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Titolo: Rettangoli in quadrato

Una semplice costruzione in legno e' formata da 5 rettangoli con le
misure dei lati uguali a 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. (ciascun numero e'
presente una sola volta come misura di un paio di lati opposti).
Vorrei poi assemblare i cinque pezzi in un quadrato perfetto.
E' possibile? se si' in quanti modi ?
:) dario

 ha scritto nel messaggio
news:3A37E9B5...@mclink.it...

per ora una possibile soluzione
spoiler
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|                   | |
|                   | |
|      10*5         | |
|                   | | 1*9
|_ _ _ _ _ _ _ _ _ _| |
|     |             | |
|     |   7*4       | |
|     |             | |
| 3*6 |_ _ _ _ _ _ _|_|
|     |               |
|_ _ _|_ 8*2 _ _ _ _ _|
ciao
paolo

 ha scritto nel messaggio
news:fN%Z5.100469$hk4.3...@news.infostrada.it...

Le diverse combinazioni di rettangoli che danno una superficie che può
essere l'area di un quadrato sono 35 (brutalmente trovate):
 1 : 1 x 2  3 x 5  4 x 9  6 x 10  7 x 8 lato 13
 2 : 1 x 2  3 x 7  4 x 6  5 x 10  8 x 9 lato 13
 3 : 1 x 2  3 x 7  4 x 9  5 x 6  8 x 10 lato 13
 4 : 1 x 2  3 x 8  4 x 5  6 x 10  7 x 9 lato 13
 5 : 1 x 3  2 x 5  4 x 8  6 x 9  7 x 10 lato 13
 6 : 1 x 3  2 x 7  4 x 5  6 x 10  8 x 9 lato 13
 7 : 1 x 3  2 x 7  4 x 8  5 x 6  9 x 10 lato 13
 8 : 1 x 3  2 x 9  4 x 10  5 x 7  6 x 8 lato 12
 9 : 1 x 3  2 x 10  4 x 7  5 x 9  6 x 8 lato 12
 10 : 1 x 3  2 x 10  4 x 8  5 x 7  6 x 9 lato 12
 11 : 1 x 4  2 x 5  3 x 7  6 x 9  8 x 10 lato 13
 12 : 1 x 5  2 x 3  4 x 9  6 x 7  8 x 10 lato 13
 13 : 1 x 5  2 x 4  3 x 8  6 x 7  9 x 10 lato 13
 14 : 1 x 5  2 x 6  3 x 8  4 x 10  7 x 9 lato 12
 15 : 1 x 5  2 x 7  3 x 4  6 x 8  9 x 10 lato 13
 16 : 1 x 6  2 x 3  4 x 8  5 x 7  9 x 10 lato 13
 17 : 1 x 6  2 x 9  3 x 10  4 x 8  5 x 7 lato 11
 18 : 1 x 6  2 x 10  3 x 8  4 x 9  5 x 7 lato 11
 19 : 1 x 6  2 x 10  3 x 9  4 x 7  5 x 8 lato 11
 20 : 1 x 7  2 x 4  3 x 8  5 x 9  6 x 10 lato 12
 21 : 1 x 7  2 x 9  3 x 5  4 x 6  8 x 10 lato 12
 22 : 1 x 7  2 x 10  3 x 6  4 x 9  5 x 8 lato 11
 23 : 1 x 8  2 x 6  3 x 10  4 x 9  5 x 7 lato 11
 24 : 1 x 8  2 x 7  3 x 10  4 x 6  5 x 9 lato 11
 25 : 1 x 8  2 x 9  3 x 7  4 x 6  5 x 10 lato 11
 26 : 1 x 8  2 x 10  3 x 5  4 x 9  6 x 7 lato 11
 27 : 1 x 9  2 x 5  3 x 7  4 x 6  8 x 10 lato 12
 28 : 1 x 9  2 x 6  3 x 5  4 x 7  8 x 10 lato 12
 29 : 1 x 9  2 x 7  3 x 6  4 x 10  5 x 8 lato 11
 30 : 1 x 9  2 x 7  3 x 8  4 x 6  5 x 10 lato 11
 31 : 1 x 9  2 x 7  3 x 10  4 x 5  6 x 8 lato 11
 32 : 1 x 9  2 x 8  3 x 6  4 x 7  5 x 10 lato 11
 33 : 1 x 10  2 x 4  3 x 5  6 x 8  7 x 9 lato 12
 34 : 1 x 10  2 x 5  3 x 9  4 x 8  6 x 7 lato 11
 35 : 1 x 10  2 x 8  3 x 7  4 x 5  6 x 9 lato 11
Di queste, però, non tutte (forse la maggior parte) si riescono a ricomporre
come un quadrato. La soluzione di Paolo dovrebbe essere la n. 32.
Salvo errori (molto probabili) od omissioni (quasi certe). :)
Ciao
Giorgio

 essere l'area di un quadrato sono 35 (brutalmente trovate):
Anche se a prima vista sembra un tipico problema per forzabrutisti, almeno
per lo screening iniziale, ho preferito seguire un'altra via, anche se
(forse) più complicata.
L'area complessiva dei rettangoli può variare tra un massimo
10*9+8*7+6*5+4*3+2*1=190
se si scelgono rettangoli *compatti*
ad un minimo di
10*1+9*2+8*3+7*4+6*5=110
se si scelgono rettangoli *allungati*.
I quadrati compresi in questo intervallo sono 121,144 e 169, quindi il lato
del quadrato, se esiste, può valere 11, 12 o 13
(come ha trovato anche Giorgio).
Il fatto che il lato del quadrato deve essere almeno 11, mentre il
rettangolo più lungo ha lato 10, comporta che nessun rettangolo può
*attraversare* il quadrato da parte a parte (avere cioè due lati opposti sui
lati del quadrato). Quindi ciascun rettangolo dovrà avere almeno due lati
consecutivi interni al quadrato.
D'altra parte 4 rettangoli, quelli ai vertici, hanno due lati esterni; il
quinto potrà avere un lato esterno e tre interni, oppure essere
completamente interno al quadrato (come nella mia soluzione precedente).
Perciò il perimetro del quadrato (44, 48 o 52) deve essere somma di 9 oppure
di 8 lati dei rettangoli.
Nel caso del lato 11, trovo subito che non è possibile ottenere 44 con 9
segmenti, quindi la soluzione, se esiste, deve prevedere un rettangolo
completamente interno al quadrato.
Ciascun lato del quadrato (11) deve essere somma di due lati di rettangoli;
le possibili coppie sono
10+1
9+2
8+3
7+4
6+5
di queste cinque coppie, quattro rappresentano lati di rettangoli esterni,
quindi la quinta coppia corrisponde ai due lati del rettangolo interno.
Il rettangolo lungo 10 non può essere interno.
Quello lungo 9 nemmeno, infatti dovrebbe essere adiacente a due rettangoli
larghi 1.
Il rettangolo lungo 8 non può ugualmente essere interno:
supponiamo interno il rettangolo 8*3; lo dispongo orizzontale, ai suoi lati
devono esistere due fasce verticali, larghe rispettivamente 1 e 2, che
devono raggiungere due lati orizzontali del quadrato, quindi sopra e sotto
il rettangolo 8*3 ne devono esistere due 9*x e 10*y
.- - - - - - - - - - -
|   |                 |
|   |                 |
...     9*x          ...
|   |                 |
|   |_ _ _ _ _ _ _ _ _|
|   |               | |
|   |    8*3        | |
|_ _|_ _ _ _ _ _ _ _| |
|                   | |
|                   | |
...     10*y         ...
|                   | |
|_ _ _ _ _ _ _ _ _ _|_|
deve essere x+3+y=11, quindi x+y=8
ma ho già impegnato le lunghezze 1,2,3,8,9,10, e tra le rimanenti (4,5,6,7)
non posso ottenere la somma 8.
Con lo stesso metodo verifico l'impossibilità per il rettangolo 6*5
all'interno.
Con il rettangolo 7*4 all'interno trovo facilmente la soluzione che ho dato
nel post precedente.
Salvo errori od omissioni, dovrebbe essere l'unica soluzione per quadrato di
lato 11.
Non ho ancora verificato le possibilità per quadrati di lato 12 o 13.
Lascio la verifica a chi ne abbia voglia; d'altra parte mi sembra più facile
a farsi che a dirsi.
ciao
paolo

 lato 11.
Bravo come sempre.
Dovrebbero esserci solo 4 sol. in tutto.
Due con lato 11 (l'altra differisce poco da quella che hai dato) e due
con lato 13.
ciao :) dario

"Dario Uri"  ha scritto:

Oggi in ufficio osservavo i progressi di Sergio e Paolo, e friggevo
perche' stamani avevo iniziato un programma a casa: avevo "visto" 
la soluzione. La narro ugualmente, se non altro per dimostrare il
numero delle soluzioni.
 
Incominciamo col dire che soltanto il seguente grafo (+R&R)
permette di avere tutti i lati diversi. Come si dimostra?
Si costruiscono "tutti" i grafi di 5 rettangoli in uno e si
constata che tutti gli altri hanno almeno due lati coincidenti,
e quindi uguali, mentre qui devono essere tutti diversi.
 
   _________a_________ __b__
  |                   |     |
  |                   |     |
  |                   |     |
 h|                   |     |c
  |_____________ _____|     |
  |             |  i  |     |
  |             |    l|     |
  |             |_____|_____|
  |             |           |
 g|             |           |
  |             |           |d
  |             |           |
  |_____________|___________|
         f            e
 
Ora possiamo scrivere il seguente sistema eterogeneo di n 
equazioni in m incognite:
 
a=1 OR a=2 OR ... OR a=10
b=1 OR b=2 OR ... OR b=10
...
l=1 OR l=2 OR ... OR l=10
a#b#c#d#e#f#g#h#i#l reciprocamente
S = bxc+dxe+fxg+hxa+ixl
L=SQR(S)
L=Int(L)
a+b=c+d=e+f=g+h=L
i+f=a
l+h=c
b+i=e
l+d=g
 
Ah! Come vorrei risolvere tanti puzzle cosi'!
Risolvete questo sistema come volete (Mathematica1.4 ?)
ma, mi raccomando, non con la forza bruta!  :o)))))))
 
Le soluzioni sono solo 2 (!) (+R&R)
 
 
L=13
a=10 b=3 c=8 d=5 e=4 f=9 g=7 h=6 i=1 l=2
 
L=11
a=10 b=1 c=6 d=5 e=8 f=3 g=9 h=2 i=7 l=4
 
 
Ciao
Oh come mi sono divertito!  :o)
Livio
 
P.S- Vedo mentre posto la sol. di Dario.
Ehm... io le altre due non le trovo, R&R a parte.
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Inviato da: 212.171.116.124, via 
http://usenet.iol.it
 

 ciao :) dario
E' vero, non sono riflessioni! Nella cernita ho scambiato le coppie
dei lati con quelle dei rettangoli.
 
 
   _ _ _ _7_ _ _ _ _ _6_ _ _       _ _ _ _7_ _ _ _ _ _6_ _ _ 
  |             |           |     |             |           |
 3|             |           |     |             |           |
  |_ _ _ _ _ _2_|           |4    |             |           |
  |        1|_ _|_ _ _ _ _ _|     |             |           |
  |         |               |    9|             |           |10
  |         |               |     |             |           |
  |         |               |     |             |           |
10|         |               |9    |             |           |
  |         |               |     |_ _ _ _ _ _2_|           |
  |         |               |     |        1|_ _|_ _ _ _ _ _|
  |         |               |    4|         |               |
  |         |               |     |         |               |3
  |_ _ _ _ _|_ _ _ _ _ _ _ _|     |_ _ _ _ _|_ _ _ _ _ _ _ _|
       5            8                  5            8
 
 
Questi erano i risultati del sistemone, da cui ho creduto di 
scartare le riflessioni:
 
 10 1 9 2 8 3 6 5 7 4  11
 10 1 6 5 8 3 9 2 7 4  11
 10 3 8 5 4 9 7 6 1 2  13
 10 3 7 6 4 9 8 5 1 2  13
 9 2 10 1 6 5 8 3 4 7  11
 9 2 8 3 6 5 10 1 4 7  11
 8 3 9 2 10 1 6 5 7 4  11
 8 3 6 5 10 1 9 2 7 4  11
 8 5 10 3 7 6 4 9 2 1  13
 8 5 4 9 7 6 10 3 2 1  13
 6 5 10 1 9 2 8 3 4 7  11
 6 5 8 3 9 2 10 1 4 7  11
 7 6 10 3 8 5 4 9 2 1  13
 7 6 4 9 8 5 10 3 2 1  13
 4 9 8 5 10 3 7 6 1 2  13
 4 9 7 6 10 3 8 5 1 2  13
 
Pero' allora non dovrebbero essere 32? Bah!?!
 
L'hai inventato o l'hai pescato da qualche parte?
Ciao  :o)
Livio
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Inviato da: 212.171.112.125, via 
http://usenet.iol.it
 

 L'hai inventato o l'hai pescato da qualche parte?
Pescato da After Math di Ed Barbeau, WE 1995.
ciao :) dario