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Titolo: pesi e contrappesi

Problemi di pesate ne abbiamo affrontati molti. Questo forse è un tantinello
meno noto.
Abbiamo una bilancia a due piatti e dobbiamo pesare ogeeti piccolini, al
massimo 40 g.
Se i pesi possono essere messi su entrambi i piatti, qual è il set minimo di
pesi che ci permette di pesare qualsiasi oggetto da 1 a 40 grammi?
-- 
Ciao, Silv:o)

 pesi che ci permette di pesare qualsiasi oggetto da 1 a 40 grammi?
spoilerrrr
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1, 3, 27, se non sbaglio

 xxxxxxxxxx se non sbaglio
Manca qualcosa, mi pare. Scherzi della memoria o della tastiera?
Comunque, avevo premesso che questi problemi sono abbastanza noti, e questo
sta pure in appendice di un bel libello a tema matematico (quale???).
Mi interesserebbe discutere sul come ci si arriva ;)
-- 
Silv:o)

 Pazqo risponde a razzo:
altro che a razzo: risponde prima che di vedere il problema!
- pesi e contrappesi           22/05/2004 18:42
  - Re:pesi e contrappesi      22/05/2004 18:39
Ho fatto un salto qui 
http://toi.iriti.cnr.it/it/rightime.shtml
 e ho rimesso
le cose a posto ;)
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Silv:o)

 ha scritto nel messaggio
news:2h9dsqF...@uni-berlin.de...

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 Non sono molto esperto di problemi sulle bilance (in effetti non sono
esperto di nulla mi sa), però ci provo :-)
il problema è equivalente a trovare un set di numeri che sommati e/o
sottratti tra loro mi diano qualsiasi numero tra 1 e 40.
partiamo dall'1 che mi dà solo 1
Chiamo raggio (carino come nome eh? :-) ) il numero massimo ottenibile con
un certo set di numeri (sommandoli tutti).
Se voglio coprire tutto senza ridondanze in pratica devo prendere come
numero successivo il doppio del raggio del set ottenuto fino ad un certo
momento + 1 .
Quindi prendo il 3 visto che il raggio fino a questo punto era 1
Nuovo raggio 4 allora il numero successivo sarà 4*2+1=9
Nuovo raggio 1+3+9=13  allora il numero successivo è 27
nuovo raggio 40, sono a posto :-)
quindi 1-3-9-27
io lo ho risolto disegnandomi una retta orientata degli interi e partendo da
1 e 3 che avevo visto che mi risolveva tutto fino a 4 poi ho capito che
potevo fingere di avere un compasso partendo da 5 e usando come numero
successivo il centro della circonferenza... però insomma mi è difficile
spiegare i ragionamenti, più facile a farsi che a spiegarsi.
Comunque molto carino il problema!
ciao :-))
  (spero di non aver canato)


Silvio, e' forse il piu' noto!
Gia' Tartaglia e Bachet hanno trattato queste serie.
Molto piu' complicato trovare tutte le serie di pesi che permettono di 
pesare da 1 a 40 con queste due restrizioni:
- Ciascuna pesata puo' essere fatta in un solo modo.
- Nessuna pesata > 40 deve essere possibile.
ciao

 quindi 1-3-9-27
Corretto.
Ecco come ho ragionato io.
Se i pesi si potessero piazzare solo sul piatto opposto, allora potrei usare
un set di pesi composto dalle potenze di due e mettere i pesetti
corispondenti agli uno della codifica binaria del peso dell'oggetto.
Siccome li posso piazzare anche nell'altro piatto, allora un singolo pesetto
può comparire nel totale 0, 1 o -1 volta. Da qui l'idea di pasare alla base
3.
Faccio un esmpio: 16g
16 = 9+2*3+1 = 121
Usando un solo piatto dovrei tuilizzare 2 pesi da 3 grammi.
Se voglio evitare questo doppio uso dei pesi, posso fare così:
Parto dal pesetto più leggero, quello da 1 grammo.
se è presente 0 o 1 volta, passo al successivo, se è presente 2 volte
sostituisco i 2 pesi da 1 grammo con uno da 3 grammi e metto un peso da 1
sul piatto opposto.
Dopo questa operazione di pesi da 3 grammi possono essercene 0,1,2,3. Se
sono 2 li sostituisco con uno da 9 grammi e ne paizzo uno da 3 sul piatto
opposto, se sono 3 li sostituisco con uno da 9 grammi e vado avanti.
X + 0000 = 0121
X + 0010 = 0201
X + 0110 = 1001
X + 9+3  = 27+1
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Ciao, Silv:o)

 - Nessuna pesata > 40 deve essere possibile.
Proprio il più noto sono andato a beccare!
E sono convinto di averci pure lavorato su questi problemi, in questi anni
di ihe.
Vado a riguardare su google e sulle tue belle paginette.
E' che mi è ricapitato tra le mani il libro di Singh su Weil e l'ultimo
teorema di Fermat ;)
-- 
Ciao, Silv;o)

giusto!
non ci avevo mica pensato che si potessero mettere pesetti anche sull'altro
lato della bilancia!
io ero arrivato al limite teorico di 6 pesetti da 1, 2, 4, 8, 16 e 32 grammi
(ragionando in modo binario). ma quello è il set migliore solo se si possono
mettere i pesetti su un solo piatto della bilancia, dico bene?
Ste
ps.: visto che c'è un arrotondamento, con quei sei pesetti si può arrivare a
pesare fino a oggetti di 63 grammi, mentre il set dell'altra soluzione (1,
3, 9 e 27) è composto da meno pesetti ma arriva a pesare oggetti fino a 40
grammi.