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Titolo: Passatempo non continuo e anche un po' scemo

Sono quasi sicuro che e' gia' stato proposto, ma in quel quasi ci metto il
motivo per cui lo ripropongo.
Aleph Zero e' appena stato assunto da Zeus in persona per svolgere un
importante incarico. Ogni giorno alle 12 olimpiche precise, deve suonare il
gong della pausa pranzo degli dei.
E' un lavoro importante ma un po' noioso, cosi' tira fuori un paio di regali
che gli ha fatto un caro amico: Eta Beta. Un sacchetto pieno di un infinita'
di biglie numerate da 1 a... infinito appunto! e una simpatica ruota per il
lotto per la quale ha in mente grossi progetti... ma questa e' un'altra
storia.
Sta di fatto che mancano 30 minuti precisi alle dodici e per passare il
tempo svuota il sacchetto sul tavolo, prende la biglia n°1, la rimette nel
sacchetto e poi la toglie e la mette nel cesto del lotto... naturalmente in
un solo istante.
Aspetta un po' finche' non mancano 15 minuti alle 12.
Poi prende due biglie dal tavolo: la 2 e la 3. Le mette nel sacchetto e poi
toglie la 2 e la mette nel cesto.
Aspetta ancora finche' non mancano 7.5 alle 12.
Poi prende tre biglie: la 4, la 5 e la 6. le mette nel sacchetto e da questo
toglie la 3 e la mette nel cesto.
E cosi' via con quattro biglie (quando mancano 3.75 minuti alle 12)... e
mette la 4 nel cesto... con cinque (mancano 1.875 minuti)... e mette la 5
nel cesto... ... ... con n biglie (mancano 30/2^(n-1) minuti)... e mette
l'n-esima nel cesto...
Alle dodici suona il gong. Quante biglie ci sono sul tavolo, nel cesto e nel
sacchetto?
Ciao ciao
Claudio

Claudio
ciao
paolo

...
|Ciao Claudio, e' da un po' che non ti facevi vivo.
Ohibo', seguo sempre e con molto piacere il gruppo... ma se a leggere sono
velocissimo, altrettanto non si puo' dire per lo scrivere e, soprattutto,
per trovare soluzioni.
|>Alle dodici suona il gong. Quante biglie ci sono sul tavolo, nel cesto e
|>nel sacchetto?
|
|Nel cesto ce ne sono infinite, nel sacchetto mooolte di piu' :-)
|Sul tavolo invece non ce n'e' nessuna, quelle rimaste sono state eliminate
|per poter apparecchiare il pranzo olimpico :-)))
:-))))
|OK. Stanotte ci penso e domani provo una soluzione seria.
Mi raccomando, non troppo seria! che' cosi' son sempre ben accette.
:-) Ciao ciao
Claudio

Claudio
ciao
paolo

 sacchetto?
Tutte le biglie sono cesto. E nessuna sul tavolo e nel sacchetto.
Infatti ogni biglia prima o poi viene tolta dal tavolo, e ogni biglia
prima o poi viene messa dal sacchetto al cesto.
em.

em.
ciao
paolo

...
|
|?manu* ha scritto nel messaggio ...
|
|>Tutte le biglie sono cesto. E nessuna sul tavolo e nel sacchetto.
|>Infatti ogni biglia prima o poi viene tolta dal tavolo, e ogni biglia
|>prima o poi viene messa dal sacchetto al cesto.
E per quanto mi riguarda, questa la do per buona!
|Sul tavolo non sono sicuro, ma per il sacchetto ho qualche dubbio.
|Infatti, in ogni operazione successiva alla prima, nel sacchetto vengono
|aggiunte piu' palline di quante ne vengano tolte. Quindi il numero di
|biglie nel sacchetto e' crescente, e non potrebbe annullarsi.
|
|Pero',... mi pare che ci troviamo di fronte ad un bel paradosso.
Eh si'! ;-)
|Ho un'altra argomentazione che forse ti darebbe ragione:
|
|Come ho detto nell'altro post, dopo k operazioni nel cesto ci sono k
|palline, nel sacchetto ce ne sono (k^2-k)/2.
|Entrambi i valori sono crescenti, e quindi entrambi dovrebbero tendere a
|infinito.
|SE ...
|le palline fossero anonime, tutto OK.
Gia'! ha (imho) molta attinenza coi telefoni di ?manu*. Se in quel caso
associassimo al numero della casa, il tasto che rappresenta quel numero,
potremmo chiamare tutte le case lasciando fuori un'infinita' di sequenze
(infinito-infinito=infinito in questo caso).
|MA ...
|le palline sono numerate.
Infatti! sempre nel caso dei telefoni... numerando tutte le sequenze, non ne
lasciamo fuori neanche una.
|Considerando il criterio scelto per le immissioni nel sacchetto e nel
|cesto, dopo k operazioni, il cesto contiene i numeri
|1,2,3,....k
|ed il sacchetto
|k+1,k+2,......
|Quindi in ciascun momento, ciascuna pallina del cesto ha un valore minore
|di ciascuna pallina del sacchetto.
... arrivati ad infinito (che e' qualcosa di piu' di una cifra astronomica,
ricordi? ;-)...
Mr. Apollinax (che e' il personaggio fittizio di Martin Gardner che ha
originariamente posto il quiz, solo un tantino diverso: in quel caso si
mettevano sempre dieci palline numerate, togliendo l'n-esima) chiederebbe:
dov'e' la pallina numero 1? nel cesto! la numero 2? la 3? ... la 1979? ...
|SEGUITO DELLA STORIA
|dopo il pranzo, e dopo abbondanti libagioni, Zeus estrae una pallina dal
|sacchetto e ne legge il numero...
|
|a voi proseguire :-)
In chiave numerolottistica...
Conoscendo la fama (o fame?) di Zeus... puo' estrarre solo il 77! ;-)
Volevo proporre un'altro giochino su questo... non mi e' ancora venuto in
mente nulla di buono, pero' :-(.
|>em.
|
|ciao
|paolo
Ciao ciao
Claudio ...
... PS: quanti *ciao* quando suona il gong? e quanti quote? ;-)

 sacchetto e ne legge il numero...
Infatti questa e' la piu' grossa prova a favore della mia soluzione! Se
qualcuno dice che nel sacchetto ci sono infinite palline, allora dovrebbe 
dirmi almeno UNA delle palline che ci sono nel sacchetto!!
ciao,
E.

... PS: quanti *ciao* quando suona il gong? e quanti quote? ;-)
contando due volte il Ciao ciao di Claudio, direi che, in media, dopo k
post, se stiamo a contarli, ma senza numerarli, con probalita' p, ... non lo
so :)))

mente nulla di buono, pero' :-(.
Prova questo (ancora piu' scemo :-)
Dopo pranzo, le infinite palline numerate 1,2,3,....sono nel cesto del
lotto.
Due giocatori estraggono ciascuno una pallina, vince chi estrae il numero
piu' alto.
Conviene estrarre per primo o per secondo?


...
|>|?manu* ha scritto nel messaggio ...
|>|
|>|>Tutte le biglie sono cesto. E nessuna sul tavolo e nel sacchetto.
|>|>Infatti ogni biglia prima o poi viene tolta dal tavolo, e ogni biglia
|>|>prima o poi viene messa dal sacchetto al cesto.
|>
|>E per quanto mi riguarda, questa la do per buona!
|
|mmmh, mi sembra di si', anzi di no, cioe', boh!? :-(
|
|Provo a proporre alcuni problemi "simili", ma non "uguali"
|
|In tutti i casi si parte con infinite palline sul tavolo, e con un cesto e
|un sacchetto vuoti.
|
|A) Sul tavolo ci sono infinite palline NON numerate.
|Prelevandole direttamente dal tavolo, metto zero palline nel sacchetto e
|una nel cesto, poi una nel sacchetto e una nel cesto, poi due nel sacchetto
|ed una nel cesto ecc. cioe'
|sacchetto  0+1+2+3+...
|cesto 1+1+1+1+...
|in generale, alla k_esima operazione, prelevo dal tavolo k palline e ne
|deposito k-1 nel sacchetto e 1 nel cesto.
Otterrei un'infinita' di palline nel sacchetto e un infinita' nel cesto...
ma quante sul tavolo? una, nessuna, centomila... boh!
|B) Sempre palline NON numerate.
|Alla generica operazione K_esima procedo in questo modo:
|Deposito k-1 palline nel sacchetto. Poi prendo un'altra pallina dal tavolo,
|e tenendola tra l'indice ed il pollice infilo la mano nel sacchetto. Poi
|tolgo la mano, stringendo ancora la pallina, e deposito questa nel cesto.
Stessa risposta e stesso dubbio di prima.
|C) Sempre palline NON numerate.
|Alla generica operazione K_esima procedo in questo modo:
|Prelevo dal tavolo k palline e le deposito nel sacchetto. Poi estraggo dal
|sacchetto una pallina a caso e la deposito nel cesto.
Idem come sopra, mi pare.
|D) Sempre palline non numerate.
|Questa volta il sacchetto e' di forma tubolare, con diametro pari a quello
|delle palline, apribile alle due estremita'.
|Alla generica operazione K_esima procedo in questo modo:
|Introduco k palline nel sacchetto, attraverso l'apertura superiore. Poi,
|dall'apertura inferiore, estraggo una pallina e la deposito nel cesto.
:-) Questo lo trovo bellissimo! hai trovato un modo per dare una
pseudo-numerazione che sembrerebbe mettere in crisi il ragionamento fatto
per il problema originale.
Per quanto mi riguarda, mi riprometto di farti avere una bottiglia della
miglior grappa (o equivalente, nell'ipotesi che tu sia astemio) che posso
trovare! :-)
|E) Come il caso D, ma le palline sono numerate e sono intrdotte nel
|sacchetto in ordine di numero. Quindi E e' il problema iniziale.
Si', *e'* il problema iniziale! e sembra anche equivalente al tuo D... e se
e' davvero equivalente a D... dovrei dire:
o in D il sacchetto resta vuoto (x)
o in D il sacchetto contiene infinite palline (y) contraddicendo il
risultato del problema iniziale!
Che dire?
Il ragionamento risolutivo di Apollinax mi pare ineccepibile.
L'equivalenza tra E e D... mi pare ci sia, ma ho dei dubbi.
Dire che in D il sacchetto si svuota mi sembra dura.
Boh! fra tanti *mi pare* e *mi sembra*... inutile aggiungere che ci devo
pensare.
|Domanda:
|Nei cinque casi, quando suona il gong quante palline ci sono nel sacchetto
|e quante nel cesto?
... e non dimentichiamo il tavolo! ;-)
|>... PS: quanti *ciao* quando suona il gong? e quanti quote? ;-)
|
|contando due volte il Ciao ciao di Claudio, direi che, in media, dopo k
|post, se stiamo a contarli, ma senza numerarli, con probalita' p, ... non
|lo so :)))
:-)))
Ciao ciao pensieroso...
Claudio

...
|[...]
|Prova questo (ancora piu' scemo :-)
|Dopo pranzo, le infinite palline numerate 1,2,3,....sono nel cesto del
|lotto.
|Due giocatori estraggono ciascuno una pallina, vince chi estrae il numero
|piu' alto.
|Conviene estrarre per primo o per secondo?
Diciamo che l'esrazione avviene in modo che ogni pallina ha uguali
possibilita' di ogni altra (ipotesi dura da considerare, ma facciamo finta
che...).
Il primo giocatore estrae la pallina NumeroProbabilmenteMoltoGrandeMaFinito.
A questo punto per il secondo giocatore c'e' un'infinita' di possibilita' di
estrarre un numero piu' grande, contro un'irrisoria probabilita' di estrarre
un numero piu' piccolo... e' praticamente sicuro di vincere!
Ma...
Proviamo a immaginare quale sara' il valore medio del numero estratto per
primo.
(n-1)/2 con n che tende ad infinito.
Quindi le possibilita' che il primo giocatore estragga una qualsiasi pallina
con valore finito sembrano essere zero!
Ma e' meglio che mi fermo qui prima di essere bastonato a sangue (e
giustamente) dal buon Adam.
Altro giochino, sempre piu' scemo...
Due sacchetti, uno con palline numerate 1,2,...,k,...
l'altro con palline numerate 2,4,...,2*k,...
Sempre due giocatori. Quale sacchetto conviene scegliere?
Ciao ciao
Claudio
In fondo, l'intero universo e' fatto di palle che girano... anche le mie non
possono sottrarsi a questa legge naturale.

 sacchetto in ordine di numero. Quindi E e' il problema iniziale.
Non puoi. Intendo dire che il sacchetto (che e' infinito con due
estremita') ha una forma tale che non e' possibile inserirvi le palline in
modo che restino in ordine di numero. Infatti il sacchetto prevede un
ordinamento che non e' compatibile con quello dei numeri naturali.
Se fosse possibile mettere le palline in tale sacchetto mi dovresti dire
che numero ha la prima pallina che estraggo da una parte e la prima che
estraggo dall'altra.
 
Ciao!
Em.

Ciao, ?manu*!
Per i casi A, B e C concordo (nel C in effetti non si puo' nemmeno dire
quante ne rimangono nel sacchetto, come hai precisato).
?manu* ha scritto nel messaggio ...
|[...]
|> D) Sempre palline non numerate.
|> Questa volta il sacchetto e' di forma tubolare, con diametro pari a
|> quello delle palline, apribile alle due estremita'.
|> Alla generica operazione K_esima procedo in questo modo:
|> Introduco k palline nel sacchetto, attraverso l'apertura superiore. Poi,
|> dall'apertura inferiore, estraggo una pallina e la deposito nel cesto.
|
|Ancora ti ritrovi con infinite palline nel cesto. Nel sacchetto te ne
|rimangono infinite e nel tavolo non si puo' dire.
Invece mi sembra che anche qui, come nel problema originale, nel sacchetto
non ne rimanga piu' nessuna.
|> Notare che i casi B,C,D, si equivalgono, a parte il metodo usato per
|> estrarre le palline dal sacchetto.
|
|Beh, non sono d'accordo. Di nuovo: non e' solo il numero di palline che
|estraggo, che conta, ma QUALI palline estraggo.
Concordo.
|> E) Come il caso D, ma le palline sono numerate e sono intrdotte nel
|> sacchetto in ordine di numero. Quindi E e' il problema iniziale.
|
|Non puoi. Intendo dire che il sacchetto (che e' infinito con due
|estremita') ha una forma tale che non e' possibile inserirvi le palline in
|modo che restino in ordine di numero. Infatti il sacchetto prevede un
|ordinamento che non e' compatibile con quello dei numeri naturali.
Qui invece non capisco. In che senso *ordinamento non compatibile*?
|Se fosse possibile mettere le palline in tale sacchetto mi dovresti dire
|che numero ha la prima pallina che estraggo da una parte e la prima che
|estraggo dall'altra.
Ecco! appunto questo mi porta a dire che non ci sono piu' palline nel
sacchetto.
Quindi che D ed E si equivalgono (a parte le palline sul tavolo).
Rivediamo il caso D e pensiamo di numerare le palline prima di metterle nel
sacchetto-tubo. Il ragionamento del problema originale mi porta a dire che
nel tubo, quando suona il gong, non ci saranno piu' palline.
Ma anche se non le numeriamo, la forma stessa del sacchetto induce una
specie di numerazione... se ci fossero ancora palline, la prima di queste
(quella piu' in basso) sarebbe la successiva dell'ultima pallina estratta...
ma non esiste un *ultima pallina estratta*! quindi non ci sara' neanche una
*prima* pallina nel tubo... il tubo e' vuoto (non e' per questo che si usa
dire che *non ci capisco un tubo!*? ;-).
Comunque, la grappa, Paolo, se la merita lo stesso! :-)
Ciao ciao
Claudio

 Conviene estrarre per primo o per secondo?
Purtroppo non essendo possibile dare una probabilita' uniforme
sull'insieme dei numeri interi il problema non e' ben determinato... Non
saprei che dire se si aggiunge l'ipotesi che la probabilita' di estrarre
un numero sia non crescente (rispetto al numero)....
ciao,	Em.