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Titolo: Un cubo a galla

Salve a tutti
ho fatto un'esperienza frustrante: ho inventato un problema e non sono
riuscito a risolverlo!
In realta' ho trovato (credo) la soluzione, ma non ho potuto
dimostrarla.
Chi mi aiuta?
Il problema:
Un cubo di materiale omogeneo, spigolo 1 e densita' d (0 < d < 1)
galleggia in acqua (d=1).
Di quanto sporge in equilibrio stabile?
Variante appena piu' complessa: di quanto sporge al massimo dall'acqua
in equilibrio
instabile.
Il problema e' tanto semplice a porsi, che forse e' un classico di
ingegneria idraulica.
Ho cercato in rete, senza esito.
Se mi indicate un libro con la soluzione mi fate un favore.
(
mfior...@etnoteam.it
)
Ciao e grazie.
P.S.
Non oso porre il problema per gli altri solidi regolari.

 instabile.
Ciao Mauro
Io ho raginato cosi' ...
per il cubo che galleggia in acqua
vale la relazione
Vsp * Dac = Vcubo * d
e cioe' il volume di acqua spsostata (Vsp, che indica anche il volume di cubo immerso
nell'acqua) per la densita' dell'acqua (Dac =1) deve essere uguale al peso del cubo
Dalla semplice relazione si puo' calcolare il volume della parte di cubo immerso nell'acqua
A questo punto in qualunque posizione lo si immerga
(anche in equilibrio instabile) il volume spostato dovra' rimanere sempre quello
Nel caso semplice di posizione di equilibrio
il volume spostato sara' un parallelepipedo
di base quadrata (Area 1) ed altezza calcolata sempre usando la
relazione di sopra
Asp * Hsp * 1 = Vcubo * d
dato che Asp = 1
e Vcubo = 1
risulta
Hsp = d
e quindi il cubo restera' fuori
per un altezza pari a:
H = 1-d
ciao
Italo




Non oso porre il problema per gli altri solidi regolari.
Dai lontani ricordi di idraulica, credo che si tratti di un classico
problema di ingegneria navale; prova su qualche testo di quella materia.
Il problema dovrebbe essere risolvibile per qualsiasi forma (non ho mai
visto navi cubiche :-);
credo che occorra calcolare la posizione reciproca del baricentro del cubo e
del centro di spinta (mi pare che si chiami cosi' il baricentro della massa
d'acqua spostata).
Cosi' ad occhio direi che per il cubo esistono diverse configurazioni di
equilibrio:
_ con una faccia del cubo orizzontale;
_ con uno spigolo orizzontale;
_ con una diagonale orizzontale.
Penso che l'equilibrio sia stabile se la densita' supera un certo valore
(forse 0.5?).
Dovrei pensarci meglio, se mi viene in mente qualcosa ti faro' sapere.
ciao
paolo


  Calcolare il volume della parte immersa è facile, ma io richiedo
l'equilibrio stabile.
Ho considerato una mezza dozzina di "modi" di galleggiare: con una faccia
parallela al pelo
dell'acqua, con una diagonale principale verticale, con una diagonale di
una faccia
verticale, poi ho calcolato per tutti la posizione del baricentro.
La condizione di equilibrio stabile è che il baricentro sia alla minima
altezza sopra il centro
di spinta (baricentro della parte immersa), che dovrebbe equivalere a
chiedere che
la distanza tra il baricentro della parte emersa e il centro del cubo sia
minima.
Il problema e' che sono convinto che la posizione stabile sia tra quelle
"estreme" che
ho considerato, ma non ho idea di come dimostrarlo.
Se una faccia e' perpendicolare alla superficie del liquido, possiamo far
ruotare il cubo
sull'asse perpendicolare a questa faccia, ottenendo infinite posizioni,
alcune decisamente
scomode da calcolare. L'altezza della parte emersa e' l'altezza dello
spigolo piu' lontano
dall'acqua e varia in modo continuo e complicato da descrivere. Se
consideriamo
anche le rotazioni sul restante asse orizzontale, ne vien fuori un
pasticcio tremendo,
che non so come trattare.
Considerando solo le posizioni estreme, secondo i miei calcoli per d>0.78
circa il
cubo galleggia con una faccia parallela all'acqua, per d < 0.73 con uno
spigolo
orizzontale e l'intervallo compreso e' diviso circa a meta' tra due altri
modi:
con uno spigolo a pelo d'acqua e lo spigolo opposto di una faccia il piu'
in alto
possibile e infine con un vertice a pelo d'acqua e il vertice opposto di
una faccia al
massimo livello (i restanti 2 vertici a meta' altezza).
Per ogni posizione il calcolo della massima altezza e' solo questione di
geometria.
Il problema e' se queste posizioni estreme, alla fin fine abbastanza
"trattabili", sono
veramente quelle che assume il cubo.
Navi cubiche ne ho viste poche, ma forse un testo di ing. navale potrebbe
aiutarmi.
Sapreste suggerire un titolo?
Ciao
Mauro Fiorentini

Se il cubo è omogeneo, quale che sia la sua densità, pure questioni di
simmetria impongono che la posizione di equilibrio stabile sia quella
con due
facce parallele alla superficie.
un piccolo scostamento da tale posizione fa nascere una coppia che tende
a
riportarcelo -> eq. stabile per definizione
Riguardo le tue considerazioni numeriche:
Ho provato a far galleggiare un cubetto di sughero (d<<0,73) e si mette
come
dico io, ed un cubetto di ghiaccio (d>0,78) pure.
Riguardo le due uniche posizioni di eq. instabile, che sono quelle per
cui
centro di spinta e baricentro sono allineati sulla stessa verticale,
quindi
1) diagonale del cubo verticale
2) diagonale di una faccia verticale
la geometria mi suggerisce che comunque sia la prima quella che fa
emergere
l'altezza maggiore.
Mi viene il sospetto che tu non stia parlando di un cubo fermo...
Ciao, Marco.

 Ciao, Marco.
Credevo anche io che qualsiasi cubo galleggiasse con due facce orizzontali,
ma poi
ho trovato un cubetto di legno che galleggia in modo diverso.
Esperimento poco conclusivo, d'accordo. Non credo di riuscirne a misurare la
densita' con la precisione necessaria e poi potrebbe essere disomogeneo.
Pero
l'ho ruotato in vari modi e si riporta sempre nella stessa posizione, quale
che sia la faccia
superiore.
Cosi' ho deciso che aveva ragione lui, ma non so perche'.
Ciao,
Mauro

 Ciao Marco
Ciao Marco,
    i 3 casi li ho gia' calcolati, ma perche' no esiste altra
configurazione stabile?
La condizione di equilibrio rispetto alle forze e' quella che hai
scritto, mentre per
evitare coppie devi avere baricentro e centro di spinta sulla stessa
verticale.
Questo pero' puo' verificarsi anche con una faccia emersa che tocca la
superficie
dell'acqua con uno spigolo o con un vertice. Perlomeno, non riesco a
dimostrare il
contrario.
Ciao Mauro

 contrario.
Mumble
i conti non li ho + fatti :-(
se d diventa circa 1, il cubo sta circa in equilibrio in qls posizione lo
si metta (baricentro circa coinc. col c.di s.), o almeno si porta
all'equilibrio molto lentamente...
Se d è esattamente 1 è in eq. comunque lo si metta, a meno che in tali
cirscostanze intervengano effetti di second'ordine, ma sono troppo
arrugginito per pensare quali.
Ciao Marco