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Titolo: Quattro scarafaggi

Non so se e' noto; io non ne sono l'autore, come non sono autore di
nessuno dei giochini (a parte quelli di parole, che sono rigorosamente
originali) che propongo in campo logico, matematico, fisico ecc.
L'autore (David Perkins) e' un matematico e studioso di intelligenza
artificiale, quindi spero che il giochino e la soluzione siano
interessanti.
Quattro scarafaggi addestrati ad inseguirsi a vicenda sono fermi agli
angoli di un quadrato di trenta centimetri di lato, ognuno in
direzione del lato su cui poggia. Al "via" cominciano a zampettare
l'uno verso l'altro e man mano che procedono, ognuno continua a
puntare verso quello che gli sta davanti; di conseguenza tutti e
quattro piegano gradualmente a destra, verso il centro, perche' quello
davanti va verso destra e quello dietro deve girare a destra a sua
volta per continuare a restargli proprio di di fronte. La conseguenza
e' che gli scarafaggi percorrono una rapida spirale verso il centro
del quadrato, fino a incontrarsi. Quanto e' lungo il percorso di
ciascuno?
NB. Questo il testo non lo dice, ma mi sembra che vengano considerate
trascurabili le dimensioni degli scarafaggi.
Tratto da "Come Leonardo. Sviluppiamo le nostre capacita' di pensiero
trasformativo" di David Perkins.
Ciao a tutti,
margravio.

 interessanti.
Ad onor del vero, neppure lui ne e' l'autore.
Questo problema fu gia' trattato da Eduard Lucas (l'inventore della torre 
di Hanoy) nel 1877.
ciao dario
 

Sembra carino, pero' ho il sospetto che non si possa risolvere solo con un
procedimento
logico ma sia necessario anche una buona dose di conoscenze matematiche, per
esempio
di calcolo infinitesimale. Potrebbero percorrere un arco di circonferenza
sino al centro e
in questo caso il calcolo e' semplice, ma non c'e' niente che mi faccia
credere che sia proprio
un arco di circonferenza.
Comunque do' la mia risposta: 30 cm, il lato del quadrato.
Se conosci la soluzione, postala sul newsgroup!
ciao,
Stefano
"margravio" <chiedimelo.via.ng@nospam> wrote in message
news:3c28c72c...@powernews.libero.it...



La tua risposta e' quella giusta: 30 cm.
L'autore dice che per arrivarci basta immaginare ogni scarafaggio con
uno spaghetto (che lo congiunge allo scarafaggio davanti) in bocca, e
che viene mangiato via via che si procede: quando lo scarafaggio
dietro raggiunge lo scarafaggio davanti, lo spaghetto e' finito,
quindi sono stati percorsi esattamente 30 cm.
Ciao a tutti,
margravio.

margravio <chiedimelo.via.ng@nospam> wrote in message
3c2b23b...@powernews.libero.it...

Non metto in dubbio la risposta, me senza dubbio la dimostrazione cosě come
e' stata enunciata e' tutt'altro che convincente.
Non e' che ci sono altre considerazioni da fare ?
Ciao,
Francesco

Knowledge as Design (La conoscenza come progetto)< , ma
l'argomentazione non e' ancora completa."
Ciao
Ciao a tutti,
margravio.

 Penso di si', ma non chiedere a me.  :-)))
Beh, in effetti ci ho pensato un po' su, e credo di aver trovato le
ulteriori considerazioni da fare.
In effetti, il problema e' che non e' in generale corretto l'argomento dello
spaghetto, perche' entrambi gli scarafaggi scarafaggi si muovono, per cui la
variazione di distanza potrebbe essere da imputare al movimento di entrambi.
Invece, nella situazione in esame, per motivi di simmetria, le traiettorie
degli scarafaggi sono sempre perpendicolari tra loro (in realta' gli
scarafaggi rimangono sempre sui vertici di un quadrato che man mano si
rimpicciolisce). Per la perpendicolarita' dei cammini, la variazione di
distanza dipende solo dal movimento di uno, per cui alla fine la distanza
percorsa da ognuno e' effettivamente la distanza che inizialmente lo
separava dallo scarrafone anteriore, quindi in questo caso 30 cm
Ciao,
Francesco

 margravio.
Ciao Margravio,
mi sembra che la risposta dell'autore che tu hai riportato non possa essere
accettabile.
Mi spiego: l'autore ricava la distanza percorsa come differenza tra la
distanza iniziale tra ciascun scarafaggio (30 cm) e la distanza finale (0 cm
visto che stanno tutti nel centro).
Ma questo metodo "in generale" mi sembra sbagliato,esempio: se gli
scarafaggi
fossero "vincolati" a stare sui lati del quadrato, dopo che ciascuno ha
finito di percorrere un lato hanno fatto un percorso di 30 cm (cioè la
lunghezza del lato) invece secondo il metodo dell'autore risulterebbe un
percorso nullo (30 cm iniziali - 30 cm finali di distanza)
Altro esempio: se fossero "vincolati" a muoversi su due rette parallele in
ogni
momento e per qualsiasi tipo di moto secondo il metodo dell'autore avrebbero
coperto una distanza nulla, che è un risultato palesemente sbagliato.
Forse la chiave di volta del ragionamento (e il motivo per cui il risultato
potrebbe essere 30 cm) sta appunto nel fatto che il movimento degli
scarafaggi
"non è vincolato" tranne per la velocità che, in ogni istante, deve
avere la direzione del segmento che congiunge ciascun scarafaggio a quello
successivo.
Magari questo è un tipo di vincolo che sfruttando la Meccanica Razionale...
ma non so come.
Osservazione:
Il risultato dovrà essere ovviamente > o =  15 cm in quanto come noto la
strada più breve tra due punti è il segmento che li unisce, quindi se 2
scarafaggi si avvicinassero lungo questo ognuno percorrerebbe metà strada
(15
cm).
Domanda:
La traiettoria è univocamente determinata?
Affinché il risultato possa esistere la traiettoria deve essere univocamente
determinata. (Altrimenti ad ogni traiettoria corrisponde un percorso di
diversa lunghezza)
Cosa,questa, che non è evidente dall'enunciato in quanto la traiettoria in
generale potrebbe dipendere anche dal tipo di moto (uniforme o meno) ma che
si potrebbe (o meglio dovrebbe) ricavare dell'enunciato.
A occhio essa dovrebbe essere univocamente determinata (quindi sarebbe
possibile trovare la distanza percorsa) ma non so darvi una dimostrazione di
ciò.
Proposta:
Per trovare l'equazione della traiettoria (quindi calcolarsi la distanza
percorsa) si potrebbe sfruttare il fatto che in ogni istante la tangente
alla traiettoria di uno scarafaggio corrisponde alla normale alla
traiettoria dello scarafaggio seguente (ma ho provato con le coordinate
cartesiane e non sono arrivato a nessun risultato, forse con le polari...).
Ciao a tutti,
Francesco

accettabile.
non metto in dubbio quello che dici. Purtroppo, non posso andare tanto
oltre questo, perche' nel campo fisico-matematico possiedo conoscenze
poco piu' che elementari.
A volte posto degli enigmi letti scartabellando qua e la', per far
divertire gli appassionati del genere, ma poi posso solo copiare la
soluzione.


 ha scritto nel messaggio
news:WcFY7.7365$SE3.2...@twister1.libero.it...
| ...
| Domanda:
| La traiettoria è univocamente determinata?
| Affinché il risultato possa esistere la traiettoria deve essere univocamente
| determinata. (Altrimenti ad ogni traiettoria corrisponde un percorso di
| diversa lunghezza)
| Cosa,questa, che non è evidente dall'enunciato in quanto la traiettoria in
| generale potrebbe dipendere anche dal tipo di moto (uniforme o meno) ma che
| si potrebbe (o meglio dovrebbe) ricavare dell'enunciato.
| A occhio essa dovrebbe essere univocamente determinata (quindi sarebbe
| possibile trovare la distanza percorsa) ma non so darvi una dimostrazione di
| ciò.
La traiettoria *è* univocamente determinata. Supponiamo che i quattro scarafaggi
siano inizialmente in corrispondenza ai punti (-1;-1), (-1;1), (1;-1), (1;1)
(per semplicità). Questo è uno dei casi in cui l'isomorfismo tra piano
cartesiano e piano complesso semplifica alquanto la faccenda. Ogni scarafaggio
ad un certo istante t è nel punto z=x+iy, e insegue, mettiamo, lo scarafaggio
alla sua destra.
Le coordinate dello scarafaggio inseguito corrispondono al numero complesso iz.
La curva descritta dallo scarafaggio soddisfa l'equazione differenziale
z' = (iz - z) * K(t,z) , poiché z' corrisponde alla velocità, (iz - z) al
vettore scarafaggio->scarafaggio a destra, K è una arbitraria funzione reale
e positiva (se fosse complessa o non positiva, la direzione o il verso del moto
dello scarafaggio cambierebbero!)
Ponendo per comodità K=1 e risolvendo si ottiene
z=z_0*e^[(i-1)t], dove z_0 è la posizione iniziale.
Se prendiamo in considerazione lo scarafaggio inizialmente in (1,1), ovvero in
z_0=1+i, otteniamo per x e y:
x(t)=e^(-t)*(cos(t)-sin(t)) e
y(t)=e^(-t)*(cos(t)+sin(t)), dove t varia da 0 a infinito.
La traiettoria è una spirale logaritmica che si avvolge infinite volte intorno
all'origine, e la cui lunghezza è 2 (distanza iniziale fra gli scarafaggi).
La curva descritta da uno scarafaggio, in termini del parametro naturale s
(spazio percorso) è data da
x(s)=(1-s/2)(cos(ln(1-s/2)+sin(ln(1-s/2))
y(s)=(1-s/2)(cos(ln(1-s/2)-sin(ln(1-s/2)), dove ora s varia da 0 a 2
La velocità con cui la traiettoria viene percorsa *non è* univocamente
determinata, ma la traiettoria *sì*!
Ciao
     \Aleph_0