PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/8Xs3EWM1_9g_postprocess.srt

1
00:00:21,620 --> 00:00:25,660
طيب ناخد أمثلة

2
00:00:25,660 --> 00:00:31,280
كيف نجيب ال supremum و ال infimum لمجموعات جزئية

3
00:00:31,280 --> 00:00:36,300
من مجموعة الأعداد الحقيقية فلو أخدت الفترة المغلقة

4
00:00:36,300 --> 00:00:42,660
من سفر لواحد فعايز أفبت claim هنا ادعي ان ال

5
00:00:42,660 --> 00:00:48,540
supremum لست اسم سار واحدلبرهان ذلك حسب تعريف ال

6
00:00:48,540 --> 00:00:53,320
supremum اللي هو least upper bound لازم أثبت شرطين

7
00:00:53,320 --> 00:00:59,140
أول شي الواحد upper bound ل S وهذا صحيح واضح واحد

8
00:00:59,140 --> 00:01:03,860
is upper bound لمجموع S لأن الواحد أكبر من أو

9
00:01:03,860 --> 00:01:08,930
يساوي كل العناصر اللي في الفترة صح؟إذاً واحد upper

10
00:01:08,930 --> 00:01:13,170
bound الآن لإثبات أن واحد هو أصغر upper bound ال

11
00:01:13,170 --> 00:01:16,950
supremum يعني لازم أثبته أن واحد أصغر من أو ساوي

12
00:01:16,950 --> 00:01:25,170
أي upper bound فلو خدنا V V any upper bound فال V

13
00:01:25,170 --> 00:01:28,310
أكبر من أو ساوي كل العناصر اللي هنا من ضمنها

14
00:01:28,310 --> 00:01:33,530
الواحدإذن ال V أكبر من أو ساوي ال واحد الان واحد

15
00:01:33,530 --> 00:01:38,230
upper bound والواحد أصغر من أو ساوي أي upper bound

16
00:01:38,230 --> 00:01:43,910
V إذن ال واحد هو ال supremum إذن هيك أثبتنا إن

17
00:01:43,910 --> 00:01:49,390
واحد هو ال supremum بالمثل ممكن أثبات إن العنصر أو

18
00:01:49,390 --> 00:01:54,170
العدد سفر هو ال infimum للفترة المغلقة من سفر إلى

19
00:01:54,170 --> 00:02:00,850
واحدطيب مثال تاني لو أخدت T هي الفترة المفتوحة من

20
00:02:00,850 --> 00:02:11,950
0 ل1 فبرضه كمان لو

21
00:02:11,950 --> 00:02:18,030
أخدت T هي الفترة المفتوحة من 0 ل1 فممكن أثبات أن

22
00:02:18,030 --> 00:02:23,970
ال supremum ل T هو 1واضح ان الواحد upper bound

23
00:02:23,970 --> 00:02:29,030
للست للفترة المفتوحة لأن واحد أكبر من أو ساوي كل

24
00:02:29,030 --> 00:02:34,390
ال X اللي هنا هذا واضح الان لإثبات أن الواحد هذا

25
00:02:34,390 --> 00:02:37,310
هو ال supremum في لمّة واحد اتناش خدناها المرة

26
00:02:37,310 --> 00:02:42,070
اللي فاتت بتقول عشان ال upper bound واحد يكون هو

27
00:02:42,070 --> 00:02:47,310
ال supremum لازم أثبت أنه في شرط لكل ابسلون أكبر

28
00:02:47,310 --> 00:02:56,120
من السفر يوجدعنصر S Y في السفر S أو T هنا بحيث أنه

29
00:02:56,120 --> 00:03:02,300
واحد سالب ال epsilon أصغر من S epsilon فهنثبت

30
00:03:02,300 --> 00:03:07,900
الكلام هذا إذن هنا هينبدأ let epsilon أكبر من

31
00:03:07,900 --> 00:03:11,940
السفر be given لأن ال epsilon هذا ممكن يكون أصغر

32
00:03:11,940 --> 00:03:17,980
من أو ساوي الواحد أو أكبر من أو أكبر من الواحد

33
00:03:20,030 --> 00:03:22,970
الإبسلون هذا عدد موجب ممكن جدا يكون أصغر من أو

34
00:03:22,970 --> 00:03:26,170
ساوي الواحد أو أكبر من واحد ناخد الحالة الأولى، لو

35
00:03:26,170 --> 00:03:30,770
إبسلون أصغر من أو ساوي الواحد فحاخد S إبسلون، أعرف

36
00:03:30,770 --> 00:03:36,330
S إبسلون واحد سالب إبسلون على اتنين هذا العدد

37
00:03:36,330 --> 00:03:41,350
بيطلع عدد أكبر من سفر وأصغر من واحد وبالتالي ينتمي

38
00:03:41,350 --> 00:03:45,510
لتين الآن

39
00:03:45,510 --> 00:03:53,380
لو أخدت واحد وطرحت منها إبسلونفهذا بيطلع أصغر يعني

40
00:03:53,380 --> 00:03:59,840
لو أخدت واحد و طرحت منها epsilon فهذا أصغر من واحد

41
00:03:59,840 --> 00:04:06,500
سالب epsilon ع اتنين هذا طرحت منه عدد أكبر من هذا

42
00:04:06,500 --> 00:04:17,080
لذا هذا أصغر من التاني و بعدين ليش يقصر؟ طب

43
00:04:17,080 --> 00:04:25,100
ما هذا هو S epsilonهذا هو سإبسلون إذا

44
00:04:25,100 --> 00:04:30,160
في الحالة هذه لأي إبسلون أكبر من السفر هين أثبتت

45
00:04:30,160 --> 00:04:36,740
إن يوجد سإبسلون في T وهذا الـ S إبسلون أكبر من

46
00:04:36,740 --> 00:04:40,600
واحد سالب إبسلون أو واحد سالب إبسلون أصغر من S

47
00:04:40,600 --> 00:04:47,480
إبسلون هذا هو الشرط اللي في لمبة واحد اتناش هينتقل

48
00:04:48,090 --> 00:04:52,170
الحالة التانية، لو كان إمسنان أكبر من واحد فأكيد

49
00:04:52,170 --> 00:04:56,050
واحد سالب إمسنان هيطلع عدد سالب، يعني أصغر من سفر،

50
00:04:56,050 --> 00:05:01,930
وال X هذا .. ال X هذا لو أخدت أي X في T فأي X في T

51
00:05:01,930 --> 00:05:06,300
موجب، أي X في T موجبإذن هين أثبتنا في الحالة

52
00:05:06,300 --> 00:05:13,160
التانية إنه لو كان epsilon أكبر من واحد فبطلع مش

53
00:05:13,160 --> 00:05:18,620
يوجد S epsilon واحد في T كل عناصر ال T بتحقق إنه

54
00:05:18,620 --> 00:05:24,120
واحد سالب epsilon أصغر من S أو S epsilon وبالتالي

55
00:05:24,120 --> 00:05:28,420
في كلتال حالتين ال both cases الشرط تبع لما واحد

56
00:05:28,420 --> 00:05:33,490
اتناشر تبع ال supremum اللي بكافئ ال supremumمتحقق

57
00:05:33,490 --> 00:05:39,810
وبالتالي واحد هو ال supremum لتين مثال

58
00:05:39,810 --> 00:05:46,710
تالت احنا شفنا قبل شوية في بداية المحاضرة ان كل

59
00:05:46,710 --> 00:05:51,510
عدد حقيقي هو upper bound و كذلك lower bound

60
00:05:51,510 --> 00:05:57,070
للمجموع الخالي Phi و بناء على ذلك Phi does not

61
00:05:57,070 --> 00:06:00,730
have a supremum ولا infimum

62
00:06:03,600 --> 00:06:14,960
هي برهان فاي has no .. فاي has no supremum البرهان

63
00:06:14,960 --> 00:06:19,380
proof assume

64
00:06:19,380 --> 00:06:24,240
you

65
00:06:24,240 --> 00:06:32,620
belong to R is supremum فاي ال least upper bound

66
00:06:32,620 --> 00:06:33,120
لفاي

67
00:06:40,890 --> 00:06:53,830
then u سالب واحد أصغر من u and u سالب واحد هاد عدد

68
00:06:53,830 --> 00:07:00,610
حقيقي is upper bound

69
00:07:00,610 --> 00:07:13,110
of ال fiveكمان مرة نفرض ان U جد U نفرض

70
00:07:13,110 --> 00:07:21,590
ان U جد U جد U بالنمط R و هو Supremum ل Phi طيب U

71
00:07:21,590 --> 00:07:27,000
سالب واحد أصغر من Uو قبل شوية كنا ملاحظة ان اي عدد

72
00:07:27,000 --> 00:07:32,440
حقيقي زي هذا عبارة عن upper bound لفائي ف K في ال

73
00:07:32,440 --> 00:07:37,080
U .. K في ال U هو ال supremum K في ال U هو ال

74
00:07:37,080 --> 00:07:40,580
supremum هو أصغر upper bound و في upper bound أصغر

75
00:07:40,580 --> 00:07:47,260
منه هذا بدي تناقض which

76
00:07:47,260 --> 00:07:52,340
.. which is a contradiction

77
00:07:59,520 --> 00:08:04,320
إن هذا بدّيني تناقض وبالتالي هذا أثبات أن الـ Fi

78
00:08:04,320 --> 00:08:10,700
مالهاش Supremum بالمثل ممكن أثبات أن الـ Fi أو

79
00:08:10,700 --> 00:08:20,420
المجموعة الخالية ليس لها Supremum طيب

80
00:08:20,420 --> 00:08:22,620
نيجي لل completeness property

81
00:08:29,610 --> 00:08:34,370
الـ completeness property of R بتنص على إنه كل

82
00:08:34,370 --> 00:08:40,990
مجموعة غير خالية .. كل مجموعة غير خالية S من R و

83
00:08:40,990 --> 00:08:45,010
bounded above .. و bounded above محدودة من أعلى

84
00:08:45,010 --> 00:08:50,430
has supremum لازم يكون فيه لها supremum يعني مثال

85
00:08:50,430 --> 00:08:57,580
على ذلك لو أخدنا S بسبب الفترة المغلقة 01 أوالفترة

86
00:08:57,580 --> 00:09:04,960
مفتوحة من صفر واحد فهي هذي set و bounded above اذا

87
00:09:04,960 --> 00:09:10,960
ال property بتقولي بتضمنلي تضمن ان هذي ال set لها

88
00:09:10,960 --> 00:09:15,840
soprano اللي هو الواحد اللي اثبتناه قبل شوية اذا

89
00:09:15,840 --> 00:09:19,700
ال property بتضمن وجود soprano لكن ما بتجيبليها

90
00:09:19,700 --> 00:09:26,050
ولا بتقوليإيش هو؟ عشان نجيبه لازم نعمل برهان زي ما

91
00:09:26,050 --> 00:09:30,310
شوفنا في الأمثلة السابقة هد هي ال supremum أو ال

92
00:09:30,310 --> 00:09:33,790
completeness property خاصية التمام للأعداد

93
00:09:33,790 --> 00:09:38,510
الحقيقية الآن زي ما قلتلكم قبل هيك في توقع ما بين

94
00:09:38,510 --> 00:09:42,130
ال upper bounds و ال lower bounds ال supremums و

95
00:09:42,130 --> 00:09:52,510
ال infimumsفال .. ال .. اي خاصية صحيحة لل supreme

96
00:09:52,510 --> 00:09:58,170
بتكون في بقابلها خاصية صحيحة لل infimum ففي نتيجة

97
00:09:58,170 --> 00:10:03,640
هنا على completeness property corollaryبنسميها الـ

98
00:10:03,640 --> 00:10:07,580
infimum property of R لإن في supremum property of

99
00:10:07,580 --> 00:10:12,260
R وفي بقبلها infimum property of R فال infimum

100
00:10:12,260 --> 00:10:16,160
property of R بتقول ان every non-empty subset S of

101
00:10:16,160 --> 00:10:21,160
R which is bounded below has an infimum يعني كل

102
00:10:21,160 --> 00:10:26,440
مجموعة غير خالية من العداد الحقيقية ومحصورة من

103
00:10:26,440 --> 00:10:30,460
أسفل لازم يكون لها infimum أو أكبر حد أدنى

104
00:10:38,820 --> 00:10:45,060
وهي البرهان .. نشوف البرهان تبع ال .. ال corollary

105
00:10:45,060 --> 00:10:54,520
أو النتيجة هذه بنعرف set .. بنعرف ال set E علي

106
00:10:54,520 --> 00:10:59,120
أنها كل العناصر W اللي بتكون lower bound للمجموعة

107
00:10:59,120 --> 00:11:06,510
S طيب by hypothesis حسب الفرضالـ E مجموعة غير

108
00:11:06,510 --> 00:11:09,610
خالية، يعني فيها على الأقل عنصر، ليه؟ لإن احنا

109
00:11:09,610 --> 00:11:16,090
فرضين إن المجموعة S، المجموعة S هذه bounded below،

110
00:11:16,090 --> 00:11:19,710
يعني إلها lower bound وبالتالي إذا في على الأقل

111
00:11:19,710 --> 00:11:24,350
عنصر واحد، W في E، إذا الـ E مجموعة غير خالية،

112
00:11:24,350 --> 00:11:25,990
تمام؟ هذا من الفرض

113
00:11:29,380 --> 00:11:34,720
كذلك من الفرض أي X في S ثبار عن upper bound لـ E

114
00:11:34,720 --> 00:11:49,760
لو كان X ينتمي إلى S فهذا بيقدّي انه W أصغر من أو

115
00:11:49,760 --> 00:11:56,160
يساوي X لكل W في E

116
00:12:04,760 --> 00:12:11,300
ليش هذا الكلام صحيح؟ لأن كل W في E عبارة عن lower

117
00:12:11,300 --> 00:12:17,300
bound ل S وبما أن W lower bound ل S فأي أنصر في S

118
00:12:17,300 --> 00:12:23,480
بيكون أكبر من أو ساوي ال lower bound، صح؟ إذن هذا

119
00:12:23,480 --> 00:12:28,360
معناه إن X upper bound هي X أكبر من أو ساوي كل

120
00:12:28,360 --> 00:12:33,820
عناصر ال E وبالتالي أي X في S هو عبارة عن

121
00:12:40,550 --> 00:12:45,910
أي x في s هو upper bound للست

122
00:12:51,680 --> 00:12:57,900
خاصية التمام، إذا ال .. ال set E هذه is bounded

123
00:12:57,900 --> 00:13:02,580
above وبالتالي يوجد إلها suprem، ال suprem تبعها

124
00:13:02,580 --> 00:13:08,100
لو سميته small s exists in R هذا .. وجود ال suprem

125
00:13:08,100 --> 00:13:14,560
مضمون باستخدام ال suprem propertyالان بدنا نثبت ان

126
00:13:14,560 --> 00:13:21,000
هذا العدد small s هو الـ infimum هو الـ infimum

127
00:13:21,000 --> 00:13:27,100
للست S وهيك بنكون كملنا البرهان إذا الإثبات

128
00:13:27,100 --> 00:13:33,580
للادعاء هذا ان عندي ال S هنا بساوي supremum E

129
00:13:33,580 --> 00:13:40,780
وبالتالي ال S هذا upper bound ل E يعني S أكبر من

130
00:13:40,780 --> 00:13:42,340
أو ساوي كل ال X في E

131
00:13:46,050 --> 00:13:52,070
الأن بناء على المتباينة هذه أو الجملة هذه لإثبات

132
00:13:52,070 --> 00:13:58,610
أن S هي الـ infimum لcapital S يبقى إثبات أن S

133
00:13:58,610 --> 00:14:06,830
عبارة عن lower bound S is a lower bound of S ليش

134
00:14:06,830 --> 00:14:11,350
هذا يكفي لإثبات أن S هو الinfimum لS؟

135
00:14:15,610 --> 00:14:20,590
تعالى نشوف ليش هذا يكفي يكفي

136
00:14:20,590 --> 00:14:28,850
اثبات ان ال S is a lower bound لل 6S يعني بدنا

137
00:14:28,850 --> 00:14:34,830
نثبت ان ال X عفوا

138
00:14:34,830 --> 00:14:43,410
ال S أصغر من أو ساوي كل العناصر Y

139
00:14:58,200 --> 00:15:03,540
يعني بدنا نثبت أن S ينتمي

140
00:15:03,540 --> 00:15:09,980
للset E يعني

141
00:15:09,980 --> 00:15:17,320
لإثبات أن S is the lower bound of S معناه بد أثبت

142
00:15:17,320 --> 00:15:20,560
أن S عنصر في E لأن E is the set of all lower

143
00:15:20,560 --> 00:15:25,380
bounds of S صح؟ فلو أثبتت أن S تنتمي إلى E

144
00:15:34,100 --> 00:15:41,300
فالمفروض هذا معناه ان ال S .. اه هايه .. لو هذا ال

145
00:15:41,300 --> 00:15:47,680
S .. لو هذا ال S أثبتت انه .. لو أثبتت ان ال S هذا

146
00:15:47,680 --> 00:15:49,380
ينتمي إلى ايه؟

147
00:15:52,900 --> 00:15:58,420
فمعناه ان كل العناصر اللي في E أصغر من أو يساوي ال

148
00:15:58,420 --> 00:16:04,900
S طيب كل العناصر X اللي في E هي عبارة عن lower

149
00:16:04,900 --> 00:16:11,330
bounds ل Sواذا كان S موجود في E بيكون أيضا lower

150
00:16:11,330 --> 00:16:17,350
bound ل S لكن ال S هذا بتمتع بالخاصية أنه أكبر من

151
00:16:17,350 --> 00:16:22,970
أو ساوي كل عناصر ال set A إذا هو أكبر lower bound

152
00:16:22,970 --> 00:16:29,560
يعني هو ال infimum صح؟ تمام؟مرة تانية احنا وصلنا

153
00:16:29,560 --> 00:16:35,780
ان ال X كل العناصر X في E اصغر من او ساوي S الان

154
00:16:35,780 --> 00:16:42,800
لو اثبتت ان ال S هذا ينتمي ل E يعني lower bound ل

155
00:16:42,800 --> 00:16:50,130
Sمعناته ال S هدى اكبر من او ساوي كل عناصر ال 6E

156
00:16:50,130 --> 00:16:54,890
وبالتالي هو اكبر lower

157
00:16:54,890 --> 00:17:02,450
bound يعني هو ال infimum اذا فعلا يكفي او يبقى

158
00:17:02,450 --> 00:17:06,990
اثبات ان ال S اسمه ال S lower bound لل 6S فلبرهان

159
00:17:06,990 --> 00:17:11,770
ذلك بنعمل برهان بالتناقض افرضى انه اللي احنا

160
00:17:11,770 --> 00:17:18,960
بنلثبته خطأيعني اسمه ال S ليس lower bound للست S

161
00:17:18,960 --> 00:17:23,500
هذا معناه بقدر ألاجي أنصر Y في S و هذا ال Y أصغر

162
00:17:23,500 --> 00:17:30,600
من S لأن S ليس lower bound فهذا بيقدي .. لاحظوا أن

163
00:17:30,600 --> 00:17:35,400
ال S هو ال supremum ل E .. S هو ال supremum ل E و

164
00:17:35,400 --> 00:17:42,980
Y أصغر منه إذن Y هذا مش ممكن يكون upper bound للست

165
00:17:42,980 --> 00:17:49,920
Eال Y أصغر من S و S بساوي supremum E إذا Y مش ممكن

166
00:17:49,920 --> 00:17:54,740
يكون upper bound ل E لأنه بجوزش هذا يكون upper

167
00:17:54,740 --> 00:18:00,320
bound ل E و هذا أصغر upper bound ل E صح؟ طيب إذا

168
00:18:00,320 --> 00:18:05,980
ال Y مش ممكن يكون upper bound ل E إذا بقدر ألاقي X

169
00:18:05,980 --> 00:18:12,160
في E و هذا ال X أكبر من ال Y هذه المتباينة بتعطيني

170
00:18:12,160 --> 00:18:12,840
تناقض

171
00:18:16,450 --> 00:18:23,870
تتناقض مع تعريف ال set E كيف X تنتمي ل E كيف ال X

172
00:18:23,870 --> 00:18:29,510
تنتمي ل E و في نفس الوجهة X أكبر من عنصر ما اللي

173
00:18:29,510 --> 00:18:35,010
هو Y في S يعني ال X هذا ليس lower bound هذا تناقض

174
00:18:35,010 --> 00:18:40,130
okay إذا نصل إلى تناقض وبالتالي هذا التناقض بيقول

175
00:18:40,130 --> 00:18:42,990
لي أن الفرض الفرض تبعنا هذا

176
00:18:45,580 --> 00:18:50,800
إن small s is not lower bound كان فرض خطأ إذا لازم

177
00:18:50,800 --> 00:19:01,520
يكون s lower bound وهذا بيكمل برهان ال claim تمام؟

178
00:19:01,520 --> 00:19:08,040
في

179
00:19:08,040 --> 00:19:09,500
ال section القادم

180
00:19:12,270 --> 00:19:18,530
هناخد تطبيقات على الـ supreme property و ال infame

181
00:19:18,530 --> 00:19:24,410
property فالتطبيقات

182
00:19:24,410 --> 00:19:35,230
هذه هتكون على شكل أمثلة فمثلا

183
00:19:35,230 --> 00:19:43,410
أول تطبيقلو أخدت أي subset من R و bounded above و

184
00:19:43,410 --> 00:19:49,510
A أي عدد حقيقي فمنعرف A زائد capital S على أنه

185
00:19:49,510 --> 00:19:54,110
مجموعة كل العناصر على الصورة A plus X حيث X ينتمي

186
00:19:54,110 --> 00:20:00,890
لS الآن ممكن أثبت أن ال supremum للمجموعة هذه هو

187
00:20:00,890 --> 00:20:04,870
عبارة عن A زائد ال supremum لS

188
00:20:07,460 --> 00:20:16,840
و هذا يعني البرهان مش صعب أيه بسيط وسهل نشوف مع

189
00:20:16,840 --> 00:20:22,540
بعض نفرض ان U هو ال suprem ل S ال set S is bounded

190
00:20:22,540 --> 00:20:28,980
above، إذن إلها suprem هذا مضمون حسب ال suprem

191
00:20:28,980 --> 00:20:33,920
propertyوبالتالي الـ U هذا اللي هو ال supreme هو

192
00:20:33,920 --> 00:20:38,520
upper bound ل S إذا U أكبر من أو ساوي كل عناصر ال

193
00:20:38,520 --> 00:20:45,800
S إذا لو ضفت A على الطرفين فبطلع A زاد X أصغر من

194
00:20:45,800 --> 00:20:54,270
أو ساوي A زاد U لكل X في S وبالتالي العدد هذاعبارة

195
00:20:54,270 --> 00:20:59,830
عن upper bound لمن؟ لست a زاد s اللي عرفناها قبل

196
00:20:59,830 --> 00:21:04,310
شوية لأن هذا العدد أكبر من أو ساوي كل عناصر الست

197
00:21:04,310 --> 00:21:08,850
هذه اللي على الصورة a زاد x لذلك هي اللي أثبتت أن

198
00:21:08,850 --> 00:21:13,110
a زاد u is upper bound للست هذه لأن نريد أن نثبت

199
00:21:13,110 --> 00:21:18,510
أن a زاد u هو أصغر upper bound للست هذه فبناخد أي

200
00:21:18,510 --> 00:21:24,550
upper bound آخر للست a plus sفطبعا ال V Upper

201
00:21:24,550 --> 00:21:30,410
Bound للست هي U أكبر من أو ساوي كل عناصرها الان

202
00:21:30,410 --> 00:21:34,430
انجل ال A عن ناحية التانية فبصير X أصغر من أو ساوي

203
00:21:34,430 --> 00:21:40,710
V minus A لكل X في S طيب

204
00:21:40,710 --> 00:21:47,410
الان احنا عندنا ال U هو ال supremum ل S ال U هو ال

205
00:21:47,410 --> 00:21:52,800
supremum ل S والان هذا العددهذا عبارة عن upper

206
00:21:52,800 --> 00:22:00,200
bound of S لأن U أكبر من أو ساوي كل عناصر الـ S

207
00:22:00,200 --> 00:22:07,400
وهذا أصغر upper bound لـ S إذن ال superman بيطلع

208
00:22:07,400 --> 00:22:13,240
أصغر من أو ساوي ال upper bound V minus A ل S إذن

209
00:22:13,240 --> 00:22:16,080
بيطلع عند U أصغر من أو ساوي

210
00:22:19,910 --> 00:22:26,350
إن أنا بطلع عندي U أصغر من أو ساوي V minus A ودي A

211
00:22:26,350 --> 00:22:30,290
عن ناحية التانية فبصير A زاد U أصغر من أو ساوي V

212
00:22:30,290 --> 00:22:35,870
إذا هين أثبتنا حاجتين أول شيء إنه العدد هذا upper

213
00:22:35,870 --> 00:22:40,590
bound للست هذه أخدنا أي upper bound عشوائي للست

214
00:22:40,590 --> 00:22:47,640
هذهفطلع العدد a زاد u اصغر من او ساوي اي upper

215
00:22:47,640 --> 00:22:52,880
bound لست a زاد s اذا من تعريف ال supremum بطلع ال

216
00:22:52,880 --> 00:23:00,520
supremum لست a زاد s exist و بساوي a زاد uأن الـ

217
00:23:00,520 --> 00:23:05,380
supremum للست هذي هو a زيد u وبالتالي و هذا بساوي

218
00:23:05,380 --> 00:23:08,720
a و ال u هي ال supremum ل S أننا هيك بنكون أثبتنا

219
00:23:08,720 --> 00:23:15,900
أن supremum الست a زيد s هو a زاد supremum S،

220
00:23:15,900 --> 00:23:21,540
تمام؟ لو كانت الست هذي bounded below فممكن أيضا

221
00:23:21,540 --> 00:23:26,960
نثبت أن ال infimum ل a زاد s بساوي a زاد infimum

222
00:23:26,960 --> 00:23:33,430
S، تمام؟طبعا في أمثلة أخرى هنا ممكن تقرؤوها و

223
00:23:33,430 --> 00:23:39,650
تحضروها و نوقف هنا نكتفي بهذا القدر و بنكمل ان شاء

224
00:23:39,650 --> 00:23:42,170
الله يوم السبت المحاضرة القادمة