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Titolo: Scegli la 1 o la 2?

Ci sono due buste, una delle quali contiene il doppio in denaro dell'altra.
Ti si chiede di sceglierne una, ti è concesso guardare il contenuto (ma non
è indispensabile al fine del gioco) e poi decidere se cambiarla.
Ripetendo questa operazione molte volte, è pi conveniente per te cambiare la
busta o tenere quella scelta?


Mah... guardare la busta e' indifferente... infatti l'altra potrebbe
contenere il doppio... oppure la meta'. 
Secondo me, la cosa e' indifferente purche' si scelga sempra la stessa
opzione (non cambio mai o cambio sempre).
Ciao
Roberto
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 opzione (non cambio mai o cambio sempre).
Non e' mica detto. Se nella busta ci sono 125 lire, sono sicuro che
nell'altra ce ne sono 350.
Se guardando nella busta scelta  c'e un valore pari di danaro, l'altra
puo' contenere il doppio o la meta', in questo caso sembra indifferente
il cambio, ma se contiene un valore dispari di lire, l'altra conterra il
doppio, in questo caso conviene cambiare. Con questi presupposti si
arriva ad un paradosso, sembrerebbe che anche senza guardare il
contenuto converrebbe cambiare !?
:)dario


Il problema non sta nel contenuto pari o dispari di denaro, ma se vogliamo,
diciamo pure che il contenuto è pari (divisibile e moltiplicabile).
Comunque sei su una buona strada.

busta o tenere quella scelta?
Siano A e B i contenuti delle due buste, D=B-A la loro differenza, e R=B/A
il loro rapporto.
Consideriamo il caso generale, in cui A,B,D,R, sono incognite.
Scegliendo una busta a caso, ho il 50% di probabilita' che contenga A ed il
50% che contenga B.
Se contiene A, cambiando scelta ho il guadagno aggiuntivo +D, se invece la
busta scelta contiene B, il guadagno aggiuntivo e' -D (perdita pari a D).
Il valora aggiuntivo del cambiamento di scelta e' pertanto:
 V = 1/2*D - 1/2*D = 0
quindi e' indifferente mantenere la prima scelta o cambiare.
Il ragionamento non cambia se guardo il contenuto della busta, in quanto non
ho nessuna indicazione aggiuntiva se questo sia A o B.
Il ragionamento non cambia anche se conosco il valore di R (nel caso
proposto R=2), in quanto ininfluente per la determinazione del valore
aggiuntivo (nella formula per il calcolo di V, R non compare).
_______________
Mi pare che il problema sia stato proposto qualche tempo fa su questo NG.
Qualcuno sosteneva la convenienza del cambiamento con un ragionamento che
al'incirca diceva:
Sia X il valore della busta scelta;
il valore dell'altra sara' 2X, con il 50% di probabilita', o X/2 con il 50%.
Nel primo caso il guadagno aggiuntivo del cambiamento sara' X, nel secondo
caso la perdita sara' X/2. Quindi
V = 1/2*X - 1/2*x/2 = x/4
e converrebbe cambiare.
Dove sta l'errore?
ciao
paolo

:)dario
ciao
paolo

Dove sta l'errore?
E bravo Paolo!
Il fatto è che non c'è nessun errore in nessuna delle due ipotesi!
Infatti questo giochino è un bel paradosso, solo che nel secondo caso il
paradosso è doppio in quanto converrebbe comunque cambiare, ma allora perché
non scegliere direttamente l'altra busta?
Ciao.

 Dove sta l'errore?
Aggiungiamo legna al fuoco: 
Sia Y il valore dell'altra busta.
Il valore di quella scelta sarà al 50% di 2Y, o al 50% di Y/2.
Nel primo caso il guadagno Y se non cambio.
Nel secondo caso perdo Y/2 se non cambio.
Il valore aggiunto é V = 1/2*Y - 1/2*Y/2 = Y/4
... e converrebbe NON cambiare !!!
Ciao ciao
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Dove sta l'errore?
Secondo me cio' che porta al paradosso che hai esposto, e' il fatto di
considerare come variabile aleatoria la somma che sta nella seconda busta,
che invece e' determinata, una volta saputo quanto c'e' nella prima
(ovviamente lo scommettitore non lo sa, ma tra ignoranza e casualita' c'e'
differenza). Cio' che e' aleatorio e' la scelta della busta, quindi il
guadagno e' funzione della scelta, e assume i due valori +X e -X al 50%,
dove con X non ho indicato l'importo della prima busta, ma l'importo minore
tra le due (incognito, perche' non so se e' quello che vedo nella prima
busta o la meta'!).
Mi spiego meglio: se le due buste contengono 500 e 1000 lire, il fatto che
io veda 1000 lire nella busta che ho scelto non mi autorizza a congetturare
che nell'altra busta ci possono essere 500 oppure 2000 lire: nella seconda
ci possono solo essere 500 lire, solo che non ho abbastanza informazione per
saperlo. Infatti se chiedo al tizio che ha imbustato i soldi qual e' la
probabilita' che nella seconda ci siano 2000 lire mi risponde: zero! Il
fatto e' che vedendo le 1000 lire e' sbagliato chiedersi "che probabilita'
c'e' che nell'altra ci siano 2000 lire", perche' non e' un evento legato al
caso, ma alla magnanimita' di chi fa le buste.
Le cose sarebbero diverse (e allora si', che converrebbe cambiare), se il
gioco fosse concepito cosi': ti viene consegnata un busta con una quantita'
di denaro (P), e ti viene detto che nella seconda busta c'e' una quantita'
di denaro doppia o meta' con uguale probabilita': che fai, cambi?
Qui il caso determina la quantita' di denaro della seconda busta, e quindi
si deve mediare il guadagno sui due possibili valori +P e -P/2 (che sono
valori noti! infatti non l'ho chiamati X e -X/2!) col risultato che
mediamente si guadagna il 25% in piu'.
Fatemi sapere se siete daccordo.
Ciao, Silv:o)

Ciao, Silv:o)
ciao
paolo

 Facendo qualche calcolo, le cose si dovrebbero bilanciare.
Ed e' cosi'!.
ciao dario

Ragazzi, è un paradosso!
Non cercate di imporre un punto di vista, non se ne verrà mai a capo.
Dovete accettarlo per quello che è: un indovinello irresolubile, o se
preferite un indovinello con più di una risposta, tutte corrette.
Fior di matematici e logici hanno tentato di risolverlo finendo a botte, ma
senza trovare una soluzione univoca.
Ciao.
(non pensavo di riscuotere tanto successo, sono lusingato.
Vorrà dire che ne proporrò qualche altro nei prossimi giorni, anzi... se
qualcuno conosce un buon libro...)
--------------------
La soluzione di un problema risiede nel problema stesso.
<Bruce Lee>

paolo
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 scritto nell'articolo
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