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Titolo: La solitudine dei numeri primi

La narrativa contemporanea mi ha spesso deluso. Fu sicuramente il caso del
romanzo "La solitudine dei numeri primi" di Paolo Giordano. L'avevo comperato
affascinato dal titolo, dimenticando che spesso il titolo lo impone l'editore
e non l'autore, come "Goodbye, Kant!" di Maurizio Ferraris o "Bentornato Marx"
di uno che conoscete. 
 
Di numeri primi, in quel romanzo, se ne parlava giusto in una paginetta. Della
loro solitudine proprio per niente. Fu una brutta delusione.
 
Ma e' con grande piacere che ho scoperto, assolutamente per caso, che anche
Piergiorgio Odifreddi era arrivato a simile conclusione. Pero' lui ne trova
spunto per inventarsi una lezione da prof in pensione. Me la sono goduta e
spero piaccia anche a qualcuno di voi:
 
https://www.youtube.com/watch?v=FCSaXPYJ1zk
 
 
Non sapevo che fosse stata dimostrata la solitudine dei numeri primi gemelli,
pur non essendo dimostrata la loro infinitezza. 
 

 ha scritto:

Definizione
I professori possono scherzare quando non sono allievi.
Teorema
Esiste un professore che puo' sempre scherzare.
Ipotesi
Deve esistere almeno un professore che e' allievo di se' stesso.
Dimostrazione?
 
-- 
 
 
ciao
Massimo 
 
いいいいいいいい
la password e' pippo
 
 
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 ha scritto:

A parte la serie regressiva il titolo del romanzo e' opera di un
 distratto.
2 e 3 stanno vicini vicini e si fanno compagnia da sempre.



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E' vero! Anche a questo non ci avevo mai fatto caso.
Di solito verso il basso ci si incaponisce a discutere perche' uno non e' primo.
Vedo in rete buffe spiegazioni. La realta' (imho) e' che non lo si considera primo
soltanto per comodita'. 
 
 

 ha scritto:

Solo perche' e' implicito nella definizione di numero primo.
Sarebbe una ripetizione.



I professori possono scherzare quando e solo quando non sono piu' allievi.
Il professor Odifreddi e' scherzoso.
Dunque il professor Odifreddi non e' mai andato in pensione:-)
 
 
 
-- 
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
CARLO
Come sempre, Odifreddi ...un grande affabulatore!
Ma non ho capito (tra le altre cose) la teoria del mio omologo visionario Ramanujan, secondo cui la somma di tutti i numeri interi sarebbe = - 1/12. Non sarà che la dea Kali spara cazzate?


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Gia' la 
1-2+3-4+5-6+... =1/4
e' piuttosto "paradossale" come disse Eulero.
 
 


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Trovi? Non vale repetita iuvant in questo caso?
Un numero e' primo se e' divisibile solo per se stesso e (AND) per uno.
A AND A = A a casa mia.
 

  22:37 sab01mag2021 gli avevo scritto...
  °.
https://fcku.it/it.cultura.filosofia/thread/5889252
 
https://groups.google.com/g/it.cultura.filosofia/c/YtMn5GClGzI
 
https://groups.google.com/g/it.cultura.filosofia
 
  _-
  - sempre comico e uomo del varietà oltre che professore...
  ..ma... di solito, quando uno è di una certa parte politica, viene
  adulato o venerato dalla sua parte e gli danno del cretino o altro
  da quella opposta. ..E funziona in entrambe le direzioni, voglio dire.
  ..Ecco, odifreddi... un po' e un po': cioè un po' gli danno del
  cretino o viene adulato o venerato, e un po' riceve rispetto da
  emtrambe le parti. - ..Tra l'altro, molti anni fa... gli avevo
  scritto in email, non mi ricordo per cosa... e lui mi aveva
  risposto, ma mi par di ricordare per dirmi che non aveva capito
  che cosa gli avevo scritto... - Era una vecchia casella email che
  non ho più... dovrei cercare tra i vecchi archivi ma son problemi.
  =
  ..Però, se hai voglia... dimmi con parole tue come mai da un lato
  si dice che i quadrati "sono un po' meno soli", e dall'altro che
  per ogni numero c'è un quadrato e quindi sono infiniti uguale
  -_
 

 per ogni numero c'è un quadrato e quindi sono infiniti uguale 
  ^^
  * un po' più, non un po' meno... m'era sfuggito e l'ho postato...
  e adesso vi andranno in corto i cervellini, per quell'errore lì
  seguito dalla correzione, non riuscirete a ricostruire mentalmente
  -_
 


Si ma come lo scomponi 1? 
2 lo scomponi ma 1?
E' tutto li'.
Se ne va un principio aritmetico e ci toccherebbe rifondare
 l'aritmetica.
Che viene prima per semplicita' delle matematiche e logiche seguenti.
Insomma la logica che indichi e' logica ma non e' aritmetica.
Dunque si puo' certo indicare il primo dei numeri un numero primo
 ma le cose invece di semplificarsi si complicano perche' ci tocca
 dire come si scompone.


 
 
 
-- 
 
 
ciao
Massimo 
 
¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤¤



---------------------------
Ricordando come non hai voluto capire la storia delle due capre e dell'auto,
la mia forte tentazione e' risponderti come dici che ti rispose Odifreddi.
Purtuttavia capisco che una mente matematicamente ingenua possa non comprendere
che gli infiniti sono tanti. Per cui ti rimando a questa famosa lezione di
Odifreddi sugli infiniti di Cantor, veramente emblematica:
 
https://www.youtube.com/watch?v=8khtGeWy0Ig
 
 
 


---------------------------
Certo. Ma stai gia' usando un'altra definizione. Ad es. questa:
"Un numero primo e' un numero intero positivo che abbia esattamente 
due divisori distinti".
Non e' cosi' ovvio, e' solo piu' comodo non considerarlo primo e 
quindi dare la giusta definizione che lo escluda. Andrebbe benissimo
anche la seguente: "Un numero primo e' un numero intero positivo 
che sia solo divisibile per uno e per se stesso, eccezion fatta
per il numero 1". Tant'e' che ancora per Derrick Norman Lehmer
(1867-1938) il numero 1 era considerato primo.
 
 

 
https://www.youtube.com/watch?v=8khtGeWy0Ig
 
  ^^
  * Mi risulta già visto. ..O meglio, già cliccato
  -_
 

 Mi risulta già visto. ..O meglio, già cliccato 
  ^^
  * Sì, l'avevo già visto in passato. Ma è solo una
  breve rassegna di abeddoti e curiosità spicciole
  -_
 


---------------------------
Scusa, ma tu hai capito che cosa si definisce matematicamente per 
solitudine dei numeri di una sequenza infinita di interi?
Se la sommatoria degli inversi di tutti quei numeri e' un numero
finito allora si dice che quei numeri sono soli.
Se fai questa sommatoria per tutti gli interi ottieni infinito.
Se lo fai per i quadrati ottieni 1,644934+ quindi dici che i
quadrati dei numeri interi sono soli. Amen.
Se lo fai per i numeri primi ottieni di nuovo infinito, quindi
i numeri primi NON soffrono di solitudine.

 i numeri primi NON soffrono di solitudine. 
  ^^
  * ..Bene, hai applicato un certo tipo di filtro ottenendo
  determinati risultati. - ..E tutto questo cosa c'entra con l'infinito
  generico dell'immaginario, con dio, e con le menti ingenue?...
  - Sono strumenti di lavoro per fare determinate cose, e quei modi di
  definirli sono unicamente dei modi di dire, dei nomi convenzionali,
  ed è pretestuoso e fuorviante metterli in relazione con altri
  generici e tradizionali dell'immaginario popolare. - Allora non ti
  chiedo più, quale infinito sceglieresti per la vita di tutti i giorni
  -_
 


----------------------------------------
Frase attribuita a Einstein:
"Due cose sono infinite: l'universo e la stupidità umana, ma riguardo 
l'universo ho ancora dei dubbi."
 


------------------------------
Per quelli che (come me :-) ) non riescono a calcolare che la somma infinita
degli inversi dei quadrati vale Pi^2/6, ho fatto questo semplice programmino
in Basic che calcola il risultato dei primi 10, 100, ..., 10.000.000 di termini.
Interessante vedere come il risultato converga rapidamente.
 
For e = 1 To 7
P = 10 ^ e
    S = 0
    For N = 1 To P
        S = S + 1 / (N ^ 2)
    Next N
Print P, S
Next e
 
 10  1.5497677+
 100  1.6349839+
 1000  1.6439345+
 10000  1.6448340+
 100000  1.6449240+
 1000000  1.6449330+
 10000000  1.6449339+
 
Pi^2/6 = 1.6449340+
 


ideaprima 
 
vedo che chi non ti sa rispondere ti scarica da Odifreddi, che peraltro 
parrebbe non aver capito manco lui di cosa si tratti... per cui, se vorrai, potrei dirti come la vedo io, sta faccenda.... e risponderebbe a entrambi i tuoi quesiti. 
E sta cosa mi piace pure......anche se in natura non esistono quadrati, o cubi ... tantomeno perfetti. 
 Ma è spunto di riflessioni e considerazioni che vanno ben oltre ai limiti mentali degli abbonati alla settimana enigmistica. 
O ci arrivi di tuo... o nisba!..... dici che Odifreddi l'ha poi capita?
 
 
 


ideaprima 
 
ah be'!.... se non altro hai smanettato un po' in google per tovare qualcosa da spacciare a uniposta al posto di un tuo inesistente ragionamento. 
 
 
 
 

 i numeri primi NON soffrono di solitudine.
 
Però sicuramente conoscerai quelli cattivi (evil) e odiosi (odious).


-----------------------------------
Oh si'! E ci sono anche i perniciosi (uni binari in numero primo).
Naturalmente la maggior parte dei perniciosi sono anche odiosi,
quindi sarebbe interessante indagare se i perniciosi evil non
siano solitari. L'istinto mi dice di si'. :-)
 
 
 


--------------------------------
Ho scoperto alcune cosette interessanti.
 
Questi i primi numeri perniciosi evil:
 
3 5 6 9 10 12 17 18 20 24 33 34 36 40 48 65 66 68 72 80 96 129 130 132 136 144 160 192 257 258 260 264 272 288 320 384 513 514 516 520 528 544 576 640 768 1025 1026 1028 1032 1040 1056 1088 1152 1280 1536
 
Sono noti all'OEIS, Enciclopedia Online delle Sequenze di Interi con la sigla:
 
https://oeis.org/A018900
 
 
Ho fatto un programmino in Basic per calcolare la sommatoria degli inversi
fino alla decima potenza di 2, poi alla ventesima, poi alla trentesima e
cosi' via, per verificare empiricamente se c'e' una convergenza.
 
For x = 10 To 100 Step 10
    S = 0
    For k = 1 To x
        For J = 0 To k - 1
            P = 2 ^ J + 2 ^ k
            'Text1 = Text1 + Str(P)
            S = S + 1 / P
        Next J
    Next k
    Print x, S	
Next x
 
Questi i risultati: direi che c'e' una forte convergenza ad un
risultato finito simile a quello dei quadrati e direi quindi che:
 
-----------------------------------
I NUMERI PERNICIOSI EVIL SONO SOLI
-----------------------------------
 
 10    1.51802707466654
 20    1.52897930894543
 30    1.52899953160656
 40    1.52899956065939
 50    1.52899956069685
 60    1.52899956069688
 70    1.52899956069688
 80    1.52899956069688
 90    1.52899956069688
 100   1.52899956069688
 
Grazie Marco per lo spunto. Mi sono divertito. :-)
 

Il giorno mercoledì 5 maggio 2021 alle 18:15:55 UTC+2 Chenickname ha scritto:

Psicologia dei numeri primi:-). Oramai c'è una vera e propria foresta di congetture numeriche... Da non esperto, sono rimasto stupito dal comportamento dei multipli "puri" dei primi (intendo quelli che non sono multipli anche dei primi precedenti). Ma conoscerai sicuramente l'archivio OEIS...
 
Un saluto,
 
Marco


Manco a farlo apposta avevo appena nominato OEIS:-). Anni fa scrivevo anche io questi programmi, ora è un bel po' di tempo che non lo faccio...  Ti dicevo dei multipli "puri" (li sto chiamando io così) dei primi. Grazie ad un amico che me ne aveva parlato, ho visto che la distribuzione dei multipli di 7 che non siano sottomultipli di 2, 3, o 5 (cioè quelli nella cui fattorizzazione in primi non ci sono i primi precedenti) ha un comportamento periodico. Te ne sei mai occupato?

 Anni fa scrivevo anche io questi programmi, ora è un bel po' di tempo che non lo faccio... Ti dicevo dei multipli "puri" (li sto chiamando io così) dei primi. Grazie ad un amico che me ne aveva parlato, ho visto che la distribuzione dei multipli di 7 che non siano sottomultipli di 2, 3, o 5 (cioè quelli nella cui fattorizzazione in primi non ci sono i primi precedenti) ha un comportamento periodico. Te ne sei mai occupato?
 
---------------------------
No, non l'ho mai vista. Se ho capito bene dovrebbe essere la sequenza:
 
7, 7^2, 7x11, 7x13, 7x17, 7x19, 7x23, ..., 7x47, 7^3, 7x53, ...
 
ma non vedo la periodicita', salvo che ogni tanto c'e' una potenza di 7.
 
 

 ma non vedo la periodicita', salvo che ogni tanto c'e' una potenza di 7.
 
Sì, quella. E' la sequenza A084968. La differenza tra i suoi elementi ricorre con un periodo 8 e segue questo schema ricorrente: 
42-28-14-28-14-28-42-14. 
Per vederlo, ecco i primi 32 elementi della sequenza (dove metto la barra finisce l'ottetto delle differenze ricorrente):
 
7, 49, 77, 91, 119, 133, 161, 203 | 217, 259, 287, 301, 329, 343, 371, 413 | 427, 469, 497, 511, 539, 553, 581, 623 | 637, 679, 707, 721, 749, 763, 791, 833|
 
Ogni elemento a_7(n) di A084968 ha questa forma: a_7(n)=7*q_7(n), dove q_7(n) è l'n-esimo numero che non è un multiplo dei primi minori di 7, cioè 2, 3, o 5. Ecco la successione q_7(n) sviluppata fino al 32esimo elemento:
 
1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 | 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59 | 61, 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89 | 91, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 119|
 
A occhio si vede che le cifre finali dei primi otto elementi si ripetono. Anche qui è facile capire perché: 2*3*5=30 (che è il prodotto dei numeri primi esclusi, che non devono figurare nella fattorizzazione), e ciascun elemento di un ottetto è uguale a quello dell'ottetto precedente incrementato di 30. Ovviamente tutto questo si può rigorizzare in termini di aritmetica modulare.
Inizialmente non volevo credere a quella iterazione, perché pensavo che avrebbe imposto una legge alla distribuzione dei primi. Poi ho capito: ero parecchio arrugginito:-). E' la distribuzione di q_7(n) a imporre la legge a A084968. Ho controllato e pare proprio così: infatti q_7(n) è la sequenza A007775 di OEIS.
Non esiste una espressione *analitica* per a_7(n). Su tutto questo, procedendo con a_11(n) etc. immagino ci sia una foresta di congetture di tutti i tipi.
 
 
 


---------------------------------
Molto interessante. Grazie. Penso che ci giochero' un po'.
.
---
In generale, per ogni sequenza infinita (!) che compare su OEIS,
sarebbe imho interessante scoprire se trattasi di numeri solitari
o no, cioe' se la sommatoria degli inversi converga verso un numero
finito o diverga all'infinito.
 
Dovrei trovare il modo e il coraggio di proporlo all'OEIS. :-)
 

 Dovrei trovare il modo e il coraggio di proporlo all'OEIS. :-)
 
A proposito di convergenze, lim_{n->infinity} di a_7(n)/n è uguale a 105/4. Lo leggi su A084968. 


-----------------------------------------
Ho fatto un programmino per scrivere gli a_11(n) a gruppi di 48. 
Perche' 48? Cosi'... a istinto. :-)
 
 
 1 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 121 127 131 137 139 143 149 151 157 163 167 169 173 179 181 187 191 193 197 199 209
 
 211 221 223 227 229 233 239 241 247 251 253 257 263 269 271 277 281 283 289 293 299 307 311 313 317 319 323 331 337 341 347 349 353 359 361 367 373 377 379 383 389 391 397 401 403 407 409 419
 
 421 431 433 437 439 443 449 451 457 461 463 467 473 479 481 487 491 493 499 503 509 517 521 523 527 529 533 541 547 551 557 559 563 569 571 577 583 587 589 593 599 601 607 611 613 617 619 629
 
 631 641 643 647 649 653 659 661 667 671 673 677 683 689 691 697 701 703 709 713 719 727 731 733 737 739 743 751 757 761 767 769 773 779 781 787 793 797 799 803 809 811 817 821 823 827 829 839
 
 841 851 853 857 859 863 869 871 877 881 883 887 893 899 901 907 911 913 919 923 929 937 941 943 947 949 953 961 967 971 977 979 983 989 991 997 1003 1007 1009 1013 1019 1021 1027 1031 1033 1037 1039 1049
 
 1051 1061 1063 1067 1069 1073 1079 1081 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1111 1117 1121 1123 1129 1133 1139 1147 1151 1153 1157 1159 1163 1171 1177 1181 1187 1189 1193 1199 1201 1207 1213 1217 1219 1223 1229 1231 1237 1241 1243 1247 1249 1259
 
 1261 1271 1273 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1313 1319 1321 1327 1331 1333 1339 1343 1349 1357 1361 1363 1367 1369 1373 1381 1387 1391 1397 1399 1403 1409 1411 1417 1423 1427 1429 1433 1439 1441 1447 1451 1453 1457 1459 1469
 
 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1501 1507 1511 1513 1517 1523 1529 1531 1537 1541 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1573 1577 1579 1583 1591 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1633 1637 1639 1643 1649 1651 1657 1661 1663 1667 1669 1679
 
 1681 1691 1693 1697 1699 1703 1709 1711 1717 1721 1723 1727 1733 1739 1741 1747 1751 1753 1759 1763 1769 1777 1781 1783 1787 1789 1793 1801 1807 1811 1817 1819 1823 1829 1831 1837 1843 1847 1849 1853 1859 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889
 
 1891 1901 1903 1907 1909 1913 1919 1921 1927 1931 1933 1937 1943 1949 1951 1957 1961 1963 1969 1973 1979 1987 1991 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2021 2027 2029 2033 2039 2041 2047 2053 2057 2059 2063 2069 2071 2077 2081 2083 2087 2089 2099
 
 2101 2111 2113 2117 2119 2123 2129 2131 2137 2141 2143 2147 2153 2159 2161 2167 2171 2173 2179 2183 2189 2197 2201 2203 2207 2209 2213 2221 2227 2231 2237 2239 2243 2249 2251 2257 2263 2267 2269 2273 2279 2281 2287 2291 2293 2297 2299 2309
 
 
 

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Vuoi vedere che c'entra pure 2*3*5*7=210?:-)

 Vuoi vedere che c'entra pure 2*3*5*7=210?:-)
 
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48=(2-1)x(3-1)x(5-1)x(7-1) ma non chiedermi perche'. :-)
 
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A 'sto punto mi costa niente scrivere gli a_13(n) a gruppi di 480:
 
 1 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 169 173 179 181 191 193 197 199 211 221 223 227 229 233 239 241 247 251 257 263 269 271 277 281 283 289 293 299 307 311 313 317 323 331 337 347 349 353 359 361 367 373 377 379 383 389 391 397 401 403 409 419 421 431 433 437 439 443 449 457 461 463 467 479 481 487 491 493 499 503 509 521 523 527 529 533 541 547 551 557 559 563 569 571 577 587 589 593 599 601 607 611 613 617 619 629 631 641 643 647 653 659 661 667 673 677 683 689 691 697 701 703 709 713 719 727 731 733 739 743 751 757 761 767 769 773 779 787 793 797 799 809 811 817 821 823 827 829 839 841 851 853 857 859 863 871 877 881 883 887 893 899 901 907 911 919 923 929 937 941 943 947 949 953 961 967 971 977 983 989 991 997 1003 1007 1009 1013 1019 1021 1027 1031 1033 1037 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1073 1079 1081 1087 1091 1093 1097 1103 1109 1117 1121 1123 1129 1139 1147 1151 1153 1157 1159 1163 1171 1181 1187 1189 1193 1201 1207 1213 1217 1219 1223 1229 1231 1237 1241 1247 1249 1259 1261 1271 1273 1277 1279 1283 1289 1291 1297 1301 1303 1307 1313 1319 1321 1327 1333 1339 1343 1349 1357 1361 1363 1367 1369 1373 1381 1387 1391 1399 1403 1409 1411 1417 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1457 1459 1469 1471 1481 1483 1487 1489 1493 1499 1501 1511 1513 1517 1523 1531 1537 1541 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1577 1579 1583 1591 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1633 1637 1643 1649 1651 1657 1663 1667 1669 1679 1681 1691 1693 1697 1699 1703 1709 1711 1717 1721 1723 1733 1739 1741 1747 1751 1753 1759 1763 1769 1777 1781 1783 1787 1789 1801 1807 1811 1817 1819 1823 1829 1831 1843 1847 1849 1853 1861 1867 1871 1873 1877 1879 1889 1891 1901 1907 1909 1913 1919 1921 1927 1931 1933 1937 1943 1949 1951 1957 1961 1963 1973 1979 1987 1993 1997 1999 2003 2011 2017 2021 2027 2029 2033 2039 2041 2047 2053 2059 2063 2069 2071 2077 2081 2083 2087 2089 2099 2111 2113 2117 2119 2129 2131 2137 2141 2143 2147 2153 2159 2161 2171 2173 2179 2183 2197 2201 2203 2207 2209 2213 2221 2227 2231 2237 2239 2243 2249 2251 2257 2263 2267 2269 2273 2279 2281 2287 2291 2293 2297 2309
 
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 6931 6943 6947 6949 6953 6959 6961 6967 6971 6973 6977 6983 6989 6991 6997 7001 7003 7009 7013 7019 7027 7031 7033 7037 7039 7043 7057 7061 7067 7069 7079 7081 7087 7093 7097 7099 7103 7109 7111 7121 7123 7127 7129 7141 7151 7153 7157 7159 7163 7169 7171 7177 7181 7187 7193 7199 7201 7207 7211 7213 7219 7223 7229 7237 7241 7243 7247 7253 7261 7267 7277 7279 7283 7289 7291 7297 7303 7307 7309 7313 7319 7321 7327 7331 7333 7339 7349 7351 7361 7363 7367 7369 7373 7379 7387 7391 7393 7397 7409 7411 7417 7421 7423 7429 7433 7439 7451 7453 7457 7459 7463 7471 7477 7481 7487 7489 7493 7499 7501 7507 7517 7519 7523 7529 7531 7537 7541 7543 7547 7549 7559 7561 7571 7573 7577 7583 7589 7591 7597 7603 7607 7613 7619 7621 7627 7631 7633 7639 7643 7649 7657 7661 7663 7669 7673 7681 7687 7691 7697 7699 7703 7709 7717 7723 7727 7729 7739 7741 7747 7751 7753 7757 7759 7769 7771 7781 7783 7787 7789 7793 7801 7807 7811 7813 7817 7823 7829 7831 7837 7841 7849 7853 7859 7867 7871 7873 7877 7879 7883 7891 7897 7901 7907 7913 7919 7921 7927 7933 7937 7939 7943 7949 7951 7957 7961 7963 7967 7969 7979 7981 7991 7993 7999 8003 8009 8011 8017 8021 8023 8027 8033 8039 8047 8051 8053 8059 8069 8077 8081 8083 8087 8089 8093 8101 8111 8117 8119 8123 8131 8137 8143 8147 8149 8153 8159 8161 8167 8171 8177 8179 8189 8191 8201 8203 8207 8209 8213 8219 8221 8227 8231 8233 8237 8243 8249 8251 8257 8263 8269 8273 8279 8287 8291 8293 8297 8299 8303 8311 8317 8321 8329 8333 8339 8341 8347 8353 8357 8359 8363 8369 8377 8381 8383 8387 8389 8399 8401 8411 8413 8417 8419 8423 8429 8431 8441 8443 8447 8453 8461 8467 8471 8473 8479 8483 8489 8497 8501 8507 8509 8513 8521 8527 8531 8537 8539 8543 8549 8551 8557 8563 8567 8573 8579 8581 8587 8593 8597 8599 8609 8611 8621 8623 8627 8629 8633 8639 8641 8647 8651 8653 8663 8669 8671 8677 8681 8683 8689 8693 8699 8707 8711 8713 8717 8719 8731 8737 8741 8747 8749 8753 8759 8761 8773 8777 8779 8783 8791 8797 8801 8803 8807 8809 8819 8821 8831 8837 8839 8843 8849 8851 8857 8861 8863 8867 8873 8879 8881 8887 8891 8893 8903 8909 8917 8923 8927 8929 8933 8941 8947 8951 8957 8959 8963 8969 8971 8977 8983 8989 8993 8999 9001 9007 9011 9013 9017 9019 9029 9041 9043 9047 9049 9059 9061 9067 9071 9073 9077 9083 9089 9091 9101 9103 9109 9113 9127 9131 9133 9137 9139 9143 9151 9157 9161 9167 9169 9173 9179 9181 9187 9193 9197 9199 9203 9209 9211 9217 9221 9223 9227 9239

 [...]
 
Grazie! E ovviamente ricompare p_1*p_2*...p_n-1 (con p_n primo), che per a_13(n) è: 2*3*5*7*11=2310... :-)
Vorrei capire se almeno per a_7(n) c'è una *dimostrazione*. Ora devo staccare, è tutto molto interessante, poi ti dico la mia su quel 48, che deve avere per forza a che fare con i residui (e ringrazio il mio amico, che non è affatto un matematico, per avermi fatto notare queste ricorrenze).
 
 

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Un paio di riflessioni semiserie:
 
1) Queste sequenze sono piu' "fitte" della sequenza dei numeri primi. 
Quindi se non sono solitari i numeri primi, non lo sono neppure questi numeri.
 
2) La sequenza dei numeri primi e' periodica all'infinito. :-) 

 2) La sequenza dei numeri primi e' periodica all'infinito. :-)
 
Da omega riusciremmo a scorgere l'intero paesaggio:-).
Ne butto giù un'altra: a_k(n) è l'"identità" del k-esimo numero primo nel mondo di N.

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Il caso piu' semplice e al tempo stesso significativo e' quello in cui 
si eliminano soltanto i multipli di 2 e di 5.
Cosi' si ha una ricorrenza di periodo 4 e una distanza di 10:
 
 1 3 7 9
 11 13 17 19
 21 23 27 29
 31 33 37 39
 41 43 47 49
 51 53 57 59
 61 63 67 69
 71 73 77 79
 81 83 87 89
 91 93 97 99

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Direi che il "giochino" funziona sempre, qualsiasi combinazione di fattori si
voglia escludere. Cio' potrebbe provocare qualche problema a OEIS perche' vuol
dire che c'e' un numero infinito di interessanti sequenze infinite. 
Qua sotto l'esempio escludendo i fattori 2, 5 e 7. Periodo 24, distanza 70.
 
 1 3 9 11 13 17 19 23 27 29 31 33 37 39 41 43 47 51 53 57 59 61 67 69
 71 73 79 81 83 87 89 93 97 99 101 103 107 109 111 113 117 121 123 127 129 131 137 139
 141 143 149 151 153 157 159 163 167 169 171 173 177 179 181 183 187 191 193 197 199 201 207 209
 211 213 219 221 223 227 229 233 237 239 241 243 247 249 251 253 257 261 263 267 269 271 277 279
 281 283 289 291 293 297 299 303 307 309 311 313 317 319 321 323 327 331 333 337 339 341 347 349
 351 353 359 361 363 367 369 373 377 379 381 383 387 389 391 393 397 401 403 407 409 411 417 419
 421 423 429 431 433 437 439 443 447 449 451 453 457 459 461 463 467 471 473 477 479 481 487 489
 491 493 499 501 503 507 509 513 517 519 521 523 527 529 531 533 537 541 543 547 549 551 557 559
 561 563 569 571 573 577 579 583 587 589 591 593 597 599 601 603 607 611 613 617 619 621 627 629
 631 633 639 641 643 647 649 653 657 659 661 663 667 669 671 673 677 681 683 687 689 691 697 699
 701 703 709 711 713 717 719 723 727 729 731 733 737 739 741 743 747 751 753 757 759 761 767 769
 771 773 779 781 783 787 789 793 797 799 801 803 807 809 811 813 817 821 823 827 829 831 837 839
 841 843 849 851 853 857 859 863 867 869 871 873 877 879 881 883 887 891 893 897 899 901 907 909
 911 913 919 921 923 927 929 933 937 939 941 943 947 949 951 953 957 961 963 967 969 971 977 979

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Ottimo risultato!!! Dunque c'è ricorrenza non solo per gli a_k(n), ma anche per i b[p_k_1,...p_k_m](n), cioè per i numeri che non contengono i primi p_k_1,... p_k_m nella loro fattorizzazione. Insomma, basta togliere almeno un primo e nella sequenza dei multipli si genera una ricorrenza. Perché solamente così si riescono a saltare i multipli dei primi eliminati! Beh, ora andrebbe dimostrato quel "perché":-); credo che OEIS, prima di riempirsi (all'infinito) di sequenze infinite, sia già pieno di congetture numeriche su questa cosa affascinante. E' possibile dimostrare quella cosa per un qualunque insieme (p_k_1,... p_k_m)? Oppure, si può dimostrare che è impossibile?

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Io... le dimostrazioni le lascio ai matematici, neh! :-)
 
Forse pero' puo' servire un esempio ancor piu' banale.
Togliamo un solo fattore, ad es. 13: Periodo 12, distanza 13.
 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51
 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64
 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77
 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103
 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116
 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129
 
Il risultato e' semplice e ovvio.
 
 

 Il risultato e' semplice e ovvio.
 
13=1*13:-). Circa il periodo, se tolgo 2 ho i dispari, che saltano un numero alla volta:-). Insomma, togliendo solamente p_n, si tolgono tutti i suoi multipli e questo provoca buchi nella serie ogni p_n posti; dunque, periodo=(p_n)-1. Con più di un primo, la cosa diventa più complicata.

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48 = 1*2*4*6. Si moltiplicano i periodi dei primi precedenti (ottenuti togliendo l'unità). Eureka!!

48=(2-1)x(3-1)x(5-1)x(7-1) ma non chiedermi perche'. :-)
 
Insomma, il periodo di a_k(n) è il prodotto dei primi inferiori a p_k diminuiti di una unità, *perché* quello è il prodotto dei singoli periodi (quando elimini solamente quel primo).

 2) La sequenza dei numeri primi e' periodica all'infinito. :-)
 
Prendi il prodotto *infinito* di *tutti* i primi diminuiti dell'unità: (2-1)*(3-1)*(5-1)...*(p_n -1)*...
Deve trattarsi di un periodo, ma non certo di un a_k(n), visto che li abbiamo saltati tutti. Bisogna andare al transfinito:-)

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Bravissimo! Ormai hai dipanato la matassa e tutto appare chiaro, perfino semplice.
 

 Bravissimo! Ormai hai dipanato la matassa e tutto appare chiaro, perfino semplice.
 
Beh, è stata dipanata grazie al tuo "calculemus", anzi, "basic-hemus"! 
P.S. Il prodotto infinito dei primi meno uno sembra proprio il periodo della successione dei transfiniti ω x n, che a ogni loop saltano tutti gli ω+k...  ma qui il basic non può aiutarci:-). Grazie per gli interventi.

Non esiste una espressione *analitica* per a_7(n). 
 
Vuoi scherzare? Posto pi= pigreco, sqrt=radice quadrata,
 
p(x):= -(2x^7-63x^6+809x^5-5445x^4+20513x^3-42552x^2+43971x-16740)/180
 
f(x):= sqrt(4-2sqrt(2))*cos(3*pi*x/4 + pi/8) +
       sqrt(2sqrt(2)+4)*cos(pi*x/4 + 3*pi/8) +
       cos(pi*x/2) - sin(pi*x/2) + COS(pi*x)/2 + 9/2
 
risulta
 
a_7(n) = 7*p(f(x)) + 105x/4
 
Ciao

 a_7(n) = 7*p(f(x)) + 105x/4 
 
Ti credo sulla parola, grazie:-). Quella x nell'ultima formula la devo leggere come n? Se sì, lim[n->inf] p(f(n))/n = 0, visto che lim[n->inf] a_7(n)/n = 105/4
 
Comunque avevo detto una cavolata già solo perché q_7(n)(:=successione dei numeri non divisibili per 2, 3 o 5) = 4*n - 3 + 2*(floor((n+6)/8) - floor((n+4)/8) - floor((n+2)/8) + floor(n/8) - floor((n-1)/8) [fonte: OEIS]; es. q_7(3)=4*3 - 3 +2*(1-0-0+0-0)=11, per cui a_7(3)=7*11=77.

+ floor(n/8) - floor((n-1)/8)
 
Naturalmente, ma volevo prevenire le obiezioni di quelli che
"eeeeeeek! floor non e' analitica!". Quindi, per avere una funzione
addirittura olomorfa, ho composto un dente di sega discreto
 
f(x) = (x mod 8) per ogni x intero
 
con un classico interpolagrange p(x). Sarebbe stato piu' elegante fare
direttamente l'interpolazione goniometrica degli 8 valori, ma veniva
troppo incosinata.
 
BTW: conosci l'espressione "analitica" dell'n-esimo primo? Ciao

 BTW: conosci l'espressione "analitica" dell'n-esimo primo? Ciao
 
Basta prendere la prima metà di tutti i numeri precedenti e dire che si tratta di quel numero che non è divisibile per nessuno di quelli, a parte il solito 1. Ma non so come dirlo in modo "analitico":-).

 -_
 
ideaprima 
 
a chi lo stai chiedendo?
conferma che lo chiedi a me. 
Perchè con me ci si addentra realmente in concetti filosofici in cui  la geometria  e la matematica rappresentano un "oltre" logico-intuitivo del comune pensare. Realmente oltre. Mentre qui si snocciolano sterili numerologie insignificanti, dato che on se ne comprende il senso. 
Sicuro che tu non preferisca che io te ne parli via mail?
 
 

quelli, a parte il solito 1. Ma non so come dirlo in modo "analitico":-).
 
https://groups.google.com/g/it.scienza.matematica/c/zKOgXHJDVPo/m/sgG1hDO47psJ
 
 
questa lo dice in modo "analitico". Ma "analitico" per modo di dire,
naturalmente: ha solo il senso di confondere quelli che "per i primi
non c'e' nessuna formula". Ciao

 non c'e' nessuna formula". Ciao
 
Ecco la tua assolutamente mirabile creatura:
n-esimo_primo(n) :=
2 + somma{i=2..n^2} [1 - sinc(pi* prodotto{h=2..i}(n - u(h)) ]
 
Insomma, quello(=X(n)) che si addiziona a 2 conta il numero del posto dell'n-esimo primo nella serie dei naturali. Per n=1, X(n)=0, per n=2, X(n)=1, per n=3, X(n)=3, per n=4, X(5) etc.
Un modo geniale per mettere a dx di 'n-esimo_primo(n)=' una espressione con abiti "analitici". L'abito non fa il monaco:-). 
 

 Insomma, quello(=X(n)) che si addiziona a 2 conta il numero del posto dell'n-esimo primo nella serie dei naturali. 
 
E ci dà la distanza dell'n-esimo primo da 2.

Insomma, l'esistenza di quella espressione analitica è dimostrabile per induzione?
 
L'argomentazione che ho usato e' indipendente da k. In Matematica, per
argomentazioni di questo tipo non si sente l'esigenza dell'uso formale
del principio d'induzione, dato che essa si svolge nell'ambito di quel
metalinguaggio informale che e' postulato come ovvio fondamento per
qualunque sistema formale. Ciao

 qualunque sistema formale. Ciao
 
Non voglio tirarla per le lunghe. Sei partito da questa forma d'onda: f(x) = (x mod 8) per ogni x intero; e poi hai fatto una interpolazione polinomiale. Per generalizzare l'argomentazione bisogna comunque assumere che per un qualunque k0 gli a_k0(n) si succedono con un periodo, no?

k0 gli a_k0(n) si succedono con un periodo, no?
 
Si'. Non e' ovvio che la proprieta' "x e' indivisibile per ogni
elemento di A={n1,n2,n3...nk}" e' periodica di periodo mcm(A)? Ciao