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Titolo: 4 Enigmi

Tra una pausa e l'altra mi sono venuti in mente questi 4 enigmi; i
primi tre sono delle varianti del noto gioco delle tre porte.
1) In un gioco a premi vengono scritti a caso su tre fogli, tre numeri
diversi; i fogli vengono poi piegati e riposti in tre buste, A, B e C.
Per vincere il premio bisogna prendere la busta col numero piu' alto.
E' noto che il presentatore del gioco, dopo che il concorrente ha
fatto la sua scelta, se questi non ha scelto la busta col numero iu'
basso, da un aiuto al concorrente mostrandogli una delle due buste
rimaste che contiene un numero piu' piccolo della sua (se il
concorrente avesse scelto la busta col numero piu' alto si sa che il
presentatore prenderebbe a caso una delle altre due buste mostrandola
al concorrente); a questo punto il presentatore chiede al concorrente
se vuole cambiare busta.
Ora il concorrente sceglie la busta A e il presentatore indica la
busta B dicendo che contiene un numero minore rispetto alla A.
Qual e' la scelta piu' conveniente per il concorrente?
2) Come 1) solo che in questo caso si sa che il presentatore, nel caso
in cui il concorrente abbia scelto la busta col numero piu' alto,
anziche' mostrare a caso una delle altre due buste, mostra quella che
ha una lettere precedente (mi spiego: se il concorrente sceglie la B,
e nelle altre due c'e' un numero inferiore, il presentatore mostra la
A).
Ora, il concorrente sceglie la busta A e il presentatore indica la B
dicendo che contiene un numero minore rispetto ad A.
Qual e' la scelta piu' conveniente per il concorrente?
3) Come 1) solo che in questo caso il presentatore indica, tra le due
buste non scelte, quella che contiene il numero inferiore (in questo
caso anche se il concorrente ha scelto inizialmente la busta col
numero piu' piccolo).
Ora, il concorrente sceglie la A e il presentatore dice che tra la B e
la C, la B contiene il numero piu' piccolo.
Qual e' la scelta piu' conveniente per il concorrente?
4) Passiamo a qualcosa di piu' tosto :) 
Un uomo ha un normale dado a sei facce e due dadi vuoti (cioe' senza
alcun numero inciso nelle sei facce). Tira sei volte il dado normale e
ad ogni lancio incide su una delle facce non incise del primo dado
vuoto il numero fatto col dado. Ripete la stessa operazione col
secondo dado vuoto. Infine mette i due dadi in un'urna. Chiama dunque
un amico e spiega il procedimento usato per incidere i due dadi, ma
non rivela i numeri incisi. Ciede poi all'amico di pescare uno dei due
dadi e di guardare soltanto la faccia superiore, e quindi riporlo
nell'urna. Seguite le istruzioni l'uomo chiede all'amico:
"Con le informazioni che hai, qual e' la probabilita' che pescando
nuovamente a caso uno dei due dadi, la sua faccia superiore abbia lo
stesso numero? "
buon divertimento :)
ciao Domenico

 [...]
Saltiamo direttamente al più tosto ;-)
E' equivalente a quanto descritto, avere nell'urna un unico ipotetico
dado a 12 facce, ognuna riempita col numero ottenuto lanciando il dado
ordinario a 6 facce, come prescritto.
Pescando 2 volte a caso nell'urna, o, equivalentemente, lanciando 2
volte il dado a 12 facce predetto, si ottengono 2 numeri uguali se:
A - si estrae 2 volte la stessa faccia;
OPPURE
se si verificano congiuntamente i 2 eventi indipendenti:
B1 - si estraggono 2 facce diverse;
B2 - su ognuna di tali facce è inciso lo stesso numero.
Allora, l'evento A ha probabilità 1/12, come è evidente, e quindi
l'evento B1 ha probabilità 11/12.
L'evento B2, considerando come è stato costruito il dado a 12 facce, ha
semplicemente la stessa probabilità di ottenere lo stesso numero
lanciando 2 volte un dado a 6 facce, ossia 1/6.
Quindi la probabilità richiesta è pari a:
P(A) + P(B1)*P(B2) = 1/12 + 11/12 * 1/6 =~ 23.6%
Bell'enigma, complimenti a Domenico (molto meglio di quello del
solitario ;-)
Ciao, Emanuele.

4) Passiamo a qualcosa di piu' tosto :)
Ho trovato la probabilita' di 17/72=0.2361.. (la stessa trovata da
Emanuele), con questo ragionamento
al secondo tentativo pesco lo stesso dado e la stessa faccia del primo
p=1/2*1/6 (e ovviamente ho lo stesso numero p=1)
oppure
pesco un'altra faccia (stesso o diverso dado) p=11/12 su cui e' inciso lo
stesso numero del primo tentativo p=1/6
quindi
p=1/2*1/6*1+11/12*1/6=17/72
Pero' mi sorge un forte dubbio, dovuto al fatto che dichiari il problema
"tosto", mentre l'ho trovato anche troppo semplice:
_non avro' per caso trascurato qualcosa di fondamentale?
In pratica, dopo aver dato la soluzione, mi sono posto questa domanda:
_E' corretto considerare la probabilita' dei 6 numeri sulle 12 facce  (o
sulle 11 differenti da quella scoperta per prima) ripartita in modo
uniforme? Oppure, il fatto che ho pescato per primo un certo numero, non
potrebbe farmi ritenere che quel numero si presenti con una frequenza
maggiore?
Quando ho lanciato il dado per 12 volte, posso aver ottenuto svariate
combinazioni dei sei numeri, la piu' probabile e' certamente due occorrenze
per ciascun numero, ma ne esistono altre con combinazioni diverse, e con
diverse probabilita' a priori. Pero', a posteriori, le probabilita' delle
varie combinazioni potrebbero (forse) essere differenti. Per esempio, detto
x il numero scoperto al primo tentativo, devo escludere dalle combinazioni
possibili tutte quelle che non contengono nessun valore x. Posso considerare
le probabilita' di tre x, quattro x ecc, maggiori di quelle a priori?
 Per il momento non so se questo dubbio sia ragionevole, aspetto conferme o
smentite.
ciao
paolo

Innanzitutto mi scuso se non ho risposto subito, ma ieri sono stato
tutto il tempo in macchina (12 ore di viaggio, ancora sudo).
Complimenti per la soluzione originale :)
Per quanto riguarda poi i dubbi di Paolo hai risposto perfettamente
gia' tu, non ho nulla da aggiungere, posso solo dire di essere
d'accordo (diciamo che non sono perfettamente riuscito nell'intento di
trarvi in inganno).
Per un mesetto saro' in vacanza, e forse non potro' frequentare
assiduamente il ng, ma avro' piu' tempo per pensare a qualche enigma
che vi faccia temperare la matita almeno un paio di volte ;-)
ciao Domenico