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Titolo: [MATURITA} scientifico, compito matematica, soluzione 1° quesito

Visto che in giro non ho trovato questa soluzione, la
posto io!
Se ci fossero errori segnalatemelo!
Il volume di un solido di rivoluzione è, per il teorema di
Guldino, pari alla superficie della figura di partenza per la
circonferenza descritta dal baricentro nella rivoluzione.
Dunque, siano Vb e VB i volumi del solido di rivoluzione
attorno alla base minore e maggiore, rispettivamente.
Sia inoltre 'h' l'altezza del trapezio e 'd' la distanza del baricentro
dalla base maggiore
VB = Atrapezio * 2 * pi * d
Vb = Atrapezio * 2 * pi * (h - d)
-------------------------------------------
VB / Vb = d / (h - d) = 1 / (h/d - 1)       *** rapporto dei volumi ***
Se dimostro che il rapporto h / d dipende esclusivamente
dal rapporto B / b, ho risolto l'esercizio.
E' necessario calcolare dunque la distanza 'd'
Scomponiamo il trapezio in figure geometricamente
più semplici: due triangoli rettangoli e un rettangolo,
come in figura
                 _____
                / !        !\
               /_!___ !_\
(se la figura non si capisse, i triangoli rettangoli hanno per lati
il lato obliquo del trapezio, l'alezza dello stesso condotta da un
estremo della base minore, e il segmento di lunghezza (B - b) / 2 )
Il baricentro del rettangolo disterà dalla base maggiore h / 2;
Il baricentro di un triangolo è nell'intersezione delle mediane;
ora, poichè è noto che le mediane di un triangolo si dividono
in parti proporzionali a 1/3  e a 2/3, e ricorrendo al teorema
di Talete, si può concludere che la distanza del baricentro dei
triangoli dalla base maggiore sarà h / 3.
Calcoliamo il baricentro dei 3 baricentri come media pesata
rispetto alle aree:
d = [Arettangolo * h / 2   + 2 (triangoli) *Atriangolo * h/3 ] / Atrapezio
ovvero, semplificando,
d = [ 2/3 h*b + 1/3 B*h ] / (B+b)
Tale espressione si può anche scrivere dividendo tutto per 'h'
d / h = [ 2/3 b + 1/3 B ] / (B+b)
Dividiamo ora il num. e il den. del membro di destra per 'b'
d / h = [ 2/3 + 1/3*B/b ] / (B/b+1)
Siamo giunti in fondo! Infatti si può ben vedere come il rapporto
d/h sia funzione del rapporto B/b; dunque, essendo il rapporto
dei volumi pari a 1 / (h/d - 1), se ne deduce che tale rapporto
è funzione del solo rapporto B/b
Ricordiamoci che il rapporto dei volumi era venuto pari a
d / (h - d);  possiamo ora sostituire l'espressione appena ricavata:
VB / Vb = d / (h - d) = 1 / (h/d - 1)
--
Fabio S.
ICQ# 63389060
"Siamo all'inizio del XXI secolo, il mondo
  è sconvolto dalle esplosioni atomiche.
  Gli oceani sono scomparsi e le pianure
  hanno l'aspetto di desolati deserti..."

Se vuoi vedere la ns. soluzione:
www.campustore/esami
Grazie
Pierluigi Lanzarini

 ha scritto nel messaggio
news:af7a89$e8p$1...@fe2.cs.interbusiness.it...


 ha scritto nel messaggio
news:af7a89$e8p$1...@fe2.cs.interbusiness.it...


Se ci fossero errori segnalatemelo!
Non serve tirare fuori il teorema di Guldino (che gli studenti di
scuola superiore non conoscono...)
detta AB la base maggiore e CD la base minore, basta dire che la
rotazione attorno ad AB (di volume V1) è composta da un cilindro e due
coni uguali, mentre la rotazione attorno a CD (di volume V2) è un
cilindro cui vengono tolti due coni uguali.
Considerando che AB = 4CD, detto H il piede della perpendicolare
condotta da D ad AB, AH = (3/2)CD.
Allora (il pi greco lo indico con p)
V1 = p(DH^2)CD + (2/3)p(DH^2)AH = 2p(DH^2)CD
V2 = p(DH^2)AB - (2/3)p(DH^2)AH = 3p(DH^2)CD
per cui il rapporto è 2/3 indipendentemente dall'altezza e dalle
lunghezze assolute delle due basi.
M.

il min č a -inf
come dire che non c'č... Il minimo č un valore che la funzione DEVE
assumere in qualche suo punto. -inf NON č un punto, almeno nella
topologia che si studia al liceo.

 topologia che si studia al liceo.
Bene, hai ragione: ma per minimo assoluto si intende il punto piů
basso (se esiste) della funzione. Anche so non posso dire che il
minimo assoluto sia a -inf, non posso perň dire che il minimo
relativo puň fregiarsi dl nome di assoluto
--
Fabio S.
ICQ# 63389060
"Siamo all'inizio del XXI secolo, il mondo
  č sconvolto dalle esplosioni atomiche.


relativo puň fregiarsi dl nome di assoluto
Infatti non ti aveva detto questo. Perchč cercare di avere
forzatamente ragione? Solo gli stupidi non sbagliano mai.

relativo può fregiarsi dl nome di assoluto
Avevo detto questo? Ho detto che la funzione non ha minimo assoluto.
P.S. L'altro messaggio di risposta non è il mio. Io ho cambiato nick
per evitare qualche stupido fake.