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Titolo: Tris-3D

Questo credo sia abbastanza duro (anche se piu' semplice di quello
della bilancia a 4 piatti), quindi auguro buona fortuna a chi si
vorra' cimentare :-)
Tutti noi conosciamo il gioco del tris; supponiamo di poter giocare
a un tris tridimensionale formato da 3x3x3=27 caselle. Un tale
gioco sarebbe, ovviamente, a vantaggio di chi inizia (che ci
metterebbe poco a vincere tutte le partite). Impostiamo allora il
gioco in questo modo: dopo aver preso 27 bigliettini, scriviamo su
ciascuno un numero diverso da 1 a 27, e li mettiamo in una busta;
supponiamo inoltre di numerare le caselle del tris-3D da 1 a 27;
a turno ciascuno dei due giocatori pesca un bigliettino e, in
base al numero estratto, mette il proprio segno nella casella
corrispondente del tris-3D. Qualsiasi cosa accada i bigliettini
vengono estratti tutti. Alla fine se il giocatore che ha estratto
il primo biglietto ha realizzato almeno un tris vince (anche se il 
suo avversario ne ha realizzato a sua volta uno o piu'), altrimenti
vince il suo avversario (anche se non viene realizzato alcun tris).
Un tale gioco favorirebbe di piu' il giocatore 1 o il giocatore 2?
Con quali percentuali?
ciao Domenico

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Per capirci numeriamo i 3 piani del cubo cosi':
01 02 03    10 11 12    19 20 21
04 05 06    13 14 15    22 23 24
07 08 09    16 17 18    25 26 27
  alto        mezzo      basso  
 
Si puo' intanto dire che A, il primo giocatore avra' occupato 14 caselle
mentre B solo 13.
Ci sono 49 modi di fare filetto:
27 tris in linea    tipo 01,02,03 o 01,10,19...
18 tris diagonali 2D "   03,05,07 o 03,15,27...
 4 tris diagonali 3D "   01,14,27...
Non e' facile scegliere le 13 caselle per il giocatore B in modo da
"spezzare" tutti i possibili tris di A.
Ad una prima analisi, mi sembra che fondamentalmente ci sia un solo modo
con alcune varianti.
Prendendo 01,05,09  12,14,16  19,23,27 annullo tutti i tris diagonali ed
anche tutti quelli lineari che comprendono gli angoli, restano liberi
solo i 4 tris in verticale al centro delle facce. Nominandoli:
02,11,20  04,13,22  06,15,24  08,17,26 e dato che ho ancora 4 cubetti da
occupare posso annullarli scegliendo un numero in ciascun tris rimasto
libero. Contiamo in quanti modi puo' essere fatto.
Nell'esempio ho scelto le 3 diagonali verticalmente, c'e' una seconda
alternativa:
03,05,07  10,14,18  21,23,25. Questo puo' essere fatto nelle 3 direzioni
ortogonali del cubo. 6 modi in tutto.
I rimanenti 4 contrassegni, vanno ciascuno in una delle 3 caselle libere
dei 4 tris ancora possibili, 3^4=81 in tutto vi sono 6*81 = 486
disposizioni che annullano ogni allineamento di 3 per il giocatore A.
I modi di scegliere 13 numeri da 27 sono 20058300.
Se non mi sono sfuggite altre possibili disposizioni, la probabilita' di
vincere per B, dovrebbe essere 3/742900. 
Fammi sapere :)dario.

 a un tris tridimensionale formato da 3x3x3=27 caselle. 
Cercando di contare quanti tris ci sono in tale filetto, ho trovato un
modo generale che mi sembra astuto.
Quante sono le file di n in un filetto n*n*n ? Premesso che il problema
non presenta nessuna difficolta', consideriamo il nostro cubo nł chiuso
all'interno di un cubo (n+2)ł, allora ogni coppia di cubetti opposti
della conchiglia esterna localizza una ed una sola fila n. Cosi' il
totale di file e' dato da:
(n+2)ł-nł
---------
    2
Nel nostro caso (5ł-3ł)/2 = 49
:)dario

  alto        mezzo      basso  
Ci sono altre combinazioni per cui il giocatore A non realizza il
tris; per esempio se le caselle di B sono:
01,03,05,08,11,14,15,16,19,22,25,26,27 (e ce ne sono anche molte
altre)
Complimenti per il metodo generale trovato nel tuo secondo post :)
ciao Domenico

 tris.
Allora mi sa che sia dura.
Ho pensato a diverse vie di attacco, ma tutte si infilano in labirinti
complicati.
Spero tu abbia enumerato le disposizioni valide per B in modo ragionato,
senza ricorrere a programmi.
Con la forza bruta non c'e' soddisfazione.
Ci penso ancora. 
ciao dario