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Titolo: Marinai & monete

Salve a tutti ,
Probabilmente cio' che sto per proporvi e' un problema logico forse gia'
risolto e magari vecchio , ma lo hanno dato da risolvere alla figlia di una
mia amica in prima media dalla professoressa di matematica e per ora nn
siamo riusciti a risolverlo.
Muoriamo dalla curiosità, c'è qualcuno che può darci una mano?
La storia è questa:
E il principe Cluzir Shah narrò la seguente storia:
" Un veliero era sulla via del ritorno da Serendib con un carico di spezie,
quando fu investito improvvisamente da una violenta bufera. Il bastimento
sarebbe stato distrutto dalle onde incalzanti se non fosse stato per il
coraggio di tre marinai che, nell'infuriare della tempesta, avevano
manovrato le vele con eccezionale abilità.
Volendo ricompensarli, il capitano diede ai tre marinai una certa quantita'
di monete, il cui numero era tra 200 e 300. Le monete furono messe in una
cassetta in modo che, quando il veliero fosse giunto il giorno dopo in
porto, l'esattore delle imposte avrebbe potuto dividere la somma fra di
loro.
Ma, durante la notte, uno dei tre marinai si sveglio' e si mise a
riflettere:'Sara' meglio che io prenda la mia parte gia' adesso. Cosi' non
avro' da discutere sul denaro con i miei amici.' Senza dir nulla agli altri
due, si alzo' e trovo' la cassetta. Divise i soldi in tre parti, ma non
erano perfettamente uguali: rimaneva una moneta. 'Per questa miserabile
moneta' penso', 'finiremo certamente per litigare, domani mattina. Meglio
buttarla via'. La lancio' in mare e ritorno' a letto. Porto' via la sua
parte della ricompensa e lascio' quelle degli altri due.
Un'ora dopo, il secondo marinaio ebbe la stessa idea. Si reco' alla cassetta
e, non sapendo che uno dei suoi compagni aveva gia' ritirato la sua parte,
divise il denaro che trovo' in tre parti uguali. Anche stavolta ci fu una
moneta che avanzava. Per evitare future discussioni, fece esattamente come
il primo marinaio, e getto' in mare la moneta di troppo. Poi torno' a letto
con la parte di denaro che credeva giustamente gli spettasse.
Anche il terzo marinaio si comporto' allo stesso modo: ignorando cio' che i
suoi amici avevano gia' combinato, si alzo' all'alba, ando' alla cassetta e
divise il suo contenuto in tre parti. Ancora una volta ci fu una moneta di
resto dopo la divisione e pure lui decise di gettarla a mare. Dopodiche'
prese la sua terza parte e ritorno' soddisfatto a letto.
Il giorno dopo, quando il veliero fu ormeggiato alla banchina, l'esattore
delle tasse trovò una manciata di monete nella cassetta e le divise in tre
parti uguali, dandone una a ciascuno dei tre marinai. Ma di nuovo la
divisione non era esatta: rimase una moneta che l'esattore prese in
pagamento al suo servizio. E nessuno dei tre protesto' per la suddivisione,
perchè ciascuno riteneva di aver già avuto, in precedenza, quanto
giustamente gli spettava.
Ecco in cosa consiste il problema: quante monete si trovavano nella cassetta
all'inizio? E quante ne ricevette ciascuno dei marinai?
Ecco qua, fedelmente riportato dal libro.
Un grazie anticipato a tutti.
--
             \     /
           ( @ @ )
              WW
Per rispondere leva le MANI altrimenti mordo

Muoriamo dalla curiosità, c'è qualcuno che può darci una mano?
con 241 160 106 70 mi pare funzioni.
241-1=240
240:3= 80
240-80= 160
160-1= 159
159:3= 53
159-53=106
106-1= 105
105:3= 35
105-35= 70
70-1= 69
69:3= 23
Ogni marinaio riceve alla fine 23 monete, che inizialmente erano 241.
Salvo errori od omissioni.
margravio

"margravio"  ha scritto nel messaggio

Posso chiederti gentilmente come hai fatto ad arrivare alla soluzione?
Hai seguito una spiegazione logica o solo per tentativi?
Ciao
Grazie


Grazie
Tentativi; forse qualche matematico del Ng puo' elaborare una
formuletta, io di sera a quest'ora non sono in grado, e dubito che lo
saro' anche domattina.
:-)
margravio

 con 241 160 106 70 mi pare funzioni.
All'ultimo passaggio dice che rimase "una manciata di monete", questo ci 
dice che probabilmente si cerca la sol. minima che e' di sole 79 monete.
Primo marinaio    (79-1)/3 = 26,  ne restano 78-26 = 52
Secondo marinaio  (52-1)/3 = 17,  ne restano 51-17 = 34
Terzo marinaio    (34-1)/3 = 11,  ne restano 33-11 = 22
L'esattore trova 22 monete ne da 7 a testa e si tiene l'ultima.

 formuletta.
Basta procedere a ritroso.
Se poniamo =x la quantita' di monete che ciascun marinaio riceve all'ultima 
  suddivisione:
L'esattore trova 3x+1 monete, allora il terzo marinaio aveva 3/2(3x+1)+1 
monete, applicando lo stesso passaggio per gli altri 2 marinai, si trova 
che la quantita' iniziale deve essere di
3/2(3/2(3/2(3x+1)+1)+1)+1 semplificando si ricava 81x+65/8 che deve essere 
un numero intero. 80x e' divisibile per 8, e 65/8 da resto 1, posso 
scrivere x+1/8, che da valori interi per 7,15,23,31..... ecc

 Hai seguito una spiegazione logica o solo per tentativi?
.
.
.Non sono un 'matematico' ma provo a dire la mia...
;-)
Dall'enunciato si puo' ricavare facilmente la seguente relazione:
81/8n + 65/8    che possiamo semplificare nella seguente:
1/8 (81n + 65)  la quale ci dice che un multiplo di 81 sommato a 65
deve essere divisibile per 8.
Con tutti gli n = k8-1 (con k intero positivo) trovo soluzioni e solo
quella con n=23 mi porta ad una soluzione con un numero di monete 
comprese tra 200 e 300 ovvero il numero 241 dichiarato da margravio.
CiaO,
Massimo

 comprese tra 200 e 300 ovvero il numero 241 dichiarato da margravio.
Ah ! Grazie Massimo, non avevo letto il range 200-300. L'enunciato era un 
po' lungo e ho tralasciato  tutta la storiella, leggendo solo la parte finale.