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Titolo: Zenone e Paradossi

Dopo aver dato inizio al dibattito, vedo che quasi si è arrivati alla
conclusione dello stesso dopo l'intervento di Corrado Penna; proprio a
questo punto volevo arrivare, aggiungendo ancora qualcosa. Lo spazio e il
tempo, spero siate d'accordo, sono, come scrive lo stesso Penna, un
attributo del pensiero e la geometria euclidea un sistema soddisfacente
dove collocare tali entità, ma sono fiducioso nella mente umana e ritengo
che per eliminare i paradossi non sia sufficiente eliminare lo spazio, il
tempo e il movimento, ma credo si debba ridefinire questi tre elementi in
una visione generale della struttura dello spazio-tempo, così come fece
Einstein. Mi spiego meglio, lo spazio e il tempo non sono più entità
distinte e saparate, ma un'unica entità, che entra in gioco qualora sia
necessario rapportare un oggetto rispetto a qualche altro, se nell'universo
ci fosse un solo corpo ci sarebbero lo spazio e il tempo?...
Ciao a tutti

che per eliminare i paradossi 
Quale sarebbe il paradosso da eliminare? Quello di Zenone? Io non
credo proprio. Se tutte le serie a termini strettamente positivi
fossero divergenti (come sostanzialmente pensava Zenone) allora
potremmo dire che la modellizzazione del tempo attraverso la "retta
reale" (uso una terminologia moderna) porta a un evidente contrasto
con la realta' (Achille supera la tartaruga nella realta' ma non la
raggiunge nel modello). In questo caso si sarebbe dovuto costruire una
diversa rappresentazione matematica del "tempo". Tuttavia da almeno
tre secoli sappiamo che la serie in questione e' convergente e quindi
il paradosso, inteso come "plateale divaricazione tra modello e
realta'" non e' tale. 
Questo *non* significa che altri esperimenti non possano indurci a
modellare il tempo (o lo spazio) in modo piu' sofisticato (e in parte
cio' e' gia' stato fatto in relativita' e nelle teorie quantistiche
della gravitazione). Significa pero' che il "paradosso" di Zenone non
sara' certo (mai) la causa o la motivazione di queste possibili e piu'
sofisticate modellizzazioni. 
Un ultimo commento: benche' di formazione matematica io non sono uno
di quelli che guardano dall'alto in basso i filosofi, perche' penso
che la filosofia abbia un ruolo utile e importante. Vorrei pero' che
chi discute di derivate, limiti, forme indeterminate, infinitesimi e
serie abbia almeno la comprensione di questi concetti che si puo'
ottenere da un serio studio di un testo universitario di Analisi I
(tanto per dire). 
Non voglio essere cattivo, ma in questo thread ne ho lette di tutti i
colori.
Una seconda osservazione. Qualcuno si dice stupito che dopo Zenone si
siano dovuti aspettare vari secoli per risolvere veramente il
paradosso. Il fatto e' che il calcolo infinitesimale *non* e' un
formato da concetti cosi' semplici, come a volte ci sembra. E infatti
ci sono voluti alcuni grandi geni per crearlo. La prova di questo e'
che, ancora oggi, con tutti i libri a disposizione, si sentono fare
(anche da persone di cultura) affermazioni orrende, che dimostrano una
mancanza di comprensione quasi totale dell'argomento (mi riferisco
anche a qualcosa che ho letto nel thread, oh yes). 
Ultimissima cosa, per i curiosi: su un numero di (forse) un anno fa di
"Le Scienze" e' stato pubblicato un articolo dove si risolveva
nuovamente il paradosso di Zenone usando la cosiddetta "analisi
non-standard" (di Robinson & C.). Mi aspettavo che qualcuno citasse
questo lavoro perche' mi sembra l'unica cosa nuova ma seria che sia
stata scritta in questi anni. E' anche un buon modo per imparare
qualcosa su questo (abbastanza) nuovo settore dell'Analisi Matematica.
Purtroppo a memoria non posso citare il mese ed il numero della
rivista.
Saluti a tutti.
-------------------------------
Maurizio Vianello                    
Dipartimento di Matematica         
Politecnico di Milano              
Piazza Leonardo da Vinci 32
20133 Milano, Italy   
E-mail: 
mau...@mate.polimi.it
fax: (39) 2 23994568

 rivista.
L'articolo di William McLaughlin è stato pubblicato su Le Scienze numero
317, Gennaio 1995.
Seria senza alcun dubbio ma poco convincente! Se qualche matematico ha
tentato di confutare i paradossi con i numeri non standard, forse era
convinto che il calcolo infinitesimale fosse insufficiente, non credi?
Ciao

tra Limite e lo spazio che Achille deve percorrere?
L'analogia risiede nel fatto che la somma di una serie e' un concetto
definito con l'ausilio del concetto di limite, cosi' come quello di
derivata e tanti altri.
Comunque: potete darmi un riferimento ad una trattazione filosofica
dove si mostri che il paradosso di Zenone e' ancora seriamente
rilevante per noi?
Ciao.


 rilevante per noi?
La trattazione non deve essere solo filosofica ma soprattutto fisica, in
somma epistemologica.
Non dico altro perchè ho sonno. 
Ciao a tutti.

Non dico altro perchè ho sonno. 
Ho guardato sul libro di Severino (storia della fil. antica) (il primo
che mi e' capitato a tiro). Dice che Zenone voleva difendere la teoria
di Parmenide con  i suoi paradossi, che vengono solo accennati senza
troppa convinzione, e dei quali si dice che abbiano stimolato la
riflessione matematica (vero, penso). L'opinione di Severino e' che
Parmenide non avesse bisogno della difesa  di Zenone. Il tutto e'
liquidato in mezza pagina, contro le numerose pagine dedicate a
Parmenide. Non sembra che Severino abbia un grande opinione di Zenone
e della sua rilevanza, se non storica. Conosci altre opinioni, magari
piu' entusiastiche?
Comunque ti segnalo una chicca che ti piacera'. Prova a leggere e a
sciropparti  la discussione del problema di Zenone che si trova a 
http://www.vordenker.de/gunther_web/gunther_web.htm
Si tratta di un filosofo tedesco (Gotthard Gunther, a me sconosciuto)
scomparso alcuni anni fa che discute il problema con un approccio
simile al tuo (mi pare). Comunque e' o sembra interessante, anche se
l'idea che dalla discussione del paradosso di Zenone possa discendere
una tecnica per i viaggi intergalattici (gli argomenti sono legati dal
"problema del moto") mi lascia perplesso (e un po' sorridente). Come
puoi vedere anche lui e' scontento della soluzione col limite, ma alla
fine dice che la teoria degli insiemi transfiniti di Cantor risolve il
paradosso in modo soddisfacente. In certi passaggi sembra invocare
(ante litteram) le idee che poi sono emerse con l'analisi
non-standard.
Devo dire che il suo articolo (diviso in tre parti) contiene alcuen
cose giuste (una bella presentazione delle idee di Cantor e del fatto
che i numeri reali sono non-numerabili ecc.) ma ben note ai
matematici, detto senza spocchia. Ad esempio che i punti contenuti in
un piccolissimi intervallo sono tanti quanti quelli di tutta la retta
reale, o addirittura di uno spazio a tre dimensioni. Queste sono cose
che stupiscono ancora i profani ma sono ben familiari ai matematici.
Ti soddisfa la sua "soluzione" del problema di Zenone?
Osservo infine che comunque anche nel caso di Gunther e degli autori
dell'articolo su Le Scienze le soluzioni prospettate sono ben
all'*interno* della modellizzazione *matematica* (limiti, numeri
iperreali, insiemi transfiniti che sia). Continuo a non vedere perche'
mai *non* dovremmo fare del paradosso un problema fisico-matematico, e
soprattutto quale sia l'alternativa.
Quando Gunther si lancia sui viaggi spaziali invece mi tremano i
polsi...Non vorrei si trattasse di uno di quei lavori dove c'e del
nuovo e c'e' del giusto, ma il giusto non e' nuovo ed il nuovo non e'
giusto...
Il buono di questa discussione e' che comunque mi ha fatto venire
voglia di imparare seriamente qualcosa di piu' sull'analisi
non-standard. Chiedero' a qualche esperto locale.
Grazie e ciao.
(Saro' assente fino a Martedi')


matematica?
"Magia"?? Se per te la logica è magia...
In questi tuoi ragionamenti c'è secondo me un pregiudizio essenziale: tu
credi che si possa stabilire una netta distinzione tra "pensiero matematico"
e "pensiero filosofico" e che non ci siano contatti tra di essi.
La differenza tra filosofia e matematica sta fondamentalmente negli
argomenti trattati e nell' utilizzazione, nella prima, di metodi di
ragionamento rigorosi, che comunque sono stati adottati in parte anche in
certi settori della filosofia.
E' senza dubbio vero che non tutte le teorie sono considerabili
"matematiche", una teoria matematica è caratterizzata da un gruppo di
assiomi e un linguaggio sintetico e rigoroso. Tuttavia qualsiasi
affermazione della matematica è in ultima analisi una tautologia che dice
"posto che siano veri gli assiomi, è vero questo": l' unico motivo che
potresti avere per rifiutarla è che non condividi gli assiomi. Insomma:
matematica=logica, rifiutare un ragionamento matematico=rifiutare la logica.
Il paradosso di Zenone consiste in una determinata affermazione paradossale
con a suo sostegno un ragionamento. Se ad un certo punto del ragionamento
dice "lo spazio è infinito perchè è somma di infiniti spazi" sta sbagliando,
l' affermazione o non ha senso o, se cerco di darglielo non posso fare a
meno di interpretarla come "la somma di infinite grandezze (numeri reali
positivi) è infinita (a forza di sommare riesco a superare qualsiasi
dimensione finita)" che è falsa.
E si vede subito che è falsa: la somma delle grandezze di cui parla Zenone è
ESATTAMENTE uguale all' intero percorso.
Credo che l' inganno consista in questo: poichè Zenone parla di raggiungere
fisicamente un luogo facendo varie tappe, si è portati a pensare che il
viaggiatore sia cosciente di aver raggiunto una determinata tappa: il
semplice pensiero "ho raggiunto questa tappa" richiederà un tempo che può
essere piccolissimo, ma se questo fosse pensato ad ogni tappa il tempo
necessario a finire il viaggio sarebbe davvero infinito!!! Possiamo muoverci
solo grazie alla nostra incoscienza!!
Per il paradosso di Achille, Zenone lo formula proprio in termini geometrici
e fisici: parla di velocità e distanze: è un problema di fisica!! Per
risolverlo in modo definitivo e rigoroso BISOGNA ricorrere alla definizione
di velocità. Il fatto che vengano poi tirate in ballo le serie non è una
gran "magia": è semplice applicazione della teoria degli insiemi, cioè della
logica.
Se vuoi si può provare a dare al ragionamento rigoroso un aspetto più vago e
fumoso, forse allora diresti che è filosoficamente accettabile? =)
Saluti!!
MarcoDiscens

l'idea di limite...
Non accettare il concetto di limite equivale a non accettare la teoria degli
insiemi. In tal caso sarei proprio curioso di sapere qual' è l' assioma
della teoria in questione che non si ritiene vero...
Saluti!!
MarcoDiscens
PS: A proposito dell' analisi non standard, sai se è stata dimostrata una
qualche equivalenza con l' analisi classica?

Rispondo a LordBeotian, Maurizio Vianello e Roberto sulla questione di
Zenone.
Per capire il problema vale forse la pena di effettuare un esperimento
immaginario.
Immaginiamo di riuscire a costruire una MACCCHINA INFINITESIMALE.
Questa non fa altro che sommare numeri sempre piu' piccoli che convergono
verso un determinato valore.  Il tempo necessario a fare ogni somma converge
anch'esso in maniera parallela, ovvero tende a 0 con il tendere a 0 del
numero sommato.  Secondo la Fisica criticata da Zenone questo e'
esattamente quello che fa Achille, a suo modo.
Avviamo la macchina, questa funziona per un po' e poi si ferma, ottenendo
proprio il risultato sperato.
Ora chiedo:
 1) quante operazioni ha effettuato la macchina?
 2) qual'e' l'ultimo numero sommato?
 3) quanto tempo ha impiegato a sommare l'ultimo numero?
 4) qual'e la velocita' della macchina quando somma l'ultimo numero.
 5) se a ogni numero e' associata una quantita' fisica (movimento meccanico,
    elettricita') che si riduce man mano che tende a 0 il numero sommato,
    quant'e' l'energia o il movimento associata alla somma dell'ultimo
    numero?
Secondo me (e credo Zenone) questa macchina e' impossibile, perche' farebbe
un numero di operazioni infinite in un tempo finito, avrebbe una velocita'
infinita (superiore a quella della luce?), l'ultima operazione sarebbe
indeterminata, avrebbe a che fare con movimenti o energie al di
sotto del quanto, anzi al di sotto di qualsiasi quantita' umanamente
immaginabile.
Ne concludo che il calcolo infinitesimale e' un ottimo strumento per
adattare un modello sostanzialmente inadeguato alla realta', superando per
escamotage gli enormi problemi teorici che derivano dalla sua applicazione
al mondo reale.
A proposito, infine, del discorso che non sara' Zenone a mettere in
discussione il modello matematico (Maurizio Vianello), direi che non avevo
alcun dubbio in proposito, perche' la storia insegna.  Fra Zenone e Leibniz
ci sono 2100 anni circa:  in quei 2100 anni nessuno aveva risolto il
paradosso eppure tutti continuavano ad usare il sistema criticato per
rappresentare lo spazio.  Cio' mi sembra dimostri che matematici e fisici
possono benissimo convivere con opzioni teoriche paradossali allo stato
corrente delle conoscenze (e corrente in questo caso significa "per 2100
anni").  Per loro cio' che conta e' l'efficacia anche limitata dei
calcoli e il fatto che quel determinato approccio e' condiviso dalla
comunita' dei dotti (cioe' rientra nel paradigma matematico-fisico), ma la
filofia e' diversa.
 Ciao
 Romano Tenca 

filofia e' diversa.
A nessun matematico o fisico piace convivere con i paradossi!! Tutte le
volte che in qualche teoria si è trovato un paradosso non risolvibile la
teoria è stata abbandonata, o la sua applicazione è stata ristretta in
ambiti in cui il paradosso non si potesse verificare. (Anche perchè in una
teoria matematica in cui è vera una contraddizione sono veri TUTTI gli
enunciati!!)
Il paradosso però DEVE interessare la teoria: se formulando il paradosso di
Zenone in meccanica classica si fosse giunti ad un risultato non rispondente
alla realtà avresti ragione. Ma finchè non è stato  elaborato il calcolo
infinitesimale il "paradosso" di Zenone NON poteva interessare la meccanica
classica, perchè non si poteva formalizzare il ragionamento di Zenone, nè
dimostrare matematicamente che il tempo impiegato da Achille fosse infinito.
Dopo che è stato elaborato il calcolo infinitesimale il "paradosso" di
Achille è diventato formulabile anche nella meccanica classica e non ha
portato a nessuna contraddizione.
Saluti!! =)
MarcoDiscens

ci fosse un solo corpo ci sarebbero lo spazio e il tempo?..
Se non c'e' un essere cosciente che osserva e misura non c'e' un bel 
niente, perche' spazio e tempo sono concetti umani posti dall'uomo per 
comprendere la realta' attraverso certi modeli
Se poi vogliamo divertirci a fare metafisica possiamo scrivere trattati su 
argomenti del tipo: "se tralasciamo il fatto che il tempo e lo spazio sono 
concetti posti da un essere cosciente, potremmo affermare che il tempo e
lo 
spazio possono esistere inpresenza di un unico corpo?"
--- OffRoad 1.9t unregistered

delle varie tappe che sta raggiungendo.
Replico per ora solo a questa tua affermazione.  Nemmeno la macchina
infinitesimale e' cosciente delle varie tappe.  Pertanto, se e' solo per
questo, e' del tutto identica ad Achille:  entrambi percorrono, a loro
modo, una serie convergente; uno somma spazi, l'altro entita' fisiche
(movimenti, energie) la cui interpretazione umana, per pura convenzione, e'
"somma di numeri".  Se la macchina non puo' esistere, non puo' esistere
nemmeno Achille, il che e' assurdo (a meno di non privilegiare la
matematica sull'esperienza).  Ora cio' deriva dall'aver applicato la retta
allo spazio, ne consegue che questo modello e' errato.
 Ciao
 Romano Tenca 


Non sono un esperto del ramo, ma leggo che (cito)
"e' stato dimostrato che ogni teorema di Analisi non-standard ha un
equivalente in Analisi moderna (cioe' classica (M.V.))"
La citazione e' dal Pagani-Salsa. Sandro Salsa e' un esperto.
Saluti,
Maurizio


immaginabile.
Questo e' un modo di complicare un problema trasformandolo in qualcosa
di piu' fumoso invece di andare all'essenziale (cosa sono le quntita'
umanamente immaginabili? Come e' definita la velocita' della
macchina?). La mia impressione e' che se vogliamo mantenere un senso a
questa analogia dobbiamo dire che Achille e' questa macchina, e non
capisco perche' l'esistenza di Achille sia impossibile. Achille
transita da *infinite* posizioni dello spazio, percorre *infiniti*
intervallini di spazio in tempi sempre piu' brevi, e come conseguenza,
percorre in un tempo finito uno spazio finito, con una velocita'
finita.  Se vogliamo possiamo calcolare l'energia dissipata a causa di
attriti e anche questa dara' un risultato non paradossale. 
Io credo che tutto il disagio venga dalla difficolta' di *pensare
l'infinito*. Nemmeno i matematici *pensano* l'infinito, tanto quanto
non pensano gli spazi a 34 dimensioni (per dire). Ma hanno elaborato
tecniche che permettono di maneggiare gli infiniti (e gli spazi a 34
dimensioni) senza cadere in paradossi, almeno a questo livello (come
vedete sono cauto, qui si discute di Zenone e non d'altro). Ci sono
tecniche per tutti i gusti (ho citato altrove l'analisi non-standard,
se qualcuno vuole approfondire). 
Se vogliamo creare della suggestione non c'e' bisogno di tirare in
ballo macchine. Basta pensare che i numeri reali compresi in un
qualsiasi intervallo della retta reale (quindi anche quelli
corrispondenti alle posizioni occupate da Achille) sono tanti quanti i
punti dell'universo (tanto per dire). E Achille li attraversa tutti in
poco tempo. E lo stesso vale per gli istanti compresi in un intervallo
di tempo. Difficile da pensare, vero? Eppure e' cosi', se uno accetta
la modellizzazione fisico-matematica. Si puo' non farlo, per mille
motivi  mistico-filosofico-religiosi, ma continuo a credere che
nessuno di questi motivi possa essere giustificato dal "paradosso" di
Zenone, dove l'accordo fra realta' percepita e modello e' perfetto.
Comunque rinnovo il mio appello: conoscete una trattazione filosofica
moderna e seria in cui il problema di Zenone (o la sua storia) vengano
rivisti criticamente? Questa sarebbe una segnalazione utile, piu' che
continuare ad avvitarci sugli stessi discorsi.
Ho in mente qualcosa ma devo controllare. Vi faro' sapere.
Qualcuno ha guardato le pagine web che ho segnalato?
Ciao.


 non-standard. Chiedero' a qualche esperto locale.
Hai ragione, comunque vada questa discussione non può che giovare ad
entrambi, a me ad esempio è servita per smussare alcuni angoli e vedere con
maggiore chiarezza il problema.
Saluti

 spazio possono esistere inpresenza di un unico corpo?"
Ma questo che vuol dire, forse che se non c'è l'uomo non esiste l'universo?
se io non esisto non esiste nemmeno la sedia che mi sorregge? Questa realtà
esiste così come esistono infinite realtà potenziali. Lo spazio e il tempo
non hanno raggiunto ancora una vera e propria collocazione, ci sono fisici
come Zichichi che credono nella loro esistenza altri invece che ritengono
siano modelli, come noi due. Riuscire a districare la matassa non è affatto
semplice, si deve ripartire dai concetti primitivi, definirli rigorosamente
e mai dimenticare che nulla è dato per scontato. La domanda finale che ho
fatto non necessita di critiche o almeno non di questa, il suo unico
significato era quello di mettere in evidenza il carattere relativistico
delle due entità.
Saluti Roberto

meglio ragionare su concetti, visto che il modello mat. fa delle grinze.
QUALI????
Saluti!! =)
MarcoDiscens
________
"Divino Buddah, qual' è la migliore domanda che si possa fare, e quale la
migliore risposta che le si possa dare?"
"La migliore domanda è quella che mi hai fatto, la migliore risposta questa
che ti sto dando".

allo spazio, ne consegue che questo modello e' errato.
Lasciamo da parte il discorso della "coscienza" visto che potremmo
rimpiazzare Achille, ad esempio, con una sfera che rotola a velocità
costante.
Il fatto che la macchina di cui parli sia "logicamente" impossibile va
dimostrato e io ammetto di non saperlo dimostrare in modo rigoroso. Il
problema principale di una tale macchina credo che sia la sua "memoria": ci
deve essere una qualche memoria che tiene conto della somma fatta e del
numero n. Il contenuto di questa memoria varia continuamente eppure ad un
certo punto si dovrebbe fermare, il che è una contraddizione: se per ogni
numero che è in memoria, esiste un momento in cui quel numero cesserà di
essere in memoria allora nessun numero naturale sarà in memoria alla fine;
ma d' altro canto la memoria non viene mai svuotata, quindi deve sempre
contenere un numero, anche alla fine: contraddizione.
Per Achille invece non mi sembra che sia possibile ricavare nessuna
contraddizione, se riesci in qualche modo a trasportare la contraddizione
relativa alla macchina infinitesimale al caso di Achille fammelo sapere,
perchè avresti dimostrato la contraddittorietà dell' Analisi, della teoria
degli insiemi e forse anche dell' aritmetica!! =)


continuare ad avvitarci sugli stessi discorsi.
Dispongo di bibliografia su Zenone e sul concetto di Infinito, ma non mi
sembra quello che tu cerchi.  Non posso quindi esserti utile: d'altra
parte credo si possa discutere ugualmente anche senza ricorrere al
principio d'autorita'.
 Ciao
 Romano Tenca 

filofia e' diversa.
Beh, sembra che Aristotele gia' ritenesse di aver confutato Zenone e
quindi c'erano gia' "argomenti"filosofici" per ritenerlo non cosi'
devastante... 
Infine: sul libro di Giorello ho trovato una bella citazione di
Borges:
"Io so di un labirinto greco che e' una linea unica, retta. In questa
linea si sono perduti tanti filosofi. Ma il buon matematico, assistito
da Dio, non si smarrisce."
Non ho capito se e' proprio corretta, per una questione di virgolette.
Qualcuno ha idea della provenienza esatta?
Ciao.


quantita' non numerabile). 
Una macchina e' un oggetto fisico, la retta matematica e' un oggetto
ideale !
Ad un entita' ideale posso attribuire tutte le proprieta' che voglio.
Le proprieta' di un oggetto fisico sono invece vincolate dalle leggi
della natura.
Giovanni

della natura.
Lo so. Ma dobbiamo stabilire il "livello di realta'" a cui si colloca
la "macchina infinitesimale".
Mi spiego meglio.
Nel mondo reale, fatto di carne, ossa e orologi svizzeri, Achille
insegue la Tartaruga e la supera inevitabilmente dopo un certo tempo
(di cio' non ha mai dubitato nemmeno Zenone). Pero', se ci pensiamo
bene, vediamo che la nostra descrizione di tutto questo sottintende
una certa quantita' di convenzioni e approssimazioni. 
Quando possiamo dire che Achille raggiunge la Tartaruga? Come sa bene
chi ha visto l'arrivo di una gara di atletica deciso al fotofinish la
questione non e' banale. Sara' sufficiente che il piede di Achille
superi il muso della Tartaruga, o dovra' essere il petto di Achille ad
essere piu' avanti? E dovremo tenere conto dello spessore della
corazza di Achille nel determinare il momento del sorpasso, oppure no?
E come misuriamo il "tempo"? Con un orologio svizzero, ovviamente. Ma,
come sappiamo, potremo solo dire che Achille impiega 10 secondi netti,
a meno di un errore di alcuni millesimi, per esempio. Magari faremo
meglio con un orologio piu' costoso, ma il problema resta.
Tutto banale, questo.
Bene. Allo stesso "livello di realta'", quello fatto di carne, ossa e
orologi svizzeri, la macchina infinitesimale gia' esiste. Un
qualunque PC calcola la somma di una serie in un tempo finito, senza
problemi. Certo, lo fa accettando simili convenzioni e
approssimazioni. C'e' una soglia di approssimazione al di sotto della
quale non puo' scendere. Questo dipende dal software, dall'hardaware e
da altri fattori (usando un Cray (i PC svizzeri non hanno grande fama)
si potra' fare meglio). Comunque ripeto: allo stesso livello di
realta' di un vero Achille olimpionico e' banale il problema "Achille
raggiunge la Tartaruga?" ed e' banale il problema "Calcoliamo la somma
di una serie convergente con una macchina". 
Bisogna pero' restare allo stesso livello di realta', con le stesse
regole e lo stesso insieme di "convenzioni e approssimazioni"  di
natura tecnologica e fisica.
A questo punto si puo' dire: Ma noi semplifichiamo il problema e lo
rendiamo non-ambiguo e "perfetto" pensando ad Achille e alla Tartaruga
come "punti geometrici" in moto sulla retta reale. Cosi' sappiamo
definire senza ambiguita' cosa significhi "Achille raggiunge la
Tartaruga": niente problemi di fili di lana, piedi, corazze e altre
scelte convenzionali. E pensiamo agli istanti di tempo come punti di
un continuo monidomensionale orientato, cioe' ancora la retta reale.
Niente orologi svizzeri, dunque. Il problema e' ora chiaro e
rigorosamente posto.
Gia', ma avete mai "visto" un punto geometrico? Sara' contento
Achille, fatto di carne e ossa, di essere ridotto a un ente geometrico
"privo di estensione", come dicono i libri di geometria elementare?
E allora? Beh, in questo modo di "porre" il problema abbiamo fatto
senza pensarci troppo una scelta drastica. Per essere rigorosi nella
formulazione abbiamo scelto di "tuffarci" nel mondo della matematica,
dal mondo fatto di carne, ossa e orologi svizzeri. Siamo ora in mondo
di enti geometrici senza dimensione e istanti di tempo pensati come
numeri reali, e moti a velocita' costante pensati come funzioni
definite dalla retta dei tempi a quella dello spazio. Siamo a un altro
"livello di realta'", in un certo senso.
Abbiamo scelto di fare questo salto. Adesso dobbiamo giocare all'unico
gioco possibile su questo terreno. Il gioco della matematica, dove si
sommano *esattamente* ( e senza approssimazione) serie di infiniti
addendi, dove i punti di un piccolo intervallo della retta reale sono
tanti quanto i punti di uno spazio a n dimensioni, e tante altre cose
ancora. E in questo mondo il nostro Achille_punto raggiunge la nostra
Tartaruga_punto sommando in un tempo finito una quantita' infinita di
segmenti  e transitando da una infinita' di posizioni in infiniti
istanti di tempo...
Se vogliamo essere alla moda possiamo anche risolvere il problema
usando l'analisi non-standard. Ma il gioco e' sempre quello. Di
Matematica si tratta, comunque.
E cosa scopriamo? Che Achille_punto si comporta in un modo che
assomiglia molto a quello di suo cugino Achille_carne-e-ossa:
raggiunge la Tartaruga in un tempo matematico che e' molto, molto
simile a quello misurato dall'orologio svizzero...
Possiamo fare a meno della Matematica? Certo. Possiamo rifiutarci di
porre il problema di Achille in termini fisico-matematici? Certo.
Infatti, le persone di buon senso, che non sanno (e non pretendono di
sapere) *nulla* di matematica, sbadigliano quando sentono parlare di
Achille_punto, chiudono il PC (o il libro), e preferiscono accendere
la TV, dove ci sono le Olimpiadi. Ma lo spettacolo e' noioso:
Achille_carne-e-ossa vince sempre.


Ciao.
 Ciao
 Romano Tenca 

problemi.
Su questo non sono d'accordo.  La macchina infinitesimale calcola una serie
infinita in un tempo finito.  Nessun computer attuale e' in grado di farlo.
Perche' cio' possa avvenire abbiamo dovuto immaginare una macchina che
impiega a ogni somma un tempo proporzionale alla grandezza del numero
sommato.
La cosa che mi sorprende riguardo a questa macchina e' che essa nel momento
in cui realizza questa somma cessa di essere una macchina digitale per
divenire analogica.
Riesco fra l'altro a immaginare concretamente tale macchina solo se dotata
di una memoria analogica, non digitale.  Per esempio se la memoria e'
rappresentata non da rele', ma da un segmento che si allunga ma mano
che cresce la somma.  Altrimenti dovendo aprire o chiudere rele' (o quello
che volete) a velocita' infinita, la macchina richiederebbe una velocita'
fisica superiore, come minimo, a quella della luce.  Mi chiedo anche quanti
rele' debba contenere una memoria capace di rappresentare quantita' piccole
a piacere:  infiniti, senza dubbio (anche in floating point).  A meno di
non immaginare circuiti (comunque intesi) che si riducono di ampiezza a
seconda del valore del numero rappresentato (come il segmento citato),
dobbiamo immaginare una memoria digitale che occupa uno spazio infinito.
L'ipotesi dunque di una macchina digitale che si comporti come Achille ha
condotto in fin dei conti a immaginare una macchina analogica.  E questo
sembra confermare l'ipotesi di partenza, che la descrizione di Achille
operata dalla matematica non corrisponda alla realta'.
Mi chiedo anche se ci sia un rapporto fra il problema qui illustrato e la
non numerabilita' del continuo (Cantor).  Chiedo a questo proposito il
vostro parere.  Non e' che quello che questa macchina tenta sia di mettere
in corrispondenza biunivoca il continuo con un insieme numerabile (le
operazioni di somma)?
 Ciao
 Romano Tenca 

mai la TV. Queste persone non si chiamano Fisici, ma filosofi.
Io credo che la riflessione Filosofica non possa (sbaglio?) mettere
"fra parentesi" i modelli Fisici o Matematici. E' vero che essa ha un
suo campo di ricerca autonomo, ma mi sembra impossibile non ritenere
(ad esempio) le riflessioni di Cantor sull'infinito un patrimonio del
pensiero filosofico moderno. Si puo' considerare Cantor un "tecnico" e
metterlo fra parentesi, andando avanti a parlare di Zenone e di
infiniti come se nulla fosse? Questo e' solo ho un esempio, ma io ho
molti dubbi, e non credo infatti che sia cosi' . Infatti la mia
curiosita' di riferimenti culturali non era dettata dalla ricerca di
un principio di autorita'. Volevo solo capire se nella ricerca
filosofica contemporanea ci si pone il problema di Zenone e lo si
pensa esattamente come se nulla fosse successo da allora (*anche* in
campo matematico). Ammesso che questa discussione sia ancora
considerata una parte viva e vitale della ricerca filosofica, del che
*non* sono convinto...
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Quanto al fatto che la macchina starebbe tentando di costruire una
corrispondenza biunivoca con i numeri reali non mi pare. I termini
della successione delle somme parziali il cui limite e' pari alla
somma della serie non vengono mai posti in corrispondenza biunivoca
con i numeri reali o con un loro sottoinsieme *continuo*, neanche da
un punto di vista astrattamente matematico.
Quello che e' vero e' che la retta reale e' costruita immergendo il
corpo dei razionali nel campo costruito con le classi di equivalenza
di successioni C-convergenti di razionali stessi. In questo senso
abbiamo una *immersione* nel continuo. Ma qui il discorso diventa
(troppo?) tecnico, e non ne vedo la necessita', almeno mi sembra.
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Nella realta' abbiamo Achille e la tartaruga che percorrono una
lunghezza; quindi ci poniamo la questione del fatto che Achille supera
la tartaruga.
Poi ci rappresentiamo una linea (il percorso di Achille semplificato)
COME UN INSIEME DI PUNTI.
Chiedo:
Perche' mai diamo per scontato che una linea sia costituita da punti ?
(ATTENZIONE, una cosa e' individuare un punto su una retta e un altra
cosa e' dire che la retta -e' costituita da punti- !)
Perche' il "continuo", che dovrebbe significare la linea geometrica,
ossia l'insieme dei suoi punti, dovrebbe avere proprio cardinalita'
aleph_1 e non aleph_2 o 3 o altri valori ?
La famosa "ipotesi del continuo" afferma che tra la cardinalita' dei
numeri interi e quella del continuo non ci sono cardinalita'
intermedie. Ma non si pone in questione che la "quantita'" dei punti
di una retta sia aleph_1 !
Mi pare che nella discussione, pur tra opinioni opposte, tutti abbiano
sempre dato per scontato che una linea sia costituita da punti, da
infiniti punti. Ma questo non e' per nulla pacifico.
C'e' un paradosso ben piu' sosprendente di quello di Zenone:
e' il paradosso di Banach-Tarski.
Secondo il quale e' possibile sezionare una sfera in un numero finito
di pezzi, e ricomporli a formare DUE SFERE ognuna della stessa
dimensione di quella iniziale !!!
Ebbene, se il paradosso di Zenone e' eliminabile grazie alla
matematica moderna, e' proprio la matematica moderna a supportare di
tanto di dimostrazione il paradosso di Banach-Tarski !
Resta il fatto che nella dimostrazione vengono manipolati solo dei
PUNTI, dando per scontato che le sfere sono costituite solo da punti.
Per me questa e' una vistosa manifestazione dei problemi a cui si va
incontro considerando gli enti geometrici costituiti da punti.
D'altra parte, posto che siano costituiti da punti, basta riflettere
un attimo sul come si puo' dimostrare la cardinalita' di tali punti
(si dice appunto che sia aleph_1) !
Ciao
Giovanni
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