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Titolo: Almeno x

qual é il miglior modo di disporre in un cerchio(circonferenza
inclusa) di raggio R il maggior numero di  punti.....che abbiano
distanza minima P ?
....e scoperto il come(facile), sapreste dare una formula di
esattamente quanti  punti riesco a piazzare?
GDR

 ha scritto: 
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Intanto io non ci troxo niente
di facile! Il piano viene coperto dalla massima densita' di punti a
distanza minima P se disposti su un lattice triangolare di lato P. E'
intuitivo, facile, ma non facilmente dimostrabile. In un cerchio, o cmq in
una superficie finita, non e' detto che il reticolo triangolare equilatero
sia ottimale e la funzione e' almeno non lineare. Prendiamo P e raggio
unitari. Ce ne posso far stare 7 come in un post poco sotto, sei sulla
circonferenza e uno al centro. Ma basta diminuire il raggio di un delta
piccolo a piacere che, con il lattice triangolare otterei 4, mentre con un
po' di fantasia, riesco a farcene stare 5. Questa cosa mi ricorda la
polimorfia di certi cristalli.
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Ciao  :o)
Livio
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Corollario 1: non
esiste alcun cerchio in cui si possa dire che ci stiano 6 e non piu' di 6
punti a distanza minima P. Esiste una serie infinita di numeri interi con
questa particolarita'? Opp. finita? Opp. il 6 e' unico?
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Corollario 2:
nello spazio le cose si incasinano, uhh quanto si incasinano!
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Corollario 3: lascia stare l'iperspazio! (Eppure, nel nostro universo
spazio-temporale la cosa avrebbe un senso ben preciso...)
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Inviato via 
http://usenet.iol.it
 

 spazio-temporale la cosa avrebbe un senso ben preciso...)
Ti do ragione, l'iperspazio lo lascio stare, ma non capisco che senso ben
preciso avrebbe questo discorso dei punti a distanza P nello
spazio-temporale.....l'universo non é di certo racchiuso dentro delle
superfici fisse e ferme nel tempo!
.....o forse ti riferisci all'aumento di entropia dell'universo?
GDR

punti riesco a piazzare?
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Altro esempio: se prendiamo 19 punti
raggruppati su un reticolo triangolare equilatero unitario (19=1+6+12)
verifichiamo facilmente che possiamo inscriverli in una circonferenza di
R=2. Ma se miglioriamo la posizione reciproca dei punti, possiamo diminuire
il raggio fino a 1.93185+ che forse e' l'ottimo (provate).
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Ho
scartabellato e cercato in rete, ma non ho trovato trattato questo
argomento da nessuna parte. In rete non e' facile perche' le parole chiave
utilizzabili sono molto comuni: circonferenza, punti... quindi non so se
c'e'. 
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La formula chiesta mi pare improbabile, tenterei una tabella che
per ogni numero di punti a distanza minima =1 trovi il minimo raggio della
circonferenza che li puo' contenere. Avrebbe questa faccia (iol
permettendo):
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Num__Raggio
2____0.5
3____0.577350+
4____0.707106+
5____0.850650+
6____1
7____1
8____1,152382+???
...
19___1.93185+
...
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Qualcuno vuole consolarmi?
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Ciao  :o)
Livio


.....o forse ti riferisci all'aumento di
entropia dell'universo?
NO, HO PENSATO AD UNA GEOMETRIA CARTESIANA 4-
DIMENSIONALE. LE DISTANZE UNITARIE POTREBBERO ESSERE JUMP SPAZIO-
DIMENSIONALI AD ES. DI 1PARSEC*SEC.
EH?
CIAO  :O)
LIVIO
PS. HO
SCRITTO MAIUSCOLO PER CHIAREZZA, NON PER URLARE.
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 SCRITTO MAIUSCOLO PER CHIAREZZA, NON PER URLARE.
Ma figurati!
 GDR

 19___1.93185+
 non arrivo a riuscire a capire come hai fatto i conti?
.....per esempio......     7____1   é giusta?     come li metti i
punti?......
Comunque secondo te c é un'altra disposizione (che so io, quadrata) che
convenga per certi numeri di punti in particolare?
GDR


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3=triangolo equilatero
4=quadrato
5=pentagono
6=esagono
7=esagono con
centro
8=ettagono con centro (sara' ottimale?)
19=esagono con centro,
circondato da 6 quadrati e 6 triangoli equilateri (!) credo che sia
ottimale, ma la mano sul fuoco non la metto.
.
Credo che ogni numero sia
un caso particolare che vada studiato a se'.
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Rilanciamo un accorato
appello al NG per qualche contributo. Ad es., se un matematico mi fornisse
un ragionevole algoritmo del genere: "Dati N punti in coordinate cartesiane
reali, ricavo il raggio minimo della circonferenza che li puo' contenere",
io potrei usare facilmente la mia Darwin Machine per l'ottimizzazione.
Stoccolma aspettaci!!!  :o)
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Ciao!


 Stoccolma aspettaci!!!  :o)
Dovra' aspettare ancora per molto! (purtroppo).
Se parliamo del reticolo quadrato, ci ha gia' pensato Gauss
con i suoi studi sulla distribuzione dei primi, dando
l'esatta formula dei punti contenuti in un raggio r centrato
all'origine. 
Se parliamo della minima distanza P fra i punti, allora
mettiamo i punti al centro di cerchi in 2D (o sfere in 3D)
di raggio P/2 ed il nostro, diventa il famoso problema di
impacchettamento di cerchi o di sfere.
Nel tuo bellissimo disegno Livio, mostri uno degli infiniti
impacchettamenti possibili dove ogni sfera ne tocca altre
12. E' noto che di tali impacchettamenti regolari ne
esistono solo 2, lo "stretto esagonale e quello cubico", ma
a mia conoscenza, nessuno e' ancora stato in grado di
dimostrare che siano i piu' compatti possibile.
http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/packing/cci/cci.html
Qui si trovano i migliori risultati, ed anche un solver
scaricabile.
:) ciao dario

 dimostrare che siano i piu' compatti possibile.
Ciao Dario,
l'ottimalità dell'impacchettamento esagonale e' nota come
congettura di Keplero, e mi risulta che è stata dimostrata
recentissimamente con l'ausilio del calcolatore.
Da una rapida ricerca vedo che il problema ha resistito ad
un sostanzioso attacco di Gauss, nel 97 e' stata annunciata
una dimostrazione (imperfetta) del prof Wu-Yi Hsiang del Berkeley
perfezionata da Hale (Princeton), ritenuta quella buona.

...
Come ho fatto a non pensarci! E dire che l'amico Erich Friedman mi onora di
un link:
http://www.stetson.edu/~efriedma/packing.html
E dire che tanto
tempo fa ho fatto qualcosa sul packing dei triangoli nel triangolo!
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Grazie Dario!
Ciao  :o)
Livio
PS: Scorrendo i valori, sembra che il
numero 6 sia isolato.


 recentissimamente con l'ausilio del calcolatore.
Ah! grazie, mi era sfuggito. Ho visto anche dal sito
indicato da Maurizio.
ciao :) dario

Beh...per me s'é fatto tardi.
GDR