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Titolo: Piccolo problema di tassellazione con polimini

Salve a tutti,
mentre venerdi passavo 9 gioiose ore sul treno che da Roma
mi portava a Pisa, mi e' venuto in mente questo problemino.
E' ben noto che molti polimiini tassellano il piano.
Un polimino tassella il piano se fissato un quadrato
di lato arbitrario lo posso coprire tutto (l'importante e'
che non rimangano "buchi" nel quadrato, mentre posso
"strabordare").
Altra cosa nota e' che dato un polimino, se io
provo a ruotarlo e specchiarlo negli 8 modi possibili
otterro' 1,2,4 o 8 figure diverse. Per esempio il domino
puo' essere messo in 2 modi, mentre la L dei pentamini in 8.
Quello  che allora mi chiedo, dato un polimino, e' se esiste una
tassellazione del piano che usa (almeno 1 volta) tutte le sue
possibili "incarnazioni".
Come esempio, ecco una tassellazione con le 4 versioni
del pentamino U:
http://www.iread.it/Poly/tiling-U5.png
ciao,
g.

 possibili "incarnazioni".
Ciao Giovanni,
io comincerei con ordine:
 - se un polimino tassella un quadrato allora ha soluzioni abbastanza
banali: basta prendere n copie speculari del quadrato "tassellato" e
tassellarci il piano. Ci siamo così smarcati il domino, i 2 trimini, 4
dei 5 tetramini (manca la N) e 4 dei 12 pentamini (I, L, P e Y)
Il tetramino che rimane ha n=4 copie "speculari" e può tassellare il
piano utilizzando tutte le possibili copie, ad esempio nella maniera
seguente:
http://img843.imageshack.us/i/tetraminon.png/
Vediamo i pentamini che mancano:
la X tassella il piano e non ha copie speculari, soluzione trovata :-)
Quello che però è comodo della X è che la sua soluzione può essere
utilizzata per soluzione di altri pentamini semplicemente duplicando
la X e ricoprendola con 4 altri pentamini, in questo modo abbiamo
soluzioni per la Z e la V:
http://img513.imageshack.us/i/pentaminivz.png/
La N può essere fatta in maniera analoga a quanto visto per il
tetramino corrispondente.
La U è già fatta da Giovanni e quindi rimangono F, T e W (oltre
naturalmente ai polimini di ordine superiore...).
A dopo (spero) per altre soluzioni :-)
Ciao,
GaS

 naturalmente ai polimini di ordine superiore...).
Pentamino F:
http://img703.imageshack.us/img703/2299/tf5.png
Mauro


T
http://img135.imageshack.us/i/86020539.jpg/
-- 
Silv:o) 


E allora finiamo i pentamini con W e T:
http://img641.imageshack.us/f/pentaminitw.png/
Ciao,
GaS

 
http://img641.imageshack.us/f/pentaminitw.png/
Ormai il W l'avevo pubblicato, non sprechiamo lo spazio gratis di imageshack 
:)
http://img543.imageshack.us/i/73630671.png/
-- 
Silv:o) 

 GaS
Mmmm... quindi sorge spontanea la congettura che
tutti i polimini che tassellano il piano lo possono fare
anche con la presenza contemporanea delle 8 R&R.
Beh, tutti gli esamini tassellano il piano:
http://en.wikipedia.org/wiki/File:All_35_free_hexominoes.svg
Se troviamo tutte le soluzioni, la congettura potrebbe
prendere consistenza. Se invece troviamo un polimino
che tassella il piano ma non con le 8 R&R, mandiamo
all'aria la congettura
Ciao
Livio

 all'aria la congettura
Penso che la congettura si smonti abbastanza facilmente: immaginati un
quadrato 5x5, togli il quadrato centrale della fila sotto e aggiungi
un quadrato al centro sopra la fila sopra:
     _
 _ _|_|_ _
|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|
|_|_|_|_|_|
|_|_| |_|_|
Sicuramente tassella il piano ma solo utilizzando un massimo di due
delle 4 copie possibili, ti torna?
Ciao,
GaS


Smontata!  :o)
Ciao GaS!
Livio

 dei 5 tetramini (manca la N) e 4 dei 12 pentamini (I, L, P e Y)
Non corriamo. :-)
Il tiling che si ottiene in questo modo per il pentamino Y e'
altamente insoddisfacente. in quanto il piu' piccolo rettangolo
che si puo tassellare con Y e' il 5 x 10 e non contiene neanche tutte
le 8 Y.
Dovrebbe invece essere evidente, alle vostre menti ben piu'
avvezze della mia, che il piano puo' essere tassellato con
una "piastrella" fatta dalle 8 Y distinte....
ciao,
g.

 una "piastrella" fatta dalle 8 Y distinte....
Ma tu mica avevi specificato che cercavi soluzioni "minimali",
chiedevi solo se "esistono soluzioni" ... :-)
Il mio ragionamento è stato molto frettoloso, in effetti: la Y
tassella il quadrato e quindi ha una soluzione, niente di più.
Certo che il problema si presta a diversi estensioni interessanti:
quello che mi piaceva vedere, per esempio, è quali polimini tassellano
il piano utilizzando *esattamente* 1 singola copia di una delle N
copie speculari.
Ciao,
GaS

 copie speculari.
In effetti e' stato piu' o meno il mio approccio alla maggior parte
dei problemi.
ciao,
g.