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Titolo: Da un'intervista ad Odifreddi

C'è una storiella interessante, che  Vi posso raccontare: quando
Cantor scoprì che c'erano più infiniti, Cantor, nonostante il suo
nome, che è ovviamente di origine ebraica, era cristiano, battezzato,
quindi se ne preoccupò. Ovviamente era la fine dell'Ottocento, non
c'era più pericolo di andare al rogo, però volle sapere che cosa la
Chiesa pensava di questo fatto, la Chiesa cattolica. Andò in Vaticano,
portò i suoi lavori e disse al Santo Uffizio, che era governato
allora  da un cardinale tedesco: "Ma Eminenza io ho qui lavori di
matematica che mi dicono che ci sono più infiniti, in realtà tanti
infiniti". Il cardinale disse: "Ma, insomma io la matematica non la
conosco quindi do ai miei segretari i suoi lavori perché se li
studino". I segretari erano dei domenicani - Voi sapete che il Santo
Uffizio si è basato spesso  sui domenicani per fare i suoi affari -, e
i domenicani si presero  due anni, perché ovviamente hanno dovuto
cominciare a studiare la matematica  la teoria degli insiemi eccetera.
Dopo due anni  dissero  al cardinale: "Guardi, secondo noi, non c'è
problema, non c'è pericolo  per la fede". Allora Cantor venne
convocato in Vaticano e il cardinale del Santo Uffizio gli disse:
"Guardi lei può parlare di questi infiniti, purché non li chiami
infiniti, perché effettivamente questo darebbe una brutta idea
teologica,  cioè farebbe una connessione con la divinità". Allora ,
Cantor scelse un nome, che oggi non sarebbe tanto corretto
politicamente perché ha delle implicazioni un po' diverse, li chiamò
"transfiniti" e,  per il colmo dell'ironia, oggi i matematici chiamano
questi transfiniti "cardinali". Quindi, insomma  il cerchio. L'idea
del cardinale del Santo Uffizio era che oltre tutti questi transfiniti
là, alla fine, c'è il vero infinito assoluto. Chiesero a Cantor cosa
ne pensava : "Ma per noi matematici quello non c'è. Non esiste un
infinito assoluto per i matematici, perché è contraddittorio" e il
Santo Uffizio disse: "Va bene, allora quello lì è nostro".
Ciao!!!  :o)
Livio

....deve mmoriiiiiiiiiiiiiiiireeeeeeeeeeeee....................deve 
mmoriiiiiiiiiiiiiiiiiiiiireeeeeeeeeeeeee...................deve 
mmoriiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiireeeeeeeeeeeeeeeeee..........ad 
libitum................ 

 ha scritto nel messaggio
C'è una storiella interessante, che  Vi posso raccontare: quando
Cantor scoprì che c'erano più infiniti,...
(...)
Ho letto questa storia sul sito di Odifreddi, persona simpaticissima che ho 
conosciuto personalmente ma a cui  non ho avuto modo di porgergli delle 
domande.
Premetto che amo la matematica...per quel poco che ho potuto studiare ( 
ragioneria :-) poi ho intrapreso tutt'altra via, ho sempre avuto dai prof. 
ottime valutazioni in materia, il giudizio fin dalle medie era: dotata di 
ottima logica matematica.
Quindi...lungi da me toccare anche solo con un dito un matematico ( mio 
figlio, il maggiore studia scienze matematiche, e farà probabilmente quello 
che fa l'Odifreddi :-)
Ma poichè è sempe più de là che de qua ( nel senso che non è mai in casa 
:-)) non me lo trovo mai sotto le grinfie per subbissarlo di domande.
Allora suddiso te! :-D
Cosa intende un matematico con lo scoprire che ci sono più infiniti? A cosa 
si riferisce? A cose che esistono realmente? Questi più infiniti, quanti 
sono? Sono infiniti infiniti...oppure sono limitati?E...sono, come dire... 
slegati tra loro?
Poi continuo... :-)
Ciao!!!  :o)
Livio
Ciao!!
Anna

 ha scritto nel messaggio 
news:v1iGi.111118$%k.25...@twister2.libero.it...

Prova prima a rispondere a questa domanda: l'insieme di tutti i numeri 
natuarli e quello dei numeri naturali pari hanno lo stesso grado di 
infinità? 

 infinità?
....basta che restino naturali e non comincino a darsi nel culo fra loro per 
me possono fare quel cazzo che gli pare.  8o( 

 slegati tra loro?
Diciamo che questa storia degli infiniti, e anche quelle astrofisiche
sulla finitezza dell'universo, finiscono per bruciare un po' anche te
panteista, non soltanto il Santo Uffizio!
Perche' parlando di infiniti si finisce facilmente con lo scivolare
nel metafisico. E qui forse sta il punto. Ti rispondo quindi ancora
con le parole del nostro matematico impertinente:
"Quindi in qualche modo ci sono delle relazioni. La chiesa si è sempre
preoccupata , sempre dal momento in cui l'infinito è stato in qualche
modo identificato con la divinità. Oggi però i matematici non credono
che l'infinito matematico sia in qualche modo un'immagine
dell'infinito metafisico. Pensano semplicemente che siano oggetti
matematici e quindi li tengono abbastanza distinti."
Ciao!!!  :o)
Livio


Ciao Anna,
il problema che tu poni -putroppo- richiede molto tempo per seguirlo
come i matematici, se operano con rigore, esprimono.
Per amore di sintesi, si può però dire che la questione della
numerabilità, o anche detta cardinalità, è una questione di teoria della
rappresentazione.
La questione partì così:
Con che cosa numeriamo ciò che ci circonda?
Con i numeri detti naturali, ossia con 1,2,3,4 ..
Ma se volessimo associare un numero naturale ai numeri che non sono
naturali lo potremmo fare?
Proviamo:
Dicesi numeri Razionali (positivi) i seguenti
(si può ripetere il procedimento per i negativi)
1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ...
2/1, 2/2, 2/3, 2/4, ..
3/1, 3/2, 3/3, 3/4, ..
[...]
Possiamo costruire una tabella di corrispondenza (con i naturali)?
Cantor dice di sì, ed infatti eccola:
(metodo della diagonalizzazione)
1/1 | 1
2/1 | 2
1/2 | 3
1/3 | 4
2/2 | 5
3/1 | 6
[...]
In definitiva come si può vedere al seguente link:
http://www.vialattea.net/pagine/infinito/transfiniti.htm
Si vede come i naturali siano "sufficienti" a contare tali
rappresentazioni anche per tabelle comunque estese, potendosi tale
tabelle completamente esplorare con la diagonalizzazione proposta da
Cantor.
Fin qui il solo fatto fuori del normale è che anche se alcune
rappresentazioni possano sembrare più estese di altre, ad esempio quelle
dei numeri razionali, sono ugualmente descrivibili con i numeri
naturali.
Tale sistema di numerazione viene detto cardinalità Alef(0) che
contraddistingue gli insiemi "enumerabili".
La questione diviene interessante quando ci si domanda se ci sono
insiemi maggiori di Alef(0) [ossia non rappresentabili con Alef(0)] e
come sono fatti, ossia se ci sono infiniti "più estesi" di altri.
La questione è tuttaltro che banale.
Infatti più che un concetto di numerazione investe una questione di
metodo, anzi di metodi.
E' esplorabile ed esprimibile -in forma chiusa- il concetto di infinito?
E' "manipolabile" come se fosse un ente al finito?
Secondo alcuni no.
Infatti il manipolare il concetto di infinto al finito crea delle
aporie.
Si può solo dire che il metodo di diagonalizzazione di Cantor "non
funziona" per collezioni di numeri "più densi", ad esempio nel continuo
(ossia per tutti i punti intermedi tra due dati), e sembrerebbe quindi
che tali numeri(pure esistenti, in quanto tra due punti si può
rappresentare una infinità di punti tramite le coordinate numeriche)
siano più "numerosi", quindi un infinito più esteso ..
Ma a mio avviso è la denuncia di problemi di metodo.
A rinforzare questo convincimento ci vengono gli studi di Hilbert e
Godel:
++
cito questo articolo:
http://64.233.183.104/search?q=cache:MNgjGykj3j0J:matematica.uni-bocconi.it/infinito/lettera48.pdf+costruzione+di+alef+cantor&hl=it&ct=clnk&cd=3&gl=it
(nota bene: mettere su *una sola riga* -del navigatore- il link
precedente)
++
il testo relativo è il seguente:
++
cit on
++
La Matematica dell'infinito
L'inquietante storia dell'infinito. Da Aristotele, Gauss e la rigida
opposizione di Kronecker fino al paradiso di Cantor e
all'ospitale albergo di Hilbert. Poi venne Gödel. Con i suoi teoremi di
incompletezza, i matematici riescono a dimostrare
l'esistenza sia di Dio che del diavolo: Dio esiste perché la Matematica
esiste, il diavolo esiste perché non se ne riesce a
provare la coerenza.
Introduzione
Accostare Infinito e Matematica può sembrare collegamento azzardato.
L'Infinito, come pure il suo corrispondente
temporale, l'Eterno, è tema adeguato per Religione, Filosofia o
Letteratura, ma forse non per la scienza positiva. Meno
che mai per la più positiva delle scienze e cioè la Matematica. Del
resto, l'Infinito (in-definito, in-determinato) è, per sua
stessa etimologia e natura, ed anche per la comune opinione, ciò che
sfugge ad ogni possibile classificazione e misura,
mentre la Matematica tende a (e pretende di) classificare e misurare
ogni oggetto che esamina. Dunque, l'Infinito non è
argomento da Matematica.
In effetti, secondo una visione che risale ai tempi dell'antica Grecia e
che si è mantenuta radicata nei secoli fin quasi ai
nostri giorni, la Matematica è la scienza dei numeri naturali 0, 1, 2,
..., semmai allargata a quegli insiemi numerici - gli
interi, i razionali - che ai naturali sono direttamente collegati.
Pitagora sosteneva che il numero (naturale) è la base di
tutto. Oltre due millenni dopo, Kronecker (1832-1891) ribadiva che gli
interi positivi sono i soli numeri creati da Dio a
voler significare che trattare altri contesti non standard, come quello
dei reali, era quasi sacrilego. Dunque la
Matematica va a combaciare, in questa prospettiva, con l'Aritmetica dei
numeri 0, 1, 2, ...: tutti rigorosamente finiti per
natura e rappresentazione (a differenza dei reali, che scomodano
allineamenti decimali senza limiti e confini).
Si conferma così che non c'è spazio comune per Matematica e Infinito.
Eppure, a smentire tutte queste pur ragionevoli
premesse, va detto che la Matematica è stata capace nella sua storia più
recente di intuire, accarezzare ed anche
misurare l'Infinito, fin quasi a sognare di dominarlo completamente.
Questo è il tema che vogliamo trattare.
Contare o confrontare?
Dobbiamo subito parzialmente correggere quanto detto nell'introduzione.
In effetti, se riflettiamo un attimo con
maggiore profondità, dobbiamo riconoscere che l'Infinito non è tema
completamente e costituzionalmente estraneo alla
Matematica. Gli stessi numeri naturali 0, 1, 2, ... sono sì ciascuno
singolarmente finito, ma costituiscono
complessivamente un insieme infinito. La loro successione si snocciola
senza limitazioni in una strada senza fine.
Tuttavia, come già Aristotele osservava, bisogna esercitare un po' di
finezza quando si parla di infinito e distinguere la
sua forma potenziale da quella attuale: la prima è umanamente
accessibile, la seconda no. In altre parole, possiamo
certamente convenire che ci sono successioni senza termine di oggetti
matematici, quali i numeri naturali, ed
abbracciarne con la nostra percezione porzioni comunque grandi
(l'infinito potenziale di cui sopra); ma, quanto ad
afferrarne la totalità ed ad identificarla completamente come singolo
ente (l'infinito attuale), ebbene, questo è un altro
discorso, inaccessibile ai limiti della nostra mente umana. Per dirla in
latino e dare così maggiore autorità alla citazione:
infinitum actu non datur. Questo era il pensiero di Aristotele e, come
tutti sappiamo, si trattava di opinione autorevole,
non solo ai tempi dell'antica Grecia ma nei lunghi secoli successivi.
Del resto, ancora nel 1831 (di nuovo, due millenni
dopo Aristotele), colui che è comunemente riconosciuto il più grande
matematico, e cioè Gauss, si esprimeva quasi
negli stessi termini del suo illustre predecessore. In una lettera al
suo allievo Schumacher, scriveva: io devo protestare
veementemente contro l'uso dell'infinito come qualcosa di definito:
questo non è permesso in Matematica. L'infinito è
solo un modo di dire, ed intende un limite cui certi rapporti possono
approssimarsi vicino quanto vogliono.
Del resto, nei secoli da Aristotele a Gauss, vari spunti avevano
introdotto in Matematica l'esigenza di studiare e definire
l'infinito e, se è per questo, anche il suo inverso matematico
(l'infinitesimo) nelle loro forme potenziali. Ad esempio, la
necessità di garantire adeguate basi teoriche allo studio delle
grandezze fisiche (come la velocità, la accelerazione e così
via) aveva indotto già nel secolo diciassettesimo (e forse anche prima)
Newton, Leibniz ed altri a fondare - con qualche
imprecisione, qualche vaghezza e molte polemiche - il calcolo
differenziale, il relativo studio delle derivate e, appunto,
l'uso degli infinitesimi. L'obiettivo era quello di descrivere in
termini matematici rigorosi il comportamento di una
funzione quando il suo argomento si avvicina indefinitamente ad un
punto, o supera ogni barriera verso l'infinito.
Proprio all'epoca di Gauss, l'opera di Cauchy e Weierstrass aveva
prodotto (neanche due secoli dopo Newton) una
adeguata risposta al problema e una rigorosa introduzione teorica a
questo argomento così delicato, tramite il famigerato
armamentario di epsilon e di delta che consente la definizione del
concetto di limite e che, sgombrata la mente dai
ricordi, dalla noia e dai terrori del primo anno di Analisi, si rivela
un approccio elegante e profondo all'infinito
potenziale in Matematica.
Ma che si può dire del tabù degli infiniti attuali? Negli stessi secoli,
menti autorevoli avevano tentato di avventurarsi in
questa zona proibita, avvertendone però le anomalie e concludendo che
forse era il caso di lasciar perdere: è questo il
caso di Galileo Galilei e di alcune sue riflessioni contenute nell'opera
[1] del 1638 e note con il nome di Paradosso di
Galileo. Galileo considera i numeri naturali 0, 1, 2, 3 ... ed osserva
che l'insieme (infinito) dei loro quadrati 0, 1, 4, 9, ...
è certamente più piccolo e, pur tuttavia, contiene tanti elementi quanti
erano i numeri di partenza, perché ad ogni
numero corrisponde in modo biunivoco il suo quadrato. Galileo conclude:
io non veggo che ad altra decisione si possa
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venire che a dire infiniti essere tutti i numeri, infiniti i quadrati,
... né la moltitudine de' quadrati essere minore di quella
di tutti numeri, né questa essere maggiore di quella, ed, in ultima
conclusione, gli attributi di eguale, maggiore e minore
non aver luogo negl'infiniti ma solo nelle quantità terminate, ed
aggiunge: queste son di quelle difficoltà che derivano
dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno
all'infinito, dandogli quegli attributi che noi diamo alle
cose finite e terminate; il che penso che sia inconveniente.
Al di là di questa conclusione, le riflessioni di Galileo contengono,
magari solo in germe, suggerimenti stimolanti su
come potremmo pretendere di misurare l'infinito. In effetti, non
possiamo contare né i numeri naturali, né i loro quadrati
(infiniti sono gli uni, infiniti sono gli altri); pur tuttavia, possiamo
confrontarli e stabilire rigorosamente che gli uni sono
tanti quanti gli altri, perché c'è una corrispondenza biunivoca tra i
loro insiemi.
Per spiegarci con un esempio più semplice, facciamo il caso di un
impresario che vuole verificare il successo del suo
spettacolo misurandone il pubblico. Può svolgere l'indagine facendosi
riferire la capienza del teatro, poi contando il
numero dei biglietti venduti e, accertatosi che sono uguali, dichiarare
compiaciuto il tutto esaurito. Più rapidamente, può
invece sbirciare la sala da dietro il sipario e controllare che ogni
spettatore ha la sua poltrona e ogni poltrona il suo
spettatore, che non ci sono né posti vuoti né spettatori in piedi e di
nuovo rallegrarsene. Per dirla in termini matematici,
c'è una biiezione tra l'insieme delle poltrone e quello degli
spettatori. Nei teatri del mondo, che sono tutti finiti, l'una e
l'altra delle due strategie sono possibili. Se però passiamo ad un
contesto infinito, non possiamo pretendere di contare
posti e (forse) spettatori né, per riferirci all'esempio di Galileo,
numeri e quadrati. Possiamo tuttavia ancora confrontare
i due insiemi coinvolti, stabilire ove possibile una corrispondenza
biunivoca tra di loro e dedurre in tal caso che hanno
lo "stesso numero" di elementi. È esattamente quel che Galileo fa nella
trattazione del suo paradosso.
Dunque, all'infinito possiamo, se non contare, confrontare e decidere se
due insiemi sono o no ugualmente numerosi.
L'idea è brillante e sottile ed induce alla tentazione di approfondire.
Pur tuttavia, c'è una obiezione che sorge abbastanza
spontaneamente: ne vale realmente la pena? In effetti, si potrebbe
sostenere che gli insiemi infiniti sono tutti, appunto,
infiniti, e come tali hanno forzatamente lo stesso numero (infinito) di
elementi. È dunque inutile soffermarsi in questo
genere di confronti, l'infinito appiattisce tutto. L'esempio dei numeri
e dei quadrati (i secondi apparentemente molto
minori dei primi) sembra confermarlo.
C'è un altro famoso argomento che corrobora questa impressione e va
sotto il nome di Albergo di Hilbert. Si tratta,
infatti, di un esempio che David Hilbert (1862-1943) adoperava per
divulgare presso i non addetti ai lavori le
sottigliezze di questa analisi dell'infinito. Lo ricordiamo brevemente.
Gli alberghi di questo mondo sono tutti finiti
(come del resto i teatri). Supponiamo allora di avere un albergo
completo, in cui ogni stanza N ha già il suo ospite N. Se
ad un'ora della notte arriva un nuovo cliente in cerca di sistemazione,
il portiere dovrà dichiarargli con rammarico di
non poterlo ospitare ed indirizzarlo ad altro ricovero. Ma ammettiamo
per un attimo di volare nell'albergo del Paradiso
(magari non a titolo definitivo, ma solo per prenderci un caffè):
l'albergo è ovviamente infinito, come si addice a tutto
quel che è trascendente. Gli ospiti che lo popolano sono anch'essi
infiniti (come San Giovanni stesso assicura con la sua
autorità nell'Apocalisse, Capitolo 7, versetto 9) e lo riempiono
completamente. Abbiamo dunque il problema di trovare
un posto. "Non preoccupatevi" ci direbbe San Pietro "sistemiamo:
l'ospite 0 nella camera 1,
l'ospite 1 nella camera 2, ...
l'ospite N nella camera N+1, ...
e vi liberiamo la camera 0". Il tutto è lecito perché l'albergo è
infinito. Di più, tra i requisiti della santità c'è anche quello
della pazienza e i vari trasferimenti di camera dovrebbero essere
accettati con serenità e senza polemiche. Dunque, ogni
nuovo ospite trova il suo posto. Per uscir dalla metafora ed usare
termini matematici, quanto l'argomento di Hilbert
sottolinea è che un insieme infinito, come quello dei naturali, possa
avere tanti elementi quanti un suo sottoinsieme
proprio, come quello che se ne ottiene dimenticando 0. La funzione
successore, quella che trasforma ogni naturale N in
N+1 è una corrispondenza biunivoca tra i naturali e i naturali maggiori
di 0; togliere l'elemento 0 non diminuisce il
numero complessivo dei punti rimanenti.
Altri esempi storici sostengono il nostro assunto sulla apparente
piattezza dell'infinito. Ad esempio, nella sua opera
postuma Paradossi dell'infinito, Bolzano (1781-1848) osservava come il
segmento chiuso [0, 5] della retta reale ha tanti
punti quanto l'evidentemente più grande intervallo [0, 12], la
corrispondenza biunivoca tra i due essendo stabilita dalla
funzione che trasforma ogni x nei suoi dodici quinti.
Ma chi diede la svolta fondamentale e decisiva all'intera questione fu
Georg Cantor (1845-1918). Lo spunto che lo
condusse ad approfondire il tema fu lo sviluppo in serie di Fourier
delle funzioni e l'unicità dei relativi coefficienti. La
sua analisi lo portò ad individuare e classificare alcuni insiemi di
reali che non soddisfacevano questo risultato di unicità
e, conseguentemente, a valutare quanto "piccoli" e trascurabili fossero
questi controesempi a confronto dell'intera
collezione dei reali. Prendendo spunto da questa problematica, Cantor
considerò varie coppie di sottoinsiemi infiniti
della retta reale R (e non solo) cercando possibili biiezioni.
Ad esempio, osservò che ci sono tanti punti nell'intera retta quanti nel
segmento aperto ]0, 1[ (che pure è per altri aspetti
enormemente più piccolo). La precedente osservazione di Bolzano ed un
minimo di trigonometria ci aiutano infatti a
definire una biiezione: ]0, 1[ è in corrispondenza biunivoca con
l'intervallo aperto ]-?/2, ?/2[ tramite la funzione che
trasforma ogni reale x tra 0 e 1 in ?x-?/2 e dunque prima allarga, al
modo di Bolzano, ]0, 1[ a ]0, ? [, e poi trasla
quest'ultimo segmento di - ?/2 portandolo come richiesto su ]- ?/2,
?/2[. A questo punto, ci ricordiamo che la funzione
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tangente, ristretta all'intervallo ]- ?/2, ?/2[, ne determina una
biiezione con l'intero R. Opportune manipolazioni provano
poi che il segmento aperto ]0, 1[ è in corrispondenza con il segmento
chiuso [0, 1], o anche con [0, 1[, ]0, 1] e, in
definitiva, con ogni intervallo chiuso, aperto o semiaperto dell'intera
retta. Altrettanto vale per l'intero insieme R.
Altri casi furono esplorati da Cantor. Ne elenchiamo alcuni
particolarmente significativi. L'insieme N dei naturali 0, 1,
2, ... si potrebbe valutare ad occhio come la metà dell'insieme Z di
tutti gli interi ...-2, -1, 0, 1, 2, ...; ma sono infiniti
entrambi, ed in effetti è possibile determinare una corrispondenza
biunivoca f che li collega. Basta osservare che i
naturali, a loro volta, si suddividono a metà tra pari 0, 2, 4, ... e
dispari 1, 3, 5, ... e dunque trasformare gli interi non
negativi nei primi e quelli negativi nei secondi: in termini rigorosi,
porre per ogni x naturale:
f(x) = 2x se x ? 0, f(x) = -2x -1 altrimenti.
Lo stesso può dirsi di naturali N e razionali Q: tra i due insiemi c'è
una corrispondenza biunivoca. La cosa può sembrare
a prima vista strana e sorprendente; si potrebbe osservare che l'usuale
ordine dei naturali ha un primo elemento 0 ed è
discreto (ogni elemento ha un suo immediato successore, ogni elemento
escluso 0 ammette un immediato predecessore)
mentre quello dei razionali non ha estremi ed è denso (tra due elementi
a<b, c'è sempre un punto intermedio a<c<b), il
che lo rende costituzionalmente diverso dal precedente. Come è possibile
che una corrispondenza tra N e Q riesca a
conciliare queste strutture così diverse? La risposta è semplice: quel
che a noi preme non è un isomorfismo d'ordine, che
si preoccupi - appunto - di preservare la relazione d'ordine dei due
diversi insiemi, ma una semplice biiezione senza
obblighi particolari. Conseguentemente, possiamo riarrangiare i
razionali non negativi facendo riferimento alla loro
rappresentazione come frazione m/n, con m e n naturali, n ? 0, m e n
primi tra loro, e sistemandoli prima secondo m+n
e poi, a parità di somma, secondo il loro ordine abituale, ottenendo
così in definitiva una successione:
0 = 0/1, 1/1, 1/2, 2/1, 1/3, 3/1, 1/4, 2/3, 3/2, 4/1, ...
del tutto analoga a quella dei naturali:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...
e quindi disponibile in corrispondenza biunivoca con N. Ora, è facile
estendere questa funzione tra naturali (cioè interi
non negativi) e razionali non negativi, coinvolgendo da un lato tutti
gli interi e dall'altro tutti i razionali e concludendo,
nuovamente, che gli uni sono tanti quanti gli altri (pur costituendone
un sottoinsieme proprio). A questo punto,
componiamo la biiezione appena trovata tra Z e Q con quella che già
conosciamo tra N e Z ed otteniamo la
corrispondenza biunivoca cercata tra N e Q.
Questo fu l'ingegnoso argomento con cui Cantor provò nel 1895, in un
articolo sui Mathematische Annalen, che i
naturali sono tanti quanti i razionali (in realtà Cantor aveva già
raggiunto questa conclusione nel 1874 sul Journal für
Mathematik, usando però una dimostrazione diversa e più complicata).
Un altro sorprendente risultato di Cantor collega il quadrato, o anche
il cubo, con il suo lato: l'uno e l'altro hanno lo
stesso "numero" di punti. Il teorema fu provato nel 1877 e suscitò
incredulità e smarrimento tra i matematici dell'epoca.
Lo stesso Cantor ne rimase in un certo senso sorpreso e lo commentò in
una lettera a Dedekind con le parole: "lo vedo,
ma non lo credo". La ragione di tanto stupore è facile da capire: il
risultato sembra confondere curve, superfici e volumi
e dunque enti geometrici di dimensione 1, 2 e 3 abolendo ogni
distinzione al riguardo e, in definitiva, minando le basi
stesse della Geometria. Ma si trattava (e si tratta) solo di
un'impressione superficiale, comprensibile in tempi che non
avevano ancora sviluppato compiutamente il concetto di spazio
topologico. Come Dedekind osservò lucidamente, le
biiezioni di Cantor sono - appunto - solo biiezioni e non hanno né
pretendono di avere quel requisito di continuità che,
se sussistesse, andrebbe a contraddire tante assodate certezze.
Segmento, quadrato, cubo hanno lo stesso numero di
punti, ma non sono per questo tra loro omeomorfi.
Ciò premesso, vediamo quale argomento fu usato da Cantor per provare il
suo risultato. Assumiamo per semplicità che
il lato sia il segmento unitario [0, 1], così il quadrato corrisponde al
prodotto cartesiano [0, 1] x [0, 1] e dunque ha
vertici (0, 0), (0, 1), (1, 0) e (1, 1) (il cubo viene determinato in
modo analogo). Facciamo poi riferimento alla
rappresentazione decimale dei numeri reali e, conseguentemente,
scriviamo ogni r in [0, 1] nella forma 0, r
0
r
1
r
2
... r
n
...
dove r
i
(per i naturale) è una cifra tra 0 e 9; ricordiamo che anche 1 ammette
una tale decomposizione, come 0,9999... .
Questa rappresentazione decimale non è sempre unica, ma l'unico motivo
di ambiguità è quello già osservato a
proposito di 1 = 0,999...; infatti due decomposizioni decimali
corrispondono allo stesso numero se e solo se una è della
forma 0, r
0
r
1
... r
n
con r
n
? 0 (dopo di che si stabilizza uniformemente a 0) e l'altra 0, r
0
r
1
... r
n
-1 9999...: ad esempio, 0,5
= 0,49999... . Così, possiamo convenire di fare comunque costante
riferimento ad una delle due rappresentazioni,
magari alla seconda. A questo punto, l'idea per una biiezione tra [0, 1]
x [0, 1] e [0, 1] è, tutto sommato, semplice:
associamo alla coppia (r, s) di reali in [0, 1], r = 0, r
0
r
1
r
2
..., s = 0, s
0
s
1
s
2
... , il numero 0, r
0
s
0
r
1
s
1
r
2
s
2
... che
riproduce, con le cifre di posto pari, la rappresentazione di r e, con
quelle di posto dispari, la rappresentazione di s.
Messa in questi termini, la corrispondenza è ancora rozza e necessita di
qualche raffinamento; ma, sistemati alcuni
dettagli, l'idea funziona e stabilisce la biiezione richiesta tra
quadrato e lato. Allo stesso modo si procede per cubo e
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lato. Anzi lo stesso ragionamento può essere adoperato per provare che
la retta R ha tanti punti quanti il piano R
2
o lo
spazio tridimensionale R
3
.
Questi, ed altri esempi, confermano l'impressione superficiale accennata
qualche capoverso fa. Tutti gli insiemi infiniti
hanno lo stesso numero di elementi, appunto perché infiniti. Aggiungere
o togliere un elemento, o due elementi, o anche
più elementi, non ne altera il numero complessivo. Dunque, non vale la
pena di discutere sull'argomento, di usare
sofismi per distinguere il contare e il confrontare e tentare
un'improbabile misurazione di un infinito che non vuole
essere misurato.
Semmai le precedenti osservazioni possono servirci per dare una
definizione matematica precisa e convincente di quel
che è un insieme infinito e, accogliendo la proposta avanzata da
Dedekind nel 1888 (nell'opera Il finito e l'infinito),
chiamare un insieme A infinito quando può essere messo in corrispondenza
biunivoca con un suo qualche sottoinsieme
proprio: condizione, questa, che non può certo essere soddisfatta nei
contesti finiti, ma che costantemente registriamo
non appena ne andiamo al di fuori. Ma quanto a cercare più possibili
livelli di infinito, tutto lascia presagire che sia
fatica inutile.
Eppure... eppure le cose in Matematica non sempre sono così lisce e
banali. Ad esempio, sempre per rimanere sul tema
di come definire l'infinito, Cantor propose (rispetto a Dedekind) un
approccio formalmente diverso, che chiama un
insieme A infinito quando non è possibile metterlo in corrispondenza
biunivoca con alcun insieme della forma {0, 1, ...,
n} con n naturale. Ad occhio, le due definizioni - quella di Dedekind e
quella di Cantor - sembrano entrambe adeguate e
tra loro equivalenti. Eppure, provate a dimostrarlo! (o, magari, leggete
qualche testo sull'Assioma della Scelta per
approfondire la questione).
Così, anche a proposito di certe sensazioni sulla presunta piattezza di
tutti gli insiemi infiniti, c'è da andare prudenti. E
infatti nel 1874...
Nel paradiso di Cantor
Nel 1874, Cantor dimostrò che, al contrario di quel che tutti gli esempi
precedenti lasciano presagire, non tutti gli
infiniti sono uguali e ci sono più possibili modi di essere "infinito".
In particolare, i punti della retta reale R non sono
tanti quanti i numeri naturali N. Non c'è corrispondenza biunivoca
possibile tra i due insiemi. In verità Cantor aveva già
intuito una prima dimostrazione di questa sorprendente novità già nel
1873 ma aveva atteso il parere e i suggerimenti di
Dedekind per pubblicarla, appunto, nel 1874. Ma la prova più famosa -
quella che oggi viene comunemente citata nei
manuali di Teoria degli insiemi e che usa l'argomento comunemente
chiamato diagonalizzazione - è successiva di
qualche anno e risale al 1891.
Teorema (Cantor, 1874). Non c'è corrispondenza biunivoca possibile tra
l'insieme R dei reali e l'insieme N dei naturali.
Ripercorriamo la seconda dimostrazione di Cantor, quella del 1891. La
prima osservazione è che, siccome già sappiamo
che R e l'intervallo aperto ]0, 1[ sono in corrispondenza biunivoca, ci
basta escludere qualunque biiezione tra
quest'ultimo e N. Prendiamo allora una qualunque funzione f da N a ]0,
1[ e mostriamo che non può essere biiettiva,
anzi mostriamo di più e proviamo che non può essere neppure suriettiva.
Per ottenere questo risultato, facciamo di nuovo riferimento alla
rappresentazione decimale dei reali r già descritta
qualche riga fa. In questo caso, però, ci restringiamo a r ? ]0, 1[
(così trascuriamo 0 = 0,00... e 1 = 0,99...). Per ogni n
naturale, il reale f(n) ? ]0, 1[ ammette la sua rappresentazione
decimale, che è anche unica se eliminiamo i marginali
motivi di ambiguità sopra ricordati. Costruiamo allora un nuovo numero
reale r ? ]0, 1[ diverso da tutti gli f(n), e quindi
esterno alla immagine di f, nel modo seguente: la cifra di posto 0 dello
sviluppo decimale di r è diversa da quella di f(0),
la cifra di posto 1 è differente da quella di f(1), la cifra di posto n
da quella corrispondente in f(n), e così via. Il nostro r
può essere esplicitamente costruito, e risulta diverso da ogni f(n)
perché differisce da esso nella cifra n-ma dello
sviluppo decimale unico.
f(1)= 0, a
00
a
01
a
02
a
03
a
04
...
f(2)= 0, a
10
a
11
a
12
a
13
a
14
...
f(3)= 0, a
20
a
21
a
22
a
23
a
24
...
f(4)= 0, a
30
a
31
a
32
a
33
a
34
...
... ... ... ... ... ... ... ...
Allora r non può appartenere all'immagine di f e f non è suriettiva.
Quindi, ci sono almeno due maniere distinte di essere infiniti, quella
dei naturali (e, se è per questo, anche degli interi,
dei razionali e così via) e quella dei reali (e di ]0, 1[ e di ogni
intervallo o semiretta di R). Risultato sorprendente e quasi
scandaloso, se riflettiamo al contesto storico in cui maturava (la
citazione di Gauss sul divieto di trattare l'infinito
attuale in Matematica risaliva a pochi anni prima). Ma Cantor riuscì
presto a generalizzarlo ulteriormente e provare che
c'è addirittura un'infinità di modi diversi di essere infinito: infatti,
come risulta da un suo teorema del 1883 (poi
perfezionato in una più semplice dimostrazione del 1892), nessun insieme
A può essere in corrispondenza biunivoca
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con l'insieme P(A) dei suoi sottoinsiemi. Così, ad esempio, il "numero"
dei naturali è differente da quello degli insiemi
di naturali e poi da quello degli insiemi di insiemi di naturali e così
via, in un procedimento senza fine che produce
infiniti sempre nuovi. Chi poi è interessato a conoscere a quale livello
di questa costruzione si incontrano i reali sarà
contento di sapere che essi sono tanti quanti i sottoinsiemi dei
naturali: teorema che richiede una qualche fatica, ma ha
una sua convincente dimostrazione. Ora, la disparità di elementi tra un
insieme e l'insieme delle sue parti è risultato ben
noto nei contesti finiti: una semplice e classica applicazione del
principio di induzione, spesso utilizzata nei testi di
Matematica proprio ad esemplificare il principio stesso, mostra che, se
A ammette un numero finito n di elementi, allora
A ha 2
n
sottoinsiemi. Ma la novità del risultato di Cantor è che la cosa si
trasferisce anche ai casi infiniti.
Teorema (Cantor, 1883). Per nessun insieme A ci può essere una biiezione
da A su P(A).
La dimostrazione ripete in un contesto più generale l'argomento della
diagonalizzazione e mostra che una funzione f da
A a P(A) non può mai essere suriettiva (e conseguentemente neppure
biiettiva). Infatti si può costruire un sottoinsieme
B di A che sta fuori della immagine di f, perché è diverso da tutti gli
insiemi che le appartengono.
Per ottenerlo, osserviamo anzitutto che, per ogni elemento a di A, f(a)
- come sottoinsieme di A - può includere o
escludere la sua retroimmagine a. Allora collochiamo a in B esattamente
quando a ? f(a). Dunque B risulta differente
da f(a) per ogni a, in quanto a sta in B esattamente quando non sta in
f(a) e, in conclusione, B è proprio l'insieme
cercato.
Visto che gli insiemi infiniti non sono tutti in corrispondenza
biunivoca tra loro, ha senso classificarli proprio tramite il
"numero" dei loro elementi. A questo fine, Cantor sviluppò la teoria dei
numeri cardinali. In essa, si considera nella
collezione di tutti gli insiemi (finiti e infiniti) la relazione che ne
accomuna due, A e B, se e solo se A e B sono in
corrispondenza biunivoca tra loro. Si verifica che questa relazione è di
equivalenza e, come tale, determina una
partizione degli insiemi in classi: A e B si trovano nella stessa classe
se e solo se c'è una biiezione tra loro e quindi, in
conclusione, se e solo se hanno, appunto, lo stesso "numero" di
elementi. Le classi di equivalenza vengono chiamati
numeri cardinali. Tra di loro compaiono tutti i naturali (che possono
essere identificati con i cardinali degli insiemi
finiti) ma anche nuovi numeri infiniti, quali ?
0
(alef con zero), simbolo che Cantor propose nel 1893 a denotare il
cardinale di N (alef è la prima lettera dell'alfabeto ebraico) oppure il
cardinale di R (che Cantor chiamò il continuo ed
indicò con il c gotico c, anche se oggi giorno si preferisce
rappresentarlo con 2
?0
, visto che i reali sono tanti quanti i
sottoinsiemi degli ?
0
naturali e che, almeno nei contesti finiti, n elementi producono 2
n
sottoinsiemi).
I numeri cardinali si possono sommare, moltiplicare, ordinare proprio
come i naturali, anzi estendendo opportunamente
le definizioni che queste operazioni e relazioni hanno in N. Ad esempio,
se ? e ? sono i cardinali degli insiemi A e B
rispettivamente, si pone ??? se e solo se c'è un'immersione (una
funzione iniettiva) di A in B. È facile vedere che
questa definizione è ben posta, in altre parole dipende solamente da ? e
? e non dalla conseguente scelta di A e B, che
potrebbe non essere unica. Di più, la nuova relazione estende ovviamente
l'ordine di N: infatti, è una semplice
constatazione di calcolo combinatorio osservare che due naturali n, m
soddisfano n?m se e solo se gli insiemi con n
elementi si possono immergere in quelli con m elementi.
Pur tuttavia, il nuovo contesto infinito rivendica talora la sua
specificità. Alcune proprietà, che per insiemi e numeri
finiti paiono ovvie, non si estendono automaticamente ai cardinali
infiniti. Ad esempio, non è affatto semplice provare
che l'ordine dei cardinali soddisfa in generale la proprietà
antisimmetrica, il fatto cioè che due cardinali ? e ?, per cui
vale tanto ??? quanto ???, siano uguali(ovvero, per dirla in termini più
elementari, che due insiemi A e B l'uno
immergibile nell'altro sono in corrispondenza biunivoca tra loro). Anche
se la proprietà è ben nota nel contesto ristretto
dei naturali ed intuitivamente convincente, in generale non è facile
provarla nell'ambito esteso dei cardinali, tant'è vero
che il relativo risultato costituisce un teorema non banale, di genesi
travagliata e di varia paternità (attribuito com'è a
Cantor, Bernstein, Schröder).
Se poi consideriamo l'altra ovvia proprietà dell'ordine di N, la sua
linearità (il fatto cioè che, tra due numeri naturali n e
m, ce n'è sempre uno più piccolo e uno più grande) e pretendiamo di
trasferirla così come è a cardinali arbitrari (ad
intendere che, comunque dati due insiemi A e B, si può immergere A in B
oppure B in A), ci troviamo di fronte a
sorprese anche maggiori: non più teoremi complicati, ma proposizioni
dibattute e delicate quali l'Assioma della Scelta
(di cui, appunto, la linearità dell'ordine cardinale è una possibile
formulazione).
Dunque l'ordine dei cardinali, così come per altri versi la loro
aritmetica (somma e prodotto), ha le sue peculiarità, le
sue difficoltà, i suoi problemi. Ma approfondire questa teoria ci
porterebbe lontano. Semmai possiamo citare un'altra
questione famosa e dibattuta a proposito dei cardinali e del loro
ordine, uno di quei problemi che sarebbe ineducato
dimenticare: l'Ipotesi del Continuo.
Il discorso riguarda ancora reali e naturali. Una volta stabilito che i
primi non sono altrettanto numerosi quanto i
secondi, Cantor si chiese che cosa poteva dirsi dei sottoinsiemi
infiniti di R: alcuni, come i razionali, sono in biiezione
con N, altri, come ]0, 1[, con l'intero R. Ebbene, ci sono altri casi
possibili e, dunque, livelli di infinito intermedi tra N e
R? Cantor presuppose di no, senza però riuscire a trovare una
dimostrazione. Hilbert inserì la questione al primo posto
nella celebre lista di 23 problemi aperti di Matematica, da lui proposta
al Congresso Internazionale di Parigi del 1900.
La congettura di Cantor fu chiamata, appunto, Ipotesi del Continuo.
Ancor oggi, oltre un secolo dopo la sua
Page 6
proposizione, non trova una risposta definitiva (ammesso che possa
averla). Ma questo può essere tema di altri articoli
[2].
Torniamo comunque ai nostri numeri infiniti e consideriamo il tema delle
reazioni alle scoperte di Cantor. Come si può
facilmente immaginare, studiare l'infinito attuale, toccarlo,
maneggiarlo, misurarlo non poteva essere esercizio
tranquillo ed indolore. Intanto, la questione aveva risvolti religiosi.
Come accennavamo all'inizio, l'Infinito sembra
argomento più da teologi e filosofi che da matematici. Cantor, che era
buon credente e si occupava pure di teologia,
cercò di approfondire la questione, dedicandovisi tra il 1885 e 1888 e
giungendo a distinguere due possibili infiniti
attuali: nella sua visione il primo, che chiamò Assoluto, ha la I
maiuscola, si applica solo a Dio, è tema della religione e
non può essere umanamente percepito e accostato per via scientifica;
l'altro, che battezzò Transfinito per sottolinearne la
differenza rispetto al precedente e tenerlo alla dovuta distanza, è
appunto l'infinito della Matematica, l'oggetto delle sue
ricerche, sul quale si può lavorare e disquisire senza con questo
pretendere di misurare il Paradiso con i suoi angeli.
Ma, risolta per questa via (ed anzi con il Nulla Osta delle autorità
religiose di Roma) la questione teologica, Cantor
doveva superare la diffidenza della comunità scientifica rispetto alle
sue nuove teorie matematiche. La sua opera
cozzava infatti chiaramente contro il dettato aristotelico e, quel che è
forse peggio, contro il parere di matematici illustri,
contemporanei o poco precedenti. Abbiamo già citato l'opinione di Gauss
sull'infinito attuale in Matematica (da vietare
categoricamente). Anche Kronecker, che pure era stato il maestro di
Cantor durante i suoi studi universitari a Berlino,
ne rifiutò le scoperte: "il lavoro di Cantor sui numeri transfiniti e
sulla teoria degli insiemi non è Matematica, ma
misticismo" ed aggiungeva, come già ricordato, che "i numeri interi
positivi sono i soli creati di Dio; tutto il resto è
opera dell'uomo e quindi sospetto".
Altri grandi matematici apprezzarono invece l'opera di Cantor e la
accolsero con entusiasmo. Del resto, Cantor aveva -
per così dire - dischiuso all'uomo l'infinito degli angeli, un paradiso
lungamente nascosto e ritenuto inaccessibile per
millenni. Così Bertrand Russell scriveva nel 1910: "la soluzione delle
difficoltà che in passato circondavano l'infinito
matematico è probabilmente la massima conquista che la nostra epoca ha
da vantare" e David Hilbert definiva la teoria
dei cardinali "un prodotto sbalorditivo del pensiero umano" e
commentava: "nessuno riuscirà mai ad cacciarci dal
paradiso che Cantor ha creato per noi", non serpenti, né peccati
originali, né tentazioni matematiche. Pur tuttavia, la vita
di Cantor dopo la scoperta dell'infinito non fu un paradiso (neppure
matematico) ma piuttosto uno di quegli inferni che
gli scienziati sanno ben costruire (quando vogliono) per i loro
colleghi, lastricato di invidie, polemiche, ostracismi,
dispetti. Dunque Cantor non ebbe possibilità di carriera universitaria e
rimase confinato nella piccola sede di Halle.
Ebbe progressive crisi di depressione, fu ricoverato in clinica
psichiatrica e lì, nel 1918, morì.
E IL PROGRAMMA DI HILBERT
Come abbiamo già visto, Hilbert aveva accolto con favore il lavoro di
Cantor e la conseguente introduzione e
definizione dell'infinito attuale in Matematica. Pur essendo ben
consapevole della conseguente necessità di conciliare il
carattere fondamentalmente finitario del metodo matematico e l'analisi
di realtà apparentemente trascendenti, non
intervenne in modo esplicito nel dibattito e nelle polemiche che si
accesero a fine Ottocento a questo proposito.
Tuttavia, furono proprio le sue ricerche in quegli stessi anni a dare
originali contributi alla questione.
In effetti, già nel 1899, un anno prima della sua famosa relazione al
Congresso di Parigi, Hilbert aveva proposto
nell'opera Grundlagen der Geometrie una nuova sistemazione della
Geometria elementare, la cui rilevanza superava lo
specifico ambito cui si applicava (la Geometria, appunto) ed andava
invece ad investire il modo stesso di concepire la
Matematica e il suo metodo. L'approccio di Hilbert dava infatti
particolare enfasi al ruolo degli assiomi, come base
fondamentale per lo sviluppo di tutta la materia. Ora, questo
riferimento agli assiomi (o postulati, o come vogliamo
chiamarli) non era di per sé originale ed anzi si rifaceva direttamente
alla tradizione di Euclide. Tuttavia differenze non
trascurabili venivano a distinguere l'antica mentalità greca dalla
impostazione di Hilbert e, tra queste, la più sostanziale
non era tanto quella (pur evidente, ma superficiale) del numero
complessivo delle verità fondamentali poste alla base
del sistema (cinque postulati nell'approccio di Euclide, ventuno in
quello di Hilbert) quanto piuttosto il ruolo diverso
che a, queste proposizioni veniva attribuito.
Nella concezione di Euclide, infatti, i postulati venivano scelti sulla
base della loro evidenza e plausibilità e la loro
funzione era semplicemente quella di guidare correttamente l'intuizione
nel dimostrare i teoremi. La concezione di
Hilbert era invece più fredda e formale e tendeva a raggiungere i
teoremi di geometria come passi finali di deduzioni
logiche rigidamente articolate, prive di un esplicito sostegno
dell'intuizione. In questa ottica, il ruolo dei ventuno
assiomi era solo quello di fornire una base coerente, priva di
contraddizioni e di ridondanze, alle dimostrazioni. In
effetti, gli assiomi di Hilbert forniscono una serie di proposizioni
relative ad oggetti che vengono chiamati punti, rette e
piani ma, al di là di questo loro nome, non hanno alcun diretto
riferimento alle corrispondenti nozioni geometriche, così
come ci sono proposte dalla intuizione. Secondo Hilbert, hanno il
diritto di essere chiamati punti, rette e piani tutti gli
enti che soddisfano le ventuno condizioni basilari del suo sistema. La
geometria che ne deriva è, allora, scienza formale
puramente deduttiva.
Per dirla con le parole (vagamente polemiche) usate da Poincaré per
commentare l'opera di Hilbert, "tutto vi è
esplicitato in modo da permettere di fare Geometria anche ad un cieco";
"per dimostrare un teorema, non è più
necessario e nemmeno utile sapere cosa vuol dire (...)" e l'intera
ricerca scientifica sembra ridursi ad una "macchina in
cui si introducono gli assiomi da una parte e si raccolgono i teoremi
dall'altra". Quest'ultimo riferimento ad una
Matematica affidata al lavoro deduttivo di un calcolatore ben
programmato (grazie ad una coerente e completa scelta di
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assiomi) può affascinare e sconvolgere. Ma c'è un altro aspetto che
vogliamo mettere in evidenza nel commento di
Poincaré: se anche un cieco può fare Geometria, se punti, rette e piani
diventano entità puramente formali e pur
meritevoli di ricerca, perché non ammettere negli interessi matematici
anche lo studio dell'infinito e di qualunque altra
astrazione? L'importante, in questa visione di Hilbert, non è l'oggetto
che si considera ma la coerenza del sistema
formale che lo tratta, degli assiomi e delle norme di ragionamento che
lo regolano, l'assenza di intrinseche
contraddizioni e paradossi.
Negli anni successivi, Hilbert diede ulteriori contributi allo sviluppo
della Matematica con il metodo assiomatico. Ad
esempio, nel 1900, nell'opera Uber den Zahlbegriff, sviluppò un sistema
di postulati per i numeri reali e, nella già citata
lista di problemi contenuta nella sua conferenza di Parigi, pose al
secondo posto (e quindi subito dopo l'Ipotesi del
Continuo) la questione della coerenza dell'Aritmetica, cioè la
possibilità di escludervi ogni intrinseca contraddizione.
Niente però riguardava in modo diretto la questione della Matematica
dell'Infinito. Dopo un lungo silenzio, Hilbert
ritornò su questi argomenti nel 1917 con l'opera Axiomatisches Denken e
giunse finalmente a presentare, negli anni fra
il 1920 ed i17 930, i lineamenti del suo famoso programma, cui
contribuirono anche allievi oggi famosi come W.
Ackermann (1896-1962), P. Bernays (1888-1977) e J. von Neumann
(1903-1957). Questo programma approfondiva e
generalizzava la concezione sopra riferita a proposito della Geometria
secondo le linee essenziali che adesso
riassumiamo:
a) Tutte le discipline matematiche sufficientemente sviluppate devono
essere dotate di un proprio sistema di assiomi e
regole di ragionamento, che permettano la formazione di sequenze finite
di proposizioni-le dimostrazioni- delle quali i
teoremi rappresentano gli ultimi passi.
b) Il requisito fondamentale che ognuno di questi sistemi formali deve
soddisfare è l'intrinseca coerenza. Infatti, visto
che le teorie matematiche formalizzate non sono altro che collezioni di
proposizioni di per sé prive di significato
intuitivo, l'assenza di contraddizioni (e non i1 ricorso ad una presunta
evidenza) costituisce l'unico criterio discriminante
di accreditamento.
Così sta all'uomo fissare in modo appropriato e coerente, per ogni
sistema matematico, i fondamenti da cui partire (gli
assiomi) e i metodi con cui ragionare (le regole di deduzione). Ciò che
chiamiamo Matematica si riduce esclusivamente
a quanto il sistema deduce meccanicamente al suo interno, come pura
manipolazione di simboli e (diremmo oggi) con il
solo uso di un computer.
In questa prospettiva, la Matematica dell'Infinito di Cantor trova pieno
diritto di cittadinanza. Le nozioni che sono
oggetto del nostro studio possono ben includere il concetto di Infinito,
purché il relativo sistema formale soddisfi il
requisito basilare della coerenza e si sviluppi secondo le regole sopra
stabilite. In questo modo i metodi finitari della
scienza e l'apparente trascendenza del tema vengono a conciliarsi. Del
resto, l'opera in cui (nel 1925) Hilbert meglio
sviluppò questa sua concezione si intitola, appunto, "Sull'infinito".
C'è però, nella visione di Hilbert, un punto sottile da considerare, che
si applica ad ogni possibile sistema formale ma
acquista particolare valenza nel caso dell'infinito. Ammettiamo di voler
organizzare, sull'esempio di Cantor, uno studio
della Matematica dell'Infinito, che osi dunque avventurarsi a trattare
la scienza degli angeli. L'unica credenziale che
Hilbert gli chiede è la coerenza, dunque la mancanza di ogni possibile
contraddizione. Resta però da chiarire chi deve
testimoniare questa coerenza. Questa assicurazione, infatti, non può
certo provenire da enti certificatori esterni al
sistema; sarebbe come ammettere che, per garantire la nostra ambizione
di trattare la scienza degli angeli, dobbiamo
ricorrere proprio a quegli angeli con cui vorremmo competere. Dunque, la
richiesta coerenza deve essere proprietà
intrinseca, che il sistema stesso autocertifica come proprio teorema.
Una volta ottenuta questa garanzia, il programma di Hilbert avrebbe
finalmente conciliato il carattere finitista della
Matematica e l'introduzione dell'infinito in atto dovuta a Cantor. Tutto
si sarebbe risolto una volta fornita una
descrizione coerente assiomatica dei numeri cardinali. In questa
prospettiva, si inseriva del resto il problema della
coerenza dell'Aritmetica (e dunque dei numeri cardinali finiti) che
Hilbert aveva del resto segnalato al secondo posto nel
suo famoso elenco di questioni. La Teoria dei numeri aveva infatti,
grazie a Peano e Dedekind, la sua
assiomatizzazione, sostanzialmente fondata sul Principio di induzione
(quello che afferma che una proprietà che è
soddisfatta da 0 e si trasmette da ogni naturale n al suo successore n+1
deve conseguentemente valere per ogni numero
in N). Eventuali esigenze di maneggevolezza logica potevano semmai
consigliare un indebolimento del principio ed una
conseguente Teoria. elementare dei numeri (usualmente denotata PA e
chiamata Aritmetica di Peano al Primo Ordine).
Si trattava adesso di provare per questi sistemi l'assenza di
contraddizioni con tecniche intrinseche, tramite la
autocertificazione di cui sopra.
Fino a11930, Hilbert e i suoi allievi riuscirono effettivamente a
dimostrare la coerenza di semplici sistemi formali
(meno "potenti" dell'Aritmetica) illudendosi così di essere sul punto di
dimostrare anche la coerenza dell'aritmetica e di
intravedere il traguardo della dominazione dell'infinito da parte
dell'uomo. Ma nel frattempo a Vienna...
LA CACCIATA DALL'EDEN
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Kurt Gödel (vedi [3] per una ricostruzione dettagliata della vita e
delle sue opere) era nato nel 1906 a Brunn (l'attuale
Brno); si era iscritto nel 1924 all'Università di Vienna con
l'intenzione di laurearsi in Fisica ma dopo due anni (come
talora capita) si era trasferito a Matematica, ottenendo infine il suo
dottorato i1 6 febbraio del 1930 con una tesi sulla
completezza della logica del primo ordine. Aveva dunque raggiunto un
risultato di primissimo piano, e pur tuttavia, per
intraprendere la carriera universitaria, doveva ancora superare un
ulteriore esame - l'Hlabilitation - che richiedeva, tra
l'altro, la redazione di un lavoro di maggiore importanza
(l'Habilitationsschrift).
A tale proposito, il problema di Hilbert di una dimostrazione finitaria
della coerenza dell'Aritmetica costituiva ancora
argomento stimolante e fascinoso. Gödel vi si dedicò. Come egli stesso
ebbe a rivelare molti anni dopo, la sua
intenzione originaria era quella di contribuire alla realizzazione del
programma hilbertiano. Ma, esaminando la
questione della coerenza e sviluppando in particolare una delicata
riflessione sui mezzi necessari per dimostrarla,
giunse, a risultati devastanti, di segno completamente opposto alle
aspettative e tali da affondare le speranze di Hilbert.
Gödel considerò infatti un sistema formale S con le seguenti proprietà:
a) S ammette un insieme umanamente accessibile (decidibile) di assiomi;
b) S è capace di trattare l'Aritmetica e in particolare la Teoria
elementare dei numeri;
c) S è privo di contraddizioni.
Esempi di sistemi S con queste proprietà sono (e lo erano anche ai tempi
di Gödel) l'Aritmetica stessa di Peano oppure,
in un contesto meno specifico ed allargato all'intero fondamento della
Matematica, la Teoria degli insiemi ZF
assiomatizzata da Zermelo-Fraenkel (eventualmente estesa, ad includere
anche il controverso Assioma della scelta) per
la quale però il requisito c) della coerenza è ancora da dimostrare,
oppure anche il sistema Principia Mathematica di
Russell e Whitehead. Per dirla con le parole stesse di Gödel, "si
potrebbe congetturare che questi assiomi e regole di
inferenza siano sufficienti a decidere ogni questione matematica che
possa essere formalmente espressa. nei relativi
sistemi (...) ma non è così, al contrario esistono nei sistemi
menzionati problemi relativamente semplici della teoria dei
numeri che non possono essere decisi sulla base degli assiomi".
In effetti il primo fondamentale risultato che Gödel pubblicò nel 1931
(in un articolo apparso su Monatshefte fur
Mathematik und Physik ed intitolato "Sulle proposizioni formalmente
indecidibili dei Principia Mathematica e di
sistemi affini") afferma proprio:
1 ° Teorema di incompletezza di Gödel. In ogni sistema formale S con le
proprietà a), b) e c) sopra descritte, si possono
costruire proposizioni che il sistema non riesce a decidere: non possono
essere dimostrate, né rifiutate, sulla base degli
assiomi e delle regole di deduzione del sistema.
L'idea basilare che Gödel adopera nella dimostrazione è semplice e
brillante: ogni proposizione P del sistema viene
etichettata tramite un numero naturale n(P) allo stesso modo in cui, in
una biblioteca, ogni volume viene catalogato con
un suo codice. In questo modo le affermazioni relative al sistema (in
particolare quelle che riguardano i numeri naturali)
diventano esse stesse numeri naturali, oggetto del proprio stesso
interesse. A questo punto, possiamo costruire una
proposizione P che riesce ad affermare: "P non si può dimostrare in S"
(riprendendo la situazione di vecchi e classici
giochi logici e paradossi, come quello che chiede se chi afferma: "Sto
mentendo" dica o no la verità). Si conclude che P
si può dimostrare se e solo se non si può dimostrare in S e che comunque
P è vera ma non dimostrabile in S. In
conclusione, il nostro sistema S non può essere completo, se per
completezza si intende la capacità di dirimere ogni
questione al suo interno c dunque di dimostrare vera oppure falsa ogni
proposizione che lo riguarda.
È evidente che il 1° teorema di incompletezza infligge un pesante colpo
al metodo assiomatico e, in particolare, alle
convinzioni di Hilbert. È vero che il programma hilbertiano metteva il
suo accento principale non sulla prerogativa della
completezza, ma su quella della coerenza (autocertificata). Tuttavia
Hilbert era convinto della possibilità che una
Matematica ben fondata e organizzata potesse realmente rispondere ad
ogni possibile questione. Come lui stesso
affermava in una conferenza tenuta al Congresso internazionale dei
matematici del 1928, "non ci sono limiti alla
comprensione matematica, in Matematica non ci sono Ignorabimus". Il
primo teorema di Gödel contraddice questa
cortezza.
Ma un secondo risultato di Gödel va a minare anche la proprietà
qualificante della coerenza, provocando così il crollo
del programma di Hilbert.
2° Teorema di incompletezza di Gödel. Nessun sistema formale S che
includa la Teoria Elementare dei Numeri e sia
privo di contraddizioni sarà capace di autocertificare (quindi
dimostrare al suo interno partendo dagli assiomi ed usando
le regole di deduzione) la propria coerenza.
Il risultato si applica anche all'Aritmetica di Peano e alla Teoria
degli insiemi ZF (ammesso che ZP sia coerente). In
questi casi, ed in ogni altra situazione che ne condivide le ipotesi, il
sistema S avrà bisogno di una garanzia esterna per
confermare la propria assenza di contraddizioni e dunque, in fin dei
conti, la propria autorizzazione a trattare
coerentemente ciò che sta trattando.
Vale forse la pena di ricordare che Gödel presentò preliminarmente
questi risultati in occasione della Conferenza
sull'Epistemologia delle Scienze Esatte, che si tenne a Kònigsberg dal 5
al 7 settembre del 1930. La comunicazione di
Gödel ebbe luogo nel pomeriggio del 6, ma pochi dei presenti afferrarono
la vera portata dei suoi risultati. Forse l'unica
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eccezione fu costituita da von Neumann, che rimase letteralmente
affascinato dai teoremi di incompletezza. L'ironia del
destino volle che in quei giorni a Konigsberg passasse anche Hilbert ma,
come riferito dallo stesso Gödel, non ci fu mai
nessun contatto diretto o epistolare tra i due, né in quella occasione
né in altre.
I dettagli delle dimostrazioni di Gödel si possono trovare nei suoi
articoli originali [4], [5], inclusi nella raccolta di tutte
le sue opere, o in successive esposizioni quali [6], [7]. Un approccio
molto elementare e naif si trova anche in [8]. Per
una bella introduzione sull'argomento si veda [9]. Questi riferimenti
propongono anche l'enunciato preciso dei due
teoremi e dunque correggono certe imprecisioni che le nostre note
fatalmente contengono, in ragione dei loro confini di
spazio e del loro tono discorsivo. Noi ci limitiamo ad alcuni commenti
conclusivi.
Dobbiamo premettero che i risultati di Gödel si prestano facilmente a
riflessioni assai superficiali, che spesso trascurano
la loro difficoltà e profondità e non sanno cogliere a pieno ogni loro
sfumatura. Ciò premesso, dobbiamo anche dire che
c'è chi comunque li interpreta da un punto di vista filosofico (e forse
metafisico) asserendo che essi dimostrano che
l'uomo è un essere limitato ma consapevole del suo limite. Non è capace
di comprendere i fondamenti della
Matematica, formulandoli in modo definitivo e completo; sa tuttavia
accorgersi di questa sua incapacità, al punto da
dimostrarla in modo matematicamente rigoroso. In questo senso, i teoremi
di Gödel possono anche intendersi, alla
stregua della siepe di leopardiana memoria, come il segnalo di un limite
che ci impedisco ma non ci si nasconde,
un'autorevole prova scientifica di una realtà che. trascende la nostra
dimensione. Del resto, Blaise Pascal aveva
osservato con il suo limpido stile nel Pensiero 188-267: "l'ultimo passo
della ragione è riconoscere che vi sono in,finite
cose che la superano".
Ovviamente, né Gödel né la Matematica possono chiarirci che cosa sia
questa realtà che ci trascende, se una divinità, o
il caos o altro ancora. Ma, a proposito di queste (controverse)
interpretazioni, vale la pena di citare il commento
(scherzoso) di un grande matematico come André Weil, che diceva che i
teoremi di Gödel dimostrano l'esistenza tanto
di Dio quanto del demonio, "Dio perché la matematica è coerente, il
diavolo perché non possiamo comunque
dimostrarne la coerenza".
Torniamo al nostro tema principale e alla Matematica dell'Infinito. In
definitiva, dobbiamo prendere atto che l'uomo non
può dominare completamente la Matematica e comprenderne i fondamenti in
modo tale da ridurla ad un puro e
semplice gioco di deduzione al computer. Questa incapacità si registra
già nel (l'apparentemente docile) contesto dei
numeri naturali e cioè dei cardinali finiti. La Matematica dell'Infinito
(e la speranza hilbertiana di una sua autocertificata
coerenza) devono condividere la stessa imbarazzante situazione. Questo
tuttavia non esclude lo studio e
l'approfondimento né dei naturali né dei cardinali infiniti. Progressi
sostanziali, spesso fascinosi e stimolanti, sono stati
raggiunti nell'uno e nell'altro campo negli ultimi anni (inclusa la
famosa soluzione dell'Ultimo Teorema di Fermat). Ma
i risultati di Gödel restano ancora un punto di riferimento fondamentale
sulla vera natura della Matematica e dell'essere
matematico: un recente libro di Doxiadis (vedi [10]) descrive, in tono
vagamente surreale, gli imbarazzi e i turbamenti
che la loro conoscenza può ancora provocare ai matematici praticanti.
Georg Cantor e Richard Dedekind tennero una fitta corrispondenza negli
anni 1872 e 1899.
Le lettere sano state pubblicate ne[ volume n. 6, curato da Pietro
Nastasi, della collana "PRISTEM/Storia - Note di
Matematica, Storia, Cultura"edito da Sprínger-Verlag Italia, Milano,
2002, pp. 134.
E' la prima edizione italiana completa di questo fondamentale carteggio,
in cui si vedono nascere la nozione di cardinale
e ordinate transfiniti, in cui si dimostra la non numerabilità
dell'insieme dei numeri reali R e si leggono i primi tentativi
e le correzioni alla costruzione di una biiezione tra R e RZ, e le
discussioni fra Cantor e Dedekind sull’invarianza della
nozione di dimensione.
"Pochi scritti matematici possono competere - scrive Pietro Nastasi
nell'Introduzione - con questa corrispondenza
nell'evidenziare il complesso intreccio psicologico che presiede
all'invenzione matematica".
Bibliografia
[1] Galilei G., Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove
scienze, Elzeviri, Leida, 1638; Barbera,
Firenze, 1898.
[2] Leonesi S., Toffalori C., Il problema del continuo, Archimede, num.
2, 2003.
[3] Dawson J. D., Dilemmi logici, Bollati Boringhieri, 2001.
[4] Gödel K., Uber die Vollstàndigkeit des Logikkalkiils, Tesi di
Dottorato, Università di Vienna 1929; (trad. it. di C.
Mangione, Sulla completezza del calcolo della logica, in Kurt Gödel,
Opere, vol. 1, 1929-1936, a cura di E. Ballo, S.
Bozzi, G. Lolli e C. Mangione, Bollati Boringhieri, Torino 1999, pp.
63-82).
[5] Gödel K., Uber formal unentscbeidbare Siitze der `Principia
Mathematica" und verwandter Systeme I, in
"Monatshefte fúr Mathematik und Physik", 38, 1931, pp. 173-198; (trad.
it. E. Ballo, Sulle proposizioni formalmente
indecidibili dei `Principia Mathematica" e di sistemi affini I, in Kurt
Gödel, Opere, vol. 1, 19291936, a cura di E. Ballo,
S. Bozzi, G. Lolli e C. Mangione, Bollati Boringhieri, Torino 1999, pp.
113-138).
Page 10
[6] Nagel E., Newman J. R., La prova di Gödel, Bollati Boringhieri,
1977.
[7] Smullyan R., Gödel 's Incompleteness Theorem, Oxford University
Press, 1992.
[8] Smullyan R., Quale è il titolo di questo libro, Zanichelli, 1981.
[9] Mangione C., La logica nel ventesimo secolo, in L. Geymonat, Storia
del pensiero scientifico e filosofico, vol. 6 (Il
novecento), pp.469-682.
[10] Doxiadis A., Zio Petros e la congettura di Goldbach, Bompiani, 200
++
cit off
++

 ha scritto nel messaggio
Diciamo che questa storia degli infiniti, e anche quelle astrofisiche
sulla finitezza dell'universo, finiscono per bruciare un po' anche te
panteista,
E lo sapevo io! Noi panteisti siamo tutti destinati al rogo :-D
Ma a parte gli scherzi...non proprio scherzi...comunque...andiamo avanti
non soltanto il Santo Uffizio!
Quello brucerà da solo... ;-)
Perche' parlando di infiniti si finisce facilmente con lo scivolare
nel metafisico. E qui forse sta il punto. Ti rispondo quindi ancora
con le parole del nostro matematico impertinente:
A me sta simpatico, non gli brucerei neanche un pelo della sua barbella 
sfolta, mi piace la sua irriverenza, mi sa di anarchico :-))
Cero non lo beatifico ne lo ritengo detentore di una verità Assoluta, perchè 
sarebbe per me una contraddizione ;-)
"Quindi in qualche modo ci sono delle relazioni. La chiesa si è sempre
preoccupata , sempre dal momento in cui l'infinito è stato in qualche
modo identificato con la divinità. Oggi però i matematici non credono
che l'infinito matematico sia in qualche modo un'immagine
dell'infinito metafisico.
Sono d'accordo! Per esempio io che sono panteistas intendo l'infinito ( 
quello assoluto ;-) *fisico* saltro che metafisisco :-)
Pensano semplicemente che siano oggetti
matematici e quindi li tengono abbastanza distinti."
Ma...secondo te, a cosa si riferiscono gli infiniti dei matematici? A cose 
che esistono realmente? Questi più infiniti, quanti
sono? Sono infiniti infiniti...oppure sono limitati?E...sono, come dire...
slegati tra loro?
( comunque, non tutti i matematici scartano l'idea dell'infinito 
assoluto...Odifreddi lo fa, ma questo non significa che tutti i matematici 
siano Odifreddi...)
Ciao!!!  :o)
Livio
Ciao!! ;-)
Anna 

 per me possono fare quel cazzo che gli pare.  8o(
:-D
Secondo me, i numeri e la matematica stessa ha a che fare con il *divino*, 
come ogni altra scienza, quella fisica per esempio la trovo proprio vivina 
vivina alla Verità, sebbene mai ultima ( la verità che scopre la fisica) è 
quella che più si avvicina alla realtà  :-)
 Comunque...questo è un mio pensioero...per quanto riguarda la matematica, 
parte essenziale della fisica che non so cosa scoprirebbe senza 
dimostrazioni matematiche...i numeri sono segni che si possono applicare a 
cose esistenti come ad idee di cose che poi si scoprono essere esistenti o 
no.
E sempre secondo me, l'infinito assoluto non è affatto scartato dalla 
matematica, forse da alcuni matematici, questo si :-))
Ciao!!
Anna

 Comunque...questo è un mio pensiero...per quanto riguarda la matematica, 


 siano più "numerosi", quindi un infinito più esteso ..
Sono d'accordo! Un infinito sempre più esyeso che contiene gli infiniti 
limitati in se stessi.
Mi spiego? Spero...
Leggo il resto appena possibile compreso il link precedete,  mi scuso per la 
fretta
Intanto ti rigrazio.
Anna

 siano Odifreddi...)
Mah, guarda che i matematici sono la categoria che concorda di piu'.
Se dissentono, dimostrano e alla fine concordano nuovamente. Almeno,
piu' che in ogni altra disciplina umana, direi.  Auguri a tuo figlio.
Ciao!!!  :o)
Livio

piu' che in ogni altra disciplina umana, direi.  Auguri a tuo figlio.
Grazie, ne ha bisogno...c'ha un diavolo per capello... darà un esame in 
questi giorni,. Lo vedessi...all'impovviso da i numeri :-)) e dice formule 
tutte strane, sta per ore con  le mani nei capelli e li ha tutti scomposti 
( capelli intendo:-))..sembra... Einstein  anche per la distrazione :-))
( però  mio figlio è molto più bello! :-))
Comunque...è quello che ha scelto di fare e che gli è più naturale di 
qualsiasi altra cosa, non sa mettere un chiodo...ma come dà lui i numeri non 
lì da nessuno in casa. ;-))


 ha scritto nel messaggio 
news:QrvGi.111523$%k.25...@twister2.libero.it...

Per ogni n, prova a costuire l'insieme dei pari P tale che p = 2n, per ogni 
n.
Ti accorgerai che hanno la stessa cardinalità di N.
Mi spiego meglio:
1 -> 2
2 -> 4
3 -> 6
...
n -> 2*n
eppure, intuitivamente, i pari sembrano essere la metà dei naturali, o no? 

 ha scritto nel messaggio 
news:mSdHi.113156$%k.25...@twister2.libero.it...

No, forse non è chiaro il concetto. Prima che nascesse Cantor non era poi 
così intuitivo. tu parti da tutto N e selezioni solo i pari e li metti in un 
altro insieme, l'insieme P. Ora, tutti i dispari non ci sono, quindi 
intuitivamente questo insieme dovrebbe contenere meno elementi di tutto N, e 
invece hanno la stessa cardinalità del continuo. E' chiaro ora? 

 Santo Uffizio disse: "Va bene, allora quello lм и nostro".
Mi chiedo da che fonti provenga questa frase di Cantor, che и falsa. Cantor
infatti non intende dimostrare che l'infinito assoluto non esiste o che и
contraddittorio, ma che questo non и comprensibile o matematizzabile (il
senso della dimostrazione di Cantor и: se l'infinito assoluto fosse
matematizzabile allora sarebbe contraddittorio, quindi non и
matematizzabile). Ecco quel che dice sull' Infinito attuale Assoluto: "[...]
non puт in nessun modo essere incrementato o diminuito e quindi puт essere
considerato da un punto di vista quantitativo come un massimo assoluto. In
un certo senso trascende la capacitа umana di comprensione, ed in
particolare al di lа di ogni determinazione matematica".
Del resto per Cantor tutti gli infiniti, come del resto i numeri in genere,
esistono in senso "transiente" ovvero "reale", come ogni altra realtа:
"Possiamo parlare - scrive Cantor nella sua fondamentale opera del 1883 - di
realtа e di esistenza dei numeri interi, finiti come infiniti, in due sensi;
a rigore, perт, si tratta ancora degli stessi due rapporti sotto i quali puт
essere considerata in generale la realtа di concetti e idee qualsiasi.
Innanzitutto possiamo considerare reali i numeri interi nella misura in cui,
sulla base di certe definizioni, essi occupano nel nostro intelletto un
posto assolutamente determinato, sono perfettamente distinti da tutte le
altre parti costitutive del nostro pensiero, stanno con esse in relazioni
determinate e modificano quindi la sostanza del nostro spirito in maniera
definita; mi sia concesso di chiamare intrasoggettiva o immanente questa
specie di realtа dei nostri numeri. Ma si puт anche concedere una realtа ai
numeri nella misura in cui essi sono da considerare espressione o immagine
dei processi e relazioni del mondo esterno che sta di fronte all'intelletto
[...]. Chiamo transoggettiva o transiente questa seconda specie di realtа
dei numeri interi.". E dopo questa distinzione Cantor afferma: "Dato il
fondamento totalmente realistico, ma insieme anche totalmente idealistico,
delle mie riflessioni, per me non c'и alcun dubbio che queste due specie di
realtа siano sempre unite, nel senso che un concetto che va giudicato
esistente nella prima accezione possiederа sempre, sotto certi aspetti (anzi
sotto infiniti), anche una realtа transiente..."

...parla dei mussulmani e di maometto
CAGASOTTO sfigato te e i tuoi compari.... 

 CAGASOTTO sfigato te e i tuoi compari....
Eccoti servito...praticamente la storia si ripete finchè ci saranno idoli 
innalzati da tipi come te :-)
*********************************************************
E Maometto...dove lo metto? Ma insieme a tutti quelli che hanno plagiato 
masse striscianti che infondo hanno un' unica aspirazione comune :-)
*************************************************************
La biografia di Maometto, è contenuta nel corano, libro sacro di ogni
musulmano.
 Il corano comunica la parola di dio che Maometto avrebbe appreso
dall'arcangelo Gibrit  cioè: Gabriele, ma che combinazione!! :-)
nei suoi momenti di estasi, cioè quegli stati d'animo ( o deliri) che si
manifestarono
in lui per la prima volta nel 611, i testi di ispirazione divina furono
scritti su qualsiasi materiale disponibile, foglie di palma o scapole di
cammello, ma in larga misura trasmessi anche oralmente; la prima, definitiva
trascrizione totale fu intrapresa durante il regno del terzo califfo, Otman.
Maometto cominciò da allora a predicare. Nel 622 si recò con un pugno di
seguaci, a Yatrib, che più tardi ebbe il nome di Medina, vale a dire * citta
del profeta* e li' Maometto cessò di essere un semplice profeta per divenire
il fondatore dello stato islamico.
Gli arabi di Medina appartenevano a due tribù rivali; nei dintorni abitavano
parecchi giudei ( probabilmente arabi ebreizzati), e l'arrivo di Maometto e
dei suoi fedeli complicò rapporti che già erano tutt'altro che idilliaci. In
compenso Maometto si trovò un uditorio molto più sensibile alla sua "verità"
che non alla Mecca; cosi' fondò un modello di convivenza destinato al lungo
successo: tutti i musulmani formavano una comunità ed erano obbligati a
proteggersi a difendersi contro i nemici,( e già, dovevano pur giocare alkla
guerra e senza nemici come si fa? :-) poichè il vincitore della fede era
da considerarsi superiore e preferito da Allah, in caso di conflitto quindi
il musulmano doveva prevalere.
Le eventuali dispute dovevano essere rimesse al giudizio di dio e quindi
di..Maometto che lo rappresentava ( così come ogni capoccia si fa
rappresentante del suo dio:-) che in tal modo di ergeva ad arbitro e
dittatore assoluto
Circondato da fedeli scelti tra i meccani, , Maometto organizzò la comunità
musulmana e condusse una doppia lotta, contro quelli che riteneva elementi
ostili in Medina stessa ( ebrei che riteneva infedeli) nonchè contro la
città natale, di cui tentò di intercettare le carovane.
Contemporaneamente andavano modificandosi le sue concezioni iniziali, anche
per la resistenza di  ebrei e cristiani che dapprima Maometto aveva supposto
consenzienti al suo "monoteismo arabo". Quando se li trovò ostili, li
dichiarò deviati dalla vera fede, si convinse cosi' che il suo Islam aveva
l'obbligo di abrogare ogni altra fede in Arabia, e anzi  che era destinato a
soppiantare ogni altra concezione religiosa mediante la guerra santa!
(Praticamente quello che hanno fatto anche i cristiani con le loro
inquisizioni contro le cosidette eresie e i giudei ancora prima con il loro
credersi popolo eletto tra i popoli)
Insomma Maometto dapprima credette che la sua religione fosse semplicemente
quella già predicata da altri profeti: Mosè, Gesù ecc...e che la legge dei
giudei e il vangelo fossero le scritture più importanti ispirate da dio e
quindi si aspettava un riconoscimento dai giudei quale il messia che
attendevano poichè
come i giudei, i musulmani, quando pregavano volgevano il viso verso
Gerusalemme, e il giorno dell'espiazione giudaico divenne giorno di digiuno
anche per loro, a Maometto riusciva pertanto incomprensibile come mai i
giudei si ostinavano a non riconoscere il lui il messia che invece
riconosceva sia Mosè che la Torah.
Ma gli ebrei non lo accettarono come messia negando che Maometto avesse
avuto rivelazioni.
La rottura fu quindi definitiva con conseguenze decisive per il futuro
dell'Islam.
 Ma a questo punto Maometto ebbe una nuova "rivelazione" :-)
 secondo la quale nelle loro preghiere i  musulmani non dovevano più
rivolgere, pregando, la faccia verso Gerusalemme, bensi' vero la Mecca.
Abrogò inoltre il giorno dell'espiazione, ordinando invece il digiuno per
l'intero mese del Ramadan, e annullò le prescrizioni giudaiche circa gli
alimenti...praticamente i dispettucci tra deficienti che non vengono
riconosciuti per quello che si pongono.
 Ed ecco  le guerre "sante" dei Bush contro gli Imam, occidente contro
oriente, con il conenso dei vari aspirnti Bush o Imam per gli uni o per gli
altri, guerre che già furono iniziate dai precedenti cosidetti
monoteisti, guerre incoscienti che sono in atto ancora oggi,  fanatici che
in nome di un immaginario ente  altro attuano null'altro che la loro sete di
potere su tutti gli altri, e la chiamono *sacro*...
Come finirà l'uomo contro l'uomo? Chi vincerà tra incoscienti? Alla storia
l'ardua sentenza...

....aspettate aspettate, cari mussulmani che....acc...non lo 
trovo...........che stò ricambiando.....acc...dove cazzo stà..........la 
cara Nappi del suo indirizzo......bohhhh....................ripassate domani 
va'.....8o(( 

 CAGASOTTO sfigato te e i tuoi compari....
Sfigato posso anche capirlo, ma perché cagasotto? 

 innalzati da tipi come te :-)
Ma il "te" e' riferito a me o a Solania? 

 A te posso offrire un... tč? :-D
Volentieri ;-) 


....VENGO ANCH'IO
....no tu no
....E PERCHE' ?
....perchč no !
....a...beh...........   8o( 

....dimenticavo.....poi sono sempre voti che vi accaparrate elargendo 
generosamente le nostre tasse....off course..... 

 Tolkien?
Ma cerrrrto. Vedo che mi hai gia' individuato e del resto non era difficile 
;-) 

 povero "ganzo" non posta piů...puaretto...
Grazie davvero del benvenuto e dell'incoraggiamento.
Cla 

 vuoi logicamente...
Credo sia impossible rispondere in breve a una domanda cosě apparentemente 
semplice.
Se ti interessa, puoi trovare in questo sito materiale molto interessante:
http://www.eldalie.it/
Ciao e...buona lettura.
Cla