Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: LOTTO

Ciao a tutti, ecco due nuovi problemi di probabilità relativi al lotto:
1)
Qual è la probabilità che il numero più alto uscito a Torino sia maggiore di
quello più alto uscito a Milano?
2)
Qual è la probabilità che il numero più alto uscito a Napoli sia minore di
quello più basso uscito a Cagliari?
--
CIAO
      Flavio
flav...@tin.it
http://flavionet.freeweb.org


Bho....devo ancora pensarci
--
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤
 ( "`-' '-/ " ).____. .--' ' "` -._
  `6 _ 6  )      `-.   (              ).`-._ _. ' ` )  « RICKI ('78)  ©
  (_Y_.)'  ._      )   `. _      '. ` ` --. . .--''     
ric...@iol.it
    `--' _..- _/   /-- '    _. '   ,'                  ICQ 33920844  »
 ( l ).-' '    ( ( !.'       ( (!.- '
¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤ ¤



E' il 48,42%. Bisogna tener conto che c'è il 3,16% di probabilità che siano
uguali. Il rimanente 96,84% va equiripartito.
:-) ciao    Gianni


 > --
La probabilità e molto bassa, all'incirca dello 0,30%
Ciao :-)     Gianni

uguali. Il rimanente 96,84% va equiripartito.
E liquidi cosi' la faccenda?
Per trovare quel 3.16% mi sono dovuto rivedere un capitolo intero di
statistica ed ho usato un foglio di calcolo, forse qualche parola in piu' la
meritava. E dire che le domanda erano apparentemente innocenti.
Apparentemente...
Provo a spiegare come salta fuori quel treesedici per cento.
Anzi, di piu': vediamo il caso piu' generale. Qual e' la probabilita' che,
estraendo n palline da un'urna che ne contiene N (numerate da 1 a N), la
K-esima in ordine crescente di grandezza sia x?
Vediamo: se la k-esima vale x allora k-1 palline devono essere scelte dal
mucchio [1..x-1] e n-k devo stare nel mucchio [x+1..N]. Per esempio: nel
caso del lotto se la quarta deve essere 57 allora 3 devono essere stare in
[1..56] ed una deve stare in [58..90]. La probabilita' che questo accada e'
P(x_k=x)=C(x-1,k-1)*C(N-x,n-k)/C(N,n), perche' i casi favorevoli sono tutti
i modi di pescare  k-1 palline tra le x-1 minori di x, moltiplicato per
tutti i modi di scegliere n-k palline maggiori di x tra le N-x candidate. I
casi possibili sono ovviamente tutti i modi di scegliere n palline
dall'intera urna di N.
Nell'esempio di prima P(x_4=57)=C(56,3)*C(33,1)/C(90,5)=2,08%
Forti di queste nozioni di teoria, veniamo alle due domande.
1) Qual è la probabilità che il numero più alto uscito a Torino sia maggiore
di quello più alto uscito a Milano?
Qui bisogna in realta' trovare la probabilita' che i due numeri coincidano,
e poi dividere a meta' cio' che resta per simmetria.
P(T_5=M_5)=sum(P(T_5=M_5=x), x=5,..,90)=
sum(P(T_5=x)*P(M_5=x), x=5,..,90)=
sum(P(T_5=x)^2, x=5,..,90)=
sum ([C(x-1,4)/C(50,5)]^2, x=5,..,90)=3,16%  - thx excel ;)
------------
2) Qual è la probabilità che il numero più alto uscito a Napoli sia minore
di quello più basso uscito a Cagliari?
Qui fissiamo il minimo di Cagliari, ed imponiamo che le 5 uscite di Napoli
siano tutte minori di quella soglia, mentre a Cagliari le 4 rimanenti
dovranno essere ovviamente maggiori.
P(N_5<C_1)=sum(P(N_5<C_1=x, x=6,..,86)=
sum(P(N_5<x)*P(C_1=x), x=6,..,86)=
sum(C(x-1,5)/C(90,5)*(90-x,4)/C(90,5), x=6,..,86)=0,296%
Non e' che sono un professore mancato, e' che quando decido di abbandonare i
tentativi personali per guardare la soluzione, mi piace che sia chiara, in
modo da capirne il meccanismo.
Spero condividiate.
Ciao, Silv:o)

 Ciao, Silv:o)
Stavo preparando questa dottissima elucubrazione in merito ;-))), quando ho
visto postata una soluzione piuttosto superficiale che mi ha indotto ad una
risposta immediata che, necessariamente, non poteva non limitarsi al puro e
semplice risultato.
Ma hai ragione, è sempre bene spiegare come si è giunti ai risultati stessi.
Forse non era necessario infognarsi in ponderosi studi di statistica, visto
che basta ed avanza un po' di matematica combinatoria (ma tant'è . un po' di
ripasso di statistica non ha mai fatto male a nessuno).
Al risultato della 1° domanda è possibile arrivarci in due maniere diverse
Calcolando direttamente il 48,42%
Quante sono le cinquine che hanno 90 come numero più alto? Son pari a tutte
le quaterne formabili con i primi 89 numeri più il 90 stesso. E quelle con l
'89 come numero più alto? Saranno pari a tutte le quaterne formabili con i
primi 88 numeri più l'89 stesso. E così via fino al 5 che è il più piccolo
numero che può essere il più grande di una cinquina.
Tali numerosità possono essere calcolate con 89!/(4!*(89-4)!) = 2.441.626;
88!/(4!*(88-4)!) = 2.331.890; e così via, fino a 4!/(4!*(4-4)!) = 1.
Rapportando questi valori al totale delle cinquine possibili [ la sommatoria
dei valori trovati, oppure 90!/5!*(90-5)!) = 43.949.268] si può calcolare la
probabilità del singolo evento (5,56%; 5,31%; etc.)
Ma affinchè si verifichi la condizione che ci interessa, occorre che, per
ciascuno di questi eventi, appaia sull'altra ruota una cinquina che abbia
come massimo numero uno qualsiasi dei numeri più piccoli del massimo numero
uscito sulla prima ruota. La numerosità di tali cinquine è data dalla
sommatoria delle cinquine calcolate per questi numeri, che tradotta in % sul
totale, va moltiplicata per la % già trovata per l'evento.
Per il 90, ad esempio, avremo:
Probabilità di uscita del 90 sulla 1° ruota = 5,56%
Probabilità di uscita sulla 2° ruota di una cinquina che abbia come massimo
un numero da 5 a 89  =  94,44%
Probabilità della contemporaneità dei due eventi = 5,56% * 94,44% = 5,25%
La sommatoria di tutte le percentuali così calcolate per i numeri da 5 a 90,
dà il famoso 48,42%
Calcolando indirettamente il 48,42%, passando per il 3,16%
Vista la simmetricità tra le due ruote, è però possibile una modesta
scorciatoia, infatti avendo trovato la probabilità di uscita di ciascun
numero come più grande della 1° ruota, avremo altrettante probabilità che
esso sia il più grande anche sulla 2° ruota, realizzando "match pari".
Per il 90, ad esempio, avremo:
Probabilità di uscita del 90 sulla 1° ruota = 5,56%
Probabilità di uscita dal 90 sulla 2° ruota = 5,56%
Probabilità della contemporaneità dei due eventi = 5,56% alla 2° = 0,31%
La sommatoria di tutte le percentuali così calcolate per i numeri da 5 a 90,
dà il famigerato 3,16%.
Un procedimento del tutto analogo, senza possibilità di scorciatoie vista la
asimmetricità della posizione delle due ruote, può essere adottato per il 2°
problemino.
Questa volta, però, andranno calcolate anche le possibili cinquine che
abbiano 1, 2, ., 86 come numero più basso. Le formule sono specularmente
identiche a quelle già viste (per l'1 quella del 90, per il 2 quella dell'
89, etc.)
Così va meglio?
:)))  Ciao    Gianni
P.S. Ho usato anch'io un foglio Excel

 Così va meglio?
OK, perdonato. E poi credo che se tu avessi risposto cosi' gia' dall'inizio,
forse pigramente avrei letto la soluzione e mi sarei perso il salutare
ripasso.
Ciao, Silv:o)

 sum(C(x-1,5)/C(90,5)*(90-x,4)/C(90,5), x=6,..,86)=0,296%
Ok, però in questo caso esisteva un modo più semplice e diretto per
calcolarlo!
Ipotizziamo di ordinare i numeri usciti a Napoli in ordine crescente ed
affiancargli quelli di Cagliari: tutte le combinazioni possibili dei due
insiemi con la limitazione che la serie di 10 numeri sia crescente sono date
da C(90,10). Questo va diviso per C(90,5)^2, che sono tutte le combinazioni
possibili delle due ruote da sole.
Quindi, il risultato è C(90,10)/C(90,5)^2 = 0.00296
CIAO
        Flavio