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[ { "content": "　二つの解を $pi$ および $qi$ とすれば, $p,q$ は $x$ の二次方程式\r\n$$(x-4)^2=16-n$$\r\nの $2$ 解である. したがって, これが相異なる二つの実数解をもつことが必要十分条件で, これは $n\\lt 16$ と同値である. 以上より, 求める総和は $1+2+\\cdots+15=\\textbf{120}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/editorial/239" } ]

[ { "content": "　 $\\ell$ を固定して, $f$ を与える光源の位置を $A_M$, $g$ を与える光源の位置を $A_m$, 棒の上端を $B$, $R$ から鉛直方向に高さ $30$ メートルの点（壁の上端）を $C$, 点 $A_m$ に光源を置いたときに $W$ に映る点 $B$ の影の位置を $K$ とする. 点 $A_M$ に光源を置いたときに $W$ に映る点 $B$ の影の位置は $R$ であるから, 棒の長さによらず三角形 $A_MA_mB$ と $RKB$ は相似であり, これより以下のように評価できる. 逆に明らかに等号は実現可能で, これが求める最大値である.\r\n$$f(\\ell)-g(\\ell)=A_MA_m=\\dfrac{PQ}{QR}\\times RK=\\dfrac{2}{3}RK=\\dfrac{2}{3}RK\\leq\\dfrac{2}{3}RC=\\textbf{20}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/editorial/1371" } ]

[ { "content": "　求める総和を $S$ とすれば, 以下の等式が成立することが容易にわかる.\r\n$$\\left(\\sum_{n=1}^{10}n\\right)^3=6S+3\\left(\\sum_{n=1}^{10}n\\right)\\left(\\sum_{n=1}^{10}n^2\\right)-2\\sum_{n=1}^{10}n^3$$\r\nこれより, $S=\\textbf{18150}$ と計算できる.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/editorial/241" } ]

[ { "content": "　$a\\leq c\\leq a$ がわかるから, 特に等号が成立する. すなわち条件は \r\n$$b\\leq d\\leq 1000-a$$\r\nここで $a$ を固定し, $k=1000-a$ とおきなおせば, 組 $(b,d)$ としてあり得るものは $\\dfrac{k^2+k}{2}$ 個であることが容易にわかるから, 求める場合の数は\r\n$$ \\sum_{k=1}^{999}\\dfrac{k^2+k}{2}=\\dfrac{999\\times1000\\times1001}{6}=\\textbf{166666500}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/editorial/255" } ]

[ { "content": "　$(1+x)^n(1+x)^n(1+x)^n=(1+x)^{3n}$ について, 両辺で $x^n$ の係数を比較することで以下を得る：\r\n$$\\sum_{p+q+r=n}\\binom{n}{p}\\binom{n}{q}\\binom{n}{r}=\\binom{3n}{n}$$\r\n一方で, 以下の等式が成立することがわかる：\r\n$$\\frac{1}{p!q!r!(p+q)!(q+r)!(r+p)!}=\\frac{1}{(10!)^3}\\binom{10}{p}\\binom{10}{q}\\binom{10}{r}$$\r\nしたがって, $S$ について以下のように計算でき, 特に解答すべき値は $\\textbf{95381}$ である.\r\n$$S=\\frac{1}{(10!)^3}\\binom{30}{10}=\\frac{30!}{(10!)^4\\times 20!}=\\frac{11\\times13\\times23\\times29}{2^{24}\\times3^{10}\\times5^5\\times7^2}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/editorial/1694" } ]

[ { "content": "　$\\angle AXC=90^\\circ$ より点 $X$ は正方形 $ABCD$ の外接円の劣弧 $AB$ 上を動く. これより\r\n$$\\angle AXD=\\angle ABD=45^\\circ=\\angle AXZ$$\r\nであるから $D,Z,X$ は同一直線上にあり, さらに $A$ と $Y$ はこの直線に関して対称である. したがって,\r\n\r\n- $DA=DY$ より, 点 $Y$ は $D$ を中心とし $A,C$ を通る円の劣弧 $AC$ 上 (曲線 $K$ とする) を動く.\r\n- $\\angle AZD=135^\\circ$ より, 点 $Z$ は正方形 $ABCD$ の外接円の劣弧 $AD$ と $AD$ に関して対称な曲線 $L$ 上を動く.\r\n\r\n　特に考えるべき領域 $S$ は, 曲線 $K,L$ および対角線 $BD$ で囲まれた部分である. ここで, $K$ および二本の対角線で囲まれた領域と, $L$ と辺 $AD$ に囲まれた領域は面積が等しいことから, $S$ の面積は正方形 $ABCD$ の $4$ 分の $1$ に等しく, 解答すべき値は $2021+4=\\textbf{2025}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/editorial/295" }, { "content": "　 $A,B,C,D$ はこの順に反時計回りに並んでいるものとし，この正方形の対角線の交点を $O$ とする．\\\r\n $\\angle{AXC}=90^\\circ$ より， $X$ の軌跡 $J$ は正方形 $ABCD$ の外接円の劣弧 $AB$ の部分．\\\r\nここで， $A$ を中心に反時計回りに $45^\\circ$ 回転させ， $\\sqrt{2}$ 倍拡大する変換を $f$ とし， $A$ を中心に反時計回りに $90^\\circ$ 回転させる変換を $g$ とすれば， $f(X)=Y,g(X)=Z$ なので， $Y$ の軌跡 $K$ および $Z$ の軌跡 $L$ は $f(J)$ および $g(J)$ に他ならない．\\\r\n　以上より求める面積は $K,L,BD$ で囲まれた部分であり， $K$ と $AC$ で囲まれた部分と $L$ と $AD$ で囲まれた部分は相似比が $\\sqrt{2}:1$ の相似な図形であるから面積比は $2:1$ であり， $K$ と $AC$ と $BD$ で囲まれた部分と $L$ と $AD$ で囲まれた部分の面積は等しいので，求める面積は三角形 $OAD$ の面積 $\\dfrac{2021}{4}$ に等しい．\\\r\nよって，解答すべき値は $\\textbf{2025}$", "text": "回転拡大を意識する", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc045/editorial/295/75" } ]

[ { "content": "　ある点について, 距離が $1$ 以上の点が少なくとも $3$ つ存在すると, 条件よりこれらの $3$ 点の間の距離はいずれも $1$ 未満であるが, このときこれら $3$ 点からなる三角形は条件をみたさない. したがって, 各点について距離が $1$ 以上の点は高々 $2$ つであり, 同様にして各点について距離が $1$ 以下の点も高々 $2$ つであるから, これは $n\\leq 5$ を表す. 逆に正五角形を考えることで $n=5$ が適することがわかるから, 求める最大値は $\\textbf{5}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/editorial/1" } ]

[ { "content": "　半直線 $AB$ 上に点 $P$ を $\\angle APC=2\\angle C$ となるようにとり, $Q$ を直線 $AH$ と直線 $PC$ の交点とすると,\r\n$$AP=AC,\\quad AH=HQ$$\r\nが成立する. これより, メネラウスの定理を使うと\r\n$$\\dfrac{BH}{HC}=\\dfrac{2BP}{AP}-1=\\dfrac{AC-2AB}{AC}=\\dfrac{21}{2021}$$\r\nを得るから, 求めるべき値は $a+b=21+2021=\\textbf{2042}$ である. なお, 三角関数を使って解くこともできる.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/editorial/1895" } ]

[ { "content": "　二項定理, $2^{p-1}\\equiv 1\\pmod p$ (Fermatの小定理), $2^{p^2-p}\\equiv 1\\pmod{p^2}$ (Eulerの定理) より, $p^2$ を法として\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{k=0}^{p-1} (kp+2)^{kp+2} &\\equiv \\sum_{k=0}^{p-1} \\left({}\\_{kp+2}{\\rm C}\\_1\\times kp\\times 2^{kp+1}+2^{kp+2}\\right) \\\\\\\\\r\n&\\equiv \\sum\\_{k=0}^{p-1} \\left( k2^{kp+2}p+2^{kp+2} \\right)&\\\\\\\\\r\n&\\equiv \\sum\\_{k=0}^{p-1} \\left( k2^{k+2}p+2^{kp+2} \\right)&\\\\\\\\\r\n&\\equiv 4\\left(2^p p-2^{p+1}+2\\right)p+4\\times \\frac{2^{p^2}-1}{2^p-1}\\\\\\\\\r\n&\\equiv -8p+4\r\n\\end{aligned}$$\r\nと計算できる. したがって $p^2-a=8p-4=\\textbf{8000000052}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/editorial/1983" } ]

[ { "content": "　求める最小値は $1\\/12$ であることを示す. 例えば以下の場合を考えることで $c\\geq 1\\/12$ がわかる. $$ (x,y,z)=\\left(\\frac{3+\\sqrt{3}}{6},\\frac{3-\\sqrt{3}}{6},0 \\right) $$\r\n　$x=y=z=0$ のとき, 不等式は常に成立するから, 以下 $x+y+z\\gt 0$ とする. このとき, 与式は斉次式であることに留意すれば, $x+y+z=1$ の場合に帰着してよい. すなわち, 以下を最大化すればよい.\r\n$$ x^4(1-x)+y^4(1-y)+z^4(1-z) $$\r\n一般性を失わず $x\\geq y\\geq z$ とする. ここで $f(x)=x^4(1-x)$ について, $f^{\\prime\\prime}(x)=4x^2(3-5x)$ より, $f(x)$ は $0\\leq x\\leq 3\\/5$ の範囲で下に凸である. したがって, $y+z\\leq1\\/2\\leq3\\/5$ および $f(0)=0$ に留意すれば, 以下の不等式の成立がわかる：\r\n$$ f(y)+f(z)\\leq f(y+z)=(1-x)^4x$$\r\nさらに以下より, $c=1\\/12$ で常に不等式が成り立つことが示された.\r\n$$ x^4(1-x)+(1-x)x^4=\\frac{1}{3}(3x(1-x))(1-3x(1-x))\\geq \\frac{1}{3}\\times\\frac{1}{4}$$\r\nただし最後で相加・相乗平均の関係を用いた. 以上より, 解答すべき値は $\\textbf{13}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/editorial/1894" } ]

[ { "content": "　直線 $BC$ に対し $A$ と反対側に, 以下をみたす点 $X$ をとると, $XB=XC=9$ である.\r\n$$\\cos\\angle XBC=\\cos\\angle XCB=\\dfrac{8}{9}$$\r\nさらに, 接弦定理より三角形 $ABP$ の外接円と直線 $XB$, 三角形 $AQC$ の外接円と直線 $XC$ はそれぞれ接するから, $X$ は三角形 $ABP$ の外接円および三角形 $AQC$ の外接円の根軸上にある. すなわち $A,R,X$ は同一直線にある.\\\r\n　よって, $RX=x, AB=y$ とおくと, $\\triangle XBE\\sim\\triangle XAB$ より\r\n$$x:9:7=9:(x+12):y$$\r\nこれを解いて以下を得るから, 特に解答すべき値は $\\textbf{37}$ である. \r\n$$x=3\\sqrt{13}-6,\\quad y=\\dfrac{7\\sqrt{13}+14}{3}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/editorial/1890" } ]

[ { "content": "　すべての辺が青く塗られた三角形を**青い三角形**などと呼ぶこととする. ある塗り方について, そのスコアは\r\n$$(青い三角形の組の個数)+(赤い三角形の組の個数)-2\\times(青い三角形と赤い三角形のペアの個数)$$\r\nここで, **青い三角形の組**は順序付いた $2$ つの青い三角形の組を指し, 同じ三角形 $2$ つの選択を許容するものとする.\\\r\n　ここで, 色を考えず三角形 $2$ つを選択したとき, これが辺を共有していないならば色の選択によって上式の各項の寄与が打ち消されることがわかる. 一方で, 辺を共有しているならば (一致を含む), これらが同時に青い三角形と赤い三角形とはならないから, 上式の前の $2$ 項のみが寄与する. よって, 一般に $n$ 角形ですべての塗り方のスコアの**総和** $S_n$ は\r\n$$\\begin{aligned}\r\nS_n&=2\\times\\left(\\frac{{}_n{\\rm P}_4}{2}\\times 2^{n(n-1)\\/2-5}+{}_n{\\rm C}_3\\times 2^{n(n-1)\\/2-3}\\right)\\\\\\\\\r\n&= 2^{n(n-1)\\/2}n(n-1)(n-2) \\left(\\frac{n-3}{32}+\\frac{1}{24}\\right)\\\\\\\\\r\n&= 2^{n(n-1)\\/2}n(n-1)(n-2)\\times\\frac{3n-5}{96}\r\n\\end{aligned}$$\r\nこれより, 特に求める平均は $\\dfrac{1}{96}n(n-1)(n-2)(3n-5)$ であり, 解答すべき値は $\\textbf{2080520642789}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc044/editorial/1891" } ]

[ { "content": "**解法1.**　$B,C$ を固定して $AH$ の長さを最大化する問題と等価である. このとき, $A$ は $BC$ を直径とする円周上を動き, $AH$ すなわち $A$ から $BC$ への距離のとりうる最大値は明らかに $BC\\/2$ である.\\\r\n　したがって, 元の問題において求める最小値は $18$ である.\r\n\r\n**解法2.**　$\\triangle ABH$ と $\\triangle CAH$ の相似より ${AH}^2=BH\\times CH$ が成立するから, 相加・相乗平均の関係より \r\n$$BC = BH + CH \\ge 2 \\sqrt{ BH \\times CH } = 2 AH = 18$$\r\n逆に $AB=AC$ のとき $BC=18$ を実現するから, 結局 $\\textbf{18}$ が求める最小値である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc043/editorial/1264" } ]

[ { "content": "　最初に表が出たとき, 次は必ず裏であることに留意すれば, 以下の漸化式を容易に得る.\r\n$$p_{n}=\\dfrac{1}{2}p_{n-1}+\\dfrac{1}{4}p_{n-2}$$\r\n特に $q_{n}=2^{n}p_{n}$ はFibonacci数列をなす. $q_1=2,q_2=3$ から計算すれば,\r\n$$\\cdots\\gt p_{11}=\\dfrac{233}{2048}\\gt 0.1\\gt p_{12}=\\dfrac{377}{4096}\\gt\\cdots$$\r\nより, 求める最小値は $\\textbf{12}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc043/editorial/197" } ]

[ { "content": "　$C$ が極小値をとる点は $(1,-2)$, 変曲点は $(0,0)$ である. それぞれでの $C$ の接線は $y=-2,y=-3x$ であり, これらは点 $(2\\/3,-2)$ で交わることに留意する. まず $C$ と $\\ell_1$ で囲まれた領域の面積について\r\n$$\\int_{-2}^{1}((x^3-3x)-(-2))dx=\\int_{-2}^{1}(x+2)(x-1)^2dx=\\dfrac{(1-(-2))^4}{12}=\\dfrac{27}{4}$$\r\n一方で, これの $\\ell_2$ に関する分割について, $(1,-2)$ を含む方の面積を求めると\r\n$$\\int_{0}^{1}((x^3-3x)-(-2))dx-\\dfrac{1}{2}\\times 2\\times \\dfrac{2}{3}=\\dfrac{3}{4}-\\frac{2}{3}=\\dfrac{1}{12}$$\r\nよって求める面積比は $80:1$ であり, 解答すべき値は $\\textbf{81}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc043/editorial/1705" } ]

[ { "content": "　$10^i$ の位 $(i=0,\\cdots,19)$ が $t$ であるような $10^{20}-1$ 以下の正整数の総和を $S(t,i)$ とおくと,\r\n$$\\begin{aligned}\r\n S(t,i) &= (0+1+\\cdots+9)(1+10+\\cdots+10^{i-1}+10^{i+1}+\\cdots+10^{19})\\times 10^{18}+10^{i}t\\times 10^{19} \\\\\\\\ \r\n &= 45\\left(\\frac{1}{9}(10^{20}-1)-10^i\\right)\\times 10^{18}+10^{i+19}t \\\\\\\\\r\n &= 5(10^{20}-1)10^{18}+(10t-45)10^{i+18}\r\n\\end{aligned}$$\r\nよって以下のように計算でき, その桁和は $\\textbf{129}$ である.\r\n$$\\begin{aligned}\r\n\\sum_{n=1}^{10^{20}-1}nf(n)&=\r\n\\sum_{t=0}^{9} \\sum_{i=0}^{19} t\\times S(t,i) \\\\\\\\\r\n&= \\sum_{t=0}^{9}\\left(5t\\times 20(10^{20}-1)10^{18}+\\frac{1}{9}t(10t-45)(10^{20}-1)10^{18}\\right) \\\\\\\\\r\n&=\\frac{25}{3}\\times 551(10^{20}-1)10^{18} \\\\\\\\\r\n&=4591\\overbrace{66\\cdots66}^{16\\text{個}}2075\\times 10^{18}\r\n\\end{aligned}$$\r\n\r\n　ちなみに, 一般に正整数 $a$ に対し同様に以下が成立する.\r\n$$\\sum_{n=1}^{10^{a}-1}nf(n)=\\frac{25}{3}(27a+11)(10^a-1)10^{a-2}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc043/editorial/218" } ]

[ { "content": "　$2$ 回用いる文字が $2$ 個あるか, $3$ 回用いる文字が $1$ 個あるかのいずれかである.\\\r\n　前者のとき, 例えば $A,A,C,C,G,N$ の並び替えは $6\\times5\\times_4\\mathrm{C}_2=180$ 通りであり, $2$ 回用いる文字の選び方が $_4\\mathrm{C}_2=6$ 通りであるので, 全体では $180\\times6=1080$通りである.\\\r\n　後者のとき, 例えば $A,A,A,C,G,N$ の並び替えは $6\\times5\\times4=120$ 通りであり, $3$ 回用いる文字の選び方が $4$ 通りであるので, 全体では $120\\times4=480$ 通りである.\\\r\n　以上より, 求める場合の数は $1080+480=\\textbf{1560}$ 通りである.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/editorial/1699" }, { "content": "　包除原理より，求める場合の数は $4^6-4\\times3^6+6\\times2^6-4=\\textbf{1560}$", "text": "包除原理", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/editorial/1699/121" } ]

[ { "content": "$$N^3=A^3+B^3+C^3={(111\\cdots11)}^3\\times(3^3+4^3+5^3)={(111\\cdots11)}^3\\times216$$\r\nより, $N=\\overbrace{666\\cdots66}^{10^{100}-1個}$ である. したがって,\r\n$$S=6\\times(10^{100}-1)=6\\overbrace{000\\cdots00}^{100個}-6=5\\overbrace{999\\cdots99}^{99個}4$$\r\nであるから, $T=5+9\\times99+4=\\textbf{900}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/editorial/1700" } ]

[ { "content": "$$\\triangle LMN=\\triangle PRT=\\triangle ABC-3\\times\\triangle ATR=1-\\frac{3\\times20\\times(20+21)}{(20+21+20)^2}=\\frac{1261}{3721}$$\r\nより, 求める値は $1261+3721=\\textbf{4982}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/editorial/1789" } ]

[ { "content": "$$2520^3=(2^3\\times3^2\\times5\\times7)^3=2^9\\times3^6\\times5^3\\times7^3$$\r\nであるから, $a$ を $9$ 以下の非負整数, $b,c$ を $3$ 以下の非負整数として,\r\n\r\n- $2520^3$ の正の約数のうち, $3$で割って $1$ 余るものは $2^a\\times5^b\\times7^c\\ $($a,b$ の偶奇が一致) の形.\r\n- $2520^3$ の正の約数のうち, $3$で割って $2$ 余るものは $2^a\\times5^b\\times7^c\\ $($a,b$ の偶奇が異なる) の形.\r\n\r\nよって, $S-T$ は以下の式で求められる (実際に展開してみたときの様子を想像せよ).\r\n$$\\begin{aligned}\r\nS-T &=(2^0-2^1+\\cdots+2^8-2^9)\\times(5^0-5^1+5^2-5^3)\\times(7^0+7^1+7^2+7^3) \\\\\\\\\r\n&= \\frac{1-2^{10}}{1-(-2)}\\times\\frac{1-5^{4}}{1-(-5)}\\times\\frac{1-7^{4}}{1-7}\\\\\\\\\r\n&=(-341)\\times(-104)\\times400 \\\\\\\\\r\n&=\\textbf{14185600}\r\n\\end{aligned}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/editorial/1701" } ]

[ { "content": "　$p=33333331$ とおき, 合同式の法は以下すべて $p$ とする. Fermatの小定理より, 求めるべき総和は\r\n$$S\\equiv(1\\times2\\times3\\times4)^{-1}+(2\\times3\\times4\\times5)^{-1}+\\cdots+((p-4)(p-3)(p-2)(p-1))^{-1}$$\r\nここで, 部分分数分解の要領で以下が成立することに留意する：\r\n$$(k(k+1)(k+2)(k+3))^{-1}\\equiv3^{-1}((k(k+1)(k+2))^{-1}-((k+1)(k+2)(k+3))^{-1})$$\r\nこれを用いて望遠鏡和の形式に表すことで,\r\n$$\\begin{aligned}\r\nS&\\equiv3^{-1}((1\\times2\\times3)^{-1}-((p-3)(p-2)(p-1))^{-1})\\\\\\\\\r\n&\\equiv3^{-1}(6^{-1}-(-6)^{-1})\\\\\\\\\r\n&\\equiv9^{-1}\\equiv\\textbf{7407407}\r\n\\end{aligned}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/editorial/1790" } ]

[ { "content": "　以下のように文字をおけば, 条件より $a+c=100,b+d=111,ef=2468$ である.\r\n$$AB=a,\\quad BC=b,\\quad CD=c,\\quad DA=d,\\quad AC=e,\\quad BD=f$$\r\nここで $\\Gamma$ において, 劣弧 $AB$ と劣弧 $CD$ の円周角の和は直角であることなどから, $\\Gamma$ の半径を $R$ とすれば\r\n$$a^2+c^2=(2R)^2=b^2+d^2$$\r\n一方でPtolemyの定理より $ac+bd=ef$ であるから,\r\n$$8R^2=a^2+b^2+c^2+d^2=(a+c)^2+(b+d)^2-2ef=17385$$\r\nよって求める面積は $R^2\\pi$ であることから, 解答すべき値は $\\textbf{17393}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc042/editorial/1702" } ]

[ { "content": "　日章の直径は $100×2\\/3×3\\/5=40\\\\,[\\text{cm}]$ であるから, 日章の面積は $20×20×π=400π\\\\,[\\text{cm}^{2}]$である。ここで $3.1415\\lt\\pi\\lt3.1416$ より $1256.6\\lt S\\lt 1256.64$ が成立するから, 解答すべき値は $\\textbf{1257}$ である。", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc041/editorial/1578" } ]

[ { "content": "　相加・相乗平均の関係より $p+q+r\\geq 3\\sqrt[3]{pqr}=147$ であり, 等号は $p=q=r=49$ でのみ成立することから, $p+q+r\\geq 148$ である. さらに $p+q+r=148$ とすると, $p,q,r$ の少なくとも一つは $2$ であり, このとき大小関係をみたさないことが容易にわかる.\\\r\n　逆に $(p,q,r)=(43,53,53)$ のとき $pqr\\geq 7^6$ かつ $p+q+r=149$ であり, 求める最小値は $\\textbf{149}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc041/editorial/1579" } ]

[ { "content": "　条件をみたす塗り方について, すべての色を反転させてもやはり条件をみたすことから, 二つ目の条件は「左端のタイルは赤色に塗られている」と置き換えてもよい. このとき, 隣り合う $2$ 枚のタイルの組 $15$ 個から任意に $4$ 個を選ぶことで, 条件をみたす塗り方がそれぞれ唯一つ定まるから, 解答すべき値は ${}\\_{15}\\mathrm{C}\\_{4}=\\textbf{1365}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc041/editorial/1580" } ]

[ { "content": "　条件より, 正整数 $n$ によって $x+1\\/x=2n$ と表せば, $x=n\\pm\\sqrt{n^2-1}$ である.\\\r\n　$x=n+\\sqrt{n^2-1}$ のとき, $n-1\\leq\\sqrt{n^2-1}\\lt n$ より条件は\r\n$$ (n-1)+0.08 \\leq \\sqrt{n^2-1} \\lt (n-1)+0.09 \\implies 1.0\\lt n\\lt1.9 $$\r\n　$x=n-\\sqrt{n^2-1}$ のとき, 上と同様に $x\\leq 1$ がわかるから, 条件は\r\n$$n-0.09\\lt \\sqrt{n^2-1}\\leq n-0.08 \\implies 5.6\\lt n\\lt 6.3$$\r\nこれより $n=6$ のみが適し, このとき $x=6-\\sqrt{35}$ である.\\\r\n　以上より, 解答すべき値は特に $\\textbf{41}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc041/editorial/1299" } ]

[ { "content": "　$10^{10}$ は正の約数を $121$ 個持つ. $d$ が約数ならば $10^{10}\\/d$ も約数であり, $10^{10}$ は平方数であることに留意すれば, その正の約数の総積は $(10^{10})^{60}\\times10^{5}=10^{605}$ であり, これは $2$ で $\\textbf{605}$ 回割り切れる.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/editorial/242" } ]

[ { "content": "　$P,X$ の位置ベクトルを $p,x$ などと表せば, 操作 $f_X$ は $p$ を $-p+2x$ に移す. したがって, 例えば $f_A,f_B,f_C,\\cdots$ の順に施せば $p$ は\r\n$$p\\mapsto -p+2a\\mapsto p-2a+2b\\mapsto -p+2a-2b+2c\\mapsto\\cdots$$\r\nと遷移する. これに留意すれば, 条件は各操作を奇数番目と偶数番目に一度ずつ施すことと同値である. したがって, 求める場合の数は $(5!)^2=\\textbf{14400}$ 通りである.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/editorial/245" } ]

[ { "content": "　対角線の交点を $E$ とすれば, $BCE$ と $CDE$ は相似な直角三角形である. したがって, $BE=x,DE=y$ とおけば $CE=\\sqrt{xy},AE=x+y-\\sqrt{xy}$ であるから, 三角形 $ADE$ において三平方の定理より\r\n$$(x+y-\\sqtt{xy})^2+y^2=(x+y)^2$$\r\nこれを整理して $y=4x$ を得る. 一方で三角形 $ABE$ に着目すれば, $AP=5x\\/3$ が容易にわかるから. $x=6$ である. 以上より, 求める面積は $AC\\times BD\\/2=\\textbf{450}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/editorial/246" } ]

[ { "content": "　$e=a\\/3,f=c\\/3$ とおけば, 条件は $x$ の方程式\r\n$$f(x)=x^5+ex^4+bx^3+3x^2+fx+d=0$$\r\nの複素数解の絶対値がすべて $1$ であることと同値である. ここで $f$ は奇数次であることから, (重複度込みで) 実数根を奇数個もつから, $f$ は $x\\pm1$ の一方で奇数回割れる. また虚数 $\\alpha$ が根であるとき, $\\overline \\alpha=\\alpha^{-1}$ も根であり, $f$ は\r\n$$(x-\\alpha)(x-\\overline \\alpha)=x^2-2\\mathrm{Re}(\\alpha)+1$$\r\nで割り切れる. 特に $d=\\pm1$ である.\\\r\n　$f(x)$ が $x-1$ で奇数回割り切れるとき, $d=-1$ であり, $\\alpha$ が根ならば $\\alpha^{-1}$ も根であることから\r\n$$x^5f\\left(\\displaystyle\\frac 1x\\right)=-f(x)$$\r\nこれより係数を比較して $b=-3,f=-e$ であり,\r\n$$f(x)=(x-1)(x^4+(e+1)x^3+(e-2)x^2+(e+1)x+1)$$\r\nここで $t=x+1\\/x$ とおけば, $t^2+(e+1)t+e-4=0$ を考えることになる. これが $|t|\\leq 2$ なる実数解のみをもつことが必要十分条件であることが容易にわかるが, 解の配置問題を解けばそのような $e$ は存在しない.\\\r\n　$f(x)$ が $x+1$ で奇数回割り切れるときも同様に, $b=3,d=1,e=f$ より\r\n$$f(x)=(x+1)(x^4+(e-1)x^3-(e-4)x^2+(e-1)x+1)$$\r\nで, $t$ の方程式 $t^2+(e-1)t-e+2=0$ を考えることに帰着される. 同様に解の配置問題を解けば,\r\n$$\\dfrac{5}{3}\\lt 2\\sqrt{2}-1\\leq e \\leq\\dfrac{8}{3}$$\r\nこれより $a=3e$ としてあり得るものは $6,7,8$ であり, それぞれについて\r\n$$(a,b,c,d)=(6,3,6,1),(7,3,7,1),(8,3,8,1)$$\r\n　以上より, 求める総積は $108\\times 147\\times 192=\\textbf{3048192}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/editorial/267" } ]

[ { "content": "　残り $2$ 数が $p\\lt q$ であるとすると, 明らかに先に $q$ を取るべきであることに留意せよ.\\\r\n　一般に $2000$ を $2n(\\geq 4)$ とおき, $2n-2$ を先に取った方が必勝であることを示す. すなわち, $m=2n-2$ のとき $X=A$, そうでないとき $X=B$ とし, $Y$ を $X$ でない方とすれば, $X$ が必勝であることを示す. $X$ は残り $2$ 数までは以下の戦略を取るものとする.\r\n\r\n- 残りの数のうち $2n-2$ 以下で最大のものを選ぶ.\r\n\r\n(i) $Y$ が $2n-1,2n$ のいずれをも取らないとき, $M_X\\gt M_Y$ および $(p,q)=(2n-1,2n)$ に留意すれば\r\n$$pM_X-qM_Y\\geq(2n-1)(2n-2)-2n(2n-3)=2\\gt0$$\r\nより $X$ の必勝である. \r\n\r\n(ii) $Y$ が $2n-1,2n$ からちょうど一つを取るとき, $M_X\\lt M_Y$ および $p\\leq n-1,q\\geq 2n-1$ に留意すれば\r\n$$qm_X-pm_Y\\geq(2n-1)(2n-2)-(n-1)\\times2n=2(n-1)^2\\gt 0$$\r\nより $X$ の必勝である.\r\n\r\n(iii) $Y$ が $2n-1,2n$ の両方を取るとき, $M_X\\lt M_Y$ および $p\\lt q\\lt n$ に留意すれば\r\n$$qM_X-pM_Y\\geq q(2n-2)-(q-1)\\times2n=2(n-q)\\gt0$$\r\nより $X$ の必勝である. \r\n\r\n　以上より, 求める総和は以下のように計算できる.\r\n$$\\sum_{m=1}^{2000}f(m)=\\sum_{m=1}^{2000}m-2\\times1998=\\textbf{1997004}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/editorial/253" } ]

[ { "content": "　$x$ の二次方程式 $x^2-x-N=0$ は相異なる二つの実数解をもつから, それらを $\\alpha\\gt\\beta$ とすれば, 以下が成立することがわかる. ただし, 解と係数の関係より $\\alpha+\\beta=1$ であることを用いた.\r\n$$a_n=\\dfrac{\\alpha^n-\\beta^n}{\\alpha-\\beta}$$\r\n----\r\n**補題1.**　$a_{n+m}=a_{n}a_{m+1}+Na_{n-1}a_{m}$.\\\r\n**証明.**　$\\alpha\\beta=-N$ に留意すれば, straightforwardな式変形である.\r\n----\r\n**補題2.**　$a_{n}$ と $a_{n+1}$ は互いに素である.\\\r\n**証明.**　$a_{n}$ は常に $N$ と互いに素であることに留意すれば, 帰納的に示される.\r\n----\r\n**補題3.**　$\\textrm{gcd}(a_{n},a_{m})=a_{\\textrm{gcd}(n,m)}$ である. 特に $n\\mid m\\implies a_n\\mid a_m$ である.\\\r\n**証明.**　補題2に留意すれば, Euclidの互除法の要領で補題1を順次適用することで示される.\r\n----\r\n**補題4.**　正整数が素数 $p$ で割り切れる回数を $v_p$ で表す. $a_n$ が $p$ で割り切れるとき, 任意の $m$ について\r\n$$v_p(a_{nm})=v_p(a_n)+v_p(m)$$\r\nただし, $p=2$ のときは $a_n$ が $4$ で割り切れることを要請するものとする.\r\n\r\n**証明.**　まず $m=p\\neq 2$ の場合に示す. $b=v_p(a_n)$ について $a_n=cp^{b}$ とすれば,\r\n$$\\begin{aligned}\r\na_{np} &=\\frac{\\alpha ^{np} -\\beta ^{np}}{\\alpha -\\beta } \\\\\\\\\r\n&=\\frac{\\alpha ^{np} -\\left( \\alpha ^{n} -\\alpha ^{n} +\\beta ^{n}\\right)^{p}}{\\alpha -\\beta }\\\\\\\\\r\n&=\\frac{\\alpha ^{np} -\\left( \\alpha ^{n} -cp^{b}( \\alpha -\\beta )\\right)^{p}}{\\alpha -\\beta }\\\\\\\\\r\n&={}\\_{p}\\mathrm{C}\\_{1}cp^{b} \\alpha ^{n( p-1)} - {}\\_p\\mathrm{C}\\_{2} c^2p^{2b} \\alpha ^{n( p-2)}( \\alpha -\\beta ) +\\cdots+c^{p} p^{bp}( \\alpha -\\beta )^{p-1}\r\n\\end{aligned}$$\r\n$\\alpha$ と $\\beta$ を入れ替えても成立するから, それらを辺々足し合わせることで\r\n$$2a_{np} ={}\\_{p}\\mathrm{C}\\_{1} cp^{b}\\left( \\alpha ^{n( p-1)} +\\beta ^{n( p-1)}\\right) +{}\\_{p}\\mathrm{C}\\_{3} c^{3} p^{3b}\\left( \\alpha ^{n( p-3)} +\\beta ^{n( p-3)}\\right)( \\alpha -\\beta )^{2} +\\cdots+2c^{p} p^{bp}( \\alpha -\\beta )^{p-1}$$\r\n　ここで $d_{k} =\\alpha ^{k} +\\beta ^{k}=\\dfrac{a_{2k}}{a_k}$ および $e_k=(\\alpha-\\beta)^{2k}=(1+4N)^{k}$ はともに整数であり,\r\n$${d\\_{k}}^{2} =e_{1} {a\\_{k}}^{2} +4(-N)^{k}$$\r\n仮定 $p\\mid a_n$ より $N$ は $p$ で割り切れないから, $p\\mid a_k$ ならば $d_k$ は $p$ で割り切れない. 上式は\r\n$$2a_{np} ={}\\_{p}\\mathrm{C}\\_{1} cp^{b} d_{n( p-1)} +{}\\_{p}\\mathrm{C}\\_{3} c^{3} p^{3b} d_{n( p-3)} e_{1} +...+2c^{p} p^{bp} e_{\\frac{p-1}{2}}$$\r\nと書き換えられる. $3b\\geq b+2$ より ${}\\_{p} \\mathrm{C}\\_{3} c^{3} p^{3b} d_{n( p-3)} e_{1} +...+2c^{p} p^{bp} e_{\\frac{p-1}{2}}$ は $p$ で $b+2$ 回以上割り切れる一方で, ${}\\_{p}\\mathrm{C}\\_{1} cp^{b} d_{n( p-1)}$ は $p$ で $b+1$ 回しか割り切れないから, $v_{p}( a_{np}) =v_{p}( a_{n}) +1$ が成立する.\\\r\n　$m=p=2$ のとき, 上と同様に $N$ は奇数であり, $e_{1} {a_{n}}^{2} +4(-N)^{n}$ が $2$ でちょうど $2$ 回割り切れることから $d_n$ は $2$ でちょうど $1$ 回割り切れる. よって $v_{2}( a_{2n})=v_2(a_nd_n)=v_{2}( a_{n})+1$ がやはり成立する.\\\r\n　　続いて, $m$ が $p$ で割り切れないとし, $v_p(a_{nm})\\gt v_p(a_n)$ であると仮定する.このとき, $a_{\\gcd{(nm,np)}}=a_n$ である一方で, 以下より矛盾する. すなわち, $v_p(a_{nm})=v_p(a_n)+v_p(m)$ がここでも成立する.\r\n$$v_p(\\gcd(a_{nm},a_{np}))=\\min(v_p(a_{nm}),v_p(a_{np}))\\gt v_p(a_n)$$\r\n　これを用いて, 一般の $m$ について, $k=v_p(m)$ の帰納法によって示す. ある $k$ で成立を仮定し, $m=cp^{k+1}$ ($c$ は $p$ で割り切れない) とすると, $v_p(a_{nm})=v_p(a_{ncp^k})+1=v_p(a_{n})+v_p(cp^k)+1=v_p(a_n)+v_p(m)$ である.\r\n----\r\n**補題5.**　$2$ 以上の整数 $b,p$ に対し, $a_{bp}\\gt p a_b$ が成立する.\\\r\n**証明.**　$b=2$ のとき成立が容易にわかる. ある $b\\geq 2$ で成立を仮定すると, $\\\\{a_n\\\\}$ の公差が単調増加であることから\r\n$$a_{(b+1)p}-a_{bp}=(a_{(b+1)p}-a_{(b+1)p-1})+\\cdots+(a_{bp+1}-a_{bp}) \\geq p(a_{b+1}-a_{b})$$\r\nより $b+1$ でも成立し, 以上より示された.\r\n----\r\n　以下, 所望の $a_n=p^m$ なる組について考える. $n$ の最小の素因数を $c$ とし, $n=bc$ とすれば, 補題3より $a_b=p^k$ とおける. $a_b\\neq 1,2$ のとき, 補題4より $m=k+v_p(c)$ であり, $c=p$ となるほかない. しかし, これは補題5に矛盾するから, $a_b=1,2$ である. ここで $a_b=2\\iff (N,b)=(1,3)$ であり, $n$ としてあり得るのは $6,9$ のみである. 具体的に計算すれば, $a_6=8,a_9=34$ より前者のみが適するから, 以下 $a_b=1$ としてよい.\\\r\n　このとき $b=2$ で, $n$ としてあり得るのは $4$ のみである. ここで $a_4=2N+1$ より, $p\\leq 79$ の範囲で考えれば十分である. 具体的には, $29\\leq p\\leq 79$ なる $13$ 個では $p^3$ のみ, $p=17,19,23$ では $p^3$ と $p^4$ が適し, $p= 3,5,7,11,13$ では与えられた値よりそれぞれ $10,6,4,3,3$ 個が適する. 以上より, 求める個数は\r\n$$ 1+13+2\\times 3+10+6+4+3+3=\\textbf{46}. $$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc040/editorial/277" } ]

[ { "content": "　二つの総和は分解できる. すなわち \r\n$$\\sum_{i=1}^{9}\\sum_{j=1}^{9}ij=\\sum_{i=1}^{9}\\left(i\\left(\\sum_{j=1}^{9}j\\right)\\right)=\\textbf{2025}$$\r\n　なお, 以下のように解釈しても良い.\r\n$$\\sum_{i=1}^{9}\\sum_{j=1}^{9}ij=\\left(\\sum_{i=1}^{9}i\\right)\\times\\left(\\sum_{j=1}^{9}j\\right)=\\textbf{2025}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc039/editorial/1213" } ]

[ { "content": "　$A,B,C$ および $D,E,F$ はそれぞれ相異なる $3$ 色で塗られる必要がある. $A,B,C$ の塗り方を定めたとき, 適する $D,E,F$ の塗り方が $3$ 通りあり得るから, $M=3!\\times 3=\\textbf{18}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc039/editorial/2" } ]

[ { "content": "　三平方の定理より\r\n$$12^2=AE^2+BE^2,\\quad 13^2=CE^2+DE^2$$\r\nであるから, Cauchy–Schwarzの不等式および方べきの定理より\r\n$$12^2\\times 13^2=(AE^2+BE^2)(CE^2+DE^2)≥(AE\\times CE+BE\\times DE)^2=(2\\times AE\\times CE)^2$$\r\nこれより $AE\\times CE\\leq 78$ が成り立つ. 逆に\r\n$$AE=BE=6\\sqrt{2},\\quad CE=DE=\\cfrac{13\\sqrt{2}}{2}$$\r\nのとき等号が成立するから, 以上より求める最大値は $\\textbf{78}$ である。", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc039/editorial/1568" } ]

[ { "content": "**補題.**　$n$ が二進法表記によって\r\n$$n=2^{a_k} +2^{a_{k-1}}+ \\dots +2^{a_2}+2^{a_1}\\ (a_{k}\\gt a_{k-1}\\gt\\cdots\\gt a_2\\gt a_1 \\geq 0)$$\r\nと表されるとき, $n!$ が $2$ で割り切れる最大の回数 $f(n)$ は $n-k$ である.\r\n\r\n**証明.**　$n=1$ のとき明らかに成立するから, 以下ある $m\\geq 2$ について $n\\lt m$ で成立を仮定し, $m=n$ で成立を示せばよい. $m$ が偶数のとき, 帰納法の仮定より $f(m\\/2)=m\\/2-k$ であるから, Legendreの定理より\r\n$$f(m)=\\dfrac{m}{2}+f\\left(\\dfrac{m}{2}\\right)=m-k$$\r\nを得る. $m$ が奇数の場合も同様である. なお, $f(m)$ を $f(m-1)$ によって表す方針でも示される. (証明終)\r\n\r\n　これより, $2^{100}$ 未満の良い数とは\r\n$$ n = 2^{a_4}+2^{a_3}+2^{a_2}+2^{a_1}\\ \\ (99\\geq a_4\\gt a_3\\gt a_2\\gt a_1\\geq0)$$\r\nと表されるものに他ならず, その個数は ${}\\_{100}\\mathrm{C}\\_{4}=\\textbf{3921225}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc039/editorial/262" } ]

[ { "content": "　$3$ 本の辺を伝うのが最短である. 正二十面体の各頂点は $5$ 本の辺と接続しており, $1$ 本目の辺を固定したとき $2$ 本目の辺として選べるものは $2$ 本であるから, 求める経路は $\\textbf{10}$ 通り存在する.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/editorial/1209" } ]

[ { "content": "　与不等式は, 以下のように因数分解できる.\r\n$$(x^2-2x+4)(x^2-6x+4)\\leq 0$$\r\nここで $x^2-2x+4=(x-1)^2+3$ は常に正であるから, 考えるべき不等式は結局\r\n$$x^2-6x+4\\leq 0$$\r\nこれを解いて $3-\\sqrt{5}\\leq x\\leq 3+\\sqrt{5}$ を得るから, 特に解答すべき値は $\\textbf{16}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/editorial/1288" } ]

[ { "content": "　塗り分け方を無視すれば, 移動経路としてあり得るものは ${}\\_{200}\\mathrm{C}\\_{100}$ 通り存在する. このうち一つを固定したとき, それが答えに算入される回数を考えると, 経路上にある $201$ マスが白いような塗り分け方の場合の数に等しい. これは残りの $10000$ マスを任意に塗ることに他ならないから, $2^{10000}$ 通りである. すなわち, $M=2^{10000}\\times{}\\_{200}\\mathrm{C}\\_{100}$ であり, Legendreの定理よりこれが $2$ で割り切れる最大の回数は $\\textbf{10003}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/editorial/280" } ]

[ { "content": "　まず $\\Gamma_{1},\\Gamma_{2},\\Gamma_{3}$ がそれらの $3$ 中心の重心を中心とする同心円がであるとしても, 求める領域は不変であることが容易にわかる. 初めに $P_2,P_3$ を固定し $P_1$ を動かせば, $P_1P_2$ の中点は半径 $10$ の円周上を動く. さらに $P_2$ を動かせば, この軌跡の通過する領域は半径 $20.5$ の円盤から半径 $0.5$ の円盤を除いたものになる. 同様にして, 最終的に求める領域は半径 $2062\\/3$ の円盤から半径 $660$ の円盤を除いたものであることがわかり, その面積は $331444\\pi\\/9$ であるから, 解答すべき値は $\\textbf{331453}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/editorial/235" } ]

[ { "content": "　$b$ と $c$ の最大公約数を $g$ とし, $b=gp,c=gq$ とおく. このとき $a$ は $p$ で割り切れるから, その商を $k$ とおけば $d=kq$ であり, 以下をみたす正整数の組の個数を求めることに帰着される.\r\n$$kg(p^2+q^2)=29^{1000},\\ \\ p\\\\,\\text{と}\\\\,q\\\\,\\text{は互いに素}$$\r\n　ここで正整数 $n$ に対し, $p^2+q^2=29^{n}$ なる互いに素な正整数の組 $(p,q)$ は常に $2$ 組であるから, 結局求める組の数は $2\\times(1+\\cdots+1000)=\\textbf{1001000}$ である. 詳しくは[**OMC022(F)の解説**](https:\\/\\/onlinemathcontest.com\\/contests\\/omc022\\/editorial\\/139)を参照せよ.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/editorial/233" } ]

[ { "content": "　$N=10^{999}$ とおく. $(x,y-x,z-y)$ を $(x,y,z)$ と置きなおすことで, 以下の問題を解くことと等価である.\r\n\r\n- $x\\gt y+z$ かつ $3x+2y+z=60N$ をみたす**正整数**の組 $(x,y,z)$ はいくつあるか？\r\n\r\nさらにここから $z$ を消去すれば, 以下の問題を解くことと等価である.\r\n\r\n- $3x+2y\\lt 60N\\lt4x+y$ をみたす正整数の組 $(x,y)$ はいくつあるか？\r\n\r\nこれは座標平面上で以下を $3$ 頂点とする三角形領域 $S$ の内部の格子点を数えることと等価である.\r\n$$(15N,0),(20N,0),(12N,12N)$$\r\nこれを愚直に計算してもよいが, Pickの定理を使えば早い. $S$ の面積は $30N^2$ で, 辺上の格子点は $12N$ 個だから, \r\n$$M=30N^2-6N+1=2\\underbrace{999...999}\\_{999個}4\\underbrace{000...000}\\_{998個}1$$\r\nよって, 求める桁和は $\\textbf{8998}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc038/editorial/1453" } ]

[ { "content": "　解と係数の関係より, $\\dfrac{1}{a}+\\dfrac{1}{b}=\\dfrac{a+b}{ab}=\\dfrac{200}{5}=\\textbf{40}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc037/editorial/1599" } ]

[ { "content": "　選んだ $3$ 数が $\\\\{1,2,3\\\\},\\\\{1,1,2\\\\},\\\\{1,1,3\\\\}$ であるとき, 三角形を作ることができない. ボールをすべて区別するとき, 一つ目になる選び方は $10^3$ 通り, 二つ目および三つ目になる選び方は ${}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{2}\\times 10$ 通りであるから, 求める確率は\r\n$$1-\\dfrac{10^3+2\\times({}\\_{10}\\mathrm{C}\\_{2}\\times 10)}{{}\\_{30}\\mathrm{C}\\_{3}}=\\dfrac{108}{203}$$\r\nであり, 特に解答すべき値は $\\textbf{311}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc037/editorial/1601" } ]

[ { "content": "　$ab+bc+cd+da=(a+c)(b+d)$ と因数分解されることに留意せよ. ある非負整数 $n$ を $2$ つの非負整数の和に分解する方法は $n+1$ 通りあるから, すべての $1000$ の正の約数 $t$ について\r\n$$(t+1)\\left(\\frac{1000}{t}+1\\right)=t+\\dfrac{1000}{t}+1001$$\r\nの総和を求めればよい. $1000=2^3\\times5^3$ は正の約数を $16$ 個もち, それらの総和は $2340$ であるから, これは\r\n$$2340\\times 2+1001\\times 16=\\textbf{20696}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc037/editorial/1434" } ]

[ { "content": "　有名事実として $DC=DA+DB$ である. 一方で, 簡単な角度計算から三角形 $DEB$ と $DFC$ は相似であるから, これらより $DB=6,DC=8$ を得る. よって, 三角形 $BCD$ における余弦定理より $BC=2\\sqrt{13}$ であるから, 求めるべき面積は $13\\sqrt{3}=\\sqrt{\\textbf{507}}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc037/editorial/1595" } ]

[ { "content": "**注意**：以下の解説では, $V(\\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.\r\n\r\n----\r\n　$a,b,c$ はすべて相異なることに留意する. これらがすべて平方数であるとき, $V$ は $1\\times 4\\times 9=36$ 以上である. 少なくとも一つが平方数でないとき, 三ついずれも平方数ではない. このとき $V\\lt 36$ と仮定すれば $\\lbrace a,b,c\\rbrace=\\lbrace 2,3,5\\rbrace$ であるほかないが, これは不適であるから, 求める最小値は $\\textbf{36}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/editorial/17" } ]

[ { "content": "**注意**：以下の解説では, $V(\\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.\r\n\r\n----\r\n　$\\mathfrak{C}$ において, 小立方体を組み合わせてできる部分直方体 $1$ つに対し, 良い三角形 $8$ つが対応することが容易にわかる. 部分直方体は ${}\\_{a+1}\\textrm{C}\\_{2} \\times {}\\_{b+1}\\textrm{C}\\_{2}\\times {}\\_{c+1}\\textrm{C}\\_{2} $ 個存在することから, 条件を整理すれば以下のようになる.\r\n$$a(a+1)b(b+1)c(c+1)=2^6\\times 3\\times 7^2\\times 11\\times 13=7\\times 8\\times11\\times12\\times13\\times14$$\r\nこのような $\\lbrace a,b,c\\rbrace$ は $\\lbrace 7,11,13\\rbrace$ に限られるから(求値の上では一意性を用いればよい), $V=\\textbf{1001}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/editorial/18" } ]

[ { "content": "**注意**：以下の解説では, $V(\\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.\r\n\r\n----\r\n　三角形 $AP_1P_6$ と $GP_4P_3$ の相似より直線 $AG,P_1P_4,P_3P_6$ は一点で交わり, これは $Q_1$ に一致する. したがって $AQ_1:GQ_1=P_1P_6:P_3P_4=1:2$ であるから, $OQ_1:OA=1:3$ を得る. 同様にして $OQ_2:OH=1:4,OQ_3:OF=1:2$ であるから, 四面体 $O-AFH$ の体積は $24$ である. ここで\r\n$$ |O-AFH|=|O-AEF|+|O-AEH+|O-EFH|-|A-EFH|=3\\times\\frac{V}{12}-\\frac{V}{6}=\\frac{V}{12} $$\r\nが従うから, $V=\\textbf{288}$ である. \r\n", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/editorial/192" } ]

[ { "content": "**注意**：以下の解説では, $V(\\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.\r\n\r\n----\r\n　$AD=x,A^{\\prime}B^{\\prime}=y, A^{\\prime}D^{\\prime}=z$ とおく. このとき, $A^{\\prime}E^{\\prime}=y+z, AE=x+y, AB=x+y+z$ と表される. \r\n二つの直方体の辺の長さがすべて正であるためには $x,y,z\\gt 0$ であればよい. したがって, 問題は\r\n\r\n- 正の実数 $x,y,z$ が $yz(y+z)=1, 2y+z\\leq x$ をみたすとき, $x(x+y)(x+y+z)$ の最小値を求めよ.\r\n\r\nと言い換えられる. ここで, $y,z\\gt 0$ を固定したとき, $x(x+y)(x+y+z)$ は $x\\gt 0$ の範囲で広義単調増加であるから, $x=2y+z$ のときに最小値をとる. このとき, 次数に留意すれば, 求めるものは\r\n$$ V=\\dfrac{(2y+z)(3y+z)(3y+2z)}{yz(y+z)} $$\r\nの最小値と等しく, さらに $2y+z=yz$ の場合を考えて一般性を失わない. これより $z$ を消去し, さらに $y\\gt 1$ であることから $y-1$ を $y$ とおき直せば, $V$ は以下のように変形される.\r\n$$ V=9y+9+\\dfrac{4}{y}+\\dfrac{4}{y+2} $$\r\nここで, 相加・相乗平均の関係より\r\n$$\\begin{aligned}\r\nV &= \\left(\\dfrac{1}{2}(9+4\\sqrt{2}+\\sqrt{5})y+\\dfrac{4}{y}+\\dfrac{1}{2}(9-4\\sqrt{2}-\\sqrt{5})(y+2)+\\dfrac{4}{y+2}\\right)+4\\sqrt{2}+\\sqrt{5} \\\\\\\\\r\n&\\geq 2\\sqrt{2}\\left(\\sqrt{9+4\\sqrt{2}+\\sqrt{5}}+\\sqrt{9-4\\sqrt{2}-\\sqrt{5}}\\right)+4\\sqrt{2}+\\sqrt{5}\\\\\\\\\r\n&= 2\\sqrt{2}(2+\\sqrt{10})+4\\sqrt{2}+\\sqrt{5}\\\\\\\\\r\n&= 8\\sqrt{2}+5\\sqrt{5}\r\n\\end{aligned}$$\r\n等号は $y=\\dfrac{2\\sqrt{2}+\\sqrt{5}-3}{3}$ で成立するから $m=8\\sqrt{2}+5\\sqrt{5}$ で, 特に求める値は $128+125=\\textbf{253}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/editorial/193" } ]

[ { "content": "**注意**：以下の解説では, $V(\\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.\r\n\r\n----\r\n　対角線 $AG$ の中点を $O$ とすれば, 明らかにこれは $O_1O_2$ の中点でもある. また $OB=OD=OG$ より $OO_2$ は面 $BDG$ に垂直であるから, $BDG$ の外接円の半径は $\\sqrt{OG^2-OO_2^2}=17$ である. 一方で $BDG$ の垂心を $I$ とすれば $CI$ も面 $BDG$ に垂直であり, \r\n$$CI\\times |BDG|=|G-BCD|=|G-ABD|=O_1O_2\\times|BDG|$$\r\nより $CI=12$ を得る. よって $O_2I=\\sqrt{CO^2-(OO_2+CI)^2}=1$ が従う.\\\r\n　ここで $GI=2O_2N=12\\sqrt{2}$ に留意すれば, $GI^2+O_2I^2=O_2G^2$ より $\\angle O_2IG$ は直角である. これより $BD=2\\sqrt{O_2D^2-O_2N^2}=2\\sqrt{217}$ と併せて, $|BDG|=BD\\times (O_2N+GI)\\/2=18\\sqrt{434}$. よって\r\n$$ V=6\\times|C-BDG|=6\\times\\frac{1}{3}\\times CI\\times|BDG|=432\\sqrt{434}=\\sqrt{\\textbf{80994816}} $$ \r\n(※以下の図における点 $M$ は解説における点 $O$ です)\r\n", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/editorial/195" } ]

[ { "content": "**注意**：以下の解説では, $V(\\mathfrak{C})$ を単に $V$ で表し, $AB,AD,AE$ の長さをそれぞれ $a,b,c$ とする. また $|XYZ|$ で三角形 $XYZ$ の面積を, $|W-XYZ|$ で四面体 $W-XYZ$ の体積を, それぞれ誤解なく表すものとする.\r\n\r\n----\r\n　$m=250$ とおく. $i,j,k$ がすべて偶数,奇数であるような $N(i,j,k)$ の総和をそれぞれ $S_{eee},S_{ooo}$ などとして, 偶奇 $8$ 通りに対して総和を定める. さらに以下のように定める.\r\n$$S_{ooo}+S_{eee}=S_{1},\\ \\ S_{oee}+S_{eoo}=S_{2},\\ \\ S_{eoe}+S_{oeo}=S_{3},\\ \\ S_{eeo}+S_{ooe}=S_{4}$$\r\nこのとき, 与条件は $S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}=m$ と同値であることが容易にわかる.\\\r\n　ここで便宜的に $T=V\\/4$ とおけば, $S_1,S_2,S_3,S_4$ はそれぞれ $T$ 個の小立方体に割り当てられた数の和であるから, $M(\\mathfrak{C})$ は以下のように表せる. ただし, 総和は $a_{1}+\\cdots+a_{T}=m$ なる非負整数の組全体をとる.\r\n$$ M(\\mathfrak{C})=\\left(\\sum a_{1}a_{2}\\cdots a_{T}\\right)^4 $$\r\n特に $M(\\mathfrak{C})$ は $T$ のみに依存するから, 偶数 $T$ について $S(T)=\\sum a_{1}a_{2}\\cdots a_{T}$ の最大化を考えればよい.\r\n\r\n----\r\n**補題.**　$S(T)={}\\_{T+m-1}\\mathrm{C}\\_{2T-1}$ が成立する.\r\n\r\n**証明.**　一列に並んだ $T+m-1$ 個の白丸のうち, $2T-1$ 個を黒く塗りつぶす方法を考える. このうち, 左から $2,4,\\cdots,2T-2$ 番目の黒丸が左から$$a_{1}+1, a_{1}+a_{2}+2,\\cdots,a_{1}+\\cdots+a_{T-1}+T-1$$番目にあるようなものは $a_{1}a_{2}\\cdots a_{T}$ 通りであることがわかる. すなわち $S(T)$ は ${}\\_{T+m-1}\\mathrm{C}\\_{2T-1}$ に等しい.\r\n\r\n----\r\n　明らかに $T\\leq m$ の範囲で考えれば十分である. このとき $\\dfrac{S(T+1)}{S(T)}=\\dfrac{(m+T)(m-T)}{2T(2T+1)}$ より,\r\n$$ S(T+1)\\gt S(T)\\iff 5T^2+2T\\lt m^2\\iff T\\lt\\frac{\\sqrt{5m^2+1}-1}{5}$$\r\nさらに以下の不等式より, $S(1)\\lt S(2)\\lt\\cdots\\lt S(111)\\lt S(112)\\gt S(113)\\gt\\cdots\\gt S(m)$ を得る.\r\n$$ 111\\lt\\frac{\\sqrt{5m^2}-1}{5}\\lt\\frac{\\sqrt{5m^2+1}-1}{5}\\lt\\frac{\\sqrt{5m^2}}{5}\\lt112 $$\r\nただし3つ目の不等号で不等式 $\\sqrt{x+1}\\lt\\sqrt{x}+1$ を用いた. よって求める値は $4\\times112=\\textbf{448}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc036/editorial/194" } ]

[ { "content": "　レベル $n$ のスライムを生み出すために, 少なくとも $2^n-1$ 回の結合が必要であることがわかる. したがって, $2^n-1\\leq10^5$ なる最大の $n$ を求めればよく, これは $n=\\textbf{16}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc035/editorial/299" } ]

[ { "content": "$$i(k-i+1)=-\\biggl(i-\\displaystyle\\frac{k+1}{2} \\biggr)^2+\\displaystyle\\frac{(k+1)^2}{4}$$\r\nより, $k$ が奇数 $2m-1$ のとき $M_k=m^2$, 偶数 $2m$ のとき $M_k=m(m+1)$ である. よって求める総和は\r\n$$\\displaystyle\\sum_{m=1}^{60}m^2+\\displaystyle\\sum_{m=1}^{59}m(m+1)=\\textbf{145790}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc035/editorial/1331" } ]

[ { "content": "　$x+y=p,xy=q$ とおき, さらに $p+q=r,pq=s$ とおけば, 与方程式は\r\n\r\n- $41=(x+y)xy+x+y+xy=pq+p+q=r+s$\r\n- $330=(x+y+xy)(x+y)xy=(p+q)pq=rs$\r\n\r\nよって $r,s$ は $t$ の二次方程式 $t^2-41t+330=0$ の $2$ 解であるから,\r\n$$(p+q,pq)=(11,30),(30,11)$$\r\nであり, 同様に二次方程式を解くことで\r\n$$(x+y,xy)=(5,6),(6,5),(15+\\sqrt{214},15-\\sqrt{214}),(15-\\sqrt{214},15+\\sqrt{214})$$\r\n以上より, 解答すべき値は $15+214=\\textbf{229}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc035/editorial/1406" } ]

[ { "content": "　$Q_2$ を通り $Q_1Q_2$ に垂直な直線と $P_2P_3$ の交点を $Y$ とすれば, 三角形 $P_1Q_2X$ と $P_2Q_2Y$ が合同であることが容易にわかるから,\r\n$$(P_2Q_1-P_1X)^2=(P_2Q_1-P_2Y)^2=Q_1Y^2=\\left(\\dfrac{5}{\\cos18^\\circ}\\right)^2=50-10\\sqrt{5}$$\r\n特に解答すべき値は $50+500=\\textbf{550}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc035/editorial/303" } ]

[ { "content": "　「笑っている写真」が $x$ 枚, 「泣いている写真」が $y$ 枚であったとすると, 条件は以下のように表現できる.\r\n$$x:y=9:7,\\ \\ (x-6):(y-6)=13:10$$\r\nこれを解くと $x=162, y=126$ であるから, アルバム内の写真は全部で $162+126-6=\\textbf{282}$ 枚である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/263" } ]

[ { "content": "　$S_k$ について, 最下行に配置する $k$ 個のコマを先に定め, 残りは他 $46$ 行に任意に配置できることから,\r\n$$S\\_k={}\\_{2021}\\mathrm{C}\\_{k}\\times46^{2021-k}$$\r\nしたがって, $\\dfrac{S_{k+1}}{S_k}=\\dfrac{2021-k}{46(k+1)}$ と $1$ の大小を考えることで, 以下が従う：\r\n$$S_1\\lt S_2\\lt \\cdots\\lt S_{43}\\gt S_{44}\\gt\\cdots\\gt S_{2021}$$\r\nすなわち, $S=S_{43}=\\dfrac{2021!}{43!\\times1978!}\\times46^{1978}$ であり, Legendreの定理よりこれは $2$ で $\\textbf{1982}$ 回割り切れる.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/261" } ]

[ { "content": "　新しい飲料 $A,B$ をそれぞれ $21$ 本ずつもっている状況を考えると, まずこれらの交換で飲料 $A,B$ がそれぞれ $3,7$ 本得られ, さらにこれらの交換で飲料 $A,B$ がともに $1$ 本ずつ得られる. すなわち, 各 $20$ 本ずつの新しい飲料 $A,B$ を失うと同時に, それぞれ $24,28$ 本ずつを飲んだと見なすことができる. よって, 今回の状況において\r\n$$M=\\dfrac{(2\\times10^{2023}+21)-1}{20}\\times(24+28)+2=52\\times10^{2022}+54=52\\underbrace{0000...00000}_{2020\\text{個}}54$$\r\nよって求めるべき値は $\\textbf{200}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/269" }, { "content": "##### 1. はじめに\r\n　この解説は公式解説の解説のような立ち位置です. \r\nそのため解説としての新規性は特にありません. \r\n\r\n\r\n##### 2. 最適な交換手順その $1$ \r\n　まず以下の点に留意します. \r\n\r\n- 交換できる空容器があれば交換した方が良い.\r\n- 交換の順番は結果に影響しない. \r\n\r\nすると, 例えば以下のような交換の手順その $1$ が思いつきます. \r\n(ただし, 全て飲料は得た瞬間に飲み干しているとします.) \r\n\r\n- $A$ を全て飲み, $A$ の空容器を交換できるだけ $B$ に交換する. \r\n- $B$ を全て飲み, $B$ の空容器を交換できるだけ $A$ に交換する. \r\n- 上記の $2$ つを交換できる空容器がある限り繰り返す. \r\n\r\n最初に見た留意点より, この手順は最適な交換手順(の一例)となります. \r\n\r\n<details>\r\n<summary>交換手順1の具体例<\\/summary> \r\n\r\n具体的に, $A,B$ を $401$ 本ずつ持っているときの容器の数の挙動を見てみましょう. \r\n$(a,b)$ と書いたら $A,B$ の容器をそれぞれ $a,b$ 個持っている状態を表すとします. \r\n\r\n1. $(401,401)$ から, $A$ の空容器を $399$ 個交換して, $B$ を $133$ 個得る. $(2,534)$ となる.\r\n2. $(2,534)$ から, $B$ の空容器を $532$ 個交換して, $A$ を $76$ 個得る. $(78,2)$ となる.\r\n3. $(78,2)$ から, $A$ の空容器を $78$ 個交換して, $B$ を $26$ 個得る. $(0,28)$ となる.\r\n4. $(0,28)$ から, $B$ の空容器を $28$ 個交換して, $A$ を $4$ 個得る. $(4,0)$ となる.\r\n5. $(4,0)$ から, $A$ の空容器を $3$ 個交換して, $B$ を $1$ 個得る. $(1,1)$ となる.\r\n6. 交換できるものが無いため終了する. \r\n\r\n<\\/details> \r\n\r\nこの手順自体はかなり直感的だと思いますが, 各操作で, 一方の種類の容器が減りもう一方が増えるため, 容器数の挙動が追いにくいという欠点があります. \r\nそこで, 次はこれを改善してみましょう. \r\n\r\n##### 3. 最適な交換手順その $2$\r\n\r\n　第二節で述べた問題点について考えます. \r\n　ここでの問題点とは, $A$ を減らしたら $B$ が増えることにあるのでした. \r\nそこで, $A$ を $B$ に交換した直後に, 増えた分の $B$ を全て $A$ に交換したら $B$ の本数を変えることなく, $A$ の本数の変化が実現できるのでは, という発想に至ります. ( $B\\to A\\to B$ の交換も同様に考えられます. )\r\n\r\n　このアイデアを解法に落とし込むために細部を詰めていきましょう. \r\n\r\nまず, 先ほどはある分の $A$ を全てまとめて $B$ に交換していましたが, すると剰余の関係で, 増えた分の $B$ を全て $A$ に交換できるとは限りません. \r\nこれの解決法としては, 先ほどから使っている \"交換の最適性は手順に依らない\" という事実が使えます. \r\n具体的には, 全てまとめて交換するのではなく, 交換で増える $B$ が全て $A$ に変換できる数ずつ, さらに具体的には $3\\times 7=21$ 本ずつ $A$ を $B$ に交換をすれば良いです. \r\n\r\n次に, この方法で最後まで交換しきれるかが非自明であるという問題点があります. \r\nしかし, これはこの段階では気にしなくて良いです. \r\nというのも, もし最後に一部の空容器が余ったとしても, それは高々 $20$ 本以下ずつであるので, その後手順その $1$ をすれば十分手計算できそうだからです. \r\n\r\n 以上をまとめると, 次のような交換の手順その $2$ を得ます. \r\n\r\n- 飲んでいない $A$ が $21$ 本以上あれば, $A$ $21$ 本を飲み, 新規の $B$ $7$ 本に交換し, 交換で得た $B$ $7$ 本を全て飲んで新規の $A$ $1$ 本に交換する. \r\n- 飲んでいない $B$ が $21$ 本以上あれば, $B$ $21$ 本を飲み, 新規の $A$ $3$ 本に交換し, 交換で得た $A$ $3$ 本を全て飲んで新規の $B$ $1$ 本に交換する. \r\n- 上記のを少なくとも一方ができる間繰り返す. \r\n- 繰り返し終了時にもし残りがあれば手順その1のようにする.\r\n\r\n<details>\r\n<summary>交換手順2の具体例<\\/summary> \r\n\r\n具体的に, $A,B$ を $401$ 本ずつ持っているときの容器の数の挙動を見てみましょう. \r\n$(a,b)$ と書いたら $A,B$ の容器をそれぞれ $a,b$ 個持っている状態を表すとします. \r\n\r\n1. $(401,401)$ から, $A$ $21$ 個を交換して, $B$ を $7$ 個得る. $(380,401+7)$ となる. 得た $7$ 個の $B$ を, $1$ 個の $A$ に交換する. $(381,401)$ となる.\r\n2. $(381,401)$ から, $A$ $21$ 個を交換して, $B$ を $7$ 個得る. $(360,401+7)$ となる. 得た $7$ 個の $B$ を, $1$ 個の $A$ に交換する. $(361,401)$ となる. \r\n3. これを続ける. \r\n<\\/details> \r\n\r\nこの各手順のでの前後の本数や, その間に飲んだ飲料数をみれば, これは以下と同じであると分かります. \r\n\r\n- 飲んでいない $A$ が $21$ 本以上あれば, $A$ $21$ 本を飲み, 新規の $A$ $1$ 本に交換し, **それとは別に $B$ $7$ 本を飲んだという事実のみを得る**. \r\n- 飲んでいない $B$ が $21$ 本以上あれば, $B$ $21$ 本を飲み, 新規の $B$ $1$ 本に交換し, **それとは別に $A$ $3$ 本を飲んだという事実のみを得る**. \r\n- 上記のを少なくとも一方ができる間繰り返す. \r\n- 繰り返し終了時にもし残りがあれば手順その1のようにする. \r\n\r\n\r\nさらに, 飲料を飲み交換するところを, **飲んだ事実を得る**パートと交換するパートに分けて考えることで, \r\n\r\n- 飲んでいない $A$ が $21$ 本以上あれば, 飲んでいない $A$ $20$ 本を減らし, **それとは別に $B$ $7$ 本と $A$ $21$ 本の計 $28$ 本を飲んだという事実のみを得る**. \r\n- 飲んでいない $B$ が $21$ 本以上あれば, 飲んでいない $B$ $20$ 本を減らし, **それとは別に $A$ $3$ 本と $B$ $21$ 本の計 $24$ 本を飲んだという事実のみを得る**. \r\n- 上記のを少なくとも一方ができる間繰り返す. \r\n- 繰り返し終了時にもし残りがあれば手順その1のようにする. \r\n\r\nここまでくれば, 簡単な計算に落とし込むことができます. \r\n$N=200\\dots0021$ とすれば, 上記の操作はそれぞれ, $\\dfrac{N-1}{20}$ 回行う事ができるため, 飲料を飲んだ事実は, \r\n$$\\frac{N-1}{20}*28+\\frac{N-1}{20}*24$$\r\n本分得ます. \r\nこの操作を終えた時, $A,B$ はそれぞれ $1$ 本ずつ残るので, (結局先ほど懸念した中途半端に残ったら手順1をしようと言っていたのをするまでもなく, ) これらを飲んだ本数に加えれば, 公式解説の\r\n\r\n$$M=\\frac{N-1}{20}*(24+28)+2$$\r\n\r\nという式を得ます.", "text": "解説の補足の試み", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/269/241" } ]

[ { "content": "　　線分 $AC$ の中点を $F$ とし, 線分 $DE$ 上に $AB\\parallel FG \\parallel CE$ なる点 $G$ をとると, $ABF$ は正三角形であり,\r\n$$\\angle BFG=\\angle ABF=60^\\circ=\\angle BDG$$\r\nより $B,D,F,G$ は共円, さらに $BDG$ も正三角形である. したがって\r\n$$DF:DC=DG:DE=BD:DE=2:5$$\r\nここで $AC=12x$ とおき, $AF$ の中点を $M$ とすれば, $BDM$ における三平方の定理より\r\n$$28x^2=(3\\sqrt{3}x)^2+x^2=BM^2+DM^2=BD^2=4$$\r\nよって $AC=12\\/\\sqrt{7}$ であり, 特に解答すべき値は $144+7=\\textbf{151}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/275" }, { "content": "　$CE=CF$ なる点 $F$ を $D,C,F$ がこの順に同一直線上にあるようにとると，三角形 $ADB$ と三角形 $FED$ は相似であり，$AB=x, ~ CE=y$ とおくと $\\dfrac{5}{2}x=2x+\\dfrac{3}{5}y$ より $y=\\dfrac{5}{6}x$ が分かる．余弦定理から $BE=\\sqrt{19}$ で，$BC=\\sqrt{3}x$ なので，三平方の定理から $x=\\sqrt{\\dfrac{36}{7}}$ と求まる．よって $AC=2x=\\sqrt{\\dfrac{144}{7}}$ であり，特に解答すべき値は $144+7=\\mathbf{151}$ である．", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/275/3" } ]

[ { "content": "　$7$ が $3$ の倍数でないことから, $x=y=z$ なる解が存在し, 特に $b$ は $3$ の倍数である. したがって $b=3k$ と定め, $x-k,y-k,z-k$ を $x,y,z$ とおきなおせば, 与条件は以下のように書き換えられる.\r\n$$x^2+y^2+z^2\\leq \\frac{3}{25}a^2-3k^2,\\ \\ x+y+z=0$$\r\n　整数 $(x,y,z)$ が $x+y+z=0$ をみたしながら動くとき, $x^2+y^2+z^2$ のとり得る値を小さいほうから考える. まず $(0,0,0)$ で $0$ をとり, 続いて $(1,0,-1)$ およびその並べ替えで $2$ をとり, さらに $(2,1,-1)$ およびその並べ替えで $6$ をとるから, 問題は以下をみたす正整数の組 $(a,k)$ をすべて求めることに帰着された.\r\n$$2\\leq \\dfrac{3}{25}a^2-3k^2\\lt 6 \\implies 3(5k)^2+50\\leq 3a^2\\lt 3(5k)^2+150$$\r\n　$a^2=(5k)^2+N$ とおけば ($17\\leq N\\leq 49$), $N$ は差が $10k$ である二つの正整数の積として表せることに留意して工夫すれば, 以下のように列挙できる.\r\n\r\n- $N=21=1\\times 21$ のとき $(a,k)=(11,2)$\r\n- $N=24=2\\times 12$ のとき $(a,k)=(7,1)$\r\n- $N=31=1\\times 31$ のとき $(a,k)=(16,3)$\r\n- $N=39=3\\times 13$ のとき $(a,k)=(8,1)$\r\n- $N=31=1\\times 41$ のとき $(a,k)=(21,4)$\r\n- $N=44=2\\times 22$ のとき $(a,k)=(12,2)$\r\n\r\n　以上より, 求める値は $(11+6)+(7+3)+(16+9)+(8+3)+(21+12)+(12+6)=\\textbf{114}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/279" } ]

[ { "content": "　$f(x)=0$ の解を (重複込みで) $x=a_1,a_2,...,a_{2021}$ とすれば,\r\n$$f(x)=(x-a_1)(x-a_2)\\cdots (x-a_{2021})$$\r\n$f(x^2)$ が $f(x)$ で割り切れるための必要条件は, 任意の $i$ に対しある $j$ が存在して $a_i^2=a_j$ となることである.\r\n----\r\n**補題.**　任意の $i$ について $a_i\\in\\\\{1,0,-1\\\\}$ である.\r\n\r\n**証明.**　$M=\\max\\\\{|a_1|,...,|a_{2021}|\\\\}$ について $M\\gt1$ のとき, $M^2\\gt M$ より不適である. 一方 $0\\lt |a_i|\\lt 1$ なる $i$ が存在するとき, そのような $|a_i|$ のうち最小のもの $m$ について $0\\lt m^2\\lt m$ より不適である. (証明終)\r\n\r\n----\r\nしたがって, $f(x)$ は $p+q+r=2021$ なる非負整数 $p,q,r$ を用いて\r\n$$f(x)=x^p(x-1)^q(x+1)^r$$\r\nと表せる. このとき,\r\n$$f(x^2)=x^{2p}(x-1)^q(x+1)^q(x^2+1)^r$$\r\nであることに留意すれば, 以下の問題を解くことに帰着された.\r\n\r\n- $p+q+r=2021$ かつ $q\\geq r$ なる非負整数の組 $(p,q,r)$ はいくつあるか？\r\n\r\n　条件 $q\\geq r$ を無視すれば ${}\\_{2023}\\textrm{C}\\_{2}$ 通りであり, そのうち $q=r$ であるものは $1011$ 通りである. $q\\geq r$ なるものは $q\\leq r$ なるものの個数と等しいことに留意すれば, 以上より求めるべき値は\r\n$$\\dfrac{1}{2}\\times({}\\_{2023}\\textrm{C}\\_{2}+1011)=\\textbf{1023132}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc034/editorial/1279" } ]

[ { "content": "$$\\frac{1}{S(n)}=\\frac{2}{n(n+1)}=2\\left(\\frac 1n-\\frac{1}{n+1}\\right)$$\r\nが成り立つから, 求める総和は\r\n$$2\\left\\\\{\\left(1-\\frac 12\\right)+\\left(\\frac 12-\\frac 13\\right)+\\cdots +\\left(\\frac{1}{2021}-\\frac{1}{2022}\\right)\\right\\\\}=2\\left(1-\\frac{1}{2022}\\right)=\\frac{2021}{1011}$$\r\n特に解答すべき値は $\\textbf{3032}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc033/editorial/254" } ]

[ { "content": "　前 $2$ 回の出目を固定したとき, $N$ としてあり得る数は $6$ つの連続する整数であることから, 特にそのうち $6$ の倍数がちょうど一つ存在する. よって求める確率は $1\\/6$ であり, 解答すべき値は $\\textbf{7}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc033/editorial/240" } ]

[ { "content": "　直線 $AB$ と $\\ell$ の交点を $M$ とすれば, 方べきの定理より\r\n$$MP^2=AM\\times BM=MQ^2$$\r\nすなわち $M$ は $PQ$ の中点であるから, 中線定理より\r\n$$AP^2+AQ^2=2\\left(AM^2+PM^2\\right)\\implies AM=\\sqrt{\\frac{5^2+7^2}{2}-3^2}=2\\sqrt 7$$\r\nこれより, $BM=AM\\pm AB$ を上の方べきの式に代入することで $AB=19\\/2\\sqrt{7}$ を得るから, 特に解答すべき値は $361+28=\\textbf{389}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc033/editorial/256" } ]

[ { "content": "　不定方程式 $3m-7n=2021$ の非負整数解は, 非負整数 $k$ を用いて\r\n$$(m,n)=(7k+676,3k+1)$$\r\nと表される. このとき, $m=\\left\\lfloor x^2\\right\\rfloor,n=\\left\\lfloor 3x\\right\\rfloor$ となるような $k,x$ の条件を考えれば\r\n$$ 7k+676\\le x^2\\lt 7k+677,\\quad k+\\frac13\\le x\\lt k+\\frac 23$$\r\nこれを同時にみたす正の実数 $x$ が存在するためには, $2$ つの区間\r\n$$ [ 7k+676, 7k+677 ),\\quad \\left[\\left(k+\\dfrac{1}{3}\\right)^2, \\left(k+\\dfrac{2}{3}\\right)^2\\right)$$\r\nの共通部分が存在すればよい. これは \r\n$$7k+676 \\lt \\left(k+\\frac{2}{3} \\right)^2 \\text{かつ} \\left(k+\\frac{1}{3}\\right)^2 \\lt 7k+677$$\r\nを満たす非負整数 $k$ を求めればよく, $k=29$ に限られることがわかる. したがって, 求める $x$ の範囲は\r\n$$ \\sqrt{879}\\leq x\\lt \\sqrt{880} $$\r\nであり, 解答すべき値は $879+880=\\textbf{1759}$ である. \r\n\r\n**備考.**　なお問題文中に与えられている通り $x$ の解を $a\\leq x\\lt b$ と認めれば, より簡単な方策もある. すなわち, $a^2$ または $3a$ は整数となるはずであるから ($b$ も同様), そのような形を実際に代入して境界として適するか確かめればよい.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc033/editorial/1515" } ]

[ { "content": "　$\\angle CAD+\\angle DBE+\\angle ACE+\\angle ADB+\\angle BEC=180^{\\circ}$ より, $M=\\textbf{46}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/editorial/11" } ]

[ { "content": "　戦闘力の (十進法での) 桁和と所持金の和が常に一定である. $2^{63}-1$ 以下で最大の桁和は\r\n$$9\\times 10^{18}-1=8,999,999,999,999,999,999$$\r\nでの $170$ だから, 求める最小値は $\\textbf{171}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/editorial/12" } ]

[ { "content": "　$3$ 点 $B,G,I$ および $C,G,H$ も同一直線上にあることに留意せよ.\\\r\n　三角形 $BEG$ の面積を $s$ とおけば, $CEH$ の面積も $s$ である. $BG$ と $EH$ の平行より $GH:HC=BE:EC$ であるから, 面積比を考えて $1:s=s:(s+1)$, すなわち $s=(1+\\sqrt{5})\\/2$ を得る. よって\r\n$$S=4+6s=7+3\\sqrt{5}$$\r\n　ここで $T=7-3\\sqrt{5}$ とおけば, $ST=4,S+T=14,S^2+T^2=188$ であり,\r\n$$ S^{n+1}+T^{n+1}=(S+T)(S^{n}+T^{n})-ST(S^{n-1}+T^{n-1}) $$\r\nから帰納的に $f(S^n+T^n)$ は周期 $4,8,6,2$ を繰り返すことがわかる. よって $T^n\\lt 1$ より $f(S^n)$ は周期 $3,7,5,1$ を繰り返すから, 求める値は $250\\times(3+7+5+1)-1=\\textbf{3999}$である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/editorial/13" } ]

[ { "content": "　$6\\times10^8$ 子を除く全員が先に撫でる人を予め決めておくとすれば, $x$ 子の操作は以下のように読み替えられる.\r\n\r\n- 予め決めた人を $x^2$ 回撫でる. ただし全ての人は, 自分が撫でられた直後にも予め決めた人を撫でる.\r\n\r\n　$n\\leq 3\\times10^8+7$ について $n$ 子の操作を考えると, $3\\times10^8+8$ 子が撫でられることは\r\n\r\n- $3\\times10^8+8\\text{子},3\\times10^8+9\\text{子},\\cdots,6\\times10^8$ 子の中で最初に $3\\times10^8+8$ 子が撫でられること\r\n\r\nと同値であるから, $3\\times10^8+8$ 子が撫でられる確率は $1\\/(3\\times10^8-7)$ である.\r\n\r\n　この事実が直感的に信じ難ければ, 次のような施策を取ってもよいだろう：\r\n\r\n- sima姉妹が $y$ 人からなるとして, $x$ 子が撫でられる確率, すなわち $x\\text{子},\\cdots,y$ 子の中で最初に $x$ 子が撫でられる確率を $p_{x,y}$ とおく. このとき, $1$ 子が撫でる先を考えることで以下が成立する：\r\n$$p_{x,y}=\\frac{1}{y-1}(p_{x-1,y-1}+p_{x-2,y-2}+\\cdots+p_{2,y-x+2}+1)$$\r\nこれより帰納的に $p_{x,y}=\\dfrac{1}{y-x+1}$ が成立する.\r\n\r\n　結局, 求める期待値は以下のように計算できるから, 解答すべき値は $\\textbf{17150000133}$ である.\r\n$$\\sum_{k=1}^{3\\times10^8+7}\\frac{k^2}{3\\times10^8-7}=\\frac{9000000675000016850000140}{299999993}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/editorial/14" } ]

[ { "content": "　ある黒マスから $1179$ 手以内で移れる範囲を表現する図形 $S$ を考える.\r\n\r\nすると, これによって無限マス目は隙間や重複なく充填可能である.\r\n\r\n\r\n上の各図は $5$ 手の場合を示しているが, $1179$ 手の場合も同様である.\r\n\r\n　この充填において, 適当に $10^{1341398}\\times 10^{1341398}$ の部分マス目を切り出す. このとき, いくつかの $S$ は部分的に現れる. ここで $S$ は $4173661$ マスからなるから, それぞれの $S$ の各マスに $1,2,\\cdots,4173661$ を同じ配置で書き込んで上の充填を行うことを考える. このとき, 同じ数の書き込まれたマスを黒く塗ればこれらは「草cial distance」を保っているから, 鳩の巣原理より $x\\geq 1\\/4173661$ がわかる. 特に $p\\geq 1\\/4173661$ である.\\\r\n　ところで, 部分的に現れる $S$ に属するマス目は, 外周から $2358$ マス以内に存在することに留意すれば, 逆に\r\n$$x\\leq \\dfrac{1}{4173661}+\\dfrac{4\\times2358}{10^{1341398}}$$\r\nと評価できる. この範囲には明らかに分母が $10^{20}$ 以下である既約分数が $1\\/4173661$ のほかに存在しないから, 結局これが $p$ であり, 解答すべき値は $\\textbf{4173662}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/editorial/15" } ]

[ { "content": "　操作において $a,b,c$ を消して書かれる数の天井記号の中身を $f(a,b,c)$ とする.\\\r\n　適当な正整数 $a,b,c$ および素数 $p$ について, $a,b,c$ が $p$ で割り切れる回数をそれぞれ $x,y,z$ 回とする. $x\\geq y\\geq z$ としても一般性を失わない. このとき, $abc$ は $p$ で $x+y+z$ 回, $\\gcd(a,b,c)$ は $p$ で $z$ 回, $\\textrm{lcm}(a,b,c)$ は $p$ で $x$ 回割り切れるから, $f(a,b,c)$ は正整数であり, 特に $p$ で $y$ 回割り切れる. 逆に $f(a,b,c)$ が適当な素べき $p^n$ で割り切れるならば $a,b,c$ のうち少なくとも二つは $p^n$ で割り切れるから, 適当な素数 $p\\neq q$ について $p^nq^m$ で割り切れるならば $a,b,c$ には $p^nq^m$ の倍数が含まれる. これより, 特に $M$ は $11$ 以上の素因数を高々一つしか持たず, $M=2^w3^x5^y7^zp^n$ と表せる. 以下, $M\\leq 32760$ であることを示そう.\\\r\n　$n=0$ のとき, 上の議論より $2^w3^x,5^y7^z\\leq 121$ であるから $M\\leq 14641$. 同様にして, 以下 $w,x,y,z,n$ はすべて $0$ でないとしてよい. このとき $n=1$ であり, $p=11,13,17$ である. それぞれ以下のように計算できる.\r\n\r\n- $p=11$ のとき, $M=2^3\\times3^2\\times5\\times7\\times11=27720$ が最大.\r\n- $p=13$ のとき, $M=2^3\\times3^2\\times5\\times7\\times13=32760$ が最大.\r\n- $p=17$ のとき, $M=2^2\\times3\\times5\\times7\\times17=7140$ が最大.\r\n\r\n　あとは $M=32760$ となる操作を具体的に提示すればよいが, これは以下のように実現される.\r\n$$ \\begin{aligned}\r\n f(109,113,\\text{適当な数})&=1,& f(1,35,105)&=35,& f(35,40,112)&=280,& f(63,70,90)&=630,\\\\\\\\\r\n f(72,280,630)&=2520,& f(56,91,104)&=728,& f(45,65,117)&=585,& f(585,728,2520)&=32760\r\n\\end{aligned}$$\r\nただし, **適当な数**は残りの数に適当に操作を施して得る. 以上より, 求める最大値は $\\textbf{32760}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc032/editorial/16" } ]

[ { "content": "　0105くんが最終的に手に入れたお小遣いは $3N$ 円であるから,\r\n$$N+5000=2(3N-5000)$$\r\nが成立し, これを解くことで $N=\\textbf{3000}$ を得る.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc031/editorial/1390" } ]

[ { "content": "　$101$ 以上の素数を(重複度込みで) $2$ つ以上素因数に持つことは出来ない. また $97$ を素因数に持ち, かつ $96$ 以下の素数を素因数に持たない数は, $97$ のほかに $97^2,97\\times101,97\\times103$ の $3$ つである. 以上より, 求める数の集合はこれらに $97$ 以上 $10000$ 以下の素数を加えたもので, これは $\\textbf{1208}$ 元からなる.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc031/editorial/219" } ]

[ { "content": "　三角形 $A_2A_3A_4$ の中心を $H$ とすれば, $A_1G:A_1H=3:4$ より $A_1G$ の中点 $M_1$ について $A_1M:A_1H=3:8$ の成立がわかる. これより, 二つ目の条件を $PA_1\\geq PG$ に限って考えれば, 求める領域は $T$ から相似比 $3\\/8$ の正四面体を取り除いた部分である. 同様に他の $3$ 頂点についても考えることで, 求める値は\r\n$$M=1-4\\times\\left(\\dfrac{3}{8}\\right)^3=\\dfrac{101}{128}$$\r\nすなわち解答すべき値は $\\textbf{229}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc031/editorial/301" } ]

[ { "content": "　Pickの定理より, 格子多角形のスコアは $2(\\text{面積}+1)$ に等しいから, 四角形の面積の期待値 $E$ について考えればよい. ここで, 各四角形は $S$ から $4$ 個の三角形を除いたものであるとみなすことで, $E$ について\r\n$$E = 101^2 - 4\\left(\\frac{1}{2}\\left(\\frac{101}{2}\\right)^2\\right)=\\dfrac{10201}{2}$$\r\nを得る. 以上より, 求めるスコアの総和は\r\n$$2\\left(\\dfrac{10201}{2} +1\\right) \\times 100^4 = \\textbf{1020300000000}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc031/editorial/1308" } ]

[ { "content": "　各人が相続する階の価値の合計は $2525$ 万ドルであるから, 求める最大値 $M$ について不等式\r\n$$\\dfrac{1}{2}M(M+1)=1+2+\\cdots+M\\leq 2525$$\r\nが成立する. これより $M\\leq 70$ である. 逆に, 太郎君は例えば\r\n$$1,2,\\cdots,58,59,61,62,\\cdots,69,70,100$$\r\n階を相続することで条件をみたすから, $M=\\textbf{70}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/editorial/1261" } ]

[ { "content": "　$P$ から $AB,CD$ におろした垂線の足をそれぞれ $X,Y$ とおけば, 三平方の定理より\r\n$$\\begin{aligned}\r\nPA^2 + PC^2 &= (AX^2+PX^2)+(CY^2+PY^2) \\\\\\\\\r\n&= DY^2+PX^2+BX^2+PY^2 \\\\\\\\\r\n&= (BX^2+PX^2)+(DY^2+PY^2) \\\\\\\\\r\n& = PB^2 + PD^2\r\n\\end{aligned}$$\r\n特に $PD = \\sqrt{28^2 + 29^2 - 16^2} = \\textbf{37}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/editorial/1340" } ]

[ { "content": "　$\\max\\lbrace a,b,c\\rbrace=k$ である組 $(a,b,c)$ の数を $a_k$ とおくと, $f(N)$ は以下のように表せる.\r\n$$f(N)=\\sum_{k=1}^{N}ka_{k}$$\r\nここで $a_{k}=k^3-(k-1)^3$ であり, $ka_{k}=(k^4-(k-1)^4)-(k-1)^3$ であるから,\r\n$$4f(N)=4\\left(N^4-\\sum_{k=1}^{N}(k-1)^3\\right)=N^2(N+1)(3N-1)$$\r\nここに $N=10^{2021}$ を代入した値は, 以下のように表されることが容易にわかる.\r\n$$ 3\\overbrace{0\\cdots0}^{2020\\text{個}}1\\overbrace{9\\cdots9}^{2021\\text{個}}\\overbrace{0\\cdots0}^{4042\\text{個}}$$\r\nこれの各位の数の総和は $\\textbf{18193}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/editorial/227" } ]

[ { "content": "　下から $i$ 本目の道を $i$ **行目の道**, 左から $j$ 本目の道を $j$ **列目の道**と呼ぶ. 対称性より初めに上へ向かって進む場合のみ考えればよい. このとき, ある $a,b,c,d$ について $1$ 列目, $a$ 行目, $b$ 列目, $c$ 行目, $d$ 列目, $12$ 行目の道を順に進むことになり, 特に $1\\leq a,b,c,d\\leq12$ は以下の条件をみたす.\r\n$$a,b\\neq 1,\\ \\ c,d\\neq12,\\ \\ a\\neq c,\\ \\ b\\neq d,\\ \\ (a,b)\\neq(12,12)$$\r\n　したがって, 以下これをみたす組の数を数えればよい. $(a,b)\\neq(12,12)$ を一旦無視すれば, $a,c$ と $b,d$ は独立に考えてよく, それぞれ $a,b$ が $12$ か否かで場合分けすることで $10^2+11=111$ 通りである. このうち $a=b=12$ であるものは $11^2=121$ 通りであるから, 以上より求める場合の数は $2(111^2-121)=\\textbf{24400}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/editorial/276" } ]

[ { "content": "**補題1.**　$S(1,n)$ が平方数であることは, $n$ が $2$ べきであることと同値である.\r\n\r\n**証明.**　$\\varphi$ をEulerのトーシェントとし, $n$ のもつ素因数 $p_1\\lt p_2\\lt\\cdots\\lt p_k$ について $p_k\\gt 2$ と仮定する. このとき, $r$ が $n$ と互いに素ならば $n-r$ も互いに素であることから,\r\n$$S(1,n)=n\\times\\dfrac{\\varphi(n)}{2}=\\dfrac{n^2}{2}\\prod_{i=1}^{k}\\dfrac{p_i-1}{p_i}$$\r\nこれより $S(1,n)$ が $p_k$ で割り切れる回数は奇数であることがわかるから, 特に $S(1,n)$ は平方数となり得ない.\\\r\n　逆に, $n$ が $2$ べきならば $S(1,n)=(n\\/2)^2$ であるから, 特にこれは平方数である.\r\n\r\n**補題2.**　$S(m,n)=m^2S(1,n)$\r\n\r\n**証明.**　$(a-1)n$ より大きく $an$ 以下の整数であって, $n$ と互いに素なものの総和は, 補題1の証明と同様の要領で\r\n$$ (a-1)n\\times\\varphi(n)+S(1,n)=\\left(a-\\dfrac{1}{2}\\right)n\\varphi(n)=(2a-1)S(1,n) $$\r\nと計算できる (これは $n=2$ でも正しい). 上式を $a=1,\\cdots,m$ について足し合わせることで, 所望の結論を得る.\r\n\r\n　以上より, 解答すべき値は $\\displaystyle\\frac{1}{10^6}\\sum_{m=1}^{10^6}\\sum_{N=1}^{19} m2^N=\\textbf{524287524287}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/editorial/236" } ]

[ { "content": "　$B$ から $AP$ におろした垂線の足を $Q$, $AC$ と $BQ$ の交点を $R$ とする. このとき,\r\n$$AQ:AP=AR:AC=AB:AC=15:19$$\r\nおよび $QD:DP=BD:DC=15:19$ が成立するから, $AD=285x$ とおけば $DP=38x$ である.\\\r\n　ここで $A,C,H,P$ は共円であるから, 三角形 $ACD$ と $HPD$ の相似より $CD=722x$ がわかり, 特に\r\n$$AD:BC=285x:\\dfrac{15+19}{19}\\times 722x=15:68$$\r\nすなわち解答すべき値は $\\textbf{83}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc030/editorial/234" } ]

[ { "content": "　$(\\text{与式})=\\dfrac{(111\\times(9+8+7))\\cdots(111\\times(6+5+4))}{(111\\times(5+4+3))\\cdots(111\\times(2+1+0))}=\\dfrac{(8\\times3)(7\\times3)(6\\times3)(5\\times3)}{(4\\times3)(3\\times3)(2\\times3)(1\\times3)}=\\textbf{70}$.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc029/editorial/7" } ]

[ { "content": "　 $360=2^3\\times3^2\\times5$ であることから, その正の約数は $(3+1)(2+1)(1+1)=24$ 個, それらの総和は\r\n$$(1+2+2^2+2^3)(1+3+3^2)(1+5)=1170$$\r\nであることに留意する. 正 $n$ 角形において一つの内角の大きさは $180-(360\\/n)$ 度であるから, $360$ の正の約数 $n\\geq 3$ に対してこれの総和を求めればよく, これは $180\\times(24-2)-(1170-360-180)=\\textbf{3330}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc029/editorial/8" } ]

[ { "content": "　ひし形の中心を $O$ とすると, これは $PQ$ 上にあり, さらに $\\angle APB=90^{\\circ}=\\angle AOB$ より $A,B,O,P$ は共円である. よって $\\angle BPR=\\angle BAO=65^{\\circ}$ であり, $\\angle BRP=\\angle 180^{\\circ}-\\angle BPR-\\angle PBR=\\textbf{95}^{\\circ}$ を得る.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc029/editorial/9" } ]

[ { "content": "　すべての面について赤い辺の数を合計すると, これは偶数になることから, 赤い辺を奇数本もつ面は偶数個である. 特に条件より各面の赤い辺は $2$ 本または $3$ 本であるから, $n$ は偶数である.\r\n\r\n　逆に, 各辺を以下のように塗れば, まだ塗られていない辺 $6$ 本をどのように塗っても条件をみたすから, $n=0,2,\\cdots,12$ はすべて適する. 特に求める値は $\\textbf{1010101010101}$ である.\r\n\r\n", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc029/editorial/10" } ]

[ { "content": "**解法1.**　全体を $169$ 倍に拡大して考えてもよい. このとき,\r\n$$A:(0,845),\\ \\ B:(0,0),\\ \\ C:(2028,0)$$\r\nとして直交座標を定めると, 以下のように順次計算できる.\r\n$$D:(120,795),\\ \\ E:(915,675),\\ \\ F:(732,540)$$\r\nこれより $BF:FE=4:1$ および $CF:FD=36:17$ を得るから, 解答すべき値は $144+17=\\textbf{161}$ である. \r\n\r\n**解法2.**　$B$ から $AC$ におろした垂線の足を $H$ とすれば, $AH:BH=BH:CH=5:12$ などより\r\n$$AH=\\dfrac{25}{13},\\ \\ BH=\\dfrac{60}{13},\\ \\ DH=\\dfrac{15}{13}$$\r\nと計算できる. すなわち $\\tan\\angle DBH=1\\/4$ であるから, \r\n$$\\dfrac{FH}{BH}=\\tan\\angle FBH=\\tan(45^\\circ-\\angle DBH)=\\dfrac{3}{5}$$\r\nこれより $FH=36\\/13$ であるから, 以上より $CF:DF=36:17$ と計算できる.\\\r\n　ここで, $D$ から $BE$ におろした垂線の足を $H^\\prime$ とすれば, 直角三角形 $BFH$ と $DFH^\\prime$ の相似より\r\n$$DH^\\prime:FH^\\prime=BH:FH=5:3$$\r\n一方で $BH^\\prime=DH^\\prime=EH^\\prime$ が成立するから, $BF:EF=(5+3):(5-3)=4:1$ がわかる. 以下同様.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/212" } ]

[ { "content": "　三角形 $BPQ$ は常に正三角形であるから, 円周角の定理より $ABQ$ の外接円 $O^\\prime$ は不変である. $A$ における $O$ の接線と $O^\\prime$ の交点を $C(\\neq A)$ とすれば, 求める領域は (円 $O$ の) 劣弧 $AB$ , (円 $O^\\prime$ の)劣弧 $BC$, 線分 $CA$ に囲まれた部分であり, その面積は一辺が $\\sqrt{3}$ の正三角形のそれと等しい. 特に解答すべき値は $27+16=\\textbf{43}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/210" } ]

[ { "content": "**解法1.**　簡単な角度計算によって $\\angle BAR=\\angle BRA$ および $\\angle CAP=\\angle CPA$ が従う. すなわち $CR=x$ とおけば $AB=16,AC=8+x$ である. 一方で $AB:AC=BQ:QC$ であるから, 以上より $x=8\\/5$ を得る. 特に解答すべき値は $88＋5=\\textbf{93}$ である.\r\n\r\n**解法2.**　三角形 $ABC$ の内心を $I$ とすると, $\\angle{IBP}=\\angle{PAI}$ より $4$ 点 $A,B,I,P$ は共円であり, 同様に $A,C,I,R$ も共円. したがって方べきの定理より以下が成り立つ.\r\n$$PQ\\times BQ=QI\\times QA=QR\\times QC$$\r\nこれらに条件を代入することで $QC=\\displaystyle\\frac{33}{5}$ が得られ, $BC=\\displaystyle\\frac{88}{5}$ であるから, 解答すべき値は $88＋5=\\textbf{93}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/206" } ]

[ { "content": "　$AB$ と $DO$ が直交することから $AD=BD$ である. このとき $AB$ の中点を $M$ とすると, $AM=4,AO=5$ より $OM=3$ であるから, $DM=8$ より $BC=AD=4\\sqrt{5}$ を得る. ところで $CD$ は $\\Omega$ に接するから方べきの定理より $CE=CD^2\\/BC=16\\/\\sqrt{5}$ である. 以上より $BE:EC=1:4$ で, 解答すべき値は $\\textbf{5}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/207" } ]

[ { "content": "　$I,E$ から $AB$ におろした垂線の足をそれぞれ $J,K$ とすれば, $AJ:JK=3:1$ および $AJ=EK$ が成り立つから, $EK=12\\/5,JK=4\\/5$ がわかる. よって, $E$ から $BC$ におろした垂線の足を $L$ とすれば, 求める値は\r\n$$EF^2=EL^2+FL^2=(BE^2-BL^2)+FL^2=BE^2-EK^2+JK^2=\\dfrac{497}{25}$$\r\nとなり, 特に解答すべき値は $\\textbf{522}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/214" } ]

[ { "content": "　$D$ から $CE$ におろした垂線の足を $F$, $F$ について $D$ と対称な点を $G$ とすれば, $CG=CD=25$ より $BG=15$ である. ここで $AFG$ と $DEG$ は相似な二等辺三角形であるから, $DG=13\\sqrt{10}$ より簡単な辺比計算によって $DE=65\\/3$ を得る. 特に解答すべき値は $\\textbf{68}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/211" } ]

[ { "content": "　$A$ から対辺におろした垂線の足を $A_H$ とし, $H$ を $A_H$ について対称移動した点を $H^\\prime$ とすると, 有名事実として $H^\\prime$ は円 $ABC$ 上にある. また有名事実として外心と垂心は等角共役の関係にあることに留意して適当に角度を考えれば, $DH$ と $AO$ の平行および $O,D,H^\\prime$ の共線がわかる. これより円 $ABC$ の半径は $13$ とわかるほか, $HA_H=32\\/5$ と計算できるから, $BC$ の中点を $M$ とすれば相似から $OM=4,DM=3$ を得る. これより $BD=BM-DM=3\\sqrt{17}-3$ で, 解答すべき値は $\\mathbf{150}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/208" } ]

[ { "content": "　$\\Omega$ の $D,G$ での接線の交点 $P$ は根心を考えることで $AB$ 上にある. さらに $ABC$ の外心を $O$ とすれば $D,G,M,O$ は $OP$ を直径とする円上にある. 同様に $D,H,N,O$ も共円である. ここで $\\triangle{ABC}$ の外接円の半径の長さを $R$ とすれば, Ptolemyの定理より以下が成立することが容易にわかる.\r\n$$\\dfrac{MD-MG}{DG}\\times\\dfrac{ND-NH}{DH}=\\dfrac{MO}{R}\\times\\dfrac{NO}{R}=\\cos B\\times\\cos C$$\r\nこれは余弦定理によって $\\dfrac{143}{722}$ と計算できるから, 解答すべき値は $\\textbf{865}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/209" } ]

[ { "content": "　$BCDP$ がひし形となるような点 $P$ をとると, 簡単な角度計算によって $\\angle APE$ は直角である. これより, $AE$ の中点を $M$ とすれば $ABPM$ および $EDPM$ は凧形であり, 五角形 $ABCDE$ の面積は直角三角形 $BDM$ の面積の $2$ 倍である. 三角形 $ABE$ および $ADE$ における中線定理より $BM=\\sqrt{19},DM=\\sqrt{13}$ を得るから, 解答すべき値は $19\\times13=\\textbf{247}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/213" }, { "content": "　 $\\angle{B}+\\angle{D}=180^\\circ,\\angle{A}+\\angle{C}+\\angle{E}=360^\\circ$ に注意して，五角形 $ABCDE,GHABF,EJIHA,LDEJK$ が対応順も含めて合同となるように点 $F$ から点 $L$ までをとり，六角形 $CFGIKKL$ を作る．\\\r\n　$BDJH$ はひし形となり，その面積は五角形 $ABCDE$ の面積 $S$ の $2$ 倍となる．\\\r\n　$AE$ の中点を $M$ とすると，三角形 $ABE,ADE$ で中線定理を用いることで， $BM=\\sqrt{19},DM=\\sqrt{13}$ となる．\\\r\n　よって， $S^2={BM}^2\\times{DM}^2=\\textbf{247}$", "text": "ユーザー解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/213/26" } ]

[ { "content": "　まず有名事実として, 以下の補題1を認める.\r\n\r\n**補題1.**　どの $3$ 点も同一直線上に無く, かつ垂心系をなさない $4$ 点 $V,W,Y,Z$ について, 以下で定められる $8$ 円はすべてある一点 (Poncelet点) を通る.\r\n\r\n- 三角形 $VWY,WYZ,YZV,ZVW$ の九点円\r\n- $Z$ についての三角形 $VWY$ の垂足円, および同様に定まる $3$ 円\r\n\r\n**補題2.**　辺 $BC$ と内接円の接点を $D$ とする. $I$ について $D$ と対称な点を $P$ とすれば, 一般に $M,P,Fe$ は共線である.\r\n\r\n**証明.**　辺 $AC$ の中点を $M_B$, 辺 $AC$ と内接円の接点を $E$ とすれば, 補題1より $E,M_B,M,Fe$ の共円がわかる. これより\r\n$$\\angle EFeM=\\angle AM_BM=\\angle ACI=\\angle EDP=\\angle EFeP$$\r\nが成り立つから, 特に所望の共線が示された.\r\n\r\n**補題3.**　$A$ から $BC$ におろした垂線の足を $H$, $I$ から $AH$ におろした垂線の足を $U$ とする. また弧 $BC$ の $A$ を含まない方の中点を $N$ とする. このとき, $U,D,N$ は共線である.\r\n\r\n**証明.**　円 $ABC$ と $AI$ を直径とする円の交点を $K(\\neq A)$ とすれば, 有名事実として $K,D,N$ は共線である, ここで $KN$ と $AH$ の交点として $U^\\prime$ を定めれば, 簡単な角度計算によってこれは $AI$ を直径とする円上にあることがわかるから, 特に $U$ に一致することがわかる.\r\n\r\n　補題2より, 条件を $M,P,O$ の共線に置き換えてよい.$HI$ の (すなわち $DU$ の) 中点を $V$ とすれば, $MV,PD,ON$ は平行であり, \r\n$$ID:ON=PI:ON=MP:MO=VD:VN$$\r\nより $V,I,O$ は共線である. したがって $DION$ は等脚台形で, 特に $DN=OI$ である.\r\n\r\n　ここで $y=10000$ とおけば, Eulerの定理より $DN^2=OI^2=x(x-2y)$ である. また $BC$ の中点を $M_A$ とすれば $M_AN=(x-y)\\/2$ が成り立つ. これより,\r\n$$DM_A^2=DN^2-M_AN^2=\\dfrac{1}{4}(3x^2-6xy-y^2)$$\r\nが従い, 右辺が正であることから以下の不等式が成立する.\r\n$$x\\gt\\left(1+\\dfrac{2}{3}\\sqrt{3}\\right)y\\gt 21547$$\r\n　逆に $x=\\textbf{21548}$ で条件を成立させられることが確認できるから, これが求める最小値である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omcg001/editorial/215" } ]

[ { "content": "　三平方の定理より $BD=5$ である. すると $BD^2+BC^2=CD^2$ が成り立つから $\\angle BDC$ も直角であり, $ABCD$ の面積 $S$ について\r\n$$S=\\frac 12\\times 1\\times 2\\sqrt{6}+\\frac 12\\times 5\\times 2\\sqrt{6}=6\\sqrt{6}$$\r\n特に解答すべき値は $\\textbf{216}$ である. ", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc028/editorial/226" } ]

[ { "content": "　$\\lbrace a_n\\rbrace$ の公差を $d$, 最大化すべき値を $S$ とおけば, 以下が成立する. すなわち $S=50+25d$ である.\r\n$$100=\\sum_{k=1}^{100}a_i=\\sum_{k=1}^{50}(2a_{2k}-d)=2S-50d$$\r\n一方で $2=\\dfrac{100}{50}=a_1+a_{100}=2a_1+99d$ であり, $a_1\\geq 0$ より $d\\leq\\dfrac{2}{99}$ を得る. 以上より\r\n$$S\\leq50+25\\times\\dfrac{2}{99}=\\dfrac{5000}{99}$$\r\n　逆に $\\displaystyle a_n=\\frac{2}{99}(n-1)$ で等号が成立するから, 特に解答すべき値は $\\textbf{5099}$ である.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc028/editorial/203" } ]

[ { "content": "　$3\\times 3$ のマス目の各マスに $0$ と $1$ を書き込んだとき, 各行および各列にならぶ数字の和がどれも偶数となるような書き込み方を考えると, これは $2^4$ 通りある. このうち, $1$ が登場する回数が $0$ 回のものが $1$ 通り, $4$ 回のものが $9$ 通り, $6$ 回のものが $6$ 通りである. $0$ の場所を $1$ 以上 $18$ 以下の偶数, $1$ の場所を $1$ 以上 $18$ 以下の奇数に置き換えることを考えれば, 解答すべき値について\r\n$$\\dfrac{M}{9!}=\\dfrac{{}\\_9\\mathrm{P}\\_9+9\\cdot{}\\_9\\mathrm{P}\\_4\\cdot{}\\_9\\mathrm{P}\\_5+6\\cdot{}\\_9\\mathrm{P}\\_6\\cdot{}\\_9\\mathrm{P}_3}{9!}=1+9\\cdot{}\\_9\\mathrm{C}\\_4+6\\cdot{}\\_9\\mathrm{C}\\_3=\\textbf{1639}$$", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc028/editorial/228" } ]

[ { "content": "　まず $\\angle BDC=\\angle BOC=2\\angle BAC$ より $AD=CD$ が従い, 同様に $AE=BE$ である. また, 三角形 $ABC$ と三角形 $AED$ は相似であることに留意する.\\\r\n　ここで $BC=x$ とおく. このとき三角形 $ABC$ と三角形 $AED$ の相似比は $2:x$ であるから,\r\n$$AD=CD=\\frac{10}{x},\\ \\ AE=BE=\\frac{8}{x}$$\r\nが成り立ち, 四角形 $BCED$ にPtolemyの定理を適用することで\r\n$$2x+\\left(4-\\frac{10}{x}\\right)\\left(5-\\frac{8}{x}\\right)=\\frac{10}{x}\\times\\frac{8}{x}$$\r\nを得る. これを解けば $x\\gt 0$ より $x=-5+\\sqrt{66}$ となり, 特に解答すべき値は $\\textbf{61}$ である. \\\r\n　なお $\\cos \\angle BAC$ を2通りに表現して比較しても解くことができる.", "text": "公式解説", "url": "https://onlinemathcontest.com/contests/omc028/editorial/225" } ]