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Titolo: Divisione del quadrato

Dividere un quadrato in 3 parti simili, due delle quali congruenti (uguali).
In quanti modi si puo' fare ?
dario

 In quanti modi si puo' fare ?
Salvo r&r ho trovato tre (o quattro) soluzioni:
spoiler
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|\      /|
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|  \  /  |
|   \/   |
|    \   |
|     \  |
|      \ |
|_______\|
non sembra, ma dovrebbe essere un quadrato :-)
A_______B____C
|       |    |
|       |    |
|       |____|D
|       |    |
|       |    |
|_______|____|
AB = 4/6
BC = 2/6
CD = 3/6
A____B__C_______D
|    |  |       |
|    |  |____G  |
|    |  H    |  |
|    |_______|__|E
|            F  |
|               |
|               |
|_______________|
AB = 4/12
BC = 2/12
CD = 6/12
DE = 6/12
EF = 2/12
FG = 3/12
GH = 4/12
HC = 3/12
La quarta si otterrebbe con una riflessione delle due L piccole; dal momento
che la figura nel complesso non è simmetrica, questa non dovrebbe essere
considerata una vera riflessione ma una soluzione nuova.
Non so se ce ne sono altre.
ciao
paolo

 |____|____|____|
Non mi sembra che Dario impedisca di averle tutte e tre congruenti  :o)
Rilancio con un "Divisione del triangolo".
GaS
P.S.:Mi ricorda il classico problema che chiede di dividere un quadrato in 5
parti congruenti: la soluzione banalissima non viene subito in mente( almeno
non a tutti :o)

 non a tutti :o)
Anche perche' di solito la richiesta di dividere il quadrato in 5 parti
viene preceduta dalle richieste di dividere un triangolo equilatero
prima in 3 e poi in 4 parti uguali, o problemi simili.
Il solutore scaltro si aspetta una complessita' crescente e cade nel 
tranello. Il solutore scaltrissimo e quello completamente digiuno di
problemi simili hanno piu' probabilita' di azzeccarla in fretta:
ricordo di aver proposto questo problemino a 4-5 studenti ad una
scuola estiva post-laurea (ero studente anche io), un paio dei quali
insopportabilmente "montati". Andarono nel pallone: alcuni mi chiesero
addirittura se potevano utilizzare frattali o linee curve...
Ciao,
giovanni.

 prima in 3 e poi in 4 parti uguali, o problemi simili.
Allora prova questo (banale)
dividere un triangolo equilatero in cinque parti di uguale area, di cui due
(e solo due) congruenti.
ciao
paolo


E' bruttina ma funzia :
        C
        /\
       /  \
      /    \
     /  d   \
    /        \
   /          \
  /     c      \
A/______________\B
   a         b 
AaC=BbC  e gli altri pezzi sono Cadb adbc (quadrilateri concavi) e abc.

 AaC=BbC  e gli altri pezzi sono Cadb adbc (quadrilateri concavi) e abc.3
La risposta va bene, sono io che ho sbagliato la domanda, chiedo scusa.
Volevo dire:
dividere in cinque triangoli di uguale area...
ciao
paolo

 dividere in cinque triangoli di uguale area..
Ah, mi pareva troppo semplice !
          C
         /\
        /  \
       /    \
      /   a  \
     /        \
    /        b \
   /            \
 A/______________\B
        c
CaA=CaB e gli altri sono Aac abc e bcB
Che ad occhio *dovrebbe* quadrare...

 paolo
La risposta non mi sembra banale ma ci provo:
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-
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-
-
-
-
L'area tot. del triangolo vale, ponendo i lati unitari, Sqrt[3]/4 e quindi
le 5 parti devono avere area Sqrt[3]/20.
        A
        /\
       /  \C
      /  _/\
    B/ _/   \D
    /\/_____/\
   / M\F   /E \
  /____\__/____\
 G     H  I     L
BGH e DIL sono triangoli equilateri di lato 1/Sqrt[5] e quindi area di
Sqrt[3]/20
HI vale 1-2/Sqrt[5] ed il trapezio FEHI ha area Sqrt[3]/20
La retta MC (si e retta, perchè non si vede? :o) parte dal punto medio di
BF, sinceramente non ho calcolato quanto debba valere AC ma sicuramente
esiste C tale che le due aree BMCA e MFDC  siano uguali (teorema di
Bolzano?)e quindi il problema è risolto (forse :o)
GaS


Questa e' piu' maneggevole :
 
           C
          /\
         /  \
        /    \
       /      \
      /     d  \
     /          \
    /            \
  A/______________\B
      a  c     b 
AaC=CbB  con Cac Ccd e cbd
viene subito ac=1/5, cb=2/5 e Cd=bd
Torna utile notare che un quadrilatero in generale non
si puo' dividere in 3 triangoli equivalenti.

 La risposta non mi sembra banale ma ci provo:
Solo ora vedo il corrige, scusate!
GaS

 dividere in cinque triangoli di uguale area...
Per dividere un triangolo in parti uguali, basta dividere una delle basi in
parti uguali base e tagliare a spicchi. Credo che Paolo si riferisse a
questo metodo, che pur essendo del tutto banale dal punto di vista
matematico, non lo è forse dal punto di vista grafico, dato che siamo
abituati a veder sezionato il triangolo equilatero in altri modi.
Cominciamo a togliere i due triangoli uguali esterni AwC e zBC
       C
       /\
      /..\
     /    \
    / .  . \
   /        \
  / .      . \
 /            \
'--+--+--+--+--'
A  w  x  y  z  B
poi dividiamo uno di lati obliqui di wCz in tre parti e uniamo i punti
ottenuti col vertice opposto, ed il gioco è fatto.
      C
      /\
     /  *i
    / .  \
   /.  __*j
  /.--'    \
 '----------'
 w          z
Ciao, Silv:o)

 parti uguali base e tagliare a spicchi.
Vedo solo ora che Crios ha già usato questa tecnica, solo che ha preso tre
spicchi dalla prima divisione ed ha diviso in due la figura restante.
Dal disegno non avevo notato :(
Silv:o)