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Titolo: Area del pentagono

Ultimamente sto studiando alcuni manoscritti presenti a Bologna, in 
particolare, il De Viribus Quantitatis, di Luca Pacioli ~1500. Con mia 
sorpresa sto scoprendo alcune cose veramente interessanti. Sono presenti 
molti problemi attribuiti, dagli storici, ad autori piu' recenti.
Alcuni giochi topologici tipo corde ed anelli sono contenuti nella seconda 
parte. Tutte le descrizioni si riferiscono a figure inesistenti, perche' il 
manoscritto e' incompleto. Mi risultano pochi studi fatti su questo lavoro.
Amedeo Agostini che lo ha riportato alla luce nel 1921 fece uno studio 
sulla prima parte, dove in prevalenza vengono trattati giochi numerici.
Con mia sorpresa il Pacioli descrive gli anelli cinesi, fino a ieri, tutti 
gli storici della matematica rinascimentale hanno attribuito il merito 
della prima descrizione di questo gioco, in occidente, a Gerolamo Cardano 
nella sua monumentale opera del 1550 de Subtilitate Rerum edizione Sponium.
Cerchero' di farne un resoconto piu' dettagliato sul mio sito.
In un'altro manoscritto anonimo del 1339 trovo questa procedura per il 
calcolo dell'area del pentagono regolare. Data la bellezza della parlata 
trecentesca, uso la frase originale:
----------------------
Regolla Geomatria.
Fammi questa ragione. Egli e' un quadro che a' 5 faccie ed e' per ciascuna 
faccia 6 palmi, facto a conpasso. Vo' sapere quanto sera' dentro tucto.
Fa' cosi'. Multiprica sempre l'una de' faccie per se medesmo e diremo: 6 
via 6 fa 36. E sempre vuole essere multiplicato per 3 quand'e' le facie 
sono eguali dunpigia e di': 3 via 36 fanno 108. E vuolsene traere l'una 
faccia cioe' 6 e rimane 102, partelo per 2 che ne viene 51 e tant'e' quadro 
e cosi' lo quadra tuctavia quand'e' e' 5 faccie e che sieno eguali.
----------------------
Per un pentagono regolare di lato 6, trova un'area di 51
Come e' stata ricavata questa procedura? Ricordo che in quel periodo si 
facevano studi seri sul rapporto aureo strettamente legato al lato del 
pentagono.
PS. non chiedetemi cosa vuole dire "dunpigia".
dario

dario
Ho chiesto ad un mio amico, e mi ha segnalato questo:
E. Giusti (a cura di) Luca Pacioli e la matematica del Rinascimento.
Atti del convegno internazionale di studi Sansepolcro 13--16 aprile
1994. 
Petruzzi Editore, Sansepolcro, 1998.
Eventualmente puo' rivolgersi alla Fondazione Piero della Francesca,
Casa di Piero, via Aggiunti 71 52037 Arezzo.
Nel volume citato c'e' un contributo di Vico Montebelli sul "de
viribus quantitatis".
Ciao a tutti,
margravio.

 PS. non chiedetemi cosa vuole dire "dunpigia".
che significa "dunpigia" ?
GDR

 BELLISSIMO!
Ma e' sbagliato sbagliato! Mi ricordo che da bambino bambino
ricavai con compasso e righello 7 x L x L / 4 sbagliato pure questo,
ma di meno di meno!
E poi, che significa "dunpigia" ?
Ciao!!!  ((^__^))
Livio

 PS. non chiedetemi cosa vuole dire "dunpigia".
cosa vuol dire "dunpigia"?
:-)
ciao
paolo

 Non potrebbe essere che questo scrittore abbia sbagliato ...
e invece no!
rivedendo bene le cose, la formula proposta non dovrebbe indicare l'area del
pentagono, ma quella del cerchio inscritto; l'approssimazione mi sembra
eccellente:
L   A_cerchio    Formula
1     1.49        1
2     5.95        5
3    13.39       12
4    23.81       22
5    37.20       35
6    53.56       51
7    72.91       70
8    95.22       92
9   120.52      117
10  148.79      145
11  180.03      176
12  214.25      210
13  251.45      247
14  291.62      287
15  334.77      330
16  380.90      376
17  430.00      425
18  482.07      477
19  537.12      532
20  595.15      590
ciao
paolo

 viribus quantitatis".
Ti ringrazio. Come accennavo nel post precedente, ho letto gia' diversi 
articoli sul De Viribus, ma essendo sritti da matematici, trattano 
perlopiu' della parte numerica, non mi risulta che qualcuno sia riuscito a 
ricostruire i giochi topologici che Pacioli descrive, difatti essendo 
sprovvisti di disegni, occorre una esperienza specifica su questi aggeggi. 
Per questo mi sono procurato il microfilm del manoscritto, che ho proprio 
finito di digitalizzare un'ora fa.
Un lavoraccio, sono piu' di 600 pagine. In ogni modo sono gia' riuscito ad 
identificare 4 giochi topologici fra cui uno che non avevo mai visto, un 
"corda ed anelli" semplice ma inedito. La difficolta' sta anche nel fatto 
di riuscire ad interpretare certe parole;  mi ci e' voluto un po', ad es. 
per capire che " a capia rivolta" e' quello che noi, oggi chiamiamo nodo a 
bocca di lupo.
ciao dario

 pentagono, ma quella del cerchio inscritto.
Ho riportato l'intero passo proprio per sentire la vostra opinione, ma a me 
sembra che volesse intendere l'area del pentagono.
Forse e' tutto quello che sapevano fare i maestri d'abaco di quel tempo.
La stessa regola per l'area del pentagono e' riportata in molti lavori del 
300, anche nel manoscritto Magliabechiano cod.87 Libro di Ragioni di Paolo 
Gherardi. 30 di gennaio Anni Domini 1327. Conservato alla Biblioteca 
Nazionale di Firenze.
dario
PS
Qualcuno di voi sa cos'e' la dunpigia ??

A questo proposito, ricordo un esercizio della prova scritta di 
matematica per il concorso della scuola in cui bisognava dimostrare che:
"il lato del decagono regolare inscritto in un cerchio è sezione aurea 
del raggio"
Ora, tra pentagono e decagono ci dovrebbe essere una relazione 
abbastanza semplice ...
Dade :)

PS. non chiedetemi cosa vuole dire "dunpigia".
Cos'e` una dunpigia?
Ma almeno come si pronuncia? Quattro possibilita`.. 
-- 
Ci sentiamo  |  Remigio Zedda  || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio |                 ||==> E-mail: 
remi...@tiscalinet.it
-------------|      ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
/* Linux 2.2.19pre17 su Debian GNU/Linux 2.2 Potato */

 pentagono.
Ciao ha tutti, ho la soluzione!
Quella che segue  vuole solo essere una giustificazione della formula del
testo, non dei passaggi per arrivare alla stessa.
S
P
O
I
L
E
R
!
!
!
Il problema e' che non e' esattamente un pentagono perfetto!
Ho seguito  il consiglio di Dario e ho pensato alla sezione aurea. Ecco come
e' costruito il pentagono in questione
  A  _____a_____ B
    |         /     \          |
    |     /              \     |
b  | / __________ \ |e
     \                      /
      \                    /
        \________/
        c                d
Il pentagono abcde e' tale che il triangolo abe abbia base coincidente con
la base del rettangolo AbeB e vertice nel punto medio di AB.
Sia il rettangolo un rettangolo aureo; con passaggi algebrici si dimostra
che, data L la lunghezza del lato del pentagono si deve avere
Ab=[2/(6+7p)]*L
con p rapporto aureo.
Ne segue be=(p+1)Ab.
Con considerazioni geometriche banali, ricordando che p^2=p+1, si trova
un'area totale data da
A=1.43*L^2  (ho approssimato qualcosa su p)
Si puo' scrivere come:
A=1.5*L^2-0.07*L^2=(3*L^2-0.14*L^2)/2
Con una tabella si vede che il termine 0.14*L^2, per L bassi e'
approssimabilņe ad L ed ecco ritrovata la formula del testo di Dario.
Una tabella dei valori esatti da un'idea della validita' delle approx.
L       Avera        Aapprox
1          1.43            1
2          5.72            5
3         12.87         12
4          22.88         22
5          35.75         35
6          51.84        51
7         70.07         70
8         91.52        92
9        115.83       117
............................
Mi scuso se non riporto i calcoli completi ma mio fratello sta scrivendo una
tesina per l'universita' e necessita del computere, se servissero
chiarimenti provo a spedire tutti i calcoli questa sera.
GaS
P.S.: avevo cominciato provando ad iscrivere bcde in un rettangolo aureo ma
non va bene, chi mi sa dire perche'? :o)

Ma e' giusta questa spiegazione?
GaS
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 GaS