Decision ID: 4493a7c3-faf1-4bc5-9f98-95702ecc3554
Year: 2010
Language: fr
Court: VD_TC
Chamber: VD_TC_004
Canton: VD
Region: Région lémanique
Law Area: social_law

E n f a i t :
A.
A.F._ (ci-après: l'assuré), né le 11 novembre 1946, ressortissant italien, en Suisse depuis 1959, au bénéfice d'un permis C, marié, père de deux enfants, B.F._, née en 1980 et C.F._, né en 1984, est titulaire d'un diplôme de coiffeur obtenu en 1969 à Lausanne (formation accélérée). Il a exercé la profession de coiffeur indépendant depuis 1972. Le revenu net réalisé en 2002 résultant du compte d'exploitation était de 62'269 fr. 10.
L'assuré a déposé une demande de prestations de l'assurance-invalidité (ci-après: AI) pour adultes le 19 janvier 2004, sollicitant l'octroi d'une rente. Il avançait comme atteinte à la santé des déchirures/luxation de l'épaule droite, consécutives à un accident de la circulation survenu le 28 janvier 2003. Alors qu'il circulait au guidon de son scooter, l'assuré a été heurté par un automobiliste lui ayant refusé la priorité à un carrefour. Déséquilibré, il est tombé sur la chaussée et s'est blessé.
Le cas a été annoncé à l'assureur-accidents de l'assuré. Le 10 février 2004, cette assurance a présenté à l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud (ci-après: l'OAI) le décompte des indemnités versées par ses soins pour les incapacités suivantes:
- incapacité à 100% du 28 janvier 2003 au 2 février 2003,
- incapacité à 70% du 3 février 2003 au 2 juillet 2003,
- incapacité à 100% du 3 juillet 2003 au 20 octobre 2003,
- incapacité à 66,6% du 21 octobre 2003 à ce jour.
Dans un rapport médical à l'OAI du 9 février 2004, le Dr Z._, chirurgien orthopédiste, a posé le diagnostic de conflit sous-acromial sur arthropathie acromio-claviculaire et lésion interstitielle du sus-épineux de l'épaule droite opérée le 3 juillet 2003. La capacité de travail est de 66 2/3% dans la profession de coiffeur. A son avis, l'état de santé s'améliore et le pronostic à plus long terme est en principe favorable.
Dans une fiche d'examen du dossier du 25 février 2004, l'OAI a retenu que l'assuré présentait une incapacité de travail durable (variante longue maladie) dès le 28 janvier 2003.
Mandaté par l'assureur-accidents de l'assuré, le Dr A._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, a dressé un rapport d'expertise daté du 30 avril 2004. L'expert a posé les diagnostics de limitation fonctionnelle et douleurs à l'effort de l'épaule droite, de status après résection de l'épiphyse distale de la clavicule droite le 3 juillet 2003, de status après entorse acromio-claviculaire droite (probablement de stade II) le 28 janvier 2003 et d'arthrose pré-existante asymptomatique acromio-claviculaire bilatérale. L'expert a retenu que l'incapacité de travail de l'assuré était de 50% en qualité de coiffeur indépendant et que, dans une autre activité ne nécessitant pas d'élévation du membre supérieur droit, la capacité de travail serait probablement entière. A cette fin, il faudrait toutefois le réorienter vers une profession manuelle sur un plan de travail rabaissé telle que l'usinage de petites pièces industrielles. La force et l'habileté manuelle sont en effet conservées. L'assuré dispose de quelques ressources par son expérience de soudeur et de monteur en chauffage. Il s'agit là naturellement de considérations purement théoriques, qui ne sont pas nécessairement raisonnablement applicables à un homme de 58 ans dirigeant un petit commerce qui va semble-t-il assez bien. D'éventuelles adaptations du poste de travail actuel pourraient faire l'objet d'une inspection sur place, mais cela sort du cadre de l'expertise médicale actuelle.
Dans un rapport médical du 14 décembre 2004, le Dr K._, chirurgien orthopédiste FMH, a posé le diagnostic de séquelles de contusion-distorsion de l'épaule droite, ayant occasionné une ostéolyse distale de la clavicule avec arthrite acromio-claviculaire post-traumatique suivie d'un impingement. Dans son appréciation, le Dr K._ a notamment relevé ce qui suit:
"On peut donc affirmer maintenant que Monsieur A.F._ souffre des séquelles de son accident de 2003. Il s'ensuit une diminution de sa capacité de travail, qui est en rapport avec sa profession de coiffeur indépendant. Il faut effectivement remarquer que dans son travail Monsieur A.F._ ne peut pour l'instant plus travailler avec les bras tendus en avant ni porter des charges avec le bras droit. C'est la raison pour laquelle il n'a pas pu reprendre son métier de coiffeur pour dames en n'exploitant pour l'instant que la partie «Messieurs» de son salon de coiffeur.
Il est prématuré par contre d'envisager actuellement un taux d'invalidité physique post-traumatique, l'état de son épaule étant heureusement susceptible encore de faire des progrès."
Dans un avis médical du 1
er
mars 2005, le Dr R._, du Service médical régional de l'AI (ci-après: le SMR) a constaté ce qui suit:
"Cet assuré de 59 ans, coiffeur indépendant, est victime d'un accident de la route le 28.1.2003, entraînant une entorse acromio-claviculaire droite résistante au traitement conservateur. Le 3.7.2003, il subit une résection de l'extrémité distale de la clavicule et une acromioplastie dont les résultats à terme furent décevants.
Des douleurs permanentes de l'épaule droite persistent, avec une limitation en flexion et en abduction.
Selon une expertise du Dr A._, l'activité de coiffeur n'est exigible qu'à 50%. En revanche, la capacité de travail reste entière dans une activité ne nécessitant pas d'élévation du membre supérieur droit.
Nous n'avons pas de raison de nous écarter de ces conclusions".
S'appuyant sur l'expertise du Dr A._, le Dr R._ était d'avis que la capacité de travail de l'assuré était totale dans une activité adaptée depuis le 21 octobre 2003.
Dans un rapport médical du 29 juillet 2005, la Dresse B._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie, a posé les diagnostics de douleurs persistantes de l'épaule droite post-traumatiques (accident du 28 janvier 2003) avec conflit sous-acromial de stade II à III avec tendinopathie du sus-épineux et du long-chef du biceps ainsi que du sous-scapulaire et de status après résection de l'extrémité distale de la clavicule, acromioplastie et suture de lésion du tendon sus-épineux de l'épaule droite. Cette praticienne a relevé que plusieurs infiltrations avaient déjà été réalisées et que l'assuré avait suivi de très nombreuses séances de physiothérapie. Elle ajoutait que l'activité professionnelle de l'intéressé représentait un facteur défavorable dans l'évolution de cette pathologie car elle impliquait fréquemment de travailler avec les bras surélevés.
Le 21 novembre 2005, l'OAI a rendu une décision de refus de rente d'invalidité. Il a considéré ce qui suit:
"Suite aux investigations que nous avons entreprises, notamment au niveau médical il ressort qu'en raison de votre état de santé vous ne pouvez plus exercer votre activité de coiffeur qu'à 50%.
Par contre, dans un emploi adapté qui tienne compte de vos limitations fonctionnelles (activité ne nécessitant pas d'élévation du membre supérieur droit) votre capacité de travail et de gains est entière.
Suite à l'entretien que vous avez eu avec notre division "réadaptation" vous avez indiqué que vous n'envisageriez pas de remettre votre commerce en vue de rechercher une activité mieux adaptée.
Selon l'enquête indépendant qui avait été effectuée, il ressort que sans vos problèmes de santé vous pourriez prétendre à un revenu annuel brut de fr. 62'269.--.
Etant donné votre expérience en tant qu'indépendant, des activités telles que gérant de magasin d'alimentation ou gérant d'un kiosque sont adaptées à vos limitations fonctionnelles et pourraient être effectuées à plein temps.
Dans de tels postes vous pourriez prétendre à un revenu annuel brut de fr. 52'242.--.
Vous subissez par conséquent un préjudice économique de l'ordre de 16%.
(...)
Un degré d'invalidité inférieur à 40% ne donne pas droit à une rente d'invalidité.
(...)
La demande est rejetée".
Le 9 janvier 2006, l'assuré s'est opposé à cette décision. Il a contesté l'appréciation de l'expert ainsi que le revenu d'invalide pris en considération par l'OAI.
Dans un courriel du 29 août 2006, C._, collaborateur de l'OAI, a indiqué à S._, également collaboratrice à l'OAI, qu'il se chargeait de l'opposition. Il a notamment relevé que le revenu sans invalidité était erroné, dès lors que c'était le salaire net qui avait été repris. En outre, l'OAI ne s'était pas posé la question de savoir s'il était exigible que l'assuré renonçât à son activité d'indépendant et si sa rentabilité pouvait être améliorée, moyennant l'aménagement de son salon. De surcroît, l'OAI ne s'était pas déterminé sur d'éventuelles mesures professionnelles permettant de diminuer le préjudice.
A la suite de l'admission de l'opposition (décision sur opposition du 1
er
novembre 2006), l'OAI annonçait que l'instruction du dossier serait reprise, aux fins notamment de déterminer s'il était exigible qu'il exerçât une activité professionnelle mieux adaptée à son état de santé.
Une nouvelle enquête économique pour les indépendants a ainsi été réalisée le 26 février 2007 (rapport établi le 27 février 2007). Il en ressort notamment ce qui suit:
"De ses anciennes clientes féminines, il n'en aurait gardé que cinq: une pour les permanentes, deux pour les couleurs et les autres pour les mises en pli. Il dit avoir orienté les autres clientes chez ses concurrents. Par contre, ce coiffeur serait en train de développer le secteur hommes et s'occuperait en moyenne de 10 clients par jour. Ce dernier précise devoir s'accrocher pour s'occuper de ces dix clients. Ses tarifs sont relativement bas et affichés. Une coupe pour un homme est de Fr. 19.- et pour un enfant de Fr. 16.-, ce qui le rend très attractif sur la place.
(...)
Compte tenu de son handicap, les actes de coiffure sur un homme sont moins pénibles que sur une femme, car le travail s'effectue le plus souvent à la tondeuse. Pour les femmes, ce qui est pénible ce sont les brushings ainsi que la pose de bigoudis qui exige des mouvements de rotation des mains inadaptés à son handicap.
Pour toutes les tâches contre-indiquées et uniquement celles ne nécessitant pas d'être coiffeur qualifié, cet homme ferait appel à la demande à son épouse, comme par exemple pour les shampoings, les rinçages, etc.
Cependant, Mme F._ commencerait à être saturée de faire la petite main dans ce salon. Pour son activité, elle serait rémunérée environ 8 heures par semaine, ce qui correspond à un salaire mensuel de l'ordre de Fr. 500.- à Fr. 600.-.
Quant à son employée (C/f notre précédente enquête), elle aurait été licenciée en août 2005. D'une part cette dame n'aurait pas voulu augmenter ses horaires et, d'autre part, étant donné la présence continuelle de l'intéressé au magasin, les clientes voulaient être servies par M. A.F._ lui-même.
(...)
5.2 Préjudice économique déterminé sur la base de l'examen des comptes:
(...)
Sur la base d'une nouvelle enquête économique effectuée le 26.02.2007, nous arrivons à un préjudice économique de 64%. RS brut: Fr. 66'204.-; RI brut Fr. 23'738.- basé sur la moyenne des années 2004 et 2005.
(...)
9. Eléments pour déterminer l'exigibilité de changer d'activité
En faveur de son maintien dans son salon de coiffure:
- son âge: aura 61 ans le 11.11.2007.
- est indépendant depuis 1972, soit depuis 35 ans et a acquis un statut social évident.
- il serait peu scolarisé et ne maîtriserait ni le français écrit ni l'italien écrit. Selon ses explications, il aurait fait sa scolarité en partie en Suisse et en partie en Italie.
- c'est en 1968 qu'il a débuté sa carrière dans la coiffure, soit il y a 39 ans. Par conséquent, cet indépendant a vraisemblablement peu de ressources pour faire un autre travail qui lui permettraient d'atteindre un même statut social.
- celui-ci essaie de faire au mieux pour travailler au maximum de ses possibilités dans son salon et est en train de développer la clientèle masculine, dont les gestes techniques sont plus en adéquation pour lui. En effet, durant de nombreuses années, le 75% environ de son C.A. provenait des soins prodigués aux dames.
Ce développement se fait d'une part, par des prix concurrentiels bien affichés dans son salon ainsi que par le bouche-à-oreille.
Par ailleurs, ses frais généraux diminuent quelque peu: moins de consommation d'électricité pour les casques et autres appareils, moins d'achats de produits divers.
- la diminution de ses revenus est liée à ses problèmes d'épaule et douleurs, mais non à un manque de clients.
En faveur d'un arrêt avec son salon de coiffure:
- à notre avis, c'est surtout au niveau financier et rentabilité que le problème pourrait se poser. Sans apport extérieur, ses revenus actuels ne sont pas suffisants pour faire vivre une famille. Il précise avoir dû prendre sur son épargne pour des dépenses courantes.
- la proportion entre le temps qu'il passe dans son salon, 43,5 h. par semaine, pour gagner environ Fr. 2'000.- par mois n'est pas favorable. De plus, pour certains travaux, il a besoin de l'aide de sa femme. Cette dernière, ancienne secrétaire chez J._ âgée de 56 ans, n'aurait plus aucune chance de retrouver un job.
- il faut quand même mentionner, à sa décharge, que depuis son accident, il a pu maintenir une capacité de gain du même ordre de grandeur (située entre Fr. 20'792.- et 23'186.-) et que, théoriquement, ce coiffeur a encore une petite marge pour augmenter ses prix (mais pas trop, sinon, il va perdre des clients).
- s'il devait changer d'activité, notre assuré solliciterait une aide active de l'AI pour trouver un nouveau job.
9. Conclusion, mesures de réadaptation
Selon la comparaison des revenus à fin 2005, le taux d'invalidité de M. A.F._ est de 64% alors que son taux médical de capacité de travail est de 50% dans son métier de coiffeur.
L'intéressé est en train de développer la clientèle masculine, correspondant mieux à son handicap, et pense qu'à terme il devrait pouvoir arriver à un revenu net de l'ordre de Fr. 30'000.-, soit en gros entre le 45% et le 50% de ses gains nets d'avant son accident.
Pour 2006, les comptes sont en préparation et le C.A. devrait être d'environ Fr. 7'000.- supérieur qu'en 2005. A toutes fins utiles, dès que la comptabilité 2006 sera bouclée (en principe ce printemps) une copie sera envoyée à l'Office AI.
Reste à déterminer, objet de compétence juridique, s'il est exigible que cet homme abandonne son commerce".
D'un tableau des comptes annexé au rapport d'enquête, il ressort que le revenu net du salon s'est élevé à 58'988 fr. en 1998, 60'201 fr. en 1999, 59'270 fr. en 2000, 61'573 fr. en 2001, 62'269 fr. en 2002, 20'792 fr. en 2003, 21'813 fr. en 2004 et 23'196 fr. en 2005.
Le 12 avril 2007, l'assuré a produit une copie des comptes de l'exercice 2006. Il ressort du bilan comptable (sous l'intitulé "récapitulation") que le revenu net (bénéfice imposable) du salon de coiffure s'est élevé en 2006 à 31'503 fr. 55, alors qu'il s'élevait à 23'195 fr. 90 en 2005, soit une augmentation de 8'307 fr. 65.
D'un avis du juriste de l'OAI du 13 août 2007, il ressort notamment ce qui suit:
"En l'espèce, il convient, en premier lieu, de déterminer si l'on peut raisonnablement exiger de vous la reprise d'une activité adaptée en raison de votre âge. Bien que vous soyez âgé de 61 ans aujourd'hui, la jurisprudence (Arrêt du 17 juillet 2006, réf. I 293/05) considère qu'il convient de se placer, pour se déterminer sur l'exigibilité de la reprise d'une activité lucrative, au moment où vous avez recouvré une capacité de travail de 100% dans une activité adaptée, à savoir dès le 23.10.2003 déjà. Compte tenu de l'obligation de réduire le dommage, vous aviez l'obligation, dès cette date, de tout faire pour diminuer votre dommage, en entreprenant tout ce qu'on était en droit d'exiger de vous pour atténuer le plus possible les effets de l'atteinte à la santé et de mettre en valeur votre capacité résiduelle de travail (ATF 115 V 38 c. 3, 107 V 17 c. 2c). Il était dès lors pleinement exigible que vous repreniez une activité lucrative dès cette date. A ce moment, vous étiez âgé de 57 ans et il vous restait encore huit ans d'activité avant l'âge de la retraite. Conformément à la jurisprudence, cela n'est pas suffisant pour vous considérer comme étant proche de l'âge de la retraite (cf. Arrêt du 17 juillet 2006 précité).
En conclusion, votre âge limite, certes, vos possibilités de retrouver un emploi, mais ne rend pas cette perspective illusoire. Cela vaut d'autant plus si l'on considère que le marché de l'emploi à prendre en considération est réputé présenter un équilibre entre l'offre et la demande de main-d'œuvre, pour un éventail d'emplois diversifiés (Arrêt du 17 juillet 2006 précité). Il était donc raisonnablement exigible de considérer que vous pouviez reprendre, dès le mois d'octobre 2003, une activité lucrative légère adaptée à vos limitations fonctionnelles.
Concernant l'exigibilité de la remise ou de la cessation de votre entreprise, il convient d'amener les précisions suivantes. Selon vos déclarations, vous n'envisagez pas de remettre votre salon de coiffure. Toutefois, après examen de votre situation et sur la base des éléments en notre possession, il ressort que la remise de votre entreprise serait exigible. Celle-ci ne compte en effet pas d'employé pouvant souffrir de cette mesure et le matériel, les outils et les locaux ne représentent pas une charge trop importante en cas de cessation de votre activité d'indépendant. Selon les informations médicales au dossier, vous disposez, depuis le 21.10.2003, d'une capacité de travail de 50% dans votre activité habituelle et d'une pleine capacité de travail dans une activité adaptée. L'exercice d'une activité industrielle légère est la mesure la plus adaptée à votre atteinte à la santé et offrirait les meilleures perspectives de gain pour diminuer votre préjudice économique. Comme indiqué déjà précédemment, en 2003, il vous restait encore huit ans de vie active à mettre en valeur dans une activité salariée. Vous étiez en mesure de mettre en valeur, dès octobre 2003, une capacité de travail supérieure dans une activité plus légère et, partant, de diminuer votre préjudice économique. Compte tenu de votre obligation de réduire le dommage, c'est donc cette approche qu'il convient de suivre".
Par projet de décision du 3 septembre 2007, l'OAI a refusé le droit de l'assuré à une rente d'invalidité.
Dans un avis médical du SMR du 19 novembre 2007, le Dr Q._ a rappelé ce qui suit:
"(...) Il suffit de rappeler que le rapport SMR du 1.3.2005 se base sur une expertise du Dr A._ dont les compétences ne sauraient être mises en cause. Le fait qu'il ait été mandaté par l'assurance perte de gain et non par l'AI n'est pas pertinent. Accepter cet argument reviendrait à dire que les conclusions d'une expertise réputée neutre seront différentes selon le commanditaire.
Les conclusions de cette expertise, et notamment la description des limitations fonctionnelles et d'une activité adaptée, sont assez précises pour permettre de définir la capacité de travail. Je rappelle qu'il s'agit d'une atteinte mono-articulaire de l'épaule droite dont les effets fonctionnels sont relativement simples à évaluer. Outre qu'il n'est pas d'usage de confirmer systématiquement une première expertise par une seconde, il est pratiquement certain qu'un deuxième expert arriverait aux mêmes conclusions.
La mise en place d'une deuxième expertise m'apparaît dès lors superflue".
Par décision du 11 juin 2008, l'OAI a dénié à l'assuré le droit à une rente d'invalidité. Si l'activité de coiffeur ne pouvait plus être exercée qu'à 50% en raison de l'état de santé de l'assuré, sa capacité de travail et de gain était en revanche complète dans une activité adaptée à ses limitations fonctionnelles (activité ne nécessitant pas d'élévation du membre supérieur droit). Sans ses problèmes de santé, l'assuré pourrait prétendre, selon l'enquête économique réalisée en 2007, à un revenu annuel brut de 66'204 fr. Le revenu annuel d'invalide issu de l'Enquête suisse sur la structure des salaires (ESS) s'élève à 51'532 fr. 45, après un abattement de 10% pour tenir compte des limitations fonctionnelles. La comparaison de ces revenus conduit à une perte de gain de 14'671 fr. 55, soit un degré d'invalidité de 22%. Inférieur au seuil légal minimal de 40%, il n'ouvre pas le droit à une rente.
B.
C'est contre cette décision que A.F._, agissant par l'intermédiaire de Me Denis Sulliger, a recouru par acte du 18 août 2008 devant le Tribunal des assurances. Il conclut, avec suite de dépens, principalement, à la réforme de la décision attaquée en ce sens que lui est servie une rente d'invalidité entière dès le 28 janvier 2003 jusqu'au 31 décembre 2005, puis une demi-rente dès le 1
er
janvier 2006, assortie d'une rente pour les enfants B.F._ et C.F._ pour la durée de leur formation. Il conclut subsidiairement à l'annulation de la décision entreprise, le dossier étant renvoyé à l'OAI pour instruction complémentaire et nouvelle décision. Pour l'essentiel, le recourant conteste l'appréciation de l'OAI selon laquelle il serait exigible qu'il remît son salon de coiffure en vue d'exercer une activité industrielle légère mieux adaptée à son atteinte à la santé, qui soit de nature à lui offrir de meilleures perspectives de gain afin de diminuer son préjudice économique. Le recourant critique en outre la date retenue par l'OAI à laquelle la reprise d'une activité adaptée aurait éventuellement été exigible, soit le 23 octobre 2003, date à laquelle il aurait recouvré, selon l'OAI, une capacité de travail entière dans une activité adaptée. Le recourant est bien plutôt d'avis qu'il faut placer cette date au mois de juillet 2006 pour déterminer l'exigibilité de la reprise d'une activité adaptée. Le recourant se plaint par ailleurs de la détermination des revenus annuels avec et sans invalidité à laquelle a procédé l'OAI et critique le taux d'abattement de 10%, qu'il estime insuffisant. Il soutient que le droit à une rente d'invalidité est ouvert dès le 28 janvier 2003. Il sollicite enfin la mise en œuvre d'une expertise complémentaire afin de déterminer sa capacité de travail dans une activité adaptée, tenant compte de ses limitations fonctionnelles. Le recourant précise à la fin de son mémoire que sa fille B.F._ était en formation jusqu'en automne 2005, a acquis son indépendance financière le 1
er
octobre 2005, et a quitté le logement parental le 1
er
décembre 2005. Quant à son fils C.F._, il a achevé ses études en été 2008 et est à la recherche d'un emploi. Il vit toujours sous le toit parental.
Dans sa réponse du 22 avril 2009, l'OAI a indiqué n'avoir rien à ajouter à la décision querellée et s'en remettait pour le surplus à justice.
A l'appui de sa réplique du 20 mai 2009, le recourant a produit l'expertise médicale réalisée dans le cadre de la procédure civile l'opposant à l'assurance responsabilité civile de l'auteur de l'accident. Ce rapport d'expertise, daté du 7 octobre 2008, a été établi par le Dr L._, chef de clinique au Service de chirurgie orthopédique et traumatologie de l'appareil moteur, auprès de l'Hôpital N._. Le recourant écrit qu'il ressort de cette expertise que son épaule droite ne fonctionnera plus jamais comme avant l'accident, qu'il souffre des suites de l'accident d'une limitation fonctionnelle de son membre supérieur droit, qu'il ne peut plus porter de charges avec ce bras ni exécuter certains travaux d'entretien et de nettoyage dans son commerce ou à domicile, enfin qu'il ne peut plus conduire de voiture sur de longs trajets. Il en infère que ces handicaps rendent peu plausible l'exigibilité de la reprise d'une activité adaptée. Il signale qu'il a subi l'ablation d'un rein en décembre 2008, l'autre rein fonctionnant de manière diminuée de sorte qu'il doit suivre des séances de dialyse. Il a ainsi déposé une nouvelle demande de prestations AI, actuellement en cours d'instruction.
Un avis médical du SMR du 11 juin 2009 du Dr Q._ était joint à la duplique de l'OAI du 19 juin 2009. Dans cet avis, le Dr Q._ s'exprime comme suit:
"Vous me demandez de me prononcer sur le rapport d'expertise du Dr L._ daté du 07.10.2008 et en particulier si ce rapport remet en question l'exigibilité de 100% dans une activité adaptée.
A la lecture de ce rapport, présentant assez clairement l'évolution médicale depuis l'accident du 28.01.2003 et faisant état d'un examen clinique détaillé en relation avec l'affection en cause, on constate que l'expert était mandaté pour se prononcer essentiellement sur deux points, à savoir les limitations fonctionnelles et le rapport de causalité naturelle entre l'accident du 28.01.2003 et les lésions actuelles de l'épaule droite.
Concernant les limitations fonctionnelles, on constate qu'elles n'ont pratiquement pas évolué depuis 2004, qu'elles consistent en une diminution de la mobilité de l'épaule droite et des douleurs de cette articulation. On peut donc confirmer que toute activité nécessitant l'élévation du membre supérieur droit au-dessus de l'horizontale n'est pas médicalement exigible.
Quant au rapport de causalité naturelle, objet visiblement d'une controverse, il est sans importance du point de vue de l'AI.
Au sujet de la capacité de travail, l'expert rapporte que l'expertisé travaille à 100% dans son activité habituelle de coiffeur, avec une diminution de rendement qu'il ne chiffre pas. L'OAI a, quant à lui chiffré l'invalidité par une enquête économique en 2004, qui concluait à un préjudice économique de 60,6% et une nouvelle enquête en 2007, qui arrivait quasiment au même résultat (64%).
Le rapport d'expertise ne fait aucune mention de la capacité de travail dans une activité adaptée. Il ne remet pas en question l'exigibilité précédemment définie.
S'agissant d'une lésion monoarticulaire, entraînant une gêne et des douleurs dans certaines positions du membre supérieur droit et par conséquent des limitations fonctionnelles très clairement définies, il n'y a aucune justification médicale à une capacité de travail inférieure à 100% dans toute activité adaptée respectant strictement ces limitations".
L'OAI a indiqué que, selon l'avis du Dr Q._, le rapport d'expertise produit par le recourant n'était donc pas de nature à remettre en question la capacité de travail de 100% dans une activité adaptée.

E n d r o i t :
1.
a)
Les dispositions de la loi fédérale du 6 octobre 2000 sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA, RS 830.1) s’appliquent à l’AI (art. 1 LAI [loi fédérale du 19 juin 1959 sur l'assurance-invalidité, RS 831.20]). Les décisions sur opposition et celles contre lesquelles la voie de l'opposition n'est pas ouverte – ce qui est le cas des décisions en matière d'assurance-invalidité (cf. art. 57a LAI, en vigueur depuis le 1
er
juillet 2006) – sont sujettes à recours devant le tribunal des assurances compétent (art. 58 LPGA). Le recours doit être déposé dans les trente jours suivant la notification de la décision sujette à recours (art. 60 al. 1 LPGA). En l'espèce, le recours, interjeté en temps utile devant le tribunal compétent, est donc recevable, compte tenu au surplus de la suspension du délai durant les féries estivales (art. 38 al. 4 let. b LPGA).
b)
La loi cantonale vaudoise du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative (LPA-VD, RSV 173.36), entrée en vigueur le 1
er
janvier 2009 et qui s'applique aux recours et contestations par voie d'action dans le domaine des assurances sociales (art. 2 al. 1 let. c LPA-VD), est immédiatement applicable dans la présente cause (voir la disposition transitoire de l'art. 117 al. 1 LPA-VD). La Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal, qui succède au Tribunal des assurances, est compétente pour statuer (art. 93 al. 1 let. a LPA-VD). La cause doit être tranchée par la cour composée de trois magistrats (art. 83c al. 1 LOJV [loi cantonale vaudoise d'organisation judiciaire du 12 décembre 1979, RSV 173.01]) et non par un juge unique (cf. art. 94 al. 1 let. a LPA-VD), vu la valeur litigieuse supérieure à 30'000 fr., s'agissant d'un refus de rente (cf. Exposé des motifs du projet de LPA-VD, pp. 46-47).
2.
Le recours satisfait manifestement aux conditions légales de recevabilité (art. 61 let. b LPGA et 79 LPA-VD) et il y a lieu d'entrer en matière.
3.
Le droit matériel applicable est déterminé par les règles en vigueur au moment où les faits juridiquement déterminants se sont produits, étant précisé que le juge n'a pas à prendre en considération les modifications de l'état de fait postérieures à la date déterminante de la décision litigieuse (ATF 132 III 523 consid. 4.3). Par conséquent, le droit éventuel à une rente de l'assurance-invalidité doit être examiné, après le 1
er
janvier 2003, respectivement le 1
er
janvier 2004, en fonction des normes de la LPGA et des modifications de la LAI consécutives à la 4
e
révision de cette loi (ATF 130 V 445 et les références; voir également ATF 130 V 329), entrée en vigueur le 1
er
janvier 2004. En tout état de cause, les principes développés jusqu'à ce jour par la jurisprudence en matière d'évaluation de l'invalidité conservent leur validité, que ce soit sous l'empire de la LPGA ou de la 4
e
révision de la LAI (ATF 130 V 343 consid. 3.4.1).
4.
a)
Est réputée incapacité de travail, en vertu de l'art. 6 LPGA, toute perte, totale ou partielle, de l'aptitude de l'assuré à accomplir dans sa profession ou son domaine d'activité le travail qui peut raisonnablement être exigé de lui, si cette perte résulte d'une atteinte à sa santé physique, mentale ou psychique. En cas d'incapacité de travail de longue durée, l'activité qui peut être exigée de lui peut aussi relever d'une autre profession ou d'un autre domaine d'activité.
Selon l'art. 7 al. 1 LPGA, toute diminution de l'ensemble ou d'une partie des possibilités de gain de l'assuré sur un marché du travail équilibré dans son domaine d'activité constitue une incapacité de gain, si cette diminution résulte d'une atteinte à sa santé physique, mentale ou psychique et qu'elle persiste après les traitements et les mesures de réadaptation exigibles.
Aux termes de l'art. 8 al. 1 LPGA, est réputée invalidité l'incapacité de gain totale ou partielle, qui est présumée permanente ou de longue durée.
Selon l'art. 4 al. 1 LAI, l'invalidité (art. 8 LPGA) peut résulter d'une infirmité congénitale, d'une maladie ou d'un accident. L'invalidité est réputée survenue dès qu'elle est, par sa nature et sa gravité, propre à ouvrir droit aux prestations entrant en considération (al. 2).
b)
L'art. 16 LPGA s'applique à l'évaluation de l'invalidité des assurés exerçant une activité lucrative (art. 28a al. 1, 1
ère
phrase, LAI). Cette disposition consacre la méthode générale de la comparaison des revenus. Elle prévoit que, pour évaluer le taux d'invalidité, le revenu que l'assuré aurait pu obtenir s'il n'était pas invalide est comparé avec celui qu'il pourrait obtenir en exerçant l'activité qui peut raisonnablement être exigée de lui après les traitements et les mesures de réadaptation, sur un marché du travail équilibré.
Le droit de l'assurance-invalidité a connu une réforme spécifique, en ce sens que l'échelonnement des rentes a été modifié avec effet au 1
er
janvier 2004 (4
e
révision de la LAI, loi fédérale du 21 mars 2003, RO 2003 3837). Cela étant, comme on le verra ci-après, la modification de l'art. 28 al. 1 LAI n'a pas modifié les conditions d'octroi du quart de rente, qui présuppose une invalidité à 40% au moins.
Dans sa teneur en vigueur jusqu'au 31 décembre 2003, l'art. 28 al. 1 LAI disposait que l'assuré a droit à un quart de rente s'il est invalide à 40% au moins, à une demi-rente s'il est invalide à 50% au moins et à une rente entière s'il est invalide à 66 2/3% au moins.
En vertu de l'art. 28 al. 1 LAI, dans sa teneur en vigueur depuis le 1
er
janvier 2004 jusqu'au 31 décembre 2007, l'assuré a droit à un quart de rente s'il est invalide à 40% au moins, à une demi-rente s'il est invalide à 50% au moins, aux trois-quarts d'une rente s'il est invalide à 60% au moins et à une rente entière s'il est invalide à 70% au moins. Dès le 1
er
janvier 2008, l'art. 28 al. 2 LAI reprend le même échelonnement.
Pour procéder à la comparaison des revenus, selon cette disposition, il convient de se placer au moment de la naissance du droit à la rente; les revenus avec et sans invalidité doivent être déterminés par rapport à un même moment et les modifications de ces revenus susceptibles d'influencer le droit à la rente survenues jusqu'au moment où la décision est rendue être prises en compte (ATF 129 V 222, 128 V 174).
5.
Selon la jurisprudence, le juge apprécie librement les preuves médicales qu'il a recueillies, en procédant à une appréciation complète et rigoureuse de celles-ci. Le juge doit examiner objectivement tous les documents à disposition, quelle que soit la provenance, puis décider s'ils permettent de porter un jugement valable sur le droit litigieux. En ce qui concerne la valeur probante d'un rapport médical, ce qui est déterminant c'est que les points litigieux aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées par la personne examinée, qu'il ait été
établi en pleine connaissance de l'anamnèse, que la
description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin, que les conclusions de l'expert soient dûment motivées. Au demeurant, l'élément déterminant pour la valeur probante n'est ni l'origine du moyen de preuve ni sa désignation comme rapport ou expertise, mais bel et bien son contenu (ATF 125 V 351 consid. 3a; TF 9C_773/2007 du 23 juin 2008 consid. 2.1).
Les constatations émanant de médecins consultés par l'assuré doivent être admises avec réserve; il faut en effet tenir compte du fait que, de par la position de confidents privilégiés que leur confère leur mandat, les médecins traitants ont généralement tendance à se prononcer en faveur de leurs patients; ainsi, il convient en principe d'attacher plus de poids aux constatations d'un expert qu'à celles du médecin traitant (ATF 125 V 351 consid. 3b/cc et les réf.; VSI 2001 p. 106 consid. 3b/bb et cc). Il faut toutefois relever qu'un rapport médical ne saurait être écarté pour la simple et unique raison qu'il émane du médecin traitant ou qu'il a été établi par un médecin se trouvant dans un rapport de subordination vis-à-vis d'un assureur (TF 9C_773/2007, précité, consid. 5.2).
6.
D’après la jurisprudence, on applique de manière générale dans le domaine de l’assurance- invalidité le principe selon lequel un invalide doit, avant de requérir des prestations de l’assurance-invalidité, entreprendre de son propre chef tout ce qu’on peut raisonnablement attendre de lui pour atténuer le mieux possible les conséquences de son invalidité; c’est pourquoi un assuré n’a pas droit à une rente lorsqu’il serait en mesure, au besoin en changeant de profession, d’obtenir un revenu excluant une invalidité ouvrant droit à une rente. La réadaptation par soi-même est un aspect de l’obligation de diminuer le dommage et prime aussi bien le droit à une rente que celui à des mesures de réadaptation. L’obligation de diminuer le dommage s’applique aux aspects de la vie les plus variés. Toutefois le point de savoir si une mesure peut être exigée d’un assuré doit être examiné au regard de l’ensemble des circonstances objectives et subjectives du cas concret (ATF 113 V 22 consid. 4a p. 28 et les références). Par circonstances subjectives, il faut entendre en premier lieu l’importance de la capacité résiduelle de travail ainsi que les facteurs personnels tels que l’âge, la situation professionnelle concrète ou encore l’attachement au lieu de domicile. Parmi les circonstances objectives doivent notamment être pris en compte l’existence d’un marché du travail équilibré et la durée prévisible des rapports de travail (arrêts I 750/04 du 5 avril
2006 consid. 5.3, in SVR 2007 IV n° 1 p. 1; I 11/00 du 22 août 2001 consid. 5a/bb, in VSI 2001 p. 274).
Lorsqu’il s’agit d’examiner dans quelle mesure un assuré peut encore exploiter économiquement sa capacité de gain résiduelle sur le marché du travail entrant en considération pour lui (art. 16 LPGA), on ne saurait subordonner la concrétisation des possibilités de travail et des perspectives de gain à des exigences excessives; l’examen des faits doit être mené de manière à garantir dans un cas particulier que le degré d’invalidité est établi avec certitude. Il s’ensuit que pour évaluer l’invalidité, il n’y a pas lieu d’examiner la question de savoir si un invalide peut être placé eu égard aux conditions concrètes du marché du travail, mais uniquement de se demander s’il pourrait encore exploiter économiquement sa capacité résiduelle de travail lorsque les places de travail disponibles correspondent à l’offre de la main d’oeuvre (arrêt I 198/97 du 7 juillet 1998 consid. 3b et les références, in VSI 1998 p. 293). On ne saurait toutefois se fonder sur des possibilités de travail irréalistes. Ainsi, on ne peut parler d’une activité exigible au sens de l’art. 16 LPGA, lorsqu’elle ne peut être exercée que sous une forme tellement restreinte qu’elle n’existe pratiquement pas sur le marché général du travail ou que son exercice suppose de la part de l’employeur des concessions irréalistes et que, de ce fait, il semble exclu de trouver un emploi correspondant (arrêts I 350/89 du 30 avril 1991 consid. 3b, in RCC 1991 p. 329; I 329/88 du 25 janvier 1989 consid. 4a, in RCC 1989 p. 328). S’il est vrai que des facteurs tels que l’âge, le manque de formation ou les difficultés linguistiques jouent un rôle non négligeable pour déterminer dans un cas concret les activités que l’on peut encore raisonnablement exiger d’un assuré, ils ne constituent pas, en règle générale, des circonstances supplémentaires qui, à part le caractère raisonnablement exigible d’une activité, sont susceptibles d’influencer l’étendue de l’invalidité, même s’ils rendent parfois difficile, voire impossible la recherche d’une place et, partant, l’utilisation de la capacité de travail
résiduelle (arrêt I 377/98 du 28 juillet 1999 consid. 1 et les références, in VSI 1999 p. 246). Toutefois, lorsqu’il s’agit d’évaluer l’invalidité d’un assuré qui se trouve proche de l’âge donnant droit à la rente de vieillesse, il faut procéder à une analyse globale de la situation et se demander si, de manière réaliste, cet assuré est en mesure de retrouver un emploi sur un marché équilibré du travail. Cela revient à déterminer, dans le cas concret qui est soumis à l’administration ou au juge, si un employeur potentiel consentirait objectivement à engager l’assuré, compte tenu notamment des activités qui restent exigibles de sa part en raison d’affections physiques ou psychiques, de l’adaptation éventuelle de son poste de travail à son handicap, de son expérience professionnelle et de sa situation sociale, de ses capacités d’adaptation à un nouvel emploi, du salaire et des contributions patronales à la
prévoyance professionnelle obligatoire, ainsi que de la durée prévisible des rapports de travail (cf. TF 9C_393/2008 du 27 janvier 2009 consid. 3.3 et 3.4, 9C_93/2008 du 29 janvier 2009; TFA I 819/04 du 27 mai 2005 consid. 2.2 et les références).
7.
Il convient d'examiner en premier lieu la question de savoir s'il est ou non exigible de la part du recourant qu'il remette son salon de coiffure et change de profession en vue d'exercer une activité adaptée.
a)
Concrètement et contrairement à ce que soutient le juriste de l’OAI dans son avis du 13 août 2007, il ne faut pas se placer au moment où l’assuré a recouvré une pleine capacité de travail attestée par les médecins pour déterminer si un assuré se trouve proche de l’âge de la retraite, mais il y a lieu de se placer au moment où on peut exiger de l’assuré un changement d’activité, savoir un abandon de son activité d’indépendant (cf. TFA I 761/04 du 14 juin 2005 consid. 2.3 et I 643/03 du 17 août 2004 consid. 3.3.1). A cet égard, il faut tenir compte du temps nécessaire à l’assuré pour remettre son entreprise et faire preuve de prudence en invoquant l’obligation de réduire le dommage (TFA I 269/03 du 25 avril 2005 consid. 4.1).
L’OAI soutient que l’assuré présente une capacité de travail complète depuis le 21 octobre 2003 (rapport du Dr A._ du 30 avril 2004 et rapport du SMR du 1
er
mars 2005). Toutefois, cette date ne figure pas dans le rapport du Dr A._ comme début de la capacité de travail. Au contraire le Dr A._ reste très prudent: "Dans une autre activité professionnelle ne nécessitant pas d’élévation du membre supérieur droit, la capacité de travail serait probablement entière. (...) Il s’agit-là naturellement de considérations purement théoriques, pas forcément raisonnablement applicables à un patient de 58 ans dirigeant un petit commerce qui va semble-t-il assez bien." Il préconise même une éventuelle adaptation de son lieu de travail. Quant au SMR, il fixe le début de la capacité de travail au 21 octobre 2003 sans le motiver. Plusieurs médecins en 2004 et 2005 ont indiqué au recourant qu’une évolution favorable de l’épaule était possible qui lui
aurait permis d’augmenter sa capacité de travail dans l’activité de coiffeur (Dr Z._ du 9 février 2004, Dr K._ du 14 décembre 2004 qui évoque une arthrite acromio-claviculaire, Dr A._ qui évoque en page 9 de son rapport d'expertise du 30 avril 2004 une "amélioration fonctionnelle d’ici la fin de l’année [2004], Dresse B._ du 29 juillet 2005 qui pose le diagnostic de douleurs persistantes à l'épaule droite post-traumatiques). Par ailleurs, le recourant a repris le travail à 30% dès le 4 février 2003 jusqu'au 2 juillet suivant, suivi d'une interruption par suite de l'intervention du 3 juillet 2003, jusqu'au 20 octobre suivant. Le travail a ensuite été repris à 33% du 21 octobre 2003 au 20 mars 2004 et à 50% dès le 21 mars 2004. Cette augmentation de son taux d'activité a obligé le recourant à diminuer son taux de travail à 33% dès le 1
er
juillet 2004 (rapport du Dr K._ du 14 décembre 2004). Par conséquent, compte tenu des assurances données au recourant par les médecins prénommés au sujet de l'amélioration de sa capacité de travail, il y a lieu d'admettre que celui-ci aurait recouvré une pleine capacité de travail au plus tôt à la fin de l'année 2005, soit à une époque où il était âgé de 59 ans.
b)
En 2007, date à laquelle l'OAI a examiné l’exigibilité de l’abandon éventuel de l’activité d’indépendant pour une activité plus adaptée et en a informé le recourant (cf. enquête économique pour les indépendants du 27 février 2007, pp. 5-6), l’assuré était âgé de 61 ans, soit un seuil à partir duquel on peut parler d’âge avancé (cf. TFA U 218/96 du 12 juin 1997; TF 9C_918/2008 du 28 mai 2009 consid. 4.2.2, 9C_437/2008 du 19 mars 2009 consid. 4, 9C_612/2007 du 14 juillet 2008 consid. 5.1 et les références). Il est âgé de presque 62 ans au moment de la décision litigieuse. A cela s'ajoute le fait que même si finalement on retient que la question de l’exigibilité de remise de son entreprise pouvait se poser à partir de fin 2005 pour des raisons médicales (cf. consid. 7a ci-dessus), on peut estimer qu’un délai de 6 à 12 mois est nécessaire pour permettre la remise de l’entreprise de l’assuré (bail, fond de commerce, goodwill, emploi de l’épouse). A cette date, l’assuré était âgé de 60 ans, ce qui est également un seuil à partir duquel on peut parler d’âge avancé au sens de la jurisprudence précitée.
Ainsi, dans le cas particulier, le recourant a pratiqué pendant une quarantaine d'années la profession de coiffeur et a dû cesser d’exercer cette profession en raison d’un accident. Son état de santé lui impose de ne pas élever le bras droit. Il lui est impossible de travailler les bras tendus et de porter des charges moyennes à lourdes (Drs A._, B._ et K._). Le recourant n’a pratiquement aucune expérience professionnelle dans un autre domaine économique que celui dans lequel il a travaillé pendant plus de quarante ans. En particulier, il a toujours travaillé en qualité d’indépendant, de sorte que la reprise d’une activité salariée nécessiterait un important effort d’adaptation de sa part. Compte tenu du contexte personnel et professionnel, il paraît difficile d’exiger que le recourant abandonne son activité indépendante pour se lancer dans une recherche hasardeuse d’un emploi adapté à ses limitations fonctionnelles, d’autant plus que de tels postes sont très prisés par de plus jeunes assurés ayant également des limitations fonctionnelles. On relèvera également que le recourant est parvenu à force d’adaptation à augmenter son chiffre d’affaires en 2006. On peine finalement à imaginer qu’un employeur eût consenti à engager le recourant, eu égard à l’âge de celui-ci et au temps nécessaire qu’il lui aurait fallu pour s’adapter à un emploi d’emblée limité dans le temps. Dans ces conditions, il faut considérer que, même dans un marché du travail équilibré, le recourant n’a pas de possibilités suffisantes de retrouver un emploi adapté à son état de santé, à quatre ans de l’âge de la retraite. Au reste, il y a lieu de relever que le recourant s'est efforcé de réduire le dommage en continuant son activité et en l'adaptant à son état de santé; il a ainsi changé de clientèle, ce qui a induit une légère diminution de ses frais généraux. Coiffeur indépendant depuis 1972, le recourant a acquis "un statut social évident" (enquête économique du 27 février 2007, p. 5) et il aurait, aux dires des auteurs de cette même enquête, vraisemblablement peu de ressources pour faire un autre travail qui lui permettrait d'atteindre le même statut social. Selon la jurisprudence, on ne peut raisonnablement attendre d'un assuré qu'il se résigne à une activité comportant un recul social manifeste, sauf si on doit admettre qu'il aurait vu, même s'il était resté valide, sa position s'amoindrir pour des facteurs conjoncturels ou des motifs personnels ou lorsqu'il ne subit qu'une légère diminution de son revenu. Aucune de ces hypothèses n'est réalisée en l'espèce puisque le chiffre d'affaires était en augmentation avant l'accident et que la différence de salaire obtenu en exerçant une activité industrielle légère, soit 51'532 fr. 45, s'élève à environ 15'000 fr. comparé au revenu sans invalidité de 66'204 fr. Cette différence doit être qualifiée de notable. On peut dès lors retenir qu’il n’était pas exigible que l’assuré abandonnât son activité indépendante avec tout ce que cela eût impliqué pour reprendre une activité salariée. La capacité de travail étant de 50% dans l'activité habituelle, il n'y a pas lieu à une évaluation économique.
c)
Le recourant conclut à l'octroi d'une rente d'invalidité entière à partir du 28 janvier 2003. Dans son avis du 1
er
mars 2005, le SMR retient une incapacité de travail durable dès le 28 janvier 2003. Dans sa teneur en vigueur avant le 1
er
janvier 2008 (cf. supra consid. 3), l'art. 29 LAI prévoyait que le droit à la rente au sens de l'art. 28 LAI prend naissance au plus tôt à la date dès laquelle l'assuré présente une incapacité de gain durable de 40% au moins (art. 7 LPGA; let. a), ou l'assuré a présenté, en moyenne, une incapacité de travail de 40% au moins pendant une année sans interruption notable (art. 6 LPGA; let. b).
En l'espèce, dans son avis SMR du 1
er
mars 2005, l'OAI a retenu que le recourant présentait une incapacité de travail durable dès le 28 janvier 2003. Le recourant en infère une incapacité de gain durable dès cette date (hypothèse visée par l'art. 29 al. 1 let. a LAI). Or, c'est l'incapacité de travail qui a été en moyenne de 40% dès cette date, ainsi que le Dr K._ l'a rappelé dans son avis médical du 14 décembre 2004, et non l'incapacité de gain, laquelle fait référence au salaire susceptible d'être perçu par le recourant dans une activité adaptée. C'est donc dès le 1
er
janvier 2004, soit après le délai de carence d'une année prévu par l'art. 29 al. 1 let. b LAI, que l'éventuel droit à une rente d'invalidité est ouvert.
d)
Par surabondance, en retenant qu’il n’est pas exigible que l’assuré exerce un nouveau travail dans une activité adaptée, l'incapacité de travail de 50% (cf. décision du 11 juin 2008) se confond avec le taux d’invalidité (même activité). A noter que le préjudice économique pour les années 2004 et 2005 qui ressort de l’enquête économique du 27 février 2007 et qui s’élève à 64% constitue une perte de gain pure et non une perte de gain due à l’invalidité. A cet égard, en faisant une moyenne entre les années 2004 (21'813 fr.), 2005 (23'196 fr.) et 2006 (31'503 fr. 55, année d’augmentation du revenu d’invalide), soit 25'504 fr. auquel on ajoute 9,5% à titre de cotisations sociales, on obtient un revenu d'invalide de 27'927 fr. Comparé au gain sans invalidité de 69'279 fr., soit le revenu annuel obtenu en 2002, additionné de l'augmentation annuelle moyenne des trois années précédentes (cf. mémoire de recours, p. 12), on aboutit à un taux de 59%, ouvrant droit à une demi-rente de l’assurance-invalidité.
e)
En ce qui concerne les rentes pour les enfants B.F._ et C.F._ - prestations accessoires et dépendantes de la rente principale -, tous deux majeurs au moment du droit à la rente de leur père, pour la durée de leur formation, il convient de renvoyer la question à l’OAI, rien au dossier n’indiquant que les enfants soient encore en formation le 1
er
janvier 2004.
8.
En définitive, il y a lieu d'admettre le recours. La décision entreprise est réformée en ce sens que le recourant a droit à une demi-rente de l'assurance-invalidité à partir du 1
er
janvier 2004. Le dossier est renvoyé à l'OAI en ce qui concerne les éventuelles rentes pour les enfants B.F._ et C.F._.
9.
En dérogation à l'art. 61 let. a LPGA, la procédure de recours en matière de contestations portant sur l'octroi ou le refus de prestations de l'AI devant le Tribunal cantonal des assurances est soumise à des frais de justice. Toutefois, selon l'art. 52 LPA-VD, des frais de procédure ne peuvent être exigés de la Confédération et de l'Etat, auxquels doivent être assimilés les offices chargés de l'exécution des tâches de droit public, comme les offices AI des cantons selon les art. 54 ss LAI.
10.
Le recourant, qui obtient gain de cause, a droit à des dépens (art. 61 let. g LPGA) et 55 LPA-VD), comprenant une participation aux honoraires de son avocat, lesquels doivent être fixés d'après l'importance et la complexité du litige, sans égard à la valeur litigieuse (art. 61 let. g LPGA; art. 7 TFJAS [Tarif du 2 décembre 2008 des frais judiciaires et des dépens en matière de droit des assurances sociales, RSV 173.36.5.2]). En l'espèce, il y a lieu de fixer à 2'000 fr. l'indemnité de dépens à verser par l'OAI au recourant, compte tenu notamment d'un double échange d'écritures.