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Titolo: Esiste questo numero?

Esiste un numero costituito unicamente da cifre 1 che sia divisibile per
1999?
Karamel

 1999?
Mi puzza tanto di Olimpiadi della Matematica, possibile?
MaxArt

 divisibile per 1999?
Che bello, un messaggio sui repunit!  (REPeated UNITy)
Troverai la soluzione alla fine del messaggio.
Intanto permettimi una digressione che fara' anche da spoiler.
  *  **  *
Qualche anno fa mi sono divertito a studiare un po' questi
simpatici numeri, e ho fatto un paio di scoperte empiriche
che ritengo interessanti (e non intuitive).
Indichero' il generico repunit con la notazione R_n che
significa "la cifra 1 ripetuta n volte".
Es.  R_7 = 1111111
Le due proprieta' piu' significative che ho trovato sono:
1. Condizione necessaria affinche' R_n sia primo e'
   che n sia primo.
2. Detto f un qualunque fattore di n, R_n e' divisibile per R_f.
Mi piacerebbe se qualcuno potesse provare a darmi un'idea su
come impostare una dimostrazione delle due congetture esposte.
Ovviamente vanno bene anche le dimostrazioni complete  ;)
  *  **  *
Tornando al quesito proposto, se accetti i risultati ottenuti
con il computer (usando il mitico ubasic), si ha che il piu'
piccolo repunit divisibile per 1999 e' R_999. Il successivo
e' R_1998. Non posso andare oltre, causa overflow, ma viene
da pensare che i successivi possano essere R_2997, R_3996 etc.
cioe' tutti i repunit della forma R_(k*999).
Investigando con ubasic per numeri minori di 1999, ho trovato
un'altra proprieta' interessante:
3. Se n e' primo allora R_(n-1) e' divisibile per n.
Il viceversa non e' vero (es: R_90 e' divisibile per 91 anche
se 91 non e' primo), pero' i non-primi che hanno questa
proprieta' sono *davvero* pochi rispetto ai primi!
Saluti,
        iant

    che n sia primo.
Vero. Come abbiamo visto R_n  si puo' scrivere (10^n-1)/9, ma se n non
e' primo, il numero non puo' essere primo, difatti 10^n-1 si puo'
fattorizzare in questo modo.
Se n e' pari diciamo 2y, posso scrivere 10^(2y)= 10^(y+1)*10^(y-1)
Se n e' dispari, ma composto n=pq puo' essere sempre fattorizzato nei
soliti modi. Ad es.
10^35-1 = (10^7)^5-1 = (10^7-1)[(10^7)^4 + (10^7)^3 + (10^7)^2 + (10^7)
+ 1]
:) dario

dario uri wrote:

Riporto la soluzione che avevo io (non trovata da me beninteso... me la
cavo meglio nei problemi di lingua che in quelli di matematica):
Osserviamo 2000 diversi numeri costituiti soltanto da cifre "1" (1, 11,
111, ecc...).
Dividendoli per 1999, almeno due di essi daranno lo stesso resto (principio
"dei cassettini" :-) : ci sono solo1999 resti differenti - da 0 a 1998 -
ragion per cui almeno due dei 2000 numeri avranno lo stesso resto).
Sottraendo il più piccolo dal maggiore otteniamo:
111...111000...000 = 111...111*10^n
Questo numero è divisibile per 1999 (differenza di due numeri con lo stesso
resto).
Poiché 10^n non ha fattori primi in comune con 1999, si tratta dei numeri
111...111 divisibili per 1999.
Karamel

 + 1]
Davvero un ottimo lavoro, Dario.
Hai qualche idea anche sulla dimostrazione delle altre due congetture
che ho fatto?
Saluti,
         iant

cioe' tutti i repunit della forma R_(k*999).
E pensi bene. Infatti ciascun R_(k*n) e' multiplo di R_n
In generale R_(k*n)/R_n e' un numero formato da cifre 1 e 0
R_4/R_2 = 1111/11 = 101
R_6/R_2 = 111111/11 = 10101
R_6/R_3 = 111111/111 = 1001
R_8/R_2 = 11111111/11 = 1010101
R_8/R_4 = 11111111/1111 = 10001
R_1998/R_999 = boh, ma comunque un intero :-)
quindi se r_999 e' multiplo di 1999, lo sono anche tutti gli
R_(k*999)
ciao
paolo

1999?
Visto che Dario e Karamel hanno dimostrato l'esistenza del
numero, e che Iant ha trovato che il numero vale R_999, mi
sono posto il problema di trovare il quoziente di
R_999/1999, cioe' un numero q tale che il prodotto q*1999
risultase formato da sole cifre 1.
Non trovando nessuna soluzione, ho provato a cercare il
numero k tale che il prodotto k*1999 risultasse formato da
sole cifre 9, (sperando di trovare un numero k divisibile
per 9, in qual caso il problema sarebbe risolto).
Non sono approdato a niente, ma ho trovato comunque alcune
cose interessanti:
_______________
Visto da sinistra:
provo a dividere un numero formato da molte cifre 9 (oltre
le 15 cifre l'approssimazione di excel non va) per 1999, e
trovo che il risultato, ragruppando le cifre a tre a tre, e'
9999...../1999= 500 250 125 ....
cioe' ogni terna e' la meta' della precedente
________________
Visto da destra
provo a moltiplicare 1999*....xxxxx, costruendo il numero
...xxxx cifra per cifra, a partire da destra, in modo che il
prodotto, sempre a partire da destra, sia formato da cifre 9
1999 *
...x =
_______
....9
quindi l'ultima x deve essere 1
scrivendo la moltiplicazione per esteso (come alle
elementari)
1999 *
..x1 =
----
1999
   -
____
...9
per avere 9 come penultima cifra del prodotto, la penultima
cifra del moltiplicatore deve essere 0
procedendo nello stesso modo (tutto fatto a mano, che
fatica!), trovo che  il numero, dividendo le cifre a tre a
tre da destra, e'
....512 256 128 064 032 016 008 004 002 001
cioe' il numero cercato dovrebbe essere della forma
2000^0+2000^1+2000^2+2000^3+.....
_______________
a questo punto non so trovare altro; qualcuno riesce a
saldare il numero generato da destra con quello generato da
sinistra?
ciao
paolo

 R_1998/R_999 = boh, ma comunque un intero :-)
R_1998/R_999 = 1...[ 998 zeri ]...1
In generale   R_(2*n) / R_n = due "1" con (n-1) "0" in mezzo.
 
Saluti,
        iant 

 sinistra?
9 * R_999 / 1999 =
5002501250625312656328164082041020510255127563781890945472
7363681840920460230115057528764382191095547773886943471735
8679339669834917458729364682341170585292646323161580790395
1975987993996998499249624812406203101550775387693846923461
7308654327163581790895447723861930965482741370685342671335
6678339169584792396198099049524762381190595297648824412206
1030515257628814407203601800900450225112556278139069534767
3836918459229614807403701850925462731365682841420710355177
5887943971985992996498249124562281140570285142571285642821
4107053526763381690845422711355677838919459729864932466233
1165582791395697848924462231115557778889444722361180590295
1475737868934467233616808404202101050525262631315657828914
4572286143071535767883941970985492746373186593296648324162
0810405202601300650325162581290645322661330665332666333166
5832916458229114557278639319659829914957478739369684842421
2106053026513256628314157078539269634817408704352176088044
0220110055027513756878439219609804902451225612806403201600
8004002001
Questi numeri sono stati trovati con il leggendario Ubasic!
Saluti,
        iant


Che cacchio è l'Ubasic?
Sarei interessato..
:-)
Ciao
Gianni
PS: Stavo per postarlo, quando ho visto un tuo successivo msg.
Ho iniziato a lavorare (20 anni fa) con il BASIC 2.0 ed ho
l'impressione che l'Ubasic non debba differire molto, ha parte le
potenzialità.
Lo scaricherò sicuramente. Ti ringrazio.
Ariciao
AriGianni

Sarei interessato..
Anch'io. Dove si trova?
ciao
paolo

Bisognerebbe dimostrarlo.
Considerando che scrivere R_(k*n) equivale a scrivere R_n,
per k volte consecutive, dovrebbe essere
R(k*n)/R_n = 1000...0001000...0001000..........0001
con la cifra 1 ripetuta k volte, intrecalando, tra ciascuna
coppia di 1, (n-1) cifre 0
( se non mi sono incasinato troppo :-)
ciao
paolo

 ( se non mi sono incasinato troppo :-)
Non lo ti sei...   ;)
Saluti,
         iant


Forse il mio messaggio "Ubasic: un must-have!" non e' passato...
Se e' cosi' dammi un cenno, che te lo spedisco via e-mail.
Saluti,
         iant


Nel poscritto del mio msg cito un post successivo di iant
del 12.1 dal titolo Ubasic:un must-have!
Leggilo!
comunque l'indirizzo per scaricarlo è:
ftp://cis.uniroma2.it/simtelnet/msdos/ubasic/
ciao
Gianni

         iant
Il messaggio e' passato, grazie. Non l'avevo ancora visto.
Ho appena scaricato Ubasic e lo sto provando.
Da quel poco che ho visto finora, non e' grandioso
e' moooooooolto di piu'!
ciao
paolo