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Titolo: Logica III

Ciao a tutti,
ecco l'ultima parte della mia introduzione.
Le logiche del primo ordine (o predicative o dei quantificatori)
  Le logiche enunciative ci permettono di esprimere un numero molto limitato
di informazioni rispetto a quanto si può fare con un linguaggio naturale.
Ad esempio se proviamo a tradurre nel linguaggio di L l'enunciato ?Luigi è
un uomo e quindi è mortale? otteniamo l'enunciato ?p->q?, perdendo il
legame semantico che sussiste fra antecedente e conseguente
dell'implicazione.
  Per ovviare a tali inconvenienti è stata creata un tipo di logica
espressivamente più potente detta logica del primo ordine. I simboli del
linguaggio di una logica LPO del primo ordine sono i seguenti:
1)un certo numero di simboli a, b, c, ... per le costanti individuali
2)un numero infinito di simboli x, y, z, ... per le variabili individuali
3)per ogni n, i simboli f, g, h, ... di funzioni
4)per ogni n, i simboli P,Q, R ... di predicati
5)i simboli dei connettivi logici: ¬, /\, \/, ->, <->
6)il simbolo del quantificatore esistenziale: E
7)le parentesi
  Spenderemo qualche parola su questi insiemi di simboli.
1)i simboli di costanti individuali funzionano come nomi propri, ossia
denotano individui.
2)un simbolo di variabile può avere per significato ognuno degli oggetti
dell'universo di discorso.
3)abbiamo già parlato nel precedente paragrafo della nozione di funzione.
4)un predicato è un concetto che stabilisce o che certi oggetti hanno una
proprietà o che fra certi oggetti sussiste una relazione. I predicati 1-ari
sono concetti che stabiliscono che alcuni oggetti hanno una proprietà. e.g.
il predicato ?essere rosso? stabilisce che taluni oggetti sono rossi. I
predicati n-ari stabiliscono che fra n oggetti sussiste una relazione. e.g.
il predicato 2-ario ?essere maggiore di? stabilisce che fra certe coppie
sussiste la relazione in questione, mentre il predicato 3-ario  ?essere
compreso fra? stabilisce che fra certe triple sussiste la relazione per cui
uno dei tre elementi è compreso fra gli altri due. Cosa denotano i
predicati? La risposta data dalla logica classica (a partire per lo meno da
Frege) è che denotano insiemi. Per la precisione un predicato n-ario denota
un insieme di n-uple. e.g. il predicato 1-ario ?essere rosso? denota
l'insieme degli oggetti rossi, il predicato binario ?essere maggiore di?
denota l'insieme delle coppie a, b tali che a è maggiore di b, il predicato
3-ario ?essere compreso fra? denota l'insieme delle 3-uple a, b, c tali che
b è compreso fra a e b. Ma cosa denotano i predicati come ?essere il
circolo quadrato? o ?essere l'attuale re di Francia?? Converremo (seguendo
la filosofia del linguaggio di G. Frege) che essi denotino l'unico insieme
che è privo di elementi, ossia l'insieme vuoto.
  Veniamo ora alla grammatica di LPO.  Alcune espressioni del linguaggio di
LPO denoteranno individui mentre altre denoteranno valori di verità.
Chiamiamo i primi TERMINI e i secondi FORMULE BEN FORMATE.
  La definizione induttiva generalizzata di termine è la seguente:
a) i simboli di costanti individuali sono termini
b) i simboli di variabili individuali sono termini
c) se f è un simbolo di funzione n-aria e u1 ... un sono termini, allora è
un termine l'espressione          f u1 ... un 
d) nient'altro è un termine
  La definizione induttiva generalizzata di formula ben formata è la
seguente:
a) se P è un simbolo predicativo n- ario e  u1 ... un sono termini, allora è
una formula P u1 ... un
b) se A e B sono formule ben formate, lo sono anche ¬A, (A\/B), (A/\B),
(A->B), (A<->B)
c) se A è una formula e x è un simbolo di variabile individuale, anche ExA è
una formula
d) nient'altro è una formula ben formata di LPO
  In base alla definizione fornita sono formule i seguenti esempi:
Pa                                              (a gode della proprietà P)
ExPx                              (esiste un x che gode della proprietà P)
Pa->ExPx     (se a gode della proprietà P, allora qualcosa gode della
proprietà P) 
  Passiamo alla semantica di LPO. Al fine di interpretare i termini e le
formule di LPO individueremo un insieme, detto UNIVERSO DI DISCORSO, di
tutti quegli elementi che sono possibili denotazioni dei termini di LPO.
Chiameremo tale insieme I.
  A questo punto abbiamo bisogno di una funzione che associ ad ogni simbolo
di costante uno e un solo elemento di I. Inoltre richiediamo una funzione
che associ ad ogni simbolo di funzione n-aria una funzione n-aria da I a I.
In questo modo abbiamo fatto sì che ogni termine di LPO non contenente
variabili denoti esattamente un individuo. Infine chiediamo che vi sia una
funzione che associ ad ogni simbolo di predicato n-ario un insieme di
n-uple di I.
  Al fine di attribuire un valore di verità alle formule di LPO, dobbiamo
possedere la nozione di ?formula chiusa?. Diciamo che un'occorrenza della
variabile individuale x in A è vincolata in A se occorre in una parte di A
della forma ExB, altrimenti essa è libera in A. Così diciamo che una
formula A è chiusa se nessuna variabile è libera in A.
  Possiamo ora assegnare un significato (il vero o il falso) ad ogni formula
chiusa di LPO:
se una formula è della forma P u1 ... un essa è vera solo se la n-upla di
individui denotati da u1 ... un appartiene alla denotazione di P.
Se una formula ha la forma ¬A, (A\/B), (A/\B), (A->B), (A<->B), vale quanto
detto nel paragrafo sulle logiche enunciative. 
Se una formula è della forma  ExA, essa è vera se sostituendo ad x in A il
nome di almeno un individuo di I, si ottiene una formula vera.
-- 
Roberto Vescarelli
http://www.faberbox.com/roby/

La tua introduzione provoca l'orchite e la dismenorrea cerebrale (che
nel caso di LG sono la stessa cosa).