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Titolo: Problema da Archimede

Come al solito, vi propongo uno dei tre quesiti della rubrica "Archimede
Eureka", tratto dall'ultimo numero della rivista.
Due circonferenze c1 e c2 sono tangenti esternamente in un punto D e
sono tangenti internamente ad una terza circonferenza c nei punti E ed
F, rispettivamente (i punti D, E, F non sono allineati). Sia t la
tangente comune di c1 e c2 nel punto D, e sia AB il diametro di c
perpendicolare a t, con A dalla stessa parte di E rispetto a t.
Dimostrare che AE, BE, t concorrono in uno stesso punto.
Maurizio
-- 
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

 Dimostrare che AE, BE, t concorrono in uno stesso punto.
La geometria non è proprio il mio forte ma AE e BE non concorrono in
E? Se è così, facendo qualche disegnino mi pare che t non concorra mai
in E. Non è che volevi dire che la retta individuata da AE, con quella
individuata da BF, con la retta t, concorrono in uno stesso punto?

 individuata da BF, con la retta t, concorrono in uno stesso punto?
Ovviamente era cosě, refuso mio! Riporto di nuovo il testo corretto.
Due circonferenze c1 e c2 sono tangenti esternamente in un punto D e
sono tangenti internamente ad una terza circonferenza c nei punti E ed
F, rispettivamente (i punti D, E, F non sono allineati). Sia t la
tangente comune di c1 e c2 nel punto D, e sia AB il diametro di c
perpendicolare a t, con A dalla stessa parte di E rispetto a t.
Dimostrare che AE, BF, t concorrono in uno stesso punto.


 Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.
Ho provato a fare un tentativo di verifica analitica ma ci si perde,
ho fatto allora una verifica grafica.
Al seguente indirizzo è scaricabile l'immagine cerchi nei cerchi con
la dimostrazione,
http://mio.discoremoto.alice.it/deperme
Ciao,
Nick


Nel caso particolare che si può sempre vedere dalla figura, in cui i
due cerchi tangenti iniziali hanno diametro pari al raggio della
circonferenza tangente a tutte e due, il punto di intersenzione delle
tre rette va all'infinito essendo le tre rette parallele.
Cioè la rette che unisce le estremità del diametro della circonferenza
più grande con il puntio di tangenza di uno dei due cerchi più piccoli
degenera in un unico punto.
In attesa di una dimostrazione analitica da parte di qualche
volontario vi saluto,
Nick

 la dimostrazione
Ho visto la figura ma non la dimostrazione... Fra l'altro tu hai
disegnato la figura nel caso in cui la retta che passa per i centri di c
e c1 è parallela a t, che è un caso particolare.


 Dimostrare che AE, BF, t concorrono in uno stesso punto.
Ciao!
AE e' per. a EB perche' AEB e' inscritto in una semicirc.
BF e' perp. a AF perche' AFB e' inscritto in una semicirc.
Il punto di concorrenza di AE, BF, t e' quindi l'ortocentro del triangolo 
ADB. 

 triangolo ADB.
Ma perche' D e' allineato con AF e con EB?


Sia K il punto diametralmente opposto a D nella circonferenza c1.
Il triangolo KED e' retto in E, come il triangolo AEB, e ha KD // AB.
I due triangoli condividono inoltre la stessa mediana da E (perche' i centri 
di c1 e c sono allineati con E).
Quindi necessariamente D deve stare su EB (e K su AE).
Con un ragionamento simile si dimostra che D sta su AF. Ciao 

 wrote:

Bravissimo! Come al solito, la tua soluzione č piů elegante di quella
che avevo trovato io. 
Per dimostrare che D č l'intersezione di AF ed EB si puň anche
considerare l'omotetia di centro E che porta il dentro di c1 sul centro
di c, e l'analoga per c2. Ma č analogo al tuo ragionamento.
