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Titolo: aiuto

un un attimo buono e giocoso, il migliore della sua giornata il prof.
Triggiani pensò al seguente quesito per l'esame di fisica generale:
Una formazione quadrata di cadetti dell'esercito, di 50 metri di lato,
marcia a passo costante. La mascotte della compagnia, un piccolo terrier,
parte dal centro dell'ultima fila (posizione A) e trotterella in avanti in
linea retta sino al centro della prima riga (posizione B), poi trotterella
di nuovo indietro al centro dell'ultima.
All'istante in cui ritorna alla posizione A, i cadetti sono avanzati
esattamente di 50 metri. Se il cane trottorella a velocità costante e non
perde tempo nel girarsi, quanti metri ha percorso ?  (autore Martin Gardner)
Risolvere l'esercizio anche nel caso in cui il cagnolino non trottorella
semplicemente avanti e indietro, ma lungo il perimetro del quadrato. Tutti
gli altri dati sono gli stessi. (autore: Sam Loyd. Non facile è necessario
trovare la soluzione di un equazione di quarto grado )
........qualcuno me lo potrebbe spiegare, io ho provato ma non ne vengo a
capo...sarà che mi confondo:
ho provato così: (t*=tempo al momento in cui il cane raggiunge la prima
fila; t**=tempo alla fine dell'operazione, V= velocità del plotone)
la mascotte fa il primo tratto ( in avanti) in cui  percorre: 50+Vt*
nel secondo tratto percorre (tornando) : 50-V(t**-t*)
in totale il cane percorre: x=50+Vt*+50-Vt**+Vt*=50+Vt*+50-50+Vt*=50+2Vt*
...effettivamente ci si poteva arrivare anche senza troppi conti soltanto
guardando il problema.
ora però ancora non ho risolto niente, provo adesso a scrivere il problema
più in generale(v=velocità del cane, in modulo):
(v+V)t*+(v-V)(t**-t*)=x .....ma non serve a niente. boH!
qualcuno saprebbe risolverlo usando la fisica nel modo giusto? (non alla mia
maniera ...per quanto concerne quest'esercizio).
PS: me lo ha proposto una studentessa del I anno ed io non lo so
fare.......pur credendo d'esser ferratissimo in materia.....:-(....mi
arrendoi all'evidenza della mia incapacità di ragionare correttamente in
questo caso....tutti abbiamo dei limiti, in questo momento i miei sembrano
grossi!
GDR

 trovare la soluzione di un equazione di quarto grado )
[cut]
Risolvo solo quello facile...
Chiamiamo Sa lo spazio percorso dal cagnolino mentre procede in avanti,
corrispondentemente il quadrato e' avanzato di Sa - 50 (tralasciamo le
unita' di misura), chiamiamo Si quello percorso dal cagnolino mentre ritorna
indietro, in corrispondenza il quadrato e' avanzato di 50 - Si, lo spazio
totale percorso dal cagnolino e'
(1)        S = Sa + Si,
la differenza
(2)        Sa - Si = 50
 e' uguale allo spazio totale di cui e' avanzato il quadrato, poiche' gli
spazi percorsi dal cagnolino e dal quadrato in uguali intervalli di tempo
sono proporzionali alle rispettive velocita', otteniamo
(3)        Sa / (Sa - 50) = Si / (50 - Si),
 mettendo a sistema (1) e (2) ricaviamo
(4)        Sa = (S + 50) / 2,   Si = (S - 50) / 2,
sostituendo in (3):
(S + 50) / (S - 50) = (S - 50) / (150 - S),
da cui
S^2 - 100*S - 2500 = 0, S = 50*(1 + SQRT(2)).
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Per rispondere togliere la h nell'indirizzo e-mail.

 > trovare la soluzione di un equazione di quarto grado )
Definiamo Sa e Si come precedentemente, se Sl e' lo spazio percorso dal
quadrato nel tempo che  il cagnolino impiega a percorrere uno dei lati
trasversi alla direzione del moto, otteniamo dalla composizione di due moti
ortogonali:
S = Sa + Si + 2*SQRT(50^2 + Sl^2)
Sa + 2*Sl - Si = 50
Sa / (Sa - 50) = Si / (50 - Si) = SQRT(50^2 + Sl^2) / Sl,
risolvendo (con Mathematica) si ottiene:
{{S -> 209.056, Sl -> 12.3159, Sa -> 65.7177, Si -> 40.3496}}.
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 trovare la soluzione di un equazione di quarto grado )
Supponiamo che il quadrato si muova verso destra.
Consideriamo i quattro lati percorsi dal cane:
siano Tsu Tgiu Tsx e Tdx i tempi per percorrere i lati
del quadrato, Vsu Vgiu Vsx e Vdx le corrisp. velocità
nel sist. di rif. solidale col quadrato, siano Vc e Vcad
le vel. del cane e dei cadetti, da un sist. esterno fisso.
La distanza d percorsa si calcola con le seguenti relazioni:
d=Vc*(Tsu+Tgiu+Tsx+Tdx)     [d=velocità per tempo totale]
(Tsu+Tgiu+Tsx+Tdx)=50/Vcad  [nel tempo totale i cadetti fanno 50m]
Vsu=Vgiu                    [le velocità Vsu e Vgiu sono uguali]
Vsu^2+Vcad^2=Vc^2           [trasf. delle vel. da un rif. all'altro]
vx*tx=50                    [per ogni lato, il prodotto v*t =50]
vdx=Vc-Vcad                 [la Vcad si sottrae se il cane va a destra]
vsx=Vc+Vcad                 [la Vcad si somma se il cane va a sinistra]
Rimescolando un po' si trova l'eq. di 4° grado annunciata:
5*x^4 + 4*x^3 - 2*x^2 - 4*x + 1 = 0
con x=Vcad/Vc. Essa ammette due sol. fra 0 e 1 (Vc deve essere > Vcad)
x=0.239170; x=0.731347
la distanza in funz. di x vale:
d(x)=100*(1 + sqrt(1 - u^2))/(1 - u^2)
per cui abbiamo: d=209.056  o d=361.619, apparentemente entrambe valide.
Ciao
Andrea

 {{S -> 209.056, Sl -> 12.3159, Sa -> 65.7177, Si -> 40.3496}}.
Dopo aver letto il messaggio di Andrea Artesiani mi accorgo che le soluzioni
sono due, e una l'ho persa nella risoluzione numerica delle equazioni con
Mathematica...
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grazie a tutti e due per le esaurienti risposte.
GDR