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Titolo: Multipli di 2004

Lo ripropongo per chi non avesse ricevuto il primo post, mi scuso con chi lo
riceve per la seconda volta.
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Dalla finale italiana dei "Campionati Internazionali di Giochi Matematici"
di sabato scorso.
"Il numero 222444 è il primo multiplo di 2004 composto esclusivamente dalle
cifre 2 e 4. Qual è il prossimo?"
Bisogna trovarlo adoperando esclusivamente foglio e matita, niente aiuti
"informatici" o calcolatrice.
Ho la soluzione ma non riesco proprio a capire come si sarebbe dovuta tirare
fuori. Qualcuno ha qualche idea?
GaS
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 ha scritto nel
messaggio news:213Z140Z17Z103Y...@usenet.libero.it...


fuori. Qualcuno ha qualche idea?
Con l'algoritmo "manuale" di moltiplicazione si ha (fixed font)
  2004 *
   111 =
--------
  2004
 2004
2004
--------
222444
Per ottenere da 2004 un numero che abbia solo le cifre 2 e 4 si
deve usare un fattore la cui cifra esprimente le unita' sia o 1
o 6, perche'  4*1=4  e  4*6=24.  Stesso discorso vale (piu' o
meno) per le decine, le centinaia etc.
Pero' escluderei il 6 perche' 2*6=12 e si introduce la cifra 1
che difficilmente si potra' correggere in 2 o 4.
Quindi proporrei un
        2004 *
   111000111 =
--------------
        2004
       2004
      2004
     0000
    0000
   0000
  2004
 2004
2004
--------------
222444222444
Pero' non saprei dimostrare che e' il successivo rispetto
a 222444.
Ciao,
        Antonio

 a 222444.
Per Alessandro e per Antonio: in effetti 222444222444 č la soluzione piů
facile ed immediata che viene in mente dopo qualche prova. Perň non č
ottimale, esiste un numero piů piccolo!
Ripeto che ho la soluzione ma non so come si possa tirare fuori con solo
carta e matita.
Aspetto lumi,


carta e matita.
L'unico modo che mi viene in mente solo con carta e matita e' quello
di usare tutti i 10 possibili multipli di 2004 per numeri ad una cifra
0000
2004
4008
6012
8016
10020
12024
14028
16032
18036
e vedere se incolonnandone piu' di tre di essi alla maniera
dell'algoritmo manuale, riesco ad ottenere una somma con le
sole cifre 2 e 4.
Pero', vista l'esplosione combinatoria, non credo sia una
strada agevole...  ;-)
Ciao,
      Antonio

 carta e matita.
Come al solito brancolo nel buio.
Nella speranza che possa illuminare qualcuno, riporto i risultati trovati
mediante un algoritmo di calcolo.
222444 - 111
42244442244 - 21080061
44244424224 - 22078056
222444222444 - 111000111
Ciao a tutti
Tom Cat


Io un'idea ce l'ho, però adesso è un po' tardi per esporla perchè è sì
fattibile a mano ma è comunque abbastanza lunghetta dovendosi considerare 32
casi per volta, quindi la scrivo domani pomeriggio magari :-)
(probabilmente esiste anche una soluzione da ottenere in un minuto, ma
onestamente non saprei quale possa essere)
Pace e bene a tutti e riflettete su quei "32" casi :-))

 
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considerazioni preliminari:
1-invece di 
usare 2004 usiamo 1002 per fare i conti imponendo che il risultato sia composto 
da soli 1 e 2 (semplifica i conti);
2-il numero può essere visto come 1000 + 
2 , quindi:
    le ultime 3 cifre del prodotto dipendono solo 
dalle ultime tre cifre del coefficiente per cui moltiplicheremo 
1002,
    le prime due cifre del prodotto dipendono solamente 
dalle prime due cifre di tale coefficiente.
Possibili prime 2 cifre del 
coefficiente moltiplicatore: 11,12,21,22
Possibili ultime 3 cifre del 
prodotto finale:112,122,212,222
Possibili ultime 3 cifre del coefficiente 
moltiplicatore:056,061,106,111,556,561,606,611
Combinando le possibili prime 
2 cifre con le possibili ultime 3 otteniamo 32 casi da analizzare come 
segue.
Prendiamo i prodotti da 11 cifre, visto che è banale la soluzione a 12 
cifre ed ad occhio si vede che di più basse a dodici non ce ne sono:
se il 
prodotto ha 11 cifre il coefficiente ne avrà 8 (ricordiamo che comincia per 1 o 
2 quindi non possono esser 7)
cominciamo da 11XXX056 : possiamo sostituire 
solo le tre cifre centrali perchè le altre sono fisse per ognuno dei casi:
il 
prodotto sarà del tipo: 11022000000+28056+00XXXXXX000.
Si nota che la terza 
cifra del numero da aggiungere, cioè la prima X, può essere 0 o 1 soltanto e 
questo elemento ci dimezzerà i conti.
in pratica si scriverà: 11022056112 , a 
questo punto si prende l'ottava cifra e si vede che per renderla 1 o 2 gli si 
deve sommare un 5 o un 6, ma il 5 va scartato perchè deve essere un 
numero pari; (se serve) si pensa quindi alla settima cifra (ricordando il 
riporto) e si nota che gli va sommato un 5 o un 6; poi si passa alla sesta 
e si vede che stavolta va sommato uno 0 o un 1 . Quindi siccome la cifra di 
partenza è divisibile per 1002 e lo deve esser quella di arrivo, lo dovrà essere 
anche la cifra sommata e considerando che il finale deve essere 056,066,156 o 
166 le cifra possibili sono 28046,33066,78156,83166 (529046 e gli altri 
possibili 3 addendi ottenuti aggiungendo 501000 son da scartare perchè han cifra 
iniziale diversa da 0 o 1). Spiegato a parole è molto più lungo e difficile che 
non fatto in pratica, perchè a livello pratico son conti molto meccanici e si fa 
una specie di colonna per l'addizione, quindi si vedon tutti i casi in una 
ventina di secondi quando va male. Comunque non sempre è necessario fare la 
somma completa, basta guardare la terza e la sesta X , sapendo la sesta che è 
univoca, la terza ne è la metà necessariamente 
(
quindi
022028+


XXAXX4


si noti che A può essere solo 2 o 7 essendo la il 
numero composto dalle prime 3 cifre necessariamente metà di quello composto 
dalle seconde 2, quindi il risultato avrebbe una terza cifra pari a 4,5,9 o 0 
quindi questa soluzione era da scartare subito)


passiamo alle altre:


11022061122 :la sesta X deve essere per forza 0 
quindi la terza dovrà essere 0 o 5 e teoricamente col 2 lo 0 potrebbe 
accordarsi, quindi bisogna valutare tutte le cifre stavolta:


sesta X = 5 o 6 ma il 5 è dispari e imporrebbe che 
la terza X sia 5 (metà di 50 o 150 è 25 o 75) quindi va eliminata


quinta X = 0 o 1 


possibili numeri 030060, 080160 


022061+


030060 sballa sulla seconda cifra


mentre


022061+


080160 sballa sulla seconda. (anche qui si poteva 
velocizzare non ocnsiderando la quinta X in effetti)


 


In 5 minuti comunque si fan passare tutti i casi, 
qui riporto solo i due che funzionano:


21XXX061


si ottiene 


21042061122+


00XXXXXX000


sesta X:  0 (1 è da scartare perchè 
dispari)


quinta X: 5 o 6  (ma il 5 si scarta perchè 
imporrebbe la terza X pari a 5 mentre a noi serve pari a 0 o 8 o 9 considerando 
i possibili riporti)


quarta X: 0 o 1


quindi abbiamo XXXXXX= 30060 o 80160


il primo si scarta perchè la seconda cifra diviene 
7


il secondo:


042061+


080160=


122221 e quindi è un risultato


 


ed è inutile andare avanti perchè abbiamo ordinato 
i risultati in ordine crescente,comunque possiamo vedere un altro risultato per 
completezza:


22XXX056


che dà


22044056112


00XXXXXX000


sesta X = 6


quinta X= 5 o 6


quarta X=0 o 1 ma scartiamo lo 0 per coerenza 
tra quinta e terza X


allora XXXXXX= 078156 o 083166


044056+


078156=  


122212


 


 


Insomma se avete avuto la pazienza di arrivare fin 
qui avete capito che in meno di 5 minuti si perviene al risultato per le 
operazioni a 11 cifre.


Senza calcoli si vede che a 7 e 8 cifre non 
esistono soluzioni.


Per 9 e 10 cifre si agisce come per 11 anche se la 
situazione è semplificata e si impiega meno:


in una quindicina di minuti il problema può essere 
risolto, il problema è elaborare l'algoritmo che richiede molto più tempo e 
molte osservazioni.


Se non si è capito qualcosa chiedete pure perchè 
non mi sembra di esser stato chiarissimo :-)


 



 "informatici" o calcolatrice.
L'idea mi è nata nel solito tragitto in macchina di ritorno dal lavoro ;)
Come notava FraSisito, stiamo cercando i multipli di 1002 composti da sole
cifre 1 e 2
Scriviamo il candidato N nella notazione posizionale
N = Cn ... C3 C2 C1 C0
dove il suffisso indica il "peso", la potenza di 10. Ovviamente tuttel le C
sono 1 o 2.
Vediamo che contributo portano le singole cifre in termini di resto nella
divisione per 1002.
C0 =>  1    (oppure 2, se C0=2)
C1 =>  10
C2 =>  100
C3 => -2    (è equivalente a 1000)
C4 => -20
C5 => -200
C5 =>  4    (-2000)
C6 =>  40
C7 =>  400
C8 => -8    (4000)
C9 => -80
C8 => -800
Già da qui si vede benissimo che prendendo 2 occorrenze di C0,C1,C2 ed una
sola di C3,C4,C5 si ottiene resto 0, ovvero un multiplo di 1002. Ma già lo
sapevamo che 111222 è multiplo di 1002.
Ovviamente la soluzione 111222 può essere estesa agiungendo un pattern
simile: 111222111222, 111222111222111222 ecc.
Proviamo a vedere i resti parziali con questo schema
           2 =>    2
          22 =>   22
         222 =>  222
        1222 =>  220
       11222 =>  200
      111222 =>    0 (!!!)
     2111222 =>    8
    22111222 =>   88
   222111222 =>  888
  1222111222 =>  880
 11222111222 =>  800
111222111222 =>    0
Dobbiamo controllare se variando qualche cifra non si ottenga un resto
totale nullo. Possimao sostituire un 2 con un 1 nelle cifre
C0,C1,C2,C6,C7,C8 (togliendo 1,10,100,4,40,400  al totale), oppure un 2 con
un 1 nelle cifre C3,C4,C5,C9,C10,C11 (di nuovo con esito negativo sul totale
rispettivamente di 2,20,200,8,80,800 unità)
In pratica se riusciamo a combinare le sostituzioni in modo che il bilancio
negativo delle sostituzioni eguagli il totale parziale, siamo a cavallo!
Riscrivo l'ultimo schemino, aggiungendo le sostituzioni possibili
C0    2 (  1)
C1   22 ( 10)
C2  222 (100)
C3  220 (  2)
C4  200 ( 20) <= disponibili:133, necessarie:200. non bastano
C5    0 (200) <= qui non servono sostituzioni ;)
C6    8 (  4) \
C7   88 ( 40) - la somma delle unità disponibili è 7,
C8  888 (400) / ed abbiamo 8 uniutà da togliere
C9  880 (  8) <= disponibili:770, necessarie:880. non bastano
C10 800 ( 80) !!!!!!!!!! 100+20+200+400+80=800!
C11   0 (800)
quindi agendo sulle cifre corrispondenti ai cinque addendi che formano 800
(le cifre 2/4/5/8/10) si ottiene il risultato cercato, di 11 cifre perché la
somma parziale 800 è proprio l'undicesima.
11222111222
v v  vv v
21122221122
Infatti 21122221122 = 1002 * 21080061
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Ciao, Silv:o)

 100+20+200+400+80=800!
Visto che già Tom Cat aveva trovato due risultati di 11 cifre, 800 deve
essere esprimibile anche in un secondo modo. Infatti possiamo usare 10+8+2
anziché 20.
In pratica sostituiamo 7 cifre su 11, quasi tutte! ma nonostante questo il
risultato resta figlio del pattern regolare!
11.222.111.222
vv v   v v vv
22.122.212.112 = 2.001 * 22.078.056
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Ciao, Silv:o)