Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Un prisma nel cubo

Ho trovato questo quiz sul numero scorso di "Archimede":
Sia V un vertice di un cubo il cui spigolo misura 3, e siano A, B, C
punti sui 3 spigoli uscenti da V tali che AV = BV = CV = 1.
Trovare il volume dell'intersezione fra il cubo ed il prisma infinito di
cui ABC è una sezione perpendicolare agli spigoli laterali.
Maurizio

Il 30-09-2006, Maurizio Frigeni scrive:


spoiler
[sqrt(2)+12]sqrt(3)/24 =~ 0,968 va bene?  ..mi sa di no,
e` troppo semplice;-)
-- 
Ciao, rez	||  -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1  ||

e` troppo semplice;-)
Provo cosi`: [sqrt(3)+1/sqrt(6)]/2 =~ 1,07


 Provo cosi`: [sqrt(3)+1/sqrt(6)]/2 =~ 1,07
Io potrei aver sbagliato i calcoli, perņ questo tuo risultato mi sembra
troppo piccolo. Come lo hai ricavato?
Maurizio

troppo piccolo. Come lo hai ricavato?
Uhm.. a questo non c'ho neppure badato:-(
E` immediato perche' il volume richiesto e` somma di:
1. un prisma retto, base triangolo equilatero di lato 1
ed altezza 2sqrt(2)
2. due piramidi con la stessa base di prima ed altezza
1/sqrt(2).
[faccio: a=sqrt(2); b=sqrt(3), per brevita`]
V1=1*b/2/2*2*a=ab/2
2*Vv2=2*b/4*1/a/3=b/(6a)=ab
V=b[a+1/(3a)]/2=7/2/sqrt(6).
OK, avevo risbagliato i passaggi: faccio il figo a non
scrivere su carta e sbaglio sempre, specie qui su ihe:-(
Viene: 1,4288.. ?  Ma cmq non e` che sia molto di piu`,
forse ho interpretato male il testo?
Del resto non ho capito perche' metterlo in una rivista!


 forse ho interpretato male il testo?
Temo di sě.
Maurizio

Temo di sě.
    ___B________
   |  /         |
 A |/           |
   | \          |
   |   \        | B'
   |     \    / | 
   |_______\/___|
           A'
 
|AA'| e` l'altezza del prisma, uno spigolo laterale
e` AA' che e` ortogonale alla base, che e` il triangolo
equilatero ABC.
Prisma retto dunque, ovvero e` retto l'angolo BAA' della
faccia laretale che e` il rettangolo AA'B'B.
Questa e` la mia interpretazione del testo, la tua?


 Questa e` la mia interpretazione del testo, la tua?
Non so se ho capito bene, per te quali sarebbero le coordinate di A', B'
e C'? Prisma retto significa che l'altezza AA' è perpendicolare al PIANO
ABC.
Poi ti faccio notare che il triangolo di base non ha lato 1 e inoltre
non capisco come fai ad avere l'altezza AA' = 2sqrt(2). 
Se, come sembrerebbe dal tuo disegno, ABA'B' stanno tutti su una stessa
faccia del cubo, beh è proprio sbagliato, non trovi?
Maurizio

faccia del cubo, beh è proprio sbagliato, non trovi?
Si`, non c'e` dubbio: e` tutto completamente sbagliato
come l'ho fatto.. infatti mi sembrava troppo semplice.
Piu` tardi se ho tempo provo a farlo un po' piu`
seriamente con carta e penna, sembra proprio carino.


seriamente con carta e penna, sembra proprio carino.
Rifacendolo un po' piu` seriamente mi viene circa 2,39
cioe` esattamente 180*sqrt(2)-25]/96.
Be', se hai il risultato fammi sapere se e` OK.
Cmq ora l'ho fatto su carta, pero` non ho fatto nessun
controllo, quindi non posso garantirlo da distrazioni.


 Rifacendolo un po' piu` seriamente mi viene circa 2,39
Non ci siamo: a me viene più di 3 e su questo non credo proprio di
essermi sbagliato.
Maurizio

rez <r...@rez.localhost> wrote:


L'altezza del prisma fuori-tutto, cioe` dal piano
di base (triangolo ABC) alla punta (vertice opposto),
ti viene 8/sqrt(3), cioe` circa 4,62 ?


 ti viene 8/sqrt(3), cioe` circa 4,62 ?
Sě.
Maurizio

Sě.
Be' c'era infatti qualche calcolo sbagliato.. con tutti
quei radicali, guarda se ora ti ci ritrovi:
V = 15/4 + a/6 + 1/(24a) - 5*b/(64a) =~ 3,80
a;b sono radice di 2;15 rispettivamente, cmq non
garantisco ancora eh.


 a;b sono radice di 2;15 rispettivamente,
Il valore numerico adesso è molto più ragionevole, però il mio risultato
è diverso e non contiene radici. 
Non capisco come ottieni i vari termini che hai scritto qui sopra.
Maurizio

rez <r...@rez.localhost> wrote:


Nell'ordine scritto:
1. prisma retto;
2. piramide retta base triangolo ABC;
3. corrispondente alla 2, ma al vertice opposto;
4. 3 piramidi uguali tra loro, indico la prima.
E` compresa tra: il piano z=3, le facce laterali
per AC e BC del prisma indefinito [*], il piano
per la base della 3.
[*] A,B,C sono sugli assi x,y,z nell'ordine.


 per la base della 3.
Evidentemente non riesco a capire quale sarebbe l'altra base del prisma,
oltre ad ABC. 
Maurizio

oltre ad ABC. 
Il prisma ha la seconda base per 3/4 fuori del cubo: e`
il triangolo A'B'C' sezione del prisma indefinito col
piano cui appartiene la base della piramide del punto 3
che dicevo qui su.
I vertici D,E,F della base della piramide sono
intersezione: degli spigoli del cubo per il vertice V,
con le facce laterali del prisma indefinito.
                 C'
                  / \
                /     \
            F /_________\ E
            / \        /  \
          /     \    /      \
        /_________\/__________\
     A'           D             B'


 No: 1/8 perche' sono simili e il rapporto lineare e` 1/2.
Simili a cosa? Scusa, ma se AV=BV=CV=1, mi pare ovvio che l'area della
base VAB sia S=(1/2)x1x1=1/2, mentre l'altezza h=VC=1, quindi:
volume = (1/3)Sh = (1/3)x(1/2)x1=1/6.
Maurizio

volume = (1/3)Sh = (1/3)x(1/2)x1=1/6.
Si` non c'e` dubbio, per cui la punta grande ha volume
1/6, ed allora la piccola l'avra` di 1/6*1/8=1/48.
Le altre tre (delle quali t'avevo fatto la figura) hanno
allora l'area da correggere.. vediamo: sono uguali alla
piccola come base ed hanno altezza 1/sqrt(2) (sto andando
a memoria eh) perche' sono a 45 gradi.. ergo il volume di
tutte e tre e`: sqrt(3/2)/8.
Ma ci stanno le radici, quindi viene diverso dal tuo.
Cmq per me sarebbe, a conti riveduti:
V=15/4+1/6+1/48-sqrt(3/2)/8=~3,7844.
Vedi un po' per le tre piramidi se trovi dov'e` che
non va il tuo o questo.


Ciao a tutti.
Ho seguito con interesse tutti i ragionamenti, ma mi sono guardato bene
dal cimentarmici.
però ho disegnato il solido con l'Autocad ed ho chiesto il volume:
S
P
O
I
L
E
R
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3,75
-- 
Posted via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

 3,75
Infatti: vedi post in risposta a rez.
Maurizio

 V=15/4+1/6+1/48-sqrt(3/2)/8=~3,7844.
Allora: per i primi tre termini siamo d'accordo. Invece non concordo con
te sulle tre piramidi da sottrarre: se prendo per base la faccia che
poggia su una delle facce del cubo, mi viene che l'area di base è 3/8
(triangolo isoscele di lati sqrt(5)/2, sqrt(5)/2 e sqrt(2)/2) mentre
l'altezza è 1/2.
Quindi il volume di ogni piramide è 1/16 e il volume del solido diventa:
V= 15/4 + 1/6 + 1/48 - 3/16 = 15/4 = 3,75
Maurizio

l'altezza è 1/2.
Si`, e` chiarissimo e non puo` esserci dubbio.. concordo
io con te:-)  e` senz'altro OK, e poi.. Autocad non
sbaglia: quando prima ho visto il risultato senza
radicali ho capito che facilmente era il tuo che dicevi.
Non ho risposto a Ale Eli [Ale Eli ci sei?] perche' mi
ripromettevo di scovare l'errore, ma mi hai preceduto:-)
Bah.. io il volume di queste l'avevo calcolato con base
equilatera di lato 1/sqrt(2) ed altezza sqrt(2), dunque
veniva 1/[8*sqrt(6)] ognuna.
Per curiosita` in un altro momento cerchero` dov'e`
l'errore.. ora, senza pensarci un po', non lo vedo.
