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Titolo: IperDadoDaGioco (ultimo appello :o))

[Cross-post su IHE e ISM]
Ero alla ricerca di un semplice crivello che mi permettesse
di disegnare facilmente e automaticamente i 192 orientamenti
che un iper_dado_da_gioco 4D può assumere in uno spazio
4D , rispetto agli assi cartesiani WXYZ. Credo di averlo scovato
e chiedo soltanto se un'anima gentile mi vuole confermare
l'esattezza del ragionamento. (Un iper_dado_da_gioco 4D
e un tesseract con i suoi cubi numerati da 1 a 8)
Parto per semplicità dal dado da gioco tradizionale 3D.
Esso può assumere 24 orientamenti in uno spazio 3D e
48 se gli permettiamo di fare un'escursione in 4D, ovvero
se consideriamo anche la sua immagine speculare.
Per ottenere le 48 posizioni è sufficiente permutare gli
assi e cambiare loro il segno, in tutte le combinazioni
possibili.
Permutazioni (6):
XYZ
XZY
ZXY
ZYX
YZX
YXZ
Segni (8):
+++
++-
+-+
+--
-++
-+-
--+
---
6x8=48 non ci piove. Verificato con un dado in mano.
Ora il problema è distinguere le 24 possibilità restando in
uno spazio 3D dalle altre. Ebbene, sono quelle in cui:
N.o permutazioni + N.o cambi_di_segno = pari
-------------------------------------------------------------------
Per l'iper_dado_da_gioco 4D dovrebbe essere la stessa cosa:
N.o permutazioni: 24
N.o cambi di segno: 16
Orientamenti: 16x24 = 384 di cui 192 restando in 4D.
Anche in questo caso i 192 orientamenti che si possono
ottenere soltanto con rotazioni in 4D, senza sconfinare in
5D, sono quelli che si ottengono quando la somma del
numero delle permutazioni e del numero dei cambiamenti
di segno è pari.
Ciao e grassie!!!  :o)
Livio

 di segno è pari.
Tutto bene, salvo una questione di terminologia.
Quella che chiami "numero delle permutazioni" e' in realta' il numero
di scambi di due oggetti occorrente per generare una data
permutazione.
Se il n. di scambi e' pari la permutazione e' detta "pari",
altrimenti "dispari".
BTW: Sto giocando un po' sulle rappresentazioni dell'ipercubo. Se
trovo qualcosa di bello la faro' sapere.
 
-- 
Elio Fabri

di segno è pari.
Ieri non avevo colto questa domanda tua.. be' e` una
congiura, perche' anche tu ieri non hai colto quando
nell'altro thread t'avevo detto:
--cite--
BOING! e la quaterna in 4D?! cambia o non cambia?!  8-)
--cite--
Orbene..
Circa la tua domanda: confermo in pieno l'esattezza, ma..
Ma oggi ho riguardato i penta (come t'ho detto nell'altro
tread) e mi sembra proprio che il Magenta si inverte si`!
Il Ciano si inverte anch'esso, e` come il Magenta
anzi peggio, perche' il tempo lo si attacca al cubo
nell'origine, dunque e` immediata la dimo:
Esso e` infatti giusto-giusto un parallelepipedo 1x1x1x2
lungo ogni asse, ergo s'inverte necessariamente! diventa
di due tipi: destro e sinistro. Segue le quaterne degli
assi, ne' piu`, ne' meno.
E siamo a 29.. bisestile: la vedo brutta:-(
Per il Magenta, e` vero che la sezione t=cost., e` - come
dicevamo - indistinguibile in 4D se destra o sinistra,
ma e` anche vero che l'orientamento d'un solido puo`
risultare invertito anche in 4D.
Ricordi che te lo chiesi in "Curiosita`2"?  Be' ora, per
convincersi del Magenta-Mattone, basta invertire l'asse
non attaccato all'origine (cioe` t), invece di quello al
quale s'innesta t (cioe` x).
Che dici? dici che regge? come dimo del Magenta intendo,
il Ciano per me e` ormai fuori dubbio.
Gli altri due non li ho guardati.. se poi son solo due;-)
-- 
Ciao, rez	||  -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1  ||

assi, ne' piu`, ne' meno.
Il fatto e` che la stessa figura solida in 3D - basta
prendere quattro dadi da gioco - e` ben diversa da una
terna destra o sinistra: la terna non si inverte, il
solido invece si` anche stando in 3D soltanto.
Di qui il mio errore.


Di qui il mio errore.
Be', per farmi perdonare ecco una sistemazione analitica
che ritengo utile e chiara.
Definisco le coordinate dei seguenti otto ipercubi
quadridimensionali: B,X,Y,Z,T,Tn,Txp,Txn.
IPERCUBO B (B perche' ipercubo base)
x=0..1; y=0..1; z=0..1; t=0..1
brevemente: x,y,z,t=0..1
IPERCUBO X
x=1..2; y,z,t=0..1
IPERCUBO Y
y=1..2; x,z,t=0..1
IPERCUBO Z
z=1..2; x,y,t=0..1
IPERCUBO T
t=1..2; x,y,z=0..1
IPERCUBO Tn
t= -1..0; x,y,z=0..1
IPERCUBO Txp
t=1..2; x=1..2; y,z=0..1
IPERCUBO Txn
t= -1..0; x=1..2; y,z=0..1
Da questi definisco i seguenti solidi, per unione:
MAGENTA
B+X+Y+Z+Txp
MATTONE
B+X+Y+Z+Txn
CIANO
B+X+Y+Z+T
CIANOn
B+X+Y+Z+Tn
Risulta per le sezioni:
[con x=0..1 si intende un valore qualsiasi (estremi al
piu` esclusi), ad esempio di puo` pensare al valore 0,5]
- SEZIONE x=0..1
Magenta: B+Y+Z      una L
Mattone: B+X+Y      una L
Ciano:   B+Y+Z+T    una 3L
Cianon:  B+Y+Z+Tn   una 3L
- SEZIONE y=0..1
Magenta: B+X+Z+Txp  una 3L
Mattone: B+X+Z+Txn  una 3L
Ciano:   B+X+Z+T    una 3L
Cianon:  B+X+Z+Tn   una 3L
- SEZIONE z=0..1
Magenta: B+X+Y+Txp  una 3L
Mattone: B+X+Y+Txn  una 3L
Ciano:   B+X+Y+T    una 3L
Cianon:  B+X+Y+Tn   una 3L
- SEZIONE t=0..1
Magenta: B+X+Y+Z    una 3L
Mattone: B+X+Y+Z    una 3L
Ciano:   B+X+Y+Z    una 3L
Cianon:  B+X+Y+Z    una 3L
- SEZIONE x=1..2
Magenta: X+Txp      una I
Mattone: X+Txn      una I
Ciano:   X          singolo
Cianon:  X          singolo
- SEZIONE y=1..2
Magenta: Y          singolo
Mattone: Y          singolo
Ciano:   Y          singolo
Cianon:  Y          singolo
- SEZIONE z=1..2
Magenta: Z          singolo
Mattone: Z          singolo
Ciano:   Z          singolo
Cianon:  Z          singolo
- SEZIONE t=1..2
Magenta: X+Txp      una I
Mattone:            vuoto
Ciano:   T          singolo
Cianon:             vuoto
- SEZIONE t= -1..0
Magenta:            vuoto
Mattone: X+Txn      una I
Ciano:              vuoto
Ciano:   Tn         singolo
Tutte le altre sezioni non sono significative: sono
vuote.
Concludo dicendo che le uniche differenze si hanno negli
ultimi due casi. Queste pero` non hanno significato
intrinseco, in quanto equivalgono al posizionare in 3D
ad esempio una 3L con il cubo Z (ci togliamo il tempo eh)
una volta in basso e l'altra in alto e scrivere quindi
le sezioni.
Be'.. e finalmente: c.v.d. [o almeno spero;-)]
Ps. 3L non dev'essere il nome giusto, ma ora non me ne
viene in mente nessun altro - tanto si capisce.


trovo qualcosa di bello la faro' sapere.
La mia l'hai vista?
http://www.geocities.com/liviozuc/hypertiling.html
Ho modificato un po' l'assonometria di Martin Gardner per
poter disegnare insiemi di ipercubi 4D senza troppe
sovrapposizioni.
Magari anche lě c'č qualche problema di terminologia...
Ciao!!!  :o)
Livio