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Titolo: Assiomi prima di tutto?

"Un non matematico ingenuo -per esempio un filosofo analitico della
razza dei neoseguaci di Frege- da' un'occhiata a Euclide, o anche a un
testo matematico piu' moderno di stile formalista, e osserva che per
prima cosa c'e' una lista di assiomi. Proprio a pagina 1. Si puo'
capire che ne concluda che in matematica gli assiomi vengano prima di
tutto. Prima gli assiomi, poi le conclusioni, no?
O no?"
Tratto da "Cos'e' davvero la matematica?" di Reuben Hersh.
Che ne pensate?
Ciao a tutti,
margravio.

margravio wrote:

Nella costruizione di un modello ci sono prima di tutto le <ipotesi di
lavoro>.
Ad esempio come misuro la temperatura presso un altoforno?
<ipotesi di lavoro> = con un dispositivo protetto collegato prima
dell'accesione.
Quindi ci sono gli <strumenti di misura>.
Ad esempio con un termometro a termocoppia.
Infine dal catalogo delle misure si fanno ipotesi sul <modello> (esempio:
della combustione dell'altoforno).
A questo punto si confrontano i risultati sperimentali con quelli dedotti
con il modello.
Poi si modifica il modello per renderlo con un livello di errore
considerato tollerabile.
Ora si può utilizzare una esposizione assiomatica:
Dato un altoforno che soddisfi le seguenti ipotesi ...
(ossia un modello che soddisfi i seguenti assiomi ...)
se ne deduce la seguente teoria sulla combustione negli altoforni.
Quindi la esposizione assiomatica "simula" il comportamento del reale,
quando la teoria di riferimento è già molto "assestata".
Ergo "gli assiomi" sono delle ipotesi di comodo.
Ciao,
Lino A.M.

"margravio" <chiedimelo.via.ng@nospam> wrote in message
news:3c095ed0...@news.libero.it...

Forse si confondono i meccanismi che presiedono alle formulazioni matematiche
 con la matematica stessa. La matematica credo sia la scienza delle 
implicazioni logiche, e esse necessitano di una base su cui sostenersi.
-- 
Posted from  [62.205.132.172] 
via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

 margravio.
Ciao,
Qfwfq

O no?"
Quel che mi ha colpito del testo da cui e' tratto il brano e' il fatto
che una cosa e' lo sviluppo storico della matematica, una cosa la sua
sistematizzazione.
Nel prosieguo del discorso l'autore afferma infatti che alla base di
tutto stanno i problemi, di cui si tenta una soluzione. Per trovare
questa ed altre soluzioni connesse alla precedente, si scoprono delle
cose.
Tutte queste cose possono essere dedotte a partire da alcune basi (gli
assiomi) che vengono quindi dopo tutto il resto, anche se vengono
messe all'inizio in sede di ordinata (ma non storica) esposizione. E
aggiunge, a mo' di esempio, il fatto che sono state tentate piu' di
una assiomatizzazione della geometria euclidea, la cui storia va da
Hilbert a Veblen a Birkhoff. Dice l'autore che "l'idea che la
matematica consista, nella sua essenza, di deduzioni a partire da
assiomi e' sbagliata".
Problemi e tentativi di soluzione, come dice Pasquale Tufano con la
misurazione della temperatura e le ipotesi di lavoro.
Linguaggio e assiomi, in che rapporto stanno? La sistematizzazione
potra' mai essere definitiva? (Qfwfq)
Cos'e' la matematica? (Sir. Baffometto)
Gia': che cos'e' la matematica, e quale filosofia su di essa?
Si tratta, nel caso dell'autore, dell'inizio dell'esposizione della
sua teoria sulla matematica: egli infatti non crede che, come puo'
ritenere un platonista, gli oggetti matematici esistano in un mondo
delle idee, e che il nostro ruolo sia solo quello di scoprirli,
anziche' di inventarli.
Pensa che essa sia una costruzione sociale, ecc ecc (non l'ho ancora
letto tutto), e distingue la sua posizione (che ritiene facente parte,
in generale, del campo dell'umanesimo) dal formalismo e dal
platonismo.
Molti argomenti.
Limitandosi a quello di partenza: ammesso che alla base di tutto ci
siano i problemi, questi come nascono (non per caso da teorie, come
forse sosterrebbe Popper)? Non saremo mica ancora al problema
dell'uovo e della gallina!
Ciao a tutti,
margravio.

Diedi una scorsa a quel testo qualche tempo fa, e se non ricordo male il senso
poi non era di rispondere "contro" gli assiomi, ma anzi la domanda era in un
contesto intelligentemente provocatorio.
Detto questo, non si puo' dire che prima di tutto siano da porre le ipotesi.
Perche' le ipotesi vanno pur messe da qualche parte.
Saluti, Marco.
-- 
Posted from  [80.17.154.54] 


 Cos'e' la matematica? (Sir. Baffometto)
Cos'e' un piatto di minestra?
un insieme di atomi e molecole di carbonio, azoto, acqua.
un insieme di vegetali .
un alimento.
Tre risposte valide, solo perche la domanda non e' ben dettagliata.
Da parte mia penso che una buona definizione di matematica sia la scienza
che studia le proposizioni tipo <p implica q>.
Confonderla con la domanda < quali sono i meccanismi alla base delle
formulazioni di assiomi?> e' sbagliato.
Come risposta a questa domanda mi convince il termine abduzione; penso che
esso si adatti a spiegare nel contempo i processi creativi sia in campo
fisico sia in campo matematico.
Ovviamente le due strade poi si dividono
Fisica: le osservazioni mi suggeriscono una teoria, tale teoria e' per sua
natura coerente con le osservazioni fatte; successivamente la sua validita'
e' legata alla possibilita' che un ulteriore osservazione la neghi.
Matematica: le osservazioni mi suggeriscono un sistema assiomatico, tra i
tanti possibili si sceglie quello che abbia i migliori requisiti di sintesi
e tale da nascondere tutte le informazioni irrilevanti.
posto questo, il tempo stringe.

formulazioni di assiomi?> e' sbagliato.
Sono d'accordo. Aggiungo che il mio post iniziale, probabilmente, non
era fatto tanto bene: era un po' troppo vago. Il fatto e' che sono
tante le cose che leggo e che mi interessano, che poi a volte non
riesco a limitarle quando si dovrebbe.
Si dovrebbe allora, per essere coerenti con la domanda iniziale,
parlare degli assiomi e del fatto se vengano prima loro o i problemi,
del loro rapporto con il linguaggio, ecc. Temo che si vada a finire in
un problema tipo: e' nato prima l'uovo o la gallina?
Mi fermero' (!) allora al tema: "Cos'e' la matematica?", che puo'
anche contenere la risposta alla domanda iniziale.
Domanda: definendo matematica come la "scienza che studia le
proposizioni tipo <p implica q> come ci si pone nei confronti della
relazione tra matematica e societa'? E tra matematica ed (eventuali)
verita' oggettive, da sempre esistite, e valide in ogni tempo, anzi,
al di fuori del tempo? In altre parole, la matematica inglese e'
diversa da quella giapponese? Una retta, ha una sua esistenza in un
mondo delle idee, ed e' uguale per tutti, oppure no?
Ciao a tutti,
margravio.

 margravio.
Breve premessa: ti rispondo non perche pretendo di saperne piu di te, 
ma perche esponendo le mie opinioni mi auguro che qualcuno le possa 
criticare e correggere.
In altri termini le mie risposte sono come domande.
riguardo al tuo post, ritengo che la concezione della matematica 
dell'uomo occidentale sia comprensibile ad altre culture nella stessa 
misura in cui un guerriero adulto Masai possa apprezzate i concerti 
brandeburghesi di Bach: suoni e ritmi sono comunque cose oggettive, 
ma quanta la distanza nella rappresentazione della propria sensibilita'!
Dunque la domanda potrebbe essere: quanto c'č di matematico in ogni uomo 
e in genere in ogni essere sensibile, quanta l'esigenza di distillare 
l'essenza dello spazio e della molteplicita' reale in una disciplina 
che reclama l'indipendenza dalla stessa realta'.
Personalmente ritengo che la matematica nasca da una esigenza 
estetica, piu che dalla necessita' di fornire metodi per la fisica o 
l'ingegneria. Un gusto estetico che trovo prettamente occidentale.
 
-- 
Posted from  [62.205.133.101] 
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 mondo delle idee, ed e' uguale per tutti, oppure no?
Il problema dell'uovo e della gallina è un non-problema o un falso problema
(come tutti i paradossi). L'evoluzione, intesa in senso lato come
costruzione di strutture in sé coerenti, ossia volte alla soluzione di
problemi "vitali", o meglio di equilibrio dinamico entro un certo campo di
interazioni, ha una sola premessa o fine essenziale: la costruzione appunto
di tali equilibri. Non c'è quindi prima la formulazione di un problema e poi
la sua soluzione, ma un organismo (sempre in senso lato) si struttura *nel*
problema essendone parte costituente. In sostanza un organismo è di per sé
problematicità attiva (proposizione di istanze specifiche) che interagisce
con altre problematicità attive - con altre istanze con le quali trovare
quegli equilibri. Il fallimento è, in via di principio, la scomparsa di uno
o tutti gli enti interagenti, o la sua regressione (sdifferenziazione),
mentre il successo è costituito dalla formazione di funzioni che risolvono
in positivo (in modo costruttivo, ossia vantaggioso per tutti)
l'interazione. Il successo è una maggiore affermazione dell'identità del
soggetto in un certo ambito, ma tale affermazione è positiva se l'intero
ambito se ne avvantaggia, altrimenti il conflitto conseguente lo vanificherà
(è di fatto errore). Maggiore affermazione di identità, a sua volta,
significa maggior differenziazione fra gli enti interagenti, e quindi
maggior complessità di chi la afferma ma, come conseguenza, anche
dell'intero ambito.
Quindi la matematica non è sovrastrutturale al pensiero umano, ma ne è una
naturale manifestazione che va di pari passo con il grado e il tipo di
complessità che esso ha raggiunto, al tipo di problemi che, crescendo in un
certo modo, ha *creato* ponendo le proprie istanze e cercando un equilibrio
dinamico nel suo ambiente.
Non c'è dunque una "relazione" fra matematica e società, ma la matematica è
una manifestazione tipica, naturale, della specie umana per quello che è
nella sua genetica e nella sua organizzazione (che si forma di pari passo
con la strutturazione genetica). Tanto è vero che fra le matematiche non vi
è differenza più di quanta ce ne sia nel camminare da parte di un Inglese o
di un Giapponese.
Circa la retta, nel convergere delle istanze e dei principi fondanti della
specie (cognizioni di base), essa, in geometria, è certamente solo una
convenzione, retta da simbologia opportuna - ma universalmente accettata -,
però non vi è differenza fra la cognizione del muoversi in linea retta, di
nuovo, fra un Inglese e un Giapponese, e, verosimilmente, fra un essere
umano e moltissime altre specie o tutte. L'istanza che la sottende è di
fatto la possibilità di stabilire una rotta per andare da qui a lì in modo
economico; infatti una definizione del segmento rettilineo è il suo essere
il minor percorso fra due punti. La formalizzazione di tale istanza e della
possibilità della sua realizzazione concreta (moto rettilineo) è di nuovo a
sua volta funzionale a un migliore equilibrio interattivo, perché saper
scrivere l'equazione di una retta (e poi di funzioni più complesse) consente
il processo di previsione, che è altamente efficace nel controllo
dell'interazione. La mancanza di previsione infatti causa errori,
fallimenti; e dunque tutto ciò che consente previsione in termini razionali
è non solo benvenuto ma è ambìto. Ecco che dunque, sotto questo aspetto, la
matematica stessa diviene un'istanza, un bisogno peculiare della specie, e
si sviluppa dunque come tale avendo superato la fase embrionale di
gestazione da parte di istanze più elementari - pre-razionali. Ed ecco che i
modelli matematici, oggi più che mai, sono proprio atti a formulare
previsioni, grazie alla loro coerenza, una volta che un comportamento fisico
misurato ne possa essere ragionevolmente rappresentato.
Dunque non ci sono processi in cascata di domanda-risposta separate, ma c'è
una problematicità intrinseca dell'essere, una sua costante ricerca di un
equilibrio dinamico che si risolve - in modo più o meno a favore dell'una o
dell'altra specie o individuo - da una parte e dall'altra dell'interazione.
L'assioma di base è la cognizione (non necessariamente nel senso della
consapevolezza) di esserci, che è al tempo
stesso istanza di affermazione nell'assemblea del mondo
(istanza-affermazione di identità). Tutti gli altri assiomi sono solo
un'articolazione, una specificazione di tale assioma essenziale; sono rami e
foglie di un albero la cui radice è
elementare - è l'essere stesso nel suo comparire come identità in cerca di
correlazioni con altre identità al fine di affermare ed espandere la propria
presenza nella realtà.
Che cosa sta a monte di tale struttura dell'essere non è dato sapere, ma non
c'è alcun bisogno che a monte ci sia già bell'e fatta l'idea della retta.
Essa si è strutturata in noi con il reperimento di soluzioni efficaci
(realistiche) nelle nostre interazioni, e si è consolidata nella misura del
suo non essere mai essenzialmente smentita nell'ambito delle interazioni che
interessano la specie. In quanto idea efficace (realistica), infine, è un
buon testimone della realtà, di una realtà che ci contiene, e quindi si
potrebbe anche dire che essa ne provenga; ma sarebbe probabilmente più
corretto dire che la realtà, inclusiva di noi stessi, ha espresso tramite
noi e in noi una forma *specifica* (ossia propria della specie) della sua
logica, lasciando alle specie - per quello che sono e per dove sono - il
compito di formularne i segni. Segni che, per inciso e a riprova di ciò, non
sono "cose" o "enti" in sé, ma sono processi.
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