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Titolo: Curva Semplice

Data una curva semplice (che non interseca se stessa) si
possono tracciare infinite rette che dividono il perimetro
in 2 parti uguali, ab e' un esempio. Esistono anche infinite
rette che dividono l'area a meta'.
C'e' una retta che biseca l'area ed il perimetro
contemporaneamente ? 
       ______  
      |      \__
      |         \
      |          \________
      |                  _)
a .../................../........b
     \                /
      \              /
       \          __/
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:) dario

 Data una curva semplice 
Scusate ho dimenticato "chiusa".
:( dario

 contemporaneamente ?
spoiler
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Nel caso generale si
Consideriamo due punti P,Q che dividono il perimetro in 2 parti uguali; la
retta passante per PQ divide l'area in due parti generalmente diverse.
Sia A1 l'area a destra per chi da P guarda Q, A2 l'area a sinistra.
Supponiamo A1>A2, quindi A1/A2>1.
Se i due punti P,Q si spostano lungo il perimetro a velocità costante, in
ogni momento bisecano il perimetro, mentre le aree A1,A2 variano con
continuità.
Dopo mezzo giro i due punti avranno invertito le loro posizioni, e così le
due aree, e sarà A1/A2<1.  Da momento che le aree variano con continuità,
deve esistere una posizione intermedia in cui A1=A2.
Mi domando se la regola sia sempre valida, o se esistano casi particolari in
cui non sia applicabile, cioè casi in cui le aree non variano con
continuità.
Ho immaginato per esempio il caso in figura (sperando che si capisca).
La curva abbia una doppia tangente verticale, in un punto T, che biseca il
perimetro ma non l'area (la curva non interseca se stessa).
Allo spostamento dei due punti P,Q attorno a T, la retta passa bruscamente
da verticale, con A1=0, a orizzontale, con A1 ed A2 diversi da zero e
diversi tra loro, a verticale con A2=0.
Commenti?
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. T |
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.   | |_
.    \_/
ciao
paolo

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Prima di tutto vorrei ringraziare Dario per avermi(averci?) risposto sul
problema della mappa bi-dimensionale: devo studiare ancora un po' quello che
hai scritto perche' sinceramente non riesco ad afferrare bene il
discorso(probabilmente dipende da me che sono appena tornato da un fine
settimana massacrente).
Riguardo ai dubbi di Paolo non vedo problemi, la funzione A1/A2 varia con
continuita da 0 a +Infinity e quindi, per il teorema di Bolzano, passa per
1, in questo punto si avra' A1=A2. Sinceramente non vedo problemi sulla tua
dimostrazione, mi sembra che debba valere in generale.
GaS

 contemporaneamente ?
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Ci sono delle curve chiuse semplici che generano figure "molto"
concave per cui non e' possibile tracciare segmenti (o rette)
che dividano contemporaneamente l'area e il perimetro in due
parti uguali. Nella figura sotto, ad es., si possono tracciare
solo in zona "A" quelle che tagliano il perimetro in due parti
uguali, e solo in zona "B" quelle che tagliano l'area.
 ______________________________________________________
|__________________________________________________A__ |
                      ________________________________||
                     |              _______________B___|
                     |             | 
                     |             |
                     |_____________|
Ciao  :o)
Livio
-- 
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APPENDICE
=========
1) Mi sembra di poter asserire che la dimostrazione di Paolo 
Licheri non faccia una grinza per qualunque figura convessa.
2) Nel precedente post dovrei aver dimostrato l'esistenza di
figure concave che non possono avere la proprieta' richiesta
da Dario Uri.
Tra le due categorie esistono ancora infinite figure.
Una ulteriore categoria potrebbe essere l'insieme delle figure
*non troppo concave*, definite come:
"Dati due punti 'a' e 'b' sul perimetro tali che dividano il
perimetro in due parti uguali, dicesi figure non troppo
concave se la retta 'ab' non tocca in nessun altro punto il
perimetro stesso."
Questa categoria godrebbe della proprieta' di Dario e della
dimostrazione di Paolo.
Probabilmente tutte le figure con almeno un grado di simmetria
godono della proprieta' di Dario ma non necessariamente della 
dimostrazione di Paolo. Ma non basta: ci sono sicuramente 
figure non simmetriche, non definibili come sopra, che godono 
della proprieta', come questa:
 _ _ _ _ _a_ _ _ _ _
|  _ _ _  .  _   _  |
| |  _ _| . | | | | |
|_| |     . | |_| |_|
 _  |     . |_ _   _
| | |_ _  .     | | |
| |_ _ _| .     |_| |
|_ _ _ _ _._ _ _ _ _|
          b
Conclusione: se non riusciamo a definire le figure che hanno
questa proprieta' con quelle che non ce l'hanno, come faremo
a separare il bene dal male?
Ciao a tutti  :o)
Livio
P.S. Per vedere correttamente l'ascii-art, usare caratteri fissi.
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

 da Dario Uri.
Credo che occorra un chiarimento: una retta (molto lunga:-) divide comunque
una figura convessa in *due parti* (di cui una eventualmente può essere
nulla); se la figura è concava si potrebbero avere più pezzi, ma se
consideriamo come *parti* l'insieme di tutti i *pezzi* (pezzi di area e di
perimetro) che stanno su ciascun semipiano, direi che si può parlare ancora
di divisione in due parti.
Per esempio, nella tua figura credo che esista una retta che va bene;
dovrebbe passare poco a destra del centro del rettangolo grosso, e pendere
all'incirca cosi:
.
.   __________________________________/___________________
.  |_________________________________/________________A__ |
.                        ___________/____________________||
.                       |          /   _______________B___|
.                       |         /   |
.                       |        /    |
 .                       |_______/_____|
Mi chiedo:
per una figura concava, la mia dimostrazione è ancora valida?
con le precisazioni che ho fatto prima, esistono figure per cui la proprietà
richiesta da Dario non si verifica?
ciao
paolo

Credo che occorra un chiarimento: una retta (molto lunga:-) divide
comunque una figura convessa in *due parti* (di cui una eventualmente può
essere nulla); ...
.
.
E' vero. Il problema potrebbe differenziarsi in
alcuni sottocasi, a seconda delle interpretazioni. Io nel post precedente
ho cercato una interpretazione "alla lettera", ma riconosco che anche cosi'
puo' ancora esserci un problema di interpretazione. Cioe' quando Dario dice
"retta che divide il perimetro in 2 parti uguali" ho immaginato le sole
rette che tagliassero il perimetro in soli due punti. La tua
generalizzazione e' interessante e *prometto* di pensarci su!  :o)
.
Anche cosi' ho un nuovo dilemma: la retta e' quella che unisce due punti di
massima distanza calcolata sul perimetro, o quella che divide il perimetro
in due insiemi di pezzettini di cui se ne uguaglia la somma?
.
Ricordate
la stella di Peano ?
http://www.geocities.com/liviozuc/peano.html
In una
curva cosi', con il perimetro infinito e area finita, dove la facciamo
passare la retta?
Forse e' meglio aggiungere: "curva chiusa semplice e
*finita*".
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Ciao  :o)
Livio
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