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Titolo: Definizione di linea retta

Ho letto, in alcuni recenti post, alcuni doppi avvitamenti
carpiati sulla definizione della retta, quindi voglio dire
anche la mia.
La definizione storica la troviamo nella geometria euclidea
che consta di 23 definizioni, 5 postulati e 5 nozioni comuni.
Tale geometria e' appunto attribuita ad Euclide, circa nel
300 a.C., ma attraverso un'opera indiretta di Teone
d'Alessandria vissuto circa 700 anni dopo Euclide. E anche
l'opera di Teone ci giunge attraverso traduzioni e ricopiature
a dir poco rocambolesche. Andiamo a vedere come si arriva
a definire la retta in questa opera basilare.
Lo si fa attraverso le prime quattro definizioni:
1. Un punto č ciň che non ha parti.  (!)
2. Una linea č una lunghezza senza larghezza.
3. Gli estremi di una linea sono punti.
4. Una retta č una linea che giace ugualmente rispetto ai punti
su di essa.
Eh beh! Fate voi. Certo bisognerebbe rileggersele quando
viene il dubbio che un sistema assiomatico sia quel sistema
preciso, chiuso, formale che molti si immaginano.
Va detto che nella trattazione moderna della geometria oggi
si parte considerando la retta un "termine primitivo", cioe'
dotato di una "definizione implicita". Ci si e' resi conto che
ogni definizione usa termini che dovrebbero essere definiti
a loro volta in un processo all'infinito. Quindi si preferisce
ricorrere ai termini primitivi. Questo, tradotto in italiano,
diventa: "Ueh, raga, sappiamo tutti, no, che cos'e' una retta,
quindi non rompete li cojoni!".
E' cosi'. E questo e' il sistema assiomatico piu' consolidato
e assestato di tutta la storia del pensiero umano.
Figuratevi gli altri.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 quindi non rompete li cojoni!".
Non è proprio così, ma ho dormito due ore e sono troppo "cotto" per
affrontare questa faccenda.
Appena mi riprendo ci facciamo una bella chiacchierata sugli assiomi di
Hilbert per la geometria euclidea del piano :-)
Ciao.
--
Davide - email: senza il duca
"Tutta questa storia - disse il Duca d'Auge al Duca d'Auge - tutta
questa storia per un po' di giochi di parole, per un po' d'anacronismi:
una miseria. Non si troverà mai via d'uscita?" Queneau, I fiori blu

 Figuratevi gli altri.
Non hai capito nulla!
La potenza del sistema è proprio che non si definisce nulla.
La retta è definita solo in termini di relazione con l'ente punto e così
via.
Il sistema è definito dalla relazioni tra gli enti e basta.
Non solo, il verbo appartiene magari in un altro sistema può voler dire
altro.
E' così che ad esempio si sono ridotte le geometrie non euclidee a casi di
quella euclidea, e si è dimostrato che se una è coerente, anche le altre
lo sono.
E' per questo che io sono convinto che esistano i teoremi come relazioni
tra enti ma non gli enti, e che sono convinto che esista la coproduzione
dipendente ma non le cose in sè.
Cioè sono i vincoli l'unica forma di esistenza, mentre la libertà e gli
enti in realtà non esistono!
Ciao.
Da Uahlim
-- 
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 assiomi di Hilbert per la geometria euclidea del piano :-)
Un assioma di Hilbert:
Se B *giace* tra A e C allora A, B, C sono tre punti distinti di una retta.
Gia' a *giacenza* non siamo andati tanto avanti!  :o)
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 e gli enti in realtà non esistono!
Le relazioni, i vincoli, sono quelli che abbiamo copiato "dall'ordine
e dalle connessioni delle cose". Perche' dovrebbero avere piu'
consistenza degli enti? E' di nuovo un miraggio provocato dal pdnc.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 consistenza degli enti? E' di nuovo un miraggio provocato dal pdnc.
Il motivo e' questo: se io decido delle regole sintattiche su come certi
simboli si evolvono, poi esiste un insieme di tutte le evoluzioni possibili.
Ma se vado su alpha centauri e costruisco un sistema analogo di simboli e di
loro evoluzioni, ho lo stesso insieme di evoluzioni.
Ad esempio il pdnc non e' neppure un a priori.
Posso anche immaginare un sistema che me lo accetti, per me l'esistenza non
e' data dal fatto che il sistema sia coerente logicamente ed obbedisca al
pdnc.
Esiste anche una geometria in cui uno demolisce certe regole di deduzione
naturale ed in cui si avranno meno teoremi.
La matematica non e' cioe' diverso dall'insieme delle mosse possibili sul
gioco degli scacchi, ma il fatto che una volta decise le regole l'insieme
non muti, ecco la vera esistenza delle mosse.
Ma non dei pezzi, delle mosse sapendo le regole, regole e mosse, non pezzi
sono i veri elementi reali del gioco degli scacchi.
 Quindi l'esistenza e' data dalla struttura, da relazioni e dalle  loro
evoluzioni secondo certe regole.
Io non ho mai visto purtroppo studiare l'aritmetica usando altre regole di
deduzione naturale, cioe' proprio altre regole di evoluzione delle
proposizioni logiche.
Ma alla fine la vera semantica della matematica e' la sua sintassi.
Cioe' se leggi Peano ad esempio il significato sono le formule scritte come
successione di simboli.
Cioe' 2=1+1 ha significato ma solo perche' con certi passaggi formali
ottengo 2 est N ove N significa Numero ed est appartiene.
E questo Peano lo dimostra sapendo solo che 2 e' definito come il successore
di 1 ma senza affermare che 2 est N.
Ma cosa significa 1, 2, N, est non importa, quello che importa e' la regola
per creare formule ben formate (che pero' no nhanno significato) e che
questi possono evolvere combinandole in qualche maniera.
Il significato e' dato dal fatto che se vale la sequenza di simboli 2=1+1
allora vale 2 est N, cioe' 2 est N e' una disposizione di pezzi
raggiungibile dalla sequenza 2=1+1.
Ciao.
Uahlim .
P.S.: Lo so, e' una definizione molto lasca di esistenza, ma e' l'unica che
ho trovato.
Il resto per me non esiste, non esisto io, non esisti tu, non esiste nulla e
tu ed io siamo la stessa persona!
TOUT EST ET RIEN N'EST!

 Gia' a *giacenza* non siamo andati tanto avanti!  :o)
Hilbert non dice che cosa è un punto, una retta, o cosa sia la giacenza,
perché non lo *vuole* dire.
La "posizione" è più o meno questa:
1) abbiamo degli oggetti che chiamiamo rette e punti, e diciamo che i
punti giacciono sulle rette;
2) non sappiamo cosa siano i punti e le rette, né sappiamo cosa sia
l'atto di un punto di giacere su una retta;
3) qualuque cosa siano le rette, i punti e l'atto di giacere, stabiliamo
una serie di criteri per costruire "frasi sensate" per mezzo di quel
lessico;
Qui uno mi interrompe e dice: e come fai a sapere che sono sensate se
non sai di cosa stai parlando?
E' proprio questo il punto in cui compare la nozione di "definizione
implicita".
Se tu mi chiedi <<Cos'è x?>> ed io ti rispondo che <<x è il numero 3>>
allora ti ho dato *esplicitamente* la definizione di x. Se invece io ti
dico: <<Guarda, non so cosa sia x, so solo che se ad esso si somma 3 e
si divide il risultato per 2 si ottiene ancora x>> allora x resta
definito in maniera *implicita*.
Il parallelo con la matematica finisce qui, perché nel caso della
matematica x si può esplicitare, mentre nel nostro caso no.
Però se vogliamo il parallelo può anche essere ripreso, perché nulla si
può mai esplicitare fino in fondo. Infatti anche dopo averti
"esplicitato" <<x = 3>> tu potresti chiedermi <<Che cosa è "3"?>> ed io
comincerei ad "inseguirti" fino ad arrivare a parlare o di insieme o di
relazione (non so costruire la matematica a partire da altro), e per
questi non potrei che darti una definizione "implicita". Allora tanto
vale usare fin da subito una definizione "implicita".
Però - ed è questo che volevo chiarire - "implicito" non vuol dire
<<Ueh, raga, sappiamo tutti, no, che cos'e' una retta, quindi non
rompete li cojoni!>>.
Vuol dire invece quello che ti stavo dicendo...
3) qualuque cosa siano le rette, i punti e l'atto di giacere, stabiliamo
una serie di criteri per costruire "frasi sensate" per mezzo di quel
lessico [definizione implicita];
4) fra tutte le frasi sensate che si possono formare con quel lessico
(come da punto 4) ne fissiamo un numero finito come "vere" (= assiomi) e
di qui partiamo a ricavare tutte le "tautologie" (= teoremi) di quegli
assiomi.
Ora, la cosa importante è che per dedurre tutti i teoremi possibili *non
ci serve* sapere esplicitamente che cosa è la retta il punto o l'atto di
giacere. Una volta che sappiamo formare frasi sensate (per definizione
"implicita") e abbiamo una serie di assiomi da cui partire, possiamo
tranquillamente lavorare anche "senza la foto".
Ed infatti quando si studia la geometria i buoni insegnanti ripetono
sempre che il "disegno" serve solo come "aiuto intuitivo", mentre le
"regole del gioco" consistono nel ricavare i teoremi formalmente
attraverso l'algebra dei predicati.
Insomma, la disciplina della deduzione procede a livello *sintattico*,
ed una volta che siano date le regole sintattiche i riferimenti
*semantici* sono superflui.
E' questa la forza di *tutta* la matematica: non ci si chiede se "esista
veramente" una cosa fatta così o cosà. Si si chiede solo cosa "accade"
se ci si imbatte in una cosa fatta così e cosà.
Tutto ciò che segue da quelle definizioni implicite e da quegli assiomi
lo chiamiamo "geometria euclidea del piano" (sempre che il "quinto
assioma" sia quello "euclideo"). Poi spetta alle scienze naturali
stabilire se questo schema concettuale può "venire buono".
Ad esempio ci si potrebbe chiedere: <<i raggi di luce nello spazio vuoto
si comportano come le "rette" di Hilbert?>>
Misuriamo, verifichiamo, controlliamo. Se la risposta è <<no>> si dovrà
eventualmente cercare un altro schema concettuale che possa tornare
utile. Il che non toglie che lo schema concettuale di Hilbert-Euclide se
ne possa stare lì all'infinito nella sua "purezza sintattica", anche
privo di riferimenti semantici.
E l'importante è non dire *mai* <<sappiamo tutti che cosa è una retta>>
o altro. Perché se così facendo io ti faccio pensare a dei "fili tesi",
allora tu potresti non essere in grado di "riconoscere" delle "rette"
anche - eventualmente - nei raggi di luce.
L'importante è fornire degli strumenti per *riconoscere* gli oggetti che
quel lessico connota. Se si può dire <<ecco, un raggio di luce è una
"retta euclidea"!>> allora quelle *connotazioni* cominciano anche a
*denotare* qualcosa.
Ma *guai* a "buttare via" uno schema sintattico rispondendo
esplicitamente alla domanda <<che cosa è?>>.
Se io costruissi il sistema assiomatico dei numeri naturali e ti
mostrassi che 3+2=5, allora quando tu mi chiedessi <<che cosa è 3>>
farei un grave errore a portarti a vedere 3 capre, perché da quel
momento tu potresti usare quella somma solo per sommare 3 capre con 2
capre. Invece a me interessa fornirti uno strumento per poter
"riconoscere" il "3" ed il "2", in modo tale che tu sappia sommare 3
capre con 2 capre, 3 alberi con 2 alberi, 3 euro con 2 euro, ecc.
Via, via dalla semantica e dalla denotazione: si deve restare nella
sintassi pura. Altrimenti sarebbe come costruire una chiave inglese che
può svitare solo un bullone.
E le "definizioni vuote" di Newton ed Euclide mostrano proprio questo:
non riuscivano a concepire nessuna definizione diversa dalla
"definizione esplicita", eppure *sapevano* che non era "quella" la
"definizione" che serviva loro. Ed il compromesso non poteva che essere
quello di fornire definizioni inutilizzabili.
Anche se qui si pone una ulteriore difficoltà: infatti le definizioni
"altre" (rispetto alle "esplicite") che sarebbero servite ad Euclide
erano le definizioni "implicite" di cui stiamo parlando qui; invece a
Newton sarebbero servite le definizioni "operative", che sono un'altra
faccenda ancora più complicata.
Ma in ogni caso la scienza e la matematica si possono fare solo "alla
larga" dalla ontologia. Appena ti infili nella semantica sei spacciato.
Lì si può fare solo della filosofia.


>> non rompete li cojoni!
Non c'e' sistema assiomatico, non c'e' pensiero organizzato
che, per quanto piccino, possa avere le sue definizioni assolute,
i suoi assiomi-verita', la sua sintassi e possa considerarsi un
sistema, un pensiero chiuso ed autosufficiente. E nonostante
la lapalissianita' di cio', non c'e' pensatore, a cominciare da
Euclide, che non abbia tentato di chiudere un suo pensiero
(come questo  :o)) in un sistema autosufficiente.
E allora, dopo aver scartato l'idea delle verita' assolute, dopo
esser rimasto deluso dalle verita' relative e soggettive, dopo
aver pensato per un attimo che le verita' potessero essere
assiomatiche, ora non mi restano che verita' convenzionali,
definizioni convenzionali, assiomi convenzionali. E' il trionfo
ultimo del libero mercato: la verita' posso solo mercanteggiarla
con il mio prossimo, accordarmi su quale sia. Che importanza
ha che tu pensi che il pdnc sia una verita' assoluta e io un
assioma come altri? Nessuna. L'importante e che ci accordiamo
di usarlo quando parliamo tra di noi. Il prezzo e' modesto: si
taglia fuori poca roba: qualche dio uno e trino, qualche tana
di bianconiglio. Affare fatto, qua la mano.
Commercio, quindi sono e penso.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 definizioni convenzionali, assiomi convenzionali.
Ma se era qui che volevi arrivare me lo potevi dire subito. Ci saremmo
risparmiati una bella fatica.
Infatti le "verità assiomatiche" non sono altre che "verità
convenzionali" con l'aggiunta del pdnc:
sistema assiomatico = sistema convenzionale + pdnc.
Quanto al pdnc, non l'ha ordinato il dottore, ma se non lo usi non puoi
fare alcuna "deduzione" ed i tuoi "assiomi convenzionali" resterebbero
lì, senza alcun possible "sviluppo". Oppure sì, puoi fare delle
deduzioni, ma puoi dedurre *qualuqnue cosa*: il sistema diventa banale,
dice tutto e niente.
Il motivo per cui Hilbert non *vuole* dare dei riferimenti semantici
alla geometria (perché, *volendo*, *potrebbe* sempre farne una *scienza
naturale*, una "fisica dei raggi di luce", o una "fisica dei fili tesi",
ecc.) è proprio perché intende costruire una struttura deduttiva
costituita da "pura sintassi", che si possa "calare" in un contesto
semantico o un altro tutte le volte che lo si ritiene opportuno, utile
e/o possibile.
Allo stesso modo in algebra è per *convenzione* che si chiamano 2 il
"successivo" di 1 e 5 il "successivo" di 4, che a sua volta è il
"successivo" di 3. Ed è sempre per convenzione che si indica con 3 + 2
il "successivo del successivo" di 3, che è appunto 5.
Questa "relazione di successione" ha alcune proprietà, come ad esempio
quella di essere commutativa.
Se poi tu decidi di usare questa proprietà per "fare i conti" con le
capre sono affari tuoi. Potresti notare (o convincerti) che "aggiungere
una capra al gregge" ha le stesse proprietà della "relazione di
successione" che usano i matematici. E così chiameresti "3 capre" una
stalla che sia la successiva della successiva della successiva di una
stalla vuota, eccetera. E dovendo sapere che tipo di stalla ottieni
quando unisci la stalla "3 capre" con la stalla "2 capre" non avresti
bisogno di spostare la capre, ma potresti utilizzare quello schema
"puramente sintattico" che ti offrono i matematici, i quali parlano di
"3" e di "2" senza fornire alcun riferimento semantico. Se poi lo
"schema vuoto" dei matematici faccia o meno al caso tuo lo devi decidere
tu. Se scoprissi, ad esempio, che la "somma delle capre" non ha la
proprietà commutativa (la stalla che si ottiene aggiungendo 2 capre a 3
capre è la stessa che si ottiene aggingendo 3 capre a 2 capre? sperimao
di sì) allora non potresti usare quella matematica lì, ma dovresti
cercare una matematica in cui ci siano "somme non commutative", ammesso
che qualcuno abbia preparato uno "schema concettuale" (puramente
*convenzionale*) di questo tipo.
Tutto ciò, però, si "mette in moto" solo se ci aggiungi il pdnc. Sennò
"resta fermo". Non è vietato restare fermi, basta decidere
*convenzionalmente* se si vuole mettere in moto il sistema o farlo
restare fermo.
Se poi uno crede di poter mettere in moto il sistema senza pdnc allora
mi faccia vedere come si fa. Purche si decidano - "democraticamente" -
delle "regole uguali per tutti". E così chi usa qualcosa di diverso dal
pdnc per "mettere in moto" il sistema non può poi lamentarsi se io uso
le stesse "regole" (convenzionali quanto vogliamo, ma "accessibili a
tutti", "democratiche" insomma) per fagli "esplodere" il sistema.
Quanto alla equazione:
sistema assiomatico = sistema convenzionale + pdnc
non me la sono inventata io, ma tutti quei signori di cui parlo spesso
(Poincaré, Hilbert, ecc.) Senti ad esempio Poincaré:
<<Gli assiomi geometrici non sono né giudizi sintetici a priori [1] né
fatti sperimentali [2]. Sono *convenzioni* [3]. La nostra scelta fra
tutte le convenzioni possibili è guidata da fatti sperimetali [4]; ma
resta libera o è limitata soltanto dalla necessità di evitare la contrad
dizione [5].>>
[1] Come ti dicevo nel primo post, decidi tu come li vuoi fare i tuoi
postulati. Se il "quinto" è quello "euclideo" allora starai facendo
della "geometria euclidea", sennò ne farai altre, compresa - se ce la
fai - una "geometria liviozucchea".
[2] Abbiamo *deciso* di non costruire una "geometria sperimentale". Non
è vietato fare una "geometria sperimetale", ma c'è già ed è una parte
della "cinematica". Qui ci interessa vedere cosa si può fare dal punto
di vista "sintattico", senza riferimenti "semantici".
[3] Contento?
[4] Se la "geometria liviozucchea" non viene utile a nessuno, non si
trova mai un contesto concreto in cui "calarla", allora è possible che
Livio Zucca abbia sprecato il suo tempo. Oppure no, perché magari prima
o poi viene "buona". In ogni caso fra tutte le infinite geometrie
convenzionalmente possibili è ragionevole che uno si chieda se una certa
geometria che ha intenzione di costruire possa venire "utile". I
matematici non abitano sulle nuvolette.
[5] Eccolo qua! Il vecchio maledetto pdnc :-)


 [5] Eccolo qua! Il vecchio maledetto pdnc :-)
Ok. Lo prendo per buono!  (convenzionalmente)
Contento?  :o)))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Contento?  :o)))
Come un... Natale! ;-)))


 anche la mia.
Anche *io* con l'esempio di un amico laureato in matematica.
 la retta é un insieme di punti... il punto non ha dimensioni...
come si forma la terra se non c'è una dimensione nel punto?Libenitz
risolveva il problema dicendo che la retta é la traiettoria formata da un
punto che si muove di moto rettilineo uniforme... ma che significa
rettilineo? Che si muove secondo una retta
:-))))