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Titolo: interpolazione

Un biologo ha trovato la seguente serie di dati:
5        10        50        100        500
1        6        24        34        39
4        5        25        38        51
3        6        45        55        60
la prima riga rappresenta la concentrazione di una certa sostanza 
velenosa che viene somministrata a una famiglia di cellule (scusate la 
terminologia indecente).
Le tre righe successive sono la percentuale di cellule che muoiono. Ogni 
riga rappresenta un tipo di cellule diverso.
Ora gli è stato chiesto di interpolare i dati. Mi pare che i dati 
rappresentino delle probabilità, e dunque l'unica funzione sensata che 
mi verrebbe in mente per interpolare è un'esponenziale, tipo 1-e^(-x), 
che ha valori in [0,1] (da riscalare in [0,100]). Il fit con 
l'esponenziale, però, non è affatto buono. Dunque direi che 
semplicemente l'effetto è non lineare, e dunque non ha senso fare alcuna 
interpolazione. Che ne dite?
E.

non sono un biologo ma di interpolazioni ve ne sono tante, se non va la 
lineare provane un altra, guarda qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Interpolazione_polinomiale
 

?manu* ha scritto:

Polynomial Regression Analysis			
 
	X1(=X)	X2(=X^2)	Y
Mean	133	52525	20,8
S.E.M.	93,32202312	49402,36963	7,505997602
S.D.(unbiased)	208,6743875	110467,0567	16,78392088
Variance(unbiased)	43545	1,220297063E+010	281,7
Sum	665	262625	104
N	5	5	5
Sum(x^2)	262625	6,260626063E+010	3290
Sum(x)^2/N	88445	1,379437813E+010	2163,2
SS	174180	4,881205668E+010	1126,8
Multiple Correlation Statistics		
R^2 (Coefficient of Determination)		0,
9793402722
 (% di varianza spiegata 
dal modello)
R (Multiple Correlation Coefficient)		0,
9896162247
R*^2 (Adjusted R^2)		0,9586805443
Regression Coefficient			
	Estimate	SE	t(cal)
b0	1,286565116	2,591497263	0,4964562897
b1:X	0,
4149870315
	0,05539350862	7,491618456
b2:X^2	-0,0006792925331	0,0001046393995	-6,491747242
T-stat dei regressori significativi ( a parte la costante)
Errori di previsione:
Sample #	Y	Yh (Predicted Y)Residual (Y-Yh)
1		1	3,34451796	-2,34451796
2		6	5,368506177	0,
6314938228
3		24	20,33768536	3,662314644
4		34	35,99234293	-1,992342932
5		39	38,95694757	0,04305242509

Jack ha scritto:

Insomma, una parabola da una varianza spiegata dal modello al 97,9% e 
t-stat significativi per i regressioni. Metodo MQ, che quindi prescinde 
dalla distribuzione dei regressori. E' fatta solo sulla prima famiglia, 
ma ad occhio non dovrebbero discostarsi molto i risultati per le altre. 
Spero sia solo un esercizietto di statistica medica, perché con quella 
serie di punti campionari non ci si dovrebbe azzardare molto a trarre 
conclusioni.

 
http://it.wikipedia.org/wiki/Interpolazione_polinomiale
Il fatto è che se manu non è biologo è però un prof
universitario di matematica e la sa lunga.
___________
io qui non conosco nessuno, non volevo insinuare nulla  , ma mi sembrava che 
provare un solo tipo di interpolazione fosse un po tirare subito i remi in 
barca.
per il resto mi associo a quanto si legge nel post di jack, quotando 
sopratutto "Spero sia solo un esercizietto di statistica medica, perché con 
quella
serie di punti campionari non ci si dovrebbe azzardare molto a trarre 
conclusioni"
PS tanto per presentarmi, io ho fatto fisica a padova ma poi son passato ad 
architettura, facendo la facolta' di urbanistica a venezia, attualmente da 
10 anni sono tecnico informatico. 

 tecnico informatico.
Ahahah sicuramente la sai più lunga di me, dico sempre che
un solo esame fatto a fisica vale tutti quelli che ho
fatto io in altra facoltà.
ciao!
Apx.
ah beh fisica preciso che non la ho finita, ci sono stato 2 anni e poi ho 
optato per una facolta' piu' facile e piu' vicina a casa ( da pendolare 
depresso la finivo in 15 anni! ) ma nonostante tutto mi ha formato molto nel 
modo di pensare e provo lo stesso rispetto per chi e' uscito anche col 
minimo dei voti da facolta' tipo fisica, matematica, astronomia, col mio 30 
preso ad analisi ad urbanistica non ci facevi neppure i primi 15 giorni di 
corso di fisica! 

 ma ad occhio non dovrebbero discostarsi molto i risultati per le altre. 
E' che io non sono molto esperto di scienze sperimentali. Però il fatto 
che un polinomio approssimi bene i dati che cosa significa?
Ad esempio, in base alle informazioni che ho io direi che la funzione 
dovrebbe valere 100 in 0 (senza veleno le cellule non muoiono) e 
dovrebbe essere decrescente (più veleno c'è e più ne muoiono) e sempre 
positiva (non possono morire più cellule di quelle presenti). Se capisco 
bene i tuoi dati, invece, la parabola che meglio approssima ha 
coefficiente di x^2 negativo... e dunque diventerebbe decrescente e 
negativa per valori di concentrazione sufficientemente alti.
Con 5 punti posso trovare un polinomio di quarto grado che li approssima 
esattamente... ma non mi sentirei di dire che questa è una buona 
interpolazione!
 > Spero sia solo un esercizietto di statistica medica, perché con quella
 > serie di punti campionari non ci si dovrebbe azzardare molto a trarre
 > conclusioni.
Beh, a occhio i dati hanno un certo significato. Si vede che in effetti 
la sostanza ha un effetto nocivo sulle cellule. Si vede che questo 
effetto dipende dal tipo di cellula. La cosa strana è che sembra che la 
funzione abbia un asintoto orizzontale... ovvero che c'è una certa 
percentuale di cellule che è immune alla sostanza, indipendentemente 
dalla concentrazione.
E.


forse, butto un ipotesi dal punto sperimentale, un certo numero di cellule 
non entrano effettivamente in contatto col veleno, quantomeno nel tempo di 
osservazione, e magari questo spiega l'asintoto orizzontale.
dovresti conoscere, nel senso di avere a disposizione, tanti dettagli 
dell'esperimento, in modo da valutare errori di misura e variabili varie, a 
fisica in laboratorio usavamo questa dispensina di Maurizio Loreti: 
http://wwwcdf.pd.infn.it/labo/INDEX.html
 tutta matematica che potra' 
insegnare lei a me, la cito solo per dire da dove mi sono probabilmente 
venute certe idee. 

 interpolazione. Che ne dite?
Perché non usi la logistica? Viene usata in problemi di accrescimento di 
popolazioni, e quindi dovrebbe andare bene anche in questo che sembra il 
caso complementare.
Personalmente sono restio a usare interpolazioni polinomiali data la 
difficoltà di interpretazione e l'assenza di premesse teoriche sottostanti.

 che un polinomio approssimi bene i dati che cosa significa?
Questo modo di procedere in epidemologia statistica si chiama "la grande 
pesca". Si prende una popolazione qualunque, se ne misurano, diciamo 100 
variabili, se ne calcola la matrice varianza/covarianza e si trovano le 
grandezze correlate fra loro con una significativita', diciamo, del 99%. 
A questo punto si va in cerca di una teoria che spieghi le correlazioni.
Ovviamente, se misuri dati perfettamente casuali, su 4900 incroci 
possibili una correlazione con significativita' superiore al 99% loa 
trovi (e' matematico :-) nell'1% dei casi, cioe' su 49 incroci. 
Altrettanto ovviamente, 49 teorie sottostanti non esistono.
Il metodo corretto e' piuttosto: in base alla conoscenza reale del 
problema (e magari ad alcuni risultati sperimentali) si ipotizza una 
legge quantitativa spiegandola con un meccanismo sottostante; se ne 
deriva una legge naturale parametrizzata; si effettuano misure 
sistematiche allo scopo di fissarne i parametri e di valutarne il fit 
con dati sperimentali raccolti DOPO la sua enunciazione.
L'ipotesi di Zampino nel post delle 19:26 potrebbe essere proprio la 
prima fase di un simile processo: in effetti ipotizzare che l'andamento 
della funzione concentrazione_tossica/frazione_di_decessi sia logistica 
  fa intravedere un meccanismo sottostante, che ulteriori esperienze 
potrebbero convalidare.
--
TRu-TS

 con dati sperimentali raccolti DOPO la sua enunciazione.
Benissimo... quindi o si presentano i dati grezzi (visto che sono 15 
numerini in tutto lo può fare), oppure bisognerebbe prima fare delle 
ipotesi e poi verificarle tramite fit. Questo confermerebbe la mia idea 
iniziale che fare un fit "alla meglio" non ha molto senso... e che ci 
vuole un lavoro di meningi, prima, e da parte di chi conosce il problema 
esaminato.
Il fatto è che lui aveva presentato i dati grezzi, e gli è stato 
obiettato che doveva farci una "regressione"... Ma io (in quanto 
matematico di turno) non è che posso aiutarlo più di tanto... Anche se 
la presenza di quell'asintoto ad un valore positivo mi fa pensare che 
forse qualcosa si può dire, senza avere altre informazioni.
E.

 esaminato.
Ma avete provato a cercare su qualche testo di farmacologia?
Non penso che sia una cosa nuova.
