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Titolo: Dadi Archimedei [lungo]

Premessa: avevo il dubbio se spedirlo ad un ng di matematica o di fisica ma, 
alla fine, ho pensato che questo fosse il ng giusto
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Consideriamo il lancio di un dado a 6 facce: l'uscita di ogni facia è, in un 
mondo ideale, equiprobabile grazie alla simmetria completa del cubo/dado.
Per gli altri dadi derivati da solidi regolari (platonici) le cose non 
cambiano: ogni faccia di un dado 
tetraedrico/ottaedrico/dodecaedrico/icosaedrico ha la stessa probabilità di 
uscire.
Ma cosa succede, in un mondo ideale, se numeriamo le facce di uno dei 13 
solidi archimedei? Qual'è la probabilità di uscita delle diverse facce?
Naturalmente tutte le facce di uno stesso tipo hanno la stessa probabilità 
di uscita ma che differenza ci sarebbe, ad esempio, tra una faccia 
triangolare ed una faccia quadrata di un cubottaedro?
In prima approssimazione ho pensato che le probabilità siano proporzionali 
all'area dei diversi poligoni componenti le diverse facce, troppo semplice?
Secondo voi è possibile determinare le probabilità? Quali potrebbero essere 
le variabili da tenere in considerazioni? L'area delle facce? L'ampiezza 
degli spigoli? L'inerzia del dado? (Un dado "cavo" si comporterebbe in 
maniera diversa da un dado "pieno"?)
Che ne dite?
Ciao,
GaS 

 maniera diversa da un dado "pieno"?
questo sicuramente sì, dato che i dadi truccati funzionano proprio in
questo modo, ma complica ulteriormente i calcoli... a meno di non
sbilanciare talmente tanto il dado da poter approssimare tutto in
maniera drastica. Cioè, se faccio un dado talmente disomogeneo da far
sì che il baricentro sia quasi coincidente con una faccia, allora sono
praticamente sicuro che ad ogni lancio si presenterà la faccia
opposta ;^)
Boh, non so se ho contribuito in qualche modo utile, ma certamente è
un problema interessante sul quale discutere ;^)
bye!

 Che ne dite?
Problema molto interessante. Provero' un approccio riduzionista.
Voi pensate che l'elasticita' del dado abbia importanza? Perche' se
si', allora dovremo ritrovarcela nella formula. Se no, allora possiamo
considerare un coefficiente di rimbalzo nullo. Io sono per la seconda
ipotesi, che prendo come ipotesi di lavoro, perche' "statisticamente"
penso che i rimbalzi favoriscano ora un risultato, ora un altro.
Pensate che un movimento rotatorio iniziale del dado abbia importanza?
Anche qua, se si' dobbiamo ritrovarcelo nella formula, Se no, possiamo
accettare un movimento rotatorio iniziale nullo  e una posizione di
partenza casuale.
Voglio ancora fare uno sforzo riduzionista: abbandoniamo per un attimo
il mondo 3D (poi ci torniamo) e andiamo in un mondo 2D (Flatland!). I
dadi normali qua sono quadrati, quelli un po' meno regolari sono
rettangolari e poi poligoni qualunque. Possiamo anche simulare tutto
con Phun (!).
Dunque, un rettangolo, partendo da una posizione casuale, cade in
verticale senza ruotare su se stesso e sbatte contro il suolo con un
urto completamente anelastico. La probabilita' che si fermi su un
certo lato e' proporzionale all'angolo che sottende i segmenti che
uniscono i suoi vertici con il baricentro. Se quest'angolo vale Alfa,
la probabilita' che si fermi su quel lato vale Alfa/2Pi.
Tornando in 3D, penso che si possa fare un ragionamento analogo, anche
se forse non basta sostituire l'angolo nel piano con l'angolo solido.
Questo perche' molto probabilmente il dado archimedeo cadra' su un
vertice e quasi mai su uno spigolo.
Ciao
Livio

 la probabilita' che si fermi su quel lato vale Alfa/2Pi.
se come dici sopra non consideri momenti e forze altri che la gravità
e l'urto è completamente anelastico non ha neppure senso parlare di
probabilità: sai esattamente da che parte cadrà, e cioè quella da cui
si trova il baricentro rispetto al punto di incidenza, senza poi
muoversi ulteriormente. Nel caso del rettangolo, semplicemente se lo
fai "cadere" di spigolo dopo l'urto si andrà a fermare con il lato
dalla parte dove Alfa è minore (se ho capito come lo misuri).
Per questo io avevo fatto riferimento ad un esistente movimento di
rotolamento... o quello o i rimbalzi elastici li devi considerare...
bye!

 muoversi ulteriormente.
Probabilmente è esattamente quello che voleva fare Livio: studiare
tutte le possibili posizioni di caduta (verticali) per ricavarne le
probabilità finali considerando "semplicemente" l'inclinazione del
dado.
Giusto?
Ciao,
GaS

 dado.
Ah ok, cioè alfa è una variabile aleatoria e non un parametro noto. In
questo senso il modello di Livio ci conferma che la geometria del
"solido" ha una relazione con la distribuzione di probabilità del
risultato: se alfa ha distribuzione piatta, un "quadrato"
comporterebbe una distribuzione anch'essa uniforme, mentre un
"rettangolo" introduce uno scalino: le due facce "lunghe" avranno più
probabilità di uscita di quelle "corte". E fin qui direi che siamo
concordi tutti...
bye!

Hermooz ha scritto:
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Aiutiamoci con un disegnino.
Siano gli urti anelastici e il rettangolo inizialmente fermo ed inclinato
dell'angolo Beta. Lo lascio cadere e vado a vedere su quale lato si posa.
Ripeto l'esperimento molte volte con Beta casuale oppure sistematicamente
variando Beta in modo progressivo.
Dal momento che l'energia cinetica si smaltira' tutta nell'urto
anelastico, il rettangolo si fermera' non appena tocca il suolo e poi
cadra' a destra o a sinistra a seconda della posizione del baricentro.
Quindi sostengo (s.e.&.o.) che, in questo caso ideale, la probabilita' che
il rettangolo si posi su uno dei due lati corti vale:
P = Alfa/2Pi
Poi dico (sempre s.e.&.o.) che se i tanti esperimenti li ripeto con
coefficienti diversi di elasticita' e altezze e volocita' di rotazione
diverse, le cose non dovrebbero cambiare statisticamente. Qualche
esperimento su Phun mi sta consolando in questa convinzione.
Ciao
Livio
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 vertice e quasi mai su uno spigolo.
Qui però non ti seguo, secondo me l'angolo solido è proprio quello che
cercavamo.
Io la vedo così: consideriamo la (semi)retta avente inizio nel centro
del solido e perpendicolare al piano. La semiretta interseca il solido
in una faccia x che è la faccia su cui si poserà il dado nelle ipotesi
da te fatte. Ne segue che la probabilità di ogni faccia è data proprio
dal rapporto tra l'angolo solido sotteso dalla faccia stessa con il
centro e l'angolo totale (4*Pi). Il fatto che  il dado cada su uno
spigolo non mi pare problematico, quello che importa è l'intersezione
della retta con il dado.
Ti torna? O sono io che sbaglio qualche cosa?
Ciao,
GaS

 esperimento su Phun mi sta consolando in questa convinzione.
In effetti, di questa ultima congettura sono sempre meno certo, anzi
ho cominciato a pensarla al contrario. C'e' un problema di energia. Il
rettangolo (il solido) che poggia sul lato piu' lungo ha il baricentro
piu' in basso, quindi ha esaurito tutta la sua energia potenziale.
Qunidi un lancio molto caotico finisce per favorire questa posizione.
La probabilita' e' legata a fattori fisici come l'elsticita' del dado
e del suolo, le vibrazioni, il vento, ecc..
Col simulatore, piu' aggiungo elementi perturbanti, piu' i dadi si
adagiano a energia potenziale minima.
Ciao
Livio

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Si', mi torna, ma ormai ho visto che queste considerazioni valgono
solo nel caso limite di elasticita' e pertubazioni nulle. Nella
realta' incide molto il fenomeno fisico. Ad es., in un terremoto,
tutti i solidi tenderanno ad andare nella posizione di minima energia
e difficilmente torneranno indietro. (vedi anche l'altro post).
Ciao
Livio

 adagiano a energia potenziale minima.
Beh, a naso torna. E' l'entropia, baby ;^)
bye!

 piu' in basso, quindi ha esaurito tutta la sua energia potenziale.
Così a naso direi che il punto è proprio questo: per avere un dado
"equo" è fondamentale che l'energia potenziale sia la stessa su
qualunque faccia, cioè che tutte le facce abbiano la stessa distanza dal
centro. Forse ha qualche importanza anche la "barriera di potenziale"
per passare da una faccia all'altra, ma secondo me molto minore.
Se le distanze delle facce dal centro non sono uguali, sicuramente le
facce più vicine hanno probabilità maggiore delle altre, di quanto però
non saprei. Propenderei però per una relazione fortemente non lineare.
Se invece le distanze sono uguali, allora potrebbero entrare in gioco
anche le aree/angoli solidi. La pagina sui dadi di Wikipedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Dice
riporta un elenco di tutti i poliedri che danno dadi equi: sono tutti
quelli che hanno facce uniformi (esiste una simmetria del solido che
manda una faccia in ogni altra).
Non so se esistano dadi equi con facce diverse. Ad esempio si può
costruire un poliedro che ha per facce sei quadrati (di lato 1) e 8
esagoni non regolari (lati 1 e (sqrt3-1)/2, angoli tutti di 120°) che,
se non ho fatto male i calcoli, ha le facce tutte alla stessa distanza
dal centro ((sqrt6+sqrt2)/4). L'area degli esagoni è 9/8, quindi non
troppo diversa da 1. Un affare così cadrà di preferenza sul lato
quadrato o su quello esagonale?
Maurizio
-- 
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

 quadrato o su quello esagonale?
Ho provato a costruire questo dado in cartoncino ed ho fatto qualche
lancio di prova, giusto per curiosità. Siccome ci sono 6 facce quadrate
e 8 facce esagonali, mi aspettavo di vedere un esagono molto più spesso
di un quadrato, invece escono più o meno con la stessa frequenza, almeno
dopo un centinaio di tiri. L'impressione è che il fatto che le facce
esagonali abbiano più lati giochi un ruolo importante: il quadrato
risulta più stabile, anche se la distanza dal centro è la stessa. 
La mia impressione, insomma, è che costruire un dado equo con facce
diverse sia molto difficile, se non impossibile.
Ho messo, per chiarezza, un diagramma esploso del dado qui:
http://www.webalice.it/maurizio.frigeni/dado.png
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