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Titolo: TERNE PITAGORICHE

C'è qualcuno che mi sa spiegare un procedimento per trovare le terne
pitagoriche a numeri interi? E inoltre: come si fa a sapere in quante terne
è contenuto un numero (cateto o ipotenusa)?
A proposito, grazie a Paolo Licheri per la soluzione del problema delle
diagonali (ma come hai fatto a capirlo?!), e una spiegazione a MaxArt: il
soprannome me l'hanno affibiato i miei amici scacchisti (negli scacchi
esiste il finale che è l'ultima fase del gioco, se vuoi ulteriori
delucidazioni tecniche sarò più preciso la prossima volta)
Finalik
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 è contenuto un numero (cateto o ipotenusa)?
Terna pitagorica = (TP)
Terna pitagorica prima = (TPP)
Siano X,Y e Z i tre lati di un triangolo pitagorico primo (TPP).
Allora:
primo cateto     X = m^2-n^2
secondo cateto   Y = 2mn
ipotenusa        Z = m^2+n^2
m ed n sono interi scelti arbitrariamente e sono detti numeri
generatori.
Eccoti alcune relazioni utili:
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(1) Se m ed n sono numeri consecutivi allora anche Y e Z lo sono. es:
m   n   X   Y   Z
2   1   3   4   5
3   2   5  12  13
4   3   7  24  25
5   4   9  40  41 ... fig.1
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(2) Se prendiamo come generatori X e Y di fig.1, le ipotenuse saranno
rappresentate da quadrati. Solo un lato di un TP puo' essere un
quadrato. es:
 m    n    X    Y    Z
 4    3    7   24   25 =  5^2
12    5  119  120  169 = 13^2
24    7  527  336  625 = 25^2
40    9 1519  720 1681 = 41^2...
L'area di un TP non puo' essere un quadrato.
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(3) Se prendiamo come generatori Z e Y di fig.1 il lato piu' piccolo X
sara'
un quadrato:
 m    n    X    Y    Z
 5    4    9   40   41
13   12   25  312  313
25   24   49 1200 1201...
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(4) Se prendiamo come generatori i numeri triangolari 1,3,6,10,15 ecc.
il cateto X e' un cubo:
 m    n    X    Y    Z
 6    3   27   36   45
10    6   64  120  136
15   10  125  300  325...
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(5) Se i 2 numeri m ed n hanno un fattore comune (FC), i numeri X,Y e Z
contengono le stesso fattore, d'altro canto se m ed n sono entrambi pari
o entrambi dispari, X Y Z hanno almeno il num.2 come FC. Se si desidera
escludere dal set XYZ numeri con FC, bisognera' scegliere m ed n uno
pari e l'altro dispari e senza FC. I TP generati con queste limitazioni
sono detti Triangoli Pitagorici Primi (TPP).
In un TPP un lato e' divisibile per 3 ed uno per 5.
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(6) Trovare un TPP che contenga un dato lato N.
Se N e' dispari:
Risolvere N in due fattori qualunque, il fattore maggiore sara'= m+n, il
minore sara'= m-n. Risolvendo le due equazioni lineari simultanee si
ricavano m ed n. es:
N=35   m+n=7   m-n=5   m=6   n=1    TPP= 35, 12, 37
oppure m+n=35  m-n=1   m=18  n=17   TPP= 35,612,613
Se N e' pari:
Risolvere N = 2mn es:
N=12    mn=6    m=6   n=1   TPP= 35,12,37
        oppure  m=3   n=2   TPP=  5,12,13
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(7) Dato un numero, supponiamo 60 di quanti TPP puo' essere cateto?
Risolvere in fattori primi, ignorando gli esponenti. Se ci sono x
differenti primi, allora 2^(x-1) e' il numero richiesto. Nel nostro
esempio 60= 2^2*3*5. x=3. 2^(3-1)=4
60 e' la misura di un cateto in 4 TPP diversi.
ancora 5040=2^4*3^2*5*7  x=4  2^(4-1)= 8
c'e' pero' una eccezione, se il numero e' pari e non divisibile per 4
non c'e' soluzione. 30 ad es. non puo' essere un cateto di un TPP e non
puo' esserlo ogni numero della forma 4x+2.
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(8) Dato un numero di quanti TP primi e non primi puo' essere cateto?
Risolvere in fattori primi. Ora si considerino solo gli esponenti.
Raddoppiare ogni esponente ed aggiungere 1 (tranne per l'esponente di 2,
se c'e', dove va sottratto 1) moltiplicare assieme i risultati,
sottrarre 1 e dividere per 2.
es: 60= 2^2*3*5    ((2*2-1)(2*1+1)(2*1+1)-1)/2 = (3*3*3-1)/2 = 13
es: 45= 3^2*5      ((2*2+1)(2*1+1)-1)/2 = (5*3-1)/2 = 7
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(9) Dato un numero di quanti TPP puo' essere ipotenusa?
I numeri che hanno n fattori primi tutti della forma 4x+1
(5,13,17,29...) sono ipotenuse di 2^(n-1) TPP. Se un solo fattore primo
e' della forma 4x-1 (3,11,19,23...) non puo' essere ipotenusa di un TPP.
es: 1105 = 5*13*17 e' ipotenusa in 2^(3-1) = 4 TPP.
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(10) Dato un numero N di quanti TP primi e non primi puo' essere
ipotenusa?
Si scartano tutti i fattori primi della forma 4x-1.
Si applica agli esponenti 4x+1 la regola data in (8).
es:N = 2^5*3*5*7^5*11^3*13^2 si scartano 2,3,5,11 considerando solo gli
esponenti  5 e 13 avremo  ((2*1+1)(2*2+1)-1)/2 = 7.
Cosi' questo numero puo' essere ipotenusa di soli 7 TP, ma puo' essere
cateto di altri 15592 per un totale di 15599 triangoli.
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Sono stato un po' telegrafico per non appesantire troppo il msg.
Se hai bisogno di ulteriori notizie....
:) dario