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Titolo: Serie interessante

Sto cercando una serie di interi naturali con queste caratteristiche, il
prodotto di 2 membri qualunque aumentato di 1, deve essere un quadrato.
Iniziando con l'unita' si trovano facilmente i due termini successivi:
1, 3, 8, x, ...
Difatti 1*3+1=4, 1*8+1=9, 3*8+1=25.
Cerca il quarto termine x. Per il quinto, non so neppure se sia stato
trovato, ma immagino sia molto grande.
Se escludiamo l'1 ed il 3, le cose cambiano e la serie diventa:
8, x, 190, y, ...
x e' lo stesso numero che compare nella serie precedente, cerca y. Per
il 5° termine non ho idea.
:) dario


il quarto numero è 120...
il quinto penso sia difficilissimo...
Ale

 il 5° termine non ho idea.
y=730236
Ciao
Andrea

8, x, 190, y, ...
8,120,190,y
8*y=Q1-1
15*Q1-14=Q2
95*Q1-91=4*Q3
stavolta un po' meno subito ^__^;;;
y=730236
[dettagli con matlab/octave]
a=(1:10000).^2; // genera i quadrati
b=sqrt(a*15-14);aa=a(find(b==fix(b)));
c=sqrt(a*95-91);aa=[aa,a(find(c==fix(c)))]; 
sort(aa)' // quelli che appaiono due volte sono candidati y
[fine]
byebye
stefano
--

trovato, ma immagino sia molto grande.
La serie e' interessante davvero, e visto che nessuno ha trovato il
quinto numero ho messo al lavoro il mio PC e ho controllato tutti i
numeri fino a 10.000.000.000.000 (gia' diecimila miliardi e in una
manciata di secondi grazie a UBASIC). 
Purtoppo non ho trovato il quinto numero e penso che non esista
proprio. Ho fatto qualche altra indagine dalla quale ho tratto le
seguenti convinzioni (congetture, non dimostrazioni!!):
1) Fissati due numeri interi tali che il loro prodotto aumentato di 1
sia un quadrato, si possono trovare infiniti numeri che possono essere
aggiunti alla coppia mantenendo la proprieta enunciata.
ad esempio partendo da (1,3) si trovano:
8 
120
1680
23408
326040
4541160
63250208
880961760
12270214440
170902040408
2380358351280
...............
Quindi a partire dalla coppia (1,3) si possono costruire infinite
terne con la proprieta' richiesta: (1,3,8) (1,3,120) (1,3,1680) ecc.
2) Fissata una determinata terna esiste un solo numero che aggiunto ai
tre, mantiene alla quaterna le proprieta' richieste. Nel caso in esame
bisogna aggiungere il numero immediatamente seguente nella successione
del punto 1):
(1,3,8,120)
(1,3,120,1680)
(1,3,1680,23408)
.............
Per ogni terna esiste quindi una sola quaterna possibile
 
3) Non esistono insiemi di 5 o piu' interi che abbiano la proprieta'
richiesta.
Osservando l'elenco dei numeri al punto 1) si osservano 2 cose:
tutti i numeri finiscono per 0 o per 8 e sembrano disposti in una
sequenza ripetitiva 8,0,0,8,0,0,8,0,0,8,0,.........
Ancora piu' interessante e' che il rapporto tra due numeri successivi
sembra convergere rapidamente al valore 13,9282032............
Cambiando la coppia di numeri iniziali queste proprieta' si mantengono
con qualche variazione:
A) non c'e più la sequenza ripetitiva dell'ultima cifra
B) cambia il valore a cui converge il rapporto e in alcuni casi questo
deve essere fatto non tra numeri consecutivi, ma saltando un numero;
per capirsi N(i+2)/N(i) anziche' N(i+1)/N(i); per questi casi quando
si forma la quaterna non si deve aggiungere il numero successivo nella
seguenza, ma quello che lo segue subito dopo.
Chiaramente il valore a cui tende il rapporto dipende dalla coppia di
numeri iniziali, ma secondo quale legge? Posso aggiungere che la
coppia (4,12) tende allo stesso valore della coppia (1,3) e guarda
caso sono una multipla dell'altra.
Io mi fermo qui. Qualcuno sa aggiungere qualcosa o magari fornire
qualche dimostrazione sulle ipotesi che ho avanzato?
Ho paura che non sia cosa facile.
Ciao, Damiano  

 Ciao, Damiano
Con un programmino scritto per UBASIC, oltre alla soluzione x = 120, ho
trovato (in una ventina di secondi di calcolo con un Pentium a 133 MHz) che
il quinto termine (y), se esiste, deve avere piu' di 2560 cifre!!!!
Ecco il programmino
  10   A=1:B=3
  20   for I=1 to 2238
  30   C=4*B-A
  40   A=B:B=C
  50   C=8*B^2-7
  60   D=sqrt(C)
  70   if D<>floor(D) then goto 100
  80   print:print "Soluzione:  X =";print B^2-1
  90   print:print "Ricerca di altre soluzioni.  ATTENDERE....":print:
 100   next I
 110   print "Non esistono altre soluzioni con meno di ";
 120   N=log(B)
 130   print 2*floor(N/log(10));print " cifre.":print
 200   end
Notare che nel calcolo ho usato solo le condizioni 1*y+1=a^2,  3*y+1=b^2,
8*y+1=d^2 e non ho neanche sfruttato la condizione 120*y+1 = f^2, che
limiterebbe ancora di piu' il numero di soluzioni possibili del sistema
delle prime tre equazioni.
Percio' dubito fortemente che il quinto numero esista, anche se, per ora,
non sono riuscito a dimostrarlo.
Ciao a tutti,
Donato Bramanti

  70   if D<>floor(D) then goto 100
Eccellente risultato, ma mi piacerebbe conoscere l'algoritmo che hai
usato, non sono riuscito a capirlo. Mi riferisco alle righe 30 e 40,
da dove nascono?
Ciao, Damiano