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Titolo: [MA]Partizioni parallelepipede

Quanti parallelepipedi si riescono a costruire con N cubetti uguali?
Due parallelepipedi sono uguali se equivalenti per rotazioni.
Es:
  Con 8 cubetti si costruiscono 3 parallelepipedi
   _ _ _ _ _ _ _ _        _ _ _ _ 
 /_/_/_/_/_/_/_/_/|     /_/_/_/_/|    
 |_|_|_|_|_|_|_|_|/ +  /_/_/_/_/|/  + (Cubo di lato 2)
                       |_|_|_|_|/     
Esiste una formula in forma chiusa che fornisca questo numero per ogni 
N?
P.S. anche se è un po' burino vorrei cogliere l'occasione per salutare
     Gaia D.
Onoff

 N?
Non penso proprio che possa esistere una tale formula, il problema si riduce
a quello di trovare il numero di divisori di un numero N qualsiasi, cosa non
(ancora) risolvibile con metodi diversi dalla forza bruta (e cioè
analizzando caso per caso).
Supponiamo che una tale formula esista e chiamiamola f(N), allora gli zeri
della funzione p(N)=f(N)-1  sarebbero tutti e solo i numeri primi (per N
primo posso formare un unico parallelepipedo), avremmo trovato una formula
chiusa che fornisce tutti i numeri primi: ci spetterebbe la medaglia Field
per i prossimi 100 anni.
Anche volendo analizzare caso per caso non è facile trovare il numero di
parallelepipedi costruibili.
Dobbiamo prima scomporre N in numeri primi, supponiamo che sia
N=2^a*3^b*5^c*7^d avremo in tutto n=a+b+c+d fattori da distribuire lungo le
3 direzioni x, y, z, avremo quindi 3^n possibili configurazioni contando
anche le rotazioni.
Escludere le copie uguali per rotazione non è però immediato, dobbiamo
sicuramente dividere per 3 il numero prima ottenuto (per contare le
rotazioni nelle 3 dimensioni spaziali) ottenendo 3^(n-1) configurazioni.
Da queste bisogna poi togliere anche le configurazioni in cui si hanno due
(o tre) lati uguali e le cose si fanno toste (per n grande), per esempio
dobbiamo sottrarre 1 per tener conto della combinazione Nx1x1 che noi
conteremmo due volte ma anche tante altre combinazioni.
Per es. nel tuo caso di N=8 si ha N=2^3 si ha quindi n=3 e 3^(n-1)=9 che
sarebbero le 9 combinazioni:
8x1x1
8x1x1
4x2x1
2x2x2
2x2x2
2x2x2
2x2x2
2x2x2
2x2x2
Per n piccolo è facile enumerare tutte le combinazioni ed escludere quelle
che si ripetono ma per n grande il compito si fa molto arduo.
Ciao,
GaS

N?
Boh, bisogna continuare.. ad esempio con N>=12
si passa al doppio strato piu` "ricco": 4x4x2;
4x4x3, eccetera.
-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1

 4x4x3, eccetera.
Ma di cosa stai parlando?
C'è qualcosa che mi sfugge o sei ubriaco all'ora di pranzo?  :o)
Ciao,
GaS

C'è qualcosa che mi sfugge o sei ubriaco all'ora di pranzo? :o)
Va be' e` obbligatorio utilizzarli ogni volta tutti.. non
c'avevo proprio badato:-))
Vuol dire che per farti calmare ti posto un po' di quei
"doppio lucchetto" nell'altro tuo thread che hai aperto,
ma di quelli difficilini neh! ;-)


 (o tre) lati uguali e le cose si fanno toste (per n grande)
Si tratta solo di contare quanti parallelepipedi hanno una faccia 
quadrata(2 facce quadrate vuol dire cubo cioè se N è cubo,ma questo si 
vede dalla scomposizione in fattori primi)e si può esprimere in funzione 
di k1,k2,k3,...
Ricordo di aver postato un problema simile per quadrati e rettangoli e 
fosti tu a risolverlo.Allora ti tocca passare anche agli ipercubi o 
iperparallelepipedi(si dice così?)per completezza.Facci sapere.
Onoff

>analizzando caso per caso).
Per un numero N che abbia k+1 fattori primi "tutti differenti" i solidi 
possibili dovrebbero essere (3^k+1)/2
1,2,5,14,41,122,365...