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Titolo: Sul teorema di Godel e dintorni


Colgo l'occasione per fare alcune precisazioni allo scritto di Elio Fabri


ALCUNE NOTE SUL SIGNIFICATO DEL TEOREMA DI GÖDEL.


Dice E.Fabri “
La storia comincia nei primi anni di questo secolo,
quando sulla scia


delle ricerche di Cantor, di Russell, ecc. ferve la discussione
circa la possibilità di


"provare rigorosamente" qualcosa in matematica, o anche di precisare
che cosa sia


una dimostrazione. O ancora: di dimostrare che un sistema assiomatico
è non


contraddittorio.
”

La storia è in effetti ben più complessa e coinvolge
la ragione, l’intelletto, la

scienza e i suoi fondamenti in generale. Il problema generale della
certezza e di un

fondamento assoluto della matematica e della logica è un problema

filosofico-scientifico che si pone cioè in una zona di confine
e su cui quindi è

difficile (e forse inutile) porre un confine netto. D’altronde che
il problema diventi

anche filosofico è indubbio nel momento in cui una qualsiasi
attività conoscitiva si

rivolge alle proprie condizioni di possibilità piuttosto che
al suo oggetto specifico

(lo stesso Gödel partecipava ai convegni di epistemologia, che
è appunto una

branca della filosofia).


Gödel e il suo teorema (in effetti sono due) si inserisce alla
fine di quel periodo di

grandi progetti fondazionalisti in cui alcuni hanno creduto all’istanza
puramente

razionale di poter dare un fondamento sicuro e solido a tutte le scienze,

“purificando” la matematica e la logica attraverso il riduzionismo
di Cantor,

Dedekind, Peano, ecc., oppure formalizzandola e logicizzandola come
tentarono

Hilbert, Frege, Russel. Tutti questi valenti studiosi operarono ancora
sulla scia

della temperie scientifica positivistico-riduzionista di fine ottocento.


Ma qual è il significato generale (cioè in riferimento
alla razionalità in genere) del

teorema di Gödel? Gödel limitava col suo teorema le istanze
fondazionaliste dei

suoi predecessori. Questo fu l'ultimo atto che segnò la fine
dei grandi progetti

fondazionalisti (un altro può essere rappresentato dal paradosso
di Russell che

segnerà quel periodo definito come “crisi dei fondamenti”).
Il significato di ciò

rispetto alla razionalità, che veniva attaccata nei suoi strumenti
principi (la logica e

la matematica), è inevitabilmente una sua limitazione (col che
non nè viene

inficiata minimamente la validità) per quanto riguarda le sue
pretese

auto-fondative. Questi risultati non possono essere considerati antiscientifici
(come

pretendono alcuni), a meno che la scienza non aspiri al possesso esclusivo
di verità

in qualche modo assolute o dommaticamente oggettive. Di fatto si è
ampiamente

dimostrato che un sistema formale non è in rapporto di identità
con la sua funzione

di verità. Ecco per esempio cosa ci dice Tarski in proposito
in un articolo “Verità e

Dimostrazione” pubblicato sul n.16 de “le scienze” (1969): “Il fatto
che le

implicazioni filosofiche del nostro risultato siano di carattere sostanzialmente

negativo, non né diminuisce affatto l’importanza. Il risultato
mostra, invero, che in

nessun campo della matematica il concetto di dimostrabilità
è un sostituto perfetto

di quello di verità; la credenza che la dimostrazione formale
possa costituire uno

strumento adeguato per stabilire la verità di tutti gli enunciati
matematici si è

rivelata infondata e al trionfo iniziale dei metodi formali ha fatto
seguito un

notevole regresso.”


Ma perché logicizzare o formalizzare (sono quasi la stessa cosa)
la matematica?

Perché si è sentito forte questo bisogno? È necessario
porsi questa domanda per

capire i risvolti e le conseguenze del fallimento di questi progetti.


Quando parlo di formalismo intendo più in generale l'orientamento
di pensiero che

avrebbe voluto fondare rigorosamente, basandosi sulla sola forma degli
enunciati e

dei metodi, tutta la matematica e la logica, creando così un
sistema “nel quale

siano formalizzate tutte le forme dimostrative finitiste (ossia quelle

intuizionisticamente inattaccabili)” (Gödel). L'intento era sempre
lo stesso:

unificare gli strumenti conoscitivi della scienza, dargli basi forti.
Famosa è la frase

di G.Frege quando affermava di voler fondare la matematica “sulla solida
roccia",

ed essa per Frege non poteva che venire dalla forma. La forma era la
sola che

poteva conferire agli strumenti della scienza una base forte.


Così Hilbert scrive nel 1900: "Ogni definito problema matematico

deve


necessariamente
 essere suscettibile di una esatta soluzione,
o nella forma di una

vera e propria risposta alla domanda, o per mezzo della prova dell'impossibilità

della sua soluzione e il conseguente necessario fallimento di tutti
i tentativi [...] Per

quanto questi problemi ci appaiano inaccessibili, e per quanto noi
ci si trovi di

fronte a loro disarmati, noi abbiamo, nonostante cio, 
la ferma convinzione

che la loro

soluzione 
deve
 consistere in un finito numero di processi puramente
logici [...]  
Sentiamo


dentro di noi un richiamo perpetuo
: c'è un problema.
Cercate la sua soluzione. La

potete trovare attraverso la pura ragione [...]" (Scientific american
july 1988,

vol.259, n.1). Hilbert si sbagliava! La pura ragione non basta. Il
corsivo è mio e

vuole mettere in risalto alcune espressioni che mostrano un certo grado
di

"esigenza", di "richiamo", di "dovere", insomma di un bisogno che sta
alla base

della ricerca e che ne condiziona inevitabilmente l'orientamento.


Comunque questo programma subisce una battuta di arresto. Leggiamola
in un

intervento di J.v.Neumann “Gli studi critici sui fondamenti della matematica
degli

ultimi decenni e in particolare il sistema dell’”intuizionismo” di
Brouwer hanno

riaperto il problema delle origini della validità, generalmente
supposta assoluta,

della matematica classica”. Qui era Brouwer che sollevava problemi.


E infatti più tardi (1944) Gödel scriverà "è
ormai chiaro che la soluzione di alcuni

problemi dell'aritmetica richiede l'uso di assunti che trascendono
sostanzialmente

l'aritmetica [...] certamente, in queste condizioni la matematica può
perdere buona

parte della sua 'certezza assoluta', ma, sotto l'influenza della moderna
critica dei

fondamenti, questo è già largamente avvenuto." (Scientific
american july 1988,

vol.259, n.1).


Gödel nel 1931 era arrivato alla conclusione che per un sistema
è “dunque

assolutamente impossibile una dimostrazione finitista di non-contraddittorietà
come

quella ricercata dai formalisti. Se poi uno dei sistemi finora costituiti
(p.e. i

Principia Mathematica) sia davvero così potente (o se davvero
un sistema di tale

potenza esista) appare problematico” (da un articolo). Quindi se un
tale sistema

(formale) fosse stato scoperto, sarebbe stato “potente” da un punto
di vista

scientifico-razionale perché avrebbe potuto tenere, per così
dire, “alla larga”

qualsiasi impurità di contenuto o intuizionista. Queste impurità
infatti sono sempre

state viste dalla razionalità come un ostacolo per l’aspirazione
alla assolutezza degli

enunciati e ai sistemi scientifici di essa. Questo perché elementi
non formali

introducono sempre un carattere contingente (non logicamente necessario)
agli

enunciati stessi e ai sistemi relativi (sia matematici che non).


Metodi o sistemi che permettono l’introduzione di alcunché di
empirico o intuitivo

o psicologico, perdono da un punto di vista rigoroso e razionale in
“potenza”, nel

senso che perdono la certezza assoluta delle loro dimostrazioni, il
loro carattere

necessario. Sembrano essere più deboli, più “impuri”.
Per questo si è sempre

preferita la forma, in quanto essa è pura, ideale, necessaria,
unitaria. Anche in

passato vi era stata questa istanza razional-fondazionalista, p.e.
con Leibniz, il

quale nel suo Specimen calculi universalis cercò di logicizzare
la matematica dando

una definizione puramente logica di numero. Ma oggi sappiamo bene che
in effetti

"la purezza cristallina della logica non [...] era affatto data come
un risultato; era

un'esigenza" (Wittgenstein prop.107 “Ricerche filosofiche”).


Io non voglio dare giudizi di valore (p.e. sono contento o frustrato
dei fallimenti)

cerco semplicemente, onestamente e storicamente di vedere le cose come
stanno.

Allora vediamo cosa afferma E.Fabri:


“
[…] Sto dicendo che il teorema di Gödel è inutile? Niente
affatto. In primo luogo,


ha chiarito lo status logico delle teorie e delle dimostrazioni
matematiche: quello


che si può e quello che non si può pretendere/raggiungere
”.
Appunto! Ciò significa

limitare attraverso una critica razionale le possibilità della
ragione stessa (ciò che si

può e ciò che non si può). D’altronde mi chiedo
perché la ragione non dovrebbe

avere dei limiti? Sarebbe preoccupante il contrario (da un p.d.v. etico).


“
In secondo luogo - questo è il punto di vista malizioso di
un fisico, lo ammetto ;-)


- dovrebbe aver insegnato ai matematici un po' di modestia: non
possono più


guardare dall'alto in basso gli altri scienziati, 
” Veramente
dovrebbe aver insegnato

un po' di modestia alla ragione razionale in generale e quindi a tutti
quelli che ne

fanno uso (Filosofi, matematici, logici e fisici, ecc.). Un medico
diceva giustamente

che la scienza è per costituzione riduzionista... è vero,
ma non per questo deve

diventare ottusa.


“
…ritenendosi i soli e veri depositari di un rigore inattaccabile.
”
Questo è un

lapsus! Abbiamo appena visto che il rigore inattaccabile non è
possibile per la

matematica e sistemi consimili, ma poi questo coinvolge anche tutti
quelli che

fanno uso della ragione. I fisici non utilizzano forse come strumento
la

matematica? Quindi nessuno può dirsi depositario di un rigore
inattaccabile.


“
Rifiuto invece le interpretazioni (care a certi filosofi) circa
la pretesa prova dei


limiti della ragione umana…
”, delle limitazioni imposte dal
teorema di Gödel

abbiamo già parlato (v.sopra).


Tuttavia continuano i contributi a supporto del teorema in questione.
Uno fra

questi, per esempio, è fornito da G.J.Chaitin, il principale
architetto della teoria

dell'informazione algoritmica. L'applicazione di questa teoria gli
ha permesso di

pubblicare due libri in cui illustra la natura della casualità
e delle limitazioni della

matematica. "è impossibile provare se ciascun membro di una
famiglia di equazioni

algebriche  ha un finito o un infinito numero di soluzioni: la
risposta varia

casualmente e quindi elude il ragionamento matematico", ma aggiunge
anche "Il

mio lavoro indica che - per dirla con Einstein - Dio a volte gioca
a dadi con i

numeri interi. Questo risultato [...] non è causa di pessimismo;
non è portatore di

anarchia o assenza di leggi matematiche. Quello che indica è
che leggi matematiche

di diverso tipo potrebbero essere applicate in certe situazioni: le
leggi statistiche."

(Scientific american july 1988, vol.259, n.1)


Tutt'oggi vige una stato indefinito ed eclettico riguardo i fondamenti
della

matematica. Soprattutto grazie a quei signori sopra citati. Anche l'intuizionismo

(Brouwer) ha incontrato i suoi limiti. L'eclettismo sta appunto nel
fatto che a

fondare la matematica non è solo un metodo o sistema o teoria
ecc. ma molti, e

non c'è nulla di male in questo (molti si spaventano perchè
il sapere sembra non

essere più unitario, anche l’ “unitarietà” del sapere
è in fondo un’esigenza della

razionalità. Bisogna vedere poi se le cose stanno veramente
così). In questo sta la

grandezza di Wittgenstein, lui aveva capito questo "eclettismo" non
solo della

matematica, ma in generale dei  linguaggi in senso lato. Molti
dicono che

Wittgenstein ha fornito una teoria del linguaggio (avrete sentito dire
"il senso di una

proposizione è l'uso che se ne fa"), ma questo non è
vero. Wittgenstein stesso dice

esplicitamente che non è possibile dare una teoria univoca del
linguaggio. Quella

frase in realtà si trova nelle Ricerche filosofiche prop.43
"per una grande classe di

casi - anche se non per tutti [...] il significato di una parola è
l'uso che se ne fa"

(non tutti i casi, sennò sarebbe stato totalizzante). In realtà
il significato è dato da

una varietà di giochi linguistici cioè di modi diversi
di darsi del significato, spesso

nell'uso. Egli inventa la mirabile metafora dei giochi linguistici
all'interno del quadro

delle sue ricerche sui fondamenti della matematica. Inoltre se la comprensione
è

data dall'uso tuttavia non dobbiamo dimenticare che a sua volta l'uso
è dato, per

Wittgenstein, dalla comprensione (circolarità). E' proprio questa
"apertura" non

dommatica, ne scettica che mi piace in lui. I formalisti, logiciscti,
intuizionisti,

finitisti, positivisti, fondazionalisti naturalmente non riuscirono
ad accettare tutto

questo, forse perché lo vedevano come un abbandono della razionalità
o

comunque rimasero ancorati ad una visione/esigenza unitaria del sapere,
ma

naturalmente non si tratta di questo. Dice Wittgenstein nella prop.108
(Ricerche)

"riconosciamo che ciò che chiamiamo proposizione, linguaggio
non è quell'unità

formale che immaginavamo, ma una famiglia di costrutti più o
meno imparentati

l'uno con l'altro. - Che ne è allora della logica? Qui il suo
rigore sembra

dissolversi... “.  “Qui” dice Wittgenstein, cioè solo nell’ambito
della ricerca dei suoi

fondamenti. Quindi con ciò non si è screditata la logica
e la matematica! Anzi, per

fortuna sappiamo che esse hanno delle origini molto complesse, e che
l'estrema

chiarezza delle loro premesse non significa affato la loro semplicità.


Valerio Guagnelli Scanzani.

(Il corso di laurea in filosofia prevede, per chi si indirizza in quel
campo, corsi di

logica e logica-matematica. Il corso di Logica tenuto dal prof. Cellucci
nel biennio

‘95-’96, corso che ho seguito personalmente, trattava esclusivamente
e

specificamente il teorema di Goedel. Questo tanto per chiarire che
chi studia

filosofia non è sempre uno sprovveduto, come alcuni credono
scioccamente.)

 


non c'è nulla di male in questo
Io direi semplicemente che ci sono diverse posizioni tra loro
contraddittorie.
Non c'è nulla di male, a perte il fatto che almeno uno ha torto!!
Ciao!! =)
MarcoDiscens