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Titolo: (MA) Roulette a tre piazze

Ho inventato (o almeno credo, ma spesso capita che ti accorgi che qualcuno 
ci aveva gia' pensato prima...) una strana roulette (naturalmente circolare) 
nella quale ci sono tre soli settori (A, B, C) delle seguenti dimensioni:
A= 50%  del totale
B= 30%  del totale
C= 20%  del totale
Nella mia roulette un meccanismo lancia automaticamente tre palline: una 
rossa, una verde, una bianca
Una volta che una pallina si e' fermata in un settore, scatta 
istantaneamente un meccanismo che "chiude" qul settore, per cui le altre due 
palline dovranno cadere in quelli rimasti aperti. Naturalmente dopo che sono 
cadute due palline, la terza andra' automaticamente nel settore rimasto 
libero.
 Le palline hanno dimensioni e peso identici, ma a causa della loro 
disposizione nel meccanismo di lancio (la rossa esce per prima, la verde per 
seconda e la bianca per ultima) esse hanno probabilita' diverse riguardo al 
momento in cui si fermano; dopo accurate analisi statistiche so per certo 
che l' ordine in cui si fermano e' :
Nel 25% dei casi : Rossa, Verde, Bianca
Nel 25% dei casi : Rossa, Bianca, Verde
Nel 15% dei casi : Verde, Rossa, Bianca
Nel 15% dei casi:  Bianca, Rossa, Verde
Nel 10% dei casi:  Verde, Bianca, Rossa
Nel 10% dei casi:  Bianca, Verde, Rossa
Adesso quindi vorrei mettermi un po' a giocare con i miei amici, tenendo il 
banco, ma voglio essere un biscazziere onesto, per cui voglio trovare l' 
esatta posta in gioco, rispetto alle probabilita' di uscita, per le 9 
combinazioni possibili:
Settore      Pallina        Vincita per 1 euro scommesso
A               Rossa                            ?
A               Verde                            ?
A               Bianca                           ?
B               Rossa                            ?
B               Verde                            ?
B               Bianca                           ?
C               Rossa                            ?
C               Verde                            ?
C               Bianca                           ?
Graize a chi mi aiuta: vince 10 fiches per venire a giocare  :-)
ciao a tutti
fulvio
PS- Non ho la piu' pallida idea del risultato, vi assicuro che ho provato 
per un po' (non so usare excel, ne' altri programmi di brute force, per cui 
non ho idea di quanto sia complesso o meno con tali mezzi), ma gia' dopo un 
quarto d' ora ho capito che non ce l' avrei mai fatta a risolverlo, comunque 
mi pareva un problema probabilistico interessante e cosi' ve lo propongo...

 Nel 10% dei casi:  Bianca, Verde, Rossa
Non mi sembra un problema molto difficile. Casomai un po' lunghino.
Prima di tutto calcoliamo, data una certa sequenza x,y,z (tipo 
Rosso,Verde,Bianco),
quante sono le probabilita' che x vada in A o B o C, che y vada in 
A,B,C, e z vada in A,B,C.
Fatto questo calcolo basta sommare con i giusti pesi 
(25,25,15,15,10,10)/100 le varie componenti a seconda che la sequenza 
x,y,z sia una delle 6 possibili permutazioni.
Allora, la probabilita' che la x finisca in A e' chiaramente 50/100 = 5/10.
Che finisca in B e' 30/100=3/10 e che finisca in C e' 20/100=2/10.
Consideriamo ora y
La probabilita' che y finisca in A e' data dalla somma delle 
probabilita' di due eventi disgiunti:
1) x finisce in B, e poi y finisce in A.
2) x finisce in C, e poi y finisce in A.
La probabilita' (1) e' (3/10)*(50/70)
La probabilita' (2) e' (2/10)*(50/80)
e la somma fa 19/56.
Analogamente la probabilita' che y finisca in B sara' data da
(1) x finisce in A, e poi y finisce in B.
(2) x finisce in C, e poi y finisce in B.
Ovvero (5/10)(3/5)+(2/10)(3/8) = 3/8
E per y in C abbiamo
(5/10)(2/5)+(3/10)(2/7) = 2/7
Riprova 19/56 + 3/8 + 2/7 = 1  OK!
La stessa cosa la facciamo per valutare le varie probabilita'
di dove va a finire z.
Avremo per
z->A  (3/10)(2/7)+(2/10)(3/8)= 9/56
z->B  (5/10)(2/5)+(2/10)(5/8)= 13/40
z->C  (5/10)(3/5)+(3/10)(5/7)= 18/35
e infatti (9/56)+(13/40)+(18/35)= 1.
Ora per calcolare la probabilita', per esempio, che la pallina Rossa
finisca in prima posizione,
mi basta considerare che per la tabella sopra
 > Nel 25% dei casi : Rossa, Verde, Bianca
 > Nel 25% dei casi : Rossa, Bianca, Verde
 > Nel 15% dei casi : Verde, Rossa, Bianca
 > Nel 15% dei casi:  Bianca, Rossa, Verde
 > Nel 10% dei casi:  Verde, Bianca, Rossa
 > Nel 10% dei casi:  Bianca, Verde, Rossa
la Rossa e' la x nel (25+25)/100 dei casi, e' la y nel (15+15)/100 ed e' 
  la z nel (10+10)/100 dei casi.
Quindi, considerando le probabilita' che x->A, y->A, z->A abbiamo
(50/100)(5/10)+(30/100)(19/56)+(20/100)(9/56) = 43/112
Analogamente, la probabilita' che la Rossa vada in B, sara' data da
(50/100)(x->B)+(30/100)(y->B)+(20/100)(z->B) ovvero
(50/100)(3/10)+(30/100)(3/8)+(20/100)(13/40) = 131/400
Siccome la Rossa da qualche parte deve andare, la probabilita'
che vada in C sara' data da 1 - (43/112) - (131/400) = 101/350.
Quindi abbiamo ricavato
R->A = 43/112
R->B = 131/400
R->C = 101/350
Si potrebbe fare la stessa cosa con la Verde e la Bianca.
In realta' notiamo che Verde e Bianca hanno le stesse probabilita':
Infatti la Verde sara' la x con probabilita' (15+10)/100 = 25/100 ,
la y con prob. (25+10)/100=35/100 e la z con prob. (25+15)/100=40/100.]
E anche la Bianca sara' la x con prob. (15+10)/100, la y (25+10)/100
e la z (25+15)/100.
Siccome le somme devono fare 1, abbiamo
V->A = B->A = (1-43/112)/2 = 69/224
V->B = B->B = (1-131/400)/2 = 269/800
V->C = B->C = (1-101/350)/2 = 249/700
Dopodiche trovare le quote dovrebbe essere facile,
ma lo lascio fare a voi.
ciao,
g.

A             Rossa                        ?
Essendo che R si ferma per prima 50 volte su 100, allora
su 100 volte R sara` in A 50*50/100 = 25 volte quando si
ferma per prima, eccetera.
Dov'e` il problema? o meglio: dov'e` l'inghippo?
Cioe`, visto che:
     I   II  III
R    50  30  20
V,B  25  35  40
a me allora sembrerebbe di poter fare questa tabella:
Le righe sono intestate, le colonne sono quando si ferma
per: I,II,III e poi c'e` il totale che ti serve.
I valori sono le probabilita` in percentuale (appross.).
A   25   10.2   3.2  = 38.4  
B   15   11.2   6.5  = 32.7
C   10    8.6  10.3  = 28.9
Siccome mi puzza che ho sbagliato io, non continuo
e indico solo il calcolo:
A 25 viene da:
ABC+ACB=700 -> 700*50/100 -> 350 -> 350/1400 -> 25%.
-- 
Ciao, rez	||  -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1  ||


Perchè dici che hai sbagliato?
A te per la R in A viene circa 38,4%, che è = ai 43/112 di Giovanni
Lo stesso per R in B 32,75% = 131/400
e per la R in C circa 28,9% = 101/350
Quindi, potevi pure continuare :-))
Probabilità per la pallina verde e anche per la bianca:
- che cada in A  = 0,25*50+0,35*(150/7+12,5)+0,40*(60/7+7,5)= 30,80357%
- che cada in B  = 0,25*(150/7+60/7)+0,35*37,5+0,40*32,5 = 33,625%
- che cada in C  = 0,25*20+0,35*(20+60/7)+0,4*(30+150/7) = 35,57143%
Le quote sono il reciproco delle probabilità
Ciao, Nino 

Le quote sono il reciproco delle probabilità
Ecco, e dire che ce l'avevo un qualche presagio
di una qualche possibile semplificazione.
Be' come gioco mi sembra troppo bilanciato, no? veramente
pero` dovrebbe dirlo Fulvio.
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