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Titolo: La solitudine dei numeri primi - Atto secondo

Sappiamo che la sequenza dei quadrati dei numeri naturali e' solitaria perche'
la somma infinita degli inversi e' finita, cioe':
 
1+1/4+1/9+1/16+...+1/N^2+... = Pi^2/6
 
Non lo so dimostrare ma se calcolo la somma dei primi 10 termini, poi dei primi
100, 1000, ..., 10.000.000 mi convinco della convergenza:
 
(numero di termini sommati - risultato - differenza con il precedente)
 10 -  1.54976773116654 
 100 -  1.63498390018489 -  8.52161690183515E-02
 1000 -  1.64393456668156 -  8.95066649666898E-03
 10000 -  1.64483407184806 -  8.99505166503722E-04
 100000 -  1.64492406689824 -  8.99950501780378E-05
 1000000 -  1.64493306684877 -  8.99995052838776E-06
 10000000 -  1.64493396684732 -  8.99998546355363E-07
Pi^2/6 = 1,64493406684822+
 
Se faccio la stessa cosa per la sequenza dei numeri naturali ottengo:
 
 10 -  2.92896825396825
 100 -  5.18737751763962 -  2.25840926367137
 1000 -  7.48547086055034 -  2.29809334291072
 10000 -  9.78760603604434 -  2.302135175494
 100000 -  12.0901461298633 -  2.30254009381894
 1000000 -  14.3927267228648 -  2.3025805930015
 10000000 -  16.6953113658567 -  2.30258464299193
 
e vedo che la differenza tra ogni ordine di grandezza del numero dei
termini sommati tende a una costante (circa 2.3) e la qual cosa mi
convince che la somma diverge a infinito.
 
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Ora mi viene di rappresentare le due sequenze con il termine X=int(N^k)
dove con k=2 ho la prima e k=1 ho la seconda. Cosi' con 1<k<2 posso
definire infinite sequenze di numeri interi. Ad es. con k=1.5 ottengo:
 
1 2 5 8 11 14 18 22 27 31 36 41 46 52 58 64 70 76 82 89 96 103 110 117 125 132 140 148 156 164 172 181 189 198 207 216 225 234 243 252 262 272 281 291 301 311 322 332 343 353 364 374 385 396 407 419 430 441 453 464 476 488 500 512 524 536 548 560 573 585 598 610 623 636 649 662 675 688 702 715 729 742 756 769 783 797 811 825 839 853 868 882 896 911 925 940 955 970 985 1000
 
Roba da far impazzire OEIS. :-)
 
Ma la mia domanda e': ci sara' un valore di k limite tra la convergenza
e la divergenza della somma infinita degli inversi e qual e' questo valore?
 
Cioe' qual e' il valore di k per cui la sequenza diventa solitaria?
 
[Questo post e' il seguito di "La solitudine dei numeri primi" pubblicato
su it.cultura.filosofia. Pubblico questo su ICF e su it.scienza.matematica]
 

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Godetevi la lapidaria e immediata risposta di Elio Fabri su ISM.
Avevo ragione a scrivere questo qualche tempo fa?
 
https://groups.google.com/g/it.cultura.filosofia/c/zHRbIlDVYfE/m/LmP47vojAAAJ
 
 

 Godetevi la lapidaria e immediata risposta di Elio Fabri su ISM. 
 
Accidenti, sì, tanto di capello. sum(1/n^z) su n=1... infinito è la "mitica" funzione zeta di Riemann o mi sbaglio? Eulero dimostrò che è uguale ad un prodotto infinito in cui compaiono gli inversi dei numeri primi e in questo modo ebbe la prova che la somma degli inversi dei primi è divergenti.

 Accidenti, sì, tanto di capello. 
 
cappello!

Il giorno sabato 8 maggio 2021 alle 12:54:46 UTC+2 Chenickname ha scritto:

ideaprima 
 
al di là della sfilza di numeri, e dato che  qui si dovrebbe trattare di filosofia, potresti fare lo sforzo di comprendere il significato filosofico intrinseco di questo discorso numerico?....  scusa, eh?... a scopiazzare  tabelle son capaci tutti..... ma sono i numeri che dovrebbero rappresentare un qualcosa di significante ,  e non un qualcosa ad essere inghiottito e annullato in sequenze numeriche.