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Page 0 1 Chapitre 02 : Ensemble 1 Bac SM Site web : www. elboutkhili. jimdofree. com Prof : fayssal 1ère façon : 𝐄={𝟖;𝟗;𝟏𝟎;𝟏𝟏;𝟏𝟐} ; on dit que E est écrit en extension 2ème façon : 𝐄={𝐧∈ℕ/ 𝟕<𝒏<𝟏𝟑} ; on dit que E est écrit en compréhension Définition : Il existe deux manières différentes pour définir un ensemble E 1) En extension : on donne la liste de tous ses éléments 2) En compréhension : on donne une propriété p(x) qui caractérise ses éléments ; on écrit alors : 𝑬={𝒙/𝒑(𝒙)} Exemples : 1) Soit l'ensemble des diviseurs de 6 En extension : 𝑬={𝟏;𝟐;𝟑;𝟔;-𝟏;-𝟐;-𝟑;-𝟔} En compréhension : 𝑬={𝒅∈ℤ/ 𝒅 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒆 𝟔} 2) Soit H l'ensemble des entiers naturels dont le carré est inférieur ou égale 37 En extension : 𝑯={𝟎;𝟏;𝟐;𝟑;𝟒;𝟓;𝟔} En compréhension : 𝑯={𝒏∈ℕ/ 𝒏𝟐≤𝟑𝟕} 3) Soit P l'ensemble des entiers naturels pair En extension : 𝑷={𝟎;𝟐;𝟒;𝟔;𝟖;............. } En compréhension : 𝑷={𝟐𝒌/ 𝒌∈ℕ} ou bien 𝑷={𝒏∈ℕ / ∃𝒌∈ℕ;𝒏=𝟐𝒌} Exercice 1 1) Ecrire en extension les ensembles suiva nts : 𝑬={𝒏∈ℤ / |𝒏+𝟏|≤𝟔} 𝑭={(𝒙;𝒚)∈ℕ𝟐/(𝒙+𝟐)(𝒚-𝟏)=𝟏𝟓} A) Généralités sur les ensembles 1)Définition et notation Définition un ensemble E est une collection d'objets mathématique. les objets que l'ensemble contient sont appelé s les élément s de E Si x est un élément de E ; on écrit : 𝐱∈𝐄 Si x n'st pas un élément de E ; on écrit : 𝐱∉𝐄 Notations : 1) L'ensemble qui ne contient aucun élément est appelé l'ensemble vide ; il est noté ∅ 2) Un ensemble qui contient un seul élément x s'appelle un singl eton ; il est noté {𝒙} 3) Un ensemble qui contient deux élément x et y s'appelle une paire ; il est noté {𝒙;𝒚} 4) Un diagramme de VENN est un courbe fermée qui entoure les élément d'un ensemble ;il sert à schématiser cet ensemble Exemple : Soit l'ensemble E 𝐄={𝟒;𝟓;𝟔} 2)Détermination d'un ensemble Activité Soit E l'ensemble des entiers naturels compris strictement entre 7 et 13 Ecrire E avec deux façons différentes

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Page 0 2 Chapitre 02 : Ensemble 1 Bac SM Site web : www. elboutkhil i. jimdofree. com Prof : fayssal 4)Egalité de deux ensembles-double inclusion Définition : Soient A et B deux ensembles On dit que A et B sont égaux si et seulement si 𝑨⊂𝑩 et 𝑩⊂𝑨 ; et on écrit 𝑨=𝑩 Remarque : 𝑨=𝑩⇔(𝑨⊂𝑩 et 𝑩⊂𝑨) 𝑨=𝑩⇔(𝐱∈𝑨⇔𝒙∈𝑩) Exercice 3 1) On considère les ensembles E et F telles que : 𝑬={𝒙∈ℝ / |𝟏-𝒙 𝟐|≤𝟏} et 𝑭=[𝟎;𝟒] Montrer que 𝑬=𝑭 2) On considère les ensembles A et B telles que 𝐀={𝝅 𝟖+𝒌𝝅 𝟐/𝒌∈ℤ }et 𝐁={-𝟕𝝅 𝟖+𝒌𝝅 𝟐/𝒌∈ℤ } Montrer que 𝑨=𝑩 (Double inclusion) 5)Ensemble des parties d'un ensemble Activité : Soit l'ensemble 𝑬={𝟏;𝟐;𝟑} Donner toutes les parties de E Définition Toutes les parties de E constituent un ensemble s'appelle ensemble des parties de l'ensemble E Il est noté par 𝓟(𝑬), donc : 𝓟(𝑬)={𝑿/𝑿⊂𝑬} Remarque : ➢ Les éléments de 𝓟(𝑬) sont des ensembles ➢ 𝑨∈𝓟(𝑬)⇔(𝑨⊂𝑬) ➢ ∅∈𝓟(𝑬) et 𝑬∈𝓟(𝑬) ➢ 𝒂∈𝑬⇔({𝒂}⊂𝓟(𝑬)). ; {∅}⊂𝓟(𝑬) 𝑮={𝒏∈ℕ𝟏𝟖 𝒏+𝟏⁄ ∈ℕ} 2) Ecrire en compréhension les ensembles suiv ants ℚ l'ensemble des nombre s rationnels 𝑮={𝟎;𝟏;𝟒;𝟗;𝟏𝟔;..........} 3)Inclusion-double inclusion Définition : Soient A et B deux ensembles On dit que A est inclus dans B s si chaque élément de A est aussi un élément de B ; on note : 𝑨⊂𝑩 Remarque : ➢ 𝑨⊂𝑩⇔(𝐱∈𝑨⇒𝒙∈𝑩) ➢ 𝑨⊄𝑩⇔(∃𝐱∈𝑨 𝒆𝒕 𝒙∉𝑩) ➢ Pour toute ensemble A on a : ∅⊂𝑨 et 𝑨⊂𝑨 ➢ (𝑨⊂𝑪 𝒆𝒕 𝑪⊂𝑩)⇒(𝑨⊂𝑩) Exemples : 1) On considère l'ensemble : 𝑬={𝟏;𝟐;𝟑;𝟒;𝟓;𝟔} on a : {𝟏;𝟐}⊂𝑬 ; {𝟏;𝟔;𝟓}⊂𝑬 et {𝟏;𝟖}⊄𝑩 2) [-𝟏;𝟏]⊂ℝ ; ]𝟏;+∞[⊂ℝ et ℝ⊄ℚ Exercice 2 1) On pose 𝑨={𝒙∈ℝ / |𝒙-𝟏|<𝟏}et 𝑩=]𝟎;𝟐[ Montrer que : 𝑨 ⊂𝑩 2) Soit : 𝐄={𝒙∈𝑰𝑹 /∃𝒚∈[𝟏 𝟐 ;𝟏] ;𝒙+𝟐𝒚-𝟑=𝟎 } et 𝑭=[𝟏;𝟐] ; Montrer que 𝐄⊂𝑭

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Page 0 3 Chapitre 02 : Ensemble 1 Bac SM Site web : www. elbout khili. jimdofree. com Prof : fayssal B)Opérations sur les ensembles : 1)Intersection de deux ensemble Définition :A et B des ensembles d'un ensemble E l'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments de E qui sont à la fois dans A et dan s B et on le note par : 𝑨∩𝐁 ; ➢ 𝑨∩𝐁={𝒙∈𝑬/𝒙∈𝑨 𝒆𝒕 𝒙∈𝑩} ➢ 𝒙∈(𝑨∩𝐁)⇔𝐱∈𝑨 𝒆𝒕 𝒙∈𝑩 ➢ 𝒙∉(𝑨∩𝐁)⇔(𝐱∉𝑨 𝒐𝒖 𝒙∉𝑩) Exemples : 1) Soit l'ensemble : 𝑨={𝟏;𝟓;𝟑;𝟒;𝟓;𝟔;𝟕} et 𝑩={𝟏;𝟔;𝟕. 𝟏𝟏} alors : 𝑨∩𝐁={𝟏. 𝟔. 𝟕} 2) ]𝟎;𝟓[ ∩ ]-𝟑;𝟑]=]𝟎;𝟑] et ℝ+∩ℝ-={𝟎} Proposi tions :A ;B et C parties d'un ensemble E 1) 𝑨∩𝐁=𝐁∩𝐀 2) 𝑨∩𝐄=𝐀 et 𝑨∩∅=∅ 3) 𝑨∩𝐀=𝐀 et 𝑨∩𝐀̅=∅ 4) (𝑨∩𝐁)⊂𝑨 et (𝑨∩𝐁)⊂𝑩 5) 𝑨∩(𝐁∩𝐂)=(𝑨∩𝐁)∩𝐂=𝑨∩𝐁∩𝐂 6) 𝑨∩𝐁=𝑨⇔(𝐀⊂𝑩) Preuve de 5) et 6) Exercice 6 On pose 𝑨={𝝅 𝟒+𝟐𝒌𝝅 𝟓/𝒌∈ℤ } et 𝑩={𝝅 𝟐+𝟐𝒌𝝅 𝟓/𝒌∈ℤ } Montrer que 𝑨⋂𝑩=∅ Exercice 4 1) Ecrire en extension 𝓟(𝑨) dans les cas suivants 𝐀={𝟏} ; 𝐀={𝟏;𝟒} 2) Soient E et F deux ensembles Montrer que : Montrer que : 𝑬⊂𝑭⇔𝓟(𝑬)⊂𝓟(𝑭) 6)Complémentaire d'un ensemble Définition : Soit A une partie d'un ensemble E l'ensembles des éléments de E qui n'appartiennent pas à l'ensemble A forme un ensemble appelé le complémentaire de A dans E noté par : 𝐂𝑬𝑨 ou 𝐀̅ ➢ 𝒙∈𝐂𝑬𝑨⇔𝒙∈𝐄 𝐞𝐭 𝒙∉ 𝑨 ➢ 𝒙∈𝐀̅⇔ 𝒙∈𝐄 𝐞𝐭 𝒙∉ 𝑨 Exemples : 1) Soit l'ensemble :𝑬={𝟏;𝟐;𝟑;𝟒;𝟓;𝟔;𝟕} et 𝑨={𝟏;𝟔;𝟕} alors : 𝐂𝑬𝑨={𝟐;𝟑;𝟒;𝟓} 2) 𝐂ℝ{𝟎}=ℝ∗ ; 𝐂ℝℝ+=ℝ-∗ et 𝐂ℤℕ∗=ℤ-; 𝐂ℝ[-𝟏;𝟏]=]-∞;-𝟏[ ⋃ ]𝟏;+∞[ Exercice 5 On considère l'ensembl e 𝑨={𝒙∈ℕ/ 𝒙𝟐-𝟒𝒙>𝟎} Décrire en extension l'ensemble : 𝐂ℕ𝑨 Proposition : Soient A et B deux parties d'un ensemble E 1) 𝐂𝑬𝐄=∅ . ; 𝐂𝑬∅= 𝐄 et 𝐂𝑬𝐀̅= 𝐀 2) 𝑨⊂𝑩⇔𝑩̅⊂𝐀̅ Preuve de 2) :

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Page 0 4 Chapitre 02 : Ensemble 1 Bac SM Site web : www. elboutkhili. jimdofree. com Prof : fayssal Proposition 3 : ( Loi de MORGAN E) Soient A ;B et C des parties d'un ensemble E ➢ 𝐀∩𝐁 ̅̅̅̅̅̅̅̅=𝐀̅⋃𝐁̅ ➢ 𝐀⋃𝐁̅̅̅̅̅̅̅=𝐀̅∩𝐁̅ Preuve : Exercice 7 On considère les deux ensembles su ivants : 𝑨={𝒙∈ℝ|𝒙-𝟐| ⁄ ≤𝟐} 𝑩={𝒙∈ℝ/ 𝒙 𝒙+𝟐≤𝟎} 1) Déterminer en extension 𝑨 et 𝑩. 2)En déduire que : 𝑨̅; 𝑩̅ ; 𝑨∩𝑩 et 𝑨̅∪𝑩̅ Exercice 8 Soit 𝑨 ;𝑩 et 𝑪 trois parties d'un ensemble 𝑬. Montrer que : 1) (𝑨∪(𝑨∩𝑩))∩𝑩=𝑨∩𝑩 2) 𝑨∩(𝑨̅∪𝑩)=𝑨∩𝑩 3) [(𝑨⋂𝑩̅̅̅̅̅̅̅̅)⋂((𝑨⋂𝑪̅̅̅̅̅̅̅)]⋃𝑨=𝑬 3)Différence d e deux ensembles Définition A et B deux ensembles d'un ensemble E La différence de deux ensembles A et B dans cette ordre est l'ensemble des éléments de A et qui ne sont pas dans B et on le note par : 𝑨\𝐁 Remarques : 1) 𝑨\𝐁={𝒙∈𝑬/𝒙∈𝑨 𝒆𝒕 𝒙∉𝑩} 2) 𝒙∈(𝑨\𝐁)⇔(𝐱∈𝑨 𝒆𝒕 𝒙∉𝑩 ) 3) 𝑨\𝐁 se lit A mois B ou A privé de B Exemples : 1) Soit l'ensemble : 𝑨={𝟏;𝟐;𝟑;𝟒;𝟓} et 𝑩={𝟏;𝟐;𝟑;𝟗} donc 𝑨\𝐁={𝟒;𝟓} 𝒆𝒕 𝑩\𝐀={𝟗} 2)Réunion de deux ensembl e Définition :A et B des ensembles d'un ensemble E la réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments de E qui sont dans A ou dans B et on le note par : 𝑨⋃𝐁 ; ➢ 𝑨⋃𝐁={𝒙∈𝑬/𝒙∈𝑨 𝒐𝒖 𝒙∈𝑩} ➢ 𝒙∈(𝑨⋃𝐁)⇔𝐱∈𝑨 𝒐𝒖 𝒙∈𝑩 ➢ 𝒙∉(𝑨⋃𝐁)⇔𝐱∉𝑨 𝒆𝒕 𝒙∉𝑩 Exemples : 1) Soit l'ensemble : 𝑨={𝟏;𝟓;𝟑} et 𝑩={𝟏;𝟔;𝟕} alors : 𝑨⋃𝐁={𝟏;𝟓;𝟑;𝟔;𝟕} 2) ]𝟎;𝟐[ ⋃ ]-𝟑;𝟑]=]-𝟑;𝟑] et ℝ+⋃ℝ-=ℝ Propositions 1 : Soient A ;B et C des parties d'un ensemble E 1) 𝑨⋃𝐁=𝐁⋃𝐀 2) 𝑨⋃𝐄=𝐄 et 𝑨⋃∅=𝑨 3) 𝑨⋃𝐀=𝐀 et 𝑨⋃𝐀̅=𝑬 4) 𝑨⊂(𝑨⋃𝐁) et 𝑩⊂(𝑨⋃𝐁) 5) 𝑨⋃(𝐁⋃𝐂)=(𝑨⋃𝐁)⋃𝐂=𝑨⋃𝐁⋃𝐂 6) 𝑨⋃𝐁=𝑨⇔(𝐁⊂𝑨) Preuve de de 6) : ➢ Les propositions 1) ;2) ;3) ;4) ;5) sont faciles ➢ Démontrons 6) Proposition 2 : ( la distributivité) Soient A ;B et C des parties d'un ensem ble E ➢ 𝑨∩(𝐁⋃𝐂)=(𝐀∩𝐁)⋃(𝐀∩𝐂) ➢ 𝑨⋃(𝐁∩𝐂)=(𝐀⋃𝐁)∩(𝐀⋃𝐂) Preuve :

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Page 0 5 Chapitre 02 : Ensemble 1 Bac SM Site web : www. elboutkhili. jimdofree. com Prof : fayssal Exercice 11 Soient A ; B ; C des parties d'un ensemble E 1) Montrer que : 𝑨△𝑩=(𝑨⋃𝑩)\(𝐀∩𝐁) 2) Montrer que 𝑨̅△𝑩̅=𝑨△𝑩 3) Montrer que : (𝑨△𝑩=𝑨△𝑪)⇒(𝑩=𝑪) 5) Produit cartésien de deux ensembles Définition : Soit A et B deux ensembles d'un ensemble E Le produit cartésien de deux ensembles A et B est l'ensemble des couples (x ;y) tels que 𝒙∈𝑨 et 𝒚∈𝑩: et il est noté par : 𝑨×𝐁 𝑨×𝐁={(𝒙;𝒚)/𝒙∈𝑨 𝒆𝒕 𝒚∈𝑩} 𝑩×𝐀={(𝒙;𝒚)/𝒙∈𝑩 𝒆𝒕 𝒚∈𝑨} Remarque : ➢ (𝒙;𝒚)∈𝑨×𝐁⇔( 𝐱∈𝑨 𝒆𝒕 𝒚∈𝑩 ) ➢ Si 𝑨=𝑩 le produit cartésien est noté 𝑨𝟐 ➢ 𝑨×𝐁≠𝐁×𝐀 en général Exemples : 1) Soit l'ensemble : 𝑨={𝟏;𝟐} et𝑩={𝒂;𝒃;𝒄} 𝑨×𝐁={(𝟏;𝒂);(𝟏;𝒃);(𝟏;𝒄);(𝟐;𝒂);(𝟐;𝒃);(𝟐;𝒄)} 2) ℝ𝟐={(𝒙;𝒚)/𝒙∈ℝ 𝒆𝒕 𝒚∈ℝ} 3) ℝ𝟑={(𝒙;𝒚;𝒛)/𝒙∈ℝ 𝒆𝒕 𝒚∈ℝ 𝒆𝒕 𝒛∈ℝ} (𝟏;-𝟏;𝟎)∈ℝ𝟑 ; (𝟑;-𝟓)∈ℝ𝟐 Exercice 12 Soit l es ensemble s :𝑨={𝟏;𝟐;𝟑} et 𝑩={𝟏;𝟐} Ecrire en extension 𝑨×𝐁 et 𝑩×𝐀 Exercice 13 Soient A ; B ; C et D des parties d'un ensemble E 1) Montrer qu e : (𝑨⋃𝑩)×𝑪=(𝑨×𝑪) ⋃(𝑩×𝑪) 2) Montrer que : (𝑨⊂𝑩 𝒆𝒕 𝑪⊂𝑫)⇒𝑨×𝑪⊂𝑩×𝑫 2) ]𝟎;𝟓[ \ ]-𝟑;𝟑]=]𝟑;𝟓] 3) ]-𝟑;𝟑]\]𝟎;𝟓[=]-𝟑;𝟎] Proposition s : Soient A ;B et C des parties d'un ensemble E 1) Si 𝐀⊂𝑩 alors 𝑨\𝐁=∅ et B \𝐀=𝐂𝐄𝑨 2) 𝑨\𝐁=𝑨∩𝑩̅ 3) 𝑨=(𝑨\𝐁)⋃(𝑨∩𝐁) Preuve de 2) et 3) : Exercice 9 1) Montrer que : 𝑨⋂(𝑩\𝑪)=(𝑨⋂𝑩)\(𝑨⋂𝑪) 2) Montrer que :[ 𝑨⋂𝑩=𝑨⋂𝑪 𝒆𝒕 (𝑩\𝑨)=(𝑪\𝑨) ]⇒𝑩=𝑪 4)Différence symétrique de deux ensemble : Définition : Soit A et B deux ensembles d'un ensemble E La différence symétrique de deux ensembles A et l'ensemble noté par : 𝑨△𝐁 tel que :𝑨△𝐁=(𝑨\𝐁)⋃(𝑩\𝐀) Remarque : ➢ 𝑨△𝐁={𝒙∈𝑬/𝒙∈𝑨\𝐁 𝒐𝒖 𝒙∈𝑩\𝐀} ➢ 𝒙∈(𝑨△𝐁)⇔𝐱∈(𝑨\𝐁) 𝒐𝒖 (𝒙∈𝑩\𝐀) Exemples : Soit l'ensemble : 𝑨={𝟏;𝟐;𝟑;𝟒;𝟓;𝟔} et 𝑩={𝟑;𝟒;𝟓;𝟔;𝟕;𝟖;𝟗} donc 𝑨\𝐁={𝟏;𝟐} 𝒆𝒕 𝑩\𝐀={𝟕;𝟖;𝟗} 𝑨△𝐁=(𝑨\𝐁)⋃(𝑩\𝐀)={𝟏;𝟐;𝟕;𝟖;𝟗} Exercice 10 : On considère les deux e nsembles suivants 𝑨={𝒙∈ℤ|𝒙|⁄ <𝟑 𝟐} ; 𝑩={𝒙∈ℕ/ 𝟑𝒙-𝟒 𝟐≤𝟐} 1) Déterminer en extension 𝑨 et 𝑩. 2) En déduire : 𝑨∩𝑩 ;𝑨∪𝑩 ; 𝑨∖𝑩; B∖𝑨 ; 𝑨∆𝑩

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