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Titolo: Come vincere al Superenalotto

Tratta dalla rubrica "Matematica" della rivista multimediale KULT
Underground
http://www.pianeta.it/WebKult
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Lo scopo di questo articolo è quello di determinare quali sono le
probabilità di vincita nel gioco del Lotto e del superenalotto e di
conseguenza valutare con quale svantaggio ogni povero cittadino gioca
contro lo Stato. Chi fosse interessato esclusivamente ai risultati
numerici può andare direttamente alla fine dell'articolo, in cui è
presente una tabella riassuntiva.
Chi ha invece un po' più di pazienza, potrà trovare da questo punto in
avanti i ragionamenti necessari per determinare i vari risultati. Per
fare questo, analizzeremo prima un altro gioco: il Lotto. I risultati
ottenuti dall'analisi del lotto ci serviranno per studiare il
Superenalotto.
Precisiamo ora le regole del gioco del Lotto: abbiamo 10 ruote, ciascuna
formata da 5 numeri. Per ogni ruota si estraggono senza restituzione 5
numeri da un'urna contenente 90 numeri. Il termine senza restituzione
sta ad indicare che una volta estratto, il numero non viene reinserito
nell'urna, di conseguenza non si può estrarre due volte lo stesso
numero.
Cominciamo col puntualizzare alcuni dettagli matematici di calcolo
combinatorio. Chiariamo inizialmente il concetto di combinazioni
semplici. Supponiamo di avere 50 persone e vogliamo sapere in quanti
modi possiamo formare una squadra di calcio (da 11 persone). Nel formare
una squadra, dobbiamo seguire due regole. La prima è che non possiamo
conteggiare due volte la stessa persona all'interno della squadra: cioè,
se una persona è stata scelta fra le 50, è ovvio che non possiamo
inserirla di nuovo, perché una persona non si può sdoppiare. L'altra
regola è che non conta l'ordine con cui scelgo le persone: posso ad
esempio chiamare prima Andrea poi Biagio e poi Carlo, ma anche prima
Carlo poi Andrea e poi Biagio; alla fine le pesone che formano la
squadra non cambiano anche se vengono elencate in modo diverso.
Una cosa simile succede anche quando estraiamo i 5 numeri di una ruota
del lotto: è come se formassimo una squadra con 5 persone prese da un
gruppo di 90. Come in una squadra non conteggiamo due volte la stessa
persona, così nel lotto non possiamo estrarre due volte lo stesso
numero. Ancora, come in una squadra non conta l'ordine delle persone,
così all'interno di una ruota non conta l'ordine dei numeri. Ad esempio,
giocando
11	27  56
se esce 55  11  56  27  18 si vince il terno
ma si vincerebbe anche se uscisse 18  11  27  55  56
oppure se uscisse 11  18  27  55  56.
Per convenzione decidiamo di ordinare crescentemente i numeri estratti.
C'è una formula per calcolare il numero di combinazioni semplici di n
elementi in gruppi di k (nel caso del lotto, n = 90 e k = 5), cioè in
quanti modi, senza ripetizioni e senza considerare l'ordine degli
elementi, posso raggruppare n numeri in gruppi da k. La formula è
n * (n - 1) * ... * (n - k + 1) / k!   dove con k! si indica il
fattoriale di k. La scritura bree di questa espressione è (n  k).
Applichiamolo al caso del lotto: (90  5) = 43.949.268
Questo ci dice che su una qualunque ruota ci sono circa 43 milioni di
modi diversi di formare una cinquina. Segue immediatamente che la
probabilità di indovinare una cinquina è di 1 su 43.949.268.
Calcoliamo ora la probabilità di fare ambo: supponiamo di aver scelto 2
numeri all'interno della ruota. Rimangono tre numeri che,
indipendentemente da come variano, non pregiudicano la vincita
dell'ambo. Questi tre numeri li posso scegliere fra i restanti 88, cioè
i 90 numeri del lotto tolti i due numeri fissati. I modi con cui posso
scegliere questi tre numeri sono (88  3). La probabilità di un ambo sarà
quindi di (88  3) / (90  5).
Più in generale la possibilità di indovinae n numeri (n = 2  ==> ambo, n
= 3 ==> terno, ecc…) è di
(90-n  5-n) / (90  5).
Facendo i calcoli numerici otteniamo i seguenti risultati:
Ambo        1 : 400,5
Terno       1 : 11748
Quaterna    1 : 511038
Cinquina    1 : 43949268
A voi il compito di confrontare questi risultati con quelli ufficiali
del gioco del Lotto.
Passiamo ora al superenalotto e cerchiamo le analogie con il lotto per
sfruttare i calcoli che abbiamo eseguito fin'ora. I sei numeri del
superenalotto sono i primi estratti delle prime sei ruote del lotto.
Dato che c'è la possibilità che il primo estratto della prima ruota sia
uguale al primo estratto di un'altra delle cinque ruote, c'è una regola
per cui si passa al secondo estratto nel caso di un numero doppio. In
questo modo siamo sicuri che tutti i numeri estratti siano diversi l'uno
dall'altro. In realtà c'è un caso particolare, ad esempio:
10    1   5    87    54
10   66  51    27    33
10   66  21    44    71
10   66  21    39    47
10   66  21    39    81
10   66  21    39    81
In questo caso teniamo il primo estratto della seconda ruota, poi il
secondo estratto della seconda ruota perchè il primo estratto è uguale a
quello della prima ruota. Poi prendiamo il terzo estratto della terza
ruota perché il primo estratto è uguale a quello della prima ruota e il
secondo estratto è uguale a quello della seconda ruota, ecc…
Arrivati alla sesta ruota, non abbiamo più numeri disponibili per cui
non è possibile determinare il sesto numero. Questa condizione è però
così improbabile (un caso su svariate decine di miliardi) che non è
nemmeno contemplato dal regolamento. Anche ai fini del calcolo delle
probabilità è del tutto inconsistente, quindi analizzaremo una versione
semplificata in cui non consideriamo questa possibilità.
Il superenalotto può essere visto come un estrazione del lotto con una
sola ruota da 6 numeri (ma questo non è un problema perché anche nel
lotto abbiamo fatto i conti su un'unica ruota) estratti da un totale di
90 numeri.
I possibili gruppi di 6 elementi saranno (90  6) = 622.614.630 e quindi
avremo una possibilità su oltre 622 milioni di indovinare la sestina.
Considerando una media statistica (molto approssimativa) di circa 100
milioni di schedine giocate, abbiamo circa una vincita ogni 6
estrazioni.
Calcoliamo ora la probabilità di indovinare n numeri e partiamo dal
risultato che abbiamo ottenuto dal lotto: (90-n  6-n) / (90  6).
C'è però una variante da tenere in considerazione: se nel lotto vogliamo
giocare un terno, scriveremo sulla schedina 3 numeri. Nel Superenalotto,
invece, scriviamo comunque 6 numeri, anche se poi fra quei 6 soltanto 3
saranno giusti. Dobbiamo perciò vedere quanti terni o più in generale
quante n-uple (cioè gruppi di n numeri) si possono formare con 6
elementi. Ancora una volta ci viene in aiuto la nostra formuletta: (6 
n)
La formula definitiva sarà (6  n) * (90-n  6-n) / (90  6).
Facendo tutti i calcoli abbiamo che:
n = 1      1 : 2,5
n = 2      1 : 49,5
n = 3      1 : 293,7
n = 4      1 : 11.356,4
n = 5      1 : 1.220.813
n = 6      1 : 622.614.630
Vediamo infine il caso del numero Jolly. Quello che ci è sempre stato
detto è la seguente affermazione: "Nel caso uno abbia indovinato un 5 ma
non un 6, c'è la possibilità di vedere se il 6 numero, quello sbagliato,
coincide con il numero Jolly". Tradotto in un'affermazione
matematicamente più corretta potrei dire: "nel caso in cui non ho
indovinato il 6 con le prime 6 cifre estratte, posso provare a vedere se
riesco a fare 6 con 7 numeri estratti" (7 = i primi 6 numeri più il
numero Jolly). E' come se fosse un lotto in cui la ruota contiene 7
numeri e io voglio indovinare una sestina. Basandosi sulla formula del
lotto, le probabilità di fare 5 + jolly sono
(90-n  7-n) / (90  7) che con n = 6 diventa (84  1) / (90  7)
cioè 1 : 88.944.947,17
In ogni caso la speranza matematica, cioè la possibilità di ottenere dei
guadagni giocando, è esclusivamente legata alla percentuale dei ricavi
che lo Stato utilizza per il montepremi. Se, ad esempio, il 60% di una
giocata viene messa nel montepremi, allora giocando per un lungo periodo
di tempo, per ogni 1000 lire giocate 600 ritornano come vincite, mentre
400 verranno perse.
Morale della favola: statisticamente parlano, il modo migliore per
guadagnare è non giocare.

guadagnare è non giocare.
Concordo. E i vizi come si dovrebbero mantenere?
Ciao
Renzo

Secondo il mio teorema, o forse sarebbe bene dire modello delle super
simmetrie, per vincere al superenalotto basta risolvere questa semplice
equazione:
numero di giocate +AD0- 0
Ciao
Paolo

KULT Underground ha scritto:
KU>  Arrivati alla sesta ruota, non abbiamo più numeri disponibili per cui
KU>  non è possibile determinare il sesto numero. Questa condizione è però
KU>  così improbabile (un caso su svariate decine di miliardi) che non è
KU>  nemmeno contemplato dal regolamento. 
così era nella prima versione del superenalotto, in vigore fino al settembre
del 1998.
Con la separazione dei montepremi di 6 e 5+1 è anche stato deciso che in
quell'eventualità rara, non si determina la sestina vincente e si accumula il
tutto per l'estrazione successiva.
KU>  Calcoliamo ora la probabilità di indovinare n numeri e partiamo dal
KU>  risultato che abbiamo ottenuto dal lotto: (90-n  6-n) / (90  6).
ed è la probabilità di indovinare n numeri su n
KU>  saranno giusti. Dobbiamo perciò vedere quanti terni o più in generale
KU>  quante n-uple (cioè gruppi di n numeri) si possono formare con 6
KU>  elementi. Ancora una volta ci viene in aiuto la nostra formuletta: (6 
KU>  n)
KU>  La formula definitiva sarà (6  n) * (90-n  6-n) / (90  6).
la formula non è corretta.
il numero di n-uple che si formano con 6 numeri é:
(6 n)(84 6-n)
quindi la formula per il calcolo è:
(6 n)(84 6-n)/(90 6)
KU>  Facendo tutti i calcoli abbiamo che:
KU>  n = 1      1 : 2,5
1/3.36
KU>  n = 2      1 : 49,5
1/21.51
KU>  n = 3      1 : 293,7
1/326.72
KU>  n = 4      1 : 11.356,4
1/11'907
KU>  n = 5      1 : 1.220.813
1'235'346
KU>  n = 6      1 : 622.614.630
KU>  numeri e io voglio indovinare una sestina. Basandosi sulla formula del
KU>  lotto, le probabilità di fare 5 + jolly sono
KU>  (90-n  7-n) / (90  7) che con n = 6 diventa (84  1) / (90  7)
KU>  cioè 1 : 88.944.947,17
di nuovo non è corretto:
7 numeri originano 7 sestine, di cui solo 6 valide per il 5+1 e un'altra
valida per il 6.
Quindi la probabilità del 5+1 è:
6/(90 6)=1/103'769'105
KU>  Morale della favola: statisticamente parlano, il modo migliore per
KU>  guadagnare è non giocare.
sì, ma al cuor non si comanda, per cui 1600 lire valgono bene il sogno di una
vincita miliardaria :-)
Ciao
Marco
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Non e' affatto necessario essere ricchi e famosi per essere felici. Basta
essere ricchi (Alan Alda)