book_name
stringclasses 352
values | theorem_number
stringlengths 3
11
| text
stringlengths 642
10k
|
|---|---|---|
1655_复解析动力系统(任福尧) | 定义 4.11 | 定义 4.11 有理函数 \( R : \widehat{\mathcal{C}} \mapsto \widehat{\mathcal{C}} \) 称为几何有限的,如果 \( R \) 的临界点集的正向轨道的闭包与 \( J\left( R\right) \) 只交于有限个点,即 \( \# \left( {\overline{\left( {O}_{R}\left( C\right) \right) } \cap }\right. \) \( J\left( R\right) ) < \infty \) .
定理 4.4 有理函数 \( R \) 是几何有限的充要条件是:
1) 每个属于 \( J\left( R\right) \) 的临界轨道最终落于排斥或有理中性周期轨道;
2) 每个属于 \( F\left( R\right) \) 的临界轨道收敛于吸引、超吸引或有理中性周期轨道.
证明 充分性是显然的, 下面证明必要性. 由条件, 一个临界点若在 \( J\left( R\right) \) 内,则其轨道必有限,即最终落于 \( J\left( R\right) \) 内的周期轨道,但由 Sullivan 分类定理及定理 3.7 可知, \( R \) 没有 Cremer 点,故 1 ) 成立,又由定理 \( {3.6}, R \) 没有 Siegel 盘和 Herman 环,则由分类定理 2) 成立. 证毕.
## § 4.3 Julia 集的测度
我们知道,有理函数 \( R \) 的 Julia 集 \( J\left( R\right) \) 如果不是整个复球面,则一定没有内点,即 \( J\left( R\right) \) 是无处稠密的; 另一方面,从动力学角度来看, 我们也希望 Julia 集相对地小,因此,考虑 \( J\left( R\right) \) 的 Lebesgue 测度很有必要. Fatou 早在本世纪初就考虑过 Julia 集的测度, 并提出了下面的问题.
问题 4.1 如果有理函数 \( R \) 的 Julia 集 \( J\left( R\right) \neq \overset{\Lambda }{\mathcal{C}} \) ,是否有 \( \operatorname{mes}J\left( R\right) = 0 \) ? 这里 mes 表示二维 Lebesgue 测度.
\( {\text{Brolin}}^{\text{[Br. }} \) 曾在一个条件 (所有临界点位于同一个 Fatou 集的吸引的不变分支内) 下,证明了 \( \operatorname{mes}J\left( R\right) = 0 \) . 利用上节的度量方法可以证明对双曲或次双曲有理函数也成立 \( \operatorname{mes}J\left( R\right) = 0 \) (见文献 \( {}^{\left\lbrack \mathrm{{DH}}1\right\rbrack } \) ). 本节我们将用分析的方法对较广的几何有限有理函数证明 \( \operatorname{mes}J\left( R\right) = 0 \) , 证明的主要工具是熟知的 Koebe 的偏差定理和 Lebesgue 密度定理.
定理 4. 5 (Koebe 偏差定理) 记 \( {\Delta }_{r} = \{ \left| z\right| \leq r\} \) ,设 \( f : {\Delta }_{r} \mapsto \mathcal{C} \) 是一个单叶解析函数,对 \( 0 < t < 1 \) ,存在仅依赖于 \( t \) 的常数 \( K \) ,使得对任意 \( {z}_{1},{z}_{2} \in {\Delta }_{n} \) ,满足:
\[
\frac{1}{K} \leq \frac{\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{1}\right) \right| }{\left| {f}^{\prime }\left( {z}_{2}\right) \right| } \leq K
\]
(4. 8)
称 \( f \) 在 \( {\Delta }_{n} \) 上有有界偏差 \( K \) .
如果 \( f : {\Delta }_{r} \mapsto \widehat{\mathcal{C}} \) ,则在 (4.8) 式中应使用球面导数的模.
记 \( {\Delta }_{r}\left( z\right) = \{ \zeta \left| \right| \zeta - z \mid < r\} \) ,那么,可测集 \( X \) 在 \( z \) 点的密度定义为
\[
\mathop{\lim }\limits_{{r \rightarrow 0}}\frac{\operatorname{mes}\left( {X \cap {\Delta }_{r}\left( z\right) }\right) }{\pi {r}^{2}}
\]
(4.9)
若上式中的极限用 \( \overline{\lim } \) 或 \( \underline{\lim } \) 代替,则分别称为上密度和下密度.
定理 4. 6 (Lebesgue 密度定理) 设 \( X \) 是可测子集,若 \( \operatorname{mes}X > 0 \) , 则对几乎所有的 \( z \in X, X \) 在 \( z \) 点的 (上,下) 密度等于 1 .
下面考虑有理函数 \( R \) .
引理 4.4 如果 \( J\left( R\right) \neq \widehat{\mathcal{E}} \) ,那么,对几乎所有的 \( z \in J\left( R\right) \) ,其轨道的极限点集 \( {\left( {O}_{R}\left( z\right) \right) }^{\prime } \subset \overline{{O}_{R}\left( C\right) } \cap J\left( R\right) \) .
证明 由于 \( J\left( R\right) \neq \widehat{\mathcal{E}} \) ,因此在一个共形共轭后,可以假定 \( J\left( R\right) \) 是复平面上的一个紧集. 对任意 \( \varepsilon > 0 \) ,记 \( {X}_{t} = \{ z \in J\left( R\right) \mid \) \( \mathop{\lim }\limits_{{m \rightarrow \infty }}d\left( {{R}^{m}\left( z\right) ,\overline{{O}_{R}\left( C\right) }}\right) > {2\varepsilon }\} \) ,那么,对任意 \( z \in {X}_{\varepsilon } \) ,存在子列 \( {m}_{k} \) ,使得 \( d\left( {{R}^{mk}\left( z\right) ,\overline{{O}_{R}\left( C\right) }}\right) > {2\varepsilon } \) ,因此, \( {R}^{{m}_{k}} \) 在 \( {R}^{{m}_{k}}\left( z\right) \) 的 \( {2\varepsilon } \) -邻域 \( {\Delta }_{2\varepsilon }\left( {{R}^{{m}_{k}}\left( z\right) }\right) \) 内可取到单值逆分支 \( {R}_{k}^{-{m}_{k}} \) ,且将 \( {R}^{{m}_{k}}\left( z\right) \) 映成 \( z \) . 记 \( {D}_{k} = {\Delta }_{t}\left( {{R}^{m}\left( z\right) }\right) ,{C}_{k} = \) \( {R}_{k}{}^{{m}_{k}}\left( {D}_{k}\right) \) ,由 Koebe 偏差定理得, \( {R}^{{m}_{k}} \) 在 \( {C}_{k} \) 上有有界偏差 \( K, K \) 与 \( {C}_{k} \) 及 \( k \) 均无关,因此,
\[
\frac{\operatorname{mes}\left( {{C}_{k} \smallsetminus J\left( R\right) }\right) }{\operatorname{mes}{C}_{k}} \geq {K}^{-2}\frac{\operatorname{mes}\left( {{D}_{k} \smallsetminus J\left( R\right) }\right) }{\operatorname{mes}{D}_{k}}.
\]
现在记 \( {R}_{k} \) 是包含 \( {C}_{k} \) 的 \( {\Delta }_{k}\left( z\right) \) 的最小半径, \( {r}_{k} \) 是包含在 \( {C}_{k} \) 内的 \( {\Delta }_{r}\left( z\right) \) 的最大半径,仍由 Koebe 偏差定理,得 \( {R}_{k} \leq K \cdot {r}_{k} \) ; 另一方面,由 Julia 集的齐性定理 (推论 2.11),必定有 \( {r}_{k} \rightarrow 0 \) ,从而 \( {R}_{k} \rightarrow 0,\left( {k \rightarrow \infty }\right) \) . 因此
\[
\frac{\operatorname{mes}\left( {{\Delta }_{{R}_{k}}\left( z\right) \smallsetminus J\left( R\right) }\right) }{\pi {R}_{k}^{2}} \geq {K}^{-2}\frac{\operatorname{mes}\left( {{\Delta }_{{R}_{k}}\left( z\right) \smallsetminus J\left( R\right) }\right) }{\pi {r}_{k}^{2}}
\]
\[
\geq {K}^{-2}\frac{\operatorname{mes}\left( {{C}_{k} \smallsetminus J\left( R\right) }\right) }{\operatorname{mes}{C}_{k}}
\]
\[
\geq {K}^{-4}\frac{\operatorname{mes}\left( {{D}_{k} \smallsetminus J\left( R\right) }\right) }{\operatorname{mes}{D}_{k}}.
\]
但是, \( J\left( R\right) \) 是紧集,可以被有限多个 \( {\Delta }_{\varepsilon }\left( {z}_{j}\right) \left( {j = 1,2,\cdots, N}\right) \) 所覆盖. 由于 \( J\left( R\right) \neq \mathcal{C}, b = \mathop{\min }\limits_{{1 \leq j \leq N}}\operatorname{mes}\left( {{\Delta }_{t}\left( {z}_{j}\right) \smallsetminus J\left( R\right) }\right) > 0 \) ,而每个 \( {D}_{k} \) 至少包含一个 \( {\Delta }_{\varepsilon }\left( {z}_{j}\right) \) ,故 \( \operatorname{mes}\left( {{D}_{k} \smallsetminus J\left( R\right) }\right) \geq b > 0 \) ,因此
\[
\frac{\operatorname{mes}\left( {{D}_{k} \smallsetminus J\left( R\right) }\right) }{\operatorname{mes}{D}_{k}} \geq \frac{b}{\pi {\varepsilon }^{2}} > 0,
\]
\[
\frac{\operatorname{mes}\left( {{\Delta }_{{R}_{k}}\left( z\right) \cap J\left( R\right) }\right) }{\pi {R}_{k}^{2}} \leq 1 - \frac{b}{\pi {\varepsilon }^{2}{K}^{4}} < 1.
\]
这说明了 \( J\left( R\right) \) 在 \( z \) 点的下密度小于 1,由 Lebesgue 密度定理只能有 \( \operatorname{mes}{X}_{t} = 0 \) . 由于 \( \varepsilon \) 是任意取得的,即得对几乎所有的 \( z \in J\left( R\right) \) ,有 \( {\left( {O}_{R}\left( z\right) \right) }^{\prime } \subset \overline{{O}_{k}\left( C\right) } \cap J\left( R\right) \) . 证毕.
定理 4.7 如果 \( R \) 是几何有限的有理函数,那么或者
1) \( J\left( R\right) = \varepsilon \) ;
或者
2) \( \operatorname{mes}J\left( R\right) = 0 \) .
证明 若 \( R \) 是几何有限的,则 \( J\left( R\right) \cap \overline{{O}_{R}\left( C\right) } \) 仅由有限多个排斥周期轨道和有理中性周期轨道组成. 如果 \( J\left( R\right) \neq \overset{\Lambda }{\mathcal{C}} \) ,由上述引理可知,对几乎所有的 \( z \in J\left( R\right) \) ,其轨道将收敛于这些周期轨道,但是,由排斥周期轨道与有理中性周期轨道的局部性质 (定理 2.5 的注和定理 2.9) 可知,除非 \( z \) 属于这些周期点的大轨道. 这是不可能的,而有限多个周期点的大轨道是一个可列集,测度为零,因此,只能有 \( \operatorname{mes}J\left( R\right) = \) 0 . 证毕.
推论 4.1 双曲有理函数的 Julia 集具有零测度.
关于 Julia 集的测度,目前已有较大进展,就二次多项式 \( {P}_{c}\left( t\right) = \) \( {z}^{2} + c \) 而言,若 \( {P}_{c} \) 不是无穷可重正规化的,则 \( J\left( {P}_{c}\right) \) 的测度为零. 这样, \( \operatorname{mes}J\left( {P}_{c}\right) \neq 0 \) 的参数 \( c \) 至多只有可列多个 (参见文献 \( {}^{\left\lbrack \mathrm{{Lyu}}\right\rbrack } \) ). 但问题 4. 1 至今仍未完全解决,目前既没有最终证明当 \( J\left( R\right) \neq \widehat{\mathcal{C}} \) 时, \( \operatorname{mes}J\left( R\right) = 0 \) ; 也未能找到一个有理函数 \( R \) ,使 \( J\left( R\right) \neq \widehat{\mathcal{C}} \) ,但 mes \( J\left( R\right) > 0 \) .
注 本节证明中用到的 Koebe 偏差定理在复动力系统研究中起着很大的作用. 事实上, 本节的方法适用于考虑当 Julia 集包含在一条直线或圆周内时的线测度. 另外, Koebe 定理的推广已成为实动力系统的复方法中的主要工具之一.
## § 4.4 Julia 集的 Hausdorff 维数
除了几种特殊情况以外, Julia 集通常具有很复杂的结构, 是分形集合. 本节讨论 Julia 集的 Hausdorff 维数和 Hausdorff 测度, 先引进它们的定义.
设 \( X \) 是 \( {\mathcal{R}}^{n} \) 中的子集, \( \left\{ {U}_{i}\right\} \left( {i \in I}\right) \) 是 \( {\mathcal{R}}^{n} \) 中非空子集的有限或可数集族. 如果 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{i \in I}}{U}_{i} \supset X \) ,且它们的直径 \( \operatorname{diam}{U}_{i} = \operatorname{Sup}\{ d\left( {x, y}\right) \mid x \) , \( y \in U,\} \) 满足 \( 0 < \operatorname{diam}U, \leq \delta \left( {i \in I}\right) \) ,则称 \( \left\{ {U}_{i}\right\} \) 是 \( x \) 的一个 \( \delta \) -覆盖,这里 \( d \) 是 Euclid 度量.
定义 4.12 设 \( X \subset {\mathcal{R}}^{n}, s \geq 0 \) ,对 \( \forall \delta > 0 \) ,定义
\[
{H}_{\delta }^{ * }\left( X\right) = \inf \left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{i \in I}}{\left( \operatorname{diam}{U}_{i}\right) }^{ * } \mid \left\{ {U}_{i}\right\} \left( {i \in I}\right) \text{ 是 }X\text{ 的 }\delta \text{- 覆盖 }}\right\} ,
\]
则 \( {H}_{\delta }^{t}\left( X\right) \) 是 \( \delta \) 的增函数,称极限
\[
{H}^{s}\left( X\right) = \mathop{\lim }\limits_{{\delta \rightarrow 0}}{H}_{\delta }^{s}\left( X\right)
\]
(4.10)
为集合 \( X \) 的 \( s \) 维 Hausdorff 测度.
容易验证, \( I{I}^{s} \) 是 Borel 集上的测度. 特别地,当 \( s = n \) 时,如果 \( x \) 是 Borel 集, 则有
\[
{H}^{n}\left( X\right) = {c}_{n}\operatorname{mes}\left( X\right) ,
\]
(4.11)
这里 \( {c}_{n} \) 是仅与空间维数有关的常数, mes 是 \( n \) 维 Lebesgue 测度 (参见文献 \( {}^{\left\lbrack \mathrm{{Fall}}\right\rbrack } \) ).
进一步,易验证,对 \( t > s \) ,有
\[
{H}_{\delta }^{t}\left( X\right) \leq {\delta }^{t - s}{H}_{\delta }^{s}\left( X\right) ,
\]
因此,如果 \( {H}^{s}\left( X\right) < \infty \) ,则 \( {H}^{t}\left( X\right) = 0 \) ; 如果 \( {H}^{t}\left( X\right) > 0 \) ,则 \( {H}^{s}\left( X\right) = \infty \) ,于是存在 \( {d}_{0} \geq 0 \) ,当 \( s < {d}_{0} \) 时, \( {H}^{s}\left( X\right) = \infty \) ; 当 \( s > {d}_{0} \) 时, \( {H}^{s}\left( x\right) = 0 \) .
定义 4.13 称
\[
{d}_{0} = \inf \left\{ {s \mid {H}^{s}\left( X\right) = 0}\right\} = \sup \left\{ {s \mid {H}^{s}\left( X\right) = \infty }\right\}
\]
为集合 \( X \) 的 Hausdorff 维数,简称维数,记为 \( {\dim }_{H}X \) 或 \( \dim X \) .
当 \( s = \dim X \) 时, \( {H}^{s}\left( X\right) \) 可能为 0 或 \( \infty \) ,也可能满足 \( 0 < {H}^{s}\left( X\right) < \) \( \infty \) . 对后者讨论 Hausdorff 测度是有意义的.
下面我们要考虑的是 Julia 集的 Hausdorff 维数和测度, 即限制在复平面 \( \mathcal{C} \) 上考虑. 由于 Julia 集事实上是复球面 \( \mathcal{C} \) 中的紧集,我们对 Hausdorff 测度和维数的定义稍作修改, 将定义中的 Euclid 度量改为球面度量,即 \( \operatorname{diam}U \) 表示球面直径,此时 Hausdorff 维数的大小保持不变.
记 \( {B}_{r}\left( z\right) = \left\{ {\zeta \in \overset{\Lambda }{\mathcal{C}} \mid d\left( {z,\zeta }\right) \leq r}\right\} \) 为以 \( z \) 为心、 \( r \) 为半径的闭圆盘, 下面的引理是计算 Hausdorff 维数的有用工具之一.
引理 4.5 设 \( X \) 是 \( \widehat{\varepsilon } \) 中的紧集, \( \mu \) 是 \( X \) 上的有限测度 (支集在 \( X \) 上), \( 0 < \mu \left( X\right) < \infty \) ,设 \( s > 0 \) ,则
1) 如果存在 \( c > 0 \) ,使得当 \( r > 0 \) 充分小时,对任意 \( z \in X \) 都有 \( \mu \left |
1902_[现代数学基础丛书].[算子代数] | 定义 6.3.3 | 定义 6.3.3 vN 代数 \( M \) 上的正泛函 \( \varphi \) 称为迹的,指
\[
\varphi \left( {{a}^{ * }a}\right) = \varphi \left( {a{a}^{ * }}\right) ,\forall a \in M.
\]
这时对任意的 \( a \in {M}_{ + } \) 及 \( M \) 的酉元 \( u \) ,
\[
\varphi \left( a\right) = \varphi \left( {{\left( u{a}^{\frac{1}{2}}\right) }^{ * } \cdot \left( {u{a}^{\frac{1}{2}}}\right) }\right) = \varphi \left( {{ua}{u}^{ * }}\right) .
\]
因此, \( \varphi \left( {ab}\right) = \varphi \left( {ba}\right) ,\forall a, b \in M \) .
引理 6.3.4 设 \( \varphi \) 是 \( M \) 上的正泛函,且有正常数 \( K \) ,使得对 \( M \) 的任意等价的投影 \( \dot{p}, q \) ,有 \( \varphi \left( p\right) \leq {K\varphi }\left( q\right) \) ,则
\[
\varphi \left( {{a}^{ * }a}\right) \leq {K\varphi }\left( {a{a}^{ * }}\right) ,\forall a \in M.
\]
证. 设 \( a \in M \) ,且 \( \parallel a\parallel \leq 1 \) ,谱分解
\[
{a}^{ * }a = {\int }_{0}^{1}{\lambda d}{e}_{\lambda } = \mathop{\lim }\limits_{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{i}{n}{p}_{i}^{\left( n\right) },
\]
这里 \( {p}_{i}^{\left( n\right) } = {e}_{\frac{i}{n}} - {e}_{\frac{i - 1}{n}},1 \leq i \leq n \) . 如果 \( a = {ub} \) 是 \( a \) 的极分解, 则 \( {p}_{i}^{\left( n\right) } \leq {u}^{ * }u,\forall n, i \) . 由于
\[
a{a}^{ * } = u{a}^{ * }a{u}^{ * } = \mathop{\lim }\limits_{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{i}{n}u{p}_{i}^{\left( n\right) }{u}^{ * }
\]
以及 \( {\left( u{p}_{i}^{\left( n\right) }\right) }^{ * }\left( {u{p}_{i}^{\left( n\right) }}\right) = {p}_{i}^{\left( n\right) },\left( {u{p}_{i}^{\left( n\right) }}\right) {\left( u{p}_{i}^{\left( n\right) }\right) }^{ * } = u{p}_{i}^{\left( n\right) }{u}^{ * } \) ,于是
\[
\varphi \left( {{a}^{ * }a}\right) = \mathop{\lim }\limits_{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{i}{n}\varphi \left( {p}_{i}^{\left( n\right) }\right)
\]
\[
\leq K\mathop{\lim }\limits_{n}\mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\frac{i}{n}\varphi \left( {u{p}_{i}^{\left( n\right) }{u}^{ * }}\right)
\]
\[
= {K\varphi }\left( {a{a}^{ * }}\right) \text{.}
\]
证毕.
系 6.3.5 设 \( \varphi \) 是 \( M \) 上的正泛函,则 \( \varphi \) 是迹的,当且仅当,对 \( M \) 的任意等价的投影 \( p, q \) ,有 \( \varphi \left( p\right) = \varphi \left( q\right) \) .
引理 6.3.6 设 \( M \) 是有限的 \( \mathrm{{vN}} \) 代数, \( p \) 是 \( M \) 的非零投影, \( n \) 是正整数,则存在 \( M \) 的非零投影 \( {p}_{0} \) ,及 \( {M}_{0} = {M}_{{p}_{0}} \) 上忠实的正规态 \( {\varphi }_{0} \) ,使得
\[
{p}_{0} \leq p,{\varphi }_{0}\left( {{a}^{ * }a}\right) \leq \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) {\varphi }_{0}\left( {a{a}^{ * }}\right) ,\forall a \in {M}_{0}.
\]
证. 任意取 \( {M}_{p} \) 上的正规态 \( \phi \) ,命 \( \varphi \left( x\right) = \phi \left( {pxp}\right) ,\forall x \in M \) , 则 \( \varphi \) 是 \( M \) 上的正规态,并且其支持 \( s\left( \varphi \right) \leq p \) . 用 \( s\left( \varphi \right) \) 代替 \( p \) 考虑问题,可以认为 \( s\left( \varphi \right) = p \) ,即 \( {M}_{p} \) 上有忠实的正规态 \( \varphi \) .
如果对于 \( {M}_{p} \) 的任意等价投影 \( {q}_{1},{q}_{2} \) ,有 \( \varphi \left( {q}_{1}\right) = \varphi \left( {q}_{2}\right) \) ,依系 6.3.5,取 \( {\varphi }_{0} = \varphi ,{p}_{0} = p \) ,即满足要求. 若否,依 Zorn 辅理,在 \( {M}_{p} \) 中存在相互直交的投影极大族 \( \left\{ {e}_{l}\right\} ,\left\{ {f}_{l}\right\} \) ,使得
\[
{e}_{l} \sim {f}_{l},\varphi \left( {e}_{l}\right) > \varphi \left( {f}_{l}\right) ,\forall l.
\]
记 \( {e}_{1} = \mathop{\sum }\limits_{l}{e}_{l},{f}_{1} = \mathop{\sum }\limits_{l}{f}_{l} \) ,则 \( \varphi \left( {e}_{1}\right) > \varphi \left( {f}_{1}\right) \) ,特别地, \( {f}_{1} \leqq t \) . 由于 \( {\varepsilon }_{1} \sim {f}_{1} \) ,依命题 6.3.2, \( \left( {p - {\varepsilon }_{1}}\right) \sim \left( {p - {f}_{1}}\right) \) ,因此, \( {\varepsilon }_{1} \leqq p \) . 由于族 \( \left\{ {\varepsilon }_{l}\right\} ,\left\{ {f}_{l}\right\} \) 的极大性,对任意的等价投影 \( \varepsilon, f \) ,如果
\[
\varepsilon \leq p - {\varepsilon }_{1}, f \leq p - {f}_{1},
\]
则 \( \varphi \left( \sigma \right) \leq \varphi \left( f\right) \) . 命
\[
{\mu }_{0} = \inf \left\{ {\mu \left| {\;\begin{array}{l} \mu > 0,\text{ 对任意等价的投影 }e, f,\text{ 并且 } \\ e \leq p - {e}_{1}, f \leq p - {f}_{1},\text{ 有 }\varphi \left( e\right) \leq {\mu \varphi }\left( f\right) \end{array}}\right. }\right\} ,
\]
显然 \( {\mu }_{0} \leq 1 \) . 我们说 \( 0 < \varphi \left( {p - {e}_{1}}\right) \leq {\mu }_{0} \) . 事实上,如果 \( \varphi (p - \) \( \left. {e}_{1}\right) > {\mu }_{0} \) ,则有 \( \mu ,{\mu }_{0} \leq \mu < \varphi \left( {p - {e}_{1}}\right) \) ,使得对于任何等价的投影 \( e, f \) ,并且 \( e \leq p - {e}_{1}, f \leq p - {f}_{1} \) ,有 \( \varphi \left( e\right) \leq {\mu \varphi }\left( f\right) \) . 特别, \( \varphi \left( {p - {e}_{1}}\right) \leq {\mu \varphi }\left( {p - {f}_{1}}\right) < \varphi \left( {p - {e}_{1}}\right) \varphi \left( {p - {f}_{1}}\right) \) . 但显然 \( \varphi (p - \)
\( \left. {f}_{1}\right) < 1 \) ,矛盾. 因此, \( 0 < \varphi \left( {p - {\varepsilon }_{1}}\right) \leq {\mu }_{0} \) .
现在取 \( \varepsilon > 0 \) ,使得 \( 0 < {\left( {\mu }_{0} - \varepsilon \right) }^{-1}{\mu }_{0} \leq 1 + \frac{1}{n} \) . 依照 \( {\mu }_{0} \) 的定义,必存在等价的投影 \( {e}_{2},{f}_{2} \) ,并且 \( {e}_{2} \leq p - {e}_{1},{f}_{2} \leq p - {f}_{1} \) ,使得 \( \varphi \left( {e}_{2}\right) > \left( {{\mu }_{0} - \varepsilon }\right) \varphi \left( {f}_{2}\right) \) . 自然 \( {e}_{2},{f}_{2} \) 均非零. 今我们指出,存在等价的非零投影 \( {e}_{3},{f}_{3},{e}_{3} \leq {e}_{2},{f}_{3} \leq {f}_{2} \) ,使得对任何等价的投影 \( e, f \) ,并且 \( e \leq e,, f \leq {f}_{3} \) ,有 \( \varphi \left( e\right) \geq \left( {{\mu }_{0} - \varepsilon }\right) \varphi \left( f\right) \) . 事实上,如果这样的 \( {e}_{3},{f}_{3} \) 不存在,特别 \( {e}_{2},{f}_{1} \) 不能是这样的 \( {e}_{3},{f}_{3} \) ,因此有等价的投影 \( e, f, e \leq {e}_{2}, f \leq {f}_{2} \) ,而 \( \varphi \left( e\right) < \left( {{\mu }_{0} - \varepsilon }\right) \varphi \left( f\right) \) . 继而 \( {e}_{2} - e,{f}_{2} - f \) 也不能是这样的 \( {e}_{3},{f}_{3} \) ,又有 \( \cdots \) ,依 Zorn 辅理,可写 \( {e}_{2} = \mathop{\sum }\limits_{i} \oplus {e}_{i},{f}_{2} = \mathop{\sum }\limits_{i} \oplus {f}_{i},{e}_{i} \sim {f}_{i} \) ,并且
\[
\varphi \left( {\varepsilon }_{t}\right) < \left( {{\mu }_{0} - \varepsilon }\right) \varphi \left( {f}_{t}\right) ,\forall t.
\]
由于 \( \varphi \) 是正规的,因此, \( \varphi \left( {e}_{2}\right) < \left( {{\mu }_{0} - \varepsilon }\right) \varphi \left( {f}_{2}\right) \) ,这与 \( {e}_{2},{f}_{2} \) 的性质相矛盾. 所以,所要求的 \( {\varepsilon }_{3},{f}_{3} \) 必存在.
设 \( v \in {M}_{p},{v}^{ * }v = {c}_{3}, v{v}^{ * } = {f}_{3} \) ,并命
\[
\psi \left( x\right) = \varphi \left( {{v}^{ * }{xv}}\right) ,\forall x \in {f}_{3}M{f}_{3},
\]
由于 \( \varphi \) 在 \( {M}_{p} \) 上是忠实的,因此, \( \phi \left( {f}_{3}\right) = \varphi \left( {c}_{3}\right) > 0 \) . 如果 \( r, q \) 是 \( {f}_{3}M{f}_{3} \) 的等价投影,由于 \( {\left( {v}^{ * }q\right) }^{ * }\left( {{v}^{ * }q}\right) = q \) ,因此在 \( {M}_{p} \) 中, \( r \sim \) \( q \sim {v}^{ * }{qv} \) ,并且 \( {v}^{ * }{qv} \leq {c}_{3} \) . 依 \( {c}_{3},{f}_{3} \) 的性质及 \( {\mu }_{0} \) 的定义.
\[
\left( {{\mu }_{0} - \varepsilon }\right) \varphi \left( r\right) \leq \varphi \left( {{v}^{ * }{qv}}\right) \leq {\mu }_{0}\varphi \left( r\right) .
\]
特别地, \( \left( {{\mu }_{0} - \varepsilon }\right) \varphi \left( r\right) \leq \varphi \left( {{v}^{ * }{rv}}\right) \leq {\mu }_{0}\varphi \left( r\right) \) . 从而,
\[
\phi \left( q\right) \leq {\mu }_{0}\varphi \left( r\right) \leq \frac{{\mu }_{0}}{{\mu }_{0} - \varepsilon }\phi \left( r\right)
\]
\[
\leq \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) \phi \left( r\right)
\]
命 \( {p}_{0} = {f}_{3}\left( { \leq p}\right) \) ,及
\[
{\varphi }_{0}\left( x\right) = \phi {\left( {f}_{3}\right) }^{-1}\phi \left( x\right) ,\forall x \in {M}_{0} = {M}_{{p}_{0}},
\]
显然 \( {\varphi }_{0} \) 是 \( {M}_{0} \) 上的正规态,如果 \( x \in {M}_{0} \) ,使得 \( {\varphi }_{0}\left( {{x}^{ * }x}\right) = 0 \) ,由于 \( \varphi \) 在 \( {M}_{p} \) 上是忠实的,因此, \( {x\nu } = 0 \) . 从而, \( z = x{f}_{1} = {xv}{v}^{ * } = 0 \) , 即 \( {\varphi }_{0} \) 在 \( {M}_{0} \) 上是忠实的. 前面也已指出,对 \( {M}_{0} \) 的任何等价投影
\( r, q \) ,有
\[
{\varphi }_{0}\left( q\right) \leq \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) {\varphi }_{0}\left( r\right)
\]
于是依引理 6.3.4, \( {\varphi }_{0}\left( {{a}^{ * }a}\right) \leq \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) {\varphi }_{0}\left( {a{a}^{ * }}\right) ,\forall a \in {M}_{0} \) . 证毕.
引理 6.3.7 设 \( M \) 是有限的 \( \mathrm{{vN}} \) 代数,则对任何的正整数 \( n \) , 有 \( M \) 上的正规态 \( {\phi }_{n} \) ,使得
\[
{\psi }_{n}\left( {{x}^{ * }x}\right) \leq \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) {\phi }_{n}\left( {x{x}^{ * }}\right) ,\forall x \in M.
\]
证. 依引理 6.3.6,有 \( M \) 的非零投影 \( {p}_{0} \) ,及 \( {M}_{{p}_{0}} \) 上忠实的正规态 \( {\varphi }_{0} \) ,使得
\[
{\varphi }_{0}\left( {{a}^{ * }a}\right) \leq \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) {\varphi }_{0}\left( {a{a}^{ * }}\right) ,\forall a \in {M}_{{p}_{0}}.
\]
设 \( \left\{ {{p}_{1},\cdots ,{p}_{m}}\right\} \) 是 \( M \) 的相互直交的投影极大族,使得 \( {p}_{i} \sim {p}_{0} \) , \( 1 \leq i \leq m \) (注意 \( M \) 是有限的,因此, \( m \) 必有限). 依定理 1.5.4, 有 \( M \) 的中心投影 \( z \) ,使得
\[
\left( {1 - \mathop{\sum }\limits_{i}{p}_{i}}\right) z \lesssim {p}_{0}z
\]
\[
{p}_{0}\left( {1 - z}\right) \lesssim \left( {1 - \mathop{\sum }\limits_{i}{p}_{i}}\right) \left( {1 - z}\right)
\]
由于 \( \left\{ {p}_{i}\right\} \) 的极大性, \( {p}_{0}z \neq 0 \) .
设 \( {v}_{i}^{ * }{v}_{i} = {p}_{0}z,{v}_{i}{v}_{i}^{ * } = {p}_{i}z,1 \leq i \leq m,{v}_{m + 1}^{ * }{v}_{m + 1} \leq {p}_{0}z \) ,而
\[
{v}_{m + 1}{v}_{m + 1}^{ * } = \left( {1 - \mathop{\sum }\limits_{i}{p}_{i}}\right) z,
\]
并命
\[
{\varphi }_{n}\left( x\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{m + 1}}{\varphi }_{0}\left( {{v}_{i}^{ * }x{v}_{i}}\right) ,\forall x \in M,
\]
于是对任意的 \( x \in M \) ,
\[
{\varphi }_{n}\left( {{x}^{ * }x}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{{m + 1}}{\varphi }_{0}\left( {{v}_{i}^{ * }{x}^{ * }x{v}_{i}}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i, j = 1}}^{{m + 1}}{\varphi }_{0}\left( {{v}_{i}^{ * }{x}^{ * }{v}_{j}{v}_{j}^{ * }x{v}_{i}}\right)
\]
\[
\leq \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) \mathop{\sum }\limits_{{i, j}}{\varphi }_{0}\left( {{v}_{j}^{ * }x{v}_{i}{v}_{i}^{ * }{x}^{ * }{v}_{j}}\right)
\]
\[
= \left( {1 + \frac{1}{n}}\right) \mathop{\sum }\limits_{i}{\varphi }_{0}\left( {{v}_{i}^{ * }x{x}^{ * }{v}_{i}}\right)
\]
\[
= \left( {1 + |
1641_调和分析及其在偏微分方程中的应用(苗长兴) | 定义 3.1 | 定义 3.1 设 \( T \) 是 Hilbert 空间 \( X \) 到 \( X \) 上的等距线性算子，即
\[
\parallel {Tx}{\parallel }_{X} = \parallel x{\parallel }_{X},\;\text{ 对 }\;\forall \;x \in X.
\]
(3.10)
此处 \( \parallel \cdot {\parallel }_{X} \) 是 Hilbert 空间 \( X \) 上的内积 \( \left( {\cdot , \cdot }\right) \) 所诱导的范数,如果 \( \mathcal{R}\left( T\right) = X \) ,称 \( T \) 是 \( X \) 上的酉算子.
注记 3.2 (i) (3.10) 等价于对 \( \forall x, y \in X \) ,有 \( \left( {{Tx},{Ty}}\right) = \left( {x, y}\right) \) .
(ii) \( T \) 是 Hilbert 空间 \( X \) 上酉算子的充要条件是 \( {T}^{-1} = {T}^{ * } \) .
定理 3.2 Fourier 变换 \( \mathcal{F} \) 是 \( {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) 上的酉算子.
证明 因为 \( \mathcal{F} \) 是 \( {L}^{2} \) 上等距线性算子,仅需证明 \( \mathcal{F} \) 是到上的. 注意到 \( {L}^{2} \) 闭且 \( \mathcal{F} \) 是 \( {L}^{2} \) 上的等距算子,可知 \( \mathcal{R}\left( \mathcal{F}\right) \) 是 \( {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) 的闭子空间. 若 \( \mathcal{R}\left( \mathcal{F}\right) \neq {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) ,则存在 \( g \in {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \smallsetminus \mathcal{R}\left( \mathcal{F}\right) \) ,且 \( \parallel g{\parallel }_{2} \neq 0 \) 使得
\[
\langle g,\mathcal{F}f\rangle = 0,\; \Rightarrow \langle \widehat{g}, f\rangle = 0,\;\forall f \in {L}^{2}.
\]
取 \( f = \widehat{g} \in {L}^{2} \) ,从而推得 \( \parallel \widehat{g}\parallel = 0 \) ,故 \( g = 0 \) . 此出矛盾.
定理 3.3 对一切 \( f \in {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) ,令 \( {\mathcal{F}}^{-1}f = \mathcal{F}f\left( {-x}\right) \) ,则 \( {\mathcal{F}}^{-1} \) 是 \( \mathcal{F} \) 的 Fourier 逆变换.
证明 仅需证明
\[
{\mathcal{F}}^{-1}\widehat{f} = f
\]
(3.11)
对 \( \forall g \in {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) ,考虑
\[
\left\langle {{\mathcal{F}}^{-1}\widehat{f}, g}\right\rangle = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{\mathcal{F}}^{-1}\widehat{f} \cdot \overrightarrow{g}\left( x\right) {dx} = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\mathcal{F}\widehat{f}\left( {-x}\right) \bar{g}\left( x\right) {dx}
\]
\[
= {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{e}^{{2\pi iy} \cdot x}\bar{g}\left( x\right) {dx}\widehat{f}\left( y\right) {dx}
\]
\[
= {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\overline{\widehat{g}}\widehat{f}{dx} = \langle \widehat{f},\widehat{g}\rangle = \langle f, g\rangle
\]
从而 (3.11) 成立.
总结前面结论, 有如下 Plancherel 定理 :
命题 3.4 对 \( \forall f, g \in {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) ,有
(i) \( \left( {\mathcal{F}f,\mathcal{F}g}\right) = \left( {{\mathcal{F}}^{-1}f,{\mathcal{F}}^{-1}g}\right) = \left( {f, g}\right) \) .
(ii) \( \mathcal{F}{\mathcal{F}}^{-1}f = {\mathcal{F}}^{-1}\mathcal{F}f = f \) .
(iii) \( \left( {f,\mathcal{F}g}\right) = \left( {{\mathcal{F}}^{-1}f, g}\right) \) .
(iv) \( {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\widehat{f}{gdx} = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}f\left( x\right) \widehat{g}\left( x\right) {dx} \) .
注记 3.3 (i) 对 \( \forall f \in {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) ,根据 Plancherel 定理,有
\[
f\left( x\right) = {\mathcal{F}}^{-1}\widehat{f}\left( x\right) = \mathcal{F}\widehat{f}\left( {-x}\right) = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{e}^{{2\pi ix} \cdot y}\widehat{f}\left( y\right) {dy},
\]
因而 \( {L}^{2} \) 中 Fourier 反演公式是非常简单而且完美.
(ii) Abel, Gauss 等求和方法在 \( {L}^{2} \) 的 Fourier 变换理论中仍然有效. 以 Gauss 求和方法来说明. 由点态收敛定理 1.6 及卷积的正则性定理
\[
{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\widehat{f}\left( y\right) {e}^{{2\pi iy} \cdot x}{e}^{-4{\pi }^{2}\alpha {\left| y\right| }^{2}}{dy} = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}W\left( {x - y,\alpha }\right) f\left( y\right) {dy}\xrightarrow[]{\text{ a.e. }}f\left( x\right) ,
\]
(3.12)
\[
{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\widehat{f}\left( y\right) {e}^{{2\pi iy} \cdot x}{e}^{-4{\pi }^{2}\alpha {\left| y\right| }^{2}}{dy} = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}W\left( {x - y,\alpha }\right) f\left( y\right) {dy}\overset{{L}^{2}}{ \rightarrow }f\left( x\right)
\]
\( \left( {3.13}\right) \)
这里 \( \alpha \rightarrow 0 \) . 另一方面,当 \( \widehat{f}\left( y\right) \in {L}^{1} \cap {L}^{2} \) 时,由控制收敛定理,
\[
{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\widehat{f}\left( y\right) {e}^{{2\pi iy} \cdot x}{e}^{-4{\pi }^{2}\alpha {\left| y\right| }^{2}}{dy}\overset{\text{ a.e. }}{ \rightarrow }{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\widehat{f}\left( y\right) {e}^{{2\pi iy} \cdot x}{dy},\;\alpha \rightarrow 0.
\]
(3.14)
从而
\[
f\left( x\right) = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{e}^{{2\pi ix} \cdot y}\widehat{f}\left( y\right) {dy},\;\forall \widehat{f}\left( y\right) \in {L}^{1} \cap {L}^{2}.
\]
(3.15)
若 \( \widehat{f} \in {L}^{2} \) ,取
\[
{\widehat{f}}_{k} = \left\{ \begin{array}{ll} \widehat{f}, & \left| x\right| \leq k \\ 0, & \left| x\right| > k \end{array}\right.
\]
(3.16)
故 \( {\widehat{f}}_{k} \in {L}^{2} \cap {L}^{1} \) ,记 \( {f}_{k}\left( x\right) = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{e}^{{2\pi ix} \cdot y}{\widehat{f}}_{k}\left( y\right) {dy} \) ,那么,据定理 3.1
得知
\[
\mathop{\lim }\limits_{{k \rightarrow \infty }}{f}_{k}\left( x\right) \overset{{L}^{2}}{ = }{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{e}^{{2\pi ix} \cdot y}\widehat{f}\left( y\right) {dy} = \widetilde{f}\left( x\right) .
\]
(3.17)
下来证 \( f\left( x\right) = \widetilde{f}\left( x\right) \) . 任取 \( g\left( x\right) \in {L}^{2} \cap {L}^{1} \) ,有
\[
\left( {g,\widetilde{f}}\right) = {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}g\left( y\right) \overline{{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{e}^{{2\pi ix} \cdot y}\widehat{f}\left( x\right) {dxdy}},
\]
\[
= {\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}\left( {{\int }_{{\mathbb{R}}^{n}}{e}^{ - {2\pi ix} \cdot y}g(y){dy}}\right) \overset{―}{\hat{f}}(x){dx}
\]
\[
= \left( {\mathcal{F}g,\widehat{f}}\right) = \left( {g, f}\right)
\]
(3.18)
故 \( f\left( x\right) = \widetilde{f}\left( x\right) \) . 所以, \( {L}^{2} \) 上的 Fourier 反演公式成立.
\( {L}^{p}\left( {1 < p < 2}\right) \) 上的 Fourier 变换
我们知道,当 \( 1 < p < 2 \) 时, \( {L}^{p} = {\left( {L}^{1},{L}^{2}\right) }_{\theta } \) . 因此,很容易根据 \( {L}^{1}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) ,{L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) 上的 Fourier 变换来建立 \( {L}^{p}\left( {1 < p < 2}\right) \) 上的 Fourier 变换. 注意到 \( {L}^{p} \subset {L}^{1} + {L}^{2} \) ,而
\[
{L}^{1} + {L}^{2} = \left\{ {f \mid f = {f}_{1} + {f}_{2},{f}_{1} \in {L}^{1},{f}_{2} \in {L}^{2}}\right\} ,
\]
(3.19)
这样我们可以定义 \( {L}^{p}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \left( {1 < p < 2}\right) \) 上的 Fourier 变换如下:
定义 3.2 对 \( \forall f \in {L}^{p}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) ,1 < p < 2 \) ,自然有
\[
f = {f}_{1} + {f}_{2},\;{f}_{1} \in {L}^{1},\;{f}_{2} \in {L}^{2},
\]
(3.20)
称 \( \widehat{f} = {\widehat{f}}_{1} + {\widehat{f}}_{2} \) 是 \( f\left( x\right) \) 的 Fourier 变换.
注记 \( {3.4f} \) 的分解是不唯一的,那么 \( \widehat{f} \) 的定义是否依赖于 \( f \) 的分解? 我们来说明 \( \widehat{f} \) 不依赖它的分解. 事实上,设 \( f \in {L}^{p}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \left( {1 < p < 2}\right) \) ,若
\[
f = {f}_{1} + {f}_{2} = {g}_{1} + {g}_{2},\;{f}_{1},\;{g}_{1} \in {L}^{1}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) ,\;{f}_{2},\;{g}_{2} \in {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) ,
\]
就有 \( {f}_{1} - {g}_{1} \in {L}^{1}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) ,{g}_{2} - {f}_{2} \in {L}^{2}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) . 故
\[
{f}_{1} - {g}_{1} = {g}_{2} - {f}_{2} \in {L}^{1} \cap {L}^{2}
\]
(3.21)
此意味着 \( {\widehat{f}}_{1} - {\widehat{g}}_{1} = {\widehat{g}}_{2} - {\widehat{f}}_{2} \) ,从而 \( {\widehat{f}}_{1} + {\widehat{f}}_{2} = {\widehat{g}}_{1} - {\widehat{g}}_{2} \) .
同样,根据注记 \( {3.3},{L}^{p}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \left( {1 < p < 2}\right) \) 上的 Fourier 变换的反演问题同样可以用 Abel 平均或 Gauss 平均的办法来解决.
定理 3.5 若 \( f \in {L}^{1}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right), g \in {L}^{p}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) ,1 \leq p \leq 2 \) ,则 \( h = \) \( f * g \in {L}^{p}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \) 且对几乎处处 \( x \) 有
\[
\widehat{h} = \widehat{f} \cdot \widehat{g}
\]
(3.22)
证明 由 Young 不等式, \( h \in {L}^{p}\left( {\mathbb{R}}^{n}\right) \left( {1 \leq p \leq 2}\right) \) . 故根据 \( f \) 的 Fourier 变换, 直接验算就得 (3.22).
## \( §{1.4} \) 缓增广义函数及其 Fourier 变换
到目前为止, 讲述广义函数的最佳的方法仍是 Schwartz 的局部凸空间理论, 故在讨论缓增广义函数之前, 利用局部凸空间术语, 阐述一般广义函数论中的一些基本概念和基本结论, 作为很好的练习, 读者可给出详细的证明.
定义 4.1 设 \( E \) 是 \( K \) 上向量空间,若存在 \( E \) 的拓扑使得映射
\[
\left\{ \begin{array}{ll} & \left( {x, y}\right) \in E \times E \rightarrow x + y \in E, \\ & \left( {\lambda, y}\right) \in K \times E \rightarrow {\lambda x} \in E \end{array}\right.
\]
(4.1)
是连续的,则称此拓扑是向量空间 \( E \) 的相容拓扑. 一个装配有相容拓扑的向量空间称为是拓扑向量空间 (TVS).
注记 4.1 TVS 的拓扑可用局部邻域基来刻画,所谓 \( {x}_{0} \) 点的局部邻域基是指: 存在 \( \left\{ {{U}_{\alpha },\alpha \in I}\right\} \) (这里 \( I \) 是指标集) 满足
(i) \( {x}_{0} \in {U}_{\alpha },\;\alpha \in I \) ;
(ii) 设 \( {\alpha }_{1},{\alpha }_{2} \in I \) ,则一定存在 \( {\alpha }_{3} \in I \) 使得 \( {U}_{{\alpha }_{1}} \cap {U}_{{\alpha }_{2}} = {U}_{{\alpha }_{3}} \) ;
(iii) 设 \( V \) 是 \( {x}_{0} \) 的一个邻域,则存在 \( \alpha \in I \) 使得 \( {U}_{\alpha } \subset V \) .
另一方面, 由于平移变换
\[
{\tau }_{y} : \;x \rightarrow y + x,\;y \in E\text{固定}
\]
和相似变换
\[
{\delta }_{\lambda } : \;x \rightarrow {\lambda x},\;\lambda \neq 0
\]
是 TVS \( E \) 上同胚映射,因此我们只需知道原点的局部邻域基就行了.
定义 4.2 可用半范数簇刻化局部邻域基的拓扑向量空间 \( E \) 就称是局部凸空间 (LCS).
注记 4.2 (i) 称拓扑向量空间 \( E \) 上的一个映射 \( p : E \rightarrow {\mathbb{R}}_{ + } \) 是半范数, 如果它满足
(1) \( p\left( {x + y}\right) \leq p\left( x\right) + p\left( y\right) ,\;\forall x, y \in E \) .
(2) \( p\left( {\lambda x}\right) = \left| \lambda \right| p\left( x\right) ,\;\forall x \in E,\;\forall \lambda \in K \) .
进而,若 \( p\left( x\right) \) 还满足 \( p\left( x\right) = 0 \) 当且仅当 \( x = 0 \) ,我们就称 \( p \) 是范数.
(ii) LCS 的具体定义 设 \( {\left( {p}_{i}\right) }_{i \in I} \) 是拓扑向量空间 \( E \) 的一族半范数,对每一个 \( {x}_{0} \in E \) ,正实数 \( \varepsilon \) ,以及 \( I \) 的有限子集 \( F \) ,定义 \( V\left( {{x}_{0},\varepsilon, F}\right) = \left\{ {x \in E : {p}_{i}\left( {x - {x}_{0}}\right) < \varepsilon, i \in F}\right\} \) . 显然集 \( V\left( {{x}_{0},\varepsilon, F}\right) \) 是对应于半范 \( {p}_{i}\left( {i \in F}\right) \) 的以 \( {x}_{0} \) 为中心、以 \( \varepsilon \) 为半径的球之交.
当 \( \varepsilon \) 遍历所有正实数集, \( F \) 遍历 \( I \) 中所有有限子集,由集 \( V\left( {{x}_{0},\varepsilon, F}\right) \) 所组成的集族就给出了 \( {x}_{0} \) 点的局部邻域基,它和 \( E \) 的向量空间结构相容. 装备有这一拓扑的向量空间 \( E \) ,就称为局部凸拓扑向量空间 (LCS).
命题 4.1 设 \( E \) 是拓扑向量空间. 则下列条件等价:
(1) \( E \) 是局部凸.
(2) 存在原点的局部凸邻域基.
(3) 存在原点的局部吸收平衡凸邻域基.
注记 4.3 命题 4.1 的证明详见 \( \left\lbrack \mathrm{ |
1545_对称性分岔理论基础(唐云) | 定义 4. 1.3 | 定义 4. 1.3 对 \( g \in {\overrightarrow{\mathcal{E}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) ,称群作用轨道 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) g \) 和 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) g \) 分别为 \( g \) 的 \( \Gamma \) 等价轨道和强 \( \Gamma \) 等价轨道; 称 \( g, h \in {\mathcal{E}}_{x,\lambda } \) ( \( \Gamma \) ) 是 \( \Gamma \) 等价的,指 \( h \in \mathcal{D}\left( \Gamma \right) g \) ,这时记 \( g \sim {}_{\Gamma }h \) ; 称 \( g, h \in {\overrightarrow{\mathcal{E}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) 是强 \( \Gamma \) 等价的,指 \( h \in \mathcal{D}\left( \Gamma \right) g \) ,这时记 \( g{ \sim }_{\Gamma }h \) .
注4. 1.3(a) 群 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 或 \( {\mathcal{D}}^{s}\left( \Gamma \right) \) 中元可看作空间 \( {\overrightarrow{\mathcal{E}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) 到自身的线性同构. 易见 \( {\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) 是 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 和 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 不变的,而 \( (S, X \) , \( \Lambda ) \) 在 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 中所满足的条件可以保证 \( \left( {S, X,\Lambda }\right) g \) 仍是 \( \Gamma \) 等变分岔问题,且具有与 \( g \) 相同的定性性态.
(b) \( \Gamma \) 等价 \( h \sim \mathrm{r}g \) 的表达式
\[
h\left( {x,\lambda }\right) = S\left( {x,\lambda }\right) g\left( {X\left( {x,\lambda }\right) ,\Lambda \left( \lambda \right) }\right) ,
\]
\( \left( {1.10}\right) \)
中 \( g \) 前面作用的线性算子 \( S\left( {x,\lambda }\right) \) 似乎可推广为下面更一般的形式
\[
h\left( {x,\lambda }\right) = Q\left( {x,\lambda, g\left( {x,\lambda }\right) }\right) ,
\]
(1.11)
这里 \( Q : \mathrm{V} \times \mathbb{R} \times \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{V} \) 在原点附近满足对任意 \( \left( {x,\lambda }\right) \in \mathrm{V} \times \mathbb{R} \) ,
\[
y \mapsto Q\left( {x,\lambda, y}\right) : \mathrm{V} \rightarrow \mathrm{V}
\]
(1.12a)
是微分同胚, 且
\[
Q\left( {x,\lambda ,0}\right) = 0,
\]
(1. \( {12}\mathrm{\;b} \) )
\[
Q\left( {{\gamma x},\lambda ,{\gamma y}}\right) = {\gamma Q}\left( {x,\lambda, y}\right) ,\;\forall \gamma \in \Gamma ,
\]
(1. \( {12}\mathrm{c} \) )
\[
{D}_{y}Q\left( {0,0,0}\right) \in \mathcal{L}{\left( \Gamma \right) }^{ \circ }\text{.}
\]
(1.12d)
但下面命题指出满足 (1.11) 中的 \( h \) 和 \( g \) 是强 \( \Gamma \) 等价的.
命题4. 1.4 设紧 Lie 群 \( \Gamma \) 作用于空间 \( \mathrm{V} \) 上, \( {Q}_{1}(\mathrm{\;V} \times \mathbb{R} \times \mathrm{V} \) , \( 0) \rightarrow \mathrm{V} \) 满足条件 (1.12),且分岔问题 \( g, h \in {\mathcal{E}}_{z,\lambda }\left( \Gamma \right) \) 满足 (1.11). 则存在 \( S \in {\mathcal{E}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) ,使 \( S\left( {0,0}\right) \in \mathcal{L}{\left( \Gamma \right) }^{ \circ } \) ,且
\[
h\left( {x,\lambda }\right) = S\left( {x,\lambda }\right) g\left( {x,\lambda }\right) .
\]
证明 由 \( \left( {{1.12}\mathrm{\;b},\mathrm{\;d}}\right) \) 可设 \( Q\left( {x,\lambda, y}\right) = A\left( {x,\lambda, y}\right) y \) ,其中 \( A\left( {x,\lambda, y}\right) \in \mathcal{L}\left( \mathrm{V}\right), A\left( {0,0,0}\right) = {D}_{y}Q\left( {0,0,0}\right) \in \mathcal{L}{\left( \Gamma \right) }^{ \circ } \) . 由 (1. \( {12}\mathrm{c} \) ),
\[
A\left( {{\gamma x},\lambda ,{\gamma y}}\right) {\gamma y} = {\gamma A}\left( {x,\lambda, y}\right) y,\;\forall \gamma \in \Gamma .
\]
令 \( B\left( {x,\lambda, y}\right) = {\int }_{\Gamma }{\gamma }^{-1}A\left( {{\gamma x},\lambda ,{\gamma y}}\right) {\gamma d\gamma } \) . 则上式表明
\[
A\left( {x,\lambda, y}\right) y = B\left( {x,\lambda, y}\right) y.
\]
由 Haar 积分的平移不变性,对每个 \( \xi \in \Gamma \) ,
\[
B\left( {{\xi x},\lambda ,{\xi y}}\right) = {\int }_{\Gamma }{\gamma }^{-1}A\left( {{\gamma \xi x},\lambda ,{\gamma \xi y}}\right) {\gamma d\gamma }
\]
\[
= {\xi B}\left( {x,\lambda, y}\right) {\xi }^{-1}.
\]
(1.13)
令 \( S\left( {x,\lambda }\right) = B\left( {x,\lambda, g\left( {x,\lambda }\right) }\right) \) . 则上式表明 \( S \in {\mathcal{E}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) . 而
\[
S\left( {0,0}\right) = B\left( {0,0,0}\right) = A\left( {0,0,0}\right) \in \mathcal{L}{\left( \Gamma \right) }^{ \circ },
\]
且 \( h\left( {x,\lambda }\right) = Q\left( {x,\lambda, g\left( {x,\lambda }\right) }\right) = S\left( {x,\lambda }\right) g\left( {x,\lambda }\right) \) .
## 4. 1. 4 关于等变向量场的稳定性问题
这一小节我们把 \( \Gamma \) 等变映射 \( g \in {\mathcal{E}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) 看成微分方程
\[
\frac{dx}{dt} = g\left( {x,\lambda }\right)
\]
\( \left( {1.14}\right) \)
的向量场,来讨论经 \( \Gamma \) 等价
\[
h\left( {x,\lambda }\right) = S\left( {x,\lambda }\right) g\left( {X\left( {x,\lambda }\right) ,\Lambda \left( \lambda \right) }\right) ,
\]
(1. 15)
\( \left( {S, X,\Lambda }\right) \in \mathcal{D}\left( \Gamma \right) ,\left( {1.14}\right) \) 的平衡解的线性稳定性是否能保持的问题. 设 \( \left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) 为 \( h \) 的零点, \( h\left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) = 0 \) . 则 \( \left( {{x}_{1},{\lambda }_{1}}\right) = \left( {X\left( {x}_{0}\right. }\right. \) , \( \left. {\left. {\lambda }_{0}\right) ,\Lambda \left( {\lambda }_{0}\right) }\right) \) 为 \( g \) 的零点,即 (1.14) 的平衡解. 问题归结为在这些平衡解处 \( g \) 和 \( h \) 的线性化矩阵的本征值实部符号是否会改变.
可以把 \( g \) 的 \( \Gamma \) 等价 (1.15) 分成两步:
(i) \( g\left( {x,\lambda }\right) \rightarrow g\left( {X\left( {x,\lambda }\right) ,\Lambda \left( \lambda \right) }\right) \) ;
(ii) \( g\left( {x,\lambda }\right) \rightarrow S\left( {x,\lambda }\right) g\left( {x,\lambda }\right) \) .
我们指出, 步骤 (i) 可归结为 (ii). 事实上, 考虑
\[
\widetilde{g}\left( {x,\lambda }\right) = {\left( dX\right) }_{x,\lambda }^{-1}g\left( {X\left( {x,\lambda }\right) ,\Lambda \left( \lambda \right) }\right) .
\]
对 \( \widetilde{g} \) 在零点 \( \left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) 处关于 \( x \) 求导,
\[
{\left( d\widetilde{g}\right) }_{{x}_{0},{\lambda }_{0}} = {\left( dX\right) }_{{x}_{0},{\lambda }_{0}}^{-1}{\left( dg\right) }_{{x}_{1},{\lambda }_{1}}{\left( dX\right) }_{{x}_{0},{\lambda }_{0}}.
\]
可见 \( {dg} \) 和 \( d\widetilde{g} \) 在相应零点处的本征值不变. 这就将变换 (i) 归结为 (ii), 即有
命题4. 1.5 设 \( g \) 的平衡点在每个形如 \( S\left( {x,\lambda }\right) g\left( {x,\lambda }\right) \) 的 \( \Gamma \) 等价下保持线性稳定性,则该平衡点在每个 \( \Gamma \) 等价下也保持线性稳定性.
于是,为讨论保持线性稳定性的条件,只要考虑步骤 (ii) 的 \( \Gamma \) 等价性. 因而, 比如对于第二章讨论过的单变量分岔问题, 在等价变换下总能保持其稳定性. 一般, 设
\[
h\left( {x,\lambda }\right) = S\left( {x,\lambda }\right) g\left( {x,\lambda }\right) .
\]
则在 \( g \) 的零点 \( \left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) 处
\[
{\left( dh\right) }_{{x}_{0},{\lambda }_{0}} = S\left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) {\left( dg\right) }_{{x}_{0},{\lambda }_{0}}.
\]
记 \( {S}_{0} = S\left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) . 若 \( {x}_{0} \) 在 \( \Gamma \) 的不动点子空间 \( \operatorname{Fix}\left( \Gamma \right) \) 中,即 \( {\gamma }_{{x}_{0}} = \) \( {x}_{0},\forall \gamma \in \Gamma \) ,则 \( {S}_{0} \) 与 \( \Gamma \) 交换, \( \gamma {S}_{0} = {S}_{0}\gamma ,\forall \gamma \in \Gamma \) . 特别,若 \( \Gamma \) 绝对不可约地作用在空间 \( \mathrm{V} \) 上,则 \( {S}_{0} = {cI}, c \in \mathbb{R} \) ,且由于 \( {S}_{0} \in {\mathcal{L}}_{\Gamma }{\left( \mathrm{V}\right) }^{ \circ } \) , \( c > 0 \) . 这就是说,矩阵 \( {\left( dh\right) }_{{x}_{0},{\lambda }_{0}} \) 和 \( {\left( dg\right) }_{{x}_{0},{\lambda }_{0}} \) 相差一个正数 \( c \) 倍,它们的本征值实部符号都不变, 这就得到
命题4. 1.6 设 \( \Gamma \) 绝对不可约地作用在 \( \mathrm{V} \) 上, \( g \in {\mathcal{E}}_{x, k}\left( \Gamma \right) \) 且 \( g\left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) = 0 \) . 若 \( {x}_{0} \in \operatorname{Fix}\left( \Gamma \right) \) ,则 \( \left( {{x}_{0},{\lambda }_{0}}\right) \) 的线性稳定性在 \( \Gamma \) 等价下保持不变.
## § 4.2 等价轨道切空间与等变限制切空间
本节中我们介绍轨道切空间的概念,它的两个特例,即 \( \Gamma \) 等价轨道切空间和等变限制切空间 (或强 \( \Gamma \) 等价轨道切空间),是我们在研究分岔问题的识别时的基本工具. 我们将详细讨论它们的代数结构, 并对几种重要的情形给出计算结果. 至于它们在识别问题中的具体应用则留在下节中介绍.
## 4. 2. 1 等价轨道切空间与等变限制切空间
设紧 Lie 群 \( \Gamma \) 作用于 ( \( n \) 维) 向量空间 \( \mathrm{V} \) 上. 我们把上一节的 \( \Gamma \) 等价群 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 和强 \( \Gamma \) 等价群 \( {\mathcal{D}}^{s}\left( \Gamma \right) \) 统一记作群 \( \mathcal{D} \) ,它作用于空间 \( {\mathcal{E}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) 上.
定义4.2.1 对于 \( g \in {\overrightarrow{\mathcal{E}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \) ,称
\[
\mathrm{T}\left( {g;\mathcal{D}}\right) = {\left. \{ \frac{d}{dt}\left( \Phi, g\right) \right| }_{t = 0} \in {\dot{\mathcal{E}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) \mid {\Phi }_{t} \in \mathcal{D},{\Phi }_{0} = {Id}\}
\]
(2.1)
为 \( g \) 的 \( \mathcal{D} \) 轨道切空间. 特别,称 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 轨道切空间为 \( \Gamma \) 等价轨道切空间,称 \( \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 轨道切空间为 \( \Gamma \) 限制切空间 (也称作强 \( \Gamma \) 等价轨道切空间), 并且记
\[
\widetilde{\mathrm{T}}\left( {g,\Gamma }\right) = \mathrm{T}\left( {g;\mathcal{Z}\left( \Gamma \right) }\right) ,
\]
\[
\operatorname{RT}\left( {g,\Gamma }\right) = \mathrm{T}\left( {g;{\mathcal{D}}^{\prime }\left( \Gamma \right) }\right) .
\]
注意, \( \mathrm{T}\left( {g;\mathcal{D}}\right) \) 的几何意义为群作用轨道 \( \mathcal{D}g \) 在 \( g \) 处的 “切空间”,这也是“轨道切空间”名称的由来. 如果把 \( \mathcal{D} \) 看成一个 “Lie 群”,则 \( \mathrm{T}\left( {g;\mathcal{D}}\right) \) 就相当于相应的 “Lie 代数”.
现在我们来研究 \( \Gamma \) 等价轨道切空间和 \( \Gamma \) 限制切空间的代数结构.
设 \( g \in {\overrightarrow{\mathcal{E}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) ,{\Phi }_{t} = \left( {{S}_{t},{X}_{t},{A}_{t}}\right) \in \mathcal{D}\left( { = \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \text{或}{\mathcal{D}}^{t}\left( \Gamma \right) }\right) ,{\Phi }_{0} \) \( = {Id} \) . 则按 (1.9)式,
\[
{\left. \frac{d}{dt}\left( \Phi, g\right) \right| }_{t = 0} = {\left. \frac{d}{dt}\left( {S}_{t}\left( x,\lambda \right) g\left( {X}_{t}\left( x,\lambda \right) ,{\Lambda }_{t}\left( \lambda \right) \right) \right) \right| }_{t = 0}
\]
\[
= {S}_{0}\left( {x,\lambda }\right) g\left( {x,\lambda }\right) + {\left( dg\right) }_{x,\lambda }{X}_{0}\left( {x,\lambda }\right) + {g}_{\lambda }\left( {x,\lambda }\right) {\Lambda }_{0}\left( \lambda \right) ,
\]
其中 \( {\mathcal{S}}_{0} \in {\mathcal{E}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) ,{X}_{0} \in {\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) ,{\Lambda }_{0} \in {\overrightarrow{\mathcal{M}}}_{\lambda } \) . 特别当 \( \mathcal{D} = \mathcal{D}\left( \Gamma \right) \) 时, \( {\Lambda }_{0} \equiv 0 \) .
反之,对 \( S \in {\overrightarrow{\mathcal{E}}}_{x,\lambda }\left( \Gamma \right) |
183_数学分析新讲 | 定义 10 | 定义 10 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是距离空间, \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是 \( X \) 中的一个点列. 如果对任何 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( N \in \mathbf{N} \) ,使得只要
\[
n, p \in N,\;n > N,
\]
就有
\[
d\left( {{x}_{n + p},{x}_{n}}\right) < \varepsilon
\]
那么我们就说 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是 \( \left( {X, d}\right) \) 中的一个基本序列或柯西序列.
定理 \( 4\left( {X, d}\right) \) 中的收敛序列都是柯西序列.
证明 设 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是 \( \left( {X, d}\right) \) 中的收敛序列, \( \lim {x}_{n} = a \) . 则对于任何 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( N \in \mathbb{N} \) ,使得只要 \( n > N \) ,就有
\[
d\left( {{x}_{n}, a}\right) < \frac{\varepsilon }{2}
\]
于是, 对于
\[
n, p \in \mathbb{N},\;n > N,
\]
就有
\[
d\left( {{x}_{n + p},{x}_{n}}\right) \leq d\left( {{x}_{n + p}, a}\right) + d\left( {a,{x}_{n}}\right)
\]
\[
< \frac{\varepsilon }{2} + \frac{\varepsilon }{2} = \varepsilon
\]
定义 11 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是距离空间. 如果 \( \left( {X, d}\right) \) 中的任何基本序列都是收敛序列,那么我们就说距离空间 \( \left( {X, d}\right) \) 是完备的,或者说距离 \( d \) 是完备的.
例 3 在 \( {\mathbf{R}}^{m} \) 中用任何一种范数 \( N \) 来定义距离
\[
d\left( {x, y}\right) = N\left( {x - y}\right) ,\;\forall x, y \in {\mathrm{R}}^{m}.
\]
这样得到的距离空间 \( \left( {{\mathbb{R}}^{n}, d}\right) \) 都是完备的.
例 4 设 \( X \) 是 \( {\mathrm{R}}^{m} \) 的非空闭子集. 用 \( {\mathrm{R}}^{m} \) 的任何一种范数 \( N \) 在 \( X \) 上定义距离
\[
d\left( {x, y}\right) = N\left( {x - y}\right) ,\;\forall x, y \in X.
\]
这样得到的距离空间 \( \left( {X, d}\right) \) 也是完备的.
定义 12 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是距离空间, \( \varphi : X \rightarrow X \) 是一个映射. 如果存在 \( \alpha \in \lbrack 0,1) \) ,使得
\[
d\left( {\varphi \left( x\right) ,\varphi \left( y\right) }\right) \leq {\alpha d}\left( {x, y}\right) ,\;\forall x, y \in X,
\]
那么我们就说 \( \varphi \) 是一个压缩映射.
注记 显然压缩映射都是连续映射.
设 \( X \) 是一个集合, \( \varphi : X \rightarrow X \) 是一个映射. 如果 \( \xi \in X \) 使得
\[
\varphi \left( \xi \right) = \xi
\]
那么我们就说 \( \xi \) 是映射 \( \varphi \) 的一个不动点.
下面的重要定理被称为压缩映射原理或者巴纳赫 (Banach) 不动点原理.
定理 5 完备距离空间 \( \left( {X, d}\right) \) 的压缩映射 \( \varphi \) 必定有唯一的不动点.
证明 先证明不动点的存在性. 任取 \( {x}_{0} \in X \) ,按下式定义一个迭代序列
\[
{x}_{n + 1} = \varphi \left( {x}_{n}\right) ,\;n = 0,1,2,\cdots .
\]
因为 \( \varphi \) 是压缩映射,所以
\[
d\left( {{x}_{n + 1},{x}_{n}}\right) = d\left( {\varphi \left( {x}_{n}\right) ,\varphi \left( {x}_{n - 1}\right) }\right)
\]
\[
\leq {\alpha d}\left( {{x}_{n},{x}_{n - 1}}\right) ,\;\forall n \in \mathbf{N}.
\]
于是得到
\[
d\left( {{x}_{n + 1},{x}_{n}}\right) \leq {\alpha d}\left( {{x}_{n},{x}_{n - 1}}\right)
\]
\[
\leq {\alpha }^{2}d\left( {{x}_{n - 1},{x}_{n - 2}}\right)
\]
....................
\[
\leq {\alpha }^{n}d\left( {{x}_{1},{x}_{0}}\right) .
\]
利用这一估计可以证明 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是基本序列. 事实上,我们有
\[
d\left( {{x}_{n + p},{x}_{n}}\right) \leq d\left( {{x}_{n + p},{x}_{n + p - 1}}\right) + \cdots + d\left( {{x}_{n + 1},{x}_{n}}\right)
\]
\[
\leq \left( {{\alpha }^{n + p - 1} + \cdots + {\alpha }^{n}}\right) d\left( {{x}_{1},{x}_{0}}\right)
\]
\[
\leq \frac{{\alpha }^{n}}{1 - \alpha }d\left( {{x}_{1},{x}_{0}}\right) .
\]
因为 \( \alpha \in \lbrack 0,1),\lim \frac{{\alpha }^{n}}{1 - \alpha }d\left( {{x}_{1},{x}_{0}}\right) = 0 \) ,所以对任何 \( \varepsilon > 0 \) ,存在 \( N \in N \) ,使得只要 \( n > N \) ,就有
\[
\frac{{\alpha }^{n}}{1 - \alpha }d\left( {{x}_{1},{x}_{0}}\right) < \varepsilon
\]
这证明了 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是基本序列. 从空间 \( \left( {X, d}\right) \) 的完备性可知,点列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 是收敛的. 设
\[
\lim {x}_{n} = \xi \text{. }
\]
对等式
\[
{x}_{n + 1} = \varphi \left( {x}_{n}\right)
\]
取极限,利用 \( \varphi \) 的连续性就得到
\[
\xi = \varphi \left( \xi \right) \text{. }
\]
. 再来证明不动点的唯一性. 假设另有 \( {\xi }^{\prime } \in X \) 也使得
\[
{\xi }^{\prime } = \varphi \left( {\xi }^{\prime }\right)
\]
则有
\[
0 \leq d\left( {{\xi }^{\prime },\xi }\right) = d\left( {\varphi \left( {\xi }^{\prime }\right) ,\varphi \left( \xi \right) }\right) \leq {\alpha d}\left( {{\xi }^{\prime },\xi }\right) .
\]
但 \( 0 \leq \alpha < 1 \) ,要使上式成立,只能有
\[
d\left( {{\xi }^{\prime },\xi }\right) = 0,
\]
即 \( {\xi }^{\prime } = \xi \) . 这证明了不动点的唯一性.
注记 压缩映射的定义即保证了它的不动点不能多于一个. 在上面定理唯一性部分的证明中, 并未用到空间完备性的条件. 但为了保证不动点的存在性, 空间完备这一条件却不能取消. 请看下面的反例:
例 5 在 \( X = (0,1\rbrack \) 上定义距离
\[
d\left( {x, y}\right) = \left| {x - y}\right| ,\;\forall x, y \in (0,1\rbrack .
\]
易见
\[
\varphi \left( x\right) = \frac{1}{2}x
\]
是一个压缩映射. 但 \( \varphi \) 在 \( X \) 中没有不动点 (因为 \( \frac{1}{2}x = x \) 的唯一解 \( x = 0 \) 不在 \( (0,1\rbrack \) 之中).
## \( §8 \) 紧致性
虽然我们主要关心的是空间 \( {R}^{m} \) 中的问题,但许多概念和结果, 可以在一般距离空间的框架中进行讨论.
定义 1 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是距离空间, \( K \subset X \) . 如果 \( K \) 中的任何点列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) 都至少含有一个子序列 \( \left\{ {x}_{n}\right\} \) ,这子序列 收敛于 \( K \) 中的某点,那么我们就说 \( K \) 是距离空间 \( \left( {X, d}\right) \) 中的一个列紧集.
注记 如果 \( X \) 本身就是列紧的,那么我们说 \( \left( {X, d}\right) \) 是列紧空间 (或者就简单地说 \( X \) 是列紧空间).
例 1 空间 \( {R}^{m} \) 中的任何有界闭集 \( K \) 都是这空间中的列紧集.
定义 2 设 \( E \) 是 \( X \) 的一个子集, \( {Q}^{\prime } = \{ V\} \) 是 \( X \) 的一族子集. 如果 \( E \) 中的任何一点都至少属于 \( {\mathcal{O}}^{\prime } \) 中的一个集合 \( V \) ,
\[
\left( {\forall x \in E}\right) \left( {\exists V \in \mathcal{V}}\right) \left( {x \in V}\right) ,
\]
那么我们就说集合族 \( \mathcal{O} \) 覆盖了集合 \( \mathbf{E} \) .
注记 作为约定,我们认为: 空集 \( \phi \) 包含于任何集合 \( V \) 之中; 集合 \( E = \phi \) 能被任何集合族 \( \mathcal{O} = \{ V\} \) 所覆盖.
定义 3 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是一个距离空间, \( E \subset X,\mathcal{O} = \{ V\} \) 是 \( X \) 的一族开子集. 如果 \( \mathcal{V} \) 覆盖了 \( E \) ,那么我们就说 \( \mathcal{V} \) 是 \( E \) 的一个开覆盖。
定义 4 设 \( \left( {X, d}\right) \) 是距离空间, \( C \subset X \) . 如果 \( C \) 的任何开覆盖 \( {\mathcal{O}}^{\prime } \) 都至少含有一个有限子族 \( {\mathcal{O}}^{\prime \prime } \) ,这子族仍覆盖住 \( \mathcal{C} \) ,那么我们就说 \( C \) 是 \( \left( {X, d}\right) \) 中的紧致集.
注记 如果 \( X \) 本身就是紧致的,那么我们说 \( \left( {X, d}\right) \) 是紧致空间.
对于空间 \( {\mathbb{R}}^{m} \) 来说,“紧致集” “列紧集” 和 “有界闭集” 这三者完全是一回事. 为了证明这个重要的结论, 先要作一些准备。
设 \( {E}^{1},{E}^{2},\cdots ,{E}^{m} \) 是 \( m \) 个集合. 我们把集合
\[
E = \left\{ {\left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{m}}\right) \mid {x}^{1} \in {E}^{1},\cdots ,{x}^{m} \in {E}^{m}}\right\}
\]
称为集合 \( {E}^{1},{E}^{2},\cdots ,{E}^{m} \) 的直积,记为
\[
\mathbf{E} = {\mathbf{E}}^{1} \times {\mathbf{E}}^{2} \times \cdots \times {\mathbf{E}}^{m}.
\]
例如, \( {\mathbb{R}}^{m} \) 可以看成 \( m \) 个 \( \mathbb{R} \) 的直积
314
\[
{\mathrm{R}}^{m} = \underset{m\text{ 个因子 }}{\underbrace{\mathrm{R} \times \mathrm{R} \times \cdots \times \mathrm{R}}}
\]
定义 5 设 \( {I}^{1} = \left\lbrack {{a}^{1},{b}^{1}}\right\rbrack \subset \mathbf{R},{I}^{2} = \left\lbrack {{a}^{2},{b}^{2}}\right\rbrack \subset \mathbf{R},\cdots ,{I}^{2} = \) \( \left\lbrack {{a}^{m},{b}^{m}}\right\rbrack \subset \mathbb{R} \) . 我们把集合
\[
I = {I}^{1} \times {I}^{2} \times \cdots \times {I}^{m} \subset {\mathbb{R}}^{m}
\]
叫做 \( {R}^{m} \) 中的闭方块,并把实数
\[
l\left( I\right) = \max \left\{ {{b}^{1} - {a}^{1},\cdots ,{b}^{m} - {a}^{m}}\right\}
\]
叫做这闭方块的线度.
注记 用类似的方式还可以定义 \( {R}^{m} \) 中的开方块以及部分边界开、部分边界闭的方块. 这里不再一一细说了.
对于 \( {R}^{1} \) 中的闭区间 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack \) ,我们可以用中点 \( \frac{a + b}{2} \) 把它分成两个闭子区间, 其中每一个
图 11-3
闭子区间的长度为原区间长度的一半. 对于 \( {\mathrm{R}}^{2} \) 中的闭矩形(闭方块 \( )I = \left\lbrack {{a}^{1},{b}^{1}}\right\rbrack \times \left\lbrack {{a}^{2},{b}^{2}}\right\rbrack \) ,我们可以把它分成四个闭子矩形 (闭子方块), 其中每一个闭子矩形的边长为原矩形边长的一半 (图 11- 3 ) .
对更一般的情形, 我们有以下结果.
引理 1 设 \( I \) 是 \( {R}^{m} \) 中的闭方块, 则我们可以把它表示成 \( {2}^{m} \) 个闭子方块的并集:
\[
I = {J}_{1} \cup {J}_{2} \cup \cdots \cup {J}_{{2}^{m}},
\]
其中每一个闭子方块的线度为原方块线度的 \( \frac{1}{2} \) :
\[
l\left( {J}_{k}\right) = \frac{1}{2}l\left( I\right), k = 1,2,\cdots ,{2}^{m}.
\]
证明 设 \( I = {I}^{1} \times {I}^{2} \times \cdots \times {I}^{m} \) ,每一个 \( {I}^{i} = \left\lbrack {{a}^{i},{b}^{i}}\right\rbrack \) 是 \( \mathrm{R} \) 中的闭区间. 考察 \( {\mathbb{R}}^{m} \) 中的如下形式的闭方块:
\[
J = {J}^{1} \times {J}^{2} \times \cdots \times {J}^{m}
\]
这里的每一个因子 \( {J}^{i} \) 或者为 \( \left\lbrack {{a}^{i},\frac{{a}^{i} + {b}^{i}}{2}}\right\rbrack \) ,或者为 \( \left\lbrack \frac{{a}^{i} + {b}^{i}}{2}\right. \) ,
\( {b}^{i}\rbrack \left( {i = 1,2,\cdots, m}\right) \) . 显然有
\[
l\left( J\right) = \frac{1}{2}l\left( I\right)
\]
容易看出 \( J \subset I \) . 还容易看出: \( I \) 中的每一点 \( x \) 至少包含在一个这种形式的闭子方块 \( J \) 中 (因为它的每一坐标 \( {x}^{i} \) 或者落入 \( \left\lbrack {{a}^{i},\frac{{a}^{i} + {b}^{i}}{2}}\right\rbrack \) 之中,或者落入 \( \left\lbrack {\frac{{a}^{i} + {b}^{i}}{2},{b}^{i}}\right\rbrack \) 之中).
所有这种形式的 \( J \) 总共有 \( {2}^{m} \) 个. 把它们编号为
\[
{J}_{1},{J}_{2},\cdots ,{J}_{2} \rightarrow
\]
则有
:
\[
I = {J}_{1} \cup {J}_{2} \cup \cdots \cup {I}_{{2}^{m}}
\]
\[
l\left( {J}_{k}\right) = \frac{1}{2}l\left( I\right) ,\;k = 1,2,\cdots ,{2}^{m}.
\]
定义 6 设 \( \{ I \) , \( \} \) 是 \( {R}^{m} \) 中的一串闭方块,满足条件
(1) \( {I}_{1} \supset {I}_{2} \supset \cdots {I}_{n} \supset {I}_{n + 1} \supset \cdots \) ,
(2) \( l\left( {I}_{n}\right) \rightarrow 0 \) ,
则称这串闭方块为 \( {\mathrm{R}}^{m} \) 中的一个闭方块套.
引理 2 (闭方块套原理) 设 \( \left\{ {I}_{n}\right\} \) 是 \( {R}^{n} \) 中的一个闭方块套,则有 \( {R}^{m} \) 中唯一的一点 \( c \) ,适合
\[
c \in {I}_{n},\;\forall n \in \mathbb{N}.
\]
证明 设 \( {I}_{n} = {I}_{n}^{1} \times {I}_{n}^{2} \times \cdots \times {I}_{n}^{m}, n = 1,2,\cdots \) . 容易看出: 闭方块套 \( \{ I \) , \( \} \) 在每一坐标轴上的投影
\[
{I}_{n}^{t}, n = 1,2,\cdots ,
\]
都构成 \( \mathrm{R} \) 中的一个闭区间套:
(1) \( {I}_{1}^{i} \supset {I}_{2}^{i} \supset \cdots \supset {I}_{n}^{i} \supset {I}_{n + 1}^{i} \supset \cdots \) ,
(2) \( l\left( {I}_{n}^{i}\right) \rightarrow 0\;\left( {n \rightarrow + \infty }\right) \) .
从 \( \mathbb{R} \) 中的闭区间套原理可知,存在唯一的 \( {c}^{i} \) ,适合
\[
{c}^{i} \in {I}_{n}^{i},\;\forall n \in \mathbf{N}.
\]
记
\[
c = \left( {{c}^{1},{c}^{2},\cdots ,{c}^{m}}\right)
\]
则显然 \( c \) 是 \( {\mathbf{R}}^{n} \) 中适合以下条件的唯一点:
\[
c \in {I}_{n},\;\forall n \in \mathbb{N}.
\]
在作了这些准备之后, 我们来证明本节的主要定理.
定理 1 对于空间 \( {R}^{m} \) 的子集 \( K \) ,以下三条陈述相互等价:
(1) \( K \) 是紧致集;
(2) \( K \) 是列紧集;
（3） \( K \) 是有界闭集.
证明 我们将循以下途径证明三条陈述相互等价:
\( \left( 1\right) \Rightarrow \left( 2\right) \Rightarrow |
1253_[吴岚&黄海&何洋波] 金融数学引论 | 定义 2.1 | 定义 2.1 若年金的现金流在第一个付款期末首次发生, 随后依次分期进行, 则称这种年金为期末年金.
定义 2.2 若每次的年金金额为 1 个货币单位, 现金流在第一个付款期末首次发生,共计 \( n \) 次,则称这种年金为 \( n \) 期标准期末年金.
由定义 2.2 知, \( n \) 期标准期末年金的时间流程图如下页图 2-1 所示.
图 2-1
通常用记号 \( {a}_{\overrightarrow{n} \mid i} \) 表示利率为 \( i \) ,比较日选为 0 时刻的 \( n \) 期标准期末年金的所有年金金额的现值之和 (简称 \( n \) 期标准期末年金的现值),其中 \( a \) 是年金的英文单词的第一个字母, \( n \) 表示年金现金流的次数, \( i \) 表示年金的利率. 有时也用记号 \( {a}_{\bar{n} \mid i} \) 代表利率 \( i \) 环境中的标准期末年金的现金流. 在不至于产生歧义的情况下,也将 \( {a}_{\bar{n} \mid i} \) 简单记为 \( {a}_{\bar{n}} \) . 根据 \( n \) 期标准期末年金的时间流程图,容易得到关于年金现值的基本计算公式:
\[
{a}_{\bar{n} \mid i} = v + {v}^{2} + \cdots + {v}^{n} = \frac{1 - {v}^{n}}{i},
\]
(2.1.1)
其中 \( v \) 为 \( i \) 对应的贴现因子.
对年金现金流为任意值 \( R \) 的一般 \( n \) 期期末年金,可以将其看做由 \( R \) 份 \( n \) 期标准期末年金组成,所以,它的现值为 \( R{a}_{\overline{n \mid }} \) .
由式(2.1.1)有
\[
1 = {ia}\frac{}{n} + {v}^{n}
\]
(2.1.2)
式(2.1.2)的含义如下:
0 时刻 1 个货币单位的价值
\( = (0, n\rbrack \) 上每次收入 (利息) \( i \) 的现金流价值 \( {ia}\frac{}{n \mid i} \)
\( + n \) 时刻 1 个货币单位的现值 \( {v}^{n} \) .
此外,自然有 \( \frac{1}{{a}_{\overline{n\rbrack }}} \cdot {a}_{\overline{n\rbrack }} = 1 \) . 这表明,可以用 \( \frac{1}{{a}_{\overline{n\rbrack }}} \) 代表 0 时刻 1 个货币单位对应的 \( n \) 期期末年金的现金流 (见图 2-2).
图 2-2
类似于年金现值,用记号 \( {s}_{\bar{n} \mid i} \) 表示利率为 \( i \) 的 \( n \) 期标准期末年金的所有年金金额在年金结束时刻的终值之和 (简称 \( n \) 期标准期末年金的终值). 有时将 \( {s}_{\bar{n} \mid i} \) 简记为 \( {s}_{\bar{n}} \) . 同样,根据 \( n \) 期标准期末年金的时间流程图, 容易得到关于年金终值的基本计算公式:
\[
{s}_{\bar{n} \mid i} = {\left( 1 + i\right) }^{n - 1} + {\left( 1 + i\right) }^{n - 2} + \cdots + \left( {1 + i}\right) + 1
\]
\[
= \frac{{\left( 1 + i\right) }^{n} - 1}{i}
\]
(2. 1.3)
另外, 经过简单的数学推导, 可以证明 (此处从略)
\[
{s}_{\bar{n} \mid i} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\mathrm{C}}_{n}^{k}{i}^{k - 1}.
\]
下面从现金流过程分析该表达式的含义.
第一步: 考虑年金现金流本身生成的利息流. 在每个 \( t(t = \) \( 1,\cdots, n - 1) \) 时刻的 1 个货币单位年金产生的利息流为从 \( t + 1 \) 时刻到 \( n \) 时刻的 \( i \) 元现金流,其时间流程示意图如图 2-3 所示. 将每个 \( t \) 时刻的利息流合并, 则合并为如图 2-4 所示的现金流. 对这些现金流直接求和,有 \( \mathop{\sum }\limits_{{t = 2}}^{n}\left( {t - 1}\right) i \) .
本金 
1 时刻年金的利息流 \( t \) 时刻年金的利息流
图 2-3
图 2-4
第二步: 重复上面的步骤, 将前面的利息流作为新的本金流, 考虑其生成的新的利息流 (见图 2-5). 同样将每个时刻的利息流合并, 则合并后相当于如图 2-6 所示的现金流. 对这些现金流求和, 有 \( \mathop{\sum }\limits_{{t = 3}}^{n}\mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{{t - 2}}k{i}^{2} \)
图 2-5
图 2-6
依此类推, 将上述求和后的值直接相加, 再加上原始本金, 则有
\[
{s}_{\bar{n} \mid i} = \mathop{\sum }\limits_{{k = 1}}^{n}{\mathrm{C}}_{n}^{k}{i}^{k - 1}.
\]
上面的现金流分析表示了标准期末年金的复利计息方式下的利息实现过程.
对年金现金流为任意值 \( R \) 的一般 \( n \) 期期末年金,易知其终值为 \( {Rs}\frac{}{n + i} \) .
结论 \( {2.1}\;{s}_{\bar{n} \mid i} \) 与 \( {a}_{\bar{n} \mid i} \) 有如下关系:
(1) \( {s}_{\bar{n} \mid i} = {a}_{\bar{n} \mid i}{\left( 1 + i\right) }^{n} \) ; (2) \( \frac{1}{{a}_{\bar{n} \mid i}} = \frac{1}{{s}_{\bar{n} \mid i}} + i \) .
证明 (1) 因为
\[
{s}_{\bar{n} \mid i} = \frac{{\left( 1 + i\right) }^{n} - 1}{i}
\]
\[
{a}_{\bar{n} \mid i} = \frac{1 - {v}^{n}}{i} = \frac{1 - {\left( 1 + i\right) }^{-n}}{i},
\]
所以
\[
{s}_{\bar{n} \mid i} = {a}_{\bar{n} \mid i}{\left( 1 + i\right) }^{n}.
\]
（2）由 (1) 知 \( {s}_{\bar{n} \mid i} = {a}_{\bar{n} \mid i}{\left( 1 + i\right) }^{n} \) ,所以
\[
\frac{1}{{s}_{\bar{n} \mid i}} + i = \frac{1}{{a}_{\bar{n} \mid i}{\left( 1 + i\right) }^{n}} + i = \frac{1 + {\left( 1 + i\right) }^{n} - 1}{{a}_{\bar{n} \mid i}{\left( 1 + i\right) }^{n}} = \frac{1}{{a}_{\bar{n} \mid i}}.
\]
例 2.1 现有 10 年期 500000 元贷款,年利率为 \( 8\% \) . 试计算以下三种还贷方式的应付利息:
（1）在第 10 年底一次还清;
（2）每年底偿还当年的利息, 本金最后一次还清;
（3）每年底偿还固定的金额, 10 年还清.
解 (1) 因为在第 10 年底的一次还款为
\[
{500000}{\left( 1 + {0.08}\right) }^{10}\text{ 元 } = {1079462.50}\text{ 元,}
\]
所以应付利息为
\[
\left( {{1079462.50} - {500000}}\right) \text{元} = {579462.50}\text{元.}
\]
（2）因为每年所付利息为
\[
{500000} \times {0.08}\text{元} = {40000}\text{元,}
\]
所以 10 年总的利息付出为
\[
{10} \times {40000}\text{元} = {400000}\text{元.}
\]
（3）设每年底的还款额为 \( R \) ,则有价值方程
\[
R{a}_{\overline{10}\overline{10}{.08}} = {500000}\text{元.}
\]
由 \( {a}_{\overline{10} \mid {0.08}} = {6.710081} \) 得
\[
R = \frac{500000}{{a}_{\overline{10} \mid {0.08}}}\text{ 元 } = \frac{500000}{6.710081}\text{ 元 } = {74514.54}\text{ 元,}
\]
进而有 10 年的付款总额为
\[
{10} \times {74514.54}\text{元} = {745145.4}\text{元,}
\]
所以应付利息为
\[
\text{(745145. 4 - 500000) 元} = {245145.4}\text{元.}
\]
注 这里的计算没有考虑利息的发生过程, 虽然三种利息结果不同, 但是所有还款的现值是相同的 (都是原始贷款).
## 2.1.2 期初年金
定义 2.3 若年金的首次现金流在合同生效时立即发生, 随后依次分期进行, 则称这种年金为期初年金.
定义 2.4 若每次的年金金额为 1 个货币单位, 在合同生效时立即发生首次的现金流,共计 \( n \) 次,则称这种年金为 \( n \) 期标准期初年金.
由定义 2.4 知, \( n \) 期标准期初年金的时间流程图如下页图 2-7 所示.
图 2-7
与 \( n \) 期标准期末年金一样,对于 \( n \) 期标准期初年金,我们关心的是它的现值与终值. 一般 用记号 \( {\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i} \) 表示利率为 \( i \) 的 \( n \) 期标准期初年金的现值,用记号 \( {\ddot{s}}_{\overrightarrow{n} \mid i} \) 表示 \( n \) 期标准期初年金的终值. 有时也将 \( {\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i} \) 与 \( {\ddot{s}}_{\bar{n} \mid i} \) 分别简记为 \( {\ddot{a}}_{\overline{n \mid }} \) 与 \( {\ddot{s}}_{\overline{n \mid }} \) . 根据 \( n \) 期标准期初年金的时间流程图易得如下的基本计算公式:
\[
{\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i} = 1 + v + {v}^{2} + \cdots + {v}^{n - 1} = \frac{1 - {v}^{n}}{d},
\]
(2.1.4)
\[
{\ddot{s}}_{\bar{n} \mid i} = \left( {1 + i}\right) + {\left( 1 + i\right) }^{2} + \cdots + {\left( 1 + i\right) }^{n}
\]
\[
= \frac{{\left( 1 + i\right) }^{n} - 1}{d}\text{. }
\]
(2. 1.5)
结论 2.2 \( {\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i} \) 与 \( {\ddot{s}}_{\bar{n} \mid i} \) 之间有如下关系:
(1) \( {\ddot{s}}_{\bar{n} \mid i} = {\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i}{\left( 1 + i\right) }^{n} \) ; (2) \( \frac{1}{{\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i}} = \frac{1}{{\ddot{s}}_{\bar{n} \mid i}} + d \) .
结论 2.2 的证明与结论 2.1 的证明相似.
结论 2.3 下面的关系式成立:
(1) \( {\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i} = \left( {1 + i}\right) {a}_{\bar{n} \mid i},{\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i} = 1 + {a}_{\overline{n - 1} \mid i} \) ;
(2) \( {\ddot{s}}_{\overline{n \mid }} = \left( {1 + i}\right) {s}_{\bar{n} \mid i},{\ddot{s}}_{\overline{n \mid }} = {s}_{\overline{n + 1} \mid i} - 1 \) .
证明 如果将标准期初年金看做金额为 \( 1 + i \) 的期末年金,然后对其求现值和终值, 则容易得到 (1), (2) 中的第一个式子. 而对于 (1), (2) 中的第二个式子显然成立.
与期末年金的情形类似, \( R{\ddot{a}}_{\overline{n\rbrack }} \) 与 \( R{\ddot{s}}_{\overline{n\rbrack }} \) 分别表示年金现金流为 \( R \) 的一般 \( n \) 期期初年金的现值和终值.
例 2.2 某人从现在开始每年定期地投入相同的一笔钱, 希望在第 12 年底 (下一年度定期投入的前一瞬间) 得到 1000000 元的回报. 如果年利率为 \( 7\% \) ,试计算每年的投入金额.
解 设每年的投入金额为 \( R \) ,则在第 12 年底的价值方程为
\[
R{\ddot{s}}_{\overline{12}|0,\text{ }{07}} = {1000000}\text{元.}
\]
由 \( {\ddot{s}}_{\overline{12} \mid {0.07}} = {19.14064} \) ,得
\[
R = \frac{1000000}{{\left. \ddot{\mathbf{s}}\right| }_{\overline{12} \mid {0.07}}}\text{ 元 } = \frac{1000000}{19.14064}\text{ 元 } = {52245}\text{ 元. }
\]
这个计算结果表明,如果年利率为 \( 7\% \) ,从现在开始每年初投入 52245 元, 到第 12 年底, 总累积值为 1000000 元.
## 2.1.3 递延年金
定义 2.5 若年金现金流的首次发生是递延了一段时间后进行的, 则称这种年金为递延年金.
由定义 2.5 知,递延 \( m \) 期的 \( n \) 期标准期末年金的时间流程图如图 2-8 所示.
图 2-8
从图 2-8 中的现金流看,递延 \( m \) 期的 \( n \) 期标准期末年金相当于一个 \( m + n \) 期标准期末年金扣除一个 \( m \) 期标准期末年金,所以,该递延年金的现值可以表示为
\[
{\left. \frac{a}{m + n}\right| }_{i} - {\left. a\right| }_{\overline{m \mid }i},
\]
(2. 1. 6)
即递延年金的现值为两个定期年金的现值之差. 同样,对于递延 \( m \) 期的 \( n \) 期标准期初年金的现值也有类似的表示.
通过适当推导,递延 \( m \) 期的 \( n \) 期标准期末年金的现值又可以表示为 \( {v}^{m}a\frac{}{n \mid i} \) .
## 2.1.4 永久年金
定义 2.6 若年金的支付 (现金流) 永远进行下去, 没有结束的日期, 则称这种年金为永久年金.
一般用 \( {a}_{\overline{\infty } \mid i} \) (或 \( {\ddot{a}}_{\overline{\infty } \mid i} \) ) 表示标准永久期末 (或初) 年金的现值,且有计算公式
\[
{a}_{\overline{\infty } \mid i} = v + {v}^{2} + \cdots = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{a}_{\bar{n} \mid i} = \frac{1}{i},
\]
(2.1.7)
\[
{\ddot{a}}_{\overline{\infty } \mid i} = 1 + v + {v}^{2} + \cdots = \mathop{\lim }\limits_{{n \rightarrow \infty }}{\ddot{a}}_{\bar{n} \mid i} = \frac{1}{d}.
\]
(2.1.8)
从图 2-9 中的现金流看, \( n \) 期标准期末年金可用一个标准永久期末年金扣除一个递延 \( n \) 期的标准永久期末年金表示,于是有现值公式
\[
{a}_{\bar{n} \mid i} = {a}_{\overline{\infty } \mid i} - {v}^{n}{a}_{\overline{\infty } \mid i}.
\]
(2. 1.9)
图 2-9
例 2.3 某人留下遗产 100000 元, 第一个 10 年将每年的利息付给受益人甲, 第二个 10 年将每年的利息付给受益人乙, 20 年后将每年的利息付给受益人丙且一直进行下去, 均为年底支付. 如果年利率为 \( 7\% \) ,试计算三个受益人的相对受益比例.
解 甲的受益现值相当于 7000 份 10 年期标准期末年金的现值, 故其受益现值为
\[
{7000}\frac{}{10}{\rbrack }_{0.07}\text{元} = {7000} \times {7.0236}\text{元} = {49162}\text{元.}
\]
乙的受益现值相当于 7000 份递延 10 年的 10 年期标准期末年金的现值, 故其受益现值为
\[
{7000}\left( {{a}_{\overline{20}|{0.07}} - {a}_{\overline{10}|{0.07}}}\right) \text{元}
\]
\[
= {7000}\left( {{10.5940} - {7.0236}}\right) \text{元} = {24993}\text{元.}
\]
丙的受益现值相当于 7000 份递延 20 年的标准永久期末年金的现值, 故其受益现值为
\[
{7000}\left( {{a}_{\overline{\infty }{10.07}} - {a}_{\overline{20}{10.07}}}\right) \text{元}
\]
\[
= {7000}\left( {1/{0.07} - {10.5940}}\right) \text{元} = {25842}\text{元.}
\]
所以, 从现值的角度看, 甲、乙和丙的受益比例分别近似为 \( {49}\% ,{25}\% \) 和 \( {26}\% \) . 另外,因为 \( {100000}{\left( 1 + {0.07}\right) }^{-{20}} = {25842} \) ,所以丙相当于在 20 年后独自继承了这笔遗产.
## 2.1.5 剩余付款期不是标准时间单位的计算
由前面年金现值的计算可以发现, 大多数情况下年金的现值都不是整数, 这会使得现实的操作出现以下的不方便情况: 如果年金的现金流为整数, 则其现值不是整数; 如果年金的现值是整数, 则其现金流就很难保证为整数. 而为了操作上的方便, 当然希望现金流和现值都是整数, 于是需要对零碎的部分进行处理. 例如: 5 年期年利率为 \( 3\% \) 的年金,理想的状态是当前价值为 500 元,每年 100 元年金金额, 而由年金的计算得知, 若每年的现金流为 100 元, 则现值为 457.97 元,这种情况需要对 \( \left( {{500} - {457.97}}\right) \) 元 \( = {42.03} \) 元进行处理.
实际上,对于任意的 \( t\left( {0 \leq t \leq 1}\right) \) ,形式上可以定义下面的计算 |
1990_实用数学手册 | 定义 8 | 定义 8 如果黎曼空间 \( M \) 的点 \( x \) 处的所有截面曲率都等于一个常数,则称 \( M \) 在点 \( x \) 处是迷向的. 如果还有截面曲率是 \( M \) 上的常值函数,则称 \( M \) 的常曲率空间.
定理 \( {10M} \) 在点 \( x \) 处迷向的必要充分条件是存在常数 \( C \) ,使得在点 \( x \) 处
\[
{R}_{ijkl} = - C\left( {{g}_{ik}{g}_{jl} - {g}_{il}{g}_{jk}}\right) .
\]
定理 11 (舒尔) 设 \( M \) 是 \( n\left( { \geq 3}\right) \) 维处处迷向的连通黎曼空间,则 \( M \) 是常曲率空间.
定理 12 常曲率空间是爱因斯坦空间.
## 15. 11.4 平行移动 测地线
定义 9 设 \( C : {x}^{k} = {x}^{k}\left( t\right) \left( {k = 1,\cdots, n;\alpha \leq t \leq \beta }\right) \) 是黎曼空间 \( M \) 中的一条光滑曲线, \( X = X\left( t\right) \) 是在 \( \mathbf{C} \) 上给定的向量场,则
\[
\frac{\delta {X}^{i}}{dt} = \frac{d{X}^{i}}{dt} + {\Gamma }_{jk}^{i}\frac{d{x}^{j}}{dt}{X}^{k}
\]
\( \left( {i = 1,2,\cdots, n,{X}^{i}\text{是}X\text{的分量}}\right) \) 称为 \( {X}^{i} \) 沿曲线 \( C \) 的共变导数. 如果 \( X \) 是 \( M \) 上的向量场, 则有
\[
\frac{\delta {X}^{i}}{dt} = \frac{d{x}^{j}}{dt}{\nabla }_{j}{X}^{i}
\]
如果 \( X \) 沿 \( C \) 的共变导数为零,即 \( \frac{\delta {X}^{i}}{dt} = 0\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) \) ,则称 \( X = X\left( t\right) \) 沿 \( C \) 是平行的. 如果 \( C \) 的切向量场沿 \( C \) 是平行的,则称 \( C \) 为测地线.
设沿 \( C \) 有 \( \frac{\delta {X}^{i}}{dt} = 0\left( {i = 1,\cdots, n}\right), X\left( \alpha \right) = A, X\left( \beta \right) = B \) ,则称 \( B \) 是向量 \( A \) 沿 \( C \) 平行移动到参数 \( t = \beta \) 的点所得到的向量. 令
\[
x = \left( {{x}^{1}\left( \alpha \right) ,\cdots ,{x}^{n}\left( \alpha \right) }\right), y = \left( {{x}^{1}\left( \beta \right) ,\cdots ,{x}^{n}\left( \beta \right) }\right) ,
\]
则使得 \( A \in {T}_{x}\left( M\right) \) 对应到 \( B \in {T}_{y}\left( M\right) \) 的映射是 \( {T}_{x}\left( M\right) \) 到 \( {T}_{y}\left( M\right) \) 上的一个同构.
定理 13 测地线 \( C \) 应满足微分方程组
\[
\frac{{d}^{2}{x}^{i}}{d{t}^{2}} + {\Gamma }_{\mu }^{i}\frac{d{x}^{j}}{dt}\frac{d{x}^{k}}{dt} = 0\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) .
\]
给定黎曼流形 \( M \) 上的点 \( p \) 与 \( p \) 处的一个切向量,恰有一条测地线过点 \( p \) 且在点 \( p \) 处与给定的向量相切.
定理 14 对于黎曼空间 \( M \) 中充分接近的两个点 \( p, q \) ,存在使得连 \( p, q \) 的曲线的长度达到最小值的测地线.
## 815.12 张量分析在离散质点系力学中的应用
## 15. 12.1 质点的自由运动
利用张量分析, 可以得到力学定律以不变形式表示的分析式, 特别是可以在任何曲线坐标系中写出质点与质点系的运动方程.
设自由质点的位置由径向量 \( r = r\left( {{x}^{1},{x}^{2},{x}^{3}}\right) \) 确定,则点的速度
\[
v = \dot{r} = {\dot{x}}^{i}{e}_{i}
\]
其中
\[
{\mathbf{e}}_{i} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial {x}^{i}}\;\left( {i = 1,2,3}\right) .
\]
于是点的速度的反变分量为 \( {v}^{i} = {\dot{x}}^{i}\left( {i = 1,2,3}\right) \) . 这些分量也称作广义速度.
设质点加速度向量 \( a \) 的反变分量为 \( {a}^{1},{a}^{2},{a}^{3} \) ,则
\[
{a}^{i} = {\left( \frac{dv}{dt}\right) }^{i} = \frac{d{v}^{i}}{dt} + {\Gamma }_{jk}^{i}{v}^{j}{v}^{k} = \frac{{d}^{2}{x}^{i}}{d{t}^{2}} + {\Gamma }_{jk}^{i}\frac{d{x}^{j}}{dt}\frac{d{x}^{k}}{dt}\left( {i = 1,2,3}\right) ,
\]
\( a \) 的共变分量为
\[
{a}_{i} = \frac{d{v}_{i}}{dt} - {\Gamma }_{k}^{i}{v}_{j}{v}^{k}\;\left( {i = 1,2,3}\right) .
\]
设作用在质点上的外力 \( \mathbf{F} \) 的反变与共变分量分别为 \( {F}^{i} \) 和 \( {F}_{i}\left( {i = 1,2,3}\right) \) ,则由牛顿第二定律, 自由质点的运动方程为
\[
m\left( {\frac{d{v}^{i}}{dt} + {\Gamma }_{jk}^{i}{v}^{j}{v}^{k}}\right) = {F}^{i},
\]
\[
m\left( {\frac{d{v}_{i}}{dt} - {\Gamma }_{k}^{i}{v}_{j}{v}^{k}}\right) = {F}_{i}\;\left( {i = 1,2,3}\right) ,
\]
其中 \( m \) 为质点的质量.
例 1 对于柱面坐标系 \( \left( {\rho ,\varphi, z}\right) \) ,由于 \( d{s}^{2} = d{\rho }^{2} + {\rho }^{2}d{\varphi }^{2} + d{z}^{2} \) ,所以 \( {g}_{11} = 1 \) , \( {g}_{22} = {\rho }^{2},{g}_{33} = 1,{g}_{ij} = 0, i \neq j \) . 于是
\[
{\Gamma }_{22}^{1} = - \rho ,{\Gamma }_{21}^{2} = {\Gamma }_{12}^{2} = \frac{1}{\rho },
\]
其余的联络系数都等于零. 因此质点在柱面坐标系中的运动方程为
\[
m\left( {\ddot{\rho } - \rho {\dot{\varphi }}^{2}}\right) = {F}_{\rho }, m\left( {\rho \ddot{\varphi } + 2\dot{\rho }\dot{\varphi }}\right) = {F}_{\varphi }, m\ddot{z} = {F}_{z},
\]
其中 \( {F}_{p},{F}_{\varphi },{F}_{z} \) 是外力在伴随质点运动的标架 \( {e}_{p},{e}_{\varphi },{e}_{z} \) 上的分量.
例 2 对于球面坐标系 \( \left( {r,\theta ,\varphi }\right) \) ,由于
\[
d{s}^{2} = d{r}^{2} + {r}^{2}d{\theta }^{2} + {r}^{2}{\sin }^{2}{\theta d}{\varphi }^{2},
\]
所以
\[
{g}_{11} = 1,{g}_{22} = {r}^{2},{g}_{33} = {r}^{2}{\sin }^{2}\theta ,{g}_{ij} = 0, i \neq j.
\]
因此
\[
{\Gamma }_{22}^{1} = - r,{\Gamma }_{12}^{2} = \frac{1}{r},{\Gamma }_{13}^{3} = \frac{1}{r},{\Gamma }_{33}^{1} = - r{\sin }^{2}\theta ,
\]
\[
{\Gamma }_{33}^{2} = - \sin \theta \cos \theta ,{\Gamma }_{23}^{3} = \cot \theta ,
\]
其余联络系数等于零. 因此质点在球面坐标系中的运动方程为
\[
m\left( {\ddot{r} - {\dot{\theta }}^{2} - r{\dot{\varphi }}^{2}{\sin }^{2}\theta }\right) = {F}_{r},\;{mr}\left( {\ddot{\theta } + \frac{2}{r}\dot{r}\dot{\theta } - \sin \theta \cos \theta {\dot{\varphi }}^{2}}\right) = {F}_{\theta },
\]
\[
{mr}\sin \theta \left( {\ddot{\varphi } + \frac{2}{r}\dot{r}\dot{\varphi } + 2\dot{\theta }\dot{\varphi }\cot \theta }\right) = {F}_{\varphi }.
\]
## 15. 12.2 质点的约束运动
设质点约束在曲面 \( S : G\left( {x, y, z}\right) = 0 \) 上运动,其中 \( \left( {x, y, z}\right) \) 是直角坐标. 把曲面 \( S \) 看作理想约束, 在需要考虑摩擦时, 把摩擦力列入外力.
引进曲线坐标系 \( \left( {{x}^{1},{x}^{2},{x}^{3}}\right) \) ,使 \( S \) 成为 \( {x}^{3} = 0 \) . 此时令
\[
d{s}^{2} = {g}_{11}{\left( d{x}^{1}\right) }^{2} + 2{g}_{12}d{x}^{1}d{x}^{2} + {g}_{22}{\left( d{x}^{2}\right) }^{2} + {\left( d{x}^{3}\right) }^{2},
\]
于是
\[
{v}^{3} = \frac{d{x}^{3}}{dt} = 0
\]
曲面对质点的反作用力 \( R = R{e}_{3} \) ,即 \( {R}^{1} = {R}^{2} = 0,{R}^{3} = R \) . 这时质点运动方程为
\[
m\left( {\frac{{d}^{2}{x}^{i}}{d{t}^{2}} + {\left( {\Gamma }_{jk}^{i}\right) }_{{x}^{3} = 0}\frac{d{x}^{j}}{dt}\frac{d{x}^{k}}{dt}}\right) = {F}^{i}\left( {i, j, k = 1,2}\right) ,
\]
\[
{\left( {\Gamma }_{jk}^{3}\right) }_{{x}^{3} = 0}\frac{d{x}^{j}}{dt}\frac{d{x}^{k}}{dt} = {F}^{3} + R\left( {j, k = 1,2}\right) .
\]
\( {\left( {\Gamma }_{kj}^{3}\right) }_{{x}^{3} = 0} \) 的值与 \( S \) 的曲率有关.
设外力 \( \mathbf{F} \) 沿 \( S \) 的法线方向,则 \( {F}^{1} = {F}^{2} = 0 \) ,于是
\[
\frac{{d}^{2}{x}^{i}}{d{t}^{2}} + {\left( {\Gamma }_{jk}^{i}\right) }_{{x}^{3} = 0}\frac{d{x}^{j}}{dt}\frac{d{x}^{k}}{dt} = 0\left( {i = 1,2}\right) .
\]
这表明质点沿 \( S \) 上的测地线运动,而速度向量 \( v \) 沿运动轨迹作平行移动.
## 15. 12.3 质点系的约束运动
考虑由质量顺次为 \( {m}_{1},\cdots ,{m}_{n} \) 的 \( n \) 个质点构成的质点系. 引进变量 \( {\xi }_{i}\left( {i = 1,2,\cdots ,{3n}}\right) \) 如下:
\[
{\xi }_{{3i} - 2} = \sqrt{{m}_{i}}{x}_{i},{\xi }_{{3i} - 1} = \sqrt{{m}_{i}}{y}_{i},{\xi }_{3i} = \sqrt{{m}_{i}}{z}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, n}\right) ,
\]
其中 \( \left( {{x}_{i},{y}_{i},{z}_{i}}\right) \) 是第 \( i \) 个质点的笛卡儿坐标. 由
\[
{\dot{\xi }}_{{3i} - 2} = \sqrt{{m}_{i}}{\dot{x}}_{i},{\dot{\xi }}_{{3i} - 1} = \sqrt{{m}_{i}}{\dot{y}}_{i},{\dot{\xi }}_{3i} = \sqrt{{m}_{i}}{\dot{z}}_{i}
\]
确定的向量 \( v \) 称为点 \( P\left( {{\xi }_{1},\cdots ,{\xi }_{3n}}\right) \) 的速度,而由 \( {\ddot{\xi }}_{{3i} - 2},{\ddot{\xi }}_{{3i} - 1},{\ddot{\xi }}_{3i} \) 确定的向量 \( a \) 称为点 \( P \) 的加速度.
设质点系受到的约束为
\[
{\xi }_{i} = {\xi }_{i}\left( {{x}^{1},\cdots ,{x}^{N}}\right) = {\xi }_{i}\left( {x}^{j}\right) \left( {i = 1,2,\cdots ,{3n}, j = 1,\cdots, N}\right) ,
\]
其中 \( N \) 是质点系的自由度. 这一约束可看作 \( {3n} \) 维空间中的超曲面 \( S \) 的方程 \( r = r\left( {x}^{i}\right) \) . 引进 \( {x}^{N + 1},\cdots ,{x}^{3n} \) ,使 \( S \) 的方程成为 \( {x}^{N + 1} = {x}^{N + 2} = \cdots = {x}^{3n} = 0 \) ,此时质点系的运动方程具有下面的形式:
\[
\frac{d{v}_{i}}{dt} - {\Gamma }_{u}^{i}{v}_{j}{v}^{k} = {X}_{i}\;\left( {i, j, k = 1,2,\cdots, N}\right) ,
\]
\[
{\Gamma }_{k}^{i}{v}_{j}{v}^{k} = - {X}_{i}\;\left( {i = N + 1,\cdots ,{3n}, j, k = 1,2,\cdots, N}\right) ,
\]
其中 \( {v}_{i} = {g}_{ij}{v}^{j},{v}^{i} \) 由
\[
v = \frac{dr}{dt} = {v}^{i}\frac{\partial r}{\partial {x}^{i}}\;\left( {i = 1,2,\cdots, N}\right)
\]
确定; \( {X}_{i} \) 是外力的共变分量.
如果令 \( T = \frac{1}{2}{g}_{ij}{v}^{i}{v}^{j} \) ,则第一组方程就是
\[
\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial {v}^{j}} - \frac{\partial T}{\partial {x}^{i}} = {X}_{i}\left( {i = 1,2,\cdots, N}\right) ,
\]
即力学中的第二类拉格朗日微分方程组.
## § 15.13 张量分析在连续介质力学中的应用
## 15. 13.1 应力张量
在物体中取法方向为 \( v \) 的微小平面元,该平面元两侧的物体部分在单位面积内的相互作用力称为关于所取平面的应力,记作 \( {\tau }_{\nu }\left( {{\tau }_{\nu }^{1},{\tau }_{\nu }^{2},{\tau }_{\nu }^{3}}\right) \) . 应力在垂直于平面的方向的分量称为正应力, 在平行于平面的方向的分量称为切应力. 设在物体内任何一点关于通过该点的三个正交平面的应力为
\[
{\tau }^{1}\left( {{\tau }^{11},{\tau }^{12},{\tau }^{13}}\right) ,\;{\tau }^{2}\left( {{\tau }^{21},{\tau }^{22},{\tau }^{23}}\right) ,\;{\tau }^{3}\left( {{\tau }^{31},{\tau }^{32},{\tau }^{33}}\right) ,
\]
则
\[
{\tau }_{\nu } = {\tau }^{1}\cos \left( {\nu, x}\right) + {\tau }^{2}\cos \left( {\nu, y}\right) + {\tau }^{3}\cos \left( {\nu, z}\right) .
\]
由 \( \left\{ {{\tau }^{ij} : i, j = 1,2,3}\right\} \) 构成的二次反变张量,称为应力张量. 由于 \( {\tau }^{ij} = {\tau }^{ji} \) ,所以应力张量是对称张量.
过物体中的每个点, 存在互相垂直的三个面元, 使得相应的应力沿着这些面元的法线方向. 这样的面元的法线方向称为应力张量的主方向或主轴. 设 \( {\tau }_{j}^{i} = {\tau }^{jk}{g}_{kj} \) ,则三个主方向的面元 \( d{A}_{i}\left( {i = 1,2,3}\right) \) 应满足 \( \left( {{\tau }_{j}^{i} - \tau {\delta }_{j}^{i}}\right) d{A}_{i} = 0(i = 1,2,3,{\delta }_{j}^{i} \) 是克罗内克记号). 由此 \( \tau \) 应是矩阵 \( \left( {\tau }_{j}^{i}\right) \) 的本征值. 求出本征值后,即可由上述方程求出主方向.
## 15. 13.2 应变张量
考虑物体在变形前与变形后的情况. 在变形前的物体中建立坐标系 \( \left( {{x}^{1},{x}^{2},{x}^{3}}\right) \) , \( d{s}^{2} = {g}_{ij}d{x}^{i}d{x}^{j} \) . 设变形后 \( d{\widetilde{s}}^{2} = {\widetilde{g}}_{ij}d{\widetilde{x}}^{i}d{\widetilde{x}}^{j} \) . 令 \( {\gamma }_{ij} = {\widetilde{g}}_{ij} - {g}_{ij} \) ,则当坐标系变换到 \( \left( {{\widetilde{x}}^{1},{\widetilde{x}}^{2},{\widetilde{x}}^{3}}\right) \) 时,有
\[
{\widetilde{\gamma }}_{ij} = \frac{\partial {x}^{k}}{\partial {\widetilde{x}}^{i}}\frac{\partial {x}^{l}}{\partial {\widetilde{x}}^{j}}{\gamma }_{kl}
\]
因而 \( \left\{ {r}_{ij}\right\} \) 是一个二次共变张量,称为应变张量. 应变张量是对称张量.
设 \( u \) 是变形前物体中一点的位置引到变形后同一质点的位置的位移向量, \( \left( {{u}^{1},{u}^{2},{u}^{3}}\right) ,\left( {{u}_{1},{u}_{2},{u}_{3}}\right) \) 分别是 \( u \) 的反变和共变分量,则
\[
{\gamma }_{ij} = \frac{\partial {u}_{i}}{\partial {x}^{j}} + \frac{\partial {u}_{j}}{\partial {x}^{i}} + \frac{\partial {u}^{k}}{\partial {x}^{i}}\frac{\partial {u}_{k}}{\partial {x}^{j}}\;\left( {i, j = 1,2,3}\right) .
\]
如果忽略位移的二次项, 则得
\[
{\gamma }_{ij} = \frac{\partial {u}_{i}}{\partial {x}^{j}} + \frac{\partial {u}_{j}}{\partial {x}^{i}}\left( {i, j = 1,2,3}\right) .
\]
这称为运动学关系.
作为应变的度量,通常还用张量 \( \left\{ {\varepsilon }_{ij}\right\} \) ,其中 \( {\vare |
1634_近代分析引论(苏维宜) | 定义 2.15 | 定义 2.15 拓扑空间 \( X \) 称为紧空间,若对 \( X \) 的任一个开覆盖 \( {\left\{ {G}_{t}\right\} }_{t \in I} \) ,总存在有限子覆盖 \( \left\{ {{G}_{1},\cdots ,{G}_{n}}\right\} .X \) 的子集 \( A \) 称为紧集, 若 \( A \) 作为 \( X \) 的子空间是一个紧空间.
关于紧性, 有如下有用的结果.
定理 2.12 在拓扑空间 \( X \) 中,下列论断彼此等价
（1） \( X \) 是紧空间;
（2） \( X \) 中的闭集族 \( \mathcal{F} \) 若具有有限交性质,亦即若闭集族
\[
\mathcal{F} = \left\{ {{F}_{l} \subset X : {F}_{l} = {\bar{F}}_{l}, l \in I}\right\}
\]
中任意有限多个闭集之交非空,则 \( \mathcal{F} \) 中全部闭集之交非空;
（3） \( X \) 中的每个格网都有收敛的子格网.
定理 2.13 在紧拓扑空间中,闭集为紧集; 而在 \( {T}_{2} \) 型拓扑空间中, 紧集为闭集.
定理 2.14 紧 \( {T}_{2} \) 型拓扑空间是 \( {T}_{4} \) 型的.
定理 2.15 设 \( X \) 为紧拓扑空间, \( f : X \rightarrow Y \) 为 \( X \) 到拓扑空间 \( Y \) 的连续映射,则 \( f\left( X\right) \) 为 \( Y \) 中的紧集. 又若 \( A \subset X \) 为紧集,则集合 \( f\left( A\right) \) 也是 \( Y \) 中紧集.
定理 2. 16 (Twxokos 定理) 设 \( \left\{ {{X}_{l} : l \in I}\right\} \) 为一族拓扑空间. 积空间 \( \mathop{\prod }\limits_{{t \in I}}{X}_{t} \) 是紧空间,当且仅当每个因子空间 \( {X}_{t} \) 是紧空间.
## 2. 5.2 局部紧性
定义 2.16 拓扑空间 \( X \) 称为局部紧空间,若 \( X \) 的每一点 \( x \) 都存在紧闭包邻域 (即此邻域的闭包是紧集).
拓扑空间 \( X \) 中的子集 \( A \) 若具有紧闭包,亦即 \( \bar{A} \) 在 \( X \) 中为紧集,则称 \( A \) 为相对紧集. 因此,局部紧空间就是每一点都有相对紧邻域的拓扑空间.
在 Hausdorff 空间中,紧闭包邻域可改为紧邻域. 亦即, \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型拓扑空间称为局部紧的,若 \( X \) 的每一点都存在紧邻域.
定理 2.17 设 \( X \) 为 \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型局部紧空间. \( U \subset X \) 为开集,且 \( x \in \) \( U \) ,则存在 \( x \) 的紧邻域 \( V \) ,使得
\[
x \in V \subset U\text{.}
\]
定理 2.18 设 \( X \) 为 \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型局部紧空间, \( K \subset U \subset X \) ,这里 \( K \) 为紧集, \( U \) 为开集. 则存在一个相对紧开集 \( V \) ,使
\[
K \subset V \subset \bar{V} \subset U.
\]
定理 2. 19(局部紧空间上的 Urysohn 引理) 设 \( X \) 为 \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型局部紧空间, \( K \subset U \subset X \) ,这里 \( K \) 为紧集, \( U \) 为开集,则存在 \( X \) 上的连续函数 \( f \) ,使得
\[
{\left. f\right| }_{K} = 1,{\left. \;f\right| }_{\mathcal{C}V} = 0,\;0 \leq f \leq 1,
\]
其中 \( V \) 是 \( U \) 的某个紧子集.
定理 2.20(局部紧空间上的 Tietze 扩张定理) 设 \( X \) 为 \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型局部紧空间, \( K \subset X \) 为紧集. 若 \( f \) 为 \( K \) 上的连续实函数,则存在 \( X \) 上的连续函数 \( g \) ,使 \( {\left. g\right| }_{K} = f \) .
定理 2.21 (单点紧化定理) 拓扑空间 \( X \) 有单点紧化空间 \( \widetilde{X} \) , 当且仅当 \( X \) 是 \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型局部紧空间. 这里的 \( \widetilde{X} \) 是满足
\[
\widetilde{X} = X \cup \{ a\} ,\;a \notin X
\]
的 \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型紧拓扑空间,称为 \( X \) 的单点紧化空间.
定理 2. 22 (Thxono 定理) 积空间 \( \mathop{\prod }\limits_{{l \in I}}{X}_{l} \) 是局部紧空间,当且仅当诸因子空间中, 除有限个是局部紧的外, 其余空间都是紧的.
## 2. 5.3 列紧性
由 Bolzano-Weierstrass 定理启发而得到的列紧性的概念可简要叙述如下.
定义 2.17 拓扑空间 \( X \) 称为列紧空间,若 \( X \) 的每个点列 \( {\left\{ {x}_{n}\right\} }_{n \in N} \) 都有收敛的子序列. \( X \) 的子集 \( A \) 称为列紧集,若 \( A \) 作为 \( X \) 的子空间是一个列紧空间.
定理 2.23 设 \( X \) 为列紧空间,则
（1） \( X \) 中任一渐缩非空闭集列 \( {F}_{1} \supset {F}_{2} \supset \cdots \) 有非空交;
（2） \( X \) 的任一可数开覆盖有有限子覆盖 (覆盖式列紧性);
（3） \( X \) 的任一无穷子集至少有一个聚点 (子集式列紧性).
定理 2.24 在列紧空间中,闭集为列紧集.
定理 2.25 设 \( X \) 为列紧空间, \( f : X \rightarrow Y \) 为 \( X \) 到拓扑空间 \( Y \) 的连续映射,则 \( f\left( X\right) \) 为 \( Y \) 中的列紧集. 又若 \( A \subset X \) 为列紧集,则 \( f\left( A\right) \) 也是 \( Y \) 中的列紧集.
第一和第二可数公理如下.
定义 2.18 设 \( \left( {X,\tau }\right) \) 为拓扑空间,这里 \( \tau \) 为 \( X \) 中的开集族. 我们称 \( X \) 中的开集族 \( \mathcal{B} \) 为 \( X \) 的开基,若 \( \mathcal{B} \subset \tau \) ,且 \( \tau \) 中每个开集都可表为 \( \mathcal{B} \) 中某些开集的并.
称拓扑空间 \( X \) 满足第二可数公理,若 \( X \) 具有可数开基
\[
\mathcal{B} = \left\{ {{U}_{1},{U}_{2},\cdots }\right\} .
\]
称拓扑空间 \( X \) 满足第一可数公理,若每个 \( x \in X \) 都有一个可数的邻域基. (一点 \( x \) 的邻域基 \( \mathcal{B}\left( x\right) \) 是 \( x \) 的一个邻域集族,它满足: 对包含 \( x \) 的任一开集 \( G \) ,存在 \( U \in \mathcal{B}\left( x\right) \) ,使得 \( x \in U \subset G \) .)
定理 2.26 紧性与列紧性有如下关系:
（1）在一般拓扑空间中,
紧性 \( \Rightarrow \) 覆盖式列紧性 \( \Rightarrow \) 子集式列紧性.
列紧性 \( \Rightarrow \) 覆盖式列紧性 \( \Rightarrow \) 子集式列紧性.
（2）在满足第二可数公理的拓扑空间中,
紧性 \( \Leftrightarrow \) 列紧性 \( \Leftrightarrow \) 覆盖式列紧性 \( \Rightarrow \) 子集式列紧性.
（3）在满足第一可数公理的拓扑空间中,
列紧性 \( \Leftrightarrow \) 覆盖式列紧性 \( \Rightarrow \) 子集式列紧性.
（4）在 \( {T}_{1} \) 型拓扑空间中,
覆盖式列紧性 \( \Leftrightarrow \) 子集式列紧性.
（5）在满足第一可数公理的 \( {T}_{1} \) 型拓扑空间中,
列紧性 \( \Leftrightarrow \) 覆盖式列紧性 \( \Leftrightarrow \) 子集式列紧性.
## 2. 5.4 仿紧性
定义 2.19 拓扑空间 \( X \) 的子集族 \( \mathcal{F} \) 称为局部有限的,若空间中的每一点 \( x \) 都存在一个邻域 \( U \) ,使 \( U \) 只与 \( \mathcal{F} \) 中有限多个集合相交.
设 \( {W}_{1} \) 与 \( {W}_{2} \) 为拓扑空间 \( X \) 的两个覆盖,我们称 \( {W}_{1} \) 为 \( {W}_{2} \) 的加细,若对每个 \( V \in {W}_{1} \) ,存在 \( U \in {W}_{2} \) ,使得 \( V \subset U \) .
称拓扑空间 \( X \) 为仿紧空间,若它的每个开覆盖总存在局部有限的加细开子覆盖.
仿紧集的定义方法与紧集相同.
由于有限覆盖必为局部有限的, 因此紧空间必为仿紧空间.
定理 2.27 在仿紧拓扑空间中,闭集为仿紧集.
定理 2.28 仿紧 \( {\mathrm{T}}_{2} \) 型拓扑空间是正规空间.
定理 2.29 由可数个紧集之并所构成的 \( {T}_{2} \) 型局部紧拓扑空间是仿紧空间. 从而 \( n \) 维欧氏空间 \( \left( {n \geq 1}\right) \) 为仿紧空间.
定理 2.30 距离空间是仿紧空间.
## 2. 6 可分性与连通性
## 2. 6.1 可分性
设 \( A \subset X \) 为拓扑空间 \( X \) 的子集,称 \( A \) 在 \( X \) 中稠密,若
\[
\bar{A} = X\text{.}
\]
称 \( A \) 为无处稠密的 (或疏的),若 \( \mathcal{C}\bar{A} \) 是 \( X \) 中的稠密集.
定义 2.20 我们称拓扑空间 \( X \) 为可分空间,若 \( X \) 含有一个可数的稠密集.
定理 2.31 满足第二可数公理的拓扑空间是可分的.
## 2. 6.2 连通性
连通空间与连通性反映了“连成一块”的直觉观念.
定义 2.21 拓扑空间 \( X \) 称为连通空间,若 \( X \) 中既开又闭的集合仅有空集 \( \varnothing \) 与 \( X \) 自身. 连通子集可如紧子集、仿紧子集等那样类似地定义.
定理 2.32 拓扑空间 \( X \) 是连通的,当且仅当 \( X \) 中不存在非空开集 \( A \) 与 \( B \) ,使
\[
A \cup B = X,\;A \cap B = \varnothing .
\]
定理 2.33 设 \( \left\{ {{A}_{l} : l \in I}\right\} \) 为拓扑空间 \( X \) 中的连通子集族. 若
\[
\mathop{\bigcap }\limits_{{l \in I}}{A}_{l} \neq \varnothing
\]
则 \( \mathop{\bigcup }\limits_{{t \in I}}{A}_{t} \) 为连通集.
定理 2.34 设 \( A \) 为拓扑空间 \( X \) 的连通子集. 则满足 \( A \subset B \subset \) \( \bar{A} \) 的子集 \( B \) 也连通,从而 \( \bar{A} \) 连通.
定理 2.35 设 \( X \) 为拓扑空间, \( x \in X \) 为 \( X \) 中的任一点,记 \( P \) 为包含 \( x \) 的所有连通集的并,则 \( P \) 为闭连通集.
定义 2.22 设 \( X \) 为拓扑空间. 我们称包含 \( x \) 的所有连通子集的并为 \( x \) 的点的连通分支 (也称连通分支),记为 \( c\left( x\right) \) . 同样可定义一个集合的连通分支.
若 \( X \) 中的每个连通分支仅包含一点,即 \( c\left( x\right) = \{ x\} \) ,则称 \( X \) 为全不连通空间 (或称全断型空间).
定理 2.36 在拓扑空间 \( X \) 中,对于任意两点 \( x, y \) ,其连通分支 \( c\left( x\right) \) 与 \( c\left( y\right) \) 具下述性质: 若 \( y \in c\left( x\right) \) ,则
\[
c\left( x\right) = c\left( y\right)
\]
若 \( y \notin c\left( x\right) \) ,则
\[
c\left( x\right) \cap c\left( y\right) = \varnothing \text{.}
\]
从而连通空间 \( X \) 只有一个连通分支,就是 \( X \) 自身.
定理 2.37 设 \( X, Y \) 为拓扑空间. \( f : X \rightarrow Y \) 为连续映射,若 \( A \) 为 \( X \) 的连通集,则 \( f\left( A\right) \) 为 \( Y \) 中的连通集.
定理 2.38 积空间 \( \mathop{\prod }\limits_{{l \in I}}{X}_{l} \) 为连通空间,当且仅当每个因子空间 \( {X}_{t} \) 连通.
## 2. 6.3 局部连通性
定义 2.23 拓扑空间 \( X \) 称为局部连通的,若 \( X \) 中每一点都有由连通集组成的邻域滤系基.
连通空间未必局部连通, 有如下的例子.
例 设 \( X = {\mathbf{R}}^{2} \) 为二维欧氏空间. 集合 \( {S}_{a} \) 定义如下:
\[
{S}_{a} = \left\{ \begin{array}{ll} \left\{ {\left( {x, y}\right) \in {\mathbf{R}}^{2} : x = a,0 < y \leq 1}\right\} , & a\text{ 为有理数,} \\ \left\{ {\left( {x, y}\right) \in {\mathbf{R}}^{2} : x = a, - 1 \leq y \leq 0}\right\} , & a\text{ 为无理数. } \end{array}\right.
\]
\( {S}_{a} \) 作为 \( {\mathbf{R}}^{2} \) 的子空间是连通空间,却并非局部连通.
局部连通空间也未必连通. 例如取 \( X = \mathbf{R} \) ,点集
\[
E = \left( {-1,0}\right) \cup \left( {0,1}\right)
\]
是局部连通的, 但却不连通.
定理 \( {2.39X} \) 为局部连通空间,当且仅当 \( X \) 的每个非空开集的连通分支是开集. 从而局部连通空间中的每个连通分支都是既开又闭的连通集.
定理 2.40 拓扑空间 \( X = {X}_{1} \times \cdots \times {X}_{n} \) 为局部连通的,当且仅当诸因子空间 \( {X}_{1},\cdots ,{X}_{n} \) 为局部连通的.
## § 3 多重线性映射空间, 连续映射空间
多重线性映射在 Banach 空间微分学、对偶理论及流形上的分析等很多部分都起着重要作用. 连续映射空间、Banach 代数, 以及 Stone-Weierstrass 定理、Arzela-Ascoli 定理更是近代分析学的基本内容和重要工具. 本章将对这些内容作稍为详细的介绍.
## 3. 1 多重线性映射
定义 3.1 设 \( \left( {{X}_{1},\parallel \cdot {\parallel }_{1}}\right) ,\cdots ,\left( {{X}_{n}\parallel \cdot {\parallel }_{n}}\right) ,\left( {Y,\parallel \cdot {\parallel }_{Y}}\right) \) 为赋范线性空间,积空间 \( X = {X}_{1} \times \cdots \times {X}_{n} \) 到 \( Y \) 的映射
\[
u : \left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) \rightarrow y = u\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right)
\]
称为 \( n \) 重线性映射,若 \( u\left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) \) 关于它的每个变元都是线性的.
当 \( n = 1 \) 时,它就是赋范线性空间 \( \left( {X,\parallel \cdot {\parallel }_{X}}\right) \) 到赋范线性空间 \( \left( {Y,\parallel \cdot {\parallel }_{Y}}\right) \) 的线性映射 \( u\left( x\right) \) . 此时,如在泛函分析教程中那样,若线性算子 \( u \) 具有有界性: 即若存在常数 \( c > 0 \) ,使对每个 \( x \in \)
\( X \) ,有
\[
\parallel u\left( x\right) {\parallel }_{Y} \leq c\parallel x{\parallel }_{X},
\]
则称 \( u \) 为有界线性映射.
我们有熟知的定理.
定理 3.1 设 \( \left( {X,\parallel \cdot {\parallel }_{X}}\right) \) 与 \( \left( {Y,\parallel Y{\parallel }_{Y}}\right) \) 为赋范线性空间, \( u : X \rightarrow Y \) 为线性映射,则下列论断彼此等价
（1） \( u \) 为连续映射;
（2） \( u \) 在 \( X \) 的零元 \( \theta \) 连续;
（3） \( u \) 为有界映射.
对于多重线性映射, 我们有
定理 3.2 设 \( \left( {{X}_{1},\parallel \cdot {\parallel }_{1}}\right) ,\cdots ,\left( {{X}_{n},\parallel \cdot {\parallel }_{n}}\right) ,\left( {Y,\parallel \cdot {\parallel }_{Y}}\right) \) 为赋范线性空间, \( u \) 为积空间 \( {X}_{1} \times \cdots \times {X}_{n} \) 到 \( Y \) 的 \( n \) 重线性映射. 则 \( u \) 为连续映射,当且仅当存在常数 \( c > 0 \) ,使对任意的 \( \left( {{x}_{1},\cdots ,{x}_{n}}\right) \in \) \( X \) ,有
\[
{\begin{Vmatrix}u\left( {x}_{1},\cdots ,{x}_{n}\right) \end{Vmatrix}}_{Y} \leq c{\begin{Vmatrix}{x}_{1}\end{Vmatrix}}_{1}\cdots {\begin{Vmatrix}{x}_{n}\end{Vmatrix}}_{n}.
\]
证 仅就 \( n = 2 \) 情形证明.
必要性. 设 \( u\left( {{x}_{1},{x}_{2}}\right) \) 为连续映射,则 \( u \) 在 \( \left( {{\theta }_{1},{\theta }_{2}}\right) \in X = {X}_{1} \times \) \( {X}_{2} \) 连续,这里 \( {\theta }_{1} \) 与 \( {\theta }_{2} \) 分别为 \( {X}_{1} \) 与 \( {X}_{2} \) 的零元. 于是取 \( \varepsilon = 1 \) ,存在 \( \delta > 0 \) ,使当
\[
\max \left( {{\begin{Vmatrix}{x}_{1} - {\theta }_{1}\end{Vmatrix}}_{1},{\begin{Vmatrix}{x}_{2} - {\theta }_{2}\end{Vmatrix}}_{2}}\right) = \max \left( {{\begin{Vmatrix}{x}_{1}\end{Vmatrix}}_{1},{\begin{Vmatrix}{x}_{2}\end{Vmatrix}}_{2}}\right) \leq \delta
\]
时,
\[
{\begin{Vmatrix}u\left( {x}_{1},{x}_{2}\right) - u\left( {\theta }_{1},{\theta }_{2}\right) \end{Vmatrix}}_{Y} = {\begin{Vmatrix}u\left( {x}_{1},{x}_{2}\right) \end{Vmatrix}}_{Y} \leq 1.
\]
这表明
\[
{\begin{Vmatrix}u\left( {x}_{1},{x}_{2}\right) \end{Vmatrix}}_{Y} \leq 1
\]
(3. 1)
在闭球
\[
B \equiv B\left( {\left( {{\theta }_{1},{\th |
1308_[杨建生] 集合论与图论 (2022) | 定义 4.3 | 定义 4.3 对于由 \( {2}^{n} \) 个字长为 \( n \) 的不同二进制数组成的循环序列,如果每两个相邻的二进制数恰有一位数字不同, 则称该循环序列为格雷码 (Gray Code)。
每个格雷码对应着 \( n \) 立方体的一个哈密顿回路。
定义 4.4 若有向简单图 \( D \) 的基图是完全图,则称 \( D \) 为竞赛图。
定理 4.4 任意竞赛图 \( D\left( {n \geq 2}\right) \) 必有 \( H \) 道路。
证明: 对 \( D \) 的阶 \( n \) 施行归纳。当 \( n = 2 \) 时结论显然成立。假设当 \( n = k\left( {k \geq 2}\right) \) 时,结论成立。则当 \( n = k + 1 \) 时,设 \( V\left( D\right) = \left\{ {{v}_{1},{v}_{2},\cdots ,{v}_{k},{v}_{k + 1}}\right\} ,{v}_{k + 1} \) 的内邻点集为 \( {N}^{ - }\left( {v}_{k + 1}\right) = \left\{ {{v}_{1},{v}_{2},\cdots ,{v}_{r}}\right\} \) ,外邻点集 \( {N}^{ + }\left( {v}_{k + 1}\right) = \left\{ {{v}_{r + 1},{v}_{r + 2},\cdots ,{v}_{k}}\right\} \) ,则由归纳假设知, \( D\left\lbrack {{N}^{ - }\left( {v}_{k + 1}\right) }\right\rbrack \) 和 \( D\left\lbrack {{N}^{ + }\left( {v}_{k + 1}\right) }\right\rbrack \) 都有 \( H \) 道路,不妨分别设为 \( {v}_{1}{v}_{2}\cdots {v}_{r} \) 和 \( {v}_{r + 1}{v}_{r + 2}\cdots {v}_{k} \) 。则 \( {v}_{1}{v}_{2}\cdots {v}_{r}{v}_{k + 1}{v}_{r + 1}{v}_{r + 2}\cdots {v}_{k} \) 是 \( D \) 的 \( H \) 道路。
定理 4.5 任何强连通的竞赛图 \( D \) ( \( n \geq 3 \) ) 必是有向 \( H \) 图。
证明: 论证由下面两个事实组成。
其一: \( D \) 中存在有向回路。这是因为, \( D \) 是强连通图,一条从 \( {v}_{1} \) 到 \( {v}_{n} \) 的路径和一条从 \( {v}_{n} \)
到 \( {v}_{1} \) 的路径可拼接成一个闭路径,长度不为零的闭路径由若干个有向回路组成。
其二: \( D \) 中若存在长度为 \( k\left( {3 \leq k < n - 1}\right) \) 的有向回路,则必存在长度为 \( k + 1 \) 的有向回路。不妨设长度为 \( k \) 的有向回路为 \( C = {v}_{1}{v}_{2}\cdots {v}_{k}{v}_{1} \) 。 \( C \) 外的结点可分为两种情况:
（1） \( C \) 外存在某结点 \( u \) ,使得 \( C \) 上既有 \( u \) 的内邻点又有 \( u \) 的外邻点,此时存在 \( C \) 上两连续结点 \( {v}_{r} \) 和 \( {v}_{r + 1} \) ,使得 \( {v}_{r} \) 是 \( u \) 的内邻点,而 \( {v}_{r + 1} \) 是 \( u \) 的外邻点,于是 \( {v}_{1}\cdots {v}_{r}u{v}_{r + 1}\cdots {v}_{k}{v}_{1} \) 是 \( D \) 中长度为 \( k + 1 \) 的有向回路,如图 2.20(a)所示;
（2）否则,对 \( C \) 外任何结点来说 \( v \) ,要么 \( C \) 上的点全是 \( v \) 的内邻点,要么 \( C \) 上的点全是 \( v \) 的外邻点,设 \( {V}_{1} \) 是满足前者的结点构成的集合, \( {V}_{2} \) 是满足后者的结点构成的集合。因为 \( D \) 是强连通图,所以存在 \( u \in {V}_{1}, w \in {V}_{2} \) ,使得 \( {uw} \in E\left( D\right) \) ,于是 \( {v}_{1}{uw}{v}_{3}\cdots {v}_{k}{v}_{1} \) 是 \( D \) 中长度为 \( k + 1 \) 的有向回路,如图 2.20(b)所示。
图 2.20
## 作业
1. 设 \( G \) 为欧拉图, \( {v}_{0} \in V\left( G\right) \) ,若从 \( {v}_{0} \) 开始沿着 \( G \) 中的边 (不重复) 行走,无论走到哪个结点处,都可以接着走遍没走过的边,然后回到 \( {V}_{0} \) ,则称 \( {V}_{0} \) 是可以任意行遍的。证明: \( {v}_{0} \) 是可以任意行遍的当且仅当 \( G - {v}_{0} \) 中无回路。
2. 如何将 \( 9 \) 个 \( \alpha ,9 \) 个 \( \beta ,9 \) 个 \( \gamma \) 排成循环序列 \( {x}_{1}\cdots {x}_{27} \) ,使得对于字母表 \( \{ \alpha ,\beta ,\gamma \} \) 上任何长度为 3 的字 \( w \) ,都存在 \( i\left( {1 \leq i \leq {27}}\right) \) ,使得 \( {x}_{i}{x}_{i + 1}{x}_{i + 2} = w \) 。
3. 设 \( G \) 为 \( n \) 阶无向简单图,边数 \( m = \frac{1}{2}\left( {n - 1}\right) \left( {n - 2}\right) + 2 \) ,证明 \( G \) 为哈密顿图; 并举
例说明,当 \( m = \frac{1}{2}\left( {n - 1}\right) \left( {n - 2}\right) + 1 \) 时, \( G \) 不一定是哈密顿图。
4. 若二部图 \( G = \left( {{V}_{1},{V}_{2};E}\right) \) 中, \( \left| {V}_{1}\right| \neq \left| {V}_{2}\right| \) ,则 \( G \) 是非哈密顿图。
5. 对一个 \( 3 \times 3 \times 3 \) 的立方体,能否从一个角开始,通过所有 \( {27} \) 个 \( 1 \times 1 \times 1 \) 的小立方块各一次, 最后到达中心? 试说明理由。
6. 设 \( G \) 是无向简单图,若从 \( G \) 的任意一点 \( {V}_{0} \) 出发,沿着 \( G \) 的边随意走向任何尚未经过的结点,总能走出一条哈密顿道路,则称 \( G \) 是随意哈密顿图。 \( G \) 是随意哈密顿图当且仅当 \( G \) 是 \( {K}_{n},{C}_{n} \) 或 \( {K}_{n/2, n/2} \) 。
## 第三章 树
在各种各样的图中, 有一类简单的, 然而又是重要的图, 就是所谓的 “树”。树之所以重要, 不仅在于它在许多不同领域中有着广泛的应用, 而且还在于它在图问题的研究中所扮演的特殊角色。在图论中, 解决一些困难的问题往往首先从树入手, 打开缺口; 还有一些问题对一般的图未能解决或者没有简便方法, 而对于树则已圆满解决, 且方法较为简便。
树首先是作为无向图被讨论, 以下除非特别说明, 限于讨论无向图。
## \( §{3.1} \) 树的定义及其性质
定义 1.1 不含任何回路的连通图称为树。常用 \( T \) 表示树。 \( T \) 中的边称为树枝。度为 \( l \) 的结点称为树叶, 度大于 1 的结点称为分支点。
注 1: 只含一个结点的树称为平凡树。
注 2 ; 若图 \( G \) 的每个连通分支都是树,则称 \( G \) 为森林。森林是二部图。
注 3: 树的每条边都不属于任何回路, 这样的边称为割边。
定义 1.2 设 \( e \) 是 \( G \) 的一条边,若 \( G - e \) 的连通分支数比 \( G \) 多,则称 \( e \) 是 \( G \) 的一条割边,也称为桥。
注: 事实上,若 \( e \) 是 \( G \) 的割边,则 \( \kappa \left( {G - e}\right) = \kappa \left( G\right) + 1 \) 。
图 3.1
设割边 \( e = \left( {u, v}\right) \) ,从 \( G \) 中删去 \( e \) ,则将结点 \( u, v \) 所在的连通分支分割为两个连通分支, \( u \) 和 \( v \) 各在其一。
定理 \( {1.1e} = \left( {u, v}\right) \) 是 \( G \) 的割边,当且仅当 \( e \) 不属于 \( G \) 的任何回路。
证明: 必要性: 若 \( e = \left( {u, v}\right) \) 属于 \( G \) 的某个回路 \( C \) ,则 \( C - e \) 是 \( G - e \) 中 \( u \) 到 \( v \) 的一条道路, \( u \) 和 \( v \) 仍在同一连通分支, \( e \) 不是 \( G \) 的割边。
充分性: 若 \( e \) 不是 \( G \) 的割边,则 \( \kappa \left( {G - e}\right) = \kappa \left( G\right), u \) 和 \( v \) 在 \( G - e \) 中仍连通,即 \( G - e \) 中存在 \( u \) 到 \( v \) 的一条道路 \( P\left( {u, v}\right), P\left( {u, v}\right) + e \) 形成 \( G \) 中的一条回路。 为更充分地了解数地特性, 下面给出树的一些等价刻画。
定理 1.2 设 \( T \) 是阶不小于 2 的无向简单图,则下列说法等价。
（1） \( T \) 连通且无回路;
（2） \( T \) 连通且每条边都是割边;
（3） \( T \) 连通且有 \( n - 1 \) 条边;
（4） \( T \) 有 \( n - 1 \) 条边且无回路;
（5） \( T \) 的任意两结点间有唯一道路;
（6） \( T \) 无回路,但任意加上一条边后恰有一个回路。
证明: (1) \( \Leftrightarrow \) (2): 由定理 1.1 。
(2) \( \Rightarrow \) (3): 对 \( T \) 的结点数 \( n \) 施行归纳。当 \( n = 2 \) 时命题显然成立。假设当 \( n \leq k\left( {k \geq 2}\right) \) 时命题成立,则当 \( n = k + 1 \) 时,由于 \( T \) 的每条边都是割边,任取 \( T \) 的一条边 \( e \) ,则 \( T - e \) 有两个连通分支 \( {T}_{1} \) 和 \( {T}_{2} \) ,设 \( {T}_{1} \) 和 \( {T}_{2} \) 的结点数,边数分别为 \( {n}_{1},{m}_{1},{n}_{2},{m}_{2} \) ,由于 \( {T}_{1} \) 和 \( {T}_{2} \) 都满足 (2) 且 \( {n}_{1} \leq k,{n}_{2} \leq k \) ,对 \( {T}_{1} \) 和 \( {T}_{2} \) 分别应用归纳假设得, \( {m}_{1} = {n}_{1} - 1 \) , \( {m}_{2} = {n}_{2} - 1 \) ,从而 \( m = {m}_{1} + {m}_{2} + 1 = {n}_{1} - 1 + {n}_{2} - 1 + 1 = {n}_{1} + {n}_{2} - 1 = n - 1 \) 。
（3） \( \Rightarrow \) (4): 如果 \( T \) 有回路 \( C \) ,则任取 \( C \) 上任意一条边 \( e, T - e \) 仍连通,这与 \( T \) 的最小连通性矛盾。 （4） \( \Rightarrow \) (5): 首先证 \( T \) 是连通的。设 \( T \) 的连通分支数为 \( k \) ,这些连通分支的结点数和边数分别为 \( {n}_{i},{m}_{i}\left( {1 \leq i \leq k}\right) \) ,由 (1) \( \Rightarrow \) (3) 知, \( {m}_{i} = {n}_{i} - 1 \) ,所以 \( m = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{m}_{i} \)
\( = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}\left( {{n}_{i} - 1}\right) = \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{k}{n}_{i} - k = n - k \) ,从而得知, \( k = 1 \) 。这说明 \( T \) 得任意两结点 \( u, v \) 之间存在道路 \( P\left( {u, v}\right) \) ,若 \( u, v \) 之间还有一条不同的道路 \( {P}^{\prime }\left( {u, v}\right) \) ,则 \( P\left( {u, v}\right) \oplus {P}^{\prime }\left( {u, v}\right) \) 至少含有一个回路,与 \( T \) 无回路矛盾。
\( \left( 5\right) \Rightarrow \left( 6\right) ,\left( 6\right) \Rightarrow \left( 1\right) \) 均显然。
推论 1.1 设 \( G \) 是结点数为 \( n \) 连通分支数为 \( k \) 的森林,则 \( G \) 的边数为 \( n - k \) 。
推论 1.2 非平凡树 \( T \) 至少存在两片树叶。
证明: 应用握手定理得, \( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}d\left( {v}_{i}\right) = 2\left( {n - 1}\right) \) ,即 \( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}\left( {d\left( {v}_{i}\right) - 1}\right) = n - 2 \) ,由于 \( d\left( {v}_{i}\right) - 1 \)
非负,所以至少存在两个结点 \( v \) ,使得 \( d\left( v\right) - 1 = 0 \) ,即 \( v \) 是树叶。
定义 1.3 如果树 \( T \) 是图 \( G \) 的生成子图,则称 \( T \) 是 \( G \) 的一棵生成树,简称为 \( G \) 的树。 注 1: 当且仅当 \( G \) 是连通图时, \( G \) 有生成树。
图 3.2
注 2: 给定图 \( G \) 的一棵树 \( T \) ,我们称 \( G - T \)
(从 \( G \) 中删去 \( T \) 中各边后得到的图) 为 \( T \) 的
余树,用 \( \bar{T} \) 表示, \( \bar{T} \) 的边称为 \( T \) 的弦。
图 3.2 中, \( T = \left\{ {{e}_{1},{e}_{2},{e}_{5},{e}_{6},{e}_{8}}\right\} \) ,
\[
\bar{T} = \left\{ {{e}_{3},{e}_{4},{e}_{7},{e}_{9}}\right\}
\]
## 作业
1. 非平凡树中最长道路的端点一定是树叶。
2. 设 \( G \) 为 \( n\left( {n \geq 5}\right) \) 阶无向简单图,证明 \( G \) 或 \( \bar{G} \) 必含回路。
3. 设 \( {d}_{1},\cdots ,{d}_{n} \) 是 \( n\left( {n \geq 2}\right) \) 个正整数,证明: 若 \( \mathop{\sum }\limits_{{i = 1}}^{n}{d}_{i} = 2\left( {n - 1}\right) \) ,则存在一棵结点度分别为 \( {d}_{1},\cdots ,{d}_{n} \) 的 \( n \) 阶树 \( T \) 。
4. (1) 设树 \( T \) 包含 \( k \) 条边,无向简单图 \( G \) 满足 \( \delta \left( G\right) \geq k \) ,证明: \( T \) 是 \( G \) 的子图 (即 \( T \) 与 \( G \) 的某子图同构);
(2) 设树 \( T \) 包含 \( k \) 条边, \( n\left( {n > k}\right) \) 阶无向简单图 \( G \) 的边数
\[
m > n\left( {k - 1}\right) - \frac{1}{2}k\left( {k - 1}\right)
\]
证明: \( T \) 是 \( G \) 的子图。
## § 3.2 回路与割集
## 3.2.1 生成树与基本回路系统
定义 2.1 设 \( T \) 是连通图 \( G \) 的生成树, \( {e}_{1},{e}_{2},\cdots ,{e}_{m - n + 1} \) 是 \( T \) 的弦,记 \( {C}_{r} \) \( \left( {1 \leq r \leq m - n + 1}\right) \) 是 \( T \) 加弦 \( {e}_{r} \) 产生的回路,称 \( {C}_{r} \) 为对应于弦 \( {e}_{r} \) 的基本回路,称 \( \left\{ {{C}_{1},\cdots ,{C}_{r}}\right\} \) 为生成树 \( T \) 对应的基本回路系统。
图 3.3
注: 连通图 \( G \) 的生成树不唯一,从而基本回路系统不唯一,但基本回路的个数是相同的,
都是 \( m - n + 1 \) 。
给定连通图 \( G \) 的一棵生成树 \( T \) ，就确定 \( G \) 中的一个基本回路系统，那么 \( G \) 中任意一个回路与基本回路有什么关系呢?
首先来说明这 \( m - n + 1 \) 个基本回路是互相独立的。
定理 2.1 设 \( T \) 是连通图 \( G \) 的一棵生成树, \( {C}_{k} \) 是对应于弦 \( {e}_{k}\left( {1 \leq k \leq m - n + 1}\right) \) 的基本回路,对于任意 \( r,1 \leq r \leq m - n + 1 \) ,及任意序列 \( {i}_{1},\cdots ,{i}_{r} \) , \( 1 \leq {i}_{1} < \cdots < {i}_{r} \leq m - n + 1 \) ,有: \( {e}_{{i}_{1}},\cdots ,{e}_{{i}_{r}} \) 是 \( {C}_{{i}_{1}} \oplus {C}_{{i}_{2}} \oplus \cdots \oplus {C}_{{i}_{r}} \) 里的所有弦。
证明: 只需注意到弦 \( {e}_{{i}_{t}} \) 只在 \( {C}_{{i}_{t}} \) 中出现 \( \left( {1 \leq t \leq r}\right) \) 。
下面来说明 \( G \) 中任意回路都可由基本回路生成。
引理 2.1 设图 \( {G}_{1},{G}_{2} \) 的结点都是偶结点,则 \( {G}_{1} \oplus {G}_{2} \) 的结点也都是偶结点。
证明: 取 \( {G}_{1} \oplus {G}_{2} \) 的任意结点 \( v \) ,设 \( {e}_{1,1},\cdots ,{e}_{1, r} \) 是 \( {G}_{1} \) 中与 \( v \) 关联的边, \( {e}_{2,1},\cdots ,{e}_{2, s} \) 是 \( {G}_{2} \) 中与 \( v \) 关联的边,其中, \( r, s \) 都是偶数, \( \left| \left\{ {{e}_{1,1},\cdots ,{e}_{1, r}}\right\} \right| \cap \left\{ {{e}_{2,1},\cdots ,{e}_{2, s}}\right\} \mid = t \) ,则 \( {G}_{1} \oplus {G}_{2} \) 中与 \( v \) 关联的边有 \( r + s - {2t} \) 条,即 \( v \) 是 \( {G}_{1} \oplus {G}_{2} \) 的偶结点。
定理 2.2 连通图 \( G \) 的任意回路 \( C \) 均可表示为生成树 \( T \) 的若干基本回路的环和。
证明: 设 \( C \) 中含 \( T \) 的 \( r\left( {1 \leq r \leq m - n + 1}\right) \) 条弦: \( {e}_{{i}_{1}},\cdots ,{e}_{{i}_{r}} \) ,令 \( {C}^{\prime } = {C}_{{i}_{1}} |
1308_[杨建生] 集合论与图论 (2022) | 定义 3.6 | 定义 3.6 设 \( f \) 是网络 \( N\left( {V, E, C}\right) \) 的任一容许流,称道路 (作为无向道路) \( {v}_{{i}_{0}}{v}_{{i}_{1}}\cdots {v}_{{i}_{k}} \) 是 \( f \) 的增流路径, 如果
1. \( {v}_{{i}_{0}} = s,{v}_{{i}_{k}} = t \) ;
2. 当 \( \left( {{v}_{{i}_{l}},{v}_{{i}_{l + 1}}}\right) \in E \) (称 \( \left( {{v}_{{i}_{l}},{v}_{{i}_{l + 1}}}\right) \) 为向前边) 时, \( {f}_{{i}_{l},{i}_{l + 1}} < {c}_{{i}_{l},{i}_{l + 1}} \) ; 当 \( \left( {{v}_{{i}_{l + 1}},{v}_{{i}_{l}}}\right) \in E \) (称 \( \left( {{v}_{{i}_{l + 1}},{v}_{{i}_{l}}}\right) \) 为向后边) 时, \( {f}_{{i}_{t},{i}_{t + 1}} > 0 \) 。
注: 对于 \( f \) 的增流路径 \( {v}_{{i}_{0}}{v}_{{i}_{1}}\cdots {v}_{{i}_{k}} \) ,令
\[
{\delta }_{1} = \mathop{\min }\limits_{\left( {v}_{ij},{v}_{{ij} + 1}\right) }\left( {{c}_{{i}_{i},{i}_{l + 1}} - {f}_{{i}_{l},{i}_{l + 1}}}\right) ,\;{\delta }_{2} = \mathop{\min }\limits_{\left( {v}_{{ij} + 1},{v}_{ij}\right) }{f}_{{i}_{l + 1},{i}_{l}},\;\delta = \min \left( {{\delta }_{1},{\delta }_{2}}\right) ,
\]
对 \( f \) 作如下修改: 对向前边 \( \left( {{v}_{{i}_{l}},{v}_{{i}_{l + 1}}}\right) ,{f}_{{i}_{l},{i}_{l + 1}} \leftarrow {f}_{{i}_{l},{i}_{l + 1}} + \delta \) ; 对向后边 \( \left( {{v}_{{i}_{l + 1}},{v}_{{i}_{l}}}\right) \) , \( {f}_{{i}_{l + 1},{i}_{l}} \leftarrow {f}_{{i}_{l + 1},{i}_{l}} - \delta \) ,则易知, \( f \) 仍是容许流,且流量增加了 \( \delta \) 。
定理 3.2 的证明: 我们用下列规则来构造结点子集 \( S : \left( 1\right) S \in S \) ; (2) 若 \( {v}_{i} \in S \) , \( \left( {{v}_{i},{v}_{j}}\right) \in E,{f}_{i, j} < {c}_{i, j} \) ,则 \( {v}_{j} \in S \) ; (3) 若 \( {v}_{i} \in S,\left( {{v}_{j},{v}_{i}}\right) \in E,{f}_{j, i} > 0 \) ,则 \( {v}_{j} \in S \) 。 由 \( S \) 的构造规则可知:
1. \( t \notin S \) ,否则会得到 \( f \) 的一条增流路径,矛盾。所以 \( \left( {S,\bar{S}}\right) \) 是割切。
2. 当 \( \left( {{v}_{i},{v}_{j}}\right) \in \left( {S,\bar{S}}\right) \) 时, \( {f}_{i, j} = {c}_{i, j} \) ; 当 \( \left( {{v}_{j},{v}_{i}}\right) \in \left( {\bar{S}, S}\right) \) 时, \( {f}_{j, i} = 0 \) 。依据式(3.1) 可知, \( w\left( f\right) = C\left( {S,\bar{S}}\right) \) 。所以, \( \left( {S,\bar{S}}\right) \) 是最小割切。
推论 3.1 容许流 \( f \) 是最大流的充分必要条件是不存在关于 \( f \) 的增流路径。
下面介绍求最大流的艾德蒙兹一卡普(Edmonds-Karp)算法。算法从一个初始容许流开始, 主要分为两个过程, 其一是标号过程, 试图找一个增流路径, 若找不到, 说明目前的容许流已是最大流, 否则转入第二个过程: 增流过程。
算法描述如下:
1. (初始化) 任选一个容许流 \( f \) ,可以对任意 \( \left( {{v}_{i},{v}_{j}}\right) \in E \) ,取 \( {f}_{i, j} = 0 \) (零流)。
2. (标号过程开始) 给 \( S \) 标号 \( \left( {-,{\Delta }_{S}}\right) \) (其中 \( {\Delta }_{S} = \infty \) ), \( S \) 入队列 \( Q \) ;
3. 若 \( Q \) 为空,则停止,此时 \( f \) 已是最大流。否则,从 \( Q \) 中取出结点 \( {v}_{i} \) ,对 \( {v}_{i} \) 的所有未标号的邻点, 按下列规则标号。
a. 如果 \( \left( {{v}_{i},{v}_{j}}\right) \in E \) 且 \( {f}_{i, j} < {c}_{i, j} \) ,则 给 \( {v}_{j} \) 标号 \( \left( {+{v}_{i},{\delta }_{j}}\right) \) ,其中 \( {\delta }_{j} = \min \left( {{\delta }_{i},{c}_{i, j} - {f}_{i, j}}\right) ,{v}_{j} \) 入队列 \( Q \) ;
b. 如果 \( \left( {{v}_{j},{v}_{i}}\right) \in E \) 且 \( {f}_{j, i} > 0 \) ,则给 \( {v}_{j} \) 标号 \( \left( {-{v}_{i},{\delta }_{j}}\right) \) ,其中 \( {\delta }_{j} = \min \left( {{\delta }_{i},{f}_{j, i}}\right) ,{v}_{j} \)
## 入队列 \( Q \) ;
4. 若 \( t \) 被标号,转 5,否则转 3 ;
5. (增流过程开始) 令 \( v = t \) ;
6. 设 \( v \) 的标号是 \( \left( {{Sv},{\Delta }_{v}}\right) \) ,
a. 若 \( {Sv} = + u \) ,则令 \( {f}_{u, v} = {f}_{u, v} + {\Delta }_{t} \) ;
b. 若 \( {Sv} = - u \) ,则令 \( {f}_{v, u} = {f}_{v, u} - {\Delta }_{t} \) ;
7. 若 \( u = s \) ,删去全部标号,将队列 \( Q \) 置空,转 2,否则令 \( v = u \) ,转 6 。
定理 3.3 Edmonds-Karp 最大流算法中,至多处理 \( \frac{m\left( {n + 2}\right) }{2} \) 条增流路径就会终止。
证明: \( \{ \) 见参考书 (2,戴一奇等), \( {110} - {111} \) 。 \( \} \) 证明过程较长,用到下面三个引理。
设 \( f \) 是网络 \( N \) 的一个容许流分布, \( P = {u}_{0}{e}_{1}{u}_{1}{e}_{2}{u}_{2}\cdots {u}_{k - 1}{e}_{k}{u}_{k} \) 是 \( f \) 的一条增流路径。令
\[
{\delta }_{i} = \left\{ \begin{array}{ll} c\left( {e}_{i}\right) - f\left( {e}_{i}\right) , & \text{ if }{e}_{i}\text{ is a forward edge } \\ f\left( {e}_{i}\right) , & \text{ if }{e}_{i}\text{ is a backward edge } \end{array}\right.
\]
\[
\delta = \mathop{\min }\limits_{{1 \leq i \leq k}}{\delta }_{i}
\]
则必存在 \( i \) ,使得 \( {\delta }_{i} = \delta \) ,称对应的 \( {e}_{i} \) 是该路径的瓶颈。
假定标号法从初始流分布 \( {f}_{0} \) 开始。依照 Edmonds-Karp 算法依此构造容许流 \( {f}_{1},{f}_{2} \) , \( \cdots \) 。
设增流路径 \( P \) 的瓶颈是 \( e \) 。增流后,若 \( e \) 是向前边,它将饱和; 若 \( e \) 是向后边,则 \( f\left( e\right) \) 变为 0 。这个事实导致下述结论
引理 3.2 若 \( {k}_{1} < {k}_{2}, e \) 是从 \( {f}_{{k}_{1}} \) 变为 \( {f}_{{k}_{1} + 1} \) 以及 \( {f}_{{k}_{2}} \) 变为 \( {f}_{{k}_{2} + 1} \) 时的向前 (后) 边瓶颈, 则存在 \( l \) ,满足 \( {k}_{1} < l < {k}_{2} \) ,使得 \( e \) 是从 \( {f}_{l} \) 变为 \( {f}_{l + 1} \) 的增流路径的向后 (前) 边。
容许流为 \( f \) 时,从结点 \( u \) 到 \( v \) 的一条非饱和路径是指其中的向前边 \( e \) 都满足 \( f\left( e\right) < c\left( e\right) \) ,向后边 \( e \) 都满足 \( f\left( e\right) > 0 \) 。令 \( {\lambda }^{i}\left( {u, v}\right) \) 表示容许流为 \( {f}_{i} \) 时从 \( u \) 到 \( v \) 的最短非饱和路径的长度,若不存在 \( u \) 到 \( v \) 的非饱和路径,则约定 \( {\lambda }^{i}\left( {u, v}\right) = \infty \) 。
引理 3.3 对每个结点 \( v \) 及每个容许流 \( {f}_{k} \) ,恒有
\[
{\lambda }^{k}\left( {s, v}\right) \leq {\lambda }^{k + 1}\left( {s, v}\right)
\]
\[
{\lambda }^{k}\left( {v, t}\right) \leq {\lambda }^{k + 1}\left( {v, t}\right)
\]
引理 3.3 的证明: 只证明 \( {\lambda }^{k}\left( {s, v}\right) \leq {\lambda }^{k + 1}\left( {s, v}\right) ,{\lambda }^{k}\left( {v, t}\right) \leq {\lambda }^{k + 1}\left( {v, t}\right) \) 的证明是类似的。 若容许流为 \( {f}_{k + 1} \) 时不存在 \( s \) 到 \( v \) 的非饱和路径,则 \( {\lambda }^{k + 1}\left( {s, v}\right) = \infty \) ,不等式成立; 现假定 \( P = {u}_{0}{e}_{1}{u}_{1}{e}_{2}{u}_{2}\cdots {u}_{p - 1}{e}_{p}{u}_{p} \) 是 \( {f}_{k + 1} \) 中 \( s \) 到 \( v \) 的一条最短非饱和路径,其中 \( {u}_{0} = s \) , \( {u}_{p} = v \) 。只需证明对任意 \( 1 \leq i \leq p,{\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i}}\right) \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i - 1}}\right) + 1 \) 。因为由此可得
\[
{\lambda }^{k}\left( {s, v}\right) = {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{p}}\right) \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{p - 1}}\right) + 1 \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{p - 2}}\right) + 2
\]
\[
\leq \cdots \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{0}}\right) + p = p = {\lambda }^{k + 1}\left( {s, v}\right)
\]
如果 \( {e}_{i} \) 是 \( P \) 的一条向前边,则有 \( {f}_{k + 1}\left( {e}_{i}\right) < c\left( {e}_{i}\right) \) ,分两种情况来看
(a) \( {f}_{k}\left( {e}_{i}\right) < c\left( {e}_{i}\right) \) ,此时直接有 \( {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i}}\right) \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i - 1}}\right) + 1 \) ;
(b) \( {f}_{k}\left( {e}_{i}\right) = c\left( {e}_{i}\right) \) ,此时 \( {e}_{i} \) 在 \( {f}_{k} \) 变为 \( {f}_{k + 1} \) 时充当了增流路径的向后边,所以有
\( {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i - 1}}\right) = {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i}}\right) + 1 \) ,从而 \( {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i}}\right) \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i - 1}}\right) + 1 \) 。
如果 \( {e}_{i} \) 是 \( P \) 的一条向后边,则有 \( {f}_{k + 1}\left( {e}_{i}\right) > 0 \) ,同理分两种情况来看
(a) \( {f}_{k}\left( {e}_{i}\right) > 0 \) ,此时直接有 \( {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i}}\right) \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i - 1}}\right) + 1 \) ;
(b) \( {f}_{k}\left( {e}_{i}\right) = 0 \) ,此时 \( {e}_{i} \) 在 \( {f}_{k} \) 变为 \( {f}_{k + 1} \) 时充当了增流路径的向前边,所以有
\( {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i - 1}}\right) = {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i}}\right) + 1 \) ,从而 \( {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i}}\right) \leq {\lambda }^{k}\left( {s,{u}_{i - 1}}\right) + 1 \) 。
引理 3.4 如果边 \( e \) 是从 \( {f}_{k} \) 变为 \( {f}_{k + 1} \) 时增流路径的向前 (后) 边,同时也是 \( {f}_{l} \) 变为 \( {f}_{l + 1} \) 时 ( \( k < l \) ) 增流路径的向后 (前) 边,则有
\[
{\lambda }^{l}\left( {s, t}\right) \geq {\lambda }^{k}\left( {s, t}\right) + 2\text{。}
\]
引理 3.4 的证明 假定 \( e = \left( {u, v}\right) \) ,由于 \( e \) 是 \( {f}_{k} \) 的增流路径的向前边,所以
\[
{\lambda }^{k}\left( {s, v}\right) = {\lambda }^{k}\left( {s, u}\right) + 1
\]
又由于 \( e \) 是 \( {f}_{l} \) 的增流路径的向后边,所以
\[
{\lambda }^{l}\left( {s, t}\right) = {\lambda }^{l}\left( {s, v}\right) + 1 + {\lambda }^{l}\left( {u, t}\right)
\]
利用引理 3.3
\[
{\lambda }^{l}\left( {s, t}\right) \geq {\lambda }^{k}\left( {s, v}\right) + 1 + {\lambda }^{k}\left( {u, t}\right) = {\lambda }^{k}\left( {s, u}\right) + 2 + {\lambda }^{k}\left( {u, t}\right) = {\lambda }^{k}\left( {s, t}\right) + 2
\]
利用上述引理 3.2 和 3.4, 可以来证明定理 3.3 了。在 Edmonds-Karp 标号算法中, 每条增流路径都是当前最短的非饱和路径。对任意边 \( e \) ,设以 \( e \) 为增流路径向前边瓶颈的容许流为 \( {f}_{{k}_{1}},{f}_{{k}_{2}},\cdots \) ,其中 \( {k}_{1} < {k}_{2} < \cdots \) ,由引理 3.2,存在另一个容许流序列 \( {f}_{{l}_{1}},{f}_{{l}_{2}},\cdots \) ,使得 \( {k}_{1} < {l}_{1} < {k}_{2} < {l}_{2} < \cdots \) ,且 \( e \) 是 \( {f}_{{l}_{i}} \) 增流路径的向后边。由引理 3.4,
\[
{\lambda }^{{l}_{i}}\left( {s, t}\right) \geq {\lambda }^{{k}_{i}}\left( {s, t}\right) + 2,\;{\lambda }^{{k}_{i + 1}}\left( {s, t}\right) \geq {\lambda }^{{l}_{i}}\left( {s, t}\right) + 2\text{。}
\]
因此,
\[
{\lambda }^{{k}_{i + 1}}\left( {s, t \geq {\lambda }^{{k}_{i}}\left( {s, t}\right) + 4}\right.
\]
\[
{\lambda }^{{k}_{j}}\left( {s, t}\right) \geq {\lambda }^{{k}_{1}}\left( {s, t}\right) + 4\left( {j - 1}\right) \text{。}
\]
将
\[
{\lambda }^{{k}_{1}}\left( {s, t}\right) \geq 1,\;{\lambda }^{{k}_{j}}\left( {s, t}\right) \leq n - 1,
\]
代入上面不等式得
\[
n - 1 \geq 1 + 4\left( {j - 1}\right) ,
\]
\[
j \leq \frac{n + 2}{4}\text{。}
\]
即以 \( e \) 为增流路径向前边瓶颈的容许流最多 \( \left( {n + 2}\right) /4 \) 个,同理以 \( e \) 为增流路径向后边瓶颈的容许流也最多 \( \left( {n + 2}\right) /4 \) 个。由于网络共有 \( m \) 条边,故增流路径至多有 \( m\left( {n + 2}\right) /2 \) 条。
注 1: 定理 3.3 同时说明, 任何网络都存在最大流。
注 2: Edmonds-Karp 算法的时间复杂度为 \( O\left( {{m}^{2}n}\right) \) 。
例 3.2 如图 5.14 所示的网络, 求其最大流。
图 5.14
解: 利用 Edmonds-Karp 最大流算法求解。初始容许流取为零流。图 5.15 中, 每条边上的两个权值分别表示容量和流量分布。
图 5.15
图 5.15.1
图 5.15.2
图 5.15.3
 | 定义 3.5 | 定义 3.5 设 \( \left( {E, M,\pi }\right) \) 是光滑流形 \( M \) 上的复向量丛, \( \Gamma \left( E\right) \) 是它的光滑截面的集合. 复向量丛 \( E \) 上的 复联络 是指满足下列条件的映射 \( \mathrm{D} : \Gamma \left( E\right) \times \mathfrak{X}\left( M\right) \rightarrow \Gamma \left( E\right) \) (其中对于任意的 \( \left( {\xi, X}\right) \in \Gamma \left( E\right) \times \mathfrak{X}\left( M\right) \) , 记 \( \left. {{\mathrm{D}}_{X}\xi = \mathrm{D}\left( {\xi, X}\right) }\right) \) : 对于任意的 \( \xi ,\eta \in \Gamma \left( E\right), X, Y \in \mathfrak{X}\left( M\right) ,\lambda \in \mathbb{C} \) ,以及 (实数值函数) \( f \in {C}^{\infty }\left( M\right) \) 有
(1) \( {\mathrm{D}}_{X + {fY}}\xi = {\mathrm{D}}_{X}\xi + f{\mathrm{D}}_{Y}\xi \) ;
(2) \( {\mathrm{D}}_{X}\left( {\xi + {\lambda \eta }}\right) = {\mathrm{D}}_{X}\xi + \lambda {\mathrm{D}}_{X}\eta \)
(3) \( {\mathrm{D}}_{X}\left( {f\xi }\right) = X\left( f\right) \xi + f{\mathrm{D}}_{X}\xi \) .
很明显,由于条件 (2),故条件 (3) 对于任意的复值光滑函数 \( f \) 也成立. \( {\mathrm{D}}_{X}\xi \) 称为光滑截面 \( \xi \) 关于切向量场 \( X \) 的协变导数.
把上述定义和第二章中的定义 8.1 相对照可知, 两者的区别在于条件 (2) 不只是对于任意的实数 \( \lambda \) 成立,而且对于任意的复数 \( \lambda \) 也成立, 即对于复向量丛上的复联络, 增加了条件
\[
{\mathrm{D}}_{X}\left( {\sqrt{-1}\xi }\right) = \sqrt{-1}{\mathrm{D}}_{X}\xi
\]
(3.11)
根据定义 3.1 后面的讨论,复向量丛 \( E \) 是具有复结构 \( J \) 的实向量丛 (参看 (3.2) 式), 从而由定义 3.5 和 (3.11) 式得知, 复向量丛上的复联络 \( \mathrm{D} \) 是在相应的实向量丛上满足条件
\[
{\mathrm{D}}_{X} \circ J = J \circ {\mathrm{D}}_{X},\;\forall X \in \mathfrak{X}\left( M\right)
\]
(3.12)
的联络. 将 \( J \) 看作定义在 \( M \) 上的张量场, \( {\mathrm{D}}_{X}J \) 是 \( J \) 沿切向量场 \( X \) 的协变导数,即 \( {\mathrm{D}}_{X}J \) 仍然是定义在 \( M \) 上的张量场,且对于任意的 \( \xi \in \Gamma \left( E\right) \) 有
\[
{\mathrm{D}}_{X}J\left( \xi \right) = {\mathrm{D}}_{X}\left( {J\xi }\right) - J\left( {{\mathrm{D}}_{X}\xi }\right) = \left( {{\mathrm{D}}_{X} \circ J - J \circ {\mathrm{D}}_{X}}\right) \left( \xi \right) .
\]
于是 (3.12) 式的含义是: 对于任意的 \( X \in \mathfrak{X}\left( M\right) \) ,有 \( {\mathrm{D}}_{X}J = 0 \) ,即 \( \mathrm{D}J = 0 \) . 因此复结构 \( J \) 关于复联络 \( \mathrm{D} \) 是平行的. 反之也然,于是有下面的命题:
命题 3.1 设 \( E = \left( {E, M,\pi }\right) \) 是光滑流形 \( M \) 上的复向量丛,复结构场是 \( J,\mathrm{D} \) 是该向量丛上的一个联络,则 \( \mathrm{D} \) 是复向量丛 \( E \) 上的复联络的充分必要条件是 \( \mathrm{D}J = 0 \) .
命题 3.1 的证明留给读者自己完成.
现设 \( E = \left( {E, M,\pi }\right) \) 是秩为 \( r \) 的复向量丛, D 是该向量丛上的一个复联络. 对于定义在开集 \( U \subset M \) 上的局部标架场 \( \left\{ {{s}_{a};1 \leq a \leq r}\right\} \) , 令
\[
\mathrm{D}{s}_{a} = {\omega }_{a}^{b}{s}_{b},\;1 \leq a \leq r
\]
其中 \( {\omega }_{a}^{b}\left( {1 \leq a, b \leq r}\right) \) 是 \( U \) 上的复值 1 次微分式,称为 \( \mathrm{D} \) 在局部标架场 \( \left\{ {s}_{a}\right\} \) 下的联络形式. 当局部标架场变换时,联络形式的变换公式与实向量丛的情形是一样的 (参看第二章 \( §{2.8} \) 的 (8.4) 式).
特别地,如果 \( E \) 是全纯向量丛, \( \mathrm{D} \) 是该向量丛上的一个复联络, 则对于任意的 \( X \in \mathfrak{X}\left( M\right) \) ,协变导数算子 \( {\mathrm{D}}_{X} \) 是从光滑截面空间 \( \Gamma \left( E\right) \) 到其自身的映射. 假定 \( \left\{ {{s}_{a};1 \leq a \leq r}\right\} \) 是定义在开集 \( U \subset M \) 上的全纯标架场 (即它是由 \( r \) 个全纯截面构成的标架场), \( {\omega }_{a}^{b} \) 是 D 在标架场 \( \left\{ {s}_{a}\right\} \) 下的联络形式,即
\[
\mathrm{D}{s}_{a} = {\omega }_{a}^{b}{s}_{b},\;1 \leq a \leq r
\]
(3.13)
则 \( {\omega }_{a}^{b} \) 只是 \( U \) 上的复值 1 次微分式,而不是 \( U \) 上的全纯微分式 (全纯微分式是指系数是全纯函数的 \( \left( {1,0}\right) \) 微分式,即余切丛 \( {T}^{ * }M \) 的全纯截面). 原因是,在定义 3.5 中只要求 \( {\mathrm{D}}_{X}{s}_{\alpha } \) 是 \( U \) 上的光滑截面,而不是全纯截面.
如果 \( \left\{ {{\widetilde{s}}_{a};1 \leq a \leq r}\right\} \) 是定义在 \( U \subset M \) 上的另一个全纯标架场, 则可设
\[
{\widetilde{s}}_{a} = {A}_{a}^{b}{s}_{b}
\]
(3.14)
其中 \( {A}_{a}^{b} \) 是 \( U \) 上的全纯函数. 若设 \( \mathrm{D} \) 关于标架场 \( \left\{ {\widetilde{s}}_{a}\right\} \) 的联络形式为 \( {\widetilde{\omega }}_{a}^{b},1 \leq a, b \leq r \) ,即
\[
\mathrm{D}{\widetilde{s}}_{a} = {\widetilde{\omega }}_{a}^{b}{\widetilde{s}}_{b},\;1 \leq a \leq r
\]
(3.15)
则由第二章的 (8.4) 式得到
\[
{A}_{c}^{b}{\widetilde{\omega }}_{a}^{c} = \mathrm{d}{A}_{a}^{b} + {\omega }_{c}^{b}{A}_{a}^{c},\;1 \leq a, b \leq r.
\]
(3.16)
由于 \( {A}_{a}^{b} \) 是全纯函数,在 \( U \) 上的复坐标系 \( \left\{ {z}^{i}\right\} \) 下有
\[
\mathrm{d}{A}_{a}^{b} = \frac{\partial {A}_{a}^{b}}{\partial {z}^{i}}\mathrm{\;d}{z}^{i}
\]
(3.17)
即 \( \mathrm{d}{A}_{a}^{b} \) 是 \( U \) 的全纯微分式. 由此可见,当 \( {\omega }_{a}^{b} \) 是 \( U \) 上的 \( \left( {1,0}\right) \) -微分式时, \( {\widetilde{\omega }}_{a}^{b} \) 也必定是 \( U \) 上的 \( \left( {1,0}\right) \) -微分式,即联络形式 \( {\omega }_{a}^{b} \) 是否为 \( \left( {1,0}\right) \) - 微分式与全纯标架场 \( \left\{ {s}_{a}\right\} \) 的选取无关. 此现象导致下面的定义:
定义 3.6 设 \( \left( {E, M,\pi }\right) \) 是复流形 \( M \) 上的全纯向量丛, D 是全纯向量丛 \( E \) 上的一个复联络. 如果对于定义在 \( M \) 的任意一个开子集 \( U \) 上的全纯标架场 \( \left\{ {s}_{a}\right\} \) ,联络 \( \mathrm{D} \) 的联络形式 \( {\omega }_{a}^{b} \) 都是 \( U \) 上的 \( \left( {1,0}\right) \) -微分式,则称 \( \mathrm{D} \) 是全纯向量丛 \( E \) 上的一个 \( \left( {1,0}\right) \) 型联络.
定理 3.2 设 \( M \) 是 \( n \) 维复流形, \( \mathrm{D} \) 是复切丛 \( {T}^{h}M \) 上的一个复联络. 则 \( \mathrm{D} \) 是 \( \left( {1,0}\right) \) 型联络,当且仅当 \( \mathrm{D} \) 的挠率形式是 \( M \) 上的 \( \left( {2,0}\right) \) - 微分式.
证明 设 \( \left\{ {e}_{i}\right\} \) 是 \( {T}^{h}M \) 的一个局部标架场, \( \left\{ {\omega }^{i}\right\} \) 是与之对偶的余切标架场,则在局部复坐标系 \( \left( {U;{z}^{i}}\right) \) 下有
\[
{e}_{i} = {A}_{i}^{j}\frac{\partial }{\partial {z}^{j}},\;\mathrm{\;d}{z}^{j} = {A}_{i}^{j}{\omega }^{i},
\]
(3.18)
其中 \( {A}_{i}^{j} \in {C}^{\infty }\left( U\right) \) ,且 \( \det \left( {A}_{i}^{j}\right) \neq 0 \) . 设
\[
\mathrm{D}{e}_{i} = {\omega }_{i}^{j}{e}_{j},\;1 \leq i \leq n
\]
(3.19)
则
\[
{\Omega }^{i} = \mathrm{d}{\omega }^{i} - {\omega }^{j} \land {\omega }_{j}^{i},\;1 \leq i \leq n
\]
(3.20)
是联络 \( \mathrm{D} \) 的挠率形式. 当局部标架场 \( \left\{ {e}_{i}\right\} \) 变换时, \( \left\{ {\Omega }^{i}\right\} \) 遵循反变向量分量的变换规律, 因而它们的类型与局部标架场的选取无关.
特别地,取 \( {e}_{i} = \frac{\partial }{\partial {z}^{i}},{\omega }^{i} = \mathrm{d}{z}^{i} \) ,则 \( \left\{ {e}_{i}\right\} \) 是全纯标架场. 此时,
(3.20) 式化为
\[
{\Omega }^{i} = - \mathrm{d}{z}^{j} \land {\omega }_{j}^{i}
\]
结合定义 3.6 便知, \( \mathrm{D} \) 是 \( \left( {1,0}\right) \) 型联络当且仅当它的挠率形式 \( {\Omega }^{i} \) 是 \( \left( {2,0}\right) \) -微分式. 证毕.
定理 3.2 的意义在于,在判断联络是否是 \( \left( {1,0}\right) \) 联络时不必取全纯标架场,只要看它的挠率形式是否为 \( \left( {2,0}\right) \) -微分式就可以了.
定义 3.7 设 \( \left( {E, M,\pi, h}\right) \) 是光滑流形 \( M \) 上的 Hermite 向量丛, \( \mathrm{D} \) 是复向量丛 \( E \) 上的一个复联络. 如果对于任意的 \( \xi ,\eta \in \Gamma \left( E\right) \) ,以及任意的 \( X \in \mathfrak{X}\left( M\right) \) ,有
\[
X\left( {h\left( {\xi ,\eta }\right) }\right) = h\left( {{\mathrm{D}}_{X}\xi ,\eta }\right) + h\left( {\xi ,{\mathrm{D}}_{X}\eta }\right)
\]
(3.21)
则称联络 D 和 Hermite 结构 \( h \) 是相容的,或称 D 是 Hermite 结构 \( h \) 的 容许联络.
如所周知, Hermite 向量丛 \( E \) 的 Hermite 结构 \( h \) 具有 \( J \) -不变的实部 \( g \) 和虚部 \( k \) ,其中 \( g \) 是 \( E \) 上的 \( J \) -不变黎曼结构, \( k \) 由 \( g \) 唯一确定. 利用 (3.21) 式不难证明, \( E \) 上的复联络 \( \mathrm{D} \) 与 Hermite 结构 \( h \) 是相容的充分必要条件是 D 与作为 \( h \) 的实部的黎曼结构 \( g \) 是相容的.
定理 3.3 设 \( \left( {E, M,\pi, h}\right) \) 是复流形 \( M \) 上秩为 \( r \) 的 Hermite 全纯向量丛,则在 \( E \) 上存在唯一的一个与 Hermite 结构相容的 \( \left( {1,0}\right) \) 型联络.
证明 在 \( M \) 的复坐标域 \( \left( {U;{z}^{i}}\right) \) 上取全纯向量丛 \( E \) 的全纯标架场 \( \left\{ {{s}_{a},1 \leq a \leq r}\right\} \) ,令
\[
{h}_{ab} = h\left( {{s}_{a},{s}_{b}}\right) ,\;1 \leq a, b \leq r.
\]
(3.22)
设 \( \mathrm{D} \) 是向量丛 \( \left( {E, M,\pi, h}\right) \) 上的容许联络, \( {\omega }_{a}^{b},1 \leq a, b \leq r \) 是 \( \mathrm{D} \) 关于 \( \left\{ {s}_{a}\right\} \) 的联络形式,则有
\[
\mathrm{D}{s}_{a} = {\omega }_{a}^{b}{s}_{b},\;1 \leq a \leq r
\]
并且
\[
\mathrm{d}{h}_{ab} = {\omega }_{a}^{c}{h}_{cb} + \overline{{\omega }_{b}^{c}}{h}_{ac}
\]
(3.23)
如果 \( \mathrm{D} \) 是 \( \left( {1,0}\right) \) 型联络,即 \( {\omega }_{a}^{b} \) 是 \( U \) 上的 \( \left( {1,0}\right) \) -微分式,则从 (3.23) 式得到
\[
\frac{\partial {h}_{ab}}{\partial {z}^{i}}\mathrm{\;d}{z}^{i} = {\omega }_{a}^{c}{h}_{cb}
\]
(3.24)
用 \( \left( {h}^{ab}\right) \) 表示矩阵 \( \left( {h}_{ab}\right) \) 的逆矩阵,假设
\[
{h}^{ac}{h}_{bc} = {\delta }_{b}^{a}
\]
(3.25)
则从 (3.24) 式得到
\[
{\omega }_{a}^{b} = {h}^{bc}\frac{\partial {h}_{ac}}{\partial {z}^{i}}\mathrm{\;d}{z}^{i}
\]
(3.26)
这就说明了与 Hermite 结构 \( h \) 相容的 \( \left( {1,0}\right) \) 型联络是唯一的.
反过来,对于每一个全纯标架场 \( \left\{ {s}_{a}\right\} \) 可以用 (3.26) 式来定义一组 \( \left( {1,0}\right) \) -微分式 \( {\omega }_{a}^{b},1 \leq a, b \leq r \) . 容易证明: 当 \( \left\{ {s}_{a}\right\} \) 变换为全纯标架场 \( \left\{ {\widetilde{s}}_{a}\right\} \) 时,如果 \( {\widetilde{s}}_{a} = {A}_{a}^{b}{s}_{b} \) ,其中 \( {A}_{a}^{b} \) 是全纯函数,则有
\[
{\widetilde{h}}_{ab} = h\left( {{\widetilde{s}}_{a},{\widetilde{s}}_{b}}\right) = {A}_{a}^{c}\overline{{A}_{b}^{d}}{h}_{cd},\;{h}^{ab} = {A}_{c}^{a}\overline{{A}_{d}^{b}}{\widetilde{h}}^{cd},
\]
由 (3.26) 式不难得到
\[
{A}_{c}^{b}{\widetilde{\omega }}_{a}^{c} = \mathrm{d}{A}_{a}^{b} + {\omega }_{c}^{b}{A}_{a}^{c}
\]
这恰好是联络形式在标架场变换时的变换公式. 因此, 由
\[
\mathrm{D}{s}_{a} = {\omega }_{a}^{b}{s}_{b}
\]
在向量丛 \( \pi : E \rightarrow M \) 上定义了一个复联络,记为 D. 不难验证, D 是与 Hermite 结构 \( h \) 相容的 \( \left( {1,0}\right) \) 型联络. 证毕.
推论 3.4 设 \( \left( {M, h}\right) \) 是 Hermite 流形,则 \( {T}^{h}M \) 作为 Hermite 全纯向量丛有唯一的一个 \( \left( {1,0}\right) \) 型容许联络,称为 \( \left( {M, h}\right) \) 上的 Hermite 联络.
设 \( \left( {U;{z}^{i}}\right) \) 是 Hermite 流形 \( \left( {M, h}\right) \) 的复坐标系, \( \left\{ \frac{\partial }{\partial {z}^{i}}\right\} \) 是自然的复标架场,它是全纯标架场. \( {\omega }_{i}^{j} \) 是 Hermite 联络 \( \mathrm{D} \) 关于 \( \left\{ \frac{\partial }{\partial {z}^{i}}\right\} \) 的
联络形式, 即
\[
\mathrm{D}\frac{\partial }{\partial {z}^{i}} = {\omega }_{i}^{j}\frac{\partial }{\partial {z}^{j}}
\]
(3.27)
如果
\[
h = {h}_{ij}\mathrm{\;d}{z}^{i} \otimes \mathrm{d}\overline{{z}^{j}},\;\text{ 其中 }{h}_{ij} = h\left( {\frac{\partial }{\partial {z}^{i}},\frac{\partial }{\partial {z}^{j}}}\right) ,
\]
(3.28)
则有 \( \left( {1,0}\right) \) 型容许联络形式 \( {\omega }_{i}^{j} \) 的表达式
\[
{\omega }_{i}^{j} = {h}^{jk}\frac{\partial {h}_{ik}}{\partial {z}^{l}}\mathrm{\;d}{z}^{l}
\]
(3.29)
这里 \( \left( {h}^{ij}\right) \) 是矩阵 \( \left( {h}_{ij}\right) \) 的逆矩阵,使得 \( {h}^{ij}{h}_{kj} = {\delta }_ |
1760_06代数学(上册) | 定义 1.18 | 定义 1.18 设 \( S \) 为一集合. \( S \) 上一非负实数值的二元函数 \( D\left( {a, b}\right) \left( {a, b \in S}\right) \) ,如适合下列的条件,则称为距离:
1) \( D\left( {a, b}\right) = 0 \Leftrightarrow a = b \) ,
2) \( D\left( {a, b}\right) = D\left( {b, a}\right) \) ;
3) 三角不等式: \( D\left( {a, b}\right) + D\left( {b, c}\right) \geq D\left( {a, c}\right) \) .
不难看出 \( {D}_{\infty }\left( {a, b}\right) \) 是一距离. 有了这个距离以后,我们将证明有理数集 \( \mathbf{Q} \) 的所有 “极限” 的集合即是实数集 \( \mathbf{R} \) . 然而,有理. 数集 \( \mathbf{Q} \) 还有其它的距离. 且看下面的定义.
定义1.19 设 \( p \in Z \) 为一素数. 设 \( a \in Q \) 为一非零的有理数. 命
\[
a = {p}^{l}\frac{m}{n},\;p \nmid m, p \nmid n, l, m, n \in Z.
\]
则 \( l \) 自然是由 \( a \) 唯一确定的. 定义 \( a \) 的 \( p \) 赋值为
\[
{v}_{p}\left( a\right) = {p}^{-1},
\]
又令 \( {v}_{p}\left( 0\right) = 0 \) . 两有理数 \( a, b \) 的 \( p \) 距离 \( {D}_{p}\left( {a, b}\right) \) 的定义是
\[
{D}_{p}\left( {a, b}\right) = {v}_{p}\left( {a - b}\right) .
\]
定理 \( {1.18p} \) 赋值 \( {v}_{p} \) 有如下的性质,
1) \( {v}_{p}\left( a\right) \geq 0,{v}_{p}\left( a\right) = 0 \Leftrightarrow a = 0 \) ,
2) \( {v}_{p}\left( {ab}\right) = {v}_{p}\left( a\right) {v}_{p}\left( b\right) \) ,
3) \( {v}_{p}\left( {a + b}\right) \leq \max \left( {{v}_{p}\left( a\right) ,{v}_{p}\left( b\right) }\right) \) .
\( p \) 距离 \( {D}_{p} \) 有如下的性质,
1) \( {D}_{p}\left( {a, b}\right) \geq 0,{D}_{p}\left( {a, b}\right) = 0 \Leftrightarrow a = b \) ,
2) \( {D}_{p}\left( {a, b}\right) = {D}_{p}\left( {b, a}\right) \) ;
3) 强三角不等式: \( \max \left( {{D}_{p}\left( {a, b}\right) ,{D}_{p}\left( {b, c}\right) }\right) \geq {D}_{p}\left( {a, c}\right) \) . 因此 \( {D}_{p} \) 是一个距离 (参考定义1.18).
证明 很容易自 \( p \) 赋值 \( {v}_{p} \) 的定义 1.19,导出 1),2). 现在看 \( {v}_{p} \) 的性质 3). 设
\[
a = {p}^{l}{}_{1}\frac{{m}_{1}}{{n}_{1}},\;b = {p}^{l}{}_{2}\frac{{m}_{2}}{{n}_{2}},
\]
又不妨假设 \( {l}_{1} \leq {l}_{2} \) . 于是有
\[
a + b = {p}^{1}1\left( {\frac{{m}_{1}}{{n}_{1}} + {p}^{1}{z}^{-1}1 - \frac{{m}_{2}}{{n}_{2}}}\right) = {p}^{1}1\frac{{m}_{1}{n}_{2} + {p}^{1}{z}^{-1}1{n}_{1}{m}_{2}}{{n}_{1}{n}_{2}}
\]
\[
= {p}^{{l}_{1}}\left( {{p}^{{l}_{3}}\frac{{m}_{3}}{{n}_{3}}}\right) ,\;{l}_{3} \geq 0.
\]
卸
\[
{v}_{p}\left( {a + b}\right) = {p}^{-1}{1}^{-1}s \leq {p}^{-1}1 = \max \left( {{p}^{-1}1,{p}^{-1}s}\right)
\]
\[
= \max \left( {{v}_{p}\left( a\right) ,{v}_{p}\left( b\right) }\right) .
\]
关于 \( p \) 距离 \( {D}_{p} \) 的三点性质. 1),2) 皆很显然. 性质 3) 同等于 \( {v}_{p} \) 的性质 3),即以
\[
\left( {a - b}\right) ,\;\left( {b - c}\right) ,\;\left( {a - c}\right) = \left( {a - b}\right) + \left( {b - c}\right)
\]
分别取代 \( {v}_{p} \) 的性质 3) 中的 \( a, b, a + b \) ,便得 \( {D}_{p} \) 的性质 3). 1
讨论 1) 在本书的后面关于 “赋值” 的讨论中读者将看出, \( \mathbf{Q} \) 的任意赋值皆 “同等” 于绝对值或 \( p \) 赋值 \( {v}_{p} \) 之一. 此 种 现象并不深奥, 然而此时还不适宜于读者, 所以暂时略去.
2) 适合强三角不等式的距离 \( D \) ,定义出一种奇异的几何学. 例如任意三角形皆等腰,即取 \( a, b, c \) 为三角形的三 \( \mathrm{{II}} \) 点,如 \( D\left( {a, b}\right) > D\left( {b, c}\right) > D\left( {a, c}\right) \) ,则
\[
\max \left( {D\left( {a, c}\right), D\left( {c, b}\right) }\right) < D\left( {a, b}\right)
\]
为不可能. 又例如圆內任意点皆是圆心,即如 \( a \) 是圆心, \( b \) 在圆内, \( c \) 在圆上,则有
\[
D\left( {a, c}\right) = r > D\left( {b, a}\right) ,
\]
\[
\max \left( {D\left( {a, b}\right), D\left( {b, c}\right) }\right) \geq D\left( {a, c}\right) ,
\]
必有
\[
D\left( {b, c}\right) = r\text{.}
\]
定理 1.19 令 \( {v}_{\infty }\left( a\right) = \left| a\right| \) ,则有
\[
{v}_{\infty }\left( a\right) \mathop{\prod }\limits_{p}{v}_{p}\left( a\right) = 1
\]
证明 显然.
定理1.20(赋值的独立性) 令 \( {v}_{\infty } \) 为绝对值. 任取 \( {v}_{\infty } \) 及 \( n \) 个 \( p \) 赋值 \( {v}_{{p}_{1}},{v}_{{p}_{2}},\cdots ,{v}_{{p}_{1}} \) . 任取 \( a,{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n} \in Q \) ,以及 \( \varepsilon > 0 \) , \( {p}^{-1}1,{p}^{-1}2,\cdots ,{p}^{-1}n \) ,则存在 \( b \in Q \) ,使
1) \( {v}_{\infty }\left( {b - a}\right) = \left| {b - a}\right| < {\varepsilon }_{3} \)
2) \( {v}_{{p}_{i}}\left( {b - {a}_{i}}\right) \leq {p}_{i}^{-1}i, i = 1,2,\cdots, n \) .
证明 先用中国剩余定理来证明 2). 令 \( m \) 为 \( {a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{m} \) 的最小公分母. 令
\[
{p}_{i}^{-1}t = {v}_{{p}_{i}}\left( m\right) ,\;{r}_{i} = {l}_{i} + {s}_{i},
\]
\[
r = \max \left\{ {1,{r}_{1},{r}_{2},\cdots ,{r}_{n}}\right\}
\]
根据中国剩余定理,可得出 \( - c \) ,使
\[
c \equiv m{a}_{i}\left( {\;\operatorname{mod}\;{p}_{i}^{r}}\right) ,\;i = 1,2,\cdots, n.
\]
蝍
\[
{v}_{{p}_{i}}\left( {c - m{a}_{i}}\right) \leq {p}_{i}^{-1},\;{v}_{{p}_{i}}\left( {\frac{c}{m} - {a}_{i}}\right) \leq {p}_{i}^{-1}!.
\]
令 \( q = {\left( {p}_{1}{p}_{2}\cdots {p}_{n}\right) }^{i} \) ,取适当的整数 \( u, v \) ,使
\[
\left| {\frac{c}{m}\frac{1 + {uq}}{1 + {vq}} - a}\right| < \varepsilon
\]
令
\[
b = \frac{c}{m}\frac{1 + {uq}}{1 + {vq}}
\]
则 \( b \) 自然适合条件 1). 又由强三角不等式,有
\[
{v}_{{p}_{i}}\left( {b - {a}_{i}}\right) = {v}_{{p}_{i}}\left( {\left( {b - \frac{c}{m}}\right) + \left( {\frac{c}{m} - {a}_{i}}\right) }\right)
\]
\[
\leq \max \left( {{v}_{{p}_{i}}\left( {b - \frac{c}{m}}\right) ,{v}_{{p}_{i}}\left( {\frac{c}{m} - {a}_{i}}\right) }\right)
\]
\[
= {v}_{{p}_{i}}\left( {\frac{c}{m} - {a}_{i}}\right) \leq {p}_{i}^{-1}1
\]
以上的两个定理是讨论各赋值的关系. 以下设 \( S \) 为一集合, \( D \) 为定义其上的一距离. 根据本节的内容,可令 \( S = Q, D = D \) _ 或 \( {D}_{p} \) . 然而,在本书后面的部分,我们将把同样的 讨论,引用到一些广义的 “环” 上. 为了避免重复论证起见, 我们讨论一广义的集合 \( S \) 。
定义 1.20 取可数无限个 \( S \) 的直积 \( \mathop{\prod }\limits_{{i = 1}}^{n}S \) ,其元素
\[
\left\{ {a}_{i}\right\} = \left( {{a}_{1},{a}_{2},\cdots ,{a}_{n},\cdots }\right)
\]
称为序列. 给定一个距离 \( D \) . 如序列 \( \left\{ {a}_{2}\right\} \) 适合以下的条件,则称为柯西序列,或 \( D \) 收敛序列: 对于任意有理数 \( \varepsilon > 0 \) ,有一正整数 \( N\left( { = N\left( \varepsilon \right) }\right) \) 存在,使当 \( m, n > N \) 时,
\[
D\left( {{a}_{m},{a}_{n}}\right) < \varepsilon \text{。}
\]
所有柯西序列的集合,称为柯西序列集 \( F\left( D\right) \) 。
定义 1.21 两柯西序列 \( \left\{ {a}_{i}\right\} ,\left\{ {b}_{i}\right\} \in F\left( D\right) \) ,如适合以下的条件, 则称有共同的极限, 用符号
\[
\left\{ {a}_{i}\right\} \overset{D}{ \sim }\left\{ {b}_{i}\right\}
\]
表示之: 对任意的有理数 \( \varepsilon > 0 \) ,有一正整数 \( N\left( { = N\left( \varepsilon \right) }\right) \) 存在, 使当 \( m > N \) 时, \( D\left( {{a}_{m},{b}_{m}}\right) < \varepsilon \) .
定理1.21 柯西序列的有共同极限的关系是一等价关系 (参考定义 1.4 的讨论).
证明 1) \( \left\{ {a}_{i}\right\} \overset{D}{ \sim }\left\{ {a}_{i}\right\} \) . 显然.
2) \( \left\{ {a}_{i}\right\} \overset{b}{ \sim }\left\{ {b}_{i}\right\} \) ,则 \( \left\{ {b}_{i}\right\} \overset{b}{ \sim }\left\{ {a}_{i}\right\} \) . 显然.
3) 设 \( \left\{ {a}_{i}\right\} \overset{p}{ \sim }\left\{ {b}_{i}\right\} \overset{p}{ \sim }\left\{ {c}_{i}\right\} \) . 给定 \( \varepsilon > 0 \) ,则有一 \( N \) 存在,使当 \( m > N \) 时,
\[
D\left( {{a}_{m},{b}_{m}}\right) < \frac{\varepsilon }{2},\;D\left( {{b}_{m},{c}_{m}}\right) < \frac{\varepsilon }{2}.
\]
用三角不等式, 得出
\[
D\left( {{a}_{m},{c}_{m}}\right) \leq D\left( {{a}_{m},{b}_{m}}\right) + D\left( {{b}_{m},{c}_{m}}\right) < \varepsilon .
\]
定义1.22 由等价关系 \( \overset{p}{ \sim } \) 所产生的柯西序列集的商集(参考定义1.4及其后的讨论)称为 \( S \) -的 \( D \) 完备化集. 每一个等价子集称为其元素的极限. 如 \( S = \mathbf{Q}, D \) 为由绝对值引生的距离 \( {D}_{\infty } \) ,则此完备化集称为实数集 \( R \) . 如 \( S = Q, D \) 为由 \( p \) 赋值 \( {v}_{p} \) 引生的距离 \( {D}_{p} \) ,则此完备化集称 \( p \) -adic 数集 \( {\mathbf{Q}}_{p} \) .
讨论 \( p \) -adic 数又称 \( p \) 进数. 然而二进数、十进数等又是实数的一些表示法. 如此,名词就混淆不清了. 为此本书中用 “ \( p \) - adic 数” 表示如上定义的 \( {\mathbf{Q}}_{p} \) ,用 \( p \) 进数表示实数的 \( p \) 进位制.
定义 1.22 给出了实数集 \( \mathbf{R} \) 及 \( p \) -adic 数集 \( {\mathbf{Q}}_{\mathbf{p}} \) 的严格与完整 \( i \) 的定义. 以下我们要进一步地阐明其意义.
定理 1.22 令 \( D \) 为 \( S \) 的一距离, \( {S}_{D} \) 为相应的完备化集. 则下列映射 \( \varphi : S \rightarrow {S}_{D} \) 是一单射:
\[
\varphi \left( a\right) = \left( {a, a,\cdots, a,\cdots }\right) = \{ a\} .
\]
证明 显然, \( \{ a\} \) 是一柯西序列. 如 \( a \neq b \) ,令 \( \varepsilon = D\left( {a, b}\right) \) , 则
\[
D\left( {a, b}\right) < \varepsilon ,
\]
即 \( \{ a\} ,\{ b\} \) 没有共同的极限.
如果我们把 \( Q \) 认同于 \( \varphi \left( Q\right) \) ,则 \( Q \) 成了 \( {Q}_{D} \) 的子集. 其次我们考虑怎样更具体地把 \( {Q}_{D} \) 写出来. 如 \( D = {D}_{\alpha } \) 时, \( {Q}_{D} = R \) ,我们有众所周知的十进位无穷小数表示法. 这创始于中国商代, 对于汉代的完美的数学工具是极重要的准备. 根据以上的讨论, 我们可以如下地理解这个十进位小数: 任取一柯西序列 \( \left\{ {a}_{1}\right\} \) ,取 \( {\varepsilon }_{1} \) \( = {10}^{-1} \) . 令 \( {N}_{j} \) 为有如下性质的正整数 (参考 定义 1.20): 如 \( m, m \) \( > {N}_{j} \) 时,
\[
{D}_{\infty }\left( {{a}_{m},{a}_{n}}\right) = \left| {{a}_{m} - {a}_{n}}\right| \leq {\varepsilon }_{j},
\]
即 \( {a}_{m} \) 的十进位小数展开式与 \( {a}_{{N}_{j} + 1} \) 的十进位小数展开式其小数点后 \( \left( {j - 1}\right) \) 位全同. 考 虑 \( {a}_{{N}_{i} + 1}, j = 1,2,3,\cdots, n,\cdots \) ,则小数逐渐确定了. 取其极限, 则得一无穷小数, 即一般实数的无穷小数展开式. 这种表示法并无唯一性. 例如, \( 1 = {0.999}\cdots 9\cdots \) . 用柯西序列来说, 即以下两个柯西序列
\[
\left( {1,1,1,\cdots ,1,\cdots }\right) \text{,}
\]
\[
\left( {0,{0.9},{0.99},\cdots ,{0.9999}\cdots 9,\cdots }\right)
\]
是有共同的极限的.
如同十进位无穷小数一样,我们可以同法得出 \( p \) -adic 数的展开式: 任取一分数 \( a \in \mathbf{Q}, a \neq 0 \) . 令
\[
a = {p}^{l}\frac{m}{n},\;p \nmid m, p \nmid n, l, m, n \in Z.
\]
因为 \( p, n \) 互素,所以存在 \( r, s \in Z \) ,使
\[
{sn} + {rp} = 1\text{. }
\]
令 \( t \) 为 \( {\left\lbrack sm\right\rbrack }_{p} \) 的主余数,则有
\[
{\left\lbrack s\left( m - nt\right) \right\rbrack }_{p} = {\left\lbrack sm - snt\right\rbrack }_{p} = {\left\lbrack sm - t\right\rbrack }_{p} = {\left\lbrack 0\right\rbrack }_{p},
\]
于是有
\[
p \mid m - {nt}
\]
\[
a - t{p}^{1} = {p}^{1}\left( {\frac{m}{n} - t}\right) = {p}^{1}\frac{m - {nt}}{n} = {p}^{1 + {1}^{\prime }}\frac{{m}^{\prime }}{n},
\]
\[
{D}_{p}\left( {a, t{p}^{1}}\right) \leq {p}^{-1 - 1} < {p}^{-1}.
\]
再以同法可以进一步展开 \( {p}^{l + {l}^{\prime }}\frac{{m}^{\prime }}{n} \) . 如此逐步展开后,可得一 \( p \) 的幂级数,其系数皆取自 \( \{ 0,1,2,\cdots, p - 1\} \) . 例如,令 \( p = 3 \) ,则 \( - 1/6 \) 的 \( p \) -adic 数的展开式是
\[
- \frac{1}{6} = {3}^{-1} + 1 + 3 + {3}^{2} + {3}^{3} + \cdots + {3}^{n} + \cdots ,
\]
却
\[
{D}_{p}\left( {-\frac{1}{6},\left( {{3}^{-1} + 1 + 3 + \cdots + {3}^{n}}\right) }\right) = {3}^{-\left( {n + 1}\right) } \rightarrow 0
\]
不难看出, \( {Q}_{p} \) 即
\[
\left\{ {\mathop{\sum }\limits_{{j = - n}}^{\infty }{c}_{j}{p}^{j} : 0 \leq j < p}\right\}
\]
不同于十进位小数的是 \( {Q}_{p} \) 的元素的 \( p \) -adic 数的展开式是唯一的.
定义 1.23 在 \( R \) 中定义不等式如下: 取 \( a,\beta \in R \) , |
1292_[徐明曜&曲海鹏] 有限p群 | 定义 7.1.2 | 定义 7.1.2 设 \( G \) 是有限 \( p \) 群. 称 \( G \) 为超特殊 \( p \) 群,如果 \( G \) 是非交换特殊 \( p \) 群,且 \( \left| {Z\left( G\right) }\right| = p \) .
尽管特殊 \( p \) 群是非常特殊的一类 \( p \) 群,它们的幂零类为 2,并且满足 \( G/{G}^{\prime } \) 是初等交换群,但给出它们的分类仍然是十分困难的,目前我们还做不到这一点. 然而,对于超特殊 \( p \) 群我们能够给出它们的同构分类. 为此,我们需要 \( n \) 个群的中心积的概念以及辛空间的概念.
回忆一下,称群 \( G \) 为两个子群 \( A \) 和 \( B \) 的关联中心子群 \( K \) 的中心积,记做 \( G = A{ * }_{K}B \) ,如果 \( G = {AB}, K = A \cap B \) ,且换位子群 \( \left\lbrack {A, B}\right\rbrack = 1 \) (见定义 2.6.1). 如果 \( K \) 是 \( A, B \) 中至少一个的中心,则简记 \( G = A{ * }_{K}B \) 为 \( G = A * B \) .
称群 \( G \) 为子群 \( {A}_{1},{A}_{2},\cdots ,{A}_{n} \) 的关联中心子群 \( K \) 的中心积,如果对任意的 \( 1 \leq i < j \leq n,\left\langle {{A}_{i},{A}_{j}}\right\rangle = {A}_{i}{ * }_{K}{A}_{j} \) . 由于通常只考虑 \( K \) 是每个因子 \( {A}_{i} \) (或至多有一个例外) 的中心的情况,我们记此中心积为
\[
G = {A}_{1} * {A}_{2} * \cdots * {A}_{n}
\]
至于辛空间的概念, 在很多为研究生编写的抽象代数或线性代数书上都有介绍. 譬如可见 \( \left\lbrack {{624},§{5.2}}\right\rbrack \) . 但为了本书的完整性,我们给出下面的概念和结果.
定义 7.1.3 设 \( V = V\left( {n,\mathbb{F}}\right) \) 是域 \( \mathbb{F} \) 上的 \( n \) 维向量空间,定义了内积 \( f : V \times V \rightarrow \mathbb{F} \) ,满足
(1) \( f \) 是双线性的,即对于任意的 \( \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} \in V, a \in \mathbb{F} \) ,有
(i) \( f\left( {a\mathbf{u},\mathbf{v}}\right) = f\left( {\mathbf{u}, a\mathbf{v}}\right) = {af}\left( {\mathbf{u},\mathbf{v}}\right) \) ;
(ii) \( f\left( {\mathbf{u} + \mathbf{w},\mathbf{v}}\right) = f\left( {\mathbf{u},\mathbf{v}}\right) + f\left( {\mathbf{w},\mathbf{v}}\right) ,\;f\left( {\mathbf{u},\mathbf{v} + \mathbf{w}}\right) = f\left( {\mathbf{u},\mathbf{v}}\right) + f\left( {\mathbf{u},\mathbf{w}}\right) . \)
(2) \( f \) 是斜对称的,即对任意的 \( \mathbf{u} \in V \) ,成立 \( f\left( {\mathbf{u},\mathbf{u}}\right) = 0 \) .
(注意: 若 char \( \mathbb{F} \neq 2, f\left( {\mathbf{u},\mathbf{u}}\right) = 0\left( {\forall \mathbf{u} \in V}\right) \) 等价于条件
\[
f\left( {\mathbf{u},\mathbf{v}}\right) = - f\left( {\mathbf{v},\mathbf{u}}\right) ,\;\forall \mathbf{u},\mathbf{v} \in V.)
\]
称 \( V \) 为域 \( \mathbb{F} \) 上的 \( n \) 维辛空间.
又,称辛空间 \( V \) 为非退化的,如果由 \( f\left( {\mathbf{u},\mathbf{v}}\right) = 0,\forall \mathbf{v} \in V \) ,可得到 \( \mathbf{u} = \mathbf{0} \) .
设 \( V \) 为一辛空间, \( U, W \) 是 \( V \) 的子空间. 称 \( U \) 和 \( W \) 正交,并记做 \( U \bot W \) ,如果 \( f\left( {\mathbf{u},\mathbf{w}}\right) = 0,\forall \mathbf{u} \in U,\mathbf{w} \in W \) .
定义 7.1.4 设 \( V = V\left( {n,\mathbb{F}}\right) \) 是域 \( \mathbb{F} \) 上的 \( n \) 维辛空间. 称 \( V \) 是子空间 \( {V}_{1},{V}_{2},\cdots ,{V}_{s} \) 的正交和,记做
\[
V = {V}_{1} \bot {V}_{2} \bot \cdots \bot {V}_{s}
\]
如果 \( V = {V}_{1} \oplus {V}_{2} \oplus \cdots \oplus {V}_{s} \) ,且对任意的 \( i \neq j,{V}_{i} \bot {V}_{j} \) .
设 \( V \) 为一辛空间,称 \( X = \{ \mathbf{u},\mathbf{v}\} \) 为 \( V \) 中的一个双曲元偶,如果 \( f\left( {\mathbf{u},\mathbf{v}}\right) = 1 \) . 这时称 \( \langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle \) 为 \( V \) 中的一个双曲平面.
如果
\[
V = \langle {\mathbf{v}}_{1},{\mathbf{v}}_{2}\rangle \bot \cdots \bot \langle {\mathbf{v}}_{{2m} - 1},{\mathbf{v}}_{2m}\rangle ,
\]
其中 \( \left\{ {{\mathbf{v}}_{{2i} - 1},{\mathbf{v}}_{2i}}\right\} \) 为 \( V \) 中的双曲元偶,则称 \( B = \left\{ {{\mathbf{v}}_{1},\cdots ,{\mathbf{v}}_{2m}}\right\} \) 是 \( V \) 的一组双曲基. 这时 \( V \) 可表为双曲平面之直和.
下面的不加证明的定理对于辛空间来说是基本的, 其证明可见 [285, II, Hilfsatz 9.8] 或 [624, 推论 2.10].
定理 7.1.5 设 \( V \) 是非退化辛空间,则 \( \dim V = {2m} \) ,且 \( V \) 是 \( m \) 个双曲平面的正交和. 若不计同构, \( V \) 被其维数 \( {2m} \) 唯一确定.
下面来研究超特殊 \( p \) 群. 设 \( G \) 是一超特殊 \( p \) 群,则 \( \bar{G} = G/Z\left( G\right) \) 是初等交换 \( p \) 群. 于是可把 \( \bar{G} \) 看成域 \( {GF}\left( p\right) \) 上的有限维向量空间. 它的元素,即向量的一般形状为 \( {xZ}\left( G\right) \) ,记做 \( \bar{x} \) . 设 \( {G}^{\prime } = \langle c\rangle \) . 因为
\( \left| {G}^{\prime }\right| = p \) ,任给 \( x, y \in G \) ,有 \( \left\lbrack {x, y}\right\rbrack = {c}^{\alpha } \) ,其中 \( \alpha \in {GF}\left( p\right) \) . 下面定义 \( \bar{G} \) 的内积 \( f \) :
\[
f\left( {\bar{x},\bar{y}}\right) = \alpha ,\;\text{ 如果 }\left\lbrack {x, y}\right\rbrack = {c}^{\alpha }.
\]
容易看出,这个内积 \( f \) 是良定义的,且在内积 \( f \) 下, \( \bar{G} \) 是域 \( {GF}\left( p\right) \) 上的有限维非退化辛空间 (验证从略). 由定理 \( {7.1.5},\bar{G} \) 是 \( m \) 个双曲平面的正交和,而 \( \bar{G} \) 的维数是偶数 \( {2m} \) . 设第 \( i \) 个双曲平面是 \( \left\langle {{\bar{x}}_{i},{\bar{y}}_{i}}\right\rangle \) ,则 \( {\bar{x}}_{i} \) 和 \( {\bar{y}}_{i} \) 的原像 \( {x}_{i} \) 和 \( {y}_{i} \) 满足 \( \left\lbrack {{x}_{i},{y}_{i}}\right\rbrack = c \) ,于是 \( {G}_{i} \mathrel{\text{:=}} \left\langle {{x}_{i},{y}_{i}}\right\rangle \) 是 \( {p}^{3} \) 阶非交换群,且对不同的 \( i, j \) ,有 \( \left\lbrack {{G}_{i},{G}_{j}}\right\rbrack = 1 \) . 于是我们得到下面的定理.
定理 7.1.6 设 \( G \) 是有限超特殊 \( p \) 群,则对某个 \( m \) 有 \( \left| G\right| = {p}^{{2m} + 1} \) , 且
\[
G = {G}_{1} * {G}_{2} * \cdots * {G}_{m}
\]
其中 \( {G}_{i} \) 是 \( {p}^{3} \) 阶非交换群.
为了进一步研究超特殊 \( p \) 群,我们区分 \( p = 2 \) 和 \( p > 2 \) 两种情形.
对于 \( p = 2 \) ,我们有下面的引理.
引理 7.1.7 \( {\mathrm{Q}}_{8} * {\mathrm{Q}}_{8} \cong {\mathrm{D}}_{8} * {\mathrm{D}}_{8} \) .
证明 设 \( G = \left\langle {{a}_{1},{b}_{1}}\right\rangle * \left\langle {{a}_{2},{b}_{2}}\right\rangle \cong {\mathrm{Q}}_{8} * {\mathrm{Q}}_{8} \) ,则易验证 \( {b}_{1}{a}_{2} \) 和 \( {a}_{1}{b}_{2} \) 均为 2 阶元,且 \( G = \left\langle {{a}_{1},{b}_{1}{a}_{2}}\right\rangle \left\langle {{a}_{2},{a}_{1}{b}_{2}}\right\rangle \) . 又,易验证 \( \left\lbrack {{a}_{1},{a}_{2}}\right\rbrack = \) \( \left\lbrack {{a}_{1},{a}_{1}{b}_{2}}\right\rbrack = \left\lbrack {{b}_{1}{a}_{2},{a}_{2}}\right\rbrack = \left\lbrack {{b}_{1}{a}_{2},{a}_{1}{b}_{2}}\right\rbrack = 1 \) ,故 \( G = \left\langle {{a}_{1},{b}_{1}{a}_{2}}\right\rangle * \left\langle {{a}_{2},{a}_{1}{b}_{2}}\right\rangle . \) 但 \( \left\lbrack {{a}_{1},{b}_{1}{a}_{2}}\right\rbrack \neq 1,\left\lbrack {{a}_{2},{a}_{1}{b}_{2}}\right\rbrack \neq 1 \) ,于是子群 \( \left\langle {{a}_{1},{b}_{1}{a}_{2}}\right\rangle \) 和 \( \left\langle {{a}_{2},{a}_{1}{b}_{2}}\right\rangle \) 均同构于 \( {\mathrm{D}}_{8} \) ,引理证毕.
引理 \( {7.1.8}\;{\mathrm{Q}}_{8} * {\mathrm{Q}}_{8} \ncong {\mathrm{Q}}_{8} * {\mathrm{D}}_{8} \) .
证明 两个群中的 2 阶元个数不同, 从而结论成立. (细节从略, 并作为习题).
于是由定理 7.1.6 和引理 7.1.7, 引理 7.1.8 可推出下列结果.
定理 7.1.9 设 \( G \) 是有限超特殊 2 群,且 \( \left| G\right| = {2}^{{2m} + 1} \) ,则 \( G \) 有两种不同构的类型, 即
\[
G \cong \underset{m\text{ 个 }}{\underbrace{{\mathrm{Q}}_{8} * \cdots * {\mathrm{Q}}_{8}}}\text{ 和 }G \cong \underset{m - 1\text{ 个 }}{\underbrace{{\mathrm{Q}}_{8} * \cdots * {\mathrm{Q}}_{8}}} * {\mathrm{D}}_{8}.
\]
下面假设 \( p > 2 \) . 我们用 \( \mathrm{M} \) 和 \( \mathrm{N} \) 分别表示方次数为 \( {p}^{2} \) 和 \( p \) 的 \( {p}^{3} \) 阶非交换群,即 \( \mathrm{M} = {\mathrm{M}}_{p}\left( {2,1}\right) \) ,而 \( \mathrm{N} = {\mathrm{M}}_{p}\left( {1,1,1}\right) \) . 首先我们有下面的引理.
引理 7.1.10 \( \mathrm{M} * \mathrm{M} \cong \mathrm{M} * \mathrm{N} \) .
证明 设 \( G = \left\langle {{a}_{1},{b}_{1}}\right\rangle * \left\langle {{a}_{2},{b}_{2}}\right\rangle \cong \mathrm{M} * \mathrm{M} \) ,其中 \( o\left( {a}_{i}\right) = {p}^{2}, o\left( {b}_{i}\right) = p \) , \( {a}_{i}^{{b}_{i}} = {a}_{i}^{1 + p}, i = 1,2 \) ,于是有 \( {a}_{1}^{p} \in Z\left( G\right) ,{a}_{2}^{p} \in Z\left( G\right) \) . 用 \( {a}_{2} \) 的适当方幂代替 \( {a}_{2} \) ,可令 \( {a}_{1}^{p} = {a}_{2}^{p} \) . 令 \( {x}_{2} = {a}_{2}{a}_{1}^{-1} \) ,则 \( {x}_{2}^{p} = {\left( {a}_{2}{a}_{1}^{-1}\right) }^{p} = 1 \) . 易验证
\[
H \mathrel{\text{:=}} \left\langle {{b}_{2},{x}_{2}}\right\rangle \cong \mathrm{N},\;\text{ 且 }\;G = \left\langle {{a}_{1},{b}_{1}}\right\rangle * H \cong \mathrm{M} * \mathrm{N}.
\]
定理 7.1.11 设 \( G \) 是有限超特殊 \( p \) 群, \( p > 2 \) ,且 \( \left| G\right| = {p}^{{2m} + 1} \) ,则 \( G \) 有两种不同构的类型,即
\[
G \cong \underset{m\text{ 个 }}{\underbrace{\mathrm{N} * \cdots * \mathrm{\;N}}}\text{ 和 }G \cong \underset{m - 1\text{ 个 }}{\underbrace{\mathrm{N} * \cdots * \mathrm{\;N}}} * \mathrm{M}.
\]
证明 区分 \( \exp \left( G\right) = p \) 和 \( \exp \left( G\right) = {p}^{2} \) 两种情况,细节从略.
## 习 题
7.1.1. 计算 \( {Q}_{8} * {Q}_{8} \) 和 \( {Q}_{8} * {D}_{8} \) 中的 2 阶元个数,并证明 \( {Q}_{8} * {Q}_{8} \ncong {Q}_{8} * {D}_{8} \) .
7.1.2. 找出超特殊 \( p \) 群交换子群阶的最大值.
## §7.2 Dedekind \( p \) 群
称群 \( G \) 为Dedekind 群,如果它的所有子群均在 \( G \) 中正规. Dedekind [150] (1897) 给出了有限 Dedekind 群的分类, 而 Baer [22] (1933) 则分类了无限 Dedekind 群. 他们证明, Dedekind 群或为交换群, 或为四元数群与无 4 阶元素的交换周期群的直积. (所谓周期群, 指的是没有无限阶元素的群). 这个结果的证明可见 M. Hall [231](1959) 的定理 12.5.4. 我们又称非交换的 Dedekind 群为Hamilton 群.
下面的定理给出了有限 Dedekind \( p \) 群的分类.
定理 7.2.1 设 \( G \) 是有限 Dedekind \( p \) 群,则下列结论之一成立:
(1) \( G \) 交换;
(2) \( p = 2 \) 并且 \( G \cong {\mathrm{Q}}_{8} \times {\mathrm{C}}_{2}^{n} \) ,其中 \( n \) 是非负整数.
证明 若 \( G \) 非交换,取 \( G \) 的一个内交换子群 \( H \) ,则 \( H \) 亦为 Dedekind 群,由定理 2.3.7, \( H \cong {\mathrm{Q}}_{8} \) . 令 \( H = \langle a, b\rangle \) ,则 \( o\left( a\right) = o\left( b\right) = 4 \) , \( {a}^{2} = {b}^{2} \) ,且 \( \left\lbrack {a, b}\right\rbrack = {a}^{2} \) . 令 \( C = {C}_{G}\left( H\right) \) ,则 \( C = {C}_{G}\left( {\langle a\rangle }\right) \cap {C}_{G}\left( {\langle b\rangle }\right) \) . 由 \( N/C \) 定理, \( \left| {G : {C}_{G}\left( {\langle a\rangle }\right) }\right| = 2,\left| {G : {C}_{G}\left( {\langle b\rangle }\right) }\right| = 2 \) . 于是 \( \left| {G : C}\right| \leq 4 \) . 又, \( C \cap H = Z\left( H\right) = \left\langle {a}^{2}\right\rangle \) ,故由习题 1.1.1 得 \( {HC} = G \) . 下面证 \( \exp C = 2 \) . 如若不然,有 \( c \in C \) ,使得 \( o\left( c\right) = 4 \) . 因 \( G \) 中 2 阶子群皆正规,故 2 阶元属于中心. 而因 \( {ac} \notin Z\left( G\right) \) ,推出 \( o\left( {ac}\right) = 4 \) . 又因 \( \left\lbrack {{ac}, b}\right\rbrack = \left\lbrack {a, b}\right\rbrack = {a}^{2} \) , 且 \( \langle {ac}\rangle \trianglelefteq G \) ,有 \( {a}^{2} \in \langle {ac}\rangle \) . 于是得 \( {a}^{2} = {\left( ac\right) }^{2} = {a}^{2}{c}^{2},{c}^{2} = 1 \) ,与 \( o\left( c\right) = 4 \) 矛盾. 这样我们证明了 \( C \) 是初等交换 2 群. 取 \( \left\langle {a}^{2}\right\rangle \) 在 \( C \) 中的补 \( D \) , 则 \( G = H \times D \) ,定理得证.
## 习 题
7.2.1. 如果有限群 \( G \) 的每个子群都是特征子群,证明 \( G \) 为循环群.
## §7.3 具有很多正规子群的 \( p \) 群
作为 Hamilton 群的推广, 很多作者研究在某种意义上来说具有 “很多” 正规子群的有限 \( p \) 群. 本节我们介绍 Passman 的工作. 其它相关的工作见第 12 |
1267_[姜伯驹] 同调论 | 定义 1.2 | 定义 1.2 设 \( f : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 是空间偶的映射. 链映射 \( {f}_{\# } : {S}_{ * }\left( X\right) \rightarrow {S}_{ * }\left( Y\right) \) 把子链复形 \( {S}_{ * }\left( A\right) \) 映入 \( {S}_{ * }\left( B\right) \) ,在商群上诱导的同态 \( \left\{ {{f}_{\# } : {S}_{q}\left( {X, A}\right) \rightarrow {S}_{q}\left( {Y, B}\right) }\right\} \) 仍与边缘算子可交换,称为 \( f : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 所诱导的相对链映射 \( {f}_{\# } : {S}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow {S}_{ * }\left( {Y, B}\right) \) . 映射 \( f : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 所诱导的相对同调的同态 \( {f}_{ * } : {H}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow \) \( {H}_{ * }\left( {Y, B}\right) \) ,就是指链映射 \( {f}_{\# } : {S}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow {S}_{ * }\left( {Y, B}\right) \) 所诱导的同调同态 \( {\left( {f}_{\# }\right) }_{ * } : {H}_{ * }\left( {{S}_{ * }\left( {X, A}\right) }\right) \rightarrow {H}_{ * }\left( {{S}_{ * }\left( {Y, B}\right) }\right) \) .
这样, 我们得到从拓扑空间偶的范畴到链复形的范畴的相对链函子 \( {S}_{ * } \) : \{空间偶,映射\} \( \rightarrow \) \{链复形,链映射 \} 和到分次 Abel 群范畴的相对同调函子 \( {H}_{ * } : \{ \) 空间偶,映射 \( \} \rightarrow \{ \) 分次群,同态 \( \} \) .
单个的拓扑空间 \( X \) 也可以看成一个空间偶 \( \left( {X,\varnothing }\right) \) ,所以空间的范畴 \{空间, 映射\} 可以看成空间偶范畴 \{空间偶, 映射\} 的子范畴. 我们现在做的, 就是把奇异链、奇异同调等等从空间推广到空间偶.
注记 1.1 相对链复形 \( {S}_{ * }\left( {X, A}\right) \) 的基是集合 \( \{ X \) 中奇异单形 \( \} \) 减去 \( \{ A \) 中奇异单形 \( \} \) ,所以一个链 \( {\bar{c}}_{q} \in {S}_{q}\left( {X, A}\right) \) 也可以看成 \( X \) 上的链,但是忽略 (不去注意) 它在 \( A \) 中奇异单形上的系数. 它在 \( \left( {X, A}\right) \) 的边缘 \( {\partial }^{\left( X, A\right) }{\bar{c}}_{q} \) ,是从它在 \( X \) 上的边缘 \( {\partial }^{X}{\bar{c}}_{q} \) 忽略其在 \( A \) 中奇异单形上的部分而得,所以 \( {\bar{c}}_{q} \) 是相对闭链当且仅当它在 \( X \) 上的边缘 \( {\partial }^{\left( X, A\right) }{\bar{c}}_{q} \) 整个落在 \( A \) 中.
映射 \( f : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 诱导的链映射 \( {f}_{\# } : {S}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow {S}_{ * }\left( {Y, B}\right) \) , 是把链 \( {\bar{c}}_{q} \in {S}_{q}\left( {X, A}\right) \) 先看成 \( X \) 上的链映到 \( Y \) 上的链 \( {f}_{\# }^{X}\left( {\bar{c}}_{q}\right) \) ,然后把其在 \( B \) 中奇异单形上的部分略去.
习题 1.1 设 \( \left( {X, A}\right) \) 是空间偶. 设 \( X = \mathop{\bigcup }\limits_{{\lambda \in \Lambda }}{X}_{\lambda } \) 是 \( X \) 的道路连通支分解, \( {A}_{\lambda } = A \cap {X}_{\lambda } \) . 证明: 有直和分解
\[
{H}_{ * }\left( {X, A}\right) = {\bigoplus }_{\lambda \in \Lambda }{H}_{ * }\left( {{X}_{\lambda },{A}_{\lambda }}\right)
\]
思考题 1.2 在每个维数 \( q \) 有链群的直和分解 \( {S}_{q}\left( X\right) = {S}_{q}\left( A\right) \oplus \) \( {S}_{q}\left( {X, A}\right) \) . 我们能不能说有链复形的直和分解 \( {S}_{ * }\left( X\right) = {S}_{ * }\left( A\right) \oplus {S}_{ * }\left( {X, A}\right) \) 从而有同调群的直和分解 \( {H}_{ * }\left( X\right) = {H}_{ * }\left( A\right) \oplus {H}_{ * }\left( {X, A}\right) \) ?
从以上的定义知道,对于空间偶 \( \left( {X, A}\right) \) 总有链复形的短正合序列
\[
0 \rightarrow {S}_{ * }\left( A\right) \overset{{i}_{\# }}{ \rightarrow }{S}_{ * }\left( X\right) \overset{{j}_{\# }}{ \rightarrow }{S}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow 0,
\]
其中 \( i : A \rightarrow X \) 和 \( j : \left( {X,\varnothing }\right) \rightarrow \left( {X, A}\right) \) 都是含入映射. 对于空间偶的映射 \( f : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 总有链复形与链映射的交换图表
\[
0 \rightarrow {S}_{ * }\left( A\right) \overset{{i}_{\# }}{ \rightarrow }{S}_{ * }\left( X\right) \overset{{j}_{\# }}{ \rightarrow }{S}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow 0
\]
\[
\left\lbrack \begin{array}{lll} {f}_{\# } & {f}_{\# } & {f}_{\# } \end{array}\right\rbrack
\]
\[
0 \rightarrow {S}_{ * }\left( B\right) \overset{{i}_{\# }}{ \rightarrow }{S}_{ * }\left( Y\right) \overset{{j}_{\# }}{ \rightarrow }{S}_{ * }\left( {Y, B}\right) \rightarrow 0
\]
所以我们有
定理 1.2 (空间偶的同调序列) 设 \( \left( {X, A}\right) \) 是空间偶. 则下面的同调序列
\[
\cdots \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( A\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( X\right) \overset{{j}_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( {X, A}\right) \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q - 1}\left( A\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }\cdots
\]
是正合的.
与单个空间不同的是, 对于空间偶的 “简约” 相对同调没有给出新的东西,因为两个商链复形 \( {S}_{ * }\left( X\right) /{S}_{ * }\left( A\right) \) 与 \( {\widetilde{S}}_{ * }\left( X\right) /{\widetilde{S}}_{ * }\left( A\right) \) 完全相同. 把定理 1.2 中的同调群都换成简约同调群, 所得的 “简约同调序列” 仍是正合的. 也就是说, 有
推论 1.3 (空间偶的简约同调序列) 设 \( \left( {X, A}\right) \) 是空间偶. 则有下面的正合同调序列
\[
\cdots \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{\widetilde{H}}_{q}\left( A\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }{\widetilde{H}}_{q}\left( X\right) \overset{{j}_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( {X, A}\right) \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{\widetilde{H}}_{q - 1}\left( A\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }\cdots .
\]
注记 1.4 空间偶同调序列中的边缘同态
\[
{\partial }_{ * } : {H}_{q}\left( {X, A}\right) \rightarrow {H}_{q - 1}\left( A\right)
\]
可以描述如下 (参看图 2.1). 设相对闭链 \( \bar{z} \in {Z}_{q}\left( {X, A}\right) \) 是同调类 \( \left\lbrack \bar{z}\right\rbrack \in \) \( {H}_{q}\left( {X, A}\right) \) 的代表. 则 \( \bar{z} \) 作为 \( \left( {X, A}\right) \) 的奇异链,可以看作 \( X \) 上的奇异链 (在 \( A \) 中奇异单形的系数随便取); 而作为相对闭链,它在 \( X \) 上的边缘 \( {\partial }^{X}\bar{z} \) 必须落在 \( A \) 中. 容易看出 \( {\partial }^{X}\bar{z} \in {Z}_{q - 1}\left( A\right) \) ,因为 \( {\partial }^{A}\left( {{\partial }^{X}\bar{z}}\right) = {\partial }^{X}\left( {{\partial }^{X}\bar{z}}\right) = 0 \) . 同调类 \( \left\lbrack {{\partial }^{X}\bar{z}}\right\rbrack \in {H}_{q - 1}\left( A\right) \) 就是 \( {\partial }_{ * }\left( \left\lbrack \bar{z}\right\rbrack \right) \) .
图 2.1 空间偶同调序列中的边缘同态
例 1.1 设 \( {x}_{0} \) 是空间 \( X \) 的一个点. 则 \( {H}_{ * }\left( {X,{x}_{0}}\right) \cong {\widetilde{H}}_{ * }\left( X\right) \) .
例 1.2 相对同调群
\[
{H}_{q}\left( {{D}^{n},{S}^{n - 1}}\right) \cong {\widetilde{H}}_{q - 1}\left( {S}^{n - 1}\right) \cong \left\{ \begin{array}{ll} \mathbf{Z}, & \text{ 当 }q = n, \\ 0, & \text{ 当 }q \neq n. \end{array}\right.
\]
定理 1.5 (空间偶同调序列的自然性) 设 \( f : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 是空间偶的映射. 则有下面的交换图表:
\[
\cdots \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( A\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( X\right) \overset{{j}_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( {X, A}\right) \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q - 1}\left( A\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }\cdots
\]
\[
\cdots \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( B\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( Y\right) \overset{{j}_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q}\left( {Y, B}\right) \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q - 1}\left( B\right) \overset{{i}_{ * }}{ \rightarrow }.
\]
定理 1.6 (同伦不变性) 同伦的映射 \( f \simeq g : \left( {X, A}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 诱导相同的同调同态 \( {f}_{ * } = {g}_{ * } : {H}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow {H}_{ * }\left( {Y, B}\right) \) .
证明 设 \( F : \left( {X \times I, A \times I}\right) \rightarrow \left( {Y, B}\right) \) 是联结 \( f, g \) 的同伦. 请读者重温上一章定理 3.8 的证明, 把它相对化. 关键的地方是, 当时在 (B) 段中构作的链同伦 \( P : {S}_{q}\left( X\right) \rightarrow {S}_{q + 1}\left( {X \times I}\right) \) 同时把 \( {S}_{q}\left( A\right) \) 映入 \( {S}_{q + 1}\left( {A \times I}\right) \) ,所以给出相对链同伦 \( P : {\iota }_{0\# } \simeq {\iota }_{1\# } : {S}_{ * }\left( {X, A}\right) \rightarrow \) \( {S}_{ * }\left( {X \times I, A \times I}\right) \) .
推论 1.7 (同伦型不变性) 设拓扑空间偶 \( \left( {X, A}\right) \) 与 \( \left( {Y, B}\right) \) 有相同的同伦型, \( \left( {X, A}\right) \simeq \left( {Y, B}\right) \) . 则它们的相对同调群同构, \( {H}_{ * }\left( {X, A}\right) \cong \) \( {H}_{ * }\left( {Y, B}\right) \) .
## 1.2 切除定理
定理 1.8 (切除定理) 设 \( \left( {X, A}\right) \) 是空间偶,子集 \( W \subset A \) 使 \( \bar{W} \subset \operatorname{Int}A \) . 则含入映射 \( i : \left( {X - W, A - W}\right) \rightarrow \left( {X, A}\right) \) 诱导相对同调群的同构
\[
{i}_{ * } : {H}_{ * }\left( {X - W, A - W}\right) \overset{ \cong }{ \rightarrow }{H}_{ * }\left( {X, A}\right) .
\]
定理的名称可以从图 2.2 去体会: 从 \( X \) 与 \( A \) 中同时把 \( W \) 切去. 其实,换一个角度,这定理是下面定理的推论. (把 \( X - W \) 改写成 \( {X}_{1} \) ,把 \( A \) 改写成 \( {X}_{2} \) ,则 \( \operatorname{Int}{X}_{1} \cup \operatorname{Int}{X}_{2} = X \) ,所以根据上一章定理 \( {3.13},\left\{ {{X}_{1},{X}_{2}}\right\} \) 是 Mayer-Vietoris 耦.)
图 2.2 切除定理
定理 1.9 设 \( {X}_{1},{X}_{2} \) 是 \( X \) 的子空间. 那么, \( \left\{ {{X}_{1},{X}_{2}}\right\} \) 是 Mayer-Vietoris 耦的充分必要条件是,含入映射 \( i : \left( {{X}_{1},{X}_{1} \cap {X}_{2}}\right) \rightarrow \left( {{X}_{1} \cup }\right. \) \( \left. {{X}_{2},{X}_{2}}\right) \) 诱导相对同调群的同构
\[
{i}_{ * } : {H}_{ * }\left( {{X}_{1},{X}_{1} \cap {X}_{2}}\right) \overset{ \cong }{ \rightarrow }{H}_{ * }\left( {{X}_{1} \cup {X}_{2},{X}_{2}}\right) .
\]
证明 为排版方便起见,记 \( {S}_{ + }\left( X\right) \mathrel{\text{:=}} {S}_{ * }\left( {X}_{1}\right) + {S}_{ * }\left( {X}_{2}\right) \) . 注意,商链复形 \( {S}_{ + }\left( X\right) /{S}_{ * }\left( {X}_{2}\right) = {S}_{ * }\left( {X}_{1}\right) /{S}_{ * }\left( {X}_{1}\right) \cap {S}_{ * }\left( {X}_{2}\right) = {S}_{ * }\left( {X}_{1}\right) /{S}_{ * }\left( {{X}_{1} \cap }\right. \) \( \left. {X}_{2}\right) = {S}_{ * }\left( {{X}_{1},{X}_{1} \cap {X}_{2}}\right) \) . 在链复形偶 \( \left( {{S}_{ + }\left( X\right) ,{S}_{ * }\left( {X}_{2}\right) }\right) \) 的正合同调序列中作这个替换, 我们得到正合序列的交换图表
\[
\rightarrow {H}_{q}\left( {X}_{2}\right) \rightarrow {H}_{q}\left( {{S}_{ + }\left( X\right) }\right) \rightarrow {H}_{q}\left( {{X}_{1},{X}_{1} \cap {X}_{2}}\right) \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q - 1}\left( {X}_{2}\right) \rightarrow
\]
\[
\rightarrow {H}_{q}\left( {X}_{2}\right) \rightarrow {H}_{q}\left( {{X}_{1} \cup {X}_{2}}\right) \rightarrow {H}_{q}\left( {{X}_{1} \cup {X}_{2},{X}_{2}}\right) \overset{{\partial }_{ * }}{ \rightarrow }{H}_{q - 1}\left( {X}_{2}\right) \rightarrow
\]
其中没有标记的箭头都是含入映射所诱导. 然后用 “五引理” 就得到本定理的 |
End of preview. Expand
in Dataset Viewer.
README.md exists but content is empty.
Use the Edit dataset card button to edit it.
- Downloads last month
- 41