Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Circonferenze

Date 3 circonferenze qualsiasi disposte come in figura,
               O   o                            (N.B. 2 circonferenze hanno
la stessa dimensione solo a causa
                                                             delle limitate
possibilità della e-mail ma vanno considerate
                  O                                        di forma
qualunque e le distanze tra le stesse sono casuali)
dire qual'è il numero di circonferenze del piano che sono tangenti a tutte e
3.
Qual'è la disposizione di 3 circonferenze tale che il numero di
circonferenze tangenti sia massimo? e minimo?


SPOILER
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
Se i centri delle circonferenze sono allineati non esiste nessuna
circonferenza tangente.
Altrimenti considero il triangolo i cui vertici siano i centri delle tre
circonferenze, traccio le rette prolungamento delle tre mediane del
triangolo le quali intersecheranno in 2 punti diametralmente opposti
ogni circonferenza: la terna "interna" e la terna "esterna" di tali
punti individueranno 2 circonferenze tangenti alle 3 date (per qualsiasi
terna di punti nel piano passa 1 ed 1 sola circonferenza).
Purtroppo non so dare uno straccio di dimostrazione....
Ciao, Alberto
Sent via Deja.com 
http://www.deja.com/
Before you buy.

circonferenze tangenti sia massimo? e minimo?
spoiler
v
v
v
v
v
v
v
.    O      o
.       o
Se ciascuna delle tre circonferenze e' esterna alle altre
due, come nel disegno, comincio tracciando una retta
tangente alle due circonferenze in alto.
La retta puo' essere considerata come una circonferenza di
raggio infinito; se la deformo, piegandola verso il basso e
aumentandone gradualmente la curvatura, ottengo una famiglia
di infinite circonferenze tangenti alle prime due; una di
queste tocchera' *da sopra* la terza circonferenza, un'altra
la tocchera' *da sotto*: ho quindi ottenuto due
circonferenze tangenti alle tre date, una di queste e'
esterna alla circonferenza in basso, l'altra la contiene.
Dal momento che esistono quattro rette tangenti alle prime
due circonferenze, nel caso esaminato posso ottenere 8
circonferenze tangenti alla tre date.
Anche nel caso che le tre circonferenze date si intersechino
vicendevolmente, si vede che esistono otto circonferenze
tangenti a tutte e tre, una che le ingloba tutte, ed una in
ciascuna delle sette aree interne alla figura.
Credo che otto sia il massimo. Per il minimo e' facile:
zero, per esempio se le tre circonferenze sono concentriche,
o comunque la seconda interna alla prima e la terza interna
alla seconda o esterna a entrambe.
ciao
paolo

 Credo che otto sia il massimo. 
Difatti. E' un classico dell'antichita' risolto da Apollonio in
Tangencies.
:) dario

Studindo il problema di GaS m'e' venuto un dubbio:
Date due circonferenze qualsiasi, qual e' il luogo geometrico descritto dal
centro di una circonferenza che sia tangente alle prime due (diciamo
esternamente a entrambe, ma non dovrebbe cambiare molto per la tangente
interna o quelle miste, una dentro ed una fuori)
Ciao, Silv:o)

...

Una proprieta' dell'iperbole e' che per ogni suo punto P e'
costante la differenza delle distanze da due punti F1 ed F2
(fuochi dell'iperbole)
Considera due circonferenze di raggio R1 ed R2, con centri
nei punti F1 ed F2, ed una circonferenza generica tangente
esternamente ad entrambe, di raggio R e centro nel punto P.
Le distanze PF1 e PF2 valgono rispettivamente R+R1 ed R+R2,
quindi la differenza tra le due distanze e' costante
(indipendente da R)
PF1-PF2=R1-R2
Il luogo geometrico e' quindi un'iperbole. Credo che, con
poche modifiche, il ragionamento si possa adattare a
tangenti interne o miste.
ciao
paolo