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Titolo: Quesito matematico

Immaginiamo una strada lunga N metri, con un paletto numerato ad ogni metro ed uno iniziale I.
 
Partendo dal paletto I+1, tiro una moneta: se esce testa abbatto il paletto ed avanzo, se esce croce, mi limito a procedere oltre; similmente al primo paletto, non tocco quello finale.
 
Arrivati alla fine della strada, quale sara` la distanza media tra i paletti adiacenti rimasti in piedi?

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spoiler
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Io scommetto su 2  :-)

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E se tra i paletti rimasti in piedi ponessi dei cartelloni quadrati*, quanto sarebbe la superficie media degli stessi?
 
(*con lato uguale alla distanza tra due paletti adiacenti)

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Carino! Non 4 :-)
Sara' il quadrato della media quadratica! :-)
 
La mia simulazione :-) mi dice 6.
 
Prima il risultato me lo spiegavo anche a naso, perche' e' indipendente dalla 
distribuzione delle eliminazioni dei paletti. Infatti se ne elimino uno si' e
uno no, la media e' ovviamente 2. E se per meta' non ne elimino nessuno
e poi li elimino tutti fino in fondo, la media vale sempre:
((n/2)x1+1x(n/2))/(n/2)=2.
E' anche facile dire che le distanze varranno 1 nel 50% dei casi, 2 nel 25%,
3 ne 12.5%,... ecc. e la media fa sempre 2.
 
Nel caso del quadrato non funziona. Nel primo caso varrebbe 4, nel secondo 
circa n/2. Per cui 6 mi sorprende.
 
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Simulazione in Basic:
 
Dim P(1000) As Boolean  'paletti
Dim Lm, L, Ns, i, N, Mq
N = 1000
P(1) = True
P(N) = True
For i = 2 To N - 1  'abbatto i paletti
    If Rnd(1) > 0.5 Then P(i) = True Else P(i) = False
Next i
Lm = 0
L = 1
Ns = 0
For i = 2 To N  'misuro le distanze
    If Not P(i) Then
        L = L + 1
    Else
        Ns = Ns + 1
        Lm = Lm + L
        Mq = Mq + L ^ 2
        L = 1
    End If
Next i
Lm = Lm / Ns
Mq = Mq / Ns
Text1 = Str(Lm) + Str(Mq)
 
 

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Bravo! Per la spiegazione guarda it.scienza.matematica: Vincita (messaggi di maggio)
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Simulazione in APL:
 
      N←100000
      m←(-2-/((?N⍴2)∊2)/⍳N)
 
      avg←{(+⌿⍵)÷≢⍵}
      avg m
 
2.00343
 
      avg m*2
 
6.01553
 
(spero si vedano i caratteri speciali)
 
qui un interprete in-linea:
 
https://tryapl.org/#?a=m%u2190%28-2-/%28%28%3FN%u23742%29%u220A2%29/%u2373%28N%u2190100000%29%29&run
 

  
 
il 6 viene fuori da questa serie:
 
http://www.wolframalpha.com/widget/widgetPopup.jsp?p=v&id=29c546473e1c796d6076bb18901b15e7&title=Infinite%20Series%20Calculator&theme=blue&i0=(x*x)/(2**x)&i1=1&i2=Infinity&podSelect=&showAssumptions=1&showWarnings=1
 
 
sum [1->inf] (x*x)/(2**x)

 3 ne 12.5%,... ecc. e la media fa sempre 2.
 
Molto più semplicemente:
 
1) la somma delle distanze tra i paletti sarà comunque sempre N, cioè uguale alla distanza totale.
 
2) il numero dei paletti invece è circa la metà di N (probabilità di uscita testa)
 
3) la media sarà allora N/(N/2), cioè 2

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Nel frattempo ci ero arrivato autonomamente, calcolando la serie con solito
Basic, che converge gia' a 6 con i primi 100 termini, senza andare all'infinito:
 
Mq = 0
For i = 1 To 100
    Mq = Mq + i ^ 2 / 2 ^ i
Next i
 
(Nella tua simulazione in APL non vedo i caratteri speciali, ma non importa
tanto non mi metto a imparare l'APL :-) ).
 
 

Il giorno venerdì 4 maggio 2018 18:33:26 UTC+2, 
paup...@gmail.com
 ha scritto:
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Questa e' una soluzione *brillante*! 

 tanto non mi metto a imparare l'APL :-) ).
 
modestamente, io l'ho imparato in 2 giorni ;-)
 
Per vedere il codice APL, prova prima a cliccare qui:
 
https://tryapl.org/#?a=m%u2190%28-2-/%28%28%3FN%u23742%29%u220A2%29/%u2373%28N%u2190100000%29%29&run
 
 
- poi clicca la parte viola a sx di "Average is sum divided by count" nella colonna a sx
- quando a dx appare il codice, pigia "invio"
- digita "avg m" nella righa blu e pigia "invio"
- digita "avg m*2" nella righa blu e pigia "invio"
 

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La media delle distanze vale 2, dei quadrati 6, dei cubi 26, degli ipercubi 150...
 
... tutti numeri interi. Non e' strano per delle medie di valori casuali? 
 

 ... tutti numeri interi. Non e' strano per delle medie di valori casuali?
 
Ti stai einsteinizzando? ;-)

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Au contraire! :-)
 
Se il Caso genera questi numeri interi inaspettati, perche' negargli
a priori altre qualita' e possibilita'?
 
:-)
 
Gia' avevano visto nel XVIII secolo che tirando a caso un ago su un
parquet poteva venir fuori addirittura Pigreco!
 
https://it.wikipedia.org/wiki/Ago_di_Buffon
 
 

a priori altre qualita' e possibilita'?
 
La loro interezza non e' tanto inaspettata, o almeno non lo e' tanto
di piu' di quella di un coefficiente binomiale (x su y), dato che
 
6   = 2 + (2 su 1)*2
26  = 2 + (3 su 1)*2 + (3 su 2)*6
150 = 2 + (4 su 1)*2 + (4 su 2)*6 + (4 su 3)*26
...
mediapotenza n-esima = 2+somma{k=1..n-1}(n su k)*mediapotenza k-esima
 
Ciao