Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Stessa probabilita'

Un'urna contiene un certo numero di palline colorate ciascuna con uno di
3 colori. Almeno una pallina per colore e' presente.
Due palline vengono estratte a caso. Sapendo che la probabilita' che le
2 palline estratte siano dello stesso colore, o di colore diverso e' la
stessa, determinare il numero di palline di ciascun colore presenti
nell'urna. Consideriamo i seguenti casi:
a) La prima pallina estratta e' rimessa nell'urna prima di estrarre la
seconda.
b) La prima pallina estratta e' rimessa nell'urna e, in piu', ne viene
aggiunta una dello stesso colore, prima    di estrarre la seconda.
c) Come i casi a) e b), ma nell'urna sono presenti palline di k colori. 
k=4,5,...?
:) dario

 aggiunta una dello stesso colore, prima    di estrarre la seconda.
Mi limito per ora al caso K=3
Ho trovato, con la forza bruta (programmino in basic) dei risultati
sorprendenti, di cui mi sfugge il significato:
caso a)
esistono infinite soluzioni del tipo:
(1,4,9),(1,9,16),(1,16,25) ecc.
ossia tutte le terne del tipo [1,n^2,(n+1)^2]
(non so se ne esistono delle altre, oltre ovviamente i multipli delle
precedenti)
caso b)
ancora piu' fantastico
(1,1,1),(1,1,2),(1,2,4),(1,4,7)
cioe', partendo dalla terna (1,1,1)
trovo tutte le terne del tipo
[1,b(n),c(n)]
dove
b(0)=1
c(0)=1
b(n)=c(n-1)
c(n)=b(n)+n
ciao
paolo

 wrote in message
8igpol$nlr$1...@nslave2.tin.it...

S
P
O
I
L
E
R
Le tue e le mie metodologie di approccio ai problemi hanno analogie sempre
più sconcertanti.
Caso a)
deve essere:
a/n*a/n+b/n*b/n+c/n*c/n=a/n*(b+c)/n+b/n*(a+c)/n+c/n*(a+b)/n
da cui:
a = (b+c) ± sqrt((b+c)^2-(b-c)^2)
Sviluppando su un foglio elettronico un certo numero di combinazioni di b e
c verifico quali valori interi di a esistono ed ottengo
(1,1,4),(1,4,9),(1,9,16),(1,16,25),(1,25,36), ...
(2,2,8),(2,8,18),(2,18,32),(2,32,50),(2,50,72), ...
(3,3,12),(3,12,27),(3,27,48),(3,48,75),(3,75,108), ...
(4,4,16),(4,16,36),(4,36,64),(4,64,100),(4,100,144) ...
(4,9,25),(4,25,49),(4,49,81),(4,81,121),(4,121,169) ...
Partendo con valori di b pari a 2, 3, 4, .....
emergono, com'è ovvio, terne doppie, triple ecc, rispetto a quelle trovate
con b=1
Con b=4 però si intreccia una nuova serie.......... uffa!
Caso b)
con lo stesso metodo, stavolta
a = (b+c-1/2) ± sqrt((b+c-1/2)^2-(b-c)^2-(b+c))
(1,1,1),(1,1,2)(...,...,4)....7...1...16...22...29...
(2,4,10),...19...31...46...64...85...109...136...
3  assenti
(4,7,20),...25...40...47...67...76...101...112...
5 assenti
6 assenti
(7,11,34),...49...70...91...119...146...181...
L'aggiunta di una pallina impedisce la ciclicità del caso precedente e ciò
che vale per una terna non vale per i sui multipli.
Ciao, ho sonno!
et

 Sviluppando su un foglio elettronico ...
Probabilmente bastava andare avanti per un altro passaggio per evitare il
foglio elettronico ;)
Infatti risulta
a = (b+c) ą 2*sqrt(b*c) e quindi l'unica condizione č che b*c sia quadrato.
Volendo ottenere terne non semplificabili, possiamo supporre b e c primi tra
loro.
Allora b e c debbono entrambi essere quadrati le terne risultanti sono del
tipo
(bąc)^2 , b^2 , c^2.
Ciao, Silv:o)

 Con b=4 perň si intreccia una nuova serie.......... uffa!
Nascono nuove serie anche partendo da 9, 16 ecc.
in generale ho trovato che sono buone tutte le terne (a,b,c) dove
a=p^2
b=q^2
c=(p+q)=2
con p, q interi
ciao
paolo

 k=4,5,...?
per k=9802
33462 palline, di cui 23661 di un colore, e le restanti 9801 tutte di colori
differenti.
ho provato ad indagare un caso particolare, certamente non esaustivo
siano x palline di un colore, ed y tutte di colori differenti:
i colori presenti sono k=y+1, e la palline totali n=x+y
la probabilita' richiesta (con reinserimento della sola pallina estratta)
deve essere
p= (y+x^2)/(x+y)^2 = 1/2, da cui
x= y + sqrt((2*y*(y-1))
si avranno valori interi di x se (2*y*(y-1)) e' un quadrato
salvo errori (per x<10000) trovo
x            y
9           21
50         120
289        697
1682      4060
9801     23661
ciao
paolo

 con p, q interi
Giusto.
Se Enrico avesse continuato per una altro passaggio a partire da
a = (b+c) ± sqrt((b+c)^2-(b-c)^2)
avrebbe visto che
a = (b+c) ± 2*sqrt(b*c)
Per cui l'unica condizione per avere numeri interi e` che b*c sia un
quadrato. Se vogliamo ottenere terne non semplificabili dobbiamo porre b e c
primi tra loro, ovvero entrambi quadrati. Allora la terna avra` la forma che
indica Paolo, che col trucco dei numeri interi anziche` naturali supera
anche l'impiccio del + o -.
Ciao, Silv:o)

 aggiunta una dello stesso colore, prima    di estrarre la seconda.
Deve essere
a(a+1)+b(b+1)+c(c+1)=2(ab+bc+ca)
Sviluppando rispetto ad a troviamo che il discriminante vale
8(2bc-b-c)+1, e deve essere un quadrato affinche` la terna (a,b,c) sia
intera.
(dato che un numero 8k+1 e` quadrato se k e` triangolare, la condizione
equivale anche a 2bc-b-c triangolare).
Purtroppo non riesco a trovare una condizione piu` maneggevole.
Per es.: b=2 e c=4 rispondono ai requisiti, perche` 8(2bc-b-c)+1=81=9^2
In questo caso a vale (11 ą 9)/2 = 1 o 10
Ciao, Silv:o)

 8(2bc-b-c)+1,
Questo mi suggerisce un nuovo metodo ricorsivo
la formula risolutiva (per comodita' la scrivo rispetto a c)
c = 1/2*(2*a+2*b-1 +- sqrt(1+8*(2*a*b-a-b)))
si vede che, partendo da una coppia (a,b) (con a<b), la formula, con il
segno +, genera un valore c>b
partendo allora dalla coppia (b,c), posso trovare un valore ancora maggiore,
e cosi' via....
indico per semplicita' c=f(a,b)  la formula risolutiva con segno +
partendo da una terna nota (1,2,4)
a(0)=1
b(0)=2
c(0)=4
trovo gli altri valori
a(n)=b(n-1)
b(n)=c(n-1)
c(n)=f(a(n),b(n))
a        b        c
1        2        4
2        4       10
4       10       25
10      25       65
25      65      169
65     169      442
169    442     1156
442   1156     3026
1156  3026     7921
ciao
paolo


s
p
o
i
l
e
r
Giustissimo, come sempre!
et