Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Variazioni sul tema...

1. Una variante del gioco Testa o Croce di Paolo Licheri
Due giocatori: A e B.
Si lancia ripetutamente una moneta
Se esce Testa A paga a B 1 dollaro la prima volta, 2 la seconda, 4 la terza
e cosi' via raddoppiando ogni volta finche' non esce Croce.
Quando esce Croce B paga ad A una cifra X e il gioco termina.
Quanto deve valere X perche' la scommessa sia equa, nei due casi seguenti?
Caso 1: A deve continuare a giocare fino a quando esce croce.
Caso 2: A puo' decidere di smettere quando vuole, pagando X.
2. Una variante del problema delle 3 porte
Ci sono 3 sacchetti indistinguibili che contengono delle palline.
Sappiamo che in un sacchetto ci sono 2 palline bianche, in un altro 2 nere e
nel terzo una bianca e una nera.
Si sceglie a caso un sacchetto e da questo si estrae (senza guardare!) una
pallina.
Se la pallina e' bianca, che probabilita' ci sono che l'altra sia nera?
Ciao ciao
Claudio

Caso 2: A puo' decidere di smettere quando vuole, pagando X.
Sono proprio rimba! cosi' non ha senso... Doveva essere:
Caso 2: A puo' decidere di smettere quando vuole, punto e basta.
I'm sorry :-( tanto ci siete abituati, vero?
Ciao ciao
Claudio

Se la pallina e' bianca, che probabilita' ci sono che l'altra sia nera?
indicando nell'ordine: Colore_estratto, Colore_ rimasto_ nel_sacchetto, le
probabilita' a priori sono
B B  1/3
N N  1/3
B N  1/6
N B  1/6
dal momento che ho estratto B, escludo i casi che iniziano con N, e
riproporziono le probabilita' per i casi rimasti
B B  2/3
B N  1/3
quindi la probabilita'richiesta DOVREBBE essere 1/3
uso il condizionale, perche' il problema delle 3 porte ha sconvolto le mie
certezze in materia
ciao
Paolo

certezze in materia
...
Gia'! ho visto che su it.fan.dewdney ci sono ancora discussioni infinite
sulle tre porte, per questo ho postato il problema... credo che questo gioco
sia l'antenato delle 3 porte, l'ha ideato un matematico francese, Joseph
Bertrand.
Non credo che i due problemi siano equivalenti, ma ci trovo molte analogie.
Ciao ciao
Claudio
PS: ho sempre un disco che mi avanza! se non riesco a sistemarlo... mi sa
che lo dovro' buttare :-(

 
Quello che stai chiedendo e' equivalente a "Quale e' la probabilita' di
avere scelto il sacchetto con due palline diverse?"
Ovviamente e' 1 su 3.
Ciao,
      GianPiero
-- 
*  Istituto Nazionale di Ottica                        GianPiero Puccioni  *
*  Largo E.Fermi 6                               E-Mail :  
g...@fox.ino.it
  *
*  I-50125  Firenze - ITALY    =>this space intentionally left non-blank<= *

 Caso 2: A puo' decidere di smettere quando vuole, punto e basta.
Prendiamo in esame 4 lanci. Per la simmetria dei 2^4 = 16 casi:
A vince 8 volte al primo lancio dopo aver pagato 0
A   "   4   "      secondo  "     "              1
A   "   2   "      terzo    "     "            1+2
A   "   1   "      quarto   "     "          1+2+4
A NON VINCE  1 volta              "        1+2+4+8
A paga:
4*1 + 2*3 + 1*7 + 1*15 = 32 dollari
A vince 8+4+2+1 = 15 X
Perche' il gioco sia equo X= 32/15 = 2,1333..
In generale per n lanci:
A paga   0   per 2^(n-1)  volte
A  "	 1       2^(n-2)    "
A  "     3       2^(n-3)    "
A  "     7       2^(n-4)    "
.......
A  "  2^(n-1)-1    2^0      "
A  "    2^n-1      2^0.     "
A incassa 2^n-1 volte. 
I valori di X per vari n sono:
n            X
2	 4 / 3      = 1,333...    
3       12 / 7	    = 1,714...	
4	32 / 15     = 2,133...
5	80 / 31     = 2,580...
6      192 / 63     = 3,047...
7      448 / 127    = 3,527...
...
I numeri 1,4,12,32,80,192...   sono = n*2^(n-1)
I numeri 1,3,7,15,31,63,127... sono = 2^n-1
Mi sembra che se non definiamo a priori il numero dei lanci sia
impossibile dare un valore ad X.

 Non credo che i due problemi siano equivalenti, ma ci trovo molte analogie.
Ce ne sono diversi tutti analoghi. Lewis Carroll nel 1887 in Pillow
Problems:
Un sacchetto contiene una pallina o bianca o nera.
Una pallina bianca e' aggiunta alla prima.
Dopo aver mescolato, viene estratta una pallina a caso ed e' bianca.
Qual'e' la probabilita' che anche quella rimasta nel sacchetto sia
bianca ?
Questo e' ancora piu' ingannevole per il solito ingenuo:
Nel sacchetto ci sono 3 gettoni con le rispettive facce:
nero-nero  bianco-bianco  bianco-nero.
Un gettone viene estratto e appoggiato sul tavolo, si vede una faccia
bianca.
Qual'e' la probabilita' che anche l'altra sia bianca ?
La vittima ragiona cosi':
Tolto il nero-nero, restano 2 possibilita'...ecc.

Ce ne sono diversi tutti analoghi. Lewis Carroll nel 1887 in Pillow
...
Allora il buon Carroll e' arrivato prima! Quello di Bertrand mi risulta del
1889.
Ciao ciao
Claudio

Ovviamente e' 1 su 3.
Adoro queste risposte che arrivano diritte al cuore! :-(piacerebbe anche a
me, ma...)-:
E mi sono piaciute molto anche le dimostrazioni che hai raccolto su
it.fan.Dewdney a proposito delle 3 porte!
Ciao ciao
Claudio

impossibile dare un valore ad X.
E' cosi' infatti! se A e' obbligato a giocare fino alla fine, non c'e' somma
che renda equo il gioco!
E' un divertente e paradossale risultato.
Ciao ciao
Claudio

E' un divertente e paradossale risultato.
Applicando brutalmente delle formule:
X=q(1)*p(1)+q(2)*p(2)+q(3)*p(3)+.... +q(n)*p(n)+...
Ora: p(1)=1/2   (prob. per A di perdere la prima partita)
        p(n)=1/2^n
        q(1)=1       (somma che paga A se perde la prima partita)
        q(n)=2^(n-1)
Sostituendo le p(n) e q(n) nella serie si ottiene
X=1/2+1/2+1/2+......
La serie e' divergente.
Se A puo' smettere di giocare quando vuole... penso che X debba essere 1
dollaro. Giusto?
MF

dollaro. Giusto?
E' cosi'! e malgrado questo credo che nessuno, sano di mente, scommetterebbe
1000 dollari nel caso 1.
Certo le cose sono diverse quando nel calcolo delle probabilita' si parte
dall'assunto che le risorse a disposizione sono illimitate come pure il
numero di giocate.
Nel caso 2 la scelta migliore per A e' sempre di smettere dopo il primo
lancio, quindi la scommessa e' equivalente a quella sul singolo lancio.
Ciao ciao
Claudio

salutami i tui incubi
Mi spiace, niente incubi! comunque non ti pare che gli enigmi di questo NG
siano una valida alternativa? ;-)
Ciao ciao
Claudio