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Titolo: compleanni

Penso che piu' o meno tutti conosciate il paradosso (?) dei complenni.
Quante persone devo raggruppare per avere una probabilita' almeno del 50%
che due di essi festeggino il loro complenno nello stesso giono? La
risposta, abbastanza sorprendente, e' 23, quindi in una partita di calcio su
due (c'e' chi lo ha verificato in una giornata della premier league) mi
aspetto di trovare due giocatori con la stesso compleanno.
Tra le varianti del problema ce n'e' una che mi ha incuriosito:
Consideriamo coincidenti due compleanni se capitano lo stesso giorno o al
piu' in giorni consecutivi. Come calcolare ora le probabilita' che in un
gruppo di k ci siano almeno due compleanni coincidenti?
E a meno di una settimana/mese di distanza?
Attenzione ai compleanni vicini al capodanno...
Ciao, Silv:o)

,

(spoiler)
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Innanzitutto, ciao, Silvio!
Enunciato cosi', il problema e' maledettamente difficile.
Mi spiego con un controesempio.
Calcoliamo la probabilita' dell'evento contrario e poi sottraiamola da
1.
Semplifichamo ipotizzando 3 persone:
La prima persona sia nata il 2 gennaio.
Per la seconda persona esiste il vincolo di non essere nata in 3 giorni
specifici:ne' il 1, ne' il 2 (ovviamente), ne' il 3 gennaio.
Ora per la terza persona , se il secondo e' nato (poniamo) il 4 gennaio,
debbo escludere altri 2 giorni(il 4 ed il 5 gennaio), se e' nato il 5
(ad esempio), ne debbo invece escludere 3 (il 4, il 5 ed il 6 gennaio).
Piu' precisamente:
nel primo caso  ho 1-362/365*360/365
nel secondo caso  ho 1-362/365*359/365
che sono ovviamente 2 numeri diversi e quindi la probabilita'
dell'evento e' dipendente da come sono distribuite le date di nascita a
parita' di numero di persone.
Se invece, quando tu enunci:
"Consideriamo coincidenti due compleanni se capitano lo stesso giorno o
al piu' in giorni consecutivi."
intendi dire che definiamo "compleanno" la  terna di giorni che
comprende il giorno precedente e quello successivo a quello del
compleanno "tradizionalmente inteso" e ci chiedi di valutare le
probabilita' che 2 persone di un gruppo di k persone non compiano
compleanni nello stesso  "range" (dai, ci siamo capiti...) allora la
probabilita' e'
1-362/365*359/365....(365-3*(k-1))/365 .
Ci sarebbero da fare ulteriori considerazioni al "contorno", ma basta,
sono "fuso" e penso lo sia anche chi ha avuto la "paziente pazienza" di
seguirmi fino a qui.
Scusate la logorrea!!!!!!
Alberto
Sent via Deja.com 
http://www.deja.com/
Before you buy.

 Attenzione ai compleanni vicini al capodanno...
S
P
O
I
L
E
R
(C)= Compleanno
 P=Persone
Mi sembra che considerando i 365 giorni come ciclici, il capodanno non
rappresenti una complicazione.
Tralasciando gli anni bisestili, generalizziamo dicendo che si
considerano 2 compleanni coincidenti se distano al massimo n giorni.
Nel caso classico per n=0 P=23
Prendiamo come es. il caso n=1, ogni persona copre 3 giorni (C), (C)-1,
(C)+1 in generale ciascuna persona coprira' 2n+1 giorni.
Come si fa in questi casi e' piu' facile controllare la probabilita' che
il compleanno di ogni persona aggiunta sia differente da quelli degli
altri. Allora
365/365 * 362/365 * 359/365 * 356/365....
Spiegazione: Il (C) della seconda persona deve cadere in uno dei 362
giorni non coperti dalla prima. Il (C) della terza persona deve cadere
in uno dei 359 giorni ancora liberi ecc..
In generale mettendo i giorni coperti 2n+1 = k,  dobbiamo testare quanti
termini deve avere la sequenza:
365/365 * (365-k)/365 * (365-2k)/365 * (365-3k)/365 .....
Perche' diventi <0.5.
Ho trovato i seguenti valori.
N	P
0	23
1	14
2	11
3	9
4-5	8
6-7	7
8-10	6
11-17	5
18-34	4
35-90	3
91-181	2
ciao :) dario


Ciao, Dario!
Pero' se il (C) della seconda persona cade proprio a ridosso del C+1
della prima (cioe' e' C+2) alla terza continuiamo ad escludere 3 giorni
(ossia (C+1), (C+2), (C+3)) e "conteggiamo" 2 volte il giorno (C+1)!!!
Non so se mi sono spiegato bene, guarda anche la mia risposta a Silvio
Sergio.


 91-181 2
I valori che ho trovato io (in parentesi le discrepanze) differiscono di
pochissimo dai tuoi, ma solo perche' stiamo cercando la mediana, che e' un
valore intero. Proviamo a calcolare la probabilita' di nessuna coincidenza
con gruppi di k persone (proviamo per esempio proprio sui valori che tu
indichi come mediani), con N che varia. Indico con P1 i valori che ho
trovato io, con P2 quelli che usi tu (almeno cosi' ho capito)
N   k    P1      P2
0  23  49.27%  49.27%
1  14  46.25%  45.97%
2  11  45.67%  45.28%
3   9  48.57%  48.13%
..
10  6  38.77%  37.84%
11  5  50.37%  49.67%  (il primo disaccordo sulla mediana)
..
18  4  50.68%  49.86%
..
35  3  50.15%  49.21%
Spero qualcuno confermi i miei dati, a richiesta posso postare il metodo che
ho usato.
Ciao, Silv:o)

 Ci sarebbero da fare ulteriori considerazioni al "contorno"...
Se per contorno intendi nei pressi del capodanno, gia' Dario ha fatto notare
che se consideri l'anno come un anello i problemi si risolvono.
Ciao, e non demordere. Silv:o)


Non temere....


Monthly.....
Io l'ho trovato su un sito di problemi famosi di questa natura, e li' davano
alcune varianti con le soluzioni, ma senza dimostrazioni, oltre ai rimandi
all'AMM e ad altre riviste. Credo comunque che ci sia spazio per l'analisi
originale, anche se molto e' stato gia' fatto. Vediamo se qualcuno propone
altre variazioni sul tema.
Ciao, Silv:o)

 E a meno di una settimana/mese di distanza?
Posto la soluzione con tutto il ragionamento sottostante, piu' che altro
perche' la formula finale potrebbe suggerire un ragionamento diverso dal
mio, probabilmente piu' semplice.
Per ogni gruppo di k persone, ordiniamo i compleanni in ordine crescente
C_1,..,C_k, e chiamiamo a_i la differenza in giorni tra un compleanno ed il
successivo.
Ovviamente a_1+..+a_k=365 e a_i=0 se C_i ed C_i+1 coincidono.
L'idea e' questa: se riesco a calcolare in quanti modi posso partizionare
365 in k addendi, e quante di queste somme hanno tutti gli addendi maggiori
della distanza critica, allora sono a posto.
Quindi il problema e' analogo a quello risolto qualche settimana fa per le
partizioni del 13 in 4 addendi, proposto da Dario ("Quante somme?"),
un'altra delle strane cosincidenze che spesso capitano su questo ng! L'unico
intoppo e' il fatto che qui gli addendi potrebbero essere nulli, ma si
aggira facilmente. Sia Tdk l'evento "nessun coppia di compleanni
*coincidenti*, ovvero a_i>d per ogni i=1,..,k, dove d e' la distanza
critica, in giorni e k il numero di persone coinvolte".
Noi vogliamo calcolare la probabilita' di Tdk. Lo facciamo in due passi:
calcoliamo la probabilita' P(T0k) che i k compleanni siano distinti (facile)
e, considerando tale supposizione, proviamo a calcolarci la probabilita' che
siano anche a distanza di sicurezza. In formule
P(Tdk)=P(Tdk|T0k)*P(T0k)
P(T0k) = (365*364*..*365-k+1)/365^k, perche' ogni volta che aggiungiamo un
compleanno dobbiamo controllare che sia tra quelli non ancora coperti.
Per calcolare P(Tdk|Td0), cioe' la probabilita' di non avere collisioni
*sapendo* i compleanni tutti diversi, facciamo il rapporto tra i casi
favorevoli e quelli possibili.
CP: tutti i modi di comporre la somma a_1+..+a_k=365 usando addendi maggiori
di zero. Abbiamo gia' visto che questo si puo' fare in C(364,k-1) modi (C
sta per combinazioni, coeff. binomiale).
CF: tutti i modi di comporre la somma a_1+..+a_k=365 usando addendi tutti
maggiori di d.
Togliendo d ad ogni addendo, si ottiene b_1+..+b_k=365-k*d con b_i=a_i-d
tutti maggiori di zero. Come sopra, cio' si puo' fare in C(364-kd,k-1) modi.
La formula finale risulta quindi:
P(Tdk) = P(Tdk|T0k)*P(T0K) =
  C(364-kd,k-1)       365!
= ------------- * -------------
   C(364,k-1)     (365-k)!365^k
Con un po' di pazienza si arriva al prodotto di k-1 fattori coi numeratori
decrescenti:
         (364-kd)   (363-kd)      (366-k-kd)
P(Tdk) = -------- * -------- *..* ----------
           365        365            365
Che e' molto simile alla formula data inizialmente da Dario, e lascia
intendere un ragionamento che per ora mi sfugge come un'anguilla.
Ciao, Silv:o)

 Ciao, Silv:o)
Bella, dimostrazione molto leggera.
Purtroppo io stavo ancora dibattendomi in sommatorie a 14 indici o giu'
di li'...debbo comunque ammettere che mi ero perso il thread a cui ti
riferivi quindi...ero ancora in alto mare.
Al deluso e sconfortato *sob!* non resta altro che rendersi odioso e
pignolo con i vincenti! Lasciami solo dire che, alla luce dei calcoli
fatti, vanno precisati i valori di validita' (reciproci) per k e d,
ovvero:
1<k<365 e 0<=d<=364/k (o, meglio, della sua parte intera)
(anche se forse le diseguaglianze potrebbero essere "chiuse", per la
definizione di 0!=1)
Queste ulteriori considerazioni al contorno possono costituire un
criterio  a priori per l'ammissibilita' di k e d.
*sigh*sigh*
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