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Titolo: Dilemmi e monete

Ragionando di dilemmi mi e' tornato in mente un problema
vecchissimo, ma che ho sempre trovato molto carino:
Dovete prendere una decisione al 50%, e volete aiutarvi con il
lancio di una moneta. Purtroppo avete con voi solo una moneta
che da' testa con maggiore probabilita' rispetto a croce.
Come fate?
Saluti,
         Antonio

 che da' testa con maggiore probabilita' rispetto a croce.
Suppongo che non si conosca il *grado di imprecisione* della moneta.
Allora proverei cosi:
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Faccio una prima serie di lanci sufficientemente numerosa, diciamo 100
lanci, al solo scopo di testare la moneta. Trovo N teste e 100-N croci.
Faccio una seconda serie di 100 lanci. Se il numero di teste è maggiore
di N, decido A, se è minore decido B.
E se è uguale a N?
Altri cento lanci.
:-)
ciao
paolo

 ha scritto nel messaggio
news:lb91b0tj4ou5v3d1c...@4ax.com...
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Lanci la moneta fino a quando non ottieni TESTA (ci dovresti mettere anche
meno tempo ;-P) ... se hai fatto un numero pari di lanci prendi una
decisione ... se hai fatto un numero dispari di lanci prendi l'altra
decisione ...
Puo andare?!?!

"tonatiuh" <itzpapalotl...@LEVAMIhotmail.com> ha scritto nel
messaggio news:ac4sc.321690$rM4.13...@news4.tin.it...

... non puo andare :-)
Forse č meglio aspettare l'uscita di CROCE ... o forse ...

 diciamo 100 lanci, al solo scopo di testare la moneta.
ullallč paolč, da te non me lo aspettavo
magari dal darwiniano di torino, ma da te no ;)
bastano.... diciamo molto probabilmente molto meno di dieci lanci ;)
-- 
Ciao, Silv:o)
PS: livio, come gliela spieghi ai nipotini la darwin machine dopo che zia
letizia ha messo all'indice il buon vecchio charles?

 ha scritto nel messaggio
news:lb91b0tj4ou5v3d1c...@4ax.com...
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Dovrebbe funzionare:
Punto su TC o CT e lancio la moneta 2 volte. Se ottengo TT o CC ripeto i 2
lanci.
Ciao

 zia letizia ha messo all'indice il buon vecchio charles?
Beh... non e' difficile risolvere le equazioni con una Miracle-Machine.
Conosco un'Associazione che, da piu' di 2000 anni, fa tornare i conti
con un metodo del genere. E come gli funziona!    ##*°[§ç#!!!
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Beh... non e' difficile risolvere le equazioni con una Miracle-Machine.
Niente da fare: č brevetto /\/\/\
E se passa - come passa - il ddl del suo compare urbani, se la implementi
senza licenza ti si bevono :(
-- 
Ciao, Silv:o)

 ha scritto:

Esatto!
Detta p la probabilita' di fare testa, quella di fare croce sara' 1-p.
Di conseguenza il risultato di due lanci consecutivi avra' questa
distribuzione di probabilita':
TT  p^2
TC  p(1-p)
CT  p(1-p)
CC  (1-p)^2
da cui si vede che in ogni caso TC e CT sono sempre certamente 
equiprobabili.
Allora la procedura sara' quella di scegliere testa o croce, e poi
fare sempre coppie di lanci, di cui il secondo e' un "lancio di
validazione". Se da' lo stesso risultato del primo considero nullo
il lancio e ricomincio, se da' un risultato diverso considero buono
il primo lancio.
Ciao,
      Antonio

bastano.... diciamo molto probabilmente molto meno di dieci lanci ;)
Beh, diciamo che Paolo non ha centrato la soluzione...
...pero' non si puo' nemmeno dire a priori che ce ne vorranno
molto probabilmente molto meno di dieci. Pensa al caso di una moneta
molto truccata che da' testa al 99.99% e croce allo 0.01%...   ;-)
Ciao,
       Antonio


Effettivamente potrebbe andare, però se le probabilità di dare T o C
sono molto diverse, si corre il rischio di rompersi le scatole a
ripetere i 2 lanci troppe volte, in quanto esce sempre TT.
Per ottimizzare, si potrebbero fare ad es. 4 lanci, scegliendo per
decisione A: TCCC , CCCT , TTCC , TCTC , TCCT , TTCT , TCTT
decisione B: CTCC , CCTC , CCTT , CTCT , CTTC , CTTT , TTTC
che richiede la ripetizione solo se escono TTTT o CCCC (improbabili
a meno che p(T) > 5p(C) ; in questo caso, si aumentano i lanci).
Inoltre, verificandosi nei primi 2 lanci TC o CT non è necessario
proseguire, essendo la decisione ormai presa.
Lo stesso se nei primi 3 lanci esce la sequenza CCT o TTC.
Ciao, Nino (che preferisce decidere senza affidarsi al caso)

 molto truccata che da' testa al 99.99% e croce allo 0.01%...   ;-)
Ci vevo pensato. Però di solito in questi giochi quando si dice che la
moneta non è equa, si pensa ad una moneta lievemente tarocca. E' difficile
pensare ad una moneta come quella che dici tu. In prima battuta avrei voluto
suggerire: bastano un paio di lanci, poi ho ripiegato sulla formula che ho
usato.
Il problema secondo me è interessante ed infido. Subito si pensa a cercare
un evento che abbia probabilità 1/2. oppure ai grandi numeri. In realtà
basta trovare due eventi equiprobabili, non importa quale sia la loro
probabilità. Se scartiamo tutti gli altri, le loro probabilità condizionate
diventa 50 e 50.
Come fareste con un dado tarocco?
-- 
Ciao, Silv:o)

 > Puo andare?!?!
Correggo un po il mio messaggio ... mi sembra che possa funzionare ...
... Ho scritto una cosi grande ca@@ata che non merita neanche risposta!!!
Boh ...
Ciao a tutti ...

quello che di ci è vero, ma questo è fare "metagaming"!
non sai a priori "quanto" è truccata la moneta, quindi non puoi sapere
quanti lanci possono essere fatti per ottimizzare il processo decisionale.
se ci si volesse per forza portare avanti nel lavoro, tanto vale lanciare la
moneta centinaia di volte, come proponeva paolo all'inizio.
ottimizzi effettivamente solo se sai la probabilità di uscita esatta dei due
risultati, ma in tal caso son convinto che si possa "fare di meglio", cioè
usare meno tiri per avere un evento a probabilità 50% per via di tale
conoscenza.
Ste

"tonatiuh" <itzpapalotl...@LEVAMIhotmail.com> ha scritto:

La distribuzione di probabilita' di fare croce ad un lancio pari
piuttosto che ad un lancio dispari non e' equiprobabile, come si
vede da questo esempio pratico.
Sia n il numero di lanci necessari per vedere l'uscita di croce
e siano p(T)=0.6 e p(C)=0.4 le probabilita' di fare testa o croce
nel singolo lancio. Se non ho sbagliato i conti (*) si avra':
p(C | n=1) = 0.400000
p(C | n=2) = 0.240000
p(C | n=3) = 0.144000
p(C | n=4) = 0.086400
p(C | n=5) = 0.051840
p(C | n=6) = 0.031104
p(C | n=7) = 0.018662
p(C | n=8) = 0.011197
p(C | n=9) = 0.006718
p(C | n=10)= 0.004031
cioe' approssimativamente:
p(C | n dispari) = 0.6212
p(C | n pari) =  0.3727
e quindi un po' peggio della moneta truccata stessa...  ;-)
Ciao,
       Antonio
(*)  p(C | n) = p(T)^(n-1) * p(C)

 p(C | n pari) =  0.3727
Per calcolare la probabilita esatta che la prima croce esca dopo un numero
dispari di lanci, si può ragionare così (X è probabilità richiesta):
X = p(C) + p(T)(1-X)
Perché al primo lancio possono succedere due cose: con probabilità p(C) esce
subito croce; con probabilità P(T)=1-p(C) esce testa dopodiché l'evento
desiderato si verifica solo se la prima croce esce dopo un numero pari di
volte, che è l'evento opposto ed ha probabilità (1-X)
risolvendo si ha
X = 1/(2-p(C))
con p(C)=0.4 si ottiene X = 0.625
-- 
Ciao, Silv:o)

con p(C)=0.4 si ottiene X = 0.625
Ottimo ragionamento Sergio!
Molto piu' immediato del mio (e in piu' esatto).
E' dunque confermato che quello di scommettere sulla parita' dei
lanci non e' un metodo che possa correggere la non equita' della
moneta. La cosa interessante, pero', e' che quel metodo sbaglia
tanto meno quanto piu' e' iniqua la moneta. Al limite di p(C) -> 0
X -> 1/2, mentre per una moneta equa si ha X=2/3.
Ciao,
       Antonio
 

 Al limite di p(C) -> 0, X -> 1/2, mentre per una moneta equa si ha X=2/3.
Scusa, ma se p(C) -> 0, vuol semplicemente dire che non esce mai Croce, ma
sempre Testa, sia ai lanci pari che ai lanci dispari...
i miei due cents (visto l'argomaneto),
  Ste

sempre Testa, sia ai lanci pari che ai lanci dispari...
Attenzione!!!
"p(C) -> 0"  e' molto diverso da  "p(C) = 0".
Con "p(C) -> 0" si indica un processo al limite con cui si
"estremizza" l'improbabilita' di un evento comunque possibile,
mentre con "p(C) = 0" si dichiara a priori l'impossibilita'
dell'evento stesso.
Di fronte ad un evento impossibile mancano le premesse per
impostare la formula di Sergio, che quindi, come hai
giustamente notato, perde di significato.
Al contrario, nel caso di improbabilita' estrema e' abbastanza facile
convincersi (qualitativamente prima che quantitativamente) che piu'
l'evento croce e' improbabile e piu' il fatto che croce si verifichi
in un lancio pari e' equiprobabile rispetto a che si verifichi in un
lancio dispari.
Ti basti pensare al caso p(C)=1/1000. E' verosimile che croce non esca
prima di 300-400 lanci quindi a quel punto il fatto che il lancio sia
pari ha praticamente la stessa probabilita' che il lancio sia dispari.
Ciao,
       Antonio


Effettivamente non era un gran metodo ...
cmq qualcosa di interessante ne è uscito fuori ... ;-P
Ciao a tutti


Comunque, non ci siamo.
Con il metodo che ho indicato sopra, io ottimizzo sempre, e non solo quando
conosco la probabilità di uscita esatta dei 2 risultati.
Infatti, posso stabilire due gruppi di casi la cui somma è equiprobabile,
che mi fanno scegliere tra una decisione e l'altra, utilizzando "a priori"
un numero n elevato di lanci, che, in ogni caso, mi possa ragionevolmente
garantire la decisione (basta che non si ripeta per n volte lo stesso
evento).
Poi passo all'osservazione:
se dopo 2 lanci ottengo TC o CT sono a posto, altrimenti proseguo con il
terzo lancio: se ottengo CCT o TTC ho finito, se no passo al quarto lancio:
se il segno cambia CCCT o TTTC sono a posto, ecc..
Rispetto alla procedura di LW e iant (coppie di lanci e poi, se i segni sono
uguali, ricomincio da capo), ho larga aspettativa di finire molto prima.
Nino

 pari ha praticamente la stessa probabilita' che il lancio sia dispari.
E io che ho detto? A parte che l'evento "lancio di una moneta" ripetuto più
volte è un eventi incorrelato e dunque dire che Croce non esce prima di
300-400 lanci, seppur verosimile non è corretto, il fatto che con una
distribuzione di probabilità di questo tipo il risultato utile arrivi in un
lancio pari o dispari è praticamente equiprobabile (non equiprobabile
comunque, per essere pignoli)... sta di fatto che come dici tu, si
dovrebbero fare 300-400 lanci (a 5 secondi a lancio significa lanciare la
moneta per 25-30 minuti ininterrottamente)...
Ste

metagaming...
vediamo se riesco con un bell'esempio a farti capire cosa si intende per
metagaming...
prendi il poker: è un gioco di carte, definito da regole ben precise. si
potrebbe scrivere un programma che, in modo del tutto impersonale, faccia
giocare il computer a poker.
sceglie quali sono la carte che conviene tenere in mano, quanto conviene
puntare a seconda della combinazione in possesso, ecc. questo è
semplicemente "gaming", giocare...
sostituiamo i computer con giocatori in carne ed ossa... come tutti sappiamo
il fascino del poker sta principalmente nel poter bluffare... questo
aggiunge tutta una nuova serie di sfumature al gioco che con il computer non
erano nemmeno state prese in considerazione.
supponiamo ora che tu, giocatore smaliziato sia giocando con altre persone
tra cui io, giocatore alle prime armi...
dopo aver cambiato le carte, mi vedi riordinare quelle che ho in mano.
questo è l'errore tipico in cui tutti i giocatori alle prime armi incorrono,
spinti dall'abitudine acquisita in altri giochi: significa che mi è entrata
una "scala" o che l'ho fallita di poco. grazie a questa nuova informazione e
sapendo cosa hai in mano, puoi prendere decisioni diverse da quelle che
avresti preso altrimenti... questo è "metagaming"...
spero di aver fatto un po' di luce, perchè rileggendo non mi è parso di
essere stato poi così chiaro...
ciao,
  Ste

 Come fareste con un dado tarocco?
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Dado da 6 tarocco:
P(ari) = 2; 4; 6
D(ispari) = 1; 3; 5
p(PD) = p(DP)
Punto PD contro DP. Lancio il dado 2 volte.
Se ottengo PP o DD rilancio il dado 2 volte.
Lascio la parola a Nino per l'ottimizzazione.
Ciao

 Ottimo ragionamento Sergio!
Non č possibile. Ogni nuovo frequentatore la stessa storia. Non ce la faccio
piů (immaginatelo detto da magda). S-I-L-V-I-O
;) ;)
-- 
Ciao, Silv:o)

Da un punto di vista "pratico" no...
Io stavo facendo un discorso teorico di limite, non pratico.
E comunque non si era mai parlato di metodo...rapido!  ;-))
Pero' mi preme sottolineare che p -> 0  e' diverso da p = 0
non solo nella teoria, ma anche nella pratica, perche' marca
un confine invalicabile tra improbabilita' e impossibilita'.
Esempio:
La probabilita' che 5 punti a caso nello spazio si trovino
tutti alla stessa distanza l'uno dall'altro e' p=0.
La probabilita' che 4 punti a caso nello spazio si trovino
tutti alla stessa distanza l'uno dall'altro e' p->0.
Ciao,
       Antonio


Non so se per il dado tarocco di Silvio vale
questa uguaglianza di somma di probabilità.
Io comunque farei così.
Lancio il dado 2 volte e osservo se il numero uscito
la seconda volta è maggiore o minore del numero
uscito la prima.
Nel caso fosse uguale, ripeto i lanci
Ciao, Nino

;) ;)
No no no. Che hai capito? Era per ossequio!
Altre volte ti ho dato del Silvio...  ;-))
Eppoi non sono del tutto un nuovo frequentatore. Diciamo che da
diversi anni non scrivevo piu'. (Poi sono arrivati i Gini... ;-)
Ciao,
       Antonio

 wrote in message
news:WQssc.71092$Qc.28...@twister1.libero.it...

Prima. Sul molto ci sarebbe da fare i conti.
N è l'attesa media col metodo Nino, p=p(T), q=1-p=p(C)
N = 2*P(TC|CT) + 3*P(CCT|TTC) + 4*P(CCCT|TTTC) + (4+N)*P(TTTT|CCCC) da cui
N = [2*P(TC|CT)+3*P(TTC|CCT)+4*P(TTTC|CCCT)+4*P(TTTT|CCCC)]/[1-P(TTTT|CCCC)]
N = [   4pq    +3ppq +3pqq  +4pppq +4pqqq  +4pppp +4qqqq  ]/[1-(pppp+ qqqq)]
N = [7pq+4ppp+4qqq]/[1-(pppp+qqqq)]
L è l'attesa media col metodo LW delle coppie
L = 2*P(TC|CT) + (2+L)*P(TT|CC)
L = 4pq + (2+L)(pp+qq)
L = [4pq + 2pp +2qq]/[1-(pp+qq)]
L = [2p+2q]/2pq = 1/pq  <=!!!!!!!!!!!!!!!!!
p         L           N
0.05  21.0526316  20.2843857
0.10  11.1111111  10.3257708
0.15   7.8431372   7.0420691
0.20   6.25         5.4347826
0.25   5.3333333   4.5057471
0.30   4.7619048   3.9239159
0.35   4.3956044   3.5493420
0.40   4.1666666   3.3143939
0.45   4.0404040   3.1844839
0.50   4            3.1428571
0.55   4.0404040   3.1844839
0.60   4.1666666   3.3143939
0.65   4.3956044   3.5493420
0.70   4.7619048   3.9239159
0.75   5.3333333   4.5057471
0.80   6.25         5.4347826
0.85   7.8431372   7.0420691
0.90  11.1111111  10.3257708
0.95  21.0526316  20.2843857
-- 
Ciao, Silv:o)

 Nel caso fosse uguale, ripeto i lanci
La simmetria! prima di tutto. Sembra facile. Invece dietro c'è una
comprensione profonda dei meccanismi del "caso".
Non a caso Nino ci "gioca" da anni con competenza e passione (e qualche
romantico cedimento alle sirene ritardiste ;).
-- 
Ciao, Silv:o)

 ha scritto nel messaggio
news:46c3b0d6dhkjhndjo...@4ax.com...

Pero' cosi' non sei sicuro di poter prendere una decisione prima di morire!
Ero arrivato anche io questa soluzione, ma credevo non fosse accetabile
perche'
richiede tempo infinito per essere applicata (in teoria).
Esiste una soluzione che richieda una tempo massimo stabilito per essere
attuata?
Ciao
Jojo

 attuata?
No.
come hai detto tu, il tempo di attesa dell'evento meno probabile non è
limitato superiormente. E se esce sempre la stessa cosa non c'è
informazione, se non che la moneta è MOLTO sbilanciata.
-- 
Ciao, Silv:o)


Comunque il succo era questo. La soluzione potrebbe richiedere troppo tempo.
Quindi una variante del gioco potrebbe essere trovare quella strategia che
minimizza
il tempo medio di attesa?
Ciao
Jojo

essere attuata?
Cosi' sui due piedi mi verrebbe da dire di no, anche perche'
parlando di eventi probabilistici si possono dare solo stime
medie e mai certezze assolute.
Ciao,
       Antonio

 minimizza il tempo medio di attesa?
Ci devo pensare, magari si può estendere la strategia adattiva di Nino.
-- 
Ciao, Silv:o)

 Come no!
Scusa, non avevo letto attentamente il "fissato un numero di lanci"
Quello che ho scritto vale solo se non c'è questo limite.
Per chiarire: c'è la certezza che in un miliardo di anni esce almeno una
croce? No. Però, bada bene, vale anche per la moneta equa! C'è la certezza
che prima o poi esce croce? Sì.
Capisco che una frase tipo "può succedere che in un milione di lanci di una
moneta equa non esca mai croce" può far sorridere per la sua inutilità, così
come dire "prima o poi uscirà" sembra più un atto di fede nella divina
provvidenza che una proposizione matematica. Ma che ci posso fare. La
matematica è fatta così.
Purtroppo però su frasi tipo "è CERTO che prima o poi esce il 34 a napoli"
c'è gente che ci si è rovinata :(
-- 
Ciao, Silv:o)


Come funziona di preciso il metodo?
Nel caso di ottenere CC o TT nei primi due lanci, si prosegue col terzo.
Dici che mi fermo se ottengo CCT o TTC. Quindi intendi dire che CCT e TTC
sono equiprobabili?
Jojo

 Nel caso fosse uguale, ripeto i lanci
Ottimo.
Se consideriamo la moneta tarocca come un caso particolare di dado tarocco,
cioè un dado con soltanto 2 risultati possibili, ed utilizziamo come
ordinamento quello alfabetico, cioè Croce < Testa, ci accorgiamo che questa
strategia funziona anche con le monete tarocche. Nella pratica questa
strategia applicata alle monete e quella di Iant risultano infatti
identiche. Questa strategia funziona dunque con qualsiasi generatore di
eventi indipendenti tarocco.
Nella speranza di non aver scritto delle cazzate, ti saluto.


Ognuno ha le sue debolezze ;-) chi può resistere alle sirene
(anche se ritardiste...)?
Ma se il cedimento è romantico (noto con un certo piacere che
il tuo tono non è più di lancia in resta) può anche starci?
Purtroppo, forse morirò con i miei dubbi (che razionalmente
non posso definire che assurdi), perchè essi hanno una loro
storia, che, se interessa, forse in futuro descriverò.
Sono infatti frutto di risultati (fuorvianti o mal interpretati?)
su osservazioni sperimentali fatte negli anni settanta e proseguite
per un paio d'anni. Tempo perso, con il caso che probabilmente
scherzava prendendosi gioco dei miei sforzi...
Ciao, Nino


Vero, e più sono gli eventi indipendenti e meno lanci sono necessari.
Ciao, Nino


Un'attesa media un po' più breve (di quanto?) si potrebbe realizzare
prevedendo di continuare ad es. fino a 20 lanci (invece dei 4 analizzati).
Ciao, Nino

 sono equiprobabili?
Assolutamente no. Dico invece che posso decidere, in quanto fanno rispetti-
mente parte della decisione B e A (a prescindere del quarto lancio).
Nino