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Titolo: testa vale doppio

se per ogni croce ti danno un punto e per ogni testa due punti, che
probabilita' hai di fare n punti?
Ciao, Silv:o)

Se p(n) e' la probabilita' di fare n punti... p(n+1)=1-p(n)+p(n)/2,
non ho capito la logica della soluzione.
Qualche precisazione: la moneta e' equa e gli n punti non prevedono un
numero prefissato di lanci. Cioe': ti consegno una moneta equa e ti chiedo
di tentare di totalizzare esattamente 42 (e' solo un per esempio) punti
lanciando la moneta e segnando uno per la croce e due per la testa? Qual e'
la probabilita' che tu ci riesca?
Ciao, Silv:o)


forse e' piu' facile di quello che sembra:
l'unico lancio che ci puo' interessare e' l'ultimo (quando mancano 1 o 2
punti a n): direi 50%?
cristiano

non ho capito la logica della soluzione.
Puoi vederlo cosi':
Se P(42) e' la probabilita' di arrivare a 42, la probabilita' di sbagliare
e' 1-p(42).
Ma l'unico modo di sbagliare e' saltarlo, cioe' arrivare a 41, con
prob=p(41) e fare testa al lancio seguente, con prob=1/2.
Quindi 1 - p(42)=p(41) * 1/2
che corrisponde alla formula data da Claudio.
p(1)=1/2
p(2)=3/4 (testa al primo colpo, p=1/2, oppure croce+croce, p=1/4)
p(3)=5/8 (testa+croce, p=1/4, o croce+testa, p=1/4, o croce+croce+croce,
p=1/8)
ecc.ecc.ecc.
Possiamo vedere che, al crescere di n, p varia con oscillazioni smorzate (ho
messo la formula su Excel e fatto il grafico), e per n tendente a infinito p
tende a 2/3.
Senza calcolare limiti complicati (anche perche' non mi ricordo come si
fa:-), si intuisce che, per n abbastanza grande, p(n) e p(n+1) sono *quasi*
uguali, quindi con buona approssimazione possiamo dire
p(n+1)=p(n)=p(lim)
quindi
1 - p(lim) = p(lim)/2
p(lim) = 2/3
ciao
paolo

 
No, perche' quando mancano due punti puoi vincere con due croci oppure una
testa, l'unica combinazione che ti fa perdere e croce-testa, quindi direi
3/4.
Ciao,
     GianPiero
-- 
*  Istituto Nazionale di Ottica                        GianPiero Puccioni  *
*  Largo E.Fermi 6                           E-Mail :  
g...@ino.it
          *
*  I-50125  Firenze - ITALY    =>this space intentionally left non-blank<= *

 p(lim) = 2/3
Con un po' di pazienza si puo' arrivare anche alla formula esatta... si
trova infatti che la probabilita' di fare n e' data dalla sommatoria,
con k che va da zero a n, di (-1/2)^k [progressione geometrica].
Da qui si arriva a:
(-1)^n/(3*2^n)+2/3, che si avvicina rapidamente a 2/3 al crescere di n.
Ma il calcolo di Paolo e' decisamente piu' elegante [come al solito!].
Per chiudere cambiamo le regole...
a) 3 punti per la testa e 1 per la croce.
b) 3 punti per la testa e 2 per la croce.
Non c'e' niente di nuovo, ma io mi sono divertito a provarli.
Ultima cosa: mi sono complicato la vita [si fa per dire] usando come
base p(1)... decisamente piu' immediato usare p(0).
Ciao ciao
Claudio
---
*Nessuno sa che quest'affermazione e' vera!*
da *Impossibilita'* di John D. Barrow

b) 3 punti per la testa e 2 per la croce.
p(0)=0
p(1)=0
p(2)=1/2
p(n)=1/2*(p(n-2)+p(n-3))
che converge a 1/5
Ciao, Silv:o)

b) 3 punti per la testa e 2 per la croce.
p(0)=1  :(
p(1)=0
p(2)=1/2
p(n)=1/2*(p(n-2)+p(n-3))
che converge a 2/5  :(
Ciao, Silv:o(

p(n)=1/2(p(n-1)+p(n-2))
Verificando numericamente
n   p(n)
0   1/1
1   1/2
2   3/4
3   5/8
4   11/16
5   21/32
6   43/64
7   85/128
8   171/256
9   341/512
10  683/1024
...
considerato che
p(0)=1/1
p(1)=1/2)
detto
p(n)=a(n)/b(n)
osserviamo che, per n>1 risulta
a(n)=a(n-1)+2*a(n-2)
b(n)=b(n-1)+2*b(n-2)
o anche b(n)=2^n
quindi
p(n)=(a(n-1)+2*b(n-2))/2^n
che, a ben vedere, corrisponde alla tua formula
Notiamo anche che
a(n)=b(n)-a(n-1)
quindi
p(n)=1 - (a(n-1))/(b(n))
che, a ben vedere, corrisponde alla formula di Claudio
ciao
paolo

la mia formula ricorsiva non e' pratica per il calcolo del limite (infatti
li ho trovati empiricamente), perche' sostituendo si ha un'identita' in
entrambi i casi. Pero' si puo' ricorrerre alla dimostrazione "alla Paolo":
a) 3 punti per la testa e 1 per la croce.
- come posso NON FARE n?
devo arrivare a n-1 e lanciare testa, oppure a n-2 e lanciare testa (se
lancio croce non supero ancora n, pero' ricado nel caso precedente).
1-p(n)=p(n-1)*1/2+p(n-2)*1/2.
poniamo p=lim p(n). si ha
1-p=p*1/2+p*1/2 => p=1/2
b) 3 punti per la testa e 2 per la croce.
- come posso NON FARE n?
devo arrivare a n-1, oppure a n-2 e poi lanciare testa. Tutti gli altri casi
passano prima o poi per n, n-1 o n-2
1-p(n)=p(n-1)+p(n-2)*1/2
1-p=p+p*1/2 => p=2/5
A questo punto e' facile risolvere questa variante che utilizza un normale
dado a sei facce:
che probabilita' hai di arrivare a n sommando i punteggi ottenuti lanciando
ripetutamente un dado? a che valore converge al crescere di n?
Ciao, Silv:o)

 di n?
Allora, col tuo sistema e' appunto immediato... anche se devo calcolarmi
sei termini della successione...
p(n)=(1/6)*[p(n-1)+p(n-2)+...+p(n-6)]
... ma per semplificare il calcolo e' giusto ricordare che:
p(0)=1
e che p(-1), p(-2)..., p(-5) sono uguali a zero! non so quanto sia
lecito, ma visto che funziona...
p(1)=1/6
p(2)=7/36
p(3)=49/216
p(4)=343/1896
p(5)=2401/7776
Con l'altro metodo...
La somma:
p(n)+[p(n+1)-p(n)/6]+[p(n+2)-(p(n)+p(n+1))/6]+...
...+[p(n+5)-(p(n)+p(n+1)+p(n+2)+p(n+3)+p(n+4))/6]
(fra quadre, alla probabilita' p(n+k) ho tolto la prob. di arrivarci da
uno dei casi precedenti e quindi gia' contemplati)
Copre tutte le possibilita' ed e' quindi uguale a uno.
Cioe':
[p(n)+2*p(n+1)+3*p(n+2)+4*p(n+3)+5*p(n+4)+6*p(n+5)]/6=1
Applicando il metodo di Paolo si arriva poi facilmente al limite, che e'
2/7.
Bene, se non le ho sparate troppo grosse...
Ciao ciao
Claudio


 2/7.
Facciamolo esplicitamente:
Per non fare n occorre che, se passo per n-1, esca piu' di 1 (prob. 5/6),
per n-2 serve piu' di 2 e cosi' via.
1-p(n)=p(n-1)*5/6+p(n-2)*4/6+..+p(n-5)*1/6
1-p=p/6*(5+4+3+2+1)=p*5/2 => p=2/7
Ciao, Silv:o)

 2/7.
Il tuo metodo, anche se un po' macchinoso, ha il vantaggio di permettere
direttamente il calcolo del limite p, mentre il mio porta ad una identita'
ed e' inservibile, per cui ho fatto ricorso al ragionamento "a perdere" (era
il calcolo di 1-p(n) che io chiamavo "alla Paolo", non la sola sostituzione)
Invece con la tua formula sostituisci direttamente:
(p+2*p+..+6*p)/6=1
p*21/6=1 => P=2/7
vantaggi e svantaggi, come al solito...
Ciao, Silv:o)