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Titolo: Popper e il Teorema di Fermat

Ho comprato stamani "L'enigma di Fermat" di Amir D.Aczel,
veramente ben scritto, chiaro, semplice, con dentro una
storia della matematica dall'antichità ai nostri giorni.
Me ne sono già letto metà, *tutto d'un fiato*
e ci sono moltissime cose che mi hanno colpito
e che vorrei sottoporre alla vostra attenzione.
Comincio da questa, tratta dalle prime pagine:
"Nel nostro secolo sono stati usati i computer per cercare di svelare
questo enigma; ora, i computer potevano verificarlo per numeri grandissimi,
MA NON CERTO PER TUTTI I NUMERI. Si potevano provare miliardi e miliardi
di numeri, ma ne rimanevano comunque INFINITI ALTRI (e infiniti altri
esponenti) da controllare. Per CONFERMARE l'ultimo Teorema di Fermat
era NECESSARIA una dimostrazione MATEMATICA".
  ---> Per CONFERMARE l'ultimo Teorema di Fermat
      era NECESSARIA una dimostrazione MATEMATICA!
Insomma, non una dimostrazione numero per numero,
ma una dimostrazione GENERALE, che "tagli la testa al toro"
e possa VALERE per tutti gli infiniti numeri.
Mi viene dunque il mente Popper, il concetto di
falsificazione, il famoso "gabbiano nero" che può
sempre esistere, da qualche parte:)))
Allora, vi domando, un teorema matematico
ben dimostrato, in maniera seria e completa,
è fuori dalla possibilità di falsificazione???
Avevo sempre pensato alle teorie fisiche,
e mai a quelle matematiche, ma qui che fine fa
il concetto di falsificazione di Popper?
E se un teorema matematico, ben dimostrato,
non ha bisogno di ulteriori verifiche
e non può essere falsificato, allora
cosa diventa.... non-falsificabile/non-scientifico???
A me non pare proprio, anzi direi proprio il contrario.
A voi l'ardua sentenza:)))
-dinelli-

A me non pare proprio, anzi direi proprio il contrario.
My humble opinion: Il bersgaglio di Popper e del suo criterio di
falsificazione era  il criterio di verificazione dei neo positivisti:
un enunciato sintetncio ha senso solo se esista una procedura
sperimentale per verificarne il valore di verita'.  Il criterio di
verificazione preso di mira da Popper, pero' riguarda *solo* le
verita' sintentiche.
Le verita' analitiche, come le tautologie della logica o il teorema
di Fermat, o le verita' matematiche, appartengono a un'altra
categoria. Sono sensate non perche' verificabili o falsificabili, ma
perche' il loro valore di verita' e' fissato da una mera convenzione
(o e' deducibile da assiomi fissati per convenzione).
A questo punto si potrebbe contenstare la leggitimita' della
distinzione tra sintetico  (scienze empiriche) e analitco
(logica-matematica), come fece Quine,
imho penso che la distinzione e' grosso modo fondata.
ciao,
k'


Ardua sentenza davvero...
Sulla scientificità della matematica comunque si possono anche
avere dubbi, non contemplando essa esperimenti, se non mentali.
Comunque se hai letto questo libro, leggi anche l'ultimo teorema di Fermat
di Simon Singh, autore di documentari scientifici per la BBC, dove viene
descritto come è stato risolto.
Anche questo è un libro leggero e piacevole.
In ogni caso, mai sentito parlare del teoreme di Goedel?
In esso si afferma, molto a grandi linee, che esistono in una matematica con
un numero di assiomi finito, proposizioni non decidibili, cioè proposizioni
delle quali non si può definire o meno la verità.
Credo che stiano ancora cercando di trovarne qualcuna di tali proposizioni,
ma il teorema è corretto...


Salve Marco, un neopositivista?
Fa piacere ogni tanto trovarne qualcuno e, sebbene tu ne sappia di gran
lunga più di me, mi sto ancora domandando che ci faccio in un newsgroup
simile vista la mia ignoranza, mi pare che nel tuo modo di pensare ci siano
affinità col mio.
La tua ultima affermazione è squisitamente materialista e mi fa rimembrare
vecchie letture di Shlick e del circolo di Vienna e piacevolissime, per me,
speculazioni sulle proposizioni protocollari...
Perdona, ti prego, se ho frainteso il tuo modo di pensare e perdona
ugualmente il mio stile un po' "hegeliano"...

 ciao,
Ciao keroppi! Lieto di incontrarti di nuovo qui.
My "much humbler than yours" opinion:
Non contesto la leggittimità della distinzione sintetico-analitico, però non
condivido il ritenere le verità analitiche convenzionali.
Prendi lo stesso enunciato del teorema di Fermat, ma pensalo come un
enunciato in lingua italiana anzichè come una "stringa di simboli" in una
teoria assiomatica formalizzata. Eventualmente si potrebbe riformularlo in
questo modo più concreto:
"un computer che eseguisse il seguente programma:
(n,m,k)=(0,0,0)
Ripeti:
  Testa il teorema di Fermat per n, m e k
  se falso fermati altrimenti passa alla terna successiva
non terminerebbe mai".
Ora, anche in questo contesto e ignorando qualsiasi assioma è pur sempre un
enunciato vero: il computer non termina (presumo...).
La sua verità dipende *ovviamente* dal significato delle parole che vi
figurano, ma questo vale per tutti gli enunciati, anche per quelli
sintetici. Anzi, non ha alcun senso dire che il valore di verità dipende da
tali significati perchè se cambi i significati cambi il senso e non è più lo
stesso enunciato.






 cosa diventa.... non-falsificabile/non-scientifico???
A me non è chiaro cosa significhi "falsificabile".
Tutte le affermazioni vere (matematiche e non) non possono essere
falsificate.
Cmq non credo che Popper intendesse far fuori la matematica.
Ciao!!
Marco



non terminerebbe mai".
Mi piace molto questo tuo esempio.
Mi ha ricordato Imre Lakatos (1922-74).
In "Dimostrazioni e Refutazioni" Lakatos sostiene che le natura della
scoperte matematiche non e' poi cosi' tanto diversa da quella della
scoperta  nella scienze empiriche. Per Lakatos i controesempi
(le "refutazioni") svolgono in matematica un ruolo altrettanto
fondamentale che nelle scienze empirche. In questo senso, anche in
dimostrazioni matematiche come quella del teorema di Fermat, dopo
tutto, sarebbero "falsificabili" in senso Popperiano da ipotetici
controesempi.  Di fatti la matematica, come la scienza, avanza proprio
grazie alla  ricerca sistematica di tali controesempi.
Prendi, ad es.,  il teorema dei quattro colori. (intuitivamente ci
dice che bastano quattro colori per colorare una qualsiasi mappa
geografica in nessuna coppia di nazioni confinanti condivida lo stesso
colore). Ne esiste una dimostrazione matematica? Non ne sono sicuro.
Pero' si potrebbe dimostrarlo "empiricamente" programmando un computer
per la ricerca sistematica di tutti i posibili i controesempi.  (ci
vorrebbe un'immagginario supercomputer, pero, e la procedura meccanica
richiesta e' cmnq al di fuori delle capacita' umane) Se il programma,
dopo aver scartato tutte le classi possibili di controesempi, non
riesce a  falsificare il teorema dei quattro colori, allora il teorema
e' dimostrato. L'ipotesi che fosse falsificabile, tuttavia, e'
fondamentale per procedere con la dimostrazione caso per caso. 
La procedura meccanica deve essere finita e decidibile: il programma
che proponi, quindi, non andrebbe bene per testare la verita' del
teorema di Fermat.
Ciao,
keroppi


 ma il teorema è corretto...
La dimostrazione del teorema di Goedel consiste proprio nel fornire un
metodo per costruire una
proposizione vera ma indecidibile in un certo sistema formale (che si
suppone sia coerente).
Una proposizione indecidibile famosa è l' ipotesi del continuo (se non
ricordo male...).
Ciao!!
Marco

 ugualmente il mio stile un po' "hegeliano"...
Ok, per questa volta sei perdonato... ;)
Cmq non mi pare che tu mi abbia frainteso.
Ciao!!
Marco

...

Come vedi sono assai più ignorante e smemorato di te...
Grazie per il chiarimento, ma io specificavo di parlare a grandi linee, non
conosco l'argomento approfonditamente, forse facevo meglio a non scrivere
nulla, piuttosto che scrivere cose inesatte e approsimative, scusa...

...però mi tocca prendere le distanze ...
Non è obbligatorio seguire i risultati di ricerche razionali, noi
in fondo siamo sempre liberi di pensare cio che ci aggrada. :o)
ciao
---
Valerio Guagnelli Scanzani
Dip. di Filosofia ed Epistemol.
Univ. di Roma "La Sapienza"
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--
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Dal fatto che il computer che fa girare quel programma si fermi oppure no.
Cavolo sembra un secondo uovo di colombo!!! Ma...
Ma se il computer non si blocca, quanto dovremo aspettare?
Voglio dire: nessuno ci assicura *che* il computer si blocchera', o che si
bloccherà *in un tempo T finito*. L'indeterminatezza di T fa si che il tuo
discorso crolli su se stesso.
ciao =)
---
Valerio Guagnelli Scanzani
Dip. di Filosofia ed Epistemol.
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

il tuo discorso crolli su se stesso.
Non crolla proprio per niente.
Il fatto che non possiamo prevedere se il computer si blocchera' o no
impedisce "A NOI", e ripeto, "A NOI", di decidere sulla verita'
della proposizione.
Cio' non toglie che il ragionamento suddivide effettivamente
le proposizioni in due categorie, e quindi da un criterio di verita'
oggettivo e, diciamo, una BUONA DEFINIZIONE di verita'.
Che questa sia poco pratica, e' un altro discorso.
L'importante e' che sia BUONA.
Quando avremo computer piu' potenti, potremo decidere sulla verita'
di un maggior numero di proposizioni.
La nostra lentezza di calcolo non inficia la verita'/falsita' di una
proposizione, semplicemente, non ci permette di classificarla.
Ciao
Paolo Zavarise

proposizione, semplicemente, non ci permette di classificarla.
Velocità e lentezza non c'entrano nulla, il problema è
concettuale e neanche tanto nuovo, anzi...
Ciao Paolo :o)
---
Valerio Guagnelli Scanzani
Dip. di Filosofia ed Epistem.
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

neopositivismo è storicamente fallito. =)
Iio ho sempre pensato che il neopositivismo, nello spirito anche se
non nella lettera, e' ancora vivo e vegeto, almeno nella tradizione
anglosassone. Il nazismo puo' anche aver causato l'assassinio di
Shlick e la dispersione del circolo di Vienna,  il principio di
verificazione puo' ache aver dichiarato bancarotta filosofica,
e la polemica sui protocolli oggi potra' forse sembrare fuori moda,
ma fortunatamente la metolodologia dell'empirismo logico sopravvive
presocche' intatta in gran parte del dibattito filosofico
contemporaneo. 
keroppi

concettuale e neanche tanto nuovo, anzi...
Perche' esistono problemi nuovi ? :))
In filosofia non esistono problemi nuovi,
ogni problema lo fai risalire a qualche problema vecchio.
Questo perche' si continua a ragionare con il concetto di "simile"...,
senza rigore, e cosi' ogni cosa e' simile a qualsiasi altra cosa.
Ciao
Paolo Zavarise

 discorso crolli su se stesso.
Accidenti, non ci voleva...
Vediamo se riesco a ristrutturarlo... =)
Mettiamola così:
Sussiste l' equivalenza:
"vale il teorema" se e solo se "il computer non si ferma MAI".
E la seconda affermazione ha un senso ed un valore di verità ben definiti e
(presumo) indipendenti da qualsiasi scelta o convenzione arbitraria. Dall'
equivalenza deduciamo che anche il valore di verità della prima non è
convenzionale.
O se preferisci la verità della prima dipende da convenzioni tanto quanto la
verità della seconda.
Ciao!!
Marco

 nulla, piuttosto che scrivere cose inesatte e approsimative, scusa...
Scusa tu la mia pignoleria, il mio non voleva assolutamente essere un
rimprovero nè un' intimazione a tacere.
A volte le discussioni interessanti possono partire anche da affermazioni
inesatte.
Ciao!!
Marco

 Marco
ciao
peterh

convenzionale.
Personalmente anch'io non credo che le verità matematiche possano
essere del tutto convenzionali, ma anche la soluzione che tu proponi
non funziona (c'avevano già pensato molto tempo prima che uscissero
fuori i computer), perche' non è un problema di fattibilità pratica, ma
è un problema concettuale, intrinseco.
ciao
---
Valerio Guagnelli Scanzani
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

 è un problema concettuale, intrinseco.
Se fosse stato un problema di fattibilità pratica il mio computer munito di
memoria infinita e destinato a lavorare in eterno non avrebbe potuto
suscitare alcun interesse... :)
Comuqnue la mia non vuole essere una "soluzione" di qualcosa. Volevo solo
mostrare con un esempio stupido quanto c' entrino poco le convenzioni.
Spostare il discorso dal teorema formale al computer mi serve solo a questo,
non credo affatto che il computer possa farci raggiungere verità matematiche
che sarebbero inaccessibili.
Ciao!!
Marco

 Marco
ciao
peterh

 Lo stessso vale per il diavoletto.
Obbiezione interessante.
In parte hai ragione, condivide *alcuni* assiomi di quelli che potremmo
chiamare "finitisti", in particolare quelli che si occupano di definire le
operazioni di somma e prodotto.
Mi spiego subito:
Per fissare le idee limitiamoci al teorema di Fermat con esponente 3:
"a^3+b^3=c^3     non ha soluzioni negli interi"
Questo ci dice che vale una certa proprietà per TUTTE le terne di numeri
(a,b,c) (la proprietà di non verificare l' uguaglianza sopra).
Il computer (o il diavoletto) si deve limitare ad eseguire elevazioni a
potenza e somme tra numeri interi, verificando terna per terna alla ricerca
di un controesempio.
Non è assolutamente necessario implementare anche la logica: deve soltanto
poter rappresentare i numeri ed eseguire somme e prodotti.
Così il diavoletto: potrebbe essere un ignorante completo in logica e in
matematica, basta solo che sappia fare addizioni e prodotti.
Nella dimostrazione del teorema invece (cioè nella dimostrazione del fatto
che il computer non troverà mai il controesempio) non possono venire usati
soltanto gli assiomi che definiscono somma e prodotto. Per arrivare ad una
conclusione che valga per TUTTI gli infiniti numeri devo ricorrere
1) alla logica delle proposizioni e dei predicati (che il computer di cui
sopra abbiamo detto non conoscere: sa fare solo operazioni)
2) forse anche a qualcosa di più potente come può essere il principio di
induzione (che il computer ignora del tutto!!).
Quindi non è vero che il programma o il diavoletto inglobano gli assiomi che
ho usanto per dimostrare che non si fermeranno.
Di nuovo: può mai una mia "scelta", come quella di usare il principio di
induzione o del terzo escluso, condizionare il fatto che il computer (che è
del tutto estraneo a quella scelta) si fermi o no?
Ciao!!
Marco

 inesatto.
Intendi dire che è falso, che è indimostrabile o che non ha senso?
Ciao!!
Marco