Add files using upload-large-folder tool

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/-3lwzxWH7r8.srt

@@ -0,0 +1,1542 @@
+1
+00:00:21,600 --> 00:00:29,560
+الـ .. في المحاضرة السابقة بدأنا التعرف على Cauchy
+
+2
+00:00:29,560 --> 00:00:35,020
+sequences فأخذنا تعريف الـ Cauchy sequence و أثبتنا 
+
+3
+00:00:35,020 --> 00:00:41,000
+أنه كل convergent sequence is Cauchy و أعتقد كمان
+
+4
+00:00:41,000 --> 00:00:48,510
+أثبتنا أنه كل Cauchy sequence is bounded صحيح؟ اليوم
+
+5
+00:00:48,510 --> 00:00:54,970
+هنثبت العكس و هو أن كل كوشي sequence is convergent
+
+6
+00:00:54,970 --> 00:01:00,630
+فنستعيد بس نستذكر مع بعض تعريف الكوشي sequence
+
+7
+00:01:00,630 --> 00:01:07,450
+definition a
+
+8
+00:01:07,450 --> 00:01:14,010
+sequence of real numbers xn is
+
+9
+00:01:14,010 --> 00:01:14,710
+Cauchy
+
+10
+00:01:18,570 --> 00:01:26,170
+إذا تحقق الشرط التالي لكل epsilon أكبر من الصفر
+
+11
+00:01:26,170 --> 00:01:32,270
+يوجد capital N depends on epsilon natural number
+
+12
+00:01:32,270 --> 00:01:41,660
+such that لو كان n و m bigger than or equal N this
+
+13
+00:01:41,660 --> 00:01:48,840
+implies أن absolute value ل xn minus xm أصغر من 
+
+14
+00:01:48,840 --> 00:01:53,960
+epsilon وشوفنا
+
+15
+00:01:53,960 --> 00:02:03,260
+المرة اللي فاتت أو برهنا lemma 2 و 21 every
+
+16
+00:02:03,260 --> 00:02:06,820
+convergent
+
+17
+00:02:11,450 --> 00:02:17,190
+sequence is Cauchy
+
+18
+00:02:17,190 --> 00:02:27,510
+ثم برهنا another lemma lemma 2 و 22 بتقول
+
+19
+00:02:27,510 --> 00:02:34,250
+اللمّة هذه أن every Cauchy
+
+20
+00:02:34,250 --> 00:02:35,010
+sequence
+
+21
+00:02:40,290 --> 00:02:49,630
+is bounded اليوم
+
+22
+00:02:49,630 --> 00:02:59,890
+هنثبت نظرية مهمة نظرية 2 و 33 وهذه
+
+23
+00:02:59,890 --> 00:03:07,310
+النظرية هي كوشي كوشي
+
+24
+00:03:07,310 --> 00:03:08,150
+criterion
+
+25
+00:03:11,820 --> 00:03:18,680
+أو معيار كوشي معيار 
+
+26
+00:03:18,680 --> 00:03:25,580
+كوشي للتقارب النظرية
+
+27
+00:03:25,580 --> 00:03:35,800
+بتنص على أن a sequence xn contained in R is
+
+28
+00:03:35,800 --> 00:03:36,700
+convergent
+
+29
+00:03:39,150 --> 00:03:55,130
+is convergent if and only if it is Cauchy any
+
+30
+00:03:55,130 --> 00:04:00,610
+sequence of real numbers بتكون convergent if and
+
+31
+00:04:00,610 --> 00:04:04,750
+only if it is Cauchy البرهان
+
+32
+00:04:09,110 --> 00:04:15,430
+this part اللي هو الـ only if part هذا هو نفسه لمّة
+
+33
+00:04:15,430 --> 00:04:29,890
+21 if xn is convergent then
+
+34
+00:04:29,890 --> 00:04:32,990
+by
+
+35
+00:04:32,990 --> 00:04:37,210
+لمّة 21
+
+36
+00:04:40,710 --> 00:04:46,370
+it is Cauchy it is Cauchy
+
+37
+00:04:46,370 --> 00:04:51,850
+لأن هذا جزء برهناه في المحاضرة السابقة على صورة
+
+38
+00:04:51,850 --> 00:05:00,710
+لمّة 21 الـ .. الـ if part هنبرهنه اليوم
+
+39
+00:05:00,710 --> 00:05:09,520
+هنشوف مع بعض assume العكس assume أن الـ sequence xn
+
+40
+00:05:09,520 --> 00:05:16,100
+in is Cauchy وبدنا
+
+41
+00:05:16,100 --> 00:05:25,280
+نثبت إنها convergent طيب بما إنها Cauchy then
+
+42
+00:05:25,280 --> 00:05:31,540
+by لمّا 22 تطلع bounded
+
+43
+00:05:36,760 --> 00:05:43,280
+إذا by لمّة 22 الـ sequence xn is
+
+44
+00:05:43,280 --> 00:05:52,560
+bounded باستخدام 
+
+45
+00:05:52,560 --> 00:05:55,600
+Bolzano-Weierstrass theorem
+
+46
+00:06:05,480 --> 00:06:09,240
+اللي أخدناها المحاضرة السابقة أو اللي قبلها هذا
+
+47
+00:06:09,240 --> 00:06:15,960
+اختصار بولزانو ويرشتراس بولزانو ويرشتراس هنا بتقول
+
+48
+00:06:15,960 --> 00:06:18,900
+أن كل bounded sequence has a convergent
+
+49
+00:06:18,900 --> 00:06:27,720
+subsequence فهي عندي bounded sequence sequence xn
+
+50
+00:06:27,720 --> 00:06:33,480
+in has a
+
+51
+00:06:33,480 --> 00:06:34,560
+convergent
+
+52
+00:06:39,950 --> 00:06:44,370
+sub-sequence xn
+
+53
+00:06:44,370 --> 00:06:57,970
+nk وها دي converges to x* تنتمي إلى R طبعا؟
+
+54
+00:06:57,970 --> 00:07:03,550
+إذن هذه sub-sequence من xn وconvergent to some x
+
+55
+00:07:03,550 --> 00:07:05,350
+* تنتمي إلى R
+
+56
+00:07:08,910 --> 00:07:14,610
+طيب احنا عايزين نثبت claim عايزين 
+
+57
+00:07:14,610 --> 00:07:24,210
+احنا نثبت أن الـ sequence xn converges إلى العدد 
+
+58
+00:07:24,210 --> 00:07:32,530
+x* وبالتالي هيك بنكمل برهان النظرية صح؟ فلبرهان
+
+59
+00:07:32,530 --> 00:07:33,090
+ذلك
+
+60
+00:07:36,470 --> 00:07:44,330
+نستخدم تعريف epsilon capital N للـ limit فبنبدأ بـ
+
+61
+00:07:44,330 --> 00:07:47,790
+epsilon أكبر من الصفر عشوائية let epsilon أكبر من
+
+62
+00:07:47,790 --> 00:07:57,240
+الصفر be given نحتاج أن نشهر أن هناك كابتل N كمية
+
+63
+00:07:57,240 --> 00:07:59,060
+عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون
+
+64
+00:07:59,060 --> 00:08:00,120
+كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على
+
+65
+00:08:00,120 --> 00:08:02,780
+إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد
+
+66
+00:08:02,780 --> 00:08:05,280
+على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة
+
+67
+00:08:05,280 --> 00:08:08,080
+تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية
+
+68
+00:08:08,080 --> 00:08:09,960
+عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون
+
+69
+00:08:09,960 --> 00:08:14,020
+كمية عامة تعتمد على إبسلون 
+
+70
+00:08:14,020 --> 00:08:21,080
+كمية عامة تعتمد على إبسلون
+
+71
+00:08:23,720 --> 00:08:27,960
+وهي epsilon given، إذا by definition of Cauchy
+
+72
+00:08:27,960 --> 00:08:33,920
+sequence there exists capital N depends on epsilon
+
+73
+00:08:33,920 --> 00:08:44,200
+natural number such that لكل n و m أكبر من أو يساوي
+
+74
+00:08:44,200 --> 00:08:50,400
+capital N، this implies an absolute xn minus xm
+
+75
+00:08:52,000 --> 00:09:00,760
+less than epsilon at null نسمي
+
+76
+00:09:00,760 --> 00:09:06,380
+الـ implication هيا دي (*) طيب 
+
+77
+00:09:06,380 --> 00:09:12,900
+احنا حصلنا على أن الـ sequence xn أو الـ subsequence
+
+78
+00:09:12,900 --> 00:09:18,080
+xnk converges to x*
+
+79
+00:09:20,890 --> 00:09:25,870
+إذا لنفس الـ epsilon و epsilon هي نفس الـ epsilon 
+
+80
+00:09:25,870 --> 00:09:34,130
+given فمن تعريف الـ convergence for 
+
+81
+00:09:34,130 --> 00:09:39,950
+same epsilon أكبر من الصفر نفس الـ epsilon اللي
+
+82
+00:09:39,950 --> 00:09:47,070
+هناك نقدر نلاقي يوجد capital K عدد طبيعي capital K
+
+83
+00:09:49,980 --> 00:09:55,920
+وهذا العدد .. هذا عبارة عن عدد طبيعي وهذا العدد
+
+84
+00:09:55,920 --> 00:10:01,240
+الطبيعي هو واحد من مؤشرات الـ subsequence اللي هم 
+
+85
+00:10:01,240 --> 00:10:10,300
+n1, n2, n3 و
+
+86
+00:10:10,300 --> 00:10:17,500
+هكذا إذا يوجد كابتل K اللي هو واحد عدد طبيعي وهذا
+
+87
+00:10:17,500 --> 00:10:23,080
+واحد من مؤشرات الـ subsequence ممكن أختاره هذا
+
+88
+00:10:23,080 --> 00:10:32,400
+كابتل K أكبر من أو يساوي كابتل N بحيث
+
+89
+00:10:32,400 --> 00:10:41,800
+أن الـ absolute value لـ Xcapital K minus X*
+
+90
+00:10:41,800 --> 00:10:50,000
+أصغر من epsilon على 2 كمان
+
+91
+00:10:50,000 --> 00:10:54,280
+مرة الـ subsequence هي هتconverge لـ X* إذا في
+
+92
+00:10:54,280 --> 00:11:02,780
+capital K natural number و هو واحد من large واحد
+
+93
+00:11:02,780 --> 00:11:10,220
+من الـ indices وطبعا كبير هو ممكن نختاره أكبر من أو 
+
+94
+00:11:10,220 --> 00:11:15,720
+يساوي capital N بحيث المسافة بين X كابتل K و X* أصلا
+
+95
+00:11:15,720 --> 00:11:21,480
+أصغر من epsilon على 2 هو ممكن أن أنا يعني هذا أحط هنا K
+
+96
+00:11:21,480 --> 00:11:26,160
+و أقول أن هذا أصغر من epsilon على 2 لكل K أكبر من أو
+
+97
+00:11:26,160 --> 00:11:33,030
+يساوي كابتل Kصح؟ مش هيك تعريف الـ convergence لكن
+
+98
+00:11:33,030 --> 00:11:39,730
+أنا بدي اخد K بساوي كابتل K وبالتالي اخد بس X
+
+99
+00:11:39,730 --> 00:11:45,270
+كابتل K المسافة بينها و بين X* أصغر من epsilon على 2
+
+100
+00:11:45,270 --> 00:11:53,290
+نسمي المتباينة هذه (**) الآن
+
+101
+00:11:53,290 --> 00:11:53,950
+now
+
+102
+00:11:59,240 --> 00:12:08,140
+أنا عندي كابتل K أكبر من أو يساوي كابتل N so
+
+103
+00:12:08,140 --> 00:12:14,320
+by (*) by
+
+104
+00:12:14,320 --> 00:12:25,600
+(*) with m بساوي كابتل K we
+
+105
+00:12:25,600 --> 00:12:26,720
+have لدينا
+
+106
+00:12:30,820 --> 00:12:40,660
+absolute xn minus x capital k أصغر من epsilon على 2 نسمي
+
+107
+00:12:40,660 --> 00:12:49,900
+هذه المتباينة (***) (***) كمان مرة الـ k هذه
+
+108
+00:12:49,900 --> 00:12:59,980
+اختارناها أكبر منها و يساوي n و من (*) إذا كانت
+
+109
+00:12:59,980 --> 00:13:05,100
+الـ K .. إذا خدت m بساوي كابتل K و هذه أكبر من أو 
+
+110
+00:13:05,100 --> 00:13:11,400
+يساوي N فبتصير المتباينة هذه absolute xn minus xk
+
+111
+00:13:11,400 --> 00:13:17,260
+أصغر من epsilon على 2 و الـ n هذه لازم تكون أكب��
+
+112
+00:13:17,260 --> 00:13:22,780
+من أو يساوي m، إذن هذا صحيح لكل small m أكبر من أو
+
+113
+00:13:22,780 --> 00:13:24,260
+يساوي كابتل N
+
+114
+00:13:29,670 --> 00:13:35,670
+تمام hence by 
+
+115
+00:13:35,670 --> 00:13:44,050
+(**) الآن من (**) and (***)
+
+116
+00:13:48,930 --> 00:13:57,270
+لدينا we have لو كان n أكبر من أو يساوي capital N
+
+117
+00:13:57,270 --> 00:14:11,330
+فهذا بيقدي أن الـ absolute xn minus x* طبعا
+
+118
+00:14:11,330 --> 00:14:18,530
+هنا هترح x capital K و هرجعها 
+
+119
+00:14:28,690 --> 00:14:38,730
+إذا I subtracted xk and get it back باخد هدول
+
+120
+00:14:38,730 --> 00:14:43,640
+الأثنين مع بعض والتحدين هدول مع بعض الـ absolute
+
+121
+00:14:43,640 --> 00:14:49,100
+value بالترانجل inequality بالترانجل inequality
+
+122
+00:14:49,100 --> 00:14:54,380
+هذا أصغر من absolute الحد الأول اللي هو xn
+
+123
+00:14:54,380 --> 00:15:01,400
+minus xk زائد absolute الحد الثاني اللي هو xk
+
+124
+00:15:01,400 --> 00:15:08,500
+minus x* الآن
+
+125
+00:15:08,500 --> 00:15:16,750
+باستخدام (***) من المتباينة هذه هاي عندي أنا 
+
+126
+00:15:16,750 --> 00:15:23,170
+xn أول شي الـ n small n أكبر من أو يساوي capital N
+
+127
+00:15:23,170 --> 00:15:28,590
+هاي small n أكبر من أو يساوي capital N وبالتالي الـ
+
+128
+00:15:28,590 --> 00:15:34,870
+absolute value هذه أصغر من epsilon على 2 زائد و
+
+129
+00:15:34,870 --> 00:15:42,360
+من (**) من (**) هي عندي absolute xk
+
+130
+00:15:42,360 --> 00:15:47,640
+minus x* أصغر من epsilon على 2 المجموع بتطلع
+
+131
+00:15:47,640 --> 00:15:53,460
+epsilon since
+
+132
+00:15:53,460 --> 00:16:00,000
+epsilon أكبر من الصفر was arbitrarily
+
+133
+00:16:03,850 --> 00:16:09,870
+نحن لدينا من مفهوم الـ convergence أنه هيك منكون
+
+134
+00:16:09,870 --> 00:16:16,690
+أثبتنا أن الـ limit xn as n tends to infinity equals
+
+135
+00:16:16,690 --> 00:16:26,790
+x* وهذا بكمل برهان الـ claim و النظرية تمام؟
+
+136
+00:16:26,790 --> 00:16:32,160
+هاي لاحظوا أن احنا بنثبت أننا ندعي أن الـ sequence 
+
+137
+00:16:32,160 --> 00:16:35,660
+xn هي الـ convergent لـ x* حسب تعريف epsilon
+
+138
+00:16:35,660 --> 00:16:40,360
+capital N للـ limits بدأنا بـ epsilon given عشوائية 
+
+139
+00:16:40,360 --> 00:16:46,360
+عدد موجب أثبتنا هي يوجد capital N يعتمد على 
+
+140
+00:16:46,360 --> 00:16:51,660
+epsilon natural number بحيث أن لكل n أكبر من أو يساوي 
+
+141
+00:16:51,660 --> 00:16:59,400
+capital N طلع absolute |xn - x*| <
+
+142
+00:16:59,400 --> 00:17:07,300
+ε لما إن هذا الكلام صحيح لكل ε إذا by 
+
+143
+00:17:07,300 --> 00:17:10,880
+definition limit xn = x*، إذا ال sequence
+
+144
+00:17:10,880 --> 00:17:14,240
+convergent إذا هذا بيكمل البرهان إن لو كانت ال
+
+145
+00:17:14,240 --> 00:17:18,800
+sequence كوشي then it is convergent تمام واضح
+
+146
+00:17:18,800 --> 00:17:23,960
+البرهان؟ okay حلو إذا نعم
+
+147
+00:17:28,410 --> 00:17:32,690
+مش احنا حاكينا أن x<sub>n</sub> is bounded؟ صحيح طيب الحين
+
+148
+00:17:32,690 --> 00:17:37,530
+في عندنا بالنظام و بالسترس في عندنا x<sub>n</sub> في عندنا
+
+149
+00:17:37,530 --> 00:17:41,470
+convergent subsequence صح هذا هي صح convergent ل x
+
+150
+00:17:41,470 --> 00:17:46,590
+and to some x* احنا أخذنا نظرية إذا كانت ال
+
+151
+00:17:46,590 --> 00:17:51,110
+convergent subsequence converge to x* و x to r ف x
+
+152
+00:17:51,110 --> 00:17:55,890
+* and تكون converge ل x* لا ماأخذنا نظرية زيك أنت مش
+
+153
+00:17:55,890 --> 00:17:57,050
+خارق النظرية صح
+
+154
+00:18:00,740 --> 00:18:05,020
+لأ النظرية ما بتحكيش هيك معلش النظرية هذه بتقول لو
+
+155
+00:18:05,020 --> 00:18:09,700
+أنا في عندي bounded sequence و لو كل convergent
+
+156
+00:18:09,700 --> 00:18:13,940
+subsequence من ال sequence هذه convergent لعدد x*
+
+157
+00:18:13,940 --> 00:18:19,160
+فلازم ال sequence نفسها تكون convergent ل x* أنا 
+
+158
+00:18:19,160 --> 00:18:22,900
+عندي بس subsequence واحدة converged ل x*
+
+159
+00:18:22,900 --> 00:18:26,860
+أصلاً وليس every convergent subsequence converged
+
+160
+00:18:26,860 --> 00:18:31,790
+ل x* أصلاً فالفرض الثاني تبع النظرية اللي بتحكي عنها
+
+161
+00:18:31,790 --> 00:18:38,270
+مش متحقق وبالتالي لا أستطيع تطبيق النظرية تمام؟ في
+
+162
+00:18:38,270 --> 00:18:45,290
+أي سؤال ثاني؟ okay ده سؤال كثير يعني مهم و .. و ..
+
+163
+00:18:45,290 --> 00:18:51,790
+و جيد و يا ريت يعني أي حد عنده تساؤل زي هذا يعني
+
+164
+00:18:51,790 --> 00:18:58,410
+يسأله هل في أي شيء في القرآن مش واضح؟ واضح أكثر من 
+
+165
+00:18:58,410 --> 00:19:02,990
+هيك؟ Okay أعتقد أن البرهان واضح يعني لو قرأته
+
+166
+00:19:02,990 --> 00:19:10,710
+بتمعن هتجد أنه يعني سهل و بسيط طيب نأخذ أمثلة على
+
+167
+00:19:10,710 --> 00:19:17,430
+كيف نستخدم تعريف ال Cauchy sequence في إثبات أنه
+
+168
+00:19:17,430 --> 00:19:25,730
+given sequence is Cauchy باستخدام التعريف مباشرة و
+
+169
+00:19:25,730 --> 00:19:28,410
+ليس باستخدام اللي هو Cauchy criterion
+
+170
+00:19:31,950 --> 00:19:47,490
+إذا نأخذ هنا بعض الأمثلة examples
+
+171
+00:19:47,490 --> 00:19:52,930
+الأمثلة
+
+172
+00:19:52,930 --> 00:20:00,250
+دي أنا أعطيها الرقم 224 أول مثال show
+
+173
+00:20:04,710 --> 00:20:13,310
+directly show direct that
+
+174
+00:20:13,310 --> 00:20:20,390
+ال sequence ال
+
+175
+00:20:20,390 --> 00:20:25,130
+sequence 1/n is Cauchy
+
+176
+00:20:35,150 --> 00:20:39,630
+لما أقول show directly أن ال sequence معينة is
+
+177
+00:20:39,630 --> 00:20:44,450
+Cauchy معناها ده بدي أستخدم التعريف بدي أستخدم 
+
+178
+00:20:44,450 --> 00:20:50,450
+التعريف تبع Cauchy sequence فنشوف
+
+179
+00:20:50,450 --> 00:20:56,210
+مع بعض طبعاً
+
+180
+00:20:56,210 --> 00:21:02,230
+البرهان باستخدام التعريف هنبدأ بـ ε > 
+
+181
+00:21:02,230 --> 00:21:07,510
+الصفر ونرد عليها بـ capital N بتخلي ال implication
+
+182
+00:21:07,510 --> 00:21:13,890
+هي دي تتحقق بالظبط زي .. يعني قريب يعني بالظبط زي
+
+183
+00:21:13,890 --> 00:21:18,370
+ما عملنا في إثبات أن ال sequence is convergent و
+
+184
+00:21:18,370 --> 00:21:27,670
+هنستخدم ال Archimedean property نشوف مع بعض let
+
+185
+00:21:29,570 --> 00:21:37,110
+بالمناسبة .. بالمناسبة يعني احنا كيف نحدد ال
+
+186
+00:21:37,110 --> 00:21:40,010
+capital N for any given ε؟
+
+187
+00:21:48,010 --> 00:21:54,270
+أنا يعني هي عندي |x<sub>n</sub> - x<sub>m</sub>| لو في عندي
+
+188
+00:21:54,270 --> 00:21:59,310
+ε given ε موجبة given فمن الآخر أنا
+
+189
+00:21:59,310 --> 00:22:05,190
+عايز أثبت أنه هذا أصغر من ε، مظبوط؟ طب ما هذا
+
+190
+00:22:05,190 --> 00:22:11,530
+عبارة عن |1/n - 1/m| وهذا
+
+191
+00:22:11,530 --> 00:22:16,250
+أصغر من أو يساوي |1/n| + |1/m| مظبوط وهذه أعداد موجبة فهذا 1/n
+
+192
+00:22:16,250 --> 00:22:23,490
++ 1/m مظبوط وهذه أعداد موجبة فهذا 1/n 
+
+193
+00:22:23,490 --> 00:22:28,290
++ 1/m طيب
+
+194
+00:22:28,290 --> 00:22:33,950
+أنا عايز أجيب capital N بحيث
+
+195
+00:22:33,950 --> 00:22:39,050
+أنه لو كانت ال n و ال m أكبر من أو يساوي capital N
+
+196
+00:22:39,050 --> 00:22:44,670
+فبدنا هذا يؤدي إلى ال absolute value هذه أصغر من
+
+197
+00:22:44,670 --> 00:22:49,460
+ε إذن ال n و ال m هدول لازم يكونوا أكبر من
+
+198
+00:22:49,460 --> 00:22:53,880
+capital N اللي أنا مش عارف إيش هي، بدي أجيبها، إذن
+
+199
+00:22:53,880 --> 00:23:02,480
+و بالتالي من هنا هذا بيقود إلى أن 1/n  و كذلك
+
+200
+00:23:02,480 --> 00:23:10,060
+1/m أصغر من أو يساوي 1/capital N، صح؟ إذا
+
+201
+00:23:10,060 --> 00:23:14,720
+كانت n أكبر من أو يساوي capital N فـ 1/n هتصير
+
+202
+00:23:14,720 --> 00:23:19,100
+أصغر من أو يساوي 1/capital N وكذلك بالنسبة ل
+
+203
+00:23:19,100 --> 00:23:25,620
+m، مظبوط؟ إذاً هذا هيصير أصغر من أو يساوي 1/
+
+204
+00:23:25,620 --> 00:23:30,620
+capital N وهذا أصغر من 1/capital N بيساوي 2/
+
+205
+00:23:30,620 --> 00:23:34,980
+capital N الآن بدي أخلي هذا، متى بيكون هذا أصغر من
+
+206
+00:23:34,980 --> 00:23:45,300
+ε؟ أه، إذا هأخذ n أصغر من ε/2 أو 1
+
+207
+00:23:45,300 --> 00:23:51,080
+على n أصغر من ε/2 إذا هذا أصغر من
+
+208
+00:23:51,080 --> 00:23:56,720
+ε عندما 1/n أصغر من ε/2 طيب،
+
+209
+00:23:56,720 --> 00:24:03,640
+أنا لو بدأت بـ ε عدد موجب فـ ε/2 بيطلع
+
+210
+00:24:03,640 --> 00:24:08,540
+عدد موجب و by Archimedean property لأي عدد موجب زي
+
+211
+00:24:08,540 --> 00:24:13,740
+هذا يوجد capital N عدد طبيعي بحيث مقلوبه وأصغر من
+
+212
+00:24:13,740 --> 00:24:18,440
+�� على اتنين إذا capital N اللي بتعتمد على ال
+
+213
+00:24:18,440 --> 00:24:22,380
+given ε لازم تكون مقلوبها أصغر من ε على
+
+214
+00:24:22,380 --> 00:24:26,800
+اتنين عشان يطلع هذا أصغر من ε شفتوا كيف
+
+215
+00:24:26,800 --> 00:24:31,240
+منطلق ال capital N و ال Archimedean property طبعاً
+
+216
+00:24:31,240 --> 00:24:38,930
+تضمن لي وجود مثل هالعدد capital N تمام؟ إذا بآجي
+
+217
+00:24:38,930 --> 00:24:42,790
+بقول هنا let ε الكلام هذا طبعاً بعمله في
+
+218
+00:24:42,790 --> 00:24:47,690
+الهامش بعدين بآجي برتبه بقول let ε أكبر من
+
+219
+00:24:47,690 --> 00:24:56,610
+الصفر be given إذاً
+
+220
+00:24:56,610 --> 00:25:00,930
+it choose by
+
+221
+00:25:00,930 --> 00:25:04,110
+Archimedean property
+
+222
+00:25:08,750 --> 00:25:19,250
+نختار capital N عدد طبيعي بحيث أن مقلوب ال N أصغر
+
+223
+00:25:19,250 --> 00:25:24,910
+من ε على اتنين إذا هنا أثبتت يوجد capital N
+
+224
+00:25:24,910 --> 00:25:29,190
+وهي اعتمدت على ε هي مرتبطة بـ ε
+
+225
+00:25:35,760 --> 00:25:41,740
+هذا هيعطينا ال implication تبع ال Cauchy sequence
+
+226
+00:25:41,740 --> 00:25:46,240
+then
+
+227
+00:25:46,240 --> 00:25:54,280
+لو أخذت n و m أكبر من أو يساوي ال capital N هذه
+
+228
+00:25:54,280 --> 00:26:04,420
+فبالتأكيد هذا هيقود إلى أن 1/n  و كذلك 1/m
+
+229
+00:26:04,420 --> 00:26:09,300
+كلهما أصغر من أو يساوي 1/capital N وهذا
+
+230
+00:26:09,300 --> 00:26:15,120
+بدوره بيقود إلى أن |1/n - 1/m|
+
+231
+00:26:15,120 --> 00:26:26,020
+m طبعاً هذه x<sub>m</sub> وهذه x<sub>n</sub> فشفنا أن هذا أصغر من أو
+
+232
+00:26:26,020 --> 00:26:29,940
+يساوي |1/n| باستخدام ال triangle
+
+233
+00:26:29,940 --> 00:26:36,140
+inequality زائد |-1/m| اللي هو
+
+234
+00:26:36,140 --> 00:26:44,520
+|1/m| طيب هذا بيساوي 1/n +
+
+235
+00:26:44,520 --> 00:26:49,800
+1/m لأن  أعداد موجبة وقول إن هذا أصغر من
+
+236
+00:26:49,800 --> 00:26:55,830
+أو يساوي 1/n + 1/m وهذا بيساوي
+
+237
+00:26:55,830 --> 00:27:05,510
+2/capital N وهذا من الاختيار تبعنا لـ capital N by
+
+238
+00:27:05,510 --> 00:27:15,990
+2/capital N أصغر من ε طب
+
+239
+00:27:15,990 --> 00:27:22,830
+ما هذا .. هذا هو شرط Cauchy صح؟ هذا هو شرط Cauchy إذا
+
+240
+00:27:22,830 --> 00:27:28,310
+by definition بما أن هذا صحيح لكل ε since
+
+241
+00:27:28,310 --> 00:27:39,990
+ε أكبر من الصفر was arbitrary by
+
+242
+00:27:39,990 --> 00:27:45,830
+definition of Cauchy sequence ال sequence x<sub>n</sub> is
+
+243
+00:27:45,830 --> 00:27:50,990
+اللي هي 1/n اللي الحد العام تبعها 1/
+
+244
+00:27:50,990 --> 00:27:57,610
+n is Cauchy تمام
+
+245
+00:27:57,610 --> 00:28:04,230
+هنا أثبتنا أن ال sequence Cauchy مباشرة باستخدام
+
+246
+00:28:04,230 --> 00:28:12,050
+التعريف طبعاً في برهان ثاني ممكن نستخدم Cauchy
+
+247
+00:28:12,050 --> 00:28:18,290
+criterion احنا ممكن نثبت أن ال sequence هذي
+
+248
+00:28:18,290 --> 00:28:24,620
+convergent وأثبتنا هذا الكلام قبل كده صح؟ و حسب
+
+249
+00:28:24,620 --> 00:28:28,640
+Cauchy criterion بما أنه ال sequence convergent
+
+250
+00:28:28,640 --> 00:28:32,760
+then it is Cauchy صح؟ هذا برهان ثاني لكن إذا كنا
+
+251
+00:28:32,760 --> 00:28:38,260
+لكم برهنيها directly يعني استخدم التعريف لازم
+
+252
+00:28:38,260 --> 00:28:45,600
+البرهان هذا هو اللي إيه تكتبوه واضح تمام؟ في أي
+
+253
+00:28:45,600 --> 00:28:46,400
+استفسار؟
+
+254
+00:28:50,060 --> 00:28:51,700
+نأخذ مثال ثاني
+
+255
+00:29:18,730 --> 00:29:27,750
+مثال رقم 2 consider .. consider
+
+256
+00:29:27,750 --> 00:29:36,370
+ال sequence defined
+
+257
+00:29:36,370 --> 00:29:38,710
+inductively
+
+258
+00:29:48,750 --> 00:29:52,770
+إذا في عندي sequence معرفة بطريقة استقرائية
+
+259
+00:29:52,770 --> 00:30:03,070
+كالتالي كما يلي هناخد x<sub>1</sub> = 1 و x<sub>2</sub> = 
+
+260
+00:30:03,070 --> 00:30:12,710
+2 طب و x<sub>n</sub> n ≥ 3 هناخده =
+
+261
+00:30:12,710 --> 00:30:24,340
+1/2 في x<sub>n-2</sub> + x<sub>n-1</sub> طبعاً هذا
+
+262
+00:30:24,340 --> 00:30:30,740
+لكل n عدد طبيعي أكبر من أو يساوي 3 إذا هنا في
+
+263
+00:30:30,740 --> 00:30:35,160
+inductive sequence معرفة بطريقة استقرائية أول حدين اللي
+
+264
+00:30:35,160 --> 00:30:41,200
+هم قيم معينة الحد الثالث وانت طالع معرف بدلالة
+
+265
+00:30:41,200 --> 00:30:47,520
+الحدين اللي قبله مباشرة هذا طبعاً بيعطينا
+
+266
+00:30:47,520 --> 00:30:53,720
+sequence المطلوب عايزين نثبت show أن ال sequence x<sub>n</sub>
+
+267
+00:30:53,720 --> 00:31:04,020
+is convergent و converges to the number 5/
+
+268
+00:31:04,020 --> 00:31:12,220
+3 البرهان
+
+269
+00:31:17,020 --> 00:31:24,000
+هنثبت we first show
+
+270
+00:31:24,000 --> 00:31:37,700
+that sequence x<sub>n</sub> converges by
+
+271
+00:31:37,700 --> 00:31:41,700
+showing
+
+272
+00:31:41,700 --> 00:31:46,540
+بإثبات أنه
+
+273
+00:31:51,510 --> 00:32:00,170
+إنها Cauchy thanks
+
+274
+00:32:00,170 --> 00:32:07,610
+to Cauchy criterion
+
+275
+00:32:07,610 --> 00:32:17,390
+طبعاً هذا بفضل معيار كوشي أو Cauchy criterion هنثبت
+
+276
+00:32:17,390 --> 00:32:23,510
+الأول أن ال sequence هي to convergent بإثبات إنه
+
+277
+00:32:23,510 --> 00:32:28,970
+Cauchy وهذا طبعاً حسب Cauchy criterion إذا أثبتنا إن ال
+
+278
+00:32:28,970 --> 00:32:35,730
+sequence Cauchy بتكون convergent تمام فنشوف كيف ممكن
+
+279
+00:32:35,730 --> 00:32:40,150
+نثبت الكلام هذا فأول شيء بدي أثبت إن ال sequence
+
+280
+00:32:40,150 --> 00:32:44,750
+bounded إذن هنا الإدعاء 
+
+281
+00:32:44,750 --> 00:32:51,710
+الأول أو claim number one السيكونس xn الحد العام
+
+282
+00:32:51,710 --> 00:32:56,890
+تبعها أكبر من أو يساوي الواحد أصغر من أو يساوي اثنين
+
+283
+00:32:56,890 --> 00:33:05,050
+لكل n في N لبرهان
+
+284
+00:33:05,050 --> 00:33:11,810
+ذلك to see this use
+
+285
+00:33:11,810 --> 00:33:14,310
+induction
+
+286
+00:33:19,650 --> 00:33:27,010
+on n so I will leave it for you to prove claim one
+
+287
+00:33:27,010 --> 00:33:33,250
+by induction on n فالحالة
+
+288
+00:33:33,250 --> 00:33:38,010
+لو بنشوف بقرا ال statement هذا when n equals one
+
+289
+00:33:38,010 --> 00:33:44,090
+هذا معناه أن المتباينة هذه هتكون x one أكبر من أو
+
+290
+00:33:44,090 --> 00:33:50,360
+يساوي الواحد أصغر من أو يساوي اثنين وهذا true وهذه
+
+291
+00:33:50,360 --> 00:33:56,880
+صحيحة لأن هاي x واحد بساوي واحد والواحد أكبر من
+
+292
+00:33:56,880 --> 00:34:01,620
+أو يساوي الواحد هو less than or equal to إذن ال
+
+293
+00:34:01,620 --> 00:34:06,000
+statement هذا is true for n يساوي one assume it is
+
+294
+00:34:06,000 --> 00:34:09,620
+true for n يساوي k وprove it for n يساوي k زائد
+
+295
+00:34:09,620 --> 00:34:13,500
+واحد فيعني
+
+296
+00:34:13,500 --> 00:34:16,200
+هسيبكم أنتم تكملوا البرهان البرهان سهل
+
+297
+00:34:19,520 --> 00:34:28,600
+So this is claim one الآن by claim one
+
+298
+00:34:28,600 --> 00:34:36,400
+By claim one the
+
+299
+00:34:36,400 --> 00:34:43,020
+sequence xn is bounded حسب
+
+300
+00:34:43,020 --> 00:34:50,140
+claim one لأن claim one أثبتنا فيه أو هتثبتوا فيه
+
+301
+00:34:50,140 --> 00:34:53,880
+أن الـ xn ال sequence xn كل حدود ال sequence
+
+302
+00:34:53,880 --> 00:34:57,740
+محصورة بين واحد واثنين وبالتالي bounded below by
+
+303
+00:34:57,740 --> 00:35:02,680
+one bound above by two وبالتالي bounded okay إذا
+
+304
+00:35:02,680 --> 00:35:15,440
+ال sequence bounded الآن لو كتبنا writing
+
+305
+00:35:15,440 --> 00:35:16,220
+out
+
+306
+00:35:21,120 --> 00:35:29,260
+الأول مرات... المرات
+
+307
+00:35:29,260 --> 00:35:32,100
+الأول مرات... المرات الأول مرات... المرات الأول
+
+308
+00:35:32,100 --> 00:35:32,120
+المرات الأول مرات... المرات الأول مرات الأول مرات
+
+309
+00:35:32,120 --> 00:35:33,160
+مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات
+
+310
+00:35:33,160 --> 00:35:33,480
+الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول
+
+311
+00:35:33,480 --> 00:35:34,040
+مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات
+
+312
+00:35:34,040 --> 00:35:34,600
+الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول
+
+313
+00:35:34,600 --> 00:35:35,980
+مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات
+
+314
+00:35:35,980 --> 00:35:39,620
+الأول مرات الأول
+
+315
+00:35:39,620 --> 00:35:46,440
+مرات الأول
+
+316
+00:35:46,440 --> 00:35:47,720
+مرات
+
+317
+00:35:49,600 --> 00:35:56,440
+is not monotone لو
+
+318
+00:35:56,440 --> 00:36:02,300
+كتبنا أول أربع خمس ست حدود من ال sequence هذه
+
+319
+00:36:02,300 --> 00:36:08,060
+فبلاحظ أنها ليست monotone ليست increasing neither
+
+320
+00:36:08,060 --> 00:36:14,100
+increasing nor decreasing وبالتالي نقدر نستخدم الـ
+
+321
+00:36:14,100 --> 00:36:23,600
+monotone convergence theorem so we can't we can't
+
+322
+00:36:23,600 --> 00:36:31,120
+use the monotone convergence theorem we
+
+323
+00:36:31,120 --> 00:36:31,940
+can't
+
+324
+00:36:35,030 --> 00:36:42,910
+we can't use monotone convergence theorem الـ
+
+325
+00:36:42,910 --> 00:36:46,570
+sequence bounded عشان نستخدم الـ monotone
+
+326
+00:36:46,570 --> 00:36:49,530
+convergence theorem لازم تكون monotone increasing
+
+327
+00:36:49,530 --> 00:36:53,730
+أو monotone decreasing ف it is not monotone
+
+328
+00:36:53,730 --> 00:36:56,610
+فما أقدرش أستخدم ال monotone convergence theorem
+
+329
+00:36:56,610 --> 00:37:03,210
+عشان أفحص ال convergence ال sequence لازم أبحث عن
+
+330
+00:37:03,210 --> 00:37:09,890
+طريقة ثانية غير الـ monotone convergence فيها طيب
+
+331
+00:37:09,890 --> 00:37:16,530
+هنثبت claim 2 claim
+
+332
+00:37:16,530 --> 00:37:24,230
+2 ادعاء ثاني وهو أن ال sequence xn بتحقق المعادلة
+
+333
+00:37:24,230 --> 00:37:30,290
+absolute xn minus xn زائد واحد يساوي واحد على
+
+334
+00:37:30,290 --> 00:37:37,450
+اثنين أس n ناقص واحد وهذا الكلام صحيح for every n
+
+335
+00:37:37,450 --> 00:37:41,950
+في N to
+
+336
+00:37:41,950 --> 00:37:50,510
+see
+
+337
+00:37:50,510 --> 00:37:54,790
+this لبرهان ذلك use induction
+
+338
+00:37:57,680 --> 00:38:03,880
+use induction on n برضه ممكن برهان المعادلة هذه by
+
+339
+00:38:03,880 --> 00:38:09,460
+induction on n هينبرهن
+
+340
+00:38:09,460 --> 00:38:13,540
+البرهان if
+
+341
+00:38:13,540 --> 00:38:24,670
+n يساوي واحد ف absolute x واحد minus x اثنين يساوي
+
+342
+00:38:24,670 --> 00:38:30,010
+absolute واحد ناقص اثنين يساوي absolute واحد يساوي
+
+343
+00:38:30,010 --> 00:38:35,810
+واحد هذا الطرف اليمين والطرف اليسار واحد على
+
+344
+00:38:35,810 --> 00:38:41,370
+اثنين أس n ناقص واحد يساوي واحد على اثنين زائد
+
+345
+00:38:41,370 --> 00:38:49,110
+صفر يساوي واحد واحد يساوي واحد إذا
+
+346
+00:38:49,110 --> 00:38:54,930
+المعادلة true for n يساوي واحد طيب assume ال
+
+347
+00:38:54,930 --> 00:39:06,670
+induction hypothesis الفرض طبع ال induction assume
+
+348
+00:39:06,670 --> 00:39:12,710
+أنه ال...
+
+349
+00:39:12,710 --> 00:39:25,640
+ال claim is true for n يساوي k و k طبعا أكبر من أو يساوي واحد هذا
+
+350
+00:39:25,640 --> 00:39:30,920
+معناه أن absolute xk minus xk زائد واحد يساوي
+
+351
+00:39:30,920 --> 00:39:37,460
+واحد على اثنين أس k ناقص واحد، صح؟ هذه العبارة
+
+352
+00:39:37,460 --> 00:39:44,020
+صحيحة and k
+
+353
+00:39:44,020 --> 00:39:45,600
+أكبر من أو يساوي واحد
+354
+00:39:49,840 --> 00:39:54,580
+الآن تعال نثبت صحة العبارة عند n يساوي k زائد
+
+355
+00:39:54,580 --> 00:39:59,420
+واحد ناخذ الطرف الشمال عندما n يساوي k زائد واحد
+
+356
+00:39:59,420 --> 00:40:06,600
+هذا عبارة عن x k زائد واحد ناقص x k زائد اثنين
+
+357
+00:40:06,600 --> 00:40:14,020
+بدنا نثبت أن هذا يساوي واحد على اثنين أس k صح؟ طب
+
+358
+00:40:14,020 --> 00:40:21,460
+تعال نشوف هي absolute xk زائد واحد ناقص الآن xk
+
+359
+00:40:21,460 --> 00:40:26,760
+زائد اثنين من ال definition تبع ال sequence بدل n
+
+360
+00:40:26,760 --> 00:40:38,320
+بدل n ب k زائد اثنين فبيطلع نص في xk زائد xk زائد
+
+361
+00:40:38,320 --> 00:40:38,760
+واحد
+
+362
+00:40:49,170 --> 00:41:04,590
+وهذا يساوي وهذا يساوي نص في absolute x x
+
+363
+00:41:04,590 --> 00:41:09,430
+k ناقص x k زائد واحد
+
+364
+00:41:16,590 --> 00:41:19,730
+بعد ما نطرح بيطلع عنده نص عامل مشترك و absolute
+
+365
+00:41:19,730 --> 00:41:26,890
+الآن by induction hypothesis من الفرض تبع ال
+
+366
+00:41:26,890 --> 00:41:33,130
+induction ال absolute value هذه أيها ايش يساوي
+
+367
+00:41:33,130 --> 00:41:39,210
+عوض عنها أي نص ضرب one over two to k ناقص one
+
+368
+00:41:39,210 --> 00:41:43,550
+ويساوي واحد على
+
+369
+00:42:09,140 --> 00:42:09,700
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+370
+00:42:09,700 --> 00:42:09,720
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+371
+00:42:09,720 --> 00:42:09,820
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+372
+00:42:09,820 --> 00:42:10,040
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+373
+00:42:10,040 --> 00:42:10,480
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+374
+00:42:10,480 --> 00:42:10,960
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+375
+00:42:15,820 --> 00:42:23,080
+الآن باستخدام ال claim الثاني ممكن نثبت شغلة مهمة
+
+376
+00:42:23,080 --> 00:42:36,380
+في البرهان إذا
+
+377
+00:42:36,380 --> 00:42:43,650
+خليها هادي للمرة الجاية بس بدي أكتبها خليكم أنتم 
+
+378
+00:42:43,650 --> 00:42:53,390
+تفكروا فيها... خليكم أنتم تفكروا فيها Now
+
+379
+00:42:53,390 --> 00:43:11,210
+using a claim to verify... verify that...
+
+380
+00:43:14,770 --> 00:43:23,190
+Fm أكبر من N فهذا
+
+381
+00:43:23,190 --> 00:43:33,530
+بيودي أن absolute Xn ناقص Xm أصغر من واحد على
+
+382
+00:43:33,530 --> 00:43:39,170
+اثنين أس M ناقص اثنين
+
+383
+00:43:45,950 --> 00:43:54,290
+إذاً هذا ممكن إثباته by the triangle inequality و
+
+384
+00:43:54,290 --> 00:44:06,850
+claim اثنين فبنوقف
+
+385
+00:44:06,850 --> 00:44:14,460
+هنا وبنكمل ال... بنكمل إن شاء الله البرهان في
+
+386
+00:44:14,460 --> 00:44:19,680
+المحاضرة الجاية، في حد عنده أي سؤال أو استفسار؟ 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/-3lwzxWH7r8_raw.srt

@@ -0,0 +1,1556 @@
+1
+00:00:21,600 --> 00:00:29,560
+ال .. في المحاضرة السابقة بدأنا التعرف على cushy
+
+2
+00:00:29,560 --> 00:00:35,020
+sequences فأخدنا تعريف ال cushy sequence و أثبتنا
+
+3
+00:00:35,020 --> 00:00:41,000
+أنه كل convergence sequence is cushy و أعتقد كمان
+
+4
+00:00:41,000 --> 00:00:48,510
+أثبتنا أنه كل cushy sequence is bounded صحيح؟اليوم
+
+5
+00:00:48,510 --> 00:00:54,970
+هنثبت العكس و هو ان كل كوشي sequence is convergent
+
+6
+00:00:54,970 --> 00:01:00,630
+فنستعيد بس نستذكر مع بعض تعريف الكوشي sequence
+
+7
+00:01:00,630 --> 00:01:07,450
+definition a
+
+8
+00:01:07,450 --> 00:01:14,010
+sequence of real numbers xn is
+
+9
+00:01:14,010 --> 00:01:14,710
+cauchy
+
+10
+00:01:18,570 --> 00:01:26,170
+إذا تحقق الشرط التالي لكل epsilon أكبر من الصفر
+
+11
+00:01:26,170 --> 00:01:32,270
+يوجد capital N depends on epsilon natural number
+
+12
+00:01:32,270 --> 00:01:41,660
+such that لو كان N و N bigger than or equal Nthis
+
+13
+00:01:41,660 --> 00:01:48,840
+implies أن absolute value ل xn minus xm أصغر من
+
+14
+00:01:48,840 --> 00:01:53,960
+إيصال وشوفنا
+
+15
+00:01:53,960 --> 00:02:03,260
+المرة اللي فاتت أو برهننا limit 2 و 21 every
+
+16
+00:02:03,260 --> 00:02:06,820
+convergent
+
+17
+00:02:11,450 --> 00:02:17,190
+sequence is cauchy
+
+18
+00:02:17,190 --> 00:02:27,510
+ثم برهنة another لمبة لمبة اتنين و عشرين بتقول
+
+19
+00:02:27,510 --> 00:02:34,250
+اللمبة هذه ان every cauchy
+
+20
+00:02:34,250 --> 00:02:35,010
+sequence
+
+21
+00:02:40,290 --> 00:02:49,630
+is bounded اليوم
+
+22
+00:02:49,630 --> 00:02:59,890
+هنثبت نظرية مهمة نظرية اتنين تلاتة وعشرين وهذه
+
+23
+00:02:59,890 --> 00:03:07,310
+النظرية هي كوشي كوشي
+
+24
+00:03:07,310 --> 00:03:08,150
+criterion
+
+25
+00:03:11,820 --> 00:03:18,680
+أو معيار كوشي معيار
+
+26
+00:03:18,680 --> 00:03:25,580
+كوشي للتقارب النظرية
+
+27
+00:03:25,580 --> 00:03:35,800
+بتنص على أن a sequence x in contained in R is
+
+28
+00:03:35,800 --> 00:03:36,700
+convergent
+
+29
+00:03:39,150 --> 00:03:55,130
+is convergent if and only if it is cauchy any
+
+30
+00:03:55,130 --> 00:04:00,610
+sequence of real numbers بتكون convergent if and
+
+31
+00:04:00,610 --> 00:04:04,750
+only if it is cauchy البرهان
+
+32
+00:04:09,110 --> 00:04:15,430
+this part اللي هو ال only if part هذا هو نفسه لمّة
+
+33
+00:04:15,430 --> 00:04:29,890
+واحدة عشرين if x in is convergent then
+
+34
+00:04:29,890 --> 00:04:32,990
+by
+
+35
+00:04:32,990 --> 00:04:37,210
+لمّة واحدة عشرين
+
+36
+00:04:40,710 --> 00:04:46,370
+it is cushy it is cushy
+
+37
+00:04:46,370 --> 00:04:51,850
+لأن هذا جزء برهناه في المحاضرة السابقة على صورة
+
+38
+00:04:51,850 --> 00:05:00,710
+لمة واحد وعشرين ال .. ال if part هنبرهنه اليوم
+
+39
+00:05:00,710 --> 00:05:09,520
+هنشوف مع بعض assume العكسassume أن الـ sequence x
+
+40
+00:05:09,520 --> 00:05:16,100
+in is Cauchy وبدنا
+
+41
+00:05:16,100 --> 00:05:25,280
+نثبت إنها convergent طيب بما إنها Cauchy then
+
+42
+00:05:25,280 --> 00:05:31,540
+by لمّا اتنين و عشرين تطلع bounded
+
+43
+00:05:36,760 --> 00:05:43,280
+إذا by لمبة إتنين و عشرين ال sequence x in is
+
+44
+00:05:43,280 --> 00:05:52,560
+bounded بستخدام
+
+45
+00:05:52,560 --> 00:05:55,600
+Bolzano-Weierstrass theorem
+
+46
+00:06:05,480 --> 00:06:09,240
+اللي أخدناها المحاضرة السابقة أو اللي قبلها هذا
+
+47
+00:06:09,240 --> 00:06:15,960
+اختصار بولزانو ويرشتراس بولزانو ويرشتراس هنا بتقول
+
+48
+00:06:15,960 --> 00:06:18,900
+انه كل bounded sequence has a convergent
+
+49
+00:06:18,900 --> 00:06:27,720
+subsequence فهي عندي bounded sequence sequence x
+
+50
+00:06:27,720 --> 00:06:33,480
+in has a
+
+51
+00:06:33,480 --> 00:06:34,560
+convergent
+
+52
+00:06:39,950 --> 00:06:44,370
+sub-sequence x
+
+53
+00:06:44,370 --> 00:06:57,970
+in k وها دي converges to x star تنتمي إلى R طبعا؟
+
+54
+00:06:57,970 --> 00:07:03,550
+إذن هذه sub-sequence من x in وconvergent to some x
+
+55
+00:07:03,550 --> 00:07:05,350
+star تنتمي إلى R
+
+56
+00:07:08,910 --> 00:07:14,610
+طيب احنا عايزين نثبت claim عايزين
+
+57
+00:07:14,610 --> 00:07:24,210
+احنا نثبت ان ال sequence xn converges الى العدد
+
+58
+00:07:24,210 --> 00:07:32,530
+x star وبالتالي هيك بنكمل برهان انظرية صح؟ فلبرهان
+
+59
+00:07:32,530 --> 00:07:33,090
+ذلك
+
+60
+00:07:36,470 --> 00:07:44,330
+نستخدم تعريف epsilon capital N للـ limit فبنبدأ بـ
+
+61
+00:07:44,330 --> 00:07:47,790
+epsilon أكبر من السفر عشوائية let epsilon أكبر من
+
+62
+00:07:47,790 --> 00:07:57,240
+السفر be givenنحتاج أن نشهر أن هناك كابتل N كمية
+
+63
+00:07:57,240 --> 00:07:59,060
+عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون
+
+64
+00:07:59,060 --> 00:08:00,120
+كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على
+
+65
+00:08:00,120 --> 00:08:02,780
+إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد
+
+66
+00:08:02,780 --> 00:08:05,280
+على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة
+
+67
+00:08:05,280 --> 00:08:08,080
+تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون كمية
+
+68
+00:08:08,080 --> 00:08:09,960
+عامة تعتمد على إبسلون كمية عامة تعتمد على إبسلون
+
+69
+00:08:09,960 --> 00:08:14,020
+كمية عامة تعتمد على إبسلون
+
+70
+00:08:14,020 --> 00:08:21,080
+كمية عامة تعتمد على إبسلون
+
+71
+00:08:23,720 --> 00:08:27,960
+وهي إبسلون given، إذا by definition of Cauchy
+
+72
+00:08:27,960 --> 00:08:33,920
+sequence there exists capital N depends on إبسلون
+
+73
+00:08:33,920 --> 00:08:44,200
+natural number such that لكل N و M أكبر من أو ساوي
+
+74
+00:08:44,200 --> 00:08:50,400
+capital N، this implies an absolute X N minus X M
+
+75
+00:08:52,000 --> 00:09:00,760
+less than epsilon at null نسمي
+
+76
+00:09:00,760 --> 00:09:06,380
+ال implication هيا دي star طيب
+
+77
+00:09:06,380 --> 00:09:12,900
+احنا حصلنا على انه ال sequence x أو ال subsequence
+
+78
+00:09:12,900 --> 00:09:18,080
+x in k converges to x star
+
+79
+00:09:20,890 --> 00:09:25,870
+إذا لنفس الـ Epsilon و Epsilon هي نفس الـ Epsilon
+
+80
+00:09:25,870 --> 00:09:34,130
+given فمن تعريف ال convergence for
+
+81
+00:09:34,130 --> 00:09:39,950
+same Epsilon أكبر من الصفر نفس الـ Epsilon اللي
+
+82
+00:09:39,950 --> 00:09:47,070
+هناك نقدر نلاقي يوجد capital K عدد طبيعي capital K
+
+83
+00:09:49,980 --> 00:09:55,920
+وهذا العدد .. هذا عبارة عن عدد طبيعي وهذا العدد
+
+84
+00:09:55,920 --> 00:10:01,240
+الطبيعي هو واحد من مؤشرات الـ subsequence اللي هم
+
+85
+00:10:01,240 --> 00:10:10,300
+n واحد, n اتنين, n تلاتة و
+
+86
+00:10:10,300 --> 00:10:17,500
+هكذاإذا يوجد كابتل K اللي هو واحد عدد طبيعي وهذا
+
+87
+00:10:17,500 --> 00:10:23,080
+واحد من مؤشرات ال subsequence ممكن أختاره هذا
+
+88
+00:10:23,080 --> 00:10:32,400
+كابتل K أكبر من أو ساوي كابتل N بحيث
+
+89
+00:10:32,400 --> 00:10:41,800
+أن ال absolute value ل Xcapital K minus X star
+
+90
+00:10:41,800 --> 00:10:50,000
+أصغر من إبسلون على اتنين كمان
+
+91
+00:10:50,000 --> 00:10:54,280
+مرة السب سيكوينس هي هتconverge ل X star إذا في
+
+92
+00:10:54,280 --> 00:11:02,780
+capital K natural number و هو واحد من large واحد
+
+93
+00:11:02,780 --> 00:11:10,220
+من ال indices و طبعا كبيرهو ممكن نختاره أكبر من أو
+
+94
+00:11:10,220 --> 00:11:15,720
+ساوي capital N بحيث المسافة بين X كابتل K و X أصلا
+
+95
+00:11:15,720 --> 00:11:21,480
+أصغر من ي على 2 هو ممكن أن أنا يعني هذا أحط هنا K
+
+96
+00:11:21,480 --> 00:11:26,160
+و أقول أن هذا أصغر من ي على 2 لكل K أكبر من أو
+
+97
+00:11:26,160 --> 00:11:33,030
+ساوي كابتل Kصح؟ مش هيك تعريف ال convergence لكن
+
+98
+00:11:33,030 --> 00:11:39,730
+انا بدي اخد K بساوي كابتل K وبالتالي اخد بس X
+
+99
+00:11:39,730 --> 00:11:45,270
+كابتل K المسافة بينها و بين X star أصغر من Y على 2
+
+100
+00:11:45,270 --> 00:11:53,290
+نسمي المتباينة هذه double star الان
+
+101
+00:11:53,290 --> 00:11:53,950
+now
+
+102
+00:11:59,240 --> 00:12:08,140
+أنا عندي كابتل كأكبر من أو ساوي كابتل N so
+
+103
+00:12:08,140 --> 00:12:14,320
+by star by
+
+104
+00:12:14,320 --> 00:12:25,600
+star with M بساوي كابتل K we
+
+105
+00:12:25,600 --> 00:12:26,720
+have لدينا
+
+106
+00:12:30,820 --> 00:12:40,660
+absolute xn minus x capital k أصغر من y ع 2 نسمي
+
+107
+00:12:40,660 --> 00:12:49,900
+هذه المتباينة triple triple star كمان مرة ال k هذه
+
+108
+00:12:49,900 --> 00:12:59,980
+اختارناها أكبر منها و يساوي n و من starإذا كانت
+
+109
+00:12:59,980 --> 00:13:05,100
+الـ K .. إذا خدت M بساوي كابتال K و هذه أكبر من أو
+
+110
+00:13:05,100 --> 00:13:11,400
+ساوي N فبتصير المتباينة هذه absolute XN minus XK
+
+111
+00:13:11,400 --> 00:13:17,260
+أزرع من إبسط على اتنين و الـ N هذه لازم تكون أكبر
+
+112
+00:13:17,260 --> 00:13:22,780
+من أو ساوي M، إذن هذا صحيح لكل small M أكبر من أو
+
+113
+00:13:22,780 --> 00:13:24,260
+ساوي كابتال M
+
+114
+00:13:29,670 --> 00:13:35,670
+تمام hence by
+
+115
+00:13:35,670 --> 00:13:44,050
+double star الآن من double star and triple star
+
+116
+00:13:48,930 --> 00:13:57,270
+لدينا we have لو كان n أكبر من أو ساوي capital N
+
+117
+00:13:57,270 --> 00:14:11,330
+فهذا بيقدي أنه absolute xn minus x star طبعا
+
+118
+00:14:11,330 --> 00:14:18,530
+هنا هترح x capital K و هرجعها
+
+119
+00:14:28,690 --> 00:14:38,730
+إذا I subtracted XK and get it back باخد هدوع
+
+120
+00:14:38,730 --> 00:14:43,640
+الأثنين مع بعض و التحدين هدوع مع بعضالـ absolute
+
+121
+00:14:43,640 --> 00:14:49,100
+value بالترانجل inequality بالترانجل الانيقواليتي
+
+122
+00:14:49,100 --> 00:14:54,380
+هذا أصغر من أسابع absolute الحد الأول اللي هو xn
+
+123
+00:14:54,380 --> 00:15:01,400
+minus xk زائد absolute الحد التاني اللي هو xk
+
+124
+00:15:01,400 --> 00:15:08,500
+minus x star الآن
+
+125
+00:15:08,500 --> 00:15:16,750
+باستخدام triple starمن المتباينة هذه هاي عندي انا
+
+126
+00:15:16,750 --> 00:15:23,170
+x اول شي ال n small n أكبر من أو ساوي capital N
+
+127
+00:15:23,170 --> 00:15:28,590
+هاي small n أكبر من أو ساوي capital N وبالتالي ال
+
+128
+00:15:28,590 --> 00:15:34,870
+absolute value هذه أصغر من epsilon على اتنين زاد و
+
+129
+00:15:34,870 --> 00:15:42,360
+من double star من double starهي عندي absolute x K
+
+130
+00:15:42,360 --> 00:15:47,640
+minus x star أصغر من إبسمن على اتنين المجموع بتطلع
+
+131
+00:15:47,640 --> 00:15:53,460
+إبسمن since
+
+132
+00:15:53,460 --> 00:16:00,000
+إبسمن أكبر من السفر was arbitrarily
+
+133
+00:16:03,850 --> 00:16:09,870
+نحن لدينا من مفهوم الـ convergence أنه هيك منكون
+
+134
+00:16:09,870 --> 00:16:16,690
+أثبتنا أنه limit xn as n tends to infinity equals
+
+135
+00:16:16,690 --> 00:16:26,790
+x star وهذا بكمل برهان ال claim و النظرية تمام؟
+
+136
+00:16:26,790 --> 00:16:32,160
+هاي لاحظوا أن احنابنثبت أننا ندعي أن الـSequence
+
+137
+00:16:32,160 --> 00:16:35,660
+Xn هي الـConversion لـX الصار حسب تعريف epsilon
+
+138
+00:16:35,660 --> 00:16:40,360
+capital N للـLimits بدأنا بـepsilon given عشوائية
+
+139
+00:16:40,360 --> 00:16:46,360
+عدد موجب أثبتنا هي يوجد capital N يعتمد على
+
+140
+00:16:46,360 --> 00:16:51,660
+epsilon أشرر numberبحيث انه لكل N أكبر من او ساوي
+
+141
+00:16:51,660 --> 00:16:59,400
+capital N طلع absolute xn minus x star less than
+
+142
+00:16:59,400 --> 00:17:07,300
+epsilon لما ان هذا الكلام صحيح لكل epsilonإذا by
+
+143
+00:17:07,300 --> 00:17:10,880
+definition limit xn ساوي x أسطورة، إذا ال sequence
+
+144
+00:17:10,880 --> 00:17:14,240
+convergent إذا هذا بيكمل البرهان إن لو كانت ال
+
+145
+00:17:14,240 --> 00:17:18,800
+sequence كوشي then it is convergent تمام واضح
+
+146
+00:17:18,800 --> 00:17:23,960
+البرهان؟ okay حلو إذا نعم
+
+147
+00:17:28,410 --> 00:17:32,690
+مش احنا حاكينا ان x and is bounded؟ صحيح طيب الحين
+
+148
+00:17:32,690 --> 00:17:37,530
+في عند قلب بالنزام و بالسترس في عند x and في عند
+
+149
+00:17:37,530 --> 00:17:41,470
+conversion subsequence صح هدا هي صح conversion ل x
+
+150
+00:17:41,470 --> 00:17:46,590
+and to some x star احنا أخدنا نظرية إذا كانت ال
+
+151
+00:17:46,590 --> 00:17:51,110
+conversion subsequence converge to x و x to r ف x
+
+152
+00:17:51,110 --> 00:17:55,890
+and تكون converge ل x لا مااخدنا نظرية زيك انت مش
+
+153
+00:17:55,890 --> 00:17:57,050
+خارق النظرية صح
+
+154
+00:18:00,740 --> 00:18:05,020
+لأ النظرية مابتحكيش هيك معلش النظرية هذه بتقول لو
+
+155
+00:18:05,020 --> 00:18:09,700
+أنا في عندي bounded sequence و لو كل convergent
+
+156
+00:18:09,700 --> 00:18:13,940
+sequence من ال sequence هذه convergent لعدد X
+
+157
+00:18:13,940 --> 00:18:19,160
+فلازم ال sequence نفسها تكون convergent ل X أنا
+
+158
+00:18:19,160 --> 00:18:22,900
+عندي بس sequence sub sequence واحدة converged ل X
+
+159
+00:18:22,900 --> 00:18:26,860
+أصلا و ليس every convergent subsequence converged
+
+160
+00:18:26,860 --> 00:18:31,790
+ل X أصلافالفرض التاني تبع النظرية اللي بتحكي عنها
+
+161
+00:18:31,790 --> 00:18:38,270
+مش متحقق وبالتالي لا استطيع تطبيق النظرية تمام؟ في
+
+162
+00:18:38,270 --> 00:18:45,290
+اي سؤال تاني؟ okay ده سؤال كتير يعني مهم و .. و ..
+
+163
+00:18:45,290 --> 00:18:51,790
+و جيد و ياريت يعني اي حد عنده تساؤل زي هذا يعني
+
+164
+00:18:51,790 --> 00:18:58,410
+يسأله هل في اي شي في القرآن مش واضح؟ واضح اكتر من
+
+165
+00:18:58,410 --> 00:19:02,990
+هيك؟Okay أعتقد أن البرهان واضح يعني لو قرأته
+
+166
+00:19:02,990 --> 00:19:10,710
+بتماعه هتجد أنه يعني سهل و بسيط طيب ناخد أمثلة على
+
+167
+00:19:10,710 --> 00:19:17,430
+كيف نستخدم تعريف ال koshi sequence في إثبات أنه
+
+168
+00:19:17,430 --> 00:19:25,730
+given sequence is koshi باستخدام التعريف مباشرة و
+
+169
+00:19:25,730 --> 00:19:28,410
+ليس باستخدام اللي هو koshi criterion
+
+170
+00:19:31,950 --> 00:19:47,490
+إذا ناخد هنا بعض الأمثلة examples
+
+171
+00:19:47,490 --> 00:19:52,930
+الأمثلة
+
+172
+00:19:52,930 --> 00:20:00,250
+دي أنا أعطيها الرقم 224 أول مثال show
+
+173
+00:20:04,710 --> 00:20:13,310
+directly show direct that
+
+174
+00:20:13,310 --> 00:20:20,390
+ال sequence ال
+
+175
+00:20:20,390 --> 00:20:25,130
+sequence واحد على ان is Cauchy
+
+176
+00:20:35,150 --> 00:20:39,630
+لما اقول show directly ان ال sequence معينة is
+
+177
+00:20:39,630 --> 00:20:44,450
+Cauchy معناها ده بدي استخدم التعريف بدي استخدم
+
+178
+00:20:44,450 --> 00:20:50,450
+التعريف تبع Cauchy sequence فنشوف
+
+179
+00:20:50,450 --> 00:20:56,210
+مع بعض طبعا
+
+180
+00:20:56,210 --> 00:21:02,230
+البرهانباستخدام التعريف هنبدأ بأبسلون أكبر من
+
+181
+00:21:02,230 --> 00:21:07,510
+السفر ونرد عليها بcapital N بتخلي ال implication
+
+182
+00:21:07,510 --> 00:21:13,890
+هي دي تتحقق بالظبط زي .. يعني قريب يعني بالظبط زي
+
+183
+00:21:13,890 --> 00:21:18,370
+ما عملنا في اثبات ان ال sequence is convergent و
+
+184
+00:21:18,370 --> 00:21:27,670
+هنستخدم الarchimedean property نشوف مع بعض let
+
+185
+00:21:29,570 --> 00:21:37,110
+بالمناسبة .. بالمناسبة يعني احنا كيف نحدد ال
+
+186
+00:21:37,110 --> 00:21:40,010
+capital N for any given epsilon؟
+
+187
+00:21:48,010 --> 00:21:54,270
+أنا يعني هي عندي absolute xn minus xm لو في عندي
+
+188
+00:21:54,270 --> 00:21:59,310
+epsilon given epsilon موجة given فمن الآخر أنا
+
+189
+00:21:59,310 --> 00:22:05,190
+عايز أثبت أنه هذا أصغر من إمسنان، مظبوط؟ طب ما هذا
+
+190
+00:22:05,190 --> 00:22:11,530
+عبارة عن absolute واحد على n minus واحد على m وهذا
+
+191
+00:22:11,530 --> 00:22:16,250
+أصغر من أو ساوي absolute واحد على n زائد absolute
+
+192
+00:22:16,250 --> 00:22:23,490
+واحد على mبصبوط وهذه أعداد موجبة فهذا واحد على M
+
+193
+00:22:23,490 --> 00:22:28,290
+زائد واحد على M طيب
+
+194
+00:22:28,290 --> 00:22:33,950
+أنا عايز أجيب capital M بحيث
+
+195
+00:22:33,950 --> 00:22:39,050
+أنه لو كانت ال N و ال M أكبر من أو ساوي capital N
+
+196
+00:22:39,050 --> 00:22:44,670
+فبدنا هذا يؤدي إلى ال absolute value هذه أصغر من
+
+197
+00:22:44,670 --> 00:22:49,460
+إبسلونإذن ال N و ال M هدول لازم يكونوا أكبر من
+
+198
+00:22:49,460 --> 00:22:53,880
+capital N اللي أنا مش عارف إيش هي، بدي أجيبها، إذن
+
+199
+00:22:53,880 --> 00:23:02,480
+و بالتالي من هنا هذا بيقدي إن واحد على N و كذلك
+
+200
+00:23:02,480 --> 00:23:10,060
+واحد على M أصغر من أوسع واحد على capital N، صح؟إذا
+
+201
+00:23:10,060 --> 00:23:14,720
+كانت n أكبر من أو يساوي capital N ف1 على n هتصير
+
+202
+00:23:14,720 --> 00:23:19,100
+أصغر من أو يساوي 1 على capital N وكذلك بالنسبة ل
+
+203
+00:23:19,100 --> 00:23:25,620
+M، مظبوط؟ إذاً هذا هيصير أصغر من أو يساوي 1 على
+
+204
+00:23:25,620 --> 00:23:30,620
+capital N وهذا أصغر من 1 على capital N بساوي 2 على
+
+205
+00:23:30,620 --> 00:23:34,980
+capital M الآن بدي أخلي هذا، متى بيكون هذا أصغر من
+
+206
+00:23:34,980 --> 00:23:45,300
+epsilon؟أه، إذا هاخد n أصغر من epsilon على 2 أو 1
+
+207
+00:23:45,300 --> 00:23:51,080
+على n أصغر من epsilon على 2 إذا هذا أصغر من
+
+208
+00:23:51,080 --> 00:23:56,720
+epsilon عندما 1 على n أصغر من epsilon على 2 طيب،
+
+209
+00:23:56,720 --> 00:24:03,640
+أنا لو بدأت بepsilon عدد موجب فepsilon على 2 بطلع
+
+210
+00:24:03,640 --> 00:24:08,540
+عدد موجب و by Archimedean propertyلأي عدد موجب زي
+
+211
+00:24:08,540 --> 00:24:13,740
+هذا يوجد capital N عدد طبيعي بحيث مقلوب و أصغر من
+
+212
+00:24:13,740 --> 00:24:18,440
+epsilon ع اتنين اذا capital N اللي بتعتمد ع ال
+
+213
+00:24:18,440 --> 00:24:22,380
+given epsilon لازم تكون مقلوبها أصغر من epsilon ع
+
+214
+00:24:22,380 --> 00:24:26,800
+اتنين عشان يطلع هذا أصغر من epsilon شوفتوا كيف
+
+215
+00:24:26,800 --> 00:24:31,240
+منطلق ال capital N و ال Archimedean property طبعا
+
+216
+00:24:31,240 --> 00:24:38,930
+تضمنلي وجود مثل هالعدد capital Nتمام؟ إذا باجي
+
+217
+00:24:38,930 --> 00:24:42,790
+بقول هنا let epsilon الكلام هذا طبعا بعمله في
+
+218
+00:24:42,790 --> 00:24:47,690
+الهامش بعدين باجي برتبه بقول let epsilon أكبر من
+
+219
+00:24:47,690 --> 00:24:56,610
+السفر be given إذا
+
+220
+00:24:56,610 --> 00:25:00,930
+it choose by
+
+221
+00:25:00,930 --> 00:25:04,110
+Archimedean property
+
+222
+00:25:08,750 --> 00:25:19,250
+نختار capital N عدد طبيعي بحيث انه مقلوب ال N أصغر
+
+223
+00:25:19,250 --> 00:25:24,910
+من إبسلون على اتنين إذا هان أثبتت يوجد capital N
+
+224
+00:25:24,910 --> 00:25:29,190
+وهي اعتمد على إبسلون هي مرتبطة بإبسلون
+
+225
+00:25:35,760 --> 00:25:41,740
+هذا هيعطينا ال implication تبع الكوشي sequence
+
+226
+00:25:41,740 --> 00:25:46,240
+then
+
+227
+00:25:46,240 --> 00:25:54,280
+لو أخدت N و M أكبر من أوسع ال capital N هذه
+
+228
+00:25:54,280 --> 00:26:04,420
+فبالتأكيد هذا هيقدر ال 1 على N و كذلكواحد على M
+
+229
+00:26:04,420 --> 00:26:09,300
+كلهما أصغر من أو ساوي واحد على capital N وهذا
+
+230
+00:26:09,300 --> 00:26:15,120
+بدوره بيقدي أنه absolute واحد على M minus واحد على
+
+231
+00:26:15,120 --> 00:26:26,020
+M طبعا هذه XM وهذه XM فشوفنا أن هذا أصغر من أو
+
+232
+00:26:26,020 --> 00:26:29,940
+ساوي absolute واحد على Mباستخدام ال triangle
+
+233
+00:26:29,940 --> 00:26:36,140
+inequality زائد absolute سالب واحد على M اللي هو
+
+234
+00:26:36,140 --> 00:26:44,520
+absolute واحد على M طيب هذا بساوي واحد على M زائد
+
+235
+00:26:44,520 --> 00:26:49,800
+واحد على M لإن رد عداد موجبة وقول إن هذا أصغر من
+
+236
+00:26:49,800 --> 00:26:55,830
+أو يساوي واحد على Mزايد واحد على N وهذا بيساوي
+
+237
+00:26:55,830 --> 00:27:05,510
+اتنين على N وهذا من الاختيار تبعنا ل capital N by
+
+238
+00:27:05,510 --> 00:27:15,990
+star اتنين على N أصغر من epsilon طب
+
+239
+00:27:15,990 --> 00:27:22,830
+ما هذه .. هذا هو شرط Koshi صح؟ هذا هو شرط Koshiإذا
+
+240
+00:27:22,830 --> 00:27:28,310
+by definition بما أن هذا صحيح لكل epsilon since
+
+241
+00:27:28,310 --> 00:27:39,990
+epsilon أكبر من الصفر was arbitrary by
+
+242
+00:27:39,990 --> 00:27:45,830
+definition of Cauchy sequence ال sequence xn is
+
+243
+00:27:45,830 --> 00:27:50,990
+اللي هي واحد على n اللي الحد العام تبعها واحد على
+
+244
+00:27:50,990 --> 00:27:57,610
+nis Cauchy تمام
+
+245
+00:27:57,610 --> 00:28:04,230
+هنا أثبتنا إن ال sequence Cauchy مباشرة باستخدام
+
+246
+00:28:04,230 --> 00:28:12,050
+التعريف طبعا في برهان تاني ممكن نستخدم Cauchy
+
+247
+00:28:12,050 --> 00:28:18,290
+criterion احنا ممكن نثبت إن ال sequence هذي
+
+248
+00:28:18,290 --> 00:28:24,620
+convergentو أثبتنا هذا الكلام جبليك صح؟ و حسب
+
+249
+00:28:24,620 --> 00:28:28,640
+cushy criterion بما أنه ال sequence convergent
+
+250
+00:28:28,640 --> 00:28:32,760
+then it is cushy صح؟ هذا برهان تاني لكن إذا كنا
+
+251
+00:28:32,760 --> 00:28:38,260
+لكم برهنيها directly يعني استخدم التعريف لازم
+
+252
+00:28:38,260 --> 00:28:45,600
+البرهان هذا هو اللي إيه تكتبوه واضح تمام؟ في أي
+
+253
+00:28:45,600 --> 00:28:46,400
+استفسار؟
+
+254
+00:28:50,060 --> 00:28:51,700
+ناخد مثال تاني
+
+255
+00:29:18,730 --> 00:29:27,750
+مثال تقم اتنين consider .. consider
+
+256
+00:29:27,750 --> 00:29:36,370
+ال sequence defined
+
+257
+00:29:36,370 --> 00:29:38,710
+inductively
+
+258
+00:29:48,750 --> 00:29:52,770
+إذا في عن��ي sequence معرفة بطريقة استقرائية
+
+259
+00:29:52,770 --> 00:30:03,070
+كالتالي كما هي ليه هناخد x1 بساوي واحد و x2 بساوي
+
+260
+00:30:03,070 --> 00:30:12,710
+اتنين طب و xn-n أكبر من أو ساوي تلاتة هناخده بساوي
+
+261
+00:30:12,710 --> 00:30:24,340
+نص فيxn سالب اتنين زائد xn negative one طبعا هذا
+
+262
+00:30:24,340 --> 00:30:30,740
+لكل n أدب طبيعي أكبر من أو ساوى تلاتة اذا هنا في
+
+263
+00:30:30,740 --> 00:30:35,160
+اندي سيكوانس معرفة بطريقة استقرائية اول حدين اللي
+
+264
+00:30:35,160 --> 00:30:41,200
+هم قيم معينة الحد التالت وانت طالع معرف بدلالة
+
+265
+00:30:41,200 --> 00:30:47,520
+الحد اللي حدين اللي جابله مباشرةهذا طبعا بيعطينا
+
+266
+00:30:47,520 --> 00:30:53,720
+sequence المطلوب عايزين نثبت show ان ال sequence x
+
+267
+00:30:53,720 --> 00:31:04,020
+in is convergent و converges to the number 5 over
+
+268
+00:31:04,020 --> 00:31:12,220
+3 البرهان
+
+269
+00:31:17,020 --> 00:31:24,000
+هنثبت we first show
+
+270
+00:31:24,000 --> 00:31:37,700
+that sequence xn converges by
+
+271
+00:31:37,700 --> 00:31:41,700
+showing
+
+272
+00:31:41,700 --> 00:31:46,540
+بإثبات أنه
+
+273
+00:31:51,510 --> 00:32:00,170
+إنها كوشي thanks
+
+274
+00:32:00,170 --> 00:32:07,610
+to koshi criterion
+
+275
+00:32:07,610 --> 00:32:17,390
+طبعا هذا بفضل معيار كوشي أو كوشي criterion هنثبت
+
+276
+00:32:17,390 --> 00:32:23,510
+الأول أن ال sequence هي to convergentبإثبات إنه
+
+277
+00:32:23,510 --> 00:32:28,970
+كوشي وهذا طبعا حسب كوشي criterion إذا أثبتنا إن ال
+
+278
+00:32:28,970 --> 00:32:35,730
+sequence كوشي بتكون convergent تمام فنشوف كيف ممكن
+
+279
+00:32:35,730 --> 00:32:40,150
+نثبت الكلام هذا فأول شيء بدي أثبت إن ال sequence
+
+280
+00:32:40,150 --> 00:32:44,750
+bounded إذن هنا الإدعاء
+
+281
+00:32:44,750 --> 00:32:51,710
+الأول أو claim number oneالسيكونس xn الحد العام
+
+282
+00:32:51,710 --> 00:32:56,890
+تبعها أكبر من أو ساوي الواحد أصغر من أو ساوي اتنين
+
+283
+00:32:56,890 --> 00:33:05,050
+لكل n في n لبرهان
+
+284
+00:33:05,050 --> 00:33:11,810
+ذلك to see this use
+
+285
+00:33:11,810 --> 00:33:14,310
+induction
+
+286
+00:33:19,650 --> 00:33:27,010
+on n so I will leave it for you to prove claim one
+
+287
+00:33:27,010 --> 00:33:33,250
+by induction on n فالحالة
+
+288
+00:33:33,250 --> 00:33:38,010
+لو بنشوف بقرا ال statement هذا when n equals one
+
+289
+00:33:38,010 --> 00:33:44,090
+هذا معناه ان المتباين هذه هتكون x one أكبر من أو
+
+290
+00:33:44,090 --> 00:33:50,360
+ساوى الواحد أصغر من أو ساوى اتنين وهذا trueو هذه
+
+291
+00:33:50,360 --> 00:33:56,880
+صحيحة لأن هاي x واحد بساوي واحد و الواحد أكبر من
+
+292
+00:33:56,880 --> 00:34:01,620
+أو ساوي الواحد هو less than or equal to لذن ال
+
+293
+00:34:01,620 --> 00:34:06,000
+statement هذا is true for n بساوي one assume it is
+
+294
+00:34:06,000 --> 00:34:09,620
+true for n بساوي k و prove it for n بساوي k زاد
+
+295
+00:34:09,620 --> 00:34:13,500
+واحد فيعني
+
+296
+00:34:13,500 --> 00:34:16,200
+هسيبكم أنتم تكملوا البرهان البرهان سهل
+
+297
+00:34:19,520 --> 00:34:28,600
+So this is claim one الان by claim one
+
+298
+00:34:28,600 --> 00:34:36,400
+By claim one The
+
+299
+00:34:36,400 --> 00:34:43,020
+sequence x in is bounded حسب
+
+300
+00:34:43,020 --> 00:34:50,140
+claim one لأن claim oneأثبتنا فيه أو هتثبتوا فيه
+
+301
+00:34:50,140 --> 00:34:53,880
+ان الـ x in ال sequence x كل حدود ال sequence
+
+302
+00:34:53,880 --> 00:34:57,740
+محصورة بين واحد واتنين وبالتالي bounded below by
+
+303
+00:34:57,740 --> 00:35:02,680
+one bound above by two وبالتالي bounded okay إذا
+
+304
+00:35:02,680 --> 00:35:15,440
+ال sequence bounded الآن لو كتبنا writing
+
+305
+00:35:15,440 --> 00:35:16,220
+out
+
+306
+00:35:21,120 --> 00:35:29,260
+الأول مرات .. المرات
+
+307
+00:35:29,260 --> 00:35:32,100
+الأول مرات .. المرات الأول مرات .. المرات الأول
+
+308
+00:35:32,100 --> 00:35:32,100
+مرات .. المرات الأول مرات .. المرات الأول مرات ..
+
+309
+00:35:32,100 --> 00:35:32,120
+المرات الأول مرات .. المرات الأول مرات الأول مرات
+
+310
+00:35:32,120 --> 00:35:32,120
+الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول
+
+311
+00:35:32,120 --> 00:35:33,160
+مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات
+
+312
+00:35:33,160 --> 00:35:33,480
+الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول
+
+313
+00:35:33,480 --> 00:35:34,040
+مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات
+
+314
+00:35:34,040 --> 00:35:34,600
+الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول
+
+315
+00:35:34,600 --> 00:35:35,980
+مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات الأول مرات
+
+316
+00:35:35,980 --> 00:35:39,620
+الأول مرات الأول
+
+317
+00:35:39,620 --> 00:35:46,440
+مرات الأول
+
+318
+00:35:46,440 --> 00:35:47,720
+مرات
+
+319
+00:35:49,600 --> 00:35:56,440
+is not monotone لو
+
+320
+00:35:56,440 --> 00:36:02,300
+كتبنا أول أربع خمس ست حدود من ال sequence هذه
+
+321
+00:36:02,300 --> 00:36:08,060
+فبلاحظ أنها ليست monotone ليست increasing neither
+
+322
+00:36:08,060 --> 00:36:14,100
+increasing nor decreasingوبالتالي نقدر نستخدم الـ
+
+323
+00:36:14,100 --> 00:36:23,600
+monotone convergence theorem so we can't we can't
+
+324
+00:36:23,600 --> 00:36:31,120
+use ال monotone convergence theorem we
+
+325
+00:36:31,120 --> 00:36:31,940
+can't
+
+326
+00:36:35,030 --> 00:36:42,910
+we can't use monotone convergence theorem الـ
+
+327
+00:36:42,910 --> 00:36:46,570
+sequence bounded عشان استخدم الـ monotone
+
+328
+00:36:46,570 --> 00:36:49,530
+convergence theorem لازم تكون monotone increasing
+
+329
+00:36:49,530 --> 00:36:53,730
+او monotone decreasing ف it is not monotone
+
+330
+00:36:53,730 --> 00:36:56,610
+فماقدرش استخدم ال monotone convergence theorem
+
+331
+00:36:56,610 --> 00:37:03,210
+عشان افحص ال convergenceالـ sequence لازم ابحث عن
+
+332
+00:37:03,210 --> 00:37:09,890
+طريقه تانية غير الـ monotone convergence فيها طيب
+
+333
+00:37:09,890 --> 00:37:16,530
+هنثبت claim 2 claim
+
+334
+00:37:16,530 --> 00:37:24,230
+2 ادعاء تاني وهو ان ال sequence xn بتحقق المعادلة
+
+335
+00:37:24,230 --> 00:37:30,290
+absolute xn minus xn زيادة واحدبساوي واحد على
+
+336
+00:37:30,290 --> 00:37:37,450
+اتنين قص ان نجاتف وان وهذا الكلام صحيح for every n
+
+337
+00:37:37,450 --> 00:37:41,950
+في n to
+
+338
+00:37:41,950 --> 00:37:50,510
+see
+
+339
+00:37:50,510 --> 00:37:54,790
+this لبرهان ذلك use induction
+
+340
+00:37:57,680 --> 00:38:03,880
+use induction on n برضه ممكن برهان المعادلة هذه by
+
+341
+00:38:03,880 --> 00:38:09,460
+induction on n هينبرهن
+
+342
+00:38:09,460 --> 00:38:13,540
+البرهان if
+
+343
+00:38:13,540 --> 00:38:24,670
+n بسبب واحد ف absolute x واحد minus xأتنين بساوي
+
+344
+00:38:24,670 --> 00:38:30,010
+absolute واحد سالي اتنين بساوي absolute واحد بساوي
+
+345
+00:38:30,010 --> 00:38:35,810
+واحد هذا الطرف اليمين و الطرف اليسار واحد على
+
+346
+00:38:35,810 --> 00:38:41,370
+اتنين plus n minus واحد بساوي واحد على اتنين plus
+
+347
+00:38:41,370 --> 00:38:49,110
+سفر بساوي واحدة واحد بساوي واحد اذا
+
+348
+00:38:49,110 --> 00:38:54,930
+المعادلة true for n بساوي واحدطيب assume ال
+
+349
+00:38:54,930 --> 00:39:06,670
+induction hypothesis الفرض طبع ال induction assume
+
+350
+00:39:06,670 --> 00:39:12,710
+أنه ال ..
+
+351
+00:39:12,710 --> 00:39:25,640
+ال claim is true for n بساوة kو k طبعا أكبر من أول
+
+352
+00:39:25,640 --> 00:39:30,920
+سالة من واحد هذا
+
+353
+00:39:30,920 --> 00:39:37,460
+معناه أن absolute xk minus xk زيادة واحد بسالة
+
+354
+00:39:37,460 --> 00:39:44,020
+واحد على اتنين أس كسالب واحد، صح؟ هذه الأدارة
+
+355
+00:39:44,020 --> 00:39:45,600
+صحيحة and k
+
+356
+00:39:49,840 --> 00:39:54,580
+الان تعالى نثبت صحة العبارة عند n بساوي k زايد
+
+357
+00:39:54,580 --> 00:39:59,420
+واحد ناخد الطرف الشمال عندما n بساوي k زايد واحد
+
+358
+00:39:59,420 --> 00:40:06,600
+هذا عبارة عن x k زايد واحد سالد x k زايد اتنين
+
+359
+00:40:06,600 --> 00:40:14,020
+بدنا نثبت ان هذا بساوي واحد على اتنين اص k صح؟ طب
+
+360
+00:40:14,020 --> 00:40:21,460
+تعالى نشوفهي absolute xk plus one minus الان xk
+
+361
+00:40:21,460 --> 00:40:26,760
+زائد اتنين من ال definition تبع ال sequence بدل n
+
+362
+00:40:26,760 --> 00:40:38,320
+بدل n بk زائد اتنين فبطلع نص في xk زائد xk زائد
+
+363
+00:40:38,320 --> 00:40:38,760
+واحد
+
+364
+00:40:49,170 --> 00:41:04,590
+وهذا بيساوي و ��ذا بيساوي نص في absolute x x
+
+365
+00:41:04,590 --> 00:41:09,430
+k negative x k plus one
+
+366
+00:41:16,590 --> 00:41:19,730
+بعد ما نطرح بطلع عنده نص عامل مشترك و absolute
+
+367
+00:41:19,730 --> 00:41:26,890
+الان by induction hypothesis من الفرض تبع ال
+
+368
+00:41:26,890 --> 00:41:33,130
+induction ال absolute value هذه أيها ايش بيساوي
+
+369
+00:41:33,130 --> 00:41:39,210
+عوض عنها اي نص ضرب one over two to k negative one
+
+370
+00:41:39,210 --> 00:41:43,550
+ويساوي واحد على
+
+371
+00:42:09,140 --> 00:42:09,700
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+372
+00:42:09,700 --> 00:42:09,720
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+373
+00:42:09,720 --> 00:42:09,820
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+374
+00:42:09,820 --> 00:42:10,040
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+375
+00:42:10,040 --> 00:42:10,480
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+376
+00:42:10,480 --> 00:42:10,480
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+377
+00:42:10,480 --> 00:42:10,960
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+378
+00:42:15,820 --> 00:42:23,080
+الان باستخدام ال claim التاني ممكن نثبت شغلة مهمة
+
+379
+00:42:23,080 --> 00:42:36,380
+في البرهان اذا
+
+380
+00:42:36,380 --> 00:42:43,650
+خليها هادى للمرة الجاية بس بدى اكتبهاخليكم أنتوا
+
+381
+00:42:43,650 --> 00:42:53,390
+تفكروا فيها .. خليكم أنتوا تفكروا فيها Now
+
+382
+00:42:53,390 --> 00:43:11,210
+using a claim to verify .. verify that ..
+
+383
+00:43:14,770 --> 00:43:23,190
+F M أكبر من N فهذا
+
+384
+00:43:23,190 --> 00:43:33,530
+بيقدي أن absolute X N minus X M أصغر من واحد على
+
+385
+00:43:33,530 --> 00:43:39,170
+اتنين قص M نجاتي باتنين
+
+386
+00:43:45,950 --> 00:43:54,290
+إذاً هذا ممكن إثباته by ال triangle ال equality و
+
+387
+00:43:54,290 --> 00:44:06,850
+claim اثنين فبنوقف
+
+388
+00:44:06,850 --> 00:44:14,460
+هنا و بنكمل ال .. بنكمل ان شاء اللهالبرهان في
+
+389
+00:44:14,460 --> 00:44:19,680
+المحاضرة الجاية، في حد عنده أي سؤال أو استفسار؟
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/1Uemtyp4-IM.srt

@@ -0,0 +1,1395 @@
+1
+00:00:23,230 --> 00:00:28,870
+بسم الله الرحمن الرحيم في الساعة هذه طبعا هيكون
+
+2
+00:00:28,870 --> 00:00:34,770
+فيانا مناقشة نشوف 
+
+3
+00:00:34,770 --> 00:00:39,790
+الـ section الأخيرة في chapter تلاتة نبدأ section
+
+4
+00:00:39,790 --> 00:00:43,610
+تلاتة ستة فيانكم أي سؤال في section تلاتة ستة؟
+
+5
+00:00:51,050 --> 00:00:56,790
+التالي هذا نقشناه المرة اللي فاتت طيب
+
+6
+00:00:56,790 --> 00:01:02,630
+في section تلاتة سبعة في عندكم أي أسئلة في section
+
+7
+00:01:02,630 --> 00:01:08,970
+تلاتة سبعة سؤال رقم احداشر نعم رقم احداشر
+
+8
+00:01:22,550 --> 00:01:35,490
+بس الرقم 11 تلاتة سابعة if 
+
+9
+00:01:35,490 --> 00:01:42,950
+the series sigma a n with
+
+10
+00:01:42,950 --> 00:01:46,270
+a 
+
+11
+00:01:46,270 --> 00:01:51,070
+n أكبر من الصفر is convergent
+
+12
+00:01:54,210 --> 00:02:01,230
+is convergent then
+
+13
+00:02:01,230 --> 00:02:14,890
+is the series sigma للجذر التربيعي ولا 
+
+14
+00:02:14,890 --> 00:02:15,410
+لأ؟
+
+15
+00:02:24,900 --> 00:02:29,340
+is the series and
+
+16
+00:02:29,340 --> 00:02:39,240
+if and
+
+17
+00:02:39,240 --> 00:02:52,300
+if BN BN بيساوي A واحد زائد إلى AN كل هذا مجسوم على
+
+18
+00:02:52,300 --> 00:02:52,720
+N
+
+19
+00:02:55,990 --> 00:03:03,350
+مع الـ n يشبه الـ n ثم 
+
+20
+00:03:03,350 --> 00:03:08,310
+اظهر .. اظهر
+
+21
+00:03:08,310 --> 00:03:15,590
+ان السيريز سيجما bn دائما
+
+22
+00:03:15,590 --> 00:03:19,510
+.. دائما
+
+23
+00:03:19,510 --> 00:03:21,290
+متحرر
+
+24
+00:03:33,740 --> 00:03:34,160
+Okay
+
+25
+00:03:51,610 --> 00:03:56,550
+بنثبت ان لو كانت ال series هذه حدودها كلها موجبة و
+
+26
+00:03:56,550 --> 00:04:02,670
+convergent وعرفنا Pn على ان ال average لمجموعة أو
+
+27
+00:04:02,670 --> 00:04:09,750
+ال average لأول n من حدود ال series An فبنثبت ان
+
+28
+00:04:09,750 --> 00:04:12,790
+ال series هذه بتطلع دائما divergent
+
+29
+00:04:18,290 --> 00:04:21,610
+وارجي ال unbounded ال series لما تكون unbounded
+
+30
+00:04:21,610 --> 00:04:25,710
+تتطير مين هي ال unbounded؟ الأسئلة ال sequence of
+
+31
+00:04:25,710 --> 00:04:36,990
+partial sums صحيح يعني
+
+32
+00:04:36,990 --> 00:04:42,710
+أنا عندي أول شي not
+
+33
+00:04:42,710 --> 00:04:43,290
+first
+
+34
+00:04:47,630 --> 00:05:00,050
+رحزي أولا أنه لكل K ينتمي إلى N EK
+
+35
+00:05:00,050 --> 00:05:12,590
+اللي هو بيساوي A1 زايد EK على N على K هذا
+
+36
+00:05:12,590 --> 00:05:15,870
+بيكون دايما أكبر من أو يساوي
+
+37
+00:05:20,590 --> 00:05:25,570
+A1 على K لأن
+
+38
+00:05:25,570 --> 00:05:32,410
+ال .. ال sum اللي هنا أكبر من A1 لأن الأعداد هنا
+
+39
+00:05:32,410 --> 00:05:37,150
+اللي في ال sum كل أعداد موجبة فال sum اللي هنا
+
+40
+00:05:37,150 --> 00:05:40,930
+أكبر من ال sum اللي هناك وبالتالي هذا دايما صحيح
+
+41
+00:05:40,930 --> 00:05:45,650
+لكل K في N hence
+
+42
+00:05:45,650 --> 00:05:46,790
+وبالتالي
+
+43
+00:05:48,890 --> 00:05:57,350
+لو أخدت الـ nth partial sum للسيريز سيجما BN
+
+44
+00:06:05,920 --> 00:06:10,120
+إذن هذا عبارة عن الـ nth partial sum لل series sigma
+
+45
+00:06:10,120 --> 00:06:17,480
+bn الآن عندي bk أكبر من أو يساوي هاي summation من
+
+46
+00:06:17,480 --> 00:06:24,380
+k بساوي واحد إلى n و ال bk هادي أكبر من أو يساوي a
+
+47
+00:06:24,380 --> 00:06:29,640
+واحد على k ال a واحد ثابت بالنسبة ل k ده تمليش على
+
+48
+00:06:29,640 --> 00:06:36,860
+k فبطلّه برا هاي a واحد ضربSummation من K بيساوي
+
+49
+00:06:36,860 --> 00:06:44,400
+واحد إلى N لواحد على K واحنا
+
+50
+00:06:44,400 --> 00:06:50,140
+أثبتنا قبل هيك أنه ال sequence of partial sums لل
+
+51
+00:06:50,140 --> 00:06:57,620
+harmonic series is unbounded
+
+52
+00:06:57,620 --> 00:07:03,380
+في كان مثال سابق بيقول إنه
+
+53
+00:07:07,390 --> 00:07:14,970
+إن الـ sequence هذه من n بساوي واحد to infinity is
+
+54
+00:07:14,970 --> 00:07:18,590
+unbounded
+
+55
+00:07:18,590 --> 00:07:25,010
+is unbounded حسب
+
+56
+00:07:25,010 --> 00:07:31,030
+مثال سألت إذا لما أضربها ال sequence هذه لما أضرب
+
+57
+00:07:31,030 --> 00:07:35,350
+حدودها أو أضربها في ثابت موجب تبقى unbounded
+
+58
+00:07:39,070 --> 00:07:48,770
+وبالتالي إذا SM هذا بيقدي ان ال sequence SM is
+
+59
+00:07:48,770 --> 00:07:52,610
+unbounded
+
+60
+00:07:52,610 --> 00:07:59,870
+therefore ال
+
+61
+00:07:59,870 --> 00:08:08,950
+limit ل SM لما انتقل ل infinity does not exist and
+
+62
+00:08:08,950 --> 00:08:16,510
+therefore the series sigma dn diverges لان احنا
+
+63
+00:08:16,510 --> 00:08:19,970
+قلنا قبلك ان اي infinite series بتكون convergent
+
+64
+00:08:19,970 --> 00:08:24,570
+if and only if the sequence of partial sums is
+
+65
+00:08:24,570 --> 00:08:32,870
+convergent لان هذا هو الحل okay تمام في
+
+66
+00:08:32,870 --> 00:08:35,730
+أي أسئلة تانية في section تلاتة سبعة
+
+67
+00:08:53,340 --> 00:08:58,320
+مفهوم الحل؟ في 
+
+68
+00:08:58,320 --> 00:09:03,800
+أسئلة تانية في ال section هذا أو أي section سابق؟
+
+69
+00:09:03,800 --> 00:09:11,180
+فسؤال سبعة هذا
+
+70
+00:09:11,180 --> 00:09:16,210
+المماثل بيشبه مثال تلاتة سبعة ستة فاقرأي المثال
+
+71
+00:09:16,210 --> 00:09:22,330
+حاولي تطبقي نفس الطريقة مشروحليك في المثال فحاولي
+
+72
+00:09:22,330 --> 00:09:28,710
+اتجلدي المثال في اي اسئلة تانية؟
+
+73
+00:09:28,710 --> 00:09:35,950
+مان
+
+74
+00:09:35,950 --> 00:09:37,170
+لديها سؤال؟
+
+75
+00:09:56,850 --> 00:10:11,850
+في عندكم أسرة طيب
+
+76
+00:10:11,850 --> 00:10:14,790
+لما تفكروا في أسرة بدي أنا بارهنكم Cauchy
+
+77
+00:10:14,790 --> 00:10:21,390
+condensation test لأن هذا في عليه أسرة ومهم
+
+78
+00:10:38,680 --> 00:10:56,660
+سؤال اتماشي section تلاتة .. سابعة Cauchy
+
+79
+00:10:56,660 --> 00:11:00,760
+condensation
+
+80
+00:11:00,760 --> 00:11:01,180
+test
+
+81
+00:11:13,290 --> 00:11:19,130
+فال test هذا بيقول let sigma
+
+82
+00:11:19,130 --> 00:11:29,970
+an be a series .. a series of
+
+83
+00:11:29,970 --> 00:11:42,270
+monotone .. of monotone decreasing positive
+
+84
+00:11:45,320 --> 00:11:54,260
+مجموعات اثنين اثنين
+
+85
+00:11:54,260 --> 00:11:54,340
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+86
+00:11:54,340 --> 00:11:58,160
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+87
+00:11:58,160 --> 00:11:59,760
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+88
+00:11:59,760 --> 00:12:03,980
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+89
+00:12:03,980 --> 00:12:05,320
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+90
+00:12:05,320 --> 00:12:08,420
+اثنين اثنين اثنين
+
+91
+00:12:08,420 --> 00:12:14,380
+اثنين
+
+92
+00:12:14,380 --> 00:12:14,820
+اثن
+
+93
+00:12:42,930 --> 00:12:48,630
+وهي البرهان أولا
+
+94
+00:12:48,630 --> 00:13:02,350
+خلّينا نلاحظ note that لاحظي انه لو أخدت نص في
+
+95
+00:13:02,350 --> 00:13:12,530
+summation من k بساوي zero to infinity ل two أُس k
+
+96
+00:13:12,530 --> 00:13:18,930
+في a two to k هذا
+
+97
+00:13:18,930 --> 00:13:20,830
+بيطلع بساوي نص
+
+98
+00:13:23,540 --> 00:13:33,720
+في A1 اول حد لما كدا ساوى سفر فبطلع نص A1 الحد
+
+99
+00:13:33,720 --> 00:13:43,940
+اللي بعده هيطلع A2 اللي بعده اتنين A4 واللي بعده
+
+100
+00:13:43,940 --> 00:13:52,020
+اربعة في A8 وهكذا نستمر على هذا النمط إلى
+
+101
+00:13:55,470 --> 00:14:00,650
+أتنين خلّينا ناخد المجموعة من K بساوي سفر إلى M
+
+102
+00:14:00,650 --> 00:14:08,290
+حيث M عدد طبيعي ما فأخر حد هيكون اتنين أس M سالب
+
+103
+00:14:08,290 --> 00:14:15,670
+واحد في A اتنين أس M الآن
+
+104
+00:14:15,670 --> 00:14:21,770
+هذا المجموع أصغر من A واحد نص A واحد بالتأكيد أصغر
+
+105
+00:14:21,770 --> 00:14:32,160
+من A واحد وطبعا ال .. ال .. الأعداد هذه كلها موجبة
+
+106
+00:14:32,160 --> 00:14:38,600
+و بتكون decrease in sequence فنص a1 أصغر من a1 و
+
+107
+00:14:38,600 --> 00:14:59,570
+a2 بساوي a2 و 2 a4 أصغر من a3 زائد a4 صح؟A4 أصغر
+
+108
+00:14:59,570 --> 00:15:07,110
+من A3 لأن ال sequence A N decreasing فعندي A4 زائد
+
+109
+00:15:07,110 --> 00:15:17,350
+A4 أصغر من A3 زائد A4 و هكذا برضه عندي A8 أصغر من
+
+110
+00:15:17,350 --> 00:15:25,190
+A5 و أصغر من A6 و أصغر من A7وبالتالي هدا هيكون
+
+111
+00:15:25,190 --> 00:15:30,470
+اربعة A8 اصغر من مجموعة اربعة حدود اللي هم a
+
+112
+00:15:30,470 --> 00:15:42,270
+خمسة زائد a ستة زائد a سبعة زائد a تمانية و هكذا
+
+113
+00:15:42,270 --> 00:15:48,830
+استمر على هذا النمط الى ان نصل لاخر
+
+114
+00:15:51,230 --> 00:15:58,170
+هدول الحدود هيكون اصغر من .. او لحد هذا الأخير
+
+115
+00:15:58,170 --> 00:16:04,530
+اصغر من المجموعة اللي هو a اتنين أُس ام سالب واحد
+
+116
+00:16:04,530 --> 00:16:11,430
+زائد واحد زائد a
+
+117
+00:16:11,430 --> 00:16:18,920
+اتنين أُس ام سالب واحد زائد اتنين زائد و هكذابقت
+
+118
+00:16:18,920 --> 00:16:24,700
+أصغر من مجموعة كل ال series لأن هذه كلها حدود
+
+119
+00:16:24,700 --> 00:16:29,680
+موجبة، أعداد موجبة وهذا
+
+120
+00:16:29,680 --> 00:16:38,540
+الكلام صحيح لكل M، لكل M عدد طبيعي أكبر
+
+121
+00:16:38,540 --> 00:16:47,240
+من أو يساوي، يعني عدد طبيعي وبالتالي
+
+122
+00:16:47,240 --> 00:16:48,120
+and so
+
+123
+00:16:50,890 --> 00:17:01,690
+وبالتالي نضرب sum من k بساوي سفر إلى m لتو أس ك
+
+124
+00:17:01,690 --> 00:17:10,490
+بإتنين أُس ك ده هيطلع أصغر من أو ساوي نضرب الطرفين
+
+125
+00:17:10,490 --> 00:17:15,470
+في اتنين عشان نتخلص من النصف بصير المجموع هذا أصغر
+
+126
+00:17:15,470 --> 00:17:21,410
+من أو يساوي اتنين في summation من n equals zero to
+
+127
+00:17:21,410 --> 00:17:27,750
+infinity ل a n تمام؟
+
+128
+00:17:27,750 --> 00:17:34,330
+وهذا
+
+129
+00:17:34,330 --> 00:17:39,650
+صحيح لكل m belonging to N
+
+130
+00:17:44,360 --> 00:18:02,120
+بنسمي ال quality هذه واحد طيب
+
+131
+00:18:02,120 --> 00:18:05,680
+now next
+
+132
+00:18:09,650 --> 00:18:21,350
+given any m أكبر من أو سوى الواحد choose using
+
+133
+00:18:21,350 --> 00:18:34,050
+Archimedean property choose
+
+134
+00:18:34,050 --> 00:18:44,810
+k بحيث أنه two to K أكبر من M لأي عدد طبيعي ممكن
+
+135
+00:18:44,810 --> 00:18:58,530
+ألاقي عدد طبيعي بحياتي two to K أكبر من M then ال
+
+136
+00:18:58,530 --> 00:19:06,690
+summation from N equals zero to M لان هذا بيطلع
+
+137
+00:19:06,690 --> 00:19:12,630
+أصغر من a0
+
+138
+00:19:12,630 --> 00:19:19,710
+زائد a1 زائد a2
+
+139
+00:19:19,710 --> 00:19:31,150
+زائد a3 زائد a4 زائد a5 زائد a6 زائد a7 زائد a8
+
+140
+00:19:35,390 --> 00:19:47,670
+مع بعض زائد و هكذا إلى اتنين 
+
+141
+00:19:47,670 --> 00:19:55,190
+أس 2 زائد 2 أس 2 زائد 1 زائد وهكذا إلى 
+
+142
+00:19:55,190 --> 00:19:59,330
+2 
+
+143
+00:19:59,330 --> 00:20:03,950
+أس 2 زائد 1 سالب 1
+
+144
+00:20:12,500 --> 00:20:17,840
+أنا عند الـ M هذا الـ M أصغر من 2 أس K في آخر 
+
+145
+00:20:17,840 --> 00:20:26,460
+حد اللي هو A<sub>M</sub> هيكون أصغر من A رقم 2 أس K أو
+
+146
+00:20:26,460 --> 00:20:34,180
+أصغر من أو يساوي 2 رقم A أس 2K زي واحد 
+
+147
+00:20:34,180 --> 00:20:35,780
+ناقص 1
+
+148
+00:20:43,450 --> 00:20:52,190
+والمجموع هذا .. هذا المجموع أصغر من أو يساوي a<sub>0</sub>
+
+149
+00:20:52,190 --> 00:20:57,490
+زائد a<sub>1</sub> زائد
+
+150
+00:20:57,490 --> 00:21:06,710
+2 a<sub>2</sub> لأن a<sub>3</sub> أصغر من a<sub>2</sub> صح؟ عشان الـ sequence a<sub>n</sub> is
+
+151
+00:21:06,710 --> 00:21:13,030
+decreasing وهذا المجموع أصغر من 4 a
+
+152
+00:21:14,740 --> 00:21:26,420
+4 صح وهكذا إلى المجموع هذا هيكون أصغر من 2
+
+153
+00:21:26,420 --> 00:21:37,280
+أس K هذول عدد الحدود في a 2 أس K يعني هذول
+
+154
+00:21:37,280 --> 00:21:41,860
+عدد الحدود عددهم 2 أس K وكل واحد منهم
+
+155
+00:21:45,050 --> 00:21:55,350
+أصغر من 2 أول واحد اللي هو 2 أس 2K وهذا 
+
+156
+00:21:55,350 --> 00:22:01,830
+بدوره أصغر من 2 أس 2K زائد summation من K
+
+157
+00:22:01,830 --> 00:22:09,730
+بساوي 0 to infinity لـ 2 أس K في 2 أس 
+
+158
+00:22:09,730 --> 00:22:17,540
+K هاي أول حد 2 أس K لما K بيساوي 0 بيطلع
+
+159
+00:22:17,540 --> 00:22:25,640
+1 واحد وبعدين اللي بعده بيطلع 2 2 لما K 
+
+160
+00:22:25,640 --> 00:22:33,480
+بيساوي 1 واللي بعده 4 4 وهكذا طبعا
+
+161
+00:22:33,480 --> 00:22:37,400
+هذا بوقف المجموعة هذا finite هذا أصغر من المجموعة
+
+162
+00:22:37,400 --> 00:22:41,400
+من K بيساوي 0 إلى ما لا نهاية هذا طبعا في حدود 
+
+163
+00:22:41,400 --> 00:22:41,820
+أكثر
+
+164
+00:22:44,960 --> 00:22:53,040
+تمام؟ وبالتالي إذا نستنتج and so نستنتج 
+
+165
+00:22:53,040 --> 00:23:02,980
+إنه المجموعة ∑ from n equal 0 to infinity لـ
+
+166
+00:23:02,980 --> 00:23:12,050
+a<sub>n</sub> بطلع أصغر من أو يس��وي a<sub>0</sub> زائد ∑ from k equals
+
+167
+00:23:12,050 --> 00:23:20,790
+0 to infinity لـ 2<sup>k</sup> a<sub>2<sup>k</sup></sub> لأن
+
+168
+00:23:20,790 --> 00:23:26,810
+هذا صحيح لكل M أكبر من أو يساوي الـ 1 لأن هذا
+
+169
+00:23:26,810 --> 00:23:33,330
+عبارة عن هذا عبارة عن upper bound هذا العدد أو هذا
+
+170
+00:23:33,330 --> 00:23:39,530
+العدد upper bound للـ sequence of partial sums هنا
+
+171
+00:23:39,530 --> 00:23:44,190
+فما 
+
+172
+00:23:44,190 --> 00:23:47,210
+هذه الـ sequence of partial sums is increasing
+
+173
+00:23:47,210 --> 00:23:50,750
+متزايدة
+
+174
+00:23:50,750 --> 00:23:55,110
+و bounded above by this number إذا الـ limit تبعت
+
+175
+00:23:55,110 --> 00:23:58,650
+الـ sequence of partial sums exist وبالساوي
+
+176
+00:23:58,650 --> 00:24:04,990
+supremum للـ sequence of partial sums الـ supremum
+
+177
+00:24:04,990 --> 00:24:11,150
+للـ sequence of partial sums أقل من الـ upper bound
+
+178
+00:24:11,150 --> 00:24:13,670
+هذا upper bound للـ sequence of partial sums الـ 
+
+179
+00:24:13,670 --> 00:24:17,050
+supremum أصغر upper bound وبالتالي إذا الـ supremum
+
+180
+00:24:17,050 --> 00:24:21,690
+للـ sequence of partial sums هو عبارة عن limit للـ
+
+181
+00:24:21,690 --> 00:24:23,730
+sequence of partial sums اللي هو مجموعة الـ
+
+182
+00:24:23,730 --> 00:24:29,190
+infinite series أصغر من أو يساوي الـ upper bound by
+
+183
+00:24:29,190 --> 00:24:34,290
+monotone convergence theorem السيريز 
+
+184
+00:24:34,290 --> 00:24:39,610
+هذي convergence ومجموعة بساوي limit للـ sequence of 
+
+185
+00:24:39,610 --> 00:24:44,710
+partial sums اللي هي أصغر من أو ساوي عددها okay
+
+186
+00:24:44,710 --> 00:24:54,170
+إذا نسمي المتباينة هذه 2 إذا من المتباينة 1 
+
+187
+00:24:54,170 --> 00:24:54,870
+و2
+
+188
+00:25:11,870 --> 00:25:19,130
+الآن بمقارنة مباشرة الاختلافات
+
+189
+00:25:19,130 --> 00:25:30,640
+المتباينات 1 و 2 بيقدوا السيريز ∑ a<sub>n</sub>
+
+190
+00:25:30,640 --> 00:25:39,720
+converges if and only if السيريز ∑ 2<sup>2</sup>
+
+191
+00:25:39,720 --> 00:25:47,820
+a<sub>2<sup>2</sup></sub> converges تعالى 
+
+192
+00:25:47,820 --> 00:25:54,680
+نشوف لو كانت السيريز هذه convergent فالسيريز
+
+193
+00:25:54,680 --> 00:25:55,780
+هذه convergent
+
+194
+00:25:58,080 --> 00:26:03,500
+وبالتالي طبعا أن هذا صحيح لكل M بالمناسبة بقدر أن
+
+195
+00:26:03,500 --> 00:26:08,880
+هذه أيضا sequence of partial sums هذه الـ limit
+
+196
+00:26:08,880 --> 00:26:19,460
+تبعتها exist وبالتالي الـ infinite series هذه إذا
+
+197
+00:26:19,460 --> 00:26:27,250
+أن ال ممكن نقول أن هذا الكلام صحيح الآن لو كانت الـ
+
+198
+00:26:27,250 --> 00:26:31,430
+series هادي convergent فنضربها في ثابت 2 تطلع
+
+199
+00:26:31,430 --> 00:26:35,270
+convergent وبالتالي الـ series هادي convergent by 
+
+200
+00:26:35,270 --> 00:26:40,170
+direct comparison test العكس لو كانت الـ series
+
+201
+00:26:40,170 --> 00:26:41,670
+هادي convergent
+
+202
+00:26:44,460 --> 00:26:50,840
+فلما أضفلها حد عدد موجب بيبقى conversion وبالتالي
+
+203
+00:26:50,840 --> 00:26:54,080
+by direct comparison test الـ series الأصغر بتطلع
+
+204
+00:26:54,080 --> 00:26:58,160
+conversion okay تمام؟ لأن هذا بثبت Cauchy
+
+205
+00:26:58,160 --> 00:27:03,600
+condensation test هذا الـ test قوي كتير وله فوائد
+
+206
+00:27:03,600 --> 00:27:13,000
+كتيرة فمن الفوائد تبعتها يعني
+
+207
+00:27:13,000 --> 00:27:13,800
+هذه مثال
+
+208
+00:27:22,170 --> 00:27:37,410
+ممكن نستنتج الـ P-series test مثال، 
+
+209
+00:27:37,410 --> 00:27:46,290
+أنا موجود في إحدى التمارين التمرين 13
+
+210
+00:27:53,040 --> 00:28:05,440
+تعملين تلتاش سيكشن 3 7 ايش بيقول هذا if if
+
+211
+00:28:05,440 --> 00:28:16,600
+P أكبر من الـ 0 is a real number discuss
+
+212
+00:28:16,600 --> 00:28:20,940
+the 
+
+213
+00:28:20,940 --> 00:28:21,680
+convergence
+
+214
+00:28:42,640 --> 00:28:44,720
+تعالوا نفحص
+
+215
+00:28:49,400 --> 00:28:58,120
+∑ from n equals 1 to infinity لـ 2 أس
+
+216
+00:28:58,120 --> 00:29:08,700
+n في 1 على هاي أو خليني أقول 2 أس n في a
+
+217
+00:29:08,700 --> 00:29:16,120
+and a 2 أس m ايش بيساوي هذا طبعا هاي عندي a<sub>n</sub>
+
+218
+00:29:16,120 --> 00:29:24,230
+هذا هو عبارة عن a<sub>m</sub> الحد العام للـ series فان بيساوي 
+
+219
+00:29:24,230 --> 00:29:30,290
+1 على n<sup>p</sup> فبتبحث هل الـ series هذي convergent أو
+
+220
+00:29:30,290 --> 00:29:33,990
+متى بتكون هذي الـ series convergent وبالتالي بقدر
+
+221
+00:29:33,990 --> 00:29:37,890
+أطبق اللي هو Cauchy condensation test فهذه عبارة
+
+222
+00:29:37,890 --> 00:29:43,970
+عن ∑ from n equals 1 to infinity الآن ايه
+
+223
+00:29:43,970 --> 00:29:53,550
+2 أس n بطلع 1 على 2 أس n الكل أس P
+
+224
+00:29:53,550 --> 00:30:03,810
+تمام؟ وهذا بيساوي ∑ from n equals 1 to
+
+225
+00:30:03,810 --> 00:30:18,940
+infinity لـ 2 أس 1−P الكل أس n وهدي 
+
+226
+00:30:18,940 --> 00:30:27,020
+is a geometric series is a geometric series
+
+227
+00:30:27,020 --> 00:30:33,680
+وبالتالي
+
+228
+00:30:33,680 --> 00:30:38,320
+مظبوط هذا عبارة عن geometric series لو بدى أكتب
+
+229
+00:30:38,320 --> 00:30:40,620
+حدود تبعتها
+
+230
+00:30:43,100 --> 00:30:52,660
+فأول حد عبارة عن 2 أس 1−P الحد الثاني
+
+231
+00:30:52,660 --> 00:31:00,940
+2 أس 1−P الكل تربيع وهكذا فالحد 
+
+232
+00:31:00,940 --> 00:31:05,480
+الأول 2 أس 1−P الحد الثاني 2 أس
+
+233
+00:31:05,480 --> 00:31:09,980
+1−P وهكذا with ratio
+
+234
+00:31:14,090 --> 00:31:28,710
+with ratio with 
+
+235
+00:31:28,710 --> 00:31:34,830
+ratio R
+
+236
+00:31:34,830 --> 00:31:41,790
+بيساوي 2 أس 1−P 
+
+237
+00:31:48,590 --> 00:31:58,790
+So by geometric series test it converges if
+
+238
+00:31:58,790 --> 00:32:06,450
+and only if |R| بيساوي 2 أس 1−P
+
+239
+00:32:06,450 --> 00:32:16,670
+أصغر من 1 وهذا بتحقق 2 أس 1−P أصغر
+
+240
+00:32:16,670 --> 00:32:25,590
+من 1 فنقول if 1−P إذا 
+
+241
+00:32:25,590 --> 00:32:36,910
+كان 1−P أصغر من الـ 0 سالب لأن لو كان
+
+242
+00:32:36,910 --> 00:32:41,430
+1−P موجب فـ 2 أس أي عدد موجب عمره ما
+
+243
+00:32:41,430 --> 00:32:47,440
+بيكون أصغر من 1 نصفوت لكن لو كان الأس سالب فبيصير
+
+244
+00:32:47,440 --> 00:32:52,620
+هذا 1 على 2 أس وموجب فبيصير أصغر من 1 إذا
+
+245
+00:32:52,620 --> 00:32:57,020
+هذا صحيح if and only if الأس تابع الـ 2 اللي هو
+
+246
+00:32:57,020 --> 00:33:06,240
+1−P أصغر من 0 if and only if 1 أصغر 
+
+247
+00:33:06,240 --> 00:33:12,920
+من P أو P أكبر من 1 okay تمام وهذا هو الـ P
+
+248
+00:33:12,920 --> 00:33:19,120
+series test لأن احنا استنتجنا الـ P series test من
+
+249
+00:33:19,120 --> 00:33:26,200
+Cauchy Condensation test فاكرين الـ P series هذي أو
+
+250
+00:33:26,200 --> 00:33:29,840
+الـ P series test اثبتنا أن Convergent if and only 
+
+251
+00:33:29,840 --> 00:33:35,200
+if P أكبر من 1 وDivergent إذا كانت P أصغر منها
+
+252
+00:33:35,200 --> 00:33:35,960
+وسائل 1
+
+253
+00:33:42,110 --> 00:33:51,730
+Okay إذا الـ .. هذا المعنى So by Cauchy Cauchy's
+
+254
+00:33:51,730 --> 00:34:01,910
+Condensation Test The series ∑
+
+255
+00:34:01,910 --> 00:34:07,830
+from N equals 1 to infinity الـ 1 over N<sup>P</sup>
+
+256
+00:34:08,830 --> 00:34:16,530
+convergence if and only if P أكبر من 1 وهذا هو
+
+257
+00:34:16,530 --> 00:34:23,030
+الـ P-series test إذن هذا بورجينا قوة Cauchy 
+
+258
+00:34:23,030 --> 00:34:29,530
+Condensation Test okay تمام؟ في طبعا أسئلة أخرى 
+
+259
+00:34:29,530 --> 00:34:33,430
+على Cauchy Condensation Test وأنا طالب منكم تحلوها
+
+260
+00:34:33,430 --> 00:34:41,340
+زي السؤال 14 و15 صح؟ ففي أي شيء في الأسئلة دي أو
+
+261
+00:34:41,340 --> 00:34:47,160
+أسئلة ثانية؟
+
+262
+00:34:47,160 --> 00:34:56,500
+في
+
+263
+00:34:56,500 --> 00:34:58,180
+عندكم أي أسئلة؟
+
+264
+00:35:13,000 --> 00:35:19,560
+إذا سيكشن 1 3 7 في أي سؤال ثاني عندكم في
+
+265
+00:35:19,560 --> 00:35:25,540
+الأسئلة هذه أو
+
+266
+00:35:25,540 --> 00:35:31,860
+السيكاشن السابقة أو سيكشن 4 1 إذا بتحبه
+
+267
+00:35:31,860 --> 00:35:35,560
+سيكشن 4 1
+
+268
+00:36:06,090 --> 00:36:13,070
+مافيش أسئلة؟ طيب الـ .. مدام مافيش أسئلة نواصل ..
+
+269
+00:36:13,070 --> 00:36:16,190
+نكمل
+
+270
+00:36:16,190 --> 00:36:17,490
+المحاضرة في السابقة
+
+271
+00:36:49,090 --> 00:36:53,250
+المرة الأخرى تحدثنا عن الـ two-sided limits وعن
+
+272
+00:36:53,250 --> 00:37:00,350
+الـ one-sided limits وأخذنا بعض النظريات وقلنا إن
+
+273
+00:37:00,350 --> 00:37:05,090
+جميع النظريات اللي برهناها هو one-sided limit
+
+274
+00:37:05,090 --> 00:37:12,990
+صحيحة للـ two-sided limits أو النظريات الصحيحة لـ 
+
+275
+00:37:12,990 --> 00:37:17,070
+two-sided limits بتكون أيضا صحيحة لـ one-sided
+
+276
+00:37:17,070 --> 00:37:26,650
+limit فناخد 
+
+277
+00:37:26,650 --> 00:37:31,350
+مثال show
+
+278
+00:37:31,350 --> 00:37:31,950
+that
+
+279
+00:37:35,020 --> 00:37:55,100
+Limit لـ Signum X لإن X تقول لـ 0 لا يوجد فنلاحظ
+
+280
+00:37:55,100 --> 00:37:59,600
+أن Limit لأول شيء Signum X
+
+281
+00:38:03,790 --> 00:38:11,230
+بساوي x على absolute x لكل x لا يساوي صفر لما 
+
+282
+00:38:11,230 --> 00:38:15,010
+أعرفنا الدالة هذه قلت لها بس هي نفسها x على
+
+283
+00:38:15,010 --> 00:38:20,690
+absolute x لو كان x بساوي صفر الآن ال limit ل
+
+284
+00:38:20,690 --> 00:38:30,890
+sigma x لما x تقول إلى صفر من اليمين بساوي ال
+
+285
+00:38:30,890 --> 00:38:31,310
+limit
+
+286
+00:38:35,810 --> 00:38:41,530
+لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من
+
+287
+00:38:41,530 --> 00:38:50,190
+اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى 
+
+288
+00:38:50,190 --> 00:38:55,650
+صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x
+
+289
+00:38:55,650 --> 00:38:57,330
+تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من
+
+290
+00:38:57,330 --> 00:39:02,560
+اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول أصغر
+
+291
+00:39:02,560 --> 00:39:21,640
+من اليسار لما x أصغر من صفر لما
+
+292
+00:39:21,640 --> 00:39:28,560
+x أصغر من صفر لما x أصغر من صفر لما x أصغر من صفر
+
+293
+00:39:28,560 --> 00:39:33,950
+لما x أصغر من صفر، السالب واحد بيطلع السالب واحد إن
+
+294
+00:39:33,950 --> 00:39:37,670
+أنا عندي ال limit من اليمين يساوي واحد، ال limit
+
+295
+00:39:37,670 --> 00:39:44,230
+من اليسار يساوي سالب واحد، مش متساويين الاثنين، so by
+
+296
+00:39:44,230 --> 00:39:50,150
+theorem، حسب النظرية اللي أخدناها theorem أربعة
+
+297
+00:39:50,150 --> 00:39:55,630
+ثلاثة، بيطلع
+
+298
+00:39:55,630 --> 00:40:01,080
+عندي ال limit أو ال two sided limit للـ signal
+
+299
+00:40:01,080 --> 00:40:09,560
+function لما x تقول إلى الصفر does not exist تمام؟
+
+300
+00:40:09,560 --> 00:40:22,280
+طيب خلّيني أنا آخد show
+
+301
+00:40:22,280 --> 00:40:27,380
+that ال
+
+302
+00:40:27,380 --> 00:40:32,350
+limit لل function e والواحد على x لما x تقول إلى
+
+303
+00:40:32,350 --> 00:40:40,550
+صفر من اليمين does not exist and
+
+304
+00:40:40,550 --> 00:40:43,910
+من
+
+305
+00:40:43,910 --> 00:40:51,170
+ال limit لنفس ال function e to واحد على x لما x
+
+306
+00:40:51,170 --> 00:40:58,710
+تقول إلى صفر من اليسار تطلع موجودة و بساوي صفر
+
+307
+00:41:23,830 --> 00:41:31,010
+طيب ال ...
+
+308
+00:41:31,010 --> 00:41:34,050
+نحاول نبرهن الجزء الأول
+
+309
+00:41:56,420 --> 00:42:03,380
+بناخد الجزء الأول let
+
+310
+00:42:03,380 --> 00:42:13,540
+z of x بساوي e to 1 على x، حفة x لا تساوي 0، وبدنا
+
+311
+00:42:13,540 --> 00:42:19,260
+نثبت to
+
+312
+00:42:19,260 --> 00:42:28,130
+show إن ال limit لـ g of x لما x تقول لصفر من
+
+313
+00:42:28,130 --> 00:42:38,750
+اليمين does not exist، it suffices to
+
+314
+00:42:38,750 --> 00:42:42,710
+show يكفي
+
+315
+00:42:42,710 --> 00:42:52,650
+إثبات أن ال function g of x is not bounded on
+
+316
+00:42:56,170 --> 00:43:05,850
+on a right ... on a right neighborhood
+
+317
+00:43:05,850 --> 00:43:13,670
+... on a right neighborhood اللي هو صفر دلتا of
+
+318
+00:43:13,670 --> 00:43:15,230
+zero
+
+319
+00:43:25,230 --> 00:43:28,670
+أخذنا قبل ذلك نظرية بتقول إيه؟ ده عشان أثبت أنه ال
+
+320
+00:43:28,670 --> 00:43:35,710
+limit ل function عن نقطة معينة مش موجودة يكفي أثبت
+
+321
+00:43:35,710 --> 00:43:43,910
+أنه أنه الدالة unbounded عند أي unbounded
+
+322
+00:43:43,910 --> 00:43:48,650
+عند أي neighborhood
+
+323
+00:43:48,650 --> 00:43:56,210
+للنقطة الآن بالنسبة لل one-sided limit عشان أقول إن
+
+324
+00:43:56,210 --> 00:44:02,230
+ال limit ل function زي هذه g of x لما x تقول إلى
+
+325
+00:44:02,230 --> 00:44:09,430
+صفر من اليمين does not exist فهي
+
+326
+00:44:09,430 --> 00:44:16,390
+الصفر و ال x تقول لسفر من اليمين فبدل ما أخد delta
+
+327
+00:44:16,390 --> 00:44:20,290
+neighborhood للصفر
+
+328
+00:44:20,290 --> 00:44:29,960
+فباخد right neighborhood right neighborhood للصفر
+
+329
+00:44:29,960 --> 00:44:35,960
+فيكفي إن ال function هذه ماهياش bounded عن كل
+
+330
+00:44:35,960 --> 00:44:41,780
+right neighborhood يعني جوار من اليمين للصفر لأن
+
+331
+00:44:41,780 --> 00:44:46,000
+أنا بتعامل مع نهاية من اليمين لكن لما كنت اتعامل
+
+332
+00:44:46,000 --> 00:44:51,240
+مع نهاية من الطرفين فكنت آخد delta neighborhood
+
+333
+00:44:51,240 --> 00:44:56,840
+كامل، ولو أثبتت إن الـ function هذه ماهياش bounded
+
+334
+00:44:56,840 --> 00:45:01,280
+عند أي right neighborhood للصفر على الصورة هذه
+
+335
+00:45:01,280 --> 00:45:06,220
+فحسب نظرية سابقة الدالة مش ممكن يكون لها limit من
+
+336
+00:45:06,220 --> 00:45:09,960
+اليمين عند الصفر لأن لو كان لها limit عند الصفر من
+
+337
+00:45:09,960 --> 00:45:15,820
+اليمين فلازم تكون bounded على some neighborhood ...
+
+338
+00:45:15,820 --> 00:45:25,650
+right neighborhood للصفر Okay تمام و لإثبات ذلك to
+
+339
+00:45:25,650 --> 00:45:29,270
+see
+
+340
+00:45:29,270 --> 00:45:39,290
+this we use ال inequality التالية وهي T أكبر من
+
+341
+00:45:39,290 --> 00:45:47,010
+صفر دايما أصغر من E أس T for all T أكبر من صفر هذه
+
+342
+00:45:47,010 --> 00:45:54,200
+المتباينة هذه المتباينة موجودة
+
+343
+00:45:54,200 --> 00:46:01,780
+برهانها في Chapter 8 برهانها
+
+344
+00:46:01,780 --> 00:46:07,600
+موجودة في Chapter 8 اللي هتاخدوه لاحقا فهنستخدم
+
+345
+00:46:07,600 --> 00:46:11,460
+اللي هو المتباينة هذه في إثبات إن ال function
+
+346
+00:46:11,460 --> 00:46:17,420
+ماهياش bounded على neighborhood أو right
+
+347
+00:46:17,420 --> 00:46:25,130
+neighborhood للصفر Okay عشان الوجد خلص بنوقف و
+
+348
+00:46:25,130 --> 00:46:29,590
+بناخد خمس دقايق break وبعدين بنكمل إن شاء الله
+
+349
+00:46:29,590 --> 00:46:35,550
+البرهان فحنوقف ونكمل في الجزء التالي من المحاضرة

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/1Uemtyp4-IM_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1396 @@
+1
+00:00:23,230 --> 00:00:28,870
+بسم الله الرحمن الرحيم في الساعة هذه طبعا هيكون
+
+2
+00:00:28,870 --> 00:00:34,770
+فيانا مناقشة نشوف
+
+3
+00:00:34,770 --> 00:00:39,790
+ال section الأخيرة في chapter تلاتة نبدأ section
+
+4
+00:00:39,790 --> 00:00:43,610
+تلاتة ستة فيانكم أي سؤال في section تلاتة ستة؟
+
+5
+00:00:51,050 --> 00:00:56,790
+التالي هذا نقشناه المرة اللي فاتت طيب
+
+6
+00:00:56,790 --> 00:01:02,630
+في section تلاتة سبعة في عندكم أي أسئلة في section
+
+7
+00:01:02,630 --> 00:01:08,970
+تلاتة سبعة سؤال رقم احداشر نعم رقم احداشر
+
+8
+00:01:22,550 --> 00:01:35,490
+بس الرقم 11 تلاتة سابعة if
+
+9
+00:01:35,490 --> 00:01:42,950
+the series sigma a n with
+
+10
+00:01:42,950 --> 00:01:46,270
+a
+
+11
+00:01:46,270 --> 00:01:51,070
+n أكبر من الصفر is convergent
+
+12
+00:01:54,210 --> 00:02:01,230
+is convergent then
+
+13
+00:02:01,230 --> 00:02:14,890
+is the series sigma للجدر التربيهي ولا
+
+14
+00:02:14,890 --> 00:02:15,410
+لأ؟
+
+15
+00:02:24,900 --> 00:02:29,340
+is the series and
+
+16
+00:02:29,340 --> 00:02:39,240
+if and
+
+17
+00:02:39,240 --> 00:02:52,300
+if BN BN بساوي A واحد زائد إلى AN كل هذا مجسوم على
+
+18
+00:02:52,300 --> 00:02:52,720
+N
+
+19
+00:02:55,990 --> 00:03:03,350
+مع الـ n يشبه الـ n ثم
+
+20
+00:03:03,350 --> 00:03:08,310
+اظهر .. اظهر
+
+21
+00:03:08,310 --> 00:03:15,590
+ان السيريز سيجما bn دائما
+
+22
+00:03:15,590 --> 00:03:19,510
+.. دائما
+
+23
+00:03:19,510 --> 00:03:21,290
+متحرر
+
+24
+00:03:33,740 --> 00:03:34,160
+Okay
+
+25
+00:03:51,610 --> 00:03:56,550
+بنثبت ان لو كانت ال series هذه حدودها كلها موجبة و
+
+26
+00:03:56,550 --> 00:04:02,670
+convergent وعرفنا Pn على ان ال average لمجموعة او
+
+27
+00:04:02,670 --> 00:04:09,750
+ال average لأول n من حدود ال series An فبنثبت ان
+
+28
+00:04:09,750 --> 00:04:12,790
+ال series هذه بتطلع دائما divergent
+
+29
+00:04:18,290 --> 00:04:21,610
+وارجي ال unbounded ال series لما تكون unbounded
+
+30
+00:04:21,610 --> 00:04:25,710
+تتطير مين هي ال unbounded؟ الأسئلة ال sequence of
+
+31
+00:04:25,710 --> 00:04:36,990
+partial sums صحيح يعني
+
+32
+00:04:36,990 --> 00:04:42,710
+أنا عندي أول شي not
+
+33
+00:04:42,710 --> 00:04:43,290
+first
+
+34
+00:04:47,630 --> 00:05:00,050
+رحزي أولا أنه لكل K ينتمي إلى N EK
+
+35
+00:05:00,050 --> 00:05:12,590
+اللي هو بيساوي A1 زايد EK على N على K هذا
+
+36
+00:05:12,590 --> 00:05:15,870
+بيكون دايما أكبر من أو يساوي
+
+37
+00:05:20,590 --> 00:05:25,570
+A1 على K لأن
+
+38
+00:05:25,570 --> 00:05:32,410
+ال .. ال bus اللي هنا أكبر من A1 لأن الأعداد هنا
+
+39
+00:05:32,410 --> 00:05:37,150
+اللي في ال bus كل أعداد موجبة فال bus اللي هنا
+
+40
+00:05:37,150 --> 00:05:40,930
+أكبر من ال bus اللي هناك وبالتالي هذا دايما صحيح
+
+41
+00:05:40,930 --> 00:05:45,650
+لكل K في N hence
+
+42
+00:05:45,650 --> 00:05:46,790
+وبالتالي
+
+43
+00:05:48,890 --> 00:05:57,350
+لو أخدت الـ SIN الانف بارشيل سام للسيريز سيجما BN
+
+44
+00:06:05,920 --> 00:06:10,120
+إذن هذا عبارة عن ال F partial sum لل series sigma
+
+45
+00:06:10,120 --> 00:06:17,480
+bn الآن عندي bk أكبر من أو يساوي هاي summation من
+
+46
+00:06:17,480 --> 00:06:24,380
+k بساوي واحد إلى n و ال bk هادي أكبر من أو يساوي a
+
+47
+00:06:24,380 --> 00:06:29,640
+واحد على k ال a واحد ثابت بالنسبة ل k ده تمليش على
+
+48
+00:06:29,640 --> 00:06:36,860
+k فبطلّه برا هاي a واحد ضربSummation من K بيسار
+
+49
+00:06:36,860 --> 00:06:44,400
+واحد إلى N لواحد على K واحنا
+
+50
+00:06:44,400 --> 00:06:50,140
+أثبتنا قبل هيك أنه ال sequence of partial sums لل
+
+51
+00:06:50,140 --> 00:06:57,620
+harmonic series is unbounded
+
+52
+00:06:57,620 --> 00:07:03,380
+في كان مثال سابق بيقول إنه
+
+53
+00:07:07,390 --> 00:07:14,970
+إن الـ sequence هذه من n بساوي واحد to infinity is
+
+54
+00:07:14,970 --> 00:07:18,590
+unbounded
+
+55
+00:07:18,590 --> 00:07:25,010
+is unbounded حسب
+
+56
+00:07:25,010 --> 00:07:31,030
+مثال سألت إذا لما أضربها ال sequence هذه لما أضرب
+
+57
+00:07:31,030 --> 00:07:35,350
+حدودها أو أضربها في ثابت موجة تبقى unbounded
+
+58
+00:07:39,070 --> 00:07:48,770
+وبالتالي إذا SM هذا بيقدي ان ال sequence SM is
+
+59
+00:07:48,770 --> 00:07:52,610
+unbounded
+
+60
+00:07:52,610 --> 00:07:59,870
+therefore ال
+
+61
+00:07:59,870 --> 00:08:08,950
+limit ل SM لما انتقل ل infinity does not existand
+
+62
+00:08:08,950 --> 00:08:16,510
+therefore the series sigma dn diverges لان احنا
+
+63
+00:08:16,510 --> 00:08:19,970
+قلنا قبلك ان اي infinite series بتكون convergent
+
+64
+00:08:19,970 --> 00:08:24,570
+if and only if the sequence of partial sums is
+
+65
+00:08:24,570 --> 00:08:32,870
+convergent لان هذا هو الحل okay تمام في
+
+66
+00:08:32,870 --> 00:08:35,730
+أي أسئلة تانية في section تلاتة سبعة
+
+67
+00:08:53,340 --> 00:08:58,320
+مفهوم الحل؟ في
+
+68
+00:08:58,320 --> 00:09:03,800
+أسئلة تانية في ال section هذا أو أي section سابق؟
+
+69
+00:09:03,800 --> 00:09:11,180
+فسؤال سبعة هذا
+
+70
+00:09:11,180 --> 00:09:16,210
+المماثل بيشبه مثال تلاتة سبعة ستةفاقرأي المثال
+
+71
+00:09:16,210 --> 00:09:22,330
+حاولي تطبقي نفس الطريقة مشروحليك مثال فحاولي
+
+72
+00:09:22,330 --> 00:09:28,710
+اتجلدي المثال في اي اسئلة تانية؟
+
+73
+00:09:28,710 --> 00:09:35,950
+مان
+
+74
+00:09:35,950 --> 00:09:37,170
+لديها سؤال؟
+
+75
+00:09:56,850 --> 00:10:11,850
+في عندكم أسرة طيب
+
+76
+00:10:11,850 --> 00:10:14,790
+لما تفكروا في أسرة بدي أنا بارهنكم koshi
+
+77
+00:10:14,790 --> 00:10:21,390
+condensation set test لأن هذا في عليه أسرة ومهم
+
+78
+00:10:38,680 --> 00:10:56,660
+سؤال اتماشي section تلاتة .. سابعة قوشيز
+
+79
+00:10:56,660 --> 00:11:00,760
+condensation
+
+80
+00:11:00,760 --> 00:11:01,180
+test
+
+81
+00:11:13,290 --> 00:11:19,130
+فال test هذا بيقول let sigma
+
+82
+00:11:19,130 --> 00:11:29,970
+an be a series .. a series of
+
+83
+00:11:29,970 --> 00:11:42,270
+monotone .. of monotone decreasing positive
+
+84
+00:11:45,320 --> 00:11:54,260
+مجموعات اثنين اثنين
+
+85
+00:11:54,260 --> 00:11:54,340
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+86
+00:11:54,340 --> 00:11:58,160
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+87
+00:11:58,160 --> 00:11:59,760
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+88
+00:11:59,760 --> 00:12:03,980
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+89
+00:12:03,980 --> 00:12:05,320
+اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين اثنين
+
+90
+00:12:05,320 --> 00:12:08,420
+اثنين اثنين اثنين
+
+91
+00:12:08,420 --> 00:12:14,380
+اثنين
+
+92
+00:12:14,380 --> 00:12:14,820
+اثن
+
+93
+00:12:42,930 --> 00:12:48,630
+وهي البرهان اولا
+
+94
+00:12:48,630 --> 00:13:02,350
+خلّينا نلاحظnote that لاحظي انه لو أخدت نص في
+
+95
+00:13:02,350 --> 00:13:12,530
+summation من k بساوي zero to infinity ل two أُس k
+
+96
+00:13:12,530 --> 00:13:18,930
+في a two to k هذا
+
+97
+00:13:18,930 --> 00:13:20,830
+بيطلع بساوي نص
+
+98
+00:13:23,540 --> 00:13:33,720
+في A1 اول حد لما كدا ساوى سفر فبطلع نص A1 الحد
+
+99
+00:13:33,720 --> 00:13:43,940
+اللي بعده هيطلع A2 اللي بعده اتنين A4 واللي بعده
+
+100
+00:13:43,940 --> 00:13:52,020
+اربعة في A8 وهكذا نستمر على هذا النمط إلى
+
+101
+00:13:55,470 --> 00:14:00,650
+أتنين خلّينا ناخد المجموعة من K بساوي سفر إلى M
+
+102
+00:14:00,650 --> 00:14:08,290
+حيث M عدد طبيعي ما فأخر حد هيكون اتنين أس M سالب
+
+103
+00:14:08,290 --> 00:14:15,670
+واحد في A اتنين أس M الآن
+
+104
+00:14:15,670 --> 00:14:21,770
+هذا المجموع أصغر من A واحد نص A واحد بالتأكيد أصغر
+
+105
+00:14:21,770 --> 00:14:32,160
+من A واحدو طبعا ال .. ال .. الأعداد هذه كلها موجبة
+
+106
+00:14:32,160 --> 00:14:38,600
+و بتكون decrease in sequence فنص a1 أصغر من a1 و
+
+107
+00:14:38,600 --> 00:14:59,570
+a2 بساوي a2 و 2 a4 أصغر من a3 زائد a4 صح؟A4 أصغر
+
+108
+00:14:59,570 --> 00:15:07,110
+من A3 لأن ال sequence A N decreasing فعندي A4 زاد
+
+109
+00:15:07,110 --> 00:15:17,350
+A4 أصغر من A3 زاد A4 و هكذا برضه عندي A8 أصغر من
+
+110
+00:15:17,350 --> 00:15:25,190
+A5 و أصغر من A6 و أصغر من A7وبالتالي هدا هيكون
+
+111
+00:15:25,190 --> 00:15:30,470
+اربعة ا تمانية اصغر من مجموعة اربعة حدود اللي هم a
+
+112
+00:15:30,470 --> 00:15:42,270
+خمسة زائد a ستة زائد a سبعة زائد a تمانية و هكذا
+
+113
+00:15:42,270 --> 00:15:48,830
+استمر على هذا النمط الى ان نصل لاخر
+
+114
+00:15:51,230 --> 00:15:58,170
+هدول الحدود هيكون اصغر من .. او لحد هذا الأخير
+
+115
+00:15:58,170 --> 00:16:04,530
+اصغر من المجموعة اللي هو a اتنين اص ام سالب واحد
+
+116
+00:16:04,530 --> 00:16:11,430
+زائد واحد زائد a
+
+117
+00:16:11,430 --> 00:16:18,920
+اتنين اص ام سالب واحد زائد اتنين زائد و هكذابقت
+
+118
+00:16:18,920 --> 00:16:24,700
+أصغر من مجموعة كل ال series لأن هذه كلها حدود
+
+119
+00:16:24,700 --> 00:16:29,680
+موجبة، أعداد موجبة وهذا
+
+120
+00:16:29,680 --> 00:16:38,540
+الكلام صحيح لكل M، لكل M عدد طبيعي أكبر
+
+121
+00:16:38,540 --> 00:16:47,240
+من أو يساوي، يعني عدد طبيعي وبالتالي
+
+122
+00:16:47,240 --> 00:16:48,120
+and so
+
+123
+00:16:50,890 --> 00:17:01,690
+وبالتالي نضرب sum من k بساوي سفر إلى m لتو أس ك
+
+124
+00:17:01,690 --> 00:17:10,490
+بإتنين أس ك ده هيطلع أصغر من أو ساوي نضرب الطرفين
+
+125
+00:17:10,490 --> 00:17:15,470
+في اتنين عشان نتخلص من النصفبصير المجموع هذا أصغر
+
+126
+00:17:15,470 --> 00:17:21,410
+من أوسعه اتنين في summation من n equals zero to
+
+127
+00:17:21,410 --> 00:17:27,750
+infinity ل a n تمام؟
+
+128
+00:17:27,750 --> 00:17:34,330
+وهذا
+
+129
+00:17:34,330 --> 00:17:39,650
+صحيح لكل m belonging to N
+
+130
+00:17:44,360 --> 00:18:02,120
+بنسمي ال quality هذه واحد طيب
+
+131
+00:18:02,120 --> 00:18:05,680
+now next
+
+132
+00:18:09,650 --> 00:18:21,350
+given any m أكبر من أو سوى الواحد choose using
+
+133
+00:18:21,350 --> 00:18:34,050
+Archimedean property choose
+
+134
+00:18:34,050 --> 00:18:44,810
+k بحيث أنهtwo to K أكبر من M لأي عدد طبيعي ممكن
+
+135
+00:18:44,810 --> 00:18:58,530
+ألاقي عدد طبيعي بحياتي two to K أكبر من M then ال
+
+136
+00:18:58,530 --> 00:19:06,690
+summation from N equals zero to Mلان هذا بيطلع
+
+137
+00:19:06,690 --> 00:19:12,630
+أصغر من a0
+
+138
+00:19:12,630 --> 00:19:19,710
+زائد a1 زائد a2
+
+139
+00:19:19,710 --> 00:19:31,150
+زائد a3 زائد a4 زائد a5 زائد a6 زائد a7 زائد a8
+
+140
+00:19:35,390 --> 00:19:47,670
+مع بعض زائد و هكذا إلى اتنين
+
+141
+00:19:47,670 --> 00:19:55,190
+أسكت زائد اتنين أسكت زائد واحد زائد و هكذا إلى
+
+142
+00:19:55,190 --> 00:19:59,330
+اتنين
+
+143
+00:19:59,330 --> 00:20:03,950
+أسكت زائد واحد سالب واحد
+
+144
+00:20:12,500 --> 00:20:17,840
+أنا عند ال M هذا ال M أصغر من اتنين أس كي في آخر
+
+145
+00:20:17,840 --> 00:20:26,460
+حد اللي هو AM هيكون أصغر من A رقم اتنين أس كي أو
+
+146
+00:20:26,460 --> 00:20:34,180
+أصغر من أو ساوي اتنين رقم A أس اتنين كي زي واحد
+
+147
+00:20:34,180 --> 00:20:35,780
+minus واحد
+
+148
+00:20:43,450 --> 00:20:52,190
+والمجموع هذا .. هذا المجموع أصغر من او يساوي a0
+
+149
+00:20:52,190 --> 00:20:57,490
+زائد a1 زائد
+
+150
+00:20:57,490 --> 00:21:06,710
+2 a2 لأن a3 أصغر من a2 صح؟ عشان ال sequence an is
+
+151
+00:21:06,710 --> 00:21:13,030
+decreasing و هذا المجموع أصغر من 4 a
+
+152
+00:21:14,740 --> 00:21:26,420
+أربعة صح وهكذا إلى المجموع هذا هيكون أصغر من اتنين
+
+153
+00:21:26,420 --> 00:21:37,280
+أث كيه هذول عدد الحدود في a اتنين أث كيه يعني هذول
+
+154
+00:21:37,280 --> 00:21:41,860
+عدد الحدود عددهم اتنين أث كيه وكل واحد منهم
+
+155
+00:21:45,050 --> 00:21:55,350
+أصغر من ات اول واحد اللي هو ات نين اص كيه وهذا
+
+156
+00:21:55,350 --> 00:22:01,830
+بدوره أصغر من ات نين اص كيه زائد summation من كيه
+
+157
+00:22:01,830 --> 00:22:09,730
+بساوي zero to infinity لاتنين اص كيه في ات نين اص
+
+158
+00:22:09,730 --> 00:22:17,540
+كيه هاي أول حد ات نين اص كيهلما ك بيساوي سفر بيطلع
+
+159
+00:22:17,540 --> 00:22:25,640
+ا واحد و بعدين اللي بعده بيطلع اتنين اتنين لما ك
+
+160
+00:22:25,640 --> 00:22:33,480
+بيساوي واحد و اللي بعده اربعة اربعة و هكذا طبعا
+
+161
+00:22:33,480 --> 00:22:37,400
+هذا بوقف المجموعة هذا finite هذا أصغر من المجموعة
+
+162
+00:22:37,400 --> 00:22:41,400
+من ك بيساوي سفر إلى ملا نهاية هذا طبعا في حدود
+
+163
+00:22:41,400 --> 00:22:41,820
+أكتر
+
+164
+00:22:44,960 --> 00:22:53,040
+تمام؟ وبالتالي إذا نستنتج and so نستنتج
+
+165
+00:22:53,040 --> 00:23:02,980
+إنه المجموعة sigma from n equal zero to infinity ل
+
+166
+00:23:02,980 --> 00:23:12,050
+a nبطلع أصغر من أو ساوي a0 زاد sigma from k equals
+
+167
+00:23:12,050 --> 00:23:20,790
+zero to infinity ل 2 أُس k a2 أُس k لأن
+
+168
+00:23:20,790 --> 00:23:26,810
+هذا صحيح لكل m أكبر من أو ساوي الواحد لأن هذا
+
+169
+00:23:26,810 --> 00:23:33,330
+عبارة عن هذا عبارة عن upper bound هذا العددأو هذا
+
+170
+00:23:33,330 --> 00:23:39,530
+العدد upper bound لل sequence of partial sums هنا
+
+171
+00:23:39,530 --> 00:23:44,190
+فما
+
+172
+00:23:44,190 --> 00:23:47,210
+هذه ال sequence of partial sums is increasing
+
+173
+00:23:47,210 --> 00:23:50,750
+متزايدة
+
+174
+00:23:50,750 --> 00:23:55,110
+و bounded above by this number إذا ال limit تبعت
+
+175
+00:23:55,110 --> 00:23:58,650
+ال sequence of partial sums exist و بالساوية
+
+176
+00:23:58,650 --> 00:24:04,990
+supremumلـ sequence of partial sums الـ supremum
+
+177
+00:24:04,990 --> 00:24:11,150
+لـ sequence of partial sums أقل من ال upper bound
+
+178
+00:24:11,150 --> 00:24:13,670
+هذا upper bound لـ sequence of partial sums ال
+
+179
+00:24:13,670 --> 00:24:17,050
+supremum أصغر upper bound وبالتالي إذا ال supremum
+
+180
+00:24:17,050 --> 00:24:21,690
+لـ sequence of partial sums هو عبارة عن limit لـ
+
+181
+00:24:21,690 --> 00:24:23,730
+sequence of partial sums اللي هو مجموعة ال
+
+182
+00:24:23,730 --> 00:24:29,190
+infinite series أصغر من أو ساوي ال upper boundby
+
+183
+00:24:29,190 --> 00:24:34,290
+monotone convergence theorem السيريز
+
+184
+00:24:34,290 --> 00:24:39,610
+هذي convergence ومجموعة بساول limit ل sequence of
+
+185
+00:24:39,610 --> 00:24:44,710
+partial sums اللي هي أصغر من أو ساول عددها okay
+
+186
+00:24:44,710 --> 00:24:54,170
+إذا نسمي المتباينة هذه اتنين إذا من المتباينة واحد
+
+187
+00:24:54,170 --> 00:24:54,870
+واتنين
+
+188
+00:25:11,870 --> 00:25:19,130
+الان بمقارنة مباشرة الاختلافات
+
+189
+00:25:19,130 --> 00:25:30,640
+المتباينات واحدة و اتنين بيقدواالسيريز sigma a n
+
+190
+00:25:30,640 --> 00:25:39,720
+converges if and only if السيريز sigma اثنين اثنين
+
+191
+00:25:39,720 --> 00:25:47,820
+a اثنين اثنين converges تعالى
+
+192
+00:25:47,820 --> 00:25:54,680
+نشوف لو كانت السيريز هذه convergent فالسيريز
+
+193
+00:25:54,680 --> 00:25:55,780
+هذه convergent
+
+194
+00:25:58,080 --> 00:26:03,500
+وبالتالي طبعا أن هذا صحيح لكل M بالمناسبة بقدر أن
+
+195
+00:26:03,500 --> 00:26:08,880
+هذه أيضا sequence of partial sums هذه ال limit
+
+196
+00:26:08,880 --> 00:26:19,460
+تبعتها exist وبالتالي ال infinite series هذه إذا
+
+197
+00:26:19,460 --> 00:26:27,250
+أن ال ممكن نقول أن هذا الكلام صحيحالان لو كانت ال
+
+198
+00:26:27,250 --> 00:26:31,430
+series هادي convergent فنضربها في ثابت اتنين تطلع
+
+199
+00:26:31,430 --> 00:26:35,270
+convergent وبالتالي ال series هادي convergent by
+
+200
+00:26:35,270 --> 00:26:40,170
+direct comparison test العكس لو كانت ال series
+
+201
+00:26:40,170 --> 00:26:41,670
+هادي convergent
+
+202
+00:26:44,460 --> 00:26:50,840
+فلما أضفلها حد عدد موجب بيبقى conversion وبالتالي
+
+203
+00:26:50,840 --> 00:26:54,080
+by direct comparison test ال series الأصغر بتطلع
+
+204
+00:26:54,080 --> 00:26:58,160
+conversion okay تمام؟ لأن هذا بثبت koshi
+
+205
+00:26:58,160 --> 00:27:03,600
+condensation test هذا ال test قوي كتير ويله فوائد
+
+206
+00:27:03,600 --> 00:27:13,000
+كتيرة فمن الفوائد تبعته يعني
+
+207
+00:27:13,000 --> 00:27:13,800
+هذه مثال
+
+208
+00:27:22,170 --> 00:27:37,410
+ممكن نستنتج ال test P-series مثال،
+
+209
+00:27:37,410 --> 00:27:46,290
+أنا موجود في أحدى التمرين التمرين 13
+
+210
+00:27:53,040 --> 00:28:05,440
+تعملين تلتاش سيكشن تلاتة سبعة ايش بيقول هذا if if
+
+211
+00:28:05,440 --> 00:28:16,600
+P أكبر من السفر is a real number discuss
+
+212
+00:28:16,600 --> 00:28:20,940
+the
+
+213
+00:28:20,940 --> 00:28:21,680
+convergence
+
+214
+00:28:42,640 --> 00:28:44,720
+تعالوا نفحص
+
+215
+00:28:49,400 --> 00:28:58,120
+Summation from n equals one to infinity لإتنين أُس
+
+216
+00:28:58,120 --> 00:29:08,700
+n في واحد على هاي أو خلّيني أقول إتنين أُس n في a
+
+217
+00:29:08,700 --> 00:29:16,120
+and a إتنين أُس m إيش بيساوي هذا طبعا هاي عندي a n
+
+218
+00:29:16,120 --> 00:29:24,230
+هذا هو عبارة عن a mالحد العام لل series فان بساوي
+
+219
+00:29:24,230 --> 00:29:30,290
+1 على n to p فبتبحث هل ال series هذي convergent او
+
+220
+00:29:30,290 --> 00:29:33,990
+متى بتكون هذي ال series convergent وبالتالي بقدر
+
+221
+00:29:33,990 --> 00:29:37,890
+اطبق اللي هو cauchy condensation test فهذه عبارة
+
+222
+00:29:37,890 --> 00:29:43,970
+عن sigma from n equals one to infinityالان ايه
+
+223
+00:29:43,970 --> 00:29:53,550
+اتنين اص ان بطلع واحد على اتنين اص ان الكل اص P
+
+224
+00:29:53,550 --> 00:30:03,810
+تمام؟ وهذا بيساوي summation from n equals one to
+
+225
+00:30:03,810 --> 00:30:18,940
+infinity لاتنين اص واحد minus Pالكل أسئلة وهدي
+
+226
+00:30:18,940 --> 00:30:27,020
+is a geometric series is a geometric series
+
+227
+00:30:27,020 --> 00:30:33,680
+وبالتالي
+
+228
+00:30:33,680 --> 00:30:38,320
+مظبوط هذا عبارة عن geometric series لو بدى أكتب
+
+229
+00:30:38,320 --> 00:30:40,620
+حدود تبعتها
+
+230
+00:30:43,100 --> 00:30:52,660
+فاول حد عبارة عن اتنين اص واحد minus P الحد التاني
+
+231
+00:30:52,660 --> 00:31:00,940
+اتنين اص واحد minus P الكل تربية و هكذا فالحد
+
+232
+00:31:00,940 --> 00:31:05,480
+الاول اتنين اص واحد minus P الحد التاني اتنين اص
+
+233
+00:31:05,480 --> 00:31:09,980
+واحد minus P و هكذا with ratio
+
+234
+00:31:14,090 --> 00:31:28,710
+with ratio with
+
+235
+00:31:28,710 --> 00:31:34,830
+ratio R
+
+236
+00:31:34,830 --> 00:31:41,790
+بساوي اتنين اص واحد minus P
+
+237
+00:31:48,590 --> 00:31:58,790
+So by geometric series test it converges if
+
+238
+00:31:58,790 --> 00:32:06,450
+and all if absolute R بيساوي اتنين أس واحد minus P
+
+239
+00:32:06,450 --> 00:32:16,670
+أصغر من واحد وهذا بتحقق اتنين أس واحد minus P أصغر
+
+240
+00:32:16,670 --> 00:32:25,590
+من واحدفنقول if واحد minus P اذا
+
+241
+00:32:25,590 --> 00:32:36,910
+كان واحد minus P أصغر من السفر سالم لأن لو كان
+
+242
+00:32:36,910 --> 00:32:41,430
+واحد minus P موجب فاتنين أس أي عدد موجب عمره ما
+
+243
+00:32:41,430 --> 00:32:47,440
+بيكون أصغر من واحدنصبوت لكن لو كان الأس سالم فبصير
+
+244
+00:32:47,440 --> 00:32:52,620
+هذا واحد على اتنين أس وموجب فبصير أصغر من واحد اذا
+
+245
+00:32:52,620 --> 00:32:57,020
+هذا صحيح if and only if الأس تابع الأتنين اللي هو
+
+246
+00:32:57,020 --> 00:33:06,240
+واحد minus P أصغر من سفر if and only if واحد أصغر
+
+247
+00:33:06,240 --> 00:33:12,920
+من P أو P أكبر من واحد okay تماموهذا هو ال P
+
+248
+00:33:12,920 --> 00:33:19,120
+Series Test لان احنا استنتجنا ال P Series Test من
+
+249
+00:33:19,120 --> 00:33:26,200
+Koshi Condensation Test فاكرين ال P Series هذي او
+
+250
+00:33:26,200 --> 00:33:29,840
+ال P Series Test اثبتنا ان Convergent if and only
+
+251
+00:33:29,840 --> 00:33:35,200
+if P أكبر من 1 وDivergent اذا كانت P أصغر منها
+
+252
+00:33:35,200 --> 00:33:35,960
+وسائل 1
+
+253
+00:33:42,110 --> 00:33:51,730
+Okay إذا ال .. هذا المعنى So by Cauchy Cauchy's
+
+254
+00:33:51,730 --> 00:34:01,910
+Condensation Test The series Sigma
+
+255
+00:34:01,910 --> 00:34:07,830
+from N equals one to infinity ال one over N to P
+
+256
+00:34:08,830 --> 00:34:16,530
+convergence if and only if P أكبر من واحد وهذا هو
+
+257
+00:34:16,530 --> 00:34:23,030
+ال P-series test إذن هذا بورجينا قوة Koshi
+
+258
+00:34:23,030 --> 00:34:29,530
+Condensation Test okay تمام؟ في طبعا أسئلة أخرى
+
+259
+00:34:29,530 --> 00:34:33,430
+على Koshi Condensation Test وانا طالب منكم تحلوها
+
+260
+00:34:33,430 --> 00:34:41,340
+زي السؤال 14 و15 صح؟ففي أي شيء في الأسئلة دي أو
+
+261
+00:34:41,340 --> 00:34:47,160
+أسئلة تانية؟
+
+262
+00:34:47,160 --> 00:34:56,500
+في
+
+263
+00:34:56,500 --> 00:34:58,180
+عندكم أي أسئلة؟
+
+264
+00:35:13,000 --> 00:35:19,560
+إذا سيكشن واحد تلاتة سبعة في أي سؤال تاني عندكم في
+
+265
+00:35:19,560 --> 00:35:25,540
+الأسئلة هذه أو
+
+266
+00:35:25,540 --> 00:35:31,860
+السيكاشن السابقة أو سيكشن أربعة واحد إذا بتحبه
+
+267
+00:35:31,860 --> 00:35:35,560
+سيكشن أربعة واحد
+
+268
+00:36:06,090 --> 00:36:13,070
+مافيش أسئلة؟ طيب ال .. مدان مافيش أسئلة نواصل ..
+
+269
+00:36:13,070 --> 00:36:16,190
+نكمل
+
+270
+00:36:16,190 --> 00:36:17,490
+المحاضرة في السابقة
+
+271
+00:36:49,090 --> 00:36:53,250
+المرة الأخرى اتحدثنا عن ال two-sided limits و عن
+
+272
+00:36:53,250 --> 00:37:00,350
+ال one-sided limits و أخدنا بعض النظريات و قلنا إن
+
+273
+00:37:00,350 --> 00:37:05,090
+جميع النظريات اللي برهنناها هو one-sided limit
+
+274
+00:37:05,090 --> 00:37:12,990
+صحيحة لل two-sided limitsأو المباريات الصحيحة لـ
+
+275
+00:37:12,990 --> 00:37:17,070
+two-sided limits بتكون أيضا صحيحة لـ one-sided
+
+276
+00:37:17,070 --> 00:37:26,650
+limit فناخد
+
+277
+00:37:26,650 --> 00:37:31,350
+أنفلة show
+
+278
+00:37:31,350 --> 00:37:31,950
+that
+
+279
+00:37:35,020 --> 00:37:55,100
+Limit لـ Signum X لإن X تقول لسفر لا يوجد فنلاحظ
+
+280
+00:37:55,100 --> 00:37:59,600
+أن Limit لأول شئ Signum X
+
+281
+00:38:03,790 --> 00:38:11,230
+بساوي x على absolute x لكل x لا يساوي سفر لما
+
+282
+00:38:11,230 --> 00:38:15,010
+أعرفنا الدالة هذه قلت لها بس هي نفسها x على
+
+283
+00:38:15,010 --> 00:38:20,690
+absolute x لو كان x بساوي سفر الآن ال limit ل
+
+284
+00:38:20,690 --> 00:38:30,890
+sigma x لما x تقول إلى سفر من اليمين بساوي ال
+
+285
+00:38:30,890 --> 00:38:31,310
+limit
+
+286
+00:38:35,810 --> 00:38:41,530
+لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من
+
+287
+00:38:41,530 --> 00:38:50,190
+اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى
+
+288
+00:38:50,190 --> 00:38:55,650
+صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمين لما x
+
+289
+00:38:55,650 --> 00:38:57,330
+تقول إلى صفر من اليمين لما x تقول إلى صفر من
+
+290
+00:38:57,330 --> 00:39:02,560
+اليمين لما x تقول إلى صفر من اليمينلما x تقول أصغر
+
+291
+00:39:02,560 --> 00:39:21,640
+من اليسار لما x أصغر من صفر لما
+
+292
+00:39:21,640 --> 00:39:28,560
+x أصغر من صفر لما x أصغر من صفر لما x أصغر من صفر
+
+293
+00:39:28,560 --> 00:39:33,950
+لما x أصغر من صفرالسالب واحد بيطلع السالب واحد ان
+
+294
+00:39:33,950 --> 00:39:37,670
+انا عندي ال limit من اليامين يساوي واحد ال limit
+
+295
+00:39:37,670 --> 00:39:44,230
+من اليسار يساوي سالب واحد مش متساوي اتين so by
+
+296
+00:39:44,230 --> 00:39:50,150
+theorem حسب النظرية اللي أخدناها theorem اربعة
+
+297
+00:39:50,150 --> 00:39:55,630
+تلاتة تلاتة بيطلع
+
+298
+00:39:55,630 --> 00:40:01,080
+عندي ال limit او ال two sided limitللـ signal
+
+299
+00:40:01,080 --> 00:40:09,560
+function لما x تقول السفر does not exist تمام؟
+
+300
+00:40:09,560 --> 00:40:22,280
+طيب خلّيني انا اخد show
+
+301
+00:40:22,280 --> 00:40:27,380
+that ال
+
+302
+00:40:27,380 --> 00:40:32,350
+limit لل function e والواحد على xلما x تقول إلى
+
+303
+00:40:32,350 --> 00:40:40,550
+سفر من اليمين does not exist and
+
+304
+00:40:40,550 --> 00:40:43,910
+من
+
+305
+00:40:43,910 --> 00:40:51,170
+ال limit لنفس ال function e to واحد على x لما x
+
+306
+00:40:51,170 --> 00:40:58,710
+تقول إلى سفر من اليسار تطلع موجودة و بساوي سفر
+
+307
+00:41:23,830 --> 00:41:31,010
+طيب ال ..
+
+308
+00:41:31,010 --> 00:41:34,050
+نحاول نبرهن الجزء الأول
+
+309
+00:41:56,420 --> 00:42:03,380
+بناخد الجزء الأول let
+
+310
+00:42:03,380 --> 00:42:13,540
+z of x بساوي e to 1 على x حفة x لا تساوي 0 وبدنا
+
+311
+00:42:13,540 --> 00:42:19,260
+نثبت to
+
+312
+00:42:19,260 --> 00:42:28,130
+show ان ال limitلـ g of x لما x تقول لصفر من
+
+313
+00:42:28,130 --> 00:42:38,750
+اليمين does not exist it suffices to
+
+314
+00:42:38,750 --> 00:42:42,710
+show يكفي
+
+315
+00:42:42,710 --> 00:42:52,650
+اثبات ان ال function g of x is not bounded on
+
+316
+00:42:56,170 --> 00:43:05,850
+on a right .. on a right neighborhood
+
+317
+00:43:05,850 --> 00:43:13,670
+.. on a right neighborhood اللي هو سفر دلتا of
+
+318
+00:43:13,670 --> 00:43:15,230
+zero
+
+319
+00:43:25,230 --> 00:43:28,670
+أخذنا قبل ذلك نظرية بتقول إيه ده عشان أثبت أنه ال
+
+320
+00:43:28,670 --> 00:43:35,710
+limit ل function عن نقطة معينة مش موجودة يكفي أثبت
+
+321
+00:43:35,710 --> 00:43:43,910
+أنه أنه الدالة unbounded عند أي unbounded
+
+322
+00:43:43,910 --> 00:43:48,650
+عند أي neighborhood
+
+323
+00:43:48,650 --> 00:43:56,210
+للنقطة الآن بالنسبة لل one-sided limitعشان أقول إن
+
+324
+00:43:56,210 --> 00:44:02,230
+ال limit ل function زي هذه g of x لما x تقول إلى
+
+325
+00:44:02,230 --> 00:44:09,430
+سفر من اليمين does not exist فهي
+
+326
+00:44:09,430 --> 00:44:16,390
+السفر و ال x تقول لسفر من اليمين فبدل ما أخد delta
+
+327
+00:44:16,390 --> 00:44:20,290
+neighborhood للسفر
+
+328
+00:44:20,290 --> 00:44:29,960
+فباخد right neighborhoodright neighborhood للسفر
+
+329
+00:44:29,960 --> 00:44:35,960
+فيكفي ان ال function هذه ماهياش bounded عن كل
+
+330
+00:44:35,960 --> 00:44:41,780
+right neighborhood يعني جوار من اليمين للسفر لان
+
+331
+00:44:41,780 --> 00:44:46,000
+انا بتعامل مع نهاية من اليمين لكن لما كنت اتعامل
+
+332
+00:44:46,000 --> 00:44:51,240
+مع نهاية من الطرفين فكنت ااخد delta neighborhood
+
+333
+00:44:51,240 --> 00:44:56,840
+كاملفلو أثبتت إن الـ function هذه ماهياش bounded
+
+334
+00:44:56,840 --> 00:45:01,280
+عند أي right neighborhood للصفر على الصورة هذه
+
+335
+00:45:01,280 --> 00:45:06,220
+فحسب نظرية سابقة الدالة مش ممكن يكون لها limit من
+
+336
+00:45:06,220 --> 00:45:09,960
+اليمين عند الصفر لأن لو كان لها limit عند الصفر من
+
+337
+00:45:09,960 --> 00:45:15,820
+اليمين فلازم تكون bounded على some neighborhood ..
+
+338
+00:45:15,820 --> 00:45:25,650
+right neighborhood للصفرOkay تمام و لإثبات ذلك to
+
+339
+00:45:25,650 --> 00:45:29,270
+see
+
+340
+00:45:29,270 --> 00:45:39,290
+this we use ال inequality التالية وهي T أكبر من
+
+341
+00:45:39,290 --> 00:45:47,010
+سفر دايما أصغر من E أس T for all T أكبر من سفر هذه
+
+342
+00:45:47,010 --> 00:45:54,200
+المتباينةهذه المتباينة موجودة
+
+343
+00:45:54,200 --> 00:46:01,780
+برهانة C Chapter 8 برهانة
+
+344
+00:46:01,780 --> 00:46:07,600
+موجودة في Chapter 8 اللي هتاخدوه لاحقا فهنستخدم
+
+345
+00:46:07,600 --> 00:46:11,460
+اللي هو المتباينة هذه في اثبات ان ال function
+
+346
+00:46:11,460 --> 00:46:17,420
+ماهياش bounded على neighborhood او right
+
+347
+00:46:17,420 --> 00:46:25,130
+neighborhood للصفرOkay عشان الوجد خلص بنوقف و
+
+348
+00:46:25,130 --> 00:46:29,590
+بناخد خمس دقايق break و بعدين بنكمل ان شاء الله
+
+349
+00:46:29,590 --> 00:46:35,550
+البرهانة فحنوقف و نكمل في الجزء التالي من المحاضرة
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/2qaKB7theEQ.srt

@@ -0,0 +1,1607 @@
+1
+00:00:19,940 --> 00:00:25,840
+السلام عليكم هنكمل
+
+2
+00:00:25,840 --> 00:00:33,420
+اليوم section أربعة اثنين في ال section هذا كان
+
+3
+00:00:33,420 --> 00:00:38,780
+اتبقى بس إن أحنا نثبت النظرية اللي كتبتها على
+
+4
+00:00:38,780 --> 00:00:44,700
+اللوح النظرية هذه بتنص على إن لو كان في هندية
+
+5
+00:00:44,700 --> 00:00:53,020
+function من A إلى R و c cluster point للset A وإذا كان
+
+6
+00:00:53,020 --> 00:00:59,120
+limit ال function عن c exist وموجبة أو 
+
+7
+00:00:59,120 --> 00:01:04,880
+على التوالي إذا كانت limit f of x عن c موجودة
+
+8
+00:01:04,880 --> 00:01:09,080
+وسالبة يوجد
+
+9
+00:01:09,080 --> 00:01:14,990
+نقدر نلاقي delta neighborhood دي delta لل c بحيث إن
+
+10
+00:01:14,990 --> 00:01:19,510
+الدالة هتكون إذا كانت ال limit موجبة فالدالة هتكون
+
+11
+00:01:19,510 --> 00:01:26,670
+موجبة على ال delta neighborhood ل C وإذا 
+
+12
+00:01:26,670 --> 00:01:31,950
+كانت ال limit سالبة فالدالة هتكون سالبة على جوار
+
+13
+00:01:31,950 --> 00:01:38,890
+delta ل C هذه
+
+14
+00:01:38,890 --> 00:01:43,210
+نظرية تشبه نظرية سابقة بخصوص limits of sequences
+
+15
+00:01:44,920 --> 00:01:48,400
+النظرية اللي فاتت بتاعة ال sequences المشابهة 
+
+16
+00:01:48,400 --> 00:01:52,640
+بتقول لو كانت ال sequence النهاية بتاعتها limit x
+
+17
+00:01:52,640 --> 00:01:58,200
+exist وموجبة فلازم ال sequence تكون حدودها من
+
+18
+00:01:58,200 --> 00:02:02,420
+capital N وأنت طالع كلها موجبة ولو كانت ال limit
+
+19
+00:02:02,420 --> 00:02:06,640
+لل sequence exist وسالبة فلازم حدود ال sequence
+
+20
+00:02:06,640 --> 00:02:10,900
+من capital N وأنت طالع كلها تكون سالبة فهذه شبيهة
+
+21
+00:02:10,900 --> 00:02:18,100
+فيها والبرهان سهل وشبيه بالبرهان تبع النظرية
+
+22
+00:02:18,100 --> 00:02:24,320
+المشابهة في حالة ال sequences فناخد الحالة assume
+
+23
+00:02:24,320 --> 00:02:27,360
+ناخد 
+
+24
+00:02:27,360 --> 00:02:32,400
+الحالة اللي فيها ال limit ل
+
+25
+00:02:32,400 --> 00:02:40,060
+f of x at c exists and equals عدد l موجب
+
+26
+00:02:53,880 --> 00:03:00,200
+فإذا كانت ال limit موجبة بنا أثبت إن يوجد delta
+
+27
+00:03:00,200 --> 00:03:07,240
+neighborhood إلى آخر A فخلّينا
+
+28
+00:03:07,240 --> 00:03:17,740
+ناخد let epsilon في الحالة دي let epsilon بيساوي
+
+29
+00:03:17,740 --> 00:03:26,600
+L على 2 فهذا عدد موجب الآن by definition of limit
+
+30
+00:03:26,600 --> 00:03:32,640
+of function by epsilon delta definition لأي
+
+31
+00:03:32,640 --> 00:03:38,140
+epsilon موجبة زي هذه يوجد delta تعتمد على L على 2
+
+32
+00:03:38,140 --> 00:03:43,280
+اللي هي ال epsilon عدد موجب بحيث إنه لو كان X
+
+33
+00:03:45,890 --> 00:03:51,090
+ينتمي إلى A و absolute x minus c أصغر من delta
+
+34
+00:03:51,090 --> 00:03:59,790
+أكبر من 0 فهذا بتضمن إن absolute f of x minus L
+
+35
+00:03:59,790 --> 00:04:04,510
+أصغر من epsilon اللي هي عبارة عن L ع 2
+
+36
+00:04:08,170 --> 00:04:15,990
+فحل المتباينة هذه في f of x فتصير f of x minus L
+
+37
+00:04:15,990 --> 00:04:24,930
+أصغر من L على 2 أكبر من سالب L على 2 وهذا
+
+38
+00:04:24,930 --> 00:04:29,210
+بيؤدي إلى إن
+
+39
+00:04:29,210 --> 00:04:30,350
+f of x
+
+40
+00:04:34,740 --> 00:04:45,980
+من هنا F of X تطلع أكبر من L على 2 لأنه لما أخد
+
+41
+00:04:45,980 --> 00:04:50,240
+سالب L أنقلها عن ناحية التانية فتصير F of X أكبر
+
+42
+00:04:50,240 --> 00:04:55,700
+من L سالب L على 2 تطلع L على 2 وال L موجبة إذا L
+
+43
+00:04:55,700 --> 00:05:06,860
+على 2 موجبة إذا هيك بنكون أثبتنا إن ال F of X طلعت
+
+44
+00:05:06,860 --> 00:05:18,580
+أكبر من صفر لمين لكل X تنتمي إلى A ومن 
+
+45
+00:05:18,580 --> 00:05:28,080
+المتباينة هذه هذا معناه X لا تساوي C إن ال X ينتمي
+
+46
+00:05:28,080 --> 00:05:34,480
+إلى A ولا تساوي C يعني موجودة في A ومش موجودة في
+
+47
+00:05:34,480 --> 00:05:44,280
+singleton set C والمتباينة هذه هذه معناها إن X
+
+48
+00:05:44,280 --> 00:05:46,460
+ينتمي إلى V Delta
+
+49
+00:05:56,010 --> 00:06:00,790
+x-c أصغر من دلتا بكافئ
+
+50
+00:06:10,030 --> 00:06:17,770
+إن X أصغر من C زائد Delta أكبر من C سالب Delta
+
+51
+00:06:17,770 --> 00:06:21,550
+فهذا
+
+52
+00:06:21,550 --> 00:06:27,890
+معناه X تنتمي لفترة مفتوحة Delta-neighborhood ل-C
+
+53
+00:06:29,570 --> 00:06:34,830
+Okay تمام إذا f of x اللي أعطاها موجبة لكل x في a
+
+54
+00:06:34,830 --> 00:06:43,250
+ومختلفة عن c وأيضا من هنا ال x أيضا تنتمي ل delta
+
+55
+00:06:43,250 --> 00:06:48,850
+neighborhood ل c وبالتالي تنتمي لتقاطع المجموعتين
+
+56
+00:06:48,850 --> 00:06:55,270
+إذا هذا بيثبت النظرية في حالة لما يكون ال limit
+
+57
+00:06:55,270 --> 00:06:56,490
+تبعتها موجبة
+
+58
+00:07:00,240 --> 00:07:08,880
+لو كانت ال limit سالبة فالبرهان مشابه لأن ال
+
+59
+00:07:08,880 --> 00:07:18,680
+proof of the case لما تكون ال limit ل f of x لما x
+
+60
+00:07:18,680 --> 00:07:30,600
+تؤول ل c بيساوي العدد سالب l is similar to
+
+61
+00:07:30,600 --> 00:07:38,200
+above case مشابه
+
+62
+00:07:38,200 --> 00:07:50,120
+للبرهان السابق  في الحالة هذه take start with
+
+63
+00:07:50,120 --> 00:07:55,920
+epsilon بيساوي سالب ال ع اتنين وهذا بيطلع عدد موجب
+
+64
+00:07:55,920 --> 00:08:01,060
+يعني ابدأوا البرهان بدل ما نبدأ ب epsilon بيساوي ال ع
+
+65
+00:08:01,060 --> 00:08:04,340
+اتنين ابدأوا epsilon ... epsilon بيساوي
+
+66
+00:08:14,820 --> 00:08:20,320
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان 
+
+67
+00:08:20,320 --> 00:08:20,800
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان 
+
+68
+00:08:20,800 --> 00:08:20,860
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان 
+
+69
+00:08:20,860 --> 00:08:24,600
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان 
+
+70
+00:08:24,600 --> 00:08:24,640
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان
+
+71
+00:08:24,640 --> 00:08:25,080
+البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان البرهان 
+
+72
+00:08:25,080 --> 00:08:33,380
+البرهان البرهان
+
+73
+00:08:34,550 --> 00:08:40,910
+لأن ال L سالبة وهذا صحيح لكل X في جوار Delta ل C
+
+74
+00:08:40,910 --> 00:08:46,530
+وفي A minus single to C okay؟ لأن حاسبكم أنتم 
+
+75
+00:08:46,530 --> 00:08:50,990
+تكتبوا البرهان تبع الحالة التانية تمام؟ واضح؟ في
+
+76
+00:08:50,990 --> 00:08:54,850
+أي سؤال أو سفسار؟ تمام؟ 
+
+77
+00:09:00,180 --> 00:09:08,120
+Okay إذا نبدأ section جديد
+
+78
+00:09:08,120 --> 00:09:26,200
+section
+
+79
+00:09:26,200 --> 00:09:29,460
+أربعة ثلاثة
+
+80
+00:09:33,950 --> 00:09:47,190
+بعض التطبيقات .. بعض التطبيقات ل
+
+81
+00:09:47,190 --> 00:09:53,590
+limit concept
+
+82
+00:10:04,410 --> 00:10:12,090
+بعض التعاملات أو توصية بعض مفاهيم النهايات احنا
+
+83
+00:10:12,090 --> 00:10:16,470
+قبل هيك درسنا في section 4.1 و 4.2 ال limit of
+
+84
+00:10:16,470 --> 00:10:20,450
+function أو ال two sided limit لل function عن نقطة
+
+85
+00:10:20,450 --> 00:10:24,810
+معينة اليوم هندرس ال one sided limit ل function عن
+
+86
+00:10:24,810 --> 00:10:30,960
+نقطة and cluster point للمجال تبعها مقصود بال one
+
+87
+00:10:30,960 --> 00:10:34,040
+sided limit اللي هو limit من اليمين أو limit من
+
+88
+00:10:34,040 --> 00:10:38,740
+اليسار ونشوف ما هي علاقة ال one sided limit بال
+
+89
+00:10:38,740 --> 00:10:43,320
+two sided limit فنعرف 
+
+90
+00:10:43,320 --> 00:10:47,880
+الأول definition نعرف ال one sided limit
+
+91
+00:10:47,880 --> 00:10:53,000
+definition let
+
+92
+00:10:55,520 --> 00:11:03,780
+f be a function from a to r and c be a cluster point
+
+93
+00:11:03,780 --> 00:11:06,840
+cluster
+
+94
+00:11:06,840 --> 00:11:22,340
+point of a واحد أو
+
+95
+00:11:22,340 --> 00:11:34,220
+خلّيالـ cluster point of المجموعة A
+
+96
+00:11:34,220 --> 00:11:40,880
+تقاطع الفترة المفتوحة من C إلى infinity اللي هي كل
+
+97
+00:11:40,880 --> 00:11:47,240
+ال X مجموعة كل العناصر X تنتمي إلى A حيث X أكبر من
+
+98
+00:11:47,240 --> 00:11:53,520
+C نقول
+
+99
+00:11:57,140 --> 00:12:03,280
+إن العدد l ينتمي إلى R is
+
+100
+00:12:03,280 --> 00:12:14,600
+a right .. is a right hand limit .. right hand
+
+101
+00:12:14,600 --> 00:12:29,490
+limit of the function F at ..x بيساوي c if الشرط 
+
+102
+00:12:29,490 --> 00:12:35,570
+التالي بيتحقق لكل
+
+103
+00:12:35,570 --> 00:12:40,630
+epsilon given
+
+104
+00:12:40,630 --> 00:12:43,970
+epsilon
+
+105
+00:12:43,970 --> 00:12:51,040
+أكبر من الصفر ��وجد delta تعتمد على epsilon عدد موجبة 
+
+106
+00:12:51,040 --> 00:13:01,180
+بحيث إنه لو كان x ينتمي ل a و x minus c أكبر من
+
+107
+00:13:01,180 --> 00:13:07,760
+صفر أصغر من delta فهذا بتضمن إن absolute f of x
+
+108
+00:13:07,760 --> 00:13:13,540
+minus l أصغر من epsilon in
+
+109
+00:13:13,540 --> 00:13:17,720
+this case in
+
+110
+00:13:17,720 --> 00:13:28,480
+this case we write نكتب إن ال limit لل function f
+
+111
+00:13:28,480 --> 00:13:37,920
+عندما x تؤول إلى c من اليمين بيساوي العدد l .. 
+
+112
+00:13:37,920 --> 00:13:44,920
+تمام؟ لأن هذا تعريف ال limit from the right أو ال
+
+113
+00:13:44,920 --> 00:13:49,460
+right hand limit لل function f عند النقطة c
+
+114
+00:14:05,180 --> 00:14:13,440
+إذا أنا عندي هذه خط الأعداد وهي النقطة C وأنا عندي
+
+115
+00:14:13,440 --> 00:14:21,900
+ال C هي cluster point ل
+
+116
+00:14:21,900 --> 00:14:26,180
+A .. لكل ال X موجود في A وأكبر من C
+
+117
+00:14:32,710 --> 00:14:37,650
+فبنقول إن ال limit عند x بيساوي c أو ال function 
+
+118
+00:14:37,650 --> 00:14:42,150
+في إلها right-hand limit وال right-hand limit هي
+
+119
+00:14:42,150 --> 00:14:48,410
+العدد L إذا كان لأي epsilon أكبر من الصفر بتقدر
+
+120
+00:14:48,410 --> 00:14:53,390
+نلاقي delta عدد موجبة بيعتمد على epsilon بحيث لكل x
+
+121
+00:14:53,390 --> 00:15:01,510
+في المجموعة A إذا كانت ال X هذه على يمين ال C
+
+122
+00:15:05,140 --> 00:15:12,460
+والمسافة بينها وبين ال C أصغر من Delta فبتطلع
+
+123
+00:15:12,460 --> 00:15:19,860
+المسافة بين F و X L أصغر من Y بالمثل
+
+124
+00:15:19,860 --> 00:15:24,100
+ممكن نعرف ال limit from the right يعني أنا بدي
+
+125
+00:15:24,100 --> 00:15:27,800
+أعرف ال limit from the right أو ال right hand
+
+126
+00:15:27,800 --> 00:15:34,750
+limit هي نفس let f be a function from A to R و C
+
+127
+00:15:34,750 --> 00:15:41,010
+cluster point للمجموعة A تقاطع الفترة المفتوحة من
+
+128
+00:15:41,010 --> 00:15:50,850
+سالب مالانهاية إلى C اللي هي كل ال X في A حيث X
+
+129
+00:15:50,850 --> 00:15:58,490
+هتكون أصغر من مرة هذه أصغر من C فنقول إن ال real
+
+130
+00:15:58,490 --> 00:16:06,070
+number L هو بدل right hand limit هيكون left hand
+
+131
+00:16:06,070 --> 00:16:10,550
+limit of f at c if given epsilon there exists
+
+132
+00:16:10,550 --> 00:16:15,310
+delta depends on epsilon بحيث إنه لكل x ينتمي إلى
+
+133
+00:16:15,310 --> 00:16:21,900
+A لكل X تنتمي إلى A وال X طبعا موجودة في الفترة هذه
+
+134
+00:16:21,900 --> 00:16:28,600
+يعني ال X المرة هذه على يسار المرة هذه ال X هتكون
+
+135
+00:16:31,420 --> 00:16:35,260
+موجودة في A وفي الفترة المفتوحة من سالب مالانهاية
+
+136
+00:16:35,260 --> 00:16:44,720
+إلى C يعني ال X هتكون على يسار ال C وبالتالي هنا 
+
+137
+00:16:44,720 --> 00:16:51,240
+ال C minus المسافة بين X و C absolute X minus C
+
+138
+00:16:51,240 --> 00:16:57,640
+هتطلع بيساوي C minus X فلو كانت المسافة هذه أصغر من 
+
+139
+00:16:57,640 --> 00:16:59,660
+Delta وطبعا أكبر من صفر
+
+140
+00:17:09,550 --> 00:17:18,370
+هذا الشرط سيصبح c-x أصغر من دلتا أكبر من صفر فهذا
+
+141
+00:17:18,370 --> 00:17:22,910
+لازم يضمن أن absolute of f of x minus l أصغر من
+
+142
+00:17:22,910 --> 00:17:29,610
+إبسيلون في الحالة هذه بيقول إن ال limit لf of x لما
+
+143
+00:17:29,610 --> 00:17:31,850
+x تقول لc من اليسار
+
+144
+00:17:34,230 --> 00:17:39,550
+بس n بساوي l okay إنّها تعريف ال left hand limit
+
+145
+00:17:39,550 --> 00:17:44,890
+أو ال limit from the left okay تعديل
+
+146
+00:17:44,890 --> 00:17:50,770
+بسيط بس طيب
+
+147
+00:17:50,770 --> 00:17:58,170
+ال limits هذه هنشوف يعني بعد شوية إنّ ال one sided
+
+148
+00:17:58,170 --> 00:18:03,210
+limits ده functional نقطة ممكن يعني التنتين يكونوا
+
+149
+00:18:03,210 --> 00:18:09,750
+موجودين عند النقطة و ليهم نفس القيمة أو ممكن
+
+150
+00:18:09,750 --> 00:18:15,430
+التنتين يكونوا موجودين عند نقطة لكن قيمهم مختلفة
+
+151
+00:18:15,430 --> 00:18:20,270
+زي ال Signum function عند الصفر شوفنا إنّ ال limit
+
+152
+00:18:20,270 --> 00:18:23,350
+تبعتها من اليمين واحد و ال limit تبعتها من اليسار
+
+153
+00:18:23,350 --> 00:18:27,850
+سالب واحد إذا ممكن ال two sided limits يكونوا
+
+154
+00:18:27,850 --> 00:18:33,630
+موجودات لكن they are different مختلفات، ممكن برضه
+
+155
+00:18:33,630 --> 00:18:37,790
+one sided limit تكون موجودة and the other may not
+
+156
+00:18:37,790 --> 00:18:42,090
+exist، ممكن ما تكونش موجودة من أساسه
+
+157
+00:18:44,810 --> 00:18:54,930
+ممكن ال one sided limits ولا واحدة فيهم تكون
+
+158
+00:18:54,930 --> 00:19:03,250
+موجودة فكل الحالات هذه هنشوفها في أمثلة لاحقة لكن
+
+159
+00:19:03,250 --> 00:19:08,030
+الأول خلّينا نبرهن النظرية التالية
+
+160
+00:19:13,670 --> 00:19:18,750
+طبعا هنا بنحب ال ...
+
+161
+00:19:18,750 --> 00:19:24,870
+النوّه إنّ كل نظريات اللي أثبتناها في section 4.1
+
+162
+00:19:24,870 --> 00:19:31,790
+أو 4.2 بخصوص ال two sided limit هتكون صحيحة بخصوص
+
+163
+00:19:31,790 --> 00:19:38,030
+ال right limit و كذلك صحيحة بخصوص ال left hand
+
+164
+00:19:38,030 --> 00:19:38,430
+limit
+
+165
+00:19:41,100 --> 00:19:46,240
+فعلى سبيل المثال وليس الحصر إحنا أخدنا sequential
+
+166
+00:19:46,240 --> 00:19:51,240
+criterion sequential criterion for two sided limit
+
+167
+00:19:51,240 --> 00:19:56,580
+الآن هنكتب برضه sequential criterion for right
+
+168
+00:19:56,580 --> 00:20:09,420
+limit sequential criterion for right 
+
+169
+00:20:09,420 --> 00:20:10,100
+hand
+
+170
+00:20:25,970 --> 00:20:35,670
+limits let f from a to r be a function and c be a
+
+171
+00:20:35,670 --> 00:20:37,330
+cluster
+
+172
+00:20:39,230 --> 00:20:47,910
+point of A then the following statements are
+
+173
+00:20:47,910 --> 00:20:54,190
+equivalent العبارات التالية متكافئة واحد ال limit
+
+174
+00:20:54,190 --> 00:21:01,810
+ل F of X as X tends to C from the right exists
+
+175
+00:21:01,810 --> 00:21:06,030
+و بساوي عدد L اتنين
+
+176
+00:21:13,830 --> 00:21:20,370
+for every sequence
+
+177
+00:21:20,370 --> 00:21:36,530
+x n contained in a تقاطع c إلى infinity such that
+
+178
+00:21:38,210 --> 00:21:47,290
+limit x n as n tends to infinity بيساوي c we have
+
+179
+00:21:47,290 --> 00:21:51,090
+limit
+
+180
+00:21:51,090 --> 00:21:59,170
+لل image of the sequence x n بيساوي العدد L
+
+181
+00:22:10,340 --> 00:22:17,060
+البرهان شبيه بالبرهان الخاص بالـ two-sided limit
+
+182
+00:22:17,060 --> 00:22:24,100
+فمثلا لو بدنا نبرهن proof لو بدنا نبرهن العبارة
+
+183
+00:22:24,100 --> 00:22:30,720
+الأولى بتأدي للتانية فبنقول assume .. نبدأ ب
+
+184
+00:22:30,720 --> 00:22:38,240
+assume إنّ ال limit ال right limitالـ F عند الـ C
+
+185
+00:22:38,240 --> 00:22:44,240
+exists بساوي L و بدنا
+
+186
+00:22:44,240 --> 00:22:48,680
+نثبت إنّ الـ two بيطلع العبارة اتنين بتطلع صحيحة
+
+187
+00:22:48,680 --> 00:22:55,400
+لبرهان العبارة to prove two
+
+188
+00:22:55,400 --> 00:22:56,260
+holds
+
+189
+00:22:59,500 --> 00:23:08,320
+لتبدأ لت xn contained in a تقاطع c إلى infinity
+
+190
+00:23:08,320 --> 00:23:12,360
+ب sequence
+
+191
+00:23:12,360 --> 00:23:19,040
+such that ال limit تبعتها as n tends to infinity
+
+192
+00:23:19,040 --> 00:23:24,440
+بيساوى c إذا أنا باخد sequence في المجموعة a
+
+193
+00:23:24,440 --> 00:23:30,410
+و حدودها كلها أكبر من c و بفرض إنّ ال limit لل
+
+194
+00:23:30,410 --> 00:23:38,870
+sequence بيساوي العدد c نحتاج إنّنا نظهر عشان
+
+195
+00:23:38,870 --> 00:23:46,250
+نثبت اتنين باقي نثبت إنّ ال limit نحتاج إنّنا نظهر إنّ
+
+196
+00:23:46,250 --> 00:23:53,530
+ال limit لل image of the sequence xn as n tends to
+
+197
+00:23:53,530 --> 00:24:01,630
+infinity بساوي L هيك بنكون أثبتنا إنّ العبارة 2
+
+198
+00:24:01,630 --> 00:24:10,150
+صحيحة، مصبوط، صح؟ طيب لبرهان ذلك to
+
+199
+00:24:10,150 --> 00:24:11,130
+see this
+
+200
+00:24:16,090 --> 00:24:19,390
+نبدأ نثبت إنّ ال limit لل sequence هذه بساوي عدد L
+
+201
+00:24:19,390 --> 00:24:23,890
+فبستخدم تعريف epsilon capital N لل limit فلازم
+
+202
+00:24:23,890 --> 00:24:31,510
+نبدأ with epsilon أكبر من الصفر ب given طيب مش
+
+203
+00:24:31,510 --> 00:24:41,970
+إحنا فرضنا Since الـ right limit ل F and C موجود أو
+
+204
+00:24:41,970 --> 00:24:46,770
+بيساوي L من تعريف ال right limit there exists
+
+205
+00:24:46,770 --> 00:24:52,230
+delta depends on epsilon positive number بحيث إنّه
+
+206
+00:24:52,230 --> 00:25:02,200
+لو كانت ال X تنتمي إلى A و X minus C أكبر من 0 أصغر
+
+207
+00:25:02,200 --> 00:25:09,760
+من دلتا هذا معناه بيؤدي إنّ absolute f of x minus
+
+208
+00:25:09,760 --> 00:25:22,600
+L أصغر من إبسيليون نسمي ال implication هذي star now
+
+209
+00:25:22,600 --> 00:25:30,880
+for the above الدلتا أكبر من الصفر لدلتا هذه
+
+210
+00:25:30,880 --> 00:25:34,720
+العدد الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا
+
+211
+00:25:34,720 --> 00:25:36,800
+هذه العدد الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة
+
+212
+00:25:36,800 --> 00:25:38,440
+لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا هذه العدد
+
+213
+00:25:38,440 --> 00:25:41,400
+الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا هذه
+
+214
+00:25:41,400 --> 00:25:41,660
+العدد الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا
+
+215
+00:25:41,660 --> 00:25:42,040
+هذه العدد الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة
+
+216
+00:25:42,040 --> 00:25:43,160
+لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا هذه العدد
+
+217
+00:25:43,160 --> 00:25:51,140
+الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا هذه
+
+218
+00:25:51,140 --> 00:25:57,180
+العدد الموجبة لدلتا هذه العدد الموجبة لدلتا
+
+219
+00:25:57,830 --> 00:26:05,110
+natural number عدد طبيعي بحيث إنّه لو كان ال N أكبر
+
+220
+00:26:05,110 --> 00:26:12,510
+من أو يساوي capital N فهذا بيضمن إنّ absolute xn
+
+221
+00:26:12,510 --> 00:26:20,090
+minus c أصغر من delta نسمي ال implication هذه
+
+222
+00:26:20,090 --> 00:26:21,050
+double star
+
+223
+00:26:30,480 --> 00:26:44,680
+hence و بالتالي star and double star imply بيؤدّيان
+
+224
+00:26:44,680 --> 00:26:51,860
+إلى ما يلي إنّه لو كانت ال N أكبر من أو يساوي
+
+225
+00:26:51,860 --> 00:26:56,360
+capital N فمن
+
+226
+00:26:56,360 --> 00:26:57,380
+double star
+
+227
+00:26:59,860 --> 00:27:04,940
+لو كانت n أكبر من أو يساوي capital N فمن double
+
+228
+00:27:04,940 --> 00:27:21,340
+star بيطلع absolute xn minus c أصغر من delta هذا
+
+229
+00:27:21,340 --> 00:27:24,800
+بيؤدي إنّ xn
+
+230
+00:27:26,360 --> 00:27:35,400
+minus C أكبر من صفر أصغر من Delta ليه؟ لأنّ ال xn
+
+231
+00:27:35,400 --> 00:27:44,420
+موجودة تنتمي لإيه؟ هو أكبر من C، لذلك هذا لأنّ xn
+
+232
+00:27:44,420 --> 00:27:48,400
+أكبر
+
+233
+00:27:48,400 --> 00:27:58,050
+من C فبالتالي absolute xn-c أكبر من 0 و بالتالي
+
+234
+00:27:58,050 --> 00:28:06,790
+absolute xn-c absolute عدد موجب بيساوي نفسه لأنّ ال
+
+235
+00:28:06,790 --> 00:28:15,750
+absolute value هنا ل xn-c بساوي xn-c لأنّ xn أكبر
+
+236
+00:28:15,750 --> 00:28:18,110
+من c و طبعا
+
+237
+00:28:21,830 --> 00:28:32,590
+هذا أكبر من الصفر لأنّ xn لا تساوي c أكبر من c الآن
+
+238
+00:28:32,590 --> 00:28:39,310
+من ال star هذا بيؤدي by star ال star بتقول إذا
+
+239
+00:28:39,310 --> 00:28:45,330
+كانت ال X أو هنا في الحالة تبعتنا xn ال xn هذه
+
+240
+00:28:45,330 --> 00:28:49,990
+تنتمي لإيه؟ ال xn هي تنتمي لإيه؟ و بعدين هي عندي
+
+241
+00:28:49,990 --> 00:28:56,470
+xn سالب C أكبر من صفر أصغر من Delta إذا by star
+
+242
+00:28:56,470 --> 00:29:06,950
+بيطلع absolute F of xn minus L أصغر من epsilon تمام؟
+
+243
+00:29:10,290 --> 00:29:18,790
+الآن نلاحظ إنّ epsilon was arbitrary إبسيليون
+
+244
+00:29:18,790 --> 00:29:28,230
+was arbitrary since
+
+245
+00:29:28,230 --> 00:29:36,890
+إبسيليون أكبر من الصفر was arbitrary إذاً هيك بنكون
+
+246
+00:29:36,890 --> 00:29:43,470
+إحنا أثبتنا إنّه لأي إبسيليون أو لكل إبسيليون يوجد Delta
+
+247
+00:29:43,470 --> 00:29:50,890
+لكل إبسيليون يوجد capital N يعتمد على ال Delta
+
+248
+00:29:50,890 --> 00:29:55,070
+و بالتالي تعتمد على إبسيليون لأنّ ال Delta تعتمد على
+
+249
+00:29:55,070 --> 00:30:01,410
+إبسيليون بحيث إنّه لكل N أكبر من أو يساوي capital N طلع
+
+250
+00:30:01,410 --> 00:30:06,190
+عندي absolute f of xn minus L أصغر من إبسيليون إذاً
+
+251
+00:30:06,190 --> 00:30:12,750
+by epsilon capital N definition of limit بيطلع هيك
+
+252
+00:30:12,750 --> 00:30:18,710
+بيكون أثبتنا إنّ limit ال sequence f of x n as n
+
+253
+00:30:18,710 --> 00:30:23,710
+tends to infinity بساوي L و هذا اللي بدنا يعني هذا
+
+254
+00:30:23,710 --> 00:30:26,570
+اللي إحنا إيه اللي عايزين نثبته
+
+255
+00:30:29,870 --> 00:30:35,490
+إذاً هيك بنكون أثبتنا إنّه إيه اتنين holds و بالتا��ي
+
+256
+00:30:35,490 --> 00:30:41,670
+هيك هذا بيكمل برهان واحد implies two okay تمام؟
+
+257
+00:30:41,670 --> 00:30:46,490
+بالمثل ممكن إنّنا نبرهن اتنين implies one
+
+258
+00:30:55,620 --> 00:31:03,360
+the proof of اتنين implies العبارة
+
+259
+00:31:03,360 --> 00:31:11,200
+التانية implies الأولى is similar is
+
+260
+00:31:11,200 --> 00:31:18,600
+similar to is
+
+261
+00:31:18,600 --> 00:31:22,000
+similar to the proof of
+
+262
+00:31:24,130 --> 00:31:34,570
+the sequential criterion for two-sided limit
+
+263
+00:31:34,570 --> 00:31:45,850
+exercises
+
+264
+00:31:45,850 --> 00:31:50,980
+يعني اتمرّنوا عليها أنا ارجع لبرهان ال sequential
+
+265
+00:31:50,980 --> 00:31:55,520
+criterion for two-sided limit و شوفوا اقرأوا
+
+266
+00:31:55,520 --> 00:31:59,600
+البرهان و اعملوا التعديلات البسيطة على البرهان لأنّ
+
+267
+00:31:59,600 --> 00:32:03,920
+هنا إحنا بنتعامل مع right hand limit أو limit from
+
+268
+00:32:03,920 --> 00:32:07,500
+the right rather than two-sided limit زي ما عملنا
+
+269
+00:32:07,500 --> 00:32:12,920
+في البرهان تبع واحد implies اتنين okay فحاسيبكم
+
+270
+00:32:12,920 --> 00:32:17,740
+انتوا تكتبوا البرهان تبع اتنين بيؤدي لواحد بنفس
+
+271
+00:32:17,740 --> 00:32:21,700
+الطريقة اللي برهناها في حالة ال two sided limit
+
+272
+00:32:21,700 --> 00:32:30,080
+okay تمام في أي سؤال طبعا ممكن برضه أيضا يوجد
+
+273
+00:32:30,080 --> 00:32:35,500
+ممكننا نثبت sequential criterion for left hand
+
+274
+00:32:35,500 --> 00:32:42,620
+limit أو limit from the left بنفس الطريقة okay يعني
+
+275
+00:32:42,620 --> 00:32:47,080
+إحنا مش هنكتب طبعا نظرية دي هنعتبرها نظرية قائمة و
+
+276
+00:32:47,080 --> 00:32:53,010
+صحيحة و مش بدون برهان okay تمام؟ إذن هذه واحدة من
+
+277
+00:32:53,010 --> 00:32:58,650
+النظريات اللي برهناها في section 4.1 و 4.2 و
+
+278
+00:32:58,650 --> 00:33:04,470
+بالمثل كل نظريات اللي برهناهم لـ two sided limit
+
+279
+00:33:04,470 --> 00:33:10,590
+في section 4.1 و 4.2 هنعتبرهم قائمين أو نعتبر
+
+280
+00:33:10,590 --> 00:33:15,330
+نظريات هذه صحيحة لـ left limit و right limit 
+
+281
+00:33:22,080 --> 00:33:37,560
+في نظرية أخرى مهمة وهي التعطيل
+
+282
+00:33:37,560 --> 00:33:43,000
+العلاقة بين الـ two sided limits و الـ one sided 
+
+283
+00:33:43,000 --> 00:33:49,100
+limits ف
+
+284
+00:33:51,870 --> 00:34:01,250
+if f is a function from a to r and let c be a cluster
+
+285
+00:34:01,250 --> 00:34:05,450
+point
+
+286
+00:34:05,450 --> 00:34:08,690
+of 
+
+287
+00:34:08,690 --> 00:34:15,310
+المجموعة a تقاطع الفترة المفتوحة from c to
+
+288
+00:34:15,310 --> 00:34:24,070
+infinity and of a تقاطع الـ open interval from
+
+289
+00:34:24,070 --> 00:34:32,250
+negative infinity to c then
+
+290
+00:34:32,250 --> 00:34:42,450
+الـ two-sided limit للـ function f and c بتكون 
+
+291
+00:34:42,450 --> 00:34:47,730
+موجودة وبتساوي
+
+292
+00:34:47,730 --> 00:34:54,760
+عدد L if and only if الـ one-sided limit أو الـ
+
+293
+00:34:54,760 --> 00:35:02,120
+limit from the right the limit at C from the right
+
+294
+00:35:02,120 --> 00:35:12,860
+exist و بتساوي L and the limit of f at C from the
+
+295
+00:35:12,860 --> 00:35:19,360
+left exist و بتساوي نفس العدد L وهذه نظرية أخذناها 
+
+296
+00:35:19,360 --> 00:35:21,520
+في تفاضل ألف إذا بتذكروا
+
+297
+00:35:24,420 --> 00:35:29,460
+متى ال limit عند نقطة في مجالها أو cluster point
+
+298
+00:35:29,460 --> 00:35:34,940
+لمجالها بتكون exist بالساوية عدد إذا كانت ال limit
+
+299
+00:35:34,940 --> 00:35:37,980
+من اليمين موجودة و ال limit من اليسار موجودة و
+
+300
+00:35:37,980 --> 00:35:47,600
+الاثنتين متساويتين و بتساوي نفس العدد هناك
+
+301
+00:35:47,600 --> 00:35:50,500
+بس ماكنش البرهان المطلوب منكم المرة دي احنا
+
+302
+00:35:50,500 --> 00:35:58,420
+مطالبين بالبرهان البرهان يعني كتير سهل ينتج من 
+
+303
+00:35:58,420 --> 00:36:06,780
+التعريفات proof ف .. هحاول أبرهن لكم الـ f part هذا
+
+304
+00:36:06,780 --> 00:36:16,520
+مسمى الـ f part يعني هفرض أنه assume أنه
+
+305
+00:36:16,520 --> 00:36:17,780
+الـ one sided limits
+
+306
+00:36:24,700 --> 00:36:29,160
+the limit from the right exist و بتساوي L وكذلك
+
+307
+00:36:29,160 --> 00:36:36,000
+limit from the left موجودة
+
+308
+00:36:36,000 --> 00:36:41,840
+و بتساوي العدد L وعايز اثبت ان ال limit from the two
+
+309
+00:36:41,840 --> 00:36:48,940
+sides exist إذا هنا هذا الفرض المطلوب
+
+310
+00:37:02,770 --> 00:37:09,030
+أكلم الـ two-sided limit لـ الـ function f at x
+
+311
+00:37:09,030 --> 00:37:14,530
+بتساوي c exist و بتساوي نفس القيمة أو نفس الأعداد L
+
+312
+00:37:14,530 --> 00:37:27,010
+لبرهان ذلك to see this لبرهان ذلك بنحاول نطبق
+
+313
+00:37:27,010 --> 00:37:33,000
+تعريف epsilon delta للـ limit of function فبنبدأ
+
+314
+00:37:33,000 --> 00:37:41,140
+بنقول let epsilon أكبر من الصفر be given طيب 
+
+315
+00:37:41,140 --> 00:37:47,380
+أنا من الفرض أنا فارض تعالى نستفيد من الفرض للوصول 
+
+316
+00:37:47,380 --> 00:37:51,720
+إلى المطلوب هذا برهان مباشر البرهان المباشر ده
+
+317
+00:37:51,720 --> 00:37:57,420
+ناخد الفرض بنشتغل عليه بنحط عليه شوية برات و بعدين 
+
+318
+00:37:57,420 --> 00:38:05,060
+بنطلع منه المطلوب فمن الفرض فرضين احنا ان ال limit
+
+319
+00:38:05,060 --> 00:38:14,060
+لـ f of x as x tends to c positive لما انه ال limit
+
+320
+00:38:14,060 --> 00:38:20,020
+من اليمين عن c بتساوي L y أكبر من الصفر given by 
+
+321
+00:38:20,020 --> 00:38:25,190
+definition there exists delta واحد بالساوي delta 
+
+322
+00:38:25,190 --> 00:38:32,830
+واحد تعتمد على epsilon عدد موجب بحيث أنه لو كان x
+
+323
+00:38:32,830 --> 00:38:40,650
+ينتمي إلى a و x minus c أكبر من الصفر أصغر من delta
+
+324
+00:38:40,650 --> 00:38:48,350
+واحد فهذا بتضمن أن absolute f of x minus l أصغر من
+
+325
+00:38:48,350 --> 00:38:48,810
+epsilon
+
+326
+00:38:52,780 --> 00:39:00,720
+نسمي الـ implication head star also كذلك بما أن
+
+327
+00:39:00,720 --> 00:39:08,420
+احنا فرضين ان ال limit لـ f of x as x tends to c
+
+328
+00:39:08,420 --> 00:39:13,900
+from the left exist و equal نفس العدد L، إذا by
+
+329
+00:39:13,900 --> 00:39:18,980
+definition of left hand limit there exists delta
+
+330
+00:39:18,980 --> 00:39:21,880
+ثانية مش صارت الـ delta هذه تكون نفس الـ delta
+
+331
+00:39:21,880 --> 00:39:27,040
+اللي فوق ماحد بيقدر يجزم بذلك فنسميها delta ثانية
+
+332
+00:39:27,040 --> 00:39:32,980
+there exists delta two depends طبعا بالتأكيد تعتمد
+
+333
+00:39:32,980 --> 00:39:38,560
+على إبسلون وعدد موجب بحيث أنه حسب التعريف لكل x
+
+334
+00:39:39,250 --> 00:39:46,270
+تنتمي إلى a و c minus x أكبر من الصفر أصغر من delta
+
+335
+00:39:46,270 --> 00:39:54,290
+و 2 طبعا هذا بتضمن أن absolute f of x minus n less
+
+336
+00:39:54,290 --> 00:40:00,710
+than epsilon نسمي الـ implication هذه double star
+
+337
+00:40:00,710 --> 00:40:05,390
+خلينا
+
+338
+00:40:05,390 --> 00:40:11,530
+ناخد كالعادة delta نعرف delta على إنها minimum ال
+
+339
+00:40:11,530 --> 00:40:17,530
+minimum الأصغر بين delta واحد و delta اثنين طبعا
+
+340
+00:40:17,530 --> 00:40:21,890
+هذه بالتأكيد هيطلع الصغيرة بين الاتنين هتكون واحدة
+
+341
+00:40:21,890 --> 00:40:27,770
+منهم وبالتالي تطلع عدد موجب وتعتمد على epsilon إذن
+
+342
+00:40:27,770 --> 00:40:30,930
+هيثبت أن يوجد delta تعتمد على epsilon و ال delta
+
+343
+00:40:30,930 --> 00:40:36,110
+هي عدد موجب الان for this delta تعالى نشوف
+
+344
+00:40:40,450 --> 00:40:49,310
+لو كان x ينتمي ل a و absolute x minus c أكبر من
+
+345
+00:40:49,310 --> 00:40:54,510
+الصفر أصغر من دلتا الان 
+
+346
+00:40:54,510 --> 00:40:57,850
+بناخد delta بتساوي ال minimum ل delta واحد و delta
+
+347
+00:40:57,850 --> 00:41:02,060
+اثنين طبعا بما ان دلتا واحد ودلتا اثنين اعداد موجبة
+
+348
+00:41:02,060 --> 00:41:06,080
+اذا دلتا عدد موجب وكذلك تعتمد على epsilon لان
+
+349
+00:41:06,080 --> 00:41:10,380
+دلتا واحد ودلتا اثنين تعتمد على epsilon الان لو
+
+350
+00:41:10,380 --> 00:41:16,720
+أخدت x تنتمي لمجموعة a و ال x صارت مختلفة عن ال c
+
+351
+00:41:16,720 --> 00:41:23,320
+و المسافة بينها و بين ال c أصغر من دلتا هذا معناه 
+
+352
+00:41:23,320 --> 00:41:34,510
+هذا معناه أنه ال x لا تساوي c وبالتالي 
+
+353
+00:41:34,510 --> 00:41:48,230
+ال x ممكن تكون أصغر من c أو ال x أكبر من c فهذا
+
+354
+00:41:48,230 --> 00:41:55,630
+بيقدي أن ال .. ال 
+
+355
+00:41:55,630 --> 00:42:04,400
+.. ال .. إذا كانت ال x إذا كانت الـ x أكبر من c لو
+
+356
+00:42:04,400 --> 00:42:08,980
+كانت الـ x أكبر من c فهذا بقدي أن absolute x
+
+357
+00:42:08,980 --> 00:42:15,200
+minus c بتساوي x minus c بصير الـ absolute value
+
+358
+00:42:15,200 --> 00:42:20,560
+هذه عبارة عن x minus c هو أكبر من 0 أصغر من delta
+
+359
+00:42:20,560 --> 00:42:29,800
+ولو كانت ال x أصغر من c فال absolute value هذه
+
+360
+00:42:29,800 --> 00:42:37,360
+بيصير c minus x أكبر من الصفر أصغر من delta في
+
+361
+00:42:37,360 --> 00:42:41,460
+الحالة الأولى ال delta تبعتي هذه أصغر من أو ساوي 
+
+362
+00:42:41,460 --> 00:42:47,120
+delta واحد صح؟ ال delta هذه هي ال minimum ل delta
+
+363
+00:42:47,120 --> 00:42:50,760
+واحد و delta اثنين وبالتالي أصغر من أو ساوي delta
+
+364
+00:42:50,760 --> 00:42:58,090
+واحد وبالتالي من ال star إذا كانت x تنتمي إلى a و x
+
+365
+00:42:58,090 --> 00:43:03,990
+minus c أكبر من الصفر أصغر من دلتا واحد من ال star
+
+366
+00:43:03,990 --> 00:43:11,770
+بيطلع عندي absolute f of x minus l أصغر من يو إذا 
+
+367
+00:43:11,770 --> 00:43:17,510
+كانت ال x أصغر من ال c فبيطلع absolute x سالب c
+
+368
+00:43:17,510 --> 00:43:22,870
+بيطلع بيساوي c سالب x أصغر من delta وطبعا x مستويش 
+
+369
+00:43:22,870 --> 00:43:29,190
+c أكبر من 0 وال delta هذه من تعريفها أصغر من أو 
+
+370
+00:43:29,190 --> 00:43:35,300
+يساوي delta 2 باستخدام double star ال implication
+
+371
+00:43:35,300 --> 00:43:41,420
+double star لما يكون ال x تنتمي ل a و c minus x 
+
+372
+00:43:41,420 --> 00:43:46,640
+أكبر من 0 أصغر من delta 2 هذا بيقدر أن absolute f
+
+373
+00:43:46,640 --> 00:43:53,680
+of x minus l أصغر من إبسن إذن في كل الأحوال هذه
+
+374
+00:43:53,680 --> 00:43:58,180
+بتقدر أن absolute f of x minus l أصغر من إبسن
+
+375
+00:43:58,180 --> 00:43:59,400
+تمام؟
+
+376
+00:44:02,170 --> 00:44:06,090
+طب ما هذا هو تعريف epsilon delta للـ limit of
+
+377
+00:44:06,090 --> 00:44:12,270
+function صح؟ إذا نيجي بنقول هنا since epsilon أكبر
+
+378
+00:44:12,270 --> 00:44:15,870
+من الصفر was arbitrary
+
+379
+00:44:17,410 --> 00:44:22,850
+إذا احنا بنكون أثبتنا لكل إبسلون أكبر من الصفر يوجد
+
+380
+00:44:22,850 --> 00:44:27,950
+delta تعتمد على إبسلون عدد موجب بحيث لكل x تنتمي ل
+
+381
+00:44:27,950 --> 00:44:32,210
+a و absolute x minus c أكبر من الصفر أصغر من delta
+
+382
+00:44:32,210 --> 00:44:37,810
+طلع عندي absolute f of x في الحالتين minus l أصغر
+
+383
+00:44:37,810 --> 00:44:41,630
+من إبسلون وبالتالي إذا هذا صحيح لكل إبسلون 
+
+384
+00:44:41,630 --> 00:44:45,620
+وبالتالي by epsilon delta definition of limit أو 
+
+385
+00:44:45,620 --> 00:44:54,600
+function we have أثبتنا أن ال limit ل f of x as x
+
+386
+00:44:54,600 --> 00:45:01,380
+tends to c بتساوي العدد l okay تمام، إذا هذا بيثبت 
+
+387
+00:45:01,380 --> 00:45:04,840
+اللي هو لو كان ال two sided limits موجودين
+
+388
+00:45:04,840 --> 00:45:10,730
+متساويتين، لأ لو كان ال one sided limits كلا هما 
+
+389
+00:45:10,730 --> 00:45:15,530
+موجودة و بتساوي قيمة مشتركة l ف ال two sided limit
+
+390
+00:45:15,530 --> 00:45:20,130
+بتطلع exist و قيمتها بتساوي القيمة المشتركة الان 
+
+391
+00:45:20,130 --> 00:45:28,210
+برهان العكس أسهل لذلك هكتب هنا ال proof of 
+
+392
+00:45:28,210 --> 00:45:36,650
+the converse is easier أسهل
+
+393
+00:45:38,760 --> 00:45:44,180
+So exercise it يعني
+
+394
+00:45:44,180 --> 00:45:49,780
+تمرن عليها لو كانت ال two-sided limit exist فمن
+
+395
+00:45:49,780 --> 00:45:55,840
+السهل أن نثبت أن ال right hand limit exist و ال
+
+396
+00:45:55,840 --> 00:46:00,600
+left hand limit exist و كلهم لهم نفس القيمة okay
+
+397
+00:46:00,600 --> 00:46:05,170
+تمام؟ إذا هنوقف هنا و في المحاضرة الجاية إن شاء
+
+398
+00:46:05,170 --> 00:46:09,710
+الله هناخد أمثلة على one-sided limits إما في اثنين
+
+399
+00:46:09,710 --> 00:46:13,350
+موجودين و متساوياتين أو اثنين موجودين و مختلفتين
+
+400
+00:46:13,350 --> 00:46:18,190
+أو واحدة موجودة و اثنين مش موجودة و هكذا، هنشوف كل
+
+401
+00:46:18,190 --> 00:46:24,670
+الأنواع و كل ال situations، تمام؟ okay شكرا لكم و
+
+402
+00:46:24,670 --> 00:46:26,550
+نشوفكم إن شاء الله المرة القادمة

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/7K-d4aAzbLs_raw.srt

@@ -0,0 +1,1448 @@
+1
+00:00:21,410 --> 00:00:29,070
+السلام عليكم اليوم في اللقاء الأول هناخد مناقشة و
+
+2
+00:00:29,070 --> 00:00:36,710
+اعتقد ان احنا في المناقشة السابقة وصلنا ل section
+
+3
+00:00:36,710 --> 00:00:46,810
+تلاتة خمسة، أصبع؟ فممكن
+
+4
+00:00:46,810 --> 00:01:07,930
+اليومبنناقش section تلاتة ستة أو تلاتة سبعة في
+
+5
+00:01:07,930 --> 00:01:14,710
+أي أسل عندكم في section تلاتة خمسة أو section
+
+6
+00:01:14,710 --> 00:01:25,230
+تلاتة ستةثلاثة ستة السؤال ستة أي سؤال سؤال ستة ستة
+
+7
+00:01:25,230 --> 00:01:35,470
+سؤال
+
+8
+00:01:35,470 --> 00:01:37,650
+ستة section تلاتة ستة
+
+9
+00:01:46,160 --> 00:01:58,020
+let x in let the sequence x in be properly die
+
+10
+00:01:58,020 --> 00:02:05,920
+there and let
+
+11
+00:02:05,920 --> 00:02:24,780
+and let y inب such that limit x in ضرب y in limit
+
+12
+00:02:24,780 --> 00:02:31,980
+حصل ضرب لما n تقول لinfinity الساوي
+
+13
+00:02:31,980 --> 00:02:40,620
+L ينتمي إلى R يعني exists in R شو
+
+14
+00:02:40,620 --> 00:02:54,410
+مطلوبثم اثبت اظهر ان سيكوينس ين يتعامل
+
+15
+00:02:54,410 --> 00:03:10,230
+بالزيرو حل
+
+16
+00:03:10,230 --> 00:03:17,950
+السؤال هذا بعتمدعلى سؤال سابق اللي هو سؤال تلاتة
+
+17
+00:03:17,950 --> 00:03:27,190
+فالسؤال
+
+18
+00:03:27,190 --> 00:03:32,430
+هذا بيقول ان f
+
+19
+00:03:32,430 --> 00:03:50,310
+x n أكبر من سفر لكل n عدد طبيعيو ال then
+
+20
+00:03:50,310 --> 00:04:03,990
+limit xn بساوي zero if and only if limit واحد على
+
+21
+00:04:03,990 --> 00:04:10,350
+xn as n tends to infinity بساوي plus infinity
+
+22
+00:04:20,790 --> 00:04:27,670
+Okay لأن في سؤال طلعتها إذا كانت xn حدود sequence
+
+23
+00:04:27,670 --> 00:04:36,290
+حدودها موجة بقى و ف limit ال sequence xn بساوي سفر
+
+24
+00:04:36,290 --> 00:04:41,350
+if and only if limit مقلوب ال sequence xn بساوي
+
+25
+00:04:41,350 --> 00:04:42,190
+plus infinity
+
+26
+00:04:46,230 --> 00:04:52,690
+و طبعا في كمان ممكن نثبت ان لو كانت ال Xn حدودها
+
+27
+00:04:52,690 --> 00:05:00,950
+سالبة ف limit Xn بساوي صفر F and only F limit واحد
+
+28
+00:05:00,950 --> 00:05:03,970
+على Xn بساوي negative infinity
+
+29
+00:05:15,220 --> 00:05:24,480
+بما أن xn هو بشكل صحيح ديبيرزينت
+
+30
+00:05:24,480 --> 00:05:39,580
+ثم قيمة xn بساوي إفينتي أو قيمة xn بساوي نيجاتيف
+
+31
+00:05:39,580 --> 00:05:40,180
+إفينتي
+
+32
+00:05:45,460 --> 00:05:52,220
+case one ناخد الحالة الأولى اللى فيها limit xm
+
+33
+00:05:52,220 --> 00:05:59,860
+بساوي infinity by
+
+34
+00:05:59,860 --> 00:06:03,560
+exercise
+
+35
+00:06:03,560 --> 00:06:15,020
+رقم تلاتة section تلاتة ستةوالـ exercise اللى فوق
+
+36
+00:06:15,020 --> 00:06:18,100
+هذا
+
+37
+00:06:18,100 --> 00:06:27,160
+معناه انه we have هيطلع انه limit مطلوب ال
+
+38
+00:06:27,160 --> 00:06:38,000
+sequence xn as n tends to infinity بفلع صفر يعني
+
+39
+00:06:38,000 --> 00:06:44,710
+اعتبرى هذه هي xnتعتبر ال 1 على xn هي xn فإذا كان
+
+40
+00:06:44,710 --> 00:06:49,510
+limit xn بساوي infinity فlimit مقلوب ال xn اللي
+
+41
+00:06:49,510 --> 00:06:57,530
+هنا مقلوب اللي هو ايه بتطلع سفر ولا عكس يعني هنا
+
+42
+00:06:57,530 --> 00:07:03,850
+نفس ال exercise بس badly xn بواحد على xn فهذه
+
+43
+00:07:03,850 --> 00:07:08,690
+نتيجة صحية تمام hence
+
+44
+00:07:13,030 --> 00:07:16,810
+الـ limit ل
+
+45
+00:07:16,810 --> 00:07:29,290
+YN as intense infinity بساوي ال limit ال
+
+46
+00:07:29,290 --> 00:07:38,110
+YN ممكن كتبتها على صورة على
+
+47
+00:07:38,110 --> 00:07:39,310
+صورة
+
+48
+00:07:46,210 --> 00:07:55,770
+xn في yn ضرب 1
+
+49
+00:07:55,770 --> 00:08:01,290
+على xn صح
+
+50
+00:08:01,290 --> 00:08:09,850
+نظبط هيك ال yn هي عبارة عن xn في yn في 1 على xn
+
+51
+00:08:12,880 --> 00:08:18,360
+الان ال limit هذه لحد الأول exist و limit ل واحد
+
+52
+00:08:18,360 --> 00:08:22,660
+على xn برضه exist اذا ال limit حاصل ضرب بساوي حاصل
+
+53
+00:08:22,660 --> 00:08:27,540
+ضرب ال limits بقدر استخدم القانون هذا هطبق انه
+
+54
+00:08:27,540 --> 00:08:32,360
+limit حاصل ضرب two sequences بساوي limit الأولى
+
+55
+00:08:32,360 --> 00:08:41,100
+اللي هي حاصل ضرب xn ynدرب limit الـ sequence
+
+56
+00:08:41,100 --> 00:08:48,180
+التانية هي واحد على X end as n tends to infinity و
+
+57
+00:08:48,180 --> 00:08:53,940
+ال limit الأولى مش سامناها عدد L لما exist ضرب ال
+
+58
+00:08:53,940 --> 00:09:01,600
+limit التانية سفر فبطلع عندي سفر و هو المطلوب فهنا
+
+59
+00:09:01,600 --> 00:09:05,920
+أثبتنا في الحالة التانية case two
+
+60
+00:09:10,140 --> 00:09:24,200
+لو كانت ال limit لـ xn بساوي negative infinity ففي
+
+61
+00:09:24,200 --> 00:09:29,580
+الحالة هذه بيطلع عندي برضه by exercise تلاتة
+
+62
+00:09:29,580 --> 00:09:36,020
+section تلاتة ستة بس هنا مع التعديل هيطلع ان ال
+
+63
+00:09:36,020 --> 00:09:44,910
+limitلا واحد على اكس ان مثلا سفر و باقي البرهان
+
+64
+00:09:44,910 --> 00:09:58,730
+and the rest of the proof is similar to
+
+65
+00:09:58,730 --> 00:09:59,450
+case one
+
+66
+00:10:03,650 --> 00:10:09,850
+Okay تمام اذا هذا اللي هو البرهام ان الادكارة
+
+67
+00:10:09,850 --> 00:10:15,870
+تعتمد على exercise ثلاثة المهم وهو ان limit ل
+
+68
+00:10:15,870 --> 00:10:19,750
+sequence بيساوي infinity if and only if limit
+
+69
+00:10:19,750 --> 00:10:24,810
+مقلوب ال sequence بيساوي سفر او لعكس تمام و هذا
+
+70
+00:10:34,460 --> 00:10:39,400
+في عنكم أسئلة تانية؟
+
+71
+00:10:39,400 --> 00:10:45,260
+في
+
+72
+00:10:45,260 --> 00:10:49,220
+أسئلة تانية section تلاتة ستة الفرق بيه من سؤال
+
+73
+00:10:49,220 --> 00:10:49,680
+تسعة
+
+74
+00:11:33,220 --> 00:11:41,380
+حاول نكتب السؤال و بعدين السؤال
+
+75
+00:11:41,380 --> 00:11:43,600
+تسعة section تلاتة ع ستة
+
+76
+00:11:53,320 --> 00:12:04,400
+لت XIN و YIN بيكونوا عاملين من عاملين من عاملين من
+
+77
+00:12:04,400 --> 00:12:06,860
+عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من
+
+78
+00:12:06,860 --> 00:12:09,100
+عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من عاملين من
+
+79
+00:12:09,100 --> 00:12:22,440
+عاملين من عاملين
+
+80
+00:12:31,890 --> 00:12:44,270
+مطلوب الأول هو show if limit yn بساوي infinity
+
+81
+00:12:44,270 --> 00:12:51,370
+then limit
+
+82
+00:12:51,370 --> 00:12:53,590
+xn بساوي infinity
+
+83
+00:12:56,820 --> 00:13:10,660
+والجزء التاني show if x in is bounded then
+
+84
+00:13:10,660 --> 00:13:15,680
+limit
+
+85
+00:13:15,680 --> 00:13:25,600
+y in is serviceable طبعا
+
+86
+00:13:30,880 --> 00:13:39,520
+في برهانين لل ..
+
+87
+00:13:39,520 --> 00:13:47,540
+لل exercise هذا البرهان الأول باستخدام
+
+88
+00:13:47,540 --> 00:13:55,580
+exercise 7 اللي جابله يعني هنا since
+
+89
+00:13:55,580 --> 00:14:04,790
+من الفرض لما انه limitxn على yn as n tends to
+
+90
+00:14:04,790 --> 00:14:15,150
+infinity بساوي plus infinity then by exercise
+
+91
+00:14:15,150 --> 00:14:24,790
+تلاتة section تلاتة ستة if limit sequence بساوي
+
+92
+00:14:24,790 --> 00:14:30,780
+infinityبطلع limit مقلوب الـ sequence اللي هو y in
+
+93
+00:14:30,780 --> 00:14:40,920
+على x and as n tends to infinity بساوي سبعة now
+
+94
+00:14:40,920 --> 00:14:44,480
+apply
+
+95
+00:14:44,480 --> 00:14:47,900
+exercise
+
+96
+00:14:47,900 --> 00:14:55,940
+رقم سبعة section تلاتة ستة to
+
+97
+00:14:55,940 --> 00:14:56,340
+get
+
+98
+00:14:59,870 --> 00:15:13,950
+the results in a and b وهذا بيعطيني مرغب لو بصيت و
+
+99
+00:15:13,950 --> 00:15:18,950
+لا ال exercise
+
+100
+00:15:18,950 --> 00:15:25,070
+سبعة في ال exercise سبعة بيقول ده كانت ال limit لل
+
+101
+00:15:25,070 --> 00:15:30,880
+quotientلـ quotient زي هذا بساوي صفر و x in و y in
+
+102
+00:15:30,880 --> 00:15:37,200
+حدودهم موجبة ففي الحالة هذه إذا كانت limit ال
+
+103
+00:15:37,200 --> 00:15:47,200
+sequence اللي تحت convergent إذا
+
+104
+00:15:47,200 --> 00:15:50,240
+كانت limit ال sequence اللي تحت
+
+105
+00:15:56,100 --> 00:16:01,960
+لأ limit ال sequence اللي فوق اللي هي yn هنا
+
+106
+00:16:01,960 --> 00:16:06,040
+infinity فبطلع limit xn بال 7 infinity اللي هو جزء
+
+107
+00:16:06,040 --> 00:16:12,980
+11وكمان اذا كانت ال sequence اللى فى المقام
+
+108
+00:16:12,980 --> 00:16:16,520
+bounded اللى هى x in هنا طبعا فى المقام bounded
+
+109
+00:16:16,520 --> 00:16:21,500
+فرقة ال sequence اللى فى ال bust تطلع يساوي 0 وهذا
+
+110
+00:16:21,500 --> 00:16:25,740
+هو الجزء التانى هذا حسب هذا لو بدنا نستخدم
+
+111
+00:16:25,740 --> 00:16:33,610
+exercise رقم 7 وطبعا لازم نبرهنهلكن ممكن نعطي
+
+112
+00:16:33,610 --> 00:16:39,710
+برهان مباشر بدون ما يستخدم exercise السابعة
+
+113
+00:16:39,710 --> 00:16:49,670
+وبالتالي إذا في حال تاني أو برهان تاني باستخدام
+
+114
+00:16:49,670 --> 00:16:57,900
+التعريفات وال comparison testsباستخدام التعريفات
+
+115
+00:16:57,900 --> 00:17:01,820
+زايد ال comparison tests اختبارات المقارنة ال
+
+116
+00:17:01,820 --> 00:17:09,240
+proof رقم اتنين since
+
+117
+00:17:09,240 --> 00:17:16,820
+اننا ننسى هذا القرآن انا عند هذه الفرض since limit
+
+118
+00:17:16,820 --> 00:17:24,630
+ل xn over yn هذا عبارة عن sequenceلأن الـ limit
+
+119
+00:17:24,630 --> 00:17:33,410
+إلا بالساقر plus infinity then given Alpha أي real
+
+120
+00:17:33,410 --> 00:17:41,610
+number Alpha من تعريف الـ improper convergence
+
+121
+00:17:41,610 --> 00:17:50,030
+لأي Alpha there exists capital N يعتمد على Alpha
+
+122
+00:17:50,030 --> 00:17:56,450
+عدد قضيةبحيث انه يكون M أكبر من أوسع ال capital M
+
+123
+00:17:56,450 --> 00:18:12,950
+بطلع عندي XM على YM أكبر من Alpha طبعا
+
+124
+00:18:12,950 --> 00:18:20,480
+وهذا بيقدي ان XM أكبر من Alpha في YMلما عندي yn
+
+125
+00:18:20,480 --> 00:18:26,120
+هنا موجبة لما أضرب الطرفين في yn التباينة إشارتها
+
+126
+00:18:26,120 --> 00:18:32,340
+تبقى كما هي إذا
+
+127
+00:18:32,340 --> 00:18:40,880
+أنا عندي الان الكلام هذا صحيح لكل n أكبر من أوسع
+
+128
+00:18:40,880 --> 00:18:46,540
+كابتن الان الان
+
+129
+00:18:46,540 --> 00:18:47,360
+by
+
+130
+00:18:49,930 --> 00:18:56,930
+بمعنى الـ Direct Comparison Test بما
+
+131
+00:18:56,930 --> 00:19:02,970
+انه limit yn
+
+132
+00:19:02,970 --> 00:19:04,130
+بالساوي infinity
+
+133
+00:19:25,130 --> 00:19:33,010
+ناخد alpha في واحد ممكن
+
+134
+00:19:33,010 --> 00:19:37,750
+اه ناخد alpha في واحد صح دي من ال alpha دي ثاني
+
+135
+00:19:37,750 --> 00:19:49,320
+واحد يعني ثاني ال R مظبوط فده واحد وبتاني واحدبما
+
+136
+00:19:49,320 --> 00:19:54,600
+ان ال limit ل yn
+
+137
+00:19:54,600 --> 00:20:02,180
+بساوي infinity نحن نحصل على limit ل xn بساوي
+
+138
+00:20:02,180 --> 00:20:06,640
+infinity لان هذا بثبت الجزء الأول انت بدك الجزء
+
+139
+00:20:06,640 --> 00:20:08,160
+التاني صح؟ طيب
+
+140
+00:20:15,760 --> 00:20:19,840
+بنشوف الجزء التاني إذا كانت ال sequence x in
+
+141
+00:20:19,840 --> 00:20:27,400
+bounded فبنلمط y in بسرعه نصف طيب
+
+142
+00:20:27,400 --> 00:20:32,420
+الجزء
+
+143
+00:20:32,420 --> 00:20:43,340
+دي since x in is bounded إذن
+
+144
+00:20:43,340 --> 00:20:48,760
+في عدد موجبThere exists m positive number بحيث انه
+
+145
+00:20:48,760 --> 00:20:57,360
+absolute xm أصغر من أو ساوي m لكل m في n هذا من
+
+146
+00:20:57,360 --> 00:21:05,280
+تعريف الboundary نفسي طيب بالمنفذ بتاعنا ايه؟ ان
+
+147
+00:21:05,280 --> 00:21:16,480
+ال limit ل ym بساعة صفر طيب to showlimit yn بساوي
+
+148
+00:21:16,480 --> 00:21:23,260
+zero let epsilon بنستخدم تعريف epsilon capital M
+
+149
+00:21:23,260 --> 00:21:32,060
+لإن هي let epsilon أكبر من الصفر be given من
+
+150
+00:21:32,060 --> 00:21:39,100
+epsilon على M بيطلع عدد موجب من
+
+151
+00:21:41,390 --> 00:21:52,910
+العدد الموجب يعتمد
+
+152
+00:21:52,910 --> 00:21:58,830
+على إبسلون على م يعتبر
+
+153
+00:21:58,830 --> 00:22:01,590
+إبسلون على م
+
+154
+00:22:16,450 --> 00:22:24,150
+أنا عندي ايش عندي بدي
+
+155
+00:22:24,150 --> 00:22:31,170
+أثبت ان limit yn بالساوي سفر فخلينا نشوف
+
+156
+00:22:43,720 --> 00:22:54,900
+طيب أنا لازم أستخدم .. آه لازم أستخدم ..
+
+157
+00:22:54,900 --> 00:23:01,840
+طيب since ..
+
+158
+00:23:01,840 --> 00:23:06,820
+طيب بس هنا يعني خليني أقول since
+
+159
+00:23:11,850 --> 00:23:20,390
+بما أن ال limit ل yn على xn as n tends to infinity
+
+160
+00:23:20,390 --> 00:23:24,410
+أنا عندي المقلوب هذا ال limit تبعته infinity، هذا
+
+161
+00:23:24,410 --> 00:23:29,890
+ال limit تبعته سفر وهي عندي epsilon على m عدد موجة
+
+162
+00:23:29,890 --> 00:23:36,150
+given، there exists capital M يعتمد على epsilon
+
+163
+00:23:36,150 --> 00:23:47,110
+على mعدد طبيعي لحيث انه لكل n أكبر من أوسع ال
+
+164
+00:23:47,110 --> 00:23:56,850
+capital N بيطلع عندي absolute yn على xn minus ال
+
+165
+00:23:56,850 --> 00:24:05,850
+zero أصغر من epsilon على n تمام؟
+
+166
+00:24:07,690 --> 00:24:27,750
+طب ما هذا بيقدي فانا
+
+167
+00:24:27,750 --> 00:24:32,910
+بدي اثبت انه limit yn بالساو ستر يعني بدي اثبت انه
+
+168
+00:24:32,910 --> 00:24:38,980
+ال absolute valueلو كان n أكبر من أو ساوي capital
+
+169
+00:24:38,980 --> 00:24:44,920
+N بتثبت أن ال absolute value ل y in minus 0 أصغر
+
+170
+00:24:44,920 --> 00:24:50,020
+من epsilon عشان أثبت أن ال limit ل y in بساوي سفر
+
+171
+00:24:50,020 --> 00:24:55,520
+بتثبت أن ال absolute value ل y in minus 0 أصغر من
+
+172
+00:24:55,520 --> 00:25:00,500
+ال given epsilon طيب
+
+173
+00:25:00,500 --> 00:25:12,970
+هذا بساوي absoluteYn بيساوي أبقى عن Xn ضرب Yn
+
+174
+00:25:12,970 --> 00:25:26,270
+على Xn minus zero و هذا بيساوي absolute Xn في
+
+175
+00:25:26,270 --> 00:25:30,170
+absolute Yn على Xn
+
+176
+00:25:37,650 --> 00:25:44,410
+بتكون موضوع ممكن نحط سارة zero هنا طيب
+
+177
+00:25:44,410 --> 00:25:51,510
+هذا لكل N هذا أصغر من أو يساوي M وال absolute
+
+178
+00:25:51,510 --> 00:25:56,570
+value هذه لكل N أكبر من أو يساوي capital N هذا
+
+179
+00:25:56,570 --> 00:26:05,270
+أصغر من إبسلون على M إبسلون على M مش هبقى M مع N
+
+180
+00:26:05,270 --> 00:26:14,790
+بقى اللي عندي إبسلونطبعا؟ طيب since أكبر من السفر
+
+181
+00:26:14,790 --> 00:26:25,310
+was arbitrarily we get انه limit ل y in as in tens
+
+182
+00:26:25,310 --> 00:26:29,650
+of infinity بساوي zero و هو المفروض يعني هذا بيكمل
+
+183
+00:26:29,650 --> 00:26:35,380
+برعان الجزء بيه okay طبعا؟هذا على اعتبار ان احنا
+
+184
+00:26:35,380 --> 00:26:41,300
+exercise سبعة ما بنعرفوش بس في كل الأحوال احنا
+
+185
+00:26:41,300 --> 00:26:47,300
+استخدمنا exercise ثلاثة طبعا
+
+186
+00:26:47,300 --> 00:26:54,400
+هكذا بنثبت تسعة و سبعة بالمناسبة زيه بنفس الطريقة
+
+187
+00:26:54,400 --> 00:27:01,020
+بافكار مشابه ممكن اثباته بنفس السلوب بنفس النمط
+
+188
+00:27:03,510 --> 00:27:09,270
+كمان في أي أسئلة تانية في section تلاتة سبعة؟ إذا
+
+189
+00:27:09,270 --> 00:27:15,430
+مافيش خلينا ننتقل ل section تلاتة سبعة تبع
+
+190
+00:27:15,430 --> 00:27:20,110
+ال series هذا في
+
+191
+00:27:20,110 --> 00:27:24,550
+عندكم أي أسئلة في section تلاتة سبعة؟ تلاتة خمسة؟
+
+192
+00:27:24,550 --> 00:27:25,750
+تلاتة سبعة؟
+
+193
+00:27:44,990 --> 00:27:54,110
+في أي أسلة في section تلاتة سبعة أو تلاتة ستة
+
+194
+00:27:54,110 --> 00:28:07,910
+مافيش؟
+
+195
+00:28:07,910 --> 00:28:13,700
+السؤال تلاتة فرصة تلاتة سبعةالسؤال التالت الفارقة
+
+196
+00:28:13,700 --> 00:28:14,320
+السيه؟
+
+197
+00:28:28,470 --> 00:28:33,570
+استخدمت ال partial fractions؟ اه بس مش .. مش كله
+
+198
+00:28:33,570 --> 00:28:37,990
+بالغاية طلعت قيم A و C بيطلعوا نص و نص و B بيطلعوا
+
+199
+00:28:37,990 --> 00:28:43,770
+سالم واحد و بعد ما جيت اكمل مش كل الحدود بيطلعوا
+
+200
+00:28:43,770 --> 00:28:48,790
+بالطب معايا زي قمتي لو سؤاليني للجامعة اه عشان
+
+201
+00:28:48,790 --> 00:28:52,310
+هيكون تلات قصور يعني اه
+
+202
+00:28:54,820 --> 00:29:09,900
+بس لازم يكون فيه يعني تلاشي و فيه
+
+203
+00:29:09,900 --> 00:29:18,020
+.. نشوف
+
+204
+00:29:18,020 --> 00:29:22,040
+يعني مافيش تلاشي جيبت الارت برشا الصمت .. فيه
+
+205
+00:29:22,040 --> 00:29:26,940
+تلاشي بس فيه بيضغط اه بخلينا نشوفخلّيني أجرب
+
+206
+00:29:26,940 --> 00:29:44,520
+السؤال
+
+207
+00:29:44,520 --> 00:29:47,580
+تلاتة الفرق C سكتشن تلاتة سبعة
+
+208
+00:29:54,860 --> 00:29:59,300
+استخدم الـ partial fractions
+
+209
+00:29:59,300 --> 00:30:03,020
+لإظهار
+
+210
+00:30:03,020 --> 00:30:11,100
+أن عدد الـ infinite series sigma من ن يعني واحد
+
+211
+00:30:11,100 --> 00:30:21,320
+لإنفينيتي الواحد عشان ن في ن اضافة واحد لان اضافة
+
+212
+00:30:21,320 --> 00:30:23,600
+اثنين بساوي واحد اربعة
+
+213
+00:30:32,200 --> 00:30:37,060
+فبدنا نكتب هذا بتحلل و باستخدام ال partial
+
+214
+00:30:37,060 --> 00:30:43,740
+fractions إلى تلت قصور فجدتش
+
+215
+00:30:43,740 --> 00:30:48,080
+فرعة التواردة كانت دي؟ كان الأولى a بتسوي نص يعني
+
+216
+00:30:48,080 --> 00:30:57,340
+نص على n تانية سالب واحد سالب او زاد سالب واحد على
+
+217
+00:30:57,340 --> 00:31:09,270
+n plus one والاخيرة نصنص على n plus two تعالى
+
+218
+00:31:09,270 --> 00:31:18,590
+نحسب ال inf partial sum sn بسعر sigma من k بسعر
+
+219
+00:31:18,590 --> 00:31:31,370
+واحد الى n ل xk اللى هو واحد علىك في ك زائد واحد
+
+220
+00:31:31,370 --> 00:31:40,190
+في ك زائد اتنين بنبدل ن بالك وبعدين
+
+221
+00:31:40,190 --> 00:31:54,030
+هذا عبارة عن سيجما من ك بيسار واحد إلى ن و بنكتب
+
+222
+00:31:54,030 --> 00:31:57,350
+هذا واحد على
+
+223
+00:32:00,560 --> 00:32:07,980
+2k سالب واحد
+
+224
+00:32:07,980 --> 00:32:16,740
+على ك زائد واحد موجب خلينا
+
+225
+00:32:16,740 --> 00:32:21,800
+نحط الحاجات الموجبة مع بعض يعني زائد واحد على
+
+226
+00:32:21,800 --> 00:32:26,360
+اتنين ك زائد اربعة
+
+227
+00:32:28,860 --> 00:32:36,700
+-1 على K-1 و
+
+228
+00:32:36,700 --> 00:32:42,140
+بعدين نكتب أول شوية حدوث مهم جدا اللي كل ثوابت هذه
+
+229
+00:32:42,140 --> 00:32:48,080
+صح يعني في حد تاني جابهم متأكد من صحتهم لإن لو
+
+230
+00:32:48,080 --> 00:32:50,680
+فيهم خطأ مش هنقبلهم و نطلع الجواب
+
+231
+00:33:03,670 --> 00:33:08,910
+فنكتب أول حد هي .. أول حد هيكون لما كيب الساعة
+
+232
+00:33:08,910 --> 00:33:17,090
+واحد .. نص .. هيطلع نص زائد واحد على .. تمانية ..
+
+233
+00:33:17,090 --> 00:33:24,090
+اتنين .. لأ واحد على ستة .. واحد على ستة صح ناقص
+
+234
+00:33:24,090 --> 00:33:26,110
+نص .. سالب نص
+
+235
+00:33:31,480 --> 00:33:38,960
+زاد لحد التاني واحد على تلاتة زاد
+
+236
+00:33:38,960 --> 00:33:41,520
+.. واحد على اربع .. واحد على اربع .. اربع .. الاول
+
+237
+00:33:41,520 --> 00:33:48,800
+واحد على اربع او واحد على اربع الاول و بعدين واحد
+
+238
+00:33:48,800 --> 00:33:53,040
+على .. تمانية .. واحد على تمانية .. تمانية ناقص
+
+239
+00:33:53,040 --> 00:34:03,060
+تلت مايناس تلت طيب قولي بعدهواحد على ستة واحد على
+
+240
+00:34:03,060 --> 00:34:09,380
+ستة واحد على ايه؟ على ستة واحد على عشرة اتنين في
+
+241
+00:34:09,380 --> 00:34:14,500
+تلاتة بستة اه واحد على ستة زائد واحد على عشرة زائد
+
+242
+00:34:14,500 --> 00:34:25,360
+واحد على عشرة minus ربع minus ربع زائد
+
+243
+00:34:25,360 --> 00:34:39,020
+و هكذا الاخر حد هيكون1 على 2n زائد 1 على 2n زائد 4
+
+244
+00:34:39,020 --> 00:34:55,940
+مع بعض و بعدين الثاني 1 على n زائد 1 فنشوف
+
+245
+00:34:55,940 --> 00:35:01,570
+أيش اللي بتلاعش و أيش اللي بيطلععين نص هنا راح عين
+
+246
+00:35:01,570 --> 00:35:07,190
+نص و
+
+247
+00:35:07,190 --> 00:35:20,090
+ربع هنا راح مع الربع هنا قلت
+
+248
+00:35:20,090 --> 00:35:26,030
+لك هذا مش هيروح مع حد صح؟ هذا يبقى
+
+249
+00:35:30,600 --> 00:35:36,960
+لكن الطمن هيروح والصدرس هيروح لإن الصدرس في مجموعة
+
+250
+00:35:36,960 --> 00:35:42,560
+ليه صدرس و الطمن هيجمع ليه الطمن بس برضه هييجي
+
+251
+00:35:42,560 --> 00:35:46,620
+ناقص واحد على تمانية و هيظل واحد على تمانية فيه؟
+
+252
+00:35:46,620 --> 00:35:51,220
+اه لما نقعد بالقمة سوى سبعة هيطلع اننا ناقص واحد
+
+253
+00:35:51,220 --> 00:35:54,040
+على تمانية اه اشي ناقص واحد على تمانية
+
+254
+00:35:56,980 --> 00:36:01,600
+و ممكن كمان برز واحد على ستة او في برز واحد على
+
+255
+00:36:01,600 --> 00:36:08,020
+ستة سيطلع سالب واحد على ستة لإن بيساوي خمسة سيطلع
+
+256
+00:36:08,020 --> 00:36:14,700
+ثاندي سالب واحد على ستة فمين اللي بيضل على المحدود
+
+257
+00:36:14,700 --> 00:36:21,140
+يعني
+
+258
+00:36:21,140 --> 00:36:33,420
+بتاعي هذا ستس هيبقى هذا هيروحو هذا هيروحك يعني
+
+259
+00:36:33,420 --> 00:36:39,600
+شو اللي بضلف الآخر يعني
+
+260
+00:36:39,600 --> 00:36:46,060
+انا بتاعي اللي هيضلف الآخر اللي هو يمكن السدر
+
+261
+00:36:46,060 --> 00:36:53,860
+السادى ناقص تلت ناقص تلت و هنا
+
+262
+00:36:58,270 --> 00:37:05,290
+كل حد بيروح مع ادم فوضوح يروح مع اللي بعده فمش
+
+263
+00:37:05,290 --> 00:37:15,870
+هيروح مع حد فهيبقى واحد على اتنين يعني و
+
+264
+00:37:15,870 --> 00:37:19,030
+.. ايش هبقى كمان؟
+
+265
+00:37:30,970 --> 00:37:36,990
+هذا هيروح هيبقى له اتنين هدول اتالي ايه مظلوم زاد
+
+266
+00:37:36,990 --> 00:37:51,870
+واحد على اتنين ام زاد اربع سدس
+
+267
+00:37:51,870 --> 00:37:59,410
+minus تلت تطلع minus سدس وهذا مروح من صفر مش مظلوم
+
+268
+00:38:08,750 --> 00:38:15,650
+المفروض ال limit تطلع ربعها بالتالي
+
+269
+00:38:15,650 --> 00:38:19,710
+لازم احنا نكتب مزيد من الحدود عشان نشوف كيف النمط
+
+270
+00:38:19,710 --> 00:38:22,150
+.. كيف النمط هيصير
+
+271
+00:38:27,470 --> 00:38:34,430
+فبدأ عملية grouping للحدود تجميع ويعني حصول علامات
+
+272
+00:38:34,430 --> 00:38:41,310
+معينة مش عارف انا مش متأكد ان هذا هتكون صح يمكن
+
+273
+00:38:41,310 --> 00:38:55,770
+في شغلات تانية بتبقى واحنا ماذكرناش فال
+
+274
+00:38:55,770 --> 00:38:56,090
+..
+
+275
+00:38:59,080 --> 00:39:04,640
+ذا بده فحص اه فخلينا نقول try it again try it
+
+276
+00:39:04,640 --> 00:39:07,780
+again
+
+277
+00:39:07,780 --> 00:39:17,200
+خلينا نحاول فيه مرة تانية و نحاول يعني نقدر نخلي
+
+278
+00:39:17,200 --> 00:39:22,740
+يعني هذا يساوي ربع او يساوي حاجة ال limit بقتها في
+
+279
+00:39:22,740 --> 00:39:26,480
+النهاية هتطلع ربعوبالتالي ال limit لل sequence of
+
+280
+00:39:26,480 --> 00:39:29,180
+partial sums هيطلع ربعه وبالتالي ال series
+
+281
+00:39:29,180 --> 00:39:33,000
+conversion مجموعة بساوي ال limit لل partial sums
+
+282
+00:39:33,000 --> 00:39:38,700
+فهذا يعني مشكوك فيه شكله مش صح نحاول مرة تانية فيه
+
+283
+00:39:38,700 --> 00:39:43,100
+و بعدين نشوف يعني كيف مين اللي بصل للجواب الصح
+
+284
+00:39:43,100 --> 00:39:48,720
+نحاول نكتبه مرة تانية okay تمام لكن يعني ماهواش
+
+285
+00:39:48,720 --> 00:39:53,570
+مستحيل أو ماهواش يعني صعبممكن اي واحد يتواصل اليه
+
+286
+00:39:53,570 --> 00:39:58,990
+بس بده ايه مزيد من الحدود والاستنتاج نمط معين
+
+287
+00:39:58,990 --> 00:40:04,370
+فخلينا نسيبكم تفكروا فيه كمان مرة في اسئلة تانية
+
+288
+00:40:04,370 --> 00:40:08,990
+في ال section هذا فحاولوا
+
+289
+00:40:08,990 --> 00:40:11,170
+تفكروا فيه في اسئلة تانية
+
+290
+00:40:17,700 --> 00:40:21,980
+في أسئلة تانية في section تلاتة سبعة أو السكاشن
+
+291
+00:40:21,980 --> 00:40:32,680
+السابقة اللى تسبقه تلاتة ستة تلاتة خمسة في
+
+292
+00:40:32,680 --> 00:40:38,140
+كتير أسئلة يعني مطلوبة منكم واضح أن انتم مش محضرين
+
+293
+00:40:38,140 --> 00:40:42,420
+ولا دارسين الموضوع وبالتالي ماعندكم مش أسئلة
+
+294
+00:40:46,220 --> 00:40:54,880
+فإلى أن يكون عندكم أسئلة بنكمل المناقشة يوم السبت
+
+295
+00:40:54,880 --> 00:40:59,860
+الجاي أو تحضروا المناقشة مع الشعبة التانية يوم
+
+296
+00:40:59,860 --> 00:41:05,140
+الأربع خلينا
+
+297
+00:41:05,140 --> 00:41:14,690
+نرجع لل limits of functions وناخد المثال الأخيرفي
+
+298
+00:41:14,690 --> 00:41:16,930
+ال section هداك
+
+299
+00:41:46,290 --> 00:41:50,970
+المرة الجاية دخلنا اثبتنا
+
+300
+00:41:50,970 --> 00:42:02,310
+ان ال limit اثبتنا
+
+301
+00:42:02,310 --> 00:42:05,450
+ان ال candy انتي مثال رقم 2
+
+302
+00:42:08,630 --> 00:42:15,350
+لسفر function ل X لما X تقول لسفر does not exist
+
+303
+00:42:15,350 --> 00:42:19,270
+أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و
+
+304
+00:42:19,270 --> 00:42:21,290
+أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و
+
+305
+00:42:21,290 --> 00:42:21,570
+أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و
+
+306
+00:42:21,570 --> 00:42:21,890
+أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و
+
+307
+00:42:21,890 --> 00:42:22,210
+أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و
+
+308
+00:42:22,210 --> 00:42:22,610
+أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و
+
+309
+00:42:22,610 --> 00:42:22,610
+أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و
+
+310
+00:42:22,610 --> 00:42:25,970
+أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و أخدنا هذا و
+
+311
+00:42:25,970 --> 00:42:33,830
+أخدنا هذا و أخدنا
+
+312
+00:42:33,830 --> 00:42:46,640
+��ذا و أوحد على X لما X تقول لسفر does not exist in
+
+313
+00:42:46,640 --> 00:42:50,400
+R فلبرحان
+
+314
+00:42:50,400 --> 00:42:56,700
+ذلك let
+
+315
+00:42:56,700 --> 00:43:04,380
+F of X تساوي صين واحد على X و X لا تساوي سفر
+
+316
+00:43:10,730 --> 00:43:16,210
+و بعدين we consider two
+
+317
+00:43:16,210 --> 00:43:20,870
+sequences واحدة
+
+318
+00:43:20,870 --> 00:43:33,750
+xn الحد لعام تبعها أدارة عن واحد على واحد
+
+319
+00:43:33,750 --> 00:43:38,030
+على n πاي و n ينتمي ل z
+
+320
+00:43:41,720 --> 00:43:47,620
+و Yn لحد الآن تبعها واحد على πاي على تمين زاد
+
+321
+00:43:47,620 --> 00:43:56,020
+اتنين N πاي و N ينتمي الى Z هذا عبارة عن Sequences
+
+322
+00:43:56,020 --> 00:44:01,300
+of positive numbers
+
+323
+00:44:04,950 --> 00:44:12,130
+واضح ان ال limit ل xn as n tends to infinity بساوي
+
+324
+00:44:12,130 --> 00:44:20,290
+0 وكذلك ال limit ل yn لما n تقول infinity برضه
+
+325
+00:44:20,290 --> 00:44:24,730
+بساوي 0 لان المقان لما n تقول infinity المقان
+
+326
+00:44:24,730 --> 00:44:32,090
+بيروح ل infinity طيب
+
+327
+00:44:32,090 --> 00:44:33,690
+الآن ال limit
+
+328
+00:44:37,860 --> 00:44:42,420
+الـ image لـ sequence xn لما n تقول الانفلتين
+
+329
+00:44:42,420 --> 00:44:55,500
+بساوي ال limit ل sign xn لما n تقول الانفلتين وهذا
+
+330
+00:44:55,500 --> 00:45:05,620
+بساوي ال limit ل sign n في pi لما n تقول الانفلتين
+
+331
+00:45:06,340 --> 00:45:16,300
+Sin N في Pi بساوي واحد بساوي سفر لكل N وبالتالي
+
+332
+00:45:16,300 --> 00:45:21,640
+هذا بساوي limit ال sequence سفر لما N طولة
+
+333
+00:45:21,640 --> 00:45:32,600
+infinity بساوي سفر and limit
+
+334
+00:45:33,900 --> 00:45:41,360
+الإمج للسيكوينس YM لما N تقول انفينيتي بساوي limit
+
+335
+00:46:08,450 --> 00:46:16,370
+وهذا المفروض يكون sign
+
+336
+00:46:16,370 --> 00:46:24,840
+1 على xn وهذا المفروض يكون sign 1 على ynمقلوب y in
+
+337
+00:46:24,840 --> 00:46:34,540
+بيطلع بساوي πاية اتنين ازايد اتنين in πاية وهذا
+
+338
+00:46:34,540 --> 00:46:44,040
+المقدار دايما بساوي واحد لكل in اذا انا في عندي
+
+339
+00:46:44,040 --> 00:46:51,770
+limit لل sequence بالحد العام تبعها واحدالسيكوانس
+
+340
+00:46:51,770 --> 00:46:57,670
+تابعة واحد وهذا بالساوية واحد ان ان انا في عندي
+
+341
+00:46:57,670 --> 00:47:03,710
+two sequences Xm تقولها سفر و limit صورتها
+
+342
+00:47:03,710 --> 00:47:09,050
+بالساوية سفر و في عندي سيكوانس تانية Ym ال limit
+
+343
+00:47:09,050 --> 00:47:13,650
+تبعتها ايضا بالساوية سفر لكن limit صورتها بالساوية
+
+344
+00:47:13,650 --> 00:47:17,310
+واحد وبالتالي
+
+345
+00:47:20,360 --> 00:47:28,340
+by sequential criterion ال
+
+346
+00:47:28,340 --> 00:47:35,480
+limit لل function f of x لما x تقول ل0 does not
+
+347
+00:47:35,480 --> 00:47:46,440
+exist in R مش ممكن تكون موجودة في R لأن
+
+348
+00:47:46,440 --> 00:47:53,900
+لو كانت ال limit هذه موجودةفالمفروض limit صورة xn
+
+349
+00:47:53,900 --> 00:48:02,060
+بما أن xn تقول السفر نكتب
+
+350
+00:48:02,060 --> 00:48:07,180
+since otherwise لأن
+
+351
+00:48:07,180 --> 00:48:14,780
+لو كلاك ذلك لو كانت هذه موجودة if limit
+
+352
+00:48:20,170 --> 00:48:25,210
+فى limit ل F of X لما X تقول لسة exist
+
+353
+00:48:32,710 --> 00:48:39,990
+then المفروض ال limit ل f of x n لما n تقول
+
+354
+00:48:39,990 --> 00:48:47,270
+infinity بتساوي ال limit ل f of y n as n tends to
+
+355
+00:48:47,270 --> 00:48:57,070
+infinity وهذا مستحيل which is impossible وهذا زي
+
+356
+00:48:57,070 --> 00:49:03,150
+ما شوفنا مستحيل impossibleلأن طولها limit f of x
+
+357
+00:49:03,150 --> 00:49:09,390
+in بالساوي سفر و limit f of y in بالساوي واحد إذن
+
+358
+00:49:09,390 --> 00:49:13,470
+هنا استخدمنا sequential criterion في إثبات إن ال
+
+359
+00:49:13,470 --> 00:49:17,330
+limit لل function f of x بالساوي صين واحد على x
+
+360
+00:49:17,330 --> 00:49:24,490
+غير موجودة عند السفر طيب
+
+361
+00:49:24,490 --> 00:49:30,120
+هناخد break خمس دقايق و بعدين نواصلالمحاضرة
+
+362
+00:49:30,120 --> 00:49:31,840
+التانية
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/7KfEZYA9kIA.srt

@@ -0,0 +1,1591 @@
+1
+00:00:21,840 --> 00:00:28,120
+المحاضرة اللي فاتت بدينا في عرض بعض ال
+
+2
+00:00:28,120 --> 00:00:32,760
+applications of the supremum property وبعتقد أن
+
+3
+00:00:32,760 --> 00:00:37,680
+احنا أخذنا أول مثال اللي هو المثال هذا مظبوط 
+
+4
+00:00:37,680 --> 00:00:40,980
+فقولنا
+
+5
+00:00:40,980 --> 00:00:46,160
+إن المثال هذا لو أخدت أي bounded set bounded
+
+6
+00:00:46,160 --> 00:00:56,150
+above وعرفت المجموعة a زائد s بالطريقة هذه فأثبتنا
+
+7
+00:00:56,150 --> 00:01:00,770
+وممكن بسهولة إثبات أن ال supremum للمجموعة الجديدة
+
+8
+00:01:00,770 --> 00:01:09,870
+A plus S بتساوي A plus ال supremum لـ S وشوفنا
+
+9
+00:01:09,870 --> 00:01:15,630
+البرهان بالتفصيل المرة اللي فاتت وكان هنا البرهان
+
+10
+00:01:15,630 --> 00:01:18,390
+بعتمد على أن الـ set اللي bounded above
+
+11
+00:01:32,250 --> 00:01:36,230
+الـ set S هي bounded above لأن ال supremum تبعها
+
+12
+00:01:36,230 --> 00:01:42,940
+exists by the supremum property وشوفنا بعد هيك أنه 
+
+13
+00:01:42,940 --> 00:01:49,660
+الـ .. العدد a زائد u بيطلع upper bound للـ set هذه و
+
+14
+00:01:49,660 --> 00:01:53,500
+بعدين أثبتنا أن هذا العدد هو أصغر upper bound أو
+
+15
+00:01:53,500 --> 00:01:59,320
+supremum للـ set هذه وبالتالي هيك بنكون أثبتنا أن 
+
+16
+00:01:59,320 --> 00:02:03,760
+supremum للـ set هذه موجود و بيساوي العدد a زائد u
+
+17
+00:02:03,760 --> 00:02:09,420
+اللي هو a زائد supremum S المثال الثاني
+
+18
+00:02:16,520 --> 00:02:20,320
+لو أخدت two functions المجال الـ domain تبعهم 
+
+19
+00:02:20,320 --> 00:02:25,300
+مجموعة D subset من R وكتبت 
+
+20
+00:02:25,300 --> 00:02:29,280
+F of D على أنها مجموعة كل العناصر F of X حيث و X
+
+21
+00:02:29,280 --> 00:02:34,400
+ينتمي لـ D فالـ set F of D هذه هي الـ range تبع الـ
+
+22
+00:02:34,400 --> 00:02:39,120
+function F صح؟ هي المدى تبع الـ function F  و كذلك
+
+23
+00:02:39,120 --> 00:02:46,000
+الـ set G of D هي الـ range تبع الـ function G 
+
+24
+00:02:48,510 --> 00:02:53,250
+فلو فرضنا أن الـ set f of d و الـ set g of d bounded
+
+25
+00:02:53,250 --> 00:03:01,530
+set R فطبعا حسب ال supremum property المجموعات دول 
+
+26
+00:03:01,530 --> 00:03:06,430
+كل واحدة لها supremum كذلك حسب ال infimum property
+
+27
+00:03:07,290 --> 00:03:11,050
+المجموعتين هذول كل واحدة فيهم إلها infimum، الـ
+
+28
+00:03:11,050 --> 00:03:15,350
+infimum تبعهم exists إذا نفرض إن المجمعتين هذول
+
+29
+00:03:15,350 --> 00:03:18,570
+bounded عشان إيه نضمن وجود ال supremum والinfimum 
+
+30
+00:03:18,570 --> 00:03:26,450
+لكل واحدة منهم الآن في عندي بدي أبرهن حاجة ثانية لو
+
+31
+00:03:26,450 --> 00:03:31,930
+كان الفرض f of x أصغر من أو يساوي g of x بتحقق لكل 
+
+32
+00:03:31,930 --> 00:03:38,040
+x ينتمي لـ D بيطلع ال supremum للمجموعة F of D بيطلع أصغر من
+
+33
+00:03:38,040 --> 00:03:44,660
+أو يساوي ال supremum للمجموعة G of D وبرهان هذا
+
+34
+00:03:44,660 --> 00:03:54,220
+البرهان يعني سهل أنا كاتب إنه easy exercise لكن 
+
+35
+00:03:54,220 --> 00:04:02,780
+ممكن تبرهنه ممكن تبرهنه بكل سهولة فهي نكتب الـ proof
+
+36
+00:04:06,320 --> 00:04:14,320
+of part one للجزء الأول فخلّينا 
+
+37
+00:04:14,320 --> 00:04:19,400
+نثبت fix x
+
+38
+00:04:19,400 --> 00:04:29,400
+ينتمي إلى d ناخد عنصر x ينتمي إلى d عشوائي by 
+
+39
+00:04:29,400 --> 00:04:31,240
+hypothesis من الفرض 
+
+40
+00:04:33,710 --> 00:04:40,970
+من الفرض أنا عندي f of x أصغر من أو يساوي g of x
+
+41
+00:04:40,970 --> 00:04:52,470
+للـ x هذه و لأي x دي صح هذا من الفرض و g of x g of
+
+42
+00:04:52,470 --> 00:05:00,550
+x أصغر من أو يساوي ال supremum للـ set g of d
+
+43
+00:05:04,610 --> 00:05:14,410
+طبعا هذا زي ما قلنا exists by supremum property
+
+44
+00:05:14,410 --> 00:05:20,970
+باستخدام خاصية الـ
+
+45
+00:05:20,970 --> 00:05:26,910
+supremum .. هذا .. هذا عنصر في الـ set هذا g of x عنصر
+
+46
+00:05:26,910 --> 00:05:32,550
+في الـ set g of d صح؟وهذا upper bound ال supremum لـ g of 
+
+47
+00:05:32,550 --> 00:05:38,690
+d و هذا عنصر في الـ set g of d فهذا أكيد أكبر من أو يساوي
+
+48
+00:05:38,690 --> 00:05:43,610
+ال upper bound للـ set اللي بينتمي إليها فهذا صحيح 
+
+49
+00:05:43,610 --> 00:05:56,610
+الآن هذا صحيح لكل x since x belonged to D was 
+
+50
+00:05:56,610 --> 00:05:57,610
+arbitrarily
+
+51
+00:06:03,450 --> 00:06:10,110
+arbitrary  إن إن بيطلع عندي F of X أصغر من أو يساوي 
+
+52
+00:06:10,110 --> 00:06:20,490
+ال supremum لـ G of D وهذا صحيح لكل X في D هذا 
+
+53
+00:06:20,490 --> 00:06:29,900
+معناه إنه العدد هذا هذا العدد أكبر من أو يساوي كل 
+
+54
+00:06:29,900 --> 00:06:36,960
+عناصر الـ set F of D صح؟ هي هذا معناه أن الـ 
+
+55
+00:06:36,960 --> 00:06:47,600
+supremum لـ set G of D is an upper bound an upper
+
+56
+00:06:47,600 --> 00:06:50,860
+bound
+
+57
+00:06:50,860 --> 00:06:53,780
+لمين؟ 
+
+58
+00:06:54,920 --> 00:07:01,100
+of set f of d بصح؟ 
+
+59
+00:07:01,100 --> 00:07:07,040
+لأن هيك كل عنصر f of x في f of d أصغر من أو يساوي
+
+60
+00:07:07,040 --> 00:07:18,980
+العدد هذا، صح؟ طيب since ال supremum لـ set f of d 
+
+61
+00:07:18,980 --> 00:07:25,890
+exists in R طبعا برضه by supremum property لأن احنا 
+
+62
+00:07:25,890 --> 00:07:31,890
+فرضين أن الـ set هذه bounded صح فال supremum تبعها
+
+63
+00:07:31,890 --> 00:07:37,110
+موجود الآن الـ set هذه ال supremum تبعها موجود
+
+64
+00:07:37,110 --> 00:07:42,750
+والعدد هذا هذا العدد عبارة عن upper bound لـ set
+
+65
+00:07:42,750 --> 00:07:46,850
+إذا ما العلاقة بين ال upper bound هذا للـ set وال
+
+66
+00:07:46,850 --> 00:07:53,650
+supremum للـ set؟ في واحد أكبر من أو يساوي الثاني لأن 
+
+67
+00:07:53,650 --> 00:07:59,770
+بما أن هذا الكلام صحيح نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن
+
+68
+00:07:59,770 --> 00:08:01,050
+نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن
+
+69
+00:08:01,050 --> 00:08:01,350
+نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن
+
+70
+00:08:01,350 --> 00:08:04,050
+نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن
+
+71
+00:08:04,050 --> 00:08:05,880
+نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن نحن هذا
+
+72
+00:08:05,880 --> 00:08:10,820
+أصغر upper bound للـ set f of d وهذا upper bound للـ set
+
+73
+00:08:10,820 --> 00:08:15,440
+f of d إذا ال supremum بيطلع أصغر من أو يساوي ال
+
+74
+00:08:15,440 --> 00:08:22,480
+upper bound اللي هو supremum g of d وهو المطلوب 
+
+75
+00:08:22,480 --> 00:08:29,800
+وهذا بيثبت الجزء الأول okay تمام إذا الجزء الأول مش 
+
+76
+00:08:29,800 --> 00:08:33,680
+صعب وهنا أثبتنا واضح
+
+77
+00:08:37,050 --> 00:08:42,310
+برهان الجزء الثاني برضه شبيه فيه الجزء الثاني، إيش
+
+78
+00:08:42,310 --> 00:08:47,510
+بيقول ليه؟ الفرض، لاحظوا الفرق بين الفرض تبع الجزء
+
+79
+00:08:47,510 --> 00:08:54,910
+الثاني والجزء الأول الفرض
+
+80
+00:08:54,910 --> 00:09:00,210
+هنا إن f of x أصغر من أو يساوي g of y لكل x و y في 
+
+81
+00:09:00,210 --> 00:09:00,450
+D
+
+82
+00:09:04,010 --> 00:09:09,170
+هذا أشمَل وهذا أعمل من هذا وهذا أقوى من هذا لاحظوا
+
+83
+00:09:09,170 --> 00:09:14,690
+إنه لو هذا صح فهذا بيطلع صح اللي فوق لكن الـ x مش 
+
+84
+00:09:14,690 --> 00:09:18,430
+صحيح طيب 
+
+85
+00:09:18,430 --> 00:09:22,130
+إذا .. إذا هذا الكلام صحيح فهذا بيقدي إن الـ
+
+86
+00:09:22,130 --> 00:09:26,410
+supremum لـ F of D بيطلع أصغر من أو يساوي ال infimum
+
+87
+00:09:26,410 --> 00:09:31,110
+لـ set G of D نشوف 
+
+88
+00:09:31,110 --> 00:09:32,710
+الـ .. نبرهن الكلام هذا
+
+89
+00:09:50,270 --> 00:10:02,090
+البرهان الجزء الثاني البرهان 
+
+90
+00:10:02,090 --> 00:10:05,030
+الجزء الثاني هذا conditional statement هي الفرض
+
+91
+00:10:05,030 --> 00:10:11,370
+وهي النتيجة الـ conclusion فبنفرض أن الفرض هذا صحيح 
+
+92
+00:10:11,370 --> 00:10:23,770
+و بنثبت يثبت يثبت عنصر Y في D من الفرض بيطلع عندي f
+
+93
+00:10:23,770 --> 00:10:29,530
+of x أصغر من أو يساوي g of y وهذا صحيح لكل x في دي
+
+94
+00:10:29,530 --> 00:10:38,280
+و الـ y ثابت يعني هذا من الفرض صحيح لكل x في دي طيب، 
+
+95
+00:10:38,280 --> 00:10:45,040
+الآن هذا معناه أن العدد هذا g of y هي في y أنصه 
+
+96
+00:10:45,040 --> 00:10:49,600
+ثابت هي أكبر .. هذا العدد أكبر من أو يساوي كل الـ F
+
+97
+00:10:49,600 --> 00:10:54,100
+of X لكل X دي معناه هذا upper bound للـ set F of D
+
+98
+00:10:54,100 --> 00:10:59,020
+الآن g of y عبارة عن upper bound للـ set F of D من
+
+99
+00:10:59,020 --> 00:11:01,860
+هنا، مظبوط؟ تمام؟
+
+100
+00:11:04,040 --> 00:11:07,840
+وبالتالي الـ least upper bound لـ F of D بيطلع أصغر 
+
+101
+00:11:07,840 --> 00:11:12,080
+من أو يساوي الـ upper bound لـ F of D اللي هو G of Y لأن 
+
+102
+00:11:12,080 --> 00:11:13,620
+هذه المتباينة صحيحة
+
+103
+00:11:18,050 --> 00:11:22,770
+اخترناها was arbitrary fixed احنا اخترناها عشوائي
+
+104
+00:11:22,770 --> 00:11:27,470
+arbitrary وثبتناها أن الكلام المتباينة هذه الآن صحيح
+
+105
+00:11:27,470 --> 00:11:33,110
+لكل y أن المتباينة هذه صحيحة true for every y في D
+
+106
+00:11:33,110 --> 00:11:39,510
+هذا معناه من المتباينة هذه percentage إنه العدد
+
+107
+00:11:39,510 --> 00:11:45,350
+ال supremum لـ F of D هذا عبارة عن lower bound
+
+108
+00:11:45,350 --> 00:11:51,030
+لمجموعة العناصر g of y حيث y ينتمي لـ d يعني العدد 
+
+109
+00:11:51,030 --> 00:11:58,210
+هذا عبارة عن lower bound للـ set g of d عظيم صح؟ طيب 
+
+110
+00:11:58,210 --> 00:12:04,230
+ال infimum لـ g of d exists وهذا العدد lower bound
+
+111
+00:12:04,230 --> 00:12:08,950
+للـ set هذه و ال infimum هذا عبارة عن الـ greatest 
+
+112
+00:12:08,950 --> 00:12:12,970
+lower bound لـ G و D إذا الـ greatest lower bound
+
+113
+00:12:12,970 --> 00:12:18,810
+دايما بيكون أكبر من أو يساوي أي lower bound إذا الـ 
+
+114
+00:12:18,810 --> 00:12:23,090
+lower bound هذا أصغر من أو يساوي الـ greatest lower 
+
+115
+00:12:23,090 --> 00:12:28,610
+bound لـ G و D و هذا اللي هو هذا النتيجة اللي احنا
+
+116
+00:12:28,610 --> 00:12:34,800
+عايزين نصل لها okay تمام واضح؟ إذن هذا برهاني جزء
+
+117
+00:12:34,800 --> 00:12:48,220
+الثاني الآن في ملاحظة الملاحظة هذه بتقول إنه يعني
+
+118
+00:12:48,220 --> 00:12:56,120
+ممكن طالبة طلعت تسأل أو تستفسر أو تتساءل طب ما هذا 
+
+119
+00:12:56,120 --> 00:13:01,400
+الشرط تبعين زي هذا ما فيش فرق بينهم فاحنا بنقول لأ
+
+120
+00:13:01,400 --> 00:13:05,480
+هذا الشرط التحت أقوى من اللي فوق اللي تحت لو كان 
+
+121
+00:13:05,480 --> 00:13:09,160
+التحت صحيح بيقدي للي فوق لكن لو كان اللي فوق صحيح
+
+122
+00:13:09,160 --> 00:13:14,300
+هذا ما بيقدي للي تحت هذا الشرط أقوى من اللي فوق 
+
+123
+00:13:14,300 --> 00:13:20,240
+فممكن واحدة فيكم تسأل تقول طب لو احنا أخذنا الفرض
+
+124
+00:13:20,240 --> 00:13:24,840
+هذا لو فرضنا أن هذا الكلام صح هل ممكن نحصل على 
+
+125
+00:13:24,840 --> 00:13:30,580
+نتيجة اللي تحته؟ الإجابة لأ، الإجابة لأ، هذا مش 
+
+126
+00:13:30,580 --> 00:13:36,900
+ممكن، إذا الـ .. لو شيلنا الفرض هذا و بدلناه بالفرض
+
+127
+00:13:36,900 --> 00:13:41,820
+اللي فوق فالنتيجة هذه لا يمكن نحصل عليها، مش شرط
+
+128
+00:13:41,820 --> 00:13:53,110
+تكون صحيحة أو مثال يوضح إنه لا يمكن استبدال الفرض
+
+129
+00:13:53,110 --> 00:13:58,610
+تبع الجزء الثاني بالفرض تبع الجزء الأول ونحصل نحصل
+
+130
+00:13:58,610 --> 00:14:00,630
+على نتيجة الجزء الثاني
+
+131
+00:14:12,790 --> 00:14:16,530
+فناخد على سبيل المثال أو counterexample بيسميه في 
+
+132
+00:14:16,530 --> 00:14:22,910
+رياضيات لو أخدت f of x بيساوي x تربيع دالة تربيع
+
+133
+00:14:22,910 --> 00:14:26,830
+و g of x الـ identity function و أخدت الـ domain
+
+134
+00:14:26,830 --> 00:14:30,950
+المشترك لـ f و g الـ closed unit interval 
+
+135
+00:14:34,300 --> 00:14:40,040
+فطبعا بنلاحظ أن f of x اللي هي x تربيع لكل x في الـ
+
+136
+00:14:40,040 --> 00:14:45,220
+closed unit interval x تربيع أصغر من أو يساوي x، 
+
+137
+00:14:45,220 --> 00:14:51,180
+مظبوط؟ و X بيساوي G of X فهي في عندي الـ two
+
+138
+00:14:51,180 --> 00:14:54,460
+functions هدول بالمناسبة الـ two functions هدول 
+
+139
+00:14:54,460 --> 00:14:59,220
+كلاهم كلاهم bounded bounded below by zero bounded
+
+140
+00:14:59,220 --> 00:15:08,940
+above by الـ range تبعهم الـ range تبعهم F of D و G of D
+
+141
+00:15:08,940 --> 00:15:14,900
+of D ك sets كمجموعات بطلوا subset من المجموعة من
+
+142
+00:15:14,900 --> 00:15:20,520
+ا��سفر لواحد، وبالتالي كلا هما bounded above by واحد
+
+143
+00:15:20,520 --> 00:15:27,000
+و bounded below by صفر، إذن
+
+144
+00:15:27,000 --> 00:15:32,420
+هذه المجموعات هي bounded وهي عند ال function f of
+
+145
+00:15:32,420 --> 00:15:36,860
+x أصغر من أو يساوي g of x لكل x دي، هذا الفرض تبع
+
+146
+00:15:36,860 --> 00:15:41,600
+الجزء واحد اللي شوفناه قبل شوية، لكن النتيجة تبع
+
+147
+00:15:41,600 --> 00:15:45,560
+الجزء التالي لا تتحقق، تعالى نشوف هي ال supremum ل
+
+148
+00:15:45,560 --> 00:15:52,190
+f of d هي مجموعة f of d الواحد
+
+149
+00:15:52,190 --> 00:15:56,430
+أكبر 
+
+150
+00:15:56,430 --> 00:16:00,090
+من الصفر الصفر
+
+151
+00:16:00,090 --> 00:16:05,650
+برضه عبارة عن greatest lower bound أو الانفم من
+
+152
+00:16:05,650 --> 00:16:09,950
+المجموعة هذه، واضح أن الصفر lower bound للسفر هذه
+
+153
+00:16:09,950 --> 00:16:15,580
+وهو greatest lower bound، إذاً هي عند الـ supremum
+
+154
+00:16:15,580 --> 00:16:20,220
+لـ F of D أكبر من الـ infimum لـ G of D، وهذا نفي 
+
+155
+00:16:20,220 --> 00:16:23,700
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+156
+00:16:23,700 --> 00:16:24,240
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+157
+00:16:24,240 --> 00:16:26,120
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+158
+00:16:26,120 --> 00:16:26,240
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+159
+00:16:26,240 --> 00:16:26,440
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+160
+00:16:26,440 --> 00:16:32,560
+نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة نتيجة
+
+161
+00:16:49,380 --> 00:16:56,900
+كنتيجة على الـ completeness property في عندي نتيجة
+
+162
+00:16:56,900 --> 00:17:05,420
+كتير مهمة، وهنستخدمها كتير، معناها اللي هو ال
+
+163
+00:17:05,420 --> 00:17:10,120
+material اللي هناخدها لاحقا، اللي هو ال Archimedean
+
+164
+00:17:10,120 --> 00:17:16,220
+property أو خاصية Archimedes، إيه الخاصية هذه بتقول
+
+165
+00:17:17,950 --> 00:17:23,890
+لأي عدد حقيقي x في عدد طبيعي أكبر منه، أعطيني أي 
+
+166
+00:17:23,890 --> 00:17:29,650
+عدد حقيقي x سواء كان صفر أو موجب أو سالب، بقدر
+
+167
+00:17:29,650 --> 00:17:36,970
+أعطيكي عدد طبيعي أكبر منه أو بقدر أوجدلك عدد طبيعي
+
+168
+00:17:36,970 --> 00:17:42,760
+يكون أكبر منه، البرهان تبع النظرية هذه بيعتمد على
+
+169
+00:17:42,760 --> 00:17:47,040
+الـ completeness property، فلبرهان ذلك نبدأ بالـ
+
+170
+00:17:47,040 --> 00:17:54,320
+Fix X في R ونثبتها ونعمل برهان بالتناقض، نحن عايزين
+
+171
+00:17:54,320 --> 00:17:58,840
+نثبت أنه للـ Fix X اللي احنا ثبتناها يوجد
+
+172
+00:18:01,850 --> 00:18:07,810
+عايزين نثبت العبارة، أن العبارة هذه تكون صحيحة، يوجد
+
+173
+00:18:07,810 --> 00:18:12,430
+عدد طبيعي أكبر من X، فبدا أعمل برهان بالتناقض، بدا
+
+174
+00:18:12,430 --> 00:18:17,610
+أفرض أن نفي العبارة هذه هو الصح، إذا ن assume ال
+
+175
+00:18:17,610 --> 00:18:21,030
+contrary أن نفي العبارة هذه الصح، طب نفي العبارة
+
+176
+00:18:21,030 --> 00:18:27,750
+هذه الصح، there exist ما بصير لكل N في N عكس
+
+177
+00:18:27,750 --> 00:18:32,730
+المتباينة هذه اللي هو n أصغر من أو يساوي x، إذن هنا
+
+178
+00:18:32,730 --> 00:18:37,550
+ال contrary أو النفي، نفي النتيجة هذه، معناها أن كل 
+
+179
+00:18:37,550 --> 00:18:44,610
+الأعداد الطبيعية أصغر من أو يساوي x، هذا معناه أن ال
+
+180
+00:18:44,610 --> 00:18:51,230
+x هذا upper bound لـ set N وبالتالي الـ set N إلها
+
+181
+00:18:51,230 --> 00:18:54,850
+upper bound أو bounded above، إذا by the supremum
+
+182
+00:18:54,850 --> 00:19:00,590
+أو completeness of property، الـ set N بطلع يوجد
+
+183
+00:19:00,590 --> 00:19:04,970
+إلها supremum، الـ supremum تبعها exist and are،
+
+184
+00:19:04,970 --> 00:19:12,410
+سميه، فلنسميه u، فلنسميه u، تمام؟ في
+
+185
+00:19:12,410 --> 00:19:19,340
+لمة واحد اثنين عشر، لمة واحدة اثناء عشر كده بتقول لو كان
+
+186
+00:19:19,340 --> 00:19:28,300
+U أو u بساوي ال supremum لست S if and only if لكل
+
+187
+00:19:28,300 --> 00:19:35,920
+epsilon أكبر من الصفر نقدر نلاقي S epsilon في الست 
+
+188
+00:19:35,920 --> 00:19:42,460
+S بحيث انه U سالب epsilon أصغر من S epsilon
+
+189
+00:19:45,010 --> 00:19:50,110
+طب أقل، أنا عندي فيه U بساوي Supremum ل N، S بساوي 
+
+190
+00:19:50,110 --> 00:19:55,450
+6 N كل الأعداد الطبيعية، هي عندي Supremum ل N اللي
+
+191
+00:19:55,450 --> 00:20:01,890
+هو U exist، إذا حسب لمة واحد اثنين عشر لو أخدت epsilon 
+
+192
+00:20:01,890 --> 00:20:06,670
+لو أخدت epsilon بالساوية واحد، هذا عدد موجب، إذا لهذا
+
+193
+00:20:06,670 --> 00:20:11,690
+ال epsilon بقدر ألاقي عدد S epsilon هسمي M هنا بدل S
+
+194
+00:20:11,690 --> 00:20:16,930
+epsilon في اللمة، عدد طبيعي بحيث أنه لما أخد U minus
+
+195
+00:20:16,930 --> 00:20:20,670
+epsilon اللي هو الواحد، هذا بيطلع أصغر من S epsilon
+
+196
+00:20:20,670 --> 00:20:25,050
+اللي هو M، إذاً هذا نحصل عليه من لمة واحدة واثنين
+
+197
+00:20:25,050 --> 00:20:30,870
+عشر، طيب المتباين هذه، ودي واحد، نجري واحد على مين
+
+198
+00:20:30,870 --> 00:20:35,010
+فبيطلع U أصغر من M زائد واحد، طيب ال M عدد طبيعي
+
+199
+00:20:35,010 --> 00:20:40,130
+إذاً M زائد واحد عدد طبيعي صح؟ إذاً هذا M زائد
+
+200
+00:20:40,130 --> 00:20:47,360
+واحد عدد طبيعي وأكبر من U، و U قلنا ال U هو ال
+
+201
+00:20:47,360 --> 00:20:50,520
+supremum ل N يعني upper bound بيطلع upper bound ل
+
+202
+00:20:50,520 --> 00:20:55,860
+N، فكيف U upper bound ل set N للعداد الطبيعية، وفي
+
+203
+00:20:55,860 --> 00:20:59,620
+عنصر في العداد الطبيعية أكبر منه، لأن هذا بيديني
+
+204
+00:20:59,620 --> 00:21:06,380
+تناقض لكون U هو upper bound ل set للعداد الطبيعية
+
+205
+00:21:06,380 --> 00:21:13,060
+إذا وصلنا إلى تناقض، وبالتالي هذا بكمل البرهانة، إذا
+
+206
+00:21:13,060 --> 00:21:16,980
+الفرض تبعنا التناقض هذا، تقول إن ال assumption
+
+207
+00:21:16,980 --> 00:21:24,720
+تبعنا هذا، إن الكلام هذا صح كان خطر، إذا الصح نفيه
+
+208
+00:21:24,720 --> 00:21:29,480
+اللي هو المطلوب، okay، تمام، إذا هذه ال Archimedean
+
+209
+00:21:29,480 --> 00:21:35,460
+property هذه، ال Archimedean property، الآن ال
+
+210
+00:21:35,460 --> 00:21:39,580
+Archimedean property هذه أو خاصية Archimedes إلها
+
+211
+00:21:39,580 --> 00:21:45,520
+صور أخرى متعددة، وهذه الصور هي موجودة في كوريلري
+
+212
+00:21:45,520 --> 00:21:50,700
+واحد ستة عشر، إذا
+
+213
+00:21:50,700 --> 00:21:58,060
+النتيجة هذه في أن صور أخرى لـ ال Archimedean
+
+214
+00:21:58,060 --> 00:22:06,500
+property ف
+
+215
+00:22:07,840 --> 00:22:11,520
+Alternative forms يعني صور أخرى لـ Archimedean
+
+216
+00:22:11,520 --> 00:22:16,520
+property، let YUZ be positive real numbers، إذن 
+
+217
+00:22:16,520 --> 00:22:19,760
+YUZ تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة
+
+218
+00:22:22,550 --> 00:22:28,990
+أول نتيجة، يوجد n عدد طبيعي بحيث أن الـ z أصغر من n
+
+219
+00:22:28,990 --> 00:22:35,410
+مضروب في y، إذا لو عندي عددين حقيقين موجبين z وy
+
+220
+00:22:35,410 --> 00:22:39,790
+بقدر ألاقي عدد طبيعي بحيث أن ال z أصغر من n مضروب
+
+221
+00:22:39,790 --> 00:22:49,740
+في y، كذلك لأي عدد حقيقي موجب y بقدر ألاقي عدد طبيعي
+
+222
+00:22:49,740 --> 00:22:54,740
+مقلوبه أصغر من العدد الموجب Y، طبعا مقلوب العدد
+
+223
+00:22:54,740 --> 00:22:59,220
+الطبيعي دائما موجب، كذلك
+
+224
+00:22:59,220 --> 00:23:04,820
+لأي عدد حقيقي موجب Z بقدر ألاقي عدد طبيعي بحيث أن
+
+225
+00:23:04,820 --> 00:23:09,920
+العدد الموجب Z أكبر من أو يساوي N سالب واحد وأصغر
+
+226
+00:23:09,920 --> 00:23:16,770
+من N، إذن التلات خواص هدولة كل واحدة منهم بنسميها
+
+227
+00:23:16,770 --> 00:23:20,730
+Archimedean property أو صورة أخرى من ال
+
+228
+00:23:20,730 --> 00:23:25,590
+Archimedean property، الجزء
+
+229
+00:23:25,590 --> 00:23:30,250
+الأخير هذا هو عبارة عن مثال وليس ال Archimedean
+
+230
+00:23:30,250 --> 00:23:37,810
+يعني هذا استثناء، يعني مجرد set بالساوي ال sequence
+
+231
+00:23:37,810 --> 00:23:44,140
+واحد على n، متتالية العداد الحقيقية 1 على N حيث N
+
+232
+00:23:44,140 --> 00:23:49,540
+عدد طبيعي، فال set هذه هنثبت أن ال infimum إلها هو
+
+233
+00:23:49,540 --> 00:23:59,860
+الصفر، طيب إذا نشوف ونثبت العزاء الأولى، الجزء 
+
+234
+00:23:59,860 --> 00:24:00,780
+الأول
+
+235
+00:24:06,710 --> 00:24:15,270
+الجزء A لإثبات الجزء A خلّينا نعرف X بساوي Z على Y
+
+236
+00:24:15,270 --> 00:24:19,930
+طبعا Z وY أعداد حقيقية موجبة، إذن خارج قسمتهم أعداد
+
+237
+00:24:19,930 --> 00:24:26,090
+موجب، إذن هذا عبارة عن عدد حقيقي موجب، يعني ال X هذا
+
+238
+00:24:26,090 --> 00:24:33,170
+عبارة عن real number وموجب، فحسب ال Archimedean
+
+239
+00:24:33,170 --> 00:24:42,860
+property، لأي x عدد حقيقي يوجد عدد طبيعي أكبر من الـ
+
+240
+00:24:42,860 --> 00:24:48,000
+x، إذا الـ x اللي أنا أخده Z على y بقدر ألاقي عدد
+
+241
+00:24:48,000 --> 00:24:53,440
+طبيعي n أكبر منه، يعني Z على y أصغر من n، لو ضربت
+
+242
+00:24:53,440 --> 00:25:01,550
+المتباينة هذه في y، y عدد موجب، فهيصير عندي Z أصغر من
+
+243
+00:25:01,550 --> 00:25:08,110
+n في y، وهذه هي النتيجة تبع الجزء الأول، okay، إذا
+
+244
+00:25:08,110 --> 00:25:13,270
+هيك يكون أثبتنا الجزء الأول، واضح؟ لإثبات الجزء
+
+245
+00:25:13,270 --> 00:25:19,410
+الثاني، لو أخدنا في الجزء الأول لو أخدت Z بساوي
+
+246
+00:25:19,410 --> 00:25:30,500
+واحد، فهيصير عندي 1 أصغر من n في y، ال Z هذا عدد
+
+247
+00:25:30,500 --> 00:25:35,780
+موجب، فلو أخد ال Z بالساوية واحد، هذا عدد موجب، فحسب
+
+248
+00:25:35,780 --> 00:25:41,420
+النتيجة a بيطلع عندي Z أصغر من n، يوجد عدد طبيعي n
+
+249
+00:25:41,420 --> 00:25:48,080
+بحيث أن Z أصغر من ny، يعني 1 أصغر من ny، الآن نضرب
+
+250
+00:25:48,080 --> 00:25:53,910
+في 1 على n، 1 على n عدد موجب، لو ضربنا الطرفين بالعدد
+
+251
+00:25:53,910 --> 00:25:57,850
+الموجب بواحد علينا بيطلع 1 علينا أصغر من Y، وهذا
+
+252
+00:25:57,850 --> 00:26:01,330
+اللي احنا عايزينه، تمام، إن هذا برهان الجزء الثاني
+
+253
+00:26:01,330 --> 00:26:14,310
+لبرهان الجزء الثالث، الجزء
+
+254
+00:26:14,310 --> 00:26:14,730
+C
+
+255
+00:26:18,400 --> 00:26:23,700
+بنثبت أنه لأي عدد حقيقي موجب Z فيه عدد طبيعي بحيث
+
+256
+00:26:23,700 --> 00:26:30,940
+أن Z محصورة بين N سالب واحد و M تمام، نعرف الست EZ
+
+257
+00:26:30,940 --> 00:26:36,380
+على إنها كل الأعداد الطبيعية M اللي بتكون أكبر من
+
+258
+00:26:36,380 --> 00:26:46,880
+Z، الآن هذه المجموعة غير خالية، لأنه
+
+259
+00:26:51,070 --> 00:26:57,610
+لأن الـ Z هذا عدد موجب، وبالتالي في الآخر هو عدد
+
+260
+00:26:57,610 --> 00:27:01,950
+حقيقي، ف by Archimedean property
+
+261
+00:27:10,880 --> 00:27:17,220
+اللي هي 115 رقمها، نظرية 115 بتقول أي عدد حقيقي z
+
+262
+00:27:17,220 --> 00:27:26,880
+يوجد عدد .. يوجد عدد طبيعي، يوجد m في n بحيث أن z
+
+263
+00:27:26,880 --> 00:27:32,820
+أصغر من n، إذا
+
+264
+00:27:32,820 --> 00:27:42,120
+المجموعة هذه على الأقل فيها عنصر واحد اللي هو الـ
+
+265
+00:27:42,120 --> 00:27:49,100
+M هذا، أو خليني اسميه MZ تمام
+
+266
+00:27:49,100 --> 00:27:58,000
+الـ Archimedean property تضمن أنه للعدد Z هذا اللي
+
+267
+00:27:58,000 --> 00:28:05,100
+هو يعني احنا فرضين أن العدد موجب، الـ set هذه بقدر
+
+268
+00:28:05,100 --> 00:28:10,460
+ألاقي عدد طبيعي MZ أكبر من Z، وبالتالي المجموعة هذه
+
+269
+00:28:10,460 --> 00:28:15,580
+تحتوي تحتوي على العنصر هذا على الأقل، لأن هذه
+
+270
+00:28:15,580 --> 00:28:22,720
+مجموعة غير خالية، واضحة النقطة هذه؟ الآن في خاصية
+
+271
+00:28:22,720 --> 00:28:29,920
+الترتيب أو بنسميها ال well ordering property، وهذه
+
+272
+00:28:29,920 --> 00:28:34,400
+في الحقيقة بتدرسها في نهاية في آخر chapter في
+
+273
+00:28:34,400 --> 00:28:40,640
+مبادئ رياضيات، ال well ordering property بتقول إن
+
+274
+00:28:40,640 --> 00:28:46,240
+every non-empty subset of N has a least element
+
+275
+00:28:46,240 --> 00:28:51,020
+يعني أي مجموعة غير خالية من مجموعة الأعداد
+
+276
+00:28:51,020 --> 00:28:55,880
+الطبيعية لازم اللي جي لها least element، لازم يكون
+
+277
+00:28:55,880 --> 00:29:00,520
+لها أصغر عنصر، يعني خدي أنت على الجربة حتى خدي أي
+
+278
+00:29:00,520 --> 00:29:04,060
+مجموعة جزئية من العدالة الطبيعية هتجد أن فيها عنصر
+
+279
+00:29:04,060 --> 00:29:08,620
+فيها هو أصغر عنصر، فهذا طبعا حسب ال well ordering
+
+280
+00:29:08,620 --> 00:29:12,880
+property، يعني درس المبادئ، وأنا شخصيا لما بدرس 
+
+281
+00:29:12,880 --> 00:29:16,400
+مبادئ بحاول يعني أمر عليها أو أعطيها حتى لو يعني
+
+282
+00:29:16,400 --> 00:29:21,620
+بصورة مختصرة بقرابش الناس الثانية لما بدرسوا 
+
+283
+00:29:21,620 --> 00:29:25,340
+المبادئ بعتقد ممكن ما وصلوش إليها لكن مش مشكلة هاي
+
+284
+00:29:25,340 --> 00:29:26,400
+نحن بنحكيلكم عنها
+
+285
+00:29:29,700 --> 00:29:35,480
+إذا هي عندي هذه عبارة عن subset من مجموعة الأعداد
+
+286
+00:29:35,480 --> 00:29:40,060
+الطبيعية و non-empty إذا لازم يكون فيها least
+
+287
+00:29:40,060 --> 00:29:45,640
+element إذا بقدر ألاقي NZ في مجموعة الأعداد
+
+288
+00:29:45,640 --> 00:29:49,300
+الطبيعية و هذا ال NZ هو least element لل set هذه
+
+289
+00:29:49,300 --> 00:29:56,530
+الغير خالية okay تمام إذا هنا يوجد عنصر nz عدد
+
+290
+00:29:56,530 --> 00:30:02,390
+طبيعي وهذا العدد الطبيعي هو ال least element ل
+
+291
+00:30:02,390 --> 00:30:09,530
+easy طيب
+
+292
+00:30:09,530 --> 00:30:17,350
+الآن هذا أصغر عنصر في ال set هذه يعني معناه nz لو
+
+293
+00:30:17,350 --> 00:30:25,080
+طرحت من nz طرحت منها واحد فطبعا هذا أصغر من NZ هذا
+
+294
+00:30:25,080 --> 00:30:34,920
+أصغر من NZ صح؟ مظبوط؟ وهذا أصغر عنصر لل set easy
+
+295
+00:30:34,920 --> 00:30:41,700
+هذا أصغر عنصر وهذا أصغر منه إذا هذا العنصر مش
+
+296
+00:30:41,700 --> 00:30:49,690
+ممكن يكون موجود بال set easy صح؟ لأن هذا أصغر من
+
+297
+00:30:49,690 --> 00:30:53,370
+أصغر
+
+298
+00:30:53,370 --> 00:30:59,410
+عنصر في ال set طيب،
+
+299
+00:30:59,410 --> 00:31:04,290
+معناه أن هذا nz سالب واحد ما هوش في ez
+
+300
+00:31:09,210 --> 00:31:13,650
+يعني هذا العنصر مش موجود في set ez هذا هي
+
+301
+00:31:13,650 --> 00:31:21,730
+معناته بيحققش الصفة المميزة لل set ez متى
+
+302
+00:31:21,730 --> 00:31:27,210
+العنصر بيكون موجود هنا إذا بيحقق الصفة هذه أو
+
+303
+00:31:27,210 --> 00:31:30,390
+المتباينة هذه طب إذا كان العنصر لا ينتمي لل set
+
+304
+00:31:30,390 --> 00:31:36,240
+معناته بيحققش المتباينة دي بيحقق ما فيها إذا هي بيحقق
+
+305
+00:31:36,240 --> 00:31:43,740
+ما فيها هاي nz-1 بدل ما يكون أكبر بيصير أصغر من أو 
+
+306
+00:31:43,740 --> 00:31:47,900
+يساوي ال z إذا كون العنصر هذا مش موجود في ez
+
+307
+00:31:47,900 --> 00:31:56,560
+معناته بيطلع أصغر من أو يساوي ال z وال z هو أصغر
+
+308
+00:31:56,560 --> 00:31:59,440
+عنصر لل set ez
+
+309
+00:32:06,800 --> 00:32:16,820
+ف ال z أصغر من n احنا قلنا أنه ال ..
+
+310
+00:32:16,820 --> 00:32:18,760
+أو أصغر من ال nz
+
+311
+00:32:44,130 --> 00:32:50,890
+الآن زي هذا عنصر يعني
+
+312
+00:32:50,890 --> 00:32:57,270
+هذا بينتمي إلى ال set ez لأنه أصغر عنصر فيها
+
+313
+00:32:57,270 --> 00:33:06,070
+فينتمي إليها فإن زي ينتمي ل ez معناته العنصر زي
+
+314
+00:33:06,070 --> 00:33:11,050
+هذا أكبر من ال z العنصر زي أكبر من ال z ومن هنا أن
+
+315
+00:33:11,050 --> 00:33:17,910
+زي سالب واحد مش موجود في ez فهو أصغر من أو يساوي
+
+316
+00:33:17,910 --> 00:33:24,290
+ال z وبالتالي هيك بنكون أثبتنا المتباينة هذه اللي
+
+317
+00:33:24,290 --> 00:33:29,090
+هو اللي احنا عايزينه في الجزء c لأن هيك بنكون
+
+318
+00:33:29,090 --> 00:33:34,420
+كملنا برهان الجزء c الأقل بالنسبة للجزء الأخير هذا
+
+319
+00:33:34,420 --> 00:33:42,460
+يعني عبارة عن ليس مش alternative form لل
+
+320
+00:33:42,460 --> 00:33:46,180
+Archimedean property ليس صورة أخرى لخاصية
+
+321
+00:33:46,180 --> 00:33:51,500
+Archimedean بس مجرد مثال، مجرد مثال أعطى ست والست
+
+322
+00:33:51,500 --> 00:33:56,290
+هذه bounded bounded above by one bounded below by
+
+323
+00:33:56,290 --> 00:34:02,570
+zero لبرهان
+
+324
+00:34:02,570 --> 00:34:12,350
+ذلك البرهان سهل نشوف
+
+325
+00:34:12,350 --> 00:34:12,950
+البرهان
+
+326
+00:34:29,410 --> 00:34:34,370
+كمان مرة ال set هذه هي عبارة عن .. نكتبها إيش هي
+
+327
+00:34:34,370 --> 00:34:37,710
+ال
+
+328
+00:34:37,710 --> 00:34:44,490
+set is عبارة عن ال set of all واحد على n حيث n is
+
+329
+00:34:44,490 --> 00:34:45,650
+natural number
+
+330
+00:34:51,720 --> 00:34:59,580
+واضح أن العنصر أصغر من أو يساوي واحد على n لكل n 
+
+331
+00:34:59,580 --> 00:35:11,180
+ينتمي إلى n صح؟ وبالتالي إذا zero is lower lower
+
+332
+00:35:11,180 --> 00:35:22,090
+bound لمين of set s وبالتالي ال infimum إذا it has
+
+333
+00:35:22,090 --> 00:35:25,890
+an infimum by the infimum property ال infimum
+
+334
+00:35:25,890 --> 00:35:30,630
+property بتقول كل set bounded below بيكون ال في
+
+335
+00:35:30,630 --> 00:35:37,070
+إلها infimum say w بيساوي infimum s إذا هنا say
+
+336
+00:35:37,070 --> 00:35:41,290
+دعنا نسمي ال infimum هذا اللي إحنا ضمنين وجوده
+
+337
+00:35:41,290 --> 00:35:48,760
+باستخدام ال infimum property دعنا نسميه w تمام؟ إذا
+
+338
+00:35:48,760 --> 00:35:55,540
+الـ ال w هذا هو أكبر هو أكبر lower bound لست
+
+339
+00:35:55,540 --> 00:36:02,640
+s والعنصر lower bound إذا أكيد ال w أكبر من أو يساوي
+
+340
+00:36:02,640 --> 00:36:09,100
+والعنصر صح؟ العنصر قلنا هذه lower bound لست و ال w
+
+341
+00:36:09,100 --> 00:36:11,960
+هو ال infimum اللي هو أكبر lower bound إذا ال w
+
+342
+00:36:11,960 --> 00:36:16,830
+أكبر من أو أكبر من أو يساوي العنصر طب احنا عايزين
+
+343
+00:36:16,830 --> 00:36:22,630
+نثبت احنا عايزين في النهاية نثبت أن ال w هذا
+
+344
+00:36:22,630 --> 00:36:27,490
+اللي هو ال infimum بيساوي العنصر هذا اللي عايزين
+
+345
+00:36:27,490 --> 00:36:33,570
+نثبته أنا عندي w أكبر من أو يساوي العنصر لكن أنا بدي
+
+346
+00:36:33,570 --> 00:36:39,750
+أثبت أن ال w بيساوي العنصر، تمام؟
+
+347
+00:36:39,750 --> 00:36:41,510
+فلإثبات ذلك
+
+348
+00:36:47,400 --> 00:36:54,780
+خلّينا ناخد أي إبسلون أكبر من العنصر فحسب
+
+349
+00:36:54,780 --> 00:36:59,600
+ال Archimedean property اللي هو الجزء ب المكافئ
+
+350
+00:36:59,600 --> 00:37:04,640
+Archimedean property لأي عدد موجب إبسلون بقدر
+
+351
+00:37:04,640 --> 00:37:08,880
+ألاقي عدد طبيعي مقلوبه وأصغر من إبسلون، صح؟ هذا
+
+352
+00:37:08,880 --> 00:37:12,000
+الجزء ب من النتيجة
+
+353
+00:37:14,540 --> 00:37:18,960
+إن أنا في عندي هي 1 على n أصغر من epsilon يوجد
+
+354
+00:37:18,960 --> 00:37:24,760
+n هذا الطبيعي بحيث 1 على n أصغر من epsilon و 1
+
+355
+00:37:24,760 --> 00:37:30,700
+على n هذه عنصر ال 1 على n هذه عبارة عن عنصر في ال
+
+356
+00:37:30,700 --> 00:37:37,180
+set s و ال w هذه lower bound إلها ال w هذه هو ال
+
+357
+00:37:37,180 --> 00:37:44,890
+minimum لل set s و 1 على n عنصر في s إذا ال w بيطلع
+
+358
+00:37:44,890 --> 00:37:48,490
+أصغر من أو يساوي أي عنصر في ال set لأنه lower bound
+
+359
+00:37:48,490 --> 00:37:53,830
+صح؟ وقبل شوية قلنا إن ال w هي u بس نتجنا إن ال w
+
+360
+00:37:53,830 --> 00:37:57,990
+اللي هو ال infimum أكبر من أو يساوي العنصر اللي هو
+
+361
+00:37:57,990 --> 00:38:02,190
+lower bound وهذا أكبر lower bound الآن هذه ال
+
+362
+00:38:02,190 --> 00:38:06,850
+epsilon عشوائية إن الكلام هذا صحيح لكل epsilon
+
+363
+00:38:06,850 --> 00:38:13,170
+أكبر من العنصر إذا في عندي نظرية واحد ثمانية بتقول
+
+364
+00:38:13,170 --> 00:38:19,630
+ليه؟ كانت بتقول إن لو كان ال a عدد غير سالب و أصغر
+
+365
+00:38:19,630 --> 00:38:24,810
+من epsilon لكل epsilon أكبر من العنصر فهذا بيقود إلى أن
+
+366
+00:38:24,810 --> 00:38:33,630
+a بيساوي العنصر، صح؟ هذه نظرية واحد ثمانية، صح؟ هي ال
+
+367
+00:38:33,630 --> 00:38:39,230
+w التي هي ال a أكبر من أو يساوي العنصر وأصغر من
+
+368
+00:38:39,230 --> 00:38:44,590
+إبسلون لكل إبسلون عدد موجب فحسب النظرية هذه بيطلع
+
+369
+00:38:44,590 --> 00:38:50,590
+w بيساوي العنصر وهذا اللي احنا عايزينه نثبته، تمام؟ إذن
+
+370
+00:38:50,590 --> 00:38:56,050
+هذا بيث��ت أن ال infimum للست دي أو لل sequence
+
+371
+00:38:56,050 --> 00:39:03,650
+واحد على n هو العنصر، تمام؟ وهنا استخدمنا في البرهان
+
+372
+00:39:03,650 --> 00:39:09,010
+ال Archimedean property الصورة بيه من ال
+
+373
+00:39:09,010 --> 00:39:24,610
+Archimedean property في
+
+374
+00:39:24,610 --> 00:39:27,390
+النظرية هذه احنا أثبتنا قبل هيك
+
+375
+00:39:32,670 --> 00:39:41,530
+احنا أثبتنا سابقا في
+
+376
+00:39:41,530 --> 00:39:51,490
+السابق أثبتنا أنه في كان نظرية أو مثال بتقول أن
+
+377
+00:39:51,490 --> 00:39:55,550
+جذر 2 is not a rational number
+
+378
+00:39:58,290 --> 00:40:04,470
+أو العدد جذر اثنين is irrational نعم مظبوط فطبعا
+
+379
+00:40:04,470 --> 00:40:08,730
+في البرهان هذا اعتمدنا في البرهان على أن جذر
+
+380
+00:40:08,730 --> 00:40:12,850
+اثنين هذا عدد حقيقي يعني exist هو أحد العداد
+
+381
+00:40:12,850 --> 00:40:20,950
+الحقيقية وفرضنا عملنا برهان غير مباشر فرضنا أنه
+
+382
+00:40:20,950 --> 00:40:26,450
+جذر اثنين ينتمي ل q أو عدد نسبي ووصلنا إلى تناقض
+
+383
+00:40:26,450 --> 00:40:32,380
+تمام اليوم بنرجع للوراء شوية وبنقول احنا هنا في
+
+384
+00:40:32,380 --> 00:40:36,220
+النظرية هذه في البرهان أو في النظرية هذه افترضنا
+
+385
+00:40:36,220 --> 00:40:42,140
+جدلا أو افترضنا مسبقا أن جذر اثنين هذا عدد حقيقي
+
+386
+00:40:42,140 --> 00:40:47,600
+اليوم هنرجع ونثبت أن existence of جذر اثنين يعني
+
+387
+00:40:47,600 --> 00:40:51,720
+جذر اثنين هذا بنثبت أن هو فعلا عدد حقيقي مش عدد
+
+388
+00:40:51,720 --> 00:40:53,040
+آخر مش عدد تخيّلي
+
+389
+00:40:55,660 --> 00:41:02,360
+فهذا يعني البرهان أو 
+
+390
+00:41:02,360 --> 00:41:05,560
+نظريها دي بالظبط بتقول انه جذر اثنين وعدد حقيقي
+
+391
+00:41:05,560 --> 00:41:14,760
+يعني يوجد عدد حقيقي موجب x ومربعه هو اثنين okay
+
+392
+00:41:16,030 --> 00:41:20,890
+فبرهان النظرية هذه يعني ممكن شوية طويل لكن موجود
+
+393
+00:41:20,890 --> 00:41:29,250
+عندكم بالتفصيل ويعني موجود إلى أعزاء ويعني مش صعب
+
+394
+00:41:29,250 --> 00:41:35,490
+أنكم يعني تقرؤوا بمجموعتهم و تفهموه فأرجو أنكم
+
+395
+00:41:35,490 --> 00:41:39,990
+تقرؤوا البرهان و تحاولوا تفهموه و ممكن يعني المرة
+
+396
+00:41:39,990 --> 00:41:45,510
+الجاية إن شاء الله نسأل نحاول نمر عليه أو نحاول
+
+397
+00:41:45,510 --> 00:41:52,090
+نبرهن نقصر عليه، طبعا؟ إذا نكتفي بهذا القدر ونكمل
+
+398
+00:41:52,090 --> 00:41:53,230
+إن شاء الله المرة الجاية

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/8N3n8lL04hg.srt

@@ -0,0 +1,1959 @@
+1
+00:00:21,630 --> 00:00:28,730
+Okay إن شاء الله اليوم هنعمل مناقشة لبعض المسائل
+
+2
+00:00:28,730 --> 00:00:34,230
+في section 2.3 و 2.4 زي ما وعدناكم 
+
+3
+00:00:34,230 --> 00:00:44,690
+سابقا ونشوف بعض الحلول لبعض المسائل المهمة ففي
+
+4
+00:00:44,690 --> 00:00:52,530
+بسألة سؤال خامس في section 2.3 بيقول لو في
+
+5
+00:00:52,530 --> 00:00:57,270
+عندي مجموعة غير خالية من الأعداد الحقيقية و
+
+6
+00:00:57,270 --> 00:01:03,550
+bounded below فالـ infimum للـ set S هو سالب الـ
+
+7
+00:01:03,550 --> 00:01:09,110
+supremum لـ سالب S هذا
+
+8
+00:01:09,110 --> 00:01:13,870
+التمرين حالة خاصة من التمرين رقم أربعة في section
+
+9
+00:01:13,870 --> 00:01:21,120
+2.4 و بالتحديد هو حالة خاصة من الجزء B من
+
+10
+00:01:21,120 --> 00:01:26,980
+التمرين هذا ففي الجزء B لو كان B .. إيش بقول هذا
+
+11
+00:01:26,980 --> 00:01:34,160
+الجزء؟ لو كان B عدد سالب فـ infimum لـ S بيساوي B
+
+12
+00:01:34,160 --> 00:01:42,620
+في supremum S فلو أخدت B بيساوي سالب واحد و هذا عدد
+
+13
+00:01:42,620 --> 00:01:50,580
+سالب فبطل عندي infimum  infimum 
+
+14
+00:01:50,580 --> 00:01:58,780
+سالب S لأ هذا عبارة عن حالة خاصة من الجزء الثاني
+
+15
+00:01:58,780 --> 00:02:05,560
+لو أخدنا B بيساوي سالب واحد في الجزء هذا اللي هنا
+
+16
+00:02:07,490 --> 00:02:14,150
+فبطلع عندي supremum سالب S بيساوي
+
+17
+00:02:14,150 --> 00:02:19,390
+سالب infimum S هاي سالب اضربك سالب واحد سالب
+
+18
+00:02:19,390 --> 00:02:23,390
+infimum S لأن هذا التمرين حالة خاصة من الجزء هذا
+
+19
+00:02:23,390 --> 00:02:30,450
+الثاني في الفرع B وبالتالي هذا التمرين تعميم لهذا
+
+20
+00:02:30,450 --> 00:02:37,140
+الجزء ولا جزء ثانيو لجزء ثاني اللي هو عبارة عن ال
+
+21
+00:02:37,140 --> 00:02:47,140
+supremum أو الـ infimum لـ سالب S بيساوي سالب الـ
+
+22
+00:02:47,140 --> 00:02:54,240
+supremum لـ S هذا تعميم لجزء اللي هان وهذا تعميم
+
+23
+00:02:54,240 --> 00:03:00,920
+لجزء اللي هان وذلك بـ taking B equals سالب
+
+24
+00:03:00,920 --> 00:03:12,510
+واحد خلينا نبرهن الجزء الأول من الفرع A والجزء 
+
+25
+00:03:12,510 --> 00:03:17,190
+الأول من الفرع B وبالمثل بإمكانكم تبرهن الجزء
+
+26
+00:03:17,190 --> 00:03:22,510
+الثاني من الـ part A والجزء الثاني من part B
+
+27
+00:03:22,510 --> 00:03:30,890
+فنبرهن الجزء A لبرهان الجزء A اللي 
+
+28
+00:03:30,890 --> 00:03:37,490
+هو هذا الجزء فأنا عندي a عدد موجب S is bounded
+
+29
+00:03:37,490 --> 00:03:42,390
+وبالتالي bounded below إذا الـ infimum لـ S exist سميه 
+
+30
+00:03:42,390 --> 00:03:47,110
+w طبعا الـ infimum عبارة عن lower bound لـ S إذا الـ w
+
+31
+00:03:47,110 --> 00:03:53,030
+أصغر من أو يساوي X لكل X ∈ S وبالتالي لو ضربت في عدد 
+
+32
+00:03:53,030 --> 00:03:57,510
+موجب a فبطلع aw أصغر من أو يساوي aX لكل S هذا 
+
+33
+00:03:57,510 --> 00:04:05,230
+معناه إن العدد هذا lower bound لـ aS أنا عايز أثبت
+
+34
+00:04:05,230 --> 00:04:10,670
+أن أي w هذا العدد مش بس lower bound هو أكبر lower
+
+35
+00:04:10,670 --> 00:04:19,690
+bound للـ set aS فباخد أي let V be any lower bound
+
+36
+00:04:19,690 --> 00:04:27,790
+any lower bound للـ set aS وبينا
+
+37
+00:04:27,790 --> 00:04:32,710
+نثبت أن هذا الـ V أصغر من أو يساوي aw عشان يكون هو
+
+38
+00:04:32,710 --> 00:04:33,390
+الـ infimum
+
+39
+00:04:35,910 --> 00:04:43,990
+طيب هذا معناه V lower bound للـ set aS معناه V أصغر
+
+40
+00:04:43,990 --> 00:04:52,010
+من أو يساوي aX لكل X في S طيب أنا عندي 1/a
+
+41
+00:04:52,010 --> 00:04:57,330
+عدد موجب إذا 1/a عدد موجب فلو ضربت المتباينة
+
+42
+00:04:57,330 --> 00:05:00,270
+هذه في العدد الموجب 1/a اشتغلت هنا
+
+43
+00:05:00,270 --> 00:05:07,900
+مابتتغيرش فبصير عندي V/a أصغر من أو يساوي X لكل
+
+44
+00:05:07,900 --> 00:05:12,300
+X ∈ S طب
+
+45
+00:05:12,300 --> 00:05:20,540
+ما هذا معناه أنه العدد الـ number V over A is a
+
+46
+00:05:20,540 --> 00:05:25,840
+lower bound لمن؟
+
+47
+00:05:25,840 --> 00:05:30,580
+لـ S وبالتالي
+
+48
+00:05:30,580 --> 00:05:38,490
+إذا الـ infimum .. إذا الـ V/a أصغر من أو يساوي الـ
+
+49
+00:05:38,490 --> 00:05:48,090
+infimum للـ set S صح؟ طب اضربي في a عدد موجب بطلع
+
+50
+00:05:48,090 --> 00:05:58,990
+عندي V أصغر من أو يساوي a في infimum S طب
+
+51
+00:05:58,990 --> 00:06:07,730
+infimum S هذا سميته w لأن هذا بيساوي aw إذن هين
+
+52
+00:06:07,730 --> 00:06:13,790
+أثبتنا إنه العدد aw هذا أبرع الـ lower bound للـ set
+
+53
+00:06:13,790 --> 00:06:20,390
+aS وأخدنا أي lower bound للـ set aS فوجدنا إن الـ
+
+54
+00:06:20,390 --> 00:06:27,770
+lower bound هذا أصغر من أو يساوي a في w فهذا معناه
+
+55
+00:06:27,770 --> 00:06:37,630
+إن aw هو الـ infimum لمن؟ للـ set aS كما هو موضح في الـ
+
+56
+00:06:37,630 --> 00:06:44,290
+claim أو في الإدعاء تمام؟ وهذا بيثبت الجزء الأول في
+
+57
+00:06:44,290 --> 00:06:51,650
+الـ part A هاي infimum aS بيساوي a في w اللي هو
+
+58
+00:06:51,650 --> 00:06:58,250
+infimum S إذن هذا بيثبت الجزء الأول في الفرع A
+
+59
+00:06:58,250 --> 00:07:01,850
+Similarly بالمثل ممكن
+
+60
+00:07:05,820 --> 00:07:12,760
+بالمثل ممكن نثبت الفرع الثاني أو
+
+61
+00:07:12,760 --> 00:07:20,060
+الجزء الثاني في الفرع A تمام؟ فهسيب هذا جزء لكم
+
+62
+00:07:20,060 --> 00:07:27,840
+لأن هذا مشابه للفرع اللي أنا واضح؟ في أي سؤال؟ طيب
+
+63
+00:07:27,840 --> 00:07:30,780
+نحاول نثبت الجزء الأول في الفرع B
+
+64
+00:07:35,110 --> 00:07:42,150
+بنثبت الجزء هذا في الفرع B لت
+
+65
+00:07:42,150 --> 00:07:53,770
+بـ أصغر من صفر، عدد حقيقي سالب وأنا عندي الـ set الـ
+
+66
+00:07:53,770 --> 00:07:58,230
+set since الـ set S is bounded
+
+67
+00:08:01,660 --> 00:08:10,440
+إذا الـ infimum w بيساوي الـ infimum لـ S exists in R
+
+68
+00:08:10,440 --> 00:08:13,460
+إذا
+
+69
+00:08:13,460 --> 00:08:18,240
+في عندي أنا الـ .. الـ infimum لـ S .. S bounded
+
+70
+00:08:18,240 --> 00:08:21,180
+below bounded وبالتالي bounded below إذا by
+
+71
+00:08:21,180 --> 00:08:26,460
+infimum property الـ infimum لـ S سميته w exist
+
+72
+00:08:30,860 --> 00:08:41,580
+هذا معناه .. أو هذا بقد .. إذا 
+
+73
+00:08:41,580 --> 00:08:46,180
+هذا معناه أن w lower bound لـ S و w أصغر من أو يساوي
+
+74
+00:08:46,180 --> 00:08:49,880
+X لكل X ∈ S
+
+75
+00:08:53,000 --> 00:08:58,980
+طيب وعندي أنا الـ B عدد سالب فلو ضربنا المتباينة
+
+76
+00:08:58,980 --> 00:09:06,840
+هذه في B عدد سالب فبصير bX أصغر من أو يساوي bW لكل
+
+77
+00:09:06,840 --> 00:09:18,890
+X ∈ S صح؟ إذن هذا معناه إنه العدد bW is an
+
+78
+00:09:18,890 --> 00:09:28,750
+upper is an upper bound لمين؟ للـ set bS للـ set b
+
+79
+00:09:28,750 --> 00:09:33,930
+في S اللي هي مجموعة كل العناصر b ضرب X b ضرب
+
+80
+00:09:33,930 --> 00:09:38,570
+X حيث X ينتمي للـ S هذا عبارة عن upper bound
+
+81
+00:09:38,570 --> 00:09:46,570
+طيب الـ set هذه الـ set هذه bounded لأن الـ set S bounded
+
+82
+00:09:46,570 --> 00:09:51,270
+فضربها في عدد بتظلها bounded وبالتالي bounded above
+
+83
+00:09:51,270 --> 00:09:57,250
+إذا الـ .. الـ .. إلها supremum by supremum property
+
+84
+00:09:57,250 --> 00:10:08,990
+وبالتالي إذا الـ bW هذا أو الـ supremum للـ set bS هذا
+
+85
+00:10:08,990 --> 00:10:14,330
+عبارة عن الـ least upper bound for the set bS هذا
+
+86
+00:10:14,330 --> 00:10:20,270
+بيطلع أصغر من أو يساوي أي upper bound وليه هو أصغر
+
+87
+00:10:20,270 --> 00:10:28,150
+من أو يساوي الـ upper bound bW للـ set bS طب
+
+88
+00:10:28,150 --> 00:10:29,610
+احنا عايزين نثبت
+
+89
+00:10:32,240 --> 00:10:38,840
+احنا عايزين نثبت أن bW هي الـ supremum لـ set b
+
+90
+00:10:38,840 --> 00:10:42,460
+في S فهين
+
+91
+00:10:42,460 --> 00:10:47,020
+أثبتنا أن العدد bW هذا upper bound للـ set هذه
+
+92
+00:10:47,020 --> 00:10:51,240
+bW هو upper bound للـ set الإثبات إنه هو الـ
+
+93
+00:10:51,240 --> 00:10:55,240
+supremum باقي إثبات إن أنا لو أخدت أي upper bound
+
+94
+00:10:55,240 --> 00:11:00,400
+للـ set هذه لازم يطلع أكبر من أو يساوي bW
+
+95
+00:11:04,070 --> 00:11:11,310
+any upper bound
+
+96
+00:11:11,310 --> 00:11:18,490
+of except bS هذا 
+
+97
+00:11:18,490 --> 00:11:28,090
+معناه أن b في x أصغر من أو يساوي v لكل x ∈ S تمام؟
+
+98
+00:11:29,920 --> 00:11:34,420
+طيب أنا عندي b عدد سالب إذا 1/b ايضا عدد
+
+99
+00:11:34,420 --> 00:11:38,960
+سالب فلو ضربت المتباينة هذه في عدد سالب اللي هو
+
+100
+00:11:38,960 --> 00:11:50,040
+1/b فهيطلع عندي v/b أصغر من أو
+
+101
+00:11:50,040 --> 00:11:52,340
+يساوي X لكل X ∈ S
+
+102
+00:11:55,350 --> 00:12:04,150
+هذا معناه أن العدد V/b is a lower bound لمن؟
+
+103
+00:12:04,150 --> 00:12:11,510
+لـ set S مضبوط صح؟ وبالتالي
+
+104
+00:12:11,510 --> 00:12:17,930
+إذا .. إذا 
+
+105
+00:12:17,930 --> 00:12:23,970
+الـ V/b اللي هو lower bound للـ set S أصغر من أو
+
+106
+00:12:23,970 --> 00:12:28,370
+يساوي الـ infimum للـ set S
+
+107
+00:12:54,340 --> 00:13:06,560
+احنا إيش قاعدين نثبت الـ ..
+
+108
+00:13:06,560 --> 00:13:12,960
+يبدو أن أنا يعني هنا بيثبت الجزء الثاني يعني، يلا 
+
+109
+00:13:12,960 --> 00:13:22,410
+من حظكم نحاول نثبت الجزء الثاني مش الأول فكمان مرة
+
+110
+00:13:22,410 --> 00:13:26,810
+نراجع B عدد سالب S is bounded وبالتالي bounded
+
+111
+00:13:26,810 --> 00:13:33,650
+below إذن الـ infimum لـ set S موجود وبالتالي 
+
+112
+00:13:33,650 --> 00:13:37,630
+المتباينة هذه بتتحقق وبالتالي هذه بتتحقق بعد ما
+
+113
+00:13:37,630 --> 00:13:42,070
+ضربنا في B عدد سالب إذن b وطلع upper bound لـ
+
+114
+00:13:42,070 --> 00:13:48,410
+set bS وبالتالي الـ supremum للـ set bS بيطلع أصغر
+
+115
+00:13:48,410 --> 00:13:52,510
+من أو يساوي bW الآن بدنا نثبت أن الـ b
+
+116
+00:13:52,510 --> 00:14:00,810
+W هذا هو الـ supremum لـ set bS تمام فأخدنا أي 
+
+117
+00:14:00,810 --> 00:14:05,550
+upper bound v .. أي upper bound لـ set bS فوجدنا
+
+118
+00:14:05,550 --> 00:14:09,930
+أن v/b is a lower bound لـ set S وبالتالي v على 
+
+119
+00:14:09,930 --> 00:14:14,290
+b أصغر من أو يساوي الـ greatest lower bound لـ set S
+
+120
+00:14:17,060 --> 00:14:27,860
+طب لو ضربنا في b و b عدد سالب فهيطلع عندي .. إذا 
+
+121
+00:14:27,860 --> 00:14:34,940
+لو ضربنا المتباينة هذه في b عدد سالب فهيطلع عندي
+
+122
+00:14:34,940 --> 00:14:43,120
+اللي هو b في infimum S هيطلع أصغر من أو يساوي الـ
+
+123
+00:14:43,120 --> 00:14:45,120
+v، مضبوط هيك؟
+
+124
+00:14:48,920 --> 00:14:56,120
+طب هذا هذا سميته w إذا b في w أصغر من أو يساوي الـ
+
+125
+00:14:56,120 --> 00:15:02,100
+v إذا البرهان هذا أثبتنا فيه حاجتين إنه أول شيء
+
+126
+00:15:02,100 --> 00:15:07,540
+العدد bW هذا upper bound للـ set bS وبعدين 
+
+127
+00:15:07,540 --> 00:15:14,350
+أخدنا أي upper bound v أي upper bound لـ set bS طلع
+
+128
+00:15:14,350 --> 00:15:19,910
+الـ v هذا أكبر من أو يساوي bW وبالتالي هذا
+
+129
+00:15:19,910 --> 00:15:29,650
+معناه إذا العدد bW هو عبارة عن الـ supremum
+
+130
+00:15:29,650 --> 00:15:40,970
+الـ supremum لـ set b في S لـ set b في S لأن هذا العدد
+
+131
+00:15:40,970 --> 00:15:45,570
+upper bound للـ set هذه وهو أصغر upper bound أخدنا أي 
+
+132
+00:15:45,570 --> 00:15:51,390
+upper bound للـ set هذه طلع bW أصغر من أو يساوي
+
+133
+00:15:51,390 --> 00:15:56,050
+إذن bW هو أصغر upper bound للـ set هذه والآن
+
+134
+00:15:56,050 --> 00:16:03,410
+بنعود عن w إذن الـ b في w اللي هو infimum of S
+
+135
+00:16:03,410 --> 00:16:12,590
+بتطلع بيساوي supremum لـ b في S وهذا بيبرهن الجزء
+
+136
+00:16:12,590 --> 00:16:18,330
+الثاني من الفرع B بالمثل ممكن برهان الجزء الأول
+
+137
+00:16:18,330 --> 00:16:24,850
+من الفرع B فأنا بأدعوكم إلى كتابة برهان الأجزاء
+
+138
+00:16:24,850 --> 00:16:30,330
+المشابهة هذه تمام؟ إذن هيك بنكون .. يعني أخدنا
+
+139
+00:16:30,330 --> 00:16:37,150
+حلول تقريبا شبه كاملة للتمرين 5 section 2.3 في
+
+140
+00:16:37,150 --> 00:16:41,530
+عندكم أي أسئلة ثانية في الـ section 2.3 أو 
+
+141
+00:16:41,530 --> 00:16:48,470
+اتنين أربعة؟ في
+
+142
+00:16:48,470 --> 00:16:54,190
+أي أسئلة ثانية؟ السؤال عشرة في section اتنين ثلاثة
+
+143
+00:17:28,800 --> 00:17:38,060
+سؤال عشرة section اتنين ثلاثة ملخص السؤال بيقول S
+
+144
+00:17:38,060 --> 00:17:52,000
+is a bounded bounded subset of R و Phi
+
+145
+00:17:52,000 --> 00:17:55,460
+لا يساوي S subset
+
+146
+00:18:00,440 --> 00:18:07,020
+فإن S0 non-empty subset من S مجموعة جزئية غير 
+
+147
+00:18:07,020 --> 00:18:17,280
+خالية من المج��وعة S فبدنا نثبت شو برهني أن ال
+
+148
+00:18:17,280 --> 00:18:26,260
+infimum لـ S أصغر من أو يساوي ال infimum لـ S0
+
+149
+00:18:26,260 --> 00:18:32,540
+أصغر من أو يساوي ال supremum للـ S Zero أصغر من لو
+
+150
+00:18:32,540 --> 00:18:41,940
+يساوي ال supremum للـ S نشوف
+
+151
+00:18:41,940 --> 00:18:46,860
+البرهان مع بعض برهان سهل وبسيط يعتمد على تعريف ال
+
+152
+00:18:46,860 --> 00:18:52,760
+infimum وعلى تعريف ال supremum طيب
+
+153
+00:18:52,760 --> 00:18:57,900
+أنا عندي المجموعة S since
+
+154
+00:19:00,710 --> 00:19:08,790
+بما أن S مجموعة غير خالية و bounded is a bounded
+
+155
+00:19:08,790 --> 00:19:12,990
+then ال
+
+156
+00:19:12,990 --> 00:19:28,810
+infimum لـ S exist and supremum لـ S both exist
+
+157
+00:19:36,050 --> 00:19:44,310
+بعد الـ infimum property ست اس لإنفمام وكذلك ست اس
+
+158
+00:19:44,310 --> 00:19:52,290
+لسوبرمام هدول موجودين في R طيب
+
+159
+00:19:52,290 --> 00:19:56,150
+أنا عندي السوبرمام
+
+160
+00:19:56,150 --> 00:20:15,640
+للـ S السوبرمام للـ S is an upper bound فهي
+
+161
+00:20:15,640 --> 00:20:25,520
+أيضا it is also an upper bound لأي
+
+162
+00:20:25,520 --> 00:20:31,060
+subset لأي subset S0 من ال S
+
+163
+00:20:36,460 --> 00:20:44,900
+و بالتالي and therefore and
+
+164
+00:20:44,900 --> 00:20:52,600
+therefore ال
+
+165
+00:20:52,600 --> 00:20:57,540
+supremum لـ S0
+
+166
+00:20:57,540 --> 00:21:01,840
+أصغر من أو يساوي ال supremum لـ S
+
+167
+00:21:07,110 --> 00:21:15,710
+كمان مرة ال .. ال S هذه ال S0 سبسط من S فأي upper
+
+168
+00:21:15,710 --> 00:21:20,070
+bound ل S هو أيضا upper bound لأي مجموعة جزئية
+
+169
+00:21:20,070 --> 00:21:26,410
+منها طيب ال supremum ل S upper bound ل S
+
+170
+00:21:26,410 --> 00:21:32,830
+وبالتالي هو upper bound ل S0 طيب ال supremum ل S0
+
+171
+00:21:32,830 --> 00:21:39,130
+هذا أصغر upper bound ل S0وهذا upper bound ل S0 إذا
+
+172
+00:21:39,130 --> 00:21:42,550
+أصغر upper bound أصغر من لو يساوي أي upper bound
+
+173
+00:21:42,550 --> 00:21:51,650
+وبالتالي المتباينة هذه صحيحة كذلك by
+
+174
+00:21:51,650 --> 00:21:57,950
+definition حسب التعريفات ال
+
+175
+00:21:57,950 --> 00:22:06,790
+infimum للـ S0 أصغر من أو يساوي ال supremum للـ S0
+
+176
+00:22:06,790 --> 00:22:10,750
+الـ
+
+177
+00:22:10,750 --> 00:22:11,750
+S0 هذه
+
+178
+00:22:15,230 --> 00:22:21,930
+طبعا هذه ال set S0 subset من S و S bounded إلى S0
+
+179
+00:22:21,930 --> 00:22:26,710
+bounded ال infimum ل S0 exist و ال suprem ل S0
+
+180
+00:22:26,710 --> 00:22:32,770
+exist دائما لأي set S0 ال infimum دائما أصغر من أو
+
+181
+00:22:32,770 --> 00:22:39,250
+يساوي ال supremum نعمل رسمة نوضح الكلام هذا
+
+182
+00:22:44,850 --> 00:22:56,850
+نعتبر أن هذه هي الست اس وهي
+
+183
+00:22:56,850 --> 00:23:07,950
+ال .. ال .. ال supremum للست اس وهي ال infimum
+
+184
+00:23:11,090 --> 00:23:17,810
+للـ set S فدائما ال .. دائما
+
+185
+00:23:17,810 --> 00:23:24,050
+ال minimum لأي set هو lower bound لل set وبالتالي
+
+186
+00:23:24,050 --> 00:23:28,950
+أصغر من لو يساوي كل عناصرهاهو عبارة عن lower bound
+
+187
+00:23:28,950 --> 00:23:32,810
+للست ال supreme للست S هو عبارة عن upper bound
+
+188
+00:23:32,810 --> 00:23:37,650
+للست وبالتالي أكبر من أو يساوي كل عناصرها فواضح أن
+
+189
+00:23:37,650 --> 00:23:42,770
+ال infimum للست S لازم يكون أصغر من أو يساوي ال
+
+190
+00:23:42,770 --> 00:23:52,970
+supremum ونفس الشيء لو أخذنا أي مجموعة جزئية سمنها
+
+191
+00:23:52,970 --> 00:23:53,790
+S0
+
+192
+00:23:56,180 --> 00:24:02,200
+يعني هذه المجموعة اسمها S0 فبما أن ال set S
+
+193
+00:24:02,200 --> 00:24:10,400
+bounded إذن S0 bounded وبالتالي ال supremum ل S0
+
+194
+00:24:10,400 --> 00:24:16,220
+دايما أكبر من أو يساوي ال infimum ل S0 بنفس الطريقة
+
+195
+00:24:16,220 --> 00:24:23,710
+إذن هذا دايما .. هذا دايما صحيح عشان احنا نكمل
+
+196
+00:24:23,710 --> 00:24:30,150
+البرهان إذا احنا أثبتنا هذا واضح من التعريفات وهذا
+
+197
+00:24:30,150 --> 00:24:35,150
+الجزء أثبتناه باقي
+
+198
+00:24:35,150 --> 00:24:40,930
+إثبات الجزء الأخير هذا فإذا
+
+199
+00:24:40,930 --> 00:24:45,790
+بنقول finally أخيرا لإثبات الجزء الأخير هذا أنا
+
+200
+00:24:45,790 --> 00:24:49,570
+عندي ال inform ل S is a lower bound ل S
+
+201
+00:24:52,070 --> 00:24:57,350
+وبالتالي هو lower bound لأي مجموعة جزئية S0 من S
+
+202
+00:24:57,350 --> 00:25:00,890
+وبالتالي
+
+203
+00:25:00,890 --> 00:25:11,770
+إذا ال influence ل S0 هذا
+
+204
+00:25:11,770 --> 00:25:19,180
+أكبر lower bound ل S0 هذا أكبر lower bound ل S0 و
+
+205
+00:25:19,180 --> 00:25:25,960
+هذا lower bound ل S0 إذاً هذا بيطلع أكبر من أو
+
+206
+00:25:25,960 --> 00:25:33,500
+ساوي infimum ال S هذا lower bound ل S0 و هذا
+
+207
+00:25:33,500 --> 00:25:37,820
+أكبر lower bound ل S0 إذاً هذا أصغر من أو يساوي
+
+208
+00:25:37,820 --> 00:25:43,700
+هذا و هذا بيكمل برهان المتباينة اللى حاطين عليها
+
+209
+00:25:43,700 --> 00:25:48,380
+علامة استفهام إذا هيك بيكون برهاننا التمرين okay
+
+210
+00:25:48,380 --> 00:25:53,660
+تمام واضح؟
+
+211
+00:25:53,660 --> 00:26:03,660
+في أسئلة ثانية خلنا نحل كمان سؤال إذا بتحبه ممكن
+
+212
+00:26:03,660 --> 00:26:04,900
+نحل كمان سؤال
+
+213
+00:26:08,660 --> 00:26:16,040
+في section اتنين ثلاثة برضه؟ اه في أي section؟
+
+214
+00:26:16,040 --> 00:26:21,840
+اتنين ثلاثة ولا اتنين أربعة؟ اتنين ثلاثة؟ طيب نحل
+
+215
+00:26:21,840 --> 00:26:24,020
+هذا السؤال و بعد هيك يعني نوجد
+
+216
+00:26:43,630 --> 00:26:57,410
+هي السؤال الحادي عشر سيكشن اتنين ثلاثة بنشوف
+
+217
+00:26:57,410 --> 00:27:05,850
+السؤال شو بيقول S
+
+218
+00:27:05,850 --> 00:27:11,530
+subset من R و
+
+219
+00:27:11,530 --> 00:27:25,720
+S* بساوي ال supremum لـ S وهذا بينتمي لل S
+
+220
+00:27:25,720 --> 00:27:31,040
+belongs to S فإذا
+
+221
+00:27:31,040 --> 00:27:41,140
+كان U لا ينتمي لل S إذا كان U لا ينتمي لل S شو
+
+222
+00:27:42,390 --> 00:27:49,090
+عايزين نثبت أن ال superman لـ
+
+223
+00:27:49,090 --> 00:28:05,890
+S union singleton U بيطلع بيساوي ال superman لـ
+
+224
+00:28:05,890 --> 00:28:10,330
+اللي تتكون من عنصرين S* و U
+
+225
+00:28:13,540 --> 00:28:28,400
+where are you؟ طبعا في برهانين للسؤال هذا ال
+
+226
+00:28:28,400 --> 00:28:33,840
+proof one البرهان الأول we
+
+227
+00:28:33,840 --> 00:28:38,580
+use .. we use exercise
+
+228
+00:28:42,560 --> 00:28:51,600
+تسعة section اتنين ثلاثة وهذا ال exercise بيقول
+
+229
+00:28:51,600 --> 00:28:59,340
+إذا كانت لو
+
+230
+00:28:59,340 --> 00:29:03,380
+كان a و b bounded
+
+231
+00:29:09,480 --> 00:29:18,660
+فهذا بيؤدي أن a union b is bounded and
+
+232
+00:29:18,660 --> 00:29:32,360
+مش هيكوا بس و ال supremum .. ال supremum لإتحاد b
+
+233
+00:29:32,360 --> 00:29:36,980
+بساوي supremum
+
+234
+00:29:39,920 --> 00:29:44,900
+Supermom A و Supermom
+
+235
+00:29:44,900 --> 00:29:51,760
+B إذا
+
+236
+00:29:51,760 --> 00:29:57,440
+هذا تمرين رقم تسعة هناخده نستخدمه فلو استخدمنا هذا
+
+237
+00:29:57,440 --> 00:30:07,700
+التمرين فالنتيجة هذه بتطلع على طول مباشرة إذا
+
+238
+00:30:07,700 --> 00:30:08,540
+هنا take
+
+239
+00:30:11,570 --> 00:30:17,410
+A بساوي S و
+
+240
+00:30:17,410 --> 00:30:25,570
+طبعا هادي ال set bounded ال set هادي bounded و
+
+241
+00:30:25,570 --> 00:30:32,610
+عندي ال set B هاخدها singleton U و هادي bounded
+
+242
+00:30:32,610 --> 00:30:41,790
+set إذا by exercise 9 a hat b اللي هي ال S هذه
+
+243
+00:30:41,790 --> 00:30:47,650
+بتطلع bounded by
+
+244
+00:30:47,650 --> 00:30:56,490
+exercise 9 section 2 3 ال S union singleton u is
+
+245
+00:30:56,490 --> 00:31:00,750
+bounded and
+
+246
+00:31:00,750 --> 00:31:10,540
+مش هيكوا بس ال supremum لـ A اتحاد بالـ S union
+
+247
+00:31:10,540 --> 00:31:18,160
+هذا الـ A وهذا الـ Singleton U بتساوي الـ Supremum
+
+248
+00:31:18,160 --> 00:31:22,440
+لـ
+
+249
+00:31:22,440 --> 00:31:32,820
+Supremum A هذا عبارة عن S* و Supremum D هذا
+
+250
+00:31:32,820 --> 00:31:37,830
+عبارة عن Singleton U أنا عندي set فيها عنصر واحد
+
+251
+00:31:37,830 --> 00:31:42,510
+فال Supreme تبعها هو ال info تبعها هو نفس ال
+
+252
+00:31:42,510 --> 00:31:46,850
+answer يعني هذا واضح من تعريف ال suprem
+
+253
+00:31:54,620 --> 00:31:59,580
+و هذا هو المطلوب إذا هذا تطبيق مباشر على تمرين 9
+
+254
+00:31:59,580 --> 00:32:03,860
+إذا المعنى أن أنتم لازم تحلوا تمرين 9 و هذا
+
+255
+00:32:03,860 --> 00:32:11,260
+التمرين موجود في يعني في إرشاد له أو hint لحله في
+
+256
+00:32:11,260 --> 00:32:16,680
+خلف .. خلف الكتاب في حل تمرين اللي .. اللي الكتاب
+
+257
+00:32:16,680 --> 00:32:21,280
+بيحاول يعرضها عشان يساعد الطالب نعم تفضلي
+
+258
+00:32:28,890 --> 00:32:37,250
+آه صحيح نعم و
+
+259
+00:32:37,250 --> 00:32:45,170
+في السؤال تسعة و في السؤال الحادي عشر ال S
+
+260
+00:32:45,170 --> 00:32:51,010
+من المقطيات bounded صحيح لأنها احنا فرضين أن S
+
+261
+00:32:51,010 --> 00:32:56,370
+subset من R و ال supremum لل S اللي هو S* عدد
+
+262
+00:32:56,370 --> 00:33:06,050
+ينتمي ل S و S subset من R هذا بيؤدي أن ال S is
+
+263
+00:33:06,050 --> 00:33:12,750
+bounded above على الأقل bounded above تمام؟
+
+264
+00:33:16,370 --> 00:33:22,230
+تمام؟ فلو كانت ال A و ال B bounded above فهيطلع
+
+265
+00:33:22,230 --> 00:33:25,510
+الاتحاد تبعهم bounded above و هذا اللي احنا
+
+266
+00:33:25,510 --> 00:33:30,490
+عايزينه و ال supremum اللي لهم بساوي .. لاتحادهم
+
+267
+00:33:30,490 --> 00:33:37,540
+بساوي الكلام هذا فعلى الأقل .. آه؟ و نفس الكلام
+
+268
+00:33:37,540 --> 00:33:41,860
+للإنفمام ممكن نثبت حاجة مشابهة بالنسبة للإنفمام
+
+269
+00:33:41,860 --> 00:33:47,140
+يعني ممكن نثبت أن الإنفايم هنا يعني ها and ممكن
+
+270
+00:33:47,140 --> 00:33:58,820
+نضيف إنفمام ل a union b بساوي انفمام انف a و انف b
+
+271
+00:34:01,670 --> 00:34:06,630
+فاحنا بس أخدنا .. طبخنا الجزء هذا الجزء بيكون صحيح
+
+272
+00:34:06,630 --> 00:34:13,390
+إذا كانت a و b both are bounded above وبالتالي
+
+273
+00:34:13,390 --> 00:34:16,430
+اتحادهم بيطلع bounded below و ال infimum للاتحاد
+
+274
+00:34:16,430 --> 00:34:23,780
+بيطلع infimum ل infimum المجمعة الثانية فهذا متحقق
+
+275
+00:34:23,780 --> 00:34:28,640
+هنا متحقق أن هاي S* ينتمي ل S وبالتالي عدد
+
+276
+00:34:28,640 --> 00:34:32,420
+حقيقي أن S ال set هذه لها supremum وبالتالي
+
+277
+00:34:32,420 --> 00:34:37,360
+bounded above و single to new ما هي finite set و
+
+278
+00:34:37,360 --> 00:34:41,960
+كل finite set is bounded فهي bounded above و below
+
+279
+00:34:41,960 --> 00:34:47,530
+طبعا وبالتالي ممكن نطبق الجزء هذاهذا برهان برهان
+
+280
+00:34:47,530 --> 00:34:51,790
+ثاني ممكن أن احنا نعمل برهان مباشر يعني بلاش 
+
+281
+00:34:51,790 --> 00:35:00,970
+نستخدم exercise تسعة ثاني
+
+282
+00:35:00,970 --> 00:35:09,310
+ممكن we 
+
+283
+00:35:09,310 --> 00:35:13,450
+consider we
+
+284
+00:35:13,450 --> 00:35:15,230
+consider two cases
+
+285
+00:35:18,470 --> 00:35:24,390
+نعتبر حالتين الـ S star هذا من المعطيات عدد حقيقي و
+
+286
+00:35:24,390 --> 00:35:31,790
+U عدد حقيقي آخر لا ينتمي لـ S فممكن يكون عندي الـ U
+
+287
+00:35:31,790 --> 00:35:40,850
+أكبر من أو يساوي S star or الـ U أصغر من S star هذا
+
+288
+00:35:40,850 --> 00:35:46,750
+طبعا by trichotomy by trichotomy
+
+289
+00:35:50,710 --> 00:35:58,670
+property من الخاصية الثلاثية U, S*) أعداد حقيقية
+
+290
+00:35:58,670 --> 00:36:04,850
+ففي عندي تلت حالات أما U أصغر من S*) أو U أكبر من 
+
+291
+00:36:04,850 --> 00:36:10,450
+S*) أو U بيساوي S*) هدول حالتين وهذه الثالثة
+
+292
+00:36:10,450 --> 00:36:15,950
+فتعالوا في كل حالة نثبت هذا اللي هو المطلوب فإذا
+
+293
+00:36:15,950 --> 00:36:22,180
+في عندي في الحالة الأولى X أقل أو بيساوي من الـ Supremum
+
+294
+00:36:22,180 --> 00:36:27,400
+الموجود في الـ U أو
+
+295
+00:36:27,400 --> 00:36:33,000
+إيش الثانية؟ أو X أقل أو بيساوي الـ U، X أصغر من أو
+
+296
+00:36:33,000 --> 00:36:38,280
+بيساوي الـ U، صح؟ بعدها أنا هقول أكيد إن الـ X أقل
+
+297
+00:36:38,280 --> 00:36:45,360
+أو بيساوي من الـ .. إن الـ X lower bound is lower 
+
+298
+00:36:45,360 --> 00:36:45,960
+bound
+
+299
+00:36:49,050 --> 00:37:03,630
+للـ set اللي بتتكون من S star و U صح؟ وبالتالي لحظة
+
+300
+00:37:03,630 --> 00:37:09,490
+شوية لو سمحتني إذا
+
+301
+00:37:09,490 --> 00:37:14,830
+الـ X lower bound للـ set هذه إذا الـ infimum
+
+302
+00:37:22,180 --> 00:37:27,840
+الـ X أصغر
+
+303
+00:37:27,840 --> 00:37:36,400
+من أو ساوي الـ infimum لـ Sلأ ما هو هذا lower bound
+
+304
+00:37:36,400 --> 00:37:41,960
+لـ S star للمجموعة هذه وبالتالي هو أصغر من أو 
+
+305
+00:37:41,960 --> 00:37:45,700
+ساوي الـ infimum و الـ infimum دائما قولنا قبل شوية
+
+306
+00:37:45,700 --> 00:37:51,780
+أصغر من أو ساوي الـ supremum لنفس المجموعة لسه
+
+307
+00:37:51,780 --> 00:37:58,160
+متبتيلوا قبل شوية في التمرين السابق صح؟ طيب هيك
+
+308
+00:37:58,160 --> 00:37:59,260
+منكون أثبتنا
+
+309
+00:38:06,750 --> 00:38:17,210
+إذا هذا صحيح since this holds لكل
+
+310
+00:38:17,210 --> 00:38:26,130
+x ينتمي احنا خدنا x عشوائية فهي fix x مظبوط؟ x 
+
+311
+00:38:26,130 --> 00:38:33,700
+كانت عنصر عشوائي ف fix x ينتمي لـ S union Singleton
+
+312
+00:38:33,700 --> 00:38:39,260
+U فإذا هذه الأداء صحيح لكل X ينتمي للمجموعة هذه
+
+313
+00:38:39,260 --> 00:38:50,460
+وبالتالي إذا الـ supremum لـ S star و U is upper
+
+314
+00:38:50,460 --> 00:39:00,300
+bound Upper bound لمن؟ لـ S union singleton U
+
+315
+00:39:08,160 --> 00:39:23,180
+مظبوط؟ إذا الـ supremum لـ S union singleton U لأ
+
+316
+00:39:23,180 --> 00:39:28,280
+مش هيك لأ إذا هذا عبارة عن upper bound لـ set هذه
+
+317
+00:39:28,280 --> 00:39:34,830
+بنثبت إن هو الـ supremumيعني هيك بيطلع هذا .. هذا
+
+318
+00:39:34,830 --> 00:39:40,610
+upper bound لـ S هذه لأن هذا بيطلع أكبر من أو ساوي
+
+319
+00:39:40,610 --> 00:39:49,610
+.. هذا أصغر من أو ساوي الـ supremum لـ
+
+320
+00:39:49,610 --> 00:39:57,310
+S star و U احنا بدنا مساواة صح؟ فبقدرش أستنتج
+
+321
+00:39:57,310 --> 00:40:03,070
+مساواة هنا تمام؟ أما شو ممكن أما زي ما عملنا في
+
+322
+00:40:03,070 --> 00:40:07,430
+البراهين السابقة ممكن نثبت الـ claim ممكن نثبت 
+
+323
+00:40:07,430 --> 00:40:13,070
+المساواة كما يلي أنا عندي هذا .. هذا العدد .. هذا
+
+324
+00:40:13,070 --> 00:40:19,270
+العدد عبارة عن upper bound للـ set هذه احنا عايزين
+
+325
+00:40:19,270 --> 00:40:22,970
+نثبت إن هذا مش upper bound هو الـ least upper bound
+
+326
+00:40:22,970 --> 00:40:29,330
+إذا نـ claim إن الـ supremum
+
+327
+00:40:29,330 --> 00:40:36,590
+لـ S union لـ set هذه هو العدد هذا
+
+328
+00:40:49,020 --> 00:41:02,440
+انشوف let V be any upper bound لـ S union
+
+329
+00:41:02,440 --> 00:41:11,840
+singleton U هذا بيقدي ان X أصغر من أو بساوي او هذا 
+
+330
+00:41:11,840 --> 00:41:12,640
+بيقدي ان
+
+331
+00:41:25,690 --> 00:41:38,530
+هذا بيقدي أن x أصغر من أو يساوي S لكل x في S and
+
+332
+00:41:38,530 --> 00:41:43,990
+x أصغر من أو يساوي لأ
+
+333
+00:41:46,040 --> 00:41:53,780
+عفوا إيش هذا؟ X أصغر من أو ساوي V لكل X في S and U
+
+334
+00:41:53,780 --> 00:41:57,120
+أصغر من أو ساوي V صح؟
+
+335
+00:42:02,420 --> 00:42:05,840
+طيب، معناته هذا upper bound، الـ V upper bound للـ set
+
+336
+00:42:05,840 --> 00:42:13,880
+S إذن الـ supremum للـ set S اللي هو S star بطلع أصغر
+
+337
+00:42:13,880 --> 00:42:22,600
+من أو ساوى V and U أصغر من أو ساوى V معناته إن الـ
+
+338
+00:42:22,600 --> 00:42:30,660
+V is upper bound Upper bound لمين؟ للـ set
+
+339
+00:42:33,070 --> 00:42:39,670
+اللي هي S star و U صح؟ لأن هاي V أكبر من أو يساوي
+
+340
+00:42:39,670 --> 00:42:48,670
+S star و أكبر من أو يساوي الـ U فهذا
+
+341
+00:42:48,670 --> 00:42:55,990
+بيقدي إذا الـ supremum إذا كان الـ V upper bound للـ
+
+342
+00:42:55,990 --> 00:43:10,590
+S هذه فالـ supremum للـ set هذي اللي هي S star و U أصغر
+
+343
+00:43:10,590 --> 00:43:17,270
+من أو ساوي الـ V هذا أكبر upper bound للـ set وهذا
+
+344
+00:43:17,270 --> 00:43:21,490
+upper bound لنفس الـ set لأن أصغر upper bound أصغر من
+
+345
+00:43:21,490 --> 00:43:23,050
+أو ساوي أي upper bound
+
+346
+00:43:26,490 --> 00:43:33,690
+وبالتالي هين أثبتنا .. هين أثبتنا أنه الـ .. العدد
+
+347
+00:43:33,690 --> 00:43:40,890
+هذا .. العدد هذا .. هذا العدد أثبتنا حاجتين هذا
+
+348
+00:43:40,890 --> 00:43:46,470
+العدد هيه upper bound لمين للـ S هذه كذلك في الـ
+
+349
+00:43:46,470 --> 00:43:51,410
+claim هذا أثبتنا أنه لو أخدت أي upper bound للـ S
+
+350
+00:43:51,410 --> 00:43:57,370
+هذه وسميته V فهذا العدد أصغر من أو ساوى V، إذن
+
+351
+00:43:57,370 --> 00:44:04,550
+العدد هذا هو أصغر، إذن العدد هذا هو الـ supremum لـ set
+
+352
+00:44:04,550 --> 00:44:10,750
+هذه، إذن هذا this proves
+
+353
+00:44:10,750 --> 00:44:14,110
+the
+
+354
+00:44:14,110 --> 00:44:21,070
+claim الادعاء اللي احنا حكينا عنه وبالتالي هذا
+
+355
+00:44:21,070 --> 00:44:27,310
+بيكون برهان ثاني أو برهان آخر وزي ما زميلتكم اقترحت
+
+356
+00:44:27,310 --> 00:44:33,670
+مافيش داعي للـ cases هنا البرهان الثاني يبدأ بـ X
+
+357
+00:44:33,670 --> 00:44:43,180
+تنتمي للـ set هذه وهنا أثبتنا ان العدد هذا هو الـ
+
+358
+00:44:43,180 --> 00:44:48,440
+supremum للـ set هذه أو الـ supremum للـ set هذه اللي هي
+
+359
+00:44:48,440 --> 00:44:52,400
+S اتحاد single to new الـ supremum إليها exist
+
+360
+00:44:52,400 --> 00:45:00,900
+موجود و بيساوي العدد supremum S star و U هو هذا
+
+361
+00:45:00,900 --> 00:45:05,240
+العدد upper bound للـ set هذه و أي upper bound آخر 
+
+362
+00:45:05,240 --> 00:45:10,340
+للـ set طلع أصغر من .. أكبر من أو يساوي العدد هذا
+
+363
+00:45:10,340 --> 00:45:13,520
+وبالتالي هذا هو أصغر upper bound أو super bound
+
+364
+00:45:13,520 --> 00:45:19,780
+نعم هذي؟
+
+365
+00:45:19,780 --> 00:45:23,180
+اه
+
+366
+00:45:23,180 --> 00:45:24,260
+صح
+
+367
+00:45:32,010 --> 00:45:38,490
+عن؟ بينهم or مش end لأ من تعريف .. من تعريف
+
+368
+00:45:38,490 --> 00:45:43,710
+الاتحاد x ينتمي للاتحاد معناته x ينتمي للـ .. أو ..
+
+369
+00:45:43,710 --> 00:45:47,130
+مش هيك تعريف الاتحاد؟ اه sorry اه ف or مافيش end
+
+370
+00:45:47,130 --> 00:45:51,330
+ليش الـ end؟ معرفة إنها or بس احنا استنتجنا .. يعني
+
+371
+00:45:51,330 --> 00:45:54,730
+هنا مكان الـ end استنتجنا إنها upper bound لكن هنا 
+
+372
+00:45:54,730 --> 00:45:57,490
+or يعني مش end عشان نستنتج إنها x lower bound
+
+373
+00:46:05,960 --> 00:46:10,580
+صحيح يعني لو كانت x أقل من أم يساوي أس أسطر and x 
+
+374
+00:46:10,580 --> 00:46:13,860
+أقل من أم يساوي u فإنت صحيح احنا نستنتج إنه x
+
+375
+00:46:13,860 --> 00:46:18,340
+lower bound للمجموعة أه صحيح كلامك إذا عشان هيك
+
+376
+00:46:18,340 --> 00:46:25,920
+احنا لازم نحدد هل الـ u هو بالتالي كان لازم عشان
+
+377
+00:46:25,920 --> 00:46:32,760
+البرهنة ده فعلا يكون صح كان لازم نفصل حالتين فلو
+
+378
+00:46:32,760 --> 00:46:41,400
+كانت هنا الـ u لو كانت الـ .. الـ S star أصغر من أو
+
+379
+00:46:41,400 --> 00:46:45,420
+يساوي الـ U دكتور؟
+
+380
+00:46:45,420 --> 00:46:51,540
+نعم مش X هي أصغر أو يساوي الـ supremum للـ S أو إن
+
+381
+00:46:51,540 --> 00:46:56,060
+الـ X أصغر أو يساوي مجموعة الـ U الحالة هي كأنا خبرت
+
+382
+00:46:56,060 --> 00:46:59,460
+إن الـ X هتكون أصغر أو يساوي الـ supremum يا إما
+
+383
+00:46:59,460 --> 00:47:06,300
+supremum للـ S أو supremum للـ مجموعة الـ U يعني المهم
+
+384
+00:47:06,300 --> 00:47:14,460
+هي هتطلع الـ Supremum لواحدة من المجموعتين أنا
+
+385
+00:47:14,460 --> 00:47:19,900
+قبل جملة الـ X أزيدور أنا قصدي إن أكثر X أصغر أو
+
+386
+00:47:19,900 --> 00:47:28,380
+بيساوي الـ Supremum يعني بشكل مجمعة واحدة X أصغر
+
+387
+00:47:28,380 --> 00:47:35,770
+أو بيساوي الـ Supremum لـ S star يعني هي اللي هولأ
+
+388
+00:47:35,770 --> 00:47:43,570
+هاد أبراهين S أنها أصغر أو نسبة مجموعة بستار كمه
+
+389
+00:47:43,570 --> 00:47:50,620
+قلو يعني لو حضرتيهم المهم هتطلع للـ super أه صح لأن
+
+390
+00:47:50,620 --> 00:47:56,760
+الـ suprem هذا أكبر من أو ساوي S star و أكبر من أو
+
+391
+00:47:56,760 --> 00:48:02,960
+ساوي الـ U و X أصغر من أو ساوي .. لو كانت الـ X أصغر
+
+392
+00:48:02,960 --> 00:48:05,980
+من أو ساوي هذا فهي أكيد أصغر من أو ساوي الـ suprem
+
+393
+00:48:05,980 --> 00:48:10,780
+و لو كانت الـ X أصغر من أو ساوي الـ U فهي أكيد أصغر
+
+394
+00:48:10,780 --> 00:48:12,900
+من أو ساوي الـ suprem
+
+395
+00:48:17,590 --> 00:48:26,170
+وبالتالي هذا معناه إنه الصحيح
+
+396
+00:48:26,170 --> 00:48:34,450
+ففي الحالة هذه إذا الـ supremum لـ set الـ star و you 
+
+397
+00:48:34,450 --> 00:48:41,610
+is upper bound upper bound للإتحاد
+
+398
+00:48:44,300 --> 00:48:54,800
+bound of S union single to new لأن
+
+399
+00:48:54,800 --> 00:49:03,260
+هذا fixed ماشي الحال فهذا بحل إشكالية و بعديها
+
+400
+00:49:03,260 --> 00:49:07,380
+بنشطب كل الكلام هذا لأ ما هو هذا الكلام يعني هو
+
+401
+00:49:07,380 --> 00:49:15,430
+تقريبا تفسير ل .. بما أن الـ ..هذا مالوش داعي صار
+
+402
+00:49:15,430 --> 00:49:23,350
+هذا مالوش داعي وهذه الخطوة بدل ما نكتبها هنا هذا
+
+403
+00:49:23,350 --> 00:49:27,430
+هي إذا مرة ثانية إن أيد البرهان الآن يعني البرهان 
+
+404
+00:49:27,430 --> 00:49:33,170
+مافي مشكلة إن شاء الله هاي بنثبت X في الاتحاد تبع
+
+405
+00:49:33,170 --> 00:49:38,990
+المجموعتين هذول الآن X تنتمي للـ set هذه أو تنتمي للـ set
+
+406
+00:49:38,990 --> 00:49:52,140
+هذه يعني بتساوي LU وبالتالي الـ X تنتمي لـ S فهي
+
+407
+00:49:52,140 --> 00:49:56,180
+أصغر من أو ساوي الـ supremum لـ S اللي هو S الصغير
+
+408
+00:49:57,460 --> 00:50:04,020
+أو X أصغر من أو يساوي الـ U، X بالساوي الـ U بتقدي ان
+
+409
+00:50:04,020 --> 00:50:08,900
+X أصغر من أو يساوي الـ U الآن لو أخدت الـ supremum لـ S
+
+410
+00:50:08,900 --> 00:50:12,920
+أصغر و U طبعا هذه finite set of real numbers وفي
+
+411
+00:50:12,920 --> 00:50:16,780
+تمرين بيقول لو عندي finite set of real numbers فالـ
+
+412
+00:50:16,780 --> 00:50:21,390
+suprem تبعها موجود و ينتمي للـ set و الـ infimum
+
+413
+00:50:21,390 --> 00:50:24,630
+تبعها أيضا موجود و ينتمي لـ .. يعني يكون عنصر في الـ
+
+414
+00:50:24,630 --> 00:50:28,530
+set هذا أحد التمارين اللي طبعا ما عليناهوش لكن
+
+415
+00:50:28,530 --> 00:50:34,090
+بإمكانكم تثبتوه by induction فهذه finally الـ set
+
+416
+00:50:34,090 --> 00:50:37,390
+إذا الـ supremum تبعها exist إلا أن هذا الـ supremum
+
+417
+00:50:37,390 --> 00:50:41,990
+أكبر من أو ساوي S star وبالتالي أكبر من أو ساوي X
+
+418
+00:50:41,990 --> 00:50:46,790
+و هذا الـ supremum أكبر من أو ساوي U
+
+419
+00:50:50,610 --> 00:50:55,450
+وبالتالي أكبر من أو يساوي الـ X اللي هي U أكبر من
+
+420
+00:50:55,450 --> 00:51:01,150
+أو ساوي، إذا الآن هذا الكلام صحيح لكل X ينتمي 
+
+421
+00:51:01,150 --> 00:51:09,230
+للإتحاد هذا العدد الآن أكبر من أو يساوي كل عناصر ال
+
+422
+00:51:09,230 --> 00:51:13,350
+6 في الاتحاد فهو upper bound للـ 6 هذه فهو upper bound
+
+423
+00:51:13,350 --> 00:51:18,770
+العدد هذا upper bound للـ 6 هذه الآن أثبتنا أن هذا
+
+424
+00:51:18,770 --> 00:51:23,380
+الـ upper bound هو أصغر upper bound للاتحاد وهو
+
+425
+00:51:23,380 --> 00:51:29,160
+أخذنا أي upper bound عشوائي للاتحاد طلع هذا ال
+
+426
+00:51:29,160 --> 00:51:33,140
+upper bound العشوائي أكبر من أو يساوي العدد هذا
+
+427
+00:51:33,140 --> 00:51:36,720
+الذي نريد هو الـ supremum إذا هذا العدد هو الـ
+
+428
+00:51:36,720 --> 00:51:42,940
+supremum للست هذه تمام؟ okay؟ في أي سؤال آخر؟
+
+429
+00:51:42,940 --> 00:51:51,480
+فلنحلّ كمان سؤالين في الـ .. نحلّ مثلا خليني
+
+430
+00:51:51,480 --> 00:51:54,300
+أنا اخترت لكم بعض الأسئلة مادام أنتم يعني شاكلّكم
+
+431
+00:51:54,300 --> 00:51:59,300
+إلا طبعا إذا أحد سأل خليني أمسح اللوح الأول ونحلّ
+
+432
+00:51:59,300 --> 00:52:00,240
+كمان سؤالين
+
+433
+00:52:16,370 --> 00:52:21,990
+يعني قبل قليل ذكرنا التمرين
+
+434
+00:52:21,990 --> 00:52:34,770
+هذا التمرين 12 section 2 3 وهذا التمرين يقول let
+
+435
+00:52:34,770 --> 00:52:51,380
+S بيـ .. let S يساوي X1 إلى XN be any non
+
+436
+00:52:51,380 --> 00:52:58,260
+-empty finite finite
+
+437
+00:52:58,260 --> 00:53:12,080
+set أو subset من R فنثبت
+
+438
+00:53:12,080 --> 00:53:14,920
+أن الـ show
+
+439
+00:53:17,460 --> 00:53:34,980
+infimum from S و supremum S ينتمي لـ S وكذلك
+
+440
+00:53:34,980 --> 00:53:41,720
+الـ supremum لـ 6S موجود وهو عنصر في 6S
+
+441
+00:53:52,980 --> 00:53:59,400
+Okay إذا الـ finite set تبعتي هذه فرضنا أن عناصرها
+
+442
+00:53:59,400 --> 00:54:06,300
+سمينا عناصرها x1, x2 إلى xn لأن هذه set فيها n
+
+443
+00:54:06,300 --> 00:54:18,540
+elements طيب ممكن نرتب العناصر هذه by rearranging
+
+444
+00:54:18,540 --> 00:54:23,200
+indices
+
+445
+00:54:23,200 --> 00:54:27,220
+if
+
+446
+00:54:27,220 --> 00:54:36,520
+necessary إذا كان ضروري we
+
+447
+00:54:36,520 --> 00:54:50,310
+may and dowe may and do assume that
+
+448
+00:54:50,310 --> 00:54:53,890
+x1
+
+449
+00:54:53,890 --> 00:55:04,950
+less than x2 less than less than xn أنا
+
+450
+00:55:04,950 --> 00:55:13,580
+عندي finite set call it x1 إلى xn ممكن أن أعيد
+
+451
+00:55:13,580 --> 00:55:20,620
+ترتيب العناصر هذه هي طبعا أعداد حقيقية فممكن أن
+
+452
+00:55:20,620 --> 00:55:26,880
+أعيد .. وطبعا كلهم عناصر غير متساوية فممكن
+
+453
+00:55:26,880 --> 00:55:32,200
+أعيد ترتيب أو تسمية العناصر هذه المؤشرات تبعات هذه
+
+454
+00:55:32,200 --> 00:55:38,680
+ممكن أعيد ترتيبها بحيث أن يطلع x1 أصغر من x2 أصغر
+
+455
+00:55:38,680 --> 00:55:44,920
+من x3 أو هكذا الأكثر هذا ممكن نعمله ولا لا؟ ممكن
+
+456
+00:55:44,920 --> 00:55:48,380
+الآن
+
+457
+00:55:48,380 --> 00:55:54,640
+تعالوا نثبت claim
+
+458
+00:55:54,640 --> 00:56:01,120
+أنا أُدّعي أن الـ minimum للـ set S سيطلع يساوي X
+
+459
+00:56:01,120 --> 00:56:08,200
+واحد وهذا ينتمي لـ S يعني بعد ما رتبت العناصر عملت
+
+460
+00:56:08,200 --> 00:56:12,740
+ordering لهم بالطريقة دي فحسبت أن الـ infimum plus
+
+461
+00:56:12,740 --> 00:56:18,820
+set S يساوي أصغر عنصر في الـ set الذي هو X1 وهذا
+
+462
+00:56:18,820 --> 00:56:29,620
+طبعا ينتمي إلى S طيب لإثبات ذلك clearly واضح
+
+463
+00:56:29,620 --> 00:56:40,900
+أن X1 is a lower bound lower bound لـ set S نظراً لأن
+
+464
+00:56:40,900 --> 00:56:45,740
+X1 أصغر من أو يساوي كل العناصر التي في الـ set فهو
+
+465
+00:56:45,740 --> 00:56:51,000
+واضح أنه lower bound الآن أنا أُثبت أنه ليس فقط
+
+466
+00:56:51,000 --> 00:56:54,400
+lower bound هو الـ infimum هو الـ greatest lower
+
+467
+00:56:54,400 --> 00:57:01,620
+bound إذا هنا now if W is
+
+468
+00:57:04,400 --> 00:57:16,580
+any lower bound .. any lower bound of S فهذا
+
+469
+00:57:16,580 --> 00:57:25,780
+معناه أن W أصغر من أو يساوي Xi لكل I يساوي 1 2
+
+470
+00:57:25,780 --> 00:57:29,640
+إلى N صح؟
+
+471
+00:57:30,510 --> 00:57:38,370
+وأصغر من أو يساوي كل عناصرها وبالتالي therefore w
+
+472
+00:57:38,370 --> 00:57:44,970
+أصغر من أو يساوي x واحد لأن x واحد هو أحد عناصر
+
+473
+00:57:44,970 --> 00:57:54,350
+الـ set إذا أنا عندي الآن x واحد is lower bound للـ set و
+
+474
+00:57:54,350 --> 00:58:00,190
+أي lower bound للـ set يطلع أصغر من أو يساوي x واحد
+
+475
+00:58:00,190 --> 00:58:08,770
+إذا by definition الـ x واحد آه أو الـ infimum للـ set
+
+476
+00:58:08,770 --> 00:58:16,330
+s exist and يساوي x واحد تمام؟
+
+477
+00:58:16,330 --> 00:58:22,610
+بالمثل ممكن نثبت الـ .. آه هنا similarly
+
+478
+00:58:26,410 --> 00:58:33,190
+similarly show that أن أنا سأترككم بطريقة مشابهة
+
+479
+00:58:34,440 --> 00:58:39,920
+تثبتوا الـ claim الثاني وهو أن الـ supremum للـ set S
+
+480
+00:58:39,920 --> 00:58:47,620
+exist و يساوي XN وطبعا هذا ينتمي للـ set S وهو
+
+481
+00:58:47,620 --> 00:58:52,040
+المطلوب okay تمام إن هيك نكون أثبتنا أن أي finite
+
+482
+00:58:52,040 --> 00:58:56,920
+set لها supremum لها infimum وهذان يطلعان عناصر
+
+483
+00:58:56,920 --> 00:59:01,960
+فيها بالتحديد الـ infimum هو الـ least element أصغر
+
+484
+00:59:01,960 --> 00:59:07,600
+عنصر في الـ set والـ supremum هو الـ greatest element
+
+485
+00:59:07,600 --> 00:59:12,480
+الذي هو أكبر عنصر في الـ set هذا طبعا الكلام غير
+
+486
+00:59:12,480 --> 00:59:16,360
+صحيح إذا الـ set S كانت infinite هذا فقط صحيح في
+
+487
+00:59:16,360 --> 00:59:22,600
+حالة الـ finite set إذا الـ .. هذا يكون يكمل برهان
+
+488
+00:59:22,600 --> 00:59:30,220
+التمرين هذا وبالتالي نكتفي بحل أو بهذا القدر من
+
+489
+00:59:30,220 --> 00:59:34,260
+حل التمرين وإن شاء الله أسبوع القادم نكمل حلّ
+
+490
+00:59:34,260 --> 00:59:35,400
+تمارين أخرى 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/8N3n8lL04hg_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1960 @@
+1
+00:00:21,630 --> 00:00:28,730
+Okay ان شاء الله اليوم هنعمل مناقشة لبعض المسائل
+
+2
+00:00:28,730 --> 00:00:34,230
+في section اتنين تلاتة و اتنين اربعة زي ما وعدناكم
+
+3
+00:00:34,230 --> 00:00:44,690
+سابقا و نشوف بعض الحلول لبعض المسائل المهمة ففي
+
+4
+00:00:44,690 --> 00:00:52,530
+بسألةسؤال خامسة في section اتنين تلاتة بيقول لو في
+
+5
+00:00:52,530 --> 00:00:57,270
+عندي مجموعة غير خالية من الأعداد الحقيقية و
+
+6
+00:00:57,270 --> 00:01:03,550
+bounded below فال infimum ل ال set S هو سالب ال
+
+7
+00:01:03,550 --> 00:01:09,110
+supremum ل سالب S هذا
+
+8
+00:01:09,110 --> 00:01:13,870
+التمرين حالة خاصة من التمرين رقم أربعة في section
+
+9
+00:01:13,870 --> 00:01:21,120
+اتنين أربعةو بالتحديد هو حالة خاصة من الجزء بي من
+
+10
+00:01:21,120 --> 00:01:26,980
+التمرين هذا ففي الجزء بي لو كان بي .. إيش بقول هذا
+
+11
+00:01:26,980 --> 00:01:34,160
+الجزء؟ لو كان بي عدد سالب ف infimum بي S بساوي بي
+
+12
+00:01:34,160 --> 00:01:42,620
+في suprem S فلو أخدت بي بساوي سالب واحد و هذا عدد
+
+13
+00:01:42,620 --> 00:01:50,580
+سالبفبطل عندى infimum infimum
+
+14
+00:01:50,580 --> 00:01:58,780
+سالب s لأ هذا عبارة عن حالة خاصة من الجزء التانى
+
+15
+00:01:58,780 --> 00:02:05,560
+لو أخدنا بيه بساوي سالب واحد في الجزء هذا اللى هنا
+
+16
+00:02:07,490 --> 00:02:14,150
+فبطلع عندي supremum سالب S بيساوي
+
+17
+00:02:14,150 --> 00:02:19,390
+سالب infimum S هاي سالب اضربك سالب واحد سالب
+
+18
+00:02:19,390 --> 00:02:23,390
+infimum S لأن هذا التمرين حالة خاصة من الجزء هذا
+
+19
+00:02:23,390 --> 00:02:30,450
+التاني في الفرع B وبالتالي هذا التمرين تعميم لهذا
+
+20
+00:02:30,450 --> 00:02:37,140
+الجزء ولا جزء تانيو لجزء تاني اللي هو عبارة عن ال
+
+21
+00:02:37,140 --> 00:02:47,140
+supremum او ال infimum ل سالب S بساوي سالب ال
+
+22
+00:02:47,140 --> 00:02:54,240
+supremum ل S هذا تعميم لجزء اللي هان وهذا تعميم
+
+23
+00:02:54,240 --> 00:03:00,920
+لجزء اللي هان و ذلك باخذ by taking B equals سالب
+
+24
+00:03:00,920 --> 00:03:12,510
+واحدخلّينا نبرهن الجزء الأول من الفرع A و الجزء
+
+25
+00:03:12,510 --> 00:03:17,190
+الأول من الفرع B و بالمثل بإمكانكم تبرهن الجزء
+
+26
+00:03:17,190 --> 00:03:22,510
+التاني من ال part A و الجزء التاني من part B
+
+27
+00:03:22,510 --> 00:03:30,890
+فنبرهن الجزء A لبرهان الجزء A اللي
+
+28
+00:03:30,890 --> 00:03:37,490
+هو هذا الجزءفانا عندي a عدد موجب S is bounded
+
+29
+00:03:37,490 --> 00:03:42,390
+وبالتالي bounded below إذا ال info ل S exist سميه
+
+30
+00:03:42,390 --> 00:03:47,110
+W طبعا ال info عبارة عن lower bound ل 6S إذا ال W
+
+31
+00:03:47,110 --> 00:03:53,030
+أزرر من أو ساوي X لكل X S وبالتالي لو ضربت في عدد
+
+32
+00:03:53,030 --> 00:03:57,510
+موجب A فبطلع AW أزرر من أو ساوي A X لكل S هذا
+
+33
+00:03:57,510 --> 00:04:05,230
+معناه إن العدد هذا lower bound ل 6ASانا عايز اثبت
+
+34
+00:04:05,230 --> 00:04:10,670
+ان اي w هذا العدد مش بس lower bound هو اكبر lower
+
+35
+00:04:10,670 --> 00:04:19,690
+bound للست AS فباخد اي let V be any lower bound
+
+36
+00:04:19,690 --> 00:04:27,790
+any lower bound للست AS وبينا
+
+37
+00:04:27,790 --> 00:04:32,710
+نثبت ان هذا ال V أصغر من أو ساوي AW عشان يكون هو
+
+38
+00:04:32,710 --> 00:04:33,390
+ال infimum
+
+39
+00:04:35,910 --> 00:04:43,990
+طيب هذا معناه V lower bound للست AS معناه V أصغر
+
+40
+00:04:43,990 --> 00:04:52,010
+من أوي ساوي A X لكل X في S طيب أنا عندي واحد على A
+
+41
+00:04:52,010 --> 00:04:57,330
+عدد موجب إذا واحد على A عدد موجب فلو ضربت المتباني
+
+42
+00:04:57,330 --> 00:05:00,270
+هذه في العدد الموجب واحد على A اشتريت هنا
+
+43
+00:05:00,270 --> 00:05:07,900
+مابتتغيرش فبصير عندي V على Aأصغر من أو ساوي X لكل
+
+44
+00:05:07,900 --> 00:05:12,300
+XS طب
+
+45
+00:05:12,300 --> 00:05:20,540
+ما هذا معناه أنه العدد ال number V over A is a
+
+46
+00:05:20,540 --> 00:05:25,840
+lower bound لمن؟
+
+47
+00:05:25,840 --> 00:05:30,580
+لل 6S وبالتالي
+
+48
+00:05:30,580 --> 00:05:38,490
+إذا ال infimum .. إذا ال V على Aأصغر من أو ساوي ال
+
+49
+00:05:38,490 --> 00:05:48,090
+infimum للست S صح؟ طب اضربي في A عدد موجب بطلع
+
+50
+00:05:48,090 --> 00:05:58,990
+عندي V أصغر من أو ساوي A في infimum S طب
+
+51
+00:05:58,990 --> 00:06:07,730
+infimum S هذا سمنها W لأن هذا بساوي AWإذن هين
+
+52
+00:06:07,730 --> 00:06:13,790
+أثبتنا إنه العدد AW هذا أبارع ال lower bound للست
+
+53
+00:06:13,790 --> 00:06:20,390
+AS واخدنا أي lower bound للست AS فوجدنا إن ال
+
+54
+00:06:20,390 --> 00:06:27,770
+lower bound هذا أصغر من أو ساوي A في W فهذا معناه
+
+55
+00:06:27,770 --> 00:06:37,630
+إن AW هو ال infimum لمن؟ للست AS كما هوموضح في الـ
+
+56
+00:06:37,630 --> 00:06:44,290
+claim أو في الإدعاء تمام؟ وهذا بثبت الجزء الأول في
+
+57
+00:06:44,290 --> 00:06:51,650
+ال part A هاي infimum AS بساوي A في W اللي هو
+
+58
+00:06:51,650 --> 00:06:58,250
+infimum S إذن هذا بثبت الجزء الأول في الفرع A
+
+59
+00:06:58,250 --> 00:07:01,850
+Similarly بالمثل ممكن
+
+60
+00:07:05,820 --> 00:07:12,760
+بالمثل ممكن نثبت الفرع التاني او
+
+61
+00:07:12,760 --> 00:07:20,060
+الجزء التاني في الفرع A تمام؟ فهسيب هذا جزء لكم
+
+62
+00:07:20,060 --> 00:07:27,840
+لأن هذا مشابه الفرع اللي انا واضح؟ في اي سؤال؟ طيب
+
+63
+00:07:27,840 --> 00:07:30,780
+نحاول نثبت الجزء الأول في الفرع B
+
+64
+00:07:35,110 --> 00:07:42,150
+بنثبت الجزء هذا في الفرق دي لت
+
+65
+00:07:42,150 --> 00:07:53,770
+بأصغر من سفر، عدد حقيقي سالب وأنا عندي ال set ال
+
+66
+00:07:53,770 --> 00:07:58,230
+set since ال set S is bounded
+
+67
+00:08:01,660 --> 00:08:10,440
+إذا الـ infimum w بساوي ال infimum ل S exists in R
+
+68
+00:08:10,440 --> 00:08:13,460
+إذا
+
+69
+00:08:13,460 --> 00:08:18,240
+في عندي أنا ال .. ال infimum ل 6S .. 6S bounded
+
+70
+00:08:18,240 --> 00:08:21,180
+below bounded وبالتالي bounded below إذا by
+
+71
+00:08:21,180 --> 00:08:26,460
+infimum property ال infimum ل S مي W exist
+
+72
+00:08:30,860 --> 00:08:41,580
+هذا معناه .. او هذا بقد .. اذا
+
+73
+00:08:41,580 --> 00:08:46,180
+هذا معناه ان w lower bound ل S و W أصغر من أو ساوي
+
+74
+00:08:46,180 --> 00:08:49,880
+X لكل X في S
+
+75
+00:08:53,000 --> 00:08:58,980
+طيب و أندي أنا ال B عدد سالب فلو ضربنا المتباينة
+
+76
+00:08:58,980 --> 00:09:06,840
+هذه في B عدد سالب فبصير BX أصغر من أو ساوي BW لكل
+
+77
+00:09:06,840 --> 00:09:18,890
+XS صح؟ إذن هذا معناهإنه العدد بي دابليو is an
+
+78
+00:09:18,890 --> 00:09:28,750
+upper is an upper bound لمين للست بي في اس للست بي
+
+79
+00:09:28,750 --> 00:09:33,930
+في اس اللي هي مجموعة كل العناصر بي ضرب اكس بي ضرب
+
+80
+00:09:33,930 --> 00:09:38,570
+اكس حيث اكس ينتمي الاس هذا عبارة عن upper bound
+
+81
+00:09:38,570 --> 00:09:46,570
+طيب الست هذي الست هذي boundedلأن ال set S bounded
+
+82
+00:09:46,570 --> 00:09:51,270
+فضربها تعدد بتظلها bounded وبالتالي bounded above
+
+83
+00:09:51,270 --> 00:09:57,250
+إذا ال .. ال .. إلها superman by superman property
+
+84
+00:09:57,250 --> 00:10:08,990
+ودلتالي إذا ال BW هذا أو ال supermanللست BS هذا
+
+85
+00:10:08,990 --> 00:10:14,330
+عبارة عن ال least upper bound for the set BS هذا
+
+86
+00:10:14,330 --> 00:10:20,270
+بيطلع أصغر من أو ساوي أي upper bound و ليه هو أصغر
+
+87
+00:10:20,270 --> 00:10:28,150
+من أو ساوي ال upper bound BW للست BS طب
+
+88
+00:10:28,150 --> 00:10:29,610
+احنا عايزين نثبت
+
+89
+00:10:32,240 --> 00:10:38,840
+احنا عايزين نثبت ان بي دابليو هي ال supreme لست بي
+
+90
+00:10:38,840 --> 00:10:42,460
+في اس فهين
+
+91
+00:10:42,460 --> 00:10:47,020
+اثبتنا ان العدد بي دابليو هذا upper bound للست هذي
+
+92
+00:10:47,020 --> 00:10:51,240
+بي دابليو هو upper bound للست الاثبات ان هو ال
+
+93
+00:10:51,240 --> 00:10:55,240
+supreme باقي اثبات ان انا لو اخدت اي upper bound
+
+94
+00:10:55,240 --> 00:11:00,400
+للست هذه لازم يطلع اكبر من او يساوي بي دابليو
+
+95
+00:11:04,070 --> 00:11:11,310
+any upper bound
+
+96
+00:11:11,310 --> 00:11:18,490
+of except bs هذا
+
+97
+00:11:18,490 --> 00:11:28,090
+معناه أن b في x أصغر من أوي سوى b لكل xs تمام؟
+
+98
+00:11:29,920 --> 00:11:34,420
+طيب انا ع��دي بي عدل سالب اذا واحد على بي ايضا عدل
+
+99
+00:11:34,420 --> 00:11:38,960
+سالب فلو ضربت المتباينة هذه في عدل سالب اللي هو
+
+100
+00:11:38,960 --> 00:11:50,040
+واحد على بي فهيطلع عندي بي .. بي على بي أصغر من أو
+
+101
+00:11:50,040 --> 00:11:52,340
+ساوي X لكل X في S
+
+102
+00:11:55,350 --> 00:12:04,150
+هذا معناه ان العدد V على B is a lower bound لمن؟
+
+103
+00:12:04,150 --> 00:12:11,510
+لست S مصبوط صح؟ وبالتالي
+
+104
+00:12:11,510 --> 00:12:17,930
+اذا .. اذا
+
+105
+00:12:17,930 --> 00:12:23,970
+ال V على Bاللي هو lower bound للست S أصغر من أو
+
+106
+00:12:23,970 --> 00:12:28,370
+ساوي ال infimum للست S
+
+107
+00:12:54,340 --> 00:13:06,560
+احنا ايش قاعدين نثبت ال ..
+
+108
+00:13:06,560 --> 00:13:12,960
+يبدو ان انا يعني هنا بثبت الجزء التاني يعنى، يالا
+
+109
+00:13:12,960 --> 00:13:22,410
+من حظكمحاول نثبت الجزء التاني مش الأول فكمان مرة
+
+110
+00:13:22,410 --> 00:13:26,810
+نراجع بي عدد سالم S is bounded وبالتالي bounded
+
+111
+00:13:26,810 --> 00:13:33,650
+below إذن ال inform ل set S موجود وبالتالي
+
+112
+00:13:33,650 --> 00:13:37,630
+المتابعين هذا بتتحقق وبالتالي هذا بتتحقق بعد ما
+
+113
+00:13:37,630 --> 00:13:42,070
+ضربنا في بي عدد سالم إذن بي و طلع upper bound ل
+
+114
+00:13:42,070 --> 00:13:48,410
+set بي S وبالتالي ال supermanللست بي اس بيطلع أصغر
+
+115
+00:13:48,410 --> 00:13:52,510
+من أو ساوي بي دابليو الان بدنا نثبت ان ال بي
+
+116
+00:13:52,510 --> 00:14:00,810
+دابليو هذا هو ال supremum لست بي اس تمام فأخدنا اي
+
+117
+00:14:00,810 --> 00:14:05,550
+upper bound بي .. اي upper bound لست بي اس فوجدنا
+
+118
+00:14:05,550 --> 00:14:09,930
+ان v على بي is a lower bound لست اس وبالتالي v على
+
+119
+00:14:09,930 --> 00:14:14,290
+بي أصغر من أو ساوي ال greatest lower bound لست اس
+
+120
+00:14:17,060 --> 00:14:27,860
+طب لو ضربنا في بي و بي عدد سالب فهيطلع عندي .. إذا
+
+121
+00:14:27,860 --> 00:14:34,940
+لو ضربنا المتباينة هذه في بي عدد سالب فهيطلع عندي
+
+122
+00:14:34,940 --> 00:14:43,120
+اللي هو بي في infimum S هيطلع أصغر من أو ساوي ال
+
+123
+00:14:43,120 --> 00:14:45,120
+V، مظبوط هيك؟
+
+124
+00:14:48,920 --> 00:14:56,120
+طب هذا هذا سمنها w إذا بي في w أصغر من أو ساوي ال
+
+125
+00:14:56,120 --> 00:15:02,100
+b إذا البرهان هذا أثبتنا فيه حاجتين إنه أول شيء
+
+126
+00:15:02,100 --> 00:15:07,540
+العدد بي دابليو هذا upper bound للست بي اس و بعدين
+
+127
+00:15:07,540 --> 00:15:14,350
+أخدنا أي upper boundV أي upper bound لست بي اس طلع
+
+128
+00:15:14,350 --> 00:15:19,910
+ال V هذا أكبر من أو ساوي بي دابليو وبالتالي هذا
+
+129
+00:15:19,910 --> 00:15:29,650
+معناه إذا العدد بي دابليو هو عبارة عن ال supremum
+
+130
+00:15:29,650 --> 00:15:40,970
+ال supremum لست بي في اس لست بي في اسلأن هذا العدد
+
+131
+00:15:40,970 --> 00:15:45,570
+upper bound للست هذه وهو أصغر upper bound أخدنا أي
+
+132
+00:15:45,570 --> 00:15:51,390
+upper bound للست هذه طلع بي دابليو أصغر من أو ساوي
+
+133
+00:15:51,390 --> 00:15:56,050
+إذن بي دابليو هو أصغر upper bound للست هذه والأن
+
+134
+00:15:56,050 --> 00:16:03,410
+بنعود عن w إذن ال b في w اللي هو infimum of s
+
+135
+00:16:03,410 --> 00:16:12,590
+بتطلع بساوي supremum ل b في sوهذا برهين الجزء
+
+136
+00:16:12,590 --> 00:16:18,330
+التاني من الفرع B بالمثل الممكن برهان الجزء الأول
+
+137
+00:16:18,330 --> 00:16:24,850
+من الفرع B فأنا بدأكم إلى كتابة برهين الأجزاء
+
+138
+00:16:24,850 --> 00:16:30,330
+المشابهة هذه تمام؟ إذن هيك بنكون .. يعني أخدنا
+
+139
+00:16:30,330 --> 00:16:37,150
+حلول تقريبا شبه كاملة للتمرين 5 section 2 تلاتةفي
+
+140
+00:16:37,150 --> 00:16:41,530
+عندكم أي أسئلة تانية في ال section اتنين تلاتة او
+
+141
+00:16:41,530 --> 00:16:48,470
+اتنين اربعة؟ في
+
+142
+00:16:48,470 --> 00:16:54,190
+أي أسئلة تانية؟ السؤال عشرة في section اتنين تلاتة
+
+143
+00:17:28,800 --> 00:17:38,060
+سؤال عشرة section اتنين تلاتة ملخص السؤال بيقول S
+
+144
+00:17:38,060 --> 00:17:52,000
+is bounded bounded subset of R و Phi
+
+145
+00:17:52,000 --> 00:17:55,460
+لا يساوي S subset
+
+146
+00:18:00,440 --> 00:18:07,020
+ف ال S0 non-empty subset من S مجموعة جزئية غير
+
+147
+00:18:07,020 --> 00:18:17,280
+خالية من المجموعة S فبدنا نثبت شو برهني ان ال
+
+148
+00:18:17,280 --> 00:18:26,260
+infimum لست S أصغر من أو ساوي ال infimum لست S0
+
+149
+00:18:26,260 --> 00:18:32,540
+أصغر من أو ساوي ال supremumللست S Zero أصغر من لو
+
+150
+00:18:32,540 --> 00:18:41,940
+يساوي ال supremum للست S نشوف
+
+151
+00:18:41,940 --> 00:18:46,860
+البرهان مع بعض برهان سهل وبسيط يعتمد على تعريف ال
+
+152
+00:18:46,860 --> 00:18:52,760
+infimum وعلى تعريف ال supremum طيب
+
+153
+00:18:52,760 --> 00:18:57,900
+أنا عندي المجموعة S since
+
+154
+00:19:00,710 --> 00:19:08,790
+بما أن S مجموعة غير خالية و bounded is bounded
+
+155
+00:19:08,790 --> 00:19:12,990
+then ال
+
+156
+00:19:12,990 --> 00:19:28,810
+infimum لست S exist and supremum لست S both exist
+
+157
+00:19:36,050 --> 00:19:44,310
+بعد الـ infimum property ست اس لإنفمام وكذلك ست اس
+
+158
+00:19:44,310 --> 00:19:52,290
+لسوبرمام هدول موجودين في R طيب
+
+159
+00:19:52,290 --> 00:19:56,150
+أنا عندي السوبرمام
+
+160
+00:19:56,150 --> 00:20:15,640
+للست اس السوبرمام للست اسis an upper bound فهي
+
+161
+00:20:15,640 --> 00:20:25,520
+أيضا it is also an upper bound لأي
+
+162
+00:20:25,520 --> 00:20:31,060
+subset لأي subset S0 من ال 6S
+
+163
+00:20:36,460 --> 00:20:44,900
+و بالتالي and therefore and
+
+164
+00:20:44,900 --> 00:20:52,600
+therefore ال
+
+165
+00:20:52,600 --> 00:20:57,540
+supremum لست S0
+
+166
+00:20:57,540 --> 00:21:01,840
+أصغر من أو ساوي ال supremum لست S
+
+167
+00:21:07,110 --> 00:21:15,710
+كمان مرة ال .. ال 6S هذه ال S0 سبسط من S فأي upper
+
+168
+00:21:15,710 --> 00:21:20,070
+bound ل S هو أيضا upper bound لأي مجموعة جزئية
+
+169
+00:21:20,070 --> 00:21:26,410
+منها طيب ال supremum ل 6S upper bound ل 6S
+
+170
+00:21:26,410 --> 00:21:32,830
+وبالتالي هو upper bound ل 6S0 طيب ال supremum ل S0
+
+171
+00:21:32,830 --> 00:21:39,130
+هذا أصغر upper bound ل S0وهذا upper bound ل S0 إذا
+
+172
+00:21:39,130 --> 00:21:42,550
+أصغر upper bound أصغر من لو ساوي أي upper bound
+
+173
+00:21:42,550 --> 00:21:51,650
+وبالتالي المتباينة هذه صحيحة كذلك by
+
+174
+00:21:51,650 --> 00:21:57,950
+definition حسب التعريفات ال
+
+175
+00:21:57,950 --> 00:22:06,790
+infimumللست S0 أصغر من أو ساوي ال supremum للست S0
+
+176
+00:22:06,790 --> 00:22:10,750
+الست
+
+177
+00:22:10,750 --> 00:22:11,750
+S0 هذه
+
+178
+00:22:15,230 --> 00:22:21,930
+طبعا هذه ال set S0 subset من S و S bounded إلى S0
+
+179
+00:22:21,930 --> 00:22:26,710
+bounded ال infimum ل S0 exist و ال suprem ل S0
+
+180
+00:22:26,710 --> 00:22:32,770
+exist دائما لأي set S0 ال infimum دائما أصغر من أو
+
+181
+00:22:32,770 --> 00:22:39,250
+يساوي ال supremum نعمل رسمة نوضح الكلام هذا
+
+182
+00:22:44,850 --> 00:22:56,850
+نعتبر أن هذه هي الست اس وهي
+
+183
+00:22:56,850 --> 00:23:07,950
+ال .. ال .. ال supremum للست اس وهي ال infimum
+
+184
+00:23:11,090 --> 00:23:17,810
+للـ set S فدائما ال .. دائما
+
+185
+00:23:17,810 --> 00:23:24,050
+ال minimum لأي set هو lower bound لل set وبالتالي
+
+186
+00:23:24,050 --> 00:23:28,950
+أصغر من لو ساوي كل عناصرهاهو عبارة عن lower bound
+
+187
+00:23:28,950 --> 00:23:32,810
+للست ال supreme للست S هو عبارة عن upper bound
+
+188
+00:23:32,810 --> 00:23:37,650
+للست وبالتالي أكبر من أو ساوي كل عناصرها فواضح أن
+
+189
+00:23:37,650 --> 00:23:42,770
+ال infimum للست S لازم يكون أصغر من أو ساوي ال
+
+190
+00:23:42,770 --> 00:23:52,970
+supremum ونفس الشيء لو أخذنا أي مجموعة جزئية سمنها
+
+191
+00:23:52,970 --> 00:23:53,790
+S0
+
+192
+00:23:56,180 --> 00:24:02,200
+يعني هذه المجموعة اسمها S0 فبما أن ال set S
+
+193
+00:24:02,200 --> 00:24:10,400
+bounded إذن S0 bounded وبالتالي ال supremum ل S0
+
+194
+00:24:10,400 --> 00:24:16,220
+دايما أكبر من أو ساوي ال infimum ل S0 بنفس الطريقة
+
+195
+00:24:16,220 --> 00:24:23,710
+إذن هذا دايما .. هذا دايما صحيحعشان احنا نكمل
+
+196
+00:24:23,710 --> 00:24:30,150
+البرهان اذا احنا أثبتنا هذا واضح من التعريفات وهذا
+
+197
+00:24:30,150 --> 00:24:35,150
+الجزء أثبتناه باقي
+
+198
+00:24:35,150 --> 00:24:40,930
+إثبات الجزء الأخير هذا فإذا
+
+199
+00:24:40,930 --> 00:24:45,790
+بنقول finally أخيرا لإثبات الجزء الأخير هذا أنا
+
+200
+00:24:45,790 --> 00:24:49,570
+عندي ال inform ل S is lower bound ل 6S
+
+201
+00:24:52,070 --> 00:24:57,350
+وبالتالي هو lower bound لأي مجموعة جزئية S0 من S
+
+202
+00:24:57,350 --> 00:25:00,890
+وبالتالي
+
+203
+00:25:00,890 --> 00:25:11,770
+إذا ال influence ل S0 هذا
+
+204
+00:25:11,770 --> 00:25:19,180
+أكبر lower bound ل S0 هذا أكبر lower bound ل S0و
+
+205
+00:25:19,180 --> 00:25:25,960
+هذا lower bound ل S0 إذاً هذا بيطلع أكبر من أو
+
+206
+00:25:25,960 --> 00:25:33,500
+ساوي infimum ال 6S هذا lower bound ل 6S0 و هذا
+
+207
+00:25:33,500 --> 00:25:37,820
+أكبر lower bound ل 6S0 إذاً هذا أصغر من أو ساوي
+
+208
+00:25:37,820 --> 00:25:43,700
+هذا و هذا بيكملبرهان المتباينة اللى حاطين عليها
+
+209
+00:25:43,700 --> 00:25:48,380
+علامة استفهام إذا هيك بيكون برهاننا التمرين okay
+
+210
+00:25:48,380 --> 00:25:53,660
+تمام واضح؟
+
+211
+00:25:53,660 --> 00:26:03,660
+فى أسئلة تانية خلنا نحل كمان سؤال إذا بتحبه ممكن
+
+212
+00:26:03,660 --> 00:26:04,900
+نحل كمان سؤال
+
+213
+00:26:08,660 --> 00:26:16,040
+في section اتنين تلاتة برضه؟ اه في اي section؟
+
+214
+00:26:16,040 --> 00:26:21,840
+اتنين تلاتة ولا اتنين اربعة؟ اتنين تلاتة؟ طيب نحل
+
+215
+00:26:21,840 --> 00:26:24,020
+هذا السؤال و بعد هيك يعني نوجد
+
+216
+00:26:43,630 --> 00:26:57,410
+هي السؤال الأحداش سيكشن اتنين تلاتة بنشوف
+
+217
+00:26:57,410 --> 00:27:05,850
+السؤال شو بيقول S
+
+218
+00:27:05,850 --> 00:27:11,530
+subset من R و
+
+219
+00:27:11,530 --> 00:27:25,720
+SS star بساوي ال supremum ل 6S وهذا بينتمي لل 6S
+
+220
+00:27:25,720 --> 00:27:31,040
+belongs to S فإذا
+
+221
+00:27:31,040 --> 00:27:41,140
+كان U لا ينتمي لل 6S إذا كان U لا ينتمي لل 6S شو
+
+222
+00:27:42,390 --> 00:27:49,090
+عايزين نثبت ان ال superman لست
+
+223
+00:27:49,090 --> 00:28:05,890
+S union singleton U بيطلع بيساوي ال superman لست
+
+224
+00:28:05,890 --> 00:28:10,330
+اللي تتكون من أنصرين S star و U
+
+225
+00:28:13,540 --> 00:28:28,400
+where are you؟ طبعا في برهانين للسؤال هذا ال
+
+226
+00:28:28,400 --> 00:28:33,840
+proof one البرهان الأول we
+
+227
+00:28:33,840 --> 00:28:38,580
+use .. we use exercise
+
+228
+00:28:42,560 --> 00:28:51,600
+تسعة section اتنين تلاتة وهذا ال exercise بيقول
+
+229
+00:28:51,600 --> 00:28:59,340
+إذا كانت لو
+
+230
+00:28:59,340 --> 00:29:03,380
+كان a و b bounded
+
+231
+00:29:09,480 --> 00:29:18,660
+فهذا بيقدي ان a union b is bounded and
+
+232
+00:29:18,660 --> 00:29:32,360
+مش هيكوا بس و ال supremum .. ال supremum لإتحاد b
+
+233
+00:29:32,360 --> 00:29:36,980
+بساوي supremum
+
+234
+00:29:39,920 --> 00:29:44,900
+Supermom A وSupermom
+
+235
+00:29:44,900 --> 00:29:51,760
+B إذا
+
+236
+00:29:51,760 --> 00:29:57,440
+هذا تمرين رقم تسعة هناخده نستخدمه فلو استخدمنا هذا
+
+237
+00:29:57,440 --> 00:30:07,700
+التمرين فالنتيجة هذه بتطلع على طول مباشرة إذا
+
+238
+00:30:07,700 --> 00:30:08,540
+هنا take
+
+239
+00:30:11,570 --> 00:30:17,410
+A بساوي S و
+
+240
+00:30:17,410 --> 00:30:25,570
+طبعا هادي ال set bounded ال set هادي bounded و
+
+241
+00:30:25,570 --> 00:30:32,610
+عندي ال set B هاخدها singleton euro و هادي bounded
+
+242
+00:30:32,610 --> 00:30:41,790
+setإذا by exercise 9 a hat b اللي هي ال 6 هذه
+
+243
+00:30:41,790 --> 00:30:47,650
+بتطلع bounded by
+
+244
+00:30:47,650 --> 00:30:56,490
+exercise 9 section 2 3 ال 6 a union singleton u is
+
+245
+00:30:56,490 --> 00:31:00,750
+bounded and
+
+246
+00:31:00,750 --> 00:31:10,540
+مش هيكوا بس ال supremumلـ A اتحاد بالـ 6S union
+
+247
+00:31:10,540 --> 00:31:18,160
+هذا الـ A وهذا الـ Singleton U بتساوي الـ Supremum
+
+248
+00:31:18,160 --> 00:31:22,440
+لـ
+
+249
+00:31:22,440 --> 00:31:32,820
+Supremum A هذا عبارة عن S star و Supremum D هذا
+
+250
+00:31:32,820 --> 00:31:37,830
+عبارة عن Singleton Uأنا عندي set فيها عنصر واحد
+
+251
+00:31:37,830 --> 00:31:42,510
+فال Supreme تبعها هو ال info تبعها هو نفس ال
+
+252
+00:31:42,510 --> 00:31:46,850
+answer يعني هذا واضح من تعريف ال suprem
+
+253
+00:31:54,620 --> 00:31:59,580
+و هذا هو المطلوب اذا هذا تطبيق مباشر على تمرين 9
+
+254
+00:31:59,580 --> 00:32:03,860
+اذا المعناه ان انتوا لازم تحلوا تمرين 9 و هذا
+
+255
+00:32:03,860 --> 00:32:11,260
+التمرين موجود في يعني في رشاد له او hint لحله في
+
+256
+00:32:11,260 --> 00:32:16,680
+خلف .. خلف الكتاب في حل تمرين اللي .. اللي الكتاب
+
+257
+00:32:16,680 --> 00:32:21,280
+بيحاول يعرضها عشان يساعد الطالب نعم تفضلي
+
+258
+00:32:28,890 --> 00:32:37,250
+أه صحيح نعم و
+
+259
+00:32:37,250 --> 00:32:45,170
+في السؤال تسعة و في السؤال إحداش ال 6S
+
+260
+00:32:45,170 --> 00:32:51,010
+من المقطيات bounded صحيح لإنهاحنا فرضين ان S
+
+261
+00:32:51,010 --> 00:32:56,370
+subset من R و ال supremum لل 6S اللي هو S star عدد
+
+262
+00:32:56,370 --> 00:33:06,050
+ينتمي ل S و S subset من R هذا بيقدي ان ال 6S is
+
+263
+00:33:06,050 --> 00:33:12,750
+bounded above على الأقل bounded above تمام؟
+
+264
+00:33:16,370 --> 00:33:22,230
+تمام؟ فلو كانت ال A و ال B bounded above فهيطلع
+
+265
+00:33:22,230 --> 00:33:25,510
+الاتحاد تبعهم bounded above و هذا اللي احنا
+
+266
+00:33:25,510 --> 00:33:30,490
+عايزينه و ال supremum اللي لهم بساوي .. لاتحادهم
+
+267
+00:33:30,490 --> 00:33:37,540
+بساوي الكلام هذا فعلى الأقل .. اه؟و نفس الكلام
+
+268
+00:33:37,540 --> 00:33:41,860
+للانفمام ممكن نثبت حاجة مشابه بالنسبة للانفمام
+
+269
+00:33:41,860 --> 00:33:47,140
+يعني ممكن نثبت ان الانفمام هنا يعني ها and ممكن
+
+270
+00:33:47,140 --> 00:33:58,820
+نضيف انفمام ل a union b بساوي انفمام انف a و انف b
+
+271
+00:34:01,670 --> 00:34:06,630
+فاحنا بس أخدنا .. طبخنا الجزء هذا الجزء بيكون صحيح
+
+272
+00:34:06,630 --> 00:34:13,390
+إذا كانت a و b both are bounded above وبالتالي
+
+273
+00:34:13,390 --> 00:34:16,430
+اتحادهم بيطلع bounded below و ال infimum للاتحاد
+
+274
+00:34:16,430 --> 00:34:23,780
+بيطلع infimum لinfimum المجمعة التانيةفهذا متحقق
+
+275
+00:34:23,780 --> 00:34:28,640
+هنا متحقق ان هاي S star ينتمي ل S وبالتالي عدد
+
+276
+00:34:28,640 --> 00:34:32,420
+حقيقي انها S ال set هذه لها supremum وبالتالي
+
+277
+00:34:32,420 --> 00:34:37,360
+bounded above و single to new ما هي finite set و
+
+278
+00:34:37,360 --> 00:34:41,960
+كل finite set is bounded فهي bounded above و below
+
+279
+00:34:41,960 --> 00:34:47,530
+طبعا وبالتالي ممكن نطبق الجزء هذاهذا برهان برهان
+
+280
+00:34:47,530 --> 00:34:51,790
+تاني ممكن ان احنا نعمل برهان مباشر يعني بلاش
+
+281
+00:34:51,790 --> 00:35:00,970
+نستخدم exercise تسعة تاني
+
+282
+00:35:00,970 --> 00:35:09,310
+ممكن we
+
+283
+00:35:09,310 --> 00:35:13,450
+consider we
+
+284
+00:35:13,450 --> 00:35:15,230
+consider two cases
+
+285
+00:35:18,470 --> 00:35:24,390
+نعتبر حالتين ال S star هذا من المعطيات عدد حقيقي و
+
+286
+00:35:24,390 --> 00:35:31,790
+U عدد حقيقي آخر لا ينتمي ل S فممكن يكون عندي ال U
+
+287
+00:35:31,790 --> 00:35:40,850
+أكبر من أو يساوي S star or ال U أصغر من S star هذا
+
+288
+00:35:40,850 --> 00:35:46,750
+طبعا by trichotomy by trichotomy
+
+289
+00:35:50,710 --> 00:35:58,670
+property من الخاصية الثلاثية U S*) أعداد حقيقية
+
+290
+00:35:58,670 --> 00:36:04,850
+ففي عندي تلت حالات أما U أصغر من S*) أو U أكبر من
+
+291
+00:36:04,850 --> 00:36:10,450
+S*) أو U بساوي S*) هدول حالتين وهذه التالتة
+
+292
+00:36:10,450 --> 00:36:15,950
+فتعالوا في كل حالة نثبت هذا اللي هو المطلوب فإذا
+
+293
+00:36:15,950 --> 00:36:22,180
+في عندي في الحالة الأولىX أقل أو بيساوي من السقر
+
+294
+00:36:22,180 --> 00:36:27,400
+الموجود في ال U أو
+
+295
+00:36:27,400 --> 00:36:33,000
+إيش التانية؟ أو X أقل أو بيساوي ال U X أصغر من أو
+
+296
+00:36:33,000 --> 00:36:38,280
+بيساوي ال U، صح؟ بعدها أنا هقول أكيد إن ال X أقل
+
+297
+00:36:38,280 --> 00:36:45,360
+أو بيساوي من ال .. إن ال X lower bound is lower
+
+298
+00:36:45,360 --> 00:36:45,960
+bound
+
+299
+00:36:49,050 --> 00:37:03,630
+لل set اللي بتتكون من S star و U صح؟ وبالتالي لحظة
+
+300
+00:37:03,630 --> 00:37:09,490
+شوية لو سمحتني اذا
+
+301
+00:37:09,490 --> 00:37:14,830
+ال X lower bound لل set هذي اذا ال infimum
+
+302
+00:37:22,180 --> 00:37:27,840
+الـ X ��صغر
+
+303
+00:37:27,840 --> 00:37:36,400
+من أو ساوي الـ infimum ل Sلأ ما هو هذا lower bound
+
+304
+00:37:36,400 --> 00:37:41,960
+ل S star لسنا المجموعة هذه وبالتالي هو أصغر من أو
+
+305
+00:37:41,960 --> 00:37:45,700
+ساوي ال infimum و ال infimum دائما قولنا قبل شوية
+
+306
+00:37:45,700 --> 00:37:51,780
+أصغر من أو ساوي ال supremum لنفس المجموعة لسه
+
+307
+00:37:51,780 --> 00:37:58,160
+متبتيلوا قبل شوية في التمرين السابق صح؟ طيب هيك
+
+308
+00:37:58,160 --> 00:37:59,260
+منكون أثبتنا
+
+309
+00:38:06,750 --> 00:38:17,210
+إذا هذا صحيح since this holds لكل
+
+310
+00:38:17,210 --> 00:38:26,130
+x ينتمي احنا خدنا x عشوائية فهي fix x مظبوط؟ x
+
+311
+00:38:26,130 --> 00:38:33,700
+كانت عنصر عشوائي ف fix x ينتمي ل S unionSingleton
+
+312
+00:38:33,700 --> 00:38:39,260
+U فإذا هذه الأداء صحيح لكل X ينتمي للمجموعة هذه
+
+313
+00:38:39,260 --> 00:38:50,460
+وبالتالي إذا ال supreme ل S star و U is upper
+
+314
+00:38:50,460 --> 00:39:00,300
+bound Upper bound لمن؟ ل 6 S union singleton U
+
+315
+00:39:08,160 --> 00:39:23,180
+مظبوط؟ اذا ال supremum لست S union singleton U لأ
+
+316
+00:39:23,180 --> 00:39:28,280
+مش هيك لأ اذا هذا عبارة عن upper bound لست هذه
+
+317
+00:39:28,280 --> 00:39:34,830
+بنثبت ان هو ال supremumيعني هيك بيطلع هذا .. هذا
+
+318
+00:39:34,830 --> 00:39:40,610
+upper bound ل 6 هذه لأن هذا بيطلع أكبر من أو ساوي
+
+319
+00:39:40,610 --> 00:39:49,610
+.. هذا أصغر من أو ساوي ال supremum ل
+
+320
+00:39:49,610 --> 00:39:57,310
+S star و U احنا بدنا مساوية صح؟فبقدرش أستنتج
+
+321
+00:39:57,310 --> 00:40:03,070
+مساواة هنا تمام؟ أما شو ممكن أما زي ما عملنا في
+
+322
+00:40:03,070 --> 00:40:07,430
+البراهين السابقة ممكن نثبت ال claim ممكن نثبت
+
+323
+00:40:07,430 --> 00:40:13,070
+المساواة كما يليه أنا عندي هذا .. هذا العدد .. هذا
+
+324
+00:40:13,070 --> 00:40:19,270
+العدد عبارة عن upper bound لل set هذهأحنا عايزين
+
+325
+00:40:19,270 --> 00:40:22,970
+نثبت إن هذا مش upper bound هو ال least upper bound
+
+326
+00:40:22,970 --> 00:40:29,330
+إذا ن claim إن ال supremum
+
+327
+00:40:29,330 --> 00:40:36,590
+لست S union لست هذه هو العدد هذا
+
+328
+00:40:49,020 --> 00:41:02,440
+انشوف let V be any upper bound لست S union
+
+329
+00:41:02,440 --> 00:41:11,840
+singleton U هذا بيقدي ان X أصغر من أو بساوي او هذا
+
+330
+00:41:11,840 --> 00:41:12,640
+بيقدي ان
+
+331
+00:41:25,690 --> 00:41:38,530
+هذا بيقدي أن x أصغر من أو يساوي S لكل x في S and
+
+332
+00:41:38,530 --> 00:41:43,990
+x أصغر من أو يساوي لأ
+
+333
+00:41:46,040 --> 00:41:53,780
+عفوا إيش هذا؟ X أصغر من أو ساوي V لكل X في S and U
+
+334
+00:41:53,780 --> 00:41:57,120
+أصغر من أو ساوي V صح؟
+
+335
+00:42:02,420 --> 00:42:05,840
+طيب، معناته هذا upper bound، ال V upper bound للست
+
+336
+00:42:05,840 --> 00:42:13,880
+S إذن ال supremum للست S اللي هو S star بطلع أصغر
+
+337
+00:42:13,880 --> 00:42:22,600
+من أو ساوى V and U أصغر من أو ساوى V معناته إن ال
+
+338
+00:42:22,600 --> 00:42:30,660
+V is upper bound Upper bound لمين؟ للست
+
+339
+00:42:33,070 --> 00:42:39,670
+اللي هي S star و U صح؟ لأن هاي V أكبر من أو يساوي
+
+340
+00:42:39,670 --> 00:42:48,670
+S star و أكبر من أو يساوي ال U فهذا
+
+341
+00:42:48,670 --> 00:42:55,990
+بيقدي إذا ال supremum إذا كان ال V upper bound لل
+
+342
+00:42:55,990 --> 00:43:10,590
+6 هذه فال supremumللست هذي اللي هي S star و U أصغر
+
+343
+00:43:10,590 --> 00:43:17,270
+من أو ساوي ال V هذا أكبر upper bound للست وهذا
+
+344
+00:43:17,270 --> 00:43:21,490
+upper bound لنفس الست لأن أصغر upper bound أصغر من
+
+345
+00:43:21,490 --> 00:43:23,050
+أو ساوي أي upper bound
+
+346
+00:43:26,490 --> 00:43:33,690
+وبالتالي هين أثبتنا .. هين أثبتنا أنه ال .. العدد
+
+347
+00:43:33,690 --> 00:43:40,890
+هذا .. العدد هذا .. هذا العدد أثبتنا حاجتين هذا
+
+348
+00:43:40,890 --> 00:43:46,470
+العدد هيه upper bound لمين لل 6 هذه كذلك في ال
+
+349
+00:43:46,470 --> 00:43:51,410
+claim هذا أثبتنا أنه لو أخدت أي upper bound لل 6
+
+350
+00:43:51,410 --> 00:43:57,370
+هذه وسميته Vفهذا العدد أصغر من أو ساوى D، إذن
+
+351
+00:43:57,370 --> 00:44:04,550
+العدد هذا هو أصغر، إذن العدد هذا هو ال supreme لست
+
+352
+00:44:04,550 --> 00:44:10,750
+هذه، إذن هذا this proves
+
+353
+00:44:10,750 --> 00:44:14,110
+the
+
+354
+00:44:14,110 --> 00:44:21,070
+claim الادعاء اللي احنا حكينا عنه وبالتاليهذا
+
+355
+00:44:21,070 --> 00:44:27,310
+بيكون برهان تاني او برهان اخر وزي مزمرتكم اقترحت
+
+356
+00:44:27,310 --> 00:44:33,670
+مافيش داعي لل cases هنا البرهان التاني مبدأ ب X
+
+357
+00:44:33,670 --> 00:44:43,180
+تنتمي لل set هذه وهنا أثبتنا ان العدد هذاهو ال
+
+358
+00:44:43,180 --> 00:44:48,440
+supremum للست هذه او ال supremum للست هذه اللي هي
+
+359
+00:44:48,440 --> 00:44:52,400
+S إتحاد single to new ال supremum إليها exist
+
+360
+00:44:52,400 --> 00:45:00,900
+موجود و بساوي العدد supremum S star و Uهيو هذا
+
+361
+00:45:00,900 --> 00:45:05,240
+العدد upper bound للست هذه و أي upper bound أخر
+
+362
+00:45:05,240 --> 00:45:10,340
+للست طلع أصغر من .. أكبر من أو يساوي العدد هذا
+
+363
+00:45:10,340 --> 00:45:13,520
+وبالتالي هذا هو أصغر upper bound أو super bound
+
+364
+00:45:13,520 --> 00:45:19,780
+نعم هذي؟
+
+365
+00:45:19,780 --> 00:45:23,180
+اه
+
+366
+00:45:23,180 --> 00:45:24,260
+صح
+
+367
+00:45:32,010 --> 00:45:38,490
+عن؟ بينهم or مش end لأ من تعريف .. من تعريف
+
+368
+00:45:38,490 --> 00:45:43,710
+الاتحاد x ينتمي للاتحاد معناته x ينتمي لل .. او ..
+
+369
+00:45:43,710 --> 00:45:47,130
+مش هيك تعريف الاتحاد؟ اه sorry اه ف or مافيش end
+
+370
+00:45:47,130 --> 00:45:51,330
+ليش ال end؟ معرفة انها or بس احنا استنتجنا .. يعني
+
+371
+00:45:51,330 --> 00:45:54,730
+هنا مكان ال end استنتجنا انها upper bound لكن هنا
+
+372
+00:45:54,730 --> 00:45:57,490
+or يعني مش end عشان نستنتج انها x lower bound
+
+373
+00:46:05,960 --> 00:46:10,580
+صحيح يعني لو كانت x أقل من أم يساوي أس أسطر and x
+
+374
+00:46:10,580 --> 00:46:13,860
+أقل من أم يساوي u فإنت صحيح إحنا نستنتج إنه x
+
+375
+00:46:13,860 --> 00:46:18,340
+lower bound للمجموعة أه صحيح كلامك إذا عشان هيك
+
+376
+00:46:18,340 --> 00:46:25,920
+احنا لازم نحدد هل ال u هو بالتالي كان لازم عشان
+
+377
+00:46:25,920 --> 00:46:32,760
+البرهنة ده فعلا يكون صح كان لازم نفصل حالتين فلو
+
+378
+00:46:32,760 --> 00:46:41,400
+كانت هنا ال uلو كانت ال .. ال S star أصغر من أو
+
+379
+00:46:41,400 --> 00:46:45,420
+يساوي ال U دكتور؟
+
+380
+00:46:45,420 --> 00:46:51,540
+نعم مش X هي أصغر أو يساوي ال supremum لل S أو إن
+
+381
+00:46:51,540 --> 00:46:56,060
+ال X أصغر أو يساوي مجموعة ال U الحالة هي كأنا خبرت
+
+382
+00:46:56,060 --> 00:46:59,460
+إن ال X هتكون أصغر أو يساوي ال supremum يا إما
+
+383
+00:46:59,460 --> 00:47:06,300
+supremum لل S أو supremum لل مجموعة ال Uيعني المهم
+
+384
+00:47:06,300 --> 00:47:14,460
+هي هتطلع الـ Supremum لواحدة من المجموع التاني أنا
+
+385
+00:47:14,460 --> 00:47:19,900
+قبل جملة ال X أزيدور أنا قصدي إن أكتر X أصغر أو
+
+386
+00:47:19,900 --> 00:47:28,380
+بيساوي ال Supremum يعني بشكل مجموحة واحدة X أصغر
+
+387
+00:47:28,380 --> 00:47:35,770
+أو بيساوي ال Supremum لأسطر Star يعني هي اللي هولأ
+
+388
+00:47:35,770 --> 00:47:43,570
+هاد أبراهن S أنها أصغر أو نسبة مجموعة بستار كمه
+
+389
+00:47:43,570 --> 00:47:50,620
+قلو يعني لو حضرتيهم المهم هتطلع لل superأه صح لأن
+
+390
+00:47:50,620 --> 00:47:56,760
+ال suprem هذا أكبر من أو ساوي S star و أكبر من أو
+
+391
+00:47:56,760 --> 00:48:02,960
+ساوي ال U و X أصغر من أو ساوي .. لو كانت ال X أصغر
+
+392
+00:48:02,960 --> 00:48:05,980
+من أو ساوي هذا فهي أكيد أصغر من أو ساوي ال suprem
+
+393
+00:48:05,980 --> 00:48:10,780
+و لو كانت ال X أصغر من أو ساوي ال U فهي أكيد أصغر
+
+394
+00:48:10,780 --> 00:48:12,900
+من أو ساوي ال suprem
+
+395
+00:48:17,590 --> 00:48:26,170
+وبالتالي هذا معناه انه الصحيح
+
+396
+00:48:26,170 --> 00:48:34,450
+ففي الحالة هذه اذا ال supreman لست ال star و you
+
+397
+00:48:34,450 --> 00:48:41,610
+is upper bound upper bound للإتحاد
+
+398
+00:48:44,300 --> 00:48:54,800
+bound of S union single to new لأن
+
+399
+00:48:54,800 --> 00:49:03,260
+��ذا fixed ماشي الحال فهذا بحل إشكالية و بعديها
+
+400
+00:49:03,260 --> 00:49:07,380
+بنشطب كل الكلام هذا لأ ما هو هذا الكلام يعني هو
+
+401
+00:49:07,380 --> 00:49:15,430
+تقريبا تفسير ل .. بما أن ال ..هذا مالوش داعي صار
+
+402
+00:49:15,430 --> 00:49:23,350
+هذا مالوش داعي وهذه الخطوة بدل ما نكتبها هنا هذا
+
+403
+00:49:23,350 --> 00:49:27,430
+هي إذا مرة تانية إن أيد البرهان الآن يعني البرهان
+
+404
+00:49:27,430 --> 00:49:33,170
+مافي مشكلة ان شاء الله هاي بنثبت X في الاتحاد تبع
+
+405
+00:49:33,170 --> 00:49:38,990
+المجمعتين هذول الآن X تنتمي للست هذه أو تنتمي للست
+
+406
+00:49:38,990 --> 00:49:52,140
+هذه يعني بتساوي LUوبالتالي ال X تنتمي ل S فهي
+
+407
+00:49:52,140 --> 00:49:56,180
+أصغر من أو ساوي ال supremum ل 6S اللي هو S الصغير
+
+408
+00:49:57,460 --> 00:50:04,020
+أو X أصغر من أو يساوي ال U X بالساوي ال U بتقدي ان
+
+409
+00:50:04,020 --> 00:50:08,900
+X أصغر من أو يساوي ال U الان لو أخدت ال suprem ل S
+
+410
+00:50:08,900 --> 00:50:12,920
+أصغر و U طبعا هذه finite set of real numbers وفي
+
+411
+00:50:12,920 --> 00:50:16,780
+تمرين بيقول لو عندي finite set of real numbers فال
+
+412
+00:50:16,780 --> 00:50:21,390
+suprem تبعها موجودو ينتمي لل set و ال infimum
+
+413
+00:50:21,390 --> 00:50:24,630
+تبعها أيضا موجود و ينتمي ل .. يعني يكون عنصر في ال
+
+414
+00:50:24,630 --> 00:50:28,530
+set هذا أحد التمارين اللي طبعا ما عليناهوش لكن
+
+415
+00:50:28,530 --> 00:50:34,090
+بإمكانكم تثبتوه by induction فهذه finally ال set
+
+416
+00:50:34,090 --> 00:50:37,390
+إذا ال suprem تبعها exist إلا أن هذا ال suprem
+
+417
+00:50:37,390 --> 00:50:41,990
+أكبر من أو ساوي S star وبالتالي أكبر من أو ساوي X
+
+418
+00:50:41,990 --> 00:50:46,790
+و هذا ال suprem أكبر من أو ساوي U
+
+419
+00:50:50,610 --> 00:50:55,450
+وبالتالي أكبر من أو يساوي ال X اللي هي U أكبر من
+
+420
+00:50:55,450 --> 00:51:01,150
+أو ساوي، إذا الأن هذا الكلام صحيح لكل X ينتمي
+
+421
+00:51:01,150 --> 00:51:09,230
+للإتحادهذا العدد الان أكبر من أو ساوي كل عناصر ال
+
+422
+00:51:09,230 --> 00:51:13,350
+6 في الاتحاد فهو upper bound لل 6 هذه فهو upper ان
+
+423
+00:51:13,350 --> 00:51:18,770
+العدد هذا upper bound لل 6 هذه الان أثبتنا ان هذا
+
+424
+00:51:18,770 --> 00:51:23,380
+ال upper bound هو أصغر upper bound للاتحادو هي
+
+425
+00:51:23,380 --> 00:51:29,160
+أخدنا أي upper bound عشوائي للاتحاد طلع هذا ال
+
+426
+00:51:29,160 --> 00:51:33,140
+upper bound العشوائي أكبر من أو ساوي العدد هذا
+
+427
+00:51:33,140 --> 00:51:36,720
+اللي بدنا إياه هو ال supremum إذا هذا العدد هو ال
+
+428
+00:51:36,720 --> 00:51:42,940
+supremum للست هذه تمام؟ okay؟ في أي سؤال تاني؟
+
+429
+00:51:42,940 --> 00:51:51,480
+فخلينا نحللنا كمان سؤالينفي ال .. نحل مثلا خليني
+
+430
+00:51:51,480 --> 00:51:54,300
+انا اختارلكم بعض الأسئلة مدام انتوا يعني شاكلكم
+
+431
+00:51:54,300 --> 00:51:59,300
+الا طبعا اذا حد سائل خليني امسح اللوح الأول و نحل
+
+432
+00:51:59,300 --> 00:52:00,240
+كمان سؤالين
+
+433
+00:52:16,370 --> 00:52:21,990
+يعني قبل شوية ذكرنا التمرين
+
+434
+00:52:21,990 --> 00:52:34,770
+هذا التمرين 12 section 2 3 وهذا التمرين بيقول let
+
+435
+00:52:34,770 --> 00:52:51,380
+S بي .. let S بالساوي X1 إلى XNbe any non
+
+436
+00:52:51,380 --> 00:52:58,260
+-empty finite finite
+
+437
+00:52:58,260 --> 00:53:12,080
+set أو subset من R فبنثبت
+
+438
+00:53:12,080 --> 00:53:14,920
+ان ال show
+
+439
+00:53:17,460 --> 00:53:34,980
+in from S و supreme S ينتمي ل S وكذلك
+
+440
+00:53:34,980 --> 00:53:41,720
+ال supreme ل 6S موجود و هو عنصر في 6S
+
+441
+00:53:52,980 --> 00:53:59,400
+Okay إذا ال finite set تبعتي هذه فرضنا أن عناصرها
+
+442
+00:53:59,400 --> 00:54:06,300
+سمينا عناصرها x1, x2 إلى xn لأن هذه set فيها n
+
+443
+00:54:06,300 --> 00:54:18,540
+elements طيب ممكن نرتب العناصر هذهby rearranging
+
+444
+00:54:18,540 --> 00:54:23,200
+indices
+
+445
+00:54:23,200 --> 00:54:27,220
+if
+
+446
+00:54:27,220 --> 00:54:36,520
+necessary اذا كان ضروري we
+
+447
+00:54:36,520 --> 00:54:50,310
+may and dowe may and do assume that
+
+448
+00:54:50,310 --> 00:54:53,890
+x1
+
+449
+00:54:53,890 --> 00:55:04,950
+less than x2 less than less than xn أنا
+
+450
+00:55:04,950 --> 00:55:13,580
+عندي finite set call it x1 إلى xnممكن ان اعيد
+
+451
+00:55:13,580 --> 00:55:20,620
+ترتيب العناصر هذه هى طبعا عداد حقيقية فممكن ان
+
+452
+00:55:20,620 --> 00:55:26,880
+اعيد .. و طبعا كلهم عناصر مش متساوية فممكن
+
+453
+00:55:26,880 --> 00:55:32,200
+اعيد ترتيب او تسمية العناصر هذه المؤشرات تبعات هذه
+
+454
+00:55:32,200 --> 00:55:38,680
+ممكن اعيد ترتيبها بحيث انه يطلع x1 اصغر من x2 اصغر
+
+455
+00:55:38,680 --> 00:55:44,920
+من x3 او هكذا الاكثرهذا ممكن نعمله ولا لأ؟ ممكن
+
+456
+00:55:44,920 --> 00:55:48,380
+الان
+
+457
+00:55:48,380 --> 00:55:54,640
+تعالوا نثبت claim
+
+458
+00:55:54,640 --> 00:56:01,120
+انا بتدعي ان ال minimum لل set S هيطلع بساوي X
+
+459
+00:56:01,120 --> 00:56:08,200
+واحد وهذا ينتمي ل Sيعني بعد ما رتبت العناصر عملت
+
+460
+00:56:08,200 --> 00:56:12,740
+ordering لهم بالطريقة دي فحثبت أن الinfant plus
+
+461
+00:56:12,740 --> 00:56:18,820
+set S بساوي أصغر عنصر في ال set اللي هو X1 و هذا
+
+462
+00:56:18,820 --> 00:56:29,620
+طبعا ينتمي إلى S طيب لبرهان ذلك clearly واضح
+
+463
+00:56:29,620 --> 00:56:40,900
+أن X1 is a lower boundlower bound لست S نظبط لأن
+
+464
+00:56:40,900 --> 00:56:45,740
+X1 أصغر من أو ساوي كل العناصر اللي في الست فهو
+
+465
+00:56:45,740 --> 00:56:51,000
+واضح انه lower bound الان انا بتثبت انه مش بس
+
+466
+00:56:51,000 --> 00:56:54,400
+lower bound هو ال infimum هو ال greatest lower
+
+467
+00:56:54,400 --> 00:57:01,620
+bound اذا هنا now if W is
+
+468
+00:57:04,400 --> 00:57:16,580
+any lower bound .. any lower bound of S فهذا
+
+469
+00:57:16,580 --> 00:57:25,780
+معناه أن W أصغر من أو يساوي Xi لكل I بيساوي 1 2
+
+470
+00:57:25,780 --> 00:57:29,640
+إلى N صح؟
+
+471
+00:57:30,510 --> 00:57:38,370
+و أصغر من أو ساوي كل عناصرها و بالتالي therefore w
+
+472
+00:57:38,370 --> 00:57:44,970
+أصغر من أو ساوي x واحد لأن x واحد هو واحد من عناصر
+
+473
+00:57:44,970 --> 00:57:54,350
+الست إذا أنا عندي الان x واحد is lower bound للستو
+
+474
+00:57:54,350 --> 00:58:00,190
+أي lower bound للست بيطلع أصغر من أو يساوي x واحد
+
+475
+00:58:00,190 --> 00:58:08,770
+اذا by definition ال x واحد اه او ال infimum للست
+
+476
+00:58:08,770 --> 00:58:16,330
+s exist and بيساوي x واحد تمام؟
+
+477
+00:58:16,330 --> 00:58:22,610
+بالمثل ممكن نثبت ال .. اه هنا similarly
+
+478
+00:58:26,410 --> 00:58:33,190
+similarly show that ان انا هاسيبكم بطريقة مشابعة
+
+479
+00:58:34,440 --> 00:58:39,920
+تثبتوا ال claim التاني وهو ان ال supremum لل set S
+
+480
+00:58:39,920 --> 00:58:47,620
+exist و بساوي XN و طبعا هذا بينتمي لل set S و هو
+
+481
+00:58:47,620 --> 00:58:52,040
+المطلوب okay تمام ان هيك بنكون أثبتنا ان اي finite
+
+482
+00:58:52,040 --> 00:58:56,920
+set لها supremum لها infimum و هدولة بيطلعوا عناصر
+
+483
+00:58:56,920 --> 00:59:01,960
+فيها بالتحديد ال infimum هو ال least element اصغر
+
+484
+00:59:01,960 --> 00:59:07,600
+عنصرفي ال set و ال supremum هو ال greatest element
+
+485
+00:59:07,600 --> 00:59:12,480
+اللي هو أكبر أنصار في ال setهذا طبعا الكلام مش
+
+486
+00:59:12,480 --> 00:59:16,360
+صحيح إذا ال set S كانت infinite هذا بس صحيح في
+
+487
+00:59:16,360 --> 00:59:22,600
+حالة ال finite set إذا ال .. هذا بيكون بيكمل برهان
+
+488
+00:59:22,600 --> 00:59:30,220
+التمرين هذا و بالتالي بنكتفي بحل أو بهذا القدر من
+
+489
+00:59:30,220 --> 00:59:34,260
+حل التمرين و ان شاء الله أسبوع الجاي بنكمل حل
+
+490
+00:59:34,260 --> 00:59:35,400
+تمرين أخرى
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/8Xs3EWM1_9g_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,896 @@
+1
+00:00:21,620 --> 00:00:25,660
+طيب ناخد أمثلة
+
+2
+00:00:25,660 --> 00:00:31,280
+كيف نجيب ال supremum و ال infimum لمجموعات جزئية
+
+3
+00:00:31,280 --> 00:00:36,300
+من مجموعة الأعداد الحقيقية فلو أخدت الفترة المغلقة
+
+4
+00:00:36,300 --> 00:00:42,660
+من سفر لواحد فعايز أفبت claim هنا ادعي ان ال
+
+5
+00:00:42,660 --> 00:00:48,540
+supremum لست اسم سار واحدلبرهان ذلك حسب تعريف ال
+
+6
+00:00:48,540 --> 00:00:53,320
+supremum اللي هو least upper bound لازم أثبت شرطين
+
+7
+00:00:53,320 --> 00:00:59,140
+أول شي الواحد upper bound ل S وهذا صحيح واضح واحد
+
+8
+00:00:59,140 --> 00:01:03,860
+is upper bound لمجموع S لأن الواحد أكبر من أو
+
+9
+00:01:03,860 --> 00:01:08,930
+يساوي كل العناصر اللي في الفترة صح؟إذاً واحد upper
+
+10
+00:01:08,930 --> 00:01:13,170
+bound الآن لإثبات أن واحد هو أصغر upper bound ال
+
+11
+00:01:13,170 --> 00:01:16,950
+supremum يعني لازم أثبته أن واحد أصغر من أو ساوي
+
+12
+00:01:16,950 --> 00:01:25,170
+أي upper bound فلو خدنا V V any upper bound فال V
+
+13
+00:01:25,170 --> 00:01:28,310
+أكبر من أو ساوي كل العناصر اللي هنا من ضمنها
+
+14
+00:01:28,310 --> 00:01:33,530
+الواحدإذن ال V أكبر من أو ساوي ال واحد الان واحد
+
+15
+00:01:33,530 --> 00:01:38,230
+upper bound والواحد أصغر من أو ساوي أي upper bound
+
+16
+00:01:38,230 --> 00:01:43,910
+V إذن ال واحد هو ال supremum إذن هيك أثبتنا إن
+
+17
+00:01:43,910 --> 00:01:49,390
+واحد هو ال supremum بالمثل ممكن أثبات إن العنصر أو
+
+18
+00:01:49,390 --> 00:01:54,170
+العدد سفر هو ال infimum للفترة المغلقة من سفر إلى
+
+19
+00:01:54,170 --> 00:02:00,850
+واحدطيب مثال تاني لو أخدت T هي الفترة المفتوحة من
+
+20
+00:02:00,850 --> 00:02:11,950
+0 ل1 فبرضه كمان لو
+
+21
+00:02:11,950 --> 00:02:18,030
+أخدت T هي الفترة المفتوحة من 0 ل1 فممكن أثبات أن
+
+22
+00:02:18,030 --> 00:02:23,970
+ال supremum ل T هو 1واضح ان الواحد upper bound
+
+23
+00:02:23,970 --> 00:02:29,030
+للست للفترة المفتوحة لأن واحد أكبر من أو ساوي كل
+
+24
+00:02:29,030 --> 00:02:34,390
+ال X اللي هنا هذا واضح الان لإثبات أن الواحد هذا
+
+25
+00:02:34,390 --> 00:02:37,310
+هو ال supremum في لمّة واحد اتناش خدناها المرة
+
+26
+00:02:37,310 --> 00:02:42,070
+اللي فاتت بتقول عشان ال upper bound واحد يكون هو
+
+27
+00:02:42,070 --> 00:02:47,310
+ال supremum لازم أثبت أنه في شرط لكل ابسلون أكبر
+
+28
+00:02:47,310 --> 00:02:56,120
+من السفر يوجدعنصر S Y في السفر S أو T هنا بحيث أنه
+
+29
+00:02:56,120 --> 00:03:02,300
+واحد سالب ال epsilon أصغر من S epsilon فهنثبت
+
+30
+00:03:02,300 --> 00:03:07,900
+الكلام هذا إذن هنا هينبدأ let epsilon أكبر من
+
+31
+00:03:07,900 --> 00:03:11,940
+السفر be given لأن ال epsilon هذا ممكن يكون أصغر
+
+32
+00:03:11,940 --> 00:03:17,980
+من أو ساوي الواحد أو أكبر من أو أكبر من الواحد
+
+33
+00:03:20,030 --> 00:03:22,970
+الإبسلون هذا عدد موجب ممكن جدا يكون أصغر من أو
+
+34
+00:03:22,970 --> 00:03:26,170
+ساوي الواحد أو أكبر من واحد ناخد الحالة الأولى، لو
+
+35
+00:03:26,170 --> 00:03:30,770
+إبسلون أصغر من أو ساوي الواحد فحاخد S إبسلون، أعرف
+
+36
+00:03:30,770 --> 00:03:36,330
+S إبسلون واحد سالب إبسلون على اتنين هذا العدد
+
+37
+00:03:36,330 --> 00:03:41,350
+بيطلع عدد أكبر من سفر وأصغر من واحد وبالتالي ينتمي
+
+38
+00:03:41,350 --> 00:03:45,510
+لتين الآن
+
+39
+00:03:45,510 --> 00:03:53,380
+لو أخدت واحد وطرحت منها إبسلونفهذا بيطلع أصغر يعني
+
+40
+00:03:53,380 --> 00:03:59,840
+لو أخدت واحد و طرحت منها epsilon فهذا أصغر من واحد
+
+41
+00:03:59,840 --> 00:04:06,500
+سالب epsilon ع اتنين هذا طرحت منه عدد أكبر من هذا
+
+42
+00:04:06,500 --> 00:04:17,080
+لذا هذا أصغر من التاني و بعدين ليش يقصر؟ طب
+
+43
+00:04:17,080 --> 00:04:25,100
+ما هذا هو S epsilonهذا هو سإبسلون إذا
+
+44
+00:04:25,100 --> 00:04:30,160
+في الحالة هذه لأي إبسلون أكبر من السفر هين أثبتت
+
+45
+00:04:30,160 --> 00:04:36,740
+إن يوجد سإبسلون في T وهذا الـ S إبسلون أكبر من
+
+46
+00:04:36,740 --> 00:04:40,600
+واحد سالب إبسلون أو واحد سالب إبسلون أصغر من S
+
+47
+00:04:40,600 --> 00:04:47,480
+إبسلون هذا هو الشرط اللي في لمبة واحد اتناش هينتقل
+
+48
+00:04:48,090 --> 00:04:52,170
+الحالة التانية، لو كان إمسنان أكبر من واحد فأكيد
+
+49
+00:04:52,170 --> 00:04:56,050
+واحد سالب إمسنان هيطلع عدد سالب، يعني أصغر من سفر،
+
+50
+00:04:56,050 --> 00:05:01,930
+وال X هذا .. ال X هذا لو أخدت أي X في T فأي X في T
+
+51
+00:05:01,930 --> 00:05:06,300
+موجب، أي X في T موجبإذن هين أثبتنا في الحالة
+
+52
+00:05:06,300 --> 00:05:13,160
+التانية إنه لو كان epsilon أكبر من واحد فبطلع مش
+
+53
+00:05:13,160 --> 00:05:18,620
+يوجد S epsilon واحد في T كل عناصر ال T بتحقق إنه
+
+54
+00:05:18,620 --> 00:05:24,120
+واحد سالب epsilon أصغر من S أو S epsilon وبالتالي
+
+55
+00:05:24,120 --> 00:05:28,420
+في كلتال حالتين ال both cases الشرط تبع لما واحد
+
+56
+00:05:28,420 --> 00:05:33,490
+اتناشر تبع ال supremum اللي بكافئ ال supremumمتحقق
+
+57
+00:05:33,490 --> 00:05:39,810
+وبالتالي واحد هو ال supremum لتين مثال
+
+58
+00:05:39,810 --> 00:05:46,710
+تالت احنا شفنا قبل شوية في بداية المحاضرة ان كل
+
+59
+00:05:46,710 --> 00:05:51,510
+عدد حقيقي هو upper bound و كذلك lower bound
+
+60
+00:05:51,510 --> 00:05:57,070
+للمجموع الخالي Phi و بناء على ذلك Phi does not
+
+61
+00:05:57,070 --> 00:06:00,730
+have a supremum ولا infimum
+
+62
+00:06:03,600 --> 00:06:14,960
+هي برهان فاي has no .. فاي has no supremum البرهان
+
+63
+00:06:14,960 --> 00:06:19,380
+proof assume
+
+64
+00:06:19,380 --> 00:06:24,240
+you
+
+65
+00:06:24,240 --> 00:06:32,620
+belong to R is supremum فاي ال least upper bound
+
+66
+00:06:32,620 --> 00:06:33,120
+لفاي
+
+67
+00:06:40,890 --> 00:06:53,830
+then u سالب واحد أصغر من u and u سالب واحد هاد عدد
+
+68
+00:06:53,830 --> 00:07:00,610
+حقيقي is upper bound
+
+69
+00:07:00,610 --> 00:07:13,110
+of ال fiveكمان مرة نفرض ان U جد U نفرض
+
+70
+00:07:13,110 --> 00:07:21,590
+ان U جد U جد U بالنمط R و هو Supremum ل Phi طيب U
+
+71
+00:07:21,590 --> 00:07:27,000
+سالب واحد أصغر من Uو قبل شوية كنا ملاحظة ان اي عدد
+
+72
+00:07:27,000 --> 00:07:32,440
+حقيقي زي هذا عبارة عن upper bound لفائي ف K في ال
+
+73
+00:07:32,440 --> 00:07:37,080
+U .. K في ال U هو ال supremum K في ال U هو ال
+
+74
+00:07:37,080 --> 00:07:40,580
+supremum هو أصغر upper bound و في upper bound أصغر
+
+75
+00:07:40,580 --> 00:07:47,260
+منه هذا بدي تناقض which
+
+76
+00:07:47,260 --> 00:07:52,340
+.. which is a contradiction
+
+77
+00:07:59,520 --> 00:08:04,320
+إن هذا بدّيني تناقض وبالتالي هذا أثبات أن الـ Fi
+
+78
+00:08:04,320 --> 00:08:10,700
+مالهاش Supremum بالمثل ممكن أثبات أن الـ Fi أو
+
+79
+00:08:10,700 --> 00:08:20,420
+المجموعة الخالية ليس لها Supremum طيب
+
+80
+00:08:20,420 --> 00:08:22,620
+نيجي لل completeness property
+
+81
+00:08:29,610 --> 00:08:34,370
+الـ completeness property of R بتنص على إنه كل
+
+82
+00:08:34,370 --> 00:08:40,990
+مجموعة غير خالية .. كل مجموعة غير خالية S من R و
+
+83
+00:08:40,990 --> 00:08:45,010
+bounded above .. و bounded above محدودة من أعلى
+
+84
+00:08:45,010 --> 00:08:50,430
+has supremum لازم يكون فيه لها supremum يعني مثال
+
+85
+00:08:50,430 --> 00:08:57,580
+على ذلك لو أخدنا S بسبب الفترة المغلقة 01 أوالفترة
+
+86
+00:08:57,580 --> 00:09:04,960
+مفتوحة من صفر واحد فهي هذي set و bounded above اذا
+
+87
+00:09:04,960 --> 00:09:10,960
+ال property بتقولي بتضمنلي تضمن ان هذي ال set لها
+
+88
+00:09:10,960 --> 00:09:15,840
+soprano اللي هو الواحد اللي اثبتناه قبل شوية اذا
+
+89
+00:09:15,840 --> 00:09:19,700
+ال property بتضمن وجود soprano لكن ما بتجيبليها
+
+90
+00:09:19,700 --> 00:09:26,050
+ولا بتقوليإيش هو؟ عشان نجيبه لازم نعمل برهان زي ما
+
+91
+00:09:26,050 --> 00:09:30,310
+شوفنا في الأمثلة السابقة هد هي ال supremum أو ال
+
+92
+00:09:30,310 --> 00:09:33,790
+completeness property خاصية التمام للأعداد
+
+93
+00:09:33,790 --> 00:09:38,510
+الحقيقية الآن زي ما قلتلكم قبل هيك في توقع ما بين
+
+94
+00:09:38,510 --> 00:09:42,130
+ال upper bounds و ال lower bounds ال supremums و
+
+95
+00:09:42,130 --> 00:09:52,510
+ال infimumsفال .. ال .. اي خاصية صحيحة لل supreme
+
+96
+00:09:52,510 --> 00:09:58,170
+بتكون في بقابلها خاصية صحيحة لل infimum ففي نتيجة
+
+97
+00:09:58,170 --> 00:10:03,640
+هنا على completeness property corollaryبنسميها الـ
+
+98
+00:10:03,640 --> 00:10:07,580
+infimum property of R لإن في supremum property of
+
+99
+00:10:07,580 --> 00:10:12,260
+R وفي بقبلها infimum property of R فال infimum
+
+100
+00:10:12,260 --> 00:10:16,160
+property of R بتقول ان every non-empty subset S of
+
+101
+00:10:16,160 --> 00:10:21,160
+R which is bounded below has an infimum يعني كل
+
+102
+00:10:21,160 --> 00:10:26,440
+مجموعة غير خالية من العداد الحقيقية ومحصورة من
+
+103
+00:10:26,440 --> 00:10:30,460
+أسفل لازم يكون لها infimum أو أكبر حد أدنى
+
+104
+00:10:38,820 --> 00:10:45,060
+وهي البرهان .. نشوف البرهان تبع ال .. ال corollary
+
+105
+00:10:45,060 --> 00:10:54,520
+أو النتيجة هذه بنعرف set .. بنعرف ال set E علي
+
+106
+00:10:54,520 --> 00:10:59,120
+أنها كل العناصر W اللي بتكون lower bound للمجموعة
+
+107
+00:10:59,120 --> 00:11:06,510
+S طيب by hypothesis حسب الفرضالـ E مجموعة غير
+
+108
+00:11:06,510 --> 00:11:09,610
+خالية، يعني فيها على الأقل عنصر، ليه؟ لإن احنا
+
+109
+00:11:09,610 --> 00:11:16,090
+فرضين إن المجموعة S، المجموعة S هذه bounded below،
+
+110
+00:11:16,090 --> 00:11:19,710
+يعني إلها lower bound وبالتالي إذا في على الأقل
+
+111
+00:11:19,710 --> 00:11:24,350
+عنصر واحد، W في E، إذا الـ E مجموعة غير خالية،
+
+112
+00:11:24,350 --> 00:11:25,990
+تمام؟ هذا من الفرض
+
+113
+00:11:29,380 --> 00:11:34,720
+كذلك من الفرض أي X في S ثبار عن upper bound لـ E
+
+114
+00:11:34,720 --> 00:11:49,760
+لو كان X ينتمي إلى S فهذا بيقدّي انه W أصغر من أو
+
+115
+00:11:49,760 --> 00:11:56,160
+يساوي X لكل W في E
+
+116
+00:12:04,760 --> 00:12:11,300
+ليش هذا الكلام صحيح؟ لأن كل W في E عبارة عن lower
+
+117
+00:12:11,300 --> 00:12:17,300
+bound ل S وبما أن W lower bound ل S فأي أنصر في S
+
+118
+00:12:17,300 --> 00:12:23,480
+بيكون أكبر من أو ساوي ال lower bound، صح؟ إذن هذا
+
+119
+00:12:23,480 --> 00:12:28,360
+معناه إن X upper bound هي X أكبر من أو ساوي كل
+
+120
+00:12:28,360 --> 00:12:33,820
+عناصر ال E وبالتالي أي X في S هو عبارة عن
+
+121
+00:12:40,550 --> 00:12:45,910
+أي x في s هو upper bound للست
+
+122
+00:12:51,680 --> 00:12:57,900
+خاصية التمام، إذا ال .. ال set E هذه is bounded
+
+123
+00:12:57,900 --> 00:13:02,580
+above وبالتالي يوجد إلها suprem، ال suprem تبعها
+
+124
+00:13:02,580 --> 00:13:08,100
+لو سميته small s exists in R هذا .. وجود ال suprem
+
+125
+00:13:08,100 --> 00:13:14,560
+مضمون باستخدام ال suprem propertyالان بدنا نثبت ان
+
+126
+00:13:14,560 --> 00:13:21,000
+هذا العدد small s هو الـ infimum هو الـ infimum
+
+127
+00:13:21,000 --> 00:13:27,100
+للست S وهيك بنكون كملنا البرهان إذا الإثبات
+
+128
+00:13:27,100 --> 00:13:33,580
+للادعاء هذا ان عندي ال S هنا بساوي supremum E
+
+129
+00:13:33,580 --> 00:13:40,780
+وبالتالي ال S هذا upper bound ل E يعني S أكبر من
+
+130
+00:13:40,780 --> 00:13:42,340
+أو ساوي كل ال X في E
+
+131
+00:13:46,050 --> 00:13:52,070
+الأن بناء على المتباينة هذه أو الجملة هذه لإثبات
+
+132
+00:13:52,070 --> 00:13:58,610
+أن S هي الـ infimum لcapital S يبقى إثبات أن S
+
+133
+00:13:58,610 --> 00:14:06,830
+عبارة عن lower bound S is a lower bound of S ليش
+
+134
+00:14:06,830 --> 00:14:11,350
+هذا يكفي لإثبات أن S هو الinfimum لS؟
+
+135
+00:14:15,610 --> 00:14:20,590
+تعالى نشوف ليش هذا يكفي يكفي
+
+136
+00:14:20,590 --> 00:14:28,850
+اثبات ان ال S is a lower bound لل 6S يعني بدنا
+
+137
+00:14:28,850 --> 00:14:34,830
+نثبت ان ال X عفوا
+
+138
+00:14:34,830 --> 00:14:43,410
+ال S أصغر من أو ساوي كل العناصر Y
+
+139
+00:14:58,200 --> 00:15:03,540
+يعني بدنا نثبت أن S ينتمي
+
+140
+00:15:03,540 --> 00:15:09,980
+للset E يعني
+
+141
+00:15:09,980 --> 00:15:17,320
+لإثبات أن S is the lower bound of S معناه بد أثبت
+
+142
+00:15:17,320 --> 00:15:20,560
+أن S عنصر في E لأن E is the set of all lower
+
+143
+00:15:20,560 --> 00:15:25,380
+bounds of S صح؟ فلو أثبتت أن S تنتمي إلى E
+
+144
+00:15:34,100 --> 00:15:41,300
+فالمفروض هذا معناه ان ال S .. اه هايه .. لو هذا ال
+
+145
+00:15:41,300 --> 00:15:47,680
+S .. لو هذا ال S أثبتت انه .. لو أثبتت ان ال S هذا
+
+146
+00:15:47,680 --> 00:15:49,380
+ينتمي إلى ايه؟
+
+147
+00:15:52,900 --> 00:15:58,420
+فمعناه ان كل العناصر اللي في E أصغر من أو يساوي ال
+
+148
+00:15:58,420 --> 00:16:04,900
+S طيب كل العناصر X اللي في E هي عبارة عن lower
+
+149
+00:16:04,900 --> 00:16:11,330
+bounds ل Sواذا كان S موجود في E بيكون أيضا lower
+
+150
+00:16:11,330 --> 00:16:17,350
+bound ل S لكن ال S هذا بتمتع بالخاصية أنه أكبر من
+
+151
+00:16:17,350 --> 00:16:22,970
+أو ساوي كل عناصر ال set A إذا هو أكبر lower bound
+
+152
+00:16:22,970 --> 00:16:29,560
+يعني هو ال infimum صح؟ تمام؟مرة تانية احنا وصلنا
+
+153
+00:16:29,560 --> 00:16:35,780
+ان ال X كل العناصر X في E اصغر من او ساوي S الان
+
+154
+00:16:35,780 --> 00:16:42,800
+لو اثبتت ان ال S هذا ينتمي ل E يعني lower bound ل
+
+155
+00:16:42,800 --> 00:16:50,130
+Sمعناته ال S هدى اكبر من او ساوي كل عناصر ال 6E
+
+156
+00:16:50,130 --> 00:16:54,890
+وبالتالي هو اكبر lower
+
+157
+00:16:54,890 --> 00:17:02,450
+bound يعني هو ال infimum اذا فعلا يكفي او يبقى
+
+158
+00:17:02,450 --> 00:17:06,990
+اثبات ان ال S اسمه ال S lower bound لل 6S فلبرهان
+
+159
+00:17:06,990 --> 00:17:11,770
+ذلك بنعمل برهان بالتناقض افرضى انه اللي احنا
+
+160
+00:17:11,770 --> 00:17:18,960
+بنلثبته خطأيعني اسمه ال S ليس lower bound للست S
+
+161
+00:17:18,960 --> 00:17:23,500
+هذا معناه بقدر ألاجي أنصر Y في S و هذا ال Y أصغر
+
+162
+00:17:23,500 --> 00:17:30,600
+من S لأن S ليس lower bound فهذا بيقدي .. لاحظوا أن
+
+163
+00:17:30,600 --> 00:17:35,400
+ال S هو ال supremum ل E .. S هو ال supremum ل E و
+
+164
+00:17:35,400 --> 00:17:42,980
+Y أصغر منه إذن Y هذا مش ممكن يكون upper bound للست
+
+165
+00:17:42,980 --> 00:17:49,920
+Eال Y أصغر من S و S بساوي supremum E إذا Y مش ممكن
+
+166
+00:17:49,920 --> 00:17:54,740
+يكون upper bound ل E لأنه بجوزش هذا يكون upper
+
+167
+00:17:54,740 --> 00:18:00,320
+bound ل E و هذا أصغر upper bound ل E صح؟ طيب إذا
+
+168
+00:18:00,320 --> 00:18:05,980
+ال Y مش ممكن يكون upper bound ل E إذا بقدر ألاقي X
+
+169
+00:18:05,980 --> 00:18:12,160
+في E و هذا ال X أكبر من ال Y هذه المتباينة بتعطيني
+
+170
+00:18:12,160 --> 00:18:12,840
+تناقض
+
+171
+00:18:16,450 --> 00:18:23,870
+تتناقض مع تعريف ال set E كيف X تنتمي ل E كيف ال X
+
+172
+00:18:23,870 --> 00:18:29,510
+تنتمي ل E و في نفس الوجهة X أكبر من عنصر ما اللي
+
+173
+00:18:29,510 --> 00:18:35,010
+هو Y في S يعني ال X هذا ليس lower bound هذا تناقض
+
+174
+00:18:35,010 --> 00:18:40,130
+okay إذا نصل إلى تناقض وبالتالي هذا التناقض بيقول
+
+175
+00:18:40,130 --> 00:18:42,990
+لي أن الفرض الفرض تبعنا هذا
+
+176
+00:18:45,580 --> 00:18:50,800
+إن small s is not lower bound كان فرض خطأ إذا لازم
+
+177
+00:18:50,800 --> 00:19:01,520
+يكون s lower bound وهذا بيكمل برهان ال claim تمام؟
+
+178
+00:19:01,520 --> 00:19:08,040
+في
+
+179
+00:19:08,040 --> 00:19:09,500
+ال section القادم
+
+180
+00:19:12,270 --> 00:19:18,530
+هناخد تطبيقات على الـ supreme property و ال infame
+
+181
+00:19:18,530 --> 00:19:24,410
+property فالتطبيقات
+
+182
+00:19:24,410 --> 00:19:35,230
+هذه هتكون على شكل أمثلة فمثلا
+
+183
+00:19:35,230 --> 00:19:43,410
+أول تطبيقلو أخدت أي subset من R و bounded above و
+
+184
+00:19:43,410 --> 00:19:49,510
+A أي عدد حقيقي فمنعرف A زائد capital S على أنه
+
+185
+00:19:49,510 --> 00:19:54,110
+مجموعة كل العناصر على الصورة A plus X حيث X ينتمي
+
+186
+00:19:54,110 --> 00:20:00,890
+لS الآن ممكن أثبت أن ال supremum للمجموعة هذه هو
+
+187
+00:20:00,890 --> 00:20:04,870
+عبارة عن A زائد ال supremum لS
+
+188
+00:20:07,460 --> 00:20:16,840
+و هذا يعني البرهان مش صعب أيه بسيط وسهل نشوف مع
+
+189
+00:20:16,840 --> 00:20:22,540
+بعض نفرض ان U هو ال suprem ل S ال set S is bounded
+
+190
+00:20:22,540 --> 00:20:28,980
+above، إذن إلها suprem هذا مضمون حسب ال suprem
+
+191
+00:20:28,980 --> 00:20:33,920
+propertyوبالتالي الـ U هذا اللي هو ال supreme هو
+
+192
+00:20:33,920 --> 00:20:38,520
+upper bound ل S إذا U أكبر من أو ساوي كل عناصر ال
+
+193
+00:20:38,520 --> 00:20:45,800
+S إذا لو ضفت A على الطرفين فبطلع A زاد X أصغر من
+
+194
+00:20:45,800 --> 00:20:54,270
+أو ساوي A زاد U لكل X في S وبالتالي العدد هذاعبارة
+
+195
+00:20:54,270 --> 00:20:59,830
+عن upper bound لمن؟ لست a زاد s اللي عرفناها قبل
+
+196
+00:20:59,830 --> 00:21:04,310
+شوية لأن هذا العدد أكبر من أو ساوي كل عناصر الست
+
+197
+00:21:04,310 --> 00:21:08,850
+هذه اللي على الصورة a زاد x لذلك هي اللي أثبتت أن
+
+198
+00:21:08,850 --> 00:21:13,110
+a زاد u is upper bound للست هذه لأن نريد أن نثبت
+
+199
+00:21:13,110 --> 00:21:18,510
+أن a زاد u هو أصغر upper bound للست هذه فبناخد أي
+
+200
+00:21:18,510 --> 00:21:24,550
+upper bound آخر للست a plus sفطبعا ال V Upper
+
+201
+00:21:24,550 --> 00:21:30,410
+Bound للست هي U أكبر من أو ساوي كل عناصرها الان
+
+202
+00:21:30,410 --> 00:21:34,430
+انجل ال A عن ناحية التانية فبصير X أصغر من أو ساوي
+
+203
+00:21:34,430 --> 00:21:40,710
+V minus A لكل X في S طيب
+
+204
+00:21:40,710 --> 00:21:47,410
+الان احنا عندنا ال U هو ال supremum ل S ال U هو ال
+
+205
+00:21:47,410 --> 00:21:52,800
+supremum ل S والان هذا العددهذا عبارة عن upper
+
+206
+00:21:52,800 --> 00:22:00,200
+bound of S لأن U أكبر من أو ساوي كل عناصر الـ S
+
+207
+00:22:00,200 --> 00:22:07,400
+وهذا أصغر upper bound لـ S إذن ال superman بيطلع
+
+208
+00:22:07,400 --> 00:22:13,240
+أصغر من أو ساوي ال upper bound V minus A ل S إذن
+
+209
+00:22:13,240 --> 00:22:16,080
+بيطلع عند U أصغر من أو ساوي
+
+210
+00:22:19,910 --> 00:22:26,350
+إن أنا بطلع عندي U أصغر من أو ساوي V minus A ودي A
+
+211
+00:22:26,350 --> 00:22:30,290
+عن ناحية التانية فبصير A زاد U أصغر من أو ساوي V
+
+212
+00:22:30,290 --> 00:22:35,870
+إذا هين أثبتنا حاجتين أول شيء إنه العدد هذا upper
+
+213
+00:22:35,870 --> 00:22:40,590
+bound للست هذه أخدنا أي upper bound عشوائي للست
+
+214
+00:22:40,590 --> 00:22:47,640
+هذهفطلع العدد a زاد u اصغر من او ساوي اي upper
+
+215
+00:22:47,640 --> 00:22:52,880
+bound لست a زاد s اذا من تعريف ال supremum بطلع ال
+
+216
+00:22:52,880 --> 00:23:00,520
+supremum لست a زاد s exist و بساوي a زاد uأن الـ
+
+217
+00:23:00,520 --> 00:23:05,380
+supremum للست هذي هو a زيد u وبالتالي و هذا بساوي
+
+218
+00:23:05,380 --> 00:23:08,720
+a و ال u هي ال supremum ل S أننا هيك بنكون أثبتنا
+
+219
+00:23:08,720 --> 00:23:15,900
+أن supremum الست a زيد s هو a زاد supremum S،
+
+220
+00:23:15,900 --> 00:23:21,540
+تمام؟ لو كانت الست هذي bounded below فممكن أيضا
+
+221
+00:23:21,540 --> 00:23:26,960
+نثبت أن ال infimum ل a زاد s بساوي a زاد infimum
+
+222
+00:23:26,960 --> 00:23:33,430
+S، تمام؟طبعا في أمثلة أخرى هنا ممكن تقرؤوها و
+
+223
+00:23:33,430 --> 00:23:39,650
+تحضروها و نوقف هنا نكتفي بهذا القدر و بنكمل ان شاء
+
+224
+00:23:39,650 --> 00:23:42,170
+الله يوم السبت المحاضرة القادمة
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/BdWUrxEOLII_raw.srt

@@ -0,0 +1,1276 @@
+1
+00:00:21,430 --> 00:00:27,610
+بسم الله الرحمن الرحيم أول شي بنحب يعني نرحب فيكم
+
+2
+00:00:27,610 --> 00:00:31,770
+بمناسبة
+
+3
+00:00:31,770 --> 00:00:38,690
+بداية العالم الدراسي الجديد و نسأل الله تعالى أنه
+
+4
+00:00:38,690 --> 00:00:46,510
+يكون الفصل هذا فصل يعني متميز و يعني فيه ان شاء
+
+5
+00:00:46,510 --> 00:00:51,860
+الله الخير الكتيرلكم خاصة بعد أجواء الحرب اللى
+
+6
+00:00:51,860 --> 00:00:57,020
+عشناها فى الفترة اللى فاتت وربنا
+
+7
+00:00:57,020 --> 00:01:03,860
+يعني يكلل جهدكم بال .. بالنجاح والتفوق يمكن
+
+8
+00:01:03,860 --> 00:01:09,640
+أول مرة يمكن تشوفونى او يمكن ما درستكم مش قبل هيك
+
+9
+00:01:09,640 --> 00:01:14,260
+فإذا مابتعرفوش مين أنا فأنا الدكتور أيسى اللى
+
+10
+00:01:14,260 --> 00:01:18,840
+هبيلىطبعا كان المفروض ان الدكتور Asad .. Asad هو
+
+11
+00:01:18,840 --> 00:01:23,280
+اللي درسكم ال course هذا لكن حصل في يعني الجداول
+
+12
+00:01:23,280 --> 00:01:26,020
+زي ما انتوا عارفين في .. بيصير فيها تغيرات في آخر
+
+13
+00:01:26,020 --> 00:01:35,060
+لحظة فانا ان شاء الله اللي هدرسكم المادة هذه ف ..
+
+14
+00:01:35,060 --> 00:01:38,380
+يعني ال ..
+
+15
+00:01:41,030 --> 00:01:46,430
+أهم حاجة في المادة هذه و في كل مواد رياضيات أن
+
+16
+00:01:46,430 --> 00:01:55,150
+الطالب يعني يواظب على الحضور يحاول يحضر المحاضرات
+
+17
+00:01:55,150 --> 00:02:02,710
+ي .. يقرأ المحاضرات أول بأول يحاول يشتغل في ال
+
+18
+00:02:02,710 --> 00:02:07,770
+homework برضه أول بأول مايجزلش ال .. الدراسة أو حل
+
+19
+00:02:07,770 --> 00:02:16,610
+المثالوما تتركمش عليه كمان يعني زي أي مادة في
+
+20
+00:02:16,610 --> 00:02:20,150
+رياضيات عشان الواحد يفهمها ويقدر يعني يستوعبها
+
+21
+00:02:20,150 --> 00:02:25,730
+لازم يحاول يحل أكبر عدد ممكن من المسائل أو بنسمي
+
+22
+00:02:25,730 --> 00:02:30,690
+ال homework assignment طبعا احنا هنعطيلكم syllabus
+
+23
+00:02:30,690 --> 00:02:37,010
+زي هذافيه كل البيانات اللازمة اللي هو بنسميه
+
+24
+00:02:37,010 --> 00:02:45,490
+course outline أو ملخص لcourse و syllabus فيه كل
+
+25
+00:02:45,490 --> 00:02:50,130
+المعلومات عن المدرس عن المساقة عن ال textbook عن
+
+26
+00:02:50,130 --> 00:02:54,190
+كتاب المقرر عن المراجع الإضافية اللي ممكن لاستعانى
+
+27
+00:02:54,190 --> 00:03:00,630
+بيها بالإضافة للمرجع الأساسي أيه المادة العلمية
+
+28
+00:03:00,630 --> 00:03:08,940
+اللي هناخدهاو كيف توزيعها على أسابيع أو على ال ..
+
+29
+00:03:08,940 --> 00:03:16,560
+اه ممكن توزيعها على أسابيع توزيع
+
+30
+00:03:16,560 --> 00:03:20,220
+الدرجات ال evaluation policy أو تقييم ال course
+
+31
+00:03:20,220 --> 00:03:27,720
+برضه هذا بيكون موجود عادة في ال syllabusو في
+
+32
+00:03:27,720 --> 00:03:32,320
+النهاية بنضع اللي هو ال homework assignments اللي
+
+33
+00:03:32,320 --> 00:03:36,680
+هو مسائل ال homework اللي المفروض تحلوها من الكتاب
+
+34
+00:03:36,680 --> 00:03:42,340
+ففي نهاية كل section هيكون في عدد من المسائل و هذه
+
+35
+00:03:42,340 --> 00:03:46,200
+المسائل احنا بنختار يعني جزء منها مش كلها على أساس
+
+36
+00:03:46,200 --> 00:03:51,860
+الطالب بيحاول يحلهاالمسائل طبعا يعني الطالبة اللي
+
+37
+00:03:51,860 --> 00:03:57,500
+يعني مستواها متواضع او متوسط المفروض تحاول تحل
+
+38
+00:03:57,500 --> 00:04:01,680
+يعني مش اقل من خمسين الى سبعين في المية من المسائل
+
+39
+00:04:01,680 --> 00:04:05,940
+لوحدها اذا حضرت المحاضرة ودرست المحاضرة كويس
+
+40
+00:04:05,940 --> 00:04:09,640
+المفروض انها يعني يكون عندك مقدرة انها تحل على
+
+41
+00:04:09,640 --> 00:04:13,580
+الاقل بين خمسين الى سبعين في المية اذا ماكانش اكتر
+
+42
+00:04:14,270 --> 00:04:17,750
+ال .. طبعا باقي المسائل الصعبة بيكون في اما بيكون
+
+43
+00:04:17,750 --> 00:04:21,630
+في .. بيكون دايما بنحاول نحلها في او نحل بعضها
+
+44
+00:04:21,630 --> 00:04:28,510
+المسائل الصعبة من خلال مناقشة فبنعمل مناقشة المادة
+
+45
+00:04:28,510 --> 00:04:32,690
+دي فيها اربع ساعات ممكن نخصص تلت ساعات محاضرة و
+
+46
+00:04:32,690 --> 00:04:38,650
+ساعة مناقشة او حسب يعني ال .. تطور ال course لكن
+
+47
+00:04:38,650 --> 00:04:42,660
+في عندنا يعني الساعة من الوقت ممكن ان احنايعني
+
+48
+00:04:42,660 --> 00:04:47,280
+أخصص أنا من وقت لآخر ساعة مناقشة و نتفق عليها يعني
+
+49
+00:04:47,280 --> 00:04:52,760
+قبل ما ناخدها، فعشان هيك الحضور يعني كتير ضروري
+
+50
+00:04:52,760 --> 00:04:54,640
+جدا و ..
+
+51
+00:04:56,630 --> 00:05:00,370
+طبعا بمكانكم منكم أنتوا يعني تستغلوا الساعات
+
+52
+00:05:00,370 --> 00:05:06,330
+المكتبية و أي واحد عنده استفسار، سؤال، أي شيء يعني
+
+53
+00:05:06,330 --> 00:05:12,350
+بتعلق بالمادة ممكن تجيلي على المكتب و تتناقش معاه،
+
+54
+00:05:12,350 --> 00:05:19,010
+تسألني و ممكن أساعدها ممكن برضه تسأل المهدين أو
+
+55
+00:05:19,010 --> 00:05:24,050
+المعيدات، الأخوات اللي هنا عندكم، ماعرفش .. ضايلين
+
+56
+00:05:24,050 --> 00:05:29,530
+مكان هم اللي غيروابرضه كمان هذا يعني وسيلة تانية
+
+57
+00:05:29,530 --> 00:05:33,270
+للمساعدة ممكن تستعينوا بالمراجعة اللي احنا بنكتبها
+
+58
+00:05:33,270 --> 00:05:37,450
+في ال syllabusهذه برضه بتساعدكم ممكن تستعملوا ال
+
+59
+00:05:37,450 --> 00:05:41,910
+internet ممكن تستعملوا المكتبة يعني في وسائل
+
+60
+00:05:41,910 --> 00:05:45,670
+مساعدة كتيرة لكن يعني أهم شيء .. أهم شيء في المادة
+
+61
+00:05:45,670 --> 00:05:51,010
+هذه بتحضروا المحاضرة و تحاولوا تحلوا المسائل و
+
+62
+00:05:51,010 --> 00:05:55,910
+تتناقشوا مع المدرس أكتر .. أكتر واحد بفيدكم مدرس
+
+63
+00:05:55,910 --> 00:06:00,660
+المادةو احنا مش هنبخل عليكم يعني في ان احنا نجاوب
+
+64
+00:06:00,660 --> 00:06:05,520
+على أسئلتكم و الصفصاراتكم سواء .. سواء الأسئلة ده
+
+65
+00:06:05,520 --> 00:06:10,800
+أو الصفصارات كانت بتتعلق بال homework أو بالمادة
+
+66
+00:06:10,800 --> 00:06:17,640
+ال material اللي احنا هناخدها okay تمام؟ عشان شوية
+
+67
+00:06:17,640 --> 00:06:24,860
+هيك احنا يعني حالنا زي حال ال ..ال .. البلد ال ..
+
+68
+00:06:24,860 --> 00:06:27,880
+انتوا عارفين مكاتبنا كلها كانت مبنى الإدارة و
+
+69
+00:06:27,880 --> 00:06:33,980
+بالتالي مكاتبنا يعني في عملية نزوح او نقل من
+
+70
+00:06:33,980 --> 00:06:39,940
+المبنى الإدارة لمبنى جديد فلسه مكاتبنا يعني ما
+
+71
+00:06:39,940 --> 00:06:43,900
+استقرناش ف .. لكن انا بحاول ان شاء الله مرة جاية
+
+72
+00:06:43,900 --> 00:06:49,040
+اجهزلكم ال syllabus تبع ال course و هحطه على
+
+73
+00:06:49,040 --> 00:06:53,990
+الصفحه تبعتيو بالتالي ممكن أنكم تاخدوا نسخة منه ..
+
+74
+00:06:53,990 --> 00:07:01,310
+من الصفحة كذلك بإمكانكم تروحوا على صفحة المدرس في
+
+75
+00:07:01,310 --> 00:07:05,450
+امتحانات أنا بضعها نصفية سابقة و امتحانات نهائية
+
+76
+00:07:05,450 --> 00:07:10,970
+برضه ممكن تلاجوا على صفحة المدرس ممكن لو في حاجات
+
+77
+00:07:10,970 --> 00:07:15,230
+معينة مهمة ممكن ادرس .. ا .. انزلها على الصفحة و
+
+78
+00:07:15,230 --> 00:07:19,190
+بعدين انتوا يعني تعملولها copy و paste و إش زي ذلك
+
+79
+00:07:20,970 --> 00:07:26,830
+إذا عشان احنا يعني ما نضيعش الوجد كتير خليني بس
+
+80
+00:07:26,830 --> 00:07:34,410
+أكتبلكم ال .. ال .. ال .. موقع الصفحة تبعتي عشان
+
+81
+00:07:34,410 --> 00:07:38,750
+إذا حد يعني .. و هترب ممكن برضه تخشوا على كلية
+
+82
+00:07:38,750 --> 00:07:43,080
+العلوم خاصة الرياضيات و المدرسين و تطلع الصفحةأو
+
+83
+00:07:43,080 --> 00:07:55,920
+إذا كان ممكن تستخدمه بالرابط اللي هو http://www
+
+84
+00:07:55,920 --> 00:08:00,440
+.iogaza
+
+85
+00:08:00,440 --> 00:08:04,800
+.edu
+
+86
+00:08:04,800 --> 00:08:09,400
+.ps
+
+87
+00:08:14,490 --> 00:08:20,790
+backslash employee habil
+
+88
+00:08:20,790 --> 00:08:26,830
+الكتاب
+
+89
+00:08:26,830 --> 00:08:35,790
+المقرر اللي هو introduction text الكتاب المقرر هو
+
+90
+00:08:35,790 --> 00:08:38,590
+عبارة عن introduction
+
+91
+00:08:43,370 --> 00:08:54,990
+introduction to real analysis by
+
+92
+00:08:54,990 --> 00:09:01,770
+bartel sherbert
+
+93
+00:09:01,770 --> 00:09:08,830
+or bartel and
+
+94
+00:09:08,830 --> 00:09:09,590
+sherbert
+
+95
+00:09:13,410 --> 00:09:22,990
+وهذا الطبع التالتة third edition اذا
+
+96
+00:09:22,990 --> 00:09:27,270
+هذا الكتاب المخرر اللي احنا هنعتمد عليه طبعا هذا
+
+97
+00:09:27,270 --> 00:09:30,670
+الكتاب موجود في مكتبة الطالب او الطالبة ويمكنكم
+
+98
+00:09:30,670 --> 00:09:32,610
+يعني تشتروا
+
+99
+00:09:34,470 --> 00:09:39,090
+Okay إذا يعني هذه معظم الشغلات، احنا ال .. بالنسبة
+
+100
+00:09:39,090 --> 00:09:44,970
+لل .. لل course يعني ممكن احنا حسب ما ال .. الكلية
+
+101
+00:09:44,970 --> 00:09:48,690
+شوية غيرت سياستها، كنا في الأول نعطي امتحانين
+
+102
+00:09:48,690 --> 00:09:53,950
+نصفيين و امتحان نهائيلكن إذا الكلية غيرت و رجعت
+
+103
+00:09:53,950 --> 00:09:59,450
+لامتحان نصف واحد و نهائي فهنحكيلكم
+
+104
+00:09:59,450 --> 00:10:04,270
+المرة الجاية يعني انحدد بالظبط بعدين الدكتور عشان
+
+105
+00:10:04,270 --> 00:10:07,350
+أسعد أنا وياه و ببدرس الطلاب و أنا بدرسكم فعشان
+
+106
+00:10:07,350 --> 00:10:11,990
+نعمل امتحانات موحدة فلازم السياسة تكون موحدة فيعني
+
+107
+00:10:11,990 --> 00:10:16,390
+يوم المحاضرة الجاية نتفق على قليل يعني عدد
+
+108
+00:10:16,390 --> 00:10:20,610
+الامتحانات و توزيها الدرجات هنتفق عليه ان شاء الله
+
+109
+00:10:20,610 --> 00:10:26,270
+المرة الجايةأنا يعني عامل زي ما أنتوا شايفين ملخص
+
+110
+00:10:26,270 --> 00:10:29,890
+يعني طبعا هذا الملخص لا يغني عن الكتاب المقرر يعني
+
+111
+00:10:29,890 --> 00:10:34,510
+المفروض الطالب ي .. أو الطالبة يعني .. يعني تفلي
+
+112
+00:10:34,510 --> 00:10:38,210
+الكتاب المقرر أو يعني تدرس من الكتاب المقرر أو
+
+113
+00:10:38,210 --> 00:10:43,870
+تشوفهلكن انا بحاول يعني الكتاب المقرر بحاول يعني
+
+114
+00:10:43,870 --> 00:10:49,770
+انا اخد الصفوة تبعته و احاول ألخص يعني ال material
+
+115
+00:10:49,770 --> 00:10:53,690
+بالطريقة و بالاسلوب تبعي انا .. انا اللي بقرا ..
+
+116
+00:10:53,690 --> 00:10:58,550
+بقرا مناسب فبرضه لو اعتمدتوا على الملخص هذا او
+
+117
+00:10:58,550 --> 00:11:02,130
+حليته المسائل برضه هذا شئ يعني كتير كويس وطيب جدا
+
+118
+00:11:04,800 --> 00:11:11,100
+أنا هحاول أن أشوف هل يعني عن طريق العرض زي هيك،
+
+119
+00:11:11,100 --> 00:11:15,880
+هشتغلكم كل شيء، إذا في أي شيء مش واضح أو مش
+
+120
+00:11:15,880 --> 00:11:21,640
+فاهمينه ممكن نحاول نكتب و نوضحه بالكتابة، لكن أنا
+
+121
+00:11:21,640 --> 00:11:28,280
+مش ه .. مش ه .. مش ه .. يعني مش هعديعن نقطة من
+
+122
+00:11:28,280 --> 00:11:31,880
+نقطة لنقطة تانية إلا إذا كانت أقل من انتوا
+
+123
+00:11:31,880 --> 00:11:37,440
+فاهمينها المادة هذه يعني حساسة وفيها عمق رياضي
+
+124
+00:11:37,440 --> 00:11:43,200
+ومادة كتير مهمة ماعناش نقول صعبة مش صعبة لكن بدها
+
+125
+00:11:43,200 --> 00:11:48,500
+يعني تركيز وبدها اهتمام وبدها جهود فحنحاول ان
+
+126
+00:11:48,500 --> 00:11:50,840
+ساعدكم ان شاء الله تفهموها بقدر الممكن
+
+127
+00:11:53,810 --> 00:11:58,050
+انا بحب دائما اعطي يعني material او اعطي محاضرة من
+
+128
+00:11:58,050 --> 00:12:03,170
+اول يوم فهنبدأ نشرح و بعدين المحاضرة جاية بنحكي
+
+129
+00:12:03,170 --> 00:12:06,730
+شوية عن ال evaluation و عن الامتحانات و العلامات
+
+130
+00:12:06,730 --> 00:12:12,630
+ماشي الحال فيمكن انتوا مش مستعدين لكن انا مستعد ان
+
+131
+00:12:12,630 --> 00:12:19,570
+انا يعني ناخد شوية ولو انه وجدت كتير يعني نراها لأ
+
+132
+00:12:19,570 --> 00:12:24,620
+في معانا وجدت ان احنا ناخد شويةOkay فيعني هذا يعني
+
+133
+00:12:24,620 --> 00:12:31,880
+مش يعني سيء ومش غلط فهنبدأ
+
+134
+00:12:31,880 --> 00:12:39,120
+.. احنا هناخد أربع شباتر في المادة هذه لكن الشباتر
+
+135
+00:12:39,120 --> 00:12:45,080
+مش متساوية الشبتر الأول بتحدث عن ال real number
+
+136
+00:12:45,080 --> 00:12:50,570
+system أو نظام الأعداد الحقيقيةوهذا أساس حاجات
+
+137
+00:12:50,570 --> 00:12:58,390
+كتيرة في رياضيات فأول شيء بنا ان نتحدث
+
+138
+00:12:58,390 --> 00:13:01,450
+في أول band في ال chapter هذا أو في أول section
+
+139
+00:13:01,450 --> 00:13:05,890
+بنا نتحدث عن ال algebraic properties of R أو
+
+140
+00:13:05,890 --> 00:13:12,070
+الصفات الجابرية لنظام الأعداد الحقيقية فما هو نظام
+
+141
+00:13:12,070 --> 00:13:19,180
+الأعداد الحقيقية؟نرمزه بالرمز هذا real number
+
+142
+00:13:19,180 --> 00:13:22,940
+system أو نظام الأعداد الحقيقية نرمزه بالرمز bold
+
+143
+00:13:22,940 --> 00:13:30,440
+في SR اللي هو الرمز هذا هذا يرمز لمجموعة الأعداد
+
+144
+00:13:30,440 --> 00:13:34,160
+الحقيقية الآن هذه مجموعة الأعداد الحقيقية بنعرف
+
+145
+00:13:34,160 --> 00:13:38,380
+عليها عمليتين جبريتين two algebraic operations
+
+146
+00:13:39,430 --> 00:13:43,270
+عملية جمع يعني باخد عددين حقيقيين زوج مرتب من
+
+147
+00:13:43,270 --> 00:13:47,530
+العداد الحقيقية و بعرف عملية الجمع على .. على
+
+148
+00:13:47,530 --> 00:13:53,050
+الزوج هذا فعملية الجمع بتجمعهم بعرف عملية تانية
+
+149
+00:13:53,050 --> 00:13:57,570
+binary operation جديدة باخد عددين حقيقيين او زوج
+
+150
+00:13:57,570 --> 00:14:01,910
+مرتب من العداد الحقيقية و بحاول اعرف عليهم عملية
+
+151
+00:14:01,910 --> 00:14:07,630
+جديدة عملية ضرب او multiplicationفهذا يعتبر
+
+152
+00:14:07,630 --> 00:14:10,830
+function هذا وهذا يعتبر function من الـ Cartesian
+
+153
+00:14:10,830 --> 00:14:15,490
+product الـ R مع نفسها إلى R فهدول بنسميهم binary
+
+154
+00:14:15,490 --> 00:14:20,210
+operations الان نظام العداد الحقيقية هو مجموعة
+
+155
+00:14:20,210 --> 00:14:24,190
+العداد الحقيقية R boldface R هذه الـ R الكبيرة
+
+156
+00:14:24,190 --> 00:14:30,370
+المغمخة مع العمليتين الجبرياتين هدول الان العمليات
+
+157
+00:14:30,370 --> 00:14:34,510
+هذه لازم تحقق خمس قواص
+
+158
+00:14:37,700 --> 00:14:43,380
+فالخواص هذه الخمسة أول خاصية فيهم هي ال
+
+159
+00:14:43,380 --> 00:14:47,200
+commutative laws قوانين الإبدال يعني عملية الجامعة
+
+160
+00:14:47,200 --> 00:14:51,580
+اللي اتحدثنا عنها قبل شوية هي عملية إبدالية بقدر
+
+161
+00:14:51,580 --> 00:14:57,180
+أبدل العناد الحقيقية في الجامعة كذلك عملية الضرب
+
+162
+00:14:58,760 --> 00:15:04,100
+برضه عملية إبدالية competitive فإذا عملية عمليات
+
+163
+00:15:04,100 --> 00:15:09,640
+الجامعة والضرب هي عمليات إبدالية كذلك العمليات
+
+164
+00:15:09,640 --> 00:15:15,960
+الجامعة والضرب عمليات ال associative laws قوانين
+
+165
+00:15:15,960 --> 00:15:21,460
+الدمج يعني الأقواص عملية الجامعة عملية دمج
+
+166
+00:15:21,460 --> 00:15:26,710
+associativeيعني بقدر لما أجمع X و Y و Z تلت أعداد
+
+167
+00:15:26,710 --> 00:15:31,410
+حقيقية بقدر أحط القواس حوالين هنا أو ممكن أحطهم
+
+168
+00:15:31,410 --> 00:15:35,870
+هنا سيا مابتفرجش هاي عملية الدمج أو ال associative
+
+169
+00:15:35,870 --> 00:15:44,050
+law نفس الحاجة نفس الشيء عملية الضرب عملية دمج
+
+170
+00:15:44,050 --> 00:15:45,170
+associative
+
+171
+00:15:48,760 --> 00:15:53,220
+الخاصية التالتة الـ distributive laws أو قوانين
+
+172
+00:15:53,220 --> 00:16:02,130
+التوزيع عملية الضرب تتوزع على عملية الجامعةهذه X
+
+173
+00:16:02,130 --> 00:16:09,170
+لما أضربها في مجموعة Y و Z فبوزع الضرب X على Y و
+
+174
+00:16:09,170 --> 00:16:15,470
+بوزع X على Z نفس الشيء برضه في قانون توزيع لما
+
+175
+00:16:15,470 --> 00:16:20,330
+أضرب من اليسار برضه بوزع الضرب على المجموعة من
+
+176
+00:16:20,330 --> 00:16:23,590
+اليسار إذا أنا دول القانونين بسميهم distributive
+
+177
+00:16:23,590 --> 00:16:27,830
+laws أو قوانين التوزيع عملية الضرب توزيعية على
+
+178
+00:16:27,830 --> 00:16:32,830
+عملية الج��عفيه برضه خاصية رابعة ال identity
+
+179
+00:16:32,830 --> 00:16:39,310
+elements وجود العناصر المحايدة ففي الأعداد
+
+180
+00:16:39,310 --> 00:16:40,110
+الحقيقية
+
+181
+00:16:42,360 --> 00:16:47,040
+في عددين او عنصرين واحد نرمزله بالـ 0 و واحد
+
+182
+00:16:47,040 --> 00:16:51,760
+نرمزله بالرمز 1 و طبعا هدول عنصرين مختلفين غير
+
+183
+00:16:51,760 --> 00:16:58,660
+متساوين اذا هنا نفترض ان في يوجد عنصرين متميزين في
+
+184
+00:16:58,660 --> 00:17:05,280
+R في مجموعة الاعداد الحقيقية بحيث ان الانصر السفر
+
+185
+00:17:05,280 --> 00:17:10,340
+هذا المتميز لما اجمعه على اي عدد حقيقي X بيعطيه X
+
+186
+00:17:12,550 --> 00:17:16,290
+فهذا بنسميه الانصار صفر هذا بنسميه ال additive
+
+187
+00:17:16,290 --> 00:17:25,750
+identity أو المحايد الجامعيكذلك واحد ضرب X لو ضربت
+
+188
+00:17:25,750 --> 00:17:30,370
+هذا العنصر المتميز في أي عدد حقيقي X هيطلع عندي
+
+189
+00:17:30,370 --> 00:17:35,290
+الناتج X نفس العنصر هذا صحيح لكل عداد الحقيقية اذا
+
+190
+00:17:35,290 --> 00:17:39,470
+هنا بنسمي الواحد multiplicative identity او
+
+191
+00:17:39,470 --> 00:17:45,070
+المحايد الضربي okay اذا هي اربع خواص في كمان خاصية
+
+192
+00:17:45,070 --> 00:17:46,890
+خامسة
+
+193
+00:17:52,510 --> 00:17:59,710
+اللي هي وجود العناصر أو
+
+194
+00:17:59,710 --> 00:18:04,590
+ال inverse .. وجود ال inverse elements أو اللي هو
+
+195
+00:18:04,590 --> 00:18:12,220
+بيسموها النظارة أو العناصر المعاكسةفلأي عدد حقيقي
+
+196
+00:18:12,220 --> 00:18:17,620
+X يوجد
+
+197
+00:18:17,620 --> 00:18:25,860
+أنصر وحيد سالب X ينتمي ل R بحيث لو جمعت X مع سالبه
+
+198
+00:18:25,860 --> 00:18:32,040
+بيطلع المحايد يجمع 0في الحالة هذه بنسمي negative x
+
+199
+00:18:32,040 --> 00:18:37,680
+هذا العنصر negative x بنسميه ال additive inverse ل
+
+200
+00:18:37,680 --> 00:18:45,900
+x ال additive inverse النظير الجمعي ل x كذلك
+
+201
+00:18:45,900 --> 00:18:53,400
+في حالة الضرب في حالة الضرب مش كل عنصر له نظير
+
+202
+00:18:53,400 --> 00:18:57,320
+ضربي عشان x يكون له نظير ضربي لازم يكون مختلف عن
+
+203
+00:18:57,320 --> 00:19:03,630
+السفريعني السفر مستفن السفر إذا كان X غير لا مختلف
+
+204
+00:19:03,630 --> 00:19:08,390
+عن السفر ففي عنصر واحد there exist unique element
+
+205
+00:19:08,390 --> 00:19:13,390
+نرمزه بالرمز X to negative one ينتمي لR بحيث لو
+
+206
+00:19:13,390 --> 00:19:18,530
+ضربت ال X هذا مع العنصر هذا بيطلع عندي المظير
+
+207
+00:19:18,530 --> 00:19:23,450
+الضربي او multiplicative identity
+
+208
+00:19:26,280 --> 00:19:33,100
+العنصر هذا بنسميه النظير الضربي أو multiplicative
+
+209
+00:19:33,100 --> 00:19:33,800
+inverse
+
+210
+00:19:36,420 --> 00:19:41,260
+إذا ما هو ال real number system هو عبارة عن مجموعة
+
+211
+00:19:41,260 --> 00:19:46,260
+الأعداد الحقيقية هذه امعرف عليها two binary
+
+212
+00:19:46,260 --> 00:19:50,880
+operations عمليتين جبريتين واحدة بنسميها الجامعة
+
+213
+00:19:50,880 --> 00:19:55,400
+واحدة بنسميها الضرب والعمليتين هدول بيحققوا خمس
+
+214
+00:19:55,400 --> 00:20:00,660
+خواص مهمة اللي هي الخمس خواص اللي سردناها قبل شويه
+
+215
+00:20:02,340 --> 00:20:07,060
+Okay تمام هذا هو نظام الأعداد الحقيقية احنا الآن
+
+216
+00:20:07,060 --> 00:20:16,660
+بدنا ندرس خواص الأعداد الحقيقية هذه فأول
+
+217
+00:20:16,660 --> 00:20:22,320
+خاصية وهذه الخواص كلها خواص طبيعية ومعروفة وانتوا
+
+218
+00:20:22,320 --> 00:20:26,340
+عارفينها قبل هيك بس ماحدش كان بيعطيلها أسماءها
+
+219
+00:20:26,340 --> 00:20:30,660
+الآن بدنا نسمي الأشياءبنعطي الأشياء أسماء أو
+
+220
+00:20:30,660 --> 00:20:38,100
+مسميات فأول نظرية في ال section هذا بتعطيني
+
+221
+00:20:38,100 --> 00:20:43,340
+cancellation laws او قوانين الحذف قوانين الحذف ايه
+
+222
+00:20:43,340 --> 00:20:46,580
+يعني قوانين الحذف النظرية هذه بتقول لو كان في عندي
+
+223
+00:20:46,580 --> 00:20:51,880
+x و y و z و w أعداد حقيقية و w مختلف عن الصفر
+
+224
+00:20:51,880 --> 00:20:55,320
+فالنتائج
+
+225
+00:20:55,320 --> 00:21:03,040
+التالية بتكون صحيحةلو كان x زائد z بساوي y plus z
+
+226
+00:21:03,040 --> 00:21:11,540
+فبقدر أنا أجيب الجلم و أشطب ال z مع ال z و أقول
+
+227
+00:21:11,540 --> 00:21:15,220
+أستنتج أن x لازم تطلع بالساوي y إذا أنا إيش عملت
+
+228
+00:21:15,220 --> 00:21:20,020
+حدفت فهذا cancellation أحد ال cancellation الوزر
+
+229
+00:21:20,020 --> 00:21:24,730
+أحد قوانين الحدفةالخانون التاني بيقول لو كان عندي
+
+230
+00:21:24,730 --> 00:21:31,150
+X ضرب W بساوي Y ضرب W فممكن و طبعا لازم W مايسويش
+
+231
+00:21:31,150 --> 00:21:37,070
+0 عشان القسم على 0 غير معرفة فبقدر انا اجسم ع W او
+
+232
+00:21:37,070 --> 00:21:43,350
+اشطب W او cancelling W و اقول انه لو كان هذا صحيح
+
+233
+00:21:43,350 --> 00:21:48,890
+فاكيد لازم يطلع X بساوي Y بشرط ان W مايسويش 0 اما
+
+234
+00:21:48,890 --> 00:21:55,290
+لو W بساوي 0 فهذا الكلامnonsense يعني هراء ليس له
+
+235
+00:21:55,290 --> 00:22:02,610
+أساس رياضي طيب هذه القوانين بدنا نثبتها شو عرفناها
+
+236
+00:22:02,610 --> 00:22:08,990
+صح فبدأ استخدم الآن تعريف نظام الأعداد الحقيقية
+
+237
+00:22:08,990 --> 00:22:15,810
+انه عبارة عن مجموعة R وعمليتين جبريتين بحقق خمس
+
+238
+00:22:15,810 --> 00:22:22,060
+قواصمن خلال الخمس خواصة دول بدي أسهل أحاول أثبت
+
+239
+00:22:22,060 --> 00:22:25,760
+صحة القوانين هذه اللي هي cancellation laws أنا
+
+240
+00:22:25,760 --> 00:22:29,260
+أختارتلكم أثبت التاني لأنه الأول أسهل دايما
+
+241
+00:22:29,260 --> 00:22:35,710
+التعامل مع الجامعة أسهل من الضربفنشوف برهان الجزء
+
+242
+00:22:35,710 --> 00:22:39,090
+التاني و طبعا برهان الجزء الأول هيكون بالمثل مماثل
+
+243
+00:22:39,090 --> 00:22:43,110
+فاحنا في رياضيات ما نحبش اتقرار و الحكي كتير لما
+
+244
+00:22:43,110 --> 00:22:47,570
+يكون في حاجة مماثلة فنقول ممكن برهانها بالمثل و
+
+245
+00:22:47,570 --> 00:22:52,950
+بنسيب الطالب يتدرب عليها او يعني يحاول يتمرن عليها
+
+246
+00:22:52,950 --> 00:22:57,970
+او يثبتها بنفسه لأنها هتكون مماثلة و نفس الفكرة و
+
+247
+00:22:57,970 --> 00:23:00,210
+في الرياضيات انت عارفين افكار اذا احنا عارفنا
+
+248
+00:23:00,210 --> 00:23:07,380
+الأفكار يعني ملكنا الحلOkay نشوف برهان الجزء
+
+249
+00:23:07,380 --> 00:23:11,640
+التاني انا بدي اثبت ايش ال .. ايش الفرض انتوا كلكم
+
+250
+00:23:11,640 --> 00:23:15,720
+درستوا مبادئ رياضيات هذا conditional statement هي
+
+251
+00:23:15,720 --> 00:23:20,860
+المقدم وهي التالي هي الفرض وهي النتيجة فبنفرض انه
+
+252
+00:23:20,860 --> 00:23:25,860
+الفرض هذا صحيح يعني هذا صح الان بنثبت النتيجة نعمل
+
+253
+00:23:25,860 --> 00:23:30,880
+direct proof برهان مباشر صح؟ يعني بدي اثبت النتيجة
+
+254
+00:23:30,880 --> 00:23:35,560
+فهي النتيجة بدي اثبت X بساوي Y هي ال Xالان ال X
+
+255
+00:23:35,560 --> 00:23:39,840
+هذه من الخواص الخمسة ممكن ابدل X بواحد في X لان
+
+256
+00:23:39,840 --> 00:23:45,620
+واحد في X عبارة عن X الان هذا عملية الضرب
+
+257
+00:23:45,620 --> 00:23:51,060
+commutative ابدالية فممكن ابدل الان هذا الواحد
+
+258
+00:23:51,060 --> 00:24:00,470
+هبدله W ضرب W انفرس وهذا صحيحطيب الان انا في عند
+
+259
+00:24:00,470 --> 00:24:04,490
+عملية ضرب عملية associative فبحاول ان انا ايه
+
+260
+00:24:04,490 --> 00:24:11,230
+استخدم ال associative law هين استخدمته الان xw من
+
+261
+00:24:11,230 --> 00:24:15,550
+المعطيات انا عندي x ضرب w بساوي y ضرب w اذا انا
+
+262
+00:24:15,550 --> 00:24:23,640
+هشيل xw و اضع مكانها ywوبالتالي صار عندي الكلام
+
+263
+00:24:23,640 --> 00:24:28,360
+هذا لان بستخدم ال associative law تغير ترتيب
+
+264
+00:24:28,360 --> 00:24:33,180
+الأقواص وهذا برجعه بساوي واحد و بستخدم ال
+
+265
+00:24:33,180 --> 00:24:37,240
+commutative law فبطلع عندي في النهاية Y إذن هين
+
+266
+00:24:37,240 --> 00:24:45,200
+أثبتت إن X بساوي Y و هنا في البرهان استخد��ت بعض
+
+267
+00:24:45,200 --> 00:24:49,170
+الخواص الخمسة تبقىالـ real number system أو نظام
+
+268
+00:24:49,170 --> 00:24:54,350
+الأعداد الحقيقية بظبط زاد ال logic المنطق أو
+
+269
+00:24:54,350 --> 00:24:59,010
+أساسيات الرياضيات إذا هذا هو إيه البرهان برهان
+
+270
+00:24:59,010 --> 00:25:03,050
+الجزء الأول مماثل فهي اللي كتبلكم exercise يعني
+
+271
+00:25:03,050 --> 00:25:07,290
+اتمرنوا عليه اتمرنوا عليه يعني حاولوا تكتبوه بنفس
+
+272
+00:25:07,290 --> 00:25:12,250
+الطريقة تمام واضح البرهان واضح في أي سؤال
+
+273
+00:25:14,950 --> 00:25:19,530
+Okay تمام طيب نشوف كمان نظرية تانية نظريات لسه
+
+274
+00:25:19,530 --> 00:25:25,270
+حاجات بسيطة نشوف النص تبع النظرية انا عندي ضايل
+
+275
+00:25:25,270 --> 00:25:30,910
+دقيقتين ممكن احنا تبعين رياضيات يعني بنحب نستغل
+
+276
+00:25:30,910 --> 00:25:38,470
+وجتنا كتير وكل دقيقة انا اه هذه نظرية طويلة طيب مش
+
+277
+00:25:38,470 --> 00:25:43,530
+مشلا بس هنحاول نشوف النص تبعها و بعدين المرة
+
+278
+00:25:43,530 --> 00:25:49,920
+الجاية بنبرهنهاهذه النظرية فيها عشر أجزاء النظرية
+
+279
+00:25:49,920 --> 00:25:55,180
+هذه بتقول إذا أخدت أي أربع عداد حقيقية XYZW وإذا
+
+280
+00:25:55,180 --> 00:26:00,960
+كان ال Z و ال W مختلفين عن السفر فالخواص
+
+281
+00:26:00,960 --> 00:26:06,650
+التالية كلها صحيحةو هي اول خاصية لو ضربت اي عدد
+
+282
+00:26:06,650 --> 00:26:10,030
+حقيقي في سفر المفروض يطلع لعدد السفر ال additive
+
+283
+00:26:10,030 --> 00:26:16,050
+ال additive identity الان هذا ال additive inverse
+
+284
+00:26:16,050 --> 00:26:21,510
+ل X لما اخد ال additive inverse ل X مرتين كأن ايه
+
+285
+00:26:21,510 --> 00:26:25,390
+ارجعت ل X زي المصفوفة خد ال inverse ل المصفوفة
+
+286
+00:26:25,390 --> 00:26:30,980
+مرتين تطلع المصفوفة نفسها شبيها فيها صحيح؟طيب برضه
+
+287
+00:26:30,980 --> 00:26:35,360
+نفس الحاجة لما أخد ال multiplicative inverse مرتين
+
+288
+00:26:35,360 --> 00:26:39,940
+هذا بيساوي العنصر نفسه هذا صحيح طبعا هنا بشرط w
+
+289
+00:26:39,940 --> 00:26:45,080
+مايساويش سفر في الضرب دايما بنكون .. حاول نكون
+
+290
+00:26:45,080 --> 00:26:48,440
+careful حريصين أنه إيه الحاجة اللي بدنا نجيبلها
+
+291
+00:26:48,440 --> 00:26:52,910
+multiplicative inverse ماتكونش بتساوي سفرلو ضربت
+
+292
+00:26:52,910 --> 00:26:56,430
+العدد سالب واحد هذا real number في X كأن ضربت X في
+
+293
+00:26:56,430 --> 00:27:02,790
+سالب فهذا نفس الشيء لو ضربت X في سالب Y نفس الشيء
+
+294
+00:27:02,790 --> 00:27:07,030
+كما لو أني ضربت X في Y وضربت الكل في سالب واحد أو
+
+295
+00:27:07,030 --> 00:27:12,850
+هيك كل هذا صح لو أخدت negative X و جمعتها على
+
+296
+00:27:12,850 --> 00:27:18,470
+negative Y كأن أخدت X زاد Y وضربت في سالب هذا كله
+
+297
+00:27:18,470 --> 00:27:23,680
+صحطيب لو ضربت negative x في negative y كأنني ضربت
+
+298
+00:27:23,680 --> 00:27:31,880
+x في y هذا برضه صحيح لو جسمت x على z و y على w و
+
+299
+00:27:31,880 --> 00:27:42,120
+جمعتهم فهيطلع عندى ال .. من واحد المقامات و
+
+300
+00:27:42,120 --> 00:27:47,350
+العملية الجبرية هذه المعروفةأخيرا الخاصية الأخيرة
+
+301
+00:27:47,350 --> 00:27:51,990
+هذه لو أنا فيها عندي عددين حقيقيين كان حصل ضربهم
+
+302
+00:27:51,990 --> 00:27:58,090
+بساوي سفر فلازم واحد على أقل منهم بساوي سفر فاما x
+
+303
+00:27:58,090 --> 00:28:02,830
+بساوي سفر او y بساوي سفر وهذه ممكن مرت معاكم في
+
+304
+00:28:02,830 --> 00:28:08,430
+المبادئ عفوا هذا أكيد مرت معاكم في المبادئ كمثال
+
+305
+00:28:08,430 --> 00:28:15,100
+على indirect proofعلى برهان غير مباشر حاولوا انكم
+
+306
+00:28:15,100 --> 00:28:21,660
+انتوا تفكروا في براهين الحاجات هذه و المرة الجاية
+
+307
+00:28:21,660 --> 00:28:28,520
+ان شاء الله نحاول نبرهن بعض الأجزاء okay تمام ال
+
+308
+00:28:28,520 --> 00:28:34,310
+.. ال material هذه هحطها على الصفحه تبعتيو ممكنكم
+
+309
+00:28:34,310 --> 00:28:39,670
+أنك�� تنسخوها و تاخدوها و تشوفوها فبالتالي مافيش
+
+310
+00:28:39,670 --> 00:28:44,670
+داعي أنكم تكتبوا لإن ممكن تنسخوها و تحطوها على ال
+
+311
+00:28:44,670 --> 00:28:49,250
+laptop تبعكم أو على ال computer okay تمام هنوقف
+
+312
+00:28:49,250 --> 00:28:53,090
+هنا و ان شاء الله المرة الجاية بنكمل و بنجيبلكم
+
+313
+00:28:53,090 --> 00:28:56,710
+معلومات جديدة عن توزيع الدرجات و الامتحانات فى حد
+
+314
+00:28:56,710 --> 00:28:58,090
+عنده اي سؤال او استفسار
+
+315
+00:29:03,220 --> 00:29:06,820
+اه من .. منحطلكم يعني اه منحطلكم يعني ان شاء الله
+
+316
+00:29:06,820 --> 00:29:12,660
+يعني كام كبير ليه يعني يكون يكفيكي من هالشهر okay
+
+317
+00:29:12,660 --> 00:29:16,980
+تمام؟ في اي سؤال تاني؟ okay شكرا لكم و ان شاء الله
+
+318
+00:29:16,980 --> 00:29:22,500
+نشوفكم المرة الجاية و نلتقي يوم الأتنين ان شاء
+
+319
+00:29:22,500 --> 00:29:22,600
+الله
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/CINg1xNQafM.srt

@@ -0,0 +1,1727 @@
+1
+00:00:21,320 --> 00:00:25,400
+هنبدأ إن شاء الله اليوم chapter جديد وهو ال
+
+2
+00:00:25,400 --> 00:00:30,060
+chapter الثاني عنوان الـ chapter sequences and 
+
+3
+00:00:30,060 --> 00:00:35,960
+series المتتاليات والمتسلسلات طبعًا الموضوع هذا
+
+4
+00:00:35,960 --> 00:00:43,220
+مرّ معكم في تفاضل ألف .. تفاضل باء عفوا ودرسنا 
+
+5
+00:00:43,220 --> 00:00:46,860
+خواص الـ sequences بطريقة مختصرة والـ series
+
+6
+00:00:46,860 --> 00:00:53,710
+توسعنا فيها، المرة هذه سنتوسع في الـ sequences و
+
+7
+00:00:53,710 --> 00:00:58,750
+سنختصر في الـ series العكس يعني وسنتناول دراسة كل
+
+8
+00:00:58,750 --> 00:01:06,130
+منهم بطريقة تحليلية وطريقة موضعية أكثر يعني من 
+
+9
+00:01:06,130 --> 00:01:07,270
+وجهة نظر رياضية
+
+10
+00:01:10,330 --> 00:01:13,590
+فأول section في هذا الـ chapter سيكون عنوانه 
+
+11
+00:01:13,590 --> 00:01:17,610
+sequences and their limits المتتاليات ونهاياتهم
+
+12
+00:01:22,470 --> 00:01:28,630
+فنشوف تعريف الـ sequence الـ sequence in X ما معنى
+
+13
+00:01:28,630 --> 00:01:33,110
+sequence in X، X مجموعة، أي مجموعة ممكن طبعًا هناخد
+
+14
+00:01:33,110 --> 00:01:37,470
+هنا X مجموعة الأعداد الحقيقية، هذه المجموعة التي
+
+15
+00:01:37,470 --> 00:01:42,450
+نحن نهتم فيها في الـ course هذا فـ sequence in X
+
+16
+00:01:42,450 --> 00:01:47,410
+يعني الـ sequence عناصرها تنتمي للمجموعة X، فلو أخذت
+
+17
+00:01:47,410 --> 00:01:52,610
+أي مجموعة x فعشان أعرف sequence عناصرها في x فما
+
+18
+00:01:52,610 --> 00:01:55,470
+هي الـ sequence في المجموعة x؟ هي عبارة مجرد
+
+19
+00:01:55,470 --> 00:02:00,970
+function دالة المجال تبعها الأعداد الطبيعية أو أي 
+
+20
+00:02:00,970 --> 00:02:04,970
+مجموعة جزئية منها، والمجال المقابل تبعها هي 
+
+21
+00:02:04,970 --> 00:02:09,820
+المجموعة x التي الـ sequence تنتمي إليها، وفي الحالة
+
+22
+00:02:09,820 --> 00:02:13,360
+هذه إذا الـ sequence هي function دالة بس دالة من 
+
+23
+00:02:13,360 --> 00:02:19,320
+نوع خاص مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية، وعادة نحن 
+
+24
+00:02:19,320 --> 00:02:23,320
+نهتم بالـ sequences of real numbers أو المتتاليات
+
+25
+00:02:23,320 --> 00:02:27,280
+التي عناصرها أعداد حقيقية، وبالتالي X هذه ستكون
+
+26
+00:02:27,280 --> 00:02:31,460
+التي هو مجموعة الأعداد الحقيقية، طيب هذه الـ
+
+27
+00:02:31,460 --> 00:02:35,410
+sequence function مجالها العداد الطبيعي وبالتالي
+
+28
+00:02:35,410 --> 00:02:40,350
+ممكن نعرفها F هي عند أي عدد طبيعي N هي عبارة عن XN
+
+29
+00:02:40,350 --> 00:02:47,030
+XN طبعًا هذا ينتمي للمجموعة X وبالتالي الـ .. الـ ..
+
+30
+00:02:47,030 --> 00:02:52,910
+الـ sequence FN هذه نحن نحاول نعرفها بدلالة الـ 
+
+31
+00:02:52,910 --> 00:02:56,720
+range تبعها، يعني بدل ما أقول الـ sequence هي
+
+32
+00:02:56,720 --> 00:03:01,800
+function جرت العادة أن نحن نحذف رمز الـ function
+
+33
+00:03:01,800 --> 00:03:05,980
+ونستبدله بالـ range تبع الـ function الذي هو y الـ
+
+34
+00:03:05,980 --> 00:03:09,960
+range تبع الـ function كل الـ xn حيث n عدد طبيعي
+
+35
+00:03:09,960 --> 00:03:13,980
+يبدأ من واحد من ثم إلى نهاية، إذا الـ sequence 
+
+36
+00:03:13,980 --> 00:03:18,600
+بدل ما نكتبها على صورة function سنكتبها على الصورة
+
+37
+00:03:18,600 --> 00:03:24,340
+هذه أو الصورة هذه أو الصورة هذه أو الصورة هذه، okay
+
+38
+00:03:26,550 --> 00:03:30,070
+وطبعًا الـ sequence هذه يعني عناصرها هذه أو أي واحدة
+
+39
+00:03:30,070 --> 00:03:37,350
+منهم ممكن نكتبها برضه على الصورة x1, x2, x3 وهكذا
+
+40
+00:03:40,840 --> 00:03:45,180
+فكل الرموز هذه ترمز إلى الـ sequence هذه التي هي الـ
+
+41
+00:03:45,180 --> 00:03:53,400
+function f التي هي الـ function f، okay إذن أهم شيء 
+
+42
+00:03:53,400 --> 00:03:56,480
+في تعريفنا أن الـ sequence هي function دالة
+
+43
+00:03:56,480 --> 00:04:00,400
+وبالتالي لها مجال، مجالها العداد الطبيعي، المجال 
+
+44
+00:04:00,400 --> 00:04:04,420
+المقابل هي المجموعة التي عناصر الـ sequence تنتمي 
+
+45
+00:04:04,420 --> 00:04:10,950
+لها، الـ sequences ممكن أعرفهم بطريقتين، إذا في 
+
+46
+00:04:10,950 --> 00:04:15,970
+الملاحظة هذه sequences can be defined explicitly
+
+47
+00:04:15,970 --> 00:04:19,910
+هذه أحد الطرق، ممكن يعرف الـ sequence بطريقة صريحة
+
+48
+00:04:19,910 --> 00:04:27,890
+بطريقة بقانون، فمثلا الـ sequence if بالساوية عناصرها
+
+49
+00:04:27,890 --> 00:04:31,670
+اثنين أربعة ستة ثمانية، الأخرى هذه عبارة عن
+
+50
+00:04:31,670 --> 00:04:38,130
+sequence وهي معرفة بطريقة صريحة، فهذه عبارة عن
+
+51
+00:04:38,130 --> 00:04:42,630
+sequence of even natural numbers الأعداد الطبيعية 
+
+52
+00:04:42,630 --> 00:04:47,790
+الزوجية، ممكن نكتب الحد العام، الآن هذا نسميه الآن
+
+53
+00:04:47,790 --> 00:04:53,710
+term xn هذا هنا نسميه الـ term الحد النوني
+
+54
+00:04:53,710 --> 00:04:59,190
+الحد النوني أو الحد العام، فالـ term هنا هو
+
+55
+00:04:59,190 --> 00:05:08,180
+اثنين n، xn بساوي اثنين n حيث n عدد طبيعي، أو
+
+56
+00:05:08,180 --> 00:05:12,620
+ممكن نكتب الـ sequence على صورة 2n من n بساوي 
+
+57
+00:05:12,620 --> 00:05:16,740
+واحد إلى ما لا نهاية، إذا هنا أنا أعرف الـ sequence
+
+58
+00:05:16,740 --> 00:05:22,960
+برص حدودها، أول تلات حدود إلى وهكذا، أو بكتب قاعدة
+
+59
+00:05:22,960 --> 00:05:27,880
+لحد العام xn وطبعًا n عدد طبيعي، فمقدر من القاعدة 
+
+60
+00:05:27,880 --> 00:05:32,740
+هذه أجيب كل الحدود، إذا هذا explicit definition of 
+
+61
+00:05:32,740 --> 00:05:39,150
+a sequence هذا تعريف صريح للـ sequence، في طريقة 
+
+62
+00:05:39,150 --> 00:05:44,870
+ثانية لتعريف الـ sequence وهي الطريقة الاستقرائية، 
+
+63
+00:05:44,870 --> 00:05:49,330
+إذا الـ sequences can be defined inductively أو
+
+64
+00:05:49,330 --> 00:05:55,970
+recursively بطريقة استقرائية أو بطريقة تكرارية، كيف
+
+65
+00:05:55,970 --> 00:06:02,290
+هذه الطريقة؟ بأجي للـ sequence وبأخد أول حد فيها زي
+
+66
+00:06:02,290 --> 00:06:07,250
+x1 أو أول حدين أو أول تلات حدود وبعطيهم قيم
+
+67
+00:06:07,250 --> 00:06:16,010
+أحددهم، قيم محددة، أعطيهم قيم محددة، بعدين بأجي بأجي
+
+68
+00:06:16,010 --> 00:06:21,990
+بعبر عن الحد xn زائد واحد أو xn بدلالة الحدود
+
+69
+00:06:21,990 --> 00:06:27,850
+التي قبله وبستخدم طبعًا لهذه formula نسميها
+
+70
+00:06:27,850 --> 00:06:32,070
+recursive formula أو inductive formula كما في
+
+71
+00:06:32,070 --> 00:06:39,550
+المثال التالي، يعني أنا عند الـ sequence 2n هذه أنا 
+
+72
+00:06:39,550 --> 00:06:48,000
+عند الـ sequence xn بساوي 2n هذه ممكن أعرفها بطريقة 
+
+73
+00:06:48,000 --> 00:06:57,140
+استقرائية، كيف؟ بأخد بعطي أول حد فيه x1 بعطيله قيمة
+
+74
+00:06:57,140 --> 00:07:01,220
+محددة وهي 2، طبعًا أول حد في الـ sequence هذه هو 2
+
+75
+00:07:01,220 --> 00:07:06,760
+صح؟ لأن هنا أخذت x1 وعطيته قيمة محددة، ممكن في بعض
+
+76
+00:07:06,760 --> 00:07:12,140
+الأمثلة أعطي قيمة قيمة محددة لـ x1 وx2 وx3، بعدين 
+
+77
+00:07:12,140 --> 00:07:19,100
+بأجي إلى الحد رقم n زيادة واحد وبعبر عنه بـ
+
+78
+00:07:19,100 --> 00:07:23,000
+recursive formula بعبر عنه بدلالة الحد الذي قبله
+
+79
+00:07:23,000 --> 00:07:26,760
+أو الحد الذي قبله مباشرة والذي قبله و
+
+80
+00:07:26,760 --> 00:07:32,510
+هكذا، فهذه نسميها recursive أو inductive formula
+
+81
+00:07:32,510 --> 00:07:37,150
+تعطيني لحد رقم n زيادة واحد بدالة الحد الذي قبله xn
+
+82
+00:07:37,150 --> 00:07:43,870
+فمثلا لو بده أحسب x2 فبأخد n بساوي واحد هنا صح
+
+83
+00:07:43,870 --> 00:07:50,110
+فبطلع عند x2 بساوي x1 زائد اثنين، x1 بساوي اثنين زائد
+
+84
+00:07:50,110 --> 00:07:56,400
+اثنين بطلع أربعة، x3 برضه عشان أجيب x3 بستخدم الـ
+
+85
+00:07:56,400 --> 00:08:00,480
+recursive formula وبأخد N بساوي 2 فبطلع عند x3
+
+86
+00:08:00,480 --> 00:08:06,600
+بساوي x2 زائد 2، x2 أربعة واثنين بطلع ستة وهكذا
+
+87
+00:08:06,600 --> 00:08:13,340
+إذا هيك بحصل على الـ sequence 2N التي حدودها 2 4 6
+
+88
+00:08:13,340 --> 00:08:20,460
+8 وهكذا، آه okay تمام الـ
+
+89
+00:08:20,460 --> 00:08:30,520
+.. طيب الآن بدي أعرف ما معنى أن الـ sequence تكون
+
+90
+00:08:30,520 --> 00:08:36,500
+convergent أو لها limit لو في عندي sequence من
+
+91
+00:08:36,500 --> 00:08:37,720
+الأعداد الحقيقية
+
+92
+00:08:41,200 --> 00:08:45,480
+فبقول إن الـ sequence converge
+
+93
+00:08:45,480 --> 00:08:51,860
+الـ sequence of real numbers بتكون converge أو
+
+94
+00:08:51,860 --> 00:08:59,940
+convergent إذا قدرت ألاقي X ينتمي لـ R بحيث إنه لكل
+
+95
+00:08:59,940 --> 00:09:06,200
+neighborhood V لـ X لكل جوار V لـ X بقدر أو أجد أو 
+
+96
+00:09:06,200 --> 00:09:12,250
+ألاقي عدد طبيعي capital N يعتمد على الجوار V ينتمي 
+
+97
+00:09:12,250 --> 00:09:17,030
+لأعداد الطبيعية بحيث إنه لكل small n أكبر من أو يساوي
+
+98
+00:09:17,030 --> 00:09:21,770
+capital N، Xn ينتمي إلى V، يعني الجوار V هذا يحتوي
+
+99
+00:09:21,770 --> 00:09:29,100
+كل عناصر الـ sequence من capital N وأنت طالع، فلو هذا
+
+100
+00:09:29,100 --> 00:09:34,020
+الشرط تحقق فبنقول أن الـ sequence converge والـ 
+
+101
+00:09:34,020 --> 00:09:38,040
+limit تبعتها هي العدد X، في الحالة هذه بنقول أن X
+
+102
+00:09:38,040 --> 00:09:46,080
+is the limit of sequence X in  و
+
+103
+00:09:46,080 --> 00:09:51,180
+بنكتب limit Xn بساوي X أو نكتب Xn tends to
+
+104
+00:09:51,180 --> 00:09:57,750
+X as N tends to infinity، هذا التعريف نسميه الـ 
+
+105
+00:09:57,750 --> 00:10:05,170
+neighborhood neighborhood definition neighborhood
+
+106
+00:10:05,170 --> 00:10:16,710
+definition of convergence تعريف
+
+107
+00:10:16,710 --> 00:10:18,210
+الجوار للتقارب
+
+108
+00:10:22,960 --> 00:10:28,200
+طيب لو الـ sequence ما كانش لها limit يعني ما فيش لا
+
+109
+00:10:28,200 --> 00:10:34,560
+يوجد x ينتمي لـ r يحقق الشرط هذا فبنقول أن الـ
+
+110
+00:10:34,560 --> 00:10:40,060
+sequence ليست not convergent أو divergent إذا لو
+
+111
+00:10:40,060 --> 00:10:45,220
+الـ sequence مالهاش has no limit فبنسميها divergent
+
+112
+00:10:45,220 --> 00:10:50,820
+إذا مثلًا بتكون الـ sequence convergent إذا كان في 
+
+113
+00:10:50,820 --> 00:10:54,560
+لها limit، طب ما معنى أن الـ sequence يكون لها 
+
+114
+00:10:54,560 --> 00:11:01,680
+limit؟ معناه أن يوجد عدد حقيقي X بحيث لكل جوار V لـ 
+
+115
+00:11:01,680 --> 00:11:08,260
+X في عدد طبيعي capital N يعتمد على الجوار بحيث أن 
+
+116
+00:11:08,260 --> 00:11:14,120
+كل حدود الـ sequence تنتمي للجوار هذا، والمؤشر تبعها
+
+117
+00:11:14,120 --> 00:11:20,130
+يبدأ من capital N وأنت طالع، يعني معنى الكلام هذا ..
+
+118
+00:11:20,130 --> 00:11:28,290
+هذا الكلام معناه أن X capital N وX capital N زائد
+
+119
+00:11:28,290 --> 00:11:35,990
+واحد وX capital N زائد اثنين وهكذا كل هذول
+
+120
+00:11:35,990 --> 00:11:38,630
+بينتموا للجوار دي
+
+121
+00:11:44,830 --> 00:11:48,590
+لو الـ sequence مالهاش limit فبنسميها divergent
+
+122
+00:11:48,590 --> 00:11:56,190
+okay طبعًا؟ V جوار .. جوار يعني .. مجموعة .. آه
+
+123
+00:11:56,190 --> 00:12:01,410
+جوار لـ X يعني مجموعة تحتوي الـ X والجوار عشان V
+
+124
+00:12:01,410 --> 00:12:05,710
+يكون جوار لازم يكون داخله .. لازم نلاقي داخله 
+
+125
+00:12:05,710 --> 00:12:10,010
+epsilon نبرهنه، كل جوار لازم يحتوي epsilon نبرهنه 
+
+126
+00:12:15,360 --> 00:12:23,300
+يعني مش أي مجموعة، طيب
+
+127
+00:12:23,300 --> 00:12:27,780
+الـ .. أن لو
+
+128
+00:12:27,780 --> 00:12:32,800
+في أي sequence والسيكوانس هذا convergent فالـ
+
+129
+00:12:32,800 --> 00:12:34,600
+limit تبعتها بتطلع unique
+
+130
+00:12:41,740 --> 00:12:45,620
+النظرية الأولى بتقول لو كانت xn sequence of real
+
+131
+00:12:45,620 --> 00:12:51,320
+numbers  وتconverge لـ x وتconverge لـ y يعني لها two
+
+132
+00:12:51,320 --> 00:12:55,740
+limits فلازم الـ limits يكونوا متساويتين يعني ممنوع
+
+133
+00:12:55,740 --> 00:12:59,940
+الـ convergence sequence يكون لها أكثر من limit
+
+134
+00:12:59,940 --> 00:13:05,400
+يعني معناه بعبارة أخرى a convergent sequence has a
+
+135
+00:13:05,400 --> 00:13:06,140
+unique limit
+
+136
+00:13:09,340 --> 00:13:13,560
+خلّينا نبرهن الكلام هذا، افرض إنه في عندي sequence
+
+137
+00:13:13,560 --> 00:13:20,440
+xn converge لـ x وأيضًا converge لـ y، المطلوب
+
+138
+00:13:20,440 --> 00:13:25,540
+إثبات أن x بساوي y، لبرهان ذلك نعمل برهان بالتناقض
+
+139
+00:13:25,540 --> 00:13:30,680
+assume on contrary أن x لا تساوي y الذي هو نفي 
+
+140
+00:13:30,680 --> 00:13:36,600
+النتيجة وبينصل لتناقض في exercise 15 في section 2
+
+141
+00:13:36,600 --> 00:13:41,810
+أخذناها في ال chapter السابق بقول لو في عندي أي
+
+142
+00:13:41,810 --> 00:13:49,130
+عددين حقيقيين x و y فبقدر 
+
+143
+00:13:49,130 --> 00:13:57,250
+ألاقي v1 جوار ل x و
+
+144
+00:13:57,250 --> 00:14:05,390
+بقدر ألاقي v2 لـ v2
+
+145
+00:14:05,390 --> 00:14:06,610
+جوار ل y
+
+146
+00:14:09,920 --> 00:14:17,120
+بحيث أن تقاطعهم بساوي five يعني اثنين disjoint
+
+147
+00:14:19,260 --> 00:14:24,660
+تمام؟ لو كان في عندي عددين حقيقيين x لا يساوي y بقدر
+
+148
+00:14:24,660 --> 00:14:31,280
+ألاقي جوار v1 ل x و جوار v2 ل y والجوارين هدول
+
+149
+00:14:31,280 --> 00:14:36,660
+منفصلين بعتقد حلنا السؤال هذا آه فقلنا خدي
+
+150
+00:14:36,660 --> 00:14:45,290
+epsilon بساوي نص المسافة بين x و y وهد خلي x زائد
+
+151
+00:14:45,290 --> 00:14:50,410
+y والنقطة هد x سالب y هد عبارة عن y neighborhood
+
+152
+00:14:50,410 --> 00:14:55,570
+لـ x وبالتالي neighborhood لـ x وخدي هنا برضه هد
+
+153
+00:14:55,570 --> 00:15:01,030
+عبارة عن y سالب y والنقطة هد y زائد y
+
+154
+00:15:03,680 --> 00:15:09,460
+فالـ .. واضح أن الجوارين هدول متقاطعوش لأن أنا أخدت 
+
+155
+00:15:09,460 --> 00:15:13,180
+epsilon نص المسافة هذه وهذه فترة مفتوحة وهذه
+
+156
+00:15:13,180 --> 00:15:18,560
+مفتوحة فمافيش بينهم نقاط مشتركة okay إذا هذا
+
+157
+00:15:18,560 --> 00:15:23,620
+الكلام موجود إذا هذا صحيح exercise 15 بيقول لي إذا 
+
+158
+00:15:23,620 --> 00:15:30,310
+كان x لا يساوي y فطبعا ممكن نفرض أن x أصغر من y أو
+
+159
+00:15:30,310 --> 00:15:35,170
+y أصغر من x وبالتالي بقدر ألاقي this joint this
+
+160
+00:15:35,170 --> 00:15:43,630
+joint neighborhoods v1 ل x وv2 ل y على التوالي و 2
+
+161
+00:15:43,630 --> 00:15:50,910
+منفصلين الآن احنا فرضين أن x in converge ل x حسب
+
+162
+00:15:50,910 --> 00:15:54,790
+الـ Neighborhood Definition لـ Convergence لما أن
+
+163
+00:15:54,790 --> 00:16:00,550
+المتتالي Xn converge ل X و V1 جوار ل X إذا يوجد 
+
+164
+00:16:00,550 --> 00:16:07,710
+عدد طبيعي N1 يعتمد على الجوار V1 بحيث أن Xn تنتمي
+
+165
+00:16:07,710 --> 00:16:13,260
+للجوار V1 لكل N أكبر من أو يساوي N1 كذلك احنا فرضين
+
+166
+00:16:13,260 --> 00:16:18,320
+في النظرية أن sequence xn converge ل y والآن v2
+
+167
+00:16:18,320 --> 00:16:23,660
+neighborhood ل y، إذا حسب تعريف ال convergence بما
+
+168
+00:16:23,660 --> 00:16:27,680
+أن xn converge ل y و v2 neighborhood ل y، إذا
+
+169
+00:16:27,680 --> 00:16:32,440
+بنقدر نلاقي عدد طبيعي n2 يعتمد على v2، بحيث أن xn
+
+170
+00:16:32,440 --> 00:16:38,840
+ينتمي لv2 لكل n أكبر من أو يساوي n2 الآن لو عرفت
+
+171
+00:16:38,840 --> 00:16:42,320
+capital N على Nها ال maximum الأكبر بين N واحد و N
+
+172
+00:16:42,320 --> 00:16:47,360
+اثنين هذا معناه أن capital N عدد طبيعي لأن الأكبر
+
+173
+00:16:47,360 --> 00:16:52,320
+بين هدول هيكون واحد منهم فهو عدد طبيعي و capital N
+
+174
+00:16:52,320 --> 00:16:55,640
+أكبر من أو يساوي N واحد وأكبر من أو يساوي N اثنين
+
+175
+00:16:55,640 --> 00:16:59,820
+لأن الكبير فيهم الآن
+
+176
+00:16:59,820 --> 00:17:04,120
+لو أخدت small n أكبر من أو يساوي capital N فمن
+
+177
+00:17:04,120 --> 00:17:09,540
+تعريف capital N هذا بيقودى أن capital N أكبر من أو 
+
+178
+00:17:09,540 --> 00:17:14,760
+يساوي N واحد إذا الآن أنا عندي small n أكبر من أو
+
+179
+00:17:14,760 --> 00:17:23,820
+يساوي N واحد وبالتالي إذا Xn تنتمي لـ D واحد كذلك 
+
+180
+00:17:23,820 --> 00:17:29,560
+أنا عندي من تعريف capital N capital N أكبر من أو
+
+181
+00:17:29,560 --> 00:17:34,950
+يساوي N اثنين وبالتالي small n أكبر من أو يساوي
+
+182
+00:17:34,950 --> 00:17:38,970
+capital N اثنين لما تكون small n أكبر من أو يساوي
+
+183
+00:17:38,970 --> 00:17:45,450
+capital N اثنين فبطلع xn ينتمي إلى v2 إذا الآن أنا 
+
+184
+00:17:45,450 --> 00:17:49,110
+أثبتت أنه لو كانت small n أكبر من أو يساوي capital
+
+185
+00:17:49,110 --> 00:17:57,090
+N فبطلع xn ينتمي إلىV1 وإلى V2 وبالتالي تنتمي
+
+186
+00:17:57,090 --> 00:18:01,290
+لتقاطعهم إذا المعنى أن التقاطع هذا لا يساوي الـ فاي
+
+187
+00:18:01,290 --> 00:18:05,810
+وهذا بيديني contradiction لأنه exercise 15 بيقول
+
+188
+00:18:05,810 --> 00:18:10,450
+لي أن V1 و V2 هدول disjoint فكيف طلع مش disjoint
+
+189
+00:18:10,450 --> 00:18:16,070
+تناقض تناقض هذا بيقول لي أن ال assumption تبعي إن X
+
+190
+00:18:16,070 --> 00:18:20,390
+لا تساوي Y كان خطأ إذن الصح إن X بساوي Y
+
+191
+00:18:20,390 --> 00:18:25,430
+وبالتالي ال limit لل sequence لازم تكون واحدة
+
+192
+00:18:25,430 --> 00:18:33,990
+unique تمام؟ واضح البرهان؟ في أي استفسار؟
+
+193
+00:18:33,990 --> 00:18:37,510
+في أي سؤال؟
+
+194
+00:18:50,080 --> 00:19:02,120
+النظرية الثانية تعطيني
+
+195
+00:19:02,120 --> 00:19:09,740
+شروط متكافئة لتعريف ال convergence للسيكوينس فلو
+
+196
+00:19:09,740 --> 00:19:12,840
+في عندي سيكوينس of real numbers وعندي real number
+
+197
+00:19:12,840 --> 00:19:17,630
+x the following are equivalent هذا اختصار الكلمات
+
+198
+00:19:17,630 --> 00:19:21,530
+the following are equivalent العبارات التالية
+
+199
+00:19:21,530 --> 00:19:27,670
+متكافئة أول عبارة x in converge ل x هذا معناه حسب
+
+200
+00:19:27,670 --> 00:19:31,070
+تعريف ال convergence ال neighborhood definition أن 
+
+201
+00:19:31,070 --> 00:19:42,150
+for every neighborhood V of X of X there exists
+
+202
+00:19:42,150 --> 00:19:50,590
+capital N يعتمد على V عدد طبيعي بحيث أنه لو كان n
+
+203
+00:19:50,590 --> 00:19:56,150
+أكبر من أو يساوي capital N هذا بيقودى أن xn ينتمي
+
+204
+00:19:56,150 --> 00:20:03,390
+إلى V هاي معناه xn converge ل x الآن هذا ال
+
+205
+00:20:03,390 --> 00:20:06,990
+neighborhood definition لل convergence بيكافئ 
+
+206
+00:20:06,990 --> 00:20:11,770
+العبارة بي وهذا بنسميه ال epsilon neighborhood 
+
+207
+00:20:11,770 --> 00:20:16,150
+definition لل convergence هذا بقى بنسميه epsilon
+
+208
+00:20:16,150 --> 00:20:20,210
+neighborhood definition of convergence ليه؟
+
+209
+00:20:20,210 --> 00:20:22,850
+العبارة دي بتقول لكل for every epsilon
+
+210
+00:20:22,850 --> 00:20:27,930
+neighborhood V epsilon ل X يعني بدل لكل 
+
+211
+00:20:27,930 --> 00:20:32,550
+neighborhood بدلناها لكل epsilon neighborhood ل X
+
+212
+00:20:32,550 --> 00:20:35,630
+يوجد capital N يعتمد على ال epsilon neighborhood
+
+213
+00:20:35,630 --> 00:20:42,160
+وبالتالي يعتمد على ال epsilon عدد طبيعي بحيث أنه
+
+214
+00:20:42,160 --> 00:20:46,200
+لكل N أكبر من أوسعه capital N بطلع XN ينتمي لـ V
+
+215
+00:20:46,200 --> 00:20:52,820
+نفس العادى العبارة الثالثة بتقول لكل إبسلون لأي عدد
+
+216
+00:20:52,820 --> 00:20:56,260
+إبسلون موجبة بنقدر نلاقي عدد طبيعي يعتمد على إبسلون
+
+217
+00:20:56,260 --> 00:21:01,500
+بحيث لو كان n أكبر من أو يساوي capital N فالمسافة
+
+218
+00:21:01,500 --> 00:21:07,800
+بين x and x تطلع أصغر من إبسلون هذا بنسميه الجزء C
+
+219
+00:21:07,800 --> 00:21:13,180
+وهذا الجزء الأكثر جزء هنستخدمه في إثبات ال
+
+220
+00:21:13,180 --> 00:21:18,080
+convergence لـ sequences معينة هذا بيسميه epsilon
+
+221
+00:21:18,080 --> 00:21:25,600
+capital N definition of
+
+222
+00:21:25,600 --> 00:21:26,500
+convergence
+
+223
+00:21:30,350 --> 00:21:34,970
+أنا في عندي أنا الفرق A هذا عبارة عن epsilon عبارة
+
+224
+00:21:34,970 --> 00:21:38,530
+عن neighborhood definition of convergence الفرق B
+
+225
+00:21:38,530 --> 00:21:42,230
+بنسميه ال epsilon neighborhood definition لل
+
+226
+00:21:42,230 --> 00:21:46,210
+convergence الفرق C بنسميه epsilon capital N
+
+227
+00:21:46,210 --> 00:21:49,770
+definition of convergence هذا هيكون استعماله شائع
+
+228
+00:21:49,770 --> 00:21:57,370
+أكثر من العبارات السابقة البرهان أن هذا ال ثلاثة 
+
+229
+00:21:57,370 --> 00:22:02,490
+إبراهيم بتكافئ بعض هنثبت أن a implies b و b
+
+230
+00:22:02,490 --> 00:22:10,610
+implies c وبعد هيك هنثبت أن c implies a وبالتالي
+
+231
+00:22:10,610 --> 00:22:14,370
+هيك بيطلع الثلاثة متكافئة حسب قوانين ال logic
+
+232
+00:22:14,370 --> 00:22:21,830
+مظبوط صح؟ طيب نشوف الأول a implies b افرض أن x in
+
+233
+00:22:21,830 --> 00:22:28,010
+converge ل x يعني هذا الكلام صحيح حسب تعريف ال
+
+234
+00:22:28,010 --> 00:22:34,510
+neighborhood definition لل convergence طيب .. طيب
+
+235
+00:22:34,510 --> 00:22:39,150
+احنا عارفين أن كل epsilon .. طيب لإثبات أن b صحيح
+
+236
+00:22:39,150 --> 00:22:45,130
+ناخد أي epsilon neighborhood ل x طب احنا لما درسنا 
+
+237
+00:22:45,130 --> 00:22:48,990
+ال neighborhoods قلنا أن كل epsilon neighborhood
+
+238
+00:22:48,990 --> 00:22:52,130
+.. every epsilon neighborhood على الصورة هذه ل X
+
+239
+00:22:52,130 --> 00:22:57,490
+هو أيضا neighborhood ل X صح؟ هذه حقيقة معروفة ..
+
+240
+00:22:57,490 --> 00:23:02,570
+كل epsilon neighborhood ل X is also a neighborhood
+
+241
+00:23:02,570 --> 00:23:09,280
+of X وبالتالي إذا هنا لو أخدت أي إبسلون
+
+242
+00:23:09,280 --> 00:23:13,140
+neighborhood ل X فهذا neighborhood ل X وبالتالي
+
+243
+00:23:13,140 --> 00:23:15,820
+يوجد capital N يعتمد على الإبسلون neighborhood
+
+244
+00:23:15,820 --> 00:23:24,080
+وهذا الكلام صح وبالتالي A بيؤدي ل B نشوف
+
+245
+00:23:24,080 --> 00:23:27,460
+الآن B بيؤدي العبارة B بيؤدي إلى C
+
+246
+00:23:42,950 --> 00:23:55,970
+طيب العبارة P هذا هي لو كان P صحيح فبنثبت
+
+247
+00:23:55,970 --> 00:24:05,490
+أن C صحيح فخلينا ناخد خلينا 
+
+248
+00:24:05,490 --> 00:24:09,250
+ناخد أبسلون أكبر من الصفر ناخد أبسلون أكبر من
+
+249
+00:24:09,250 --> 00:24:09,730
+الصفر
+
+250
+00:24:13,900 --> 00:24:22,140
+لو أخدت أي epsilon أكبر من الصفر for any epsilon
+
+251
+00:24:22,140 --> 00:24:30,140
+أكبر من الصفر take v epsilon of x اللي هو عبارة عن
+
+252
+00:24:30,140 --> 00:24:36,040
+ال epsilon neighborhood ل x فهذا
+
+253
+00:24:36,040 --> 00:24:44,530
+is epsilon neighborhood of x صح؟ وبالتالي حسب B
+
+254
+00:24:44,530 --> 00:24:50,890
+لأي إبسلون neighborhood لهذا يوجد capital N إذا 
+
+255
+00:24:50,890 --> 00:24:56,350
+يوجد capital N by
+
+256
+00:24:56,350 --> 00:25:02,930
+B يوجد capital N يعتمد على الإبسلون neighborhood
+
+257
+00:25:02,930 --> 00:25:09,630
+وبالتالي يعتمد على إبسلون هذا عدد طبيعي بحيث
+
+258
+00:25:13,530 --> 00:25:19,590
+بحيث أنه لو كان n أكبر من أو يساوي n of epsilon
+
+259
+00:25:19,590 --> 00:25:28,030
+فهذا بيقودى أن xn ينتمي لـ v epsilon ل x اللي هو x
+
+260
+00:25:28,030 --> 00:25:35,630
+سالب epsilon وx زائد epsilon طب وهذا معناه أن ال
+
+261
+00:25:35,630 --> 00:25:44,930
+xn أكبر من x سالب epsilon أصغر من x زائد epsilon هذا
+
+262
+00:25:44,930 --> 00:25:50,630
+الـ xn ينتمي للفترة المفتوحة هذه معناته هذا الكلام
+
+263
+00:25:50,630 --> 00:25:56,670
+صح هذا معناه xn minus x أصغر من epsilon أكبر من
+
+264
+00:25:56,670 --> 00:26:01,950
+سالب epsilon هذا معناه absolute xn minus x أصغر من
+
+265
+00:26:01,950 --> 00:26:10,800
+epsilon إذن هنا أثبتنا إن لو كان b صحيح فلأي يبسلون
+
+266
+00:26:10,800 --> 00:26:18,300
+أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على يبسلون بحيث
+
+267
+00:26:18,300 --> 00:26:23,160
+لكل N أكبر من أو يساوي capital N طلع absolute xn
+
+268
+00:26:23,160 --> 00:26:29,920
+minus x أصغر من يبسلون وبالتالي العبارة C صحيحة
+
+269
+00:26:29,920 --> 00:26:38,500
+متحققة okay تمام؟ الآن بقى نثبت أن العبارة
+
+270
+00:26:38,500 --> 00:26:59,280
+C بتقودى إلى العبارة A فأفرضي 
+
+271
+00:26:59,280 --> 00:27:08,370
+أن العبارة C متحققة suppose C holds بعدين، بدنا 
+
+272
+00:27:08,370 --> 00:27:12,250
+نثبت أن x in converge ل x أو ال neighborhood
+
+273
+00:27:12,250 --> 00:27:17,730
+definition ل x بتحقق فبناخد أي let v be any
+
+274
+00:27:17,730 --> 00:27:24,590
+neighborhood of x فمن تعريف ال neighborhood لأي
+
+275
+00:27:24,590 --> 00:27:28,910
+neighborhood كل neighborhood v ل x يحتوي داخله
+
+276
+00:27:28,910 --> 00:27:32,030
+epsilon neighborhood ل x هذا ما قلناه قبل هيك 
+
+277
+00:27:32,030 --> 00:27:37,430
+وبالتالي يوجد epsilon عدد موجب بحيث أن ال epsilon
+
+278
+00:27:37,430 --> 00:27:44,890
+neighborhood هذه الفترة عبارة عن x in .. هذه
+
+279
+00:27:44,890 --> 00:27:51,090
+المفروضة تكون عفوا هذه المفروضة تكون x مش x in
+
+280
+00:27:51,090 --> 00:28:01,600
+وهذه x سلب epsilon هذا عبارة عن v epsilon ل x هذا 
+
+281
+00:28:01,600 --> 00:28:08,880
+المفروض تكون x مش xm، إذا لو كان v epsilon 
+
+282
+00:28:08,880 --> 00:28:15,740
+neighborhood ففي عندي بقدر ألاقي جواته epsilon 
+
+283
+00:28:15,740 --> 00:28:20,520
+neighborhood للـ x اللي هو v epsilon للـ x الآن من 
+
+284
+00:28:20,520 --> 00:28:21,400
+الجزء c
+
+285
+00:28:25,470 --> 00:28:29,650
+لأي أبسلون من الجزء C، لأي أبسلون، لأي بما أن هذا
+
+286
+00:28:29,650 --> 00:28:33,170
+أبسلون أكبر من الصفر، إذا بنقدر نلاقي capital N
+
+287
+00:28:33,170 --> 00:28:36,310
+يعتمد على أبسلون، بحيث لكل N أكبر من أو يساوي
+
+288
+00:28:36,310 --> 00:28:40,230
+capital N، الـ absolute value هذه أصغر من أبسلون هذا
+
+289
+00:28:40,230 --> 00:28:45,660
+من الجزء C، طب ما هذا معناه الـ implication هذه
+
+290
+00:28:45,660 --> 00:28:50,920
+معناها لكل n أكبر من أو يساوي capital N، لو فكيت
+
+291
+00:28:50,920 --> 00:28:58,800
+المتباينة هذه، معناها xn ينتمي، هذا عبارة عن x ينتمي
+
+292
+00:28:58,800 --> 00:29:06,480
+للـ فترة المفتوحة x minus y و x زائد epsilon اللي هو الـ
+
+293
+00:29:06,480 --> 00:29:09,720
+epsilon neighborhood للـ x اللي هو subset من V
+
+294
+00:29:11,670 --> 00:29:19,650
+وبالتالي هيك بنكون أثبتنا أن الـ XIN ينتمي إلى الـ
+
+295
+00:29:19,650 --> 00:29:24,530
+neighborhood V كمان
+
+296
+00:29:24,530 --> 00:29:30,830
+مرة أنا بدي أثبت أن العبارة C بتأدي لـ a، افرض أن
+
+297
+00:29:30,830 --> 00:29:36,610
+العبارة C صحيحة، الآن لإثبات a اللي هي x in converge
+
+298
+00:29:36,610 --> 00:29:40,790
+للـ x، بتثبت أنه الـ neighborhood definition للـ
+
+299
+00:29:40,790 --> 00:29:45,750
+convergence بتحقق، يعني x عبارة عن limit للـ
+
+300
+00:29:45,750 --> 00:29:48,650
+sequence xn، فنرجع لتعريف الـ neighborhood
+
+301
+00:29:48,650 --> 00:29:53,190
+definition of convergence، نبدأ بـ neighborhood للـ x
+
+302
+00:29:53,190 --> 00:29:57,910
+ونستخدم الحقيقة أن كل neighborhood للـ x يحتوي
+
+303
+00:29:57,910 --> 00:30:04,160
+epsilon neighborhood، الآن من C.. C بيقول لي إذا في
+
+304
+00:30:04,160 --> 00:30:08,400
+عندك إبسلون موجبة، تقدر تلاقي capital N يعتمد عليها
+
+305
+00:30:08,400 --> 00:30:12,940
+بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي capital N، المسافة
+
+306
+00:30:12,940 --> 00:30:17,660
+هذه أصغر من إبسلون، طب هذه الـ implication الأخيرة هي
+
+307
+00:30:17,660 --> 00:30:22,380
+N أكبر من أو يساوي capital N بتقدي في حل المتباينة
+
+308
+00:30:22,380 --> 00:30:28,640
+هذه في Xn، فبطلع Xn ينتمي إلى X سالب Y و X زائد epsilon اللي هو
+
+309
+00:30:28,640 --> 00:30:33,320
+هذا الـ epsilon neighborhood اللي هو داخل V وبالتالي
+
+310
+00:30:33,320 --> 00:30:37,660
+لكل N أكبر من أو يساوي capital N، طلع Xn ينتمي للـ
+
+311
+00:30:37,660 --> 00:30:42,300
+neighborhood V، هذا من التعريف معناه Xn converge لـ
+
+312
+00:30:42,300 --> 00:30:48,820
+X، وبالتالي اللي هي عبارة a صحيحة تمام؟ إذا هيك
+
+313
+00:30:48,820 --> 00:30:53,940
+بنكون أثبتنا النظرية، أن التلات تعريفات هذه كلها
+
+314
+00:30:53,940 --> 00:30:54,840
+متكافئة
+
+315
+00:31:02,750 --> 00:31:06,990
+في تعريف الـ tail of a sequence أو الـ M tail of a
+
+316
+00:31:06,990 --> 00:31:11,070
+sequence، احنا عارفين أن لو في عندي أي.. لأي
+
+317
+00:31:11,070 --> 00:31:18,570
+sequence Xn، لو خدت M عدد طبيعي أي عدد طبيعي
+
+318
+00:31:18,570 --> 00:31:24,210
+natural number، و Xn أي sequence of real numbers
+
+319
+00:31:24,210 --> 00:31:31,330
+فالـ Xn هذه ممكن انفرفتها نكتب حدودها X1 X2 وهكذا
+
+320
+00:31:32,450 --> 00:31:41,130
+إلى x رقم m، الآن الحد اللي بعد xm عبارة عن xm زائد
+
+321
+00:31:41,130 --> 00:31:50,010
+واحد واللي بعده xm زائد اتنين وهكذا إذا
+
+322
+00:31:50,010 --> 00:31:53,130
+الـ sequence هذه ممكن أكتبها على الصورة هذه حيث m
+
+323
+00:31:53,130 --> 00:31:57,770
+هنا عدد طبيعي ما ثابت
+
+324
+00:31:59,680 --> 00:32:10,460
+الآن لو أنا ركزت على الجزء هذا من الـ sequence و
+
+325
+00:32:10,460 --> 00:32:20,440
+الجزء هذا هو أول m من حدود الـ sequence، حذفتها، فإذا
+
+326
+00:32:20,440 --> 00:32:22,400
+هذا بنسميه m tail
+
+327
+00:32:28,870 --> 00:32:37,630
+مثل الـ sequence xn، الدنب m دنب m، مش هذا دنب يعني تصور
+
+328
+00:32:37,630 --> 00:32:42,110
+إنها دي أفع هي الرأس تبعها أول m من الحدود ده هي
+
+329
+00:32:42,110 --> 00:32:47,570
+الرأس، جاطعة الرأس تبعها فبقى الدنب، مش هيك بيقولوا
+
+330
+00:32:47,570 --> 00:32:50,870
+الدنب
+
+331
+00:32:50,870 --> 00:32:56,090
+هذا طويل، بنبدأ يعني في عدد لانهائي من الحدود، الرأس
+
+332
+00:32:56,090 --> 00:33:02,470
+محدود، هي عدد منتهي من الحدود، إذا الـ sequence لو
+
+333
+00:33:02,470 --> 00:33:08,250
+أنا حدفت أول M من حدودها، فباقي الجزء المتبقي من الـ
+
+334
+00:33:08,250 --> 00:33:16,070
+sequence بنسميه M tail، واضح؟ طيب إذا الآن في نظرية
+
+335
+00:33:16,070 --> 00:33:18,250
+اتنين تلاتة أو نظرية تالتة
+
+336
+00:33:20,720 --> 00:33:23,800
+ما هي هذه النظرية اللي بتقول؟ بتقول لو أنا في عندي
+
+337
+00:33:23,800 --> 00:33:29,500
+إذا هاي الـ m tail هذا الـ m tail ممكن كتابته على
+
+338
+00:33:29,500 --> 00:33:35,820
+صورة sequence هاي x المؤشر، الحد العام تبع الـ m
+
+339
+00:33:35,820 --> 00:33:40,660
+tail، m زائد n حيث n العداد الطبيعي، m ثابت و n 
+
+340
+00:33:40,660 --> 00:33:43,980
+العداد الطبيعي، وبالتالي هنا لو كانت n بـالساوية
+
+341
+00:33:43,980 --> 00:33:50,800
+واحد، أول حد xm زائد واحد وهكذا، طيب الآن النظرية
+
+342
+00:33:50,800 --> 00:33:57,980
+التالية بتقول لي أنه لو كان الـ M tail convergent
+
+343
+00:34:02,380 --> 00:34:07,760
+فالـ sequence نفسها الـ M بتكون convergent والعكس،
+
+344
+00:34:07,760 --> 00:34:12,020
+لو كانت الـ sequence convergent فأي M tail منها
+
+345
+00:34:12,020 --> 00:34:15,940
+هيكون convergent واثنين لهم نفس الـ limit، اثنين
+
+346
+00:34:15,940 --> 00:34:20,020
+لهم نفس الـ limit، إذا مرة ثانية لو كان في عندك
+
+347
+00:34:20,020 --> 00:34:27,500
+sequence Xn، M fixed natural number، فالـ M tail اللي
+
+348
+00:34:27,500 --> 00:34:32,350
+هو الـ sequence هذه، converges if and only if
+
+349
+00:34:32,350 --> 00:34:39,210
+الـ sequence نفسها converges، وهي البرهان هذا الـ part
+
+350
+00:34:39,210 --> 00:34:43,750
+f، افرض
+
+351
+00:34:43,750 --> 00:34:48,290
+أن xn convergent، نثبت أن الـ m tail convergent
+
+352
+00:34:48,290 --> 00:34:54,540
+ماشي الحال؟ طيب إذا كانت xn convergent للـ x، يعني الـ
+
+353
+00:34:54,540 --> 00:34:57,620
+limit تبعها، إذا كانت convergent فلازم يكون لها
+
+354
+00:34:57,620 --> 00:35:02,020
+limit، فأفرض أن الـ limit تبعها x، الآن حسب epsilon
+
+355
+00:35:02,020 --> 00:35:06,080
+capital N definition للـ limit أو للـ convergence
+
+356
+00:35:06,080 --> 00:35:11,140
+إذا لأي epsilon أكبر من 0، نقدر نلاقي N يعتمد على
+
+357
+00:35:11,140 --> 00:35:15,860
+epsilon، عدد طبيعي كبير وممكن ناخده يكون أكبر من
+
+358
+00:35:15,860 --> 00:35:22,040
+العدد الثابت، العدد الطبيعي الثابت M بحيث أنه لكل N
+
+359
+00:35:22,040 --> 00:35:25,900
+أكبر من أو يساوي capital N، المسافة بين X و N اللي هو X
+
+360
+00:35:25,900 --> 00:35:31,410
+أصغر من epsilon، هذا من تعريف الـ epsilon capital N
+
+361
+00:35:31,410 --> 00:35:37,590
+definition للـ convergence، طيب اللي أنا بقدر أعرف
+
+362
+00:35:37,590 --> 00:35:43,930
+capital N prime على أنه capital N مطروح منها
+
+363
+00:35:43,930 --> 00:35:50,060
+capital M، طبعا هنا capital N احنا اختارناها أكبر من
+
+364
+00:35:50,060 --> 00:35:54,220
+M، فالفرق هذا موجب وهذا عدد طبيعي وهذا عدد طبيعي
+
+365
+00:35:54,220 --> 00:35:59,500
+إذا الفرق عدد صحيح موجب يعني عدد طبيعي، هذا عدد
+
+366
+00:35:59,500 --> 00:36:03,220
+ثابت وهذا يعتمد على epsilon، إذا N prime الفرق
+
+367
+00:36:03,220 --> 00:36:09,000
+بينهم يعتمد على epsilon، تمام؟ إذا هنا عرفنا N' عدد
+
+368
+00:36:09,000 --> 00:36:14,320
+طبيعي ويعتمد على epsilon، الآن لو أخدت أي M عدد
+
+369
+00:36:14,320 --> 00:36:16,960
+طبيعي أكبر من أو يساوي N'
+
+370
+00:36:20,020 --> 00:36:25,520
+فنجمع capital M للطرفين فبطلع capital M زائد small
+
+371
+00:36:25,520 --> 00:36:29,980
+m أكبر من أو يساوي N prime زائد capital M، طب N prime
+
+372
+00:36:29,980 --> 00:36:34,540
+زائد capital M بيساوي N epsilon وبالتا��ي هذا أكبر من
+
+373
+00:36:34,540 --> 00:36:40,860
+أو يساوي N ل epsilon، إذا حسب الـ implication 1، الـ
+
+374
+00:36:40,860 --> 00:36:45,260
+implication 1 بتقول لي لأي عدد طبيعي.. لأي عدد
+
+375
+00:36:45,260 --> 00:36:50,560
+طبيعي أكبر من أو يساوي capital N لازم يطلع الـ
+
+376
+00:36:50,560 --> 00:36:56,900
+absolute value لـ X sub العدد الطبيعي اللي هو M زائد
+
+377
+00:36:56,900 --> 00:36:59,320
+M ناقص X أصغر من epsilon
+
+378
+00:37:03,110 --> 00:37:08,470
+وهذا بيدّي أن الـ tail.. الـ tail of the sequence
+
+379
+00:37:08,470 --> 00:37:13,110
+converge للـ X حسب التعريف، ما معناه أن الـ tail هذا
+
+380
+00:37:13,110 --> 00:37:18,470
+convergent؟ معناه أن لأي epsilon أكبر من الصفر..
+
+381
+00:37:18,470 --> 00:37:25,050
+لأي epsilon أكبر من الصفر هيوجد N prime.. هيوجد N
+
+382
+00:37:25,050 --> 00:37:29,130
+prime عدد طبيعي يعتمد على epsilon
+
+383
+00:37:31,850 --> 00:37:38,290
+يوجد عدد طبيعي N' يعتمد على إبسلون، بحيث لكل M أكبر
+
+384
+00:37:38,290 --> 00:37:44,350
+من أو يساوي N'، طلع المسافة بين الحد رقم capital M
+
+385
+00:37:44,350 --> 00:37:47,690
+زائد small m ناقص X أصغر من إبسلون، هذا بالضبط
+
+386
+00:37:47,690 --> 00:37:53,310
+معناه إن الـ sequence هذه converge لـ X as M tends
+
+387
+00:37:53,310 --> 00:37:59,580
+to infinity، إذاً هيك بنكون أثبتنا إنه لو كانت الـ
+
+388
+00:37:59,580 --> 00:38:03,240
+sequence xn converge للـ x، فالتالت تبعها converge
+
+389
+00:38:03,240 --> 00:38:10,720
+للـ x، okay، تمام، العكس، العكس يعني ضايق، ممكن يعني
+
+390
+00:38:10,720 --> 00:38:20,220
+نبرهن العكس في دقيقة أو دقيقتين، العكس
+
+391
+00:38:20,220 --> 00:38:26,390
+يعني هذا العكس اللي هو الـ only if part، نفرض المرة
+
+392
+00:38:26,390 --> 00:38:30,450
+هذه أن الـ sequence الـ tail of a sequence الـ
+
+393
+00:38:30,450 --> 00:38:34,770
+tail of the sequence converged للـ X وبينما نثبت أن
+
+394
+00:38:34,770 --> 00:38:40,170
+الـ sequence نفسها convergent للـ X برضه، فنستخدم
+
+395
+00:38:40,170 --> 00:38:42,930
+تعريف epsilon capital N definition للـ convergence
+
+396
+00:38:42,930 --> 00:38:48,710
+اللي هو الجزء C من نظرية 2 2، فناخد given epsilon
+
+397
+00:38:48,710 --> 00:38:53,080
+أو let epsilon أكبر من الصفر، بـ given، بما أن الـ
+
+398
+00:38:53,080 --> 00:38:56,560
+sequence هذه converge للـ X، إذا يوجد capital N يعتمد
+
+399
+00:38:56,560 --> 00:39:00,740
+على إبسلون، بحيث لكل N أكبر من أو يساوي capital N
+
+400
+00:39:00,740 --> 00:39:04,560
+المسافة بين الحد العام للـ sequence هذه و X أصغر
+
+401
+00:39:04,560 --> 00:39:12,790
+من إبسلون، الآن بنعرف capital K على أنه العدد
+
+402
+00:39:12,790 --> 00:39:18,250
+الطبيعي الثابت M زائد العدد الطبيعي capital N، فطبعا
+
+403
+00:39:18,250 --> 00:39:22,490
+مجموعة الأعداد الطبيعيين، عدد طبيعي capital N يعتمد على
+
+404
+00:39:22,490 --> 00:39:26,670
+epsilon، إذا المجموعة تبعهم بيطلع يعتمد على epsilon
+
+405
+00:39:26,670 --> 00:39:32,330
+إذا هنا أنا وجدت أو جدت أو عرفت عدد طبيعي capital
+
+406
+00:39:32,330 --> 00:39:37,610
+K يعتمد على epsilon، الآن لو أخدت أي N أكبر من أو
+
+407
+00:39:37,610 --> 00:39:43,170
+يساوي الـ capital K فاترحي.. اترحي N من هنا و اترحي
+
+408
+00:39:43,170 --> 00:39:50,350
+N من هنا، M عفوا، M، لو طرحنا M من الطرفين المتباينة
+
+409
+00:39:50,350 --> 00:39:55,330
+هذه فبطلع N ناقص capital M أكبر من أو يساوي K
+
+410
+00:39:55,330 --> 00:40:01,170
+ناقص M، طب هاي K اطرحي منها M بيساوي N وبالتالي
+
+411
+00:40:01,170 --> 00:40:05,950
+بطلع N ناقص M أكبر من أو يساوي N، الآن من الـ
+
+412
+00:40:05,950 --> 00:40:11,550
+implication 2، الـ implication 2 بتقول لأي N
+
+413
+00:40:11,550 --> 00:40:15,650
+أكبر من أو يساوي capital، أي عدد طبيعيلو كان العدد
+
+414
+00:40:15,650 --> 00:40:20,950
+الطبيعي هذا أكبر من أو يساوي capital N، فالمسافة بين
+
+415
+00:40:20,950 --> 00:40:27,390
+X للعدد الطبيعي، وأضيف عليه M، إذا بدي أضيف على هذا
+
+416
+00:40:27,390 --> 00:40:32,230
+M، المسافة بين X اللي المؤشر تبعها العدد الطبيعي
+
+417
+00:40:32,230 --> 00:40:37,770
+هذا زائد M اللي هو بيطلع N والمسافة بينه وبين X
+
+418
+00:40:37,770 --> 00:40:42,770
+بيطلع أصغر من Epsilon، إذاً هيك احنا أثبتنا أنه لأي
+
+419
+00:40:42,770 --> 00:40:46,970
+إبسلون أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على
+
+420
+00:40:46,970 --> 00:40:53,790
+إبسلون بحيث أنه أو يوجد capital K لأي إبسلون أكبر 
+
+421
+00:40:53,790 --> 00:40:57,570
+من الصفر يوجد عدد طبيعي K يعتمد على إبسلون
+
+422
+00:40:57,570 --> 00:41:06,250
+بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي K لكل n
+
+423
+00:41:06,250 --> 00:41:10,590
+أكبر من أو يساوي K تطلع المسافة بين xn و x
+
+424
+00:41:10,590 --> 00:41:15,370
+أصغر من إبسلون إذن هذا بالضبط معناه أن ال sequence
+
+425
+00:41:15,370 --> 00:41:22,590
+xn converge لـ x زي ما هو مطلوب وهذا يكمل برهان
+
+426
+00:41:22,590 --> 00:41:26,410
+النظرية okay تمام واضح
+
+427
+00:41:31,150 --> 00:41:37,130
+طيب احنا بنكتفي بهذا القدر وإن شاء الله في
+
+428
+00:41:37,130 --> 00:41:42,010
+المحاضرة القادمة هناخد برضه بعض النظريات وناخد 
+
+429
+00:41:42,010 --> 00:41:46,350
+أمثلة كيف نثبت أن ال limit لـ sequence لـ
+
+430
+00:41:46,350 --> 00:41:51,090
+convergence sequence بالساوي عدد معين وهكذا طبعا
+
+431
+00:41:51,090 --> 00:41:54,130
+كل الأجزاء هذه موجودة عندكم ممكن تقرؤوها وتحضروها
+
+432
+00:41:54,130 --> 00:41:56,010
+للمحاضرة الجاية 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/CINg1xNQafM_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1728 @@
+1
+00:00:21,320 --> 00:00:25,400
+هنبدأ ان شاء الله اليوم chapter جديد و هو ال
+
+2
+00:00:25,400 --> 00:00:30,060
+chapter التاني عنوان ال chapter sequences and
+
+3
+00:00:30,060 --> 00:00:35,960
+series المتتاليات و المتسلسلات طبعا الموضوع هذا
+
+4
+00:00:35,960 --> 00:00:43,220
+مار معاكم في تفاضل ألف .. تفاضل با عفوا و درسنا
+
+5
+00:00:43,220 --> 00:00:46,860
+خواص ال sequences بطريقة مختصرة و ال series
+
+6
+00:00:46,860 --> 00:00:53,710
+اتوسعنا فيهاالمرة هذه هنتوسع في ال sequences و
+
+7
+00:00:53,710 --> 00:00:58,750
+هنختصر في ال series العكس يعني و هنتناول دراسة كل
+
+8
+00:00:58,750 --> 00:01:06,130
+منهم بطريقة تحليلية و طريقة موضعية أكتر يعني من
+
+9
+00:01:06,130 --> 00:01:07,270
+وجه اتناظر رياضية
+
+10
+00:01:10,330 --> 00:01:13,590
+فأول section في هذا ال chapter هيكون عنوانه
+
+11
+00:01:13,590 --> 00:01:17,610
+sequences and their limits المتتاليات و نهاياتهم
+
+12
+00:01:22,470 --> 00:01:28,630
+فنشوف تعريف ال sequence ال sequence in X ما معنى
+
+13
+00:01:28,630 --> 00:01:33,110
+sequence in X، X مجموعة، أي مجموعة ممكن طبعا هناخد
+
+14
+00:01:33,110 --> 00:01:37,470
+هنا X مجموعة الأعداد الحقيقية، هذه المجموعة اللي
+
+15
+00:01:37,470 --> 00:01:42,450
+احنا بنهتم فيها في ال course هذا ف sequence in X
+
+16
+00:01:42,450 --> 00:01:47,410
+يعني ال sequence على سرها تنتمي للمجموعة Xفلو أخدت
+
+17
+00:01:47,410 --> 00:01:52,610
+أي مجموعة x فعشان أعرف sequence عناصرها في x فما
+
+18
+00:01:52,610 --> 00:01:55,470
+هي ال sequence في المجموعة x؟ هي عبارة مجرد
+
+19
+00:01:55,470 --> 00:02:00,970
+function دالة المجال تبعها الأعداد الطبيعية أو أي
+
+20
+00:02:00,970 --> 00:02:04,970
+مجموعة جزئية منها والمجال المقابل تبعها هي
+
+21
+00:02:04,970 --> 00:02:09,820
+المجموعة x اللي ال sequence تنتمي إليهاو في الحالة
+
+22
+00:02:09,820 --> 00:02:13,360
+هذه إذا ال sequence هي function دالة بس دالة من
+
+23
+00:02:13,360 --> 00:02:19,320
+نوع خاص مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية و عادة احنا
+
+24
+00:02:19,320 --> 00:02:23,320
+بنهتم بال sequences of real numbers او المتتاليات
+
+25
+00:02:23,320 --> 00:02:27,280
+اللي عناصرها أعداد حقيقية وبالتالي X هذه هتكون
+
+26
+00:02:27,280 --> 00:02:31,460
+اللي هو مجموعة الأعداد الحقيقية طيب هذه ال
+
+27
+00:02:31,460 --> 00:02:35,410
+sequence functionمجالها العداد الطبيعي وبالتالي
+
+28
+00:02:35,410 --> 00:02:40,350
+ممكن نعرفها F هي عند أي عدد طبيعي N هي عبارة عن XN
+
+29
+00:02:40,350 --> 00:02:47,030
+XN طبعا هذا ينتمي للمجموعة X وبالتالي ال .. ال ..
+
+30
+00:02:47,030 --> 00:02:52,910
+ال sequence FN هذه احنا بنحاول نعرفها بدلالة ال
+
+31
+00:02:52,910 --> 00:02:56,720
+range تبعهايعني بدل ما اقول ال sequence هي
+
+32
+00:02:56,720 --> 00:03:01,800
+function جرّت العادة ان احنا نحذف رمز ال function
+
+33
+00:03:01,800 --> 00:03:05,980
+و نستبدله بال range تبع ال function اللي هو y ال
+
+34
+00:03:05,980 --> 00:03:09,960
+range تبع ال function كل ال x n حيث n عدد طبيعي
+
+35
+00:03:09,960 --> 00:03:13,980
+ببدأ من واحد من ت أنما إلى نهاية اذا ال sequence
+
+36
+00:03:13,980 --> 00:03:18,600
+بدل ما نكتبها على صورة function هنكتبها على الصورة
+
+37
+00:03:18,600 --> 00:03:24,340
+هذه او الصورة هذه او الصورة هذه او الصورة هذه okay
+
+38
+00:03:26,550 --> 00:03:30,070
+و طبعا ال sequence هذه يعني أسرها هذه أو أي واحدة
+
+39
+00:03:30,070 --> 00:03:37,350
+منهم ممكن نكتبها برضه على الصورة x1, x2, x3 و هكذا
+
+40
+00:03:40,840 --> 00:03:45,180
+فكل الرموز هذه ترمز إلى ال sequence هذه اللي هي ال
+
+41
+00:03:45,180 --> 00:03:53,400
+function f اللي هي ال function f okay إذن أهم شيء
+
+42
+00:03:53,400 --> 00:03:56,480
+في تعريفنا أن ال sequence هي function دلنا
+
+43
+00:03:56,480 --> 00:04:00,400
+وبالتالي لها مجال مجالها العداد الطبيعي المجال
+
+44
+00:04:00,400 --> 00:04:04,420
+المقابل هي المجموعة اللي عناصر ال sequence تنتمي
+
+45
+00:04:04,420 --> 00:04:10,950
+لها ال sequences ممكن أعرفهم ��طريقتينإذا في
+
+46
+00:04:10,950 --> 00:04:15,970
+الملاحظة هذه sequences can be defined explicitly
+
+47
+00:04:15,970 --> 00:04:19,910
+هذه أحد الطرق ممكن يعرف ال sequence بطريقة صريحة
+
+48
+00:04:19,910 --> 00:04:27,890
+بطريقة بقانونفمثلا ال sequence if بالساوية عناصرها
+
+49
+00:04:27,890 --> 00:04:31,670
+اتنين اربعة ستة تمانية الاخرى هذه عبارة عن
+
+50
+00:04:31,670 --> 00:04:38,130
+sequence وهي معرفة بطريقة صريحة فهذه عبارة عن
+
+51
+00:04:38,130 --> 00:04:42,630
+sequence of even natural members العداد الطبيعية
+
+52
+00:04:42,630 --> 00:04:47,790
+الزوجيةممكن نكتب الحد العام الانف هذا بنسميه الانف
+
+53
+00:04:47,790 --> 00:04:53,710
+term اكس ان هذا هنا بنسميه الانف term الحد النوني
+
+54
+00:04:53,710 --> 00:04:59,190
+الحد النوني او الحد العام فال انف term هنا هو
+
+55
+00:04:59,190 --> 00:05:08,180
+اتنين ان اكس ان بساوي اتنين ان حيث ان عدد طبيعيأو
+
+56
+00:05:08,180 --> 00:05:12,620
+ممكن نكتب ال sequence على صورة 2n من n بالساعة
+
+57
+00:05:12,620 --> 00:05:16,740
+واحد إلى ملا نهائية إذا هنا أنا بعرف ال sequence
+
+58
+00:05:16,740 --> 00:05:22,960
+برص حدودها أول تلات حدود إلى و هكذا أو بكتب قاعدة
+
+59
+00:05:22,960 --> 00:05:27,880
+لحد العام xn و طبعا n أدى الطبيعي فمقدر من القاعدة
+
+60
+00:05:27,880 --> 00:05:32,740
+هذه أجيب كل الحدود إذا هذا explicit definition of
+
+61
+00:05:32,740 --> 00:05:39,150
+a sequence هذا تعريف صريح لل sequenceفي طريقة
+
+62
+00:05:39,150 --> 00:05:44,870
+تانية لتعريف ال sequence وهي الطريقة الاستقرائية،
+
+63
+00:05:44,870 --> 00:05:49,330
+إذا ال sequences can be defined inductively أو
+
+64
+00:05:49,330 --> 00:05:55,970
+recursivelyبطريقة استقرائية او بطريقة تكرارية كيف
+
+65
+00:05:55,970 --> 00:06:02,290
+هذه الطريقة باجي لل sequence و باخد اول حد فيها زي
+
+66
+00:06:02,290 --> 00:06:07,250
+X1 او اول حدين او اول تلات حدود و بعطيهم قيم
+
+67
+00:06:07,250 --> 00:06:16,010
+بحددهم قيم محددة بعطيهم قيم محددة بعدين باجيبباجي
+
+68
+00:06:16,010 --> 00:06:21,990
+بعبّر عن الحد xn زايد واحد او xn بدلالة الحدود
+
+69
+00:06:21,990 --> 00:06:27,850
+اللي جابله وبستخدم طبعا لهذا formula بنسميها
+
+70
+00:06:27,850 --> 00:06:32,070
+recursive formula او inductive formula كما في
+
+71
+00:06:32,070 --> 00:06:39,550
+المثال التالي يعني انا عند ال sequence 2n هذه انا
+
+72
+00:06:39,550 --> 00:06:48,000
+عند ال sequence xn بساوة 2nهذه ممكن أعرفها بطريقة
+
+73
+00:06:48,000 --> 00:06:57,140
+استقرائية كيف باخد بعطي أول حد فيه x1 بعطيله قيمة
+
+74
+00:06:57,140 --> 00:07:01,220
+محددة وهي 2 طبعا أول حد في ال sequence هذه هو 2
+
+75
+00:07:01,220 --> 00:07:06,760
+صح؟ لأن هنا أخدت x1 وعطيته قيمة محددة ممكن في بعض
+
+76
+00:07:06,760 --> 00:07:12,140
+الأمثلة أعطي قيمة قيمة محددة ل x1 و x2 و x3بعدين
+
+77
+00:07:12,140 --> 00:07:19,100
+باجي إلى الحد رقم n زياد واحد و بعبر عنه ب
+
+78
+00:07:19,100 --> 00:07:23,000
+recursive formula بعبر عنه بدلالة الحد اللي جابله
+
+79
+00:07:23,000 --> 00:07:26,760
+او الحد اللي جابله مباشرة و الجاب اللي جابله و
+
+80
+00:07:26,760 --> 00:07:32,510
+هكذافهذه بنسميها recursive أو inductive formula
+
+81
+00:07:32,510 --> 00:07:37,150
+تعطيني لحد رقم n زاد واحد بدالة الحد اللي جابله xn
+
+82
+00:07:37,150 --> 00:07:43,870
+فمثلا لو بده أحسب x2 فباخد n بساوي واحد هنا صح
+
+83
+00:07:43,870 --> 00:07:50,110
+فبطل عند x2 بساوي x1 زاد اتنين x1 بساوي اتنين زاد
+
+84
+00:07:50,110 --> 00:07:56,400
+اتنين بطلع أربعةX3 برضه عشان اجيب X3 بستخدم ال
+
+85
+00:07:56,400 --> 00:08:00,480
+recursive formula و باخد N بساوي 2 فبطلع عند X3
+
+86
+00:08:00,480 --> 00:08:06,600
+بساوي X2 زائد 2 X2 أربعة و اتنين بطلع ستة و هكذا
+
+87
+00:08:06,600 --> 00:08:13,340
+اذا هيك بحصل على ال sequence 2N اللي حدودها 2 4 6
+
+88
+00:08:13,340 --> 00:08:20,460
+8 و هكذا اه okay تمام ال
+
+89
+00:08:20,460 --> 00:08:30,520
+..طيب الان بدي اعرف ما معناه ان ال sequence تكون
+
+90
+00:08:30,520 --> 00:08:36,500
+convergent او لها limit لو في عندى sequence من
+
+91
+00:08:36,500 --> 00:08:37,720
+العداد الحقيقية
+
+92
+00:08:41,200 --> 00:08:45,480
+فبقول إن ال sequence converge
+
+93
+00:08:45,480 --> 00:08:51,860
+ال sequence of real numbers بتكون converge أو
+
+94
+00:08:51,860 --> 00:08:59,940
+convergent إذا قدرت ألاقي X ينتمي ل R بحيث إنه لكل
+
+95
+00:08:59,940 --> 00:09:06,200
+neighborhood V ل X لكل جوار V ل X بقدر أو جد أو
+
+96
+00:09:06,200 --> 00:09:12,250
+ألاقيعدد طبيعي capital N يعتمد على الجوار V ينتمي
+
+97
+00:09:12,250 --> 00:09:17,030
+لعداد الطبيعية بحيث أنه لكل small n أكبر من أو سوى
+
+98
+00:09:17,030 --> 00:09:21,770
+capital N، Xn ينتمي إلى V يعني الجوار V هذا يحتوي
+
+99
+00:09:21,770 --> 00:09:29,100
+كل عناصر ال sequence من capital N وانت طالعفلو هذا
+
+100
+00:09:29,100 --> 00:09:34,020
+الشرط اتحقق فبنقول ان الـ sequence converge و ال
+
+101
+00:09:34,020 --> 00:09:38,040
+limit تبعتها هي العدد X في الحالة هذه بنقول ان X
+
+102
+00:09:38,040 --> 00:09:46,080
+is the limit of sequence X in و
+
+103
+00:09:46,080 --> 00:09:51,180
+بنكتب limit X in بالساوية X او نكتب X in tends to
+
+104
+00:09:51,180 --> 00:09:57,750
+X as N tends to infinityهذا التعريف بنسميه ال
+
+105
+00:09:57,750 --> 00:10:05,170
+neighborhood neighborhood definition neighborhood
+
+106
+00:10:05,170 --> 00:10:16,710
+definition of convergence تعريف
+
+107
+00:10:16,710 --> 00:10:18,210
+الجوار للتقارب
+
+108
+00:10:22,960 --> 00:10:28,200
+طيب لو ال sequence ماكانش لها limit يعني مافيش لا
+
+109
+00:10:28,200 --> 00:10:34,560
+يوجد x ينتمي ل r بحقق الشرط هذا فبنقول ان ال
+
+110
+00:10:34,560 --> 00:10:40,060
+sequence ليست not convergent او divergent اذا لو
+
+111
+00:10:40,060 --> 00:10:45,220
+ال sequence مالهاش has no limit فبنسميها divergent
+
+112
+00:10:45,220 --> 00:10:50,820
+اذا مثلا بتكون ال sequence convergent اذا كان في
+
+113
+00:10:50,820 --> 00:10:54,560
+لها limitطب ما معناه ان ال sequence يكون لها
+
+114
+00:10:54,560 --> 00:11:01,680
+limit؟ معناه ان يوجد عدد حقيقي X بحيث لكل جوار V ل
+
+115
+00:11:01,680 --> 00:11:08,260
+X في عدد طبيعي capital N يعتمد على الجوار بحيث ان
+
+116
+00:11:08,260 --> 00:11:14,120
+كل حدود ال sequence تنتمي للجوار هذا والمؤشر تبعها
+
+117
+00:11:14,120 --> 00:11:20,130
+ببدأ من capital N وانت طالعيعني معنى الكلام هذا ..
+
+118
+00:11:20,130 --> 00:11:28,290
+هذا الكلام معناه ان X capital N و X capital N زائد
+
+119
+00:11:28,290 --> 00:11:35,990
+واحد و X capital N زائد اتنين و هكذا كل هدول
+
+120
+00:11:35,990 --> 00:11:38,630
+بينتموا الى الجوار دي
+
+121
+00:11:44,830 --> 00:11:48,590
+لو ال sequence مالهاش limit فبنسميها divergent
+
+122
+00:11:48,590 --> 00:11:56,190
+okay طبعا؟ V جوار .. جوار يعني .. مجموعة .. اه
+
+123
+00:11:56,190 --> 00:12:01,410
+جوار ل X يعني مجموعة تحتوي ال X و الجوار عشان V
+
+124
+00:12:01,410 --> 00:12:05,710
+يكون جوار لازم يكون داخله .. لازم نلاقي داخله
+
+125
+00:12:05,710 --> 00:12:10,010
+epsilon نبرهون كل جوار لازم يحتوي epsilon نبرهون
+
+126
+00:12:15,360 --> 00:12:23,300
+يعني مش اي مجموعة طيب
+
+127
+00:12:23,300 --> 00:12:27,780
+ال .. ان لو
+
+128
+00:12:27,780 --> 00:12:32,800
+في اندي سيكوانس و السيكوانس هاد convergent ف ال
+
+129
+00:12:32,800 --> 00:12:34,600
+limit تبعتها بتطلع unique
+
+130
+00:12:41,740 --> 00:12:45,620
+النظرية الأولى بتقول لو كانت x in sequence of real
+
+131
+00:12:45,620 --> 00:12:51,320
+numbers و converge ل x و converge ل y يعني لها two
+
+132
+00:12:51,320 --> 00:12:55,740
+limits فلازم ال limits يكونوا متساويتين يعني ممنوع
+
+133
+00:12:55,740 --> 00:12:59,940
+ال convergence sequence يكون لها أكتر من limit
+
+134
+00:12:59,940 --> 00:13:05,400
+يعني معناه بعبارة أخرى a convergent sequence has a
+
+135
+00:13:05,400 --> 00:13:06,140
+unique limit
+
+136
+00:13:09,340 --> 00:13:13,560
+خلّينا نبرهن الكلام هذا، افرض إنه في عندي sequence
+
+137
+00:13:13,560 --> 00:13:20,440
+x in converge ل x و أيضا converge ل y المطلوب
+
+138
+00:13:20,440 --> 00:13:25,540
+إثبات إن x بساوي y لبرهان ذلك نعمل برهان بالتناقض
+
+139
+00:13:25,540 --> 00:13:30,680
+assume on contrary إن x لا تساوي y ��للي هو نفي
+
+140
+00:13:30,680 --> 00:13:36,600
+النتيجة و بينصل لتناقض في exercise 15 في section 2
+
+141
+00:13:36,600 --> 00:13:41,810
+.2أخذناها في ال chapter السابق بقول لو في عندي أي
+
+142
+00:13:41,810 --> 00:13:49,130
+عددين حقيقيين x و y فبقدر
+
+143
+00:13:49,130 --> 00:13:57,250
+ألاقي v1 جوار ل x و
+
+144
+00:13:57,250 --> 00:14:05,390
+بقدر ألاقي v2 v2
+
+145
+00:14:05,390 --> 00:14:06,610
+جوار ل y
+
+146
+00:14:09,920 --> 00:14:17,120
+بحيث ان تقاطعهم بساوي five يعني اثنين disjoint
+
+147
+00:14:19,260 --> 00:14:24,660
+تمام؟ لو كان في عندي عددين حققين x لا يساوي y بقدر
+
+148
+00:14:24,660 --> 00:14:31,280
+ألاقي جوار v1 ل x و جوار v2 ل y و الجوارين هدول
+
+149
+00:14:31,280 --> 00:14:36,660
+منفصلين بعتقد حلنا السؤال هذا اه فقولنا خدي
+
+150
+00:14:36,660 --> 00:14:45,290
+epsilon بساوي نص المسافة بين x و yو هد خلّي x زاد
+
+151
+00:14:45,290 --> 00:14:50,410
+y و النقطة هد x سالب y هد عبارة عن y neighborhood
+
+152
+00:14:50,410 --> 00:14:55,570
+ل x وبالتالي neighborhood ل x و خدي هنا برضه هد
+
+153
+00:14:55,570 --> 00:15:01,030
+عبارة عن y سالب y و النقطة هد y زاد y
+
+154
+00:15:03,680 --> 00:15:09,460
+فال .. واضح أن الجوارين هدول متقاطعوش لأن أنا أخدت
+
+155
+00:15:09,460 --> 00:15:13,180
+epsilon نص المسافة هذه و هذه فترة مفتوعة و هذه
+
+156
+00:15:13,180 --> 00:15:18,560
+مفتوعة فمافيش بينهم نقاط مشتركة okay إذا هذا
+
+157
+00:15:18,560 --> 00:15:23,620
+الكلام موجود إذا هذا صحيح exercise 15 بيقول لي إذا
+
+158
+00:15:23,620 --> 00:15:30,310
+كان x لا يساوي yفطبعا ممكن نفرض ان x أصغر من y أو
+
+159
+00:15:30,310 --> 00:15:35,170
+y أصغر من x وبالتالي بقدر ألاقي this joint this
+
+160
+00:15:35,170 --> 00:15:43,630
+joint neighborhoods v1 ل x وv2 ل y على التوالي و 2
+
+161
+00:15:43,630 --> 00:15:50,910
+منفصلين الان احنا فرضين ان x in converge ل xحسب
+
+162
+00:15:50,910 --> 00:15:54,790
+الـ Neighborhood Definition لـ Convergence لما أن
+
+163
+00:15:54,790 --> 00:16:00,550
+المتتالي Xn converge ل X و V1 جوار ل X إذا يوجد
+
+164
+00:16:00,550 --> 00:16:07,710
+عدد طبيعي N1 يعتمد على الجوار V1 بحيث أن Xn تنتمي
+
+165
+00:16:07,710 --> 00:16:13,260
+للجوار V1 لكل N أكبر من أو ساوى N1كذلك احنا فرضين
+
+166
+00:16:13,260 --> 00:16:18,320
+في النظرية ان sequence xn converge ل y و الان v2
+
+167
+00:16:18,320 --> 00:16:23,660
+neighborhood ل y، اذا حسب تعريف ال convergence بما
+
+168
+00:16:23,660 --> 00:16:27,680
+ان xn converge ل y و v2 neighborhood ل y، اذا
+
+169
+00:16:27,680 --> 00:16:32,440
+بنقدر نلاقي عدد طبيعي n2 يعتمد على v2، بحيث ان xn
+
+170
+00:16:32,440 --> 00:16:38,840
+ينتمي لv2 لكل n أكبر من أو ساوي n2الان لو عرفت
+
+171
+00:16:38,840 --> 00:16:42,320
+capital N على Nها ال maximum الاكبر بين N واحد و N
+
+172
+00:16:42,320 --> 00:16:47,360
+اتنين هذا معناه ان capital N عدد طبيعي لان الاكبر
+
+173
+00:16:47,360 --> 00:16:52,320
+بين هدول هيكون واحد منهم فهو عدد طبيعي و capital N
+
+174
+00:16:52,320 --> 00:16:55,640
+اكبر من او ساوي N واحد و اكبر من او ساوي N اتنين
+
+175
+00:16:55,640 --> 00:16:59,820
+لان الكبير فيهم الان
+
+176
+00:16:59,820 --> 00:17:04,120
+لو اخدت small n اكبر من او ساوي capital N فمن
+
+177
+00:17:04,120 --> 00:17:09,540
+تعريف capital Nهذا بيقدي ان capital N أكبر من أو
+
+178
+00:17:09,540 --> 00:17:14,760
+ساوي N واحد اذا الان انا عندي small n أكبر من أو
+
+179
+00:17:14,760 --> 00:17:23,820
+ساوي N واحد وبالتالي اذا Xn تنتمي ل D واحد كذلك
+
+180
+00:17:23,820 --> 00:17:29,560
+انا عندي من تعريف capital N capital N أكبر من أو
+
+181
+00:17:29,560 --> 00:17:34,950
+ساوي N اتنينوبالتالي small n أكبر من أو ساوي
+
+182
+00:17:34,950 --> 00:17:38,970
+capital N اتنين لما تكون small n أكبر من أو ساوي
+
+183
+00:17:38,970 --> 00:17:45,450
+capital N اتنين فبطلع xn ينتمي إلى v2 إذا الأن أنا
+
+184
+00:17:45,450 --> 00:17:49,110
+أثبتت أنه لو كانت small n أكبر من أو ساوي capital
+
+185
+00:17:49,110 --> 00:17:57,090
+N فبطلع xn ينتمي إلىV1 و الى V2 وبالتالي تنتمي
+
+186
+00:17:57,090 --> 00:18:01,290
+لتقاطعهم إذا المعنى أن التقاطع هذا لا يساوي فيه
+
+187
+00:18:01,290 --> 00:18:05,810
+وهذا بيديني contradiction لأنه exercise 15 بيقول
+
+188
+00:18:05,810 --> 00:18:10,450
+لي أن V1 و V2 هدول disjoint فكيف طلع مش disjoint
+
+189
+00:18:10,450 --> 00:18:16,070
+تناقض تناقض هذا بيقول لي أن ال assumption تبعيإن X
+
+190
+00:18:16,070 --> 00:18:20,390
+لا تساوي Y كان خطأ إذن الصح إن X بالساوي Y
+
+191
+00:18:20,390 --> 00:18:25,430
+وبالتالي ال limit لل sequence لازم تكون واحدة
+
+192
+00:18:25,430 --> 00:18:33,990
+unique تمام؟ واضح البرهان؟ في أي استفسار؟
+
+193
+00:18:33,990 --> 00:18:37,510
+في أي سؤال؟
+
+194
+00:18:50,080 --> 00:19:02,120
+النظرية التانية تعطيني
+
+195
+00:19:02,120 --> 00:19:09,740
+شروط متكافئة لتعريف ال convergence للسيكوينس فلو
+
+196
+00:19:09,740 --> 00:19:12,840
+في عندي سيكوينس of real numbers وعندي real number
+
+197
+00:19:12,840 --> 00:19:17,630
+x the following are equivalentهذا اختصار الكلمات
+
+198
+00:19:17,630 --> 00:19:21,530
+the following are equivalent الاعبارات التالية
+
+199
+00:19:21,530 --> 00:19:27,670
+متكافئة اول عبارة x in converge ل x هذا معناه حسب
+
+200
+00:19:27,670 --> 00:19:31,070
+تعريف ال convergence ال neighborhood definition ان
+
+201
+00:19:31,070 --> 00:19:42,150
+for every neighborhood V of X of X there exists
+
+202
+00:19:42,150 --> 00:19:50,590
+capital N يعتمد على Vعدد طبيعي بحيث أنه لو كان n
+
+203
+00:19:50,590 --> 00:19:56,150
+أكبر من أو ساوي capital N هذا بيقدر ان xn ينتمي
+
+204
+00:19:56,150 --> 00:20:03,390
+إلى b هاي معناه xn converge ل x الان هذا ال
+
+205
+00:20:03,390 --> 00:20:06,990
+neighborhood definition لل convergence بيكافئ
+
+206
+00:20:06,990 --> 00:20:11,770
+العبارة بي وهذا بنسميها ال epsilon neighborhood
+
+207
+00:20:11,770 --> 00:20:16,150
+definition لل convergenceهذا بقى بنسميه epsilon
+
+208
+00:20:16,150 --> 00:20:20,210
+neighborhood definition of convergence ليه؟
+
+209
+00:20:20,210 --> 00:20:22,850
+العبارة دي بتقول لكل for every epsilon
+
+210
+00:20:22,850 --> 00:20:27,930
+neighborhood V epsilon ل X يعني بدل لكل
+
+211
+00:20:27,930 --> 00:20:32,550
+neighborhood بدلناها لكل epsilon neighborhood ل X
+
+212
+00:20:32,550 --> 00:20:35,630
+يوجد capital N يعتمد على ال epsilon neighborhood
+
+213
+00:20:35,630 --> 00:20:42,160
+وبالتالي يعتمد على ال epsilon عدد طبيعيبحيث أنه
+
+214
+00:20:42,160 --> 00:20:46,200
+لكل N أكبر من أوسعه capital N بطلع XN ينتمي لبي
+
+215
+00:20:46,200 --> 00:20:52,820
+نفس العادلالعبارة التالتة بتقول لكل إبسلون لأي عدد
+
+216
+00:20:52,820 --> 00:20:56,260
+إبسلون موجة بنقدر نلاقي عدد طبيعي يعتمد على إبسلون
+
+217
+00:20:56,260 --> 00:21:01,500
+بحيث لو كان n أكبر من أو ساوي capital N فالمسافة
+
+218
+00:21:01,500 --> 00:21:07,800
+بين x and x تطلع أصغر من إبسلون هذا بنسميه الجزء C
+
+219
+00:21:07,800 --> 00:21:13,180
+وهذا الجزء الأكتر جزء هنستخدمه في إثبات ال
+
+220
+00:21:13,180 --> 00:21:18,080
+convergence لsequences معينةهذا بيسميه epsilon
+
+221
+00:21:18,080 --> 00:21:25,600
+capital N definition of
+
+222
+00:21:25,600 --> 00:21:26,500
+convergence
+
+223
+00:21:30,350 --> 00:21:34,970
+انا في عندى انا الفرق A هذا عبارة عن epsilon عبارة
+
+224
+00:21:34,970 --> 00:21:38,530
+عن neighborhood definition of convergence الفرق B
+
+225
+00:21:38,530 --> 00:21:42,230
+بنسميه ال epsilon neighborhood definition لل
+
+226
+00:21:42,230 --> 00:21:46,210
+convergence الفرق C بنسميه epsilon capital N
+
+227
+00:21:46,210 --> 00:21:49,770
+definition of convergence هذا هيكون استعماله شائع
+
+228
+00:21:49,770 --> 00:21:57,370
+اكتر من العبارات السابقةالبرهان ان هذا ال تلاتة
+
+229
+00:21:57,370 --> 00:22:02,490
+إبراهيم بتكافئ بعض هنثبت ان a implies b و b
+
+230
+00:22:02,490 --> 00:22:10,610
+implies c و بعد هيك هنثبت ان c implies a وبالتالي
+
+231
+00:22:10,610 --> 00:22:14,370
+هيك بيطلع التلاتة متكافئة حسب قوانين ال logic
+
+232
+00:22:14,370 --> 00:22:21,830
+مظبوط صح؟طيب نشوف الأول a implies b افرض ان x in
+
+233
+00:22:21,830 --> 00:22:28,010
+converge ل x يعني هذا الكلام صحيح حسب تعريف ال
+
+234
+00:22:28,010 --> 00:22:34,510
+neighborhood definition لل convergence طيب .. طيب
+
+235
+00:22:34,510 --> 00:22:39,150
+احنا عارفين ان كل epsilon .. طيب لإثبات ان b صحيح
+
+236
+00:22:39,150 --> 00:22:45,130
+ناخد أي epsilon neighborhood ل xطب احنا لما درسنا
+
+237
+00:22:45,130 --> 00:22:48,990
+ال neighborhoods قلنا ان كل epsilon neighborhood
+
+238
+00:22:48,990 --> 00:22:52,130
+.. every epsilon neighborhood على الصورة هذه ل X
+
+239
+00:22:52,130 --> 00:22:57,490
+هو ايضا neighborhood ل X صح؟ هذه حقيقة معروفة ..
+
+240
+00:22:57,490 --> 00:23:02,570
+كل epsilon neighborhood ل X is also a neighborhood
+
+241
+00:23:02,570 --> 00:23:09,280
+of Xوبالتالي إذا هنا لو أخدت أي إبسلون
+
+242
+00:23:09,280 --> 00:23:13,140
+neighborhood ل X فهذا neighborhood ل X وبالتالي
+
+243
+00:23:13,140 --> 00:23:15,820
+يوجد capital N يعتمد على الإبسلون neighborhood
+
+244
+00:23:15,820 --> 00:23:24,080
+وهذا الكلام صح وبالتالي A بيؤدي ل B نشوف
+
+245
+00:23:24,080 --> 00:23:27,460
+الآن بيؤدي العبارة بيؤدي إلى C
+
+246
+00:23:42,950 --> 00:23:55,970
+طيب العبارة P هذا هي لو كان P صحيح فبنثبت
+
+247
+00:23:55,970 --> 00:24:05,490
+ان C صحيح فخلينا ناخد خلينا
+
+248
+00:24:05,490 --> 00:24:09,250
+ناخد أبسلون أكبر من السفر ناخد أبسلون أكبر من
+
+249
+00:24:09,250 --> 00:24:09,730
+السفر
+
+250
+00:24:13,900 --> 00:24:22,140
+لو أخدت أي epsilon أكبر من السفر for any epsilon
+
+251
+00:24:22,140 --> 00:24:30,140
+أكبر من السفر take v epsilon of x اللي هو عبارة عن
+
+252
+00:24:30,140 --> 00:24:36,040
+ال epsilon neighborhood ل x فهذا
+
+253
+00:24:36,040 --> 00:24:44,530
+is epsilon neighborhood of x صح؟وبالتالي حسب بي
+
+254
+00:24:44,530 --> 00:24:50,890
+لأي إبسلون neighborhood لهذا يوجد capital N إذا
+
+255
+00:24:50,890 --> 00:24:56,350
+يوجد capital N by
+
+256
+00:24:56,350 --> 00:25:02,930
+بي يوجد capital N يعتمد على الإبسلون neighborhood
+
+257
+00:25:02,930 --> 00:25:09,630
+وبالتالي يعتمد على إبسلون هذا عدد طبيعي بحيث
+
+258
+00:25:13,530 --> 00:25:19,590
+بحيث انه لو كان n أكبر من أو ساوي n of epsilon
+
+259
+00:25:19,590 --> 00:25:28,030
+فهذا بيقدي ان xn ينتمي ل v epsilon ل x اللي هو x
+
+260
+00:25:28,030 --> 00:25:35,630
+سالب epsilon وx موجة بepsilon طب وهذا معناه ان ال
+
+261
+00:25:35,630 --> 00:25:44,930
+xn أكبر من x سالب epsilon أصغر من x زاد epsilonهذا
+
+262
+00:25:44,930 --> 00:25:50,630
+الـ xn ينتمي للفترة المفتوحة هذه معناته هذا الكلام
+
+263
+00:25:50,630 --> 00:25:56,670
+صح هذا معناه xn minus x أصغر من epsilon أكبر من
+
+264
+00:25:56,670 --> 00:26:01,950
+سالب epsilon هذا معناه absolute xn minus x أصغر من
+
+265
+00:26:01,950 --> 00:26:10,800
+epsilon إذن هين أثبتنا إن لو كان b صحيحفلأي يبسلون
+
+266
+00:26:10,800 --> 00:26:18,300
+أكبر من السفر يوجد capital N يعتمد على يبسلون بحيث
+
+267
+00:26:18,300 --> 00:26:23,160
+لكل N أكبر من أو ساوي capital N طلع absolute xn
+
+268
+00:26:23,160 --> 00:26:29,920
+minus x أصغر من يبسلون وبالتالي العبارة C صحيحة
+
+269
+00:26:29,920 --> 00:26:38,500
+متحققة okay تمام؟ الآن بقى نثبت أن العبارة
+
+270
+00:26:38,500 --> 00:26:59,280
+Cبتقدي إلى العبارة A فأفرضي
+
+271
+00:26:59,280 --> 00:27:08,370
+أن العبارة C متحققة suppose C holdsبعدين، بدنا
+
+272
+00:27:08,370 --> 00:27:12,250
+نثبت أن x in converge ل x أو ال neighborhood
+
+273
+00:27:12,250 --> 00:27:17,730
+definition ل x بتحقق فبناخد أي let v be any
+
+274
+00:27:17,730 --> 00:27:24,590
+neighborhood of x فمن تعريف ال neighborhoodلأي
+
+275
+00:27:24,590 --> 00:27:28,910
+neighborhood كل neighborhood v ل x يحتوي داخله
+
+276
+00:27:28,910 --> 00:27:32,030
+epsilon neighborhood ل x هذا ما قلناه قبل هيك
+
+277
+00:27:32,030 --> 00:27:37,430
+وبالتالي يوجد epsilon عدد موجب بحيث ان ال epsilon
+
+278
+00:27:37,430 --> 00:27:44,890
+neighborhood هذه الفترة عبارة عن x in .. هذه
+
+279
+00:27:44,890 --> 00:27:51,090
+المفروضة تكون عفوا هذه المفروضة تكون x مش x in
+
+280
+00:27:51,090 --> 00:28:01,600
+وهذه x سلب epsilonهذا عبارة عن v epsilon ل x هذا
+
+281
+00:28:01,600 --> 00:28:08,880
+المفروض تكون x مش xm إذا لو كان v epsilon
+
+282
+00:28:08,880 --> 00:28:15,740
+neighborhood ففي عندي بقدر ألاقي جواته epsilon
+
+283
+00:28:15,740 --> 00:28:20,520
+neighborhood لل x اللي هو v epsilon ل x الآن من
+
+284
+00:28:20,520 --> 00:28:21,400
+الجزء c
+
+285
+00:28:25,470 --> 00:28:29,650
+لأي أبسلون من الجزء C لأي أبسلون لأ بما أن هذا
+
+286
+00:28:29,650 --> 00:28:33,170
+أبسلون أكبر من السفر إذا بنقدر نلاقي capital N
+
+287
+00:28:33,170 --> 00:28:36,310
+يعتمد على أبسلون بحيث لكل N أكبر من أو ساوية
+
+288
+00:28:36,310 --> 00:28:40,230
+capital N ال absolute value هذه أصغر من أبسلون هذا
+
+289
+00:28:40,230 --> 00:28:45,660
+من الجزء Cطب ما هذا معناه ال implication هذه
+
+290
+00:28:45,660 --> 00:28:50,920
+معناها لكل n أكبر من أو ساوي capital N لو فكيت
+
+291
+00:28:50,920 --> 00:28:58,800
+المتباينة هذه معناها xn ينتمي هذا عبارة عن x ينتمي
+
+292
+00:28:58,800 --> 00:29:06,480
+لفترة مفتوحة x minus y و x z epsilon اللي هو ال
+
+293
+00:29:06,480 --> 00:29:09,720
+epsilon neighborhood ل x اللي هو subset من V
+
+294
+00:29:11,670 --> 00:29:19,650
+وبالتالي هيك بنكون أثبتنا أن ال XIN ينتمي إلى ال
+
+295
+00:29:19,650 --> 00:29:24,530
+neighborhood V كمان
+
+296
+00:29:24,530 --> 00:29:30,830
+مرة أنا بدي أثبت أن العبارة C بتأدي ليه، افرض أن
+
+297
+00:29:30,830 --> 00:29:36,610
+العبارة C صحيحةالان لإثبات a اللى هى x in converge
+
+298
+00:29:36,610 --> 00:29:40,790
+ل x بتثبت أنه ال neighborhood definition لل
+
+299
+00:29:40,790 --> 00:29:45,750
+convergence بتحقق يعنى x عبارة عن limit لل
+
+300
+00:29:45,750 --> 00:29:48,650
+sequence x in فنرجع لتعريف ال neighborhood
+
+301
+00:29:48,650 --> 00:29:53,190
+definition of convergence نبدأ ب neighborhood ل x
+
+302
+00:29:53,190 --> 00:29:57,910
+ونستخدم الحقيقة أن كل neighborhood ل x يحتوي
+
+303
+00:29:57,910 --> 00:30:04,160
+epsilon neighborhoodالان من C .. C بيقول لي إذا في
+
+304
+00:30:04,160 --> 00:30:08,400
+عندك إبسلون موجبة تقدر تلاقي capital N يعتمد عليها
+
+305
+00:30:08,400 --> 00:30:12,940
+بحيث أنه لكل N أكبر من ما يساوي capital N المسافة
+
+306
+00:30:12,940 --> 00:30:17,660
+هذه أصغر من إبسلونطب هذه ال implication الأخيرة هي
+
+307
+00:30:17,660 --> 00:30:22,380
+N أكبر من أو ساوي capital N بتقدي في حل المتباين
+
+308
+00:30:22,380 --> 00:30:28,640
+هذه في Xn فبطلع Xn ينتمي إلى X سالب Y و X فاللي هو
+
+309
+00:30:28,640 --> 00:30:33,320
+هذا ال epsilon neighborhood اللي هوداخل V وبالتالي
+
+310
+00:30:33,320 --> 00:30:37,660
+لكل N أكبر من لو ساوي capital N طلع Xn ينتمي لل
+
+311
+00:30:37,660 --> 00:30:42,300
+neighborhood V هذا من التعريف معناه Xn converge ل
+
+312
+00:30:42,300 --> 00:30:48,820
+X وبالتالي اللي عبارة أيه صحيحة تمام؟ إذا هيك
+
+313
+00:30:48,820 --> 00:30:53,940
+بنكون أثبتنا النظرية أن التلت تعريفات هذه كلها
+
+314
+00:30:53,940 --> 00:30:54,840
+متكافئة
+
+315
+00:31:02,750 --> 00:31:06,990
+في تعريف الـ tail of a sequence او الـ M tail of a
+
+316
+00:31:06,990 --> 00:31:11,070
+sequence احنا عارفين ان لو في اندز اي .. لأي
+
+317
+00:31:11,070 --> 00:31:18,570
+sequence XN لو خدت M عدد طبيعي اي عدد طبيعي
+
+318
+00:31:18,570 --> 00:31:24,210
+natural number و XN اي sequence of real numbers
+
+319
+00:31:24,210 --> 00:31:31,330
+فالـ XN هذه ممكن انفرفتها نكتب حدودها X1 X2 و هكذا
+
+320
+00:31:32,450 --> 00:31:41,130
+الى x رقم m الان الحد اللي بعد xm عبارة عن xm زاد
+
+321
+00:31:41,130 --> 00:31:50,010
+واحد و اللي بعده xm زاد اتنين و هكذا اذا
+
+322
+00:31:50,010 --> 00:31:53,130
+ال sequence هذه ممكن اكتبها على الصورة هذه حيث م
+
+323
+00:31:53,130 --> 00:31:57,770
+هنا عدد طبيعي ما ثابت
+
+324
+00:31:59,680 --> 00:32:10,460
+الان لو انا ركزت على الجزء هذا من ال sequence و
+
+325
+00:32:10,460 --> 00:32:20,440
+الجزء هذا هو اول m من حدود ال sequence حذفتها فاذا
+
+326
+00:32:20,440 --> 00:32:22,400
+هذا بنسميه m tail
+
+327
+00:32:28,870 --> 00:32:37,630
+متل لسيكوينس xn الدنب م دنب م مش هذا دنب يعني تصور
+
+328
+00:32:37,630 --> 00:32:42,110
+إنها دي أفع هي الرأس تبعها أول م من الحدود ده هي
+
+329
+00:32:42,110 --> 00:32:47,570
+الرأس جاطعة الرأس تبعها فبقى الدنب مش هيك بيقولوا
+
+330
+00:32:47,570 --> 00:32:50,870
+الدنب
+
+331
+00:32:50,870 --> 00:32:56,090
+هذا طويلبنبدأ يعني في عدد لا��ها من الحدود الراس
+
+332
+00:32:56,090 --> 00:33:02,470
+محدود هي عدد منتهي من الحدود اذا ال sequence لو
+
+333
+00:33:02,470 --> 00:33:08,250
+انا حدفت اول M من حدودها فباقي الجزء المتبقى من ال
+
+334
+00:33:08,250 --> 00:33:16,070
+sequence بنسميه M tail واضح طيب اذا الان في نظرية
+
+335
+00:33:16,070 --> 00:33:18,250
+اتنين تلاتة او نظرية تالتة
+
+336
+00:33:20,720 --> 00:33:23,800
+ما هي هذه النظرية اللي بتقول؟ بتقول لو أنا في اندي
+
+337
+00:33:23,800 --> 00:33:29,500
+إذا هاي ال m tail هذا ال m tail ممكن كتابته على
+
+338
+00:33:29,500 --> 00:33:35,820
+صورة sequence هاي x المؤشر الحد العام تبع ال m
+
+339
+00:33:35,820 --> 00:33:40,660
+tail m زاد n حيث و اين العداد الطبيعي m ثابت و n
+
+340
+00:33:40,660 --> 00:33:43,980
+العداد الطبيعي وبالتالي هنا لو كانت n بالساوية
+
+341
+00:33:43,980 --> 00:33:50,800
+واحد اول حد xm زاد واحد و هكذا طيبالان النظرية
+
+342
+00:33:50,800 --> 00:33:57,980
+التالية بتقولني انه لو كان ال M tail convergent
+
+343
+00:34:02,380 --> 00:34:07,760
+فال sequence نفسها ال M بتكون convergent و العكس
+
+344
+00:34:07,760 --> 00:34:12,020
+لو كانت ال sequence convergent فأي M tail منها
+
+345
+00:34:12,020 --> 00:34:15,940
+هيكون convergent و اتنين لهم نفس ال limit اتنين
+
+346
+00:34:15,940 --> 00:34:20,020
+لهم نفس ال limit اذا مرة تانية لو كان في عندك
+
+347
+00:34:20,020 --> 00:34:27,500
+sequence XN M fixed natural number فال M tail اللي
+
+348
+00:34:27,500 --> 00:34:32,350
+هو ال sequence هذهconverges if and only if
+
+349
+00:34:32,350 --> 00:34:39,210
+الsequence نفسها converges وهي البرهان هذا ال part
+
+350
+00:34:39,210 --> 00:34:43,750
+f افرضي
+
+351
+00:34:43,750 --> 00:34:48,290
+ان x in convergent نثبت ان ال m ت ال convergent
+
+352
+00:34:48,290 --> 00:34:54,540
+ماشي الحال طيب اذا كانت x in convergent ل xيعني ال
+
+353
+00:34:54,540 --> 00:34:57,620
+limit تبعتها إذا كانت convergent فلازم يكون لها
+
+354
+00:34:57,620 --> 00:35:02,020
+limit فأفرض إن ال limit تبعتها xالأن حسب epsilon
+
+355
+00:35:02,020 --> 00:35:06,080
+capital N definition لل limit أو لل convergence
+
+356
+00:35:06,080 --> 00:35:11,140
+إذا لأي epsilon أكبر من 0 نقدر نلاقي N يعتمد على
+
+357
+00:35:11,140 --> 00:35:15,860
+epsilon عدد طبيعي كبير و ممكن ناخده يكون أكبر من
+
+358
+00:35:15,860 --> 00:35:22,040
+العدد الثابت العدد الطبيعي ثابت M بحيث أنه لكل N
+
+359
+00:35:22,040 --> 00:35:25,900
+أكبر من أو ساوي capital N المسافة بين X و N هو X
+
+360
+00:35:25,900 --> 00:35:31,410
+أصغر من Yهذا من تعريف الـ epsilon capital N
+
+361
+00:35:31,410 --> 00:35:37,590
+definition لل convergence طيب اللي انا بقدر اعرف
+
+362
+00:35:37,590 --> 00:35:43,930
+capital N prime على انه capital N مطروح منها
+
+363
+00:35:43,930 --> 00:35:50,060
+capital Mطبعا هنا capital N احنا اختارناها اكبر من
+
+364
+00:35:50,060 --> 00:35:54,220
+M فالفرق هذا موجب وهذا عدد طبيعي وهذا عدد طبيعي
+
+365
+00:35:54,220 --> 00:35:59,500
+اذا الفرق عدد صحيح موجب يعني عدد طبيعي هذا عدد
+
+366
+00:35:59,500 --> 00:36:03,220
+ثابت وهذا يعتمد على epsilon اذا N prime الفرق
+
+367
+00:36:03,220 --> 00:36:09,000
+بينهم يعتمد على epsilon تمام؟إذا هنا عرفنا N' عدد
+
+368
+00:36:09,000 --> 00:36:14,320
+طبيعي ويعتمد على epsilon الان لو أخدت اي M عدد
+
+369
+00:36:14,320 --> 00:36:16,960
+طبيعي أكبر من أو ساوي N'
+
+370
+00:36:20,020 --> 00:36:25,520
+فنجمع capital M للطرفين فبطلع capital M زاد small
+
+371
+00:36:25,520 --> 00:36:29,980
+m أكبر من أو ساوي N prime زاد capital M طب N prime
+
+372
+00:36:29,980 --> 00:36:34,540
+زاد capital M بساوي N إبسلون وبالتالي هذا أكبر من
+
+373
+00:36:34,540 --> 00:36:40,860
+أو ساوي N لإبسلون إذا حسب ال implication واحدالـ
+
+374
+00:36:40,860 --> 00:36:45,260
+implication واحد بتقوللي لأي عدد طبيعي .. لأي عدد
+
+375
+00:36:45,260 --> 00:36:50,560
+طبيعي أكبر من أو ساوي capital N لازم يطلع ال
+
+376
+00:36:50,560 --> 00:36:56,900
+absolute value ل X sub العدد الطبيعي اللي هو M زاد
+
+377
+00:36:56,900 --> 00:36:59,320
+M minus X أصغر من epsilon
+
+378
+00:37:03,110 --> 00:37:08,470
+وهذا بيدّي أن ال tail .. ال tail of the sequence
+
+379
+00:37:08,470 --> 00:37:13,110
+converge ل X حسب التعريف ما معناه أن ال tail هذا
+
+380
+00:37:13,110 --> 00:37:18,470
+convergent؟ معناه أن لأي epsilon أكبر من الصفر ..
+
+381
+00:37:18,470 --> 00:37:25,050
+لأي epsilon أكبر من الصفر هيوجد N prime .. هيوجد N
+
+382
+00:37:25,050 --> 00:37:29,130
+prime عدد طبيعي يعتمد على epsilon
+
+383
+00:37:31,850 --> 00:37:38,290
+يوجد عدد طبيعي N' يعتمد على إبسلون بحيث لكل M أكبر
+
+384
+00:37:38,290 --> 00:37:44,350
+من أو يساوي N' طلع المسافة بين الحد رقم capital M
+
+385
+00:37:44,350 --> 00:37:47,690
+زاد small m minus X أصغر من إبسلون هذا بالضبط
+
+386
+00:37:47,690 --> 00:37:53,310
+معناه إن ال sequence هذه converge ل X as M tends
+
+387
+00:37:53,310 --> 00:37:59,580
+to infinityإذاً هيك بنكون أثبتنا إنه لو كانت ال
+
+388
+00:37:59,580 --> 00:38:03,240
+sequence x in converge ل x فالتالت تبعها converge
+
+389
+00:38:03,240 --> 00:38:10,720
+ل x okay تمام العكس العكس يعني ضايق ممكن يعني
+
+390
+00:38:10,720 --> 00:38:20,220
+نبرهن العكس في دقيقة او دقيقتين العكس
+
+391
+00:38:20,220 --> 00:38:26,390
+يعني هذا العكس اللي هو ال only if partنفرض المرة
+
+392
+00:38:26,390 --> 00:38:30,450
+هذه أن الـ sequence الـ tail of a sequence الـ
+
+393
+00:38:30,450 --> 00:38:34,770
+tail of the sequence converged ل X وبينما نثبت أن
+
+394
+00:38:34,770 --> 00:38:40,170
+الـ sequence نفسها convergent ل X برضه فنستخدم
+
+395
+00:38:40,170 --> 00:38:42,930
+تعريف epsilon capital N definition للconvergence
+
+396
+00:38:42,930 --> 00:38:48,710
+اللي هو الجزء C من نظرية 2 2 فناخد given epsilon
+
+397
+00:38:48,710 --> 00:38:53,080
+أو let epsilon أكبر من الصفر بيه givenبما أن الـ
+
+398
+00:38:53,080 --> 00:38:56,560
+sequence هذه converge ل X إذا يوجد capital N يعتمد
+
+399
+00:38:56,560 --> 00:39:00,740
+على إبسلون بحيث لكل N أكبر من أو ساوي capital N
+
+400
+00:39:00,740 --> 00:39:04,560
+المسافة بين الحد العام للـ sequence هذه و X أصغر
+
+401
+00:39:04,560 --> 00:39:12,790
+من إبسلونالان بنعرف capital K على انه العدد
+
+402
+00:39:12,790 --> 00:39:18,250
+الطبيعي الثابت M زاد العدد الطبيعي capital N فطبعا
+
+403
+00:39:18,250 --> 00:39:22,490
+مجموعة دين الطبيعيين عدد طبيعي capital N يعتمد على
+
+404
+00:39:22,490 --> 00:39:26,670
+epsilon اذا المجموعة تبعهم بيطلع يعتمد على epsilon
+
+405
+00:39:26,670 --> 00:39:32,330
+اذا هنا انا وجدت او جدت او عرفت عدد طبيعي capital
+
+406
+00:39:32,330 --> 00:39:37,610
+K يعتمد على epsilonالان لو أخدت اي N أكبر من أو
+
+407
+00:39:37,610 --> 00:39:43,170
+ساوي ال capital A فاترحي .. اترحي N من هنا و اترحي
+
+408
+00:39:43,170 --> 00:39:50,350
+N من هنا M عفوا Mلو طرحنا M من الطرفين المتباينة
+
+409
+00:39:50,350 --> 00:39:55,330
+هذه فبطلع N negative capital M أكبر من أو ساوي K
+
+410
+00:39:55,330 --> 00:40:01,170
+minus M طب هاي K اطرحي منها M بساوي N وبالتالي
+
+411
+00:40:01,170 --> 00:40:05,950
+بطلع N سالب M أكبر من أو ساوي N الآن من ال
+
+412
+00:40:05,950 --> 00:40:11,550
+implication اتنين ال implication اتنين بتقول لأي N
+
+413
+00:40:11,550 --> 00:40:15,650
+أكبر من أو ساوي capital اي عدد طبيعيلو كان العدد
+
+414
+00:40:15,650 --> 00:40:20,950
+الطبيعي هذا أكبر من أو ساوي capital N فالمسافة بين
+
+415
+00:40:20,950 --> 00:40:27,390
+X للعدد الطبيعي واضيف عليه M إذا بدي أضيف على هذا
+
+416
+00:40:27,390 --> 00:40:32,230
+M المسافة بين X اللي المؤشر تبعها العدد الطبيعي
+
+417
+00:40:32,230 --> 00:40:37,770
+هذا زائد M اللي هو بيطلع N والمسافة بينه بين X
+
+418
+00:40:37,770 --> 00:40:42,770
+بيطلع أصغر من Epsilonإذاً هيك احنا أثبتنا أنه لأي
+
+419
+00:40:42,770 --> 00:40:46,970
+إبسلون أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على
+
+420
+00:40:46,970 --> 00:40:53,790
+إبسلون بحيث أنه أو يوجد capital K لأي إبسلون أكبر
+
+421
+00:40:53,790 --> 00:40:57,570
+من الصفر يوجد عدد طبيعي capital K يعتمد على إبسلون
+
+422
+00:40:57,570 --> 00:41:06,250
+بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي capital Kلكل n
+
+423
+00:41:06,250 --> 00:41:10,590
+أكبر من أو ساوي كابتل K طلع المسافة بين xn و x
+
+424
+00:41:10,590 --> 00:41:15,370
+أصغر من إبسل إذن هذا بالضبط معناه أن ال sequence
+
+425
+00:41:15,370 --> 00:41:22,590
+xn converge ل x زي ما هو مطلوب وهذا بكمل برهان
+
+426
+00:41:22,590 --> 00:41:26,410
+النظرية okay تمام واضح
+
+427
+00:41:31,150 --> 00:41:37,130
+طيب احنا بنكتفي بهذا القدر و ان شاء الله في
+
+428
+00:41:37,130 --> 00:41:42,010
+المحاضرة القادمة هناخد برضه بعض النظريات و ناخد
+
+429
+00:41:42,010 --> 00:41:46,350
+أمثلة كيف نثبت ان ال limit ل sequence ل
+
+430
+00:41:46,350 --> 00:41:51,090
+convergence sequence بالساوي عدد معين و هكذا طبعا
+
+431
+00:41:51,090 --> 00:41:54,130
+كل الأجزاء هذه موجودة عندكم ممكن تقرؤوها و تحضروها
+
+432
+00:41:54,130 --> 00:41:56,010
+للمحاضرة الجاية
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/CINg1xNQafM_raw.srt

@@ -0,0 +1,1728 @@
+1
+00:00:21,320 --> 00:00:25,400
+هنبدأ ان شاء الله اليوم chapter جديد و هو ال
+
+2
+00:00:25,400 --> 00:00:30,060
+chapter التاني عنوان ال chapter sequences and
+
+3
+00:00:30,060 --> 00:00:35,960
+series المتتاليات و المتسلسلات طبعا الموضوع هذا
+
+4
+00:00:35,960 --> 00:00:43,220
+مار معاكم في تفاضل ألف .. تفاضل با عفوا و درسنا
+
+5
+00:00:43,220 --> 00:00:46,860
+خواص ال sequences بطريقة مختصرة و ال series
+
+6
+00:00:46,860 --> 00:00:53,710
+اتوسعنا فيهاالمرة هذه هنتوسع في ال sequences و
+
+7
+00:00:53,710 --> 00:00:58,750
+هنختصر في ال series العكس يعني و هنتناول دراسة كل
+
+8
+00:00:58,750 --> 00:01:06,130
+منهم بطريقة تحليلية و طريقة موضعية أكتر يعني من
+
+9
+00:01:06,130 --> 00:01:07,270
+وجه اتناظر رياضية
+
+10
+00:01:10,330 --> 00:01:13,590
+فأول section في هذا ال chapter هيكون عنوانه
+
+11
+00:01:13,590 --> 00:01:17,610
+sequences and their limits المتتاليات و نهاياتهم
+
+12
+00:01:22,470 --> 00:01:28,630
+فنشوف تعريف ال sequence ال sequence in X ما معنى
+
+13
+00:01:28,630 --> 00:01:33,110
+sequence in X، X مجموعة، أي مجموعة ممكن طبعا هناخد
+
+14
+00:01:33,110 --> 00:01:37,470
+هنا X مجموعة الأعداد الحقيقية، هذه المجموعة اللي
+
+15
+00:01:37,470 --> 00:01:42,450
+احنا بنهتم فيها في ال course هذا ف sequence in X
+
+16
+00:01:42,450 --> 00:01:47,410
+يعني ال sequence على سرها تنتمي للمجموعة Xفلو أخدت
+
+17
+00:01:47,410 --> 00:01:52,610
+أي مجموعة x فعشان أعرف sequence عناصرها في x فما
+
+18
+00:01:52,610 --> 00:01:55,470
+هي ال sequence في المجموعة x؟ هي عبارة مجرد
+
+19
+00:01:55,470 --> 00:02:00,970
+function دالة المجال تبعها الأعداد الطبيعية أو أي
+
+20
+00:02:00,970 --> 00:02:04,970
+مجموعة جزئية منها والمجال المقابل تبعها هي
+
+21
+00:02:04,970 --> 00:02:09,820
+المجموعة x اللي ال sequence تنتمي إليهاو في الحالة
+
+22
+00:02:09,820 --> 00:02:13,360
+هذه إذا ال sequence هي function دالة بس دالة من
+
+23
+00:02:13,360 --> 00:02:19,320
+نوع خاص مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية و عادة احنا
+
+24
+00:02:19,320 --> 00:02:23,320
+بنهتم بال sequences of real numbers او المتتاليات
+
+25
+00:02:23,320 --> 00:02:27,280
+اللي عناصرها أعداد حقيقية وبالتالي X هذه هتكون
+
+26
+00:02:27,280 --> 00:02:31,460
+اللي هو مجموعة الأعداد الحقيقية طيب هذه ال
+
+27
+00:02:31,460 --> 00:02:35,410
+sequence functionمجالها العداد الطبيعي وبالتالي
+
+28
+00:02:35,410 --> 00:02:40,350
+ممكن نعرفها F هي عند أي عدد طبيعي N هي عبارة عن XN
+
+29
+00:02:40,350 --> 00:02:47,030
+XN طبعا هذا ينتمي للمجموعة X وبالتالي ال .. ال ..
+
+30
+00:02:47,030 --> 00:02:52,910
+ال sequence FN هذه احنا بنحاول نعرفها بدلالة ال
+
+31
+00:02:52,910 --> 00:02:56,720
+range تبعهايعني بدل ما اقول ال sequence هي
+
+32
+00:02:56,720 --> 00:03:01,800
+function جرّت العادة ان احنا نحذف رمز ال function
+
+33
+00:03:01,800 --> 00:03:05,980
+و نستبدله بال range تبع ال function اللي هو y ال
+
+34
+00:03:05,980 --> 00:03:09,960
+range تبع ال function كل ال x n حيث n عدد طبيعي
+
+35
+00:03:09,960 --> 00:03:13,980
+ببدأ من واحد من ت أنما إلى نهاية اذا ال sequence
+
+36
+00:03:13,980 --> 00:03:18,600
+بدل ما نكتبها على صورة function هنكتبها على الصورة
+
+37
+00:03:18,600 --> 00:03:24,340
+هذه او الصورة هذه او الصورة هذه او الصورة هذه okay
+
+38
+00:03:26,550 --> 00:03:30,070
+و طبعا ال sequence هذه يعني أسرها هذه أو أي واحدة
+
+39
+00:03:30,070 --> 00:03:37,350
+منهم ممكن نكتبها برضه على الصورة x1, x2, x3 و هكذا
+
+40
+00:03:40,840 --> 00:03:45,180
+فكل الرموز هذه ترمز إلى ال sequence هذه اللي هي ال
+
+41
+00:03:45,180 --> 00:03:53,400
+function f اللي هي ال function f okay إذن أهم شيء
+
+42
+00:03:53,400 --> 00:03:56,480
+في تعريفنا أن ال sequence هي function دلنا
+
+43
+00:03:56,480 --> 00:04:00,400
+وبالتالي لها مجال مجالها العداد الطبيعي المجال
+
+44
+00:04:00,400 --> 00:04:04,420
+المقابل هي المجموعة اللي عناصر ال sequence تنتمي
+
+45
+00:04:04,420 --> 00:04:10,950
+لها ال sequences ممكن أعرفهم ��طريقتينإذا في
+
+46
+00:04:10,950 --> 00:04:15,970
+الملاحظة هذه sequences can be defined explicitly
+
+47
+00:04:15,970 --> 00:04:19,910
+هذه أحد الطرق ممكن يعرف ال sequence بطريقة صريحة
+
+48
+00:04:19,910 --> 00:04:27,890
+بطريقة بقانونفمثلا ال sequence if بالساوية عناصرها
+
+49
+00:04:27,890 --> 00:04:31,670
+اتنين اربعة ستة تمانية الاخرى هذه عبارة عن
+
+50
+00:04:31,670 --> 00:04:38,130
+sequence وهي معرفة بطريقة صريحة فهذه عبارة عن
+
+51
+00:04:38,130 --> 00:04:42,630
+sequence of even natural members العداد الطبيعية
+
+52
+00:04:42,630 --> 00:04:47,790
+الزوجيةممكن نكتب الحد العام الانف هذا بنسميه الانف
+
+53
+00:04:47,790 --> 00:04:53,710
+term اكس ان هذا هنا بنسميه الانف term الحد النوني
+
+54
+00:04:53,710 --> 00:04:59,190
+الحد النوني او الحد العام فال انف term هنا هو
+
+55
+00:04:59,190 --> 00:05:08,180
+اتنين ان اكس ان بساوي اتنين ان حيث ان عدد طبيعيأو
+
+56
+00:05:08,180 --> 00:05:12,620
+ممكن نكتب ال sequence على صورة 2n من n بالساعة
+
+57
+00:05:12,620 --> 00:05:16,740
+واحد إلى ملا نهائية إذا هنا أنا بعرف ال sequence
+
+58
+00:05:16,740 --> 00:05:22,960
+برص حدودها أول تلات حدود إلى و هكذا أو بكتب قاعدة
+
+59
+00:05:22,960 --> 00:05:27,880
+لحد العام xn و طبعا n أدى الطبيعي فمقدر من القاعدة
+
+60
+00:05:27,880 --> 00:05:32,740
+هذه أجيب كل الحدود إذا هذا explicit definition of
+
+61
+00:05:32,740 --> 00:05:39,150
+a sequence هذا تعريف صريح لل sequenceفي طريقة
+
+62
+00:05:39,150 --> 00:05:44,870
+تانية لتعريف ال sequence وهي الطريقة الاستقرائية،
+
+63
+00:05:44,870 --> 00:05:49,330
+إذا ال sequences can be defined inductively أو
+
+64
+00:05:49,330 --> 00:05:55,970
+recursivelyبطريقة استقرائية او بطريقة تكرارية كيف
+
+65
+00:05:55,970 --> 00:06:02,290
+هذه الطريقة باجي لل sequence و باخد اول حد فيها زي
+
+66
+00:06:02,290 --> 00:06:07,250
+X1 او اول حدين او اول تلات حدود و بعطيهم قيم
+
+67
+00:06:07,250 --> 00:06:16,010
+بحددهم قيم محددة بعطيهم قيم محددة بعدين باجيبباجي
+
+68
+00:06:16,010 --> 00:06:21,990
+بعبّر عن الحد xn زايد واحد او xn بدلالة الحدود
+
+69
+00:06:21,990 --> 00:06:27,850
+اللي جابله وبستخدم طبعا لهذا formula بنسميها
+
+70
+00:06:27,850 --> 00:06:32,070
+recursive formula او inductive formula كما في
+
+71
+00:06:32,070 --> 00:06:39,550
+المثال التالي يعني انا عند ال sequence 2n هذه انا
+
+72
+00:06:39,550 --> 00:06:48,000
+عند ال sequence xn بساوة 2nهذه ممكن أعرفها بطريقة
+
+73
+00:06:48,000 --> 00:06:57,140
+استقرائية كيف باخد بعطي أول حد فيه x1 بعطيله قيمة
+
+74
+00:06:57,140 --> 00:07:01,220
+محددة وهي 2 طبعا أول حد في ال sequence هذه هو 2
+
+75
+00:07:01,220 --> 00:07:06,760
+صح؟ لأن هنا أخدت x1 وعطيته قيمة محددة ممكن في بعض
+
+76
+00:07:06,760 --> 00:07:12,140
+الأمثلة أعطي قيمة قيمة محددة ل x1 و x2 و x3بعدين
+
+77
+00:07:12,140 --> 00:07:19,100
+باجي إلى الحد رقم n زياد واحد و بعبر عنه ب
+
+78
+00:07:19,100 --> 00:07:23,000
+recursive formula بعبر عنه بدلالة الحد اللي جابله
+
+79
+00:07:23,000 --> 00:07:26,760
+او الحد اللي جابله مباشرة و الجاب اللي جابله و
+
+80
+00:07:26,760 --> 00:07:32,510
+هكذافهذه بنسميها recursive أو inductive formula
+
+81
+00:07:32,510 --> 00:07:37,150
+تعطيني لحد رقم n زاد واحد بدالة الحد اللي جابله xn
+
+82
+00:07:37,150 --> 00:07:43,870
+فمثلا لو بده أحسب x2 فباخد n بساوي واحد هنا صح
+
+83
+00:07:43,870 --> 00:07:50,110
+فبطل عند x2 بساوي x1 زاد اتنين x1 بساوي اتنين زاد
+
+84
+00:07:50,110 --> 00:07:56,400
+اتنين بطلع أربعةX3 برضه عشان اجيب X3 بستخدم ال
+
+85
+00:07:56,400 --> 00:08:00,480
+recursive formula و باخد N بساوي 2 فبطلع عند X3
+
+86
+00:08:00,480 --> 00:08:06,600
+بساوي X2 زائد 2 X2 أربعة و اتنين بطلع ستة و هكذا
+
+87
+00:08:06,600 --> 00:08:13,340
+اذا هيك بحصل على ال sequence 2N اللي حدودها 2 4 6
+
+88
+00:08:13,340 --> 00:08:20,460
+8 و هكذا اه okay تمام ال
+
+89
+00:08:20,460 --> 00:08:30,520
+..طيب الان بدي اعرف ما معناه ان ال sequence تكون
+
+90
+00:08:30,520 --> 00:08:36,500
+convergent او لها limit لو في عندى sequence من
+
+91
+00:08:36,500 --> 00:08:37,720
+العداد الحقيقية
+
+92
+00:08:41,200 --> 00:08:45,480
+فبقول إن ال sequence converge
+
+93
+00:08:45,480 --> 00:08:51,860
+ال sequence of real numbers بتكون converge أو
+
+94
+00:08:51,860 --> 00:08:59,940
+convergent إذا قدرت ألاقي X ينتمي ل R بحيث إنه لكل
+
+95
+00:08:59,940 --> 00:09:06,200
+neighborhood V ل X لكل جوار V ل X بقدر أو جد أو
+
+96
+00:09:06,200 --> 00:09:12,250
+ألاقيعدد طبيعي capital N يعتمد على الجوار V ينتمي
+
+97
+00:09:12,250 --> 00:09:17,030
+لعداد الطبيعية بحيث أنه لكل small n أكبر من أو سوى
+
+98
+00:09:17,030 --> 00:09:21,770
+capital N، Xn ينتمي إلى V يعني الجوار V هذا يحتوي
+
+99
+00:09:21,770 --> 00:09:29,100
+كل عناصر ال sequence من capital N وانت طالعفلو هذا
+
+100
+00:09:29,100 --> 00:09:34,020
+الشرط اتحقق فبنقول ان الـ sequence converge و ال
+
+101
+00:09:34,020 --> 00:09:38,040
+limit تبعتها هي العدد X في الحالة هذه بنقول ان X
+
+102
+00:09:38,040 --> 00:09:46,080
+is the limit of sequence X in و
+
+103
+00:09:46,080 --> 00:09:51,180
+بنكتب limit X in بالساوية X او نكتب X in tends to
+
+104
+00:09:51,180 --> 00:09:57,750
+X as N tends to infinityهذا التعريف بنسميه ال
+
+105
+00:09:57,750 --> 00:10:05,170
+neighborhood neighborhood definition neighborhood
+
+106
+00:10:05,170 --> 00:10:16,710
+definition of convergence تعريف
+
+107
+00:10:16,710 --> 00:10:18,210
+الجوار للتقارب
+
+108
+00:10:22,960 --> 00:10:28,200
+طيب لو ال sequence ماكانش لها limit يعني مافيش لا
+
+109
+00:10:28,200 --> 00:10:34,560
+يوجد x ينتمي ل r بحقق الشرط هذا فبنقول ان ال
+
+110
+00:10:34,560 --> 00:10:40,060
+sequence ليست not convergent او divergent اذا لو
+
+111
+00:10:40,060 --> 00:10:45,220
+ال sequence مالهاش has no limit فبنسميها divergent
+
+112
+00:10:45,220 --> 00:10:50,820
+اذا مثلا بتكون ال sequence convergent اذا كان في
+
+113
+00:10:50,820 --> 00:10:54,560
+لها limitطب ما معناه ان ال sequence يكون لها
+
+114
+00:10:54,560 --> 00:11:01,680
+limit؟ معناه ان يوجد عدد حقيقي X بحيث لكل جوار V ل
+
+115
+00:11:01,680 --> 00:11:08,260
+X في عدد طبيعي capital N يعتمد على الجوار بحيث ان
+
+116
+00:11:08,260 --> 00:11:14,120
+كل حدود ال sequence تنتمي للجوار هذا والمؤشر تبعها
+
+117
+00:11:14,120 --> 00:11:20,130
+ببدأ من capital N وانت طالعيعني معنى الكلام هذا ..
+
+118
+00:11:20,130 --> 00:11:28,290
+هذا الكلام معناه ان X capital N و X capital N زائد
+
+119
+00:11:28,290 --> 00:11:35,990
+واحد و X capital N زائد اتنين و هكذا كل هدول
+
+120
+00:11:35,990 --> 00:11:38,630
+بينتموا الى الجوار دي
+
+121
+00:11:44,830 --> 00:11:48,590
+لو ال sequence مالهاش limit فبنسميها divergent
+
+122
+00:11:48,590 --> 00:11:56,190
+okay طبعا؟ V جوار .. جوار يعني .. مجموعة .. اه
+
+123
+00:11:56,190 --> 00:12:01,410
+جوار ل X يعني مجموعة تحتوي ال X و الجوار عشان V
+
+124
+00:12:01,410 --> 00:12:05,710
+يكون جوار لازم يكون داخله .. لازم نلاقي داخله
+
+125
+00:12:05,710 --> 00:12:10,010
+epsilon نبرهون كل جوار لازم يحتوي epsilon نبرهون
+
+126
+00:12:15,360 --> 00:12:23,300
+يعني مش اي مجموعة طيب
+
+127
+00:12:23,300 --> 00:12:27,780
+ال .. ان لو
+
+128
+00:12:27,780 --> 00:12:32,800
+في اندي سيكوانس و السيكوانس هاد convergent ف ال
+
+129
+00:12:32,800 --> 00:12:34,600
+limit تبعتها بتطلع unique
+
+130
+00:12:41,740 --> 00:12:45,620
+النظرية الأولى بتقول لو كانت x in sequence of real
+
+131
+00:12:45,620 --> 00:12:51,320
+numbers و converge ل x و converge ل y يعني لها two
+
+132
+00:12:51,320 --> 00:12:55,740
+limits فلازم ال limits يكونوا متساويتين يعني ممنوع
+
+133
+00:12:55,740 --> 00:12:59,940
+ال convergence sequence يكون لها أكتر من limit
+
+134
+00:12:59,940 --> 00:13:05,400
+يعني معناه بعبارة أخرى a convergent sequence has a
+
+135
+00:13:05,400 --> 00:13:06,140
+unique limit
+
+136
+00:13:09,340 --> 00:13:13,560
+خلّينا نبرهن الكلام هذا، افرض إنه في عندي sequence
+
+137
+00:13:13,560 --> 00:13:20,440
+x in converge ل x و أيضا converge ل y المطلوب
+
+138
+00:13:20,440 --> 00:13:25,540
+إثبات إن x بساوي y لبرهان ذلك نعمل برهان بالتناقض
+
+139
+00:13:25,540 --> 00:13:30,680
+assume on contrary إن x لا تساوي y ��للي هو نفي
+
+140
+00:13:30,680 --> 00:13:36,600
+النتيجة و بينصل لتناقض في exercise 15 في section 2
+
+141
+00:13:36,600 --> 00:13:41,810
+.2أخذناها في ال chapter السابق بقول لو في عندي أي
+
+142
+00:13:41,810 --> 00:13:49,130
+عددين حقيقيين x و y فبقدر
+
+143
+00:13:49,130 --> 00:13:57,250
+ألاقي v1 جوار ل x و
+
+144
+00:13:57,250 --> 00:14:05,390
+بقدر ألاقي v2 v2
+
+145
+00:14:05,390 --> 00:14:06,610
+جوار ل y
+
+146
+00:14:09,920 --> 00:14:17,120
+بحيث ان تقاطعهم بساوي five يعني اثنين disjoint
+
+147
+00:14:19,260 --> 00:14:24,660
+تمام؟ لو كان في عندي عددين حققين x لا يساوي y بقدر
+
+148
+00:14:24,660 --> 00:14:31,280
+ألاقي جوار v1 ل x و جوار v2 ل y و الجوارين هدول
+
+149
+00:14:31,280 --> 00:14:36,660
+منفصلين بعتقد حلنا السؤال هذا اه فقولنا خدي
+
+150
+00:14:36,660 --> 00:14:45,290
+epsilon بساوي نص المسافة بين x و yو هد خلّي x زاد
+
+151
+00:14:45,290 --> 00:14:50,410
+y و النقطة هد x سالب y هد عبارة عن y neighborhood
+
+152
+00:14:50,410 --> 00:14:55,570
+ل x وبالتالي neighborhood ل x و خدي هنا برضه هد
+
+153
+00:14:55,570 --> 00:15:01,030
+عبارة عن y سالب y و النقطة هد y زاد y
+
+154
+00:15:03,680 --> 00:15:09,460
+فال .. واضح أن الجوارين هدول متقاطعوش لأن أنا أخدت
+
+155
+00:15:09,460 --> 00:15:13,180
+epsilon نص المسافة هذه و هذه فترة مفتوعة و هذه
+
+156
+00:15:13,180 --> 00:15:18,560
+مفتوعة فمافيش بينهم نقاط مشتركة okay إذا هذا
+
+157
+00:15:18,560 --> 00:15:23,620
+الكلام موجود إذا هذا صحيح exercise 15 بيقول لي إذا
+
+158
+00:15:23,620 --> 00:15:30,310
+كان x لا يساوي yفطبعا ممكن نفرض ان x أصغر من y أو
+
+159
+00:15:30,310 --> 00:15:35,170
+y أصغر من x وبالتالي بقدر ألاقي this joint this
+
+160
+00:15:35,170 --> 00:15:43,630
+joint neighborhoods v1 ل x وv2 ل y على التوالي و 2
+
+161
+00:15:43,630 --> 00:15:50,910
+منفصلين الان احنا فرضين ان x in converge ل xحسب
+
+162
+00:15:50,910 --> 00:15:54,790
+الـ Neighborhood Definition لـ Convergence لما أن
+
+163
+00:15:54,790 --> 00:16:00,550
+المتتالي Xn converge ل X و V1 جوار ل X إذا يوجد
+
+164
+00:16:00,550 --> 00:16:07,710
+عدد طبيعي N1 يعتمد على الجوار V1 بحيث أن Xn تنتمي
+
+165
+00:16:07,710 --> 00:16:13,260
+للجوار V1 لكل N أكبر من أو ساوى N1كذلك احنا فرضين
+
+166
+00:16:13,260 --> 00:16:18,320
+في النظرية ان sequence xn converge ل y و الان v2
+
+167
+00:16:18,320 --> 00:16:23,660
+neighborhood ل y، اذا حسب تعريف ال convergence بما
+
+168
+00:16:23,660 --> 00:16:27,680
+ان xn converge ل y و v2 neighborhood ل y، اذا
+
+169
+00:16:27,680 --> 00:16:32,440
+بنقدر نلاقي عدد طبيعي n2 يعتمد على v2، بحيث ان xn
+
+170
+00:16:32,440 --> 00:16:38,840
+ينتمي لv2 لكل n أكبر من أو ساوي n2الان لو عرفت
+
+171
+00:16:38,840 --> 00:16:42,320
+capital N على Nها ال maximum الاكبر بين N واحد و N
+
+172
+00:16:42,320 --> 00:16:47,360
+اتنين هذا معناه ان capital N عدد طبيعي لان الاكبر
+
+173
+00:16:47,360 --> 00:16:52,320
+بين هدول هيكون واحد منهم فهو عدد طبيعي و capital N
+
+174
+00:16:52,320 --> 00:16:55,640
+اكبر من او ساوي N واحد و اكبر من او ساوي N اتنين
+
+175
+00:16:55,640 --> 00:16:59,820
+لان الكبير فيهم الان
+
+176
+00:16:59,820 --> 00:17:04,120
+لو اخدت small n اكبر من او ساوي capital N فمن
+
+177
+00:17:04,120 --> 00:17:09,540
+تعريف capital Nهذا بيقدي ان capital N أكبر من أو
+
+178
+00:17:09,540 --> 00:17:14,760
+ساوي N واحد اذا الان انا عندي small n أكبر من أو
+
+179
+00:17:14,760 --> 00:17:23,820
+ساوي N واحد وبالتالي اذا Xn تنتمي ل D واحد كذلك
+
+180
+00:17:23,820 --> 00:17:29,560
+انا عندي من تعريف capital N capital N أكبر من أو
+
+181
+00:17:29,560 --> 00:17:34,950
+ساوي N اتنينوبالتالي small n أكبر من أو ساوي
+
+182
+00:17:34,950 --> 00:17:38,970
+capital N اتنين لما تكون small n أكبر من أو ساوي
+
+183
+00:17:38,970 --> 00:17:45,450
+capital N اتنين فبطلع xn ينتمي إلى v2 إذا الأن أنا
+
+184
+00:17:45,450 --> 00:17:49,110
+أثبتت أنه لو كانت small n أكبر من أو ساوي capital
+
+185
+00:17:49,110 --> 00:17:57,090
+N فبطلع xn ينتمي إلىV1 و الى V2 وبالتالي تنتمي
+
+186
+00:17:57,090 --> 00:18:01,290
+لتقاطعهم إذا المعنى أن التقاطع هذا لا يساوي فيه
+
+187
+00:18:01,290 --> 00:18:05,810
+وهذا بيديني contradiction لأنه exercise 15 بيقول
+
+188
+00:18:05,810 --> 00:18:10,450
+لي أن V1 و V2 هدول disjoint فكيف طلع مش disjoint
+
+189
+00:18:10,450 --> 00:18:16,070
+تناقض تناقض هذا بيقول لي أن ال assumption تبعيإن X
+
+190
+00:18:16,070 --> 00:18:20,390
+لا تساوي Y كان خطأ إذن الصح إن X بالساوي Y
+
+191
+00:18:20,390 --> 00:18:25,430
+وبالتالي ال limit لل sequence لازم تكون واحدة
+
+192
+00:18:25,430 --> 00:18:33,990
+unique تمام؟ واضح البرهان؟ في أي استفسار؟
+
+193
+00:18:33,990 --> 00:18:37,510
+في أي سؤال؟
+
+194
+00:18:50,080 --> 00:19:02,120
+النظرية التانية تعطيني
+
+195
+00:19:02,120 --> 00:19:09,740
+شروط متكافئة لتعريف ال convergence للسيكوينس فلو
+
+196
+00:19:09,740 --> 00:19:12,840
+في عندي سيكوينس of real numbers وعندي real number
+
+197
+00:19:12,840 --> 00:19:17,630
+x the following are equivalentهذا اختصار الكلمات
+
+198
+00:19:17,630 --> 00:19:21,530
+the following are equivalent الاعبارات التالية
+
+199
+00:19:21,530 --> 00:19:27,670
+متكافئة اول عبارة x in converge ل x هذا معناه حسب
+
+200
+00:19:27,670 --> 00:19:31,070
+تعريف ال convergence ال neighborhood definition ان
+
+201
+00:19:31,070 --> 00:19:42,150
+for every neighborhood V of X of X there exists
+
+202
+00:19:42,150 --> 00:19:50,590
+capital N يعتمد على Vعدد طبيعي بحيث أنه لو كان n
+
+203
+00:19:50,590 --> 00:19:56,150
+أكبر من أو ساوي capital N هذا بيقدر ان xn ينتمي
+
+204
+00:19:56,150 --> 00:20:03,390
+إلى b هاي معناه xn converge ل x الان هذا ال
+
+205
+00:20:03,390 --> 00:20:06,990
+neighborhood definition لل convergence بيكافئ
+
+206
+00:20:06,990 --> 00:20:11,770
+العبارة بي وهذا بنسميها ال epsilon neighborhood
+
+207
+00:20:11,770 --> 00:20:16,150
+definition لل convergenceهذا بقى بنسميه epsilon
+
+208
+00:20:16,150 --> 00:20:20,210
+neighborhood definition of convergence ليه؟
+
+209
+00:20:20,210 --> 00:20:22,850
+العبارة دي بتقول لكل for every epsilon
+
+210
+00:20:22,850 --> 00:20:27,930
+neighborhood V epsilon ل X يعني بدل لكل
+
+211
+00:20:27,930 --> 00:20:32,550
+neighborhood بدلناها لكل epsilon neighborhood ل X
+
+212
+00:20:32,550 --> 00:20:35,630
+يوجد capital N يعتمد على ال epsilon neighborhood
+
+213
+00:20:35,630 --> 00:20:42,160
+وبالتالي يعتمد على ال epsilon عدد طبيعيبحيث أنه
+
+214
+00:20:42,160 --> 00:20:46,200
+لكل N أكبر من أوسعه capital N بطلع XN ينتمي لبي
+
+215
+00:20:46,200 --> 00:20:52,820
+نفس العادلالعبارة التالتة بتقول لكل إبسلون لأي عدد
+
+216
+00:20:52,820 --> 00:20:56,260
+إبسلون موجة بنقدر نلاقي عدد طبيعي يعتمد على إبسلون
+
+217
+00:20:56,260 --> 00:21:01,500
+بحيث لو كان n أكبر من أو ساوي capital N فالمسافة
+
+218
+00:21:01,500 --> 00:21:07,800
+بين x and x تطلع أصغر من إبسلون هذا بنسميه الجزء C
+
+219
+00:21:07,800 --> 00:21:13,180
+وهذا الجزء الأكتر جزء هنستخدمه في إثبات ال
+
+220
+00:21:13,180 --> 00:21:18,080
+convergence لsequences معينةهذا بيسميه epsilon
+
+221
+00:21:18,080 --> 00:21:25,600
+capital N definition of
+
+222
+00:21:25,600 --> 00:21:26,500
+convergence
+
+223
+00:21:30,350 --> 00:21:34,970
+انا في عندى انا الفرق A هذا عبارة عن epsilon عبارة
+
+224
+00:21:34,970 --> 00:21:38,530
+عن neighborhood definition of convergence الفرق B
+
+225
+00:21:38,530 --> 00:21:42,230
+بنسميه ال epsilon neighborhood definition لل
+
+226
+00:21:42,230 --> 00:21:46,210
+convergence الفرق C بنسميه epsilon capital N
+
+227
+00:21:46,210 --> 00:21:49,770
+definition of convergence هذا هيكون استعماله شائع
+
+228
+00:21:49,770 --> 00:21:57,370
+اكتر من العبارات السابقةالبرهان ان هذا ال تلاتة
+
+229
+00:21:57,370 --> 00:22:02,490
+إبراهيم بتكافئ بعض هنثبت ان a implies b و b
+
+230
+00:22:02,490 --> 00:22:10,610
+implies c و بعد هيك هنثبت ان c implies a وبالتالي
+
+231
+00:22:10,610 --> 00:22:14,370
+هيك بيطلع التلاتة متكافئة حسب قوانين ال logic
+
+232
+00:22:14,370 --> 00:22:21,830
+مظبوط صح؟طيب نشوف الأول a implies b افرض ان x in
+
+233
+00:22:21,830 --> 00:22:28,010
+converge ل x يعني هذا الكلام صحيح حسب تعريف ال
+
+234
+00:22:28,010 --> 00:22:34,510
+neighborhood definition لل convergence طيب .. طيب
+
+235
+00:22:34,510 --> 00:22:39,150
+احنا عارفين ان كل epsilon .. طيب لإثبات ان b صحيح
+
+236
+00:22:39,150 --> 00:22:45,130
+ناخد أي epsilon neighborhood ل xطب احنا لما درسنا
+
+237
+00:22:45,130 --> 00:22:48,990
+ال neighborhoods قلنا ان كل epsilon neighborhood
+
+238
+00:22:48,990 --> 00:22:52,130
+.. every epsilon neighborhood على الصورة هذه ل X
+
+239
+00:22:52,130 --> 00:22:57,490
+هو ايضا neighborhood ل X صح؟ هذه حقيقة معروفة ..
+
+240
+00:22:57,490 --> 00:23:02,570
+كل epsilon neighborhood ل X is also a neighborhood
+
+241
+00:23:02,570 --> 00:23:09,280
+of Xوبالتالي إذا هنا لو أخدت أي إبسلون
+
+242
+00:23:09,280 --> 00:23:13,140
+neighborhood ل X فهذا neighborhood ل X وبالتالي
+
+243
+00:23:13,140 --> 00:23:15,820
+يوجد capital N يعتمد على الإبسلون neighborhood
+
+244
+00:23:15,820 --> 00:23:24,080
+وهذا الكلام صح وبالتالي A بيؤدي ل B نشوف
+
+245
+00:23:24,080 --> 00:23:27,460
+الآن بيؤدي العبارة بيؤدي إلى C
+
+246
+00:23:42,950 --> 00:23:55,970
+طيب العبارة P هذا هي لو كان P صحيح فبنثبت
+
+247
+00:23:55,970 --> 00:24:05,490
+ان C صحيح فخلينا ناخد خلينا
+
+248
+00:24:05,490 --> 00:24:09,250
+ناخد أبسلون أكبر من السفر ناخد أبسلون أكبر من
+
+249
+00:24:09,250 --> 00:24:09,730
+السفر
+
+250
+00:24:13,900 --> 00:24:22,140
+لو أخدت أي epsilon أكبر من السفر for any epsilon
+
+251
+00:24:22,140 --> 00:24:30,140
+أكبر من السفر take v epsilon of x اللي هو عبارة عن
+
+252
+00:24:30,140 --> 00:24:36,040
+ال epsilon neighborhood ل x فهذا
+
+253
+00:24:36,040 --> 00:24:44,530
+is epsilon neighborhood of x صح؟وبالتالي حسب بي
+
+254
+00:24:44,530 --> 00:24:50,890
+لأي إبسلون neighborhood لهذا يوجد capital N إذا
+
+255
+00:24:50,890 --> 00:24:56,350
+يوجد capital N by
+
+256
+00:24:56,350 --> 00:25:02,930
+بي يوجد capital N يعتمد على الإبسلون neighborhood
+
+257
+00:25:02,930 --> 00:25:09,630
+وبالتالي يعتمد على إبسلون هذا عدد طبيعي بحيث
+
+258
+00:25:13,530 --> 00:25:19,590
+بحيث انه لو كان n أكبر من أو ساوي n of epsilon
+
+259
+00:25:19,590 --> 00:25:28,030
+فهذا بيقدي ان xn ينتمي ل v epsilon ل x اللي هو x
+
+260
+00:25:28,030 --> 00:25:35,630
+سالب epsilon وx موجة بepsilon طب وهذا معناه ان ال
+
+261
+00:25:35,630 --> 00:25:44,930
+xn أكبر من x سالب epsilon أصغر من x زاد epsilonهذا
+
+262
+00:25:44,930 --> 00:25:50,630
+الـ xn ينتمي للفترة المفتوحة هذه معناته هذا الكلام
+
+263
+00:25:50,630 --> 00:25:56,670
+صح هذا معناه xn minus x أصغر من epsilon أكبر من
+
+264
+00:25:56,670 --> 00:26:01,950
+سالب epsilon هذا معناه absolute xn minus x أصغر من
+
+265
+00:26:01,950 --> 00:26:10,800
+epsilon إذن هين أثبتنا إن لو كان b صحيحفلأي يبسلون
+
+266
+00:26:10,800 --> 00:26:18,300
+أكبر من السفر يوجد capital N يعتمد على يبسلون بحيث
+
+267
+00:26:18,300 --> 00:26:23,160
+لكل N أكبر من أو ساوي capital N طلع absolute xn
+
+268
+00:26:23,160 --> 00:26:29,920
+minus x أصغر من يبسلون وبالتالي العبارة C صحيحة
+
+269
+00:26:29,920 --> 00:26:38,500
+متحققة okay تمام؟ الآن بقى نثبت أن العبارة
+
+270
+00:26:38,500 --> 00:26:59,280
+Cبتقدي إلى العبارة A فأفرضي
+
+271
+00:26:59,280 --> 00:27:08,370
+أن العبارة C متحققة suppose C holdsبعدين، بدنا
+
+272
+00:27:08,370 --> 00:27:12,250
+نثبت أن x in converge ل x أو ال neighborhood
+
+273
+00:27:12,250 --> 00:27:17,730
+definition ل x بتحقق فبناخد أي let v be any
+
+274
+00:27:17,730 --> 00:27:24,590
+neighborhood of x فمن تعريف ال neighborhoodلأي
+
+275
+00:27:24,590 --> 00:27:28,910
+neighborhood كل neighborhood v ل x يحتوي داخله
+
+276
+00:27:28,910 --> 00:27:32,030
+epsilon neighborhood ل x هذا ما قلناه قبل هيك
+
+277
+00:27:32,030 --> 00:27:37,430
+وبالتالي يوجد epsilon عدد موجب بحيث ان ال epsilon
+
+278
+00:27:37,430 --> 00:27:44,890
+neighborhood هذه الفترة عبارة عن x in .. هذه
+
+279
+00:27:44,890 --> 00:27:51,090
+المفروضة تكون عفوا هذه المفروضة تكون x مش x in
+
+280
+00:27:51,090 --> 00:28:01,600
+وهذه x سلب epsilonهذا عبارة عن v epsilon ل x هذا
+
+281
+00:28:01,600 --> 00:28:08,880
+المفروض تكون x مش xm إذا لو كان v epsilon
+
+282
+00:28:08,880 --> 00:28:15,740
+neighborhood ففي عندي بقدر ألاقي جواته epsilon
+
+283
+00:28:15,740 --> 00:28:20,520
+neighborhood لل x اللي هو v epsilon ل x الآن من
+
+284
+00:28:20,520 --> 00:28:21,400
+الجزء c
+
+285
+00:28:25,470 --> 00:28:29,650
+لأي أبسلون من الجزء C لأي أبسلون لأ بما أن هذا
+
+286
+00:28:29,650 --> 00:28:33,170
+أبسلون أكبر من السفر إذا بنقدر نلاقي capital N
+
+287
+00:28:33,170 --> 00:28:36,310
+يعتمد على أبسلون بحيث لكل N أكبر من أو ساوية
+
+288
+00:28:36,310 --> 00:28:40,230
+capital N ال absolute value هذه أصغر من أبسلون هذا
+
+289
+00:28:40,230 --> 00:28:45,660
+من الجزء Cطب ما هذا معناه ال implication هذه
+
+290
+00:28:45,660 --> 00:28:50,920
+معناها لكل n أكبر من أو ساوي capital N لو فكيت
+
+291
+00:28:50,920 --> 00:28:58,800
+المتباينة هذه معناها xn ينتمي هذا عبارة عن x ينتمي
+
+292
+00:28:58,800 --> 00:29:06,480
+لفترة مفتوحة x minus y و x z epsilon اللي هو ال
+
+293
+00:29:06,480 --> 00:29:09,720
+epsilon neighborhood ل x اللي هو subset من V
+
+294
+00:29:11,670 --> 00:29:19,650
+وبالتالي هيك بنكون أثبتنا أن ال XIN ينتمي إلى ال
+
+295
+00:29:19,650 --> 00:29:24,530
+neighborhood V كمان
+
+296
+00:29:24,530 --> 00:29:30,830
+مرة أنا بدي أثبت أن العبارة C بتأدي ليه، افرض أن
+
+297
+00:29:30,830 --> 00:29:36,610
+العبارة C صحيحةالان لإثبات a اللى هى x in converge
+
+298
+00:29:36,610 --> 00:29:40,790
+ل x بتثبت أنه ال neighborhood definition لل
+
+299
+00:29:40,790 --> 00:29:45,750
+convergence بتحقق يعنى x عبارة عن limit لل
+
+300
+00:29:45,750 --> 00:29:48,650
+sequence x in فنرجع لتعريف ال neighborhood
+
+301
+00:29:48,650 --> 00:29:53,190
+definition of convergence نبدأ ب neighborhood ل x
+
+302
+00:29:53,190 --> 00:29:57,910
+ونستخدم الحقيقة أن كل neighborhood ل x يحتوي
+
+303
+00:29:57,910 --> 00:30:04,160
+epsilon neighborhoodالان من C .. C بيقول لي إذا في
+
+304
+00:30:04,160 --> 00:30:08,400
+عندك إبسلون موجبة تقدر تلاقي capital N يعتمد عليها
+
+305
+00:30:08,400 --> 00:30:12,940
+بحيث أنه لكل N أكبر من ما يساوي capital N المسافة
+
+306
+00:30:12,940 --> 00:30:17,660
+هذه أصغر من إبسلونطب هذه ال implication الأخيرة هي
+
+307
+00:30:17,660 --> 00:30:22,380
+N أكبر من أو ساوي capital N بتقدي في حل المتباين
+
+308
+00:30:22,380 --> 00:30:28,640
+هذه في Xn فبطلع Xn ينتمي إلى X سالب Y و X فاللي هو
+
+309
+00:30:28,640 --> 00:30:33,320
+هذا ال epsilon neighborhood اللي هوداخل V وبالتالي
+
+310
+00:30:33,320 --> 00:30:37,660
+لكل N أكبر من لو ساوي capital N طلع Xn ينتمي لل
+
+311
+00:30:37,660 --> 00:30:42,300
+neighborhood V هذا من التعريف معناه Xn converge ل
+
+312
+00:30:42,300 --> 00:30:48,820
+X وبالتالي اللي عبارة أيه صحيحة تمام؟ إذا هيك
+
+313
+00:30:48,820 --> 00:30:53,940
+بنكون أثبتنا النظرية أن التلت تعريفات هذه كلها
+
+314
+00:30:53,940 --> 00:30:54,840
+متكافئة
+
+315
+00:31:02,750 --> 00:31:06,990
+في تعريف الـ tail of a sequence او الـ M tail of a
+
+316
+00:31:06,990 --> 00:31:11,070
+sequence احنا عارفين ان لو في اندز اي .. لأي
+
+317
+00:31:11,070 --> 00:31:18,570
+sequence XN لو خدت M عدد طبيعي اي عدد طبيعي
+
+318
+00:31:18,570 --> 00:31:24,210
+natural number و XN اي sequence of real numbers
+
+319
+00:31:24,210 --> 00:31:31,330
+فالـ XN هذه ممكن انفرفتها نكتب حدودها X1 X2 و هكذا
+
+320
+00:31:32,450 --> 00:31:41,130
+الى x رقم m الان الحد اللي بعد xm عبارة عن xm زاد
+
+321
+00:31:41,130 --> 00:31:50,010
+واحد و اللي بعده xm زاد اتنين و هكذا اذا
+
+322
+00:31:50,010 --> 00:31:53,130
+ال sequence هذه ممكن اكتبها على الصورة هذه حيث م
+
+323
+00:31:53,130 --> 00:31:57,770
+هنا عدد طبيعي ما ثابت
+
+324
+00:31:59,680 --> 00:32:10,460
+الان لو انا ركزت على الجزء هذا من ال sequence و
+
+325
+00:32:10,460 --> 00:32:20,440
+الجزء هذا هو اول m من حدود ال sequence حذفتها فاذا
+
+326
+00:32:20,440 --> 00:32:22,400
+هذا بنسميه m tail
+
+327
+00:32:28,870 --> 00:32:37,630
+متل لسيكوينس xn الدنب م دنب م مش هذا دنب يعني تصور
+
+328
+00:32:37,630 --> 00:32:42,110
+إنها دي أفع هي الرأس تبعها أول م من الحدود ده هي
+
+329
+00:32:42,110 --> 00:32:47,570
+الرأس جاطعة الرأس تبعها فبقى الدنب مش هيك بيقولوا
+
+330
+00:32:47,570 --> 00:32:50,870
+الدنب
+
+331
+00:32:50,870 --> 00:32:56,090
+هذا طويلبنبدأ يعني في عدد لا��ها من الحدود الراس
+
+332
+00:32:56,090 --> 00:33:02,470
+محدود هي عدد منتهي من الحدود اذا ال sequence لو
+
+333
+00:33:02,470 --> 00:33:08,250
+انا حدفت اول M من حدودها فباقي الجزء المتبقى من ال
+
+334
+00:33:08,250 --> 00:33:16,070
+sequence بنسميه M tail واضح طيب اذا الان في نظرية
+
+335
+00:33:16,070 --> 00:33:18,250
+اتنين تلاتة او نظرية تالتة
+
+336
+00:33:20,720 --> 00:33:23,800
+ما هي هذه النظرية اللي بتقول؟ بتقول لو أنا في اندي
+
+337
+00:33:23,800 --> 00:33:29,500
+إذا هاي ال m tail هذا ال m tail ممكن كتابته على
+
+338
+00:33:29,500 --> 00:33:35,820
+صورة sequence هاي x المؤشر الحد العام تبع ال m
+
+339
+00:33:35,820 --> 00:33:40,660
+tail m زاد n حيث و اين العداد الطبيعي m ثابت و n
+
+340
+00:33:40,660 --> 00:33:43,980
+العداد الطبيعي وبالتالي هنا لو كانت n بالساوية
+
+341
+00:33:43,980 --> 00:33:50,800
+واحد اول حد xm زاد واحد و هكذا طيبالان النظرية
+
+342
+00:33:50,800 --> 00:33:57,980
+التالية بتقولني انه لو كان ال M tail convergent
+
+343
+00:34:02,380 --> 00:34:07,760
+فال sequence نفسها ال M بتكون convergent و العكس
+
+344
+00:34:07,760 --> 00:34:12,020
+لو كانت ال sequence convergent فأي M tail منها
+
+345
+00:34:12,020 --> 00:34:15,940
+هيكون convergent و اتنين لهم نفس ال limit اتنين
+
+346
+00:34:15,940 --> 00:34:20,020
+لهم نفس ال limit اذا مرة تانية لو كان في عندك
+
+347
+00:34:20,020 --> 00:34:27,500
+sequence XN M fixed natural number فال M tail اللي
+
+348
+00:34:27,500 --> 00:34:32,350
+هو ال sequence هذهconverges if and only if
+
+349
+00:34:32,350 --> 00:34:39,210
+الsequence نفسها converges وهي البرهان هذا ال part
+
+350
+00:34:39,210 --> 00:34:43,750
+f افرضي
+
+351
+00:34:43,750 --> 00:34:48,290
+ان x in convergent نثبت ان ال m ت ال convergent
+
+352
+00:34:48,290 --> 00:34:54,540
+ماشي الحال طيب اذا كانت x in convergent ل xيعني ال
+
+353
+00:34:54,540 --> 00:34:57,620
+limit تبعتها إذا كانت convergent فلازم يكون لها
+
+354
+00:34:57,620 --> 00:35:02,020
+limit فأفرض إن ال limit تبعتها xالأن حسب epsilon
+
+355
+00:35:02,020 --> 00:35:06,080
+capital N definition لل limit أو لل convergence
+
+356
+00:35:06,080 --> 00:35:11,140
+إذا لأي epsilon أكبر من 0 نقدر نلاقي N يعتمد على
+
+357
+00:35:11,140 --> 00:35:15,860
+epsilon عدد طبيعي كبير و ممكن ناخده يكون أكبر من
+
+358
+00:35:15,860 --> 00:35:22,040
+العدد الثابت العدد الطبيعي ثابت M بحيث أنه لكل N
+
+359
+00:35:22,040 --> 00:35:25,900
+أكبر من أو ساوي capital N المسافة بين X و N هو X
+
+360
+00:35:25,900 --> 00:35:31,410
+أصغر من Yهذا من تعريف الـ epsilon capital N
+
+361
+00:35:31,410 --> 00:35:37,590
+definition لل convergence طيب اللي انا بقدر اعرف
+
+362
+00:35:37,590 --> 00:35:43,930
+capital N prime على انه capital N مطروح منها
+
+363
+00:35:43,930 --> 00:35:50,060
+capital Mطبعا هنا capital N احنا اختارناها اكبر من
+
+364
+00:35:50,060 --> 00:35:54,220
+M فالفرق هذا موجب وهذا عدد طبيعي وهذا عدد طبيعي
+
+365
+00:35:54,220 --> 00:35:59,500
+اذا الفرق عدد صحيح موجب يعني عدد طبيعي هذا عدد
+
+366
+00:35:59,500 --> 00:36:03,220
+ثابت وهذا يعتمد على epsilon اذا N prime الفرق
+
+367
+00:36:03,220 --> 00:36:09,000
+بينهم يعتمد على epsilon تمام؟إذا هنا عرفنا N' عدد
+
+368
+00:36:09,000 --> 00:36:14,320
+طبيعي ويعتمد على epsilon الان لو أخدت اي M عدد
+
+369
+00:36:14,320 --> 00:36:16,960
+طبيعي أكبر من أو ساوي N'
+
+370
+00:36:20,020 --> 00:36:25,520
+فنجمع capital M للطرفين فبطلع capital M زاد small
+
+371
+00:36:25,520 --> 00:36:29,980
+m أكبر من أو ساوي N prime زاد capital M طب N prime
+
+372
+00:36:29,980 --> 00:36:34,540
+زاد capital M بساوي N إبسلون وبالتالي هذا أكبر من
+
+373
+00:36:34,540 --> 00:36:40,860
+أو ساوي N لإبسلون إذا حسب ال implication واحدالـ
+
+374
+00:36:40,860 --> 00:36:45,260
+implication واحد بتقوللي لأي عدد طبيعي .. لأي عدد
+
+375
+00:36:45,260 --> 00:36:50,560
+طبيعي أكبر من أو ساوي capital N لازم يطلع ال
+
+376
+00:36:50,560 --> 00:36:56,900
+absolute value ل X sub العدد الطبيعي اللي هو M زاد
+
+377
+00:36:56,900 --> 00:36:59,320
+M minus X أصغر من epsilon
+
+378
+00:37:03,110 --> 00:37:08,470
+وهذا بيدّي أن ال tail .. ال tail of the sequence
+
+379
+00:37:08,470 --> 00:37:13,110
+converge ل X حسب التعريف ما معناه أن ال tail هذا
+
+380
+00:37:13,110 --> 00:37:18,470
+convergent؟ معناه أن لأي epsilon أكبر من الصفر ..
+
+381
+00:37:18,470 --> 00:37:25,050
+لأي epsilon أكبر من الصفر هيوجد N prime .. هيوجد N
+
+382
+00:37:25,050 --> 00:37:29,130
+prime عدد طبيعي يعتمد على epsilon
+
+383
+00:37:31,850 --> 00:37:38,290
+يوجد عدد طبيعي N' يعتمد على إبسلون بحيث لكل M أكبر
+
+384
+00:37:38,290 --> 00:37:44,350
+من أو يساوي N' طلع المسافة بين الحد رقم capital M
+
+385
+00:37:44,350 --> 00:37:47,690
+زاد small m minus X أصغر من إبسلون هذا بالضبط
+
+386
+00:37:47,690 --> 00:37:53,310
+معناه إن ال sequence هذه converge ل X as M tends
+
+387
+00:37:53,310 --> 00:37:59,580
+to infinityإذاً هيك بنكون أثبتنا إنه لو كانت ال
+
+388
+00:37:59,580 --> 00:38:03,240
+sequence x in converge ل x فالتالت تبعها converge
+
+389
+00:38:03,240 --> 00:38:10,720
+ل x okay تمام العكس العكس يعني ضايق ممكن يعني
+
+390
+00:38:10,720 --> 00:38:20,220
+نبرهن العكس في دقيقة او دقيقتين العكس
+
+391
+00:38:20,220 --> 00:38:26,390
+يعني هذا العكس اللي هو ال only if partنفرض المرة
+
+392
+00:38:26,390 --> 00:38:30,450
+هذه أن الـ sequence الـ tail of a sequence الـ
+
+393
+00:38:30,450 --> 00:38:34,770
+tail of the sequence converged ل X وبينما نثبت أن
+
+394
+00:38:34,770 --> 00:38:40,170
+الـ sequence نفسها convergent ل X برضه فنستخدم
+
+395
+00:38:40,170 --> 00:38:42,930
+تعريف epsilon capital N definition للconvergence
+
+396
+00:38:42,930 --> 00:38:48,710
+اللي هو الجزء C من نظرية 2 2 فناخد given epsilon
+
+397
+00:38:48,710 --> 00:38:53,080
+أو let epsilon أكبر من الصفر بيه givenبما أن الـ
+
+398
+00:38:53,080 --> 00:38:56,560
+sequence هذه converge ل X إذا يوجد capital N يعتمد
+
+399
+00:38:56,560 --> 00:39:00,740
+على إبسلون بحيث لكل N أكبر من أو ساوي capital N
+
+400
+00:39:00,740 --> 00:39:04,560
+المسافة بين الحد العام للـ sequence هذه و X أصغر
+
+401
+00:39:04,560 --> 00:39:12,790
+من إبسلونالان بنعرف capital K على انه العدد
+
+402
+00:39:12,790 --> 00:39:18,250
+الطبيعي الثابت M زاد العدد الطبيعي capital N فطبعا
+
+403
+00:39:18,250 --> 00:39:22,490
+مجموعة دين الطبيعيين عدد طبيعي capital N يعتمد على
+
+404
+00:39:22,490 --> 00:39:26,670
+epsilon اذا المجموعة تبعهم بيطلع يعتمد على epsilon
+
+405
+00:39:26,670 --> 00:39:32,330
+اذا هنا انا وجدت او جدت او عرفت عدد طبيعي capital
+
+406
+00:39:32,330 --> 00:39:37,610
+K يعتمد على epsilonالان لو أخدت اي N أكبر من أو
+
+407
+00:39:37,610 --> 00:39:43,170
+ساوي ال capital A فاترحي .. اترحي N من هنا و اترحي
+
+408
+00:39:43,170 --> 00:39:50,350
+N من هنا M عفوا Mلو طرحنا M من الطرفين المتباينة
+
+409
+00:39:50,350 --> 00:39:55,330
+هذه فبطلع N negative capital M أكبر من أو ساوي K
+
+410
+00:39:55,330 --> 00:40:01,170
+minus M طب هاي K اطرحي منها M بساوي N وبالتالي
+
+411
+00:40:01,170 --> 00:40:05,950
+بطلع N سالب M أكبر من أو ساوي N الآن من ال
+
+412
+00:40:05,950 --> 00:40:11,550
+implication اتنين ال implication اتنين بتقول لأي N
+
+413
+00:40:11,550 --> 00:40:15,650
+أكبر من أو ساوي capital اي عدد طبيعيلو كان العدد
+
+414
+00:40:15,650 --> 00:40:20,950
+الطبيعي هذا أكبر من أو ساوي capital N فالمسافة بين
+
+415
+00:40:20,950 --> 00:40:27,390
+X للعدد الطبيعي واضيف عليه M إذا بدي أضيف على هذا
+
+416
+00:40:27,390 --> 00:40:32,230
+M المسافة بين X اللي المؤشر تبعها العدد الطبيعي
+
+417
+00:40:32,230 --> 00:40:37,770
+هذا زائد M اللي هو بيطلع N والمسافة بينه بين X
+
+418
+00:40:37,770 --> 00:40:42,770
+بيطلع أصغر من Epsilonإذاً هيك احنا أثبتنا أنه لأي
+
+419
+00:40:42,770 --> 00:40:46,970
+إبسلون أكبر من الصفر يوجد capital N يعتمد على
+
+420
+00:40:46,970 --> 00:40:53,790
+إبسلون بحيث أنه أو يوجد capital K لأي إبسلون أكبر
+
+421
+00:40:53,790 --> 00:40:57,570
+من الصفر يوجد عدد طبيعي capital K يعتمد على إبسلون
+
+422
+00:40:57,570 --> 00:41:06,250
+بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي capital Kلكل n
+
+423
+00:41:06,250 --> 00:41:10,590
+أكبر من أو ساوي كابتل K طلع المسافة بين xn و x
+
+424
+00:41:10,590 --> 00:41:15,370
+أصغر من إبسل إذن هذا بالضبط معناه أن ال sequence
+
+425
+00:41:15,370 --> 00:41:22,590
+xn converge ل x زي ما هو مطلوب وهذا بكمل برهان
+
+426
+00:41:22,590 --> 00:41:26,410
+النظرية okay تمام واضح
+
+427
+00:41:31,150 --> 00:41:37,130
+طيب احنا بنكتفي بهذا القدر و ان شاء الله في
+
+428
+00:41:37,130 --> 00:41:42,010
+المحاضرة القادمة هناخد برضه بعض النظريات و ناخد
+
+429
+00:41:42,010 --> 00:41:46,350
+أمثلة كيف نثبت ان ال limit ل sequence ل
+
+430
+00:41:46,350 --> 00:41:51,090
+convergence sequence بالساوي عدد معين و هكذا طبعا
+
+431
+00:41:51,090 --> 00:41:54,130
+كل الأجزاء هذه موجودة عندكم ممكن تقرؤوها و تحضروها
+
+432
+00:41:54,130 --> 00:41:56,010
+للمحاضرة الجاية
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/CRzAwh3Ypto.srt

@@ -0,0 +1,1703 @@
+1
+00:00:21,580 --> 00:00:26,600
+بسم الله الرحمن الرحيم إن شاء الله اليوم هناخد 
+
+2
+00:00:26,600 --> 00:00:31,760
+section خمسة اتنين اللي عنوانه combination of
+
+3
+00:00:31,760 --> 00:00:38,560
+continuous functions قبل ما ناخد أول نظرية عن الـ
+
+4
+00:00:38,560 --> 00:00:41,860
+combination of continuous functions نستذكر أو 
+
+5
+00:00:41,860 --> 00:00:45,300
+نسترجع مع بعض تعريف الـ continuous  الـ continuity
+
+6
+00:00:45,300 --> 00:00:49,300
+عند نقطة ف a function f from a to r is continuous
+
+7
+00:00:49,300 --> 00:00:55,620
+at c نقطة c تنتمي لـ a f and only f لكل إبسلون في
+
+8
+00:00:55,620 --> 00:00:59,740
+دلتا تعتمد على إبسلون عدد موجب بهات لكل x في a
+
+9
+00:01:00,390 --> 00:01:03,710
+المسافة بينها وبين الـC أصغر من دلتا لازم هذا
+
+10
+00:01:03,710 --> 00:01:08,610
+يتضمن أن absolute F of X minus F of C أصغر من
+
+11
+00:01:08,610 --> 00:01:13,270
+إبسلون طبعا شوفنا أن هذا التعريف بيكافئ التعريف
+
+12
+00:01:13,270 --> 00:01:18,970
+اللي أخدناه في calculus A هو الشرط
+
+13
+00:01:18,970 --> 00:01:23,980
+اللي هو بيتألف من تلت شروط وهو أن limit f عن c تكون
+
+14
+00:01:23,980 --> 00:01:30,900
+موجودة و f عن c موجودة و الاثنين بسوء نفس القيمة
+
+15
+00:01:30,900 --> 00:01:43,420
+الآن لو في عندي تلت دوال f و g و h بيه functions
+
+16
+00:01:43,420 --> 00:01:48,700
+from a to r بيه 
+
+17
+00:01:48,700 --> 00:01:49,460
+functions
+
+18
+00:01:54,460 --> 00:02:06,860
+و c تنتمي إلى a و b real number الـ
+
+19
+00:02:06,860 --> 00:02:17,440
+functions
+
+20
+00:02:17,440 --> 00:02:23,820
+are continuous at c
+
+21
+00:02:28,450 --> 00:02:34,350
+إذا الدوال الثلاث F وG وH كلهم متصلين عند النقطة
+
+22
+00:02:34,350 --> 00:02:44,150
+C اللي بتنتمي إليها النتيجة F plus أو minus G F
+
+23
+00:02:44,150 --> 00:02:53,630
+ضرب G B ضرب F are continuous at C
+
+24
+00:02:55,230 --> 00:03:11,750
+B إذا كان H H of X لا تساوي صفر لكل X في A then F
+
+25
+00:03:11,750 --> 00:03:19,710
+على H الدالة F على H is continuous is continuous
+
+26
+00:03:19,710 --> 00:03:20,950
+at C
+
+27
+00:03:25,450 --> 00:03:38,190
+وهي البرهان proof to
+
+28
+00:03:38,190 --> 00:03:48,530
+show مثلا الـ function fg is continuous at c
+
+29
+00:03:51,910 --> 00:04:02,370
+We have لدينا التالي بتثبت 
+
+30
+00:04:02,370 --> 00:04:09,010
+أن الـ F حاصل ضرب الدالتين F و G متصل حاصل ضرب متصل
+
+31
+00:04:09,010 --> 00:04:14,990
+and C فالاثبات دالك بتثبت ان الشرط هذا تبع الاتصال
+
+32
+00:04:14,990 --> 00:04:23,830
+على النقطة بتحقق فتعالى نشوف high limit F ضرب G عند
+
+33
+00:04:23,830 --> 00:04:33,190
+X لما X تقول لـC بنثبت أن هذا بيساوي FG عند C فهذا 
+
+34
+00:04:33,190 --> 00:04:42,190
+بيساوي limit F of X ضرب G of X as X tends to C هذا 
+
+35
+00:04:42,190 --> 00:04:48,610
+من تعريف حاصل ضرب اختراعين وهذا بيساوي أنا عندي
+
+36
+00:04:48,610 --> 00:04:56,150
+limit F of X لما X تقول لـC existو limit الـ
+
+37
+00:04:56,150 --> 00:05:02,250
+function g of x لما x تقول ل c exist لأن الـ
+
+38
+00:05:02,250 --> 00:05:05,110
+function f continuous عند الـ c و الـ function g 
+
+39
+00:05:05,110 --> 00:05:11,250
+احنا فرضينها continuous عند c مش هيكو بس ومن اتصال
+
+40
+00:05:11,250 --> 00:05:17,410
+ده ل F عن C الـ limit هذه بيساوي قيمة F عن C وكذلك 
+
+41
+00:05:17,410 --> 00:05:20,810
+من اتصال الـ function G عن C الـ limit هذه بتطلع 
+
+42
+00:05:20,810 --> 00:05:30,610
+بيساوي G عن C وهذا بيساوي F ضرب G of C إذن هاي
+
+43
+00:05:30,610 --> 00:05:36,480
+الشرط تبع الاتصال عن نقطة متحقق للـ function f ضارب
+
+44
+00:05:36,480 --> 00:05:42,720
+g وبالتالي therefore by definition الـ function f g
+
+45
+00:05:42,720 --> 00:05:59,940
+is continuous at c تمام الـ proof الـ proof of the
+
+46
+00:05:59,940 --> 00:06:00,580
+other
+
+47
+00:06:05,540 --> 00:06:14,200
+parts is similar مشابه للبرهان اللي احنا لسه 
+
+48
+00:06:14,200 --> 00:06:19,180
+ماخدينه يعني لإثبات أن مثلا مجموعة دالتين
+
+49
+00:06:19,180 --> 00:06:24,660
+continuous برضه ممكن إثبات أن limit f زائد g لما x
+
+50
+00:06:24,660 --> 00:06:31,220
+تقول ل c بساوي f زائد g and c لو بدنا نثبت ان limit 
+
+51
+00:06:31,220 --> 00:06:39,480
+f على g او f على h continuous عن c فبناخد limit f
+
+52
+00:06:39,480 --> 00:06:47,420
+على h عن c وهذا بيطلع بساوي limit f of x على h of
+
+53
+00:06:47,420 --> 00:06:53,810
+x ومع أن limit المقامه لا يساوي صفر لأن H ب X لا
+
+54
+00:06:53,810 --> 00:07:00,210
+يساوي صفر لكل X في A فممكن نوزع الـ limit نقول
+
+55
+00:07:00,210 --> 00:07:02,910
+limit البسط يساوي limit البسط على limit 
+
+56
+00:07:02,910 --> 00:07:06,770
+المقام و limit البسط بيساوي F عن C لأن F
+
+57
+00:07:06,770 --> 00:07:13,070
+continuous عن C و limit المقام عن C اللي هو H عن C 
+
+58
+00:07:13,070 --> 00:07:15,950
+بيساوي قيمة الدالة H عن C لإن أنا متصل عن C
+
+59
+00:07:16,620 --> 00:07:21,880
+وبالتالي بيطلع limit f على h لما x تقول ل c بس هو
+
+60
+00:07:21,880 --> 00:07:27,660
+قيمة الدالة f على h and c okay إذا البرهين
+
+61
+00:07:27,660 --> 00:07:34,860
+المتبقية ممكن يعني أعطاها بنفس الطريقة okay تمام
+
+62
+00:07:34,860 --> 00:07:38,720
+النظرية 
+
+63
+00:07:38,720 --> 00:07:40,640
+هذه ممكن تعميمها 
+
+64
+00:07:43,880 --> 00:07:51,460
+يعني بدل لو كانت الدالة F و G و H متصلين are
+
+65
+00:07:51,460 --> 00:07:56,640
+continuous are
+
+66
+00:07:56,640 --> 00:08:08,380
+continuous على كل المجموعة A على كل المجال على
+
+67
+00:08:08,380 --> 00:08:15,140
+كل المجال A الـ F والـ G والـ H المجال المشترك
+
+68
+00:08:15,140 --> 00:08:18,800
+تبعهم المجموعة A فلو كانت الدوال الثلاث كلهم
+
+69
+00:08:18,800 --> 00:08:30,280
+continuous على كل المجموعة A ف .. then فبتطلع
+
+70
+00:08:30,280 --> 00:08:36,520
+كل الدوال هذه متصلة على كل المجموعة A على كل
+
+71
+00:08:36,520 --> 00:08:51,320
+المجموعة A يعني هذا بيصير on A وهذه on .. on A فلو 
+
+72
+00:08:51,320 --> 00:08:52,380
+بدي أبرهن
+
+73
+00:08:58,870 --> 00:09:03,330
+أي واحدة من الدوال هذه continuous على كل ال A
+
+74
+00:09:03,330 --> 00:09:15,770
+فإيش بعمل بقول fix C تنتمي إلى A and 
+
+75
+00:09:15,770 --> 00:09:21,870
+then by
+
+76
+00:09:21,870 --> 00:09:23,090
+above theorem
+
+77
+00:09:28,740 --> 00:09:35,220
+by above theorem أنا 
+
+78
+00:09:35,220 --> 00:09:40,520
+الآن عندي كل واحدة من الدوال هدول continuous على
+
+79
+00:09:40,520 --> 00:09:45,240
+المجموعة a وبالتالي
+
+80
+00:09:45,240 --> 00:09:47,040
+then
+
+81
+00:09:48,850 --> 00:09:52,490
+بما أنه F و G و H continuous على كل المجموعة A فهي
+
+82
+00:09:52,490 --> 00:09:55,870
+continuous عند أي نقطة مش هيك تعرف الاتصال على
+
+83
+00:09:55,870 --> 00:10:08,510
+مجموعة اذا F و G و H are continuous at C وبالتالي 
+
+84
+00:10:08,510 --> 00:10:10,130
+حسب النظرية السابقة
+
+85
+00:10:19,920 --> 00:10:26,160
+So by above theorem
+
+86
+00:10:26,160 --> 00:10:32,600
+all functions in
+
+87
+00:10:32,600 --> 00:10:36,660
+parts A
+
+88
+00:10:36,660 --> 00:10:45,920
+and B are continuous at C مش هي كثبتنا احنا في 
+
+89
+00:10:45,920 --> 00:10:48,120
+النظرية السابقة هذه اللي جاب ال head اللي انا
+
+90
+00:10:48,120 --> 00:10:52,520
+عدلتهالو كان في عندي تلت دوال و كلهم متصلين عن
+
+91
+00:10:52,520 --> 00:10:57,040
+النقطة فكل الدول الموجودة في الفرق a و الدول
+
+92
+00:10:57,040 --> 00:11:01,300
+الموجودة في الفرق b كلهم بيطلعوا continuous عن نفس
+
+93
+00:11:01,300 --> 00:11:09,660
+النقطة الان بما أن النقطة c was arbitrary since c
+
+94
+00:11:09,660 --> 00:11:17,880
+belonged to a was arbitrary the above
+
+95
+00:11:25,240 --> 00:11:32,060
+All functions in A
+
+96
+00:11:32,060 --> 00:11:37,260
+and B are
+
+97
+00:11:37,260 --> 00:11:39,580
+continuous
+
+98
+00:11:41,100 --> 00:11:46,400
+على كل المجموعة A لأن كل واحدة منهم continuous على 
+
+99
+00:11:46,400 --> 00:11:51,060
+أي و كل نقطة C في A وبالتالي هذا يكون برنامج 
+
+100
+00:11:51,060 --> 00:11:56,540
+النظرية إذا النظرية هذه تنتج مباشرة من نظرية
+
+101
+00:11:56,540 --> 00:12:04,020
+السابقتها وذلك بتثبيت C عنصر في A وطبعا النظرية
+
+102
+00:12:04,020 --> 00:12:08,300
+السابقة بتقول عند أي عنصرC بما أن الثلاث دوال 
+
+103
+00:12:08,300 --> 00:12:12,440
+متصلة إذا كل ال combinations هدولة بطلعوا متصلين 
+
+104
+00:12:12,440 --> 00:12:17,220
+عن نفس النقطة هذا صحيح لأي نقطة ل C وبالتالي كلهم
+
+105
+00:12:17,220 --> 00:12:21,840
+متصلين على كل المجال تبعهم اللي هو المجموعة A
+
+106
+00:12:21,840 --> 00:12:28,040
+تمام ناخد 
+
+107
+00:12:28,040 --> 00:12:29,100
+بعض الأمثلة
+
+108
+00:12:40,050 --> 00:12:46,710
+every polynomial .. every polynomial function على
+
+109
+00:12:46,710 --> 00:12:56,190
+الصورة P of X بيساوي A N في X to N plus A N minus
+
+110
+00:12:56,190 --> 00:13:03,290
+one في X to N minus one زائد .. زائد A one في X
+
+111
+00:13:03,290 --> 00:13:08,330
+زائد A zero is continuous
+
+112
+00:13:10,930 --> 00:13:15,470
+on R proof
+
+113
+00:13:15,470 --> 00:13:20,310
+fix
+
+114
+00:13:20,310 --> 00:13:23,750
+fix
+
+115
+00:13:23,750 --> 00:13:29,150
+C ينتمي لـ R و بدي أثبت أن الـ polynomial function P
+
+116
+00:13:29,150 --> 00:13:36,470
+هذه متصلة عند النقطة C طيب we should أثبتنا في 
+
+117
+00:13:36,470 --> 00:13:45,400
+chapter 4 we should in chapter in chapter four that
+
+118
+00:13:45,400 --> 00:13:48,960
+لو
+
+119
+00:13:48,960 --> 00:13:53,420
+في عندي polynomial P
+
+120
+00:13:53,420 --> 00:13:57,660
+polynomial في X فأثبتنا أن الـ limit للـ polynomial
+
+121
+00:13:57,660 --> 00:14:03,280
+P عند أي real number
+
+122
+00:14:03,280 --> 00:14:11,430
+C بسوء قيمتها عن C therefore حسب تعريف تبع الاتصال
+
+123
+00:14:11,430 --> 00:14:22,830
+النقطة إذا P is continuous at C بما أن الـ C was 
+
+124
+00:14:22,830 --> 00:14:28,510
+arbitrary element
+
+125
+00:14:28,510 --> 00:14:35,610
+إذا P continuous عند كل الـ C في R وبالتالي P is 
+
+126
+00:14:35,610 --> 00:14:43,190
+continuous على كل المجموعة R هنا ال A اللي هي R
+
+127
+00:14:43,190 --> 00:14:49,190
+تمام مثال 
+
+128
+00:14:49,190 --> 00:15:04,390
+ثاني if R بتساوي P على Q P على Q where P 
+
+129
+00:15:04,390 --> 00:15:05,930
+و Q R
+
+130
+00:15:08,300 --> 00:15:19,440
+Polynomials are كثيرات حدود then R is continuous
+
+131
+00:15:19,440 --> 00:15:29,720
+on الست اللي هي R كل الأعداد الحقيقية معدّى أسفار 
+
+132
+00:15:29,720 --> 00:15:36,720
+المقام كل ال X حيث Q of X بتساوي صفر 
+
+133
+00:15:50,720 --> 00:15:56,680
+Proof برضه Fix C 
+
+134
+00:15:56,680 --> 00:16:08,860
+تنتمي الى R معدّى كل ال X حيث Q of X بتساوي صفر 
+
+135
+00:16:08,860 --> 00:16:18,260
+معدّى أسفار الـ function Q إذن Q and C لا يساوي صفر 
+
+136
+00:16:20,990 --> 00:16:30,050
+So by chapter .. By chapter four احنا أثبتنا انه
+
+137
+00:16:30,050 --> 00:16:37,310
+في الحالة هذه الـ limit ل R of X as X tends to C
+
+138
+00:16:37,310 --> 00:16:48,030
+بساوي R of C وبالتالي therefore R is continuous
+
+139
+00:16:50,660 --> 00:16:58,640
+at C ولما كانت الـ C موجودة في R minus أسفار
+
+140
+00:16:58,640 --> 00:17:04,520
+المقام was arbitrarily إذن الـ R continuous على كل
+
+141
+00:17:04,520 --> 00:17:18,080
+الـ sign هذه okay دي الأبارع بنكتبها طيب
+
+142
+00:17:18,080 --> 00:17:19,900
+في الدوال المثلثية
+
+143
+00:17:25,880 --> 00:17:41,480
+في الدوال المثلثية زي الدالة مثلا sin مثال
+
+144
+00:17:41,480 --> 00:17:52,660
+رقم تلاتة f of x بساوي sin x is continuous
+
+145
+00:17:56,130 --> 00:18:07,970
+on R متصلة على جميع الأعداد الحقيقية proof we
+
+146
+00:18:07,970 --> 00:18:08,650
+use
+
+147
+00:18:13,350 --> 00:18:21,010
+هنستخدم الحقائق التالية |sin z| أصغر من أو 
+
+148
+00:18:21,010 --> 00:18:30,290
+ساوي 1 لكل z في R هذا معروف من الرسمة بتاعت ال
+
+149
+00:18:30,290 --> 00:18:33,690
+sin function ال sin function أكبر قيمة لها 
+
+150
+00:18:33,690 --> 00:18:38,190
+maximum value 1 وال absolute minimum -1
+
+151
+00:18:38,190 --> 00:18:43,220
+إذاً قيمها محصورة بينهما، إذن هذه واضحة من الرسم أو من
+
+152
+00:18:43,220 --> 00:18:50,960
+تعريف ال function كذلك في هندسة كمان |
+
+153
+00:18:50,960 --> 00:18:59,040
+sin z| أصغر من أو ساوي |z| for all z في R
+
+154
+00:18:59,040 --> 00:19:02,240
+إذن
+
+155
+00:19:02,240 --> 00:19:08,260
+هذه موجود برهانها في chapter chapter
+
+156
+00:19:08,260 --> 00:19:16,030
+8 الناس اللي هياخدوا تحليل حقيقي 2 هيشوفوا البرهان
+
+157
+00:19:16,030 --> 00:19:20,890
+والناس اللي مش هياخدوا تحليل حقيقي 2 ممكن يقرؤوا
+
+158
+00:19:20,890 --> 00:19:27,890
+البرهان من chapter 8 حتى تعرفوا يعني إيه تتحققوا 
+
+159
+00:19:27,890 --> 00:19:35,870
+أن هذه فعلاً المتباينة الصحيحة كذلك من حساب المثلثات
+
+160
+00:19:35,870 --> 00:19:39,970
+من ال trigonometry اللي درسناها في calculus A أو
+
+161
+00:19:39,970 --> 00:19:45,030
+ما حتى في الثانوية العامة كان في متطابقات مثلثية و
+
+162
+00:19:45,030 --> 00:19:54,690
+من المتطابقات هذه ممكن نستنتج أن sin x - sin
+
+163
+00:19:54,690 --> 00:20:11,220
+c = 2 في sin (½ (x - c)) × cos (½
+
+164
+00:20:11,220 --> 00:20:23,100
+(x + c))
+
+165
+00:20:23,100 --> 00:20:26,200
+في
+
+166
+00:20:26,200 --> 00:20:27,680
+x + c
+
+167
+00:20:37,480 --> 00:20:46,140
+إذن هذه المتطابقة ممكن أثبتها كيف نثبتها sin
+
+168
+00:20:46,140 --> 00:20:51,900
+الفرق x/2 - c/2 sin الفرق = sin
+
+169
+00:20:51,900 --> 00:21:00,860
+cos - cos sin و cos المجموعة =
+
+170
+00:21:00,860 --> 00:21:04,420
+cos cos - sin sin وبعدين نجمعهم و
+
+171
+00:21:04,420 --> 00:21:09,160
+نضربهم وفي 2 فهيطلع في الآخر بتتصف عليه okay
+
+172
+00:21:12,120 --> 00:21:16,040
+بالمناسبة في برضه كمان هندسة مش |sin z|
+
+173
+00:21:16,040 --> 00:21:22,100
+أصغر من أو ساوي 1 وكذلك في هندسة |
+
+174
+00:21:22,100 --> 00:21:28,820
+cos z| برضه أصغر من أو ساوي 1 لكل z في R لأنه
+
+175
+00:21:28,820 --> 00:21:32,260
+برضه ال cos ال | مجزمة منها 1 وال
+
+176
+00:21:32,260 --> 00:21:35,600
+absolute minimum -1 وبالتالي قيمة محصورة
+
+177
+00:21:35,600 --> 00:21:40,020
+بين -1 و 1 الآن خلينا ناخد ال ..
+
+178
+00:21:42,890 --> 00:21:46,090
+من المعادلة الأخيرة
+
+179
+00:21:56,720 --> 00:21:59,960
+من المعادلة الأخيرة بيطلع عندي لو أخدت ال |
+
+180
+00:21:59,960 --> 00:22:05,840
+value للطرفين فبيطلع عندي |sin x - sin
+
+181
+00:22:05,840 --> 00:22:12,700
+c| طبعاً هذا الكلام كله صحيح لكل x و c أعداد حقيقية
+
+182
+00:22:14,590 --> 00:22:20,190
+فهذا بيطلع = أو < أو ≤ 2 في
+
+183
+00:22:20,190 --> 00:22:28,230
+|sin (½(x-c))| |sin (½(x-c))| ≤
+
+184
+00:22:28,230 --> 00:22:35,070
+|½(x-c)| اللي هو ½ في |x - c| ×
+
+185
+00:22:35,070 --> 00:22:41,650
+|cos (½(x+c))| ≤ 1 ≤
+
+186
+00:22:41,650 --> 00:22:52,580
+أو ≤ 1 تمام؟ وهذا صحيح لكل x و c في R طبعاً
+
+187
+00:22:52,580 --> 00:23:00,660
+هذا = |x - c| و
+
+188
+00:23:00,660 --> 00:23:06,260
+من المتباينة هذه بينتج أن ده ل sin متصل عن c okay؟
+
+189
+00:23:06,260 --> 00:23:20,770
+إذاً to show fix c ∈ R to show أن f of x
+
+190
+00:23:20,770 --> 00:23:32,290
+= sin x is continuous at c let ε >
+
+191
+00:23:32,290 --> 00:23:37,050
+الصفر be given it shows
+
+192
+00:23:40,310 --> 00:23:44,950
+δ = ε > الصفر إذاً يوجد δ
+
+193
+00:23:44,950 --> 00:23:51,430
+تعتمد على ε عدد موجب فلهذه ال δ لو كان x
+
+194
+00:23:51,430 --> 00:23:56,950
+∈ R اللي هو مجال الدالة A و |x
+
+195
+00:23:56,950 --> 00:24:04,070
+- c| < δ فهذا بتضمن أنه |f of
+
+196
+00:24:04,070 --> 00:24:15,190
+x - f of c| اللي هو |sin x - sin c| شوفنا
+
+197
+00:24:15,190 --> 00:24:21,870
+هذا ≤ أو < |x - c| من هنا الآن
+
+198
+00:24:21,870 --> 00:24:25,530
+ال x هذه ماخدها أنا بحيث المسافة بينها وبين ال c
+
+199
+00:24:25,530 --> 00:24:30,410
+أصغر من δ وأنا اخترت ال δ = ε
+
+200
+00:24:30,410 --> 00:24:34,810
+عشان يطلع | الفرق بين f of x وf of c| ≤
+
+201
+00:24:34,810 --> 00:24:39,370
+من ε إذاً هاي شرط ε δ لتعريف ال
+
+202
+00:24:39,370 --> 00:24:44,910
+continuity والنقطة المتحققة بما أن ε was
+
+203
+00:24:44,910 --> 00:24:51,090
+arbitrary since ε > الصفر was arbitrary
+
+204
+00:24:51,090 --> 00:24:56,550
+إذاً حسب تعريف ε δ للاتصال بيطلع عندي ال
+
+205
+00:24:56,550 --> 00:25:05,710
+function f of x = sin x is continuous at c
+
+206
+00:25:05,710 --> 00:25:11,130
+وبما أن ال c was arbitrary since
+
+207
+00:25:14,280 --> 00:25:22,700
+c ∈ R since c ∈ R was
+
+208
+00:25:22,700 --> 00:25:29,940
+arbitrary وهنا أثبتنا أن ال f continuous at c ف f
+
+209
+00:25:29,940 --> 00:25:36,980
+is continuous على كل ال R وهو المطلوب
+
+210
+00:25:40,210 --> 00:25:43,290
+أن ال sin function continuous على كل ال R
+
+211
+00:25:43,290 --> 00:25:52,970
+بالمثل ممكن إثبات أن ال function g of x =
+
+212
+00:25:52,970 --> 00:26:01,630
+cos x أيضاً continuous on R هنستخدم ال ..
+
+213
+00:26:01,630 --> 00:26:10,410
+هنستخدم يعني الحاجات هذه أو 2 منهم و .. بدل ال
+
+214
+00:26:10,410 --> 00:26:16,710
+sin هنستخدم معادلة أو متطابقة زي هذه بس نبدل ال
+
+215
+00:26:16,710 --> 00:26:27,010
+sin ب cos فهن��
+
+216
+00:26:27,010 --> 00:26:34,800
+هيصير في عندي اختلاف هذا هيصير -2 بدل 2
+
+217
+00:26:34,800 --> 00:26:43,640
+وهيكون عند هنا sin (½(x+c)) sin (½(x+c)) × sin
+
+218
+00:26:43,640 --> 00:26:48,820
+(½(x-c)) تمام؟
+
+219
+00:26:48,820 --> 00:26:54,040
+وطبعاً هناخد ال | value للطرفين
+
+220
+00:26:56,180 --> 00:26:59,400
+فهذا = ال | value للطرف الثاني
+
+221
+00:26:59,400 --> 00:27:06,700
+وباستخدام المتطابقات هذه فهذا هيطلع أصغر من
+
+222
+00:27:06,700 --> 00:27:11,380
+|-2| بيطلع 2 وهذا أصغر من
+
+223
+00:27:11,380 --> 00:27:17,000
+|sin z| أصغر من أو ساوي 1 و
+
+224
+00:27:17,000 --> 00:27:18,960
+|cos z|
+
+225
+00:27:30,570 --> 00:27:37,920
+لأ هذه مش cos هذه sin هذه ال sin فهي sin ال
+
+226
+00:27:37,920 --> 00:27:40,800
+z ال | value لها أصغر من أو يساوي 1
+
+227
+00:27:40,800 --> 00:27:47,800
+وهي كمان sin أو | value ل sin ال z أصغر
+
+228
+00:27:47,800 --> 00:27:53,360
+من أو يساوي | ال z ال z هنا اللي هو ½ في x
+
+229
+00:27:53,360 --> 00:28:00,620
+- c فبيطلع ½ في | في |x - c|
+
+230
+00:28:00,620 --> 00:28:06,150
+بيطلع هذا = |x - c| وباقي البرهان زي
+
+231
+00:28:06,150 --> 00:28:10,110
+ما عملنا هنا okay تمام لأي ε > الصفر
+
+232
+00:28:10,110 --> 00:28:15,130
+choose δ = ε ف this δ will work
+
+233
+00:28:15,130 --> 00:28:22,370
+تمام إذا باقي البرهان كما عملنا في حالة ال sin
+
+234
+00:28:22,370 --> 00:28:29,210
+إذاً هذا المثال الرابع شوفنا فيه كيف نثبت أن ال
+
+235
+00:28:29,210 --> 00:28:33,870
+cos function is continuous تمام واضح
+
+236
+00:28:37,340 --> 00:28:48,220
+الآن ممكن إثبات بعد هيك أن ال tangent function
+
+237
+00:28:48,220 --> 00:28:58,040
+tan x اللي هي = sin x / cos x is
+
+238
+00:28:58,040 --> 00:28:58,800
+continuous
+
+239
+00:29:01,890 --> 00:29:06,770
+ال sin مستمر على ال R وال cos مستمر على ال R هذه
+
+240
+00:29:06,770 --> 00:29:10,670
+rational function rational function مستمر
+
+241
+00:29:10,670 --> 00:29:14,370
+على ال R ما عدا عند أسفار المقام ما هي أسفار
+
+242
+00:29:14,370 --> 00:29:19,910
+ال cos المضاعفات
+
+243
+00:29:19,910 --> 00:29:27,970
+ال فردية ل π/2 مستمر على ال R ما عدا
+
+244
+00:29:31,580 --> 00:29:42,960
+2n + 1 في π/2 حيث أن n عدد صحيح
+
+245
+00:29:42,960 --> 00:29:46,040
+صح؟
+
+246
+00:29:46,040 --> 00:29:49,100
+هيك
+
+247
+00:29:49,100 --> 00:29:57,940
+بمضاعفات الفردية ل π/2 وكذلك cot x
+
+248
+00:29:57,940 --> 00:30:06,200
+= cos x / sin x is continuous على R ما عدا
+
+249
+00:30:06,200 --> 00:30:14,260
+أسفار المقام اللي هي مضاعفات ال π مضاعفات ال π
+
+250
+00:30:14,260 --> 00:30:21,160
+ما عدا n π حيث أن n عدد صحيح
+
+251
+00:30:27,460 --> 00:30:32,160
+وكذلك بالمثل
+
+252
+00:30:32,160 --> 00:30:39,460
+ال .. ال .. ال secant .. لأ ال cosecant x اللي
+
+253
+00:30:39,460 --> 00:30:45,240
+= 1 / sin x متصل على R ما عدا عند
+
+254
+00:30:45,240 --> 00:30:52,570
+أسفار المقام، إذاً زيها زي ال cotangent وال secant
+
+255
+00:30:52,570 --> 00:30:58,430
+x اللي هي 1 / cos برضه متصلة زيها زي ال
+
+256
+00:30:58,430 --> 00:31:02,690
+tangent على R ما عدا المضاعفات الفردية ل π/2
+
+257
+00:31:02,690 --> 00:31:10,190
+okay تمام طيب
+
+258
+00:31:10,190 --> 00:31:10,790
+ناخد
+
+259
+00:31:28,820 --> 00:31:39,340
+ناخد النظرية التالية let f
+
+260
+00:31:39,340 --> 00:31:43,440
+be a function from A to R
+
+261
+00:31:56,070 --> 00:32:09,810
+وإذاً if |f| is continuous if |f| is continuous at c
+
+262
+00:32:09,810 --> 00:32:14,370
+∈ A then |f|
+
+263
+00:32:17,670 --> 00:32:27,990
+is continuous at c then if |f| is continuous on A
+
+264
+00:32:27,990 --> 00:32:41,190
+then |f| is continuous on A proof
+
+265
+00:32:41,190 --> 00:32:44,230
+we
+
+266
+00:32:44,230 --> 00:32:44,850
+use
+
+267
+00:32:47,240 --> 00:32:51,480
+we use exercise
+
+268
+00:32:51,480 --> 00:32:54,760
+exercise
+
+269
+00:32:54,760 --> 00:33:00,600
+رقم 13
+
+270
+00:33:00,600 --> 00:33:09,220
+في section 4.2 نرجع لل exercise هذا و
+
+271
+00:33:09,220 --> 00:33:09,900
+نكتبه
+
+272
+00:33:16,290 --> 00:33:29,470
+ال exercise هذا بيقول if
+
+273
+00:33:29,470 --> 00:33:38,790
+lim f of x عندما x → c
+
+274
+00:33:38,790 --> 00:33:41,470
+exists
+
+275
+00:33:47,480 --> 00:33:57,760
+then lim |f of x| عندما x → c
+
+276
+00:33:57,760 --> 00:34:04,600
+exists
+
+277
+00:34:04,600 --> 00:34:11,180
+and equals |lim| |
+
+278
+00:34:11,180 --> 00:34:16,900
+lim f of x عندما x → c
+
+279
+00:34:22,160 --> 00:34:26,760
+طبعاً وهنا c is cluster point ال c هنا cluster
+
+280
+00:34:26,760 --> 00:34:30,700
+point cluster 
+
+281
+00:34:30,700 --> 00:34:41,220
+point of A و طبعاً F function من A إلى R فهذا
+
+282
+00:34:41,220 --> 00:34:46,480
+التمرين موجود في section 4-2 لو كانت ال function F
+
+283
+00:34:46,480 --> 00:34:54,090
+ال limit تبعتها عن C موجودة ف limit absolute f of c
+
+284
+00:34:54,090 --> 00:34:58,170
+برضه بتكون موجودة و بساوي قيمتها ال absolute
+
+285
+00:34:58,170 --> 00:35:02,350
+value ل limit f of x when x tends to c يعني مقدر نبدل ال
+
+286
+00:35:02,350 --> 00:35:06,170
+absolute value مع ال limit الآن باستخدام هذا ال
+
+287
+00:35:06,170 --> 00:35:18,290
+exercise ممكن نبره هنا النظرية السابقة إذا 
+
+288
+00:35:18,290 --> 00:35:18,690
+هنا
+
+289
+00:35:23,870 --> 00:35:30,210
+لبرهان الجزء الأول to
+
+290
+00:35:30,210 --> 00:35:36,410
+show that
+
+291
+00:35:36,410 --> 00:35:44,890
+if f is continuous at c to show absolute if is
+
+292
+00:35:44,890 --> 00:35:51,710
+continuous at c تنتمي ل a
+
+293
+00:36:03,810 --> 00:36:09,350
+لدينا اتصالين اتصال
+
+294
+00:36:09,350 --> 00:36:16,650
+اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال
+
+295
+00:36:23,200 --> 00:36:26,500
+فشوفنا ان لو كانت الـ C ماهياش cluster point
+
+296
+00:36:26,500 --> 00:36:31,780
+فالاتصال عندها بيطلع متحقق اوتوماتيكي شوفنا في
+
+297
+00:36:31,780 --> 00:36:40,600
+التعريف then the continuity of
+
+298
+00:36:40,600 --> 00:36:47,700
+absolute f at C is automatic
+
+299
+00:36:47,700 --> 00:36:49,560
+اوتوماتيكي
+
+300
+00:36:50,790 --> 00:36:56,590
+إذا احنا بنهتم بالحالة التانية انه C is a cluster
+
+301
+00:36:56,590 --> 00:37:12,550
+point of A ففي الحالة هذه by exercise 13
+
+302
+00:37:12,550 --> 00:37:19,170
+of section أربعة
+
+303
+00:37:19,170 --> 00:37:19,930
+اتنين
+
+304
+00:37:28,440 --> 00:37:37,660
+بما أنه limit ل f of x as x tends to c بيساوي c
+
+305
+00:37:37,660 --> 00:37:46,940
+احنا فرضين ان f continuous by continuity of f at c
+
+306
+00:37:48,200 --> 00:37:51,740
+بما ان f continuous at c احنا فرضين ان f is
+
+307
+00:37:51,740 --> 00:37:55,920
+continuous at c فبالتالي
+
+308
+00:37:55,920 --> 00:38:01,020
+limit f of x لما x تقول ل c بيساوي f of c اذا هاي
+
+309
+00:38:01,020 --> 00:38:05,320
+في عندي limit f of x لما x تقول ل c exist و بيساوي
+
+310
+00:38:05,320 --> 00:38:13,860
+f of c اذا by exercise 13 بطلع عندي limit
+
+311
+00:38:16,480 --> 00:38:25,460
+absolute f of x as x tends to c موجودة وبساوي
+
+312
+00:38:25,460 --> 00:38:37,480
+absolute limit ل f of x لما x تقول ل c اللي هي
+
+313
+00:38:37,480 --> 00:38:45,580
+بتطلع بساوي absolute f of cاللي هي عبارة عن
+
+314
+00:38:45,580 --> 00:38:50,780
+absolute f محسوب عن c إذا هي شرط الاتصال لل
+
+315
+00:38:50,780 --> 00:38:55,980
+function absolute f عند النقطة c متحقق وبالتالي
+
+316
+00:38:55,980 --> 00:39:04,620
+therefore absolute f is continuous at c إذا هذا
+
+317
+00:39:04,620 --> 00:39:09,020
+بثبت الجزء الأول الجزء التاني corollary على الجزء
+
+318
+00:39:09,020 --> 00:39:14,920
+الأول نتيجة الجزء الأول لأن إذا كانت الدالة F
+
+319
+00:39:14,920 --> 00:39:20,640
+continuous على كل الـ A معناته F continuous عند كل
+
+320
+00:39:20,640 --> 00:39:26,600
+C في A وبالتالي بيطلع absolute F متصل عند كل C في
+
+321
+00:39:26,600 --> 00:39:34,680
+A صح؟ إذن هذا إيه برهن النظرية إذن التاني نتيجة
+
+322
+00:39:34,680 --> 00:39:40,900
+على الجزء الأول في كمان نظرية أخرى مشابهة زي هذه
+
+323
+00:39:43,790 --> 00:39:50,770
+لكن بدل absolute f ففي عندى هنا let f be a function
+
+324
+00:39:50,770 --> 00:39:57,510
+from a to r such that f of x أكبر من أو يساوي صفر
+
+325
+00:39:57,510 --> 00:40:05,170
+لكل x في a يعني هنا ال function قيمها غير سالبة فلو
+
+326
+00:40:05,170 --> 00:40:14,660
+كانت f continuous at c فال square root ل f بطلع
+
+327
+00:40:14,660 --> 00:40:21,580
+continuous at C كذلك لو كانت F continuous on A ف
+
+328
+00:40:21,580 --> 00:40:29,760
+ال square root ل F is continuous على كل ال A و
+
+329
+00:40:29,760 --> 00:40:34,500
+المرة هذه البرهان بستخدم exercise ثاني في section
+
+330
+00:40:34,500 --> 00:40:40,090
+4-2 اللي هو exercise 14الـ exercise هذا بيقول إذا
+
+331
+00:40:40,090 --> 00:40:44,510
+كانت ا�� limit للدالة هذه، يعني عند C موجودة، then ال
+
+332
+00:40:44,510 --> 00:40:49,030
+limit للـ square root .. لل function اللي هي square
+
+333
+00:40:49,030 --> 00:40:56,970
+root of F عند الـ C موجودة وبتساوي ال square root
+
+334
+00:40:56,970 --> 00:41:04,110
+وبتساوي جذر التربيع ليه؟ ال limit لل square root
+
+335
+00:41:05,350 --> 00:41:09,530
+يعني بمعنى آخر أنا ممكن ابدل ال limit مع ال square
+
+336
+00:41:09,530 --> 00:41:15,750
+root و البرهان زي برهان النظرية السابقة
+
+337
+00:41:34,960 --> 00:41:37,360
+الحالة التانية اللي هي المهمة لو كانت C cluster
+
+338
+00:41:37,360 --> 00:41:44,180
+point ل A فحسب exercise 14من section أربعة - اثنين
+
+339
+00:41:44,180 --> 00:41:49,120
+اللي هو كتبناه هناك بما أنه ال limit بما أنه ال
+
+340
+00:41:49,120 --> 00:41:54,160
+function if continuous at c إذا ال limit f of x من
+
+341
+00:41:54,160 --> 00:41:58,900
+x تقوى ل c exist و بساوي f of c الآن من exercise
+
+342
+00:41:58,900 --> 00:42:03,400
+أربعة عشر إذا
+
+343
+00:42:03,400 --> 00:42:07,680
+ال limit هي عند ال limit ل f of x من x تقوى ل c
+
+344
+00:42:07,680 --> 00:42:10,440
+exist إذا by exercise
+
+345
+00:42:14,160 --> 00:42:19,740
+أربعتاش limit ال square root لل function f لما X
+
+346
+00:42:19,740 --> 00:42:27,200
+تقول ل C exist و بساوي ال square root لل limit of
+
+347
+00:42:27,200 --> 00:42:31,460
+the function f when x tends to c وهذا بساوي
+
+348
+00:42:33,950 --> 00:42:37,990
+الـ square root أنا عندي limit f of x عند c exist
+
+349
+00:42:37,990 --> 00:42:44,870
+و بتساوي f of c إذن هذا بيطلع بساوي ال square root
+
+350
+00:42:44,870 --> 00:42:50,870
+ل f هذه ك function محسوبة عن c إذن أنا في عند ال
+
+351
+00:42:50,870 --> 00:42:57,510
+function جذر ال f بالمناسبة جذر f and x كيف
+
+352
+00:42:57,510 --> 00:43:02,430
+بنعرفها؟ بيه عبارة عن الجذر التربيعي ل f of x
+
+353
+00:43:05,740 --> 00:43:11,800
+فإذا أنا عندي الدالة تبعتي جذر F هي دي function ال
+
+354
+00:43:11,800 --> 00:43:16,920
+function هي حسبنا ال limit اللي عند C طلعت موجودة
+
+355
+00:43:16,920 --> 00:43:24,140
+و بتساوي قيمتها عند C إذا ال square root ل F ك
+
+356
+00:43:24,140 --> 00:43:29,560
+function is continuous at C تمام؟ إذا هذا بثبت
+
+357
+00:43:29,560 --> 00:43:33,980
+الجزء الأول من النظرية هذه الآن الجزء التاني
+
+358
+00:43:33,980 --> 00:43:41,050
+Corollary to the first part نتيجة على الجزء الأول
+
+359
+00:43:41,050 --> 00:43:45,510
+لأنه إذا كانت إذا
+
+360
+00:43:45,510 --> 00:43:52,210
+كانت ال F continuous على كل ال A فهي continuous
+
+361
+00:43:52,210 --> 00:43:56,370
+عند كل C في A وبالتالي ال square root من الجزء
+
+362
+00:43:56,370 --> 00:44:01,250
+الأول إلها continuous عند ال C وهذا ال C هذا طبعا
+
+363
+00:44:01,250 --> 00:44:04,170
+ال C was arbitrary إذا ال square root continuous
+
+364
+00:44:04,170 --> 00:44:15,650
+على كل ال A تمام؟ إذن هذه الحاجات .. هذا هو برهانها
+
+365
+00:44:15,650 --> 00:44:24,030
+ال exercise 13 و 14 هدول نظريات فالمفروض أن احنا
+
+366
+00:44:24,030 --> 00:44:31,910
+يعني إيه .. ان .. نبرهنهم فلو
+
+367
+00:44:31,910 --> 00:44:52,750
+بدنا نبرهن مثلا الجزء الأخير هذا فممكن
+
+368
+00:44:52,750 --> 00:45:02,030
+نستخدم ال sequential criterion يعني
+
+369
+00:45:02,030 --> 00:45:03,070
+مثلا ال proof
+
+370
+00:45:06,120 --> 00:45:25,180
+of exercise 14 section أربعة اتنين we
+
+371
+00:45:25,180 --> 00:45:28,920
+use sequential
+
+372
+00:45:28,920 --> 00:45:29,920
+criterion
+
+373
+00:45:32,750 --> 00:45:37,670
+أنا بتثبت أن عندي limit f of x عن c exist و بتثبت
+
+374
+00:45:37,670 --> 00:45:42,450
+limit الجذر ال f عن c exist و بساوي الجذر التربيعي ال
+
+375
+00:45:42,450 --> 00:45:55,150
+limit ف let x n be a sequence طبعا
+
+376
+00:45:55,150 --> 00:45:56,530
+في مجال الدالة
+
+377
+00:46:01,100 --> 00:46:10,900
+be a sequence in a such that limit x n بساوي c تمام
+
+378
+00:46:10,900 --> 00:46:18,060
+then x n
+
+379
+00:46:18,060 --> 00:46:24,120
+أكبر من أو يساوي صفر لأي قيمة للدالة
+
+380
+00:46:43,880 --> 00:46:53,240
+طيب اذا ال function عندي f of x إذا
+
+381
+00:46:53,240 --> 00:47:01,820
+since limit f of x as x tends to c exist هذا
+
+382
+00:47:01,820 --> 00:47:09,850
+بيقدّي انه ال limitالـ f of x n as n tends to
+
+383
+00:47:09,850 --> 00:47:14,530
+infinity موجودة
+
+384
+00:47:14,530 --> 00:47:21,010
+exist و
+
+385
+00:47:21,010 --> 00:47:29,270
+بتساوي and مثلا equals عدد L كويس هذا by
+
+386
+00:47:29,270 --> 00:47:32,810
+sequential criterion
+
+387
+00:47:35,150 --> 00:47:39,110
+الـ function لها limit عن c إذا كان لكل sequence x
+
+388
+00:47:39,110 --> 00:47:46,570
+in تتقارب ل c نهاية صورتها موجودة وبتساوي عدد معين
+
+389
+00:47:46,570 --> 00:47:55,910
+الآن أنا عندي since f of x n أكبر من أو يساوي 0
+
+390
+00:47:55,910 --> 00:48:01,350
+لكل n لأن الدالة قيمها موجبة الدالة هذه قيمها
+
+391
+00:48:01,350 --> 00:48:10,190
+موجبةفالـ limit فالـ L اللي هي limit f
+
+392
+00:48:10,190 --> 00:48:14,510
+of x n تطلع موجب ايضا اكبر من أو يساوي صفر
+
+393
+00:48:14,510 --> 00:48:21,610
+وبالتالي
+
+394
+00:48:21,610 --> 00:48:26,410
+ال limit وفي
+
+395
+00:48:26,410 --> 00:48:30,310
+عندي أنا الآن ال sequence هذه by
+
+396
+00:48:32,240 --> 00:48:41,100
+في مثال أخدناه سابقا او نظرية by theorem 3
+
+397
+00:48:41,100 --> 00:48:46,260
+و12 في الكتاب بتقول لو في عندي sequence زي
+
+398
+00:48:46,260 --> 00:48:55,330
+هذه حدودها غير سالبة فال limitللـ square root ل F
+
+399
+00:48:55,330 --> 00:49:05,390
+of X N as N tends to infinity تطلع موجودة
+
+400
+00:49:05,390 --> 00:49:11,610
+و
+
+401
+00:49:11,610 --> 00:49:16,970
+بتساوي جذر ال Lحسب النظرية هذه إذا كان في end
+
+402
+00:49:16,970 --> 00:49:22,170
+sequence حدودها غير سالبة ومتقاربة إذا ال limit
+
+403
+00:49:22,170 --> 00:49:25,630
+square root لحدودها بساوي square root ل limit
+
+404
+00:49:25,630 --> 00:49:29,330
+تبعتها طبما ال square root ل L هي عبارة عن ال
+
+405
+00:49:29,330 --> 00:49:37,150
+square root ل limit f of x n
+
+406
+00:49:41,810 --> 00:49:47,030
+من هنا الـ square root لإيه اللي بيساوي ال square
+
+407
+00:49:47,030 --> 00:49:56,990
+root لlimit f of x n لما n طول لإنفينتيز إذا
+
+408
+00:49:56,990 --> 00:50:04,550
+انا هيطلع عندي ال limit وهذه عبارة عن limit
+
+409
+00:50:07,530 --> 00:50:15,030
+للـ square root ل F of XN لما N تقول infinity اذا
+
+410
+00:50:15,030 --> 00:50:19,650
+انا بدأت ب XN sequence contained in A ونهايتها C
+
+411
+00:50:19,650 --> 00:50:25,330
+فطلع نهايت نهايت
+
+412
+00:50:25,330 --> 00:50:30,250
+صورتها صورة ال sequence موجودة وبساوي ال square
+
+413
+00:50:30,250 --> 00:50:35,010
+root ل L موجودة وبالتالي therefore by sequential
+
+414
+00:50:39,060 --> 00:50:47,080
+criterion ال limit لل square root ل F of X لما X
+
+415
+00:50:47,080 --> 00:50:55,780
+تقول إلى C بساوي exist و بساوي ال square root ل F
+
+416
+00:50:55,780 --> 00:51:00,980
+when x tends to c أو
+
+417
+00:51:00,980 --> 00:51:03,820
+اللي هو اللي بساوي .. لأ بساوي اللي هو
+
+418
+00:51:09,800 --> 00:51:20,620
+السكوير روت ال L اللي هو برضه اللي هو
+
+419
+00:51:20,620 --> 00:51:23,100
+نعم نعم
+
+420
+00:51:31,480 --> 00:51:37,500
+يعني هاد ممكن هاد يسميها L من الأول فإذا بطلع عندي
+
+421
+00:51:37,500 --> 00:51:40,940
+the square root function لها limit، limit عن سي
+
+422
+00:51:40,940 --> 00:51:46,260
+موجودة بساوي square root لـ L إذا هاد بكمل البرهن
+
+423
+00:51:46,260 --> 00:51:52,320
+بالمثل ممكن نبرهن exercise اللي جابله 13
+
+424
+00:51:57,010 --> 00:52:01,530
+فحاولوا يكونوا تبرهنوا exercise 13 بنفس الطريقة،
+
+425
+00:52:01,530 --> 00:52:07,570
+في أي سؤال أو استفسار؟ okay إذا المرة الجاية بال
+
+426
+00:52:07,570 --> 00:52:08,070
+Campbell 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/CRzAwh3Ypto_raw.srt

@@ -0,0 +1,1704 @@
+1
+00:00:21,580 --> 00:00:26,600
+بسم الله الرحمن الرحيم ان شاء الله اليوم هناخد
+
+2
+00:00:26,600 --> 00:00:31,760
+section خمسة اتنين اللي عنوانه combination of
+
+3
+00:00:31,760 --> 00:00:38,560
+continuous functions قبل ما ناخد اول نظريةعن الـ
+
+4
+00:00:38,560 --> 00:00:41,860
+combination of continuous functions نستذكر أو
+
+5
+00:00:41,860 --> 00:00:45,300
+نسترجع مع بعض تعريف ال continuous ال continuity
+
+6
+00:00:45,300 --> 00:00:49,300
+عند نقطة ف a function f from a to r is continuous
+
+7
+00:00:49,300 --> 00:00:55,620
+at c نقطة c تنتمي ل a f and only f لكل إبسلون في
+
+8
+00:00:55,620 --> 00:00:59,740
+دلتا تعتمد على إبسلون عدد موجة بهات لكل x في a
+
+9
+00:01:00,390 --> 00:01:03,710
+المسافة بينها وبين الـC أصغر من دلتا لازم هذا
+
+10
+00:01:03,710 --> 00:01:08,610
+يتضمن أن absolute F of X minus F of C أصغر من
+
+11
+00:01:08,610 --> 00:01:13,270
+إبسلون طبعا شوفنا أن هذا التعريف بيكافئ التعريف
+
+12
+00:01:13,270 --> 00:01:18,970
+اللي أخدناه في calculus A هو الشرط
+
+13
+00:01:18,970 --> 00:01:23,980
+اللي هو بتاوي تلت شروطوهو ان limit f عن c تكون
+
+14
+00:01:23,980 --> 00:01:30,900
+موجودة و f عن c موجودة و اتنين بسوء نفس القيمة
+
+15
+00:01:30,900 --> 00:01:43,420
+الان لو فى عندي تلت دولة f و g و h بيه functions
+
+16
+00:01:43,420 --> 00:01:48,700
+from a to r بيه
+
+17
+00:01:48,700 --> 00:01:49,460
+functions
+
+18
+00:01:54,460 --> 00:02:06,860
+و c تنتمي إلى a و b real number ال
+
+19
+00:02:06,860 --> 00:02:17,440
+functions
+
+20
+00:02:17,440 --> 00:02:23,820
+are continuous at c
+
+21
+00:02:28,450 --> 00:02:34,350
+إذا الدوالة التلاتة F وG وH كلهم متصلين عند النقطة
+
+22
+00:02:34,350 --> 00:02:44,150
+C اللي بتنتمي إليها النتيجة F plus أو minus G F
+
+23
+00:02:44,150 --> 00:02:53,630
+ضرب G B ضرب F are continuous at C
+
+24
+00:02:55,230 --> 00:03:11,750
+B إذا كان H H of X لا تساوي سفر لكل X في A then F
+
+25
+00:03:11,750 --> 00:03:19,710
+على H الدالة F على H is continuous is continuous
+
+26
+00:03:19,710 --> 00:03:20,950
+at C
+
+27
+00:03:25,450 --> 00:03:38,190
+وهي البرهان proof to
+
+28
+00:03:38,190 --> 00:03:48,530
+show مثلا ال function fg is continuous at c
+
+29
+00:03:51,910 --> 00:04:02,370
+We have لدينا التالي بتثبت
+
+30
+00:04:02,370 --> 00:04:09,010
+ان ال F حصل ضرب الدالتين F و G متصل اخترار متصل
+
+31
+00:04:09,010 --> 00:04:14,990
+and C فالاثبات دالك بتثبت ان الشرط هذا تبع الاتصال
+
+32
+00:04:14,990 --> 00:04:23,830
+على النقطة بتحقق فتعالى نشوف high limit F ضرب Gعند
+
+33
+00:04:23,830 --> 00:04:33,190
+X لما X تقول لـC بنثبت أن هذا بيساوي FG عند C فهذا
+
+34
+00:04:33,190 --> 00:04:42,190
+بيساوي limit F of X ضرب G of X as X tends to C هذا
+
+35
+00:04:42,190 --> 00:04:48,610
+من تعريف حصل ضرب اخترانين وهذا بيساوي أنا عندي
+
+36
+00:04:48,610 --> 00:04:56,150
+limit F of X لما X تقول لـC existو limit ال
+
+37
+00:04:56,150 --> 00:05:02,250
+function g of x لما x تقول ل c exist لأن ال
+
+38
+00:05:02,250 --> 00:05:05,110
+function f continuous عند ال c و ال function g
+
+39
+00:05:05,110 --> 00:05:11,250
+احنا فرضينها continuous عند cمش هيكو بس ومن اتصال
+
+40
+00:05:11,250 --> 00:05:17,410
+ده ل F عن C ال limit هذه بيساوي قيمة F عن C وكذلك
+
+41
+00:05:17,410 --> 00:05:20,810
+من اتصال ال function G عن C ال limit هذه بتطلع
+
+42
+00:05:20,810 --> 00:05:30,610
+بيساوي G عن C وهذا بيساوي F ضرب G of C إذن هاي
+
+43
+00:05:30,610 --> 00:05:36,480
+الشرطتبع الاتصال عن نقطة متحقق لل function f ضارب
+
+44
+00:05:36,480 --> 00:05:42,720
+g وبالتالي therefore by definition ال function f g
+
+45
+00:05:42,720 --> 00:05:59,940
+is continuous at c تمام ال proof ال proof of the
+
+46
+00:05:59,940 --> 00:06:00,580
+other
+
+47
+00:06:05,540 --> 00:06:14,200
+parts is similar مشابه للبرهان اللي احنا لسه
+
+48
+00:06:14,200 --> 00:06:19,180
+ماخدينه يعني لإثبات ان مثلا مجموعة دلتين
+
+49
+00:06:19,180 --> 00:06:24,660
+continuous برضه ممكن اثبات ان limit f زائد g لما x
+
+50
+00:06:24,660 --> 00:06:31,220
+تقول ل c بساوي f زائد g and cلو بدنا نثبت ان limit
+
+51
+00:06:31,220 --> 00:06:39,480
+f على g او f على h continuous عن c فبناخد limit f
+
+52
+00:06:39,480 --> 00:06:47,420
+على h عن c وهذا بيطلع بساوي limit f of x على h of
+
+53
+00:06:47,420 --> 00:06:53,810
+x ومع ان limit المقاملأ يساوي سفر لأن H ب X لأ
+
+54
+00:06:53,810 --> 00:07:00,210
+يساوي سفر لكل X في A فممكن نوزع ال limit نقول
+
+55
+00:07:00,210 --> 00:07:02,910
+limit خارج كسمها بيساوي limit ال bus علي limit
+
+56
+00:07:02,910 --> 00:07:06,770
+المقام و limit ال bus بيساوي F عن C لأن F
+
+57
+00:07:06,770 --> 00:07:13,070
+continuous عن C و limit المقام عن C اللي هو H عن C
+
+58
+00:07:13,070 --> 00:07:15,950
+بيساوي قيمة الدالة H عن C لإن أنا متصل عن C
+
+59
+00:07:16,620 --> 00:07:21,880
+وبالتالي بيطلع limit f على h لما x تقول ل c بس هو
+
+60
+00:07:21,880 --> 00:07:27,660
+قيمة الدالة f على h and c okay إذا البرهين
+
+61
+00:07:27,660 --> 00:07:34,860
+المتبقية ممكن يعني أعطاها بنفس الطريقة okay تمام
+
+62
+00:07:34,860 --> 00:07:38,720
+النظرية
+
+63
+00:07:38,720 --> 00:07:40,640
+هذه ممكن تعميمها
+
+64
+00:07:43,880 --> 00:07:51,460
+يعني بدل لو كانت الدالة F و G و H متصلين are
+
+65
+00:07:51,460 --> 00:07:56,640
+continuous are
+
+66
+00:07:56,640 --> 00:08:08,380
+continuous على كل المجموعة A على كل المجال على
+
+67
+00:08:08,380 --> 00:08:15,140
+كل المجال Aالـ F والـ G والـ H المجال المشترك
+
+68
+00:08:15,140 --> 00:08:18,800
+تبعهم المجموعة A فلو كانت الدوالة اتا كلهم
+
+69
+00:08:18,800 --> 00:08:30,280
+continuous على كل المجموعة A ف .. then فبتطلع
+
+70
+00:08:30,280 --> 00:08:36,520
+كل الدوالة هذه متصلة على كل المجموعة Aعلى كل
+
+71
+00:08:36,520 --> 00:08:51,320
+المجموع A يعني هذا بيصير on A وهذه on .. on A فلو
+
+72
+00:08:51,320 --> 00:08:52,380
+بدي أبرهن
+
+73
+00:08:58,870 --> 00:09:03,330
+أي واحدة من الدوايا الهادئة continuous على كل ال A
+
+74
+00:09:03,330 --> 00:09:15,770
+فإيش بعمل بقول fix C تنتمي إلى A and
+
+75
+00:09:15,770 --> 00:09:21,870
+then by
+
+76
+00:09:21,870 --> 00:09:23,090
+above theorem
+
+77
+00:09:28,740 --> 00:09:35,220
+by above theorem أنا
+
+78
+00:09:35,220 --> 00:09:40,520
+الأن عندي كل واحدة من الدوال هدولة continuous على
+
+79
+00:09:40,520 --> 00:09:45,240
+المجموعة a وبالتالي
+
+80
+00:09:45,240 --> 00:09:47,040
+then
+
+81
+00:09:48,850 --> 00:09:52,490
+بما أنه F و G و H continuous على كل المجموعة A فهي
+
+82
+00:09:52,490 --> 00:09:55,870
+continuous عند أي نقطة مش هيك تعرف الاتصال على
+
+83
+00:09:55,870 --> 00:10:08,510
+مجموعة اذا F و G و H are continuous at C وبالتالي
+
+84
+00:10:08,510 --> 00:10:10,130
+حسب النظرية السابقة
+
+85
+00:10:19,920 --> 00:10:26,160
+So by above theorem
+
+86
+00:10:26,160 --> 00:10:32,600
+all functions in
+
+87
+00:10:32,600 --> 00:10:36,660
+parts A
+
+88
+00:10:36,660 --> 00:10:45,920
+and B are continuous at C مش هي كثبتنا احنا في
+
+89
+00:10:45,920 --> 00:10:48,120
+النظرية السابقة هذه اللي جاب ال head اللي انا
+
+90
+00:10:48,120 --> 00:10:52,520
+عدلتهالو كان في عندي تلت دوال و كلهم متصلين عن
+
+91
+00:10:52,520 --> 00:10:57,040
+النقطة فكل الدول الموجودة في الفرق a و الدول
+
+92
+00:10:57,040 --> 00:11:01,300
+الموجودة في الفرق b كلهم بيطلعوا continuous عن نفس
+
+93
+00:11:01,300 --> 00:11:09,660
+النقطة الان بما أن النقطة c was arbitrary since c
+
+94
+00:11:09,660 --> 00:11:17,880
+belonged to a was arbitrary the above
+
+95
+00:11:25,240 --> 00:11:32,060
+All functions in A
+
+96
+00:11:32,060 --> 00:11:37,260
+and B are
+
+97
+00:11:37,260 --> 00:11:39,580
+continuous
+
+98
+00:11:41,100 --> 00:11:46,400
+على كل المجموعة A لأن كل واحدة منهم continuous على
+
+99
+00:11:46,400 --> 00:11:51,060
+أي و كل نقطة C في A وبالتالي هذا يكون برنامج
+
+100
+00:11:51,060 --> 00:11:56,540
+النظرية إذا النظرية هذه تنتج مباشرة من نظرية
+
+101
+00:11:56,540 --> 00:12:04,020
+السابقتها وذلك بتثبيت C عنصر في A وطبعا النظرية
+
+102
+00:12:04,020 --> 00:12:08,300
+السابقة بتقول عند أي عنصرC بما أن التلات دوال
+
+103
+00:12:08,300 --> 00:12:12,440
+متصلة إذا كل ال combinations هدولة بطلعوا متصلين
+
+104
+00:12:12,440 --> 00:12:17,220
+عن نفس النقطة هذا صحيح لأي نقطة ل C وبالتالي كلهم
+
+105
+00:12:17,220 --> 00:12:21,840
+متصلين على كل المجال تباعهم اللي هو المجموعة A
+
+106
+00:12:21,840 --> 00:12:28,040
+تمام ناخد
+
+107
+00:12:28,040 --> 00:12:29,100
+بعض الأمثلة
+
+108
+00:12:40,050 --> 00:12:46,710
+every polynomial .. every polynomial function على
+
+109
+00:12:46,710 --> 00:12:56,190
+الصورة P of X بيساوي A N في X to N plus A N minus
+
+110
+00:12:56,190 --> 00:13:03,290
+one في X to N minus one زائد .. زائد A one في X
+
+111
+00:13:03,290 --> 00:13:08,330
+زائد A zero is continuous
+
+112
+00:13:10,930 --> 00:13:15,470
+on R proof
+
+113
+00:13:15,470 --> 00:13:20,310
+fix
+
+114
+00:13:20,310 --> 00:13:23,750
+fix
+
+115
+00:13:23,750 --> 00:13:29,150
+C ينتمي ل R و بد أثبت أن ال polynomial function P
+
+116
+00:13:29,150 --> 00:13:36,470
+هذه متصلة عند النقطة C طيب we should أثبتنا في
+
+117
+00:13:36,470 --> 00:13:45,400
+chapter 4 we shouldin chapter in chapter four that
+
+118
+00:13:45,400 --> 00:13:48,960
+لو
+
+119
+00:13:48,960 --> 00:13:53,420
+في عندي polynomial P
+
+120
+00:13:53,420 --> 00:13:57,660
+polynomial في X فأثبتنا أن ال limit لل polynomial
+
+121
+00:13:57,660 --> 00:14:03,280
+P عند أي real number
+
+122
+00:14:03,280 --> 00:14:11,430
+C بسوء قيمتها عن C thereforeحسب تعريف تبع الاتصال
+
+123
+00:14:11,430 --> 00:14:22,830
+النقطة إذا P is continuous at C بما أن الـ C was
+
+124
+00:14:22,830 --> 00:14:28,510
+arbitrary element
+
+125
+00:14:28,510 --> 00:14:35,610
+إذا P continuous عند كل الـ C في R وبالتالي P is
+
+126
+00:14:35,610 --> 00:14:43,190
+continuousعلى كل المجموعة R هنا ال A اللي هي R
+
+127
+00:14:43,190 --> 00:14:49,190
+تمام مثال
+
+128
+00:14:49,190 --> 00:15:04,390
+تاني if R بتساوي P على Q P على Q where P
+
+129
+00:15:04,390 --> 00:15:05,930
+و Q R
+
+130
+00:15:08,300 --> 00:15:19,440
+Polynomials are كثيرات حدود then R is continuous
+
+131
+00:15:19,440 --> 00:15:29,720
+on الست اللي هي R كل الأعداد الحقيقية معدى أسفار
+
+132
+00:15:29,720 --> 00:15:36,720
+المقام كل ال X حيث Q of X بتساوي سفر
+
+133
+00:15:50,720 --> 00:15:56,680
+Proof برضه Fix C
+
+134
+00:15:56,680 --> 00:16:08,860
+تنتمي الى R معدى كل ال X حيث Q of X بتساوي سفر
+
+135
+00:16:08,860 --> 00:16:18,260
+معدى أسفار ال function Q إذن Q and C لا يساوي سفر
+
+136
+00:16:20,990 --> 00:16:30,050
+So by chapter .. By chapter four احنا أثبتنا انه
+
+137
+00:16:30,050 --> 00:16:37,310
+في الحالة هذه ال limit ل R of X as X tends to C
+
+138
+00:16:37,310 --> 00:16:48,030
+بساوي R of C وبالتالي therefore R is continuous
+
+139
+00:16:50,660 --> 00:16:58,640
+at C ولمّا كانت الـ C موجودة في R minus أسفار
+
+140
+00:16:58,640 --> 00:17:04,520
+المقام was arbitrarily إذن الـ R continuous على كل
+
+141
+00:17:04,520 --> 00:17:18,080
+الـ A الست هذه okay دي الأبارع بنكتبها طيب
+
+142
+00:17:18,080 --> 00:17:19,900
+في الدول المثلثية
+
+143
+00:17:25,880 --> 00:17:41,480
+في الدوان المثلثية زي الدالة مثلا sign مثال
+
+144
+00:17:41,480 --> 00:17:52,660
+رقم تلاتة f of x بساوي sign x is continuous
+
+145
+00:17:56,130 --> 00:18:07,970
+on R مبتصل على جميع الأعداد الحقيقية proof we
+
+146
+00:18:07,970 --> 00:18:08,650
+use
+
+147
+00:18:13,350 --> 00:18:21,010
+هنستخدم الحقائق التالية absolute sign z أصغر من أو
+
+148
+00:18:21,010 --> 00:18:30,290
+ساوى واحد لكل z في R هذا معروف من الرسمة تبعت ال
+
+149
+00:18:30,290 --> 00:18:33,690
+sign function ال sign function أكبر قيمة إلها ال
+
+150
+00:18:33,690 --> 00:18:38,190
+maximum value واحد وال absolute minimum سالب واحد
+
+151
+00:18:38,190 --> 00:18:43,220
+إذا قيمها محصورة بينهمإذن هذه واضحة من الرسم أو من
+
+152
+00:18:43,220 --> 00:18:50,960
+تعريف ال function كذلك في اندي كمان absolute
+
+153
+00:18:50,960 --> 00:18:59,040
+sin z أصغر من أو ساوي absolute z for all z في R
+
+154
+00:18:59,040 --> 00:19:02,240
+إذن
+
+155
+00:19:02,240 --> 00:19:08,260
+هذه موجود برهانها في chapter chapter
+
+156
+00:19:08,260 --> 00:19:16,030
+8الناس اللي هياخدوا تحليل حقيقة 2 هيشوفوا البرهان
+
+157
+00:19:16,030 --> 00:19:20,890
+والناس اللي مش هياخدوا تحليل حقيقة 2 ممكن يقرؤوا
+
+158
+00:19:20,890 --> 00:19:27,890
+البرهان من chapter 8 حتى تعرفوا يعني ايه تتحققوا
+
+159
+00:19:27,890 --> 00:19:35,870
+ان هذه فعلا المتباينة الصحيحة كذلكمن حساب المثلثات
+
+160
+00:19:35,870 --> 00:19:39,970
+من الـ trigonometry ال��ي درسناها في calculus A أو
+
+161
+00:19:39,970 --> 00:19:45,030
+ما حتى في الثانوية العامة كان في متطابقات مثلثية و
+
+162
+00:19:45,030 --> 00:19:54,690
+من المتطابقات هذه ممكن نستنتج ان sign x minus sign
+
+163
+00:19:54,690 --> 00:20:11,220
+c بساوي اتنين في signنص في x minus c ضرب
+
+164
+00:20:11,220 --> 00:20:23,100
+cosine نص
+
+165
+00:20:23,100 --> 00:20:26,200
+في
+
+166
+00:20:26,200 --> 00:20:27,680
+x زاد c
+
+167
+00:20:37,480 --> 00:20:46,140
+إذن هذه المتطابقة ممكن أثبتها كيف نثبتها sign
+
+168
+00:20:46,140 --> 00:20:51,900
+الفرق x ع 2 سالب c ع 2 sign الفرق بيسوي sign
+
+169
+00:20:51,900 --> 00:21:00,860
+cosine سالب cosine sign و cosine المجموعة بيسوي
+
+170
+00:21:00,860 --> 00:21:04,420
+cosine cosine سالب sine sine و بعدين نجمعهم و
+
+171
+00:21:04,420 --> 00:21:09,160
+نضربهموفي اتنين فهيطلع في الآخر بتتصف عليه okay
+
+172
+00:21:12,120 --> 00:21:16,040
+بالمناسبة في برضه كمان هندي مش absolute sine z
+
+173
+00:21:16,040 --> 00:21:22,100
+أصغر من أو ساوي الواحد وكذلك في هندي absolute
+
+174
+00:21:22,100 --> 00:21:28,820
+cosine z برضه أصغر من أو ساوي واحد لكل z في R لأنه
+
+175
+00:21:28,820 --> 00:21:32,260
+برضه ال cosine ال absolute مجزمة منها واحد وال
+
+176
+00:21:32,260 --> 00:21:35,600
+absolute minimum سالب واحد وبالتالي قيمة محصورة
+
+177
+00:21:35,600 --> 00:21:40,020
+بين سالب واحد واحد الآن خلينا ناخد ال ..
+
+178
+00:21:42,890 --> 00:21:46,090
+من المعادلة الأخيرة
+
+179
+00:21:56,720 --> 00:21:59,960
+من المعادلة الأخيرة بطلع عندي لو أخدت ال absolute
+
+180
+00:21:59,960 --> 00:22:05,840
+value للطرفين فبطلع عندي absolute sin x minus sin
+
+181
+00:22:05,840 --> 00:22:12,700
+c طبعا هذا الكلام كله صحيح لكل x و c أعداد حقيقية
+
+182
+00:22:14,590 --> 00:22:20,190
+فهذا بيطلع بساوي او اصغر من او ساوي اتنين في
+
+183
+00:22:20,190 --> 00:22:28,230
+absolute sin z absolute sin z اصغر من او ساوي
+
+184
+00:22:28,230 --> 00:22:35,070
+absolute z اللي هو نص في absolute x minus z ضرب
+
+185
+00:22:35,070 --> 00:22:41,650
+absolute cosine z اصغر من او ساوي الواحد اصغر من
+
+186
+00:22:41,650 --> 00:22:52,580
+او ساوي الواحدتمام؟ و هذا صحيح لكل x و c في R طبعا
+
+187
+00:22:52,580 --> 00:23:00,660
+هذا بيساوي absolute x minus c و
+
+188
+00:23:00,660 --> 00:23:06,260
+من المتباين هذي بينتج ان ده ل sign متصل عن c okay؟
+
+189
+00:23:06,260 --> 00:23:20,770
+اذا to show fix c belong to Rto show أن f of x
+
+190
+00:23:20,770 --> 00:23:32,290
+بساوي sin x is continuous at c let epsilon أكبر من
+
+191
+00:23:32,290 --> 00:23:37,050
+السفر be given it shows
+
+192
+00:23:40,310 --> 00:23:44,950
+دلتا بساوي إبسلون أكبر من الصفر إذا هيوجد دلتا
+
+193
+00:23:44,950 --> 00:23:51,430
+تعتمد على إبسلون عدد موجب فلهذه الدلتا لو كان X
+
+194
+00:23:51,430 --> 00:23:56,950
+بينتمي إلى R اللي هو مجال الدالة A و absolute X
+
+195
+00:23:56,950 --> 00:24:04,070
+minus C أصغر من دلتا فهذا بتضمن أنه absolute F of
+
+196
+00:24:04,070 --> 00:24:15,190
+X-f of c اللي هو absolute sin x minus sin c شوفنا
+
+197
+00:24:15,190 --> 00:24:21,870
+هذا أصغر من أو ساوي absolute x minus c من هنا الآن
+
+198
+00:24:21,870 --> 00:24:25,530
+ال x هذه ماخدها أنا بحيث المسافة بينها وبين ال c
+
+199
+00:24:25,530 --> 00:24:30,410
+أصغرمن delta وانا اختار ال delta تساوي epsilon
+
+200
+00:24:30,410 --> 00:24:34,810
+عشان يطلع absolute الفرق بين f of x وf of z أصغر
+
+201
+00:24:34,810 --> 00:24:39,370
+من epsilon إذا هاي شرط epsilon delta لتعريف ال
+
+202
+00:24:39,370 --> 00:24:44,910
+continuity و النقطة المتحققةبما ان ابسلون was
+
+203
+00:24:44,910 --> 00:24:51,090
+arbitrary since ابسلون اكبر من السفر was arbitrary
+
+204
+00:24:51,090 --> 00:24:56,550
+اذا حسب تعريف ابسلون دلتا للاتصال بيطلع عندي ال
+
+205
+00:24:56,550 --> 00:25:05,710
+function f of x بتساوي sin x is continuous at c
+
+206
+00:25:05,710 --> 00:25:11,130
+وبما ان ال c was arbitrary since
+
+207
+00:25:14,280 --> 00:25:22,700
+C belonged to R since C belonged to R was
+
+208
+00:25:22,700 --> 00:25:29,940
+arbitrary وهين أثبتنا أن ال F continuous at C فF
+
+209
+00:25:29,940 --> 00:25:36,980
+is continuous على كل ال R وهو المطلوب
+
+210
+00:25:40,210 --> 00:25:43,290
+ان الـ sine function continuous على كل الـ R
+
+211
+00:25:43,290 --> 00:25:52,970
+بالمثل ممكن اثبات ان ال function g of x بساوي
+
+212
+00:25:52,970 --> 00:26:01,630
+cosine x ايضا continuous on R هنستخدم ال ..
+
+213
+00:26:01,630 --> 00:26:10,410
+هنستخدم يعني الحاجات هذه او اتنين منهم و ..بدل ال
+
+214
+00:26:10,410 --> 00:26:16,710
+sign هنستخدم معادلة أو متطابقة زي هذه بس نبدل ال
+
+215
+00:26:16,710 --> 00:26:27,010
+sign ب cosine فهنا
+
+216
+00:26:27,010 --> 00:26:34,800
+هيصير في عندي اختلاف هذا هصير سالب اتنينبدل اتنين
+
+217
+00:26:34,800 --> 00:26:43,640
+و هيكون عند هنا sign نص sign نص المجموعة ضرب sign
+
+218
+00:26:43,640 --> 00:26:48,820
+نص الفرق تمام؟
+
+219
+00:26:48,820 --> 00:26:54,040
+و طبعا هناخد ال absolute value للطرفين
+
+220
+00:26:56,180 --> 00:26:59,400
+فهذا بيساوي ال absolute value للطرف التاني
+
+221
+00:26:59,400 --> 00:27:06,700
+وباستخدام المتطابقات هذه فهذا هيطلع أصغر من
+
+222
+00:27:06,700 --> 00:27:11,380
+absolute سالب اتنين بيطلع اتنين وهذا أصغر من
+
+223
+00:27:11,380 --> 00:27:17,000
+absolute sine of z أصغر من أو ساوي الواحد و
+
+224
+00:27:17,000 --> 00:27:18,960
+absolute cosine of z
+
+225
+00:27:30,570 --> 00:27:37,920
+لأ هذه مش cosine هذه sinهذه الـ sine فهي sine الـ
+
+226
+00:27:37,920 --> 00:27:40,800
+z ال absolute value لها أصغر من أو يساوي الواحد
+
+227
+00:27:40,800 --> 00:27:47,800
+وهي كمان sine أو absolute value ل sine ال z أصغر
+
+228
+00:27:47,800 --> 00:27:53,360
+من أو يساوي absolute ال z ال z هنا اللي هو نص في x
+
+229
+00:27:53,360 --> 00:28:00,620
+minus z فبطلع نص في absolute في absolute x minus z
+
+230
+00:28:00,620 --> 00:28:06,150
+بطلع هذا بساوي absolute x minus zو باقي البرهان زي
+
+231
+00:28:06,150 --> 00:28:10,110
+ما عملنا هنا okay تمام لأي epsilon أكبر من السفر
+
+232
+00:28:10,110 --> 00:28:15,130
+choose delta بساوي epsilon ف this delta will work
+
+233
+00:28:15,130 --> 00:28:22,370
+تمام إذا باقي البرهان كما عملنا في حالة ال sine
+
+234
+00:28:22,370 --> 00:28:29,210
+إذا هذا المثال الرابع شوفنا فيه كيف نثبت إن ال
+
+235
+00:28:29,210 --> 00:28:33,870
+cosine function is continuous تمام واضح
+
+236
+00:28:37,340 --> 00:28:48,220
+الان ممكن اثبات بعد هيك انه ال tangent function
+
+237
+00:28:48,220 --> 00:28:58,040
+tangent x اللي هي بساوي sin x على cos x is
+
+238
+00:28:58,040 --> 00:28:58,800
+continuous
+
+239
+00:29:01,890 --> 00:29:06,770
+الصين مستمر على الار والكوسين مستمر على الار هذه
+
+240
+00:29:06,770 --> 00:29:10,670
+راشيونال فانتشار فانتشار راشيونال فانتشار مستمر
+
+241
+00:29:10,670 --> 00:29:14,370
+على الار ما عدا عند أسفار المخام ما هي أسفار
+
+242
+00:29:14,370 --> 00:29:19,910
+الكوسين المضاعفات
+
+243
+00:29:19,910 --> 00:29:27,970
+الفردية لا πاية اتنين مستمر على الار ما عدا
+
+244
+00:29:31,580 --> 00:29:42,960
+تنين n زياد واحد في πاي على اتنين حيث ان عدد صحيح
+
+245
+00:29:42,960 --> 00:29:46,040
+صح؟
+
+246
+00:29:46,040 --> 00:29:49,100
+هيك
+
+247
+00:29:49,100 --> 00:29:57,940
+بقطين المضاعفات الفردية لπاي على اتنينو كذلك cot x
+
+248
+00:29:57,940 --> 00:30:06,200
+بيساوي cosine x على sin x is continuous على r مادة
+
+249
+00:30:06,200 --> 00:30:14,260
+أسفار المقام اللي هي مضاعفات الـ pi مضاعفات الـ pi
+
+250
+00:30:14,260 --> 00:30:21,160
+مادة n pi حيث ان عدد صحيح
+
+251
+00:30:27,460 --> 00:30:32,160
+و كذلك بالمثل
+
+252
+00:30:32,160 --> 00:30:39,460
+ال .. ال .. ال secant .. لأ ال cosecant x اللي
+
+253
+00:30:39,460 --> 00:30:45,240
+بيساوي واحد على sign ال x متصل على R معدى عند
+
+254
+00:30:45,240 --> 00:30:52,570
+أسفار المقان، اذا زيها زيالـ cotangent و ال secant
+
+255
+00:30:52,570 --> 00:30:58,430
+x اللي هي واحد على cos برضه متصلة زيها زي ال
+
+256
+00:30:58,430 --> 00:31:02,690
+tangent على R بعد المضاعفات الفردية ل πاية اتنين
+
+257
+00:31:02,690 --> 00:31:10,190
+okay تمام طيب
+
+258
+00:31:10,190 --> 00:31:10,790
+ناخد
+
+259
+00:31:28,820 --> 00:31:39,340
+ناخد النظرية التالية let f
+
+260
+00:31:39,340 --> 00:31:43,440
+be a function from A to R
+
+261
+00:31:56,070 --> 00:32:09,810
+وحد if if is continuous if if is continuous at c
+
+262
+00:32:09,810 --> 00:32:14,370
+تنتمي إلى a then absolute if
+
+263
+00:32:17,670 --> 00:32:27,990
+is continuous at c then if if is continuous on a
+
+264
+00:32:27,990 --> 00:32:41,190
+then absolute if is continuous on a proof
+
+265
+00:32:41,190 --> 00:32:44,230
+we
+
+266
+00:32:44,230 --> 00:32:44,850
+use
+
+267
+00:32:47,240 --> 00:32:51,480
+we use exercise
+
+268
+00:32:51,480 --> 00:32:54,760
+exercise
+
+269
+00:32:54,760 --> 00:33:00,600
+رقم تلتاش
+
+270
+00:33:00,600 --> 00:33:09,220
+في section أربعة اتنين نرجع لل exercise هذا و
+
+271
+00:33:09,220 --> 00:33:09,900
+نكتبه
+
+272
+00:33:16,290 --> 00:33:29,470
+الـ exercise هذا بيقول if
+
+273
+00:33:29,470 --> 00:33:38,790
+ال limit ل ال function f of x لما x تقول إلى c
+
+274
+00:33:38,790 --> 00:33:41,470
+exists
+
+275
+00:33:47,480 --> 00:33:57,760
+then ال limit ل absolute f of x لما x تقول إلى c
+
+276
+00:33:57,760 --> 00:34:04,600
+exist
+
+277
+00:34:04,600 --> 00:34:11,180
+and equals absolute limit absolute
+
+278
+00:34:11,180 --> 00:34:16,900
+limit f of x لما x تقول إلى c
+
+279
+00:34:22,160 --> 00:34:26,760
+طبعاً و هنا C is cluster point الـ C هنا cluster
+
+280
+00:34:26,760 --> 00:34:30,700
+point cluster
+
+281
+00:34:30,700 --> 00:34:41,220
+point of A و طبعاً F function من A إلى R فهذا
+
+282
+00:34:41,220 --> 00:34:46,480
+التمرين موجود في section 4-2 لو كانت ال function F
+
+283
+00:34:46,480 --> 00:34:54,090
+ال limit تبعتها عن C موجودةف limit absolute f and
+
+284
+00:34:54,090 --> 00:34:58,170
+c برضه بتكون موجودة و بساوي قيمتها ال absolute
+
+285
+00:34:58,170 --> 00:35:02,350
+value ل limit f of x and z يعني مقدر نبدل ال
+
+286
+00:35:02,350 --> 00:35:06,170
+absolute value مع ال limit الآن باستخدام هذا ال
+
+287
+00:35:06,170 --> 00:35:18,290
+exercise ممكن نبره هنا النظرية السابقة إذا
+
+288
+00:35:18,290 --> 00:35:18,690
+هنا
+
+289
+00:35:23,870 --> 00:35:30,210
+لبرهان الجزء الأول to
+
+290
+00:35:30,210 --> 00:35:36,410
+show if
+
+291
+00:35:36,410 --> 00:35:44,890
+is .. to show absolute if is
+
+292
+00:35:44,890 --> 00:35:51,710
+continuous at c تنتمي ل a
+
+293
+00:36:03,810 --> 00:36:09,350
+لدينا اتصالين اتصال
+
+294
+00:36:09,350 --> 00:36:16,650
+اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال اتصال
+
+295
+00:36:23,200 --> 00:36:26,500
+فشوفنا ان لو كانت الـ C ماهياش cluster point
+
+296
+00:36:26,500 --> 00:36:31,780
+فالاتصال عندها بيطلع متحقق اوتوماتيكي شوفنا في
+
+297
+00:36:31,780 --> 00:36:40,600
+التعريف then the continuity of
+
+298
+00:36:40,600 --> 00:36:47,700
+absolute if at C is automatic
+
+299
+00:36:47,700 --> 00:36:49,560
+اوتوماتيكي
+
+300
+00:36:50,790 --> 00:36:56,590
+إذا احنا بنهتم بالحالة التانية انه C is a cluster
+
+301
+00:36:56,590 --> 00:37:12,550
+point of A ففي الحالة هذه by exercise تلتاش
+
+302
+00:37:12,550 --> 00:37:19,170
+of section اربعة
+
+303
+00:37:19,170 --> 00:37:19,930
+اتنين
+
+304
+00:37:28,440 --> 00:37:37,660
+بما أنه limit ل f of x as x tends to c بيساوي c
+
+305
+00:37:37,660 --> 00:37:46,940
+احنا فرضين ان f continuous by continuity of f at c
+
+306
+00:37:48,200 --> 00:37:51,740
+بما ان f continuous at c احنا فرضين ان f is
+
+307
+00:37:51,740 --> 00:37:55,920
+continuous at c فبالتالي
+
+308
+00:37:55,920 --> 00:38:01,020
+limit f of x لما x تقول ل c بيساوي f of c اذا هاي
+
+309
+00:38:01,020 --> 00:38:05,320
+في عندي limit f of x لما x تقول ل c exist و بيساوي
+
+310
+00:38:05,320 --> 00:38:13,860
+f of c اذا by exercise 13 بطلع عندي limit
+
+311
+00:38:16,480 --> 00:38:25,460
+absolute f of x as x tends to c موجودة وبساوي
+
+312
+00:38:25,460 --> 00:38:37,480
+absolute limit ل f of x لما x تقول ل c اللي هي
+
+313
+00:38:37,480 --> 00:38:45,580
+بتطلع بساوي absolute f of cاللي هي عبارة عن
+
+314
+00:38:45,580 --> 00:38:50,780
+absolute f محسوب عن c إذا هي شرط الاتصال لل
+
+315
+00:38:50,780 --> 00:38:55,980
+function absolute f عند النقطة c متحقق وبالتالي
+
+316
+00:38:55,980 --> 00:39:04,620
+therefore absolute f is continuous at c إذا هذا
+
+317
+00:39:04,620 --> 00:39:09,020
+بثبت الجزء الأول الجزء التاني corollary على الجزء
+
+318
+00:39:09,020 --> 00:39:14,920
+الأول نتيجة الجزء الأوللأن إذا كانت الدالة F
+
+319
+00:39:14,920 --> 00:39:20,640
+continuous على كل الـ A معناته F continuous عند كل
+
+320
+00:39:20,640 --> 00:39:26,600
+C في A وبالتالي بيطلع absolute F متصل عند كل C في
+
+321
+00:39:26,600 --> 00:39:34,680
+A صح؟ إذن هذا إيه برهن النظرية إذن التاني نتيجة
+
+322
+00:39:34,680 --> 00:39:40,900
+على الجزء الأول في كمان نظرية أخرى مشابهة زي هذه
+
+323
+00:39:43,790 --> 00:39:50,770
+لكن بدل absolute f ففي عندى هنا let f be function
+
+324
+00:39:50,770 --> 00:39:57,510
+from a to r such that f of x أكبر من أو يساوي سفر
+
+325
+00:39:57,510 --> 00:40:05,170
+لكل x في a يعني هنا ال dialer قيمها غير سالبة فلو
+
+326
+00:40:05,170 --> 00:40:14,660
+كانت f continuous at c فال square root ل fبطلع
+
+327
+00:40:14,660 --> 00:40:21,580
+continuous at C كذلك لو كانت F continuous on A ف
+
+328
+00:40:21,580 --> 00:40:29,760
+ال square root ل F is continuous على كل ال A و
+
+329
+00:40:29,760 --> 00:40:34,500
+المرة هذه البرهان بستخدم exercise ثاني في section
+
+330
+00:40:34,500 --> 00:40:40,090
+42 اللي هو exercise 14الـ exercise هذا بيقول إذا
+
+331
+00:40:40,090 --> 00:40:44,510
+كانت ال limit للدالة هذه، يعني C موجودة، then ال
+
+332
+00:40:44,510 --> 00:40:49,030
+limit للـ square .. لل function اللي هي square
+
+333
+00:40:49,030 --> 00:40:56,970
+root of F عند الـ C موجودة وبتساوي ال square root
+
+334
+00:40:56,970 --> 00:41:04,110
+وبتساوي جذر التربيع أيه؟ ال limit لل square root
+
+335
+00:41:05,350 --> 00:41:09,530
+يعني بمعنى اخر انا ممكن ابدل ال limit مع ال square
+
+336
+00:41:09,530 --> 00:41:15,750
+root و البرهان زي برهان النظرية السابقة
+
+337
+00:41:34,960 --> 00:41:37,360
+الحالة التانية اللي هي المهمة لو كانت C cluster
+
+338
+00:41:37,360 --> 00:41:44,180
+point ل A فحسب exercise 14من سكتشن أربعة اتنين
+
+339
+00:41:44,180 --> 00:41:49,120
+اللي هو كتبناه هناك بما أنه ال limit بما أنه ال
+
+340
+00:41:49,120 --> 00:41:54,160
+function if continuous at c إذا ال limit f of x من
+
+341
+00:41:54,160 --> 00:41:58,900
+x تقوى ل c exist و بساوي f of c الآن من exercise
+
+342
+00:41:58,900 --> 00:42:03,400
+أربعة عشر إذا
+
+343
+00:42:03,400 --> 00:42:07,680
+ال limit هي عند ال limit ل f of x من x تقوى ل c
+
+344
+00:42:07,680 --> 00:42:10,440
+exist إذا by exercise
+
+345
+00:42:14,160 --> 00:42:19,740
+أربعتاش limit ال square root لل function f لما X
+
+346
+00:42:19,740 --> 00:42:27,200
+تقول ل C exist و بساوي ال square root لل limit of
+
+347
+00:42:27,200 --> 00:42:31,460
+the function يعني C وهذا بساوي
+
+348
+00:42:33,950 --> 00:42:37,990
+الـ square root أنا عندي limit f of x عند c exist
+
+349
+00:42:37,990 --> 00:42:44,870
+و بتساوي f of c إذن هذا بيطلع بساوي ال square root
+
+350
+00:42:44,870 --> 00:42:50,870
+ل f هذه ك function محسوبة عن c إذن أنا في عند ال
+
+351
+00:42:50,870 --> 00:42:57,510
+function جدر ال f بالمناسبة جدر f and x كيف
+
+352
+00:42:57,510 --> 00:43:02,430
+بنعرفها؟ بيه عبارة عن الجدر التربيهي ل f of x
+
+353
+00:43:05,740 --> 00:43:11,800
+فإذا أنا عندي الدالة تبعتي جذر F هي دي function ال
+
+354
+00:43:11,800 --> 00:43:16,920
+function هي حسبنا ال limit اللي عند C طلعت موجودة
+
+355
+00:43:16,920 --> 00:43:24,140
+و بتساوي قيمتها عند C إذا ال square root ل F ك
+
+356
+00:43:24,140 --> 00:43:29,560
+function is continuous at C تمام؟ إذا هذا بثبت
+
+357
+00:43:29,560 --> 00:43:33,980
+الجزء الأول من النظرية هذه الآن الجزء التاني
+
+358
+00:43:33,980 --> 00:43:41,050
+Corollaryto the first part نتيجة على الجزء الأول
+
+359
+00:43:41,050 --> 00:43:45,510
+لأنه إذا كانت إذا
+
+360
+00:43:45,510 --> 00:43:52,210
+كانت ال F continuous على كل ال A فهي continuous
+
+361
+00:43:52,210 --> 00:43:56,370
+عند كل C في A وبالتالي ال square root من الجزء
+
+362
+00:43:56,370 --> 00:44:01,250
+الأول إلها continuous عند ال C وهذا ال C هذا طبعا
+
+363
+00:44:01,250 --> 00:44:04,170
+ال C was arbitrary إذا ال square root continuous
+
+364
+00:44:04,170 --> 00:44:15,650
+على كل ال Aتمام؟ إذن هذه الحاجات .. هذا هو برهانها
+
+365
+00:44:15,650 --> 00:44:24,030
+ال exercise 13 و 14 هدول نظريات فالمفروض أن احنا
+
+366
+00:44:24,030 --> 00:44:31,910
+يعني إيه .. ان .. نبرهنهم فلو
+
+367
+00:44:31,910 --> 00:44:52,750
+بدنا نبرهن مثلاالجزء الأخير هذا فممكن
+
+368
+00:44:52,750 --> 00:45:02,030
+نستخدم ال sequential criterion يعني
+
+369
+00:45:02,030 --> 00:45:03,070
+مثلا ال proof
+
+370
+00:45:06,120 --> 00:45:25,180
+of exercise أربعة طعش section أربعة اتنين we
+
+371
+00:45:25,180 --> 00:45:28,920
+use sequential
+
+372
+00:45:28,920 --> 00:45:29,920
+criterion
+
+373
+00:45:32,750 --> 00:45:37,670
+أنا بتثبت أن عندي limit f of x عن c exist و بتثبت
+
+374
+00:45:37,670 --> 00:45:42,450
+limit الجذر ال f عن c exist و بساوي الجذر تربية ال
+
+375
+00:45:42,450 --> 00:45:55,150
+unlimited ف let x in be sequence طبعا
+
+376
+00:45:55,150 --> 00:45:56,530
+في مجال الدالة
+
+377
+00:46:01,100 --> 00:46:10,900
+b sequence in a such that limit xn بساوي c تمام
+
+378
+00:46:10,900 --> 00:46:18,060
+then xn
+
+379
+00:46:18,060 --> 00:46:24,120
+أكبر من أو يساوي سفر لأ قيمة الدالة
+
+380
+00:46:43,880 --> 00:46:53,240
+طيب اذا ال function عندي f of x اذا
+
+381
+00:46:53,240 --> 00:47:01,820
+since limit f of x as x tends to c exist هذا
+
+382
+00:47:01,820 --> 00:47:09,850
+بيقدّي انه ال limitالـ f of x in as n tends to
+
+383
+00:47:09,850 --> 00:47:14,530
+infinity موجودة
+
+384
+00:47:14,530 --> 00:47:21,010
+exist و
+
+385
+00:47:21,010 --> 00:47:29,270
+بتساوي and مثلا equals عدد L كويس هذا by
+
+386
+00:47:29,270 --> 00:47:32,810
+sequential criterion
+
+387
+00:47:35,150 --> 00:47:39,110
+الـ function لها limit عن c إذا كان لكل sequence x
+
+388
+00:47:39,110 --> 00:47:46,570
+in تتقارب ل c نهاية صورتها موجودة وبتساوي عدد معين
+
+389
+00:47:46,570 --> 00:47:55,910
+الأن أنا عندي sense f of x in أكبر من أو ساوى 0
+
+390
+00:47:55,910 --> 00:48:01,350
+لكل in لأن الدالة قيمها موجبة الدالة هذه قيمها
+
+391
+00:48:01,350 --> 00:48:10,190
+موجبةفالـ limit فالـ L اللي هي limit f
+
+392
+00:48:10,190 --> 00:48:14,510
+of x in تطلع موجب ايضا اكبر من أو ساوي سفر
+
+393
+00:48:14,510 --> 00:48:21,610
+وبالتالي
+
+394
+00:48:21,610 --> 00:48:26,410
+ال limit وفي
+
+395
+00:48:26,410 --> 00:48:30,310
+عندي انا الآن ال sequence هذه by
+
+396
+00:48:32,240 --> 00:48:41,100
+في مثال أخدناه سابقا او نظرية by theorem تلاتة
+
+397
+00:48:41,100 --> 00:48:46,260
+اتنين عشرة في الكتاب بتقول لو في عندي sequence زي
+
+398
+00:48:46,260 --> 00:48:55,330
+هذه حدودها غير سالبة فال limitللـ square root ل F
+
+399
+00:48:55,330 --> 00:49:05,390
+of X N as N tends to infinity تطلع موجودة
+
+400
+00:49:05,390 --> 00:49:11,610
+و
+
+401
+00:49:11,610 --> 00:49:16,970
+بالساوي جذر ال Lحسب النظرية هذه إذا كان في end
+
+402
+00:49:16,970 --> 00:49:22,170
+sequence حدودها غير سالبة ومتقاربة إذا ال limit
+
+403
+00:49:22,170 --> 00:49:25,630
+square root لحدودها بساوي square root ل limit
+
+404
+00:49:25,630 --> 00:49:29,330
+تبعتها طبما ال square root ل L هي عبارة عن ال
+
+405
+00:49:29,330 --> 00:49:37,150
+square root ل limit f of x in
+
+406
+00:49:41,810 --> 00:49:47,030
+من هنا الـ square root لإيه اللي بيساوي ال square
+
+407
+00:49:47,030 --> 00:49:56,990
+root لlimit f of x n لما n طول لإنفينتيز اذا
+
+408
+00:49:56,990 --> 00:50:04,550
+انا هيطلع عندي ال limit وهذه عبارة عن limit
+
+409
+00:50:07,530 --> 00:50:15,030
+للـ square root ل F of XN لما N تقول infinity اذا
+
+410
+00:50:15,030 --> 00:50:19,650
+انا بدأت ب XN sequence contained in A ونهايتها C
+
+411
+00:50:19,650 --> 00:50:25,330
+فطلع نهايت نهايت
+
+412
+00:50:25,330 --> 00:50:30,250
+صورتها صورة ال sequence موجودة وبساوي ال square
+
+413
+00:50:30,250 --> 00:50:35,010
+root ل L موجودة وبالتالي therefore by sequential
+
+414
+00:50:39,060 --> 00:50:47,080
+criterion ال limit لل square root ل F of X لما X
+
+415
+00:50:47,080 --> 00:50:55,780
+تقول إلى C بساوي exist و بساوي ال square root ل F
+
+416
+00:50:55,780 --> 00:51:00,980
+and C أو
+
+417
+00:51:00,980 --> 00:51:03,820
+اللي هو اللي بساوي .. لأ بساوي اللي هو
+
+418
+00:51:09,800 --> 00:51:20,620
+السكوير روت ال L اللي هو برضه اللي هو
+
+419
+00:51:20,620 --> 00:51:23,100
+نعم نعم
+
+420
+00:51:31,480 --> 00:51:37,500
+يعني هاد ممكن هاد يسميها L من الأول فإذا بطلع عندي
+
+421
+00:51:37,500 --> 00:51:40,940
+ال square root function لها limit، limit عن سي
+
+422
+00:51:40,940 --> 00:51:46,260
+موجودة بساوي square root ل L إذا هاد بكمل البرهن
+
+423
+00:51:46,260 --> 00:51:52,320
+بالمثل ممكن نبرهن exercise اللي جابله 13
+
+424
+00:51:57,010 --> 00:52:01,530
+فحاولوا يكونوا تبرهنوا exercise 13 بنفس الطريقة،
+
+425
+00:52:01,530 --> 00:52:07,570
+في أي سؤال أو استفسار؟ okay إذا المرة الجاية بال
+
+426
+00:52:07,570 --> 00:52:08,070
+campbell
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Ehj01gka7EU_raw.srt

@@ -0,0 +1,1740 @@
+1
+00:00:19,740 --> 00:00:27,020
+بسم الله الرحمن الرحيم هنواصل اليوم تغطية section
+
+2
+00:00:27,020 --> 00:00:34,550
+5-3اللي بتعلق ب .. موضوع ال continuous functions
+
+3
+00:00:34,550 --> 00:00:40,590
+على ال intervals على الفترات احنا بدينا ال ..
+
+4
+00:00:40,590 --> 00:00:46,690
+بدينا الموضوع هذا المحاضرة السابقة و كان اخر نظرية
+
+5
+00:00:46,690 --> 00:00:50,890
+أخدناها اللي هي ال maximum .. maximum minimum
+
+6
+00:00:50,890 --> 00:00:56,870
+theorem نعود نستذكر بس نظرية الأخيرة هذه ال
+
+7
+00:00:56,870 --> 00:00:57,670
+maximum
+
+8
+00:01:12,090 --> 00:01:21,410
+ال maximum minimum minimum
+
+9
+00:01:21,410 --> 00:01:28,050
+theorem يقول
+
+10
+00:01:28,050 --> 00:01:36,050
+إذا كانت if I is a closed and bounded interval is
+
+11
+00:01:36,050 --> 00:01:40,290
+closed and bounded
+
+12
+00:01:46,350 --> 00:01:56,730
+وإذا كانت العملية من I إلى R مستمرة
+
+13
+00:01:56,730 --> 00:02:01,270
+على
+
+14
+00:02:01,270 --> 00:02:02,470
+الفترة I
+
+15
+00:02:07,590 --> 00:02:20,690
+there exist x lower star و x upper star عناصر في I
+
+16
+00:02:20,690 --> 00:02:22,070
+بحيث انه
+
+17
+00:02:24,550 --> 00:02:32,550
+f of x lower star بساوي ال minimum ل range ال
+
+18
+00:02:32,550 --> 00:02:41,450
+function f and f of x super star بساوي ال supremum
+
+19
+00:02:41,450 --> 00:02:49,410
+ل range ال function f وبالتالي هذه بسميها ال
+
+20
+00:02:49,410 --> 00:02:52,930
+absolute maximum
+
+21
+00:02:54,540 --> 00:03:03,820
+value و القيمة هتبسميها ال absolute minimum
+
+22
+00:03:03,820 --> 00:03:06,900
+value
+
+23
+00:03:06,900 --> 00:03:15,920
+لل function f على الفترة I طبعا okay okay في اليوم
+
+24
+00:03:15,920 --> 00:03:22,580
+هناخد نظريات برضه خاصة باتصال الدوال على الفترات
+
+25
+00:03:23,810 --> 00:03:30,090
+فأول نظرية هتكون location location
+
+26
+00:03:30,090 --> 00:03:36,970
+of roots theorem
+
+27
+00:03:36,970 --> 00:03:45,570
+نظرية تحديد ال roots فنفس
+
+28
+00:03:45,570 --> 00:03:46,790
+الحاجة let
+
+29
+00:03:49,750 --> 00:03:57,890
+I be closed and bounded interval على الصورة AB and
+
+30
+00:03:57,890 --> 00:04:06,190
+let f be function from I to R be continuous
+
+31
+00:04:06,190 --> 00:04:09,790
+function
+
+32
+00:04:09,790 --> 00:04:15,390
+على الفترة المغلقة والمحدودة I if
+
+33
+00:04:17,630 --> 00:04:29,370
+لو كان f of a أصغر من صفر أصغر من f of b او f of b
+
+34
+00:04:29,370 --> 00:04:38,610
+أصغر من صفر أصغر من f of a then
+
+35
+00:04:38,610 --> 00:04:48,980
+there exist c ينتميللفترة المفتوحة من a إلى b بحيث
+
+36
+00:04:48,980 --> 00:04:57,540
+أن f of c بيساوي سفر فالنظرية
+
+37
+00:04:57,540 --> 00:05:08,100
+هذه ممكن أنلخصها بالرسمة التالية محاور
+
+38
+00:05:08,100 --> 00:05:13,280
+الأحداثيات وممكن يكون في ending حاجة زي هذه
+
+39
+00:05:22,650 --> 00:05:28,930
+فهي function هذه عبارة عن ال graph y بساوي f of x
+
+40
+00:05:28,930 --> 00:05:37,750
+ال function هذه متصلة على الفترة المغلطة من a ل d
+
+41
+00:05:37,750 --> 00:05:42,890
+وهي
+
+42
+00:05:42,890 --> 00:05:51,450
+عندي f of a أصغر من سفر وهي عندي
+
+43
+00:05:59,190 --> 00:06:02,510
+النظرية بتقول لو كان في اندرالا متصلة زي هذه على
+
+44
+00:06:02,510 --> 00:06:07,830
+فترة مغلقة من a لb وكان f of a أصغر من الصفر و
+
+45
+00:06:07,830 --> 00:06:16,370
+الصفر أصغر من f of bلابد ان نجد نقطة C بين A وB
+
+46
+00:06:16,370 --> 00:06:21,030
+بحيث ان قيمة الـ function عندها بالساوي سفر و واضح
+
+47
+00:06:21,030 --> 00:06:26,270
+ان نقطة C هي قيمة الـ function عندها بالساوي سفر
+
+48
+00:06:26,270 --> 00:06:30,830
+ممكن برضه يكون العكس يعني الملحانة هذا يكون شكله
+
+49
+00:06:30,830 --> 00:06:31,430
+زي هيك
+
+50
+00:06:35,680 --> 00:06:41,700
+فيكون يعني عندي هنا ال F of B هي السالة بقى وهي
+
+51
+00:06:41,700 --> 00:06:46,580
+عند ال A فال F of B هي الموجة بقى برضه نفس النتيجة
+
+52
+00:06:46,580 --> 00:06:47,620
+okay تمام؟
+
+53
+00:06:55,410 --> 00:06:59,790
+البرهان النظرية هذه يعني it's زي ما بيقولوا it's
+
+54
+00:06:59,790 --> 00:07:06,630
+quite technical يعني فيه شوية تفاصيل تقنية زاد انه
+
+55
+00:07:06,630 --> 00:07:13,090
+طويل شوية فاحنا عشان بصدر نهاية الفصل مابناش ناخد
+
+56
+00:07:13,090 --> 00:07:16,330
+.. ناخد .. ناخد في البرهين الطويلة فحسيبكم تقراوا
+
+57
+00:07:16,330 --> 00:07:19,530
+البرهان اذا see the textbook
+
+58
+00:07:25,030 --> 00:07:32,130
+إذا الممكن بدؤوكم يمكن تقرؤوا البرهان من الكتاب و
+
+59
+00:07:32,130 --> 00:07:36,770
+تحاولوا تفهموه طبعا البرهان طويل مابنجوبش طبعا
+
+60
+00:07:36,770 --> 00:07:41,990
+البرهين طويلة جه هدف الامتحانات okay فهذا بالنسبة
+
+61
+00:07:41,990 --> 00:07:46,930
+للبرهان الآن هاي مثال مثلا مثال example
+
+62
+00:07:54,050 --> 00:07:58,270
+Show that the
+
+63
+00:07:58,270 --> 00:08:03,470
+equation f
+
+64
+00:08:03,470 --> 00:08:11,510
+of x بتساوي x في e أُس x سالب اتنين بتساوي سفر has
+
+65
+00:08:11,510 --> 00:08:14,210
+a root
+
+66
+00:08:20,420 --> 00:08:29,980
+in الـ interval من سفر لواحد لنثبت
+
+67
+00:08:29,980 --> 00:08:35,200
+ان المعادلة f of x بالساوي سفر عشان f of x بالساوي
+
+68
+00:08:35,200 --> 00:08:43,100
+الدالة هذه لها جدر يعني بنقدر اللاجم اي
+
+69
+00:08:43,100 --> 00:08:54,460
+هذا يعني showان يوجد C ينتمي للفترة المغلقة من سفر
+
+70
+00:08:54,460 --> 00:09:01,900
+لواحد بحيث انه اخه C مساره سفر ففي الحالة اللي
+
+71
+00:09:01,900 --> 00:09:07,360
+بنقول انه C root جدر للمعادلة او C zero لل
+
+72
+00:09:07,360 --> 00:09:14,900
+function F فبنرفبت الكلام هذا فحسب النظرية هذه
+
+73
+00:09:27,630 --> 00:09:35,370
+F of X بساوي X في E to X سالب اتنين is continuous
+
+74
+00:09:35,370 --> 00:09:40,650
+متصلة على الفترة المغلقة من سفر لواحد
+
+75
+00:09:47,890 --> 00:09:51,510
+لأن X في E to X هي دالة متصلة اتراحى منها ثابت
+
+76
+00:09:51,510 --> 00:09:56,750
+دالة متصلة على R كذلك
+
+77
+00:09:56,750 --> 00:10:06,460
+انا عندي F of سفر بساوي سالب اتنين اصغر من سفرو F
+
+78
+00:10:06,460 --> 00:10:15,300
+of واحد بالساوي E ثاند اتنين وال E معروف انه عدد
+
+79
+00:10:15,300 --> 00:10:21,100
+اكبر من اتنين فهذا اكبر من ساكنة اذا هاي شروط ال
+
+80
+00:10:21,100 --> 00:10:28,500
+location of roots ال theorem كلها متحققة hence by
+
+81
+00:10:28,500 --> 00:10:33,700
+location of roots theorem
+
+82
+00:10:36,360 --> 00:10:42,300
+يوجد C أنتمي للفترة المغلقة من ستة إلى واحد بحيث
+
+83
+00:10:42,300 --> 00:10:55,640
+انه F of C بساوي سفر اذا هنا اثبتنا ان C is a root
+
+84
+00:10:55,640 --> 00:11:01,400
+of equation F of X
+
+85
+00:11:04,080 --> 00:11:09,640
+بساوي X في E أس X minus اتنين بساوي سفر وهو
+
+86
+00:11:09,640 --> 00:11:16,360
+المطلوب اذا هنا اثبتنا ان فعلا المعادلة هذه لها
+
+87
+00:11:16,360 --> 00:11:22,720
+جذر في الفترة هذا الجذر يقع هو عدد C يقع في الفترة
+
+88
+00:11:22,720 --> 00:11:28,180
+من سفر لوحده عدد من سفر لوحده طبعا ممكن هذا العدد
+
+89
+00:11:28,180 --> 00:11:35,450
+C نعمله تقريب إلى أقرب يعنيبحيث يكون النسبة الخطأ
+
+90
+00:11:35,450 --> 00:11:41,470
+من القيمة الحقيقية تبقى تكون أقل من واحد على ألف
+
+91
+00:11:41,470 --> 00:11:46,210
+أو واحد على مية أو واحد على عشر ألف فالكتاب الموضح
+
+92
+00:11:46,210 --> 00:11:51,610
+لكم هي هنا في المثال كيف نجيب تقريب نحصل العدد
+
+93
+00:11:51,610 --> 00:11:55,730
+سيرة بحيث نطلع تقريبا قريب من القيمة الحقيقية
+
+94
+00:11:55,730 --> 00:11:59,030
+والفرق بينها ومن القيمة الحقيقية واللي هنجيبها في
+
+95
+00:11:59,030 --> 00:12:05,240
+المثال تكون أقل من واحد على ألف أوش زيهافممكن تقرأ
+
+96
+00:12:05,240 --> 00:12:09,960
+و تشوف الكلام هذا في الكتاب لكن احنا اللي بهمنا ان
+
+97
+00:12:09,960 --> 00:12:15,460
+ال equation هذه ضمننا انه في لها root في الفترة
+
+98
+00:12:15,460 --> 00:12:18,740
+هذه حسب ال location of roots في الفترة الباقية
+
+99
+00:12:18,740 --> 00:12:24,520
+كانت تخلي ال root هذا يعني تجيبله قيمة قريبة جدا
+
+100
+00:12:24,520 --> 00:12:30,020
+من القيمة الحقيقية هذه مجرد يعني تفاصيل حسابية
+
+101
+00:12:30,020 --> 00:12:36,320
+okay فحاولوا تقراوها من الكتاب لو سمحتالان هذه
+
+102
+00:12:36,320 --> 00:12:47,540
+النظرية بتقود الى نظرية تانية وهي
+
+103
+00:12:47,540 --> 00:12:55,380
+Bolzano's
+
+104
+00:12:55,380 --> 00:12:57,140
+intermediate
+
+105
+00:13:04,990 --> 00:13:25,730
+value theorem let
+
+106
+00:13:25,730 --> 00:13:29,210
+I be any interval
+
+107
+00:13:36,870 --> 00:13:50,310
+and if from I to R be continuous على
+
+108
+00:13:50,310 --> 00:14:00,830
+الفترة I إذا كان A و B أعداد في الفترة I and
+
+109
+00:14:03,830 --> 00:14:16,170
+K عدد حقيقي such that F of A أصغر من K أصغر من F
+
+110
+00:14:16,170 --> 00:14:20,150
+of B then
+
+111
+00:14:20,150 --> 00:14:31,610
+النتيجة أنه يوجد C ينتمي للفترة I وهذا العدد C يقع
+
+112
+00:14:31,610 --> 00:14:32,010
+بين
+
+113
+00:14:38,340 --> 00:14:48,280
+between a and b such that بحيث ان f and c تطلع
+
+114
+00:14:48,280 --> 00:14:56,720
+بالساوية قيمة k لنعمل
+
+115
+00:14:56,720 --> 00:14:58,740
+رسمة قبل أن أظهر المظهر
+
+116
+00:15:17,560 --> 00:15:37,280
+فممكن يكون في عندي function زي هذه مثلا فهي
+
+117
+00:15:37,280 --> 00:15:43,320
+في عندي فترة I ال dialer معرفة و متصل عليها
+
+118
+00:15:45,810 --> 00:15:52,110
+يعني هذه الفترة من هنا إلى هنا I وممكن يكون في
+
+119
+00:15:52,110 --> 00:15:59,510
+عندي أعداد A وB فممكن يكون مثلا هذه ال A وهذه ال B
+
+120
+00:15:59,510 --> 00:16:04,630
+فهذه
+
+121
+00:16:04,630 --> 00:16:10,450
+F of A فهذه
+
+122
+00:16:10,450 --> 00:16:11,430
+F of A
+
+123
+00:16:16,610 --> 00:16:22,070
+وهي F of B فلو
+
+124
+00:16:22,070 --> 00:16:25,290
+كان
+
+125
+00:16:25,290 --> 00:16:38,180
+K عدد بين F of A و F of B فهي F of B وهي F of Aف K
+
+126
+00:16:38,180 --> 00:16:45,220
+عدد بين F of A و F of B فلهذا العدد نقدر نلاقي C
+
+127
+00:16:45,220 --> 00:16:49,420
+عدد C عدد
+
+128
+00:16:49,420 --> 00:16:53,960
+C بين A و B وبالتالي ينتمي للفترة I
+
+129
+00:16:57,560 --> 00:17:06,760
+إذا C بين A وB وينتمي للفترة I بحيث إن صورة C
+
+130
+00:17:06,760 --> 00:17:12,380
+هي صورة الـ C بساوي العدد P هذا هو بولزانو
+
+131
+00:17:12,380 --> 00:17:16,560
+intermediate value theorem نظرية القيمة الوسيطية
+
+132
+00:17:16,560 --> 00:17:22,740
+نظرية القيمة الوسيطية لبولزانو مرهانة نظرية هذه مش
+
+133
+00:17:22,740 --> 00:17:23,880
+صعبة سهل
+
+134
+00:17:43,340 --> 00:17:48,440
+Proof البرهان بعتمد على ال maximum minimum theorem
+
+135
+00:17:48,440 --> 00:17:55,160
+وعلى اللي هو location of roads theorem ففي عندي
+
+136
+00:17:55,160 --> 00:17:58,740
+هنا حلتين لاحظوا أن a و b أعداد دراوي
+
+137
+00:18:19,180 --> 00:18:25,800
+النتيجة بتكون واضحة لو كان a بساوي b ف f of a
+
+138
+00:18:25,800 --> 00:18:31,470
+بتطلع بساوي f of bوبالتالي اي k بين f of a وf of b
+
+139
+00:18:31,470 --> 00:18:35,690
+هيساوي واحدة منهم وبالتالي ال k بيساوي f of a خد
+
+140
+00:18:35,690 --> 00:18:40,790
+ال c بيساوي a او b فالنتيجة ايه واضح بدهية يعني
+
+141
+00:18:40,790 --> 00:18:49,030
+متحققات القائمة so assume ان
+
+142
+00:18:49,030 --> 00:18:52,630
+a لايساوي b then
+
+143
+00:18:54,390 --> 00:18:58,750
+by tricotomy property إذا كان في عددين بيسويش بعض
+
+144
+00:18:58,750 --> 00:19:06,610
+فبطلع a أصغر من b or b أصغر من a فناخد الحالة
+
+145
+00:19:06,610 --> 00:19:14,850
+الأولى case one لو كان a أصغر من b ففي الحالة هذه
+
+146
+00:19:21,390 --> 00:19:29,810
+لو كان ال a أصغر من b فبدي أعرف define
+
+147
+00:19:29,810 --> 00:19:39,130
+في الحالة هذه define g of x علي أنها الدالة
+
+148
+00:19:39,130 --> 00:19:43,990
+اللي هي بالساوي f
+
+149
+00:19:43,990 --> 00:19:47,990
+of x minus
+
+150
+00:19:47,990 --> 00:19:48,470
+k
+
+151
+00:19:51,460 --> 00:19:56,340
+فطبعا الـ function g الـ function f متصل على
+
+152
+00:19:56,340 --> 00:20:01,680
+الفترة I هو متصل على الفترة المغلقة من a إلى b
+
+153
+00:20:01,680 --> 00:20:07,080
+اللي هي جزء من الفترة I فالـ function g اللي
+
+154
+00:20:07,080 --> 00:20:11,760
+بتساوي f ثالث ثابت مثلها متصل على نفس الفترة اذا g
+
+155
+00:20:11,760 --> 00:20:18,450
+is continuous على الفترة المغلقة من a إلى bاللي هي
+
+156
+00:20:18,450 --> 00:20:22,130
+بالمناسبة مجموعة جزئية من I لأن ال A و ال B
+
+157
+00:20:22,130 --> 00:20:26,530
+موجودين في I و
+
+158
+00:20:26,530 --> 00:20:35,210
+كذلك لاحظوا أن G of A بساوي F of A minus K وهذا ��ن
+
+159
+00:20:35,210 --> 00:20:44,570
+هنا من الفرض هذا بيطلع أصغر من سفروهذا أصغر من F
+
+160
+00:20:44,570 --> 00:20:52,070
+of B minus K F of B minus K بيطلع عموجة اللي هو
+
+161
+00:20:52,070 --> 00:20:58,110
+بساوي G of B اذا هاي شروط ال location of roots ال
+
+162
+00:20:58,110 --> 00:21:01,990
+theorem كلها متحققة هي اندي فانش جي متصلة على فترة
+
+163
+00:21:01,990 --> 00:21:06,560
+مغلقة ومحدودةوقيمة الـ G عند الـ left endpoint
+
+164
+00:21:06,560 --> 00:21:11,980
+سالبة وقيمة الـ G عند ال right endpoint موجبة and
+
+165
+00:21:11,980 --> 00:21:16,220
+then by then
+
+166
+00:21:16,220 --> 00:21:28,020
+by location of roots theorem يوجد
+
+167
+00:21:28,020 --> 00:21:37,570
+C ينتميللفترة I يعني ينتمي يوجد C ينتمي للفترة
+
+168
+00:21:37,570 --> 00:21:46,150
+المطوحة من A وB اللي هي subset من I بحيث انه صورة
+
+169
+00:21:46,150 --> 00:21:54,170
+الـ C عندها بساوي سفر لكن انا عندي G of C من تعريف
+
+170
+00:21:54,170 --> 00:22:02,490
+ال function GG of C بساوي F of C negative K حل
+
+171
+00:22:02,490 --> 00:22:09,850
+المعادلة هذه في F of C فبطلع F of C بساوي K كما هو
+
+172
+00:22:09,850 --> 00:22:15,270
+مطلوب زي ما هو مطلوب ان هيك بتكون برهانة نظرية بس
+
+173
+00:22:15,270 --> 00:22:20,540
+A في الحالة اللي فيها بتكون A أصغر من Bيبقى ندرين
+
+174
+00:22:20,540 --> 00:22:25,300
+النظرية في الحالة التالية case 2 اللي فيها ال b
+
+175
+00:22:25,300 --> 00:22:29,920
+أصغر من a ففي
+
+176
+00:22:29,920 --> 00:22:37,080
+الحالة هذه خلّيني أعرف المرة هذه function h على
+
+177
+00:22:37,080 --> 00:22:45,820
+أنها بتساوي k minus f of x فواضح clearly
+
+178
+00:22:48,290 --> 00:22:57,210
+واضح ان الـ H زيها زي ال F متصلة is continuous على
+
+179
+00:22:57,210 --> 00:23:06,690
+الفترة المغلقة والمحدودة من A ل B and H
+
+180
+00:23:06,690 --> 00:23:15,910
+of A بيساوي K minus K minus F of A بيطلع سالب K
+
+181
+00:23:15,910 --> 00:23:23,460
+minus F of Aومن الفرب هذا بيطلع سالب وهذا أصغر من
+
+182
+00:23:23,460 --> 00:23:36,300
+k minus f of b اللي هو بيطلع h of b كذلك كي لو
+
+183
+00:23:36,300 --> 00:23:41,600
+طرحت من ال k f of b فبيطلع سالب فرق إذا الأن في
+
+184
+00:23:41,600 --> 00:23:45,200
+اندي function h continuous على فترة مغلقة ومحدودة
+
+185
+00:23:45,970 --> 00:23:49,610
+وقيمتها عند الـ left endpoint سالبة وعند ال right
+
+186
+00:23:49,610 --> 00:23:58,170
+point موجبة اذا كل شروط ال location of roots في
+
+187
+00:23:58,170 --> 00:24:04,550
+المحققة so by
+
+188
+00:24:04,550 --> 00:24:12,790
+locationof roots theorem يوجد
+
+189
+00:24:12,790 --> 00:24:23,950
+C ينتمي الى الفترة مظبوط هيك؟ كده كده كده كده كده
+
+190
+00:24:23,950 --> 00:24:30,130
+كده كده كده كده
+
+191
+00:24:30,130 --> 00:24:31,150
+كده كده كده كده كده
+
+192
+00:24:36,660 --> 00:24:43,600
+هك صح K سالب F of B بطلع سالب و هنا هاد المفروض
+
+193
+00:24:43,600 --> 00:24:53,120
+تكون A و هاد A صحيح، بظبط، صح، اذا H of A اللي هي
+
+194
+00:24:53,120 --> 00:24:58,180
+K minus F of A هي K اطرح منها F of A بطلع موجة
+
+195
+00:24:58,940 --> 00:25:03,460
+بينما K سالم F of B بيطلع سالم، مظبوط هيك، إذا U
+
+196
+00:25:03,460 --> 00:25:10,920
+جان C بين B وA وهي طبعا فترة contained in R بحيث
+
+197
+00:25:10,920 --> 00:25:19,420
+انه H of C بيساوي سفر، لكن H of C من تعريفها هي
+
+198
+00:25:19,420 --> 00:25:24,400
+عبارة عن K minus F of C وبالتالي هذا بيقدر حل
+
+199
+00:25:24,400 --> 00:25:30,190
+المعادلة هذه في F of Cفبطلع F of C بساوي K وهو
+
+200
+00:25:30,190 --> 00:25:35,010
+المطلوب إذا في الحالتين أثبتنا أن يوجد C في الفترة
+
+201
+00:25:35,010 --> 00:25:43,510
+I بين A وB وقيمتها عند C بساوي LK إذا نليك بيكون
+
+202
+00:25:43,510 --> 00:25:47,930
+برهاننا Bolzano's Intermediate Value
+
+203
+00:25:55,030 --> 00:26:03,170
+الان هذه النظرية في عليها نتيجة مهمة
+
+204
+00:26:20,170 --> 00:26:26,910
+let I بساوي closed and bounded interval and if the
+
+205
+00:26:26,910 --> 00:26:37,070
+function from I to R be continuous واتصلة على
+
+206
+00:26:37,070 --> 00:26:42,590
+الفترة I تمام؟
+
+207
+00:26:42,590 --> 00:26:45,910
+لو كان
+
+208
+00:26:48,570 --> 00:27:01,130
+فك عدد حقيقي satisfies
+
+209
+00:27:01,130 --> 00:27:08,250
+بيحقق الشرط التالي انه ك .. العدد ك هذا أكبر من أو
+
+210
+00:27:08,250 --> 00:27:16,090
+ساوي ال infimum لست f of I اللي هو range ال Fاللي
+
+211
+00:27:16,090 --> 00:27:20,590
+هي القيمة الصغيرة المطلقة ل F على I وأصغر من أوسعه
+
+212
+00:27:20,590 --> 00:27:24,890
+ال supremum ل range ال F اللي هي ال absolute
+
+213
+00:27:24,890 --> 00:27:29,850
+maximum value ل ال function F على I ففي الحالة هذه
+
+214
+00:27:29,850 --> 00:27:42,260
+من نقدر نلاقي C there existC ينتمي للفترة I بحيث
+
+215
+00:27:42,260 --> 00:27:51,400
+ان F of C بيساوي العدد K وبرهان
+
+216
+00:27:51,400 --> 00:28:00,440
+النظرية هذه سهل By
+
+217
+00:28:00,440 --> 00:28:05,440
+maximum minimum theorem
+
+218
+00:28:11,040 --> 00:28:14,040
+الـ maximum minimum theorem بتقول لو كان في أندي
+
+219
+00:28:14,040 --> 00:28:18,640
+function مفتصلة على فترة مغلقة ومحدودة فال
+
+220
+00:28:18,640 --> 00:28:24,020
+function هذه بتأخذ قيمها العظمى المطلقة وقيمتها
+
+221
+00:28:24,020 --> 00:28:29,360
+العظمى المطلقة وقيمتها العظمى المطلقة على الفترة I
+
+222
+00:28:29,360 --> 00:28:34,920
+يعني في أعداد في الفترة I أندها ال function بتاخد
+
+223
+00:28:34,920 --> 00:28:37,760
+قيمتها العظمى المطلقة وقيمتها العظمى المطلقة
+
+224
+00:28:40,910 --> 00:28:51,330
+إذاً there exist x lower star و x super star عناصر
+
+225
+00:28:51,330 --> 00:29:00,870
+في I بحيث أن ال F of x lower star بساول infimum
+
+226
+00:29:01,750 --> 00:29:10,230
+لسيت f of i and f of x super star بيساوي ال
+
+227
+00:29:10,230 --> 00:29:15,050
+supremum لسيت
+
+228
+00:29:15,050 --> 00:29:26,270
+f of i تمام
+
+229
+00:29:26,270 --> 00:29:27,750
+hence
+
+230
+00:29:31,910 --> 00:29:41,670
+by حسب ال hypothesis ال hypothesis star من الفرض
+
+231
+00:29:41,670 --> 00:29:44,750
+ال star اللي هو احنا فرضين انه ال key عدد key هذا
+
+232
+00:29:44,750 --> 00:29:55,670
+بحق المتباينة يعني we have لديناالـ k أكبر من أو
+
+233
+00:29:55,670 --> 00:30:06,970
+ساوي f of x lower star أصغر من أو ساوي f
+
+234
+00:30:06,970 --> 00:30:15,370
+of upper star و
+
+235
+00:30:15,370 --> 00:30:21,630
+ال function and if is continuousعلى الفترة المغلقة
+
+236
+00:30:21,630 --> 00:30:33,690
+من x lower star ل x super star او
+
+237
+00:30:33,690 --> 00:30:41,650
+لعكس ممكن يكونوا متبادلة تانية او x super star x
+
+238
+00:30:41,650 --> 00:30:46,320
+lower starتعتمد على مين اللي أصغر من التانية إذا
+
+239
+00:30:46,320 --> 00:30:50,760
+كانت هذه أصغر من هذه فهذه تطلع فترة داخل I و F
+
+240
+00:30:50,760 --> 00:30:54,340
+continuous على I ايضا continuous على أي فترة جزئية
+
+241
+00:30:54,340 --> 00:30:58,060
+منها وإذا كان ال X Superstar أصغر من X Lower Star
+
+242
+00:30:58,060 --> 00:30:59,380
+فمناخد الفترة أيضا
+
+243
+00:31:03,410 --> 00:31:08,850
+شروط بولزانو فيروس تراسي فيرم هاي في عندي نقطتين A
+
+244
+00:31:08,850 --> 00:31:16,070
+و B بينتموا للفترة I و F continuous على I
+
+245
+00:31:28,770 --> 00:31:35,190
+وعندي a و b بينتموا للفترة I وعندي K أكبر من أو
+
+246
+00:31:35,190 --> 00:31:47,070
+ساوي F of A أصغر من أو ساوي F of B so by Bolzano's
+
+247
+00:31:57,180 --> 00:32:09,500
+يوجد C ينتمي للفترة I بين X
+
+248
+00:32:09,500 --> 00:32:21,000
+lower star و X super starبحيث ان f of c بساوي
+
+249
+00:32:21,000 --> 00:32:25,580
+العدد k وهذا
+
+250
+00:32:25,580 --> 00:32:30,820
+اللي بدنا نقيله يعني اثبتنا يوجد c ينتمي للفترة I
+
+251
+00:32:30,820 --> 00:32:38,800
+وصورة c بساوي العدد k وهو المطلوب اذا هذه النتيجة
+
+252
+00:32:38,800 --> 00:32:44,440
+على بلزانو intermediate valley theoremبرهنها بكل
+
+253
+00:32:44,440 --> 00:32:51,920
+بساطة وبكل أريحية واضح البرهان في أي استفسار أن
+
+254
+00:32:51,920 --> 00:32:55,420
+البرهان هنا تبع النظرية هذه بعتمد على maximum
+
+255
+00:32:55,420 --> 00:32:59,680
+minimum maximum minimum theorem نظرية القيام
+
+256
+00:32:59,680 --> 00:33:03,360
+القصوى نخدناها المحاضرة اللي فاتت وعلى Bolzano
+
+257
+00:33:03,360 --> 00:33:11,040
+intermediate value theorem okay
+
+258
+00:33:11,040 --> 00:33:11,480
+تمام
+
+259
+00:33:15,690 --> 00:33:23,230
+طيب ال ..
+
+260
+00:33:23,230 --> 00:33:29,290
+ناخد نظرية
+
+261
+00:33:29,290 --> 00:33:38,950
+يمكن
+
+262
+00:33:38,950 --> 00:33:43,350
+ما نحتاجش هدول نمسح
+
+263
+00:33:43,350 --> 00:33:44,010
+اللوح هذا
+
+264
+00:34:03,530 --> 00:34:11,490
+فيرم let I بساوي closed bounded interval be closed
+
+265
+00:34:11,490 --> 00:34:25,090
+and bounded closed and bounded interval and let f
+
+266
+00:34:25,090 --> 00:34:49,240
+from I to Rدي continuous متصلة على الفترة I then
+
+267
+00:34:49,240 --> 00:34:57,280
+النتيجة انه ال set او ال rangeالـ range للـ
+
+268
+00:34:57,280 --> 00:35:08,740
+function I is a closed and bounded closed and
+
+269
+00:35:08,740 --> 00:35:17,460
+bounded interval that
+
+270
+00:35:17,460 --> 00:35:18,920
+is هذا يعني
+
+271
+00:35:21,810 --> 00:35:26,930
+هذا يعني .. يعني النص او نتيجة النظرية دي من كلها
+
+272
+00:35:26,930 --> 00:35:33,850
+خصها في عبارة واحدة وهي انه a continuous function
+
+273
+00:35:33,850 --> 00:35:44,230
+a continuous function preserves .. preserves
+
+274
+00:35:44,230 --> 00:35:49,610
+بتحافظ closed
+
+275
+00:35:51,530 --> 00:35:56,510
+and bounded intervals
+
+276
+00:35:56,510 --> 00:36:00,870
+الدوال
+
+277
+00:36:00,870 --> 00:36:05,130
+المتصلة بتحافظ على ال closed و ال bounded interval
+
+278
+00:36:05,130 --> 00:36:10,350
+يعني ال function f بتاخد I اللي هي closed bounded
+
+279
+00:36:10,350 --> 00:36:13,610
+interval بتعطيني صلتها closed bounded interval
+
+280
+00:36:13,610 --> 00:36:19,410
+زيها من نفس الصنف من نفس النوع لبرهان ذلك
+
+281
+00:36:29,060 --> 00:36:44,440
+ف let M بساوي الالفمن ل range ال F و
+
+282
+00:36:44,440 --> 00:36:50,720
+capital M بساوي ال superman ل range ال F
+
+283
+00:36:56,430 --> 00:37:11,770
+بOTH M AND N EXIST IN R BY MAXIMUM
+
+284
+00:37:11,770 --> 00:37:15,290
+MINIMUM THEOREM
+
+285
+00:37:19,900 --> 00:37:25,120
+نظرية القيام القصوى بتقول إنه إذا كانت f function
+
+286
+00:37:25,120 --> 00:37:30,180
+متصة على closed bounded interval فال .. ال .. ال
+
+287
+00:37:30,180 --> 00:37:34,560
+function إلها قيمة صغيرة مطلقة و إلها قيمة أضمة
+
+288
+00:37:34,560 --> 00:37:39,300
+مطلقة سمها قيمة صغيرة المطلقة M و قيمة الأضمة
+
+289
+00:37:39,300 --> 00:37:44,760
+المطلقة capital M تمام؟
+
+290
+00:37:44,760 --> 00:37:47,580
+clearly
+
+291
+00:37:54,210 --> 00:38:02,370
+F of X أكبر من أو ساوي M أصغر من أو ساوي م لكل X
+
+292
+00:38:02,370 --> 00:38:10,630
+في I قيمة الدالة عند أي X في المجال تبعها أصغر من
+
+293
+00:38:10,630 --> 00:38:15,090
+أو ساوي قيمة العظمى المطلقة و أكبر في نفس المجال
+
+294
+00:38:15,090 --> 00:38:17,370
+أكبر من أو ساوي قيمة الصغر المطلقة
+
+295
+00:38:21,460 --> 00:38:26,040
+فهذا بيقدي which
+
+296
+00:38:26,040 --> 00:38:40,440
+implies هذا بيقدي انه ال .. انه f of I contained
+
+297
+00:38:40,440 --> 00:38:47,680
+في الفترة المغلقة من small m لcapital Mالمتبادلة
+
+298
+00:38:47,680 --> 00:38:53,400
+الأخيرة هذه تثبت أن ال set هذه subset من هذه لأنه
+
+299
+00:38:53,400 --> 00:38:59,880
+خدوا أي عنصر هنا فأي عنصر هنا عبارة عن f of x for
+
+300
+00:38:59,880 --> 00:39:07,100
+some x ينتمي ل I صح فأي f of x for some x ينتمي ل
+
+301
+00:39:07,100 --> 00:39:12,730
+I هيمحصور من small m وcapital M وبالتالي ينتمي
+
+302
+00:39:12,730 --> 00:39:16,610
+للفترة المغلقة هذه، لأن كل أنصر أنا هو أنصر في
+
+303
+00:39:16,610 --> 00:39:22,490
+الفترة المغلقة، لأن هذا الاحتواء صحيح، تمام؟ الان
+
+304
+00:39:22,490 --> 00:39:24,770
+احنا بنثبت المساواة
+
+305
+00:39:30,090 --> 00:39:36,190
+إن ال range لل function f بساوي كل الفترة المغلقة
+
+306
+00:39:36,190 --> 00:39:44,150
+من small m لcapital M فلإثبات
+
+307
+00:39:44,150 --> 00:39:55,350
+ذلك هي عندي أنا to prove this it
+
+308
+00:39:55,350 --> 00:39:56,090
+remains
+
+309
+00:39:59,390 --> 00:40:07,930
+it remains to show يبقى اثبات دا في اثبات ان احنا
+
+310
+00:40:07,930 --> 00:40:12,370
+لثبت الاحتواء المعاكس the reverse inclusion
+
+311
+00:40:18,550 --> 00:40:28,670
+إذا يبقى إثبات إن الفترة المغلقة من small m to
+
+312
+00:40:28,670 --> 00:40:35,970
+capital M contained in F of I فكيف نثبت إحنا set
+
+313
+00:40:35,970 --> 00:40:41,570
+subset من الأخرى نسميه
+
+314
+00:40:41,570 --> 00:40:45,950
+برهان بإيه بتتبع العناصر يعني بن��خد أنصر في
+
+315
+00:40:45,950 --> 00:40:49,540
+المجموعة الأولىنثبت العناصر في المجموعة التانية
+
+316
+00:40:49,540 --> 00:40:53,080
+هذا بيسموه في رياضيات الـ chasing of elements
+
+317
+00:40:53,080 --> 00:41:03,880
+argument برهان بتطبع العناصر فقالت why تنتمي
+
+318
+00:41:03,880 --> 00:41:12,580
+للفترة المغلقة من small m لcapital M طيب هذا
+
+319
+00:41:12,580 --> 00:41:19,540
+بيقدّيالـ y أكبر من أو ساوي small m أصغر من أو
+
+320
+00:41:19,540 --> 00:41:31,720
+ساوي capital M وهذا عبارة عن الـ infimum لـ range
+
+321
+00:41:31,720 --> 00:41:39,460
+الـ function f وهذا بساوي الـ supremum لـ range
+
+322
+00:41:39,460 --> 00:41:40,500
+الـ function f
+
+323
+00:41:47,540 --> 00:41:57,540
+وعندي ال .. إذا حسب ال .. ال corollary تبع النظرية
+
+324
+00:41:57,540 --> 00:42:04,060
+هذه فإن عندي ال function if continuous على الفترة
+
+325
+00:42:04,060 --> 00:42:10,520
+المغلقة a,b فعندي if continuous على الفترة المغلقة
+
+326
+00:42:10,520 --> 00:42:18,800
+a,bوعندي k اللي هو y عدد محصور بين ال infimum ل f
+
+327
+00:42:18,800 --> 00:42:28,520
+of i و ال suprem ل f of i by
+
+328
+00:42:28,520 --> 00:42:36,090
+above corollaryالقرن اللي لـ Bolzano Intermediate
+
+329
+00:42:36,090 --> 00:42:43,390
+Value Theorem يقول إن يوجد C ينتمي للفترة I بحيث
+
+330
+00:42:43,390 --> 00:42:50,090
+أن F of C بساوي
+
+331
+00:42:50,090 --> 00:42:58,170
+العدد Y اللي هو قابل الـK في نص النظريةالـ C ينتمي
+
+332
+00:42:58,170 --> 00:43:05,170
+لـ I إذاً F of C تنتمي لـ F للست F of I إذا هاني
+
+333
+00:43:05,170 --> 00:43:09,410
+بدأت بـ Y ينتمي للفترة المغلقة طلع Y ينتمي لـ F of
+
+334
+00:43:09,410 --> 00:43:17,570
+I Therefore Hence هيك
+
+335
+00:43:17,570 --> 00:43:20,750
+منكون أثباتنا أن الفترة المغلقة من small m
+
+336
+00:43:20,750 --> 00:43:31,990
+لcapital M is containedفي ال set f of i هذا
+
+337
+00:43:31,990 --> 00:43:37,490
+ببرهن ال claim و النظرية لأن هيك بيكون برهننا ال
+
+338
+00:43:37,490 --> 00:43:42,010
+claim وبالتالي برهننا النظرية لأن هيك هي اثبتت ان
+
+339
+00:43:42,010 --> 00:43:45,950
+ال image ل ال closed bounded interval I طلعت
+
+340
+00:43:45,950 --> 00:43:49,970
+closed bounded interval صح و هو المطلوب
+
+341
+00:43:53,870 --> 00:44:00,730
+Okay واضح البرهان؟ في أي استفسار على البرهان؟
+
+342
+00:44:00,730 --> 00:44:08,030
+في هنا تحذير warning تحذير
+
+343
+00:44:08,030 --> 00:44:15,070
+in
+
+344
+00:44:15,070 --> 00:44:30,000
+the above theorem we hadF of I التي هي F للفترة
+
+345
+00:44:30,000 --> 00:44:35,320
+المغلقة من A لB طلعت
+
+346
+00:44:35,320 --> 00:44:39,900
+بالساوي الفترة المغلقة من small m لcapital M حيث
+
+347
+00:44:39,900 --> 00:44:43,980
+small m is the absolute minimum value وcapital M
+
+348
+00:44:43,980 --> 00:44:47,140
+is the absolute maximum value of the function F on
+
+349
+00:44:47,140 --> 00:44:54,980
+the interval Iو هذا ليس بالضرورة مش شرط هذه الفترة
+
+350
+00:44:54,980 --> 00:45:03,750
+تكون الفترة من F of A ل F of Bهذه الفترة ماحدش جال
+
+351
+00:45:03,750 --> 00:45:08,370
+او مقدر يزم انها الفترة المغلقة من F of A لF of B
+
+352
+00:45:08,370 --> 00:45:13,750
+هذا مش صحيح okay النظرية ما بتقولي الكلام هذا
+
+353
+00:45:13,750 --> 00:45:18,490
+بتقولي الكلام هذا فقط هذا غلط مش شرط ال image
+
+354
+00:45:18,490 --> 00:45:23,050
+للفترة I بالساوي الفترة المغلقة من F of A لF of B
+
+355
+00:45:23,050 --> 00:45:30,640
+فاخدوا بالكم من ايه من التحذير هذاOkay إذا هين
+
+356
+00:45:30,640 --> 00:45:34,720
+أثبتنا إن لو كانت ال function تبعتي متصلة على فترة
+
+357
+00:45:34,720 --> 00:45:39,420
+مغلقة أو محدودة فصورتها بتطلع مغلقة أو محدودة
+
+358
+00:45:39,420 --> 00:45:45,280
+وبالتالي ال function preserves ال .. ال .. ال
+
+359
+00:45:45,280 --> 00:45:50,640
+intervals طيب
+
+360
+00:45:50,640 --> 00:45:53,940
+ال .. النظرية دي إلها تعميم
+
+361
+00:46:03,890 --> 00:46:10,730
+preservation of intervals
+
+362
+00:46:10,730 --> 00:46:14,770
+theorem لو
+
+363
+00:46:14,770 --> 00:46:21,050
+كانت الفترة let I be any interval مش شرط تكون ..
+
+364
+00:46:21,050 --> 00:46:28,070
+مش شرط تكون close about it .. be any interval and
+
+365
+00:46:28,070 --> 00:46:43,200
+letإذا من I إلى R يكون مستمر على الفترة I ثم
+
+366
+00:46:43,200 --> 00:46:49,260
+ستة F من I هي عرفة
+
+367
+00:46:53,620 --> 00:46:57,220
+النظرية هذه بتقول لو كانت f دالة متصلة المجال
+
+368
+00:46:57,220 --> 00:47:03,960
+تبعها أي فترة مغلقة، محدودة، مش محدودة، half-open،
+
+369
+00:47:03,960 --> 00:47:06,580
+open-half-open interval اللي لقاش، أي لوحة من ال
+
+370
+00:47:06,580 --> 00:47:11,820
+intervals اللي شفناهم في جبتر واحد فصورتها أيضا
+
+371
+00:47:11,820 --> 00:47:15,500
+لازم تطلع interval وبالتالي ال continuous function
+
+372
+00:47:15,500 --> 00:47:19,880
+بتحافظ على الفترة، على الفترات يعني بتاكن فترة في
+
+373
+00:47:19,880 --> 00:47:24,780
+مجالها بتعطيل صورتها فترةالفترة هذه ما بنعرفش كيف
+
+374
+00:47:24,780 --> 00:47:29,620
+نوعها لكن اللي بنقدر نزّمه في النظرية السابقة أنه
+
+375
+00:47:29,620 --> 00:47:33,300
+لو كانت الفترة I هذه closed bounded فصورتها هتطلع
+
+376
+00:47:33,300 --> 00:47:36,960
+closed bounded أما لو كانت من نوع أخر فصورتها مش
+
+377
+00:47:36,960 --> 00:47:42,200
+شرط تكون من نفس النوع ماحدش جال الكلام هذا فلبرهان
+
+378
+00:47:42,200 --> 00:47:47,780
+ذلك لبرهان
+
+379
+00:47:47,780 --> 00:47:48,260
+ذلك
+
+380
+00:47:53,440 --> 00:48:01,040
+خلّينا ناخد let alpha و beta belong to except f of
+
+381
+00:48:01,040 --> 00:48:14,580
+I with alpha أصغر من beta خلّينا
+
+382
+00:48:14,580 --> 00:48:15,640
+نستذكر بس
+
+383
+00:48:22,460 --> 00:48:27,560
+في نظرية أخدناها قبل هيك ال theorem اتنين خمسة
+
+384
+00:48:27,560 --> 00:48:44,300
+واحد بتقول if S subset of R contains at least two
+
+385
+00:48:44,300 --> 00:48:48,500
+elements and satisfies
+
+386
+00:48:52,530 --> 00:48:58,810
+Satisfies الخاصية واحد إن لو كان X و Y تلوي ل S و
+
+387
+00:48:58,810 --> 00:49:04,850
+X أصغر من Y هذا بيقدي إن الفترة من X إلى Y
+
+388
+00:49:04,850 --> 00:49:10,670
+contained in S then
+
+389
+00:49:10,670 --> 00:49:13,790
+set S is an interval
+
+390
+00:49:17,430 --> 00:49:19,470
+إن ان هذه النظرية أخدناها في ال chapter .. في ال
+
+391
+00:49:19,470 --> 00:49:23,830
+chapter الأولاري بتقول لو كان في عندي set subset
+
+392
+00:49:23,830 --> 00:49:29,520
+من R فيها على الأقل أنصر Lوبتحقق ال set هذه بتحقق
+
+393
+00:49:29,520 --> 00:49:33,580
+الخاصية واحد property one انه لأي x و y في ال set
+
+394
+00:49:33,580 --> 00:49:39,300
+و x أصغر من y الفترة من x ل y بتكون موجودة داخل ال
+
+395
+00:49:39,300 --> 00:49:43,880
+set في الحالة هذه ال set نفسها S تطلع interval اذا
+
+396
+00:49:43,880 --> 00:49:50,820
+انا بدي اثبت to show طيب
+
+397
+00:49:50,820 --> 00:49:51,780
+انا عندي
+
+398
+00:49:54,280 --> 00:50:00,060
+هذه أخدت نقطتين في ال set هذه هي ال set ال set S
+
+399
+00:50:00,060 --> 00:50:04,600
+هذه أخدت نقطتين و Alpha أصغر من Beta و بتثبت أنها
+
+400
+00:50:04,600 --> 00:50:08,700
+بتحقق الخاصية واحد عشان أثبت أنها interval أنا
+
+401
+00:50:08,700 --> 00:50:13,160
+عندي Alpha و Beta تنتمي ل F of I لأن Alpha بتساوي
+
+402
+00:50:13,160 --> 00:50:22,570
+F of Afor some a تنتمي إلى I و Beta بساوي F of B
+
+403
+00:50:22,570 --> 00:50:30,330
+for some B تنتمي إلى I وبالتالي
+
+404
+00:50:30,330 --> 00:50:36,950
+..
+
+405
+00:50:36,950 --> 00:50:39,790
+بالتالي ..
+
+406
+00:50:47,200 --> 00:50:59,180
+انا عندي ال bolzanova طيب طيب to show to
+
+407
+00:50:59,180 --> 00:51:09,420
+show f of I is an interval we
+
+408
+00:51:09,420 --> 00:51:20,550
+need to showان الset f of i satisfies property
+
+409
+00:51:20,550 --> 00:51:23,830
+واحد
+
+410
+00:51:23,830 --> 00:51:33,430
+of theorem اتنين خمسة واحد فهي
+
+411
+00:51:33,430 --> 00:51:36,830
+عندي alpha و beta تنتمي ل f of i و alpha أصغر من
+
+412
+00:51:36,830 --> 00:51:40,690
+beta ف
+
+413
+00:51:40,690 --> 00:51:42,290
+to show
+
+414
+00:51:44,880 --> 00:51:56,020
+الفترة من Alpha إلى Beta content in F of I let K
+
+415
+00:51:56,020 --> 00:52:00,300
+ينتمي إلى الفترة المغلقة من Alpha إلى Beta
+
+416
+00:52:04,220 --> 00:52:11,680
+أكبر من أو يساوي alpha هي بيساوي f of a وأصغر من
+
+417
+00:52:11,680 --> 00:52:21,460
+أو يساوي beta هي بيساوي f of b وبالتالي so by
+
+418
+00:52:21,460 --> 00:52:26,440
+Bolzano's
+
+419
+00:52:26,440 --> 00:52:31,120
+intermediate
+
+420
+00:52:31,120 --> 00:52:32,940
+value theorem
+
+421
+00:52:35,620 --> 00:52:48,960
+يوجد K عفوا يوجد C ينتمي إلى I between Alpha
+
+422
+00:52:48,960 --> 00:52:59,400
+و Beta بحيث ان F of C بساوي K او
+
+423
+00:52:59,400 --> 00:53:08,640
+K بساوي F of Cطبما ال C تنتمي ل I إذا F of C تنتمي
+
+424
+00:53:08,640 --> 00:53:13,380
+ل F of I إذا
+
+425
+00:53:13,380 --> 00:53:18,200
+هاني أثبتت إنه كل K في الفترة المغلقة من Alpha إلى
+
+426
+00:53:18,200 --> 00:53:25,850
+Beta طلع ينتمي لفترة F of I وبالتالي إذابطلع عند
+
+427
+00:53:25,850 --> 00:53:31,270
+الفترة المغلقة من Alpha إلى Beta ال subset من F of
+
+428
+00:53:31,270 --> 00:53:38,830
+I وبالتالي إذا ال set F of I بتحقق ال property
+
+429
+00:53:38,830 --> 00:53:46,810
+واحد إذا by theorem .. by theorem اتنين خمسة واحد
+
+430
+00:53:46,810 --> 00:53:53,650
+ال set F of I بتطلع interval is an interval
+
+431
+00:53:56,670 --> 00:54:03,570
+و هذا بيكمل النظرية اذا هذا بيكمل البرهان هيك
+
+432
+00:54:03,570 --> 00:54:10,630
+بنكون خلصنا ال section خمسة تلاتة و باقي عننا
+
+433
+00:54:10,630 --> 00:54:16,190
+section خمسة أربعة هناخده في المحاضرة الجاية نحاول
+
+434
+00:54:16,190 --> 00:54:24,130
+نشوف زمنا نخلصه ولا لأفال .. شكرا لحصن إصراعكم و
+
+435
+00:54:24,130 --> 00:54:26,910
+يعطيكم العافية و نشوفكم ان شاء الله المرة الجاية
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Gx7j9GpXuiI_raw.srt

@@ -0,0 +1,1812 @@
+1
+00:00:21,580 --> 00:00:26,880
+بسم الله الرحمن الرحيم اليوم ان شاء الله هنبدأ
+
+2
+00:00:26,880 --> 00:00:34,000
+chapter خمسة و هذا اخر chapter هناخده في ال course
+
+3
+00:00:34,000 --> 00:00:50,080
+فانواع ال chapter هذا continuous
+
+4
+00:00:53,880 --> 00:01:01,820
+functions الدوالة المتصلة و
+
+5
+00:01:01,820 --> 00:01:08,460
+أول section برضه section خمسة واحد في هذا ال
+
+6
+00:01:08,460 --> 00:01:16,320
+chapter برضه عنوانه continuous functions
+
+7
+00:01:24,100 --> 00:01:29,280
+الدولة المتصلة فنعرف شو معنى الدولة تكون متصلة عن
+
+8
+00:01:29,280 --> 00:01:35,160
+نقطة definition let
+
+9
+00:01:35,160 --> 00:01:49,280
+f be function from a to r and c be element of a we
+
+10
+00:01:49,280 --> 00:02:00,630
+sayإنه ال function if is continuous if
+
+11
+00:02:00,630 --> 00:02:05,770
+is continuous at
+
+12
+00:02:05,770 --> 00:02:18,950
+x بساوي c if إذا تحقق الشرط التالي for
+
+13
+00:02:18,950 --> 00:02:20,470
+every
+
+14
+00:02:22,680 --> 00:02:29,400
+إبسلون أكبر من السفر نقدر نرد عليها delta تعتمد
+
+15
+00:02:29,400 --> 00:02:37,840
+على إبسلون positive number بحيث أنه لكل X لكل
+
+16
+00:02:37,840 --> 00:02:44,090
+X في Aو ال absolute value ل x minus c أصغر من
+
+17
+00:02:44,090 --> 00:02:52,170
+delta فهذا بتضمن ان absolute f of x minus f of c
+
+18
+00:02:52,170 --> 00:03:01,630
+أصغر من ال epsilon فهذا
+
+19
+00:03:01,630 --> 00:03:13,010
+بنسميه this is calledthis is called epsilon delta
+
+20
+00:03:13,010 --> 00:03:18,770
+definition of
+
+21
+00:03:18,770 --> 00:03:31,170
+continuity لأن
+
+22
+00:03:31,170 --> 00:03:36,790
+هذا تعريف epsilon delta للاتصال لحظو هذا التعريف
+
+23
+00:03:36,790 --> 00:03:44,530
+تقريبا هوهو تعريف انه limit ال function f of x لما
+
+24
+00:03:44,530 --> 00:03:52,310
+x تقوله c بساوي f of c هدد
+
+25
+00:03:52,310 --> 00:04:07,210
+كانت c is a cluster point طب
+
+26
+00:04:07,210 --> 00:04:13,930
+لحظة انتوالما عرفنا احنا ما معناه انه ال limit ل
+
+27
+00:04:13,930 --> 00:04:18,710
+function and x بيساوي C و C cluster point للمجموع
+
+28
+00:04:18,710 --> 00:04:24,570
+A بيساوي عدد L بدلنا L هنا ب F و C صح؟ معناه كان
+
+29
+00:04:24,570 --> 00:04:30,290
+لكل إبسلون فيه Delta بحيث لكل X في A و ال X هذه
+
+30
+00:04:30,290 --> 00:04:37,540
+كانت مختلفة لا تساوي C فكنا نحط هنا أكبر من 0فإذا
+
+31
+00:04:37,540 --> 00:04:41,480
+كانت المسافة هذه أصغر من دلتا تطلع المسافة من f of
+
+32
+00:04:41,480 --> 00:04:46,040
+x وال L اللي هي ال limit هنا طبعا احنا بدلنا ال L
+
+33
+00:04:46,040 --> 00:04:50,940
+ب F of C فبين هذا يطلع أصغر من X هنا تقريبا نفس
+
+34
+00:04:50,940 --> 00:04:56,480
+التعريف if
+
+35
+00:04:56,480 --> 00:05:00,460
+if
+
+36
+00:05:00,460 --> 00:05:09,090
+is not continuousلو كانت ال F ليست متصلة عند
+
+37
+00:05:09,090 --> 00:05:14,910
+النقطة C فبنقول if
+
+38
+00:05:14,910 --> 00:05:31,810
+F fails to be continuous at C we say ان F is
+
+39
+00:05:31,810 --> 00:05:32,990
+discontinuous
+
+40
+00:05:38,310 --> 00:05:46,350
+discontinuous at c إذا لو كانت الدالة مش متصلة عن
+
+41
+00:05:46,350 --> 00:05:52,710
+c يعني شرط الاتصال هذا مش متحقق فبنقول أن الدالة
+
+42
+00:05:52,710 --> 00:05:57,610
+discontinuous منفصلة عند النقطة c okay تمام
+
+43
+00:06:09,660 --> 00:06:17,360
+بنلاحظ انه ال .. زي ما شوفنا في section 4-1 تعريف
+
+44
+00:06:17,360 --> 00:06:21,840
+epsilon delta لل limits of functions في بكافة
+
+45
+00:06:21,840 --> 00:06:26,600
+neighborhood definition وهنا برضه تعريف ال epsilon
+
+46
+00:06:26,600 --> 00:06:31,760
+delta definition للاتصال عن النقطة في بكافة
+
+47
+00:06:31,760 --> 00:06:36,400
+neighborhood definition فنكتب ال neighborhood
+
+48
+00:06:36,400 --> 00:06:37,340
+definition هذا
+
+49
+00:06:46,200 --> 00:06:53,400
+لت if دي function from a to r و c belong to a then
+
+50
+00:06:53,400 --> 00:07:02,480
+the following statements are equivalent واحد
+
+51
+00:07:02,480 --> 00:07:11,180
+ال function if is continuous is continuous at x
+
+52
+00:07:11,180 --> 00:07:12,540
+بساوي z
+
+53
+00:07:20,900 --> 00:07:26,360
+إتنين هذا طبعا إتنين نسميه in labor hood
+
+54
+00:07:26,360 --> 00:07:31,940
+definition of continuity
+
+55
+00:07:45,120 --> 00:07:48,580
+الـ neighborhood definition للـ continuity ايش
+
+56
+00:07:48,580 --> 00:07:57,920
+بيقول لكل for every epsilon neighborhood v epsilon
+
+57
+00:07:57,920 --> 00:08:05,700
+لنقطة f of c there
+
+58
+00:08:05,700 --> 00:08:18,440
+exist delta neighborhood v deltaof C لنقطة C طبعا
+
+59
+00:08:18,440 --> 00:08:26,200
+هذا epsilon neighborhood ل F of C يوجد delta
+
+60
+00:08:26,200 --> 00:08:38,660
+neighborhood V Delta of C بحيث انه لكل X تنتمي إلى
+
+61
+00:08:38,660 --> 00:08:47,830
+A تقاطع الـ Deltaneighborhood ل C لازم هذا يضمن ان
+
+62
+00:08:47,830 --> 00:08:53,050
+صورة ال X تنتمي
+
+63
+00:08:53,050 --> 00:09:04,590
+الى D epsilon ل F of C that
+
+64
+00:09:04,590 --> 00:09:08,630
+is that
+
+65
+00:09:08,630 --> 00:09:11,910
+is هذا يعني ان ال
+
+66
+00:09:14,980 --> 00:09:23,060
+الـ image للست A تقاطع V Delta of C is contained
+
+67
+00:09:23,060 --> 00:09:34,140
+in الـ Epsilon neighbourhood لـ F of C
+
+68
+00:09:34,140 --> 00:09:40,100
+هاي
+
+69
+00:09:40,100 --> 00:09:47,330
+كان في عنديزي هيك مثلا يكون في اندي فانكشن زي هذه
+
+70
+00:09:47,330 --> 00:09:57,210
+y بساوي f of x وقلنا
+
+71
+00:09:57,210 --> 00:10:03,810
+انه لو كانت x او c c
+
+72
+00:10:03,810 --> 00:10:07,670
+نقطة ال dial عندها متصلة هي f of c
+
+73
+00:10:11,410 --> 00:10:17,830
+ما معناه ان الدالة متصلة عند X بساوي C معناه لو
+
+74
+00:10:17,830 --> 00:10:23,770
+أخدت لأي
+
+75
+00:10:23,770 --> 00:10:30,850
+إبسلون أكبر من سفر فيه Delta أو لو أخدت أي إبسلون
+
+76
+00:10:30,850 --> 00:10:31,290
+neighborhood
+
+77
+00:10:34,530 --> 00:10:38,270
+يعني النقطة هذه F of C زاد Epsilon النقطة هذه
+
+78
+00:10:38,270 --> 00:10:48,430
+المسافة هذه Epsilon فهذه F of C سالب Epsilon فهذه
+
+79
+00:10:48,430 --> 00:10:53,610
+الفترة المفتوحة عبارة عن Epsilon neighborhood ل F
+
+80
+00:10:53,610 --> 00:10:54,150
+of C
+
+81
+00:10:57,200 --> 00:11:01,620
+فلأي إبسلون أكبر من السفر ممكن أكوّن إبسلون
+
+82
+00:11:01,620 --> 00:11:06,420
+neighborhood ل F of C وبالتالي بقدر أرد على الـ
+
+83
+00:11:06,420 --> 00:11:14,580
+Epsilon neighborhood هذا بـ Delta يعني
+
+84
+00:11:14,580 --> 00:11:20,980
+أكوّن Delta neighborhood هنا C minus Delta C موجة
+
+85
+00:11:20,980 --> 00:11:21,460
+بDelta
+
+86
+00:11:26,200 --> 00:11:37,060
+إذاً هذا عبارة عن V Delta V Delta ل C إذاً
+
+87
+00:11:37,060 --> 00:11:43,200
+لأي إبسلون لأي إبسلون neighborhood ل F of C بقدر
+
+88
+00:11:43,200 --> 00:11:52,720
+ألاقي Delta neighborhood للمقطة C بحيث أنه لكل Xلو
+
+89
+00:11:52,720 --> 00:12:01,620
+أخدت x نقطة في الـ delta neighborhood فصورتها f of
+
+90
+00:12:01,620 --> 00:12:09,060
+x هتطلع تنتمي لل epsilon neighborhood لل F of C
+
+91
+00:12:09,060 --> 00:12:17,140
+okay تمام فهذا هو نفسه هذا بكافي التعريف هذا بكافي
+
+92
+00:12:17,140 --> 00:12:20,660
+التعريف ال epsilon delta definition لل continuity
+
+93
+00:12:24,390 --> 00:12:29,850
+هي لكل إبسلون لكل إبسلون أكبر من الصفر يعني كأني
+
+94
+00:12:29,850 --> 00:12:36,450
+بقول لكل إبسلون نبرهود ل F و C يوجد Delta عدد موجب
+
+95
+00:12:36,450 --> 00:12:44,290
+فهذا معناه يوجد Delta نبرهود لل C بحيث أنه لكل X
+
+96
+00:12:44,290 --> 00:12:50,560
+المسافر لكل X تنتمي لكل X في Aو X بالتحقق
+
+97
+00:12:50,560 --> 00:12:55,980
+المتباينة دي معناته X سنتمي المسافة بين X و C أصغر
+
+98
+00:12:55,980 --> 00:12:56,380
+من Delta
+
+99
+00:13:02,120 --> 00:13:07,000
+فهذا بيقدي ان المسافة بين F of X و F of C هي F of
+
+100
+00:13:07,000 --> 00:13:12,160
+X و F of C أصغر من Epsilon يعني ال F of X هذه
+
+101
+00:13:12,160 --> 00:13:17,900
+تنتمي لل Epsilon برهود ل F of C إذن التعريفين هذول
+
+102
+00:13:17,900 --> 00:13:24,800
+متكافئين وهذا واضح من الرسم وبالتالي البرهان جاهز
+
+103
+00:13:24,800 --> 00:13:32,000
+من .. بس ترجمتهالحاجات هذه الى لغة ال neighborhood
+
+104
+00:13:32,000 --> 00:13:39,600
+اذا في لان تعريفين للاتصال على النقطة واحد epsilon
+
+105
+00:13:39,600 --> 00:13:45,400
+delta definition والتاني اللي بكافه neighborhood
+
+106
+00:13:45,400 --> 00:13:50,360
+definition طيب
+
+107
+00:13:50,360 --> 00:13:55,260
+ناخد بعض الملاحظات على تعريف الاتصال
+
+108
+00:14:16,000 --> 00:14:22,640
+إذا C هو مقاومة مقاومة
+
+109
+00:14:22,640 --> 00:14:30,180
+A ثم
+
+110
+00:14:30,180 --> 00:14:38,200
+F مستمر في X بساوي
+
+111
+00:14:42,830 --> 00:14:47,530
+لو كانت الـ C هذه cluster point فالاتصال ان C
+
+112
+00:14:47,530 --> 00:14:55,730
+بكافئ بكافئ ان ال limit ل F of X من تعريف ال
+
+113
+00:14:55,730 --> 00:15:03,570
+limits ان C بساوي F of C وهذا
+
+114
+00:15:03,570 --> 00:15:06,790
+طبعاً
+
+115
+00:15:06,790 --> 00:15:09,090
+this condition
+
+116
+00:15:12,780 --> 00:15:19,680
+is three in
+
+117
+00:15:19,680 --> 00:15:24,800
+one ال
+
+118
+00:15:24,800 --> 00:15:30,480
+definition هذا بكافئ تلت او الشرط هذا بكافئ تلت
+
+119
+00:15:30,480 --> 00:15:37,600
+شروط او هو تلت شروط في واحد اول شرط ان ال function
+
+120
+00:15:37,600 --> 00:15:39,540
+f and c is defined
+
+121
+00:15:43,900 --> 00:15:49,540
+يعني هذا عبارة عن عدد حقيقي name ال limit ل f of x
+
+122
+00:15:49,540 --> 00:15:56,180
+لما x تقول إلى c exist يعني عدد حقيقي والشرط
+
+123
+00:15:56,180 --> 00:16:04,880
+التالت أنه لازم ال limit لل function f and c بساوة
+
+124
+00:16:04,880 --> 00:16:09,980
+قيمة الدالة and c يعني عشان الدالة تكون متصلة عند
+
+125
+00:16:09,980 --> 00:16:16,020
+النقطة c في مجالهاو لو كانت الـ C هي cluster point
+
+126
+00:16:16,020 --> 00:16:21,790
+طبعاأو حتى لو ماكنتش cluster point فلازم التلاتة
+
+127
+00:16:21,790 --> 00:16:25,250
+صوروطها تتحقق الدالة معرفة عن C طبعا هذا لأن C
+
+128
+00:16:25,250 --> 00:16:30,450
+نقطة في مجال الدالة فلازم تكون معرفة عن ده لازم ال
+
+129
+00:16:30,450 --> 00:16:34,830
+limit ل F عن C تكون موجودة وقيمة ال limit بساوي
+
+130
+00:16:34,830 --> 00:16:39,290
+قيمة الدالة عند النقطة C لو أي واحد ماليش صوروط
+
+131
+00:16:39,290 --> 00:16:43,830
+التلاتة هدول اختل فبنقول ان ال function مش متصلة
+
+132
+00:16:43,830 --> 00:16:49,410
+عند النقطة COkay تمام واضح اذا لو كانت ال C هي دي
+
+133
+00:16:49,410 --> 00:16:53,510
+cluster point فتعريف الاتصال النقطة هو بالظبط
+
+134
+00:16:53,510 --> 00:16:58,470
+تعريف ان limited دالة ان C تكون موجودة و بتساوي
+
+135
+00:16:58,470 --> 00:17:02,570
+قيمتها ان C وهذا الشرط هو تلات شروط و ال C في ال A
+
+136
+00:17:02,570 --> 00:17:09,510
+نعم ال C تنتمي ل A اه طبعا ال C تنتمي ل A ال C
+
+137
+00:17:09,510 --> 00:17:11,130
+دائما تنتمي ل A
+
+138
+00:17:17,100 --> 00:17:22,120
+طب لو ماكناش ال c cluster point الملاحظة التانية
+
+139
+00:17:22,120 --> 00:17:29,440
+if c is not يعني لو كان ال c تنتمي طبعا دايما ال c
+
+140
+00:17:29,440 --> 00:17:40,980
+تنتمي ل a is not a cluster point is
+
+141
+00:17:40,980 --> 00:17:44,100
+not cluster point of a
+
+142
+00:17:48,950 --> 00:17:54,070
+then من تعريف ال cluster point لازم نلاقي delta
+
+143
+00:17:54,070 --> 00:18:05,430
+أكبر من السفر such that a تقاطع v delta of c بساوي
+
+144
+00:18:05,430 --> 00:18:06,850
+singleton c
+
+145
+00:18:11,300 --> 00:18:14,580
+ما معناه ان النقطة C الموجودة في A مايعنياش
+
+146
+00:18:14,580 --> 00:18:18,460
+cluster point او ما معناه ان C تنتمي ل A cluster
+
+147
+00:18:18,460 --> 00:18:24,380
+point معناها ان كل delta neighborhood لل C بيتقاطع
+
+148
+00:18:24,380 --> 00:18:30,400
+مع A في نقطة مختلفة عن ال C على الأقلمعناه ان الـ
+
+149
+00:18:30,400 --> 00:18:34,040
+C ما تكونش cluster point معناه ان يوجد delta
+
+150
+00:18:34,040 --> 00:18:37,040
+neighborhood واحد يعني يوجد delta عدد موجب
+
+151
+00:18:37,040 --> 00:18:40,780
+وبالتالي يوجد على الأقل delta neighborhood للـ C
+
+152
+00:18:40,780 --> 00:18:46,620
+وهذا ال delta neighborhoodمابتقاطعش مع a في أي
+
+153
+00:18:46,620 --> 00:18:50,660
+نقطة مختلفة عن ال c يعني التقاطع هذا بس في نقطة
+
+154
+00:18:50,660 --> 00:18:55,300
+واحدة c لأن ال c هي مركز ال neighborhood و c تنتمي
+
+155
+00:18:55,300 --> 00:19:03,320
+ل a فالتقاطع هذا مافيش فيه أي x مختلفة عن ال c في
+
+156
+00:19:03,320 --> 00:19:09,740
+الحالة هذه in this case in
+
+157
+00:19:09,740 --> 00:19:10,580
+this case
+
+158
+00:19:14,230 --> 00:19:23,970
+if is automatically continuous
+
+159
+00:19:23,970 --> 00:19:34,940
+at cالدولة في الحالة هذه بتكون متصلة تلقائيًا عند
+
+160
+00:19:34,940 --> 00:19:39,360
+النقطة C أو التعريف متحقق تلقائيًا ليه؟ لأنه
+
+161
+00:19:39,360 --> 00:19:44,060
+تعالوا نرجع للتعريف ما معن��ه أن F تكون متصلة عند
+
+162
+00:19:44,060 --> 00:19:49,660
+النقطة C معناه لأي epsilon neighborhood ل F و C
+
+163
+00:19:49,660 --> 00:19:53,680
+نقدر
+
+164
+00:19:53,680 --> 00:19:57,020
+نلاقي يوجد delta neighborhood ل C فخد ال delta
+
+165
+00:19:57,020 --> 00:20:00,040
+neighborhoodفي التعريف هذا خد الـ delta
+
+166
+00:20:00,040 --> 00:20:07,900
+neighborhood هو هذا ففي الحالة هذه لكل x تنتمي إلى
+
+167
+00:20:07,900 --> 00:20:12,340
+a تقاطع v delta و c ما التقاطع هذا مافيش فيه إلا
+
+168
+00:20:12,340 --> 00:20:17,100
+نقطة واحدة اللي هي c صح فلكل x موجود في التقاطع
+
+169
+00:20:17,100 --> 00:20:21,950
+هذا مافيش إلا x بالساوية cفصورة ال X هذه هي صورة
+
+170
+00:20:21,950 --> 00:20:28,210
+ال C وبالتالي صورة ال X هذه هي صورة ال C فهذه أكيد
+
+171
+00:20:28,210 --> 00:20:33,310
+تنتمي لإمسلون برهود ل F of C لأن ال F of C هي
+
+172
+00:20:33,310 --> 00:20:38,850
+المركز تبع الفترة هذه صح فهذا شرط متحقق trivially
+
+173
+00:20:38,850 --> 00:20:44,870
+تلقايا وبالتالي إذا السواء
+
+174
+00:20:46,570 --> 00:20:49,730
+سواء الـ C هنا كانت cluster point أو ماكنتش
+
+175
+00:20:49,730 --> 00:20:55,630
+cluster point فممكن نعتبر أن التعريف لاتصال النقطة
+
+176
+00:20:55,630 --> 00:21:00,450
+هو التعريف هذا لأن لو كانت ال C cluster point
+
+177
+00:21:00,450 --> 00:21:04,190
+فتعريف لاتصال النقطة هو هذا التعريف لو كانت ال C
+
+178
+00:21:04,190 --> 00:21:07,750
+ماهياش cluster point فهذا التعريف متحقق ال trivia
+
+179
+00:21:07,750 --> 00:21:12,380
+اللي بدهيوبالتالي مافيش داعي ان احنا نقول .. لما
+
+180
+00:21:12,380 --> 00:21:14,840
+نيجي نفحص الاتصال على النقطة C نقول هل ال C
+
+181
+00:21:14,840 --> 00:21:18,840
+cluster point او مش cluster point سواء كانت
+
+182
+00:21:18,840 --> 00:21:24,380
+cluster point او ماكانتش cluster point فالاتصال
+
+183
+00:21:24,380 --> 00:21:33,020
+and ال C بيصير هو .. يعني هل هذا شرط بتحقق او لا
+
+184
+00:21:41,130 --> 00:21:44,890
+طبعا زي ما اخدنا احنا ايام ما خدنا دراسنا ال
+
+185
+00:21:44,890 --> 00:21:54,950
+limits لل functions فكان
+
+186
+00:21:54,950 --> 00:21:57,590
+في عندي sequential criterion for limits
+
+187
+00:22:02,270 --> 00:22:06,810
+بنفس الطريقة في هنا sequential criterion for
+
+188
+00:22:06,810 --> 00:22:15,990
+continuity للاتصال إذا في عندي هنا sequential
+
+189
+00:22:15,990 --> 00:22:21,130
+criterion
+
+190
+00:22:21,130 --> 00:22:24,150
+for
+
+191
+00:22:24,150 --> 00:22:25,110
+continuity
+
+192
+00:22:35,670 --> 00:22:44,430
+let f be function from a to r و c نقطة في a then
+
+193
+00:22:44,430 --> 00:22:56,170
+the following statements are equivalent واحد
+
+194
+00:22:56,170 --> 00:23:08,010
+if is continuousif is continuous at c for
+
+195
+00:23:08,010 --> 00:23:11,910
+every for
+
+196
+00:23:11,910 --> 00:23:22,050
+every sequence x in contained in a with
+
+197
+00:23:22,050 --> 00:23:25,370
+limit
+
+198
+00:23:25,370 --> 00:23:41,270
+x in بساوي cنحن لدينا ان ال limit ل f of x n as n
+
+199
+00:23:41,270 --> 00:23:45,790
+tensor infinity بسوي f of c
+
+200
+00:23:51,740 --> 00:23:54,940
+الان الـ sequential criterion for continuity بتقول
+
+201
+00:23:54,940 --> 00:24:00,380
+عشان اثبت ان الدالة F continuous عند نقطة يكفي ان
+
+202
+00:24:00,380 --> 00:24:04,900
+انا اثبت ان لو اخدت اي sequence نهايتها اي
+
+203
+00:24:04,900 --> 00:24:07,660
+sequence في مجال الدالة طبعا كنا في ال limits
+
+204
+00:24:07,660 --> 00:24:13,020
+نشترط ان X in كل انصر في ال sequence مختلف عن ال C
+
+205
+00:24:13,020 --> 00:24:17,200
+هنا لأ ممكن يساوي ال C مش مشكلة هاي الاختلاف بس
+
+206
+00:24:17,200 --> 00:24:21,430
+بين ال sequential criterion for limitsو Sequential
+
+207
+00:24:21,430 --> 00:24:26,030
+criterion for continuity إنه لكل sequence x in في
+
+208
+00:24:26,030 --> 00:24:32,550
+مجال الدالة و نهايتها بتساوي c لازم اطلع عندي
+
+209
+00:24:32,550 --> 00:24:37,990
+نهاية ال image تبعت ال sequence x in بتساوي العدد
+
+210
+00:24:37,990 --> 00:24:42,860
+f و cوبرهان النظرية هذه زي برهان sequential
+
+211
+00:24:42,860 --> 00:24:49,120
+criterion for limits مع تعديلات طفيفة مع التعديلات
+
+212
+00:24:49,120 --> 00:24:58,580
+الطفيفة في التعريفين او في التعريف تبع الات��ال اذا
+
+213
+00:24:58,580 --> 00:25:11,090
+ال proof similar to proof ofsequential criterion
+
+214
+00:25:11,090 --> 00:25:19,570
+for limits for limits sequential criterion for
+
+215
+00:25:19,570 --> 00:25:34,190
+limits of functions in section أربعة واحد with
+
+216
+00:25:34,190 --> 00:25:38,030
+slight modification
+
+217
+00:25:45,120 --> 00:25:51,780
+مع تعديل بسيط مع تعديل بسيط التعديل هنا انه ال هنا
+
+218
+00:25:51,780 --> 00:25:58,180
+كنا نطلب ال X لا تساوي C وكمان كنا هناك نطلب انه C
+
+219
+00:25:58,180 --> 00:26:02,740
+تكون cluster point لكن شوفنا حتى لو C ماكنتش
+
+220
+00:26:02,740 --> 00:26:10,940
+cluster point فهذا برضه متحقق تلقائيا برضه
+
+221
+00:26:10,940 --> 00:26:11,700
+أخدنا
+
+222
+00:26:14,550 --> 00:26:18,230
+بعد ما أخدنا الـ sequential criterion for limits
+
+223
+00:26:18,230 --> 00:26:22,410
+of functions في section 4-1 أخدنا بعدها على طول
+
+224
+00:26:22,410 --> 00:26:29,850
+مباشرة divergence criterion for limits فهنا بقابل
+
+225
+00:26:29,850 --> 00:26:38,190
+ال divergence criterion اللي هو
+
+226
+00:26:38,190 --> 00:26:39,910
+discontinuity criterion
+
+227
+00:26:46,180 --> 00:26:48,980
+discontinuity criterion
+
+228
+00:27:00,500 --> 00:27:10,940
+لت if بي function from a to r و c نقطة في a و d
+
+229
+00:27:10,940 --> 00:27:15,440
+then the
+
+230
+00:27:15,440 --> 00:27:23,000
+following statements are equivalent واحد if is
+
+231
+00:27:23,000 --> 00:27:24,160
+discontinuous
+
+232
+00:27:26,370 --> 00:27:36,730
+إذا كان الـ discontinuous at x بساوي c ثم يوجد
+
+233
+00:27:36,730 --> 00:27:49,070
+سيكوينس x in contained in a with limit x in بساوي
+
+234
+00:27:49,070 --> 00:27:49,610
+c
+
+235
+00:27:53,460 --> 00:28:01,180
+but limit الـ image للـ sequence x in لا يساوي f
+
+236
+00:28:01,180 --> 00:28:08,260
+of z وبرهان
+
+237
+00:28:08,260 --> 00:28:13,100
+النظرية هذه بيجي من النظرية الـ sequential
+
+238
+00:28:13,100 --> 00:28:16,980
+criterion أنا
+
+239
+00:28:16,980 --> 00:28:21,400
+عندي واحد one بكافي اتنين one if and only if two
+
+240
+00:28:24,600 --> 00:28:29,660
+وبالتالي not one نفي one بكافئ نفي two طيب تعالى
+
+241
+00:28:29,660 --> 00:28:35,400
+نشوف نفي one if is discontinuous at c نفي two for
+
+242
+00:28:35,400 --> 00:28:40,420
+every sequence بتحقق الشرط هذا نهايت صورتها بساوي
+
+243
+00:28:40,420 --> 00:28:45,160
+f of c ان في الشرط العبارة هذه فبصير there exist a
+
+244
+00:28:45,160 --> 00:28:50,380
+sequence x in contained in a ونهايتها c لكن نهايت
+
+245
+00:28:50,380 --> 00:28:56,550
+صورتها لا تساوي f of cOkay تمام إذا البرهان نظرية
+
+246
+00:28:56,550 --> 00:29:05,170
+هذه جاي من نفي أو ينتج من النظرية السابقة طب
+
+247
+00:29:05,170 --> 00:29:15,350
+نرجع ناخد قبل ما ناخد أمثلة بدنا ناخد بس تعريف
+
+248
+00:29:15,350 --> 00:29:20,170
+الاتصال على مجموعة definition
+
+249
+00:29:24,990 --> 00:29:32,690
+استخدم الفرصة let f be a function from a to r and
+
+250
+00:29:32,690 --> 00:29:38,050
+let
+
+251
+00:29:38,050 --> 00:29:47,090
+b be a subset of a نقول
+
+252
+00:29:47,090 --> 00:29:50,890
+ان الفرصة is continuous
+
+253
+00:29:54,760 --> 00:30:05,060
+if is continuous on الـ set B on the
+
+254
+00:30:05,060 --> 00:30:16,640
+set B if is continuous on the set B if if is
+
+255
+00:30:16,640 --> 00:30:32,720
+continuous at every at everyما ينتمي إلى دي إذا
+
+256
+00:30:32,720 --> 00:30:38,880
+الإتصال على مجموعة معناه إن الدالة تكون متصلة عند
+
+257
+00:30:38,880 --> 00:30:47,520
+كل نقطة في المجموعة، عند كل نقطة في المجموعة طيب
+
+258
+00:30:47,520 --> 00:30:49,080
+ناخد بعض الأمثلة
+
+259
+00:31:06,780 --> 00:31:17,520
+الـ function f of x بتساوي k و
+
+260
+00:31:17,520 --> 00:31:30,460
+x belong to R is continuous on R الدالة
+
+261
+00:31:30,460 --> 00:31:43,300
+ثابت k continuous على كل الـ Rاحنا شفنا proof fix
+
+262
+00:31:43,300 --> 00:31:46,240
+c أنتمي الار
+
+263
+00:31:51,650 --> 00:32:02,150
+Since limit ل F of X as X Sin C بساوي K احنا
+
+264
+00:32:02,150 --> 00:32:07,850
+اثمتنا قبلين ان limit اي ده لثابته بساوي ثابت K
+
+265
+00:32:07,850 --> 00:32:15,690
+وهذا بساوي F and C فال
+
+266
+00:32:15,690 --> 00:32:29,850
+F is continuousat every c ينتمي إلى r فاكرين
+
+267
+00:32:29,850 --> 00:32:34,430
+احنا هدف بقناه باستخدام تعريف epsilon delta قولنا
+
+268
+00:32:34,430 --> 00:32:39,930
+لأي epsilon أكبر م�� السفر choose أي delta أكبر من
+
+269
+00:32:39,930 --> 00:32:43,690
+السفر فتعريف
+
+270
+00:32:43,690 --> 00:32:47,670
+ال limit بتحقق
+
+271
+00:32:47,670 --> 00:32:48,790
+وهنا نفس الحاجة
+
+272
+00:33:16,050 --> 00:33:25,330
+طيب المثال تاني لو أخدت f of x بساوي x لكل x ينتمي
+
+273
+00:33:25,330 --> 00:33:31,570
+إلى R ال identity function فبرضه
+
+274
+00:33:31,570 --> 00:33:39,350
+أثبتنا احنا ان ال function هذه is continuous if is
+
+275
+00:33:39,350 --> 00:33:44,290
+continuousعلى مجموعة الأعداد الحقيقية
+
+276
+00:34:07,950 --> 00:34:17,850
+فممكن أن نثبت C ينتمي إلى R و أثبتنا احنا في
+
+277
+00:34:17,850 --> 00:34:24,390
+section أربعة واحد ان limit F of X لما X تقول C
+
+278
+00:34:24,390 --> 00:34:32,530
+طلعت بساوي C صح؟ وهذا عبارة عن F of C فالـ F is
+
+279
+00:34:32,530 --> 00:34:35,610
+continuous at C
+
+280
+00:34:39,860 --> 00:34:48,180
+و بما انه c arbitrary element اذا
+
+281
+00:34:48,180 --> 00:34:55,720
+ال F يكون continuous at every c ينتمي ال R
+
+282
+00:34:55,720 --> 00:35:03,220
+وبالتالي continuous على كل ال R ممكن
+
+283
+00:35:03,220 --> 00:35:08,760
+برضهنستخدم تعريف epsilon دلتا مباشرة بلاش نقول ان
+
+284
+00:35:08,760 --> 00:35:13,440
+احنا اثبتنا ان ال limit ل ال function f and c
+
+285
+00:35:13,440 --> 00:35:17,020
+بالساوية c في section اربعة واحدة انا ممكن اثبت
+
+286
+00:35:17,020 --> 00:35:22,520
+يعني استخدم تعريف epsilon دلتا مباشرة و اقول let
+
+287
+00:35:22,520 --> 00:35:32,180
+if fix اول حاجة fix c تنتمي ل R to showif is
+
+288
+00:35:32,180 --> 00:35:39,820
+continuous at c let epsilon أكبر من السفر be given
+
+289
+00:35:39,820 --> 00:35:44,720
+it
+
+290
+00:35:44,720 --> 00:35:49,540
+shows .. زي ما عملنا في ال limits it shows delta
+
+291
+00:35:49,540 --> 00:35:54,640
+بساوي epsilon لذن
+
+292
+00:35:54,640 --> 00:36:00,160
+هي يوجد delta تعتمد على epsilonThen لهذه الـ Delta
+
+293
+00:36:00,160 --> 00:36:06,600
+لو كان X ينتمي إلى A A هنا اللي هي R و Absolute X
+
+294
+00:36:06,600 --> 00:36:12,360
+minus C أصغر من Delta فهذا بتضمن أنه Absolute F of
+
+295
+00:36:12,360 --> 00:36:20,080
+X Absolute F of X minus F of C هذا بيطلع بساوي
+
+296
+00:36:20,080 --> 00:36:28,590
+Absolute X minus F of X بساويX و F of C بساوي C
+
+297
+00:36:28,590 --> 00:36:33,010
+وهذا أصغر من Delta ماخدين المسافة هذه أصغر من
+
+298
+00:36:33,010 --> 00:36:38,250
+Delta وأنا اختارت Delta بساوي Epsilon إذن هذه
+
+299
+00:36:38,250 --> 00:36:42,110
+أثبتت لكل Epsilon يوجد Delta تعتمد على Epsilon
+
+300
+00:36:42,110 --> 00:36:46,150
+بحيث لكل X في مجال الدالة المسافة بينها و بين C
+
+301
+00:36:46,150 --> 00:36:50,650
+أصغر من Delta طلع المسافة بين F of X و F of C أصغر
+
+302
+00:36:50,650 --> 00:36:58,390
+من Epsilon إذن هذا معناه أن F is continuousat C
+
+303
+00:36:58,390 --> 00:37:06,010
+since C تنتمي ل R was arbitrary اذا F is
+
+304
+00:37:06,010 --> 00:37:12,750
+continuous على كل الأعداد الحقيقية تمام؟ اذا هذا
+
+305
+00:37:12,750 --> 00:37:15,890
+ممكن استخدم تعريف Epsilon Delta مباشرة
+
+306
+00:37:19,990 --> 00:37:23,390
+دون الاعتماد على النتائج اللي عملناها تابعة
+
+307
+00:37:23,390 --> 00:37:28,390
+النهاية في section أربعة واحد بالمثل ممكن مثال زي
+
+308
+00:37:28,390 --> 00:37:35,290
+هذا برضه ال function f
+
+309
+00:37:35,290 --> 00:37:43,790
+of x بساوي x سربية is continuous على كل الأعداد
+
+310
+00:37:43,790 --> 00:37:44,570
+الحقيقية
+
+311
+00:38:05,350 --> 00:38:08,350
+الدالة متصلة عند النقطة C
+
+312
+00:38:13,110 --> 00:38:18,330
+نفس تعريف epsilon دلتا زي ما عملنا في اثبات ان ال
+
+313
+00:38:18,330 --> 00:38:24,490
+limit لل function f of x and x بساوي c بساوي c
+
+314
+00:38:24,490 --> 00:38:30,110
+تربيه اللي هو f of c وذلك
+
+315
+00:38:30,110 --> 00:38:35,710
+بياخد اي epsilon اكبر من صفر و بنجيب دلتا زي ما
+
+316
+00:38:35,710 --> 00:38:38,510
+عملنا في section اربعة واحد دلتا بساوي ال minimum
+
+317
+00:38:38,510 --> 00:38:45,380
+لقمتينو نثبت أنه لكل x المسافة بينها و بين الـC
+
+318
+00:38:45,380 --> 00:38:47,960
+أصغر من الـDelta بيطلع المسافة هذه أصغر من الـC
+
+319
+00:38:47,960 --> 00:38:53,120
+نعيد يعني إيش نفس البرمجة، إذن هذا لو طلب منكم
+
+320
+00:38:53,120 --> 00:38:56,460
+استخدام تعريف epsilon delta لإثبات أن الدالة هذه
+
+321
+00:38:56,460 --> 00:39:00,420
+مقتصرة على R فبتقول لأي epsilon أكبر من السفر
+
+322
+00:39:00,420 --> 00:39:05,060
+choose delta زي ما عملنا في section 4-1 في إثبات
+
+323
+00:39:05,060 --> 00:39:08,900
+أن limit للدالة هذه عن C بساوي C تربية
+
+324
+00:39:12,370 --> 00:39:18,470
+أو ممكن تقولي we should اذا ما طلبش منك استخدم
+
+325
+00:39:18,470 --> 00:39:23,590
+التعريف epsilon دلتا فبتقولي we should أثبتنا in
+
+326
+00:39:23,590 --> 00:39:33,970
+section أربع واحد that limit ل F of X لما X تقول
+
+327
+00:39:33,970 --> 00:39:42,230
+إلى C بساوي C تربية اللي هي F of Cحسب تعريف
+
+328
+00:39:42,230 --> 00:39:45,470
+الاتصال على النقطة بيطلع أي شرط تلاتة في واحد
+
+329
+00:39:45,470 --> 00:39:54,190
+متحقق وبالتاني if is continuous at c okay تمام
+
+330
+00:39:57,190 --> 00:40:00,230
+وطبعاً بما أن الـ C تنتمي الـ R was arbitrary إذن
+
+331
+00:40:00,230 --> 00:40:03,970
+الدالة F continuous على كل الـ R okay إذا دامت
+
+332
+00:40:03,970 --> 00:40:11,050
+ياندي إما نستخدم نتائج section 4-1 أو نعيد البرهان
+
+333
+00:40:11,050 --> 00:40:15,250
+باستخدام تعريف epsilon Delta زي ما عملنا في المثال
+
+334
+00:40:15,250 --> 00:40:22,770
+الأخير أو زي ما عملنا في section 4-1 الدالة كمان
+
+335
+00:40:22,770 --> 00:40:23,930
+عندي الدالة
+
+336
+00:40:32,140 --> 00:40:41,000
+لو أخدت five X بيساوي واحد على X فهذه الدالة is
+
+337
+00:40:41,000 --> 00:40:46,280
+continuous on ال set A
+
+338
+00:40:58,940 --> 00:41:04,860
+اللي هي كل ال X ينتمي إلى R حقيته X أكبر من السفر
+
+339
+00:41:04,860 --> 00:41:11,380
+فاحنا
+
+340
+00:41:11,380 --> 00:41:20,880
+أثبتنا في X C تنتمي إلى A هذا بقدر انه C أكبر من
+
+341
+00:41:20,880 --> 00:41:23,280
+سفر و أثبتنا
+
+342
+00:41:28,820 --> 00:41:35,560
+In section أربع
+
+343
+00:41:35,560 --> 00:41:44,320
+واحد ذات limit لـ function phi of x لما x تقول إلى
+
+344
+00:41:44,320 --> 00:41:52,240
+c بسوى واحد على c بسوى phi of c باستخدام تعريف
+
+345
+00:41:52,240 --> 00:41:58,070
+epsilon دلتا اما نعيدالبرهان هداك لأي epsilon في
+
+346
+00:41:58,070 --> 00:42:03,450
+ديلتا بساوي minimum لقمتين او نقول انه احنا اثبتنا
+
+347
+00:42:03,450 --> 00:42:06,890
+ان limit الدالة هدا عند اي عدد c موجد بساوي واحد
+
+348
+00:42:06,890 --> 00:42:12,590
+على c اللي هو قيمة الدالة عن c وبالتالي اذا الدالة
+
+349
+00:42:12,590 --> 00:42:19,830
+في is continuous at c بما ان ال c تنتمي ل a was
+
+350
+00:42:19,830 --> 00:42:26,450
+arbitrary اذا ال في continuousعلى المجموعة A
+
+351
+00:42:26,450 --> 00:42:30,370
+بالمثل
+
+352
+00:42:30,370 --> 00:42:35,050
+ممكن نثبت ان الدالة دي continuous كمان على
+
+353
+00:42:35,050 --> 00:42:44,530
+المجموعة B اللي هي كل ال X ينتمي ل R حيث X أصغر من
+
+354
+00:42:44,530 --> 00:42:48,990
+0 الدالة
+
+355
+00:42:48,990 --> 00:42:54,190
+دي متصلة عند كل الأعداد الحقيقية مع عدد 0فهي متصلة
+
+356
+00:42:54,190 --> 00:42:57,610
+عند الأعداد الحقيقية الموجبة وعند الأعداد الحقيقية
+
+357
+00:42:57,610 --> 00:43:07,950
+السالبة طيب
+
+358
+00:43:07,950 --> 00:43:13,370
+الدالة five
+
+359
+00:43:13,370 --> 00:43:19,950
+x نفسها برضه بساوي واحد على x is not is
+
+360
+00:43:19,950 --> 00:43:33,190
+discontinuousis discontinuous at c بساوي سفر proof
+
+361
+00:43:33,190 --> 00:43:39,090
+one الدالة
+
+362
+00:43:39,090 --> 00:43:44,530
+هذه ليست متصلة عند السفر فالبرهان ذلك ممكن نقول
+
+363
+00:43:44,530 --> 00:43:49,610
+أنه في في
+
+364
+00:43:52,850 --> 00:43:59,250
+is undefined is undefined is undefined is
+
+365
+00:43:59,250 --> 00:44:05,090
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+366
+00:44:05,090 --> 00:44:05,090
+is undefined is undefined is undefined is
+
+367
+00:44:05,090 --> 00:44:05,970
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+368
+00:44:05,970 --> 00:44:07,390
+is undefined is undefined is undefined is
+
+369
+00:44:07,390 --> 00:44:07,390
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+370
+00:44:07,390 --> 00:44:07,390
+is undefined is undefined is undefined is
+
+371
+00:44:07,390 --> 00:44:07,470
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+372
+00:44:07,470 --> 00:44:07,830
+is undefined is undefined is undefined is
+
+373
+00:44:07,830 --> 00:44:07,830
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+374
+00:44:07,830 --> 00:44:07,830
+is undefined is undefined is undefined is
+
+375
+00:44:07,830 --> 00:44:07,830
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+376
+00:44:07,830 --> 00:44:07,830
+is undefined is undefined is undefined is
+
+377
+00:44:07,830 --> 00:44:07,830
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+378
+00:44:07,830 --> 00:44:09,950
+is undefined is undefined is undefined is
+
+379
+00:44:09,950 --> 00:44:16,950
+undefined is undefined is undefined is undefined
+
+380
+00:44:18,990 --> 00:44:25,170
+can't be continuous at x بساوي سفر لأن عشان هي
+
+381
+00:44:25,170 --> 00:44:28,550
+تكون متصلة عند سفر لازم تلات شروط يتحققوا أنها
+
+382
+00:44:28,550 --> 00:44:32,790
+تكون أول chart معرفة عند السفر فده هي مش معرفة عند
+
+383
+00:44:32,790 --> 00:44:38,390
+السفر فكيف تلات شروط هيتحققوا هذا برهان تاني برهان
+
+384
+00:44:38,390 --> 00:44:45,850
+آخر ان ما احنا شوفنا we should
+
+385
+00:44:48,290 --> 00:44:52,870
+in section أربع
+
+386
+00:44:52,870 --> 00:44:57,990
+واحد أو أربع اتنين that
+
+387
+00:44:57,990 --> 00:45:08,290
+limit لفاي of x as x tends to zero does not exist
+
+388
+00:45:08,290 --> 00:45:12,850
+أثبتنا إن الـ function هذه ما لهاش limit عند السفر
+
+389
+00:45:15,830 --> 00:45:21,510
+فا استخدمنا ال divergence criterion ا شفنا ان هناك
+
+390
+00:45:21,510 --> 00:45:27,450
+sequence اللى هى واحد عال ان converge للسفر but
+
+391
+00:45:27,450 --> 00:45:34,690
+limit ال image لل sequence واحد على ان as n tends
+
+392
+00:45:34,690 --> 00:45:40,170
+to infinity بساوي limit in بساوي infinity does not
+
+393
+00:45:40,170 --> 00:45:47,950
+exist in Rوبالتالي by divergence criterion ال
+
+394
+00:45:47,950 --> 00:45:51,270
+function هذه مالهاش limit وبالتالي مش ممكن تكون
+
+395
+00:45:51,270 --> 00:46:02,990
+continuous so if I can't be continuous at x بساوي
+
+396
+00:46:02,990 --> 00:46:09,510
+سفر تمام؟ لأن واحد من الشروط التلاتة تبعت الاتصال
+
+397
+00:46:09,510 --> 00:46:12,650
+عن نقطة غير متحققة تمام؟
+
+398
+00:46:22,580 --> 00:46:28,520
+في كمان مثال أخدناه في section
+
+399
+00:46:28,520 --> 00:46:36,020
+4-1 الـ
+
+400
+00:46:36,020 --> 00:46:42,220
+signum function اللي
+
+401
+00:46:42,220 --> 00:46:52,050
+كان تعريفهابتساوي سفر if x بساوي سفر و x على
+
+402
+00:46:52,050 --> 00:47:00,370
+absolute x إذا كان x لا يساوي سفر is discontinuous
+
+403
+00:47:00,370 --> 00:47:09,170
+is discontinuous at x بساوي سفر why
+
+404
+00:47:18,170 --> 00:47:23,550
+لأنه اثبتنا احنا في section أربعة واحد انه limit ل
+
+405
+00:47:23,550 --> 00:47:31,490
+signum x لما x تقول إلى سفر does not exist
+
+406
+00:47:40,560 --> 00:47:43,240
+اللي هي ان ال limit لل signal function عند السفر
+
+407
+00:47:43,240 --> 00:47:46,580
+does not exist شوفنا ان ال limit من اليمين واحد
+
+408
+00:47:46,580 --> 00:47:50,020
+عند السفر و ال limit و ال limit عند السفر مليار
+
+409
+00:47:50,020 --> 00:47:53,340
+ساعة سالف واحد وبالتالي مش متساوي اتين اذا ال
+
+410
+00:47:53,340 --> 00:48:00,000
+limit عند السفر does not exist okay تمام اذا ال ال
+
+411
+00:48:00,000 --> 00:48:04,700
+function هذه ماهياش متصلة عند السفر لعدم نظرا لعدم
+
+412
+00:48:04,700 --> 00:48:10,970
+وجود ال limit عند السفررغم أن الدالة هذه معرفة عند
+
+413
+00:48:10,970 --> 00:48:17,310
+السفر، الـSignum للسفر هي معرفة عند السفر بساوي
+
+414
+00:48:17,310 --> 00:48:24,930
+سفر تمام؟
+
+415
+00:48:24,930 --> 00:48:30,710
+طيب، لكن ممكن اثبات أن الـSignum function متصلة
+
+416
+00:48:30,710 --> 00:48:32,850
+عند كل X لا يساوي سفر
+
+417
+00:48:45,100 --> 00:48:52,440
+However، الـ signum الـ signum function is
+
+418
+00:48:52,440 --> 00:48:59,280
+continuous at
+
+419
+00:48:59,280 --> 00:49:09,460
+every x لا يساوي سفر لأنه
+
+420
+00:49:22,230 --> 00:49:42,610
+proof fix c لا تنتمي لار وc لا يساوي ستة تمام then
+
+421
+00:49:42,610 --> 00:49:53,460
+absolute signum x minus signumالـ C بساوي absolute
+
+422
+00:49:53,460 --> 00:49:57,420
+X
+
+423
+00:49:57,420 --> 00:50:14,640
+على absolute X أو
+
+424
+00:50:14,640 --> 00:50:15,160
+بلاش
+
+425
+00:50:19,850 --> 00:50:26,730
+then ال limit ل sigma x
+
+426
+00:50:26,730 --> 00:50:34,390
+لما x تقول إلى c بساوي
+
+427
+00:50:34,390 --> 00:50:37,990
+لما
+
+428
+00:50:37,990 --> 00:50:43,670
+x تقول إلى c فهذا عبارة عن limit x على absolute x
+
+429
+00:50:43,670 --> 00:50:45,630
+لما x تقول إلى c
+
+430
+00:51:03,050 --> 00:51:08,750
+فده كانت ال X لا تساوي سفر فاما ال X موجة بقى أو
+
+431
+00:51:08,750 --> 00:51:12,890
+سالي بقى
+
+432
+00:51:12,890 --> 00:51:18,010
+then C أكبر من السفر or C أصغر من سفر
+
+433
+00:51:23,040 --> 00:51:27,120
+الـ C هتكون أكبر من السفر الـ C هنا لأ تساوي سفر
+
+434
+00:51:27,120 --> 00:51:33,240
+إذا أما C أكبر من السفر أو أصغر من السفر case one
+
+435
+00:51:33,240 --> 00:51:41,000
+لو كانت C أكبر من سفر فهذا بقد أنه limit signum X
+
+436
+00:51:41,000 --> 00:51:50,980
+as X tends to C بساوي limit X على absolute X
+
+437
+00:51:59,940 --> 00:52:05,660
+و طبعا ال X أكبر من ال
+
+438
+00:52:05,660 --> 00:52:11,860
+C أكبر من السفر ف absolute .. فهذا بيساوي واحد
+
+439
+00:52:11,860 --> 00:52:21,440
+بيساوي limit واحد as X tends to C بيساوي واحد
+
+440
+00:52:21,440 --> 00:52:32,490
+بيساوي F and Cأو signum C لأن
+
+441
+00:52:32,490 --> 00:52:40,050
+ال C موجبة فلما ال C تكون موجبة ف absolute ال C
+
+442
+00:52:40,050 --> 00:52:47,250
+بساوي ال C بطلع المخضر هذا بطلع واحدو بالتالي إذا
+
+443
+00:52:47,250 --> 00:52:57,970
+ال signal x is continuous at c case 2 إذا كانت ال
+
+444
+00:52:57,970 --> 00:53:11,210
+c أصغر من سفر ف similar to case 1 في
+
+445
+00:53:11,210 --> 00:53:17,600
+الحالة هذهقيمة ال function هتطلع سالب واحد عند c و
+
+446
+00:53:17,600 --> 00:53:22,820
+limit عند c هتطلع سالب واحد وبالتالي في اتصال عند
+
+447
+00:53:22,820 --> 00:53:26,320
+ال c إذا ال sign and function مش متصلة عند الصفر
+
+448
+00:53:26,320 --> 00:53:30,800
+لكنها متصلة عن كل الأعداد الحقيقية المختلفة عن
+
+449
+00:53:30,800 --> 00:53:37,910
+الصفرOkay بنكتفي بهذا القدر و بنكمل طبعا إن شاء
+
+450
+00:53:37,910 --> 00:53:44,390
+الله في المحاضرة القادمة هنعطيكم إن شاء الله break
+
+451
+00:53:44,390 --> 00:53:49,350
+خمس دقائق و بعدين نواصل المحاضرة التانية اللي
+
+452
+00:53:49,350 --> 00:53:56,090
+هناخد فيها discussion أو مناقشة لل chapter أربعة
+
+453
+00:53:56,090 --> 00:53:58,350
+section أربعة واحد و أربعة اتنين
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Ij2H9eVnog4.srt

@@ -0,0 +1,1471 @@
+1
+00:00:21,380 --> 00:00:26,860
+بسم الله الرحمن الرحيم اليوم هنكمل ... في الجزء
+
+2
+00:00:26,860 --> 00:00:31,720
+الأول من المحاضرة هنكمل section خمسة واحد و في 
+
+3
+00:00:31,720 --> 00:00:37,160
+الوقت المتبقي من المحاضرة هنعطي مجال لكم ل ...
+
+4
+00:00:37,160 --> 00:00:43,850
+لأسئلة على ال homework أو أسئلة في امتحانات سابقة،
+
+5
+00:00:43,850 --> 00:00:49,390
+ماشي الحال، فناخد ال ... في ... أخدنا المرة اللي
+
+6
+00:00:49,390 --> 00:00:56,930
+فاتت أمثلة على الاتصال ووقفنا عند المثال التالي
+
+7
+00:01:13,460 --> 00:01:31,840
+Let A be a subset of R and define f a function from 
+
+8
+00:01:31,840 --> 00:01:38,320
+R to R by f of x
+
+9
+00:01:41,550 --> 00:01:49,110
+بتساوي واحد إذا كان x is rational وبتساوي صفر إذا
+
+10
+00:01:49,110 --> 00:02:00,410
+كان x is irrational show
+
+11
+00:02:00,410 --> 00:02:09,570
+that show if f is discontinuous is discontinuous at
+
+12
+00:02:13,630 --> 00:02:21,890
+every x تنتمي إلى r إذا ال function هذه اللي
+
+13
+00:02:21,890 --> 00:02:27,310
+معرفها بالطريقة كما هو موضح على هذه ال function
+
+14
+00:02:27,310 --> 00:02:33,450
+بتكون discontinuous ليست متصلة عند أي x في R ليه
+
+15
+00:02:33,450 --> 00:02:34,930
+برهان ذلك proof
+
+16
+00:02:42,420 --> 00:02:50,400
+fix c تنتمي إلى R then
+
+17
+00:02:50,400 --> 00:02:57,220
+فما احنا عارفين ان ال real
+
+18
+00:02:57,220 --> 00:03:00,980
+numbers عبارة عن ال union disjoint union لل
+
+19
+00:03:00,980 --> 00:03:03,320
+rational numbers وال irrational numbers
+
+20
+00:03:09,680 --> 00:03:22,500
+then X أو C تنتمي إلى Q أو C تنتمي إلى R minus Q
+
+21
+00:03:22,500 --> 00:03:25,680
+إذا الـ C هذا إما هتكون rational number أو
+
+22
+00:03:25,680 --> 00:03:32,160
+irrational number الحالة الأولى case one لو كانت C
+
+23
+00:03:32,160 --> 00:03:33,180
+rational number
+
+24
+00:03:37,870 --> 00:03:49,730
+استخدم الـ Corollary to Density
+
+25
+00:03:49,730 --> 00:03:58,310
+Theorem لتختار
+
+26
+00:03:58,310 --> 00:04:01,830
+سيكوينس
+
+27
+00:04:01,830 --> 00:04:06,630
+XN من أعداد غير عقلية
+
+28
+00:04:19,740 --> 00:04:23,560
+أعتقد أننا اثبتنا حاجة زي هذه سابقا
+
+29
+00:04:28,770 --> 00:04:33,750
+حتى لو كان rational فby ال corollary النتيجة تبع
+
+30
+00:04:33,750 --> 00:04:38,630
+ال density theorem ممكن اثبات ان يوجد sequence of
+
+31
+00:04:38,630 --> 00:04:46,150
+irrationals ونهيتها العدد cلأ هذا حسب النتيجة تبع
+
+32
+00:04:46,150 --> 00:04:50,250
+ال density term لأن النتيجة هذه بتقول between any
+
+33
+00:04:50,250 --> 00:04:54,030
+two real numbers there is irrational او اي open
+
+34
+00:04:54,030 --> 00:04:58,990
+interval contains an irrational number فشوفنا احنا
+
+35
+00:04:58,990 --> 00:05:06,210
+البرهان بالتفصيل وبالتالي so نلاحظ
+
+36
+00:05:06,210 --> 00:05:14,530
+أنه ال limitل ... ال ... أو ال ... ال function قيمة
+
+37
+00:05:14,530 --> 00:05:21,230
+ال function f عند xn بيساوي ال xn is irrational و
+
+38
+00:05:21,230 --> 00:05:24,370
+من ال definition تبع ال function f عند اي
+
+39
+00:05:24,370 --> 00:05:30,310
+irrational بيساوي صفر هذا صحيح لكل n هذا بيقدي ان
+
+40
+00:05:30,310 --> 00:05:41,200
+ال limit ل f of xn as n tends to infinityبساوي
+
+41
+00:05:41,200 --> 00:05:44,140
+limit ثابت صفر بساوي صفر
+
+42
+00:05:49,060 --> 00:05:55,480
+وهذا لا يساوي واحد اللي هو f of c ال c rational
+
+43
+00:05:55,480 --> 00:06:00,360
+number ف f and c بيساوي واحد اذا هاي اندي انا
+
+44
+00:06:00,360 --> 00:06:05,940
+أثبتت ان يوجد sequence xn في المجال تبع الدولة
+
+45
+00:06:05,940 --> 00:06:11,340
+اللي هو R و ال sequence هذه converge ل c لكن ال
+
+46
+00:06:11,340 --> 00:06:16,660
+limit لل image لل sequence لا تساوي f of c اذا by
+
+47
+00:06:16,660 --> 00:06:22,490
+divergence criterionأو by discontinuity criterion
+
+48
+00:06:22,490 --> 00:06:28,450
+إذا by discontinuity
+
+49
+00:06:28,450 --> 00:06:32,690
+criterion if
+
+50
+00:06:32,690 --> 00:06:43,570
+f is discontinuous is discontinuous at C في
+
+51
+00:06:43,570 --> 00:06:47,750
+الحالة اللي هي C rational number في الحالة التانية
+
+52
+00:06:52,270 --> 00:07:01,110
+لو كان الـ c irrational number فممكن
+
+53
+00:07:01,110 --> 00:07:05,330
+نستخدم ال density theorem نفسها use density
+
+54
+00:07:05,330 --> 00:07:09,130
+theorem to
+
+55
+00:07:09,130 --> 00:07:13,710
+choose a
+
+56
+00:07:13,710 --> 00:07:21,280
+sequence x in contained of rational numbers
+
+57
+00:07:21,280 --> 00:07:23,760
+contained in Q يعني ال sequence هذه عناصرها
+
+58
+00:07:23,760 --> 00:07:30,440
+rational numbers بحيث انه ال limit لل sequence x
+
+59
+00:07:30,440 --> 00:07:36,260
+in as n tends to infinity بساوي c هذا أثبتناه في
+
+60
+00:07:36,260 --> 00:07:42,480
+المحاضرة السابقة وبالتالي
+
+61
+00:07:42,480 --> 00:07:43,920
+so
+
+62
+00:07:46,980 --> 00:07:52,620
+أنا عندي بما أنه ال Xn rationals ف F of Xn بتساوي
+
+63
+00:07:52,620 --> 00:08:00,280
+واحد لكل N هذا بيقدي انه limit ل F of Xn as N
+
+64
+00:08:00,280 --> 00:08:04,950
+tends to infinityبساوي limit ثابت واحد بطلع واحد
+
+65
+00:08:04,950 --> 00:08:12,710
+واحد لا يساوي صفر اللي هو ال image ل ال C ال C هنا
+
+66
+00:08:12,710 --> 00:08:17,170
+irrational و من ال definition of the function if
+
+67
+00:08:17,170 --> 00:08:21,730
+and irrational بساوي صفر اذا انا هنا اثبتت ان يوجد
+
+68
+00:08:21,730 --> 00:08:23,610
+sequence
+
+69
+00:08:25,710 --> 00:08:32,350
+في مجال الدالة نهايتها c لكن نهاية صورتها لا تساوي
+
+70
+00:08:32,350 --> 00:08:41,750
+صورة ال c كمان مرة hence by
+
+71
+00:08:41,750 --> 00:08:47,790
+discontinuity by
+
+72
+00:08:47,790 --> 00:08:50,150
+discontinuity criterion
+
+73
+00:08:52,890 --> 00:09:03,530
+الـ function f is discontinuous at c لأن بما أن c
+
+74
+00:09:03,530 --> 00:09:09,410
+was arbitrary فالـ function is discontinuous عن كل
+
+75
+00:09:09,410 --> 00:09:15,050
+real number c طبعا في الحالتين لأن هذا بكمل
+
+76
+00:09:15,050 --> 00:09:22,090
+البرهانة لأن هذه ال function هي function من R لRو
+
+77
+00:09:22,090 --> 00:09:26,950
+discontinuous ليست متصلة عند أي x فارق هذه ال
+
+78
+00:09:26,950 --> 00:09:31,030
+function لها اسم ومشهورة ومعروفة اسمها Dirichlet
+
+79
+00:09:31,030 --> 00:09:35,210
+function اذا
+
+80
+00:09:35,210 --> 00:09:41,110
+ال function هذه remark
+
+81
+00:09:41,110 --> 00:09:46,870
+the
+
+82
+00:09:46,870 --> 00:09:49,610
+above function
+
+83
+00:09:55,060 --> 00:10:03,000
+This function is well-known as
+
+84
+00:10:03,000 --> 00:10:10,040
+Dirichlet Dirichlet
+
+85
+00:10:10,040 --> 00:10:17,540
+دا عالم رياضيات Dirichlet's function أو Dirichlet
+
+86
+00:10:17,540 --> 00:10:20,000
+is a discontinuous function
+
+87
+00:10:25,450 --> 00:10:34,010
+This discontinuous function ده
+
+88
+00:10:34,010 --> 00:10:41,070
+اللي مهمة ويلها meta في ال real analysis okay تمام
+
+89
+00:10:41,070 --> 00:10:47,630
+طيب ناخد بعض الملاحظات واضح في أي سؤال واضح هنا
+
+90
+00:10:47,630 --> 00:10:49,750
+البرهن في أي سلسلة
+
+91
+00:11:06,590 --> 00:11:15,470
+طيب ناخد شوية remarks ال
+
+92
+00:11:15,470 --> 00:11:19,410
+remark
+
+93
+00:11:19,410 --> 00:11:27,290
+الأولى sometimes a
+
+94
+00:11:27,290 --> 00:11:34,590
+function خلينا احنا نرجع لل definition تبع الاتصال
+
+95
+00:11:34,590 --> 00:11:35,770
+عن النقطة definition
+
+96
+00:11:56,710 --> 00:12:04,230
+الشرط الثاني أن ال limitلأ F of X لما X تقول إلى C
+
+97
+00:12:04,230 --> 00:12:11,490
+exists و بساوي F of C اللي هو الشرط هذا هذا الشرط
+
+98
+00:12:11,490 --> 00:12:16,730
+سمنها تلاتة في واحد هذا يتضمن تلات شروط ال limit
+
+99
+00:12:16,730 --> 00:12:22,690
+and C exist F is defined at C و اتنين متساوين تلات
+
+100
+00:12:22,690 --> 00:12:28,970
+شروط الان لو اي واحد من التلات الشروط هدول اختل فال
+
+101
+00:12:28,970 --> 00:12:32,210
+function بتكونش continuous and النقطة c ف
+
+102
+00:12:32,210 --> 00:12:42,490
+sometimes the function can be discontinuous
+
+103
+00:12:42,490 --> 00:12:46,970
+at x بساوي c because
+
+104
+00:12:49,450 --> 00:13:06,610
+f is undefined is undefined at C لكن
+
+105
+00:13:06,610 --> 00:13:10,750
+أحيانا أخرى وفي الحالة اللي بقدرش أعمل حاجة بقدرش
+
+106
+00:13:10,750 --> 00:13:17,030
+أعمل حاجة however
+
+107
+00:13:20,670 --> 00:13:28,290
+لو كانت if ال limit لل function f of x as x tends
+
+108
+00:13:28,290 --> 00:13:39,010
+to c موجودة exists exists
+
+109
+00:13:39,010 --> 00:13:46,490
+and equals L ينتمي ل R ففي
+
+110
+00:13:46,490 --> 00:13:49,510
+الحالة هذه we can
+
+111
+00:13:53,080 --> 00:13:58,780
+we can define we
+
+112
+00:13:58,780 --> 00:14:09,440
+can define a function capital F من a اتحاد ال
+
+113
+00:14:09,440 --> 00:14:20,800
+singleton set C إلى R by capital F of X بساوي
+
+114
+00:14:20,800 --> 00:14:21,980
+العدد L
+
+115
+00:14:24,670 --> 00:14:32,970
+fx بتساوي c و بتساوي ال function f of x إذا كان ال
+
+116
+00:14:32,970 --> 00:14:44,530
+x ينتمي إلى a ولا يساوي c in this case in this
+
+117
+00:14:44,530 --> 00:14:54,830
+case the function capital F is continuous at x
+
+118
+00:14:54,830 --> 00:15:00,530
+بساوي c indeed
+
+119
+00:15:00,530 --> 00:15:07,490
+في حقيقة الأمر indeed في حقيقة الأمر تعالى نشوف
+
+120
+00:15:07,490 --> 00:15:14,630
+high limit capital f of x as x tends to c بساوي x
+
+121
+00:15:14,630 --> 00:15:19,510
+تقول ل c إذا ال x بالتأكيد بتسويش c لما x ما
+
+122
+00:15:19,510 --> 00:15:26,390
+بتسويش c يعني x and time ل aفcapital F هي نفسها
+
+123
+00:15:26,390 --> 00:15:35,430
+حسب تعريفها هي small f طب احنا فرضين ان ال limit ل
+
+124
+00:15:35,430 --> 00:15:41,150
+F of X exist و بساوي and C و بساوي L، إذن هذه تطلع
+
+125
+00:15:41,150 --> 00:15:43,070
+موجودة و بساوي L
+
+126
+00:15:46,940 --> 00:15:50,740
+و احنا من ال definition تبع ال function ال ال
+
+127
+00:15:50,740 --> 00:15:53,800
+ماخدينها هي عبارة عن قيمة ال function capital F
+
+128
+00:15:53,800 --> 00:16:00,180
+and C اذا هاي شرط الاتصال للدالة capital F and C
+
+129
+00:16:00,180 --> 00:16:10,320
+متحقق وبالتالي اذا capital F is continuous at C ال
+
+130
+00:16:10,320 --> 00:16:20,300
+function capital F the function capital F is called
+
+131
+00:16:20,300 --> 00:16:30,700
+a continuous extension
+
+132
+00:16:30,700 --> 00:16:36,980
+of
+
+133
+00:16:36,980 --> 00:16:43,900
+small f عبارة عن continuous extension يعني توسعة
+
+134
+00:16:43,900 --> 00:16:49,530
+متصلة توسعة متصلة لدالة small f لحظة انتوا هنا ان
+
+135
+00:16:49,530 --> 00:16:59,350
+الدالة capital F الدالة
+
+136
+00:16:59,350 --> 00:17:05,550
+capital F function من A union single to C إلى R
+
+137
+00:17:05,550 --> 00:17:11,810
+طبعا هنا C لا تنتمي إلى A وعندي small f هي function
+
+138
+00:17:11,810 --> 00:17:19,850
+من A إلى Rفلاحظوا ان ال function capital F لما
+
+139
+00:17:19,850 --> 00:17:28,250
+أعمل restriction لل domain تبعها على a فقط فهي نفس
+
+140
+00:17:28,250 --> 00:17:35,490
+f يعني لما اقيد او احصر الدولة capital F على 
+
+141
+00:17:35,490 --> 00:17:41,610
+المجموعة a فقط فهي نفس الـ F هي لكل x  capital F
+
+142
+00:17:41,610 --> 00:17:47,020
+هي small fالزيادة أن capital F معرفة عن C و F مش 
+
+143
+00:17:47,020 --> 00:17:51,720
+معرفة عن C فهذه الدالة capital F بنسميها توسعة على
+
+144
+00:17:51,720 --> 00:17:56,120
+small f التوسعة هذه متصلة عند النقطة C
+
+145
+00:17:59,220 --> 00:18:03,740
+تمام؟ إذا هذه أول ملاحظة إذا لو كانت الدالة مش 
+
+146
+00:18:03,740 --> 00:18:10,580
+معرفة لو كانت small f مش معرفة عن c لكن نهايتها عن
+
+147
+00:18:10,580 --> 00:18:15,580
+c موجودة وبالساوي عدد L فبقدر أعرف دالة جديدة
+
+148
+00:18:15,580 --> 00:18:20,080
+capital F اللي هي توسعة extension ل small f و ال
+
+149
+00:18:20,080 --> 00:18:24,640
+extension الدالة هذه اللي هي توسعة بتكون متصلة عند
+
+150
+00:18:24,640 --> 00:18:28,920
+الـ C اننا ناخد قيمتها عند الـ C بساوي قيمة ال
+
+151
+00:18:28,920 --> 00:18:36,540
+limit و عند النقاط ال A هي نفس small f لكن
+
+152
+00:18:36,540 --> 00:18:39,620
+الملاحظة الثانية
+
+153
+00:18:51,350 --> 00:18:55,490
+لو كانت الدالة .. ممكن تكون الدالة معرفة عن C
+
+154
+00:18:55,490 --> 00:19:03,670
+يعني هنا sometimes a
+
+155
+00:19:03,670 --> 00:19:09,670
+function g is discontinuous
+
+156
+00:19:09,670 --> 00:19:16,190
+a function g from A to R is discontinuous at C
+
+157
+00:19:19,590 --> 00:19:25,970
+بسبب و ال c ممكن تكون موجودة في a أو حتى لو مش 
+
+158
+00:19:25,970 --> 00:19:35,630
+موجودة في a is discontinuous at c because ال limit
+
+159
+00:19:35,630 --> 00:19:43,210
+ل g of x as x tends to c does not exist يعني ممكن 
+
+160
+00:19:43,210 --> 00:19:48,330
+ال g تكون معرفة and ال c لكن النهايتها عند الـ c مش 
+
+161
+00:19:48,330 --> 00:19:51,690
+موجودة فطبعا في الحالة دي ال function بتكون 
+
+162
+00:19:51,690 --> 00:19:57,830
+discontinuous at c وفي الحالة دي ماقدرش أعرف in
+
+163
+00:19:57,830 --> 00:20:08,410
+this case in this case we can't لا نستطيع we can't
+
+164
+00:20:08,410 --> 00:20:14,990
+define a continuous extension
+
+165
+00:20:23,400 --> 00:20:33,900
+ممكن مانقدرش نعرف continuous extension لال .. 
+
+166
+00:20:33,900 --> 00:20:42,000
+اللي هو capital G from A union singleton C إلى R
+
+167
+00:20:42,000 --> 00:20:45,820
+أو
+
+168
+00:20:45,820 --> 00:20:52,800
+we cannot define an extension and extension g من a
+
+169
+00:20:52,800 --> 00:21:02,520
+union c لr by g of x بساوي عدد
+
+170
+00:21:02,520 --> 00:21:11,400
+capital C if x بساوي c و بساوي g of x إذا كان x
+
+171
+00:21:11,400 --> 00:21:18,500
+ينتمي and
+
+172
+00:21:20,360 --> 00:21:25,060
+جي بي continuous at c
+
+173
+00:21:39,530 --> 00:21:44,470
+طبعا هنا الـ G باخدها عند C بيساوي capital C هاد
+
+174
+00:21:44,470 --> 00:21:50,550
+عيرنا ال number ع شوية و عند X بيساوي A لازم تساوي
+
+175
+00:21:50,550 --> 00:21:55,970
+G of X عشان تكون توسعة أو extension ل small g ف to
+
+176
+00:21:55,970 --> 00:22:05,990
+see this لبرهان ذلك to see this to see that such
+
+177
+00:22:05,990 --> 00:22:18,380
+G can't be continuous at c assume خلّيني
+
+178
+00:22:18,380 --> 00:22:25,200
+أعمل برهان بالتناقض assume on contrary assume on
+
+179
+00:22:25,200 --> 00:22:33,900
+contrary أن counter G is continuous at c then هذا
+
+180
+00:22:33,900 --> 00:22:40,660
+معناه أن ال limit ل capital G of X as X tends to C
+
+181
+00:22:40,660 --> 00:22:48,420
+بساوي capital G اللي
+
+182
+00:22:48,420 --> 00:22:56,380
+هي بساوي limit بتطلع
+
+183
+00:22:56,380 --> 00:23:06,900
+بساوي capital G of C بساوي capital C و هذه بتساوي
+
+184
+00:23:06,900 --> 00:23:11,700
+limit g of x لما x تقول ل c هي عبارة عن limit من
+
+185
+00:23:11,700 --> 00:23:18,320
+تعريف ال g limit g of x لما x تقول ل c لإن لما x
+
+186
+00:23:18,320 --> 00:23:22,960
+تقول ل c x بستويش ال c x بستويش ال c معناته x 
+
+187
+00:23:22,960 --> 00:23:29,600
+تنتمي ل a لإن g of x هي عبارة عن small g of x لإن
+
+188
+00:23:29,600 --> 00:23:32,260
+في الحالة هذه limit
+
+189
+00:23:34,430 --> 00:23:40,110
+إذا limit small g of x لما x تقولها c exist اه إذا
+
+190
+00:23:40,110 --> 00:23:46,110
+هذا بتطلع exist and equals c هي بالساوية c
+
+191
+00:23:46,110 --> 00:23:51,370
+contradiction هذا تناقض لإن احنا فرضين إن ال limit
+
+192
+00:23:51,370 --> 00:23:53,970
+ل g of x and c مش موجودة
+
+193
+00:23:58,090 --> 00:24:02,390
+لما تكون الدالة مش متصلة على النقطة لعدم وجود
+
+194
+00:24:02,390 --> 00:24:06,830
+نهايتها عند النقطة فماقدرش أعرف continuous
+
+195
+00:24:06,830 --> 00:24:15,610
+extension لدالة و النقطة C لأن هنا فرضنا أن هناك 
+
+196
+00:24:15,610 --> 00:24:19,030
+extension هذا ال extension مش ممكن يكون continuous
+
+197
+00:24:19,030 --> 00:24:23,050
+عند النقطة C لأنه لو كان continuous عند النقطة C
+
+198
+00:24:23,050 --> 00:24:27,750
+سيقدر ان الملمت الدالة small g and c exist وهذا
+
+199
+00:24:27,750 --> 00:24:34,830
+يتناقض مع الفرض تمام، هذا النوع من ال
+
+200
+00:24:34,830 --> 00:24:40,570
+discontinuity لما تكون الدالة discontinuous لعدم
+
+201
+00:24:42,160 --> 00:24:43,920
+لما تكون الدالة discontinuous
+
+202
+00:24:46,760 --> 00:24:51,500
+السبب في ذلك أنها مش معرفة عند النقطة C لكن نهيتها
+
+203
+00:24:51,500 --> 00:24:55,560
+موجودة عند الـ C فهذا النوع من ال discontinuity من
+
+204
+00:24:55,560 --> 00:25:00,360
+عدم الاتصال بنسميه removable يعني ممكن إزالته أو 
+
+205
+00:25:00,360 --> 00:25:05,300
+التخلص منه وهي فعلا اتخلصنا من عدم الاتصال للدالة 
+
+206
+00:25:05,300 --> 00:25:09,480
+small f and c بتعريف دالة capital F بالطريقة هذه
+
+207
+00:25:09,480 --> 00:25:12,670
+وشوفنا أن الدالة الجديدة continuous عند ال C إذا
+
+208
+00:25:12,670 --> 00:25:16,190
+هذا النوع من عدم الاتصال أو ال discontinuity is
+
+209
+00:25:16,190 --> 00:25:19,990
+called removable يمكن إزالته يمكن التخلص منه أما إذا
+
+210
+00:25:19,990 --> 00:25:25,610
+كانت الدالة discontinuous عند النقطة C لأن نهايتها
+
+211
+00:25:25,610 --> 00:25:30,050
+in C مش موجودة فهذا النوع من عدم الاتصال بنسميه
+
+212
+00:25:30,050 --> 00:25:34,950
+essential يعني أساسي لا يمكن التخلص منه زي ما شفنا 
+
+213
+00:25:34,950 --> 00:25:38,890
+في التحليل تحت okay تمام إن هذه أنواع ال
+
+214
+00:25:38,890 --> 00:25:42,570
+discontinuity ال discontinuity أو عدم الاتصال
+
+215
+00:25:42,570 --> 00:25:47,030
+نوعين نوع removable ممكن إزالته ممكن التخلص منه و
+
+216
+00:25:47,030 --> 00:25:55,210
+نوع ثاني essential أساسي لايمكن التخلص منه ممكن
+
+217
+00:25:55,210 --> 00:25:58,090
+ناخد بعض الأمثلة على ذلك
+
+218
+00:26:14,950 --> 00:26:21,050
+نأخد الـ function consider الـ
+
+219
+00:26:21,050 --> 00:26:28,750
+function g of x بتساوي sin واحد على x حيث x لا
+
+220
+00:26:28,750 --> 00:26:31,970
+يساوي صفر طبعا احنا شفنا 
+
+221
+00:26:35,380 --> 00:26:41,220
+في مثال صادق أن limit g of x as x tends to zero
+
+222
+00:26:41,220 --> 00:26:46,880
+does not exist limit
+
+223
+00:26:46,880 --> 00:26:57,520
+الدالة هذه غير موجودة وبالتالي
+
+224
+00:26:57,520 --> 00:27:04,540
+كمان برضه كمان الدالة برضه جي عند صفر مش معرفة إذا
+
+225
+00:27:04,540 --> 00:27:17,220
+.. اذا in this case we can't .. we can't
+
+226
+00:27:17,220 --> 00:27:28,580
+.. we can't define a continuous extension
+
+227
+00:27:30,680 --> 00:27:41,180
+of small g at الصفر هذا النوع الثاني من ال
+
+228
+00:27:41,180 --> 00:27:47,520
+discontinuity لكن لو أخدت دالة زي هذه 
+
+229
+00:27:59,300 --> 00:28:11,080
+لو أخدت f of x بساوي x في ال sign واحد على x فطبعا 
+
+230
+00:28:11,080 --> 00:28:16,220
+هنا و x لا يساوي صفر فطبعا واضح أن f عند الصفر is
+
+231
+00:28:16,220 --> 00:28:17,240
+undefined
+
+232
+00:28:20,560 --> 00:28:26,040
+الـ limit شوفنا أنه limit ل f of x لما x تقول ل 0
+
+233
+00:28:26,040 --> 00:28:30,520
+by squeeze theorem أثبتنا باستخدام squeeze theorem
+
+234
+00:28:30,520 --> 00:28:38,100
+أن limit هذه بيساوي 0 exist بساوي 0 طبعا إذا هنا
+
+235
+00:28:38,100 --> 00:28:47,020
+f is discontinuous discontinuous at x بساوي 0 لإن
+
+236
+00:28:47,020 --> 00:28:51,920
+أنا مش معرف عند الصفر لكن بما ان ال limit تبقى عند
+
+237
+00:28:51,920 --> 00:28:58,320
+الصفر موجودة we can define
+
+238
+00:28:58,320 --> 00:29:07,320
+a continuous extension of
+
+239
+00:29:07,320 --> 00:29:11,220
+f at صفر as follows
+
+240
+00:29:14,800 --> 00:29:21,980
+فعندي capital F of X بنعرفها على أنها بالساوى
+
+241
+00:29:21,980 --> 00:29:26,040
+الصفر اللي هو limit لل function عند الصفر إذا كان
+
+242
+00:29:26,040 --> 00:29:34,960
+ال X بساوي الصفر و بالساوى small f of X إذا كان X
+
+243
+00:29:34,960 --> 00:29:42,260
+تنتمي ل domain الدالة اللي هو اللي هو ر مع ده صفر ر
+
+244
+00:29:42,260 --> 00:29:48,760
+مع ده صفر مش هذا هو ال domain تبع الدالة الانف
+
+245
+00:29:48,760 --> 00:29:58,000
+دالة if now you can verify أن
+
+246
+00:29:58,000 --> 00:30:05,040
+capital F is continuous is continuous at x بساوي
+
+247
+00:30:05,040 --> 00:30:12,580
+صفر بينما small f is not continuous از صفر حيا
+
+248
+00:30:12,580 --> 00:30:17,220
+عندي limit capital 
+
+249
+00:30:17,220 --> 00:30:23,560
+F of X as X tends to zero بساوي لما X ساوي للصفر X 
+
+250
+00:30:23,560 --> 00:30:29,800
+بساويش صفر لما X ماتساويش صفر ف capital F هي small f
+
+251
+00:30:32,400 --> 00:30:37,700
+و limit small f بتساوي صفر اللي هي capital F معرفة 
+
+252
+00:30:37,700 --> 00:30:43,620
+عند الصفر okay إذا هي شرط الاتصال عند الصفر متحقق 
+
+253
+00:30:43,620 --> 00:30:48,740
+وبالتالي capital F متصلة عند الصفر okay تمام هفهم 
+
+254
+00:30:48,740 --> 00:30:54,740
+okay بنوقف هنا و نتيح الآن المجال لكم إذا كان في 
+
+255
+00:30:54,740 --> 00:30:58,920
+عندكم أي أسئلة بخصوص ال homework أو الامتحان 
+
+256
+00:30:58,920 --> 00:31:03,560
+النصفي اللي هناخده بكرا إن شاء الله في عندكم أي
+
+257
+00:31:03,560 --> 00:31:11,680
+سؤال أو استفسار؟ في حد عنده أي سؤال؟
+
+258
+00:31:11,680 --> 00:31:24,080
+في
+
+259
+00:31:24,080 --> 00:31:29,970
+أي سؤال؟ أي سؤال؟ دكتور أنا ممكن استخدم limit ال K
+
+260
+00:31:29,970 --> 00:31:33,830
+لما ال X تقول ال C و سوى K و limit ال X لما ال X 
+
+261
+00:31:33,830 --> 00:31:38,490
+تقول ال C و سوى C ممكن استخدمهم أنا بحثت صح صح لأن 
+
+262
+00:31:38,490 --> 00:31:42,490
+هذه صارت حاجات ال trivial و يعني اثبتناها إلا ده
+
+263
+00:31:42,490 --> 00:31:47,150
+طول منك اثبتها باستخدام تعريف epsilon دلت اكيد أي
+
+264
+00:31:47,150 --> 00:31:53,810
+سؤال بدك ممكن الثاني الثاني اللي مش محلول اه اللي
+
+265
+00:31:53,810 --> 00:31:54,830
+مش محلول نعم
+
+266
+00:32:04,200 --> 00:32:13,180
+طيب suppose question suppose
+
+267
+00:32:13,180 --> 00:32:25,460
+أن xn أكبر من أو يساوي صفر لكل n في n and .. and ال
+
+268
+00:32:25,460 --> 00:32:25,820
+limit
+
+269
+00:32:28,550 --> 00:32:34,910
+لسالب واحد أس n في xn ال sequence هذه لما n تقول
+
+270
+00:32:34,910 --> 00:32:46,590
+ل infinity بساوي x ينتمي إلى r show أن ال limit ل
+
+271
+00:32:46,590 --> 00:32:56,630
+xn لما n تقول ل infinity بساوي صفر فضلي
+
+272
+00:33:21,960 --> 00:33:28,720
+فنشوف الآن أنا عندي ال limit لل sequence للحد 
+
+273
+00:33:28,720 --> 00:33:33,900
+العام تبعها سالب واحد قوّة ان في x in لما ان تقول
+
+274
+00:33:33,900 --> 00:33:44,020
+infinity بساوي x اذا ان and السالب واحد قوّة اتنين N
+
+275
+00:33:44,020 --> 00:33:52,460
+في X اتنين N هذه عبارة عن subsequence subsequence
+
+276
+00:33:52,460 --> 00:33:58,540
+of السيكوانس الحد العام تبعها السالب واحد قوّة N X
+
+277
+00:33:58,540 --> 00:34:07,730
+X N هذه subsequence خط الحدود الزوجية صح؟ طيب ال
+
+278
+00:34:07,730 --> 00:34:12,950
+subsequence هذه هي الحد العام تبعها x اتنين n
+
+279
+00:34:12,950 --> 00:34:16,890
+مفروض converge خلّينا احنا في نظرية ان كانت ال
+
+280
+00:34:16,890 --> 00:34:21,350
+sequence convergent ل x فأي subsequence منها بتكون 
+
+281
+00:34:21,350 --> 00:34:27,810
+convergent لنفس الـ x تمام؟ في نفس الوجود
+
+282
+00:34:38,530 --> 00:34:44,370
+في نفس الوقت الـ sequence سالب واحد أس اتنين in
+
+283
+00:34:44,370 --> 00:34:48,750
+سالب واحد في
+
+284
+00:34:48,750 --> 00:34:56,810
+x أس اتنين in سالب واحد هذا عبارة عن sub sequence من
+
+285
+00:34:56,810 --> 00:35:02,070
+الـ sequence الأصلي المعطاة اللي هي الحد العام
+
+286
+00:35:02,070 --> 00:35:07,020
+تبعها سالب واحد to the int x in يعني أنا أخذت هنا
+
+287
+00:35:07,020 --> 00:35:10,680
+الحدود الفردية من الـ sequence هذه طبعا هذه أكيد
+
+288
+00:35:10,680 --> 00:35:17,600
+subsequence فالحد العام هذا عبارة عن سالب X أس اتنين
+
+289
+00:35:17,600 --> 00:35:23,140
+in سالب واحد الآن الـ subsequence هذه المفروض أنها
+
+290
+00:35:23,140 --> 00:35:28,180
+converge إلى X لأن الـ sequence الأصلية convergent
+
+291
+00:35:28,180 --> 00:35:34,560
+لـ X تمام؟ إذا أنا في عندي هنا limit
+
+292
+00:35:38,370 --> 00:35:46,990
+x أس اتنين n سالب واحد بساوي سالب x لأن limit سالب الـ
+
+293
+00:35:46,990 --> 00:35:53,070
+sequence هذه بساوي x إذا أضربها في سالب واحد طبعا
+
+294
+00:35:53,070 --> 00:36:02,030
+ونأخذ من هنا من هناك limit x أس اتنين n لما n تؤول
+
+295
+00:36:02,030 --> 00:36:05,810
+to infinity بساوي
+
+296
+00:36:05,810 --> 00:36:06,190
+x
+
+297
+00:36:17,310 --> 00:36:28,710
+نِجمعهم؟ لا لا ما نجمعهمش الناس ما
+
+298
+00:36:28,710 --> 00:36:29,450
+بنجمعهم
+
+299
+00:36:37,410 --> 00:36:42,950
+ما بنجمع مش عاملين نجمع الآن في عندي أنا لحظة أنت 
+
+300
+00:36:42,950 --> 00:36:50,530
+عندك من الفرض xn أكبر من أو يساوي صفر لكل n في n
+
+301
+00:36:55,480 --> 00:37:03,280
+فبالتالي إذا x2n سالب واحد أكبر من أو يساوي صفر لكل n
+
+302
+00:37:03,280 --> 00:37:15,820
+وكذلك x2n برضه أكبر من أو يساوي صفر لكل n صح؟ أصحبت؟
+
+303
+00:37:15,820 --> 00:37:22,240
+وبالتالي إذا الـ limit لـ x2n سالب واحد تطلع أكبر من
+
+304
+00:37:22,240 --> 00:37:30,430
+أو يساوي صفر والـ limit لـ x2n تطلع أكبر من أو يساوي
+
+305
+00:37:30,430 --> 00:37:34,890
+صفر هذه نظرية أخذناها صح؟ أخذناها نظرية بتقول لو
+
+306
+00:37:34,890 --> 00:37:38,550
+كانت الـ sequence كل حدودها غير سالبة والـ limit
+
+307
+00:37:38,550 --> 00:37:44,330
+تبعها exist فالـ limit تبعها تطلع غير سالبة صح؟
+
+308
+00:37:44,330 --> 00:37:50,750
+فالـ limit هنا هي حسبناها سالب x والـ limit هنا
+
+309
+00:37:50,750 --> 00:37:59,060
+طلعت x إذا أنا في عندي سالب X أكبر من أو يساوي صفر
+
+310
+00:37:59,060 --> 00:38:06,420
+and X أكبر من أو يساوي صفر هذا بيؤدي إلى أن X أصغر من
+
+311
+00:38:06,420 --> 00:38:13,680
+أو يساوي صفر and X أكبر من أو يساوي صفر هذا بيؤدي إلى أن
+
+312
+00:38:13,680 --> 00:38:15,040
+X بساوي صفر
+
+313
+00:38:19,470 --> 00:38:23,930
+ما يعني x أصغر من 0 وأكبر من 0 يعني x أصغر من 0
+
+314
+00:38:23,930 --> 00:38:27,470
+العدد الوحيد اللي بيمتلك الخاصيتين هدول في نفس
+
+315
+00:38:27,470 --> 00:38:34,090
+الوقت هو 0 إذا أنا أثبتت أن الـ limit لـ الـ
+
+316
+00:38:34,090 --> 00:38:37,550
+sequence
+
+317
+00:38:37,550 --> 00:38:42,870
+أثبتت
+
+318
+00:38:42,870 --> 00:38:44,170
+أن x أصغر من 0
+
+319
+00:38:47,480 --> 00:38:52,500
+طبعا احنا ما أثبتناش لحد الآن أن الـ limit للـ
+
+320
+00:38:52,500 --> 00:38:59,260
+sequence إن أنا عندي .. إذا أنا أصبح عندي لأن الـ
+
+321
+00:38:59,260 --> 00:39:05,920
+limit للـ sequence سالب واحد أس n في xn لما n تؤول
+
+322
+00:39:05,920 --> 00:39:13,090
+to infinity طلعت بساوي صفر وبالتالي هذا بيؤدي في
+
+323
+00:39:13,090 --> 00:39:25,710
+exercise أخذناه بيقول إذا كان if
+
+324
+00:39:25,710 --> 00:39:34,750
+limit xn as n tends to infinity بيساوي 7 then
+
+325
+00:39:34,750 --> 00:39:42,200
+limit absolute xn as n tends to infinity بيساوي صفر
+
+326
+00:39:42,200 --> 00:39:48,200
+والعكس كمان فباستخدام الـ exercise هذا هذا بيؤدي
+
+327
+00:39:48,200 --> 00:39:54,600
+إلى أن limit absolute سالب واحد أس n في xn as n
+
+328
+00:39:54,600 --> 00:39:58,660
+tends to infinity بيساوي
+
+329
+00:39:58,660 --> 00:40:01,260
+صفر اللي هو بيساوي limit
+
+330
+00:40:11,310 --> 00:40:15,930
+أنا مش عارف أنا ليش رفضت إن نجمع مش هو عبارة الـ
+
+331
+00:40:15,930 --> 00:40:21,010
+XN هي عبارة عن حدود زوجية وفردية لو جمعناهم بدون
+
+332
+00:40:21,010 --> 00:40:22,370
+الـ N مش sequence
+
+333
+00:40:30,350 --> 00:40:37,410
+هذا تفكير ضحل مع احترام طبعا لسؤالك هاي عندك أنت 
+
+334
+00:40:37,410 --> 00:40:46,250
+هاي
+
+335
+00:40:46,250 --> 00:40:54,950
+عندك sequence مثلا هاي الـ sequence سالب واحد أس
+
+336
+00:40:54,950 --> 00:40:55,710
+اتنين in
+
+337
+00:40:59,480 --> 00:41:07,080
+حدودها واحد واحد إلى آخرها صح؟ هتلاحظ؟ وسالب واحد
+
+338
+00:41:07,080 --> 00:41:15,380
+أس اتنين in سالب واحد حدودها سالب واحد تمام؟
+
+339
+00:41:15,380 --> 00:41:23,480
+لما أجمعهم add أجمعهم فهي الـ sequence الأول إن هي
+
+340
+00:41:23,480 --> 00:41:30,690
+زائد الـ sequence التانية لما بجمعهم بجمع الحد الأول
+
+341
+00:41:30,690 --> 00:41:34,610
+على الأول التاني على التاني وهكذا صح؟ إيش هيطلع
+
+342
+00:41:34,610 --> 00:41:41,090
+عندك؟ صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر
+
+343
+00:41:41,090 --> 00:41:43,030
+صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر
+
+344
+00:41:43,030 --> 00:41:46,190
+صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر
+
+345
+00:41:46,190 --> 00:41:51,350
+صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر
+
+346
+00:41:51,350 --> 00:41:53,750
+صفر ص
+
+347
+00:42:00,230 --> 00:42:07,010
+المشكلة عندك إنك بتقول X sequence XN ممكن تعتبرها
+
+348
+00:42:07,010 --> 00:42:15,250
+عبارة عن مجموعة sub sequence X2N زائد sub sequence
+
+349
+00:42:15,250 --> 00:42:24,310
+X2N-1 هذا غلط هذا غلط ليس صحيح وهي مثال واضح خطأ
+
+350
+00:42:24,310 --> 00:42:30,270
+okay تمام؟ في أي أسئلة تانية لو سمحتوا؟ مين عندها
+
+351
+00:42:30,270 --> 00:42:44,050
+سؤال تاني؟ ما لديها سؤال؟ في عندكم أسئلة؟ تمام؟
+
+352
+00:42:44,050 --> 00:42:50,950
+مش مقتنعة أه؟ هات مثال هي قدامك أمامك افحص المثال
+
+353
+00:42:50,950 --> 00:42:56,510
+كويس هتقتنعي لكلامك صح لأن هذا المجموع بساوي
+
+354
+00:42:56,510 --> 00:43:03,010
+سالب واحد أصلا صح ليش
+
+355
+00:43:03,010 --> 00:43:10,730
+أسئلة تانية عندكم سؤال تسعة
+
+356
+00:43:10,730 --> 00:43:14,890
+أربعة
+
+357
+00:43:14,890 --> 00:43:20,710
+واحد سؤال
+
+358
+00:43:20,710 --> 00:43:26,430
+تسعة الفرع ديهذا شبيه بالأفراد التانية، بيديك يعني
+
+359
+00:43:26,430 --> 00:43:30,570
+تحاول .. أنا وصلت إن الـ absolute لـ 2x نفس الواحد
+
+360
+00:43:30,570 --> 00:43:33,950
+على 2 absolute الـ x زائد الواحد، لأن كل الـ answer
+
+361
+00:43:33,950 --> 00:43:37,190
+اللي فاتت كان ما يكونش .. ما يكونش إيش في الـ bust
+
+362
+00:43:37,190 --> 00:43:42,950
+يعني، أنا أجيب ��لاقة الـ x زائد الواحد يعني delta
+
+363
+00:43:42,950 --> 00:43:45,650
+في النهاية هتكون هي الـ minimum لـ .. لـ .. لقيم
+
+364
+00:43:45,650 --> 00:43:47,070
+تانية لقيم تانية، لأن مثلا أنا مش عارفة ..
+
+365
+00:43:47,070 --> 00:43:52,290
+ما طلعتيش؟ أنا مش عارفة القيمة التانية، يعني عرفت
+
+366
+00:43:52,290 --> 00:43:53,010
+القيمة الأولى
+
+367
+00:44:00,180 --> 00:44:05,940
+نعم طيب عشان بس الـ .. الـ .. الوقت يعني انتهى خلينا
+
+368
+00:44:05,940 --> 00:44:13,320
+نقول إن يعني نوقف هنا وهيك المحاضرة بتكون انتهت 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Ij2H9eVnog4_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1472 @@
+1
+00:00:21,380 --> 00:00:26,860
+بسم الله الرحمن الرحيم اليوم هنكمل .. في الجزء
+
+2
+00:00:26,860 --> 00:00:31,720
+الأول من المحاضرة هنكمل section خمسة واحد و في
+
+3
+00:00:31,720 --> 00:00:37,160
+الوقت المتبقي من المحاضرة هنعطي مجال لكم ل ..
+
+4
+00:00:37,160 --> 00:00:43,850
+لأسئلة على ال homework أوأسلة في امتحانات سابقة،
+
+5
+00:00:43,850 --> 00:00:49,390
+ماشي الحال، فناخد ال .. في .. أخدنا المرة اللي
+
+6
+00:00:49,390 --> 00:00:56,930
+فاتت أمثلة على الاتصال ووقفنا عند المثال التالي
+
+7
+00:01:13,460 --> 00:01:31,840
+لتألي subset of R and define f function from
+
+8
+00:01:31,840 --> 00:01:38,320
+R to R by f of x
+
+9
+00:01:41,550 --> 00:01:49,110
+بتساوي واحد إذا كان x is rational وبتساوي سفر إذا
+
+10
+00:01:49,110 --> 00:02:00,410
+كان x is irrational show
+
+11
+00:02:00,410 --> 00:02:09,570
+that show if is discontinuous is discontinuous at
+
+12
+00:02:13,630 --> 00:02:21,890
+every x تنتمي إلى r إذا ال function هذه اللي
+
+13
+00:02:21,890 --> 00:02:27,310
+معرفها بالطريقة كما هو موضح على هذه ال function
+
+14
+00:02:27,310 --> 00:02:33,450
+بتكون discontinuous ليست متصلة عند أي x في R ليه
+
+15
+00:02:33,450 --> 00:02:34,930
+برهان ذلك proof
+
+16
+00:02:42,420 --> 00:02:50,400
+fix C تنتمي إلى R then
+
+17
+00:02:50,400 --> 00:02:57,220
+فما احنا عارفين ان ال real
+
+18
+00:02:57,220 --> 00:03:00,980
+numbers عبارة عن ال union disjoint union لل
+
+19
+00:03:00,980 --> 00:03:03,320
+rational numbers وال irrational numbers
+
+20
+00:03:09,680 --> 00:03:22,500
+then X أو C تنتمي إلى Q أو C تنتمي إلى R minus Q
+
+21
+00:03:22,500 --> 00:03:25,680
+إذا الـ C هذا إما هتكون rational number أو
+
+22
+00:03:25,680 --> 00:03:32,160
+irrational number الحالة الأولى case one لو كانت C
+
+23
+00:03:32,160 --> 00:03:33,180
+rational number
+
+24
+00:03:37,870 --> 00:03:49,730
+استخدم الـ Corollary to Density
+
+25
+00:03:49,730 --> 00:03:58,310
+Theorem لتختار
+
+26
+00:03:58,310 --> 00:04:01,830
+سيكوينس
+
+27
+00:04:01,830 --> 00:04:06,630
+XN من أعداد غير عقلية
+
+28
+00:04:19,740 --> 00:04:23,560
+اعتقد ان احنا اثبتنا حاجة زي هذه سابقا
+
+29
+00:04:28,770 --> 00:04:33,750
+حتى لو كان rational فby ال corollary النتيجة تبع
+
+30
+00:04:33,750 --> 00:04:38,630
+ال density theorem ممكن اثبات ان يوجد sequence of
+
+31
+00:04:38,630 --> 00:04:46,150
+irrationals ونهيتها العدد cلأ هذا حسب النتيجة تبع
+
+32
+00:04:46,150 --> 00:04:50,250
+ال density term لأن النتيجة هذه بتقول between any
+
+33
+00:04:50,250 --> 00:04:54,030
+two real numbers there is irrational او اي open
+
+34
+00:04:54,030 --> 00:04:58,990
+interval contains an irrational number فشوفنا احنا
+
+35
+00:04:58,990 --> 00:05:06,210
+البرهان بالتفصيل وبالتالي so نلاحظ
+
+36
+00:05:06,210 --> 00:05:14,530
+انه ال limitل .. ال .. او ال .. ال function قيمة
+
+37
+00:05:14,530 --> 00:05:21,230
+ال function f عند xn بيساوي ال xn is irrational و
+
+38
+00:05:21,230 --> 00:05:24,370
+من ال definition تبع ال function f عند اي
+
+39
+00:05:24,370 --> 00:05:30,310
+irrational بيساوي سفر هذا صحيح لكل n هذا بيقدي ان
+
+40
+00:05:30,310 --> 00:05:41,200
+ال limit ل f of xn as n tends to infinityبساوي
+
+41
+00:05:41,200 --> 00:05:44,140
+limit ثابت سفر بساوي سفر
+
+42
+00:05:49,060 --> 00:05:55,480
+وهذا لا يساوي واحد اللي هو f of c ال c rational
+
+43
+00:05:55,480 --> 00:06:00,360
+number ف f and c بيساوي واحد اذا هاي اندي انا
+
+44
+00:06:00,360 --> 00:06:05,940
+اثبتت ان يوجد sequence xn في المجال تبع الدولة
+
+45
+00:06:05,940 --> 00:06:11,340
+اللي هو R و ال sequence هذه converge ل c لكن ال
+
+46
+00:06:11,340 --> 00:06:16,660
+limit لل image لل sequence لا تساوي f of c اذا by
+
+47
+00:06:16,660 --> 00:06:22,490
+divergence criterionأو by discontinuity criterion
+
+48
+00:06:22,490 --> 00:06:28,450
+اذا by discontinuity
+
+49
+00:06:28,450 --> 00:06:32,690
+criterion if
+
+50
+00:06:32,690 --> 00:06:43,570
+is discontinuous is discontinuous at C في
+
+51
+00:06:43,570 --> 00:06:47,750
+الحالة اللي هي C rational number في الحالة التانية
+
+52
+00:06:52,270 --> 00:07:01,110
+لو كان الـ c irrational number فممكن
+
+53
+00:07:01,110 --> 00:07:05,330
+نستخدم ال density theorem نفسها use density
+
+54
+00:07:05,330 --> 00:07:09,130
+theorem to
+
+55
+00:07:09,130 --> 00:07:13,710
+choose a
+
+56
+00:07:13,710 --> 00:07:21,280
+sequence x in containedof rational numbers
+
+57
+00:07:21,280 --> 00:07:23,760
+contained in Q يعني ال sequence هذه عناصرها
+
+58
+00:07:23,760 --> 00:07:30,440
+rational numbers بحيث انه ال limit لل sequence x
+
+59
+00:07:30,440 --> 00:07:36,260
+in as n tends to infinity بساوي c هذا أثبتناه في
+
+60
+00:07:36,260 --> 00:07:42,480
+المحاضرة السابقة وبالتالي
+
+61
+00:07:42,480 --> 00:07:43,920
+so
+
+62
+00:07:46,980 --> 00:07:52,620
+أنا عندي بما أنه ال Xn rationals ف F of Xn بتساوي
+
+63
+00:07:52,620 --> 00:08:00,280
+واحد لكل N هذا بيقدي انه limit ل F of Xn as N
+
+64
+00:08:00,280 --> 00:08:04,950
+tends to infinityبساوي limit ثابت واحد بطلع واحد
+
+65
+00:08:04,950 --> 00:08:12,710
+واحد لا يساوي سفر اللي هو ال image ل ال C ال C هنا
+
+66
+00:08:12,710 --> 00:08:17,170
+irrational و من ال definition of the function if
+
+67
+00:08:17,170 --> 00:08:21,730
+and irrational بساوي سفر اذا انا هنا اثبتت ان يوجد
+
+68
+00:08:21,730 --> 00:08:23,610
+sequence
+
+69
+00:08:25,710 --> 00:08:32,350
+في مجال الدالة نهايتها c لكن نهاية صورتها لا تساوي
+
+70
+00:08:32,350 --> 00:08:41,750
+صورة ال c كمان مرة hence by
+
+71
+00:08:41,750 --> 00:08:47,790
+discontinuity by
+
+72
+00:08:47,790 --> 00:08:50,150
+discontinuity criterion
+
+73
+00:08:52,890 --> 00:09:03,530
+الـ function f is discontinuous at c لأن بما أن c
+
+74
+00:09:03,530 --> 00:09:09,410
+was arbitrary فالـ function is discontinuous عن كل
+
+75
+00:09:09,410 --> 00:09:15,050
+real number c طبعا في الحالتين لأن هذا بكمل
+
+76
+00:09:15,050 --> 00:09:22,090
+البرهانة لأن هذه ال function هي function من R لRو
+
+77
+00:09:22,090 --> 00:09:26,950
+discontinuous ليست متصلة عند أي x فارق هذه ال
+
+78
+00:09:26,950 --> 00:09:31,030
+function لها اسم ومشهورة ومعروفة اسمها Dirichlet
+
+79
+00:09:31,030 --> 00:09:35,210
+function اذا
+
+80
+00:09:35,210 --> 00:09:41,110
+ال function هذه remark
+
+81
+00:09:41,110 --> 00:09:46,870
+the
+
+82
+00:09:46,870 --> 00:09:49,610
+above function
+
+83
+00:09:55,060 --> 00:10:03,000
+function is well-known as
+
+84
+00:10:03,000 --> 00:10:10,040
+Dirichlet Dirichlet
+
+85
+00:10:10,040 --> 00:10:17,540
+دا عالم رياضيات Dirichlet is function او Dirichlet
+
+86
+00:10:17,540 --> 00:10:20,000
+is discontinuous function
+
+87
+00:10:25,450 --> 00:10:34,010
+this continuous function ده
+
+88
+00:10:34,010 --> 00:10:41,070
+اللي مهمة ويلها meta في ال real analysis okay تمام
+
+89
+00:10:41,070 --> 00:10:47,630
+طيب ناخد بعض الملاحظات واضح في أي سؤال واضح هنا
+
+90
+00:10:47,630 --> 00:10:49,750
+البرهن في أي سلسلة
+
+91
+00:11:06,590 --> 00:11:15,470
+طيب ناخد شوية remarks ال
+
+92
+00:11:15,470 --> 00:11:19,410
+remark
+
+93
+00:11:19,410 --> 00:11:27,290
+الأولى sometimes a
+
+94
+00:11:27,290 --> 00:11:34,590
+function خلينا احنا نرجع لل definition تبع الاتصال
+
+95
+00:11:34,590 --> 00:11:35,770
+عن النقطة definition
+
+96
+00:11:56,710 --> 00:12:04,230
+الشرط التاني ان ال limitلأ F of X لما X تقول إلى C
+
+97
+00:12:04,230 --> 00:12:11,490
+exist و بساوي F of C اللي هو الشرط هذا هذا الشرط
+
+98
+00:12:11,490 --> 00:12:16,730
+سمنها تلاتة في واحد هذا يتضمن تلات شروط ال limit
+
+99
+00:12:16,730 --> 00:12:22,690
+and C exist F is defined at C و اتنين متساوين تلات
+
+100
+00:12:22,690 --> 00:12:28,970
+شروطالان لو اي واحد من التلات الشروط هدول اختل فال
+
+101
+00:12:28,970 --> 00:12:32,210
+function بتكونش continuous and النقطة c ف
+
+102
+00:12:32,210 --> 00:12:42,490
+sometimes the function can be discontinuous
+
+103
+00:12:42,490 --> 00:12:46,970
+at x بساوي c because
+
+104
+00:12:49,450 --> 00:13:06,610
+if is undefined is undefined at C لكن
+
+105
+00:13:06,610 --> 00:13:10,750
+أحيانا أخرى وفي الحالة اللي بقدرش أعمل حاجة بقدرش
+
+106
+00:13:10,750 --> 00:13:17,030
+أعمل حاجة however
+
+107
+00:13:20,670 --> 00:13:28,290
+لو كانت if ال limit لل function f of x as x tends
+
+108
+00:13:28,290 --> 00:13:39,010
+to c موجودة exists exists
+
+109
+00:13:39,010 --> 00:13:46,490
+and equals L ينتمي ل R ففي
+
+110
+00:13:46,490 --> 00:13:49,510
+الحالة هذه we can
+
+111
+00:13:53,080 --> 00:13:58,780
+we can define we
+
+112
+00:13:58,780 --> 00:14:09,440
+can define a function capital F من a اتحاد ال
+
+113
+00:14:09,440 --> 00:14:20,800
+singleton set C إلى R by capital F of X بساوي
+
+114
+00:14:20,800 --> 00:14:21,980
+العدد L
+
+115
+00:14:24,670 --> 00:14:32,970
+fx بتساوي c و بتساوي ال function f of x إذا كان ال
+
+116
+00:14:32,970 --> 00:14:44,530
+x ينتمي إلى a ولا يساوي c in this case in this
+
+117
+00:14:44,530 --> 00:14:54,830
+case the function capital F is continuousat x
+
+118
+00:14:54,830 --> 00:15:00,530
+بساوي c indeed
+
+119
+00:15:00,530 --> 00:15:07,490
+في حقيقة القمر indeed في حقيقة القمر تعالى نشوف
+
+120
+00:15:07,490 --> 00:15:14,630
+high limit capital f of x as x tends to c بساوي x
+
+121
+00:15:14,630 --> 00:15:19,510
+تقول ل c إذا ال x بالتأكيد بتسويش c لما x ما
+
+122
+00:15:19,510 --> 00:15:26,390
+بتسويش c يعني x and time ل aفcapital F هي نفسها
+
+123
+00:15:26,390 --> 00:15:35,430
+حسب تعريفها هي small f طب احنا فرضين ان ال limit ل
+
+124
+00:15:35,430 --> 00:15:41,150
+F of X exist و بساوي and C و بساوي L، إذن هذه تطلع
+
+125
+00:15:41,150 --> 00:15:43,070
+موجودة و بساوي L
+
+126
+00:15:46,940 --> 00:15:50,740
+و احنا من ال definition تبع ال function ال ال
+
+127
+00:15:50,740 --> 00:15:53,800
+ماخدينها هي عبارة عن قيمة ال function capital F
+
+128
+00:15:53,800 --> 00:16:00,180
+and C اذا هاي شرط الاتصال للدالة capital F and C
+
+129
+00:16:00,180 --> 00:16:10,320
+متحقق وبالتالي اذا capital F is continuous at C ال
+
+130
+00:16:10,320 --> 00:16:20,300
+function capital F the functioncapital F is called
+
+131
+00:16:20,300 --> 00:16:30,700
+a continuous extension
+
+132
+00:16:30,700 --> 00:16:36,980
+of
+
+133
+00:16:36,980 --> 00:16:43,900
+small f عبارة عن continuous extension يعني توسعة
+
+134
+00:16:43,900 --> 00:16:49,530
+متصلةتوسعة متصلة لدالة small f لحظة انتوا هنا ان
+
+135
+00:16:49,530 --> 00:16:59,350
+الدالة capital F الدالة
+
+136
+00:16:59,350 --> 00:17:05,550
+capital F function من A union single to C إلى R
+
+137
+00:17:05,550 --> 00:17:11,810
+طبعا هنا C لا تمتم إلى A وعندي small f هي function
+
+138
+00:17:11,810 --> 00:17:19,850
+من A إلى Rفلاحظوا ان ال function capital F لما
+
+139
+00:17:19,850 --> 00:17:28,250
+اعمل restriction لل domain تبعها على a فقط فهي نفس
+
+140
+00:17:28,250 --> 00:17:35,490
+f يعني لما اقيد او احصر الدولة capital F على
+
+141
+00:17:35,490 --> 00:17:41,610
+المجموعة a فقط فهي نفس ال F هي لكل x a capital F
+
+142
+00:17:41,610 --> 00:17:47,020
+هي small fالزيادة ان capital F معرفة عن C و F مش
+
+143
+00:17:47,020 --> 00:17:51,720
+معرفة عن C فهذه الدالة capital F بنسميها توسعة على
+
+144
+00:17:51,720 --> 00:17:56,120
+small f التوسعة هذه متصلة عند النقطة C
+
+145
+00:17:59,220 --> 00:18:03,740
+تمام؟ إذا هذه أول ملاحظة إذا لو كانت الدالة مش
+
+146
+00:18:03,740 --> 00:18:10,580
+معرفة لو كانت small f مش معرفة عن c لكن نهايتها عن
+
+147
+00:18:10,580 --> 00:18:15,580
+c موجودة وبالساوي عدد L فبقدر أعرف دالة جديدة
+
+148
+00:18:15,580 --> 00:18:20,080
+capital F اللي هي توسعة extension ل small f و ال
+
+149
+00:18:20,080 --> 00:18:24,640
+extension الدالة هذه اللي هي توسعةبتكون متصلة عند
+
+150
+00:18:24,640 --> 00:18:28,920
+الـ C اننا ناخد قيمتها عند الـ C بساوي قيمة ال
+
+151
+00:18:28,920 --> 00:18:36,540
+limit و عند النقاط ال A هي نفس small if لكن
+
+152
+00:18:36,540 --> 00:18:39,620
+الملاحظة التانية
+
+153
+00:18:51,350 --> 00:18:55,490
+لو كانت الادالة .. ممكن تكون الادالة معرفة عن C
+
+154
+00:18:55,490 --> 00:19:03,670
+يعني هنا sometimes a
+
+155
+00:19:03,670 --> 00:19:09,670
+function g is discontinuous
+
+156
+00:19:09,670 --> 00:19:16,190
+a function g from A to R is discontinuous at C
+
+157
+00:19:19,590 --> 00:19:25,970
+بسبب و ال c ممكن تكون موجودة في a او حتى لو مش
+
+158
+00:19:25,970 --> 00:19:35,630
+موجودة في a is discontinuous at c because ال limit
+
+159
+00:19:35,630 --> 00:19:43,210
+ل g of x as x tends to c does not exist يعني ممكن
+
+160
+00:19:43,210 --> 00:19:48,330
+ال g تكون معرفة and ال c لكنالنهايتها عند الـ c مش
+
+161
+00:19:48,330 --> 00:19:51,690
+موجودة فطبعا في الحالة دي ال function بتكون
+
+162
+00:19:51,690 --> 00:19:57,830
+discontinuous at c وفي الحالة دي ماقدرش اعرف in
+
+163
+00:19:57,830 --> 00:20:08,410
+this case in this case we can't لا نستطيع we can't
+
+164
+00:20:08,410 --> 00:20:14,990
+define a continuous extension
+
+165
+00:20:23,400 --> 00:20:33,900
+ممكن مانقدر�� نعرف continuous extension لال ..
+
+166
+00:20:33,900 --> 00:20:42,000
+اللي هو capital G from A union singleton C إلى R
+
+167
+00:20:42,000 --> 00:20:45,820
+أو
+
+168
+00:20:45,820 --> 00:20:52,800
+we cannot define an extensionand extension g من a
+
+169
+00:20:52,800 --> 00:21:02,520
+union c لr by g of x بساوي عدد
+
+170
+00:21:02,520 --> 00:21:11,400
+capital c if x بساوي c و بساوي g of x إذا كان x
+
+171
+00:21:11,400 --> 00:21:18,500
+ينتمي and
+
+172
+00:21:20,360 --> 00:21:25,060
+جي بي continuous at c
+
+173
+00:21:39,530 --> 00:21:44,470
+طبعا هنا الـ G باخدها عند C بيساوي capital C هاد
+
+174
+00:21:44,470 --> 00:21:50,550
+عيرنا ال number ع شوية و عند X بيساوي A لازم تساوي
+
+175
+00:21:50,550 --> 00:21:55,970
+G of X عشان تكون توسعة أو extension ل small g ف to
+
+176
+00:21:55,970 --> 00:22:05,990
+see this لبرهان ذلك to see this to see that such
+
+177
+00:22:05,990 --> 00:22:18,380
+Gcan't be continuous at c assume خلّيني
+
+178
+00:22:18,380 --> 00:22:25,200
+أعمل برهان بالتناقض assume on contrary assume on
+
+179
+00:22:25,200 --> 00:22:33,900
+contrary أن counter G is continuous at c then هذا
+
+180
+00:22:33,900 --> 00:22:40,660
+معناه أن ال limitلـ capital G of X as X tends to C
+
+181
+00:22:40,660 --> 00:22:48,420
+بساوي capital G اللي
+
+182
+00:22:48,420 --> 00:22:56,380
+هي بساوي limit بتطلع
+
+183
+00:22:56,380 --> 00:23:06,900
+بساوي capital G of C بساوي capital Cو هذه بتساوي
+
+184
+00:23:06,900 --> 00:23:11,700
+limit g of x لما x تقول ل c هي عبارة عن limit من
+
+185
+00:23:11,700 --> 00:23:18,320
+تعريف ال g limit g of x لما x تقول ل c لإن لما x
+
+186
+00:23:18,320 --> 00:23:22,960
+تقول ل c x بستويش ال c x بستويش ال c معناته x
+
+187
+00:23:22,960 --> 00:23:29,600
+تنتمي ل a لإن g of x هي عبارة عن small g of x لإن
+
+188
+00:23:29,600 --> 00:23:32,260
+في الحالة هذه limit
+
+189
+00:23:34,430 --> 00:23:40,110
+إذا limit small g of x لما x تقولها c exist اه إذا
+
+190
+00:23:40,110 --> 00:23:46,110
+هذا بتطلع exist and equals c هي بالساوية c
+
+191
+00:23:46,110 --> 00:23:51,370
+contradiction هذا تناقض لإن احنا فرضين إن ال limit
+
+192
+00:23:51,370 --> 00:23:53,970
+ل g of x and c مش موجودة
+
+193
+00:23:58,090 --> 00:24:02,390
+لما تكون الدالة مش متصلة على النقطة لعدم وجود
+
+194
+00:24:02,390 --> 00:24:06,830
+نهايتها عند النقطة فماقدرش أعرف continuous
+
+195
+00:24:06,830 --> 00:24:15,610
+extension لدالة and النقطة Cلأن هنا فرضنا أن هناك
+
+196
+00:24:15,610 --> 00:24:19,030
+extension هذا ال extension مش ممكن يكون continuous
+
+197
+00:24:19,030 --> 00:24:23,050
+عند النقطة C لأنه لو كان continuous عند النقطة C
+
+198
+00:24:23,050 --> 00:24:27,750
+سيقدر ان الملمت الدالة small g and c exist وهذا
+
+199
+00:24:27,750 --> 00:24:34,830
+يتناقض مع الفرض تمام، هذا النوع من ال
+
+200
+00:24:34,830 --> 00:24:40,570
+discontinuity لما تكون الدالة discontinuous لعدم
+
+201
+00:24:42,160 --> 00:24:43,920
+لما تكون الدالة discontinuous
+
+202
+00:24:46,760 --> 00:24:51,500
+السبب في ذلك أنها مش معرفة عند النقطة C لكن نهيتها
+
+203
+00:24:51,500 --> 00:24:55,560
+موجودة عند الـ C فهذا النوع من ال discontinuity من
+
+204
+00:24:55,560 --> 00:25:00,360
+عدم الاتصال بنسميه removable يعني ممكن إزالته أو
+
+205
+00:25:00,360 --> 00:25:05,300
+التخلص منه وهي فعلا اتخلصنا من عدم الاتصال للدالة
+
+206
+00:25:05,300 --> 00:25:09,480
+small f and c بتعريف دالة capital F بالطريقة هذه
+
+207
+00:25:09,480 --> 00:25:12,670
+وشوفنا أن الدالة الجديدة continuous عند ال Cإذا
+
+208
+00:25:12,670 --> 00:25:16,190
+هذا النوع من عدم الاتصال أو ال discontinuity is
+
+209
+00:25:16,190 --> 00:25:19,990
+called removable يمكن إزالته يمكن تخلص منه أما إذا
+
+210
+00:25:19,990 --> 00:25:25,610
+كانت الدالة discontinuous عند النقطة C لأن نهايتها
+
+211
+00:25:25,610 --> 00:25:30,050
+in C مش موجودة فهذا النوع من عدم الاتصال بنسميه
+
+212
+00:25:30,050 --> 00:25:34,950
+essential يعني أساسي لا يمكن تخلص منه زي ما شفنا
+
+213
+00:25:34,950 --> 00:25:38,890
+في التحليل التحت okay تمامإن هذه أنواع ال
+
+214
+00:25:38,890 --> 00:25:42,570
+discontinuity ال discontinuity أو عدم الاتصال
+
+215
+00:25:42,570 --> 00:25:47,030
+نوعين نوع removable ممكن ��زالته ممكن تخلص منه و
+
+216
+00:25:47,030 --> 00:25:55,210
+نوع تاني essential أساسي لايمكن تخلص منه ممكن
+
+217
+00:25:55,210 --> 00:25:58,090
+ناخد بعض الأمثلة على ذلك
+
+218
+00:26:14,950 --> 00:26:21,050
+نأخد الـ function consider الـ
+
+219
+00:26:21,050 --> 00:26:28,750
+function g of x بتساوي sin واحد على x حيث x لا
+
+220
+00:26:28,750 --> 00:26:31,970
+يساوي سفر طبعا احنا شفنا
+
+221
+00:26:35,380 --> 00:26:41,220
+في مثال صادق انه limit g of x as x tends to zero
+
+222
+00:26:41,220 --> 00:26:46,880
+does not exist limit
+
+223
+00:26:46,880 --> 00:26:57,520
+الدالة هذه غير موجودة وبالتالي
+
+224
+00:26:57,520 --> 00:27:04,540
+كمان برضهوكمان الدالة برضه جي عند سفر مش معرفة اذا
+
+225
+00:27:04,540 --> 00:27:17,220
+.. اذا in this case we can't .. we can't
+
+226
+00:27:17,220 --> 00:27:28,580
+.. we can't define a continuous extension
+
+227
+00:27:30,680 --> 00:27:41,180
+of small g at السفر هذا النوع التاني من ال
+
+228
+00:27:41,180 --> 00:27:47,520
+discontinuity لكن لو أخدت دالة زي هذه
+
+229
+00:27:59,300 --> 00:28:11,080
+لو أخدت f of x بساوي x في ال sign واحد على x فطبعا
+
+230
+00:28:11,080 --> 00:28:16,220
+هنا و x لا يساوي سفر فطبعا واضح أن f عند السفر is
+
+231
+00:28:16,220 --> 00:28:17,240
+undefined
+
+232
+00:28:20,560 --> 00:28:26,040
+الـ limit شوفنا أنه limit ل f of x لما x تقول ل 0
+
+233
+00:28:26,040 --> 00:28:30,520
+by squeeze theorem أثبتنا باستخدام squeeze theorem
+
+234
+00:28:30,520 --> 00:28:38,100
+أنه limit هذه بيساوي 0 exist بساوي 0 طبعا إذا هنا
+
+235
+00:28:38,100 --> 00:28:47,020
+f is discontinuous discontinuous at x بساوي 0 لإن
+
+236
+00:28:47,020 --> 00:28:51,920
+أنا مش معرف عند السفرلكن بما ان ال limit تبقى عند
+
+237
+00:28:51,920 --> 00:28:58,320
+السفر موجودة we can define
+
+238
+00:28:58,320 --> 00:29:07,320
+a continuous extension of
+
+239
+00:29:07,320 --> 00:29:11,220
+f at سفر as follows
+
+240
+00:29:14,800 --> 00:29:21,980
+فعندى capital F of X بنعرفها على أنها بالساوى
+
+241
+00:29:21,980 --> 00:29:26,040
+السفر اللى هو limit لل function عند السفر إذا كان
+
+242
+00:29:26,040 --> 00:29:34,960
+ال X بساوى السفر و بالساوى small f of X إذا كان X
+
+243
+00:29:34,960 --> 00:29:42,260
+تنتمي ل domain الدالة اللى هواللي هو ر مع ده سفر ر
+
+244
+00:29:42,260 --> 00:29:48,760
+مع ده سفر مش هذا هو ال domain تبع الدالة الانف
+
+245
+00:29:48,760 --> 00:29:58,000
+دالة if now you can verify انه
+
+246
+00:29:58,000 --> 00:30:05,040
+capital F is continuous is continuous at x بساوي
+
+247
+00:30:05,040 --> 00:30:12,580
+سفربينما small f is not continuous از سفر حيا
+
+248
+00:30:12,580 --> 00:30:17,220
+عندي limit capital
+
+249
+00:30:17,220 --> 00:30:23,560
+F of X as X tends to zero بساوي لما X ساوي للسفر X
+
+250
+00:30:23,560 --> 00:30:29,800
+بسويش سفر لما X ماتساويش سفر فcapital F هي small f
+
+251
+00:30:32,400 --> 00:30:37,700
+و limit small f بتساوي سفر اللي هي capital F معرفة
+
+252
+00:30:37,700 --> 00:30:43,620
+عند السفر okay إذا هي شرط الاتصال عند السفر متحقق
+
+253
+00:30:43,620 --> 00:30:48,740
+وبالتالي capital F متصلة عند السفر okay تمام هفهم
+
+254
+00:30:48,740 --> 00:30:54,740
+okay بنوقف هنا و بنتيح الآن المجال إلكم إذا كان في
+
+255
+00:30:54,740 --> 00:30:58,920
+عندكم أي أسئلة بخصوص ال homework أو الامتحان
+
+256
+00:30:58,920 --> 00:31:03,560
+النصفي اللي هناخده بكرا إن شاء اللهفي عندكم أي
+
+257
+00:31:03,560 --> 00:31:11,680
+سؤال أو استفسار؟ في حد عنده أي سؤال؟
+
+258
+00:31:11,680 --> 00:31:24,080
+في
+
+259
+00:31:24,080 --> 00:31:29,970
+أي سؤال؟ أي سؤال؟دكتور انا ممكن استخدم limit ال K
+
+260
+00:31:29,970 --> 00:31:33,830
+لما ال X تقول ال C و سوى K و limit ال X لما ال X
+
+261
+00:31:33,830 --> 00:31:38,490
+تقول ال C و سوى C ممكن استخدمهم انا بحثت صح صح لان
+
+262
+00:31:38,490 --> 00:31:42,490
+هذه صارت حاجات ال trivial و يعني اثبتناها الا ده
+
+263
+00:31:42,490 --> 00:31:47,150
+طول منك اثبتها باستخدام تعريف epsilon دلت اكيد اي
+
+264
+00:31:47,150 --> 00:31:53,810
+سؤال بدك ممكن التاني التاني اللي مش محلول اه اللي
+
+265
+00:31:53,810 --> 00:31:54,830
+مش محلول نعم
+
+266
+00:32:04,200 --> 00:32:13,180
+طيب suppose question suppose
+
+267
+00:32:13,180 --> 00:32:25,460
+أن xn أكبر من أو ساوى سفر لكل n في n and .. and ال
+
+268
+00:32:25,460 --> 00:32:25,820
+limit
+
+269
+00:32:28,550 --> 00:32:34,910
+لسالب واحد أُس n في xn ال sequence هذه لما n تقول
+
+270
+00:32:34,910 --> 00:32:46,590
+ل infinity بساوي x ينتمي إلى r show أن ال limit ل
+
+271
+00:32:46,590 --> 00:32:56,630
+xn لما n تقول ل infinity بساوي سفر فضلي
+
+272
+00:33:21,960 --> 00:33:28,720
+فنشوف الان انا عندي ال limit لل sequence للحد
+
+273
+00:33:28,720 --> 00:33:33,900
+العام تبعها سالب واحد قص ان في x in لما ان تقول
+
+274
+00:33:33,900 --> 00:33:44,020
+infinity بساوي x اذا ان andالسالب واحد قصة اتنين N
+
+275
+00:33:44,020 --> 00:33:52,460
+في X اتنين N هذه عبارة عن subsequence subsequence
+
+276
+00:33:52,460 --> 00:33:58,540
+of السيكوانس الحد العام تبعها السالب واحد قصة N X
+
+277
+00:33:58,540 --> 00:34:07,730
+X N هذه subsequence خط الحدود الزوجية صح؟طيب ال
+
+278
+00:34:07,730 --> 00:34:12,950
+subsequence هذه هي الحد العام تبعها x اتنين n
+
+279
+00:34:12,950 --> 00:34:16,890
+مفروض converge اخلنا احنا في نظرية ان كانت ال
+
+280
+00:34:16,890 --> 00:34:21,350
+sequence convergent ل x فأي subsequence منها بتكون
+
+281
+00:34:21,350 --> 00:34:27,810
+convergent لنفس ال x تمام؟ في نفس الوجد
+
+282
+00:34:38,530 --> 00:34:44,370
+في نفس الوقت ال sequence سالب واحد قصة اتنين in
+
+283
+00:34:44,370 --> 00:34:48,750
+سالب واحد في
+
+284
+00:34:48,750 --> 00:34:56,810
+x اتنين in سالب واحد هذا عبارة عن sub sequence من
+
+285
+00:34:56,810 --> 00:35:02,070
+ال sequence الأصلي المعطاة اللي هي الحد العام
+
+286
+00:35:02,070 --> 00:35:07,020
+تبعها سالب واحد to int x inيعني انا اخدت هنا
+
+287
+00:35:07,020 --> 00:35:10,680
+الحدود الفردية من الـ sequence هذه طبعا هذه اكيد
+
+288
+00:35:10,680 --> 00:35:17,600
+subsequence فالحد العام هذا عبارة عن سالب X اتنين
+
+289
+00:35:17,600 --> 00:35:23,140
+M سالب واحد الآن ال subsequence هذه المفروض انها
+
+290
+00:35:23,140 --> 00:35:28,180
+converge الى X لان ال sequence الاصلية convergent
+
+291
+00:35:28,180 --> 00:35:34,560
+ل X تمام؟ اذا انا في عندي هنا limit
+
+292
+00:35:38,370 --> 00:35:46,990
+x اتنين n سالب واحد بساوي سالب x لأن limit سالب ال
+
+293
+00:35:46,990 --> 00:35:53,070
+sequence هذه بساوي x اذا اضربيها في سالب واحد طبعا
+
+294
+00:35:53,070 --> 00:36:02,030
+واندي من هنا من هناك limit x اتنين n لما n تقول
+
+295
+00:36:02,030 --> 00:36:05,810
+infinity بساوي
+
+296
+00:36:05,810 --> 00:36:06,190
+x
+
+297
+00:36:17,310 --> 00:36:28,710
+نجمعهم؟ لأ لأ منجمعوش الناس ما
+
+298
+00:36:28,710 --> 00:36:29,450
+بنجمعهم
+
+299
+00:36:37,410 --> 00:36:42,950
+ما بنجمع مش عاملة اتجمع الان في اندي انا لحظة انت
+
+300
+00:36:42,950 --> 00:36:50,530
+عندك من الفرض xn أكبر من أو سوى سفر لكل n في n
+
+301
+00:36:55,480 --> 00:37:03,280
+فبالتالي إذا x2n سالب واحد أكبر من أوسعه سفر لكل n
+
+302
+00:37:03,280 --> 00:37:15,820
+وكذلك x2n برضه أكبر من أوسعه سفر لكل n صح؟ أصبت؟
+
+303
+00:37:15,820 --> 00:37:22,240
+وبالتالي إذا ال limit ل x2n سالب واحد تطلع أكبر من
+
+304
+00:37:22,240 --> 00:37:30,430
+أوسعه سفرو ال limit ل x2n تطلع أكبر من أوي ساوي
+
+305
+00:37:30,430 --> 00:37:34,890
+سفر هذه نظرية أخدناها صح؟ أخدناها نظرية بتقول لو
+
+306
+00:37:34,890 --> 00:37:38,550
+كانت ال sequence كل حدوة ده غير سالبة و ال limit
+
+307
+00:37:38,550 --> 00:37:44,330
+تبعتها exist فال limit تبعتها تطلع غير سالبة صح؟
+
+308
+00:37:44,330 --> 00:37:50,750
+فال limit هنا هي حسبناها سالم x و ال limit هنا
+
+309
+00:37:50,750 --> 00:37:59,060
+طلعت xإذا أنا في عندي سالب X أكبر من أو ساوي سفر
+
+310
+00:37:59,060 --> 00:38:06,420
+and X أكبر من أو ساوي سفر هذا بيقدر ان X أصغر من
+
+311
+00:38:06,420 --> 00:38:13,680
+أو ساوي سفر and X أكبر من أو ساوي سفر هذا بيقدر ان
+
+312
+00:38:13,680 --> 00:38:15,040
+X بساوي سفر
+
+313
+00:38:19,470 --> 00:38:23,930
+مايعني x أصغر من 0 و أكبر من 0 يعني x أصغر من 0
+
+314
+00:38:23,930 --> 00:38:27,470
+العدد الو��يد اللي بتمتع بالخاصيتين هدول في نفس
+
+315
+00:38:27,470 --> 00:38:34,090
+الواجت هو 0 إذا هاني أثبتت أن ال limit ل ال
+
+316
+00:38:34,090 --> 00:38:37,550
+sequence
+
+317
+00:38:37,550 --> 00:38:42,870
+أثبتت
+
+318
+00:38:42,870 --> 00:38:44,170
+أن x أصغر من 0
+
+319
+00:38:47,480 --> 00:38:52,500
+طبعا احنا ما اثبتناش لحد تلان ان ال limit لل
+
+320
+00:38:52,500 --> 00:38:59,260
+sequence ان انا عندي .. اذا انا اصبح عندي لان ال
+
+321
+00:38:59,260 --> 00:39:05,920
+limit لل sequence سارب واحد أس ن في xn لما n تقول
+
+322
+00:39:05,920 --> 00:39:13,090
+ال infinity طلعت بالساوية سفر وبالتالي هذا بيقديفي
+
+323
+00:39:13,090 --> 00:39:25,710
+exercise أخدناه بيقول إذا كان if
+
+324
+00:39:25,710 --> 00:39:34,750
+limit xn as n tends to infinity بيساوي 7 then
+
+325
+00:39:34,750 --> 00:39:42,200
+limitabsolute xn as n tends to infinity بيساوي سفر
+
+326
+00:39:42,200 --> 00:39:48,200
+والعكس كمان فباستخدام ال exercise هذا هذا بيقدي
+
+327
+00:39:48,200 --> 00:39:54,600
+انه limit absolute سالب واحد اص ان في xn as n
+
+328
+00:39:54,600 --> 00:39:58,660
+tends to infinity بيساوي
+
+329
+00:39:58,660 --> 00:40:01,260
+سفر اللي هو بيساوي limit
+
+330
+00:40:11,310 --> 00:40:15,930
+أنا مش عارف أنا ليش رفضت اللي نجمع مش هو عبارة ال
+
+331
+00:40:15,930 --> 00:40:21,010
+XN هي عبارة عن حدود زوجية و فردية لو جمعناهم بدون
+
+332
+00:40:21,010 --> 00:40:22,370
+ال N مش sequence
+
+333
+00:40:30,350 --> 00:40:37,410
+هذا تفكير ضحل مع احترام طبعا لسؤالك هاي عندك انت
+
+334
+00:40:37,410 --> 00:40:46,250
+هاي
+
+335
+00:40:46,250 --> 00:40:54,950
+عندك sequence مثلا هاي ال sequence سالب واحد قصة
+
+336
+00:40:54,950 --> 00:40:55,710
+اتنين in
+
+337
+00:40:59,480 --> 00:41:07,080
+حدودها واحد واحد إلى آخرها صح؟ هزبوت؟ و سالب واحد
+
+338
+00:41:07,080 --> 00:41:15,380
+قصة اتنين in سالب واحد حدودها سالب واحد تمام؟
+
+339
+00:41:15,380 --> 00:41:23,480
+لما اجمعهم add اجمعيهم فهي ال sequence الأول ان هي
+
+340
+00:41:23,480 --> 00:41:30,690
+زائد ال sequence التانيةلما بجمعهم بجمع الحد الأول
+
+341
+00:41:30,690 --> 00:41:34,610
+على الأول التاني على التاني و هكذا صح؟ إيش هيطلع
+
+342
+00:41:34,610 --> 00:41:41,090
+عندك؟ صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر
+
+343
+00:41:41,090 --> 00:41:43,030
+صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر
+
+344
+00:41:43,030 --> 00:41:46,190
+صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر
+
+345
+00:41:46,190 --> 00:41:51,350
+صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر
+
+346
+00:41:51,350 --> 00:41:53,750
+صفر صف
+
+347
+00:42:00,230 --> 00:42:07,010
+المشكلة عندك انك بتقول X sequence XN ممكن تعتبرها
+
+348
+00:42:07,010 --> 00:42:15,250
+ابارعا مجموعة sub sequence X2N زاد sub sequence
+
+349
+00:42:15,250 --> 00:42:24,310
+X2N-1 هذا غلط هذا غلط ليس صحيحوهي مثالي واضح خطأ
+
+350
+00:42:24,310 --> 00:42:30,270
+okay تمام؟ في أي أسئلة تانية لو سمحتوا؟ مين عندها
+
+351
+00:42:30,270 --> 00:42:44,050
+سؤال تاني؟ مال لديها سؤال؟ في عندكم أسئلة؟ تمام؟
+
+352
+00:42:44,050 --> 00:42:50,950
+مش مقتنعة أه؟ هد مثال هي قدامك أمامك افحص المثال
+
+353
+00:42:50,950 --> 00:42:56,510
+كويس هتقتنعيلو كلامك صح لكان هذا المجموع بساوي
+
+354
+00:42:56,510 --> 00:43:03,010
+سالب واحد اصلا صح ليش
+
+355
+00:43:03,010 --> 00:43:10,730
+اسئلة تانية عندكم سؤال تسعة
+
+356
+00:43:10,730 --> 00:43:14,890
+اربعة
+
+357
+00:43:14,890 --> 00:43:20,710
+واحد سؤال
+
+358
+00:43:20,710 --> 00:43:26,430
+تسعة الفرع ديهذا شبيه بالأفراد التانية، بديك يعني
+
+359
+00:43:26,430 --> 00:43:30,570
+تحاول .. انا وصلت ان ال absolute ل 2x نفس الواحد
+
+360
+00:43:30,570 --> 00:43:33,950
+على 2 absolute ال x زائد الواحد، لإن كل ال answer
+
+361
+00:43:33,950 --> 00:43:37,190
+اللي فاتت كان مايكونش .. مايكونش إيش في ال bust
+
+362
+00:43:37,190 --> 00:43:42,950
+يعني، انا أجيب علاقة ال x زائد الواحد يعني delta
+
+363
+00:43:42,950 --> 00:43:45,650
+في النهاية هتكون هي ال minimum ل .. ل .. لقيم
+
+364
+00:43:45,650 --> 00:43:47,070
+تانية لقيم تانية، لإن مثلا انا مش عارفة ..
+
+365
+00:43:47,070 --> 00:43:52,290
+ماطلعتيش؟ انا مش عارفة القيمة التانية، يعني عرفت
+
+366
+00:43:52,290 --> 00:43:53,010
+القيمة الأولى
+
+367
+00:44:00,180 --> 00:44:05,940
+نعم طيب عشان بس ال .. ال .. الوقت يعني انتهى خلينا
+
+368
+00:44:05,940 --> 00:44:13,320
+نقول انه يعني نواجف هنا و هيك المحاضرة بتكون انتهت
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Ij2H9eVnog4_raw.srt

@@ -0,0 +1,1476 @@
+1
+00:00:21,380 --> 00:00:26,860
+بسم الله الرحمن الرحيم اليوم هنكمل .. في الجزء
+
+2
+00:00:26,860 --> 00:00:31,720
+الأول من المحاضرة هنكمل section خمسة واحد و في
+
+3
+00:00:31,720 --> 00:00:37,160
+الوقت المتبقي من المحاضرة هنعطي مجال لكم ل ..
+
+4
+00:00:37,160 --> 00:00:43,850
+لأسئلة على ال homework أوأسلة في امتحانات سابقة،
+
+5
+00:00:43,850 --> 00:00:49,390
+ماشي الحال، فناخد ال .. في .. أخدنا المرة اللي
+
+6
+00:00:49,390 --> 00:00:56,930
+فاتت أمثلة على الاتصال ووقفنا عند المثال التالي
+
+7
+00:01:13,460 --> 00:01:31,840
+لتألي subset of R and define f function from
+
+8
+00:01:31,840 --> 00:01:38,320
+R to R by f of x
+
+9
+00:01:41,550 --> 00:01:49,110
+بتساوي واحد إذا كان x is rational وبتساوي سفر إذا
+
+10
+00:01:49,110 --> 00:02:00,410
+كان x is irrational show
+
+11
+00:02:00,410 --> 00:02:09,570
+that show if is discontinuous is discontinuous at
+
+12
+00:02:13,630 --> 00:02:21,890
+every x تنتمي إلى r إذا ال function هذه اللي
+
+13
+00:02:21,890 --> 00:02:27,310
+معرفها بالطريقة كما هو موضح على هذه ال function
+
+14
+00:02:27,310 --> 00:02:33,450
+بتكون discontinuous ليست متصلة عند أي x في R ليه
+
+15
+00:02:33,450 --> 00:02:34,930
+برهان ذلك proof
+
+16
+00:02:42,420 --> 00:02:50,400
+fix C تنتمي إلى R then
+
+17
+00:02:50,400 --> 00:02:57,220
+فما احنا عارفين ان ال real
+
+18
+00:02:57,220 --> 00:03:00,980
+numbers عبارة عن ال union disjoint union لل
+
+19
+00:03:00,980 --> 00:03:03,320
+rational numbers وال irrational numbers
+
+20
+00:03:09,680 --> 00:03:22,500
+then X أو C تنتمي إلى Q أو C تنتمي إلى R minus Q
+
+21
+00:03:22,500 --> 00:03:25,680
+إذا الـ C هذا إما هتكون rational number أو
+
+22
+00:03:25,680 --> 00:03:32,160
+irrational number الحالة الأولى case one لو كانت C
+
+23
+00:03:32,160 --> 00:03:33,180
+rational number
+
+24
+00:03:37,870 --> 00:03:49,730
+استخدم الـ Corollary to Density
+
+25
+00:03:49,730 --> 00:03:58,310
+Theorem لتختار
+
+26
+00:03:58,310 --> 00:04:01,830
+سيكوينس
+
+27
+00:04:01,830 --> 00:04:06,630
+XN من أعداد غير عقلية
+
+28
+00:04:19,740 --> 00:04:23,560
+اعتقد ان احنا اثبتنا حاجة زي هذه سابقا
+
+29
+00:04:28,770 --> 00:04:33,750
+حتى لو كان rational فby ال corollary النتيجة تبع
+
+30
+00:04:33,750 --> 00:04:38,630
+ال density theorem ممكن اثبات ان يوجد sequence of
+
+31
+00:04:38,630 --> 00:04:46,150
+irrationals ونهيتها العدد cلأ هذا حسب النتيجة تبع
+
+32
+00:04:46,150 --> 00:04:50,250
+ال density term لأن النتيجة هذه بتقول between any
+
+33
+00:04:50,250 --> 00:04:54,030
+two real numbers there is irrational او اي open
+
+34
+00:04:54,030 --> 00:04:58,990
+interval contains an irrational number فشوفنا احنا
+
+35
+00:04:58,990 --> 00:05:06,210
+البرهان بالتفصيل وبالتالي so نلاحظ
+
+36
+00:05:06,210 --> 00:05:14,530
+انه ال limitل .. ال .. او ال .. ال function قيمة
+
+37
+00:05:14,530 --> 00:05:21,230
+ال function f عند xn بيساوي ال xn is irrational و
+
+38
+00:05:21,230 --> 00:05:24,370
+من ال definition تبع ال function f عند اي
+
+39
+00:05:24,370 --> 00:05:30,310
+irrational بيساوي سفر هذا صحيح لكل n هذا بيقدي ان
+
+40
+00:05:30,310 --> 00:05:41,200
+ال limit ل f of xn as n tends to infinityبساوي
+
+41
+00:05:41,200 --> 00:05:44,140
+limit ثابت سفر بساوي سفر
+
+42
+00:05:49,060 --> 00:05:55,480
+وهذا لا يساوي واحد اللي هو f of c ال c rational
+
+43
+00:05:55,480 --> 00:06:00,360
+number ف f and c بيساوي واحد اذا هاي اندي انا
+
+44
+00:06:00,360 --> 00:06:05,940
+اثبتت ان يوجد sequence xn في المجال تبع الدولة
+
+45
+00:06:05,940 --> 00:06:11,340
+اللي هو R و ال sequence هذه converge ل c لكن ال
+
+46
+00:06:11,340 --> 00:06:16,660
+limit لل image لل sequence لا تساوي f of c اذا by
+
+47
+00:06:16,660 --> 00:06:22,490
+divergence criterionأو by discontinuity criterion
+
+48
+00:06:22,490 --> 00:06:28,450
+اذا by discontinuity
+
+49
+00:06:28,450 --> 00:06:32,690
+criterion if
+
+50
+00:06:32,690 --> 00:06:43,570
+is discontinuous is discontinuous at C في
+
+51
+00:06:43,570 --> 00:06:47,750
+الحالة اللي هي C rational number في الحالة التانية
+
+52
+00:06:52,270 --> 00:07:01,110
+لو كان الـ c irrational number فممكن
+
+53
+00:07:01,110 --> 00:07:05,330
+نستخدم ال density theorem نفسها use density
+
+54
+00:07:05,330 --> 00:07:09,130
+theorem to
+
+55
+00:07:09,130 --> 00:07:13,710
+choose a
+
+56
+00:07:13,710 --> 00:07:21,280
+sequence x in containedof rational numbers
+
+57
+00:07:21,280 --> 00:07:23,760
+contained in Q يعني ال sequence هذه عناصرها
+
+58
+00:07:23,760 --> 00:07:30,440
+rational numbers بحيث انه ال limit لل sequence x
+
+59
+00:07:30,440 --> 00:07:36,260
+in as n tends to infinity بساوي c هذا أثبتناه في
+
+60
+00:07:36,260 --> 00:07:42,480
+المحاضرة السابقة وبالتالي
+
+61
+00:07:42,480 --> 00:07:43,920
+so
+
+62
+00:07:46,980 --> 00:07:52,620
+أنا عندي بما أنه ال Xn rationals ف F of Xn بتساوي
+
+63
+00:07:52,620 --> 00:08:00,280
+واحد لكل N هذا بيقدي انه limit ل F of Xn as N
+
+64
+00:08:00,280 --> 00:08:04,950
+tends to infinityبساوي limit ثابت واحد بطلع واحد
+
+65
+00:08:04,950 --> 00:08:12,710
+واحد لا يساوي سفر اللي هو ال image ل ال C ال C هنا
+
+66
+00:08:12,710 --> 00:08:17,170
+irrational و من ال definition of the function if
+
+67
+00:08:17,170 --> 00:08:21,730
+and irrational بساوي سفر اذا انا هنا اثبتت ان يوجد
+
+68
+00:08:21,730 --> 00:08:23,610
+sequence
+
+69
+00:08:25,710 --> 00:08:32,350
+في مجال الدالة نهايتها c لكن نهاية صورتها لا تساوي
+
+70
+00:08:32,350 --> 00:08:41,750
+صورة ال c كمان مرة hence by
+
+71
+00:08:41,750 --> 00:08:47,790
+discontinuity by
+
+72
+00:08:47,790 --> 00:08:50,150
+discontinuity criterion
+
+73
+00:08:52,890 --> 00:09:03,530
+الـ function f is discontinuous at c لأن بما أن c
+
+74
+00:09:03,530 --> 00:09:09,410
+was arbitrary فالـ function is discontinuous عن كل
+
+75
+00:09:09,410 --> 00:09:15,050
+real number c طبعا في الحالتين لأن هذا بكمل
+
+76
+00:09:15,050 --> 00:09:22,090
+البرهانة لأن هذه ال function هي function من R لRو
+
+77
+00:09:22,090 --> 00:09:26,950
+discontinuous ليست متصلة عند أي x فارق هذه ال
+
+78
+00:09:26,950 --> 00:09:31,030
+function لها اسم ومشهورة ومعروفة اسمها Dirichlet
+
+79
+00:09:31,030 --> 00:09:35,210
+function اذا
+
+80
+00:09:35,210 --> 00:09:41,110
+ال function هذه remark
+
+81
+00:09:41,110 --> 00:09:46,870
+the
+
+82
+00:09:46,870 --> 00:09:49,610
+above function
+
+83
+00:09:55,060 --> 00:10:03,000
+function is well-known as
+
+84
+00:10:03,000 --> 00:10:10,040
+Dirichlet Dirichlet
+
+85
+00:10:10,040 --> 00:10:17,540
+دا عالم رياضيات Dirichlet is function او Dirichlet
+
+86
+00:10:17,540 --> 00:10:20,000
+is discontinuous function
+
+87
+00:10:25,450 --> 00:10:34,010
+this continuous function ده
+
+88
+00:10:34,010 --> 00:10:41,070
+اللي مهمة ويلها meta في ال real analysis okay تمام
+
+89
+00:10:41,070 --> 00:10:47,630
+طيب ناخد بعض الملاحظات واضح في أي سؤال واضح هنا
+
+90
+00:10:47,630 --> 00:10:49,750
+البرهن في أي سلسلة
+
+91
+00:11:06,590 --> 00:11:15,470
+طيب ناخد شوية remarks ال
+
+92
+00:11:15,470 --> 00:11:19,410
+remark
+
+93
+00:11:19,410 --> 00:11:27,290
+الأولى sometimes a
+
+94
+00:11:27,290 --> 00:11:34,590
+function خلينا احنا نرجع لل definition تبع الاتصال
+
+95
+00:11:34,590 --> 00:11:35,770
+عن النقطة definition
+
+96
+00:11:56,710 --> 00:12:04,230
+الشرط التاني ان ال limitلأ F of X لما X تقول إلى C
+
+97
+00:12:04,230 --> 00:12:11,490
+exist و بساوي F of C اللي هو الشرط هذا هذا الشرط
+
+98
+00:12:11,490 --> 00:12:16,730
+سمنها تلاتة في واحد هذا يتضمن تلات شروط ال limit
+
+99
+00:12:16,730 --> 00:12:22,690
+and C exist F is defined at C و اتنين متساوين تلات
+
+100
+00:12:22,690 --> 00:12:28,970
+شروطالان لو اي واحد من التلات الشروط هدول اختل فال
+
+101
+00:12:28,970 --> 00:12:32,210
+function بتكونش continuous and النقطة c ف
+
+102
+00:12:32,210 --> 00:12:42,490
+sometimes the function can be discontinuous
+
+103
+00:12:42,490 --> 00:12:46,970
+at x بساوي c because
+
+104
+00:12:49,450 --> 00:13:06,610
+if is undefined is undefined at C لكن
+
+105
+00:13:06,610 --> 00:13:10,750
+أحيانا أخرى وفي الحالة اللي بقدرش أعمل حاجة بقدرش
+
+106
+00:13:10,750 --> 00:13:17,030
+أعمل حاجة however
+
+107
+00:13:20,670 --> 00:13:28,290
+لو كانت if ال limit لل function f of x as x tends
+
+108
+00:13:28,290 --> 00:13:39,010
+to c موجودة exists exists
+
+109
+00:13:39,010 --> 00:13:46,490
+and equals L ينتمي ل R ففي
+
+110
+00:13:46,490 --> 00:13:49,510
+الحالة هذه we can
+
+111
+00:13:53,080 --> 00:13:58,780
+we can define we
+
+112
+00:13:58,780 --> 00:14:09,440
+can define a function capital F من a اتحاد ال
+
+113
+00:14:09,440 --> 00:14:20,800
+singleton set C إلى R by capital F of X بساوي
+
+114
+00:14:20,800 --> 00:14:21,980
+العدد L
+
+115
+00:14:24,670 --> 00:14:32,970
+fx بتساوي c و بتساوي ال function f of x إذا كان ال
+
+116
+00:14:32,970 --> 00:14:44,530
+x ينتمي إلى a ولا يساوي c in this case in this
+
+117
+00:14:44,530 --> 00:14:54,830
+case the function capital F is continuousat x
+
+118
+00:14:54,830 --> 00:15:00,530
+بساوي c indeed
+
+119
+00:15:00,530 --> 00:15:07,490
+في حقيقة القمر indeed في حقيقة القمر تعالى نشوف
+
+120
+00:15:07,490 --> 00:15:14,630
+high limit capital f of x as x tends to c بساوي x
+
+121
+00:15:14,630 --> 00:15:19,510
+تقول ل c إذا ال x بالتأكيد بتسويش c لما x ما
+
+122
+00:15:19,510 --> 00:15:26,390
+بتسويش c يعني x and time ل aفcapital F هي نفسها
+
+123
+00:15:26,390 --> 00:15:35,430
+حسب تعريفها هي small f طب احنا فرضين ان ال limit ل
+
+124
+00:15:35,430 --> 00:15:41,150
+F of X exist و بساوي and C و بساوي L، إذن هذه تطلع
+
+125
+00:15:41,150 --> 00:15:43,070
+موجودة و بساوي L
+
+126
+00:15:46,940 --> 00:15:50,740
+و احنا من ال definition تبع ال function ال ال
+
+127
+00:15:50,740 --> 00:15:53,800
+ماخدينها هي عبارة عن قيمة ال function capital F
+
+128
+00:15:53,800 --> 00:16:00,180
+and C اذا هاي شرط الاتصال للدالة capital F and C
+
+129
+00:16:00,180 --> 00:16:10,320
+متحقق وبالتالي اذا capital F is continuous at C ال
+
+130
+00:16:10,320 --> 00:16:20,300
+function capital F the functioncapital F is called
+
+131
+00:16:20,300 --> 00:16:30,700
+a continuous extension
+
+132
+00:16:30,700 --> 00:16:36,980
+of
+
+133
+00:16:36,980 --> 00:16:43,900
+small f عبارة عن continuous extension يعني توسعة
+
+134
+00:16:43,900 --> 00:16:49,530
+متصلةتوسعة متصلة لدالة small f لحظة انتوا هنا ان
+
+135
+00:16:49,530 --> 00:16:59,350
+الدالة capital F الدالة
+
+136
+00:16:59,350 --> 00:17:05,550
+capital F function من A union single to C إلى R
+
+137
+00:17:05,550 --> 00:17:11,810
+طبعا هنا C لا تمتم إلى A وعندي small f هي function
+
+138
+00:17:11,810 --> 00:17:19,850
+من A إلى Rفلاحظوا ان ال function capital F لما
+
+139
+00:17:19,850 --> 00:17:28,250
+اعمل restriction لل domain تبعها على a فقط فهي نفس
+
+140
+00:17:28,250 --> 00:17:35,490
+f يعني لما اقيد او احصر الدولة capital F على
+
+141
+00:17:35,490 --> 00:17:41,610
+المجموعة a فقط فهي نفس ال F هي لكل x a capital F
+
+142
+00:17:41,610 --> 00:17:47,020
+هي small fالزيادة ان capital F معرفة عن C و F مش
+
+143
+00:17:47,020 --> 00:17:51,720
+معرفة عن C فهذه الدالة capital F بنسميها توسعة على
+
+144
+00:17:51,720 --> 00:17:56,120
+small f التوسعة هذه متصلة عند النقطة C
+
+145
+00:17:59,220 --> 00:18:03,740
+تمام؟ إذا هذه أول ملاحظة إذا لو كانت الدالة مش
+
+146
+00:18:03,740 --> 00:18:10,580
+معرفة لو كانت small f مش معرفة عن c لكن نهايتها عن
+
+147
+00:18:10,580 --> 00:18:15,580
+c موجودة وبالساوي عدد L فبقدر أعرف دالة جديدة
+
+148
+00:18:15,580 --> 00:18:20,080
+capital F اللي هي توسعة extension ل small f و ال
+
+149
+00:18:20,080 --> 00:18:24,640
+extension الدالة هذه اللي هي توسعةبتكون متصلة عند
+
+150
+00:18:24,640 --> 00:18:28,920
+الـ C اننا ناخد قيمتها عند الـ C بساوي قيمة ال
+
+151
+00:18:28,920 --> 00:18:36,540
+limit و عند النقاط ال A هي نفس small if لكن
+
+152
+00:18:36,540 --> 00:18:39,620
+الملاحظة التانية
+
+153
+00:18:51,350 --> 00:18:55,490
+لو كانت الادالة .. ممكن تكون الادالة معرفة عن C
+
+154
+00:18:55,490 --> 00:19:03,670
+يعني هنا sometimes a
+
+155
+00:19:03,670 --> 00:19:09,670
+function g is discontinuous
+
+156
+00:19:09,670 --> 00:19:16,190
+a function g from A to R is discontinuous at C
+
+157
+00:19:19,590 --> 00:19:25,970
+بسبب و ال c ممكن تكون موجودة في a او حتى لو مش
+
+158
+00:19:25,970 --> 00:19:35,630
+موجودة في a is discontinuous at c because ال limit
+
+159
+00:19:35,630 --> 00:19:43,210
+ل g of x as x tends to c does not exist يعني ممكن
+
+160
+00:19:43,210 --> 00:19:48,330
+ال g تكون معرفة and ال c لكنالنهايتها عند الـ c مش
+
+161
+00:19:48,330 --> 00:19:51,690
+موجودة فطبعا في الحالة دي ال function بتكون
+
+162
+00:19:51,690 --> 00:19:57,830
+discontinuous at c وفي الحالة دي ماقدرش اعرف in
+
+163
+00:19:57,830 --> 00:20:08,410
+this case in this case we can't لا نستطيع we can't
+
+164
+00:20:08,410 --> 00:20:14,990
+define a continuous extension
+
+165
+00:20:23,400 --> 00:20:33,900
+ممكن مانقدر�� نعرف continuous extension لال ..
+
+166
+00:20:33,900 --> 00:20:42,000
+اللي هو capital G from A union singleton C إلى R
+
+167
+00:20:42,000 --> 00:20:45,820
+أو
+
+168
+00:20:45,820 --> 00:20:52,800
+we cannot define an extensionand extension g من a
+
+169
+00:20:52,800 --> 00:21:02,520
+union c لr by g of x بساوي عدد
+
+170
+00:21:02,520 --> 00:21:11,400
+capital c if x بساوي c و بساوي g of x إذا كان x
+
+171
+00:21:11,400 --> 00:21:18,500
+ينتمي and
+
+172
+00:21:20,360 --> 00:21:25,060
+جي بي continuous at c
+
+173
+00:21:39,530 --> 00:21:44,470
+طبعا هنا الـ G باخدها عند C بيساوي capital C هاد
+
+174
+00:21:44,470 --> 00:21:50,550
+عيرنا ال number ع شوية و عند X بيساوي A لازم تساوي
+
+175
+00:21:50,550 --> 00:21:55,970
+G of X عشان تكون توسعة أو extension ل small g ف to
+
+176
+00:21:55,970 --> 00:22:05,990
+see this لبرهان ذلك to see this to see that such
+
+177
+00:22:05,990 --> 00:22:18,380
+Gcan't be continuous at c assume خلّيني
+
+178
+00:22:18,380 --> 00:22:25,200
+أعمل برهان بالتناقض assume on contrary assume on
+
+179
+00:22:25,200 --> 00:22:33,900
+contrary أن counter G is continuous at c then هذا
+
+180
+00:22:33,900 --> 00:22:40,660
+معناه أن ال limitلـ capital G of X as X tends to C
+
+181
+00:22:40,660 --> 00:22:48,420
+بساوي capital G اللي
+
+182
+00:22:48,420 --> 00:22:56,380
+هي بساوي limit بتطلع
+
+183
+00:22:56,380 --> 00:23:06,900
+بساوي capital G of C بساوي capital Cو هذه بتساوي
+
+184
+00:23:06,900 --> 00:23:11,700
+limit g of x لما x تقول ل c هي عبارة عن limit من
+
+185
+00:23:11,700 --> 00:23:18,320
+تعريف ال g limit g of x لما x تقول ل c لإن لما x
+
+186
+00:23:18,320 --> 00:23:22,960
+تقول ل c x بستويش ال c x بستويش ال c معناته x
+
+187
+00:23:22,960 --> 00:23:29,600
+تنتمي ل a لإن g of x هي عبارة عن small g of x لإن
+
+188
+00:23:29,600 --> 00:23:32,260
+في الحالة هذه limit
+
+189
+00:23:34,430 --> 00:23:40,110
+إذا limit small g of x لما x تقولها c exist اه إذا
+
+190
+00:23:40,110 --> 00:23:46,110
+هذا بتطلع exist and equals c هي بالساوية c
+
+191
+00:23:46,110 --> 00:23:51,370
+contradiction هذا تناقض لإن احنا فرضين إن ال limit
+
+192
+00:23:51,370 --> 00:23:53,970
+ل g of x and c مش موجودة
+
+193
+00:23:58,090 --> 00:24:02,390
+لما تكون الدالة مش متصلة على النقطة لعدم وجود
+
+194
+00:24:02,390 --> 00:24:06,830
+نهايتها عند النقطة فماقدرش أعرف continuous
+
+195
+00:24:06,830 --> 00:24:15,610
+extension لدالة and النقطة Cلأن هنا فرضنا أن هناك
+
+196
+00:24:15,610 --> 00:24:19,030
+extension هذا ال extension مش ممكن يكون continuous
+
+197
+00:24:19,030 --> 00:24:23,050
+عند النقطة C لأنه لو كان continuous عند النقطة C
+
+198
+00:24:23,050 --> 00:24:27,750
+سيقدر ان الملمت الدالة small g and c exist وهذا
+
+199
+00:24:27,750 --> 00:24:34,830
+يتناقض مع الفرض تمام، هذا النوع من ال
+
+200
+00:24:34,830 --> 00:24:40,570
+discontinuity لما تكون الدالة discontinuous لعدم
+
+201
+00:24:42,160 --> 00:24:43,920
+لما تكون الدالة discontinuous
+
+202
+00:24:46,760 --> 00:24:51,500
+السبب في ذلك أنها مش معرفة عند النقطة C لكن نهيتها
+
+203
+00:24:51,500 --> 00:24:55,560
+موجودة عند الـ C فهذا النوع من ال discontinuity من
+
+204
+00:24:55,560 --> 00:25:00,360
+عدم الاتصال بنسميه removable يعني ممكن إزالته أو
+
+205
+00:25:00,360 --> 00:25:05,300
+التخلص منه وهي فعلا اتخلصنا من عدم الاتصال للدالة
+
+206
+00:25:05,300 --> 00:25:09,480
+small f and c بتعريف دالة capital F بالطريقة هذه
+
+207
+00:25:09,480 --> 00:25:12,670
+وشوفنا أن الدالة الجديدة continuous عند ال Cإذا
+
+208
+00:25:12,670 --> 00:25:16,190
+هذا النوع من عدم الاتصال أو ال discontinuity is
+
+209
+00:25:16,190 --> 00:25:19,990
+called removable يمكن إزالته يمكن تخلص منه أما إذا
+
+210
+00:25:19,990 --> 00:25:25,610
+كانت الدالة discontinuous عند النقطة C لأن نهايتها
+
+211
+00:25:25,610 --> 00:25:30,050
+in C مش موجودة فهذا النوع من عدم الاتصال بنسميه
+
+212
+00:25:30,050 --> 00:25:34,950
+essential يعني أساسي لا يمكن تخلص منه زي ما شفنا
+
+213
+00:25:34,950 --> 00:25:38,890
+في التحليل التحت okay تمامإن هذه أنواع ال
+
+214
+00:25:38,890 --> 00:25:42,570
+discontinuity ال discontinuity أو عدم الاتصال
+
+215
+00:25:42,570 --> 00:25:47,030
+نوعين نوع removable ممكن ��زالته ممكن تخلص منه و
+
+216
+00:25:47,030 --> 00:25:55,210
+نوع تاني essential أساسي لايمكن تخلص منه ممكن
+
+217
+00:25:55,210 --> 00:25:58,090
+ناخد بعض الأمثلة على ذلك
+
+218
+00:26:14,950 --> 00:26:21,050
+نأخد الـ function consider الـ
+
+219
+00:26:21,050 --> 00:26:28,750
+function g of x بتساوي sin واحد على x حيث x لا
+
+220
+00:26:28,750 --> 00:26:31,970
+يساوي سفر طبعا احنا شفنا
+
+221
+00:26:35,380 --> 00:26:41,220
+في مثال صادق انه limit g of x as x tends to zero
+
+222
+00:26:41,220 --> 00:26:46,880
+does not exist limit
+
+223
+00:26:46,880 --> 00:26:57,520
+الدالة هذه غير موجودة وبالتالي
+
+224
+00:26:57,520 --> 00:27:04,540
+كمان برضهوكمان الدالة برضه جي عند سفر مش معرفة اذا
+
+225
+00:27:04,540 --> 00:27:17,220
+.. اذا in this case we can't .. we can't
+
+226
+00:27:17,220 --> 00:27:28,580
+.. we can't define a continuous extension
+
+227
+00:27:30,680 --> 00:27:41,180
+of small g at السفر هذا النوع التاني من ال
+
+228
+00:27:41,180 --> 00:27:47,520
+discontinuity لكن لو أخدت دالة زي هذه
+
+229
+00:27:59,300 --> 00:28:11,080
+لو أخدت f of x بساوي x في ال sign واحد على x فطبعا
+
+230
+00:28:11,080 --> 00:28:16,220
+هنا و x لا يساوي سفر فطبعا واضح أن f عند السفر is
+
+231
+00:28:16,220 --> 00:28:17,240
+undefined
+
+232
+00:28:20,560 --> 00:28:26,040
+الـ limit شوفنا أنه limit ل f of x لما x تقول ل 0
+
+233
+00:28:26,040 --> 00:28:30,520
+by squeeze theorem أثبتنا باستخدام squeeze theorem
+
+234
+00:28:30,520 --> 00:28:38,100
+أنه limit هذه بيساوي 0 exist بساوي 0 طبعا إذا هنا
+
+235
+00:28:38,100 --> 00:28:47,020
+f is discontinuous discontinuous at x بساوي 0 لإن
+
+236
+00:28:47,020 --> 00:28:51,920
+أنا مش معرف عند السفرلكن بما ان ال limit تبقى عند
+
+237
+00:28:51,920 --> 00:28:58,320
+السفر موجودة we can define
+
+238
+00:28:58,320 --> 00:29:07,320
+a continuous extension of
+
+239
+00:29:07,320 --> 00:29:11,220
+f at سفر as follows
+
+240
+00:29:14,800 --> 00:29:21,980
+فعندى capital F of X بنعرفها على أنها بالساوى
+
+241
+00:29:21,980 --> 00:29:26,040
+السفر اللى هو limit لل function عند السفر إذا كان
+
+242
+00:29:26,040 --> 00:29:34,960
+ال X بساوى السفر و بالساوى small f of X إذا كان X
+
+243
+00:29:34,960 --> 00:29:42,260
+تنتمي ل domain الدالة اللى هواللي هو ر مع ده سفر ر
+
+244
+00:29:42,260 --> 00:29:48,760
+مع ده سفر مش هذا هو ال domain تبع الدالة الانف
+
+245
+00:29:48,760 --> 00:29:58,000
+دالة if now you can verify انه
+
+246
+00:29:58,000 --> 00:30:05,040
+capital F is continuous is continuous at x بساوي
+
+247
+00:30:05,040 --> 00:30:12,580
+سفربينما small f is not continuous از سفر حيا
+
+248
+00:30:12,580 --> 00:30:17,220
+عندي limit capital
+
+249
+00:30:17,220 --> 00:30:23,560
+F of X as X tends to zero بساوي لما X ساوي للسفر X
+
+250
+00:30:23,560 --> 00:30:29,800
+بسويش سفر لما X ماتساويش سفر فcapital F هي small f
+
+251
+00:30:32,400 --> 00:30:37,700
+و limit small f بتساوي سفر اللي هي capital F معرفة
+
+252
+00:30:37,700 --> 00:30:43,620
+عند السفر okay إذا هي شرط الاتصال عند السفر متحقق
+
+253
+00:30:43,620 --> 00:30:48,740
+وبالتالي capital F متصلة عند السفر okay تمام هفهم
+
+254
+00:30:48,740 --> 00:30:54,740
+okay بنوقف هنا و بنتيح الآن المجال إلكم إذا كان في
+
+255
+00:30:54,740 --> 00:30:58,920
+عندكم أي أسئلة بخصوص ال homework أو الامتحان
+
+256
+00:30:58,920 --> 00:31:03,560
+النصفي اللي هناخده بكرا إن شاء اللهفي عندكم أي
+
+257
+00:31:03,560 --> 00:31:11,680
+سؤال أو استفسار؟ في حد عنده أي سؤال؟
+
+258
+00:31:11,680 --> 00:31:24,080
+في
+
+259
+00:31:24,080 --> 00:31:29,970
+أي سؤال؟ أي سؤال؟دكتور انا ممكن استخدم limit ال K
+
+260
+00:31:29,970 --> 00:31:33,830
+لما ال X تقول ال C و سوى K و limit ال X لما ال X
+
+261
+00:31:33,830 --> 00:31:38,490
+تقول ال C و سوى C ممكن استخدمهم انا بحثت صح صح لان
+
+262
+00:31:38,490 --> 00:31:42,490
+هذه صارت حاجات ال trivial و يعني اثبتناها الا ده
+
+263
+00:31:42,490 --> 00:31:47,150
+طول منك اثبتها باستخدام تعريف epsilon دلت اكيد اي
+
+264
+00:31:47,150 --> 00:31:53,810
+سؤال بدك ممكن التاني التاني اللي مش محلول اه اللي
+
+265
+00:31:53,810 --> 00:31:54,830
+مش محلول نعم
+
+266
+00:32:04,200 --> 00:32:13,180
+طيب suppose question suppose
+
+267
+00:32:13,180 --> 00:32:25,460
+أن xn أكبر من أو ساوى سفر لكل n في n and .. and ال
+
+268
+00:32:25,460 --> 00:32:25,820
+limit
+
+269
+00:32:28,550 --> 00:32:34,910
+لسالب واحد أُس n في xn ال sequence هذه لما n تقول
+
+270
+00:32:34,910 --> 00:32:46,590
+ل infinity بساوي x ينتمي إلى r show أن ال limit ل
+
+271
+00:32:46,590 --> 00:32:56,630
+xn لما n تقول ل infinity بساوي سفر فضلي
+
+272
+00:33:21,960 --> 00:33:28,720
+فنشوف الان انا عندي ال limit لل sequence للحد
+
+273
+00:33:28,720 --> 00:33:33,900
+العام تبعها سالب واحد قص ان في x in لما ان تقول
+
+274
+00:33:33,900 --> 00:33:44,020
+infinity بساوي x اذا ان andالسالب واحد قصة اتنين N
+
+275
+00:33:44,020 --> 00:33:52,460
+في X اتنين N هذه عبارة عن subsequence subsequence
+
+276
+00:33:52,460 --> 00:33:58,540
+of السيكوانس الحد العام تبعها السالب واحد قصة N X
+
+277
+00:33:58,540 --> 00:34:07,730
+X N هذه subsequence خط الحدود الزوجية صح؟طيب ال
+
+278
+00:34:07,730 --> 00:34:12,950
+subsequence هذه هي الحد العام تبعها x اتنين n
+
+279
+00:34:12,950 --> 00:34:16,890
+مفروض converge اخلنا احنا في نظرية ان كانت ال
+
+280
+00:34:16,890 --> 00:34:21,350
+sequence convergent ل x فأي subsequence منها بتكون
+
+281
+00:34:21,350 --> 00:34:27,810
+convergent لنفس ال x تمام؟ في نفس الوجد
+
+282
+00:34:38,530 --> 00:34:44,370
+في نفس الوقت ال sequence سالب واحد قصة اتنين in
+
+283
+00:34:44,370 --> 00:34:48,750
+سالب واحد في
+
+284
+00:34:48,750 --> 00:34:56,810
+x اتنين in سالب واحد هذا عبارة عن sub sequence من
+
+285
+00:34:56,810 --> 00:35:02,070
+ال sequence الأصلي المعطاة اللي هي الحد العام
+
+286
+00:35:02,070 --> 00:35:07,020
+تبعها سالب واحد to int x inيعني انا اخدت هنا
+
+287
+00:35:07,020 --> 00:35:10,680
+الحدود الفردية من الـ sequence هذه طبعا هذه اكيد
+
+288
+00:35:10,680 --> 00:35:17,600
+subsequence فالحد العام هذا عبارة عن سالب X اتنين
+
+289
+00:35:17,600 --> 00:35:23,140
+M سالب واحد الآن ال subsequence هذه المفروض انها
+
+290
+00:35:23,140 --> 00:35:28,180
+converge الى X لان ال sequence الاصلية convergent
+
+291
+00:35:28,180 --> 00:35:34,560
+ل X تمام؟ اذا انا في عندي هنا limit
+
+292
+00:35:38,370 --> 00:35:46,990
+x اتنين n سالب واحد بساوي سالب x لأن limit سالب ال
+
+293
+00:35:46,990 --> 00:35:53,070
+sequence هذه بساوي x اذا اضربيها في سالب واحد طبعا
+
+294
+00:35:53,070 --> 00:36:02,030
+واندي من هنا من هناك limit x اتنين n لما n تقول
+
+295
+00:36:02,030 --> 00:36:05,810
+infinity بساوي
+
+296
+00:36:05,810 --> 00:36:06,190
+x
+
+297
+00:36:17,310 --> 00:36:28,710
+نجمعهم؟ لأ لأ منجمعوش الناس ما
+
+298
+00:36:28,710 --> 00:36:29,450
+بنجمعهم
+
+299
+00:36:37,410 --> 00:36:42,950
+ما بنجمع مش عاملة اتجمع الان في اندي انا لحظة انت
+
+300
+00:36:42,950 --> 00:36:50,530
+عندك من الفرض xn أكبر من أو سوى سفر لكل n في n
+
+301
+00:36:55,480 --> 00:37:03,280
+فبالتالي إذا x2n سالب واحد أكبر من أوسعه سفر لكل n
+
+302
+00:37:03,280 --> 00:37:15,820
+وكذلك x2n برضه أكبر من أوسعه سفر لكل n صح؟ أصبت؟
+
+303
+00:37:15,820 --> 00:37:22,240
+وبالتالي إذا ال limit ل x2n سالب واحد تطلع أكبر من
+
+304
+00:37:22,240 --> 00:37:30,430
+أوسعه سفرو ال limit ل x2n تطلع أكبر من أوي ساوي
+
+305
+00:37:30,430 --> 00:37:34,890
+سفر هذه نظرية أخدناها صح؟ أخدناها نظرية بتقول لو
+
+306
+00:37:34,890 --> 00:37:38,550
+كانت ال sequence كل حدوة ده غير سالبة و ال limit
+
+307
+00:37:38,550 --> 00:37:44,330
+تبعتها exist فال limit تبعتها تطلع غير سالبة صح؟
+
+308
+00:37:44,330 --> 00:37:50,750
+فال limit هنا هي حسبناها سالم x و ال limit هنا
+
+309
+00:37:50,750 --> 00:37:59,060
+طلعت xإذا أنا في عندي سالب X أكبر من أو ساوي سفر
+
+310
+00:37:59,060 --> 00:38:06,420
+and X أكبر من أو ساوي سفر هذا بيقدر ان X أصغر من
+
+311
+00:38:06,420 --> 00:38:13,680
+أو ساوي سفر and X أكبر من أو ساوي سفر هذا بيقدر ان
+
+312
+00:38:13,680 --> 00:38:15,040
+X بساوي سفر
+
+313
+00:38:19,470 --> 00:38:23,930
+مايعني x أصغر من 0 و أكبر من 0 يعني x أصغر من 0
+
+314
+00:38:23,930 --> 00:38:27,470
+العدد الو��يد اللي بتمتع بالخاصيتين هدول في نفس
+
+315
+00:38:27,470 --> 00:38:34,090
+الواجت هو 0 إذا هاني أثبتت أن ال limit ل ال
+
+316
+00:38:34,090 --> 00:38:37,550
+sequence
+
+317
+00:38:37,550 --> 00:38:42,870
+أثبتت
+
+318
+00:38:42,870 --> 00:38:44,170
+أن x أصغر من 0
+
+319
+00:38:47,480 --> 00:38:52,500
+طبعا احنا ما اثبتناش لحد تلان ان ال limit لل
+
+320
+00:38:52,500 --> 00:38:59,260
+sequence ان انا عندي .. اذا انا اصبح عندي لان ال
+
+321
+00:38:59,260 --> 00:39:05,920
+limit لل sequence سارب واحد أس ن في xn لما n تقول
+
+322
+00:39:05,920 --> 00:39:13,090
+ال infinity طلعت بالساوية سفر وبالتالي هذا بيقديفي
+
+323
+00:39:13,090 --> 00:39:25,710
+exercise أخدناه بيقول إذا كان if
+
+324
+00:39:25,710 --> 00:39:34,750
+limit xn as n tends to infinity بيساوي 7 then
+
+325
+00:39:34,750 --> 00:39:42,200
+limitabsolute xn as n tends to infinity بيساوي سفر
+
+326
+00:39:42,200 --> 00:39:48,200
+والعكس كمان فباستخدام ال exercise هذا هذا بيقدي
+
+327
+00:39:48,200 --> 00:39:54,600
+انه limit absolute سالب واحد اص ان في xn as n
+
+328
+00:39:54,600 --> 00:39:58,660
+tends to infinity بيساوي
+
+329
+00:39:58,660 --> 00:40:01,260
+سفر اللي هو بيساوي limit
+
+330
+00:40:11,310 --> 00:40:15,930
+أنا مش عارف أنا ليش رفضت اللي نجمع مش هو عبارة ال
+
+331
+00:40:15,930 --> 00:40:21,010
+XN هي عبارة عن حدود زوجية و فردية لو جمعناهم بدون
+
+332
+00:40:21,010 --> 00:40:22,370
+ال N مش sequence
+
+333
+00:40:30,350 --> 00:40:37,410
+هذا تفكير ضحل مع احترام طبعا لسؤالك هاي عندك انت
+
+334
+00:40:37,410 --> 00:40:46,250
+هاي
+
+335
+00:40:46,250 --> 00:40:54,950
+عندك sequence مثلا هاي ال sequence سالب واحد قصة
+
+336
+00:40:54,950 --> 00:40:55,710
+اتنين in
+
+337
+00:40:59,480 --> 00:41:07,080
+حدودها واحد واحد إلى آخرها صح؟ هزبوت؟ و سالب واحد
+
+338
+00:41:07,080 --> 00:41:15,380
+قصة اتنين in سالب واحد حدودها سالب واحد تمام؟
+
+339
+00:41:15,380 --> 00:41:23,480
+لما اجمعهم add اجمعيهم فهي ال sequence الأول ان هي
+
+340
+00:41:23,480 --> 00:41:30,690
+زائد ال sequence التانيةلما بجمعهم بجمع الحد الأول
+
+341
+00:41:30,690 --> 00:41:34,610
+على الأول التاني على التاني و هكذا صح؟ إيش هيطلع
+
+342
+00:41:34,610 --> 00:41:41,090
+عندك؟ صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر
+
+343
+00:41:41,090 --> 00:41:43,030
+صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر
+
+344
+00:41:43,030 --> 00:41:43,030
+صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر
+
+345
+00:41:43,030 --> 00:41:46,190
+صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر
+
+346
+00:41:46,190 --> 00:41:51,350
+صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر صفر
+
+347
+00:41:51,350 --> 00:41:53,750
+صفر صف
+
+348
+00:42:00,230 --> 00:42:07,010
+المشكلة عندك انك بتقول X sequence XN ممكن تعتبرها
+
+349
+00:42:07,010 --> 00:42:15,250
+ابارعا مجموعة sub sequence X2N زاد sub sequence
+
+350
+00:42:15,250 --> 00:42:24,310
+X2N-1 هذا غلط هذا غلط ليس صحيحوهي مثالي واضح خطأ
+
+351
+00:42:24,310 --> 00:42:30,270
+okay تمام؟ في أي أسئلة تانية لو سمحتوا؟ مين عندها
+
+352
+00:42:30,270 --> 00:42:44,050
+سؤال تاني؟ مال لديها سؤال؟ في عندكم أسئلة؟ تمام؟
+
+353
+00:42:44,050 --> 00:42:50,950
+مش مقتنعة أه؟ هد مثال هي قدامك أمامك افحص المثال
+
+354
+00:42:50,950 --> 00:42:56,510
+كويس هتقتنعيلو كلامك صح لكان هذا المجموع بساوي
+
+355
+00:42:56,510 --> 00:43:03,010
+سالب واحد اصلا صح ليش
+
+356
+00:43:03,010 --> 00:43:10,730
+اسئلة تانية عندكم سؤال تسعة
+
+357
+00:43:10,730 --> 00:43:14,890
+اربعة
+
+358
+00:43:14,890 --> 00:43:20,710
+واحد سؤال
+
+359
+00:43:20,710 --> 00:43:26,430
+تسعة الفرع ديهذا شبيه بالأفراد التانية، بديك يعني
+
+360
+00:43:26,430 --> 00:43:30,570
+تحاول .. انا وصلت ان ال absolute ل 2x نفس الواحد
+
+361
+00:43:30,570 --> 00:43:33,950
+على 2 absolute ال x زائد الواحد، لإن كل ال answer
+
+362
+00:43:33,950 --> 00:43:37,190
+اللي فاتت كان مايكونش .. مايكونش إيش في ال bust
+
+363
+00:43:37,190 --> 00:43:42,950
+يعني، انا أجيب علاقة ال x زائد الواحد يعني delta
+
+364
+00:43:42,950 --> 00:43:45,650
+في النهاية هتكون هي ال minimum ل .. ل .. لقيم
+
+365
+00:43:45,650 --> 00:43:47,070
+تانية لقيم تانية، لإن مثلا انا مش عارفة ..
+
+366
+00:43:47,070 --> 00:43:52,290
+ماطلعتيش؟ انا مش عارفة القيمة التانية، يعني عرفت
+
+367
+00:43:52,290 --> 00:43:53,010
+القيمة الأولى
+
+368
+00:44:00,180 --> 00:44:05,940
+نعم طيب عشان بس ال .. ال .. الوقت يعني انتهى خلينا
+
+369
+00:44:05,940 --> 00:44:13,320
+نقول انه يعني نواجف هنا و هيك المحاضرة بتكون انتهت
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/JXFFuyzuuqA_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1860 @@
+1
+00:00:20,220 --> 00:00:25,360
+بسم الله الرحمن الرحيم هندرس اليوم ان شاء الله مع
+
+2
+00:00:25,360 --> 00:00:32,000
+بعض ال section خمسة أربعةاللي بيتحدث عن موضوع ال
+
+3
+00:00:32,000 --> 00:00:36,720
+uniform continuity أو الاتصال المنظم للدوال
+
+4
+00:00:36,720 --> 00:00:40,600
+هحنحاول ناخد أكبر جزء ممكن من ال section الجزء
+
+5
+00:00:40,600 --> 00:00:44,860
+المتبقي ممكن نكمله في المحاضرة الجاية يوم الأتنين
+
+6
+00:00:44,860 --> 00:00:49,820
+فال
+
+7
+00:00:49,820 --> 00:00:54,540
+.. خلّينا الأول نراجع .. نراجع تعريف الاتصال
+
+8
+00:00:54,540 --> 00:00:59,270
+العاديال continuity على مجموعة فلو كان في handy
+
+9
+00:00:59,270 --> 00:01:04,170
+function f من a ل r فالعبارات التالية بتكون
+
+10
+00:01:04,170 --> 00:01:13,410
+متكافئة if is continuous at at
+
+11
+00:01:13,410 --> 00:01:20,810
+every at every u ينتمي إلى a اللي هو مجال الدالة
+
+12
+00:01:20,810 --> 00:01:24,370
+العبارة التانية given
+
+13
+00:01:27,500 --> 00:01:36,300
+epsilon أكبر من السفر and given u ينتمي إلى a يوجد
+
+14
+00:01:36,300 --> 00:01:41,160
+.. بيقدر نلاقي delta و ال delta هذه تعتمد على ال
+
+15
+00:01:41,160 --> 00:01:51,590
+epsilon و على ال u عدد موجببحيث أنه لكل x ينتمي
+
+16
+00:01:51,590 --> 00:01:59,250
+إلى a و absolute x minus u أصغر من delta فهذا
+
+17
+00:01:59,250 --> 00:02:07,830
+بتضمن إلى absolute f of x minus f of u أصغر من
+
+18
+00:02:07,830 --> 00:02:08,310
+epsilon
+
+19
+00:02:19,690 --> 00:02:30,650
+خلّينا بس ناخد المثال التالي consider
+
+20
+00:02:30,650 --> 00:02:41,910
+ال function f of xبتساوي واحد على X و X ينتبه لايه
+
+21
+00:02:41,910 --> 00:02:45,890
+اللي هي الفترة
+
+22
+00:02:45,890 --> 00:02:56,270
+كل ال X في R حيث X أكبر من الصفر إذا ال function F
+
+23
+00:02:56,270 --> 00:03:02,770
+معرفة على كل الأعداد الموجبة احنا
+
+24
+00:03:02,770 --> 00:03:05,770
+أثبتنا قبل هيك و proved
+
+25
+00:03:10,640 --> 00:03:14,920
+earlier فيما سبق في دراساتنا السابقة في section
+
+26
+00:03:14,920 --> 00:03:21,540
+اربعة خمسة ثلاثة او خمسة اتنين اثبتنا ان ال
+
+27
+00:03:21,540 --> 00:03:30,700
+function f is continuous على المجموعة a وخلنا
+
+28
+00:03:30,700 --> 00:03:36,580
+نراجع مع بعض ان مع بعض نراجع البرهان fix
+
+29
+00:03:39,080 --> 00:03:46,920
+fix u ينتمي إلى a given إبصر
+
+30
+00:03:46,920 --> 00:03:49,760
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+31
+00:03:49,760 --> 00:03:50,560
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+32
+00:03:50,560 --> 00:03:53,060
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+33
+00:03:53,060 --> 00:03:56,600
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+34
+00:03:56,600 --> 00:03:57,260
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+35
+00:03:57,260 --> 00:03:57,360
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+36
+00:03:57,360 --> 00:04:00,020
+أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر أكبر من صفر
+
+37
+00:04:00,020 --> 00:04:06,790
+أكبر من صفر أكبر من صفربتطبيق تعريف epsilon delta
+
+38
+00:04:06,790 --> 00:04:12,110
+للاتصال ان نقطة given epsilon اذا بيطلع ارجعه we
+
+39
+00:04:12,110 --> 00:04:19,350
+found delta و ال delta هذه كانت ال minimum لقنتين
+
+40
+00:04:19,350 --> 00:04:24,470
+u ع اتنين او كانت هناك c ع اتنين بدل u كانت النقطة
+
+41
+00:04:24,470 --> 00:04:33,350
+بيسميها c فعندي u ع اتنين و u تربيه على اتنين في
+
+42
+00:04:33,350 --> 00:04:40,450
+epsilonطبعا هذا عدد موجب واضح ان ال delta هذه عدد
+
+43
+00:04:40,450 --> 00:04:44,530
+موجب لان هذا عدد موجب و هذا عدد موجب و بعدين ال
+
+44
+00:04:44,530 --> 00:04:50,530
+delta لاحظوا انها بتعتمد على ال epsilon و على ال U
+
+45
+00:04:52,480 --> 00:04:55,840
+الـ Delta بتعتمد على الـ Epsilon وعلى الـ U مش بس
+
+46
+00:04:55,840 --> 00:04:58,280
+على الـ Epsilon وعلى النقطة U اللى احنا بدنا نفحص
+
+47
+00:04:58,280 --> 00:05:05,020
+عندها الاتصال فشوفنا بعد هيك انه .. اذا for this
+
+48
+00:05:05,020 --> 00:05:11,880
+Delta اذا لو أخدنا X ��نتمي إلى A و Absolute X
+
+49
+00:05:11,880 --> 00:05:19,560
+minus U أصغر من Delta فطبعا هذا قدهذا أدى أن الـ
+
+50
+00:05:19,560 --> 00:05:26,240
+delta هنا أصغر من أو يساوي U ع 2 وبالتالي هذا
+
+51
+00:05:26,240 --> 00:05:35,600
+بيقدر أن X أصغر من 3U ع 2 أكبر من U ع 2 لما نحل
+
+52
+00:05:35,600 --> 00:05:42,720
+المعادلة المتبينة هذه في U وهذا
+
+53
+00:05:42,720 --> 00:05:44,520
+بيقدر بدوره
+
+54
+00:05:46,640 --> 00:05:59,580
+أبسلوت f of x minus f of u طالع بيساوي أبسلوت واحد
+
+55
+00:05:59,580 --> 00:06:06,580
+على x minus واحد على u هذا بيساوي أبسلوت u minus x
+
+56
+00:06:06,580 --> 00:06:13,390
+على x في u المفروض أحط هنا أبسلوتأكس في U لكن ال X
+
+57
+00:06:13,390 --> 00:06:17,290
+و ال U عناصر في A و A عناصرها كل أعداد موجبة فلا
+
+58
+00:06:17,290 --> 00:06:21,950
+داعي ال absolute value الأن absolute أنا عندي هنا
+
+59
+00:06:21,950 --> 00:06:31,390
+من المتباينة هذه بيطلع عندي المفروض أنه أنا عندي
+
+60
+00:06:31,390 --> 00:06:43,100
+بيطلع U على 2 أصغر من X صح فهذا بيقدي أنه X فيأضرب
+
+61
+00:06:43,100 --> 00:06:47,420
+في U، U عدد موجب فبطلع U تربيع اتنين اصغر من X
+
+62
+00:06:47,420 --> 00:06:55,520
+وبالتالي واحد مقلوب XU بطلع اصغر من اتنين على U
+
+63
+00:06:55,520 --> 00:07:02,200
+تربيع اذا مقلوب XU اصغر من اتنين على U تربيع في
+
+64
+00:07:02,200 --> 00:07:08,790
+absolute U minus Xو هذي أصغر من دلتا إذاً هذي أصغر
+
+65
+00:07:08,790 --> 00:07:13,830
+من اتنين على U تربية في دلتا طيب الدلتا أنا
+
+66
+00:07:13,830 --> 00:07:18,390
+اختارها ال minimum للقيمة هذه وهذه فبالتالي الدلتا
+
+67
+00:07:18,390 --> 00:07:22,890
+هذه تطلع أصغر من أو ساوي القيمة التانيةإذن اتنين
+
+68
+00:07:22,890 --> 00:07:28,850
+على U تربية ضرب U تربية على اتنين في Epsilon و
+
+69
+00:07:28,850 --> 00:07:33,490
+طبعا هذولا بيروحوا مع بعض و بيظل Epsilon وبالتالي
+
+70
+00:07:33,490 --> 00:07:38,290
+بما أن Epsilon was arbitrary إذا ال F is
+
+71
+00:07:38,290 --> 00:07:48,110
+continuous at U ولمّا كانت U arbitrary since U
+
+72
+00:07:48,110 --> 00:07:49,770
+belonged to A was
+
+73
+00:07:52,720 --> 00:08:00,980
+arbitrary if is continuous على كل المجموعة ايه هذا
+
+74
+00:08:00,980 --> 00:08:05,740
+كان برهانة خلناها قبل هيك طيب ما الغرض مش ايش
+
+75
+00:08:05,740 --> 00:08:10,200
+النقطة ان احنا نعيد البرهان النقطة هي عايزين نفكز
+
+76
+00:08:10,200 --> 00:08:16,160
+او نأكد انه في اثبات الاتصال عند النقطة U لاحظنا
+
+77
+00:08:16,160 --> 00:08:20,330
+ان ال delta بتعتمد على ال epsilon و على ال Uهذا
+
+78
+00:08:20,330 --> 00:08:24,510
+معناه ان الـ delta بتتغير قيمتها مع تغير ال U
+
+79
+00:08:24,510 --> 00:08:28,070
+فمثلا
+
+80
+00:08:28,070 --> 00:08:40,890
+لو جينا نعمل هاي الدالة دي لو جينا رسمناها هاي
+
+81
+00:08:40,890 --> 00:08:47,730
+الدالة واحد على X لو جيت اخدت انا X لو كان هذا
+
+82
+00:08:47,730 --> 00:08:59,250
+واحد هذا اتنينفو هذا نص لو كانت ال U تبعتي لو كانت
+
+83
+00:08:59,250 --> 00:09:07,750
+ال U بساوي نص ف
+
+84
+00:09:07,750 --> 00:09:17,810
+F لنص بساوي هيطلع اتنين هذا بساوي F لنص طب لو جيت
+
+85
+00:09:17,810 --> 00:09:25,470
+أخدتأبسلون نيبرهود لاتنين اذا هذا عبارة عن بي
+
+86
+00:09:25,470 --> 00:09:32,310
+ابسلون لاتنين اللي هو صورة النص فهذا الابسلون
+
+87
+00:09:32,310 --> 00:09:38,130
+نيبرهود هيقابله delta
+
+88
+00:09:38,130 --> 00:09:43,350
+neighborhood هيقابله
+
+89
+00:09:43,350 --> 00:09:44,150
+delta
+
+90
+00:09:50,400 --> 00:09:59,440
+هذا عبارة عن delta neighborhood للنص باللاحظ هنا
+
+91
+00:09:59,440 --> 00:10:02,680
+ان ال delta هي قيمتها
+
+92
+00:10:20,550 --> 00:10:25,830
+هذه اتنين لو اخدت U بساوة اتنين لو اخدت U بساوة
+
+93
+00:10:25,830 --> 00:10:30,230
+اتنين احنا اثبتنا ان الدالة متصلة على الاتنين وهذه
+
+94
+00:10:30,230 --> 00:10:37,730
+ال function شكلها هيكون زي هيك يعني
+
+95
+00:10:37,730 --> 00:10:41,770
+هون ف F لتنين
+
+96
+00:10:44,810 --> 00:10:49,990
+بساوي نص او صورة اتنين بطلع نص اللي هي صورة
+
+97
+00:10:49,990 --> 00:10:54,470
+الاتنين الان لو انا اخدت كوانة epsilon
+
+98
+00:10:54,470 --> 00:11:01,750
+neighborhood لنقطة نص هذه ال epsilon هنا نفس قيمة
+
+99
+00:11:01,750 --> 00:11:06,890
+ال epsilon اللي هنا نفس القيمة وبالتالي الان اذا
+
+100
+00:11:06,890 --> 00:11:13,680
+في عندي انا دي epsilon لن نصفطبعاً لكل epsilon
+
+101
+00:11:13,680 --> 00:11:16,480
+neighborhood للنص بما أن الدلة متصلة عند اتنين
+
+102
+00:11:16,480 --> 00:11:22,480
+هيوجد V Delta يوجد
+
+103
+00:11:22,480 --> 00:11:28,800
+V Delta okay
+
+104
+00:11:28,800 --> 00:11:32,960
+هذا هيكون V Delta
+
+105
+00:11:39,350 --> 00:11:43,010
+هذا عبارة عن V Delta او Delta neighborhood للإفنين
+
+106
+00:11:43,010 --> 00:11:48,190
+فبلاحظ انه رغم ان ال epsilon هنا نفس قيمة ال
+
+107
+00:11:48,190 --> 00:11:52,890
+epsilon هنا الا ان ال delta هنا شوف جدش صغيرة
+
+108
+00:11:52,890 --> 00:12:00,400
+بينما ال delta هنا شايفين ما اكبرها؟تغيرت مين اللي
+
+109
+00:12:00,400 --> 00:12:05,220
+غير ال delta ال U لما ال U كانت نص ال delta كانت
+
+110
+00:12:05,220 --> 00:12:11,340
+صغيرة لما ال U كانت اتنين ال U كبرت اذا ال delta
+
+111
+00:12:11,340 --> 00:12:15,600
+هنا او ال delta نبرهود بيعتمد على ال epsilon او ال
+
+112
+00:12:15,600 --> 00:12:19,200
+delta بتعتمد على ال مش بس على ال epsilon و على ال
+
+113
+00:12:19,200 --> 00:12:23,840
+U و على النقطة نفسها okay واضح اذا هنا ال delta
+
+114
+00:12:23,840 --> 00:12:31,210
+تغيرت مع تغير ال UOkay تمام وبالتالي ال delta لأي
+
+115
+00:12:31,210 --> 00:12:34,470
+epsilon ال delta ده بتعتمد على ال u على ال epsilon
+
+116
+00:12:34,470 --> 00:12:39,410
+أو على النقطة وعلى ال epsilon تمام واضحة النقطة
+
+117
+00:12:39,410 --> 00:12:45,370
+هذه طيب احنا خلينا نقبل ناشية ده المثال خلينا ناخد
+
+118
+00:12:45,370 --> 00:12:54,770
+مثال تاني example
+
+119
+00:12:54,770 --> 00:12:56,210
+2
+
+120
+00:12:59,420 --> 00:13:09,840
+خلّينا ناخد الـ function f of x بساوي 2x و x ينتمي
+
+121
+00:13:09,840 --> 00:13:13,780
+إلى R Note
+
+122
+00:13:13,780 --> 00:13:20,620
+that .. خلّينا نلاحظ أول أن absolute f of x minus
+
+123
+00:13:20,620 --> 00:13:29,440
+f of uبساوي absolute اتنين X minus اتنين U بساوي
+
+124
+00:13:29,440 --> 00:13:38,420
+اتنين في absolute X minus U لكل X و U ينتمي ال R
+
+125
+00:13:38,420 --> 00:13:44,880
+مظبوط هيك؟ طيب
+
+126
+00:13:44,880 --> 00:13:51,760
+الدالة هذه معروفة انها متصلة على R المجال تبعها
+
+127
+00:13:51,760 --> 00:13:52,200
+صح؟
+
+128
+00:14:03,920 --> 00:14:13,000
+على الـ set R فكيف بنعمل فكس بنثبت U في R بنثبت أن
+
+129
+00:14:13,000 --> 00:14:22,180
+F متصل عند الـ U صح؟ and let أكبر من السفر be
+
+130
+00:14:22,180 --> 00:14:22,780
+given
+
+131
+00:14:28,810 --> 00:14:36,250
+تختار دلتا نختار دلتا بساوي أبسلون ع اتنين أكبر من
+
+132
+00:14:36,250 --> 00:14:45,010
+السفر فلهذه الدلتا then لو كان x ينتمي إلى ال a
+
+133
+00:14:45,010 --> 00:14:51,490
+اللي هي r و absolute x minus u أصغر من الدلتا فهذا
+
+134
+00:14:51,490 --> 00:14:58,840
+هيديني absolute f of x minus f of uبتقول إن هذا
+
+135
+00:14:58,840 --> 00:15:03,440
+بيطلع بساوية أصغر من أو ساوية اتنين في absolute x
+
+136
+00:15:03,440 --> 00:15:09,940
+minus u أو بساوية بالأعلى، صح؟ طيب مانا ال X هذه
+
+137
+00:15:09,940 --> 00:15:14,660
+ماخدها بحيث أن absolute x minus u أصغر من ال
+
+138
+00:15:14,660 --> 00:15:20,160
+delta، صح؟عشان ذلك انا اخترت delta بساوي epsilon ع
+
+139
+00:15:20,160 --> 00:15:24,500
+اتنين اه شوفت ايش خدنا delta بساوي epsilon ع اتنين
+
+140
+00:15:24,500 --> 00:15:30,740
+طيب و هذا بساوي epsilon حسب اختيارنا لل delta
+
+141
+00:15:30,740 --> 00:15:37,460
+وبالتالي هيك اذا ال function بما انه epsilon was
+
+142
+00:15:37,460 --> 00:15:44,800
+arbitrarily اذا f is continuousat الـ U وبما أن U
+
+143
+00:15:44,800 --> 00:15:48,060
+belong to R وزر فبتره إذا if continuous على كل ال
+
+144
+00:15:48,060 --> 00:15:55,240
+R كمان مرة النقطة هنا اللي عايزين أن أكد عليها هو
+
+145
+00:15:55,240 --> 00:16:01,520
+إن ال Delta لأي إبسلون و لأي U و لأي إبسلون ال
+
+146
+00:16:01,520 --> 00:16:06,160
+Delta هنا تعتمد على إبسلون فقط مالهاش دعوة في ال U
+
+147
+00:16:06,160 --> 00:16:11,790
+بمعنى آخر لو أنا ال U هذه غيرتهاأخذت U تانية لو
+
+148
+00:16:11,790 --> 00:16:14,670
+كانت تانية مثلا U بالساعة و سفر او واحد او اتنين
+
+149
+00:16:14,670 --> 00:16:19,310
+او تلاتة او اي عدد حقيقي فكل مرة ال delta نفس ال
+
+150
+00:16:19,310 --> 00:16:25,800
+delta F2 will work لل U لكل Uلأي إبسن خدي نفس ال
+
+151
+00:16:25,800 --> 00:16:28,340
+delta إبسن على اتنين هتعطيهم إيه ال implication
+
+152
+00:16:28,340 --> 00:16:33,640
+هذه بغض النظر عن ال U okay؟ وبالتالي هنا في ال ..
+
+153
+00:16:33,640 --> 00:16:37,320
+في ال .. في الاتصال هذا ال delta هنا تعتمد على
+
+154
+00:16:37,320 --> 00:16:40,540
+إبسن فقط و لا تعتمد على U بينما في المثال السابق
+
+155
+00:16:40,540 --> 00:16:45,240
+شوفنا ال delta بتعتمد على Uهذا النوع من الاتصال
+
+156
+00:16:45,240 --> 00:16:48,860
+بنسميه اتصال منتظم اللي فيه ال delta تعتمد على
+
+157
+00:16:48,860 --> 00:16:52,760
+epsilon فقط اتصال منتظم او uniform continuity
+
+158
+00:16:52,760 --> 00:16:55,540
+اتصال اللي جابله اللي ال delta تعتمد على ال
+
+159
+00:16:55,540 --> 00:17:00,510
+epsilon و على النقطة Uهذا نسميه continuity عادية
+
+160
+00:17:00,510 --> 00:17:04,230
+او نقول continuity اتصال اما هذا uniform
+
+161
+00:17:04,230 --> 00:17:08,770
+continuity هنشوف ال gate من التعريف ان ال uniform
+
+162
+00:17:08,770 --> 00:17:13,990
+continuity اقوى و اشمل من ال continuity العادية
+
+163
+00:17:13,990 --> 00:17:22,670
+okay تمام اذا خليني اضع تعريف ال uniform
+
+164
+00:17:22,670 --> 00:17:25,590
+continuity definition
+
+165
+00:17:28,670 --> 00:17:40,970
+فنشطة f من a الى r هي عامة عامة
+
+166
+00:17:40,970 --> 00:17:49,130
+مستمرة عامة مستمرة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+167
+00:17:49,130 --> 00:17:49,170
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+168
+00:17:49,170 --> 00:17:54,610
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+169
+00:17:54,610 --> 00:17:55,930
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+170
+00:17:55,930 --> 00:17:55,950
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+171
+00:17:55,950 --> 00:17:56,070
+عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة عامة
+
+172
+00:18:00,400 --> 00:18:06,760
+إبسلون أكبر من السفر يوجد Delta تعتمد على إبسلون
+
+173
+00:18:06,760 --> 00:18:13,920
+فقط، عدد موجب بحيث أنه لكل X و U تنتمي إلى A
+
+174
+00:18:13,920 --> 00:18:20,620
+وأبسليوت X minus U أصغر من Delta هذا بتضمن أن
+
+175
+00:18:20,620 --> 00:18:29,420
+أبسليوت F of X minus F of U أصغر من الإبسلون
+
+176
+00:18:31,760 --> 00:18:35,660
+إذا هنا لأي أبسلون أكبر من السفر في دلتة واحدة
+
+177
+00:18:35,660 --> 00:18:40,100
+تعتمد على أبسلون فقط والدلتة هذه تلف على كل ال X
+
+178
+00:18:40,100 --> 00:18:44,620
+وكل ال U أو لكل ال U مرة واحدة فهنا لكل X و لأي U
+
+179
+00:18:44,620 --> 00:18:48,300
+إذا المسافة بينهم أصغر من الدلتة فالمسافة بين
+
+180
+00:18:48,300 --> 00:18:54,140
+أصغرهم أصغر من X تمام؟ الآن واضح من التعريفات
+
+181
+00:18:58,880 --> 00:19:05,820
+remarks المراحبة الأولى uniform
+
+182
+00:19:05,820 --> 00:19:13,760
+continuity
+
+183
+00:19:13,760 --> 00:19:23,440
+uniform continuity implies continuity
+
+184
+00:19:27,240 --> 00:19:35,720
+الاتصال المنتظر بيؤدي للاتصال العادى و البرهان
+
+185
+00:19:35,720 --> 00:19:39,960
+واضح يعني بمعنى اخر لو في عندي function f from a
+
+186
+00:19:39,960 --> 00:19:46,460
+to r و ال function كانت uniformly continuous فهذا
+
+187
+00:19:46,460 --> 00:19:54,350
+بيؤدي ان f continuous فالبرهان ذلكأفرضي أن F
+
+188
+00:19:54,350 --> 00:20:00,770
+uniformly continuous إذا اشترتها تتحقق تبع الـ
+
+189
+00:20:00,770 --> 00:20:05,750
+Uniform Continuous الآن لإثبات أن F continuous على
+
+190
+00:20:05,750 --> 00:20:11,210
+A بتثبت أن F continuous at every U ينتمي لـ A يعني
+
+191
+00:20:11,210 --> 00:20:17,090
+بتثبت أنه لأي epsilon و لأي U فـ let epsilon be
+
+192
+00:20:17,090 --> 00:20:20,030
+given و let U be fixed element في A
+
+193
+00:20:22,930 --> 00:20:26,390
+من هنا لهذه الـ Epsilon من هنا بما أن هذا الشرط
+
+194
+00:20:26,390 --> 00:20:32,670
+متحقق لأن خد ال Delta لأي ال Epsilon هادي given خد
+
+195
+00:20:32,670 --> 00:20:34,950
+ال Delta اللي هي هذه موجودة في ال uniform
+
+196
+00:20:34,950 --> 00:20:38,650
+continuous اللي بتعتمد على Epsilon فقط خديها هي ال
+
+197
+00:20:38,650 --> 00:20:43,730
+Delta هذه فطبعا هذه ال Delta بتخلي ال implication
+
+198
+00:20:43,730 --> 00:20:51,850
+هذه تتحقق نظرت؟ لو هذه متحققة فهذه متحققةإذن هيك
+
+199
+00:20:51,850 --> 00:20:55,270
+واضح إن ال uniform continuous إذا الواحدة بيقدر أن
+
+200
+00:20:55,270 --> 00:20:58,930
+f continuous and u لما أن u واظهر بترة إذا f
+
+201
+00:20:58,930 --> 00:21:05,310
+continuous and كل على كل المجموعية لكن
+
+202
+00:21:05,310 --> 00:21:11,690
+العكس مش صحيح إذا العكس المواحدة التانية العكس مش
+
+203
+00:21:11,690 --> 00:21:17,570
+صحيح but not conversely
+
+204
+00:21:22,160 --> 00:21:26,380
+العكس مش صحيح، يعني ال continuity لا تؤدي إلى ال
+
+205
+00:21:26,380 --> 00:21:37,360
+uniform continuity و على سبيل المثال for
+
+206
+00:21:37,360 --> 00:21:39,220
+example على سبيل المثال
+
+207
+00:21:46,610 --> 00:21:51,610
+أحنا شوفنا قبل شوية في بداية المحاضرة الـ function
+
+208
+00:21:51,610 --> 00:21:56,870
+f of x بساوي واحد على x و x ينتمي إلى a اللي هي
+
+209
+00:21:56,870 --> 00:22:03,870
+الفترة مفتوحة من سفر لماء لنهاية is continuous on
+
+210
+00:22:03,870 --> 00:22:11,550
+a أثبتت أنها continuous على المجموعة a but
+
+211
+00:22:15,440 --> 00:22:28,480
+but if is not uniformly continuous on a as we
+
+212
+00:22:28,480 --> 00:22:34,140
+shall see in
+
+213
+00:22:34,140 --> 00:22:39,100
+a few minutes
+
+214
+00:22:39,100 --> 00:22:46,160
+كما سنرى بعد لحظات الدالة هذه ليست متصلةإتصالا
+
+215
+00:22:46,160 --> 00:22:52,940
+منتظم هنأخر المرحلة ده شوية و هنبرهنه فلكن في
+
+216
+00:22:52,940 --> 00:22:59,560
+الأول خلينا من التعريف تبع ال uniform continuity
+
+217
+00:22:59,560 --> 00:23:09,720
+نستنتج non uniform continuity criterion من
+
+218
+00:23:09,720 --> 00:23:13,120
+هنا non uniform
+
+219
+00:23:15,380 --> 00:23:22,560
+non uniform continuity criteria
+
+220
+00:23:22,560 --> 00:23:33,940
+let
+
+221
+00:23:33,940 --> 00:23:41,240
+f from a to r be a function then
+
+222
+00:23:44,150 --> 00:23:53,730
+the following statements are equivalent واحد if is
+
+223
+00:23:53,730 --> 00:23:58,810
+not uniformly
+
+224
+00:23:58,810 --> 00:24:09,510
+continuous على المجال تبعها نين there exists
+
+225
+00:24:09,510 --> 00:24:17,380
+epsilon zero أكبر من السفرsuch that for every
+
+226
+00:24:17,380 --> 00:24:26,620
+delta أكبر من السفر يوجد x delta و u delta أناصر
+
+227
+00:24:26,620 --> 00:24:36,220
+في a such that absolute x delta minus u delta أصغر
+
+228
+00:24:36,220 --> 00:24:45,160
+من delta and absolute f of x delta-f of u دلتا
+
+229
+00:24:45,160 --> 00:24:53,160
+أكبر من أو يساوي epsilon zero الأبارع
+
+230
+00:24:53,160 --> 00:25:00,020
+التالتة there exist epsilon zero أكبر من الصفر and
+
+231
+00:25:00,020 --> 00:25:06,200
+two sequences متتاليتين xn
+
+232
+00:25:07,630 --> 00:25:14,930
+و un موجودين في مجال الدالة a such that بحيث ان
+
+233
+00:25:14,930 --> 00:25:23,910
+limit xn minus un بساوي سفر as n tends to infinity
+
+234
+00:25:23,910 --> 00:25:25,690
+and
+
+235
+00:25:27,050 --> 00:25:35,910
+absolute f of xn minus f of un أكبر من أو ساوي
+
+236
+00:25:35,910 --> 00:25:42,350
+epsilon zero هذا صحيح لكل n ينتبه للأعداد الطبيعية
+
+237
+00:25:42,350 --> 00:25:51,070
+okay تمام طيب نشوف البرهان تبع النظرية هذه البرهان
+
+238
+00:25:51,070 --> 00:25:55,440
+تبع النظرية هذه ينتج مباشرة منتعريف ال uniform
+
+239
+00:25:55,440 --> 00:26:01,980
+continuity تعالى نشوف واحد بكافئ اتنين طيب ما
+
+240
+00:26:01,980 --> 00:26:07,300
+معناه if uniform continuous على المجموعة ايه؟
+
+241
+00:26:07,300 --> 00:26:12,920
+معناه الشرط هذا بتحقق طيب ما معناه ان if not
+
+242
+00:26:12,920 --> 00:26:16,540
+uniform continuous على ايه؟ معناه ال negation تبع
+
+243
+00:26:16,540 --> 00:26:19,720
+العبارة دي بتحقق تعالى ننفذ العبارة انفذ العبارة
+
+244
+00:26:20,730 --> 00:26:25,250
+بدل لكل epsilon يوجد epsilon zero ��دل يوجد delta
+
+245
+00:26:25,250 --> 00:26:31,550
+لكل delta موجبة بدل لكل x و u يوجد x و u يعتمد كل
+
+246
+00:26:31,550 --> 00:26:36,730
+واحد منهم يعتمد على ال delta بحيث لو كان هذا أصغر
+
+247
+00:26:36,730 --> 00:26:41,950
+من delta فلازم هذا يقدر انه الأصغر هذا أكبر من أو
+
+248
+00:26:41,950 --> 00:26:45,910
+ساوى ال epsilon zeroلأن واضح أن العبارة الأولى
+
+249
+00:26:45,910 --> 00:26:50,330
+بتكافئ التانية لأنه نفي التعريف بكافئ العبارة
+
+250
+00:26:50,330 --> 00:26:55,570
+التانية طيب التانية بتكافئ التالتة وهذا برضه صح
+
+251
+00:26:55,570 --> 00:27:01,650
+افرض أن التانية صحيحة تعني نثبت أن التالتة صحيحة
+
+252
+00:27:01,650 --> 00:27:05,170
+طيب هي التانية يوجد epsilon zero يوجد و هكذا
+
+253
+00:27:12,050 --> 00:27:16,770
+بحيث لكل delta خدي delta بالساوية واحد على n يعني
+
+254
+00:27:16,770 --> 00:27:21,370
+معنى أخر لكل n يوجد delta بالساوية واحد على n عدد
+
+255
+00:27:21,370 --> 00:27:26,730
+موجةوبالتالي يوجد X يعتمد على الـ Delta اللي هي
+
+256
+00:27:26,730 --> 00:27:31,670
+واحد على N اللي بتعتمد على N إذا لكل N لكل N يوجد
+
+257
+00:27:31,670 --> 00:27:37,310
+XN و UN صح؟ وبالتالي يوجد two sequences و ال two
+
+258
+00:27:37,310 --> 00:27:41,470
+sequences هدول بيحققوا أن absolute X واحدة XN
+
+259
+00:27:41,470 --> 00:27:46,310
+minus UN أصغر من واحد على N اللي هي ال Delta و هذا
+
+260
+00:27:46,310 --> 00:27:52,660
+صحيح لكل N إذا ال limitإذا كان هذا أصغر من واحد
+
+261
+00:27:52,660 --> 00:27:55,900
+على xn minus un على absolute أصغر من واحد على n
+
+262
+00:27:55,900 --> 00:28:00,020
+حصّم نظرية اتنين أربعة هذا معناه limit xn minus un
+
+263
+00:28:00,020 --> 00:28:06,420
+بساوة سفر وهذا هي absolute f of xn minus f of un
+
+264
+00:28:06,420 --> 00:28:12,180
+أكبر من أوسع okay فهو واضح وطبعا العكس نفس الحاجة
+
+265
+00:28:12,180 --> 00:28:16,020
+إذن البرهانة النظرية هذه ينتج مباشرة من ال
+
+266
+00:28:16,020 --> 00:28:20,340
+definition تبع ال uniform continuity
+
+267
+00:28:22,600 --> 00:28:27,400
+الان دعونا نرجع للمثال
+
+268
+00:28:27,400 --> 00:28:38,560
+هذا اذا هنا example to
+
+269
+00:28:38,560 --> 00:28:46,710
+show ان ال functionf of x بالساوي واحد على x is
+
+270
+00:28:46,710 --> 00:28:51,190
+not uniformly
+
+271
+00:28:51,190 --> 00:28:58,750
+continuous على المجموعة a اللي هي الفافرة مفتوحة
+
+272
+00:28:58,750 --> 00:29:07,010
+من صفر لما لا نهاية we use non
+
+273
+00:29:07,010 --> 00:29:09,270
+uniform
+
+274
+00:29:11,050 --> 00:29:16,390
+Non-uniform continuity
+
+275
+00:29:16,390 --> 00:29:21,890
+criteria
+
+276
+00:29:37,150 --> 00:29:47,310
+يوجد أبسلون زيرو يوجد
+
+277
+00:29:47,310 --> 00:29:49,870
+عدد أبسلون زيرو موجد
+
+278
+00:30:07,550 --> 00:30:16,570
+تختار خيار Xm بساوي واحد على ان اكيد هذه ال
+
+279
+00:30:16,570 --> 00:30:19,630
+sequence contain في الفترة المفتوحة من سفر للملا
+
+280
+00:30:19,630 --> 00:30:28,210
+نهاية صح؟ and كمان تختار خيار ثاني UN بساوي واحد
+
+281
+00:30:28,210 --> 00:30:33,370
+على ان زايد واحدبرضه هذه ال sequence حدودها كلها
+
+282
+00:30:33,370 --> 00:30:37,730
+موزبة وبالتالي مجموعة جزئية من الفترة المفتوحة من
+
+283
+00:30:37,730 --> 00:30:41,830
+سفر لملنغا Clearly
+
+284
+00:30:41,830 --> 00:30:45,290
+واضح
+
+285
+00:30:45,290 --> 00:30:54,330
+ان ال limit ل xn minus un as n times infinity
+
+286
+00:30:54,330 --> 00:31:04,720
+بساوي limit1 على n minus 1 على n زاد 1 as n equals
+
+287
+00:31:04,720 --> 00:31:11,660
+infinity ف limit الأولى ساوي سفر limit ال sequence
+
+288
+00:31:11,660 --> 00:31:18,200
+التانية سفر وبالتالي بيطلع سفر لأن هنا حققت كل
+
+289
+00:31:18,200 --> 00:31:24,020
+شروط ضايل بس المتبينة هادية also
+
+290
+00:31:28,610 --> 00:31:38,510
+أنا عندي absolute f of x in minus f of u in هذا
+
+291
+00:31:38,510 --> 00:31:46,990
+المفروض بيطلع بيساوي absolute in minus in زد واحد،
+
+292
+00:31:46,990 --> 00:31:53,430
+أزبوتك؟ وهذا بيساوي واحد، واحد أصغر من أوي، بيساوي
+
+293
+00:31:53,430 --> 00:32:00,000
+واحد اللي هو epsilon zeroو هذا صحيح لكل n في n
+
+294
+00:32:00,000 --> 00:32:08,940
+أصبو�� هنا هاني انا ايش عملت ال criterion رقم تلاتة
+
+295
+00:32:08,940 --> 00:32:15,660
+اتحققتها اتحققت انها متحققة ها يوجد epsilon zero
+
+296
+00:32:15,660 --> 00:32:21,600
+واحد لاحظوا الواحد علشان انا اختارت واحد ممكن اخد
+
+297
+00:32:21,600 --> 00:32:25,040
+برضه epsilon zero بساوة اتنين لان الواحد اصغر من
+
+298
+00:32:25,040 --> 00:32:29,380
+الاتنينمافي مشكلة بس مش أقل من واحد يعني نص من
+
+299
+00:32:29,380 --> 00:32:32,840
+فعشان لأن هي أثبتت يوجد epsilon zero عدد موجب
+
+300
+00:32:32,840 --> 00:32:36,280
+ويوجد two sequences انا اختارتهم انا اوجدتهم بنفسي
+
+301
+00:32:36,280 --> 00:32:39,780
+واحد على n واحد على n زيادة واحد كلهم موجودين في
+
+302
+00:32:39,780 --> 00:32:45,380
+مجال الدالة ايه و limit الفرق بينهم سفر لكن
+
+303
+00:32:45,380 --> 00:32:52,960
+absolute الفرق بين صورهممش أقوى هذا هيكون بساوي
+
+304
+00:32:52,960 --> 00:32:59,860
+واحد أكبر من أو ساوي .. مش أصغر من أو ساوي بدي
+
+305
+00:32:59,860 --> 00:33:06,140
+أكبر من أو ساوي واحد اللي هو epsilon خليني
+
+306
+00:33:06,140 --> 00:33:09,760
+أنا أسحب الكلام اللي حكيته سابقا و أقول هنا ممكن
+
+307
+00:33:09,760 --> 00:33:13,140
+أخد ال epsilon zero بساوي واحد أو أي حاجة أصغر
+
+308
+00:33:13,140 --> 00:33:19,750
+يعني نص بنفعيعني أبسلون زيرو بساوي نص منفع لكن أي
+
+309
+00:33:19,750 --> 00:33:23,630
+شيء أكبر من واحد منفعش لأن أنا بدي واحد يكون أكبر
+
+310
+00:33:23,630 --> 00:33:28,270
+من أو ساوي أبسلون زيرو تمام؟ إذا هذه أثبتنا
+
+311
+00:33:28,270 --> 00:33:31,750
+وبالتالي حسب ال non-uniform continuity criterion
+
+312
+00:33:31,750 --> 00:33:35,710
+ال .. ال function هذه is not uniform ل continuous
+
+313
+00:33:35,710 --> 00:33:42,250
+تمام؟ لكن أثبتنا سابق جابليك أنها is continuous
+
+314
+00:33:42,250 --> 00:33:48,150
+على المجال تبعهاإذا لو قلنا لكم prove or disprove
+
+315
+00:33:48,150 --> 00:33:51,330
+continuity
+
+316
+00:33:51,330 --> 00:33:55,010
+implies continuity .. ال uniform .. continuity
+
+317
+00:33:55,010 --> 00:33:58,970
+implies uniform continuity هتقولي هذا ال statement
+
+318
+00:33:58,970 --> 00:34:04,150
+false و ال counter example هو هذا هذا مثال على
+
+319
+00:34:04,150 --> 00:34:07,570
+function continuous لكن ليست uniformly continuous
+
+320
+00:34:07,570 --> 00:34:17,820
+تمام؟ طيب، كويسخلّينا الآن نثبت بعض النظريات
+
+321
+00:34:17,820 --> 00:34:24,300
+المهمة اللي بتخص uniform continuity ومن أهم
+
+322
+00:34:24,300 --> 00:34:32,680
+النظريات التي هي النظرية التالية theorem اسمها
+
+323
+00:34:32,680 --> 00:34:36,660
+uniform continuity
+
+324
+00:34:36,660 --> 00:34:40,160
+continuity theorem
+
+325
+00:34:49,430 --> 00:34:56,770
+let I بساوي be
+
+326
+00:34:56,770 --> 00:35:05,570
+a closed and bounded interval
+
+327
+00:35:05,570 --> 00:35:09,350
+اذا
+
+328
+00:35:09,350 --> 00:35:17,360
+I عبارة عن closed and bounded interval لو كانلو
+
+329
+00:35:17,360 --> 00:35:22,980
+كانت الـ function f continuous، if f from I to R
+
+330
+00:35:22,980 --> 00:35:34,040
+is continuous on I، then f is uniformly ..
+
+331
+00:35:34,040 --> 00:35:43,060
+uniformly continuous on
+
+332
+00:35:43,060 --> 00:35:43,620
+I
+
+333
+00:35:46,190 --> 00:35:51,870
+والبرهان السهل prove by contradiction اذا ان بكل
+
+334
+00:35:51,870 --> 00:35:57,070
+بساطة نظرية هذه رغم بساطة بساطة ال statement تبعها
+
+335
+00:35:57,070 --> 00:36:01,710
+اللي انا من اهم النظريات بكل بساطة النظرية اللي
+
+336
+00:36:01,710 --> 00:36:04,850
+بيقول لو كان في عندك function متصل على المجال
+
+337
+00:36:04,850 --> 00:36:08,550
+تبعها والمجال تبعها closed bounded interval اذا
+
+338
+00:36:08,550 --> 00:36:13,970
+الاتصال العادي يصبح اتصال منتظمإن ان هذه الحالة
+
+339
+00:36:13,970 --> 00:36:18,030
+الوحيدة اللي او يعني احد الحالات اللي فيها بيكون
+
+340
+00:36:18,030 --> 00:36:22,650
+الاتصال العادى بقدر الاتصال المنظم ان احنا اضافنا
+
+341
+00:36:22,650 --> 00:36:26,630
+شرط ان مجال تبع الدالة مايكونش اي set لازم يكون
+
+342
+00:36:26,630 --> 00:36:31,090
+closed bounded interval لبرهان ذلك بال
+
+343
+00:36:31,090 --> 00:36:39,670
+contradiction assume on contrary that
+
+344
+00:36:41,290 --> 00:36:55,010
+if is not uniformly continuous on I then by non
+
+345
+00:36:55,010 --> 00:37:03,550
+uniform continuity criteria النظرية
+
+346
+00:37:03,550 --> 00:37:10,620
+اللي فوقيوجد إبسلون زيرو أكبر من السفر و two
+
+347
+00:37:10,620 --> 00:37:15,620
+sequences and
+
+348
+00:37:15,620 --> 00:37:25,040
+two sequences واحدة نسميها x in والتانية un
+
+349
+00:37:25,040 --> 00:37:37,510
+contained in I بحيث أنهabsolute xn minus un أصغر
+
+350
+00:37:37,510 --> 00:37:46,390
+من واحد على n لكل n and absolute f of xn minus f
+
+351
+00:37:46,390 --> 00:37:56,420
+of unأكبر من أو ساوي epsilon zero لكل n في n كل
+
+352
+00:37:56,420 --> 00:38:01,300
+هذا ناخده من ال non uniform continuity criterion
+
+353
+00:38:01,300 --> 00:38:11,500
+الآن بدنا نصل لتناقض طيب
+
+354
+00:38:11,500 --> 00:38:15,980
+عشان نصل لتناقض since
+
+355
+00:38:18,370 --> 00:38:25,750
+I is bounded الفترة دي احنا فرضين انها bounded و
+
+356
+00:38:25,750 --> 00:38:32,550
+ال sequence x in contained in I then ال sequence x
+
+357
+00:38:32,550 --> 00:38:35,450
+in is bounded
+
+358
+00:38:41,210 --> 00:38:57,810
+هنا باستخدام حسب bolzano
+
+359
+00:38:57,810 --> 00:39:01,890
+weierstrass
+
+360
+00:39:01,890 --> 00:39:02,350
+firm
+
+361
+00:39:11,180 --> 00:39:23,360
+السيكوينس هناك سبسيكوينس سميها xnk of xn such that
+
+362
+00:39:23,360 --> 00:39:28,740
+السيكوينس had a convergence limit xnk as k tends
+
+363
+00:39:28,740 --> 00:39:33,840
+to infinity as
+
+364
+00:39:33,840 --> 00:39:40,030
+k tends to infinity بساوي z ينتمي إلى rبالنسبة لـ
+
+365
+00:39:40,030 --> 00:39:45,090
+some z and some r بلزانو فيروس عسكرية كل sequence
+
+366
+00:39:45,090 --> 00:39:48,570
+لها convergence subsequence سم السبسيكوينس هكذا
+
+367
+00:39:48,570 --> 00:39:50,330
+وسم ال limit تبعتها هكذا
+
+368
+00:39:54,530 --> 00:40:00,450
+الـ sub-sequence X in K contained in I التي هي
+
+369
+00:40:00,450 --> 00:40:05,450
+الفترة المغلقة من A إلى B فأحنا أخدنا نظرية تقول
+
+370
+00:40:05,450 --> 00:40:08,290
+أن لو كان هناك sequence حدودها محصورة بين A وB
+
+371
+00:40:08,290 --> 00:40:13,230
+ومتقاربة فنهايتها أيضًا محصورة بين A وB فهذا سيؤدي
+
+372
+00:40:13,230 --> 00:40:18,230
+إلى أن Z تنتمي إلى الفترة المغلقة من A إلى B التي
+
+373
+00:40:18,230 --> 00:40:18,890
+هي I
+
+374
+00:40:24,140 --> 00:40:28,340
+الذي يدفع الاتصال
+
+375
+00:40:28,340 --> 00:40:31,620
+الاتصال
+
+376
+00:40:31,620 --> 00:40:34,420
+الاتصال الاتصال الاتصال الاتصال الاتصال الاتصال
+
+377
+00:40:34,420 --> 00:40:44,240
+الاتصال الاتصال
+
+378
+00:40:51,890 --> 00:41:02,550
+موجودين في I موجودين في I موجودين
+
+379
+00:41:02,550 --> 00:41:12,990
+في I موجودين في Iالـ subsequence UN برضه لها
+
+380
+00:41:12,990 --> 00:41:16,970
+subsequence مشابهة وconvergent لنفس الـ Z هذا مش
+
+381
+00:41:16,970 --> 00:41:25,390
+واضح لثبته لثباته to see this to see this note
+
+382
+00:41:25,390 --> 00:41:28,250
+that
+
+383
+00:41:31,680 --> 00:41:37,040
+بنقدر اخل الفرق بين
+
+384
+00:41:37,040 --> 00:41:47,580
+unk و z أصغر من أي epsilon فهذا
+
+385
+00:41:47,580 --> 00:41:58,020
+أصغر من أو ساوي unk minus xnk زاد absolute xnk
+
+386
+00:41:58,020 --> 00:42:03,380
+minus zهو في الأصل أن أنا المفروض أكتب انا اشعر
+
+387
+00:42:03,380 --> 00:42:07,840
+بالإضطراحة x in k و رجعتها و استخدمت ال triangle
+
+388
+00:42:07,840 --> 00:42:18,420
+inequality طيب هذا صحيح لكل k ينتمي إلى n طيب أنا
+
+389
+00:42:18,420 --> 00:42:22,220
+عندي limit
+
+390
+00:42:22,220 --> 00:42:30,290
+x in minus u in بالساوية سفرلأن هذا صحيح لكل n ف
+
+391
+00:42:30,290 --> 00:42:36,130
+limit u in k minus x in k برضه بيساوي سفر فهذا
+
+392
+00:42:36,130 --> 00:42:43,750
+بيروح لسفر as k tends to infinity وعندي أنا برضه u
+
+393
+00:42:43,750 --> 00:42:50,290
+ال x in k جلنا تقول إلى z فبالتالي ال absolute
+
+394
+00:42:50,290 --> 00:42:56,630
+value هذه بتروح لسفر as k tends to infinityوهذا
+
+395
+00:42:56,630 --> 00:43:08,170
+أكبر من سفر، إذن by squeeze theorem ال sequence
+
+396
+00:43:08,170 --> 00:43:13,030
+هذه محصورة بين ال sequence هذه بالسفر ومجموعة two
+
+397
+00:43:13,030 --> 00:43:18,270
+sequences بيقولوا للسفرإذا من ال limit ل absolute
+
+398
+00:43:18,270 --> 00:43:25,570
+u in k minus z as k tends to infinity بساوي سفر و
+
+399
+00:43:25,570 --> 00:43:31,270
+منها بطلع ال limit u in k as k tends to infinity
+
+400
+00:43:31,270 --> 00:43:38,230
+بساوي z وبالتالي هذا بثبت ال claim تمام؟ إذا هنا
+
+401
+00:43:38,230 --> 00:43:43,830
+أثبتنا ال claim الآن بعد ما أثبتنا ال claim
+
+402
+00:43:57,160 --> 00:44:04,320
+طيب طيب now انا
+
+403
+00:44:04,320 --> 00:44:12,300
+اندي قولنا اثبتنا انه النقطة z تنتمي .. z تنتمي ل
+
+404
+00:44:12,300 --> 00:44:16,880
+I ال limit تبعت ال subsequence تنتمي ل I وال F
+
+405
+00:44:16,880 --> 00:44:17,460
+continuous
+
+406
+00:44:21,950 --> 00:44:25,850
+إن الهدف بقدم if is continuous لأن if continuous
+
+407
+00:44:25,850 --> 00:44:32,210
+على I وبالتالي continuous عند أي نقطة في ال I ولا
+
+408
+00:44:32,210 --> 00:44:36,990
+تكن ال Z hence
+
+409
+00:44:36,990 --> 00:44:40,730
+by
+
+410
+00:44:40,730 --> 00:44:46,510
+sequential criterion by sequential criterion for
+
+411
+00:44:46,510 --> 00:44:50,500
+continuous functionالـ function continuous عند
+
+412
+00:44:50,500 --> 00:44:54,640
+النقطة z وفي عندي sequence x in k converged ل z
+
+413
+00:44:54,640 --> 00:45:01,260
+اذا ال limit لصورة ال sequence او ال subsequence
+
+414
+00:45:01,260 --> 00:45:10,180
+لما كتره ل infinity بساوي f of z و كذلك ايضاAnd
+
+415
+00:45:10,180 --> 00:45:13,760
+برضه ال limit أنا عندي برضه ال sequence هذي
+
+416
+00:45:13,760 --> 00:45:20,220
+converge ل z فنهاية صورة ال subsequence u in k as
+
+417
+00:45:20,220 --> 00:45:27,260
+k tends to infinity برضه بيساوي f of z تمام
+
+418
+00:45:27,260 --> 00:45:31,520
+طيب
+
+419
+00:45:31,520 --> 00:45:35,000
+لكن
+
+420
+00:45:35,000 --> 00:45:43,090
+أنا عنديأنا عندي المتباينة الـ but أنا عندي
+
+421
+00:45:43,090 --> 00:45:47,170
+absolute f of x in
+
+422
+00:45:55,850 --> 00:46:01,570
+من الفرض هيها من الفرض ان ال function not
+
+423
+00:46:01,570 --> 00:46:07,070
+uniformly continuous انا عندي هذا اكبر من او يساوي
+
+424
+00:46:07,070 --> 00:46:10,050
+epsilon zero لكل n لكل حدود ال sequences
+
+425
+00:46:14,300 --> 00:46:20,060
+فهذا بيقدّي .. هذا بدوره بيقدّي انه epsilon zero
+
+426
+00:46:20,060 --> 00:46:27,180
+هي epsilon zero أصغر من أو ساوي absolute f of x in
+
+427
+00:46:27,180 --> 00:46:36,220
+k minus f of u in k تمام؟
+
+428
+00:46:37,840 --> 00:46:41,720
+هذا صحيح لـ sequence x in و لـ sequence u in إذا
+
+429
+00:46:41,720 --> 00:46:46,200
+صحيح للـ subsequence للـ subsequences إذا هذه جاية
+
+430
+00:46:46,200 --> 00:46:50,620
+من هنا طيب و by triangle inequality by triangle
+
+431
+00:46:50,620 --> 00:46:56,760
+inequality ممكن أخلي هذا أصغر لو ساوي f of x nk
+
+432
+00:46:56,760 --> 00:47:10,090
+minus f of z زاد absolute f of z-F of U in K انا
+
+433
+00:47:10,090 --> 00:47:14,610
+شو انا عاملة اتراحت من هنا F of Z و رجعتها اه و
+
+434
+00:47:14,610 --> 00:47:17,810
+استخدمت ال triangle equality فصار اندي اصلا مجموعة
+
+435
+00:47:17,810 --> 00:47:24,070
+two absolute values طيب
+
+436
+00:47:24,070 --> 00:47:30,660
+ما انا ممكن اخليأنا عندي limit ال sequence هذه
+
+437
+00:47:30,660 --> 00:47:36,800
+بساوي f of z فلأي given epsilon أكبر من الصفر ممكن
+
+438
+00:47:36,800 --> 00:47:42,300
+أخلي absolute الفرخ هذا أصغر من epsilon على 2 ونفس
+
+439
+00:47:42,300 --> 00:47:47,260
+الحاجة أنا عندي ال sequence f of u and k converged
+
+440
+00:47:47,260 --> 00:47:51,840
+ل f of z إذا ممكن أخلي ال absolute value للفرخ هذه
+
+441
+00:47:51,840 --> 00:47:59,540
+أصغر من epsilon على 2وبالتالي بيطلع المجموعة
+
+442
+00:47:59,540 --> 00:48:06,420
+epsilon هذا صحيح لكل K أكبر من أو ساوي كابتل K أو
+
+443
+00:48:06,420 --> 00:48:12,360
+كابتل N واضح تمام؟ يعني لا أي epsilon أكبر من صفر
+
+444
+00:48:12,360 --> 00:48:15,820
+أو لا عفو ان ال epsilon نفس ال epsilon zero هذه ال
+
+445
+00:48:15,820 --> 00:48:19,380
+epsilon هي نفس ال epsilon zeroهي عندي الـ Epsilon
+
+446
+00:48:19,380 --> 00:48:23,780
+Zero given لما ان ال sequence هي ال converge إذا
+
+447
+00:48:23,780 --> 00:48:28,400
+يوجد capital N واحد يعتمد على Epsilon Zero بحيث أن
+
+448
+00:48:28,400 --> 00:48:33,580
+أبسلوت الفرق هذا أصغر من أو ساوي Epsilon على اتنين
+
+449
+00:48:33,580 --> 00:48:37,140
+لكل K أكبر من أو ساوي capital K واحد او capital N
+
+450
+00:48:37,140 --> 00:48:42,560
+واح�� ونفس الحاجة لنفس ال Epsilon Zero يوجد N اتنين
+
+451
+00:48:43,830 --> 00:48:47,730
+بحيث انه بما انه هذه ال sequence converge اذا
+
+452
+00:48:47,730 --> 00:48:52,310
+الفرخة ده بقدر اخليه لكل n اكبر من او لكل k اكبر
+
+453
+00:48:52,310 --> 00:48:56,630
+من او ساوي n اتنين اصغر من يبسلون اتنين الان خدي n
+
+454
+00:48:56,630 --> 00:49:05,410
+بساوي ال maximum ل n واحد و n اتنين فبقدر
+
+455
+00:49:05,410 --> 00:49:11,930
+اخلي هذا اصغر من يبسلون زيرو لكل k اكبر من او ساوي
+
+456
+00:49:11,930 --> 00:49:16,590
+nففي النهاية بيطلع عندى epsilon zero أقل من
+
+457
+00:49:16,590 --> 00:49:19,650
+epsilon أصغر من epsilon zero هذا مديني
+
+458
+00:49:19,650 --> 00:49:23,590
+contradiction لأن هذا التناقض بيقول لي أن ال
+
+459
+00:49:23,590 --> 00:49:28,150
+assumption تبعنا أن ال function not uniformly
+
+460
+00:49:28,150 --> 00:49:32,050
+continuous كان assumption خطأ لأن الصح أن ال F
+
+461
+00:49:32,050 --> 00:49:37,810
+تكون uniformly continuous okay تمام واضح؟Okay إذا
+
+462
+00:49:37,810 --> 00:49:44,230
+بنوقف ان شاء الله هنا عند نهاية البرهان هذا و
+
+463
+00:49:44,230 --> 00:49:51,690
+بيكون هيك احنا يعني خلصنا جزء مش بسيط في section
+
+464
+00:49:51,690 --> 00:49:56,730
+خمسة أربعة و نكتفي بهذا القدر و يعطيكم ألف عافية و
+
+465
+00:49:56,730 --> 00:49:58,590
+شكرا لحصن أصغائكم
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Nztl0T85AIM.srt

@@ -0,0 +1,1731 @@
+1
+00:00:21,210 --> 00:00:28,030
+لنراجع مع بعض the order properties of R أو خواص 
+
+2
+00:00:28,030 --> 00:00:33,790
+الترتيب للأعداد الحقيقية، احنا من بداية الـ chapter 
+
+3
+00:00:33,790 --> 00:00:37,630
+قلنا إنّ الـ real number system نظام الأعداد 
+
+4
+00:00:37,630 --> 00:00:43,250
+الحقيقية، نظام 
+
+5
+00:00:43,250 --> 00:00:52,230
+الأعداد الحقيقية يتكون من مجموعة R، boldface R مع 
+
+6
+00:00:52,230 --> 00:00:57,370
+عمليتين ثنائيتين، واحدة عملية الجمع، واحدة عملية 
+
+7
+00:00:57,370 --> 00:01:04,390
+الضرب، و افترضنا أنّ العمليات هذه بتحقق خمس خواص اللي 
+
+8
+00:01:04,390 --> 00:01:08,910
+هي خواص الـ field اللي هو الـ commutative law,
+
+9
+00:01:09,050 --> 00:01:17,690
+associative law, distributive laws, existence of 
+
+10
+00:01:17,690 --> 00:01:23,340
+identities, existence of inverses. بعدين ضفنا على 
+
+11
+00:01:23,340 --> 00:01:28,300
+ذلك أنّ افترضنا أنّ الـ real number system R بتحقق 
+
+12
+00:01:28,300 --> 00:01:33,020
+برضه خاصية الترتيب أو خواص الترتيب اللي هي الخاصية 
+
+13
+00:01:33,020 --> 00:01:38,440
+السادسة، هذه الخاصية السادسة هذه تجزأت، يعني تنص على 
+
+14
+00:01:38,440 --> 00:01:43,560
+ما يلي: نفترض أنّ يوجد مجموعة جزئية من R غير خالية 
+
+15
+00:01:43,560 --> 00:01:49,360
+و المجموعة الجزئية هذه بنسميها P، اللي هو أول حرف 
+
+16
+00:01:49,360 --> 00:01:56,080
+في positive عشان نسميها بعد هيك the set of positive
+
+17
+00:01:56,080 --> 00:02:02,020
+real numbers. فالـ set P هذه closed under addition 
+
+18
+00:02:02,020 --> 00:02:08,540
+and under multiplication. كمان نفترض أنّ الـ set P 
+
+19
+00:02:08,540 --> 00:02:13,180
+هذه بتحقق الخاصية الثلاثية، الـ trichotomy property
+
+20
+00:02:14,240 --> 00:02:18,920
+which means that for any real number a, exactly one 
+
+21
+00:02:18,920 --> 00:02:27,060
+of the three possibilities holds: either a belongs 
+
+22
+00:02:27,060 --> 00:02:34,420
+to P, or a equals zero, or negative a belongs to P. 
+
+23
+00:02:34,420 --> 00:02:42,230
+بناءً على هذه الخاصية، شفنا أنّ الأعداد الحقيقية gets 
+
+24
+00:02:42,230 --> 00:02:47,350
+partitioned to three mutually disjoint sets، يعني 
+
+25
+00:02:47,350 --> 00:02:54,450
+الخاصية هذه بتجزّئ، بتخليني أجزّئ الأعداد الحقيقية إلى 
+
+26
+00:02:54,450 --> 00:03:00,110
+ثلاث مجموعات منفصلة مثنى مثنى، pair-wise disjoint
+
+27
+00:03:00,110 --> 00:03:05,650
+يعني إنّ لو أخدت أي مجموعتين عشوائيتين من الثلاث 
+
+28
+00:03:05,650 --> 00:03:09,310
+تقطعهم بيساوي فاي، ما فيش بينهم عناصر، ومش ثلاث 
+
+29
+00:03:10,410 --> 00:03:15,170
+واتحادهم بيساوي الـ R، لأنّ هذا بشكل تجزئة على الـ R، 
+
+30
+00:03:15,170 --> 00:03:19,630
+تجزئة على الـ R، أو بنسميها في الرياضيات partition of 
+
+31
+00:03:19,630 --> 00:03:25,210
+R. الـ set P هذه سميناها set of positive real numbers
+
+32
+00:03:25,210 --> 00:03:35,210
+وعرفنا negative P على أنّها negative عناصر الـ set P
+
+33
+00:03:44,210 --> 00:03:49,430
+Okay. فهي معرفة negative P هي كلّ الـ elements 
+
+34
+00:03:49,430 --> 00:03:56,850
+negative A such that A element in P. بعدين 
+
+35
+00:03:56,850 --> 00:04:02,430
+عرفنا علاقة الترتيب، الآن بنعرف اللي هو order 
+
+36
+00:04:02,430 --> 00:04:08,340
+relation على R. ما معنى أنّ a لو في عندي two real 
+
+37
+00:04:08,340 --> 00:04:12,720
+numbers، ما معنى a أصغر من b أو b أكبر من a؟ قولنا 
+
+38
+00:04:12,720 --> 00:04:19,820
+معناها أنّ الفرق بين b و a is a positive real number 
+
+39
+00:04:19,820 --> 00:04:24,480
+أو ينتمي لمجموعة الأعداد الموجبة. طب ما معناه a 
+
+40
+00:04:24,480 --> 00:04:28,760
+أصغر من أو يساوي b أو b أكبر من أو يساوي a؟ معناته 
+
+41
+00:04:28,760 --> 00:04:33,240
+الفرق بين b و a ينتمي للأعداد الموجبة، يعني الفرق 
+
+42
+00:04:33,240 --> 00:04:40,120
+موجب أو يساوي صفر، أو يساوي صفر، إذن معناه تاني طيب
+
+43
+00:04:40,120 --> 00:04:50,940
+و أعتقد أنّ احنا بعد هيك أثبتنا آه
+
+44
+00:04:50,940 --> 00:04:52,780
+وقفنا عند النظرية هذه
+
+45
+00:04:57,810 --> 00:05:02,310
+النظرية 1-5، قلنا إنّه لأي لو أخدت أي ثلاث أعداد 
+
+46
+00:05:02,310 --> 00:05:08,730
+حقيقية، فعند الخواص التالية تتحقق، مجموعة الخواص هذه 
+
+47
+00:05:08,730 --> 00:05:17,210
+تتحقق، فالخواص 
+
+48
+00:05:17,210 --> 00:05:21,630
+هذه هذا 
+
+49
+00:05:21,630 --> 00:05:27,330
+هي أمامكم، transitivity، خاصية التعدي. إيه يعني 
+
+50
+00:05:27,330 --> 00:05:35,310
+التعدي؟ يعني إذا أنا في عندي ثلاث أعداد حقيقية في A و 
+
+51
+00:05:35,310 --> 00:05:38,770
+B و C
+
+52
+00:05:43,970 --> 00:05:52,530
+وكان B هنا أكبر .. B أكبر من A and C أكبر من B 
+
+53
+00:05:52,530 --> 00:05:55,790
+فهذا 
+
+54
+00:05:55,790 --> 00:06:09,770
+بيؤدي أنّ C أكبر من A. خليني 
+
+55
+00:06:09,770 --> 00:06:15,290
+أنا أكتبهم عشان .. كلهم زي .. مهمة موجودة هناك هي a 
+
+56
+00:06:15,290 --> 00:06:27,090
+أكبر من b، هي a أكبر من b، و b أكبر من c، فبيطلع 
+
+57
+00:06:27,090 --> 00:06:38,470
+c، أو a، بيطلع أكبر من c. هذه a أكبر من b، و b أكبر من c.
+
+58
+00:06:38,470 --> 00:06:44,750
+إذا نقدر نتعدى و نقول a أكبر من c. فهذه بيسموها في 
+
+59
+00:06:44,750 --> 00:06:50,730
+الرياضيات transitivity، أو خاصية التعدي، الخاصية 
+
+60
+00:06:50,730 --> 00:06:53,990
+التانية 
+
+61
+00:06:53,990 --> 00:06:59,930
+بنسميها trichotomy، برضه خاصية ثلاثية جاية من 
+
+62
+00:06:59,930 --> 00:07:05,770
+الخاصية الثلاثية اللي شفناها قبل شوية، فبتقول 
+
+63
+00:07:05,770 --> 00:07:08,650
+exactly one of the following holds، واحد من ثلاث 
+
+64
+00:07:08,650 --> 00:07:19,190
+احتمالات بتحصل، إما a أكبر من b، أو a بتساوي b، أو a 
+
+65
+00:07:19,190 --> 00:07:28,260
+أصغر من b، لأي عددين حقيقيين A و B، واحد فقط من 
+
+66
+00:07:28,260 --> 00:07:32,800
+الاحتمالات الثلاثة بيكون صحيح، وهو إما A أكبر من B 
+
+67
+00:07:32,800 --> 00:07:38,860
+أو A بيساوي B، أو A أصغر من B. الـ Antisymmetry 
+
+68
+00:07:38,860 --> 00:07:43,640
+property، علاقة أكبر من أو يساويها دي بنسميها 
+
+69
+00:07:43,640 --> 00:07:48,400
+Antisymmetric، يعني إيه؟ بتحقق خاصية تضاد التماثل 
+
+70
+00:07:49,760 --> 00:07:54,960
+إيه يعني؟ مع أنّ لو كانت A على علاقة مع B، و B على 
+
+71
+00:07:54,960 --> 00:08:00,940
+علاقة مع A، فلازم يطلع A بيساوي B، A أكبر من أو يساوي 
+
+72
+00:08:00,940 --> 00:08:05,300
+B، و B أكبر من أو يساوي A، فلازم A يساوي B، هذه 
+
+73
+00:08:05,300 --> 00:08:11,640
+بنسميها Anti-symmetry property. هنا الخاصية هذه لو 
+
+74
+00:08:11,640 --> 00:08:18,140
+كان a أكبر من b، ووضفت للطرفين أي عدد c، فالمتباينة 
+
+75
+00:08:18,140 --> 00:08:22,040
+تبقى زي ما هي، شريطة زي ما هي. طيب لو في عندي 
+
+76
+00:08:22,040 --> 00:08:26,100
+متباينة a أكبر من b، لأنّ نتحدث عن متباينات 
+
+77
+00:08:26,100 --> 00:08:31,960
+inequalities. لو كان a أكبر من b، و c عدد موجب، وضربت 
+
+78
+00:08:31,960 --> 00:08:35,960
+الطرفين في عدد الموجب c، فإشارة المتباينة تبقى كما 
+
+79
+00:08:35,960 --> 00:08:40,380
+هي. لكن لو ضربت المتباينة في عدد سالب، إشارة 
+
+80
+00:08:40,380 --> 00:08:46,900
+المتباينة بتتغير. الخاصية f بتقول أنّ لأي عدد حقيقي 
+
+81
+00:08:46,900 --> 00:08:51,300
+لا يساوي صفر، مربع أي عدد حقيقي لا يساوي صفر دائمًا 
+
+82
+00:08:51,300 --> 00:08:55,400
+بيكون عدد موجب. الواحد 
+
+83
+00:08:55,900 --> 00:08:59,780
+الـ Distinguished elements في R أو في الـ real 
+
+84
+00:08:59,780 --> 00:09:02,940
+number system، اللي هم الصفر والواحد، اللي هو الـ 
+
+85
+00:09:02,940 --> 00:09:07,280
+identity elements، سميناهم، بيحققوا أنّ واحد دائمًا 
+
+86
+00:09:07,280 --> 00:09:13,400
+أكبر من الصفر، وسالب واحد أصغر من الصفر. كمان لأي 
+
+87
+00:09:13,400 --> 00:09:16,840
+عدد طبيعي، هذه the set of natural numbers، أي عدد 
+
+88
+00:09:16,840 --> 00:09:23,210
+طبيعي بيكون دائمًا موجب، أي عدد طبيعي بيطلع موجب. لو 
+
+89
+00:09:23,210 --> 00:09:27,450
+كان a عدد حقيقي موجب، فمقلوبه موجب، لو كان a عدد 
+
+90
+00:09:27,450 --> 00:09:38,990
+حقيقي سالب، مقلوبه بيطلع سالب. الخاصية 
+
+91
+00:09:38,990 --> 00:09:45,610
+الأخيرة، لو كان a أصغر من b، واثنين موجبين 
+
+92
+00:09:45,610 --> 00:09:53,160
+فمقلوب الصغير أكبر من مقلوب الكبير، أو مقلوب الكبير 
+
+93
+00:09:53,160 --> 00:09:56,680
+أصغر من مقلوب الصغير. بصراحة اثنين اللي هم نفس 
+
+94
+00:09:56,680 --> 00:10:00,980
+الإشارة. لكن لو كان واحد موجب بواحد سالب، فالكلام 
+
+95
+00:10:00,980 --> 00:10:08,060
+هذا مش صحيح، خدوا بالكم. طيب نشوف، نمر بسرعة على 
+
+96
+00:10:08,060 --> 00:10:15,500
+البرهان، قرأتم البرهان أنتم؟ طيب
+
+97
+00:10:30,910 --> 00:10:38,550
+خاصية التعدي، خاصية التعدي. أنا كان عندي a أكبر من b 
+
+98
+00:10:38,550 --> 00:10:44,710
+and b أكبر من c، بدنا نثبت أنّ هذا بيعدي أنّ a أكبر من 
+
+99
+00:10:44,710 --> 00:10:52,250
+c. فالبرهان لذلك يكفي نثبت أنّ الفرق بين c و a موجب 
+
+100
+00:10:52,990 --> 00:10:56,990
+يعني ينتمي للـ set P of positive real numbers
+
+101
+00:10:56,990 --> 00:11:02,450
+فتعالوا نثبت الكلام هذا، أنا عندي من المعطيات أو من 
+
+102
+00:11:02,450 --> 00:11:08,370
+الفرض، الفرق هذا موجب، والفرق هذا موجب من المعطيات 
+
+103
+00:11:09,240 --> 00:11:13,680
+طيب، set P closed under addition، مغلقة تحت عملية 
+
+104
+00:11:13,680 --> 00:11:18,820
+الجمع، إذا مجموعة عنصرين في P بيطلع عنصر ثالث في P
+
+105
+00:11:18,820 --> 00:11:22,660
+هذا العنصر الثالث اللي بيقول المجموعة، طلع A سالب C 
+
+106
+00:11:22,660 --> 00:11:28,560
+هذا معناه، مادام الفرق هذا ينتمي لـ P، معناته الفرق هذا 
+
+107
+00:11:28,560 --> 00:11:33,900
+موجب، أو A أكبر من C، as required، كما هو مطلوب، 
+
+108
+00:11:33,900 --> 00:11:38,040
+مظبوط؟ واضح؟ طيب
+
+109
+00:11:42,860 --> 00:11:49,940
+أي عدد حقيقي له واحد من ثلاث احتمالات، إما موجب أو 
+
+110
+00:11:49,940 --> 00:11:56,720
+صفر أو سالب. الآن بناءً على هذه الخاصية، ممكن نثبت 
+
+111
+00:11:56,720 --> 00:12:01,940
+الخاصية الثلاثية، الخاصية 
+
+112
+00:12:01,940 --> 00:12:05,600
+الثانية. 
+
+113
+00:12:09,230 --> 00:12:15,030
+قلنا إنّ لو كان لأي عددين حقيقيين، لأي عددين حقيقيين 
+
+114
+00:12:15,030 --> 00:12:19,750
+a و b، a أكبر من b أو a بيساوي b أو a أصغر من b.
+
+115
+00:12:19,750 --> 00:12:22,910
+فالبرهان 
+
+116
+00:12:22,910 --> 00:12:27,350
+ذلك بيعتمد على الـ trichotomy property اللي شفناها 
+
+117
+00:12:27,350 --> 00:12:33,470
+قبل شوية، فأنا 
+
+118
+00:12:33,470 --> 00:12:33,870
+عندي 
+
+119
+00:12:37,890 --> 00:12:41,310
+حسب الـ trichotomy property، لو أخدت الفرق هذا، 
+
+120
+00:12:41,310 --> 00:12:46,850
+هذا real number، فأي real number إمّا positive أو 
+
+121
+00:12:46,850 --> 00:12:54,390
+بيساوى صفر أو negative، صح؟ وهذا بكافئ، الكلام هذا 
+
+122
+00:12:54,390 --> 00:13:01,210
+بكافئ A سالب B ينتمي لـ P، بكافئ أنّ الـ A أكبر من B. 
+
+123
+00:13:02,260 --> 00:13:07,220
+طب وهذا ينتمي لـ 0، بكافئ أنّ a بيساوي b، أو الفرق 
+
+124
+00:13:07,220 --> 00:13:11,660
+بيساوى 0، وبالتالي a بيساوي b، والفرق هذا ينتمي لـ 
+
+125
+00:13:11,660 --> 00:13:16,180
+negative P، معناته الفرق هذا سالب، يعني معناه أنّ a 
+
+126
+00:13:16,180 --> 00:13:21,760
+أصغر من b، وهذا اللي بدنا إياه، هذا اللي بدنا إياه
+
+127
+00:13:21,760 --> 00:13:25,620
+طيب 
+
+128
+00:13:25,620 --> 00:13:32,390
+الجزء C، قلنا اللي هو الـ antisymmetry property، الـ 
+
+129
+00:13:32,390 --> 00:13:37,990
+Anti-symmetry property، نفكركم فيها، بتقول لو كان a 
+
+130
+00:13:37,990 --> 00:13:46,590
+أكبر من أو يساوي b and b أكبر من أو يساوي a، فهذا 
+
+131
+00:13:46,590 --> 00:13:52,210
+بيؤدي أنّ a بيساوي b، بظبط؟ طيب
+
+132
+00:13:57,150 --> 00:14:02,570
+أنا بدي أثبت أنّ A بيساوي B، هذه النتيجة، فبدأ أعمل 
+
+133
+00:14:02,570 --> 00:14:07,750
+برهان بالتناقض، فبرهان بالتناقض دائمًا نفرض ما فيه 
+
+134
+00:14:07,750 --> 00:14:12,670
+النتيجة هو الصح، وبنوصلها إلى التناقض، فـ assume أنّ 
+
+135
+00:14:12,670 --> 00:14:21,500
+A لا تساوي B. إذا حسب الخاصية الثلاثية، هذا بيؤدي أنّ 
+
+136
+00:14:21,500 --> 00:14:30,800
+إمّا a أصغر من b or b أصغر من a، مظبوط؟ طيب إذا هنا 
+
+137
+00:14:30,800 --> 00:14:39,720
+.. الآن لو أخدت .. لو أخدت الـ a أكبر من b اللي هو 
+
+138
+00:14:39,720 --> 00:14:46,880
+الاحتمال هذا. لو أخدت .. لو قلت أنّ a أكبر من b، فهذا 
+
+139
+00:14:46,880 --> 00:14:54,140
+بتناقض مع الفرض .. بتناقض مع الفرض أنّ a أصغر من .. 
+
+140
+00:14:54,140 --> 00:15:01,160
+a أصغر من أو يساوي b، هدول اثنين بيعطون التناقض طيب 
+
+141
+00:15:01,160 --> 00:15:06,400
+لو افترضت الاحتمال الثاني أن a أصغر من b فهذا
+
+142
+00:15:06,400 --> 00:15:15,210
+بتناقض مع الفرض أن a أكبر من أو يساوي الـ B إذا في
+
+143
+00:15:15,210 --> 00:15:20,790
+الحالتين لو فرضت هذا صح بتناقض مع هذا الجزء لو
+
+144
+00:15:20,790 --> 00:15:25,410
+فرضت هذا صح بتناقض مع هذا الجزء اللي هو جزء من
+
+145
+00:15:25,410 --> 00:15:29,970
+الفرض وبالتالي في كلتا الحالتين الفرض أن A لا 
+
+146
+00:15:29,970 --> 00:15:35,050
+يساوي B أدى إلى تناقض إذا الصح أن A لازم تساوي B
+
+147
+00:15:35,050 --> 00:15:40,600
+كما هو مطلوب okay هذا برهان بالتناقض واضح تمام
+
+148
+00:15:40,600 --> 00:15:47,740
+مفهوم فاهمين ولا هيك يعني أمور
+
+149
+00:15:47,740 --> 00:15:53,040
+سهلة وبسيطة وكلها يعني مبادئ رياضيات احنا هنا يعني
+
+150
+00:15:53,040 --> 00:15:58,840
+مراجعة لمبادئ رياضيات أو طرق البرهان في مبادئ
+
+151
+00:15:58,840 --> 00:16:03,680
+رياضيات طيب
+
+152
+00:16:03,680 --> 00:16:07,220
+الآن بنثبت القضية F
+
+153
+00:16:13,430 --> 00:16:18,050
+لأي عدد حقيقي لا يساوي صفر دائماً مربعه بيطلع موجب
+
+154
+00:16:18,050 --> 00:16:22,330
+فعشان أثبت مربع ال a موجب لازم أثبت أن مربع ال a
+
+155
+00:16:22,330 --> 00:16:30,890
+ينتمي لفئة أو مجموعة الأعداد الموجبة طيب احنا فرضنا
+
+156
+00:16:30,890 --> 00:16:34,950
+a لا يساوي صفر إذا by trichotomy property بالخاصية
+
+157
+00:16:34,950 --> 00:16:40,470
+الثلاثية أما a موجب أو سالب يعني معناه هذا أو هذا
+
+158
+00:16:40,470 --> 00:16:51,220
+الآن لو كانت ال A موجبة فمربعها و P مغلقة تحت
+
+159
+00:16:51,220 --> 00:16:56,440
+عملية الضرب فحاصل ضرب A في A اللي هو A تربيع بيطلع
+
+160
+00:16:56,440 --> 00:17:03,580
+ينتمي يعني هذا بيساوي A تربيع ال
+
+161
+00:17:03,580 --> 00:17:07,660
+A ينتمي ل P إذا حاصل الضرب ينتمي ل P وبالتالي A 
+
+162
+00:17:07,660 --> 00:17:12,080
+تربيع موجبة okay وهذا اللي احنا عايزينه الحالة
+
+163
+00:17:12,080 --> 00:17:17,600
+الثانية طب افرض أنه negative A تنتمي ل P أو A
+
+164
+00:17:17,600 --> 00:17:23,200
+تنتمي ل negative P يعني A سالب ففي الحالة هذه لو 
+
+165
+00:17:23,200 --> 00:17:29,220
+ضربت هذا العنصر في نفسه بيطلع ينتمي إلى ال P بيطلع
+
+166
+00:17:29,220 --> 00:17:33,480
+ينتمي إلى ال P وهذا بيطلع بيساوي من الخواص اللي
+
+167
+00:17:33,480 --> 00:17:37,510
+أخذناها قبل هيك يعني هذا عبارة عن هذا سالب أيه
+
+168
+00:17:37,510 --> 00:17:40,970
+بكتبه سالب واحد في أيه و سالب أيه الثاني نفس
+
+169
+00:17:40,970 --> 00:17:45,650
+الحاجة سالب واحد في أيه فبيطلع سالب واحد في سالب
+
+170
+00:17:45,650 --> 00:17:50,170
+واحد في أيه تربيع و هذا واحد فبيطلع أيه تربيع تنتمي
+
+171
+00:17:50,170 --> 00:17:54,830
+لدي وبالتالي أيه تربيع موجبة إذا هنا أثبتنا أن أي
+
+172
+00:17:54,830 --> 00:17:59,690
+عدد حقيقي مختلف عن الصفر دائماً مربعه موجب
+
+173
+00:18:13,230 --> 00:18:23,990
+خاصية G الخاصية
+
+174
+00:18:23,990 --> 00:18:24,510
+G
+
+175
+00:18:30,830 --> 00:18:36,810
+احنا بنثبت أن الواحد أكبر من الصفر فبكل بساطة واحد
+
+176
+00:18:36,810 --> 00:18:42,710
+بيساوي واحد ضرب نفسه وهذا بيطلع واحد تربيع وقبل
+
+177
+00:18:42,710 --> 00:18:46,710
+شوية شوفنا والواحد مختلف عن الصفر إذا المربع
+
+178
+00:18:46,710 --> 00:18:54,870
+بيطلع موجب حسب الخاصية السابقة، أثبتنا؟ هذا معناه إذا
+
+179
+00:18:54,870 --> 00:18:59,770
+هيُثبتنا واحد أكبر من الصفر وبالتالي واحد ينتمي لل
+
+180
+00:18:59,770 --> 00:19:04,670
+positive real numbers إذا سالب واحد ينتم�� ل
+
+181
+00:19:04,670 --> 00:19:07,610
+negative two يعني سالب واحد أصغر من الصفر
+
+182
+00:19:07,610 --> 00:19:20,050
+عملية بسيطة طيب احنا الآن بدنا نثبت أن كل
+
+183
+00:19:22,970 --> 00:19:31,370
+عدد حقيقي موجب مقلوبه موجب اه فبنعمل برهان
+
+184
+00:19:31,370 --> 00:19:36,190
+بالتناقض إذا هنا هندي اللي عايز نثبته هنا بس هنذكر
+
+185
+00:19:36,190 --> 00:19:41,430
+ال statement اللي بدنا نثبته يعني ال statement
+
+186
+00:19:41,430 --> 00:19:46,710
+اللي عايز نثبته لو كان a موجب ف reciprocal تبعه
+
+187
+00:19:46,710 --> 00:19:51,920
+بيطلع موجب أو مقلوبه بيطلع موجبلبرهان ذلك نعمل برهان
+
+188
+00:19:51,920 --> 00:20:01,560
+بالتناقض نفرض أن واحد على a أقل من الصفر وطبعاً
+
+189
+00:20:01,560 --> 00:20:06,380
+عندي أنا من الفرض هذا الفرض لازال قائم a أكبر من 
+
+190
+00:20:06,380 --> 00:20:13,520
+الصفر عندي الفرضين هدول فعندي a أكبر من الصفر و
+
+191
+00:20:13,520 --> 00:20:17,640
+واحد على a أصغر من الصفر فهذا بيؤدي
+
+192
+00:20:20,870 --> 00:20:28,190
+لو ضربت المتباينة هذه في a اللي هو عدد موجب فهيصبح
+
+193
+00:20:28,190 --> 00:20:32,450
+أن واحد على a في a أصغر من صفر في a اللي هو
+
+194
+00:20:32,450 --> 00:20:37,290
+بيساوي صفر طب هذا بيساوي واحد ان هك بيطلع واحد
+
+195
+00:20:37,290 --> 00:20:42,530
+أصغر من صفر وبالتالي هذا يعطيني تناقض لأن الواحد
+
+196
+00:20:42,530 --> 00:20:47,530
+أكبر من صفر لسه مثبتينه قبل شوية أن هذا بيؤدي إلى
+
+197
+00:20:47,530 --> 00:20:54,640
+تناقض وبالتالي مقلوب الـ A لازم يكون موجب بالمثل لو 
+
+198
+00:20:54,640 --> 00:21:00,980
+كان مقلوب الـ A سالب فممكن نثبت أنه مقلوبه أيضاً
+
+199
+00:21:00,980 --> 00:21:05,900
+بيطلع سالب فالبرهان مشابه هأسيبكم أنتم تكتبوا
+
+200
+00:21:05,900 --> 00:21:07,720
+تمام؟
+
+201
+00:21:21,570 --> 00:21:23,670
+أنا مش عارف لسه أنا هيك بعمل
+
+202
+00:21:50,000 --> 00:21:59,840
+طيب ال .. الجزء هذا الأخير إيش كان هذا؟ إيش كنا
+
+203
+00:21:59,840 --> 00:22:14,980
+بدنا نثبت هناك؟
+
+204
+00:22:17,920 --> 00:22:26,800
+اه إذا كان a عدد موجب و أصغر من b فهذا بيؤدي أن
+
+205
+00:22:26,800 --> 00:22:34,100
+مقلوب الكبير أصغر من مقلوب الصغير بظبط
+
+206
+00:22:34,100 --> 00:22:39,080
+وطبعاً هذا موجب فلإثبات
+
+207
+00:22:39,080 --> 00:22:43,360
+أن واحد على b أصغر من واحد على a بتثبت أن الفرق
+
+208
+00:22:43,360 --> 00:22:52,860
+بين واحد على a و1 على b ينتمي إلى P
+
+209
+00:22:52,860 --> 00:22:59,900
+أو موجب طيب الآن هاي ناخد 1 على A ناقص 1 على B
+
+210
+00:22:59,900 --> 00:23:05,140
+فأخذنا خاصية ناخذ مقام مشترك A B وبعدين بيصير
+
+211
+00:23:05,140 --> 00:23:11,160
+عندي هذا بتحول لحاصل ضرب الآن هذا positive number
+
+212
+00:23:11,160 --> 00:23:15,420
+لأن احنا فرضنا أن ال B أكبر من A فالفرق هذا
+
+213
+00:23:15,420 --> 00:23:23,780
+positive و A B فبيطلع
+
+214
+00:23:23,780 --> 00:23:29,200
+هذا مقلوب ال positive بيطلع positive فهذا 
+
+215
+00:23:29,200 --> 00:23:33,120
+positive وهذا positive و P دي closed under
+
+216
+00:23:33,120 --> 00:23:36,400
+multiplication إذن حاصل الضرب ده بيطلع positive
+
+217
+00:23:36,400 --> 00:23:45,000
+لكون حاصل الضرب هنا العناصر فيه موجبة وبالتالي
+
+218
+00:23:46,170 --> 00:23:53,450
+إذا .. إذا هذا بيطلع أكبر من الصفر هذا بيطلع الفرق
+
+219
+00:23:53,450 --> 00:23:58,030
+أكبر من أو موجب وبالتالي واحد على A أكبر من واحد
+
+220
+00:23:58,030 --> 00:24:03,770
+على B okay الأجزاء المتبقية D و E و H ممكن برهانها
+
+221
+00:24:03,770 --> 00:24:10,030
+بالمثل فاحنا دائماً بنسيب للطالب شوية حاجات يثبتها
+
+222
+00:24:11,300 --> 00:24:15,740
+يعني عشان أن الطالب يشارك شوية وإلا بيصير عملية
+
+223
+00:24:15,740 --> 00:24:20,020
+التدريس مملة لو احنا بدنا نشرح لكم كل حاجة وما نخليش
+
+224
+00:24:20,020 --> 00:24:25,880
+ولا إيش للطالب فبيصير عملية مملة وبعدين الفهم بيكون
+
+225
+00:24:25,880 --> 00:24:31,860
+ماخص كل ما أنت شاركت أكثر كل ما شعرتِ أو حسيتِ
+
+226
+00:24:31,860 --> 00:24:36,900
+بالمعلومة أكثر وكل ما فهمتيها أكثر فالحاجات هذه
+
+227
+00:24:36,900 --> 00:24:40,500
+بالإضافة للتمارين اللي في نهاية كل section في
+
+228
+00:24:40,500 --> 00:24:47,560
+الكتاب حالها كتير بساعد في فهم المادة بدون ذلك يظل
+
+229
+00:24:47,560 --> 00:24:57,420
+فهمكم ناقص ننتقل إلى نظرية أخرى نظرية 1.6
+
+230
+00:24:57,420 --> 00:25:02,680
+نظرية هذه نظرية يعني بسيطة ومهمة
+
+231
+00:25:04,730 --> 00:25:09,830
+رغم بساطتها لكن مهمة إيش بتقول النظرية هذه بتقول
+
+232
+00:25:09,830 --> 00:25:16,250
+لو أخدت أي عددين حقيقين و a أكبر من b فلازم يكون a
+
+233
+00:25:16,250 --> 00:25:26,310
+أكبر من متوسط a و b وأكبر من b البرهان بسيط هي
+
+234
+00:25:26,310 --> 00:25:32,330
+عندي الفرض أنا فارض أن a أكبر من b بتثبت أن a أكبر
+
+235
+00:25:32,330 --> 00:25:39,330
+من نصف مجموع a و b ونصف مجموع a و b أكبر من b طيب
+
+236
+00:25:39,330 --> 00:25:44,490
+نثبت المتباينة الأولى هذه نثبت المتباينة الأولى
+
+237
+00:25:44,490 --> 00:25:49,230
+الأولى بعدين نثبت الثانية
+
+238
+00:25:52,810 --> 00:25:59,530
+فالإثبات الجزء الأول فهي عندي a أكبر من b إذا لو
+
+239
+00:25:59,530 --> 00:26:07,110
+جمعت a على نفسها ده اثنين a لو جمعت على الطرفين a
+
+240
+00:26:07,110 --> 00:26:11,630
+فبيطلع عندي a زائد a أكبر من b زائد a هذه خاصية
+
+241
+00:26:11,630 --> 00:26:15,810
+أخذناها قبل a إذا اثنين a بيطلع أكبر من a زائد b
+
+242
+00:26:16,680 --> 00:26:22,900
+كذلك لو جمعت على الطرفين هنا B فبيطلع A زائد B أكبر
+
+243
+00:26:22,900 --> 00:26:26,320
+من B زائد B A زائد B أكبر من B زائد B اللي هو 
+
+244
+00:26:26,320 --> 00:26:32,320
+اثنين B إذا أنا في عندي الآن متباينتين اثنين A
+
+245
+00:26:32,320 --> 00:26:39,960
+أكبر من A زائد B هي اثنين A أكبر من A زائد B وA 
+
+246
+00:26:39,960 --> 00:26:46,700
+زائد B أكبر من اثنين B إذا by transitivity خاصية
+
+247
+00:26:46,700 --> 00:26:52,740
+التعدي ممكن استنتج أن اثنين a أكبر من a زائد b
+
+248
+00:26:52,740 --> 00:26:59,440
+أكبر من اثنين b الآن العدد اثنين عدد طبيعي وشوفنا
+
+249
+00:26:59,440 --> 00:27:03,360
+في الخاصية بتقول أي عدد طبيعي هو عدد موجب في
+
+250
+00:27:03,360 --> 00:27:09,520
+النظرية اللي فاتت كذلك أي عدد موجب مقلوبه موجب إذا 
+
+251
+00:27:09,520 --> 00:27:14,520
+النصف عدد موجب الآن لو ضربت المتباينة هذه في النصف
+
+252
+00:27:14,520 --> 00:27:19,340
+اللي هو عدد موجب إشاراتها تبقى زي ما هي هذه خاصية
+
+253
+00:27:19,340 --> 00:27:27,740
+أخذناها في النظرية هذه تمام؟ إذا أنا بضرب في النصف هي 
+
+254
+00:27:27,740 --> 00:27:33,960
+ضربت طبعاً هذا بيساوي a وهذا بيساوي b وبالتالي نحصل
+
+255
+00:27:33,960 --> 00:27:40,520
+على المطلوب إذا يعني براهين سهلة وبسيطة النظرية
+
+256
+00:27:40,520 --> 00:27:46,960
+هذه مهمة لأن نتيجة اللي بعدها أو أهميتها تظهر في
+
+257
+00:27:46,960 --> 00:27:53,580
+النتيجة اللي بعدها اللي هي corollary 1.7 corollary
+
+258
+00:27:53,580 --> 00:28:04,620
+1.7 بيقول أن
+
+259
+00:28:04,620 --> 00:28:12,040
+أي عدد موجب بيكون أكبر من نصفه اللي هو موجب أي عدد
+
+260
+00:28:12,040 --> 00:28:18,520
+حقيقي موجب دائماً أكبر من نصفه وبالتالي هذا معناه في
+
+261
+00:28:18,520 --> 00:28:23,200
+رياضيات أن الأعداد الحقيقية الموجبة مالهاش
+
+262
+00:28:23,200 --> 00:28:27,960
+smallest element مافيش .. لو أخدت الأعداد الحقيقية
+
+263
+00:28:27,960 --> 00:28:35,200
+الموجبة اللي هي set P فهذا ال set ما أقدرش أحط أصبعي
+
+264
+00:28:35,200 --> 00:28:42,360
+على أصغر عنصر فيها مالهاش أصغر عنصر has no smallest
+
+265
+00:28:42,360 --> 00:28:48,580
+element لأن لو أخدت أي عنصر موجب وسميته a فبقدر
+
+266
+00:28:48,580 --> 00:28:54,200
+ألاقي عدد موجب آخر أصغر منه اللي هو نصفه وبالتالي
+
+267
+00:28:54,200 --> 00:28:59,800
+ال set of positive numbers has no strictly
+
+268
+00:28:59,800 --> 00:29:04,500
+positive element تمام؟ البرهان تبع الكورلاري هذا
+
+269
+00:29:04,500 --> 00:29:09,360
+ينتج من النظرية يعني خد b بيساوي صفر في النظرية اللي
+
+270
+00:29:09,360 --> 00:29:26,280
+فاتت نظرية 1.6 هي تشوفها مع بعض نظرية
+
+271
+00:29:26,280 --> 00:29:30,860
+1.6 لو أخدت b بيساوي صفر فبيطلع a أكبر من نصف a
+
+272
+00:29:30,860 --> 00:29:37,970
+أكبر من صفر إذا هذه نتيجة سريعة مظبوط Okay إذا يعني
+
+273
+00:29:37,970 --> 00:29:45,050
+هذه بعض الحاجات السهلة والبسيطة، هنا في نظرية كثير
+
+274
+00:29:45,050 --> 00:29:49,950
+مهمة، هذه برضه نظرية هنستخدمها بكره يعني في 
+
+275
+00:29:49,950 --> 00:29:55,770
+المستقبل، نظرية 1.8 نظرية كثير مهمة وأهميتها
+
+276
+00:29:55,770 --> 00:30:02,670
+هنشوفها في الشبات الرجاية إيش هذه النظرية بتقول؟ لو
+
+277
+00:30:02,670 --> 00:30:08,110
+في عندي عدد حقيقي غير سالب، غير سالب، وفي نفس
+
+278
+00:30:08,110 --> 00:30:14,050
+الوقت أصغر من إبسلون لكل عدد موجب إبسلون، فهذا
+
+279
+00:30:14,050 --> 00:30:19,350
+العدد لازم يكون هو الصفر، وهي برهان بالتناقض
+
+280
+00:30:22,990 --> 00:30:28,470
+كمان مرة العدد غير السالب اللي بيكون أي أصغر من أي 
+
+281
+00:30:28,470 --> 00:30:33,590
+عدد موجب هو الصفر مافيش غير الصفر اللي بيحقق
+
+282
+00:30:33,590 --> 00:30:40,250
+لخاصية هذه لبرهان ذلك نعمل برهان بالتناقض افرض أن 
+
+283
+00:30:40,250 --> 00:30:45,830
+الـ a أن الـ a هذا بيساوي الصفر و في نفس الوقت a
+
+284
+00:30:45,830 --> 00:30:48,850
+غير سالب إذا يعني a موجب صح؟
+
+285
+00:30:52,860 --> 00:30:57,980
+الآن حسب نظرية كورينة النتيجة 1.7 إذا a 
+
+286
+00:30:57,980 --> 00:31:05,260
+بيطلع أكبر من نصف a فأخذ epsilon zero هنا عدد موجب
+
+287
+00:31:05,260 --> 00:31:11,260
+بساوي a على اتنين نصف a هذا عدد موجب إذا أنا نجحت في
+
+288
+00:31:11,260 --> 00:31:18,670
+إيجاد عدد epsilon zero عدد موجب وال a أكبر منه هذا
+
+289
+00:31:18,670 --> 00:31:22,570
+يتناقض مع الفرض أن a أصغر من إبسلون لكل إبسلون
+
+290
+00:31:22,570 --> 00:31:29,190
+أكبر من الصفر أظبط؟ لأن هذا التناقض يثبت النظرية
+
+291
+00:31:29,190 --> 00:31:39,010
+واضح تمام؟ واضح البرهان؟ عيدها طيب أنا عندي a عدد
+
+292
+00:31:39,010 --> 00:31:43,190
+حقيقي غير سالب وفي نفس الوقت أصغر من كل الأعداد
+
+293
+00:31:43,190 --> 00:31:49,030
+الموجبة إبسلون بدي أثبت أن a بيساوي صفر برهان
+
+294
+00:31:49,030 --> 00:31:53,630
+بالتناقض prove by contradiction assume or suppose
+
+295
+00:31:53,630 --> 00:31:58,910
+the contrary النقيض أو النفي تبع النتيجة يعني a ما
+
+296
+00:31:58,910 --> 00:32:03,390
+بيساوي صفر نفي a بيساوي صفر a لا تساوي صفر طب أنا 
+
+297
+00:32:03,390 --> 00:32:07,470
+كاتب هنا الـ contrary a أكبر من صفر هذا صح بناء على 
+
+298
+00:32:07,470 --> 00:32:11,930
+أن الفرض a أكبر من أكبر من صفر وما بيساوي صفر إذن
+
+299
+00:32:11,930 --> 00:32:16,970
+أكبر من صفر صح طيب الآن
+
+300
+00:32:18,230 --> 00:32:23,270
+لو أخذت Epsilon Zero بيساوي نصف A وبما أنه A عدد
+
+301
+00:32:23,270 --> 00:32:27,650
+موجب فنتيجة 1.7 بتقول لو كان A عدد موجب
+
+302
+00:32:27,650 --> 00:32:35,520
+فنصف A بيطلع عدد موجب إذا أنا وفي نفس الوقت كمان الـ 
+
+303
+00:32:35,520 --> 00:32:40,820
+a أكبر من نصف a الـ a أكبر من نصف a وبالتالي إذا أنا 
+
+304
+00:32:40,820 --> 00:32:45,900
+نجحت في إيجاد epsilon zero عدد موجب و a أكبر منه
+
+305
+00:32:45,900 --> 00:32:54,700
+هذا بتناقض مع الفرض أنه بتناقض مع الفرض أنه a أصغر
+
+306
+00:32:54,700 --> 00:33:03,090
+من epsilon لكل epsilon موجبة صح؟ العبارة هذه هينفي
+
+307
+00:33:03,090 --> 00:33:07,710
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+308
+00:33:07,710 --> 00:33:10,950
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+309
+00:33:10,950 --> 00:33:11,090
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+310
+00:33:11,090 --> 00:33:11,430
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+311
+00:33:11,430 --> 00:33:12,810
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+312
+00:33:12,810 --> 00:33:13,730
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+313
+00:33:13,730 --> 00:33:21,570
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+314
+00:33:21,570 --> 00:33:25,250
+هذه نفي هذه نفي 
+
+315
+00:33:28,550 --> 00:33:32,050
+Okay، إذا احنا لحد الآن يعني كل شغلنا مبادئ
+
+316
+00:33:32,050 --> 00:33:37,270
+رياضيات، صح؟ طيب، طب ما هي مبادئ الرياضيات هي أساس
+
+317
+00:33:37,270 --> 00:33:46,390
+الـ .. اسمها أسس الرياضيات، فاسم على مسمى فبالتالي
+
+318
+00:33:46,390 --> 00:33:50,870
+فهم مادة هذه، جابت علينا منيح يعني، هترتاح في
+
+319
+00:33:50,870 --> 00:33:57,380
+المستقبل كتير Bernoulli inequality برنولي
+
+320
+00:33:57,380 --> 00:34:01,760
+الـ inequality هذه يعني في شوية متباينات طبعا مهمة في
+
+321
+00:34:01,760 --> 00:34:06,860
+الكتاب أنا اخترت واحدة منهم لكن في بعض المتباينات
+
+322
+00:34:06,860 --> 00:34:13,180
+الأخرى موجودة في الكتاب وأرجو أنكم تقرأوها فبرنولي 
+
+323
+00:34:13,180 --> 00:34:15,960
+الـ inequality هذه واحدة منهم متباينة برنولي يعني
+
+324
+00:34:15,960 --> 00:34:23,230
+بيقول لو كان X عدد حقيقي أكبر من سالب واحد فمجموعه
+
+325
+00:34:23,230 --> 00:34:28,750
+واحد و X to the power N دائما أكبر من أو يساوي واحد
+
+326
+00:34:28,750 --> 00:34:38,850
+زائد N ضرب X وهذا صحيح لكل الأعداد الطبيعية نعم
+
+327
+00:34:38,850 --> 00:34:46,290
+في نظرية جاب لها حجم ما خليناش نشوف
+
+328
+00:34:46,290 --> 00:34:46,890
+مع بعض
+
+329
+00:34:50,730 --> 00:35:07,610
+اه صحيح نشوف النظرية 1.9 نظرية
+
+330
+00:35:07,610 --> 00:35:10,870
+1.9 بتقول لو كان عندي عددين حقيقين حاصل
+
+331
+00:35:10,870 --> 00:35:15,610
+ضربهم موجب في إما إثنين موجبين يا إما إثنين 
+
+332
+00:35:15,610 --> 00:35:20,450
+سالبين صح؟ ممكن يكون الإثنين مختلفين في الإشارة و
+
+333
+00:35:20,450 --> 00:35:25,530
+حاصل ضربهم موجب إذا حصل ضرب عددين موجب بيقدر أنه
+
+334
+00:35:25,530 --> 00:35:33,670
+إما إثنين موجبين أو إثنين سالبين فالبرهان نشوف كيف
+
+335
+00:35:33,670 --> 00:35:39,640
+افرض الفرض تبعنا أن حاصل ضرب A وB موجب فهذا أكيد
+
+336
+00:35:39,640 --> 00:35:42,780
+بيؤدي أن لا الـ a بيساوي صفر ولا الـ b بيساوي صفر
+
+337
+00:35:42,780 --> 00:35:46,520
+لأن لو واحد منهم بيساوي صفر فحاصل الضرب هيطلع
+
+338
+00:35:46,520 --> 00:35:50,720
+بيساوي صفر contradiction تناقض صح؟ لأن هذا 
+
+339
+00:35:50,720 --> 00:36:02,020
+الاستنتاج منطقي طيب الآن احنا الـ a ناخذ ناخذ الجزء
+
+340
+00:36:02,020 --> 00:36:09,250
+هذا الآن أنا عند a لا يساوي صفر يبقى بتراي كاتومي
+
+341
+00:36:09,250 --> 00:36:14,650
+property حسب الخاصية التي هي إما a أكبر من صفر أو
+
+342
+00:36:14,650 --> 00:36:23,650
+a أصغر من صفر صح؟ يبقى في احتمالين طيب ناخذ الـ a لو
+
+343
+00:36:23,650 --> 00:36:30,370
+كان افرض أن a أكبر من صفر فهذا بيؤدي أن واحد على a
+
+344
+00:36:30,370 --> 00:36:42,620
+أكبر من صفر هذا يعني 1 على a أكبر من 0 بيؤدي
+
+345
+00:36:42,620 --> 00:36:48,700
+أيضًا إلى بي اللي هو بيساوي الـ 
+
+346
+00:36:48,700 --> 00:36:53,720
+بي ممكن أكتبها واحد في بي والواحد ممكن أبدله بواحد 
+
+347
+00:36:53,720 --> 00:36:57,800
+على a في a واستخدم الـ associative law واكتب هذا
+
+348
+00:36:57,800 --> 00:37:04,910
+على صورة واحد على a في a بي الآن هذا موجب وهذا موجب
+
+349
+00:37:04,910 --> 00:37:12,330
+إذا حصلت ضرب بيطلع موجب إذا هذه أثبتت أن الـ a أكبر
+
+350
+00:37:12,330 --> 00:37:19,950
+من الـ b أكبر من الصفر لأ احنا أخذنا الـ a أكبر من 
+
+351
+00:37:19,950 --> 00:37:24,290
+الصفر فأدت
+
+352
+00:37:24,290 --> 00:37:28,690
+إلى أن الـ b
+
+353
+00:37:28,690 --> 00:37:32,430
+أكبر من الصفر وبالتالي بيطلع الـ a والـ b موجبين
+
+354
+00:37:34,090 --> 00:37:40,810
+بالمثل لو افترضت .. أخذت لو افترضت أن a سالب فطبعا
+
+355
+00:37:40,810 --> 00:37:46,410
+مقلوب العدد السالب بيطلع سالب وبالتالي الـ b اللي
+
+356
+00:37:46,410 --> 00:37:52,830
+هي بتساوي واحد على a في a b زي ما عملنا هنا الـ b
+
+357
+00:37:52,830 --> 00:37:56,810
+بتطلع بتساوي واحد على a في a b ف ..
+
+358
+00:38:00,670 --> 00:38:05,850
+فهذا بيطلع الحاصل بضرب سالب لأن عندي أنا هي هذه
+
+359
+00:38:05,850 --> 00:38:12,290
+المتباينة هذه هي واحد على a سالب لو ضربت المتباينة
+
+360
+00:38:12,290 --> 00:38:18,370
+هذه في العدد الموجب a,b اللي هو عدد موجب فبيصير
+
+361
+00:38:18,370 --> 00:38:21,910
+المتباينة هذه عبارة عن واحد على a في a,b الطرف
+
+362
+00:38:21,910 --> 00:38:29,070
+الشمال وضربتها في عدد موجب فبيطلع أصغر من صفر في a
+
+363
+00:38:29,070 --> 00:38:30,030
+,b اللي هو صفر 
+
+364
+00:38:32,730 --> 00:38:38,730
+وبالتالي بيطلع عندي الـ B بيطلع عند الـ B التي هي
+
+365
+00:38:38,730 --> 00:38:46,390
+أصغر من الصفر إذا مرة ثانية لو فرضنا أن a,b أكبر من 0
+
+366
+00:38:46,390 --> 00:38:50,670
+فشفنا أن لا الـ a بيساوي 0 ولا الـ b بيساوي 0
+
+367
+00:38:50,670 --> 00:38:56,670
+وبالتالي إما بيطلع a أكبر من 0 أو a أصغر من 0 في
+
+368
+00:38:56,670 --> 00:39:01,010
+الحالة الأولى لو كان a أكبر من 0 بيطلع b أكبر من 0
+
+369
+00:39:01,010 --> 00:39:05,170
+وبالتالي a وb موجبين في الاحتمال الثاني أو الحالة
+
+370
+00:39:05,170 --> 00:39:09,940
+الثانية لو كان a سالب فشفنا أن بيطلع b سالب و
+
+371
+00:39:09,940 --> 00:39:18,480
+بالتالي إثنين سالبين okay تمام نشوف
+
+372
+00:39:18,480 --> 00:39:27,240
+الآن Bernoulli inequality اليوم
+
+373
+00:39:27,240 --> 00:39:32,620
+هناخد برهان by induction برضه مبادئ الرياضيات خلنا
+
+374
+00:39:32,620 --> 00:39:39,360
+برهان by contradiction و direct proof وهنشوف move
+
+375
+00:39:39,360 --> 00:39:44,880
+by induction نمسح 
+
+376
+00:39:44,880 --> 00:39:49,300
+اللوح برنولي 
+
+377
+00:39:49,300 --> 00:39:52,420
+الـ equality زي ما قلنا لو كان x عدد حقيقي أكبر من 
+
+378
+00:39:52,420 --> 00:39:58,000
+سالب واحد فلمّا أضيف عليه واحد وأرفع لقوة n هذا
+
+379
+00:39:58,000 --> 00:40:02,380
+بيطلع أكبر من أو يساوي واحد زائد n في x وهذا صحيح
+
+380
+00:40:02,380 --> 00:40:07,290
+لكل الأعداد الطبيعية البرهان by induction لو كانت n
+
+381
+00:40:07,290 --> 00:40:12,690
+بيساوي واحد بأثبت صحة العبارة عند n بيساوي واحد لأن
+
+382
+00:40:12,690 --> 00:40:20,350
+إبدأ من واحد فلو كان n بيساوي واحد فالطرف
+
+383
+00:40:20,350 --> 00:40:23,530
+الشمال 
+
+384
+00:40:23,530 --> 00:40:31,900
+بيطلع واحد زائد x صح؟ الطرف الشمال واحد زائد X والطرف
+
+385
+00:40:31,900 --> 00:40:37,240
+اليمين برضه واحد زائد X فبيطلع مساواة وطبعا
+
+386
+00:40:37,240 --> 00:40:42,720
+المساواة بقدر أبدلها بأكبر من أو يساوي مافي مشكلة
+
+387
+00:40:42,720 --> 00:40:46,020
+تمام؟
+
+388
+00:40:46,020 --> 00:40:52,700
+إذا العبارة هذه صحيحة عند N بيساوي واحد الآن نفترض
+
+389
+00:40:52,700 --> 00:40:57,780
+أن العبارة صحيحة عند N بيساوي K حيث K أكبر من
+
+390
+00:40:57,780 --> 00:41:05,800
+واحد هذا ما نسميه induction hypothesis الفرض تبع الـ
+
+391
+00:41:05,800 --> 00:41:12,740
+induction نفترض صحة العبارة عند N بيساوي K حيث K 
+
+392
+00:41:12,740 --> 00:41:18,080
+أكبر من 1 هذا معناه أن 1 زائد X to K bigger than or 
+
+393
+00:41:18,080 --> 00:41:24,510
+equal to 1 plus K X طيب الآن نريد نكمل الـ induction
+
+394
+00:41:24,510 --> 00:41:32,790
+عايزين نثبت صحة العبارة 1 اللي هي هذه العبارة
+
+395
+00:41:32,790 --> 00:41:38,730
+1 مش عارف من الواحد رايح العبارة 1 هذه نثبت 
+
+396
+00:41:38,730 --> 00:41:45,650
+الصحة عندنا بيساوي K زائد واحد طيب from 2 هذه
+
+397
+00:41:45,650 --> 00:41:47,870
+العبارة 2 اللي هي induction hypothesis
+
+398
+00:41:52,040 --> 00:41:59,640
+بتدفع في الـ type هاي العبارة هذه لما n بيساوي k
+
+399
+00:41:59,640 --> 00:42:05,880
+زائد واحد هتصير واحد زائد x الكل أس k زائد واحد
+
+400
+00:42:05,880 --> 00:42:12,410
+أكبر من أو يساوي واحد زائد k زائد واحد في X هذه
+
+401
+00:42:12,410 --> 00:42:18,390
+العبارة and N بيساوي K زائد 1 نبدأ بالطرف الشمال و
+
+402
+00:42:18,390 --> 00:42:22,670
+نثبت أنه أكبر من أو يساوي الطرف اليمين هاي الطرف
+
+403
+00:42:22,670 --> 00:42:27,950
+الشمال بقدر أجزئه حسب قوانين الأسس ل1 plus X to K
+
+404
+00:42:27,950 --> 00:42:34,410
+و1 زائد X to K ضرب 1 زائد X الآن من 2 من العبارة
+
+405
+00:42:34,410 --> 00:42:38,070
+الثانية one plus X to K اللي هو induction
+
+406
+00:42:38,070 --> 00:42:43,340
+hypothesis حسب 2 هذا أكبر من أو يساوي واحد زائد
+
+407
+00:42:43,340 --> 00:42:48,220
+K X مضروب في واحد زائد X بنضرب هدول في بعض و
+
+408
+00:42:48,220 --> 00:42:55,440
+بنرتب فبيطلع حاصل الضرب هذا هو واحد زائد K زائد
+
+409
+00:42:55,440 --> 00:43:01,340
+واحد في X زائد K في X تربيع الآن
+
+410
+00:43:01,340 --> 00:43:08,860
+هذا هذا عدد موجب هذا عدد موجب لأن K عدد طبيعي و X 
+
+411
+00:43:08,860 --> 00:43:16,060
+تربيع عدد موجب لما أشيل هذا أشطب فبيصغر المقدار
+
+412
+00:43:16,060 --> 00:43:20,580
+لما أشيل عدد موجب من عدد أو أنقص من عدد عدد موجب
+
+413
+00:43:20,580 --> 00:43:27,580
+بيصغر فبالتالي هذا أكبر من واحد زائد K زائد واحد في X
+
+414
+00:43:28,490 --> 00:43:33,310
+وهذا هو الطرف اليمين للمتباينة 1 اللي احنا عايزين 
+
+415
+00:43:33,310 --> 00:43:38,050
+نثبت صحتها عند m بيساوي k زائد واحد إذا this
+
+416
+00:43:38,050 --> 00:43:42,830
+completes the induction هذا بيكمل البرهان بال
+
+417
+00:43:42,830 --> 00:43:50,050
+induction مظبوط صح تمام واضح إذا هي صار في أن
+
+418
+00:43:50,050 --> 00:43:54,170
+متباينة
+
+419
+00:43:54,170 --> 00:44:01,080
+Bernoulli زي ما قلنا لكم في في الفي الـ section هذا
+
+420
+00:44:01,080 --> 00:44:08,240
+بعض المتباينات الأخرى فبإمكانكم تقرأوها الـ 
+
+421
+00:44:08,240 --> 00:44:12,260
+الآن خلصنا احنا section 2.1  أعتقد
+
+422
+00:44:12,260 --> 00:44:20,040
+فالمسائل المطلوب أنكم تحلوها اللي هي موجودة مرسومة
+
+423
+00:44:20,040 --> 00:44:23,280
+هنا وبرضه 
+
+424
+00:44:23,280 --> 00:44:26,500
+زي ما قلت لكم في الـ syllabus موجود على الصفحة تبعتي
+
+425
+00:44:27,940 --> 00:44:32,720
+فبرضه في الـ homework هذا موجود ل... مش للـ
+
+426
+00:44:32,720 --> 00:44:38,400
+section هذا لكل ال... المنهج إذا نبدأ نحل المسائل
+
+427
+00:44:38,400 --> 00:44:44,180
+هذه وإن شاء الله لأسبوع الجاي بنعمل مناقشة فأنا
+
+428
+00:44:44,180 --> 00:44:49,200
+هعمل مناقشة... أنا اللي هكون مناقشة لكم اليوم لأ
+
+429
+00:44:49,200 --> 00:44:52,960
+مافيش مناقشة لأنه لسه احنا يعني ماخدناش الـ material 
+
+430
+00:44:52,960 --> 00:45:00,110
+كافية أو اللي لسه يعني مش مهيئين أو مش محضرين
+
+431
+00:45:00,110 --> 00:45:06,170
+فهنواصل ونحاول إن شاء الله أسبوع الجاي ناخد كل
+
+432
+00:45:06,170 --> 00:45:10,450
+ساعة هذه الساعة
+
+433
+00:45:10,450 --> 00:45:12,930
+الأخيرة هذه المتأخرة نعملها مناقشة 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Nztl0T85AIM_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1732 @@
+1
+00:00:21,210 --> 00:00:28,030
+انراجع مع بعض ال order properties of R او خواص
+
+2
+00:00:28,030 --> 00:00:33,790
+الترتيب للأعداد الحقيقية احنا من بداية ال chapter
+
+3
+00:00:33,790 --> 00:00:37,630
+قلنا انه ال real number system نظام الأعداد
+
+4
+00:00:37,630 --> 00:00:43,250
+الحقيقية نظام
+
+5
+00:00:43,250 --> 00:00:52,230
+الأعداد الحقيقية يتكون من مجموعة R boldface Rمع
+
+6
+00:00:52,230 --> 00:00:57,370
+عمليتين فنائيتين واحدة عملية الجامعة واحدة عملية
+
+7
+00:00:57,370 --> 00:01:04,390
+الضرب وافترضنا ان العمليات هذه بتحقق خمس خواص اللي
+
+8
+00:01:04,390 --> 00:01:08,910
+هي خواص ال field اللي هو ال commutative law,
+
+9
+00:01:09,050 --> 00:01:17,690
+associative law, distributive laws, existence of
+
+10
+00:01:17,690 --> 00:01:23,340
+identities, existence of inversesبعدين ضفنا على
+
+11
+00:01:23,340 --> 00:01:28,300
+ذلك انه افترضنا انه ال real number system R بتحقق
+
+12
+00:01:28,300 --> 00:01:33,020
+برضه خاصية الترتيب او خواص الترتيب اللي هي الخاصية
+
+13
+00:01:33,020 --> 00:01:38,440
+السادسة هذه الخاصية السادسة هذه تجزأت يعني تنص على
+
+14
+00:01:38,440 --> 00:01:43,560
+ما يليه نفترض انه يوجد مجموعة جزئية من R غير خالية
+
+15
+00:01:43,560 --> 00:01:49,360
+و المجموعة الجزئية هذه بنسميها P اللي هو اول حرف
+
+16
+00:01:49,360 --> 00:01:56,080
+في positiveعشان نسميها بعد هيك the set of positive
+
+17
+00:01:56,080 --> 00:02:02,020
+real numbers ف ال set P هذه closed under addition
+
+18
+00:02:02,020 --> 00:02:08,540
+and under multiplication كمان نفترض أن ال set P
+
+19
+00:02:08,540 --> 00:02:13,180
+هذه بتحقق الخاصية الثلاثية ال trichotomy property
+
+20
+00:02:14,240 --> 00:02:18,920
+which means that for any real number a exactly one
+
+21
+00:02:18,920 --> 00:02:27,060
+of the three possibilities holds either a belongs
+
+22
+00:02:27,060 --> 00:02:34,420
+to p or a equals zero or negative a belongs to p
+
+23
+00:02:34,420 --> 00:02:42,230
+بناء على هذه الخاصية شفنا أن الأعداد الحقيقيةgets
+
+24
+00:02:42,230 --> 00:02:47,350
+partitioned to three mutually disjoint sets يعني
+
+25
+00:02:47,350 --> 00:02:54,450
+الخاصية هذه بتجزق بتخليني أجزق العداد الحقيقية إلى
+
+26
+00:02:54,450 --> 00:03:00,110
+تلت مجموعات منفصلة مثنى مثنى pair-wise disjoint
+
+27
+00:03:00,110 --> 00:03:05,650
+يعني إن لو أخدت أي مجموعتين عشوائيتين من التلاتة
+
+28
+00:03:05,650 --> 00:03:09,310
+تقطعهم بساوي فايل مافيش بينهم عناصر و مش تلتين
+
+29
+00:03:10,410 --> 00:03:15,170
+واتحادهم بساوي ال R، لأن هذا بشكل تجزء على ال R،
+
+30
+00:03:15,170 --> 00:03:19,630
+تجزء على ال R أو بنسميها في الرياضيات partition of
+
+31
+00:03:19,630 --> 00:03:25,210
+R ال set P هذه سمنها set of positive real numbers
+
+32
+00:03:25,210 --> 00:03:35,210
+وعرفنا negative P على إنها negative عناصر ال set P
+
+33
+00:03:44,210 --> 00:03:49,430
+Okay فهي معرفة negative P هي كل ال elements
+
+34
+00:03:49,430 --> 00:03:56,850
+negative A such that A element in P بعدين
+
+35
+00:03:56,850 --> 00:04:02,430
+عرفنا علاقة الترتيب، الآن بنعرف اللي هو order
+
+36
+00:04:02,430 --> 00:04:08,340
+relation على Rما معنى أنه a لو في ending two real
+
+37
+00:04:08,340 --> 00:04:12,720
+numbers ما معنى a أصغر من b أو b أكبر من a قولنا
+
+38
+00:04:12,720 --> 00:04:19,820
+معناها أن الفرق بين b و a is positive real number
+
+39
+00:04:19,820 --> 00:04:24,480
+أو ينتمي لمجموعة الأعداد المجتمعةطب ما معناه a
+
+40
+00:04:24,480 --> 00:04:28,760
+أصغر من أو ساوي b أو b أكبر من أو ساوي a؟ معناته
+
+41
+00:04:28,760 --> 00:04:33,240
+الفرق بين b و a ينتمي للأعداد الموجبة، يعني الفرق
+
+42
+00:04:33,240 --> 00:04:40,120
+موجب أو يساوي سفر أو يساوي سفر، إذن معناه تاني طيب
+
+43
+00:04:40,120 --> 00:04:50,940
+و أعتقد إن احنا بعد هيك أثبتنا أه
+
+44
+00:04:50,940 --> 00:04:52,780
+وقفنا عند النظرية هذه
+
+45
+00:04:57,810 --> 00:05:02,310
+نظرية واحد خمسة قلنا إنه لأي لو أخدت أي تلت أعداد
+
+46
+00:05:02,310 --> 00:05:08,730
+حقيقية فعند الخواص التالية تتحقق نجموعة الخواص هذه
+
+47
+00:05:08,730 --> 00:05:17,210
+تتحق�� فالخواص
+
+48
+00:05:17,210 --> 00:05:21,630
+هذه هذا
+
+49
+00:05:21,630 --> 00:05:27,330
+هي أمامكم transitivity خاصية التعدىايه يعني
+
+50
+00:05:27,330 --> 00:05:35,310
+التعدى؟ يعني اذا انا في عندي تلت أعداد حقه في A و
+
+51
+00:05:35,310 --> 00:05:38,770
+B و C
+
+52
+00:05:43,970 --> 00:05:52,530
+وكان B هنا أكبر .. B أكبر من A and C أكبر من B
+
+53
+00:05:52,530 --> 00:05:55,790
+فهذا
+
+54
+00:05:55,790 --> 00:06:09,770
+بيؤدي أنه C أكبر من A خليني
+
+55
+00:06:09,770 --> 00:06:15,290
+أنا أكسهم عشان .. كليهم زي ..مهمة موجودة هناك هي a
+
+56
+00:06:15,290 --> 00:06:27,090
+أكبر من b هي a أكبر من b و b أكبر من c فبطلع
+
+57
+00:06:27,090 --> 00:06:38,470
+c أو a بطلع أكبر من cهذه a أكبر من b و b أكبر من c
+
+58
+00:06:38,470 --> 00:06:44,750
+إذا نقدر نتعدى و نقول a أكبر من c فهذه بيسموها في
+
+59
+00:06:44,750 --> 00:06:50,730
+الرياضيات transitivity أو خاصية التعدى الخاصية
+
+60
+00:06:50,730 --> 00:06:53,990
+التانية
+
+61
+00:06:53,990 --> 00:06:59,930
+بنسميها tricotomy برضه خاصية ثلاثية جاية من
+
+62
+00:06:59,930 --> 00:07:05,770
+الخاصية الثلاثية اللى شفناها قبل شويةفبتقول
+
+63
+00:07:05,770 --> 00:07:08,650
+exactly one of the following holds واحد من تلات
+
+64
+00:07:08,650 --> 00:07:19,190
+احتمالات بتحصل اما a اكبر من b او a بتساوي b او a
+
+65
+00:07:19,190 --> 00:07:28,260
+اصغر من bلأي عددين حقيقيين A وB واحد فقط من
+
+66
+00:07:28,260 --> 00:07:32,800
+الاحتمالات التلاتة بيكون صحيح وهو اما A أكبر من B
+
+67
+00:07:32,800 --> 00:07:38,860
+أو A بساوي B أو A أصغر من B الـ Antisymmetry
+
+68
+00:07:38,860 --> 00:07:43,640
+property علاقة أكبر من أو ساويها دي بنسميها
+
+69
+00:07:43,640 --> 00:07:48,400
+Antisymmetric يعني ايه؟ بتحقق خاصية تضاد التماثل
+
+70
+00:07:49,760 --> 00:07:54,960
+إيه يعني؟ مع أن لو كانت A على علاقة مع B و B على
+
+71
+00:07:54,960 --> 00:08:00,940
+علاقة مع A فلازم يطلع A بساوي B، A أكبر من أو ساوي
+
+72
+00:08:00,940 --> 00:08:05,300
+B و B أكبر من أو ساوي A فلازم A ساوي B، هذي
+
+73
+00:08:05,300 --> 00:08:11,640
+بنسميها Anti-symmetry propertyهنا الخاصية هذه لو
+
+74
+00:08:11,640 --> 00:08:18,140
+كان a أكبر من b وضفت للطرفين أي عدد c فالمتباينة
+
+75
+00:08:18,140 --> 00:08:22,040
+تبقى زي ما هي شريتها زي ما هي طيب لو في عندي
+
+76
+00:08:22,040 --> 00:08:26,100
+متباينة a أكبر من b لان نتحدث عن متباينات
+
+77
+00:08:26,100 --> 00:08:31,960
+inequalitiesلو كان a أكبر من b و c عدد موجب وضربت
+
+78
+00:08:31,960 --> 00:08:35,960
+الطرفين في عدد الموجب c فإشارة المتباينة تبقى كما
+
+79
+00:08:35,960 --> 00:08:40,380
+هي لكن لو ضربت المتباينة في عدد سالب إشارة
+
+80
+00:08:40,380 --> 00:08:46,900
+المتباينة تناكز الخاصية f بتقول أنه لأي عدد حقيقي
+
+81
+00:08:46,900 --> 00:08:51,300
+لا يساوي سفر مربع أي عدد حقيقي لا يساوي سفر دائما
+
+82
+00:08:51,300 --> 00:08:55,400
+بيكون عدد موجب الواحد
+
+83
+00:08:55,900 --> 00:08:59,780
+الـ Distinguished elements في R أو في الـ real
+
+84
+00:08:59,780 --> 00:09:02,940
+number system اللي هم السفر والواحد اللي هو ال
+
+85
+00:09:02,940 --> 00:09:07,280
+identity elements سمناهم بيحققوا ان واحد دايما
+
+86
+00:09:07,280 --> 00:09:13,400
+اكبر من السفر و سالب واحد اصغر من السفر كمان لأي
+
+87
+00:09:13,400 --> 00:09:16,840
+عدد طبيعي هذي the set of natural numbers اي عدد
+
+88
+00:09:16,840 --> 00:09:23,210
+طبيعي بيكون دايما موجب اي عدد طبيعي بيطلع موجبلو
+
+89
+00:09:23,210 --> 00:09:27,450
+كان a عدد حقيقي موجب فمقلوبه موجب لو كان a عدد
+
+90
+00:09:27,450 --> 00:09:38,990
+حقيقي سالب مقلوبه بيطلع سالب الخاصية
+
+91
+00:09:38,990 --> 00:09:45,610
+الأخيرة ال لو كان a أصغر من b و اتنين موجبين
+
+92
+00:09:45,610 --> 00:09:53,160
+فمقلوب لصغير أكبر من مقلوبالكبير أو مقلوب الكبير
+
+93
+00:09:53,160 --> 00:09:56,680
+أصغر من مقلوب الصغير بصرت اتنين اللي هم نفس
+
+94
+00:09:56,680 --> 00:10:00,980
+الإشارة لكن لو كان واحد موجة بواحد سالب فالكلام
+
+95
+00:10:00,980 --> 00:10:08,060
+هذا مش صحيح خدوا بالك طيب نشوف نمر بسرعة على
+
+96
+00:10:08,060 --> 00:10:15,500
+البرهين قرأته البرهين انتوا؟ طيب
+
+97
+00:10:30,910 --> 00:10:38,550
+خاصية التعدى خاصية التعدى انا كان عندي a أكبر من b
+
+98
+00:10:38,550 --> 00:10:44,710
+and b أكبر من c بدنا نثبت ان هذا يعدي ان a أكبر من
+
+99
+00:10:44,710 --> 00:10:52,250
+c فالبرهان ذلك يكفي نثبت ان الفرق بين c و a موجب
+
+100
+00:10:52,990 --> 00:10:56,990
+يعني ينتمي لل set P of positive real numbers
+
+101
+00:10:56,990 --> 00:11:02,450
+فتعالوا نثبت الكلام هذا أنا عندي من المعطيات او من
+
+102
+00:11:02,450 --> 00:11:08,370
+الفرض الفرق هذا موجب والفرق هذا موجب من المعطيات
+
+103
+00:11:09,240 --> 00:11:13,680
+طيب set P closed under addition مغلقة تحت عملية
+
+104
+00:11:13,680 --> 00:11:18,820
+الجمع إذا مجموعة أنصرين في P بيطلع أنصر تالت في P
+
+105
+00:11:18,820 --> 00:11:22,660
+هذا الأنصر التالت اللي بيقول المجموعة طلع A سالب C
+
+106
+00:11:22,660 --> 00:11:28,560
+هذا معناه مادام الفرخ هذا تملى P معناته الفرخ هذا
+
+107
+00:11:28,560 --> 00:11:33,900
+موجب أو A أكبر من C as required كما هو مطلوب،
+
+108
+00:11:33,900 --> 00:11:38,040
+مظبوط؟ واضح؟ طيب
+
+109
+00:11:42,860 --> 00:11:49,940
+أي عدد حقيقي له واحد من تلت احتمالات اما موجب او
+
+110
+00:11:49,940 --> 00:11:56,720
+سفر او سالب الان بناء على هذه الخاصية ممكن نثبت
+
+111
+00:11:56,720 --> 00:12:01,940
+الخاصية الثلاثية الخاصية
+
+112
+00:12:01,940 --> 00:12:05,600
+بي
+
+113
+00:12:09,230 --> 00:12:15,030
+قلنا إن لو كان لأي عددين حقيقيين لأي عددين حقيقيين
+
+114
+00:12:15,030 --> 00:12:19,750
+a و b، a أكبر من b أو a بساوي b أو a أصغر من b
+
+115
+00:12:19,750 --> 00:12:22,910
+فالبرهان
+
+116
+00:12:22,910 --> 00:12:27,350
+ذلك بيعتمد على ال try-cutting property اللي شفناها
+
+117
+00:12:27,350 --> 00:12:33,470
+قبل شوية فأنا
+
+118
+00:12:33,470 --> 00:12:33,870
+عندي
+
+119
+00:12:37,890 --> 00:12:41,310
+حسب الـ trichotomy property، لو أخدت الفرق هذا،
+
+120
+00:12:41,310 --> 00:12:46,850
+هذا real number فأي real number إما positive أو
+
+121
+00:12:46,850 --> 00:12:54,390
+بساوي سفر أو negative، صح؟ وهذا بكافئ، الكلام هذا
+
+122
+00:12:54,390 --> 00:13:01,210
+بكافئ A سالب B ينتمي ل B بكافئ أنه الـ A أكبر من B
+
+123
+00:13:02,260 --> 00:13:07,220
+طب وهذا ينتمي لـ 0 بكافة أن a بساوي b أو الفرق
+
+124
+00:13:07,220 --> 00:13:11,660
+بساوي 0 وبالتالي a بساوي b و الفرق هذا ينتمي ل
+
+125
+00:13:11,660 --> 00:13:16,180
+negative b معناته الفرق هذا سالب يعني معناه أن a
+
+126
+00:13:16,180 --> 00:13:21,760
+أصغر من b وهذا اللي بدنا إياه هذا اللي بدنا إياه
+
+127
+00:13:21,760 --> 00:13:25,620
+طيب
+
+128
+00:13:25,620 --> 00:13:32,390
+الجزء C قلنا اللي هو ال antisymmetry propertyالـ
+
+129
+00:13:32,390 --> 00:13:37,990
+Anti-symmetry property نفكركم فيها بتقول لو كان a
+
+130
+00:13:37,990 --> 00:13:46,590
+أكبر من أو يساوي b and b أكبر من أو يساوي a فهذا
+
+131
+00:13:46,590 --> 00:13:52,210
+بيعدي أن a بساوي b، بظبط؟ طيب
+
+132
+00:13:57,150 --> 00:14:02,570
+أنا بدأ أثبت أن A بساوي B، هذه النتيجة، فبدأ أعمل
+
+133
+00:14:02,570 --> 00:14:07,750
+برهان بالتناقض، فبرهان بالتناقض دائما نفرض مافيه
+
+134
+00:14:07,750 --> 00:14:12,670
+النتيجة هو الصح، وبنفسها إلى التناقض، ف assume أن
+
+135
+00:14:12,670 --> 00:14:21,500
+A لا تساوي Bإذا حسب الخاصية الفلاثية هذا بيقدّي ان
+
+136
+00:14:21,500 --> 00:14:30,800
+اما a أصغر من b or b أصغر من a، مظبوط؟ طيب إذا هنا
+
+137
+00:14:30,800 --> 00:14:39,720
+.. الآن لو أخدت .. لو أخدت ال a أكبر من b اللي هو
+
+138
+00:14:39,720 --> 00:14:46,880
+الاحتمال هذالو أخدت .. لو قلت أن a أكبر من b فهذا
+
+139
+00:14:46,880 --> 00:14:54,140
+بتناقض مع الفرض .. بتناقض مع الفرض أن a أصغر من ..
+
+140
+00:14:54,140 --> 00:15:01,160
+a أصغر من أوسع من b هدول اتنين بيعطون التناقض طيب
+
+141
+00:15:01,160 --> 00:15:06,400
+لو افترضت الاحتمال التاني أن a أصغر من b فهذا
+
+142
+00:15:06,400 --> 00:15:15,210
+بتناقض مع الفرض أن a أكبر منأو يساوي الـ B إذا في
+
+143
+00:15:15,210 --> 00:15:20,790
+الحالتين لو فرضت هذا صح بتناقض مع هذا الجزء لو
+
+144
+00:15:20,790 --> 00:15:25,410
+فرضت هذا صح بتناقض مع هذا الجزء اللي هو جزء من
+
+145
+00:15:25,410 --> 00:15:29,970
+الفرض وبالتالي في كلتا الحالتين الفرض أن A لا
+
+146
+00:15:29,970 --> 00:15:35,050
+يساوي B أدى إلى تناقض إذا الصح أن A لازم تساوي B
+
+147
+00:15:35,050 --> 00:15:40,600
+كما هو مطلوب okay هذا برهان بالتناقضواضح تمام
+
+148
+00:15:40,600 --> 00:15:47,740
+مفهوم فاهمين ولا هيك يعني أمور
+
+149
+00:15:47,740 --> 00:15:53,040
+سهلة وبسيطة وكلها يعني مبادئ رياضيات احنا هنا يعني
+
+150
+00:15:53,040 --> 00:15:58,840
+مراجعة لمبادئ رياضيات أو طرق البرهان في مبادئ
+
+151
+00:15:58,840 --> 00:16:03,680
+رياضيات طيب
+
+152
+00:16:03,680 --> 00:16:07,220
+الآن بنثبت القصية F
+
+153
+00:16:13,430 --> 00:16:18,050
+لأي عدد حقيقي لا يساوي سفر دائما مربع و بيطلع موجب
+
+154
+00:16:18,050 --> 00:16:22,330
+فعشان أثبت مربع ال a موجب لازم أثبت ان مربع ال a
+
+155
+00:16:22,330 --> 00:16:30,890
+ينتمي لفئة او مجموعة العداد الموجبة طيب احنا فرضين
+
+156
+00:16:30,890 --> 00:16:34,950
+a لايساوي سفر اذا by tricotomy property بالخاصية
+
+157
+00:16:34,950 --> 00:16:40,470
+التلاتية اما a موجب او سالب يعني معناه هذا او هذا
+
+158
+00:16:40,470 --> 00:16:51,220
+الانلو كانت ال A موجبة فمربع و ال P مغلقة تحت
+
+159
+00:16:51,220 --> 00:16:56,440
+عملية الضرب فحاصل ضرب A في A اللي هو A تربية بيطلع
+
+160
+00:16:56,440 --> 00:17:03,580
+ينتمي يعني هذا بيساوي A تربية ال
+
+161
+00:17:03,580 --> 00:17:07,660
+A ينتمي ل P إذا حاصل الضرب ينتمي ل P وبالتالي A
+
+162
+00:17:07,660 --> 00:17:12,080
+تربية موجبة okay وهذا اللي احنا عايزينهالحالة
+
+163
+00:17:12,080 --> 00:17:17,600
+التانية طب افرض انه negative A تنتمي ل P او A
+
+164
+00:17:17,600 --> 00:17:23,200
+تنتمي ل negative P يعني A سالم ففي الحالة هذه لو
+
+165
+00:17:23,200 --> 00:17:29,220
+ضربت هذا العنصر في نفسه بطلع ينتمي إلى ال P بطلع
+
+166
+00:17:29,220 --> 00:17:33,480
+ينتمي إلى ال P وهذا بطلع بساوي من الخواص اللي
+
+167
+00:17:33,480 --> 00:17:37,510
+أخدناها قبل هيكيعني هذا عبارة عن هذا سالب إيه
+
+168
+00:17:37,510 --> 00:17:40,970
+بكتبه سالب واحد في إيه و سالب إيه التاني نفس
+
+169
+00:17:40,970 --> 00:17:45,650
+الحاجة سالب واحد في إيه فبطلع سالب واحد في سالب
+
+170
+00:17:45,650 --> 00:17:50,170
+واحد في إيه تربية و هذا واحد فبطلع إيه تربية تنتمي
+
+171
+00:17:50,170 --> 00:17:54,830
+لدي وبالتالي إيه تربية موجبة إذا هنا أثبتنا إن أي
+
+172
+00:17:54,830 --> 00:17:59,690
+عدد حقيقي مختلف عن السفر دائما مربع موجب
+
+173
+00:18:13,230 --> 00:18:23,990
+خاصية جي الخاصية
+
+174
+00:18:23,990 --> 00:18:24,510
+جي
+
+175
+00:18:30,830 --> 00:18:36,810
+احنا بنفبط أن الواحد أكبر من السفر فبكل بساطة واحد
+
+176
+00:18:36,810 --> 00:18:42,710
+بساوي واحد ضرب نفسه وهذا بيطلع واحد تربية و قبل
+
+177
+00:18:42,710 --> 00:18:46,710
+شوية شوفنا و الواحد مختلف عن السفر إذا المربع
+
+178
+00:18:46,710 --> 00:18:54,870
+بيطلع موجب حسب الخاصية السابقة، أثبت؟هذا معناه إذا
+
+179
+00:18:54,870 --> 00:18:59,770
+هيثبتنا واحد أكبر من السفر وبالتالي واحد ينتمي لل
+
+180
+00:18:59,770 --> 00:19:04,670
+positive real numbers إذا سالب واحد ينتمي ل
+
+181
+00:19:04,670 --> 00:19:07,610
+negative two يعني negative واحد أصغر من السفر
+
+182
+00:19:07,610 --> 00:19:20,050
+عملية بسيطة طيب احنا الآن بدنا نثبت ان كل
+
+183
+00:19:22,970 --> 00:19:31,370
+عدد حقيقي موجب مقلوبه موجب اه فبنعمل برهان
+
+184
+00:19:31,370 --> 00:19:36,190
+بالتناقض اذا هنا هندي اللي عايز اثبته هنا بس هنذكر
+
+185
+00:19:36,190 --> 00:19:41,430
+ال statement اللي بدنا نثبته يعني ال statement
+
+186
+00:19:41,430 --> 00:19:46,710
+اللي عايز اثبته لو كان a موجب ف reciprocal تبعه
+
+187
+00:19:46,710 --> 00:19:51,920
+بطلع موجب او مقلوبه بطلع موجبلبرهان ذلك نعمل برهان
+
+188
+00:19:51,920 --> 00:20:01,560
+بالتناقض نفرض أن واحد على a أقل من السفر وطبعا
+
+189
+00:20:01,560 --> 00:20:06,380
+عندي انا من الفرض هذا الفرض لازال قائم a أكبر من
+
+190
+00:20:06,380 --> 00:20:13,520
+السفر عندي الفرابين هدول فعندي a أكبر من السفر و
+
+191
+00:20:13,520 --> 00:20:17,640
+واحد على a أصغر من السفر فهذا بيقدي
+
+192
+00:20:20,870 --> 00:20:28,190
+لو ضربت المتباينة هذه في a اللي هو عدد موجب فهيصير
+
+193
+00:20:28,190 --> 00:20:32,450
+اندي واحد على a في a أصغر من سفر في a اللي هو
+
+194
+00:20:32,450 --> 00:20:37,290
+بيساوي سفر طب هدف بيساوي واحد ان هك بيطلع واحد
+
+195
+00:20:37,290 --> 00:20:42,530
+أصغر من سفر وبالتالي هدف يعطيني تناقض لأن الواحد
+
+196
+00:20:42,530 --> 00:20:47,530
+أكبر من سفر لسه مثبتينه قبل شوية ان هدف بيأدي إلى
+
+197
+00:20:47,530 --> 00:20:54,640
+تناقض وبالتاليمقلوب الـ A لازم يكون موجب بالمثل لو
+
+198
+00:20:54,640 --> 00:21:00,980
+كان مقلوب الـ A سالب فممكن نثبت انه مقلوب و ايضا
+
+199
+00:21:00,980 --> 00:21:05,900
+بيطلع سالب فالبرهان مشابه حسيبكم انتوا تكتبوه
+
+200
+00:21:05,900 --> 00:21:07,720
+تمام؟
+
+201
+00:21:21,570 --> 00:21:23,670
+أنا مش عارف لسه أنا هيك بعمل
+
+202
+00:21:50,000 --> 00:21:59,840
+طيب ال .. الجزء هذا الأخير إيش كان هذا؟ إيش كنا
+
+203
+00:21:59,840 --> 00:22:14,980
+بدنا نثبت هناك؟
+
+204
+00:22:17,920 --> 00:22:26,800
+اه إذا كان a عدد موجب و أصغر من b فهذا بيقدّي أن
+
+205
+00:22:26,800 --> 00:22:34,100
+مقلوب الكبير أصغر من مقلوب الصغير بظبط
+
+206
+00:22:34,100 --> 00:22:39,080
+و طبعا هذا موجب فلإثبات
+
+207
+00:22:39,080 --> 00:22:43,360
+أن واحد على بي أصغر من واحد على ايه بتثبت أن الفرق
+
+208
+00:22:43,360 --> 00:22:52,860
+بين واحد على ايه واحد على ايهو 1 على D ينتمي إلى P
+
+209
+00:22:52,860 --> 00:22:59,900
+أو موجة طيب الان هاي ناخد 1 على A سلب 1 على B
+
+210
+00:22:59,900 --> 00:23:05,140
+فاخدنا خاصية ناخد مقام مشترك A B و بعدين بيصير
+
+211
+00:23:05,140 --> 00:23:11,160
+عندى هذا بتحول لحاصل ضرب الان هذا positive number
+
+212
+00:23:11,160 --> 00:23:15,420
+لان احنا فرضين ان ال B أكبر من A فالفرق هذا
+
+213
+00:23:15,420 --> 00:23:23,780
+positiveو A B فبطلع
+
+214
+00:23:23,780 --> 00:23:29,200
+هذا مقلوب ال positive بطلع positive فهذا
+
+215
+00:23:29,200 --> 00:23:33,120
+positive و هذا positive و ال 6 دي closed under
+
+216
+00:23:33,120 --> 00:23:36,400
+multiplication إذن حاصر الضربة ده بطلع positive
+
+217
+00:23:36,400 --> 00:23:45,000
+لكون حاصر الضرب هنا العناصر فيه موجبة وبالتالي
+
+218
+00:23:46,170 --> 00:23:53,450
+إذا .. إذا هذا بيطلع أكبر من الصفر هذا بيطلع الفرق
+
+219
+00:23:53,450 --> 00:23:58,030
+أكبر من أوم وجب وبالتالي واحد على أيه أكبر من واحد
+
+220
+00:23:58,030 --> 00:24:03,770
+على بيه okay الأجزاء المتبقية D وE وH ممكن برهانة
+
+221
+00:24:03,770 --> 00:24:10,030
+بالمثل فاحنا دايما بنسيب للطالب شوية حاجات يثبتها
+
+222
+00:24:11,300 --> 00:24:15,740
+يعني عشان ان الطالب يشارك شوية و إلا بيصير عملية
+
+223
+00:24:15,740 --> 00:24:20,020
+التدريس مملة لو احنا بدنا نشرحلكم كل حاجة و مانخلش
+
+224
+00:24:20,020 --> 00:24:25,880
+ولا إيش للطالب فبصير عملية مملة و بعدين الفهم بكون
+
+225
+00:24:25,880 --> 00:24:31,860
+ماخص كل ما انت شاركت أكتر كل ما شعرتي أو حسيتي
+
+226
+00:24:31,860 --> 00:24:36,900
+بالمعلومة أكتر و كل ما فهمتيها أكتر فالحاجات هذه
+
+227
+00:24:36,900 --> 00:24:40,500
+بالإضافة للتمارين اللي في نهاية كل section في
+
+228
+00:24:40,500 --> 00:24:47,560
+الكتابحالها كتير بساعد في فهم المادة بدون ذلك بظل
+
+229
+00:24:47,560 --> 00:24:57,420
+فهمكم نقص ننتقل إلى نظرية أخرى نظرية واحد ستة
+
+230
+00:24:57,420 --> 00:25:02,680
+نظرية هذه نظرية يعني بسيطة ومهمة
+
+231
+00:25:04,730 --> 00:25:09,830
+رغم بساطتها لكن مهمة إيش بتقول النظرية هذه بتقول
+
+232
+00:25:09,830 --> 00:25:16,250
+لو أخدت أي عددين حقيقين و a أكبر من b فلازم يكون a
+
+233
+00:25:16,250 --> 00:25:26,310
+أكبر من متوسط a و b و أكبر من b البرهان بسيط هي
+
+234
+00:25:26,310 --> 00:25:32,330
+عند الفرض أنا فارض أن a أكبر من bبتثبت أن a أكبر
+
+235
+00:25:32,330 --> 00:25:39,330
+من نص مجموعة a و b و نص مجموعة a و b أكبر من b طيب
+
+236
+00:25:39,330 --> 00:25:44,490
+نثبت المتباينة الأولى هذه نثبت المتباينة الأولى
+
+237
+00:25:44,490 --> 00:25:49,230
+الأول بعدين نثبت التانية
+
+238
+00:25:52,810 --> 00:25:59,530
+فالإثبات الجزء الأول فهي عندي a أكبر من b إذا لو
+
+239
+00:25:59,530 --> 00:26:07,110
+جمعت a على نفسها ده اتنين a لو جمعت على الطرفين a
+
+240
+00:26:07,110 --> 00:26:11,630
+فبطلع عندي a زائد a أكبر من b زاد a هذه خاصية
+
+241
+00:26:11,630 --> 00:26:15,810
+أخدناها قبل a إذا اتنين a بيطلع أكبر من a زائد b
+
+242
+00:26:16,680 --> 00:26:22,900
+كذلك لو جمعت على الطرفين هنا B فبطلع A زائد B أكبر
+
+243
+00:26:22,900 --> 00:26:26,320
+من B زائد B A زائد B أكبر من B زائد B اللي هو
+
+244
+00:26:26,320 --> 00:26:32,320
+اتنين B إذا أنا في عندي الآن متباينتين اتنين A
+
+245
+00:26:32,320 --> 00:26:39,960
+أكبر من A زائد B هيا اتنين A أكبر من A زائد B وA
+
+246
+00:26:39,960 --> 00:26:46,700
+زائد B أكبر من اتنين B إذا by transitivityخاصية
+
+247
+00:26:46,700 --> 00:26:52,740
+التعدى ممكن استنتج ان اتنين a اكبر من a زايد b
+
+248
+00:26:52,740 --> 00:26:59,440
+اكبر من اتنين b الان العدد اتنين عدد طبيعي وشوفنا
+
+249
+00:26:59,440 --> 00:27:03,360
+في الخاصية بتقول اي عدد طبيعي هو عدد موجب فى
+
+250
+00:27:03,360 --> 00:27:09,520
+النظرية اللى فاتت كذلك اي عدد موجب مقلوبه موجب اذا
+
+251
+00:27:09,520 --> 00:27:14,520
+النص عدد موجب الان لو ضربت المتباينة هذه فى النص
+
+252
+00:27:14,520 --> 00:27:19,340
+اللى هو عدد موجبإشاراتها تبقى زي ما هي هذه خاصية
+
+253
+00:27:19,340 --> 00:27:27,740
+خلناها في النظرية هذه تمام؟ إذا أنا حضرب الفنص هي
+
+254
+00:27:27,740 --> 00:27:33,960
+ضربت طبعا هذا بيساوي a وهذا بيساوي b وبالتالي نحصل
+
+255
+00:27:33,960 --> 00:27:40,520
+على المطلوب إذا يعني براهين سهلة وبسيطة النظرية
+
+256
+00:27:40,520 --> 00:27:46,960
+هذه مهمة لأن نتيجة اللي بعدهاأو أهميتها تظهر في
+
+257
+00:27:46,960 --> 00:27:53,580
+النتيجة اللي بعدها اللي هي corollary 171 corollary
+
+258
+00:27:53,580 --> 00:28:04,620
+171 بيقول أن
+
+259
+00:28:04,620 --> 00:28:12,040
+أي عدد موجب بيكون أكبر من نصه اللي هو موجب أي عدد
+
+260
+00:28:12,040 --> 00:28:18,520
+حقيقي موجب دايما أكبر من نصهوبالتالي هذا معناه في
+
+261
+00:28:18,520 --> 00:28:23,200
+رياضيات أن الأعداد الحقيقية الموجبة مالهاش
+
+262
+00:28:23,200 --> 00:28:27,960
+smallest element مافيش .. لو أخدت الأعداد الحقيقية
+
+263
+00:28:27,960 --> 00:28:35,200
+الموجبة اللي هي set P فهذا ال set ماقدرش أحط أصبعي
+
+264
+00:28:35,200 --> 00:28:42,360
+على أصغر عنصر فيها مالهاش أصغر عنصرhas no smallest
+
+265
+00:28:42,360 --> 00:28:48,580
+element لأن لو أخدت أي عنصر موجب و سميته a فبقدر
+
+266
+00:28:48,580 --> 00:28:54,200
+ألاقي عدد موجب أخر أصغر منه اللي هو نصف فبالتالي
+
+267
+00:28:54,200 --> 00:28:59,800
+ال set of positive numbers has no strictly
+
+268
+00:28:59,800 --> 00:29:04,500
+positive element تمام؟ البرهان تبع الكرولري هذا
+
+269
+00:29:04,500 --> 00:29:09,360
+بينتج من نظريةيعني خد بي بساوة سفر في النظرية اللى
+
+270
+00:29:09,360 --> 00:29:26,280
+فاتت نظرية واحد ستة هي تشوفها مع بعض نظرية
+
+271
+00:29:26,280 --> 00:29:30,860
+واحد ستة لو أخدت بي بساوة سفر فبطلع ا اكبر من نص ا
+
+272
+00:29:30,860 --> 00:29:37,970
+اكبر من سفر اذا هذه نتيجة سريعة مظبوطOkay إذا يعني
+
+273
+00:29:37,970 --> 00:29:45,050
+هذه بعض الحاجات السهلة والبسيطة، هنا في نظرية كتير
+
+274
+00:29:45,050 --> 00:29:49,950
+مهمة، هذه برضه نظرية هنستخدمها بكرا يعني في
+
+275
+00:29:49,950 --> 00:29:55,770
+المستقبل، نظرية واحد تمنع، نظرية كتير مهمة وأهمتها
+
+276
+00:29:55,770 --> 00:30:02,670
+هنشوفها في الشبات الرجايةإيش هذه النظرية بتقول؟ لو
+
+277
+00:30:02,670 --> 00:30:08,110
+في عندي عدد حقيقي غير سالب، غير سالب، و في نفس
+
+278
+00:30:08,110 --> 00:30:14,050
+الوقت أصغر من إبسلون لكل عدد موجب إبسلون، فهذا
+
+279
+00:30:14,050 --> 00:30:19,350
+العدد لازم يكون هو السفر، وهي برهان بالتناقض
+
+280
+00:30:22,990 --> 00:30:28,470
+كمان مرة العدد غير السالب اللى بيكون اي اصغر من اي
+
+281
+00:30:28,470 --> 00:30:33,590
+عدد موجب هو السفر مافيش غير السفر اللى بيحقق
+
+282
+00:30:33,590 --> 00:30:40,250
+لخاصية هذه لبرهان ذلك نعمل برهان بالتناقض افرض ان
+
+283
+00:30:40,250 --> 00:30:45,830
+ال a ان ال a هذا بيسويش السفر و في نفس الوجهة a
+
+284
+00:30:45,830 --> 00:30:48,850
+غير سالب اذا يعني a موجب صح؟
+
+285
+00:30:52,860 --> 00:30:57,980
+الان حسب نظرية الكورينة النتيجة واحد سبعة اذا a
+
+286
+00:30:57,980 --> 00:31:05,260
+بطلع اكبر من نص a فاخد epsilon zero هنا عدد موجب
+
+287
+00:31:05,260 --> 00:31:11,260
+بساوي a ع اتنين نص a هذا عدد موجب اذا هاني نجحت في
+
+288
+00:31:11,260 --> 00:31:18,670
+ايجاد عدد epsilon zero عدد موجب وال a اكبر منههذا
+
+289
+00:31:18,670 --> 00:31:22,570
+يتناقض مع الفرض أن a أصغر من إبسلون لكل إبسلون
+
+290
+00:31:22,570 --> 00:31:29,190
+أكبر من السفر أظبط؟ لأن هذا التناقض يثبت النظرية
+
+291
+00:31:29,190 --> 00:31:39,010
+واضح تمام؟ واضح البرهن؟ عيده طيب أنا عندي a عدد
+
+292
+00:31:39,010 --> 00:31:43,190
+حقيقي غير سالم وفي نفس الوجهة أصغر من كل الأعداد
+
+293
+00:31:43,190 --> 00:31:49,030
+الموجبة إبسلون بدا أثبت أن a بساوي سفربرهان
+
+294
+00:31:49,030 --> 00:31:53,630
+بالتناقض prove by contradiction assume or suppose
+
+295
+00:31:53,630 --> 00:31:58,910
+the contrary النقيض أو النفي تبع النتيجة يعني a ما
+
+296
+00:31:58,910 --> 00:32:03,390
+بيستويش صفر نفي a بيستوي صفر a لا تستوي صفر طب أنا
+
+297
+00:32:03,390 --> 00:32:07,470
+كاتب هنا ال contrary a أكبر من صفر هذا صح بناء على
+
+298
+00:32:07,470 --> 00:32:11,930
+أن الفرض a أكبر من أكبر من صفر وما بيستويش صفر إذن
+
+299
+00:32:11,930 --> 00:32:16,970
+أكبر من صفر صح طيب الآن
+
+300
+00:32:18,230 --> 00:32:23,270
+لو أخدت Epsilon Zero بساوي نص A و بما أنه A عدد
+
+301
+00:32:23,270 --> 00:32:27,650
+موجب فنتيجة واحدة السابعة بتقول لو كان A عدد موجب
+
+302
+00:32:27,650 --> 00:32:35,520
+فنص A بطلع عدد موجبإذا هيني و في نفس الوجد كمان ال
+
+303
+00:32:35,520 --> 00:32:40,820
+a أكبر من نص a ال a أكبر من نص a وبالتالي إذا هيني
+
+304
+00:32:40,820 --> 00:32:45,900
+لجحت في إيجاد epsilon zero عدد موجب و a أكبر منه
+
+305
+00:32:45,900 --> 00:32:54,700
+هذا بتناقض مع الفرض أنه بتناقض مع الفرض أنه a أصغر
+
+306
+00:32:54,700 --> 00:33:03,090
+من epsilon لكل epsilon موجبة صح؟ الإبارة هذه هينفي
+
+307
+00:33:03,090 --> 00:33:07,710
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+308
+00:33:07,710 --> 00:33:10,950
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+309
+00:33:10,950 --> 00:33:11,090
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+310
+00:33:11,090 --> 00:33:11,430
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+311
+00:33:11,430 --> 00:33:12,810
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+312
+00:33:12,810 --> 00:33:13,730
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+313
+00:33:13,730 --> 00:33:21,570
+هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي هذه نفي
+
+314
+00:33:21,570 --> 00:33:25,250
+هذه نفي هذه نفي
+
+315
+00:33:28,550 --> 00:33:32,050
+Okay، إذا إحنا لحد الآن يعني كل شغلنا مبادئ
+
+316
+00:33:32,050 --> 00:33:37,270
+رياضيات، صح؟ ��يب، طب ما هي مبادئ رياضيات هي أساس
+
+317
+00:33:37,270 --> 00:33:46,390
+ال .. اسمها أساسية الرياضيات، فاسم على مسمة فبختل
+
+318
+00:33:46,390 --> 00:33:50,870
+فهمة المادة هذه، جابت علينا منيحة يعني، هترتاح في
+
+319
+00:33:50,870 --> 00:33:57,380
+المستجبل كتير Bernoulli inequalityبرنول
+
+320
+00:33:57,380 --> 00:34:01,760
+الانيقوليتي هذه يعني في شوية متباينات طبعا مهمة في
+
+321
+00:34:01,760 --> 00:34:06,860
+الكتاب انا اختارت واحدة منهم لكن في بعض المتباينات
+
+322
+00:34:06,860 --> 00:34:13,180
+الأخرى موجودة في الكتاب وارجو انكم تقراوها فبرنول
+
+323
+00:34:13,180 --> 00:34:15,960
+الانيقوليتي هذه واحدة منهم متباينة برنول يعني
+
+324
+00:34:15,960 --> 00:34:23,230
+بيقول لو كان X عدد حقيقي أكبر من سالب واحدفمجموعة
+
+325
+00:34:23,230 --> 00:34:28,750
+واحد و X to the power N دايما أكبر من أو ساوي واحد
+
+326
+00:34:28,750 --> 00:34:38,850
+زائد N ضرب X وهذا صحيح لكل الأعداد الطبيعية نعم
+
+327
+00:34:38,850 --> 00:34:46,290
+في نظرية جاب الهاجم ماخلنهاش شوف
+
+328
+00:34:46,290 --> 00:34:46,890
+مع بعض
+
+329
+00:34:50,730 --> 00:35:07,610
+أه صحيح نشوف النظرية واحد تسعة نظرية
+
+330
+00:35:07,610 --> 00:35:10,870
+واحد تسعة بتقول لو كان أندي عددين حقيقين حاصل
+
+331
+00:35:10,870 --> 00:35:15,610
+ضربهم موجب فيا إما اتنين موجبين يا إما اتنين
+
+332
+00:35:15,610 --> 00:35:20,450
+سالبين صح؟ممكن يكون الاتنين مختلفين في الإشارة و
+
+333
+00:35:20,450 --> 00:35:25,530
+حصل ضربهم موجب إذا حصل ضرب عددين موجب بيقدر انه
+
+334
+00:35:25,530 --> 00:35:33,670
+اما اتنين موجبين او اتنين سالبين فالبرهان نشوف كيف
+
+335
+00:35:33,670 --> 00:35:39,640
+افرض الفرض تبعنا ان حصل ضرب A وB موجبفهذا أكيد
+
+336
+00:35:39,640 --> 00:35:42,780
+بيقدّي ان لا ال a بيساوي سفر ولا ال b بيساوي سفر
+
+337
+00:35:42,780 --> 00:35:46,520
+لأن لو واحد منهم بيساوي سفر فحاصل الدرب هيطلع
+
+338
+00:35:46,520 --> 00:35:50,720
+بيساوي سفر contradiction تناقض صح؟ لأن هذا
+
+339
+00:35:50,720 --> 00:36:02,020
+الاستنتاج منطقي طيب الان احنا ال a ناخد ناخد الجزء
+
+340
+00:36:02,020 --> 00:36:09,250
+هذا الان انا عند a لا يساوي سفربقى اتراي كاتومي
+
+341
+00:36:09,250 --> 00:36:14,650
+property حسب الخلصية التي هي اما a أكبر من سفر أو
+
+342
+00:36:14,650 --> 00:36:23,650
+a أصغر من سفر صح؟ بقى في احتمالين طيب ناخد ال a لو
+
+343
+00:36:23,650 --> 00:36:30,370
+كان افرض ان a أكبر من سفر فهذا بيدى ان واحد على a
+
+344
+00:36:30,370 --> 00:36:42,620
+أكبر من سفرهذا يعني 1 على a أكبر من 0 بيؤدي
+
+345
+00:36:42,620 --> 00:36:48,700
+أيضًا إلى بي اللي هو بساوي ال
+
+346
+00:36:48,700 --> 00:36:53,720
+بي ممكن اكتبها واحد في بي والواحد ممكن ابدله بواحد
+
+347
+00:36:53,720 --> 00:36:57,800
+على a في a واستخدم ال associative law واكتب هذا
+
+348
+00:36:57,800 --> 00:37:04,910
+على صورة واحد على a في a بي الان هذا موجبوهذا موجب
+
+349
+00:37:04,910 --> 00:37:12,330
+إذا حصلت ضرب بيطلع موجب إذا هذه أثبتت أن ال a أكبر
+
+350
+00:37:12,330 --> 00:37:19,950
+من ال b أكبر من السفر لأ احنا أخدنا ال a أكبر من
+
+351
+00:37:19,950 --> 00:37:24,290
+السفر فأدت
+
+352
+00:37:24,290 --> 00:37:28,690
+إلى أن ال b
+
+353
+00:37:28,690 --> 00:37:32,430
+أكبر من السفر وبالتالي بيطلع ال a و ال b موجبين
+
+354
+00:37:34,090 --> 00:37:40,810
+بالمثل لو افترضت .. اخدت لو افترضت ان a سالب فطبعا
+
+355
+00:37:40,810 --> 00:37:46,410
+مقلوب العدد السالب بيطلع سالب وبالتالي ال b اللي
+
+356
+00:37:46,410 --> 00:37:52,830
+هي بتساوي واحد على a في a b زي ما عملنا هنا ال b
+
+357
+00:37:52,830 --> 00:37:56,810
+بتطلع بتساوي واحد على a في a b ف ..
+
+358
+00:38:00,670 --> 00:38:05,850
+فهذا بيطلع الحاصل بضرب سالب لأن عندي انا هي هذه
+
+359
+00:38:05,850 --> 00:38:12,290
+المتباينة هذه هي واحد على ا سالب لو ضربت المتباينة
+
+360
+00:38:12,290 --> 00:38:18,370
+هذه في العدد الموجب a,b اللي هو عدد موجب فبصير
+
+361
+00:38:18,370 --> 00:38:21,910
+المتباينة هذه عبارة عن واحد على a في a,b الطرف
+
+362
+00:38:21,910 --> 00:38:29,070
+الشمال وضربتها في عدد موجب فبطلع أصغر من سفر في a
+
+363
+00:38:29,070 --> 00:38:30,030
+,b اللي هو سفر
+
+364
+00:38:32,730 --> 00:38:38,730
+وبالتالي بيطلع عندي الـ B بيطلع عند الـ B التي هي
+
+365
+00:38:38,730 --> 00:38:46,390
+أصغر للسفرإذا مرة تانية لو فرضنا أن a,b أكبر من 0
+
+366
+00:38:46,390 --> 00:38:50,670
+فشوفنا أن لا ال a بالساوية 0 ولا ال b بالساوية 0
+
+367
+00:38:50,670 --> 00:38:56,670
+وبالتالي أما بطلع a أكبر من 0 أو a أصغر من 0 في
+
+368
+00:38:56,670 --> 00:39:01,010
+الحالة الأولى لو كان a أكبر من 0 بطلع b أكبر من 0
+
+369
+00:39:01,010 --> 00:39:05,170
+وبالتالي a وb موجبين في الاحتمال التاني أو الحالة
+
+370
+00:39:05,170 --> 00:39:09,940
+التانية لو كان a سالب فشوفنا أن بطلع b سالبو
+
+371
+00:39:09,940 --> 00:39:18,480
+بالتالي اتنين سالبين okay تمام نشوف
+
+372
+00:39:18,480 --> 00:39:27,240
+الان Bernoulli inequality اليوم
+
+373
+00:39:27,240 --> 00:39:32,620
+هناخد برهان by induction برضه مبادئ الرياضيات خلنا
+
+374
+00:39:32,620 --> 00:39:39,360
+برهان by contradiction و direct proofوهنشوف move
+
+375
+00:39:39,360 --> 00:39:44,880
+by induction نمسح
+
+376
+00:39:44,880 --> 00:39:49,300
+اللوح بيرنول
+
+377
+00:39:49,300 --> 00:39:52,420
+ال equality زي ما قلنا لو كان x عدد حقيقي أكبر من
+
+378
+00:39:52,420 --> 00:39:58,000
+سالب واحد فلمّا أضيف عليه واحد وارفع لقوة n هذا
+
+379
+00:39:58,000 --> 00:40:02,380
+بيطلع أكبر من أو سالب واحد زائد n في x وهذا صحيح
+
+380
+00:40:02,380 --> 00:40:07,290
+لكل الأعداد الطبيعيةالبرغم by induction لو كانت n
+
+381
+00:40:07,290 --> 00:40:12,690
+بساوي واحد بثبت صحة العبارة عند n بساوي واحد لأن
+
+382
+00:40:12,690 --> 00:40:20,350
+ان تبدأ من واحد فلو كان n بساوي واحد فالطرف
+
+383
+00:40:20,350 --> 00:40:23,530
+الشمال
+
+384
+00:40:23,530 --> 00:40:31,900
+بطلع واحد زاد x صح؟الطرف الشمال واحد زائد X والطرف
+
+385
+00:40:31,900 --> 00:40:37,240
+اليمين برضه واحد زائد X فبطلع مساواة وطبعا
+
+386
+00:40:37,240 --> 00:40:42,720
+المساواة بقدر بدلها بأكبر من أوسعه مافي مشكلة
+
+387
+00:40:42,720 --> 00:40:46,020
+تمام؟
+
+388
+00:40:46,020 --> 00:40:52,700
+إذا العبارة هذه صحيحة عند N بالساوي واحد الآن نفرض
+
+389
+00:40:52,700 --> 00:40:57,780
+أن العبارة صحيحة عند N بالساوي K حيث K أكبر من
+
+390
+00:40:57,780 --> 00:41:05,800
+واحدهذا ما نسميه induction hypothesis الفرض تبع ال
+
+391
+00:41:05,800 --> 00:41:12,740
+induction نفرض صحة العبارة عند N بساوة K حيث K
+
+392
+00:41:12,740 --> 00:41:18,080
+أكبر من 1 هذا معناه أن 1 زاد X to K bigger than or
+
+393
+00:41:18,080 --> 00:41:24,510
+equal to 1 plus K Xطيب الان نريد نكمل ال induction
+
+394
+00:41:24,510 --> 00:41:32,790
+عايزين نثبت صحة العبارة واحد اللي هي هذه العبارة
+
+395
+00:41:32,790 --> 00:41:38,730
+واحد مش عارف من الواحد رايح العبارة واحد هذه نثب
+
+396
+00:41:38,730 --> 00:41:45,650
+الصحة عندنا بساوة K زياد واحد طيب from اتنين هذه
+
+397
+00:41:45,650 --> 00:41:47,870
+العبارة اتنين اللي هي induction hypothesis
+
+398
+00:41:52,040 --> 00:41:59,640
+بتدفع في الـ type هاي العبارة هذه لما n ساوي k
+
+399
+00:41:59,640 --> 00:42:05,880
+زائد واحد هصير واحد زائد x الكل أس k زائد واحد
+
+400
+00:42:05,880 --> 00:42:12,410
+أكبر من أو ساوي واحد زائد k زائد واحدفي X هذه
+
+401
+00:42:12,410 --> 00:42:18,390
+العبارة and N بساوي K زي 1 نبدأ بالطرف الشمال و
+
+402
+00:42:18,390 --> 00:42:22,670
+نثبت أنه أكبر من أو يساوي الطرف اليمين هاي الطرف
+
+403
+00:42:22,670 --> 00:42:27,950
+الشمال بقدر أجزئه حسب قوانين الأسس ل1 plus K to K
+
+404
+00:42:27,950 --> 00:42:34,410
+و 1 زي X to K ضرب 1 زي X الآن من اتنين من العبارة
+
+405
+00:42:34,410 --> 00:42:38,070
+التانية one plus X to K اللي هو induction
+
+406
+00:42:38,070 --> 00:42:43,340
+hypothesisحسب اتنين هذا اكبر من او يساوي واحد زياد
+
+407
+00:42:43,340 --> 00:42:48,220
+ك اكس مضروب في واحد زياد اكس بنضرب هدول في بعض و
+
+408
+00:42:48,220 --> 00:42:55,440
+بنرتب فبطلع حاصل الضرب هذا هو واحد زياد ك زياد
+
+409
+00:42:55,440 --> 00:43:01,340
+واحد في اكس زياد ك في اكس تربيه الآن
+
+410
+00:43:01,340 --> 00:43:08,860
+هذا هذا عدد موجب هذا عدد موجبلأن K عدد طبيعي و X
+
+411
+00:43:08,860 --> 00:43:16,060
+تربيه عدد موجب لما أشيل هذا أشطبه فبصغر المقدار
+
+412
+00:43:16,060 --> 00:43:20,580
+لما أشيل عدد موجب من عدد أو أنقص من عدد عدد موجب
+
+413
+00:43:20,580 --> 00:43:27,580
+بصغر فبالتالي هذا أكبر من واحد زاد K زاد واحد في X
+
+414
+00:43:28,490 --> 00:43:33,310
+وهذا هو الطرف اليمين للمتباينة 1 اللي احنا عايزين
+
+415
+00:43:33,310 --> 00:43:38,050
+نثبت صحتها عند m بساوي k زيادة واحدة اذا this
+
+416
+00:43:38,050 --> 00:43:42,830
+completes the induction هذا بيكمل البرهان بال
+
+417
+00:43:42,830 --> 00:43:50,050
+induction مظبوط صح تمام واضح اذا هاي صار في ان
+
+418
+00:43:50,050 --> 00:43:54,170
+متباينة
+
+419
+00:43:54,170 --> 00:44:01,080
+Bernoulli زي ما قلنا لكم في في الفي ال section هذا
+
+420
+00:44:01,080 --> 00:44:08,240
+بعض المتباينات الأخرى فبإمكانكم تقرؤوها ال
+
+421
+00:44:08,240 --> 00:44:12,260
+homework الآن خلصنا احنا section اتنين واحد اعتقد
+
+422
+00:44:12,260 --> 00:44:20,040
+فالمسائل المطلوب انكم تحلوها اللي هي موجودة مرسوصة
+
+423
+00:44:20,040 --> 00:44:23,280
+هنا وبرضه
+
+424
+00:44:23,280 --> 00:44:26,500
+زي ما قلتلكم في syllabus موجود على الصفحه تبعتي
+
+425
+00:44:27,940 --> 00:44:32,720
+فبارضه في ال homework هذا موجود ل .. مش ل ال
+
+426
+00:44:32,720 --> 00:44:38,400
+section هذا لكل ال .. المنهج اذا نبدأ نحل المسائل
+
+427
+00:44:38,400 --> 00:44:44,180
+هذه و ان شاء الله لسبوع الجاي بنعمل مناقشة فانا
+
+428
+00:44:44,180 --> 00:44:49,200
+هعمل مناقشة .. انا اللي هكون مناقشة لكم اليوم لأ
+
+429
+00:44:49,200 --> 00:44:52,960
+مافيش مناقشة لأنه لسه احنا يعني ماخدناش material
+
+430
+00:44:52,960 --> 00:45:00,110
+كافيةاو اللي لسه يعني مش مهيئين او مش محضرين
+
+431
+00:45:00,110 --> 00:45:06,170
+فهنواصل ونحاول ان شاء الله أسبوع الجاى ناخد كل
+
+432
+00:45:06,170 --> 00:45:10,450
+ساعة هذه الساعة
+
+433
+00:45:10,450 --> 00:45:12,930
+الأخيرة هذه المتأخرة نعملها مناقشة
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/Sym_17KvBqE_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1724 @@
+1
+00:00:20,830 --> 00:00:26,410
+بسم الله الرحمن الرحيم احنا في المحاضرة اللى فاتت
+
+2
+00:00:26,410 --> 00:00:32,690
+اتحدثنا عن ال limit comparison test وبرهننا
+
+3
+00:00:32,690 --> 00:00:37,470
+الجزء الاول منه فنرجع مع بعض ال limit comparison
+
+4
+00:00:37,470 --> 00:00:43,190
+test for infinite series طبعا طبعا في limit
+
+5
+00:00:43,190 --> 00:00:47,450
+comparison test for sequences الان هذا الافتبار
+
+6
+00:00:47,450 --> 00:00:52,340
+قصد ال infinite seriesلو في عندي two sequences of
+
+7
+00:00:52,340 --> 00:00:57,760
+positive real numbers بحيث ان limit ال quotient
+
+8
+00:00:57,760 --> 00:01:05,700
+تبعهم exist بساوي عدد R ففي عندي نتيجتين، لو كان
+
+9
+00:01:05,700 --> 00:01:12,170
+العدد R أو limit R هذه لا تساوي 0ففي الحالة هذه
+
+10
+00:01:12,170 --> 00:01:18,130
+sigma x in series sigma x in convergence if and
+
+11
+00:01:18,130 --> 00:01:21,550
+only if ال series sigma y in convergence يعني
+
+12
+00:01:21,550 --> 00:01:24,910
+اتنين اما اتنين بيكونوا convergence زي بعض او
+
+13
+00:01:24,910 --> 00:01:28,630
+اتنين بيكونوا divergence زي بعض الجزء التاني بيقول
+
+14
+00:01:28,630 --> 00:01:32,010
+لو كانت ال R اللي هي limit لل quotient مساوة سفر
+
+15
+00:01:32,010 --> 00:01:37,110
+وإذا كانت ال series اللي الحد العام تبع Y in
+
+16
+00:01:37,110 --> 00:01:41,770
+convergenceفال series هذا بيقدر ال series اللي هي
+
+17
+00:01:41,770 --> 00:01:48,510
+sigma xn كلها يعني اعتقد ان احنا برهن الجزء الأول
+
+18
+00:01:48,510 --> 00:01:55,750
+برا اللي فاتت بظبط و خلينا نبرهن الجزء التاني طبعا
+
+19
+00:01:55,750 --> 00:02:06,370
+since اذا هنا let assume r
+
+20
+00:02:06,370 --> 00:02:07,650
+بساوي سفر
+
+21
+00:02:18,190 --> 00:02:24,490
+أما لو أخدت إبسلون أنا بساوي العدد واحد فهذا
+
+22
+00:02:24,490 --> 00:02:29,910
+إبسلون موجبة إحنا
+
+23
+00:02:29,910 --> 00:02:38,070
+لدينا من الفرض sense limit xn over yn as n tends
+
+24
+00:02:38,070 --> 00:02:45,640
+to infinityبساوي R اللي هو سفر الآن فمن تعريف by
+
+25
+00:02:45,640 --> 00:02:51,260
+definition of limit for epsilon positive زي هذه
+
+26
+00:02:51,260 --> 00:02:57,420
+يوجد capital N يعتمد على epsilon اللي هو الواحد
+
+27
+00:02:57,420 --> 00:03:03,900
+natural number بحيث انه لكل N أكبر من أو ساوي
+
+28
+00:03:03,900 --> 00:03:11,260
+capital Nهذا بيدّي أن ال absolute value ل xn على
+
+29
+00:03:11,260 --> 00:03:18,120
+yn minus zero بيطلع أصغر من ال epsilon اللي احنا
+
+30
+00:03:18,120 --> 00:03:26,660
+ماخدينها واحد طب xn عدد موجب و yn عدد موجبفال
+
+31
+00:03:26,660 --> 00:03:33,760
+quotient هذا كسر هذا موجب سالد سفر فهذا بيقدي ان
+
+32
+00:03:33,760 --> 00:03:42,880
+xn over yn أصغر من واحد لو ضربنا الطرفين العدد
+
+33
+00:03:42,880 --> 00:03:58,110
+الموجب yn فهذا هيقدي ان xn أصغر من ynوهذا صحيح لكل
+
+34
+00:03:58,110 --> 00:04:05,550
+N أكبر من أو يستوي capital N now
+
+35
+00:04:05,550 --> 00:04:09,090
+if
+
+36
+00:04:09,090 --> 00:04:20,550
+sigma yn converges then
+
+37
+00:04:21,920 --> 00:04:26,140
+by direct comparison test اللي أخدناها المرة اللي
+
+38
+00:04:26,140 --> 00:04:30,420
+فاتت إذا ال series الحد اللي عام تبعها أكبر
+
+39
+00:04:30,420 --> 00:04:34,480
+convergent فالأصغر
+
+40
+00:04:34,480 --> 00:04:42,920
+ال series الأصغر converges وهذا هو المطلوب هذا
+
+41
+00:04:42,920 --> 00:04:46,340
+اللي احنا عايزين نتبته إنه لو كانت ال series yn
+
+42
+00:04:46,340 --> 00:04:50,690
+convergent فلازم هذا يطلع convergent هذا صحيحby
+
+43
+00:04:50,690 --> 00:04:55,110
+direct comparison test لذلك هذا يكمل برهان الجزء
+
+44
+00:04:55,110 --> 00:05:02,230
+التالي نرجع الأن ناخد أمثلة على تطبيقات على ال
+
+45
+00:05:02,230 --> 00:05:08,590
+direct comparison test و على limit comparison test
+
+46
+00:05:11,980 --> 00:05:15,680
+كيف نستخدم ال comparison tests الاختبارين هدول
+
+47
+00:05:15,680 --> 00:05:27,780
+فيثبات ان ال series معينة is convergent discuss
+
+48
+00:05:27,780 --> 00:05:38,840
+.. discuss the convergence of
+
+49
+00:05:38,840 --> 00:05:40,360
+the following series
+
+50
+00:06:00,990 --> 00:06:07,110
+فناخد series sigma from n equals one to infinity ل
+
+51
+00:06:07,110 --> 00:06:17,370
+one over n squared plus n بالمناسبة
+
+52
+00:06:17,370 --> 00:06:18,450
+ال series هذه
+
+53
+00:06:23,110 --> 00:06:29,010
+ممكن نقارنها، الحد العام تبعها هذا، لما N تكون
+
+54
+00:06:29,010 --> 00:06:36,410
+large فممكن نهمل ال N بالنسبة ل N تربية و نعتبر أن
+
+55
+00:06:36,410 --> 00:06:42,730
+هذه ال series شبيهة أو behaves like تتصرف زي ال
+
+56
+00:06:42,730 --> 00:06:45,650
+series sigma 1 على N تربية
+
+57
+00:06:50,030 --> 00:06:54,610
+الان بنشوف إذا ممكن نطبق اختبار المقارنة المباشرة
+
+58
+00:06:54,610 --> 00:06:58,670
+ال direct comparison test بنطبقه وإذا ما اقدرناش
+
+59
+00:06:58,670 --> 00:07:06,950
+بنلجأ لاختبار تبع ال limit comparison test
+
+60
+00:07:24,400 --> 00:07:37,040
+فهنا ممكن يعني من السهل أن احنا نستخدم ال
+
+61
+00:07:37,040 --> 00:07:43,040
+direct comparison test لأنه انا عندي ال N تربيع
+
+62
+00:07:43,040 --> 00:07:50,400
+زائد N أكبر من أو يساوي Nأكبر من أو ساوي N تربية
+
+63
+00:07:50,400 --> 00:08:00,220
+لكل N ينتمي ل N هذا بيقدي أنه مقلوب N تربية زايد N
+
+64
+00:08:00,220 --> 00:08:08,680
+أصغر من أو ساوي مقلوب N تربية لكل N ك N الان
+
+65
+00:08:08,680 --> 00:08:13,020
+ال series
+
+66
+00:08:13,020 --> 00:08:15,360
+sigma واحد على N تربية
+
+67
+00:08:18,710 --> 00:08:29,730
+a P series is P series صح؟ with P
+
+68
+00:08:29,730 --> 00:08:40,270
+بيساوي اتنين اكبر من واحد so
+
+69
+00:08:40,270 --> 00:08:49,230
+it convergesby .. it is convergent by P series
+
+70
+00:08:49,230 --> 00:08:56,550
+test في ال P series test بيقوللي إذا كان أي P
+
+71
+00:08:56,550 --> 00:09:02,890
+series زي هذه بتكون convergent إذا كان P أكبر من
+
+72
+00:09:02,890 --> 00:09:08,530
+واحد و divergent إذا كان P أصغر من أوسع و أعلى و
+
+73
+00:09:08,530 --> 00:09:14,510
+برهننا الكلام هذا في المحاضرة السابقة أو الجبلةإذا
+
+74
+00:09:14,510 --> 00:09:20,250
+أنا في عندى two series واحدة الحد العام تبعها واحد
+
+75
+00:09:20,250 --> 00:09:23,790
+على انتر بيه وهذا الconversion وواحدة الحد العام
+
+76
+00:09:23,790 --> 00:09:28,090
+تبعها واحد على انتر بيه الزادة وهذا الحد العام
+
+77
+00:09:28,090 --> 00:09:31,250
+أصغر من أو ساوي الحد العام لهذه الconversion إذا
+
+78
+00:09:31,250 --> 00:09:35,630
+ممكن استخدم so
+
+79
+00:09:35,630 --> 00:09:38,550
+by direct comparison test
+
+80
+00:09:42,520 --> 00:09:46,740
+السيريز اللي هي sigma من n equals one to infinity
+
+81
+00:09:46,740 --> 00:09:56,860
+لواحد على n squared plus n converges
+
+82
+00:09:56,860 --> 00:10:03,340
+إذا السيريز هذه أتباعنا هي انها convergence by
+
+83
+00:10:03,340 --> 00:10:07,140
+direct comparison استخدمنا ال direct comparison
+
+84
+00:10:07,140 --> 00:10:09,160
+test مفهوم واضح؟
+
+85
+00:10:12,050 --> 00:10:13,950
+ناخد مثال تاني
+
+86
+00:10:36,080 --> 00:10:39,580
+بتاعة اتنين لو أخدنا series sigma from n equals
+
+87
+00:10:39,580 --> 00:10:47,780
+one to infinity لواحد على n تربية سالف n زائد
+
+88
+00:10:47,780 --> 00:10:54,180
+واحد بما نفحص هل ال series هذي convergent ولا
+
+89
+00:10:54,180 --> 00:10:57,520
+divergent طبعا
+
+90
+00:10:59,200 --> 00:11:04,280
+أول شيء بنفكر فيه، بنشوف كيف ال series هذه بتتصرف،
+
+91
+00:11:04,280 --> 00:11:07,740
+ما هي ال series القريبة منها، و اللي احنا عارفين
+
+92
+00:11:07,740 --> 00:11:12,600
+أنها أو ممكن نحكم عليها بسهولة، ن be convergent أو
+
+93
+00:11:12,600 --> 00:11:15,980
+divergent، يعني بدي أقارن ال series هذه ب series
+
+94
+00:11:15,980 --> 00:11:20,520
+تانيةمن السهل اني احكم عليها هل هي convergent او
+
+95
+00:11:20,520 --> 00:11:27,160
+divergent فلما N تكون كبيرة و ان N is sufficiently
+
+96
+00:11:27,160 --> 00:11:32,900
+large لما N تقول infinity ممكن اهمل N و اهمل 1
+
+97
+00:11:32,900 --> 00:11:41,080
+وبالتالي ال series هذه behaves تتصرف زي ال series
+
+98
+00:11:41,080 --> 00:11:42,880
+1 على N ترمية
+
+99
+00:11:45,470 --> 00:11:55,230
+اللي هي احنا عارفين which is كل بيت واحد طبعا by P
+
+100
+00:11:55,230 --> 00:12:01,270
+seriousness زي ما شرحنا في المثال الأول الآن
+
+101
+00:12:01,270 --> 00:12:10,120
+السؤال اللي بيطرح نفسه is it true هل واحد علىإن
+
+102
+00:12:10,120 --> 00:12:15,000
+تربية سالف إن زاد واحد أصغر من ��و يساوي واحد على
+
+103
+00:12:15,000 --> 00:12:20,640
+إن تربية عشان نستخدم .. هل هذا الكلام صحيح لكل إن؟
+
+104
+00:12:20,640 --> 00:12:25,920
+لأ مش فاكرش أنا فللأسف هذا مش صحيح وبالتالي
+
+105
+00:12:25,920 --> 00:12:29,940
+مابقدرش أستخدم إن هذا not true
+
+106
+00:12:34,430 --> 00:12:41,410
+for example على سبيل المثال take m بساوي اتنين
+
+107
+00:12:41,410 --> 00:12:50,310
+هنجد المتباين هذه مش صح اذا مقدرش انا استخدم ال
+
+108
+00:12:50,310 --> 00:12:54,310
+direct comparison test اذا في الحالة هذه لازم
+
+109
+00:12:54,310 --> 00:12:59,190
+استخدم ال limit comparison test او ابحث عن مقارنة
+
+110
+00:12:59,190 --> 00:13:01,310
+تانية however
+
+111
+00:13:06,140 --> 00:13:17,200
+you can show بإمكانكم تخبطه أنه الواحد على n تربية
+
+112
+00:13:17,200 --> 00:13:23,500
+negative n زائد واحد هذا أصغر من أو ساوي اتنين على
+
+113
+00:13:23,500 --> 00:13:31,280
+n تربية وهذا صحيح لكل n في n إذن هذه المتباينة
+
+114
+00:13:31,280 --> 00:13:34,420
+صحيحة وبالتالي ممكن الآن
+
+115
+00:13:39,990 --> 00:13:46,330
+الان بإمكانك استخدام
+
+116
+00:13:46,330 --> 00:13:53,030
+تجارة مقارنة مباشرة للتأكيد
+
+117
+00:13:53,030 --> 00:14:02,650
+عشان تستنتجوا ان سيريز سيجما واحد على إنتر بيه
+
+118
+00:14:02,650 --> 00:14:08,980
+نيجاتيب ن بلس واحدconvergent لأنه ال series هذه
+
+119
+00:14:08,980 --> 00:14:15,920
+لأنه since ال series اللي الحد العام تبعها اتنين
+
+120
+00:14:15,920 --> 00:14:20,740
+على انتر بيها هي نفسها اتنين ضارب ال series sigma
+
+121
+00:14:20,740 --> 00:14:26,600
+واحد على انتر بيها و ال series هذه قلنا convergent
+
+122
+00:14:26,600 --> 00:14:29,660
+لأنها في series نضربها في عدد موجب بتضلها
+
+123
+00:14:29,660 --> 00:14:31,700
+convergent
+
+124
+00:14:34,390 --> 00:14:38,990
+لازم نثبت على ذلك الكلام هذا الكلام لازم تثبتيه صح
+
+125
+00:14:38,990 --> 00:14:45,970
+المشكلة في الحل هذا ان انا او انتوا كيف نبيه يخطر
+
+126
+00:14:45,970 --> 00:14:53,170
+على بالكم ان المتباين هذا صح اه it is not easy to
+
+127
+00:14:53,170 --> 00:14:57,030
+figure out this inequality مش سهل ان يختر على
+
+128
+00:14:57,030 --> 00:15:04,110
+بالنا او نستنتج ال .. او يعني ..بنعرف إنه في
+
+129
+00:15:04,110 --> 00:15:09,870
+متباينة زي هذه صحيحة هذا مش سهل وبالتالي ممكن
+
+130
+00:15:09,870 --> 00:15:14,090
+نستخدم ال limit comparison test ونرايح رأسنا ال
+
+131
+00:15:14,090 --> 00:15:16,690
+limit comparison test في الحالة هذه أسهل من إن أنا
+
+132
+00:15:16,690 --> 00:15:21,550
+يعني أخمن
+
+133
+00:15:21,550 --> 00:15:25,950
+.. أخمن يعني حاجة زي هذه okay فتعالوا نشوف كيف
+
+134
+00:15:25,950 --> 00:15:28,070
+نستخدم ال limit comparison test
+
+135
+00:15:31,920 --> 00:15:40,220
+أذا هنا we use limit
+
+136
+00:15:40,220 --> 00:15:45,160
+comparison test with
+
+137
+00:15:45,160 --> 00:15:54,640
+a n بساوي واحد على n تربيع minus n زايد واحد أو xn
+
+138
+00:15:54,640 --> 00:15:55,720
+فالبسامينات
+
+139
+00:15:57,840 --> 00:16:07,600
+و Yn بساوية واحد على M تربية فاني
+
+140
+00:16:07,600 --> 00:16:13,340
+ايجي نحسب ال limit ل Xn over Yn as N tenths of
+
+141
+00:16:13,340 --> 00:16:21,720
+infinity بساوية limit هاي Xn تقسيم Yn بتطلع M
+
+142
+00:16:21,720 --> 00:16:28,990
+تربية على M تربية negative M plus oneو ال limit
+
+143
+00:16:28,990 --> 00:16:36,930
+هذا عشان نحسبها بالجسم bust مقام على n تربية ففي
+
+144
+00:16:36,930 --> 00:16:41,750
+ال bust واحد واحد سالب واحد على n موجب واحد على n
+
+145
+00:16:41,750 --> 00:16:47,210
+تربية لإن تقول ال infinity وهذا بطلع واحد على واحد
+
+146
+00:16:47,210 --> 00:16:54,410
+سالب صفر موجب صفر ويساوي واحد لايساوي صفر إذن ال R
+
+147
+00:16:55,770 --> 00:16:59,910
+الـ R في ال limit comparison test طلعت بالساوي
+
+148
+00:16:59,910 --> 00:17:07,630
+واحد لا يساوي سفر وانا عندى اذا since وانا عندى ال
+
+149
+00:17:07,630 --> 00:17:13,050
+series sigma yn اللى هى sigma واحد على انتر بيان
+
+150
+00:17:13,050 --> 00:17:17,830
+is convergent then
+
+151
+00:17:17,830 --> 00:17:26,700
+by limit comparison test ال series sigma xnاللي هو
+
+152
+00:17:26,700 --> 00:17:32,960
+الحد اللي عم تبعها واحد على انتر بيه minus ان زاد
+
+153
+00:17:32,960 --> 00:17:41,560
+واحد كون بيعجز وهو مطلوب okay إذا هنا استخدمنا ال
+
+154
+00:17:41,560 --> 00:17:46,020
+limit كون .. لما يعجز أو يفشل ال comparison أو ال
+
+155
+00:17:46,020 --> 00:17:49,920
+direct comparison test بنرجع إلى limit comparison
+
+156
+00:17:49,920 --> 00:17:57,220
+testهنا لازم يجب ملاحظة انه اي سؤال بنحل بال
+
+157
+00:17:57,220 --> 00:18:02,660
+comparison test ممكن حله او نطبق عليه ال limit
+
+158
+00:18:02,660 --> 00:18:07,800
+comparison test لكن العكس ليس صحيح وبالتالي ال
+
+159
+00:18:07,800 --> 00:18:12,240
+limit comparison test اشمل و اعام من ال direct
+
+160
+00:18:12,240 --> 00:18:17,460
+comparison test ناخد مثال تالت واضح الحل في اي
+
+161
+00:18:17,460 --> 00:18:22,470
+سؤال او استفسار؟إذا دائما في مخرج يعني إذا انت مش
+
+162
+00:18:22,470 --> 00:18:26,390
+عارف تعمل direct comparison فاستخدم ال limit
+
+163
+00:18:26,390 --> 00:18:30,670
+comparison test وهذا مش صعب تشوفي دائما ال series
+
+164
+00:18:30,670 --> 00:18:35,730
+اللي قدامك behaves like some familiar series تتصرف
+
+165
+00:18:35,730 --> 00:18:41,130
+زي series معروفة لدينا و احنا عارف نقدر من السهل
+
+166
+00:18:41,130 --> 00:18:43,530
+نحكم عليها هل convergent او divergent
+
+167
+00:18:49,830 --> 00:18:57,370
+فلو أخدنا مثلا ال series هذه summation from
+
+168
+00:18:57,370 --> 00:19:03,630
+n equals one to infinity ل one over square root of
+
+169
+00:19:03,630 --> 00:19:08,530
+n plus one ف
+
+170
+00:19:08,530 --> 00:19:11,910
+ال series .. this series behaves طبعا لما n ..
+
+171
+00:19:11,910 --> 00:19:19,330
+when n gets large we neglect الواحد نهم الواحدوهذه
+
+172
+00:19:19,330 --> 00:19:29,190
+السيريز تتصرف من حيث التقارب والتباعد مثل سيجما
+
+173
+00:19:29,190 --> 00:19:31,210
+واحد على جذر الان
+
+174
+00:19:38,390 --> 00:19:46,390
+طيب can we السؤال يتفرج نفسه can we use direct
+
+175
+00:19:46,390 --> 00:19:51,670
+comparison test للإجابة
+
+176
+00:19:51,670 --> 00:19:57,770
+على السؤال هذا بنلاحظ أن n زائد 1 أكبر منها ويساوي
+
+177
+00:19:57,770 --> 00:20:06,310
+n لكل n هذا بيقدر أن واحدوبالتالي الجدر التربيعي ل
+
+178
+00:20:06,310 --> 00:20:10,110
+N زائد واحد أكبر من أو ساوي جدر ال N لكل N
+
+179
+00:20:10,110 --> 00:20:17,910
+وبالتالي هذا بيقدي أن واحد على الجدر التربيعي ل N
+
+180
+00:20:17,910 --> 00:20:26,950
+زائد واحد أقل من أو ساوي واحد على جدر ال N لكل Nو
+
+181
+00:20:26,950 --> 00:20:31,850
+احنا عارفين ان ال series هذه divergent لأنها P
+
+182
+00:20:31,850 --> 00:20:36,850
+series و ال P بساوي نص أصغر من واحد و هاد ال
+
+183
+00:20:36,850 --> 00:20:42,770
+series أصغر منها أو أصغر منها و يساويهافال direct
+
+184
+00:20:42,770 --> 00:20:46,970
+comparison test بيعطينيش نتيجة، بيعطينيش نتيجة إذا
+
+185
+00:20:46,970 --> 00:20:50,550
+الكبيرة divergent فالصغيرة ممكن تكون convergent
+
+186
+00:20:50,550 --> 00:20:57,150
+وممكن تكون divergent إذا هنا ال direct comparison
+
+187
+00:20:57,150 --> 00:21:01,050
+test fails،
+
+188
+00:21:01,050 --> 00:21:09,290
+fails يعني يفشل، يفشل وبالتالي مافيش أمامنا خيار
+
+189
+00:21:09,290 --> 00:21:13,350
+اللي احنا .. اللي .. اللي هالنا نستعملأو نستخدم
+
+190
+00:21:13,350 --> 00:21:27,350
+limit comparison test نستخدم
+
+191
+00:21:27,350 --> 00:21:29,970
+limit comparison test
+
+192
+00:21:34,290 --> 00:21:39,970
+with xn بيساوي واحد على ال square root of n plus
+
+193
+00:21:39,970 --> 00:21:48,230
+one و yn بيساوي one over square root of n نحسم ال
+
+194
+00:21:48,230 --> 00:21:53,990
+limit ل xn over yn as n tends to infinity بيساوي
+
+195
+00:21:53,990 --> 00:21:57,770
+ال limit هاي
+
+196
+00:21:57,770 --> 00:22:06,100
+جسم xn على yn بيطلع الجدر التربيعيلان على ان plus
+
+197
+00:22:06,100 --> 00:22:11,500
+one لما ان تقول ال infinity دخل ال limit تحت الجدر
+
+198
+00:22:11,500 --> 00:22:15,740
+لأن ال square root function is continuous فاندخل
+
+199
+00:22:15,740 --> 00:22:21,660
+ال limit و limit المقدار تحت الجدر بطلع واحد
+
+200
+00:22:21,660 --> 00:22:28,920
+وبالتالي واحد لا يساوي سوى إذا ال R في limit
+
+201
+00:22:28,920 --> 00:22:34,540
+comparison first طلعتdifferent from zero لأ تساوي
+
+202
+00:22:34,540 --> 00:22:44,020
+سفر و since ال series sigma من n equals one to
+
+203
+00:22:44,020 --> 00:22:52,860
+infinity لواحد على جدر ال n يعبر عن sigma واحد على
+
+204
+00:22:52,860 --> 00:22:58,160
+n أصمص is a p-series with
+
+205
+00:23:03,240 --> 00:23:11,940
+P بساوي نص أصغر من واحد it diverges
+
+206
+00:23:11,940 --> 00:23:24,780
+يعني بتطلع divergent by P series test ال series
+
+207
+00:23:24,780 --> 00:23:28,560
+يعني divergent وبالتالي
+
+208
+00:23:31,020 --> 00:23:34,760
+by limit comparison test حسب ال limit comparison
+
+209
+00:23:34,760 --> 00:23:44,020
+test هيعندي sigma x in و sigma y in sigma y in ده
+
+210
+00:23:44,020 --> 00:23:51,200
+هي طلعت divergent و ال R limit لرئيسه لا يساوي سفر
+
+211
+00:23:51,200 --> 00:23:56,100
+لان التانية زيها divergent ده is sigma x in اللي
+
+212
+00:23:56,100 --> 00:24:02,990
+هو واحد على الجذر التربيهي ال N زي واحدby agents
+
+213
+00:24:02,990 --> 00:24:17,470
+حسب ال limit comparison test okay تمام واضح طيب
+
+214
+00:24:17,470 --> 00:24:18,790
+ناخد كمان مثال
+
+215
+00:24:30,910 --> 00:24:37,470
+مثال رقم أربعة خلّينا نفحص ال series اللي هي
+
+216
+00:24:37,470 --> 00:24:44,770
+summation from n equals one to infinity ل one over
+
+217
+00:24:44,770 --> 00:24:52,070
+n factorial طبعا
+
+218
+00:24:52,070 --> 00:25:00,050
+هذه مش واضحممكن تقارنها لأن N factorial N
+
+219
+00:25:00,050 --> 00:25:04,810
+factorial بالساوي N نقش واحد N negative واحد N
+
+220
+00:25:04,810 --> 00:25:11,890
+negative اتنين إلى تلاتة في اتنين في واحد فمش
+
+221
+00:25:11,890 --> 00:25:21,350
+عارفين ايش نقارنها اه فهذا مش واضح لكن by trial
+
+222
+00:25:21,350 --> 00:25:31,990
+انا بتقوله بالتجريبنقدر احنا نحاول يعني نقرر او
+
+223
+00:25:31,990 --> 00:25:37,330
+يعني نشوف ان هنا عند عشان n في n سالب واحد في n
+
+224
+00:25:37,330 --> 00:25:43,510
+سالب اتنين فممكن نقارن ال series هذه بواحد على n
+
+225
+00:25:43,510 --> 00:25:51,750
+ترمية نشوف كيف ممكن نعمل المقارنة اذا هنا في حالين
+
+226
+00:25:51,750 --> 00:26:01,200
+هناSolution واحد نحن نحاول نقارن بالإيه فال
+
+227
+00:26:01,200 --> 00:26:08,740
+solution الأول أو الحل الأول بيعتمد use
+
+228
+00:26:08,740 --> 00:26:17,460
+induction to show that ممكن
+
+229
+00:26:17,460 --> 00:26:24,210
+نثبت بال induction أنهN تربية أصغر من N factorial
+
+230
+00:26:24,210 --> 00:26:30,290
+لكل N أكبر من أو ساوي أربعة المتباينة هذه صحيحة
+
+231
+00:26:30,290 --> 00:26:34,050
+لكل الأعداد الطبيعية أكبر من أو ساوي أربعة هذا
+
+232
+00:26:34,050 --> 00:26:38,390
+ممكن نثبته by induction زي ما اتعلمته هذا سؤال في
+
+233
+00:26:38,390 --> 00:26:44,670
+مبادئ رياضياتنشوف مع بعض الهدى صح نشوف أول حالة
+
+234
+00:26:44,670 --> 00:26:48,990
+لحظة ال N بتبدأ من أربعة مش من واحد ف N بساوي واحد
+
+235
+00:26:48,990 --> 00:26:52,390
+هنا هصير N بساوي أربعة و الباقى ال induction زي ما
+
+236
+00:26:52,390 --> 00:26:57,210
+اتعلمنا فلو N بساوي أربعة أربعة تربيه ستة عشر أصغر
+
+237
+00:26:57,210 --> 00:27:01,070
+من أربعة فاكتوريا الأربعة و عشرين ستة عشر أصغر من
+
+238
+00:27:01,070 --> 00:27:05,050
+أربعة و عشرين صحيحإذا العبارة صحيحة عند n بالساوية
+
+239
+00:27:05,050 --> 00:27:09,410
+أربعة افرض صحيتها عند n بالساوية k حيث k أي عدد
+
+240
+00:27:09,410 --> 00:27:13,570
+طبيعي أكبر من أربعة وثبت صحيتها عند n بالساوية k
+
+241
+00:27:13,570 --> 00:27:18,830
+زادة، أعتقد هذه مثلة في أخدت زيها في مبادئ رياضية،
+
+242
+00:27:18,830 --> 00:27:23,050
+رح نسيب .. سيبقى لكم .. ليه؟ ايه شو بتهارفنا مثلا
+
+243
+00:27:23,050 --> 00:27:25,610
+نختار الأربعة؟ ليش ما هو مثلا تلاتة أو واحد، سيبقى
+
+244
+00:27:25,610 --> 00:27:29,150
+احنا متعودين في ال induction؟أه لأنه انت ال ..
+
+245
+00:27:29,150 --> 00:27:34,030
+يعني نضل نجرب لحد ما نصر نصر بره صح اه من أربعة و
+
+246
+00:27:34,030 --> 00:27:37,690
+انت طالع تصير صحيحة أما قبل أربعة بتكون خطأ
+
+247
+00:27:37,690 --> 00:27:42,210
+وبالتالي مالهاش معناه أما من أربعة و أنت طالع
+
+248
+00:27:42,210 --> 00:27:49,830
+هتكون صحيحة فبنهم الأول تلت قيم لهم okay اذا و
+
+249
+00:27:49,830 --> 00:27:58,220
+بالتاليهذا بيقدي ان واحد على n factorial أصغر من
+
+250
+00:27:58,220 --> 00:28:04,040
+واحد على n تردية لكل n أكبر من أو ساوية أربعة
+
+251
+00:28:04,040 --> 00:28:11,960
+وبالتالي و ال series طبعا وبالتالي ممكن نستخدم ال
+
+252
+00:28:11,960 --> 00:28:15,800
+direct comparison test يعني الحالة هذه
+
+253
+00:28:24,200 --> 00:28:28,020
+و نستخدم الاختصار الوحيد الوحيد الوحيد الوحيد
+
+254
+00:28:28,020 --> 00:28:43,880
+الوحيد الوحيد الوحيد الوحيد
+
+255
+00:28:45,400 --> 00:28:50,520
+هذه الـ series هي ال key series بس بتبدأ من أربعة
+
+256
+00:28:50,520 --> 00:28:55,240
+فكأني حدث يتأول تلات حدود منها فهذا بيأثرش على ال
+
+257
+00:28:55,240 --> 00:28:59,420
+divergence أو ال convergence لل series إذا حدث
+
+258
+00:28:59,420 --> 00:29:04,980
+omitting أو deleting finite number of terms from
+
+259
+00:29:04,980 --> 00:29:09,000
+an infinite series does not affect the convergence
+
+260
+00:29:09,000 --> 00:29:13,240
+or the divergence of the series حدث عدد منتهي من
+
+261
+00:29:13,240 --> 00:29:19,540
+حدود ال seriesأو إضافة عدد منتهي كمان إلى حدود ال
+
+262
+00:29:19,540 --> 00:29:24,180
+series لا يؤثر لا على التقارب ولا على التباعد تبع
+
+263
+00:29:24,180 --> 00:29:34,900
+ال series هذا حقيقة سهل لو يعني و بدهاش برهان لأن
+
+264
+00:29:34,900 --> 00:29:40,300
+الحدود المنتهية هذه مجموعة بيطلع عدد منتهي فما
+
+265
+00:29:40,300 --> 00:29:47,230
+بأثرش على التقاربمن series بفرش على التقارب او
+
+266
+00:29:47,230 --> 00:29:52,310
+التباعد او اضافة عدد لان بما ان ال series
+
+267
+00:29:52,310 --> 00:29:58,110
+converges then ال series sigma واحد على n
+
+268
+00:29:58,110 --> 00:30:03,990
+factorial converges
+
+269
+00:30:03,990 --> 00:30:11,160
+من n بالساوية اربعة الى ملامية طبعا هذا بقدرإن أنا
+
+270
+00:30:11,160 --> 00:30:15,360
+لو ضفت لل series الحدود المتبقية من n بالساعة واحد
+
+271
+00:30:15,360 --> 00:30:22,160
+إلى تلاتة وبتصير من infinity هنا لواحد
+
+272
+00:30:22,160 --> 00:30:28,160
+على n factorial تطلع
+
+273
+00:30:28,160 --> 00:30:33,280
+conversion وهذا اللي بدنا يعني، إذن هذا أحد
+
+274
+00:30:33,280 --> 00:30:38,100
+الحلولة، okay؟ زي ما زملتكم يعني اخترحت، بتقول طب
+
+275
+00:30:38,100 --> 00:30:44,050
+و أنا إيش بدي أختار على بالي؟إن هذا المتباينة
+
+276
+00:30:44,050 --> 00:30:47,890
+الصحيحة اللي اعتمد عليها الحل أو اعتمدت عليها
+
+277
+00:30:47,890 --> 00:30:53,430
+المقارنة فمعاكم حاجة ممكن أنك .. يعني ماحدش يقدر
+
+278
+00:30:53,430 --> 00:30:57,970
+يعني يصل إلى ال .. أو ال percentage المتباينة هذه
+
+279
+00:30:57,970 --> 00:31:03,710
+اللي عليها بيرتكز الحل ففي حل تاني آخر نشوف الحل
+
+280
+00:31:03,710 --> 00:31:05,930
+التاني ال direct limit
+
+281
+00:31:09,330 --> 00:31:14,150
+الحل التاني solution
+
+282
+00:31:14,150 --> 00:31:18,430
+2 احنا
+
+283
+00:31:18,430 --> 00:31:26,430
+عارفين انه لو جسمت ناخد
+
+284
+00:31:26,430 --> 00:31:35,130
+xn بسعر واحد على n factorialبساوي واحد على ال
+
+285
+00:31:35,130 --> 00:31:41,770
+تربية كويس؟ زي ما عملناه في الحل الأول و بده قارن
+
+286
+00:31:41,770 --> 00:31:47,320
+التنتين هدول بس المقارنة المرة هذه هتكونبطريقة
+
+287
+00:31:47,320 --> 00:31:53,760
+مختلفة فلو أخدت xn و جسمتها على yn فطبعا هذا أكبر
+
+288
+00:31:53,760 --> 00:32:00,140
+من السبب لأن xn عدد موجب دايما لكل n و yn عدد موجب
+
+289
+00:32:00,140 --> 00:32:06,640
+فقسمت على دين موجبين بطلعة موجب وهذا بساوي n تربية
+
+290
+00:32:06,640 --> 00:32:13,720
+على yn اللي هو n factorial على n factorial
+
+291
+00:32:18,080 --> 00:32:26,220
+و هدا بساوي تاي n تربية على n factorial عبارة عن
+
+292
+00:32:26,220 --> 00:32:34,160
+واحد في اتنين في تلاتة الى n سالب اتنين في n سالب
+
+293
+00:32:34,160 --> 00:32:45,700
+واحد في n مظبوط؟ ممكن اختصر n مع n و هيبقى عندي
+
+294
+00:32:54,210 --> 00:33:05,130
+فهيبقى عندي n على واحد في اتنين الى n سالب اتنين
+
+295
+00:33:05,130 --> 00:33:14,650
+في n سالب واحد الان ممكن اثبات ان المقام هذا اكبر
+
+296
+00:33:14,650 --> 00:33:17,570
+من اتنين
+
+297
+00:33:20,110 --> 00:33:28,310
+إثنين في N سالب إثنين في N سالب واحد وهذا أكبر من
+
+298
+00:33:28,310 --> 00:33:38,410
+إثنين في N سالب واحد في N وهذا صحيح ليس لكل الـ N
+
+299
+00:33:38,410 --> 00:33:48,270
+مش لكل الأعداد الطبيعية N هذا أكبر من N سالب إثنين
+
+300
+00:33:48,270 --> 00:33:56,730
+في Nو هذا صحيح فقط لكل n أكبر من أو يساوي خمسة
+
+301
+00:33:56,730 --> 00:34:01,990
+يعني عند الأربعة مش صح و عند التلاتة و اتنين و
+
+302
+00:34:01,990 --> 00:34:08,580
+الواحد مش صحOkay؟ إذن N تربية على N factorial
+
+303
+00:34:08,580 --> 00:34:14,940
+بتطلع .. الآن هذا المقام أكبر من العدد هذا
+
+304
+00:34:14,940 --> 00:34:23,280
+وبالتالي المقلوب بتطلع أصغر من N على N في N سالب 2
+
+305
+00:34:23,280 --> 00:34:32,100
+طبعا N بتروح مع Nبيبقى عندي واحد على n ساوى اتنين
+
+306
+00:34:32,100 --> 00:34:37,140
+ويقول الكلام هذا صحيح لكل n أكبر من أو ساوى خمسة
+
+307
+00:34:48,530 --> 00:34:55,770
+xn على yn أصغر من واحد على n ثالث اتنين طبعا أكبر
+
+308
+00:34:55,770 --> 00:35:01,690
+من سفر أو أكبر من أو يساوي سفر وهذا صحيح لكل n
+
+309
+00:35:01,690 --> 00:35:06,890
+أكبر من أو يساوي خمسة الان هذا لما انتقل ل
+
+310
+00:35:06,890 --> 00:35:11,950
+infinity هذا بيروح لسفر لما انتقل ل infinity هذا
+
+311
+00:35:11,950 --> 00:35:16,610
+بيروح لسفر اذا by sandwich theorem
+
+312
+00:35:23,770 --> 00:35:30,910
+بطل عند ال limit ل xn over yn as n tends to
+
+313
+00:35:30,910 --> 00:35:36,570
+infinity بساوي سفر هاد هى ال R في ال limit
+
+314
+00:35:36,570 --> 00:35:42,150
+comparison test طيب since
+
+315
+00:35:44,540 --> 00:35:49,640
+سيجما واي ان اللي هي سيجما واحد على ان تربيعي
+
+316
+00:35:49,640 --> 00:35:58,740
+converges حسب الجزء الثاني من limit comparison
+
+317
+00:35:58,740 --> 00:36:02,160
+test limit comparison test بيقول إذا كان limit ال
+
+318
+00:36:02,160 --> 00:36:07,600
+ratio بساوي سفر وكانت سيجما واي ان convergent إذا
+
+319
+00:36:07,600 --> 00:36:10,400
+هذا بيقدر
+
+320
+00:36:13,430 --> 00:36:19,310
+سيجما اكس ام اللي هي سيجما وان اوبر ام فاكتوريال
+
+321
+00:36:19,310 --> 00:36:23,490
+convergence رغم المفهوم
+
+322
+00:36:26,800 --> 00:36:29,680
+واحد استخدم ال direct comparison test، التاني
+
+323
+00:36:29,680 --> 00:36:33,660
+استخدم ال limit comparison test، اتنين كان فيهم
+
+324
+00:36:33,660 --> 00:36:39,940
+شوية شغل مش سهل، لكن هذا هو الموجود، مفيش أسهل من
+
+325
+00:36:39,940 --> 00:36:46,400
+هذا فعلى أي حال يعني ال .. الأسئلة في الكتاب هتكون
+
+326
+00:36:46,400 --> 00:36:50,780
+معظمها سهلة إما في الحل بال limit comparison test
+
+327
+00:36:50,780 --> 00:36:55,520
+أو بال direct comparison test، في أي سؤال أو
+
+328
+00:36:55,520 --> 00:37:00,800
+استفسار؟الامور واضحة الحل واضح انا عارف انه كيف
+
+329
+00:37:00,800 --> 00:37:05,580
+يخطر على بالنا نعمل المقارنات هذه وهذا كلامكم صحيح
+
+330
+00:37:05,580 --> 00:37:12,980
+هذا يعني شيء مش سهل لكن في بعض المسائل ال .. يعني
+
+331
+00:37:12,980 --> 00:37:21,740
+ال .. مش سهل ان احنا نعمل المقارنة لكن بنحاول ..
+
+332
+00:37:21,740 --> 00:37:33,030
+بنحاول اللي بيحاولبيصل إلى حل خليني يعني احنا مش
+
+333
+00:37:33,030 --> 00:37:37,710
+عايزين نبدأ section جديد الصحيح ان هيك يعني ال
+
+334
+00:37:37,710 --> 00:37:42,550
+chapter خلص فعشان مابداش يعني نبدأ المرة الجاية
+
+335
+00:37:42,550 --> 00:37:49,210
+chapter جديد فخليني اخد احل سؤال من ال homework
+
+336
+00:37:49,210 --> 00:37:53,590
+problems السؤال هنا question
+
+337
+00:37:57,590 --> 00:38:06,030
+exercise رقم خمسة section تلاتة سبعة لأن هذا تمرين
+
+338
+00:38:06,030 --> 00:38:10,190
+خمسة في section تلاتة سبعة اللي هو آخر section في
+
+339
+00:38:10,190 --> 00:38:17,010
+chapter تلاتة السؤال بيقول can
+
+340
+00:38:17,010 --> 00:38:24,030
+you السؤال كتير يعني مهم و interesting can you
+
+341
+00:38:24,030 --> 00:38:31,770
+giveيعني كتاب بخاطب الطالب بيقوله can you give an
+
+342
+00:38:31,770 --> 00:38:44,810
+example هل بإمكانك تعطي مثال of a convergent of a
+
+343
+00:38:44,810 --> 00:38:53,550
+convergent series sigma xn and a divergent
+
+344
+00:39:03,070 --> 00:39:11,470
+بحيث ان المجموعة تبع ال two series يكون
+
+345
+00:39:11,470 --> 00:39:20,010
+convergent is convergent explain
+
+346
+00:39:20,010 --> 00:39:29,830
+وضحي الإجابةهتكون يا yes يا no و في كل تلحالتين بن
+
+347
+00:39:29,830 --> 00:39:37,710
+.. نعطيك تفسر ال yes او انه تبعتك فانا بقول انه
+
+348
+00:39:37,710 --> 00:39:44,450
+خلينا نعطيلكم يعني تشوفكم تفكروا نعطيكم دقيقة
+
+349
+00:39:44,450 --> 00:39:53,230
+تفكروا و تحاولوا تجيبوا مثال زي ما هو مطلوب إذا
+
+350
+00:39:53,230 --> 00:39:53,990
+كده إذا أمكن
+
+351
+00:39:57,650 --> 00:40:04,570
+فمين عندها مثال؟ كمان مرة بنجيب مثال ل two series
+
+352
+00:40:04,570 --> 00:40:10,370
+واحدة convergent اللي هي هذه الأولى والتانية
+
+353
+00:40:10,370 --> 00:40:16,190
+divergent بحيث أن مجموعهم يكون convergent هل هذا
+
+354
+00:40:16,190 --> 00:40:23,190
+ممكن؟ إذا ممكن طيب ممكن تعطيني مثال على ذلك يعني
+
+355
+00:40:23,190 --> 00:40:27,890
+اعطيني مثاليوضح صحة ال .. الكلام هذه ال example
+
+356
+00:40:27,890 --> 00:40:30,930
+مثلا نخدها هي أسهل إيش الواحد على الأن أو الأول و
+
+357
+00:40:30,930 --> 00:40:36,130
+أنت الرابعين خليني لحظة شوية لو سمحت هاي أخبرتكم
+
+358
+00:40:36,130 --> 00:40:37,350
+طرح example
+
+359
+00:40:41,280 --> 00:40:47,500
+أيه وقتك؟ ال XN قبل عن الواحد على الان تربية واحد
+
+360
+00:40:47,500 --> 00:40:55,520
+على ان تربية فطبعا هذا بقدر سيجما XN كل ذات يسار
+
+361
+00:40:55,520 --> 00:41:02,740
+سيجما واحد على ان تربية كل بيرزلأن هذه P series و
+
+362
+00:41:02,740 --> 00:41:07,380
+ال P بيساوي اتنين اكبر من واحد، صح؟ والتانية
+
+363
+00:41:07,380 --> 00:41:13,120
+الواحدة الجدر الأن نخدها YM بيساوي واحد على الجدر
+
+364
+00:41:13,120 --> 00:41:19,860
+الأن بتصير أص نص، طيب، بتصير سماشة للواحدالان
+
+365
+00:41:19,860 --> 00:41:25,920
+sigma yn بيساوي sigma 1 على n اصلا اصلا بي سيريز
+
+366
+00:41:25,920 --> 00:41:30,100
+هادي divergent بي بي سيريز هادي بي بي بي بي بي بي
+
+367
+00:41:30,100 --> 00:41:30,400
+بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
+
+368
+00:41:30,400 --> 00:41:34,760
+بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
+
+369
+00:41:34,760 --> 00:41:34,800
+بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
+
+370
+00:41:34,800 --> 00:41:35,040
+بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي بي
+
+371
+00:41:35,040 --> 00:41:44,900
+بي
+
+372
+00:41:44,900 --> 00:41:53,900
+بيهي sigma واحد على N تربية زائد واحد على N أص نص
+
+373
+00:41:53,900 --> 00:42:02,420
+صح؟ وهذا بيساوي summation ناخد مقام مشترك N تربية
+
+374
+00:42:02,420 --> 00:42:10,140
+فبطلع واحد زائد N أص .. أص تلاتة عشان .. أص تلاتة
+
+375
+00:42:10,140 --> 00:42:14,040
+عشان .. مظبوط؟
+
+376
+00:42:21,390 --> 00:42:30,430
+هل هذه convergent؟ لما n تكون كبيرة .. اه لما n
+
+377
+00:42:30,430 --> 00:42:37,790
+تكون كبيرة هذه بتكون behaves like sigma
+
+378
+00:42:39,040 --> 00:42:45,440
+واحد لأ مش واحد ع انتر بياني مهم للواحد وفضل
+
+379
+00:42:45,440 --> 00:42:50,420
+عندي N أس ثلاثة ع اتنين ع انتر بيان اللي بيساوي
+
+380
+00:42:50,420 --> 00:42:54,740
+سيجما واحد ع ن أس نص
+
+381
+00:42:58,550 --> 00:43:03,570
+و ممكن الأن نستخدم ال limit comparison test نثبت
+
+382
+00:43:03,570 --> 00:43:07,430
+أن هذه divergent لأن هذه divergent باستخدام ال
+
+383
+00:43:07,430 --> 00:43:11,630
+limit comparison testزيادة .. زيادة .. زيادة ..
+
+384
+00:43:11,630 --> 00:43:14,670
+زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة
+
+385
+00:43:14,670 --> 00:43:19,910
+.. زيادة
+
+386
+00:43:19,910 --> 00:43:30,990
+.. زيادة .. زيادة .. زيادة .. زيادة
+
+387
+00:43:30,990 --> 00:43:31,310
+..
+
+388
+00:43:34,540 --> 00:43:43,240
+another example طيب xn بساوي سالب واحد و سالب ن
+
+389
+00:43:43,240 --> 00:43:51,160
+مثلا yn بساوي واحد yn بساوي واحداه ف ال series
+
+390
+00:43:51,160 --> 00:43:58,520
+sigma x n diverge و sigma y n diverge فتنتهي ال
+
+391
+00:43:58,520 --> 00:44:01,540
+diverge، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
+
+392
+00:44:01,540 --> 00:44:01,880
+مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
+
+393
+00:44:01,880 --> 00:44:02,160
+مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
+
+394
+00:44:02,160 --> 00:44:03,340
+مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
+
+395
+00:44:03,340 --> 00:44:08,340
+مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش،
+
+396
+00:44:08,340 --> 00:44:14,220
+مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانفعش، مانعلى مدرسة الأرض
+
+397
+00:44:14,220 --> 00:44:18,380
+ان هو من من أنتوا ساوي أربع على مالة نهاية حكينا
+
+398
+00:44:18,380 --> 00:44:20,820
+انه من أنتوا ساوي أربع على مالة نهاية هذا converge
+
+399
+00:44:20,820 --> 00:44:25,300
+بس اللي جابل حكينا انه converge انه diverge اللي
+
+400
+00:44:25,300 --> 00:44:28,280
+جابلنا طيب احنا عشان بسم ان احنا بنحكي على السؤال
+
+401
+00:44:28,280 --> 00:44:33,860
+هذا خليني احنا في هذا المثال في عندك مثال؟ خلاص
+
+402
+00:44:33,860 --> 00:44:38,440
+طبعا ال .. ال .. السابق هذا بعدين بنتناقش فيه
+
+403
+00:44:38,440 --> 00:44:43,270
+خليني أجرب عشان أنا مافيش وجهة على السؤال هذالو
+
+404
+00:44:43,270 --> 00:44:46,950
+كلكم حاولتوا .. كل واحدة حاولت تجيب مثال، كل أمثلة
+
+405
+00:44:46,950 --> 00:44:51,370
+أبقاتكم هتكون غلطة أو هتفشل، ليه؟ لأن مافيش ولا
+
+406
+00:44:51,370 --> 00:44:56,890
+مثال، لأن مافيش مثال، فانت قاعدين بتجيبوا .. تعطوا
+
+407
+00:44:56,890 --> 00:45:01,790
+حاجة مستحيلة، مش موجودة، إذا الإجابة على هذا
+
+408
+00:45:01,790 --> 00:45:02,330
+السؤال
+
+409
+00:45:08,820 --> 00:45:19,880
+إن ال answer ال answer is no لا يمكن يعطى مثال على
+
+410
+00:45:19,880 --> 00:45:22,700
+two series واحدة convergent والتانية divergent
+
+411
+00:45:22,700 --> 00:45:26,020
+مجموعة بتطلع convergent مستحيل this is impossible
+
+412
+00:45:26,020 --> 00:45:34,660
+لبرهان أو لثبات ذلك if
+
+413
+00:45:34,660 --> 00:45:47,190
+if thisإذا كان هذا صحيح أو إذا كان هذا صحيح يعني
+
+414
+00:45:47,190 --> 00:45:52,230
+لو اقدرت النجيب series convergent و series
+
+415
+00:45:52,230 --> 00:45:57,710
+divergent و مجموعة convergent then
+
+416
+00:45:57,710 --> 00:46:01,610
+we would have
+
+417
+00:46:03,890 --> 00:46:08,590
+إنه الـ series sigma yn اللي احنا فرضين انها
+
+418
+00:46:08,590 --> 00:46:15,650
+divergent اللي هي بساوي sigma xn زائد yn minus
+
+419
+00:46:15,650 --> 00:46:23,290
+sigma xn احنا قلنا لو هذا كان true معناته ال
+
+420
+00:46:23,290 --> 00:46:27,690
+series هذه convergent معناته هذه convergent ومن
+
+421
+00:46:27,690 --> 00:46:32,610
+الفرض هذه convergentوالفرق بين two convergent
+
+422
+00:46:32,610 --> 00:46:38,330
+series is convergent، إذن هذا هتطلع .. إذن الفرق
+
+423
+00:46:38,330 --> 00:46:43,830
+هيكون convergent وبالتالي إذن ال series sigma yn
+
+424
+00:46:43,830 --> 00:46:48,930
+is convergent، وهذا contradiction لإن احنا فرضين
+
+425
+00:46:48,930 --> 00:46:56,040
+أنها divergentهذا مش ممكن يكون true عشان هي كانت
+
+426
+00:46:56,040 --> 00:47:01,600
+كتبت if it were true مستحيل ..مستحيل مش if it was
+
+427
+00:47:01,600 --> 00:47:08,280
+true okay طبعا اذا انا ساطيع اعطاء مثال يعطيني
+
+428
+00:47:08,280 --> 00:47:13,800
+المواصفات هذه بالمرةتمام؟ إذا بنوقف هنا و هيك
+
+429
+00:47:13,800 --> 00:47:17,120
+بنكون خلصنا ال chapter تلاتة المرة الجاية ان شاء
+
+430
+00:47:17,120 --> 00:47:22,620
+الله هنبقى في chapter أربعة فشكرا لكم و نشوفكم ان
+
+431
+00:47:22,620 --> 00:47:23,640
+شاء الله يوم السبت
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/WVOztu-xKaw.srt

@@ -0,0 +1,1051 @@
+1
+00:00:20,670 --> 00:00:27,110
+Okay اليوم هنراجع بس نظرية ال-divergence theorem
+
+2
+00:00:27,110 --> 00:00:33,870
+اللي أخدناها آخر مرة بس نسترجعها بسرعة ال-
+
+3
+00:00:33,870 --> 00:00:40,370
+divergence theorem
+
+4
+00:00:40,370 --> 00:00:47,370
+عطلناها رقم 2.17 في النظرية
+
+5
+00:00:47,370 --> 00:00:48,150
+هذه بتقول
+
+6
+00:00:51,110 --> 00:01:04,590
+Let X and contained in R be a sequence then
+
+7
+00:01:04,590 --> 00:01:09,410
+the following statements are equivalent
+
+8
+00:01:11,820 --> 00:01:18,400
+فأول statement sequence x in does not converge to x
+
+9
+00:01:18,400 --> 00:01:28,200
+ينتمي لـ R for any x ينتمي لـ R وفي شرط الثاني وفي
+
+10
+00:01:28,200 --> 00:01:35,420
+شرط الثالث أنا بهمش شرط الثالث أو العبارة الثالثة
+
+11
+00:01:35,420 --> 00:01:39,840
+there exist ε>0 and a
+
+12
+00:01:39,840 --> 00:01:48,390
+subsequence أو subsequence X<sub>n</sub>
+
+13
+00:01:48,390 --> 00:01:53,410
+of
+
+14
+00:01:53,410 --> 00:02:05,750
+sequence X<sub>n</sub> such that |X<sub>n</sub> - X| >
+
+15
+00:02:05,750 --> 00:02:08,550
+أو يساوي ε<sub>0</sub> لكل M
+
+16
+00:02:13,970 --> 00:02:18,330
+و بدنا ناخد مثال على النظرية هذه أخدناها المرة
+
+17
+00:02:18,330 --> 00:02:22,290
+الماضية مثال
+
+18
+00:02:22,290 --> 00:02:29,470
+مثال
+
+19
+00:02:29,470 --> 00:02:39,490
+الثاني example consider
+
+20
+00:02:41,810 --> 00:02:49,510
+ناخد ال-sequence consider x<sub>n</sub> where sequence x<sub>n</sub> لحد
+
+21
+00:02:49,510 --> 00:03:04,610
+الآخر تبعها x<sub>n</sub> معرف على أنه بساوي n if n is odd و
+
+22
+00:03:04,610 --> 00:03:06,250
+بتساوي 1 على n
+
+23
+00:03:20,350 --> 00:03:28,690
+مطلوب أن أثبت أن ال-sequence x<sub>n</sub> is divergent
+
+24
+00:03:41,550 --> 00:03:47,630
+solution ولاحظوا أن sequence X<sub>n</sub> إنّها بيباري حدودها
+
+25
+00:03:47,630 --> 00:03:53,350
+واحد، نص، و
+
+26
+00:03:53,350 --> 00:03:59,850
+واحد، نص، ثلاثة، رابع، و
+
+27
+00:03:59,850 --> 00:04:00,390
+هكذا
+
+28
+00:04:08,080 --> 00:04:12,340
+فالـ sequence هذه بالنسبة لها does not converge
+
+29
+00:04:12,340 --> 00:04:23,040
+لأي x ينتمي لـ R to show أن x<sub>n</sub> does not converge لـ
+
+30
+00:04:23,040 --> 00:04:29,720
+x for any x
+
+31
+00:04:29,720 --> 00:04:31,440
+ينتمي إلى R
+
+32
+00:04:35,590 --> 00:04:44,030
+fix x ينتمي لـ r خلّينا ناخد arbitrary الـ
+
+33
+00:04:44,030 --> 00:04:47,470
+real number x ينتمي لـ r ونثبت أن x<sub>n</sub> does not
+
+34
+00:04:47,470 --> 00:04:54,730
+converge enough فعندي then
+
+35
+00:04:54,730 --> 00:04:59,670
+|x| طبعًا أكبر عدد حقيقي أكبر من الصفر
+
+36
+00:04:59,670 --> 00:05:11,460
+so by Archimedean property يوجد
+
+37
+00:05:11,460 --> 00:05:19,660
+n عدد طبيعي يعتمد على x عدد طبيعي بحيث
+
+38
+00:05:19,660 --> 00:05:38,420
+أن n x هذا is even and |x| < n x هذا
+
+39
+00:05:38,420 --> 00:05:42,990
+ممكن نحصل عليه من ال-Archimedean property الـ
+
+40
+00:05:42,990 --> 00:05:46,990
+argument property بتقول أي عدد حقيقي زي |x|
+
+41
+00:05:46,990 --> 00:05:53,450
+نقدر نلاقي عدد طبيعي يعتمد على الـ x بحيث أنه العدد
+
+42
+00:05:53,450 --> 00:06:02,110
+الطبيعي أكبر من العدد الحقيقي طيب الآن لو أخدت
+
+43
+00:06:02,110 --> 00:06:05,150
+ε
+
+44
+00:06:05,150 --> 00:06:11,530
+=0 معرفة على أنها n x - |x|
+
+45
+00:06:14,250 --> 00:06:24,170
+فهذا بيطلع عدد موجب هذا بيطلع عدد موجب و
+
+46
+00:06:24,170 --> 00:06:30,190
+الـ sequence الـ
+
+47
+00:06:30,190 --> 00:06:39,390
+sequence الحد العام تبعها n x + 2 m -
+
+48
+00:06:39,390 --> 00:06:39,930
+1
+
+49
+00:06:43,110 --> 00:06:51,010
+من m = 1 to infinity هذه بالمناسبة الحدود
+
+50
+00:06:51,010 --> 00:07:00,770
+تبعها هذا عدد فردي عدد طبيعي فردي وهذا
+
+51
+00:07:00,770 --> 00:07:09,190
+n x عدد طبيعي زوجي هذا odd وهذا
+
+52
+00:07:09,190 --> 00:07:09,890
+even
+
+53
+00:07:13,300 --> 00:07:22,960
+ف odd + even بيطلع odd إذاً الحدود
+
+54
+00:07:22,960 --> 00:07:33,340
+العامة للـ sequence هذه بتكون odd وبالتالي
+
+55
+00:07:33,340 --> 00:07:39,600
+الحدود هذه كلها حسب التعريف بتطلع بيساوي
+
+56
+00:07:41,460 --> 00:07:48,180
+هي طبعًا sub-sequence يعني
+
+57
+00:07:48,180 --> 00:07:54,300
+هذا هتكون لو m = 1 هيطلع n x + 1 n x
+
+58
+00:07:54,300 --> 00:08:03,820
++ 3 وهكذا صح؟ حسب التعريف هذا عبارة عن sub-
+
+59
+00:08:03,820 --> 00:08:11,700
+sequence subsequence من ال-sequence x<sub>m</sub> لأن هذه
+
+60
+00:08:11,700 --> 00:08:18,300
+جزء من الحدود الفردية، صح؟ وبالتالي هذه
+
+61
+00:08:18,300 --> 00:08:23,640
+subsequence من x<sub>n</sub> ومش
+
+62
+00:08:23,640 --> 00:08:35,320
+هيكوا بس and ال-absolute value لـ n x + 2 m - 1
+
+63
+00:08:35,320 --> 00:08:41,640
+الحد العام لل-subsequence هذه المسافة بينه وبين الـ
+
+64
+00:08:41,640 --> 00:08:46,220
+x باستخدام الـ triangle inequality في واحدة من الـ
+
+65
+00:08:46,220 --> 00:08:50,940
+triangle inequalities بتقول |a - b|
+
+66
+00:08:50,940 --> 00:08:56,200
+أكبر من أو يساوي |a| - |b| فهذا
+
+67
+00:08:56,200 --> 00:09:02,540
+أكبر من أو يساوي |n x + 2 m - 1|
+
+68
+00:09:02,540 --> 00:09:09,720
+- |x| هذا عدد موجب هذا عدد طبيعي وهذا
+
+69
+00:09:09,720 --> 00:09:24,860
+عدد طبيعي فردي فممكن نشيل absolute value وهذا
+
+70
+00:09:24,860 --> 00:09:35,880
+العدد هذا العدد أكبر من n x - |x| هذا
+
+71
+00:09:35,880 --> 00:09:45,580
+العدد هنا أكبر من n x لأن هذا عدد موجب صح ف n x +
+
+72
+00:09:45,580 --> 00:09:50,440
+عدد موجب أكبر من n x - |x| طب ما هذا
+
+73
+00:09:50,440 --> 00:09:56,000
+بيساوي عرفناه على n ε<sub>0</sub> صح؟ الآن الكلام هذا
+
+74
+00:09:56,000 --> 00:09:59,460
+صحيح لكل m ينتمي إلى N
+
+75
+00:10:09,010 --> 00:10:15,890
+أنا أثبتت أن يوجد ε<sub>0</sub> > 0 و sub sequence
+
+76
+00:10:15,890 --> 00:10:21,850
+من ال-sequence x<sub>n</sub> و المسافة بين الحد العام للـ
+
+77
+00:10:21,850 --> 00:10:28,430
+sequence هذه والـ x أكبر من ε<sub>0</sub> لكل m في n
+
+78
+00:10:34,110 --> 00:10:44,630
+الـ divergence theorem الجزء الثالث هيتحقق شروطه
+
+79
+00:10:44,630 --> 00:10:52,330
+وبالتالي ال-sequence x<sub>n</sub> does not converge to x
+
+80
+00:10:56,670 --> 00:10:59,930
+بما أن x was arbitrary إذاً ال-sequence x<sub>n</sub> does
+
+81
+00:10:59,930 --> 00:11:04,030
+not converge لأي عدد حقيقي x وبالتالي divergent
+
+82
+00:11:04,030 --> 00:11:10,130
+تمام؟ أنا هنا استخدمت ال-divergence theorem في
+
+83
+00:11:10,130 --> 00:11:16,150
+إثبات أن ال-sequence هذه divergent لاحظوا أن الـ
+
+84
+00:11:16,150 --> 00:11:23,710
+sequence 1 على n هذه subsequence من x<sub>n</sub> وهذه
+
+85
+00:11:23,710 --> 00:11:24,890
+convergent لـ 0
+
+86
+00:11:28,580 --> 00:11:32,700
+لكن الـ sequence نفسها does not converge هذه برضه
+
+87
+00:11:32,700 --> 00:11:37,220
+subsequence n subsequence .. لما تكون الـ n فردية
+
+88
+00:11:37,220 --> 00:11:42,620
+subsequence من X<sub>n</sub> وهذه is not convergent هذه الـ
+
+89
+00:11:42,620 --> 00:11:49,340
+limit بتاعها infinity طبعًا؟ و
+
+90
+00:11:49,340 --> 00:11:50,500
+هذا؟ في عايز سؤال؟
+
+91
+00:12:05,310 --> 00:12:12,050
+monotone subsequence theorem النظرية
+
+92
+00:12:12,050 --> 00:12:23,330
+2.18 أقامها هنا النظرية
+
+93
+00:12:23,330 --> 00:12:32,230
+هذه بتقول every sequence in R has
+
+94
+00:12:36,910 --> 00:12:44,930
+a monotone subsequence كل sequence of real numbers
+
+95
+00:12:44,930 --> 00:12:53,770
+ممكن نستخلص منها monotone subsequence البرهان تبع
+
+96
+00:12:53,770 --> 00:12:58,050
+النظرية هذه مش صعب موجود في الكتاب هخليكم تقرأوه
+
+97
+00:13:00,180 --> 00:13:09,360
+هخليكم تقرأوا البرهان من الكتاب المقرر C theorem
+
+98
+00:13:09,360 --> 00:13:20,360
+رقم 3.4.7 page 8
+
+99
+00:13:20,360 --> 00:13:22,020
+و70 in textbook
+
+100
+00:13:27,060 --> 00:13:32,200
+إذن حدؤوكم لقراءة البرهان، البرهان سهل مش صعب و
+
+101
+00:13:32,200 --> 00:13:36,380
+حاولوا
+
+102
+00:13:36,380 --> 00:13:40,280
+تقرأوه و تفهموه وده في أي صعوبة تسألوني أو
+
+103
+00:13:40,280 --> 00:13:46,280
+تتناقشوا معي في البرهان okay
+
+104
+00:13:46,280 --> 00:13:49,680
+في
+
+105
+00:13:49,680 --> 00:13:51,320
+نظرية ثانية
+
+106
+00:14:00,880 --> 00:14:06,900
+Bolzano-Weierstrass theorem
+
+107
+00:14:06,900 --> 00:14:17,880
+رقم 2.19 النظرية
+
+108
+00:14:17,880 --> 00:14:23,980
+هذه بتقول every bounded sequence every
+
+109
+00:14:23,980 --> 00:14:26,540
+bounded
+
+110
+00:14:28,920 --> 00:14:34,800
+sequence of real
+
+111
+00:14:34,800 --> 00:14:41,980
+numbers in R has a
+
+112
+00:14:41,980 --> 00:14:48,500
+convergent subsequence
+
+113
+00:14:53,720 --> 00:14:58,080
+لو في عندي bounded sequence of real numbers فبقدر
+
+114
+00:14:58,080 --> 00:15:02,820
+ألاقي جواتها convergent subsequence البرهان تبع
+
+115
+00:15:02,820 --> 00:15:07,720
+النظرية دي سهل باستخدام النظريات السابقة في لها
+
+116
+00:15:07,720 --> 00:15:14,300
+برهانين واحد short يعني قصير يعتمد على النظريات
+
+117
+00:15:14,300 --> 00:15:17,840
+الكبيرة اللي برهناها سابقًا وفي لها برهان
+
+118
+00:15:21,560 --> 00:15:26,680
+طويل نوعًا ما وهذا البرهان constructive proof يعني
+
+119
+00:15:26,680 --> 00:15:30,860
+بوريكم كيف تبنوا ال-subsequence اللي هتكون
+
+120
+00:15:30,860 --> 00:15:36,920
+convergent هناخد ال-short proof ونخليكم تقرأوا الـ
+
+121
+00:15:36,920 --> 00:15:40,980
+long proof رقم
+
+122
+00:15:40,980 --> 00:15:46,700
+1 let
+
+123
+00:15:46,700 --> 00:15:47,560
+x<sub>n</sub>
+
+124
+00:15:50,470 --> 00:15:58,910
+be a bounded sequence
+
+125
+00:15:58,910 --> 00:16:05,110
+of real numbers by
+
+126
+00:16:05,110 --> 00:16:17,490
+حسب النظرية الأخيرة رقم 2.18 by theorem 2.18
+
+127
+00:16:17,490 --> 00:16:19,410
+الـ monotone
+
+128
+00:16:22,580 --> 00:16:30,100
+بتقول أي sequence in R سواء bounded أو unbounded
+
+129
+00:16:30,100 --> 00:16:35,540
+every sequence of real numbers has a monotone
+
+130
+00:16:35,540 --> 00:16:44,360
+subsequence إذاً الـ X<sub>n</sub> has a monotone
+
+131
+00:16:44,360 --> 00:16:46,980
+subsequence
+
+132
+00:16:51,810 --> 00:17:02,790
+خليني أسميها x<sub>n</sub> k إذاً
+
+133
+00:17:02,790 --> 00:17:12,110
+هذه عبارة عن monotone subsequence طيب since x<sub>n</sub>
+
+134
+00:17:12,110 --> 00:17:18,150
+is bounded الـ
+
+135
+00:17:18,150 --> 00:17:21,090
+subsequence .. the subsequence
+
+136
+00:17:23,040 --> 00:17:32,960
+x<sub>n</sub> k is also bounded أي
+
+137
+00:17:32,960 --> 00:17:36,540
+sub sequence من bounded sequence is bounded مظبوط
+
+138
+00:17:36,540 --> 00:17:41,520
+صح لأن x
+
+139
+00:17:41,520 --> 00:17:42,880
+<sub>n</sub> bounded
+
+140
+00:17:46,080 --> 00:17:52,660
+بقدر أن يوجد M عدد موجب بحيث أن |x<sub>n</sub>| < 
+
+141
+00:17:52,660 --> 00:18:01,440
+من أو يساوي M لكل N طب ما هذا بقدّي أن absolute xnk
+
+142
+00:18:01,440 --> 00:18:10,380
+أيضا أصغر من أو يساوي M لكل N لأن ال subsequence
+
+143
+00:18:10,380 --> 00:18:13,500
+xnk هي subset من xn
+
+144
+00:18:16,250 --> 00:18:20,130
+مظبوط؟ كل حد في ال subsequence هو حد في ال
+
+145
+00:18:20,130 --> 00:18:26,370
+sequence وبالتالي تحقق نفس الشرط لأن هذا بيقدّي أن
+
+146
+00:18:26,370 --> 00:18:34,190
+كل .. هذا صحيح لكل K لأن هذه .. هذا الشرط منه
+
+147
+00:18:34,190 --> 00:18:37,830
+بيطلع X ان K is bounded
+
+148
+00:18:40,520 --> 00:18:44,940
+Okay إذا أنا كتبت برهان أنّ أي subsequence من
+
+149
+00:18:44,940 --> 00:18:54,900
+bounded sequence is bounded تمام Now ال
+
+150
+00:18:54,900 --> 00:19:01,980
+subsequence xnk is monotone
+
+151
+00:19:01,980 --> 00:19:05,420
+and
+
+152
+00:19:05,420 --> 00:19:05,980
+bounded
+
+153
+00:19:10,700 --> 00:19:15,920
+So by monotone convergence theorem حسب الـ
+
+154
+00:19:15,920 --> 00:19:20,960
+monotone convergence theorem it is convergent
+
+155
+00:19:26,310 --> 00:19:34,310
+ما هو المطلوب؟ لأن هنا أثبتنا أنّ أي sequence أي
+
+156
+00:19:34,310 --> 00:19:37,510
+sequence which is bounded أي sequence of real
+
+157
+00:19:37,510 --> 00:19:41,690
+numbers which is bounded has a convergent
+
+158
+00:19:41,690 --> 00:19:50,490
+subsequence تمام؟ لأن هذا برهان النظرية تمام؟ واضح؟
+
+159
+00:19:50,490 --> 00:20:03,750
+في طبعاً برهان ثاني، هذا البرهان موجود في الكتاب أنّ
+
+160
+00:20:03,750 --> 00:20:09,610
+البرهان رقم اثنين proof رقم اثنين موجود في الكتاب
+
+161
+00:20:09,610 --> 00:20:16,130
+see page 79
+
+162
+00:20:16,130 --> 00:20:17,630
+in textbook
+
+163
+00:20:23,250 --> 00:20:27,150
+إذا أنا هنسيبكم تقرأوا البرهان الثاني من الكتاب
+
+164
+00:20:27,150 --> 00:20:30,190
+طبعاً البرهان هذا هيكون constructive proof بيورجيكم
+
+165
+00:20:30,190 --> 00:20:36,090
+كيف بيبني ال subsequence خطوة خطوة وبحيث أنّها
+
+166
+00:20:36,090 --> 00:20:43,030
+تطلع convergent طيب في كمان نظرية في هذا السياق
+
+167
+00:20:50,570 --> 00:21:03,690
+theorem اثنين وعشرين let
+
+168
+00:21:03,690 --> 00:21:07,910
+x n content
+
+169
+00:21:07,910 --> 00:21:23,610
+in R be bounded bounded sequence and let X ينتمي
+
+170
+00:21:23,610 --> 00:21:29,370
+إلى R بـ
+
+171
+00:21:29,370 --> 00:21:36,870
+such that every … every convergent … every
+
+172
+00:21:36,870 --> 00:21:41,610
+convergent subsequence
+
+173
+00:21:41,610 --> 00:21:46,310
+… every convergent subsequence
+
+174
+00:21:50,710 --> 00:21:59,550
+of سمّيها xn أو
+
+175
+00:21:59,550 --> 00:22:08,450
+every convergent subsequence of xn converges to
+
+176
+00:22:08,450 --> 00:22:12,430
+x then
+
+177
+00:22:12,430 --> 00:22:16,930
+النتيجة أنّ ال sequence xn
+
+178
+00:22:19,750 --> 00:22:27,190
+converges to x إذا
+
+179
+00:22:27,190 --> 00:22:31,730
+أنا في عندي bounded sequence of real numbers وفي
+
+180
+00:22:31,730 --> 00:22:36,910
+عندي عدد حقيقي هذا العدد بيحقق الخاصية أنّ كل
+
+181
+00:22:36,910 --> 00:22:41,070
+convergent subsequence من ال sequence xn بتكون
+
+182
+00:22:41,070 --> 00:22:45,950
+convergent ل x فالحالة هذه ال sequence الأصلية
+
+183
+00:22:45,950 --> 00:22:51,730
+بتكون convergent وال limit تبعتها هي نفس العدد x
+
+184
+00:22:51,730 --> 00:22:55,430
+برهان نظرية هذه سهل مش صعب
+
+185
+00:22:59,850 --> 00:23:04,850
+هنستخدم البولزانو Weierstrass theorem اللي هي
+
+186
+00:23:04,850 --> 00:23:22,730
+نظرية تسعة عشر في البرهان هنشوف مع بعض prove assume
+
+187
+00:23:29,790 --> 00:23:37,770
+assume on contrary that
+
+188
+00:23:37,770 --> 00:23:42,890
+احنا عايزين نثبت أنّ ال sequence xn converge ل x
+
+189
+00:23:42,890 --> 00:23:51,550
+فنفرض أنّ xn does not converge to any x then
+
+190
+00:23:51,550 --> 00:23:55,330
+by divergence
+
+191
+00:23:57,210 --> 00:24:03,170
+by divergence theorem اللي
+
+192
+00:24:03,170 --> 00:24:10,530
+هي اثنين وثمانين كذبوت
+
+193
+00:24:10,530 --> 00:24:16,390
+أو اثنين وسبعين أعتقد هيك صح اه ال divergence
+
+194
+00:24:16,390 --> 00:24:22,140
+theorem بتقول لي xn does not converge ل xمعناته
+
+195
+00:24:22,140 --> 00:24:26,460
+there exist ε0 عدد موجب and there exist
+
+196
+00:24:26,460 --> 00:24:32,980
+a subsequence a subsequence
+
+197
+00:24:32,980 --> 00:24:36,180
+xrn
+
+198
+00:24:36,180 --> 00:24:40,200
+of xn
+
+199
+00:24:42,720 --> 00:24:51,320
+such that absolute xrn minus x أكبر من أو يساوي
+
+200
+00:24:51,320 --> 00:25:01,280
+ε0 هذا الكلام صحيح لكل n في N نسمي
+
+201
+00:25:01,280 --> 00:25:07,560
+المتباينة هذه star تمام؟ هذا من نظرية ال
+
+202
+00:25:07,560 --> 00:25:11,740
+divergence اثنين وسبعين ممكن نحصل على كل هذا
+
+203
+00:25:17,200 --> 00:25:22,140
+طيب since xn
+
+204
+00:25:22,140 --> 00:25:36,260
+is bounded لما أنّ ال sequence xn is bounded then
+
+205
+00:25:36,260 --> 00:25:45,160
+the subsequence the subsequence xrn is bounded
+
+206
+00:25:49,260 --> 00:25:53,140
+أي subsequence من bounded sequence تطلع bounded جب
+
+207
+00:25:53,140 --> 00:25:59,600
+شوية أثبتنا الكلام هذا so
+
+208
+00:25:59,600 --> 00:26:04,780
+by Bolzano
+
+209
+00:26:04,780 --> 00:26:11,680
+Weierstrass
+
+210
+00:26:11,680 --> 00:26:19,730
+theorem نظرية Bolzano Weierstrass هنطبقها على الـ
+
+211
+00:26:19,730 --> 00:26:28,190
+sequence xrn اللي هي bounded فبتقول
+
+212
+00:26:28,190 --> 00:26:33,010
+Bolzano Weierstrass theorem إذا في عندي sequence و
+
+213
+00:26:33,010 --> 00:26:39,970
+bounded ففي إلها convergent subsequence إذن ال
+
+214
+00:26:39,970 --> 00:26:45,070
+sequence ال
+
+215
+00:26:45,070 --> 00:26:47,410
+sequence xrn
+
+216
+00:26:48,810 --> 00:27:01,550
+has a convergent has a convergent subsequence
+
+217
+00:27:01,550 --> 00:27:04,570
+say
+
+218
+00:27:04,570 --> 00:27:13,270
+خلينا نسميها xkxkn
+
+219
+00:27:13,270 --> 00:27:16,170
+تمام؟
+
+220
+00:27:45,490 --> 00:27:50,890
+فإنّ ال …
+
+221
+00:27:50,890 --> 00:27:56,170
+إذا أنا في عندي convergent subsequence من ال
+
+222
+00:27:56,170 --> 00:28:03,390
+subsequence هذه وطبعاً هذه subsequence من xn وهذه
+
+223
+00:28:03,390 --> 00:28:07,070
+subsequence من هذه، إذا هذه subsequence من xn
+
+224
+00:28:11,210 --> 00:28:15,570
+بما أنّ xkn
+
+225
+00:28:15,570 --> 00:28:22,950
+هو أيضاً subsequence لسيكوينس
+
+226
+00:28:22,950 --> 00:28:28,430
+الأصلية xn ثم
+
+227
+00:28:28,430 --> 00:28:32,330
+بي وهو مرتبط
+
+228
+00:28:41,880 --> 00:28:48,020
+وهو مرتبط ثم
+
+229
+00:28:48,020 --> 00:28:54,650
+من حيث ال hypothesis من الفرض احنا فرضين في النظرية
+
+230
+00:28:54,650 --> 00:28:59,310
+هذه أنّ every convergent subsequence of xn لازم
+
+231
+00:28:59,310 --> 00:29:04,890
+تكون convergent للعدد x فهي في عندي subsequence من
+
+232
+00:29:04,890 --> 00:29:09,530
+ال sequence xn وconvergent إذا لازم تكون ال limit
+
+233
+00:29:09,530 --> 00:29:13,430
+تبعتها x إذا من الفرض limit
+
+234
+00:29:15,760 --> 00:29:28,480
+ل xkn as n tends to infinity بساوي x تمام طب
+
+235
+00:29:28,480 --> 00:29:37,720
+احنا عايزين نثبت أنّ ال xn نفسك converge لل x طيب
+
+236
+00:29:37,720 --> 00:29:44,400
+الآن من تعريف أنا في عندي ε0 موجود هاي في
+
+237
+00:29:44,400 --> 00:29:48,900
+عندي ε0 أنا في عندي ε0 هاد عدد
+
+238
+00:29:48,900 --> 00:29:56,460
+موجود من ال divergence في الفيلم hence وعندي ال
+
+239
+00:29:56,460 --> 00:29:59,520
+subsequence هاد ال converge ل x لذا لما أنت عارف
+
+240
+00:29:59,520 --> 00:30:06,660
+ال convergence there exist capital N يعتمد على
+
+241
+00:30:06,660 --> 00:30:08,000
+ε0
+
+242
+00:30:11,600 --> 00:30:19,000
+بحيث أنّ ال absolute value للحد العام لل sequence
+
+243
+00:30:19,000 --> 00:30:27,320
+xkn المسافة بينه بين ال x أصغر من ε0
+
+244
+00:30:27,320 --> 00:30:35,740
+وهذا الكلام صحيح لكل N في N تمام؟
+
+245
+00:30:37,500 --> 00:30:43,940
+بنسمي المتباينة هذي double star الآن
+
+246
+00:30:43,940 --> 00:30:57,360
+now star and double star بيقدّوا أنّ ال … هاي عندي
+
+247
+00:30:57,360 --> 00:31:06,910
+absolute xkn minus x هذا أصغر من ε0 هذا
+
+248
+00:31:06,910 --> 00:31:18,330
+من double star من هنا طب ومن ال star أنا
+
+249
+00:31:18,330 --> 00:31:23,250
+عندي xrn المسافة بين xrn و x أكبر من أو يساوي
+
+250
+00:31:23,250 --> 00:31:24,630
+ε0
+
+251
+00:31:27,280 --> 00:31:34,640
+وهذه subsequence من ال subsequence هذه يعني كل
+
+252
+00:31:34,640 --> 00:31:39,520
+حد في ال sequence هذه هو حد في هذه وبالتالي ال
+
+253
+00:31:39,520 --> 00:31:47,860
+subsequence هذه بتحقق المتباينة star إذن هذا صحيح
+
+254
+00:31:47,860 --> 00:31:52,920
+من star ال absolute الفرقة ده بيطلع أكبر من أو يساوي
+
+255
+00:31:52,920 --> 00:31:59,240
+ε0 الكلام هذا صحيح لكل n في N إذا أنا
+
+256
+00:31:59,240 --> 00:32:05,280
+عندي طلع هيك ε0 أصغر من ε0 و
+
+257
+00:32:05,280 --> 00:32:09,960
+هذا بديني تناقض contradiction إذا التناقض هذا
+
+258
+00:32:09,960 --> 00:32:19,040
+السبب تبعه أنّ إحنا فرضنا أنّ xn does not converge ل
+
+259
+00:32:19,040 --> 00:32:23,660
+x إذا ال contradiction هذه بتقول أنّ xn لازم
+
+260
+00:32:23,660 --> 00:32:30,900
+converge ل x وهذا اللي بدنا إيّاه وهو المطلوب هو
+
+261
+00:32:30,900 --> 00:32:35,700
+المطلوب okay إذا هيك بنكون برهنا النظرية هذه
+
+262
+00:32:35,700 --> 00:32:43,200
+خلينا ناخد إحنا break عشان فينا لقاء ثاني لمدة خمس
+
+263
+00:32:43,200 --> 00:32:46,120
+دقائق وبعدين يعني نرجع، ماشي الحال؟ 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/XhLWrN2SkOQ_raw.srt

@@ -0,0 +1,1388 @@
+1
+00:00:20,890 --> 00:00:26,630
+أحنا هنكمل الموضوع لـ Properly Divergent Sequences
+
+2
+00:00:26,630 --> 00:00:31,690
+اللي بدأناه المحاضرة السابقة فشوفنا في المحاضرة
+
+3
+00:00:31,690 --> 00:00:36,530
+السابقة تعريف ما معنى أنه limit ل sequence xn
+
+4
+00:00:36,530 --> 00:00:41,450
+بساوي infinity وما معنى أنه limit ل sequence xn
+
+5
+00:00:41,450 --> 00:00:46,490
+بساوي negative infinityطبعاً الـ sequence بتكون
+
+6
+00:00:46,490 --> 00:00:49,470
+properly divergent إذا كانت ال limit تبعتها
+
+7
+00:00:49,470 --> 00:00:54,030
+بالساوي infinity أو سالب infinity في عندي
+
+8
+00:00:54,030 --> 00:00:58,550
+comparison test ل .. ل properly divergent
+
+9
+00:00:58,550 --> 00:01:01,790
+sequences هذا ال test بيقول لي لو في عندي two
+
+10
+00:01:01,790 --> 00:01:06,330
+sequences xn و yn two sequences of real numbers
+
+11
+00:01:06,330 --> 00:01:10,370
+بيحققوا الشرط star satisfy the condition star وهو
+
+12
+00:01:10,370 --> 00:01:15,400
+أن كل حدفي xn أصغر من أو ساوي الحد اللي بنظره في
+
+13
+00:01:15,400 --> 00:01:22,080
+ال sequence التانية yn هذا صحيح لكل n فإذا كانت ال
+
+14
+00:01:22,080 --> 00:01:26,140
+limit of the bigger sequence of the smaller
+
+15
+00:01:26,140 --> 00:01:30,240
+sequence is infinity then the limit of the bigger
+
+16
+00:01:30,240 --> 00:01:36,040
+sequence is infinity and if the limit of the big
+
+17
+00:01:36,040 --> 00:01:39,580
+the bigger sequence is negative infinity then the
+
+18
+00:01:39,580 --> 00:01:40,720
+limit of the smaller
+
+19
+00:01:50,070 --> 00:01:55,680
+الجزء بي هو نقاط نقاط نقاط نقاط نقاط نقاطan
+
+20
+00:01:55,680 --> 00:01:58,620
+application of the definition طبقنا التعريف
+
+21
+00:01:58,620 --> 00:02:03,740
+بالبرهان زي ما انتوا شايفينه برهان الجزء A similar
+
+22
+00:02:03,740 --> 00:02:09,840
+مشابه لجزء B فحنسيبوا تمرين لكم اتحاولوا يعني
+
+23
+00:02:09,840 --> 00:02:15,020
+اتبرهنوا بنفس الطريقة okay تمام فلو سمحتوا حاولوا
+
+24
+00:02:15,020 --> 00:02:21,720
+انكم اتبرهنوا الجزء A بنفس الطريقة في عندنا شوية
+
+25
+00:02:21,720 --> 00:02:24,300
+ملاحظات على النظرية
+
+26
+00:02:31,050 --> 00:02:36,390
+نعطيلها رقم تسعة و عشرين فالملاحظات
+
+27
+00:02:36,390 --> 00:02:44,850
+في عندي تلت ملاحظات الملاحظة الأولى انه theorem
+
+28
+00:02:44,850 --> 00:02:47,910
+النظرية
+
+29
+00:02:47,910 --> 00:02:53,270
+السابقة اعتقد ان هذا الرقم المفروض يكون تلاتين
+
+30
+00:02:59,480 --> 00:03:15,440
+theorem 29 remains true تبقى صحيحة if condition if
+
+31
+00:03:15,440 --> 00:03:22,720
+condition star is replaced إذا بدلنا الشرط star by
+
+32
+00:03:22,720 --> 00:03:34,060
+the weaker conditionby the weaker condition
+
+33
+00:03:34,060 --> 00:03:39,440
+اللي
+
+34
+00:03:39,440 --> 00:03:46,080
+هو xn less than or equal yn لكل
+
+35
+00:03:46,080 --> 00:03:55,540
+n أكبر من أو ساوي m for some n natural number
+
+36
+00:03:58,530 --> 00:04:05,110
+يعني بدل ما Xn أصغر من أو ساوي Yn لكل الان لكل
+
+37
+00:04:05,110 --> 00:04:09,910
+الأعداد الطبيعية N فلأ نفرض أن يوجد M عدد طبيعي
+
+38
+00:04:09,910 --> 00:04:15,190
+نفرض أن يوجد some M عدد طبيعي بحيث أن المتباين هذه
+
+39
+00:04:15,190 --> 00:04:21,590
+تتحقق لكل N أكبر من أو ساوي M يعني مش شرط تتحقق
+
+40
+00:04:21,590 --> 00:04:26,270
+للأعداد الطبيعية اللي أصغر من M فالنظرية برضه تبقى
+
+41
+00:04:26,270 --> 00:04:32,390
+صحيحةولو بدنا نبرهن النظرية اللى فاتت تحت الشرط
+
+42
+00:04:32,390 --> 00:04:37,150
+الأضعف هذا الشرط أضعف من الشرط ال star لكن برضه
+
+43
+00:04:37,150 --> 00:04:44,970
+بيعطينى نفس النظرية فال ..
+
+44
+00:04:44,970 --> 00:04:55,390
+ففي الحالة هذه in fact في حقيقة القمر in fact in
+
+45
+00:04:55,390 --> 00:05:07,220
+the proofsin the proofs of النظرية السابقة take
+
+46
+00:05:07,220 --> 00:05:19,460
+the required the required in to be that
+
+47
+00:05:19,460 --> 00:05:26,660
+corresponds that corresponds
+
+48
+00:05:28,960 --> 00:05:34,420
+that corresponds to the given to
+
+49
+00:05:34,420 --> 00:05:38,880
+the given alpha or
+
+50
+00:05:38,880 --> 00:05:45,360
+given beta to
+
+51
+00:05:45,360 --> 00:05:59,160
+be in ابارة عن ال maximum the m و n of alphaأو n
+
+52
+00:05:59,160 --> 00:06:07,920
+بالساوي ال maximum الأكبر بين العدد الطبيعي m و n
+
+53
+00:06:07,920 --> 00:06:17,920
+of beta إذن
+
+54
+00:06:17,920 --> 00:06:22,480
+في البرهان مثلا هذه الجزء التالي برهاننا عادي هي
+
+55
+00:06:22,480 --> 00:06:29,810
+نقلت الكلام هذا صحيح و يوجد capital Nهيعتمد على
+
+56
+00:06:29,810 --> 00:06:34,910
+beta بحيث ان الكلام هذا يتحقق الان ال star ماقدرش
+
+57
+00:06:34,910 --> 00:06:38,850
+ا say bye star هذه هتكون double star بدل ال star
+
+58
+00:06:38,850 --> 00:06:45,070
+فانا ساميها double star فالان
+
+59
+00:06:45,070 --> 00:06:51,590
+باخد بعرف n ال n هذه بعرفها على انها الأكبر بين m
+
+60
+00:06:51,590 --> 00:06:59,720
+و n of beta وبالتالي ال n هذهأكبر من أو ساوي M و
+
+61
+00:06:59,720 --> 00:07:05,920
+أكبر من أو ساوي N of beta وبالتالي لما أجي أخد N
+
+62
+00:07:05,920 --> 00:07:10,640
+أكبر من أو ساوي capital N بأضمن أن ال N تبعتي هذه
+
+63
+00:07:10,640 --> 00:07:17,820
+أكبر من أو ساوي M وبالتالي XN أصغر من أو ساوي YN
+
+64
+00:07:17,820 --> 00:07:22,940
+وكذلك
+
+65
+00:07:22,940 --> 00:07:28,120
+ال N لما تكون ال N أكبر من أو ساوي Nالـ N هذه
+
+66
+00:07:28,120 --> 00:07:33,020
+فبطمن أنها أكبر من أو ساوي N of beta وبالتالي
+
+67
+00:07:33,020 --> 00:07:40,000
+الكلام هذا بتحقق ويعني هيك بيكون برهن الجزء B بال
+
+68
+00:07:40,000 --> 00:07:44,960
+.. باستخدام الشرط الأضعف double star بالمثل طبعا
+
+69
+00:07:44,960 --> 00:07:48,960
+ممكن نعطيه في حالة لما يكون بدي أبرهن الجزء A
+
+70
+00:07:48,960 --> 00:07:53,540
+فباخد ال N المطلوبة هي ال maximum ل M وN of alpha
+
+71
+00:07:53,540 --> 00:08:00,680
+في برهان A تحت شرط starهذه أول ملاحظة الملاحظة
+
+72
+00:08:00,680 --> 00:08:15,360
+التانية الملاحظة
+
+73
+00:08:15,360 --> 00:08:25,480
+التانية if condition star holds إذا كان الشرط star
+
+74
+00:08:25,480 --> 00:08:27,660
+holds then
+
+75
+00:08:37,130 --> 00:08:42,070
+النتيجة ان y in tends to infinity does not
+
+76
+00:08:42,070 --> 00:08:46,650
+necessarily implies ان x in tends to infinity
+
+77
+00:08:53,430 --> 00:09:00,270
+وكان limit ال yn بساوي infinity فليس من الضروري ان
+
+78
+00:09:00,270 --> 00:09:06,090
+يكون limit xn بساوي infinity وهي مثال يوضح ذلك for
+
+79
+00:09:06,090 --> 00:09:13,550
+example على سبيل المثال consider consider
+
+80
+00:09:13,550 --> 00:09:20,230
+ال sequence 1 على n أصغر من أو بساوي n لكل n في n
+
+81
+00:09:21,990 --> 00:09:27,890
+إذن هى انا عندي xn وهى عندي yn وهى xn أصغر من
+
+82
+00:09:27,890 --> 00:09:34,090
+يساوي yn الشرط الصغير متحقق لكن أنا عندي ال limit
+
+83
+00:09:34,090 --> 00:09:39,330
+ل sequence yn اللى الحد العام تبعها n هدى بساوي
+
+84
+00:09:39,330 --> 00:09:51,440
+infinity but ال limit ل xn اللى هى واحد على nبساوي
+
+85
+00:09:51,440 --> 00:09:59,860
+سفر لا تساوي infinity السفر لا يساوي infinity okay
+
+86
+00:09:59,860 --> 00:10:06,440
+تمام إذا الشرط star ما بيخلنيش أستنتج أنه limit x
+
+87
+00:10:06,440 --> 00:10:09,200
+in بالساوية infinity عندما limit y in بالساوية
+
+88
+00:10:09,200 --> 00:10:19,280
+infinity بالمثل if condition star holdsإذا كان
+
+89
+00:10:19,280 --> 00:10:24,660
+الشرط الـ start متحقق then x
+
+90
+00:10:24,660 --> 00:10:30,840
+in تقول إلى negative infinity ليس بالضرورة بيؤدي
+
+91
+00:10:30,840 --> 00:10:36,620
+مش شرط يؤدي ان ال sequence y in تقول ل negative
+
+92
+00:10:36,620 --> 00:10:44,360
+infinity هذا مش شرط يكون صحيح بنا مثال على ذلك
+
+93
+00:10:44,360 --> 00:10:48,020
+ممكن نفس المثال بس
+
+94
+00:10:51,510 --> 00:10:57,370
+for example بس نضرب في سالب هي عندي negative n
+
+95
+00:10:57,370 --> 00:11:04,900
+أصغر من أو ساوي negative واحد على n لكل n في nهل
+
+96
+00:11:04,900 --> 00:11:09,780
+هذا كلام صح؟ انا عندي واحد على n أصغر من أو ساوي n
+
+97
+00:11:09,780 --> 00:11:17,040
+لكل n هذا صح اضرب في سالب واحد تناقص هاه؟ هاي عندك
+
+98
+00:11:17,040 --> 00:11:24,990
+xn بساوي سالب n وهي عندنا ynبساوي negative واحد
+
+99
+00:11:24,990 --> 00:11:31,590
+على n الان انا عندي limit xn اللي هو سالب n لما
+
+100
+00:11:31,590 --> 00:11:37,170
+طبعا n تقول infinity بساوي negative infinity but
+
+101
+00:11:37,170 --> 00:11:44,910
+لك�� limit ال yn اللي هو واحد على n ايش بتساوي؟
+
+102
+00:11:44,910 --> 00:11:49,950
+ساوي سفر سالب واحد عفوا سالب واحد على n limit سالب
+
+103
+00:11:49,950 --> 00:11:56,630
+واحد على n بساوي سفرو ليست سالب infinity okay
+
+104
+00:11:56,630 --> 00:12:02,430
+تمام؟ إذا النظرية ال comparison test لا يقبل .. لا
+
+105
+00:12:02,430 --> 00:12:07,010
+يقبل التأويل زي ما بيقولوا بس النتائج تبعتها كما
+
+106
+00:12:07,010 --> 00:12:13,310
+هي في a و b أي شيء آخر مش مظبوطهو أمثلة بتوضح
+
+107
+00:12:13,310 --> 00:12:20,970
+الأشياء الأخرى تمام؟ في كمان اختبار أخر زي هذا
+
+108
+00:12:20,970 --> 00:12:25,550
+بنسميه limit comparison
+
+109
+00:12:25,550 --> 00:12:34,250
+test فال
+
+110
+00:12:34,250 --> 00:12:35,350
+.. نمسح
+
+111
+00:12:56,530 --> 00:13:11,090
+limit comparison test خلّيني
+
+112
+00:13:11,090 --> 00:13:19,550
+أاخد two sequences x in و y in بsequences of
+
+113
+00:13:19,550 --> 00:13:21,030
+positive real numbers
+
+114
+00:13:24,560 --> 00:13:28,760
+بالتالي سيكون الحدود
+
+115
+00:13:28,760 --> 00:13:33,660
+الموجبة لكي يكونوا سالبة وبعضهم سالبة وبعضهم موجبة
+
+116
+00:13:33,660 --> 00:13:36,820
+بي
+
+117
+00:13:36,820 --> 00:13:41,240
+such that limit
+
+118
+00:13:41,240 --> 00:13:49,480
+ل xn over yn as n tends to infinity بساوي L عدد
+
+119
+00:13:49,480 --> 00:13:50,200
+موجبة
+
+120
+00:13:55,720 --> 00:14:02,320
+بنسمي المعادلة add star then
+
+121
+00:14:02,320 --> 00:14:12,380
+limit xn بساوي infinity if and only if limit yn
+
+122
+00:14:12,380 --> 00:14:22,160
+بساوي infinity إذا
+
+123
+00:14:22,160 --> 00:14:26,190
+هنا في عندي limit comparison testالذي يتم استخدامه
+
+124
+00:14:26,190 --> 00:14:28,110
+لسيقونسات واحدة فقط من حدوث واحدة واحدة فقط من
+
+125
+00:14:28,110 --> 00:14:29,250
+حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط
+
+126
+00:14:29,250 --> 00:14:33,210
+من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة
+
+127
+00:14:33,210 --> 00:14:35,150
+فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث
+
+128
+00:14:35,150 --> 00:14:35,310
+واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من
+
+129
+00:14:35,310 --> 00:14:37,070
+حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط
+
+130
+00:14:37,070 --> 00:14:43,510
+من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة فقط من حدوث واحدة
+
+131
+00:14:43,510 --> 00:14:51,010
+فقط من حدوث واحدة فقط من
+
+132
+00:14:51,010 --> 00:14:52,090
+حدوث واحدة ف
+
+133
+00:14:59,920 --> 00:15:10,860
+let assume ال أكبر من السفر satisfies
+
+134
+00:15:10,860 --> 00:15:15,300
+المعادلة
+
+135
+00:15:15,300 --> 00:15:21,390
+لسه نفرض ان في عدد حقيقي الوهو بحقق star يعني هو
+
+136
+00:15:21,390 --> 00:15:30,890
+limit ل ratio ل xn على yn تمام؟
+
+137
+00:15:30,890 --> 00:15:34,650
+take epsilon
+
+138
+00:15:34,650 --> 00:15:38,930
+بساوي
+
+139
+00:15:38,930 --> 00:15:46,920
+L على 2Since L is positive L over 2 is positive
+
+140
+00:15:46,920 --> 00:15:57,360
+لأن أنا جبت إبسلون which is positive طيب since من
+
+141
+00:15:57,360 --> 00:16:08,300
+الفرض since by star XN over YN converges to Lوهي
+
+142
+00:16:08,300 --> 00:16:10,980
+عندي إبسلون أكبر من الصفر is given إذا by
+
+143
+00:16:10,980 --> 00:16:15,400
+definition of convergence by epsilon capital N
+
+144
+00:16:15,400 --> 00:16:22,400
+definition لإبسلون هذه for this إبسلونthere exist
+
+145
+00:16:22,400 --> 00:16:29,600
+capital N يعتمد على إبسلون يعتمد
+
+146
+00:16:29,600 --> 00:16:34,780
+على الإبسلون اللي هي بتعتمد على العدد L natural
+
+147
+00:16:34,780 --> 00:16:41,620
+number بحيث أنه لكل N أكبر منه سوى capital N بيطلع
+
+148
+00:16:41,620 --> 00:16:48,220
+عندي absolute xn over yn negative L less than
+
+149
+00:16:48,220 --> 00:16:57,240
+إبسلونهزبوت هيك؟ طيب الـ Y بسوي L over 2 خلّينا
+
+150
+00:16:57,240 --> 00:17:02,560
+نشيل ال absolute value فبصير اندي Xn over Yn minus
+
+151
+00:17:02,560 --> 00:17:10,960
+L less than L two bigger than negative L ع اتنين و
+
+152
+00:17:10,960 --> 00:17:16,900
+هذا صحيح لكل N bigger than or equal N اجمع L على
+
+153
+00:17:16,900 --> 00:17:24,960
+كل الأطرافإن أنا بطلع عندي xn over yn less than
+
+154
+00:17:24,960 --> 00:17:31,920
+three over two L bigger than L over two and this
+
+155
+00:17:31,920 --> 00:17:36,620
+is true for every n bigger than or equal n نسمي
+
+156
+00:17:36,620 --> 00:17:46,680
+المتباينة هذه double star now
+
+157
+00:17:52,640 --> 00:18:02,400
+by double star انا عندي xn على yn اصغر من تلاتة ع
+
+158
+00:18:02,400 --> 00:18:09,020
+اتنين ال اللي هو الجزء هذا وهذا صحيح لكل n bigger
+
+159
+00:18:09,020 --> 00:18:15,820
+than or equal to n بيقدي انه xn
+
+160
+00:18:24,520 --> 00:18:34,680
+في اتنين على التلاتة L less than Y N وهذا صحيح لكل
+
+161
+00:18:34,680 --> 00:18:45,260
+N bigger than or equal N تصبوت هيك صح؟ هذه
+
+162
+00:18:45,260 --> 00:18:49,720
+المتباينة بتقدر هذه هي نفس هذه
+
+163
+00:18:53,610 --> 00:19:05,290
+so as limit احنا فرض .. now now
+
+164
+00:19:05,290 --> 00:19:10,690
+او .. او so if
+
+165
+00:19:12,930 --> 00:19:19,250
+limit xn بساوي infinity إذا كان limit xn بساوي
+
+166
+00:19:19,250 --> 00:19:23,490
+infinity و هذا ثابت موجب this is positive constant
+
+167
+00:19:23,490 --> 00:19:31,650
+ف limit كل هذا برضه بساوي plus infinity و
+
+168
+00:19:31,650 --> 00:19:39,450
+بالتالي by comparison test then by comparison by
+
+169
+00:19:39,450 --> 00:19:40,170
+comparison
+
+170
+00:19:42,940 --> 00:19:47,480
+by comparison test النظرية اللى فاتت مع الشرط
+
+171
+00:19:47,480 --> 00:19:51,640
+المخفف مع الشرط المخفف لأن فى النظرية اللى فاتت
+
+172
+00:19:51,640 --> 00:19:56,940
+كان عندي xn أصغر من أو يسوى yn لكل n بعدين قلنا أن
+
+173
+00:19:56,940 --> 00:20:01,200
+هذا الشرط لو خففناه لكل n أكبر من أو سوى عدد طبيعى
+
+174
+00:20:01,200 --> 00:20:06,440
+ما وليكن capital N هنا برضه بتظل صحيحةف by
+
+175
+00:20:06,440 --> 00:20:12,620
+comparison test and limit ال sequence هذه بساوي
+
+176
+00:20:12,620 --> 00:20:20,700
+infinity إذا limit الأكبر limit yn بساوي infinity
+
+177
+00:20:20,700 --> 00:20:31,220
+تمام؟ الآن بنثبت العكس نثبت الآن العكس طيب
+
+178
+00:20:31,220 --> 00:20:32,380
+conversely
+
+179
+00:20:40,740 --> 00:20:51,080
+Conversely Assume Assume المرهد أنه limit yn بساوي
+
+180
+00:20:51,080 --> 00:20:59,700
+infinity من double star من double star لو أخدت
+
+181
+00:20:59,700 --> 00:21:06,520
+النص .. النص هذا من المتباينة النص الآخرفعندي انا
+
+182
+00:21:06,520 --> 00:21:13,120
+L على 2 أصغر من XN على YN هذا صحيح for every N
+
+183
+00:21:13,120 --> 00:21:22,120
+أكبر من أو ساوية capital N طيب هذا بيقدي ان ال L
+
+184
+00:21:22,120 --> 00:21:29,400
+over 2 في YN أصغر من XN لكل N bigger than or equal
+
+185
+00:21:29,400 --> 00:21:33,380
+to capital N طيب
+
+186
+00:21:33,380 --> 00:21:34,900
+since
+
+187
+00:21:37,140 --> 00:21:44,200
+limit yn بساوي infinity بيقدي انه limit ثابت موجب
+
+188
+00:21:44,200 --> 00:21:51,060
+في yn لأن هذا بيقدي انه limit ثابت الا اتنين في yn
+
+189
+00:21:51,060 --> 00:21:57,760
+بساوي infinity so by comparison
+
+190
+00:21:57,760 --> 00:22:01,700
+by comparison test
+
+191
+00:22:07,170 --> 00:22:11,210
+أنا عندي limit ال sequence لصغيرة infinity، إذا
+
+192
+00:22:11,210 --> 00:22:15,550
+limit ال sequence الأكبر بطلع infinity، إذا limit
+
+193
+00:22:15,550 --> 00:22:28,070
+xn equals infinity وهذا بكمل البرهان، okay؟
+
+194
+00:22:28,070 --> 00:22:32,390
+تمام؟ إذا هذا بكمل ال limit comparison .. برهان ال
+
+195
+00:22:32,390 --> 00:22:36,780
+limit comparison testطبعا ال test هذا و ال test
+
+196
+00:22:36,780 --> 00:22:40,100
+اللي جابله ال comparison test في عليهم هتجدوا فيه
+
+197
+00:22:40,100 --> 00:22:44,160
+بعض التمرين ممكن
+
+198
+00:22:44,160 --> 00:22:47,660
+تطبيقهم على بعض ال sequences موجودة في التمرين
+
+199
+00:22:47,660 --> 00:22:53,560
+فهنسيبكم طبعا تحلوا التمرين عشان تشوفوا كيف ممكن
+
+200
+00:22:53,560 --> 00:22:54,280
+تطبيقهم
+
+201
+00:22:58,500 --> 00:23:05,220
+باقي section واحد في ال chapter تلاتة
+
+202
+00:23:32,720 --> 00:23:37,660
+السيكشن الأخير سيكشن
+
+203
+00:23:37,660 --> 00:23:43,820
+تلاتة سبعة في شبكر 3 هذا هيكون أبراعا مقدمة
+
+204
+00:23:43,820 --> 00:23:47,860
+introduction to
+
+205
+00:23:47,860 --> 00:23:52,920
+infinite series
+
+206
+00:23:57,560 --> 00:24:02,380
+introduction to infinite series مقدمة في
+
+207
+00:24:02,380 --> 00:24:06,940
+المتسلسلات اللانهائية
+
+208
+00:24:06,940 --> 00:24:19,460
+نعرف شو معناه متسلسلة لانهائية let xn
+
+209
+00:24:19,460 --> 00:24:27,330
+contained in R be a sequencesequence of real
+
+210
+00:24:27,330 --> 00:24:43,210
+numbers sum
+
+211
+00:24:43,210 --> 00:24:47,010
+x1
+
+212
+00:24:47,010 --> 00:24:56,200
+plus x2 plus ..x3 plus و هكذا plus xn plus و هكذا
+
+213
+00:24:56,200 --> 00:25:03,400
+و ممكن نكتبه بالصورة using sigma notation نستخدم
+
+214
+00:25:03,400 --> 00:25:09,920
+رمز sigma ممكن هذا نسميه summation from n equals
+
+215
+00:25:09,920 --> 00:25:17,280
+one to infinity إلى xn فالصن
+
+216
+00:25:17,280 --> 00:25:25,190
+المجموع هذاهذا expanded هذا compact form of
+
+217
+00:25:25,190 --> 00:25:39,010
+summation is called an infinite series generated
+
+218
+00:25:39,010 --> 00:25:42,970
+by
+
+219
+00:25:46,320 --> 00:25:54,100
+متولدة من .. by الـ sequence x in إذن
+
+220
+00:25:54,100 --> 00:26:00,280
+infinite series generated by الـ sequence x in إذا
+
+221
+00:26:00,280 --> 00:26:04,680
+هذه عبارة عن infinite series بتسميها متولدة من الـ
+
+222
+00:26:04,680 --> 00:26:09,340
+sequence x in طيب for every
+
+223
+00:26:12,430 --> 00:26:23,290
+for each n belong to N define خلّيني أعرف S1 على
+
+224
+00:26:23,290 --> 00:26:37,950
+أنه X1 S2 على أنه S1 زاد X2 بساوي X1 زاد X2 S3
+
+225
+00:26:37,950 --> 00:26:50,000
+بساوي S2 زاد X3Y ساوي X1 زايد X2 زايد X3 and
+
+226
+00:26:50,000 --> 00:26:58,380
+so on و هكذا نعرف SN على انه SN negative one زايد
+
+227
+00:26:58,380 --> 00:27:07,060
+XN و طبعا ال SN negative one هيكون عبارة عن
+
+228
+00:27:07,060 --> 00:27:07,700
+summation
+
+229
+00:27:10,600 --> 00:27:19,140
+x1 زائد x2 زائد و هكذا إلى أخر حد xn-1 هذا عبارة
+
+230
+00:27:19,140 --> 00:27:25,620
+عن ايه هذا عبارة عن s in negative one بنضيف لها xn
+
+231
+00:27:25,620 --> 00:27:34,340
+فهذا بيطلع بيساوي summation من k equals one to n
+
+232
+00:27:38,080 --> 00:27:43,700
+to for xk اذا
+
+233
+00:27:43,700 --> 00:27:49,840
+sn هو مجموع الحدود من اول حد الى حد رقم n وهكذا
+
+234
+00:27:49,840 --> 00:27:55,960
+ممكن نستمر الى ملا نهاية and so on الان انا كوّنت
+
+235
+00:27:55,960 --> 00:28:00,360
+sequence لاحظوا s1, s2, s3, sn هذا عبارة عن
+
+236
+00:28:00,360 --> 00:28:06,970
+sequence ال sequence الجديدة هذه لها اسمو sequence
+
+237
+00:28:06,970 --> 00:28:12,210
+مهمة of partial sums مظبوط قعدت نسميها اذا طرست
+
+238
+00:28:12,210 --> 00:28:18,790
+تفاضل الف وفهمته الموضوع هذا هناك الموضوع ال
+
+239
+00:28:18,790 --> 00:28:23,110
+series قعدت نسميها the sequence of partial sums
+
+240
+00:28:23,110 --> 00:28:29,210
+اذا the sequence
+
+241
+00:28:30,940 --> 00:28:37,980
+SN from N equals one to infinity is called بنسميها
+
+242
+00:28:37,980 --> 00:28:51,180
+the sequence the sequence of partial sums
+
+243
+00:28:51,180 --> 00:29:03,040
+sequence of partial sums of the seriesاللي هي
+
+244
+00:29:03,040 --> 00:29:11,080
+sigma xn او sigma من n بساعة واحد لانفينيتي okay
+
+245
+00:29:11,080 --> 00:29:18,660
+الان now if
+
+246
+00:29:18,660 --> 00:29:29,280
+ال sequence sn converges say
+
+247
+00:29:31,110 --> 00:29:42,090
+limit sn بالساوي عدد s ينتمي إلى r طبعا then
+
+248
+00:29:42,090 --> 00:29:51,390
+we say في الحالة هذه بنقول أنه the series اللي
+
+249
+00:29:51,390 --> 00:29:58,630
+هي summation xn from n equals one to infinity
+
+250
+00:29:58,630 --> 00:30:00,270
+converges
+
+251
+00:30:09,070 --> 00:30:18,290
+and its sum is summation from n equals one to
+
+252
+00:30:18,290 --> 00:30:23,530
+infinity ل x in ال summation تبعها أو المجموعة
+
+253
+00:30:23,530 --> 00:30:28,450
+تبعها عبارة عن limit لل sequence of partial sums
+
+254
+00:30:28,450 --> 00:30:32,730
+اللي هو العدد S
+
+255
+00:30:37,160 --> 00:30:43,180
+لو كانت الـ sequence divergent
+
+256
+00:30:43,180 --> 00:30:50,740
+if الـ sequence is in diverges we
+
+257
+00:30:50,740 --> 00:31:00,120
+say أنه الـ series sigma
+
+258
+00:31:00,120 --> 00:31:05,880
+x in diverges
+
+259
+00:31:09,090 --> 00:31:13,410
+إذا ال convergence و ال divergence depends on the
+
+260
+00:31:13,410 --> 00:31:18,630
+divergence أو convergence of the infinite series
+
+261
+00:31:18,630 --> 00:31:23,910
+depends on the convergence or divergence of the
+
+262
+00:31:23,910 --> 00:31:30,690
+sequence of partial sums مرتبط بيها ال sequence of
+
+263
+00:31:30,690 --> 00:31:34,350
+partial sums convergent السيريز اللي تابع إليها
+
+264
+00:31:34,350 --> 00:31:38,360
+convergentو العكس إذا كانت ال sequence of partial
+
+265
+00:31:38,360 --> 00:31:40,780
+sums divergent ال series ال infinite series
+
+266
+00:31:40,780 --> 00:31:51,840
+التابعة إلى divergent طيب
+
+267
+00:31:51,840 --> 00:31:58,180
+ناخد بعض الأمثلة طبعا
+
+268
+00:31:58,180 --> 00:32:01,720
+ال Sn هذا ال Sn
+
+269
+00:32:04,610 --> 00:32:15,810
+هذا بنسميه الانث partial sum الانث partial sum
+
+270
+00:32:15,810 --> 00:32:25,690
+انث partial sum المجموع الجزئي أنوني okay هو
+
+271
+00:32:25,690 --> 00:32:30,760
+الحد العام لل sequence و partial sumsأذا لما بدى
+
+272
+00:32:30,760 --> 00:32:34,760
+نخبر هل ال series convergent ولا divergent بجيب ال
+
+273
+00:32:34,760 --> 00:32:38,380
+sequence of partial sums وبجيب الحد العام لل
+
+274
+00:32:38,380 --> 00:32:41,780
+sequence of partial sums وبأفحص هل ال sequence هذي
+
+275
+00:32:41,780 --> 00:32:47,680
+convergent ولا divergent ناخد
+
+276
+00:32:47,680 --> 00:32:48,620
+بعض الأمثلة
+
+277
+00:33:02,760 --> 00:33:14,560
+المثال الأول consider
+
+278
+00:33:14,560 --> 00:33:17,780
+sequence
+
+279
+00:33:17,780 --> 00:33:25,480
+R to N from N equals 0 to infinity طبعا هذه
+
+280
+00:33:25,480 --> 00:33:33,650
+sequence of real numbersWhere R is a real number
+
+281
+00:33:33,650 --> 00:33:38,210
+which
+
+282
+00:33:38,210 --> 00:33:49,150
+generates الsequence هذه generates the geometric
+
+283
+00:33:49,150 --> 00:33:53,010
+.. the so-called geometric series .. geometric
+
+284
+00:33:53,010 --> 00:33:54,330
+series
+
+285
+00:33:57,050 --> 00:34:02,610
+اللي هي summation from n equals zero to infinity
+
+286
+00:34:02,610 --> 00:34:10,210
+from r to n okay اذا هي ال sequence هذه of real
+
+287
+00:34:10,210 --> 00:34:15,650
+numbers بتولد infinite series او generates this
+
+288
+00:34:15,650 --> 00:34:21,210
+infinite series اللي هي حدودها اول حد لما n بساوي
+
+289
+00:34:21,210 --> 00:34:33,620
+سفر واحد بعدين r بعدين r تربيهو R أس N و
+
+290
+00:34:33,620 --> 00:34:41,120
+هكذا ف such series is called geometric series هذه
+
+291
+00:34:41,120 --> 00:34:44,300
+ال series اللي على الصورة هذه بنسميها geometric
+
+292
+00:34:44,300 --> 00:34:49,820
+series الآن ال series هذه
+
+293
+00:34:58,170 --> 00:35:08,530
+this series واحد converges and
+
+294
+00:35:08,530 --> 00:35:15,910
+its sum اللي هو sigma from n equals zero to
+
+295
+00:35:15,910 --> 00:35:22,470
+infinity لRn بساوي واحد على واحد minus R إذا كان
+
+296
+00:35:22,470 --> 00:35:35,210
+absolute R أصغر من واحدand diverges and
+
+297
+00:35:35,210 --> 00:35:41,350
+اتنين diverges if
+
+298
+00:35:41,350 --> 00:35:48,830
+absolute are أكبر من أو يساوي واحد خلّينا
+
+299
+00:35:48,830 --> 00:35:50,050
+نثبت الجزء الأول
+
+300
+00:35:58,010 --> 00:36:04,110
+to prove one أنا
+
+301
+00:36:04,110 --> 00:36:12,410
+عندي ال S N بساوي سيجما
+
+302
+00:36:12,410 --> 00:36:21,050
+من K بساوي سفر إلى N ل R أس K اللي هو واحد زائد R
+
+303
+00:36:21,050 --> 00:36:34,640
+زائد R تلبية زائدR Sn وفي عندي .. في عندي ..
+
+304
+00:36:34,640 --> 00:36:37,780
+لو
+
+305
+00:36:37,780 --> 00:36:48,440
+ضربت Sn في Rفادرب الطرف اليمين في R فبطلع R زاد R
+
+306
+00:36:48,440 --> 00:36:56,380
+تربيه زاد و هكذا زاد R أس N و آخر حد هيكون R أس N
+
+307
+00:36:56,380 --> 00:37:00,940
+زاد 1 تمام؟ الآن خلّينا نطرح ال subtract
+
+308
+00:37:05,370 --> 00:37:10,850
+subtract نطرح المعادلة لتحت من اللي فوق فبطلع عندي
+
+309
+00:37:10,850 --> 00:37:18,590
+sn في واحد minus r أخدت عامل مشترك sn ولمّا أطرح
+
+310
+00:37:18,590 --> 00:37:23,330
+هذا بروح مع هذا كل الهدوء بتروح مع بعضها بظل عندي
+
+311
+00:37:23,330 --> 00:37:33,130
+واحد سالب r to n زاد واحد تمام ومن هنا اذا sn
+
+312
+00:37:36,050 --> 00:37:44,310
+بساوي واحد على واحد سالب R سالب R to N زايد واحد
+
+313
+00:37:44,310 --> 00:37:52,990
+على واحد سالب R ممكن
+
+314
+00:37:52,990 --> 00:37:59,070
+هذا نوديه على ناحية التانية فبصير عندى هذا سالب
+
+315
+00:37:59,070 --> 00:38:01,350
+هذا بساوي
+
+316
+00:38:03,070 --> 00:38:08,930
+سالب R to N زياد واحد على واحد سالب R الآن إذا
+
+317
+00:38:08,930 --> 00:38:13,590
+ناخد ال absolute value للطرفين Sn سالب واحد على
+
+318
+00:38:13,590 --> 00:38:21,030
+واحد سالب R بيطلع بيساوي الكلام هذا وهذا أصغر من
+
+319
+00:38:21,030 --> 00:38:27,830
+أو ساوي absolute R أسن زياد واحد على absolute واحد
+
+320
+00:38:27,830 --> 00:38:30,870
+minus R تمام؟
+
+321
+00:38:34,940 --> 00:38:41,200
+أذا عندي أنا هاي واحد على absolute واحد سالب R ضرب
+
+322
+00:38:41,200 --> 00:38:51,360
+absolute R أسن زائد واحد الان if absolute R أصغر
+
+323
+00:38:51,360 --> 00:39:00,870
+من واحدفهذا بيؤدي ان ال limit ل absolute R to N زي
+
+324
+00:39:00,870 --> 00:39:05,790
+1 لما N تقول ل infinity هذا بيساوي سفر أخدناها قبل
+
+325
+00:39:05,790 --> 00:39:10,430
+هيك وبالتالي
+
+326
+00:39:10,430 --> 00:39:14,950
+اذا ال ..
+
+327
+00:39:14,950 --> 00:39:18,290
+اذا انا عند ال absolute value هذه أكبر من أو ساوي
+
+328
+00:39:18,290 --> 00:39:24,270
+سفر و أصغر من أو ساوي ثابت موجب في sequenceالـ
+
+329
+00:39:24,270 --> 00:39:28,610
+sequence هذه تقول لـ 0 وهذه الـ sequence ثابتة
+
+330
+00:39:28,610 --> 00:39:32,330
+تقول لـ 0 اذا by sandwich theorem
+
+331
+00:39:40,720 --> 00:39:47,760
+بتطلع عند ال limit ل absolute sn minus 1 على 1
+
+332
+00:39:47,760 --> 00:39:52,820
+minus r لما n تقول ل infinity بساوي سفر و ممكن
+
+333
+00:39:52,820 --> 00:39:58,600
+ندخل ال limit جوا فهذا بقدر انه limit 1 على sn
+
+334
+00:39:58,600 --> 00:40:05,040
+عفوا limit sn لما n تقول ل infinity بساوي 1 على 1
+
+335
+00:40:05,040 --> 00:40:11,560
+سالب rوبالتالي إذا الـ series sigma from N equal 0
+
+336
+00:40:11,560 --> 00:40:17,240
+to infinity لR to N المجموعة تبعها تطلع convergent
+
+337
+00:40:17,240 --> 00:40:23,180
+ومجموعة بساوي limit SN وهذا بساوي 1 على 1 minus R
+
+338
+00:40:24,110 --> 00:40:28,950
+إذن هذا بثبت الجزء الأول الجزء التاني ممكن اثباته
+
+339
+00:40:28,950 --> 00:40:34,190
+لو R بساوي واحد فبطل عندي بجمع واحد على واحد عدد
+
+340
+00:40:34,190 --> 00:40:37,730
+لا نهائي من المرات وبالتالي ال sequence of partial
+
+341
+00:40:37,730 --> 00:40:40,170
+sums ممكن اثبات أنها unbounded وبالتالي not
+
+342
+00:40:40,170 --> 00:40:44,330
+convergent إذن ال series not convergent نفس الحاجة
+
+343
+00:40:44,330 --> 00:40:47,210
+لو كان absolute R أكبر من واحد فممكن اثبات أن ال
+
+344
+00:40:47,210 --> 00:40:50,550
+sequence of partial sums is divergent وبالتالي ال
+
+345
+00:40:50,550 --> 00:40:57,170
+series is divergentتمام؟ في أي سؤال؟ إذا بنوقف هنا
+
+346
+00:40:57,170 --> 00:41:02,830
+و بنكمل ان شاء الله الموضوع اللي جاي في المحاضرة
+
+347
+00:41:02,830 --> 00:41:04,630
+القادمة يوم السبت
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/XjWoXKhuE-o_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1768 @@
+1
+00:00:21,090 --> 00:00:26,570
+إذن في المحاضرة هذه ان شاء الله هنحل بعض التمرين
+
+2
+00:00:26,570 --> 00:00:35,250
+لل homework اللي تابع ل section تلاتة واحد و تلاتة
+
+3
+00:00:35,250 --> 00:00:44,390
+اتنين فأزملتكم تسأل عن ال .. نحن نحل السؤال 13
+
+4
+00:00:44,390 --> 00:00:46,030
+section تلاتة واحد
+
+5
+00:00:49,430 --> 00:01:15,310
+نكتب السؤال على اللوحة سيكشن
+
+6
+00:01:15,310 --> 00:01:25,990
+السؤال 13section تلاتة واحد انا
+
+7
+00:01:25,990 --> 00:01:31,150
+عندي بي is real number اكبر من سفر اصغر من واحد
+
+8
+00:01:31,150 --> 00:01:36,010
+وبينا
+
+9
+00:01:36,010 --> 00:01:40,990
+نثبت show انه ال limit
+
+10
+00:01:44,880 --> 00:01:53,020
+للـ sequence اللي الحد العام تبعها n في d to n لما
+
+11
+00:01:53,020 --> 00:02:03,560
+n تقول infinity بساوي سفر والكتاب جايلكم
+
+12
+00:02:03,560 --> 00:02:08,840
+use ال binomial theorem كما في مثال 3 1 11 الجزء
+
+13
+00:02:08,840 --> 00:02:16,010
+ديفلو حاولتوا تستخدموا نفس أسلوب البرهان تبع
+
+14
+00:02:16,010 --> 00:02:20,350
+المثال اللي استخدمنا فيه ال binomial theorem
+
+15
+00:02:20,350 --> 00:02:28,550
+فهتصلوا للنتيجة فهي البرهان نشوف
+
+16
+00:02:28,550 --> 00:02:32,170
+كيف نستخدم ال binomial theorem في الوصول إلى
+
+17
+00:02:32,170 --> 00:02:40,300
+المطلوبأنا عندي من الفرض سفر أصغر من بي أصغر من
+
+18
+00:02:40,300 --> 00:02:48,300
+واحد هذا بيؤدي ان واحد على بي أكبر من واحد
+
+19
+00:02:48,300 --> 00:02:55,500
+وبالتالي هذا بيؤدي ان واحد على بي سالب واحد أكبر
+
+20
+00:02:55,500 --> 00:03:08,230
+من سفر اذا ناخد letlet a خلّيني اعرف عدد a على انه
+
+21
+00:03:08,230 --> 00:03:13,850
+العدد الموجب واحد على بي سالب واحد طبعا هذا عدد
+
+22
+00:03:13,850 --> 00:03:20,110
+موجب حسب ما شوفنا وهذا
+
+23
+00:03:20,110 --> 00:03:28,210
+بيقدّي انه العدد لو حليت المعادلة هذه في بي فهيطلع
+
+24
+00:03:28,210 --> 00:03:38,250
+بي بساوي واحدعلى واحد زائد ال a وبالتالي
+
+25
+00:03:38,250 --> 00:03:49,150
+so by ال binomial باستخدام
+
+26
+00:03:49,150 --> 00:03:59,120
+ال binomial theorem انا عنديواحد زائد a الكل قص n
+
+27
+00:03:59,120 --> 00:04:09,300
+بيساوي واحد زائد n في a زائد نص n في n سالب واحد
+
+28
+00:04:09,300 --> 00:04:17,800
+في a تردية زائد و هكذا تمام
+
+29
+00:04:17,800 --> 00:04:24,890
+إلى آخر حد طبعا هيكون a to nهذا بالظبط زي ما عملنا
+
+30
+00:04:24,890 --> 00:04:31,950
+في مثال سادة وبالتالي
+
+31
+00:04:31,950 --> 00:04:42,090
+هذا بيقدي من هنا هذا
+
+32
+00:04:42,090 --> 00:04:51,620
+المجموعة بيطلع أكبر من أو ساوي نصفي n في n زي سالب
+
+33
+00:04:51,620 --> 00:05:00,000
+واحد في ايه ترميها يعني أنا أخدت بس الحد التالت من
+
+34
+00:05:00,000 --> 00:05:05,120
+المجموعة ده المجموعة طبعا مجموعة أعداد موجة بكلها
+
+35
+00:05:05,120 --> 00:05:10,180
+فالمجموعة ده بالتأكيد أكبر من أو ساوي الحد التالت
+
+36
+00:05:10,180 --> 00:05:14,740
+في ايه هذا صحيح مافي مشكلة تمام
+
+37
+00:05:17,950 --> 00:05:33,450
+وبالتالي اذا n في b أس n ايش بيساوي بيساوي n على
+
+38
+00:05:33,450 --> 00:05:43,480
+واحد زائد a لكل أس n صح؟هذه B ف B أس N بساوي واحد
+
+39
+00:05:43,480 --> 00:05:50,900
+على واحد زاد A to N و أضرب في N فبصير هيك طيب
+
+40
+00:05:50,900 --> 00:05:58,560
+من هنا مقلوب واحد زاد A لكل أس N هيطلع أصغر من أوي
+
+41
+00:05:58,560 --> 00:06:09,580
+ساوي مقلوب العدد هذا اذا هذا أصغر من أوي ساوي N
+
+42
+00:06:14,820 --> 00:06:20,480
+على N في
+
+43
+00:06:20,480 --> 00:06:28,380
+N سالب واحد في .. في N سالب واحد في ايه تربية على
+
+44
+00:06:28,380 --> 00:06:38,980
+اتنين وفي عندنا كمان N العكس
+
+45
+00:06:38,980 --> 00:06:39,600
+العكس
+
+46
+00:06:46,180 --> 00:06:55,020
+هي عندى n ومقلوب هدا بطلع اتنين n في n سالب واحد
+
+47
+00:06:55,020 --> 00:07:01,760
+في a تربية تمام؟ إذا هدا إيجا من هنا الان بختصر ال
+
+48
+00:07:01,760 --> 00:07:12,620
+n مع ال n فهدا بطلع اتنين على n سالب واحد في a
+
+49
+00:07:12,620 --> 00:07:14,040
+تربية تمام؟
+
+50
+00:07:16,500 --> 00:07:23,140
+الان هذا الكلام صحيح لكل n أكبر من واحد طبعا ممنوع
+
+51
+00:07:23,140 --> 00:07:27,100
+أخد n بساوي واحد لأنه في الحالة هذه بيصير في قسم
+
+52
+00:07:27,100 --> 00:07:31,780
+على سفر لأن لكل الأعداد الطبيعية n أكبر من واحد n
+
+53
+00:07:31,780 --> 00:07:36,980
+في bios n بيطلع أصغر منه يساوي اثنين على n سالب
+
+54
+00:07:36,980 --> 00:07:44,420
+واحد في a تربية الان تعالوا نثبت ان ال limit لل
+
+55
+00:07:44,420 --> 00:07:46,240
+sequence هذه بساوي سفر
+
+56
+00:07:50,790 --> 00:07:57,390
+هنستخدم تعريف epsilon capital N لـ limit لذن let
+
+57
+00:07:57,390 --> 00:08:02,090
+epsilon let
+
+58
+00:08:02,090 --> 00:08:12,830
+epsilon أكبر من سبل be given by
+
+59
+00:08:12,830 --> 00:08:19,210
+Archimedean property by Archimedeanproperty حسب
+
+60
+00:08:19,210 --> 00:08:25,750
+خاصية Archimedes يوجد نقدر نلاقي عدد طبيعي capital
+
+61
+00:08:25,750 --> 00:08:34,530
+N ينتمي إلى N يعتمد طبعا على إبسلون بحيث أنه مقلوب
+
+62
+00:08:34,530 --> 00:08:41,590
+capital N أصغر من A تربية في إبسلون على 2
+
+63
+00:08:49,130 --> 00:08:54,230
+الـ A تربي عدد موجب إبسلون على 2 عدد موجب إذا هذا
+
+64
+00:08:54,230 --> 00:09:00,830
+عدد موجب الـ Archimedean property بتقول لأي عدد
+
+65
+00:09:00,830 --> 00:09:05,450
+موجب زي هذا بقدر ألاقي عدد طبيعي capital N مقلوب
+
+66
+00:09:05,450 --> 00:09:09,250
+وأصغر من العدد الموجب وبالتالي capital N هذا زي ما
+
+67
+00:09:09,250 --> 00:09:13,510
+أنتوا شايفين مرتبط بإبسلون بالمتباينة هذه وبالتالي
+
+68
+00:09:13,510 --> 00:09:18,970
+capital N هذا depends أو يعتمد على إبسلونOkay إذا
+
+69
+00:09:18,970 --> 00:09:22,510
+هذا من الـ Archimedean Property طب ليش أنا أختارت
+
+70
+00:09:22,510 --> 00:09:29,930
+هذا العدد عشان نخل المسافة بين Xm و 0 أصغر من Y
+
+71
+00:09:29,930 --> 00:09:38,290
+فرطبناها أو ركبناها عساس نصل لإيه الهدف هذا تعالى
+
+72
+00:09:38,290 --> 00:09:46,950
+نشوف إذا hence وبالتالي hence بناء على ذلكلو أخدت
+
+73
+00:09:46,950 --> 00:09:57,950
+n أكبر من capital N هذا بيقدي ان n سالب واحد أكبر
+
+74
+00:09:57,950 --> 00:10:08,270
+من أو ساوي capital N وهذا بيقدي ان absolute n في b
+
+75
+00:10:08,270 --> 00:10:16,690
+to n سالب صفرإيش هذا بيساوي بيساوي n في بيقص n لأن
+
+76
+00:10:16,690 --> 00:10:26,710
+هذا عدد موجب ومن هنا من هنا n في بيقص n أصغر من أو
+
+77
+00:10:26,710 --> 00:10:33,690
+يساوي اتنين على n
+
+78
+00:10:33,690 --> 00:10:40,750
+سالب واحد في a تربية وهذا
+
+79
+00:10:40,750 --> 00:10:42,390
+أصغر من أو يساوي
+
+80
+00:10:50,580 --> 00:11:00,000
+هذا أصغر من أوي ساوي واحد على capital M في اتنين
+
+81
+00:11:00,000 --> 00:11:11,660
+على A تربية يعني
+
+82
+00:11:11,660 --> 00:11:19,140
+أنا من هنا منواحد على N سالب واحد مقلوب N سالب
+
+83
+00:11:19,140 --> 00:11:27,000
+واحد هيطلع أعظم أسئلة مقلوب capital N وهذا
+
+84
+00:11:27,000 --> 00:11:33,400
+عبارة عن واحد على N سالب واحد اتنين على A تربية
+
+85
+00:11:36,970 --> 00:11:42,010
+فمقلوب n سالب واحد اصغر من او ساوي مقلوب capital N
+
+86
+00:11:42,010 --> 00:11:51,630
+في اتنين على ا تربية تمام؟ شفتوا من اين اتيت؟
+
+87
+00:11:51,630 --> 00:11:58,690
+طيب انا من هنا من هنا واحد مقلوب capital N اصغر من
+
+88
+00:11:58,690 --> 00:12:09,470
+ا تربية في ابسلون على اتنين ضربتنين على اي تربية
+
+89
+00:12:09,470 --> 00:12:13,630
+اذا شوفت ليه اخدت ان هنا اي تربية في ابسلون على
+
+90
+00:12:13,630 --> 00:12:19,210
+اتنين عشان اختصر اي تربية مع اي تربية واتنين مع
+
+91
+00:12:19,210 --> 00:12:26,870
+اتنين ويبقى ابسلون اذا
+
+92
+00:12:26,870 --> 00:12:35,170
+ماذا اثبتنا اثبتت انه لأي given ابسلون عدد موجب
+
+93
+00:12:35,980 --> 00:12:42,520
+يوجد capital N تعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر
+
+94
+00:12:42,520 --> 00:12:48,260
+من capital N طلع عندي المسافة بين الحد العام لل
+
+95
+00:12:48,260 --> 00:12:51,900
+sequence اللي هو N في BN وال limit المنشودة اللي
+
+96
+00:12:51,900 --> 00:12:57,860
+هي سفر المسافة بينهم طلعت أصغر من epsilonإذا حسب
+
+97
+00:12:57,860 --> 00:13:03,100
+تعريف epsilon capital N لل limit هذا معناه أنه ال
+
+98
+00:13:03,100 --> 00:13:06,720
+limit بما أن هذا صحيح لأي epsilon، epsilon was
+
+99
+00:13:06,720 --> 00:13:11,540
+arbitrary إذاً هيك ممكن أثبتنا إن limit N في B to
+
+100
+00:13:11,540 --> 00:13:16,760
+N as N tends to infinity بساوي سفر وهو المطلوب
+
+101
+00:13:16,760 --> 00:13:22,640
+okay تمام؟ إذاً
+
+102
+00:13:22,640 --> 00:13:27,950
+هنا استخدمنا ال binomial theorem ساعدتنيفي الوصول
+
+103
+00:13:27,950 --> 00:13:33,590
+للمتباينة هذه و الوصول للمتباينة هذه اللي احنا
+
+104
+00:13:33,590 --> 00:13:42,730
+استخدمناها في البرهان سهلة البرهان تمام بفهم
+
+105
+00:13:42,730 --> 00:13:45,970
+الخطوة هذه اقول ان ال limit يعني اخد ال limit
+
+106
+00:13:45,970 --> 00:13:49,750
+للترفين اقول ان واحد على n نقص الواحد ماهي cost
+
+107
+00:13:49,750 --> 00:13:55,840
+zero اذا ال limit المقدراتمن أنهي المتباينة؟ هذه؟
+
+108
+00:13:55,840 --> 00:14:02,160
+بنفع اه بنفع يعني انت عندك هنا ممكن واحد يستخدم ال
+
+109
+00:14:02,160 --> 00:14:08,980
+sandwich او ال squeeze theorem فبدل ما نستخدم
+
+110
+00:14:08,980 --> 00:14:15,680
+تعريف epsilon capital N نيجي نقول انه الان انا
+
+111
+00:14:15,680 --> 00:14:25,150
+عندي هاي Nفي b to n طلعت أصغر من أو ساوي اتنين على
+
+112
+00:14:25,150 --> 00:14:31,450
+n سالب واحد في a تردية وطبعا بالتأكيد هذا أكبر من
+
+113
+00:14:31,450 --> 00:14:35,390
+أو ساوي سفر لأن ال n عدد موجب و ال b to n عدد موجب
+
+114
+00:14:35,390 --> 00:14:43,530
+وهذا صحيح لكل n أكبر من واحدالان هذا عبارة عن
+
+115
+00:14:43,530 --> 00:14:47,410
+sequence هي الحد العام تبعها لما N تقول ل infinity
+
+116
+00:14:47,410 --> 00:14:52,230
+مقلوق N سالب واحد تقول ل infinity وبالتالي مقلوبها
+
+117
+00:14:52,230 --> 00:14:55,990
+يقول ل infinity فى ثابت موجة باتنين على A تربية
+
+118
+00:14:55,990 --> 00:15:01,570
+عفوا لما N تقول ل infinity المقام بيروح ل infinity
+
+119
+00:15:01,570 --> 00:15:07,110
+وبالتالي مقلوب وبروح ل سفر تمام؟
+
+120
+00:15:16,990 --> 00:15:22,190
+إذن هذه الـ sequence تقول لـ 0 نهايتها 0 وهذه ال
+
+121
+00:15:22,190 --> 00:15:26,970
+constant sequence 0 نهايتها 0 إذن by squeeze
+
+122
+00:15:26,970 --> 00:15:30,410
+theorem limit ال sequence هذه بيساوي 0 وبلاش
+
+123
+00:15:30,410 --> 00:15:35,350
+نستخدم تعريف epsilon capital N لكن هذا السؤال في
+
+124
+00:15:35,350 --> 00:15:39,750
+section 3-1 ماكناش ماخدين ال squeeze theorem فلازم
+
+125
+00:15:39,750 --> 00:15:43,770
+اتحاليها على طريقة باستخدام ال definition لكن لو
+
+126
+00:15:43,770 --> 00:15:48,910
+في الامتحانو ممكن ماتفرجش انت متعلم ال definition
+
+127
+00:15:48,910 --> 00:15:52,630
+و متعلم ال exquisite theorem و استخدم أي طريقة
+
+128
+00:15:52,630 --> 00:15:58,330
+تعجبك okay تمام في
+
+129
+00:15:58,330 --> 00:16:01,010
+أسئلة تانية في حد عنده أي سؤال تاني في section
+
+130
+00:16:01,010 --> 00:16:07,890
+تلاتة واحد و تلاتة اتنين تفضلي في أي section تلاتة
+
+131
+00:16:07,890 --> 00:16:10,510
+واحد طيب ماشي الحالة
+
+132
+00:16:50,410 --> 00:17:09,310
+السؤال عشرة section تلاتة واحد السؤال هذا بيقول if
+
+133
+00:17:09,310 --> 00:17:20,060
+limit sequence x in بساوي xوالـ X هذا أكبر من
+
+134
+00:17:20,060 --> 00:17:24,880
+السفر then
+
+135
+00:17:24,880 --> 00:17:29,340
+then
+
+136
+00:17:29,340 --> 00:17:36,780
+there exist يوجد capital N عدد طبيعي او capital M
+
+137
+00:17:36,780 --> 00:17:48,170
+natural number عدد طبيعي such thatxn أكبر من السفر
+
+138
+00:17:48,170 --> 00:18:08,950
+لكل n أكبر من أو ساوي م لت
+
+139
+00:18:08,950 --> 00:18:13,250
+y أكبر من السفر be given
+
+140
+00:18:17,620 --> 00:18:23,600
+خد أي إبسلون أكبر من الصفر إذن
+
+141
+00:18:23,600 --> 00:18:30,900
+إبسلون على اتنين برضه بيطلع عدد موجة طيب
+
+142
+00:18:30,900 --> 00:18:38,880
+احنا فرضين ان limit xn بيساوي x إذن since xn
+
+143
+00:18:38,880 --> 00:18:44,960
+converges to xوهي إبسلون على اتنين عدد أكبر من
+
+144
+00:18:44,960 --> 00:18:54,480
+السفر إذا يوجد capital M عدد طبيعي يعتمد على
+
+145
+00:18:54,480 --> 00:18:58,840
+إبسلون عدد
+
+146
+00:18:58,840 --> 00:19:05,140
+طبيعي بحيث أنه لكل N أكبر من أو ساوي capital M
+
+147
+00:19:05,140 --> 00:19:33,800
+تطلع المسافة من XNهو ال X أصغر من Y أتنين طيب
+
+148
+00:19:33,800 --> 00:19:34,980
+أنا ال epsilon هذا
+
+149
+00:19:37,520 --> 00:19:44,200
+ممكن اخده انا عندي من الفرض x اكبر من 0 فممكن اخد
+
+150
+00:19:44,200 --> 00:19:49,640
+ال epsilon هذا بساوي x بساوي
+
+151
+00:19:49,640 --> 00:19:56,480
+x انا
+
+152
+00:19:56,480 --> 00:20:04,400
+ممكن اخد ال epsilon بساوي x او حتى x ع 2 او x ع 2
+
+153
+00:20:04,400 --> 00:20:10,380
+هذا بالتأكيدالإبسلون هذا هي عدد موجب اعتبره هو
+
+154
+00:20:10,380 --> 00:20:15,660
+given وبالتالي
+
+155
+00:20:15,660 --> 00:20:20,580
+انا اخدت الأن إبسلون X عدد موجب إذا X عتنين عدد
+
+156
+00:20:20,580 --> 00:20:26,270
+موجب واخدت إبسلون عبارة عن X عتنينفاعتبر هذا given
+
+157
+00:20:26,270 --> 00:20:31,070
+إبسلون إبسلون مُعطى مُسبَخًا فحسب التعريف بما أن X
+
+158
+00:20:31,070 --> 00:20:34,390
+in converge ل X إذا يوجد عدد طبيعي يعتمد على
+
+159
+00:20:34,390 --> 00:20:38,710
+إبسلون بحيث لكل in أكبر من أو ساوي capital N
+
+160
+00:20:38,710 --> 00:20:45,730
+المسافة هذه أصغر من إبسلون الآن عوض عن إبسلون
+
+161
+00:20:45,730 --> 00:20:54,490
+بساوي X ع 2 فهذا بيؤديالان فك ال absolute value
+
+162
+00:20:54,490 --> 00:21:03,070
+فبطلع عندي xn سالب x أصغر من x ع 2 أكبر من سالب x
+
+163
+00:21:03,070 --> 00:21:08,570
+ع 2، مظبوط؟
+
+164
+00:21:08,570 --> 00:21:15,370
+طب
+
+165
+00:21:15,370 --> 00:21:17,790
+لو أخدت هذا الجزء من المتباينة
+
+166
+00:21:20,790 --> 00:21:28,770
+فبصير عندي xn أكبر من ودي x على الناحية التالية
+
+167
+00:21:28,770 --> 00:21:38,050
+أكبر من x سالب x على 2 وبالتالي
+
+168
+00:21:38,050 --> 00:21:46,710
+إذا أنا عندي هاي xn أكبر من x على 2 وهذا أكبر من
+
+169
+00:21:46,710 --> 00:21:57,210
+السفرتمام؟ وهذا صحيح إذا طلع عندي xn أكبر من السفر
+
+170
+00:21:57,210 --> 00:22:07,170
+وهذا صحيح لكل n أكبر من أو ساوي capital M وهو
+
+171
+00:22:07,170 --> 00:22:12,630
+المطلوبتمام إذا هنا استخدمنا تعريف epsilon capital
+
+172
+00:22:12,630 --> 00:22:19,690
+M وهنا استنتجنا إن لازم xn يطلع أكبر من السفر لكل
+
+173
+00:22:19,690 --> 00:22:32,210
+M أكبر من أو يساوي capital M تمام واضح البرهان طيب
+
+174
+00:22:32,210 --> 00:22:34,110
+في أي أسئلة تانية؟
+
+175
+00:22:37,830 --> 00:22:48,330
+section تلاتة اتنين مين
+
+176
+00:22:48,330 --> 00:22:54,390
+عنده سؤال اي سؤال في اي section تلاتة اتنين تلاتة
+
+177
+00:22:54,390 --> 00:23:03,070
+اتنين سبعتاش
+
+178
+00:23:03,070 --> 00:23:05,150
+section تلاتة اتنين
+
+179
+00:23:40,180 --> 00:23:44,200
+أنا في عندي هنا sequence of positive real numbers
+
+180
+00:23:44,200 --> 00:23:55,680
+إذا xn حدود عموجة بقى لكل n such
+
+181
+00:23:55,680 --> 00:24:00,560
+that limit ل
+
+182
+00:24:00,560 --> 00:24:11,550
+xn زاد واحد على xn لما n تقول infinityبساوي عدد ال
+
+183
+00:24:11,550 --> 00:24:20,550
+أكبر من واحد و المقلوب show اثبت في الحالة هذه ان
+
+184
+00:24:20,550 --> 00:24:25,750
+ال sequence
+
+185
+00:24:25,750 --> 00:24:30,170
+xm is
+
+186
+00:24:30,170 --> 00:24:34,350
+unbounded is not bounded
+
+187
+00:24:38,480 --> 00:24:46,100
+and hence not
+
+188
+00:24:46,100 --> 00:24:53,460
+convergent لأن لو كانت convergent تطلع bounded
+
+189
+00:25:13,370 --> 00:25:17,190
+يعني من الشرط هذا ممكن تباطم الـ sequence
+
+190
+00:25:17,190 --> 00:25:21,290
+increasing متزايدة
+
+191
+00:26:05,950 --> 00:26:08,750
+أه ..
+
+192
+00:26:31,500 --> 00:26:38,240
+ممكن نعمل برهان بال .. بالتناقض افرم
+
+193
+00:26:38,240 --> 00:26:48,640
+انها bounded وممكن نصل لتناقض من تعريف ال .. هنا
+
+194
+00:26:48,640 --> 00:26:56,680
+ال sequence هذه of quotient convergent لعدد L أكبر
+
+195
+00:26:56,680 --> 00:27:00,220
+من واحد ممكن باستخدامه
+
+196
+00:27:02,850 --> 00:27:14,250
+باستخدام تعريف الـ convergence زاد او
+
+197
+00:27:14,250 --> 00:27:18,390
+ممكن من الفرض هذا لثبت انه ال sequence unbounded
+
+198
+00:27:18,390 --> 00:27:22,870
+او ممكن بالتناقض اما باستخدام تعريف epsilon
+
+199
+00:27:22,870 --> 00:27:29,600
+capital N من ال convergence هذانعمل برهان بالتناقض
+
+200
+00:27:29,600 --> 00:27:35,560
+لنصل إلى هاجة يعني تتناقض مع الفرض اللي هنا على أي
+
+201
+00:27:35,560 --> 00:27:40,540
+حال انا هسيب في حد حل السؤال هذا طيب انا هسيبكم
+
+202
+00:27:40,540 --> 00:27:45,320
+تفكروا فيه و تقرؤوا برهان شوفوا برهان انا في
+
+203
+00:27:45,320 --> 00:27:49,380
+البرهان النظرية هذه اللي كانت قلتلكم اقرؤوا
+
+204
+00:27:49,380 --> 00:27:54,650
+فحاولوا انك تتسفيدوا من البرهان تبع النظريةاللي
+
+205
+00:27:54,650 --> 00:27:57,930
+كانت بتقول إن لو كانت ال limit هذه بساوي L أصغر من
+
+206
+00:27:57,930 --> 00:28:03,370
+واحد فبتطلع ال sequence convergent للصفر فإقرأوا
+
+207
+00:28:03,370 --> 00:28:08,710
+البرهان تبع النظرية هذه وشوفوا كيف يعني النظرية
+
+208
+00:28:08,710 --> 00:28:12,750
+هذه أثبتت وشوفوا لو كان ال L أكبر من واحد كيف
+
+209
+00:28:12,750 --> 00:28:17,450
+بيطلع البرهان إيش اللي بيخل البرهان هذا يبطل صحيح
+
+210
+00:28:18,870 --> 00:28:23,230
+أه فعيدوا قراءته و حالكم تحلوه و إذا ما حلتوهوش
+
+211
+00:28:23,230 --> 00:28:27,290
+يعني المرة الجاية ممكن تحلوا مع بعض أه ماشي الحال
+
+212
+00:28:27,290 --> 00:28:30,470
+فإقرأوا
+
+213
+00:28:30,470 --> 00:28:35,150
+برهان النظرية اللي سيبنا قولنالكم البرهانها موجود
+
+214
+00:28:35,150 --> 00:28:38,030
+في الكتاب و بدي أكم تقرأوا تفهموا هل قرأتوا
+
+215
+00:28:38,030 --> 00:28:45,010
+البرهان؟حاولوا تقرأ ايه حاولوا تتعملوا ايه تشوفوا
+
+216
+00:28:45,010 --> 00:28:50,070
+وين في البرهان ال ال اكبر من واحد بتخلي البرهان
+
+217
+00:28:50,070 --> 00:28:55,050
+يبطل صح وين المشكلة وشوفوا
+
+218
+00:28:55,050 --> 00:28:58,210
+اذا كانوا تقدروا تحلو ولا لأ اذا انا هاسيبكم
+
+219
+00:28:58,210 --> 00:29:02,610
+تفكروا فيه مرة تانية و تحاولوا تحلوه اذا ماعرفتهوش
+
+220
+00:29:02,610 --> 00:29:09,110
+ممكن نحله مرة تانية او في المرة القادمة نعم مين
+
+221
+00:29:09,110 --> 00:29:13,190
+اللي بتحكي هذهماحدش لو سمحته تحكي إلا غير ترفع
+
+222
+00:29:13,190 --> 00:29:18,790
+إيدها الأول و بعدين أقزمها طيب إذا هذا السؤال
+
+223
+00:29:18,790 --> 00:29:22,510
+هنسيبكم يتفكروا فيه مرة تانية في أي أسئلة تانية
+
+224
+00:29:22,510 --> 00:29:26,710
+section تلاتة اتنين أو تلاتة واحد
+
+225
+00:29:45,050 --> 00:29:50,450
+في حد عندها سؤال في نفس
+
+226
+00:29:50,450 --> 00:29:55,770
+ال section نعم فالقادة ماعطينا sequence انه احنا
+
+227
+00:29:55,770 --> 00:29:59,390
+نشوف اذا هي تتجوز و لا تتجوز استخدمت ال ratio test
+
+228
+00:29:59,390 --> 00:30:04,310
+نعم طلعت ال limit بتساوي واحد و احنا الشرط ان تكون
+
+229
+00:30:04,310 --> 00:30:09,790
+ال limit اقل من واحد صح فالقادة هذه بتطلع تطلع ال
+
+230
+00:30:09,790 --> 00:30:12,430
+limit ل sequence لو معطنيها تساوي zero
+
+231
+00:30:15,730 --> 00:30:21,110
+لأ لازم يكون أصغر من واحد مابتساويش الواحد معناته
+
+232
+00:30:21,110 --> 00:30:26,150
+ال test بيفشل لأ هي سوى واحد إذا بالساوية واحد
+
+233
+00:30:26,150 --> 00:30:33,430
+ارجعي لهي تمرين 16 بقول إذا كانت ال limit بالساوية
+
+234
+00:30:33,430 --> 00:30:38,710
+واحد فممكن
+
+235
+00:30:38,710 --> 00:30:41,650
+تكون ال sequence convergent أو divergent يعني هذا
+
+236
+00:30:41,650 --> 00:30:46,920
+ال test ال ratio test بيفشلهي في سؤال 16 هتجيب
+
+237
+00:30:46,920 --> 00:30:52,480
+بمثالين اول شي اذا كانت ال limit هذه بالساوي واحد
+
+238
+00:30:52,480 --> 00:30:59,740
+فهتجيب بمثالين ال limit تبع ال quotient تبع كل
+
+239
+00:30:59,740 --> 00:31:03,220
+واحدة بالساوي واحد لكن واحدة convergent واحدة
+
+240
+00:31:03,220 --> 00:31:08,140
+divergent وبالتالي ال test هذا بيفشل اذا كانت ال L
+
+241
+00:31:08,140 --> 00:31:12,420
+بالساوي واحد اما لو كانت ال L اصغر من واحدفال
+
+242
+00:31:12,420 --> 00:31:16,400
+sequence xn تطلع convergent للصفر إذا كان ال L
+
+243
+00:31:16,400 --> 00:31:21,740
+أكبر من 1 فال sequence تطلع divergent okay تمام
+
+244
+00:31:21,740 --> 00:31:30,340
+هذا هو ال ratio test فهل جبت أمثلة؟ كويس ممتاز طيب
+
+245
+00:31:30,340 --> 00:31:36,220
+إيش دخل دي؟ دي معناته بدك تستخدم طريقة تانية غير
+
+246
+00:31:36,220 --> 00:31:43,260
+ال ratio test صحيح لأن حسب سؤال 16الـ test بيفشل
+
+247
+00:31:43,260 --> 00:31:48,320
+إذا كانت limit ال ratio ال ratio test بيفشل إذا
+
+248
+00:31:48,320 --> 00:31:53,020
+كانت limit لل ratio بساوي واحد وبالتالي بدك تبحث
+
+249
+00:31:53,020 --> 00:31:54,300
+عن طريقة تانية
+
+250
+00:32:12,840 --> 00:32:31,940
+طيب في أسئلة تانية في
+
+251
+00:32:31,940 --> 00:32:35,300
+section تلاتة واحد و تلاتة اتنين في عندكم أي سؤال
+
+252
+00:32:35,300 --> 00:32:42,490
+مافيش أسئلة لسه مش دارسين مش محاضرينكان واحدة بس
+
+253
+00:32:42,490 --> 00:32:51,430
+لدرسة و هم اللي بيسألوا الأسئلة والباقي مستمع طيب
+
+254
+00:32:51,430 --> 00:32:54,930
+بتحبوا نرجع لأسئلة chapter اتنين في أسئلة في
+
+255
+00:32:54,930 --> 00:33:01,130
+chapter اتنين اذا
+
+256
+00:33:01,130 --> 00:33:10,470
+في عندكم أسئلة في section اتنين
+
+257
+00:33:10,470 --> 00:33:11,010
+اربعة
+
+258
+00:33:26,250 --> 00:33:35,710
+السؤال هذا يعني في الكتاب أعطيكم hint كيف
+
+259
+00:33:35,710 --> 00:33:41,790
+يعني تحلوه موجود في نهاية الكتاب فحاولوا تقرا أيه
+
+260
+00:33:41,790 --> 00:33:46,530
+تقرا ال hint هذا و تستفيدي منه و تشوفي يعني هذا
+
+261
+00:33:46,530 --> 00:33:54,780
+أكيد هساعدك في حل السؤال شفتيه قبل هيك؟طيب طلعي
+
+262
+00:33:54,780 --> 00:33:59,360
+خلف الكتاب فيه hint او ارشادات لبعض التمرين
+
+263
+00:33:59,360 --> 00:34:06,680
+بيعطيكي يعني طريقة مقتضبة لحل او بحط رجلك على طريق
+
+264
+00:34:06,680 --> 00:34:12,840
+الحل فحاولي تقرا ايه و تستفيدي منه و اذا فهمتي
+
+265
+00:34:12,840 --> 00:34:19,640
+الارشاد هذا ممكن تحل السؤال فانتي و زمايلكتطلعوا
+
+266
+00:34:19,640 --> 00:34:23,580
+على الإرشادات هذه تبعت التمرين أو بعض الحلول
+
+267
+00:34:23,580 --> 00:34:28,240
+المختصرة و حاولوا تستفيدوا منها و تفصلوها و تكتبوا
+
+268
+00:34:28,240 --> 00:34:35,340
+الحل بطريقة واضحة و كاملة فهسيبكم
+
+269
+00:34:35,340 --> 00:34:42,440
+تقرؤوا الإرشاد و تحاولوا تستفيدوا منه أي أسئلة
+
+270
+00:34:42,440 --> 00:34:49,980
+تانية في section 2 4 2 3 2 2إن واحد الجزء اللي
+
+271
+00:34:49,980 --> 00:34:56,460
+داخل الامتحان، في عندكم أي سؤال فيه؟ منين في عندها
+
+272
+00:34:56,460 --> 00:35:00,260
+سؤال؟
+
+273
+00:35:00,260 --> 00:35:07,020
+في أسئلة كتير حلوة ومهمة ويا بدوا أنكم مش مدرسين
+
+274
+00:35:07,020 --> 00:35:08,680
+ولا حتى مستعدين للامتحان
+
+275
+00:35:16,700 --> 00:35:20,800
+في اي اسلة في chapter 2 او chapter 3 الجزء الداخل
+
+276
+00:35:20,800 --> 00:35:21,960
+في الامتحان
+
+277
+00:36:04,610 --> 00:36:11,090
+فيش أسئلة؟ طيب
+
+278
+00:36:11,090 --> 00:36:15,390
+أنا هحللكم يعني كمان سؤالين واحد من section تلاتة
+
+279
+00:36:15,390 --> 00:36:21,070
+واحد وواحد من تلاتة اتنين
+
+280
+00:36:21,070 --> 00:36:28,670
+خليني
+
+281
+00:36:28,670 --> 00:36:29,830
+أحل السؤال
+
+282
+00:36:46,350 --> 00:36:58,770
+يعني مثلا يعني
+
+283
+00:36:58,770 --> 00:37:04,090
+مثلا السؤال الخامسة
+
+284
+00:37:04,090 --> 00:37:10,530
+السؤال
+
+285
+00:37:10,530 --> 00:37:16,320
+الخامسة الفرح دي section تلاتة واحدuse definition
+
+286
+00:37:16,320 --> 00:37:25,660
+use definition of limit to
+
+287
+00:37:25,660 --> 00:37:33,880
+establish انه
+
+288
+00:37:33,880 --> 00:37:37,800
+ال limit لإن
+
+289
+00:37:37,800 --> 00:37:44,970
+تربية سالب واحد علىتنين انتر بيه زائد تلاتة ال
+
+290
+00:37:44,970 --> 00:37:52,850
+sequence اللي حد العم تبعها الكاسر هذا بيساوي نص و
+
+291
+00:37:52,850 --> 00:37:56,410
+بيثبت ان ال sequence هذي convergence و نهايتها نص
+
+292
+00:37:56,410 --> 00:38:00,390
+بيستخدم ال definition ماهو ال definition المقصود
+
+293
+00:38:00,390 --> 00:38:06,700
+في هنااللي هو تعريف epsilon capital N لل limit أ��
+
+294
+00:38:06,700 --> 00:38:21,360
+للنهاية تعريف epsilon capital N طيب انا
+
+295
+00:38:21,360 --> 00:38:27,300
+في النهاية في نهاية المطاف تعريف epsilon capital N
+
+296
+00:38:31,470 --> 00:38:36,710
+عايزني أثبت أن المسافة بين xn اللي هو enter بيها
+
+297
+00:38:36,710 --> 00:38:42,510
+سالب واحد على اتنين enter بيها زائد تلاتة سالب نص
+
+298
+00:38:42,510 --> 00:38:47,270
+بدنا هذا يكون أصغر من أي given epsilon عدد موجه
+
+299
+00:38:47,270 --> 00:38:53,950
+لكل n أكبر من أو ساوي capital N حيث capital N عدد
+
+300
+00:38:53,950 --> 00:39:00,410
+طبيعي هنجيبه ويعتمد على ال epsilonفنشوف مع بعض هذا
+
+301
+00:39:00,410 --> 00:39:07,410
+إيه من الآخر طيب إذا هنا solution إذا بقول أنا
+
+302
+00:39:07,410 --> 00:39:12,490
+عايز في النهاية absolute interview سالب واحد على
+
+303
+00:39:12,490 --> 00:39:17,970
+اتنين interview زائد تلاتة سالب مصر بسأل نفسي متى
+
+304
+00:39:17,970 --> 00:39:24,570
+هذا بيكون أصغر من أي epsilon موجب هذا بكافئ
+
+305
+00:39:27,220 --> 00:39:34,160
+الـ absolute value بين واحد المقامات هي اتنين في
+
+306
+00:39:34,160 --> 00:39:40,260
+اتنين انت ربيع الزائد تلاتة و بيصير عندنا اتنين
+
+307
+00:39:40,260 --> 00:39:46,720
+انت ربيع سالب اتنين تضرب هذا في اتنين سالب اتنين
+
+308
+00:39:46,720 --> 00:39:53,680
+انت ربيع موجة بتلاتة لان هذا المقدار اللي فوق
+
+309
+00:39:53,680 --> 00:39:55,580
+بيبقى اصغر من epsilon
+
+310
+00:39:58,630 --> 00:40:02,730
+طيب أنا عندي اتنين in تربية و هاي سالب اتنين in
+
+311
+00:40:02,730 --> 00:40:07,450
+تربية بروحوا مع بعض و عندي سالب اتنين و السالب
+
+312
+00:40:07,450 --> 00:40:10,630
+تلاتة بطلع خمسة يعني دلوقتي بصير absolute سالب
+
+313
+00:40:10,630 --> 00:40:16,330
+خمسة على اتنين في
+
+314
+00:40:16,330 --> 00:40:19,230
+اتنين in تربية زائد تلاتة
+
+315
+00:40:24,890 --> 00:40:31,830
+بدي هذا يكون أصغر من ي طيب
+
+316
+00:40:31,830 --> 00:40:38,990
+هاد عبارة عن خمسة هاد
+
+317
+00:40:38,990 --> 00:40:48,570
+عبارة عن خمسة على اتنين اتنين enter بيها زي
+
+318
+00:40:48,570 --> 00:40:49,370
+التلاتة
+
+319
+00:40:52,780 --> 00:41:02,080
+متى بيكون هذا أصغر من epsilon هذا
+
+320
+00:41:02,080 --> 00:41:09,220
+بكافئ هذا
+
+321
+00:41:09,220 --> 00:41:15,900
+بكافئ ان اقول واحد متى بيكون واحد على اتنين انتر
+
+322
+00:41:15,900 --> 00:41:30,390
+بيه زائد تلاتة أصغر منإتنين على خمسة إبسلون طيب
+
+323
+00:41:30,390 --> 00:41:35,550
+إذا
+
+324
+00:41:35,550 --> 00:41:42,470
+أنا ممكن أستخدم ال Archimedean property إذا هنا
+
+325
+00:41:42,470 --> 00:41:49,690
+let إبسلون أكبر من السفر بجبل
+
+326
+00:41:51,720 --> 00:41:57,880
+نبدأ بأبسلون أكبر من السفر تعريف epsilon capital N
+
+327
+00:41:57,880 --> 00:42:02,160
+بيقول ابدا بأبسلون أكبر من السفر و جيب capital N
+
+328
+00:42:03,440 --> 00:42:07,880
+بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من إمسون لكل N
+
+329
+00:42:07,880 --> 00:42:15,440
+أكبر من ما يستوى capital N بحيث أن المسافة بين XN
+
+330
+00:42:15,440 --> 00:42:17,600
+بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من إمسون لكل N
+
+331
+00:42:17,600 --> 00:42:17,940
+أكبر من ما يستوى capital N بحيث أن المسافة بين XN
+
+332
+00:42:17,940 --> 00:42:20,660
+و X أصغر من إمسون لكل N أكبر من ما يستوى capital N
+
+333
+00:42:20,660 --> 00:42:21,360
+بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من إمسون لكل N
+
+334
+00:42:21,360 --> 00:42:23,640
+أكبر من ما يستوى capital N بحيث أن المسافة بين XN
+
+335
+00:42:23,640 --> 00:42:28,200
+و X أصغر
+
+336
+00:42:28,200 --> 00:42:35,040
+من إمسون لكل N أكبر من ما يستوى capital N بحit
+
+337
+00:42:35,040 --> 00:42:43,620
+choose it choose طبعا
+
+338
+00:42:43,620 --> 00:42:51,500
+by Archimedean property capital
+
+339
+00:42:51,500 --> 00:43:01,200
+N عدد طبيعي بحيث انه واحد علىإتنين في capital N
+
+340
+00:43:01,200 --> 00:43:07,820
+تربية زائد تلاتة أصغر من اتنين على خمسة epsilon
+
+341
+00:43:07,820 --> 00:43:20,180
+ممكن
+
+342
+00:43:20,180 --> 00:43:26,070
+ألاقي capital N عدد طبيعيمقنوب 2 في مربع زائد
+
+343
+00:43:26,070 --> 00:43:32,170
+تلاتة طبعا تلاتة مش epsilon واحد على اتنين enter
+
+344
+00:43:32,170 --> 00:43:41,290
+key زائد تلاتة اصغر من اتنين على خمسة epsilon الان
+
+345
+00:43:41,290 --> 00:43:46,770
+اذا لو اخدت small n اكبر من أوسع ال capital N هذا
+
+346
+00:43:46,770 --> 00:44:00,110
+بيقدي انه واحد علىتنين انت ربيع زائد تلاتة او بلاش
+
+347
+00:44:00,110 --> 00:44:09,230
+absolute اه بيقدي ان absolute طيب
+
+348
+00:44:09,230 --> 00:44:16,750
+هذا بيقدي ان الكلام هذا اصغر من او يساوي واحد على
+
+349
+00:44:16,750 --> 00:44:25,510
+اتنين capital enter بيه زائد تلاتةوبالتالي هذا
+
+350
+00:44:25,510 --> 00:44:31,390
+بيقدي ان ال absolute value لان تربية سالب واحد على
+
+351
+00:44:31,390 --> 00:44:42,670
+اتنين ان تربية سالب تلاتة سالب نص طلع هذا
+
+352
+00:45:09,580 --> 00:45:16,580
+خمسة على اتنين
+
+353
+00:45:16,580 --> 00:45:20,140
+في اتنين enter بي عزائى التلاتة
+
+354
+00:45:28,400 --> 00:45:34,680
+وهذا هيطلع أصغر منه ويسوي خمسة على اتنين في اتنين
+
+355
+00:45:34,680 --> 00:45:42,000
+capital Interbias زاد تلاتة ومن هنا هذا أصغر من
+
+356
+00:45:42,000 --> 00:45:47,320
+خمسة
+
+357
+00:45:47,320 --> 00:45:54,280
+على اتنين ضرب اتنين على خمسة في epsilon اللي هو
+
+358
+00:45:54,280 --> 00:45:55,160
+بيطلع epsilon
+
+359
+00:45:59,840 --> 00:46:03,560
+أذن هذه لأي epsilon أكبر من صفر لجيت فيه capital N
+
+360
+00:46:03,560 --> 00:46:08,200
+مرتبطة لcapital N هي في epsilon depends on epsilon
+
+361
+00:46:08,200 --> 00:46:12,280
+بتعتمد على epsilon بحيث لكل n أكبر من او سوى
+
+362
+00:46:12,280 --> 00:46:17,920
+capital N طلع absolute xn minus x أصغر من epsilon
+
+363
+00:46:19,350 --> 00:46:24,350
+طبعا إذا هذا حسب تعريف by definition of epsilon
+
+364
+00:46:24,350 --> 00:46:29,770
+capital N of limit بطلع عندي limit N تربيع سالب
+
+365
+00:46:29,770 --> 00:46:34,750
+واحد على اتنين N تربيع زائد تلاتة لما N تقول
+
+366
+00:46:34,750 --> 00:46:37,830
+infinity بساوي نص
+
+367
+00:46:44,620 --> 00:46:48,560
+بالمثل ممكن نحل باقى التمرين اللى هى الفروع A وB
+
+368
+00:46:48,560 --> 00:46:54,940
+وC باستخدام التعريف فحاولوا تتدربوا على التمرين
+
+369
+00:46:54,940 --> 00:47:02,700
+هادى و تحلوا أسئلة زيها فى حد عنده أي سؤال تانى فى
+
+370
+00:47:02,700 --> 00:47:07,260
+هذا ال section طيب
+
+371
+00:47:07,260 --> 00:47:12,220
+نحل كمان سؤال فى section تلاتة اتنين
+
+372
+00:47:27,570 --> 00:47:34,750
+في انكم أي سؤال بسكتشن تلاتة اتنين اخر
+
+373
+00:47:34,750 --> 00:47:35,250
+سؤال
+
+374
+00:47:57,080 --> 00:48:03,480
+هي سؤال واحد وعشرين section تلاتة
+
+375
+00:48:03,480 --> 00:48:13,760
+اتنين suppose
+
+376
+00:48:13,760 --> 00:48:24,980
+افترضي ان ال sequence x in converge ل x and ال
+
+377
+00:48:24,980 --> 00:48:33,200
+sequence y inand yn is such that is a sequence
+
+378
+00:48:33,200 --> 00:48:40,900
+such that for any epsilon for
+
+379
+00:48:40,900 --> 00:48:46,240
+any epsilon أكبر من السفر يوجد
+
+380
+00:48:46,240 --> 00:48:53,780
+m بحيث يوجد عدد m such that
+
+381
+00:48:56,580 --> 00:49:06,460
+absolute xn minus yn أصغر من إبسلون لكل N أكبر من
+
+382
+00:49:06,460 --> 00:49:14,260
+أو ساو كابتل N فالسؤال
+
+383
+00:49:14,260 --> 00:49:19,060
+does it
+
+384
+00:49:19,060 --> 00:49:22,820
+follow هل
+
+385
+00:49:22,820 --> 00:49:34,030
+ينتج من ذلكهل ال sequence yn تطلع
+
+386
+00:49:34,030 --> 00:49:44,210
+convergent فنشوف
+
+387
+00:49:44,210 --> 00:49:44,930
+مع بعض
+
+388
+00:49:53,440 --> 00:49:59,260
+كمان مرة اندي two sequences واحدة x in واحدة y in
+
+389
+00:49:59,260 --> 00:50:04,280
+ال sequence x in مُعطَى انها convergent to some x
+
+390
+00:50:04,280 --> 00:50:08,880
+إلى عدد ما x ال limit تبقى تاكس وال sequence y in
+
+391
+00:50:08,880 --> 00:50:14,600
+بتحقق الشرط هذا وهو
+
+392
+00:50:14,600 --> 00:50:19,600
+انه لأي epsilon أكبر من سفر في عدد طبيعي حتى هذا
+
+393
+00:50:19,600 --> 00:50:27,790
+عدد طبيعي المفروض يكونبنشر ال number بحيث انه لكل
+
+394
+00:50:27,790 --> 00:50:31,810
+n أكبر من ما يستوى capital N المسافة بين xn وyn
+
+395
+00:50:31,810 --> 00:50:35,510
+أصغر من نفسها هل هذا بيقدم ال sequence yn
+
+396
+00:50:35,510 --> 00:50:40,870
+convergent؟ هنشوف الآن أن فعلا تطلع ال sequence yn
+
+397
+00:50:40,870 --> 00:50:46,130
+convergent ونهايتها هي نفس نهاية ال sequence xn
+
+398
+00:50:46,130 --> 00:50:51,270
+لأن هنا الإجابة yes
+
+399
+00:50:53,550 --> 00:51:01,270
+and y in converge to x لكن
+
+400
+00:51:01,270 --> 00:51:07,570
+هذا بيده برهان اذا
+
+401
+00:51:07,570 --> 00:51:11,370
+to see this
+
+402
+00:51:11,370 --> 00:51:16,610
+نبدأ
+
+403
+00:51:16,610 --> 00:51:18,610
+بإبسلون أكبر من السفر
+
+404
+00:51:36,810 --> 00:51:44,450
+let by hypothesis من الفرض من
+
+405
+00:51:44,450 --> 00:51:50,820
+الفرض من ال hypothesisأنا عندي absolute xn minus
+
+406
+00:51:50,820 --> 00:51:54,860
+yn أصغر
+
+407
+00:51:54,860 --> 00:52:03,700
+من إبسلون أكبر من أو ساوي سفر وهذا صحيح لكل n أكبر
+
+408
+00:52:03,700 --> 00:52:10,440
+من أو ساوي capital M وهذا
+
+409
+00:52:10,440 --> 00:52:15,380
+الكلام صحيح لكل إبسلون أكبر من السفر
+
+410
+00:52:24,820 --> 00:52:36,980
+فمن هنا فمن
+
+411
+00:52:36,980 --> 00:52:45,680
+هنا بهدف بيقدي ان ال limit ل xn minus yn لما n
+
+412
+00:52:45,680 --> 00:52:49,420
+تقول infinity بساوي سفر
+
+413
+00:52:54,150 --> 00:52:58,570
+مش شرط هذا انا
+
+414
+00:52:58,570 --> 00:53:03,950
+عندي ال ..
+
+415
+00:53:03,950 --> 00:53:08,010
+ما معناه ان limit ال sequence هذه بساوة سفر؟ معناه
+
+416
+00:53:08,010 --> 00:53:16,620
+لأي epsilon أكبر من السفر يوجد capital Mعدد طبيعي
+
+417
+00:53:16,620 --> 00:53:21,840
+يعتمد على إبسلن بحيث أنه لكل n أكبر من أو ساوي
+
+418
+00:53:21,840 --> 00:53:28,860
+capital N هذا بيقدي أن absolute xn minus yn minus
+
+419
+00:53:28,860 --> 00:53:34,700
+الصفر أصغر من إبسلنهي معنى ان limit ال sequence
+
+420
+00:53:34,700 --> 00:53:40,740
+للفرق بساوي سفر ايش معنى هذا لأي epsilon أكبر من
+
+421
+00:53:40,740 --> 00:53:46,660
+سفر يوجد capital M يعتمد على N عدد طبيعي يعتمد على
+
+422
+00:53:46,660 --> 00:53:51,020
+ال epsilon بحيث لكل N أكبر من أو ساوي capital N
+
+423
+00:53:51,020 --> 00:53:55,540
+المسافة بين الحد العام لل sequence و limit اللي هي
+
+424
+00:53:55,540 --> 00:54:00,140
+سفر أصغر من epsilon هذا الكلام هى متحقق هنا هى
+
+425
+00:54:00,140 --> 00:54:04,850
+متحققتامام؟ إذا هذا بنحصل عليه وبالتالي limit xn
+
+426
+00:54:04,850 --> 00:54:14,070
+minus yn بساوي سفر ومنها الآن أنا عندي ال yn ممكن
+
+427
+00:54:14,070 --> 00:54:20,870
+كتبتها على صورة yn
+
+428
+00:54:20,870 --> 00:54:32,610
+سالب xn موجب xnوهذا بيساوي سالب Xn سالب Yn زاد Xn
+
+429
+00:54:32,610 --> 00:54:40,630
+تمام؟ إذا ال limit ل Yn as n tends to infinity
+
+430
+00:54:40,630 --> 00:54:49,110
+بيساوي limit الطرف اليمين ف limit Xn سالب Yn
+
+431
+00:54:49,110 --> 00:54:56,410
+مضروبة في سالب واحد بيطلع برا ال limitزائد limit
+
+432
+00:54:56,410 --> 00:55:03,770
+xn لما n تقول لإنفينيتي وهنا
+
+433
+00:55:03,770 --> 00:55:08,770
+لسه احنا مثبتين هذا عبارة عن سالب limit sequence
+
+434
+00:55:08,770 --> 00:55:16,570
+xn minus yn بالساوية سفر، سالد واحد في سفر
+
+435
+00:55:19,990 --> 00:55:26,850
+زاد limit xn اللي هي x تمام اذا limit ال sequence
+
+436
+00:55:26,850 --> 00:55:32,370
+yn تطلع بالساوي x اذا
+
+437
+00:55:32,370 --> 00:55:37,210
+هنا اثبتنا ان ال sequence yn تطلع convergent وال
+
+438
+00:55:37,210 --> 00:55:44,210
+limit تبعتها بالساوي x تمامالبرهان هنا اعتمد على
+
+439
+00:55:44,210 --> 00:55:49,890
+انه من الفرض انا عندي المثال لأي epsilon هذا الفرض
+
+440
+00:55:49,890 --> 00:55:57,390
+معناه ان limit ال sequence x in minus y in بالساوي
+
+441
+00:55:57,390 --> 00:56:04,290
+سفر وهذا اللي ساعدنا في الحل وهذا ناتج هي من تعريف
+
+442
+00:56:04,290 --> 00:56:09,190
+epsilon capital N لل limit هذا هو البرهان
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/YiGM8L9BEY0.srt

@@ -0,0 +1,1331 @@
+1
+00:00:20,920 --> 00:00:26,360
+بسم الله الرحمن الرحيم اليوم هناخد آخر لقاء في ال
+
+2
+00:00:26,360 --> 00:00:31,460
+course وهو تكملة section خمسة أربعة في الكتاب
+
+3
+00:00:31,460 --> 00:00:38,850
+المقرر اللي بتكلم عن ال uniform continuity في
+
+4
+00:00:38,850 --> 00:00:45,330
+المحاضرة السابقة عرفنا الاتصال المنتظم وشوفنا 
+
+5
+00:00:45,330 --> 00:00:49,930
+أثبتنا نظريات
+
+6
+00:00:49,930 --> 00:00:54,170
+مهمة عن الاتصال المنتظم أو عدم الاتصال المنتظم
+
+7
+00:00:54,170 --> 00:00:58,850
+فأخدنا ال non uniform continuity criterion اللي 
+
+8
+00:00:58,850 --> 00:01:04,770
+حسبها أو ممكن نستخدمها في إثبات أن دالة محددة ليست
+
+9
+00:01:04,770 --> 00:01:09,750
+uniformly continuous على مجموعة جزئية محددة من 
+
+10
+00:01:09,750 --> 00:01:13,330
+الأعداد الحقيقية فكان في عندي non uniform
+
+11
+00:01:13,330 --> 00:01:18,270
+continuity criterion وآخر نظرية أثبتنا نظرية مهمة
+
+12
+00:01:18,270 --> 00:01:22,490
+وهي ال uniform continuity criterion اللي بتقول
+
+13
+00:01:22,490 --> 00:01:27,650
+أنه لو كانت ال function تبعتي متصلة
+
+14
+00:01:28,780 --> 00:01:31,940
+على المجال تبعها والمجال تبعها closed bounded
+
+15
+00:01:31,940 --> 00:01:38,760
+interval فالاتصال يتحول إلى اتصال منتظم طبعا احنا
+
+16
+00:01:38,760 --> 00:01:43,120
+شفنا في المحاضرة السابقة أنه دائما الاتصال المنتظم
+
+17
+00:01:43,120 --> 00:01:47,200
+أقوى من الاتصال العادي لو كانت الدالة uniformly 
+
+18
+00:01:47,200 --> 00:01:50,960
+continuous فبتكون continuous لكن العكس ليس صحيح
+
+19
+00:01:52,640 --> 00:02:00,080
+فخدنا مثال على دالة function دالة واحد على X شفنا
+
+20
+00:02:00,080 --> 00:02:04,920
+أنها متصلة continuous على الفترة المفتوحة من صفر
+
+21
+00:02:04,920 --> 00:02:09,620
+إلى ما لا نهاية but it was not uniformly continuous
+
+22
+00:02:09,620 --> 00:02:15,780
+على نفس الفترة وبالتالي الاتصال العادي لا يؤدي 
+
+23
+00:02:15,780 --> 00:02:22,820
+للاتصال المنتظم اليوم هنتعرف على نوع جديد من ال
+
+24
+00:02:22,820 --> 00:02:27,040
+functions وهو Lipschitz functions و ال functions هدول
+
+25
+00:02:27,040 --> 00:02:32,200
+هتكونوا دائما كلهم uniformly continuous فنعرف Lipschitz
+
+26
+00:02:32,200 --> 00:02:38,640
+function definition a
+
+27
+00:02:38,640 --> 00:02:42,680
+function f 
+
+28
+00:02:42,680 --> 00:02:44,740
+from a to r
+
+29
+00:02:47,770 --> 00:02:58,050
+إذ Lipschitz .. بنسميها
+
+30
+00:02:58,050 --> 00:03:03,010
+Lipschitz on
+
+31
+00:03:03,010 --> 00:03:10,310
+a إذا وجد if there exists k positive number such
+
+32
+00:03:10,310 --> 00:03:13,510
+that absolute f of x
+
+33
+00:03:36,970 --> 00:03:40,090
+وطبعا ممكن إثبات بكل سهولة
+
+34
+00:03:49,120 --> 00:03:55,860
+الآن هنثبت وهنشوف أنه كل Lipschitz function أو كل
+
+35
+00:03:55,860 --> 00:04:00,320
+function بتحقق Lipschitz condition اللي هو الشرط هذا
+
+36
+00:04:07,690 --> 00:04:12,250
+كل function بتحقق Lipschitz condition أو .. أو نسميها 
+
+37
+00:04:12,250 --> 00:04:17,910
+Lipschitz function بتكون uniformly continuous فنشوف
+
+38
+00:04:17,910 --> 00:04:23,390
+المرحلة دالك إذا هنا every أو
+
+39
+00:04:23,390 --> 00:04:33,270
+if .. if f from a to r is Lipschitz is 
+
+40
+00:04:33,270 --> 00:04:47,300
+Lipschitz on a then it is uniformly continuous
+
+41
+00:04:47,300 --> 00:04:56,080
+on a proof
+
+42
+00:04:56,080 --> 00:05:00,840
+assume
+
+43
+00:05:03,530 --> 00:05:10,310
+إذا كان Lipschitz على
+
+44
+00:05:10,310 --> 00:05:20,250
+a ثم حسب التعريف هناك كمية موجبة كمية كمية كامة
+
+45
+00:05:20,250 --> 00:05:20,470
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+46
+00:05:20,470 --> 00:05:20,690
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+47
+00:05:20,690 --> 00:05:21,490
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+48
+00:05:21,490 --> 00:05:21,530
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+49
+00:05:21,530 --> 00:05:21,690
+كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية كمية
+
+50
+00:05:21,690 --> 00:05:28,390
+كمية كمية كمية
+
+51
+00:05:28,390 --> 00:05:38,840
+k times absolute x minus u for all x where u and
+
+52
+00:05:38,840 --> 00:05:52,180
+a طيب
+
+53
+00:05:52,180 --> 00:05:55,760
+لتسمي ال condition هذا star
+
+54
+00:05:58,650 --> 00:06:02,570
+let epsilon أكبر من الصفر بيجبن let epsilon أكبر
+
+55
+00:06:02,570 --> 00:06:05,490
+من الصفر بيجبن let epsilon أكبر من الصفر بيجبن let
+
+56
+00:06:05,490 --> 00:06:06,290
+epsilon أكبر من الصفر بيجبن let epsilon أكبر من
+
+57
+00:06:06,290 --> 00:06:06,550
+الصفر بيجبن let epsilon أكبر من الصفر بيجبن let
+
+58
+00:06:06,550 --> 00:06:06,570
+epsilon أكبر من الصفر بيجبن let epsilon أكبر من
+
+59
+00:06:06,570 --> 00:06:07,810
+الصفر بيجبن let epsilon أكبر من الصفر بيجبن let
+
+60
+00:06:07,810 --> 00:06:09,990
+epsilon أكبر من الصفر بيجبن
+
+61
+00:06:23,960 --> 00:06:29,040
+عدد موجب إبسلون على K بيطلع عدد موجب وبالتالي إذن 
+
+62
+00:06:29,040 --> 00:06:35,920
+هنا أثبتت إن user Delta تعتمد على إبسلون فقط فلهذه
+
+63
+00:06:35,920 --> 00:06:42,280
+الإبسلون then لو كانت X و U موجودين في A و
+
+64
+00:06:42,280 --> 00:06:47,840
+Absolute X minus U أصغر من Delta فهذا هيقدّي إن
+
+65
+00:06:47,840 --> 00:07:01,000
+Absolute F of X-f of u باي star حسب المتباينة star
+
+66
+00:07:01,000 --> 00:07:06,600
+هذا بيطلع أصغر منه أو يساوي absolute x minus u
+
+67
+00:07:13,020 --> 00:07:18,320
+وأنا عندي absolute x minus u أصغر من دلتا إذا هذا
+
+68
+00:07:18,320 --> 00:07:25,240
+أصغر عفوا by star في عندي هنا k ضرب absolute x
+
+69
+00:07:25,240 --> 00:07:31,780
+minus u الآن أنا عندي absolute x minus u أصغر من
+
+70
+00:07:31,780 --> 00:07:36,840
+دلتا لأن هذا أصغر من k في دلتا وأنا عندي ماخد دلتا
+
+71
+00:07:36,840 --> 00:07:45,940
+بالمساوي إبسلون على k أصبح هذا أصغر من إبسلون لأي
+
+72
+00:07:45,940 --> 00:07:52,500
+إبسلون أكبر من 0 يوجد Delta تعتمد على إبسلون فقط
+
+73
+00:07:52,500 --> 00:07:59,340
+بحيث أنه لكل x و u في a المسافة بينهم أصغر من 
+
+74
+00:07:59,340 --> 00:08:02,820
+Delta طلع المسافة بين ال images أصغر من إبسلون
+
+75
+00:08:06,120 --> 00:08:11,800
+epsilon أكبر من الصفر was arbitrary، إذن هذا صحيح 
+
+76
+00:08:11,800 --> 00:08:15,580
+لكل epsilon وبالتالي by definition، إذن ال
+
+77
+00:08:15,580 --> 00:08:20,780
+function f is uniformly continuous
+
+78
+00:08:20,780 --> 00:08:30,340
+on E، وهو المطلوب إذن هنا أثبتنا إن كل Lipschitz
+
+79
+00:08:30,340 --> 00:08:34,120
+function is uniformly continuous
+
+80
+00:08:36,360 --> 00:08:45,020
+لكن العكس ليس صحيحا .. العكس ليس صحيحا remark ..
+
+81
+00:08:45,020 --> 00:08:55,400
+remark the
+
+82
+00:08:55,400 --> 00:09:00,740
+converse .. the converse of above theorem
+
+83
+00:09:05,350 --> 00:09:11,730
+is false for
+
+84
+00:09:11,730 --> 00:09:16,970
+example على سبيل المثال يعني معنى آخر لو كانت ال
+
+85
+00:09:16,970 --> 00:09:24,750
+function uniformly continuous مش شرط تكون Lipschitz على
+
+86
+00:09:24,750 --> 00:09:31,370
+نفس ال function على نفس ال .. for example consider
+
+87
+00:09:35,170 --> 00:09:48,950
+Consider الـ function f of x بساوي جذر الـ x هو 
+
+88
+00:09:48,950 --> 00:09:54,790
+x ينتمي ل I بساوي closed interval من صفر لاثنين
+
+89
+00:10:07,930 --> 00:10:14,030
+by exercise في exercise أخدناه اللي هو جبنالكم 
+
+90
+00:10:14,030 --> 00:10:23,090
+إياه سؤال في الامتحان ال exercise هذا كان .. خلينا
+
+91
+00:10:23,090 --> 00:10:23,730
+نشوف
+
+92
+00:10:39,170 --> 00:10:45,750
+أو ممكن إثبات أن الدالة هذه is continuous طيب
+
+93
+00:10:45,750 --> 00:10:52,030
+آه
+
+94
+00:10:52,030 --> 00:10:55,910
+by exercise
+
+95
+00:10:55,910 --> 00:11:04,250
+في chapter أربعة أربعة واحد question تمام آه أربعة
+
+96
+00:11:04,250 --> 00:11:11,540
+واحد مظبوط صحيح by exercise تماما section أربعة
+
+97
+00:11:11,540 --> 00:11:16,540
+واحد ال
+
+98
+00:11:16,540 --> 00:11:24,940
+function if is continuous على الفترة لأن في هديك
+
+99
+00:11:24,940 --> 00:11:32,480
+ال exercise هتثبتوا إنه limit جذر ال X لما X تؤول ل
+
+100
+00:11:32,480 --> 00:11:42,910
+C بساوي جذر ال C لكل C أكبر من أو يساوي الصفر طبعا
+
+101
+00:11:42,910 --> 00:11:48,030
+في ال exercise ماخد C أكبر من الصفر لكن لما C 
+
+102
+00:11:48,030 --> 00:11:52,950
+بساوي الصفر فهذا trivial وبالتالي هذا معناه أن
+
+103
+00:11:52,950 --> 00:11:59,890
+دالة F هذه 
+
+104
+00:11:59,890 --> 00:12:05,330
+معناه شرط الاتصال عند C متحقق فهذا معناه أن F is 
+
+105
+00:12:05,330 --> 00:12:12,720
+continuous at C وده صحيح لكل C أكبر من أو يساوي الصفر
+
+106
+00:12:12,720 --> 00:12:20,520
+وبالتالي إذا F is continuous على الفترة من صفر إلى 
+
+107
+00:12:20,520 --> 00:12:25,140
+ما لا نهاية وبالتالي متصلة على الفترة من صفر إلى 
+
+108
+00:12:25,140 --> 00:12:33,460
+اثنين اللي هي جزئية منها okay تمام طيب إذا 
+
+109
+00:12:40,220 --> 00:12:48,440
+إذا by طيب since I بساوي الفترة من الصفر للاثنين
+
+110
+00:12:48,440 --> 00:12:58,140
+الفترة هذه is closed and bounded و
+
+111
+00:12:58,140 --> 00:13:05,080
+if continuous عليها then by
+
+112
+00:13:05,080 --> 00:13:09,520
+uniform continuity theorem
+
+113
+00:13:11,440 --> 00:13:14,900
+نظرية الاتصال المنتظم بتقول إذا كان في عندي 
+
+114
+00:13:14,900 --> 00:13:20,060
+function f متصلة على فترة مغلقة أو محدودة فالاتصال
+
+115
+00:13:20,060 --> 00:13:25,320
+هذا بيكون اتصال منتظم uniform continuity ففي عندي 
+
+116
+00:13:25,320 --> 00:13:32,800
+by uniform continuity theorem تطلع f is uniformly
+
+117
+00:13:32,800 --> 00:13:39,840
+continuous
+
+118
+00:13:41,540 --> 00:13:48,120
+على الفترة I إذاً هي مثال على function uniformly
+
+119
+00:13:48,120 --> 00:13:52,880
+continuous على المجال تبعها هنشوف الآن إن هذه ال
+
+120
+00:13:52,880 --> 00:14:07,060
+function ما هيش Lipschitz على نفس الفترة إذا
+
+121
+00:14:07,060 --> 00:14:07,640
+ال claim
+
+122
+00:14:13,370 --> 00:14:23,650
+f is not .. f is not Lipschitz على 
+
+123
+00:14:23,650 --> 00:14:28,590
+الفترة I فلبرهان
+
+124
+00:14:28,590 --> 00:14:33,990
+ذلك assume
+
+125
+00:14:33,990 --> 00:14:37,950
+on
+
+126
+00:14:37,950 --> 00:14:38,670
+contrary
+
+127
+00:14:43,190 --> 00:14:48,550
+assume on contrary that
+
+128
+00:14:48,550 --> 00:15:01,650
+f is Lipschitz on
+
+129
+00:15:01,650 --> 00:15:04,090
+I then
+
+130
+00:15:06,570 --> 00:15:14,610
+there exists k أكبر من الصفر بحيث أنه absolute f
+
+131
+00:15:14,610 --> 00:15:28,610
+of x minus f of u أصغر من أو يساوي k في absolute x
+
+132
+00:15:28,610 --> 00:15:36,950
+minus u لكل x و you تنتمي للفترة I اللي هي الفترة 
+
+133
+00:15:36,950 --> 00:15:39,970
+المغلقة من صفر للاثنين
+
+134
+00:15:59,060 --> 00:16:04,840
+إذا هنا فرضنا ال contrary ويطلع إن بيطلع عندي
+
+135
+00:16:04,840 --> 00:16:09,160
+فيه huge العدد موجب بحيث كان أنا ادم اتحقق وهذا
+
+136
+00:16:09,160 --> 00:16:15,340
+بيقدر إن absolute f of x لو اخذنا u بساوي صفر minus
+
+137
+00:16:15,340 --> 00:16:24,910
+f of 0 أصغر من أو يساوي k فabsolute x وهذا صحيح لكل x
+
+138
+00:16:24,910 --> 00:16:32,150
+تنتمي للفترة I إذا أنا هنا أخدت U بساوي صفر و
+
+139
+00:16:32,150 --> 00:16:39,070
+الصفر ينتمي للفترة I طيب أنا عندي F صفر بساوي صفر
+
+140
+00:16:39,070 --> 00:16:44,030
+إذا 
+
+141
+00:16:44,030 --> 00:16:47,130
+بطلع عندي absolute
+
+142
+00:16:48,770 --> 00:16:58,510
+f of x أصغر من أو يساوي k في absolute  الـ X وهذا
+
+143
+00:16:58,510 --> 00:17:04,470
+صحيح لكل X  الذي ينتمي لفترة I هي الفترة المغلقة من
+
+144
+00:17:04,470 --> 00:17:09,690
+الصفر لفترة بس
+
+145
+00:17:09,690 --> 00:17:14,810
+هذا هيدي للتناقض طيب
+
+146
+00:17:15,530 --> 00:17:28,330
+تخيل لو أخدت x بساوي واحد على n تربيع فهذا
+
+147
+00:17:28,330 --> 00:17:33,990
+عبارة عن .. هذا ينتمي للفترة .. للفترة المغلقة من
+
+148
+00:17:33,990 --> 00:17:40,410
+الصفر إلى اثنين اللي هي I لأن هذا عدد موجب لكل n ينتمي
+
+149
+00:17:40,410 --> 00:17:46,820
+لـ N لكل عدد طبيعي هذا بطلع ينتمي للفترة هذه
+
+150
+00:17:46,820 --> 00:17:54,300
+وبالتالي إذا المفروض يطلع absolute  f لواحد على N
+
+151
+00:17:54,300 --> 00:18:02,060
+تربيع أصغر من أو يساوي K في absolute واحد على N
+
+152
+00:18:02,060 --> 00:18:10,840
+تربيع هذا صحيح لكل N في N طيب if واحد على n تربيع
+
+153
+00:18:10,840 --> 00:18:16,760
+بيطلع بساوي الجذر التربيعي لواحد على n تربيع
+
+154
+00:18:16,760 --> 00:18:20,200
+اللي 
+
+155
+00:18:20,200 --> 00:18:26,600
+هو عبارة عن واحد على n فـ absolute واحد على n
+
+156
+00:18:26,600 --> 00:18:34,100
+بيطلع واحد على n أصغر من أو يساوي K في واحد على n
+
+157
+00:18:34,100 --> 00:18:43,520
+تربيع هذا صحيح لكل N في N اضرب
+
+158
+00:18:43,520 --> 00:18:50,880
+الطرفين هذه في n تربيع فبطلع عندي n أصغر من أو
+
+159
+00:18:50,880 --> 00:18:59,320
+يساوي K for all N في N وهذا يتناقض مع ال
+
+160
+00:18:59,320 --> 00:19:06,040
+Archimedean property which contradicts
+
+161
+00:19:07,330 --> 00:19:11,130
+التي تتناقض
+
+162
+00:19:11,130 --> 00:19:19,250
+مع مين؟ التي تتناقض مع الـ Archimedean property
+
+163
+00:19:23,770 --> 00:19:28,110
+خاصية Archimedes لأن خاصية Archimedes بتقول لي لأي
+
+164
+00:19:28,110 --> 00:19:35,690
+عدد K عدد موجب أو أي عدد حقيقي K يوجد N0 عدد طبيعي
+
+165
+00:19:35,690 --> 00:19:45,660
+لحيث أن N0 أكبر من K صح؟ ومن هنا كل الأعداد
+
+166
+00:19:45,660 --> 00:19:53,360
+الطبيعية من ضمنها N0  أشملها أصغر من أو يساوي ال K
+
+167
+00:19:53,360 --> 00:20:00,740
+فبطلع N0 أكبر من N0 contradiction إذا السبب ال
+
+168
+00:20:00,740 --> 00:20:04,640
+contradiction هذا أنه إيه ال assumption الفرض
+
+169
+00:20:04,640 --> 00:20:12,440
+تبعنا ال assumption تبعنا أن F is ليس bounded on I okay
+
+170
+00:20:14,100 --> 00:20:19,120
+إذاً هذا بتثبت هذا ال contradiction بتثبت أن الـ f is
+
+171
+00:20:19,120 --> 00:20:29,820
+عفواً f is not bounded on
+
+172
+00:20:29,820 --> 00:20:37,120
+a أو i وهو المطلوب إذاً هذا مثال على function
+
+173
+00:20:37,120 --> 00:20:44,810
+uniformly continuous على set معينة لكنها ليست bounded 
+
+174
+00:20:44,810 --> 00:20:50,450
+لكن أثبتنا قبل إيه إن كل bounded function is always
+
+175
+00:20:50,450 --> 00:20:57,750
+uniformly continuous ناخذ
+
+176
+00:20:57,750 --> 00:20:58,770
+بعض الأمثلة
+
+177
+00:21:26,120 --> 00:21:35,220
+example let f of x بساوي x تربيع و x ينتمي
+
+178
+00:21:35,220 --> 00:21:41,800
+للمجموعة a اللي هي الفترة المغلقة من صفر إلى b
+
+179
+00:21:41,800 --> 00:21:50,410
+حيث b أي عدد موجب b أي عدد موجب بنثبت أن ال
+
+180
+00:21:50,410 --> 00:21:59,950
+function هذه تطلع uniformly continuous show
+
+181
+00:21:59,950 --> 00:22:05,950
+that show
+
+182
+00:22:05,950 --> 00:22:11,670
+أن f is uniformly continuous
+
+183
+00:22:11,670 --> 00:22:23,720
+on a ففيه برهانين حالين proof one حال الأول since
+
+184
+00:22:23,720 --> 00:22:28,400
+f
+
+185
+00:22:28,400 --> 00:22:37,400
+is continuous on a being
+
+186
+00:22:37,400 --> 00:22:39,440
+a polynomial
+
+187
+00:22:44,780 --> 00:22:47,300
+لأنها polynomial و احنا قلنا كل polynomial
+
+188
+00:22:47,300 --> 00:22:51,800
+function متصلة على R وبالتالي على أي مجموعة جزئية
+
+189
+00:22:51,800 --> 00:22:59,760
+من R زي المجموعة A اللي هي الفترة المغلقة من صفر
+
+190
+00:22:59,760 --> 00:23:05,620
+إلى الـ B ف
+
+191
+00:23:05,620 --> 00:23:10,920
+f is continuous على A كونها polynomial and بما
+
+192
+00:23:10,920 --> 00:23:19,480
+أنّه and since الـ set A هذه اللي هي عبارة عن الفترة
+
+193
+00:23:19,480 --> 00:23:29,320
+المغلقة من صفر لـ B is closed and bounded and
+
+194
+00:23:29,320 --> 00:23:34,500
+bounded interval
+
+195
+00:23:34,500 --> 00:23:44,980
+then by uniform continuity theorem
+
+196
+00:23:47,180 --> 00:23:53,380
+حسب نظرية الاتصال المنتظم اللي بتقول لو كان في 
+
+197
+00:23:53,380 --> 00:23:57,140
+function مجالها closed bounded interval و ال
+
+198
+00:23:57,140 --> 00:24:03,120
+function متصلة عليها فالاتصال بتحول الى اتصال منتظم
+
+199
+00:24:03,120 --> 00:24:08,040
+إذا ال function f is uniformly
+
+200
+00:24:10,270 --> 00:24:16,870
+continuous on a وهذا برهان لأنه ممكن نستخدم ال
+
+201
+00:24:16,870 --> 00:24:20,550
+uniform continuity theorem لإثبات أنه function
+
+202
+00:24:20,550 --> 00:24:24,970
+اللي زي هذه الدالة التربيعية uniform continuous على
+
+203
+00:24:24,970 --> 00:24:32,550
+أي فترة مغلقة زي الفترة هذه الحل
+
+204
+00:24:32,550 --> 00:24:37,830
+التاني ممكن نثبت أن الدالة هذه bounded برضه و أستخدم
+
+205
+00:24:37,830 --> 00:24:38,710
+نظرية هذه
+
+206
+00:24:41,510 --> 00:24:48,950
+نشوف مع بعض، هنا البرهان الثاني أو برهان رقم اثنين،
+
+207
+00:24:48,950 --> 00:24:58,810
+proof اثنين claim
+
+208
+00:24:58,810 --> 00:25:03,950
+أنّ f is bounded
+
+209
+00:25:08,200 --> 00:25:18,740
+on a التي هي الفترة المغلقة من صفر إلى b
+
+210
+00:25:18,740 --> 00:25:26,260
+فالإثبات هذا الكلام تعال نشوف هي absolute f of x
+
+211
+00:25:26,260 --> 00:25:35,000
+minus f of u إيش بيساوي absolute x
+
+212
+00:25:35,820 --> 00:25:43,960
+تربيع minus u تربيع بيساوي absolute x زائد u في
+
+213
+00:25:43,960 --> 00:25:51,860
+absolute x minus u وهذا بيساوي absolute x زائد u في
+
+214
+00:25:51,860 --> 00:25:58,640
+absolute x ناقص u و by triangle inequality
+
+215
+00:25:58,640 --> 00:26:04,330
+absolute x زائد u أصغر من أو يساوي absolute x زائد
+
+216
+00:26:04,330 --> 00:26:13,910
+absolute u كل هذا مضروب في absolute x minus u الآن
+
+217
+00:26:13,910 --> 00:26:19,970
+ال u و ال x ينتموا للمجال تبع الدالة وبالتالي
+
+218
+00:26:19,970 --> 00:26:29,990
+كلاهما عدد غير سالب و كلاهما أصغر من أو يساوي ال
+
+219
+00:26:29,990 --> 00:26:37,320
+b صح؟ إن هذا أصغر من أو يساوي b زائد b في
+
+220
+00:26:37,320 --> 00:26:45,420
+absolute x minus u for all x و u ينتموا للمجموعة
+
+221
+00:26:45,420 --> 00:26:52,520
+اللي هي الفترة المغلقة من صفر إلى b طبعاً هذا
+
+222
+00:26:52,520 --> 00:27:01,660
+بساوٍ 2 b في absolute x minus u for all x و u
+
+223
+00:27:01,660 --> 00:27:08,820
+تنتمي إلى a إذا هذا شرط الـ bounded تحقق with k بيساوي
+
+224
+00:27:08,820 --> 00:27:17,340
+2 b عدد موجب إذا هنا take k
+
+225
+00:27:17,340 --> 00:27:21,800
+بيساوٍ 2 b عدد موجب
+
+226
+00:27:36,690 --> 00:27:38,510
+Okay طبعا
+
+227
+00:27:54,180 --> 00:28:09,940
+واضح البرهان في أي سؤال أو استفسار في
+
+228
+00:28:09,940 --> 00:28:17,160
+عندي نظرية تتعلق بالـ uniform لها علاقة بال
+
+229
+00:28:17,160 --> 00:28:22,180
+uniform continuity وهي النظرية التالية
+
+230
+00:28:38,260 --> 00:28:49,440
+Theorem if f from a to r is uniformly is uniformly
+
+231
+00:28:49,440 --> 00:28:52,540
+continuous
+
+232
+00:28:52,540 --> 00:29:00,780
+on a then
+
+233
+00:29:03,000 --> 00:29:09,640
+For any Cauchy Sequence
+
+234
+00:29:09,640 --> 00:29:18,780
+xn contained in A The
+
+235
+00:29:18,780 --> 00:29:22,700
+sequence f
+
+236
+00:29:22,700 --> 00:29:31,580
+of xn اللي هي ال image لسيكنس xn is Cauchy
+
+237
+00:29:33,110 --> 00:29:40,090
+in R that
+
+238
+00:29:40,090 --> 00:29:45,950
+is that
+
+239
+00:29:45,950 --> 00:29:56,030
+is هذا يعني هذا يعني هذا يعني أنّه uniformly
+
+240
+00:29:56,030 --> 00:30:01,090
+uniformly continuous
+
+241
+00:30:04,960 --> 00:30:18,040
+functions preserve Cauchy
+
+242
+00:30:18,040 --> 00:30:22,460
+sequences
+
+243
+00:30:27,960 --> 00:30:34,420
+يعني الدوال اللي بتكون متصلة اتصال منتظم بتحافظ على
+
+244
+00:30:34,420 --> 00:30:39,960
+Cauchy sequences بمعنى أنّه لو كانت xn Cauchy
+
+245
+00:30:39,960 --> 00:30:46,260
+sequence في المجال تبع الدالة A فصورتها هتطلع
+
+246
+00:30:46,260 --> 00:30:52,080
+Cauchy sequence في المجال المقابل R والبرهان سهل
+
+247
+00:30:53,210 --> 00:30:57,390
+طبعاً هذا بس صحيح للـ uniform لـ continuous functions
+
+248
+00:30:57,390 --> 00:31:02,350
+أما لو كانت ال function بس continuous فمش شرط
+
+249
+00:31:02,350 --> 00:31:07,510
+تحافظ على Cauchy sequences والبرهان
+
+250
+00:31:07,510 --> 00:31:18,670
+سهل بسيط prove let
+
+251
+00:31:18,670 --> 00:31:29,880
+f from A to R be uniformly continuous on
+
+252
+00:31:29,880 --> 00:31:44,240
+a and let x in contained in a,b كوشي كوشي sequence
+
+253
+00:31:44,240 --> 00:31:50,420
+و بدنا نثبت أن ال image لل sequence x in بتطلع
+
+254
+00:31:50,420 --> 00:31:57,060
+كوشي طيب to show ان
+
+255
+00:31:57,060 --> 00:32:09,340
+ال image لسيكوينس XN is Cauchy للبرهان
+
+256
+00:32:09,340 --> 00:32:15,180
+أن ال sequence هذه ال image لسيكوينس XN is Cauchy
+
+257
+00:32:15,180 --> 00:32:24,130
+نحاول نطبق تعريف Cauchy sequence أو نحاول نحقق شرط
+
+258
+00:32:24,130 --> 00:32:31,290
+كوشي فكيف نحقق قولت epsilon أكبر من الصفر بيجي بنا
+
+259
+00:32:31,290 --> 00:32:39,210
+وبدنا نرد عليها بـ Capital N تحقق لي شرط كوشي طيب
+
+260
+00:32:39,210 --> 00:32:44,110
+since f
+
+261
+00:32:44,110 --> 00:32:45,390
+is uniformly
+
+262
+00:32:47,670 --> 00:32:55,510
+continuous on a إذا لأي إبسلون موجبة زي هذه يوجد
+
+263
+00:32:55,510 --> 00:33:02,650
+إذا
+
+264
+00:33:02,650 --> 00:33:09,410
+لأي إبسلون زي هذِ مع أنّه f uniform continuous إذا
+
+265
+00:33:09,410 --> 00:33:13,670
+لأي epsilon حسب تعريف ال uniform continuity يوجد
+
+266
+00:33:13,670 --> 00:33:21,510
+delta تعتمد على epsilon عدد موجب بحيث أنّه لو كان x
+
+267
+00:33:24,390 --> 00:33:30,090
+و u موجودين في A و Absolute x minus u أصغر من
+
+268
+00:33:30,090 --> 00:33:37,570
+delta فهذا يعني أن Absolute f of x minus f of u
+
+269
+00:33:37,570 --> 00:33:47,250
+أصغر من epsilon نسمي ال implication هذه star الآن
+
+270
+00:33:47,250 --> 00:33:53,610
+since ال sequence xn is Cauchy
+
+271
+00:33:58,410 --> 00:34:02,810
+then و delta and
+
+272
+00:34:02,810 --> 00:34:11,090
+delta أكبر من الصفر طبعاً هذه given is given ال
+
+273
+00:34:11,090 --> 00:34:13,850
+delta هذه قلنا يوجد delta عدد موجب بما أن هذه
+
+274
+00:34:13,850 --> 00:34:20,650
+تعتبر given delta فلل delta هذه اللي هنا عدد موجب
+
+275
+00:34:20,650 --> 00:34:27,960
+بما أن xn is Cauchy إذا there exist يوجد Capital N
+
+276
+00:34:27,960 --> 00:34:37,220
+يعتمد على delta عدد طبيعي بحيث أنّه شرط كوشي يتحقق
+
+277
+00:34:37,220 --> 00:34:43,140
+وهو لكل n و m أكبر من أو يساوي Capital N بطلع عندي
+
+278
+00:34:43,140 --> 00:34:49,040
+absolute xn minus xm أصغر من delta
+
+279
+00:34:52,280 --> 00:35:01,060
+بنسمي هذه double star now star and double star
+
+280
+00:35:01,060 --> 00:35:14,240
+بيقدّوا أنّه يوجد Capital N يعتمد على epsilon لأن 
+
+281
+00:35:14,240 --> 00:35:18,800
+الـ delta بتعتمد على الـ epsilon
+
+282
+00:35:18,800 --> 00:35:26,260
+إبسلون، ملاحظة الحال فـ N هذه نفسها N of delta
+
+283
+00:35:26,260 --> 00:35:33,360
+بيساوي N of إبسلون بتتمي لـ N بحيث أنه لو كان N و M
+
+284
+00:35:33,360 --> 00:35:40,480
+أكبر من أو يساوي capital N فهذا بيقدّي أنه by
+
+285
+00:35:40,480 --> 00:35:48,270
+double star هذا بيقدّم |xn - xm| أصغر من
+
+286
+00:35:48,270 --> 00:35:55,450
+دلتا وحسب الـ star by star الـ star بتقول لو كان
+
+287
+00:35:55,450 --> 00:36:01,030
+عندي x و u المسافة بينهم أصغر من دلتا فالمسافة بين
+
+288
+00:36:01,030 --> 00:36:08,790
+صورهم اللي هي xn هنا وصورة الـ xm تطلع أصغر من إبسلون
+
+289
+00:36:10,550 --> 00:36:16,550
+تمام؟ إذا هنا أثبتت لأي إبسلون أكبر من الصفر يوجد
+
+290
+00:36:16,550 --> 00:36:20,830
+capital N يعتمد على إبسلون عدد طبيعي بحيث لكل M و M
+
+291
+00:36:20,830 --> 00:36:25,510
+أكبر من أو يساوي capital N طلع المسافة بين F of X M
+
+292
+00:36:25,510 --> 00:36:31,650
+و F of X N أصغر من إبسلون إذا بما أنه since إبسلون
+
+293
+00:36:31,650 --> 00:36:39,100
+أكبر من الصفر was arbitrary إذا الـ sequence f of x
+
+294
+00:36:39,100 --> 00:36:45,120
+is Cauchy تطلع الـ sequence هذه Cauchy وهو
+
+295
+00:36:45,120 --> 00:36:54,080
+المطلوب okay تمام ممكن نستخدم النظرية هذه ممكن
+
+296
+00:36:54,080 --> 00:37:01,400
+نستخدم النظرية هذه في الـ ..
+
+297
+00:37:01,400 --> 00:37:06,320
+أن نثبت أن function معينة ليست uniform and
+
+298
+00:37:06,320 --> 00:37:16,200
+continuous هاي example use
+
+299
+00:37:16,200 --> 00:37:20,100
+above theorem
+
+300
+00:37:20,100 --> 00:37:31,860
+to show الـ function f of x بسعر واحد على x is
+
+301
+00:37:31,860 --> 00:37:32,280
+not
+
+302
+00:37:35,480 --> 00:37:43,220
+uniformly continuous on a بساوي الفترة المفتوحة من
+
+303
+00:37:43,220 --> 00:37:44,680
+صفر إلى ما لا نهاية
+
+304
+00:37:57,800 --> 00:38:01,060
+لحظة أن النظرية دي إيش بتقول لو كانت الـ function
+
+305
+00:38:01,060 --> 00:38:05,140
+uniformly continuous فلازم تحافظ على Cauchy sequence
+
+306
+00:38:05,140 --> 00:38:09,440
+طب لو محافظتش على Cauchy sequence مش ممكن تكون
+
+307
+00:38:09,440 --> 00:38:17,260
+uniformly continuous صح؟ مظبوط؟ إذا هنا proof
+
+308
+00:38:17,260 --> 00:38:25,680
+by above theorem حسب النظرية على it suffices
+
+309
+00:38:28,360 --> 00:38:36,220
+to show يكفي إثبات أن f is .. if does not .. if
+
+310
+00:38:36,220 --> 00:38:46,960
+does .. does not preserve .. preserve Cauchy
+
+311
+00:38:46,960 --> 00:38:52,860
+sequences ف
+
+312
+00:38:52,860 --> 00:38:53,500
+consider
+
+313
+00:38:56,930 --> 00:39:03,270
+consider الـ sequence xn اللي هي بساوي واحد على n
+
+314
+00:39:03,270 --> 00:39:11,470
+الـ sequence هذه converge لصفر وبالتالي
+
+315
+00:39:11,470 --> 00:39:25,130
+إذا xn is Cauchy تمام but صورة الـ xn
+
+316
+00:39:28,660 --> 00:39:37,460
+إيش بتطلع؟ صورة الواحد على n تطلع الـ sequence n
+
+317
+00:39:37,460 --> 00:39:43,620
+صح؟ و الـ sequence هذه properly divergent to
+
+318
+00:39:43,620 --> 00:39:49,760
+infinity، إذا it's divergent، إذا it's not Cauchy
+
+319
+00:39:49,760 --> 00:39:54,220
+تمام؟
+
+320
+00:39:57,130 --> 00:40:01,450
+Okay؟ وبالتالي إذا هاي في عندي .. هاي في عندي ..
+
+321
+00:40:01,450 --> 00:40:08,790
+إذا if لا تحافظ على الـ Cauchy sequences إذا if does
+
+322
+00:40:08,790 --> 00:40:13,210
+not preserve
+
+323
+00:40:13,210 --> 00:40:19,050
+.. preserve Cauchy
+
+324
+00:40:26,330 --> 00:40:31,610
+sequences وبالتالي حسب النظرية الأخيرة ما بتكونش
+
+325
+00:40:31,610 --> 00:40:34,630
+uniformly continuous لأن لو كانت uniformly
+
+326
+00:40:34,630 --> 00:40:38,370
+continuous فالمفروض تاخد Cauchy sequence زي هذه
+
+327
+00:40:38,370 --> 00:40:42,730
+تعطينا صورتها Cauchy sequence وهذا مستحيل okay تمام
+
+328
+00:40:42,730 --> 00:40:47,970
+واضح في أي سؤال أي استفسار إذا هيك نكتفي بهذا
+
+329
+00:40:47,970 --> 00:40:52,540
+القدر من section خمسة أربعة وزي ما حكينا سابقًا هذا
+
+330
+00:40:52,540 --> 00:40:57,260
+كان آخر section هناخده في المقرر وبالتالي هيكون
+
+331
+00:40:57,260 --> 00:41:03,400
+يعني .. يعني إن شاء الله أنهينا الـ course كما هو
+
+332
+00:41:03,400 --> 00:41:10,600
+موضح على الـ syllabus فشكرًا لكم و شكرًا لحسن إصغائكم
+
+333
+00:41:10,600 --> 00:41:13,580
+و يعطيكم ألف عافية

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/ZfnDnf4RR5M_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1932 @@
+1
+00:00:20,670 --> 00:00:26,650
+السلام عليكم اليوم ان شاء الله هنكمل section أربعة
+
+2
+00:00:26,650 --> 00:00:35,990
+واحد اللي عرفنا فيه ال limits و ال functions أخدنا
+
+3
+00:00:35,990 --> 00:00:40,650
+المرة الأولى تلتة تعريف epsilon delta ل limit of
+
+4
+00:00:40,650 --> 00:00:45,990
+function وشوفنا أن هذا بكافة تعريف في neighborhood
+
+5
+00:00:45,990 --> 00:00:51,040
+definition لlimit of function على النقطةو بدنا
+
+6
+00:00:51,040 --> 00:00:57,500
+ناخد أمثلة كيف نستخدم تعريف epsilon delta في إثبات
+
+7
+00:00:57,500 --> 00:01:03,360
+أن ال limit لدالة معينة عن مقطة معددة بتساوي عدد
+
+8
+00:01:03,360 --> 00:01:08,310
+محدد فاخدنا بعض الأمثلة اليوم هنستمرهنعطي مزيد من
+
+9
+00:01:08,310 --> 00:01:12,930
+الأمثلة و بندرس خواص ال limits ل ال functions
+
+10
+00:01:12,930 --> 00:01:19,490
+فالمثال اللى وصلناه له رقم تلاتة عايزين نثبت ان ال
+
+11
+00:01:19,490 --> 00:01:25,730
+limit لدلة تربية X تربية لما X تقول ل C بساوي C
+
+12
+00:01:25,730 --> 00:01:29,330
+تربية ف solution
+
+13
+00:01:33,240 --> 00:01:40,260
+ناخد f of x بالساوي x تربية هيفر اكس ينتمي الى r
+
+14
+00:01:40,260 --> 00:01:43,880
+واحنا
+
+15
+00:01:43,880 --> 00:01:50,600
+عايزين من الآخر نثبت ان ال absolute value ل f of x
+
+16
+00:01:50,600 --> 00:01:58,400
+minus c تربية أصغر من أي given epsilon عدد موجة
+
+17
+00:01:59,300 --> 00:02:04,780
+عندما الـ X تكون قريبة من المقطة C أو تقع فيه جوار
+
+18
+00:02:04,780 --> 00:02:13,600
+Delta معينة للعدد C طيب هذا عبارة عن Absolute X
+
+19
+00:02:13,600 --> 00:02:22,620
+تربية سالم C تربية بتحلل إلى Absolute X minus C في
+
+20
+00:02:22,620 --> 00:02:24,620
+X موجة بالـ C
+
+21
+00:02:27,570 --> 00:02:33,430
+إذاً هذا عبارة عن absolute X زائد C في absolute X
+
+22
+00:02:33,430 --> 00:02:37,830
+minus C الأن
+
+23
+00:02:37,830 --> 00:02:42,430
+بدي أحاول أخلي هذا أصغر من أو ساوي عدد موجة بم
+
+24
+00:02:42,430 --> 00:02:47,290
+فبحاول
+
+25
+00:02:47,290 --> 00:02:52,830
+أخد فيه ملة Delta لت دلتا بالساوي واحد
+
+26
+00:03:00,710 --> 00:03:12,430
+then أنا عندي absolute x زائد c هذا أصغر
+
+27
+00:03:12,430 --> 00:03:19,910
+من او ساوي absolute x زايد absolute cفي absolute x
+
+28
+00:03:19,910 --> 00:03:25,450
+minus c استخدام ال triangle inequality absolute x
+
+29
+00:03:25,450 --> 00:03:30,430
+زاد c أصلا لو ساوي absolute x زاد absolute c الآن
+
+30
+00:03:30,430 --> 00:03:39,530
+absolute x بساوي absolute x سالب c زاد زاد
+
+31
+00:03:39,530 --> 00:03:44,270
+c ممكن أطرح من ال xc و أرجعهاوباستخدام الـ
+
+32
+00:03:44,270 --> 00:03:49,030
+triangular equality هذا أصغر لو يساوي absolute x
+
+33
+00:03:49,030 --> 00:03:58,150
+ثالث c زائد absolute c فلو كان absolute x minus c
+
+34
+00:03:58,150 --> 00:04:04,070
+أصغر من دلتا اللي هي بساوية واحد إذا كان خلّينا
+
+35
+00:04:04,070 --> 00:04:07,190
+ناخد دلتا بساوية واحد إذا كان absolute x minus c
+
+36
+00:04:07,190 --> 00:04:13,370
+أصغر من دلتا اللي أنا ماخدها واحدفهذا بيطلع أصغر
+
+37
+00:04:13,370 --> 00:04:21,490
+من واحد زائد أبسليوت C وبالتالي
+
+38
+00:04:21,490 --> 00:04:32,370
+أبسليوت X تربية سالب C تربية بيطلع أصغر من أبسليوت
+
+39
+00:04:32,370 --> 00:04:35,150
+X اللي هي واحد زائد
+
+40
+00:04:37,400 --> 00:04:43,720
+أتنين في absolute C في absolute X minus C
+
+41
+00:04:48,510 --> 00:04:51,770
+كمان مرة احنا توصلنا إلى ان ال absolute value
+
+42
+00:04:51,770 --> 00:04:57,150
+للفرق هذا أصغر من أو ساوي absolute x زاد absolute
+
+43
+00:04:57,150 --> 00:05:01,290
+c في absolute x ثالث c أخدنا delta بالساوي واحد
+
+44
+00:05:01,290 --> 00:05:05,190
+وقلنا لو كان absolute x minus t أصغر من delta اللي
+
+45
+00:05:05,190 --> 00:05:09,190
+هي واحد بتطلع absolute x أصغر من واحد زاد absolute
+
+46
+00:05:09,190 --> 00:05:13,830
+c وبالتالي absolute الفرق هذا هي أصغر من أو ساوي
+
+47
+00:05:14,180 --> 00:05:18,500
+absolute x هي أصغر من واحد زاد absolute c وانتي
+
+48
+00:05:18,500 --> 00:05:23,820
+absolute c فأصغر من واحد زاد اتنين فabsolute c ضرب
+
+49
+00:05:23,820 --> 00:05:29,460
+absolute x minus c الان بدي أخلي هذا أصغر من
+
+50
+00:05:29,460 --> 00:05:39,160
+epsilon هذا بدي أخليه أصغر من epsilon لما
+
+51
+00:05:39,160 --> 00:05:40,920
+يكون هذا أصغر من delta
+
+52
+00:05:48,400 --> 00:05:52,700
+فباخد إذا لما يكون هذا أصغر من دلتا فهذا بصير أصغر
+
+53
+00:05:52,700 --> 00:05:58,880
+من واحد زي اتنين absolute c في دلتا لما يكون ال
+
+54
+00:05:58,880 --> 00:06:03,000
+absolute value ل X معناه C أصغر من دلتا فهذا بطلع
+
+55
+00:06:03,000 --> 00:06:07,740
+أصغر من واحد زي اتنين في absolute c في دلتا الآن
+
+56
+00:06:07,740 --> 00:06:16,040
+متى بيكون هذا أصغر من إبسرن لما دلتاإذا كانت delta
+
+57
+00:06:16,040 --> 00:06:25,240
+هذه أصغر من أوي ساوي epsilon على واحد زايد اتنين
+
+58
+00:06:25,240 --> 00:06:29,960
+في absolute of c إذا هاي قيمة تانية ل delta هاي
+
+59
+00:06:29,960 --> 00:06:35,660
+اندي delta بساوي واحد و delta أصغر من أوي ساوي
+
+60
+00:06:35,660 --> 00:06:39,760
+epsilon على واحد زايد اتنين في absolute of c إذا
+
+61
+00:06:39,760 --> 00:06:49,590
+باجي بقولlet epsilon أكبر من السفر be given a
+
+62
+00:06:49,590 --> 00:06:57,690
+choose delta بتساوي ال minimum الأصغر بين القمتين
+
+63
+00:06:57,690 --> 00:07:07,050
+واحد وepsilon على واحد زاد اتنين في absolute c ال
+
+64
+00:07:07,050 --> 00:07:13,660
+delta هذه الآن عدد موجب ويعتمد على epsilonإذا لهذه
+
+65
+00:07:13,660 --> 00:07:24,140
+الـ Delta لو كان X ينتمي ل R اللي هو مجال الدالة و
+
+66
+00:07:24,140 --> 00:07:31,780
+Absolute X minus C أكبر من صفر أصغر من Delta فهذا
+
+67
+00:07:31,780 --> 00:07:36,960
+بيؤدي طبعا ال Delta هذه هي الأصغر من العددين هذوله
+
+68
+00:07:36,960 --> 00:07:40,920
+وبالتالي أصغر من أو يساوي واحد وأصغر من أو يساوي
+
+69
+00:07:40,920 --> 00:07:46,820
+كسر هذافالـ delta أكيد أصغر من أو يساوي الواحد،
+
+70
+00:07:46,820 --> 00:07:52,360
+لما الـ delta أصغر من أو يساوي الواحد، هذا بيقدر
+
+71
+00:07:52,360 --> 00:07:56,940
+أن absolute X
+
+72
+00:07:56,940 --> 00:08:04,800
+أصغر من واحد زائد absolute Cوكمان هذا بيقدي أنه
+
+73
+00:08:04,800 --> 00:08:11,000
+absolute x تربية سالب c تربية أصغر من أوي ساوي
+
+74
+00:08:11,000 --> 00:08:23,400
+absolute x زاد absolute c absolute
+
+75
+00:08:23,400 --> 00:08:28,640
+x سالب c وبالتالي هذا أصغر من أوي ساوي واحد زاد
+
+76
+00:08:28,640 --> 00:08:39,840
+اتنين absolute cو هذا اصغر من delta و
+
+77
+00:08:39,840 --> 00:08:49,520
+الان ال delta هذه طبعا
+
+78
+00:08:49,520 --> 00:08:55,420
+هذا اصغر من delta و ال delta قلنا اصغر منها و
+
+79
+00:08:55,420 --> 00:08:58,600
+يساوي epsilon هاي واحد زي اتنين
+
+80
+00:09:19,770 --> 00:09:26,670
+بشكل صحيح بما أن ابسلون أكبر من السفر was
+
+81
+00:09:26,670 --> 00:09:27,550
+arbitrary
+
+82
+00:09:31,810 --> 00:09:35,410
+إذاً هيك بنكون أثباتنا لكل epsilon أكبر من السفر
+
+83
+00:09:35,410 --> 00:09:41,150
+يوجد delta تعتمد على epsilon عدد موجة ب half لكل x
+
+84
+00:09:41,150 --> 00:09:46,710
+المسافة مختلفة عن ال c والمسافة بينها وبين ال c
+
+85
+00:09:46,710 --> 00:09:52,590
+أصغر من delta بتطلع المسافة بين f of x وc تربيه
+
+86
+00:09:52,590 --> 00:10:01,190
+أصغر من epsilon إذاً we haveBy definition إن ال
+
+87
+00:10:01,190 --> 00:10:11,390
+limit ل X تربيه لما X تقول إلى C بساوي C تربيه وهو
+
+88
+00:10:11,390 --> 00:10:17,410
+المطلوب، okay؟ إذن هذا هو برهان إن ال limit للدالة
+
+89
+00:10:17,410 --> 00:10:23,300
+التربيهية عن C بساوي C تربيهاستخدمنا تعريف epsilon
+
+90
+00:10:23,300 --> 00:10:28,260
+دلتا وشوفنا ان دلتا هنا لازم تكون الأصغر من
+
+91
+00:10:28,260 --> 00:10:34,520
+الكمتين اللي هو الواحد والكاسر اللي هناك هي اي
+
+92
+00:10:34,520 --> 00:10:41,020
+سخصار اي سؤال خلينا ناخد كمان مثال مشابه لهذا وفيه
+
+93
+00:10:41,020 --> 00:10:44,560
+ال delta برضه بتساوي ال minimum لكمتين
+
+94
+00:10:53,440 --> 00:11:02,620
+المثال الرقم أربعة show أنه ال limit لواحد على x
+
+95
+00:11:02,620 --> 00:11:14,020
+لما x تقول إلى zero لأ
+
+96
+00:11:14,020 --> 00:11:20,340
+ال limit لواحد على x لما x تقول إلى أي عدد cبساوي
+
+97
+00:11:20,340 --> 00:11:27,420
+واحد على C حيث C أكبر من 7 فهنا
+
+98
+00:11:27,420 --> 00:11:30,520
+بناخد ال function تبعتي الدالة اللي بتجميلها ال
+
+99
+00:11:30,520 --> 00:11:36,800
+limit هي عبارة عن F of X بساوي واحد على X حيث X
+
+100
+00:11:36,800 --> 00:11:41,720
+موجبة إذا المجال تبع الدالة هذه الفترة المفتوحة من
+
+101
+00:11:41,720 --> 00:11:49,410
+سفر إلى ما لا نهاية واند C عدد موجبةطيب انا عايز
+
+102
+00:11:49,410 --> 00:11:57,190
+اثبت ان absolute f of x minus واحد على c بدي هذا
+
+103
+00:11:57,190 --> 00:12:02,470
+يكون اصغر من اي given epsilon عندما x تكون قريبة
+
+104
+00:12:02,470 --> 00:12:12,230
+من ال c او في جوار delta لل cفهذا طبعا اش بساوي هي
+
+105
+00:12:12,230 --> 00:12:17,790
+absolute واحد على X minus واحد على C وهذا بساوي
+
+106
+00:12:17,790 --> 00:12:27,950
+absolute C minus X على X في C وهذا بساوي واحد على
+
+107
+00:12:27,950 --> 00:12:33,270
+X في C ضرب absolute X minus C
+
+108
+00:12:38,060 --> 00:12:45,780
+الان بدي أحاول أجيب upper bound عدد
+
+109
+00:12:45,780 --> 00:12:53,720
+موجة ب M بحيث ال 1 على X في C يكون أصغر من أو ساوي
+
+110
+00:12:53,720 --> 00:12:57,360
+ال M تعالوا نشوف كيف نجيب ال upper bound هذا أو ال
+
+111
+00:12:57,360 --> 00:13:06,330
+boundأنا عندى ال take الاول take انا عندى ال c عدد
+
+112
+00:13:06,330 --> 00:13:12,190
+موجب take delta بساوي c على اتنين هذا عدد موجب
+
+113
+00:13:12,190 --> 00:13:16,050
+then
+
+114
+00:13:16,050 --> 00:13:23,510
+absolute x minus c اصغر من delta اللى هو بساويC ع
+
+115
+00:13:23,510 --> 00:13:32,030
+2 بيقدي ان X أصغر من ثلاثة C ع 2 أكبر من C ع 2
+
+116
+00:13:32,030 --> 00:13:43,430
+وهذا بيقدي ان واحد على X في C أصغر من اتنين على C
+
+117
+00:13:43,430 --> 00:13:44,270
+ترمية
+
+118
+00:13:50,000 --> 00:13:54,920
+ال X أكبر من C على 2 إذا مقلوب ال X أصغر من 2 على
+
+119
+00:13:54,920 --> 00:14:01,220
+C مقلوب ال X و أضربها في 1 على C بيطلع أصغر من 2
+
+120
+00:14:01,220 --> 00:14:07,100
+على C تربيه وبالتالي
+
+121
+00:14:07,100 --> 00:14:13,540
+هذا العدد هذا هو ال M عدد
+
+122
+00:14:13,540 --> 00:14:16,320
+موجة إذا
+
+123
+00:14:18,670 --> 00:14:28,290
+في الحالة هذه في الحالة
+
+124
+00:14:28,290 --> 00:14:34,910
+هذه بصير عندي هذا أصغر من اتنين على C تربية وطبعا
+
+125
+00:14:34,910 --> 00:14:39,430
+هذا أصغر من Delta Absolute X minus C طبعا بيكون
+
+126
+00:14:39,430 --> 00:14:44,690
+أصغر من Delta الآن عشان يكون هذا أصغر من أو ساوي
+
+127
+00:14:44,690 --> 00:14:52,820
+Epsilonفنختار choose الـ delta أصغر من أو ساوي حل
+
+128
+00:14:52,820 --> 00:14:57,140
+المتباينة هذه في الـ delta فالـ delta ستصبح أصغر
+
+129
+00:14:57,140 --> 00:15:04,540
+من أو ساوي C تربيع على 2 تلصق فهي قيمة تانية لـ
+
+130
+00:15:04,540 --> 00:15:09,440
+delta فبأخد الـ delta ال minimum للقيمة الأولى
+
+131
+00:15:10,560 --> 00:15:16,040
+والقيمة التانية هذا هيخلي انه لكل x المسافة بين او
+
+132
+00:15:16,040 --> 00:15:20,320
+بين c اصغر من delta هتخلي المسافة بين f of x واحد
+
+133
+00:15:20,320 --> 00:15:26,280
+على c اصغر من ال given epsilon نكتب الكلام هذا let
+
+134
+00:15:26,280 --> 00:15:29,240
+epsilon be given choose delta بالساوي ال minimum
+
+135
+00:15:29,240 --> 00:15:36,260
+نختار
+
+136
+00:15:36,260 --> 00:15:42,030
+delta ال minimumللعدد الموجة بـ c ع 2، والعدد
+
+137
+00:15:42,030 --> 00:15:49,000
+التاني ده هو c تربيه ع 2 في epsilonطبعا هذا عدد
+
+138
+00:15:49,000 --> 00:15:52,740
+أكيد عدد موجب لأن هذا موجب وهذا موجب والأصغر بينهم
+
+139
+00:15:52,740 --> 00:15:56,820
+هيطلع موجب واتنين بيعتمدوا على epsilon إذن delta
+
+140
+00:15:56,820 --> 00:16:00,620
+عدد موجب بيعتمد على epsilon إذا لأي epsilon أكبر
+
+141
+00:16:00,620 --> 00:16:04,360
+من سفر هين أثبتت يوجد delta تعتمد على epsilon عدد
+
+142
+00:16:04,360 --> 00:16:11,680
+موجب بحيث أنه لكل x ينتمي لإيه المجال هنا اللي هو
+
+143
+00:16:11,680 --> 00:16:19,300
+الفترة المفتوحة من سفر إلى دالة نهايةو absolute x
+
+144
+00:16:19,300 --> 00:16:25,400
+minus c أكبر من سفر أصغر من ال delta هذا بيقدي أن
+
+145
+00:16:25,400 --> 00:16:33,260
+ال delta هذه أصغر من أو يساوي c ع 2 فلما ال delta
+
+146
+00:16:33,260 --> 00:16:39,280
+تكون أصغر من أو يساوي c ع 2 هذا بيقدي أنه واحد على
+
+147
+00:16:39,280 --> 00:16:42,460
+واحد
+
+148
+00:16:42,460 --> 00:16:52,060
+على xفى c أصغر من اتنين على c تربية وهذا بدوره
+
+149
+00:16:52,060 --> 00:17:00,940
+بيقدم absolute واحد على x minus واحد على c بساوي
+
+150
+00:17:00,940 --> 00:17:06,480
+واحد على x في c في absolute x minus c أصغر من
+
+151
+00:17:06,480 --> 00:17:14,850
+اتنين على c تربية فى deltaوالـ delta هذه الأن أصغر
+
+152
+00:17:14,850 --> 00:17:19,310
+من أو يساوي الـ delta هذه هي الـ delta اللي فوق
+
+153
+00:17:19,310 --> 00:17:25,010
+أصغر من أو يساوي العدد هذا أيه والعدد التاني لأنها
+
+154
+00:17:25,010 --> 00:17:31,130
+الأصغر بين اتنين لأن هي اتنين على c تربيع ضرب c
+
+155
+00:17:31,130 --> 00:17:36,390
+تربيع اتنين في epsilon هذا بروح مع هذا مخلوق بعض
+
+156
+00:17:36,390 --> 00:17:41,030
+بيضل عندي epsilon since
+
+157
+00:17:43,190 --> 00:17:50,970
+Y أكبر من السفر was arbitrary إذا أنا لكل Y أكبر
+
+158
+00:17:50,970 --> 00:17:56,850
+من السفر جبت Delta تعتمد على Y بحيث لكل X مختلفة
+
+159
+00:17:56,850 --> 00:18:00,570
+عن الـC المسافة بينها وبين الـC أصغر من Delta كل
+
+160
+00:18:00,570 --> 00:18:05,450
+المسافة بين F of X و1 على C أصغر من Y إذا by
+
+161
+00:18:05,450 --> 00:18:06,010
+definition
+
+162
+00:18:09,260 --> 00:18:14,820
+by definition of limit بيطلع عند ال limit لل
+
+163
+00:18:14,820 --> 00:18:20,740
+function واحد على X لما X تقول إلى C بيساوي واحد
+
+164
+00:18:20,740 --> 00:18:24,240
+على C وهو المطلوب
+
+165
+00:18:26,860 --> 00:18:31,720
+واضح في أي سؤال؟ في كمان مثال آخر زي هدف الكتاب،
+
+166
+00:18:31,720 --> 00:18:37,860
+هسيبكم تقرؤوه لأن الفكرة شبيهة بالفكرة في المثال
+
+167
+00:18:37,860 --> 00:18:47,720
+الأخير وبالتالي مافيش إشي جديد ننتقل إلى دراسة
+
+168
+00:18:52,750 --> 00:18:56,370
+ال sequential criterion هي حاجة اسمها sequential
+
+169
+00:18:56,370 --> 00:19:09,570
+criterion حاجة .. حاجة بتكافئ التعريف sequential
+
+170
+00:19:09,570 --> 00:19:12,750
+criterion
+
+171
+00:19:45,930 --> 00:19:53,970
+العبارات التالية متكافعةLimit f of x as x tends to
+
+172
+00:19:53,970 --> 00:20:03,290
+c بساوي عدد L بغند عدد حقيقي اتنين for every
+
+173
+00:20:06,410 --> 00:20:14,330
+for every sequence xn contained in A وحدودها
+
+174
+00:20:14,330 --> 00:20:25,090
+مختلفة عن الـC such that limit xn بالساوي C we
+
+175
+00:20:25,090 --> 00:20:31,470
+have limit الـimage لسيكوينس xn as n tends to
+
+176
+00:20:31,470 --> 00:20:34,410
+infinity بالساوي العدد القليل
+
+177
+00:20:39,210 --> 00:20:42,690
+إن الـ sequential criterion هذه بتقول إن عشان أثبت
+
+178
+00:20:42,690 --> 00:20:46,470
+إن ال limit لل function f and x بساوي c بساوي
+
+179
+00:20:46,470 --> 00:20:52,090
+العدد L هدى بكافة إن أنا أثبت إنه لو أخدت أي
+
+180
+00:20:52,090 --> 00:20:59,010
+sequence نهايتها C فلازم يكون نهاية صورتها بساوي
+
+181
+00:20:59,010 --> 00:21:04,140
+العدد Lلو اقدرت اعمل هذا في الكلام فبقى هذا بيكافئ
+
+182
+00:21:04,140 --> 00:21:08,880
+ان احنا نقول ان ال limit ل f of x يعني ال x بيساوي
+
+183
+00:21:08,880 --> 00:21:15,060
+c بيساوي العدد ال .. نثبت النظرية هذه تروف one
+
+184
+00:21:15,060 --> 00:21:23,020
+implies two assume one
+
+185
+00:21:23,020 --> 00:21:28,480
+IE
+
+186
+00:21:30,950 --> 00:21:37,470
+الـ limit لأخب X لما X تقول لـ C بساوي العدد M
+
+187
+00:21:37,470 --> 00:21:44,070
+عايزين
+
+188
+00:21:44,070 --> 00:21:48,450
+نثبت عشان
+
+189
+00:21:48,450 --> 00:21:55,250
+نثبت اتنين عشان نثبت اتنين صحيح to
+
+190
+00:21:55,250 --> 00:21:58,190
+prove two holes
+
+191
+00:22:00,720 --> 00:22:05,500
+to prove two holds let
+
+192
+00:22:05,500 --> 00:22:17,380
+Xn be a sequence in A هدودها مختلفة عن الـC such
+
+193
+00:22:17,380 --> 00:22:26,960
+that limit Xn بالساوي C we claim
+
+194
+00:22:30,360 --> 00:22:45,320
+بت ال limit ل f of x ل f of x n لما
+
+195
+00:22:45,320 --> 00:22:52,340
+n تقول ل infinity دي ساوي L لبرهان ذلك let epsilon
+
+196
+00:22:52,340 --> 00:22:55,400
+أكبر
+
+197
+00:22:55,400 --> 00:22:57,020
+من السفر be given
+
+198
+00:23:02,180 --> 00:23:08,440
+سنس اكس اكس اكس اكس
+
+199
+00:23:10,770 --> 00:23:16,490
+بما أننا فرضين limit f of x لما x تقوله c بالساوي
+
+200
+00:23:16,490 --> 00:23:21,450
+L من تعريف epsilon دلتا لل limit إذا يوجد دلتا
+
+201
+00:23:21,450 --> 00:23:27,770
+تعتمد على epsilon عدد موجب بحيث أنه لكل x ينتمي
+
+202
+00:23:27,770 --> 00:23:33,730
+إلى a وabsolute x minus c أكبر من صفر أصغر من دلتا
+
+203
+00:23:42,740 --> 00:23:52,080
+أبسلون دلتا للنهايات نسمي
+
+204
+00:23:52,080 --> 00:23:53,760
+ال implication هذه star
+
+205
+00:24:01,580 --> 00:24:07,300
+And the limit xn بالساوي سي احنا فرضين ان في انديو
+
+206
+00:24:07,300 --> 00:24:14,840
+سيكوينس xn ونهايتها c then
+
+207
+00:24:14,840 --> 00:24:26,910
+for the aboveدلتا الموجبة يوجد دلتا موجبة خدت دلتا
+
+208
+00:24:26,910 --> 00:24:31,910
+هذه الموجبة وطبق تعريف epsilon capital N لlimit of
+
+209
+00:24:31,910 --> 00:24:36,590
+sequence فبما ان ال sequence هذه نهايتها C إذا لأي
+
+210
+00:24:36,590 --> 00:24:42,070
+دلتا أو epsilon عدد موجبThere exists capital N
+
+211
+00:24:42,070 --> 00:24:46,710
+يعتمد على الـ Delta طبعا الـ Delta تعتمد على
+
+212
+00:24:46,710 --> 00:24:51,370
+إبسلون، إذا الـ N هذه يعتمد على إبسلون عدد طبيعي،
+
+213
+00:24:51,370 --> 00:24:56,650
+بحيث أنه لكل N أكبر من أو ساوي capital N، تطلع
+
+214
+00:24:56,650 --> 00:25:02,130
+عندي absolute X N minus C أصغر من Delta، نسمي ال
+
+215
+00:25:02,130 --> 00:25:03,990
+implication هذه double star
+
+216
+00:25:07,580 --> 00:25:16,300
+now star and double star بيؤدوا إلى ما يلي لو كان
+
+217
+00:25:16,300 --> 00:25:23,340
+M أكبر من أو ساوي capital M هذا بيؤدي انه absolute
+
+218
+00:25:23,340 --> 00:25:27,740
+XM
+
+219
+00:25:27,740 --> 00:25:36,440
+minus C أصغر من دلتا هذا باستخدام double star صح؟
+
+220
+00:25:39,750 --> 00:25:44,230
+لو كانت n أكبر من أو ساوي capital N فبطلع absolute
+
+221
+00:25:44,230 --> 00:25:52,050
+xn minus c أصغر من delta و من ال star لو كان عندى
+
+222
+00:25:52,050 --> 00:25:59,130
+xn طبعا xn هذا موجود في a ال xn موجود في a مختلف
+
+223
+00:25:59,130 --> 00:25:59,810
+عن ال c
+
+224
+00:26:02,830 --> 00:26:07,750
+فلو كان absolute of xn minus c badly except xn
+
+225
+00:26:07,750 --> 00:26:13,850
+أصغر من delta فحسب الstar هذا بقدر absolute of f
+
+226
+00:26:13,850 --> 00:26:22,590
+of xn minus L أصغر من إبسلون الان بما أن هذا صحيح
+
+227
+00:26:22,590 --> 00:26:28,270
+بما أن since إبسلون أكبر من الصفر was arbitrary
+
+228
+00:26:30,740 --> 00:26:42,380
+إن إحنا أثبتنا هيك لكل إبسلون يوجد
+
+229
+00:26:42,380 --> 00:26:50,250
+capital N يعتمد على إبسلون عدد طبيعيبكل n أكبر من
+
+230
+00:26:50,250 --> 00:26:55,310
+أوي سوى capital N absolute f of xn minus L أصغر من
+
+231
+00:26:55,310 --> 00:27:00,150
+إبسلون إذا by إبسلون capital N definition لل limit
+
+232
+00:27:00,150 --> 00:27:06,050
+of sequence بطلع عندي limit لsequence
+
+233
+00:27:06,050 --> 00:27:12,910
+f of xn as n tends to infinity بساوية L وبالتالي
+
+234
+00:27:12,910 --> 00:27:21,850
+هيك بيكون إذا two holesهكذا أثبتنا أن واحد يؤدي
+
+235
+00:27:21,850 --> 00:27:26,610
+إلى اتنين اتنين
+
+236
+00:27:26,610 --> 00:27:30,270
+بيقول for every sequence فهي اللي أخدت arbitrary
+
+237
+00:27:30,270 --> 00:27:36,810
+sequence في a minus c وبشرط بحيث ان ال sequence هي
+
+238
+00:27:36,810 --> 00:27:37,710
+اللي نهيتها c
+
+239
+00:27:42,350 --> 00:27:46,210
+و اثبتنا ان ال limit لل image لل sequence بساوي L
+
+240
+00:27:46,210 --> 00:27:51,710
+هذا بالظبط اللي هو الابارة اتنين لان هيك يكون
+
+241
+00:27:51,710 --> 00:27:58,270
+اثبتنا واحد بيقدي لاتنين واضح مفهوم اللي هو نثبت
+
+242
+00:27:58,270 --> 00:28:02,510
+العكس نثبت ان اتنين بيقدي لواحد
+
+243
+00:28:16,210 --> 00:28:22,870
+بالنسبة العبارة اثنين بتقدي للعبارة واحد فالاثنان
+
+244
+00:28:22,870 --> 00:28:27,270
+ذالف بالمناسبة الأخوات اللي قاعدات ورا دولة إيش
+
+245
+00:28:27,270 --> 00:28:31,510
+بتعملوا انتوا؟ ماعليش أوقف تصوير إيش مجاعتكم انتوا
+
+246
+00:28:31,510 --> 00:28:34,830
+أنا أول حاجة و تاني حاجة؟ إيش بتتكلمون؟ دكتور معاك
+
+247
+00:28:34,830 --> 00:28:38,070
+لأ لأ لما هم بتتكلم عامليننا أزعاج لأ باحكوا إذا
+
+248
+00:28:38,070 --> 00:28:40,550
+انتوا بتتكلموا لأ بحكي على اندر ده ليش مصورة أن
+
+249
+00:28:40,550 --> 00:28:44,510
+الوضع هو وضع نفسه لأ بنتكلميش لأ باحكي عن البرادة
+
+250
+00:28:44,510 --> 00:28:49,530
+اللي ورا دولةفي بنات بتتكلموا، أنتوا اللي ورا
+
+251
+00:28:49,530 --> 00:28:55,390
+بتتكلموا ولا في ناس غيرك؟ في حد بتتكلم و أنا بشرح
+
+252
+00:28:55,390 --> 00:29:00,090
+تتكلم و هذا عمللي أزعاج كتير، فلو سمحتوا إذا أنتوا
+
+253
+00:29:00,090 --> 00:29:04,890
+قاعدين تتكلموا ورا اطلعوا في حديقة اتكلموا فيها،
+
+254
+00:29:04,890 --> 00:29:10,670
+حتى لو باسم المحاضرة ممنوح تتكلموا، شوية أزعاجهو
+
+255
+00:29:10,670 --> 00:29:13,850
+مين اللي بتتكلم؟ إذاً أنت اللي بتتكلم من قعدته
+
+256
+00:29:13,850 --> 00:29:20,350
+وراك بتتكلم ما تتكلمش لإن غير ترفع يدك، ارفع يدك و
+
+257
+00:29:20,350 --> 00:29:24,670
+تقعد لسانك، ما تتكلمي مع الجنك بدون اسم، لإن هذا
+
+258
+00:29:24,670 --> 00:29:28,150
+عندنا قاعدة في المحاضرة، ممنوع حد يتكلم مع الجنك و
+
+259
+00:29:28,150 --> 00:29:34,030
+تتحدث مع حد شخص آخر إلا إذا عندك سؤال، ترفع يدك،
+
+260
+00:29:34,030 --> 00:29:37,990
+تستنى لما أقول من عنده سؤال من عنده حاسب صار، ترفع
+
+261
+00:29:37,990 --> 00:29:41,790
+يدك و بجاوبكانا مابتقدر انت تعمليني قصة مع اللغة،
+
+262
+00:29:41,790 --> 00:29:48,330
+قوم انت .. انت .. قوم يقعد في مطعم، يبقين عالم،
+
+263
+00:29:48,330 --> 00:29:51,190
+فلو سرحت انك تتكلم مش مع بعض، هانديك السفسة
+
+264
+00:30:01,910 --> 00:30:04,950
+ممنوع حد يتكلم مع الجنب في المحاضرة، أنا بعمل
+
+265
+00:30:04,950 --> 00:30:08,850
+إزعاج، بدك أنت في السفسار، عندك أي إيش أنا بواجب،
+
+266
+00:30:08,850 --> 00:30:13,990
+بقول من عنده سؤال، من عنده حاجة، اتفضل يسأل
+
+267
+00:30:13,990 --> 00:30:21,850
+ساعتها، بس لا تتكلم وأنا ضايق طرابك،
+
+268
+00:30:21,850 --> 00:30:24,230
+يقولنا الكلام قدر مئة مرة في المحاضرة، ممنوع
+
+269
+00:30:24,230 --> 00:30:25,690
+الكلام الجامل
+
+270
+00:30:35,880 --> 00:30:40,860
+تفضل يا أبو حمزي إذا
+
+271
+00:30:40,860 --> 00:30:45,380
+الأن بدنا نكمل البرنامج بإثبات الأثنين بأد لواحد
+
+272
+00:30:45,380 --> 00:30:51,740
+الإثبات الأثنين بأد لواحد بدنا نثبت we prove ال
+
+273
+00:30:51,740 --> 00:30:59,120
+contrapositive we prove not واحد implies not two
+
+274
+00:31:01,070 --> 00:31:04,730
+هذا هو ال contrapositive للعبارة لل implication
+
+275
+00:31:04,730 --> 00:31:16,630
+هذه فإذا assume .. assume not one ف not one معناته
+
+276
+00:31:16,630 --> 00:31:27,190
+ال limit ل F of X لما X تقول ل C لا تساوي L
+
+277
+00:31:30,200 --> 00:31:32,020
+this means هذا يعني
+
+278
+00:31:35,090 --> 00:31:40,190
+الان نرجع لتعريف ال limit أو ال function شوفنا
+
+279
+00:31:40,190 --> 00:31:42,530
+المرة السادسة في تعريفين في epsilon delta
+
+280
+00:31:42,530 --> 00:31:46,270
+definition و في neighborhood definition ال
+
+281
+00:31:46,270 --> 00:31:49,610
+neighborhood definition بيقول اذا كان عشان تكون
+
+282
+00:31:49,610 --> 00:31:53,770
+limit ل f of x من x او ل c بالساوي عدد L هذا
+
+283
+00:31:53,770 --> 00:31:57,210
+بيكافئ انه لكل epsilon neighborhood ل L يوجد delta
+
+284
+00:31:57,210 --> 00:32:01,130
+neighborhood لل C بحيث لكل x في ال delta
+
+285
+00:32:01,130 --> 00:32:04,630
+neighborhoodصورته لازم تطلع في الـ epsilon
+
+286
+00:32:04,630 --> 00:32:08,290
+neighborhood الان ان في الكلام هذا ما معنى ان ال
+
+287
+00:32:08,290 --> 00:32:13,570
+limit and c بيستويش لعدد L معناته بدل لكل epsilon
+
+288
+00:32:13,570 --> 00:32:17,930
+neighborhood ل L there exist there exist epsilon
+
+289
+00:32:17,930 --> 00:32:25,330
+zero neighborhood of L بسميه
+
+290
+00:32:25,330 --> 00:32:32,110
+V epsilon zero neighborhood ل L بحيث انه لكل
+
+291
+00:32:33,900 --> 00:32:43,060
+Delta neighborhood V Delta أو C يوجد X يعتمد على
+
+292
+00:32:43,060 --> 00:32:50,540
+Delta ينتمي إلى A ومختلف عن الـ C وموج��د في الـ
+
+293
+00:32:50,540 --> 00:32:55,560
+Delta neighborhood بحيث
+
+294
+00:32:55,560 --> 00:33:01,100
+أن صورة الـ X Delta
+
+295
+00:33:05,360 --> 00:33:16,380
+لا تنتمي للإبسلون zero neighborhood ل LL طيب
+
+296
+00:33:16,380 --> 00:33:26,140
+لو أخدنا take لكل N في N take delta بساوي واحد على
+
+297
+00:33:26,140 --> 00:33:31,600
+N then
+
+298
+00:33:31,600 --> 00:33:32,540
+they exist
+
+299
+00:33:37,520 --> 00:33:47,100
+دلتا تعتمد على n دلتا تعتمد على n دلتا تعتمد على n
+
+300
+00:33:47,100 --> 00:33:50,360
+دلتا
+
+301
+00:33:50,360 --> 00:33:56,520
+تعتمد
+
+302
+00:33:56,520 --> 00:33:57,620
+على
+
+303
+00:34:00,880 --> 00:34:10,260
+و بحيث ان F ل Xm لا ينتمي لإبسلون Zero
+
+304
+00:34:10,260 --> 00:34:18,300
+neighborhood ل L طب ما هذا الأخير معناه أو بيقدّي
+
+305
+00:34:26,330 --> 00:34:34,390
+this implies هذا بيقدّي نكون أثبتنا ان لكل n يوجد
+
+306
+00:34:34,390 --> 00:34:42,490
+xn في a إذا يوجد sequence xn موجودة في ال set A
+
+307
+00:34:42,490 --> 00:34:47,170
+حدودها مختلفة عن ال C كل ال xn مختلفة عن ال C
+
+308
+00:34:47,170 --> 00:35:01,980
+وموجودة فيv1 على n of c بحيث ان f ل xn لا تنتمي ل
+
+309
+00:35:01,980 --> 00:35:11,900
+v epsilon zero ل n لكل n هذا معناه ان يوجد
+
+310
+00:35:11,900 --> 00:35:20,580
+sequence xn contained in a minus c بحيث انلاحظوا
+
+311
+00:35:20,580 --> 00:35:26,240
+الـ sequence Xn تنتمي ل V 1 على N of C اللي هو
+
+312
+00:35:26,240 --> 00:35:30,960
+عبارة عن الفترة C سالف واحد على N C موجب واحد على
+
+313
+00:35:30,960 --> 00:35:37,360
+N لكل N هذا معناه ان absolute Xn minus C أصغر من
+
+314
+00:35:37,360 --> 00:35:42,420
+واحد على N أصغر
+
+315
+00:35:42,420 --> 00:35:47,020
+من واحد على N لكل N في N and
+
+316
+00:35:50,460 --> 00:35:55,500
+F of Xn لا تنتمي للـY0 neighborhood الـY0
+
+317
+00:35:55,500 --> 00:35:59,720
+neighborhood هذا عبارة عن الفترة المفتوحة L minus
+
+318
+00:35:59,720 --> 00:36:08,000
+Y0 L زائد Y0 فF of Xn لا تنتمي للفترة المفتوحة هذه
+
+319
+00:36:08,000 --> 00:36:15,720
+معناه absolute المسافة بين F of Xn وL أكبر من أو
+
+320
+00:36:15,720 --> 00:36:18,460
+ساوي Y0 لكل N
+
+321
+00:36:21,430 --> 00:36:26,750
+هذا الكلام معناه أن
+
+322
+00:36:26,750 --> 00:36:32,190
+يوجد sequence x in موجودة في a حدودها مختلفة عن ال
+
+323
+00:36:32,190 --> 00:36:41,030
+c وهذا الكلام معناه such that limit x in بساوي c
+
+324
+00:36:43,330 --> 00:36:51,410
+حسب نظرية اتنين اربعة اتنين
+
+325
+00:36:51,410 --> 00:36:54,970
+اربعة اتنين اربعة اتنين اربعة اتنين اربع اتنين
+
+326
+00:36:54,970 --> 00:36:55,590
+اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع
+
+327
+00:36:55,590 --> 00:36:55,730
+اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع
+
+328
+00:36:55,730 --> 00:36:56,990
+اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين
+
+329
+00:36:56,990 --> 00:36:59,130
+اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع
+
+330
+00:36:59,130 --> 00:37:08,450
+اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع ا
+
+331
+00:37:12,640 --> 00:37:16,920
+الـ limit لـ
+
+332
+00:37:16,920 --> 00:37:20,760
+sequence f of xn لما n تقول الـ infinity مش ممكن
+
+333
+00:37:20,760 --> 00:37:26,540
+تساوي العدد L لأن لو ال limit ل f of xn بيساوي
+
+334
+00:37:26,540 --> 00:37:30,220
+العدد L، المفروض ال absolute value للفرق ده تكون
+
+335
+00:37:30,220 --> 00:37:36,660
+أصغر من أي epsilon zero لكل N من capital N و انت
+
+336
+00:37:36,660 --> 00:37:40,930
+طالع، لكن هذا الكلام مش صحيحOkay إن هذا بالظبط
+
+337
+00:37:40,930 --> 00:37:48,210
+العبارة الأخيرة which which
+
+338
+00:37:48,210 --> 00:37:55,690
+is نفي العبارة اتنين هذه
+
+339
+00:37:55,690 --> 00:37:58,450
+العبارة الأخيرة هي نفي العبارة اتنين هذه العبارة
+
+340
+00:37:58,450 --> 00:38:06,320
+اتنين ال statement اتنينبقول لكل sequence بحيث ان
+
+341
+00:38:06,320 --> 00:38:09,100
+ال limit بتاعتها C، ال limit لل image بتاعتها
+
+342
+00:38:09,100 --> 00:38:13,660
+بالساولة L هنا اتوصلنا ان there exist بدل for all
+
+343
+00:38:13,660 --> 00:38:18,660
+there exist sequence نهايتها C لكن نهاية صورتها
+
+344
+00:38:18,660 --> 00:38:25,020
+لاتساول L إذ�� هيك بنكون أثبتنا أنه لا إذا we
+
+345
+00:38:25,020 --> 00:38:29,800
+proved not
+
+346
+00:38:31,130 --> 00:38:39,390
+not one implies not two therefore two implies one
+
+347
+00:38:39,390 --> 00:38:46,610
+وهذا يكمل البرهان واضح؟ في أي سؤال؟ في أي استفسار؟
+
+348
+00:38:46,610 --> 00:38:53,590
+يبدو أننا كملنا برهان النظرية في أي استفسار؟
+
+349
+00:38:55,700 --> 00:39:03,780
+الان من النظرية هذه ينتج مباشرة نظرية مهمة لتقل
+
+350
+00:39:03,780 --> 00:39:13,660
+عنها أهمية ويلها اسم divergence
+
+351
+00:39:13,660 --> 00:39:16,900
+criteria
+
+352
+00:39:25,650 --> 00:39:36,650
+لت if the function from A to R and see the cluster
+
+353
+00:39:36,650 --> 00:39:39,750
+point
+
+354
+00:39:39,750 --> 00:39:45,850
+of A then واحد
+
+355
+00:39:47,360 --> 00:39:54,460
+الـ limit ل f of x لما x تقول ل c لا تساوي ال f
+
+356
+00:39:54,460 --> 00:40:01,440
+and only f there exist a sequence xm contained in
+
+357
+00:40:01,440 --> 00:40:10,180
+a حدودها مختلفة عن ال c such that limit xm بتساوي
+
+358
+00:40:10,180 --> 00:40:20,490
+c butLimit f of x in لاتساوي n الكرتيريا
+
+359
+00:40:20,490 --> 00:40:25,750
+التانية اللي هي عشان
+
+360
+00:40:25,750 --> 00:40:31,930
+نقول limit f of x لما x تقولها c does not exist in
+
+361
+00:40:31,930 --> 00:40:43,690
+Rهذا بكافئ أن هناك سيكوانس Xn محتوى A حدودها
+
+362
+00:40:43,690 --> 00:40:50,870
+مختلفة عن C بحيث أن نهايتها بساوي
+
+363
+00:40:50,870 --> 00:41:00,310
+C بط نهاية صورتها لا
+
+364
+00:41:00,310 --> 00:41:02,670
+توجد في R
+
+365
+00:41:16,230 --> 00:41:21,250
+كمان النظرية هذه مرهانها ينتج مباشرة من النظرية
+
+366
+00:41:21,250 --> 00:41:27,990
+اللي فوق مثلا هي عندي لإثبات ال band الأول عشان
+
+367
+00:41:27,990 --> 00:41:31,130
+أثبت limit f of x مستويش L and C
+
+368
+00:41:34,380 --> 00:41:38,880
+يعني كإني بقول نفي العبارة واحد هذا هو نفي العبارة
+
+369
+00:41:38,880 --> 00:41:42,560
+واحد طب احنا لسه بثبتين ان واحد بكافي اتنين
+
+370
+00:41:42,560 --> 00:41:46,560
+وبالتالي نفي العبارة واحد بكافي نفي الاتنين فنفي
+
+371
+00:41:46,560 --> 00:41:51,100
+الاتنين هذا هو يوجد a sequence تتقارب ل C لكن صورة
+
+372
+00:41:51,100 --> 00:41:56,720
+تلاتة تتقارب لL إذا برهان الجزء الأول نتيجة مباشرة
+
+373
+00:41:56,720 --> 00:42:02,130
+على مضارية ال form والجزء التاني زيه بدل هناعشان
+
+374
+00:42:02,130 --> 00:42:06,070
+اقول ان ال limit هذه does not exist يعني لو اخدت
+
+375
+00:42:06,070 --> 00:42:12,650
+اي عدد L فال limit هنا لا تساوي L معناته انه في
+
+376
+00:42:12,650 --> 00:42:18,050
+sequence و الكلام هذا ال limit هذه ماسويش اي L اي
+
+377
+00:42:18,050 --> 00:42:23,890
+عدد حقيقي اذا النظرية هذه نتيجة مباشرة على النظرية
+
+378
+00:42:23,890 --> 00:42:27,880
+sequential criterion النظرية التي سبقتهاالان هذه
+
+379
+00:42:27,880 --> 00:42:31,560
+النظرية هنستخدمها في إثبات إن ال limit لدالة
+
+380
+00:42:31,560 --> 00:42:36,000
+معينة، عن نقطة معينة غير موجودة، فهي بعض الأمثلة
+
+381
+00:42:36,000 --> 00:42:39,140
+كيف
+
+382
+00:42:39,140 --> 00:42:42,500
+نستخدم ال divergence كتير، كيف نثبت ال divergence
+
+383
+00:42:42,500 --> 00:42:48,020
+أو عدم وجود limit لدالة معينة عن نقطة معينة، فمثلا
+
+384
+00:42:48,020 --> 00:43:02,210
+ناخد أول مثالshow that limit ل 1 على x لما x تقول
+
+385
+00:43:02,210 --> 00:43:09,470
+إلى السفر does not exist in R فلبرهان
+
+386
+00:43:09,470 --> 00:43:16,870
+ذلك let
+
+387
+00:43:16,870 --> 00:43:24,050
+f of x بساوي 1 على x و ده أخد الـ x موجبةيعني
+
+388
+00:43:24,050 --> 00:43:27,130
+نعتبر أن ال domain للدالة هذه اللي هو الفترة A
+
+389
+00:43:27,130 --> 00:43:31,270
+بساوي الفترة مفتوحة من الصفر لما لا نهاية و نثبت
+
+390
+00:43:31,270 --> 00:43:34,750
+أن الدالة هذه ماليهاش limit عند الصفر أو عند الصفر
+
+391
+00:43:34,750 --> 00:43:40,650
+من اليمين فلإثبات أن ال limit للدالة هذه عند الصفر
+
+392
+00:43:40,650 --> 00:43:44,470
+ماهياش موجودة حسب ال divergence criteria يعني بدي
+
+393
+00:43:44,470 --> 00:43:48,210
+أثبت أن يوجه .. بدي أجيب sequence نهايتها صفر لكن
+
+394
+00:43:48,210 --> 00:43:52,490
+نهاية صورتها مش موجودة فال sequence إذا هنا
+
+395
+00:43:52,490 --> 00:43:59,560
+considerالـ sequence التي تفي بهذا الغرض اللي هي
+
+396
+00:43:59,560 --> 00:44:06,400
+xn بالساوي واحد على n لكل n في n فواضح أنه limit
+
+397
+00:44:06,400 --> 00:44:16,720
+xn بالساوي limit واحد على n بتساوي سفر وواضح أنه
+
+398
+00:44:16,720 --> 00:44:22,800
+xn contained in a اللي هي الفترة هذه معدى السفر
+
+399
+00:44:22,800 --> 00:44:31,310
+صح؟وعندي ال limit لل image لل sequence xn بساوي ال
+
+400
+00:44:31,310 --> 00:44:38,250
+limit ل 1 على xn لما n تقوى ل infinity بساوي ال
+
+401
+00:44:38,250 --> 00:44:43,410
+limit ل n لما n تقوى ل infinity بساوي infinity
+
+402
+00:44:43,410 --> 00:44:49,730
+وهذه طبعا ال infinity does not exist in R ليست عدد
+
+403
+00:44:49,730 --> 00:44:55,980
+حقيقيالنهاية نجحت في إيجاد sequence موجودة في A
+
+404
+00:44:55,980 --> 00:45:00,840
+وحدودها مختلفة عن السفر ونهايتها سفر لكن نهاية
+
+405
+00:45:00,840 --> 00:45:06,960
+صورتها مش موجودة في R وبالتالي therefore by
+
+406
+00:45:06,960 --> 00:45:14,020
+divergence criterion limit
+
+407
+00:45:14,020 --> 00:45:23,240
+ل F of X أو واحد على Xلما x سقول إلى 0 does not
+
+408
+00:45:23,240 --> 00:45:28,860
+exist in R وفي حقيقة الأمر اثبتنا ان limit 1 على x
+
+409
+00:45:28,860 --> 00:45:34,180
+لما x سقول إلى 0 من اليمين غير موجودة لان اخذنا
+
+410
+00:45:34,180 --> 00:45:42,620
+المجال كل الاعداد الموجودة بالمثل ممكن اثبات ان
+
+411
+00:45:42,620 --> 00:45:50,390
+limit ل1 على xلمّا X تقول إلى سفر من اليسار does
+
+412
+00:45:50,390 --> 00:45:55,540
+not existان انا اخد المرة هذه ال X هنا في الدالة
+
+413
+00:45:55,540 --> 00:46:00,560
+هذه ال domain تبعها الفترة من سالب ماله نهاية الى
+
+414
+00:46:00,560 --> 00:46:05,720
+سفر و اقول ان ال X هنا أصغر من سفر و نفس البرهان
+
+415
+00:46:05,720 --> 00:46:09,820
+هيطلع عندى ال limit لما X تقوله سفر من اليسار does
+
+416
+00:46:09,820 --> 00:46:13,500
+not exist وبالتالي ال limit عند ال X من الجهتين
+
+417
+00:46:13,500 --> 00:46:19,820
+does not exist تمام okay هذا مثال مثال تاني واضح
+
+418
+00:46:19,820 --> 00:46:21,440
+فيه اي سفصار فيه اي سؤال
+
+419
+00:46:25,390 --> 00:46:35,810
+ناخد مثال تاني show
+
+420
+00:46:35,810 --> 00:46:42,590
+that limit للـ signum function signum x لما x تقول
+
+421
+00:46:42,590 --> 00:46:48,930
+إلى سفر does not exist where حيث و ال signum
+
+422
+00:46:48,930 --> 00:46:52,450
+function where
+
+423
+00:46:57,580 --> 00:47:02,460
+where signum x هي عبارة عن function في x بنعرفها
+
+424
+00:47:02,460 --> 00:47:07,000
+على أنها واحد إذا كان x أكبر من سفر سفر إذا كان x
+
+425
+00:47:07,000 --> 00:47:12,300
+بساول سفر سالب واحد إذا كان x أصغر من سفر وهي
+
+426
+00:47:12,300 --> 00:47:13,360
+الرسمة تبعتها
+
+427
+00:47:24,680 --> 00:47:28,920
+فالدالة لما x أكبر من صفر بيستوي ثابت واحد عند
+
+428
+00:47:28,920 --> 00:47:34,400
+الصفر بيستوي صفر و لما x أصغر من واحد بيستوي سالب
+
+429
+00:47:34,400 --> 00:47:38,040
+واحد طيب
+
+430
+00:47:38,040 --> 00:47:48,360
+note that لاحظوا أن الدالة هذه sigma of x بتساوي
+
+431
+00:47:48,360 --> 00:47:52,120
+x على absolute x fx
+
+432
+00:47:53,900 --> 00:47:59,820
+لا تساوي سفر إذا كان x بساوي سفر فدالة sigma بها
+
+433
+00:47:59,820 --> 00:48:07,900
+نفس x على absolute xنفس .. نفس الحاجة طيب الان
+
+434
+00:48:07,900 --> 00:48:13,400
+اثبات ان ال limit لدالها جاند سفر مش موجودة طبعا
+
+435
+00:48:13,400 --> 00:48:17,440
+في تفاضل ألف في برهان في تفاضل ألف بيقول ان هى
+
+436
+00:48:17,440 --> 00:48:21,380
+الدالة لما X اولا سفر من اليمين ال limit لها واحد
+
+437
+00:48:21,380 --> 00:48:25,500
+لما X اولا سفر من اليمين نهيتها سالب واحد ال limit
+
+438
+00:48:25,500 --> 00:48:28,040
+من اليمين مستويش ال limit من اليسار اذا ال limit
+
+439
+00:48:28,040 --> 00:48:33,690
+لدالها جاند سفر does not exist برهانaccurate صحيح
+
+440
+00:48:33,690 --> 00:48:37,030
+مية المية مافي مشكلة لكن لو بدنا نعطي برهان
+
+441
+00:48:37,030 --> 00:48:41,810
+باستخدام ال divergence criterion فالبرهان هيكون
+
+442
+00:48:41,810 --> 00:48:46,270
+كالتالي consider
+
+443
+00:48:46,270 --> 00:48:51,410
+بدنا نجيب sequence xn
+
+444
+00:48:54,550 --> 00:48:58,490
+Rدودها مختلفة عن السفر نهايتها سفر لكن نهايت
+
+445
+00:48:58,490 --> 00:49:03,950
+صورتها بساوي سفر ف consider ال sequence اللي هي Xn
+
+446
+00:49:03,950 --> 00:49:09,110
+الحد اللي عام تبعها Xn بساوي سالف واحد أس ان على N
+
+447
+00:49:09,110 --> 00:49:19,190
+لكل N في N ال sequence هذه تنتمي إلى A اللي هو R
+
+448
+00:49:19,190 --> 00:49:21,890
+بعد السفر
+
+449
+00:49:26,050 --> 00:49:29,530
+موجودة في المجال تبع الدالة المجال تبع الدالة دي
+
+450
+00:49:29,530 --> 00:49:37,570
+كل الأعداد اللي حصلت فيها معدد C صح؟ وعندي و ال
+
+451
+00:49:37,570 --> 00:49:44,610
+limit و ال limit ل XM as M tends to infinity بسوى
+
+452
+00:49:44,610 --> 00:49:50,150
+و ال limitلسالب واحد قص ان على ان لما ان تقول
+
+453
+00:49:50,150 --> 00:49:55,110
+infinity ال limit لل sequence دي ايش بيساوي بيساوي
+
+454
+00:49:55,110 --> 00:50:03,470
+سفر by squeeze theorem او
+
+455
+00:50:03,470 --> 00:50:08,050
+by sandwich theorem but
+
+456
+00:50:08,050 --> 00:50:15,650
+لكن تعالوا نشوف ال limitلـ f of xn as n tends to
+
+457
+00:50:15,650 --> 00:50:19,810
+infinity شو بيساوي؟ بيساوي الـ limit as n tends to
+
+458
+00:50:19,810 --> 00:50:25,750
+infinity احنا عندي الـ xn هنا بيستويش صفر وبالتالي
+
+459
+00:50:25,750 --> 00:50:30,250
+الـ f of x تبعتي اللي هي الـ signum function فهذا
+
+460
+00:50:30,250 --> 00:50:34,050
+بيساوي limit signum xn
+
+461
+00:50:36,620 --> 00:50:41,540
+مظبوط و ال x in قلنا هنا بسويش 0 وبالتالي هذا
+
+462
+00:50:41,540 --> 00:50:47,000
+عبارة عن limit as n tends to infinity ال signal ل
+
+463
+00:50:47,000 --> 00:50:55,420
+x in بساوي x in على absolute x in فهذا
+
+464
+00:50:55,420 --> 00:51:02,210
+بساوي ال limitas n tends to infinity لـ xn عبارة
+
+465
+00:51:02,210 --> 00:51:09,190
+عن سالب واحد قص n على n على absolute xn absolute
+
+466
+00:51:09,190 --> 00:51:16,530
+xn بساوي واحد على n أصبت؟ الآن نجسم ونبسط ال limit
+
+467
+00:51:16,530 --> 00:51:23,750
+as n tends to infinity بطلع سالب واحد قص n وال
+
+468
+00:51:23,750 --> 00:51:27,210
+sequence هذه ال limit تبعتها أثبتنا قبل هيك
+
+469
+00:51:28,730 --> 00:51:33,410
+بطريقتين على الأقل ان ال limit هذه does not exist
+
+470
+00:51:33,410 --> 00:51:44,830
+does not exist وبالتالي اذا either by the
+
+471
+00:51:44,830 --> 00:51:47,630
+divergence criterion
+
+472
+00:51:50,230 --> 00:51:54,070
+هي اثبتت ان الـ use and sequence موجودة في المجال
+
+473
+00:51:54,070 --> 00:51:58,970
+تبع الدالة معدى السفر نهايتها سفر لكن نهاية صورتها
+
+474
+00:51:58,970 --> 00:52:03,270
+does not exist اذا by ال band التاني من ال
+
+475
+00:52:03,270 --> 00:52:11,590
+divergence criterion ال limit لل
+
+476
+00:52:11,590 --> 00:52:17,490
+signum function لما X تقول السفر does not exist
+
+477
+00:52:17,490 --> 00:52:18,570
+غير موجودة
+
+478
+00:52:20,890 --> 00:52:26,890
+Okay تمام واضح واضح البرهان في اي استفسار في اي
+
+479
+00:52:26,890 --> 00:52:34,470
+سؤال Okay
+
+480
+00:52:34,470 --> 00:52:39,470
+نوقف هنا وان شاء الله بنكمل المرة الجاية في بعض
+
+481
+00:52:39,470 --> 00:52:45,290
+مثالين الموجودة في الكتاب تحاولوا تقرؤهم او مثال
+
+482
+00:52:46,220 --> 00:52:50,740
+الشباب بالمثال هذا تحاولوا تقرؤوا و المرة الجاية
+
+483
+00:52:50,740 --> 00:52:52,580
+هنبدأ section جديد
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/ZfnDnf4RR5M_raw.srt

@@ -0,0 +1,1936 @@
+1
+00:00:20,670 --> 00:00:26,650
+السلام عليكم اليوم ان شاء الله هنكمل section أربعة
+
+2
+00:00:26,650 --> 00:00:35,990
+واحد اللي عرفنا فيه ال limits و ال functions أخدنا
+
+3
+00:00:35,990 --> 00:00:40,650
+المرة الأولى تلتة تعريف epsilon delta ل limit of
+
+4
+00:00:40,650 --> 00:00:45,990
+function وشوفنا أن هذا بكافة تعريف في neighborhood
+
+5
+00:00:45,990 --> 00:00:51,040
+definition لlimit of function على النقطةو بدنا
+
+6
+00:00:51,040 --> 00:00:57,500
+ناخد أمثلة كيف نستخدم تعريف epsilon delta في إثبات
+
+7
+00:00:57,500 --> 00:01:03,360
+أن ال limit لدالة معينة عن مقطة معددة بتساوي عدد
+
+8
+00:01:03,360 --> 00:01:08,310
+محدد فاخدنا بعض الأمثلة اليوم هنستمرهنعطي مزيد من
+
+9
+00:01:08,310 --> 00:01:12,930
+الأمثلة و بندرس خواص ال limits ل ال functions
+
+10
+00:01:12,930 --> 00:01:19,490
+فالمثال اللى وصلناه له رقم تلاتة عايزين نثبت ان ال
+
+11
+00:01:19,490 --> 00:01:25,730
+limit لدلة تربية X تربية لما X تقول ل C بساوي C
+
+12
+00:01:25,730 --> 00:01:29,330
+تربية ف solution
+
+13
+00:01:33,240 --> 00:01:40,260
+ناخد f of x بالساوي x تربية هيفر اكس ينتمي الى r
+
+14
+00:01:40,260 --> 00:01:43,880
+واحنا
+
+15
+00:01:43,880 --> 00:01:50,600
+عايزين من الآخر نثبت ان ال absolute value ل f of x
+
+16
+00:01:50,600 --> 00:01:58,400
+minus c تربية أصغر من أي given epsilon عدد موجة
+
+17
+00:01:59,300 --> 00:02:04,780
+عندما الـ X تكون قريبة من المقطة C أو تقع فيه جوار
+
+18
+00:02:04,780 --> 00:02:13,600
+Delta معينة للعدد C طيب هذا عبارة عن Absolute X
+
+19
+00:02:13,600 --> 00:02:22,620
+تربية سالم C تربية بتحلل إلى Absolute X minus C في
+
+20
+00:02:22,620 --> 00:02:24,620
+X موجة بالـ C
+
+21
+00:02:27,570 --> 00:02:33,430
+إذاً هذا عبارة عن absolute X زائد C في absolute X
+
+22
+00:02:33,430 --> 00:02:37,830
+minus C الأن
+
+23
+00:02:37,830 --> 00:02:42,430
+بدي أحاول أخلي هذا أصغر من أو ساوي عدد موجة بم
+
+24
+00:02:42,430 --> 00:02:47,290
+فبحاول
+
+25
+00:02:47,290 --> 00:02:52,830
+أخد فيه ملة Delta لت دلتا بالساوي واحد
+
+26
+00:03:00,710 --> 00:03:12,430
+then أنا عندي absolute x زائد c هذا أصغر
+
+27
+00:03:12,430 --> 00:03:19,910
+من او ساوي absolute x زايد absolute cفي absolute x
+
+28
+00:03:19,910 --> 00:03:25,450
+minus c استخدام ال triangle inequality absolute x
+
+29
+00:03:25,450 --> 00:03:30,430
+زاد c أصلا لو ساوي absolute x زاد absolute c الآن
+
+30
+00:03:30,430 --> 00:03:39,530
+absolute x بساوي absolute x سالب c زاد زاد
+
+31
+00:03:39,530 --> 00:03:44,270
+c ممكن أطرح من ال xc و أرجعهاوباستخدام الـ
+
+32
+00:03:44,270 --> 00:03:49,030
+triangular equality هذا أصغر لو يساوي absolute x
+
+33
+00:03:49,030 --> 00:03:58,150
+ثالث c زائد absolute c فلو كان absolute x minus c
+
+34
+00:03:58,150 --> 00:04:04,070
+أصغر من دلتا اللي هي بساوية واحد إذا كان خلّينا
+
+35
+00:04:04,070 --> 00:04:07,190
+ناخد دلتا بساوية واحد إذا كان absolute x minus c
+
+36
+00:04:07,190 --> 00:04:13,370
+أصغر من دلتا اللي أنا ماخدها واحدفهذا بيطلع أصغر
+
+37
+00:04:13,370 --> 00:04:21,490
+من واحد زائد أبسليوت C وبالتالي
+
+38
+00:04:21,490 --> 00:04:32,370
+أبسليوت X تربية سالب C تربية بيطلع أصغر من أبسليوت
+
+39
+00:04:32,370 --> 00:04:35,150
+X اللي هي واحد زائد
+
+40
+00:04:37,400 --> 00:04:43,720
+أتنين في absolute C في absolute X minus C
+
+41
+00:04:48,510 --> 00:04:51,770
+كمان مرة احنا توصلنا إلى ان ال absolute value
+
+42
+00:04:51,770 --> 00:04:57,150
+للفرق هذا أصغر من أو ساوي absolute x زاد absolute
+
+43
+00:04:57,150 --> 00:05:01,290
+c في absolute x ثالث c أخدنا delta بالساوي واحد
+
+44
+00:05:01,290 --> 00:05:05,190
+وقلنا لو كان absolute x minus t أصغر من delta اللي
+
+45
+00:05:05,190 --> 00:05:09,190
+هي واحد بتطلع absolute x أصغر من واحد زاد absolute
+
+46
+00:05:09,190 --> 00:05:13,830
+c وبالتالي absolute الفرق هذا هي أصغر من أو ساوي
+
+47
+00:05:14,180 --> 00:05:18,500
+absolute x هي أصغر من واحد زاد absolute c وانتي
+
+48
+00:05:18,500 --> 00:05:23,820
+absolute c فأصغر من واحد زاد اتنين فabsolute c ضرب
+
+49
+00:05:23,820 --> 00:05:29,460
+absolute x minus c الان بدي أخلي هذا أصغر من
+
+50
+00:05:29,460 --> 00:05:39,160
+epsilon هذا بدي أخليه أصغر من epsilon لما
+
+51
+00:05:39,160 --> 00:05:40,920
+يكون هذا أصغر من delta
+
+52
+00:05:48,400 --> 00:05:52,700
+فباخد إذا لما يكون هذا أصغر من دلتا فهذا بصير أصغر
+
+53
+00:05:52,700 --> 00:05:58,880
+من واحد زي اتنين absolute c في دلتا لما يكون ال
+
+54
+00:05:58,880 --> 00:06:03,000
+absolute value ل X معناه C أصغر من دلتا فهذا بطلع
+
+55
+00:06:03,000 --> 00:06:07,740
+أصغر من واحد زي اتنين في absolute c في دلتا الآن
+
+56
+00:06:07,740 --> 00:06:16,040
+متى بيكون هذا أصغر من إبسرن لما دلتاإذا كانت delta
+
+57
+00:06:16,040 --> 00:06:25,240
+هذه أصغر من أوي ساوي epsilon على واحد زايد اتنين
+
+58
+00:06:25,240 --> 00:06:29,960
+في absolute of c إذا هاي قيمة تانية ل delta هاي
+
+59
+00:06:29,960 --> 00:06:35,660
+اندي delta بساوي واحد و delta أصغر من أوي ساوي
+
+60
+00:06:35,660 --> 00:06:39,760
+epsilon على واحد زايد اتنين في absolute of c إذا
+
+61
+00:06:39,760 --> 00:06:49,590
+باجي بقولlet epsilon أكبر من السفر be given a
+
+62
+00:06:49,590 --> 00:06:57,690
+choose delta بتساوي ال minimum الأصغر بين القمتين
+
+63
+00:06:57,690 --> 00:07:07,050
+واحد وepsilon على واحد زاد اتنين في absolute c ال
+
+64
+00:07:07,050 --> 00:07:13,660
+delta هذه الآن عدد موجب ويعتمد على epsilonإذا لهذه
+
+65
+00:07:13,660 --> 00:07:24,140
+الـ Delta لو كان X ينتمي ل R اللي هو مجال الدالة و
+
+66
+00:07:24,140 --> 00:07:31,780
+Absolute X minus C أكبر من صفر أصغر من Delta فهذا
+
+67
+00:07:31,780 --> 00:07:36,960
+بيؤدي طبعا ال Delta هذه هي الأصغر من العددين هذوله
+
+68
+00:07:36,960 --> 00:07:40,920
+وبالتالي أصغر من أو يساوي واحد وأصغر من أو يساوي
+
+69
+00:07:40,920 --> 00:07:46,820
+كسر هذافالـ delta أكيد أصغر من أو يساوي الواحد،
+
+70
+00:07:46,820 --> 00:07:52,360
+لما الـ delta أصغر من أو يساوي الواحد، هذا بيقدر
+
+71
+00:07:52,360 --> 00:07:56,940
+أن absolute X
+
+72
+00:07:56,940 --> 00:08:04,800
+أصغر من واحد زائد absolute Cوكمان هذا بيقدي أنه
+
+73
+00:08:04,800 --> 00:08:11,000
+absolute x تربية سالب c تربية أصغر من أوي ساوي
+
+74
+00:08:11,000 --> 00:08:23,400
+absolute x زاد absolute c absolute
+
+75
+00:08:23,400 --> 00:08:28,640
+x سالب c وبالتالي هذا أصغر من أوي ساوي واحد زاد
+
+76
+00:08:28,640 --> 00:08:39,840
+اتنين absolute cو هذا اصغر من delta و
+
+77
+00:08:39,840 --> 00:08:49,520
+الان ال delta هذه طبعا
+
+78
+00:08:49,520 --> 00:08:55,420
+هذا اصغر من delta و ال delta قلنا اصغر منها و
+
+79
+00:08:55,420 --> 00:08:58,600
+يساوي epsilon هاي واحد زي اتنين
+
+80
+00:09:19,770 --> 00:09:26,670
+بشكل صحيح بما أن ابسلون أكبر من السفر was
+
+81
+00:09:26,670 --> 00:09:27,550
+arbitrary
+
+82
+00:09:31,810 --> 00:09:35,410
+إذاً هيك بنكون أثباتنا لكل epsilon أكبر من السفر
+
+83
+00:09:35,410 --> 00:09:41,150
+يوجد delta تعتمد على epsilon عدد موجة ب half لكل x
+
+84
+00:09:41,150 --> 00:09:46,710
+المسافة مختلفة عن ال c والمسافة بينها وبين ال c
+
+85
+00:09:46,710 --> 00:09:52,590
+أصغر من delta بتطلع المسافة بين f of x وc تربيه
+
+86
+00:09:52,590 --> 00:10:01,190
+أصغر من epsilon إذاً we haveBy definition إن ال
+
+87
+00:10:01,190 --> 00:10:11,390
+limit ل X تربيه لما X تقول إلى C بساوي C تربيه وهو
+
+88
+00:10:11,390 --> 00:10:17,410
+المطلوب، okay؟ إذن هذا هو برهان إن ال limit للدالة
+
+89
+00:10:17,410 --> 00:10:23,300
+التربيهية عن C بساوي C تربيهاستخدمنا تعريف epsilon
+
+90
+00:10:23,300 --> 00:10:28,260
+دلتا وشوفنا ان دلتا هنا لازم تكون الأصغر من
+
+91
+00:10:28,260 --> 00:10:34,520
+الكمتين اللي هو الواحد والكاسر اللي هناك هي اي
+
+92
+00:10:34,520 --> 00:10:41,020
+سخصار اي سؤال خلينا ناخد كمان مثال مشابه لهذا وفيه
+
+93
+00:10:41,020 --> 00:10:44,560
+ال delta برضه بتساوي ال minimum لكمتين
+
+94
+00:10:53,440 --> 00:11:02,620
+المثال الرقم أربعة show أنه ال limit لواحد على x
+
+95
+00:11:02,620 --> 00:11:14,020
+لما x تقول إلى zero لأ
+
+96
+00:11:14,020 --> 00:11:20,340
+ال limit لواحد على x لما x تقول إلى أي عدد cبساوي
+
+97
+00:11:20,340 --> 00:11:27,420
+واحد على C حيث C أكبر من 7 فهنا
+
+98
+00:11:27,420 --> 00:11:30,520
+بناخد ال function تبعتي الدالة اللي بتجميلها ال
+
+99
+00:11:30,520 --> 00:11:36,800
+limit هي عبارة عن F of X بساوي واحد على X حيث X
+
+100
+00:11:36,800 --> 00:11:41,720
+موجبة إذا المجال تبع الدالة هذه الفترة المفتوحة من
+
+101
+00:11:41,720 --> 00:11:49,410
+سفر إلى ما لا نهاية واند C عدد موجبةطيب انا عايز
+
+102
+00:11:49,410 --> 00:11:57,190
+اثبت ان absolute f of x minus واحد على c بدي هذا
+
+103
+00:11:57,190 --> 00:12:02,470
+يكون اصغر من اي given epsilon عندما x تكون قريبة
+
+104
+00:12:02,470 --> 00:12:12,230
+من ال c او في جوار delta لل cفهذا طبعا اش بساوي هي
+
+105
+00:12:12,230 --> 00:12:17,790
+absolute واحد على X minus واحد على C وهذا بساوي
+
+106
+00:12:17,790 --> 00:12:27,950
+absolute C minus X على X في C وهذا بساوي واحد على
+
+107
+00:12:27,950 --> 00:12:33,270
+X في C ضرب absolute X minus C
+
+108
+00:12:38,060 --> 00:12:45,780
+الان بدي أحاول أجيب upper bound عدد
+
+109
+00:12:45,780 --> 00:12:53,720
+موجة ب M بحيث ال 1 على X في C يكون أصغر من أو ساوي
+
+110
+00:12:53,720 --> 00:12:57,360
+ال M تعالوا نشوف كيف نجيب ال upper bound هذا أو ال
+
+111
+00:12:57,360 --> 00:13:06,330
+boundأنا عندى ال take الاول take انا عندى ال c عدد
+
+112
+00:13:06,330 --> 00:13:12,190
+موجب take delta بساوي c على اتنين هذا عدد موجب
+
+113
+00:13:12,190 --> 00:13:16,050
+then
+
+114
+00:13:16,050 --> 00:13:23,510
+absolute x minus c اصغر من delta اللى هو بساويC ع
+
+115
+00:13:23,510 --> 00:13:32,030
+2 بيقدي ان X أصغر من ثلاثة C ع 2 أكبر من C ع 2
+
+116
+00:13:32,030 --> 00:13:43,430
+وهذا بيقدي ان واحد على X في C أصغر من اتنين على C
+
+117
+00:13:43,430 --> 00:13:44,270
+ترمية
+
+118
+00:13:50,000 --> 00:13:54,920
+ال X أكبر من C على 2 إذا مقلوب ال X أصغر من 2 على
+
+119
+00:13:54,920 --> 00:14:01,220
+C مقلوب ال X و أضربها في 1 على C بيطلع أصغر من 2
+
+120
+00:14:01,220 --> 00:14:07,100
+على C تربيه وبالتالي
+
+121
+00:14:07,100 --> 00:14:13,540
+هذا العدد هذا هو ال M عدد
+
+122
+00:14:13,540 --> 00:14:16,320
+موجة إذا
+
+123
+00:14:18,670 --> 00:14:28,290
+في الحالة هذه في الحالة
+
+124
+00:14:28,290 --> 00:14:34,910
+هذه بصير عندي هذا أصغر من اتنين على C تربية وطبعا
+
+125
+00:14:34,910 --> 00:14:39,430
+هذا أصغر من Delta Absolute X minus C طبعا بيكون
+
+126
+00:14:39,430 --> 00:14:44,690
+أصغر من Delta الآن عشان يكون هذا أصغر من أو ساوي
+
+127
+00:14:44,690 --> 00:14:52,820
+Epsilonفنختار choose الـ delta أصغر من أو ساوي حل
+
+128
+00:14:52,820 --> 00:14:57,140
+المتباينة هذه في الـ delta فالـ delta ستصبح أصغر
+
+129
+00:14:57,140 --> 00:15:04,540
+من أو ساوي C تربيع على 2 تلصق فهي قيمة تانية لـ
+
+130
+00:15:04,540 --> 00:15:09,440
+delta فبأخد الـ delta ال minimum للقيمة الأولى
+
+131
+00:15:10,560 --> 00:15:16,040
+والقيمة التانية هذا هيخلي انه لكل x المسافة بين او
+
+132
+00:15:16,040 --> 00:15:20,320
+بين c اصغر من delta هتخلي المسافة بين f of x واحد
+
+133
+00:15:20,320 --> 00:15:26,280
+على c اصغر من ال given epsilon نكتب الكلام هذا let
+
+134
+00:15:26,280 --> 00:15:29,240
+epsilon be given choose delta بالساوي ال minimum
+
+135
+00:15:29,240 --> 00:15:36,260
+نختار
+
+136
+00:15:36,260 --> 00:15:42,030
+delta ال minimumللعدد الموجة بـ c ع 2، والعدد
+
+137
+00:15:42,030 --> 00:15:49,000
+التاني ده هو c تربيه ع 2 في epsilonطبعا هذا عدد
+
+138
+00:15:49,000 --> 00:15:52,740
+أكيد عدد موجب لأن هذا موجب وهذا موجب والأصغر بينهم
+
+139
+00:15:52,740 --> 00:15:56,820
+هيطلع موجب واتنين بيعتمدوا على epsilon إذن delta
+
+140
+00:15:56,820 --> 00:16:00,620
+عدد موجب بيعتمد على epsilon إذا لأي epsilon أكبر
+
+141
+00:16:00,620 --> 00:16:04,360
+من سفر هين أثبتت يوجد delta تعتمد على epsilon عدد
+
+142
+00:16:04,360 --> 00:16:11,680
+موجب بحيث أنه لكل x ينتمي لإيه المجال هنا اللي هو
+
+143
+00:16:11,680 --> 00:16:19,300
+الفترة المفتوحة من سفر إلى دالة نهايةو absolute x
+
+144
+00:16:19,300 --> 00:16:25,400
+minus c أكبر من سفر أصغر من ال delta هذا بيقدي أن
+
+145
+00:16:25,400 --> 00:16:33,260
+ال delta هذه أصغر من أو يساوي c ع 2 فلما ال delta
+
+146
+00:16:33,260 --> 00:16:39,280
+تكون أصغر من أو يساوي c ع 2 هذا بيقدي أنه واحد على
+
+147
+00:16:39,280 --> 00:16:42,460
+واحد
+
+148
+00:16:42,460 --> 00:16:52,060
+على xفى c أصغر من اتنين على c تربية وهذا بدوره
+
+149
+00:16:52,060 --> 00:17:00,940
+بيقدم absolute واحد على x minus واحد على c بساوي
+
+150
+00:17:00,940 --> 00:17:06,480
+واحد على x في c في absolute x minus c أصغر من
+
+151
+00:17:06,480 --> 00:17:14,850
+اتنين على c تربية فى deltaوالـ delta هذه الأن أصغر
+
+152
+00:17:14,850 --> 00:17:19,310
+من أو يساوي الـ delta هذه هي الـ delta اللي فوق
+
+153
+00:17:19,310 --> 00:17:25,010
+أصغر من أو يساوي العدد هذا أيه والعدد التاني لأنها
+
+154
+00:17:25,010 --> 00:17:31,130
+الأصغر بين اتنين لأن هي اتنين على c تربيع ضرب c
+
+155
+00:17:31,130 --> 00:17:36,390
+تربيع اتنين في epsilon هذا بروح مع هذا مخلوق بعض
+
+156
+00:17:36,390 --> 00:17:41,030
+بيضل عندي epsilon since
+
+157
+00:17:43,190 --> 00:17:50,970
+Y أكبر من السفر was arbitrary إذا أنا لكل Y أكبر
+
+158
+00:17:50,970 --> 00:17:56,850
+من السفر جبت Delta تعتمد على Y بحيث لكل X مختلفة
+
+159
+00:17:56,850 --> 00:18:00,570
+عن الـC المسافة بينها وبين الـC أصغر من Delta كل
+
+160
+00:18:00,570 --> 00:18:05,450
+المسافة بين F of X و1 على C أصغر من Y إذا by
+
+161
+00:18:05,450 --> 00:18:06,010
+definition
+
+162
+00:18:09,260 --> 00:18:14,820
+by definition of limit بيطلع عند ال limit لل
+
+163
+00:18:14,820 --> 00:18:20,740
+function واحد على X لما X تقول إلى C بيساوي واحد
+
+164
+00:18:20,740 --> 00:18:24,240
+على C وهو المطلوب
+
+165
+00:18:26,860 --> 00:18:31,720
+واضح في أي سؤال؟ في كمان مثال آخر زي هدف الكتاب،
+
+166
+00:18:31,720 --> 00:18:37,860
+هسيبكم تقرؤوه لأن الفكرة شبيهة بالفكرة في المثال
+
+167
+00:18:37,860 --> 00:18:47,720
+الأخير وبالتالي مافيش إشي جديد ننتقل إلى دراسة
+
+168
+00:18:52,750 --> 00:18:56,370
+ال sequential criterion هي حاجة اسمها sequential
+
+169
+00:18:56,370 --> 00:19:09,570
+criterion حاجة .. حاجة بتكافئ التعريف sequential
+
+170
+00:19:09,570 --> 00:19:12,750
+criterion
+
+171
+00:19:45,930 --> 00:19:53,970
+العبارات التالية متكافعةLimit f of x as x tends to
+
+172
+00:19:53,970 --> 00:20:03,290
+c بساوي عدد L بغند عدد حقيقي اتنين for every
+
+173
+00:20:06,410 --> 00:20:14,330
+for every sequence xn contained in A وحدودها
+
+174
+00:20:14,330 --> 00:20:25,090
+مختلفة عن الـC such that limit xn بالساوي C we
+
+175
+00:20:25,090 --> 00:20:31,470
+have limit الـimage لسيكوينس xn as n tends to
+
+176
+00:20:31,470 --> 00:20:34,410
+infinity بالساوي العدد القليل
+
+177
+00:20:39,210 --> 00:20:42,690
+إن الـ sequential criterion هذه بتقول إن عشان أثبت
+
+178
+00:20:42,690 --> 00:20:46,470
+إن ال limit لل function f and x بساوي c بساوي
+
+179
+00:20:46,470 --> 00:20:52,090
+العدد L هدى بكافة إن أنا أثبت إنه لو أخدت أي
+
+180
+00:20:52,090 --> 00:20:59,010
+sequence نهايتها C فلازم يكون نهاية صورتها بساوي
+
+181
+00:20:59,010 --> 00:21:04,140
+العدد Lلو اقدرت اعمل هذا في الكلام فبقى هذا بيكافئ
+
+182
+00:21:04,140 --> 00:21:08,880
+ان احنا نقول ان ال limit ل f of x يعني ال x بيساوي
+
+183
+00:21:08,880 --> 00:21:15,060
+c بيساوي العدد ال .. نثبت النظرية هذه تروف one
+
+184
+00:21:15,060 --> 00:21:23,020
+implies two assume one
+
+185
+00:21:23,020 --> 00:21:28,480
+IE
+
+186
+00:21:30,950 --> 00:21:37,470
+الـ limit لأخب X لما X تقول لـ C بساوي العدد M
+
+187
+00:21:37,470 --> 00:21:44,070
+عايزين
+
+188
+00:21:44,070 --> 00:21:48,450
+نثبت عشان
+
+189
+00:21:48,450 --> 00:21:55,250
+نثبت اتنين عشان نثبت اتنين صحيح to
+
+190
+00:21:55,250 --> 00:21:58,190
+prove two holes
+
+191
+00:22:00,720 --> 00:22:05,500
+to prove two holds let
+
+192
+00:22:05,500 --> 00:22:17,380
+Xn be a sequence in A هدودها مختلفة عن الـC such
+
+193
+00:22:17,380 --> 00:22:26,960
+that limit Xn بالساوي C we claim
+
+194
+00:22:30,360 --> 00:22:45,320
+بت ال limit ل f of x ل f of x n لما
+
+195
+00:22:45,320 --> 00:22:52,340
+n تقول ل infinity دي ساوي L لبرهان ذلك let epsilon
+
+196
+00:22:52,340 --> 00:22:55,400
+أكبر
+
+197
+00:22:55,400 --> 00:22:57,020
+من السفر be given
+
+198
+00:23:02,180 --> 00:23:08,440
+سنس اكس اكس اكس اكس
+
+199
+00:23:10,770 --> 00:23:16,490
+بما أننا فرضين limit f of x لما x تقوله c بالساوي
+
+200
+00:23:16,490 --> 00:23:21,450
+L من تعريف epsilon دلتا لل limit إذا يوجد دلتا
+
+201
+00:23:21,450 --> 00:23:27,770
+تعتمد على epsilon عدد موجب بحيث أنه لكل x ينتمي
+
+202
+00:23:27,770 --> 00:23:33,730
+إلى a وabsolute x minus c أكبر من صفر أصغر من دلتا
+
+203
+00:23:42,740 --> 00:23:52,080
+أبسلون دلتا للنهايات نسمي
+
+204
+00:23:52,080 --> 00:23:53,760
+ال implication هذه star
+
+205
+00:24:01,580 --> 00:24:07,300
+And the limit xn بالساوي سي احنا فرضين ان في انديو
+
+206
+00:24:07,300 --> 00:24:14,840
+سيكوينس xn ونهايتها c then
+
+207
+00:24:14,840 --> 00:24:26,910
+for the aboveدلتا الموجبة يوجد دلتا موجبة خدت دلتا
+
+208
+00:24:26,910 --> 00:24:31,910
+هذه الموجبة وطبق تعريف epsilon capital N لlimit of
+
+209
+00:24:31,910 --> 00:24:36,590
+sequence فبما ان ال sequence هذه نهايتها C إذا لأي
+
+210
+00:24:36,590 --> 00:24:42,070
+دلتا أو epsilon عدد موجبThere exists capital N
+
+211
+00:24:42,070 --> 00:24:46,710
+يعتمد على الـ Delta طبعا الـ Delta تعتمد على
+
+212
+00:24:46,710 --> 00:24:51,370
+إبسلون، إذا الـ N هذه يعتمد على إبسلون عدد طبيعي،
+
+213
+00:24:51,370 --> 00:24:56,650
+بحيث أنه لكل N أكبر من أو ساوي capital N، تطلع
+
+214
+00:24:56,650 --> 00:25:02,130
+عندي absolute X N minus C أصغر من Delta، نسمي ال
+
+215
+00:25:02,130 --> 00:25:03,990
+implication هذه double star
+
+216
+00:25:07,580 --> 00:25:16,300
+now star and double star بيؤدوا إلى ما يلي لو كان
+
+217
+00:25:16,300 --> 00:25:23,340
+M أكبر من أو ساوي capital M هذا بيؤدي انه absolute
+
+218
+00:25:23,340 --> 00:25:27,740
+XM
+
+219
+00:25:27,740 --> 00:25:36,440
+minus C أصغر من دلتا هذا باستخدام double star صح؟
+
+220
+00:25:39,750 --> 00:25:44,230
+لو كانت n أكبر من أو ساوي capital N فبطلع absolute
+
+221
+00:25:44,230 --> 00:25:52,050
+xn minus c أصغر من delta و من ال star لو كان عندى
+
+222
+00:25:52,050 --> 00:25:59,130
+xn طبعا xn هذا موجود في a ال xn موجود في a مختلف
+
+223
+00:25:59,130 --> 00:25:59,810
+عن ال c
+
+224
+00:26:02,830 --> 00:26:07,750
+فلو كان absolute of xn minus c badly except xn
+
+225
+00:26:07,750 --> 00:26:13,850
+أصغر من delta فحسب الstar هذا بقدر absolute of f
+
+226
+00:26:13,850 --> 00:26:22,590
+of xn minus L أصغر من إبسلون الان بما أن هذا صحيح
+
+227
+00:26:22,590 --> 00:26:28,270
+بما أن since إبسلون أكبر من الصفر was arbitrary
+
+228
+00:26:30,740 --> 00:26:42,380
+إن إحنا أثبتنا هيك لكل إبسلون يوجد
+
+229
+00:26:42,380 --> 00:26:50,250
+capital N يعتمد على إبسلون عدد طبيعيبكل n أكبر من
+
+230
+00:26:50,250 --> 00:26:55,310
+أوي سوى capital N absolute f of xn minus L أصغر من
+
+231
+00:26:55,310 --> 00:27:00,150
+إبسلون إذا by إبسلون capital N definition لل limit
+
+232
+00:27:00,150 --> 00:27:06,050
+of sequence بطلع عندي limit لsequence
+
+233
+00:27:06,050 --> 00:27:12,910
+f of xn as n tends to infinity بساوية L وبالتالي
+
+234
+00:27:12,910 --> 00:27:21,850
+هيك بيكون إذا two holesهكذا أثبتنا أن واحد يؤدي
+
+235
+00:27:21,850 --> 00:27:26,610
+إلى اتنين اتنين
+
+236
+00:27:26,610 --> 00:27:30,270
+بيقول for every sequence فهي اللي أخدت arbitrary
+
+237
+00:27:30,270 --> 00:27:36,810
+sequence في a minus c وبشرط بحيث ان ال sequence هي
+
+238
+00:27:36,810 --> 00:27:37,710
+اللي نهيتها c
+
+239
+00:27:42,350 --> 00:27:46,210
+و اثبتنا ان ال limit لل image لل sequence بساوي L
+
+240
+00:27:46,210 --> 00:27:51,710
+هذا بالظبط اللي هو الابارة اتنين لان هيك يكون
+
+241
+00:27:51,710 --> 00:27:58,270
+اثبتنا واحد بيقدي لاتنين واضح مفهوم اللي هو نثبت
+
+242
+00:27:58,270 --> 00:28:02,510
+العكس نثبت ان اتنين بيقدي لواحد
+
+243
+00:28:16,210 --> 00:28:22,870
+بالنسبة العبارة اثنين بتقدي للعبارة واحد فالاثنان
+
+244
+00:28:22,870 --> 00:28:27,270
+ذالف بالمناسبة الأخوات اللي قاعدات ورا دولة إيش
+
+245
+00:28:27,270 --> 00:28:31,510
+بتعملوا انتوا؟ ماعليش أوقف تصوير إيش مجاعتكم انتوا
+
+246
+00:28:31,510 --> 00:28:34,830
+أنا أول حاجة و تاني حاجة؟ إيش بتتكلمون؟ دكتور معاك
+
+247
+00:28:34,830 --> 00:28:38,070
+لأ لأ لما هم بتتكلم عامليننا أزعاج لأ باحكوا إذا
+
+248
+00:28:38,070 --> 00:28:40,550
+انتوا بتتكلموا لأ بحكي على اندر ده ليش مصورة أن
+
+249
+00:28:40,550 --> 00:28:44,510
+الوضع هو وضع نفسه لأ بنتكلميش لأ باحكي عن البرادة
+
+250
+00:28:44,510 --> 00:28:49,530
+اللي ورا دولةفي بنات بتتكلموا، أنتوا اللي ورا
+
+251
+00:28:49,530 --> 00:28:55,390
+بتتكلموا ولا في ناس غيرك؟ في حد بتتكلم و أنا بشرح
+
+252
+00:28:55,390 --> 00:29:00,090
+تتكلم و هذا عمللي أزعاج كتير، فلو سمحتوا إذا أنتوا
+
+253
+00:29:00,090 --> 00:29:04,890
+قاعدين تتكلموا ورا اطلعوا في حديقة اتكلموا فيها،
+
+254
+00:29:04,890 --> 00:29:10,670
+حتى لو باسم المحاضرة ممنوح تتكلموا، شوية أزعاجهو
+
+255
+00:29:10,670 --> 00:29:13,850
+مين اللي بتتكلم؟ إذاً أنت اللي بتتكلم من قعدته
+
+256
+00:29:13,850 --> 00:29:20,350
+وراك بتتكلم ما تتكلمش لإن غير ترفع يدك، ارفع يدك و
+
+257
+00:29:20,350 --> 00:29:24,670
+تقعد لسانك، ما تتكلمي مع الجنك بدون اسم، لإن هذا
+
+258
+00:29:24,670 --> 00:29:28,150
+عندنا قاعدة في المحاضرة، ممنوع حد يتكلم مع الجنك و
+
+259
+00:29:28,150 --> 00:29:34,030
+تتحدث مع حد شخص آخر إلا إذا عندك سؤال، ترفع يدك،
+
+260
+00:29:34,030 --> 00:29:37,990
+تستنى لما أقول من عنده سؤال من عنده حاسب صار، ترفع
+
+261
+00:29:37,990 --> 00:29:41,790
+يدك و بجاوبكانا مابتقدر انت تعمليني قصة مع اللغة،
+
+262
+00:29:41,790 --> 00:29:48,330
+قوم انت .. انت .. قوم يقعد في مطعم، يبقين عالم،
+
+263
+00:29:48,330 --> 00:29:51,190
+فلو سرحت انك تتكلم مش مع بعض، هانديك السفسة
+
+264
+00:30:01,910 --> 00:30:04,950
+ممنوع حد يتكلم مع الجنب في المحاضرة، أنا بعمل
+
+265
+00:30:04,950 --> 00:30:08,850
+إزعاج، بدك أنت في السفسار، عندك أي إيش أنا بواجب،
+
+266
+00:30:08,850 --> 00:30:13,990
+بقول من عنده سؤال، من عنده حاجة، اتفضل يسأل
+
+267
+00:30:13,990 --> 00:30:21,850
+ساعتها، بس لا تتكلم وأنا ضايق طرابك،
+
+268
+00:30:21,850 --> 00:30:24,230
+يقولنا الكلام قدر مئة مرة في المحاضرة، ممنوع
+
+269
+00:30:24,230 --> 00:30:25,690
+الكلام الجامل
+
+270
+00:30:35,880 --> 00:30:40,860
+تفضل يا أبو حمزي إذا
+
+271
+00:30:40,860 --> 00:30:45,380
+الأن بدنا نكمل البرنامج بإثبات الأثنين بأد لواحد
+
+272
+00:30:45,380 --> 00:30:51,740
+الإثبات الأثنين بأد لواحد بدنا نثبت we prove ال
+
+273
+00:30:51,740 --> 00:30:59,120
+contrapositive we prove not واحد implies not two
+
+274
+00:31:01,070 --> 00:31:04,730
+هذا هو ال contrapositive للعبارة لل implication
+
+275
+00:31:04,730 --> 00:31:16,630
+هذه فإذا assume .. assume not one ف not one معناته
+
+276
+00:31:16,630 --> 00:31:27,190
+ال limit ل F of X لما X تقول ل C لا تساوي L
+
+277
+00:31:30,200 --> 00:31:32,020
+this means هذا يعني
+
+278
+00:31:35,090 --> 00:31:40,190
+الان نرجع لتعريف ال limit أو ال function شوفنا
+
+279
+00:31:40,190 --> 00:31:42,530
+المرة السادسة في تعريفين في epsilon delta
+
+280
+00:31:42,530 --> 00:31:46,270
+definition و في neighborhood definition ال
+
+281
+00:31:46,270 --> 00:31:49,610
+neighborhood definition بيقول اذا كان عشان تكون
+
+282
+00:31:49,610 --> 00:31:53,770
+limit ل f of x من x او ل c بالساوي عدد L هذا
+
+283
+00:31:53,770 --> 00:31:57,210
+بيكافئ انه لكل epsilon neighborhood ل L يوجد delta
+
+284
+00:31:57,210 --> 00:32:01,130
+neighborhood لل C بحيث لكل x في ال delta
+
+285
+00:32:01,130 --> 00:32:04,630
+neighborhoodصورته لازم تطلع في الـ epsilon
+
+286
+00:32:04,630 --> 00:32:08,290
+neighborhood الان ان في الكلام هذا ما معنى ان ال
+
+287
+00:32:08,290 --> 00:32:13,570
+limit and c بيستويش لعدد L معناته بدل لكل epsilon
+
+288
+00:32:13,570 --> 00:32:17,930
+neighborhood ل L there exist there exist epsilon
+
+289
+00:32:17,930 --> 00:32:25,330
+zero neighborhood of L بسميه
+
+290
+00:32:25,330 --> 00:32:32,110
+V epsilon zero neighborhood ل L بحيث انه لكل
+
+291
+00:32:33,900 --> 00:32:43,060
+Delta neighborhood V Delta أو C يوجد X يعتمد على
+
+292
+00:32:43,060 --> 00:32:50,540
+Delta ينتمي إلى A ومختلف عن الـ C وموج��د في الـ
+
+293
+00:32:50,540 --> 00:32:55,560
+Delta neighborhood بحيث
+
+294
+00:32:55,560 --> 00:33:01,100
+أن صورة الـ X Delta
+
+295
+00:33:05,360 --> 00:33:16,380
+لا تنتمي للإبسلون zero neighborhood ل LL طيب
+
+296
+00:33:16,380 --> 00:33:26,140
+لو أخدنا take لكل N في N take delta بساوي واحد على
+
+297
+00:33:26,140 --> 00:33:31,600
+N then
+
+298
+00:33:31,600 --> 00:33:32,540
+they exist
+
+299
+00:33:37,520 --> 00:33:47,100
+دلتا تعتمد على n دلتا تعتمد على n دلتا تعتمد على n
+
+300
+00:33:47,100 --> 00:33:50,360
+دلتا
+
+301
+00:33:50,360 --> 00:33:56,520
+تعتمد
+
+302
+00:33:56,520 --> 00:33:57,620
+على
+
+303
+00:34:00,880 --> 00:34:10,260
+و بحيث ان F ل Xm لا ينتمي لإبسلون Zero
+
+304
+00:34:10,260 --> 00:34:18,300
+neighborhood ل L طب ما هذا الأخير معناه أو بيقدّي
+
+305
+00:34:26,330 --> 00:34:34,390
+this implies هذا بيقدّي نكون أثبتنا ان لكل n يوجد
+
+306
+00:34:34,390 --> 00:34:42,490
+xn في a إذا يوجد sequence xn موجودة في ال set A
+
+307
+00:34:42,490 --> 00:34:47,170
+حدودها مختلفة عن ال C كل ال xn مختلفة عن ال C
+
+308
+00:34:47,170 --> 00:35:01,980
+وموجودة فيv1 على n of c بحيث ان f ل xn لا تنتمي ل
+
+309
+00:35:01,980 --> 00:35:11,900
+v epsilon zero ل n لكل n هذا معناه ان يوجد
+
+310
+00:35:11,900 --> 00:35:20,580
+sequence xn contained in a minus c بحيث انلاحظوا
+
+311
+00:35:20,580 --> 00:35:26,240
+الـ sequence Xn تنتمي ل V 1 على N of C اللي هو
+
+312
+00:35:26,240 --> 00:35:30,960
+عبارة عن الفترة C سالف واحد على N C موجب واحد على
+
+313
+00:35:30,960 --> 00:35:37,360
+N لكل N هذا معناه ان absolute Xn minus C أصغر من
+
+314
+00:35:37,360 --> 00:35:42,420
+واحد على N أصغر
+
+315
+00:35:42,420 --> 00:35:47,020
+من واحد على N لكل N في N and
+
+316
+00:35:50,460 --> 00:35:55,500
+F of Xn لا تنتمي للـY0 neighborhood الـY0
+
+317
+00:35:55,500 --> 00:35:59,720
+neighborhood هذا عبارة عن الفترة المفتوحة L minus
+
+318
+00:35:59,720 --> 00:36:08,000
+Y0 L زائد Y0 فF of Xn لا تنتمي للفترة المفتوحة هذه
+
+319
+00:36:08,000 --> 00:36:15,720
+معناه absolute المسافة بين F of Xn وL أكبر من أو
+
+320
+00:36:15,720 --> 00:36:18,460
+ساوي Y0 لكل N
+
+321
+00:36:21,430 --> 00:36:26,750
+هذا الكلام معناه أن
+
+322
+00:36:26,750 --> 00:36:32,190
+يوجد sequence x in موجودة في a حدودها مختلفة عن ال
+
+323
+00:36:32,190 --> 00:36:41,030
+c وهذا الكلام معناه such that limit x in بساوي c
+
+324
+00:36:43,330 --> 00:36:51,410
+حسب نظرية اتنين اربعة اتنين
+
+325
+00:36:51,410 --> 00:36:54,970
+اربعة اتنين اربعة اتنين اربعة اتنين اربع اتنين
+
+326
+00:36:54,970 --> 00:36:55,590
+اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع
+
+327
+00:36:55,590 --> 00:36:55,590
+اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين
+
+328
+00:36:55,590 --> 00:36:55,730
+اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع
+
+329
+00:36:55,730 --> 00:36:56,990
+اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين
+
+330
+00:36:56,990 --> 00:36:59,130
+اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع
+
+331
+00:36:59,130 --> 00:37:08,450
+اتنين اربع اتنين اربع اتنين اربع ا
+
+332
+00:37:12,640 --> 00:37:16,920
+الـ limit لـ
+
+333
+00:37:16,920 --> 00:37:20,760
+sequence f of xn لما n تقول الـ infinity مش ممكن
+
+334
+00:37:20,760 --> 00:37:26,540
+تساوي العدد L لأن لو ال limit ل f of xn بيساوي
+
+335
+00:37:26,540 --> 00:37:30,220
+العدد L، المفروض ال absolute value للفرق ده تكون
+
+336
+00:37:30,220 --> 00:37:36,660
+أصغر من أي epsilon zero لكل N من capital N و انت
+
+337
+00:37:36,660 --> 00:37:40,930
+طالع، لكن هذا الكلام مش صحيحOkay إن هذا بالظبط
+
+338
+00:37:40,930 --> 00:37:48,210
+العبارة الأخيرة which which
+
+339
+00:37:48,210 --> 00:37:55,690
+is نفي العبارة اتنين هذه
+
+340
+00:37:55,690 --> 00:37:58,450
+العبارة الأخيرة هي نفي العبارة اتنين هذه العبارة
+
+341
+00:37:58,450 --> 00:38:06,320
+اتنين ال statement اتنينبقول لكل sequence بحيث ان
+
+342
+00:38:06,320 --> 00:38:09,100
+ال limit بتاعتها C، ال limit لل image بتاعتها
+
+343
+00:38:09,100 --> 00:38:13,660
+بالساولة L هنا اتوصلنا ان there exist بدل for all
+
+344
+00:38:13,660 --> 00:38:18,660
+there exist sequence نهايتها C لكن نهاية صورتها
+
+345
+00:38:18,660 --> 00:38:25,020
+لاتساول L إذا هيك بنكون أثبتنا أنه لا إذا we
+
+346
+00:38:25,020 --> 00:38:29,800
+proved not
+
+347
+00:38:31,130 --> 00:38:39,390
+not one implies not two therefore two implies one
+
+348
+00:38:39,390 --> 00:38:46,610
+وهذا يكمل البرهان واضح؟ في أي سؤال؟ في أي استفسار؟
+
+349
+00:38:46,610 --> 00:38:53,590
+يبدو أننا كملنا برهان النظرية في أي استفسار؟
+
+350
+00:38:55,700 --> 00:39:03,780
+الان من النظرية هذه ينتج مباشرة نظرية مهمة لتقل
+
+351
+00:39:03,780 --> 00:39:13,660
+عنها أهمية ويلها اسم divergence
+
+352
+00:39:13,660 --> 00:39:16,900
+criteria
+
+353
+00:39:25,650 --> 00:39:36,650
+لت if the function from A to R and see the cluster
+
+354
+00:39:36,650 --> 00:39:39,750
+point
+
+355
+00:39:39,750 --> 00:39:45,850
+of A then واحد
+
+356
+00:39:47,360 --> 00:39:54,460
+الـ limit ل f of x لما x تقول ل c لا تساوي ال f
+
+357
+00:39:54,460 --> 00:40:01,440
+and only f there exist a sequence xm contained in
+
+358
+00:40:01,440 --> 00:40:10,180
+a حدودها مختلفة عن ال c such that limit xm بتساوي
+
+359
+00:40:10,180 --> 00:40:20,490
+c butLimit f of x in لاتساوي n الكرتيريا
+
+360
+00:40:20,490 --> 00:40:25,750
+التانية اللي هي عشان
+
+361
+00:40:25,750 --> 00:40:31,930
+نقول limit f of x لما x تقولها c does not exist in
+
+362
+00:40:31,930 --> 00:40:43,690
+Rهذا بكافئ أن هناك سيكوانس Xn محتوى A حدودها
+
+363
+00:40:43,690 --> 00:40:50,870
+مختلفة عن C بحيث أن نهايتها بساوي
+
+364
+00:40:50,870 --> 00:41:00,310
+C بط نهاية صورتها لا
+
+365
+00:41:00,310 --> 00:41:02,670
+توجد في R
+
+366
+00:41:16,230 --> 00:41:21,250
+كمان النظرية هذه مرهانها ينتج مباشرة من النظرية
+
+367
+00:41:21,250 --> 00:41:27,990
+اللي فوق مثلا هي عندي لإثبات ال band الأول عشان
+
+368
+00:41:27,990 --> 00:41:31,130
+أثبت limit f of x مستويش L and C
+
+369
+00:41:34,380 --> 00:41:38,880
+يعني كإني بقول نفي العبارة واحد هذا هو نفي العبارة
+
+370
+00:41:38,880 --> 00:41:42,560
+واحد طب احنا لسه بثبتين ان واحد بكافي اتنين
+
+371
+00:41:42,560 --> 00:41:46,560
+وبالتالي نفي العبارة واحد بكافي نفي الاتنين فنفي
+
+372
+00:41:46,560 --> 00:41:51,100
+الاتنين هذا هو يوجد a sequence تتقارب ل C لكن صورة
+
+373
+00:41:51,100 --> 00:41:56,720
+تلاتة تتقارب لL إذا برهان الجزء الأول نتيجة مباشرة
+
+374
+00:41:56,720 --> 00:42:02,130
+على مضارية ال form والجزء التاني زيه بدل هناعشان
+
+375
+00:42:02,130 --> 00:42:06,070
+اقول ان ال limit هذه does not exist يعني لو اخدت
+
+376
+00:42:06,070 --> 00:42:12,650
+اي عدد L فال limit هنا لا تساوي L معناته انه في
+
+377
+00:42:12,650 --> 00:42:18,050
+sequence و الكلام هذا ال limit هذه ماسويش اي L اي
+
+378
+00:42:18,050 --> 00:42:23,890
+عدد حقيقي اذا النظرية هذه نتيجة مباشرة على النظرية
+
+379
+00:42:23,890 --> 00:42:27,880
+sequential criterion النظرية التي سبقتهاالان هذه
+
+380
+00:42:27,880 --> 00:42:31,560
+النظرية هنستخدمها في إثبات إن ال limit لدالة
+
+381
+00:42:31,560 --> 00:42:36,000
+معينة، عن نقطة معينة غير موجودة، فهي بعض الأمثلة
+
+382
+00:42:36,000 --> 00:42:39,140
+كيف
+
+383
+00:42:39,140 --> 00:42:42,500
+نستخدم ال divergence كتير، كيف نثبت ال divergence
+
+384
+00:42:42,500 --> 00:42:48,020
+أو عدم وجود limit لدالة معينة عن نقطة معينة، فمثلا
+
+385
+00:42:48,020 --> 00:43:02,210
+ناخد أول مثالshow that limit ل 1 على x لما x تقول
+
+386
+00:43:02,210 --> 00:43:09,470
+إلى السفر does not exist in R فلبرهان
+
+387
+00:43:09,470 --> 00:43:16,870
+ذلك let
+
+388
+00:43:16,870 --> 00:43:24,050
+f of x بساوي 1 على x و ده أخد الـ x موجبةيعني
+
+389
+00:43:24,050 --> 00:43:27,130
+نعتبر أن ال domain للدالة هذه اللي هو الفترة A
+
+390
+00:43:27,130 --> 00:43:31,270
+بساوي الفترة مفتوحة من الصفر لما لا نهاية و نثبت
+
+391
+00:43:31,270 --> 00:43:34,750
+أن الدالة هذه ماليهاش limit عند الصفر أو عند الصفر
+
+392
+00:43:34,750 --> 00:43:40,650
+من اليمين فلإثبات أن ال limit للدالة هذه عند الصفر
+
+393
+00:43:40,650 --> 00:43:44,470
+ماهياش موجودة حسب ال divergence criteria يعني بدي
+
+394
+00:43:44,470 --> 00:43:48,210
+أثبت أن يوجه .. بدي أجيب sequence نهايتها صفر لكن
+
+395
+00:43:48,210 --> 00:43:52,490
+نهاية صورتها مش موجودة فال sequence إذا هنا
+
+396
+00:43:52,490 --> 00:43:59,560
+considerالـ sequence التي تفي بهذا الغرض اللي هي
+
+397
+00:43:59,560 --> 00:44:06,400
+xn بالساوي واحد على n لكل n في n فواضح أنه limit
+
+398
+00:44:06,400 --> 00:44:16,720
+xn بالساوي limit واحد على n بتساوي سفر وواضح أنه
+
+399
+00:44:16,720 --> 00:44:22,800
+xn contained in a اللي هي الفترة هذه معدى السفر
+
+400
+00:44:22,800 --> 00:44:31,310
+صح؟وعندي ال limit لل image لل sequence xn بساوي ال
+
+401
+00:44:31,310 --> 00:44:38,250
+limit ل 1 على xn لما n تقوى ل infinity بساوي ال
+
+402
+00:44:38,250 --> 00:44:43,410
+limit ل n لما n تقوى ل infinity بساوي infinity
+
+403
+00:44:43,410 --> 00:44:49,730
+وهذه طبعا ال infinity does not exist in R ليست عدد
+
+404
+00:44:49,730 --> 00:44:55,980
+حقيقيالنهاية نجحت في إيجاد sequence موجودة في A
+
+405
+00:44:55,980 --> 00:45:00,840
+وحدودها مختلفة عن السفر ونهايتها سفر لكن نهاية
+
+406
+00:45:00,840 --> 00:45:06,960
+صورتها مش موجودة في R وبالتالي therefore by
+
+407
+00:45:06,960 --> 00:45:14,020
+divergence criterion limit
+
+408
+00:45:14,020 --> 00:45:23,240
+ل F of X أو واحد على Xلما x سقول إلى 0 does not
+
+409
+00:45:23,240 --> 00:45:28,860
+exist in R وفي حقيقة الأمر اثبتنا ان limit 1 على x
+
+410
+00:45:28,860 --> 00:45:34,180
+لما x سقول إلى 0 من اليمين غير موجودة لان اخذنا
+
+411
+00:45:34,180 --> 00:45:42,620
+المجال كل الاعداد الموجودة بالمثل ممكن اثبات ان
+
+412
+00:45:42,620 --> 00:45:50,390
+limit ل1 على xلمّا X تقول إلى سفر من اليسار does
+
+413
+00:45:50,390 --> 00:45:55,540
+not existان انا اخد المرة هذه ال X هنا في الدالة
+
+414
+00:45:55,540 --> 00:46:00,560
+هذه ال domain تبعها الفترة من سالب ماله نهاية الى
+
+415
+00:46:00,560 --> 00:46:05,720
+سفر و اقول ان ال X هنا أصغر من سفر و نفس البرهان
+
+416
+00:46:05,720 --> 00:46:09,820
+هيطلع عندى ال limit لما X تقوله سفر من اليسار does
+
+417
+00:46:09,820 --> 00:46:13,500
+not exist وبالتالي ال limit عند ال X من الجهتين
+
+418
+00:46:13,500 --> 00:46:19,820
+does not exist تمام okay هذا مثال مثال تاني واضح
+
+419
+00:46:19,820 --> 00:46:21,440
+فيه اي سفصار فيه اي سؤال
+
+420
+00:46:25,390 --> 00:46:35,810
+ناخد مثال تاني show
+
+421
+00:46:35,810 --> 00:46:42,590
+that limit للـ signum function signum x لما x تقول
+
+422
+00:46:42,590 --> 00:46:48,930
+إلى سفر does not exist where حيث و ال signum
+
+423
+00:46:48,930 --> 00:46:52,450
+function where
+
+424
+00:46:57,580 --> 00:47:02,460
+where signum x هي عبارة عن function في x بنعرفها
+
+425
+00:47:02,460 --> 00:47:07,000
+على أنها واحد إذا كان x أكبر من سفر سفر إذا كان x
+
+426
+00:47:07,000 --> 00:47:12,300
+بساول سفر سالب واحد إذا كان x أصغر من سفر وهي
+
+427
+00:47:12,300 --> 00:47:13,360
+الرسمة تبعتها
+
+428
+00:47:24,680 --> 00:47:28,920
+فالدالة لما x أكبر من صفر بيستوي ثابت واحد عند
+
+429
+00:47:28,920 --> 00:47:34,400
+الصفر بيستوي صفر و لما x أصغر من واحد بيستوي سالب
+
+430
+00:47:34,400 --> 00:47:38,040
+واحد طيب
+
+431
+00:47:38,040 --> 00:47:48,360
+note that لاحظوا أن الدالة هذه sigma of x بتساوي
+
+432
+00:47:48,360 --> 00:47:52,120
+x على absolute x fx
+
+433
+00:47:53,900 --> 00:47:59,820
+لا تساوي سفر إذا كان x بساوي سفر فدالة sigma بها
+
+434
+00:47:59,820 --> 00:48:07,900
+نفس x على absolute xنفس .. نفس الحاجة طيب الان
+
+435
+00:48:07,900 --> 00:48:13,400
+اثبات ان ال limit لدالها جاند سفر مش موجودة طبعا
+
+436
+00:48:13,400 --> 00:48:17,440
+في تفاضل ألف في برهان في تفاضل ألف بيقول ان هى
+
+437
+00:48:17,440 --> 00:48:21,380
+الدالة لما X اولا سفر من اليمين ال limit لها واحد
+
+438
+00:48:21,380 --> 00:48:25,500
+لما X اولا سفر من اليمين نهيتها سالب واحد ال limit
+
+439
+00:48:25,500 --> 00:48:28,040
+من اليمين مستويش ال limit من اليسار اذا ال limit
+
+440
+00:48:28,040 --> 00:48:33,690
+لدالها جاند سفر does not exist برهانaccurate صحيح
+
+441
+00:48:33,690 --> 00:48:37,030
+مية المية مافي مشكلة لكن لو بدنا نعطي برهان
+
+442
+00:48:37,030 --> 00:48:41,810
+باستخدام ال divergence criterion فالبرهان هيكون
+
+443
+00:48:41,810 --> 00:48:46,270
+كالتالي consider
+
+444
+00:48:46,270 --> 00:48:51,410
+بدنا نجيب sequence xn
+
+445
+00:48:54,550 --> 00:48:58,490
+Rدودها مختلفة عن السفر نهايتها سفر لكن نهايت
+
+446
+00:48:58,490 --> 00:49:03,950
+صورتها بساوي سفر ف consider ال sequence اللي هي Xn
+
+447
+00:49:03,950 --> 00:49:09,110
+الحد اللي عام تبعها Xn بساوي سالف واحد أس ان على N
+
+448
+00:49:09,110 --> 00:49:19,190
+لكل N في N ال sequence هذه تنتمي إلى A اللي هو R
+
+449
+00:49:19,190 --> 00:49:21,890
+بعد السفر
+
+450
+00:49:26,050 --> 00:49:29,530
+موجودة في المجال تبع الدالة المجال تبع الدالة دي
+
+451
+00:49:29,530 --> 00:49:37,570
+كل الأعداد اللي حصلت فيها معدد C صح؟ وعندي و ال
+
+452
+00:49:37,570 --> 00:49:44,610
+limit و ال limit ل XM as M tends to infinity بسوى
+
+453
+00:49:44,610 --> 00:49:50,150
+و ال limitلسالب واحد قص ان على ان لما ان تقول
+
+454
+00:49:50,150 --> 00:49:55,110
+infinity ال limit لل sequence دي ايش بيساوي بيساوي
+
+455
+00:49:55,110 --> 00:50:03,470
+سفر by squeeze theorem او
+
+456
+00:50:03,470 --> 00:50:08,050
+by sandwich theorem but
+
+457
+00:50:08,050 --> 00:50:15,650
+لكن تعالوا نشوف ال limitلـ f of xn as n tends to
+
+458
+00:50:15,650 --> 00:50:19,810
+infinity شو بيساوي؟ بيساوي الـ limit as n tends to
+
+459
+00:50:19,810 --> 00:50:25,750
+infinity احنا عندي الـ xn هنا بيستويش صفر وبالتالي
+
+460
+00:50:25,750 --> 00:50:30,250
+الـ f of x تبعتي اللي هي الـ signum function فهذا
+
+461
+00:50:30,250 --> 00:50:34,050
+بيساوي limit signum xn
+
+462
+00:50:36,620 --> 00:50:41,540
+مظبوط و ال x in قلنا هنا بسويش 0 وبالتالي هذا
+
+463
+00:50:41,540 --> 00:50:47,000
+عبارة عن limit as n tends to infinity ال signal ل
+
+464
+00:50:47,000 --> 00:50:55,420
+x in بساوي x in على absolute x in فهذا
+
+465
+00:50:55,420 --> 00:51:02,210
+بساوي ال limitas n tends to infinity لـ xn عبارة
+
+466
+00:51:02,210 --> 00:51:09,190
+عن سالب واحد قص n على n على absolute xn absolute
+
+467
+00:51:09,190 --> 00:51:16,530
+xn بساوي واحد على n أصبت؟ الآن نجسم ونبسط ال limit
+
+468
+00:51:16,530 --> 00:51:23,750
+as n tends to infinity بطلع سالب واحد قص n وال
+
+469
+00:51:23,750 --> 00:51:27,210
+sequence هذه ال limit تبعتها أثبتنا قبل هيك
+
+470
+00:51:28,730 --> 00:51:33,410
+بطريقتين على الأقل ان ال limit هذه does not exist
+
+471
+00:51:33,410 --> 00:51:44,830
+does not exist وبالتالي اذا either by the
+
+472
+00:51:44,830 --> 00:51:47,630
+divergence criterion
+
+473
+00:51:50,230 --> 00:51:54,070
+هي اثبتت ان الـ use and sequence موجودة في المجال
+
+474
+00:51:54,070 --> 00:51:58,970
+تبع الدالة معدى السفر نهايتها سفر لكن نهاية صورتها
+
+475
+00:51:58,970 --> 00:52:03,270
+does not exist اذا by ال band التاني من ال
+
+476
+00:52:03,270 --> 00:52:11,590
+divergence criterion ال limit لل
+
+477
+00:52:11,590 --> 00:52:17,490
+signum function لما X تقول السفر does not exist
+
+478
+00:52:17,490 --> 00:52:18,570
+غير موجودة
+
+479
+00:52:20,890 --> 00:52:26,890
+Okay تمام واضح واضح البرهان في اي استفسار في اي
+
+480
+00:52:26,890 --> 00:52:34,470
+سؤال Okay
+
+481
+00:52:34,470 --> 00:52:39,470
+نوقف هنا وان شاء الله بنكمل المرة الجاية في بعض
+
+482
+00:52:39,470 --> 00:52:45,290
+مثالين الموجودة في الكتاب تحاولوا تقرؤهم او مثال
+
+483
+00:52:46,220 --> 00:52:50,740
+الشباب بالمثال هذا تحاولوا تقرؤوا و المرة الجاية
+
+484
+00:52:50,740 --> 00:52:52,580
+هنبدأ section جديد
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/_mc9oZHzNxs_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1232 @@
+1
+00:00:20,670 --> 00:00:27,570
+بسم الله الرحمن الرحيم و السلام عليكم هنكمل
+
+2
+00:00:27,570 --> 00:00:33,570
+ان شاء الله اليوم ال .. المثال رقم اتنين اللي
+
+3
+00:00:33,570 --> 00:00:39,530
+بدناه في المحاضرة السابقة و ماكملناهوش فنرجعوا مع
+
+4
+00:00:39,530 --> 00:00:48,020
+بعض بسرعة و نحاول نكمل البرهانلهذا المثال وهو ان
+
+5
+00:00:48,020 --> 00:00:53,900
+ال sequence المعرفة بطريقة استقرائية هنا بنثبت
+
+6
+00:00:53,900 --> 00:00:58,560
+انها convergence و ال limit تبعتها بساوي العدد
+
+7
+00:00:58,560 --> 00:01:04,700
+خمسة على تلاتة تمام فبدينا البرهان المرة اللي فاتت
+
+8
+00:01:04,700 --> 00:01:11,900
+و أثبتنا claim .. claim واحد و كان في ال claim هذا
+
+9
+00:01:11,900 --> 00:01:13,680
+أثبتنا ان ال
+
+10
+00:01:17,150 --> 00:01:22,690
+إن حدود الـ sequence bounded below by one and
+
+11
+00:01:22,690 --> 00:01:29,450
+bounded above by two هذا صحيح لكل إن وشوفنا هذا
+
+12
+00:01:29,450 --> 00:01:36,570
+البراني هذا ممكن يعني ممكن إعطاءه by induction
+
+13
+00:01:36,570 --> 00:01:41,450
+therefore by claim one
+
+14
+00:01:45,770 --> 00:01:52,510
+السيكوانس xn is bounded واضح من ال claim ان
+
+15
+00:01:52,510 --> 00:01:59,230
+السيكوانس is bounded المرة التي اثبتنا claim رقم 2
+
+16
+00:01:59,230 --> 00:02:03,470
+اثبتنا
+
+17
+00:02:03,470 --> 00:02:07,470
+ان السيكوانس
+
+18
+00:02:07,470 --> 00:02:15,960
+xn بتحققالمعادلة absolute xn minus xn زايد واحد
+
+19
+00:02:15,960 --> 00:02:22,960
+هذا بيساوي واحد على اتنين أس n negative one for
+
+20
+00:02:22,960 --> 00:02:30,360
+every natural number in it وشوفنا برهنة المعادلة
+
+21
+00:02:30,360 --> 00:02:36,020
+هذه او العبارة هذه لكل عدد طبيعي by induction okay
+
+22
+00:02:38,610 --> 00:02:45,630
+اليوم باستخدام ال claim 2 and
+
+23
+00:02:45,630 --> 00:02:51,330
+triangle
+
+24
+00:02:51,330 --> 00:03:01,490
+inequality متباينة مثلث نرى
+
+25
+00:03:01,490 --> 00:03:02,070
+ان
+
+26
+00:03:05,510 --> 00:03:16,950
+وإذا M أكتر من N، M نموات طبيعية، و M أكتر من N،
+
+27
+00:03:16,950 --> 00:03:23,190
+فلدينا أكتر من X M أكتر من X
+
+28
+00:03:29,470 --> 00:03:35,150
+طبعا هذا ممكن نكتبه على صورة هي absolute xn هترح
+
+29
+00:03:35,150 --> 00:03:43,230
+xn زاد واحد و هرجعها و
+
+30
+00:03:43,230 --> 00:03:55,190
+هترح xn زاد اتنين و هرجعها و
+
+31
+00:03:55,190 --> 00:03:58,250
+هكذا الى ان اصل الى
+
+32
+00:04:03,240 --> 00:04:13,220
+x m negative one سالب x m في الآخر خالص هاطرح x m
+
+33
+00:04:13,220 --> 00:04:19,960
+سالب واحد ورجعها فكأني أنا يعني ماعملتش ماغيرتش
+
+34
+00:04:19,960 --> 00:04:24,600
+حاجة فالمخضر اللي على اليمين هو نفسه اللي على
+
+35
+00:04:24,600 --> 00:04:30,360
+الشمال لأن طرحة had وضفته طرحة had وضفتها كذلك
+
+36
+00:04:30,360 --> 00:04:36,550
+فكأني ضفت سفرالان ناخد الحدين هذول مع بعض و هذول
+
+37
+00:04:36,550 --> 00:04:47,810
+مع بعض و هكذا و هذول مع بعض و هذول اخر حدين مع بعض
+
+38
+00:04:47,810 --> 00:04:54,110
+و بنستخدم ال triangle inequality ف by triangle
+
+39
+00:04:54,110 --> 00:05:00,330
+inequality ال absolute value لمجموعةLess than or
+
+40
+00:05:00,330 --> 00:05:06,890
+equal مجموع الـ absolute values فهذا absolute xn
+
+41
+00:05:06,890 --> 00:05:12,850
+minus xn زاد واحد زاد absolute xn زاد واحد minus
+
+42
+00:05:12,850 --> 00:05:21,510
+xn زاد اتو وهكذا
+
+43
+00:05:21,510 --> 00:05:27,170
+إلى absolute xm negative one minus xm
+
+44
+00:05:30,780 --> 00:05:37,120
+الان باستخدام claim اتنين الحد الاول هذا عبارة عن
+
+45
+00:05:37,120 --> 00:05:44,100
+واحد على two أس in negative one الحد اللي بعده one
+
+46
+00:05:44,100 --> 00:05:53,000
+over two أس in و الحد اللي بعده هكذا و
+
+47
+00:05:53,000 --> 00:06:03,820
+الحد الأخير الحد الأخير هذا هيكون واحد علىتو اص ام
+
+48
+00:06:03,820 --> 00:06:07,580
+ماينوس
+
+49
+00:06:07,580 --> 00:06:14,460
+اتنين اذا
+
+50
+00:06:14,460 --> 00:06:21,040
+هذا من المعادلة اللي هنا ناخد
+
+51
+00:06:21,040 --> 00:06:33,760
+عامل مشترك one over two اص n negative oneفبيبقى
+
+52
+00:06:33,760 --> 00:06:38,000
+إذا من الحد الأول دي بقى اللي عندي واحد من ��لحد
+
+53
+00:06:38,000 --> 00:06:46,740
+التاني بيبقى عندي نص و هكذا إلى الحد الأخير اللي
+
+54
+00:06:46,740 --> 00:06:56,120
+بيبقى عندي two أُس M negative M negative one الآن
+
+55
+00:06:56,120 --> 00:07:01,080
+المجموعة هذا اللي بين جثين هذا المجموعةأصغر من
+
+56
+00:07:01,080 --> 00:07:06,220
+اتنين لأن هذا المجموع لاحظوا
+
+57
+00:07:06,220 --> 00:07:16,080
+انتوا واحد زائد نص زائد إلى one over two to m
+
+58
+00:07:16,080 --> 00:07:23,020
+negative n negative one this is less than one زائد
+
+59
+00:07:23,020 --> 00:07:25,600
+نص زائد
+
+60
+00:07:29,510 --> 00:07:37,230
+زائد واحد على اتنين أس ان زائد إلى مالة نهائية
+
+61
+00:07:37,230 --> 00:07:44,610
+اللي هو مجموعة series sigma from k equals zero to
+
+62
+00:07:44,610 --> 00:07:54,430
+infinity ال one over two to k هذا
+
+63
+00:07:54,430 --> 00:07:58,010
+جزء من ال infinite series
+
+64
+00:08:00,560 --> 00:08:07,300
+هذه الـ inference series هذه أول يعني M سالب N
+
+65
+00:08:07,300 --> 00:08:12,700
+مايرس واحد من حدودها هذه
+
+66
+00:08:12,700 --> 00:08:17,380
+ال series معروفة هي geometric series geometric
+
+67
+00:08:17,380 --> 00:08:25,320
+series with a الحد الأول واحد وال ratio and ال
+
+68
+00:08:25,320 --> 00:08:31,860
+ratio بساوي نصففي تفاضل بقى اتعلمتوا انه اي
+
+69
+00:08:31,860 --> 00:08:35,200
+geometric series اذا ال ratio ال absolute value ل
+
+70
+00:08:35,200 --> 00:08:40,940
+R أصغر من واحد فال series تطلع convergent ومجموعة
+
+71
+00:08:40,940 --> 00:08:48,520
+.. مجموعة بساوي a على one minus الأساس وهذا بطلع a
+
+72
+00:08:48,520 --> 00:08:53,720
+اللي هو واحد على واحد minus الأساس نص بطلع بساوي
+
+73
+00:08:53,720 --> 00:08:57,060
+اتنين okay اذا ال ..
+
+74
+00:09:00,710 --> 00:09:07,850
+إذا المجموع هذا بيطلع أصغر من اتنين إذا هي حاول
+
+75
+00:09:07,850 --> 00:09:14,690
+أصغر من واحد على اتنين أسن negative واحد ضرب اتنين
+
+76
+00:09:14,690 --> 00:09:25,210
+وهذا بيساوي واحد على اتنين أسن سالب اتنين تمام؟
+
+77
+00:09:36,740 --> 00:09:42,940
+الان بنا نثبت احنا ان ال sequence
+
+78
+00:09:42,940 --> 00:09:48,860
+احنا كان بنا نثبت ان ال sequence x in convergent
+
+79
+00:09:48,860 --> 00:09:52,820
+وقلنا في بداية البرهان المرة اللى فات عشان نثبت
+
+80
+00:09:52,820 --> 00:09:57,380
+انها convergent يكفي ان احنا نثبت انها Cauchy صح؟
+
+81
+00:09:57,380 --> 00:10:01,400
+لأن اذا كانت Cauchy بتكون convergent by Cauchy a
+
+82
+00:10:01,400 --> 00:10:03,920
+criterion اذا هنا to show
+
+83
+00:10:08,040 --> 00:10:13,900
+إن X in convergence it
+
+84
+00:10:13,900 --> 00:10:18,100
+suffices يعني
+
+85
+00:10:18,100 --> 00:10:29,100
+يكفي إثبات to show it is Cauchy إذا يكفي إثبات
+
+86
+00:10:29,100 --> 00:10:36,510
+إنها Cauchyطيب هاي عندي .. الآن هستفيد من المتباين
+
+87
+00:10:36,510 --> 00:10:45,890
+هذه الأخيرة لإثبات إنها كوشي طيب
+
+88
+00:10:45,890 --> 00:10:54,790
+أنا عندي .. أنا عندي four .. قولنا M أكبر من N
+
+89
+00:10:57,610 --> 00:11:04,270
+أثبتنا أن أبسليوت xn نيجاتيف xm less than one over
+
+90
+00:11:04,270 --> 00:11:16,970
+two to n minus two نسمي الانيقواليتي هذه star الان
+
+91
+00:11:16,970 --> 00:11:21,010
+let
+
+92
+00:11:21,010 --> 00:11:28,960
+epsilon أكبر من السفر be givenأنا بدأ أثبت إن الـ
+
+93
+00:11:28,960 --> 00:11:32,980
+sequence تبعتي كوشي فعشان أثبت إنها كوشي ببدأ
+
+94
+00:11:32,980 --> 00:11:38,840
+بإمسون أكبر من سفر برد عليها بcapital N بحيث إنه
+
+95
+00:11:38,840 --> 00:11:44,280
+لكل M و N أكبر من أو يساوي capital N لازم المسافة
+
+96
+00:11:44,280 --> 00:11:50,000
+بين XN وXM أصغر من إبسون ف let إبسون أكبر من سفر
+
+97
+00:11:50,000 --> 00:11:59,040
+be given by Archimedean propertyمن خاصية
+
+98
+00:11:59,040 --> 00:12:08,700
+Archimedes choose ممكن نختار capital N عدد طبيعي
+
+99
+00:12:08,700 --> 00:12:19,020
+بحيث أنه واحد على N أصغر من epsilon على أربعةوهذا
+
+100
+00:12:19,020 --> 00:12:23,440
+صحيح by the Archimedean property إبسلون عدد موجب
+
+101
+00:12:23,440 --> 00:12:26,920
+بتعني إبسلون على أربع عدد موجب لهذا العدد الموجب
+
+102
+00:12:26,920 --> 00:12:31,740
+بقدر ألاقي عدد طبيعه عدد طبيعي مقلوب وأصغر من عدد
+
+103
+00:12:31,740 --> 00:12:44,060
+الموجب تمام؟ وبالتالي هذا بيقدر أنه ال ..واحد على
+
+104
+00:12:44,060 --> 00:12:52,020
+two to n أصغر من epsilon على أربعة لأن
+
+105
+00:12:52,020 --> 00:13:02,640
+since لأن two to n أكبر من n صح؟ وبالتالي مقلوب
+
+106
+00:13:02,640 --> 00:13:07,560
+هذا أصغر من مقلوب ال n اللي هو أصغر من epsilon على
+
+107
+00:13:07,560 --> 00:13:10,720
+أربعة okay تمام؟ طيب
+
+108
+00:13:14,350 --> 00:13:25,310
+إذن this .. this and star بيؤدوا إنه لو كان M أكبر
+
+109
+00:13:25,310 --> 00:13:30,450
+من أو يساوي N أكبر من أو يساوي capital N فهذا
+
+110
+00:13:30,450 --> 00:13:40,050
+بيؤدي إنه absolute xn negative xm أصغر
+
+111
+00:13:40,050 --> 00:13:51,740
+من1 على 2 to N minus 2 وهذا أصغر من أو ساوي 1 على
+
+112
+00:13:51,740 --> 00:13:58,200
+2 to capital N minus 2 لأن small n أكبر من أو ساوي
+
+113
+00:13:58,200 --> 00:14:04,700
+capital N ف2
+
+114
+00:14:04,700 --> 00:14:11,200
+N سالب 2 أصغر يعني مقلوب هذهيعني أنا عندي هنا
+
+115
+00:14:11,200 --> 00:14:16,460
+اتنين أس ان سالب اتنين بطلع أكبر من أو ساوي two
+
+116
+00:14:16,460 --> 00:14:21,340
+two capital N سالب اتنين لأن ان أكبر من أو ساوي
+
+117
+00:14:21,340 --> 00:14:25,200
+capital N وبالتالي مقلوب الكبير أصغر من أو ساوي
+
+118
+00:14:25,200 --> 00:14:35,420
+مقلوب الكبير أو مقلوب الصغير فهذا صح ومن هنا هذا
+
+119
+00:14:35,420 --> 00:14:39,280
+أصغر هذا من هنا أصغر من epsilon
+
+120
+00:14:42,800 --> 00:14:48,200
+لأن هذا عبارة عن .. هذا بساوي .. أيوه بساوي أربعة
+
+121
+00:14:48,200 --> 00:14:53,500
+على اتنين أسن و أربعة على اتنين أسن أصغر من
+
+122
+00:14:53,500 --> 00:15:01,740
+إبسلون، صح؟ إذن هذه أثبتت for any given .. for any
+
+123
+00:15:01,740 --> 00:15:06,700
+given إبسلون يوجد capital N يعتمد على إبسلون، هذا
+
+124
+00:15:06,700 --> 00:15:15,590
+هويوجد capital N غير مرتبط بـY بحيث أنه لكل M و N
+
+125
+00:15:15,590 --> 00:15:20,350
+أكبر من أو ساوي capital N فالمسافة بين XN و XM
+
+126
+00:15:20,350 --> 00:15:26,650
+أصغر من Y وبالتالي هذا بثبت أن ال sequence is
+
+127
+00:15:26,650 --> 00:15:36,270
+Cauchy بس ال sequence XN is Cauchy
+
+128
+00:15:39,020 --> 00:15:43,660
+and therefore x
+
+129
+00:15:43,660 --> 00:15:50,900
+in converges say
+
+130
+00:15:50,900 --> 00:16:02,740
+ال limit ل x in بساوي some x ينتمي ال R هنا
+
+131
+00:16:02,740 --> 00:16:08,130
+أثبتنا أن ال sequence x in convergentby Cauchy
+
+132
+00:16:08,130 --> 00:16:13,790
+criterion وفرضنا ان ال limit تبعتها بساوي X عشان
+
+133
+00:16:13,790 --> 00:16:15,870
+كام اذا هين اثبتنا ان ال sequence تبعتنا
+
+134
+00:16:15,870 --> 00:16:20,070
+convergent ال limit تبعتها عدد X بقى هينثبت ان ال
+
+135
+00:16:20,070 --> 00:16:25,790
+X اللي هو limit ل X in بساوي خمسة على تلاتة بساوي
+
+136
+00:16:25,790 --> 00:16:29,350
+خمسة على تلاتة okay اذا هينثبت
+
+137
+00:16:34,190 --> 00:16:42,010
+الجزء الأخير هذا وهو نسميه
+
+138
+00:16:42,010 --> 00:16:50,790
+claim تلاتة claim three ال X بساوي five over three
+
+139
+00:16:50,790 --> 00:17:00,130
+لبرهان ذلك first
+
+140
+00:17:03,450 --> 00:17:08,530
+use induction on
+
+141
+00:17:08,530 --> 00:17:20,170
+n to show الإثبات إن x to n plus one بساوي واحد
+
+142
+00:17:20,170 --> 00:17:28,610
+زائد نص زائد واحد على اتنين تكعيب زائدو هكذا one
+
+143
+00:17:28,610 --> 00:17:35,410
+over two to two n سالب واحد وهذا صحيح لكل natural
+
+144
+00:17:35,410 --> 00:17:42,910
+number n المعادلة هذه ممكن اثباتها by induction on
+
+145
+00:17:42,910 --> 00:17:54,130
+n سهل جدا طبعا ممكن تستخدم .. تحتاج ال inductive
+
+146
+00:17:54,130 --> 00:17:59,300
+definition في البرهنزي ما شوفنا في برهان claim 2
+
+147
+00:17:59,300 --> 00:18:08,440
+طيب الآن افرض ان احنا هذا أثبتناها hence وبالتالي
+
+148
+00:18:08,440 --> 00:18:15,500
+من هنا بطلع عندي x2n plus one بساوي واحد زائد هاخد
+
+149
+00:18:15,500 --> 00:18:21,820
+من المجموع هذا هاخد
+
+150
+00:18:21,820 --> 00:18:28,200
+نص عام المشتركفبيبقى عندي واحد زائد واحد على اتنين
+
+151
+00:18:28,200 --> 00:18:36,880
+تربية زائد واحد على اتنين تربية لكل تربية زائد و
+
+152
+00:18:36,880 --> 00:18:44,260
+هكذا زائد واحد على اتنين تربية to end negative one
+
+153
+00:18:44,260 --> 00:18:52,220
+اذا انا خدت من هاي الواحد نزلته واخدتنص عام
+
+154
+00:18:52,220 --> 00:18:57,320
+المشترك من باقي الحدود هذه فطل عند المجموع هذا هذا
+
+155
+00:18:57,320 --> 00:19:04,120
+مجموع متوالية هندسية geometric progression لأن هذا
+
+156
+00:19:04,120 --> 00:19:08,080
+بشكل geometric
+
+157
+00:19:08,080 --> 00:19:19,740
+.. geometric progression متوالية
+
+158
+00:19:19,740 --> 00:19:20,480
+هندسية
+
+159
+00:19:23,660 --> 00:19:30,740
+with الحد الأول a بساوي واحد وال ratio بساوي واحد
+
+160
+00:19:30,740 --> 00:19:37,080
+على اتنين تربيات اللي هو ربعها ف ال geometric
+
+161
+00:19:37,080 --> 00:19:40,820
+progression فيه قانون لإيجاد مجموعة المتوالية
+
+162
+00:19:40,820 --> 00:19:46,080
+الهندسية فيه قانون لإيجاد مجموعة فالقانون هذا
+
+163
+00:19:46,080 --> 00:19:54,830
+عبارة عن الحد الأول واحد سالبالحد الأخير مضروب في
+
+164
+00:19:54,830 --> 00:20:02,650
+الأساس اللي هو واحد على اتنين تربية الكل قسم على
+
+165
+00:20:02,650 --> 00:20:08,150
+واحد minus الأساس على واحد minus الأساس اللي هو
+
+166
+00:20:08,150 --> 00:20:14,270
+واحد على اتنين تربية وهذا
+
+167
+00:20:14,270 --> 00:20:22,130
+بساوي اي واحد زائد المقام هذا عبارة عن تلت تربعة
+
+168
+00:20:23,720 --> 00:20:32,140
+هذا عبارة عن تلات اربعة فنص على تلات اربعة بطلع
+
+169
+00:20:32,140 --> 00:20:37,180
+اتنين على تلاتة و ال bust هذا هو في ال bust اللي
+
+170
+00:20:37,180 --> 00:20:45,520
+هو واحد سالب واحد على اتنين اص اتنين in او اربعة
+
+171
+00:20:45,520 --> 00:20:47,440
+اص in
+
+172
+00:20:52,700 --> 00:21:08,740
+الان ناخد ال limit للطرفين اذا
+
+173
+00:21:08,740 --> 00:21:14,380
+ناخد .. لو أخدنا ال limit للطرفين فبطلع limit x to
+
+174
+00:21:14,380 --> 00:21:20,800
+n plus one as n tends to infinityبساوي واحد زاد
+
+175
+00:21:20,800 --> 00:21:28,040
+اتنين على التلاتة في ال limit الجوس واحد سالب
+
+176
+00:21:28,040 --> 00:21:34,720
+limit واحد على اربعة أس in as in tends to infinity
+
+177
+00:21:34,720 --> 00:21:41,640
+وهذا بساوي واحد زاد اتنين على تلاتة في واحد سالب
+
+178
+00:21:41,640 --> 00:21:48,440
+limit واحد على اربعة in بساوي سفر فبطلع بساوي واحد
+
+179
+00:21:50,170 --> 00:21:57,150
+زاد اتنين على تلاتة بساوي خمسة على تلاتة طيب
+
+180
+00:21:57,150 --> 00:22:01,070
+هذه عبارة عن sub sequence من ال sequence xn هذه
+
+181
+00:22:01,070 --> 00:22:05,930
+الحدود الفردية ل sequence xn طيب و انا عندي ال
+
+182
+00:22:05,930 --> 00:22:09,750
+sequence تبعتي convergence هاي أثبتنا ان xn
+
+183
+00:22:09,750 --> 00:22:13,930
+convergent و ال limit تبعتها بساوي العدد x
+
+184
+00:22:20,160 --> 00:22:26,000
+إذا أنا في عندي هنا since x2n
+
+185
+00:22:26,000 --> 00:22:38,600
+plus one is a subsequence of a sequence xn and xn
+
+186
+00:22:38,600 --> 00:22:45,540
+converges to xthen by previous theorem حسب نظرية
+
+187
+00:22:45,540 --> 00:22:50,120
+السابقة إذا كانت ال sequence convergent ل x فأي
+
+188
+00:22:50,120 --> 00:22:54,960
+subsequence منها بتكون convergent لنفس ال x إذا
+
+189
+00:22:54,960 --> 00:23:01,460
+limit x اتنين n plus one as n tends to infinity
+
+190
+00:23:01,460 --> 00:23:07,640
+بساوي x وبالتالي إذا x بساوي limit
+
+191
+00:23:12,130 --> 00:23:19,830
+x2n زائد واحد وهذه أثبتنا في السطر الأخير هنا هذه
+
+192
+00:23:19,830 --> 00:23:23,750
+بساوي خمسة على تلاتة وهذا اللي بدنا يعني إذا هيك
+
+193
+00:23:23,750 --> 00:23:30,770
+بتكون أثبتنا ان ال sequence x in converges to x و
+
+194
+00:23:30,770 --> 00:23:36,370
+limit x تبعتها هي طلعت ساوي خمسة على تلاتة كما هو
+
+195
+00:23:36,370 --> 00:23:41,830
+مطلوبOkay إذا هيك بنكون إحنا برهننا إن ال sequence
+
+196
+00:23:41,830 --> 00:23:46,490
+في المثال هذا اللي معرفة بطريقة استقرائية is
+
+197
+00:23:46,490 --> 00:23:52,870
+convergent ونهايتها خمسة تلاتة Okay تمام؟ المفهوم
+
+198
+00:23:52,870 --> 00:23:59,680
+واضح؟ في أي استفسار؟ في أي سؤال؟طيب ناخد كمان مثال
+
+199
+00:23:59,680 --> 00:24:02,520
+ي��كن يبقى المثال طويل شوية لكن احنا زى ما شوفته
+
+200
+00:24:02,520 --> 00:24:08,660
+احنا جزقناه الى تلاتة claims او three claims وكل
+
+201
+00:24:08,660 --> 00:24:12,340
+claim كان برهانه by induction مش صعب شفنا برهان
+
+202
+00:24:12,340 --> 00:24:18,020
+واحد منهم المرة اللى فاتت التانين برضه اسأل كمان
+
+203
+00:24:18,020 --> 00:24:23,060
+كل claim بيخطو خطوة الى الامام بيجربنى اكتر من
+
+204
+00:24:23,060 --> 00:24:23,540
+البرهان
+
+205
+00:24:27,870 --> 00:24:45,850
+ناخد مثال آخر، تالت إذا
+
+206
+00:24:45,850 --> 00:24:54,090
+example three consider
+
+207
+00:24:57,250 --> 00:25:02,550
+الحد العام بحيث ال sequence xn
+
+208
+00:25:02,550 --> 00:25:09,510
+where حيث ال term of the sequence الحد العام by
+
+209
+00:25:09,510 --> 00:25:14,070
+definition بساوي one over one plus one over two
+
+210
+00:25:15,270 --> 00:25:22,310
+plus one over three و هكذا and so on until we get
+
+211
+00:25:22,310 --> 00:25:31,730
+one over N حيث N ينتمي إلى N لكل N في N بنعرف XN
+
+212
+00:25:31,730 --> 00:25:36,530
+على أنه المجموع أو مجموعة أول N
+
+213
+00:25:49,690 --> 00:25:57,950
+مجموع أول n من حدود ال harmonic series فهذا بنسميه
+
+214
+00:25:57,950 --> 00:26:02,210
+ال nth partial sum هذا عبارة في تفاضل باسم منها ال
+
+215
+00:26:02,210 --> 00:26:14,410
+nth partial ال nth partial sum of ال harmonic ال
+
+216
+00:26:14,410 --> 00:26:16,110
+harmonic series
+
+217
+00:26:20,920 --> 00:26:26,800
+اللي هي summation from k equals one to infinity ل
+
+218
+00:26:26,800 --> 00:26:27,880
+one over k
+
+219
+00:26:31,950 --> 00:26:39,910
+المطلوب show أن سيكوينس XN divergence ليست
+
+220
+00:26:39,910 --> 00:26:46,070
+convergent، is not convergent بنثبت أن سيكوينس of
+
+221
+00:26:46,070 --> 00:26:51,090
+partial sums متتالية المجاميع الجزئية لل harmonic
+
+222
+00:26:51,090 --> 00:26:54,070
+series بتشكل divergence sequence
+
+223
+00:27:00,340 --> 00:27:19,020
+by cushy criterion اذا حسب cushy criterion by
+
+224
+00:27:19,020 --> 00:27:25,740
+cushy criterion it suffices to
+
+225
+00:27:25,740 --> 00:27:32,760
+show يكفي اثباتيكفي اثبات ان ال sequence عشان نثبت
+
+226
+00:27:32,760 --> 00:27:36,440
+ان ال sequence is divergent it suffices to show ان
+
+227
+00:27:36,440 --> 00:27:47,920
+ال sequence xn is not كوشي لأن
+
+228
+00:27:47,920 --> 00:27:52,980
+كوشي criterion بتقول ان ال sequence is convergent
+
+229
+00:27:52,980 --> 00:27:58,700
+if and only if it is كوشيوبالتالي هذا بكافي ان
+
+230
+00:27:58,700 --> 00:28:02,400
+احنا نقول ان ال sequence is not convergent if and
+
+231
+00:28:02,400 --> 00:28:06,440
+only if it is not Cauchy عشان نثبت ان ال sequence
+
+232
+00:28:06,440 --> 00:28:12,780
+is divergent ممكن نثبت انها is not Cauchy طيب ال
+
+233
+00:28:12,780 --> 00:28:22,900
+.. الاثبات انها not Cauchy هنستخدم indeed
+
+234
+00:28:29,180 --> 00:28:41,120
+في حقيقة الأمر لو أخدنا لو كان M أكبر من N فهذا
+
+235
+00:28:41,120 --> 00:28:48,320
+بيقدي ان XM minus
+
+236
+00:28:48,320 --> 00:28:53,660
+XN ايش بيساوي؟
+
+237
+00:28:53,660 --> 00:28:55,500
+أنا هي عندي ال ..
+
+238
+00:29:06,360 --> 00:29:18,240
+هي عندي xn و لو بدك تكتب xm ف xm هيكون بساوي واحد
+
+239
+00:29:18,240 --> 00:29:25,640
+اول حد زائد نص زائد
+
+240
+00:29:25,640 --> 00:29:33,140
+تلت و هكذا زائد
+
+241
+00:29:33,140 --> 00:29:40,460
+واحد على nو لسه كمان هكمل .. هنكمل لإن ال M أكبر
+
+242
+00:29:40,460 --> 00:29:49,380
+من N هنا ال M .. ال M أكبر من N لما تكون M أكبر من
+
+243
+00:29:49,380 --> 00:29:55,640
+N فهيكون الحد اللي بعدها ده واحد على M زايد واحد
+
+244
+00:30:04,780 --> 00:30:10,120
+واحد عال ان انا
+
+245
+00:30:10,120 --> 00:30:19,580
+مش نافع one
+
+246
+00:30:19,580 --> 00:30:29,190
+over n plus one و هكذا إلى one over nالآن لما أطرح
+
+247
+00:30:29,190 --> 00:30:37,890
+xn من xm فالحدود المتشابهة هتروح مع بعضها لحد واحد
+
+248
+00:30:37,890 --> 00:30:44,690
+على n بروح مع واحد على n بيبقى الفرق بين الإتنين
+
+249
+00:30:44,690 --> 00:30:54,930
+الفرق بين الإتنين هيكون عبارة عن واحد
+
+250
+00:30:56,990 --> 00:31:04,630
+على n زائد واحد زائد واحد على n plus two and so on
+
+251
+00:31:04,630 --> 00:31:12,230
+until we get one over m تمام الحدود هدول عددهم كم
+
+252
+00:31:12,230 --> 00:31:23,270
+حد m negative n terms عدد الحدود في المجموع هذا m
+
+253
+00:31:23,270 --> 00:31:37,060
+negative nهذول حدود عددهم M و هذول عددهم N فالفرق
+
+254
+00:31:37,060 --> 00:31:43,460
+بينهم هيطلع M negative N الآن
+
+255
+00:31:43,460 --> 00:31:46,700
+هذا المجموع أول حد
+
+256
+00:31:49,570 --> 00:31:57,510
+لاحظوا ان ان ال M أكبر من N هذا بيقدي ان M أكبر من
+
+257
+00:31:57,510 --> 00:32:04,230
+أو ساوي N زي واحد وهذا بيقدي ان مخلوق واحد على N
+
+258
+00:32:04,230 --> 00:32:10,210
+زي واحد بطلع أكبر من أو ساوي واحد على N
+
+259
+00:32:13,150 --> 00:32:17,850
+وبالتالي إذا واحد على N زاد واحد أكبر من أو ساوي
+
+260
+00:32:17,850 --> 00:32:22,850
+واحد على M بالمثل واحد على N زاد اتنين لحظة هيكون
+
+261
+00:32:22,850 --> 00:32:29,570
+ال M ال M أكبر من أو ساوي N زاد اتنين فمقلوب N زاد
+
+262
+00:32:29,570 --> 00:32:37,230
+اتنين هيطلع أكبر من أو ساوي واحد على Mو هكذا إذا
+
+263
+00:32:37,230 --> 00:32:41,670
+كل الحدود هذه كل واحد فيهم أكبر من أو ساوي واحد
+
+264
+00:32:41,670 --> 00:32:46,070
+على M إلى أن نصل لآخر حد واحد على M طبعا أكبر من
+
+265
+00:32:46,070 --> 00:32:51,070
+أو ساوي نفسه عدد الحدود هذه لازال M negative in
+
+266
+00:32:51,070 --> 00:32:51,810
+terms
+
+267
+00:32:55,640 --> 00:33:00,980
+طيب أنا لما بجمع عدد على نفسه M minus N من المرات،
+
+268
+00:33:00,980 --> 00:33:06,200
+إيش بيعطيني المجموعة؟ بيطلع بساوي M سالب N في
+
+269
+00:33:06,200 --> 00:33:08,540
+العدد الثابت، صح؟
+
+270
+00:33:14,860 --> 00:33:21,620
+إذن المجموعة الأخيرة هدا هيطلع بساوي M negative N
+
+271
+00:33:21,620 --> 00:33:30,660
+في واحد على M وهذا بساوي على
+
+272
+00:33:30,660 --> 00:33:40,520
+M هذي اه M وهذا بساوي واحد negative N على M طيب
+
+273
+00:33:40,520 --> 00:33:48,050
+انا في التحليل هذا ماخدال M أكبر من N يعني هذا
+
+274
+00:33:48,050 --> 00:33:54,670
+الكلام صحيح إذا كان M أكبر من N طيب الآن take M
+
+275
+00:33:54,670 --> 00:34:00,230
+بساوة 2N بالتأكيد 2N أي عدد طبيعي N لأي عدد طبيعي
+
+276
+00:34:00,230 --> 00:34:08,890
+N 2N أكبر من Nإذا لو عوضت عن M بتنين N في المتباين
+
+277
+00:34:08,890 --> 00:34:18,610
+الأخير هذه هيطلع عندي XM أو X to N negative XN
+
+278
+00:34:18,610 --> 00:34:28,670
+بتطلع أكبر من أو يساوي واحد negative two N على
+
+279
+00:34:28,670 --> 00:34:35,450
+اتنين N صح؟اللي هو واحد negative one-half بطلع one
+
+280
+00:34:35,450 --> 00:34:45,930
+-half نص الكلام هذا صحيح لكل n ينتمي
+
+281
+00:34:45,930 --> 00:34:50,470
+إلى n تمام؟
+
+282
+00:34:52,310 --> 00:34:58,910
+إذا أنا أصبح في عندي المتباينة x to n negative xn
+
+283
+00:34:58,910 --> 00:35:06,750
+أكبر من أو ساوي one half for all n belong to a now
+
+284
+00:35:06,750 --> 00:35:14,710
+you can easily show
+
+285
+00:35:19,500 --> 00:35:28,860
+ممكن بسهولة اثبات انه this implies المتباينة هذه
+
+286
+00:35:28,860 --> 00:35:37,540
+الأخيرة بتقدي this implies that
+
+287
+00:35:37,540 --> 00:35:43,620
+هذا بيقدي ان ال sequence xn is not Cauchy
+
+288
+00:35:46,720 --> 00:36:01,500
+is not Cauchy as desired كما هو مطلوب تمام؟
+
+289
+00:36:01,500 --> 00:36:07,220
+من المتباين هذا ممكن نثبت أن ال sequence تبعتنا
+
+290
+00:36:07,220 --> 00:36:12,820
+ليست Cauchyيمكن هذا مش واضح كيف ان هذا بيعدى ان ال
+
+291
+00:36:12,820 --> 00:36:17,520
+sequence not Cauchy لكن ممكن نعمل برهان بالتناقض
+
+292
+00:36:17,520 --> 00:36:22,680
+افرض ان ال sequence Cauchy واستخدم الشرط هذا او
+
+293
+00:36:22,680 --> 00:36:26,700
+المتبين هذى فيه الوصول الى تناقض هسيكم تكتبوا
+
+294
+00:36:26,700 --> 00:36:30,580
+البرهان هذا وكل واحدة بتكتب البرهان في ورقة
+
+295
+00:36:30,580 --> 00:36:35,840
+وبيسلمنيها في الأيام القادمة هتاخد علامتين يضافوا
+
+296
+00:36:35,840 --> 00:36:43,000
+للامتحان علامة امتحان النص فيه الأولOkay تمام فال
+
+297
+00:36:43,000 --> 00:36:43,360
+..
+
+298
+00:36:55,700 --> 00:37:00,340
+إذن باقي إثبات إن عشان البرهان يكون كامل بإنه يثبت
+
+299
+00:37:00,340 --> 00:37:04,460
+إن المتباينة الأخيرة هذه بتأدى إن ال sequence
+
+300
+00:37:04,460 --> 00:37:12,840
+بتاعتنا لا تكون شيء فأنا بقول إذا حابين ممكن إنكم
+
+301
+00:37:12,840 --> 00:37:19,620
+تكتبوا البرهان على ورقة خارجية وتعطوني إذا برهانكم
+
+302
+00:37:19,620 --> 00:37:23,400
+بيكون صح بعطيه لكم علامتين يضافوا إلى امتحان النصف
+
+303
+00:37:23,400 --> 00:37:31,150
+الأولOkay تمام اتفقنا ولا اعطيكم البرهان و بلاش
+
+304
+00:37:31,150 --> 00:37:42,990
+خلاص؟Okay إذا بنوقف هنا نكتفي بالأمثلة هذه وإن شاء
+
+305
+00:37:42,990 --> 00:37:46,870
+الله المرة الجاية هناخد .. ندخل في الموضوع ال
+
+306
+00:37:46,870 --> 00:37:51,570
+contractive sequences و بعدين نبدأ section جديد إن
+
+307
+00:37:51,570 --> 00:37:58,010
+شاء الله فشكرا لكم و ال .. نكمل إن شاء الله في
+
+308
+00:37:58,010 --> 00:37:58,830
+اللقاء القادم
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/_mc9oZHzNxs_raw.srt

@@ -0,0 +1,1232 @@
+1
+00:00:20,670 --> 00:00:27,570
+بسم الله الرحمن الرحيم و السلام عليكم هنكمل
+
+2
+00:00:27,570 --> 00:00:33,570
+ان شاء الله اليوم ال .. المثال رقم اتنين اللي
+
+3
+00:00:33,570 --> 00:00:39,530
+بدناه في المحاضرة السابقة و ماكملناهوش فنرجعوا مع
+
+4
+00:00:39,530 --> 00:00:48,020
+بعض بسرعة و نحاول نكمل البرهانلهذا المثال وهو ان
+
+5
+00:00:48,020 --> 00:00:53,900
+ال sequence المعرفة بطريقة استقرائية هنا بنثبت
+
+6
+00:00:53,900 --> 00:00:58,560
+انها convergence و ال limit تبعتها بساوي العدد
+
+7
+00:00:58,560 --> 00:01:04,700
+خمسة على تلاتة تمام فبدينا البرهان المرة اللي فاتت
+
+8
+00:01:04,700 --> 00:01:11,900
+و أثبتنا claim .. claim واحد و كان في ال claim هذا
+
+9
+00:01:11,900 --> 00:01:13,680
+أثبتنا ان ال
+
+10
+00:01:17,150 --> 00:01:22,690
+إن حدود الـ sequence bounded below by one and
+
+11
+00:01:22,690 --> 00:01:29,450
+bounded above by two هذا صحيح لكل إن وشوفنا هذا
+
+12
+00:01:29,450 --> 00:01:36,570
+البراني هذا ممكن يعني ممكن إعطاءه by induction
+
+13
+00:01:36,570 --> 00:01:41,450
+therefore by claim one
+
+14
+00:01:45,770 --> 00:01:52,510
+السيكوانس xn is bounded واضح من ال claim ان
+
+15
+00:01:52,510 --> 00:01:59,230
+السيكوانس is bounded المرة التي اثبتنا claim رقم 2
+
+16
+00:01:59,230 --> 00:02:03,470
+اثبتنا
+
+17
+00:02:03,470 --> 00:02:07,470
+ان السيكوانس
+
+18
+00:02:07,470 --> 00:02:15,960
+xn بتحققالمعادلة absolute xn minus xn زايد واحد
+
+19
+00:02:15,960 --> 00:02:22,960
+هذا بيساوي واحد على اتنين أس n negative one for
+
+20
+00:02:22,960 --> 00:02:30,360
+every natural number in it وشوفنا برهنة المعادلة
+
+21
+00:02:30,360 --> 00:02:36,020
+هذه او العبارة هذه لكل عدد طبيعي by induction okay
+
+22
+00:02:38,610 --> 00:02:45,630
+اليوم باستخدام ال claim 2 and
+
+23
+00:02:45,630 --> 00:02:51,330
+triangle
+
+24
+00:02:51,330 --> 00:03:01,490
+inequality متباينة مثلث نرى
+
+25
+00:03:01,490 --> 00:03:02,070
+ان
+
+26
+00:03:05,510 --> 00:03:16,950
+وإذا M أكتر من N، M نموات طبيعية، و M أكتر من N،
+
+27
+00:03:16,950 --> 00:03:23,190
+فلدينا أكتر من X M أكتر من X
+
+28
+00:03:29,470 --> 00:03:35,150
+طبعا هذا ممكن نكتبه على صورة هي absolute xn هترح
+
+29
+00:03:35,150 --> 00:03:43,230
+xn زاد واحد و هرجعها و
+
+30
+00:03:43,230 --> 00:03:55,190
+هترح xn زاد اتنين و هرجعها و
+
+31
+00:03:55,190 --> 00:03:58,250
+هكذا الى ان اصل الى
+
+32
+00:04:03,240 --> 00:04:13,220
+x m negative one سالب x m في الآخر خالص هاطرح x m
+
+33
+00:04:13,220 --> 00:04:19,960
+سالب واحد ورجعها فكأني أنا يعني ماعملتش ماغيرتش
+
+34
+00:04:19,960 --> 00:04:24,600
+حاجة فالمخضر اللي على اليمين هو نفسه اللي على
+
+35
+00:04:24,600 --> 00:04:30,360
+الشمال لأن طرحة had وضفته طرحة had وضفتها كذلك
+
+36
+00:04:30,360 --> 00:04:36,550
+فكأني ضفت سفرالان ناخد الحدين هذول مع بعض و هذول
+
+37
+00:04:36,550 --> 00:04:47,810
+مع بعض و هكذا و هذول مع بعض و هذول اخر حدين مع بعض
+
+38
+00:04:47,810 --> 00:04:54,110
+و بنستخدم ال triangle inequality ف by triangle
+
+39
+00:04:54,110 --> 00:05:00,330
+inequality ال absolute value لمجموعةLess than or
+
+40
+00:05:00,330 --> 00:05:06,890
+equal مجموع الـ absolute values فهذا absolute xn
+
+41
+00:05:06,890 --> 00:05:12,850
+minus xn زاد واحد زاد absolute xn زاد واحد minus
+
+42
+00:05:12,850 --> 00:05:21,510
+xn زاد اتو وهكذا
+
+43
+00:05:21,510 --> 00:05:27,170
+إلى absolute xm negative one minus xm
+
+44
+00:05:30,780 --> 00:05:37,120
+الان باستخدام claim اتنين الحد الاول هذا عبارة عن
+
+45
+00:05:37,120 --> 00:05:44,100
+واحد على two أس in negative one الحد اللي بعده one
+
+46
+00:05:44,100 --> 00:05:53,000
+over two أس in و الحد اللي بعده هكذا و
+
+47
+00:05:53,000 --> 00:06:03,820
+الحد الأخير الحد الأخير هذا هيكون واحد علىتو اص ام
+
+48
+00:06:03,820 --> 00:06:07,580
+ماينوس
+
+49
+00:06:07,580 --> 00:06:14,460
+اتنين اذا
+
+50
+00:06:14,460 --> 00:06:21,040
+هذا من المعادلة اللي هنا ناخد
+
+51
+00:06:21,040 --> 00:06:33,760
+عامل مشترك one over two اص n negative oneفبيبقى
+
+52
+00:06:33,760 --> 00:06:38,000
+إذا من الحد الأول دي بقى اللي عندي واحد من ��لحد
+
+53
+00:06:38,000 --> 00:06:46,740
+التاني بيبقى عندي نص و هكذا إلى الحد الأخير اللي
+
+54
+00:06:46,740 --> 00:06:56,120
+بيبقى عندي two أُس M negative M negative one الآن
+
+55
+00:06:56,120 --> 00:07:01,080
+المجموعة هذا اللي بين جثين هذا المجموعةأصغر من
+
+56
+00:07:01,080 --> 00:07:06,220
+اتنين لأن هذا المجموع لاحظوا
+
+57
+00:07:06,220 --> 00:07:16,080
+انتوا واحد زائد نص زائد إلى one over two to m
+
+58
+00:07:16,080 --> 00:07:23,020
+negative n negative one this is less than one زائد
+
+59
+00:07:23,020 --> 00:07:25,600
+نص زائد
+
+60
+00:07:29,510 --> 00:07:37,230
+زائد واحد على اتنين أس ان زائد إلى مالة نهائية
+
+61
+00:07:37,230 --> 00:07:44,610
+اللي هو مجموعة series sigma from k equals zero to
+
+62
+00:07:44,610 --> 00:07:54,430
+infinity ال one over two to k هذا
+
+63
+00:07:54,430 --> 00:07:58,010
+جزء من ال infinite series
+
+64
+00:08:00,560 --> 00:08:07,300
+هذه الـ inference series هذه أول يعني M سالب N
+
+65
+00:08:07,300 --> 00:08:12,700
+مايرس واحد من حدودها هذه
+
+66
+00:08:12,700 --> 00:08:17,380
+ال series معروفة هي geometric series geometric
+
+67
+00:08:17,380 --> 00:08:25,320
+series with a الحد الأول واحد وال ratio and ال
+
+68
+00:08:25,320 --> 00:08:31,860
+ratio بساوي نصففي تفاضل بقى اتعلمتوا انه اي
+
+69
+00:08:31,860 --> 00:08:35,200
+geometric series اذا ال ratio ال absolute value ل
+
+70
+00:08:35,200 --> 00:08:40,940
+R أصغر من واحد فال series تطلع convergent ومجموعة
+
+71
+00:08:40,940 --> 00:08:48,520
+.. مجموعة بساوي a على one minus الأساس وهذا بطلع a
+
+72
+00:08:48,520 --> 00:08:53,720
+اللي هو واحد على واحد minus الأساس نص بطلع بساوي
+
+73
+00:08:53,720 --> 00:08:57,060
+اتنين okay اذا ال ..
+
+74
+00:09:00,710 --> 00:09:07,850
+إذا المجموع هذا بيطلع أصغر من اتنين إذا هي حاول
+
+75
+00:09:07,850 --> 00:09:14,690
+أصغر من واحد على اتنين أسن negative واحد ضرب اتنين
+
+76
+00:09:14,690 --> 00:09:25,210
+وهذا بيساوي واحد على اتنين أسن سالب اتنين تمام؟
+
+77
+00:09:36,740 --> 00:09:42,940
+الان بنا نثبت احنا ان ال sequence
+
+78
+00:09:42,940 --> 00:09:48,860
+احنا كان بنا نثبت ان ال sequence x in convergent
+
+79
+00:09:48,860 --> 00:09:52,820
+وقلنا في بداية البرهان المرة اللى فات عشان نثبت
+
+80
+00:09:52,820 --> 00:09:57,380
+انها convergent يكفي ان احنا نثبت انها Cauchy صح؟
+
+81
+00:09:57,380 --> 00:10:01,400
+لأن اذا كانت Cauchy بتكون convergent by Cauchy a
+
+82
+00:10:01,400 --> 00:10:03,920
+criterion اذا هنا to show
+
+83
+00:10:08,040 --> 00:10:13,900
+إن X in convergence it
+
+84
+00:10:13,900 --> 00:10:18,100
+suffices يعني
+
+85
+00:10:18,100 --> 00:10:29,100
+يكفي إثبات to show it is Cauchy إذا يكفي إثبات
+
+86
+00:10:29,100 --> 00:10:36,510
+إنها Cauchyطيب هاي عندي .. الآن هستفيد من المتباين
+
+87
+00:10:36,510 --> 00:10:45,890
+هذه الأخيرة لإثبات إنها كوشي طيب
+
+88
+00:10:45,890 --> 00:10:54,790
+أنا عندي .. أنا عندي four .. قولنا M أكبر من N
+
+89
+00:10:57,610 --> 00:11:04,270
+أثبتنا أن أبسليوت xn نيجاتيف xm less than one over
+
+90
+00:11:04,270 --> 00:11:16,970
+two to n minus two نسمي الانيقواليتي هذه star الان
+
+91
+00:11:16,970 --> 00:11:21,010
+let
+
+92
+00:11:21,010 --> 00:11:28,960
+epsilon أكبر من السفر be givenأنا بدأ أثبت إن الـ
+
+93
+00:11:28,960 --> 00:11:32,980
+sequence تبعتي كوشي فعشان أثبت إنها كوشي ببدأ
+
+94
+00:11:32,980 --> 00:11:38,840
+بإمسون أكبر من سفر برد عليها بcapital N بحيث إنه
+
+95
+00:11:38,840 --> 00:11:44,280
+لكل M و N أكبر من أو يساوي capital N لازم المسافة
+
+96
+00:11:44,280 --> 00:11:50,000
+بين XN وXM أصغر من إبسون ف let إبسون أكبر من سفر
+
+97
+00:11:50,000 --> 00:11:59,040
+be given by Archimedean propertyمن خاصية
+
+98
+00:11:59,040 --> 00:12:08,700
+Archimedes choose ممكن نختار capital N عدد طبيعي
+
+99
+00:12:08,700 --> 00:12:19,020
+بحيث أنه واحد على N أصغر من epsilon على أربعةوهذا
+
+100
+00:12:19,020 --> 00:12:23,440
+صحيح by the Archimedean property إبسلون عدد موجب
+
+101
+00:12:23,440 --> 00:12:26,920
+بتعني إبسلون على أربع عدد موجب لهذا العدد الموجب
+
+102
+00:12:26,920 --> 00:12:31,740
+بقدر ألاقي عدد طبيعه عدد طبيعي مقلوب وأصغر من عدد
+
+103
+00:12:31,740 --> 00:12:44,060
+الموجب تمام؟ وبالتالي هذا بيقدر أنه ال ..واحد على
+
+104
+00:12:44,060 --> 00:12:52,020
+two to n أصغر من epsilon على أربعة لأن
+
+105
+00:12:52,020 --> 00:13:02,640
+since لأن two to n أكبر من n صح؟ وبالتالي مقلوب
+
+106
+00:13:02,640 --> 00:13:07,560
+هذا أصغر من مقلوب ال n اللي هو أصغر من epsilon على
+
+107
+00:13:07,560 --> 00:13:10,720
+أربعة okay تمام؟ طيب
+
+108
+00:13:14,350 --> 00:13:25,310
+إذن this .. this and star بيؤدوا إنه لو كان M أكبر
+
+109
+00:13:25,310 --> 00:13:30,450
+من أو يساوي N أكبر من أو يساوي capital N فهذا
+
+110
+00:13:30,450 --> 00:13:40,050
+بيؤدي إنه absolute xn negative xm أصغر
+
+111
+00:13:40,050 --> 00:13:51,740
+من1 على 2 to N minus 2 وهذا أصغر من أو ساوي 1 على
+
+112
+00:13:51,740 --> 00:13:58,200
+2 to capital N minus 2 لأن small n أكبر من أو ساوي
+
+113
+00:13:58,200 --> 00:14:04,700
+capital N ف2
+
+114
+00:14:04,700 --> 00:14:11,200
+N سالب 2 أصغر يعني مقلوب هذهيعني أنا عندي هنا
+
+115
+00:14:11,200 --> 00:14:16,460
+اتنين أس ان سالب اتنين بطلع أكبر من أو ساوي two
+
+116
+00:14:16,460 --> 00:14:21,340
+two capital N سالب اتنين لأن ان أكبر من أو ساوي
+
+117
+00:14:21,340 --> 00:14:25,200
+capital N وبالتالي مقلوب الكبير أصغر من أو ساوي
+
+118
+00:14:25,200 --> 00:14:35,420
+مقلوب الكبير أو مقلوب الصغير فهذا صح ومن هنا هذا
+
+119
+00:14:35,420 --> 00:14:39,280
+أصغر هذا من هنا أصغر من epsilon
+
+120
+00:14:42,800 --> 00:14:48,200
+لأن هذا عبارة عن .. هذا بساوي .. أيوه بساوي أربعة
+
+121
+00:14:48,200 --> 00:14:53,500
+على اتنين أسن و أربعة على اتنين أسن أصغر من
+
+122
+00:14:53,500 --> 00:15:01,740
+إبسلون، صح؟ إذن هذه أثبتت for any given .. for any
+
+123
+00:15:01,740 --> 00:15:06,700
+given إبسلون يوجد capital N يعتمد على إبسلون، هذا
+
+124
+00:15:06,700 --> 00:15:15,590
+هويوجد capital N غير مرتبط بـY بحيث أنه لكل M و N
+
+125
+00:15:15,590 --> 00:15:20,350
+أكبر من أو ساوي capital N فالمسافة بين XN و XM
+
+126
+00:15:20,350 --> 00:15:26,650
+أصغر من Y وبالتالي هذا بثبت أن ال sequence is
+
+127
+00:15:26,650 --> 00:15:36,270
+Cauchy بس ال sequence XN is Cauchy
+
+128
+00:15:39,020 --> 00:15:43,660
+and therefore x
+
+129
+00:15:43,660 --> 00:15:50,900
+in converges say
+
+130
+00:15:50,900 --> 00:16:02,740
+ال limit ل x in بساوي some x ينتمي ال R هنا
+
+131
+00:16:02,740 --> 00:16:08,130
+أثبتنا أن ال sequence x in convergentby Cauchy
+
+132
+00:16:08,130 --> 00:16:13,790
+criterion وفرضنا ان ال limit تبعتها بساوي X عشان
+
+133
+00:16:13,790 --> 00:16:15,870
+كام اذا هين اثبتنا ان ال sequence تبعتنا
+
+134
+00:16:15,870 --> 00:16:20,070
+convergent ال limit تبعتها عدد X بقى هينثبت ان ال
+
+135
+00:16:20,070 --> 00:16:25,790
+X اللي هو limit ل X in بساوي خمسة على تلاتة بساوي
+
+136
+00:16:25,790 --> 00:16:29,350
+خمسة على تلاتة okay اذا هينثبت
+
+137
+00:16:34,190 --> 00:16:42,010
+الجزء الأخير هذا وهو نسميه
+
+138
+00:16:42,010 --> 00:16:50,790
+claim تلاتة claim three ال X بساوي five over three
+
+139
+00:16:50,790 --> 00:17:00,130
+لبرهان ذلك first
+
+140
+00:17:03,450 --> 00:17:08,530
+use induction on
+
+141
+00:17:08,530 --> 00:17:20,170
+n to show الإثبات إن x to n plus one بساوي واحد
+
+142
+00:17:20,170 --> 00:17:28,610
+زائد نص زائد واحد على اتنين تكعيب زائدو هكذا one
+
+143
+00:17:28,610 --> 00:17:35,410
+over two to two n سالب واحد وهذا صحيح لكل natural
+
+144
+00:17:35,410 --> 00:17:42,910
+number n المعادلة هذه ممكن اثباتها by induction on
+
+145
+00:17:42,910 --> 00:17:54,130
+n سهل جدا طبعا ممكن تستخدم .. تحتاج ال inductive
+
+146
+00:17:54,130 --> 00:17:59,300
+definition في البرهنزي ما شوفنا في برهان claim 2
+
+147
+00:17:59,300 --> 00:18:08,440
+طيب الآن افرض ان احنا هذا أثبتناها hence وبالتالي
+
+148
+00:18:08,440 --> 00:18:15,500
+من هنا بطلع عندي x2n plus one بساوي واحد زائد هاخد
+
+149
+00:18:15,500 --> 00:18:21,820
+من المجموع هذا هاخد
+
+150
+00:18:21,820 --> 00:18:28,200
+نص عام المشتركفبيبقى عندي واحد زائد واحد على اتنين
+
+151
+00:18:28,200 --> 00:18:36,880
+تربية زائد واحد على اتنين تربية لكل تربية زائد و
+
+152
+00:18:36,880 --> 00:18:44,260
+هكذا زائد واحد على اتنين تربية to end negative one
+
+153
+00:18:44,260 --> 00:18:52,220
+اذا انا خدت من هاي الواحد نزلته واخدتنص عام
+
+154
+00:18:52,220 --> 00:18:57,320
+المشترك من باقي الحدود هذه فطل عند المجموع هذا هذا
+
+155
+00:18:57,320 --> 00:19:04,120
+مجموع متوالية هندسية geometric progression لأن هذا
+
+156
+00:19:04,120 --> 00:19:08,080
+بشكل geometric
+
+157
+00:19:08,080 --> 00:19:19,740
+.. geometric progression متوالية
+
+158
+00:19:19,740 --> 00:19:20,480
+هندسية
+
+159
+00:19:23,660 --> 00:19:30,740
+with الحد الأول a بساوي واحد وال ratio بساوي واحد
+
+160
+00:19:30,740 --> 00:19:37,080
+على اتنين تربيات اللي هو ربعها ف ال geometric
+
+161
+00:19:37,080 --> 00:19:40,820
+progression فيه قانون لإيجاد مجموعة المتوالية
+
+162
+00:19:40,820 --> 00:19:46,080
+الهندسية فيه قانون لإيجاد مجموعة فالقانون هذا
+
+163
+00:19:46,080 --> 00:19:54,830
+عبارة عن الحد الأول واحد سالبالحد الأخير مضروب في
+
+164
+00:19:54,830 --> 00:20:02,650
+الأساس اللي هو واحد على اتنين تربية الكل قسم على
+
+165
+00:20:02,650 --> 00:20:08,150
+واحد minus الأساس على واحد minus الأساس اللي هو
+
+166
+00:20:08,150 --> 00:20:14,270
+واحد على اتنين تربية وهذا
+
+167
+00:20:14,270 --> 00:20:22,130
+بساوي اي واحد زائد المقام هذا عبارة عن تلت تربعة
+
+168
+00:20:23,720 --> 00:20:32,140
+هذا عبارة عن تلات اربعة فنص على تلات اربعة بطلع
+
+169
+00:20:32,140 --> 00:20:37,180
+اتنين على تلاتة و ال bust هذا هو في ال bust اللي
+
+170
+00:20:37,180 --> 00:20:45,520
+هو واحد سالب واحد على اتنين اص اتنين in او اربعة
+
+171
+00:20:45,520 --> 00:20:47,440
+اص in
+
+172
+00:20:52,700 --> 00:21:08,740
+الان ناخد ال limit للطرفين اذا
+
+173
+00:21:08,740 --> 00:21:14,380
+ناخد .. لو أخدنا ال limit للطرفين فبطلع limit x to
+
+174
+00:21:14,380 --> 00:21:20,800
+n plus one as n tends to infinityبساوي واحد زاد
+
+175
+00:21:20,800 --> 00:21:28,040
+اتنين على التلاتة في ال limit الجوس واحد سالب
+
+176
+00:21:28,040 --> 00:21:34,720
+limit واحد على اربعة أس in as in tends to infinity
+
+177
+00:21:34,720 --> 00:21:41,640
+وهذا بساوي واحد زاد اتنين على تلاتة في واحد سالب
+
+178
+00:21:41,640 --> 00:21:48,440
+limit واحد على اربعة in بساوي سفر فبطلع بساوي واحد
+
+179
+00:21:50,170 --> 00:21:57,150
+زاد اتنين على تلاتة بساوي خمسة على تلاتة طيب
+
+180
+00:21:57,150 --> 00:22:01,070
+هذه عبارة عن sub sequence من ال sequence xn هذه
+
+181
+00:22:01,070 --> 00:22:05,930
+الحدود الفردية ل sequence xn طيب و انا عندي ال
+
+182
+00:22:05,930 --> 00:22:09,750
+sequence تبعتي convergence هاي أثبتنا ان xn
+
+183
+00:22:09,750 --> 00:22:13,930
+convergent و ال limit تبعتها بساوي العدد x
+
+184
+00:22:20,160 --> 00:22:26,000
+إذا أنا في عندي هنا since x2n
+
+185
+00:22:26,000 --> 00:22:38,600
+plus one is a subsequence of a sequence xn and xn
+
+186
+00:22:38,600 --> 00:22:45,540
+converges to xthen by previous theorem حسب نظرية
+
+187
+00:22:45,540 --> 00:22:50,120
+السابقة إذا كانت ال sequence convergent ل x فأي
+
+188
+00:22:50,120 --> 00:22:54,960
+subsequence منها بتكون convergent لنفس ال x إذا
+
+189
+00:22:54,960 --> 00:23:01,460
+limit x اتنين n plus one as n tends to infinity
+
+190
+00:23:01,460 --> 00:23:07,640
+بساوي x وبالتالي إذا x بساوي limit
+
+191
+00:23:12,130 --> 00:23:19,830
+x2n زائد واحد وهذه أثبتنا في السطر الأخير هنا هذه
+
+192
+00:23:19,830 --> 00:23:23,750
+بساوي خمسة على تلاتة وهذا اللي بدنا يعني إذا هيك
+
+193
+00:23:23,750 --> 00:23:30,770
+بتكون أثبتنا ان ال sequence x in converges to x و
+
+194
+00:23:30,770 --> 00:23:36,370
+limit x تبعتها هي طلعت ساوي خمسة على تلاتة كما هو
+
+195
+00:23:36,370 --> 00:23:41,830
+مطلوبOkay إذا هيك بنكون إحنا برهننا إن ال sequence
+
+196
+00:23:41,830 --> 00:23:46,490
+في المثال هذا اللي معرفة بطريقة استقرائية is
+
+197
+00:23:46,490 --> 00:23:52,870
+convergent ونهايتها خمسة تلاتة Okay تمام؟ المفهوم
+
+198
+00:23:52,870 --> 00:23:59,680
+واضح؟ في أي استفسار؟ في أي سؤال؟طيب ناخد كمان مثال
+
+199
+00:23:59,680 --> 00:24:02,520
+ي��كن يبقى المثال طويل شوية لكن احنا زى ما شوفته
+
+200
+00:24:02,520 --> 00:24:08,660
+احنا جزقناه الى تلاتة claims او three claims وكل
+
+201
+00:24:08,660 --> 00:24:12,340
+claim كان برهانه by induction مش صعب شفنا برهان
+
+202
+00:24:12,340 --> 00:24:18,020
+واحد منهم المرة اللى فاتت التانين برضه اسأل كمان
+
+203
+00:24:18,020 --> 00:24:23,060
+كل claim بيخطو خطوة الى الامام بيجربنى اكتر من
+
+204
+00:24:23,060 --> 00:24:23,540
+البرهان
+
+205
+00:24:27,870 --> 00:24:45,850
+ناخد مثال آخر، تالت إذا
+
+206
+00:24:45,850 --> 00:24:54,090
+example three consider
+
+207
+00:24:57,250 --> 00:25:02,550
+الحد العام بحيث ال sequence xn
+
+208
+00:25:02,550 --> 00:25:09,510
+where حيث ال term of the sequence الحد العام by
+
+209
+00:25:09,510 --> 00:25:14,070
+definition بساوي one over one plus one over two
+
+210
+00:25:15,270 --> 00:25:22,310
+plus one over three و هكذا and so on until we get
+
+211
+00:25:22,310 --> 00:25:31,730
+one over N حيث N ينتمي إلى N لكل N في N بنعرف XN
+
+212
+00:25:31,730 --> 00:25:36,530
+على أنه المجموع أو مجموعة أول N
+
+213
+00:25:49,690 --> 00:25:57,950
+مجموع أول n من حدود ال harmonic series فهذا بنسميه
+
+214
+00:25:57,950 --> 00:26:02,210
+ال nth partial sum هذا عبارة في تفاضل باسم منها ال
+
+215
+00:26:02,210 --> 00:26:14,410
+nth partial ال nth partial sum of ال harmonic ال
+
+216
+00:26:14,410 --> 00:26:16,110
+harmonic series
+
+217
+00:26:20,920 --> 00:26:26,800
+اللي هي summation from k equals one to infinity ل
+
+218
+00:26:26,800 --> 00:26:27,880
+one over k
+
+219
+00:26:31,950 --> 00:26:39,910
+المطلوب show أن سيكوينس XN divergence ليست
+
+220
+00:26:39,910 --> 00:26:46,070
+convergent، is not convergent بنثبت أن سيكوينس of
+
+221
+00:26:46,070 --> 00:26:51,090
+partial sums متتالية المجاميع الجزئية لل harmonic
+
+222
+00:26:51,090 --> 00:26:54,070
+series بتشكل divergence sequence
+
+223
+00:27:00,340 --> 00:27:19,020
+by cushy criterion اذا حسب cushy criterion by
+
+224
+00:27:19,020 --> 00:27:25,740
+cushy criterion it suffices to
+
+225
+00:27:25,740 --> 00:27:32,760
+show يكفي اثباتيكفي اثبات ان ال sequence عشان نثبت
+
+226
+00:27:32,760 --> 00:27:36,440
+ان ال sequence is divergent it suffices to show ان
+
+227
+00:27:36,440 --> 00:27:47,920
+ال sequence xn is not كوشي لأن
+
+228
+00:27:47,920 --> 00:27:52,980
+كوشي criterion بتقول ان ال sequence is convergent
+
+229
+00:27:52,980 --> 00:27:58,700
+if and only if it is كوشيوبالتالي هذا بكافي ان
+
+230
+00:27:58,700 --> 00:28:02,400
+احنا نقول ان ال sequence is not convergent if and
+
+231
+00:28:02,400 --> 00:28:06,440
+only if it is not Cauchy عشان نثبت ان ال sequence
+
+232
+00:28:06,440 --> 00:28:12,780
+is divergent ممكن نثبت انها is not Cauchy طيب ال
+
+233
+00:28:12,780 --> 00:28:22,900
+.. الاثبات انها not Cauchy هنستخدم indeed
+
+234
+00:28:29,180 --> 00:28:41,120
+في حقيقة الأمر لو أخدنا لو كان M أكبر من N فهذا
+
+235
+00:28:41,120 --> 00:28:48,320
+بيقدي ان XM minus
+
+236
+00:28:48,320 --> 00:28:53,660
+XN ايش بيساوي؟
+
+237
+00:28:53,660 --> 00:28:55,500
+أنا هي عندي ال ..
+
+238
+00:29:06,360 --> 00:29:18,240
+هي عندي xn و لو بدك تكتب xm ف xm هيكون بساوي واحد
+
+239
+00:29:18,240 --> 00:29:25,640
+اول حد زائد نص زائد
+
+240
+00:29:25,640 --> 00:29:33,140
+تلت و هكذا زائد
+
+241
+00:29:33,140 --> 00:29:40,460
+واحد على nو لسه كمان هكمل .. هنكمل لإن ال M أكبر
+
+242
+00:29:40,460 --> 00:29:49,380
+من N هنا ال M .. ال M أكبر من N لما تكون M أكبر من
+
+243
+00:29:49,380 --> 00:29:55,640
+N فهيكون الحد اللي بعدها ده واحد على M زايد واحد
+
+244
+00:30:04,780 --> 00:30:10,120
+واحد عال ان انا
+
+245
+00:30:10,120 --> 00:30:19,580
+مش نافع one
+
+246
+00:30:19,580 --> 00:30:29,190
+over n plus one و هكذا إلى one over nالآن لما أطرح
+
+247
+00:30:29,190 --> 00:30:37,890
+xn من xm فالحدود المتشابهة هتروح مع بعضها لحد واحد
+
+248
+00:30:37,890 --> 00:30:44,690
+على n بروح مع واحد على n بيبقى الفرق بين الإتنين
+
+249
+00:30:44,690 --> 00:30:54,930
+الفرق بين الإتنين هيكون عبارة عن واحد
+
+250
+00:30:56,990 --> 00:31:04,630
+على n زائد واحد زائد واحد على n plus two and so on
+
+251
+00:31:04,630 --> 00:31:12,230
+until we get one over m تمام الحدود هدول عددهم كم
+
+252
+00:31:12,230 --> 00:31:23,270
+حد m negative n terms عدد الحدود في المجموع هذا m
+
+253
+00:31:23,270 --> 00:31:37,060
+negative nهذول حدود عددهم M و هذول عددهم N فالفرق
+
+254
+00:31:37,060 --> 00:31:43,460
+بينهم هيطلع M negative N الآن
+
+255
+00:31:43,460 --> 00:31:46,700
+هذا المجموع أول حد
+
+256
+00:31:49,570 --> 00:31:57,510
+لاحظوا ان ان ال M أكبر من N هذا بيقدي ان M أكبر من
+
+257
+00:31:57,510 --> 00:32:04,230
+أو ساوي N زي واحد وهذا بيقدي ان مخلوق واحد على N
+
+258
+00:32:04,230 --> 00:32:10,210
+زي واحد بطلع أكبر من أو ساوي واحد على N
+
+259
+00:32:13,150 --> 00:32:17,850
+وبالتالي إذا واحد على N زاد واحد أكبر من أو ساوي
+
+260
+00:32:17,850 --> 00:32:22,850
+واحد على M بالمثل واحد على N زاد اتنين لحظة هيكون
+
+261
+00:32:22,850 --> 00:32:29,570
+ال M ال M أكبر من أو ساوي N زاد اتنين فمقلوب N زاد
+
+262
+00:32:29,570 --> 00:32:37,230
+اتنين هيطلع أكبر من أو ساوي واحد على Mو هكذا إذا
+
+263
+00:32:37,230 --> 00:32:41,670
+كل الحدود هذه كل واحد فيهم أكبر من أو ساوي واحد
+
+264
+00:32:41,670 --> 00:32:46,070
+على M إلى أن نصل لآخر حد واحد على M طبعا أكبر من
+
+265
+00:32:46,070 --> 00:32:51,070
+أو ساوي نفسه عدد الحدود هذه لازال M negative in
+
+266
+00:32:51,070 --> 00:32:51,810
+terms
+
+267
+00:32:55,640 --> 00:33:00,980
+طيب أنا لما بجمع عدد على نفسه M minus N من المرات،
+
+268
+00:33:00,980 --> 00:33:06,200
+إيش بيعطيني المجموعة؟ بيطلع بساوي M سالب N في
+
+269
+00:33:06,200 --> 00:33:08,540
+العدد الثابت، صح؟
+
+270
+00:33:14,860 --> 00:33:21,620
+إذن المجموعة الأخيرة هدا هيطلع بساوي M negative N
+
+271
+00:33:21,620 --> 00:33:30,660
+في واحد على M وهذا بساوي على
+
+272
+00:33:30,660 --> 00:33:40,520
+M هذي اه M وهذا بساوي واحد negative N على M طيب
+
+273
+00:33:40,520 --> 00:33:48,050
+انا في التحليل هذا ماخدال M أكبر من N يعني هذا
+
+274
+00:33:48,050 --> 00:33:54,670
+الكلام صحيح إذا كان M أكبر من N طيب الآن take M
+
+275
+00:33:54,670 --> 00:34:00,230
+بساوة 2N بالتأكيد 2N أي عدد طبيعي N لأي عدد طبيعي
+
+276
+00:34:00,230 --> 00:34:08,890
+N 2N أكبر من Nإذا لو عوضت عن M بتنين N في المتباين
+
+277
+00:34:08,890 --> 00:34:18,610
+الأخير هذه هيطلع عندي XM أو X to N negative XN
+
+278
+00:34:18,610 --> 00:34:28,670
+بتطلع أكبر من أو يساوي واحد negative two N على
+
+279
+00:34:28,670 --> 00:34:35,450
+اتنين N صح؟اللي هو واحد negative one-half بطلع one
+
+280
+00:34:35,450 --> 00:34:45,930
+-half نص الكلام هذا صحيح لكل n ينتمي
+
+281
+00:34:45,930 --> 00:34:50,470
+إلى n تمام؟
+
+282
+00:34:52,310 --> 00:34:58,910
+إذا أنا أصبح في عندي المتباينة x to n negative xn
+
+283
+00:34:58,910 --> 00:35:06,750
+أكبر من أو ساوي one half for all n belong to a now
+
+284
+00:35:06,750 --> 00:35:14,710
+you can easily show
+
+285
+00:35:19,500 --> 00:35:28,860
+ممكن بسهولة اثبات انه this implies المتباينة هذه
+
+286
+00:35:28,860 --> 00:35:37,540
+الأخيرة بتقدي this implies that
+
+287
+00:35:37,540 --> 00:35:43,620
+هذا بيقدي ان ال sequence xn is not Cauchy
+
+288
+00:35:46,720 --> 00:36:01,500
+is not Cauchy as desired كما هو مطلوب تمام؟
+
+289
+00:36:01,500 --> 00:36:07,220
+من المتباين هذا ممكن نثبت أن ال sequence تبعتنا
+
+290
+00:36:07,220 --> 00:36:12,820
+ليست Cauchyيمكن هذا مش واضح كيف ان هذا بيعدى ان ال
+
+291
+00:36:12,820 --> 00:36:17,520
+sequence not Cauchy لكن ممكن نعمل برهان بالتناقض
+
+292
+00:36:17,520 --> 00:36:22,680
+افرض ان ال sequence Cauchy واستخدم الشرط هذا او
+
+293
+00:36:22,680 --> 00:36:26,700
+المتبين هذى فيه الوصول الى تناقض هسيكم تكتبوا
+
+294
+00:36:26,700 --> 00:36:30,580
+البرهان هذا وكل واحدة بتكتب البرهان في ورقة
+
+295
+00:36:30,580 --> 00:36:35,840
+وبيسلمنيها في الأيام القادمة هتاخد علامتين يضافوا
+
+296
+00:36:35,840 --> 00:36:43,000
+للامتحان علامة امتحان النص فيه الأولOkay تمام فال
+
+297
+00:36:43,000 --> 00:36:43,360
+..
+
+298
+00:36:55,700 --> 00:37:00,340
+إذن باقي إثبات إن عشان البرهان يكون كامل بإنه يثبت
+
+299
+00:37:00,340 --> 00:37:04,460
+إن المتباينة الأخيرة هذه بتأدى إن ال sequence
+
+300
+00:37:04,460 --> 00:37:12,840
+بتاعتنا لا تكون شيء فأنا بقول إذا حابين ممكن إنكم
+
+301
+00:37:12,840 --> 00:37:19,620
+تكتبوا البرهان على ورقة خارجية وتعطوني إذا برهانكم
+
+302
+00:37:19,620 --> 00:37:23,400
+بيكون صح بعطيه لكم علامتين يضافوا إلى امتحان النصف
+
+303
+00:37:23,400 --> 00:37:31,150
+الأولOkay تمام اتفقنا ولا اعطيكم البرهان و بلاش
+
+304
+00:37:31,150 --> 00:37:42,990
+خلاص؟Okay إذا بنوقف هنا نكتفي بالأمثلة هذه وإن شاء
+
+305
+00:37:42,990 --> 00:37:46,870
+الله المرة الجاية هناخد .. ندخل في الموضوع ال
+
+306
+00:37:46,870 --> 00:37:51,570
+contractive sequences و بعدين نبدأ section جديد إن
+
+307
+00:37:51,570 --> 00:37:58,010
+شاء الله فشكرا لكم و ال .. نكمل إن شاء الله في
+
+308
+00:37:58,010 --> 00:37:58,830
+اللقاء القادم
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/a-utq7LmSIM_raw.srt

@@ -0,0 +1,1408 @@
+1
+00:00:21,060 --> 00:00:27,740
+اليوم ان شاء الله هنحاول نحل امتحان نصفي سابق
+
+2
+00:00:27,740 --> 00:00:32,680
+كمراجعة للامتحان النصفي الأول اللي هناخده ان شاء
+
+3
+00:00:32,680 --> 00:00:40,040
+الله غدا اول سؤال في الامتحان هذا عبارة عن سؤال
+
+4
+00:00:40,040 --> 00:00:45,120
+true or false اذا العبارة صح فبنعلم عليها صح او
+
+5
+00:00:45,120 --> 00:00:52,670
+true واذا خطأ بنعلم عليها خطأ فأول عبارةبتقول لإن
+
+6
+00:00:52,670 --> 00:00:58,250
+ال absolute value ل X سالب Y بساوي absolute X سالب
+
+7
+00:00:58,250 --> 00:01:05,030
+absolute Y وحتى
+
+8
+00:01:05,030 --> 00:01:09,810
+لو كانت تلاقي إشارة موجبة، لو سمحتوا ما تتكلميش
+
+9
+00:01:09,810 --> 00:01:16,710
+إلا لما ترفع إيدك و إعزالك هه هل هذا الكلام صحيح
+
+10
+00:01:16,710 --> 00:01:25,300
+لكلX وY أنتمي إلى R فالعبارة هذه false ليست صحيحة
+
+11
+00:01:25,300 --> 00:01:32,380
+ممكن نجيب أكتر من counter example صح العبارة
+
+12
+00:01:32,380 --> 00:01:36,300
+التانية لو كان S subset of the set of all real
+
+13
+00:01:36,300 --> 00:01:42,420
+numbers is finite لو
+
+14
+00:01:42,420 --> 00:01:48,840
+كانت ال set هذه finiteفهذا بيقدّي أن ال supremum S
+
+15
+00:01:48,840 --> 00:01:59,400
+و ال infimum S ينتمي لل set S هل هذا true؟ هل لما
+
+16
+00:01:59,400 --> 00:02:03,420
+تكون ال set finite ال supremum تبعها و ال infimum
+
+17
+00:02:03,420 --> 00:02:08,840
+تبعها ينتمي إلها؟ هذا صحيح كان تمرين exercise و
+
+18
+00:02:08,840 --> 00:02:11,380
+برهنة، إذن هذا true
+
+19
+00:02:15,490 --> 00:02:22,250
+تلاتة لو أعرفت ال set I of S على إنها the set of
+
+20
+00:02:22,250 --> 00:02:34,870
+all V حيث V بساوي infimum ال set S فال
+
+21
+00:02:34,870 --> 00:02:40,430
+set هذه contains contains
+
+22
+00:02:40,430 --> 00:02:44,010
+more than one element more than
+
+23
+00:02:46,860 --> 00:02:52,280
+one element المجموعة
+
+24
+00:02:52,280 --> 00:02:58,000
+هذه تحتوي على أكتر من عنصر، هل هذا صحيح؟ هل الست
+
+25
+00:02:58,000 --> 00:03:01,860
+ممكن يكون إلها أكتر من infamous؟ لأ، لأ، لأ، لأ،
+
+26
+00:03:01,860 --> 00:03:02,560
+لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ،
+
+27
+00:03:02,560 --> 00:03:07,020
+لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ،
+
+28
+00:03:07,020 --> 00:03:07,020
+لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ،
+
+29
+00:03:07,020 --> 00:03:07,100
+لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ،
+
+30
+00:03:07,100 --> 00:03:10,040
+لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، لأ، ل
+
+31
+00:03:13,960 --> 00:03:19,580
+العبارة الرابعة every monotone sequence converges
+
+32
+00:03:19,580 --> 00:03:25,980
+if and only if it is bounded هذه
+
+33
+00:03:25,980 --> 00:03:28,780
+عبارة عن الـ monotone convergence theorem فهذه
+
+34
+00:03:28,780 --> 00:03:34,620
+true ال
+
+35
+00:03:34,620 --> 00:03:40,020
+sequence سالب
+
+36
+00:03:40,020 --> 00:03:55,840
+واحد أس N على Nإن ينتمي لإن is convergent هل
+
+37
+00:03:55,840 --> 00:03:56,760
+هذا صحيح؟
+
+38
+00:04:06,660 --> 00:04:12,140
+طيب ماشي المشكلة أن الأقلام السودة اللي عندي كلها
+
+39
+00:04:12,140 --> 00:04:22,160
+صارت فاتعة اه في واحد جبت انت و
+
+40
+00:04:22,160 --> 00:04:32,480
+الله انا مش كتير يعني
+
+41
+00:04:32,480 --> 00:04:36,020
+هدم يعني احسن نشوف يعني
+
+42
+00:04:42,570 --> 00:04:47,330
+فال sequence هذه convergent هل هذا صحيح ولا خطأ
+
+43
+00:04:47,330 --> 00:04:54,790
+هذا true و
+
+44
+00:04:54,790 --> 00:05:00,050
+لو بدنا نبرهن الكلام هذا و بالمناسبة ال sequence
+
+45
+00:05:00,050 --> 00:05:06,410
+هذه converge لصفر converge و ال limit تبعتها صفر
+
+46
+00:05:07,900 --> 00:05:14,940
+ليه؟ لأنه هاي المسافة بين ال inf term لحد انه ليه؟
+
+47
+00:05:14,940 --> 00:05:23,620
+سالب واحد أس ان على n سالب سفر ايش
+
+48
+00:05:23,620 --> 00:05:27,520
+هاد بالساوي؟
+
+49
+00:05:27,520 --> 00:05:28,320
+بتساوي
+
+50
+00:05:37,950 --> 00:05:45,590
+بتساوي واحد على ان صح؟ نصبوت؟ وهذا أصغر من اذا كان
+
+51
+00:05:45,590 --> 00:05:54,410
+واحد ضرب واحد على ان هذا عدد موجب واحد على ان تقول
+
+52
+00:05:54,410 --> 00:06:05,090
+للسفر إذن حسب نظرية ساب��ة رقمها
+
+53
+00:06:05,090 --> 00:06:11,610
+كان في النقص اتنين اربعةبطلع limit xn بساوي سفر
+
+54
+00:06:11,610 --> 00:06:15,190
+limit سالب
+
+55
+00:06:15,190 --> 00:06:20,750
+واحد بس n على n لما n تقوى ل infinity بساوي سفر
+
+56
+00:06:20,750 --> 00:06:25,230
+إذا
+
+57
+00:06:25,230 --> 00:06:28,650
+ال sequence هذي convergent إذا العبارة هذه true
+
+58
+00:06:28,650 --> 00:06:31,650
+طيب عبارة تانية
+
+59
+00:06:45,940 --> 00:06:55,320
+product of two divergent sequences
+
+60
+00:06:55,320 --> 00:07:03,700
+is divergent هل
+
+61
+00:07:03,700 --> 00:07:05,280
+هذا true ولا false؟
+
+62
+00:07:08,090 --> 00:07:10,990
+العبارة هادف false طب لما قلنا لكوا جيبوا counter
+
+63
+00:07:10,990 --> 00:07:17,310
+example ممكن تجيب سالب واحد اثنان وكمان ال
+
+64
+00:07:17,310 --> 00:07:23,290
+sequence التانية تكون سالب واحد اثنان او
+
+65
+00:07:23,290 --> 00:07:26,830
+ممكن تكون سالب واحد اثنان زائد واحد نفس الشغل
+
+66
+00:07:26,830 --> 00:07:32,390
+بتطلع convergent ال productهذه الـ divergent وهذه
+
+67
+00:07:32,390 --> 00:07:38,210
+الـ divergent لكن X in في Y in هساوي ال sequence
+
+68
+00:07:38,210 --> 00:07:44,650
+سلب واحد واست اتنين in لما
+
+69
+00:07:44,650 --> 00:07:49,370
+نضربهم في بعض فهذا بيعطيني ال sequence ثابت واحد
+
+70
+00:07:49,370 --> 00:07:55,730
+وهذه converge لواحد اذا هذه في عندي example of two
+
+71
+00:07:55,730 --> 00:08:01,090
+divergent sequences لكن حصل ضربهم بيطلعconvergent
+
+72
+00:08:01,090 --> 00:08:06,230
+وليس divergent طيب
+
+73
+00:08:06,230 --> 00:08:21,470
+لو كانت S bounded S bounded subset of R وS0
+
+74
+00:08:21,470 --> 00:08:28,510
+subset من S هل هذا بيقدّي ان انفمم
+
+75
+00:08:29,760 --> 00:08:42,480
+S0 subset أصغر من أو يساوي انفمه من ال S هل
+
+76
+00:08:42,480 --> 00:08:51,020
+هذه العبارة صحيحة؟ أيه
+
+77
+00:08:51,020 --> 00:08:59,320
+رأيكم؟ العبارة هذه falseلما مجموعة تصغر ال inform
+
+78
+00:08:59,320 --> 00:09:07,940
+تباعها بيكبر، لكن اللي بيكون صح أنه ال supremum لو
+
+79
+00:09:07,940 --> 00:09:12,600
+أخدت ال supremum للمجموعة الجزئية S0 فهذا بيطلع
+
+80
+00:09:12,600 --> 00:09:17,040
+أصغر من أو ساوي ال supremum للمجموع S، هذه العبارة
+
+81
+00:09:17,040 --> 00:09:17,320
+true
+
+82
+00:09:20,870 --> 00:09:25,710
+ال supremum لما المجموعه تكبر بيكبر لكن ال infimum
+
+83
+00:09:25,710 --> 00:09:38,110
+لما المجموعه تكبر بيصغر عكس بعض طيب
+
+84
+00:09:43,200 --> 00:09:50,100
+لو كانت x in sequence of positive real numbers و
+
+85
+00:09:50,100 --> 00:10:02,060
+limit x in plus one over x in بساوي واحد فهذا
+
+86
+00:10:02,060 --> 00:10:08,180
+بيقدي ان ال sequence x in diverges
+
+87
+00:10:08,180 --> 00:10:15,870
+هل هذه العبارة صح ولا خطأ؟العبارة هذه خطأ لأنه
+
+88
+00:10:15,870 --> 00:10:22,230
+احنا فينا في تمرين سبتاشر في section تلاتة اتنين
+
+89
+00:10:22,230 --> 00:10:26,230
+بقول اذا كانت ال sequence .. اذا كان ال limit
+
+90
+00:10:26,230 --> 00:10:29,630
+ratio هذا بساوي واحد فال sequence ممكن تكون
+
+91
+00:10:29,630 --> 00:10:33,890
+convergent او divergent وفي السؤال هذا اعطينا
+
+92
+00:10:33,890 --> 00:10:41,240
+مثلين واحد ل sequence convergentال ratio limit ال
+
+93
+00:10:41,240 --> 00:10:45,100
+ratio تبعها بيساوي واحد لكنها convergent ومثال
+
+94
+00:10:45,100 --> 00:10:50,300
+تاني ل sequence limit ال ratio تبعها أيضا بيساوي
+
+95
+00:10:50,300 --> 00:10:53,700
+واحد لكنها divergent إذا لو كان limit ال ratio
+
+96
+00:10:53,700 --> 00:10:57,100
+بيساوي واحد فال sequence إما converge أو divergent
+
+97
+00:10:57,100 --> 00:11:01,400
+مالضايش نجزم إنها convergent أو نجزم إنها
+
+98
+00:11:01,400 --> 00:11:07,020
+divergent okay إذا العبارة هذه خطأ أو false إذا
+
+99
+00:11:07,020 --> 00:11:13,950
+العبارة هذه falseلو بدلت divergent بconvergent
+
+100
+00:11:13,950 --> 00:11:21,530
+برضه false الصح انها may converge or may diverge
+
+101
+00:11:21,530 --> 00:11:26,810
+طيب
+
+102
+00:11:26,810 --> 00:11:43,910
+العبارة الأخيرة تسعةأي open interval
+
+103
+00:11:43,910 --> 00:11:47,950
+a وb تحتوي
+
+104
+00:11:47,950 --> 00:11:49,970
+rational number R
+
+105
+00:11:54,840 --> 00:11:59,220
+في rational number محصور من a وb يعني ال open
+
+106
+00:11:59,220 --> 00:12:03,920
+interval تحتوي ال R كذلك في نتيجة ال density
+
+107
+00:12:03,920 --> 00:12:08,300
+theorem أي open interval زي هذه تحتوي ال rational
+
+108
+00:12:08,300 --> 00:12:13,780
+إذن هذا الكلام صحيح
+
+109
+00:12:13,780 --> 00:12:18,340
+إذن هذا أول سؤال صح وخطأ السؤال التاني
+
+110
+00:12:33,670 --> 00:12:50,070
+Question 2 اذا
+
+111
+00:12:50,070 --> 00:12:55,770
+احنا
+
+112
+00:12:55,770 --> 00:13:01,210
+بنحل هذا امتحان هذا امتحان Med
+
+113
+00:13:03,740 --> 00:13:11,660
+mid term one التاريخ
+
+114
+00:13:11,660 --> 00:13:24,780
+تبعه اتناش تلاتة الفين و تلاتاش السؤال
+
+115
+00:13:24,780 --> 00:13:32,630
+او الفرع B من السؤال الأولإذا هذا السؤال الأول
+
+116
+00:13:32,630 --> 00:13:37,290
+الفرق بيه
+
+117
+00:13:37,290 --> 00:13:44,130
+X و Y ينتموا إلى R أعداد حقيقية Such that absolute
+
+118
+00:13:44,130 --> 00:13:53,190
+X minus Y أصغر من واحد على N لكل N في N لما نثبت
+
+119
+00:13:53,190 --> 00:13:55,470
+أن هذا بقدر X بساوي Y
+
+120
+00:14:00,570 --> 00:14:09,470
+البرهان هنستخدم الـ Archimedean property assume on
+
+121
+00:14:09,470 --> 00:14:13,930
+contrary على
+
+122
+00:14:13,930 --> 00:14:23,710
+المقيد ان X لا يساوي Y هذا
+
+123
+00:14:23,710 --> 00:14:24,410
+بيقدّي
+
+124
+00:14:28,910 --> 00:14:44,930
+أكبر من سفر لأي
+
+125
+00:14:44,930 --> 00:14:53,850
+عدد موجب يوجد in zero عدد طبيعيبحيث ان واحد على ن
+
+126
+00:14:53,850 --> 00:15:05,390
+زيرو أصغر من absolute X سالب Y هذا
+
+127
+00:15:05,390 --> 00:15:13,530
+من وين من ال Archimedean property طيب
+
+128
+00:15:13,530 --> 00:15:16,610
+انا عندي من الفرض
+
+129
+00:15:19,930 --> 00:15:36,910
+من الفرض by hypothesis هذا أصغر من واحد على n لكل
+
+130
+00:15:36,910 --> 00:15:39,770
+n وبالتالي هذا صحيح ل n zero
+
+131
+00:15:48,170 --> 00:15:53,370
+إذن بيطلع عندى 1 على N0 أصغر من 1 على N0 إذن هذا
+
+132
+00:15:53,370 --> 00:16:00,590
+بيقدي إن 1 على N0 أصغر من 1 على N0 وهذا تناقض
+
+133
+00:16:00,590 --> 00:16:07,610
+contradiction تناقض إذن هذا التناقض بيقول إن ال X
+
+134
+00:16:07,610 --> 00:16:14,490
+لازم تساوي ال Y كما هو مطلوب okay تمامإذن هذا
+
+135
+00:16:14,490 --> 00:16:22,890
+برهان الجزء التاني من السؤال الأول في عند
+
+136
+00:16:22,890 --> 00:16:35,710
+هنا السؤال التاني question
+
+137
+00:16:35,710 --> 00:16:48,690
+2 الفرع a show S&Tإن الـ infimum لست واحد على
+
+138
+00:16:48,690 --> 00:17:03,630
+الجذر ال N حيث N عدد طوابيعي بساوي سفر نشوف
+
+139
+00:17:03,630 --> 00:17:08,610
+مع بعض واضح
+
+140
+00:17:08,610 --> 00:17:14,940
+إن سفر أصغر من أو ساوي واحد على الجذر ال Nلكل n
+
+141
+00:17:14,940 --> 00:17:24,180
+عدد طبيعي صح؟ في حد عنده شك في ذلك؟ وبالتالي
+
+142
+00:17:24,180 --> 00:17:31,040
+so سفر is zero
+
+143
+00:17:31,040 --> 00:17:41,460
+is a lower bound a lower bound of ال set S اللي هي
+
+144
+00:17:43,280 --> 00:17:48,720
+بنعرفها لأنها مجموعة العناصر واحد على square root
+
+145
+00:17:48,720 --> 00:17:56,140
+of N حيث N ينتمي ل N طيب
+
+146
+00:17:56,140 --> 00:18:01,600
+to show أن
+
+147
+00:18:01,600 --> 00:18:07,160
+السفر هو ال minimum ل S أو هو ال greatest lower
+
+148
+00:18:07,160 --> 00:18:28,050
+bound لمجموعة S فبناخد let Wbe any lower bound of
+
+149
+00:18:28,050 --> 00:18:37,130
+S فبالنسبة
+
+150
+00:18:37,130 --> 00:18:46,710
+لـ claimبنثبت أن السفر أصغر من أو ساوي W عفوا W
+
+151
+00:18:46,710 --> 00:18:53,150
+أصغر من أو ساوي 0 وبالتالي هيك يكون السفر أكبر من
+
+152
+00:18:53,150 --> 00:18:57,150
+أو ساوي أي lower bound يعني السفر هو ال greatest
+
+153
+00:18:57,150 --> 00:19:04,590
+lower bound صح فلبرهان ذلك assume بنعمل برهان
+
+154
+00:19:04,590 --> 00:19:13,920
+بالتناقض on contraryأفرضه على النقيد أن w أكبر من
+
+155
+00:19:13,920 --> 00:19:18,420
+سفر then
+
+156
+00:19:18,420 --> 00:19:21,540
+by
+
+157
+00:19:21,540 --> 00:19:28,160
+Archimedean property .. by Archimedean property
+
+158
+00:19:28,160 --> 00:19:37,150
+لأي عدد موجب زي هذايوجد عدد طبيعي N0 ينتمي إلى N
+
+159
+00:19:37,150 --> 00:19:43,130
+بحيث انه مقلوب N0
+
+160
+00:19:43,130 --> 00:19:51,250
+أصغر من العدد الموجب W تربية طبعا W تربية إذا W
+
+161
+00:19:51,250 --> 00:19:57,960
+عدد موجب فW تربية بالتأكيد عدد موجبفانا بطبّق الـ
+
+162
+00:19:57,960 --> 00:20:01,360
+Archimedean property مش على w وعلى w تربية العدد
+
+163
+00:20:01,360 --> 00:20:06,060
+الموجب w square فبقدر ألاقي by Archimedean
+
+164
+00:20:06,060 --> 00:20:11,140
+property natural number n0 مقلوب وأصغر من w تربية
+
+165
+00:20:11,140 --> 00:20:21,940
+طبعا هذا بيقدّي أن واحد على جذر n0 أصغر من w ومن
+
+166
+00:20:21,940 --> 00:20:22,240
+ال
+
+167
+00:20:26,300 --> 00:20:34,080
+من الفرض الـ W هذا lower bound للست S وبالتالي هذا
+
+168
+00:20:34,080 --> 00:20:41,320
+أصغر من أو سوى واحد على الجدر التربيهي ل N0 لأن
+
+169
+00:20:41,320 --> 00:20:46,440
+هذا ينتمي ل S، هذا عنصر في S، صح؟ واحنا فرضين أن
+
+170
+00:20:46,440 --> 00:20:53,370
+الـ W أشمل lower boundللمجموع S وهذا answer في
+
+171
+00:20:53,370 --> 00:20:58,730
+المجموع S إذا ال W كونه lower bound ل S أصغر من أو
+
+172
+00:20:58,730 --> 00:21:04,310
+ساوي واحد على square root ل N0 فطبعا هذا بيدي ان
+
+173
+00:21:04,310 --> 00:21:09,150
+واحد على square root ل N0 أصغر من واحد على square
+
+174
+00:21:09,150 --> 00:21:18,330
+root ل N0 وهذا مدينة تناقضكيف عدد بيطلع أصغر من
+
+175
+00:21:18,330 --> 00:21:21,730
+نفسه هذا تناقض لأن هذا التناقض بيقول لإن ال
+
+176
+00:21:21,730 --> 00:21:26,010
+assumption تبعنا ان ال W أكبر من السفر خطأ
+
+177
+00:21:26,010 --> 00:21:33,210
+وبالتالي ال W لازم يكون أصغر بدل ما هو أكبر من
+
+178
+00:21:33,210 --> 00:21:37,970
+السفر يطلع أصغر من أو يساوي سفر وبالتالي ال W
+
+179
+00:21:37,970 --> 00:21:43,830
+السفر هو أكبر lower bound okay إذا هذا بيكمل
+
+180
+00:21:43,830 --> 00:21:45,750
+البرهان تمام
+
+181
+00:22:04,850 --> 00:22:17,070
+انجاب على الفرق بيه من السؤال التاني show
+
+182
+00:22:17,070 --> 00:22:26,770
+ان ال limit لواحد على جذر ال N as N times infinity
+
+183
+00:22:26,770 --> 00:22:28,370
+بساوي سفر
+
+184
+00:22:40,270 --> 00:22:45,910
+Proof بإن احنا في النهاية بيستخدم تعريف طبعا
+
+185
+00:22:45,910 --> 00:22:51,790
+epsilon capital N للنهايات ففي نهاية الأمر بدنا ال
+
+186
+00:22:51,790 --> 00:22:55,190
+absolute value ل 1 على square root of N minus 0
+
+187
+00:22:55,190 --> 00:23:02,270
+بدنا ده يطلع أصغر من أي epsilon صح؟ طب ما هذا
+
+188
+00:23:02,270 --> 00:23:05,070
+بيساوي 1 على square root of N
+
+189
+00:23:09,000 --> 00:23:16,500
+متى هذا بيكون أصغر من epsilon فانا
+
+190
+00:23:16,500 --> 00:23:24,040
+هاخد هذا
+
+191
+00:23:24,040 --> 00:23:28,080
+لما واحد على n أصغر من epsilon تربية لو ربعت
+
+192
+00:23:28,080 --> 00:23:33,920
+الطرفين فمتى
+
+193
+00:23:33,920 --> 00:23:35,920
+هذا بيكون أصغر من epsilon تربية
+
+194
+00:23:38,730 --> 00:23:45,210
+Okay إذا هنا هاخد انا واحد على capital N أصغر من
+
+195
+00:23:45,210 --> 00:23:54,110
+epsilon تربية إذا
+
+196
+00:23:54,110 --> 00:23:58,570
+نستخدم ال Archimedean property هذا epsilon تربية
+
+197
+00:23:58,570 --> 00:24:02,690
+عدد موجب By Archimedean property بقدر ألاقي عدد
+
+198
+00:24:02,690 --> 00:24:07,550
+طبيعي capital N مقلوب وأصغر من epsilon تربية ناشي
+
+199
+00:24:08,920 --> 00:24:15,320
+بدا هنا given epsilon
+
+200
+00:24:15,320 --> 00:24:27,320
+أكبر من السفر use الarchimedean property to choose
+
+201
+00:24:27,320 --> 00:24:36,760
+n عدد طبيعي بحيث أن واحد على n أصغر من epsilon
+
+202
+00:24:39,750 --> 00:24:54,590
+الان لو خدت small n أكبر من أو ساوي capital N فهذا
+
+203
+00:24:54,590 --> 00:24:59,410
+بيقدي أن واحد على small n أصغر لو ساوي واحد على
+
+204
+00:24:59,410 --> 00:25:00,190
+capital N
+
+205
+00:25:05,570 --> 00:25:09,570
+بيقدي واحد على square root ل N أصغر من لو يساوي
+
+206
+00:25:09,570 --> 00:25:16,450
+واحد على square root ل capital N وهذا بيقدي ان ال
+
+207
+00:25:16,450 --> 00:25:23,650
+absolute value لواحد على square root ل N minus صفر
+
+208
+00:25:23,650 --> 00:25:27,790
+بيساوي واحد على square root ل N وهذا أصغر من لو
+
+209
+00:25:27,790 --> 00:25:34,250
+يساوي واحد على square root ل capital N وهذا من هنا
+
+210
+00:25:36,260 --> 00:25:40,760
+لو سمينا الـ inequality هذه الـ star إذا by star
+
+211
+00:25:40,760 --> 00:25:48,620
+واحد على square root ل N أصغر من epsilon إذا
+
+212
+00:25:48,620 --> 00:25:53,440
+هاي نحققنا تعريف epsilon capital N للنهايات for
+
+213
+00:25:53,440 --> 00:25:58,600
+any given epsilon أثبتنا إنه يوجد capital N عدد
+
+214
+00:25:58,600 --> 00:26:02,760
+طبيعي وهذا العدد الطبيعي يعتمد على epsilon هاي
+
+215
+00:26:02,760 --> 00:26:08,910
+مرتبط بepsilonبحيث لكل n أكبر من أو ساوي capital N
+
+216
+00:26:08,910 --> 00:26:16,010
+طلع المسافة بين xn و x اللي هي سفر أصغر من epsilon
+
+217
+00:26:16,010 --> 00:26:23,530
+اذا by definition by
+
+218
+00:26:23,530 --> 00:26:28,910
+definition بطلع عندي limit واحد على square root ل
+
+219
+00:26:28,910 --> 00:26:33,290
+n بساوي سفر وهو المطلوب طبعا
+
+220
+00:26:37,550 --> 00:26:42,930
+طبعاً في حال تاني أو في برهان تاني باستخدام الـ
+
+221
+00:26:42,930 --> 00:26:48,770
+monotone convergence theorem إذا
+
+222
+00:26:48,770 --> 00:26:54,350
+ال solution to use
+
+223
+00:26:54,350 --> 00:27:01,090
+monotone convergence theorem ال sequence أنا عندي
+
+224
+00:27:01,090 --> 00:27:04,350
+xn بساوي واحد على square root ل n
+
+225
+00:27:09,010 --> 00:27:14,590
+هذا أكبر من أو ساوي واحد على square root ل n زايد
+
+226
+00:27:14,590 --> 00:27:26,090
+واحد اللي هو xn زايد واحد وبالتالي ال sequence is
+
+227
+00:27:26,090 --> 00:27:32,900
+decreasing صح؟بعدين انا عندي absolute xn بساوي
+
+228
+00:27:32,900 --> 00:27:38,300
+absolute واحد على جدر ال n أصغر من أو ساوي واحد
+
+229
+00:27:38,300 --> 00:27:47,120
+لكل n لكل
+
+230
+00:27:47,120 --> 00:27:57,520
+n فهذا بيقدي ان ال sequence xn is bounded اذا
+
+231
+00:27:57,520 --> 00:28:02,750
+bounded و decrease inإذا الـ sequence xn by
+
+232
+00:28:02,750 --> 00:28:07,690
+monotone convergence theorem limit xn بساوة
+
+233
+00:28:07,690 --> 00:28:17,710
+الانفمام ل xn حيث n ينتمي إلى n فأثبتنا أن
+
+234
+00:28:17,710 --> 00:28:24,760
+الانفمام بساوة سفر بالفرع اللي جابلهفهذا برهان
+
+235
+00:28:24,760 --> 00:28:28,540
+تاني لكن احنا ال .. ال monotone convergence الكلام
+
+236
+00:28:28,540 --> 00:28:34,860
+مش داخله في الامتحان فممكن انكم يعني ال ..
+
+237
+00:28:34,860 --> 00:28:38,580
+تستخدموا البرهان الأول يعني ممكن تستخدموا البرهان
+
+238
+00:28:38,580 --> 00:28:42,360
+الأول يعني okay
+
+239
+00:28:42,360 --> 00:28:46,400
+تمام طيب نكمل
+
+240
+00:29:09,040 --> 00:29:15,540
+find the supremum الجزء C بإنه نوجد ال supremum
+
+241
+00:29:15,540 --> 00:29:20,800
+لواحد سالب واحد على الجدر ال N حيث N ينتمي ل N
+
+242
+00:29:20,800 --> 00:29:32,620
+فهذا حسب exercise أخدنا supremum A زائد 6 بساوي A
+
+243
+00:29:32,620 --> 00:29:38,640
+زائد supremumالست اللي هي عناصرها سالب واحد على
+
+244
+00:29:38,640 --> 00:29:48,800
+جدر ال N هيف N ينتمي الى N ويساوي واحد الان
+
+245
+00:29:48,800 --> 00:29:56,140
+supremum سالب ست بيساوي سالب ال infimum لعناصر
+
+246
+00:29:56,140 --> 00:29:56,640
+الست
+
+247
+00:30:05,050 --> 00:30:09,910
+و احنا لسه مثبتين ان ال inform هذا بساوي سفر اذا
+
+248
+00:30:09,910 --> 00:30:15,210
+ال suprem للست هذي بطلع واحد طيب
+
+249
+00:30:15,210 --> 00:30:25,970
+فرقة تانية show that اثبتي انه limit cosine
+
+250
+00:30:25,970 --> 00:30:34,290
+n على n او على جدر ال nas n tends to infinity
+
+251
+00:30:34,290 --> 00:30:38,650
+بساوي سفر proof
+
+252
+00:30:38,650 --> 00:30:43,290
+أنا
+
+253
+00:30:43,290 --> 00:30:50,010
+عندي cosine n أكبر من أو أصغر من أو ساوي واحد أكبر
+
+254
+00:30:50,010 --> 00:30:59,630
+من أو ساوي سالب واحد لكل n في n وواحد
+
+255
+00:31:01,530 --> 00:31:07,070
+على جدر ال N عدد موجب فلو ضربت المتباينة هذه في
+
+256
+00:31:07,070 --> 00:31:11,550
+واحد على جدر ال N فبطلع سالب واحد على جدر ال N
+
+257
+00:31:11,550 --> 00:31:18,130
+أصغر لو سوى cosine N على جدر ال N أصغر لو سوى واحد
+
+258
+00:31:18,130 --> 00:31:21,690
+على جدر ال N لكل N في N
+
+259
+00:31:24,530 --> 00:31:28,310
+طيب انا عند ال sequence لسه مثبتين احنا هنا في
+
+260
+00:31:28,310 --> 00:31:32,510
+الفرع b ان ال sequence هذه ال limit تبعتها as n
+
+261
+00:31:32,510 --> 00:31:35,970
+tends to infinity بساوة سفر و ال sequence هذه ال
+
+262
+00:31:35,970 --> 00:31:41,430
+limit تبعتها سالب limit واحد على الجدر ال n و سالب
+
+263
+00:31:41,430 --> 00:31:46,830
+واحد بسفر بطلع سفر as n tends to infinity اذا by
+
+264
+00:31:46,830 --> 00:31:47,910
+squeeze theorem
+
+265
+00:31:51,910 --> 00:31:57,090
+بسكويز تيريم أو sandwich theorem بطلع limit ال
+
+266
+00:31:57,090 --> 00:32:02,250
+sequence اللي لحد تبعها محصور في النص اللي هو
+
+267
+00:32:02,250 --> 00:32:06,590
+cosine n على square root ل n as n times infinity
+
+268
+00:32:06,590 --> 00:32:16,070
+بساوي 7 تمام؟ إذن هذا برهان الجزء دي
+
+269
+00:32:23,640 --> 00:32:30,920
+واضحة للحلول question
+
+270
+00:32:30,920 --> 00:32:38,680
+تلاتة الفرع a انا عندي in بالساوية closed interval
+
+271
+00:32:38,680 --> 00:32:44,480
+من سفر لواحد على جدر ال n prove
+
+272
+00:32:46,630 --> 00:32:51,890
+إنه ال intersection from n equals one to infinity
+
+273
+00:32:51,890 --> 00:33:02,970
+ل I n بساوي single twin zipper فممكن
+
+274
+00:33:02,970 --> 00:33:11,570
+نستخدم ال nested interval property proof
+
+275
+00:33:11,570 --> 00:33:23,930
+أول شي واضحواضح ان سفر ينتمي ل I N لكل N في N هذا
+
+276
+00:33:23,930 --> 00:33:28,690
+بيقدي ان السفر ينتمي
+
+277
+00:33:28,690 --> 00:33:35,210
+لتقاطعه صح
+
+278
+00:33:35,210 --> 00:33:40,310
+الفترة المغلقة هذه السفر دائما ينتمي لها لكل عدد
+
+279
+00:33:40,310 --> 00:33:45,330
+طبيعيالان انا في عندي sequence of intervals و
+
+280
+00:33:45,330 --> 00:33:49,970
+السفر ينتمي لكل عنصر في ال set إذا السفر ينتمي
+
+281
+00:33:49,970 --> 00:34:00,410
+لتقاطه كل المجموعات طيب الفترة I in is closed صح
+
+282
+00:34:00,410 --> 00:34:06,850
+and bounded لكل
+
+283
+00:34:06,850 --> 00:34:16,080
+inو بعدين واضح ان I N contains I N زاد واحد لكل N
+
+284
+00:34:16,080 --> 00:34:23,340
+في N صح؟ يعني ال sequence هذه nested يعني ال
+
+285
+00:34:23,340 --> 00:34:29,200
+sequence I N nested
+
+286
+00:34:29,200 --> 00:34:32,300
+اذا
+
+287
+00:34:32,300 --> 00:34:35,940
+by
+
+288
+00:34:35,940 --> 00:34:38,000
+nested
+
+289
+00:34:44,870 --> 00:34:50,710
+intervals theorem استقاط
+
+290
+00:34:50,710 --> 00:34:59,510
+وهذا لازم يكون في unique element لأنه انا عندي طيب
+
+291
+00:34:59,510 --> 00:35:07,490
+جبل ما نطبق نستد انا عندي ال infimum لواحد على جذر
+
+292
+00:35:07,490 --> 00:35:08,810
+n سالب سفر
+
+293
+00:35:18,070 --> 00:35:26,910
+هذا الان from أثبتنا أنه بساوي سبر إذا حسب by
+
+294
+00:35:26,910 --> 00:35:31,470
+nested
+
+295
+00:35:31,470 --> 00:35:36,370
+intervals theorem
+
+296
+00:35:39,780 --> 00:35:47,720
+الـ intersection has unique element has
+
+297
+00:35:47,720 --> 00:35:52,920
+unique element
+
+298
+00:35:52,920 --> 00:35:57,340
+يعني في التقاطع مافيش أنصر وحيد طب احنا قلنا ان
+
+299
+00:35:57,340 --> 00:36:03,500
+السفر ينتمي لتقاطع وتقاطع في أنصر واحد لذا لازم
+
+300
+00:36:03,500 --> 00:36:07,960
+يساوي السفر in
+
+301
+00:36:07,960 --> 00:36:08,780
+a sense
+
+302
+00:36:13,330 --> 00:36:21,210
+بما أن السفر ينتمي للتقاطع يجب
+
+303
+00:36:21,210 --> 00:36:25,210
+أن
+
+304
+00:36:25,210 --> 00:36:31,070
+يكون التقاطع من N بساوي واحد infinity ل I N بساوي
+
+305
+00:36:31,070 --> 00:36:33,610
+بس single tone سفر
+
+306
+00:36:39,670 --> 00:36:44,490
+طبعا ممكن اعطيتكم انا برهان زي هذا بس كان بدل 1
+
+307
+00:36:44,490 --> 00:36:46,110
+على جدر ال N 1 على N
+
+308
+00:36:50,700 --> 00:36:57,680
+و أثبتنا إن ال set هذى طبعا واضح من هنا إن هذى
+
+309
+00:36:57,680 --> 00:37:04,260
+دايما صحيحة و أثبتنا العكس و قلنا إنه لو أخدت أي x
+
+310
+00:37:04,260 --> 00:37:07,880
+تتقاطع فبنا نثبت إن هذا ال x بساوي سفر و عملنا
+
+311
+00:37:07,880 --> 00:37:12,800
+برهان بالتناقض افرضي إن ال x مابسويش سفر إذا أكبر
+
+312
+00:37:12,800 --> 00:37:16,100
+من سفر و وصلنا إلى تناقض by Archimedean property
+
+313
+00:37:17,080 --> 00:37:21,820
+إذا في برهان تاني لكن أنا حبيت أعطيكم البرهان هذا
+
+314
+00:37:21,820 --> 00:37:26,840
+التاني اللي ما خناش زيه طبعا
+
+315
+00:37:26,840 --> 00:37:30,920
+صح
+
+316
+00:37:30,920 --> 00:37:37,340
+إذا أنا عندكم برهانين طيب
+
+317
+00:37:37,340 --> 00:37:42,700
+هاي كمان الجزء بيه من السؤال هذا أنا في عندي
+
+318
+00:37:42,700 --> 00:37:49,820
+sequence xn sequence mrوعندي xn أصغر من أو ساوي
+
+319
+00:37:49,820 --> 00:38:02,720
+سفر لكل n وبدنا نثبت إنه إذا كان limit xn بساوي x
+
+320
+00:38:02,720 --> 00:38:10,810
+then ال x بتطلع أيضا أصغر من أو ساوي سفرأنا في
+
+321
+00:38:10,810 --> 00:38:14,610
+عندى sequence of real numbers كل حدودها غير ثالثة
+
+322
+00:38:14,610 --> 00:38:18,330
+و ال sequence converge ل X بالدفعة ان ال limit
+
+323
+00:38:18,330 --> 00:38:27,850
+ايضا بتطلع غير ثالثة فهي البرهان proof برهان
+
+324
+00:38:27,850 --> 00:38:32,930
+بالتناقض assume on
+
+325
+00:38:32,930 --> 00:38:33,650
+contrary
+
+326
+00:38:36,400 --> 00:38:45,860
+إن X أكبر من سفر و بدنا نصل إلى تناقض افرض
+
+327
+00:38:45,860 --> 00:38:56,620
+إن X أكبر من سفر طيب let epsilon بساوي X ع 2 هذا
+
+328
+00:38:56,620 --> 00:39:05,960
+بطل عدل موجببما أنه since .. since xn converges ل
+
+329
+00:39:05,960 --> 00:39:13,010
+x إذا يوجد capital N يعتمد على إبسلونعدد طبيعي
+
+330
+00:39:13,010 --> 00:39:19,190
+بحيث أنه لو كان n أكبر من أو ساوي capital N فهذا
+
+331
+00:39:19,190 --> 00:39:26,110
+بقدر أن absolute xn minus x أصغر من epsilon طيب ال
+
+332
+00:39:26,110 --> 00:39:30,910
+epsilon هذا أخدناها بساوي x ع 2 إذا أنا عندي هي xn
+
+333
+00:39:30,910 --> 00:39:36,830
+minus x أصغر من x ع 2 أكبر
+
+334
+00:39:36,830 --> 00:39:38,550
+من سالب x ع 2
+
+335
+00:39:42,440 --> 00:39:49,560
+طيب ما هيك بطلع عندي x in ضيفي x لكل الأطراف فبطلع
+
+336
+00:39:49,560 --> 00:40:01,200
+x in أصغر من تلاتة x عتنين أكبر من x عتنين طيب
+
+337
+00:40:01,200 --> 00:40:06,000
+هذا
+
+338
+00:40:06,000 --> 00:40:12,140
+معناه وهذا الكلام صحيح لكل inأكبر من و ساوي
+
+339
+00:40:12,140 --> 00:40:18,740
+capital N فلو أخدت .. إذا بطلع من هنا X capital N
+
+340
+00:40:18,740 --> 00:40:22,660
+لو أخدت small n هذه بساوي capital N فبطلع X
+
+341
+00:40:22,660 --> 00:40:29,740
+capital N أكبر من X ع 2 و أنا عندي X ع 2 عدد موجب
+
+342
+00:40:29,740 --> 00:40:35,100
+أكبر من 0 إذا أنا بطلع عندي X capital N أكبر من 0
+
+343
+00:40:35,100 --> 00:40:41,550
+وهذا تناقضلأن انا فرض ان كل حدود ال sequence كلهم
+
+344
+00:40:41,550 --> 00:40:46,770
+اعداد غير سالبة فكيف طلع هالحد رقم capital N موجب
+
+345
+00:40:46,770 --> 00:40:52,090
+هذا بتناقض مع الفرض تمام؟ اذا هذا سبب التناقض هذا
+
+346
+00:40:52,090 --> 00:40:59,550
+هو ال assumption تبعنا ان x أكبر من السفر okay؟
+
+347
+00:40:59,550 --> 00:41:05,490
+اذا الصح ان x أصغر من أو ساوي سفر وهو المطلوب
+
+348
+00:41:08,070 --> 00:41:16,710
+Okay تمام اذا يعني هذه يعني بعض الأسئلة الاسئلة
+
+349
+00:41:16,710 --> 00:41:25,630
+الرابعة هذا نظرية أخدناها و اللي بعدي أعتقد حلناها
+
+350
+00:41:25,630 --> 00:41:34,490
+في المحاضرة فهواجف هنا و هيك بنكون يعني راجعنا
+
+351
+00:41:34,490 --> 00:41:41,290
+تقريبا امتحانللمتحانة النصفة ونشوفكم ان شاء الله
+
+352
+00:41:41,290 --> 00:41:41,690
+بقرا
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/aBB9DzMBL4Y.srt

@@ -0,0 +1,1955 @@
+1
+00:00:21,750 --> 00:00:27,870
+بسم الله الرحمن الرحيم في محاضرة اليوم هنكمل ما 
+
+2
+00:00:27,870 --> 00:00:32,170
+بدأنا حاول 
+
+3
+00:00:32,170 --> 00:00:37,890
+موضوع ال infinite limits المرة الفاتت عرفنا ما معناه 
+
+4
+00:00:37,890 --> 00:00:42,370
+أن ال limit ل function و cluster point بالساوية 
+
+5
+00:00:42,370 --> 00:00:49,050
+plus أو minus infinity وشوفنا نظرية أو نظرية 
+
+6
+00:00:49,050 --> 00:00:54,800
+برهنها خاصة بهذا النوع من ال limits كانت النظرية 
+
+7
+00:00:54,800 --> 00:01:05,340
+التالية خلينا نكتبها let 
+
+8
+00:01:05,340 --> 00:01:14,420
+f و g be functions from a to r و c ال cluster 
+
+9
+00:01:14,420 --> 00:01:18,320
+point 
+
+10
+00:01:20,530 --> 00:01:28,690
+of the set A such that f 
+
+11
+00:01:28,690 --> 00:01:34,590
+of x less than or equal g of x for every x تنتمي 
+
+12
+00:01:34,590 --> 00:01:42,630
+إلى a different from c فشوفنا أنه لو كان ال limit 
+
+13
+00:01:42,630 --> 00:01:45,950
+لـ f 
+
+14
+00:01:45,950 --> 00:01:48,190
+of x as x tends 
+
+15
+00:02:05,090 --> 00:02:07,390
+وكذلك لو كانت ال limit 
+
+16
+00:02:10,530 --> 00:02:17,930
+لـ g of x as x tends to c بساوي negative infinity 
+
+17
+00:02:17,930 --> 00:02:26,810
+فهذا بتضمن أن limit ل f of x as x tends to c بساوي 
+
+18
+00:02:26,810 --> 00:02:35,730
+negative infinity طيب 
+
+19
+00:02:35,730 --> 00:02:36,350
+الـ ..
+
+20
+00:02:41,050 --> 00:02:47,350
+اليوم هنعرف ما معناه أن ال limit و c من اليمين 
+
+21
+00:02:47,350 --> 00:02:52,030
+بالساوي infinity أو ال limit و c من اليسار 
+
+22
+00:02:52,030 --> 00:02:55,990
+بالساوي infinity وكذلك نفس الشيء ال one sided 
+
+23
+00:02:55,990 --> 00:03:02,030
+limit و c ما معناه أنها ساوي سالب infinity لأن 
+
+24
+00:03:02,030 --> 00:03:07,010
+هذه كانت two sided limit المرة الأخيرة اتعرفنا ما 
+
+25
+00:03:07,010 --> 00:03:10,410
+معناه أن ال two sided limit تكون infinite أو ساوي 
+
+26
+00:03:10,410 --> 00:03:14,430
+infinity أو plus أو minus infinity اليوم ما معناه 
+
+27
+00:03:14,430 --> 00:03:18,370
+أن ال one sided limit تكون infinity أو negative 
+
+28
+00:03:18,370 --> 00:03:23,970
+infinity فناخد التعريف مشابه 
+
+29
+00:03:23,970 --> 00:03:29,050
+للتعريف الـ one sided limit تكون بتساوي 
+
+30
+00:03:29,050 --> 00:03:33,590
+real number فـ
+
+31
+00:03:33,590 --> 00:03:44,120
+let f be function from a to r و 
+
+32
+00:03:44,120 --> 00:03:49,240
+c cluster point 
+
+33
+00:03:49,240 --> 00:03:58,760
+of الـ set اللي هي a تقاطع الفترة المفتوحة من c لما 
+
+34
+00:03:58,760 --> 00:03:59,640
+إلى نهاية
+
+35
+00:04:04,430 --> 00:04:10,290
+يقول إن الـ limit لـ 
+
+36
+00:04:10,290 --> 00:04:15,530
+function f of x as x tends to c from the right 
+
+37
+00:04:15,530 --> 00:04:23,110
+بالساوي infinity respectively 
+
+38
+00:04:23,110 --> 00:04:30,370
+على التوالي بنقول إن ال limit ل f of x لما x تقول 
+
+39
+00:04:30,370 --> 00:04:39,170
+إلى c من اليمين بتساوي negative infinity إذا 
+
+40
+00:04:39,170 --> 00:04:44,790
+تحقق الشرط التالي لأي 
+
+41
+00:04:44,790 --> 00:04:51,950
+Alpha for any Alpha 
+
+42
+00:04:51,950 --> 00:04:57,450
+belonging to R نقدر 
+
+43
+00:04:57,450 --> 00:05:07,810
+نلاقي Delta تعتمد على Alpha  على دلتا بحيث أنه لكل 
+
+44
+00:05:07,810 --> 00:05:17,050
+x ينتمي إلى a و ال x على يمين ال c و المسافة بينها 
+
+45
+00:05:17,050 --> 00:05:22,730
+و بين ال c أصغر من دلتا فلازم هذا يضمن أن f of x 
+
+46
+00:05:22,730 --> 00:05:32,310
+أكبر من alpha أو على التواري respectively ال f of 
+
+47
+00:05:32,310 --> 00:05:37,330
+x هتكون في حالة ال limit بالساول سالب infinity 
+
+48
+00:05:37,330 --> 00:05:42,550
+عايزينها تكون أصغر من ال alpha أصغر من ال given 
+
+49
+00:05:42,550 --> 00:05:46,330
+alpha okay 
+
+50
+00:05:46,330 --> 00:05:53,550
+إذا أنا هنا عندي limit ال function و c من اليمين 
+
+51
+00:05:53,550 --> 00:05:57,570
+بالساول infinity معناته لأي real number alpha بقدر 
+
+52
+00:05:57,570 --> 00:06:05,620
+أخلي f of x أكبر من Alpha لكل X على يمين الـC لأن X 
+
+53
+00:06:05,620 --> 00:06:08,920
+تقوى للـC من اليمين فX على يمين الـC يعني X أكبر 
+
+54
+00:06:08,920 --> 00:06:13,160
+من الـC يعني X ناقص C أكبر من صفر والمسافة بين 
+
+55
+00:06:13,160 --> 00:06:18,140
+الـC والـX أو الـX والـC أصغر من الـD فلكل الـX 
+
+56
+00:06:18,140 --> 00:06:22,140
+اللي زيها دي بدي أخلي F of X أكبر من Alpha عشان 
+
+57
+00:06:22,140 --> 00:06:26,280
+أقدر أقول أن ال limit لF of X tends to infinity 
+
+58
+00:06:28,130 --> 00:06:31,870
+بالمثل ما معنى أن limit f of x عن c من اليمين 
+
+59
+00:06:31,870 --> 00:06:38,050
+بالساوى سالب infinity معناه بقدر أخلي لكل x زي ما 
+
+60
+00:06:38,050 --> 00:06:44,350
+شوفنا أو لأي عدد real number alpha يوجد delta بحيث 
+
+61
+00:06:44,350 --> 00:06:48,670
+لكل x على يمين ال C والمسافة بينها و بين ال C أصغر 
+
+62
+00:06:48,670 --> 00:06:52,310
+من ال delta لازم صورتها تكون أصغر من ال given 
+
+63
+00:06:52,310 --> 00:07:00,470
+alpha okay تمام طيب خلينا الآن كتير من النظريات 
+
+64
+00:07:00,470 --> 00:07:06,970
+اللي أخدناها for two sided limit زي هذه مثلاً بتكون 
+
+65
+00:07:06,970 --> 00:07:12,210
+صحيحة لل right limit و لل left limit طبعاً ممكن 
+
+66
+00:07:12,210 --> 00:07:18,570
+كمان نعرف بنفس الطريقة ال limit from the left أو 
+
+67
+00:07:18,570 --> 00:07:22,690
+ال left hand limit مايعني أن ال left hand limit 
+
+68
+00:07:22,690 --> 00:07:24,410
+تساوي 
+
+69
+00:07:25,850 --> 00:07:31,370
+Infinity أو سالب Infinity إذا 
+
+70
+00:07:31,370 --> 00:07:36,690
+لو أنا بدي أعدل أعرف ما معنى أن ال limit ل F عن C 
+
+71
+00:07:36,690 --> 00:07:40,750
+من اليسار بالساوية Infinity أو ما معنى أن ال limit 
+
+72
+00:07:40,750 --> 00:07:46,150
+ل F عن C من اليسار بالساوية سالب Infinity فباخد 
+
+73
+00:07:46,150 --> 00:07:53,340
+let F be هكذا و C cluster point هتصير لـ a تقاطع 
+
+74
+00:07:53,340 --> 00:08:00,220
+الفترة من سالب infinity إلى C فبنقول 
+
+75
+00:08:00,220 --> 00:08:04,680
+إن ال limit لما X تقول إلى C من اليسار بالساوي 
+
+76
+00:08:04,680 --> 00:08:10,260
+infinity أو ال limit لما X تقول إلى C من اليسار 
+
+77
+00:08:10,260 --> 00:08:15,860
+بالساوي السالب infinity إذا كان لأي Alpha يوجد 
+
+78
+00:08:15,860 --> 00:08:21,200
+Delta تعتمد على Alpha الآن ال X هتكون على يسار ال C 
+
+79
+00:08:21,200 --> 00:08:31,200
+وبالتالي هذا هنستبدله بـ C ناقص X أكبر 
+
+80
+00:08:31,200 --> 00:08:38,680
+من صفر أصغر من دلتر فلكل X زي هذه أنا عايز أن تكون 
+
+81
+00:08:38,680 --> 00:08:43,620
+F of X أكبر من Alpha أو في الحالة هذه F of X أصغر 
+
+82
+00:08:43,620 --> 00:08:49,710
+من Alpha هنا ذيك نكون عرفنا الـ left limit عن c ما 
+
+83
+00:08:49,710 --> 00:08:56,170
+معنى أنها ساوي plus أو minus infinity إذن قلنا إن 
+
+84
+00:08:56,170 --> 00:09:00,310
+كل النظريات اللي برهنها for two sided limits هتكون 
+
+85
+00:09:00,310 --> 00:09:08,730
+صحيحة لل left limit و لل right limit من ضمنهم 
+
+86
+00:09:08,730 --> 00:09:14,010
+النظرية السابقة طيب 
+
+87
+00:09:14,010 --> 00:09:15,130
+لو بدي أنا يعني 
+
+88
+00:09:18,090 --> 00:09:24,870
+آخد أمثلة كيف نستخدم التعريف هذا فيه إثبات أن الـ 
+
+89
+00:09:24,870 --> 00:09:32,230
+limits تطلع plus أو minus infinity فناخد أول مثال 
+
+90
+00:09:32,230 --> 00:09:40,250
+let f of x بساوي واحد 
+
+91
+00:09:40,250 --> 00:09:45,170
+على x حيث x لا يساوي صفر سبق و show 
+
+92
+00:09:49,780 --> 00:09:58,060
+عايزين نفدت واحد أن ال limit لواحد على x أو f of x 
+
+93
+00:09:58,060 --> 00:10:05,820
+هنا لما x تقول إلى صفر من اليمين بساوي ال infinity 
+
+94
+00:10:05,820 --> 00:10:09,960
+و 2 limit 
+
+95
+00:10:11,300 --> 00:10:19,200
+ل f of X لما X تقول إلى 0 من اليسار يساوي سالب 
+
+96
+00:10:19,200 --> 00:10:23,880
+infinity okay فلو 
+
+97
+00:10:23,880 --> 00:10:29,540
+بدنا نبرم الجزء الأول مثلاً to show 
+
+98
+00:10:32,410 --> 00:10:38,710
+المقاومة ل f of x as x tends to 0 from the right 
+
+99
+00:10:38,710 --> 00:10:45,670
+بساوي infinity فبدي ابدا بـ alpha تنتمي ل R فبقول 
+
+100
+00:10:45,670 --> 00:10:57,490
+let alpha belonging to R be given و 
+
+101
+00:10:57,490 --> 00:11:02,790
+بدي ارد عليها بDelta بدي أرد على ال alpha دي الـ 
+
+102
+00:11:02,790 --> 00:11:08,630
+delta عدد موجب ويعتمد على ال alpha ف choose delta 
+
+103
+00:11:08,630 --> 00:11:15,890
+بتساوي واحد على absolute alpha زائد واحد بالتأكيد 
+
+104
+00:11:15,890 --> 00:11:21,910
+هذا عدد موجب لأن absolute ال alpha دي عدد حقيقي 
+
+105
+00:11:21,910 --> 00:11:28,450
+القيمة المطلقة له عدد غير سالب ممكن يساوي صفر إذا 
+
+106
+00:11:28,450 --> 00:11:32,980
+كانت alpha بالساوية صفر لكن زائد واحد بصير موجب 
+
+107
+00:11:32,980 --> 00:11:37,720
+المقام موجب إذا أنا بضيف واحد ليه عشان أضمن أن 
+
+108
+00:11:37,720 --> 00:11:41,880
+المقام ما يسويش صفر لأن في احتمال أن ال alpha ساوي 
+
+109
+00:11:41,880 --> 00:11:45,640
+صفر فبصير عندي مشكلة عشان أتخلص من المشكلة هذه 
+
+110
+00:11:45,640 --> 00:11:51,140
+بجسم على absolute alpha زائد واحد الآن هذا عدد 
+
+111
+00:11:51,140 --> 00:11:57,010
+موجب و يعتمد على alpha هي ال delta هي مرتبطة معرفة 
+
+112
+00:11:57,010 --> 00:12:02,350
+بدلالة alpha هي معناه أنها تعتمد على alpha إذا لأي 
+
+113
+00:12:02,350 --> 00:12:09,410
+alpha ينتمي ل R خد ال delta اللي بتنظرها هي واحد 
+
+114
+00:12:09,410 --> 00:12:13,740
+على absolute alpha زائد واحد هذا أكيد عدد موجب 
+
+115
+00:12:13,740 --> 00:12:20,440
+then من مراتبة الآن أن كل x في المجال تبع الدالة 
+
+116
+00:12:20,440 --> 00:12:24,380
+اللي هو كل الأعداد الحقيقية مع عدد صفر و ال x على 
+
+117
+00:12:24,380 --> 00:12:30,420
+يمين ال c اللي هو الصفر و من هنا x ينتمي إلى a 
+
+118
+00:12:30,420 --> 00:12:35,560
+اللي هي R المجال تبع الدالة كل الأعداد الحقيقية مع 
+
+119
+00:12:35,560 --> 00:12:42,940
+عدد صفر و X ناقص صفر ال C هنا ال cluster point هي 
+
+120
+00:12:42,940 --> 00:12:47,100
+الصفر الآن ال X على يمين الصفر يعني X ناقص صفر 
+
+121
+00:12:47,100 --> 00:12:54,040
+أكبر من صفر فإذا كانت ال X هذه أصغر من Delta فهذا 
+
+122
+00:12:54,040 --> 00:13:03,900
+هيعطيني أن ال 1 على X أكبر من واحد على دلتا 
+
+123
+00:13:03,900 --> 00:13:07,560
+وبالتالي 
+
+124
+00:13:07,560 --> 00:13:14,720
+هذا بيقدي أن f of x اللي هي بالساوي واحد على x 
+
+125
+00:13:14,720 --> 00:13:20,940
+أكبر من واحد على دلتا اللي هي بالساوي واحد مقلوب 
+
+126
+00:13:20,940 --> 00:13:28,280
+الدلتا بيطلع absolute alpha زائد واحد وهذه أكبر من 
+
+127
+00:13:28,280 --> 00:13:32,300
+absolute ال alpha absolute alpha زائد واحد أكبر من 
+
+128
+00:13:32,300 --> 00:13:36,880
+absolute alpha و absolute alpha أكبر من أو يساوي 
+
+129
+00:13:36,880 --> 00:13:41,920
+alpha أي عدد حقيقي القيمة المطلقة تبعته أكبر من أو 
+
+130
+00:13:41,920 --> 00:13:48,220
+يساوي نفسه فالنهاية أثبتنا أن f of x أكبر من ال 
+
+131
+00:13:48,220 --> 00:13:48,920
+given alpha 
+
+132
+00:13:53,520 --> 00:13:58,440
+Okay تمام بما أن ال alpha دي كانت arbitrarily 
+
+133
+00:13:58,440 --> 00:14:06,640
+since alpha belong to R was arbitrarily إذا هن 
+
+134
+00:14:06,640 --> 00:14:12,180
+أثبتنا إذا معناه هذا الكلام هذا أن لكل alpha فيه 
+
+135
+00:14:12,180 --> 00:14:17,280
+delta تعتمد عليها بتخلي f of x أكبر من alpha لكل x 
+
+136
+00:14:17,280 --> 00:14:23,440
+قريبة من الصفر within مسافة delta إن هذا معناه حسب 
+
+137
+00:14:23,440 --> 00:14:29,340
+التعريف إن ال limit ل f of x لما x تقول إلى صفر من 
+
+138
+00:14:29,340 --> 00:14:36,780
+اليمين بساوي infinity برهانه 
+
+139
+00:14:36,780 --> 00:14:38,320
+جزء الثاني مشابه 
+
+140
+00:14:47,840 --> 00:14:54,400
+is similar مشابه لل part للجزء الأول يعني فهسيبكم 
+
+141
+00:14:54,400 --> 00:14:59,860
+انتم تكتبوا برهان مشابه مع التعديلات اللازمة و
+
+142
+00:14:59,860 --> 00:15:05,660
+أيه طبعًا التعريف تبع ال limit from the left موجود
+
+143
+00:15:05,660 --> 00:15:13,280
+okay تمام اللي هو بالأزرق تمام مثال
+
+144
+00:15:13,280 --> 00:15:33,190
+ثاني ممكن برضه ناخد مثال ثاني 
+
+145
+00:15:33,190 --> 00:15:41,050
+show limit for function e to one على x as x tends
+
+146
+00:15:41,050 --> 00:15:45,070
+to zero from the right  بساوي infinity
+
+147
+00:15:55,920 --> 00:16:02,700
+أنا عندي ال function تبعتي f of x بيسمي E أس واحد
+
+148
+00:16:02,700 --> 00:16:07,840
+على X طبعًا ال X هنا ال function مش معرفة عند الصفر
+
+149
+00:16:07,840 --> 00:16:12,900
+مجال الدالة هذه كل الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر
+
+150
+00:16:12,900 --> 00:16:20,860
+المثال هذا أخذناه المرة اللي فاتت we
+
+151
+00:16:20,860 --> 00:16:21,440
+have
+
+152
+00:16:25,650 --> 00:16:34,410
+from previous example من
+
+153
+00:16:34,410 --> 00:16:44,110
+المثال السابق فانا هادرس سابق أنه واحد
+
+154
+00:16:44,110 --> 00:16:51,370
+على اكس أكبر من صفر وأصغر من واحد على اكس لكل
+
+155
+00:16:51,370 --> 00:17:00,340
+اكس أكبر من صفر لكل x على يمين الصفر كان في عندي T
+
+156
+00:17:00,340 --> 00:17:09,980
+أصغر من E of T لكل T عدد موجب طيب
+
+157
+00:17:09,980 --> 00:17:18,000
+احنا لسه بتعامل since ال
+
+158
+00:17:18,000 --> 00:17:24,340
+limit لواحد على x لما x تقول إلى الصفر من اليمين
+
+159
+00:17:26,540 --> 00:17:31,760
+بساوي infinity فممكن
+
+160
+00:17:31,760 --> 00:17:37,160
+نطبق ال comparison test هذا فهي عندي f of x أصغر
+
+161
+00:17:37,160 --> 00:17:45,800
+من g of x يعني خليني أسمي هذه g of x  كلمشي مع النظرية
+
+162
+00:17:45,800 --> 00:17:52,020
+يعني وخلني f of x بساوي واحد على x فهي عندي f of x
+
+163
+00:17:52,020 --> 00:18:00,560
+أصغر من g of x لكل x في R أو لكل X لا يساوي صفر لكل
+
+164
+00:18:00,560 --> 00:18:07,820
+X موجبة بقى أو على يمين الصفر لكل
+
+165
+00:18:07,820 --> 00:18:16,880
+X في R تقاطع صفر إلى ما لا نهاية okay فإذا
+
+166
+00:18:16,880 --> 00:18:22,320
+قلنا النظرية هذه صحيحة لل right limit باستخدام
+
+167
+00:18:22,320 --> 00:18:33,480
+النظرية by above theorem by above theorem for right
+
+168
+00:18:33,480 --> 00:18:39,680
+limits للنهايات
+
+169
+00:18:39,680 --> 00:18:49,990
+من اليمين we have نحصل على انه ال limitلقيت واحد
+
+170
+00:18:49,990 --> 00:18:55,370
+على اكس لما اكس تقول إلى صفر من اليمين بساوي plus
+
+171
+00:18:55,370 --> 00:19:04,770
+infinity وهذا اللي بدنا إياه هي مظبوط صح؟ تمام؟ إذن
+
+172
+00:19:04,770 --> 00:19:08,850
+ممكن نطبق النظرية هذه لإثبات أن ال limit ل ال
+
+173
+00:19:08,850 --> 00:19:13,690
+function E to 1 ل X من X أو ل 0 من اليمين بساوي
+
+174
+00:19:13,690 --> 00:19:22,130
+infinity برضه ممكن نطبق التعريف يعني ممكن أعطي
+
+175
+00:19:22,130 --> 00:19:28,530
+برهان ثاني و أقول بما أن هذه المتباينة صحيحة لكل X
+
+176
+00:19:28,530 --> 00:19:34,480
+موجبة وبما انه ال limit هذه لو أخذنا ال function
+
+177
+00:19:34,480 --> 00:19:38,080
+واحد على X عن صفر من اليمين بيساوي infinity
+
+178
+00:19:38,080 --> 00:19:41,560
+معناته انا بقدر أخلي واحد ال function واحد على X
+
+179
+00:19:41,560 --> 00:19:46,940
+هذه أكبر من Alpha لأي real number Alpha صح؟
+
+180
+00:19:48,400 --> 00:19:52,300
+وبالتالي بقدر أخلي أي T واحد على اكس أكبر من اي
+
+181
+00:19:52,300 --> 00:19:59,600
+real number Alpha لكل X طبعًا على يمين الصفر وعلى
+
+182
+00:19:59,600 --> 00:20:06,660
+مسافة أصغر من Delta نقدر نجيب طبعًا Delta لكل Alpha
+
+183
+00:20:06,660 --> 00:20:13,800
+فممكن برضه استخدم التعريف لإثبات ان ال limit لإي ت
+
+184
+00:20:13,800 --> 00:20:16,800
+واحد على اكس لما اكسه تؤول ل صفر من اليمين بيساوي
+
+185
+00:20:16,800 --> 00:20:21,100
+infinity Okay تمام ان انا ممكن استخدم التعريف أو
+
+186
+00:20:21,100 --> 00:20:27,860
+استخدم ال comparison test اللي فوق واضح في اي سؤال
+
+187
+00:20:27,860 --> 00:20:37,380
+طب
+
+188
+00:20:37,380 --> 00:20:45,280
+احنا يعني لاحظوا في ال chapter هذا اتعرضنا ل ال ..
+
+189
+00:20:47,310 --> 00:20:53,690
+لتعريف النهايات للدوال and cluster point للمجال
+
+190
+00:20:53,690 --> 00:20:58,390
+تبعها أو and cluster point لتقاطع مجالها مع فترة
+
+191
+00:20:58,390 --> 00:21:02,470
+مفتوحة زي هذه أو فترة مفتوحة زي هذه في حالة ال
+
+192
+00:21:02,470 --> 00:21:06,870
+infinite limits وفي كل ال limits هذه دائما ال X
+
+193
+00:21:06,870 --> 00:21:12,290
+كانت تؤول ل C لعدد ل cluster point سواء من اليمين
+
+194
+00:21:12,290 --> 00:21:15,910
+أو من اليسار لكن أحيانًا
+
+195
+00:21:17,840 --> 00:21:29,720
+بتصادفنا نهايات أحيانًا
+
+196
+00:21:29,720 --> 00:21:37,020
+نتعرض لمواقف زي هذه أنه كيف أنا بدي .. يعني ممكن
+
+197
+00:21:37,020 --> 00:21:42,840
+يكون عندي limit ل a for x بدل ما x تؤول ل cluster
+
+198
+00:21:42,840 --> 00:21:45,920
+point c x تؤول ل infinity
+
+199
+00:21:49,360 --> 00:21:52,820
+ما معنى ان ال limit ل f of x لما x تؤول ال
+
+200
+00:21:52,820 --> 00:22:00,720
+infinity بيساوي عدد L أو ما معنى ان ال limit ل ال
+
+201
+00:22:00,720 --> 00:22:05,080
+function f لما x تؤول ل سالب infinity بيساوي أيضًا
+
+202
+00:22:05,080 --> 00:22:12,060
+عدد L هذا ما تعرضنا إليه فبنلاقي تعريف نشوف كيف
+
+203
+00:22:12,060 --> 00:22:20,300
+التعريف تبع ال limits هذه بيكونمثلًا أنا عندي ال
+
+204
+00:22:20,300 --> 00:22:28,380
+limit نرجع لل function واحد على X فانا
+
+205
+00:22:28,380 --> 00:22:33,980
+عندي ال limit يعني Y بيساوي واحد على X فانا عندي ال
+
+206
+00:22:33,980 --> 00:22:40,980
+limit واحد على X لما X تؤول infinity واضح انها
+
+207
+00:22:40,980 --> 00:22:47,330
+بيساوي عدد L صفر وبرضه كمان لو كانت x تؤول ل سالب
+
+208
+00:22:47,330 --> 00:22:53,250
+infinity برضه ال limit بيساوي صفر، إذا كيف اثبت
+
+209
+00:22:53,250 --> 00:22:59,750
+أو كيف أعرف ان ال limit عند ال infinity بيساوي
+
+210
+00:22:59,750 --> 00:23:04,150
+عدد أو عند السالب infinity بيساوي عدد ما؟
+
+211
+00:23:04,790 --> 00:23:10,050
+التعريفات هذه ما مرت لسه علينا فنحتاج ان احنا نعرف
+
+212
+00:23:10,050 --> 00:23:18,950
+أو ناخد هذه التعريفات إذا دلوقت نقول التعريف هذا
+
+213
+00:23:18,950 --> 00:23:28,570
+ناخد 
+
+214
+00:23:28,570 --> 00:23:29,070
+definition
+
+215
+00:23:48,740 --> 00:24:03,120
+فالتعريف let f be function from A to R and
+
+216
+00:24:03,120 --> 00:24:10,780
+الفترة من A إلى ما لا نهاية تكون داخل المجموعة A
+
+217
+00:24:10,780 --> 00:24:13,640
+for some A ينتمي إلى R
+
+218
+00:24:20,670 --> 00:24:32,430
+فبنعرف ونقول ان ال ينتمي لار is
+
+219
+00:24:32,430 --> 00:24:36,710
+a limit of
+
+220
+00:24:36,710 --> 00:24:46,950
+ال function f as x tends to infinity and right و
+
+221
+00:24:46,950 --> 00:24:52,540
+بنكتب في الحالة هذه ان ال limitلـ f of x as x
+
+222
+00:24:52,540 --> 00:24:58,820
+tends to infinity بيساوي لعدد L إذا تحقق الشرط
+
+223
+00:24:58,820 --> 00:25:06,960
+التالي لكل إبسلون for any إبسلون أكبر من 0 نقدر
+
+224
+00:25:06,960 --> 00:25:14,660
+نلاقي capital K عدد حقيقي يعتمد على إبسلون وهذا
+
+225
+00:25:14,660 --> 00:25:23,260
+العدد أكبر من العدد A اللي هو عدد حقيقي معين بحيث
+
+226
+00:25:23,260 --> 00:25:33,980
+أنه لكل لو كان ال X أكبر من ال K فهذا بتضمن أنه
+
+227
+00:25:33,980 --> 00:25:39,780
+absolute F of X minus L أصغر من ال given epsilon
+
+228
+00:25:39,780 --> 00:25:44,280
+تمام؟
+
+229
+00:25:44,280 --> 00:25:46,120
+بالمثل ممكن أعرف
+
+230
+00:25:52,400 --> 00:25:58,400
+العرف ما معناه ان ال limit لل function f لما x
+
+231
+00:25:58,400 --> 00:26:04,120
+تؤول ل سالب infinity بيساوي عدد L في الحالة هذه
+
+232
+00:26:04,120 --> 00:26:13,200
+باشترط ان المجموعة المجال يحتوي على فترة زي هذه
+
+233
+00:26:13,200 --> 00:26:17,840
+بدأت
+
+234
+00:26:17,840 --> 00:26:19,300
+الفترة هذه فترة زي هذه
+
+235
+00:26:22,770 --> 00:26:30,990
+هنا قلنا بدل infinity نبدلها بال-infinity وهنا بال
+
+236
+00:26:30,990 --> 00:26:37,030
+-infinity ونقول
+
+237
+00:26:37,030 --> 00:26:46,190
+أنه يوجد K المرة هذه بدل أكبر من A أصغر من A وهذه
+
+238
+00:26:46,190 --> 00:26:48,150
+تتغير لكل X
+
+239
+00:26:53,500 --> 00:26:59,960
+أصغر من K أصغر
+
+240
+00:26:59,960 --> 00:27:03,760
+من Y أصغر
+
+241
+00:27:03,760 --> 00:27:06,920
+من K أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر
+
+242
+00:27:06,920 --> 00:27:07,020
+من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر
+
+243
+00:27:07,020 --> 00:27:07,760
+من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر
+
+244
+00:27:07,760 --> 00:27:12,040
+من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أص
+
+245
+00:27:12,440 --> 00:27:18,680
+Okay طيب إذا أنا لأن في عندي تعريفات جديدة كمان
+
+246
+00:27:18,680 --> 00:27:25,880
+مرة كل النظريات اللي أثبتناها سابقًا بس
+
+247
+00:27:25,880 --> 00:27:31,500
+بدل ما X تؤول ل C بيصير X تؤول ل infinity ال
+
+248
+00:27:31,500 --> 00:27:37,040
+sequence أول شيء إذا كانت ال limit هذه أو هذه
+
+249
+00:27:37,040 --> 00:27:42,630
+موجودة سواء عدد Lفممكن إثباتي انها unique زيها زي
+
+250
+00:27:42,630 --> 00:27:49,210
+أي two sided limit أو زيها زي أي limit أخرى كذلك
+
+251
+00:27:49,210 --> 00:27:53,370
+ممكن نثبت sequential criterion لل limits زي هدول
+
+252
+00:27:53,370 --> 00:27:59,230
+وممكن النظرية زي هذه تكون صحيحة لهذا النوع من ال
+
+253
+00:27:59,230 --> 00:28:06,130
+limits okay إذا معظم النظريات معظم النظريات اللي
+
+254
+00:28:06,130 --> 00:28:13,240
+أثبتناها تكون صحيحة لهذا النوع الجديد من الـ
+
+255
+00:28:13,240 --> 00:28:17,660
+infinite نسميها infinite limits at infinity هذه
+
+256
+00:28:17,660 --> 00:28:21,980
+limits at infinity أو سالب infinity هذه كانت
+
+257
+00:28:21,980 --> 00:28:27,520
+نسميها infinite limits فمثلا
+
+258
+00:28:27,520 --> 00:28:31,900
+على سبيل المثال وليس الحصر ممكن ان احنا نكتب
+
+259
+00:28:31,900 --> 00:28:35,060
+sequential criterion لهذا النوع من ال limits
+
+260
+00:28:42,580 --> 00:28:57,860
+هي sequential theorem sequential
+
+261
+00:28:57,860 --> 00:29:03,680
+.. sequential
+
+262
+00:29:03,680 --> 00:29:07,500
+criterion
+
+263
+00:29:07,500 --> 00:29:18,320
+.. sequential criterion for limits for limits at
+
+264
+00:29:18,320 --> 00:29:23,580
+infinity the
+
+265
+00:29:23,580 --> 00:29:29,480
+following statements are equivalent are equivalent
+
+266
+00:29:29,480 --> 00:29:40,830
+واحد limit F of X as X tends to infinity بيساوي عدد
+
+267
+00:29:40,830 --> 00:29:47,970
+M اثنين for every
+
+268
+00:29:47,970 --> 00:29:48,910
+sequence
+
+269
+00:29:51,330 --> 00:29:57,750
+x in contained in a تقابل فترة مفتوحة من a إلى ما
+
+270
+00:29:57,750 --> 00:30:05,030
+للإلهية such that limit x in as n tends to
+
+271
+00:30:05,030 --> 00:30:14,410
+infinity بيساوي ال infinity لازم
+
+272
+00:30:14,410 --> 00:30:19,300
+يطلع عندي limit ال image بيساوي العدد L لسيكوانس Xn
+
+273
+00:30:19,300 --> 00:30:25,380
+as N تؤول ل Infinity بيساوي العدد L لذا هذه
+
+274
+00:30:25,380 --> 00:30:34,580
+Sequential criterion for limits at infinity وممكن
+
+275
+00:30:34,580 --> 00:30:39,860
+نثبت النظرية هذه زي ما أثبتنا Sequential criterion
+
+276
+00:30:39,860 --> 00:30:46,300
+for finite two-sided limits أو for finite one
+
+277
+00:30:46,300 --> 00:30:51,520
+-sided limits مثلًا لو أريد أن أثبت واحد implies
+
+278
+00:30:51,520 --> 00:30:55,660
+اثنين فبقول
+
+279
+00:30:55,660 --> 00:31:05,080
+assume أنه one holds هذا
+
+280
+00:31:05,080 --> 00:31:12,440
+معناه أن ال limit لf of x as x tends to infinity
+
+281
+00:31:12,440 --> 00:31:17,120
+بسوي عدد الـ L طيب to prove
+
+282
+00:31:32,110 --> 00:31:38,430
+to prove two holds فابد
+
+283
+00:31:38,430 --> 00:31:46,430
+أثبت لأي sequence لأي sequence بالمواصفات هذه
+
+284
+00:31:46,430 --> 00:31:57,370
+limit صورتها بساوي الـ L فببدأ بقول let let XM contain
+
+285
+00:31:57,370 --> 00:32:08,400
+بالـ A قاطع الفترة هذه بيجيبن
+
+286
+00:32:08,400 --> 00:32:11,560
+بحيث
+
+287
+00:32:11,560 --> 00:32:20,660
+أن ال limit لسيكوينس xn هذه بساوي
+
+288
+00:32:20,660 --> 00:32:24,660
+infinity و
+
+289
+00:32:24,660 --> 00:32:27,380
+بالثبات أن ال limit صورتها بساوي الـ
+
+290
+00:32:30,930 --> 00:32:34,970
+عشان أثبت أنه two holds، بدي أثبت أنه الـ limit
+
+291
+00:32:34,970 --> 00:32:45,370
+لصورة الـ xn as n times infinity بساوي L لأن هذه
+
+292
+00:32:45,370 --> 00:32:48,930
+عبارة عن sequence، بدي أثبت limit sequence بالساوي
+
+293
+00:32:48,930 --> 00:32:54,030
+عدد، بستخدم تعريف Y capital N لل limit of a
+
+294
+00:32:54,030 --> 00:33:00,120
+sequence، صح؟ إذا أنا بقول let epsilon أكبر من
+
+295
+00:33:00,120 --> 00:33:07,240
+الصفر be given طيب،
+
+296
+00:33:07,240 --> 00:33:16,140
+أنا عندي فارض since ال limit لـ F of X as X tends
+
+297
+00:33:16,140 --> 00:33:26,080
+to infinity بتساوي العدد L إذا من تعريف ال limit of
+
+298
+00:33:26,080 --> 00:33:31,180
+infinity اللي زيها دي هي التعريف هي تحت تقول إنه
+
+299
+00:33:31,180 --> 00:33:41,300
+for any given epsilon يوجد عدد حقيقي K يعتمد على
+
+300
+00:33:41,300 --> 00:33:47,220
+epsilon وهذا أكبر من A بحيث
+
+301
+00:33:47,220 --> 00:33:57,390
+إنه لو كان X أكبر من الـ K بيقدي أنه absolute f of
+
+302
+00:33:57,390 --> 00:34:03,750
+x minus الـ L أصغر من إبسلون أسمي ال implication هذه
+
+303
+00:34:03,750 --> 00:34:08,830
+star طيب
+
+304
+00:34:08,830 --> 00:34:13,750
+أنا برضه عندي أنا فارد أن ال sequence هذه ال given
+
+305
+00:34:13,750 --> 00:34:15,590
+sequence ال limit تبعتها
+
+306
+00:34:21,580 --> 00:34:26,380
+بساوي infinity ومن
+
+307
+00:34:26,380 --> 00:34:30,540
+تعريف أن تكون ال sequence limit تبعتها infinite
+
+308
+00:34:30,540 --> 00:34:37,180
+هذا معناه أن مقدر أخلي x in أكبر من أي عدد حقيقي
+
+309
+00:34:37,180 --> 00:34:41,440
+alpha فاخد alpha هنا بساوي K مش هذا عدد حقيقي
+
+310
+00:34:41,440 --> 00:34:48,520
+محترم فاخد هوبما عنده limit لسيكوينس Xn بالساوي
+
+311
+00:34:48,520 --> 00:34:56,920
+infinity then for any real number يوجد
+
+312
+00:34:56,920 --> 00:35:06,700
+capital N عدد طبيعي يعتمد على K هذا أشمله عدد طبيعي
+
+313
+00:35:06,700 --> 00:35:14,800
+بحيث أنه لكل n أكبر من أو يساوي capital N هذا بتضمن
+
+314
+00:35:14,800 --> 00:35:22,980
+أن ال Xn أكبر من العدد K العدد الحقيقي K نسمي ال
+
+315
+00:35:22,980 --> 00:35:25,160
+implication هذه double star
+
+316
+00:35:39,650 --> 00:35:45,850
+تمام هيك إذا هذا ناخده من كوننا أن احنا فرضين أن
+
+317
+00:35:45,850 --> 00:35:49,350
+limit ال sequence xn بالساوي infinity ومن تعريف
+
+318
+00:35:49,350 --> 00:35:56,710
+ال infinite limit لل sequence الآن الآن في تحول في
+
+319
+00:35:56,710 --> 00:36:05,270
+البرهان now star and double star yield
+
+320
+00:36:09,010 --> 00:36:17,430
+بيعطوني التالي لو كانت n أكبر من أو يساوي capital N
+
+321
+00:36:17,430 --> 00:36:28,590
+فهذا بيؤدي إنه xn أكبر من k هذا موجود أخدناه من
+
+322
+00:36:28,590 --> 00:36:33,930
+double star لكل n أكبر من أو يساوي capital N بيطلع
+
+323
+00:36:33,930 --> 00:36:40,980
+xn أكبر من k طيب و من ال star و هذا بيقدي باستخدام
+
+324
+00:36:40,980 --> 00:36:47,640
+ال star ال star بيقول لي لكل x لو كانت ال x أو ال
+
+325
+00:36:47,640 --> 00:36:56,860
+xn أكبر من capital K هذا بيقدي أن صورتها المسافة
+
+326
+00:36:56,860 --> 00:37:01,840
+بينها و بين الـ L أصغر من إبسلون صح؟
+
+327
+00:37:06,200 --> 00:37:10,360
+إذا نجي نلخص كمان مرة، إيه اللي عملناها؟ أنا إيش
+
+328
+00:37:10,360 --> 00:37:14,560
+بدأنا في بتلقى limited sequence F of X N لما N تقول
+
+329
+00:37:14,560 --> 00:37:18,460
+الـ infinity بالساوي عدد L فهذه البديات بإبسلون
+
+330
+00:37:18,460 --> 00:37:22,940
+أكبر من الصفر given أثبتت أن يوجد capital N عدد
+
+331
+00:37:22,940 --> 00:37:27,680
+طبيعي يعتمد على الـ K والـ K تعتمد على إبسلون، إذا
+
+332
+00:37:27,680 --> 00:37:33,810
+الـ N هذه تعتمد على الـ given إبسلون و هذه ال N لكل
+
+333
+00:37:33,810 --> 00:37:38,050
+small n أكبر من أو يساوي ال capital N هذه طلع عند
+
+334
+00:37:38,050 --> 00:37:41,350
+المسافة بين الحد النوني لل sequence و L أصغر من
+
+335
+00:37:41,350 --> 00:37:47,750
+Epsilon بما أن Epsilon was arbitrary since Epsilon
+
+336
+00:37:47,750 --> 00:37:54,250
+أكبر من الصفر was arbitrary إذا by epsilon capital
+
+337
+00:37:54,250 --> 00:37:58,650
+N definition of limit of sequence بنكون هيك حسب
+
+338
+00:37:58,650 --> 00:38:04,570
+التعريف أثبتنا أن ال limit لسيكوينس F of X N as N
+
+339
+00:38:04,570 --> 00:38:09,390
+tends to infinity بالساوي لعدد L وبالتالي هيك
+
+340
+00:38:09,390 --> 00:38:16,950
+بنكون أثبتنا إذا العبارة 2 holds وهيك بنكون أثبتنا
+
+341
+00:38:16,950 --> 00:38:23,230
+أن العبارة statement 1 implies statement 2 Okay
+
+342
+00:38:23,230 --> 00:38:30,010
+تمام إذا نحن ممكن نبرهن ال sequential criterion لل
+
+343
+00:38:30,010 --> 00:38:35,730
+infinite limit و لل one sided limit و لكل أنواع ال
+
+344
+00:38:35,730 --> 00:38:47,310
+limit و هاي أثبتنا جزء برهان الجزء الثاني مماثل ال
+
+345
+00:38:47,310 --> 00:38:58,010
+proof of 2 implies 1 is similar to
+
+346
+00:38:58,010 --> 00:39:03,410
+original
+
+347
+00:39:03,410 --> 00:39:08,690
+proof or proof of
+
+348
+00:39:08,690 --> 00:39:14,810
+original original
+
+349
+00:39:14,810 --> 00:39:21,470
+sequential criterion original sequential criterion
+
+350
+00:39:21,470 --> 00:39:26,530
+مع عمل التعديلات اللازمة فأنا بقول لكم أنكم ترجعوا ل
+
+351
+00:39:26,530 --> 00:39:30,910
+sequential criterion الأساسية تقرأوا البرهان تبعها
+
+352
+00:39:30,910 --> 00:39:36,050
+كيف أنا برهان اتنين ده أو احدو تعملوا التعديلات ..
+
+353
+00:39:36,050 --> 00:39:41,070
+إزاي نبرهن واحد بدل اتنين .. okay تمام .. إذا أن
+
+354
+00:39:41,070 --> 00:39:44,910
+هذه تعتبر sequential criterion لل limits at
+
+355
+00:39:44,910 --> 00:39:50,710
+infinity بالمثل ممكن أن احنا نحصل على sequential
+
+356
+00:39:50,710 --> 00:39:57,810
+criterion لل limits at negative infinity يعني ال
+
+357
+00:39:57,810 --> 00:40:04,930
+.. يعني هذه ممكن تبدلها ب negative infinity وهذه
+
+358
+00:40:04,930 --> 00:40:10,570
+ممكن تبدلها ب negative infinity وهذه ممكن تبدلها ب
+
+359
+00:40:10,570 --> 00:40:15,670
+سالب infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها ب negative
+
+360
+00:40:15,670 --> 00:40:19,790
+infinity وهذه
+
+361
+00:40:19,790 --> 00:40:23,550
+ممكن تبدلها بسالب
+
+362
+00:40:23,550 --> 00:40:24,030
+infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى
+
+363
+00:40:24,030 --> 00:40:24,130
+a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى a وهذه ممكن
+
+364
+00:40:24,130 --> 00:40:24,750
+تبدلها بسالب infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها بسالب
+
+365
+00:40:24,750 --> 00:40:24,830
+infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى
+
+366
+00:40:24,830 --> 00:40:25,250
+تبدلها بسالب infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها بسالب
+
+367
+00:40:25,250 --> 00:40:26,690
+infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى
+
+368
+00:40:26,690 --> 00:40:27,830
+a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى a وهذه ممكن
+
+369
+00:40:27,830 --> 00:40:38,590
+تبدلها بسالب… البرنامج طبعا مشابه للنظرية السابقة ناخد
+
+370
+00:40:38,590 --> 00:40:44,150
+أمثلة طبعا
+
+371
+00:40:44,150 --> 00:40:52,230
+في نظريات كتيرة صحيحة لنوع هذا من ال limits فلو
+
+372
+00:40:52,230 --> 00:40:58,940
+احتجنا زي ال squeeze theorem زي ال comparison test
+
+373
+00:40:58,940 --> 00:41:04,240
+أو الآخر فمثلا
+
+374
+00:41:04,240 --> 00:41:23,600
+ناخد بعض الأمثلة مثلا
+
+375
+00:41:23,600 --> 00:41:25,080
+ناخد examples
+
+376
+00:41:41,280 --> 00:41:50,920
+F of X يساوي واحد على X و X لا يساوي صفر Show
+
+377
+00:41:50,920 --> 00:41:54,720
+that limit
+
+378
+00:41:54,720 --> 00:42:03,660
+F of X as X tends to infinity يساوي صفر و كذلك
+
+379
+00:42:03,660 --> 00:42:11,410
+limit F of x as x tends to negative infinity بساوي
+
+380
+00:42:11,410 --> 00:42:16,950
+صفر المظبوط
+
+381
+00:42:16,950 --> 00:42:24,370
+ال function واحد على x ثانية فلما
+
+382
+00:42:24,370 --> 00:42:29,070
+x تقول infinity واحد على x بتقول صفر لما x
+
+383
+00:42:29,070 --> 00:42:32,690
+تقولها سالب infinity برضه ال function واحد على x
+
+384
+00:42:32,690 --> 00:42:39,550
+بتقول صفر فلو بدي اثبات الجزء الأول فممكن استخدم
+
+385
+00:42:39,550 --> 00:42:45,590
+التعريف أو استخدم ال sequential criterion فمثلا
+
+386
+00:42:45,590 --> 00:42:56,850
+to use a definition لو بدي استخدم التعريف مثلا
+
+387
+00:42:58,750 --> 00:43:02,270
+limit f of x من x سواء و لا انا كنت بتساوي صفر
+
+388
+00:43:02,270 --> 00:43:10,950
+فبابدأ حسب التعريف بابدأ بإبسلون أكبر من الصفر ل
+
+389
+00:43:10,950 --> 00:43:18,510
+إبسلون أكبر من الصفر بكلمة وبعدين بدأ أثبت أنه في
+
+390
+00:43:18,510 --> 00:43:26,420
+K يعتمد على إبسلون ف choose K بطريقة الكلى انه واحد
+
+391
+00:43:26,420 --> 00:43:30,840
+على ابسلان فهذا تطلع عدد موجب ويعتمد على ابسلان
+
+392
+00:43:30,840 --> 00:43:36,780
+و ال L طبعا هنا في السؤال هذا هي الصفر يعني هنا ال
+
+393
+00:43:36,780 --> 00:43:40,680
+domain تبعت لكل العداد الحقيقية مع ده الصفر فممكن
+
+394
+00:43:40,680 --> 00:43:46,440
+اخد الصفر الفقرة هذه contained in ال domain تبع
+
+395
+00:43:46,440 --> 00:43:51,100
+الـ a اللي هو كل العداد الحقيقية من عدد الصفر هنا
+
+396
+00:43:51,100 --> 00:43:52,620
+لأي X أكبر من K أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+397
+00:43:52,620 --> 00:43:53,060
+أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+398
+00:43:53,060 --> 00:43:53,980
+أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+399
+00:43:53,980 --> 00:43:57,560
+أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+400
+00:43:57,560 --> 00:44:03,280
+أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+401
+00:44:03,280 --> 00:44:06,340
+أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+402
+00:44:06,340 --> 00:44:08,320
+أكبر من أكبر من أكبر
+
+403
+00:44:09,640 --> 00:44:19,540
+أن واحد على X أصغر من واحد على K و هذا بدوره
+
+404
+00:44:19,540 --> 00:44:25,560
+بقدر أن absolute of f of x minus الصفر الـ L هنا
+
+405
+00:44:25,560 --> 00:44:31,480
+هو الصفر فهذا بيطلع بساوي absolute واحد على X
+
+406
+00:44:31,480 --> 00:44:34,420
+فهذا عبارة عن واحد على X
+
+407
+00:44:45,380 --> 00:44:48,660
+و هذا أقل من واحد على K و واحد على K أقل من
+
+408
+00:44:48,660 --> 00:44:54,400
+إبسلو و هذا أصغر طبعا من واحد على K طبعا عندي ال
+
+409
+00:44:54,400 --> 00:44:59,520
+X هنا أكبر من K لحظة X أكبر من K و ال K موجة بقى
+
+410
+00:45:03,660 --> 00:45:08,560
+القيمة المطلقة لـ 1 على X هي 1 على X اطرح صفر
+
+411
+00:45:08,560 --> 00:45:14,760
+ما بتعملش حاجة هذا أصغر من 1 على K ومن هنا 1 على K
+
+412
+00:45:14,760 --> 00:45:15,580
+بساوي L
+
+413
+00:45:18,310 --> 00:45:22,630
+إذن هاني أثبتت لي أي epsilon أكبر من صفر يوجد K
+
+414
+00:45:22,630 --> 00:45:27,590
+عدد حقيقي يعتمد على epsilon بحيث لكل x أكبر من K
+
+415
+00:45:27,590 --> 00:45:33,190
+يطلع absolute f of x minus L أصغر من epsilon okay
+
+416
+00:45:33,190 --> 00:45:39,430
+إذن هذا معناه أن ال limit حسب التعريف limit واحد
+
+417
+00:45:39,430 --> 00:45:46,030
+على x لما x تقول إلى infinity بساوي صفر
+
+418
+00:45:49,020 --> 00:45:53,960
+بالمثل ممكن نثبت الجزء الثاني نفس البرهان مع
+
+419
+00:45:53,960 --> 00:46:02,520
+التعديل في تعريف limit at سالب infinity ممكن
+
+420
+00:46:02,520 --> 00:46:10,180
+برضه نستخدم sequential criterion لو بدأت 
+
+421
+00:46:10,180 --> 00:46:15,900
+استخدم sequential criterion لإثبات
+
+422
+00:46:15,900 --> 00:46:26,470
+limit بأخذ بقول إن هنا let xn be a sequence contained
+
+423
+00:46:26,470 --> 00:46:35,250
+in 0 و infinity بحيث إن limit xn تساوي infinity
+
+424
+00:46:35,250 --> 00:46:39,570
+إذا 
+
+425
+00:46:39,570 --> 00:46:48,340
+limit f of xn has n times infinity طبعا هذا بيقود
+
+426
+00:46:48,340 --> 00:46:51,500
+هذا
+
+427
+00:46:51,500 --> 00:46:58,320
+بيقود إن limit واحد على xn  بساوي صفر exercise
+
+428
+00:46:58,320 --> 00:47:02,480
+أخذناها أخذنا إن limit sequence xn بساوي infinity
+
+429
+00:47:02,480 --> 00:47:06,990
+if and only if limit مقلوب السيكوانس بساوي صفر الآن
+
+430
+00:47:06,990 --> 00:47:13,670
+limit f of xn بساوي limit واحد على xn as n tends
+
+431
+00:47:13,670 --> 00:47:21,150
+to infinity وهذا بيساوي 6 لأي
+
+432
+00:47:21,150 --> 00:47:26,510
+sequence نهايتها infinity نهاية صورتها بيساوي
+
+433
+00:47:26,510 --> 00:47:27,330
+العدد L
+
+434
+00:47:35,720 --> 00:47:42,000
+بنطلع ال limit ل ال function f of x as x tends to 
+
+435
+00:47:42,000 --> 00:47:47,200
+infinity بساوية 0 إذا هذا برهان ثاني using
+
+436
+00:47:47,200 --> 00:47:55,620
+sequential criterion okay واضح مفهوم مثال
+
+437
+00:47:55,620 --> 00:47:56,160
+ثاني
+
+438
+00:48:05,300 --> 00:48:10,520
+بناخد g of x بساوي
+
+439
+00:48:10,520 --> 00:48:15,820
+واحد على x تربيع g of x لا يساوي صغير فبدنا نثبت أن
+
+440
+00:48:15,820 --> 00:48:21,660
+ال limit ل g of x لما x تقول ل infinity ولما x
+
+441
+00:48:21,660 --> 00:48:27,280
+تقول ل سالب infinity بساوي صغير برضه ممكن نستخدم
+
+442
+00:48:27,280 --> 00:48:32,440
+sequential criterion لثبات الجزء الأول أو الثاني
+
+443
+00:48:37,280 --> 00:48:42,020
+هذا كان limit xn بالساوية infinity فlimit 1 على xn
+
+444
+00:48:42,020 --> 00:48:46,300
+بالساوية infinity بساوي صفر وبالتالي limit 1 على
+
+445
+00:48:46,300 --> 00:48:57,500
+xn تربيع يعني هذا بيقود وهذا
+
+446
+00:48:57,500 --> 00:49:05,370
+بيقود إن limit 1 على xn تربيع لما n تنتقل ل infinity
+
+447
+00:49:05,370 --> 00:49:16,510
+بساوي limit 1 على xn ضرب limit 1 على xn وهذا بساوي 
+
+448
+00:49:16,510 --> 00:49:27,310
+0 ضرب 0 بساوي 0 و limit g ل xn as n tends to
+
+449
+00:49:27,310 --> 00:49:33,810
+infinity بساوي limit 1 على x n تربيع يعني بالساعة
+
+450
+00:49:33,810 --> 00:49:40,990
+صفر صح إذا by sequential criterion
+
+451
+00:49:40,990 --> 00:49:44,030
+أثبتت
+
+452
+00:49:44,030 --> 00:49:49,130
+إن لأي sequence x حدودها موجبة أو نه��يتها
+
+453
+00:49:49,130 --> 00:49:57,970
+infinity ف limit صورتها بالساعة صفر هذا معناه أن
+
+454
+00:49:57,970 --> 00:50:06,540
+ال limitلـ function g of x لما x تقول infinity
+
+455
+00:50:06,540 --> 00:50:10,980
+بساوي صفر هنا نريد أن نكون أخرجنا الجزء الأول
+
+456
+00:50:10,980 --> 00:50:14,800
+باستخدام sequential criterion بالمثل وكنا نستخدم 
+
+457
+00:50:14,800 --> 00:50:18,280
+sequential criterion اللي أتبعت الجزء التالي بس
+
+458
+00:50:18,280 --> 00:50:25,580
+هنا هناخد x الموجودة في الفترة هذه وهكذا ونفس
+
+459
+00:50:25,580 --> 00:50:29,860
+النظرية اللي أخذناها في القصة السابقة بالكون صحيحة
+
+460
+00:50:29,860 --> 00:50:33,760
+هذا بقى يقود المقلوب ال sequence إذا كانت limit ال
+
+461
+00:50:33,760 --> 00:50:37,320
+sequence infinity فlimit المقلوب صفر وبالتالي
+
+462
+00:50:37,320 --> 00:50:43,420
+limit المقلوب المربع بساوي صفر ممكن كمان نستخدم
+
+463
+00:50:43,420 --> 00:50:48,440
+squeeze theorem ممكن نستخدم squeeze theorem فمثلا
+
+464
+00:50:48,440 --> 00:50:56,100
+لو بدنا نبرهن كمان واحد بطريقة ثانية فممكن إن احنا
+
+465
+00:50:56,100 --> 00:51:05,360
+note that for x أكبر من 1 لما أخدت x أكبر من
+
+466
+00:51:05,360 --> 00:51:11,700
+1 بطلع عندي دائما x تربيع أكبر من أو يساوي x
+
+467
+00:51:13,190 --> 00:51:18,610
+وبالتالي هذا بيقود إن 1 على x تربيع أكبر من 
+
+468
+00:51:18,610 --> 00:51:23,930
+أو يساوي 1 على x وطبعا أكبر من الصفر لكل x
+
+469
+00:51:23,930 --> 00:51:29,310
+أكبر من 1 طب احنا لسه مثلنا في الجدول شوية إن limit
+
+470
+00:51:29,310 --> 00:51:33,810
+ال function 1 على x لما x تقول إلى infinity
+
+471
+00:51:33,810 --> 00:51:40,930
+بساوي صفر صح؟ لسه 130 في المثال الأول هذا المثال
+
+472
+00:51:40,930 --> 00:51:44,630
+الثاني في المثال السابق قصدنا إن limit ال function
+
+473
+00:51:44,630 --> 00:51:48,790
+1 على x لما x تقول infinity تساوي صفر وlimit
+
+474
+00:51:48,790 --> 00:51:54,090
+الدالة ثابت صفر لما x تقول infinity تبقى صفر إذا 
+
+475
+00:51:54,090 --> 00:52:03,790
+by squeeze theorem by
+
+476
+00:52:03,790 --> 00:52:09,590
+squeeze theorem for limits at infinity Limited دالة
+
+477
+00:52:09,590 --> 00:52:19,130
+المحصورة اللي هي 1 على x تربيع as X tends to
+
+478
+00:52:19,130 --> 00:52:24,310
+infinity بساوي صفر
+
+479
+00:52:24,310 --> 00:52:32,490
+okay واضح وبالمثل ممكن نعطي براهين زي هذا أو زي
+
+480
+00:52:32,490 --> 00:52:36,290
+هذا إما باستخدام squeeze theorem أو sequential
+
+481
+00:52:36,290 --> 00:52:43,790
+criterion أو حتى definition okay واضح في أي سؤال
+
+482
+00:52:43,790 --> 00:52:49,050
+في أي استفسار okay هنوقف إذن هنا والمرة الجاية في
+
+483
+00:52:49,050 --> 00:52:53,190
+بعض أنواع ال infinite limits هنتكلم عنهم يعني
+
+484
+00:52:53,190 --> 00:52:59,640
+باختصار وبعدين نحاول نجمّل section أربعة تلاتة 
+
+485
+00:52:59,640 --> 00:53:04,100
+وبالتالي ننهي ال chapter اللي هو chapter أربعة و
+
+486
+00:53:04,100 --> 00:53:08,620
+بعدين نبدأ في chapter خمسة اللي هو آخر chapter في
+
+487
+00:53:08,620 --> 00:53:15,240
+المقرر وهو أهم chapter طبعا في حد عنده أي سؤال أو
+
+488
+00:53:15,240 --> 00:53:19,640
+استفسار؟ شكرا لاصغائكم ونشوف إن شاء الله المرة
+
+489
+00:53:19,640 --> 00:53:20,040
+القادمة

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/aBB9DzMBL4Y_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1956 @@
+1
+00:00:21,750 --> 00:00:27,870
+بسم الله الرحمن الرحيم في محاضرة اليوم هنكمل ما
+
+2
+00:00:27,870 --> 00:00:32,170
+بدأنا حاول
+
+3
+00:00:32,170 --> 00:00:37,890
+موضوع ال infinite limits المرة تاعة عرفنا ما معناه
+
+4
+00:00:37,890 --> 00:00:42,370
+ان ال limit ل function and cluster point بالساوية
+
+5
+00:00:42,370 --> 00:00:49,050
+plus او minus infinity وشوفنا نظرية اخر نظرية
+
+6
+00:00:49,050 --> 00:00:54,800
+برهنهاخاصة بهذا النوع من ال limits كانت النظرية
+
+7
+00:00:54,800 --> 00:01:05,340
+التالية خلينا نكتبها let
+
+8
+00:01:05,340 --> 00:01:14,420
+f و g be functions from a to r و c ال cluster
+
+9
+00:01:14,420 --> 00:01:18,320
+point
+
+10
+00:01:20,530 --> 00:01:28,690
+of the set A such that f
+
+11
+00:01:28,690 --> 00:01:34,590
+of x less than or equal g of x for every x تمتمي
+
+12
+00:01:34,590 --> 00:01:42,630
+إلى a different from c فشوفنا أنه لو كان ال limit
+
+13
+00:01:42,630 --> 00:01:45,950
+فf
+
+14
+00:01:45,950 --> 00:01:48,190
+of x as x tends
+
+15
+00:02:05,090 --> 00:02:07,390
+وكذلك لو كانت ال limit
+
+16
+00:02:10,530 --> 00:02:17,930
+لـ u of x as x tends to c بساوي negative infinity
+
+17
+00:02:17,930 --> 00:02:26,810
+فهذا بتضمن ان limit ل f of x as x tends to c بساوي
+
+18
+00:02:26,810 --> 00:02:35,730
+negative infinity طيب
+
+19
+00:02:35,730 --> 00:02:36,350
+ال ..
+
+20
+00:02:41,050 --> 00:02:47,350
+اليوم هنعرف ما معناه ان ال limit and c من اليمين
+
+21
+00:02:47,350 --> 00:02:52,030
+بالساوي infinity او ال limit and c من اليسار
+
+22
+00:02:52,030 --> 00:02:55,990
+بالساوي infinity و كذلك نفس الشيء ال one sided
+
+23
+00:02:55,990 --> 00:03:02,030
+limit and c ما معناه أنها ساوي سالب infinity لأن
+
+24
+00:03:02,030 --> 00:03:07,010
+هذه كانت two sided limit المرة الأخيرة اتعرفناما
+
+25
+00:03:07,010 --> 00:03:10,410
+معناه ان ال two sided limit تكون infinite او ساوي
+
+26
+00:03:10,410 --> 00:03:14,430
+infinity او plus او minus infinity اليوم ما معناه
+
+27
+00:03:14,430 --> 00:03:18,370
+ان ال one sided limit تكون infinity او negative
+
+28
+00:03:18,370 --> 00:03:23,970
+infinity فناخد التعريف مشابه
+
+29
+00:03:23,970 --> 00:03:29,050
+للتعريف التعريف ال one sided limit تكون بتساوي
+
+30
+00:03:29,050 --> 00:03:33,590
+real number ف
+
+31
+00:03:33,590 --> 00:03:44,120
+letfd function from a to r و
+
+32
+00:03:44,120 --> 00:03:49,240
+c cluster point
+
+33
+00:03:49,240 --> 00:03:58,760
+of الست اللي هي a تقاطع الفترة المفتوحة من c لما
+
+34
+00:03:58,760 --> 00:03:59,640
+إلى نهاية
+
+35
+00:04:04,430 --> 00:04:10,290
+يقول إن الـ limit لـ
+
+36
+00:04:10,290 --> 00:04:15,530
+function f of x as x tends to c from the right
+
+37
+00:04:15,530 --> 00:04:23,110
+بالساوي infinity respectively
+
+38
+00:04:23,110 --> 00:04:30,370
+على التوالي بنقول إن ال limit ل f of x لما x تقول
+
+39
+00:04:30,370 --> 00:04:39,170
+إلى c من اليمينبتساوي negative infinity إذا
+
+40
+00:04:39,170 --> 00:04:44,790
+تحقق الشرط التالي لأي
+
+41
+00:04:44,790 --> 00:04:51,950
+Alpha for any Alpha
+
+42
+00:04:51,950 --> 00:04:57,450
+belonging to R نقدر
+
+43
+00:04:57,450 --> 00:05:07,810
+نلاقي Delta تعتمد على Alphaعلى دموجة بحيث انه لكل
+
+44
+00:05:07,810 --> 00:05:17,050
+x ينتمي إلى a و ال x على يمين ال c و المسافة بينها
+
+45
+00:05:17,050 --> 00:05:22,730
+و بين ال c أصغر من دلتا فلازم هذا يضمن انه f of x
+
+46
+00:05:22,730 --> 00:05:32,310
+أكبر من alpha او على التواري respectively ال f of
+
+47
+00:05:32,310 --> 00:05:37,330
+xهتكون في حالة ال limit بالساول سالب infinity
+
+48
+00:05:37,330 --> 00:05:42,550
+عايزينها تكون أصغر من ال alpha أصغر من ال given
+
+49
+00:05:42,550 --> 00:05:46,330
+alpha okay
+
+50
+00:05:46,330 --> 00:05:53,550
+إذا أنا هنا عندي limit ال function and c من اليمين
+
+51
+00:05:53,550 --> 00:05:57,570
+بالساول infinity معناته لأي real number alpha بقدر
+
+52
+00:05:57,570 --> 00:06:05,620
+أخلي f of xأكبر من Alpha لكل X على يمين الـC لأن X
+
+53
+00:06:05,620 --> 00:06:08,920
+تقوى للـC من اليمين فX على يمين الـC يعني X أكبر
+
+54
+00:06:08,920 --> 00:06:13,160
+من الـC يعني X ثالث C أكبر من الثالث والمسافة بين
+
+55
+00:06:13,160 --> 00:06:18,140
+الـC والـX أو الـX والـC أصغر من الـD فلكل الـX
+
+56
+00:06:18,140 --> 00:06:22,140
+الل�� زيها دي بدي أخلي F of X أكبر من Alpha عشان
+
+57
+00:06:22,140 --> 00:06:26,280
+أقدر أقول أن ال limit لF of X tends to infinity
+
+58
+00:06:28,130 --> 00:06:31,870
+بالمثل ما معنى انه limit f of x عن c من اليمين
+
+59
+00:06:31,870 --> 00:06:38,050
+بالساوى سالب infinity معناه بقدر اخلى لكل x زى ما
+
+60
+00:06:38,050 --> 00:06:44,350
+شوفنا او لأى عدد real number alpha يوجد delta بحيث
+
+61
+00:06:44,350 --> 00:06:48,670
+لكل x على يمين ال C والمسافة بينها و بين ال C أصغر
+
+62
+00:06:48,670 --> 00:06:52,310
+من ال delta لازم صورتها تكون أصغر من ال given
+
+63
+00:06:52,310 --> 00:07:00,470
+alpha okay تمامطيب خلّينا الان كتير من النظريات
+
+64
+00:07:00,470 --> 00:07:06,970
+اللي أخدناها for two sided limit زي هذه مثلا بتكون
+
+65
+00:07:06,970 --> 00:07:12,210
+صحيحة لل right limit و لل left limit طبعا ممكن
+
+66
+00:07:12,210 --> 00:07:18,570
+كمان نعرف بنفس الطريقة ال limit from the left او
+
+67
+00:07:18,570 --> 00:07:22,690
+ال left hand limit مايعني ان ال left hand limit
+
+68
+00:07:22,690 --> 00:07:24,410
+تساوي
+
+69
+00:07:25,850 --> 00:07:31,370
+Infinity او سالب Infinity اذا
+
+70
+00:07:31,370 --> 00:07:36,690
+لو انا بدى اعدل اعرف مامعنى ان ال limit ل F عن C
+
+71
+00:07:36,690 --> 00:07:40,750
+من اليسار بالساوية Infinity او مامعنى ان ال limit
+
+72
+00:07:40,750 --> 00:07:46,150
+ل F عن C من اليسار بالساوية سالب Infinity فباخد
+
+73
+00:07:46,150 --> 00:07:53,340
+let F be هكذاو C cluster point هتصير لإيه تقاطع
+
+74
+00:07:53,340 --> 00:08:00,220
+الفترة من سالب infinity إلى C فبنقول
+
+75
+00:08:00,220 --> 00:08:04,680
+إن ال limit لما X تقول إلى C من اليسار بالساوي
+
+76
+00:08:04,680 --> 00:08:10,260
+infinity أو ال limit لما X تقول إلى C من اليسار
+
+77
+00:08:10,260 --> 00:08:15,860
+بالساوي السالب infinity إذا كان لأي Alpha يوجد
+
+78
+00:08:15,860 --> 00:08:21,200
+Delta تعتمد على Alphaالان ال X هتكون على يسار ال C
+
+79
+00:08:21,200 --> 00:08:31,200
+وبالتالي هذا هنستبدله بC سالب X أكبر
+
+80
+00:08:31,200 --> 00:08:38,680
+من سفر أصغر من دلتر فلكل X زي هذه انا عايز ان تكون
+
+81
+00:08:38,680 --> 00:08:43,620
+F of X أكبر من Alpha او في الحالة هذه F of X أصغر
+
+82
+00:08:43,620 --> 00:08:49,710
+من Alpha هنا ذيك نكون عرفناالـ left limit عن c ما
+
+83
+00:08:49,710 --> 00:08:56,170
+معنى أنها ساوي plus أو minus infinity إذن قلنا إن
+
+84
+00:08:56,170 --> 00:09:00,310
+كل النظريات اللي برهنها for two sided limits هتكون
+
+85
+00:09:00,310 --> 00:09:08,730
+صحيحة لل left limit و لل right limit من ضمنهم
+
+86
+00:09:08,730 --> 00:09:14,010
+النظرية السابقة طيب
+
+87
+00:09:14,010 --> 00:09:15,130
+لو بدي أنا يعني
+
+88
+00:09:18,090 --> 00:09:24,870
+أخد أمثلة كيف نستخدم التعريف هذا فيه إثبات إن ال
+
+89
+00:09:24,870 --> 00:09:32,230
+limits تطلع plus أو minus infinity فناخد أول مثال
+
+90
+00:09:32,230 --> 00:09:40,250
+let f of x بسوي واحد
+
+91
+00:09:40,250 --> 00:09:45,170
+على x حيث x لا يساوي سبق و show
+
+92
+00:09:49,780 --> 00:09:58,060
+عايزين نفدت واحد ان ال limit لواحد على x او f of x
+
+93
+00:09:58,060 --> 00:10:05,820
+هنا لما x تقول الى ستر من اليمين بساوي ال infinity
+
+94
+00:10:05,820 --> 00:10:09,960
+و 2 limit
+
+95
+00:10:11,300 --> 00:10:19,200
+لف of X لما X تقول ال 0 من اليسار يساوي سالب
+
+96
+00:10:19,200 --> 00:10:23,880
+infinity okay فلو
+
+97
+00:10:23,880 --> 00:10:29,540
+بدنا نبرم الجزء الأول مثلا to show
+
+98
+00:10:32,410 --> 00:10:38,710
+المقاومة لـ f of x as x tends to 0 from the right
+
+99
+00:10:38,710 --> 00:10:45,670
+بساوي infinity فبدي ابدا بـ alpha تنتمي ل R فبقول
+
+100
+00:10:45,670 --> 00:10:57,490
+let alpha belonging to R be given و
+
+101
+00:10:57,490 --> 00:11:02,790
+بدي ارد عليها بDeltaبدي ارد على ال alpha دي ال
+
+102
+00:11:02,790 --> 00:11:08,630
+delta عدد موجب ويعتمد على ال alpha ف choose delta
+
+103
+00:11:08,630 --> 00:11:15,890
+بتساوي واحد على absolute alpha زاد واحد بالتأكيد
+
+104
+00:11:15,890 --> 00:11:21,910
+هذا عدد موجب لأن absolute ال alpha دي عدد حقيقي
+
+105
+00:11:21,910 --> 00:11:28,450
+القيمة المطلقة له عدد غير سالم ممكن يساوي سفر إذا
+
+106
+00:11:28,450 --> 00:11:32,980
+كانت alpha بالساوية سفرلكن زائد واحد بصير موجب
+
+107
+00:11:32,980 --> 00:11:37,720
+المقام موجب اذا انا بضيف واحد ليه عشان اضمن ان
+
+108
+00:11:37,720 --> 00:11:41,880
+المقام مايسويش سفر لان في احتمال ان ال alpha ساوي
+
+109
+00:11:41,880 --> 00:11:45,640
+سفر فبصير عندى مشكلة عشان اتخلص من المشكلة هذه
+
+110
+00:11:45,640 --> 00:11:51,140
+بجسم على absolute alpha زائد واحد الان هذا عدد
+
+111
+00:11:51,140 --> 00:11:57,010
+موجبو يعتمد على alpha هي ال delta هي مرتبطة معرفة
+
+112
+00:11:57,010 --> 00:12:02,350
+بدلالة alpha هي معناه أنها تعتمد على alpha إذا لأي
+
+113
+00:12:02,350 --> 00:12:09,410
+alpha ينتمي ل R خد ال delta اللي بتنظرها هي واحد
+
+114
+00:12:09,410 --> 00:12:13,740
+على absolute alpha الذات واحدةهذا اكيد عدد موجة
+
+115
+00:12:13,740 --> 00:12:20,440
+then من مراتبة الان ان كل x في المجال تبع الدالة
+
+116
+00:12:20,440 --> 00:12:24,380
+اللى هو كل العداد الحقيقية مع عدد صفر و ال x على
+
+117
+00:12:24,380 --> 00:12:30,420
+يمين ال c اللى هو الصفر و من هنا x ينتمي الى a
+
+118
+00:12:30,420 --> 00:12:35,560
+اللى هى R المجال تبع الدالة كل العداد الحقيقية مع
+
+119
+00:12:35,560 --> 00:12:42,940
+عدد صفرو X سالب سفر ال C هنا ال cluster point هي
+
+120
+00:12:42,940 --> 00:12:47,100
+السفر الآن ال X على يمين السفر يعني X minus سفر
+
+121
+00:12:47,100 --> 00:12:54,040
+أكبر من سفر فإذا كانت ال X هذه أصغر من Delta فهذا
+
+122
+00:12:54,040 --> 00:13:03,900
+هيعطيني أن ال 1 على Xأكبر من واحد على دلتا
+
+123
+00:13:03,900 --> 00:13:07,560
+وبالتالي
+
+124
+00:13:07,560 --> 00:13:14,720
+هذا بيقدي انه f of x اللي هي بالساوي واحد على اكس
+
+125
+00:13:14,720 --> 00:13:20,940
+أكبر من واحد على دلتا اللي هي بالساوي واحد مقلوب
+
+126
+00:13:20,940 --> 00:13:28,280
+الدلتا بيطلع absolute alpha زائد واحد وهذه أكبر من
+
+127
+00:13:28,280 --> 00:13:32,300
+absolute ال alphaabsolute alpha زاد واحد أكبر من
+
+128
+00:13:32,300 --> 00:13:36,880
+absolute alpha وabsolute alpha أكبر من أو يساوي
+
+129
+00:13:36,880 --> 00:13:41,920
+alpha أي عدد حقيقي القيمة المطلقة تبعته أكبر من أو
+
+130
+00:13:41,920 --> 00:13:48,220
+يساوي نفسه فالنهاية أثبتنا أن f of x أكبر من ال
+
+131
+00:13:48,220 --> 00:13:48,920
+given alpha
+
+132
+00:13:53,520 --> 00:13:58,440
+Okay تمام بما ان ال alpha دي كانت arbitrarily
+
+133
+00:13:58,440 --> 00:14:06,640
+since alpha belong to R was arbitrarily اذا هين
+
+134
+00:14:06,640 --> 00:14:12,180
+اثبتنا اذا معناه هذا الكلام هذا انه لكل alpha فيه
+
+135
+00:14:12,180 --> 00:14:17,280
+delta تعتمد عليها بتخلي f of x اكبر من alpha لكل x
+
+136
+00:14:17,280 --> 00:14:23,440
+قريبة من السفر within مسافة deltaإن هذا معناه حسب
+
+137
+00:14:23,440 --> 00:14:29,340
+التعريف إن ال limit ل f of x لما x تقول إلى سفر من
+
+138
+00:14:29,340 --> 00:14:36,780
+اليمين بساوي بورهانش
+
+139
+00:14:36,780 --> 00:14:38,320
+جزء التاني مشابه
+
+140
+00:14:47,840 --> 00:14:54,400
+is similar مشابه لل part للجزء الأول يعني فهسيبكم
+
+141
+00:14:54,400 --> 00:14:59,860
+انتوا تكتبوا برهان مشابه مع التعديلات اللازمة و
+
+142
+00:14:59,860 --> 00:15:05,660
+أيه طبعا التعريف تبع ال limit from the left موجود
+
+143
+00:15:05,660 --> 00:15:13,280
+okay تمام اللي هو بالأزرق تمام مثال
+
+144
+00:15:13,280 --> 00:15:33,190
+تاني ممكن برضهناخد مثال تاني
+
+145
+00:15:33,190 --> 00:15:41,050
+show limit for function e to one على x as x tends
+
+146
+00:15:41,050 --> 00:15:45,070
+to zero from the right بساوي infinity
+
+147
+00:15:55,920 --> 00:16:02,700
+أنا عندي ال function تبعتي f of x بيسمي E أس واحد
+
+148
+00:16:02,700 --> 00:16:07,840
+على X طبعا ال X هنا ال function مش معرفة عند السفر
+
+149
+00:16:07,840 --> 00:16:12,900
+المجال الدالي هذه كل الأعداد الحقيقية مع ده السفر
+
+150
+00:16:12,900 --> 00:16:20,860
+المثل هذا أخدناه المرة اللي فاتت we
+
+151
+00:16:20,860 --> 00:16:21,440
+have
+
+152
+00:16:25,650 --> 00:16:34,410
+from previous example من
+
+153
+00:16:34,410 --> 00:16:44,110
+المثال السابق فانا هادرس سابق انه واحد
+
+154
+00:16:44,110 --> 00:16:51,370
+على اكس اكبر من سفر اصغر من اكس واحد على اكس لكل
+
+155
+00:16:51,370 --> 00:17:00,340
+اكس اكبر من سفرلكل x على يمين السفر كان في ندي T
+
+156
+00:17:00,340 --> 00:17:09,980
+أزرق من E of T لكل T عدد مؤجد طيب
+
+157
+00:17:09,980 --> 00:17:18,000
+احنا لسه بتبتيل since ال
+
+158
+00:17:18,000 --> 00:17:24,340
+limit لواحد على x لما x تقول إلى السفر من اليمين
+
+159
+00:17:26,540 --> 00:17:31,760
+بساوي infinity فممكن
+
+160
+00:17:31,760 --> 00:17:37,160
+نطبخ ال comparison test هذا فهي عندي f of x أصغر
+
+161
+00:17:37,160 --> 00:17:45,800
+من g of x يعني خليني أسمي هذه g of x كمشي مع نظري
+
+162
+00:17:45,800 --> 00:17:52,020
+يعني وخلني f of x بساوي واحد على x فهي عندي f of x
+
+163
+00:17:52,020 --> 00:18:00,560
+أصغر من g of x لكل x في Rأو لكل X لا يساوي سفر لكل
+
+164
+00:18:00,560 --> 00:18:07,820
+X موجة بقى أو على يمين السفر لكل
+
+165
+00:18:07,820 --> 00:18:16,880
+X في R تقاطع سفر إلى ملا نهاية okay فإذا
+
+166
+00:18:16,880 --> 00:18:22,320
+قلنا النظرية هذه صحيحة لل right limit باستخدام
+
+167
+00:18:22,320 --> 00:18:33,480
+النظريةby above theorem by above theorem for right
+
+168
+00:18:33,480 --> 00:18:39,680
+limits للنهايات
+
+169
+00:18:39,680 --> 00:18:49,990
+من اليمين we have نحصل على انه ال limitلقيت واحد
+
+170
+00:18:49,990 --> 00:18:55,370
+على اكس لما اكس تقول إلى سفر من اليمين بساوي plus
+
+171
+00:18:55,370 --> 00:19:04,770
+infinity وهذا اللي بدناه هي مظبوط صح؟ تمام؟إذن
+
+172
+00:19:04,770 --> 00:19:08,850
+ممكن نطبق النظرية هذه لإثبات أن ال limit ل ال
+
+173
+00:19:08,850 --> 00:19:13,690
+function E to 1 ل X من X أو ل 0 من اليمين بساوي
+
+174
+00:19:13,690 --> 00:19:22,130
+infinity برضه ممكن نطبق التعريف يعني ممكن أعطي
+
+175
+00:19:22,130 --> 00:19:28,530
+برهان تاني و أقول بما أن هذه المتباينة صحيحة لكل X
+
+176
+00:19:28,530 --> 00:19:34,480
+موجبةو بما انه ال limit هذه لو احلى ال function
+
+177
+00:19:34,480 --> 00:19:38,080
+واحد على X عن سفر من اليانين بالساوي infinity
+
+178
+00:19:38,080 --> 00:19:41,560
+معناته انا بقدر اخلي واحد ال function واحد على X
+
+179
+00:19:41,560 --> 00:19:46,940
+هذه اكبر من Alpha لأي real number Alpha صح؟
+
+180
+00:19:48,400 --> 00:19:52,300
+وبالتالي بقدر اخل اي ت واحد على اكس اكبر من اي
+
+181
+00:19:52,300 --> 00:19:59,600
+real number Alpha لكل X طبعا على يمين السفر وعلى
+
+182
+00:19:59,600 --> 00:20:06,660
+مسافة اصغر من Delta نقدر نجيب طبعا Delta لكل Alpha
+
+183
+00:20:06,660 --> 00:20:13,800
+فممكن برضه استخدم التعريف لاثبات ان ال limit لإي ت
+
+184
+00:20:13,800 --> 00:20:16,800
+واحد على اكس على ما اكسه ولا سفر من اليمين بالساوي
+
+185
+00:20:16,800 --> 00:20:21,100
+infinityOkay تمام ان انا ممكن استخدم التعريف او
+
+186
+00:20:21,100 --> 00:20:27,860
+استخدم ال comparison test اللي فوق واضح في اي سؤال
+
+187
+00:20:27,860 --> 00:20:37,380
+طب
+
+188
+00:20:37,380 --> 00:20:45,280
+احنا يعني لاحظوا في ال chapter هذا اتعرضنا ل ال ..
+
+189
+00:20:47,310 --> 00:20:53,690
+لتعريف النهايات للدول and cluster point للمجال
+
+190
+00:20:53,690 --> 00:20:58,390
+تبعها او and cluster point لتقاطع مجالها مع فترة
+
+191
+00:20:58,390 --> 00:21:02,470
+مفتوحة زي هذه او فترة مفتوحة زي هذه في حالة ال
+
+192
+00:21:02,470 --> 00:21:06,870
+infinite limits وفي كل ال limits هذه دائما ال X
+
+193
+00:21:06,870 --> 00:21:12,290
+كانت تقول ل C لعدد ل cluster point سواء من اليمين
+
+194
+00:21:12,290 --> 00:21:15,910
+او من اليسار لكن احيانا
+
+195
+00:21:17,840 --> 00:21:29,720
+بتصادفنا نهايات احيانا
+
+196
+00:21:29,720 --> 00:21:37,020
+نتعرض لمواقف زي هذه انه كيف انا بدي .. يعني ممكن
+
+197
+00:21:37,020 --> 00:21:42,840
+يكون عندي limit ل a for x بدل ما x تقول ل cluster
+
+198
+00:21:42,840 --> 00:21:45,920
+point c x تقول ل infinity
+
+199
+00:21:49,360 --> 00:21:52,820
+ما معنى ان ال limit ل f of x لما x تقول ال
+
+200
+00:21:52,820 --> 00:22:00,720
+infinity بساوي عدد L او ما معنى ان ال limit ل ال
+
+201
+00:22:00,720 --> 00:22:05,080
+function f لما x تقول ال سالب infinity بساوي ايضا
+
+202
+00:22:05,080 --> 00:22:12,060
+عدد L هذا ما اتعرضنا اليه فبنلا تعريف نشوف كيف
+
+203
+00:22:12,060 --> 00:22:20,300
+التعريف تبع ال limits هذه بيكونمثلًا انا عندي ال
+
+204
+00:22:20,300 --> 00:22:28,380
+limit نرجع لل function واحد على X فانا
+
+205
+00:22:28,380 --> 00:22:33,980
+عندي ال limit يعني Y بساوي واحد على X فانا عندي ال
+
+206
+00:22:33,980 --> 00:22:40,980
+limit واحد على X لما X تقول infinity واضح انها
+
+207
+00:22:40,980 --> 00:22:47,330
+بساوي عدد L صفروبرضه كمان لو كانت x تقولنا سالب
+
+208
+00:22:47,330 --> 00:22:53,250
+infinity برضه ال limit بالساوية سفر، اذا كيف اثبت
+
+209
+00:22:53,250 --> 00:22:59,750
+او كيف اعرف ان ال limit عند ال infinity بالساوية
+
+210
+00:22:59,750 --> 00:23:04,150
+عدد او عند السالب infinity بالساوية عدد ما؟
+
+211
+00:23:04,790 --> 00:23:10,050
+التعريفات هذه ما مرت لسه علينا فنحتاج ان احنا نعرف
+
+212
+00:23:10,050 --> 00:23:18,950
+او ناخد هذه التعريفات اذا دلوقت نقصح التعريف هذا
+
+213
+00:23:18,950 --> 00:23:28,570
+ناخد
+
+214
+00:23:28,570 --> 00:23:29,070
+definition
+
+215
+00:23:48,740 --> 00:24:03,120
+فالتعريف let f be function from A to R and
+
+216
+00:24:03,120 --> 00:24:10,780
+الفترة من A إلى ماله نهاية تكون داخل المجموعة A
+
+217
+00:24:10,780 --> 00:24:13,640
+for some A ينتمي إلى R
+
+218
+00:24:20,670 --> 00:24:32,430
+فبنعرف و نقول ان ال ينتمي لار is
+
+219
+00:24:32,430 --> 00:24:36,710
+a limit of
+
+220
+00:24:36,710 --> 00:24:46,950
+ال function f as x tends to infinity and right و
+
+221
+00:24:46,950 --> 00:24:52,540
+بنكتب في الحالة هذه ان ال limitلـ f of x as x
+
+222
+00:24:52,540 --> 00:24:58,820
+tends to infinity بالساوية لعدد L إذا تحقق الشرط
+
+223
+00:24:58,820 --> 00:25:06,960
+التالي لكل إبسلون for any إبسلون أكبر من 0 نقدر
+
+224
+00:25:06,960 --> 00:25:14,660
+نلاقي capital K عدد حقيقي يعتمد على إبسلون وهذا
+
+225
+00:25:14,660 --> 00:25:23,260
+العدد أكبر من العدد A اللي هو عدد حقيقيمعين بحيث
+
+226
+00:25:23,260 --> 00:25:33,980
+أنه لكل لو كان ال X أكبر من ال K فهذا بتضمن أنه
+
+227
+00:25:33,980 --> 00:25:39,780
+absolute F of X minus L أصغر من ال given epsilon
+
+228
+00:25:39,780 --> 00:25:44,280
+تمام؟
+
+229
+00:25:44,280 --> 00:25:46,120
+بالمثل ممكن أعرف
+
+230
+00:25:52,400 --> 00:25:58,400
+العرف ما معناه ان ال limit لل function f لما x
+
+231
+00:25:58,400 --> 00:26:04,120
+تقول لسالب infinity بالساوي عدد L في الحالة هذه
+
+232
+00:26:04,120 --> 00:26:13,200
+باشترط ان المجموع المجال يحتوي على فترة زي هذه
+
+233
+00:26:13,200 --> 00:26:17,840
+بدأت
+
+234
+00:26:17,840 --> 00:26:19,300
+فترة هذه فترة زي هذه
+
+235
+00:26:22,770 --> 00:26:30,990
+هنا قلنا بدل infinity نبدلها بال-infinity وهنا بال
+
+236
+00:26:30,990 --> 00:26:37,030
+-infinity ونقول
+
+237
+00:26:37,030 --> 00:26:46,190
+إنه يوجد K المرة هذه بدل أكبر من A أصغر من A وهذه
+
+238
+00:26:46,190 --> 00:26:48,150
+تتغير لكل X
+
+239
+00:26:53,500 --> 00:26:59,960
+أصغر من K أصغر
+
+240
+00:26:59,960 --> 00:27:03,760
+من Y أصغر
+
+241
+00:27:03,760 --> 00:27:06,920
+من K أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر
+
+242
+00:27:06,920 --> 00:27:07,020
+من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر
+
+243
+00:27:07,020 --> 00:27:07,760
+من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر
+
+244
+00:27:07,760 --> 00:27:12,040
+من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أص
+
+245
+00:27:12,440 --> 00:27:18,680
+Okay طيب اذا انا لان في عندي تعريفات جديدة كمان
+
+246
+00:27:18,680 --> 00:27:25,880
+مرة كل نظريات اللي أثبتناها سابقا بس
+
+247
+00:27:25,880 --> 00:27:31,500
+بدل ما X أول ل C بيصير X أول ل infinity ال
+
+248
+00:27:31,500 --> 00:27:37,040
+sequence أول شيء إذا كانت ال limit هذه أو هذه
+
+249
+00:27:37,040 --> 00:27:42,630
+موجودة بسوء عدد Lفممكن اثباتي انها unique زيها زي
+
+250
+00:27:42,630 --> 00:27:49,210
+اي two sided limit او زيها زي اي limit اخرى كذلك
+
+251
+00:27:49,210 --> 00:27:53,370
+ممكن نثبت sequential criterion لل limits زي هدول
+
+252
+00:27:53,370 --> 00:27:59,230
+وممكن النظرية زي هذه تكون صحيحة لهذا النوع من ال
+
+253
+00:27:59,230 --> 00:28:06,130
+limits okay اذا معظم النظريات معظم النظريات اللي
+
+254
+00:28:06,130 --> 00:28:13,240
+اثبتناها تكون صحيحة لهذا النوع الجديد من الـ
+
+255
+00:28:13,240 --> 00:28:17,660
+infinite نسميها infinite limits at infinity هذه
+
+256
+00:28:17,660 --> 00:28:21,980
+limits at infinity أو سالم infinity هذه كانت
+
+257
+00:28:21,980 --> 00:28:27,520
+نسميها infinite limits فمثلا
+
+258
+00:28:27,520 --> 00:28:31,900
+على سبيل المثال وليس الحصر ممكن ان احنا نكتب
+
+259
+00:28:31,900 --> 00:28:35,060
+sequential criterion لهذا النوع من ال limits
+
+260
+00:28:42,580 --> 00:28:57,860
+هي sequential theorem sequential
+
+261
+00:28:57,860 --> 00:29:03,680
+.. sequential
+
+262
+00:29:03,680 --> 00:29:07,500
+criterion
+
+263
+00:29:07,500 --> 00:29:18,320
+.. sequential criterionfor limits for limits at
+
+264
+00:29:18,320 --> 00:29:23,580
+infinity the
+
+265
+00:29:23,580 --> 00:29:29,480
+following statements are equivalent are equivalent
+
+266
+00:29:29,480 --> 00:29:40,830
+واحد limitF of X as X tends to infinity بساوي عدد
+
+267
+00:29:40,830 --> 00:29:47,970
+M اتنين for every
+
+268
+00:29:47,970 --> 00:29:48,910
+sequence
+
+269
+00:29:51,330 --> 00:29:57,750
+x in contained in a تقابل فترة مفتوحة من a إلى م
+
+270
+00:29:57,750 --> 00:30:05,030
+للإلهية such that limit x in as n tends to
+
+271
+00:30:05,030 --> 00:30:14,410
+infinity بساوي ال infinity لازم
+
+272
+00:30:14,410 --> 00:30:19,300
+يطلع عندى limit ال imageبساوي العدد L لسيكوانس Xn
+
+273
+00:30:19,300 --> 00:30:25,380
+as N times Infinity بساوي العدد L لذا هذه
+
+274
+00:30:25,380 --> 00:30:34,580
+Sequential criterion for limits at infinity وممكن
+
+275
+00:30:34,580 --> 00:30:39,860
+نثبت النظرية هذه زي ما أثبتنا Sequential criterion
+
+276
+00:30:39,860 --> 00:30:46,300
+for finite two-sided limits أو for finite one
+
+277
+00:30:46,300 --> 00:30:51,520
+-sided limitsمثلًا لو أريد أن أثبت واحد implies
+
+278
+00:30:51,520 --> 00:30:55,660
+اتنين فبقول
+
+279
+00:30:55,660 --> 00:31:05,080
+assume أنه one holds هذا
+
+280
+00:31:05,080 --> 00:31:12,440
+معناه أن ال limit لf of x as x tends to infinity
+
+281
+00:31:12,440 --> 00:31:17,120
+بسوى عدد L طيب to prove
+
+282
+00:31:32,110 --> 00:31:38,430
+to prove two holes فابد
+
+283
+00:31:38,430 --> 00:31:46,430
+أثبت لأي sequence لأي sequence بالمواصفات هذه
+
+284
+00:31:46,430 --> 00:31:57,370
+limit صورتها بساوي L فببدأ بقول let let XM contain
+
+285
+00:31:57,370 --> 00:32:08,400
+بالـ A قاطعالفترة هذه بيجيبن
+
+286
+00:32:08,400 --> 00:32:11,560
+بحيث
+
+287
+00:32:11,560 --> 00:32:20,660
+ان ال limit لسيكوينس xn هذه بساوي
+
+288
+00:32:20,660 --> 00:32:24,660
+infinity و
+
+289
+00:32:24,660 --> 00:32:27,380
+بالثبات ان ال limit صورتها بساوي ال
+
+290
+00:32:30,930 --> 00:32:34,970
+عشان أثبت أنه two holds، بدي أثبت أنه الـ limit
+
+291
+00:32:34,970 --> 00:32:45,370
+لصورة الـ xn as n times infinity بساوي n لأن هذه
+
+292
+00:32:45,370 --> 00:32:48,930
+عبارة عن sequence، بدي أثبت limit sequence بالساوي
+
+293
+00:32:48,930 --> 00:32:54,030
+عدد، بستخدم تعريف Y capital N لل limit of a
+
+294
+00:32:54,030 --> 00:33:00,120
+sequence، صح؟إذا أنا بقول let epsilon أكبر من
+
+295
+00:33:00,120 --> 00:33:07,240
+السفر be given طيب،
+
+296
+00:33:07,240 --> 00:33:16,140
+أنا عندي فارض since ال limit ل F of X as X tends
+
+297
+00:33:16,140 --> 00:33:26,080
+to infinity بتساوي العدد Lإذا من تعريف ال limit of
+
+298
+00:33:26,080 --> 00:33:31,180
+infinity اللي زيها دي هي التعريف هي تحت تقول إنه
+
+299
+00:33:31,180 --> 00:33:41,300
+for any given epsilon يوجد عدد حقيقي K يعتمد على
+
+300
+00:33:41,300 --> 00:33:47,220
+epsilon وهذا أكبر من A بحيث
+
+301
+00:33:47,220 --> 00:33:57,390
+إنه لو كان Xأكبر من الـ K بيقدي أنه absolute f of
+
+302
+00:33:57,390 --> 00:34:03,750
+x minus ال L أصغر من إبسل أسمي ال implication هذه
+
+303
+00:34:03,750 --> 00:34:08,830
+star طيب
+
+304
+00:34:08,830 --> 00:34:13,750
+أنا برضه عندي أنا فارد أن ال sequence هذه ال given
+
+305
+00:34:13,750 --> 00:34:15,590
+sequence ال limit تبعتها
+
+306
+00:34:21,580 --> 00:34:26,380
+بساوي infinity ومن
+
+307
+00:34:26,380 --> 00:34:30,540
+تعريف ان تكون ال sequence limit تبعتها infinite
+
+308
+00:34:30,540 --> 00:34:37,180
+هذا معناه ان مقدر اخلى x in اكبر من اي عدد حقيقي
+
+309
+00:34:37,180 --> 00:34:41,440
+alpha فاخد alpha هنا بساوي k مش هذا عدد حقيقي
+
+310
+00:34:41,440 --> 00:34:48,520
+محترم فاخد هوبما عنده limit لسيكوينس Xn بالساوي
+
+311
+00:34:48,520 --> 00:34:56,920
+infinity then for any real number يوجد
+
+312
+00:34:56,920 --> 00:35:06,700
+capital N عدد طبيعي يعتمد على Kهذا أشمله عدد طبيعي
+
+313
+00:35:06,700 --> 00:35:14,800
+بحيث أنه لكل n أكبر من أو ساوي capital N هذا بتضمن
+
+314
+00:35:14,800 --> 00:35:22,980
+أن ال Xn أكبر من العدد K العدد الحقيقي K نسمي ال
+
+315
+00:35:22,980 --> 00:35:25,160
+implication هذه double star
+
+316
+00:35:39,650 --> 00:35:45,850
+تمام هيك إذا هذا ناخده من كوننا ان احنا فرضين ان
+
+317
+00:35:45,850 --> 00:35:49,350
+limit ال sequence xn بالساوية infinity ومن تعريف
+
+318
+00:35:49,350 --> 00:35:56,710
+ال infinite limit لل sequence الان الان في تحول في
+
+319
+00:35:56,710 --> 00:36:05,270
+البرهار now star and double star yield
+
+320
+00:36:09,010 --> 00:36:17,430
+بيعطوني التالي لو كانت n أكبر من أو ساوى capital N
+
+321
+00:36:17,430 --> 00:36:28,590
+فهذا بيؤدي إنه xn أكبر من k هذا موجود أخدناه من
+
+322
+00:36:28,590 --> 00:36:33,930
+double star لكل n أكبر من أو ساوى capital N بيطلع
+
+323
+00:36:33,930 --> 00:36:40,980
+xn أكبر من kطيب و من ال star و هذا بيقدي باستخدام
+
+324
+00:36:40,980 --> 00:36:47,640
+ال star ال star بيقوللي لكل x لو كانت ال x او ال
+
+325
+00:36:47,640 --> 00:36:56,860
+xn أكبر من capital K هذا بيقدي ان صورتها المسافة
+
+326
+00:36:56,860 --> 00:37:01,840
+بينها و بين ال L أصغر من إبسل صح؟
+
+327
+00:37:06,200 --> 00:37:10,360
+إذا نجي نلخص كمان مرة، إيه اللي عملناها؟ أنا إيش
+
+328
+00:37:10,360 --> 00:37:14,560
+بدأ في بتلقى limited sequence F of X N لما N تقول
+
+329
+00:37:14,560 --> 00:37:18,460
+الـinfinity بالساوي عدد L فهذه البديات بإبسلون
+
+330
+00:37:18,460 --> 00:37:22,940
+أكبر من السفر given أثبتت إن يوجد capital N عدد
+
+331
+00:37:22,940 --> 00:37:27,680
+طبيعي يعتمد على الـK والـK تعتمد على إبسلون، إذا
+
+332
+00:37:27,680 --> 00:37:33,810
+الـN هذه تعتمد على الـgiven إبسلونو هذه ال N لكل
+
+333
+00:37:33,810 --> 00:37:38,050
+small n أكبر من أو ساوي ال capital N هذه طلع عند
+
+334
+00:37:38,050 --> 00:37:41,350
+المسافة بين الحد النوني لل sequence و L أصغر من
+
+335
+00:37:41,350 --> 00:37:47,750
+Epsilon بما أن Epsilon was arbitrary since Epsilon
+
+336
+00:37:47,750 --> 00:37:54,250
+أكبر من السفر was arbitraryإذا by epsilon capital
+
+337
+00:37:54,250 --> 00:37:58,650
+N definition of limit of sequence بنكون هيك حسب
+
+338
+00:37:58,650 --> 00:38:04,570
+التعريف أثبتنا أنه limit لسيكوينس F of X N as N
+
+339
+00:38:04,570 --> 00:38:09,390
+tends to infinity بالساوي لعدد N وبالتالي هيك
+
+340
+00:38:09,390 --> 00:38:16,950
+بنكون أثبتنا إذا العبارة 2 holds وهيك بنكون أثبتنا
+
+341
+00:38:16,950 --> 00:38:23,230
+أن العبارة statement 1 implies statement 2Okay
+
+342
+00:38:23,230 --> 00:38:30,010
+تمام إذا نحن ممكن نبرهن ال sequential criterion لل
+
+343
+00:38:30,010 --> 00:38:35,730
+infinite limit و لل one sided limit و لكل أنواع ال
+
+344
+00:38:35,730 --> 00:38:47,310
+limit و هاي أثبتنا جزء برهان الجزء التاني مماثل ال
+
+345
+00:38:47,310 --> 00:38:58,010
+proof of 2 implies 1is similar to
+
+346
+00:38:58,010 --> 00:39:03,410
+original
+
+347
+00:39:03,410 --> 00:39:08,690
+proof or proof of
+
+348
+00:39:08,690 --> 00:39:14,810
+original original
+
+349
+00:39:14,810 --> 00:39:21,470
+sequential criterion original sequential criterion
+
+350
+00:39:21,470 --> 00:39:26,530
+مععمل التعديلات اللازمة فانا بقولكم انكم ترجعوا ل
+
+351
+00:39:26,530 --> 00:39:30,910
+sequential criterion الأساسية تقرأوا البرهان تبعها
+
+352
+00:39:30,910 --> 00:39:36,050
+كيف انا برهان اتنين ده او احدو تعملوا التعديلات ..
+
+353
+00:39:36,050 --> 00:39:41,070
+ازاي نبران واحد بدي لاتنين .. okay تمام .. اذا ان
+
+354
+00:39:41,070 --> 00:39:44,910
+هذه تعتبر sequential criterion لل limits at
+
+355
+00:39:44,910 --> 00:39:50,710
+infinity بالمثل ممكن ان احنا نحصل على sequential
+
+356
+00:39:50,710 --> 00:39:57,810
+criterion لل limits at negative infinity يعني ال
+
+357
+00:39:57,810 --> 00:40:04,930
+..يعني هذه ممكن تبدلها ب negative infinity وهذه
+
+358
+00:40:04,930 --> 00:40:10,570
+ممكن تبدلها ب negative infinity وهذه ممكن تبدلها ب
+
+359
+00:40:10,570 --> 00:40:15,670
+سالب infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها ب negative
+
+360
+00:40:15,670 --> 00:40:19,790
+infinity وهذه
+
+361
+00:40:19,790 --> 00:40:23,550
+ممكن تبدلها بسالب
+
+362
+00:40:23,550 --> 00:40:24,030
+infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى
+
+363
+00:40:24,030 --> 00:40:24,130
+a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى a وهذه ممكن
+
+364
+00:40:24,130 --> 00:40:24,750
+تبدلها بسالب infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها بسالب
+
+365
+00:40:24,750 --> 00:40:24,830
+infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى
+
+366
+00:40:24,830 --> 00:40:25,250
+تبدلها بسالب infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها بسالب
+
+367
+00:40:25,250 --> 00:40:26,690
+infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى
+
+368
+00:40:26,690 --> 00:40:27,830
+a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى a وهذه ممكن
+
+369
+00:40:27,830 --> 00:40:38,590
+تبدلها بسوالبرنامج طبعا مشابه للنظرية السابقة ناخد
+
+370
+00:40:38,590 --> 00:40:44,150
+أمثلة طبعا
+
+371
+00:40:44,150 --> 00:40:52,230
+في نظريات كتيرة صحيحة لنوع هذا من ال limits فلو
+
+372
+00:40:52,230 --> 00:40:58,940
+احتجنا زي ال squeeze theorem زي ال comparisontest
+
+373
+00:40:58,940 --> 00:41:04,240
+او الاخر فمثلا
+
+374
+00:41:04,240 --> 00:41:23,600
+ناخد بعض الأمثلة مثلا
+
+375
+00:41:23,600 --> 00:41:25,080
+ناخد examples
+
+376
+00:41:41,280 --> 00:41:50,920
+F of X يساوي واحد على X و X لا يساوي ساقر Show
+
+377
+00:41:50,920 --> 00:41:54,720
+that limit
+
+378
+00:41:54,720 --> 00:42:03,660
+F of X as X tends to infinity يساوي ساقر و كذلك
+
+379
+00:42:03,660 --> 00:42:11,410
+limitلف of x as x tends to negative infinity بساوة
+
+380
+00:42:11,410 --> 00:42:16,950
+ستة المظبوط
+
+381
+00:42:16,950 --> 00:42:24,370
+ال function واحد على x ثانية فلما
+
+382
+00:42:24,370 --> 00:42:29,070
+x تقول infinity واحد على x بتقولها ستة لما x
+
+383
+00:42:29,070 --> 00:42:32,690
+تقولها سالب infinity برضه ال function واحد على x
+
+384
+00:42:32,690 --> 00:42:39,550
+تقول إلى ستةفلو بدي اثبات الجزء الأول فممكن استخدم
+
+385
+00:42:39,550 --> 00:42:45,590
+التعريف او استخدم الـ sequential criterion فمثلا
+
+386
+00:42:45,590 --> 00:42:56,850
+to use a definition لو بدي استخدم التعريف مثلا
+
+387
+00:42:58,750 --> 00:43:02,270
+Limit f of x من x سواء و لا انا كنت بتساوي سفر
+
+388
+00:43:02,270 --> 00:43:10,950
+فبابدأ حسب التعريف بابدأ بإبسلون أكبر من السفر لت
+
+389
+00:43:10,950 --> 00:43:18,510
+إبسلون أكبر من السفر بكلمة و بعدين بدأ أثبت أنه في
+
+390
+00:43:18,510 --> 00:43:26,420
+ك يعتمد على إبسلون ف choose كارتة الكعلى انه واحد
+
+391
+00:43:26,420 --> 00:43:30,840
+على ابسلان فهذا تطلع عدد موجب ويعتمد على ابسلان
+
+392
+00:43:30,840 --> 00:43:36,780
+وال ا طبعا هنا في السؤال هذا هي السفر يعني هنا ال
+
+393
+00:43:36,780 --> 00:43:40,680
+domain تبعد لكل العداد الحقيقية مع ده السفرفممكن
+
+394
+00:43:40,680 --> 00:43:46,440
+اخد السفر الفقرة هذه contained in ال domain تبع
+
+395
+00:43:46,440 --> 00:43:51,100
+الـ a اللي هو كل العداد الحقيقية من عدد السفر هنا
+
+396
+00:43:51,100 --> 00:43:52,620
+لأي أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر
+
+397
+00:43:52,620 --> 00:43:53,060
+من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+398
+00:43:53,060 --> 00:43:53,980
+أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+399
+00:43:53,980 --> 00:43:57,560
+أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+400
+00:43:57,560 --> 00:44:03,280
+أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+401
+00:44:03,280 --> 00:44:06,340
+أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+402
+00:44:06,340 --> 00:44:08,320
+أكبر من أكبر من أكبر
+
+403
+00:44:09,640 --> 00:44:19,540
+إن واحد على اكس أصغر من واحد على كم و هذا بدوره
+
+404
+00:44:19,540 --> 00:44:25,560
+بقدر ان absolute of f of x minus الصفر ال ال هنا
+
+405
+00:44:25,560 --> 00:44:31,480
+هو الصفر فهذا بيطلع بساوي absolute واحد على اكس
+
+406
+00:44:31,480 --> 00:44:34,420
+فهذا عبارة عن واحد على اكس
+
+407
+00:44:45,380 --> 00:44:48,660
+و هذا أقل من واحد على كي و واحد على كي أقل من
+
+408
+00:44:48,660 --> 00:44:54,400
+إبسلو و هذا أصغر طبعا من واحد على كي طبعا عندي ال
+
+409
+00:44:54,400 --> 00:44:59,520
+X هنا أكبر من كي لحظة X أكبر من كي و ال K موجة بقى
+
+410
+00:45:03,660 --> 00:45:08,560
+القيمة المطلقة ل 1 على X هي 1 على X إطرح سفر
+
+411
+00:45:08,560 --> 00:45:14,760
+مابتعملش حاجة هذا أصغر من 1 على K ومن هنا 1 على K
+
+412
+00:45:14,760 --> 00:45:15,580
+بساوي Y
+
+413
+00:45:18,310 --> 00:45:22,630
+إذن هاني أثبتت لي أي epsilon أكبر من سفر يوجد k
+
+414
+00:45:22,630 --> 00:45:27,590
+عدد حقيقي يعتمد على epsilon بحيث لكل x أكبر من k
+
+415
+00:45:27,590 --> 00:45:33,190
+طلع absolute f of x minus L أصغر من epsilon okay
+
+416
+00:45:33,190 --> 00:45:39,430
+إذن هذا معناه إن ال limit حسب التعريف limit واحد
+
+417
+00:45:39,430 --> 00:45:46,030
+على x لما x تقول إلى infinity بساوي سفر
+
+418
+00:45:49,020 --> 00:45:53,960
+بالمثل ممكن نثبت الجزء التاني نفس البرهان مع
+
+419
+00:45:53,960 --> 00:46:02,520
+التعديل في تعريف limit at سالب infinity ممكن
+
+420
+00:46:02,520 --> 00:46:10,180
+برضه نستخدم sequential criterion لو بدأت
+
+421
+00:46:10,180 --> 00:46:15,900
+استخدم sequential criterion لإثبات
+
+422
+00:46:15,900 --> 00:46:26,470
+limitبأخد بقول ان هنا let xn be sequence contained
+
+423
+00:46:26,470 --> 00:46:35,250
+in 0 و infinity بحيث انه limit xn تساوي infinity
+
+424
+00:46:35,250 --> 00:46:39,570
+اذا
+
+425
+00:46:39,570 --> 00:46:48,340
+limit f of xn has n times infinityطبعا هذا بيقدي
+
+426
+00:46:48,340 --> 00:46:51,500
+هذا
+
+427
+00:46:51,500 --> 00:46:58,320
+بيقدي انه limit واحد على xn بساوي سفر exercise
+
+428
+00:46:58,320 --> 00:47:02,480
+أخدناها أخدنا انه limit sequence xn بساوي infinity
+
+429
+00:47:02,480 --> 00:47:06,990
+if and only if limit مقلوب السيكوانس بساوي سفرالان
+
+430
+00:47:06,990 --> 00:47:13,670
+limit f of xn بساوي limit واحد على xn as n tends
+
+431
+00:47:13,670 --> 00:47:21,150
+to infinity وهذا بيساوي ستة لأي
+
+432
+00:47:21,150 --> 00:47:26,510
+sequence نهايتها infinity نهاية سورتها بيساوي
+
+433
+00:47:26,510 --> 00:47:27,330
+العدد L
+
+434
+00:47:35,720 --> 00:47:42,000
+بنطلع ال limit ل ال function f of x as x tends to
+
+435
+00:47:42,000 --> 00:47:47,200
+infinity بساوية 0 إذا هذا برهان تاني using
+
+436
+00:47:47,200 --> 00:47:55,620
+sequential criterion okay واضح مفهوم مثال
+
+437
+00:47:55,620 --> 00:47:56,160
+تاني
+
+438
+00:48:05,300 --> 00:48:10,520
+بناخد g of x بساوي
+
+439
+00:48:10,520 --> 00:48:15,820
+واحد على extra g of x لا يساوي صغير فبدنا نثبت ان
+
+440
+00:48:15,820 --> 00:48:21,660
+ال limit ل g of x لما x تقول ل infinity و لما x
+
+441
+00:48:21,660 --> 00:48:27,280
+تقول ل سالب infinity بساوي صغير برضه ممكن نستخدم
+
+442
+00:48:27,280 --> 00:48:32,440
+sequential criterion لثبات الجزء الأول أو التاني
+
+443
+00:48:37,280 --> 00:48:42,020
+هذا كان limit xn بالساوية infinity فlimit 1 على xn
+
+444
+00:48:42,020 --> 00:48:46,300
+بالساوية infinity بساوية سفر وبالتالي limit 1 على
+
+445
+00:48:46,300 --> 00:48:57,500
+xn تربية يعني هذا بيقدر وهذا
+
+446
+00:48:57,500 --> 00:49:05,370
+بيقدر ان limit1 على xn ترجية لما انتقل ل infinity
+
+447
+00:49:05,370 --> 00:49:16,510
+بساوي limit 1 على xn ضرب limit 1 على xn وهذا بساوي
+
+448
+00:49:16,510 --> 00:49:27,310
+0 ضرب 0 بساوي 0 و limit g ل xn as n tends to
+
+449
+00:49:27,310 --> 00:49:33,810
+infinity بساوي limit1 على x in third يعني بالساعة
+
+450
+00:49:33,810 --> 00:49:40,990
+سفر صح إذا by sequential criterion
+
+451
+00:49:40,990 --> 00:49:44,030
+أثبتت
+
+452
+00:49:44,030 --> 00:49:49,130
+أنه لأي sequence x in حدودها موجب أو نهايتها
+
+453
+00:49:49,130 --> 00:49:57,970
+infinity ف limit صورتها بالساعة سفر هذا معناه أن
+
+454
+00:49:57,970 --> 00:50:06,540
+ال limitلـ function g of x لما x تقول انفينيتي
+
+455
+00:50:06,540 --> 00:50:10,980
+بساوي ستة هنا نريد أن نكون أخرجنا الجزء الأول
+
+456
+00:50:10,980 --> 00:50:14,800
+باستخدام sequential criterion بالمثل و كنا نستخدم
+
+457
+00:50:14,800 --> 00:50:18,280
+sequential criterion اللي اتبعت الجزء التالي بس
+
+458
+00:50:18,280 --> 00:50:25,580
+هنا هناخد x الموجودة في الفترة هذه و هكذاو نفس
+
+459
+00:50:25,580 --> 00:50:29,860
+النظرية اللى خدناها في القصة السابقة بالكون صحيحة
+
+460
+00:50:29,860 --> 00:50:33,760
+هذا بقى قدر المقلوب ال sequence إذا كانت limit ال
+
+461
+00:50:33,760 --> 00:50:37,320
+sequence infinity فlimit المقلوب سفر وبالتالي
+
+462
+00:50:37,320 --> 00:50:43,420
+limit المقلوب المربع بساوة سفر ممكن كمان نستخدم
+
+463
+00:50:43,420 --> 00:50:48,440
+squeeze theorem ممكن نستخدم squeeze theoremفمثلا
+
+464
+00:50:48,440 --> 00:50:56,100
+لو بدنا نبره كمان واحد بطريقة تانية فممكن ان احنا
+
+465
+00:50:56,100 --> 00:51:05,360
+note that for x أكبر من واحد لما خدت x أكبر من
+
+466
+00:51:05,360 --> 00:51:11,700
+واحد بطلع عندي دايما x تربيه أكبر من أو ساوي x
+
+467
+00:51:13,190 --> 00:51:18,610
+وبالتالي هذا بيقدي ان واحد على اكس تربيه اكبر من
+
+468
+00:51:18,610 --> 00:51:23,930
+او ساوي واحد على اكس وطبعا اكبر من السفر لكل اكس
+
+469
+00:51:23,930 --> 00:51:29,310
+اكبر من واحد طب احنا لسه مثل في الجد شوية ان limit
+
+470
+00:51:29,310 --> 00:51:33,810
+ال function واحد على اكس لما اكس تقول الى infinity
+
+471
+00:51:33,810 --> 00:51:40,930
+بساوي سفر صح؟لسه 130 في المثال الأول هذا المثال
+
+472
+00:51:40,930 --> 00:51:44,630
+الثاني في المثال السابق قصدنا ان limit ال function
+
+473
+00:51:44,630 --> 00:51:48,790
+واحد على x لما x تقول infinity تساوي سفر و limit
+
+474
+00:51:48,790 --> 00:51:54,090
+الدالة ثابت سفر لما x تقول infinity تبقى سفر اذا
+
+475
+00:51:54,090 --> 00:52:03,790
+by squeeze theorem by
+
+476
+00:52:03,790 --> 00:52:09,590
+squeeze theorem for limits at infinityLimited دالة
+
+477
+00:52:09,590 --> 00:52:19,130
+المحصورة اللي هي واحد على اكس تربيه as X tends to
+
+478
+00:52:19,130 --> 00:52:24,310
+infinity بساوي تمام
+
+479
+00:52:24,310 --> 00:52:32,490
+okay واضحو بالمثل ممكن نعطي براهين زي هذا او زي
+
+480
+00:52:32,490 --> 00:52:36,290
+هذا اما باستخدام squeeze theorem او sequential
+
+481
+00:52:36,290 --> 00:52:43,790
+criterion او حتى definition okay واضح في اي سؤال
+
+482
+00:52:43,790 --> 00:52:49,050
+في اي استفسار okay هنوقف اذا هنا و المرة الجاية في
+
+483
+00:52:49,050 --> 00:52:53,190
+بعض انواع ال infinite limits هنتكلم عنهم يعني
+
+484
+00:52:53,190 --> 00:52:59,640
+باختصارو بعدين نحاول نجمل section اربعة تلاتة
+
+485
+00:52:59,640 --> 00:53:04,100
+وبالتالي ننهي ال chapter اللي هو chapter اربعة و
+
+486
+00:53:04,100 --> 00:53:08,620
+بعدين نبدأ في chapter خمسة اللي هو اخر chapter في
+
+487
+00:53:08,620 --> 00:53:15,240
+المخرج هو اهم chapter طبعا في حد عنده اي سؤال او
+
+488
+00:53:15,240 --> 00:53:19,640
+استفسار؟ شكرا لاصغاكم و نشوف ان شاء الله المرة
+
+489
+00:53:19,640 --> 00:53:20,040
+القادمة
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/aBB9DzMBL4Y_raw.srt

@@ -0,0 +1,1976 @@
+1
+00:00:21,750 --> 00:00:27,870
+بسم الله الرحمن الرحيم في محاضرة اليوم هنكمل ما
+
+2
+00:00:27,870 --> 00:00:32,170
+بدأنا حاول
+
+3
+00:00:32,170 --> 00:00:37,890
+موضوع ال infinite limits المرة تاعة عرفنا ما معناه
+
+4
+00:00:37,890 --> 00:00:42,370
+ان ال limit ل function and cluster point بالساوية
+
+5
+00:00:42,370 --> 00:00:49,050
+plus او minus infinity وشوفنا نظرية اخر نظرية
+
+6
+00:00:49,050 --> 00:00:54,800
+برهنهاخاصة بهذا النوع من ال limits كانت النظرية
+
+7
+00:00:54,800 --> 00:01:05,340
+التالية خلينا نكتبها let
+
+8
+00:01:05,340 --> 00:01:14,420
+f و g be functions from a to r و c ال cluster
+
+9
+00:01:14,420 --> 00:01:18,320
+point
+
+10
+00:01:20,530 --> 00:01:28,690
+of the set A such that f
+
+11
+00:01:28,690 --> 00:01:34,590
+of x less than or equal g of x for every x تمتمي
+
+12
+00:01:34,590 --> 00:01:42,630
+إلى a different from c فشوفنا أنه لو كان ال limit
+
+13
+00:01:42,630 --> 00:01:45,950
+فf
+
+14
+00:01:45,950 --> 00:01:48,190
+of x as x tends
+
+15
+00:02:05,090 --> 00:02:07,390
+وكذلك لو كانت ال limit
+
+16
+00:02:10,530 --> 00:02:17,930
+لـ u of x as x tends to c بساوي negative infinity
+
+17
+00:02:17,930 --> 00:02:26,810
+فهذا بتضمن ان limit ل f of x as x tends to c بساوي
+
+18
+00:02:26,810 --> 00:02:35,730
+negative infinity طيب
+
+19
+00:02:35,730 --> 00:02:36,350
+ال ..
+
+20
+00:02:41,050 --> 00:02:47,350
+اليوم هنعرف ما معناه ان ال limit and c من اليمين
+
+21
+00:02:47,350 --> 00:02:52,030
+بالساوي infinity او ال limit and c من اليسار
+
+22
+00:02:52,030 --> 00:02:55,990
+بالساوي infinity و كذلك نفس الشيء ال one sided
+
+23
+00:02:55,990 --> 00:03:02,030
+limit and c ما معناه أنها ساوي سالب infinity لأن
+
+24
+00:03:02,030 --> 00:03:07,010
+هذه كانت two sided limit المرة الأخيرة اتعرفناما
+
+25
+00:03:07,010 --> 00:03:10,410
+معناه ان ال two sided limit تكون infinite او ساوي
+
+26
+00:03:10,410 --> 00:03:14,430
+infinity او plus او minus infinity اليوم ما معناه
+
+27
+00:03:14,430 --> 00:03:18,370
+ان ال one sided limit تكون infinity او negative
+
+28
+00:03:18,370 --> 00:03:23,970
+infinity فناخد التعريف مشابه
+
+29
+00:03:23,970 --> 00:03:29,050
+للتعريف التعريف ال one sided limit تكون بتساوي
+
+30
+00:03:29,050 --> 00:03:33,590
+real number ف
+
+31
+00:03:33,590 --> 00:03:44,120
+letfd function from a to r و
+
+32
+00:03:44,120 --> 00:03:49,240
+c cluster point
+
+33
+00:03:49,240 --> 00:03:58,760
+of الست اللي هي a تقاطع الفترة المفتوحة من c لما
+
+34
+00:03:58,760 --> 00:03:59,640
+إلى نهاية
+
+35
+00:04:04,430 --> 00:04:10,290
+يقول إن الـ limit لـ
+
+36
+00:04:10,290 --> 00:04:15,530
+function f of x as x tends to c from the right
+
+37
+00:04:15,530 --> 00:04:23,110
+بالساوي infinity respectively
+
+38
+00:04:23,110 --> 00:04:30,370
+على التوالي بنقول إن ال limit ل f of x لما x تقول
+
+39
+00:04:30,370 --> 00:04:39,170
+إلى c من اليمينبتساوي negative infinity إذا
+
+40
+00:04:39,170 --> 00:04:44,790
+تحقق الشرط التالي لأي
+
+41
+00:04:44,790 --> 00:04:51,950
+Alpha for any Alpha
+
+42
+00:04:51,950 --> 00:04:57,450
+belonging to R نقدر
+
+43
+00:04:57,450 --> 00:05:07,810
+نلاقي Delta تعتمد على Alphaعلى دموجة بحيث انه لكل
+
+44
+00:05:07,810 --> 00:05:17,050
+x ينتمي إلى a و ال x على يمين ال c و المسافة بينها
+
+45
+00:05:17,050 --> 00:05:22,730
+و بين ال c أصغر من دلتا فلازم هذا يضمن انه f of x
+
+46
+00:05:22,730 --> 00:05:32,310
+أكبر من alpha او على التواري respectively ال f of
+
+47
+00:05:32,310 --> 00:05:37,330
+xهتكون في حالة ال limit بالساول سالب infinity
+
+48
+00:05:37,330 --> 00:05:42,550
+عايزينها تكون أصغر من ال alpha أصغر من ال given
+
+49
+00:05:42,550 --> 00:05:46,330
+alpha okay
+
+50
+00:05:46,330 --> 00:05:53,550
+إذا أنا هنا عندي limit ال function and c من اليمين
+
+51
+00:05:53,550 --> 00:05:57,570
+بالساول infinity معناته لأي real number alpha بقدر
+
+52
+00:05:57,570 --> 00:06:05,620
+أخلي f of xأكبر من Alpha لكل X على يمين الـC لأن X
+
+53
+00:06:05,620 --> 00:06:08,920
+تقوى للـC من اليمين فX على يمين الـC يعني X أكبر
+
+54
+00:06:08,920 --> 00:06:13,160
+من الـC يعني X ثالث C أكبر من الثالث والمسافة بين
+
+55
+00:06:13,160 --> 00:06:18,140
+الـC والـX أو الـX والـC أصغر من الـD فلكل الـX
+
+56
+00:06:18,140 --> 00:06:22,140
+الل�� زيها دي بدي أخلي F of X أكبر من Alpha عشان
+
+57
+00:06:22,140 --> 00:06:26,280
+أقدر أقول أن ال limit لF of X tends to infinity
+
+58
+00:06:28,130 --> 00:06:31,870
+بالمثل ما معنى انه limit f of x عن c من اليمين
+
+59
+00:06:31,870 --> 00:06:38,050
+بالساوى سالب infinity معناه بقدر اخلى لكل x زى ما
+
+60
+00:06:38,050 --> 00:06:44,350
+شوفنا او لأى عدد real number alpha يوجد delta بحيث
+
+61
+00:06:44,350 --> 00:06:48,670
+لكل x على يمين ال C والمسافة بينها و بين ال C أصغر
+
+62
+00:06:48,670 --> 00:06:52,310
+من ال delta لازم صورتها تكون أصغر من ال given
+
+63
+00:06:52,310 --> 00:07:00,470
+alpha okay تمامطيب خلّينا الان كتير من النظريات
+
+64
+00:07:00,470 --> 00:07:06,970
+اللي أخدناها for two sided limit زي هذه مثلا بتكون
+
+65
+00:07:06,970 --> 00:07:12,210
+صحيحة لل right limit و لل left limit طبعا ممكن
+
+66
+00:07:12,210 --> 00:07:18,570
+كمان نعرف بنفس الطريقة ال limit from the left او
+
+67
+00:07:18,570 --> 00:07:22,690
+ال left hand limit مايعني ان ال left hand limit
+
+68
+00:07:22,690 --> 00:07:24,410
+تساوي
+
+69
+00:07:25,850 --> 00:07:31,370
+Infinity او سالب Infinity اذا
+
+70
+00:07:31,370 --> 00:07:36,690
+لو انا بدى اعدل اعرف مامعنى ان ال limit ل F عن C
+
+71
+00:07:36,690 --> 00:07:40,750
+من اليسار بالساوية Infinity او مامعنى ان ال limit
+
+72
+00:07:40,750 --> 00:07:46,150
+ل F عن C من اليسار بالساوية سالب Infinity فباخد
+
+73
+00:07:46,150 --> 00:07:53,340
+let F be هكذاو C cluster point هتصير لإيه تقاطع
+
+74
+00:07:53,340 --> 00:08:00,220
+الفترة من سالب infinity إلى C فبنقول
+
+75
+00:08:00,220 --> 00:08:04,680
+إن ال limit لما X تقول إلى C من اليسار بالساوي
+
+76
+00:08:04,680 --> 00:08:10,260
+infinity أو ال limit لما X تقول إلى C من اليسار
+
+77
+00:08:10,260 --> 00:08:15,860
+بالساوي السالب infinity إذا كان لأي Alpha يوجد
+
+78
+00:08:15,860 --> 00:08:21,200
+Delta تعتمد على Alphaالان ال X هتكون على يسار ال C
+
+79
+00:08:21,200 --> 00:08:31,200
+وبالتالي هذا هنستبدله بC سالب X أكبر
+
+80
+00:08:31,200 --> 00:08:38,680
+من سفر أصغر من دلتر فلكل X زي هذه انا عايز ان تكون
+
+81
+00:08:38,680 --> 00:08:43,620
+F of X أكبر من Alpha او في الحالة هذه F of X أصغر
+
+82
+00:08:43,620 --> 00:08:49,710
+من Alpha هنا ذيك نكون عرفناالـ left limit عن c ما
+
+83
+00:08:49,710 --> 00:08:56,170
+معنى أنها ساوي plus أو minus infinity إذن قلنا إن
+
+84
+00:08:56,170 --> 00:09:00,310
+كل النظريات اللي برهنها for two sided limits هتكون
+
+85
+00:09:00,310 --> 00:09:08,730
+صحيحة لل left limit و لل right limit من ضمنهم
+
+86
+00:09:08,730 --> 00:09:14,010
+النظرية السابقة طيب
+
+87
+00:09:14,010 --> 00:09:15,130
+لو بدي أنا يعني
+
+88
+00:09:18,090 --> 00:09:24,870
+أخد أمثلة كيف نستخدم التعريف هذا فيه إثبات إن ال
+
+89
+00:09:24,870 --> 00:09:32,230
+limits تطلع plus أو minus infinity فناخد أول مثال
+
+90
+00:09:32,230 --> 00:09:40,250
+let f of x بسوي واحد
+
+91
+00:09:40,250 --> 00:09:45,170
+على x حيث x لا يساوي سبق و show
+
+92
+00:09:49,780 --> 00:09:58,060
+عايزين نفدت واحد ان ال limit لواحد على x او f of x
+
+93
+00:09:58,060 --> 00:10:05,820
+هنا لما x تقول الى ستر من اليمين بساوي ال infinity
+
+94
+00:10:05,820 --> 00:10:09,960
+و 2 limit
+
+95
+00:10:11,300 --> 00:10:19,200
+لف of X لما X تقول ال 0 من اليسار يساوي سالب
+
+96
+00:10:19,200 --> 00:10:23,880
+infinity okay فلو
+
+97
+00:10:23,880 --> 00:10:29,540
+بدنا نبرم الجزء الأول مثلا to show
+
+98
+00:10:32,410 --> 00:10:38,710
+المقاومة لـ f of x as x tends to 0 from the right
+
+99
+00:10:38,710 --> 00:10:45,670
+بساوي infinity فبدي ابدا بـ alpha تنتمي ل R فبقول
+
+100
+00:10:45,670 --> 00:10:57,490
+let alpha belonging to R be given و
+
+101
+00:10:57,490 --> 00:11:02,790
+بدي ارد عليها بDeltaبدي ارد على ال alpha دي ال
+
+102
+00:11:02,790 --> 00:11:08,630
+delta عدد موجب ويعتمد على ال alpha ف choose delta
+
+103
+00:11:08,630 --> 00:11:15,890
+بتساوي واحد على absolute alpha زاد واحد بالتأكيد
+
+104
+00:11:15,890 --> 00:11:21,910
+هذا عدد موجب لأن absolute ال alpha دي عدد حقيقي
+
+105
+00:11:21,910 --> 00:11:28,450
+القيمة المطلقة له عدد غير سالم ممكن يساوي سفر إذا
+
+106
+00:11:28,450 --> 00:11:32,980
+كانت alpha بالساوية سفرلكن زائد واحد بصير موجب
+
+107
+00:11:32,980 --> 00:11:37,720
+المقام موجب اذا انا بضيف واحد ليه عشان اضمن ان
+
+108
+00:11:37,720 --> 00:11:41,880
+المقام مايسويش سفر لان في احتمال ان ال alpha ساوي
+
+109
+00:11:41,880 --> 00:11:45,640
+سفر فبصير عندى مشكلة عشان اتخلص من المشكلة هذه
+
+110
+00:11:45,640 --> 00:11:51,140
+بجسم على absolute alpha زائد واحد الان هذا عدد
+
+111
+00:11:51,140 --> 00:11:57,010
+موجبو يعتمد على alpha هي ال delta هي مرتبطة معرفة
+
+112
+00:11:57,010 --> 00:12:02,350
+بدلالة alpha هي معناه أنها تعتمد على alpha إذا لأي
+
+113
+00:12:02,350 --> 00:12:09,410
+alpha ينتمي ل R خد ال delta اللي بتنظرها هي واحد
+
+114
+00:12:09,410 --> 00:12:13,740
+على absolute alpha الذات واحدةهذا اكيد عدد موجة
+
+115
+00:12:13,740 --> 00:12:20,440
+then من مراتبة الان ان كل x في المجال تبع الدالة
+
+116
+00:12:20,440 --> 00:12:24,380
+اللى هو كل العداد الحقيقية مع عدد صفر و ال x على
+
+117
+00:12:24,380 --> 00:12:30,420
+يمين ال c اللى هو الصفر و من هنا x ينتمي الى a
+
+118
+00:12:30,420 --> 00:12:35,560
+اللى هى R المجال تبع الدالة كل العداد الحقيقية مع
+
+119
+00:12:35,560 --> 00:12:42,940
+عدد صفرو X سالب سفر ال C هنا ال cluster point هي
+
+120
+00:12:42,940 --> 00:12:47,100
+السفر الآن ال X على يمين السفر يعني X minus سفر
+
+121
+00:12:47,100 --> 00:12:54,040
+أكبر من سفر فإذا كانت ال X هذه أصغر من Delta فهذا
+
+122
+00:12:54,040 --> 00:13:03,900
+هيعطيني أن ال 1 على Xأكبر من واحد على دلتا
+
+123
+00:13:03,900 --> 00:13:07,560
+وبالتالي
+
+124
+00:13:07,560 --> 00:13:14,720
+هذا بيقدي انه f of x اللي هي بالساوي واحد على اكس
+
+125
+00:13:14,720 --> 00:13:20,940
+أكبر من واحد على دلتا اللي هي بالساوي واحد مقلوب
+
+126
+00:13:20,940 --> 00:13:28,280
+الدلتا بيطلع absolute alpha زائد واحد وهذه أكبر من
+
+127
+00:13:28,280 --> 00:13:32,300
+absolute ال alphaabsolute alpha زاد واحد أكبر من
+
+128
+00:13:32,300 --> 00:13:36,880
+absolute alpha وabsolute alpha أكبر من أو يساوي
+
+129
+00:13:36,880 --> 00:13:41,920
+alpha أي عدد حقيقي القيمة المطلقة تبعته أكبر من أو
+
+130
+00:13:41,920 --> 00:13:48,220
+يساوي نفسه فالنهاية أثبتنا أن f of x أكبر من ال
+
+131
+00:13:48,220 --> 00:13:48,920
+given alpha
+
+132
+00:13:53,520 --> 00:13:58,440
+Okay تمام بما ان ال alpha دي كانت arbitrarily
+
+133
+00:13:58,440 --> 00:14:06,640
+since alpha belong to R was arbitrarily اذا هين
+
+134
+00:14:06,640 --> 00:14:12,180
+اثبتنا اذا معناه هذا الكلام هذا انه لكل alpha فيه
+
+135
+00:14:12,180 --> 00:14:17,280
+delta تعتمد عليها بتخلي f of x اكبر من alpha لكل x
+
+136
+00:14:17,280 --> 00:14:23,440
+قريبة من السفر within مسافة deltaإن هذا معناه حسب
+
+137
+00:14:23,440 --> 00:14:29,340
+التعريف إن ال limit ل f of x لما x تقول إلى سفر من
+
+138
+00:14:29,340 --> 00:14:36,780
+اليمين بساوي بورهانش
+
+139
+00:14:36,780 --> 00:14:38,320
+جزء التاني مشابه
+
+140
+00:14:47,840 --> 00:14:54,400
+is similar مشابه لل part للجزء الأول يعني فهسيبكم
+
+141
+00:14:54,400 --> 00:14:59,860
+انتوا تكتبوا برهان مشابه مع التعديلات اللازمة و
+
+142
+00:14:59,860 --> 00:15:05,660
+أيه طبعا التعريف تبع ال limit from the left موجود
+
+143
+00:15:05,660 --> 00:15:13,280
+okay تمام اللي هو بالأزرق تمام مثال
+
+144
+00:15:13,280 --> 00:15:33,190
+تاني ممكن برضهناخد مثال تاني
+
+145
+00:15:33,190 --> 00:15:41,050
+show limit for function e to one على x as x tends
+
+146
+00:15:41,050 --> 00:15:45,070
+to zero from the right بساوي infinity
+
+147
+00:15:55,920 --> 00:16:02,700
+أنا عندي ال function تبعتي f of x بيسمي E أس واحد
+
+148
+00:16:02,700 --> 00:16:07,840
+على X طبعا ال X هنا ال function مش معرفة عند السفر
+
+149
+00:16:07,840 --> 00:16:12,900
+المجال الدالي هذه كل الأعداد الحقيقية مع ده السفر
+
+150
+00:16:12,900 --> 00:16:20,860
+المثل هذا أخدناه المرة اللي فاتت we
+
+151
+00:16:20,860 --> 00:16:21,440
+have
+
+152
+00:16:25,650 --> 00:16:34,410
+from previous example من
+
+153
+00:16:34,410 --> 00:16:44,110
+المثال السابق فانا هادرس سابق انه واحد
+
+154
+00:16:44,110 --> 00:16:51,370
+على اكس اكبر من سفر اصغر من اكس واحد على اكس لكل
+
+155
+00:16:51,370 --> 00:17:00,340
+اكس اكبر من سفرلكل x على يمين السفر كان في ندي T
+
+156
+00:17:00,340 --> 00:17:09,980
+أزرق من E of T لكل T عدد مؤجد طيب
+
+157
+00:17:09,980 --> 00:17:18,000
+احنا لسه بتبتيل since ال
+
+158
+00:17:18,000 --> 00:17:24,340
+limit لواحد على x لما x تقول إلى السفر من اليمين
+
+159
+00:17:26,540 --> 00:17:31,760
+بساوي infinity فممكن
+
+160
+00:17:31,760 --> 00:17:37,160
+نطبخ ال comparison test هذا فهي عندي f of x أصغر
+
+161
+00:17:37,160 --> 00:17:45,800
+من g of x يعني خليني أسمي هذه g of x كمشي مع نظري
+
+162
+00:17:45,800 --> 00:17:52,020
+يعني وخلني f of x بساوي واحد على x فهي عندي f of x
+
+163
+00:17:52,020 --> 00:18:00,560
+أصغر من g of x لكل x في Rأو لكل X لا يساوي سفر لكل
+
+164
+00:18:00,560 --> 00:18:07,820
+X موجة بقى أو على يمين السفر لكل
+
+165
+00:18:07,820 --> 00:18:16,880
+X في R تقاطع سفر إلى ملا نهاية okay فإذا
+
+166
+00:18:16,880 --> 00:18:22,320
+قلنا النظرية هذه صحيحة لل right limit باستخدام
+
+167
+00:18:22,320 --> 00:18:33,480
+النظريةby above theorem by above theorem for right
+
+168
+00:18:33,480 --> 00:18:39,680
+limits للنهايات
+
+169
+00:18:39,680 --> 00:18:49,990
+من اليمين we have نحصل على انه ال limitلقيت واحد
+
+170
+00:18:49,990 --> 00:18:55,370
+على اكس لما اكس تقول إلى سفر من اليمين بساوي plus
+
+171
+00:18:55,370 --> 00:19:04,770
+infinity وهذا اللي بدناه هي مظبوط صح؟ تمام؟إذن
+
+172
+00:19:04,770 --> 00:19:08,850
+ممكن نطبق النظرية هذه لإثبات أن ال limit ل ال
+
+173
+00:19:08,850 --> 00:19:13,690
+function E to 1 ل X من X أو ل 0 من اليمين بساوي
+
+174
+00:19:13,690 --> 00:19:22,130
+infinity برضه ممكن نطبق التعريف يعني ممكن أعطي
+
+175
+00:19:22,130 --> 00:19:28,530
+برهان تاني و أقول بما أن هذه المتباينة صحيحة لكل X
+
+176
+00:19:28,530 --> 00:19:34,480
+موجبةو بما انه ال limit هذه لو احلى ال function
+
+177
+00:19:34,480 --> 00:19:38,080
+واحد على X عن سفر من اليانين بالساوي infinity
+
+178
+00:19:38,080 --> 00:19:41,560
+معناته انا بقدر اخلي واحد ال function واحد على X
+
+179
+00:19:41,560 --> 00:19:46,940
+هذه اكبر من Alpha لأي real number Alpha صح؟
+
+180
+00:19:48,400 --> 00:19:52,300
+وبالتالي بقدر اخل اي ت واحد على اكس اكبر من اي
+
+181
+00:19:52,300 --> 00:19:59,600
+real number Alpha لكل X طبعا على يمين السفر وعلى
+
+182
+00:19:59,600 --> 00:20:06,660
+مسافة اصغر من Delta نقدر نجيب طبعا Delta لكل Alpha
+
+183
+00:20:06,660 --> 00:20:13,800
+فممكن برضه استخدم التعريف لاثبات ان ال limit لإي ت
+
+184
+00:20:13,800 --> 00:20:16,800
+واحد على اكس على ما اكسه ولا سفر من اليمين بالساوي
+
+185
+00:20:16,800 --> 00:20:21,100
+infinityOkay تمام ان انا ممكن استخدم التعريف او
+
+186
+00:20:21,100 --> 00:20:27,860
+استخدم ال comparison test اللي فوق واضح في اي سؤال
+
+187
+00:20:27,860 --> 00:20:37,380
+طب
+
+188
+00:20:37,380 --> 00:20:45,280
+احنا يعني لاحظوا في ال chapter هذا اتعرضنا ل ال ..
+
+189
+00:20:47,310 --> 00:20:53,690
+لتعريف النهايات للدول and cluster point للمجال
+
+190
+00:20:53,690 --> 00:20:58,390
+تبعها او and cluster point لتقاطع مجالها مع فترة
+
+191
+00:20:58,390 --> 00:21:02,470
+مفتوحة زي هذه او فترة مفتوحة زي هذه في حالة ال
+
+192
+00:21:02,470 --> 00:21:06,870
+infinite limits وفي كل ال limits هذه دائما ال X
+
+193
+00:21:06,870 --> 00:21:12,290
+كانت تقول ل C لعدد ل cluster point سواء من اليمين
+
+194
+00:21:12,290 --> 00:21:15,910
+او من اليسار لكن احيانا
+
+195
+00:21:17,840 --> 00:21:29,720
+بتصادفنا نهايات احيانا
+
+196
+00:21:29,720 --> 00:21:37,020
+نتعرض لمواقف زي هذه انه كيف انا بدي .. يعني ممكن
+
+197
+00:21:37,020 --> 00:21:42,840
+يكون عندي limit ل a for x بدل ما x تقول ل cluster
+
+198
+00:21:42,840 --> 00:21:45,920
+point c x تقول ل infinity
+
+199
+00:21:49,360 --> 00:21:52,820
+ما معنى ان ال limit ل f of x لما x تقول ال
+
+200
+00:21:52,820 --> 00:22:00,720
+infinity بساوي عدد L او ما معنى ان ال limit ل ال
+
+201
+00:22:00,720 --> 00:22:05,080
+function f لما x تقول ال سالب infinity بساوي ايضا
+
+202
+00:22:05,080 --> 00:22:12,060
+عدد L هذا ما اتعرضنا اليه فبنلا تعريف نشوف كيف
+
+203
+00:22:12,060 --> 00:22:20,300
+التعريف تبع ال limits هذه بيكونمثلًا انا عندي ال
+
+204
+00:22:20,300 --> 00:22:28,380
+limit نرجع لل function واحد على X فانا
+
+205
+00:22:28,380 --> 00:22:33,980
+عندي ال limit يعني Y بساوي واحد على X فانا عندي ال
+
+206
+00:22:33,980 --> 00:22:40,980
+limit واحد على X لما X تقول infinity واضح انها
+
+207
+00:22:40,980 --> 00:22:47,330
+بساوي عدد L صفروبرضه كمان لو كانت x تقولنا سالب
+
+208
+00:22:47,330 --> 00:22:53,250
+infinity برضه ال limit بالساوية سفر، اذا كيف اثبت
+
+209
+00:22:53,250 --> 00:22:59,750
+او كيف اعرف ان ال limit عند ال infinity بالساوية
+
+210
+00:22:59,750 --> 00:23:04,150
+عدد او عند السالب infinity بالساوية عدد ما؟
+
+211
+00:23:04,790 --> 00:23:10,050
+التعريفات هذه ما مرت لسه علينا فنحتاج ان احنا نعرف
+
+212
+00:23:10,050 --> 00:23:18,950
+او ناخد هذه التعريفات اذا دلوقت نقصح التعريف هذا
+
+213
+00:23:18,950 --> 00:23:28,570
+ناخد
+
+214
+00:23:28,570 --> 00:23:29,070
+definition
+
+215
+00:23:48,740 --> 00:24:03,120
+فالتعريف let f be function from A to R and
+
+216
+00:24:03,120 --> 00:24:10,780
+الفترة من A إلى ماله نهاية تكون داخل المجموعة A
+
+217
+00:24:10,780 --> 00:24:13,640
+for some A ينتمي إلى R
+
+218
+00:24:20,670 --> 00:24:32,430
+فبنعرف و نقول ان ال ينتمي لار is
+
+219
+00:24:32,430 --> 00:24:36,710
+a limit of
+
+220
+00:24:36,710 --> 00:24:46,950
+ال function f as x tends to infinity and right و
+
+221
+00:24:46,950 --> 00:24:52,540
+بنكتب في الحالة هذه ان ال limitلـ f of x as x
+
+222
+00:24:52,540 --> 00:24:58,820
+tends to infinity بالساوية لعدد L إذا تحقق الشرط
+
+223
+00:24:58,820 --> 00:25:06,960
+التالي لكل إبسلون for any إبسلون أكبر من 0 نقدر
+
+224
+00:25:06,960 --> 00:25:14,660
+نلاقي capital K عدد حقيقي يعتمد على إبسلون وهذا
+
+225
+00:25:14,660 --> 00:25:23,260
+العدد أكبر من العدد A اللي هو عدد حقيقيمعين بحيث
+
+226
+00:25:23,260 --> 00:25:33,980
+أنه لكل لو كان ال X أكبر من ال K فهذا بتضمن أنه
+
+227
+00:25:33,980 --> 00:25:39,780
+absolute F of X minus L أصغر من ال given epsilon
+
+228
+00:25:39,780 --> 00:25:44,280
+تمام؟
+
+229
+00:25:44,280 --> 00:25:46,120
+بالمثل ممكن أعرف
+
+230
+00:25:52,400 --> 00:25:58,400
+العرف ما معناه ان ال limit لل function f لما x
+
+231
+00:25:58,400 --> 00:26:04,120
+تقول لسالب infinity بالساوي عدد L في الحالة هذه
+
+232
+00:26:04,120 --> 00:26:13,200
+باشترط ان المجموع المجال يحتوي على فترة زي هذه
+
+233
+00:26:13,200 --> 00:26:17,840
+بدأت
+
+234
+00:26:17,840 --> 00:26:19,300
+فترة هذه فترة زي هذه
+
+235
+00:26:22,770 --> 00:26:30,990
+هنا قلنا بدل infinity نبدلها بال-infinity وهنا بال
+
+236
+00:26:30,990 --> 00:26:37,030
+-infinity ونقول
+
+237
+00:26:37,030 --> 00:26:46,190
+إنه يوجد K المرة هذه بدل أكبر من A أصغر من A وهذه
+
+238
+00:26:46,190 --> 00:26:48,150
+تتغير لكل X
+
+239
+00:26:53,500 --> 00:26:59,960
+أصغر من K أصغر
+
+240
+00:26:59,960 --> 00:27:03,760
+من Y أصغر
+
+241
+00:27:03,760 --> 00:27:06,920
+من K أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر
+
+242
+00:27:06,920 --> 00:27:06,920
+من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر
+
+243
+00:27:06,920 --> 00:27:07,020
+من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر
+
+244
+00:27:07,020 --> 00:27:07,760
+من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر
+
+245
+00:27:07,760 --> 00:27:07,760
+من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر
+
+246
+00:27:07,760 --> 00:27:07,760
+من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر
+
+247
+00:27:07,760 --> 00:27:12,040
+من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أصغر من Y أص
+
+248
+00:27:12,440 --> 00:27:18,680
+Okay طيب اذا انا لان في عندي تعريفات جديدة كمان
+
+249
+00:27:18,680 --> 00:27:25,880
+مرة كل نظريات اللي أثبتناها سابقا بس
+
+250
+00:27:25,880 --> 00:27:31,500
+بدل ما X أول ل C بيصير X أول ل infinity ال
+
+251
+00:27:31,500 --> 00:27:37,040
+sequence أول شيء إذا كان�� ال limit هذه أو هذه
+
+252
+00:27:37,040 --> 00:27:42,630
+موجودة بسوء عدد Lفممكن اثباتي انها unique زيها زي
+
+253
+00:27:42,630 --> 00:27:49,210
+اي two sided limit او زيها زي اي limit اخرى كذلك
+
+254
+00:27:49,210 --> 00:27:53,370
+ممكن نثبت sequential criterion لل limits زي هدول
+
+255
+00:27:53,370 --> 00:27:59,230
+وممكن النظرية زي هذه تكون صحيحة لهذا النوع من ال
+
+256
+00:27:59,230 --> 00:28:06,130
+limits okay اذا معظم النظريات معظم النظريات اللي
+
+257
+00:28:06,130 --> 00:28:13,240
+اثبتناها تكون صحيحة لهذا النوع الجديد من الـ
+
+258
+00:28:13,240 --> 00:28:17,660
+infinite نسميها infinite limits at infinity هذه
+
+259
+00:28:17,660 --> 00:28:21,980
+limits at infinity أو سالم infinity هذه كانت
+
+260
+00:28:21,980 --> 00:28:27,520
+نسميها infinite limits فمثلا
+
+261
+00:28:27,520 --> 00:28:31,900
+على سبيل المثال وليس الحصر ممكن ان احنا نكتب
+
+262
+00:28:31,900 --> 00:28:35,060
+sequential criterion لهذا النوع من ال limits
+
+263
+00:28:42,580 --> 00:28:57,860
+هي sequential theorem sequential
+
+264
+00:28:57,860 --> 00:29:03,680
+.. sequential
+
+265
+00:29:03,680 --> 00:29:07,500
+criterion
+
+266
+00:29:07,500 --> 00:29:18,320
+.. sequential criterionfor limits for limits at
+
+267
+00:29:18,320 --> 00:29:23,580
+infinity the
+
+268
+00:29:23,580 --> 00:29:29,480
+following statements are equivalent are equivalent
+
+269
+00:29:29,480 --> 00:29:40,830
+واحد limitF of X as X tends to infinity بساوي عدد
+
+270
+00:29:40,830 --> 00:29:47,970
+M اتنين for every
+
+271
+00:29:47,970 --> 00:29:48,910
+sequence
+
+272
+00:29:51,330 --> 00:29:57,750
+x in contained in a تقابل فترة مفتوحة من a إلى م
+
+273
+00:29:57,750 --> 00:30:05,030
+للإلهية such that limit x in as n tends to
+
+274
+00:30:05,030 --> 00:30:14,410
+infinity بساوي ال infinity لازم
+
+275
+00:30:14,410 --> 00:30:19,300
+يطلع عندى limit ال imageبساوي العدد L لسيكوانس Xn
+
+276
+00:30:19,300 --> 00:30:25,380
+as N times Infinity بساوي العدد L لذا هذه
+
+277
+00:30:25,380 --> 00:30:34,580
+Sequential criterion for limits at infinity وممكن
+
+278
+00:30:34,580 --> 00:30:39,860
+نثبت النظرية هذه زي ما أثبتنا Sequential criterion
+
+279
+00:30:39,860 --> 00:30:46,300
+for finite two-sided limits أو for finite one
+
+280
+00:30:46,300 --> 00:30:51,520
+-sided limitsمثلًا لو أريد أن أثبت واحد implies
+
+281
+00:30:51,520 --> 00:30:55,660
+اتنين فبقول
+
+282
+00:30:55,660 --> 00:31:05,080
+assume أنه one holds هذا
+
+283
+00:31:05,080 --> 00:31:12,440
+معناه أن ال limit لf of x as x tends to infinity
+
+284
+00:31:12,440 --> 00:31:17,120
+بسوى عدد L طيب to prove
+
+285
+00:31:32,110 --> 00:31:38,430
+to prove two holes فابد
+
+286
+00:31:38,430 --> 00:31:46,430
+أثبت لأي sequence لأي sequence بالمواصفات هذه
+
+287
+00:31:46,430 --> 00:31:57,370
+limit صورتها بساوي L فببدأ بقول let let XM contain
+
+288
+00:31:57,370 --> 00:32:08,400
+بالـ A قاطعالفترة هذه بيجيبن
+
+289
+00:32:08,400 --> 00:32:11,560
+بحيث
+
+290
+00:32:11,560 --> 00:32:20,660
+ان ال limit لسيكوينس xn هذه بساوي
+
+291
+00:32:20,660 --> 00:32:24,660
+infinity و
+
+292
+00:32:24,660 --> 00:32:27,380
+بالثبات ان ال limit صورتها بساوي ال
+
+293
+00:32:30,930 --> 00:32:34,970
+عشان أثبت أنه two holds، بدي أثبت أنه الـ limit
+
+294
+00:32:34,970 --> 00:32:45,370
+لصورة الـ xn as n times infinity بساوي n لأن هذه
+
+295
+00:32:45,370 --> 00:32:48,930
+عبارة عن sequence، بدي أثبت limit sequence بالساوي
+
+296
+00:32:48,930 --> 00:32:54,030
+عدد، بستخدم تعريف Y capital N لل limit of a
+
+297
+00:32:54,030 --> 00:33:00,120
+sequence، صح؟إذا أنا بقول let epsilon أكبر من
+
+298
+00:33:00,120 --> 00:33:07,240
+السفر be given طيب،
+
+299
+00:33:07,240 --> 00:33:16,140
+أنا عندي فارض since ال limit ل F of X as X tends
+
+300
+00:33:16,140 --> 00:33:26,080
+to infinity بتساوي العدد Lإذا من تعريف ال limit of
+
+301
+00:33:26,080 --> 00:33:31,180
+infinity اللي زيها دي هي التعريف هي تحت تقول إنه
+
+302
+00:33:31,180 --> 00:33:41,300
+for any given epsilon يوجد عدد حقيقي K يعتمد على
+
+303
+00:33:41,300 --> 00:33:47,220
+epsilon وهذا أكبر من A بحيث
+
+304
+00:33:47,220 --> 00:33:57,390
+إنه لو كان Xأكبر من الـ K بيقدي أنه absolute f of
+
+305
+00:33:57,390 --> 00:34:03,750
+x minus ال L أصغر من إبسل أسمي ال implication هذه
+
+306
+00:34:03,750 --> 00:34:08,830
+star طيب
+
+307
+00:34:08,830 --> 00:34:13,750
+أنا برضه عندي أنا فارد أن ال sequence هذه ال given
+
+308
+00:34:13,750 --> 00:34:15,590
+sequence ال limit تبعتها
+
+309
+00:34:21,580 --> 00:34:26,380
+بساوي infinity ومن
+
+310
+00:34:26,380 --> 00:34:30,540
+تعريف ان تكون ال sequence limit تبعتها infinite
+
+311
+00:34:30,540 --> 00:34:37,180
+هذا معناه ان مقدر اخلى x in اكبر من اي عدد حقيقي
+
+312
+00:34:37,180 --> 00:34:41,440
+alpha فاخد alpha هنا بساوي k مش هذا عدد حقيقي
+
+313
+00:34:41,440 --> 00:34:48,520
+محترم فاخد هوبما عنده limit لسيكوينس Xn بالساوي
+
+314
+00:34:48,520 --> 00:34:56,920
+infinity then for any real number يوجد
+
+315
+00:34:56,920 --> 00:35:06,700
+capital N عدد طبيعي يعتمد على Kهذا أشمله عدد طبيعي
+
+316
+00:35:06,700 --> 00:35:14,800
+بحيث أنه لكل n أكبر من أو ساوي capital N هذا بتضمن
+
+317
+00:35:14,800 --> 00:35:22,980
+أن ال Xn أكبر من العدد K العدد الحقيقي K نسمي ال
+
+318
+00:35:22,980 --> 00:35:25,160
+implication هذه double star
+
+319
+00:35:39,650 --> 00:35:45,850
+تمام هيك إذا هذا ناخده من كوننا ان احنا فرضين ان
+
+320
+00:35:45,850 --> 00:35:49,350
+limit ال sequence xn بالساوية infinity ومن تعريف
+
+321
+00:35:49,350 --> 00:35:56,710
+ال infinite limit لل sequence الان الان في تحول في
+
+322
+00:35:56,710 --> 00:36:05,270
+البرهار now star and double star yield
+
+323
+00:36:09,010 --> 00:36:17,430
+بيعطوني التالي لو كانت n أكبر من أو ساوى capital N
+
+324
+00:36:17,430 --> 00:36:28,590
+فهذا بيؤدي إنه xn أكبر من k هذا موجود أخدناه من
+
+325
+00:36:28,590 --> 00:36:33,930
+double star لكل n أكبر من أو ساوى capital N بيطلع
+
+326
+00:36:33,930 --> 00:36:40,980
+xn أكبر من kطيب و من ال star و هذا بيقدي باستخدام
+
+327
+00:36:40,980 --> 00:36:47,640
+ال star ال star بيقوللي لكل x لو كانت ال x او ال
+
+328
+00:36:47,640 --> 00:36:56,860
+xn أكبر من capital K هذا بيقدي ان صورتها المسافة
+
+329
+00:36:56,860 --> 00:37:01,840
+بينها و بين ال L أصغر من إبسل صح؟
+
+330
+00:37:06,200 --> 00:37:10,360
+إذا نجي نلخص كمان مرة، إيه اللي عملناها؟ أنا إيش
+
+331
+00:37:10,360 --> 00:37:14,560
+بدأ في بتلقى limited sequence F of X N لما N تقول
+
+332
+00:37:14,560 --> 00:37:18,460
+الـinfinity بالساوي عدد L فهذه البديات بإبسلون
+
+333
+00:37:18,460 --> 00:37:22,940
+أكبر من السفر given أثبتت إن يوجد capital N عدد
+
+334
+00:37:22,940 --> 00:37:27,680
+طبيعي يعتمد على الـK والـK تعتمد على إبسلون، إذا
+
+335
+00:37:27,680 --> 00:37:33,810
+الـN هذه تعتمد على الـgiven إبسلونو هذه ال N لكل
+
+336
+00:37:33,810 --> 00:37:38,050
+small n أكبر من أو ساوي ال capital N هذه طلع عند
+
+337
+00:37:38,050 --> 00:37:41,350
+المسافة بين الحد النوني لل sequence و L أصغر من
+
+338
+00:37:41,350 --> 00:37:47,750
+Epsilon بما أن Epsilon was arbitrary since Epsilon
+
+339
+00:37:47,750 --> 00:37:54,250
+أكبر من السفر was arbitraryإذا by epsilon capital
+
+340
+00:37:54,250 --> 00:37:58,650
+N definition of limit of sequence بنكون هيك حسب
+
+341
+00:37:58,650 --> 00:38:04,570
+التعريف أثبتنا أنه limit لسيكوينس F of X N as N
+
+342
+00:38:04,570 --> 00:38:09,390
+tends to infinity بالساوي لعدد N وبالتالي هيك
+
+343
+00:38:09,390 --> 00:38:16,950
+بنكون أثبتنا إذا العبارة 2 holds وهيك بنكون أثبتنا
+
+344
+00:38:16,950 --> 00:38:23,230
+أن العبارة statement 1 implies statement 2Okay
+
+345
+00:38:23,230 --> 00:38:30,010
+تمام إذا نحن ممكن نبرهن ال sequential criterion لل
+
+346
+00:38:30,010 --> 00:38:35,730
+infinite limit و لل one sided limit و لكل أنواع ال
+
+347
+00:38:35,730 --> 00:38:47,310
+limit و هاي أثبتنا جزء برهان الجزء التاني مماثل ال
+
+348
+00:38:47,310 --> 00:38:58,010
+proof of 2 implies 1is similar to
+
+349
+00:38:58,010 --> 00:39:03,410
+original
+
+350
+00:39:03,410 --> 00:39:08,690
+proof or proof of
+
+351
+00:39:08,690 --> 00:39:14,810
+original original
+
+352
+00:39:14,810 --> 00:39:21,470
+sequential criterion original sequential criterion
+
+353
+00:39:21,470 --> 00:39:26,530
+مععمل التعديلات اللازمة فانا بقولكم انكم ترجعوا ل
+
+354
+00:39:26,530 --> 00:39:30,910
+sequential criterion الأساسية تقرأوا البرهان تبعها
+
+355
+00:39:30,910 --> 00:39:36,050
+كيف انا برهان اتنين ده او احدو تعملوا التعديلات ..
+
+356
+00:39:36,050 --> 00:39:41,070
+ازاي نبران واحد بدي لاتنين .. okay تمام .. اذا ان
+
+357
+00:39:41,070 --> 00:39:44,910
+هذه تعتبر sequential criterion لل limits at
+
+358
+00:39:44,910 --> 00:39:50,710
+infinity بالمثل ممكن ان احنا نحصل على sequential
+
+359
+00:39:50,710 --> 00:39:57,810
+criterion لل limits at negative infinity يعني ال
+
+360
+00:39:57,810 --> 00:40:04,930
+..يعني هذه ممكن تبدلها ب negative infinity وهذه
+
+361
+00:40:04,930 --> 00:40:10,570
+ممكن تبدلها ب negative infinity وهذه ممكن تبدلها ب
+
+362
+00:40:10,570 --> 00:40:15,670
+سالب infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها ب negative
+
+363
+00:40:15,670 --> 00:40:19,790
+infinity وهذه
+
+364
+00:40:19,790 --> 00:40:23,550
+ممكن تبدلها بسالب
+
+365
+00:40:23,550 --> 00:40:24,030
+infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى
+
+366
+00:40:24,030 --> 00:40:24,130
+a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى a وهذه ممكن
+
+367
+00:40:24,130 --> 00:40:24,750
+تبدلها بسالب infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها بسالب
+
+368
+00:40:24,750 --> 00:40:24,830
+infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى
+
+369
+00:40:24,830 --> 00:40:24,830
+a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى a وهذه ممكن
+
+370
+00:40:24,830 --> 00:40:25,250
+تبدلها بسالب infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها بسالب
+
+371
+00:40:25,250 --> 00:40:26,690
+infinity إلى a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى
+
+372
+00:40:26,690 --> 00:40:27,830
+a وهذه ممكن تبدلها بسالب infinity إلى a وهذه ممكن
+
+373
+00:40:27,830 --> 00:40:38,590
+تبدلها بسوالبرنامج طبعا مشابه للنظرية السابقة ناخد
+
+374
+00:40:38,590 --> 00:40:44,150
+أمثلة طبعا
+
+375
+00:40:44,150 --> 00:40:52,230
+في نظريات كتيرة صحيحة لنوع هذا من ال limits فلو
+
+376
+00:40:52,230 --> 00:40:58,940
+احتجنا زي ال squeeze theorem زي ال comparisontest
+
+377
+00:40:58,940 --> 00:41:04,240
+او الاخر فمثلا
+
+378
+00:41:04,240 --> 00:41:23,600
+ناخد بعض الأمثلة مثلا
+
+379
+00:41:23,600 --> 00:41:25,080
+ناخد examples
+
+380
+00:41:41,280 --> 00:41:50,920
+F of X يساوي واحد على X و X لا يساوي ساقر Show
+
+381
+00:41:50,920 --> 00:41:54,720
+that limit
+
+382
+00:41:54,720 --> 00:42:03,660
+F of X as X tends to infinity يساوي ساقر و كذلك
+
+383
+00:42:03,660 --> 00:42:11,410
+limitلف of x as x tends to negative infinity بساوة
+
+384
+00:42:11,410 --> 00:42:16,950
+ستة المظبوط
+
+385
+00:42:16,950 --> 00:42:24,370
+ال function واحد على x ثانية فلما
+
+386
+00:42:24,370 --> 00:42:29,070
+x تقول infinity واحد على x بتقولها ستة لما x
+
+387
+00:42:29,070 --> 00:42:32,690
+تقولها سالب infinity برضه ال function واحد على x
+
+388
+00:42:32,690 --> 00:42:39,550
+تقول إلى ستةفلو بدي اثبات الجزء الأول فممكن استخدم
+
+389
+00:42:39,550 --> 00:42:45,590
+التعريف او استخدم الـ sequential criterion فمثلا
+
+390
+00:42:45,590 --> 00:42:56,850
+to use a definition لو بدي استخدم التعريف مثلا
+
+391
+00:42:58,750 --> 00:43:02,270
+Limit f of x من x سواء و لا انا كنت بتساوي سفر
+
+392
+00:43:02,270 --> 00:43:10,950
+فبابدأ حسب التعريف بابدأ بإبسلون أكبر من السفر لت
+
+393
+00:43:10,950 --> 00:43:18,510
+إبسلون أكبر من السفر بكلمة و بعدين بدأ أثبت أنه في
+
+394
+00:43:18,510 --> 00:43:26,420
+ك يعتمد على إبسلون ف choose كارتة الكعلى انه واحد
+
+395
+00:43:26,420 --> 00:43:30,840
+على ابسلان فهذا تطلع عدد موجب ويعتمد على ابسلان
+
+396
+00:43:30,840 --> 00:43:36,780
+وال ا طبعا هنا في السؤال هذا هي السفر يعني هنا ال
+
+397
+00:43:36,780 --> 00:43:40,680
+domain تبعد لكل العداد الحقيقية مع ده السفرفممكن
+
+398
+00:43:40,680 --> 00:43:46,440
+اخد السفر الفقرة هذه contained in ال domain تبع
+
+399
+00:43:46,440 --> 00:43:51,100
+الـ a اللي هو كل العداد الحقيقية من عدد السفر هنا
+
+400
+00:43:51,100 --> 00:43:52,620
+لأي أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر
+
+401
+00:43:52,620 --> 00:43:53,060
+من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+402
+00:43:53,060 --> 00:43:53,980
+أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+403
+00:43:53,980 --> 00:43:57,560
+أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+404
+00:43:57,560 --> 00:44:03,280
+أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+405
+00:44:03,280 --> 00:44:06,340
+أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+406
+00:44:06,340 --> 00:44:06,340
+أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من أكبر من
+
+407
+00:44:06,340 --> 00:44:08,320
+أكبر من أكبر من أكبر
+
+408
+00:44:09,640 --> 00:44:19,540
+إن واحد على اكس أصغر من واحد على كم و هذا بدوره
+
+409
+00:44:19,540 --> 00:44:25,560
+بقدر ان absolute of f of x minus الصفر ال ال هنا
+
+410
+00:44:25,560 --> 00:44:31,480
+هو الصفر فهذا بيطلع بساوي absolute واحد على اكس
+
+411
+00:44:31,480 --> 00:44:34,420
+فهذا عبارة عن واحد على اكس
+
+412
+00:44:45,380 --> 00:44:48,660
+و هذا أقل من واحد على كي و واحد على كي أقل من
+
+413
+00:44:48,660 --> 00:44:54,400
+إبسلو و هذا أصغر طبعا من واحد على كي طبعا عندي ال
+
+414
+00:44:54,400 --> 00:44:59,520
+X هنا أكبر من كي لحظة X أكبر من كي و ال K موجة بقى
+
+415
+00:45:03,660 --> 00:45:08,560
+القيمة المطلقة ل 1 على X هي 1 على X إطرح سفر
+
+416
+00:45:08,560 --> 00:45:14,760
+مابتعملش حاجة هذا أصغر من 1 على K ومن هنا 1 على K
+
+417
+00:45:14,760 --> 00:45:15,580
+بساوي Y
+
+418
+00:45:18,310 --> 00:45:22,630
+إذن هاني أثبتت لي أي epsilon أكبر من سفر يوجد k
+
+419
+00:45:22,630 --> 00:45:27,590
+عدد حقيقي يعتمد على epsilon بحيث لكل x أكبر من k
+
+420
+00:45:27,590 --> 00:45:33,190
+طلع absolute f of x minus L أصغر من epsilon okay
+
+421
+00:45:33,190 --> 00:45:39,430
+إذن هذا معناه إن ال limit حسب التعريف limit واحد
+
+422
+00:45:39,430 --> 00:45:46,030
+على x لما x تقول إلى infinity بساوي سفر
+
+423
+00:45:49,020 --> 00:45:53,960
+بالمثل ممكن نثبت الجزء التاني نفس البرهان مع
+
+424
+00:45:53,960 --> 00:46:02,520
+التعديل في تعريف limit at سالب infinity ممكن
+
+425
+00:46:02,520 --> 00:46:10,180
+برضه نستخدم sequential criterion لو بدأت
+
+426
+00:46:10,180 --> 00:46:15,900
+استخدم sequential criterion لإثبات
+
+427
+00:46:15,900 --> 00:46:26,470
+limitبأخد بقول ان هنا let xn be sequence contained
+
+428
+00:46:26,470 --> 00:46:35,250
+in 0 و infinity بحيث انه limit xn تساوي infinity
+
+429
+00:46:35,250 --> 00:46:39,570
+اذا
+
+430
+00:46:39,570 --> 00:46:48,340
+limit f of xn has n times infinityطبعا هذا بيقدي
+
+431
+00:46:48,340 --> 00:46:51,500
+هذا
+
+432
+00:46:51,500 --> 00:46:58,320
+بيقدي انه limit واحد على xn بساوي سفر exercise
+
+433
+00:46:58,320 --> 00:47:02,480
+أخدناها أخدنا انه limit sequence xn بساوي infinity
+
+434
+00:47:02,480 --> 00:47:06,990
+if and only if limit مقلوب السيكوانس بساوي سفرالان
+
+435
+00:47:06,990 --> 00:47:13,670
+limit f of xn بساوي limit واحد على xn as n tends
+
+436
+00:47:13,670 --> 00:47:21,150
+to infinity وهذا بيساوي ستة لأي
+
+437
+00:47:21,150 --> 00:47:26,510
+sequence نهايتها infinity نهاية سورتها بيساوي
+
+438
+00:47:26,510 --> 00:47:27,330
+العدد L
+
+439
+00:47:35,720 --> 00:47:42,000
+بنطلع ال limit ل ال function f of x as x tends to
+
+440
+00:47:42,000 --> 00:47:47,200
+infinity بساوية 0 إذا هذا برهان تاني using
+
+441
+00:47:47,200 --> 00:47:55,620
+sequential criterion okay واضح مفهوم مثال
+
+442
+00:47:55,620 --> 00:47:56,160
+تاني
+
+443
+00:48:05,300 --> 00:48:10,520
+بناخد g of x بساوي
+
+444
+00:48:10,520 --> 00:48:15,820
+واحد على extra g of x لا يساوي صغير فبدنا نثبت ان
+
+445
+00:48:15,820 --> 00:48:21,660
+ال limit ل g of x لما x تقول ل infinity و لما x
+
+446
+00:48:21,660 --> 00:48:27,280
+تقول ل سالب infinity بساوي صغير برضه ممكن نستخدم
+
+447
+00:48:27,280 --> 00:48:32,440
+sequential criterion لثبات الجزء الأول أو التاني
+
+448
+00:48:37,280 --> 00:48:42,020
+هذا كان limit xn بالساوية infinity فlimit 1 على xn
+
+449
+00:48:42,020 --> 00:48:46,300
+بالساوية infinity بساوية سفر وبالتالي limit 1 على
+
+450
+00:48:46,300 --> 00:48:57,500
+xn تربية يعني هذا بيقدر وهذا
+
+451
+00:48:57,500 --> 00:49:05,370
+بيقدر ان limit1 على xn ترجية لما انتقل ل infinity
+
+452
+00:49:05,370 --> 00:49:16,510
+بساوي limit 1 على xn ضرب limit 1 على xn وهذا بساوي
+
+453
+00:49:16,510 --> 00:49:27,310
+0 ضرب 0 بساوي 0 و limit g ل xn as n tends to
+
+454
+00:49:27,310 --> 00:49:33,810
+infinity بساوي limit1 على x in third يعني بالساعة
+
+455
+00:49:33,810 --> 00:49:40,990
+سفر صح إذا by sequential criterion
+
+456
+00:49:40,990 --> 00:49:44,030
+أثبتت
+
+457
+00:49:44,030 --> 00:49:49,130
+أنه لأي sequence x in حدودها موجب أو نهايتها
+
+458
+00:49:49,130 --> 00:49:57,970
+infinity ف limit صورتها بالساعة سفر هذا معناه أن
+
+459
+00:49:57,970 --> 00:50:06,540
+ال limitلـ function g of x لما x تقول انفينيتي
+
+460
+00:50:06,540 --> 00:50:10,980
+بساوي ستة هنا نريد أن نكون أخرجنا الجزء الأول
+
+461
+00:50:10,980 --> 00:50:14,800
+باستخدام sequential criterion بالمثل و كنا نستخدم
+
+462
+00:50:14,800 --> 00:50:18,280
+sequential criterion اللي اتبعت الجزء التالي بس
+
+463
+00:50:18,280 --> 00:50:25,580
+هنا هناخد x الموجودة في الفترة هذه و هكذاو نفس
+
+464
+00:50:25,580 --> 00:50:29,860
+النظرية اللى خدناها في القصة السابقة بالكون صحيحة
+
+465
+00:50:29,860 --> 00:50:33,760
+هذا بقى قدر المقلوب ال sequence إذا كانت limit ال
+
+466
+00:50:33,760 --> 00:50:37,320
+sequence infinity فlimit المقلوب سفر وبالتالي
+
+467
+00:50:37,320 --> 00:50:43,420
+limit المقلوب المربع بساوة سفر ممكن كمان نستخدم
+
+468
+00:50:43,420 --> 00:50:48,440
+squeeze theorem ممكن نستخدم squeeze theoremفمثلا
+
+469
+00:50:48,440 --> 00:50:56,100
+لو بدنا نبره كمان واحد بطريقة تانية فممكن ان احنا
+
+470
+00:50:56,100 --> 00:51:05,360
+note that for x أكبر من واحد لما خدت x أكبر من
+
+471
+00:51:05,360 --> 00:51:11,700
+واحد بطلع عندي دايما x تربيه أكبر من أو ساوي x
+
+472
+00:51:13,190 --> 00:51:18,610
+وبالتالي هذا بيقدي ان واحد على اكس تربيه اكبر من
+
+473
+00:51:18,610 --> 00:51:23,930
+او ساوي واحد على اكس وطبعا اكبر من السفر لكل اكس
+
+474
+00:51:23,930 --> 00:51:29,310
+اكبر من واحد طب احنا لسه مثل في الجد شوية ان limit
+
+475
+00:51:29,310 --> 00:51:33,810
+ال function واحد على اكس لما اكس تقول الى infinity
+
+476
+00:51:33,810 --> 00:51:40,930
+بساوي سفر صح؟لسه 130 في المثال الأول هذا المثال
+
+477
+00:51:40,930 --> 00:51:44,630
+الثاني في المثال السابق قصدنا ان limit ال function
+
+478
+00:51:44,630 --> 00:51:48,790
+واحد على x لما x تقول infinity تساوي سفر و limit
+
+479
+00:51:48,790 --> 00:51:54,090
+الدالة ثابت سفر لما x تقول infinity تبقى سفر اذا
+
+480
+00:51:54,090 --> 00:52:03,790
+by squeeze theorem by
+
+481
+00:52:03,790 --> 00:52:09,590
+squeeze theorem for limits at infinityLimited دالة
+
+482
+00:52:09,590 --> 00:52:19,130
+المحصورة اللي هي واحد على اكس تربيه as X tends to
+
+483
+00:52:19,130 --> 00:52:24,310
+infinity بساوي تمام
+
+484
+00:52:24,310 --> 00:52:32,490
+okay واضحو بالمثل ممكن نعطي براهين زي هذا او زي
+
+485
+00:52:32,490 --> 00:52:36,290
+هذا اما باستخدام squeeze theorem او sequential
+
+486
+00:52:36,290 --> 00:52:43,790
+criterion او حتى definition okay واضح في اي سؤال
+
+487
+00:52:43,790 --> 00:52:49,050
+في اي استفسار okay هنوقف اذا هنا و المرة الجاية في
+
+488
+00:52:49,050 --> 00:52:53,190
+بعض انواع ال infinite limits هنتكلم عنهم يعني
+
+489
+00:52:53,190 --> 00:52:59,640
+باختصارو بعدين نحاول نجمل section اربعة تلاتة
+
+490
+00:52:59,640 --> 00:53:04,100
+وبالتالي ننهي ال chapter اللي هو chapter اربعة و
+
+491
+00:53:04,100 --> 00:53:08,620
+بعدين نبدأ في chapter خمسة اللي هو اخر chapter في
+
+492
+00:53:08,620 --> 00:53:15,240
+المخرج هو اهم chapter طبعا في حد عنده اي سؤال او
+
+493
+00:53:15,240 --> 00:53:19,640
+استفسار؟ شكرا لاصغاكم و نشوف ان شاء الله المرة
+
+494
+00:53:19,640 --> 00:53:20,040
+القادمة
+

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/bwcuptIkF-o.srt

@@ -0,0 +1,1647 @@
+1
+00:00:20,940 --> 00:00:27,720
+بسم الله الرحمن الرحيم إن شاء الله اليوم هناخد في
+
+2
+00:00:27,720 --> 00:00:34,940
+اللقاء الأول مناقشة، والمناقشة هذه هتكون على ال
+
+3
+00:00:34,940 --> 00:00:42,360
+Section أربعة و Section خمسة من ال Chapter تلاتة
+
+4
+00:00:42,360 --> 00:00:47,930
+في الكتاب. إحنا لقينا قبل كده Section تلاتة واحد و
+
+5
+00:00:47,930 --> 00:00:52,070
+تلاتة اتنين تلاتة تلاتة مظبوط؟ تلاتة تلاتة تلاتة
+
+6
+00:00:52,070 --> 00:00:56,010
+تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
+
+7
+00:00:56,010 --> 00:00:56,190
+تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
+
+8
+00:00:56,190 --> 00:01:01,490
+تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
+
+9
+00:01:01,490 --> 00:01:02,530
+تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة تلاتة
+
+10
+00:01:02,530 --> 00:01:07,770
+تلاتة تلاتة تلاتة
+
+11
+00:01:14,970 --> 00:01:20,490
+فمين عندها أي سؤال في ال Section تلاتة تلاتة تلاتة
+
+12
+00:01:20,490 --> 00:01:28,290
+أربعة أو تلاتة خمسة Section
+
+13
+00:01:28,290 --> 00:01:29,590
+تلاتة تلاتة
+
+14
+00:01:47,340 --> 00:01:54,900
+أي سؤال؟ ستة ستة؟ طب هذا مش مقرر، لأ أنا .. عفواً
+
+15
+00:01:54,900 --> 00:02:02,500
+أنا بتطلع في مكان تاني، تلاتة تلاتة، سؤال ستة،
+
+16
+00:02:02,500 --> 00:02:06,400
+مطلوب هذا السؤال؟ ما كتبتليش أنت الأسئلة المطلوبة
+
+17
+00:02:06,400 --> 00:02:11,580
+اللي بتتكتب؟ موجودة في ال Syllabus .. موجودة في ال
+
+18
+00:02:11,580 --> 00:02:15,760
+Syllabus فهذا السؤال مش من ضمن الأسئلة اللي ..
+
+19
+00:02:15,760 --> 00:02:17,920
+اللي إحنا .. يعني إنتوا بتطلعوش على ال Syllabus 
+
+20
+00:02:17,920 --> 00:02:21,440
+فيه على الصفحة بتاعت ال Syllabus وفيه المسائل
+
+21
+00:02:21,440 --> 00:02:25,800
+المطلوبة، فبإمكانكم تعرفوا المسائل المطلوبة لكل
+
+22
+00:02:25,800 --> 00:02:30,640
+Section من هنا لآخر ال Course، فهذا السؤال السادس
+
+23
+00:02:30,640 --> 00:02:33,580
+بالذات مش مطلوب، لكن فيه أسئلة تانية ممكن أحللك
+
+24
+00:02:33,580 --> 00:02:42,160
+أربعة أو تلاتة زيه، فإيه رأيك؟ تلاتة 
+
+25
+00:02:42,160 --> 00:02:45,580
+أو أربعة يكونوا نفس الفكرة أه، تلاتة أو أربعة شو
+
+26
+00:02:45,580 --> 00:02:52,720
+بدك تلاتة ولا أربعة؟ الحل
+
+27
+00:02:52,720 --> 00:03:00,880
+السؤال أربعة مثلاً؟ هي الحل السؤال الرابع Section
+
+28
+00:03:00,880 --> 00:03:11,920
+تلاتة تلاتة في السؤال هذا Let x واحد بساوي واحد
+
+29
+00:03:11,920 --> 00:03:17,920
+and xn
+
+30
+00:03:17,920 --> 00:03:24,660
+plus one بساوي Square
+
+31
+00:03:24,660 --> 00:03:28,420
+Root لاتنين plus xn
+
+32
+00:03:31,530 --> 00:03:39,530
+for n belong to N show
+
+33
+00:03:39,530 --> 00:03:52,370
+أن ال Sequence xn converges and find its limit
+
+34
+00:03:55,460 --> 00:04:00,220
+بنثبت أولاً أن ال Sequence هذي Converges ونجيب
+
+35
+00:04:00,220 --> 00:04:10,220
+ال Limit بتاعتها، فمثلاً
+
+36
+00:04:10,220 --> 00:04:15,500
+زي هذه بنطبق عليها ال Monotone Convergence
+
+37
+00:04:15,500 --> 00:04:23,340
+Theorem، ال Monotone Convergence Theorem، فلازم نثبت
+
+38
+00:04:23,340 --> 00:04:29,560
+حاجتين، إن ال Sequence هذه Convergent لازم نثبت
+
+39
+00:04:29,560 --> 00:04:33,900
+إنها Convergent، لازم نثبت إنها Monotone يعني
+
+40
+00:04:33,900 --> 00:04:40,100
+Increasing أو Decreasing، و Bounded، فلحظوا
+
+41
+00:04:40,100 --> 00:04:47,270
+إنتوا لو بدي أحسب أول يعني الحل .. لحظة x واحد
+
+42
+00:04:47,270 --> 00:04:52,510
+بساوي واحد، طب x اتنين .. خد n بساوي واحد بيطلع جذر
+
+43
+00:04:52,510 --> 00:05:00,130
+اتنين زائد .. جذر اتنين زائد x واحد اللي هو جذر
+
+44
+00:05:00,130 --> 00:05:10,400
+التلاتة .. x تلاتة بساوي جذر اتنين زائد x اتنين، و
+
+45
+00:05:10,400 --> 00:05:16,740
+يساوي جذر اتنين زائد جذر
+
+46
+00:05:16,740 --> 00:05:24,220
+التلاتة وهكذا
+
+47
+00:05:24,220 --> 00:05:29,640
+اللي
+
+48
+00:05:29,640 --> 00:05:38,120
+بعده x أربعة بساوي جذر اتنين زائد x تلاتة
+
+49
+00:05:56,800 --> 00:06:04,520
+و هذا بيساوي جذر اتنين زائد اللي
+
+50
+00:06:04,520 --> 00:06:10,500
+هو جذر التربيع إيه اللي اتنين زائد جذر التلاتة
+
+51
+00:06:27,010 --> 00:06:33,310
+فال .. العدد يعني هذا دايماً بيكون أقل من أو يساوي
+
+52
+00:06:33,310 --> 00:06:42,010
+اتنين، أقل من أو يساوي اتنين صح؟ آه، و هذا أصغر من أو
+
+53
+00:06:42,010 --> 00:06:45,410
+يساوي اتنين، يعني جذر التلاتة أصغر من اتنين صح؟ آه
+
+54
+00:06:45,410 --> 00:06:50,750
+فهذا أكيد أصغر من أو يساوي اتنين، و هذا
+
+55
+00:06:53,300 --> 00:06:58,180
+أصغر من أو يساوي اتنين، وبالتالي هذا أصغر من أو يساوي
+
+56
+00:06:58,180 --> 00:07:06,560
+جذر الأربعة اللي هو أصغر من أو يساوي اتنين. هذا و
+
+57
+00:07:06,560 --> 00:07:11,160
+طبعاً وكل واحد من هدول أكبر من أو يساوي الواحد، إذاً
+
+58
+00:07:11,160 --> 00:07:18,040
+ممكن إحنا نثبت الآن By Induction Claim إن xn أكبر
+
+59
+00:07:18,040 --> 00:07:24,320
+من أو يساوي الواحد، أصغر من أو يساوي اتنين For
+
+60
+00:07:24,320 --> 00:07:30,590
+every n belong to N، آه وهذا ممكن تبرهنه By
+
+61
+00:07:30,590 --> 00:07:34,650
+Induction زي ما شوفنا في الأمثلة صح؟ طبعاً طبعاً
+
+62
+00:07:34,650 --> 00:07:43,730
+طبعاً طبعاً طبعاً
+
+63
+00:07:43,730 --> 00:07:43,970
+طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً
+
+64
+00:07:43,970 --> 00:07:44,150
+طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً
+
+65
+00:07:44,150 --> 00:07:48,410
+طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً
+
+66
+00:07:48,410 --> 00:07:55,130
+طبعاً طبعاً طبعاً طبعاً
+
+67
+00:07:55,130 --> 00:07:57,910
+طب
+
+68
+00:08:01,490 --> 00:08:11,110
+الآن من أعلى الاختصارات الموجودة في
+
+69
+00:08:11,110 --> 00:08:17,050
+الوثيقة الاختصار
+
+70
+00:08:17,050 --> 00:08:20,290
+Xn مرتبط
+
+71
+00:08:23,380 --> 00:08:27,360
+بعدين بنلاحظ إنه قيمة ال Sequence بتكبر كل ما آه
+
+72
+00:08:27,360 --> 00:08:34,580
+فممكن إثبات إنه Claim تاني إذا ال Sequence Bounded
+
+73
+00:08:34,580 --> 00:08:39,240
+Claim x
+
+74
+00:08:39,240 --> 00:08:45,740
+in أصغر
+
+75
+00:08:45,740 --> 00:08:50,460
+منها ويساوي x in زائد واحد For every n
+
+76
+00:08:54,650 --> 00:09:02,290
+|xN is increasing وهذا ممكن إثباته برضه By
+
+77
+00:09:02,290 --> 00:09:11,410
+Induction By Induction هنا هنا Proof Use Induction
+
+78
+00:09:11,410 --> 00:09:14,630
+Use
+
+79
+00:09:14,630 --> 00:09:20,610
+Induction on M فالحالة
+
+80
+00:09:21,890 --> 00:09:30,890
+الحالة n بيساوي واحد أنا عندي x واحد بيساوي واحد و
+
+81
+00:09:30,890 --> 00:09:34,810
+x واحد
+
+82
+00:09:34,810 --> 00:09:40,510
+زائد واحد اللي هو x اتنين بيساوي جذر التلاتة، جذر
+
+83
+00:09:40,510 --> 00:09:47,810
+التلاتة، وهذا بالتأكيد أكبر من واحد اللي هو x واحد
+
+84
+00:09:50,170 --> 00:09:57,350
+إذاً هيطلع عندي x2 أكبر من أو يساوي x1 إذاً
+
+85
+00:09:57,350 --> 00:10:04,170
+العبارة هذه صحيحة عند m بساوي واحد، Assume
+
+86
+00:10:04,170 --> 00:10:09,970
+Induction Hypothesis الفرض بتاع ال Induction، Assume
+
+87
+00:10:09,970 --> 00:10:13,910
+أنه
+
+88
+00:10:22,570 --> 00:10:24,510
+أصغر من أو يساوي
+
+89
+00:10:35,580 --> 00:10:40,400
+بنثبت صحة الحق برضه عند n بساوي k زائد واحد، إذاً
+
+90
+00:10:40,400 --> 00:10:46,060
+Show xk زائد واحد أصلاً لو يساوي xk زائد واحد زائد
+
+91
+00:10:46,060 --> 00:10:55,700
+واحد عن x زائد اتنين We Have لدينا لاحظوا
+
+92
+00:10:55,700 --> 00:11:01,180
+xk زائد اتنين من ال Definition، من ال Definition
+
+93
+00:11:01,180 --> 00:11:03,360
+بتاع ال Sequence
+
+94
+00:11:06,860 --> 00:11:12,440
+من ال Inductive Formula أو ال Recursive Formula xk
+
+95
+00:11:12,440 --> 00:11:19,840
+زائد اتنين بساوي جذر التربيعي لاتنين زائد x k زائد
+
+96
+00:11:19,840 --> 00:11:28,000
+واحد صح، و By Induction Hypothesis من الفرض بتاع ال
+
+97
+00:11:28,000 --> 00:11:35,020
+Induction هذا بساوي جذر اتنين و xk زائد واحد هذا
+
+98
+00:11:35,020 --> 00:11:44,080
+إيه؟ هيطلع أصغر من xk زائد واحد أكبر من أو يساوي xk
+
+99
+00:11:44,080 --> 00:11:50,380
+أنا xk أنا نحط شريط أكبر xk زا��د اتنين
+
+100
+00:11:55,180 --> 00:12:03,320
+فهذا أكبر من أو يساوي x .. هبدل xk زيادة واحد بأكبر
+
+101
+00:12:03,320 --> 00:12:07,660
+من أو يساوي xk من ال Induction Hypothesis من الفرض
+
+102
+00:12:07,660 --> 00:12:12,150
+بتاع ال Induction وهذا By ال Definition باستخدام الـ
+
+103
+00:12:12,150 --> 00:12:18,310
+Definition بتاع ال Sequence، الجذر هذا بساوي xk زي
+
+104
+00:12:18,310 --> 00:12:24,190
+واحدة، إذاً هنأ إثبتنا إن x sub k plus two bigger
+
+105
+00:12:24,190 --> 00:12:30,710
+than or equal to x sub k plus one، إذاً This
+
+106
+00:12:30,710 --> 00:12:37,250
+Completes This
+
+107
+00:12:37,250 --> 00:12:38,610
+Completes The Induction
+
+108
+00:12:43,320 --> 00:12:48,000
+وبالتالي إذا هيك بنكون أثبتنا ال Claim بتاعي إن
+
+109
+00:12:48,000 --> 00:12:51,780
+أنا في عندي Two Claims، أول شيء Sequence Bounded
+
+110
+00:12:51,780 --> 00:12:57,200
+والتاني بيقول إن ال Sequence Increasing، وبالتالي
+
+111
+00:12:57,200 --> 00:13:05,200
+Therefore إذاً
+
+112
+00:13:05,200 --> 00:13:09,580
+لو سمينا هذا Claim One وهذا Claim Two
+
+113
+00:13:17,790 --> 00:13:27,210
+فإذا Now It Claims
+
+114
+00:13:27,210 --> 00:13:32,930
+One And Two And ال Monotone Convergence Theorem
+
+115
+00:13:32,930 --> 00:13:41,530
+بيقدّوا إن Sequence Xn Convergence، Say
+
+116
+00:13:41,530 --> 00:13:52,080
+دعنا نسمي ال Limit بتاعتها Limit Xn بساوي x، طبعاً
+
+117
+00:13:52,080 --> 00:13:56,820
+هذا بيطلع عدد حقيقي الآن
+
+118
+00:13:56,820 --> 00:14:07,420
+بنوجد قيمة Limit x هذه، فبنرجع To Find To Find x
+
+119
+00:14:07,420 --> 00:14:12,880
+لإيجاد قيمة ال x بناخد
+
+120
+00:14:12,880 --> 00:14:21,340
+ال Limit Take Limit Of
+
+121
+00:14:21,340 --> 00:14:28,220
+Both Sides Of
+
+122
+00:14:35,540 --> 00:14:41,820
+بناخد ال Limit لطرفين Of Both Sides Of المعادلة xn
+
+123
+00:14:41,820 --> 00:14:50,280
+زي الواحد بساوي Square Root ل Two Plus Xn To
+
+124
+00:14:50,280 --> 00:14:50,800
+Get
+
+125
+00:14:53,550 --> 00:14:59,490
+Limit Xn Plus One As N Tends To Infinity بساوي
+
+126
+00:14:59,490 --> 00:15:02,890
+Limit الجذر التربيعي ممكن تدخل ال Limit تحت الجذر
+
+127
+00:15:02,890 --> 00:15:08,210
+التربيعي وباستخدام قوانين النهايات Limit الاتنين
+
+128
+00:15:08,210 --> 00:15:13,810
+بيطلع اتنين زي Limit Xn As N Tends To Infinity، طيب
+
+129
+00:15:13,810 --> 00:15:19,170
+أنا عندي Limit Xn زي واحد بساوي x
+
+130
+00:15:26,140 --> 00:15:36,560
+هذه المعادلة بيصير
+
+131
+00:15:36,560 --> 00:15:41,100
+x تربيع Negative x Negative اتنين Negative اتنين Negative
+
+132
+00:15:41,100 --> 00:15:45,160
+اتنين Negative اتنين Negative اتنين Negative اتنين Negative
+
+133
+00:15:45,160 --> 00:15:58,780
+اتنين Negative اتنين Negative اتنين Negative اتنين
+
+134
+00:16:01,690 --> 00:16:08,750
+ال Xn أكبر من أو يساوي واحد، أصغر من أو يساوي اتنين
+
+135
+00:16:08,750 --> 00:16:18,250
+لكل n، هذا من Claim One بيقدي إن ال Limit حسب
+
+136
+00:16:18,250 --> 00:16:25,270
+نظرية سابقة، هذا بيقدي إن ال Limit ل Xn أصغر من أو
+
+137
+00:16:25,270 --> 00:16:31,750
+يساوي اتنين، أكبر من أو يساوي الواحد، وطبعاً ال Limit
+
+138
+00:16:31,750 --> 00:16:37,110
+قلنا ل Xn بساوي x، إذاً واحد أصغر من أو يساوي x أصغر
+
+139
+00:16:37,110 --> 00:16:42,190
+من أو يساوي اتنين، طب أنا عندي خيارين إما x بساوي
+
+140
+00:16:42,190 --> 00:16:49,450
+اتنين أو x بساوي سالب واحد، مش ممكن ال x محصورة بين 
+
+141
+00:16:49,450 --> 00:16:54,090
+واحد و اثنين إذا هذه الإجابة غير مقبولة وبالتالي
+
+142
+00:16:54,090 --> 00:16:59,710
+الـ x بساوي اثنين وهيك بنكون أثبتنا إن الـ sequence
+
+143
+00:16:59,710 --> 00:17:03,650
+is convergent و هي وجدنا الـ limit تبعتها بالمثل
+
+144
+00:17:03,650 --> 00:17:09,130
+ممكن نحل باقي الأسئلة زي مثلا سؤال واحد و اثنين و
+
+145
+00:17:09,130 --> 00:17:16,190
+ثلاثة و خمسة و ستة و سبعة okay
+
+146
+00:17:16,190 --> 00:17:24,550
+تمام في أي أسئلة ثانية في هذا الـ section السؤال تسعة
+
+147
+00:17:37,220 --> 00:18:05,540
+سؤال تسعة هاي
+
+148
+00:18:05,540 --> 00:18:13,770
+السؤال تسعة، الـ section ثلاثة ثلاثة، السؤال هذا بيقول
+
+149
+00:18:13,770 --> 00:18:22,970
+let a be an infinite subset of R و الـ set هذه bounded
+
+150
+00:18:22,970 --> 00:18:32,090
+أو bounded above محدودة
+
+151
+00:18:34,790 --> 00:18:42,530
+من أعلى and
+
+152
+00:18:42,530 --> 00:18:50,170
+let الـ U
+
+153
+00:18:50,170 --> 00:18:53,610
+بساوي الـ supremum للـ set A طبعا الـ set A bounded
+
+154
+00:18:56,560 --> 00:19:00,740
+above وبالتالي by الـ supremum property الـ supremum
+
+155
+00:19:00,740 --> 00:19:07,480
+تبعها exist دعنا نسميه U المطلوب
+
+156
+00:19:07,480 --> 00:19:14,240
+show that show
+
+157
+00:19:14,240 --> 00:19:22,340
+there exist يوجد an increasing ... an increasing
+
+158
+00:19:22,340 --> 00:19:29,900
+subsequence
+
+159
+00:19:29,900 --> 00:19:33,180
+أو sequence there exists an increasing sequence xn
+
+160
+00:19:33,180 --> 00:19:40,120
+contained in A such that الـ limit لسيكوينس xn
+
+161
+00:19:40,120 --> 00:19:51,480
+بساوي U
+
+162
+00:19:51,480 --> 00:19:52,880
+بساوي U
+
+163
+00:20:03,070 --> 00:20:08,150
+I prove من
+
+164
+00:20:08,150 --> 00:20:12,630
+خواص الـ supremum
+
+165
+00:20:12,630 --> 00:20:19,850
+احنا
+
+166
+00:20:19,850 --> 00:20:27,650
+فيها أنا كان لمبة دخلناها قبل هيك وهذه اللمبة بتقول
+
+167
+00:20:27,650 --> 00:20:28,230
+أنه
+
+168
+00:20:42,440 --> 00:20:51,320
+لما أخذناها في أول chapter بتقول أنه ... أفندم؟
+
+169
+00:20:51,320 --> 00:21:05,800
+بنقول an upper bound an upper bound U of الـ set A is
+
+170
+00:21:05,800 --> 00:21:09,540
+the supremum
+
+171
+00:21:11,820 --> 00:21:21,120
+the supremum of a, if and only if لكل
+
+172
+00:21:21,120 --> 00:21:29,260
+إبسلون أكبر من الصفر يوجد x إبسلون ينتمي إلى a
+
+173
+00:21:29,260 --> 00:21:33,680
+بحيث أنه بحيث
+
+174
+00:21:33,680 --> 00:21:37,920
+أنه u سالب إبسلون أصغر من x إبسلون
+
+175
+00:21:40,930 --> 00:21:46,950
+نظبط صح؟ نطبقها لأن أنا عندي هاي U بساوي الـ
+
+176
+00:21:46,950 --> 00:21:52,670
+supremum لـ A إذا لو أخدت for epsilon بساوي واحد
+
+177
+00:21:52,670 --> 00:22:04,190
+أكبر من الصفر يوجد X واحد ينتمي إلى A such that U
+
+178
+00:22:04,190 --> 00:22:17,500
+سالب واحد أصغر من x واحد next
+
+179
+00:22:17,500 --> 00:22:21,240
+for
+
+180
+00:22:21,240 --> 00:22:27,360
+for
+
+181
+00:22:27,360 --> 00:22:33,400
+epsilon بساوي نص لو
+
+182
+00:22:33,400 --> 00:22:37,200
+أخدت الـ epsilon هذه بساوي نص ف choose
+
+183
+00:22:40,760 --> 00:22:51,040
+choose by above لمّا X2
+
+184
+00:22:51,040 --> 00:23:01,180
+تنتمي إلى A وممكن نختار X2 أكبر من أو يساوي X1
+
+185
+00:23:01,180 --> 00:23:08,580
+الأولى هي such that U سالب نص الإبسلون أصغر من X2
+
+186
+00:23:19,440 --> 00:23:29,340
+بعدين now for إبسلون بساوي واحد على ثلاثة أكبر من
+
+187
+00:23:29,340 --> 00:23:34,220
+صفر it choose إذا في اللمّة هذه خدوا إبسلون بساوي
+
+188
+00:23:34,220 --> 00:23:39,520
+ثلث it choose X ثلاثة ينتمي إلى A
+
+189
+00:23:42,410 --> 00:23:48,590
+بحيث انه X ثلاثة هذا ممكن اختاره أكبر من أو يساوي X
+
+190
+00:23:48,590 --> 00:24:03,090
+اثنين and U اللي هو U سالب ثلث أصغر من X ثلاثة صح؟
+
+191
+00:24:03,090 --> 00:24:14,810
+continuing in this process لو استمرنا بالعملية الـ
+
+192
+00:24:14,810 --> 00:24:27,910
+continuing in this process we
+
+193
+00:24:27,910 --> 00:24:35,230
+get by induction عملية
+
+194
+00:24:35,230 --> 00:24:36,790
+استقرائية that
+
+195
+00:24:46,820 --> 00:24:52,740
+for epsilon بساوي واحد على ك أكبر من الصفر
+
+196
+00:24:56,070 --> 00:25:04,030
+there exists xk أكبر من أو يساوي xk زائد واحد such
+
+197
+00:25:04,030 --> 00:25:14,950
+that absolute u سالب واحد على k أصغر من xk وهذا
+
+198
+00:25:14,950 --> 00:25:23,530
+صحيح for every k ينتمي إلى n تمام؟
+
+199
+00:25:32,820 --> 00:25:40,120
+طيب أنا عندي ...
+
+200
+00:25:40,120 --> 00:25:50,560
+خلّيني أمسح اللمّة هذه طيب
+
+201
+00:25:50,560 --> 00:25:56,700
+إذا أنا عندي U نيجاتيف واحد على K طلع أصغر من XK
+
+202
+00:26:00,780 --> 00:26:08,580
+و الـ XK هذه أصغر من أو يساوي الـ U لأن الـ U هو الـ
+
+203
+00:26:08,580 --> 00:26:16,240
+supremum لـ A و XK عنصر في A و الـ U upper bound للـ
+
+204
+00:26:16,240 --> 00:26:22,840
+A ف ... و XK عنصر في A إذا الـ XK لازم يكون أصغر من
+
+205
+00:26:22,840 --> 00:26:31,010
+أو يساوي الـ U و الـ U أصغر من أو يساوي أو أصغر من u
+
+206
+00:26:31,010 --> 00:26:35,790
+زائد واحد على k الكلام هذا صحيح for all k belong
+
+207
+00:26:35,790 --> 00:26:44,830
+to n مظبوط صحيح so احنا أثبتنا هيك أن يوجد
+
+208
+00:26:44,830 --> 00:26:51,810
+sequence يوجد increasing sequence
+
+209
+00:26:51,810 --> 00:27:01,940
+x in او xk مهم XK contained in A such that absolute
+
+210
+00:27:01,940 --> 00:27:10,820
+XK minus U أصغر من واحد على K for all K تنتمي إلى
+
+211
+00:27:10,820 --> 00:27:19,920
+N طيب
+
+212
+00:27:19,920 --> 00:27:23,400
+ما هذا عبارة عن واحد على K في واحد
+
+213
+00:27:26,730 --> 00:27:32,150
+هذا أصغر من أو يساوي واحد في واحد على K لكل K ينتمي
+
+214
+00:27:32,150 --> 00:27:42,410
+ل N إذا hence by previous theorem اللي هي نظرية
+
+215
+00:27:42,410 --> 00:27:47,410
+فاكرينها اثنين أربعة في الـ notes نظرية اثنين أربعة
+
+216
+00:27:47,410 --> 00:27:48,810
+في الـ notes تبعتنا
+
+217
+00:27:54,490 --> 00:28:02,870
+with c بساوي واحد أكبر من صفر and a n او a k a k
+
+218
+00:28:02,870 --> 00:28:12,410
+بساوي واحد على k tends to zero we get تديني
+
+219
+00:28:22,310 --> 00:28:27,970
+نحصل على أن الـ limit ل xk as k tends to infinity
+
+220
+00:28:27,970 --> 00:28:35,470
+بساوي الـ U وهذا هو المطلوب مآم؟ واضح؟ لأن هذا هو
+
+221
+00:28:35,470 --> 00:28:40,490
+البرهان واضح البرهان؟ في أي استفسار؟ في أي شيء مش
+
+222
+00:28:40,490 --> 00:28:49,730
+واضح؟ طيب ماشي الحال خلينا نشوف هاي سؤال ثلاثة
+
+223
+00:29:01,490 --> 00:29:09,710
+سؤال اثنين section ثلاثة ثلاثة فهنا عندي x واحد
+
+224
+00:29:09,710 --> 00:29:17,070
+أنا عندي x واحد عدد أكبر من واحد و x n plus one
+
+225
+00:29:17,070 --> 00:29:22,290
+بساوي بنعرفه
+
+226
+00:29:22,290 --> 00:29:33,410
+على أنه اثنين سالب واحد على x n لكل n عدد طبيعي
+
+227
+00:29:33,410 --> 00:29:45,270
+show اثبتي أن الـ sequence x in is
+
+228
+00:29:45,270 --> 00:29:50,150
+bounded and
+
+229
+00:29:50,150 --> 00:29:56,810
+monotone يعني إما increasing أو
+
+230
+00:29:56,810 --> 00:29:57,330
+decreasing
+
+231
+00:30:01,980 --> 00:30:09,140
+بعدين find الـ limit find its
+
+232
+00:30:09,140 --> 00:30:17,980
+limit إذا إزاي نعملها في سؤال السؤال
+
+233
+00:30:17,980 --> 00:30:24,220
+الرابع إزاي السؤال الرابع okay هنا
+
+234
+00:30:24,220 --> 00:30:25,980
+في بس يعني الـ trick
+
+235
+00:30:32,350 --> 00:30:37,550
+لو كتبنا أول ثلاثة أربع خمس حدود نقدر نشوف وين يعني
+
+236
+00:30:37,550 --> 00:30:41,870
+الـ sequence محصورة بين أي أعداد ايه هو الـ upper
+
+237
+00:30:41,870 --> 00:30:46,950
+bound و الـ lower bound للـ sequence فمثلا لو بدي
+
+238
+00:30:46,950 --> 00:30:52,390
+احسب الحد رقم أي حد واحد أكبر من واحد طب الحد
+
+239
+00:30:52,390 --> 00:31:00,470
+الثاني بساوي اثنين سالب واحد على x واحد لأن أنا
+
+240
+00:31:00,470 --> 00:31:06,090
+عندي هنا باخد n بالساعة واحد تعطيني x اثنين طب أنا
+
+241
+00:31:06,090 --> 00:31:12,210
+عندي x واحد أكبر من واحد هذا بيؤدي إلى أن مخلوق x
+
+242
+00:31:12,210 --> 00:31:25,390
+واحد أصغر من واحد وبالتالي
+
+243
+00:31:33,910 --> 00:31:44,010
+إذا وهذا طبعا عدد موجب أكيد و أصغر من واحد إذا
+
+244
+00:31:44,010 --> 00:31:48,590
+أنا بطرح ... بطرح من الـ ... من الـ ... من الاثنين عدد
+
+245
+00:31:48,590 --> 00:31:54,730
+موجب و أصغر من واحد فهذا هيكون يعني أكيد أكبر من
+
+246
+00:31:54,730 --> 00:32:01,540
+واحد آه لأ هذا بدي يكون أصغر من اثنين هذا بالتأكيد
+
+247
+00:32:01,540 --> 00:32:05,980
+أصغر من اثنين لأن هذا عدد موجب هذا عدد موجب في
+
+248
+00:32:05,980 --> 00:32:09,480
+النهاية بغض النظر أكبر من واحد ولا أصغر من واحد
+
+249
+00:32:09,480 --> 00:32:15,440
+لما أطرح أنا عدد موجب من عدد العدد بيصغر صح فإذا x
+
+250
+00:32:15,440 --> 00:32:23,900
+اثنين أصغر من اثنين طب و x ثلاثة بساوي اثنين سالب
+
+251
+00:32:23,900 --> 00:32:25,540
+واحد على x اثنين
+
+252
+00:32:30,440 --> 00:32:35,840
+برضه هذا عدد موجب فهيكون هذا أصغر من ايه من اثنين
+
+253
+00:32:35,840 --> 00:32:44,960
+و هكذا إذا و طبعا x واحد وهذا
+
+254
+00:32:44,960 --> 00:32:51,740
+العدد أصغر من واحد فهذا أكيد هيطلع أكبر من الواحد
+
+255
+00:32:51,740 --> 00:32:56,460
+إذا هذا هيكون أكبر من واحد و هذا أكبر من واحد إذا
+
+256
+00:32:56,460 --> 00:33:00,880
+واضح أن حدود الـ sequence هتكون محصورة بين واحد و
+
+257
+00:33:00,880 --> 00:33:09,880
+اثنين إذا بقدر أنا أعمل ادعي بقدر ادعي أقول claim
+
+258
+00:33:09,880 --> 00:33:13,720
+واحد
+
+259
+00:33:13,720 --> 00:33:16,200
+أن الـ ...
+
+260
+00:33:21,340 --> 00:33:26,800
+إن Xn أكبر من أو يساوي الواحد أصغر من أو يساوي اثنين
+
+261
+00:33:26,800 --> 00:33:31,840
+لكل N طبعا
+
+262
+00:33:31,840 --> 00:33:41,140
+هذا يعني ممكن برهانه by induction طيب
+
+263
+00:33:41,140 --> 00:33:46,280
+الـ ... إذا هنا prove it
+
+264
+00:33:49,440 --> 00:34:00,540
+prove it by induction الكلام
+
+265
+00:34:00,540 --> 00:34:05,860
+الثاني أن
+
+266
+00:34:05,860 --> 00:34:14,020
+الـ sequence تبعتي بتطلع decreasing x
+
+267
+00:34:14,020 --> 00:34:15,820
+in is decreasing
+
+268
+00:34:21,770 --> 00:34:27,350
+يعني xn أكبر من أو يساوي xn زائد one for every n
+
+269
+00:34:27,350 --> 00:34:33,590
+belonging to n to
+
+270
+00:34:33,590 --> 00:34:41,110
+see this لبرهان ذلك to see this لبرهان ذلك note
+
+271
+00:34:41,110 --> 00:34:47,550
+that note
+
+272
+00:34:47,550 --> 00:34:48,130
+first
+
+273
+00:34:51,100 --> 00:35:05,320
+لاحظي أولاً أن x n ناقص واحد لكل تربيع لو أخدت حد
+
+274
+00:35:05,320 --> 00:35:11,120
+رقم n و طرحت منه واحد و ربعته هذا مربع كامل فهذا
+
+275
+00:35:11,120 --> 00:35:17,560
+أكيد أكبر من أو يساوي صفر أي مربع كامل أي مربع
+
+276
+00:35:17,560 --> 00:35:23,290
+كامل لأي عدد حقيقي بيطلع غير سالب طبعا هذا لما
+
+277
+00:35:23,290 --> 00:35:30,610
+نربعه بيطلع x x n squared ناقص اثنين x n زائد واحد
+
+278
+00:35:30,610 --> 00:35:40,470
+وهذا مجموع من
+
+279
+00:35:40,470 --> 00:35:44,690
+المتباينة هذه بنستنتج هذا بيؤدي
+
+280
+00:35:55,680 --> 00:36:10,260
+هذا بيؤدي أن اثنين X N زائد واحد أو 
+
+281
+00:36:10,260 --> 00:36:18,840
+هذا بيقدي أنه Xn+1 أكبر من أو يساوي Xn
+
+282
+00:36:18,840 --> 00:36:24,340
+تربية ودي هذا عن ناحية التانية لاحظي هذا كله أكبر 
+
+283
+00:36:24,340 --> 00:36:27,820
+من أو يساوي صفر ودي هذا عن ناحية التانية بطلع Xn
+
+284
+00:36:27,820 --> 00:36:33,720
+تربية أكبر من أو يساوي 2Xn - 1 وهذا
+
+285
+00:36:33,720 --> 00:36:40,660
+الكلام صحيح لكل N وهذا
+
+286
+00:36:40,660 --> 00:36:55,140
+بقدربدوره انه Xn+1 - Xn 
+
+287
+00:36:55,140 --> 00:37:06,760
+أكبر من أو يساوي 2(-1)
+
+288
+00:37:06,760 --> 00:37:07,820
+على Xn
+
+289
+00:37:18,300 --> 00:37:23,720
+إذا أنا جسمي إضرب في 1 على Xn الـ Xn هنا عدد ال
+
+290
+00:37:23,720 --> 00:37:30,200
+.. الـ Xn موجة بقى الـ Xn كلها عدد موجة بقى لاحظي 
+
+291
+00:37:30,200 --> 00:37:40,640
+انت هنا .. إن احنا ضربنا في Xn عدد موجب أو لأ جسمنا
+
+292
+00:37:40,640 --> 00:37:48,360
+أو ضربنا في 1 على Xn هذا عدد موجب فبطلع
+
+293
+00:37:48,360 --> 00:37:52,100
+عندي Xn وشريط المتتابعة طبق زي ما هي و 2
+
+294
+00:37:52,100 --> 00:37:56,500
+-1 على Xn الآن هذا by definition of the
+
+295
+00:37:56,500 --> 00:38:00,860
+sequence من الـ recursive formula هي الـ recursive
+
+296
+00:38:00,860 --> 00:38:04,720
+formula أو الـ inductive formula بتقول إن هذا الفرق
+
+297
+00:38:04,720 --> 00:38:09,900
+بتطلع Xn+1 إذا الكلام هذا صحيح لكل n
+
+298
+00:38:09,900 --> 00:38:15,900
+وبالتالي إذا هيطلع عندي Xn أكبر من أو يساوي Xn+1
+
+299
+00:38:15,900 --> 00:38:24,140
+لكل n إذا الـ sequence Xn is decreasing متناقصة
+
+300
+00:38:26,080 --> 00:38:35,420
+الآن من الـ claims 1 و 2 تطلع now X
+
+301
+00:38:35,420 --> 00:38:40,700
+n is
+
+302
+00:38:40,700 --> 00:38:44,460
+decreasing and bounded
+
+303
+00:38:48,230 --> 00:38:52,870
+حسب claim 1 و claim 2 so by monotone
+
+304
+00:38:52,870 --> 00:39:03,610
+convergence theorem Xn converges say limit Xn
+
+305
+00:39:03,610 --> 00:39:10,670
+بالساوي X for some X ينتمي إلى R الآن بنجيب قيمة
+
+306
+00:39:10,670 --> 00:39:22,760
+الـ limit اللي هي الـ X فنرجع للـ inductive formula to
+
+307
+00:39:22,760 --> 00:39:34,360
+find X we have من الـ inductive formula أنا عندي الـ
+
+308
+00:39:34,360 --> 00:39:44,140
+limit لـ Xn+1 equals 2 بالساوي 2
+
+309
+00:39:44,140 --> 00:39:50,820
+-1 على limit Xn هذا لما آخذ الـ limit
+
+310
+00:39:50,820 --> 00:39:57,140
+للطرفين في ��لـ inductive formula طب هذا طرف الشمال
+
+311
+00:39:57,140 --> 00:40:03,530
+بالساوي X والطرف اليمين 1 على X الآن حل المعادلة
+
+312
+00:40:03,530 --> 00:40:08,510
+هاد في X اضرب في X بطلع عندي X تربيع - 2X
+
+313
+00:40:08,510 --> 00:40:14,770
++1 بالساوي 0 وانت بتحلل الى X - 2
+
+314
+00:40:14,770 --> 00:40:25,550
+X - 1 الكل تربيع بالساوي 0 فبطلع X بالساوي
+
+315
+00:40:25,550 --> 00:40:31,630
+1 وهذا صحيح لأن الـ Xn لاحظوا في claim 1 Xn
+
+316
+00:40:31,630 --> 00:40:35,150
+معصورة بين 1 و 2 إذا الـ limit تبقى بتطلع 
+
+317
+00:40:35,150 --> 00:40:40,530
+معصورة بين 1 و 2 فالجواب 1 مقبول إذا هذا
+
+318
+00:40:40,530 --> 00:40:49,890
+هو هي الـ limit طلعت بالساوي 1 تمام في
+
+319
+00:40:49,890 --> 00:40:51,010
+أي أسئلة تانية
+
+320
+00:41:02,130 --> 00:41:06,830
+في معناه وجهة إنحال كمان سؤال إذا بتحبه سيكشن 
+
+321
+00:41:06,830 --> 00:41:08,210
+البعيدة 3 4
+
+322
+00:41:26,730 --> 00:41:33,870
+سيكشن 3 4 فش ولا سؤال عندكم
+
+323
+00:41:33,870 --> 00:41:44,030
+فحللكم 
+
+324
+00:41:44,030 --> 00:41:49,390
+سؤال يحداش لانه واضح إن انتوا مش دارسين فنحل
+
+325
+00:41:49,390 --> 00:41:52,370
+السؤال هيك أنا هحلكم يعني من هندي
+
+326
+00:41:57,800 --> 00:42:07,280
+إذن سؤال 11 سيكشن 3 4 suppose
+
+327
+00:42:07,280 --> 00:42:10,860
+افترضي
+
+328
+00:42:10,860 --> 00:42:19,320
+إن Xn أكبر من أو يساوي 0 for every natural number
+
+329
+00:42:19,320 --> 00:42:30,510
+n and الـ limit للـ sequence (-1)^n Xn
+
+330
+00:42:30,510 --> 00:42:34,150
+exists
+
+331
+00:42:34,150 --> 00:42:39,110
+show
+
+332
+00:42:39,110 --> 00:42:48,490
+برهنة إن الـ sequence Xn convergence
+
+333
+00:43:42,520 --> 00:43:51,900
+Okay خلينا نشوف الـ .. طيب احنا نشوف solution
+
+334
+00:43:55,820 --> 00:44:00,460
+say احنا فرضين إن الـ limit للـ sequence هذه exist
+
+335
+00:44:00,460 --> 00:44:07,520
+فافترضي إن الـ limit للـ sequence (-1)^n as n في
+
+336
+00:44:07,520 --> 00:44:14,720
+Xn as n tends to infinity الـ limit للـ sequence هذه
+
+337
+00:44:14,720 --> 00:44:19,620
+بيساوي X for some X ينتمي الـ R
+
+338
+00:44:27,140 --> 00:44:39,900
+الآن then the subsequences الـ subsequences اللي هي 
+
+339
+00:44:39,900 --> 00:44:49,780
+لو (-1)
+
+340
+00:44:49,780 --> 00:44:57,030
+^2n و (-1)^(2n-1) in X2n و X2n-1 in هذه الـ converge لـ
+
+341
+00:44:57,030 --> 00:45:02,030
+X هذه الـ subsequence من الـ sequence هذه بس حدودها 
+
+342
+00:45:02,030 --> 00:45:09,210
+الزوجية and كمان الـ subsequence اللي حدودها
+
+343
+00:45:09,210 --> 00:45:10,050
+الفردية
+
+344
+00:45:18,430 --> 00:45:22,850
+برضه converge لـ X لأن في عندي نظرية بتقول إذا كانت
+
+345
+00:45:22,850 --> 00:45:27,070
+الـ sequence convergent لـ X فأي subsequence منها
+
+346
+00:45:27,070 --> 00:45:31,270
+بتكون convergent لنفس الـ X هذه subsequence من الـ
+
+347
+00:45:31,270 --> 00:45:37,890
+sequence هذه أخدت الحدود الزوجية وهذه subsequence
+
+348
+00:45:37,890 --> 00:45:41,470
+من الـ sequence هذه اللي هي مدة تالية الحدود 
+
+349
+00:45:41,470 --> 00:45:49,920
+الفردية طيب من هنا لاحظوا (-1)^2n
+
+350
+00:45:49,920 --> 00:45:54,820
+تطلع 1 وبالتالي الـ sequence هذه هي نفس الـ
+
+351
+00:45:54,820 --> 00:46:04,500
+sequence X2n عفواً X2n و (-1) لما
+
+352
+00:46:04,500 --> 00:46:08,220
+يكون الأس تبعها فرد تطلع -1 إذا هذه -
+
+353
+00:46:08,220 --> 00:46:14,040
+يعني - الـ sequence X2n - 1
+
+354
+00:46:16,730 --> 00:46:35,630
+تمام؟ طيب أنا عندي من الفرض by
+
+355
+00:46:35,630 --> 00:46:40,990
+hypothesis من الفرض أنا عندي Xn أكبر من أو يساوي
+
+356
+00:46:40,990 --> 00:46:54,340
+0 لكل n في N فهذا بيدي إنه X2N و أيضا X2N-1 أكبر
+
+357
+00:46:54,340 --> 00:47:01,940
+من أو يساوي 0 لكل N في الـ natural numbers وهذا
+
+358
+00:47:01,940 --> 00:47:11,040
+بيقدي بدوره إلى إنه الـ X اللي هي من هنا X بالساوي
+
+359
+00:47:11,040 --> 00:47:14,500
+ليه بالساوي limit X2N
+
+360
+00:47:16,870 --> 00:47:22,690
+هي عندي هذا
+
+361
+00:47:22,690 --> 00:47:32,230
+هو هذا من هنا بطلع عندي limit X2N بالساوي X ومن هنا 
+
+362
+00:47:32,230 --> 00:47:41,810
+بطلع عندي limit - X2N - 1 بالساوي X أو 
+
+363
+00:47:45,510 --> 00:47:48,610
+الـ -1 بيطلع برة الـ limit فبطلع عندي limit 
+
+364
+00:47:48,610 --> 00:47:56,770
+X2N - 1 بالساوي - X مظبوط؟
+
+365
+00:47:56,770 --> 00:48:02,170
+إذا هي عندي أنا limit X2N - 1 هذا بيطلع 
+
+366
+00:48:02,170 --> 00:48:10,450
+بالساوي - X أو لأ في الأول الـ X بالساوي limit X2N
+
+367
+00:48:10,450 --> 00:48:15,280
+وهذا بيطلع أكبر من أو يساوي 0 لأن أنا عندي X2N
+
+368
+00:48:15,280 --> 00:48:19,900
+أكبر من أو يساوي 0 لكل n فلما تكون الـ sequence 
+
+369
+00:48:19,900 --> 00:48:23,800
+حدودها غير سالبة فالـ limit تبعتها إذا كانت 
+
+370
+00:48:23,800 --> 00:48:27,660
+convergent الـ limit تبعتها تطلع غير سالبة وكذلك
+
+371
+00:48:27,660 --> 00:48:36,980
+- X اللي هي بالساوي limit X2N - 1 برضه أنا 
+
+372
+00:48:36,980 --> 00:48:42,850
+عندي X2N - 1 كلهم أعداد غير سالبة والـ 
+
+373
+00:48:42,850 --> 00:48:46,550
+sequence هذه convergent إذا الـ limit تبعتها بتطلع 
+
+374
+00:48:46,550 --> 00:48:50,450
+غير سالبة إذا
+
+375
+00:48:50,450 --> 00:48:55,950
+أنا من هنا بطلع عندي حاجتين X أكبر من أو يساوي 0
+
+376
+00:48:55,950 --> 00:49:04,280
+and - X and - X أكبر من أو يساوي 0
+
+377
+00:49:04,280 --> 00:49:10,060
+هذا بيؤدي إن X أكبر من أو يساوي 0 and اضرب في
+
+378
+00:49:10,060 --> 00:49:15,520
+-1 بيطلع X أصغر من أو يساوي 0 الآن أنا في 
+
+379
+00:49:15,520 --> 00:49:19,740
+عندي عدد حقيقي أكبر من أو يساوي 0 and أصغر من أو
+
+380
+00:49:19,740 --> 00:49:30,300
+يساوي 0 بيؤدي إن X بالساوي 0 تمام إذا طلع عندي 
+
+381
+00:49:30,300 --> 00:49:31,020
+هنا الـ
+
+382
+00:49:34,250 --> 00:49:40,070
+الـ limit هذه X بالساوي 0 الآن
+
+383
+00:49:40,070 --> 00:49:51,850
+تعالوا نثبت now given |Xn| > 0 it
+
+384
+00:49:51,850 --> 00:49:59,030
+choose how they exist capital 
+
+385
+00:49:59,030 --> 00:50:01,550
+N عدد طبيعي
+
+386
+00:50:04,240 --> 00:50:11,660
+بحيث إن لكل n أكبر من أو يساوي N هذا بيقدي
+
+387
+00:50:11,660 --> 00:50:23,140
+إن |Xn - 0| بالساوي |(-1)^n Xn - 0| لأن 
+
+388
+00:50:23,140 --> 00:50:30,960
+|Xn - 0| لأن 
+
+389
+00:50:30,960 --> 00:50:33,340
+هنا المفروض اكتب هنا since
+
+390
+00:50:36,490 --> 00:50:44,610
+مش احنا فرضين إنه الـ since limit (-1)^n قص ان 
+
+391
+00:50:44,610 --> 00:50:54,750
+في Xn بالساوي X بالساوي 0 احنا 
+
+392
+00:50:54,750 --> 00:50:58,910
+من الفرض أنا عندي إن الـ limit هذه موجودة تمام
+
+393
+00:50:58,910 --> 00:51:04,270
+وفرضناها X واثبتنا إن الـ limit تبعتها طلعت X 
+
+394
+00:51:04,270 --> 00:51:10,220
+بالساوي 0 الآن بما إنه limit الـ sequence هذه بالساوي
+
+395
+00:51:10,220 --> 00:51:14,220
+0، إذا من تعريف الـ limit for any given epsilon
+
+396
+00:51:14,220 --> 00:51:18,540
+يوجد N يعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر 
+
+397
+00:51:18,540 --> 00:51:22,960
+من أو يساوي N بطلع المسافة بين الحد العام 
+
+398
+00:51:22,960 --> 00:51:30,200
+والـ limit X اللي هي 0 أصغر من epsilon فهيك أنا 
+
+399
+00:51:30,200 --> 00:51:36,540
+بطلع عندي |Xn - 0| أصغر من epsilon إذا 
+
+400
+00:51:36,540 --> 00:51:40,120
+هنا أثبتت إنه لأي epsilon أكبر من الـ 0 يوجد
+
+401
+00:51:40,120 --> 00:51:44,100
+N يعتمد على epsilon بحيث لكل N أكبر منه
+
+402
+00:51:44,100 --> 00:51:48,140
+يساوي N المسافة بين Xn و 0 أصغر من epsilon
+
+403
+00:51:48,140 --> 00:51:53,040
+فهذا بيقدي إنه هذا معناه حسب تعريف epsilon N
+
+404
+00:51:53,040 --> 00:51:58,260
+إن الـ limit للـ sequence Xn موجودة وبالساوي
+
+405
+00:51:58,260 --> 00:52:01,890
+0 وبالتالي هيك أثبتنا إن الـ sequence Xn
+
+406
+00:52:01,890 --> 00:52:06,390
+convergence ومش هيك وبس ونهايتها كمان بالساوي
+
+407
+00:52:06,390 --> 00:52:15,170
+0 okay تمام إذا هذا حل السؤال 11 ونكتفي بهذا
+
+408
+00:52:15,170 --> 00:52:21,690
+القدر من حل المسائل ونكمل إن شاء الله حل
+
+409
+00:52:21,690 --> 00:52:26,290
+المسائل في المناقشة القادمة يوم السبت الجاي أو يوم
+
+410
+00:52:26,290 --> 00:52:32,830
+الخميس مع الشعبات التانية فنوقف هنا ونواصل إن شاء
+
+411
+00:52:32,830 --> 00:52:40,790
+الله يوم السبت الجاي تكمل المناقشة السكاشن اللي هي
+
+412
+00:52:40,790 --> 00:52:43,550
+3 4 و 3 5 و 3 6 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/db6AFymIrl8.srt

@@ -0,0 +1,1227 @@
+1
+00:00:19,490 --> 00:00:23,130
+بسم الله الرحمن الرحيم في المحاضرة هذه هناخد يعني
+
+2
+00:00:23,130 --> 00:00:31,510
+مناقشة أو هنناقش بعض المسائل في section 4-1 و 4-2 
+
+3
+00:00:31,510 --> 00:00:41,650
+فإحدى الطالبات سألت في سؤال بقول برهن الجزء B من 
+
+4
+00:00:41,650 --> 00:00:52,390
+theorem 4.2.4 using the sequential criterion لأن هنا
+
+5
+00:00:52,390 --> 00:00:56,910
+use sequential
+
+6
+00:00:56,910 --> 00:01:01,370
+.. sequential
+
+7
+00:01:01,370 --> 00:01:06,410
+argument use 
+
+8
+00:01:06,410 --> 00:01:15,290
+sequential formulation on
+
+9
+00:01:15,290 --> 00:01:15,750
+limit
+
+10
+00:01:21,840 --> 00:01:27,040
+فالبرهان ذلك let .. هنستخدم الـ sequential
+
+11
+00:01:27,040 --> 00:01:30,380
+criterion
+
+12
+00:01:30,380 --> 00:01:39,860
+let x_n be a sequence contained in A such that
+
+13
+00:01:39,860 --> 00:01:50,000
+limit طبعا حدودها تباعتها مختلفة عن الـ C such
+
+14
+00:01:50,000 --> 00:01:56,610
+that lim x_n as n tends to infinity = c
+
+15
+00:01:56,610 --> 00:02:03,050
+خلّينا نختار sequence في المجال المشترك تبع
+
+16
+00:02:03,050 --> 00:02:08,290
+الدالتين F و H وحدودها مختلفة عن ال C ونهايتها بساوي
+
+17
+00:02:08,290 --> 00:02:08,610
+C
+
+18
+00:02:16,250 --> 00:02:21,290
+by the sequential criterion حسب sequential criterion
+
+19
+00:02:21,290 --> 00:02:32,430
+for limits to show ان ال limit ل F على H as X
+
+20
+00:02:32,430 --> 00:02:42,590
+tends to C = L على H it
+
+21
+00:02:42,590 --> 00:02:43,570
+suffices
+
+22
+00:02:45,740 --> 00:02:53,260
+it suffices to show يكفي اثبات ان ال limit لل
+
+23
+00:02:53,260 --> 00:03:02,220
+image لسيكوينس xn لما n تقول ل infinity = L
+
+24
+00:03:02,220 --> 00:03:07,020
+على H لو اثبتت الكلام هذا فحسب السيكوينش هي كتير
+
+25
+00:03:07,020 --> 00:03:11,380
+تانيا بطلع limit F على H = capital L على
+
+26
+00:03:11,380 --> 00:03:12,140
+capital H
+
+27
+00:03:17,270 --> 00:03:24,050
+فنشوف to this end to
+
+28
+00:03:24,050 --> 00:03:36,670
+this end و لإثبات ذلك يعني we
+
+29
+00:03:36,670 --> 00:03:40,710
+have from
+
+30
+00:03:40,710 --> 00:03:44,170
+the sequential criterion
+
+31
+00:03:47,320 --> 00:03:56,200
+that lim f(x_n) as n tends to infinity = 
+
+32
+00:03:56,200 --> 00:04:01,600
+L أنا عندي فارض ان lim f(x) من x أول ل c =
+
+33
+00:04:01,600 --> 00:04:06,720
+L إذا by the sequential criterion هذا بكافئ انه لأي
+
+34
+00:04:06,720 --> 00:04:12,680
+sequence x_n نهايتها c بطلع نهاية صورتها = L
+
+35
+00:04:12,680 --> 00:04:18,140
+و كذلك and أنا عندي lim الـ function h(x) من x
+
+36
+00:04:18,140 --> 00:04:22,320
+تقولها c = h by the sequential criterion كمان بره
+
+37
+00:04:22,320 --> 00:04:27,120
+طبخيها على ال function h بما أن x_n sequence
+
+38
+00:04:27,120 --> 00:04:34,460
+نهايتها c إذا نهايت صرتها under h يعني lim h(
+
+39
+00:04:34,460 --> 00:04:43,840
+x_n) as n tends to infinity = capital H hence
+
+40
+00:04:45,840 --> 00:04:57,980
+وبالتالي ال limit ل f على h(x) لما x
+
+41
+00:04:57,980 --> 00:05:10,220
+تقول ل xn لما n تقول ل infinity هذا بساوي lim
+
+42
+00:05:12,840 --> 00:05:22,580
+f(x_n) على h(x_n) لما n تقول infinity ويساوي
+
+43
+00:05:22,580 --> 00:05:29,560
+أنا عندي lim h(x_n) exist وبيستويش صفر
+
+44
+00:05:29,560 --> 00:05:35,080
+وبيستويش صفر فممكن استخدم قوانين النهايات لسيكوانس
+
+45
+00:05:35,080 --> 00:05:40,420
+فlim sequence على lim sequence = lim
+
+46
+00:05:40,420 --> 00:05:41,140
+البسط
+
+47
+00:05:44,990 --> 00:05:50,170
+lim ال sequence في ال بسط على lim ال sequence
+
+48
+00:05:50,170 --> 00:05:55,330
+في المقام و
+
+49
+00:05:55,330 --> 00:05:58,010
+lim ال sequence في المقام بيساوي صفر اذا انا
+
+50
+00:05:58,010 --> 00:06:01,090
+بقدر ايه اقول lim ال quotient بيساوي the
+
+51
+00:06:01,090 --> 00:06:07,330
+quotient of the limits وهذا بيطلع lim ال بسط
+
+52
+00:06:07,330 --> 00:06:14,920
+تطلع L lim المقام H وهذا البنيةإن حسب الـ
+
+53
+00:06:14,920 --> 00:06:19,020
+sequential criterion بيطلع lim F على H عندما X
+
+54
+00:06:19,020 --> 00:06:24,020
+تقوى ل C = L على H هذا هو المقصود الـ
+
+55
+00:06:24,020 --> 00:06:28,740
+sequential formulation واضح؟ طيب، مين عندها أسئلة
+
+56
+00:06:28,740 --> 00:06:35,540
+تانية؟ في section 4, 1 أو 4, 2؟
+
+57
+00:06:35,540 --> 00:06:40,080
+طيب،
+
+58
+00:06:40,080 --> 00:06:41,580
+خليني أمسح اللوحي الأول
+
+59
+00:07:20,820 --> 00:07:28,800
+هذه السؤال تمانية section أربعة واحد show that
+
+60
+00:07:28,800 --> 00:07:38,120
+أثبتي أنه ال limit of the square root of X الـ
+
+61
+00:07:38,120 --> 00:07:44,060
+square root function as X tends to C = ال
+
+62
+00:07:44,060 --> 00:07:48,340
+square root of C for any
+
+63
+00:07:51,920 --> 00:07:59,200
+C أكبر من السفر proof
+
+64
+00:08:02,940 --> 00:08:09,860
+أحنا في النهاية عايزين نثبت أنه الفرق بين f(x)
+
+65
+00:08:09,860 --> 00:08:16,700
+absolute الفرق بين f(x) و f(c) اللي هي جدر ال
+
+66
+00:08:16,700 --> 00:08:21,680
+c بدنا في النهاية هذا يكون أصغر من أي given
+
+67
+00:08:21,680 --> 00:08:22,140
+epsilon
+
+68
+00:08:25,220 --> 00:08:31,760
+حيث x المسافة بينها وبين z ال c أصغر من delta و
+
+69
+00:08:31,760 --> 00:08:36,480
+delta to be determined يعني هيتم تعيينها لاحقا
+
+70
+00:08:36,480 --> 00:08:42,240
+okay طب ما هذا بيساوي absolute
+
+71
+00:08:46,520 --> 00:08:54,060
+must go هاي جدر ال X - جدر ال C و بنضرب في
+
+72
+00:08:54,060 --> 00:09:03,660
+المرافق اللي هو جدر ال X + جدر ال C في جدر ال X
+
+73
+00:09:03,660 --> 00:09:10,540
++ جدر ال C بنضرب
+
+74
+00:09:10,540 --> 00:09:19,050
+بسط مقام في المرافقوهذا بيطلع بيساوي absolute x
+
+75
+00:09:19,050 --> 00:09:32,850
+- c على جدر x + جدر c وهذا
+
+76
+00:09:32,850 --> 00:09:41,810
+بيساوي absolute x - c على جدر x + جدر c
+
+77
+00:09:45,070 --> 00:09:50,090
+طبعا ال X هنا لازم تكون عدد موجب أكبر من أو يساوي
+
+78
+00:09:50,090 --> 00:09:58,470
+صفر إذا هنا عندي .. أنا عندي ال X أكبر من أو يساوي
+
+79
+00:09:58,470 --> 00:10:04,630
+صفر إذا جذر ال X أكبر من أو يساوي صفر وبالتالي جذر
+
+80
+00:10:04,630 --> 00:10:12,230
+ال X + جذر ال C أكبر من أو يساوي جذر ال C صح؟
+
+81
+00:10:12,230 --> 00:10:14,470
+وبالتالي
+
+82
+00:10:16,780 --> 00:10:23,460
+هذا بيقدر من 1 على جذر ال X زي جذر ال C أصغر من
+
+83
+00:10:23,460 --> 00:10:29,980
+أو يساوي 1 على جذر ال C إذاً هذا بيطلع أصغر من
+
+84
+00:10:29,980 --> 00:10:35,860
+أو يساوي 1 على جذر ال C في absolute X - C
+
+85
+00:10:35,860 --> 00:10:42,300
+تمام؟ الآن لما يكون هذا أصغر من Delta
+
+86
+00:10:44,960 --> 00:10:48,980
+لما يكون هذا أصغر من دلتا لما يكون هذا أصغر من
+
+87
+00:10:48,980 --> 00:10:56,080
+دلتا فهذا هيكون أصغر من 1 على جدر ال C في دلتا
+
+88
+00:10:56,080 --> 00:11:01,960
+صح؟ و لو أنا بدي أكون هذا خليه
+
+89
+00:11:05,310 --> 00:11:11,610
+وبدي في النهاية هذا يكون أصغر من epsilon صح؟ إذا
+
+90
+00:11:11,610 --> 00:11:17,830
+كيف بدي أخد ال delta؟ جدر ال c في epsilon اه okay
+
+91
+00:11:17,830 --> 00:11:23,810
+تمام؟ إذا هنا هذا بيقدي أن ال delta ممكن أخدها أي
+
+92
+00:11:23,810 --> 00:11:28,850
+عدد أصغر من أو يساوي طبعا عدد موجب وأصغر من أو يساوي
+
+93
+00:11:28,850 --> 00:11:34,840
+جدر ال c في epsilon عشان يطلع المقدار هذا أصغر من
+
+94
+00:11:34,840 --> 00:11:38,400
+إبسلون بالتالي المقدار هذا أصغر من إبسلون إذا
+
+95
+00:11:38,400 --> 00:11:42,340
+شوفتوا كيف نجيب الـ delta إذا نجيب نقول let
+
+96
+00:11:42,340 --> 00:11:51,200
+epsilon let epsilon > 0 be given choose
+
+97
+00:11:51,200 --> 00:12:01,410
+delta = جذر ال C هذا عدد موجب ضرب إمسلن فهذا
+
+98
+00:12:01,410 --> 00:12:06,370
+أكيد بيطلع عدد موجب ويعتمد على إمسلن و هيو بيعتمد
+
+99
+00:12:06,370 --> 00:12:10,870
+على إمسلن then
+
+100
+00:12:10,870 --> 00:12:20,750
+لكل X بحيث absolute x - c > 0 <
+
+101
+00:12:20,750 --> 00:12:27,830
+الـ delta هذه هذا بتضمن أن absolute جذر الـ x
+
+102
+00:12:27,830 --> 00:12:38,260
+- جذر الـ c قلنا هذا طلع أصغر من أو يساوي 1
+
+103
+00:12:38,260 --> 00:12:46,060
+على جذر C في absolute X - C وطبعا هذا الأن طلع
+
+104
+00:12:46,060 --> 00:12:57,160
+أصغر من 1 على جذر C في Delta وهذا أصغر من أو
+
+105
+00:12:57,160 --> 00:13:04,100
+يساوي الأبسلون وبالتالي
+
+106
+00:13:04,100 --> 00:13:09,480
+حسب تعريف Epsilon Delta بطلع عندى اللى .. اللى أنا
+
+107
+00:13:09,480 --> 00:13:22,200
+عايزه since
+
+108
+00:13:22,200 --> 00:13:29,620
+epsilon > 0 was arbitrary لأن we have
+
+109
+00:13:29,620 --> 00:13:36,510
+أثبتنا حسب التعريف إن ال limit لجدر ال X ��ما X تقول
+
+110
+00:13:36,510 --> 00:13:47,690
+إلى C = جدر ال C وهو المضمن OK تمام واضح الحل
+
+111
+00:13:47,690 --> 00:13:53,570
+واضح البرهان إذا لكل epsilon > 0 اختاري ال
+
+112
+00:13:53,570 --> 00:13:58,210
+delta اللي بتشتغل صح هي جدر ال C هذا عدد موجب ثابت
+
+113
+00:13:58,210 --> 00:14:06,940
+ضرب ال epsilon اللي احنا بدينا فيها تمام؟ okay طيب
+
+114
+00:14:06,940 --> 00:14:12,360
+في أسئلة تانية؟ في أي استفسار؟
+
+115
+00:14:12,360 --> 00:14:22,220
+في أي أسئلة تانية؟ section 4-1 أو 4-2 الناس اللي
+
+116
+00:14:22,220 --> 00:14:28,300
+بتدرس و اللي حاولة تتحل الأسئلة و عندها بعض
+
+117
+00:14:28,300 --> 00:14:34,200
+الصعوبات في حل الأسئلة مين عندها؟ أي استفسار؟
+
+118
+00:14:34,200 --> 00:14:36,520
+السؤال اتناش اربعة اتنين
+
+119
+00:15:19,790 --> 00:15:31,090
+السؤال 12 أربعة اتنين في
+
+120
+00:15:31,090 --> 00:15:38,850
+عندي function f from R to R such
+
+121
+00:15:38,850 --> 00:15:50,420
+that f(x + y) = f(x) + f(y) for
+
+122
+00:15:50,420 --> 00:16:00,780
+every x و y in R assume
+
+123
+00:16:00,780 --> 00:16:03,920
+ان
+
+124
+00:16:03,920 --> 00:16:14,620
+ال limit f(x) as x tends to zero = عدد L
+
+125
+00:16:14,620 --> 00:16:16,820
+exists
+
+126
+00:16:19,070 --> 00:16:28,110
+يعني أدب real number prove
+
+127
+00:16:28,110 --> 00:16:40,930
+حاجتي الواحد ال = صفر لان limit
+
+128
+00:16:40,930 --> 00:16:44,290
+f
+
+129
+00:16:44,290 --> 00:16:44,950
+(x)
+
+130
+00:16:48,250 --> 00:16:59,370
+كما يظهر X لـ C لجميع الـ C التانية لـ R لما
+
+131
+00:16:59,370 --> 00:17:05,770
+نثبت أن الـ limit لها تساوي صفر ثم الـ function F
+
+132
+00:17:05,770 --> 00:17:12,230
+لها limit للأعداد الحقيقية C والكتاب يعطيك hint
+
+133
+00:17:12,230 --> 00:17:20,490
+يعني إرشاد كيف يعني تبدأ الحل بطريقة صحية proof
+
+134
+00:17:20,490 --> 00:17:24,410
+فخلينا
+
+135
+00:17:24,410 --> 00:17:33,150
+نبرهن الجزء الأول لحظة
+
+136
+00:17:33,150 --> 00:17:37,780
+أن ال function هذه بتحقق الشرط هذابنسميه
+
+137
+00:17:37,780 --> 00:17:42,880
+additivity ال function f بتحافظ على عملية الجمع
+
+138
+00:17:42,880 --> 00:17:48,100
+بتاخد مجموعة حاجتين تعطي صورتها مجموعة صورهم
+
+139
+00:17:48,100 --> 00:17:52,360
+فبنقول f أي function بتحقق خاصية زي هذه بنسميها
+
+140
+00:17:52,360 --> 00:17:57,570
+additive يعني دالة جمعية بتحافظ على عملية الجمع تبع 
+
+141
+00:17:57,570 --> 00:18:03,170
+الأعداد الحقيقية فبناء على الخاصية هذه لو كانت ال
+
+142
+00:18:03,170 --> 00:18:07,450
+function f لها limit  و صفر فال limit هذه لازم 
+
+143
+00:18:07,450 --> 00:18:13,630
+تكون بساوي صفر  خمتها صفر فكيف ممكن نثبت الكلام هذا
+
+144
+00:18:13,630 --> 00:18:19,590
+نسمي
+
+145
+00:18:19,590 --> 00:18:22,190
+هذا الفرض star
+
+146
+00:18:25,940 --> 00:18:34,100
+by hypothesis star من الفرض star أنا عندي  h أو ال
+
+147
+00:18:34,100 --> 00:18:42,500
+function f of two x إيش بتساوي؟ بتساوي f of x زائد
+
+148
+00:18:42,500 --> 00:18:47,260
+x مظبوط و من الفرض star
+
+149
+00:18:51,230 --> 00:18:58,670
+f of x زائد x بيساوي f of x زائد f of x صح يعني
+
+150
+00:18:58,670 --> 00:19:13,710
+بيساوي اثنين في f of x تمام طيب
+
+151
+00:19:13,710 --> 00:19:20,130
+take limit of both sides take limit
+
+152
+00:19:22,620 --> 00:19:29,320
+of both sides as
+
+153
+00:19:29,320 --> 00:19:39,900
+x tends to zero we get نحصل على انه ال limit ل f ل
+
+154
+00:19:39,900 --> 00:19:50,380
+2x لما x تقول ل 0 بساوي 2 في ال limit ل f of x لما
+
+155
+00:19:50,380 --> 00:19:51,720
+x تقول ل 0
+
+156
+00:19:56,790 --> 00:20:01,490
+Limit f of x من اكسا اولا صفر بساوي من الفرض
+
+157
+00:20:01,490 --> 00:20:08,610
+موجودة و بساوي L في اثنين بطلع اثنين L و ال limit
+
+158
+00:20:08,610 --> 00:20:14,230
+هذه هي نفسها limit
+
+159
+00:20:17,140 --> 00:20:27,440
+لـ F of 2X لما 2X تقول لـ 0 صح؟ لما X تقول لـ 0،
+
+160
+00:20:27,440 --> 00:20:38,460
+2X تقول لـ 0 و هذه هي نفسها ال limit ل F of Y لما
+
+161
+00:20:38,460 --> 00:20:48,520
+Y تقول لـ 0 صح؟ خدي Y بساوي 2X فالمهي هنا limit f
+
+162
+00:20:48,520 --> 00:20:54,400
+of y لما y تقل ل 0 ال independent variable ده سميه
+
+163
+00:20:54,400 --> 00:20:59,760
+x سميه y it doesn't matter مش مهم اه لإن هذا برضه
+
+164
+00:20:59,760 --> 00:21:07,080
+ال limit هذه بساوي L لإن أنا أصبح عندي لإن أنا
+
+165
+00:21:07,080 --> 00:21:14,040
+أصبح عندي أنا معادلة L بساوي two L حل المعادلة هذه
+
+166
+00:21:15,510 --> 00:21:23,150
+في ال فهذا بيقدي ان ال L بيساوي صفر صح ان هنا اثبتت
+
+167
+00:21:23,150 --> 00:21:28,350
+ان العدد ال L اللي هو limit لل function if and صفر
+
+168
+00:21:28,350 --> 00:21:35,370
+بيطلع بساوي صفر صحيح ولا سهل ان
+
+169
+00:21:35,370 --> 00:21:41,710
+الكتاب بيحط رجلكم قدامكم على بداية الطريق استغلي
+
+170
+00:21:41,710 --> 00:21:42,050
+صح
+
+171
+00:21:45,430 --> 00:21:57,650
+واضح البرهان هنا تمام نبرهن الجزء الثاني طيب
+
+172
+00:21:57,650 --> 00:22:03,570
+نبرهن الجزء الثاني برضه
+
+173
+00:22:03,570 --> 00:22:13,250
+الجزء الثاني فيه له hint فنستخدم ال hint also
+
+174
+00:22:15,670 --> 00:22:24,930
+by hypothesis star حسب
+
+175
+00:22:24,930 --> 00:22:31,630
+الفرض star ال function هذه is additive وبالتالي f
+
+176
+00:22:31,630 --> 00:22:40,750
+of x هي نفسها f of x ناقص c زائد c صح؟
+
+177
+00:22:44,780 --> 00:22:52,200
+و هذا بيساوي F
+
+178
+00:22:52,200 --> 00:23:03,900
+of X ناقص C زائد F of C تمام طيب هذا صحيح for all
+
+179
+00:23:03,900 --> 00:23:13,100
+C ينتمي ل R و طبعا for all X و for all X ينتمي ل R
+
+180
+00:23:14,280 --> 00:23:19,900
+في مشكلة طيب الان نفس الحاجة اخد ال limit للطرفين
+
+181
+00:23:19,900 --> 00:23:30,540
+take limit of both sides لما x تقول ل c اذا limit
+
+182
+00:23:30,540 --> 00:23:40,780
+f of x لما x تقول ل c بساوي limit الطرفين اليومين
+
+183
+00:23:40,780 --> 00:23:44,240
+مجموعة limit مجموعة بيساوي مجموعة limits لأن limit
+
+184
+00:23:44,240 --> 00:23:48,660
+الحد الأول exist هنشوف ان limit الحد الأول موجودة
+
+185
+00:23:48,660 --> 00:23:52,320
+و limit الحد الثاني موجودة وبالتالي limit المجموعة
+
+186
+00:23:52,320 --> 00:23:59,000
+بيساوي مجموعة limits فlimit f of x ناقص c as x
+
+187
+00:23:59,000 --> 00:24:01,160
+tends to c زائد
+
+188
+00:24:08,360 --> 00:24:25,360
+limit f of x لمّا x تقول لـ c limit
+
+189
+00:24:25,360 --> 00:24:30,140
+f
+
+190
+00:24:30,140 --> 00:24:33,960
+of x لمّا x تقول لـ c
+
+191
+00:24:37,080 --> 00:24:44,860
+ال limit هذه لو أخدت y بساوي x ناقص c فبطلع x
+
+192
+00:24:44,860 --> 00:24:53,900
+بساوي y زائد c وبالتالي
+
+193
+00:24:53,900 --> 00:25:01,220
+لما x تقول ل c لما x تقول ل c هذا بيقدي ان y تقول
+
+194
+00:25:01,220 --> 00:25:12,090
+ل 0 صح؟ إذن هذه هي نفس limitF of Y لما Y تقول لـ 0
+
+195
+00:25:12,090 --> 00:25:15,550
+وذلك
+
+196
+00:25:15,550 --> 00:25:22,690
+ببتعوض عن X ناقص C بساوي Y وهذا عدد ثابت F of C
+
+197
+00:25:22,690 --> 00:25:29,950
+عدد ثابت نهايته نفس العدد الثابت F of C Y ساوي طيب
+
+198
+00:25:29,950 --> 00:25:34,510
+احنا لسه من الفرض فرضين ان limit F of Y لما Y تقول
+
+199
+00:25:34,510 --> 00:25:42,440
+لـ 0 بساوي L اللي هو صفر إذاً هذا بيساوي العدد L
+
+200
+00:25:42,440 --> 00:25:46,860
+اللي هو صفر زائد
+
+201
+00:25:46,860 --> 00:25:55,600
+F of C اللي هو F of C إذاً
+
+202
+00:25:55,600 --> 00:26:00,160
+هنا أثبتنا إنه limit F of X لما X تقول لـ C exist
+
+203
+00:26:00,160 --> 00:26:01,880
+و بيساوي F of C
+
+204
+00:26:05,410 --> 00:26:09,530
+تمام؟ إذا هين أثبتنا أن ال limit لل function عند
+
+205
+00:26:09,530 --> 00:26:17,170
+أي c exist و بساوي f of c و هذا طبعا الشرط اللي ..
+
+206
+00:26:17,170 --> 00:26:21,090
+لاحظوا أنتوا limit f of x عند أي c بتطلعت بالساوية
+
+207
+00:26:21,090 --> 00:26:25,970
+قيمة الدالة عن ال c هذا حسب chapter 5 هذا معناه أن
+
+208
+00:26:25,970 --> 00:26:31,510
+الدالة هذه تطلع continuous عند أي نقطة في المجال
+
+209
+00:26:31,510 --> 00:26:36,670
+تبعها Okay إذا النتيجة الخلاصة من ال exercise هذا
+
+210
+00:26:36,670 --> 00:26:43,030
+exercise كتير مهم وهو إنه اللي لو كان في عندى
+
+211
+00:26:43,030 --> 00:26:50,370
+function from R to R و ال function هذه additive و
+
+212
+00:26:50,370 --> 00:26:56,700
+نهايتها عند الصفر موجودة فالدال هذا بتطلع متصلة عن
+
+213
+00:26:56,700 --> 00:27:00,100
+كل الأعداد الحقيقية هذا النتيجة النهائية هذا ا��لي
+
+214
+00:27:00,100 --> 00:27:08,040
+أثبتناه في الجزء الثاني okay تمام؟ وهذه نتيجة مهمة
+
+215
+00:27:08,040 --> 00:27:15,020
+ومعروفة في كورسات ال real analysis المتقدمة تمام
+
+216
+00:27:15,020 --> 00:27:20,860
+واضح؟ في أي استفسار؟ إذا شفتوا هنا يعني كيف استغلنا
+
+217
+00:27:20,860 --> 00:27:26,080
+الفرض star و كيف استغلنا ال hint الإرشادات اللي
+
+218
+00:27:26,080 --> 00:27:29,860
+أعطينا إياها الكتاب فاحنا ممكن نجيبلكم في الامتحان
+
+219
+00:27:29,860 --> 00:27:38,320
+أسئلة و نعطيلكم hint عليها أساسا كبداية للحل أو
+
+220
+00:27:38,320 --> 00:27:43,570
+البرهان الصحي و الشاطرة اللي تستغلها صح Okay تمام
+
+221
+00:27:43,570 --> 00:27:48,130
+في أي أسئلة تانية section أربعة واحد أو أربعة اثنين
+
+222
+00:27:48,130 --> 00:27:50,030
+رقم تلات عشر أربعة اثنين
+
+223
+00:28:25,120 --> 00:28:33,640
+أي سؤال تلتاش سيكشن أربعة اثنين في عندي F function
+
+224
+00:28:33,640 --> 00:28:39,020
+from A to R و
+
+225
+00:28:39,020 --> 00:28:49,560
+C belong to R is a cluster point cluster point of
+
+226
+00:28:49,560 --> 00:28:50,220
+A
+
+227
+00:29:03,780 --> 00:29:18,360
+فالـ limit لـ f of x لما x تقول لـ c exists prove
+
+228
+00:29:18,360 --> 00:29:29,240
+أن ال limit ل absolute f of x لما x تقول ل c
+
+229
+00:29:29,240 --> 00:29:31,720
+بيساوي
+
+230
+00:29:34,790 --> 00:29:42,870
+بتساوي absolute limit f of x لما x تقوم بالاسم
+
+231
+00:29:42,870 --> 00:29:48,950
+where
+
+232
+00:29:48,950 --> 00:29:59,690
+حيث و where حيث absolute f الـ absolute value لأي
+
+233
+00:29:59,690 --> 00:30:05,550
+function تطلع function تانية تعريفها عند أي x أو
+
+234
+00:30:05,550 --> 00:30:13,430
+قيمتها عند أي x بساوي absolute f of x لكل x
+
+235
+00:30:27,830 --> 00:30:33,090
+بمعنى آخر إذا كان في عندي function و ال limit لها
+
+236
+00:30:33,090 --> 00:30:38,510
+ان c موجودة ف limit ال absolute value لها بتكون
+
+237
+00:30:38,510 --> 00:30:43,970
+موجودة و تساوي ال absolute value لل limit يعني
+
+238
+00:30:43,970 --> 00:30:48,090
+ممكن ابدل ال limit مع ال absolute value أو ادخل ال
+
+239
+00:30:48,090 --> 00:30:53,730
+limit داخل ال absolute value وهذه حقيقة صحيحة لأن
+
+240
+00:30:53,730 --> 00:30:56,550
+ال absolute value function متتصرة
+
+241
+00:31:02,530 --> 00:31:19,850
+Okay تمام ف ..
+
+242
+00:31:19,850 --> 00:31:30,030
+طيب يعني
+
+243
+00:31:30,030 --> 00:31:38,610
+say دعونا نفترض أن ال limit ل f of x لما x تقول إلى
+
+244
+00:31:38,610 --> 00:31:44,870
+c بساوي عدد L ينتمي ل R مش ال limit had existed
+
+245
+00:31:44,870 --> 00:31:48,830
+سميها L و
+
+246
+00:31:48,830 --> 00:31:52,430
+المطلوب we need to show
+
+247
+00:31:58,250 --> 00:32:08,570
+نحتاج أن نظهر أن الـ limit لـ absolute f of x as x
+
+248
+00:32:08,570 --> 00:32:11,510
+tends to c بساوي absolute L
+
+249
+00:32:35,630 --> 00:32:44,970
+أنا في نهاية
+
+250
+00:32:44,970 --> 00:32:52,570
+الأمر بدي أثبت أن الـ absolute بدي
+
+251
+00:32:52,570 --> 00:32:55,690
+في النهاية يكون هذا أصغر من أي جيبل إبسلون
+
+252
+00:32:58,740 --> 00:33:05,380
+لكل x بحيث ان absolute x ناقص c أكبر من صفر أصغر
+
+253
+00:33:05,380 --> 00:33:17,660
+من delta where delta to be determined يعني
+
+254
+00:33:17,660 --> 00:33:23,560
+هنحددها لاحقا هذا ايه عشان اثبت ان ال limit ال
+
+255
+00:33:23,560 --> 00:33:29,700
+function هذه يعني x بساوي absolute الفبدأثبت ان
+
+256
+00:33:29,700 --> 00:33:33,300
+absolute الفرخ هذا أصغر من epsilon عندما يكون
+
+257
+00:33:33,300 --> 00:33:39,240
+المسافة بين ال X و ال C أصغر من delta و X لا تساوي
+
+258
+00:33:39,240 --> 00:33:46,580
+ال C for some delta تعتمد على ال given epsilon طب
+
+259
+00:33:46,580 --> 00:33:50,860
+أنا عندي هذا
+
+260
+00:33:50,860 --> 00:33:57,000
+بيساوي absolute absolute F of X ناقص absolute
+
+261
+00:34:09,920 --> 00:34:16,520
+تمام؟ وهذا باستخدام ال triangle inequality أصغر من
+
+262
+00:34:16,520 --> 00:34:23,440
+أو ساوي absolute f of x ناقص L صح؟ في صورة من صور
+
+263
+00:34:23,440 --> 00:34:26,140
+ال triangle inequality يجب تقول إن هذا ال absolute
+
+264
+00:34:26,140 --> 00:34:30,140
+value ل absolute a ناقص absolute b أصغر من
+
+265
+00:34:30,140 --> 00:34:35,880
+absolute a ناقص b طب أنا عندي limit f of x لما x
+
+266
+00:34:35,880 --> 00:34:41,400
+اقولها c بالساوي L فممكن اخلي هذا اصغر من اي given
+
+267
+00:34:41,400 --> 00:34:47,540
+epsilon وبالتالي هذه بتصير اصغر من اي epsilon okay
+
+268
+00:34:47,540 --> 00:34:52,420
+تمام إذا هنا خلينا نشوف
+
+269
+00:35:03,620 --> 00:35:09,800
+let epsilon أكبر
+
+270
+00:35:09,800 --> 00:35:18,820
+من الصفر be given بما انه since ال limit احنا فرضين
+
+271
+00:35:18,820 --> 00:35:25,840
+انه limit ل F of X عند X بساوي C بساوي L إذا يوجد
+
+272
+00:35:25,840 --> 00:35:31,580
+Delta تعتمد على ابسلون عدد موجب بحيث انه لكل X
+
+273
+00:35:31,580 --> 00:35:37,060
+ينتمي إلى A و absolute X ناقص C اصغر من Delta
+
+274
+00:35:37,060 --> 00:35:45,550
+أكبر من صفر هذا بيقدي إنه absolute f of x ناقص L
+
+275
+00:35:45,550 --> 00:35:51,890
+أصغر من إبسلم نسمي هذا star نسمي ال implication
+
+276
+00:35:51,890 --> 00:36:03,570
+هذا star hence
+
+277
+00:36:08,200 --> 00:36:16,880
+by triangle inequality من متبينة المثلث x ينتمي by
+
+278
+00:36:16,880 --> 00:36:26,260
+triangle inequality and star we have لدينا لو كان
+
+279
+00:36:26,260 --> 00:36:32,680
+x ينتمي ل a و absolute x ناقص c أكبر من صفر أصغر
+
+280
+00:36:32,680 --> 00:36:48,240
+من delta فهذا بيقدي انه absolute .. absolute f of x 
+
+281
+00:36:48,240 --> 00:36:59,300
+minus absolute الـ L هذا بيساوي absolute ..
+
+282
+00:36:59,300 --> 00:37:06,060
+absolute f of x minus absolute L
+
+283
+00:37:12,840 --> 00:37:17,300
+وهذا by الـ triangle inequality by الـ triangle
+
+284
+00:37:17,300 --> 00:37:24,520
+inequality أصغر من أو يساوي absolute f of x minus
+
+285
+00:37:24,520 --> 00:37:32,300
+L و by star absolute f of x minus l أصغر من إبسلون
+
+286
+00:37:32,300 --> 00:37:41,020
+تمام؟ since إبسلون was
+
+287
+00:37:41,020 --> 00:37:41,740
+arbitrary
+
+288
+00:37:47,340 --> 00:37:53,990
+إذاً we have هكذا مكون أسبابنا أنه لأي epsilon أكبر 
+
+289
+00:37:53,990 --> 00:37:59,950
+من الصفر يوجد delta تعتمد على epsilon عدد موجب من
+
+290
+00:37:59,950 --> 00:38:06,350
+حيث لكل x ينتمي لـ a و المسافة بين x و c أصغر من
+
+291
+00:38:06,350 --> 00:38:11,630
+delta و x لا تساوي c فللـ absolute value لـ f of x
+
+292
+00:38:11,630 --> 00:38:15,930
+minus absolute L أصغر من epsilon، إذن هذا معناه
+
+293
+00:38:15,930 --> 00:38:21,460
+حسب epsilon delta definition of limit إن الـ limit
+
+294
+00:38:21,460 --> 00:38:29,780
+لـ absolute f of x as x tends to c بيساوي absolute لـ
+
+295
+00:38:29,780 --> 00:38:33,140
+L 
+
+296
+00:38:33,140 --> 00:38:38,420
+المطلوب وهذا اللي احنا عايزين نثبته هذا هو البرهان
+
+297
+00:38:39,940 --> 00:38:45,060
+إذا هنا لعب دور كبير في البرهان هو الـ triangle
+
+298
+00:38:45,060 --> 00:38:52,420
+inequality و الفرض إنه limit and c موجودة بالساوية 
+
+299
+00:38:52,420 --> 00:38:58,420
+L okay تمام؟ إذا أهمية الـ exercise هذا يعتبر نظرية
+
+300
+00:38:58,420 --> 00:39:02,120
+و النظرية هذه بتقول إذا كان في end function
+
+301
+00:39:02,120 --> 00:39:07,590
+نهايتها and c موجودة فنهاية الـ absolute value للـ
+
+302
+00:39:07,590 --> 00:39:11,610
+function بيساوي الـ absolute value للـ limit بمعنى
+
+303
+00:39:11,610 --> 00:39:15,870
+آخر أنا ممكن أدخل الـ limit داخل الـ absolute value
+
+304
+00:39:15,870 --> 00:39:22,710
+أو أبدل الـ limit مع الـ absolute value okay تمام
+
+305
+00:39:22,710 --> 00:39:26,630
+واضح؟ في أسئلة تانية؟
+
+306
+00:39:35,800 --> 00:39:43,260
+أي سؤال أي استفسار okay
+
+307
+00:39:43,260 --> 00:39:45,560
+إذا نكتفي بهذا القدر 

PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/db6AFymIrl8_postprocess.srt

@@ -0,0 +1,1228 @@
+1
+00:00:19,490 --> 00:00:23,130
+بسم الله الرحمن الرحيم في المحاضرة هذه هناخد يعني
+
+2
+00:00:23,130 --> 00:00:31,510
+مناقشة أو هنناقش بعض المسائل في section 4-1 و 4-2
+
+3
+00:00:31,510 --> 00:00:41,650
+فإحدى الطالبات سألت في سؤال بقول برهن الجزء B من
+
+4
+00:00:41,650 --> 00:00:52,390
+theorem 4.2.4using sequential criterion لان هنا
+
+5
+00:00:52,390 --> 00:00:56,910
+use sequential
+
+6
+00:00:56,910 --> 00:01:01,370
+.. sequential
+
+7
+00:01:01,370 --> 00:01:06,410
+argument use
+
+8
+00:01:06,410 --> 00:01:15,290
+sequential formulation on
+
+9
+00:01:15,290 --> 00:01:15,750
+limit
+
+10
+00:01:21,840 --> 00:01:27,040
+فالبرهان ذلك let .. هنستخدم الـ sequential
+
+11
+00:01:27,040 --> 00:01:30,380
+criterion
+
+12
+00:01:30,380 --> 00:01:39,860
+let x in بـ sequence contained in A such that
+
+13
+00:01:39,860 --> 00:01:50,000
+limit طبعا الحدود تباعتها مختلفة عن الـ C such
+
+14
+00:01:50,000 --> 00:01:56,610
+that limitx in as n tends to infinity بساوي c
+
+15
+00:01:56,610 --> 00:02:03,050
+خلّينا نختار sequence في المجال المشترك تبع
+
+16
+00:02:03,050 --> 00:02:08,290
+الدالتين FWH وحدودها مختلفة عن ال C ونهايتها بساوي
+
+17
+00:02:08,290 --> 00:02:08,610
+C
+
+18
+00:02:16,250 --> 00:02:21,290
+by sequential criterion حسب sequential criterion
+
+19
+00:02:21,290 --> 00:02:32,430
+for limits to show ان ال limit ل F على H as X
+
+20
+00:02:32,430 --> 00:02:42,590
+tends to C بساوي L على H it
+
+21
+00:02:42,590 --> 00:02:43,570
+suffices
+
+22
+00:02:45,740 --> 00:02:53,260
+it suffices to show يكفي اثبات ان ال limit لل
+
+23
+00:02:53,260 --> 00:03:02,220
+image لسيكوينس xn لما n تقول ل infinity بساوي L
+
+24
+00:03:02,220 --> 00:03:07,020
+على H لو اثبتت الكلام هذا فحسب السيكوينش هي كتير
+
+25
+00:03:07,020 --> 00:03:11,380
+تانيا بطلع limit F على H بساوي capital L على
+
+26
+00:03:11,380 --> 00:03:12,140
+capital H
+
+27
+00:03:17,270 --> 00:03:24,050
+فنشوف to this end to
+
+28
+00:03:24,050 --> 00:03:36,670
+this end و لإثبات ذلك يعني we
+
+29
+00:03:36,670 --> 00:03:40,710
+have from
+
+30
+00:03:40,710 --> 00:03:44,170
+sequential criterion
+
+31
+00:03:47,320 --> 00:03:56,200
+that limit f of x in as n tends to infinity بساوي
+
+32
+00:03:56,200 --> 00:04:01,600
+L أنا عندي فارض ان limit f of x من x أول ل c بساوي
+
+33
+00:04:01,600 --> 00:04:06,720
+L اذا by sequential criterion هذا بكافئ انه لأي
+
+34
+00:04:06,720 --> 00:04:12,680
+sequence x in نهايتها c بطلع نهاية صورتها بساوي L
+
+35
+00:04:12,680 --> 00:04:18,140
+و كذلك andأنا عندي limit الـ function h of x من x
+
+36
+00:04:18,140 --> 00:04:22,320
+تقولها c بساوي h by sequential criterion كمان بره
+
+37
+00:04:22,320 --> 00:04:27,120
+طبخيها على ال function h بما أن x in sequence
+
+38
+00:04:27,120 --> 00:04:34,460
+نهايتها c إذا نهايت صرتها under h يعني limit h of
+
+39
+00:04:34,460 --> 00:04:43,840
+x in as n tends to infinity بساوي capital H hence
+
+40
+00:04:45,840 --> 00:04:57,980
+وبالتالي ال limit ل f على h of x لما x
+
+41
+00:04:57,980 --> 00:05:10,220
+تقول ل xn لما n تقول ل infinity هذا بساوي limit
+
+42
+00:05:12,840 --> 00:05:22,580
+f of x,n على h of x,n لما n تقول infinity ويساوي
+
+43
+00:05:22,580 --> 00:05:29,560
+انا انا اندي limit h of x,n exist وبيستويش سفر
+
+44
+00:05:29,560 --> 00:05:35,080
+وبيستويش سفر فممكن استخدم قوانين النهايات لسيكوانس
+
+45
+00:05:35,080 --> 00:05:40,420
+فlimit sequence على limit sequence بساوي limit
+
+46
+00:05:40,420 --> 00:05:41,140
+البسط
+
+47
+00:05:44,990 --> 00:05:50,170
+limit ال sequence في ال bus على limit ال sequence
+
+48
+00:05:50,170 --> 00:05:55,330
+في المقام و
+
+49
+00:05:55,330 --> 00:05:58,010
+limit ال sequence في المقام بيساوي سفر اذا انا
+
+50
+00:05:58,010 --> 00:06:01,090
+بقدر ايه اقول limit ال quotient بيساوي the
+
+51
+00:06:01,090 --> 00:06:07,330
+quotient of the limits وهذا بيطلع limit ال bus
+
+52
+00:06:07,330 --> 00:06:14,920
+تطلع L limit المقام H وهذا البنيةإن حسب الـ
+
+53
+00:06:14,920 --> 00:06:19,020
+sequential criterion بيطلع limit F على H عندما X
+
+54
+00:06:19,020 --> 00:06:24,020
+تقوى ل C بيساوي L على H هذا هو المقصود الـ
+
+55
+00:06:24,020 --> 00:06:28,740
+sequential formulation واضح؟ طيب، مين عندها أسئلة
+
+56
+00:06:28,740 --> 00:06:35,540
+تانية؟ في section 4, 1 أو 4, 2؟
+
+57
+00:06:35,540 --> 00:06:40,080
+طيب،
+
+58
+00:06:40,080 --> 00:06:41,580
+خليني أمسح اللوحي الأول
+
+59
+00:07:20,820 --> 00:07:28,800
+هذه السؤال تمانية section أربعة واحد show that
+
+60
+00:07:28,800 --> 00:07:38,120
+أثبتي أنه ال limit of the square root of X الـ
+
+61
+00:07:38,120 --> 00:07:44,060
+square root function as X tends to C بساوي ال
+
+62
+00:07:44,060 --> 00:07:48,340
+square root of C for any
+
+63
+00:07:51,920 --> 00:07:59,200
+C أكبر من السفر proof
+
+64
+00:08:02,940 --> 00:08:09,860
+أحنا في النهاية عايزين نثبت أنه الفرق بين f of x
+
+65
+00:08:09,860 --> 00:08:16,700
+absolute الفرق بين f of x و f of c اللي هي جدر ال
+
+66
+00:08:16,700 --> 00:08:21,680
+c بدنا في النهاية هذا يكون أصغر من أي given
+
+67
+00:08:21,680 --> 00:08:22,140
+epsilon
+
+68
+00:08:25,220 --> 00:08:31,760
+حيث x المسافة بينها وبين z ال c أصغر من delta و
+
+69
+00:08:31,760 --> 00:08:36,480
+delta to be determined يعني هيتم تعيينها لاحقا
+
+70
+00:08:36,480 --> 00:08:42,240
+okay طب ما هذا بيساوي absolute
+
+71
+00:08:46,520 --> 00:08:54,060
+must go هاي جدر ال X سالب جدر ال C و بنضرب في
+
+72
+00:08:54,060 --> 00:09:03,660
+المرافق اللي هو جدر ال X زائد جدر ال C في جدر ال X
+
+73
+00:09:03,660 --> 00:09:10,540
+زائد جدر ال C بنضرب
+
+74
+00:09:10,540 --> 00:09:19,050
+بسط مقام في المرافقوهذا بيطلع بيساوي absolute x
+
+75
+00:09:19,050 --> 00:09:32,850
+minus c على جدر x plus جدر sc وهذا
+
+76
+00:09:32,850 --> 00:09:41,810
+بيساوي absolute x minus c على جدر x plus جدر sc
+
+77
+00:09:45,070 --> 00:09:50,090
+طبعا ال X هنا لازم تكون عدد موجب أكبر من أو ساوي
+
+78
+00:09:50,090 --> 00:09:58,470
+سفر إذا هنا عندي .. أنا عندي ال X أكبر من أو ساوي
+
+79
+00:09:58,470 --> 00:10:04,630
+سفر إذا جذر ال X أكبر من أو ساوي سفر وبالتالي جذر
+
+80
+00:10:04,630 --> 00:10:12,230
+ال X plus جذر ال C أكبر من أو ساوي جذر ال C صح؟
+
+81
+00:10:12,230 --> 00:10:14,470
+وبالتالي
+
+82
+00:10:16,780 --> 00:10:23,460
+هذا بيقدر من واحد على جذر ال X زي جذر ال C أصغر من
+
+83
+00:10:23,460 --> 00:10:29,980
+أو ساوي واحد على جذر ال C إذاً هذا بيطلع أصغر من
+
+84
+00:10:29,980 --> 00:10:35,860
+أو ساوي واحد على جذر ال C في absolute X minus C
+
+85
+00:10:35,860 --> 00:10:42,300
+تمام؟ الآن لما يكون هذا أصغر من Delta
+
+86
+00:10:44,960 --> 00:10:48,980
+لما يكون هذا أصغر من دلتا لما يكون هذا أصغر من
+
+87
+00:10:48,980 --> 00:10:56,080
+دلتا فهذا هيكون أصغر من واحد على جدر ال C في دلتا
+
+88
+00:10:56,080 --> 00:11:01,960
+صح؟ و لو أنا بدي أكون هذا خليه
+
+89
+00:11:05,310 --> 00:11:11,610
+وبدي في النهاية هذا يكون أصغر من epsilon صح؟ إذا
+
+90
+00:11:11,610 --> 00:11:17,830
+كيف بدي أخد ال delta؟ جدر ال c في epsilon اه okay
+
+91
+00:11:17,830 --> 00:11:23,810
+تمام؟ إذا هنا هذا بيقدي أن ال delta ممكن أخدها أي
+
+92
+00:11:23,810 --> 00:11:28,850
+عدد أصغر من أو ساوي طبعا عدد موجب وأصغر من أو ساوي
+
+93
+00:11:28,850 --> 00:11:34,840
+جدر ال c في epsilonعشان يطلع المقدار هذا أصغر من
+
+94
+00:11:34,840 --> 00:11:38,400
+إبسلون بالتالي المقدار هذا أصغر من إبسلون إذا
+
+95
+00:11:38,400 --> 00:11:42,340
+شوفتوا كيف نجيب الـ delta إذا نجيب نقول let
+
+96
+00:11:42,340 --> 00:11:51,200
+epsilon let epsilon أكبر من السفر be given choose
+
+97
+00:11:51,200 --> 00:12:01,410
+delta بتساويالجذر ال C هذا عدد موجب ضرب إمسلن فهذا
+
+98
+00:12:01,410 --> 00:12:06,370
+أكيد بيطلع عدد موجب ويعتمد على إمسلن و هيو بيعتمد
+
+99
+00:12:06,370 --> 00:12:10,870
+على إمسلن then
+
+100
+00:12:10,870 --> 00:12:20,750
+لكل Xبحيث absolute x minus c أكبر من سفر أصغر من
+
+101
+00:12:20,750 --> 00:12:27,830
+الـ delta هذه هذا بتضمن أن absolute جذر الـ x
+
+102
+00:12:27,830 --> 00:12:38,260
+minus جذر الـ c قلنا هذا طلع أصغر من أو يساويواحد
+
+103
+00:12:38,260 --> 00:12:46,060
+على جذر C في absolute X minus C وطبعا هذا الأن طلع
+
+104
+00:12:46,060 --> 00:12:57,160
+أصغر من واحد على جذر C في Delta وهذا أصغر من أو
+
+105
+00:12:57,160 --> 00:13:04,100
+يساوي الأبسلون وبالتالي
+
+106
+00:13:04,100 --> 00:13:09,480
+حسب تعريف Epsilon Deltaبط��ع عندى اللى .. اللى أنا
+
+107
+00:13:09,480 --> 00:13:22,200
+عايزه since
+
+108
+00:13:22,200 --> 00:13:29,620
+epsilon أكبر من السفر was arbitrary لأن we have
+
+109
+00:13:29,620 --> 00:13:36,510
+أثبتنا حسب التعريفإن ال limit لجدر ال X لما X تقول
+
+110
+00:13:36,510 --> 00:13:47,690
+إلى C بساوي جدر ال C وهو المضمن OK تمام واضح الحل
+
+111
+00:13:47,690 --> 00:13:53,570
+واضح البرهام إذا لكل epsilon أكبر من 0 اختاري ال
+
+112
+00:13:53,570 --> 00:13:58,210
+delta اللي بتشتغل صح هي جدر ال C هذا عدد موجة ثابت
+
+113
+00:13:58,210 --> 00:14:06,940
+ضرب ال epsilon اللي احنا بدينا فيهاتمام؟ okay طيب
+
+114
+00:14:06,940 --> 00:14:12,360
+في أسئلة تانية؟ في أي استفسار؟
+
+115
+00:14:12,360 --> 00:14:22,220
+في أي أسئلة تانية؟ section 4-1 أو 4-2 الناس اللي
+
+116
+00:14:22,220 --> 00:14:28,300
+بتدرس و اللي حاولة تتحل الأسئلة و عندها بعض
+
+117
+00:14:28,300 --> 00:14:34,200
+الصعوبات في حل الأسئلةمين عندها؟ أي استفسار؟
+
+118
+00:14:34,200 --> 00:14:36,520
+السؤال اتناش اربعة اتنين
+
+119
+00:15:19,790 --> 00:15:31,090
+السؤال 12 اربعة اتنين في
+
+120
+00:15:31,090 --> 00:15:38,850
+عندي function f from R to R such
+
+121
+00:15:38,850 --> 00:15:50,420
+that f of x plus y بساوي f of x plus f of yfor
+
+122
+00:15:50,420 --> 00:16:00,780
+every x و y in R assume
+
+123
+00:16:00,780 --> 00:16:03,920
+ان
+
+124
+00:16:03,920 --> 00:16:14,620
+ال limit f of x as x tends to zero بسوى عدد L
+
+125
+00:16:14,620 --> 00:16:16,820
+exists
+
+126
+00:16:19,070 --> 00:16:28,110
+يعني أدب real number prove
+
+127
+00:16:28,110 --> 00:16:40,930
+حاجتي الواحد ال بساوي سفر لان limit
+
+128
+00:16:40,930 --> 00:16:44,290
+f
+
+129
+00:16:44,290 --> 00:16:44,950
+of x
+
+130
+00:16:48,250 --> 00:16:59,370
+كما يظهر X لـ C لجميع الـ C تلتانيه لـ R لما
+
+131
+00:16:59,370 --> 00:17:05,770
+نثبت أن الـ limit لها تساوي سفر ثم الـ function F
+
+132
+00:17:05,770 --> 00:17:12,230
+لها limitالأعداد الحقيقية C والكتاب يعطيك hint
+
+133
+00:17:12,230 --> 00:17:20,490
+يعني إرشاد كيف يعني تبدأ الحل بطريقة صحية proof
+
+134
+00:17:20,490 --> 00:17:24,410
+فخلينا
+
+135
+00:17:24,410 --> 00:17:33,150
+نبرهن الجزء الأول لحظة
+
+136
+00:17:33,150 --> 00:17:37,780
+أن ال function هذه بتحقق الشرط هذابنسميه
+
+137
+00:17:37,780 --> 00:17:42,880
+additivity ال function f بتحافظ على عملية الجمع
+
+138
+00:17:42,880 --> 00:17:48,100
+بتاخد مجموعة حاجتين تعطي صورتها مجموعة صورهم
+
+139
+00:17:48,100 --> 00:17:52,360
+فبنقول f أي function بتحقق خاصية زي هذه بنسميها
+
+140
+00:17:52,360 --> 00:17:57,570
+additive يعني دالة جمعيةبتحافظ على عملية الجمع تبع
+
+141
+00:17:57,570 --> 00:18:03,170
+الأعداد الحقيقية فبناء على الخاصية هذه لو كانت ال
+
+142
+00:18:03,170 --> 00:18:07,450
+function f لها limit and سفر فال limit هذه لازم
+
+143
+00:18:07,450 --> 00:18:13,630
+تكون بساوي سفر خمتها سفر فكيف ممكن نثبت الكلام هذا
+
+144
+00:18:13,630 --> 00:18:19,590
+نسمي
+
+145
+00:18:19,590 --> 00:18:22,190
+هذا الفرض star
+
+146
+00:18:25,940 --> 00:18:34,100
+by hypothesis star من الفرض star انا عندي h او ال
+
+147
+00:18:34,100 --> 00:18:42,500
+function f of two x ايش بتساوي؟ بتساوي f of x زاد
+
+148
+00:18:42,500 --> 00:18:47,260
+x مظبوط و من الفرض star
+
+149
+00:18:51,230 --> 00:18:58,670
+f of x زاد x بيساوي f of x زاد f of x صح يعني
+
+150
+00:18:58,670 --> 00:19:13,710
+بيساوي اتنين في f of x تمام طيب
+
+151
+00:19:13,710 --> 00:19:20,130
+take limit of both sides take limit
+
+152
+00:19:22,620 --> 00:19:29,320
+of both sides as
+
+153
+00:19:29,320 --> 00:19:39,900
+x tends to zero we get نحصل على انه ال limit ل f ل
+
+154
+00:19:39,900 --> 00:19:50,380
+2x لما x تقول ل 0 بساوي 2 في ال limit ل f of x لما
+
+155
+00:19:50,380 --> 00:19:51,720
+x تقول ل 0
+
+156
+00:19:56,790 --> 00:20:01,490
+Limit f of x من اكسا اولا سفر بساوي من الفرض
+
+157
+00:20:01,490 --> 00:20:08,610
+موجودة و بساوي L في اتنين بطلع اتنين L و ال limit
+
+158
+00:20:08,610 --> 00:20:14,230
+هذه هي نفسها limit
+
+159
+00:20:17,140 --> 00:20:27,440
+لـ F of 2X لما 2X تقول لـ 0 صح؟ لما X تقول لـ 0،
+
+160
+00:20:27,440 --> 00:20:38,460
+2X تقول لـ 0 و هذه هي نفسها ال limit ل F of Y لما
+
+161
+00:20:38,460 --> 00:20:48,520
+Y تقول لـ 0 صح؟ خدي Y بساوي 2Xفالمهي هنا limit f
+
+162
+00:20:48,520 --> 00:20:54,400
+of y لما y تقل ل 0 ال independent variable ده سميه
+
+163
+00:20:54,400 --> 00:20:59,760
+x سميه y it doesn't matter مش مهم اه لإن هذا برضه
+
+164
+00:20:59,760 --> 00:21:07,080
+ال limit هذه بساوي L لإن أنا أصبح عندي لإن أنا
+
+165
+00:21:07,080 --> 00:21:14,040
+أصبح عندي أنا معادلة L بساوي two L حل المعادلة هذه
+
+166
+00:21:15,510 --> 00:21:23,150
+في ال فهذا بيقدي ان ال بيساوي سفر صح ان هنا اثبتت
+
+167
+00:21:23,150 --> 00:21:28,350
+ان العدد ال اللي هو limit لل function if and السفر
+
+168
+00:21:28,350 --> 00:21:35,370
+بيطلع بساوي سفر صحيح ولا سهل ان
+
+169
+00:21:35,370 --> 00:21:41,710
+الكتاب بيحط رجلكم قدامكم على بداية الطريق استغلي
+
+170
+00:21:41,710 --> 00:21:42,050
+صح
+
+171
+00:21:45,430 --> 00:21:57,650
+واضح البرهان هنا تمام نبرهن الجزء التاني طيب
+
+172
+00:21:57,650 --> 00:22:03,570
+نبرهن الجزء التاني برضه
+
+173
+00:22:03,570 --> 00:22:13,250
+الجزء التاني فيه له hint فنستخدم ال hint also
+
+174
+00:22:15,670 --> 00:22:24,930
+by hypothesis star حسب
+
+175
+00:22:24,930 --> 00:22:31,630
+الفرض star ال function هذه is additive وبالتالي f
+
+176
+00:22:31,630 --> 00:22:40,750
+of x هي نفسها f of x ثالث c زائد c صح؟
+
+177
+00:22:44,780 --> 00:22:52,200
+و هذا بيساوي F
+
+178
+00:22:52,200 --> 00:23:03,900
+of X minus C زائد F of C تمام طيب هذا صحيح for all
+
+179
+00:23:03,900 --> 00:23:13,100
+C ينتمي ل R و طبعا for all X و for all X ينتمي ل R
+
+180
+00:23:14,280 --> 00:23:19,900
+فى مشكلة طيب الان نفس الحاجة اخد ال limit للطرفين
+
+181
+00:23:19,900 --> 00:23:30,540
+take limit of both sides لما x تقول ل c اذا limit
+
+182
+00:23:30,540 --> 00:23:40,780
+f of x لما x تقول ل c بساوي limitالطرف اليومين
+
+183
+00:23:40,780 --> 00:23:44,240
+مجموعة limit مجموعة بيساوي مجموعة limits لأن limit
+
+184
+00:23:44,240 --> 00:23:48,660
+الحد الأول exist هنشوف ان limit الحد الأول موجودة
+
+185
+00:23:48,660 --> 00:23:52,320
+و limit الحد التاني موجودة وبالتالي limit المجموعة
+
+186
+00:23:52,320 --> 00:23:59,000
+بيساوي مجموعة limits فlimit f of x minus c as x
+
+187
+00:23:59,000 --> 00:24:01,160
+tends to c زائد
+
+188
+00:24:08,360 --> 00:24:25,360
+limit f of x لمّا x تقول لـ c limit
+
+189
+00:24:25,360 --> 00:24:30,140
+f
+
+190
+00:24:30,140 --> 00:24:33,960
+of x لمّا x تقول لـ c
+
+191
+00:24:37,080 --> 00:24:44,860
+ال limit هذه لو أخدت y بساوي x minus c فبطلع x
+
+192
+00:24:44,860 --> 00:24:53,900
+بساوي y زائد c وبالتالي
+
+193
+00:24:53,900 --> 00:25:01,220
+لما x تقول ل c لما x تقول ل c هذا بيقدر ان y تقول
+
+194
+00:25:01,220 --> 00:25:12,090
+ل 0 صح؟ إذن هذه هي نفس limitF of Y لما Y تقول لـ 0
+
+195
+00:25:12,090 --> 00:25:15,550
+وذلك
+
+196
+00:25:15,550 --> 00:25:22,690
+ببتعوض عن X سالب C بساوي Y وهذا عدد ثابت F of C
+
+197
+00:25:22,690 --> 00:25:29,950
+عدد ثابت نهايته نفس العدد الثابت F of C Y ساوي طيب
+
+198
+00:25:29,950 --> 00:25:34,510
+احنا لسه من الفرض فرضين ان limit F of Y لما Y تقول
+
+199
+00:25:34,510 --> 00:25:42,440
+لـ 0 بساوي Lاللي هو سفر إذاً هذا بيساوي العدد L
+
+200
+00:25:42,440 --> 00:25:46,860
+اللي هو سفر زائد
+
+201
+00:25:46,860 --> 00:25:55,600
+F of C اللي هو F of C إذاً
+
+202
+00:25:55,600 --> 00:26:00,160
+هنا أثبتنا إنه limit F of X لما X تقول لـ C exist
+
+203
+00:26:00,160 --> 00:26:01,880
+و بيساوي F of C
+
+204
+00:26:05,410 --> 00:26:09,530
+تمام؟ إذا هين أثبتنا أن ال limit لل function عند
+
+205
+00:26:09,530 --> 00:26:17,170
+أي c exist و بساوي f of c و هذا طبعا الشرط اللي ..
+
+206
+00:26:17,170 --> 00:26:21,090
+لاحظوا أنتوا limit f of x عند أي c بتطلعت بالساوية
+
+207
+00:26:21,090 --> 00:26:25,970
+قيمة الدالة عن ال c هذا حسب chapter 5 هذا معناه أن
+
+208
+00:26:25,970 --> 00:26:31,510
+الدالة هذه تطلع continuous عند أي نقطة في المجال
+
+209
+00:26:31,510 --> 00:26:36,670
+تبعهاOkay إذا النتيجة الخلاصة من ال exercise هذا
+
+210
+00:26:36,670 --> 00:26:43,030
+exercise كتير مهم وهو إنه اللي لو كان في عندى
+
+211
+00:26:43,030 --> 00:26:50,370
+function from R to R و ال function هذه edited و
+
+212
+00:26:50,370 --> 00:26:56,700
+نهايتها عند السفر موجودةفالدال هذا بتطلع متصلة عن
+
+213
+00:26:56,700 --> 00:27:00,100
+كل الأعداد الحقيقية هذا النتيجة النهائية هذا اللي
+
+214
+00:27:00,100 --> 00:27:08,040
+أثبتناه في الجزء التاني okay تمام؟ وهذه نتيجة مهمة
+
+215
+00:27:08,040 --> 00:27:15,020
+ومعروفة في كورسات ال real analysis المتقدمة تمام
+
+216
+00:27:15,020 --> 00:27:20,860
+واضح؟ في أي استفسار؟إذا شفتوا هنا يعني كيف استغلنا
+
+217
+00:27:20,860 --> 00:27:26,080
+الفرض السار و كيف استغلنا ال hint الإرشادات اللي
+
+218
+00:27:26,080 --> 00:27:29,860
+أعطينا إياها الكتاب فاحنا ممكن نجيبلكم في الامتحان
+
+219
+00:27:29,860 --> 00:27:38,320
+أسئلة و نعطيلكم hint عليها أساسا كبداية للحل أو
+
+220
+00:27:38,320 --> 00:27:43,570
+البرهان الصحي و الشاطرة اللي تستغلها صحيOkay تمام
+
+221
+00:27:43,570 --> 00:27:48,130
+في أي أسئلة تانية section اربع واحد او اربع اتنين
+
+222
+00:27:48,130 --> 00:27:50,030
+رقم تلات عشر اربع اتنين
+
+223
+00:28:25,120 --> 00:28:33,640
+أي سؤال تلتاش سيكشن أربعة اتنين في عندي F function
+
+224
+00:28:33,640 --> 00:28:39,020
+from A to R و
+
+225
+00:28:39,020 --> 00:28:49,560
+C belong to R is a cluster point cluster point of
+
+226
+00:28:49,560 --> 00:28:50,220
+A
+
+227
+00:29:03,780 --> 00:29:18,360
+فالـ limit لـ f of x لما x تقول لـ c exists prove
+
+228
+00:29:18,360 --> 00:29:29,240
+أن ال limit ل absolute f of x لما x تقول ل c
+
+229
+00:29:29,240 --> 00:29:31,720
+بيساوي
+
+230
+00:29:34,790 --> 00:29:42,870
+بتساوي absolute limit f of x لما x تقوم بالاسم
+
+231
+00:29:42,870 --> 00:29:48,950
+where
+
+232
+00:29:48,950 --> 00:29:59,690
+حيث و where حيث absolute fالـ absolute value لأي
+
+233
+00:29:59,690 --> 00:30:05,550
+function تطلع function تانية تعريفها عند أي x أو
+
+234
+00:30:05,550 --> 00:30:13,430
+قيمتها عند أي x بساوي absolute f of x لكل x
+
+235
+00:30:27,830 --> 00:30:33,090
+بمعنى اخر اذا كان في عندي function و ال limit لها
+
+236
+00:30:33,090 --> 00:30:38,510
+ان c موجودة ف limit ال absolute value لها بتكون
+
+237
+00:30:38,510 --> 00:30:43,970
+موجودة و تساوي ال absolute value لل limit يعني
+
+238
+00:30:43,970 --> 00:30:48,090
+ممكن ابدل ال limit مع ال absolute value او ادخل ال
+
+239
+00:30:48,090 --> 00:30:53,730
+limit داخل ال absolute value وهذه حقيقة صحيحة لأن
+
+240
+00:30:53,730 --> 00:30:56,550
+ال absolute value function متتصرة
+
+241
+00:31:02,530 --> 00:31:19,850
+Okay تمام ف ..
+
+242
+00:31:19,850 --> 00:31:30,030
+طيب يعني
+
+243
+00:31:30,030 --> 00:31:38,610
+sayدعونا نفترض أن ال limit ل f of x لما x تقول إلى
+
+244
+00:31:38,610 --> 00:31:44,870
+c بساوي عدد L ينتمي ل R مش ال limit had existed
+
+245
+00:31:44,870 --> 00:31:48,830
+سميها L و
+
+246
+00:31:48,830 --> 00:31:52,430
+المطلوب we need to show
+
+247
+00:31:58,250 --> 00:32:08,570
+نحتاج أن نظهر أن الـ limit لـ absolute f of x as x
+
+248
+00:32:08,570 --> 00:32:11,510
+tends to c بساوي absolute L
+
+249
+00:32:35,630 --> 00:32:44,970
+أنا في نهاية
+
+250
+00:32:44,970 --> 00:32:52,570
+الأمر بدي أثبت أن الـ absolute بدي
+
+251
+00:32:52,570 --> 00:32:55,690
+في النهاية يكون هذا أصغر من أي جيبل إبسلون
+
+252
+00:32:58,740 --> 00:33:05,380
+لكل x بحيث ان absolute x minus c أكبر من سفر أصغر
+
+253
+00:33:05,380 --> 00:33:17,660
+من delta where delta to be determined يعني
+
+254
+00:33:17,660 --> 00:33:23,560
+هنحددها لاحقا هذا ايه عشان اثبت ان ال limit ال
+
+255
+00:33:23,560 --> 00:33:29,700
+function هذه يعني x بساوي absolute الفبدأثبت ان
+
+256
+00:33:29,700 --> 00:33:33,300
+absolute الفرخ هذا أصغر من epsilon عندما يكون
+
+257
+00:33:33,300 --> 00:33:39,240
+المسافة بين ال X و ال C أصغر من delta و X لا تساوي
+
+258
+00:33:39,240 --> 00:33:46,580
+ال C for some delta تعتمد على ال given epsilon طب
+
+259
+00:33:46,580 --> 00:33:50,860
+أنا عندي هذا
+
+260
+00:33:50,860 --> 00:33:57,000
+بيساوي absolute absolute F of X minus absolute
+
+261
+00:34:09,920 --> 00:34:16,520
+تمام؟ وهذا باستخدام ال triangle inequality أصغر من
+
+262
+00:34:16,520 --> 00:34:23,440
+أو ساوي absolute f of x minus L صح؟ في صورة من صور
+
+263
+00:34:23,440 --> 00:34:26,140
+ال triangle inequality يجب تقول إن هذا ال absolute
+
+264
+00:34:26,140 --> 00:34:30,140
+value ل absolute a minus absolute b أصغر من
+
+265
+00:34:30,140 --> 00:34:35,880
+absolute a minus bطب انا عندى limit f of x لما x
+
+266
+00:34:35,880 --> 00:34:41,400
+اقولها c بالساوي L فممكن اخلي هذا اصغر من اي given
+
+267
+00:34:41,400 --> 00:34:47,540
+epsilon وبالتالي هذه بتصير اصغر من اي epsilon okay
+
+268
+00:34:47,540 --> 00:34:52,420
+تمام اذا هنا خلينا نشوف
+
+269
+00:35:03,620 --> 00:35:09,800
+let epsilon أكبر
+
+270
+00:35:09,800 --> 00:35:18,820
+من السفر be givenبما انه since ال limit احنا فرضين
+
+271
+00:35:18,820 --> 00:35:25,840
+انه limit ل F of X عند X بساوي C بساوي L اذا يوجد
+
+272
+00:35:25,840 --> 00:35:31,580
+Delta تعتمد على ابسلون عدد موجب بحيث انه لكل X
+
+273
+00:35:31,580 --> 00:35:37,060
+ينتمي إلى A و absolute X minus C اصغر من Delta
+
+274
+00:35:37,060 --> 00:35:45,550
+اكبر من سفر هذا بيقديإنه absolute f of x minus L
+
+275
+00:35:45,550 --> 00:35:51,890
+أصغر من إبسلم نسمي هذا star نسمي ال implication
+
+276
+00:35:51,890 --> 00:36:03,570
+هذا star hence
+
+277
+00:36:08,200 --> 00:36:16,880
+by triangle inequality من متبينة المثلث x ينتمي by
+
+278
+00:36:16,880 --> 00:36:26,260
+triangle inequality and star we have لدينا لو كان
+
+279
+00:36:26,260 --> 00:36:32,680
+x ينتمي ل a و absolute x minus c أكبر من سفر أصغر
+
+280
+00:36:32,680 --> 00:36:48,240
+من deltaفهذا بيقدي انه absolute .. absolute f of x
+
+281
+00:36:48,240 --> 00:36:59,300
+minus absolute ال L هذا بيساوي absolute ..
+
+282
+00:36:59,300 --> 00:37:06,060
+absolute f of x minus absolute L
+
+283
+00:37:12,840 --> 00:37:17,300
+وهذا by ال triangle inequality by ال triangle
+
+284
+00:37:17,300 --> 00:37:24,520
+inequality أصغر من أوي ساوي absolute f of x minus
+
+285
+00:37:24,520 --> 00:37:32,300
+l و by star absolute f of x minus l أصغر من إبسل
+
+286
+00:37:32,300 --> 00:37:41,020
+تمام؟ since إبسلون was
+
+287
+00:37:41,020 --> 00:37:41,740
+arbitrary
+
+288
+00:37:47,340 --> 00:37:53,990
+إذاً we haveهك مكون أسبابنا أنه لأي epsilon أكبر
+
+289
+00:37:53,990 --> 00:37:59,950
+من الصفر يوجد delta تعتمد على epsilon عدد موجب من
+
+290
+00:37:59,950 --> 00:38:06,350
+حيث لكل x ينتمي ل a و المسافة بين x و c أصغر من
+
+291
+00:38:06,350 --> 00:38:11,630
+delta و x لا تساوي c فلل absolute value لf of x
+
+292
+00:38:11,630 --> 00:38:15,930
+minus absolute L أصغر من epsilon، إذن هذا معناه
+
+293
+00:38:15,930 --> 00:38:21,460
+حسب epsilon delta definition of limitإن الـ limit
+
+294
+00:38:21,460 --> 00:38:29,780
+ل absolute f of x as x tends to c بساوي absolute ل
+
+295
+00:38:29,780 --> 00:38:33,140
+هو
+
+296
+00:38:33,140 --> 00:38:38,420
+المطلوب وهذا اللي احنا عايزين نثبته هذا هو البرهان
+
+297
+00:38:39,940 --> 00:38:45,060
+إذا هنا اللاعب دور كبير في البرهان هو ال triangle
+
+298
+00:38:45,060 --> 00:38:52,420
+inequality و الفرض إنه limit and c موجودة بالساوية
+
+299
+00:38:52,420 --> 00:38:58,420
+L okay تمام؟ إذا أهمية ال exercise هذا يعتبر نظرية
+
+300
+00:38:58,420 --> 00:39:02,120
+و النظرية هذه بتقول إذا كان في end function
+
+301
+00:39:02,120 --> 00:39:07,590
+نهايتها and c موجودةفنهاية ال absolute value لل
+
+302
+00:39:07,590 --> 00:39:11,610
+function بالساوي ال absolute value لل limit بمعنى
+
+303
+00:39:11,610 --> 00:39:15,870
+أخر أنا ممكن أدخل ال limit داخل ال absolute value
+
+304
+00:39:15,870 --> 00:39:22,710
+أو أبدل ال limit مع ال absolute value okay تمام
+
+305
+00:39:22,710 --> 00:39:26,630
+واضح؟ في أسئلة تانية؟
+
+306
+00:39:35,800 --> 00:39:43,260
+أي سؤال أي استفسار okay
+
+307
+00:39:43,260 --> 00:39:45,560
+إذا نكتفي بهذا القدر
+