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Titolo: Geometria triangolare

Il triangolo ABC equilatero di lato L in figura e' internamente diviso in 
tre triangoli di lati (30,40,L), (30,50,L) e (40,50,L) come mostrato in 
figura
          A
          /\
         /* \
        / *  \
       /  30  \
      /   *    \
     /   * *    \
    /  40    *   \
   / *        50  \
  /*             * \
B------------------C
Calcolare la lunghezza L del lato, possibilmente senza usare metodi numerici 
approssimati.
Ciao, Antonio
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spoiler
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Forse c'è un modo più veloce, ma io ho usato questo:
applichiamo il teorema di Carnot ai 3 triangoli e otteniamo:
L^2=30^2+40^2-2*30*40*cosA
L^2=30^2+50^2-2*30*50*cosB
L^2=40^2+50^2-2*40*50*cos(A+B)
l'ultimo coseno sarebbe cos(2pi-A-B) che è uguale a cos(A+B)
sviluppando cos(A+B) in cosAcosB-sqrt(1-cos^2A)*sqrt(1-cos^2B)
troviamo poi il valore di L (lo trova il Derive):
L=sqrt(2500+1200*sqrt(3))
inoltre:
A=150°
B=113.13°
C=96.87°
Ciao
Andrea

 approssimati.
Riporto la dimostrazione, a mio avviso molto bella, data da Andras Horvath e
presa da 
http://www.mathcad.com/puzzle.html
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Denote the vertices of the triangle on the 30,40 and 50 sections by A, B and
C resp. and let the meeting point of the sections be P. Rotate the triangle
around C by 60 degrees clockwise, the new positions of the points denoted by
A', B', C' and P' resp. Clearly C = C' and A = B'. Since PC and P'C' = P'C
are two sections of length 50 with an angle of 60 degrees between them, PCP'
is an equilateral triangle , hence PP' = 50. But then APP' is a 30-40-50
triangle that is known to be right angled , the angle PAP' is 90 degrees.
AP' = B'P' is a 60 degree rotation of BP , thus the angle BPA is 90 + 60 =
150 degrees. Now for AB = x we have the equation:
x^2=30^2+40^2-2*30*40*COS(150)
The solution is x:=10*sqrt(25+12*sqrt(3)) i.e. x:=67.66432567522307
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Silv:o)

 approssimati.
Prendendo spunto dalla soluzione che ho riportato venerdi`, ne ho elaborata
una mia che non fa uso di trigonometria.
Costruiamo tre triangoli equilateri di lato 30, 40 e 50 e congiungiamo i
vertici di questi triangoli con i vertici A, B e C. La figura ottenuta e`
formata da:
1) 3 triangoli equilateri di lato 30, 40 e 50 + 3 triangoli rettangoli
30-40-50
2) 1 triangolo equilatero ABC + 3 triangoli ACB', BCA', ABC', la cui area
totale eguaglia quella di ABC.
                    A
                _.-'/\-_
            _.-'   /| \ -_
        _.-'      / |  \  -_
    _--'         /  |   \   -_ B'
C'---__         /  |30   \_.-'|
  \    ---__   /   |  _.-'\   |
   |         -/-__ |-'     \   |
    \        /    /\        \  |
    |       /   / |   \      \  |
     \     /40/   |    50\    \ |
      |   / /    |          \  \ |
       \ //      |             \\|
        B--------|---------------C
         '.     |           _.--'
           '.   |      _.--'
             '. | _.--'
               '|'
                A'
Eguagliando i due modi di calcolare l'area dell'"esagono" si trova
facilmente il lato del triangolo ABC.
Ciao, Silv:o)