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Titolo: Dalle parti del paradosso di Russell

Il paradosso di Russell ha a che fare con la classe di tutte le classi
che non contengono se stesse come elemento. E fin qui ci arrivo. Ma che
dire della classe di tutte classi che contengono se stesse come
elemento? La mia mente vacilla prima di arrivare a capire se questa
benedetta classe contiene o non contiene se stessa.
C'è da queste parti un cervello avvezzo agli annidamenti che abbia la
bontà di soccorrermi?
Grazie

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
   Non c'è molto da dire, quello di Russell e' infatti
un PARADOSSO
avvero una proposizione logica indecidibile perche' se
svolta
porta a due risultati ugualmente veri e contraddittori.
Fai attenzione alla frase "classi che non appartengono
a se stesse"!
essa e' la condizione della classe (un'altra potrebbe
essere
"mele rosse").
   All'inizio del Novecento (1902 circa), Bertrand
Russell aveva scoperto il
celebre paradosso che porta il suo nome, e che può
esser presentato come 
segue. Di solito, una classe viene determinata da una
caratteristica che 
specifica una condizione necessaria e sufficiente per
l'appartenenza ad 
essa.
   Consideriamo la caratteristica: "esser la classe di
tutte le classi 
che non appartengono a se stesse"; assumiamo che questa
determini, o 
individui, una classe.
   Ora, domandiamoci se siffatta classe appartenga o no
a se stessa: 
se non appartiene a se stessa, evidentemente appartiene
a se
stessa in quanto classe di tutte le classi che non
appartengono a se stesse);
ma se appartiene a se stessa, allora non appartiene a
se stessa. 
*Quindi tale classe appartiene e non appartiene a se
stessa*. La forza di
questo paradosso, come è stato più volte notato,
consiste nel mettere in luce 
una situazione antinomica - una vera e propria
contraddizione - che concerne
un concetto di estrema rilevanza sia per la logica sia
per la matematica.
   Se una classe e' tale che contiene tutte le classi
che appartengono a se stesse
come risponderemo alla domanda: la classe appartiene a
se stessa?
se si, in quanto classe di classi che appartengono a se
stesse, 
essa appartiene a se stessa.
se no, in quanto classe di classi che appartengono a se
stesse, 
essa NON appartiene a se stessa.
Insomma in tal caso non c'è alcun paradosso!
Spero di esser stato d'aiuto
Saluti. 
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|             Valerio Guagnelli Scanzani             |
| Dipartimento di Studi Filosofici ed Epistemologici |
|    Università degli studi di Roma "La Sapienza"    |
|     e-mail: 
vgua...@dre.net.telecomitalia.it
      |
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
Innanzi tutto, grazie davvero per l'attenzione.
Stamattina sono stata però colpita da una folgorazione, e la spiego qui sotto.
Immaginiamo di chiamare TOTALE l'insieme di tutti gli insiemi: TOTALE contiene
se stesso, perché anche lui è un insieme.
Se consideriamo allora il nostro insieme CRITICO (quello dell'insieme di tutti
gli insiemi che contengono se stessi come elemento), dobbiamo riconoscere che
CRITICO contiene TOTALE. Ma TOTALE, siccome è l'insieme di tutti gli insiemi,
deve contenere anche CRITICO. In altre parole, CRITICO contiene TOTALE che
contiene CRITICO, cioè CRITICO contiene se stesso.
A me pare che funzioni.
Un conforto o una smentita giungerebbero più che graditi.
Cari saluti
Marina Beltramo

Grazie
Il paradosso di Russell evidenzia in maniera magistrale la
problematicità dei concetti di base (o indefinibili) della matematica.
Il meccanismo di astrazione che potremmo chiamare di "classificazione"
[mediante il quale entità distinte vengono considerate omogenee e
messe in relazione con un' entità-classe di ordine superiore che le
rappresenta collettivamente] sembra del tutto naturale ed
auto-evidente fino a che viene applicato ad entità in qualche maniera
"concrete". Per esempio il numero 7 rappresenta con ottima efficacia
una certa "essenza" comune a tutti i mucchietti di 7 sassolini che
potremmo concretamente costruirci (tanto per dirne una). Se passiamo
dal 7 ai mille miliardi, il "senso di dominio" sul concetto certo
diminuisce, tuttavia rimane sufficentemente convincente (possiamo
pensare ai granelli di sabbia di una spiaggia: non possiamo vederli
tutti in un colpo ma la cosa non turba il sonno a nessuno).
I problemi cominciano quando un meccanismo di astrazione si applica
non più a cose concrete (o che mantengono nella rappresentazione un
forte legame con la concretezza) ma a "cose" già pesantemente
astratte, come lo è certamente il "concetto" di insieme.
Dire "classe delle classi" sembra la cosa più semplice del mondo, ma
lo è solo dal punto di vista linguistico. In realtà per certi versi è
come dire "Dio". Nessuno sa, nemmeno i più grandi genii della
matematica, "cosa" veramente sia la "classe delle classi", questo
perchè, in fin dei conti, non conosciamo l'essenza, la natura ultima
di quel pensiero soggettivo che ci costituisce e ci avvolge da ogni
lato (e che però in qualche modo alcuni avvertono come non
coincidente, anche se intimamente legato, al "processo fisico
oggettivo" che sembra costituirne la causa.) Ma mettiamo pure da parte
questi deliri filosofici e torniamo al paradosso di Russell.
Abbiamo dunque dei meccanismi di astrazione che funzionano bene sulla
realtà concreta (almeno sulla scala "umana" nell'ambito della quale si
sono formati), "distillati" da un linguaggio capace, quando segue con
diligenza quelle strutture di "retto funzionamento" alle quali
abbiamo dato il nome di logica, di giostrare altrettanto
efficacemente. Con questi strumenti si è riusciti a costruire
l'imponente edificio formale della matematica. Il paradosso di Russell
(e lo stesso vale per il teorema di Goedel) non inficia minimamente le
fondamenta di tale edificio, soltanto insinua un dubbio ineliminabile
sulla sua essenza, mostrando chiaramente come quelle strutture
astratte, pur funzionando, mantengano per noi un lato oscuro e
inconoscibile. Il linguaggio ci porta a costruire senza eccessivi
patemi il concetto di "classe delle classi che non contengono se
stesse" per poi mostrarci che si tratta di un concetto contraddittorio
(contiene o no se stessa?). Il problema non sta nella logica del
ragionamento ma nel concetto intuitivo stesso di insieme, che si
dimostra non completamente dominabile o adeguato ma del quale,
ovviamente, non possiamo comunque fare a meno perchè in qualche modo
inscritto nel nostro essere (o nelle nostre strutture cerebrali, se si
preferisce). 
Finchè pensiamo a classi che non contengono se stesse, pur
nell'astratto manteniamo un certo cordone ombelicale con la realtà
dalle quali le astrazioni derivano. Concepire delle classi che
contengono se stesse introduce un elemento di ricorsione (uno "strano
anello" direbbe qualcuno) che già ha qualcosa di patologico, nel senso
che è operazione che si può fare sul piano astratto del formalismo ma
che non si riesce poi a riportare indietro sul piano realtà concreta.
Astrarre ulteriormente, pensando alla classe delle classi che
contengono se stesse e pretendere poi persino di ritagliarla fuori da
quel mostro incomprensibile che è la "classe delle classi", per
ottenere come avanzo la classe oggetto del paradosso è evidentemente
un'ambizione umana a cui la "natura", a suo modo, irride. 

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Contributo affascinante e certo rassicurante: dominare gli Strani Anelli con
gli strumenti dell'intuizione
e dell'immaginazione è davvero impresa ardua. Questo mi fa pensare alla
vertigine deliziosa che mi
pervade quando anestetizzo il pensiero e mi affido fiduciosa, ma anche un po'
stranita, al motore
logico del linguaggio. Simulare un computer, con la sua ottusa e perfetta
capacità di applicare le
regole di inferenza (purché ben definite): questo, in quei momenti, vorrei
saper fare. E il senso di
smarrimento aumenta via via che il linguaggio riesce a produrre mostri sempre
più abnormi, e
comunque perfettamente leciti e coerenti all'interno del sistema di
riferimento scelto. E il piacere
sottile dello straniamento deriva forse dal rischio del numero funambolico,
dalla sensazione di
camminare senza rete sul nulla.
Per questo fatico ad arrendermi. E se il pensiero non mi assiste, vorrei che
almeno mi assistesse la
capacità di calcolo.
E non mi basta sapere che la classe delle classi che contengono se stesse come
elemento non è un
concetto autocontradditorio: se tale classe è un oggetto logicamente
possibile, e se è definita la
condizione di appartenenza a tale classe, perché non deve essere possibile
decidere se tale classe
appartiene o no se stessa?

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 Forse non funziona così bene come in un primo tempo ho pensato. Così ho solo concluso che
CRITICO contiene se stesso, e "contiene" sta qui per "include".
Anche se questa strada continua in qualche modo a sembrarmi promettente, temo che "includere"
non equivalga a "contenere come elemento".
Devo pensarci ancora un po'.
La non contradditorietà dell'oggetto "classe delle classi che contengono se stesse come elemento" mi
sembra certo un buon risultato. Ma perché allora, se tale classe è possibile e se sono ben definite le
condizioni di appartenenza a essa, devo rinunciare a stabilire se essa appartiene a se stessa?

contiene CRITICO, cioè CRITICO contiene se stesso.
Temo che ciò sia sbagliato: TOTALE è un elemento di CRITICO, che a sua volta
è elemento di TOTALE, ma "essere elemento di" non è una relazione
transitiva.
E' "essere sottinsieme di" che invece è transitiva.
Ciao!!
MarcoDiscens

che non si riesce poi a riportare indietro sul piano realtà concreta.
Comunque in generale l' "autoinclusione" si verifica anche in altri settori
della matematica e non sembra provocare nessun problema (a parte un po' di
sconcerto) basti pensare ai frattali o anche più semplicemente all'
aritmetica, che è in grado di rappresentare sè stessa.
Ciao!!
MarcoDiscens

individui, una classe.
Un modo per definire un insieme comunemente accettato era questo:
A="L' insieme di tutti (e soli) gli X tali che P(X)"
Dove P(X) è una proposizione su X.
Per il principio di bivalenza e del terzo escluso dato un X la proposizione
P(X) è o vera o falsa.
Dunque prendiamo tutti gli X tali che P(X) è vera e scartiamo tutti gli X
tali che P(X) è falsa. Non avanza nessun X per il principio del terzo
escluso.
Fin qui tutto sembra plausibilissimo.
Il problema arriva quando X è l' insieme che stiamo definendo: ora infatti
la verità di P(A) dipende da A, ma anche A dipende dalla verità di P(A).
Dunque il principio di bivalenza e del terzo escluso ("se scelgo X allora
P(X) è o vero o falso") non sembrano più validi se A è "funzione" di P.
Zermelo ha pensato che l' operazione che andava proibita fosse quella di
definire un insieme nel modo suddetto, ma che bisognasse accettare degli
insiemi di partenza per poi costruire gli altri in modo più restrittivo,
questo:
A="insieme degli X *appartenenti a B* tali che P(X)"
Dove B è un insieme "accettato" o costruito.
Con gli assiomi di Zermelo si può dimostrare che sia l' insieme di tutti gli
insiemi, sia l' insieme di Russell *non esistono*.
Ciao!!
MarcoDiscens

MarcoDiscens
Saluti
Simplicio

 appartiene o no se stessa?
Gia! perche'?
Lo vorremmo tanto sapere tutti. :-)))
Russell dopo la scoperta del paradosso si adopero' alla
sua soluzione, ma senza successo...
Prendi il primo volume... "The Principles of
Mathematics"
di Russel, quello che scrisse prima dei famosi
"Principia
Mathematica",  e leggi l'ultima pagina.
E non ti arrovellare troppo ...e' inutile!
Ciao.
-- 
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|             Valerio Guagnelli Scanzani             |
| Dipartimento di Studi Filosofici ed Epistemologici |
|    Università degli studi di Roma "La Sapienza"    |
|     e-mail: 
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mica si può pretendere troppo dal nostro grumetto di neuroni.
Ci saranno definizioni che soggettivamente possono apparire più vaghe di
altre ma il fatto di essere o no dotate di senso è un fatto oggettivo.
Purtroppo, però, ci sono definizioni non formalizzabili.
Una definizione precisa ma non suscettibile di formalizzazione è quella
dell' insieme di tutte le affermazioni vere dell' aritmetica, o meglio
ancora, l' insieme di tutte le  stringhe (o dei numeri di Goedel) associate
ad affermazioni vere dell' aritmetica.
Ciao!!
MarcoDiscens

Insomma, leggendo sulle righe e tra le righe (e magari inventando anche un po'), mi pare di
cogliere un generale scetticismo a proposito del compito che mi ero posta.
Si tratta di una questione indecidibile nel senso che non esiste un procedimento meccanico
per risolverla? Oltre a essere indecidibile, non esiste evidenza intuitiva che l'insieme
di tutti gli insiemi che contengono se stessi come elemento contenga se stesso come elemento?
Domani  andrò a leggermi l'ultima pagina dei Principles of Mathematics
(come suggerisce Valerio), ma l'urgenza di mettere a tacere il mio tarlo
mi induce a scrivere ancora questo messaggio in modo "ingenuo".
Un bel paio di sì netti alle domande qui sopra mi metterebbero l'anima in pace.
E se un giorno dovesse mai capitare sulla mia strada un testo a firma autorevole che dice,
ad esempio, "[...] possiamo costruire la classe di tutte le classi che contengono se stesse
come elemento, ed è chiaro che tale classe conterrà ancora se stessa come elemento [...]" io continuerò a
dormire sonni tranquilli, certa che si tratti di un banale errore di stampa.
Saluti (e ancora grazie)

Purtroppo, però, ci sono definizioni non formalizzabili.
Nell'ottica sopra esposta, la cosa non mi sgomenta troppo, ed è forse
l'unico vantaggio che attribuisco alla mia posizione.
Simplicio

l'unico vantaggio che attribuisco alla mia posizione.
L' esistenza di definizioni non formalizzabili implica l' esistenza di un
oggetto della formalizzazione.
Per finire ti cito ancora ciò che ho scritto in it.scienza poichè riassume
la mia visione del problema:
Che cos' è una costruzione teorica?
Che cosa non lo è?
La percezione di oggetti distinti nel mondo è una "costruzione teorica"?
Potremmo considerare la divisione dell' Europa in Italia, Francia, Spagna,
ecc.. (considerate come *regioni geografiche* anzichè come stati) come una
divisione *di comodo* per poter parlare più agevolmente dell' Europa nelle
sue varie parti. Tuttavia è vero anche che la regione geografica chiamata
Francia *esiste* (dire che non esiste significa dire che nessuna regione è
identificata come "Francia", dire che la distribuzione dei nomi è di comodo
non implica che i nomi non denotino niente).
Analogamente il fatto di distinguere nel mondo oggetti distinti anzichè un
unico oggetto chiamato "mondo" potremmo considerarlo "comodo", e potremmo
supporre che esistano modi ancora più comodi che fanno distinzioni diverse
(più o meno raffinate), ma questo non vuol dire che gli oggetti che
riconosciamo nel mondo (siano essi numeri, insiemi o stelle e pianeti) non
esistano!!
Insomma a mio avviso il verbo "esistere" ha senso usarlo solo *all' interno*
della nostra csotruzione teorica "convenzionale".
Ciao!!
MarcoDiscens

esiste dovrebbe dimostrarmelo formalmente.
Nessuno ti tocca "l'esistenza matematica". Nessuno mette in
discussione il funzionamento interno dei sistemi assiomatici e dei
linguaggi formali. Ma i problemi nascono proprio quandi si tenta di
passare dall'elegante "sintassi" alla "semantica", che si è
dimostrata, a mio avviso, sostanzialmente inafferrabile (o non
completamente formalizzabile se preferisci). 
Racchiudere il linguaggio nella formalizzazione sarebbe stato come
ridurre il pensiero a meccanismo (seppure incredibilmente complesso). 
Ora, che il pensiero sia l'effetto collaterale di un meccanismo
(fisico e biologico) complesso è più di un sospetto, ma credo che sia
impossibile per il pensiero comprendere se stesso come meccanismo.
Forse questa impossibilità è legata a una banale ragione di
irriducibilità computazionale: il processo è troppo complesso e non
esistono quelle "scorciatoie concettuali" che ci consentono invece di
prevedere con tanta precisione ed economia la posizione dei pianeti.
Siamo quindi condannati alla "simulazione completa" e forse
l'implementazione biologica del pensiero è la unica possibile nel
nostro universo.
Anche se onestamente non riesco ad immaginare in che cosa possa
consistere questa "comprensione" di se stesso (in una sorta di
emozione? di senso di soddisfazione? in un deliquio mistico? forse la
pretesa è proprio assurda)  nondimeno mi rimane invincibile la
percezione di una frattura insanabile (ebbene sì, sono dualista!).
Detta in soldoni: il pensiero non può "vedere" se stesso come vede le
cose fuori da sè. Non può quindi comprendersi pienamente: rimarrà
sempre un residuo ineliminabile, uno scarto, che si riproporrà tutte
le volte che, con l'indagine oggettiva, arriva troppo vicino a se
stesso, cominciando così a mordersi la coda. La lettura di alcuni
esiti della semiotica, della psicologia, della filosofia stessa mi
danno una immagine lampante di questo avvitamento.

danno una immagine lampante di questo avvitamento.
Qualcosa di simile si verifica per il sistema formale dato dagli Assiomi di
Peano, e anche qualcosa di opposto.
L' aritmetica *può rappresentare sè stessa al suo interno*: affermazioni
come "l' aritmetica (di Peano) è coerente" o "il tale enunciato è
dimostrabile" sono convertibili in enunciati che riguardano esclusivamente i
numeri e le loro proprietà. Questa "autorappresentazione" però porta a
diverse limitazioni (Teoremi di Goedel, Tarsky e altri) riguardo alle
capacità di rappresentare la realtà.
Bisognerebbe chiarire meglio che cosa significa che un uomo comprende il suo
pensiero.
Una possibilità potrebbe essere quella di saper riprodurre il pensiero
costruendolo "dal nulla", un' altra potrebbe essere saper fornire un metodo
per individuarlo e "decifrarlo" (in termini di che?) a partire da
informazioni sull' evoluzione del sistema "cervello". O ancora potremmo dire
di conoscere il pensiero se sapremo prevedere il comportamento del sistema
"cervello" in base a certe informazioni iniziali.
Per ora non mi pare che ci siano argomenti a favore o contro nessuna di
queste possibilità.
Ciao!!
MarcoDiscens

fatto che ora li pensi.
Se un virus sterminasse l'umanita', la spiaggie rimarrebbero al loro
posto mentre scomparirebbero tutti concetti di spiaggia e di insieme
dei numeri naturali che attualmente abitano, grossolanamente isomorfi
tra loro, le nostre singole testoline.
Per una eventuale specie capace di raggiungere il nostro stadio
evolutivo sarebbe forse inevitabile ridare un nome alle spiagge e
"riscoprire" i numeri naturali. Ma questo mi dice solo che la realtà
concreta può imporre certe invenzioni, così come la luce del sole ha
imposto la struttura dell'occhio.
Di quanto detto sopra non detengo impossibili prove logiche, solo un
sentimento di forte verosimiglianza. Se d'altronde c'è un Dio che
vuole imbrogliarmi, non posso che cascarci.
 

tutti


vuole imbrogliarmi, non posso che cascarci.
Non temere, per quel che risulta ultimamente Dio preferisce dilettarsi a
giocare a dadi.
Ciao!!
MarcoDiscens

linguaggio... quantomeno non usando il linguaggio!!
E che altro possiamo fare? Mi piace questa questa regressione che
mette in dubbio tutto, però non mi stupisce. E' chiaro che alla fine
va fatto un atto di "fede" per credere a qualcosa anche se potrebbe
trattarsi di tutt'altro. E non possiamo far altro che affidarci alle
nostre inclinazioni interiori. Per me è piu' convincente l'esistenza
della realta' esterna (anche se potrebbe essere un'illusione, lo
convengo) ed il motivo e' forse economico: l'analisi della stessa in
qualche modo mi da' conto, pur in maniera imperfetta, della
derivazione da essa del pensiero. Pensiero che, pur essendo l'unica
cosa che attingo direttamente (e quindi la cosa piu' certa che ho),
sembra però dipendere da una complessa organizzazione "materiale"
(basta sbronzarsi per vedere dove puo' andare a finire il pensiero!) e
quindi ontologicamente secondario alla stessa.
Per me quindi gli insiemi, i concetti, compreso quello di esistenza,
sono entità derivate, modelli costruiti nel pensiero soggettivo e solo
in tale ambito pienamente "vivi". Alcuni modelli riflettono, con buona
efficacia, strutturazioni della realtà esterna, altri no. Morto il
modello "vivente", nel primo caso rimane il "prototipo" concreto che
l'ha ispirato, nel secondo caso non rimane nulla: dell'insieme dei
numeri naturali non sembra esserci alcuna traccia in natura e d'altra
parte tale concetto non ambisce a rappresentare nulla di diverso da sè
(come invece fa il concetto di spiaggia) ma solo e precisamente se
stesso. 
Ammetto comunque pari dignita' filosofica alla tua impostazione, anche
se per certi versi la ritengo meno produttiva. Il materialismo produce
la scienza (e non siamo certo obbligati a pensare che tutto stia lì),
certo platonismo (o realismo delle idee) produce talvolta della
pregevole letteratura fantastica ma piu' spesso soltanto confusione.
Con questo vorrei concludere la questione anche perche', pur essendosi
trattato di un dialogo per me molto piacevole, e utile, a questo punto
sto gia' cominciando a ripetermi. Naturalmente ti lascio l'ultima
parola, che leggero' con molto interesse.
Saluti 

parola, che leggero' con molto interesse.
Se nonostante tutto hai qualcosa da aggiungere la cosa non può che farmi
piacere.
Ciao!!
MarcoDiscens

non può che farmi piacere.
Sì, un'ultima cosa. La tua effettivamente non è una posizione
"realista" o Platonica, mi sono accorto in quest'ultima tornata che la
mia era una "riduzione" un poco di comodo.  Però devo dire che non
riesco ad entrarci del tutto nella tua weltanschauung,
quell'uniformità ontologica mi manda in "loop", forse a causa della
visceralità del mio dualismo, che obbliga in una certa prospettiva la
mia "visione del mondo". Lascio allora decantare un pò i pensieri e ci
darò una ulteriore rimuginata in futuro. Di solito giova.
Ciao e alla prossima.