribuir con una pieza de árbol. Las tres piezas de árbol en este subgrafo son árboles grises de un solo vértex. En la siguiente discusión, utilizamos la notación peb(v) para el número de guijarros en v y pebi(v) para indicar el número de guijarros de colores i en v. La Tabla 2 enumera la notación de juego de guijarros utilizada en este artículo. 4. Nuestros resultados Describimos nuestros resultados en esta sección. El resto del periódico proporciona las pruebas. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 7 Nuestro primer resultado es un fortalecimiento de los juegos de guijarros de [12] para incluir los colores. Dice que los gráficos escasos son exactamente gráficos de juego de guijarros. Recuerde que a partir de ahora, todos los juegos de guijarros discutidos en este artículo son nuestro juego de guijarros con colores a menos que se anote explícitamente. Teorema 1 (Los gráficos Sparse y los gráficos de juego de guijarros coinciden). Un gráfico G es (k, `)-sparse con 0≤ 2k−1 si y sólo si G es un gráfico de juego de guijarros. A continuación consideramos las descomposiciones de juego de guijarros, mostrando que son una generalización de las descomposiciones adecuadas de `Tk que se extienden a toda la gama matroidal de gráficos dispersos. Teorema 2 (La descomposición de guijarros-juego-con-colores). Un gráfico G es un juego de guijarros gráfico si y sólo si admite una descomposición en k borde-discoint subgraphs tales que cada uno es (1,0)-sparse y cada subgrafo de G contiene al menos ` piezas de árbol de la (1,0)-sparse gráficos en la descomposición. Las subgrafías de (1,0)-parse en la declaración de Teorema 2 son los colores de los guijarros; por lo tanto Teorema 2 da una caracterización de las descomposicións de guijarros-juego-con-colores obtenidos jugando el juego de guijarros definido en la sección anterior. Nótese la similitud entre el requisito de que el conjunto de piezas arbóreas tenga por lo menos un tamaño ` en el Teorema 2 y la definición de un propiamente dicho `Tk. Nuestros siguientes resultados muestran que para cualquier gráfico de juego de guijarros, podemos especializar su juego de guijarros construcción para generar una descomposición que es un mapa-y-árboles o `Tk. Nosotros llamamos a estos especializada construcción de juegos de guijarros canónicos, y el uso canónico juego de guijarros construc- ciones, obtenemos nuevas pruebas directas de los resultados de arboricidad existentes. Observamos Teorema 2 que los mapas-y-árboles son casos especiales del juego de guijarros decompo- Situación: tanto los árboles que se extienden y los mapas que se extienden son (1.0)-parse, y cada uno de la extensión los árboles aportan al menos un pedazo de árbol a cada subgrafo. El caso de los gráficos `Tk apropiados es más sutil; si cada color en una descomposición del juego de guijarros es un bosque, entonces hemos encontrado un adecuado `Tk, pero esta clase es un subconjunto de todos los posibles apropiados `Tk descomposiciones de un gráfico apretado. Demostramos que esta clase de descomposiciones apropiadas `Tk es suficiente para certificar la escasez. Ahora declaramos el teorema principal para el rango superior e inferior. Teorema 3 (Teorema Principal): Mapas y árboles coinciden con el juego de guijarros grafos). Que 0 ≤ ` ≤ k. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si G es un (k, `)- mapas y árboles. Teorema 4 (Teorema principal): Los gráficos `Tk adecuados coinciden con el juego de guijarros grafos). Deje k≤ 2k−1. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarros apretado si y sólo si es un adecuado `Tk con kn− ` bordes. Como corolarios, obtenemos los resultados de descomposición existentes para gráficos escasos. Corollario 5 (Nash-Williams [17], Tutte [23], White y Whiteley [24]). Deja k. Un gráfico G es estrecho si y sólo si tiene una descomposición (k, `)-maps-and-trees. Corollario 6 (Crapo [2], Haas [7]). Dejar k ≤ 2k−1. Un gráfico G es estrecho si y sólo si es un propiamente dicho `Tk. Encontrar eficientemente construcciones canónicas de juego de guijarros. Las pruebas de Teorema 3 y Theo- rem 4 conduce a un algoritmo obvio con O(n3) tiempo de ejecución para el problema de descomposición. Nuestro último resultado mejora en esto, mostrando que una construcción canónica juego de guijarros, y por lo tanto 8 Ileana Streinu, Louis Theran un mapa-y-árboles o `Tk descomposición apropiada se puede encontrar usando un algoritmo de juego de guijarros en O(n2) tiempo y espacio. Estos límites de tiempo y espacio significan que nuestro algoritmo puede combinarse con los de [12] sin ningún cambio en la complejidad. 5. Gráficos de juego de pebble En esta sección demostramos Teorema 1, un fortalecimiento de los resultados de [12] al juego de guijarros con colores. Dado que muchas de las propiedades relevantes del juego de guijarros con colores directamente de los juegos de guijarros de [12], nos referimos al lector allí para las pruebas. Comenzamos estableciendo algunas invariantes que se mantienen durante la ejecución del juego de guijarros. Lemma 7 (invariantes de juego de pebble). Durante la ejecución del juego de guijarros, lo siguiente los invariantes se mantienen en H: (I1) Hay por lo menos ` guijarros en V. [12] (I2) Para cada vértice v, span(v)+out(v)+peb(v) = k. [12] (I3) Para cada V ′ ́V, span(V ′)+out(V ′)+peb(V ′) = kn′. [12] (I4) Por cada vértice v V, outi(v)+pebi(v) = 1. (I5) Cada ruta máxima que consiste sólo de bordes con ci de color termina en el primer vértice con un guijarro de color ci o un ciclo. Prueba. (I1), (I2), y (I3) vienen directamente de [12]. (I4) Este invariante se mantiene claramente en la fase de inicialización del juego de guijarros con colores. Esa reserva de movimientos de bordes añadidos y guijarros (I4) está clara de la inspección. (I5) Por (I4), un camino monocromático de los bordes se ve obligado a terminar sólo en un vértice con un guijarro de el mismo color en ella. Si no hay guijarros de ese color alcanzable, entonces el camino debe eventualmente Visita un vértice dos veces. De estos invariantes, podemos mostrar que los gráficos constructibles del juego de guijarros son escasos. Lemma 8 (Los gráficos de los juegos de pelota son escasos [12]). Dejar H ser un gráfico construido con el Juego de guijarros. Entonces H es escasa. Si hay exactamente ` guijarros en V (H), entonces H es apretado. El paso principal para probar que cada gráfico escaso es un gráfico de juego de guijarros es el siguiente. Recordemos que al traer un guijarro a v nos referimos a reorientar H con movimientos de guijarro-deslizamiento para reducir el grado de v por uno. Lemma 9 (La condición de guijarro â € 1 [12]). Dejar vw ser un borde tal que H + vw es escaso. Si peb({v,w}) < â € 1, entonces un guijarro no en {v,w} se puede llevar a v o w. Se deduce que cualquier gráfico escaso tiene una construcción de juego de guijarros. Teorema 1 (Los gráficos Sparse y los gráficos de juego de guijarros coinciden). Un gráfico G es (k, `)-sparse con 0≤ 2k−1 si y sólo si G es un gráfico de juego de guijarros. 6. La descomposición de guijarros-juego-con-colores En esta sección demostramos Teorema 2, que caracteriza todas las descomposicións de juego de guijarros. Nosotros empezar con los siguientes lemas sobre la estructura de los componentes monocromáticos conectados en H, el gráfico dirigido mantenido durante el juego de guijarros. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 9 Lemma 10 (los subgrafos monocromáticos del juego de guijarros son (1,0)-sparse). Deja que Hi sea el sub- gráfico de H inducido por los bordes con guijarros de color ci en ellos. Entonces Hi es (1,0)-parso, para i = 1,...,k. Prueba. Por (I4) Hi es un conjunto de bordes con grado a lo sumo uno para cada vértice. Lemma 11 (Piezas de árbol en un gráfico de juego de guijarros). Cada subgrafo del gráfico dirigido H en una construcción de juego de guijarros contiene por lo menos ` piezas monocromáticas de árboles, y cada uno de estos tiene sus raíces en un vértice con un guijarro en él o un vértice que es la cola de un borde. Recordemos que un borde superior a un subpárrafo H ′ = (V ′,E ′) es un borde vw con v′ V y vw /′ E. Prueba. Dejar que H ′ = (V ′,E ′) sea un subgrafo no vacío de H, y asumir sin pérdida de generalidad que H ′ es inducida por V ′. Por (I3), fuera (V ′)+ peb(V ′) ≥ `. Mostraremos que cada guijarro y cola de borde es la raíz de una pieza de árbol. Considerar un vértice v V ′ y un color ci. Por (I4) hay un único monocromático dirigido ruta de color ci a partir de v. Por (I5), si este camino termina en una rocalla, no tiene un ciclo. Del mismo modo, si este camino alcanza un vértice que es la cola de un borde también en color ci (es decir, si el trayectoria monocromática desde v hojas V ′), entonces la trayectoria no puede tener un ciclo en H ′. Dado que este argumento funciona para cualquier vértice en cualquier color, para cada color hay una partición de los vértices en aquellos que pueden alcanzar cada guijarro, cola de borde superior, o ciclo. De ello se deduce que cada uno de guijarros y cola de borde superior es la raíz de un árbol monocromático, como se desee. Aplicado a todo el gráfico Lemma 11 nos da lo siguiente. Lemma 12 (Los pebbles son las raíces de los árboles). En cualquier configuración de juego de guijarros, cada guijarros de color ci es la raíz de un (posiblemente vacío) monocromático árbol-pieza de color ci. Nota: Haas mostró en [7] que en un `Tk, un subgráfico inducido por n′ ≥ 2 vértices con m′ los bordes tienen exactamente piezas de árbol knm′ en él. Lemma 11 refuerza el resultado de Haas al ampliarlo a la gama inferior y dando una construcción que encuentra las piezas de árbol, mostrando la conexión entre la condición de guijarro â € 1 y la condición hereditaria en la adecuada `Tk. Concluimos nuestra investigación de construcciones arbitrarias de juego de guijarros con una descripción de la descomposición inducida por el juego de guijarros con colores. Teorema 2 (La descomposición de guijarros-juego-con-colores). Un gráfico G es un juego de guijarros gráfico si y sólo si admite una descomposición en k borde-discoint subgraphs tales que cada uno es (1,0)-sparse y cada subgrafo de G contiene al menos ` piezas de árbol de la (1,0)-sparse gráficos en la descomposición. Prueba. Deja que G sea un gráfico de juego de guijarros. La existencia de la k borde-disjunta (1,0)-sparse sub- Los gráficos fueron mostrados en Lemma 10, y Lemma 11 prueba la condición en subgrafías. Para la otra dirección, observamos que un ci de color con piezas de árbol ti en un subgrafo dado puede espacio a lo sumo n- ti bordes; sumando sobre todos los colores muestra que un gráfico con un guijarro-juego la descomposición debe ser escasa. Aplique el Teorema 1 para completar la prueba. Observación: Observamos que una descomposición del juego de guijarros para un gráfico de Laman puede ser leída de la coincidencia bipartita utilizada en el algoritmo de extracción de gráficos Laman de Hendrickson [9]. De hecho, las orientaciones de juego de guijarros tienen una correspondencia natural con los emparejamientos bipartitos utilizados en 10 Ileana Streinu, Louis Theran Mapas y árboles son un caso especial de descomposición de juegos de guijarros para gráficos apretados: si hay no son ciclos en ` de los colores, entonces los árboles enraizados en los ` guijarros correspondientes deben ser que se extienden, ya que tienen n - 1 bordes. Además, si cada color forma un bosque en un rango superior la descomposición del juego de guijarros, entonces la condición de piezas de árbol asegura que el juego de guijarros de- la composición es un `Tk. En la siguiente sección, mostramos que el juego de guijarros puede ser especializado para corresponder a los mapas- y árboles y las correspondientes descomposicións `Tk. 7. Construcciones Canónicas de Juego de Pebble En esta sección demostramos los principales teoremas (Teorema 3 y Teorema 4), continuando las inves- de las descomposiciones inducidas por las construcciones de juego de guijarros mediante el estudio del caso en el que un Se crea un número mínimo de ciclos monocromáticos. La idea principal, capturada en Lemma 15 e ilustrado en la Figura 6, es evitar la creación de ciclos al recoger piedras. Demostramos que esto es siempre posible, lo que implica que los mapas monocromáticos se crean sólo cuando añadir más de k(n1) bordes a algún conjunto de n′ vértices. Para el rango inferior, esto implica que Cada color es un bosque. Cada caracterización de descomposición de gráficos ajustados discutidos arriba sigue inmediatamente del teorema principal, dando nuevas pruebas de los resultados anteriores en un un marco unificado. En la prueba, vamos a utilizar dos especializaciones de los movimientos de juego de guijarros. El primero es un modi- ficación del movimiento de add-edge. Add-edge canónico: Al realizar un movimiento de add-edge, cubra el nuevo borde con un color que está en ambos vértices si es posible. Si no, entonces tome el color numerado más alto presente. La segunda es una restricción en la que los movimientos de guijarros-deslizamiento que permitimos. Deslizamiento canónico de guijarros: Un movimiento de guijarros se permite sólo cuando no crea un ciclo monocromático. Llamamos a una construcción de juego de guijarros que utiliza sólo estos movimientos canónicos. En esta sección vamos a mostrar que cada gráfico de juego de guijarros tiene una construcción canónica de juego de guijarros (Lemma 14 y Lemma 15) y que las construcciones canónicas de juego de guijarros corresponden a `Tk y las descomposicións de mapas y árboles (Teorema 3 y Teorema 4). Comenzamos con un lema técnico que motiva la definición de juego canónico de guijarros construcciones. Muestra que las situaciones desaprobadas por los movimientos canónicos son todas las maneras para que los ciclos se formen en los colores más bajos. Lemma 13 (creación del ciclo monocromático). Let v â € ¢ V tener un guijarro p de color ci en él y dejar w ser un vértice en el mismo árbol de color ci como v. Un ciclo monocromático de color ci se crea exactamente de una de las siguientes maneras: (M1) El borde vw se añade con un movimiento de add-edge. (M2) El borde wv es invertido por un movimiento de guijarro-deslizamiento y el guijarro p se utiliza para cubrir el reverso edge vw. Prueba. Observe que las condiciones previas en la declaración del lema están implícitas en Lemma 7. Por Lemma 12 ciclos monocromáticos se forman cuando el último guijarro de color ci se elimina de un Subgrafía monocromática conectada. (M1) y (M2) son las únicas maneras de hacer esto en un guijarro construcción del juego, ya que el color de un borde sólo cambia cuando se inserta la primera vez o un guijarro nuevo es puesto en él por un movimiento de guijarro-deslizamiento. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 11 vw vw Fig. 5. Crear ciclos monocromáticos en un juego (2.0)-pebble. a) Un movimiento de tipo (M1) crea un ciclo por añadir un borde negro. (b) Un movimiento de tipo (M2) crea un ciclo con un movimiento de guijarros-deslizamiento. Los vértices son etiquetado de acuerdo a su papel en la definición de los movimientos. La figura 5 a) y la figura 5 b) muestran ejemplos de movimientos de creación de mapas (M1) y (M2), respectivamente, en una construcción de juego (2.0)-pebble. A continuación mostramos que si un gráfico tiene una construcción de juego de guijarros, entonces tiene un peb canónico- ble construcción de juegos. Esto se hace en dos pasos, considerando los casos (M1) y (M2) sepa- - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La prueba da dos construcciones que implementan el add-edge canónico y canónico movimiento de guijarros-deslizamiento. Lemma 14 (El movimiento canónico de add-edge). Let G ser un gráfico con un juego de guijarros construc- tion. Los pasos de creación de ciclo de tipo (M1) se pueden eliminar en colores ci para 1 ≤ i ≤, donde = min{k,. Prueba. Para los movimientos de add-edge, cubra el borde con un color presente en v y w si es posible. Si esto no es posible, entonces hay â € 1 colores distintos presentes. Usar el color numerado más alto para cubrir el nuevo borde. Observación: Observamos que en el rango superior, siempre hay un color repetido, por lo que no canónico los movimientos de add-edge crean ciclos en el rango superior. El movimiento canónico de guijarros se define por una condición global. Para demostrar que obtenemos la misma clase de gráficos usando sólo movimientos canónicos de rocalla-deslizamiento, tenemos que extender Lemma 9 a sólo movimientos canónicos. El paso principal es mostrar que si hay alguna secuencia de movimientos que reorienta un camino de v a w, entonces hay una secuencia de movimientos canónicos que hace lo mismo Cosa. Lemma 15 (El movimiento canónico de guijarros). Cualquier secuencia de deslizamiento de guijarros se mueve llevando a un movimiento de add-edge se puede reemplazar por uno que no tiene pasos (M2) y permite el mismo add-edge move. En otras palabras, si es posible recoger 1 guijarros en los extremos de un borde a añadir, entonces es posible hacer esto sin crear ningún ciclo monocromático. 12 Ileana Streinu, Louis Theran La Figura 7 y la Figura 8 ilustran la construcción utilizada en la prueba de Lemma 15. Nosotros llamamos a esto la construcción de atajos por analogía a la unión matroide y caminos de aumento de intersección utilizados en trabajos anteriores en el rango inferior. La Figura 6 muestra la estructura de la prueba. La construcción de acceso directo elimina un paso (M2) al principio de una secuencia que reorienta un camino de v a w con deslizamientos de guijarros. Desde uno la aplicación de la construcción abreviada reorienta un camino simple de un vértice w′ a w, y un ruta de v a w′ se conserva, la construcción de acceso directo se puede aplicar inductivamente para encontrar la secuencia de movimientos que queremos. Fig. 6. Esquema de la construcción del atajo: (a) Un camino sencillo arbitrario de v a w con líneas curvas indicando caminos simples. b) Una etapa (M2). El borde negro, a punto de ser volteado, crearía un ciclo, se muestra en gris rayado y sólido, del (único) árbol gris enraizado en w. Los bordes grises sólidos eran parte de la ruta original de (a). (c) El camino acortado a la rocalla gris; el nuevo camino sigue el gris árbol todo el camino desde la primera vez que el camino original tocó el árbol gris en w′. La ruta de v a w′ es simple, y la construcción del atajo se puede aplicar inductivamente a él. Prueba. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que nuestra secuencia de movimientos reorienta un simple camino en H, y que el primer movimiento (el final del camino) es (M2). El paso (M2) mueve un guijarro de color ci de un vértice w en el borde vw, que se invierte. Porque el movimiento es (M2), v y w están contenidos en un árbol monocromático máximo de color ci. Llame a este árbol H ′i, y observar que está arraigado en w. Ahora considere los bordes invertidos en nuestra secuencia de movimientos. Como se ha señalado anteriormente, antes de hacer cualquiera de los movimientos, estos bosquejan un camino simple en H que termina en w. Que z sea el primer vértice en este camino en H ′i. Modificamos nuestra secuencia de movimientos de la siguiente manera: eliminar, desde el principio, cada mover antes de la que invierte algunos yz borde; prepend en lo que queda una secuencia de movimientos que mueve el guijarro en w a z en H ′i. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 13 Fig. 7. Eliminando movimientos (M2): (a) un movimiento (M2); (b) evitando el (M2) moviéndose por otro camino. El camino donde se mueven los guijarros está indicado por líneas duplicadas. Fig. 8. Eliminación (M2) movimientos: (a) el primer paso para mover el guijarro negro a lo largo del camino doble es (M2); (b) evitando el (M2) y simplificando el camino. Puesto que ningún borde cambia de color en el comienzo de la nueva secuencia, hemos eliminado el movimiento (M2). Porque nuestra construcción no cambia ninguno de los bordes involucrados en el cola restante de la secuencia original, la parte de la ruta original que queda en el nuevo secuencia seguirá siendo un camino simple en H, cumpliendo con nuestra hipótesis inicial. El resto del lema sigue por inducción. Juntos Lemma 14 y Lemma 15 prueban lo siguiente. Lemma 16. Si G es un gráfico de juego de guijarros, entonces G tiene una construcción canónica de juego de guijarros. Usando construcciones canónicas de juego de guijarros, podemos identificar los gráficos apretados de juego de guijarros con mapas y árboles y gráficos `Tk. 14 Ileana Streinu, Louis Theran Teorema 3 (Teorema Principal): Mapas y árboles coinciden con el juego de guijarros grafos). Que 0 ≤ ` ≤ k. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si G es un (k, `)- mapas y árboles. Prueba. Como se observó anteriormente, una descomposición de mapas y árboles es un caso especial del juego de guijarros descomposición. Aplicando el Teorema 2, vemos que cualquier mapa y árbol debe ser un juego de guijarros gráfico. Para la dirección inversa, considere la construcción canónica de un juego de guijarros de un gráfico apretado. Desde Lemma 8, vemos que quedan piedras en G al final de la construcción. Los definición del movimiento canónico de add-edge implica que debe haber al menos un guijarro de cada ci para i = 1,2,........................................................................................................... Se deduce que hay exactamente uno de cada uno de estos colores. Por Lemma 12, cada uno de estos guijarros es la raíz de una pieza arbórea monocromática con n - 1 bordes, dando los árboles de separación de bordes necesarios. Corollario 5 (Nash-Williams [17], Tutte [23], White y Whiteley [24]). Deja k. Un gráfico G es estrecho si y sólo si tiene una descomposición (k, `)-maps-and-trees. A continuación consideramos las descomposicións inducidas por las construcciones canónicas de juego de guijarros cuando k +1. Teorema 4 (Teorema Principal): Árboles y árboles adecuados coinciden con el ble-game graphs). Deje k≤ 2k−1. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si es un `Tk con bordes kn− ` adecuado. Prueba. Como se ha señalado anteriormente, una descomposición adecuada de `Tk debe ser escasa. Lo que tenemos que mostrar es que una construcción canónica de un juego de guijarros de un gráfico apretado produce una adecuada `Tk. Por Teorema 2 y Lemma 16, ya tenemos la condición en los árboles-piezas y el decom- posición en `árboles de borde-desconectado. Por último, una aplicación de (I4), muestra que cada vértice debe en exactamente k de los árboles, según sea necesario. Corollario 6 (Crapo [2], Haas [7]). Dejar k ≤ 2k−1. Un gráfico G es estrecho si y sólo si es un propiamente dicho `Tk. 8. Algoritmos de juego de pebble para encontrar descomposicións Una ejecución naïve de las construcciones en la sección anterior conduce a un algoritmo re- tiempo para recoger cada guijarro en una construcción canónica: en el peor de los casos aplicaciones de la construcción en Lemma 15 requiriendo tiempo cada uno, dando un total de ejecución tiempo de فارسى(n3) para el problema de descomposición. En esta sección, describimos algoritmos para el problema de descomposición que se ejecutan en el tiempo O(n2). Comenzamos con la estructura general del algoritmo. Algoritmo 17 (El juego canónico de guijarros con colores). Entrada: Un gráfico G. Salida: Un gráfico de juego de guijarros H. Método: – Conjunto V (H) = V (G) y colocar un guijarro de cada color en los vértices de H. – Para cada borde vw E(G) tratar de recoger al menos 1 guijarros en v y w utilizando guijarros deslizante movimientos según lo descrito por Lemma 15. Descomposiciones del gráfico de certificación de la Sparsity 15 – Si al menos 1 guijarros se puede recoger, añadir vw a H utilizando un movimiento de borde añadido como en Lemma 14, por lo demás descarte vw. – Finalmente, devolver H, y las ubicaciones de los guijarros. Correcto. Teorema 1 y el resultado de [24] que los gráficos escasos son los independientes conjuntos de un matroide muestran que H es un subgrafo de tamaño máximo escaso de G. Desde la construcción encontrado es canónico, el teorema principal muestra que el color de los bordes en H da un mapa- y-árboles o descomposición adecuada `Tk. Complejidad. Comenzamos observando que el tiempo de ejecución del Algoritmo 17 es el tiempo necesario para proceso O(n) bordes añadidos a H y O(m) bordes no añadidos a H. Primero consideramos el costo de un borde de G que se añade a H. Cada uno de los movimientos de juego de guijarros se puede implementar en tiempo constante. Lo que queda es a describir una manera eficiente de encontrar y mover los guijarros. Utilizamos el siguiente algoritmo como un Subrutina de Algoritmo 17 para hacer esto. Algoritmo 18 (Encontrar un camino canónico a una rocalla.). Entrada: Vertices v y w, y una configuración de juego de guijarros en un gráfico dirigido H. Salida: Si se encontró un guijarro, ‘sí’ y ‘no’ de otra manera. Se actualiza la configuración de H. Método: – Comience por hacer una búsqueda de profundidad desde v en H. Si no se encuentra ningún guijarro en w, detener y devolver «no.» – De lo contrario se encontró un guijarro. Ahora tenemos una ruta v = v1,e1,. ..,ep−1,vp = u, donde el vi son vértices y ei es el borde vivi+1. Que c[ei] sea el color del guijarro en ei. Usaremos la matriz c[] para hacer un seguimiento de los colores de los guijarros en los vértices y los bordes después de moverlos y el array s[] para dibujar un camino canónico de v a u encontrando un sucesor para cada uno borde. – Establecer s[u] = «end′ y establecer c[u] al color de una piedra arbitraria en u. Caminamos en el camino en orden inverso: vp,ep−1,ep−2,. ..,e1,v1. Para cada i, verifique si c[vi] está configurado; si es así, vaya a la siguiente i. De lo contrario, compruebe si c[vi+1] = c[ei]. – Si lo es, establece s[vi] = ei y establece c[vi] = c[ei], y pasa al siguiente borde. – De lo contrario c[vi+1] 6= c[ei], tratar de encontrar un camino monocromático en color c[vi+1] de vi a vi+1. Si un vértice x se encuentra para el cual c[x] se establece, tenemos una ruta vi = x1, f1,x2,. .., fq−1,xq = x que es monocromático en el color de los bordes; establecer c[xi] = c[fi] y s[xi] = fi para i = 1,2,...,q−1. Si c[x] = c[ fq−1], pare. De lo contrario, comprobar recursivamente que no hay un monocro- c[x] ruta mática de xq−1 a x usando este mismo procedimiento. – Finalmente, deslizar guijarros a lo largo del camino desde los puntos finales originales v a u especificado por el array sucesor s[v], s[s[v],... La corrección de Algoritmo 18 viene del hecho de que está implementando el atajo construcción. La eficiencia viene del hecho de que en lugar de potencialmente mover el guijarro hacia atrás y adelante, Algoritmo 18 pre-computa un camino canónico que cruza cada borde de H a lo sumo tres times: una vez en la primera búsqueda de profundidad inicial, y dos veces al convertir la ruta inicial a una Canónico. De ello se deduce que cada borde aceptado toma O(n) tiempo, para un total de O(n2) tiempo los bordes de procesamiento gastados en H. Aunque no hemos discutido esta explicitación, para que el algoritmo sea eficiente necesitamos mantener los componentes como en [12]. Después de cada borde aceptado, los componentes de H se pueden actualizar en el tiempo O(n). Por último, los resultados de [12, 13] muestran que los bordes rechazados toman un O(1) amortizado tiempo cada uno. 16 Ileana Streinu, Louis Theran Resumiendo, hemos demostrado que el juego canónico de guijarros con colores resuelve la decom- problema de posición en el tiempo O(n2). 9. Un caso especial importante: Rigidez en la dimensión 2 y slider-pinning En esta breve sección presentamos una nueva solicitud para el caso especial de importancia práctica, k = 2, ` = 3. Como se explica en la introducción, el teorema de Laman [11] caracteriza mínimamente gráficos rígidos como los gráficos ajustados (2,3). En el trabajo reciente sobre el slider pinning, desarrollado después de la El documento actual fue presentado, introdujimos el modelo de slider-pinning de rigidez [15, 20]. Com- binatoriamente, modelamos los marcos bar-slider como gráficos simples junto con algunos bucles colocados en sus vértices de tal manera que no haya más de 2 bucles por vértice, uno de cada uno color. Caracterizamos los gráficos de deslizadores de barras mínimamente rígidos [20] como gráficos que son: 1. (2,3)-parse para subgrafías que no contengan bucles. 2. (2,0)-ajustado cuando se incluyen los bucles. Llamamos a estos gráficos (2,0,3)-clasificados-ajustados, y son un caso especial de la clasificación-parse gráficos estudiados en nuestro artículo [14]. La conexión con los juegos de guijarros en este artículo es la siguiente. Corollary 19 (juegos de pebble y slider-pinning). En cualquier gráfico de juego (2,3)-pebble, si Reemplazar los guijarros por los bucles, obtenemos un gráfico ajustado (2.0,3)-calificado. Prueba. Seguidos de invariantes (I3) de Lemma 7. En [15], estudiamos un caso especial de slider pinning donde cada slider es vertical o horizontal. Modelamos los deslizadores como bucles precoloreados, con el color que indica la dirección x o y. Para este caso de deslizador paralelo eje, los gráficos mínimamente rígidos se caracterizan por: 1. (2,3)-parse para subgrafías que no contengan bucles. 2. Admitir un 2-coloración de los bordes para que cada color sea un bosque (es decir, no tiene ciclos), y cada uno árbol monocromático abarca exactamente un bucle de su color. Esto también tiene una interpretación en términos de juegos de guijarros de colores. Corollary 20 (El juego de guijarros con colores y slider-pinning). En cualquier canónico (2,3)- Guijarro-juego-con-colores gráfico, si reemplazamos los guijarros por bucles del mismo color, obtenemos el gráfico de un marco de eje-paralelo de barra-slider mínimamente fijado. Prueba. Sigue desde el Teorema 4, y Lemma 12. 10. Conclusiones y problemas pendientes Presentamos una nueva caracterización de (k, `)-sparse gráficos, el juego de guijarros con colores, y lo utilizó para dar un algoritmo eficiente para encontrar descomposicións de gráficos escasos en el borde- árboles desarticulados. Nuestro algoritmo encuentra tales descomposiciones certificadoras de esparcimiento en el rango superior y se ejecuta en el tiempo O(n2), que es tan rápido como los algoritmos para reconocer gráficos escasos en el rango superior a partir de [12]. También usamos el juego de guijarros con colores para describir una nueva descomposición de la sparsity-certificating- ciones que se aplican a toda la gama matroidal de gráficos dispersos. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 17 Definimos y estudiamos una clase de construcciones canónicas de juego de guijarros que corresponden a o bien una descomposición de mapas y árboles o bien una descomposición adecuada de `Tk. Esto da una nueva prueba de la Tutte-Nash- Teorema de arboricidad Williams y una prueba unificada de la descomposición previamente estudiada cer- tificates de la esparzidad. Las construcciones canónicas de juego de guijarros también muestran la relación entre la condición de guijarro â 1, que se aplica a la gama superior de â, para aumentar la unión de los matroides rutas, que no se aplican en el rango superior. Consecuencias algorítmicas y problemas abiertos. En [6], Gabow y Westermann dan un O(n3/2) algoritmo para reconocer gráficos escasos en el rango inferior y extraer subtítulos escasos de Densos. Su técnica se basa en la búsqueda eficiente de caminos de aumento de unión de matroides, que extienden una descomposición de mapas y árboles. El algoritmo O(n3/2) utiliza dos subrutinas para encontrar rutas de aumento: exploración cíclica, que encuentra rutas de aumento uno a la vez, y lote escaneado, que encuentra grupos de caminos de aumento disjuntos. Observamos que Algoritmo 17 se puede utilizar para reemplazar el escaneo cíclico en Gabow y Wester- algoritmo de mann sin cambiar el tiempo de ejecución. Las estructuras de datos utilizadas en la aplicación de guijarros, detallado en [12, 13] son más simples y más fáciles de implementar que los utilizado para apoyar el escaneo cíclico. Los dos principales problemas algorítmicos abiertos relacionados con el juego de guijarros son entonces: Problema 1. Desarrollar un algoritmo de juego de guijarros con las propiedades de escaneado por lotes y obtener un algoritmo O(n3/2) implementable para el rango inferior. Problema 2. Extender la exploración por lotes a la condición de guijarro â € 1 y derivar un guijarro O(n3/2) algoritmo de juego para el rango superior. En particular, sería de importancia práctica encontrar un algoritmo O(n3/2) implementable para las descomposiciones en los árboles que se extienden por los bordes. Bibliografía 1. 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Describimos un nuevo algoritmo, el juego de $(k,\ell)$-pebble con colores, y el uso obtener una caracterización de la familia de $(k,\ell)$-sparse gráficos y soluciones algorítmicas a una familia de problemas relativos a las descomposiciones arbóreas de gráficos. Casos especiales de gráficos escasos aparecen en la teoría de la rigidez y tienen ha recibido una mayor atención en los últimos años. En particular, nuestro color los guijarros generalizan y fortalecen los resultados anteriores de Lee y Streinu y dar una nueva prueba de la caracterización Tutte-Nash-Williams de la arboricidad. Nosotros también presentar una nueva descomposición que certifica la esparcidad basada en el $(k,\ell)$-pebble juego con colores. Nuestro trabajo también expone conexiones entre Algoritmos de juego de guijarros y algoritmos de gráficos anteriores por Gabow, Gabow y Westermann y Hendrickson.

Introducción y preliminares El foco de este documento son las descomposicións de (k, `)-sparse gráficos en bordes-disjunto subgraphs que certifique la escasez. Usamos el gráfico para significar un múltiplo, posiblemente con bucles. Nosotros decimos que un grafo es (k, `)-sparse si ningún subconjunto de n′ vértices abarca más de kn ` bordes en el gráfico; a (k, `)-sparse gráfico con kn ` bordes es (k, `)-estrechado. Llamamos al rango k ≤ 2k−1 el superior rango de gráficos escasos y 0≤ k el rango inferior. En este artículo, presentamos algoritmos eficientes para encontrar descomposicións que certifiquen la escasez en el rango superior de `. Nuestros algoritmos también se aplican en el rango inferior, que ya era ad- vestido por [3, 4, 5, 6, 19]. Una descomposición certifica la escasez de un gráfico si los gráficos dispersos y los gráficos que admiten la descomposición coinciden. Nuestros algoritmos se basan en una nueva caracterización de gráficos escasos, que llamamos el juego de guijarros con colores. El juego de guijarros con colores es una regla de construcción de gráficos simples que produce un gráfico escaso junto con una descomposición certificadora de la escasez. Definimos y estudiamos una clase canónica de construcciones de juego de guijarros, que corresponden a previamente estudiado las descomposiciones de los gráficos escasos en los árboles disjuntos del borde. Nuestros resultados proporcionan un marco unificador para todos los casos especiales conocidos anteriormente, incluidos Nash-Williams- Tutte y [7, 24]. De hecho, en el rango inferior, las construcciones canónicas de juego de guijarros capturan la propiedades de las rutas de aumento utilizadas en los algoritmos de unión de matroides y de intersección[5, 6]. Dado que los gráficos escasos en el rango superior no se sabe que son uniones o intersecciones de la matroides para los que hay algoritmos de ruta de aumento eficiente, estos no se aplican fácilmente en * Investigación de ambos autores financiada por la NSF bajo subvenciones NSF CCF-0430990 y NSF-DARPA CARGO CCR-0310661 al primer autor. 2 Ileana Streinu, Louis Theran Significado del término Gráfico escaso G Cada subgrafo no vacío en n′ vértices tiene ≤ kn ` bordes El gráfico ajustado G G = (V,E) es escaso y V = n, E= kn− ` El bloque H en G G es escaso, y H es un subgrafo apretado El componente H de G G es escaso y H es un bloqueo máximo Gráfico cartográfico que admite una orientación de grado-exactamente-uno (k, `)-maps-and-trees Edge-disjunt union de ` árboles y (k- `) map-grpahs `Tk Unión de ` árboles, cada vértice está exactamente en k de ellos Conjunto de piezas arbóreas de un `Tk inducido en V ′ ́V Piezas de árboles en el `Tk extendido por E(V ′) `Tk Apropiado Cada V ′ V contiene ≥ ` pedazos de árboles de la `Tk Cuadro 1 Gráfico escaso y terminología de descomposición utilizada en este artículo. el rango superior. Pebble juego con construcciones de colores por lo tanto puede ser considerado un fortalecimiento de caminos de aumento a la gama superior de gráficos de la escasez matroidal. 1.1. Gráficos escasos Un gráfico es (k, `)-sparse si para cualquier subgrafo no vacío con bordes m′ y n′ vértices, m′ ≤ kn `. Observamos que esta condición implica que 0 ≤ ` ≤ 2k− 1, y a partir de ahora en este Haremos esta suposición. Un gráfico escaso que tiene n vértices y exactamente bordes kn se llama apretado. Para un gráfico G = (V,E), y V ′ V, utilizamos el intervalo de notación (V ′) para el número de bordes en el subgráfico inducido por V ′. En un gráfico dirigido, out(V ′) es el número de bordes con la cola en V ′ y la cabeza en V −V ′; para un subgráfico inducido por V ′, llamamos a tal borde un borde superior. Hay dos tipos importantes de subgrafías de gráficos escasos. Un bloque es un subgrafo apretado de un gráfico escaso. Un componente es un bloque máximo. La Tabla 1 resume la escasa terminología gráfica utilizada en este artículo. 1.2. Descomposiciónes de certificación de la sparsidad Un k-arborescencia es un gráfico que admite una descomposición en k borde-desjunto que abarca los árboles. La Figura 1(a) muestra un ejemplo de una 3-arborescencia. Se describen los gráficos k-arborescentes por los conocidos teoremas de Tutte [23] y Nash-Williams [17] como exactamente el (k,k) apretado gráficos. Un map-graph es un gráfico que admite una orientación tal que el grado de cada vértice es Exactamente uno. Un k-map-graph es un gráfico que admite una descomposición en k borde-disjunto mapa- gráficos. La Figura 1(b) muestra un ejemplo de un 2-map-graphs; los bordes están orientados en uno posible configuración que certifica que cada color forma un mapa gráfico. Los mapas pueden ser equivalentes definido (véase, por ejemplo, [18]) como tener exactamente un ciclo por componente conectado.1 A (k, `)-maps-and-trees es un gráfico que admite una descomposición en k− ` borde-disjunta - mapas y árboles que se extienden por los árboles. Otra caracterización de los mapas, que utilizaremos ampliamente en este artículo, es la siguiente: los gráficos (1,0) ajustados [8, 24]. Los k-map-graphs son evidentemente (k,0)-stight, y [8, 24] muestran que lo contrario se sostiene también. 1 Nuestra terminología sigue a Lovász en [16]. En la literatura matroide los mapas a veces se conocen como bases del matroide de la bicicleta o pseudobosques que se extienden. Descomposiciones del gráfico de certificación de la Sparsity 3 Fig. 1. Ejemplos de descomposiciones certificadoras de la escasez: a) una 3-arborescencia; b) una 2-map-graph; c) una (2,1)-maps-y-árboles. Los bordes con el mismo estilo de línea pertenecen al mismo subgrafo. El 2-map-graph es se muestra con una orientación certificadora. Un `Tk es una descomposición en `árboles disjuntos de borde (que no necesariamente abarcan) de tal manera que cada uno vértice está en exactamente k de ellos. La figura 2 a) muestra un ejemplo de un 3T2. Dado un subgrafo G′ de un gráfico `Tk G, el conjunto de piezas arbóreas en G′ es la colección del componentes de los árboles en G inducidos por G′ (dado que G′ es un subgrafo cada árbol puede contribuir piezas múltiples en el conjunto de piezas de árbol en G′). Observamos que estas piezas de árboles pueden venir del mismo árbol o ser un solo vertex “árboles vacíos.” También es útil tener en cuenta que la definición de un árbol-pieza es relativo a un subgrafo específico. Una descomposición `Tk es apropiada si el conjunto de las piezas arbóreas de cualquier subpárrafo G′ tienen un tamaño mínimo `. La Figura 2(a) muestra un gráfico con una descomposición 3T2; observamos que uno de los árboles es un vértice aislado en la esquina inferior derecha. El subgrafo de la Figura 2(b) tiene tres árboles negros- piezas y un árbol-pieza gris: un vértice aislado en la esquina superior derecha, y dos bordes individuales. Estos cuentan como tres árboles-piezas, a pesar de que vienen del mismo árbol trasero cuando el Gráfico completo considerado. La figura 2 c) muestra otro subgráfico; en este caso hay tres piezas de árboles grises y una negra. En el cuadro 1 figura la terminología de descomposición utilizada en este documento. El problema de descomposición. Definimos el problema de descomposición para gráficos escasos como tak- • un gráfico como su entrada y producción como salida, una descomposición que se puede utilizar para certificar sity. En el presente documento se estudiarán tres tipos de productos: mapas y árboles; descomposiciones adecuadas de `Tk; y la descomposición de guijarros-juego-con-colores, que se define en la siguiente sección. 2. Antecedentes históricos Los conocidos teoremas de Tutte [23] y Nash-Williams [17] relacionan los gráficos (k,k) ajustados a la existencia de descomposicións en los árboles que se extienden por los bordes. Tomando un punto de vista matroidal, 4 Ileana Streinu, Louis Theran Fig. 2. (a) Un gráfico con una descomposición 3T2; uno de los tres árboles es un único vértice en la parte inferior derecha esquina. (b) El subgrafo resaltado dentro del conteo rayado tiene tres piezas de árbol negro y una gris pieza de árbol. (c) El subgrafo resaltado dentro del conteo rayado tiene tres piezas de árbol grises (uno es un solo vértice) y una pieza de árbol negro. Edmonds [3, 4] dio otra prueba de este resultado usando uniones de matroide. La equivalencia de los mapas- los gráficos y árboles y los gráficos ajustados en el rango inferior se muestran utilizando uniones de los matroides en [24], y rutas de aumento matroide son la base de los algoritmos para el rango inferior de [5, 6, 19]. En la teoría de la rigidez un teorema fundacional de Laman [11] muestra que (2,3)-ajustado (Laman) los gráficos corresponden a marcos de barras y conjuntos genéricamente mínimamente rígidos en el plano. Tay [21] ha demostrado ser un resultado análogo para los marcos de la barra del cuerpo en cualquier dimensión utilizando (k,k) gráficos. Rigidez por conteos de interés motivado en el rango superior, y Crapo [2] probó la equivalencia de gráficos Laman y gráficos 3T2 apropiados. Tay [22] utilizó esta condición para dar un prueba directa del teorema de Laman y generalizada la condición 3T2 a todos `Tk para k≤ 2k−1. Haas [7] estudió detalladamente las descomposicións de `Tk y demostró la equivalencia de gráficos ajustados y gráficos `Tk apropiados para el rango superior general. Observamos que aparte de nuestro nuevo guijarro... game-with-colors descomposición, todas las caracterizaciones combinatoria de la gama superior de Los gráficos escasos, incluidos los conteos, tienen una interpretación geométrica [11, 21, 22, 24]. Un algoritmo de juego de guijarros fue propuesto por primera vez en [10] como una alternativa elegante a Hendrick- algoritmos de gráfico Laman de hijo [9]. Berg y Jordania [1], facilitaron el análisis formal de la juego de guijarros de [10] e introdujo la idea de jugar el juego en un gráfico dirigido. Lee y Streinu [12] generalizó el juego de guijarros a toda la gama de parámetros 0≤ 2k−1, y izquierda como un problema abierto utilizando el juego de guijarros para encontrar la escasez certificando las descomposicións. 3. El juego de guijarros con colores Nuestro juego de guijarros con colores es un conjunto de reglas para la construcción de gráficos indexados por no negativos enteros k y `. Usaremos el juego de guijarros con colores como la base de un algoritmo eficiente para el problema de descomposición más adelante en este documento. Puesto que la frase “con colores” es necesaria Sólo en comparación con [12], lo omitiremos en el resto del documento cuando el contexto sea claro. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 5 Ahora presentamos el juego de guijarros con colores. El juego es jugado por un solo jugador en un conjunto finito fijo de vértices. El jugador hace una secuencia finita de movimientos; un movimiento consiste en el adición y/o orientación de un borde. En cualquier momento, el estado del juego es capturado por un gráfico dirigido H, con guijarros de colores sobre vértices y bordes. Los bordes de H son de color por los guijarros en ellos. Mientras que jugando el juego de guijarros todos los bordes están dirigidos, y utilizamos el notación vw para indicar un borde dirigido de v a w. Describimos el juego de guijarros con colores en términos de su configuración inicial y el permitido se mueve. Fig. 3. Ejemplos de juego de guijarros con movimientos de colores: (a) add-edge. b) Deslizamiento de guijarros. Guijarros sobre vértices se muestran como puntos negros o grises. Los bordes están coloreados con el color de la rocalla en ellos. Inicialización: Al principio del juego de guijarros, H tiene n vértices y no tiene bordes. Comenzamos colocando k guijarros en cada vértice de H, uno de cada color ci, para i = 1,2,...,k. Add-edge-with-colors: Dejar v y w ser vértices con al menos â € 1 guijarros en ellos. Asumir (w.l.o.g.) que v tiene al menos un guijarro en él. Recoger un guijarro de v, añadir el borde orientado vw a E(H) y poner el guijarro recogido de v en el nuevo borde. La Figura 3(a) muestra ejemplos del movimiento de add-edge. Pebble-slide: Dejar w ser un vértice con un guijarro p en él, y dejar vw ser un borde en H. Reemplazar vw con wv en E(H); poner el guijarro que estaba en vw en v; y poner p en wv. Tenga en cuenta que el color de un borde puede cambiar con un movimiento de guijarros. La figura 3 b) muestra ejemplos. La convención en estas figuras, y a lo largo de este documento, es que los guijarros sobre los vértices se representan como puntos de color, y que los bordes se muestran en el color de la rocalla en ellos. A partir de la definición del movimiento de guijarros-deslizamiento, es fácil ver que un guijarro en particular es siempre en el vértice donde empezó o en un borde que tiene este vértice como la cola. Sin embargo, al hacer una secuencia de movimientos de guijarros que invierten la orientación de un camino en H, es a veces es conveniente pensar en esta secuencia de inversión del camino como trayendo un guijarro desde el final del camino al principio. La salida de jugar el juego de guijarros es su configuración completa. Salida: Al final del juego, obtenemos el gráfico dirigido H, junto con la ubicación y los colores de los guijarros. Observe que ya que cada borde tiene exactamente un guijarro en él, el guijarro la configuración del juego colorea los bordes. Decimos que el gráfico G de H subyacente no dirigido es construido por el juego (k, `)-pebble o que H es un gráfico de juego de guijarros. Puesto que cada borde de H tiene exactamente un guijarro, las particiones de configuración del juego de guijarro los bordes de H, y así G, en k diferentes colores. Llamamos a esta descomposición de H un guijarro... juego-con-colores descomposición. La Figura 4(a) muestra un ejemplo de un gráfico ajustado (2,2) con un Descomposición de juego de guijarros. Que G = (V,E) sea gráfico de juego de guijarros con la coloración inducida por los guijarros en los bordes, y dejar que G′ sea un subgrafo de G. Entonces la coloración de G induce un conjunto de con- 6 Ileana Streinu, Louis Theran a) b) c) Fig. 4. A (2,2)-término gráfico con una posible descomposición del juego de guijarros. Los bordes están orientados a mostrar (1,0)-esparsidad para cada color. a) El gráfico K4 con una descomposición del juego de guijarros. Hay un árbol negro vacío en el vértice central y un árbol gris que se extiende. b) El subgráfico resaltado consta de dos: árboles negros y un árbol gris; los bordes negros son parte de un ciclo más grande pero aportan un árbol al subgrafo. c) El subgrafo resaltado (con fondo gris claro) tiene tres árboles grises vacíos; los bordes negros contienen un ciclo y no aportan un pedazo de árbol al subgrafo. Significado de la notación longitud (V ′) Número de bordes que se extienden en H por V ′ V ; es decir, EH(V ′) Peb(V ′) Número de guijarros en V ′ ́V fuera (V ′) Número de bordes vw en H con v ́V ′ y w ́V −V ′ pebi(v) Número de guijarros de color ci en v • V outi(v) Número de bordes vw coloreados ci para v â € € TM V Cuadro 2 Pebble notación de juego utilizado en este papel. Subgrafías de G′ (puede haber más de uno del mismo color). Tan monocromático subgraph se llama un mapa-foto-pieza de G′ si contiene un ciclo (en G′) y un árbol-pieza de G′ De lo contrario. El conjunto de piezas arbóreas de G′ es la colección de piezas arbóreas inducidas por G′. Al igual que con la definición correspondiente para `Tk s, el conjunto de piezas arbóreas se define en relación con un sub- grafo; en particular, una pieza de árbol puede formar parte de un ciclo más grande que incluye bordes que no se extienden por G′. Las propiedades de las descomposicións del juego de guijarros se estudian en la Sección 6 y en el Teorema 2 muestra que cada color debe ser (1,0)-sparse. La orientación de los bordes en la Figura 4(a) muestra Esto. Por ejemplo, la Figura 4(a) muestra un gráfico ajustado (2,2) con un posible decom de juego de guijarro- posición. El gráfico completo contiene una pieza de árbol gris y una pieza de árbol negro que es un aislado vértice. El subgrafo de la Figura 4(b) tiene un árbol negro y un árbol gris, con los bordes del negro árbol procedente de un ciclo en el gráfico más grande. En la Figura 4(c), sin embargo, el ciclo negro no contribuir con una pieza de árbol. Las tres piezas de árbol en este subgrafo son árboles grises de un solo vértex. En la siguiente discusión, utilizamos la notación peb(v) para el número de guijarros en v y pebi(v) para indicar el número de guijarros de colores i en v. La Tabla 2 enumera la notación de juego de guijarros utilizada en este artículo. 4. Nuestros resultados Describimos nuestros resultados en esta sección. El resto del periódico proporciona las pruebas. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 7 Nuestro primer resultado es un fortalecimiento de los juegos de guijarros de [12] para incluir los colores. Dice que los gráficos escasos son exactamente gráficos de juego de guijarros. Recuerde que a partir de ahora, todos los juegos de guijarros discutidos en este artículo son nuestro juego de guijarros con colores a menos que se anote explícitamente. Teorema 1 (Los gráficos Sparse y los gráficos de juego de guijarros coinciden). Un gráfico G es (k, `)-sparse con 0≤ 2k−1 si y sólo si G es un gráfico de juego de guijarros. A continuación consideramos las descomposiciones de juego de guijarros, mostrando que son una generalización de las descomposiciones adecuadas de `Tk que se extienden a toda la gama matroidal de gráficos dispersos. Teorema 2 (La descomposición de guijarros-juego-con-colores). Un gráfico G es un juego de guijarros gráfico si y sólo si admite una descomposición en k borde-discoint subgraphs tales que cada uno es (1,0)-sparse y cada subgrafo de G contiene al menos ` piezas de árbol de la (1,0)-sparse gráficos en la descomposición. Las subgrafías de (1,0)-parse en la declaración de Teorema 2 son los colores de los guijarros; por lo tanto Teorema 2 da una caracterización de las descomposicións de guijarros-juego-con-colores obtenidos jugando el juego de guijarros definido en la sección anterior. Nótese la similitud entre el requisito de que el conjunto de piezas arbóreas tenga por lo menos un tamaño ` en el Teorema 2 y la definición de un propiamente dicho `Tk. Nuestros siguientes resultados muestran que para cualquier gráfico de juego de guijarros, podemos especializar su juego de guijarros construcción para generar una descomposición que es un mapa-y-árboles o `Tk. Nosotros llamamos a estos especializada construcción de juegos de guijarros canónicos, y el uso canónico juego de guijarros construc- ciones, obtenemos nuevas pruebas directas de los resultados de arboricidad existentes. Observamos Teorema 2 que los mapas-y-árboles son casos especiales del juego de guijarros decompo- Situación: tanto los árboles que se extienden y los mapas que se extienden son (1.0)-parse, y cada uno de la extensión los árboles aportan al menos un pedazo de árbol a cada subgrafo. El caso de los gráficos `Tk apropiados es más sutil; si cada color en una descomposición del juego de guijarros es un bosque, entonces hemos encontrado un adecuado `Tk, pero esta clase es un subconjunto de todos los posibles apropiados `Tk descomposiciones de un gráfico apretado. Demostramos que esta clase de descomposiciones apropiadas `Tk es suficiente para certificar la escasez. Ahora declaramos el teorema principal para el rango superior e inferior. Teorema 3 (Teorema Principal): Mapas y árboles coinciden con el juego de guijarros grafos). Que 0 ≤ ` ≤ k. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si G es un (k, `)- mapas y árboles. Teorema 4 (Teorema principal): Los gráficos `Tk adecuados coinciden con el juego de guijarros grafos). Deje k≤ 2k−1. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarros apretado si y sólo si es un adecuado `Tk con kn− ` bordes. Como corolarios, obtenemos los resultados de descomposición existentes para gráficos escasos. Corollario 5 (Nash-Williams [17], Tutte [23], White y Whiteley [24]). Deja k. Un gráfico G es estrecho si y sólo si tiene una descomposición (k, `)-maps-and-trees. Corollario 6 (Crapo [2], Haas [7]). Dejar k ≤ 2k−1. Un gráfico G es estrecho si y sólo si es un propiamente dicho `Tk. Encontrar eficientemente construcciones canónicas de juego de guijarros. Las pruebas de Teorema 3 y Theo- rem 4 conduce a un algoritmo obvio con O(n3) tiempo de ejecución para el problema de descomposición. Nuestro último resultado mejora en esto, mostrando que una construcción canónica juego de guijarros, y por lo tanto 8 Ileana Streinu, Louis Theran un mapa-y-árboles o `Tk descomposición apropiada se puede encontrar usando un algoritmo de juego de guijarros en O(n2) tiempo y espacio. Estos límites de tiempo y espacio significan que nuestro algoritmo puede combinarse con los de [12] sin ningún cambio en la complejidad. 5. Gráficos de juego de pebble En esta sección demostramos Teorema 1, un fortalecimiento de los resultados de [12] al juego de guijarros con colores. Dado que muchas de las propiedades relevantes del juego de guijarros con colores directamente de los juegos de guijarros de [12], nos referimos al lector allí para las pruebas. Comenzamos estableciendo algunas invariantes que se mantienen durante la ejecución del juego de guijarros. Lemma 7 (invariantes de juego de pebble). Durante la ejecución del juego de guijarros, lo siguiente los invariantes se mantienen en H: (I1) Hay por lo menos ` guijarros en V. [12] (I2) Para cada vértice v, span(v)+out(v)+peb(v) = k. [12] (I3) Para cada V ′ ́V, span(V ′)+out(V ′)+peb(V ′) = kn′. [12] (I4) Por cada vértice v V, outi(v)+pebi(v) = 1. (I5) Cada ruta máxima que consiste sólo de bordes con ci de color termina en el primer vértice con un guijarro de color ci o un ciclo. Prueba. (I1), (I2), y (I3) vienen directamente de [12]. (I4) Este invariante se mantiene claramente en la fase de inicialización del juego de guijarros con colores. Esa reserva de movimientos de bordes añadidos y guijarros (I4) está clara de la inspección. (I5) Por (I4), un camino monocromático de los bordes se ve obligado a terminar sólo en un vértice con un guijarro de el mismo color en ella. Si no hay guijarros de ese color alcanzable, entonces el camino debe eventualmente Visita un vértice dos veces. De estos invariantes, podemos mostrar que los gráficos constructibles del juego de guijarros son escasos. Lemma 8 (Los gráficos de los juegos de pelota son escasos [12]). Dejar H ser un gráfico construido con el Juego de guijarros. Entonces H es escasa. Si hay exactamente ` guijarros en V (H), entonces H es apretado. El paso principal para probar que cada gráfico escaso es un gráfico de juego de guijarros es el siguiente. Recordemos que al traer un guijarro a v nos referimos a reorientar H con movimientos de guijarro-deslizamiento para reducir el grado de v por uno. Lemma 9 (La condición de guijarro â € 1 [12]). Dejar vw ser un borde tal que H + vw es escaso. Si peb({v,w}) < â € 1, entonces un guijarro no en {v,w} se puede llevar a v o w. Se deduce que cualquier gráfico escaso tiene una construcción de juego de guijarros. Teorema 1 (Los gráficos Sparse y los gráficos de juego de guijarros coinciden). Un gráfico G es (k, `)-sparse con 0≤ 2k−1 si y sólo si G es un gráfico de juego de guijarros. 6. La descomposición de guijarros-juego-con-colores En esta sección demostramos Teorema 2, que caracteriza todas las descomposicións de juego de guijarros. Nosotros empezar con los siguientes lemas sobre la estructura de los componentes monocromáticos conectados en H, el gráfico dirigido mantenido durante el juego de guijarros. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 9 Lemma 10 (los subgrafos monocromáticos del juego de guijarros son (1,0)-sparse). Deja que Hi sea el sub- gráfico de H inducido por los bordes con guijarros de color ci en ellos. Entonces Hi es (1,0)-parso, para i = 1,...,k. Prueba. Por (I4) Hi es un conjunto de bordes con grado a lo sumo uno para cada vértice. Lemma 11 (Piezas de árbol en un gráfico de juego de guijarros). Cada subgrafo del gráfico dirigido H en una construcción de juego de guijarros contiene por lo menos ` piezas monocromáticas de árboles, y cada uno de estos tiene sus raíces en un vértice con un guijarro en él o un vértice que es la cola de un borde. Recordemos que un borde superior a un subpárrafo H ′ = (V ′,E ′) es un borde vw con v′ V y vw /′ E. Prueba. Dejar que H ′ = (V ′,E ′) sea un subgrafo no vacío de H, y asumir sin pérdida de generalidad que H ′ es inducida por V ′. Por (I3), fuera (V ′)+ peb(V ′) ≥ `. Mostraremos que cada guijarro y cola de borde es la raíz de una pieza de árbol. Considerar un vértice v V ′ y un color ci. Por (I4) hay un único monocromático dirigido ruta de color ci a partir de v. Por (I5), si este camino termina en una rocalla, no tiene un ciclo. Del mismo modo, si este camino alcanza un vértice que es la cola de un borde también en color ci (es decir, si el trayectoria monocromática desde v hojas V ′), entonces la trayectoria no puede tener un ciclo en H ′. Dado que este argumento funciona para cualquier vértice en cualquier color, para cada color hay una partición de los vértices en aquellos que pueden alcanzar cada guijarro, cola de borde superior, o ciclo. De ello se deduce que cada uno de guijarros y cola de borde superior es la raíz de un árbol monocromático, como se desee. Aplicado a todo el gráfico Lemma 11 nos da lo siguiente. Lemma 12 (Los pebbles son las raíces de los árboles). En cualquier configuración de juego de guijarros, cada guijarros de color ci es la raíz de un (posiblemente vacío) monocromático árbol-pieza de color ci. Nota: Haas mostró en [7] que en un `Tk, un subgráfico inducido por n′ ≥ 2 vértices con m′ los bordes tienen exactamente piezas de árbol knm′ en él. Lemma 11 refuerza el resultado de Haas al ampliarlo a la gama inferior y dando una construcción que encuentra las piezas de árbol, mostrando la conexión entre la condición de guijarro â € 1 y la condición hereditaria en la adecuada `Tk. Concluimos nuestra investigación de construcciones arbitrarias de juego de guijarros con una descripción de la descomposición inducida por el juego de guijarros con colores. Teorema 2 (La descomposición de guijarros-juego-con-colores). Un gráfico G es un juego de guijarros gráfico si y sólo si admite una descomposición en k borde-discoint subgraphs tales que cada uno es (1,0)-sparse y cada subgrafo de G contiene al menos ` piezas de árbol de la (1,0)-sparse gráficos en la descomposición. Prueba. Deja que G sea un gráfico de juego de guijarros. La existencia de la k borde-disjunta (1,0)-sparse sub- Los gráficos fueron mostrados en Lemma 10, y Lemma 11 prueba la condición en subgrafías. Para la otra dirección, observamos que un ci de color con piezas de árbol ti en un subgrafo dado puede espacio a lo sumo n- ti bordes; sumando sobre todos los colores muestra que un gráfico con un guijarro-juego la descomposición debe ser escasa. Aplique el Teorema 1 para completar la prueba. Observación: Observamos que una descomposición del juego de guijarros para un gráfico de Laman puede ser leída de la coincidencia bipartita utilizada en el algoritmo de extracción de gráficos Laman de Hendrickson [9]. De hecho, las orientaciones de juego de guijarros tienen una correspondencia natural con los emparejamientos bipartitos utilizados en 10 Ileana Streinu, Louis Theran Mapas y árboles son un caso especial de descomposición de juegos de guijarros para gráficos apretados: si hay no son ciclos en ` de los colores, entonces los árboles enraizados en los ` guijarros correspondientes deben ser que se extienden, ya que tienen n - 1 bordes. Además, si cada color forma un bosque en un rango superior la descomposición del juego de guijarros, entonces la condición de piezas de árbol asegura que el juego de guijarros de- la composición es un `Tk. En la siguiente sección, mostramos que el juego de guijarros puede ser especializado para corresponder a los mapas- y árboles y las correspondientes descomposicións `Tk. 7. Construcciones Canónicas de Juego de Pebble En esta sección demostramos los principales teoremas (Teorema 3 y Teorema 4), continuando las inves- de las descomposiciones inducidas por las construcciones de juego de guijarros mediante el estudio del caso en el que un Se crea un número mínimo de ciclos monocromáticos. La idea principal, capturada en Lemma 15 e ilustrado en la Figura 6, es evitar la creación de ciclos al recoger piedras. Demostramos que esto es siempre posible, lo que implica que los mapas monocromáticos se crean sólo cuando añadir más de k(n1) bordes a algún conjunto de n′ vértices. Para el rango inferior, esto implica que Cada color es un bosque. Cada caracterización de descomposición de gráficos ajustados discutidos arriba sigue inmediatamente del teorema principal, dando nuevas pruebas de los resultados anteriores en un un marco unificado. En la prueba, vamos a utilizar dos especializaciones de los movimientos de juego de guijarros. El primero es un modi- ficación del movimiento de add-edge. Add-edge canónico: Al realizar un movimiento de add-edge, cubra el nuevo borde con un color que está en ambos vértices si es posible. Si no, entonces tome el color numerado más alto presente. La segunda es una restricción en la que los movimientos de guijarros-deslizamiento que permitimos. Deslizamiento canónico de guijarros: Un movimiento de guijarros se permite sólo cuando no crea un ciclo monocromático. Llamamos a una construcción de juego de guijarros que utiliza sólo estos movimientos canónicos. En esta sección vamos a mostrar que cada gráfico de juego de guijarros tiene una construcción canónica de juego de guijarros (Lemma 14 y Lemma 15) y que las construcciones canónicas de juego de guijarros corresponden a `Tk y las descomposicións de mapas y árboles (Teorema 3 y Teorema 4). Comenzamos con un lema técnico que motiva la definición de juego canónico de guijarros construcciones. Muestra que las situaciones desaprobadas por los movimientos canónicos son todas las maneras para que los ciclos se formen en los colores más bajos. Lemma 13 (creación del ciclo monocromático). Let v â € ¢ V tener un guijarro p de color ci en él y dejar w ser un vértice en el mismo árbol de color ci como v. Un ciclo monocromático de color ci se crea exactamente de una de las siguientes maneras: (M1) El borde vw se añade con un movimiento de add-edge. (M2) El borde wv es invertido por un movimiento de guijarro-deslizamiento y el guijarro p se utiliza para cubrir el reverso edge vw. Prueba. Observe que las condiciones previas en la declaración del lema están implícitas en Lemma 7. Por Lemma 12 ciclos monocromáticos se forman cuando el último guijarro de color ci se elimina de un Subgrafía monocromática conectada. (M1) y (M2) son las únicas maneras de hacer esto en un guijarro construcción del juego, ya que el color de un borde sólo cambia cuando se inserta la primera vez o un guijarro nuevo es puesto en él por un movimiento de guijarro-deslizamiento. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 11 vw vw Fig. 5. Crear ciclos monocromáticos en un juego (2.0)-pebble. a) Un movimiento de tipo (M1) crea un ciclo por añadir un borde negro. (b) Un movimiento de tipo (M2) crea un ciclo con un movimiento de guijarros-deslizamiento. Los vértices son etiquetado de acuerdo a su papel en la definición de los movimientos. La figura 5 a) y la figura 5 b) muestran ejemplos de movimientos de creación de mapas (M1) y (M2), respectivamente, en una construcción de juego (2.0)-pebble. A continuación mostramos que si un gráfico tiene una construcción de juego de guijarros, entonces tiene un peb canónico- ble construcción de juegos. Esto se hace en dos pasos, considerando los casos (M1) y (M2) sepa- - No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. La prueba da dos construcciones que implementan el add-edge canónico y canónico movimiento de guijarros-deslizamiento. Lemma 14 (El movimiento canónico de add-edge). Let G ser un gráfico con un juego de guijarros construc- tion. Los pasos de creación de ciclo de tipo (M1) se pueden eliminar en colores ci para 1 ≤ i ≤, donde = min{k,. Prueba. Para los movimientos de add-edge, cubra el borde con un color presente en v y w si es posible. Si esto no es posible, entonces hay â € 1 colores distintos presentes. Usar el color numerado más alto para cubrir el nuevo borde. Observación: Observamos que en el rango superior, siempre hay un color repetido, por lo que no canónico los movimientos de add-edge crean ciclos en el rango superior. El movimiento canónico de guijarros se define por una condición global. Para demostrar que obtenemos la misma clase de gráficos usando sólo movimientos canónicos de rocalla-deslizamiento, tenemos que extender Lemma 9 a sólo movimientos canónicos. El paso principal es mostrar que si hay alguna secuencia de movimientos que reorienta un camino de v a w, entonces hay una secuencia de movimientos canónicos que hace lo mismo Cosa. Lemma 15 (El movimiento canónico de guijarros). Cualquier secuencia de deslizamiento de guijarros se mueve llevando a un movimiento de add-edge se puede reemplazar por uno que no tiene pasos (M2) y permite el mismo add-edge move. En otras palabras, si es posible recoger 1 guijarros en los extremos de un borde a añadir, entonces es posible hacer esto sin crear ningún ciclo monocromático. 12 Ileana Streinu, Louis Theran La Figura 7 y la Figura 8 ilustran la construcción utilizada en la prueba de Lemma 15. Nosotros llamamos a esto la construcción de atajos por analogía a la unión matroide y caminos de aumento de intersección utilizados en trabajos anteriores en el rango inferior. La Figura 6 muestra la estructura de la prueba. La construcción de acceso directo elimina un paso (M2) al principio de una secuencia que reorienta un camino de v a w con deslizamientos de guijarros. Desde uno la aplicación de la construcción abreviada reorienta un camino simple de un vértice w′ a w, y un ruta de v a w′ se conserva, la construcción de acceso directo se puede aplicar inductivamente para encontrar la secuencia de movimientos que queremos. Fig. 6. Esquema de la construcción del atajo: (a) Un camino sencillo arbitrario de v a w con líneas curvas indicando caminos simples. b) Una etapa (M2). El borde negro, a punto de ser volteado, crearía un ciclo, se muestra en gris rayado y sólido, del (único) árbol gris enraizado en w. Los bordes grises sólidos eran parte de la ruta original de (a). (c) El camino acortado a la rocalla gris; el nuevo camino sigue el gris árbol todo el camino desde la primera vez que el camino original tocó el árbol gris en w′. La ruta de v a w′ es simple, y la construcción del atajo se puede aplicar inductivamente a él. Prueba. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que nuestra secuencia de movimientos reorienta un simple camino en H, y que el primer movimiento (el final del camino) es (M2). El paso (M2) mueve un guijarro de color ci de un vértice w en el borde vw, que se invierte. Porque el movimiento es (M2), v y w están contenidos en un árbol monocromático máximo de color ci. Llame a este árbol H ′i, y observar que está arraigado en w. Ahora considere los bordes invertidos en nuestra secuencia de movimientos. Como se ha señalado anteriormente, antes de hacer cualquiera de los movimientos, estos bosquejan un camino simple en H que termina en w. Que z sea el primer vértice en este camino en H ′i. Modificamos nuestra secuencia de movimientos de la siguiente manera: eliminar, desde el principio, cada mover antes de la que invierte algunos yz borde; prepend en lo que queda una secuencia de movimientos que mueve el guijarro en w a z en H ′i. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 13 Fig. 7. Eliminando movimientos (M2): (a) un movimiento (M2); (b) evitando el (M2) moviéndose por otro camino. El camino donde se mueven los guijarros está indicado por líneas duplicadas. Fig. 8. Eliminación (M2) movimientos: (a) el primer paso para mover el guijarro negro a lo largo del camino doble es (M2); (b) evitando el (M2) y simplificando el camino. Puesto que ningún borde cambia de color en el comienzo de la nueva secuencia, hemos eliminado el movimiento (M2). Porque nuestra construcción no cambia ninguno de los bordes involucrados en el cola restante de la secuencia original, la parte de la ruta original que queda en el nuevo secuencia seguirá siendo un camino simple en H, cumpliendo con nuestra hipótesis inicial. El resto del lema sigue por inducción. Juntos Lemma 14 y Lemma 15 prueban lo siguiente. Lemma 16. Si G es un gráfico de juego de guijarros, entonces G tiene una construcción canónica de juego de guijarros. Usando construcciones canónicas de juego de guijarros, podemos identificar los gráficos apretados de juego de guijarros con mapas y árboles y gráficos `Tk. 14 Ileana Streinu, Louis Theran Teorema 3 (Teorema Principal): Mapas y árboles coinciden con el juego de guijarros grafos). Que 0 ≤ ` ≤ k. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si G es un (k, `)- mapas y árboles. Prueba. Como se observó anteriormente, una descomposición de mapas y árboles es un caso especial del juego de guijarros descomposición. Aplicando el Teorema 2, vemos que cualquier mapa y árbol debe ser un juego de guijarros gráfico. Para la dirección inversa, considere la construcción canónica de un juego de guijarros de un gráfico apretado. Desde Lemma 8, vemos que quedan piedras en G al final de la construcción. Los definición del movimiento canónico de add-edge implica que debe haber al menos un guijarro de cada ci para i = 1,2,........................................................................................................... Se deduce que hay exactamente uno de cada uno de estos colores. Por Lemma 12, cada uno de estos guijarros es la raíz de una pieza arbórea monocromática con n - 1 bordes, dando los árboles de separación de bordes necesarios. Corollario 5 (Nash-Williams [17], Tutte [23], White y Whiteley [24]). Deja k. Un gráfico G es estrecho si y sólo si tiene una descomposición (k, `)-maps-and-trees. A continuación consideramos las descomposicións inducidas por las construcciones canónicas de juego de guijarros cuando k +1. Teorema 4 (Teorema Principal): Árboles y árboles adecuados coinciden con el ble-game graphs). Deje k≤ 2k−1. Un gráfico G es un gráfico de juego de guijarro apretado si y sólo si es un `Tk con bordes kn− ` adecuado. Prueba. Como se ha señalado anteriormente, una descomposición adecuada de `Tk debe ser escasa. Lo que tenemos que mostrar es que una construcción canónica de un juego de guijarros de un gráfico apretado produce una adecuada `Tk. Por Teorema 2 y Lemma 16, ya tenemos la condición en los árboles-piezas y el decom- posición en `árboles de borde-desconectado. Por último, una aplicación de (I4), muestra que cada vértice debe en exactamente k de los árboles, según sea necesario. Corollario 6 (Crapo [2], Haas [7]). Dejar k ≤ 2k−1. Un gráfico G es estrecho si y sólo si es un propiamente dicho `Tk. 8. Algoritmos de juego de pebble para encontrar descomposicións Una ejecución naïve de las construcciones en la sección anterior conduce a un algoritmo re- tiempo para recoger cada guijarro en una construcción canónica: en el peor de los casos aplicaciones de la construcción en Lemma 15 requiriendo tiempo cada uno, dando un total de ejecución tiempo de فارسى(n3) para el problema de descomposición. En esta sección, describimos algoritmos para el problema de descomposición que se ejecutan en el tiempo O(n2). Comenzamos con la estructura general del algoritmo. Algoritmo 17 (El juego canónico de guijarros con colores). Entrada: Un gráfico G. Salida: Un gráfico de juego de guijarros H. Método: – Conjunto V (H) = V (G) y colocar un guijarro de cada color en los vértices de H. – Para cada borde vw E(G) tratar de recoger al menos 1 guijarros en v y w utilizando guijarros deslizante movimientos según lo descrito por Lemma 15. Descomposiciones del gráfico de certificación de la Sparsity 15 – Si al menos 1 guijarros se puede recoger, añadir vw a H utilizando un movimiento de borde añadido como en Lemma 14, por lo demás descarte vw. – Finalmente, devolver H, y las ubicaciones de los guijarros. Correcto. Teorema 1 y el resultado de [24] que los gráficos escasos son los independientes conjuntos de un matroide muestran que H es un subgrafo de tamaño máximo escaso de G. Desde la construcción encontrado es canónico, el teorema principal muestra que el color de los bordes en H da un mapa- y-árboles o descomposición adecuada `Tk. Complejidad. Comenzamos observando que el tiempo de ejecución del Algoritmo 17 es el tiempo necesario para proceso O(n) bordes añadidos a H y O(m) bordes no añadidos a H. Primero consideramos el costo de un borde de G que se añade a H. Cada uno de los movimientos de juego de guijarros se puede implementar en tiempo constante. Lo que queda es a describir una manera eficiente de encontrar y mover los guijarros. Utilizamos el siguiente algoritmo como un Subrutina de Algoritmo 17 para hacer esto. Algoritmo 18 (Encontrar un camino canónico a una rocalla.). Entrada: Vertices v y w, y una configuración de juego de guijarros en un gráfico dirigido H. Salida: Si se encontró un guijarro, ‘sí’ y ‘no’ de otra manera. Se actualiza la configuración de H. Método: – Comience por hacer una búsqueda de profundidad desde v en H. Si no se encuentra ningún guijarro en w, detener y devolver «no.» – De lo contrario se encontró un guijarro. Ahora tenemos una ruta v = v1,e1,. ..,ep−1,vp = u, donde el vi son vértices y ei es el borde vivi+1. Que c[ei] sea el color del guijarro en ei. Usaremos la matriz c[] para hacer un seguimiento de los colores de los guijarros en los vértices y los bordes después de moverlos y el array s[] para dibujar un camino canónico de v a u encontrando un sucesor para cada uno borde. – Establecer s[u] = «end′ y establecer c[u] al color de una piedra arbitraria en u. Caminamos en el camino en orden inverso: vp,ep−1,ep−2,. ..,e1,v1. Para cada i, verifique si c[vi] está configurado; si es así, vaya a la siguiente i. De lo contrario, compruebe si c[vi+1] = c[ei]. – Si lo es, establece s[vi] = ei y establece c[vi] = c[ei], y pasa al siguiente borde. – De lo contrario c[vi+1] 6= c[ei], tratar de encontrar un camino monocromático en color c[vi+1] de vi a vi+1. Si un vértice x se encuentra para el cual c[x] se establece, tenemos una ruta vi = x1, f1,x2,. .., fq−1,xq = x que es monocromático en el color de los bordes; establecer c[xi] = c[fi] y s[xi] = fi para i = 1,2,...,q−1. Si c[x] = c[ fq−1], pare. De lo contrario, comprobar recursivamente que no hay un monocro- c[x] ruta mática de xq−1 a x usando este mismo procedimiento. – Finalmente, deslizar guijarros a lo largo del camino desde los puntos finales originales v a u especificado por el array sucesor s[v], s[s[v],... La corrección de Algoritmo 18 viene del hecho de que está implementando el atajo construcción. La eficiencia viene del hecho de que en lugar de potencialmente mover el guijarro hacia atrás y adelante, Algoritmo 18 pre-computa un camino canónico que cruza cada borde de H a lo sumo tres times: una vez en la primera búsqueda de profundidad inicial, y dos veces al convertir la ruta inicial a una Canónico. De ello se deduce que cada borde aceptado toma O(n) tiempo, para un total de O(n2) tiempo los bordes de procesamiento gastados en H. Aunque no hemos discutido esta explicitación, para que el algoritmo sea eficiente necesitamos mantener los componentes como en [12]. Después de cada borde aceptado, los componentes de H se pueden actualizar en el tiempo O(n). Por último, los resultados de [12, 13] muestran que los bordes rechazados toman un O(1) amortizado tiempo cada uno. 16 Ileana Streinu, Louis Theran Resumiendo, hemos demostrado que el juego canónico de guijarros con colores resuelve la decom- problema de posición en el tiempo O(n2). 9. Un caso especial importante: Rigidez en la dimensión 2 y slider-pinning En esta breve sección presentamos una nueva solicitud para el caso especial de importancia práctica, k = 2, ` = 3. Como se explica en la introducción, el teorema de Laman [11] caracteriza mínimamente gráficos rígidos como los gráficos ajustados (2,3). En el trabajo reciente sobre el slider pinning, desarrollado después de la El documento actual fue presentado, introdujimos el modelo de slider-pinning de rigidez [15, 20]. Com- binatoriamente, modelamos los marcos bar-slider como gráficos simples junto con algunos bucles colocados en sus vértices de tal manera que no haya más de 2 bucles por vértice, uno de cada uno color. Caracterizamos los gráficos de deslizadores de barras mínimamente rígidos [20] como gráficos que son: 1. (2,3)-parse para subgrafías que no contengan bucles. 2. (2,0)-ajustado cuando se incluyen los bucles. Llamamos a estos gráficos (2,0,3)-clasificados-ajustados, y son un caso especial de la clasificación-parse gráficos estudiados en nuestro artículo [14]. La conexión con los juegos de guijarros en este artículo es la siguiente. Corollary 19 (juegos de pebble y slider-pinning). En cualquier gráfico de juego (2,3)-pebble, si Reemplazar los guijarros por los bucles, obtenemos un gráfico ajustado (2.0,3)-calificado. Prueba. Seguidos de invariantes (I3) de Lemma 7. En [15], estudiamos un caso especial de slider pinning donde cada slider es vertical o horizontal. Modelamos los deslizadores como bucles precoloreados, con el color que indica la dirección x o y. Para este caso de deslizador paralelo eje, los gráficos mínimamente rígidos se caracterizan por: 1. (2,3)-parse para subgrafías que no contengan bucles. 2. Admitir un 2-coloración de los bordes para que cada color sea un bosque (es decir, no tiene ciclos), y cada uno árbol monocromático abarca exactamente un bucle de su color. Esto también tiene una interpretación en términos de juegos de guijarros de colores. Corollary 20 (El juego de guijarros con colores y slider-pinning). En cualquier canónico (2,3)- Guijarro-juego-con-colores gráfico, si reemplazamos los guijarros por bucles del mismo color, obtenemos el gráfico de un marco de eje-paralelo de barra-slider mínimamente fijado. Prueba. Sigue desde el Teorema 4, y Lemma 12. 10. Conclusiones y problemas pendientes Presentamos una nueva caracterización de (k, `)-sparse gráficos, el juego de guijarros con colores, y lo utilizó para dar un algoritmo eficiente para encontrar descomposicións de gráficos escasos en el borde- árboles desarticulados. Nuestro algoritmo encuentra tales descomposiciones certificadoras de esparcimiento en el rango superior y se ejecuta en el tiempo O(n2), que es tan rápido como los algoritmos para reconocer gráficos escasos en el rango superior a partir de [12]. También usamos el juego de guijarros con colores para describir una nueva descomposición de la sparsity-certificating- ciones que se aplican a toda la gama matroidal de gráficos dispersos. Descomposiciones del gráfico de certificación de la sparsity 17 Definimos y estudiamos una clase de construcciones canónicas de juego de guijarros que corresponden a o bien una descomposición de mapas y árboles o bien una descomposición adecuada de `Tk. Esto da una nueva prueba de la Tutte-Nash- Teorema de arboricidad Williams y una prueba unificada de la descomposición previamente estudiada cer- tificates de la esparzidad. Las construcciones canónicas de juego de guijarros también muestran la relación entre la condición de guijarro â 1, que se aplica a la gama superior de â, para aumentar la unión de los matroides rutas, que no se aplican en el rango superior. Consecuencias algorítmicas y problemas abiertos. En [6], Gabow y Westermann dan un O(n3/2) algoritmo para reconocer gráficos escasos en el rango inferior y extraer subtítulos escasos de Densos. Su técnica se basa en la búsqueda eficiente de caminos de aumento de unión de matroides, que extienden una descomposición de mapas y árboles. El algoritmo O(n3/2) utiliza dos subrutinas para encontrar rutas de aumento: exploración cíclica, que encuentra rutas de aumento uno a la vez, y lote escaneado, que encuentra grupos de caminos de aumento disjuntos. Observamos que Algoritmo 17 se puede utilizar para reemplazar el escaneo cíclico en Gabow y Wester- algoritmo de mann sin cambiar el tiempo de ejecución. Las estructuras de datos utilizadas en la aplicación de guijarros, detallado en [12, 13] son más simples y más fáciles de implementar que los utilizado para apoyar el escaneo cíclico. Los dos principales problemas algorítmicos abiertos relacionados con el juego de guijarros son entonces: Problema 1. Desarrollar un algoritmo de juego de guijarros con las propiedades de escaneado por lotes y obtener un algoritmo O(n3/2) implementable para el rango inferior. Problema 2. Extender la exploración por lotes a la condición de guijarro â € 1 y derivar un guijarro O(n3/2) algoritmo de juego para el rango superior. En particular, sería de importancia práctica encontrar un algoritmo O(n3/2) implementable para las descomposiciones en los árboles que se extienden por los bordes. Bibliografía 1. 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The evolution of the Earth-Moon system based on the dark matter field fluid model

La evolución del sistema Tierra-Luna basado en el modelo de fluido oscuro La evolución del sistema Tierra-Luna basado en el modelo de fluido de campo de materia oscura Hongjun Pan Departamento de Química Universidad del Norte de Texas, Denton, Texas 76203, U.S. A. Resumen La evolución del sistema Tierra-Luna es descrita por el fluido del campo de materia oscura modelo con un enfoque no newtoniano propuesto en la Reunión de la División de Partículas y Field 2004, American Physical Society. El comportamiento actual de la Luna-Tierra sistema está de acuerdo con este modelo muy bien y el patrón general de la evolución de la El sistema Luna-Tierra descrito por este modelo concuerda con la evidencia geológica y fósil. La distancia más cercana de la Luna a la Tierra era de unos 259000 km en 4.500 millones de años atrás, que está mucho más allá del límite del Roche. El resultado sugiere que la fricción de marea puede no ser la causa principal de la evolución del sistema Tierra-Luna. La oscuridad media La constante de fluido de campo de materia derivada de los datos del sistema Tierra-Luna es 4,39 × 10-22 s-1m-1. Este modelo predice que la rotación de Marte también se está desacelerando con la aceleración angular tasa alrededor de -4.38 × 10-22 rad s-2. Palabras clave. materia oscura, fluido, evolución, Tierra, Luna, Marte 1. Introducción La teoría aceptada popularmente para la formación del sistema Tierra-Luna es que la Luna se formó a partir de escombros de un fuerte impacto por un gigante planetesimal con el La Tierra al final del período de formación del planeta (Hartmann y Davis 1975). Desde el formación del sistema Tierra-Luna, que ha estado evolucionando en toda escala de tiempo. Está bien. sabe que la Luna se está alejando de nosotros y de la rotación de la Tierra y de la Luna La rotación se está desacelerando. La teoría popular es que la fricción de mareas causa todos esos cambios. basado en la conservación del impulso angular del sistema Tierra-Luna. Los la situación se complica al describir la evolución pasada de la Luna-Tierra sistema. Debido a que la Luna se está alejando de nosotros y la rotación de la Tierra se está desacelerando, esto significa que la Luna estaba más cerca y la rotación de la Tierra era más rápida en el pasado. Creacionistas argumentan que sobre la base de la teoría de la fricción de mareas, la fricción de mareas debe ser más fuerte y la la tasa de recesión de la Luna debe ser mayor en el pasado, la distancia de la Luna caería rápidamente dentro del límite de Roche (para la tierra, 15500 km) en el que la Luna sería desgarrado por la gravedad en 1 a 2 mil millones de años atrás. Sin embargo, las pruebas geológicas indica que la recesión de la Luna en el pasado fue más lenta que la tasa actual, es decir, la recesión se ha acelerado con el tiempo. Por lo tanto, debe concluirse que las mareas la fricción fue mucho menos en el pasado remoto de lo que deduciríamos sobre la base de Observaciones actuales (Stacey 1977). Esto se llamó “escala de tiempo geológica dificultad” o “crisis lunar” y es uno de los principales argumentos de los creacionistas contra el teoría de la fricción de mareas (Brush 1983). Pero tenemos que considerar el caso cuidadosamente en varios aspectos. Una posible escenario es que la Tierra ha estado experimentando una evolución dinámica en toda escala de tiempo desde su creación, las condiciones geológicas y físicas (como las posiciones del continente y a la deriva, la corteza, fluctuación de la temperatura superficial como el efecto glacial/snowball, etc.) pasado remoto podría ser sustancialmente diferente de la actual, en la que la fricción de mareas podría ser mucho menos; por lo tanto, la tasa de descenso de la Luna podría ser más lenta. Varios En el pasado se propusieron modelos de fricción de mareas para describir la evolución de la Tierra- Sistema lunar para evitar tal dificultad o crisis y poner a la Luna en un lugar bastante cómodo distancia de la Tierra hace 4.500 millones de años (Hansen 1982, Kagan y Maslova 1994, Ray et al. 1999, Finch 1981, Slichter 1963). Las teorías de la fricción de marea explican que el presente la tasa de disipación de las mareas es anomalosamente alta porque la fuerza de las mareas está cerca de una resonancia en la función de respuesta del océano (Brush 1983). Kagan dio una revisión detallada sobre los modelos de fricción de mareas (Kagan 1997). Estos modelos se basan en muchos supuestos sobre condiciones geológicas (posición continental y deriva) y físicas en el pasado, y muchos parámetros (como el ángulo de retardo de fase, la aproximación multimodo con el tiempo frecuencias dependientes de los modos de resonancia, etc.) tienen que ser introducidos y cuidadosamente ajustados para hacer sus predicciones cerca de la evidencia geológica. Sin embargo, los los supuestos y parámetros siguen siendo cuestionados, en cierta medida, como brebaje. El segundo escenario posible es que otro mecanismo podría dominar el la evolución del sistema Tierra-Luna y el papel de la fricción de mareas no es significativo. In la Reunión de la División de Partículas y Campo 2004, American Physical Society, Universidad de California en Riverside, el autor propuso un modelo de fluido de campo de materia oscura (Pan 2005) con un enfoque no newtoniano, los datos actuales de la Luna y la Tierra están de acuerdo con este modelo muy bien. Este documento demostrará que la evolución pasada de la Luna-Tierra sistema puede ser descrito por el modelo de fluido de campo de materia oscura sin ninguna suposición sobre las condiciones geológicas y físicas del pasado. Aunque el tema de la evolución de el sistema Tierra-Luna ha sido ampliamente estudiado analítica o numéricamente, a la conocimiento del autor, no hay teorías similares o equivalentes a este modelo. 2. Materia invisible En la cosmología moderna, se propuso que la materia visible en el universo es aproximadamente el 2 ~ 10 % de la materia total y alrededor del 90 ~ 98% de la materia total es actualmente invisible que se llama materia oscura y energía oscura, tal materia invisible tiene un anti- propiedad de gravedad para hacer que el universo se expanda más y más rápido. Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis, entonces, la evolución del universo debe ser dominada por el mecanismo físico de tal materia invisible, tal mecanismo físico podría estar mucho más allá de la corriente La física newtoniana y la física Einsteiniana, y la física Newtoniana y la Einsteiniana la física podría reflejar sólo un rincón del iceberg de la física mayor. Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis, entonces, debería ser más razonable pensar que tal materia invisible dominante se propaga en en todas partes del universo (la densidad de la materia invisible puede variar de un lugar a otro lugar); en otras palabras, todos los objetos de materia visible deben estar rodeados por tales invisibles materia y el movimiento de la materia visible objetos deben ser afectados por el invisible materia si hay interacciones entre la materia visible y la materia invisible. Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis, entonces, el tamaño de las partículas de la materia invisible debe ser muy pequeño y por debajo de la límite de detección de la tecnología actual; de lo contrario, se detectaría hace mucho tiempo con tal cantidad dominante. Con esta materia invisible en mente, nos movemos a la siguiente sección para desarrollar la Modelo de fluido de campo de materia oscura con enfoque no newtoniano. Para la simplicidad, todos invisibles materia (materia oscura, energía oscura y otros términos posibles) se llama materia oscura aquí. 3. El modelo de fluido de campo de materia oscura En este modelo propuesto, se supone que: 1. Un cuerpo celeste gira y se mueve en el espacio, que, para la simplicidad, es uniforme lleno de la materia oscura que está en estado de quiescencia relativa al movimiento del cuerpo celeste. La materia oscura posee una propiedad de campo y una propiedad fluida; puede interactúe con el cuerpo celeste con sus propiedades de fluido y campo; por lo tanto, puede tener intercambio de energía con el cuerpo celeste, y afectan el movimiento del cuerpo celeste. 2. La propiedad del fluido sigue el principio general de la mecánica del fluido. La materia oscura partículas de líquido de campo pueden ser tan pequeñas que fácilmente pueden impregnarse en ordinario materia “barionica”; es decir, los objetos de materia ordinaria podrían estar saturados con tal materia oscura fluido de campo. Por lo tanto, todo el cuerpo celestial interactúa con el fluido del campo de materia oscura, en el forma de una esponja que se mueve a través del agua. La naturaleza de la propiedad de campo de la materia oscura se desconoce el líquido del campo. Se asume aquí que la interacción del campo asociado con el fluido del campo de materia oscura con el cuerpo celestial es proporcional a la masa del cuerpo celeste. El fluido del campo de materia oscura se supone que tiene una fuerza repulsiva contra el fuerza gravitatoria hacia la materia bariónica. La naturaleza y el mecanismo de tal repulsivo La fuerza es desconocida. Con las suposiciones anteriores, uno puede estudiar cómo el fluido del campo de materia oscura puede influir en el movimiento de un cuerpo celeste y comparar los resultados con las observaciones. Los la forma común de los cuerpos celestes es esférica. Según la ley de Stokes, un rígido no- esfera permeable que se mueve a través de un líquido quiescente con un Reynolds suficientemente bajo número experimenta una fuerza de resistencia F rvF 6−= (1) donde v es la velocidad de movimiento, r es el radio de la esfera, y μ es la viscosidad del fluido constante. La dirección de la fuerza de resistencia F en Eq. 1 es opuesto a la dirección de la velocidad v. Para una esfera rígida que se mueve a través del fluido del campo de materia oscura, debido al doble propiedades del fluido del campo de materia oscura y su permeación en la esfera, la fuerza F puede no ser proporcional al radio de la esfera. Además, F puede ser proporcional a la masa de la esfera debido a la interacción de campo. Por lo tanto, con los efectos combinados de fluido y campo, la fuerza ejercida en la esfera por el fluido del campo de materia oscura es se supone que es de la forma escalonada (2) mvrF n= 16 donde n es un parámetro derivado de la saturación por el fluido de campo de materia oscura, el r1-n puede ser visto como el radio efectivo con la misma unidad que r, m es la masa de la esfera, y η es la constante del fluido del campo de materia oscura, que es equivalente a μ. La dirección de la Fuerza de resistencia F en Eq. 2 es opuesto a la dirección de la velocidad v. La fuerza descrita por Eq. 2 es dependiente de la velocidad y causa una aceleración negativa. De acuerdo con Segunda ley del movimiento de Newton, la ecuación del movimiento para la esfera es mvr m n= 16 (3) Entonces (4) )6exp( 10 vtrv No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. donde v0 es la velocidad inicial (t = 0) de la esfera. Si la esfera gira alrededor de un centro gravitacional masivo, hay tres fuerzas en la línea entre la esfera y el centro gravitacional: (1) la fuerza gravitatoria, (2) la fuerza de aceleración centrípeta; y (3) la fuerza repulsiva del fluido del campo de materia oscura. La fuerza de arrastre en Eq. 3 reduce la velocidad orbital y hace que la esfera se mueva hacia el centro gravitacional. Sin embargo, si la suma de la fuerza de aceleración centrípeta y la fuerza repulsiva es más fuerte que la fuerza gravitacional, entonces, la esfera se moverá hacia afuera y se retirará de el centro gravitacional. Este es el caso del interés aquí. Si la velocidad cambia en Eq. 3 es suficientemente lento y la fuerza repulsiva es pequeña en comparación con la fuerza gravitacional y fuerza de aceleración centrípeta, entonces la tasa de retroceso será en consecuencia relativamente Lentamente. Por lo tanto, la fuerza gravitacional y la fuerza de aceleración centrípeta puede ser aproximadamente tratados en equilibrio en cualquier momento. La ecuación pseudo equilibrio es GMm 2 2 = (5) donde G es la constante gravitacional, M es la masa del centro gravitacional, y R es el radio de la órbita. Insertar v de Eq. 4 en Eq. 5 rendimientos )12exp( 1 R n−= (6) (7) )12exp( 10 trRR n−= donde R = (8) R0 es la distancia inicial al centro gravitacional. Tenga en cuenta que R aumenta exponencialmente con el tiempo. El aumento de la energía orbital con el retroceso proviene del repulsivo fuerza del fluido de campo de materia oscura. La tasa de recesión de la esfera es dR n−= 112 (9) La aceleración de la recesión es ( Rr Rd n 21 12 − = ). (10) La aceleración recesiva es positiva y proporcional a su distancia a la centro gravitacional, así que la recesión es cada vez más rápida. Según la mecánica de los fluidos, para una esfera rígida no permeable giratoria alrededor de su eje central en el fluido quiescente, el par T ejercido por el fluido en la esfera 38 rT − = (11) donde • es la velocidad angular de la esfera. La dirección del par en Eq. 11 es opuesta a la dirección de la rotación. En el caso de una esfera que gira en el quiescente Líquido de campo de materia oscura con velocidad angular, similar a Eq. 2, la T propuesta ejerció en la esfera es ( ) mrT n 318 = (12) La dirección del par en Eq. 12 es opuesto a la dirección de la rotación. Los el par causa la aceleración angular negativa = (13) donde estoy el momento de inercia de la esfera en el fluido del campo de materia oscura ( )21 2 nrmI = (14) Por lo tanto, la ecuación de rotación para la esfera en el fluido del campo de materia oscura es * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d = 120 (15) Resolver esta ecuación produce (16) )20exp( 10 tr No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. donde ­0 es la velocidad angular inicial. Uno puede ver que la velocidad angular de la esfera disminuye exponencialmente con el tiempo y la desaceleración angular es proporcional a su velocidad angular. Para la misma esfera celestial, combinando Eq. 9 y Eq. 15 rendimientos (17) El significado de Eq. 17 es que sólo contiene datos observados sin suposiciones y parámetros indeterminados; por lo tanto, es una prueba crítica para este modelo. Para dos esferas celestes diferentes en el mismo sistema, combinando Eq. 9 y Eq. 15 rendimientos 67,1 1 −=−= (18) Esta es otra prueba crítica para este modelo. 4. El comportamiento actual del sistema Tierra-Luna concuerda con el modelo El sistema Luna-Tierra es el sistema gravitacional más simple. El sistema solar es complejo, la Tierra y la Luna experimentan no sólo la interacción del Sol, sino también interacciones de otros planetas. Consideremos el sistema gravitacional Tierra-Luna local como un sistema gravitacional local aislado, es decir, la influencia del Sol y otros planetas sobre la rotación y el movimiento orbital de la Luna y sobre la rotación de la Tierra asumido insignificante en comparación con las fuerzas ejercidas por la luna y la tierra en el otro. Además, la excentricidad de la órbita de la Luna es lo suficientemente pequeña como para ser ignorada. Los datos sobre la Luna y la Tierra a partir de referencias (Dickey et.al., 1994, y Lang, 1992) listado a continuación para la conveniencia de los lectores para verificar el cálculo porque los datos pueden varían ligeramente con diferentes fuentes de datos. Luna: Radio medio: r = 1738,0 km Masa: m = 7,3483 × 1025 gramos Período de rotación = 27,321661 días Velocidad angular de la Luna = 2,6617 × 10-6 rad s-1 Distancia media a la Tierra Rm= 384400 km Velocidad orbital media v = 1.023 km s-1 Excentricidad de la órbita e = 0,0549 Velocidad de aceleración de rotación angular = -25,88 ± 0,5 arcoseg siglo-2 = (-1,255 ± 0,024) × siglo rad 10-4-2 = (-1.260 ± 0.024) × 10-23 rad s-2 Tasa de retroceso de la Tierra = 3,82 ± 0,07 cm año-1 = (1,21 ± 0,02) × 10-9 m s-1 Tierra: Radio medio: r = 6371,0 km Masa: m = 5,9742 × 1027 gramos Período de rotación = 23 h 56m 04.098904s = 86164.098904s Velocidad angular de rotación = 7,292115 × 10-5 rad s-1 Distancia media al Sol Rm= 149.597.870,61 km Velocidad orbital media v = 29,78 km s-1 Aceleración angular de la Tierra = (-5,5 ± 0,5) × 10-22 rad s-2 Velocidad angular de rotación de la Luna y aumento de la distancia media a la Tierra (tasa de descenso) se obtuvieron de la gama de láser lunar del Programa Apollo (Dickey et.al., 1994). Insertando los datos de la rotación y recesión de la Luna en Eq. 17, el resultado es 039.054,1 10662,2121,1 1092509.31026.1 (19) La distancia R en Eq. 19 es desde el centro de la Luna hasta el centro de la Tierra y el número 384400 km se supone que es la distancia de la superficie de la Luna a la superficie de la Tierra. Eq. 19 está en buen acuerdo con el valor teórico de -1.67. El resultado está de acuerdo con el modelo utilizado aquí. La diferencia (alrededor del 7,8%) entre los valores de -1,54 y - 1.67 pueden provenir de varias fuentes: 1. El orbital de la Luna no es un círculo perfecto 2. La Luna no es una esfera rígida perfecta. 3. El efecto del Sol y otros planetas. 4. Errores en los datos. 5. Posibles otras razones desconocidas. Los dos parámetros n y η en Eq. 9 y Eq. 15 se puede determinar con dos datos Sets. El tercer conjunto de datos se puede utilizar para seguir probando el modelo. Si este modelo es correcto describe la situación actual, debe dar resultados coherentes para diferentes movimientos. Los los valores de n y η calculados a partir de tres conjuntos de datos diferentes se enumeran a continuación (Nota: la distancia media de la Luna a la Tierra y los radios medios de la Luna y la Tierra son utilizado en el cálculo). El valor de n: n = 0,64 De la rotación de la Luna: η = 4,27 × 10-22 s-1 m-1 De la rotación de la Tierra: η = 4,26 × 10-22 s-1 m-1 De la recesión de la Luna: η = 4,64 × 10-22 s-1 m-1 Se puede ver que los tres valores de η son consistentes dentro del rango de error en los datos. El valor medio de η: η = (4,39 ± 0,22) × 10-22 s-1 m-1 Al insertar los datos de la rotación de la Tierra, la recesión de la Luna y el valor de n en Eq. 18, el resultado es 14.053.1 6371000 1738000 1021.11029.7 1092509,3105.5 )64.01( (20) Esto también está de acuerdo con el modelo utilizado aquí. La fuerza de arrastre ejercida sobre el movimiento orbital de la Luna por el campo de materia oscura fluido es -1.11 × 108 N, esto es insignificantemente pequeño en comparación con la fuerza gravitacional entre la Luna y la Tierra ~ 1,90 × 1020 N; y el torque ejercido por el campo de materia oscura fluido en las rotaciones de la Tierra y la Luna es T = -5,49 × 1016 Nm y -1,15 × 1012 Nm, respectivamente. 5. La evolución del sistema Tierra-Luna Sonett et al. encontró que la longitud del día terrestre hace 900 millones de años fue alrededor de 19,2 horas sobre la base de los sedimentos de marea laminadas en la Tierra (Sonett y otros, 1996). De acuerdo con el modelo presentado aquí, en ese tiempo, la duración del día fue alrededor de 19,2 horas, esto concuerda muy bien con Sonett et al.El resultado. Otro aspecto crítico de modelar la evolución del sistema Tierra-Luna es: dar una estimación razonable de la distancia más cercana de la Luna a la Tierra cuando la El sistema se estableció hace 4.500 millones de años. Basado en el fluido del campo de materia oscura modelo, y el resultado anterior, la distancia más cercana de la Luna a la Tierra fue 259000 km (centro a centro) o 250900 km (superficie a superficie) en 4.500 millones de años atrás, Esto está mucho más allá del límite del Roche. En el moderno libro de texto de astronomía de Chaisson y McMillan (Chaisson y McMillan, 1993, p.173), la distancia estimada en 4.500 millones hace 250000 km, este es probablemente el número más razonable que Los astrónomos creen y concuerdan excelentemente con el resultado de este modelo. El más cercano distancia de la Luna a la Tierra por los modelos de Hansen era de unos 38 radios de la Tierra o 242000 km (Hansen, 1982). De acuerdo con este modelo, la longitud del día de la Tierra fue de aproximadamente 8 horas a 4.5 Hace miles de millones de años. Fig. 1 muestra la evolución de la distancia de la Luna a la Tierra y el longitud del día de la Tierra con la edad del sistema Tierra-Luna descrito por este modelo junto con datos de Kvale et al. (1999), Sonett y otros (1996) y Scrutton (1978). Uno puede ver que esos datos encajan muy bien en este modelo en su rango de tiempo. Fig. 2 muestra los datos geológicos de los días solares año-1 de Wells (1963) y de Sonett et al. (1996) y la descripción (línea sólida) de este modelo de fluido de campo de materia oscura desde hace 900 millones de años. Se puede ver que el modelo está de acuerdo con el datos fósiles maravillosamente. La diferencia importante de este modelo con los modelos tempranos en la descripción de la la evolución del sistema Tierra-Luna es que este modelo se basa sólo en los datos actuales de la Sistema Luna-Tierra y no hay suposiciones sobre las condiciones de la Tierra anterior rotación y deriva continental. Basado en este modelo, el sistema Tierra-Luna ha sido evolución a la situación actual desde que se estableció y la tasa de recesión de la Luna ha ido aumentando gradualmente, sin embargo, esta descripción no lo toma en cuenta que podría haber acontecimientos especiales sucedidos en el pasado para causar el repentino cambios significativos en los movimientos de la Tierra y la Luna, tales como fuertes impactos por asteroides y cometas gigantes, etc., porque esos impactos son muy comunes en el universo. El patrón general de la evolución del sistema Luna-Tierra descrito por este modelo está de acuerdo con las pruebas geológicas. Basado en Eq. 9, la tasa de recesión exponencialmente aumenta con el tiempo. Se puede imaginar entonces que la tasa de recesión se convertirá rápidamente Muy grande. De hecho, el aumento es extremadamente lento. La tasa de recesión de la Luna será 3,04 × 10-9 m s-1 después de 10 mil millones de años y 7,64 × 10-9 m s-1 después de 20 mil millones de años. Sin embargo, si la recesión de la Luna continuará o en algún momento más tarde otro No se sabe si el mecanismo asumirá el control. Se debe entender que la fricción de mareas afecta a la evolución de la propia Tierra, como la estructura de la corteza superficial, continental la deriva y la evolución del biosistema, etc; también puede jugar un papel en la desaceleración de la Tierra la rotación, sin embargo, ese papel no es un mecanismo dominante. Desafortunadamente, no hay datos disponibles sobre los cambios en la órbita de la Tierra. movimiento y todos los demás miembros del sistema solar. De acuerdo con este modelo y los resultados anteriores, la tasa de recesión de la Tierra debe ser de 6,86 × 10-7 m s-1 = 21,6 m año-1 = 2,16 km siglo-1, la longitud de un año aumenta alrededor de 6,8 ms y el cambio de la temperatura es -1.8 × 10-8 K año-1 con constante nivel de radiación del Sol y el entorno estable en la Tierra. La duración de un año, hace mil millones de años, sería el 80% de la duración actual. del año. Sin embargo, muchas pruebas (bandas de crecimiento de corales y mariscos, así como de otras pruebas) sugieren que no ha habido ningún cambio aparente en la duración de la año sobre los mil millones de años y el movimiento orbital de la Tierra es más estable que su rotación. Esto sugiere que el líquido del campo de materia oscura está circulando alrededor del Sol con el mismo dirección y velocidad similar de la Tierra (al menos en el rango orbital de la Tierra). Por lo tanto, el El movimiento orbital de la Tierra experimenta muy poca o ninguna fuerza de arrastre de la materia oscura fluido de campo. Sin embargo, se trata de una conjetura, hay que llevar a cabo una amplia investigación para verificar Si este es el caso. 6. Descripción escéptica de la evolución del Marte La Luna no tiene líquido líquido en su superficie, incluso no hay aire, por lo tanto, no hay una fuerza de fricción mareomotriz similar al océano para ralentizar su rotación; sin embargo, la rotación de la La Luna todavía se está desacelerando a un ritmo significativo de (-1.260 ± 0.024) × 10-23 rad s-2, lo que está de acuerdo con el modelo muy bien. En base a esto, uno puede pensar razonablemente que los la rotación también debería ser más lenta. El Marte es nuestro vecino más cercano que ha atraído la gran atención de los humanos Desde la antigüedad. La exploración de Marte se ha estado calentando en las últimas décadas. NASA, Agencia Espacial Rusa y Europa enviaron muchas naves espaciales a Marte para recolectar datos y estudiar este misterioso planeta. Hasta ahora todavía no hay suficientes datos sobre el historia de este planeta para describir su evolución. Igual que la Tierra, el Marte gira alrededor su eje central y gira alrededor del Sol, sin embargo, el Marte no tiene una masa (Marte tiene dos pequeños satélites: Fobos y Deimos) y no hay líquido líquido en su superficie, por lo tanto, no hay aparente fuerza de fricción mareo-como el océano a ralentizar su rotación por teorías de fricción de mareas. Sobre la base del resultado anterior y actual Los datos de Marte, este modelo predice que la aceleración angular del Marte debería ser alrededor de -4.38 × 10-22 rad s-2. La figura 3 describe la posible evolución de la duración del día y la días solares / año de Marte, la línea vertical marca la edad actual del Marte con asumir que el Marte se formó en un período de tiempo similar de la formación de la Tierra. Tal descripción no fue dada antes de acuerdo con el conocimiento del autor y es completamente escéptico debido a la falta de datos confiables. Sin embargo, con una mayor expansión de la investigación y exploración en Marte, nos sentiremos seguros de que los datos confiables sobre la aceleración angular de rotación del Marte estará disponible en el futuro próximo que proporcionará una prueba vital para la predicción de este modelo. También hay otros factores que puede afectar a la tasa de rotación de Marte, como la redistribución de masa debido a la temporada cambio, vientos, posibles erupciones volcánicas y terremotos de Marte. Por lo tanto, los datos deben ser cuidadosamente analizados. 7. Discusión sobre el modelo De los resultados anteriores, se puede ver que los datos actuales Tierra-Luna y el datos geológicos y fósiles están de acuerdo con el modelo muy bien y la evolución pasada de la Sistema Tierra-Luna puede ser descrito por el modelo sin introducir ningún adicional parámetros; este modelo revela la interesante relación entre la rotación y Retirada (Eq. 17 y Eq. 18) del mismo cuerpo celestial o diferentes cuerpos celestes en el mismo sistema gravitacional, tal relación no se conoce antes. Tal éxito puede no debe explicarse por “coincidencia” o “suerte” debido a la gran cantidad de datos Los datos de la Tierra y la Luna y los datos geológicos y fósiles) si uno piensa que esto es sólo un “ad hoc” o un modelo equivocado, aunque la posibilidad de que “coincidencia” o “suerte” podría ser mayor que ganar un premio mayor de la lotería; el futuro de Marte los datos aclararán esto; de lo contrario, se puede desarrollar una nueva teoría a partir de un enfoque diferente dar la misma o mejor descripción como lo hace este modelo. Es cierto que este modelo es no perfecto y puede tener defectos, se puede llevar a cabo un mayor desarrollo. James Clark Maxwell dijo en el 1873 “El vasto interplanetario e interestelar regiones ya no serán considerados como lugares de desecho en el universo, que el Creador tiene no se considera apto para llenar con los símbolos de la orden múltiple de Su reino. Encontraremos estar ya llenos de este maravilloso medio; tan lleno, que ningún poder humano puede quitarlo de la porción más pequeña del espacio, o producir el más mínimo defecto en su infinito continuidad. Se extiende ininterrumpidamente de estrella a estrella...”. El medio que habló Maxwell alrededor es el éter que fue propuesto como portador de la propagación de la onda de luz. Los El experimento Michelson-Morley sólo demostró que la propagación de la onda de luz no depende de tal medio y no rechaza la existencia del medio en el interestelar espacio. De hecho, el concepto de medio interestelar se ha desarrollado dramáticamente recientemente como la materia oscura, la energía oscura, el fluido cósmico, etc. El campo de la materia oscura fluido es sólo una parte de tan maravilloso medio y “precisamente” descrito por Maxwell. 7. Conclusión La evolución del sistema Tierra-Luna puede ser descrita por el campo de materia oscura modelo fluido con enfoque no newtoniano y los datos actuales de la Tierra y la Luna Se adapta muy bien a este modelo. Hace 4.500 millones de años, la distancia más cercana de la Luna La Tierra podría estar a unos 259000 km, que está muy por encima del límite de Roche y de la longitud de El día era alrededor de 8 horas. El patrón general de la evolución del sistema Luna-Tierra descrita por este modelo concuerda con la evidencia geológica y fósil. La fricción de mareas puede no sea la causa principal de la evolución del sistema Tierra-Luna. La rotación de Marte también se está desacelerando con la velocidad de aceleración angular alrededor de -4,38 × 10-22 rad s-2. Bibliografía S. G. Brush, 1983. L. R. Godfrey (editor), Fantasma del siglo XIX: Argumentos creacionistas para una Tierra joven. Los científicos se enfrentan al creacionismo. W. W. Norton & Company, Nueva York, Londres, pp. E. Chaisson y S. McMillan. 1993. Astronomía Hoy, Sala Prentice, Englewood Cliffs, NJ 07632. J. O. Dickey, et al., 1994. Ciencia, 265, 482. D. G. Finch, 1981. Tierra, Luna y Planetas, 26(1), 109. K. S. Hansen, 1982. Rev. Geophys. y Space Phys. 20(3), 457. W. K. Hartmann, D. R. Davis, 1975. Ícaro, 24, 504. B. A. Kagan, N. B. Maslova, 1994. Tierra, Luna y Planetas 66, 173. B. A. Kagan, 1997. Prog. Oceanog. 40, 109. E. P. Kvale, H. W. Johnson, C. O. Sonett, A. W. Archer, y A. Zawistoski, 1999, J. Sedimento. Res. 69(6), 1154. K. Lang, 1992. Datos Astrofísicos: Planetas y Estrellas, Springer-Verlag, Nueva York. H. Pan, 2005. Internat. J. Phys modernos. A, 20(14), 3135. R. D. Ray, B. G. Bills, B. F. Chao, 1999. J. Geophys. Res. 104 (B8), 17653. C. T. Scrutton, 1978. P. Brosche, J. Sundermann, (Editors.), la fricción de mareas y el La rotación de la Tierra. Springer-Verlag, Berlín, pp. 154. L. B. Slichter, 1963. J. Geophys. Res. 68, 14. C. P. Sonett, E. P. Kvale, M. A. Chan, T. M. Demko, 1996. Ciencia, 273, 100. F. D. Stacey, 1977. Física de la Tierra, segunda edición. John Willey & Sons. J. W. Wells, 1963. Naturaleza, 197, 948. Título Figura 1, la evolución de la distancia de la Luna y la longitud del día de la tierra con la era del sistema Tierra-Luna. Las líneas sólidas se calculan según la materia oscura modelo de fluido de campo. Fuentes de datos: las distancias de la Luna son de Kvale y et al. y para el longitud del día: (a y b) son de Scrutton (página 186, fig. 8), c es de Sonett y et al. La línea marca la edad actual del sistema Tierra-Luna. Figura 2, la evolución de los días solares del año con la edad de la Luna-Tierra sistema. La línea sólida se calcula según el modelo de fluido de campo de materia oscura. Los datos son de Wells (3.9 ~ 4.435 millones de años de rango), Sonett (3.600 millones de años) y actual edad (4.500 millones de años). Figura 3, la descripción escéptica de la evolución de la longitud del día de Marte y el días solares/año de Marte con la edad de Marte (suponiendo que la edad de Marte es de aproximadamente 4.5 miles de millones de años). La línea vertical marca la edad actual de Marte. Figura 1, distancia de la Luna y la longitud del día de la Tierra cambio con la era del sistema Tierra-Luna La edad del sistema Tierra-Luna (109 años) 0 1 2 3 4 5 Distancia Duración del día Límite de Roche Resultado de Hansen Figura 2, los días solares / año vs. la edad de la Tierra La edad de la Tierra (109 años) 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

La evolución del sistema Tierra-Luna es descrita por el campo de materia oscura modelo fluido propuesto en la Reunión de la División de Partículas y Campo 2004, Sociedad Física Americana. El comportamiento actual del sistema Tierra-Luna está de acuerdo con este modelo muy bien y el patrón general de la evolución de la Sistema Luna-Tierra descrito por este modelo está de acuerdo con geológico y fósil pruebas. La distancia más cercana de la Luna a la Tierra fue de unos 259000 km a 4,5 hace miles de millones de años, que está mucho más allá del límite de Roche. El resultado sugiere que la fricción de mareas puede no ser la causa principal de la evolución de la Sistema Tierra-Luna. La constante media del fluido del campo de materia oscura derivada de Los datos del sistema Tierra-Luna son 4,39 x 10^(-22) s^(-1)m^(-1). Este modelo predice que la rotación del Marte también se está desacelerando con la velocidad de aceleración angular alrededor de -4,38 x 10^(-22) rad s^(-2).

Introducción La teoría aceptada popularmente para la formación del sistema Tierra-Luna es que la Luna se formó a partir de escombros de un fuerte impacto por un gigante planetesimal con el La Tierra al final del período de formación del planeta (Hartmann y Davis 1975). Desde el formación del sistema Tierra-Luna, que ha estado evolucionando en toda escala de tiempo. Está bien. sabe que la Luna se está alejando de nosotros y de la rotación de la Tierra y de la Luna La rotación se está desacelerando. La teoría popular es que la fricción de mareas causa todos esos cambios. basado en la conservación del impulso angular del sistema Tierra-Luna. Los la situación se complica al describir la evolución pasada de la Luna-Tierra sistema. Debido a que la Luna se está alejando de nosotros y la rotación de la Tierra se está desacelerando, esto significa que la Luna estaba más cerca y la rotación de la Tierra era más rápida en el pasado. Creacionistas argumentan que sobre la base de la teoría de la fricción de mareas, la fricción de mareas debe ser más fuerte y la la tasa de recesión de la Luna debe ser mayor en el pasado, la distancia de la Luna caería rápidamente dentro del límite de Roche (para la tierra, 15500 km) en el que la Luna sería desgarrado por la gravedad en 1 a 2 mil millones de años atrás. Sin embargo, las pruebas geológicas indica que la recesión de la Luna en el pasado fue más lenta que la tasa actual, es decir, la recesión se ha acelerado con el tiempo. Por lo tanto, debe concluirse que las mareas la fricción fue mucho menos en el pasado remoto de lo que deduciríamos sobre la base de Observaciones actuales (Stacey 1977). Esto se llamó “escala de tiempo geológica dificultad” o “crisis lunar” y es uno de los principales argumentos de los creacionistas contra el teoría de la fricción de mareas (Brush 1983). Pero tenemos que considerar el caso cuidadosamente en varios aspectos. Una posible escenario es que la Tierra ha estado experimentando una evolución dinámica en toda escala de tiempo desde su creación, las condiciones geológicas y físicas (como las posiciones del continente y a la deriva, la corteza, fluctuación de la temperatura superficial como el efecto glacial/snowball, etc.) pasado remoto podría ser sustancialmente diferente de la actual, en la que la fricción de mareas podría ser mucho menos; por lo tanto, la tasa de descenso de la Luna podría ser más lenta. Varios En el pasado se propusieron modelos de fricción de mareas para describir la evolución de la Tierra- Sistema lunar para evitar tal dificultad o crisis y poner a la Luna en un lugar bastante cómodo distancia de la Tierra hace 4.500 millones de años (Hansen 1982, Kagan y Maslova 1994, Ray et al. 1999, Finch 1981, Slichter 1963). Las teorías de la fricción de marea explican que el presente la tasa de disipación de las mareas es anomalosamente alta porque la fuerza de las mareas está cerca de una resonancia en la función de respuesta del océano (Brush 1983). Kagan dio una revisión detallada sobre los modelos de fricción de mareas (Kagan 1997). Estos modelos se basan en muchos supuestos sobre condiciones geológicas (posición continental y deriva) y físicas en el pasado, y muchos parámetros (como el ángulo de retardo de fase, la aproximación multimodo con el tiempo frecuencias dependientes de los modos de resonancia, etc.) tienen que ser introducidos y cuidadosamente ajustados para hacer sus predicciones cerca de la evidencia geológica. Sin embargo, los los supuestos y parámetros siguen siendo cuestionados, en cierta medida, como brebaje. El segundo escenario posible es que otro mecanismo podría dominar el la evolución del sistema Tierra-Luna y el papel de la fricción de mareas no es significativo. In la Reunión de la División de Partículas y Campo 2004, American Physical Society, Universidad de California en Riverside, el autor propuso un modelo de fluido de campo de materia oscura (Pan 2005) con un enfoque no newtoniano, los datos actuales de la Luna y la Tierra están de acuerdo con este modelo muy bien. Este documento demostrará que la evolución pasada de la Luna-Tierra sistema puede ser descrito por el modelo de fluido de campo de materia oscura sin ninguna suposición sobre las condiciones geológicas y físicas del pasado. Aunque el tema de la evolución de el sistema Tierra-Luna ha sido ampliamente estudiado analítica o numéricamente, a la conocimiento del autor, no hay teorías similares o equivalentes a este modelo. 2. Materia invisible En la cosmología moderna, se propuso que la materia visible en el universo es aproximadamente el 2 ~ 10 % de la materia total y alrededor del 90 ~ 98% de la materia total es actualmente invisible que se llama materia oscura y energía oscura, tal materia invisible tiene un anti- propiedad de gravedad para hacer que el universo se expanda más y más rápido. Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis, entonces, la evolución del universo debe ser dominada por el mecanismo físico de tal materia invisible, tal mecanismo físico podría estar mucho más allá de la corriente La física newtoniana y la física Einsteiniana, y la física Newtoniana y la Einsteiniana la física podría reflejar sólo un rincón del iceberg de la física mayor. Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis, entonces, debería ser más razonable pensar que tal materia invisible dominante se propaga en en todas partes del universo (la densidad de la materia invisible puede variar de un lugar a otro lugar); en otras palabras, todos los objetos de materia visible deben estar rodeados por tales invisibles materia y el movimiento de la materia visible objetos deben ser afectados por el invisible materia si hay interacciones entre la materia visible y la materia invisible. Si la proporción de los componentes de materia del universo está cerca de esta hipótesis, entonces, el tamaño de las partículas de la materia invisible debe ser muy pequeño y por debajo de la límite de detección de la tecnología actual; de lo contrario, se detectaría hace mucho tiempo con tal cantidad dominante. Con esta materia invisible en mente, nos movemos a la siguiente sección para desarrollar la Modelo de fluido de campo de materia oscura con enfoque no newtoniano. Para la simplicidad, todos invisibles materia (materia oscura, energía oscura y otros términos posibles) se llama materia oscura aquí. 3. El modelo de fluido de campo de materia oscura En este modelo propuesto, se supone que: 1. Un cuerpo celeste gira y se mueve en el espacio, que, para la simplicidad, es uniforme lleno de la materia oscura que está en estado de quiescencia relativa al movimiento del cuerpo celeste. La materia oscura posee una propiedad de campo y una propiedad fluida; puede interactúe con el cuerpo celeste con sus propiedades de fluido y campo; por lo tanto, puede tener intercambio de energía con el cuerpo celeste, y afectan el movimiento del cuerpo celeste. 2. La propiedad del fluido sigue el principio general de la mecánica del fluido. La materia oscura partículas de líquido de campo pueden ser tan pequeñas que fácilmente pueden impregnarse en ordinario materia “barionica”; es decir, los objetos de materia ordinaria podrían estar saturados con tal materia oscura fluido de campo. Por lo tanto, todo el cuerpo celestial interactúa con el fluido del campo de materia oscura, en el forma de una esponja que se mueve a través del agua. La naturaleza de la propiedad de campo de la materia oscura se desconoce el líquido del campo. Se asume aquí que la interacción del campo asociado con el fluido del campo de materia oscura con el cuerpo celestial es proporcional a la masa del cuerpo celeste. El fluido del campo de materia oscura se supone que tiene una fuerza repulsiva contra el fuerza gravitatoria hacia la materia bariónica. La naturaleza y el mecanismo de tal repulsivo La fuerza es desconocida. Con las suposiciones anteriores, uno puede estudiar cómo el fluido del campo de materia oscura puede influir en el movimiento de un cuerpo celeste y comparar los resultados con las observaciones. Los la forma común de los cuerpos celestes es esférica. Según la ley de Stokes, un rígido no- esfera permeable que se mueve a través de un líquido quiescente con un Reynolds suficientemente bajo número experimenta una fuerza de resistencia F rvF 6−= (1) donde v es la velocidad de movimiento, r es el radio de la esfera, y μ es la viscosidad del fluido constante. La dirección de la fuerza de resistencia F en Eq. 1 es opuesto a la dirección de la velocidad v. Para una esfera rígida que se mueve a través del fluido del campo de materia oscura, debido al doble propiedades del fluido del campo de materia oscura y su permeación en la esfera, la fuerza F puede no ser proporcional al radio de la esfera. Además, F puede ser proporcional a la masa de la esfera debido a la interacción de campo. Por lo tanto, con los efectos combinados de fluido y campo, la fuerza ejercida en la esfera por el fluido del campo de materia oscura es se supone que es de la forma escalonada (2) mvrF n= 16 donde n es un parámetro derivado de la saturación por el fluido de campo de materia oscura, el r1-n puede ser visto como el radio efectivo con la misma unidad que r, m es la masa de la esfera, y η es la constante del fluido del campo de materia oscura, que es equivalente a μ. La dirección de la Fuerza de resistencia F en Eq. 2 es opuesto a la dirección de la velocidad v. La fuerza descrita por Eq. 2 es dependiente de la velocidad y causa una aceleración negativa. De acuerdo con Segunda ley del movimiento de Newton, la ecuación del movimiento para la esfera es mvr m n= 16 (3) Entonces (4) )6exp( 10 vtrv No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. donde v0 es la velocidad inicial (t = 0) de la esfera. Si la esfera gira alrededor de un centro gravitacional masivo, hay tres fuerzas en la línea entre la esfera y el centro gravitacional: (1) la fuerza gravitatoria, (2) la fuerza de aceleración centrípeta; y (3) la fuerza repulsiva del fluido del campo de materia oscura. La fuerza de arrastre en Eq. 3 reduce la velocidad orbital y hace que la esfera se mueva hacia el centro gravitacional. Sin embargo, si la suma de la fuerza de aceleración centrípeta y la fuerza repulsiva es más fuerte que la fuerza gravitacional, entonces, la esfera se moverá hacia afuera y se retirará de el centro gravitacional. Este es el caso del interés aquí. Si la velocidad cambia en Eq. 3 es suficientemente lento y la fuerza repulsiva es pequeña en comparación con la fuerza gravitacional y fuerza de aceleración centrípeta, entonces la tasa de retroceso será en consecuencia relativamente Lentamente. Por lo tanto, la fuerza gravitacional y la fuerza de aceleración centrípeta puede ser aproximadamente tratados en equilibrio en cualquier momento. La ecuación pseudo equilibrio es GMm 2 2 = (5) donde G es la constante gravitacional, M es la masa del centro gravitacional, y R es el radio de la órbita. Insertar v de Eq. 4 en Eq. 5 rendimientos )12exp( 1 R n−= (6) (7) )12exp( 10 trRR n−= donde R = (8) R0 es la distancia inicial al centro gravitacional. Tenga en cuenta que R aumenta exponencialmente con el tiempo. El aumento de la energía orbital con el retroceso proviene del repulsivo fuerza del fluido de campo de materia oscura. La tasa de recesión de la esfera es dR n−= 112 (9) La aceleración de la recesión es ( Rr Rd n 21 12 − = ). (10) La aceleración recesiva es positiva y proporcional a su distancia a la centro gravitacional, así que la recesión es cada vez más rápida. Según la mecánica de los fluidos, para una esfera rígida no permeable giratoria alrededor de su eje central en el fluido quiescente, el par T ejercido por el fluido en la esfera 38 rT − = (11) donde • es la velocidad angular de la esfera. La dirección del par en Eq. 11 es opuesta a la dirección de la rotación. En el caso de una esfera que gira en el quiescente Líquido de campo de materia oscura con velocidad angular, similar a Eq. 2, la T propuesta ejerció en la esfera es ( ) mrT n 318 = (12) La dirección del par en Eq. 12 es opuesto a la dirección de la rotación. Los el par causa la aceleración angular negativa = (13) donde estoy el momento de inercia de la esfera en el fluido del campo de materia oscura ( )21 2 nrmI = (14) Por lo tanto, la ecuación de rotación para la esfera en el fluido del campo de materia oscura es * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * d = 120 (15) Resolver esta ecuación produce (16) )20exp( 10 tr No, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no, no. donde ­0 es la velocidad angular inicial. Uno puede ver que la velocidad angular de la esfera disminuye exponencialmente con el tiempo y la desaceleración angular es proporcional a su velocidad angular. Para la misma esfera celestial, combinando Eq. 9 y Eq. 15 rendimientos (17) El significado de Eq. 17 es que sólo contiene datos observados sin suposiciones y parámetros indeterminados; por lo tanto, es una prueba crítica para este modelo. Para dos esferas celestes diferentes en el mismo sistema, combinando Eq. 9 y Eq. 15 rendimientos 67,1 1 −=−= (18) Esta es otra prueba crítica para este modelo. 4. El comportamiento actual del sistema Tierra-Luna concuerda con el modelo El sistema Luna-Tierra es el sistema gravitacional más simple. El sistema solar es complejo, la Tierra y la Luna experimentan no sólo la interacción del Sol, sino también interacciones de otros planetas. Consideremos el sistema gravitacional Tierra-Luna local como un sistema gravitacional local aislado, es decir, la influencia del Sol y otros planetas sobre la rotación y el movimiento orbital de la Luna y sobre la rotación de la Tierra asumido insignificante en comparación con las fuerzas ejercidas por la luna y la tierra en el otro. Además, la excentricidad de la órbita de la Luna es lo suficientemente pequeña como para ser ignorada. Los datos sobre la Luna y la Tierra a partir de referencias (Dickey et.al., 1994, y Lang, 1992) listado a continuación para la conveniencia de los lectores para verificar el cálculo porque los datos pueden varían ligeramente con diferentes fuentes de datos. Luna: Radio medio: r = 1738,0 km Masa: m = 7,3483 × 1025 gramos Período de rotación = 27,321661 días Velocidad angular de la Luna = 2,6617 × 10-6 rad s-1 Distancia media a la Tierra Rm= 384400 km Velocidad orbital media v = 1.023 km s-1 Excentricidad de la órbita e = 0,0549 Velocidad de aceleración de rotación angular = -25,88 ± 0,5 arcoseg siglo-2 = (-1,255 ± 0,024) × siglo rad 10-4-2 = (-1.260 ± 0.024) × 10-23 rad s-2 Tasa de retroceso de la Tierra = 3,82 ± 0,07 cm año-1 = (1,21 ± 0,02) × 10-9 m s-1 Tierra: Radio medio: r = 6371,0 km Masa: m = 5,9742 × 1027 gramos Período de rotación = 23 h 56m 04.098904s = 86164.098904s Velocidad angular de rotación = 7,292115 × 10-5 rad s-1 Distancia media al Sol Rm= 149.597.870,61 km Velocidad orbital media v = 29,78 km s-1 Aceleración angular de la Tierra = (-5,5 ± 0,5) × 10-22 rad s-2 Velocidad angular de rotación de la Luna y aumento de la distancia media a la Tierra (tasa de descenso) se obtuvieron de la gama de láser lunar del Programa Apollo (Dickey et.al., 1994). Insertando los datos de la rotación y recesión de la Luna en Eq. 17, el resultado es 039.054,1 10662,2121,1 1092509.31026.1 (19) La distancia R en Eq. 19 es desde el centro de la Luna hasta el centro de la Tierra y el número 384400 km se supone que es la distancia de la superficie de la Luna a la superficie de la Tierra. Eq. 19 está en buen acuerdo con el valor teórico de -1.67. El resultado está de acuerdo con el modelo utilizado aquí. La diferencia (alrededor del 7,8%) entre los valores de -1,54 y - 1.67 pueden provenir de varias fuentes: 1. El orbital de la Luna no es un círculo perfecto 2. La Luna no es una esfera rígida perfecta. 3. El efecto del Sol y otros planetas. 4. Errores en los datos. 5. Posibles otras razones desconocidas. Los dos parámetros n y η en Eq. 9 y Eq. 15 se puede determinar con dos datos Sets. El tercer conjunto de datos se puede utilizar para seguir probando el modelo. Si este modelo es correcto describe la situación actual, debe dar resultados coherentes para diferentes movimientos. Los los valores de n y η calculados a partir de tres conjuntos de datos diferentes se enumeran a continuación (Nota: la distancia media de la Luna a la Tierra y los radios medios de la Luna y la Tierra son utilizado en el cálculo). El valor de n: n = 0,64 De la rotación de la Luna: η = 4,27 × 10-22 s-1 m-1 De la rotación de la Tierra: η = 4,26 × 10-22 s-1 m-1 De la recesión de la Luna: η = 4,64 × 10-22 s-1 m-1 Se puede ver que los tres valores de η son consistentes dentro del rango de error en los datos. El valor medio de η: η = (4,39 ± 0,22) × 10-22 s-1 m-1 Al insertar los datos de la rotación de la Tierra, la recesión de la Luna y el valor de n en Eq. 18, el resultado es 14.053.1 6371000 1738000 1021.11029.7 1092509,3105.5 )64.01( (20) Esto también está de acuerdo con el modelo utilizado aquí. La fuerza de arrastre ejercida sobre el movimiento orbital de la Luna por el campo de materia oscura fluido es -1.11 × 108 N, esto es insignificantemente pequeño en comparación con la fuerza gravitacional entre la Luna y la Tierra ~ 1,90 × 1020 N; y el torque ejercido por el campo de materia oscura fluido en las rotaciones de la Tierra y la Luna es T = -5,49 × 1016 Nm y -1,15 × 1012 Nm, respectivamente. 5. La evolución del sistema Tierra-Luna Sonett et al. encontró que la longitud del día terrestre hace 900 millones de años fue alrededor de 19,2 horas sobre la base de los sedimentos de marea laminadas en la Tierra (Sonett y otros, 1996). De acuerdo con el modelo presentado aquí, en ese tiempo, la duración del día fue alrededor de 19,2 horas, esto concuerda muy bien con Sonett et al.El resultado. Otro aspecto crítico de modelar la evolución del sistema Tierra-Luna es: dar una estimación razonable de la distancia más cercana de la Luna a la Tierra cuando la El sistema se estableció hace 4.500 millones de años. Basado en el fluido del campo de materia oscura modelo, y el resultado anterior, la distancia más cercana de la Luna a la Tierra fue 259000 km (centro a centro) o 250900 km (superficie a superficie) en 4.500 millones de años atrás, Esto está mucho más allá del límite del Roche. En el moderno libro de texto de astronomía de Chaisson y McMillan (Chaisson y McMillan, 1993, p.173), la distancia estimada en 4.500 millones hace 250000 km, este es probablemente el número más razonable que Los astrónomos creen y concuerdan excelentemente con el resultado de este modelo. El más cercano distancia de la Luna a la Tierra por los modelos de Hansen era de unos 38 radios de la Tierra o 242000 km (Hansen, 1982). De acuerdo con este modelo, la longitud del día de la Tierra fue de aproximadamente 8 horas a 4.5 Hace miles de millones de años. Fig. 1 muestra la evolución de la distancia de la Luna a la Tierra y el longitud del día de la Tierra con la edad del sistema Tierra-Luna descrito por este modelo junto con datos de Kvale et al. (1999), Sonett y otros (1996) y Scrutton (1978). Uno puede ver que esos datos encajan muy bien en este modelo en su rango de tiempo. Fig. 2 muestra los datos geológicos de los días solares año-1 de Wells (1963) y de Sonett et al. (1996) y la descripción (línea sólida) de este modelo de fluido de campo de materia oscura desde hace 900 millones de años. Se puede ver que el modelo está de acuerdo con el datos fósiles maravillosamente. La diferencia importante de este modelo con los modelos tempranos en la descripción de la la evolución del sistema Tierra-Luna es que este modelo se basa sólo en los datos actuales de la Sistema Luna-Tierra y no hay suposiciones sobre las condiciones de la Tierra anterior rotación y deriva continental. Basado en este modelo, el sistema Tierra-Luna ha sido evolución a la situación actual desde que se estableció y la tasa de recesión de la Luna ha ido aumentando gradualmente, sin embargo, esta descripción no lo toma en cuenta que podría haber acontecimientos especiales sucedidos en el pasado para causar el repentino cambios significativos en los movimientos de la Tierra y la Luna, tales como fuertes impactos por asteroides y cometas gigantes, etc., porque esos impactos son muy comunes en el universo. El patrón general de la evolución del sistema Luna-Tierra descrito por este modelo está de acuerdo con las pruebas geológicas. Basado en Eq. 9, la tasa de recesión exponencialmente aumenta con el tiempo. Se puede imaginar entonces que la tasa de recesión se convertirá rápidamente Muy grande. De hecho, el aumento es extremadamente lento. La tasa de recesión de la Luna será 3,04 × 10-9 m s-1 después de 10 mil millones de años y 7,64 × 10-9 m s-1 después de 20 mil millones de años. Sin embargo, si la recesión de la Luna continuará o en algún momento más tarde otro No se sabe si el mecanismo asumirá el control. Se debe entender que la fricción de mareas afecta a la evolución de la propia Tierra, como la estructura de la corteza superficial, continental la deriva y la evolución del biosistema, etc; también puede jugar un papel en la desaceleración de la Tierra la rotación, sin embargo, ese papel no es un mecanismo dominante. Desafortunadamente, no hay datos disponibles sobre los cambios en la órbita de la Tierra. movimiento y todos los demás miembros del sistema solar. De acuerdo con este modelo y los resultados anteriores, la tasa de recesión de la Tierra debe ser de 6,86 × 10-7 m s-1 = 21,6 m año-1 = 2,16 km siglo-1, la longitud de un año aumenta alrededor de 6,8 ms y el cambio de la temperatura es -1.8 × 10-8 K año-1 con constante nivel de radiación del Sol y el entorno estable en la Tierra. La duración de un año, hace mil millones de años, sería el 80% de la duración actual. del año. Sin embargo, muchas pruebas (bandas de crecimiento de corales y mariscos, así como de otras pruebas) sugieren que no ha habido ningún cambio aparente en la duración de la año sobre los mil millones de años y el movimiento orbital de la Tierra es más estable que su rotación. Esto sugiere que el líquido del campo de materia oscura está circulando alrededor del Sol con el mismo dirección y velocidad similar de la Tierra (al menos en el rango orbital de la Tierra). Por lo tanto, el El movimiento orbital de la Tierra experimenta muy poca o ninguna fuerza de arrastre de la materia oscura fluido de campo. Sin embargo, se trata de una conjetura, hay que llevar a cabo una amplia investigación para verificar Si este es el caso. 6. Descripción escéptica de la evolución del Marte La Luna no tiene líquido líquido en su superficie, incluso no hay aire, por lo tanto, no hay una fuerza de fricción mareomotriz similar al océano para ralentizar su rotación; sin embargo, la rotación de la La Luna todavía se está desacelerando a un ritmo significativo de (-1.260 ± 0.024) × 10-23 rad s-2, lo que está de acuerdo con el modelo muy bien. En base a esto, uno puede pensar razonablemente que los la rotación también debería ser más lenta. El Marte es nuestro vecino más cercano que ha atraído la gran atención de los humanos Desde la antigüedad. La exploración de Marte se ha estado calentando en las últimas décadas. NASA, Agencia Espacial Rusa y Europa enviaron muchas naves espaciales a Marte para recolectar datos y estudiar este misterioso planeta. Hasta ahora todavía no hay suficientes datos sobre el historia de este planeta para describir su evolución. Igual que la Tierra, el Marte gira alrededor su eje central y gira alrededor del Sol, sin embargo, el Marte no tiene una masa (Marte tiene dos pequeños satélites: Fobos y Deimos) y no hay líquido líquido en su superficie, por lo tanto, no hay aparente fuerza de fricción mareo-como el océano a ralentizar su rotación por teorías de fricción de mareas. Sobre la base del resultado anterior y actual Los datos de Marte, este modelo predice que la aceleración angular del Marte debería ser alrededor de -4.38 × 10-22 rad s-2. La figura 3 describe la posible evolución de la duración del día y la días solares / año de Marte, la línea vertical marca la edad actual del Marte con asumir que el Marte se formó en un período de tiempo similar de la formación de la Tierra. Tal descripción no fue dada antes de acuerdo con el conocimiento del autor y es completamente escéptico debido a la falta de datos confiables. Sin embargo, con una mayor expansión de la investigación y exploración en Marte, nos sentiremos seguros de que los datos confiables sobre la aceleración angular de rotación del Marte estará disponible en el futuro próximo que proporcionará una prueba vital para la predicción de este modelo. También hay otros factores que puede afectar a la tasa de rotación de Marte, como la redistribución de masa debido a la temporada cambio, vientos, posibles erupciones volcánicas y terremotos de Marte. Por lo tanto, los datos deben ser cuidadosamente analizados. 7. Discusión sobre el modelo De los resultados anteriores, se puede ver que los datos actuales Tierra-Luna y el datos geológicos y fósiles están de acuerdo con el modelo muy bien y la evolución pasada de la Sistema Tierra-Luna puede ser descrito por el modelo sin introducir ningún adicional parámetros; este modelo revela la interesante relación entre la rotación y Retirada (Eq. 17 y Eq. 18) del mismo cuerpo celestial o diferentes cuerpos celestes en el mismo sistema gravitacional, tal relación no se conoce antes. Tal éxito puede no debe explicarse por “coincidencia” o “suerte” debido a la gran cantidad de datos Los datos de la Tierra y la Luna y los datos geológicos y fósiles) si uno piensa que esto es sólo un “ad hoc” o un modelo equivocado, aunque la posibilidad de que “coincidencia” o “suerte” podría ser mayor que ganar un premio mayor de la lotería; el futuro de Marte los datos aclararán esto; de lo contrario, se puede desarrollar una nueva teoría a partir de un enfoque diferente dar la misma o mejor descripción como lo hace este modelo. Es cierto que este modelo es no perfecto y puede tener defectos, se puede llevar a cabo un mayor desarrollo. James Clark Maxwell dijo en el 1873 “El vasto interplanetario e interestelar regiones ya no serán considerados como lugares de desecho en el universo, que el Creador tiene no se considera apto para llenar con los símbolos de la orden múltiple de Su reino. Encontraremos estar ya llenos de este maravilloso medio; tan lleno, que ningún poder humano puede quitarlo de la porción más pequeña del espacio, o producir el más mínimo defecto en su infinito continuidad. Se extiende ininterrumpidamente de estrella a estrella...”. El medio que habló Maxwell alrededor es el éter que fue propuesto como portador de la propagación de la onda de luz. Los El experimento Michelson-Morley sólo demostró que la propagación de la onda de luz no depende de tal medio y no rechaza la existencia del medio en el interestelar espacio. De hecho, el concepto de medio interestelar se ha desarrollado dramáticamente recientemente como la materia oscura, la energía oscura, el fluido cósmico, etc. El campo de la materia oscura fluido es sólo una parte de tan maravilloso medio y “precisamente” descrito por Maxwell. 7. Conclusión La evolución del sistema Tierra-Luna puede ser descrita por el campo de materia oscura modelo fluido con enfoque no newtoniano y los datos actuales de la Tierra y la Luna Se adapta muy bien a este modelo. Hace 4.500 millones de años, la distancia más cercana de la Luna La Tierra podría estar a unos 259000 km, que está muy por encima del límite de Roche y de la longitud de El día era alrededor de 8 horas. El patrón general de la evolución del sistema Luna-Tierra descrita por este modelo concuerda con la evidencia geológica y fósil. La fricción de mareas puede no sea la causa principal de la evolución del sistema Tierra-Luna. La rotación de Marte también se está desacelerando con la velocidad de aceleración angular alrededor de -4,38 × 10-22 rad s-2. Bibliografía S. G. Brush, 1983. L. R. Godfrey (editor), Fantasma del siglo XIX: Argumentos creacionistas para una Tierra joven. Los científicos se enfrentan al creacionismo. W. W. Norton & Company, Nueva York, Londres, pp. E. 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Ciencia, 273, 100. F. D. Stacey, 1977. Física de la Tierra, segunda edición. John Willey & Sons. J. W. Wells, 1963. Naturaleza, 197, 948. Título Figura 1, la evolución de la distancia de la Luna y la longitud del día de la tierra con la era del sistema Tierra-Luna. Las líneas sólidas se calculan según la materia oscura modelo de fluido de campo. Fuentes de datos: las distancias de la Luna son de Kvale y et al. y para el longitud del día: (a y b) son de Scrutton (página 186, fig. 8), c es de Sonett y et al. La línea marca la edad actual del sistema Tierra-Luna. Figura 2, la evolución de los días solares del año con la edad de la Luna-Tierra sistema. La línea sólida se calcula según el modelo de fluido de campo de materia oscura. Los datos son de Wells (3.9 ~ 4.435 millones de años de rango), Sonett (3.600 millones de años) y actual edad (4.500 millones de años). Figura 3, la descripción escéptica de la evolución de la longitud del día de Marte y el días solares/año de Marte con la edad de Marte (suponiendo que la edad de Marte es de aproximadamente 4.5 miles de millones de años). La línea vertical marca la edad actual de Marte. Figura 1, distancia de la Luna y la longitud del día de la Tierra cambio con la era del sistema Tierra-Luna La edad del sistema Tierra-Luna (109 años) 0 1 2 3 4 5 Distancia Duración del día Límite de Roche Resultado de Hansen Figura 2, los días solares / año vs. la edad de la Tierra La edad de la Tierra (109 años) 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

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