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Titolo: MathPuzzle 192: Pizzas

GOOD EVENING!
Puzzle 192 is about odd sized pizzas. Once again a geometry problem, but a 
lot simpler than last weeks puzzle. Nevertheless I hope it is to your 
liking. Don't hesitate to send me your solution.
Have fun with the puzzle.
Best regards out of Ruurlo.
Peter
http://home.planet.nl/~p.j.hendriks/p192e.htm
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facendo alcune prove graficamente con Autocad (centro sulla diagonale
del quadrato e inclinato di 45°) mi viene un raggio per il semicerchio
inscritto di 7,0294
analiticamente invece viene un casino,
Nick

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Invece rispondo qui, per i confratelli di IHE che possano essere
interessati.
Praticamente il problema e': identificare il semicerchio piu' grande
contenibile in un quadrato di lato specificato, in questo caso 12
pollici (sic!).
Perche' un semicerchio? Perche' se considerassimo due fette di forma
diversa, la piu' grande sarebbe scomponibile in un semicerchio e una
fetta. Conseguentemente, se la scatola e' in grado di contenere la
fetta grande, e' anche in grado di contenere il solo semicerchio.
Bene, mi metto al lavoro.

Trovato.
Ho seguito l'approccio contrario: trovare la piu' piccola scatola che
contiene mezza pizza di raggio R.
Cominciamo con la descrizione del disegno. Piano cartesiano,
semicirconferenza ottenuta da una circonferenza di raggio R con centro
in O(0,0),  considerando solo la parte con ordinata positiva. La
semicirconferenza incontra l'asse delle ascisse in M(R,0) e N(-R,0).
Costruiamoci attorno la scatola. Nel quadrante delle ascisse e
ordinate positive tiriamo la tangente alla semicirconferenza in un
qualsiasi punto P. Questo e' un lato della scatola.
Costruiamo un quadrato ABCD (bello abbondante, che contenga
sicuramente la semipizza; ci cureremo poi di ottimizzarlo) a partire
da questo lato. "A" e' l'angolo piu' a destra nel disegno, B C e D
sono assegnati in senso antiorario.
La retta OP incontra CD in S.
La perpendicolare a OP passante per O incontra BC in Q e AD in T.
Ok, disegno costruito. Ora passiamo al lavoro vero.
Il punto P divide il lato AB in due segmenti BP e PA lunghi
rispettivamente L1 e L2.
L'angolo POM ha ampiezza W
Notiamo che PS e' parallela ad AD e a BC, e che QT e' parallela ad AB
e CD.
Pertanto:
- OQ ha lunghezza L1
- OT ha lunghezza L2
- QB e AT hanno lunghezza R
- COQ = 90° - W
Mantenendo la tangenza in P fra la pizza e AB, se noi spostiamo il
quadrato e/o ne modifichiamo le dimensioni, dobbiamo sottostare a
questi vincoli:
-OQ>=R, ossia L1>=R
-OT>= R * sen(W)  (altrimenti la pizza sporgerebbe da AD), ossia L2>=R
* sen(W), ossia L>= R* sen(W) + L1
-QC>= R * sen(COQ), ossia QC>= R * cos (W), ossia L1+L2-R >= R *
cos(W), ossia L>=R*(1+cos(W))
Minimizziamo L1, quindi L1=R
L>R* (1+sen(W))
L> R* (1+cos(W))
Sotto questi vincoli, L si minimizza per W=45°. Il che conferma il
risultato di Nick.

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Mi sono messo a fare una dimostrazione analitica per poi accorgermi
che il cerchio che ha mezzo cerchio inscritto nella
scatola passa anche per lo spigolo in alto a destra, posto la
soluzione lunga e quella breve.
LUNGA
l lato della scatola
a raggio del mezzo cerchio che sta nella scatola
equazione del cerchio
(x-a)^2+(y-a)^2=a^2
equazione del lato della scatola
x=l
trovo l'intersezione tra cerchio e scatola
(x-a)^2+(y-a)^2=a^2
x=l
(l-a)^2+(y-a)^2=a^2
l^2+a^2-2*a*l+y^2+a^2-2*a*y=a^2
y^-2*a*y+(l-a)^2=0
risolvo
y=a+-sqrt(l*(2*a-l))
coordinate dell'intersezione
P(l,a+-sqrt(l*(2*a-l)))
equazione della linea passante per C centro del semicerchio e
perpendicolare alla diagonale
m=-1
c=a,a
y-a=-1*(x-a)
y=-x+2*a
le coordinate del punto P precedentemente trovate devono soddisfare la
precedente equazione
a-sqrt(l*(2*a-l))=-l+2*a
a^2-4*a*l+2*l^2=0
equazione risolutiva
per il caso l=12
a^2-48*a+288=0
a=2^3*3+-2^2*3*sqrt(2)
a=7.02943725
CORTA
il cerchio passa per il punto P(l,l)
(x-a)^2+(y-a)^2=a^2
P(l,l)
(l-a)^2+(l-a)^2=a^2
risolvendo si arriva subito all'equazione finale
a^2-48*a+288=0
ciao