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Titolo: Triangoli

"La somma delle lunghezze dei lati di un triangolo vale 18 cm. La
somma dei quadrati delle lunghezze dei lati vale 128 cm quadrati.
Quanto vale l' area del triangolo in cm quadrati?" Questo e' un
quesito presentato alla prova Kangourou di matematica del 18 Marzo
1999. La risposta e' da scegliere tra i valori: 18, 16, 12, 10 e 9.
Vietato l' uso della calcolatrice.  Nel sito la risposta che viene
data e' 9: perche? E' chiaro che l' area non puo' essere ne' 18 ne' 16
in virtu' del fatto che un triangolo di area max per un dato perimetro
e' quello equilatero che nel nostro caso avrebbe lato 6 e area
9*sqrt(3)<16. Ma non so come scartare le altre due soluzioni. Grazie
per l' aiuto.
Vittorio Grandi

 Quanto vale l' area del triangolo in cm quadrati?"
Non so ancora come scartare le altre soluzioni, ma mi č venuta la curiositą
di
calcolare i lati del triangolo di area 9, ed ho trovato
a=8
b=5+sqrt(7)
c=5-sqrt(7)
Silv:o)

 Quanto vale l' area del triangolo in cm quadrati?"
spoiler
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Supponiamo che il triangolo sia rettangolo. Allora l'ipotenusa e' lunga 
sqrt(128/2) = 8, quindi la somma dei cateti e' uguale a 18 - 8 = 10.
La somma dei quadrati dei cateti deve essere 64, quindi
x^2 + (10-x)^2 = 64, cioe' x^2 - 10x + 18 = 0.
Il discriminante e' positivo quindi le soluzioni sono reali.
Come sappiamo, la somma delle soluzioni di ax^2 + bx + c e' uguale a
-b/a, mentre il prodotto e' uguale a c/a.
In questo caso la somma e' ovviamente 10, dato che l'abbiamo imposto, 
mentre il prodotto e' 18.
L'area del triangolo, che e' uguale al semiprodotto dei cateti, e' 
dungue 18/2 = 9, che era proprio una delle soluzioni proposte.
Che culo!
Nicola Salmoria

 ha scritto nel messaggio
news:461e0947.02071...@posting.google.com...
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Come gli  altri due anche io mi sono trovato con il ragionamento del
triangolo rettangolo!!!!
però secondo me il quesito è sbagliato!!
In realtà esistono infiniti triangoli e non uno solo come lascia intendere
il problema
Ciao
Robbie

 ha scritto nel messaggio
news:MPG.17a27dc15...@news.fu-berlin.de...
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x è uguale al 1° cateto e 10-x è uguale al 2° cateto!!!
Ma allora x' * x'' non è uguale a 1° cateto * 2° cateto
Robbie

 Ma allora x' * x'' non è uguale a 1° cateto * 2° cateto
x' + x'' = 10 quindi x'' = 10 - x'
x' e' il primo cateto, x'' il secondo cateto; e questo e' ovvio, 
perche' l'equazione deve dare tutte le soluzioni possibili.
Nicola Salmoria

 il problema
Mi pare che il problema non sia sbagliato. E' vero che esistono infiniti
triangoli che rispettano le condizioni, ma uno solo rientra tra quelli
proposti.
Si potrebbe ragionare così:
Dalla condizione a+b+c=18, si esprime c in funzione degli latri due lati
c=18-a-b
dalla condizione a^2 + b^2 + (18-a-b)^2 = 128  si esprime b in funzione di a
(espressione di secondo grado non troppo complicata)
con Erone si calcola l'area
S = sqrt(9 * (9-a) * (9-b) * (9-c) )
dove b e c sono espressi come funzioni di a.
Lo studio della funzione S(a) permette di trovare il valore massimo di S.
Chi volesse cimentarsi nel calcolo di derivate in po' complicate, lo faccia
pure, io non ho voglia di farlo (o forse non mi ricordo come si fa)
:-(
ho però provato numericamente, con un foglio Excel, trovando
(approssimativamente) che il valore max di S si ha per
a = 7.8263
b = 7.8252
c = 2.3485
e vale S= 9.0854
il che ci permette di escludere le soluzioni proposte diverse da 9
ciao
paolo

 ha scritto nel messaggio
news:Jsi_8.107930$vm5.3...@news2.tin.it...
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 ha scritto nel messaggio
news:MPG.17a36795e...@news.fu-berlin.de...
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 soluzioni
E io ho ribadito che lo e'.
Nicola Salmoria

 e vale S= 9.0854
Il massimo si ha per il triangolo isoscele:
a = b = 6 + sqrt(30)/3 = 7.825741858
c = 6 - 2*sqrt(30)/3 = 2.348516283
A = sqrt(9-sqrt(30))*sqrt(7+3*sqrt(30)) = 9.085401009
Nicola Salmoria

 paolo
Ciao
Andrea

 ha scritto nel messaggio
news:ah8lrc$qv4i6$1...@ID-49224.news.dfncis.de...
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