Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: (MA) Il duello matto

Purtroppo le mie nozioni matematiche non mi consentono spunti di
particolare interesse, pero' nell' intento di non frammentare il
Newsgroup in due tronconi distinti (enigmisti e matematici) ecco un
problemino classico rielaborato (Vedi Gardner:"Enigmi e giochi
matematici 2") che mi auguro incuriosisca anche i non matematici.
Devo premettere per dovere che nel tentativo la soluzione corretta mi
si e' fuso il cervello dopo non molto, pero' il problema mi sembra
intrigante e non dubito che su questo NG ci sia gente in grado di
risolverlo.
Eventualmente proporrei di trovare varianti anche piu' interessanti e
divertenti
Quattro pistoleri si affrontano in un duello. Essi potranno sparare a
turno contro l' avversario che desiderano o potranno anche rinunciare
al loro turno, pero' per questo si vedano le singole caratteristiche.
1 Joe il terribile = colpisce il bersaglio il 100% delle volte, il
problema e' che spara contro uno dei suoi avversari scelto a caso ,
anche su uno gia' morto (non so se sia un coglione o un sadico ;). Non
rinuncia mai al suo colpo
2 Bob il duro  =  colpisce il bersaglio l' 80% delle volte e spara
sempre contro l' ultimo che ha sparato. Se a lui tocca il primo turno
o comunque ancora nessuno ha sparato rinuncia a sparare (e lo fa solo
in questo caso)
3 Valdez il monco = colpisce il bersaglio il 50% delle volte e spara
sempre contro il tiratore piu' preciso rimasto in vita. Non rinuncia
mai a sparare
4 Mike la volpe = e' un furbo di tre cotte, un logico perfetto,
sceglie sempre l' azione che via via gli garantice maggiori
probabilita' di sopravvivere ed e' per questo che e' riuscito a
campare fino ad adesso, in quanto colpice il suo bersaglio soltanto il
40% delle volte
I pistoleri sono disposti su una circonferenza, facciamo finta che si
tratti di un orologio
Alle ore 12 c' e'  Joe
Alle 3  c'e'  Bob
Alle 6 c' e'  Valdez
Alle 9 c' e' Mike
I turni sono in senso orario e a Mike tocca il primo colpo (poi Joe,
poi Bob, poi Valdez). Cosa decide di fare?
ciao
fulvio

 Quattro pistoleri si affrontano in un duello.
:-)
--
Luca
--------------------------------
Inviato via 
http://usenet.libero.it

 > Quattro pistoleri si affrontano in un duello.
Pardon  quadriello!
fulvio

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:-))
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Spoiler
La prima mossa di M e` che non attacca nessuno.
Tira J che uccide al 100% e si ha: 
a)	JBV	33,3  fine.
b)	JBM	33,3
c)	JVM	33,3
b) tira B contro J e uccide all'80%
b1)	BM	26,6  M tira contro B
b2)	JBM	 6,6  M tira contro nessuno
c) tira V contro J e uccide asl 50%
c1)	VM	16,6  M tira contro V
c2)	JVM	16,6  M tira contro nessuno
A questo punto si dovrebbe ripetere l'analisi.. io mollo:-)
-- 
Ciao,		| Attenzione! campo "Reply-To:" alterato ;^)
Remigio Zedda	| E-mail: 
remi...@tiscali.it
 
	-- Linux 2.4.18 su Debian GNU/Linux 3.0 "Woody"

"rez" <r...@rez.localhost> ha scritto nel messaggio
news:slrnb74m...@m300a.mizar...


Ehm e' un casino pazzesco... :-)))... ho creato un mostro :-)
Ti ringrazio per aver analizzato il tutto, il fatto e' che mi ha
sempre affascinato moltissimo questo problema di Gardner (o di chi per
lui) e prima o poi studiero' una variante fattibile e divertente
ciao
fulvio

 ha scritto nel messaggio
news:98tca.59555$pG1.1...@news1.tin.it...

Vorrei capire una cosa, ma i turni si ripetono all'infinito finchè non ne
rimane in vita uno solo?
Perchè in caso contrario mi sembra logica come soluzione quella presentata
Salutamm

 Perchč in caso contrario mi sembra logica come soluzione quella
presentata
In effetti sono appena tornato da Dodge City dove ho trovato Joe il
terribile che continuava a colpire il povero Bob (stramazzato al primo
round!) ad ogni suo turno edi il monco che continuava a sbagliare
mira, entrambi sotto gli occhi beati di Mike che si fumava un sigaro e
non aveva ancora estratto la pistola dalla fondina. Mi pare che
potrebbero averne ancora per molto :-)
Comunque come ho detto dopo un po' di calcoli mi sono arreso nel
cercare di valutare le probabilita' di ciascuno di uscirne vivo. I
miei calcoli si fermano al terzo colpo dove , se non ho toppato
abbiamo le seguenti probabilita' di trovare in vita:
J=28,33%
B=47,11%
V=86,66%
M=56,11%
(NB: ho arrotondato ma sono tutti periodici al primo decimale, curioso
no?)
Naturalmente le probabilita' totali sono superiori al 100% perche'
come detto c'e' ancora gente viva dopo il terzo colpo (senza contare
quelli di M che non spara).
La situazione pero' e' ingannevole riguardo all' esito finale:
dopo il quarto colpo (qui non ho calcolato le probabilita' di
sopravvivenza di ciascuno)  abbiamo 9 possibili finali e 14 situazioni
sospese.  Considerando solo le 9 situazioni in cui uno solo resta vivo
si ha
J= mai
B=4
V=2
M=3
Sembra strano che  J non possa uscire vincitore dopo 4 colpi ma e'
cosi' se ci si pensa bene: a questo punto lui, in tutte le possibili
situazioni ha sparato al massimo 2 volte e nel migliore dei casi ha
fatto fuori solo 2 avversari. B e V invece non si sparano mai a
vicenda a meno di non essere rimasti in 2 e dunque sparano (anche se
per diversi motivi) sempre a J, visto che  M sta li' ad attendere. Il
fatto piu' curioso e' che le probabilita' di sopravvivenza di B sono
le piu' basse dopo tre colpi sparati ma in caso di conclusione della
faccenda entro i suddetti 4 colpi e' lo stesso B ad avere piu' esiti
favorevoli. Chi fosse stato cosi' masochista da appassionarsi alla
faccenda (come il sottoscritto) potrebbe tentare di abbozzare la
migliore strategia per M nel caso si trovi a dover decidere di sparare
o meno contro J e V (morto B). Il caso mi si presenta al terzo colpo
ed ho fatto rinunciare M, ma non sono convinto sia necessariamente la
strategia migliore: J come sappiamo spara a caso e colpisce sempre
qualcuno (vivo o morto che sia), mentre V spara sempre contro il piu'
preciso in vita (ossia J in tal caso). Dunque per M sarebbe
preferibile trovarsi all' ultimo duello con J anziche' V perche' in
effetti J lo puo' colpire solo una volta su 3 mentre in un faccia a
faccia finale V gli sparerebbe senz' altro con il 50% di probabilita'
di beccarlo.
In conclusione una tattica non disprezzabile (e secondo me puo' valere
fin dall' inizio) per il nostro M potrebbe essere quella di sparare
(finche' J e' in vita, non quando J e' morto altrimenti B sparerebbe a
lui in quanto ultimo a sparare) contro B o V. Se muore J naturalmente
sta fermo in quanto gli altri due si spareranno tra loro
e lui avra' bene o male un 40% subito come primo colpo nel duello
finale.
ciao, spero davvero che il gioco sia piaciuto a qualcuno e mi attendo
qualche variante migliore della mia da chi e' in grado di elaborarla
(la mia e' un po' casuale)
fulvio

 poi Bob, poi Valdez). Cosa decide di fare?
spoiler
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M spara a B, per avere la massima probabilità di salvezza:
Infatti se:
spara a J=> 29087/121275 = 23.98%
spara a B=> 130441/363825= 35.85%
spara a V=> 8441/24255   = 34.80%
rinuncia => 24047/72765  = 33.05%
Conviene procedere dalla fine: supponiamo che siano rimasti solo M e un
altro fra J,B,V ; è chiaro che i due si spareranno a vicenda, finché non ne
resta uno solo: rinunciare al proprio tiro è sempre sfavorevole.
Allora con un po' di serie geometriche si trovano le probabilità di M a
partire da tutte le possibili coppie:
MJ=2/3
MB=5/11
MV=4/7
JM=4/9
BM=1/11
VM=2/7
(E' meglio se le controllate!)
Da qui si passa ad analizzare le possibili terne:
es. MJB
Se rinuncia: MJB=JBM
Se spara a J: MJB=0.4*BM+0.6*JBM
Se spara a B: MJB=0.4*JM+0.6*JBM
ove JBM=1/3*MJ+1/3*BMJ
Se si verifica BMJ, secondo le regole B deve sparare a J
allora BMJ=0.8*MB+0.2*MJB
Sostituendo otteniamo per ciascuno dei tre casi un'equazione ove compare
solo MJB.
Vediamo quale dei tre casi fornisce il valore più grande
e quello indicherà la strategia migliore.
Risulta: MJB=107/231 se M spara a B.
Si trovano analogamente le altre terne:
MJV=220/441 se M spara a V
MBV=36/77   se M rinuncia
VMB=40/77
VMJ=236/441
JVM=530/1323
BVM(con B che spara a M)=8/77
BVM(con B che spara a V)=36/77
VMB=40/77
JBM=1297/3465
BMJ(con B che spara a J)=527/1155
JBVM=24047/72765
A meno di errori di calcolo, il metodo è quello giusto...
Molto carino, questo problema!
Ciao
Andrea

rinuncia => 24047/72765  = 33.05%
Faccio una cosa che non dovrei fare: parlo senza leggere il
resto:-(  E me ne scuso, ma mi manca il tempo.
A me, anche se superficialmente, B faceva comodo tenerlo in
vita.. perche' mi facesse fuori il micidiale J. Ci hai pensato? 


 vita.. perche' mi facesse fuori il micidiale J. Ci hai pensato?
Pensavo pure io cosi' all' inizio poi durante i calcoli mi sono
accorto che probabilmente si doveva sparare a B o a V , leggi se vuoi
verso la fine della pappardella che ho scritto ieri... Di sicuro c' e'
che M non deve mai sparare a J fino all' 1 contro 1 finale (e i
calcoli di Andrea lo confermano) in quanto cosi' tiene impegnati gli
altri due contro lo stesso J...
ciao
fulvio

 altri due contro lo stesso J...
Cavoli e` complicatino.. appena c'ho tempo mi dedico, se nessuno
l'ha gia` fatto.
Si`, in effetti J non fa mica tanta paura: spara sempre anche ai
morti!


rez, guarda un po' cosa mi appare negli headers del tuo messaggio:
charset=iso-8859-5
che è cirillico. Infatti OE mi chiede di installare un set di caratteri
adeguato.
Controlla il tuo news reader per favore.
--
Ciao, Silv:o)

 .
=-=-=-=-=-=-=-=-=-=- cut here =-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-
E dunque anche ora ci sara` il cirillico, a meno che.. ora provo a
togliere il charset a mano..
Ciao e grazie!


"fulvio" ha scritto:

La strategia di Mike consiste nell'agire in modo che la sua probabilità
di sopravvivenza sia massima (cfr. enunciato).
Occorre, pertanto, fare alcune osservazioni preliminari:
1. Nonostante Joe sia il tiratore più preciso, ogni volta che è il suo turno
c'è il 33.3 % di probabilità che spari contro Mike e che quindi lo uccida.
Rappresenta dunque il tiratore "meno pericoloso" per l'incolumità di Mike.
2. Finchè Joe è in vita, egli sarà bersagliato sia da Bob (che spara sempre
contro l'ultimo che ha sparato) e sia da Valdez (che spara sempre contro
il tiratore più preciso rimasto in vita).
3. Se dopo diversi scontri restano solamente Mike e Bob, è il turno di Bob
e Mike non è stato l'ultimo a sparare, allora sono entrambi salvi, poichè
Bob
sparerà ad oltranza contro l'ultimo che ha sparato in precedenza
(riducendolo
ad un colabrodo! ;-) e Mike, da grande opportunista, si fa i fatti suoi...
Per risolvere questo problema, occorre considerare l'albero delle decisioni
ed
analizzare tutti gli eventi che possono verificarsi, compatibilmente con le
carat-
teristiche dei singoli "attori".
[omissis]
Secondo i miei farraginosi ed estenuanti calcoli, ecco la probabilità di
sopravvivenza di Mike in ogni possibile scenario:
SCENARIO            PROB. DI SOPRAVV. (%)
M non spara............................36.8
M spara J................................32.5
M spara B...............................37.5
M spara V...............................42.9
Pertanto, salvo errori ed omissioni, Mike dovrebbe colpire Valdez,
azione che gli garantirebbe la max prob. di sopravvivenza (42.9 %).

 azione che gli garantirebbe la max prob. di sopravvivenza (42.9 %).
Ci credo sicuramente sulla fiducia e d' altronde rafforza la
convinzione che ci si era fatta che fosse preferibile sparare a B o V
anziche' star fermo. Confrontiamo un attimo i risultati con la tabella
che elaborai per le probabilita' di ciascuno di sopravvivere dopo il
terzo colpo sparato
J=28,33%
B=47,11%
V=86,66%
M=56,11%
( NB-in questa tabella si ipotizzava che M non sparasse mai fino a
quel punto)
Ecco che ragionando senza numeri di mezzo, ma solo con la logica
intuitiva, si capisce che V e' il cliente piu' pericoloso per M
proprio perche' ha le probabilita' maggiori di sopravvivere 3 turni ed
in caso di 1 contro 1 con M gli sparera' sicuramente, cosa che come
hai rilevato potrebbe non accadere se M si trovasse di fronte B.
Dunque V e' il primo bersaglio e nel caso venga colpito le
probabilita' di sopravvivere di M saranno legate solo a quanto
sopravvivera' J  (che e' ormai l' unico che puo' ucciderlo e che pero'
sara' bersaglio di B)
ciao, grazie per l' interessante analisi
fulvio

M spara V............................42.9
Da me a M gli arriva da fare il II tiro con questa situazione:
Da me, su 100 volte che giocano:
M passa	vince 17.2	muore 20,4
M a B	vince 18,3	muore 22,3
M a V	vince 20	muore 18,5
M a J	e` perdente a occhio (gia` piu` del 50% muore subito)
Il resto a 100 delle volte, gli torna il giro per il II tiro.
Dunque dovremmo essere in accordo che deve tirare a V.
Invece mi dispiace che la prima volta avevo, a sentimento, visto
male pensando dovesse passare.
N.B. Lo scenario puo` pero` capovolgersi quando si va ad analizzare
il II turno. Per vederlo bisogna considerare come sono i vari
accoppiamenti e le rispettive percentuali nei tre casi.
Ce le ho, ma le postero` domani che ora e` tardi. Possono servire..


 di sopravvivenza (42.9 %).
Non mi torna, ma potrei aver sbagliato io: hai dato un'occhiata alla
soluzione che ho inviato qualche giorno fa? Oppure scrivi qualche dettaglio
sul procedimento che hai seguito.
Grazie
Ciao
Andrea

 ancora vivo, dando luogo a una contraddizione.
Perchè?
Metti che ci siano Mike Bob e Joe vivi e tocca a Joe (questa situazione si
può subito presentare se Mike spara a Valdez uccidendolo.
Metti che adesso Joe spara a Valdez (anche se è già morto).
Allora Bob sparerà a Joe e se lo uccide saremo nella situazione di cui
parlava Antonio.
Ho fatto dei calcoli x approssimazione (non ho perso tempo a trovare le
percentuali corrette) e anche a me risulta che a Mike conviene sparare a
Valdez al primo turno.
ciao

 ancora vivo, dando luogo a una contraddizione.
Non e' detto: potevano essere rimasti in 3 e Mike non aver mai
sparato, B uccide J eJ resterebbe comunque l' ultimo ad aver sparato.
Sic! Non avevo specificato che B dovesse sparare ad un vivo (avevo
fatto lo stesso tuo ragionamento) quindi Mike sta fermo , B continua a
sparare sul cadavere di J e vivono tutti e 2 felici e contenti
ciao
fulvio

 Grazie
Mi dispiace, ma la tua soluzione non l'ho ricevuta!
Potresti gentilmente ripostarla? Per i dettagli scriverò qualcosa
non appena mi sarà possibile.
Ciao a tutti
Antonio

 effetti destinato a divenire un colabrodo.
In tal caso, l'ultimo ad aver sparato è proprio Bob, che
quindi deve suicidarsi! :-)
Ad. es. M uccide V, J spara ancora su V, B uccide J,
se M ora rinuncia non è chiaro a chi debba sparare B.
Secondo il testo dovrebbe spararsi da solo, secondo voi
dovrebbe insistere su J, però allora il gioco può durare in eterno finché M
rinuncia a sparare: in genere è meglio evitare di formulare un problema che
possa dar luogo a casi simili, boh...
Ciao
Andrea

 non appena mi sarà possibile.
Eccola:
M spara a B, per avere la massima probabilità di salvezza:
Infatti se:
spara a J=> 29087/121275 = 23.98%
spara a B=> 130441/363825= 35.85%
spara a V=> 8441/24255   = 34.80%
rinuncia => 24047/72765  = 33.05%
Conviene procedere dalla fine: supponiamo che siano rimasti solo M e un
altro fra J,B,V ; è chiaro che i due si spareranno a vicenda, finché non ne
resta uno solo: rinunciare al proprio tiro è sempre sfavorevole.
[In questo caso considero che se restano solo B e M, B spari a M, evitando
il problema di cui sopra]
Allora con un po' di serie geometriche si trovano le probabilità di M a
partire da tutte le possibili coppie:
MJ=2/3
MB=5/11
MV=4/7
JM=4/9
BM=1/11
VM=2/7
Da qui si passa ad analizzare le possibili terne:



E infine otteniamo il valore cercato MJBV, che è quello riportato
all'inizio.
Ciao
Andrea

 Risulta: MJB=107/231 se M spara a B.
Ho usato anch'io le stesse equazioni ed il caso più favorevole è quando
M spara a B, però io ottengo MJB = 475/1188.
Anche gli altri valori sono leggermente diversi, ma la conclusione che M
deve sparare a B rimane valida.
Maurizio

 sara' bersaglio di B)
Senza numeri di mezzo? In questo problema, anche solo per azzardare
un'ipotesi, occorre quantomeno valutare la probabilità di sopravvivenza
nel caso di "duello a due" (cfr. sopra). Infatti, se ne calcoliamo la media,
svincolandoci così dall'ordine di sparo, si ottiene:
pMJ_JM = (pMJ + pJM) / 2 = (0.666 + 0.444) / 2 = 0.555 = 55.5 %
pMB_BM = (pMB + pBM) / 2 = (1 + 1) / 2 = 1 = 100 %
pMV_VM = (pMV + pVM) / 2 = (0.571 + 0.285) / 2 = 0.428 = 42.8 %
da cui si potrebbe dedurre che V sia il cliente più pericoloso per M.
Calcolare la media equivale cmq a considerare i due eventi equiprobabili,
il che non è neanche corretto in quanto il presentarsi, ad es., di MJ o di
JM è notevolmente condizionato dall'esito degli scontri precedenti.
Ciao a tutti.
Antonio

 > SCENARIO            PROB. DI SOPRAVV. (%)
1 > M non spara............................30.2
2 > M spara J................................18.4
3 > M spara B...............................33.5<<<<<<<<<
4 > M spara V...............................32.6
Le mie conclusioni sono le stesse, anche se i risultati numerici sono
UN BEL PO' diversi. I risultati ovviamente sono approssimati allo
0.1 %, in quanto ci serve solo un'ordine di grandezza per risolvere
il problema. E poi la mia calcolatrice non tollera molto le frazioni ;-)
Ciao a tutti
Antonio

 duellanti dovrebbe essere pari ad 1?
Come ho gia' detto questo era una risultato parziale, ossia dopo il
terzo colpo (nell' ormai famoso albero delle probabilita'). A questo
punto ci sono ancora molti rami aperti (ossia con piu' di un
sopravvissuto) e nel primo post di analisi che inviai si diceva in
effetti che solo 8 (mi pare) erano i rami con un solo sopravvissuto e
dunque di fine duello. D' altronde come si vede le probabilita' di V a
quel punto sono altissime, non ho piu' sottomano gli appunti, ma cosi'
ad occhio siamo in una fase in cui sui rami dove J e' stato ucciso da
B (e le probabilita' sono alte) V ha appena sparato allo stesso B ed
il prossimo colpo sara' indirizzato da B verso di lui, dunque al
quarto colpo le probabilita' di V di esser vivo scenderanno
drasticamente, mentre quelle di B resteranno pressoche' immutate
(salvo laddove J e' vivo, che come si e' detto e' una bassa
probabilita').Il tutto naturalmente considerando M spettatore fino al
duello finale.
ciao
fulvio

 possa dar luogo a casi simili, boh...
Hai pienamente ragione, come ho gia' detto non avevo considerato la
possibilita' che l' ultimo a sparare potesse essere morto, credo che
la miglior cosa (visto che ormai il problema l' ho infelicemente
partorito in questo modo e stravorgerlo mi pare oltretutto
sadomasochistico :-) sia assumere come e' stato fatto oggi che "spara
all' ultimo che ha sparato tuttora in vita"
ciao
fulvio

VM=2/7
-- 


 UN BEL PO' diversi.
Ma nell'altro post davi numeri completamente diversi, o sbaglio?
Allora do anch'io i numeri :-)
    SCENARIO               PROB. DI SOPRAVV. (%)
 1  M non spara..............................31.1
 2  M spara J................................22.8
 3  M spara B................................34.1
 4  M spara V................................33.5
Chi di noi tre avrà ragione? Comunque, tutti concordiamo nel dire che M
deve sparare a B, quindi...
Maurizio

  4  M spara V..............................33.5
Vediamo ora chi dà i numeri ;-)
Ciao a tutti
Antonio

 Maurizio
Quando nell'altro post dicevi che MJB = 475/1188
invece che il mio 107/231 avevi ragione, quindi se i tuoi risultati si
basano sugli stessi conti che avevo fatto io, solo coi numeri corretti,
direi che concordo con te, senza stare i rivedere i calcoli!
Ora sarebbe da generalizzare a N persone, con probabilità di colpire
p1,p2...,pn ma mi sa di molto laborioso!
Ciao
Andrea