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Titolo: Goedel : Ecco cosa ha detto.

Repostage:
Forse qualcuno di voi si è già scontrato con Goedel,
e forse è mio dovere aggiungere qualcosa visto che ne ho
sentito parlare (i matematici mi perdoneranno e correggeranno se
necossario).
La storia ha origine all'origine del presente secolo quando, sulla scia
delle ricerche di Cantor, di Russell,Whitwhead etc., ferve la discussione
circa la possibilità di "provare rigorosamente" qualcosa in matematica, di
precisare che cosa sia una dimostrazione, o ancora: di "dimostrare che un
sistema assiomatico è non contraddittorio".
Hilbert propone la strada di FORMALIZZARE RIGOROSAMENTE le dimostrazioni.
Occore preliminarmente scrivere tutte le proposizioni matematiche in un
linguaggio preciso e privo di ambiguità in cui le proposizioni non vanno
viste come dotate di significato, ma solo per la loro struttura sintattica.
Una volta ridotte le proposizioni,  si debbono introdurre gli "assiomi"
(proposizioni di partenza, non dimostrabili) e definire le "regole di
deduzione".
un teorema è la proposizione discendente dagli assiome tramite una
successione finita di applicazioni di regole di deduzione("dimostrazione").
Fatto ciò si deve verificare che quanto sopra risponda a delle proprietà
quali coerenza(non contraddittorietà) e completezza (ogni proposizione
utilizzata, eccetto gli assiomi, è a sua volta dimostabile).
Ciò che ha fatto Goedel è stata la formulazione di una proposizione
aritmetica, G, che prova la non completezza di un sistema formulato coerente
e completo, ovvero la sua incoerenza.    la formulazione è del tipo :
                    "G non è un teorema dell'aritmetica".
Si esaminino le due possibilità:
a) G è un teorema (possiede una dimostrazione formale). Allora avremmo
dimostrato un teorema che dice che questa dimostrazione non può esistere!:
contraddizione!!.
b) G non è un teorema (non ne esiste la dimostrazione). In tal caso
l'interpretazione di G è vera, e abbiamo un proposizione vera che non può
essere dimostrata!.
Dunque o l'aritmetica risulta essere contraddittoria o (XOR,VEL,o AUT: o
esclusivo) incompleta.
Salvando la non contraddittorietà dell'aritmetica, non solo G, non risulta
essere un teorema, ma nemmeno la sua negazione, che è una proposizione
falsa:
G è dunque una proposizione "FORMALMENTE INDECIDIBILE" (cioè è una
proposizione per cui non dimostabile nè essa nè la sua negazione).
Nessuno però ci vieta di introdurre dimostrazioni non formali usiando delle
regole di deduzione più ricche di quelle che sappiamo formalizzare!.
Perciò si potrebbe tentare.
In un contesto come questo Goedel dimostra sostanzialmente la attuale
incompletezza della logica a formalizzare con rigore tutte le cose, chissà,
magari qualcuno dei nostri figli farà caso a qualcosa tralasciata da Goedel
e risolverà anche il problema che ci ha posto Goedel (forse è errato
chiedere coerenza e completezza, o forse va esteso uno dei due concette, ai
posteri l'ardua sentenza)
Chi era che parlava ( mi piacque molto l'idea) di Dio come sintesi dei
contrari? (cartesio forse?), questa affermazione contiene in se
l'incompletezza e l'inadeguatezza della mente umana a poter comprendere
qualcosa che sia A e non A. forse la colpa è del venerando Aristotele che ci
ha avviato a questa logica, che forse non è l'unica possibile (per chi crede
sicuramente non è l'unica possibile altrimenti non riuscirei a infilarci
Dio).
Se vi interessa o vi serve bene se no ciccia e scusate se vi riempio la
memoria di immondizia....Mi pare se ne parlò di Goedel o sbaglio?
Ciao a tutti.


Certo che interessa e ti ringrazio nuovamente dello spunto.
Ciao
Loris.

 
Secondo me Dio, invece, rientra molto, nel senso che se Dio e'
indecidibile e la contrapposizione degli opposti, evidentemente c'e' un
qualche cosa di orribile in chi impone politiche sociali in nome di un
Dio. Bisognerebbe proprio formalizzare il fatto che la "verita' "non
c'e' la nemmeno chi studia Dio.
Anche a me interessa
Loris(II)
-- 
http://members.tripod.com/~constitution_2/
http://members.tripod.com/~constitution_2/index.htm

essere vera, non essendo dimostrabile in S.
Una differenza importante è anche questa:
L' affermazione "questo enunciato è dimostrabile" è autoreferenziale, ma in
un senso "buono" poichè non parla del suo *significato*, ma descrive una sua
proprietà "sintattica", cioè una proprietà della stringa di simboli "questo
enunciato è indimostrabile".
Lo stesso non si può dire dell' affermazione "questo enunciato è vero".
Ciao!!
MarcoDiscens

Qualcuno e' riuscito in questo, magari uno sconosciuto contemporaneo?
Se c'è riuscito non lo so (e non credo), però ci sono diversi strani figuri
che si aggirano in sci.math scagliandosi contro la teoria degli insiemi di
Cantor, il suo procedimento diagonale e tutte le conseguenze (teoremi su
innumerabilità, incompletezza e incomputabilità). In particolare c'è una
certa Paola Cattabriga che ha un sito in cui distribuisce pubblicazioni dove
(secondo lei) averebbe confutato Godel e Cantor. Io ho dato un occhiata ma
non mi convince molto. E comunque le sue pubblicazioni sono molto, molto
tecniche.
Ciao!!
MarcoDiscens

 generarli tutti o equivalentemente un sistema formale).
Mi sembra che intendi "complessita'"  nel  senso della "complessita'
algoritmica" o "complessita' di Kolmorov", da cui poi anche il tuo uso
del vocabolo "comprimere" .
Tutti gli enunciati riconducibili agli assiomi attraverso le regole del
sistema formale sono in qualche misura "comprimibili" (esiste per 
definizione un algoritmo o procedura che li puo' generare).
Se affermi che in un sistema formale "finito"  si ha una complessita'
infinita , vuoi forse dire che possono esistere in esso un numero
infinito di proposizioni indecidibili ?
Scusa ma questo punto non mi e' chiaro .
Mi tornerebbe di piu' che in un sistema formale "finito"  una parte e'
comprimibile e la restante solo descrivibile (nessuna compressione) .
Forse usiamo in maniera diversa il concetto di sistema formale "finito"?
Ciao
---------------------------------------------------------------------
                                                      A.L.I.E.N.
P.S.  Per rispondere via E-Mail rimuovere la "P" da 
Pri...@col.it
--
Posted from [195.210.98.9]
via Mailgate.ORG Server - 
http://www.mailgate.org

Forse usiamo in maniera diversa il concetto di sistema formale "finito"?
Per me un sistema formale (finito (anche perchè non ne conosco di
"infiniti")) è dato essenzialmente da un algoritmo per generare (o
riconoscere) teoremi.
Ciao!!
MarcoDiscens

 Lo stesso non si può dire dell' affermazione "questo enunciato è vero".
Rilievi e puntualizzazioni sacrosanti.
Ciao
Loris.

fin dei conti così "inglesi", improntati al senso comune.
Che intendi esattamente per "fallimento"?
La loro risposta era la teoria dei tipi, e dal loro punto di vista non
dovrebbe essere stata un fallimento (anche se personalmente ritengo che la
teoria dei tipi aggiri il problema più che risolverlo).
Ciao!!
MarcoDiscens

Scusate se mi intrometto.
Ma la "complessita'" (nel senso di Chaitin) e' un argomento che mi
interessa particolarmente, ed e' molto difficile che qualcuno ne parli
(anche a livello di libri).
Marco, condivido tutto quello che hai detto.
Solo una precisazione.
Penso che siamo daccordo, ma pongo ugualmente la questione.
*Un insieme infinito non ha per questo una complessita' infinita.*
Basta considerare il semplice insieme infinito di tutti i numeri
interi. Per generarlo basta il "finitissimo" programma (lo do' per
semplicita' in BASIC):
10 N=0
20 PRINT N
30 N=N+1
40 GOTO 20
Esso da' in uscita uno dopo l'altro tutti i numeri.
E' evidente che bisogna aspettare un tempo infinito per avere
veramente tutti i numeri, ma cio' non e' rilevante.
Cio' che conta e' che C'E' UNA REGOLA per generarlo.
E' probabile che l'insieme di tutte le verita' della matematica abbia
complessita' infinita.
Ma affinche' non possa esistere un sistema formale basta anche una
condizione piu' debole: la CASUALITA'.
Anche un insieme FINITO casuale (p.e. un insieme di numeri casuali)
non e' generabile algoritmicamente, se non in modo banale, tipo un
programma che stampa semplicemente in uscita l'intero insieme.
Un programma generatore ragionevole e' un programma che ha un
contenuto di informazione (in bit) molto piu' piccolo del suo output.
Un esempio di oggetto di complessita' infinita e' un numero reale
casuale. Infatti, tutti i numeri reali per definizione hanno uno
sviluppo decimale infinito. Ma per certuni, p.e. PI-GRECO, c'e' un
algoritmo per generarlo (e percio' stesso non si puo' definire
casuale, nonostante osservando le sue cifre sembri esserlo), per gli
altri, essendo infiniti e non generabili algoritmicamente, hanno anche
complessita' infinita.
Ciao
Giovanni

 teoria dei tipi aggiri il problema più che risolverlo).
Lasciando perdere le numerose incongruenze che la complessa strutturazione
in tipi semplici e ramificati comporta, mi limito a rilevare: se Russell
dice che nessuna funzione si può asserire in modo significante di tutte le
entita' senza distinzione di tipo, questa affermazione ha quella validita'
incondizionata che l'affermazione vuole negare. Mi pare una contraddizione.
Ma cio' che taglia la testa al toro e' proprio il 1. teorema di Goedel, che
non a caso nella prima formulazione titola "Sulle proposizioni formalmente
indecidibili dei Principia Mathematica e sistemi affini". Se Russel in
"Introduzione alla filosofia matematica" (se ben ricordo) sfida chiunque a
trovare, dopo i P.M., una minima differenza tra logica e matematica... beh,
direi che la dimostrazione di incompletezza è proprio il fallimento del suo
programma logicista, pur dotato di tutti gli accorgimenti di un sano
empirismo inglese.
Secondo me il problema sta proprio in questo: nel voler ridurre a tutti i
costi la matematica alla logica (da parte dei logicisti), e di voler fondare
logicamente "tutta" la matematica (da parte dei matematici).
Ciao
Loris.
P.S.: visti la tua competenza e il fatto che tutta la questione mi interessa
molto, mi dispiace veramente di non poterti rispondere con maggior
frequenza.

frequenza.
Abbiamo tutto il tempo che vogliamo per discuterne!!
Ciao!!
MarcoDiscens

 (anche a livello di libri).
Si , l' approccio di Kolmogorov e Chaitin  ad una definizione della 
complessita' di una stinga di bit  in funzione della lunghezza minima
dell' algoritmo che puo' generarla e' molto interessante .
Cosa ne pensi a tale proposito delle critiche di Gell-Mann ?
http://www.santafe.edu/sfi/People/mgm/
Sembra che pur riconoscendo una certa validita' (a volte solo in parte)
dell' approccio di Chaitin  non lo ritenga esaustivo ,ed in certi 
casi fuorviante , per una interpretazione dei comportamenti e/o
configurazioni dei sistemi reali .
Mi sembra che comunque voglia recuperare la  AIC  di  Chaitin 
nell' ambito  di una sua  interpretazione di complessita' mutuata,
almeno concettualmente, dall' entropia di Shannon (o forse sarebbe
meglio risalire a  Boltzmann-Gibs).
Scusa se ho fatto un po' di "minestrone"  ma su " 'sti  fatti "  non
ho ancora le idee chiare !! 


complessita' infinita.
E il bello è che mentre la stragrande maggioranza dei numeri reali sono
*indescrivibili* (indescrivibile implica casuale), ce ne sono alcuni casuali
ma descrivibili. Ovvero NON esiste alcun algoritmo per generarli, ma se ne
può comunque dare una definizione rigorosa e NON algoritmica.
Il numero scoperto da Chaitin chiamato OMEGA verifica questa proprietà.
Un modo semplice di definire OMEGA credo sia questo:
OMEGA=0, x1 x2 x3 ... xi ...
Dove xi=0 se la macchina di Turing i-esima si ferma ed xi=1 se non si ferma
mai.
(Presupponendo una certa enumerazione per le macchine di Turing)
Si dimostra che ogni sistema formale o algoritmo può calcolare soltanto un
numero finito di cifre decimali di OMEGA.
Mi dicono inoltre che OMEGA è la probabilità che una generica macchina di
Turing si fermi (anche se come definizione è un po' troppo vaga).
Ciao!!
MarcoDiscens

 esiste l' insieme vuoto.
Ciao Marco, mi limito a questo punto, su cui c'è fin troppo da dire.
OK sulla maggiore accettabilità della soluzione di Zermelo sulla teoria dei
tipi, d'accordissimo sulla tua ulteriore precisazione. In genere i sistemi
assiomatici, come ZF (mi par di capire il tuo preferito) o quello di
v.Neumann-Bernays-Goedel, assicurano quei fondamenti sufficientemente sicuri
che al matematico bastano e avanzano per il suo quotidiano operare. Tanto
più se teniamo presente che, dopo Goedel, di S (l'aritmetica formale
assiomatizzata nella logica dei predicati di 1.ordine) Gentzen riesce a
dimostrare la coerenza, usando metodi più potenti non formalizzabili in S.
Non mi rimane allora che fare un paio di considerazioni sul doppio "prezzo"
da pagare per questa operazione di assiomatizzazione.
1) Il primo "prezzo" (tutto implicito in quel tuo "artificialmente")
consiste nell'abbandono della "ingenuità" della teoria degli insiemi, cosa
non da poco perchè significa la fine del cosiddetto "Paradiso di Cantor",
cioè di quel realismo matematico platoneggiante che lui stesso è costretto
ad abbandonare. Dedekind, richiesto a cosa pensasse nominando un "insieme",
rispondeva "a un sacco pieno di oggetti"; Cantor invece rispondeva "a un
abisso". Credo proprio che avesse ragione Cantor, e che per evitare tale
abisso i sistemi assiomatici introducano drastiche limitazioni ad hoc nel
concetto stesso di insieme. Ciò basta e avanza, come ho detto, per la
matematica. Eppure cacciata dalla porta la contraddizione ritorna dalla
finestra, se consideriamo il concetto stesso di "insieme" sotto il profilo
logico-semantico, come mi sforzo di fare. Nessun problema nel concepire
insiemi (anche infiniti) di gatti, di libri, di numeri ecc.; il problema si
pone quando parliamo di "insiemi di insiemi", cosa che dev'essere legittima,
se non vogliamo che il rimedio all'astrazione incondizionata di Frege sia
peggiore del male, col ridurre la possibilità di astrazione al solo suo
primo livello. Ma il concetto di insieme di insiemi porta all'altro ramo
della totalità degli insiemi, cioè quelli che contengono se stessi. E anche
l'insieme (chiamiamolo A) di tutti gli insiemi che contengono se stessi (in
apparenza più tranquillo rispetto a quello considerato da Russell) mi pare
contraddittorio: infatti A
non contiene tutti gli insiemi, ma tutti gli insiemi che contengono se
stessi (cioè insiemi che, per ereditarietà della loro proprietà, contengono
altri insiemi, che "sfuggono", diciamo così, alla prima posizione della
totalità). Ne' vale porre un A1 che contenga A e tutti gli insiemi
precedentemente esclusi, perchè allora avremmo A1 come insieme di tutti gli
insiemi di tutti gli insiemi che contengono se stessi, cosa che
richiederebbe un A2... e così via all'infinito. In base a questa
caratteristica dell'ereditarietà della proprietà (che alla fin fine altro
non è che principio di non-contraddizione) non possiamo "chiudere" questo
insieme (nemmeno al livello più basso), che si presenta così come una
molteplicità irriducibile a unità. Cosa che si può fare, invece, per gli
insiemi
che non contengono se stessi, per i quali la "chiusura" è contraddittoria
solo quando ne poniamo la totalità col paradosso di Russell. Per dare
un'idea analoga utilizzando il paradosso del barbiere, dovremmo considerare
che quest'ultimo scompare se ammettiamo che "barbiere" non indichi l'unità
di una persona, ma sia semplicemente una stringa di caratteri con cui
intenzioniamo
una molteplicità irriducibile di 2 persone, dove x rade y e y rade x. Una
pallida idea di ciò che intendeva Cantor con le sue parole ambigue sui
"sistemi inconsistenti"? E' veramente solo una questione di parole? Può
davvero la logica-matematica eludere la semantica? Su questo interrogativo
mi fermo, con un bel help!
2) Il secondo "prezzo" da pagare al rigore delle assiomatizzazioni è, in
breve, una doppia sottolineatura del primo. Si tratta di sistemi
ipotetico-deduttivi che danno il colpo decisivo (se ce ne fosse bisogno) al
realismo matematico. Cito solo l'esempio del problema del continuo. J. Cohen
dimostra che è possibile costruire tanto un modello cantoriano quanto uno
non-cantoriano di teoria assiomatica degli insiemi. Tutto ciò ha lo stesso
significato della perfetta compatibilità delle geometrie euclidea e
non-euclidee.
Ciao
Loris.

puň comunque dare una definizione rigorosa e NON algoritmica.
Un esempio piů banale di numero reale casuale:
Data una certa enumerazione per gli enunciati aritmetici (ad esempio in
ordine di lunghezza), consideriamo il numero:
0, x1 x2 x3 x4 ...
dove xi=1 se l' enunciato i-esimo č vero, xi=0 se č falso.
Ovviamente nessun computer o sistema formale puň calcolare TUTTE le cifre di
questo numero.
(Neanche un computer dotato di memoria infinita.)
Ciao!!
MarcoDiscens

non-euclidee.
In effetti dire che l' ipotesi del continuo è indecidibile in ZFC equivale a
dire che entrambi i sistemi formali ottenuti aggiungendo l' ipotesi del
continuo o la sua negazione sono sistemi consistenti.
Tuttavia questo non significa che l' ipotesi del continuo non possa comunque
essere in assoluto VERA o FALSA. Mi spiego meglio: anche la consistenza di
ZFC è esprimibile mediante un enunciato di ZFC (che chiamiamo Coer(ZFC)),
indecidibile in ZFC, e pertanto assumendola come assioma o assumendo la sua
negazione possiamo dar vita a 2 sistemi consistenti. Ciò non toglie che uno
solo dei due è *VERO*, mentre l' altro è falso.
All' apparenza si potrebbe pensare che l' ipotesi del continuo afferma
qualcosa di molto più "vago" di Coer(ZFC), ma se ci venisse presentato l'
enunciato Coer(ZFC) troveremmo praticamente impossibile capire quello che
dice sugli insiemi!!
(In tutto questo ragionamento abbiamo dato per scontato che ZFC sia
coerente, ma in effetti se non lo fosse esso dimostrerebbe l' ipotesi del
continuo e pure la sua negazione)
Un sistema "sbagliato" può comunque diventare "giusto" se si adotta una
diversa interpretazione delle sue stringhe.
Ad esempio per quanto riguarda le geometrie non-euclidee non c'è ragione di
considerare la geometria euclidea "più vera" delle altre, visto che le altre
geometrie sono rappresentabili all' interno della geometria euclidea, cioè,
detto in modo molto informale: chiamando alcuni oggetti *euclidei* con i
nomi "retta proiettiva", "punto proiettivo", "piano proiettivo", ecc... si
ottiene proprio la geometria proiettiva.
Nelle diverse geometrie le parole "punto", "retta", "piano" hanno
significati differenti.
Ciao!!
MarcoDiscens


Si' nella sua definizione di complessita', che chiama "complessita'
effettiva", tiene conto di quella di Chaitin:
dice che l'AIC e' la somma di due termini, il contenuto d'informazione
REGOLARE e il contenuto d'informazione CASUALE.
Ebbene, la complessita' effettiva dice corrispondere al termine
regolare.
La sua critica all'AIC e' riassumibile molto bene nella metafora delle
"scimmie dattilografe": se si fa battere a macchina casualmente ad una
scimmia un testo lungo come tutte le opere di Shakespeare, si verifica
che l'AIC del testo della scimmia misura una complessita' maggiore
(molto maggiore) di quella delle opere di Shakespeare. Infatti per
quanto l'opera di Shakespeare sia singolare, nuova, imprevedibile,
avra' sempre un gran livello di regolarita' (vedi le regole
grammaticali e simili), e quindi di AIC inferiore a qualcosa di
casuale (che ha l'AIC massimo per definizione).
In sostanza Gell-Mann si rifa' all'intuito comune per cui un insieme
casuale non ha alcuna struttura e quindi non puo' avere nemmeno alcuna
complessita'.
Tuttavia, per me, mantiene i concetti fondamentali che hanno a che
vedere con la complessita' di Chaitin: REGOLARITA', COMPRIMIBILITA' e
SCHEMA.
Gell-Mann parla di *sistemi complessi adattattivi* (animali, uomo, mi
pare ci metta dentro anche i computer) che:
ricavano dal flusso dei dati gli aspetti regolari che poi comprimono
sotto forma di schema.
Non ho letto la parte del libro in cui parla dell'entropia, ma direi
che la sostanza della concezione di Gell-Mann della complessita' e'
questa.
Ciao
Giovanni


Turing si fermi (anche se come definizione è un po' troppo vaga).
Ho letto qualcosa dell'OMEGA di Chaitin su "Le Scienze", ma non c'ho
capito molto.
Quel poco che ho capito e' che e' il numero che esprime la
probabilita' che un particolare computer (o macchina di Turing) si
fermi quando gli si fa' girare un programma scritto a caso.
Ma non ho capito in che modo si calcoli questo omega.
Un altra proprieta' stupefacente di omega e' che se si potessero
conoscere p.e. anche solo le prime 5000 cifre si potrebbero decidere
tutte le proposizioni matematiche esprimibili fino ad una certa
lunghezza e (dice) ce ne sono parecchie di interessanti !
Ciao
Giovanni

(Neanche un computer dotato di memoria infinita.)
Infatti, un SF puo' produrre anche un infinita' di enunciati veri e
decidibili di un certo tipo, senza pero' produrre TUTTI quelli veri.
Ciao
Giovanni

 Giovanni
Ciao
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                                                      A.L.I.E.N.
P.S.  Per rispondere via E-Mail rimuovere la "P" da 
Pri...@col.it
--
Posted from [195.210.98.12]


 ottiene proprio la geometria proiettiva.
Molto chiaro e incontestabile. Cio' mi basta. Come avrai senz'altro capito,
quello che maggiormente mi interessa e' il risvolto filosofico (vastissimo)
sia dei teoremi di Goedel che della logica-matematica in generale, e il mio
obiettivo amichevolmente polemico e' solo il realismo logico-matematico.
Questione quest'ultima per niente pacifica, perche' pesano ancora le parole
di Wittgenstein nel Tractatus "...nei simboli che usiamo qualcosa e'
arbitrario, qualcos'altro no. Nella logica solo quest'altro esprime. Ma cio'
vuol dire: nella logica non siamo 'noi' ad esprimere, con l'aiuto dei segni,
cio' che vogliamo; nella logica e' la natura stessa dei segni essenzialmente
necessari ad asserire". A tutto questo le mie convinzioni
convenzionalistiche oppongono il principio di tolleranza di Carnap, cosa,
tuttavia, che non e' priva di problemi.
Ti ringrazio e ti saluto
Loris.

particolare SF che fa uso dell'aritmetica del *transfinito*.
Interessante, sai qualcosa di più al riguardo o puoi consigliarmi fonti di
informazione?
(Grazie)
Ciao!!
MarcoDiscens

tuttavia, che non e' priva di problemi.
Non mi è molto chiaro il problema.
Cosa significa esattamente "realismo matematico"?
Ciao!!
MarcoDiscens

Mendelson: "Introduzione alla logica matematica" - Boringhieri.
Grazie mille.
Ciao!!
MarcoDiscens

 Cosa significa esattamente "realismo matematico"?
E' il problema squisitamente filosofico-gnoseologico del rapporto tra il
mondo e la rappresentazione che di esso ci facciamo. Possiamo aver fiducia
che una rappresentazione logico-matematica non sia una creazione arbitraria
degli uomini e che le verita' logiche siano le uniche necessarie e
costituiscano il dominio della conoscenza a priori, come pensava appunto
Wittgenstein. Allora la logica rappresenta (di questo mondo) l'unica verita'
senza  sorprese e l'unica realta' oggettiva. In questo senso il logico
assomiglia a un geografo che studia un territorio (che non ha certo creato
lui), o a un geometra perfettamente convinto che lo spazio euclideo sia lo
spazio "reale". Oppure tale fiducia non c'e', e la logica e' un gioco di
convenzioni simboliche, che sorprese ne ha (eccome!) e legittima la
possibilita' di  logiche alternative, quali p.e quella di Lukasiewicz o di
Post. Allora il logico non e' uno scopritore ma un creatore di simboli e di
regole, al fine di "dimostrare" qualcosa del mondo, ben consapevole che tale
"dimostrazione" del mondo non coincide con la sua "verita'". In questo senso
la posizione del logico e del matematico e' quella di un qualsiasi
scienziato empirico, per il quale verita' e verificabilita' non coincidono.
Ma una volta perduta la speranza di cogliere una volta per tutte la verita'
oggettiva del mondo, il senso ultimo del creare simboli e regole e' solo
quello di stabilire, con questo mondo, un rapporto di
interpretazione-dominio; il tentativo, insomma, di quel sofisticato
strumento (non certo perfetto) prodotto dell'evoluzione umana (che e' il
cervello) di rapportarsi al mondo per dominarlo. Ma tutto cio', anche se sta
sotto la logica, non e'
piu' logica e non se ne puo' parlare in questo ambito.
Ciao
Loris.

 M.
Ben detto ! Qualcuno su questa impostazione ha costruito (o forse
sarebbe
meglio dire ipotizzato)una sorta, passami il termine , di logica
"frattale".
Comunque quello che mi sembra possa emergere e' una sorta di ampliamento 
"dinamico"  di una logica "statica"  che perviene e/o assume sempre
valori
fissi di verita'/falsita' (abbiamo gia' la logica sfumata !!).
Non so' se inserendo "un grado di liberta'"  in piu' alla logica intesa
in
senso classico , si possa ottenere qualcosa di utile e coerente , ma la
prospettiva potrebbe essere "stuzzicante" . Che ne pensi ? 


 prospettiva potrebbe essere "stuzzicante" . Che ne pensi ?
Anche per me stuzzicante, eccome! Qui entriamo nel merito delle logiche
polivalenti. Una logica a 3 valori, come quella elaborata da Lukasiewicz, ci
permette di trattare in modo soddisfacente i cosiddetti "futuri contingenti"
(la famosa prop. di Aristotele "domani ci sara' una battaglia navale", e'
vera o falsa?). Tali questioni possono essere trattate solo introducendo ta
0 (=falso) e 1 (=vero) il valore di possibilita' 1/2, e con esso, come parte
integrante della logica, quel suo ramo, spesso snobbato come inessenziale,
che e' la logica modale. Pensa poi al settore, attualmente in grande
espansione, della logica induttiva. Il punto fondamentale e' che la logica
formale, "classicamente" intesa, fornisce si' le regole universali e i
limiti del corretto ragionare, ma rimane astratta dal tempo, statica (come
giustamente dici), e percio' incapace di fornire modelli applicativi al
divenire reale. L'elemento cruciale per rendere la logica "dinamica", in
grado di aderire piu' "concretamente" (diciamo cosi') a vari settori di
ricerca delle scienze empiriche, e' proprio l'introduzione in essa della
dimensione "tempo". L'esempio del mentitore, che ho brevemente esposto, e'
concepibile solo con l'introduzione del tempo, che rende trattabile in modo
coerente cio' che in una logica statica e' semplicemente privo di senso
(come osserva l'amico LordBeotian). Puo' essere trattato in modo piu'
interessante in una logica a 3 valori, ma e' solo un esempio piuttosto
semplice e, inoltre, "nulla di nuovo sotto il sole". Magari di relativamente
recente (questo si'), perche' e' solo dagli anni '50 che si sono sviluppate
significativamente le logiche temporali (ci si deve riferire a Prior e,
preliminarmente, a Kripke). Il loro problema e' quello di produrre inferenze
temporali regolando sintatticamente operatori come "in passato", "in
futuro", "qualche volta" ecc. Anche qui, tuttavia, non esiste un'unica
logica temporale, perche' c'e' l'inevitabile dipendenza dalle ipotesi sulla
struttura del tempo: e' continuo o discreto, finito o infinito...? Questo
pone una serie di prospettive che io trovo interessantissime, dalla logica
piu' "tranquilla" (un calcolo temporale minimale, nei cui assiomi si
trascura qualsiasi ipotesi sulla struttura temporale), a quella in cui si
ipotizzano "atomi" di tempo, per arrivare ai "tempuscoli", in cui si gioca
sul filo del rasoio con il principio di non-contraddizione.
Come sempre mi dilungo troppo e me ne scuso
Ciao
Loris.

 Loris.


Riguardo alla logica "dinamica" state un bel pezzo indietro, visto che
esiste già (tempo compreso). E poi - ma non voglio accusare voi, è una
opinione - mal sopporto la filosofia della scienza fatta da filosofi che
poco sanno di scienza - e ve lo dice un filosofo-aspirante-logico.
Ciao, non mi odiate!!


 Ciao, non mi odiate!!
Ciao, con amore... :))
Loris.

 Ciao, non mi odiate!!
Non per cosi' poco !
Pero' se rifletti un attimo sul contenuto del tuo messaggio , mi 
sembra sia ben poco costruttivo (non me ne volere !)
Chi intervene su un NG non sempre e' informato od  e' un esperto
in certi argomenti (parlo per me) , ma chiede magari informazioni 
o conferme di quel che sa'.
Se tu hai degli elementi in piu' rispetto a quelli esplicitati puoi
anche esporli , magari in maniera sintetica .
Per quanto riguarda chi sa' poco di scienza , be' il mio problema 
(si fa' per dire) , in relazione a questo NG , forse e' di sapere
poco di filosofia !
Non so' tu  quanto sai di "scienza" ! 



Dal libro di Mendelson che ti citavo, riporto l'espressione della
proposizione indecidibile di Godel:
(X2) non W1(m', X2)          (1)
Non so la tua conoscenza dell'argomento, quindi te la illustro
brevemente (anche perche' e' un vero gioiello della logica 
matematica !).
(qui X2 tra parentesi significa "per ogni X2")
Per capire, partiamo dalla piu' semplice:
W1(u, y)                            (2)
u e' il NG (numero di Godel) di una certa proposizione aperta A(X);
y e' il NG di una dimostrazione di A(u')
notare come A(u') e' il risultato della sostituzione alla variabile X,
in A(X), del *numerale* del NG di A(X) stessa !
(Per numerale s'intende il corrispondente formalizzato in PA di un
numero comune non formalizzato. Per distinguerlo ho messo un apice).
Cioe' si ha una forma di *autoriferimento*, anche se ancora parziale.
Consideriamo:
(X2) non W1(X1, X2)          (3)
La (3) e' una certa proposizione aperta in X1, e come ogni
proposizione ha il suo NG, chiamiamolo m.
Ebbene la (1) e' il risultato della sostituzione in (3) della
variabile libera X1 con il numerale del NG di (3).
La (1) quindi (vedi anche la definizione di (2)), significa
letteralmente:
"Per ogni X2, X2 non e' una dimostrazione della proposizione il cui NG
e' m".
Ma m, guardando bene, e' proprio il NG di (1)  !!!
E qui abbiamo compiuto il miracolo, la (1) e' una proposizione che
parla di se stessa, dicendo di non essere dimostrabile !
Ma quello a cui volevo arrivare e' mostrarti come la proposizione
indecidibile di Godel, cioe' la (1), e' una proposizione quantificata
universalmente: davanti c'e' (X2).
E cosi' sono tutte le G1, G2, ---, G_omega, ecc...
Questo non e' cosi' evidente in Penrose, in cui la proposizione di
Godel inizia con un "non esiste X".
Ma basta ricordare che "non esiste X" e "per ogni X non" 
sono interscambiabili.
Le limitazioni sono dovute al fatto che oltre alle proposizioni
quantificate universalmente, ci sono molte altre proposizioni:
quelle non quantificate, tipo "7 e' un numero primo", oppure
quantificate esistenzialmente: tipo "esiste un numero primo maggiore
di 1000", ecc...
Ciao
Giovanni

Scusa, devo fare una correzione.
La descrizione a parole del significato della proposizione
indecidibile di Godel (1), deve essere cosi' modificata:
"Per ogni X2, X2 non e' il (numerale del) NG di una dimostrazione
della proposizione aperta con NG m, avendo sostituito in essa m' alla
variabile libera."
Giovanni

di 1000", ecc...
Queste altre proposizioni perт sono tutte decidibili anche semplicemente in
PA, quindi dov'и la limitazione?
Ciao!!
MarcoDiscens

scienziato empirico, per il quale verita' e verificabilita' non coincidono.
Potrei pensare che, come lo scienziato empirico cerca leggi che
"giustifichino" dei dati sperimentali, così il logico-matematico cerca
sistemi formali che rappresentino una certa parte di verità matematiche.
Anche il logico, come il fisico, non può essere sicuro che la realtà si
comporti come il modello... Il logico però può "sentire" o "intuire" che un
certo modello è corretto, mentre se un fisico dicesse la stessa cosa sul suo
modello concernente la realtà concreta verrebbe preso per uno stregone.
Ciao!!
MarcoDiscens


Ti ho fatto degli esempi banali di proposizioni non quantificate e
quantificate esistenzialmente, non volevo che ti fissassi proprio
sugli esempi specifici.
Puo' benissimo essere che esista una certa proprieta' Px goduta da un
solo numero, p.e. 347 e quindi valga la proposizione non quantificata
Px(347), e che tale proposizione non sia derivabile in PA.
Ovviamente a Godel bastava trovare anche UNA sola proposizione non
derivabile in PA, per quanto astrusa, per poter dire che PA non e'
completo.
A lui non interessava che attraverso il meccanismo del suo teorema si
potessero trovare TUTTE le proposizioni vere e non dimostrabili in PA.
Ciao
Giovanni

Px(347), e che tale proposizione non sia derivabile in PA.
Non ne sarei cosм convinto: non mi viene in mente nessuna formula non
quantificata indecidibile.
E in effetti una formula non quantificata di PA и, presumibilmente, una
congiunzione/disgiunzione/negazione (o combinazione delle 3 cose) di formule
del tipo "n=m", dove i numeri n e m sono definiti mediante le operazioni di
somma e prodotto. PA puт derivare senza problemi queste ultime formule, e la
logica proposizionale и completa, quindi come puт una simile proposizione
non essere decidibile?
Ciao!!
MarcoDiscens

 meglio che io non mi esprima troppo al riguardo.
Mi sembra che hai messo il dito nella piaga !!
Pur distinguendo il caos come si presenta nei fenomeni naturali 
connotato dall' attributo dell' aleatorieta'  , da quello (che
non a torto ) viene definito "pseudo-caos"  presente nelle simulazioni
al  computer (che e' , per ora , uno strumento deterministico),direi
che  la tipologia di fenomeni (caotici) che si cerca di  simulare
presenta senz' altro caratteristiche di complessita' , sia negli 
algoritmi che nella visualizzazione del loro prodotto . 
Secondo me , essendo state scoperte tecniche nuove per simulare
fenomeni "caotici"  con algoritmi complessi , riusciamo in questa
maniera a gestire in maniera "piu' economica"  delle basi dati che
in passato , sembrandoci senza alcuna correlazione , potevamo solo
riprodurre per "memorizzazione" e catalogare generalmente come
"caotici".
Cio' non vuol dire che esiste una contraddizione nel fatto che 
esistano fenomeni caotici e tecniche che permettono (almeno in
parte o per tipologia) una simulazione e quindi il ritrovamento
di un certo ordine . 
Semplicemente , esistono fenomeni caotici (o apparentemente tali)
che sono parzialmente "compressibili"  in algoritmi seppur complessi
ma  "piu'  economici" (di qui il "determinismo"  nel  caos!!),
pur persistendo altri casi di non compressibilita' dove siamo di 
fronte a  base dati  completamente  randommiche . 



Mi prendi alla sprovvista, sul momento non saprei darti un esempio.
Ciao
Giovanni