Decision ID: b6ec5dfa-6a0d-47e7-b7a4-8c25c3bf35f1
Year: 2011
Language: fr
Court: VD_TC
Chamber: VD_TC_004
Canton: VD
Region: Région lémanique
Law Area: social_law

E n f a i t :
A.
R._ (ci-après l’assurée), née le 12 juin 1949, coiffeuse de formation, travaillait comme nettoyeuse. Le 10 juin 2002, en effectuant des travaux de nettoyage, elle a été déséquilibrée de sa hauteur, se recevant sur le siège. Le 21 août 2002, elle s'est rendue chez le Dr D._, à Vevey, lequel l'a mise en incapacité de travail de 50 %, à compter du 21 août 2002, et de 100 % dès le 27 août 2002 et prescrit un traitement de soutien; le diagnostic de contusion-écrasement du sacrum et blocage L5-S1 post-traumatique a été posé. Une scanographie du sacrum a révélé une discopathie L5-S1 en l'absence de fracture objectivable.
A l'issue de l'examen clinique du 22 novembre 2002, la Dresse N._, remplaçante du médecin d'arrondissement de la CNA Lausanne, a retenu que R._ présentait un trouble douloureux tendant à se chronifier, à se diffuser, plus de cinq mois après une chute sur la région . A pareil délai d'évolution, elle s'étonnait de voir s'étendre le tableau douloureux à la région médio-dorsale, cervicale et au membre supérieur droit, le status mettant nettement en évidence des signes de non-organicité et des phénomènes d'amplification. En l'absence d'éléments neurologiques déficitaires ou irritatifs, un certain déconditionnement était constaté chez la patiente, obèse, en hyperlordose. La Dresse N._ conclut à la présence d'une disproportion entre l'émergence du trouble douloureux rebelle allégué et la chute initiale qui avait cessé de déployer ses effets.
Par décision du 10 décembre 2002, la CNA a mis un terme, avec effet rétroactif au 21 novembre 2002, au paiement des prestations légales d'assurance, motif pris, en substance, que les troubles subsistant au-delà de cette date n'étaient plus dus à l'accident assuré de par leur nature exclusivement maladive. Elle a rejeté le 18 mars 2003 l’opposition de l’assurée et confirmé sa décision du 10 décembre 2002. Un recours contre cette décision sur opposition a été rejeté le 19 janvier 2007 par le Tribunal des assurances du canton de Vaud.
Une arthrographie-
irm
de l'épaule droite a été réalisée le 12 décembre 2002 à l’Hôpital de la Providence à Vevey. Le Dr J._, du service de radiologie, a diagnostiqué une tendinopathie du supra-épineux avec image de déchirure profonde, non transfixiante au niveau de l'insertion. Une IRM lombaire et du sacrum a été réalisée le 20 mars 2003 dans le même établissement. Le Dr J._ a constaté des discopathies L2 – S1 avec "bulging" prédominant entre L4 et S1.
Selon un rapport médical du 3 avril 2003 du Dr B._, spécialiste FMH en anesthésiologie, l’assurée souffrait de lombalgies à prédominance droite, sans composante irritative, d’une discopathie L5-S1 avec compromission des articulations postérieures, d’une gastro-oesophagite et de surcharge pondérale. Elle présentait aussi un début de symptomatologie dépressive.
B.
L’assurée a déposé le 10 juin 2003 une demande de prestations de l’assurance-invalidité auprès de l’Office de l’assurance-invalidité du canton de Vaud (OAI).
Selon le rapport médical du 19 juin 2003 du Dr D._, médecin praticien, l’assurée souffrait d’une coccygodynie post-traumatique et de lombalgies chroniques à titre d’atteintes ayant des répercussions sur la capacité de travail, ainsi que d’une surcharge pondérale. A son avis, ces atteintes rendaient inexigible l’activité exercée jusqu’en 2002 par l’assurée et excluaient toute autre activité « dans ces conditions ».
Selon un rapport médical du 14 juillet 2003 du Dr K._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique, l’assurée souffrait d’une gonalgie gauche sur conflit fémoro-patéllaire externe, de douleurs de l'épaule droite et du coccyx. Concernant la capacité de travail, le Dr K._ déclarait que l’assurée avait été en incapacité de travail à 100 % entre le 9 avril 2002 et le 2 juin 2002, puis à 50 % entre le 3 juin et le 16 juin 2002. Il ne lui avait pas donné d'arrêt de travail tant pour le problème d'épaule que pour les douleurs du coccyx post-traumatiques.
Une IRM du genou droit a été réalisée le 3 février 2004 à l’Hôpital de la Providence à Vevey. Selon le rapport du Dr Z._, du service de radiologie, une chondropathie rotulienne importante avec quasi-disparition du cartilage sur le rebord externe de la rotule avec une dégénérescence mucoïde du ménisque interne sans signe de déchirure a été diagnostiquée.
Selon un rapport médical du 1er octobre 2004 de la Dresse L._, spécialiste FMH en médecine interne et rhumatologie, une fibromyalgie, un excès pondéral, métatarsalgies sur troubles statiques des deux pieds avec hallux rigidus bilatéral, et enfin un syndrome rotulien prédominant à gauche avaient déjà été diagnostiqués en février 1997. L’assurée souffrait d'un syndrome douloureux musculo-squelettique diffus, présent depuis plusieurs années et qui s’était majoré à la suite d'une chute dans l'axe survenu en juin 2002. Il en a résulté une probable fracture du coccyx qui a nécessité une résection de pièces coccygiennes, sans modification de la symptomatologie douloureuse. Par la suite des investigations neuroradiographiques ont été réalisées qui ont démontré des troubles dégénératifs lombaires bas, mais sans atteinte radiculaire. Un avis neurochirurgical n'avait du reste pas permis de retenir de sanction chirurgicale à ses problèmes. Le tableau douloureux en octobre 2004 était dominé par des douleurs musculo-squelettiques diffuses qui avaient déjà été mises en rapport avec une fibromyalgie en 1997, diagnostic que l'on pouvait toujours retenir tout en précisant qu'un trouble somatoforme douloureux persistant était également probable. La thymie ne paraissait pas clairement dépressive.
Selon un rapport du 11 octobre 2004 du Dr Q._, spécialiste FMH en rhumatologie et médecine interne, les points de fibromyalgie ACR 1990 étaient présents à 8/18, rendant le résultat non-significatif. En revanche, le praticien a constaté une atteinte à la santé ostéoarticulaire multiple caractérisée d'une part par des lombo-pygialgies bilatérales, pour lesquelles on pouvait retenir une étiologie aspécifique puisque liée essentiellement à des troubles dégénératifs caractérisés par des discopathies lombaires étagées, d'autre part à un status après résection partielle du coccyx en automne 2003. L'examen clinique révélait indiscutablement un syndrome lombo-vertébral statique et cinétique, mais l'absence de signes irritatifs ou déficitaires d'un point de vue neurologique aux membres inférieurs. En corollaire, l’assurée souffrait d'un important déconditionnement physique avec relâchement de la ceinture abdominale, dysbalances musculaires lombaires étagées, dans le cadre d'une obésité, ce qui pouvait entretenir ses lombalgies. L’assurée souffrait également de douleurs au niveau de l'épaule droite que le Dr Q._ a mis sur le compte d'un conflit sous-acromial droit avec des signes de tendinopathie du sus-épineux et du sous-scapulaire droit, qui avaient déjà été corroboré par un examen IRM de l'épaule droite en 2002, révélant une déchirure partielle du sus-épineux droit. De l’avis du Dr Q._, comme le diagnostic de fibromyalgie ne pouvait au sens strict pas être retenu, les doléances de l’assurée pouvaient tout à fait être expliquées par les constatations de l'examen clinique et des examens para-cliniques radiologiques et IRM qui ont déjà été effectués.
Le 2 novembre 2004, le Dr D._ a produit un nouveau rapport médical dans lequel il constatait en particulier, outre le maintien des lombalgies chroniques et de la coccygodynie, un état anxio-dépressif majeur. Il maintenait son appréciation de juin 2003 concernant la capacité de travail.
L’assurée a été examinée le 9 novembre 2004 par le Dr X._, spécialiste en médecine interne et en rhumatologie, du Service de rhumatologie, médecine physique et réhabilitation du Centre hospitalier universitaire vaudois (CHUV), qui a déposé un rapport du 19 novembre 2004. Après avoir constaté que 12 points de fibromylagie sur 18 étaient présents, il a diagnostiqué des rachialgies diffuses cervico-dorso-lombaires chroniques non spécifiques, un périarthrite scapulo-humérale droite, une gonarthrose bilatérale et, à titre de co-morbidités, notamment un état anxio-dépressif réactionnel. A son avis, l'anamnèse systématique montrait clairement une dépression réactionnelle, pour laquelle l’assurée recevait d'ailleurs du Saroten depuis environ un mois.
Dans le cadre de la procédure en matière d’assurance-accident, le Tribunal des assurances du canton de Vaud avait ordonné une expertise judiciaire auprès du Dr W._, spécialiste FMH en chirurgie orthopédique et traumatologie. Selon le rapport du 28 janvier 2005, le Dr W._ diagnostiquait une surcharge mécanique des deux articulations sacro-iliaques et une surcharge des sites arthrosiques (colonne lombaire). A son avis, l’activité de femme de ménage était certainement impossible (travaux en porte-à-faux, nombreux escaliers, escabeau, etc.). Un reclassement lui paraissait souhaitable, en tenant compte du fait que la ceinture pelvienne restait sensible. Dans cette activité encore à définir, une éventuelle reprise à 75 % était probablement plausible. Une reprise à 100 % devrait être appréciée ultérieurement. Dans son complément d’expertise du 8 mars 2006, le Dr W._ releva que l’on était en présence d’une décompensation systémique de tout l'appareil locomoteur. Interpellé par l’OAI sur la capacité de travail de l’assurée, le Dr W._ répondit le 16 octobre 2006 qu’il confirmait que la patiente avait une limitation chronique dans les mouvements en porte à faux et que, par conséquent, un travail comme nettoyeuse, coiffeuse ou toute autre activité adaptée pouvait difficilement dépasser un 50 %.
Le Dr G._ du Service médical régional (SMR) a considéré dans son avis du 22 novembre 2006 que la prise de position du Dr W._ du 16 octobre 2006 ne le renseignait que très succinctement, l’empêchant de conclure sur cette base.
L’assurée a séjourné du 6 au 27 janvier 2005 à la clinique de rhumatologie et de réhabilitation de Loèche-les-bains. Le rapport de sortie du 9 février 2005 du Dr C._, médecin-chef, et F._, médecin-assistant, posa essentiellement les diagnostics suivants: fibromyalgie secondaire, syndrome douloureux lombo-vertébral, gonarthrose, hyothyroïdie et état dépressif. Selon le rapport de sortie du Dr F._ du 26 janvier 2005, l’assurée avait, d’un point de vue rhumatologique, une capacité de travail dans une activité légère sans position contrainte et sans port de charges lourdes. Un consilium psychologique de V._, psychologue, se rapportant à des entretiens les 13 et 20 janvier 2004 (recte: 2005), relevait une évolution douloureuse chronique allant toujours plus en direction de la symptomatologie claire de fibromyalgie secondaire ainsi que de dépression progressive (« zunehmend depressiven Symtomatik »).
Le 9 août 2005, l’assurée a été examinée par le Dr P._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, du service d’anesthésiologie du CHUV. Ce praticien a posé le diagnostic suivant : probable trouble somatoforme douloureux, épisode dépressif sévère avec symptômes psychotiques. Il motive son diagnostic comme suit :
«
Status psychiatrique:
Patiente faisant son âge, de tenue et présentation soignée. D'emblée, dans la consultation, la patiente afficha une certaine réticence, déclarant qu'elle ne voit pas vraiment l’intérêt de voir un psychiatre étant donné qu’elle n'est pas folle. La patiente affiche une mimique triste, parfois au bord des larmes. Elle est consciente, orientée aux 4 modes, collaborante. Le discours est globalement cohérent, assez peu élaboré. La pensée est rétrécie par rapport à la problématique douloureuse. La pensée est légèrement circonstanciée. La thymie est franchement abaissée, avec baisse de l’estime de sol, par moments idées noires sans projet suicidaire élaboré. La patiente mentionne d'importants troubles de la concentration, une anédonie, une baisse et une inhibition du dynamisme. Le sommeil est également perturbé, avec plus de 2 heures de réveil par nuit (que la patiente rattache principalement à ses douleurs »). L'appétit est également légèrement diminué. Il n'y a pas d’éléments délirants ni de troubles des perceptions.
Examens complémentaires
: Echelle de dépression MADRS du 09.06.05: score 30/80.
Discussion:
Au terme de mon investigation, je propose de retenir les 2 diagnostics ci-dessus. En effet, la patiente présente actuellement clairement une symptomatologie dépressive avec un MADRS à 30/00. Cet état dépressif s'Inscrit dans le cadre plus global d'une dégradation de la situation psychosociale depuis 2002 en tous cas. Dans son histoire, Mme R._ a vécu dans un climat caractérisé par la précarité financière dans l’enfance, avec une famille qui a été marquée par le drame de la perte de 4 enfants en bas âges avec les répercussions que l'on peut imaginer sur le couple parental de la patiente. La suite de sa vie a été caractérisée par une lutte constante pour pouvoir subvenir aux besoins et à l’éducation de ses 3 enfants, actuellement tous émancipés. Ensuite, en 2002, un accident avec chute semble avoir décompensé un état psychologique probablement déjà fragilisé par son parcours existentiel. Par la suite, l’évolution médicale assez typique où la patiente adopta une position « d'avoir été dès le début incomprise et non prise au sérieux ». La multiplicité des gestes invasifs et thérapeutiques ayant toujours amené des effets secondaires importants, le côté très envahissant de ta douleur et la difficulté de la patiente à verbaliser ses émotions, parlent pour un diagnostic de trouble somatoforme douloureux persistant surajouté aux lésions somatiques que tu as bien décrites. De manière assez caractéristique, Mme R._ adopta une position ambivalente par rapport au corps médical, formulant une demande d'aide, mais affichant une forte résistance lorsque je lui propose, par exemple, une modification ou un changement par rapport à son traitement antidépresseur. »
Le Dr H._, médecin praticien, médecin-chef du centre médical de [...], a traité l’assurée depuis 2003. Il a diagnostiqué chez celle-ci une fibromyalgie et des cervico-brachialgies et lombalgies chroniques persistantes depuis mars 2005. Il y a ajouté en septembre 2006 des gonalgies prédominant à gauches. A partir du 30 mars 2007, il ne mentionna plus les lombalgies chroniques ni les cervico-brachialgies, avant de diagnostiquer à nouveau les premières dès le 6 novembre 2007 et les secondes dès le 4 juin 2009. Il releva dès le 19 juillet 2007 que le status montrait des points de fibromyalgie de 18/18. Entre le 7 mai et le 15 décembre 2008, il diagnostiqua en outre une fascéite plantaire droite. Selon le rapport du 19 juillet 2007, l’assurée avait fait une chute vers Pâques 2007 avec comme conséquence une exacerbation des douleurs. Dans son rapport du 6 novembre 2007, le Dr H._ releva que la symptomatologie douloureuse était toujours présente avec des douleurs fluctuantes.
C.
Dans son rapport d’expertise du 6 février 2007, le Dr T._, spécialiste FMH en rhumatologie et médecine interne, a posé les diagnostics suivants: « Douleurs ubiquitaires de la musculature et du squelette dans un contexte de syndrome douloureux persistant, cervico-dorso-lombalgies accompagnées de pseudo-sciatalgies chroniques, gonalgies bilatérales, omalgies droites, troubles dégénératifs lombaires modérés, gonarthrose bilatérale, tendinopathie de la coiffe des rotateurs, obésité, status après résection des deux dernières pièces du coccyx le 17 septembre 2003, status après toilettage arthroscopique et section de l'aileron rotulien externe du genou gauche le 9 avril 2002 et du genou droit le 29 mars 2004 ». Il évalua la situation comme suit:
« Au-delà d'un trouble dégénératif lombaire bien réel, alliant discopathies et spondylarthrose étagée de même qu'une gonarthrose bilatérale prédominant au compartiment interne, ne laissant que peu de retentissement fonctionnel, ni les examens radiologiques ni le status ne permettent d'expliquer la globalité des symptômes présentés par l'assurée, leurs localisations, leurs intensités et leurs retentissements sur son fonctionnement actuel. L'examen clinique met en évidence un syndrome douloureux floride, entité déjà relevée par la Dresse L._ dans son rapport médical du 1er octobre 2004 annexé au dossier d'expertise.
Du point de vue rhumatologique, la capacité de travail de Mme R._ est de 50 % d'une activité professionnelle de nettoyeuse ou de coiffeuse.
Dans une activité professionnelle légère, excluant les ports de charges au-delà de 10 kg, les mouvements répétitifs du rachis en porte-à-faux, permettant l'alternance de la position assise et debout, évitant la position debout et la marche prolongée, principalement la montée et la descente des escaliers de même que les travaux accroupis, sa capacité de travail est de 80 %, ceci en tenant compte de sa diminution de rendement.
A signaler que mon appréciation fait abstraction du syndrome douloureux persistant sachant cet élément non-reconnu comme atteinte à la santé objective justifiant une incapacité de travail.
(...)
Du point de vue professionnel, le pronostic reste défavorable. Mes réserves quant au pronostic se justifiant principalement par l'importance de la symptomatologie douloureuse intéressant tant le squelette axial que périphérique, élément subjectif ne pouvant être intégré à l'appréciation objective de la capacité de travail de l'assurée. a noter que Mme R._ n'a plus retravaillé depuis le mois d'août 2002. »
D.
Dans un avis médical du 6 février 2008, le Dr D._ releva, outre la coccygodynie et les lombalgies chroniques, en particulier un état dépressif chronique avec somatisation.
E.
Un stage d’observation professionnelle au centre de formation
Afiro
à Lausanne a été ordonné pour la période entre le 5 décembre 2007 et le 4 mars 2008. Dès le 21 décembre 2007 le stage a été réduit à 50 % pour des raisons médicales. Un arrêt de travail à 100 % a été certifié par le Dr D._ dès le 6 février 2008, mettant un terme au stage. Les limitations constatées ont été: la mobilité physique, l’endurance générale, les capacités mnésiques, la concentration, l’autonomie, le sens des initiatives et le niveau scolaire. Des travaux légers et adaptés ont été proposés. L’assurée, se déplaçant avec des béquilles et devant alterner les positions, n'a pas réussi à s'impliquer. Elle a eu des difficultés à se concentrer et n'avait pas de sens logique pour exécuter son travail. La qualité et la finition étaient également insuffisantes. Par conséquent, son rendement a été symbolique. La capacité de travail et de gain de l’assurée n’a pas pu être objectivée. ll a été en effet difficile d'observer objectivement le potentiel de l'assurée, vu qu’elle a été régulièrement absente pour des traitements divers. Son taux de présence a également été réduit de moitié. Pendant la journée, ses limitations physiques empêchent la réalisation, même à court terme, d'une activité simple et adaptée.
Dans un avis médical SMR du 30 avril 2008, le Dr SMR._ a rappelé que, sur la base de l'expertise T._, un rapport d'examen SMR avait été fait, reprenant les taux de capacité de travail exigible selon l'expert. Il relevé qu'à cause des nombreuses absences et d'une diminution du taux de présence, les rendements observés pendant le stage AFIRO avaient été très fiables, tant à cause des capacités physiques qu'intellectuelles. Il a ajouté que l'échec à ce stage et l'absence de fait médical nouveau ne permettaient pas de mettre en doute les conclusions de l'expertise T._ du 6 février 2007 au sujet de l'aspect physique de l'assurée, mais a ajouté : "Par contre, face à la mention à plusieurs reprises d'une symptomatologie de type douleurs ubiquitaires, fibromyalgie et trouble somatoforme douloureux, et compte tenu du diagnostic posé en 2006 d'épisode dépressif sévère, il faut organiser une expertise psychiatrique à l'extérieur, afin de savoir si cette assurée présente une pathologie psychiatrique invalidante."
F.
Selon le rapport d’expertise du Dr M._, spécialiste FMH en psychiatrie et psychothérapie, du 18 juilllet 2008, l’assurée souffre d’une disthymie depuis 2004 et d’une fibromyalgie depuis 1997. Le Dr M._ nie l’existence d’un épisode, même léger, pour les motifs suivants:
« [I] l n'y a pas de critères suffisants ou suffisamment marqués pour atteindre le seuil d'un épisode dépressif, même de degré léger. En effet, l'humeur n'est pas déprimée à un degré nettement anormal la plupart du temps en ce sens qu'il n'y a pas de tristesse permanente, qu'il n'y a pas de diminution de l'élan vital, que l'assurée se montre comme une personne plutôt tonique et souriante, que la gestuelle et la modulation de la voix sont conservées; le simple fait qu'il existe une teinte négative dans le discours et qu'il y ait un découragement par rapport à sa situation ne suffit pas pour conclure à la présence d'une humeur dépressive à un degré nettement anormal et permanente. De même, l'anhédonie (perte de la capacité à ressentir du plaisir), si elle est présente, celle-ci n'est pas marquée dans la mesure où plusieurs activités continuent à être la source de satisfaction (s'occuper de ses plantes, faire la cuisine, rangements, crochet, broderie). (...)
Les documents médicaux du Docteur D._ (6 décembre 2004, 24 novembre 2004, 22 février 2008) mentionnent la présence d'un état dépressif ou anxio-dépressif sans que le degré de sévérité n'en soit précisé. Rappelons à ce titre que le diagnostic de dépression majeure («état anxio-dépressif majeur » dans le rapport médical Al du 24 novembre 2004) peut être de degré léger, moyen ou sévère. Dans ce même document, il n'existe pas discussion diagnostique (présence ou non de critères spécifiques). Dans le résumé de séjour du 9 février 2005 du Docteur F._ de la Clinique de rhumatologie et de réhabilitation de Loèche-les-Bains, il est fait état, sous la rubrique des diagnostics, d'une thymie dépressive. Dans ce même document il n'existe pas de status psychiatrique et les plaintes de l'assurée uniquement sont rapportées; même les plaintes ne permettent pas de conclure à la présence d'un épisode dépressif de degré même léger. Dans le rapport de consultation psychiatrique du 9 août 2005 du Docteur P._ du CHUV figurent le diagnostic d'épisode dépressif sévère sans symptômes psychotiques. Là non plus il n'existe pas de discussion diagnostique formelle, et d'autre part dans le status psychiatrique sont indiqués ce que l'assurée rapporte (troubles de la concentration, anhédonie, baisse et inhibition du dynamisme, troubles du sommeil, légère diminution de l'appétit) et ce qui est observé cliniquemen! (thymie franchement abaissée avec baisse de l'estime de soi, par moments idées noires sans projet suicidaire élaboré). La lecture de ce document ne permet pas de conclure à la présence d’un épisode dépressif de degré sévère. En outre, si l'échelle de dépression MADRS comporte un score de 30/60, la passation d'une échelle de dépression, si elle peut constituer une aide, elle n'est pas un outil diagnostic; la démarche diagnostique reste toujours l'observation clinique directe, la confrontation de ce qui est observé à ce qui est rapporté par le sujet, cela selon des critères formels partagés par la communauté scientifique (CIM, DSM). Pour les raisons exposées ci-dessus, nous nous écartons des documents précités. »
Selon le Dr M._, les deux troubles psychiques sont sans répercussion sur la capacité de travail:
« Parmi les éléments-clé de la dépression (ici dysthymie) potentiellement limitatifs pour l'exercice de l'activité professionnelle (diminution de l'énergie, diminution de la volonté, ralentissement idéomoteur, diminution de l'aptitude à penser), l'assurée rapporte un manque d'énergie parfois. Sur le plan purement psychiatrique, cet aspect ne se vérifie pas à l'observation clinique directe (absence de diminution de l'élan vital) et à l'analyse du déroulement du quotidien, la réduction des activités est le reflet de la limitation en raison des douleurs que ressent l'assurée. En effet, il s'avère que dans la mesure où les douleurs le permettent, plusieurs activités différentes sont conservées (exercices au lever, préparation des repas, soins corporels, rangements, promenades, démarches administratives, rendez-vous médicaux, nettoyage léger, repassage, travaux de couture, lessive et courses en partie, soins aux plantes). La diminution de l'énergie est donc discrète et non incapacitante. Il n'y a pas de diminution de la volonté en ce sens que l'assurée essaie, autant que les douleurs qu'elle ressent le lui permettent, d'effectuer les tâches du quotidien. Il n’y a pas de ralentissement idéique (initiative et fluidité idéiques) et le ralentissement moteur est dû aux douleurs.”
De l’avis du Dr M._, la symptomatologie dépressive n’a pas pu être incapacitante par le passé, d’autant que l’assurée indiquait une péjoration sur le plan de la dépression.
S’agissant des troubles de la concentration et de la mémoire, le rapport expose ce qui suit:
« Au cours de l'examen du 16 juillet 2008, l'assurée a compris et a répondu aux questions qui lui étaient posées sans hésitations ou temps de latence anormalement accru. Ceci étant, un test formel (soustractions à rebours répétées) a montré des difficultés de concentration. Ceci étant, celles-ci sont réduites car il s'avère par ailleurs que si R._ a renoncé à lire des livres, elle lit les quotidiens et des magazines, elle écrit des lettres et elle regarde des programmes ciblés à la télévision. Les troubles de la concentration réduits qu'elle présente ne sont pas à l'origine d'une diminution de l'aptitude au travail pour l'activité de nettoyeuse, d'emballage de produits ou de coiffeuse, activités qu'elle maîtrise bien, qui comportent des automatismes et qui ne nécessitent pas d'aptitudes cognitives élaborées et soutenues. En outre, la diminution discrète des facultés de concentration est possiblement en lien avec la médication de l'assurée et l'on peut donc agir sur cet aspect. Il n'y a pas de troubles formels de la mémoire à long terme, de même qu'il n'y a pas de troubles de la mémoire à court terme, c'est-à-dire récente et immédiate; ces aspects ont également été testés formellement. Les autres éléments (tristesse parfois, troubles du sommeil, ruminations) ne sont pas des éléments incapacitants per se. »
Dans un avis médical SMR du 14 août 2008, le Dr SMR._ a exposé notamment ce qui suit :
"L'expertise psychiatrique faite par le Dr M._ est de bonne qualité, elle décrit une vie quotidienne relativement conservée et l'absence de psychopathologie invalidante. L'expert prend position en détail par rapport aux avis psychiatriques antérieurs figurant au dossier.
Compte tenu de cette expertise, aucune incapacité de travail ne peut être imputée à une atteinte psychiatrique, dès lors seules les atteintes physiques entrent en ligne de compte.
(...)
(...) contrairement à ce qui a été écrit dans le rapport d'examen SMR du 28.02.2003, l'assurée n'a plus jamais travaillé depuis son arrêt en 2002. (...)
Le stage d'observation n'a pu être mené à bien, et on imagine difficilement comment cette assurée aurait pu atteindre un rendement convenable en se déplaçant avec des cannes.
A ce sujet il faut remarquer qu'il est difficilement compréhensible pourquoi cette assurée se déplace avec ces cannes anglaises. Il semble que ce soit à cause d'une question d'équilibre. Le status des genoux et de la région lombaire ne permet pas de comprendre cette nécessité.
Depuis l'expertise du Dr T._, aucun avis médical n'est venu contredire les conclusions de cette expertise, et aucun rapport ne fait état d'une aggravation. Le rapport du Dr D._ du 22.02.2008 signale que la situation est inchangée depuis 2003.
Par conséquent, il n'y a pas de raison de s'écarter des conclusions de ce rapport en ce qui concerne les taux de capacité de travail et les limitations fonctionnelles, mais il s'agit d'intégrer toutes ces limitations, nombreuses, lorsqu'il s'agit de conclure par une approche théorique."
G.
Le 10 juillet 2009, l’OAI a rendu une décision de refus de la demande de rente. Il a estimé en se fondant sur l’expertise du Dr M._ qu’aucune incapacité de travail ne peut être imputée à une atteinte psychiatrique, de sorte que seules les atteintes physiques entrent en ligne de compte. S’agissant de celles-ci, la capacité de travail dans l’activité habituelle d'ouvrière et de femme de ménage est exigible à 50 % depuis le 21 août 2002. Toutefois, dans une activité adaptée à son état de santé et qui tienne compte de vos limitations fonctionnelles (pas de mouvements répétitifs en porte-à-faux, pas de travaux lourds, accroupi, à genoux, avec utilisation fréquente d'escaliers et sur terrain accidenté, pas de port de charge de plus de 10 kg, pas de position statique debout et de marche prolongée), la capacité de travail est exigible à 80 % à partir du 21 août 2002. En l'occurrence, le salaire de référence est celui auquel peuvent prétendre les femmes effectuant des activités simples et répétitives dans le secteur privé (production et services), soit en 2003, 3'883 fr. par mois, part au 13ème salaire comprise (Enquête suisse sur la structure des salaires 2003. T A 1; niveau de qualification 4). Après adaptation de la durée de travail et la prise en compte d’un abattement de 15 %, Le revenu annuel d'invalide s'élève à 33'031 fr. dans une activité adaptée (travaux de montage, de contrôle, de conditionnement, de conduite ou de surveillance de machines automatiques). Comme le revenu sans invalidité s’élève à 52’000 fr., le taux d’invalidité est de 36,48%.
H.
Par acte du 14 septembre 2009, l’assurée a fait recours contre la décision de l’OAI du 10 juillet 2009. Elle conclut à l’octroi d’une rente entière d’invalidité, subsidiairement au renvoi de la cause à l’OAI pour qu'il en complète l'instruction par la mise en œuvre d'une nouvelle expertise médicale pluridisciplinaire. Elle conteste principalement la valeur probante des expertises T._ et Betz. Elle a produit des pièces.
Dans sa réponse du 9 novembre 2009, l’OAI a conclu au rejet du recours. Il nie que l’on puisse accorder pleine valeur probante aux avis du Dr W._ du 26 janvier 2005 et du 16 octobre 2006.

E n d r o i t :
1.
a)
Les dispositions de la loi fédérale du 6 octobre 2000 sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA, RS 830.1) s'appliquent à l'AI (art. 1 LAI [loi fédérale du 19 juin 1959 sur l'assurance-invalidité, RS 831.20]). Les décisions sur opposition et celles contre lesquelles la voie de l'opposition n'est pas ouverte - ce qui est le cas des décisions en matière d'assurance-invalidité (cf. art. 57a LAI) - sont sujettes à recours auprès du tribunal des assurances compétent (art. 58 LPGA). Le recours doit être déposé dans les trente jours suivant la notification de la décision sujette à recours (art. 60 al. 1 LPGA). En l'espèce, le recours, interjeté en temps utile auprès du tribunal compétent, est donc recevable.
b)
La loi cantonale vaudoise du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative (LPA-VD; RSV 173.36), entrée en vigueur le 1er janvier 2009, s'applique aux recours et contestations par voie d'action dans le domaine des assurances sociales (art. 2 al. 1 let. c LPA-VD). La Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal est compétente pour statuer (art. 93 al. 1 let. a LPA-VD).
2.
L'assureur social - et le juge des assurances sociales en cas de recours - doit examiner de manière objective tous les moyens de preuve, quelle qu'en soit la provenance, puis décider si les documents à disposition permettent de porter un jugement valable sur le droit litigieux. Si les rapports médicaux sont contradictoires, il ne peut liquider l'affaire sans apprécier l'ensemble des preuves et sans indiquer les raisons pour lesquelles il se fonde sur une opinion médicale et non pas sur une autre. C'est ainsi qu'il importe, pour conférer pleine valeur probante à un rapport médical, que les points litigieux importants aient fait l'objet d'une étude circonstanciée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes de la personne examinée, qu'il ait été établi en pleine connaissance du dossier (anamnèse), que la description du contexte médical et l'appréciation de la situation médicale soient claires et enfin que les conclusions de l'expert soient bien motivées. Au demeurant, l'élément déterminant, pour la valeur probante, n'est ni l'origine du moyen de preuve, ni sa désignation comme rapport ou comme expertise, mais bel et bien son contenu (ATF 125 V 351, consid. 3a, et les références citées; 134 V 231, consid. 5.1; TF 9C_1023/2008 du 30 juin 2009, consid. 2.1.1).
D'après une jurisprudence constante, l’OAI est tenu, au stade de la procédure administrative, de confier une expertise à un médecin indépendant, si une telle mesure se révèle nécessaire. Lorsque de telles expertises sont établies par des spécialistes reconnus, sur la base d'observations approfondies et d'investigations complètes, ainsi qu'en pleine connaissance du dossier, et que les experts aboutissent à des résultats convaincants, le juge ne saurait les écarter aussi longtemps qu'aucun indice concret ne permet de douter de leur bien-fondé (ATF 125 V 351, consid. 3b/bb p. 353). Il en va de même, selon la jurisprudence, pour les rapports des médecins des assureurs (TF 8C_565/2008 du 27 janvier 2009, consid. 3.3.2; 8C_862/2008 du 19 août 2009, consid. 4.2). Par ailleurs, selon la Haute Cour, les constatations émanant de médecins consultés par l'assuré doivent être admises avec réserve; il faut en effet tenir compte du fait que, de par la position de confidents privilégiés que leur confère leur mandat, les médecins traitants ont généralement tendance à se prononcer en faveur de leurs patients; il convient dès lors en principe d'attacher plus de poids aux constatations d'un expert qu'à celles du médecin traitant (ATF 125 V 351, consid. 3b/cc, et les références citées; Pratique VSI 2001 p. 106, consid. 3b/bb et cc).
En cas de divergence d’opinion entre experts et médecins traitants, il n’est, de manière générale, pas nécessaire de mettre en oeuvre une nouvelle expertise. La valeur probante des différents rapports médicaux doit bien plutôt s’apprécier au regard des critères jurisprudentiels (ATF 125 V 351, consid. 3a p. 252) qui permettent de leur reconnaître pleine valeur probante. A cet égard, il convient de rappeler qu’au vu de la divergence consacrée par la jurisprudence entre un mandat thérapeutique et un mandat d’expertise (ATF 124 V 170, consid. 4 p. 175), on ne saurait remettre en cause une expertise ordonnée par le juge ou l’administration et à procéder à de nouvelles investigations du seul fait qu’un ou plusieurs médecins traitants ont une opinion contradictoire, Il n’en va différemment que si ces médecins traitants font état d’éléments objectivement vérifiables ayant été ignorés dans le cadre de l’expertise et qui sont suffisamment pertinents pour remettre en cause les conclusions de l’expert (TF, arrêt 9C_776/2009 du 11 juin 2010.
Enfin, si l'administration ou le juge (art. 43 et 61 let. c LPGA), se fondant sur une appréciation consciencieuse des preuves fournies par les investigations auxquelles ils doivent procéder d'office, sont convaincus que certains faits présentent un degré de vraisemblance prépondérante et que d'autres mesures probatoires ne pourraient plus modifier cette appréciation, il est superflu d'administrer d'autres preuves ("appréciation anticipée des preuves"; ATF 130 II 425, consid. 2.1; 122 II 464, consid. 4a; 122 III 219, consid. 3c; 120 Ib 224, consid. 2b; 119 V 335, consid. 3c et la référence).
3. a)
Est réputée invalidité l'incapacité de gain totale ou partielle qui est présumée permanente ou de longue durée, résultant d'une infirmité congénitale, d'une maladie ou d'un accident (art. 8 aI. 1 LPGA et 4 al.1 LAI [loi fédérale du 19 juin 1959 sur l'assurance-invalidité, RS 831.20]). Est réputée incapacité de gain toute diminution de l'ensemble ou d'une partie des possibilités de gain de l'assuré sur un marché du travail équilibré dans son domaine d'activité, si cette diminution résulte d'une atteinte à sa santé physique, mentale ou psychique et qu'elle persiste après les traitements et les mesures de réadaptation exigibles (art. 7 LPGA). Quant à l'incapacité de travail, elle est définie par l'art. 6 LPGA comme toute perte, totale ou partielle, de l'aptitude de l'assuré à accomplir dans sa profession ou son domaine d'activité le travail qui peut raisonnablement être exigé de lui, si cette perte résulte d'une atteinte à sa santé physique, mentale ou psychique. En cas d'incapacité de travail de longue durée, l'activité qui peut être exigée de l'assuré peut aussi relever d'une autre profession ou d'un autre domaine d'activité.
b)
Pour pouvoir calculer le degré d'invalidité, l'administration (ou le juge, s'il y a eu un recours) a besoin de documents que le médecin, éventuellement aussi d'autres spécialistes, doivent lui fournir. La tâche du médecin consiste à porter un jugement sur l'état de santé et à indiquer dans quelle mesure et pour quelles activités l'assuré est incapable de travailler. En outre, les données médicales constituent un élément utile pour déterminer quels travaux on peut encore, raisonnablement, exiger de l'assuré (ATF 125 V 261 consid. 4, 115 V 134 consid. 2, 114 V 314 consid. 3c, 105 V 158 consid. 1).
Les constatations médicales peuvent être complétées par des renseignements d'ordre professionnel, par exemple au terme d'un stage dans un centre d'observation professionnel de l'assurance-invalidité, en vue d'établir concrètement dans quelle mesure l'assuré est à même de mettre en valeur une capacité de travail et de gain sur le marché du travail. Il appartient alors au médecin de décrire les activités que l'on peut encore raisonnablement attendre de l'assuré compte tenu de ses atteintes à la santé (influence de ces atteintes sur sa capacité à travailler en position debout et à se déplacer; nécessité d'aménager des pauses ou de réduire le temps de travail en raison d'une moindre résistance à la fatigue, par exemple), en exposant les motifs qui le conduisent à retenir telle ou telle limitation de la capacité de travail. En revanche, il revient au conseiller en réadaptation, non au médecin, d'indiquer quelles sont les activités professionnelles concrètes entrant en considération sur la base des renseignements médicaux et compte tenu des aptitudes résiduelles de l'assuré. Dans ce contexte, l'expert médical et le conseiller en matière professionnelle sont tenus d'exercer leurs tâches de manière complémentaire, en collaboration étroite et réciproque (ATF 107 V 20 consid. 2b; TF I 778/05 du 11 janvier 2007, consid. 6 avec d’autres références).
4.
La décision attaquée s’est fondée essentiellement sur les expertises des Dr T._ et M._. La recourante conteste la valeur probante de ces deux expertises et demande le renvoi pour une instruction complémentaire en la forme d’une expertise pluridisciplinaire.
a)
La recourante fait valoir à l’encontre de l’expertise du Dr T._ d’abord que celle-ci ne serait plus déterminante au moment de la décision, car elle a été réalisée avant la chute de l’assurée au mois de mars 2007 (recte : pendant les fêtes pascales de 2007, soit autour du 5 avril) qui aurait considérablement péjoré son état de santé. Or, si le Dr H._ a rapporté le 19 juillet 2007 la chute et ses conséquences (une exacerbation des douleurs, un épuisement et des douleurs globales), il n’a signalé par la suite que le maintien de la symptomatologie avec des douleurs fluctuantes (6 novembre 2007) et des crises douloureuses intervenant par intermittence (14 janvier 2008). Il n’appert ainsi pas que la chute de mars 2007 ait entraîné une modification notable et durable de l’état de santé de la recourante. En particulier, le fait que celle-ci use de deux cannes n’est aucunement lié à cet accident, car ce fait est déjà relevé en dans le rapport du 30 janvier 2007 du Dr H._, donc avant l’examen par le Dr T._ le 5 février 2007.
Par ailleurs, la recourante fait valoir que l’expertise T._ est contredite par plusieurs avis médicaux (Dr D._, Dr H._). Elle ne précise toutefois pas en quoi ces médecins traitants feraient état d’éléments objectivement vérifiables ayant été ignorés dans le cadre de l’expertise et qui sont suffisamment pertinents pour remettre en cause les conclusions de l’expert. On relèvera en particulier que l’état d’épuisement de la recourante constaté par le Dr H._ avait été lié par ce praticien en juillet 2007 à son état moral; il ne constitue ainsi pas un facteur remettant en cause le bien-fondé de l’expertise rhumatologique du Dr T._. Le seul diagnostic posé par le Dr H._ qui est nouveau par rapport à ceux établis par le Dr T._ est celui de fascéite plantaire droite entre le 7 mai et le 15 décembre 2008. Vu que ce diagnostic a disparu du dernier rapport du Dr H._ le 4 juin 2009, il ne saurait constituer un indice concret susceptible de mettre en question la valeur probante de l’expertise du Dr T._ lors de la décision de l’autorité intimée.
La recourante reproche aussi au Dr T._ une approche exclusivement théorique de sa capacité résiduelle de travail et de rendement. Elle relève que le Dr T._ émettait des réserves quant à la capacité de travail et de gain avec et sans invalidité de la recourante dans le passage suivant de son rapport : “Du point de vue professionnel, le pronostic reste défavorable. Mes réserves quant au pronostic se justifiant principalement par l'importance de la symptomatologie douloureuse intéressant tant le squelette axial que périphérique, élément subjectif ne pouvant être intégré à l'appréciation objective de la capacité de travail de l'assurée.”
L’analyse du Dr T._ repose d’abord sur le présupposé de la non-prise en considération de la fibromyalgie ou du syndrome douloureux persistant, car il affirme que son “son appréciation fait abstraction du syndrome douloureux persistant sachant cet élément non-reconnu comme atteinte à la santé objective justifiant une incapacité de travail”. Cette approche est erronée dans l’absolu, car la jurisprudence n’exclut pas sans réserve la fibromyalgie ou les syndromes douloureux chroniques des atteintes à la santé justifiant une limitation de la capacité de travail.
L’analyse du Dr T._ repose ensuite sur une distinction des conséquences rhumatologiques (à savoir principalement celles du trouble dégénératif lombaire) des conséquences du syndrome douloureux sur la capacité de travail. Cette distinction est faite à juste titre. La réserve susmentionnée du Dr T._ sur le pronostic professionnel de la recourante montre simplement que l’expert est conscient que le syndrome douloureux influera sur la capacité de travail effective de la recourante, même si cette influence ne sera pas prise en considération par l’assurance-invalidité (cf. la distinction entre les aspects subjectifs et objectifs). Cette réserve ne modifie pas la valeur probante de l’expertise.
La recourante fait valoir enfin que le déroulement du stage AFIRO entre décembre 2007 et février 2008 aurait dû amener l'OAI à effectuer des investigations médicales complémentaires. Si des limitations fonctionnelles (“pas de port à faux, pas de port de charges, pas de génuflexions, éviter les escaliers et les terrains accidentés, et alternance des positions nécessaire”) ont été constatées lors du stage, il n’y a pas eu de distinction entre les limitations résultant des troubles rhumatologiques et celles liées au syndrome douloureux persistant. Dans la mesure où le Dr T._ a relevé la présence de nombreux signes de surcharges fonctionnels, principalement une exagération de la réponse verbale, une projection non-anatomique de la douleur, des autolimitations et des mouvements de contrepulsion, l’appréciation des limitations fonctionnelles dans le rapport de l’AFIRO ne suffit pas pour douter du bien-fondé de l’expertise. Il en va de même pour l’incapacité de travail ordonnée pendant le stage d’abord à 50 % puis à 100 % “pour raisons médicales”, sans autres précisions. Le rapport du Dr D._ du 22 février 2008, soit après l’octroi d’un certificat médical le 6 février 2008 prononçant une incapacité totale de travailler, relève essentiellement, outre la fibromyalgie, une douleur invalidante au niveau cervical et dorsal avec une attitude de plus en plus figée, ainsi qu’une diminution de résistance et un état dépressif. Les rapports médicaux postérieurs du Dr H._ du 7 mai et du 29 juillet 2008 relèvent certes une recrudescence des douleurs à l’occasion du stage AFIRO, mais ces douleurs n’y sont pas davantage que par le passé associées spécifiquement aux lombalgies chroniques. Le déroulement du stage AFIRO ne constitue donc pas un indice concret mettant en doute le bien-fondé de l’expertise du Dr T._.
En revanche, la valeur probante de l’expertise doit être relativisée par le fait que la délimitation faite par le Dr T._ entre les conséquences des troubles rhumatologiques et celles du syndrome douloureux persistant est insuffisamment motivée. S’il ressort clairement de son argumentation que les troubles rhumatologiques ne peuvent pas expliquer la globalité des symptômes et des plaintes, de sorte qu’une partie de ces symptômes et plaintes doit découler du syndrome douloureux persistant, le Dr T._ n’explique pas comment il arrive à la conclusion que les troubles rhumatologiques ne limitent que de 20 % la capacité de travail de l’assurée dans une profession adaptée. Eu égard à son affirmation que l'examen clinique restait difficile d'interprétation en raison de la présence de nombreux signes de surcharges fonctionnels, principalement une exagération de la réponse verbale, une projection non-anatomique de la douleur, des autolimitations et des mouvements de contre-pulsions, il eût été nécessaire de préciser quelle partie des symptômes découle effectivement des troubles rhumatologiques avant de décréter quelles sont les limitations que cela entraîne. Or, l’expertise ne se prononce pas de manière substantielle sur les conséquences des troubles lombaires. Elle relève uniquement dans le diagnostic que les troubles sont modérés et, dans la discussion, que la palpation segmentaire rachidienne relève des douleurs mal systématisées, que les mobilisations tronculaires provoquent tachypnée et gémissements, que la palpation segmentaire reste globalement douloureuse intéressant tous les segments lombaires, médianes paramédianes bilatérales, s'associant des zones insertionnelles intégrant les crêtes iliaques et la musculature fessière prédominant à droit. A cela s’ajoute que le Dr T._ ne fait aucune allusion à l’expertise judiciaire du Dr W._ et ne se prononce pas sur les facteurs motivant la divergence entre son appréciation de la capacité de travail de l’assurée et celle du DrW._ datée du 16 octobre 2006.
En conclusion, la valeur probante de l’expertise du Dr T._ n’est pas entière.
b)
La recourante conteste la valeur probante de l’expertise du Dr M._ d’abord au motif que celui-ci s’est écarté, sur la base d’un seul entretien, de plusieurs avis de ses confrères qui concluaient à l'existence d'un état dépressif majeur lors de plusieurs consultations psychiatriques. Or, le nombre d’entretiens de l’expert avec l’assurée n’est pas un critère déterminant du caractère probant d’une expertise psychiatrique; il constitue tout au plus — conjointement à la durée de l’entretien — un indice du sérieux avec lequel l’expertise a été menée. En l’espèce, le fait que l’expert ait consacré six pages à l’anamnèse et fournisse nombre de détails ne figurant pas autrement au dossier montre au contraire que l’expert a mené un entretien approfondi. De plus, l’expert motive en détail et de manière convaincante pourquoi il s’écarte des avis antérieurs des médecins.
La recourante critique par ailleurs le fait que l’expert n’a pas mené de tests psychométriques. Selon la jurisprudence, de tels tests n’ont qu'une valeur indicative et doivent être interprétés avec prudence; la réalisation de tests standards ne peut remplacer le travail concret de l'expert (TF 9C_1072/2008 du 13 octobre 2009, consid. 2.1). Dans la mesure où l’expert expose en détail les motifs de ses conclusions, l’absence de tests psychométriques ne suffit pas à elle seule pour mettre en cause la valeur probante de l’expertise.
La recourante critique aussi l’analyse par le Dr M._ des troubles de la concentration et de la mémoire au motif que l’expert n’a pas tenu compte des constatations du stage AFIRO. En effet, le rapport de stage du 11 février 2008 avait constaté que l’assurée avait une capacité faible d’attention et de concentration, ce qui constituait une limitation à l’activité professionnelle; le rapport relevait que l’assurée avait des difficultés à se concentrer et n'avait pas de sens logique pour exécuter son travail. En revanche, l’expertise du Dr M._ conclut que la vigilance et l’attention sont sans particularité, malgré la présence de troubles discrets de la concentration, et qu’il n’y a pas de troubles de la mémoire à court terme ou à long terme. Si un test formel (soustractions à rebours répétées) a mis en évidence des difficultés de concentration, le Dr M._ les a estimées réduites en raison de l’aptitude de l’assurée à lire, écrire et suivre des émissions télévisées. Selon le Dr M._, les troubles de la concentration ne sont pas à l'origine d'une diminution de l'aptitude au travail pour l'activité de nettoyeuse, d'emballage de produits ou de coiffeuse, activités que l’assurée maîtrise bien, qui comportent des automatismes et qui ne nécessitent pas d'aptitudes cognitives élaborées et soutenues. Le Dr M._ ne se prononce pas sur les constatations différentes faites lors du stage AFIRO puisqu’il n’associe à ce stage qu’une recrudescence des douleurs. Même si le stage n’a pas été complet, les deux mois ont constitué une période suffisamment longue pour évaluer la capacité de concentration de l’assurée dans des activités professionnelles. Certes, le Dr M._ a déclaré possible que la diminution des facultés de concentration soit en lien avec la médication de l'assurée et l'on puisse agir sur cet aspect; cette estimation n’a toutefois été corroborée par aucun test et n’expose qu’une simple éventualité. La valeur probante de l’expertise est donc réduite dans la mesure où elle porte sur la capacité de travail de la recourante dans une profession adaptée.
5.
Le dossier ne permet pas de compenser la valeur probante limitée des expertises T._ et M._ sur la capacité de travail résiduelle et les limitations fonctionnelles de l'assurée:
a)
L’avis du Dr W._ du 16 octobre 2006 sur les limitations de la capacité de travail de la recourante est beaucoup trop succinct et insuffisamment motivé pour avoir pleine valeur probante. D’autant que le Dr W._ était moins tranchant dans son expertise du 28 janvier 2005: s’il considérait tantôt comme « difficile » tantôt comme « certainement impossible » le retour dans son activité de femme de ménage, il déclarait souhaitable un reclassement dans une autre activité et « probablement plausible » une activité à 75 %, voire plus. Le Dr W._ n’explique pas dans son avis du 16 octobre 2009 les facteurs qui le conduisent à conclure qu’une activité adaptée tenant compte de la limitation chronique dans les mouvements de porte à faux pouvait difficilement dépasser un 50 %. De plus, contrairement à ce que la recourante soutient, il n’est pas clair si le Dr W._ a effectivement examiné la recourante avant de rendre son avis du 16 octobre 2006. Certes, le Dr G._ du SMR avait déclaré en novembre 2006 que le Dr W._ avait examiné récemment l'assurée, mais cela peut se rapporter aux examens faits dans le cadre de l’expertise judiciaire. Comme en outre le complément d’expertise du 8 mars 2006 ne relève pas un nouvel examen de l’assurée, on ne peut exclure que l’avis du 16 octobre 2006 repose essentiellement sur le dossier et les examens faits en décembre 2004 avant l’expertise de janvier 2005.
b)
Le Dr H._ ne s’est pas prononcé sur la capacité de travail de l’assurée. Il a mentionné dans deux rapports du 10 mars et du 8 avril 2005 des limitations fonctionnelles en raison de l’épaule. Cette limitation disparaît toutefois des rapports ultérieurs.
c)
Le Dr D._ s’est prononcé sur la capacité de travail résiduelle et les limitations fonctionnelles de l’assurée dans ses rapports du 19 juin 2003 et du 6 février 2008. Il a nié dans ce dernier toute capacité de travail non seulement dans sa profession habituelle, mais aussi dans toute autre activité. Toutefois, contrairement aux différents experts qui ont examiné l’assurée sur mandat des assurances (Dr W._, T._, M._) et à la plupart des autres médecins traitants depuis 2005 (Drs C._ et F._ et le Dr H._), il ne diagnostique ni fibromyalgie ni syndrome douloureux persistant. Dans la mesure où l’on peut admettre avec une vraisemblance prépondérante que la recourante souffre aussi d’une fibromyalgie ou d’un syndrome douloureux persistant, le fait que le Dr D._ fasse abstraction de ces atteintes à la santé et ne différencie pas son appréciation de la capacité de travail résiduelle et des limitations fonctionnelles de sa patiente en fonction des atteintes relativise notablement la force probante de ses rapports médicaux.
d)
Le Dr Q._ ne s’est pas prononcé sur la capacité de travail de l’assurée. Il a néanmoins déclaré que les doléances de celle-ci pouvaient tout à fait être expliquées par les constatations de l'examen clinique et des examens para-cliniques radiologiques et IRM qui ont déjà été effectués, donc par les lombalgies et gonalgies. Il en découle que les limitations fonctionnelles pourraient être autant dues aux atteintes rhumatologiques qu’à la fibromyalgie ou au syndrome douloureux persistant.
e)
Le Dr SMR._ du SMR a repris à son compte dans ses avis du 30 avril 2008 et du 14 août 2008 l’appréciation des Drs T._ et M._ quant à la capacité résiduelle de travail. Il ne s’est pas prononcé sur la délimitation des conséquences de la fibromyalgie et des troubles rhumatismaux sur la capacité de travail. S’il avait le 30 avril 2008 relevé que le stage AFIRO avait mis en évidence des rendements très faibles à cause des capacités tant physiques qu’intellectuelles, il ne faisait plus allusion le 14 août 2008 à de quelconques atteintes intellectuelles, laissant entendre que l’absence de rendement lors du stage AFIRO était due au déplacement avec des cannes.
Bien que l’avis du Dr SMR._ du 30 avril 2008 ait déclaré que « sur la base de [l’] expertise du Dr T._, un rapport d'examen SMR a été fait, reprenant les taux de capacité de travail exigible de l'expert », l’avis médical du Dr G._ du 28 février 2007 a repris les taux de l’expertise sans procéder à un examen clinique supplémentaire ni se prononcer sur la délimitation entre les conséquences de la fibromyalgie et celle des atteintes lombaires. Cet avis médical du 28 février 2007 ne fait même aucune allusion à une fibromyalgie ou à un syndrome douloureux persistant, que ce soit parmi les pathologies du ressort de l’AI ou parmi celles qui ne sont pas du ressort de l’AI.
6.
Au vu de ce qui précède, le recours doit être admis, la décision attaquée annulée et la cause renvoyée à l’autorité intimée pour instruction complémentaire. Il appartiendra à l’autorité intimée de compléter l’instruction notamment :
-- sur la délimitation des limitations fonctionnelles et de la capacité de travail résiduelle qui résulte des troubles rhumatismaux d’une part et de la fibromyalgie ou du syndrome douloureux persistant d’autre part;
-- sur les troubles de l’attention et de la concentration.
En dérogation à l'art. 61 let. a LPGA, la procédure de recours en matière de contestations portant sur l'octroi ou le refus de prestations de l'assurance-invalidité devant le tribunal cantonal des assurances est soumise à des frais de justice (art. 69 al. 1 bis LAI). Toutefois, selon l'art. 52 LPA-VD, des frais de procédure ne peuvent être exigés de la Confédération et de l'Etat, auxquels doivent être assimilés les offices chargés de l'exécution de tâches de droit public, comme les offices AI des cantons selon les art. 54 ss LAI. Il ne sera donc pas perçu de frais judiciaires dans le cadre de la présente procédure.
Ayant obtenu gain de cause, la recourante, qui est représentée par un mandataire professionnel, a droit à des dépens (art. 55 LPA-VD et art. 61 let. g LPGA), qu'il y a lieu de fixer à 2'000 fr., compte tenu des opérations nécessaires effectuées par son avocat (art. 7 al. 1 du Tarif des frais judiciaires et des dépens en matière de droit des assurances sociales [TFJAS; RSV 173.36.5.2]).