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Titolo: Perche' 6174 ?

Si consideri un numero di 4 cifre qualsiasi, ma non tutte uguali tra loro;
si proceda ordinandole in modo decrescente e crescente e si sottraggano i
numeri cosi' ottenuti.
Si ripeta questa operazione per n volte, alla fine risultera' sempre 6174
che "genera" se stesso. Perche'?
Es. 2659
9652 - 2569 = 7083
8730 - 0378 = 8352
8532 - 2358 = 6174
7641 - 1467 = 6174 ecc.
PS: Il problema mi tormenta da un po', non conosco la soluzione e non vorrei
guastare il 2000 a qualcuno ....
Auguri a tutti
Roberto

 che "genera" se stesso. 
Intanto ti posso fornire qualche curiosita'.
6174 e' nota come costante di Kaprekar, da Shri Dattathreya Ramachandra
Kaprekar un indiano nato il 17 gen. 1905 e morto alla fine degli anni
'80. Ho avuto con lui un contatto, tramite lettere, durato circa 3 anni,
intorno al '85/86. Ha fatto un certo numero di scoperte riguardanti gli
interi, come alcuni tipi di numeri battezzati da lui con strani nomi:
Gapful, Demlo, Victory, Harshad, Dattatreya, Monkey ed altri.
Fra i vari opuscoletti che mi mando' a suo tempo, c'e' anche "The New
Costant 6174" nel quale dice di averla scoperta nel 1946.
Mi ricordo che in una delle sue lettere si vantava di essere fra i pochi
uomini ad aver visto per 2 volte la cometa di Halley (1910/1986).
ciao :)dario
http://www.geocities.com/Athens/Oracle/6791/uri.htm

dario uri wrote:

Ho provato ad analizzare il fenomeno e ho fatto alcune scoperte. Per esempio ho
notato che il numero immediatamente prima di 6174 (e che dunque lo "genera") è
sempre 8532... non so se sia un caso, ma mi è capitato in tutti i tentativi.
Inoltre ho notato che il numero 8532 ha la proprietà di avere le cifre ordinate
secondo questa struttura:
m; c=m-3; d=c-2; u=d-1
dove m = migliaia, c = centinaia, d = decine e u = unità
e che effettuando l'operazione partendo da numeri diversi da 8532 che comunque
abbiano tale struttura si ottiene sempre 6174:
9643 - 3469 = 6174
8532 - 2358 = 6174 appunto come visto
7421 - 1247 = 6174
6310 - 0136 = 6174
e più in là ovviamente non si può andare.
Se qualcuno ha fatto altre scoperte, magari che mettendole assieme si riesce a
spiegare il mistero?!
K.

Ringrazio Dario per non aver detto cio' che sa (perche' lui certamente sa),
lasciandoci il gusto della scoperta .....
Dunque e' vero quello che dice K., che 6174 si genera da una struttura tipo
m = m
c = m-3;
d = c-2 ;
u = d-1 ;
ma si puo' notare che vale anche per i numeri con struttura inversa,
m=m ;  c= m-1 ; d = c-2 ; u = d-3
Es. 8752 - 2578 = 6174
Ora, per comodità' uso una notazione differente:
m ; m-3 ; m-5 ; m-6
allineando nella sottrazione le cifre si ha
 m     m-3     m-5     m-6   -
m-6   m-5     m-3        m   =
dal fondo: (m-6) - m = 4
(attenzione, non e' un'operazione algebrica, bisogna ragionare come alle
elementari, m-6 e' piu' piccolo di m, chiede un prestito alle decine, cioe'
a m-5, aumenta di 10 e diventa m+4).
Poi per le decine; m-5 e' diventato m-6, percio':
(m-6) - (m-3) = 7
(vale il ragionamento di prima, chiede il prestito alle centinaio ecc.).
Ora le centinaia non piu' m-3, ma m-4:
(m-4) - (m-5) = 1
e infine le migliaia
m - (m-6) = 6
cioe' 6471
Ma e' una spiegazione sufficiente ? Chi sa parli.
R.

 che "genera" se stesso. Perche'?
In realta' i problemi che poni sono molteplici, e non ho trovato una
spiegazione definitiva per nessuno di essi. Tuttavia ci sono alcuni
risultati che ritengo abbastanza interessanti che ti sottopongo.
Innanzitutto permettimi di generalizzare il tuo problema cosi':
  Si consideri un numero di n cifre, non tutte uguali tra loro.
  Si ordinino le cifre in modo decrescente e crescente e si
  sottraggano i numeri cosi' ottenuti.
  Iterando questa operazione quale risultato si ottiene?
Ti propongo alcune riflessioni:
1. L'operazione descritta trasforma l'insieme dei numeri di n cifre
   in se stesso, cioe' il risultato di tale operazione sara' sempre
   un numero di n cifre. (Naturalmente quell'operazione non genera
   l'insieme di _tutti_ i numeri a n cifre, ma solo un sottoinsieme
   proprio.)
2. Il processo iterativo che proponi non puo' che convergere, visto
   che l'insieme dei possibili risultati e' finito.
3. L'insieme di convergenza del procedimento iterativo sara'
   certamente un insieme di numeri che si generano in cascata,
   che chiamero' "ciclo limite".
Detto cio', le questioni aperte sono:
a. Tutti i numeri di n cifre convergono allo stesso ciclo limite?
b. Possono esistere cicli limite composti da un solo numero?
   (Se si', chiameremo quel numero "attrattore").
c. Qualora esistesse un ciclo limite composto da un solo numero,
   tutti i numeri dovrebbero convergere verso di esso?
Ho scritto un programmino per valutare empiricamente la questione.
Ti riporto alcuni cicli limite che ho trovato per n variabile
da 2 a 9, innescando l'iterazione con un po' di numeri a caso.
(Ho rappresentato i cicli limite a partire dal piu' piccolo
 numero che li compone.)
2 --> {27, 45, 09, 81, 63}   (unico ciclo)
3 --> {495}   (unico ciclo)
4 --> {6174}  (unico ciclo)
5 --> {53955, 59994}
5 --> {62964, 71973, 83952, 74943}
5 --> {61974, 82962, 75933, 63954}  (forse ce ne sono altri)
6 --> {420876, 851742, 750843,
       840852, 860832, 862632, 642654}
7 --> {7509843, 9529641, 8719722, 8649432,
       7519743, 8429652, 7619733, 8439552}
8 --> {64308654, 83208762, 86526432}
8 --> {43208766, 85317642, 75308643,
       84308652, 86308632, 86326632, 64326654}
9 --> {753098643, 954197541,
       883098612, 976494321, 874197522,
       865296432, 763197633, 844296552,
       762098733, 964395531, 863098632,
       965296431, 873197622, 865395432}
Saltano subito all'occhio due fatti:
* Come dimostrato dai casi n=5 e n=8, non e' detto che il
  ciclo limite sia unico.
* Esiste un attrattore anche per i numeri a n=3 cifre
  ( 495 = 954 - 459 ), oltre che per quelli a 4 cifre.
A questo punto mi viene spontaneo lanciare tre sfide:
1. Dimostrare se in presenza di un attrattore possano
   esistere o no anche altri cicli limite.
2. Catalogare tutti i cicli limite, con una particolare
   attenzione a quelli di lunghezza minima.
3. Cercare altri valori di n per cui esista un attrattore.
Saluti,
         iant

3. Cercare altri valori di n per cui esista un attrattore.
Ho tentato un approccio diverso, anziche' variare il numero
di cifre, ho provato a variare la base di numerazione,
mantenendo sempre numeri di quattro cifre. Pensavo di
trovare un attrattore per ciascuna base, invece...con
qualche tentativo a caso, in esadecimale e in ottale ho
trovato diversi cicli limite, ma non ho trovato nessun
attrattore.
Hex
(9687, 30ED, E952, C3B4, 9687)
(3FFC, C2C4, A776, 3FFC)
Oct
(3774, 4244, 1776, 6062, 6332, 3774)
(3065, 6152, 5243, 3065)
Invece in binario, esaminando i soli tre casi possibili,
dovrebbero esistere due attrattori:
1100-0011=1001
1000-0001=0111
1110-0111=0111
Mescolando il tuo approccio con il mio, per n=3 cifre
dovrebbe essere:
Hex: attrattore 8F7
Oct: attrattore 374
Bin: attrattore 011
ciao, e buon anno a tutti
paolo

 6174 e' nota come costante di Kaprekar
Il nome non mi e' nuovo...
...consulto rapidamente la mia copia di "Numeri Memorabili" di
David Wells, ed ecco che al 495 e al 6174 leggo dei numeri di
Kaprekar come quelli che possiedono la proprieta' attrattrice
descritta da Roberto.
Non parla di altri numeri di Kaprekar.
Si puo' dimostrare che non ce ne sono altri?
Saluti,
         iant

 2 --> {27, 45, 09, 81, 63}   (unico ciclo)
Ehm...ho infranto la notazione appena proposta.  :]
Avrei dovuto scrivere:
2 --> {09, 81, 63, 27, 45}
Ho fatto una scoperta interessante: *tutti* i numeri che
appartengono ai cicli limite sono multipli di 9.
C'e' una spiegazione per questo?
Saluti,
         iant

C'e' una spiegazione per questo?
Non solo per i numeri del ciclo limite, ma per tutti i
risultati
delle differenze abcd-dcba
Per un numero di 4 cifre abcd in ordine decrescente, si ha
(1000*a+100*b+10*c+d)-(1000*d+100*c+10*b+a)=
=999*(a-d)+90*(b-c) che e' sempre multiplo di 9.
Le differenze (a-d) e (b-c) sono interi non negativi
(a-b e' sempre positivo, b-c puo' anche essere nullo).
Dal momento che un multiplo di 9 rimane tale anche cambiando
l'ordinamento delle cifre, dopo la prima differenza si
maneggiano solo multipli di 9.
Un ragionamento analogo si puo' fare per numeri di n cifre.
ciao
paolo


Iant mi hai anticipato di poco, ma non ho voglia di adattare quanto gia'
avevo scritto in attesa di postare (dimenticavo: grande lavoro il tuo). Ho
osservato che:
1) per n° di cifre dispari, la cifra centrale e' sempre 9 (logico)
2) tutti i numeri dei cicli (e anche gli attrattori) sono divisibili per 9
3) la somma delle cifre che occupano posizioni speculari
    (la 1a + l'ennesima, la 2a + la (n-1)esima ecc.) da' risultato
    costante e precisamente:
    a) se n e' pari la somma e' 10 per gli estremi, 9 per tutte le
    altre coppie, esclusa quella centrale (= 8); escluso n=2 e n=4;
    b) se n e' dispari la somma degli estremi e' 10, e' 9 per tutte le
    altre coppie esclusa quella vicino al 9 centrale (=8);
    naturalmente il caso di numeri di 3 e 5 cifre e' leggermente
    diverso.
    Puo' derivarne un criterio per trovare altri numeri appartenenti a
    cicli?
4) consideriamo il caso di n=5 (ma vale anche per gli altri). Riporto i tuoi
dati
1° ciclo: 1a 62964, 1b 71973, 1c 83952, 1d 74943
2° ciclo: 2a 61974, 2b 82962, 2c 75933, 2d 63954
confrontiamo 1a con 2a; 1c con 2b; 1d con 2c
interessante, no ?
Perche' 1b e 2d sono "spaiati" ?
Tenendo conto di quanto detto al punto 3 e al punto 4, ho poi esaminato i
numeri mancanti della serie 6y9y4 e 7y9y3, per vedere se appartengono ad
altri cicli... niente da fare.
Ma ecco uno specchietto riassuntivo
numero    ciclo                        numero    ciclo
60984        1 (3 passaggi)        70983        2 (4 passaggi)
61974        2                           71973        1
62964        1                           72963        2 (1 passaggio)
63954        2                           73953        2
64944        1 (4 passaggi)        74943        1
A questo punto resta solo da capire perche' certi numeri appartengono a un
ciclo e perche' altri, con caratteristiche del tutto simili, non ne
appartengono.
Vedremo poi.
Saluti
Roberto

 =999*(a-d)+90*(b-c) che e' sempre multiplo di 9.
Dimostrazione sintetica ed efficace. Ottimo lavoro, Paolo!
Saluti,
        iant

 Bin: attrattore 011
Sarebbe interessante vedere se anche in altre basi i numeri
a tre cifre ammettono attrattore. Io purtroppo non ho tempo
di provarci, nemmeno nei prossimi giorni (il lavoro mi mangia
la vita  :(  )
Ci provate te e Roberto?  ;)
Saluti,
        iant

 Vedremo poi.
Senz'altro: la faccenda si fa sempre piu' interessante!
Saluti,
          iant

Dimostrazione sintetica ed efficace.
Ancora piu' sintetica:
Due numeri composti dalle stesse cifre, in qualsiasi ordine,
danno lo stesso resto nella divisione per 9.
abcd==dcba==acdb==....(mod.9)
Quindi la loro differenza deve essere multipla di 9.
ciao
paolo

Che ne dite di questo:
Per ogni ciclo di ordine n pari, esiste un rappresentante tale che
aggiungendo un 9 al centro si ottiene un rappresentante di un ciclo di
ordine n+1.
Controllate:
* 6174 e' l'attrattore unico di ordine 4, e 61974 fa parte del primo ciclo
di ordine 5.
* 750843 fa parte di un ciclo di ordine 6, 7509843 sta in un ciclo di ordine
7.
* 86526432 sta in un ciclo di ordine 8 e 865296432 in uno di ordine 9,
diverso da quello trovato da Iant, sempre di lunghezza 14
Osservando la struttura dei vari numeri si notano altre cose curiose: per
esempio guardate questa catena, ottenuta alternativamente aggiungendo il 9
centrale e ritogliendolo ed aggiungendo un 3 in terza e un 6 in terz'ultima
posizione.
750843 => 7509843 => 75308643 => 753098643 => 
7533086643
 => 
7533098643
             ^         ^  ^          ^          ^    ^           ^
che suggerisce che i numeri del tipo 75(3)0[9]8(6)43 (stesso numero di 3 e
di 6, con o senza 9 centrale) fanno parte di cicli di ordine qualsiasi da 6
in poi.
Ciao, Silv:o)

Puoi spiegarmi con che ragionamento hai dedotto questo risultato?
Qui niente svista (meno male); dunque in un ciclo la cifra centrale per n
dispari e' sempre 9; perche'?  Considera
a   b   c   d   e   -        che, operando, diventano    a    b-1   c+9  d+9
e+10  -
e   d   c   b   a                                                     e
d       c      b      a
e quindi si ha (c+9) - c = 9
Comunque per non disperdere troppo le energie sono tornato a lavorare (ehm
...  a giocare) su 495 e 6174.
Ho costruito un sistema, un po' sull'empirico, che "mostra" che l'unico
numero possibile per n=4 e' proprio 6174.
NON E' UNA DIMOSTRAZIONE, sono il primo a dirlo, al punto che non la posto
nemmeno, in attesa di perfezionarla e, magari, di provarla con n cifre a
piacere.
Riporto, pero' quella per 495, perche' mi sembra fin troppo intuitiva:
dunque sia abc un numero di 3 cifre con a>b>c
La sottrazione "abc-cba" perche' abc sia un attrattore, deve risultare una
combinazione delle cifre abc (ovviamente in un ordine opportuno);
incolonnando si ha:
abc -                     a-1    b+9    c+10  -
cba =                      c       b        a     =
partiamo dal centro
(b +9)  -  b = 9  essendo la cifra piu' alta, non puo' che essere "a";
(c+10) -  a  non puo' essere "a", e nemmeno "c", altrimenti a=10, e' "b" ;
(a-1)   -  c   per forza di cose e' "c";
Ora risolviamo il sistema
{c+10 - a = b
{b+9 -b = a
{a-1 - c = c
che ci da' a=9, b=5, c=4
Non so se si possa chiamare dimostrazione, e nemmeno se e come si possa
applicare a numeri di n cifre.
Ma almeno, fila ?
Saluti,
Roberto


Oggetto:
Data: mercoledě 5 gennaio 2000 18.39
Come detto l'ultima volta, mi sono dedicato solo al 6174 e forse sono
arrivato ad una conclusione accettabile. Il ragionamento l'avevo accennato
nella postata del 4/1; ma ecco tutto lo sviluppo.
1) Perche' un numero sia un attrattore e' necessario che le sue cifre si
ripetano nel minuendo, nel sottraendo e nella differenza (ovviamente secondo
un ordine opportuno);
per un numero di 4 cifre (con a>b>c>d, essendo da escludere il caso di
ripetizione di cifre) avremo che
abcd - dcba dovra' risultare una qualsiasi combinazione di a, b, c, d tra le
24 possibili.
2) Nell'operazione si ha:
a     b-1      c+9      d+10 -
d      c          b          a   =
------------------------------
a      b         c          d , oppure
a      b         d          c , oppure
a      c         b          d , oppure
a      c         d          b , e via cosi' permutando...
3) Si tratta ora di scrivere un sistema
{d+10 - a =
{c+9   - b =
{b-1   - c =
{ a     - d =
mettendo, di volta in volta, a secondo membro una qualsiasi combinazione di
a,b,c,d. La questione e' meno complicata di quello che sembra, perche' molte
combinazioni si eliminano subito (per esempio tutte quelle con "d"
nell'ultima posizione, quella delle unita',
infatti d+10 - a = d, significa a=10, non accettabile).
4) l'unica combinazione accettabile, dopo aver eliminato risultati decimali,
negativi, assurdi o in contrasto con le condizioni iniziali, e' "bdac" che
risolve il sistema dando come valori di a, b, c, d, rispettivamente 7, 6, 4
e 1.
Ora, non essendo pratico di programmazione, non so se impostando un
programma in grado di risolvere sistemi piu' complessi si possa arrivare a
determinare altri attrattori. Personalmente ne dubito perche' per n piu'
grandi aumenta la possibilita' di ripetizione di cifre all'interno del
numero, cosa che complica troppo la faccenda.
E ora, per un po', mi dedichero' alla lettura de "L'uomo che amava solo i
numeri" di Hoffman.
Saluti,
Roberto
PS Nella soluzione di questo problema ho fatto piu' progressi in questi
giorni che in svariati anni di tentativi; grazie a tutti.