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Titolo: Persistenza

Ci sono due numeri di 3 cifre tali che appaiono le stesse 3 cifre alla
destra di ogni loro potenza.
In simboli:
abc^k = ........abc
Dove abc rappresentano 3 cifre non necessariamente differenti.
Quali sono ?
:) dario


wrote:

SPOILER
Uno è 625. Questo l'ho trovato immediatamente.
Anzi aggiungerei che (0625)^k= ...0625 ^___^
L'altro è 376. Trovato con l'aiuto del PC verificando quando 
x=n^2-n, x-trunc(x) = 0. Per fortuna solo due sono stati selezionati.
Dopodichè ho verifivato 376 per qualche potenza.
salve salvino
Sturmtruppen
-- 
Provare che ho ragione significherebbe riconoscere che posso aver
torto.
--
mail to: 
mic...@tiscalinet.it
website: 
http://web.tiscalinet.it/mic.ant
l'altro 

 :) dario
spoiler
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E' equivalente a dire che:
abc^(k+h)-abc^k=...000      con h e k naturali qualunque
cioè abc^k(abc^h -1) mod 1000=0
per cui abc^k e abc^h -1 devono fornire i fattori 2^3 e 5^3
che formano il 1000.
Dovendo essere vero per ogni potenza di abc
prendiamo le più piccole: abc^2-abc
abc(abc-1) =2^3*5^3*...
abc e abc-1 sono uno e uno solo pari 
=> abc mod 8=0 o abc-1 mod 8=0
inoltre dato che due consecutivi non possono essere
entrambi multipli di 5 dev'essere:
abc mod 125=0 o abc-1 mod 125=0
cioè quattro possibilità:
1)abc   mod 8=0 e abc   mod 125=0
2)abc-1 mod 8=0 e abc-1 mod 125=0
3)abc   mod 8=0 e abc-1 mod 125=0
4)abc-1 mod 8=0 e abc   mod 125=0
caso 1 e 2: non vanno bene, perché abc sarebbe >=1000
caso 3: abc-1 può essere:
abc-1= 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875
cui corrisponde:
abc  = 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876
e si vede che solo 376 è multiplo di 8 => abc=376
caso 4: abc può essere:
abc=   125, 250, 375, 500, 625, 750, 875
cui corrisponde:
abc-1= 124, 249, 374, 499, 624, 749, 874
e si vede che solo 624 è multiplo di 8 => abc=625
abbiamo quindi abc=376 o 625
Ciao
Andrea

 Quali sono ?
Ne ho trovati 2+2
I primi due sono:
000 e 001
:-)
gli altri due:
spoiler
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376 e 625
con la forza brutta sarebbe stato fin troppo facile, allora ho voluto
provare un altro metodo.
chiamero'
N = 100*a + 10*b +c   il numero cercato;
X, X1, X2, ... numeri generici multipli di 1000,
Y, Y1, Y2, ... ecc. numeri generici multipli di 100
Alcune considerazioni preliminari:
 se la condizione richiesta e' verificata per N^2, allora lo e' per
qualsiasi N^k
infatti N^2 deve essere della forma
N^2 = X + N, quindi
N^3 = N^2 * N =  X*N + N^2 = X*N + X + N  = X*(N+1)*N
cioe'
N^3 = X1 + N e ancora della forma che verifica la condizione richiesta
e, procedendo nello stesso modo, la verifica e' valida per qualunque
esponente.
E' facile vedere che c puo' assumere solo i valori 0,1,5,6, unici numeri il
cui quadrato termina con la stessa cifra
escludo immediatamente lo zero, infatti le potenze ab0^k, con k>2, sono
della forma
...000, quindi dovrebbe essere N=000 (soluzione *anomala*)
provo per c=6
cerco quale puo' essere la penultima cifra b
N= 100*a + 10*b + 6
N^2 = 10000*a^2 + 100*b^2 + 36 + 200*a*b + 1200*a + 120*b
riunisco tutti i termini multipli di 100
N= Y1 + 10*b + 6
N^2 = Y2 + 20*b + 36
la differenza
N^2-N = Y3 + 10*b + 30 deve essere multipla di 100,, e tale deve essere
anche la somma
10*b+30, quindi b+3 deve essere multiplo di 10, e b=7
cerco ora la terzultima cifra a
N=100*a + 76
N^2= 10000*a^2 + 15200*a + 5776
ossia
N = 100*a + 76
N^2 = X2 + 200*a + 776
e la differenza
N^2-N = X3 +100*a +700 deve essere multipla di 1000, quindi
a+7 multipla di 10, ed a=3
quindi N=376
con lo stesso procedimento, partendo da c=5, trovo N=625
invece, partendo da c=1, trovo l'altra soluzione anomala N=001
(ma che fatica, la prossima volta ritorno alla forza bruta :-)
ciao
paolo

 una mezzoretta. Ma quando ho tempo ci provo.
Per n=1 tre valori: 1, 5, 6
Per n=2 ci sono due valori, 25 e 76
Per n=3 ancora due valori: 625 e 376
E' facile convincersi che passando da una dimensione alla successiva la
parte finale si conserva, o meglio, se un numero axxx e` una soluzione per
n, xxx lo e` per n-1. Quindi basta anteporre a ciascuno dei risultati di
ordine n ognuna delle cifre possibili e controllare se il numero cosi`
formato va bene per l'ordine n+1.
Ecco i risultati per n=10 (per gli n precedenti basta prendere le n cifre di
destra). E` comunque facile arrivare anche a centinaia di cifre, volendo
persino a mano.
18212890625, 81787109376
Ciao, Silv:o)

Non ho avuto tempo di verificare con precisione ma da conti fatti mi
risulta che non esiste un numero di QUATTRO cifre tale che
abcd^k= #...#abcd
Per cinque non ho nemmeno osato visto che avrei impegnato il PC per
una mezzoretta. Ma quando ho tempo ci provo.
salve salvino
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