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Titolo: [MA] Estrazioni di coppie

Un'urna contiene N palline bianche e N palline nere, con N pari. Estraiamo
tutte le palline a coppie. Qual è la probabilità che tutte le coppie siano
formate da palline dello stesso colore?
Ciao :-)
Giorgio

 tutte le coppie siano formate da palline dello stesso colore?
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La stessa che siano tutte formate da palline di colore diverso!
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio
scusa, non ho resistito


Ma non è mica vero!
Se le palline nell'urna sono BBNN ed estraiamo per prima, ad esempio, una B,
la probabilità che la successiva sia B è 1/3 e naturalmente l'altra coppia
sarà NN. Mentre, sempre dopo aver estratto la prima B, la probabilità che la
successiva sia N è 2/3 e l'altra coppia sarà naturalmente BN (o NB).
E' vero che se lo pensi come lanciare una moneta, la provabilità che esca TT
o CC è uguale a quella che esca TC o CT, ma nel caso della moneta c'è il
reimbussolamento, mentre nel nostro caso no. E dopo aver ottenuto T, rimane
solo un'altra T a disposizione e quindi è più facile che esca C.
Lo so che dirai che stavi scherzando, ma io non ci credo! :-))))))))
Ciao :-)
Giorgio

 Lo so che dirai che stavi scherzando, ma io non ci credo! :-))))))))
Stavo scherzando!  ;o))))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Se le palline nell'urna sono BBNN ed estraiamo per prima, ad esempio, una
B,
....
Ma non hai detto che le estraevi a coppie?
quindi 2/3 sono monocolori, almeno alla prima estrazione
saluti
Roberto M.

 quindi 2/3 sono monocolori, almeno alla prima estrazione
e perché non:
casi possibili estraendo la prima coppia:
BB, BN, NB, NN
due omo e due etero. P=1/2
-- 
Silv;o)


Ciao :-)
Giorgio

 ha scritto nel messaggio
news:bq4s5l$1usast$1...@ID-49224.news.uni-berlin.de...

e allora perche' non B1B2 o B2B1 e N1N2 con N2N1
ricorda questa storia quella dei figli m o f
saluti Roberto m.
PS com'e' che Silvio ha risposto prima che mi apparisse il mio post ?

 PS com'e' che Silvio ha risposto prima che mi apparisse il mio post ?
Sappiamo tutti che Silvio è molto bravo (anche se sembra che oggi abbia
voglia di scherzare pure lui! ;-) )
Ciao :-)
Giorgio

 formate da palline dello stesso colore?
s
p
o
i
l
e
r
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.
.
.
.
.
.
.
.
Non saprei come scriverla qui, ci provo:
se P_N/2 è la produttoria per i che va da 1 a N/2 la probabilità p è:
p=P_N/2{[N-(2i-1)]/[2N-(2i-1)]}
ho indovinato? 
La formula l'ho ottenuta tramite "brute force induttiva", nel senso che ho
usato la brute force (2 o 3 tentativi e il tutto mi ha ricordato il metodo
induttivo, che ho studiato una decina d'anni fa!)
ciao
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 voglia di scherzare pure lui! ;-) )
Infatti mi firmavo Silv;o)
Volevo solo imbrogliare un po' le acque con una delle classiche
interpretazioni che escono fuori ogni volta che si discute di queste cose.
A me personalmente questi problemi piacciono molto. Soprattutto quando sono
apparentemente semplici come questo.
-- 
ciao, Silv:o)


Mi sembra che funzioni solamente per N = 2, p = 1/3. Per N = 4, se non
sbaglio, la tua produttoria vale 1/15, mentre il valore giusto (secondo me
:-) ) è 3/35.
Ciao :-)
Giorgio

 :-) ) è 3/35.
Forse ho scritto male la produttoria e non ci siamo capiti.
Per come l'intendo io, la probabilità data dalla produttoria è:
N=2 p=1/3 ok
N=4 p=3/35 cioè 3/7*1/5 (uguale a te :) )
N=6 p=5/231 cioè 5/11*1/3*1/7
che ne dici ora? :-)


 N=6 p=5/231 cioè 5/11*1/3*1/7
o meglio N=6 p=5/11*3/9*1/7
in altre parole, dato N pari, la probabilità di cui parliamo è data dal
prodotto di tutti i numeri dispari minori di N, diviso il prodotto di
tutti i numeri dispari compresi tra N e 2N...
.. o sbaglio?  ^__^
ciao



Che hai ragione! :-)
Ero io che sbagliavo a fare i calcoli con la tua produttoria. Comunque, il
tutto è esprimibile con dei normali fattoriali e sarebbe anche molto
importante trovare una motivazione logica per la formula risolutiva.
Ciao :-)
Giorgio

 Questo non mi è chiaro.
voglio dire che in mano hai o BB, o NN o BN
per essere piu' "seri":
estrazione separata: se estrai prima una B la probabilita' che sia B anche
la seconda  e' minore della prob che sia N (se sono 100 in tutto pB = 49/99,
pN =50/99) quindi
p monocolore = 1/100 * 49/99 *2 questo perche' i monocolore sono i due tipi)
estrazione contemporanea: come da post precedente 2/3.

 estrazione contemporanea: come da post precedente 2/3.
In tutti i casi? A prescindere dal numero di palline che ci sono dentro?
Anche se ci sono 10000 palline bianche e 2 nere? In fondo in mano mi
ritroverò sempre o con BB o NN o BN, quindi la monocolore è sempre 2/3.
Interessante!
Se io infilo la mano nell'urna e prendo una sola pallina, poi, senza
estrarre la mano dall'urna e tenendo in mano la pallina e stando attento a
non farla cadere, prendo sempre con la stessa mano un'altra pallina; quindi,
solo a questo punto, sfilo la mano dall'urna e guardo le due palline...
questa la consideri un'estrazione separata o contemporanea?
Ciao :-)
Giorgio

 importante trovare una motivazione logica per la formula risolutiva.
Ohi... motivazione logica... vabbe', io dico come ho fatto, se c'e' una
motivazione logica, giuro! non ho fatto apposta... :-)
Per comodita' dico che ho 2*n palline bianche e 2*n nere.
Le metto in fila, cosi' poi le estraggo una per una ordinatamente.
Ci sono (4*n)! permutazioni [molte di queste saranno uguali, ma c'e' il
vantaggio di poterle considerare tutte equiprobabili].
Le permutazioni *buone* avranno n coppie di palline bianche in un totale
di 2*n posizioni possibili. Cioe': (2*n)!/(n!*n!). Ognuna di queste
possibilita', nelle permutazioni di prima, va contata (2*n)!*(2*n)! volte
[sono le permutazioni delle 2*n bianche per le 2*n nere].
In totale le permutazioni *buone* sono:
((2*n)!)^3/(n!)^2
Ottengo quindi una *bruttissima* [e' che a me proprio non piace... sara'
perche' gia' con n=1 faccio fatica a calcolarla?] formula:
((2*n)!)^3/((n!)^2*(4*n)!)
Ciao ciao
Claudio
-- 
"[...] voglio sgrullarti fino a farti diventare una gattina,
 ecco che ti voglio fare!"
da "Attraverso lo specchio" di Charles Lutwidge Dodgson

 per la formula risolutiva.
Uso un approccio simile a quello di Claudio.
Quante sono le possibili sequenze ordinate di 2n "b" e 2n "n"?
sono C(4n,2n) ovvero tanti quanti sono i modi di piazzare le 2n bianche su
un totale di 4n posizioni.
Nell'esempio più semplice, sono C(4,2)=6!/(3!3!)=6
bbnn
bnbn
bnnb
nbnb
nnbb
e quante le sequenze che hanno solo coppie omgenee?
Se "B"="bb" e "N"="nn" allora le sequenze sono solo 2:
BN = bbnn e
NB = nnbb
In generale sono C(2n,n) ovvero quanti sono i modi di piazzare le n coppie
bianche su un totale di 2n possibili posizioni.
la probabilità richiesta è dunque:
P=C(2n,n)/C(4n,n)
Manipolando un po' i fattoriali si trova la formula già trovata da
SuperPollo
--
Ciao, Silv:o)

 questa la consideri un'estrazione separata o contemporanea?
il fatto di aver comunque fatto una estrazione altera il contenuto
dell'urna, quindi anche la probabilita', anche se tu non sai cosa hai
estratto
ricordi il problemino sulla probabilita' che X abbia due figli maschi?
saluti
Roberto M.

 ricordi il problemino sulla probabilita' che X abbia due figli maschi?
aridaje.
non centra quasi nulla.
Li ci sono alcune considerazioni non proprio banali sull'interpretazione, di
natura linguistica più che matematica. Qui tutto è chiarissimo.
--
Ciao, Silv:o)

 P(XX)=P(BB)+P(NN)=4/12=1/3
--
Silv:o)


Ciao Claudio,
parto dal fondo. La tua formula finale è giusta! Mi fido del tuo
ragionamento, anche se non ho la forza di mettermi a controllarlo passo per
passo! :-)
Bene anche quello di Silvio, che sembra più semplice e che, ugualmente,
accetto sulla fiducia. :-)
Vorrei proporvi quello che è stato il mio approccio alla soluzione di questo
problema, che ha il vantaggio di basarsi su considerazioni che rimuovono per
buona parte la necessità di ricorrere a formule (che non saprei gestire) e
dovrebbe essere comprensibile a tutti (a partire da me). Attribuisco ad N un
valore, così il discorso è ancora più semplice; ad esempio N = 6 (12 palline
in tutto).
La prima considerazione è stata questa: invece di estrarre le palline a
coppie, posso pensare di estrarne 6 (metà del totale), disporle in ordine di
estrazione sul tavolo, poi estrarre le altre 6 e disporle, sempre in ordine
di estrazione, a fianco delle prime. Otterrò comunque delle coppie, che
hanno la stessa probabilità di uscita di quelle che otterrei con il metodo
tradizionale (una coppia alla volta).
A questo punto le condizioni che le coppie siano tutte monocolori sono:
1. Le prime 6 palline estratte (e anche le altre 6) dovranno essere 3 nere e
3 bianche. Altrimenti non potrei ottenere tutte le coppie.
2. La seconda serie di 6 palline potrà presentarsi secondo una particolare
disposizione tra tutte le possibili con 3 bianche e 3 nere (non mi interessa
sapere quante disposizioni sono). Ad esempio potrà essere BBBNNN o BNNBBN o
qualunque altra indifferentemente. E' facile verificare che sono tutte
equiprobabili.
Siccome la prima serie deve essere identica alla seconda e siccome la
seconda sarà pur fatta in un qualche modo, ad esempio BBBNNN, tutto si
riduce a calcolare la probabilità che la prima serie sia proprio BBBNNN.
Fine del problema! :-)
Con pochi conti (alla mia portata) trovo che la probabilità è: 6/12 * 5/11 *
4/10 * 6/9 * 5/8 * 4/7. Generalizzando a N: N!/(N/2)! * N!/(N/2)! *
N!/(2*N)!, che, con gli opportuni raggruppamenti, coincide con la formula di
Claudio (dove N = 2n).
Ciao :-)
Giorgio

 Fine del problema! :-)
Bella! :-)
Una cosa che s'impara a seguire IHE e' che non c'e' mai una sola strada...
hai presente quando Silvio sostituisce una lunga serie di calcoli con
un'osservazione come: "considerando la simmetria..."?
Ecco, io rimango sempre *estasiato* da cose cosi'. :-)



Ciao :-)
Giorgio

 Fine del problema! :-)
Fammi capire, mi pare un ragionamento di una limpidità sconvolgente.
Tu dici: le coppie devono essere metà nere e metà bianche. Quindi una metà
delle palline - le prime, le dispari, non importa - DEVE essere formata da
tante N quante B. Se questo si verifica allora siamo quasi a posto: dobbiamo
solo forzare l'altra metà - che per forza di cose ha la stessa
composizione - a ripetere la stessa sequenza. Però, osservi, per ognuna
delle x sequenze (equiprobabili) di un gruppo, solo una sequenza su x
nell'altro gruppo sarà uguale. E non sto manco a contarle! Mi calcolo la
probabilità di una sequenza a caso e sto a posto. Faccio a meno di
moltiplicarla per 1/x (per ottenere la probabilità che la seconda sequenza
sia uguale alla prima) e poi per x (quante sono le possibili sequenze
equiprobabili).
Questo apre una nuova era per questi problemi!
-- 
Ciao, Silv:o)

La differenza non e' nel calcolarla, ma nella forma limpida che assume.
Vedo ora il thread.. :-(
Guardate se e` veloce anche questo:
Casi favorevoli f = Permutazioni di N oggetti dei quali
N/2 uguali tra loro (le bianche) e gli altri N/2 uguali
tra loro (le nere) = N!/[(N/2)!*(N/2)!]
Casi totali t = Permutazioni di 2N oggetti dei quali N
uguali tra loro.. [cioe` la stessa di prima con valori
doppi]
Pertanto per la probabilita` p si ha:
p = f/t = N!*N!*N!/(2N)!/(N/2)!/(N/2)!
-- 
Ciao,		| Attenzione! campo "Reply-To:" alterato ;^)
Remigio Zedda	| E-mail: 
remi...@tiscali.it
			-- Linux 2.4.22 su Slackware 9.1

 risolutiva.
Trovata la formula, le interpretazioni arrivano, soprattuto se la formula è
suggestiva come questa.
Eccone un'altra:
Estraiamo le palline una alla volta. Per fare tutte coppie dobbiamo solo
preoccuparci, nelle estrazioni pari, di ripetere il colore dell'ultima
estrazione. Nelle estrazioni dispari quello che viene viene. Supponiamo che
ci siano 6+6 palline.
Estratta la prima, abbiamo 5 probabilità su 11 di ripescarne una uguale.
Estratta la terza, le cose sembrano complicarsi. Se è ancora del colore
delle prime due, restano 3 palline su 9 per chiudere un'altra coppia,
altrimenti ci sono ben 5 palline su 9. E così via, per tutte le possibili
scelte.
Comunque si dovranno realizzare una serie di eventi le cui probabilità
saranno del tipo a/11, b/9, c/7, ... , f/3, g/1 dove con a,b,..g sono le
palline del colore opportuno ancora nell'urna dopo le estrazioni dispari.
Per esempio per realizzare la sequenza BB-NN-BB-BB-NN-NN dovranno
verificarsi sei eventi la cui probabilità è 5/11,5/9,3/7,1/5,3/3,1/1
I denominatori comunque saranno sempre i numeri 5,5,3,3,1,1 i denominatori
sempre 11,9,7,5,3,1.
In definitiva la probabilità dell'impresa vale (5*3*1)/(11*9*7)
--
Ciao, Silv:o)

 tra loro (le nere) = N!/[(N/2)!*(N/2)!]
o bella, hai appena scoperto che le combinazioni sono rapporti di
permutazioni ;-)
Come dice Claudio, uno da per scontato le formule, ma dietro ci sono
concetti.
--
ciao, Silv:o)


... che si presta perfettamente ad essere espressa per mezzo dei "famosi"
multifattoriali *:
(N-1)!!^2 / (2N-1)!!
Ciao :-)
Giorgio
* 
http://mathworld.wolfram.com/Multifactorial.html

 * 
http://mathworld.wolfram.com/Multifactorial.html
Finora non m'era mai capitato un caso dove fossero utili, 'sti
multifattoriali... ma forse m'era solo sfuggito... :-(



Nemmeno io li avevo mai usati prima! Ma quando ho visto la formula di Silvio
con dei moltiplicatori dispari in progressione, non mi è parso vero! :-)
E mi sa tanto che, se si estende il problema a triple di palline B o N,
invece che coppie, salta fuori anche il fattoriale triplo (N!!!).
Ciao :-)
Giorgio


Con N palline bianche, N nere e N rosse (N multiplo di 3) da estrarre a
gruppi di 3 monocolori, la formula dovrebbe essere:
(N-1)!!!^3 * (N-2)!!!^3 / ((3N-1)!!! * (3N-2)!!!)
... e con questa, di multifattoriali, per quest'anno, ne ho avuto
abbastanza!
Ciao :-)
Giorgio

 abbastanza!
Ohi, non so tu, ma nei prossimi giorni mi capitera' di provare a risolvere
pure le somme coi multifattoriali... ;-)


 In ogni caso mi risultano tutte equivalenti.
appunto ;)
-- 
Ciao, Silv:o)

C(n;k1,k2,..)=n!/(k1!k2!..)
Bada che questa formola che indichi: n!/(k1!k2!..), e`
quella delle permutazioni di n elementi non tutti
distinti, cioe` e` essenziale la posizione.
Mi spiego. Elementi: a,a,b,b,b; permutazioni: 10. Eccole:
aabbb ababb abbab abbba
baabb babab babba
bbaab bbaba
bbbaa 
Ebbene tutte queste 10 come combinazioni sarebbero una
sola, sono cioe` tra loro indistinguibili, come avere in
mano due Assi e tre Re: non importa in che ordine te li
hanno dati.


 distinti, cioe` e` essenziale la posizione.
E' proprio lei, scusate l'imprecisione nel nome.
Mi sono fatto trasportare dalla generalizzazione. Con due colori sono
parenti strette: ad ogni "permutazione" di colori corrisponde una
"combinazione" di posizioni.
Per esempio, alla stringa "ababba" corrisponde alla scelta di 1,3,6 per le
bianche.
-- 
Ciao, Silv:o)