Newsgroup: it.cultura.filosofia
Titolo: Godel: la matematica, la filosofia, la mistica.

Titolo
Godel: la matematica, la filosofia, la mistica.
A seguito della trattazione dell'argomento nei tre newsgroups
it.scienza.matematica,
it.cultura.filosofia,
it.cultura.ateismo,
mi sono domandato se non fosse il caso di mettere a disposizione i dati
in mio possesso ...
La risposta evidentemente è: si, (visto che state leggendo questa mia).
Ma veniamo alla questione:
E' stato citato un riferimento reperibile all'indirizzo:
http://www.setlonnert.com/resources/texts/godel.html
come si può ricostruire dal post seguente:
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Subject:
             L'esistenza di dio: la prova di Godel
        Date:
             Thu, 22 Feb 2001 13:56:51 GMT
       From:
 
robert...@inferentia.it
 (Roberto Corda)
 Organization:
             ItaliaOnline
 Newsgroups:
             it.cultura.ateismo
 Followup-To:
             it.cultura.ateismo
[Caro Sandro come vedi ti leggo sempre :-)]
Come richiesto ho fatto una
ricerca sulla *prova* di Godel sulla esistenza di dio, io ne ho letto
diffusamente sul Vangelo secondo la scienza di Oddifreddi, di cui
consiglio
la lettura, qui riporto i risultati di una ricerchina fatta.
http://lgxserver.uniba.it/lei/rassegna/000108.htm
[godel]
a una "prova
logica" dell'esistenza di Dio (che in parte riprende e sviluppa la prova
ontologica di Anselmo d'Aosta), la dimostrazione che in un mondo finito,
qualcosa (o Qualcuno) che possiede necessariamente tutte le qualità
positive è necessariamente esistente ed è unico: ed essere Dio è una
qualità positiva. Inutile dire che questa immagine di Dio come necessità
logica non ha nulla a che spartire con nessuna delle costruzioni
religiose
storiche.
http://www.setlonnert.com/resources/texts/godel.html
la prova
scritta in modo tecnico
I piu' importanti :-)))))
http://www.everything2.com/index.pl?node_id=49267&lastnode_id=0
http://www.everything2.com/index.pl?node_id=51122&lastnode_id=0
Ulteriori letture
http://www.vialattea.net/odifreddi/godel.htm
http://www.lastampa.it/Rubriche/Ultima/rubriche/lst/tts/1588.htm
http://www.rae.org/godel.html
http://www.tesionline.it/illustri/Giorello/giorello.pdf
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Ora la prima cosa da dire è che la paginetta visualizzabile
a 
http://www.setlonnert.com/resources/texts/godel.html
,
riporta diciture contrassegnate
-con Ax (Axiom = Assioma)
-con Th (Theorem = Teorema)
-con Def (Definition = Definizione)
 _non sono un teorema o una serie di teoremi!_
Apprestandomi infatti a porgere un'esposizione comprensibile non solo ai
matematici, mi scuserete la pedanteria nel sottolineare che
un'affermazione o più affermazioni non dimostrate, non sono un teorema o
una serie di teoremi!
Già, sia noto che la serie di enunciati contrassegnati qua e là con Th
non assommano a una teoresi semplicemente perchè ci dobbiamo fidare
sulla parola o sulla fama dell'autore _chiunque esso sia!_...
Del resto spesso i matematici mettono per scritto delle intuizioni che
si riservano di dimostrare ... magari senza riuscire per il resto della
loro vita!
Ma ritorniamo a Godel ...
Possibile che la sua indiscussa fama discenda da un teorema
indimostrato?
No, per esempio con il motore di ricerca MathSearch, si può trovare
all'indiririzzo
www.math.hawaii.edu
 238:959
una rassegna completa che riporto qualora interessi
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inizio rassegna
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Cantor's Uncountability Theorem
                                          Richard's Paradox
        The Halting Problem
                                     Tarski's Self-Reference Lemma
     Cantor's Power-set Theorem
                                  Tarski's Undefinability of Truth
Theorem
       Russell's Contradiction
                                   Godel's First Incompleteness Theorem
         The Liar Paradox
                                 Godel's Second Incompleteness Theorem
  Diagonalization arguments are clever but simple. Particular instances
though have
  profound consequences. We'll start with Cantor's uncountability
theorem and end with
  Godel's incompleteness theorems on truth and provability.
  In the following, a   sequence   is an infinite sequence of 0's and
1's. Such a sequence
  is a function   f : N -> {0,1}   where   N = {0,1,2,3, ...}.
      Thus 10101010... is the function   f   with   f(0) = 1,   f(1) =
0,   f(2) = 1, ... .
  A sequence f is the   characteristic function   of the set   {i : f(i)
= 1}.
      Thus 101010101... is the characteristic function of the set
{0,2,4,6, ...}.
  If X has characteristic function f(i), its complement has
characteristic function 1 - f(i).
  Cantor's Uncountability Theorem.
  There are uncountably many infinite
  sequences of 0's and 1's.
  Proof. Suppose not.
  Let   f0, f1, f2, ...   be a list of all sequences.
  Let   f   be the complement of the diagonal sequence   fi(i).
  Thus   f(i) = 1-fi(i).
  For each i,   f   differs from   fi   at i.
  Thus f is not in   {f0, f1, f2, ...}.
  This contradicts the assumption that the list contained all sequences.
  Corollary.
  There are uncountably many subsets of N. There are uncountably
  many reals.
  Proof. The set of subsets of N is isomorphic to the set of 0-1
sequences via the
  bijection between subsets and characteristic functions.
  There are uncountably many reals since the map which sends a 0-1
sequence
  10101010...   to the decimal   .1010101...   is 1-1.
  The diagonal   fi(i)   is constructed from the list   fj(i)   by
substituting i for j. Thus f
  can be constructed from the given list using just complementation and
substitution.
  In general, diagonalization shows that a set of objects (sequences,
programs, provable
  theorems, true facts) either can't be listed, computed or defined in a
nice way or else a
  simple-to-construct diagonal or self-referential object is not one of
the set's objects.
  Roughly either the objects can't be listed or they aren't closed under
the substitution
  and complementation operations used to construct a diagonal.
  Let's replace "sequences" by "sequences I can comprehend".   Then
either I can't
  comprehend the list of all such sequences, or I can't comprehend the
diagonal.   I
  figure that if I could comprehend the whole list in any way, I should
also be able to
  comprehend the diagonal.   Hence I must accept the first alternative:
I can't
  comprehend the list of comprehensible sequences.   The same applies to
"sequences
  which God can comprehend".   Thus omniscience has some limits.
  Now replace "sequences" with "computable sequences".
  Definition. A sequence f(i) is computable if there is a program which
given input
  i computes f(i).
  Are the computable sequences countable?   Sure, a program is a finite
sequence of
  symbols, say, ASCII symbols.   There are only countably many finite
sequences of
  symbols and so there are only countably many programs and hence only
countably
  many computable sequences.   But on the other hand --
  Theorem.
  The set of computable sequences cannot be listed in a computable way.
  Proof. Suppose   f0, f1, f2, ... , is a computable list of all
computable sequences.
  By this we mean that there is a program   P   which given inputs j and
i
  computes   fj(i).
  Let   f be the complement of the diagonal:   f(i) = 1-fi(i).
  As before,   f is not in the list   f0, f1, f2, ... .
  But we can compute f as follows:
      Read input i.
      Apply P to the two inputs i and i.
      Output 1 if P outputs 0 and output 0 if not.
  Again we have a contradiction.
  Pick your favorite programming language (if its COBOL, take a break
and come back
  after your nap). Each program is a string of symbols.
  Definition. A 0-1 sequence program is a string of symbols which
      (1) is grammatically correct for the chosen programming language,
      (2) has a single input variable i with domain N,
      (3) has output statements only of the form "return 0" or "return
1",
      (4) for every input i, produces an output ("halts") in a finite
number of steps.
  Any program which computes a sequence of 0's and 1's can easily be
rewritten so as
  to satisfy (1)-(4).
  Corollary.
  The set of 0-1 sequence programs cannot be listed in a computable way.
  Proof. Suppose   P0, P1, P2, ...   is a computable list of such
programs.
  Let   f0, f1, f2, ...   be the list of sequences they compute. This
list contains all
  computable sequences and it can be computed as follows:
      Read inputs j and i.
      Get program Pj from the given list.
      Run program Pj on input i.
      Output whatever Pj outputs.
  This contradicts the theorem above.
  We can computably list all strings.
  We can also computably check conditions (1), (2), and (3) of the
definition above.
  Hence it is condition (4) which can't be checked in a computable way.
  Thus --
  Lemma. There is no program which each input   p,  determines if   p
is a
  program which halts on all of its inputs.
  What about the simpler problem of checking that a program halts a
particular input?
_________________________________________________________
  Halting Problem Theorem. There is no program   R(p,i)   which for each
  program   p   and each input i, can determine "yes" or "no" if   p
halts on i.
  Proof. Suppose there is such a program   R(p,i).
  Let h be the program which on input p computes
    R(p,0), R(p,1), R(p,2), ...   until it finds an i such that
R(p,i)   is "no".
  On finding such an i, it outputs i and halts.
  If there is no such i, it searches forever and doesn't halt.
  Now for any program p, we can decide whether or not p halts on all of
its inputs:
      p doesn't halt on all its inputs iff
      h does halt on input p iff
      R(h,p) is "yes".
  Contradiction: by the lemma above, this is undecidable.
______________________________________________
  To see why halting problems are hard, consider the program which
  on input n,   looks for the first pair of twin primes greater than n.
  Thus on input 8,   we get 11,13.
  Does this program halt on all inputs?
  The extra-strength version of Cantor's theorem says that a set cannot
count its own
  subsets.
  Theorem (Cantor). The set P(X) of all subsets of a set X has a larger
  cardinality (number of elements) than the original set X.
  Proof. Suppose they have the same number of elements.
  Let   f : X -> P(X)   be a bijection between X and P(X).
      (1) Let   D = {x in X: x is not in f(x)}.
  Since D is a subset of X and f is onto,
      (2)   D = f(d)   for some d.
  Thus   d is in f(d)   iff (by 2)   d is in D   iff (by 1)   d is not
in f(d).
  This is a contradiction.
  The set theoretic analog of listing a sequence of things, is grouping
or "comprehending"
  a collection of things into a set.   Sets are sort of unordered lists.
  Russell's Contradiction.
 To formalize Cantor's set theory, Frege proposed the
  "comprehension" schema:
      For every condition p(x) on x,
      there is a set   {x: p(x)}   of elements which satisfy the
condition.
_____________________
  Russell discovered that this omnipotent schema runs afoul of the
diagonalization
  principal: you can't list (comprehend) things or you can't construct
the diagonal.
______________________
      Let   D = {x: x not in x}.
      Then   D in D   iff   D not in D,   a contradiction.
  Quine proposed banning self-referential conditions like "x not in x"
by requiring that the
  variables of the condition be stratifiable into layers with membership
"x in y" allowed
  only when x is in a lower layer than y.
  Zermelo proposed restricting the comprehension schema to subsets:
      For every condition p(x) on x and every set Y,
      there is a subset   {x in Y : p(x)}.
  Both proposals finesse Russel's contradiction but are there other
  inconsistencies in the closet?   Once burned, logicians wanted a proof
of
  consistency.   None was found.   Then Godel proved such consistency
proofs
  are impossible.   Zermelo's set theory has been universally accepted,
but its
  consistency will always be a matter of faith.   Quine's set theory
would be just an
  historical footnote except for a long-standing open problem:   Does
the
  consistency of Zermelo's axioms imply the consistency of Quine's?
  From sets which are members of themselves we now go to sentences which
refer to
  themselves.
  The Liar Paradox. "Truth" for English sentences is not definable in
English.
  Proof. Suppose it is. Then so is its complement "False".
  Let   s   be the sentence "This sentence is false" .
  Since the phrase "This sentence" refers to   s,   we have
    s   iff   "This sentence is false"   iff   "s is false"   iff
not   s.
  A contradiction.
  Richard's Paradox. Definability, the relation "the number n is defined
by the
  (English) sentence s" not definable in English.
  Proof. Suppose it is.   Let n be the least number not definable by a
sentence of
  less than 1000 symbols.   Exercise: find the contradiction.
  When translated into precise formal logic, these curiosities become
Godel's magnum
  opus.
  To make the transition,  note that the sentence   s   which says
      "This sentence is false"
  is characterized up to logical equivalence as being the solution to
the logical equation:
      s   iff   "s is false".
  Tarski's Self-Reference Lemma states that in adequate mathematical
theories, such
  equations always have solutions.
  A theory is adequate if it is strong enough to encode finite sequences
of numbers and
  define simple sequence operations such as concatenation. In an
adequate theory, we
  can encode the syntax of such things as terms, sentences, programs,
and proofs. In
  particular, for every formula p, there is an object < p > which
encodes this formula.
  Even very weak number theories are adequate. So is set theory since
numbers can be
  defined in set theory. For concreteness, let's pick number theory with
our favorite
  axioms:     +, x, 0, 1 have the associative, commutative,
distributive, identity and
  cancellation properties.         For any first-order formula p(x),
          if   p(0)   and   p(n) -> p(n+1)   for all n,   then   p(n)
holds for all n.
  Tarski's Self-Reference Lemma. For any formula p(x) in an adequate
theory,
  there is a sentence (formula without free variables)   s   such that
      s   iff   p( < s > )
  where   < s >   is the number which encodes   s.
  Proof. We omit the short but technical 5-line proof.
  Suppose   p(x)   says   "x has at most 1000 symbols".
  By Tarski's Self-Reference Lemma, there is a solution   s   to:
      s   iff   p( < s > ).
  Thus   s   says   "This sentence has at most 1000 symbols".
  Since sentences of number theory can be coded up as numbers (the ASCII
coding
  your computer uses does just fine), the set of true sentences can be
identified with the
  set TRUTH of numbers which encode true sentences.   Is this set
definable in number
  theory?
  Tarski's Undefinability of Truth Theorem. TRUTH, the set of numbers
which
  encode true sentences of number theory, is not definable in number
theory.
  Proof. By the definition of TRUTH, for any sentence   s,
      (1)   < s > is in TRUTH   iff   s is true.
  Let   s   be the sentence "This sentence is false".
  This sentence exists by Tarski's Self-Reference Lemma since it is the
solution
  of
      (2)   s   iff   < s > is not in TRUTH.
  Thus
      s   iff   < s > is not in TRUTH   iff   s is not true   iff   not
s.
  This is a contradiction.   We have used the law of the excluded middle
and the
  consistency of the set of true sentences.
  Since undefinable implies uncomputable, there will never be a program
which can
  decide, for each sentence of number theory, whether the sentence is
true or false.
  Let PROVABLE be the set of sentences of number theory which are
provable in our
  favorite axiom system.  Since all our axioms are true, PROVABLE is a
subset of
  TRUTH.   It would be nice if they were the same.   In this case our
set of axioms
  would be complete.   No such luck.
  Definition. A theory is axiomatizable if it has a computably generated
set of
  axioms.
  Any sentence can be an axiom as long as it is true.
  Godel's First Incompleteness Theorem. Any adequate axiomatizable
theory
  is incomplete.   In particular the sentence "This sentence is not
provable" is true
  but not provable in the theory.
  Proof. Given a computably generated set of axioms, let PROVABLE be the
set
  of numbers which encode sentences which are provable from the given
axioms.
  Thus for any sentence   s,
      (1)   < s > is in PROVABLE   iff   s is provable.
  Since the set of axioms is computably generable,
  so is the set of proofs which use these axioms and
  so is the set of provable theorems and hence
  so is PROVABLE, the set of encodings of provable theorems.
  Since computable implies definable in adequate theories, PROVABLE is
  definable.
  Let s be the sentence "This sentence is unprovable".
  By Tarski, s exists since it is the solution of:
      (2)   s   iff   < s > is not in PROVABLE.
  Thus
      (3)   s   iff   < s > is not in PROVABLE   iff   s is not
provable.
  Now (excluded middle again) s is either true or false.
  If   s   is false, then by (3),   s   is provable.
  This is impossible since provable sentences are true.
  Thus   s   is true.
  Thus by (3),   s   is not provable.
  Hence   s   is true but unprovable.
  Note 1. An analysis of the proof shows that the axioms don't have to
be true. It
  suffices that (a) the system is consistent and (b) it can prove the
basic facts needed to
  do arithmetical computations, e.g., prove that 2+2=4. The latter is
needed to encode
  sequences of numbers and insure that computable sets are definable.
  Note 2. Godel discovered that the sentence "This sentence is
unprovable" was
  provably equivalent to the sentence   CON:
      "There is no   < s >   with both   < s >   and   < not s >   in
PROVABLE".
  CON is the formal statement that the system is consistent.
  Since   s   was not provable, and since   s   and   CON   are
equivalent,
  CON is not provable.   Thus --
  Godel's Second Incompleteness Theorem. In any consistent axiomatizable
  theory (axiomatizable means the axioms can be computably generated)
which
  can encode sequences of numbers (and thus the syntactic notions of
"formula",
  "sentence", "proof") the consistency of the system in not provable in
the system.
  The theories of real numbers, of complex numbers, and of Euclidean
geometry do
  have complete axiomatizations.   Hence these theories have no true but
unprovable
  sentences.   The reason they escape the conclusion of the first
incompleteness theorem
  is their inadequacy,   they can't encode and computably deal with
finite sequences.
  There is a weak theological parallel in the Problem of Evil:
          God doesn't exist since an ultimate ruler must be responsible
for
          all things but a perfectly just being wouldn't be responsible
for
          evil acts.
****************************************
  _Actually this doesn't prove divine nonexistence_:
****************************************
  just that certain notions of being
  "ultimately responsible" and being "perfectly just" are
inconsistent.   Being ultimately
  responsible is a form of strength like being able to encode sequences
of numbers.
  Being just is like the property of being self-consistent
(inconsistency is the sole
  mathematical evil).   As with diagonal arguments, you can't have both.
                   Godel biography     Another biography
                        References about Godel
                          Godel's other results
                     Implications of Godel's theorems
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fine rassegna
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Come si sarà notato ogni teorema, è teorema tanto quanto ne esiste la
dimostrazione,
altrimenti siamo nel campo delle congetture, delle illazioni.
Ma come si è arrivati, allora, storicamente alla formulazione del
cosidetto teorema
"Proof of God by Kurt Gödel"? (In cui Proof sta per "prova" ma da
dimostrare!)
Come fa notare Odifreddi all'indirizzo
http://www.vialattea.net/odifreddi/godel.htm
per esempio con la questione di Turing:
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inizio citazione Odifreddi
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       Nel 1936 Alan Turing ha trovato una versione informatica del
teorema di Gödel 4 che oggi è popolare quanto
     quella originale, in quanto mostra limitazioni non dei sistemi
matematici ma dei computer.
     Consideriamo un computer programmabile ed il suo problema della
fermata, che chiede se il computer si ferma o
     no quando lavora con un dato programma p ed un dato input i. Il
problema della fermata non può essere
     decidibile, cioè risolubile dal computer stesso mediante un
programma P . Altrimenti esisterebbe un altro
     programma P1 che lavora come segue, dato il programma p: si usa P
per decidere se il programma p si ferma
     sull'input p o no, e poi si fa fare a P1 il contrario. Quindi P1 si
ferma su p se e solo se p non si ferma su p, ed in
     particolare P1 si ferma su P1 se e solo se P1 non si ferma su P1,
contraddizione.
     Il teorema di Turing si può quindi formulare dicendo che un
computer programmabile è incompleto, nel senso
     che non può decidere tutti i problemi riguardo al proprio
funzionamento. Più in particolare, benché un computer
     programmabile possa simulare passo per passo qualunque programma su
qualunque input (localmente), non può
     decidere in generale se tali simulazioni porteranno o no ad un
risultato (globalmente).
     Una conseguenza immediata del teorema di Turing è che un sistema
matematico corretto e sufficientemente
     ricco è indecidibile, nel senso che non esiste nessun programma che
possa determinare se una formula è
     dimostrabile oppure no: un tale programma potrebbe infatti decidere
in particolare le istanze del problema della
     fermata.
     E questa è una forma del teorema di Gödel, perché l'indecidibilità
è più forte dell'incompletezza. Infatti, un sistema
     matematico consistente è completo e decidibile: per sapere se una
formula è dimostrabile, basta enumerare le
     dimostrazioni fino a che se ne trovi una o della formula in
questione (nel qual caso essa è dimostrabile), o della sua
     negazione (nel qual caso la formula non è dimostrabile, per la
consistenza); ed uno dei due casi deve succedere
     prima o poi, per la completezza.
     Più in generale, i teoremi di Gödel e Turing sono connessi
attraverso l'identificazione di sistemi matematici e
     programmi, basata su un fatto empirico: in questo secolo assiomi e
regole dei sistemi matematici usuali sono stati
     formulati in modo così preciso e dettagliato, che le derivazioni
possono ormai essere simulate mediante computer
     (sia per verificarle, come nei proof checkers, che per trovarle,
come nei theorem provers).
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fine citazione di Odifreddi
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Si noti che la rassegna in inglese vede il teorema <Halting Problem
Theorem>
che rappresenta nella semantica logico formale la questione dell'alt
nella macchina di Turing appena qui sopra.
Ovvero, nel caso della macchina di Turing, ossia negli elaboratori
elettronici, abbiamo la risposta al perché del successo della
teorizzazione di Godel relativa alla indecidibilità, e non solo con
dimostrazione matematica, ma anche con verifica dello stato fisico
(misure sulla complessità di calcolo al crescere degli algoritmi) !
Ma affrontiamo dal punto di vista filosofico come era nata la questione:
1)Einstein si stava domandando come passare dalla teoria della
relatività ristretta a quella generale.
2)Popper si stava domandando come misurare la scientificità di una
teoria (con la sua teoria di teorie) in <Logica della ricerca
scientifica>.
3) Turing si stava domandando se fosse possibile riconoscere delle
stringhe di ingresso a un computer senza necessariamente confrontarle,
ovvero fare una cross-correlazione (confronto al variare del tempo) con
le suddette stringhe già memorizzate...
Si poneva dunque il problema della ESTRAPOLAZIONE non solo locale.
La domanda era dunque( in generale):
E' possibile con un sottoinsieme contenunto in "O" descrivere "O" senza
una replica di "O" stesso?
Evidentemente questo era possibile per problemi singoli:
Ad esempio, se devo riconoscere una stringa che inizia con un 1, poi ha
12 milioni di 0, poi termina con 1,
mi converrà anzichè memorizzare circa 12 milioni di caratteri,
organizzare, per esempio, un algoritmo o programma che mi faccia un test
di confronto e un  conteggio dei caratteri ricevuti, anzichè una
comparazione  tramite una memoria a stack (o pila) che vada nello stato
finale (o di alt) solo a comparazione completa avvenuta.
Ma l'insieme totale delle ottimizzazioni, (non per casi particolari di
interesse), come si comporta se gli input tendono a divenire tutti
quelli presentabili?
Proviamo a rileggere il teorema dell'alt
Halting Problem Theorem. There is no program   R(p,i)   which for each
  program   p   and each input i, can determine "yes" or "no" if   p
halts on i.
Traducendo:
Non c'è un programma R originabile tramite il funzionale della
collezione di tutti i sottoprogrammi p (stringhe di comparazione per
esempio) e gli inputs i (stringhe di ingresso per esempio), che per
ciascun programma p e input i sia in grado di decidere se la macchina
sarà in grado di avere effettuato il suo compito di riconoscimento
(segnalato dalla fermata).
Detto in termini più umani:
Se colleziono, per esempio, tutti i programmi di ottimizzazione detti p
(cercati in corrispondenza agli inputs i), la collezione globale R [o in
generale una comunque fatta funzione di funzione (funzionale) R]
generata dal particolare all'universale, non è in grado di descrivere
"O" (!)
Perchè? (A parte la prova (già citata) che potrebbe usare la logica per
qualcosa "fuori del dominio della logica"!)
E' la questione che aveva affrontato già Russel, quando notava che
esistevano aporie, nel definire il sistema complessivo anziché le parti
di esso:
La cognizione infatti di deduttività è valida se si applica a un
sottoinsieme delle relazione di implicazione
(altrimenti non ci dice nulla di nuovo che non sia l'elenco di tutte le
implicazioni)
La cognizione di estrapolazione vale per il dominio all'interno
dell'esperienza verificabile
(ma non è verificabile il concetto di infinito)
Può, dunque, il concetto di semplificazione essere non solo locale, ma
generalizzabile?
(Si può con la mente umana descrivere Dio?)
Godel constata,  tramite il fatto che può affermare sia una cosa che il
suo inverso, che la logica è collassata!
Ovvero che per descrivere il sistema "O", ovvero di tutti i casi
possibili, necessitano tutti i casi possibili!
O ancora, che l'insieme degli algoritmi che necessiterebbero per
calcolare tutte le stringhe in input (anzichè confrontarle) occuperebbe
una quantità di memoria maggiore che il semplice confronto
(E quindi un sopra-insieme dell'insieme universo che per definizione è
il maggiore!)
O ancora, che la realtà nel suo complesso è superiore alla fantasia
comunque la si lasci espandere (la fantasia) !
Godel parla in linguaggio matematico di INDECIDIBILITA'.
Con la traduzione delle tesi di S.Anselmo, in realtà,
di IMPRONUNCIABILITA' COGNITIVA del Nome di Dio ...
di INDESCRIVIBILITA' di Dio ...
di INCAPACITA' dell'oggettività di descrivere Dio.
Disse Filippo a Gesù (Giovanni 14,8):
<Signore mostraci il Padre e ci basta.>
Gli rispose Gesù:
<Da tanto tempo sono con voi e tu non mi hai conosciuto, Filippo?
CHI HA VISTO ME HA VISTO IL PADRE>.
Scusate la digressione finale, la mistica è nel domininio della
SOSTANZIALITA' dello SPIRITO, e non della SURREALTA' della MATERIA ...
Possiede uno stato metodologico superiore alla pura cognizione ...
<La Luce della soggettività, non oggettivizzabile, della comtemplazione
mistica>.
Ad essa non si accede con la tassonomia, nè con le cardinalità, nè con
il desiderio di dominanza,
ma con il desiderio di verità ...
In tal modo non c'è bisogno di capire Dio ...
si sperimenta che cosa è la Luce dello Spirito.
Da Matteo (11,25):
Gesù disse: "Ti rendo Lode, o Padre, Signore del Cielo e della Terra,
perché hai tenuto nascoste queste cose ai dotti e ai sapienti e le hai
rivelate ai piccoli. Sì,  o Padre, perché così è piaciuto a Te..."
Saluti a tutti comunque la pensiate,
è, secondo me, nel vostro diritto di esistere.
Lino A.M.
P.S.
Non vergognatevi di ammettere Dio.
La scienza vi permetterà di esprimervi grazie al desiderio di
oggettività
La mistica vi permetterà di esprimervi grazie alla costatazione della
soggettività ...
Saranno come le due grandi di un'aquila che sosterranno il vostro
pensiero ...
Vedrete il Cielo standovi dentro e non solo guardandolo dalla Terra ...
-------------------------------------


questo invece mi pare centrato come "esempio", ossia descrivere il Padre
(universo, totalita') mediante il Figlio (sottoinsieme finito), ma siamo
sempre nel campo delle analogie... a quella maniera qui si puo' anche
identificare il "big bang" con la Creazione ecc. ecc.
il barbi
PS e comunque la trovo una "volgarizzazione" molto ben fatta, sono persino
riuscito a seguirla per un bel pezzo!

Giovanni -Darth Vader- Neiman
Studente di Fisica
Matricola 2730
Moderatore di It.Arti.Fumetti.Manga
Anche su FidoNet al 2:335/801.79
-> FIDO IS BETTER! <-

 studiata, penso.
Si', pero' la soluzione e' stata che *non c'e' soluzione*. Che sono i
teorema di Godel sull'incompletezza e la non coerenza. Che *ribadisco* non
hanno *nulla* a che fare con la dimostrazione dell'esistenza di dio di cui
parlavo all'inizio.
Ciao R.

un sistema che si basa su di una concezione collettiva di insieme, e quindi
non distributiva come viene fatta classicamente nella teoria degli insiemi,
è quella utilizzata da Lesniewski nei suoi sistemi. Grazie a questa
concezione la proposizione che determina il *paradosso di Russell* non solo
non viene evitata o scartata (soluzione che è intellettualmente poco onesta)
ma semplicemente è da ritenersi come falsa.
Tutto questo senza nessuna pertinenza con il problema divino....
ciao
a.f.


Non ti confonderai con il "Teorema di Incompletezza" di Godel ?
E' per questo che Godel e' diventato famoso.
Tale teorema e' stato perfettamente dimostrato da Godel e verificato
ormai da migliaia di persone (matematici o meno).
Qui, invece, ti riferisci alla versione di Godel dell'Argomento
ontologico di Anselmo sull'esistenza di Dio.
Anche questa versione di Godel e' dimostrabile.
Vai al sito:
http://www.stats.uwaterloo.ca/~cgsmall/ontology.html
e troverai ESAURIENTI SPIEGAZIONI.
La dimostrazione e' svolta passo passo con abbondanza di commenti.
Si tratta della stessa dimostrazione che compare in maniera
estremamente sintetizzata al sito che citi tu:
http://www.setlonnert.com/resources/texts/godel.html
apparte una notazione simbolica leggermente diversa.
Ciao
Giovanni

 teorema di Godel sull'incompletezza e la non coerenza.
Perchè accostate tutti il teorema di Godel al paradosso di Russell?
Il problema del paradosso di Russell NON è un problema matematico, è più un
problema "filosofico": l' intuizione umana sembra fallire miseramente e non
se ne capisce il perchè. Quello che vorremmo in questi casi è semplicemente
capire, a livello intuitivo, come mai ci inganniamo. Una "soluzione" di
questo tipo c'è per i paradossi delle probabilità o per quelli di Zenone
mentre per il paradosso di Russell io personalmente non l' ho mai trovato
una spiegazione soddisfacente, anzi, non ho mai trovato una *spiegazione*
punto.
I teoremi di incompletezza di Godel invece rispondono ad altre domande
molto più precise, a domande squisitamente matematiche: gli assiomi di
Peano consentono di dimostrare tutte le verità esprimibili nella teoria?
Possiamo eventualmente completare la teoria con altri assiomi? Possiamo
dimostrare che è coerente utilizzando un sottinsieme della teoria stessa?
(Risposte: no, no, no).
Godel non ci fornisce nessuna indicazione per far luce sul paradosso di
Russell.
Ciao!!
Marco

 Vedrete il Cielo standovi dentro e non solo guardandolo dalla Terra ...
Anselmo d'Aosta
1.INTRODUZIONE  Anselmo d'Aosta (Aosta 1033 ca. - Canterbury 1109 ca.), filosofo, teologo, santo e
dottore della Chiesa. Abate del monastero di Bec, in Bretagna, Anselmo divenne celebre per la sua
sapienza e la sua devozione, tanto che i monaci lo esortarono a trascrivere per loro le sue
meditazioni, che costituirono i fondamenti dell'insegnamento da lui impartiti. Così compose il
Monologion (1077), in cui elaborò delle dimostrazioni a posteriori dell'esistenza di Dio.
Incoraggiato dall'accoglienza che venne riservata al libro, nel 1078 proseguì il suo progetto
portando a termine il Proslogion (Discorso), in cui si trova la celebre dimostrazione a priori
dell'esistenza di Dio, che nel XVIII secolo venne definita "prova ontologica".
Nel 1093 Anselmo fu nominato arcivescovo di Canterbury in un'epoca di grande conflitto fra la Chiesa
e la Corona inglese. Nonostante questi contrasti, che gli costarono l'esilio, Anselmo non interruppe
la speculazione teologica, scrivendo Cur deus homo (Perché Dio si è fatto uomo), uno studio
sull'incarnazione e la crocifissione di Cristo come strumenti di redenzione dal peccato.
Quando ascese al trono Enrico I, Anselmo fece ritorno in Inghilterra, ma fu costretto nuovamente
all'esilio a causa di nuove divergenze con il sovrano sulla questione delle investiture. Solo pochi
anni prima di morire Anselmo fu nuovamente a Canterbury. Venne canonizzato nel 1163 e nominato
dottore della Chiesa nel 1720.
2.L'ARGOMENTO DEI GRADI Punto d'avvio della ricerca di Anselmo era la convinzione secondo cui la
ragione può dimostrare con le sue forze le verità fondamentali della religione, come l'esistenza di
Dio. Così nel Monologion (Soliloquio) egli ricorreva all'"argomento dei gradi" (articolato a sua
volta in tre prove): partendo dalla constatazione della gradualità di certe perfezioni presenti
nelle cose sensibili (bontà, grandezza, essere), occorre risalire a Dio come al termine assoluto di
ogni perfezione.
3.L'ARGOMENTO ONTOLOGICO Nel Proslogion Anselmo seguì un'altra strada. Egli asserì che anche chi
dubita dell'esistenza di Dio dovrebbe avere un'idea di ciò di cui dubita; più precisamente, dovrebbe
concepire Dio come un essere di cui non si può pensare nulla di più grande. Ora, dal momento che
l'esistenza nella realtà è maggiore dell'esistenza nel solo intelletto, chi nega l'esistenza di Dio
cade in contraddizione poiché afferma che è possibile pensare qualcosa di più grande dell'essere di
cui non si può pensare nulla di maggiore. Per definizione, dunque, Dio esiste necessariamente.
Successivamente, nel Liber apologeticus, Anselmo, rispondendo alle critiche rivoltegli dal monaco
Gaunilone, chiarì come l'argomento ontologico non è che l'esplicazione della fede in forma logica e
presuppone pertanto già la fede in Dio.
La critica fondamentale mossa all'argomento ontologico o a priori di Anselmo consiste nel sostenere
che non è possibile dedurre l'esistenza di qualcosa dall'analisi della sua definizione. Per primo il
monaco Gaunilone, contemporaneo di Anselmo, si oppose a questo argomento, e così fecero in seguito
anche i filosofi Tommaso d'Aquino e Immanuel Kant. Cionondimeno, René Descartes, Baruch Spinoza,
Gottfried Wilhelm Leibniz e altri filosofi successivi rielaborarono l'argomento ontologico di
Anselmo.
Non posso decidere tutti i problemi riguardo al funzionamento del mio cervello (software).
Software=:funzione operativa implementata nei dispositivi.
Non posso sapere,in generale,se il programma da me deciso porterà o no ad un risultato.
Ardware=:circuitazione di base dei dispositivi.(neuroni,sinapsi,prioni,proteine,peptidi ecc.)
Forse ho fatto confusione  :-((    !!
Ciao-fausto.

 1.INTRODUZIONE  Anselmo d'Aosta (Aosta 1033 ca. - Canterbury 1109 ca.),
filosofo, teologo, santo e
Bello, messo sul sito. Come al solito se mi mandi una mail di conferma ti
cito come autore. Mi dici la fonte per favore anche?
Ciao R.

 Russell.
E quindi ti chiedo (perche' a questo punto mi hai fatto venire dei dubbi)
perche' dici che il problema di Russel non e' matematico? Sei sicuro che non
possa essere ricondotto ad una formulazione particolare della formula di
Godel (G = "io non posso essere dimostrata")?
Ciao R.

 Russell.
vero! (o per lomeno lo credo in quanto spirito semplice ed ignorante...)
ciao
a.f.

 Godel (G = "io non posso essere dimostrata")?
Se l' argomento di Russell potesse essere riformulato in una qualche teoria
matematica questa risulterebbe incoerente, quindi spero di no!!
Forse stai pensando che l' antinomia di Russell dia un esempio di enunciato
"indecidibile"? Non lo è! Non c' entra niente l' indecidibilità!!
Ciao!!
Marco

 logica e matematica...]
Sicuramente sono questioni non ambigue ed esprimibili in un linguaggio
formale.
Insomma: il problema di ottenere una data stringa da un dato sistema
formale non ti sembra "squisitamente matematico"?
Ciao!!
Marco

 Godel: ...può una fotografia divenire la raltà?...
Sottotitolo: Sulla quantità di informazione, sul <*Tutto*>, sulle aporie
della rappresentabilità.
Gestione dell'informazione? o totemicizzazione del reale per via
assiomatica?
--------------
La forma X1:
--------------
Agli attenti lettori dell'attuale discussione,
non sarà sfuggito che apparentemente c'è un _equivoco_ in merito all'oggetto
stesso della discussione.
Evidentemente la comunità scientifica internazionale quando si riferisce ai
teoremi di Godel,
si riferisce a
___________________________________________
Godel's First Incompleteness Theorem
Any adequate axiomatizable theory  is incomplete.
In particular the sentence "This sentence is not provable" is true but not
provable in the theory.
Godel's Second Incompleteness Theorem.
In any consistent axiomatizable theory
(axiomatizable means the axioms can be computably generated)
which can encode sequences of numbers
(and thus the syntactic notions of "formula", "sentence", "proof")
the consistency of the system in not provable in the system.
___________________________________________
chiamiamola <forma X1>
--------------------------------------------
si veda per esempio
Odifreddi:
---------------------------------------------
http://www.vialattea.net/odifreddi/godel.htm
METAMORFOSI DI UN TEOREMA
                                    Piergiorgio Odifreddi
                                        Settembre 1994
[cut]
*I due teoremi di Gödel* si possono quindi formulare più precisamente
dicendo
(ndr :quindi ne IL **teorema di Godel**)
"che un sistema matematico consistente e sufficientemente ricco
non puo' dimostrare la propria consistenza, e se esso è anche corretto
allora è incompleto".
      2.2 Informatica
Nel 1936 Alan Turing ha trovato una *versione informatica* del **teorema di
Gödel**
che oggi è popolare quanto quella originale,
in quanto mostra limitazioni non dei sistemi matematici ma dei computer.
------------------------------------------------------
si veda per esempio
Guerrerio & Godel pag 62 Le Scienze Febbraio 2001:
-------------------------------------------------------
Scrive Guerrerio:
[Godel rimase comunque alquanto scettico circa il fatto che le proposte
avanzate da lui stesso e da Church fossero una controparte formale adeguata
della nozione di calcolabilità effettiva, almeno fino a quando non lesse
l'articolo del 1937 di Alan Turing, in cui questi, fornendo un'indagine
astratta delle operazioni compiute da un calcolatore umano, introduceva
quelle che sono oggi note come <<macchine di Turing>>. Negli anni seguenti
vari ricercatori sarebbero riusciti a dimostrare
_l'equivalenza delle *differenti formulazioni* date da Turing, *Godel*,
Church_,
(nonché di quelle avanzate da altri matematici, come Post e Markov),
avvalorando quindi la plausibilità della "Tesi di Church",
secondo cui si era realmente riusciti a identificare nelle funzioni
ricorsive il correllato rigoroso della nozione informale di calcolabilità.
Ma ciò che probabilmente colpì
Godel - tanto da fargli affermare che *Turing* aveva detto la *parola
definitiva* sull'argomento -
era l'analisi fenomenologica, a un tempo puntuale e limpida, che aveva
condotto il giovane inglese all'identificazione degli elementi
caratterizzanti una procedura meccanica deterministica. Inoltre come ebbe a
scrivere in seguito per la ripubblicazione delle sue lezioni di Princeton,
poiché <<grazie al lavoro di A.M.Turing, può ora essere data una definizione
precisa e indiscutibilmente adeguata del concetto di sistema formale,
l'esistenza di proposizioni aritmetiche indecidibili e la *non
dimostrabilità della coerenza di un sistema all'interno del sistema stesso*
possono ora essere dimostrate rigorosamente per ogni sistema formale
coerente che contenga un certo frammento di teoria finitaria dei numeri.>>]
----------------------------------------------------
si veda per esempio
ricerca MathSearch 
www.math.hawaii.edu
 238:959
che nella rassegna di Godel cita:
-----------------------------------------------------
Godel's First Incompleteness Theorem
Any adequate axiomatizable theory  is incomplete.
In particular the sentence "This sentence is not provable" is true but not
provable in the theory.
Godel's Second Incompleteness Theorem.
In any consistent axiomatizable theory
(axiomatizable means the axioms can be computably generated)
which can encode sequences of numbers
(and thus the syntactic notions of "formula", "sentence", "proof")
the consistency of the system in not provable in the system.
----------------------------------------------------------
La forma X2:
----------------------------------------------------------
Passiamo ora alla <forma X2> attribuita anch'essa, da una certa Signora Dana
Scott (vedi seguito all'address citato),
a Godel
è reperibile all'indirizzo:
http://www.setlonnert.com/resources/texts/godel.html
Proof of God by Kurt Gödel
Ax1 ...
Ax2 ...
Th1 ...
Df1 ...
Ax3 ...
Th2 ...
Df2 ...
Ax4 ...
Th3 ...
Df3 ...
Ax5 ...
Th4 ...
                        Explanation:
                        P(psi)
                                       P is "positive"
                        G(x)
                                       x have the property God
                        ess.
                                       essential
                        E
                                       existing
                        &bull; (bullet)
                                       Necessary
                        This "proof" on the existence of God, hasn't been
published. But Dana Scott who belonged to
                        the closest circle around Gödel, claimed this were
constructed by Gödel. In 1970 Dana Scott
                        sent this alledged proof to Stig Kanger. Stig Kanger
was a professor of theoretical philosophy
                        in Uppsala, but died in 1988. I was one of his
latest pupils. Stig distributed this proof at the
                        department in Uppsala and perhaps it also has been
distributed in the USA. Otherwise this
                        publication is might be the only one available,
printed or not!
------------------------------
Traduzione:
Questa "prova" sulla esistenza di Dio, *non è stata pubblicata*. Ma Dana
Scott che appartenne alla più intima cerchia attorno a Godel, asserì che
fosse costruita (realizzata) da Godel. Nel 1970 Dana Scott inviò questa
"prova" a Stig Kanger.
Stig Kanger era professore di filosofia teoretica ad Uppsala, ma morì nel
1988. Io ero uno dei suoi ultimi pupilli.
Sting distribuì questa "prova" al dipartimento di Uppsala e forse anche in
USA.
Diversamente questa pubblicazione potrebbe essere la sola disponibile, data
alle stampe o no!
----------------------------------
Si valuti ora quanto pubblicato su Le Scienze (Febbraio 2001) a pagina 98 da
Guerrerio:
----------------------------------
Nel corso degli ultimi anni della sua vita (Godel) si dedicò a un tentativo
di fornire una dimostrazione formale corretta della
"prova ontologica" di Anselmo di Aosta dell'esistenza di Dio.
Dall'esame degli *appunti* di Godel in proposito si ricava che il "teorema
dell'esistenza di Dio"( forma X2 tassonomia Tufano)
(nella forma esplicita Guerrerio: "necessariamente esiste un "oggetto" con
caratteristiche divine) viene "dimostrato" in un sistema modale che porta
però al cosidetto
*collasso delle modalità*
ossia in esso tutte le proposizioni vere diventano necessarie.
Ma *inconveniente* per altri versi *più grave*, come rilevano tutti i
commentatori non appare affatto meno problematico ammettere il gruppo di
assiomi utilizzati da Godel che ammettere direttamente quel teorema (forma
X2).
[cut]
-----------------------
Ci si può chiedere: esistono altri casi di formulazioni di Godel come la
"forma X2",
manifestamente considerate infondate?
(Da cui la forma X2 esiste in quanto teorema solo formalmente, ma non ha un
contesto a cui sia associabile e la giustifichi)
------------------------
Leggiamo ancora Le Scienze di Febbraio 2001 pagina 93:
----------------------
Da allora la sua attenzione fu catturata dal tentativo di individuare
*assiomi plausibili* dai quali poter determinare la "vera" cardinalità del
continuo. Così, pensando di essere giunto a una conclusione, nel 1969 inviò
a Tarski un manoscritto in cui proponeva quattro nuovi assiomi e delineava
una "dimostrazione". Ma c'è qualcosa di strano in quel testo. Contrariamente
al suo proverbiale costume, non è rifinito, porta l'annotazione <I versione>
e anche il titolo suona insolito:
"Alcune considerazioni che portano alla probabile conclusione che la vera
potenza del continuo sia alef( 2)"
In effeti la dimostrazione conteneva lacune, delle quali si sarebbe accorto
egli stesso, tanto da inviare a Tarski un'altra missiva in cui ammetteva che
il testo precedente <non era buono> e annuciava un'altra versione.
[cut]
Successive analisi condotte su quei lavori, che furono pubblicati solo
postumi, rivelano che dagli assiomi formulati da Godel *non si poteva
dimostrare quanto sperava*; che per due di essi restava aperto il problema
della coerenza relativa con gli assiomi della teoria degli insiemi; e
soprattutto, quale che fosse l'analisi fenomenologica che aveva indotto
Godel a formularli,
*<praticamente nessun logico - come scrive Dawson - ha trovato qualche
motivo per _credere nell'intrinseca verità_ di quegli assiomi>*
-----------------------
stop forma X2
-----------------------
Mi si potrà obbiettare:
Ma la forma X1 non parla dell'ipotesi dell'esistenza di Dio, come invece fa
esplicitamente la forma X2!
Rispondo:
Ne siamo sicuri?
Il concetto di tutte le stringhe possibili in input e di tutti i programmi
possibili con il funzionale R(p,i) non implica
il concetto di esaminare il <*Tutto*>?
Avete notato che si parla di collasso della logica sia nella mia analisi
(vedi post precedente) del teorema nella forma di Turing,
sia nella forma X2 (vedi pag 98 Le Scienze qui sopra) ?
Infine per il parallelo tra i sistemi formali e quelli naturali e la
possibililità di modellicizzazione del reale con l'artificiale:
Da <Linguaggi Formali e Compilatori> prof.Crespi Ed.ISEDI pag173:
------------------------
In questo capitolo esaminiamo a livello introduttivo alcuni problemi
inerenti alla formalizzazione del linguaggio naturale.
[cut]
Un primo compito della linguistica è quello di descrivere rigorosamente un
particolare linguaggio naturale, specificando la classe delle frasi formate
correttamente.
A tale fine è spontaneo esaminare la possibilità dei modelli precedentemente
esposti, sotto forma di grammatiche o di automi.
[cut]
*Chomsky ha dimostrato* che la *lingua naturale*, anche senza considerare
gli aspetti strutturali,
_non può_ essere definita come un linguaggio a stati finiti.
[segue dimostrazione]
-----------------------------
Risulta allora evidente che, anche spostandoci dalla descrizione linguistica
a quella delle virtù:
Un sistema formale non è in grado di "simulare" un sistema naturale di
concetto di qualità positiva, nè di generare una estrapolazione
razionalizzata
del concetto di <Bene Assoluto>
L'amico Godel, oltre che un lettore di S.Anselmo, che cercava di proporre in
versione matematica,
era anche appassionato di Leibnitz, che si interessava come è noto del
problema della Teodicea,
ovvero di cosa è bene e cosa è male ...
Cosa vogliamo fare ... partendo dal particolare, fissiamo ciò che è bene e
ciò che è male per assioma?
Riscriviamo le "tavole della legge" senza bisogno del GIUDIZIO DI DIO?
Non vi sembra che ci sia, come nel computer di Asimov, un problema di
"quantità di informazione"?
A mio modesto avviso, con "la forma X2", nel problema della descrivibilità
del <*Tutto*>,
non c'è solo un problema formale, c'è una questione sostanziale ...
La Sostanzialità dello Spirito, rispetto alla Surrealtà della Materia.
Godel ne era lontano, pretendendo di descrivere Dio,
tanto quanto ne è una fotografia rispetto alla realtà!
Nessuno, comunque, può vietare ad un altro di fare il fotografo ...
Lino A.M.
P.S. io preferisco l'originale, potendo scegliere ...
--------------------------------------------------------------------------
Voglio ringraziare tutti, nei vari NGs, per l'interessante scambio di idee.
Spero che i toni, a volte accesi,
non impediscano a chiunque la dignità di esprimere il proprio punto di
vista.
---------------------------------------------------------------------------

 razionalizzata del concetto di <Bene Assoluto>
Definiscimi bene assoluto e qualita' positiva poi ne discutiamo.
Ciao R.

 vorrebbero addirittura spaziare fino a Dio...
Permettimi di dissentire....
1) L'analogia non centra nulla
2) Razionalizzava... non ha nulla a che fare con la teoria dell'integrale di
Lebesgue
3) Definendole "a meno di un insieme di misura nulla"... falso

formale non ti sembra "squisitamente matematico"?
Ancora di piu` lo sono le proposizioni combinatorie finite che si sono
trovate vere ma indecidibili nella PA (e altre analoghe per teorie piu`
forti). Il succo e` che c'e` un limite alla velocita` con cui possono
crescere le funzioni ricorsive dimostrabilmente ovunque definite in una
data teoria aritmetica; prendendo una proposizione combinatoria che 
richiede una funzione che cresce troppo velocemente ...

 richiede una funzione che cresce troppo velocemente ...
Sembra interessante, potresti dire di più o dare riferimenti in proposito?
Grazie, ciao
Marco

Sembra interessante, potresti dire di più o dare riferimenti in proposito?
Takeuti, Proof Theory, seconda edizione (1987), fine del capitolo 2
[circa: da pag 120 a pag 147, e pag 385 e 386]
(e atricoli originali citati in fondo al libro. In particolare il libro
citato sui contributi di H.Friedman contiene alcuni atricoli "divulgativi"
forse semplici ma non ambigui, anche se ovviamente non approfondiscono)

 pecca di base.
In parte però c' entra l' infinito: se mettessimo degli assiomi che
limitano a priori la cardinalità massima che un "insieme" può avere (un po'
come facevamo sopra per le biblioteche) credo che saremmo immuni a
paradossi ma aremmo pagato un prezzo enorme.
Grazie dei riferimenti,
Ciao!!
Marco

   which God can comprehend".   Thus omniscience has some limits.
[stra-cut]
Passaggio logico ridicolo: Dio non e' una variabile qualsiasi.
Ciao,
     Stefano
--
"When patterns are broken, new worlds emerge."
-- Tuli Kupferberg

LordBeotian e NN, prima di dire la mia (che non e' molto matematica), che ne
dite di questa domanda:
L'insieme di tutti gli insiemi eccettuati gli insiemi che contengono se stessi
come elemento contiene se stesso?
E' già stata formulata?
ciao
peterh





 ha scritto nel messaggio
news:9895m5$e08$1...@fe1.cs.interbusiness.it...

Si perche' esso stesso e' un finito (definibile e quindi circoscritto).
G. Paolo - 
www.medicinenaturali.net

 G. Paolo - 
www.medicinenaturali.net
Accidenti ma allora sei un cazzaro a 360 gradi: anche quando parli di
matematica e logica dici cose senza senso, complimenti.
Ah dimenticavo: dove ti sei laureato? In che anno? Chi era il tuo relatore?
In che universita'? Che voto hai preso? In cosa sei laureato?
Ciao R.

 Si'.
Da chi?
E qual'e' la risposta?
E' considerato un paradosso identico a quello di Russell?
ciao
Peterh

 E' già stata formulata?
Sì, è il paradosso di Russell (se contiene sè stesso allora non può
contenersi e viceversa).
Ora puoi dire la tua.
Ciao
Marco

Grazie dei riferimenti,
se posso aggiungere una cosa, ci sarebbe anche un articolo divulgativo 
(testo di una conferenza ) di Lolli
su un numero del bollettino dell'UMI del 1988 che probabilmente potresti
trovare utile (se non ti lasci infastidire dal fatto che a volte non si 
capisce chiaramente quando certe parole le usa in senso tecnico e quando 
le usa in senso colloquiale).
Grazie anche a te e spero di non dare l'impressione di arrabbiarmi troppo :-)

 (o meglio si tenta di farlo)
"Il Catalogo" di cui sopra sarebbe innaturale? Reale, ma innaturale?
ciao
peterh

 (o meglio si tenta di farlo)
"Il Catalogo" di cui sopra sarebbe innaturale? Reale, ma innaturale?
ciao
peterh

 (o meglio si tenta di farlo)
"Il Catalogo" di cui sopra sarebbe innaturale? Reale, ma innaturale?
ciao
peterh

 (o meglio si tenta di farlo)
"Il Catalogo" di cui sopra sarebbe innaturale? Reale, ma innaturale?
ciao
peterh

"Il Catalogo" di cui sopra sarebbe innaturale? Reale, ma innaturale?
Dipende dall'ambiente logico & matematico in cui vuoi considerarlo.
In quale dei precedenti che ho nominato?

 In quale dei precedenti che ho nominato?
In uno di quegli ambienti nulla e' naturale, visto che si tratta di
costruzioni artificiali.
In definitiva, io volevo semplicemente dire:
 1) hai ragione: l'infinito non c'entra, ma mi sembra che c'entri l'indefinito
(negativo) - ripeto: come esattamente non so
 2) gli insiemi che contengono se stessi non sono innaturali tanto che possono
anche esistere fisicamente in universi finiti; certe regole (come quella dei
tipi logici) li escludono arbitrariamente; questa esclusione è innaturale.
 3) la tua psicologia, che avverte come innaturali certi insiemi di insiemi,
e' artefatta, non naturale (troppa matematica?). questa e' ovviamente una
battuta. :-)
ciao
peterh

battuta. :-)
Come ben noto, e` cosa spesso vera che alcuni non matematici (tra cui 
alcuni fisici) trovino artefatta e/o poco ispiratrice di comprensione molta 
matematica esattamente tanto quanto alcuni matematici la trovano invece 
naturale o/e ispiratrice di comprensione.
Di solito pero` almeno i matematici del tipo precedente hanno il vantaggio 
di constatare, essendo in minoranza, che al mondo esistono persone diverse 
con psicologie diverse per capire le cose, e il mondo e` bello perche' e` 
vario.
Tornando agli insiemi io *NON DICO* che che gli "insiemi di insiemi"
sono innaturali, dico che *SONO DIVERSI* dagli insiemi di elementi che
non sono insiemi. E che *in matematica* questo e` un modo naturale
di vedere le cose; il che implica che a mio modo di vedere ZF, NBG, ecc.
{le versioni "ufficiali" con l'assioma di buona fondazione sul vuoto}
*NON* sono "naturali" come ambienti per le teorie matematiche classiche, 
intendendo con questo che per quanto siano comode per costruirci dentro 
modelli dei naturali, dei reali, della geometria elementare, ... questi 
modelli NON si identificano realmente cio` che i matematici penasano essere 
i numeri naturali, i reali, ecc.
{Dimostrazione che non lo sono: nessun matematico si chiede: che insiemi
ben fondati sul vuoto appartengono a pigreco? Se i numeri reali fossero 
veramente un insieme di ZF questa domanda avrebbe senso, e anzi pigreco
sarebbe l'insieme delgli insiemi ben fondati sul vuoto che gli 
appartengono. Ma invece ...}
{NB: invece, sempre per il ragionamento precedente, NON ho "niente
in contrario" alle versione con l'assioma di buona fondazione su un insieme
o classe di "urelementi" (anche se vedo meglio una famiglia di classi
disgiunte di urelementi, ma a questo punto diventa una logica di ordine 
superiore a molti tipi di base ...), purche' nei modelli delle teorie 
matemetiche del primo ordine si prendano sempre contenuti nella classe
degli urelementi gli insiemi/classi 
che interpretano i vari domini di variabilita` delle variabili e che
contengono le interpretazioni delle costanti}
Cio che conta e` che esistano definizioni del secondo ordine categoriche
al secondo ordine per i naturali, i reali, la geometria elementare, 
e inoltre, cosa non molto ben nota (anche se dimostrata essenzialmente da 
Zermelo nel 1930), ZF con buona fondazione sul vuoto e l'assioma di non 
esistenza di inaccessibili (l'insieme degli insiemi ereditariamente finiti 
e` l'unico "universo di Grothendieck" che sia un insieme) e` "categorica" 
prendendo come modelli standard solo i "domini normali" di Zermelo ovvero 
i modelli transitivi in cui l'appartenenza della teoria formale e` tradotta 
in appartenenza per la logica (di ordine superiore) sottostante.
Cfr. il libro (essenzialmente storico e leggible in gran parte anche per
un non matematico interessato alla teoria degli insiemi) di G.H Moore, 
Zermelo's axiom of choice (Springer, 1982), in particolare pag. 270.
{Il teorema di Zermelo e` piu` generale riferendosi appunto a modelli
standard nel senso precedente della teoria ben fondata su una classe di 
urelementi e senza ipotesi di esistenza o meno di inacessibili non numerabili;
se si chiede la buona fondazione sul vuoto (ovvero: niente urelementi) e la
non esistenza di inaccessibili non numerabili allora il modello standard e`
unico (e non solo a meno di isomorfismi)}
Quindi cio` che conta e` avere una logica del secondo ordine sottostante,
e quindi, se si vuole una estensione "tipo" teoria degli insiemi, si passa 
a una logica di ordine superiore [classica o intuizionista] a piu` tipi di 
base [ovvero l'equivalente sintattico di un topos ...]
Dentro tali ambienti le teorie matematiche classiche, con definizioni
categoriche al secondo ordine, hanno modelli "standard" unici a meno di
isomorfismi unici e canonici, e nessuno di tali modelli e` privilegiato
rispetto agli altri (ma cambia cambiando l'ambiente. Per esempio, come
ho detto, "ZF+non esistono inaccessibili" e` categorica nel senso precedente,
quindi per ogni ambiente fissato nel suo unico modello standard precedente
vale o meno l'assioma della scelta,
l'ipotesi del continuo, l'assima di costruttibilita`, ... a seconda se vale
o meno un opportuno principio nell'ambiente logico sottostante). 
Sfortunatamente, a volte sembra che alcuni non si siano ancora rassegnati al 
dato di fatto che non puo` esistere un ambiente unico (una unica vera oggettiva 
teoria formale degli insiemi matematici) in cui sia possibile dimostrare 
tutto a partire da definizioni *fissate* (anche se, in una teoria abbastanza 
potente, esistono modelli di tutte le teorie consistenti, quindi, in 
particolare, cambiando la definizione [il modello, anche non standard] dei 
numeri naturali dentro la teoria si dimostra tutto quello che si puo` 
coerentemente affermare ...). 
E` molto piu` sempice arrendersi all'incompletezza
e sfruttare invece il teorema di completezza dell'ambiente logico del primo
ordine (unita con la categoricita` al secondo ordine delle teorie
della matematica classica): un ambiente unico per *le* teorie, non una 
unica teoria nella quale definire univocamente tutto e dimostrare tutto ...
La conclusione, tornando a insiemi "generici", non necessariamente
matematici, e` che visto che NON puo` esistere *la* teoria degli "insiemi
ben fondati sul vuoto" (gli insiemi della gerarchia di von Neumann, descritti 
da ZF o NBG e certamente sufficienti per ottenere modelli delle normali 
teorie matematiche), a maggior ragione non puo` esistere neanche *la* teoria
degli insiemi generici, che possono anche appartenere a se stessi o anche
non appartenere a se stessi ma comunque non essere ben fondati sul vuoto 
(dentro la quale poi si ricostruirebbe la teoria degli insiemi ben fondati 
sul vuoto, visto che "essere ben fondato sul vuoto" e` definibile con una
formula del primo ordine nel linguaggio della relazione di appartenenza).