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152
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|---|---|---|
**北师大版小学三年级下册数学第六单元《认识分数》单元测试3（附答案）**
一、用分数表示下面每个图里的阴影部分。（每空2分，共12分）
二、判断题。（对的在括号里打"√"，错的打"×"。）（每空2分，共10分）
1、 是表示阴影部分的分数。 （ ）
2、同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。 （ ）
3、＋ = （ ）
4、 如左图长方形的与正方形的一样大。 （ ）
5、有12个球，拿出，应该拿3个。 （ ）
三、填空题。（第1题12分，第2题16分，第3题24分，共52分）
1、
（1） 的个数点全部的。
（2）  的个数占全部的。来源：www.bcjy123.com/tiku/
（3）与  的个数占全部的。
2、在○里填上"﹥""﹤"或"="。
1
3、直接写出得数。
＋ = － = － = ＋ =
＋ = ＋ = ＋ = － =
－ = 1－ = 1－ = 1－ =
四、解决问题。（第1题8分，其余每题9分，共26分）
1、一块月饼，小明吃了，小李吃了。来源：www.bcjy123.com/tiku/
（1）他们一共吃了这个饼的几分之几？
（2）还剩下几分之几？
2、用阴影画出如下图形的，画出两种不同分法。
3、红金鱼3条，黄金鱼4条，其余的是黑金鱼。
请你提出有关分数的数学问题并解决。
（1） [ ]{.underline} ？
[ ]{.underline}
（2） [ ]{.underline} ？
[ ]{.underline}
（3） [ ]{.underline} ？
[ ]{.underline}
**第六单元测试卷的部分答案：**
一、
二、× √ × × √
三、1、（1） （2） （3）
2、﹥ ﹥ = = ﹥ ﹤ ﹥ ﹥
3、 1 0
四、1、（1） （2）
| 1 | |
**一年级数学期末考试试卷**
**（总分100分，60分钟完成）**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ---------- ----------
**题号** **一** **二** **三** **四** **五** **六** **总分** **等级**
**得分**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ---------- ----------
----------- ------------ ---------------------------------------
**得 分** **评卷人** **一、口算。（10分）（每小题0.5分）**
----------- ------------ ---------------------------------------
**9＋8= 16－9= 30－20= 40＋30=**
**50＋6= 26－10= 28＋30= 35－5=**
**13－4= 7＋60= 53－30= 6－50=**
**9＋60= 14－8= 5＋7= 34－20=**
**6＋20= 80－50= 64－40= 40＋50=**
----------- ------------ ------------------------------------------------------------------------------------
**得 分** **评卷人** **二、填空。（26分）（1、2、3、5、8、10小题各2分，6、9小题各3分，4、7小题各4分）**
----------- ------------ ------------------------------------------------------------------------------------
**1、接着五十八，写出后面连续的四个数： [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} 、 [ ]{.underline} 。**
**2、5元8角=（ ）角 26角=（ ）元（ ）角**
**3、① 一个数由6个一，5个十组成，这个数是（ ）**
**② 32里面包含（ ）个十，（ ）个一。**
**4、根据下面的图，在右边写出四个算式。**
**〇〇〇〇 〇〇〇 [ ]{.underline} [） ]{.underline}**
**〇〇〇〇 〇〇 [ ]{.underline} [）]{.underline}**
**5、看图写数。**
**（ ） （ ）**
**6、看图列算式。**
① ②
= **朵** **=** **个**
**7、在○里填上"＞""＜"或"＝"。**
**79○82 43○29**
**48＋9○48－9 56○56－8**
**8、找规律，再填空。**
**① □□○□□○□□○□（ ）（ ）。**
**② 3、1、2、3、1、2、3、1、2、3、（ ）、（ ）。**
**9、根据要求填空。**
--- --- ------- ---
**○**
☉ △ **☆** □
■ ◎
--- --- ------- ---
**10、按要求写出钟面上的时刻。**
----------- ------------ ---------------------------------------------------------------------
**得 分** **评卷人** **三、判断。（正确的在（ ）里打"√"，错误的在（ ）里打"×"。（5分）**
----------- ------------ ---------------------------------------------------------------------
**1、一个数个位上是8，十位上是3，这个数是83。（ ）**
**2、34读作：三十四。 （ ）**
**3、上、下楼梯时，要靠右行。 （ ）**
**4、最小的两位数是10。 （ ）**
**5、比20大得多，比100小的数是21。 （ ）**
----------- ------------ -----------------------------------------------------------
**得 分** **评卷人** **四、计算。（29分）（1-20小题各1分，21-26小题各1.5分）**
----------- ------------ -----------------------------------------------------------
**27－10= 58－50 42＋8= 50－9=**
**6＋24= 35－5= 27＋30= 75－40=**
**30＋15= 56－8= 72－30= 34＋6=**
**75－7= 58－30= 40－8= 50＋30=**
**70－20= 9＋6= 14－6= 55＋7=**
**50－40＋6= 72＋8－30= 45＋9－30=**
**5＋30－20= 20＋46－6= 34－20＋40=**
----------- ------------ ------------------------------------------------------------
**得 分** **评卷人** **五、数一数，填一填，画一画，再按要求回答问题。（10分）**
----------- ------------ ------------------------------------------------------------
把小朋友课余生活的人数填入下面的统计表中，并在右边的统计图上涂上色，再回答后面的问题。
**①小朋友的课余生活中，（ ）的人数最多，（ ）的人数最少。**
**②你能提出什么问题？写出来，再解答出来。**
----------- ------------ ---------------------------------------------------
**得 分** **评卷人** **六、解决问题。（20分）（1小题16分，2小题4分）**
----------- ------------ ---------------------------------------------------
> **1、开学前，妈妈带小红去买文具和新衣服，价格是这样的：**
20元 8元 30元 25元
**①买一件衣服和一条裤子一共需要多少钱？**
**②一个书包比一个铅笔盒贵多少钱？**
**③ 妈妈带了50元钱，买了一个书包，还剩多少钱？**
**④ 如果妈妈带60元钱，要能买上面三件东西，可买哪三件？列出算式算一算。**
> 2、**一年一班有52名同学，准备乘两辆车去公园，一辆车上已经坐了30名同学，另一辆车要坐多少人？**
| 1 | |
**2017年广西贵港市中考数学试卷**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．7的相反数是（ ）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
2．数据3，2，4，2，5，3，2的中位数和众数分别是（ ）
A．2，3 B．4，2 C．3，2 D．2，2
3．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．3a^2^+a=3a^3^ B．2a^3^•（﹣a^2^）=2a^5^ C．4a^6^+2a^2^=2a^3^ D．（﹣3a）^2^﹣a^2^=8a^2^
6．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．下列命题中假命题是（ ）
A．正六边形的外角和等于360°
B．位似图形必定相似
C．样本方差越大，数据波动越小
D．方程x^2^+x+1=0无实数根
8．从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
9．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
10．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x﹣1）^2^+1 B．y=（x+1）^2^+1 C．y=2（x﹣1）^2^+1 D．y=2（x+1）^2^+1
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A\'B\'C，M是BC的中点，P是A\'B\'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN^2^+CM^2^=MN^2^；⑤若AB=2，则S~△OMN~的最小值是，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5\[来源:Z\#xx\#k.Com\]
**二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）**
13．计算：﹣3﹣5=[ ]{.underline}．
14．中国的领水面积约为370 000km^2^，将数370 000用科学记数法表示为[ ]{.underline}．
15．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE：∠EFB=3：4，∠ABF=40°，那么∠BEF的度数为[ ]{.underline}．
16．如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P\'C，连接AP\'，则sin∠PAP\'的值为[ ]{.underline}．
17．如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作交OB于点E，若OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为[ ]{.underline}．（结果保留π）
18．如图，过C（2，1）作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y=﹣x+6上，若双曲线y=（x＞0）与△ABC总有公共点，则k的取值范围是[ ]{.underline}．
**三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
19．（1）计算：\|﹣3\|+（+π）^0^﹣（﹣）^﹣2^﹣2cos60°；
（2）先化简，在求值：（﹣）+，其中a=﹣2+．
20．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
已知线段a和∠AOB，点M在OB上（如图所示）．
（1）在OA边上作点P，使OP=2a；
（2）作∠AOB的平分线；
（3）过点M作OB的垂线．
21．如图，一次函数y=2x﹣4的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
\[来源:学§科§网\]
22．在开展"经典阅读"活动中，某学校为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题：
频率分布表
+----------+--------+------+
| 阅读时间 | 频数 | 频率 |
| | | |
| （小时） | （人） | |
+----------+--------+------+
| 1≤x＜2 | 18 | 0.12 |
+----------+--------+------+
| 2≤x＜3 | a | m |
+----------+--------+------+
| 3≤x＜4 | 45 | 0.3 |
+----------+--------+------+
| 4≤x＜5 | 36 | n |
+----------+--------+------+
| 5≤x＜6 | 21 | 0.14 |
+----------+--------+------+
| 合计 | b | 1 |
+----------+--------+------+
（1）填空：a=[ ]{.underline}，b=[ ]{.underline}，m=[ ]{.underline}，n=[ ]{.underline}；
（2）将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）；
（3）若该校由3000名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数．
23．某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．
（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
24．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．
25．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．
（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）设S~△BCD~：S~△ABD~=k，求k的值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．
26．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．
（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．
①写出BP，BD的长；
②求证：四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．
**2017年广西贵港市中考数学试卷**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1．7的相反数是（ ）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
【考点】14：相反数．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上"﹣"号，求解即可．
【解答】解：7的相反数是﹣7，
故选：B．
2．数据3，2，4，2，5，3，2的中位数和众数分别是（ ）
A．2，3 B．4，2 C．3，2 D．2，2
【考点】W5：众数；W4：中位数．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：把这组数据从小到大排列：2，2，2，3，3，4，5，
最中间的数是3，
则这组数据的中位数是3；
2出现了3次，出现的次数最多，则众数是2．
故选：C．
3．如图是一个空心圆柱体，它的左视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】U1：简单几何体的三视图．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左边看是三个矩形，中间矩形的左右两边是虚线，
故选：B．
4．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A符合题意；
B、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含分母，故C不符合题意；
D、被开方数含能开得尽方的因数或因式，故D不符合题意；
故选：A．
5．下列运算正确的是（ ）
A．3a^2^+a=3a^3^ B．2a^3^•（﹣a^2^）=2a^5^ C．4a^6^+2a^2^=2a^3^ D．（﹣3a）^2^﹣a^2^=8a^2^
【考点】49：单项式乘单项式；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方．
【分析】运用合并同类项，单项式乘以单项式，幂的乘方等运算法则运算即可．
【解答】解：A.3a^2^与a不是同类项，不能合并，所以A错误；
B.2a^3^•（﹣a^2^）=2×（﹣1）a^5^=﹣2a^5^，所以B错误；
C.4a^6^与2a^2^不是同类项，不能合并，所以C错误；
D．（﹣3a）^2^﹣a^2^=9a^2^﹣a^2^=8a^2^，所以D正确，
故选D．
6．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，4﹣2m）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】D1：点的坐标．
【分析】分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解．
【解答】解：①m﹣3＞0，即m＞3时，﹣2m＜﹣6，
4﹣2m＜﹣2，
所以，点P（m﹣3，4﹣2m）在第四象限，不可能在第一象限；
②m﹣3＜0，即m＜3时，﹣2m＞﹣6，
4﹣2m＞﹣2，
点P（m﹣3，4﹣2m）可以在第二或三象限，
综上所述，点P不可能在第一象限．
故选A．
7．下列命题中假命题是（ ）
A．正六边形的外角和等于360°
B．位似图形必定相似
C．样本方差越大，数据波动越小
D．方程x^2^+x+1=0无实数根
【考点】O1：命题与定理．
【分析】根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题进行分析即可．
【解答】解：A、正六边形的外角和等于360°，是真命题；
B、位似图形必定相似，是真命题；
C、样本方差越大，数据波动越小，是假命题；
D、方程x^2^+x+1=0无实数根，是真命题；
故选：C．
8．从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，能构成三角形的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【考点】X6：列表法与树状图法；K6：三角形三边关系．
【分析】列举出所有等可能的情况数，找出能构成三角形的情况数，即可求出所求概率．
【解答】解：从长为3，5，7，10的四条线段中任意选取三条作为边，所有等可能情况有：3，5，7；3，5，10；3，7，10；5，7，10，共4种，
其中能构成三角形的情况有：3，5，7；5，7，10，共2种，
则P（能构成三角形）==，
故选B
9．如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．85°
【考点】M5：圆周角定理；M4：圆心角、弧、弦的关系．
【分析】根据圆周角定理求得∠AOB的度数，则∠AOB的度数一定不小于∠AMB的度数，据此即可判断．
【解答】解：∵B是的中点，
∴∠AOB=2∠BDC=80°，
又∵M是OD上一点，
∴∠AMB≤∠AOB=80°．
则不符合条件的只有85°．
故选D．
10．将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A．y=（x﹣1）^2^+1 B．y=（x+1）^2^+1 C．y=2（x﹣1）^2^+1 D．y=2（x+1）^2^+1
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
【分析】根据平移规律，可得答案．
【解答】解：由图象，得
y=2x^2^﹣2，
由平移规律，得
y=2（x﹣1）^2^+1，
故选：C．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A\'B\'C，M是BC的中点，P是A\'B\'的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】R2：旋转的性质．
【分析】如图连接PC．思想求出PC=2，根据PM≤PC+CM，可得PM≤3，由此即可解决问题．
【解答】解：如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A=30°，BC=2，
∴AB=4，
根据旋转不变性可知，A′B′=AB=4，
∴A′P=PB′，
∴PC=A′B′=2，
∵CM=BM=1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故选B．
12．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B，C重合），CN⊥DM，CN与AB交于点N，连接OM，ON，MN．下列五个结论：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；③△OMN∽△OAD；④AN^2^+CM^2^=MN^2^；⑤若AB=2，则S~△OMN~的最小值是，其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，△OMN∽△OAD，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．
【解答】解：∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，
∴∠BCN+∠DCN=90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，
∴∠BCN=∠CDM，
又∵∠CBN=∠DCM=90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；
根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，
又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM=ON，∠COM=∠BON，
∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BPN，即∠DOM=∠CON，
又∵DO=CO，
∴△CON≌△DOM（SAS），故②正确；
∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°，
∴∠MON=90°，即△MON是等腰直角三角形，
又∵△AOD是等腰直角三角形，
∴△OMN∽△OAD，故③正确；
∵AB=BC，CM=BN，
∴BM=AN，
又∵Rt△BMN中，BM^2^+BN^2^=MN^2^，
∴AN^2^+CM^2^=MN^2^，故④正确；
∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN=x=CM，则BM=2﹣x，
∴△MNB的面积=x（2﹣x）=﹣x^2^+x，
∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，
此时S~△OMN~的最小值是1﹣=，故⑤正确；
综上所述，正确结论的个数是5个，
故选：D．
**二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）**
13．计算：﹣3﹣5=[ ﹣8 ]{.underline}．
【考点】1A：有理数的减法．
【分析】根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：﹣3﹣5=﹣8．
故答案为：﹣8．
14．中国的领水面积约为370 000km^2^，将数370 000用科学记数法表示为[ 3.7×10^5^ ]{.underline}．
【考点】1I：科学记数法---表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10^n^的形式，其中1≤\|a\|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．确定a×10^n^（1≤\|a\|＜10，n为整数）中n的值，由于370 000有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．
【解答】解：370 000=3.7×10^5^，
故答案为：3.7×10^5^．
15．如图，AB∥CD，点E在AB上，点F在CD上，如果∠CFE：∠EFB=3：4，∠ABF=40°，那么∠BEF的度数为[ 60° ]{.underline}．
【考点】JA：平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质，得到∠CFB的度数，再根据∠CFE：∠EFB=3：4以及平行线的性质，即可得出∠BEF的度数．
【解答】解：∵AB∥CD，∠ABF=40°，
∴∠CFB=180°﹣∠B=140°，
又∵∠CFE：∠EFB=3：4，
∴∠CFE=∠CFB=60°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF=∠CFE=60°，
故答案为：60°．
16．如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P\'C，连接AP\'，则sin∠PAP\'的值为[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】连接PP′，如图，先利用旋转的性质得CP=CP′=6，∠PCP′=60°，则可判定△CPP′为等边三角形得到PP′=PC=6，再证明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10，接着利用勾股定理的逆定理证明△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，然后根据正弦的定义求解．
【解答】解：连接PP′，如图，
∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P\'C，
∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，
∴△CPP′为等边三角形，
∴PP′=PC=6，
∵△ABC为等边三角形，
∴CB=CA，∠ACB=60°，
∴∠PCB=∠P′CA，
在△PCB和△P′CA中
，
∴△PCB≌△P′CA，
∴PB=P′A=10，
∵6^2^+8^2^=10^2^，
∴PP′^2^+AP^2^=P′A^2^，
∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，
∴sin∠PAP′===．
故答案为．
17．如图，在扇形OAB中，C是OA的中点，CD⊥OA，CD与交于点D，以O为圆心，OC的长为半径作交OB于点E，若OA=4，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为[ ]{.underline}[π+2]{.underline}[ ]{.underline}．（结果保留π）
【考点】MO：扇形面积的计算；KG：线段垂直平分线的性质．
【分析】连接OD、AD，根据点C为OA的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO为等边三角形，求出扇形AOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S~空白ADC~即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接O、AD，
∵点C为OA的中点，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，
∴△ADO为等边三角形，
∴S~扇形AOD~==π，
∴S~阴影~=S~扇形AOB~﹣S~扇形COE~﹣（S~扇形AOD~﹣S~△COD~）
=﹣﹣（π﹣×2×2）
=π﹣π﹣π+2
=π+2．
故答案为π+2．
18．如图，过C（2，1）作AC∥x轴，BC∥y轴，点A，B都在直线y=﹣x+6上，若双曲线y=（x＞0）与△ABC总有公共点，则k的取值范围是[ 2≤k≤9 ]{.underline}．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】把C的坐标代入求出k≥2，解两函数组成的方程组，根据根的判别式求出k≤9，即可得出答案．
【解答】解：当反比例函数的图象过C点时，把C的坐标代入得：k=2×1=2；
把y=﹣x+6代入y=得：﹣x+6=，
x^2^﹣6x+k=0，
△=（﹣6）^2^﹣4k=36﹣4k，
∵反比例函数y=的图象与△ABC有公共点，
∴36﹣4k≥0，
k≤9，
即k的范围是2≤k≤9，
故答案为：2≤k≤9．
**三、解答题（本大题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
19．（1）计算：\|﹣3\|+（+π）^0^﹣（﹣）^﹣2^﹣2cos60°；
（2）先化简，在求值：（﹣）+，其中a=﹣2+．
【考点】6D：分式的化简求值；2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【分析】（1）根据零指数幂的意义、特殊角的锐角三角函数以及负整数指数幂的意义即可求出答案；
（2）先化简原式，然后将a的值代入即可求出答案．
【解答】解：（1）原式=3+1﹣（﹣2）^2^﹣2×=4﹣4﹣1=﹣1
（2）当a=﹣2+
原式=+
=
=
=7+5
20．尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：
已知线段a和∠AOB，点M在OB上（如图所示）．
（1）在OA边上作点P，使OP=2a；
（2）作∠AOB的平分线；
（3）过点M作OB的垂线．
【考点】N3：作图---复杂作图．
【分析】（1）在OA上截取OP=2a即可求出点P的位置；
（2）根据角平分线的作法即可作出∠AOB的平分线；
（3）以M为圆心，作一圆与射线OB交于两点，再以这两点分别为圆心，作两个相等半径的圆交于D点，连接MD即为OB的垂线；
【解答】解：（1）点P为所求作；
（2）OC为所求作；
（3）MD为所求作；
21．如图，一次函数y=2x﹣4的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为3．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把x=3代入一次函数解析式求得A的坐标，利用待定系数法求得反比例函数解析式；
（2）解一次函数与反比例函数解析式组成的方程组求得B的坐标．
【解答】解：（1）把x=3代入y=2x﹣4得y=6﹣4=2，
则A的坐标是（3，2）．
把（3，2）代入y=得k=6，
则反比例函数的解析式是y=；
（2）根据题意得2x﹣4=，
解得x=3或﹣1，
把x=﹣1代入y=2x﹣4得y=﹣6，则B的坐标是（﹣1，﹣6）．
22．在开展"经典阅读"活动中，某学校为了解全校学生利用课外时间阅读的情况，学校团委随机抽取若干名学生，调查他们一周的课外阅读时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答下列问题：
频率分布表
+----------+--------+------+
| 阅读时间 | 频数 | 频率 |
| | | |
| （小时） | （人） | |
+----------+--------+------+
| 1≤x＜2 | 18 | 0.12 |
+----------+--------+------+
| 2≤x＜3 | a | m |
+----------+--------+------+
| 3≤x＜4 | 45 | 0.3 |
+----------+--------+------+
| 4≤x＜5 | 36 | n |
+----------+--------+------+
| 5≤x＜6 | 21 | 0.14 |
+----------+--------+------+
| 合计 | b | 1 |
+----------+--------+------+
（1）填空：a=[ 30 ]{.underline}，b=[ 150 ]{.underline}，m=[ 0.2 ]{.underline}，n=[ 0.24 ]{.underline}；
（2）将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）；
（3）若该校由3000名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数．
【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．
【分析】（1）根据阅读时间为1≤x＜2的人数及所占百分比可得，求出总人数b=150，再根据频率、频数、总人数的关系即可求出m、n、a；
（2）根据数据将频数分布直方图补充完整即可；
（3）由总人数乘以时间不足三小时的人数的频率即可．
【解答】解：（1）b=18÷0.12=150（人），
∴n=36÷150=0.24，
∴m=1﹣0.12﹣0.3﹣0.24﹣0.14=0.2，
∴a=0.2×150=30；
故答案为：30，150，0.2，0.24；
（2）如图所示：
（3）3000×（0.12+0.2）=960（人）；
即估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数为960人．
23．某次篮球联赛初赛阶段，每队有10场比赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分，积分超过15分才能获得参赛资格．
（1）已知甲队在初赛阶段的积分为18分，求甲队初赛阶段胜、负各多少场；
（2）如果乙队要获得参加决赛资格，那么乙队在初赛阶段至少要胜多少场？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；8A：一元一次方程的应用．
【分析】（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据每队胜一场得2分，负一场得1分，利用甲队在初赛阶段的积分为18分，进而得出等式求出答案；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据积分超过15分才能获得参赛资格，进而得出答案．
【解答】解：（1）设甲队胜了x场，则负了（10﹣x）场，根据题意可得：
2x+10﹣x=18，
解得：x=8，
则10﹣x=2，
答：甲队胜了8场，则负了2场；
（2）设乙队在初赛阶段胜a场，根据题意可得：
2a+（10﹣a）≥15，
解得：a≥5，
答：乙队在初赛阶段至少要胜5场．
24．如图，在菱形ABCD中，点P在对角线AC上，且PA=PD，⊙O是△PAD的外接圆．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若AC=8，tan∠BAC=，求⊙O的半径．
【考点】ME：切线的判定与性质；L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．
【分析】（1）连结OP、OA，OP交AD于E，由PA=PD得弧AP=弧DP，根据垂径定理的推理得OP⊥AD，AE=DE，则∠1+∠OPA=90°，而∠OAP=∠OPA，所以∠1+∠OAP=90°，再根据菱形的性质得∠1=∠2，所以∠2+∠OAP=90°，然后根据切线的判定定理得到直线AB与⊙O相切；
（2）连结BD，交AC于点F，根据菱形的性质得DB与AC互相垂直平分，则AF=4，tan∠DAC=，得到DF=2，根据勾股定理得到AD==2，求得AE=，设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）连结OP、OA，OP交AD于E，如图，
∵PA=PD，
∴弧AP=弧DP，
∴OP⊥AD，AE=DE，
∴∠1+∠OPA=90°，
∵OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA，
∴∠1+∠OAP=90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠1=∠2，
∴∠2+∠OAP=90°，
∴OA⊥AB，
∴直线AB与⊙O相切；
（2）连结BD，交AC于点F，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴DB与AC互相垂直平分，
∵AC=8，tan∠BAC=，
∴AF=4，tan∠DAC==，
∴DF=2，
∴AD==2，
∴AE=，
在Rt△PAE中，tan∠1==，
∴PE=，
设⊙O的半径为R，则OE=R﹣，OA=R，
在Rt△OAE中，∵OA^2^=OE^2^+AE^2^，
∴R^2^=（R﹣）^2^+（）^2^，
∴R=，
即⊙O的半径为．
25．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．
（1）写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）；
（2）设S~△BCD~：S~△ABD~=k，求k的值；
（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）令x=0可求得C点坐标，化为顶点式可求得D点坐标；
（2）令y=0可求得A、B的坐标，结合D点坐标可求得△ABD的面积，设直线CD交x轴于点E，由C、D坐标，利用待定系数法可求得直线CD的解析式，则可求得E点坐标，从而可表示出△BCD的面积，可求得k的值；
（3）由B、C、D的坐标，可表示出BC^2^、BD^2^和CD^2^，分∠CBD=90°和∠CDB=90°两种情况，分别利用勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得抛物线的解析式．
【解答】解：
（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，
∴C（0，3a），
∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x^2^﹣4x+3）=a（x﹣2）^2^﹣a，
∴D（2，﹣a）；
（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3﹣1=2，
∴S~△ABD~=×2×a=a，
如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，
把C、D的坐标代入可得，解得，
∴直线CD解析式为y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，
∴E（，0），
∴BE=3﹣=
∴S~△BCD~=S~△BEC~+S~△BED~=××（3a+a）=3a，
∴S~△BCD~：S~△ABD~=（3a）：a=3，
∴k=3；
（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），
∴BC^2^=3^2^+（3a）^2^=9+9a^2^，CD^2^=2^2^+（﹣a﹣3a）^2^=4+16a^2^，BD^2^=（3﹣2）^2^+a^2^=1+a^2^，
∵∠BCD＜∠BCO＜90°，
∴△BCD为直角三角形时，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°两种情况，
①当∠CBD=90°时，则有BC^2^+BD^2^=CD^2^，即9+9a^2^+1+a^2^=4+16a^2^，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x^2^﹣4x+3；
②当∠CDB=90°时，则有CD^2^+BD^2^=BC^2^，即4+16a^2^+1+a^2^=9+9a^2^，解得a=﹣（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x^2^﹣2x+；
综上可知当△BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x^2^﹣4x+3或y=x^2^﹣2x+．
26．已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，D是AC边上的一个动点，将△ABD沿BD所在直线折叠，使点A落在点P处．
（1）如图1，若点D是AC中点，连接PC．
①写出BP，BD的长；
②求证：四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2，若BD=AD，过点P作PH⊥BC交BC的延长线于点H，求PH的长．
【考点】LO：四边形综合题．
【分析】（1）①分别在Rt△ABC，Rt△BDC中，求出AB、BD即可解决问题；
②想办法证明DP∥BC，DP=BC即可；
（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．设BD=AD=x，则CD=4﹣x，在Rt△BDC中，可得x^2^=（4﹣x）^2^+2^2^，推出x=，推出DN==，由△BDN∽△BAM，可得=，由此求出AM，由△ADM∽△APE，可得=，由此求出AE=，可得EC=AC﹣AE=4﹣=由此即可解决问题．
【解答】解：（1）①在Rt△ABC中，∵BC=2，AC=4，
∴AB==2，
∵AD=CD=2，
∴BD==2，
由翻折可知，BP=BA=2．
②如图1中，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°，
∴∠ADB=∠BDP=135°，
∴∠PDC=135°﹣45°=90°，
∴∠BCD=∠PDC=90°，
∴DP∥BC，∵PD=AD=BC=2，
∴四边形BCPD是平行四边形．
（2）如图2中，作DN⊥AB于N，PE⊥AC于E，延长BD交PA于M．
设BD=AD=x，则CD=4﹣x，
在Rt△BDC中，∵BD^2^=CD^2^+BC^2^，
∴x^2^=（4﹣x）^2^+2^2^，
∴x=，
∵DB=DA，DN⊥AB，
∴BN=AN=，
在Rt△BDN中，DN==，
由△BDN∽△BAM，可得=，
∴=，\[来源:Z+xx+k.Com\]
∴AM=2，
∴AP=2AM=4，
由△ADM∽△APE，可得=，
∴=，
∴AE=，
∴EC=AC﹣AE=4﹣=，
易证四边形PECH是矩形，
∴PH=EC=．
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**2016-2017学年上学期一年级期中检测卷**
班级： 姓名： 满分：100分 考试时间：90分钟
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
**题序** 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 第六题 第七题 第八题 **总分**
**得分**
---------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- -------- ----------
一、算一算。(15分) 绿色中小学教育http://www.LSPJY.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com
2+6= 7+3= 4-4=
8+2= 3+5= 6-3=
8-2= 1+3= 0+8=
2+2= 10-7+3= 4+5+1=
2+5-4= 9-5-4= 8-1+2=
二、找规律,填一填。(3分)
三、看图填一填。(3分)
一共有( )个图形,是第( )个,是第( )个。
四、比一比,分一分。(15分) 绿色中小学教育http://www.LSPJY.com 绿色圃中学资源网http://cz.Lspjy.com
1.在高的下面画""。(2分) 2.在最长的后面画""。(3分)  
3\. 在最重的小动物后面画"",在最轻的小动物后面画"○"。(6分)
4\. 把每组中不同类的圈出来。(4分)
五、在里填上"\>""\<"或"="。(16分)
7 9 3 1 10 8 4 4
6 3+3 1 4-1 6+3 6 5+2 3
六、按顺序填数。(10分)
-- --- -- --- -- --- -- --- --
1 3 5 7
-- --- -- --- -- --- -- --- --
--- --- -- --- -- --- -- -- --
9 8 6 4
--- --- -- --- -- --- -- -- --
七、看图列式。(18分)
 
   =     = 
 
1+  +  =  10 -  -  = 
 
6 -  +  =  5 +  -  = 
八、解决问题。(20分)
1.现在有几只小鸟?(5分)
   = 
2\. 原来草地上有7只小兔。(5分)
   = 
3\. 车上原来有7人。(5分)
>      = 
4\. 小房子里原来有10只鸽子。(5分)
     = 
**2016-2017学年上学期一年级期中检测卷**
**参考答案**
一、 8 10 0 10 8 3 6 4 8 4 6 10 3 0
9
二、6 8 10
三、6 2 5
四、1. 2. 从上到下( )( )()
3\. 从上到下 ○
4\. 第一行圈小鸟,第二行圈蝴蝶。
五、\< \> \> = = \< \> \>
六、
--- --- --- --- --- --- --- --- ---
0 1 2 3 4 5 6 7 8
9 8 7 6 5 4 3 2 1
--- --- --- --- --- --- --- --- ---
七、7+3=10或3+7=10 9-3=6 1+5+3=9
10-5-3=2 6-2+3=7 5+4-2=7
八、1. 5+3=8 2. 7-1=6 3. 7-2+2=7
4\. 10-3-2=5
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**北师大版小学五年级下册数学第二单元《长方体（一）------长方体的表面积》同步检测2（附答案）**
1．填一填。
(1)长方体或正方体( )之和叫做它的表面积。
(2)一个长方体的长是3cm，宽是2cm，高是1cm，它的棱长之和是( )cm，表面积是( )c㎡。
(3)一个正方体的表面积是54平方分米，它的一个面的面积是( )平方分米，棱长是( )分米。
(4)一个长方体的棱长之和是64cm，它的长是8cm，宽是6cm，那么它的高是( )cm。
2．看图填空。来源：www.bcjy123.com/tiku/
(1) 12×6表示\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 个面的面积。
18×6表示\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
12×18×2表示\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。表面积是\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
\(2\)
3×3表示\_\_\_\_个面的面积。
3×3×5表示\_\_\_\_\_\_\_个面的面积，也就是这个鱼缸的\_\_\_\_\_\_\_\_\_。
3．一个长方体的木质酒盒，长40cm，宽30cm，高1Ocm，制作这个酒盒(如下图)，至少用多少平方厘米的木板？
4．一个正方体礼品盒，棱长6cm，包装这个礼品盒至少用多少平方厘米的包装纸？
5．李师傅要用玻璃做一个长9分米，宽6分米，高3分米的鱼缸，至少要用多少平方分米的玻璃？ 渔缸有盖吗？
------- ------- ------- ---------- --------
长 宽 高 棱长总和 表面积
4厘米 2厘米 3厘米
5分米 5分米 5分米
5厘米 6厘米 84厘米
8分米 7分米 64分米
------- ------- ------- ---------- --------
6．按要求填表。
来源：www.bcjy123.com/tiku/
7．一个火柴盒，长4.5cm，宽3.5cm，高1.8cm。如果把内盒的长、宽、高看作与外套的长、宽、高相等计算，内盒和外套所用硬纸的面积各是多少平方厘米？(粘贴处不计)
来源：www.bcjy123.com/tiku/
**参考答案**
1．(1)6个面的面积 (2)24 22 (3)9 3 (4)2
2．(1)上 右面的面积 前后两个面的面积 792c㎡ (2)1 5 表面积
3．40×30×2＝40×10×2＝30×10×2＝3800(c㎡)
4．6×6×6＝216(c㎡)
5．9×6＝6×3×2＝9×3×2＝144(d㎡)
6．略
7．内盒：4.5×3.5＝4.5×1.8×2＝3.5×1.8×2＝44.55(c㎡)
外套：4.5×3.5×2＝4.5×1.8×2＝47.7(c㎡)
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**《小小图书馆》同步练习**
> **一、用竖式计算。**
>
> **（1）139-116= （2）127-92= （3）409-128= **
>
> **（4）308-156 （5）517-243= （6）909-128**=
>
> (7)716-224= (8)372-143=
>
> 二、
>
>    
>
>    
1. **你估计 一下，买一台洗机衣和一台彩电需多少元？**
\[来源:学.科.网\]
2. **妈妈带了2000元，能买回一台冰箱吗？**
> **三、解决问题。**
>
> **1、红色自行车312元，黄色自行车489元，买这两辆自行车一共需要多少元？**
>
> **2、小红的妈妈带了900元，买两件衣服分别是557元和280元，妈妈还剩多少元？**
>
> **3、世界最高的鸟是鸵鸟，他的身高是275厘米；世界最高的哺乳动物是长颈鹿，他的身高是605厘米，长颈鹿比鸵鸟高多少厘米？**
>
> **4、小明和小刚同看一本书。**
>
> **小明说："这星期前3天我看了78页，后4天我看了余下的125页"\[来源:学科网ZXXK\]**
>
> **小刚说："星期一和星期二我看了118页，星期一到星期三我看了200页"**
>
> 这本书共有多少页？星期三小刚看了多少页？
>
> **\[来源:学§科§网\]**
>
> **参考答案：**
>
> **一、用竖式计算。**
>
> **（1）139-116= 23 （2）127-92=35**
（3）409-128=281 （4）308-156=152\[来源:学科网\]\[来源:学\|科\|网Z\|X\|X\|K\]
> （5）517-243=274 (6)909-128=781
>
> (7)716-224=492 (8)372-143=229\
> 二、
**（1）2154**
> **（2）能**
>
> **三、解决问题。**
>
> **1、801**
>
> **2、63**
>
> **3、330**
>
> **4、**
>
> **78+125=203**
>
> **200-118=82**
>
> 这本书共有203页，星期三小刚看了82页
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**2009年全国硕士研究生入学统一考试\
数学三试题**
**一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.**
（1）函数的可去间断点的个数为
> (A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.
（2）当时，与是等价无穷小，则
> (A)，. （B），.
>
> (C)，. （D），.
（3）使不等式成立的的范围是
> (A). (B). (C). (D).
（4）设函数在区间上的图形为
则函数的图形为
\(A\) (B)
\(C\) (D)
（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为
> (A). (B).
>
> (C). (D).
（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，
> 若，则为
>
> (A). (B).
>
> (C). (D).
（7）设事件与事件B互不相容，则
> (A). (B).
>
> (C). (D).
（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为
> \(A\) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.
**二、填空题：9\~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.**
（9） [ ]{.underline} .
（10）设，则 [ ]{.underline} .
（11）幂级数的收敛半径为 [ ]{.underline} .
（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 [ ]{.underline} 元.
（13）设,，若矩阵相似于，则 [ ]{.underline} .
(14)设，,...,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 [ ]{.underline} .
**三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
（15）（本题满分9分）
求二元函数的极值.
（16）（本题满分10 分）
计算不定积分 .
（17）（本题满分10 分）
计算二重积分，其中.
（18）（本题满分11 分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.
（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.
（19）（本题满分10 分）
设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程.
（20）（本题满分11 分）
设,.
（Ⅰ）求满足，的所有向量，.
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,，证明,,线性无关.
（21）（本题满分11 分）
设二次型.
（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值.
（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.
（22）（本题满分11 分）
设二维随机变量的概率密度为
（Ⅰ）求条件概率密度；
（Ⅱ）求条件概率.
（23）（本题满分11分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求二维随机变量的概率分布.
**2009年全国硕士研究生入学统一考试**
**数学三试题解析**
**一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.**
（1）函数的可去间断点的个数为
> (A)1. (B)2. (C)3. (D)无穷多个.
【答案】C.
【解析】
则当取任何整数时，均无意义
故的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是的解
故可去间断点为3个，即
（2）当时，与是等价无穷小，则
> (A)，. （B），.
>
> (C)，. （D），.
【答案】A.
【解析】为等价无穷小，则
故排除(B)、(C).
另外存在，蕴含了故排除(D).
所以本题选(A).
（3）使不等式成立的的范围是
> (A). (B). (C). (D).
【答案】A.
【解析】原问题可转化为求
成立时的取值范围，由，时，知当时，.故应选(A).
（4）设函数在区间上的图形为
则函数的图形为
\(A\) (B)
\(C\) (D)
【答案】D.
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及轴、所围的图形的代数面积为所求函数，从而可得出几个方面的特征：
①时，，且单调递减.
②时，单调递增.
③时，为常函数.
④时，为线性函数，单调递增.
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为(D).
（5）设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为
> (A). (B).
>
> (C). (D).
【答案】B.
【解析】根据，若
分块矩阵的行列式，即分块矩阵可逆
> 故答案为(B).
（6）设均为3阶矩阵，为的转置矩阵，且，
> 若，则为
>
> (A). (B).
>
> (C). (D).
【答案】A.
【解析】，即：
（7）设事件与事件B互不相容，则
> (A). (B).
>
> (C). (D).
【答案】D.
【解析】因为互不相容，所以
(A)，因为不一定等于1，所以(A)不正确.
(B)当不为0时，(B)不成立，故排除.
(C)只有当互为对立事件的时候才成立，故排除.
(D)，故(D)正确.
（8）设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ）
> \(A\) 0. (B)1. (C)2 . (D)3.
【答案】 B.
【解析】
独立
（1）若，则
（2）当，则
为间断点，故选(B).
**二、填空题：9\~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.**
（9） [ ]{.underline} .
【答案】.
【解析】.
（10）设，则 [ ]{.underline} .
【答案】.
【解析】由，故
代入得，.
（11）幂级数的收敛半径为 [ ]{.underline} .
【答案】.
【解析】由题意知，
所以，该幂级数的收敛半径为
（12）设某产品的需求函数为,其对应价格的弹性，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加 [ ]{.underline} 元.
【答案】8000.
【解析】所求即为
因为，所以
所以
将代入有.
（13）设,，若矩阵相似于，则 [ ]{.underline} .
【答案】2.
【解析】相似于，根据相似矩阵有相同的特征值，得到的特征值为
3，0，0.而为矩阵的对角元素之和，，.
(14)设，,...,为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差，记统计量，则 [ ]{.underline} .
【答案】
【解析】由.
**三、解答题：15～23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.**
（15）（本题满分9分）
求二元函数的极值.
【解析】，，故.
.
则，，.
而
二元函数存在极小值.
（16）（本题满分10 分）
计算不定积分 .
【解析】令得
而
所以
（17）（本题满分10 分）
计算二重积分，其中.
【解析】由得，
.
（18）（本题满分11 分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理，若函数在上连续，在上可导，则，得证.
（Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且.
【解析】（Ⅰ）作辅助函数，易验证满足：
；在闭区间上连续，在开区间内可导，且.
根据罗尔定理，可得在内至少有一点，使，即
（Ⅱ）任取，则函数满足：在闭区间上连续，开区间内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得
......
又由于，对上式（\*式）两边取时的极限可得：
故存在，且.
（19）（本题满分10 分）
设曲线，其中是可导函数，且.已知曲线与直线及所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的倍，求该曲线的方程.
【解析】旋转体的体积为
曲边梯形的面积为：，则由题可知
两边对t求导可得
继续求导可得，化简可得
，解之得
在式中令，则，代入得.
所以该曲线方程为：.
（20）（本题满分11 分）
设,.
（Ⅰ）求满足，的所有向量，.
（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量,，证明,,线性无关.
【解析】（Ⅰ）解方程
故有一个自由变量，令，由解得，
求特解，令，得
故 ，其中为任意常数
解方程
故有两个自由变量，令，由得
令，由得
求得特解
故 ，其中为任意常数
（Ⅱ）证明：由于
故 线性无关.
（21）（本题满分11 分）
设二次型.
（Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值.
（Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值.
【解析】（Ⅰ）
.
（Ⅱ） 若规范形为，说明有两个特征值为正，一个为0.则
1) 若，则 ， ，不符题意
2) 若 ，即，则，，符合
3) 若 ，即，则 ，，不符题意
> 综上所述，故
（22）（本题满分11 分）
设二维随机变量的概率密度为
（Ⅰ）求条件概率密度
（Ⅱ）求条件概率
【解析】
（Ⅰ）由得其边缘密度函数
故
即
（Ⅱ）
而
.
（23）（本题满分11分）
袋中有一个红球，两个黑球，三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以、、分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数.
①求.
②求二维随机变量的概率分布.
【解析】（Ⅰ）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有1个红球，2个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球
.
（Ⅱ）X，Y取值范围为0，1，2，故
+---+-----+-----+------+
| X | 0 | 1 | 2 |
| | | | |
| Y | | | |
+---+-----+-----+------+
| 0 | 1/4 | 1/6 | 1/36 |
+---+-----+-----+------+
| 1 | 1/3 | 1/9 | 0 |
+---+-----+-----+------+
| 2 | 1/9 | 0 | 0 |
+---+-----+-----+------+
| 1 | |
**2020-2021学年江苏省无锡市南长街教育集团数学六年级（上）期末数学试卷**
**一、计算（共32分）**
1．（5分）直接写出得数。
2 12＝ 1+5%＝ 16×75%＝
---------- ------ -- -------- ----------
0.2^3^＝ 0
2．（18分）计算下面各题，能简算的要简算。
6 25%4 （）×5
--- ------ ----------
（） \[（）\]
3．（9分）解方程。
--------------- ------ -----------
1+30%*x*＝3.6 7*x* *xx*＝120
--------------- ------ -----------
**二.填空。（20分，每空1分）**
4．（4分）3÷[ ]{.underline}12：[ ]{.underline}＝0.6＝[ ]{.underline}%。
5．（2分）在横线上填上"＞""＜"或"＝"。
> *a*[ ]{.underline}*a*（*a*≠0）
>
> 3[ ]{.underline}3×35%
6．（1分）红糖的与白糖的相等，已知白糖有36千克，红糖有[ ]{.underline}千克．
7．（2分）学校合唱队男生有12人，比女生少18人，男生人数是女生人数的[ ]{.underline}%，女生人数比男生人数多[ ]{.underline}%。
8．（2分）一个正方体的表面积和底面积的比是（[ ]{.underline}：[ ]{.underline}），比值是[ ]{.underline}．
9．（2分）200克水和20克蜂蜜调制成蜂蜜水，蜂蜜和水的质量比化简后是[ ]{.underline}。如果再加入20克水和20克蜂蜜后，调制的蜂蜜水会更甜吗？[ ]{.underline}（填写"会"或"不会"）。
10．（1分）王阿姨把6万元钱存入银行，定期三年，年利率是4.25%，到期后，她可以获得本息[ ]{.underline}元。
11．（1分）一种大豆千克可榨油千克．照这样计算，[ ]{.underline}千克的大豆可榨8千克的油．
12．（2分）少先队员收集植物标本和动物标本共60件，植物标本的件数是动物标本的。植物标本有[ ]{.underline}件，动物标本有[ ]{.underline}件。
13．（2分）有一个长方体的长、宽、高分别是6厘米、4厘米和3厘米。现在把它的长缩短了2厘米，那么长方体的表面积减少了[ ]{.underline}平方厘米，体积减少了[ ]{.underline}立方厘米。
14．（1分）如图，一个长6厘米，宽4厘米，高12厘米的长方体牛奶盒，装满牛奶。笑笑在准备喝牛奶时，一不小心，把牛奶弄洒了一些，也就是图中的空白部分，洒出[ ]{.underline}毫升牛奶。
**三.选择。（10分，每题2分）**
15．（2分）把一批书按2：3：4或按2：4：5两种方案分给甲、乙、丙三个班，都可以将这批书正好分完，这批书可能有（ ）本．
A．90 B．100 C．99 D．110
16．（2分）六（1）班今天出勤48人，有1人病假，1人事假，六（1）班今天的出勤率是（ ）
A．4% B．48% C．96% D．98%
17．（2分）互为倒数的两个数，它们的和（ ）
A．等于1 B．比1小 C．比1大 D．无法确定
18．（2分）某产品说明书上标注包装尺寸为712×667×1888（*mm*），它们分别表示这个长方体的长、宽、高，根据这组数据，联系生活想象一下它可能是（ ）
A．一台电视机 B．一台微波炉 C．一部手机 D．一台冰箱
19．（2分）如图三角形中的空白部分和阴影部分的面积比是（ ）
A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．3：8
**四.动手操作。（8分）**
20．（2分）如图是四种型号的硬板纸，如果用下面的材料围成长方体的六个面（不含正方体），你选择哪几种？每种各几张？（请你在表中填出两种不同的围法。）
+------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+------------------------+
| 型号 | 1号 | 2号 | 3号 | 4号 | 注意：硬板纸不能折和剪 |
| | | | | | |
| 张数 | | | | | |
| | | | | | |
| 围法 | | | | | |
+======+=====================+=====================+=====================+=====================+========================+
| 一 | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | |
+------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+------------------------+
| 二 | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | [ ]{.underline} | |
+------+---------------------+---------------------+---------------------+---------------------+------------------------+
21．（6分）图中每个方格边长1厘米。
> （1）一台播种机每小时播种公顷，小时播种[ ]{.underline}公顷。图①表示1公顷，请根据题意在图中用阴影表示出小时播种的公顷数。
>
> （2）在上面的方格纸上画一个周长是18厘米的长方形，宽是长的，然后把它分成一个梯形和一个三角形，使它们的面积比是3：2。
**五.解决实际问题。（30分，每题5分）**
22．（5分）华润超市元旦促销活动，所有水果一律七折，大米一律八折，妈妈买了一盒原价60元的猕猴桃，应付多少元？邻居王阿姨买了一袋大米，付了42.4元，这袋大米原来的售价多少元？
23．（5分）方方买了4支铅笔和6支签字笔，一共花了82.2元，已知每支签字笔的价格比每支铅笔贵1.2元，每支铅笔多少元？
24．（5分）甲、乙两车分别从相距240千米的两地同时出发，相对开出，小时后相遇。已知甲、乙两车的速度比是2：3，求乙车的速度。
25．（5分）4月23日是"世界阅读日"，据有关资料统计，世界上平均每人每年读书量最多的是犹太民族，我国人均阅读量比犹太人少92%，我国每年人均阅读量是4.8本，犹太人每年人均阅读量是多少本？
26．（5分）如图所示的领奖台是由6个棱长是3分米的正方体组合而成的。
> （1）如果要在领奖台的表面喷漆（底面不喷漆），需要喷漆的面积是多少？
>
> （2）这个领奖台的体积是多少？
27．（5分）联华超市有软、硬两种糖放在一起，其中软糖与硬糖的质量比是1：3，后来放入了10千克软糖，这时软糖的质量占糖总质量的。原来软糖有多少千克？
**2020-2021学年江苏省无锡市南长街教育集团数学六年级（上）期末数学试卷**
**参考答案**
**一、计算（共32分）**
1．[ ]{.underline}； 2．[ ]{.underline}； 3．[ ]{.underline}；
**二.填空。（20分，每空1分）**
4．[5]{.underline}； [20]{.underline}； [60]{.underline}； 5．[＜]{.underline}； [＞]{.underline}； 6．[16]{.underline}； 7．[40]{.underline}； [150]{.underline}； 8．[6]{.underline}； [1]{.underline}； [6]{.underline}； 9．[1：10]{.underline}； [会]{.underline}； 10．[67650]{.underline}； 11．[30]{.underline}； 12．[15]{.underline}； [45]{.underline}； 13．[28]{.underline}； [24]{.underline}； 14．[36]{.underline}；
**三.选择。（10分，每题2分）**
15．C； 16．C； 17．C； 18．D； 19．B；
**四.动手操作。（8分）**
20．[4]{.underline}； [2]{.underline}； [0]{.underline}； [0]{.underline}； [2]{.underline}； [0]{.underline}； [2]{.underline}； [2]{.underline}； 21．[]{.underline}；
**五.解决实际问题。（30分，每题5分）**
22．[ ]{.underline}； 23．[ ]{.underline}； 24．[ ]{.underline}； 25．[ ]{.underline}； 26．[ ]{.underline}； 27．[ ]{.underline}；
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**衡水金卷2018届全国高三大联考理数**
**第Ⅰ卷（共60分）**
**一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.**
1.已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2.记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则为（ ）
A． B． C． D．
3.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．
4.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）
A． B． C． D．
5.已知双曲线：（，）的渐近线经过圆：的圆心，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6.已知数列为等比数列，且，则（ ）
A． B． C． D．
7.执行如图的程序框图，若输出的的值为，则①中应填（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数为内的奇函数，且当时，，记，，，则，，间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10.已知函数（，）的部分图像如图所示，其中．记命题：，命题：将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则以下判断正确的是（ ）
A．为真 B．为假 C．为真 D．为真
11.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
12.已知数列与的前项和分别为，，且，，，，若，恒成立，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.已知在中，，，若边的中点的坐标为，点的坐标为，则 [ ]{.underline} ．
14.已知（）的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为、，则的最小值为 [ ]{.underline} ．
15.已知，满足其中，若的最大值与最小值分别为，，则实数的取值范围为 [ ]{.underline} ．
16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中平面，，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 [ ]{.underline} ．
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.已知函数，．
（1）求函数的最小正周期及其图象的对称轴方程；
（2）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，求的面积．
18.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，侧面平面，且，动点在棱上，且.
（1）试探究的值，使平面，并给予证明；
（2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值．
19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）
------ ------------------ -------------------- ------
经常使用网络外卖 偶尔或不用网络外卖 合计
男性 50 50 100
女性 60 40 100
合计 110 90 200
------ ------------------ -------------------- ------
（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？
（2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；
②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差．
参考公式：，其中．
参考数据：
-- ------- ------- ------- ------- -------
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
-- ------- ------- ------- ------- -------
20.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，其离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点的直线与椭圆交于，两点，且，证明：四边形不可能是菱形．
21.已知函数（，），其中为自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性及极值；
（2）若不等式在内恒成立，求证：．
**请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中中，已知曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）当时，求曲线上的点到直线的距离的最大值；
（2）若曲线上的所有点都在直线的下方，求实数的取值范围．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（1）解不等式；
（2）记函数的值域为，若，证明：．
**衡水金卷2018届全国高三大联考理数答案**
**一、选择题**
1-5: 6-10: 11、12：
**二、填空题**
13\. 14. 15. 16.
**三、解答题**
17.解：（1）原式可化为，
故其最小正周期，
令（），解得（），
即函数图象的对称轴方程为（）．
（2）由（1）知，
因为，所以，
又，
故，解得．
由正弦定理及，得，
故．
18.解：（1）当时，平面．
证明如下：连接交于点，连接．
∵，，
∴．
∵，∴．
∴.
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）取的中点，连接，则．
∵平面平面，平面平面，且，
∴平面．
∵，且，
∴四边形为平行四边形，∴．
又∵，∴．
由，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，．
当时，有，∴可得．
∴，，．
设平面的一个法向量为，则有即
令，得，，即．
设与平面所成的角为，
则，
∴当时，直线与平面所成的角的正弦值为．
19.解：（1）由列联表可知的观测值
，
所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖情况与性别有关．
（2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），
偶尔或不用网络外卖的有（人）．
则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为．
②由列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的概率为，
将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为．
由题意得，∴；．
20.解：（1）由已知，得，，
又，故解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由（1），知，如图，易知直线不能平行于轴，
所以令直线的方程为，
设，，
联立方程得，
所以，．
此时．
同理，令直线的方程为，设，，
此时，，
此时．
故，所以四边形是平行四边形.
若是菱形，则，即，于是有.
又，
所以有，
整理得，即，
上述关于的方程显然没有实数解，
故四边形不可能是菱形.
21.解：（1）由题意．
当，即时，，在内单调递增，没有极值．
当，即时，
令，得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
故当,取得极小值，无极大值．
综上所述，当时，在内单调递增，没有极值；
当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增，的极小值为，无极大值．
（2）由（1），知当时，在内单调递增，
当时，成立，
当时，令为和中较小的数，
所以，且．
则，，
所以，与恒成立矛盾，应舍去．
当时，，
即，
所以．
令，则．
令，得；令，得，
故在区间内单调递增，在区间内单调递减，
故，
即当，即时，．
所以，
所以．
而，所以．
22.解：（1）易知曲线：，直线的直角坐标方程为．
所以圆心到直线的距离，
∴．
（2）∵曲线上的所有点均在直线的下方，
∴，有恒成立，
∴．
又，∴解得，
∴实数的取值范围为．
23.解：（1）依题意，得
于是得或或解得．
即不等式的解集为．
（2），
当且仅当时，取等号，
∴．
原不等式等价于，
∵，∴，
∴.
又∵，∴，
∴.
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**小学一年级上册数学奥数知识点讲解第10课《立体平面展开》试题无答案**
一年级奥数上册：第十讲 立体平面展开 来源：www.bcjy123.com/tiku/
一年级奥数上册：第十讲 立体平面展开 习题
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**《拨一拨》同步练习**
**一、拨出二百九十八，并且一个一个数到三百零三，并且写出来。**
> **（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）**
>
> **二、拨出三千八百，一百一百地数，数到四千二百，并把它们写出来。**
>
> **（ ）、（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。**
>
> 三、找出下面数的排列规律，在空格里填上合适的数。
>
> 
>
> 四、在"二百四十七"这个数的后面连续写出六个数。
>
> \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_
>
> 五、用三张数字卡片，可以排出（ ）个不同的三位数，把它们写出来是\_\_\_\_\_\_\_\_\_。其中最大的数是\_\_\_\_\_\_\_，最小的数是\_\_\_\_\_\_。
>
> **六、写出下列各数。**
>
> **五百一十三：（ ）**
>
> **四百八十七：（ ）**
>
> **六千五百：（ ）**
>
> **九千四百三十六：（ ）**
>
> **七千七百三十：（ ）**
>
> 七、写一写。
>
> 
>
> 218 = 200 + [ ]{.underline} + [ ]{.underline}
>
> \_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_＋\_\_\_\_\_\_＋\_\_\_\_\_\_＋\_\_\_\_\_\_
>
> \[来源:Zxxk.Com\]
>
> 八、用0、2、4、6组成三位数（能写几个写几个）。
>
> \[来源:学科网ZXXK\]
>
> \[来源:学科网\]
>
> **参考答案：**
**一、298、299、300、301、302**
> **二、3800、3900、4000、4100、4200**
>
> 三、找出下面数的排列规律，在空格里填上合适的数。
----- ----- ----- ----- ----- -----
560 570 580 590 600 610
----- ----- ----- ----- ----- -----
四、248、249、250、251、252、253
> 五、\_258、528、852\_\_ \_852\_ \_258\_
**六、写出下列各数。\[来源:Z\*xx\*k.Com\]**
> **（513）**
>
> **（487）**
>
> **（6500）**
>
> **（9436 ）**
>
> **（7730）**
>
> 七、写一写。
218 = 200 + [10]{.underline} + [8]{.underline}
> \_\_1325\_\_\_=\_\_1000\_\_\_＋\_\_\_300\_\_\_＋\_\_\_20\_\_\_＋\_\_5\_\_\_\_
八、 2046、2064、2406、2460、2604、2640、2460、2640
> \[来源:学\#科\#网Z\#X\#X\#K\]
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**2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）
2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x\|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
3．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
4．（5分）圆x^2^+y^2^﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．20π B．24π C．28π D．32π
7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）
A．x=﹣（k∈Z） B．x=+（k∈Z）
C．x=﹣（k∈Z） D．x=+（k∈Z）
8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）
A．7 B．12 C．17 D．34
9．（5分）若cos（﹣α）=，则sin2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
10．（5分）从区间\[0，1\]随机抽取2n个数x~1~，x~2~，...，x~n~，y~1~，y~2~，...，y~n~构成n个数对（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~）...（x~n~，y~n~），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知F~1~，F~2~是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF~1~与x轴垂直，sin∠MF~2~F~1~=，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~），...，（x~m~，y~m~），则（x~i~+y~i~）=（ ）
A．0 B．m C．2m D．4m
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分．**
13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=[ ]{.underline}．
14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题是[ ]{.underline}（填序号）
15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是[ ]{.underline}．
16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=[ ]{.underline}．
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（12分）S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，且a~1~=1，S~7~=28，记b~n~=\[lga~n~\]，其中\[x\]表示不超过x的最大整数，如\[0.9\]=0，\[lg99\]=1．
（Ⅰ）求b~1~，b~11~，b~101~；
（Ⅱ）求数列{b~n~}的前1000项和．
18．（12分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．
（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．
20．（12分）已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4，\|AM\|=\|AN\|时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2\|AM\|=\|AN\|时，求k的取值范围．
21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=e^x^的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e^x^+x+2＞0；
（Ⅱ）证明：当a∈\[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．
**请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）^2^+y^2^=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，\|AB\|=，求l的斜率．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x﹣\|+\|x+\|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，\|a+b\|＜\|1+ab\|．
**2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）**
**参考答案与试题解析**
**一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．**
1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；5N：数系的扩充和复数．
【分析】利用复数对应点所在象限，列出不等式组求解即可．
【解答】解：z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，
可得：，解得﹣3＜m＜1．
故选：A．
【点评】本题考查复数的几何意义，考查计算能力．
2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x\|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B等于（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
【考点】1D：并集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5J：集合．
【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B的值．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，
B={x\|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，
∴A∪B={0，1，2，3}．
故选：C．
【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用．
3．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；5A：平面向量及应用．
【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．
【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），
∴+=（4，m﹣2），
又∵（+）⊥，
∴12﹣2（m﹣2）=0，
解得：m=8，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题．
4．（5分）圆x^2^+y^2^﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
【考点】IT：点到直线的距离公式；J9：直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；4R：转化法；5B：直线与圆．
【分析】求出圆心坐标，代入点到直线距离方程，解得答案．
【解答】解：圆x^2^+y^2^﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d==1，
解得：a=，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是圆的一般方程，点到直线的距离公式，难度中档．
5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
【考点】D2：分步乘法计数原理；D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】12：应用题；34：方程思想；49：综合法；5O：排列组合．
【分析】从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，由组合数可得最短的走法，同理从F到G，最短的走法，有C~3~^1^=3种走法，利用乘法原理可得结论．
【解答】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C~4~^2^C~2~^2^=6种走法．
同理从F到G，最短的走法，有C~3~^1^C~2~^2^=3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．
故选：B．
【点评】本题考查排列组合的简单应用，得出组成矩形的条件和最短走法是解决问题的关键，属基础题
6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A．20π B．24π C．28π D．32π
【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】空间几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面．
【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，
∴在轴截面中圆锥的母线长是=4，
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×2^2^+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，
故选：C．
【点评】本题考查由三视图求表面积，本题的图形结构比较简单，易错点可能是两个几何体重叠的部分忘记去掉，求表面积就有这样的弊端．
7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（ ）
A．x=﹣（k∈Z） B．x=+（k∈Z）
C．x=﹣（k∈Z） D．x=+（k∈Z）
【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；49：综合法；57：三角函数的图像与性质．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．
【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），
由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），
即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），
故选：B．
【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题．
8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）
A．7 B．12 C．17 D．34
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；28：操作型；5K：算法和程序框图．
【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：∵输入的x=2，n=2，
当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；
当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；
故输出的S值为17，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．
9．（5分）若cos（﹣α）=，则sin2α=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．菁优网版权所有
【专题】36：整体思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．
【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α=cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．
法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值
【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，
∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos^2^（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，
法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，
∴（1+sin2α）=，
∴sin2α=2×﹣1=﹣，
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，熟练掌握诱导公式化与二倍角的余弦是关键，属于中档题．
10．（5分）从区间\[0，1\]随机抽取2n个数x~1~，x~2~，...，x~n~，y~1~，y~2~，...，y~n~构成n个数对（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~）...（x~n~，y~n~），其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】CF：几何概型．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．
【解答】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•1^2^，从区间\[0，1】随机抽取2n个数x~1~，x~2~，...，x~n~，y~1~，y~2~，...，y~n~，构成n个数对（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~），...，（x~n~，y~n~），对应的区域的面积为1^2^．
∴=
∴π=．
故选：C．
【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．
11．（5分）已知F~1~，F~2~是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，MF~1~与x轴垂直，sin∠MF~2~F~1~=，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由条件MF~1~⊥MF~2~，sin∠MF~2~F~1~=，列出关系式，从而可求离心率．
【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，
则丨MF~1~丨=，丨MF~2~丨=，
∴sin∠MF~2~F~1~=，∴=，
可得：2b^4^=a^2^c^2^，即b^2^=ac，又c^2^=a^2^+b^2^，
可得e^2^﹣e﹣=0，
e＞1，解得e=．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的定义及离心率的求解，关键是找出几何量之间的关系，考查数形结合思想，属于中档题．
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=与y=f（x）图象的交点为（x~1~，y~1~），（x~2~，y~2~），...，（x~m~，y~m~），则（x~i~+y~i~）=（ ）
A．0 B．m C．2m D．4m
【考点】3P：抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．
【分析】由条件可得f（x）+f（﹣x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x~1~，y~1~）为交点，即有（﹣x~1~，2﹣y~1~）也为交点，计算即可得到所求和．
【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），
即为f（x）+f（﹣x）=2，
可得f（x）关于点（0，1）对称，
函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，
即有（x~1~，y~1~）为交点，即有（﹣x~1~，2﹣y~1~）也为交点，
（x~2~，y~2~）为交点，即有（﹣x~2~，2﹣y~2~）也为交点，
...
则有（x~i~+y~i~）=（x~1~+y~1~）+（x~2~+y~2~）+...+（x~m~+y~m~）
=\[（x~1~+y~1~）+（﹣x~1~+2﹣y~1~）+（x~2~+y~2~）+（﹣x~2~+2﹣y~2~）+...+（x~m~+y~m~）+（﹣x~m~+2﹣y~m~）\]
=m．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
**二、填空题：本题共4小题，每小题5分．**
13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=[ ]{.underline}[ ]{.underline}．
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；56：三角函数的求值；58：解三角形．
【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．
【解答】解：由cosA=，cosC=，可得
sinA===，
sinC===，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，
由正弦定理可得b=
==．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．
14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题是[ ②③④ ]{.underline}（填序号）
【考点】2K：命题的真假判断与应用；LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关系．菁优网版权所有
【专题】2A：探究型；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．
【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．
【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；
②如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；
③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确
④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；
故答案为：②③④
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了空间直线与平面的位置关系，难度中档．
15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说："我与乙的卡片上相同的数字不是2"，乙看了丙的卡片后说："我与丙的卡片上相同的数字不是1"，丙说："我的卡片上的数字之和不是5"，则甲的卡片上的数字是[ 1和3 ]{.underline}．
【考点】F4：进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】2A：探究型；49：综合法；5L：简易逻辑．
【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．
【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；
（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；
（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；
又甲说，"我与乙的卡片上相同的数字不是2"；
∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；
∴甲的卡片上的数字是1和3．
故答案为：1和3．
【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．
16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=[ 1﹣ln2 ]{.underline}．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可
【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x~1~，kx~1~+b）、（x~2~，kx~2~+b）；
由导数的几何意义可得k==，得x~1~=x~2~+1
再由切点也在各自的曲线上，可得
联立上述式子解得；
从而kx~1~+b=lnx~1~+2得出b=1﹣ln2．
【点评】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题
**三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．**
17．（12分）S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，且a~1~=1，S~7~=28，记b~n~=\[lga~n~\]，其中\[x\]表示不超过x的最大整数，如\[0.9\]=0，\[lg99\]=1．
（Ⅰ）求b~1~，b~11~，b~101~；
（Ⅱ）求数列{b~n~}的前1000项和．
【考点】83：等差数列的性质；8E：数列的求和．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，求出通项公式，然后求解b~1~，b~11~，b~101~；
（Ⅱ）找出数列的规律，然后求数列{b~n~}的前1000项和．
【解答】解：（Ⅰ）S~n~为等差数列{a~n~}的前n项和，且a~1~=1，S~7~=28，7a~4~=28．
可得a~4~=4，则公差d=1．
a~n~=n，
b~n~=\[lgn\]，则b~1~=\[lg1\]=0，
b~11~=\[lg11\]=1，
b~101~=\[lg101\]=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b~1~=b~2~=b~3~=...=b~9~=0，b~10~=b~11~=b~12~=...=b~99~=1．
b~100~=b~101~=b~102~=b~103~=...=b~999~=2，b~10，00~=3．
数列{b~n~}的前1000项和为：9×0+90×1+900×2+3=1893．
【点评】本题考查数列的性质，数列求和，考查分析问题解决问题的能力，以及计算能力．
18．（12分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
上年度出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
---------------- ------- --- ------- ------ ------- ----
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
一年内出险次数 0 1 2 3 4 ≥5
概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05
---------------- ------ ------ ------ ------ ------ ------
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，由此利用该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表根据对立事件概率计算公式能求出一续保人本年度的保费高于基本保费的概率．
（Ⅱ）设事件A表示"一续保人本年度的保费高于基本保费"，事件B表示"一续保人本年度的保费比基本保费高出60%"，由题意求出P（A），P（AB），由此利用条件概率能求出若一续保人本年度的保费高于基本保费，则其保费比基本保费高出60%的概率．
（Ⅲ）由题意，能求出续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
【解答】解：（Ⅰ）∵某保险的基本保费为a（单位：元），
上年度出险次数大于等于2时，续保人本年度的保费高于基本保费，
∴由该险种一续保人一年内出险次数与相应概率统计表得：
一续保人本年度的保费高于基本保费的概率：
p~1~=1﹣0.30﹣0.15=0.55．
（Ⅱ）设事件A表示"一续保人本年度的保费高于基本保费"，事件B表示"一续保人本年度的保费比基本保费高出60%"，
由题意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15，
由题意得若一续保人本年度的保费高于基本保费，
则其保费比基本保费高出60%的概率：
p~2~=P（B\|A）===．
（Ⅲ）由题意，续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为：
=1.23，
∴续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23．
【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式、条件概率计算公式的合理运用．
19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．
（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．
【考点】MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有
【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；5G：空间角．
【分析】（Ⅰ）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，进一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD′与平面AD′C的一个法向量，设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，求出\|cosθ\|．则二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求．
【解答】（Ⅰ）证明：∵ABCD是菱形，
∴AD=DC，又AE=CF=，
∴，则EF∥AC，
又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，则EF⊥BD，
∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，
∵AC=6，
∴AO=3，
又AB=5，AO⊥OB，
∴OB=4，
∴OH==1，则DH=D′H=3，
∴\|OD′\|^2^=\|OH\|^2^+\|D′H\|^2^，则D′H⊥OH，
又OH∩EF=H，
∴D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
∵AB=5，AC=6，
∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），
，，
设平面ABD′的一个法向量为，
由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．
∴．
同理可求得平面AD′C的一个法向量，
设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，
则\|cosθ\|=．
∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值为sinθ=．
【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．
20．（12分）已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4，\|AM\|=\|AN\|时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2\|AM\|=\|AN\|时，求k的取值范围．
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；48：分析法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）方法一、求出t=4时，椭圆方程和顶点A，设出直线AM的方程，代入椭圆方程，求交点M，运用弦长公式求得\|AM\|，由垂直的条件可得\|AN\|，再由\|AM\|=\|AN\|，解得k=1，运用三角形的面积公式可得△AMN的面积；
方法二、运用椭圆的对称性，可得直线AM的斜率为1，求得AM的方程代入椭圆方程，解方程可得M，N的坐标，运用三角形的面积公式计算即可得到；
（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，求得交点M，可得\|AM\|，\|AN\|，再由2\|AM\|=\|AN\|，求得t，再由椭圆的性质可得t＞3，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：（Ⅰ）方法一、t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（﹣2，0），
直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k^2^）x^2^+16k^2^x+16k^2^﹣12=0，
解得x=﹣2或x=﹣，则\|AM\|=•\|2﹣\|=•，
由AN⊥AM，可得\|AN\|=•=•，
由\|AM\|=\|AN\|，k＞0，可得•=•，
整理可得（k﹣1）（4k^2^+k+4）=0，由4k^2^+k+4=0无实根，可得k=1，
即有△AMN的面积为\|AM\|^2^=（•）^2^=；
方法二、由\|AM\|=\|AN\|，可得M，N关于x轴对称，
由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y=x+2，
代入椭圆方程+=1，可得7x^2^+16x+4=0，
解得x=﹣2或﹣，M（﹣，），N（﹣，﹣），
则△AMN的面积为××（﹣+2）=；
（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，
可得（3+tk^2^）x^2^+2tk^2^x+t^2^k^2^﹣3t=0，
解得x=﹣或x=﹣，
即有\|AM\|=•\|﹣\|=•，
\|AN\|═•=•，
由2\|AM\|=\|AN\|，可得2•=•，
整理得t=，
由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，
可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．
【点评】本题考查椭圆的方程的运用，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，以及弦长公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=e^x^的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e^x^+x+2＞0；
（Ⅱ）证明：当a∈\[0，1）时，函数g（x）=（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．菁优网版权所有
【专题】53：导数的综合应用．
【分析】从导数作为切入点探求函数的单调性，通过函数单调性来求得函数的值域，利用复合函数的求导公式进行求导，然后逐步分析即可
【解答】解：（1）证明：f（x）=
f\'（x）=e^x^（）=
∵当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）时，f\'（x）≥0
∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上单调递增
∴x＞0时，＞f（0）=﹣1
即（x﹣2）e^x^+x+2＞0
（2）g\'（x）=
==
a∈\[0，1）
由（1）知，当x＞0时，f（x）=的值域为（﹣1，+∞），只有一解使得
，
只需•e^t^≤0恒成立，可得﹣2＜t≤2，
由x＞0，可得
t∈（0，2\]
当x∈（0，t）时，g\'（x）＜0，g（x）单调减；
当x∈（t，+∞），g\'（x）＞0，g（x）单调增；
h（a）===
记k（t）=，在t∈（0，2\]时，k\'（t）=＞0，
故k（t）单调递增，
所以h（a）=k（t）∈（，\]．
【点评】该题考查了导数在函数单调性上的应用，重点是掌握复合函数的求导，以及导数代表的意义，计算量较大，难度较大．
**请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.\[选修4-1：几何证明选讲\]**
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
【考点】N8：圆內接多边形的性质与判定．菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（Ⅰ）证明B，C，G，F四点共圆可证明四边形BCGF对角互补，由已知条件可知∠BCD=90°，因此问题可转化为证明∠GFB=90°；
（Ⅱ）在Rt△DFC中，GF=CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，则S~四边形BCGF~=2S~△BCG~，据此解答．
【解答】（Ⅰ）证明：∵DF⊥CE，
∴Rt△DFC∽Rt△EDC，
∴=，
∵DE=DG，CD=BC，
∴=，
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，
∴△GDF∽△BCF，
∴∠CFB=∠DFG，
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，
∴∠GFB+∠GCB=180°，
∴B，C，G，F四点共圆．
（Ⅱ）∵E为AD中点，AB=1，∴DG=CG=DE=，
∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，连接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，
∴S~四边形BCGF~=2S~△BCG~=2××1×=．
【点评】本题考查四点共圆的判断，主要根据对角互补进行判断，注意三角形相似和全等性质的应用．
**\[选修4-4：坐标系与参数方程\]**
23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）^2^+y^2^=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，\|AB\|=，求l的斜率．
【考点】J1：圆的标准方程；J8：直线与圆相交的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆．
【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ^2^=x^2^+y^2^，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）^2^+y^2^=25，
∴x^2^+y^2^+12x+11=0，
∵ρ^2^=x^2^+y^2^，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C的极坐标方程为ρ^2^+12ρcosα+11=0．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），
∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，
∵l与C交与A，B两点，\|AB\|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，
圆心到直线的距离d=．
∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，
解得tan^2^α=，∴tanα=±=±．
∴l的斜率k=±．
【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．
**\[选修4-5：不等式选讲\]**
24．已知函数f（x）=\|x﹣\|+\|x+\|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，\|a+b\|＜\|1+ab\|．
【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4C：分类法；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．
【分析】（I）分当x＜时，当≤x≤时，当x＞时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；
（Ⅱ）当a，b∈M时，（a^2^﹣1）（b^2^﹣1）＞0，即a^2^b^2^+1＞a^2^+b^2^，配方后，可证得结论．
【解答】解：（I）当x＜时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x﹣x﹣＜2，
解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜，
当≤x≤时，不等式f（x）＜2可化为：﹣x+x+=1＜2，
此时不等式恒成立，
∴≤x≤，
当x＞时，不等式f（x）＜2可化为：﹣+x+x+＜2，
解得：x＜1，
∴＜x＜1，
综上可得：M=（﹣1，1）；
证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，
（a^2^﹣1）（b^2^﹣1）＞0，
即a^2^b^2^+1＞a^2^+b^2^，
即a^2^b^2^+1+2ab＞a^2^+b^2^+2ab，
即（ab+1）^2^＞（a+b）^2^，
即\|a+b\|＜\|1+ab\|．
【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，不等式的证明，难度中档．
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**2015-2016年河北衡水中学同步原创月考卷**
**高三期末理数**
**第Ⅰ卷（共60分）**
一、**选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项**
**是符合题目要求的.**
1.已知集合，为虚数单位，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
3.设函数，则（ ）
A． B． C． D．
4.为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（ ）
A．线性相关关系较强，的值为
B．线性相关关系较强，的值为
C．线性相关关系较强，的值为
D．线性相关关系太弱，无研究价值
5.下列结论中，正确的是
④命题的否定是.
A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④
6.已知三棱锥的顶点都在半径为的球面上，是球心，，当与的面积之和最大时，三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
7.阅读如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A． B． C． D．
8.中心为原点的椭圆焦点在轴上，为该椭圆右顶点，为椭圆上一点，，则该椭圆的离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，在中，为线段上靠近点的四等分点，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
11.设数列满足，且对任意，函数满足，若，则数列的前项和等于（ ）
A． B．
C． D．
12.已知定义在上的函数对任意都满足，当时，，若函数至少有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
**第Ⅱ卷（共90分）**
**二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）**
13.二项式的展开式的系数和为，则的值为\_\_\_\_\_\_.
14.设等差数列满足，其前项和为，若数列也为等差数列，则的最大值是\_\_\_\_\_.
15.已知实数满足条件，若不等式恒成立，则实数的最大值是\_\_\_\_\_.
16.设函数，，对，不等式恒成立，则正数的取值范围是\_\_\_\_\_\_\_.
**三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）**
17.（本小题满分12分）
中，内角的对边分别是，已知成等比数列，且.
（1）求的值；
（2）设，求的值.
18.（本小题满分12分）
同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为.
（1）求的概率；
（2）求点在函数的图象上的概率；
（3）将的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求的分布列和数学期望.
19.（本小题满分12分）
已知是边长为的等边三角形，点、分别是边、上的点，且满足.
将沿折起到的位置，并使得平面平面.
（1）求证：；
（2）设为线段上的一点，试求直线与平面所成角的正切的最大值.
20.（本小题满分12分）
已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且.
（1）求的值；
（2）设为坐标原点，抛物线上是否存在点与点不重合），使得过点作线段的垂线与抛物线交于点，直线分别交轴、轴于点、，且满足（表示的面积，表示的面积）？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若函数在处的切线与直线平行，求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）在（1）的条件下，若对恒成立，求实数的取值范围.
**请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.**
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形内接于圆，是圆的直径，于点，.
（1）证明：是圆的切线；
（2）如果，，求线段的长.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，曲线为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，直线.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）曲线上恰好存在三个不同的点到直线的距离相等，分别求这三个点的极坐标.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）若恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，解不等式.
**月考卷**
一、选择题
1.C 【解析】，，，故选C.
2.D 【解析】∵，∴，∴，∴.
又∵，∴图中阴影部分表示的集合为.
5.C 【解析】由原命题和逆否命题的关系知①正确；由，可得或向量与垂直，所以②正确；③中命题是假命题，所以是假命题，所以③错误；特称命题的否定是全称命题，所以④正确.
6.B 【解析】∵，∴当时，取得最大值，此时，∴平面，
∴.
7.A 【解析】由题意得，，周期，故
.
8.B 【解析】设椭圆方程为，，则，.又由于，所以，即可得.
所以点在以为直径的圆上，即椭圆于该圆有异于点的公共点.
，消去，得，
.
由于过点，所以有一个根为，另一个根为，由韦达定理可得.
又因为，解得.
9.A 【解析】如下图所示，该几何体的直观图为四棱柱截取三棱锥和三棱锥.
由已知底面为直角梯形，底面，为的中点，所以该几何体的体积
.
10.A 【解析】因为为线段上靠近点的四等分点，所以，设，则
又因为，所以有，即.
\`11.C 【解析】,由，得，
故数列为等差数列，由，得，所以，
所以.
12.A 【解析】当时，作函数与函数的图象如下：
结合图象可知，，故；
当时，作函数与函数的图象如下：
结合图象可知，，故.
二、填空题
13.1或5 【解析】令，则有，即，得或.
14\. 【解析】设数列的公差为，依题意，即，
化简可得，∴.
15\. 【解析】由题意知可行域如图：
∵在可行域内恒成立，即，∴只需求的最大值即可，设，由图象知，则的斜率，的斜率，由图像可知，∵在时为增函数，∴当时，取得最大值，此时，，∴，∴的最大值为.
16\. 【解析】∵当时，，
当且仅当时等号成立，∴时，函数有最小值.
∵，∴.
当时，，则函数在区间上单调递减，∴时，函数有最大值，，则对，.
∵恒成立，且，∴，解得.
∴正数的取值范围是.
三、解答题
17.解：（1）因为成等比数列，所以，
由余弦定理可知，
又，所以.
且，解得.
于是.
（2）因为，所以，所以.
又或，所以或于是.
18.解：（1）所有的基本事件共有个，其中满足的基本事件有共个，故.
（2）记"点在函数的图象上"为事件，包含两个基本事件，
所以.
故点在函数的图象上的概率为.
（3）记"以为边能围成等腰三角形"为事件，共包括个基本事件.
所以.
的可能取值为，
，，
，，
所以的分布列为：
--- --- --- --- ---
0 1 2 3
P
--- --- --- --- ---
或.
19.解：（1）因为等边△的边长为，且，所以，
在△中，，由余弦定理，得.
因为，所以.
折叠后有，因为平面平面，又平面平面，
平面，，所以平面，又平面，故.
（2）由（1）可知，平面，
如图，以为坐标原点，以射线分别为轴，轴，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，作于点，连接、，
设，则，所以，
因为，
所以平面，所以平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，所以，
①若，则.
②若，则，
令.
因为函数时单调递增，所以，即，
所以.故所求的最大值为.（此时点与重合）
20.解：（1）由抛物线的定义，得，∴，∴.
将点代入：，得，∴.
（2）由题意知直线的斜率存在且不为，根据抛物线的对称性，现考虑点在第一象限，如图所示，
设直线的方程为，，则直线的方程为.
由，得，∴（舍去）或，点，
由，得，∴（舍去）或，点，
∵当时，，轴，不符合题意，
∴直线的方程为，即，∴.
∵，，
∴，即，∴，∴或.
又由抛物线的对称性，得点的坐标为或.
21.解：（1）.
∵函数在处的切线与直线平行，∴，
即，解得或（舍去），∴.
（2）函数的定义域为，
，
①当时，，∴当或时，；当时，，
∴函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减.
②当时，，，
∴函数在区间上单调递增.
③当时，，∴当或时，；当时，，
∴函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减.
（3）当时，，
由（2）知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
∴函数在区间上的最小值只能在或中取得.
∵，∴.
设，则在区间上单调递减，且，
∴，∴，
∴在区间上的最小值是.
若要满足对恒成立，只需恒成立，
即需恒成立，即，解得，
∴实数的取值范围是.
22.解：（1）连接，如图，
在中，于点，∴.
∵平分，∴.
∵，∴，∵，∴，
即是圆的切线.
（2）在和中，∵是圆的直径，∴，
由（1）得，又∵，∴，
∴.∴，
∵，∴，进一步求得.
23.解：（1）由题意得
∴曲线的普通方程为.
∵直线，
∴直线的直角坐标方程为.
（2）∵圆心，半径为，圆心到直线的距离，
∴这三个点分别在平行于直线的两条直线上，设与圆相交于点，与圆相交于点，如图所示，
∴直线与直线的距离均为，∴，.
由得或，即.
由得，即.
∴这三个点的极坐标分别为.
24.解：（1）由题意得对任意恒成立，
即，又，
所以，解得.
所以实数的取值范围为.
（2）当时，不等式可化为，
当时，变形为，解得，此时不等式的解集为；
当时，变形为，解得，此时不等式的解集为；
当时，不等式解得，此时不等式的解集为，
综上，不等式的解集为.
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**小学三年级上册数学奥数知识点讲解第5课《找几何图形的规律》试题附答案**
**答案**
三年级奥数上册：第五讲 找几何图形的规律 习题解答
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**2015年小学奥数应用题专题------年龄问题**
1．小卉今年6岁，妈妈今年36岁，再过6年，小卉读初中时，妈妈比小卉大多少岁？
2．小英比小明小3岁，今年他们的年龄和是老师年龄的一半，再过15年，他们的年龄和就等于老师的年龄，今年小英的年龄是多少岁？
**3．**爸爸妈妈现在的年龄和是岁；五年后，爸爸比妈妈大岁．今年爸爸妈妈二人各多少岁？
4．今年小宁9岁，妈妈33岁，那么再过多少年小宁的岁数是妈妈岁数的一半？
5．6年前，母亲的年龄是儿子的5倍，6年后母子年龄和是78岁．问：母亲今年多少岁?
**6．**小航的爸爸比妈妈大4岁，今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之和是小航的6倍，那么小航的妈妈今年多少岁？
7．学校张老师和刘备、张飞、关羽三个学生，现在张老师的年龄刚好是这三个学生的年龄和；9年后，张老师年龄为刘备、张飞两个学生的年龄和；又3年后，张老师年龄为刘备、关羽两个学生的年龄和；再3年后，张老师年龄为张飞、关羽两个学生的年龄和．求现在各人的年龄．
8．父亲与两个儿子的年龄和为84岁，12年后父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲现在多少岁？
9．小明与爸爸的年龄和是53岁，小明年龄的4倍比爸爸的年龄多2岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？
**10．**一家三口人，三人年龄之和是72岁，妈妈和爸爸同岁，妈妈的年龄是孩子的4倍，三人各是多少岁？
**11．**甲、乙、丙三人平均年龄为岁，若将甲的岁数增加，乙的岁数扩大倍，丙的岁数缩小倍，则三人岁数相等，丙的年龄为多少岁？
12．姐姐今年13岁，弟弟今年9岁，当姐弟俩岁数和是40岁时，两人各应该多少岁？
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13．东东3年前的年龄与西西4年后的年龄之和是25岁，东东3年后的年龄等于西西l年前的年龄，求东东、西西今年的年龄各是多少？
14．哥哥5年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是29岁，弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍．哥哥今年多少岁？
**15．**今年彬彬的年龄是表弟年龄的4倍，20年后，彬彬的年龄比表弟的年龄的2倍少l2岁，今年彬彬、表弟各多少岁？
16．甲现在的年龄是乙过去某一时刻年龄的2倍，那时甲正好是乙现在这样大，当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，那么现在甲、乙年龄分别是多少岁？
17．李伟5年前的年龄与张磊8年后的年龄相等，李伟4年后与张磊3年前的年龄和是36岁，李伟和张磊两人今年各多少岁？
18．甲的年龄比乙的年龄的4倍少3，甲在3年后的年龄等于乙9年后的年龄，问甲、乙现在各几岁？
19．一天，小慧和刘老师一起谈心，小慧问："老师，您今年有多少岁啊？"刘老师 回答说："你猜猜，当我像你这么大时，你才1岁；当你到我这么大时，我就34岁了．"那么刘老师今年的年龄是多少岁呢？
20．父子年龄之和是岁，再过年，父亲的年龄正好是儿子的倍，父子今年各多少岁？
21．父子年龄之和是岁，年前父亲的年龄正好是儿子的倍，问父子今年各多少岁？
22．李文今年岁，爸爸妈妈的年龄和是岁，问：多少年后他们仨的平均年龄是岁？
23．父亲与两个儿子的年龄和为84岁，12年后父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲现在多少岁？
**24．**王老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是岁，李老师与王平和李刚两位同学的平均年龄是岁．王老师今年岁，李老师今年多少岁?
25．哥哥5年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是29岁，弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍．哥哥今年多少岁？
26．爸爸15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多少岁？
27．小华今年岁，他和爸爸、妈妈三人年龄之和为岁．若干年后，三人平均年龄是岁．到那时，小华的年龄是多少岁？
28．小芬家由小芬和她的父母组成，小芬的父亲比母亲大岁，今年全家年龄的和是岁，年前这一家全家年龄的和是岁．今年三人各是多少岁？
29．全家四口人，父亲比母亲大岁，姐姐比弟弟大岁．四年前他们全家的年龄和为岁，而现在是岁．问：现在各人的年龄是多少？
**30．**有一家三口，爸爸比妈妈大岁，他们全家今年的年龄加起来正好是岁，而年前他们全家人年龄加起来刚好是岁．小孩子今年多少岁？
31．泡泡比毛毛小岁，再过年泡泡的年龄将是毛毛年龄的一半，他们今年的年龄总和是多少岁？
32．四个人年龄之和是岁，最小的一个岁，他与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大岁，那么这四个人中年龄最大的一个年龄是多少？
33．五位老人的年龄互不相同，其中年龄最大的比年龄最小的大岁，已知他们的平均年龄为岁，其中年龄最大的一位老人的年龄是多少岁？
34．已知祖孙三人，祖父和父亲的年龄差与父亲和孙子的年龄差相同，祖父和孙子年龄之和为岁，明年祖父年龄恰好等于孙子年龄的倍．求祖孙三人各多少岁?
35．甲对乙说："当我的岁数是你现在的岁数时，你才岁．"乙对甲说："当我的岁数是你现在的岁数时，你将岁．"那么，甲、乙现在多少岁？
36．小鲸鱼说："妈妈，我长到您现在这么大时，您就岁啦！"鲸鱼妈妈说："我像你这么大时，你只有岁．"求小鲸鱼和妈妈现在多少岁？
37．甲对乙说："我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半."乙对甲说："我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7."问：甲、乙二人现在各多少岁？
38．年前父亲的年龄是儿子的倍，年后父亲的年龄是儿子的倍，问现在父子的年龄各是多少？
39．年前父亲的年龄是儿子年龄的倍，年后父亲的年龄是儿子年龄的倍，今年父亲、儿子各多少岁？
40．今年父亲的年龄是儿子的5倍，15年后，父亲的年龄是儿子年龄的2倍，问：现在父子的年龄各是多少岁？
41．年前爸爸的年龄是儿子的倍，年后父子二人年龄和是岁，父子二人今年分别多少岁？
42．现在哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的倍．而年前哥哥的年龄是弟弟年龄的倍，则哥哥现在的年龄是多少岁？
**43．**年前爸爸的年龄是小玲的倍，年后爸爸的年龄是小玲的倍．问现在父女俩的年龄各是多少岁？
44．前年，父亲年龄是儿子年龄的倍；后年，父亲年龄是儿子年龄的倍.父亲今年多少岁？
45．12年前，父亲的年龄是女儿年龄的11倍；今年，父亲的年龄是女儿年龄的3倍，请问多少年后父亲年龄是女儿年龄的2倍
46．当哥哥的年龄是弟弟现在的年龄时，哥哥的年龄是弟弟年龄的倍，当弟弟的年龄是哥哥现在的年龄时，他们两人的年龄和是，弟弟现在多少岁？
47．哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的倍，哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，哥哥与弟弟现在的年龄和为岁．问：哥哥现在多少岁？
48．哥哥对弟弟说："当我在你现在的年龄时，你才岁"．弟弟又对哥哥说："当我长到你现在的年龄时，你已岁了"，问哥哥和弟弟现在各多少岁？
49．甲对乙说："我在你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的一半．"乙对甲说："我到你这么大岁数的时候，你的岁数是我今年岁数的2倍减7．"问：甲、乙二人现在各多少岁？
**50．**甲现在的年龄是乙过去某一时刻年龄的2倍，那时甲正好是乙现在这样大，当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，那么现在甲、乙年龄分别是多少岁？
**51．**爸爸在过岁生日时，弟弟说："等我长到哥哥现在的年龄时，我和哥哥那时的年龄之和等于那时爸爸的年龄"，那么哥哥今年多少岁？
52．今年父亲的年龄是48岁，哥哥的年龄是弟弟的2倍．当弟弟长到哥哥现在的年龄时，父亲的年龄恰好等于兄弟俩年龄之和．请问：今年哥哥多少岁？
53．1年前父母的年龄和是兄弟二人年龄和的7倍；4年后，父母的年龄和是兄弟二人年龄和的4倍。已知爸爸比妈妈大2岁，妈妈今年几岁？
54．梁老师问陈老师有多少子女，她说："现在我和爱人的年龄和是子女年龄和的6倍；两年前，我们的年龄和是子女年龄和的10倍；六年后，我们的年龄和是子女年龄和的3倍．"问陈老师有多少子女．
55．⑴今年，父亲年龄是女儿年龄的4倍，三年前父女年龄之和是49岁，问现在父亲、女儿各多少岁?
⑵妈妈今年40岁，恰好是小红年龄的4倍；多少年后妈妈的年龄是小红的2倍?
⑶陈老师今年34岁，她的学生小光、小亮、小聪的年龄分别是9、10、11岁．多少年后，这三个学生年龄的和才同陈老师的年龄相等?
56．三个人的年龄和是75岁，最大的人比其它两个人的年龄和还要大15岁，最小的人是12岁，问三个人的年龄各是多少？
57．已知祖孙三人，祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁，明年祖父年龄恰好等于孙子年龄的5倍．求祖孙三人各多少岁?
58．今年，祖父的年龄是小明的年龄的6倍，几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍，又过几年以后，祖父的年龄将是小明的年龄的4倍，求：祖父今年是多少岁？
59．爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁．当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁．现在三个人的年龄各是多少岁？
60．甲、乙、丙三人现在的年龄和是岁，当甲的年龄是乙的年龄的一半时丙岁，当乙的年龄是丙的年龄的一半时甲岁．现在甲、乙、丙各几岁？
61．当王力的年龄像李彤现在这么大时，刘强的年龄比王力和李彤他们现在的年龄之和小岁．当刘强像王力现在这么大时，王力的年龄是多少岁？
62．年前姐姐与妹妹的年龄比为，年后姐姐和妹妹的年龄比为，问姐姐和妹妹的年龄差为多少岁？
63．小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年（1995年）多少岁？
64．小明今年的年龄是他出生那年的年份的数字之和．问：他今年（1995年）多少岁？
65．小明爷爷的年龄是一个两位数，将此两位数的数字交换得到的数就是小明爸爸的年龄，又知道他们的年龄的差是小明年龄的4倍，求小明的年龄．
66．同学们可能知道，歌星、影星一般都不愿意公开自己的年龄。这个小故事说的就是一个记者千方百计要从一个女影星嘴里打听出她的年龄。影星不想说谎，却又不愿意把自己的年龄讲出来，于是就对记者说："我年后岁数的倍，减去我年前岁数的倍，正好是我现在的年龄。"记者想了半天，还是没有想出来影星的年龄。同学们开动脑筋想一想，这个影星今年到底多少岁了？
67．有甲、乙、丙三个人，当甲的年龄是乙的2倍时，丙是22岁；当乙的年龄是丙的2倍时，甲是31岁；当甲60岁时，丙是多少岁？
68．甲、乙、丙、丁四个人的年龄之和是岁，甲岁时，乙岁；今年甲岁，丙的年龄是丁的倍．问丁今年的年龄？
**69．**一位一百多岁的老寿星（2001年时），公元年时年龄为岁，此老寿星年是多少岁？
70．爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64岁．当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁．现在三个人的年龄各是多少岁？
71．甲乙丙三人现在岁数的和是113岁，当甲的岁数是乙的岁数的一半时，丙是38岁，当乙的岁数是丙的岁数的一半时，甲是17岁，那么乙现在是多少岁？
72．甲、乙、丙三人现在的年龄和是岁，当甲的年龄是乙的年龄的一半时丙岁，当乙的年龄是丙的年龄的一半时甲岁．现在甲、乙、丙各几岁？
**参考答案**
**1．30岁**
**【解析】**这道题有两种解答方法：
方法一：解答这道题，一般同学会想到，小卉今年6岁，再过6年（岁）；妈妈今年36岁，再过6年是（）岁，也就是42岁，那时，妈妈比小卉大（岁）．
列式：
（岁）
方法二：聪明的同学会想，虽然小卉和妈妈的岁数都在不断变大，但她们两人相差的岁数永远不变．今年妈妈比小卉大（）岁，不管过多少年，妈妈比小卉都大这么多岁．通过比较第二种方法更简便．
列式：（岁）
答：再过6年，小卉读初中时，妈妈比小卉大30岁．
**2．6岁**
**【解析】经过15年，小英和小明的年龄和比老师多增加15岁，所以老师今年年龄的一半是15岁，即小英和小明今年的年龄和是15岁，小英今年的年龄是（15-3）÷2=6（岁）.**
**3．爸爸39岁，妈妈33岁**
**【解析】**五年后，爸爸比妈妈大岁，即爸妈的年龄差是岁．它是一个不变量．所以爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是岁．这样原问题就归结成"已知爸爸、妈妈的年龄和是岁，他们的年龄差是岁，求二人各是几岁"的和差问题．
爸爸的年龄：(岁)
妈妈的年龄：(岁)
4．15年
【解析】今年小宁比妈妈小（岁），那么小宁永远比妈妈小24岁．几年后小宁是妈妈岁数的一半时，即妈妈年龄是小宁的2倍时，妈妈仍比小宁大24岁．这是个差倍问题．以小宁的年龄作为1倍量，妈妈年龄是2倍量，所以妈妈比小宁大的岁数也是1倍量，即1倍量代表着24岁．所以小宁24岁时是妈妈年龄的一半，因此再过（年）．
**5．51岁**
**【解析】6年后母子年龄和是78岁，可以求出母子今年年龄和是78－6×2＝66 (岁)．6年前母子年龄和是66－6×2＝54(岁)．又根据6年前母子年龄和与母亲年龄是儿子的5倍，可以求出6年前母亲年龄，再求出母亲今年的年龄．**
**母子今年年龄和： 78－6×2＝66(岁)，**
**母子6年前年龄和： 66－6×2＝54(岁)，**
**母亲6年前的年龄： 54÷ (5＋1)×5＝45(岁)，**
**母亲今年的年龄： 45＋6＝51(岁)．**
6．40岁
【解析】今年小航的父母年龄之和是小航的7倍，3年后小航的父母年龄之和刚好是小航的6倍，则小航今年的年龄与父母增加的年龄的和刚好是小航增加年龄的6倍．即"小航今年的年龄" ，小航今年的年龄：（岁）．小航父母今年的年龄和：（岁）．小航的爸爸比妈妈大4岁，所以小航的妈妈今年的年龄：（岁）．
7．张老师36岁，刘备15岁，张飞12岁，关羽9岁
【解析】张老师刘备张飞关羽，张老师刘备张飞，比较一下这两个条件，很快得到关羽的年龄是9岁；同理可以得到张飞是（岁），刘备是（岁），张老师是（岁）．
8．48岁
【解析】三人现在的年龄和是84岁，12年后的年龄和是（岁），那时父亲（岁），父亲现在（岁）．
**9．31岁**
**【解析】把小明的年龄看成是一份，那么爸爸的年龄是四份少2，根据和倍关系：**
**小明的年龄是：（53＋2）÷（4＋1）＝11（岁），**
**爸爸的年龄是：53－11＝42（岁），**
**小明与爸爸的年龄差是：42－11＝31（岁）．**
**10．爸爸32岁，妈妈32岁，孩子8岁**
**【解析】妈妈的年龄是孩子的4倍，爸爸和妈妈同岁，那么爸爸的年龄也是孩子的4倍，把孩子的年龄作为1倍数，已知三口人年龄和是72岁，那么孩子的年龄为：72÷（1+4+4）=8（岁），妈妈的年龄是：8×4=32（岁），爸爸和妈妈同岁为32岁.**
11．76岁
【解析】当遇关系复杂时，将条件分别列出，再进行解决。
甲增加岁后，三人总年龄是岁，并且这时丙是甲的倍，甲是乙的倍，丙是乙的倍，所以这时乙的年龄是(岁)，所以丙的年龄是(岁)
12．姐姐22岁，弟弟18岁
【解析】用线段图显示数量关系，可以看出这道题实际上就是和差问题.姐弟俩的年龄差总是（岁），不管经过多少年，姐弟年龄的差仍是4岁，由图可见，如果从40岁中减去姐弟年龄的差，再除以2就得到所求的弟弟的年龄，也就可以求出姐姐的年龄了.
弟弟的年龄：（岁），姐姐的年龄：（岁）．
13．东东10岁，西西14岁
【解析】东东3年后的年龄等于西西1年前的年龄，说明东东比西西小4岁； 东东3年前的年龄与西西4年后的年龄之和是25岁，所以今年东东和西西的年龄和是(岁)，今年东东的年龄：(岁)，今年西西的年龄：(岁)．
**14．15岁**
**【解析】**兄弟二人现在的年龄和是27岁，两人的年龄差是（岁），哥哥现在（岁）．
15．彬彬16岁，表弟4岁
【解析】表弟今年年龄的(倍)对应的是：(年)，由此可以求出表弟今年的年龄，使问题得解．(岁)，(岁)．所以表弟今年4岁，彬彬今年16岁．
16．甲28岁，乙21岁
【解析】当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，可知年龄差为：(岁），所以现在甲年龄为：(岁），乙年龄为：(岁）．
17．李伟24岁，张磊11岁
【解析】由题中"李伟5年前的年龄与张磊8年后的年龄相等"这个条件我们可以知道李伟比张磊大：（岁）；又由题中"李伟4年后与张磊3年前的年龄和是36岁"可以知道他们两人今年的年龄和是：（岁），再根据和差关系就可以解答了．李伟的年龄：（岁），张磊的年龄：（岁）．
18．甲9岁，乙3岁
【解析】甲在3年后的年龄等于乙9年后的年龄，也就是甲在3年后的年龄比乙在3年后的年龄多6岁，即甲、乙两人年龄差为6岁．甲的年龄比乙的年龄的4倍少3，即"甲的年龄+3"就是乙年龄的4倍，刚才已经得到甲、乙两人年龄之差为6岁，所以"甲的年龄+3"与乙年龄之差为，问题就转化为"差倍问题"了．乙年龄为：（岁），甲年龄为：（岁）．
19．23岁
【解析】小慧和刘老师的年龄差是一定的，设为1倍量，那么两人的年龄差是：（岁），所以，刘老师今年的年龄是：（岁）．
20．父亲39岁，儿子6岁
【解析】再过年，父子俩一共长了岁，那时他们的年龄之和是(岁)，由于父亲的年龄是儿子的倍，因而岁相当于儿子年龄的倍，可以先求出儿子年后的年龄，再求出他们父子今年的年龄．
年后的年龄和为：(岁)
年后儿子的年龄：(岁)
儿子今年的年龄：(岁)，父亲今年的年龄：(岁)
21．父亲41岁，儿子19岁
【解析】由已知条件可以得出，年前父子年龄之和是(岁)，又知道年前父亲的年龄正好是儿子的倍，由此可得：
儿子：(岁)
父亲：(岁)
22．10年
【解析】经过若干年后，他们仨人的年龄和是(岁)，比现在三人的年龄和多：(岁)，所以，要经过(年)
**23．48岁**
**【解析】**三人现在的年龄和是84岁，12年后的年龄和是（岁），那时父亲（岁），父亲现在（岁）．
24．26岁
【解析】王老师比李老师大(岁)．故李老师今年的年龄为(岁)．
25．15岁
【解析】兄弟二人现在的年龄和是27岁，两人的年龄差是（岁），哥哥现在（岁）．
26．36岁
【解析】由"爸爸15年前的年龄相当于儿子12年后的年龄"可以知道，现在爸爸比儿子大：（岁）爸爸与儿子的年龄差已知，此题可转化为：爸爸比儿子大27岁，当爸爸的年龄是儿子的4倍时，爸爸多少岁？这是一道典型的差倍题．
儿子的年龄是：（岁），爸爸的年龄是：（岁）．
27．15岁
【解析】三人平均年龄是岁时，三人年龄总和为岁，比小华岁时的年龄总和多了岁，每个人都长了岁，若干年后，小华的年龄为岁．
28．父亲34岁，母亲30岁，小芬8岁
【解析】一家人的年龄和今年与年前比较增加了（岁），而如果按照三人计算年后应增加（岁），只能是小芬少了岁，即小芬年前出生，今年是岁，今年父亲是（岁），今年母亲是（岁）．
**29．父亲34岁，母亲31岁，姐姐5岁，弟弟3岁**
**【解析】**，我们知道四个人四年应该增长了岁，但实际上只增长了岁，是因为在四年前，弟弟还没有出生，那么弟弟今年应该是几岁呢？我们可以这样想：父亲、母亲、姐姐三个人四年增长了岁，，就是弟弟的年龄！那么很快能得到姐姐是岁，父母今年的年龄和是(岁)，根据和差问题，就可以得到父亲是：(岁)，母亲是(岁)．
30．3岁
【解析】**因为，所以孩子的年龄小于岁，也就是年前孩子还没有出生，小孩今年的年龄是：(岁)**
**31．**13岁
【解析】再过年毛毛年龄将是泡泡年龄的倍，所以那时泡泡年龄为岁，毛毛为岁，他们今年的年龄总和为岁．
32．35岁
【解析】最小的一个与最大的人年龄之和比另外两个人年龄之和大岁．最小的一个与最大的人年龄之和看成一个数，把另外两个人年龄之和也看成一个数．问题就转化为两个数的和是，差是．这是一个典型的和差同题．因此最小的一个与最大的人年龄之和是：(岁)．最小的岁，因此最大的年龄为：(岁)。
33．88岁
【解析】如果最小的比只小岁，那么由于这时其他人的年龄均不小于岁，而最大的比大岁，这样平均年龄必超过岁；如果最小的比小岁，那么可能还有一人比小岁，但最大的比大岁，而，从而平均年龄仍超过岁；如果最小的比小岁，那么最大的比大岁，两人的平均年龄正好是岁，其他三人如果年龄是、、(或、、)，那么五人平均年龄正好是岁；如果最小的比小岁或小岁，类似前面的分析可知，这时平均年龄必小于岁．因此 ，最大的年龄一定是岁．
34．祖父69岁，父亲41岁，孙子13岁。
【解析】"祖父和父亲的年龄差与父亲和孙子的年龄差相同"这一条件较难理解，可作出示意图，从图中容易看出，祖父和孙子年龄之和恰为父亲年龄的倍．父亲的年龄为：(岁)，孙子的年龄为：(岁)，祖父的年龄为：(岁)．
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35．甲35岁，乙20岁。
【解析】根据题意画出示意图：
当乙岁时，甲的年龄等于乙现在的岁数，用线段表示，可知甲、乙二人年龄差等于线段；甲、乙现在的岁数差等于，当乙的岁数等于甲现在的岁数(线段表示)，甲将50岁(线段表示)，此时年龄差等于线段，因为年龄差是不变的量，所以,根据图，,所以甲乙二人的年龄差为：(岁)，乙现在的岁数是：(岁)，甲现在的岁数是：(岁)。
36．小鲸鱼11岁，鲸鱼妈妈21岁
【解析】由小鲸鱼说的话，再过它和妈妈的年龄差年，妈妈就岁，由鲸鱼妈妈说的话，在它们的年龄差年前，小鲸鱼只有岁，所以，由到31之间含有个年龄差，所以年龄差为：(岁)，小鲸鱼现在的年龄是：(岁)，鲸鱼妈妈现在的年龄是：(岁)
37．甲28岁，乙21岁
【解析】从已知条件中可以看出甲比乙年龄大，甲乙年龄差这是一个不变的量.
甲对乙说"我在你这么大岁数的时候"，意思是说几年以前.这几年就是甲乙的年龄差.因此，甲整句话可理解为：乙今年的岁数，减去年龄差，正好是甲今年岁数的一半.
即 乙~今~年龄差甲~今~ (1)
乙对甲说"我到你这么大岁数的时候"，意思是说几年后.因此，乙整句话可理解为：甲今年的岁数，加上年龄差，正好是乙今年岁数的2倍减去7.
即  (2)
把甲乙的对话用下图表示为：
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由(1)得甲今乙今年龄差 (3)
由(2)得 甲今乙今年龄差 (4)
由(3)(4)年龄差(岁)
...
从上图不难看出，甲现在的年龄是乙几年前年龄的2倍，1倍相当于2个年龄差，2倍相当于4个年龄差.乙现在的年龄相当3个年龄差.
乙几年后的年龄和甲现在的年龄相等，所以乙几年后相当4个年龄差.甲几年后的年龄比乙几年后的年龄多一个年龄差，正好是7岁，从而得出年龄差是7岁.
解：①乙现在年龄：(岁)
②甲现在年龄：(岁)
38．父亲45岁，儿子15岁
【解析】10年前到年后，前后共经过：年，父子应各自比年前增加岁．假设此时父亲的年龄仍然是儿子的倍，父亲的年龄应增加(岁)，要比实际年龄多增加(岁)，而实际倍数相差倍，可以知道这岁就相当于年后儿子年龄的倍．因此，年后儿子的年龄是：(岁)，父亲的年龄是：(岁)，儿子现在的年龄是(岁)，父亲现在的年龄是：(岁)
39．父亲46岁，儿子16岁。
【解析】年前儿子的年龄看做""倍量，父亲的年龄为""倍量，那么年后，（岁），儿子的年龄为""倍量，父亲的年龄是""倍量，而此时儿子年龄的两倍为""倍量，也等于父亲的年龄，所以""倍量（岁），那么""倍量为（岁），所以今年儿子年龄为（岁），父亲年龄为（岁）。
40．父亲25岁，儿子5岁。
【解析】**今年父子的年龄差是儿子的5－1＝4倍，15年后父子的年龄差是儿子的2－1＝1倍，这说明在过了15年后，儿子的年龄是现在的四倍，根据差倍问题的公式可以计算出儿子今年的年龄是15÷（4－1）＝5岁，父亲今年是5×5＝25岁．**
41．父亲49岁，儿子21岁。
【解析】年后父子二人年龄和是岁，那么年前父子二人年龄和是(岁)，所以年前儿子的年龄是：(岁)，爸爸的年龄是：(岁)，今年爸爸的年龄是：(岁)，儿子年龄是(岁)
**42．24岁**
**【解析】**由于年龄差不变，设九年前弟弟的年龄为份，则九年前哥哥与弟弟的年龄差为份，而现在的年龄差为倍量，所以对应的是份，所以现在弟弟年龄为份，所以年前弟弟的年龄为岁，则哥哥现在的年龄为岁．
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43．父亲42岁，女儿12岁
【解析】年后爸爸的年龄是小玲的倍，那么两人的年龄差等于小玲当时（年后）的年龄，所以，两人的年龄差等于小玲年前的年龄加岁．年前爸爸的年龄是小玲的倍，所以两人的年龄差等于小玲当时（年前）年龄的倍．由于年龄差是不变的，所以小玲年前的年龄的倍等于，小玲当时（年前）的年龄为：（岁），现在的年龄为：（岁），爸爸现在的年龄为：（岁）．
44．34岁
【解析】方法一：由题意知前年父亲和儿子的年龄比为，后年父亲和儿子的年龄比为，由于年龄差不变，前年年龄差为，后年年龄差为，所以年龄差为.前年父亲和儿子的年龄比为，后年父亲和儿子的年龄比为，设前年父亲和儿子的年龄分别为份，份，则后年父亲和儿子的年龄分别为份，份，因为前年到后年过去了年，恰好是份，所以父亲今年的年龄为（岁）
方法二：设前年儿子的年龄是岁，那么前年父子的年龄差为，那么后年儿子的年龄是岁，父子的年龄差为，年龄差不变，所以，解得，那么前年父亲的年龄是(岁)，今年是(岁)。
45．15年
【解析】设12年前女儿年龄为1份，父亲年龄为11份，则年龄差为10份，由于年龄差不变所以现在的年龄差也应当为10份，而现在年龄差却差2倍，所以1倍为5份，所以父亲现在年龄为15份，女儿年龄为5份，这样12年对应为4份，所以年龄差为10份对应30岁，于是今年女儿年龄为15（岁），父亲年龄为（岁）．
当父亲年龄是女儿年龄的2倍时，父女年龄差是女儿年龄的（倍）．
因此那时女儿年龄即为父女年龄差30岁，
所以再过（年），父亲年龄是女儿年龄的2倍．
46．12岁
【解析】如图所示，用实线段分别表示弟弟和哥哥现在的年龄，两条实线段的长度之差表示年龄差．由于他们的年龄差不变，所以可以在图上确定出当"哥哥的年龄是弟弟现在的年龄"时弟弟的年龄，和当"弟弟的年龄是哥哥现在的年龄"时哥哥的年龄，倍数关系一目了然．
{width="3.2395833333333335in" height="1.1354166666666667in"}
假设"当哥哥的年龄是弟弟现在的年龄时，哥哥的年龄是弟弟年龄的倍"时弟弟的年龄为份，则弟弟现在的年龄是份，哥哥现在的年龄是份，哥哥和弟弟的年龄差是份．那么"当弟弟的年龄是哥哥现在的年龄时"，哥哥的年龄是份，那么线段代表的年龄是：(岁)．所以弟弟现在的年龄是：(岁)
47．18岁
【解析】假设弟弟当年年龄是份，那么哥哥现在的年龄就是份，因为哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，因为弟弟当年年龄，弟弟现在年龄(哥哥当年年龄)，哥哥现在年龄这三个数是等差的，所以弟弟现在年龄(哥哥当年年龄)就刚好是份，那么兄弟现在的年龄和是份，一份就是，哥哥现在是(岁)．
48．哥哥17岁，弟弟12岁
【解析】7岁到22岁之间是3个年龄差，哥哥与弟弟的年龄差为5岁，因此弟弟现在年龄为12岁，哥哥现在年龄为17岁．
**49．甲28岁，乙21岁.**
**【解析】从已知条件中可以看出甲比乙年龄大，甲乙年龄差这是一个不变的量．甲对乙说"我在你这么大岁数的时候"，意思是说几年以前．这几年就是甲乙的年龄差．因此，甲整句话可理解为：乙今年的岁数，减去年龄差，正好是甲今年岁数的一半．即，乙今－年龄差＝甲今的一半 （1）；乙对甲说"我到你这么大岁数的时候"，意思是说几年后．因此，乙整句话可理解为：甲今年的岁数，加上年龄差，正好是乙今年岁数的2倍减去7．即 甲今＋年龄差＝2×乙今－7 （2）.**
**把甲乙的对话用下图表示为：**
**由（1）得甲今＝2×乙今－2×年龄差 （3）**
**由（2）得 甲今＝2×乙今－7－年龄差 （4）**
**由（3）（4）年龄差＝7（岁）从上图不难看出，甲现在的年龄是乙几年前年龄的2倍，1倍相当于2个年龄差，2倍相当于4个年龄差，乙现在的年龄相当3个年龄差．乙几年后的年龄和甲现在的年龄相等，所以乙几年后相当4个年龄差．甲几年后的年龄比乙几年后的年龄多一个年龄差，正好是7岁，从而得出年龄差是7岁．所以，乙现在年龄： 7×3＝21（岁），甲现在年龄： 7×4＝28（岁）.**
**50．甲28岁，乙21岁**
**【解析】**
**如图所示，每一段表示甲乙二人的年龄差，根据题意可以得到如上线段图，由当乙到了甲现在的年龄时，甲与乙年龄之和为63，可知年龄差为：63÷（5+4）=7（岁），所以现在甲年龄为：7×4=28（岁），乙年龄为：7×3=21（岁）**
51．25岁
【解析】方法一：
设弟弟今年x岁，哥哥今年y岁，则哥哥与弟弟的年龄差为(yx)岁，弟弟长到哥哥年龄时，相当于长了（yx）岁，到那时弟弟年龄为y岁，哥哥年龄为y（yx）岁，爸爸年龄为50（yx）岁，根据题意列方程得yy（yx）50（yx）,解得*y*25,所以哥哥今年25岁．
方法二：
设a表示当弟弟和哥哥年龄一样时增加的岁数，其实就是哥哥比弟弟大的岁数．
设经过了a年，当弟弟和哥哥的年龄一样时，他们的年龄和就相当于两个哥哥实际的岁数再加上a岁．爸爸的岁数就是实际的岁数加上a岁，抵消a岁．也就是两个哥哥的年龄等于爸爸的年龄．爸爸的年龄是50岁，哥哥的年龄就是25岁．
52．24岁
【解析】今年弟弟的年龄为：（岁），
所以今年哥哥的年龄为（岁）．
53．35岁
【解析】将父母看成一个人，年龄每年增加2岁，兄弟看成一个人每年增加2岁，设父母1年前年龄和是7份，那么1年前兄弟二人的年龄就是1份，后来过了年，兄弟年龄是1份加10，4倍就是4份加40，父母年龄是7份加10，所以1份就是，所以1年前父母和是70，妈妈年龄，妈妈今年35岁。
54．3个.
【解析】**2年前，年龄差是子女年龄和的10-1=9倍；今年，年龄差是子女年龄和的6-1=5倍；6年后，年龄差是子女年龄和的3-1=2倍．这个时候可以看到这个题中的年龄差不是一定的，否则年龄差是9，5，2倍数，至少是90，这是不合常理的，也就是说子女个数不会是2个．最好的方法就是先假设陈老师有1个子女，很快就会得到矛盾，最后可以算出陈老师是3个子女．**
55．⑴ 爸爸44岁，女儿11岁.
⑵ 20年后.
⑶ 2年后.
【解析】⑴三年前父女之和是49岁，现在父女年龄和是岁
女儿：，爸爸：
⑵.今年妈妈比小红大(岁)
.当妈妈的年龄是小红的2倍时，妈妈年龄是(岁)
.多少年后妈妈的年龄是小红的2倍?(年)
⑶小光、小亮、小聪的年龄和比陈老师的年龄小(岁)
每过一年，陈老师增1岁，而三个学生共增(岁)，增长的岁数差为(岁)．几年后，老师年龄和她的三个学生年龄和相等呢?4÷2=2(年)
综合算式：(年)
56．12、18、45.
【解析】已知"最大的人比其它两个人的年龄和还要大15岁"，把"其它两个人的年龄和"看成一个数，还知道三个人年龄和是75岁，这便是转化成一个典型的和差问题，最大的人的年龄是：(岁)，其它两人的年龄和是：(岁)，已知最小的年龄是12岁，所以剩下的一人年龄为：(岁)．
57．祖父69岁，父亲41岁，孙子13岁
【解析】"祖父和父亲年龄差与父亲和孙子年龄的差相同"这一条件较难理解，可作出示意图
从图中容易看出，祖父和孙子年龄之和恰为父亲年龄的2倍．
(1)父亲的年龄：
(岁)
(2)孙子的年龄：
(岁)
(3)祖父的年龄：
(岁)
验算：(祖父和父亲年龄的差与父亲和孙子的差相同)
(明年祖父年龄恰好等于孙子年龄的5倍)
58．72岁
【解析】祖父的年龄比小明的年龄大，两人的年龄差是不变的.因为今年祖父的年龄是小明的年龄的6倍，所以年龄差是小明年龄的5倍，从而是年年差是5的倍数，同理，由"几年后，祖父的年龄是小明的年龄的5倍"，"又过几年以后，祖父的年龄是小明的年龄的4倍"，知道年龄差是4、3的倍数，所以，年龄差是的倍数.而60的倍数是：60，120，...，合理的选择是60，今年小明的年龄是(岁)，祖父的年龄是(岁).
59．爸爸40岁，哥哥14岁，妹妹12岁.
【解析】（法1）操作分析法．①妹妹9岁时，爸爸年龄是哥哥年龄的3倍，如果妹妹再增加25岁，妹妹便是34岁．此时，哥哥和爸爸也都增加25岁．那么此时爸爸年龄是此时哥哥的三倍减去50岁；
②当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，假设此时妹妹是岁，则哥哥是岁．则妹妹到34岁时，爸爸是岁，哥哥是岁．
根据①的分析，妹妹34岁时爸爸年龄是哥哥年龄的3倍减去50岁，有：．可以得到．则此时妹妹4岁，哥哥是岁，爸爸是岁．
③此时三人的年龄和为，而三人现在的年龄和为64岁，所以还要过岁．则现在妹妹是岁，哥哥是岁，爸爸是岁．
（法2）年龄问题中不变的数量是年龄差，所以我们可以以年龄差为未知数．设爸爸和哥哥的年龄差为岁，哥哥和妹妹的年龄差为岁，那么爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，哥哥年龄为岁，哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，妹妹的年龄为岁，根据题目给出的条件有以下等量关系：
，这个二元一次方程组的解为．
如果现在妹妹的年龄为岁，那么有．解得，所以现在妹妹10岁，哥哥和爸爸的年龄分别是14岁和40岁．
60．甲8岁，乙15岁，丙27岁.
【解析】假设甲、乙、丙现在的年龄分别为岁、岁、岁，根据题意有：
，解得．
故现在甲、乙、丙分别为8岁、15岁、27岁．
61．7岁.
【解析】由题意知，刘强的年龄加上李彤与王力的年龄差，等于王力与李彤的年龄和减去，即，化为．当刘强像王力这么大时，即刘强的年龄减少岁，此时王力的年龄是岁．
62．3岁
【解析】这样年龄差为份，从年前到年后是年，恰好对应份，所以姐姐和妹妹的年龄差为岁.
63．21岁
【解析】设小明出生那年是年，则，从而有．
若，则；若，则．所以必有，．小明今年是或（岁）．
64．21岁
【解析】设小明出生那年是年，则，从而有．
若，则；若，则．所以必有，．小明今年是或（岁）．
65．9岁
【解析】假设爷爷的年龄是，其中、都是数字，则爸爸的年龄是，年龄差是 ．这差是4的倍数，所以是4的倍数，但，而根据常识，小明爸爸的年龄不可能是十几岁，因此，，从而必有．
小明的年龄是（岁）．
66．50岁.
【解析】可以假设影星现在的年龄是岁，那么她年前、年后的年龄分别是岁和岁.两者相差（岁），所以这个影星今年的年龄是岁.
同学们可以考虑一下，自己年后比年前的年龄大多少岁？自己的爸爸、妈妈年后又比年前的年龄大多少岁呢？我们会发现，都是岁.所以，这个影星今年的年龄是（岁）.
67．32岁
【解析】当甲31岁时，乙是丙年龄的2倍．设这是丙年龄是a岁，则乙年龄是岁，乙、丙年龄的差为．丙22岁时，乙的年龄为岁，正好等于甲、乙年龄之差，即，得，也就是说，甲与丙的年龄差是（岁）．因此，当甲60岁时，丙是（岁）．
**68．8岁**
**【解析】**由"甲岁时，乙岁"可以推知甲比乙大岁，因此当甲岁时，乙就是 岁．由于甲、乙、丙、丁四个人的年龄之和是岁，甲岁，乙岁，故丙和丁的年龄和就是(岁)．因为丙的年龄是丁的倍，剩下的问题是个和倍问题．以丁的年龄作为倍量，丙的年龄就是倍量，从而两个人的年龄和岁，就是倍量，因此倍量的大小即丁的年龄是：(岁)．
69．109岁
【解析】年，老寿星多岁，说明出生年份是年．在此后的某一年，他的年龄为岁，而那一年恰是公元年．平方大于而小于2001的数在与45之间，这就大大缩小了思考范围，再通过检验就可确定，进而确定老寿星的出生年份及年的岁数．
由于，，所以应在～之间．
而，，，，所以显然不等于、．
若，即年时岁，则出生于年，年岁；
若，即年时岁，出生于年，年岁．
可知比较合乎实际的答案是老寿星年岁．
70．爸爸40岁，哥哥14岁，妹妹10岁
【解析】（法1）操作分析法．①妹妹9岁时，爸爸年龄是哥哥年龄的3倍，如果妹妹再增加25岁，妹妹便是34岁．此时，哥哥和爸爸也都增加25岁．那么此时爸爸年龄是此时哥哥的三倍减去50岁；
②当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，假设此时妹妹是岁，则哥哥是岁．则妹妹到34岁时，爸爸是岁，哥哥是岁．
根据①的分析，妹妹34岁时爸爸年龄是哥哥年龄的3倍减去50岁，有：．可以得到．则此时妹妹4岁，哥哥是岁，爸爸是岁．
③此时三人的年龄和为，而三人现在的年龄和为64岁，所以还要过岁．则现在妹妹是岁，哥哥是岁，爸爸是岁．
（法2）年龄问题中不变的数量是年龄差，所以我们可以以年龄差为未知数．设爸爸和哥哥的年龄差为岁，哥哥和妹妹的年龄差为岁，那么爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，哥哥年龄为岁，哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，妹妹的年龄为岁，根据题目给出的条件有以下等量关系：
，这个二元一次方程组的解为．
如果现在妹妹的年龄为岁，那么有．解得，所以现在妹妹10岁，哥哥和爸爸的年龄分别是14岁和40岁．
71．32岁
【解析】假设当甲的岁数是乙的岁数的一半时，甲是a岁，乙就是岁，丙38岁；当甲17岁的时候，注意到甲乙的年龄差不变，都是a，所以乙是17+a岁，那么丙是乙的2倍，就是，再根据甲丙的年龄差可以得到：，由此可以得到a是等于7的，所以在某一年，甲7岁，乙14岁，丙38岁，和是（岁），，再过18年后，三人年龄和是113岁，所以乙今年的年龄是（岁）．
**72．甲8岁，乙15岁，丙27岁**
**【解析】**假设甲、乙、丙现在的年龄分别为岁、岁、岁，根据题意有：
，解得．
故现在甲、乙、丙分别为8岁、15岁、27岁．
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