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Titolo: (Poliedromania) Un anello interessante

Questo anello (vedi foto) di 6 icosaedri e 6 ottaedri e' venuto fuori
d'istinto, empiricamente, ma e' risultato preciso, senza forzature. Sto
cercando di capire se e' teorico o se e' la solita approssimazione
ingegneristica, ma non e' facile. Nella seconda ipotesi (che mi sembra cmq
probabile) vorrei quantificare l'approssimazione. Notare che l'anello dei
soli icosaedri e' fatto unendo questi per un vertice, quindi essi possono
ruotare per ottimizzare le dimensioni dell'ottaedro.
Ciao
Livio
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 Questo anello (vedi foto) di 6 icosaedri e 6 ottaedri...
Tanto per invogliarvi al calcolo :o) ho postato un'altra foto dove ho
smontato parzialmente i 6 ottaedri, lasciando solo i sei spigoli che
uniscono gli icosaedri. L'anello assume spontaneamente per gravita' la sua
simmetria circolare.
Notate che l'esagono formato dai vertici in comune agli icosaedri e' un
esagono di lato (e quindi di raggio) pari al segmento aureo. Il dodecagono
superiore e' regolare di lato unitario. Le 6 coppie di vertici interni non
sono "a bolla" e non formano esagoni unitari. Il poligono esterno e'
formato da 6 lati segmenti aurei e 6 lati unitari (non montati in questa
foto).
Ciao
Livio
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 ingegneristica
Ciao Livio, complimenti per i tuoi ultimi anelli!
Questo mi pare senz'altro esatto. Infatti, se tu guardi "dall'alto" uno
dei tuoi icosaedri (supposto di spigolo unitario), vedi come proiezione
un esagono che ha due lati opposti unitari, mentre gli altri 4 lati
misurano sqrt(3)/2. Inoltre la distanza fra i due lati unitari è
(sqrt(5)+1)/2, come hai detto nell'altro post.
Tu ora unisci sei di questi esagoni, in modo che abbiano in comune uno
degli estremi del lato unitario. L'anello si chiude se l'angolo fra i
due lati unitari di due esagoni vicini è di 60°. Ma questo è proprio
quello che succede nel tuo caso: tu infatti congiungi i due estremi
liberi dei due lati unitari con un altro segmento unitario e quindi si
forma un triangolo equilatero.
Non so se si capisce, ma se guardi dall'alto la tua costruzione dovrebbe
essere abbastanza chiaro.
E' molto bello, peccato che io non abbia abbastanza Geomag per farlo
tutto...
Maurizio
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Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

 Questo mi pare senz'altro esatto.
Oops... mi sa che sono stato troppo ottimista: in effetti con la
geometria che avevo prospettato non potresti congiungere anche i due
vertici superiori di due icosaedri adiacenti con uno spigolo unitario:
la distanza viene maggiore di circa il 4%.
Mi sa che quindi non c'è speranza, però devo pensarci un altro po'.
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 Mi sa che quindi non c'è speranza, però devo pensarci un altro po'.
Io stasera ho fatto cosi' (vedi figura):
ho unito i 6 icosaedri soltanto con i 6 spigoli che vedi, ho disposto
l'anello su un piano in modo che si simmetrizzasse per gravita' e l'ho
fotografato dall'alto. Poi, con un po' di triangolazioni, ho calcolato
(spero correttamente) la lunghezza dei 6 spigoli "X" mancanti che e'
risultata 0.998+ assai incoraggiante. Il risultato conferma la sensazione
sperimentale di nessuna difficolta' nel montarlo. E' misurabile anche
l'angolo di circa 3° con cui gli icosaedri sono inclinati verso il centro.
Per verifica si potrebbe fare al contrario, cioe' imporre X=1 e ricavare
la lunghezza dello spigolo opposto. Meglio ancora sarebbe ottimizzare
entrambi. 
Quello che mi stupisce e' che non lo trovo da nessuna parte in rete, va a
finire che e' inedito :o)
Ciao
Livio
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 entrambi.
Non ho capito che tipo di calcolo vorresti fare.
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 Non ho capito che tipo di calcolo vorresti fare.
Ok, l'ho fatto (vedi figura)
Ho imposto X1=X2 per ciascuna delle 6 coppie di spigoli aggiunti.
Ho scritto un po' di equazioni trigonometriche.
Ho macinato il tutto con un programmino iterativo ed ho ricavato
X1=X2=.999+
Cioe' usando 12 barrette da 0.999+ l'anello si chiude perfettamente.
Ciao
Livio
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