Newsgroup: it.scienza.biologia
Titolo: Il paradosso del carceriere (problema di STATISTICA)

Ringrazio in anticipo
chi mi aiuta a capire il ragionamento del carceriere......
  " Tre condannati a morte A, B e C vengono informati dal loro carceriere
     che uno è stato scelto a caso, per essere giustiziato, e che gli altri
due
     sono stati graziati, ma sapranno il loro destino fra una settimana.
     Il prigioniero A chiede allora al carceriere di rivelargli segretamente
     il nome del compagno di prigionia che sarà liberato. Infatti osserva
     che non vi sarebbe alcun danno nel divulgargli la notizia poichè
     ovviamente almeno uno degli altri due sarà liberato, inoltre non può
     informare costui della sua buona stella perchè rinchiuso in cella di
sicurezza.
     Il guardiano si rifiuta di svelargli il nome precisando che
se A conoscesse il nome del compagno liberato allora la sua probabilità di
essere giustiziato
dovrebbe passare da 1/3 ad 1/2. Infatti ora egli rimarrebbe uno dei
probabili condannati e
questo sarebbe per lui una cattiva notizia. Che cosa bisogna pensare del
ragionamento del  carceriere?  "
                Saluti
                          Angel.

 dovrebbe passare da 1/3 ad 1/2
scusa, la sua probabilià rimarrebbe a 1/3 xché chi deciderà non terrà conto
del fatto che A sappia o meno l'identità del liberato. bye.
P.S.
Se ho capito male il quesito...sorry!
Stefano
gifa...@tiscalinet.it
Home Page
http://space.tin.it/clubnet/gfalone

     IL   PARADOSSO   DEL  CARCERIERE
Tre  condannati  a  morte  A, B  e  C  vengono  informati  dal  loro
carceriere  che  uno  è  stato  scelto  a  caso,
per  essere  giustiziato, e  che  gli  altri  due  sono  stati  graziati, ma
sapranno  il  loro  destino  fra una settimana.
Il  prigioniero  A  chiede  allora  al  carceriere di  rivelargli
segretamente  il  nome  del  compagno di prigionia
che  sarà  liberato.           Infatti  osserva  che  non  vi  sarebbe
alcun  danno  nel divulgarsi  la  notizia  poichè
ovviamente  almeno  uno degli  altri  due  sarà  liberato, inoltre  non  può
informare  costui  dell  sua  buona  stella
di  sicurezza.                  Il  guardiano  si  rifiuta  di rivelargli
il  nome  precisando che  se A  conoscesse  il  nome
del  compagno  liberato  allora  la  sua  probabilità  di  essere
giustiziato  dovrebbe  passare  da  1/3  ad  1/2.
Infatti  egli  rimarrebbe  uno  dei  probabili  condannati  e  questa
sarebbe  per  lui  una  cattiva  notizia.
Che  cosa  bisogna  pensare  del  ragionamento  del  carceriere?
Sol.        I  calcoli  sono  piuttosto  facili, giacchè  la  vera
questione  sta  nel  tradurre  l'enunciato
              vago  del problema nel  linguaggio  della  teoria  della
probabilità.
              Siano  A,  B  eC  gli  eventi  che  i  condannati  siano
rispettivamente  liberati..
              Questi  non  sono  indipendenti, infatti  A ) B)=C°.
               Ci    sono  quattro  punti  di  vista  corrispondenti  alle
probabilità  condizionate:
                P(A)=2/3: situazione  di  A  prima  di  sapere  qualcosa;
                P(A|B)=1/2: situazione  di  A dopo  aver  saputo  che  B
sarà  liberato;
                P(A|C)=1/2: situazione  di  A  dopo  aver  saputo  che  sarà
liberato  C;
                P(A)=0  oppure 1: il  punto  di  vista  del  carceriere.
Il  prigioniero  afferma  rettamente  che  la  sua  probabilità  di  essere
giustiziato  non  cambia  perchè  vale  1/3
indipendentemente  da  ciò  che  gli  dirà  il  guardiano.
Tuttavia  sembra  chiaro  che  A si  riferisce  non  a  P(A)  ma  a  P(A|B)
oppure  a  P(A|C).
Così  il  prigioniero  sbaglia  se  questo  è  il  suo  ragionamento.
Il  carceriere  chiaramente  si  riferisce  a  P(A)   e  così  anche  lui
sbaglia; ma  guardiamo  il  problema  un  po'
più  a  fondo.                     Se  A  stesso  deve  essere  giustiziato,
il  carceriere  ha  da  scegliere:  o  dice  che
sarà  liberato  B  oppure  che  deve  essere  liberato  C.   Come  avviene
questa  scelta?
Naturalmente  si  potrebbe  supporre   che  il  guardiano  deciderà  a  caso
con  probabilità   1/2
per  ciascuno,  ma  un  tale  modello  è  ragionevole?
In  pratica  ci  si  dovrebbe  aspettare  il  contrario,  dopotutto  il
guardiano  è  un  uomo!
Quindi   supponiamo   che  la  scelta  sia  fatta  per  B  con  probabilità
p  e   per  C  con   probabilità
q=1-p.             Con     questa   ipotesi   tutto   il   nostro    modello
cambia   perchè  ora  abbiamo
quattro  eventi   da   considerare   e    cioè:
B=      «B    è   giustiziato»,
C=      «C    è   giustiziato»,
D1=      «A    è   giustiziato   e  il  carceriere   rivela  che  sarà
liberato   B»,
D2=      «A    è   giustiziato   e  il   carceriere  rivela  che  sarà
liberato   C».
Per  ipotesi   è   P(B ) = P(C ) = P(D1 U  D2)=1/3, P(D1| A) = p,
P(D2|A)=q, perciò P(D1)=P(D1|A)P(A)=p|3  e   similmente
P(D2)=q|3.  L'evento  che  il  carceriere  riveli  al  prigioniero  che  B
sarà  liberato
è  ora  D1    C.      Noi   vogliamo:
                                        P((A  ?D1)  U (A? C))
       P(A|D1  U C)=_____________________________
                                             P(D1 U C)
                        P(A ? D1)+P(A ? C)
              =_____________________
                               P(D1)+P(C)
                          0 + 1/3                             1
                   =_____________      =__________
                           p/3 +1/3                        p+1
Analogamente,
         P(A|D2  U B)= 1/(q+1)
Consideriamo alcuni casi estremi:
     a)           p=q= 1/2  (carceriere equo)
            P(A|D1  U C) =1/ (1/2+1)= 2/3= P(A)
           P(A|D2 U  B)=2/3= P(A)
Così se il carceriere è equo la probabilità non cambia!
    b)             p=1, q=0    (carceriere deterministico)
      P(A|D1 U C)= 1/1+1 = 1/2
      P(A|D2 U B) =1/0+1 = 1
Questo appare paradossale prima di capire che il solo modo di rivelare ad A
che C sarà liberato
è quello in cui B sarà giustiziato.
Alcuni ritengono che a) sia il modello corretto per questo fenomeno.
In assenza di una qualsiasi informazione questa non è un ipotesi insensata
perchè il caso p=q=1/2  rappresenta la «massima entropia». Tuttavia,
deve essere chiaro che questa è un ipotesi: credere che il carceriere sbagli
e che
le probabilità non cambino, senza menzionare esplicitamente l'assunzione di
questa ipotesi,
è un grosso errore.    La stima del valore di  p  è una delle questioni in
questo problema.
Come la si può calcolare o stimare?  Qui effettivamente interviene il punto
di vista Bayesiano:
si presume che p sia una costante ma in realtà viene riguardata come una
variabile aleatoria.
                    Saluti
                              L*

                           Angel.
Credo possa essere cosi':
Due sono le possibili risposte del carceriere alla domanda del prigioniero A:
a) Il prigioniero che verra' liberato e' proprio A - in questo caso la sua
probabilita' di essere giustiziato diventa 0/1
b) Il prigioniero che verra' liberato Non e' A - in questo caso la sua
probabilita' di essere giustiziato diventa 1/1
Quindi la sua probabilita', se il carceriere decidesse di rispondere alla sua
domanda diventerebbe (0/1+1/1)/2=1/2
--
Ray
-----oOo-------oOo-----
ray....@tiscalinet.it
icq: 58198898