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Titolo: Cos'e' il Teorema di Gödel ?

Ho tradotto con Systran di Altavista uno spezzone dell'articolo
http://ling.ucsc.edu/~chalmers/papers/computation.html
e ho trovato un'interessante questione filosofica che mi era stata
accennata anche da un filosofo che ho incontrato una volta ....
"Che cos'e' il teorema di Gödel?
Il teorema di Gödel dichiara che per tutto il sistema convenzionale
costante, ci sono istruzione di aritmetica che sono unprovable all'interno
del sistema. Ciò ha condotto alcuno (Lucas 1963; Penrose 1989) per
concludere che gli esseri umani hanno abilità che non possono essere
duplicate da alcun sistema di calcolo. Per esempio, la nostra abilità " vede
che " la verità della frase di Gödel d'un sistema convenzionale è discussa
per essere non-algoritmica. Non mi occuperò dettagliatamente di questa
obiezione qui, poichè la risposta ad esso non è un' applicazione diretta
della struttura corrente. Noterò semplicemente che il presupposto che
possiamo vedere la verità delle frasi arbitrarie di Gödel richiede che
abbiamo la capacità di determinare la consistenza o la contraddizione di
tutto il dato sistema convenzionale e non c' è motivo di credere che abbiamo
questa abilità in generale. (per più su questo punto, vedere Putnam 1960,
Bowie 1982 ed i commenti su Penrose 1990.) "
Cosa significa esattamente questo teorema?
"Il teorema di Gödel dichiara che per tutto il sistema convenzionale
costante, ci sono istruzione di aritmetica che sono unprovable all'interno
del sistema. Ciò ha condotto alcuno (Lucas 1963; Penrose 1989) per
concludere che gli esseri umani hanno abilità che non possono essere
duplicate da alcun sistema di calcolo. Per esempio, la nostra abilità " vede
che " la verità della frase di Gödel d'un sistema convenzionale è discussa
per essere non-algoritmica..........."
Quali istruzioni artimentiche ?
Conoscete qualche libro che tratta questo argomento?
mi interessa molto :-)
Scusate, sono ignorante in materia
grazie in anticipo per le spiegazioni.
ciao. :-)
Davide U.


Ti posso segnalare come riferimento il libro sul quale ho studiato  io :
Ernest Nagel e J.R Newman
LA PROVA DI GOEDEL
ED. Universali scientifica Boringhieri
Dalla presentazione di Edoardo  Ballo
"...I lavori di Goedel portano sostanzialmente a un duplice risultato:
1) incompletezza delle teorie formali e
2) impossibilità di dimostrare all'interno delle stesse la loro coerenza
(ovviamente entrambe tali conclusioni valgono solo sotto opportuna ipotesi
sulle teorie in questione).
Il primo risultato significa che in ogni teoria formale di un certo tipo
specificato, esisterà una proposizione non dimostrabile né refutabile ( di
cui cioè non risulta dimostrabile la negazione). ....
.........
Un'altra osservazione va fatta a proposito del...secondo risultato dei
teoremi di Goedel:
la non dimostrabilità della coerenza di una qualunque teorìa formale che
soddisfi certe ipotesi stabilite, all'interno della teoria stessa..."
Saluti.
Artemisia Gentileschi

Artemisia Gentileschi
Sostanzialmente corretto.
Esistono sistemi logici di ordine crescente, che contengono i precedenti 
(quelli di ordine uno sono contenuti in quelli di ordine due, et cetera). 
Per ogni sistema si puo' costruire un'espressione
autocontradditoria al proprio interno, col metodo cosiddetto della
"diagonalizzazione" (proposto appunto da Goedel, su ispirazione di
quello di Cantor applicato all'ordinamento dei numeri razionali):
tale formalizzazione altri non e' che la traduzione moderna del paradosso 
del mentitore ("Un cretese afferma che tutti i cretesi sono mentitori") e si 
puo' praticamente esprimere come un predicato a valore indefinito (ne' vero 
ne' falso). In termini algebrici,
qualcosa come g(.), con g(x) = 1 se x = 0 e g(x) = 0 se x = 1,
quando l'argomento x e' la g(.) stessa.
Per completare un sistema di ordine n occorre passare ad un sistema
di ordine n+1, introducendo altri assiomi; tuttavia, di questo passo,
si ha una risalita infinita e rimane sempre l'ultimo livello quello
"scoperto". L'aritmetica, e' stato dimostrato, e' un sistema del primo 
ordine (con gli assiomi di Peano o quelli di Whitehead-Russel, o di Zermelo, 
od altri ancora). Quindi la correttezza formale dell'aritmetica non e' 
dimostrabile da se' stessa.
                     "Bel teorema, quello di Weddenburn!"
                     Unisce algebra, teoria dei numeri ed analisi.
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>di ordine n+1, introducendo altri assiomi.........
Per dimostrazione immagino...
Ma se hai detto che ci deve sempre essere un sistema di ordine n+1,
come fa allora?
Come fa dimostrare tutti i sistemi ?
Se la risposta non c'e' allora presumo che il nostro cervello
sia un sistema che va oltre la nostra comprensione,
cioe' e' in grado di dimostrare tutto ma non e' in grado di
autocomprendersi.
Se ho detto qualche baggianata... fatemi sapere :-)
grazie.  :-)
ciao.
Davide U.

Come fa il nostro cervello ad arrivare alla conclusione ...................
ecc.....
Chiedo scusa, ho scritto delle cavolate!.....  :-)
Il nostro cervello e' un sistema fisico che elabora Sistemi Formali. ok?
Elabora qualunque tipo di sistema formale? Solo alcuni? Che limiti ha?
Un S.F. non puo' elaborare un S.F di grado superiore al suo, giusto?
(correggetemi se sbaglio)
cordiali saluti.  :-)
Davide U.

.............................................
La questione e' che ogni sistema logico altri non e' che un
faticoso processo di elaborazione di tautologie sempre piu'
complesse, a partire da alcuni assiomi e da lcune regole di
inferenza. Che significa cio'? Signfica che, ragionando, non si puo'
scoprire nulla di quanto non fosse gia' contenuto in nuce nelle premesse 
iniziali; con questo, non vuol dire che non si approdino
a magnifici risultati ed a teoremi intelligentissimi.
Ma noni si riesce ad uscire dai propri confini, pena l'accettare
ulteriori restrizioni (passaggio ad un livello di ordine superiore).
Ti faccio un esempio (se gia' non lo conosci): "L'insieme degli insiemi che 
non contengono se' stessi contiene se' stesso?"
Questo paradosso (Russel/Whitehead) viene risolto proibendo l'utilizzo
di quantificati che sono autocitati nelle quantificazioni (l'insieme
degli insiemi ...), per esempio nella teoria delle catagorie.
Oppure, rinunciando alla razionalita' ed affidandosi ad altro (l'intuizione, 
la fede, l'esperienza ascetica, ...).
Quanto a me, ti presto la premiata lama (di Toledo) dell'altrettanto 
premiata ditta "Guglielmo da Occam & Co. Ltd.":  mi raccomando, non 
prestarla a tua volta ad Aurora, che mi vorrebbe evirare "magno cum gaudio".
Saluti.
         "Die Welt Also Wille und Vorstellung" (Arthur Schopenhauer)
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 la fede, l'esperienza ascetica, ...).
Addirittura ricorrere all' "esperienza ascetica"  o alla "fede" per
risolvere una simile balordagine; no no adoperiamo la razionalità e
proibiamo, oh sì, proibiamo proibiamo...
In un altro messaggio hai scritto:
"Non possiamo uscire dal nostro solipsismo (a meno che qualcuno non teorizzi
un punto di diramazione pluri-dimensionale
e la possibilità di passare da uno spazio ad un altro)"
Presto detto! Ecce solutionem. Teorizziamo no?
E continui:
"per cui non possiamo affermare che la realtà "vera" coincide con quella del
nostro pensiero"
Però possiamo affermare che "non possiamo affermare"!
Beh, è già qualcosa.
Oppure dovremmo proibire di affermare che "non possiamo" affermare?
A te l' ardua sentenza  :))))
Aurora
P.S. chi ti dice che io sia una donna? Mai fidarsi....

 caso sarebbe comunque una ripetizione dello scetticismo di Hume.
Potrei sbagliare, ma credo che Gödel riferisse la sua dimostrazione di
incompletezza a ogni sistema deduttivo che contenga il sistema
dell'aritmetica. Se il sapere umano è un sistema deduttivo integrato che
contiene il sistema dell'aritmetica, o se il sapere umano è un sistema
integrato di sistemi deduttivi *ognuno* dei quali contiene il sistema
dell'aritmetica, allora la dimostrazione vale per tutto il sapere umano.
Altrimenti no. Nell'un caso o nell'altro, la dimostrazione gödeliana rimane
comunque ineccepibile.
Questo è almeno quanto mi sembra
Ciao
Luigi

 dimostrabile da se' stessa.
Ma per farlo decidiamo, anzi postuliamo (si dice cosě?) che l' insieme n+1
che la contiene
- diciamo pure il sapere umano, visto che non credo ci siano sottoinsiemi
del pensiero umano che contengano l' insieme matematica- sia logico.
Ora, dopo cosě eroico sforzo, siamo riusciti  a dimostrare che
l' aritmetica  č "corretta formalmente" (ci siamo riusciti vero? non mi dite
che č tutta stata fatica sprecata*);
resta perň da dimostrare che il nostro sapere tutto (aritmetica + nuovi
assiomi) sia corretto formalmente,
e qui casca l' asino! Cioč noi.
Insomma una morale c'č: abbiamo creato un mostro: l' aritmetica! Essa, per
virtů numerica intrinseca, ha demolito
tutta la nostra conoscenza sigh! :((
*Nota (... sprecata*) acc...  mi sa ch'č stata davvero fatica sprecata. Mi
dicono che il teorema di indeterminazione č
  servito proprio per mettere a tacere quelli che, come tentň di fare Peano
(ma chi č?), cercavano di assiomatizzare
  l' aritmetica per dimostrarne la correttezza formale, e che comunque
nessuno, a dispetto dei tromboni, sia riuscito
  a dimostrarcela 'sta benedetta correttezza formale (ma sarŕ vero? Io non
mi fido. Qualcuno me lo confermi per favore).
Un saluto a tutti gli spiritosi partecipanti di questo tread  :)))
Aurora

 e qui casca l' asino! Cioè noi.
Ecco il problema: l'identificazione di sapere tutto = aritmetica + nuovi
assiomi. La dimostrazione di Gödel è di tipo linguistico, non
fenomenologico: ci dice cosa possiamo fare con il sistema dell'aritmetica e
cosa no, non ci dice che tutto ciò che sappiamo lo acquisiamo attreverso il
sistema dell'aritmetica. Est modus in rebus!
saluti
Luigi

 risolutivo.
Appunto.
In definitiva quello che io capisco è: NON E' POSSIBILE AUTOFONDARE
LOGICAMENTE IL SAPERE.
Quello che assolutamente non possiamo fare è organizzare il sapere umano
come un linguaggio chiuso: cioè che si fonda
con le sue sole forze (autofondato).
Il nostro sapere dunque sarà un linguaggio "aperto", cioè privo d' un
fondamento logico intrinseco che ci permetta (anche)
di escludere a priori l' esistenza di eventuali aporie nel sistema.
E' corretto? Se non lo è dimmi dove sbaglio e come posso correggermi.
Ciao, Aurora  :))

 E' corretto? Se non lo è dimmi dove sbaglio e come posso correggermi.
Un po' troppo drastico. Direi così: se il nostro sapere è un linguaggio
chiuso (o possiamo anche accettare che sia un sistema chiuso di linguaggi
aperti...), allora le sue regole assiomatiche sono di tipo convenzionale.
Con buona pace dei vari Hegel, Rickert e idealisti di varia versione.
Ciao
Luigi

 Con buona pace dei vari Hegel, Rickert e idealisti di varia versione.
Se permetti, anche qui sento odore di idealismo. Che le regole del sapere
siano di tipo convenzionale impedirebbe agli
idealisti, stando al teorema di Goedel, di crearsi il loro sistema perfetto
e invulnerabile, ma non di uscire fuori dalla
loro "logica", quella che postula che la realtà in definitiva sia una nostra
idea.
Ma credo che forse potremo toglierci d' impaccio seguendo A. Schopenhauer:
la realtà è oggettiva ed esiste
a prescindere da noi, tuttavia noi possiamo conoscere solo le nostre
rappresentazioni e per giunta possiamo
farlo solo in maniera imperfetta (vedi i paradossi), e senza pretese di
completezza logica (teorema di Goedel).
Insomma abbasso i Sistemi con la maiuscola, e viviamo mettendo a frutto
tutte le nostre le nostre conoscenze.
Ciao, Aurora
P.S. Ma non saremo diventati esistenzialisti? Mah ... chi vivrà vedrà.

 P.S. Ma non saremo diventati esistenzialisti? Mah ... chi vivrà vedrà.
Se succedesse, confesso che mi metterei desolatamente a piangere...
Ciao
Luigi

 Luigi
Eh già, non ci resterebbe altro da fare.
ciao, Aurora

P.S. chi ti dice che io sia una donna? Mai fidarsi....
Infatti. Potresti essere il libro omonimo di Nietzsche.
Oppure uno dei tanti trans che circolano qui in rete ...
Nel qual caso, amici come prima (Pace-Panzeri-Pilat).
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