Decision ID: 01d05a16-4d9e-4d1f-a063-0fb0d06b3921
Year: 2011
Language: fr
Court: VD_TC
Chamber: VD_TC_004
Canton: VD
Region: Région lémanique
Law Area: social_law

E n f a i t :
A.
R._, née le 20 mai 1962, séparée, est issue d'une communauté rom de Serbie sédentarisée. Après avoir fait sa scolarité à Vršac entre 7 et 10 ans, elle est restée à la maison, puis a fait un mariage coutumier à l'âge de 15 ans avec un homme issu de la même communauté, avec lequel elle a eu trois enfants.
Arrivée en 1998 en Suisse dans le contexte de la guerre, R._ a déposé une demande d'asile et obtenu un permis N. Elle n'a jamais exercé d'activité lucrative. En novembre 2003, à l'annonce d'une expulsion du territoire suisse, elle a fait un tentamen médicamenteux et a été hospitalisée du 21 au 27 novembre 2003 à l'Hôpital psychiatrique d'Yverdon. Depuis 2006, elle vit séparée, son mari l'ayant quittée pour vivre avec une autre femme. Elle n'a aucune formation, s'exprime en serbo-croate, ne parle pas le français, et n'a jamais exercé d'activité lucrative (sauf après son mariage dans une usine de coussins appartenant à son beau-père).
B.
Dans un rapport du 6 novembre 2003, le Dr Z._, de l'Unité de psychiatrie ambulatoire de Payerne, a constaté que R._ signalait un trouble de l'humeur avec de la tristesse, des pleurs fréquents, des idées noires et, depuis quelques temps, des idées suicidaires lorsqu'elle envisage la possibilité d'un retour dans son pays, avec des troubles du sommeil, et qu'elle décrivait également "des manifestations somatiques d'anxiété sous la forme de dyspnées, de palpitations et fourmillements et décrit également des contractures musculaires multiples, surtout au niveau de la nuque. Depuis l'annonce de son expulsion, la patiente décrit une réexacerbation des symptômes traumatiques liés à son ancienne agression : sursauts, peur d'être agressée, peur d'être poursuivie, méfiance, et peut-être flash, mais ceci n'est pas très clair". Le Dr Z._ a constaté que R._ avait "décrit des troubles de l'humeur depuis l'agression dont elle avait été victime il y a 5 ans, avec peut-être un syndrome de reviviscence, qui est difficile à apprécier compte tenu de l'entretien particulier", troubles qui s'étaient aggravés "ces derniers mois, suite à l'annonce de l'expulsion", et posé le diagnostic suivant :
"- Trouble de l'adaptation avec réaction mixte anxieuse et dépressive, dans le contexte d'un projet d'expulsion
- Possible syndrome de stress post-traumatique."
Dans un rapport d'hospitalisation du 19 décembre 2003, après le tentamen ayant conduit à l'hospitalisation du 21 au 27 novembre 2003, la Dresse M._ et le Dr N._ ont observé que R._ était agitée sur le plan psychomoteur et exprimait une anxiété avec une symptomatologie neurovégétative de type palpitations, tremblements et sudations, en relevant que "les idées suicidaires sont difficiles à évaluer", la patiente semblant "plutôt présenter une anticipation négative de l'avenir, avec des ruminations, plutôt que des idées suicidaires scénarisées" et se plaignant aussi de "flash-back, revivant des événements traumatisants subis dans son pays". Ces médecins ont précisé que R._ faisait "visiblement une réaction dépressive suite aux difficultés d'accueil en Suisse, ce qui aggrave un état de stress post-traumatique". Ils ont posé le diagnostic de troubles de l'adaptation avec perturbation mixte des émotions et des conduites, d'état de stress post-traumatique probable et d'abus médicamenteux.
Dans un rapport médical établi le 18 février 2004 à l'intention de l'Office fédéral des réfugiés, après avoir fait des observations identiques à celles de son rapport du 6 novembre 2003 quant aux plaintes de R._, le Dr Z._ a posé le diagnostic de "troubles de l'adaptation avec perturbation mixte des émotions (dépression et angoisse) et des conduites" et d'"état de stress post-traumatique", en pronostiquant une "probable aggravation des troubles", influencée par les perspectives d'avenir de la patiente, qui est traumatisée à l'idée de retourner dans son pays ou de voir une partie de sa famille y retourner" et en relevant qu'un retour forcé dans le pays d'origine risquait d'aggraver les troubles de l'adaptation et le syndrome de stress post-traumatique.
Dans un rapport ("lettre provisoire en correction") non signé du 4 juillet 2007, les Drs V._, B._ et U._ ont posé un diagnostic principal de "sinusite maxillaire gauche", un diagnostic secondaire d'"hypoesthésie régressive des nerfs crâniens V2 et V3" et observé trois comorbidités, à savoir hypertension artérielle, trouble anxio-dépressif et tabagisme. Dans une lettre du 4 septembre 2007, le Dr V._ a précisé que R._ avait été hospitalisée du 15 au 16 juillet 2007 pour une probable gastro-entérite et du 9 au 12 juin 2007 pour une sinusite maxillaire gauche.
C.
Par formule de demande de prestations AI pour adultes signée le 31 juillet 2007, R._ a demandé le versement d'une rente, en précisant être atteinte de troubles psychiques (dépression, anxiété, stress, traumatismes, crises de nerf) et de troubles somatiques (circulation, respiration).
Sur la formule de complément à la demande signée le 1er octobre 2007, R._ (signature originale : [...]) a déclaré que, si elle était en bonne santé, elle travaillerait à l'extérieur (nettoyages, cuisinière) à 100 % pour des raisons financières et de contact social, en ajoutant qu'elle avait travaillé à l'extérieur "dès que j'étais en âge de travailler – depuis environ 25 ans".
D.
Dans un rapport médical du 26 octobre 2007, le Dr Z._ a exposé que les plaintes subjectives de R._ et les constatations objectives à son sujet étaient identiques à celles du dernier examen, le 10 juin 2005, et a posé le diagnostic de "trouble de l'adaptation avec réaction mixte anxieuse et dépressive dans le contexte d'un projet d'expulsion" et d'"état de stress post-traumatique".
Dans un rapport du 30 novembre 2007, le Dr G._ a constaté les diagnostics ayant des répercussions sur la capacité de travail suivants : "troubles de l'adaptation avec perturbations mixtes des émotions et des conduites depuis 1998-1999" et d'"état de stress post-traumatique probable". Après avoir constaté que la capacité de travail de R._ ne pouvait pas être améliorée par des mesures médicales, il a posé un "pronostic non favorable tant sur le plan médical que professionnel".
Dans un rapport du 26 juin 2008, le Dr T._, pédopsychiatre, a posé les diagnostics de "syndrome de stress post-traumatique" et de "trouble anxieux et dépressif mixte" dans le contexte d'une immigration difficile et d'un statut légal précaire après dix ans de séjour en Suisse. Au chapitre des symptômes, ce médecin a observé une "patiente déprimée avec troubles du sommeil, ruminations, idées suicidaires [présentant] également des troubles anxieux avec une tension intérieure et de l'angoisse généralisée" et aussi "des reviviscences, des flash backs et une anticipation négative". Sur le plan des plaintes de la patiente, le Dr T._ a noté "une grande tristesse, des pleurs fréquents et des idées suicidaires notamment par crainte et dans la perspective d'un éventuel renvoi en Serbie" et "une grande anxiété (dyspnée, palpitations, fourmillements, contractures) et des troubles du sommeil".
E.
Mis en œuvre par l'Office AI pour le canton de Vaud en qualité d'expert, le Dr E._ a déposé le 13 février 2009 un rapport psychiatrique. Après un rappel synthétique mais complet de l'ensemble des rapports au dossier médical, puis une anamnèse complète (familiale, professionnelle, psychosociale et psychiatrique) suivie d'un exposé sur le déroulement du quotidien de l'expertisée et des médicaments pris par celle-ci, l'expert a exposé les plaintes et symptômes présentés par R._, notamment diverses douleurs (jambes, bras, ongles des deux gros orteils, poignets avec fourmillement dans les mains, genoux qui craquent, céphalées, calculs rénaux, angoisse et parfois vomissements, énervement et angoisse); s'y ajoutent des troubles du sommeil trois ou quatre fois par mois, une baisse d'appétit (prise de poids depuis 1 mois) et l'absence de libido, avec une préoccupation par une situation incertaine en Suisse. Si l'expertisée pleure parfois, elle n'a pas d'idées suicidaires, car une demande de permis a été faite qui lui permettrait de travailler.
Après l'examen du status psychiatrique, le Dr E._ n'a pas diagnostiqué une répercussion de l'état de l'expertisée sur la capacité de travail et relevé que le trouble panique présent depuis 2003 était sans répercussion sur cette capacité. L'expert a notamment formulé les appréciations suivantes dans la discussion :
"R._ ne souffre pas d'une personnalité pathologique dans le sens où on ne relève pas de dysfonctionnements durables dans le domaine des cognitions (perception de soi ou de l'environnement), de l'affectivité, du contrôle des impulsions ou dans le domaine interpersonnel depuis l'adolescence au plus tard, dysfonctionnements se manifestant dans tout type de situation et qui auraient pu être à l'origine d'une souffrance personnelle ou d'un impact nuisible sur l'environnement social. Cela se reflète par le fait que l'assurée ne signale pas de souffrance psychique avant 2003 environ, cela se reflète par le fait qu'il n'y a pas d'indices en faveur d'un rejet ou d'une mauvaise intégration dans sa communauté et du mode de vie qui lui est propre. (...)
Ce qui précède signifie qu'un diagnostic de personnalité pathologique ne doit donc pas être retenu.
- (...)
A l'anamnèse dirigée, R._ dit ne plus faire de cauchemars. En outre, elle parle de souvenirs diurnes par rapport à ces événements. Même si ces souvenirs peuvent être à l'origine d'une anxiété et d'une tristesse, il ne s'agit pas là de reviviscences envahissantes, c'est-à-dire envahissant toute la vie psychique, de même qu'il n'apparaît pas que le facteur de stress soit constamment remémoré ou "revécu" (cela n'est le cas qu'occasionnellement). En outre, au cours de l'examen du 11 février 2009, nous n'avons pas objectivé de symptômes persistants traduisant une hypersensibilité psychique, c'est-à-dire une hypervigilance, des réactions de sursaut exagérées, des difficultés de concentration ou une irritabilité.
Ce qui précède signifie que les critères diagnostiques B. et D. de l'état de stress post-traumatiques ne sont actuellement pas vérifiés et que par conséquent ce diagnostic ne peut pas être retenu.
- (...)
Autant la fréquence que la durée réduites des attaques de panique font que cette affection ne peut pas être considérée comme étant à l'origine d'une diminution de la capacité de travail.
- (...)
Le trouble de l'adaptation fait référence à la manifestation d'un état de détresse et de perturbation émotionnelle entravant habituellement le fonctionnement et les performances sociales, au cours d'un événement stressant. Le trouble de l'adaptation ne persiste guère au-delà de 6 mois et la symptomatologie est relativement réduite (...). R._ a présenté effectivement une symptomatologie dépressive et anxieuse en novembre 2003 ainsi que des troubles du comportement (tentamen médicamenteux), cela dans le contexte d'une menace d'expulsion du territoire suisse. Par la suite, elle dit avoir été triste également lors de la séparation de son mari en 2006, mais cet aspect n'est pas documenté dans les rapports médicaux en notre possession.
Ce qui précède signifie que la symptomatologie dépressive et anxieuse qui s'est manifestée a été incapacitante pendant des durées brèves.
R._ indique que son état s'est amélioré progressivement jusqu'à ce jour. Actuellement, elle présente une symptomatologie disparate, insuffisante pour atteindre le seuil diagnostique d'une entité nosologique d'un trouble de l'humeur, c'est-à-dire d'un épisode dépressif de degré même léger, ni de celui d'une dysthymie (forme de dépression atténuée chronique). (...)
Dans le rapport médical AI du 26 juin 2008, le Docteur METRAUX retient le diagnostic de trouble anxieux et dépressif mixte. Cette entité nosologique suppose une symptomatologie relativement réduite. Par ailleurs, l'état actuel de R._ ne permet plus de retenir ce diagnostic.
(...)
- En résumé, il s'agit d'une assurée qui a présenté une symptomatologie psychiatrique sous la forme de troubles de l'adaptation jusqu'en 2006 possiblement, épisodes qui ont été à l'origine d'une diminution de l'aptitude au travail de manière brève. La symptomatologie actuelle est réduite et non incapacitante. Il en est de même pour le trouble panique. Le diagnostic d'état de stress post-traumatique ne peut pas être retenu."
Enfin, le Dr E._ a répondu comme il suit aux questions posées :
"
B. Influence sur la capacité de travail
1. Limitations (qualitatives et quantitatives) en relation avec les troubles constatés
-
Sur le plan psychique et mental
Aucune.
- Sur le plan social
Niveau d'instruction réduit, non maîtrise de la langue de la culture dominante, non préparation à une société d'accueil axée sur la performance.
2. Influence des troubles sur l'activité exercée jusqu'ici
2.1 Comment agissent ces troubles sur l'activité exercée jusqu'ici ?
Les limitations sur le plan social citées sous B.1. ne constituent pas un trouble mental.
2.2 Description précise de la capacité résiduelle de travail
Sur le plan purement psychiatrique, elle est totale.
2.3 L'activité exercée jusqu'ici est-elle encore exigible ? Si oui, dans quelle mesure (heures par jour) ?
Oui, une activité simple est théoriquement possible à raison de 8 heures par jour.
2.4 Y a-t-il une diminution du rendement ? Si oui, dans quelle mesure ?
Non, en l'absence de ralentissement idéomoteur, de troubles de l'attention, de la concentration ou de la mémoire.
2.5 Depuis quand, au point de vue médical, y a-t-il une incapacité de travail de 20% au moins ?
L'examen du 11 février 2009 n'a pas montré un état induisant des limitations fonctionnelles sur le plan psychique entraînant une incapacité de travail durable. Si des périodes d'incapacité de travail ont existé dans le passé, elles ont été de durée brève.
2.6 Comment le degré d'incapacité de travail a-t-il évolué depuis lors ?
Il est toujours resté nul.
3. En raison de ses troubles psychiques, l'assurée est-elle capable de s'adapter à son environnement professionnel ?
Malgré ses troubles psychiques, l'assurée est capable de s'adapter, sur un plan purement psychiatrique, à son environnement professionnel.
C. INFLUENCE SUR LA READAPTATION PROFESSIONNELLE
1. Des mesures de réadaptations professionnelle sont-elles envisageables ?
Du point de vue théorique médical, il n'y a pas de contre-indication à la santé pour la mise en place de mesures occupationnelles ou de mesures socio-professionnelles de réinsertion, ou pour toute autre mesure de réadaptation professionnelle.
2. Peut-on améliorer la capacité de travail au poste occupé jusqu'à présent ?
Non, la capacité de travail étant entière.
2.1 Si oui, par quelles mesures ? (par ex. mesures médicales, moyens auxiliaires, adaptation du poste de travail)
(Le traitement actuel doit être continué).
2.2 A votre avis, quelle sera l'influence de ces mesures sur la capacité de travail ?
Le traitement actuel, psychothérapeutique et biologique psychotrope, est susceptible d'atténuer les effets de la fragilité de l'assurée (vulnérabilité à l'émergence de troubles de l'adaptation).
3. D'autres activités sont-elles exigibles de la part de l'assurée ?
Oui, toute activité correspondant à ses capacités et à son niveau d'instruction.
3.1 Si oui, à quels critères médicaux le lieu de travail doit-il satisfaire, et de quoi faut-il tenir compte dans le cadre d'une autre activité ?
Il n'y a pas de critères médicaux dont il faudrait tenir compte dans le cadre d'une autre activité.
3.2 Dans quelle mesure l'activité adaptée à l'invalidité peut-elle être exercée (par ex. heures par jour) ?
8 heures par jour.
3.3 Y a-t-il une diminution du rendement ? Si oui, dans quelle mesure ?
Non, en l'absence de ralentissement idéomoteur, de troubles de l'attention, de la concentration ou de la mémoire.
3.4 (...)
Remarques et/ou autres questions :
- Il n'y a pas d'empêchements pour les tâches ménagères du point de vue psychique.
- (...)"
F.
Dans un projet de décision du 1er juillet 2009, l'Office de l'assurance-invalidité pour le canton de Vaud a rejeté la demande de rente présentée par R._ pour le motif qu'aucun élément objectif n'indiquait une diminution ou une limitation de sa capacité de travail dans des activités professionnelles simples.
Par lettre du 2 septembre 2009, R._, par son conseil d'office, a fait opposition au projet de décision en contestant l'expertise du Dr Betz et en produisant les pièces suivantes.
- Un certificat médical complémentaire et réactualisé établi le 4 août 2009 par le Dr T._ exposant ce qui suit :
"Madame R._ est suivie à notre consultation depuis septembre 2005. En raison de troubles psychiques graves, [elle] nécessite des traitements médicamenteux et un suivi psychiatrique soutenu et régulier. En raison de rechutes et décompensation fréquentes, son état a nécessité plusieurs hospitalisations en milieu psychiatrique et vu son état actuel une nouvelle hospitalisation peut intervenir à tout moment. Dans ces circonstances un éventuel renvoi dans son pays de provenance est à proscrire absolument car il pourrait avoir des conséquences irréversibles sur son état de santé passablement fragile et également car le risque d'un acte auto agressif est fort élevé. Suite aux dernières décisions des autorités concernant le séjour de R._, cette dernière est dans un état psychique grave et le risque d'un acte auto agressif est très élevé au point que l'entourage est obligé d'être en sa présence en permanence."
- Une lettre du 4 août 2009 adressée par le Dr G._ au conseil de R._ dans laquelle ce médecin estimait "qu'on se trouve actuellement dans la même situation que lors de mon dernier rapport datant du 29 août 2008. R._ ne semble pas présenter de maladie physique grave : elle présente avant tout une fragilité psychologique importante avec des capacités d'adaptation minimes, des troubles anxieux importants, un manque d'introspection (...). Elle n'arrive pas du tout à imaginer un retour en Serbie et n'accepte aucunement cette idée. Sa fragilité psychologique pourrait l'amener à une tentative de suicide en cas d'expulsion de Suisse. Sa qualité de vie est mauvaise (...). Concernant la décision de l'AI, R._ ne présente pas de problème physique l'empêchant de travailler. Je pense cependant que ces troubles anxio-dépressifs sévères et ses plaintes somatiques chroniques, en relation avec son état émotionnel la rendent inapte à travailler."
- Un certificat établi le 6 avril 2009 par le Service de chirurgie viscérale du CHUV et un certificat établi le 25 mars 2009 par l'Hôpital cantonal de Saint-Gall relatifs tous deux à un subiléus grêle.
- Un formulaire rempli le 21 août 2008 par la Dresse Gulgun Dursen, médecin traitant depuis 2005, à l'attention du Tribunal administratif fédéral relatif à un examen du 20 août 2008 au cours duquel ce médecin a constaté que R._ était déprimée, avec des troubles du sommeil et des idées suicidaires, avec un état de stress post-traumatique, que celle-ci était inapte à voyager, avec un risque élevé de passage à l'acte qui proscrivait le renvoi.
G.
Par décision du 20 octobre 2009, l'Office de l'assurance-invalidité a rejeté la demande de rente en précisant que les rapports médicaux transmis le 2 septembre 2009 n'avaient pas apporté d'élément médical objectif en faveur d'une aggravation de l'état de santé de l'assurée et que les conclusions des Drs G._ et T._ en ce qui concerne l'aptitude au travail sont une appréciation différente d'une même situation.
Par mémoire motivé du 23 novembre 2009, R._, par son conseil, a recouru contre cette décision en concluant, avec suite de frais et dépens, à son annulation, respectivement à ce que le droit aux prestations de l'assurance-invalidité soit reconnu, subsidiairement au renvoi du dossier à l'office intimé pour nouvelle décision.
Dans ses déterminations du 1er février 2010, l'Office de l'assurance-invalidité a conclu au rejet du recours.
Le 12 avril 2010, le conseil de l'assurée a encore produit un certificat du Dr G._ dont le contenu est le suivant :
"(...) R._ présente une fragilité psychologique importante avec des capacités d'adaptations minimes, des troubles anxieux importants, un manque d'introspection avec une difficulté à mettre en relation ses émotions avec ses plaintes physiques. Sa qualité de vie est mauvaise : elle fait à répétition des crises d'angoisse et des crises de tétanie qui l'ont amenée plusieurs fois à l'hôpital. Ses troubles anxio-dépressifs sévères avec ses crises d'angoisse et ses plaintes somatiques chroniques en relation avec son état émotionnel la rendent inapte à travailler."

E n d r o i t :
1.
Est litigieux le point de savoir si la recourante, requérante d'asile au bénéfice d'un permis N, peut prétendre à une rente de l'assurance-invalidité.
Les réfugiés qui ont leur domicile et leur résidence habituelle en Suisse ont droit notamment aux rentes ordinaires de l'assurance-invalidité aux mêmes conditions que les ressortissants suisses (art. 1 al. 1 de l'arrêté fédéral concernant le statut des réfugiés et des apatrides dans l'assurance-vieillesse et survivants et dans l'assurance-invalidité du 4 octobre 1962 (RS 831.131.11).
2.
a)
Les dispositions de la loi fédérale du 6 octobre 2000 sur la partie générale du droit des assurances sociales (LPGA, RS 830.1) s'applique à l'assurance-invalidité, à moins que la loi fédérale du 19 juin 1959 sur l'assurance-invalidité (LAI, RS 831.20) ne déroge expressément à la LPGA (art. 1 al. 1 LAI). L'art. 69 al. 1 let. a LAI dispose qu'en dérogation aux art. 53 LPGA (qui prévoit une procédure d'opposition) et 58 LPGA (qui consacre la compétence du tribunal des assurances du canton de domicile de l'assuré ou d'une autre partie au moment du dépôt du recours), les décisions des offices AI cantonaux peuvent directement faire l'objet d'un recours devant le tribunal des assurances du domicile de l'office concerné.
b)
La LPA-VD (loi cantonale vaudoise du 28 octobre 2008 sur la procédure administrative, RSV 173.36), entrée en vigueur le 1er janvier 2009 s'applique aux recours dans le domaine des assurances sociales (art. 1 et 2 al. 1 let. c LPA-VD). La Cour des assurances sociales du Tribunal cantonal est compétente pour statuer (art. 57 LPGA et 93 al. 1 let. a LPA-VD).
3.
a)
Est réputée invalidité l'incapacité de gain totale ou partielle qui est présumée permanente ou de longue durée (art. 8 LPGA). L'invalidité peut résulter d'une infirmité congénitale, d'une maladie ou d'un accident (art. 4 al. 1 LAI).
Est réputée incapacité de travail toute perte, totale ou partielle, de l'aptitude de l'assuré à accomplir dans sa profession ou son domaine d'activité le travail qui peut raisonnablement être exigé de lui, si cette perte résulte d'une atteinte à sa santé physique, mentale ou psychique. En cas d'incapacité de longue durée, l'activité qui peut être exigée de lui peut également relever d'une autre profession ou d'un autre domaine d'activité (art. 6 LPGA).
Est réputée incapacité de gain toute diminution de l'ensemble ou d'une partie des possibilités de gain de l'assuré sur un marché du travail équilibré dans son domaine d'activité, si cette diminution résulte d'une atteinte à sa santé physique, mentale ou psychique et qu'elle persiste après les traitements et les mesures de réadaptation exigibles (art. 7 LPGA).
Sont considérées comme des atteintes à la santé mentale susceptibles, comme les atteintes à la santé physique, d'entraîner une invalidité au sens de l'art. 4 al. 1 LAI, outre les affections mentales proprement dites, les aberrations psychiques pouvant être qualifiées de maladie. Ne sont pas considérées comme les conséquences d'un état pathologique et ne sont dès lors pas prises en considération par l'assurance-invalidité les diminutions de la capacité de gain que l'assuré pourrait éviter en exerçant une activité suffisante s'il faisait preuve de bonne volonté, étant entendu que la mesure de ce qui peut être exigé doit être fixée le plus objectivement possible. Il faut donc déterminer si et dans quelle mesure un assuré peut encore, malgré l'atteinte à sa santé mentale, exercer une activité lucrative sur un marché du travail équilibré correspondant à ses aptitudes. Pour ce faire, il faut examiner quelle est l'activité que l'on peut raisonnablement exiger de lui. Pour admettre une incapacité de gain en raison d'une atteinte à la santé mentale, il ne suffit donc pas de constater que l'assuré n'exerce pas une activité lucrative suffisante, mais bien davantage de savoir s'il y a lieu d'admettre qu'on ne saurait exiger de lui, pour des raisons sociales et pratiques, qu'il mette à profit sa capacité de travail ou – condition alternative – qu'une telle exigence serait insupportable pour la société (VSI 2001 p. 223 c. 2b et les arrêts cités).
b)
Pour pouvoir calculer le degré d'invalidité, l'administration (ou le juge, s'il y a eu un recours) a besoin de documents que le médecin, éventuellement aussi d'autres spécialistes, doivent lui fournir. La tâche du médecin consiste à porter un jugement sur l'état de santé et à indiquer dans quelle mesure et pour quelles activités l'assuré est incapable de travailler. En outre, les données médicales constituent un élément utile pour déterminer quels travaux on peut encore, raisonnablement, exiger de l'assuré (ATF 125 V 256 c. 4; 115 V 133 c. 2; TF I 312/06 du 29 juin 2007 c. 2.3 et les références citées).
Il appartient au juge des assurances sociales d'examiner de manière objective tous les moyens de preuve, quelle qu'en soit la provenance, puis de décider si les documents à disposition permettent de porter un jugement valable sur le droit litigieux. Si les rapports médicaux sont contradictoires, il ne peut trancher l'affaire sans apprécier l'ensemble des preuves et sans indiquer les raisons pour lesquelles il se fonde sur une opinion médicale et non pas sur une autre. En ce qui concerne la valeur probante d'un rapport médical, il importe que les points litigieux importants aient fait l'objet d'une étude fouillée, que le rapport se fonde sur des examens complets, qu'il prenne également en considération les plaintes exprimées, qu'il ait été établi en pleine connaissance du dossier (anamnèse), que la description des interférences médicales soit claire et enfin que les conclusions de l'expert soient dûment motivées (ATF 133 V 450 c. 11.1.3; 125 V 351 c. 3a; 122 V 157 c. 1c; TF 9C_168/2007 du 8 janvier 2008 c. 4.2).
L'assureur est tenu, au stade de la procédure administrative, de confier une expertise à un médecin indépendant, si une telle mesure se révèle nécessaire. Lorsque de telles expertises sont établies par des spécialistes reconnus, sur la base d'observations approfondies et d'investigations complètes, ainsi qu'en pleine connaissance du dossier, et que les experts aboutissent à des résultats convaincants, le juge ne saurait les écarter aussi longtemps qu'aucun indice concret ne permet de douter de leur bien-fondé (TF I 129/02 du 29 janvier 2003; ATF 125 V 351 c. 3b/bb).
Les constatations émanant de médecins consultés par l'assuré doivent être admises avec réserve. Il faut en effet tenir compte du fait que, de par la position de confidents privilégiés que leur confère leur mandat, les médecins traitants peuvent avoir tendance à se prononcer en faveur de leurs patients. Ainsi, il convient en principe d'attacher plus de poids aux constatations d'un expert qu'à celles du médecin traitant (ATF 125 V 351 c. 3b/cc et les références citées; VSI 2001 p. 106 c. 3b/bb et cc précité).
S'il existe des avis contradictoires, le juge ne peut trancher l'affaire sans indiquer les raisons pour lesquelles il se fonde sur une opinion plutôt qu'une autre, en se conformant à la règle du degré de vraisemblance prépondérante (ATF 126 V 353 c. 5b; 125 V 351 c. 3a; TF 9C_418/2007 du 8 avril 2008 c. 2.1).
4.
En l'espèce, le rapport psychiatrique établi le 13 février 2009 par le Dr E._ remplit toutes les conditions posées par la jurisprudence pour avoir pleine force probante. En particulier, cette expertise fait état d'une anamnèse complète, comprend un examen complet du cas de la recourante et une étude fouillée de chacune des plaintes de celle-ci, enfin expose des conclusions dûment motivées sur la base de la discussion de chacune des plaintes formulées.
D'emblée, il faut souligner que les troubles dont la recourante se plaint sont étroitement liés à la précarité de son statut légal en Suisse, dans le contexte d'une procédure d'expulsion toujours possible. C'est dans ce cadre qu'est intervenu le tentamen médicamenteux en novembre 2003 et les idées suicidaires relevées dans le rapport du 6 novembre 2003 du Dr Z._, puis à nouveau dans ses rapports des 18 février 2004 et 26 octobre 2007. C'est également le constat fait par le Dr T._ dans son rapport du 26 juin 2008. Les constatations de l'expert E._ s'inscrivent donc dans cette perspective générale, notamment lorsque celui-ci relève que la symptomatologie dépressive et anxieuse en novembre 2003 et les troubles du comportement s'inscrivaient dans le contexte d'une menace d'expulsion du territoire suisse, puis fait état des déclarations de la recourante selon laquelle son état s'était amélioré progressivement jusqu'au jour de l'expertise et conclut que la symptomatologie était disparate et insuffisante pour retenir un trouble de l'humeur, c'est-à-dire "un épisode dépressif même léger" ou une autre "forme de dépression atténuée chronique". L'expert E._ signale les constatations faites le 26 juin 2008 par le Dr T._ pour conclure que l'état actuel de la recourante ne permet pas de retenir le diagnostic posé à l'époque par son confrère. L'expert a enfin précisé que, si des périodes d'incapacité de travail avaient existé dans le passé, elles avaient été de brève durée et que le degré d'incapacité de travail était toujours resté nul (partie B; réponse à la question 2.5).
Par ailleurs, l'expert E._ a écarté le diagnostic d'état de stress post-traumatique, qui avait été considéré seulement comme "probable" dans le rapport du 30 novembre 2007 par le Dr G._. Il y a donc également lieu de tenir compte de l'avis de l'expert sur ce point.
Le Dr E._ n'a constaté aucune limitation, qualitative ou quantitative, sur le plan psychique et mental et admis une capacité totale de travail, à raison de 8 heures par jour, sans aucune diminution du rendement. Certes, l'expert a parlé de "troubles psychiques" au moment d'examiner la capacité de s'adapter à l'environnement professionnel (partie B; réponse à la question 3). L'expertise ne souffre toutefois pas de contradiction. Il faut en effet interpréter cette réponse au moyen des constatations très complètes de l'expert, en particulier lorsqu'il relève dans la discussion la fréquence et la durée réduites des attaques de panique, en précisant immédiatement que ces éléments ne sont pas à l'origine d'une diminution de la capacité de travail.
Dès lors, il faut admettre que les plaintes de la recourante sont pour l'essentiel liées au risque d'être expulsée de Suisse vers son pays d'origine. Cela ressort aussi du formulaire rempli le 21 août 2008 par la Dresse Q._ au Tribunal administratif fédéral concluant à l'inaptitude à voyager de la recourante sur la base des plaintes de celle-ci. Cet avis, antérieur à l'expertise, ne saurait pas davantage être retenu que celui du Dr T._ qui reprend le 4 août 2009 les plaintes de la recourante en précisant qu'un "éventuel renvoi dans son pays de provenance est à proscrire absolument". C'est aussi dans le contexte de la réactivation de la procédure d'expulsion que s'inscrit le "trouble anxio-dépressif" relevé par l'Hôpital intercantonal de La Broye les 30 octobre 2008 et 6 mars 2009, ainsi que l'état dépressif décrit le 6 avril 2009 par le CHUV en diagnostic secondaire. On peut du reste relever que les consultations médicales se multiplient chaque fois que le risque d'expulsion pourrait se concrétiser. Dans ces conditions, en l'absence de toute incapacité de travail dans une activité adaptée, c'est à juste titre que l'OAI a considéré que la recourante ne présentait pas d'atteinte invalidante au sens de l'assurance-invalidité et a rejeté sa demande de prestations.
5. a)
En définitive, le recours doit être rejeté et la décision confirmée.
b)
En dérogation à l'art. 61 let. a LPGA, la procédure de recours en matière de contestations portant sur l'octroi ou le refus de prestations de l'AI devant le tribunal cantonal des assurances est soumise à des frais de justice; le montant des frais est fixé en fonction de la charge liée à la procédure, indépendamment de la valeur litigieuse, et doit se situer entre 200 et 1'000 francs (art. 69 al.1bis LAI). En l'espèce, compte tenu de l'ampleur de la procédure, les frais de justice doivent être arrêtés à 400 fr. et être mis à la charge de la recourante, qui succombe (art. 49 LPA-VD).
c)
La recourante a été mise au bénéfice de l'assistance judiciaire, qui comprend l'exonération de l'avance de frais et la commission d'office d'un avocat (art. 118 al. 1 let. a et c CPC [Code de procédure civile du 19 décembre 2008; RS 272] par le renvoi de l'art. 18 al. 5 LPA-VD). Lorsqu'une partie au bénéfice de l'assistance judiciaire succombe, comme en l'espèce, le conseil juridique commis d'office est rémunéré équitablement par le canton (art. 122 al. 1 let. a CPC par le renvoi de l'art. 18 al. 5 LPA-VD).
L'avocat qui plaide au bénéfice de l'assistance judiciaire dans le canton de Vaud peut prétendre à un tarif horaire de 180 fr. (art. 2 al. 1 let. a RAJ [règlement sur l'assistance judiciaire en matière civile du 7 décembre 2010; RSV 211.02.3] et aux débours figurant sur la liste des opérations et débours (art. 3 al. 1 RAJ).
En l'occurrence, la liste des opérations et débours déposée par l'avocat d'office de la recourante annonce 8 heures de travail et 120 fr. de débours. Le temps de travail rentre globalement dans le cadre du bon accomplissement du mandat et peut être retenu. En revanche, le taux de la TVA était de 7,6 % en 2010, année pendant laquelle toutes les opérations du conseil ont eu lieu, et non pas de 8 %, taux en vigueur dès le 1er janvier 2011. L'avocat d'office a donc droit à 1'440 fr. (8 heures à 180 fr.), plus TVA de 7,6 %, soit à un montant de 1'549 fr. 45 pour ses honoraires. Par ailleurs, au regard du dossier, il peut aussi prétendre au remboursement des débours tels qu'annoncés par 120 fr., plus TVA à 7,6 %, soit un montant de 129 fr. 10. L'indemnité totale pour les prestations de l'avocat d'office s'élève ainsi à 1'678 fr. 55, arrondi à 1'680 francs.
L'indemnité du conseil d'office est supportée provisoirement par le canton, la recourante étant rendue attentive au fait qu'elle est tenue de rembourser le montant ainsi avancé dès qu'elle est en mesure de le faire (art. 123 al. 1 CPC applicable par le renvoi de l'art. 18 al. 5 LPA-VD). Le Service de justice et législation est compétent pour fixer les modalités de remboursement (art. 5 RAJ) en tenant compte des montants payés à titre de franchise depuis le début de la procédure.
d)
Il n'y a pas lieu d'allouer de dépens, puisque la recourante n'obtient pas gain de cause (art. 61 let. g LPGA et 55 LPA-VD).