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Titolo: Predatori, dilemmi e strategie di sopravvivenza

Un saluto a tutti.
Volevo sottoporvi un problema di Teoria dei Giochi che mi e'
venuto in mente mentre cercavo un cuGino ;-) del problema
dell'asta di FraSisto, che pero' non contenesse riferimenti
fuorvianti al denaro e quindi a pensieri laterali su imbrogli
e simili. Spero possa risultare interessante.
In un territorio c'e' un gruppo di 10 predatori individualisti,
tutti di identica corporatura e abilita' di caccia.
Ogni predatore all'inizio dispone di una riserva di 314 calorie,
e ogni ora consuma per metabolismo una caloria.
Nel territorio, ogni ora, appare una preda che verra' sicuramente
catturata e mangiata, ma da UNO SOLO A CASO tra i predatori che
parteciperanno alla caccia. Mangiare la preda dara' un incremento
di 40 calorie, mentre partecipare senza successo alla caccia
comportera' la perdita di 10 calorie.
Ogni predatore e' consapevole del fatto che morira' quando la
propria riserva di calorie sara' arrivata a zero, tuttavia
l'eventuale avvicinarsi della fine della riserva non dara' ne'
una maggior debolezza ne' una maggiore aggressivita'. In pratica
per ogni predatore le probabilita' di mangiare la preda non
variano in relazione all'entita' della propria riserva, ma solo
in relazione alle decisioni degli *altri* predatori.
Cio' significa che, ogni ora, ogni predatore dovra' risolvere
questo dilemma: "Tenuto conto che non posso ne' conoscere ne'
influenzare le decisioni degli altri, devo partecipare o no a
questa battuta di caccia"?
Un rapido calcolo porta a vedere che se per paura di perdere
le 10 calorie nessuno partecipasse mai alla caccia, il gruppo
si estinguerebbe in 314 ore con la morte di tutti, mentre se
tutti prendessero sempre parte alla caccia il gruppo si
estinguerebbe in circa 63 ore lasciando al limite in vita solo
i fortunati vincitori delle ultime battute di caccia.
La questione allora e': esistono strategie individuali di
partecipazione che consentano a *tutti* i membri di questo
gruppo di predatori individualisti di non morire?
Se si', qual e' la strategia quantitativamente migliore?
Un saluto,
            Antonio

 parteciperanno alla caccia.
Qui mi pare che ci sia un piccolo bug.
Se ogni predatore decide indipendentemente dagli altri, è possibile,
anche se forse non molto probabile, che una battuta di caccia vada
deserta.
In quel caso la preda non sarà mangiata. Cosa succede? Muore di morte
naturale o ci saranno due prede per la caccia successuva?
A parte ciò, mi viene in mente questa strategia (non so se valida in
quanto comporta una sorta di tacito accordo tra i predatori):
Inizialmente ciascuno partecipa a tutte le cacce finchè non riesce a
mangiare.
Dopo mangiato fa la pennichella, riposando per nove cacce, e partecipa
alla successiva.
Dopo dieci cacce si è a regime, da allora in poi ciascuno partecipa, da
solo, ad una caccia su dieci.
ciao
paolo

solo, ad una caccia su dieci.
I predatori non possono in alcun modo comunicare tra di loro e sono
fortemente individualisti. Tutte le strategie che prevedono un
comportamento coordinato non credo siano applicabili.
Detto questo pero', anche solo la prima parte della tua proposta mi
sembra un ottimo passo verso la definizione di una strategia. Se
all'inizio partecipassero tutti e poi ognuno dopo mangiato riposasse
per un numero casuale di turni, forse gia' le cose andrebbero meglio,
e non ci sarebbe bisogno di comunicazione.
In fondo la natura ha selezionato comportamenti di questo tipo dotando
gli animali individualisti di "senso di sazieta'", che li tiene fuori
a turno dalla competizione senza che nessuno lo comunichi 
esplicitamente agli altri.
Credo che con qualche ritocco, si possa riuscire a giungere per questa
via ad una strategia di sopravvivenza. Resta da quantificare l'esito
di questa strategia e capire se e' ottimale.
Ciao,
       Antonio

Un saluto a tutti.
Purtroppo il problema non ha generato un grande interesse,
ma comunque credo sia interessante pubblicare la soluzione che
al momento mi sembra essere ottimale.
Formulata in questi termini "partecipo alla caccia con probabilita'
1 su k", la strategia ottimale per ognuno dei predatori sara'
quella di partecipare alla caccia con probabilita' 1/7, cioe'
ogni volta risolvere il dilemma se partecipare oppure no con
l'equivalente del lancio di un dado a 7 facce. (Per semplicita'
ho preferito rimanere nel campo degli interi, in realta' l'ottimo
assoluto si otterrebbe con un valore decimale leggermente
inferiore a 7)
Lanciando un dado a 7 facce si avrebbero queste probabilita'
medie di partecipazione alla caccia:
partecipanti   probabilita' 
     0         0,2140583156
     1         0,3567638593
     2         0,
2675728945
     3         0,1189212864
     4         0,0346853752
     5         0,0069370750
     6         0,0009634826
     7         0,0000917603
     8         0,0000057350
     9         0,0000002124
    10         0,0000000035
Guadagno medio di calorie per turno: 21,79140
Questi i guadagni medi in funzione del numero di facce del dado:
facce  guadagno medio
  2       -4,95117    
  3       10,08671    
  4       16,93686    
  5       20,12095    
  6       21,44688    
  7       21,79140   
  8       21,60938    
  9       21,14655    
 10       20,53965    
 11       19,86634    
 12       19,17124    
 13       18,47997    
 14       17,80700    
La cosa interessantissima e' che sono possibili strategie collettive
vincenti anche nel caso in cui l'apporto calorico della preda per il
vincitore sia *inferiore* al dispendio energetico della caccia per
gli sconfitti!
Saluti,
         Antonio

Secondo me bisogna massimizzare la seguente funzione rispetto a P:
(Sia P la probabilita' di restare nella tana a spendere la propria 
caloria),
P * (-1) + (1-P) * (40 * (P^9 
+P^8*(1-P)*1/2+P^7*(1-P)^2*1/3+...+P*(1-P)^8*1/9*(1-P)^9*1/10) - 10 * 
(1-(P^9 +P^8*(1-P)*1/2+P^7*(1-P)^2*1/3+...+P*(1-P)^8*1/9*(1-P)^9*1/10)))
Questa funzione sarebbe il guadagno calorico medio ad ogni ora in 
funzione di P, dove P e' la probabilita' di restare nella tana a 
spnedersi una caloria; il megapapocchio (P^9 
+P^8*(1-P)*1/2+P^7*(1-P)^2*1/3+...+P*(1-P)^8*1/9*(1-P)^9*1/10) e' la 
probabilita' di uscire e catturare la preda guadagnando 40 calorie, 
mentre 1- (il megapapocchio) e' la probabilita' complementare, cioe' di 
spendere 10 calorie una volta usciti, non catturando la preda).
E' un po' una palla stare a fare i calcoli, ci vorrebbe un computer (!?) 
oppure e' una palla la soluzione stessa.
Boh...


oppure e' una palla la soluzione stessa.
L'impostazione qualitativa mi sembra corretta. Pero' non so se la
formula sia giusta. Potresti impostare agevolmente un foglio di
calcolo e poi confrontare il risultato che ti viene con quello che
ho postato io a suo tempo (che pero' aveva il vincolo di considerare
P razionale della forma 1/n per farlo somigliare al lancio di un 
dado). Nel caso il risultato sia diverso andro' a ricontrollare i
miei calcoli.
La cosa non molto intuitiva e' che basta che la preda riesca a
reintegrare la perdita metabolica complessiva del gruppo, e si puo'
sempre trovare una strategia di sopravvivenza di gruppo, anche nel
caso in cui una caccia andata male faccia perdere di piu' di quanto
non si guadagni con una caccia andata bene.
(Es. perdita metabolica: -1  preda: +40 caccia inutile: -50).
In quel caso la probabilita' di partecipare alla caccia deve essere
molto bassa.
Altra cosa interessante e' osservare che i vari meccanismi che la
natura ha selezionato, ad esempio la sazieta', consentono proprio
di abbassare la probabilita' di partecipazione alla caccia!
Ciao,
       Antonio

 ho postato io a suo tempo 
Solitamente sono pigro, ma ho deciso di fare un programmino in java per 
questa verifica.
Per ogni p (a step di 0.01) tra 0 e 1 ho l'aspettazione del guadagno 
calorico che mi viene fuori, in funzione di p che e' la probabilita' di 
restare nella tana:
p e' la probabilita' di restare nella tana, 1-p e' quella invece di 
uscire a cercare la preda.
Il risultato che mi esce fuori e' che bisogna restare nella tana con 
probabilita' attorno a 0.93 e questo consente un guadagno calorico medio 
di circa 0.26.
(nota: posto in attachment il programma java perche' magari qualcuno 
puo' fare delle prove con casi particolari, basta variare i vari 
parametri come:
il numero di predatori (10)
il guadagno calorico: restando nella tana (-1)
il guadagno calorico: uscendo a caccia e avere successo nel trovare la 
preda (40)
il guadagno calorico: uscendo a caccia e non avere successo (-10).
Alcune prove le ho fatte (es. mettendo solo due predatori, etc...) e i 
risultati mi sono parsi ragionevoli)
Ecco il dettaglio del risultato
(per ogni prob. di restare nella tana, il guadagno calorico atteso in 
funzione di questa probabilita')
prob. 0.0: expectation: -4.999999925494194
prob. 0.01: expectation: -5.336755074411631
prob. 0.02: expectation: -5.639819629192352
prob. 0.03: expectation: -5.911603934615851
prob. 0.04: expectation: -6.154365315437317
prob. 0.05: expectation: -6.37021576911211
prob. 0.060000000000000005: expectation: -6.561129632443189
prob. 0.07: expectation: -6.728952594920993
prob. 0.08: expectation: -6.875408171415329
prob. 0.09: expectation: -7.002104515731335
prob. 0.09999999999999999: expectation: -7.110542038828134
prob. 0.10999999999999999: expectation: -7.202118769511581
prob. 0.11999999999999998: expectation: -7.2781368923187255
prob. 0.12999999999999998: expectation: -7.339808413684368
prob. 0.13999999999999999: expectation: -7.388260489106178
prob. 0.15: expectation: -7.424540582671762
prob. 0.16: expectation: -7.449621067792177
prob. 0.17: expectation: -7.464404383935034
prob. 0.18000000000000002: expectation: -7.469726781472563
prob. 0.19000000000000003: expectation: -7.466362946629524
prob. 0.20000000000000004: expectation: -7.455029335618018
prob. 0.21000000000000005: expectation: -7.436388302259147
prob. 0.22000000000000006: expectation: -7.41105123374611
prob. 0.23000000000000007: expectation: -7.379581845197826
prob. 0.24000000000000007: expectation: -7.34249915011227
prob. 0.25000000000000006: expectation: -7.30028040567413
prob. 0.26000000000000006: expectation: -7.253363681808114
prob. 0.2700000000000001: expectation: -7.2021503520011905
prob. 0.2800000000000001: expectation: -7.147007304728032
prob. 0.2900000000000001: expectation: -7.088269258718937
prob. 0.3000000000000001: expectation: -7.026240546442568
prob. 0.3100000000000001: expectation: -6.9611971986386925
prob. 0.3200000000000001: expectation: -6.893388361558318
prob. 0.3300000000000001: expectation: -6.823038060422986
prob. 0.34000000000000014: expectation: -6.75034658011049
prob. 0.35000000000000014: expectation: -6.675491771334782
prob. 0.36000000000000015: expectation: -6.598630259037018
prob. 0.37000000000000016: expectation: -6.519898577434941
prob. 0.38000000000000017: expectation: -6.439414153266697
prob. 0.3900000000000002: expectation: -6.357276197765022
prob. 0.4000000000000002: expectation: -6.273566576279699
prob. 0.4100000000000002: expectation: -6.1883505384344595
prob. 0.4200000000000002: expectation: -6.101677465047686
prob. 0.4300000000000002: expectation: -6.013581424364819
prob. 0.4400000000000002: expectation: -5.924081855416297
prob. 0.45000000000000023: expectation: -5.833184040663762
prob. 0.46000000000000024: expectation: -5.7408796945959315
prob. 0.47000000000000025: expectation: -5.647147409133612
prob. 0.48000000000000026: expectation: -5.551953292749821
prob. 0.49000000000000027: expectation: -5.455251309936864
prob. 0.5000000000000002: expectation: -5.356983963400124
prob. 0.5100000000000002: expectation: -5.257082818625493
prob. 0.5200000000000002: expectation: -5.15546908572316
prob. 0.5300000000000002: expectation: -5.052054390795527
prob. 0.5400000000000003: expectation: -4.946741443462668
prob. 0.5500000000000003: expectation: -4.839425029885021
prob. 0.5600000000000003: expectation: -4.729992884248493
prob. 0.5700000000000003: expectation: -4.618326922766862
prob. 0.5800000000000003: expectation: -4.504304424598811
prob. 0.5900000000000003: expectation: -4.387799461893735
prob. 0.6000000000000003: expectation: -4.268684899806974
prob. 0.6100000000000003: expectation: -4.146833774857221
prob. 0.6200000000000003: expectation: -4.022121876552698
prob. 0.6300000000000003: expectation: -3.894429995603857
prob. 0.6400000000000003: expectation: -3.763646585643289
prob. 0.6500000000000004: expectation: -3.6296712882816764
prob. 0.6600000000000004: expectation: -3.492417742907998
prob. 0.6700000000000004: expectation: -3.351818117573855
prob. 0.6800000000000004: expectation: -3.2078269767761203
prob. 0.6900000000000004: expectation: -3.060426427945492
prob. 0.7000000000000004: expectation: -2.90963095501065
prob. 0.7100000000000004: expectation: -2.755494388416407
prob. 0.7200000000000004: expectation: -2.59811516523361
prob. 0.7300000000000004: expectation: -2.4376447911560515
prob. 0.7400000000000004: expectation: -2.2742941269278507
prob. 0.7500000000000004: expectation: -2.1083438098430616
prob. 0.7600000000000005: expectation: -1.940152976512907
prob. 0.7700000000000005: expectation: -1.7701693770289406
prob. 0.7800000000000005: expectation: -1.5989409643411623
prob. 0.7900000000000005: expectation: -1.4271288806200018
prob. 0.8000000000000005: expectation: -1.2555189311504358
prob. 0.8100000000000005: expectation: -1.085038333237171
prob. 0.8200000000000005: expectation: -0.9167701852321627
prob. 0.8300000000000005: expectation: -0.751971161663533
prob. 0.8400000000000005: expectation: -0.5920889997482313
prob. 0.8500000000000005: expectation: -0.4387823551893254
prob. 0.8600000000000005: expectation: -0.29394386172294895
prob. 0.8700000000000006: expectation: -0.15972024023533227
prob. 0.8800000000000006: expectation: -0.03853960514069055
prob. 0.8900000000000006: expectation: 0.06686402320861262
prob. 0.9000000000000006: expectation: 0.1534200966358119
prob. 0.9100000000000006: expectation: 0.2176948958635252
prob. 0.9200000000000006: expectation: 0.25585439682005906
prob. 0.9300000000000006: expectation: 0.2636339616775403
prob. 0.9400000000000006: expectation: 0.23629810571669263
prob. 0.9500000000000006: expectation: 0.16860197782515018
prob. 0.9600000000000006: expectation: 0.05475093364713923
prob. 0.9700000000000006: expectation: -0.11164699912073117
prob. 0.9800000000000006: expectation: -0.3376271057129121
prob. 0.9900000000000007: expectation: -0.6309188866615538
prob: 1: expectation: -1.0
Il massimo si aggira sui 0.93, e fa guadagnare 0.26 calorie circa.


prob. 0.9000000000000006: expectation: 0.1534200966358119
p=0.9 significa che *grossolanamente* in media partecipa uno solo
e quindi il bilancio di gruppo sara' -9+40=+31  e individuale +3.1
Ho usato quel "grossolanamente" perche' il calcolo esatto delle
probabilita' e' un po' piu' complicato:
n: numero di animali
p: probabilita' che il singolo animale non partecipi
P(k): probabilita' che esattamente k animali non partecipino
   P(k) = p^k * (1-p)^(n-k) * comb(n,k)
Facendo i conti in modo esatto con quella formula ho trovato che
il massimo apporto calorico di gruppo e' circa 21.79 e si ottiene
per p=0.858
Ciao,
        Antonio

Allora o e' sbagliato il mio programma, o il mio ragionamento, o entrambi.
Ricontrollero' e faro' un nuovo post.
bye.


> [...]


>>
Ciao.
Penso che sia sbagliato.
Applico il tuo ragionamento ad un caso piu' semplice.
Gli animali siano solo 2. e p=1/2
Se applico lo stesso tuo ragionamento fatto pocanzi, sui dieci 
predatori, siccome in media partecipa uno solo alla caccia, allora il 
bilancio calorico del gruppo sarebbe -1 + 40 = 39.
Invece non e' corretto: il bilancio totale in questo caso e' di 26.5 
calorie.
Vediamo.
Gli eventi che possono capitare rispetto alle decisioni composte ed 
indipendenti tra loro dei predatori A e B sono:
. partecipa A e partecipa B           -> guadagno totale  -10 + 40 = 30
. partecipa A e non partecipa B       -> "                 40 -  1 = 39
. non partecipa A e partecipa B       -> "                 -1 + 40 = 39
. non partecipa A e non partecipa B.  -> "                 -1 -  1 = -2
Il bilancio mediato su tutti i 4 eventi (che hanno uguale peso perche' 
hanno uguale probabilita' 1/4) e'
(30 + 39 + 39 -2)/4 =  26.5.
Per ognuno dei predatori il guadagno calorico ad ogni step sara' questo 
totale calorico medio complessivo diviso per il numero dei predatori, 2, 
e cio' vale 13.25
- -
Ho modificato il programmino che avevo fatto inserendo anche funzioni 
per il coefficiente binomiale e per il fattoriale.
Ho utilizzato il coefficiente binomiale per calcolare la probabilita' 
che degli altri 9 animali rimanenti, un certo numero i esca dalla tana.
Nel main ho fatto un po' di test sulle funzioni fattoriale e binomiale 
ed i risultati sono quelli attesi.
Inoltre ho provato a settare la variabile numAnimals a 2 anziche' a 10, 
per verificare che con p=0.5 venisse appunto 13.5, ed e' appunto cosi'.
Quindi sono abbastanza piu' confidente da poter dire che ora il tabulato 
che riporto con il programma corretto e' attendibile.
(peccato che gli step sono un po' sfasati)
Ciao.
- - - -
prob. 0.0: expectation: -9.99998622134001
prob. 0.01: expectation: -9.909985975097673
prob. 0.02: expectation: -9.819984790806792
prob. 0.03: expectation: -9.72998131249451
prob. 0.04: expectation: -9.639972861146488
prob. 0.05: expectation: -9.54995492799613
prob. 0.060000000000000005: expectation: -9.459920675418708
prob. 0.07: expectation: -9.369860452237385
prob. 0.08: expectation: -9.279761329693685
prob. 0.09: expectation: -9.18960666350853
prob. 0.09999999999999999: expectation: -9.0993756876529
prob. 0.10999999999999999: expectation: -9.009043143557173
prob. 0.11999999999999998: expectation: -8.918578948609065
prob. 0.12999999999999998: expectation: -8.827947909221693
prob. 0.13999999999999999: expectation: -8.737109478819766
prob. 0.15: expectation: -8.646017565681541
prob. 0.16: expectation: -8.554620389770717
prob. 0.17: expectation: -8.462860392405418
prob. 0.18000000000000002: expectation: -8.370674203349044
prob. 0.19000000000000003: expectation: -8.277992656926507
prob. 0.20000000000000004: expectation: -8.184740862855687
prob. 0.21000000000000005: expectation: -8.090838339717592
prob. 0.22000000000000006: expectation: -7.99619919705903
prob. 0.23000000000000007: expectation: -7.90073236622964
prob. 0.24000000000000007: expectation: -7.804341902057639
prob. 0.25000000000000006: expectation: -7.70692732045427
prob. 0.26000000000000006: expectation: -7.608383999639191
prob. 0.2700000000000001: expectation: -7.508603617600166
prob. 0.2800000000000001: expectation: -7.407474644035101
prob. 0.2900000000000001: expectation: -7.3048828987963494
prob. 0.3000000000000001: expectation: -7.2007120996247975
prob. 0.3100000000000001: expectation: -7.094844557265751
prob. 0.3200000000000001: expectation: -6.987161772213876
prob. 0.3300000000000001: expectation: -6.8775451047997915
prob. 0.34000000000000014: expectation: -6.76587669044733
prob. 0.35000000000000014: expectation: -6.652039971109479
prob. 0.36000000000000015: expectation: -6.535920748710632
prob. 0.37000000000000016: expectation: -6.41740782752633
prob. 0.38000000000000017: expectation: -6.296393817216157
prob. 0.3900000000000002: expectation: -6.172776365894824
prob. 0.4000000000000002: expectation: -6.0464585885405535
prob. 0.4100000000000002: expectation: -5.917350320555268
prob. 0.4200000000000002: expectation: -5.785368862822651
prob. 0.4300000000000002: expectation: -5.650440046675502
prob. 0.4400000000000002: expectation: -5.512499191761016
prob. 0.45000000000000023: expectation: -5.371491739340125
prob. 0.46000000000000024: expectation: -5.2273749361187205
prob. 0.47000000000000025: expectation: -5.080118118301033
prob. 0.48000000000000026: expectation: -4.929703660607337
prob. 0.49000000000000027: expectation: -4.77612860701978
prob. 0.5000000000000002: expectation: -4.619405541568993
prob. 0.5100000000000002: expectation: -4.459562431871889
prob. 0.5200000000000002: expectation: -4.296645171642302
prob. 0.5300000000000002: expectation: -4.1307178544998155
prob. 0.5400000000000003: expectation: -3.9618635767698267
prob. 0.5500000000000003: expectation: -3.790185452625154
prob. 0.5600000000000003: expectation: -3.6158083072304708
prob. 0.5700000000000003: expectation: -3.4388784606754763
prob. 0.5800000000000003: expectation: -3.259566283524035
prob. 0.5900000000000003: expectation: -3.078064984232186
prob. 0.6000000000000003: expectation: -2.894594585895537
prob. 0.6100000000000003: expectation: -2.7093993483483776
prob. 0.6200000000000003: expectation: -2.522752201259135
prob. 0.6300000000000003: expectation: -2.3349540437757956
prob. 0.6400000000000003: expectation: -2.1463346982002247
prob. 0.6500000000000004: expectation: -1.9572546049952497
prob. 0.6600000000000004: expectation: -1.768105355501174
prob. 0.6700000000000004: expectation: -1.5793118786811822
prob. 0.6800000000000004: expectation: -1.391332750320434
prob. 0.6900000000000004: expectation: -1.2046610945463176
prob. 0.7000000000000004: expectation: -1.019827675819397
prob. 0.7100000000000004: expectation: -0.8374000942707064
prob. 0.7200000000000004: expectation: -0.6579854381084447
prob. 0.7300000000000004: expectation: -0.4822318407893189
prob. 0.7400000000000004: expectation: -0.3108303660154354
prob. 0.7500000000000004: expectation: -0.14451549202203906
prob. 0.7600000000000005: expectation: 0.01593216896056937
prob. 0.7700000000000005: expectation: 0.1696831512451148
prob. 0.7800000000000005: expectation: 0.31585838317870807
prob. 0.7900000000000005: expectation: 0.4535272723436323
prob. 0.8000000000000005: expectation: 0.581701707839962
prob. 0.8100000000000005: expectation: 0.6993383252620653
prob. 0.8200000000000005: expectation: 0.8053329932689617
prob. 0.8300000000000005: expectation: 0.8985165071487369
prob. 0.8400000000000005: expectation: 0.9776552295684751
prob. 0.8500000000000005: expectation: 1.0414436399936604
prob. 0.8600000000000005: expectation: 1.0885024571418682
prob. 0.8700000000000006: expectation: 1.1173742282390504
prob. 0.8800000000000006: expectation: 1.1265190076827902
prob. 0.8900000000000006: expectation: 1.1143089330196272
prob. 0.9000000000000006: expectation: 1.0790234565734744
prob. 0.9100000000000006: expectation: 1.0188440406322348
prob. 0.9200000000000006: expectation: 0.9318490314483499
prob. 0.9300000000000006: expectation: 0.8160053741931759
prob. 0.9400000000000006: expectation: 0.6691628313064404
prob. 0.9500000000000006: expectation: 0.489046680927258
prob. 0.9600000000000006: expectation: 0.27325011730192084
prob. 0.9700000000000006: expectation: 0.019225667715050854
prob. 0.9800000000000006: expectation: -0.27572494030001127
prob. 0.9900000000000007: expectation: -0.6144579315185801
prob: 1: expectation: -1.0
- - - - -


[...]
...infatti l'errore e' tanto piu' grande quanto maggiore e' l'entita'
relativa degli altri eventi che si trascurano, che nel caso da te
citato e' molto grande.
Viceversa, nel caso n=10  p=1/2 l'errore che si commette e' piuttosto
piccolo. Infatti la distribuzione di probabilita' degli 11 casi
possibili e':
partecipanti  probabilita'   bilancio
     0        0,0009765625    -10
     1        0,0097656250     31
     2        0,0439453125     22
     3	      0,1171875000     13
     4        0,2050781250      4
     5	      0,2460937500     -5
     6        0,2050781250    -14
     7        0,1171875000    -23
     8        0,0439453125    -32
     9        0,0097656250    -41
    10        0,0009765625    -50
bilancio di gruppo: -5.04883  (quasi come il grossolano -5  ;-)
bilancio medio individuale: -0.504883
Detto questo, applicando la formula esatta per n=10 e per vari
valori di p (razionali e di forma 1/k) mi viene:
          bilancio
 prob.   individuale
--------------------
0.50000   -0.50488
0.66667	   0.91329 
0.75000	   1.46843 
0.80000	   1.66313 
0.83333	   1.69247  <--- prossimo al valore massimo
0.85714	   1.64399 
0.87500	   1.55962 
0.88889	   1.46027 
0.90000	   1.35661 
0.90909	   1.25410 
0.91667	   1.15548 
0.92308	   1.06201 
0.92857	   0.97415 
0.93333	   0.89194 
0.93750	   0.81520 
0.94118	   0.74362 
0.94444	   0.67685 
0.94737    0.61453 
che e' piuttosto diverso dal risultato postato da te. E' possibile
che stia sbagliando io!!! A te tornano il mio ragionamento e la mia
formula?
Tra l'altro mi sono accorto di aver commesso uno sbaglio nel foglio
elettronico con cui avevo effettuato i calcoli dei post precedenti.
Analizzando i risultati del foglio corretto, risulta FALSA la mia
considerazione secondo cui l'unica condizione affinche' la
sopravvivenza del gruppo sia garantita e' che il reintegro dato
dalla preda sia maggiore della perdita metabolica del gruppo.
Questo e' vero solo se la preda da' un reintegro *sensibilmente*
superiore alla perdita metabolica del gruppo.
Ciao,
       Antonio 

 
Ok. Capisco che il tuo obiettivo era di mostrare in qualche modo 
l'inattendibilita' dei dati che avevo proposto, e per questo avevi 
scelto una formula *grossolana* apposta per non perderti in dettagli.
Tuttavia i dati che avevo proposto non consideravano i coefficienti 
binomiali ed era quello il problema.
Non credo che il confronto con cio' che e' stato determinato con la 
formula "grossolana" fosse significativo.
Cio' che si doveva determianare era: valore atteso della variabile 
aleatoria "quantita' di calorie che posso ottenere al prossimo step se 
la probabilita' di restare nella tana, per me e per gli altri predatori, 
e' p" e io penso di aver determinato un modo corretto di calcolare 
questo valore atteso.
Spero che sia abbastanza chiaro il discorso fatto, ma ora voglio 
approfittare per mostrare un approccio un po' diverso al problema.
- - - - -
Il guadagno medio e' molto basso soprattutto in base alla mancanza di 
comunicazione, e anche alla (implicita) mancanza di memoria nel sistema.
I predatori competono e devono sopravvivere, e non possono mettersi 
d'accordo, e quindi non resta che usare un p "ottimale" che sara' uguale 
per tutti, in equilibrio, ma ottimale in senso molto relativo in 
realta': se uscissero a turno sarebbe molto meglio, ma pare che non 
possono farlo perche' non possono mettersi d'accordo esplicitamente.
Ma mentre la mancanza di comunicazione e' un dato di fatto, la mancanza 
di memoria non lo e' affatto.
Possiamo immaginare un modo per ottenere una miplicita comunicazione, 
assumendo  che ognuno possa scegliere ricordandosi degli eventi 
precedenti, senza che i predatori debbano comunicare esplicitamente.
(il problema e' che dovrebbero "comunicarsi questa ipotetica strategia 
prima" ma quello e' un altro discorso)
es: io spero che gli altri predatori siano intelligenti e gentili e 
quindi potrebbero cercare di invitarmi a determinare uno "slot" di tempo 
favorevole per me, e se io riesco a fare in modo da dare agli altri, per 
ognuno, uno slot favorevole, allora possiamo essere alla fine tutti piu' 
contenti.
Non posso comunicare ma posso compiere delle azioni per cui loro si 
rendano conto dello slot che ho scelto per me, e quindi loro possono a 
loro volta per gentilezza lasciarmelo sempre libero, purche' anche loro 
si trovino uno slot libero.
Un modo e': siamo in 10, e io lancio a caso un dado da 10 facce per 
scegliere un certo slot. Esco dalla tana solo quando lo slot temporale 
e' quello scelto da me, e ci sara' una certa probabilita' di collidere 
con uno o piu' altri predatori che hanno anch'essi deciso di scegliere 
quello slot.
Se c'e' collisione allora si puo' assumere: che lo slot venga lasciato a 
chi ha avuto successo nel catturare la preda, e gli altri si scelgono a 
caso degli slot che hanno notato essere liberi (al primo giro di 10 
uscite) e si avra' rapidamente una diminuzione delle probabilita' di 
collisione, ed una convergenza ad una configurazione stabile e ottimale 
per cui ognuno si sceglie uno slot in cui uscire a turno.
A quel punto effettivamente il bilancio calorico ad ogni step sarebbe:
-9 + 40 che non e' male.
