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Théorie des jeux Rena ud Bourlès Dominique Henriet EA O-32-O-FIST 2ème année 2016-2017 | Theorie_des_jeux.pdf |
Chapitre 1 In tro duction 1. 1 Qu'est-ce que la théorie des jeux ? La théorie des jeux est une discipline théorique qui p ermet de comprendre (formellemen t) des situations dans lesquelles les joueurs, les preneurs de décision, in teragissen t. Un jeu est alors dé nit comme un univ ers dans lequel c haque preneur de décision p ossède un ensem ble d'actions p ossibles déterminé par les règles du jeu. Le résultat du jeu dép end alors conjoin temen t des actions prises par c haque preneur de décision. Cette discipline p ossède de nom breuses applications p ermettan t notammen t de comprendre des phénomène économiques, p olitiques ou même biologiques. P armi ces phénomènes, v oici une liste de situations dans lesquelles la théorie des jeux p eut être appliquée : la concurrence en tre en treprises, la concurrence en tre hommes p olitiques, un jury dev an t s'accorder sur un v erdict, des animaux se battan t p our une proie, la participation à une enc hère, le v ote d'un législateur soumis à la pression de lobbies, ou le rôle des menaces et des sanctions dans une relation de long terme. Comme toute discipline théorique, la théorie des jeux consiste en une collection de mo dèles. Ces mo dèles son t alors des abstractions utilisées p our comprendre ce qui est observ é ou v écu. Ils p ermetten t de prédire l'év olution d'un jeu ou de conseiller le ou les joueurs sur le meilleur coup à jouer. Les questions à se p oser son t alors : Qu'est-ce qu'un individu p eut inférer sur les décisions des autres ? P eut-on prédire le c hoix de c haque joueur ? Quel sera le résultat de ces actions ? Cela fait-il une diérence si le jeu se déroule plusieurs fois ? 2 | Theorie_des_jeux.pdf |
1. 2. LA THÉORIE DU CHOIX RA TIONNEL 3 1. 2 La théorie du c hoix rationnel Comment mo déliser le c omp ortement et les choix des joueurs ? La théorie du c hoix rationnel est une comp osan te ma jeure de la plupart des mo dèles de théorie des jeux. Cette théorie stipule qu'étan t données ses préférences, un joueur c hoisit la meilleure action parmi celles disp onibles. On n'imp ose toutefois aucune restriction qua-litativ e sur les préférences du joueur. La "rationalité" tien t dans la cohérence des actions d'un joueur a v ec ses préférences, pas de la nature de ces préférences. A n de p ouv oir représen ter les préférences, il est toutefois nécessaire de supp oser que celles-ci son t complètes sur l'ensem ble des actions p ossibles : si un joueur doit faire un c hoix en tre deux actions, il sera toujours capable de dire laquelle il préfère des deux ou si il est indiéren t en tre les deux. P our que le problème soit formalisable, il est par ailleurs nécessaire de supp oser des préférences transitiv es : si l'action a est préférée à l'action b et b préférée àc alorsa devra être préférée à c. Aucune autre restriction n'est imp osée aux préférences. P ar exemple, il se p eut qu'un joueur ait des préférences altruistes dans le sens où ses préférences dép enden t du bien-être du ou des autres joueurs. Comment r epr ésenter les pr éfér enc es ? Une des p ossibilités est de sp éci er p our c haque paire d'actions, l'action que le joueur préfère ou de noter que le joueur est indiéren t en tre les deux actions. Alternativ emen t, on p eut représen ter les préférences par une "fonction de paiemen t" qui asso cie un nom bre à c haque action de telle sorte que les actions a v ec le plus grand "score" soien t celles qui son t préférées. Comment évaluer le r ésultat d'un jeu p our un individus ? Lorsqu'un jeu conduit à des gains monétaires et que les joueurs son t opp ortunistes ( i. e. non altruistes), il est assez facile d'év aluer le résultat d'un jeu et leurs préférences : ils préfèren t le résultat p our lequel ils obtiennen t le plus d'argen t. Cep endan t tous les jeux n'on t pas un résultat monétaire. Ainsi, plus généralemen t, on dé nira, la fonction de paiemen t u déterminan t la "satisfaction" des joueurs. La fonction de paiemen t u représen tera alors les préférences d'un joueur si p our toute actions a etb (dans l'ensem ble des actions p ossible) : u(a)>u(b) si et seulemen t si le joueur préfère a àb Exemple 1. 1 Une p ersonne a le choix entr e 3 destinations p our ses vac anc es : L a Havane, New-Y ork et V enise. El le pr éfèr e L a Havane aux deux autr es, qu'el le juge é quivalentes. Ses pr éfér enc es entr e les 3 destinations sont r epr ésenté es p ar n 'imp orte quel le fonction de p aiement qui assigne le même nombr e à New-Y ork et V enise et un nombr e plus élevé à L a Havane. Par exemple, on p eut xer u (L a Havane)=1 et u (New-Y ork)= u (V enise)=0 ; ou u (L a Havane)=10 et u (New-Y ork)= u (V enise)=1 ; ou enc or e u (L a Havane)=0 et u (New-Y ork)=u (V enise)=-2,... | Theorie_des_jeux.pdf |
4 CHAPITRE 1. INTR ODUCTION Exercice 1. 1 L e joueur 1⃝ se soucie à la fois de sa richesse et de la richesse du joueur 2⃝. Plus pr é cisément, la valeur qu'il attache à une unité de sa pr opr e richesse est la même que c el le qu'il attache à deux unités de la richesse du joueur 2⃝. Par exemple, il est indiér ent entr e une situation où sa richesse est 1 et c el le du joueur 2⃝ est 0, et une situation où sa richesse est 0 et c el le du joueur 2⃝ est 2. Comment sont or donné es ses pr éfér enc es entr e les r ésultats (1,4), (2,1) et (3,0), où la pr emièr e c omp osante est sa richesse et la se c onde c el le du joueur 2⃝ ? Donner une fonction de p aiement c ohér ente ave c c es pr éfér enc es. Rép onses : (1,4)∼(3,0)≻(2,1) u(ω1,ω2) =ω1+1 2ω2, ouu(ω1,ω2) = 2ω1+ω2, ou plus généralemen t u(ω1,ω2) = 2tω1+tω2∀t∈R A tten tion : Les préférences du joueur telles que présen tées ici, ne con tiennen t qu'une information ORDINALE. Elles nous apprennen t que le joueur préfère a àb àc mais ne nous disen t pas "de com bien" il préfère a àb ou si il "préfère plus" a àb queb àc. La théorie du c hoix rationnel p eut-être exp osée simplemen t : dans c haque situation, le joueur c hoisit parmi les actions disp onibles celle qui est la meilleure selon ses préférences. En p ermettan t que le joueurs soien t indiéren ts en tre plusieurs actions, la théorie des c hoix rationnels stipule que : l'action c hoisie par le preneur de décision est au moins aussi b onne (au sens de ses préférences) que toutes les autres actions disp onibles. V ous aurez noté que cette théorie apparaît égalemen t dans la théorie économique classique, du consommateur ou du pro ducteur. Dans la théorie du consommateur, l'ensem ble des actions p ossibles est l'ensem ble des paniers de biens ab ordables ; alors que dans la théorie du pro ducteur, il corresp ond à tous les v ecteurs input-output p ossibles et l'action a est préférée à l'action b sia conduit à un pro t plus imp ortan t que b. Jusqu'ici nous a v ons supp osé que le preneur de décision c hoisit une action et ne s'in téresse qu'à cette action. Cep endan t, en réalité, p eu d'individus on t le luxe de con trôler l'ensem ble des v ariables qui les aecten t. Si certaines son t la résultan te de décisions d'autre individus, la prise de décision devien t plus complexe. L'étude de ces situations, qui p euv en t être mo délisées sous forme de jeux, sera l'ob jet de ce cours. Nous considérerons dans un premier temps des situations dans lesquelles les joueurs ne p euv en t pas s'allier ou s'engager sur une action vis-à-vis de leur opp osan t, c'est-à-dire des jeux non-co op ératifs. | Theorie_des_jeux.pdf |
T able des matières 1 In tro duction 2 1. 1 Qu'est-ce que la théorie des jeux ?....................... 2 1. 2 La théorie du c hoix rationnel.......................... 3 2 La mo délisation des jeux 6 2. 1 Jeux sous forme extensiv e........................... 6 2. 1. 1 Représen tation et dé nition...................... 6 2. 1. 2 Jeux en information parfaite...................... 8 2. 1. 3 L'in tro duction du joueur Nature.................... 11 2. 1. 4 Jeux en information imparfaite et ensem ble d'information...... 12 2. 2 Jeux sous forme stratégique (ou normale)................... 16 3 Les concepts stratégiques 22 3. 1 Stratégies pruden tes : La notion de maximin................. 22 3. 2 La notion de dominance............................ 24 3. 3 Élimination successiv e des stratégies dominées................ 30 3. 4 Équilibre de Nash en stratégie pure...................... 33 3. 5 Équilibre de Nash en stratégie mixte..................... 36 4 Les concepts d'équilibre dans les jeux séquen tiels 39 4. 1 Équilibre parfait : l'algorithme de Kühn................... 39 4. 2 Équilibre parfait en sous-jeux......................... 46 4. 3 Équilibre Ba y esian P arfait........................... 50 Bibliographie : In tro duction to Game Theory ; M. Osb orne ; Oxford Univ ersit y Press Game Theory Online ; M. Jac kson, Y. Shoham and K. Leyton-Bro wn ; Y ou T ub e 5 | Theorie_des_jeux.pdf |
Chapitre 2 La mo délisation des jeux Dans ce c hapitre nous ab orderons les diéren tes manières de mo déliser les jeux à tra v ers quelques exemples et dé nitions. Les métho des de résolution seron t détaillées par la suite. N'essa y ez donc pas p our l'instan t prédire ce que les joueurs v on t jouer mais uniquemen t de comprendre leur représen tation ! A n de décrire ou de mo déliser un jeu (c'est-à-dire une situation d'in teraction décisionnelle) quatre élémen ts doiv en t être précisés : l'ensem ble des joueurs (ou preneurs de décisions) les actions p ossibles p our c haque joueur les règles du jeu sp éci an t notammen t l'ordre dans lequel les joueurs jouen t et quand le jeu se termine le résultat du jeu p our c haque n p ossible et son implication en termes de "fonction de paiemen t" (p our cela il faut connaître les préférences des joueurs) 2. 1 Jeux sous forme extensiv e La mo délisation sous forme extensiv e est un des mo y ens les plus simples de représen ter un jeu. Il s'agit d'un mo dèle où les joueurs c hoisissen t séquen tiellemen t leurs actions, jusqu'au momen t où le jeu est déclaré ni. 2. 1. 1 Représen tation et dé nition A v an t de dé nir précisémen t les diéren tes comp osan tes de cette mo délisation, commençons par un exemple p ermettan t de les illustrer. Exemple 2. 1 Un joueur en p osition de monop ole, le "titulair e", est c onfr onté à la p ossible entr é e d'un chal lenger (le chal lenger p eut, p ar exemple, êtr e une rme désir ant entr er sur un mar ché r é git p ar un monop ole ; un homme p olitique désir ant pr endr e le c ontr ôle d'un p arti ; ou un animal souhaitant entr er en c omp étition p our obtenir le dr oit de s'ac c oupler 6 | Theorie_des_jeux.pdf |
2. 1. JEUX SOUS F ORME EXTENSIVE 7 ave c un de ses c ongénèr es du sexe opp osé). L e chal lenger p eut entr er ou non. Si il entr e, le "titulair e" p eut ac c epter ou se b attr e. Les résultats p ossibles du jeux son t ainsi (Entr er, A c c epter), (Entr er, Se b attr e) ou (Ne p as entr er). Les règles du jeux sp éci en t par ailleurs que le c hallenger joue le premier et que le titulaire ne joue que si le c hallenger a joué "En trer". Au début d'un jeu séquen tiel et après c haque séquence d'év énemen ts, un joueur c hoisit une action. L'ensem ble des actions disp onibles p our un joueur ne doit pas nécessairemen t être donné explicitemen t dans la description du jeu. Il su t que la description du jeu sp éci e les diéren ts résultats et la séquen tialité du jeu p our qu'on puisse en déduire l'ensem ble des actions disp onibles. Représen tation graphique : T out jeu sous forme extensiv e p eut être représen té par un arbre (graphe connexe sans cycle) où à c haque n÷ud terminal corresp ond un résultat du jeu à c haque n÷ud non terminal est asso cié un joueur : arriv é à ce p oin t du jeu, c'est à son tour de jouer. c haque arc représen te c hacune des actions que ce joueur p eut prendre à ce p oin t du jeu Résultats (n÷uds terminaux)
A ctions (arc)Joueurs (n÷udsnon terminaux)
j Wzy k
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8 CHAPITRE 2. LA MODÉLISA TION DES JEUX L'exemple 2. 1 p eut donc être représen té comme suit : A ccepter
Se battre T
C Ne pas en trer En trer 2. 1. 2 Jeux en information parfaite Dé nition 2. 1 Un jeu sous forme extensive, en information p arfaite, est dé ni p ar l'ensemble des joueurs i∈{1,2,...,N} l'arbr e du jeu : c onstitué d'un ensemble ni de n÷uds T={t1,t2,...,tk} muni d'une r elation de "suc c ession" : le n÷ud initial (début du jeu) n 'est le suc c esseur d'aucun autr e n÷ud chaque n÷ud (non initial) est le suc c esseur d'un seul n÷ud les n÷uds terminaux n 'ont p as de suc c esseurs (on notes(t), l'ensemble des suc c esseurs d'un n÷ud t ) à chaque n÷ud t (non terminal) est asso cié un joueur i(t). A c e p oint du jeu c'est ài(t) de jouer à chaque n÷ud t est asso cié un ensemble d'actions A(t), à chaque action c orr esp ond un n÷ud suc c esseur unique dans s(t) à chaque n÷ud terminal z est asso cié un ve cteur de p aiements. u(i,z) est le gain du joueuri si le jeu se termine au n÷ud z Remarque 1 Un jeu sous forme extensive p eut aussi êtr e dé ni sans r e c ours à un arbr e. L a dé nition né c essite alors l'intr o duction du c onc ept de "sé quenc e d'événements". Dé nition 2. 2 Un jeu sous forme extensive en information p arfaite c onsiste en : un ensemble de joueurs un ensemble de sé quenc es (histoir es terminales) tel qu'aucune sé quenc e n 'est sous-sé quenc e d'une autr e sé quenc e | Theorie_des_jeux.pdf |
2. 1. JEUX SOUS F ORME EXTENSIVE 9 une fonction (la fonction joueur) qui assigne un joueur à chaque sous-sé quenc e d'une histoir e terminale p our chaque joueur, des pr éfér enc es sur l'ensemble des histoir es terminales Comme indiqué dans la section précéden te, il est p ossible représen ter les préférences en utilisan t des fonctions de paiemen t. Dans la plupart des situations, des résultats son t as-so ciés à c haque histoire terminale et les préférences p euv en t être dé nies sur ces résultats (plutôt que sur les histoires terminales). P ar ailleurs, si on mo délise le c hoix en prix d'en-treprises, on p eut raisonner en termes de pro t ( i. e. le résultat d'un pro l de prix) plutôt qu'en termes de pro l de prix. Cep endan t, n'imp orte quelles préférences sur les résultats (par exemple les pro ts) p euv en t-être directemen t traduites en termes de préférences sur les histoires terminales (par exemple les pro ls de prix). Exemple 2. 2 Dans l'exemple pr é c é dent, supp osons que le meil leur r ésultat p our le chal-lenger soit d'entr er sur le mar ché et que le titulair e ac c epte, et que le moins b on r ésultat soit d'entr er et que le titulair e se b atte. A u c ontr air e, le meil leur r ésultat p our le titulair e est que le chal lenger n 'entr e p as et le pir e est qu'il r entr e puis qu'il y ait une b atail le. Cette situation p eut êtr e mo délisé e c omme suit. L es joueurs : le titulair e et le chal lenger L es histoir es terminales : (Entr er, A c c epter), (Entr er, Se b attr e) et (Ne p as entr er) L a fonction joueur : P(∅) =Challenger et P(Entrer ) =Titulaire Pr éfér enc es : L es pr éfér enc es du chal lenger p euvent êtr e r epr ésenté es p ar la fonction de p aiement u1 p our laquel le : u1( Entr er, A c c epter ) = 2,u1( Ne p as entr er ) = 1 etu2( Entr er, Se b attr e ) = 0. De même les pr éfér enc es du titulair e p euvent êtr e formalisé es p ar la fonction de p aiement u2 ave c :u2( Ne p as entr er ) = 2,u2( Entr er, A c c epter ) = 1 etu2( Entr er, Se b attr e ) = 0. A ccepter
Se battre T
C Ne pas en trer En trer (2,1) (0,0)(1,2) | Theorie_des_jeux.pdf |
10 CHAPITRE 2. LA MODÉLISA TION DES JEUX Exemple 2. 3 Exemple r é curr ent Soit un jeu à deux joueurs, dans le quel chaque joueurs a deux actions p ossibles : al ler à dr oite ou al ler à gauche. L e joueur 1⃝ joue en pr emier. Chaque joueur pr éfèr e êtr e à dr oite si l'autr e y est aussi, sinon il pr éfèr e êtr e à gauche.
1 g g' d d'2G D (2,0) (2,-1)
2 (1,0) (3,1) Exercice 2. 1 Gr ab the dol lar. Exemple d'enchèr e à fond p er du. L'or ganisateur (exté-rieur) du jeu met aux enchèr es une piè c e de 2 e. A chaque tour, sé quentiel lement, un joueur dé cide ou non d'enchérir un eur o de plus p our obtenir c ette piè c e. Chaque eur o enchéri r e-vient à l'or ganisateur. L e jeu s'arr ête lorsqu'un joueur a enchéri plus que l'autr e dans le même nombr e de tours. A lors le joueur ayant enchéri le plus r emp orte les 2 e. R epr ésenter c e jeu. Exercice 2. 2 F ort Boyar d-L e jeu des bûchettes Cinq bûchettes sont disp osé es sur une table. A chaque tour, sé quentiel lement, un joueur pr end de une à tr ois bûchettes. L e joueur pr enant la dernièr e bûchette p er d. R epr ésenter c e jeu. | Theorie_des_jeux.pdf |
2. 1. JEUX SOUS F ORME EXTENSIVE 11 2. 1. 3 L'in tro duction du joueur Nature Le mo dèle de jeu sous forme extensiv e a v ec information parfaite ne p ermet pas de rendre compte d'év énemen ts aléatoires p ouv an t in terv enir duran t le jeu. Cep endan t, il p eut être aisémen t étendu p our couvrir de telles situations. La dé nition d'un jeu sous forme exten-siv e a v ec joueur "Nature" est une v arian te de la dé nition précéden te dans laquelle : la fonction joueur assigne la "Nature" à certaine sous-séquences (on a joute un nou-v eau joueur) les probabilités de c hacune des actions de la "Nature" son t sp éci ées les préférences des joueurs son t dé nies sur l'ensem ble des loteries d'histoires termi-nales (et non plus sur les histoires terminales elles-mêmes) P our que l'analyse reste simple, on supp osera que les év énemen ts aléatoires après une certaine histoire (sous-séquence) son t indép endan ts des év énemen ts aléatoires après les autres sous-séquences. Exemple 2. 4 Considér ons un jeu à deux joueurs dans le quel le joueur 1⃝ doit d'ab or d choisir entr e les actions A et B. Si il choisit A le jeu s'arr ête ave c des p aiements (1,1). Si il choisit B : ave c pr ob abilité 1/2 le jeu s'arr ête et les p aiements sont (3,0), et ave c pr ob abilité 1/2 le joueur 2⃝ p eut choisir entr e les actions C qui donne un p aiement (0,1) et D qui donne un p aiement (1,0). Un jeu sous forme extensive qui mo délise c ette situation p eut êtr e r epr ésente c omme suit : (1,0)D
2 C (0,1)
N 1 21 2
1 (3,0)A B (1,1) Où N r epr ésente le joueur "Natur e" et où les nombr es à c ôté des actions de N r epr ésentent la pr ob abilité que c ette action soit "choisie". | Theorie_des_jeux.pdf |
12 CHAPITRE 2. LA MODÉLISA TION DES JEUX 2. 1. 4 Jeux en information imparfaite et ensem ble d'information La notion de jeu sous forme extensiv e a v ec information parfaite (ou complète) dé nie jusqu'ici p ermet de mo déliser des situations dans lesquelles, c haque joueur, a v an t de c hoisir l'action à en treprendre, est informé des actions c hoisies précédemmen t par c hacun des autres joueurs. P our décrire un jeu a v ec information parfaite, on a b esoin d'un ensem ble de joueurs, d'un ensem ble d'histoires terminales, d'une fonction joueur et des préférences des agen ts (cf. Dé nition 2. 2). P our décrire un jeu sous forme extensiv e a v ec information imparfaite, il est nécessaire d'a jouter un unique item à la liste : la sp éci cation de l'information que p ossède c haque joueur a v an t c hacun de ses mouv emen ts. Soit Hi l'ensem ble des histoires après lesquelles le joueur i b ouge. On dé nit l'information du joueuri en partitionnan t (divisan t) Hi en une collection d' ensem bles d'information. Cette collection est app elée partition de l'information dei. Quand il prendra sa décision, le joueuri sera alors informé de l'ensem ble d'information dans lequel on se trouv e mais ne p ourra distinguer les histoires à l'in térieur de cet ensem ble. Supp osons par exemple que le joueur i joue après les histoires G, M et D : Hi={G,M,D} et sait uniquemen t distinguer G des deux autres. La partition de l'information de i consiste donc en deux ensem bles d'information : {G} et{M,D}. Si au con traire il n'est pas du tout informé de l'histoire sa partition de l'information n'est comp osé que de l'ensem ble {G,M,D}. En n, en information complète, l'information est partitionnée en singletons : {G},{M} et{D}. Dans l'arbre du jeu, la partition de l'information est représen tée en en touran t les n÷uds d'un même ensem ble d'information. Il faut, p our que les règles du jeu fonctionnen t, que les n÷uds appartenan t à un même ensem ble d'information aien t les mêmes actions p ossibles. | Theorie_des_jeux.pdf |
2. 1. JEUX SOUS F ORME EXTENSIVE 13
(a,b) (c,d) (e,f ) (g,h) (i,j) (k,l)1 2 2 2
g d g' d' g' d'G M D
(a,b) (c,d) (e,f ) (g,h) (i,j) (k,l)1 2 2 2
g d g' d' g' d' m'G M D (m,n) Ce dernier jeu est faux, car pas cohéren t. N'a y an t pas les mêmes actions p ossibles après les situations M et D, le joueur 2⃝ sait distinguer en tre les deux histoires. | Theorie_des_jeux.pdf |
14 CHAPITRE 2. LA MODÉLISA TION DES JEUX De même, le concept d'information imparfaite n'est pas applicable à des jeux dans lesquels le joueur p eut discerner dans quelle situation il se trouv e en fonction du joueur qui a joué a v an t lui (on parlera alors de "jeu à mémoire parfaite").
(a,b) (c,d) (e,f ) (g,h) (i,j) (k,l)1 2 2 2
g d g' d' g' d'B
3A D C Le graphe ci-dessus n'est pas cohéren t : le joueur 2⃝ p eut sa v oir s'il est en D ou B en fonction de l'iden tité du joueur qui a joué a v an t lui. La plupart des jeux sous forme extensiv e a v ec information imparfaite in téressan ts con tiennen t égalemen t du hasard, ainsi la dé nition suiv an te con tien t les deux concepts. Dé nition 2. 3 Un jeu sous forme extensive, en information imp arfaite (ave c hasar d), est dé ni p ar un ensemble de joueurs un ensemble de sé quenc es (histoir es terminales) tel qu'aucune sé quenc e n 'est sous-sé quenc e d'une autr e sé quenc e une fonction (la fonction joueur) qui assigne un joueur ou la "natur e" à chaque sous-sé quenc e d'une histoir e terminale une fonction qui assigne p our chaque sous-sé quenc e à laquel le le joueur "natur e" est asso cié (p ar la fonction joueur) une distribution de pr ob abilités sur les actions disp onibles apr ès c ette histoir e (les diér ents distributions étant indép endantes les unes des autr es) p our chaque joueur, une p artition (la p artition de l'information) de l'ensemble des histoir es qui lui sont assigné es p ar la fonction joueur. p our chaque joueur, des pr éfér enc es sur les loteries d'histoir es terminales | Theorie_des_jeux.pdf |
2. 1. JEUX SOUS F ORME EXTENSIVE 15 Exemple 2. 5 Chacun des deux joueurs c ommenc e p ar mettr e un eur o dans le p ot. On donne au joueur 1⃝ une c arte qui p eut êtr e Haute ave c pr ob abilité q ou Basse ave c pr ob abilité (1-q). Il observe la c arte mais le joueur 2⃝ ne l'observe p as. Il p eut "laisser" ou "monter". Si il "laisse", le joueur 2⃝ pr end le p ot et le jeu s'arr ête. Si le joueur 1⃝ "monte", il r ajoute 1e dans le p ot et le joueur 2⃝ a le choix entr e "p asser" et "suivr e". Si il p asse, le joueur 1⃝ pr end le p ot. Si le joueur 2⃝ "suit", il ajoute 1 e dans le p ot et le joueur 1⃝ montr e la c arte. Si el le est Haute, le joueur 1⃝ pr end le p ot, sinon le joueur 2⃝ le pr end. Ce jeu p eut êtr e r epr ésenté c omme suit :
P asser P asser Suivre Suivre2 (1,-1) (2,-2)
2 (1,-1) (-2,2)
1
1N Haute Basse
(-1,1) (-1,1)Laisser Laisser Mon ter Mon terq 1-q Le joueur 1⃝ a deux ensem bles d'information, un con tenan t l'histoire unique Haute et l'autre con tenan t l'histoire unique Bas. Le joueur 2⃝ a un ensem ble d'information qui consiste en deux histoires : { Haute, Mon ter} et{ Bas, Mon ter}. Cet ensem ble d'information re ète le fait que le joueur 2⃝ ne p eut pas observ er le carte du joueur 1⃝. Notez ici que la condition qui v eut que l'ensem ble des actions disp onibles après c haque histoire d'un ensem ble d'information soit le même est ici satisfaite. | Theorie_des_jeux.pdf |
16 CHAPITRE 2. LA MODÉLISA TION DES JEUX 2. 2 Jeux sous forme stratégique (ou normale) Le mo dèle de jeux sous forme stratégique supprime la structure séquen tielle de la prise de décision. Quand elle est appliquée à des situations dans lesquelles les preneurs de décisions jouen t séquen tiellemen t, elle oblige à supp oser que les joueurs c hoisissen t leur stratégie une fois p our toute. Ils son t alors engagés dans cette stratégie et ne p euv en t pas la mo di er à mesure que le jeu se déroule. Cette mo délisation est toutefois très utile p our décrire des situations dans lesquelles les joueurs jouen t en même temps. Le plus conn u des jeux sous forme stratégique est le di-lemme du prisonnier. Ce jeu, joué en tre deux susp ects d'un crime, tire son imp ortance du fait qu'il existe un très grand nom bre de situations dans lesquelles le même t yp e d'in-citations son t présen tes Exemple 2. 6 L e dilemme du prisonnier : Deux susp e cts d'un crime majeur sont déte-nus dans des c el lules sép ar é es. L a p olic e a assez de pr euves p our c ondamner chacun d'entr e eux p our des crimes mineurs mais p as assez p our les c ondamner p our le crime majeur, à moins que l'un d'entr e eux ne dénonc e l'autr e. Si les deux susp e cts se taisent, ils ser ont chacun c ondamnés à un an de prison. Si seulement l'un d'entr e eux dénonc e l'autr e, il ser a lib ér é et utilisé en tant que témoin c ontr e l'autr e qui é c op er a de 10 ans de prison. En n si les deux dénonc ent, ils p asser ont chacun 5 ans en prison. Ce jeu p eut être représen té comme un jeu stratégique où : les joueurs son t les deux susp ects qui on t c hacun le c hoix en tre deux actions : {Se taire, Dénoncer} on supp ose que les préférences des joueurs son t uniquemen t déterminées par les an-nées qu'ils passeron t en prison. Ainsi : u1 (Dénoncer, Se taire) > u1 (Se taire, Se taire) > u1 (Dénoncer, Dénoncer)> u1 (Se taire, Dénoncer), et u2 (Se taire, Dénoncer)> u2 (Se taire, Se taire)> u2 (Dénoncer, Dénoncer)> u2 (Dénoncer, Se taire) P ar exemple, on p eut sp éci er : u1 (Dénoncer, Se taire)=0, u1 (Se taire, Se taire)=-1, u1 (Dénoncer, Dénoncer)=-5 etu1 (Se taire, Dénoncer)=-10. Et de manière similaire u2 (Se taire, Dénoncer)=0, u2 (Se taire, Se taire)=-1,u2 (Dénoncer, Dénoncer)=-5 etu2 (Dénoncer, Se taire)=-10. Il est usuel de représen ter un jeu ni à deux joueur sous forme stratégique par le tableau des gains. Le jeu p eut alors être représen té comme suit : Susp ect 2⃝ Se taire Dénoncer Susp ect 1⃝Se taire (-1,-1) (-10,0) Dénoncer (0,-10) (-5,-5) | Theorie_des_jeux.pdf |
2. 2. JEUX SOUS F ORME STRA TÉGIQUE (OU NORMALE) 17 Le dilemme du prisonnier mo délise des situations dans lesquelles il y a un gain à la co op é-ration (les deux joueurs préfèren t une situation dans laquelle ils se taisen t tous les deux, à une situation où ils dénoncen t tous les deux) mais c haque joueur à un in térêt à "free rider" ou "faire le passager clandestin" (c hoisir "Dénoncer"). Ce jeu est in téressan t pas parce qu'on est in téressé à comprendre les in térêts des prisonniers à a v ouer mais parce que de nom breuses autres situations on t la même structure, par exemple : en économie : les questions de p olitique tarifaire : le concurren t qui baisse son prix gagne des parts de marc hé et p eut ainsi augmen ter ses v en tes et accroître év en tuellemen t son b éné ce... mais si son concurren t principal en fait autan t, les deux p euv en t y p erdre. en biologie, p our mo déliser l'év olution des comp ortemen ts en tre individus d'une même esp èce v ers des stratégies év olutiv emen t stables. L'apparition et le main tien des comp ortemen ts de co op ération par exemple, se prêten t à ce t yp e d'analyse. Le dilemme du prisonnier est un p oin t cen tral de la théorie du gène égoïste, puisque l'optimisation de la survie p eut passer par un comp ortemen t apparemmen t altruiste. en p olitique in ternationale. Deux pa ys p euv en t c hoisir de main tenir ou non une armée. Si tous deux on t une armée (de force à p eu près équiv alen te), la guerre est moins "ten tan te", car très coûteuse (situation de guerre froide). Les dép enses militaires son t alors une p erte nette p our les deux pa ys. Si un seul a une armée, il p eut évidemmen t conquérir sans coup férir l'autre, ce qui est pire. En n, si aucun n'a d'armée, la paix règne et les pa ys n'on t pas de dép enses militaires. Un autre exemple représen tatif nous p ermettan t d'étudier les jeux à somme n ulle est le jeu d'enfan t : (pierre, feuille, ciseaux). Chacun des deux joueurs doit c hoisir sim ultanémen t une action : pierre, feuille ou ciseaux. Il y a un cycle en tre ces trois sym b oles : la pierre casse les ciseaux, les ciseaux coup en t la feuille et la feuille recouvre la pierre. Si les deux joueurs c hoisissen t le même sym b ole, alors ils fon t matc h n ul. Sinon, le joueur a y an t le sym b ole le plus fort gagne et l'autre en p erd une. Un jeu à deux joueurs p our lequel ce qui est gagné par un joueur est p erdu par l'autre est app elé jeu à somme n ulle. Dé nition 2. 4 On dit qu'un jeu à 2 joueurs est à somme nul le si : ∀x1,x2;u1(x1,x2) +u2(x1,x2) = 0 Lorsque le résultat du jeu p our un joueur est le gain la p erte ou la partie n ulle (sans sp éci cation du mon tan t en jeu), on écrit ui(x) = 1,-1 ou0. | Theorie_des_jeux.pdf |
18 CHAPITRE 2. LA MODÉLISA TION DES JEUX Le jeu (pierre, feuille, ciseau) sous sa forme stratégique p eut donc être décrit pas la matrice suiv an te : Joueur 2⃝ Pierre F euille Ciseaux Joueur 1⃝Pierre (0, 0) (-1, 1) (1,-1) F euille (1,-1) (0, 0) (-1,1) Ciseaux (-1, 1) (1,-1) (0, 0) Comment mo déliser la sé quentialité d'un jeu en utilisant la r epr ésentation sous forme str até gique ? P our rép ondre à cette question considérons l'exemple 2. 3
1 g g' d d'2G D (2,0) (2,-1)
2 (1,0) (3,1) A n de représen ter ce jeu sous sa forme stratégique, il faut prendre en compte le fait que le joueur 2⃝ observ e ce que 1⃝ a joué. L'action du joueur 2⃝ p ourra diérer selon ce qu'il s'est passé précédemmen t. On doit donc sp éci er un plan d'action, une stratégie p our le joueur 2⃝ qui indique ce qu'il fera dans toutes les con gurations du jeu. Dans cet exemple simple, la stratégie du joueur 2⃝ p eut être (g g') (si le joueur 1⃝ joue G alors je jouerai g et si le joueur 1⃝ joue D alors je jouerai g'), (g d'), (d g') ou (d d'). | Theorie_des_jeux.pdf |
2. 2. JEUX SOUS F ORME STRA TÉGIQUE (OU NORMALE) 19 Sous forme stratégique, le jeu est donc représen té comme suit : Joueur 2⃝ G D G D G D G D g g' g d' d g' d d' Joueur 1⃝G (2, 0) (2, 0) (2,-1) (2,-1) D (1, 0) (3, 1) (1,0) (3,1) Dé nition 2. 5 Str até gie et forme normale une str até gie (ex ante) est la donné e d'une liste d'actions qu'un joueur pr ojette de jouer à chacun des n÷uds (ou ensembles d'information) où il aur a p otentiel lement la main. On note Xi l'ensemble des str até gies du joueur i p our le jeu donné. Un jeu sous forme str até gique est dé ni p ar : l'ensemble des joueurs : N X= Πi Xi, l'ensemble des str até gies L es fonctions de p aiements qui sp é ci ent le gain de chaque joueur en fonction des str até gies joué es p ar l'ensemble des joueurs : ui:XR,(x1,x2,...,x N)↦ui(x1,x2,...,x N) Un jeu sous forme str até gique ser a ainsi noté : Γ(N,X, (ui)i=1... N) Il est imp ortan t de noter qu'une stratégie est un ob jet "compliqué" au sens où le joueur dé nit l'ensem ble des actions qu'il prendra en tout p oin t où il aura la main. T out se passe comme si le joueur dev ait programmer une mac hine p our jouer à sa place : il ne doit pas laisser de situations imprévues (y compris celles qui p ourraien t apparaître absurdes). T out comme p our les jeux sous forme stratégique, la notion d'information est très imp or-tan te. | Theorie_des_jeux.pdf |
20 CHAPITRE 2. LA MODÉLISA TION DES JEUX Si on supp ose dans le jeu précéden t que le joueur 2⃝ ne p eut pas observ er (ou distinguer) ce qu'a joué le joueur 1⃝, tout se passe comme si le jeu était sim ultané. Sous forme extensiv e, on a :
1 g g d d2G D (2,0) (2,-1)
2 (1,0) (3,1)
Et sous forme stratégique : Joueur 2⃝ g d Joueur 1⃝G (2,0) (2,-1) D (1,0) (3,1) | Theorie_des_jeux.pdf |
2. 2. JEUX SOUS F ORME STRA TÉGIQUE (OU NORMALE) 21 P ar con tre, si le joueur 2⃝ est capable de distinguer en tre certaines actions du joueur 1⃝ mais pas en tre d'autres l'écriture de la stratégie devien t plus complexe. Le jeu sous forme extensiv e :
(a,b) (c,d) (e,f ) (g,h) (i,j) (k,l)1 2 2 2
g d g' d' g' d'G M D devien t par exemple sous forme stratégique : Joueur 2⃝ G (MD) G (MD) G (MD) G (MD) g g' g d' d g' d d' Joueur 1⃝G (a, b) (a, b) (c,d) (c,d) M (e, f ) (g, h) (e, f ) (g, h) D (i, j) (k, l) (i, j) (k, l) | Theorie_des_jeux.pdf |
Chapitre 3 Les concepts stratégiques Peut-on r aisonnablement pr é dir e les c omp ortements qui vont êtr e adoptés p ar les joueurs ? Le caractère "in teractif" d'un jeu implique que la rép onse à cette question n'est pas im-médiate. Dans un jeu à deux joueurs par exemple, c haque joueur se p ose la question de sa v oir quelle stratégie sera adoptée par l'autre p our réagir en conséquence. Mais il sait que l'autre est dans la même situation. 3. 1 Stratégies pruden tes : La notion de maximin L'analyse d'un jeu à somme n ulle p ermet de mettre en évidence le t yp e de problème rencon tré. Imaginons le raisonnemen t suiv an t du joueur 1⃝. Si je joue la stratégie a1 et que l'autre le sait, il jouera en conséquence, c'est-à-dire qu'il adoptera une stratégie qui maximise son gain p oura1. Comme le jeu est à somme n ulle, il c hoisira une stratégie qui minimise en a2u1(a1,a2) (en supp osan t qu'une telle stratégie existe). J'obtiendrai ainsi v1(a1)≡mina2u1(a1,a2). Mon c hoix est alors très simple : j'adopterai une stratégie qui maximise v1, et j'obtiendrai ainsi : maxa1mina2u1(a1,a2). Remarquons ici, que tout se passe comme si 1⃝ jouait "en premier" et adoptait la meilleure stratégie qui tienne compte de la rép onse optimale de 2⃝. Dé nition 3. 1 Dans un jeu à somme nul le, on app el le "p aiement minimum gar anti du joueur 1⃝ " la valeur de maxa1mina2u1(a1,a2)≡α1. C'est ee ctivement le p aiement mini-mum gar anti dans le sens où il existe une str até gie qui assur e c e p aiement au joueur, c ette str até gie, ar gmaxa1mina2u1(a1,a2) est app elé e str até gie prudente. 22 | Theorie_des_jeux.pdf |
3. 1. STRA TÉGIES PR UDENTES : LA NOTION DE MAXIMIN 23 Un autre raisonnemen t est cep endan t p ossible. Le joueur 1⃝ p eut parfaitemen t se dire que 2⃝ tiendra exactemen t le raisonnemen t précéden t... T out se passe alors comme si 1⃝ jouait en second. Si 2⃝ jouea2 j'ai in térêt à rép ondre une stratégie qui maximise ena1u1(a1,a2). J'obtiendrai alors w1(a2) = max a1u1(a1,a2), alors que 2⃝ obtiendra v2(a2)≡mina1u2(a1,a2) =-maxa1u1(a1,a2). Je p eux en déduire que 2⃝ aura in térêt à jouer une stratégie qui maximise v2(a2). 2⃝ obtiendra alors, α2= maxa2mina1u2(a1,a2) = maxa2(-maxa1u1(a1,a2)) =-mina2maxa1u1(a1,a2) et j'obtiendrai donc β1= mina2maxa1u1(a1,a2) =-α2. Remarque 2 On a : max a1min a2u1(a1,a2)≡α1≤β1≡min a2max a1u1(a1,a2) =-max a2min a1u2(a1,a2) =-α2 En eet, c omme : ∀a1,a0 2,u1(a1,a0 2)≥min a2u1(a1,a2) ⇒∀a0 2,max a1u1(a1,a0 2)≥max a1min a2u1(a1,a2) ⇒min a2max a1u1(a1,a2)≥max a1min a2u1(a1,a2) A insi, deux c as de gur e p euvent se pr ésenter : Siα1=β1, c'est-à-dir e si maxxminyu1(x,y) = min ymaxxu1(x,y), les deux r ai-sonnements sont "c omp atibles" et on p eut imaginer que chacun des deux joueurs va adopter une str até gie "prudente". Sinon,α1<β 1, il y a c on it entr e les deux r aisonnements, chacun aimer ait p ouvoir jouer en se c ond ! Le concept de stratégie pruden te p eut égalemen t être utilisée dans des jeux à somme non n ulle. Cela revien t à supp oser que le joueur 1⃝ p ense que le joueur 2⃝ lui v eut du mal ! Exemple 3. 1 Dans le dilemme du prisonnier : Susp e ct 2⃝ Se tair e Dénonc er Susp e ct 1⃝Se tair e (-1,-1) (-10,0) Dénonc er (0,-10) (-5,-5) L e susp e ct 1⃝ p ense que le susp e ct 2⃝ lui en veut. Il choisir a donc toujours de le dénonc er : mina2u1( Se tair e,a2) =-10 etmina2u1( Dénonc er,a2) =-5. Se faisant, il va choisir lui aussi de dénonc er : maxa1(a1, Dénonc er ) =-5. L a str até gie prudente du joueur 1⃝ est donc de "Dénonc er" et son "p aiement minimum gar anti" est alors-5. | Theorie_des_jeux.pdf |
24 CHAPITRE 3. LES CONCEPTS STRA TÉGIQUES 3. 2 La notion de dominance Dans le cas de jeu à somme non n ulle, il est toutefois di cile de supp oser qu'un joueur c herc he toujours à réduire le paiemen t de l'autre, même quand cela p eut lui être défa v orable. Cela p eut parfois ab outir à des comp ortemen ts non rationnels (dans le sens où le joueur ne c hoisit pas alors la "meilleure" action au sens de ses préférences). Les notions de dominance et de stratégies dominées p ermetten t de "corriger" ce problème. Elles p ermetten t en se basan t sur le concept de rationalité de réduire le c hamp des actions qui v on t être analysées. Exemple 3. 2 Considér ons le jeu suivant : Joueur 2⃝ L M R Joueur 1⃝T (1,0) (1,2) (0,1) B (0,3) (0,1) (2,0) Comp ar ons les str até gies M et R p our le joueur 2⃝. On observe que : Si le joueur 1⃝ joue T, la str até gie M donne 2 au joueur 2⃝ alors que R lui donne seulement 1. Si le joueur 1⃝ joue B alors, la str até gie M donne 1 au joueur 2⃝ alors que la str até gie R lui donne seulement 0. A insi, indép endamment de c e que fait le joueur 1⃝, la str até gie M donne strictement plus au joueur c olonne que la str até gie R. Dé nition 3. 2 Dominanc e Étant donné un jeu sous forme str até gique Γ(N,X, (ui)i=1... N), on dit que la str até gie x0 i est strictement dominé e p ar la str até gie x1 i p our le joueur i si et seulement si : ∀x1,...,xi-1,xi+1,...,x N,ui(x1,...,xi-1,x0 i,xi+1,...,x N)<ui(x1,...,xi-1,x1 i,xi+1,...,x N) que l'on p eut r é é crir e sous une forme plus lisible : ∀x-i,ui(x-i,x0 i)<ui(x-i,x1 i) Contr e toute "défense", jouer la str até gie x1 i donne toujours strictement plus au joueur i que jouerx0 i. On dit que la str até gie x0 i est faiblement dominé e p ar la str até gie x1 i p our le joueur i si et seulement si : ∀x1,...,xi-1,xi+1,...,x N,ui(x1,...,xi-1,x0 i,xi+1,...,x N)≤ui(x1,...,xi-1,x1 i,xi+1,...,x N) que l'on p eut r é é crir e sous une forme plus lisible : ∀x-i,ui(x-i,x0 i)≤ui(x-i,x1 i) | Theorie_des_jeux.pdf |
3. 2. LA NOTION DE DOMINANCE 25 Contr e toute "défense", jouer la str até gie x1 i donne toujours au moins autant au joueur i que jouerx0 i. On dit que la str até gie x0 i est dominé e p ar la str até gie x1 i p our le joueur i si et seulement si : ∀x1,...,xi-1,xi+1,...,x N,ui(x1,...,xi-1,x0 i,xi+1,...,x N)≤ui(x1,...,xi-1,x1 i,xi+1,...,x N) que l'on p eut r é é crir e sous une forme plus lisible : ∀x-i,ui(x-i,x0 i)≤ui(x-i,x1 i) ave c une iné galité stricte au moins. Contr e toute "défense", jouer la str até gie x1 i donne toujours autant et au moins une fois plus au joueur i que jouerx0 i. On dit qu'une stratégie est dominan te si elle domine toutes les autres. Si une stratégie do-minan te existe elle est évidemmen t unique, en eet si deux stratégies étaien t sim ultanémen t dominan tes elles donneraien t les mêmes paiemen ts au joueur, ce qui con tredit l'existence d'une inégalité stricte au moins. En rev anc he, il p eut parfaitemen t exister plusieurs straté-gies faiblemen t dominan tes. Il est clair que si un joueur p ossède une stratégie dominan te il la jouera et le jeu sera résolu. En rev anc he la faible dominance p eut ne pas déb ouc her... Exemple 3. 3 Dans le dilemme du prisonnier : Susp e ct 2⃝ Se tair e Dénonc er Susp e ct 1⃝Se tair e (-1,-1) (-10,0) Dénonc er (0,-10) (-5,-5) "Dénonc er" est une str até gie dominante p our chacun des deux joueurs. Exemple 3. 4 L e r envoi d'asc enseur : Deux inc onnus se r etr ouvent au r ez-de-chaussé e d'une gr ande tour devant un p etit asc enseur à une seule plac e dont la p orte est ouverte. Il n 'y a p as de b outon p our le r app eler quand il ser a monté. L es deux joueurs ont deux solutions : tr ahir ou c o op ér er. Si ils c o op èr ent tous les deux, un joueur monte puis r envoie l'asc enseur, les deux joueurs gagnent. Si un joueur c o op èr e et l'autr e tr ahit, le joueur qui tr ahit pr end l'asc enseur, gagne, et ne le r envoie p as. Si les deux joueurs tr ahissent, aucun ne c è de et ils sont obligés de monter à pie d... les deux p er dent. Joueur 2⃝ T r ahir Co op ér er Joueur 1⃝T r ahir (0,0) (1,0) Co op ér er (0,1) (1,1) T outes les str até gies sont faiblement dominantes, el les ne sont p ourtant p as é quivalentes ! | Theorie_des_jeux.pdf |
26 CHAPITRE 3. LES CONCEPTS STRA TÉGIQUES Exemple 3. 5 Enchèr es au se c ond prix (Enchèr es de Vickr ey) Un objet indivisible (p ar exemple un table au) est vendu suivant la pr o c é dur e suivante : chaque acheteur i p otentiel soumet sous envelopp e une pr op osition bi l'acheteur qui soumet la plus gr ande or e gagne l'objet et p aye p our l'ac quérir le se c ond meil leur prix oert : y= maxj̸=ibj. On supp ose que chaque acheteur p otentiel a une évaluation vi p our l'objet qui r e ète toute valeur obje ctive ou subje ctive p our lui. Notons ici que c e jeu est plus c omplexe que c eux dé crit pr é c é demment notamment p ar c e que l'ensemble des str até gies n 'est p as ni (c'est un c ontinuum). On p eut c ep endant r emar quer que dir e la vérité (bi=vi) est une str até gie dominante, c'est-à-dir e que c ette str até gie domine toutes les autr es. Un acheteur fer a une b onne aair e dès qu'il p ayer a l'objet à un prix inférieur à son éva-luationvi (p aiementvi-y >0 ) et une mauvaise quand le p ayer a à un prix sup érieur à vi (p aiementvi-y <0 ). Par ail leurs, on p eut r emar quer que c onditionnel lement au fait d'avoir gagné l'enchèr e, le prix p ayé p ar l'ac quér eur et indép endant de son or e. A insi sibi=vi 1. siy>vi,i p er d l'enchèr e (p aiement nul) 2. siy<vi,i gagne l'enchèr e et p aye l'objet au prix y<vi (b onne aair e, p aiement p ositif ) sibi>vi 1. siy>vi : 2 c as a. siy>bi>vi,i p er d l'enchèr e (p aiement nul) b. sibi> y > v i,i gagne l'enchèr e et p aye l'objet au prix y > vi (mauvaise aair e, p aiement né gatif ) 2. siy < vi,i gagne l'enchèr e et p aye l'objet au prix y (b onne aair e, p aiement p ositif ) sibi<vi 1. siy>vi,i p er d l'enchèr e (p aiement nul) 2. siy<vi : 2 c as a. siy <bi<vii gagne l'enchèr e et p aye l'objet au prix y <vi (b onne aair e, p aiement p ositif ) b. sibi<y<vi,i p er d l'enchèr e (p aiement nul) Il app ar aît donc que pr op oser bi=vi donne un p aiement au moins é gal à c elui de toutes autr es str até gies et p arfois strictement plus. En d'autr e termes, la str até gie bi=vi est une str até gie dominante. | Theorie_des_jeux.pdf |
3. 2. LA NOTION DE DOMINANCE 27 On p eut aussi le voir gr aphiquement ave c y en abscisse et le p aiement du joueur i en or donné e : 6-yui Prop oserb+ i>vi vib+ i b-i6-yui Prop oserbi=vi vib+ i b-i6-yui Prop oserb-i<vi vib+ i b-i | Theorie_des_jeux.pdf |
28 CHAPITRE 3. LES CONCEPTS STRA TÉGIQUES Exemple 3. 6 L a fournitur e d'un bien public L e gouvernement se demande si il doit mettr e en plac e un pr ojet public qui c oûte c Me. Chacun des n citoyens ac c or de une valeur vi (né gative ou p ositive) à c e pr ojet, c'est son c onsentement à p ayer p our le bien public. Si le gouvernement observait c es c. a. p. il mettr ait en plac e le pr ojet ssi∑n i=1vi≥c. Si il n 'observe p as c es c. a. p., il doit se r ep oser sur c e que dé clar ent les citoyens : wi. L e pr ojet est alors mis en plac e ssi∑n i=1wi≥c. L e pr oblème est alors que les citoyens p euvent sur-ou sous-estimer leur c onsentement à p ayer. Question : Quel les incitations (subvention/taxe) mettr e en plac e a n que les citoyens r évèlent leur vr ai valeur ? R ép onse : Si chaque citoyen i r e çoit∑ i̸=jwj-c quand le pr ojet est mis en plac e (si c ette gr andeur est né gative il s'agit d'une taxe) alors dir e la vérité domine toutes les autr es str até gies R emar que : Comme dans le c as de l'enchèr e au se c ond prix, c e que doit p ayer le citoyen (ou c e qu'il r e çoit) ne dép end p as de son "or e" L'utilité/le p aiement d'un citoyen i s'é crit alors : Ui={vi+∑ i̸=jwj-c si∑ iwi≥c 0 sinon On doit alors c onsidér er deux c as : 1. sivi+∑ i̸=jwj-c≥0 sii dit la vérité wi=vi alors∑ iwi-c≥0, le pr ojet est mis en plac e et Ui=∑ iwi-c≥0 sii sur estime son c. a. p alors le pr ojet est mis en plac e et son utilité ne change p as si il le sous-estime, soit∑ iwi-c<0 et le pr ojet n 'est p as mis en plac e, alors son utilité devient nul le soit∑ iwi-c≥0 et l'utilité de i ne change p as 2. sivi+∑ i̸=jwj-c<0 sii dit la vérité wi=vi alors∑ iwi-c<0, le pr ojet n 'est p as mis en plac e et Ui= 0 sii sous-estime son c. a. p alors le pr ojet n 'est p as mis en plac e et son utilité ne change p as si il le sur-estime, soit∑ iwi-c≥0 et le pr ojet est mis en plac e, alors son utilité devient né gative (Ui=vi+∑ i̸=jwj-c<0 ) soit∑ iwi-c<0 et l'utilité de i ne change p as A insi la str até gie " wi=vi " est une str até gie dominante. Comment fair e en sorte que c e mé c anisme ne soit p as (tr op) c oûteux p our le gouvernement ? | Theorie_des_jeux.pdf |
3. 2. LA NOTION DE DOMINANCE 29 On sait que Ui={vi+∑ j̸=iwj-c si∑n i=1wi≥c 0 sinon mar che. T r ouvons donc hi tel que Ui={vi+∑ j̸=iwj-c-hi si∑n i=1wi≥c 0 +hi sinon mar che aussi Exer cic e 3. 1 Montr ez qu'ave c hi={∑ j̸=iwj-c si∑ j̸=iwj≥c 0 sinon dir e la vérité est str até gie dominante. On a alors Ui= vi si∑n i=1wi≥c et∑ j̸=iwj≥c(1) vi+∑ j̸=iwj-c <0si∑n i=1wi≥c et∑ j̸=iwj<c (2)-∑ j̸=iwj+c <0si∑n i=1wi<c et∑ j̸=iwj≥c(3) 0 si∑n i=1wi<c et∑ j̸=iwj<c (4) L a diér enc e en (1) et (3) vient uniquement de wi de même que la diér enc e entr e (2) et (4). On a ainsi à fair e à mé c anisme dit "de pivot" : on fait p ayer à c elui qui fait b asculer la dé cision un montant é gal à la p erte qu'il fait subir aux autr es. | Theorie_des_jeux.pdf |
30 CHAPITRE 3. LES CONCEPTS STRA TÉGIQUES 3. 3 Élimination successiv e des stratégies dominées Reprenons l'exemple 3. 2 Joueur 2⃝ L M R Joueur 1⃝T (1,0) (1,2) (0,1) B (0,3) (0,1) (2,0) On a vu que la stratégie R était strictemen t dominée par la stratégie M p our le joueur 2⃝. Il parait naturel et logique de supp oser que si il est rationnel (si il c herc he à maximiser son "paiemen t"), 2⃝ ne v a jamais jouer R. Hyp othèse H1 : Un joueur rationnel ne joue jamais une stratégie strictemen t dominée. Hyp othèse H2 : T ous les joueurs son t rationnels. Main tenan t, si le joueur 1⃝ connaît les stratégies et les paiemen ts du joueur 2⃝ et s'il sait que le joueur 2⃝ est rationnel, alors, il p eut an ticip er que le joueur 2⃝ ne v a jamais jouer R (sa stratégie strictemen t dominée). Donc, si on est dans une situation où la rationalité de c hacun des joueurs est une connaissance comm une (c hacun est rationnel, c hacun sait que les autres son t rationnels, c hacun sait que les autres sa v en t qu'il est rationnel... etc) alors la stratégie strictemen t dominée R p eut être éliminée (dans le sens où tout le monde se comp orte comme si cette stratégie n'existait pas). La connaissance comm une de la rationalité et des paiemen ts est imp ortan te car sinon l'élimination ne p eut pas se faire. Hyp othèse H3 : La rationalité et le jeu son t une connaissance comm une en tre les joueurs Ainsi, sous H1, H2 et H3, un b on concept de solution doit exclure toutes les stratégies strictemen t dominées : la dite solution du jeu est la même si on élimine de telles stratégies car elles ne son t pas jouées et tout le monde le sait. Dans notre exemple, la stratégie R p eut être éliminée. Les joueurs considèren t donc qu'ils jouen t le jeu suiv an t : Joueur 2⃝ L M Joueur 1⃝T (1,0) (1,2) B (0,3) (0,1) Or, dans ce nouv eau jeu, la stratégie B est strictemen t dominée par T. Ainsi, B p eut être éliminée. On obtien t donc le nouv eau jeu réduit suiv an t : | Theorie_des_jeux.pdf |
3. 3. ÉLIMINA TION SUCCESSIVE DES STRA TÉGIES DOMINÉES 31 Joueur 2⃝ L M Joueur 1⃝ T (1,0) (1,2) Dans ce "nouv eau" jeu, L p eut être éliminée. Ceci nous amène à un jeu où c haque joueur p ossède une unique stratégie : p our le joueur 1⃝ T et p our le joueur 2⃝ M a v ec (1, 2) comme paiemen t. Ce pro cédé est app elé pro cédé d'élimination des stratégies strictemen t dominées. Quand ce pro cédé con v erge v ers un unique résultat, on quali e ce résultat comme étan t la solution du jeu et on dit que le jeu est solv able par dominance. Exemple 3. 7 Soit une éle ction entr e deux c andidats. On supp ose que les éle cteurs sont uniformément distribués sur le se gment [0,1] et qu'ils votent p our le c andidat le plus pr o che d'eux sur c e se gment. On supp ose p ar ail leurs que les c andidats n 'ont que m+ 1 p ositions p ossibles (m p air) r é gulièr ement distribué es sur le se gment. 0 1 m mm-1 m @@m-2 m1 22 m1 m 0 @@ On p eut alors r emar quer que la p ositionm m= 1 est strictement dominé e p ar la p osition m-1 m: si l'autr e c andidat est à gauche dem m, le c andidat enm mgagne à se déplac er si l'autr e c andidat est é galement enm maussi De même 0 est strictement dominé p ar1 m. On se r etr ouve donc ave c m-1 p ositions p ossibles. A ve c le même r aisonnement on a alorsm-1 mstrictement dominé p arm-2 met1 mstrictement dominé p ar2 m⇒m-3 p ositions⇒... ⇒ le jeu est solvable p ar dominanc e et la solution est(1 2,1 2) Remarque 3 L'élimination suc c essive des str até gies strictement dominé es ne dép end p as de l'or dr e d'élimination, ni du fait que les joueurs éliminent de façon sé quentiel le ou si-multané e. De la même façon, on aurait donc en vie encore d'a rmer qu'une stratégie dominée (non strictemen t) p eut être éliminée car il existe une autre stratégie qui donne autan t sinon strictemen t plus. Cep endan t, con trairemen t au cas des stratégies strictemen t dominées, le jeu résultan t (et donc le résultat) de l'élimination successiv e des stratégies seulemen t dominées (non strictemen t) p eut dép endre de l'ordre suiv an t lequel les éliminations se fon t. | Theorie_des_jeux.pdf |
32 CHAPITRE 3. LES CONCEPTS STRA TÉGIQUES Exemple 3. 8Joueur 2⃝ L C R Joueur 1⃝T (1,2) (2,3) (0,3) M (2,2) (2,1) (3,2) B (2,1) (0,0) (1,0) or dr e d'élimination r ésultat p aiement nal T,R,B,C ML (2,2) B,L,C,T MR (3, 2) Exercice 3. 2 Chaque joueur doit donner un nombr e entier entr e 0 et 100, on c alcule la moyenne, le gagnant est c elui dont le p ari est le plus pr o che de la demi-moyenne. | Theorie_des_jeux.pdf |
3. 4. ÉQUILIBRE DE NASH EN STRA TÉGIE PURE 33 3. 4 Équilibre de Nash en stratégie pure Évidemmen t, les concepts précéden ts p euv en t ne rien donner. Si aucune stratégie n'est dominée, le problème reste en tier. Un concept plus faible p ermet, dans un grand nom bre de cas une résolution in téressan te des jeux. Le jeu suiv an t illustre bien cette situation : Joueur 2⃝ L M R Joueur 1⃝T (0,6) (6,0) (4,3) M (6,0) (0,6) (4,3) B (3,3) (3,3) (5,5) Aucune stratégie n'est dominan te. Cep endan t, il y a un candidat p oten tiel p our la solu-tion du jeu : la paire de stratégies (B,R) donnan t le paiemen t (5, 5). En quel sens ? En fait, s'il est suggéré (par quelqu'un, par un raisonnemen t comm un aux joueurs, après une négo ciation,... ) que (B,R) doit être joué, alors, aucun joueur n'a in térêt à c hanger tout seul en jouan t une autre stratégie. En eet, si par exemple le joueur 1⃝ en visage de jouer M à la place de B, il obtien t seulemen t 4 unités (alors que son utilité en jouan t B est de 5 unités). En fait, on v éri e facilemen t qu'aucun joueur n'a in térêt à c hanger seul de stratégie si (B,R) est la paire de stratégies prévue. La notion d'équilibre cac hée derrière ce raisonnemen t est en faite l'une des plus imp ortan tes en théorie des jeux. Supp osons l'existence d'une sorte de norme so ciale (ex. rouler à droite p our un conducteur de v oiture) qui soit connaissance comm une, et qui p our c haque in teraction stratégique (ou p our la situation en question), fait qu'un joueur donné sait ce que v on t faire les autres joueurs, alors p our être eectiv emen t stable cette norme doit au moins satisfaire à ce critère : aucun joueur n'a in térêt à dévier individuellemen t du comp ortemen t dicté par la norme. L'équilibre de Nash est simplemen t la traduction mathématique de cette notion de stabilité. Dé nition 3. 3 Un pr o l de str até gies x∗= (x∗ i)i∈N est un é quilibr e de Nash du jeu sous forme str até gique Γ si et seulement si, ∀i∈N,∀xi∈Xi:ui(x∗ i,x∗-i)≥ui(xi,x∗-i). Une autre manière de dé nir l'équilibre de Nash est d'utiliser le concept de meilleure rép onse Dé nition 3. 4 On app el le c orr esp ondanc e de meil leur e r ép onse du joueur i la c orr es-p ondanc e qui à chaque ve cteur de str até gies des autr es joueurs asso cie les str até gies qui maximisent le p aiement de i : MRi:x-i↦argmax xui(x,x-i) | Theorie_des_jeux.pdf |
34 CHAPITRE 3. LES CONCEPTS STRA TÉGIQUES Cette corresp ondance est bien dé nie dès lors que, par exemple l'ensem ble des stratégies est ni, ou bien lorsque l'ensem ble des stratégies est compact et la fonction ui con tin ue. C'est une fonction lorsque le maxim um est unique. C'est le cas lorsque la fonction ui est strictemen t conca v e. Un équilibre de Nash est un p oin t xe de la corresp ondance de meilleure rép onse : Dé nition 3. 5 x∗= (x∗ i) est un é quilibr e de Nash si et seulement si : ∀i,∀xi∈Xi,ui(x∗ i,x∗-i)≥ui(xi,x∗-i) c'est-à-dir e : ∀i,x∗ i∈MRi(x∗-i) Il est facile de v oir qu'il existe des jeux p our lesquels il n'existe pas d'équilibre de Nash, d'autres où il en existe plusieurs. Exemples Dilemme du prisonnier : Susp ect 2⃝ Se taire Dénoncer Susp ect 1⃝Se taire (-1,-1) (-10,0) Dénoncer (0,-10) (-5,-5) D↦MR 1D↦MR 2D⇒(D,D ) unique équilibre de Nash (ST↦MR 1D↦MR 2D ) Jeu du carrefour : 2 joueurs, pas de co de de la route, les 2 v oitures arriv en t à la même vitesse, 2 solutions p our c haque v oiture : passe (P) ou stop (S) Joueur 2⃝ P S Joueur 1⃝P (-1,-1) (2,1) S (1,2) (0,0) P↦MR 1S↦MR 2P et P↦MR 2S↦MR 1P⇒ 2 équilibres de Nash ! Commen t c hoisir ? | Theorie_des_jeux.pdf |
3. 4. ÉQUILIBRE DE NASH EN STRA TÉGIE PURE 35 Bataille des sexes Homme Théâtre F o ot F emme Théâtre (3,1) (0,0) F o ot (0,0) (1,3) T↦MRHT↦MRFT et F↦MRFF↦MRHF⇒ 2 équilibres de Nash ! Pierre, F euille, Ciseaux Joueur 2⃝ Pierre F euille Ciseaux Joueur 1⃝Pierre (0, 0) (-1, 1) (1,-1) F euille (1,-1) (0, 0) (-1,1) Ciseaux (-1, 1) (1,-1) (0, 0) P↦MRi F↦MRj C,F↦MRi C↦MRj P et C↦MRi P↦MRj F ⇒ P as d'équilibre de Nash ! Jeu de la distinction de Bourdieu Le joueur 1⃝ con ten t quand il fait la même c hose que 2⃝, mais 2⃝ n'est pas con ten t si 1⃝ fait comme lui (2 situations : pile et face) Joueur 2⃝ P F Joueur 1⃝P (1,-1) (-1, 1) F (-1, 1) (1,-1) P as d'équilibre de Nash ! Prop osition 1 Si le jeu est solvable p ar élimination r ép été e de str até gies faiblement dominé es, alors le ve cteur de str até gies qui en r ésulte est un é quilibr e de Nash du jeu initial. Si le jeu est solvable p ar élimination r ép été e des str até gies strictement dominé es, alors le ve cteur de str até gies qui en r ésulte est l'unique é quilibr e de Nash du jeu initial. | Theorie_des_jeux.pdf |
36 CHAPITRE 3. LES CONCEPTS STRA TÉGIQUES 3. 5 Équilibre de Nash en stratégie mixte Que fair e quand il n 'existe p as d'é quilibr e de Nash en str até gie pur e ? L'équilibre de Nash en stratégie pure est un pro l d'actions p our lequel l'action de c haque joueur est optimale étan t données les actions des autres. En ce p oin t xe, le comp ortemen t d'un joueur est le même à c haque fois qu'il joue au jeu et aucun joueur ne v eut c hanger comp ortemen t. Une notion plus générale de p oin t xe p ermet aux c hoix des joueurs de v arier, tan t que le "proto cole" de ces c hoix resten t constan t. P ar exemple, à c haque fois qu'il joue au jeu, un joueur devra c hoisir ses actions de manière probabiliste selon la même distribution de probabilités. On supp osera alors que les joueurs basen t leurs c hoix sur l'esp érance de paiemen t, c'est-à-dire qu'ils son t neutres vis-à-vis du risque. Dé nition 3. 6 Une str até gie mixte est une distribution de pr ob abilités sur l'ensemble des str até gies pur es (i. e. des actions) Reprenons le jeu de la distinction de Bourdieu : Joueur 2⃝ P F Joueur 1⃝P (1,-1) (-1, 1) F (-1, 1) (1,-1) Un stratégie mixte corresp ond p our c haque joueur à assigner une probabilité à c hacune des actions. Soien t : P( 1⃝ joue P ) =p P( 1⃝ joue F ) = 1-p P( 2⃝ joue P ) =q P( 2⃝ joue F ) = 1-q Étudions les meilleures rép onses de c hacun des deux joueurs (on c herc he la meilleure stra-tégie mixte d'un joueur, à stratégie mixte de l'autre joueur xée) : P our le joueur 1⃝, jouer P lui donne comme paiemen t esp éré : 1∗q+ (-1)∗(1-q) = 2q-1 F lui donne comme paiemen t esp éré : (-1)∗q+ 1∗(1-q) = 1-2q Ainsi q>1/2⇒P≻F⇒p= 1 q= 1/2⇒P∼F⇒p∈]0,1[ q>1/2⇒P≺F⇒p= 0 | Theorie_des_jeux.pdf |
3. 5. ÉQUILIBRE DE NASH EN STRA TÉGIE MIXTE 37 De même p our le joueur 2⃝, jouer P lui donne comme paiemen t esp éré : (-1)∗p+ 1∗(1-p) = 1-2p F lui donne comme paiemen t esp éré : 1∗p+ (-1)∗(1-p) = 2p-1 Ainsi p<1/2⇒P≻F⇒q= 1 p= 1/2⇒P∼F⇒q∈]0,1[ p>1/2⇒P≺F⇒q= 0 Représen tons ces corresp ondances de meilleure rép onse : 6-pq 01 21 1 2 1Joueur 2⃝ Joueur 1⃝ L'équilibre de Nash en stratégie mixte, p oin t d'in tersection en tre ces deux corresp ondances de meilleure rép onse est donc unique et égal à(1 2,1 2). Ceci est assez normal puisque le jeu est symétrique. Dé nition 3. 7 Un pr o l de str até gies mixtes s∗est un é quilibr e de Nash en str até gie mixte si, p our tout joueur i et p our toute str até gie mixte si : E(ui(s∗ i,s∗-i)≥E(ui(si,s∗-i)) De la même façon, on mon tre l'équilibre de Nash en stratégie mixte du jeu Pierre, F euille, Ciseaux corresp ond à une situation où les deux joueurs jouen t c hacune des actions a v ec une probabilité 1/3. Si on applique le même raisonnemen t à la Bataille des sexes Homme Théâtre F o ot F emme Théâtre (3,1) (0,0) F o ot (0,0) (1,3) | Theorie_des_jeux.pdf |
38 CHAPITRE 3. LES CONCEPTS STRA TÉGIQUES en notan tp etq resp ectiv emen t la probabilité que la femme et l'homme c hoisisse le Théâtre, on a : P our la femme : E(u F( Théâtre )) = 3∗q+ 0∗(1-q) = 3q E(u F( F o ot)) = 0∗q+ 1∗(1-q) = 1-q Ainsi q>1/4⇒T≻F⇒p= 1 q= 1/4⇒T∼F⇒p∈]0,1[ q<1/4⇒T≺F⇒p= 0 De même, p our l'homme : E(u H( Théâtre )) = 1∗p+ 0∗(1-p) =p E(u F( F o ot)) = 0∗p+ 3∗(1-p) = 3-3p Ainsi p>3/4⇒T≻F⇒q= 1 p= 3/4⇒T∼F⇒q∈]0,1[ p<3/4⇒T≺F⇒q= 0 6-pq 01 41 23 41 1 2 13 41 4Homme F emme Ainsi, on a 3 équilibres de Nash : p= 3/4,q= 1/4 (en stratégies mixtes), p= 0,q= 0 et p= 1,q= 1 (en stratégies pures) Théorème de Nash T out jeu stratégique (a v ec des préférences complètes, transitiv es et con tin ues) dans lequel les joueurs on t un nom bre ni d'actions p ossède un équilibre de Nash en stratégies mixtes. | Theorie_des_jeux.pdf |
Chapitre 4 Les concepts d'équilibre dans les jeux séquen tiels 4. 1 Équilibre parfait : l'algorithme de Kühn Étudions main tenan t le concept d'équilibre dans le cadre d'un jeu sous forme séquen tielle. P our cela, reprenons l'exemple récurren t (2. 3) et c herc hons les équilibres de Nash :
1 g g' d d'2G D (2,0) (2,-1)
2 (1,0) (3,1) 39 | Theorie_des_jeux.pdf |
40 CHAPITRE 4. LES CONCEPTS D'ÉQUILIBRE D ANS LES JEUX SÉQUENTIELS Ce jeu p eut égalemen t être représen té sous la forme normale suiv an te : Joueur 2⃝ G D G D G D G D g g' g d' d g' d d' Joueur 1⃝G (2, 0) (2, 0) (2,-1) (2,-1) D (1, 0) (3, 1) (1,0) (3,1) gg′↦G↦{gg′,gd′} ;dd′↦D↦{dd′,gd′} ; gd′↦D↦{dd′,gd′} ;dg′↦G↦{gg′,gd′}. Il existe 2 équilibres de Nash : (gg′,G) qui ab outit au paiemen t (2, 0) et (dd′ougd′,D) qui ab outit à (3, 1). Le premier équilibre de Nash rep ose sur un comp ortemen t quelque p eu surprenan t : 2⃝ joue gg′c'est-à-dire qu'il "annonce" qu'il jouera g′si 1⃝ joue D. Ce qui n'est pas très rationnel puisque si 1⃝ joue D, 2 a strictemen t in térêt à jouer d' ! Cet équilibre de Nash rep ose ainsi sur une menace non crédible (la menace de c hoisir une action non rationnelle en dehors de la "tra jectoire" d'équilibre). Commen t faire p our éviter ce genre de résultat ? L'idée est simple, il faut demander que la stratégie soit séquen tiellemen t rationnelle : elle doit prév oir un comp ortemen t "opti-mal" en tout p oin t de l'arbre, c'est-à-dire même en dehors de la tra jectoire qui sera jouée à l'équilibre : 1⃝ p eut raisonnablemen t an ticip er que 2⃝ jouerad′(et pasg′) s'il joue D, et an ticip er qu'il jouera g s'il joue G. Il en résulte qu'il doit comparer l'issue Gg' à Dd' et donc c hoisir de jouer D (ce qui corresp ond au second équilibre de Nash). g G (2, 0 ) (2,-1 )
2 d1
g' (1, 0 ) (3, 1 )1
2 d'D g G ( 2,0)
2 ( 3,1)
2 d'D- | Theorie_des_jeux.pdf |
4. 1. ÉQUILIBRE P ARF AIT : L'ALGORITHME DE KÜHN 41 Le raisonnemen t précéden t p eut être généralisé à tout jeu ni en information parfaite. L'algorithme est le suiv an t : plaçons nous en n de jeu, en un n÷ud prédécesseur d'un n÷ud terminal. Imaginons que le déroulemen t du jeu conduise à ce p oin t. On p eut an ticip er que le joueur en question, jouera de manière optimale et c hoisira l'action (on supp ose ici qu'il n'y a pas d'indiérence p our simpli er) qui maximise son gain. On p eut donc eacer les autres actions issues de ce n÷ud. Le comp ortemen t devien t d'une certaine manière totalemen t prévisible et on p eut remplacer le n÷ud en question par le n÷ud terminal (a v ec les paiemen ts corresp ondan t) asso cié à l'action optimale. On recommence la pro cédure d'analyse p our les autres n÷uds qui précèden t immédiatemen t les n÷uds terminaux. A c haque étap e de l'algorithme, l'arbre est (strictemen t) réduit. Si l'on rép ète l'op ération on déb ouc he nécessairemen t sur le n÷ud initial. Le jeu est réduit à un problème de décision simple du premier joueur ! Dé nition 4. 1 L e r ésultat de l'algorithme de Kühn est app elé é quilibr e p arfait. Remarquons qu'il existe toujours au moins un équilibre parfait p our ce t yp e de jeu : l'algorithme de Kühn con v erge toujours. Remarquons aussi qu'algorithme de Kühn et l'éli-mination successiv e des stratégies dominées son t deux pro cédures très similaires. On p eut mon trer facilemen t qu'un équilibre par élimination successiv e des stratégies dominées est un équilibre parfait. En rev anc he la récipro que n'est pas toujours vraie, il su t p our s'en con v aincre de remplacer le paiemen t 3 par le paiemen t 2 dans le jeu précéden t : il existe alors deux équilibres parfaits (Dd', mais aussi Gg), alors que l'issue Gg ne p eut être obte-n ue par élimination des stratégies dominées. En rev anc he les deux concepts coïnciden t dès lors qu'il n'y a pas d'indiérence (et donc pas d'am biguïté dans l'algorithme de Kühn). Autre exemple : Le jeu de l'éducation P as punir
Punir P
E Gen til P as gen til (3,0) (-1,-1)(1,2) | Theorie_des_jeux.pdf |
42 CHAPITRE 4. LES CONCEPTS D'ÉQUILIBRE D ANS LES JEUX SÉQUENTIELS On supp ose que le paren t ( P⃝ ) soure de punir son enfan t ( E⃝ ). Con v ertissons le jeu en jeu sous forme stratégique Joueur 2⃝ (P aren t) ∅ Punir∅ Ne pas punir Joueur 1⃝ (Enfan t)Gen til (1,2) (1,2) P as gen til (-1,-1) (3,0) On a alors deux équilibres de Nash : (Gen til, Punir) et (P as gen til, P as punir). Dans le premier, l'enfan t v a bien se comp orter parce qu'il a p eur de la menace de ses paren ts (cas d'un enfan t naïf ). P as punir
Punir P
E Gen til P as gen til (3,0) (-1,-1)(1,2) | Theorie_des_jeux.pdf |
4. 1. ÉQUILIBRE P ARF AIT : L'ALGORITHME DE KÜHN 43 Au con traire, le second est le cas d'un enfan t "in telligen t" qui sait que ses paren ts l'aimen t tellemen t qu'ils n'aimen t pas le punir ! P as punir
Punir P
E Gen til P as gen til (3,0) (-1,-1)(1,2) Autremen t dit le premier équilibre de Nash n'est pas crédible. Ce concept apparaît ainsi trop "faible". | Theorie_des_jeux.pdf |
44 CHAPITRE 4. LES CONCEPTS D'ÉQUILIBRE D ANS LES JEUX SÉQUENTIELS En appliquan t l'algorithme de Kühn c'est-à-dire l'induction à reb ours, on trouv e bien que l'unique équilibre parfait est le second équilibre de Nash (pas gen til, pas punir). A tten tion : on supp ose ici que le jeu n'est joué qu'une seul fois. P as punir
Punir P
E Gen til P as gen til (3, 0 ) (-1,-1 )(1,2) P as punir
P
E Gen til P as gen til ( 3,0)( 1,2)-L e ctur e : L e p aiement des p ar ents est plus gr and si ils ne punissent p as (-1<0). A nticip ant c ela, l'enfant c omp ar e 1 et 3 et choisit de ne p as êtr e gentil. Théorème T out jeu sous forme extensiv e ni et à information parfaite admet un équilibre parfait en stratégies pures. On p eut par ailleurs démon ter le théorème suiv an t qui s'applique notammen t aux jeux de table comme les éc hecs ou les dames : Théorème (Zermolo et V on Neumann) Dans tout jeu à deux joueurs à information parfaite, déterministe à somme n ulle aux gains (Victoire, Défaite, Nul), l'un des joueurs p ossède une stratégie dans laquelle il assure au moins le n ul. | Theorie_des_jeux.pdf |
4. 1. ÉQUILIBRE P ARF AIT : L'ALGORITHME DE KÜHN 45 L'algorithme de Kühn p eut parfois mener à des situations qui p euv en t sem bler parado xales, comme par exemple dans le jeu du mille-pattes. Le jeu du mille-pattes est un jeu en 100 étap es. Aux étap es impaires, t= 1,3,....,99 le joueur 1⃝ a le c hoix en tre arrêter le jeu ou con tin uer. S'il arrête à l'étap e t, le v ecteur de paiemen t est (t, t-1) sinon le jeu con tin ue à l'étap e t + 1. Aux étap es paires, t= 2,4,....,100 le joueur 2⃝ a le c hoix en tre arrêter ou con tin uer. Si 2⃝ arrête le v ecteur de paiemen t est (t-2, t+1) sinon le jeu con tin ue. Si aucun joueur ne prend la décision d'arrêter le jeu, le v ecteur de paiemen t est (100, 100). Ainsi, sivt dénote le v ecteur de paiemen t si le jeu s'arrête à l'étap e t, on a :v1= (1,0), v2= (0,3),....,v49= (49,48),v50= (48,51),....,v98= (96,99),v99= (99,98),v100= (98,101). 1
(1,0)2
(0,3)t=1 t=2 1
(3,2)2
(2,5)t=3 t=4 1
(99,98)2
(98,101)t=99 t=100 (100,100) Les deux joueurs on t donc un in térêt m utuel à ce que le jeu dure le plus longtemps p ossible. Examinons l'équilibre sous jeux parfait. A l'étap e 100, le joueur 2⃝ a le c hoix en tre arrêter et gagner 101 ou con tin uer et gagner 100. Rationnellemen t, il devrait arrêter. Connaissan t cela, à l'étap e 99, le joueur 1⃝ devrait rationnellemen t arrêter le jeu. En con tin uan t ce raisonnemen t, on v oit que l'unique équilibre parfait est d'arrêter le jeu à c haque étap e. En eet, aux étap es t impaires, le joueur 1⃝ a le c hoix en tre arrêter et gagner t ou con tin uer et gagnert+ 1-2 et aux étap es t paires, le joueur 2⃝ a le c hoix en tre arrêter et gagner t+ 1 et con tin uer et gagner t+ 1-1. Est-ce raisonnable comme prédiction ? Les résultats exp érimen taux mon tren t que les joueurs con tin uen t le jeu jusqu'à atteindre un niv eau de paiemen t su sammen t élev é a v an t d'arrêter... Est-ce que cela signi e que les joueurs son t irrationnels ? Si la rationalité p our un joueur est d'essa y er d'augmen ter son paiemen t alors manifestemen t on ne p eut pas conclure que ce comp ortemen t est irrationnel puisqu'il p er-met aux joueurs d'obtenir plus que le paiemen t de l'équilibre parfait. Plus précisémen t, on p eut remarquer que cet équilibre n'est pas e cace au sens de P areto : il existe une situa-tion, un v ecteur de paiemen t (même plusieurs) unanimemen t préféré. Un comp ortemen t non-co op ératif p eut donc ab outir à des situations non e caces. On remarque par con tre que si 2⃝ s'engage à ne pas abandonner à la dernière étap e, l'équilibre parfait est de tou-jours con tin uer et est alors e cace au sens de P areto. Reste qu'il est di cile de crédibiliser un tel engagemen t. | Theorie_des_jeux.pdf |
46 CHAPITRE 4. LES CONCEPTS D'ÉQUILIBRE D ANS LES JEUX SÉQUENTIELS 4. 2 Équilibre parfait en sous-jeux Le concept précéden t p eut être généralisé dans le cas de jeux sous forme extensiv e en information imparfaite. L'idée est simple : l'algorithme de Kühn est fondée sur l'idée de cohérence in terne : c haque joueur an ticip e, p our toute suite p ossible, que les autres joue-raien t de manière optimale s'ils étaien t conduits à cette séquence du jeu. P eut-on transp oser cette idée à des jeux où il existe des ensem bles d'information non réduits à des singletons ? Dé nition 4. 2 On app el le sous-jeu d'un jeu donné, le jeu dé ni p ar un sous-arbr e c om-mençant en un ensemble d'information r é duit à un singleton. P ar exemple, le jeu suiv an t est comp osé de deux sous-jeux (encadrés)
1 2 2 2
Dé nition 4. 3 Un é quilibr e p arfait en sous-jeux (ou Nash p arfait) d'un jeu (sous forme extensive) est c onstitué de str até gies qui sont é quilibr es de Nash dans tous les sous-jeux. Remarques Lorsqu'un sous-jeu est réduit à un jeu à 1 joueur, le concept d'équilibre de Nash est dégénéré, la stratégie doit simplemen t prév oir un comp ortemen t optimal. Le concept d'équilibre parfait en sous-jeux coïncide a v ec celui d'équilibre parfait lorsque le jeu est en information parfaite. | Theorie_des_jeux.pdf |
4. 2. ÉQUILIBRE P ARF AIT EN SOUS-JEUX 47 Si on revien t à l'exemple récurren t 2. 3
g d2G (2,0) (2,-1)g' d'
2 (1,0) (3,1)1
DΓ Γ1 Γ2 gg′est un équilibre de Nash de Γ etΓ1 mais pas de Γ2 doncgg′n'est pas un équilibre Nash P arfait. Un équilibre Nash parfait est un équilibre qui même hors de la tra jectoire d'équilibre est un équilibre de Nash (par exemple ici Γ2 n'est pas exploré à l'équilibre). Applications : jeux en deux étap es (information presque parfaite) : Un jeu à deux joueurs, en deux étap es (ou p ério des) se déroule de la manière suiv an te. Dans une première p ério de c hacun des deux joueurs c hoisit une stratégie Ki (dit de long terme, par ex. capacités de pro duction). Au début de la seconde étap e c hacun observ e les c hoix op érés en première et doit c hoisir une action de deuxième étap e xi (stratégie de court terme, par ex. les prix de pro duction). Les paiemen ts naux son t ui(K1,K 2,x1,x2). P our c haque couple (K1,K 2), on c herc he les équilibres de Nash en x1,x2. Notons un équilibre de Nash de ce sous-jeu x∗ 1(K1,K 2),x∗ 2(K1,K 2). Un équilibre de Nash parfait doit être tel que les stratégies de première p ério de constituen t un équilibre de Nash du jeu a y an t les paiemen ts ˆui(K1,K 2) =ui(K1,K 2,x∗ 1(K1,K 2),x∗ 2(K1,K 2)). Exemple : Deux marc hands de glace souhaiten t s'installer sur la plage. La stratégie de long terme est de c hoisir un emplacemen t sur cette plage (on notera les stratégies resp ectiv es a etb ) alors que la stratégie de court terme consiste à xer les prix : pa etpb. 0 1apa bpb x Les estiv an ts son t distribués uniformémen t sur le segmen t [0,1]. Un estiv an t placé à un emplacemen t x doit c hoisir en tre les marc hands de glace, en prenan t en compte le prix | Theorie_des_jeux.pdf |
48 CHAPITRE 4. LES CONCEPTS D'ÉQUILIBRE D ANS LES JEUX SÉQUENTIELS de la glace mais aussi les coûts de transp ort (supp osés quadratiques). Il compare donc pa+ (x-a)2etpb+ (x-b)2. On obtien t alors une segmen tation du marc hé. L'estiv an t placé en x ac hète donc en a si : pa+ (x-a)2≤pb+ (x-b)2 ⇔(x-a)2-(x-b)2≤pb-pa ⇔(b-a)(2x-(a+b))≤pb-pa ⇔x≤a+b 2+pb-pa 2(b-a) Quel est le pro t, i. e. le paiemen t du jeu, dans la con guration a,b,pa,pb (on supp ose les coûts marginaux n uls) ? Πa(a,b,pa,pb) =pa(a+b 2+pb-pa 2(b-a)) Πb(a,b,pa,pb) =pb( 1-a+b 2-pb-pa 2(b-a)) Àa etb décisions de long terme xées, les paiemen ts du jeu dép enden t des prix pa etpb, c'est-à-dire qu'on revien t à un jeu simple à 2 joueurs et 2 p ossibilités. On maximise donc Πa par rapp ort à pa : Πa=1 2(b-a)pa(b2-a2+pb-pa) ⇒∂Πa ∂pa=1 2(b-a)(b2-a2+pb-2pa) = 0 ⇔p∗ a=b2-a2+pb 2 De même : p∗ b=(1-a)2-(1-b)2+pa 2 On résolv an t le système, on obtien t : { p∗ a=(b-a)(a+b+2) 3 p∗ b=(b-a)(4-a-b) 3 On remplace pa etpb par leur v aleur d'équilibre dans les form ules du pro t : Πa(a,b,p∗ a,p∗ b) =1 18(b-a)(a+b+ 2)2 Πb(a,b,p∗ a,p∗ b) =1 18(b-a)(4-a-b)2 | Theorie_des_jeux.pdf |
4. 2. ÉQUILIBRE P ARF AIT EN SOUS-JEUX 49 On c herc he main tenan t l'équilibre de Nash, qui sera nécessairemen t un équilibre Nash-parfait car il sera vrai p our tous les prix d'équilibre : étan t donné b on maximise Πa et étan t donné a on maximise Πb. On obtien t alors : a∗=-1/4,b∗= 5/4 etp∗ a=p∗ b= 3/2. On p eut remarquer que les prix et les pro ts d'équilibre ( 3/4 ) son t alors plus élev és que dans la situation où les deux marc hands se metten t aux deux extrémités de la plage, a= 0, b= 1 qui donnepa=pb= 1 etΠa= Πb= 1/2. | Theorie_des_jeux.pdf |
50 CHAPITRE 4. LES CONCEPTS D'ÉQUILIBRE D ANS LES JEUX SÉQUENTIELS 4. 3 Équilibre Ba y esian P arfait Comme on l'a vu précédemmen t, un sous-jeu commence en un ensem ble d'information réduit à un singleton. On ne p eut donc pas (en général) mettre en place l'algorithme de Kühn lorsque le jeu comp orte un ensem ble d'information non réduit à un singleton (comme dans l'exemple suiv an t), c'est-à-dire en information imparfaite.
1 2 2 2
Cep endan t, si on se place en l'ensem ble d'information (on ne men tionne que les paiemen ts du joueur concerné) :
2 2
A B γAδAγBδBg' d' g' d' on remarque que le problème est trivial lorsque δA>γA etδB>γB (auquel cas le joueur c hoisira d') ou lorsque δA< γA etδB< γB (auquel cas le joueur c hoisira g'). Cep endan t, on ne p eut rien dire si δA>γA etδB<γB par exemple, à moins de faire une h yp othèse sur les probabilités resp ectiv es des n÷uds A et B. En eet, si le joueur 2⃝ croit qu'il y a une très forte probabilité qu'on se trouv e en A, il c hoisira de jouer d (dans le cas δA>γA ) et on p ourra "généraliser" l'algorithme de Kühn. | Theorie_des_jeux.pdf |
4. 3. ÉQUILIBRE BA YESIAN P ARF AIT 51 On app elera ces h yp othèses sur les probabilités des cro y ances et, à cro y ances µA etµB(= 1-µA) données, on remplacera le morceau d'arbre précéden t par : g' d' µAγA+µBγB µAδA+µBδB Autremen t dit, on supp ose que les joueurs son t neutres au risque et basen t leurs c hoix sur leur esp érance de gain calculée à partir de leurs cro y ances. En op éran t ainsi à tous les ensem bles d'information, on p eut mettre en ÷uvre l'algo-rithme de Kühn et déb ouc her sur un équilibre. Évidemmen t, l'équilibre trouv é dép end des cro y ances : à cro y ances données on obtien t les stratégies que doiv en t suivre les joueurs. Si ces stratégies son t cohéren tes a v ec les cro y ances (c'est-à-dire a v ec les probabilités que leur assignen t les joueurs), on parlera d' équilibre Ba y esien parfait P ar exemple, si supp oser que µA= 1 conduit à des stratégies telles que le n÷ud B est attein t de manière certaine, on est dans situation incohéren te, et donc pas à un équilibre Ba y esien parfait. Exemple 4. 1 On r epr end l'exemple 2. 5. Deux joueurs c ommenc ent p ar mettr e un eur o dans le p ot. On donne au joueur 1⃝ une c arte qui p eut êtr e "Haute" ave c pr ob abilité q ou "Basse" ave c pr ob abilité (1-q). Il p eut "laisser" ou "monter". Si il "laisse", le joueur 2⃝ pr end le p ot et le jeu s'arr ête. Si le joueur 1⃝ "monte", il r ajoute 1 e dans le p ot et le joueur 2⃝ a le choix entr e "p asser" et "suivr e". Si il "p asse", le joueur 1⃝ pr end le p ot. Si le joueur 2⃝ "suit", il ajoute 1 e dans le p ot et le joueur 1⃝ montr e la c arte. Si el le est "Haute", le joueur 1⃝ pr end le p ot, sinon le joueur 2⃝ le pr end. | Theorie_des_jeux.pdf |
52 CHAPITRE 4. LES CONCEPTS D'ÉQUILIBRE D ANS LES JEUX SÉQUENTIELS Considérons d'ab ord le jeu en information parfaite : a v an t de jouer, 1⃝ mon tre sa carte à 2⃝. On a alors deux jeux distincts : 1. si la carte est "Haute" :
1
P asser Suivre2 (1,-1) (2,-2)(-1,1)Laisser Mon ter où l'équilibre parfait est (Mon ter,P asser) 2. si la carte est "Basse" :
1
P asser Suivre2 (1,-1) (-2,2)(1,-1)Laisser Mon ter où l'équilibre parfait est (Laisser,Suivre) | Theorie_des_jeux.pdf |
4. 3. ÉQUILIBRE BA YESIAN P ARF AIT 53 Main tenan t, si 1⃝ ne mon tre pas sa carte à 2⃝, c'est-à-dire en information incomplète, le jeu s'écrit :
P asser P asser Suivre Suivre2 (1,-1) (2,-2)
2 (1,-1) (-2,2)
1
1N Haute Basse
(-1,1) (-1,1)Laisser Laisser Mon ter Mon terq 1-q µ 1-µ A n de déterminer le(s) équilibre(s) Ba y esien parfait, plaçons nous en l'ensem ble d'infor-mation, après que le joueur 1⃝ ait mon té. Le joueur 2⃝ forme alors des cro y ances sur le t yp e de la carte. Notons µ sa cro y ance sur la probabilité que la carte soit haute sac han t que 1⃝ a mon té : P( Haute| Mon ter ), et1-µ sa cro y ance sur P( Basse| Mon ter ). Étan t données ces cro y ances, 2⃝ v a comparer ses esp érances de gain et c hoisir de suivre si : Eµ(u2({ Mon ter,Suivre}))>Eµ(u2({ Mon ter,P asser})) ⇔µ. u 2({ Haute,Mon ter,Suivre }) + (1-µ)u2({ Basse,Mon ter,Suivre }) >µ. u 2({ Basse,Mon ter,P asser }) + (1-µ)u2({ Basse,Mon ter,P asser }) ⇔-2µ+ 2(1-µ)>-1µ-1(1-µ) ⇔µ<3 4 On p eut donc résumer le comp ortemen t de 2⃝ en fonction de ses cro y ances : siµ>3/4, 2⃝ passe siµ<3/4, 2⃝ suit siµ= 3/4, 2⃝ est indiéren t et tire au sort Véri ons que ces cro y ances soien t bien compatibles a v ec les stratégies d'équilibre qui en découlen t. | Theorie_des_jeux.pdf |
54 CHAPITRE 4. LES CONCEPTS D'ÉQUILIBRE D ANS LES JEUX SÉQUENTIELS siµ>3/4, on a vu que 2⃝ passait dès que 1⃝ mon tait. (1,-1) (1,-1)
1
1N Haute Basse
(-1,1) (-1,1)Laisser Laisser Mon ter Mon terq 1-q Que la carte soit Haute ou Basse, 1⃝ préfère alors "Mon ter" (et obtenir 1) à "Laisser" (et obtenir-1). Cette str até gie est-el le c omp atible ave c les cr oyanc es de 2⃝ sur P( Haute| Monter ) ? 1⃝ mon tan t toujours, on a P( Haute| Mon ter ) =P( Haute ) =q. Cet équilibre est donc compatible a v ec les cro y ance si µ=q. Il ne p eut ainsi exister que si q>3/4 (on est ici dans le cas où µ>3/4 ). On a alors un équilibre Ba y esien parfait où : 1⃝ mon te quelque soit la carte don t il disp ose (il blue donc systématiquemen t a v ec une carte basse) 2⃝ passe systématiquemen t On parle alors d'un équilibre "rassem blan t" ou de "p o oling" dans la mesure où la stratégie de 1⃝ n'informe pas 2⃝ sur le t yp e de la carte. Cet équilibre n'existe toutefois que quand il existe une grande prop ortion de cartes "Hautes" ( q>3/4 ). | Theorie_des_jeux.pdf |
4. 3. ÉQUILIBRE BA YESIAN P ARF AIT 55 siµ<3/4, on a vu que 2⃝ suiv ait dès que 1⃝ mon tait. (2,-2) (-2,2)
1
1N Haute Basse
(-1,1) (-1,1)Laisser Laisser Mon ter Mon terq 1-q Dans cette con guration 1⃝ mon te donc a v ec une carte Haute (2>-1) et laisse a v ec une carte Basse (-1>-2). On a donc P( Haute| Mon ter ) = 1 ce qui n'est pas compa-tible a v ecµ<3/4. Lorsqueq < 3/4 la p ossibilité p our a v oir un équilibre Ba y esien parfait est donc µ= 3/4. | Theorie_des_jeux.pdf |
56 CHAPITRE 4. LES CONCEPTS D'ÉQUILIBRE D ANS LES JEUX SÉQUENTIELS siµ= 3/4, on a vu que 2⃝ tirait au sort sa stratégie, c'est-à-dire qu'il emplo y ait une stratégie mixte. Notons r la probabilité que 2⃝ suiv e.
P asser P asser Suivre Suivre 1-r 1-r r r2 (1,-1) (2,-2)
2 (1,-1) (-2,2)
1
1N Haute Basse
(-1,1) (-1,1)Laisser Laisser Mon ter Mon terq 1-q µ 1-µ Lorsque la carte est "Basse", 1⃝ a donc in térêt à mon ter si et seulemen t si-2r+ (1-r)>-1, c'est-à-dire si et seulemen t si r < 2/3 ; et il a toujours in térêt à mon ter lorsque la carte est "Haute". On a donc P( Haute| Mon ter ) =q sir <2/3 et P( Haute| Mon ter ) = 1 sir>2/3. Aucune de ces deux solutions n'est cep endan t compatible a v ec les h yp othèses q<3/4 etµ= 3/4. La seule solution p our a v oir un équilibre Ba y esien parfait lorsque q <3/4 est donc µ= 3/4 etr= 2/3. Dans ce cas, a v ec une carte "Basse", 1⃝ est indiéren t en tre laisser et mon ter et adopte un stratégie mixte. App elons t la probabilité que 1⃝ mon te a v ec une carte "Basse" ; c'est-à-dire la fréquence de blu. Cherc hons donc quelle fréquence de blu donne un équilibre Ba y esien parfait, c'est-à-dire quelle v aleur det est compatible a v ec µ= 3/4. Le théorème de Ba y es donne : P( Haute| Mon ter ) =P( Haute∩ Mon ter ) P( Mon ter ) =P( Haute )P( Mon ter| Haute ) P( Basse )P( Mon ter| Basse ) +P( Haute )P( Mon ter| Haute ) =q. 1 (1-q)t+q. 1 | Theorie_des_jeux.pdf |
4. 3. ÉQUILIBRE BA YESIAN P ARF AIT 57 Ceci est donc compatible a v ec les cro y ances si et seulemen t si : q (1-q)t+q= 3/4 c'est-à-dire si et seulemen t si : t=q 3(1-q). Il existe donc un équilibre Ba y esien parfait lorsque q<3/4 (c'est-à-dire lorsque la prop ortion de carte "Haute" est relativ emen t faible) où : 1⃝ mon te toujours quand la carte est Haute 1⃝ mon te a v ec probabilité t=q 3(1-q)quand la carte est Basse 2⃝ suit a v ec une probabilité r= 2/3 On p eut donc représen ter la fréquence de blu à l'équilibre Ba y esien parfait en fonction de la prop ortion de carte "Haute" comme suit : 6-qt 1 13 4 | Theorie_des_jeux.pdf |
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