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Titolo: Un interessante implicazione logica

Vi riporto una discussione che ho avuto con alcuni miei compagni di corso
riguardante le proposizioni "indecidibili".
Infatti dopo una lezione su questo tema un mio compagno (che evidentemente
soffre di insonnia :)) il giorno dopo ha congetturato quanto segue:
Immaginiamo di riuscire a dimostrare che  la proposizione      "Per Ogni x
P(x)"    con x appartenete a un insieme infinito (naturali per esempio) sia
indecidibile
Come si possa dimostrare ciò per ora non ha importanza (Godel o Cantor in
sogno ci hanno detto che è così, per esempio).
Questa proprietà implica il fatto che   per tutti i singoli x finiti  la
P(x)  deve essere vera; infatti se fosse falsa anche per un solo x
particolare allora la proposizione  "Per Ogni x  P(x)"  sarebbe falsa e
quindi decidibile.  Quindi pare che l'indecidibilità  all'infinito
implichi la decidibilità (della verità della proposizione) per ogni  x
finito.
Visto la nostra truce indole "ingengera"  abbiamo subito fantasticato sul
fatto che magari una certa proprietà è impossibile o difficile da
dimpostrare.. però se si riuscisse a dimostrarla indecidibile "all'infinito"
saremmo a posto perchè poi per ogni x  finito (ovvero per ogni caso pratico
che può capitare) la proprietà risulterebbe vera.
Visto che tutto questo ragionamento pareva corretto ma strano qualcuno ha
avanzato l'ipotesi che fosse impossibile dimostrare indecidibile una
proposizione del tipo "Per Ogni x  P(x)"  e che quindi è tutto campato per
aria.
Che ne pensate?
Grazie dell'attenzione,
Paolo


Newsgroups: it.hobby.enigmi
Sent: Friday, April 14, 2000 4:44 AM
Subject: Re: Numeri primi.
[...]
Ricopio pari pari da un libro di Martin Gardner...
*** MG
[...] La mia liberta' di linguaggio nel parlare del teorema dei 
quattro
colori come *indecidibile secondo Godel* ha provocato la seguente
lettera del cosmologo inglese Dennis Sciama (Scientific American,
novembre 1960, p. 21):
--- DS
    Signori,
    Mi e' molto piaciuto l'articolo di Martin Gardner sul problema dei
quattro colori. In realta' e' impossibile provare che non e' possibile
dimostrare il teorema. In quanto se il teorema e' falso, lo si puo'
mostrare esplicitamente esibendo una mappa che non possa esser 
colorata
con quattro colori. Percio' se il teorema e' indimostrabile deve esser
vero. Cio' significa che non possiamo dimostrare che esso e'
indimostrabile, in quanto cio' equivale a dimostrare che esso e' vero,
il che e' una contraddizione.
    Lo stesso rilievo vale per qualsiasi teorema la cui falsita' puo'
esser dimostrata da un esempio contrario; per esempio l'ultimo teorema
di Fermat. Teoremi del genere possono essere indimostrabili, ma solo 
se
sono veri. In tal caso non possiamo mai sapere che sono 
indimostrabili,
sicche' i matematici cercheranno indefinitamente di dimostrarli. 
Questo
stato di cose e' terrificante. Far della fisica potrebbe sembrare una
buona alternativa, ma la *Godelria* potrebbe invadere anche questo
regno...
--- DS fine
    La situazione e' un po' meno tragica quando ci rendiamo conto che 
un
teorema indecidibile secondo Godel entro un dato sistema deduttivo 
puo'
sempre esser deciso metamatematicamente ampliando il sistema. Se il
teorema dei quattro colori venisse riscontrato esser indecidibile
secondo Godel entro un sistema basato su certi postulati di topologia 
e
teoria degli insiemi, esso diverrebbe automaticamente *vero* (come
Sciama chiarisce), ma *vero* nel senso metamatematico di esser
decidibile in un sistema ampliato, magari un sistema in cui lo stesso
teorema della mappa sarebbe un nuovo postulato.
*** MG fine
[...]
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Bello, no?
PS:
Lo stesso schema di ragionamento paradossale lo uso per gioco con un
certo tipo di agnostici che sembrano pensare che l'agnosticismo sia la
sola forma di ateismo veramente razionale...
Molti di loro considerano *indimostrabile* la questione dell'esistenza
di dio.
D'altra parte che io sappia non ci sono religiosi che credano in un 
dio
che non si manifesta da qualche parte e in qualche modo [controprova
della *non esistenza*]... quindi e' facile concludere che se la *non
esistenza* e' indimostrabile dev'essere anche vera ;-).
Naturalmente e' solo uno scherzo.
Ciao ciao
Claudio
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Fra dio e la conoscenza preferisco privarmi del primo.