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Titolo: Interfaccia e frattali

Più ci penso e più mi piace, questa cosa...
Se un cervo attraversa un prato, percorre diciamo venti metri. Ma una
formica ne percorre di più, dovendo scavalcare ostacoli che per il cervo
sono irrilevanti. E un acaro ancora di più, chè per lui son valli e dossi
quelli che per la formica erano piani.
Il tronco di un albero è per un picchio la superficie di un tronco di cono,
funzionalmente liscia. Per un insetto le corrugazioni entro un certo ordine
di grandezza fanno parte della superficie, che così si amplia. E per un
protozoo sono superficie anche quelle pieghe che per l'insetto costituivano
un piano.
L'interfaccia fra la terra e l'atmosfera (o l'acqua) è frattale. Il che
significa che quanto più piccolo è l'organismo, tanto più grande è il
pianeta su cui abita! :-)
(Uh, _se_ è un organismo terrestre o bentonico, beninteso. Non funziona per
il mare aperto, ad esempio...).
Ora, mi chiedevo (vi chiedevo): qualcuno sa _quanto_ è più grande? Quanto
aumenta la superficie al diminuire di un ordine di grandezza delle
dimensioni del corpo?
Danilo
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 L'interfaccia fra la terra e l'atmosfera (o l'acqua) è frattale.
??? in che senso?
fuzzy

Mandelbrot nel suo libro "I frattali: forma, caso e dimensione" parla
proprio di questo problema, sebbene riferito ad un ambito leggermente
diverso, nel capitolo "quanto è lunga la costa dell'Inghilterra".
Se non ricordo male, la conclusione a cui giunge è che la costa
dell'Inghilterra ha una lunghezza infinita. Un po' come la curva di Von
Koch.
Lo so, questo non risponde alla tua domanda, che probabilmente risposte
certe non ne ha, ma è un indizio... :)
Ciao!
Marco

 Koch.
Si. Conosco.
C'e' differenza pero' tra una figura ottenuta con funzioni frattaliche
e
i fiordi reali. Le funzioni frattaliche sono iterabili all'infinito, i
fiordi hanno
invece una struttura finita. E non ci sarebbe neanche bisogno di
scomodare
i frattali, basta citare i numeri trascendentali (pi-greco o nepero,
sqrt(2), ecc.
ecc.): con lo stesso ragionamento (vecchio come melisso di samo e
zenone)
si potrebbe dire che un cerchio ha una circonferenza infinita.
C'e' anche da dire, cosa non secondaria, che i frattali hanno forma
scalabile
quindi IDENTICA, perche è la stessa funzione che viene iterata, i
fiordi no.
Sappiamo che nella realtà se cambi scala cambiano anche molte altre
cose.
Quindi io sottolineerei che i frattali possono costituire una
idealizzazione
(approssimazione) di alcune strutture reali, ma non li identificherei
con esse.
ciao
fuzzy

 con esse.
No, sono d'accordo. Ma quello che diceva Mandelbrot č pressapoco questo:
piů si scende nel dettaglio in una mappa, piů togliamo approssimazioni e
arrotondamenti, quindi piů appaiono dettagli che prima ci sfuggivano o
non consideravamo rilevanti, con conseguente aumento della lunghezza da
considerare.
Non č una struttura frattale, manca l'importantissimo requisito
dell'autoripetizione, ma ha con i frattali una buona somiglianza.
Esistono altre strutture naturali che si avvicinano molto di piů alla
idelizzazione frattale, ma qui usciamo dall'argomento... :)
Ciao!
Marco

 dimensioni del corpo?
In generale dovrebbe dipendere dallo specifico corpo che consideri: il
grado di scabrosità di un oggetto qualsiasi al dimimuire della scala a cui
lo consideri molto probabilmente non è costante, perlomeno se ti tieni
abbastanza lontano dalle dimensioni atomiche. 
Per definire il problema che hai posto in senso quantitativo-sperimentale
credo si dovrebbe procedere schematicamente in questo modo. 
1) Definizione dell'oggetto d'interesse: prato d'erba, corteccia di un
albero, sabbia, etc;
2) esecuzione di una successione di fotografie in sequenza a ingrandimenti
sempre più spinti (anche con il microscopio elettronico se vuoi);
l'ingrandimento utilizzato definisce la scala di lunghezza del dettaglio
minimo;
3) per ogni fotografia, e quindi per ogni scala di lunghezza del dettaglio
minimo, stima della lunghezza di un tratto di percorso (sempre lo stesso
al procedere degli ingrandimenti);
4) infine, una stima grossolana della dimensione del più grande elemento
fisico che un animale di una data scala è in grado di percepire come
"piano", la puoi ottenere dividendo per 10 la sua lunghezza (esempio: un
insetto di 1 cm percepirebbe come "piane" granulosità di dimensione 1 mm o
inferiori).
Sulla base di ciò dovresti poter ricavare qualche numero e magari (forse,
chissà) una forma specifica per la leggi di scaling che cerchi. 
Saluti,
Aleph 
 
 
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 minimo;
       se assumiamo che la scabrosita' di un oggetto segua una
       sua legge di distribuzione di probabilita' non nota, caratteristica
       di una determinata scala, dovremmo allora predisporre anche un
       metodo di campionamento e una dimensione campionaria al fine di
       ottenere un valore rappresentativo della scabrosita' per un dato
       oggetto (o materiale costituente).
       Mi chiedo anche di quanto aumenterebbe l'errore di misurazione
       al diminuire della scala.
    -- LaMolla


danilo wrote:
altri anche sono arrivati alla tua stessa conclusione.
Qui c'e' un articolo (in inglese) che magari puoi trovare interessante
http://www.blackwell-synergy.com/doi/full/10.1111/j.1461-0248.2006.00902.x
altre info qui:
http://www.blackwell-synergy.com/links/doi/10.1046/j.1365-2699.1999.00303.x

Sě, ok, mi pare di capire il punto. Ogni materiale č diverso, l'argilla non
č terriccio, e neppure basalto, e se poi sopra ci cresce una foresta
pluviale le cose cambiano un tantino. Ogni materiale č liscio o scabroso a
intervalli dimensionali diversi, qualcosa del genere...
Ma a me serviva solo una stima a braccio, un ordine di grandezza. Ad
esempio, si potrebbe usare come traccia la famosa costa dell'Inghilterra di
cui sopra. Nessuno se la sente di sbilanciarsi?
Diminuendo di un fattore dieci le dimensioni dell'organismo, lo spazio in
cui si muove aumenta (in media e a occhio) dello 0,1%, dell'1%, del 10%, del
100%, o che?
Danilo


 ...
In realta' Mandelbrot fornisce diverse definizioni di dimensione
frattale (e debbo dire che non mi e' chiaro se e quando si possa dire
che daranno lo stesso risultato...).
La definizione che mi sembra piu' semplice da spiegare e' questa
(Pontrjagin-Schnirelman).
Scegliamo un raggio a, e cerchiamo di ricoprire il nostro arco di
curva con cerchi di raggio a, usandone il minor numero possibile. Sia
N(a) questo numero.
E' intuitivo che per una curva regolare N(a) e' inversamente
proporzionale ad a, quando a diventa molto piccolo: N = k*(1/a).
Se invece vogliamo ricoprire una superficie, N(a) crescera' come
1/a^2: N = k*(1/a)^2.
Si vede dunque che l'esponente di 1/a da' la dimensione dell'oggetto
(curva regolare, area, o altro).
Ne segue la definizione (non del tutto precisa, ma adeguata per il
nostro scopo):
D = lim (a-->0) log(N)/log(1/a).
Nel caso di una curva geometricament autosimile, si puo' dare un'altra
definizione (piu' semplice), che non dico per brevita', ma che si
dimostra fornire lo stesso risultato.
Invece la definizione data sopra non richiede l'autosimilitudine.
Naturalmente, dato che si deve mandare a-->0, la definizione non e'
praticabile su oggetti reali.
Ma ripeto: questo in fisica succede sempre. Basta la definizione di
velocita' istantanea...
 
-- 
Elio Fabri

 1-D, where D is the fractal dimension."
Mi permetto di far notare il modo capovolto di ragionare di M.
"...interprets coastlines as approximate fractal curves"
In realtà è esattamente il contrario: sono i frattali che sono
un'approssimazione delle coste, non viceversa. Qualcuno sorriderà, ma
non è un inversione tanto innocente, secondo me.
fuzzy

 cui sopra. Nessuno se la sente di sbilanciarsi?
 
   non ne ho la piu' pallida idea :-)
 
  -- LaMolla


 non ne ho la piu' pallida idea :-)
Si vede che non hai letto il mio post precedente...
Ti capisco, perche' per molti avra' avuto un aspetto orrendamente
matematico :-)
Ma vale qui il solito detto: se non si fa un discorso matematicamente
accurato, ci si perde "in un oscuro laberinto". Ovvero, detto piu'
alla buona, si fanno solo chiacchiere :-)
Comunque ripeto la frase essenziale: la dimensione frattale della
costa dell'Inghilterra e' stimata (in base alle misure di
Richardson) a 1.25.
Il che vuol dire che il numero di cerchietti di raggio a che la
ricoprono cresce non come 1/a, ma come (1/a)^(5/4).
 
-- 
Elio Fabri

il modello andra' applicato con le dovute cautele.
...sarebbe piu corretto dire che è il modello ad essere
un'approssimazione
e l'oggetto reale ad essere "perfetto".
Dettagli irrilevanti, come alcuni dei tuoi... pero', da buon empirista,
mi piace sottolinearli.
fuzzy

 100%, o che?
Se applichi la formula riportata da Fabri relativamente alla geometria
frattale (approssimata) delle coste inglesi otterresti che per ogni
fattore 10 di diminuzione del raggio caratteristico a (che fissa il
livello di dettaglio a cui stai osservando la costa, quasi fosse il potere
risolutivo di un micoscopio) otterresti una maggior lunghezza di circa un
fattore 18, ovvero il 1800% circa.
Questo discorso si applica però alla variazione del "perimetro"
complessivo di uno stesso tratto di costa al variare del parametro a e, a
mio parere, non risponde, nemmeno approssimativamente, alla tua domanda: a
te non interessa in realtà la lunghezza complessiva della costa al variare
della scala, ma piuttosto, ipotizzando la fattispecie di una costa
sabbiosa, come varia, al diminuire delle dimensioni, la scala
caratteristica delle ondulazioni sulla sabbia, fino ad arrivare ai singoli
granelli e, ancora oltre, alla loro specifica rugosità.


 granelli e, ancora oltre, alla loro specifica rugosità.
Quello che interesserebbe a me è ancora più complicato, temo :-) Mi
piacerebbe sapere come varia lo spazio tridimensionale utilizzabile da un
organismo al variare della sezione del suo corpo perpendicolare alla
direzione di avanzamento...
Vabbè.
Però se io assumo la costa dell'Inghilterra come _una_ misura di rugosità
specifica, e (incrociando le dita) spero che non cada troppo vicino ad una
coda della gaussiana, allora potrei avere un'idea dell'ordine di grandezza
dell'aumento del percorso lineare necessario per andare dal punto A al punto
B al variare della grandezza (uh, della lunghezza?) dell'organismo stesso.
Sbaglio?


 Sbaglio?
La formula considerata si riferisce al perimetro della costa inglese e non
è affatto sensibile alla natura mutevole del suo immediato entroterra. In
altre parole non contiene alcuna informazione sulla "rugosità specifica"
dei singoli tratti di costa: spiagge sabbiose, ghiaiose, a ciottoli,
pietrose, etc., sono trattate allo stesso modo. Mentre lo spazio
disponibile agli organismi nel senso da te specificto dipende
*criticamente* dal tipo di superficie fisica che consideri (rugosità
specifica, appunto).


 specifica, appunto).
Sì, ok. Ma tu dici che la rugosità della costa inglese non può assolutamente
essere paragonabile, almeno come ordine di grandezza, ad una ipotetica
rugosità media terrestre? Ovvio che non sarà uguale a quella di una foresta
pluviale, o di una colata di vetro vulcanico, ma non ci si può mica mettere
a misurare ogni microambiente al mondo...
Si potrebbe magari controllare se il valore risulta simile, ad esempio, a
quello dello sviluppo radicale di un albero. Al diminuire del diametro delle
radici aumenta il loro sviluppo, e le radici sfruttano la rugosità del
terreno. Può essere un'idea?


 direzione di avanzamento...
In che senso, scusa? Chiarisci meglio.
Potrei dire che lo spazio "utilizzabile" è funzione di tante cose, a 
cominciare dalle risorse, altrimenti un organismo non se ne interessa.
O no?
Ciao
-- 
Andrea
***
"Scusate, ma com'è fatta l'avena?!"
"Ma che ne so'..."
"Beh... sarà a fiocchi"
(Notte prima degli Esami - 2005)
Nessun popolo dovrebbe temere
il proprio governo.
Sono i governi che devono sempre
temere il Popolo.
(V, Vendetta - 2006)

 terreno. Può essere un'idea?
Non saprei... mi sembrano problemi diversi. 
Ma la diemnsione frattale delle radici la conosci?


 fattore 18, ovvero il 1800% circa.
Dimentica il conto di sopra: poiché l'andamento della lunghezza della
costa inglese secondo Richardson, reinterpretato in base alle idee di
Mandelbrot,
varia con la dimensione frattale nel modo seguente:
L(a) = k*(a)^[1 - D]
essendo la dimensione frattale  
D = 1,24 la (1) diventa:
L(a) = k*(a)^-0,24
e quindi per ogni fattore 10 di diminuzione del parametro a si guadagna un
fattore 1,74 circa, ovvero il 174%.


 mi piace sottolinearli.
   dettagli irrilevanti la cui inutile puntualizzazione un buon empirista
   avrebbe evitato. ;-)


 alla buona, si fanno solo chiacchiere :-)
   non sempre si fanno solo chiacchiere, il linguaggio naturale lo si
   usa comunemente anche per spiegare un'equazione ma e' evidente
   che la matematica nonostante i suoi limiti e' un linguaggio preciso
   ed economico e per la descrizione degli aspetti quantitativi di molti
   fenomeni direi irrinunciabile.


    avrebbe evitato. ;-)
Ma infatti non sono un buon empirista, sono costruttivista (una
posizione che qualcuno confonde con una qualche forma di  idealismo, ma
non c'entra un piffero). :-)
ciao
fuzzy

 fattore 1,74 circa, ovvero il 174%.
Abbi pazienza con un analfabeta matematico...Qui si sta parlando di
lunghezze, giusto? Ma se questo parametro, _per ipotesi_, fosse un parametro
medio della rugositą dell'interfaccia, e io volessi applicarlo alle
superfici, dovrei elevarlo al quadrato?


 Ma la diemnsione frattale delle radici la conosci?
No. Ho provato a chiedere, ma sembra che ci siano delle difficoltà (radici
di diametro diverso hanno funzioni diverse, ad esempio, controllate dal
bauplan della pianta). Ti (vi) viene in mente qualche altro dato che possa
essere messo a confronto con quello della costa inglese? Potrebbe avere un
senso la curva granulometrica della sabbia di varie spiagge? O la capacità
di assorbimento d'acqua di vari tipi di suolo? Non so, non sono molto
lucido...
Quel fattore di 170 e rotti per cento...Mi ricorda un po' la metà di pi
greco, cioè il fattore per cui va moltiplicata la distanza fra la sorgente e
la foce per approssimare la lunghezza di un fiume che scorra in territori
ragionevolmente piani. Ma immagino che non c'entri proprio nulla.


 superfici, dovrei elevarlo al quadrato?
Passando alle superfici le cose si complicano un po'.
Se si suppone (per semplicità, ma non sempre è così) che la superficie
considerata sia isotropa, allora la sua dimensione frattale è esprimibile
come:
D = 1 + D_lin 
dove D_lin è la dimensione frattale di un percorso lineare qualunque sulla
superficie stessa. 
La relazione tra superficie e parametro di scala a diventerebbe:
S(a) = k*(a)^[2 - D]
e con il valore di D_lin = 1,24 della costa inglese avremmo:
S(a) = k*(a)^[2 - D] = k*(a)^[-0,24],
che è lo stesso tipo di andamento che si ha per la linea di costa. 
In effetti sembra un risultato un po'strano, ma non mi pare di aver
sbagliato i calcoli.


 lucido...
Non lo so, ma in rete ho trovato qualche link interessante. 
In uno mi pare fosse riportata la dimensione frattale di una corteccia
d'albero (non ricordo che tipo di albero), mentre altri lavori, piuttosto
elaborati, hanno studiato l'influenza della limitata mobilità, dovuta alla
natura frattale del microambiente vegetale (piante) sul rapporto
preda-predatore in alcune specie d'insetti. Dal punto di vista matematico
mi pare che considerassero gli effetti del random-walk nell'ambito della
geometria frattale; ma non gli ho dedicato sufficiente tempo e quindi ci
ho capito poco.


 sbagliato i calcoli.
Uh...ti seccherebbe provare a spiegarmelo in italiano? :-)
Per il resto, ti ringrazio per le informazioni. Beh, io ci ho provato, con
la cosa della costa. La realtà a volte è strana, poteva anche andarmi liscia
:-)
Alla fine pare avessi ragione tu, dovrò andare a cercarmi informazioni
specifiche caso per caso, oppure lasciar perdere. Ma immagino che per i
posteri non farà poi gran differenza :)


    la realta' in modo conveniente ed efficace.
...ma sempre in modo imperfetto.
fuzzy