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Titolo: Sfogo Emotivo. (lungo) (was: Numeri immaginari)

  puro gioco di simboli liberamente inventati nelle nostre teste?)
Si puo' dire che io sia nato in un mondo gia' non-euclideo. 
Assieme al latte materno ed alla geometria "greca" in cui due 
parallele non s'incontrano mai, a scuola mi hanno dato i primi 
assaggi di geometrie bidimensionali sferiche in uno spazio 
tridimensionale, dove la somma degli angoli interni di un 
triangolo e' maggiore di 180 gradi, e dove per tracciare la 
rotta piu' breve da Parigi a New York non bastano un righello 
ed una carta geografica qualunque. Occorre un mappamondo, 
oppure una geometria in cui per un punto esterno ad un cerchio 
massimo non esistono "parallele".
Sta bene. Mi sono trovato ad essere immunizzato a Riemann, a 
Lobacevski, al morbillo ed alla scarlattina. 
Il mio mondo era cosi'.
Poi sono cresciuto ed ho sentito di buchi neri, di curvature 
dello spazio-tempo e del fatto che qualcuno poteva, con strani 
calcoli, comprendere quelle geometrie.
No problem, ci si puo' credere, non e' necessario saperlo fare 
di persona, lasciamo lavorare chi e' capace.
Poi, crescendo, qualche voglia mi e' venuta, di capire.
Ho ricominciato da Bertrand Russell, un po' per caso (un 
cofanetto in edizione economica) e un po' per la sua chiarezza 
espositiva (scrive in un modo che mi risulta leggibile anche 
sul treno dei pendolari, poi approfondisco a casa, in 
poltrona). 
Bello, dapprincipio. 
Imparo di Peano e di Frege. Per la prima volta qualcuno mi 
spiega cos'e' un numero intero. Mi piace scoprire che un 
numero naturale e' un numero induttivo. Mi piace capire che un 
numero e' una classe di classi simili, questo mi spiega il 
grande mistero del perche' <<se>> due piu' due fa quattro 
<<allora>> due pecore insieme ad altre due pecore siano in 
tutto esattamente quattro pecore. Per costruzione.
Il mio mondo diventa piu' ordinato e comprensibile.
La matematica e' stata fondata in modo che "funzioni" al 
cospetto della realta', che ne sia un buon modello! 
Anche se non pretendo di aver capito tutto, ho almeno un 
indizio del perche' l'universo conosciuto paia 
sorprendentemente seguire leggi matematiche. 
Vedo (o intuisco) un ordine sottostante. 
E' una emozione piacevole!
Il fatto che vi possano essere "altri" numeri costruibili con 
gli assiomi di Peano ( come: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ... 
in cui "successore" significa "la meta' di", e "zero" significa
il numero "1" ), questo fatto non mi spaventa per nulla. Dopo un 
attimo di perplessita' mi dico: e' come per i numeri complessi 
nella loro quadrupla veste "grafica":
- coppie ordinate di numeri reali:           a ; b 
- forma "a+ib", con "i" unita' immaginaria:  a + sqr (-1) * b 
- notazione esponenziale:      ro * e ^ ( teta + 2 * k * pi )
- matrici 2*2 isomorfe ai complessi:     (( a, b ), ( -b, a))
oppure ancora e' come per i razionali, dove posso considerare 
l'intera classe 2/1, 4/2, 6/3, 8/4, 10/5, 12/6, ecc....
e raffigurarmela rappresentata dal consueto "2", un araldo che 
parla in nome di tutta la nazione, o qualcosa di analogo. 
Una molteplicita' di rappresentazioni, piu' che un vero 
proliferare di distinti universi possibili, mi dicevo.
E mi piaceva l'impostazione assiomatica, cosi' utile dopo 
tanti esercizi, per focalizzare l'attenzione sui punti-chiave 
della teoria, per maneggiare concetti generali invece di 
infiniti esempi particolari. Uno strumento di pensiero, mi 
dicevo, utile. E' un po' come quando si dice che la scienza 
attuale risponde al quesito << come ? >> invece che al quesito 
<< perche' ? >>; serve a togliersi dalle spalle molta zavorra, 
a non doversi perdere in troppa filosofia.
Poco importava il fatto che la matematica si fosse sviluppata 
per millenni (due o dodici che siano, basta intendersi) senza 
sapere cosa fosse, di preciso, un numero: funzionava. 
Molti lo avevano dato per "buono", ci avevano studiato sopra, 
avevano costruito castelli ben solidi con quel "mattone".
Molto piu' tardi qualcun altro, in tempi recenti, lo aveva 
sondato, analizzato, e finalmente capito, quel componente 
base, il numero. 
O.K. Nessun problema. Siamo ben riusciti a riprodurci, di 
generazione in generazione, anche prima di riuscire a 
comprendere cosa fosse una cellula, anche prima di avere un 
microscopio adatto al compito. Si puo' andare avanti, ed 
attendere che qualcuno, dopo, spieghi "cosa c'e' sotto".
Poi arrivo a studiare di Cantor e dei suoi numeri transfiniti.
Devo dire la verita': mi paiono piu' numeri da prete o da 
avvocato che numeri da scienziato: puzzano di imbroglio e di 
mistica. Non mi piacciono. E' una sensazione viscerale, una 
emozione, e non ho gli strumenti ne' le capacita' tecniche per 
dimostrarlo. Ma non sono obbligato a mangiare da ogni piatto 
che mi viene messo sotto al naso. La matematica non e' il mio 
mestiere e non devo sostenere esami. Posso leggere il capitolo 
con schifo e poi dimenticarmene, e lo faccio.
Proseguo nella lettura di B. Russell e scopro dell'esistenza 
della "natura archimedea" della misura: qualunque quantita', 
moltiplicata per un numero sufficiente, supera in grandezza 
qualunque altra quantita'. Geniale, mi dico, e' un modo 
elegantissimo per ribaltare la questione della divisione, che 
non puo' non generare l'imbarazzo creato dagli irrazionali.
Ah, se Pitagora l'avesse saputo! mi dico. 
Il mondo mi appare sempre piu' pulito, chiaro ed in qualche 
senso: meglio costruito e ordinato.
Evidentemente non avevo compreso appieno il significato e le 
implicazioni del concetto di "natura archimedea", come sara' 
chiaro tra non molto.
Proseguo il mio studio da dilettante appassionato e "faccio il 
tifo" per "i buoni" nella grande battaglia contro 
l'infinitesimale. La seguo con passione. Vedo le manovre di 
epsilon e delta contro le flussioni. Imparo ad odiare quel dx 
che un minuto prima era diverso da zero, ed un minuto dopo 
diventa nullo. Finalmente capisco perche' mi hanno insegnato i 
limiti. Gioisco per la epurazione operata nei confronti della 
profonda doppiezza di quel dv/dt che da un lato e' zero su 
zero e dall'altro e' 9,81. Ora posso usarlo sapendo che e' 
solo stenografia!
Sin qui le gioie. Ora i dolori:
Vengo mandato fuori sede, per lavoro, e invece della Settimana 
Enigmistica mi porto in treno il quaderno di Le Scienze che 
parla di Insiemi, Gruppi e strutture, che mi e' stato 
consigliato da persona che stimo.
Vedo con piacere, dai titoli degli articoli, che nella 
matematica moderna c'e' spazio, oltre che per le geometrie 
non-euclidee, anche per le teorie non-cantoriane degli 
insiemi.
Bene! mi affretto sconsideratamente a gongolare. 
Era ora che qualcuno in gamba demolisse le costruzioni di 
quell'azzeccagarbugli tanto abile.
Leggo e inizio a star male: non solo l'ipotesi di Cantor
(..esistono solo due collezioni. quella numerabile e quella 
continua. ) non viene demolita, ma addirittura la si presenta 
insieme ad un assioma per me nuovo, della cui necessita' non 
sono per nulla convinto: l'assioma della scelta.
Mi suona piu' o meno cosi':" dato un insieme di insiemi (A, B, 
C, .) e' possibile costruire un insieme Z prendendo un 
elemento da A, uno da B, uno da C, ecc. purche' A, B C,.. non 
siano vuoti". Non ne vedo il bisogno. Ma ho i miei limiti.
L'ipotesi di Cantor e l'assioma di scelta, imparo, hanno in 
comune il fatto di risultare dimostrabilmente innocui. 
Ovvero e' stato dimostrato che inserirli o non inserirli tra 
gli assiomi della teoria degli insiemi non puo' cambiarne lo 
status di coerenza (o incoerenza) interna. Ovvero ancora: o la 
teoria e' gia' sbagliata SENZA di essi, oppure continua ad 
essere giusta anche CON essi. Questo significa, prosegue 
l'articolo, che possiamo vederli nello stesso modo con cui 
vediamo il quinto postulato di Euclide. Possiamo aggiungerlo 
nella sua forma "greca" ed ottenere la solita geometria, 
possiamo aggiungerlo nelle sue forme "negate" ed ottenere le 
geometrie non-euclidee, altrettanto valide ed utili nelle 
appropriate circostanze. Cosi' per l'ipotesi di Cantor e per 
l'assioma di scelta: possiamo ottenere teorie degli insiemi 
non-cantoriane, altrettanto valide e (forse) feconde. 
Il mio sconforto e' baratrale. Il mondo in cui sono vissuto si 
apre letteralmente in parti, separate da abissi vuoti di 
transizione tra un postulato di cui non capisco l'essenza ed i 
suoi possibili contrari. L'universo si moltiplica in piu' 
versioni dove valgono leggi diverse? 
Non riesco a ricondurlo all'unita', non piu! Sono stupito.
Debbo interrompere la lettura per riflettere.
Esiste una molteplicita' di universi?
Mi vengono in mente, chissa' perche', Mandelbrot e le sue 
"complicazioni". Non riesco piu' a vederlo come un uomo che ha 
reso tangibilmente osservabile a tutti il fatto che l'enorme 
complessita' puo' essere racchiusa nell'apparente semplicita' 
di <<z^2 + c>>.
Per me, adesso, non e' piu' un eroe.
Ora lo vedo come un nemico che ha frantumato il mondo: non 
piu' soltanto tre (o quattro, o dodici, come qualche fisico ha 
proposto) dimensioni spaziali che obbediscono alla geometria, 
bensi' infinite dimensioni matematiche, uno sciame 
(numerabile? o forse continuo?) di dimensioni frazionarie e 
magari, domani anche irrazionali e complesse. A quando le 
dimensioni quaternioniche? Straparlo per l'ira.
Mi consolo con un caffe', ma il viaggio non e' finito, e debbo 
continuare a leggere di altri tradimenti: e' la volta del 
ritorno degli infinitesimali, l'analisi non-standard 
asserirebbe l'esistenza di numeri non-archimedei, tali che pur 
essendo diversi da zero, possano essere moltiplicati senza per 
questo raggiungere e superare una misura prefissata.
Si aprono nuove prospettive di ricerca.
Io, pero', non riesco ad esserne felice.
La mia risposta a questo genere di notizie e' dettata dal 
cuore, non dalla ragione: sono ferito.
Mi si e' tolta letteralmente la terra da sotto i piedi: ora e' 
una frantumatissima ghiaia di possibilita' diverse, uno 
sbriciolarsi di concezioni del mondo. Ora, davvero, posso 
credere che le matematiche siano pura astrazione. 
Mi pare che dire "sono solo formalismi" abbia da adesso, per 
me, un nuovo significato: e' davvero cosi'. 
Le formule delle "leggi" non significano nulla.
Non e' vero che la realta' corrisponda ad una matematica in 
qualche modo di essa rappresentativa. E' possibile costruire 
qualunque sciocchezza coerente, poi cercare se esistano 
corrispondenze e dire: "Ecco, funziona". Ma sono effetti 
speciali costruiti a tavolino, oppure puri casi di fortunata 
coincidenza nel trovare qualcosa di reale che somigli alle 
creazioni arbitrarie di menti votate alla ferrea disciplina 
della coerenza interna.
Sono profondamente colpito da cio' che ho appreso, e mi sento 
"nauseato", disorientato come dopo un giro sull'ottovolante.
Mi sono appassionato allo studio della matematica.
Ho cercato di capirla, ricominciandone lo studio a partire da 
qualcosa di affrontabile, rispolverando di volta in volta gli 
aspetti dimenticati, le nozioni sopite, con dilettantesca 
passione.
Ma forse ho commesso l'errore del goloso che si cerca un 
lavoro in pasticceria, e si ritrova nauseato da cio' che 
desiderava. Ho perduto l'orientamento.
Potete dirmi una parola di conforto ?
Tecs Vuiller 
(Giosafatte Ballerino!)
N.B. Crosspostato  
     su it.scienza.matematica e su it.cultura filosofia
     Reply to fissato a it.scienza.matematica.

Sicuramente non rispondero` in maniera minimamente sufficiente ai 
turbamenti di Tecs, ma provero` a dare i miei "due centesimi", e solo a 
proposito di un paio di punti specifici.
Tecs Vuiller (
cont...@itelcad.it
) wrote:
: Leggo e inizio a star male: non solo l'ipotesi di Cantor
: (..esistono solo due collezioni. quella numerabile e quella 
: continua. ) non viene demolita, ma addirittura la si presenta 
: insieme ad un assioma per me nuovo, della cui necessita' non 
: sono per nulla convinto: l'assioma della scelta.
: Mi suona piu' o meno cosi':" dato un insieme di insiemi (A, B, 
: C, .) e' possibile costruire un insieme Z prendendo un 
: elemento da A, uno da B, uno da C, ecc. purche' A, B C,.. non 
: siano vuoti". Non ne vedo il bisogno. Ma ho i miei limiti.
   L'assioma della scelta suona piuttosto "ovvio" e pertanto inutile, ma 
non e` nessuna delle due cose. Omettendolo, infatti, si cambiano 
notevolmente le carte in tavola, nel senso che si ottengono o si smette 
di ottenere risultati importanti.
   Ad esempio, esso e` necessario per costruire insiemi non misurabili 
secondo Lebesgue (cioe` insiemi della retta, del piano, etc. a cui non si 
possa assegnare una "misura" che generalizza la lunghezza per i segmenti, 
l'area per i rettangoli etc.). Se si usa come assioma l'"opposto" (la 
negazione) dell'assioma di scelta, si ottiene che ogni insieme di R^n e` 
misurabile secondo Lebesgue.
   E questa potrebbe anche sembrare una cosa buona, ma comunque da' da 
pensare circa la non ovvieta` dell'assioma. Ma c'e` di meglio: se lo si 
accetta, si ottengono bellissimi paradossi, come quello di Banach-Tarski, 
che afferma (in maniera un po' informale) che e` possibile decomporre una 
sfera in un numero finito di parti che, ricomposte in un altro modo, 
danno due sfere ognuna uguale alla prima. Oppure un'unica sfera di volume 
doppio, o cento volte tanto (con opportune decomposizioni, non sempre la 
stessa).
   Qualche volta lo si racconta parlando di arance, o della Luna, ma li` 
si rischia molto, perche' pare che si stia dicendo che una tale 
decomposizione e` fattibile per oggetti fisici, mentre invece il discorso 
funziona proprio perche' si prendono in considerazione insiemi non 
misurabili.
[...]
: Il mio sconforto e' baratrale. Il mondo in cui sono vissuto si 
: apre letteralmente in parti, separate da abissi vuoti di 
: transizione tra un postulato di cui non capisco l'essenza ed i 
: suoi possibili contrari. L'universo si moltiplica in piu' 
: versioni dove valgono leggi diverse? 
: Non riesco a ricondurlo all'unita', non piu! Sono stupito.
: Debbo interrompere la lettura per riflettere.
: Esiste una molteplicita' di universi?
[...]
   Non lasciarti prendere dallo sconforto. Ne vedo almeno due vie
d'uscita:
1) [consigliata] prendi davvero la matematica come un puro gioco formale. 
Non c'e` niente di male. C'e` chi vive facendo cose molto piu` riprovevoli
(e meno eleganti) che puri giochi formali. In piu`, c'e` il "valore
aggiunto"  dato dal fatto che ogni tanto cio` che sembra essere un puro
gioco formale trova, magari decenni o secoli dopo la sua scoperta,
applicazioni piu` o meno concrete. Ad esempio, le varie geometrie non
euclidee descrivono tutte situazioni fisicamente possibili, e spesso nella
vita di tutti i giorni.
2) [se proprio la 1) non ti convince] te ne freghi della matematica pura, 
e studi fisica, o qualche altra disciplina che della matematica considera 
solo cio` che le serve, e cosi` conoscerai solo un sottoinsieme 
ristretto, coerente, applicabile e non problematico della matematica.
   Spero di aver detto qualcosa di vagamente sensato.
Ciao,
							Daniele

...
| Mi pare che dire "sono solo formalismi" abbia da adesso, per 
| me, un nuovo significato: e' davvero cosi'. 
| Le formule delle "leggi" non significano nulla.
| Non e' vero che la realta' corrisponda ad una matematica in 
| qualche modo di essa rappresentativa. E' possibile costruire 
| qualunque sciocchezza coerente, poi cercare se esistano 
| corrispondenze e dire: "Ecco, funziona". Ma sono effetti 
| speciali costruiti a tavolino, oppure puri casi di fortunata 
| coincidenza nel trovare qualcosa di reale che somigli alle 
| creazioni arbitrarie di menti votate alla ferrea disciplina 
| della coerenza interna.
|
| 
| Potete dirmi una parola di conforto ?
Eccomi qua, in vesti di consolatore...
Mettiamola così: 
1) Ogni teoria matematica che si rispetti è formalizzabile, cioè esiste un
"sistema formale" (in soldoni: insieme di simboli, regole per manipolarli,
stringhe da cui partire (assiomi) stringhe a cui si arriva manipolando i
simboli (teoremi)) tale che se si interpretano opportunamente i simboli
delle stringhe "ben formate" se ne ricavano proposizioni sensate in lingua
naturale riguardanti l' argomento matematico in questione.
2) Dato un sistema formale non possiamo essere sicuri che esso rappresenti
tutti gli aspetti della realtà che stiamo considerando (ad esempio il
sistema di Zermelo non ci può dire se esistano o no cardinalità intermedie
tra continuo e numerabile). In effetti nessuno ci garantisce che un giorno
qualcuno trovi un nouvo "assioma" da inserire nel sistema: un fatto vero
che il sistema non può dimostrare.
3) Puoi creare tutti i sistemi formali che ti pare e modificare a tuo
piacimento quelli esistenti in un' infinità di modi, ma i nuovi sistemi
dovranno avere una diversa interpretazione per i loro simboli, o il sistema
non rappresenterà niente di intuitivamente sensato.
4) Non confondere mai il sistema con la realtà che rappresenta: posso
inventarmi un sistema in cui un teorema si interpreta come 1+1=5, ma ciò
non vuol dire che ho scoperto un' aritmetica alternativa: l' aritmetica
vera può essere rappresentata solo da sistemi in cui 1+1=2. 
Così se qualcuno toglie un assioma dalla teoria degli insiemi non è detto
che quello che ottiene sia ancora un sistema in grado di rappresentare ciò
che sugli insiemi noi percepiamo intuitivamente. (Ad esempio: se si
dimostra che se vale l' assioma della scelta vale anche che 1+1=5 allora il
sistema con tale assioma non è buono.) 
5) Se ci sono 2 possibili teorie degli insiemi, non vuol dire che debbano
essere entrambe buone, anzi: logica vuole che l' assioma della scelta sia o
vero o falso, e che se mi fanno una domanda sugli insiemi io debba poter
rispondere con un' unica risposta, non già: "Dipende dal sistema che
consideri". Una cosa è la realtà, un' altra il sistema formale.
6) L' introduzione di numeri complessi, non archimedei o transfiniti è sì
un opera di astrazione ma non per questo sganciata dalla realtà: c'è sempre
un criterio logico dietro. Anche i numeri relativi sono frutto di un'
astrazione dai numeri naturali, eppure non hai niente da ridire. 
Vorrai mica dire "astrazione sì, ma adesso basta"? 
7) CANTOR E' UN MITO! Effettivamente Cantor è uno di quelli che o si amano
o si odiano, probabilmente per il modo immediato con cui ci mette di fronte
all' infinito... ammeso che ciò significhi qualcosa.
-- 
MarcoDiscens
________________
Due semplici regole per essere immortali:
1) Dire sempre la verità
2) Dire:"domani ripeterò questa frase"
(R.Smullian)

Mi parle che, con tutto il rispetto per un titolo cosi` altisonante, 
LordBeotian stia un po' straparlando...
LordBeotian (
Disc...@ciop.mat.uniroma3.it
) wrote:
: Mettiamola così: 
: 1) Ogni teoria matematica che si rispetti è formalizzabile, cioè esiste un
[...]
   E qui piu` o meno ci siamo. Anche se dire "formalizzabile" postula che
ci sia un qualcosa di precedente ed esistente di per se', che bisogna 
formalizzare. Non sta a me ammettere o confutare l'esistenza di "cose in 
se'", ma non le si puo` dare per scontate con tanta semplicita`.
: 2) Dato un sistema formale non possiamo essere sicuri che esso rappresenti
: tutti gli aspetti della realtà che stiamo considerando (ad esempio il
[...]
   Vedi sopra. In _matematica_ la "realta`" e` proprio quella definita 
dagli assiomi della particolare teoria che stai considerando. Non ha 
senso, se si parla di matematica, voler confrontare una teoria con una 
qualche realta` ad essa esterna. La teoria _e`_ la realta`.
   Altro e` se applichi un teoria matematica alla descrizione di un 
fenomeno fisico, per esempio. Allora hai due cose distinte (e anche qui 
si potrebbe discutere a non finire), e ha senso vedere quanto l'una 
descriva bene l'altra.
: 3) Puoi creare tutti i sistemi formali che ti pare e modificare a tuo
: piacimento quelli esistenti in un' infinità di modi, ma i nuovi sistemi
: dovranno avere una diversa interpretazione per i loro simboli, o il sistema
: non rappresenterà niente di intuitivamente sensato.
   Da quando in qua una teoria per essere degna di studio dev'essere
"intuitivamente sensata"? Che vuol dire "intuitivamente sensato"? Un
gruppo supersolubile e` intuitivamente sensato? Per chi si occupa di
teoria dei gruppi lo e` eccome: se non ci fosse lo si dovrebbe inventare.
Ma forse per che non se sa molto non e` la cosa piu` scontata di questo
mondo... 
: 4) Non confondere mai il sistema con la realtà che rappresenta: posso
: inventarmi un sistema in cui un teorema si interpreta come 1+1=5, ma ciò
: non vuol dire che ho scoperto un' aritmetica alternativa: l' aritmetica
: vera può essere rappresentata solo da sistemi in cui 1+1=2. 
   Sempre lo stesso discorso. Che uol dire "vero"? (Ha un significato 
ben preciso in logica, naturalmente, ma non mi sembra quello usato da 
LordBeotian (o MarcoDiscens che sia)). Se io costruisco una teoria 
mettendo tra gli assiomi la stringa di simboli "1+1 = 5", essa e` vera e 
basta. E` addirittura (banalmente) dimostrabile, che vogliamo di piu`?
   Etc. etc.
Saluti,
							Daniele

    Etc. etc.
  Etc. etc.
MarcoDiscens

LordBeotian (
disc...@ciop.mat.uniroma3.it
) wrote:
: Un po' di rispetto per il Signore dei Beoti! =)
   Sua Beotita` mi perdoni...   :^)
: Certo. Tu stai parlando di strutture algebriche, si possono creare strutture
: algebriche a piacimento senza contraddire la realtà delle cose. Però una teoria
: degli insiemi in cui l' unione di |N e |R è vuota non è in linea con il nostro
: modo di pensare (o se preferisci con la natura degli insiemi), lo stesso dicasi
: per un' aritmetica in cui 1+1=5 (se in un sacchetto vuoto metto 2 palline non
: posso proprio sperare di trovarcene 5).
   Non ho tempo e probabilmente capacita` per rispondere a tutto punto 
per punto. Estraggo questo tuo paragrafo come abbastanza rappresentativo 
del punto su cui credo che siamo in disaccordo: non capisco che cosa 
intendi con "modo di pensare" ne' con "natura degli insiemei".
   Il mio modo di pensare dipende dall'ambito in cui lo estrinseco. Se 
sto pensando ad una teoria in cui 1+1=5, il mio modo di pensare contempla 
proprio quello.
   La natura degli insiemi, ancora una volta, e` definita dalle
proposizioni che li riguardano. Non c'e`, in _matematica_, un "mondo
esterno" a cui rapportarli, e su cui verificarne le proprieta`. 
All'interno della matematica ci sono, parlando molto rozzamente, vari
livelli, e quello che puo` essere indecidibile in uno puo` essere
dimostrabile in un altro (per questo, se si fanno le cose per bene,
bisogna specificare se si lavora al prim'ordine, al secondo o che altro). 
   E infine il tuo famoso esempio con 1+1=5 non e` chiaro: quella e` una 
stringa di 5 simboli, e puo` significare o non significare qualsiasi 
cosa. Quando parli di "un' aritmetica in cui 1+1=5" puoi riferirti a:
- la "normale" aritmetica, tranne che "5" e` il simbolo tipografico per
cio` che solitamente indichiamo con "2". Niente di male (anche se non
sarebbe consigliabile didatticamente); 
- "5" significa proprio "5" (cioe` sssss0, il successore del successore 
... di 0), e cambia qualcuno degli assiomi di Peano: per esempio un 
numero puo` essere successore di due cose diverse (nel nostro caso s1 = 
s4), oppure, ancora, e` l'operazione "+" ad essere definita diversamente 
dal solito.
   In tutti i casi non capisco dove sia il problema, ne' come si possa 
dire che una di queste teorie sia meno vera in assoluto di qualsiasi 
altra. Magari e` meno interessante da studiare, oppure ha meno 
applicazioni pratiche, ma e` "vera" (nel senso che ammette modelli, come 
ci insegna in logica appunto la teoria dei modelli) fintanto che e` 
consistente (cioe` non comprende contraddizioni).
Ciao,
							Daniele


Indicarti la via della salvezza e' al di la' delle mie possibilita'.
Posso solo fare qualcosa di analogo quello che hai fatto tu, cioe'
dirti la mia esperienza con la matematica.
Non sono un matematico di professione e nemmeno faccio un lavoro che
comporti la conoscenza della matematica, sono un semplice
appassionato. Tuttavia mi e' capitato per pura curiosita' di toccare
un po' tutte le cose che hai elencato.
La mia angoscia non e' stata pero' rispetto alla pluralita' di punti
di vista spesso tra loro opposti, ma piu' semplicemente rispetto alla
notevole quantita' di cose che ci sono in matematica.
La mia ancora di salvataggio l'ho sempre trovata -tra le righe- degli
scritti matematici piu' che in un particolare argomento.
Esiste si' UNA sola cosa che resta identica a se' stessa
nell'evoluzione della matematica, che resta UNA nonostante il
proliferare delle "matematich-e", e' la LOGICA.
Lo so tu dirai che c'e' anche un proliferare di logiche, ma questo e'
vero fino ad un certo punto.
Geometrie euclidee e ... non-euclidee, analisi standard e ...
non-standard, teoria degli insiemi cantoriana e ... non-cantoriana,
ecc...
MA tutte queste teorie matematiche devono essere tutte ugualmente
giustificate, la loro giustificazione e' il sistema di ASSIOMI.
Se tu consideri insieme TEORIA + ASSIOMI, ricostruisci sostanzialmente
un assoluto.
E' un po' come nella teoria della relativita' di Einstein: non c'e'
piu' un tempo assoluto, ne uno spazio assoluto, ma se tu metti insieme
le due cose: spazio + tempo, riottieni l'assoluto spazio-tempo, dove i
fenomeni restano invarianti.
Il sistema di assiomi e' il tuo passaporto: una volta appropriato di
volta in volta di quello adatto al caso, navighi nel nuovo sistema
senza paura di sorprese.
Rifletti sulla differenza che c'e' tra la matematica, con tutte le sue
teorie -tra loro- contradditorie e altri sistemi di credenze
altrettanto contradditori, p.e. le molteplici religioni, le molteplici
credenze popolari, le molteplici morali, le molteplici politiche, le
molteplici leggi degli stati, ...:
ebbene, le religioni sono tante, ma la matematica in tutto il mondo e'
UNA SOLA !
E' la stessa matematica che comprende sia le teorie infinitistiche
(che ammettono gli insiemi transfiniti) che le teorie finitistiche
(vedi la "matematica inuizionista" o costruttiva), solo per citare due
concezioni contrastanti:
perche' il tessuto logico e' lo stesso: all'interno di qualunque delle
opposte teorie che hai elencato c'e' la stessa coerenza logica.
Non basta inventare una nuova teoria, E' NECESSARIO che sia
logicamente coerente, perche' si possa dire matematica e non ...
metafisica, esoterica o altro.
Un matematico russo o cinese o americano, non avra' difficolta' a
capire una nuova teoria, non si trova mai di fronte ad un linguaggio
ignoto; legge gli assiomi e poi capisce il senso di tutto il resto.
Potranno non piacergli gli assiomi, ma sa di star facendo comunque
della matematica.
Il problema che tu poni della pluralita', visto nel giusto modo, e'
una ricchezza. Se vuoi puoi vedere le molteplici teorie alla semplice
stregua di STRUMENTI: una dotazione sempre piu' vasta e differenziata
di strumenti per ... aggredire la realta'.
E qui veniamo al rapporto con la realta'.
Non c'e' alcun modo DALL'INTERNO della matematica di assegnare un
indice di realta' ad una costruzione. E questo, se ci pensi bene, e'
un vantaggio. La matematica e' lo studio del POSSIBILE non del reale !
E' naturale che la matematica sia lo studio di MONDI POSSIBILI.
E' in un momento successivo che tra il gran repertorio di modelli
matematici si cerchera' il piu' adatto a rappresentare un certo
fenomeno.
Consideriamo le differenti teorie sui numeri, compresa quella che
1+1=5 (qualcuno mi sembra l'abbia tirata fuori):
non sono da prendersi come diversi tentativi di definire come sono
veramente i numeri, ma rappresentano piuttosto entita' diverse, senza
escludere che possano comunque avere proprieta' in parte simili.
E' chiaro che, siccome Cantor chiamava numeri anche le cardinalita' di
insiemi infiniti, mentre per altri matematici adirittura non possono
esistere insiemi infiniti, significa che Cantor aveva un altro
concetto di numero.
Ecco che allora, matematicamente parlando, numeri altro non sono che
quelle entita' che risultano definite in un sistema formale e che
possiedono certe proprieta'.
Se ritieni che una certa definizione di numero corrisponda bene a
quella che usi quando conti delle mele,  e per te numero e' solo
quello che funziona cosi' come funziona quando conti delle mele,
allora tu SCEGLIERAI quella definizione formale di numero.
Le altre teorie sui numeri non le butterai per questo, ma le potrai
sempre usare quando si rivelano utili.
P.e. in elettrotecnica. Non esistono tensioni o correnti elettriche
immaginarie, ma se consideri grandezze immaginarie di correnti e
tensioni come rappresentanti in realta' sfasamenti di onde, allora
hanno senso anche quelle.
Tu quando navighi tra le piu' strane ed astruse teorie matematiche,
non stai navigando tra teorie vere ed aborti che non si sono adattate,
o non potranno adattarsi, alla realta', ma semplicemente tra diversi
mondi matematici, ognuno ugualmente valido rispetto alle sue
condizioni di esistenza logica.
Il proliferare di teorie e costruzioni e' un unico processo di
crescente affinamento concettuale del pensiero razionale umano.
Ciao
Giovanni

 consistente (cioe` non comprende contraddizioni).
Nessuna teoria è "vera", si distinguono piuttosto la "coerenza interna" e la
"coerenza esterna", la prima riguarda il fatto che non siano derivabili due stringhe
contraddittorie (nel qual caso sono derivabili tutte le stringhe possibili). La
seconda non riguarda le stringhe ma le loro interpretazioni, cioè un sistema è
coerente con la sua rappresentazione se ogni stringa ben formata ha come
interpretazione una proposizione vera.Un sistema formale che si possa interpretare in
termini di proposizioni sull' aritmetica e in cui una stringa si interpreta come
1+1=5 può essere coerente internamente, ma con quell' interpretazione non lo è
esternamente. Se gli dai un' altra interpretazione può anche diventare un' utile
fonte di conoscenza su un argomento, altrimenti rimane solo un complesso di simboli
con certe proprietà, che può essere utile a quello che vuoi, ma non a rappresentare
le proposizioni aritmetiche vere.
MarcoDiscens

condizioni di esistenza logica.
E' stupido ed inutile farlo, ma devo congratularmi con chi ha scritto
il post.