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Titolo: Altre piramidi, altre arance

PREFAZIONE
Propongo alcune variazioni sul tema.
I problemi possono essere risolti indipendentemente l''uno dall'altro, ma
consiglio, almeno ai piu' esperti, di risolvere il problema del Capitolo 2
prima di leggere il testo del Capitolo 3, altrimenti sarebbe troppo facile.
RIEPILOGO DEL CAPITOLO 1
Dario Uri ha scritto:
Alla festa dell'agrumeto, i ragazzi del paese dopo diverse prove, sono
riusciti a sistemare tutte le 8500 arance del raccolto in una piramide, che
ora e' in bella vista nella piazza del paese.
Come sara' fatta questa piramide ??
A questo problema sono state proposte due soluzioni:
-piramide rettangolare 24*36 alla base e 13*1 in sommita';
-piramide quadrata tronca 29*29 alla base e 6*6 in sommita'.
CAPITOLO 2
Stranamente le due soluzioni descritte al Capitolo 1 propongono due piramidi
diverse, ma di altezza uguale.
Domanda:
E' possibile costruire una piramide di altezza uguale o maggiore,
utilizzando meno di 2000 arance?
CAPITOLO 3
I ragazzi del paese vicino vogliono emulare i rivali, ma sono riusciti a
raccogliere solo 2312 arance.
Decidono comunque di costruire non una ma ben due piramidi, di uguale
altezza, ancorche' di forma differente, utilizzando tutte le arance.
Stabiliscono inoltre che le piramidi dovranno essere "a punta", cioe'
terminare con una sola arancia in sommita'.
Mentre discutono sul da farsi, Pierino, il bambino prodigio, fa la sua
proposta:
-se numeriamo gli strati di arance a partire dall'alto, lo strato n.esimo
conterra' n^2 arance in una piramide a base quadrata, ed n*(n+1)/2 arance in
una piramide a base triangolare; allora, come potete facilmente verificare,
si possono costruire due piramidi, una quadrata ed una triangolare, di 16
strati ciascuna, utilizzando esattamente 2312 arance.
Impressionati da tanta scienza, i ragazzi eseguono.
Stanno ammirando la loro opera, quando passa Pippo, da tutti ritenuo lo
scemo del villaggio, il quale fa notare che, secondo la sua modesta
opinione, le due piramidi hanno altezza diversa.
I ragazzi fanno una rapida verifica e devono ammettere a malincuore che
Pippo ha ragione.
Domanda:
Come e ' possibile?
CAPITOLO 4
I ragazzi non si perdono d'animo. Smontano il tutto, si corroborano con una
spremuta di 50 arance, regalano a Pippo un sacchetto con 200 arance, mentre
un'altra arancia finisce, chissa' come, spiaccicata sulla testa di Pierino.
Con le arance rimaste costruiscono un'unica piramide, sempre "a punta".
Domanda:
Come e' fatta questa piramide?
CAPITOLO 5
Ritorna Pierino, che era passato a casa per fare la doccia, e dice che,
utilizzando meno arance, si potevano costruire ugualmente due piramidi di
uguale altezza. Poi si allontana rapidamente, non senza essere stato colpito
da 5 arance prelevate alla base della piramide, che stranamente non frana.
Domanda:
Che faranno ora i ragazzi, con 5 arance in meno?
CAPITOLO 6
Ritorna Pippo, ringrazia per il dono, e fa notare che, senza tanto spreco,
si potevano costruire due piramidi di uguale altezza con tutte e sole le
2312 arance iniziali?
Domanda?
Come?
ciao
Paolo
Nota per Claudio:
Dopo tanta scorpacciata di arance, vorrei mangiare almeno uno spaghetto.
Aspetto ancora il piatto.

...
...
|Nota per Claudio:
|Dopo tanta scorpacciata di arance, vorrei mangiare almeno uno spaghetto.
|Aspetto ancora il piatto.
Ops! la soluzione e' un po' lunghetta... e stasera vorrei andare a dormire a
un'ora quasi decente (inoltre si aggirano dei pericolosi torturatori di
polli con
maniacali passioni per le arance ;-).
Ma per non essere troppo scortese:
Il problema l'ho trovato su *Le Scienze* n.331 marzo 96 (il solito Ian
Stewart) col titolo *La coperta di Mamma verme*. La soluzione e' di David
Reynolds, che ha trovato un'idea mica male per risolverlo... ma non e' data
come sicuramente migliore.
Prometto che entro domenica posto la soluzione, che, per inciso, e' (4 +
radice_di_3)/24.
Comunque indiscutibilmente migliori le penne all'amatriciana!
Ciao ciao
Claudio

 Come?
2 file da 1156 ca.
dario

2 file da 1156 ca.
si po' tenere la stessa formazione del capitolo 2, mantenendo la piramide
quadrata cosi' come era, e disponendo in quella triangolare il tetraedro
elementare leggermente allargato alla base, e percio' ribassato (vedi
figura)
se vuoi ti puoi divertire a calcolare l'allargamento necessario a rendere
l'altezza uguale a quella dell'elemento quadrato. io non l'ho fatto
ciao
Paolo

e chissa' quant'altro ancora.
L'unica altra soluzione regolare e'
1 piramide a base quadrata di 17 piani +
1    "           triangolare di 16 piani
MF

 risultano di uguale altezza (se sono giuste le mie formule)
13*sqrt(2/3)+1 = 11.61445555...
15*sqrt(1/2)+1 = 11.60660171...
quasi uguali.
dario
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