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Titolo: Il cerchio e la corda

Bonsua'
Conoscerete sicuramente il problema del determinare la probabilita' che
una corda di un circonferenza presa a caso sia maggiore del lato del
triangolo equilatero inscritto nella circonferenza stessa.
A seconda di come si affronta il problema, e' possibile dare tre risposte
diverse. Per il momento non aggiungo altro perche' se c'e' qualcuno che
non conosce il problema e vuole provare a risolverlo, puo' farlo senza
essere privato del divertimento. Una volta determinate soluzioni e
ragionamento, pero', mi piacerebbe trovare un ragionamento che consenta di
scegliere, tra le tre, quella "giusta" dando dei validi motivi per
scartare le altre.
Matematici (e geometri) del gruppo, fatevi sentire!
--AG
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 --AG
sembra non esserci la risposta giusta, visto che non si spiega bene cosa
significa prendere una corda a caso!
ora le esatte argomentazioni non le ricordo, ma ricordo che il problema
sorgeva se determinavi una corda "a caso" o se la prendevi parallela a un
diametro o se fissavi un punto sulla circonferenza e l'altro variava . tutti
e tre sembrano avere abbastanza generalità ma le risposte son diverse!

 scartare le altre.
-
.
.
S
P
O
I
L
E
R
.
.
-
Prendiamo come "modo" di scegliere a caso la corda quello di scegliere a 
caso un angolo. Ad ogni corda, infatti, si può associare un angolo al 
centro alfa compreso tra 0 e pi (e la relazione è biunivoca).
se (2/3 pi < alfa < pi) -> la lunghezza della corda sottesa è maggiore 
del lato del triangolo equilatero inscritto nella circonferenza
In base a questo ragionamento la probabilità richiesta è 1/3.
Qualunque siano gli altri 2 modi a cui si riferisce AG, mi pare che sia 
solo una questione di distribuzione di probabilità (o misura), cioè 
specificare su quale variabile stocastica che possa identificare una 
corda la distribuzione di probabilità è uniforme (scusate i congiuntivi 
"sportivi").
Dade :)

 scartare le altre.
Ciao, io non conoscevo il gioco e provo a ricostruire i vari ragionamenti
possibili.
Le tre soluzioni sono dopo lo spoiler.
Come diceva Pazqo il problema e' riuscire a "modellizzare" lo "scegliere una
corda a caso".
I miei modelli mentali di "corda casuale", come forse quelli di Dade,
propendono per la prima soluzione.
Non saprei dire pero' se il secondo e terzo modo sono sbagliati o sono
semplicemente altri modelli.
ciao
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A me viene spontaneo pensare che scegliere una corda a caso equivalga a
fissare un punto sulla circonferenza e prendene un altro a caso.
Quindi, fissato un verso di percorrenza, se l'angolo relativo e' compreso
tra 120^ e 240^ la corda ha la lunghezza richiesta.
La probabilita', cosi' facendo, e' 1/3.
Un secondo modo di ragionare potrebbe essere:
la lunghezza della corda e' un numero compreso tra 0 e 2*r,
io voglio un numero compreso tra sqrt(3)*r e 2*r
quindi la probabilita' e' (2-sqrt(3))/2.
Un terzo modo potrebbe essere:
Tutte le possibili corde, dopo una rotazione, possono essere portate e
essere perpendicolari a un diametro fissato, come se usassi un diametro come
uno spiedino su cui infinzarle tutte.
Al variare di un punto mobile sul diametro genero tutte le possibili corde.
Detta x la posizione sul diametro del punto mobile (0 < x < 2r) i casi
favorevoli si hanno per
(1/2)*r<x<(3/2)*r quindi la probabilita' e' 1/2.

 wrote in message
sYBda.24022$Lr4.7...@twister2.libero.it...

si, vero. due delle tre che hai citato, la 1° e l'ultima, son le stesse che
vengono proposte nella soluzione. la seconda non mi pare che vada bene,
visto che dovresti far vedere che per ogni lunghezza assegnata hai lo stesso
numero di corde. se così non fosse dovresti fare una media pesata... . ma
c'è anche un'altro modo.
ora non mi viene in mente ma forse era il più generale di tutti e la
probabilità veniva 1/4
spero che qualcun'altro ti sia più di aiuto!

 vengono proposte nella soluzione (...)
Si', in effetti anche a me risulta 1/4. Io, finora, non sono riuscito a
trovare nessun argomento che mi consenta di respingere due di queste
soluzioni.
Ho provato a calcolare la probabilita' in maniera sperimentale, generando
in maniera casuale delle corde e facendo il rapporto casi favorevoli/casi
totali. Pero' non sono mai arrivato a fare il programma vero e proprio,
perche' mi sono accorto che, consciamente o meno, l'algoritmo per generare
le corde casuali di fatto era equivalente al procedimento della soluzione
n. 1, per cui non era necessario fare i conti.
Qualcuno ha delle idee?


> Qualcuno ha delle idee?
"Una corda di un circonferenza presa a caso" e' un'uscita aleatoria
non definita univocamente. Quando si vuol calcolare la probabilita'
di un evento, la teoria delle probabilita' prevede che si definisca
la variabile aleatoria rappresentativa dell'evento definendo lo
spazio degli eventi in cui essa puo' assumere valore e che si conosca
in che modo la variabile assume valori in quell'insieme, ossia la
distribuzione dei valori che la variabile puo' assumere.
Cosi', se ad esempio modelliamo l'evento in questo modo (corrispondente
al caso "1" di ticonzero):
"Sia fissato un punto sulla circonferenza (e un verso di percorrenza),
e sia X la variabile aleatoria che modella l'uscita dell'altro punto
della corda. Il valore dell'uscita del secondo punto e' casuale",
in questo caso X puo' assumere valori in [0, 2*pi*r], e la distribuzione
e' uniforme. Detto questo, la probabilita' si calcola subito, e vale 1/3.
Questo caso NON equivale agli altri due, perche' negli altri due il
problema viene modellato in maniera diversa. Precisamente, per non farla
tanto lunga, negli altri casi si assume rispettivamente che la lunghezza
della corda abbia una distribuzione uniforme e che la distanza della corda
dal centro della circonferenza abbia una distribuzione uniforme.
Se si stabilisce che il primo modello e' vero, gli altri NON possono
essere anche veri.
Se si stabilisce che il primo modello e' vero, negli altri casi SI PUO'
considerare per il calcolo una variabile aleatoria diversa Y (lunghezza
della corda o distanza dal centro), ma in questo caso, essendo la
distribuzione di Y diversa dalla uniforme, non si ottengono i risultati
che ha mostrato ticonzero, ma si ottiene sempre 1/3.
Non sto qui a fare i calcoli, ma e' cosi'.
D'altra parte oltre ai tre casi considerati se ne possono trovare infiniti
altri. Che direste, ad esempio, se al posto di considerare la nostra X,
considerassimo Y = X^2 ? In questo caso i valori assunti da Y varierebbero
tra 0 e 4*pi^2*r^2, ma se X e' uniforme in [0, 2*pi*r], Y non e' uniforme
in [0, 4*pi^2*r^2], ecc. ecc., cioe' valgono le considerazioni di prima.
ciao !

 distribuzione dei valori che la variabile puo' assumere.
Grazie per aver esplicato il concetto che avevo accennato nel mio 
precedente post con terminologia forse impropria e un po' vaga.
Dade :)

 triangolo equilatero inscritto nella circonferenza stessa.
Allora mettiamola così: per me "prendere a caso" una corda significa
scegliere a caso (uniformemente) un punto P all'interno della
circonferenza di centro O e poi scegliere a caso un angolo t compreso
fra 0 e 180 gradi: la corda è quella che passa per il punto P e che
forma l'angolo t con la semiretta OP.
Qual è, in questo caso, la probabilità cercata?
Maurizio

 triangolo equilatero inscritto nella circonferenza stessa.
La probabilità è sicuramente INDETERMINATA, infatti il numero di casi
possibili è INFINITO, il numero dei casi possibili ( in tutti i
modelli proposti ) è anch'esso INFINITO, dunque la probabilità è
INFINITO/INFINITO, non mi stuprei se qualcuno trovasse un quarto
modello che abbia come probabilità 1. Provate a trasporre il probelma
da un piano RxR in uno NxN, avete la stessa aberrazione?


Non ho seguito questo thread e quindi non mi pronuncio
sul problema specifico, ma la tua argomentazione in generale
e' errata.
Ci sono moltissimi casi nei quali abbiamo casi possibili
infiniti, casi buoni infiniti e probabilita' perfettamente
determinata.
Considera il problema:
Sia X una variabile casuale distribuita uniformemente
su [0,1].
(Cioe' in pratica, un numero reale a caso tra 0 e 1,
dove ogni numero e' equiprobabile).
Calcolare la probabilita' che X<(1/3).
Allora: i casi possibili sono infiniti (ci sono
infiniti numeri reali tra 0 e 1)
i casi "buoni" sono infiniti (tra 0 e 1/3 ci
sono infiniti numeri reali).
E tuttavia la probabilita' e' definita
e vale (ovviamente) 1/3.
In generale, il metodo di calcolo
"numero casi buoni"/"numero casi possibili" non
si puo' applicare in questo modo quando
le variabili casuali sono nel continuo.
ciao,
g.

Maurizio Frigeni <Maurizio...@dont.emailme.please> wrote in message
20030320003143138905@[151.100.55.81]...

se non sbaglio 1/3
ma non ho fatto i conti...

 ma non ho fatto i conti...
Sbagli, è maggiore...
Maurizio

Maurizio Frigeni <Maurizio...@dont.emailme.please> wrote in message
20030320184553227213@[151.100.55.73]...

no, è 1/3
se fissi un punto ti van bene angoli tra 60 e 120 gradi. cioè una rosa di 60
gradi sui 180 disponibili.
non mi son spiegato benissimo ma se fai i conti ti viene così!

 non mi son spiegato benissimo ma se fai i conti ti viene cosě!
Forse non mi sono spiegato bene io? Mi pare evidente che gli angoli
"buoni" dipendono da dove si prende il punto. Io i calcoli li ho fatti
ed ho fatto anche una simulazione che li conferma.
Maurizio

Maurizio Frigeni <Maurizio...@dont.emailme.please> wrote in message
2003032022461766590@[151.100.55.58]...

ooops, avevo letto un punto "sulla" circonferenza!
cmq la parte interna si chiama cerchio...

 simulazione che li conferma.
A me viene 1/3 + sqr(3)/(2pi) =~ 0.609
Disegnamo un cerchio concentrico a quello unitario, ma di raggio 1/2.
E' facile dimostrare che la corda è maggiore del lato del triangolo
solo se interseca il cerchio interno. Se il punto P(x,y) cade
all'interno del cerchio più piccolo, è sicuramente secante, se invece
cade fuori, l'angolo utile @ è quello formato dalle due tangenti al
cerchio piccolo passanti per P. Quindi la propbabilità è in questo
caso @/pi. Usando le coordinate polari l'integrale risultante è
abbastanza semplice è da il risultato mostrato.
Cambiando leggermente il modello ottaeniamo un risultato ancora
diverso:
Una corda è completamente determinata dal suo punto medio. Supponiamo
che il punto medio sia distribuito uniformemente su tutto il cerchio.
E' facile vedere che la corda è maggiore del lato del triangolo solo
se il punto medio cade nel cerchio di raggio 1/2. La probabilità che
accada è 1/4.
--
Ciao, Silv:o)

 accada è 1/4.
Questa quindi deve essere la terza definizione di "corda casuale" che
veniva cercata da AG e Pazqo...
Maurizio

 wrote in message
b5jfhd$2adjj1$1...@ID-49224.news.dfncis.de...

e questa è proprio l'altra soluzione, quella che non mi veniva
:-)

Maurizio Frigeni <Maurizio...@dont.emailme.please> wrote in message
20030323180306664303@[151.100.55.47]...

esattamente...
:-)

 pps. il problema è sul mio sito 
siggiochi.mensa.it