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Titolo: I: Un intrigante problema di calcolo delle probabilità

Quello che segue e' parte di un vecchio messaggio di ISM. Viste le
ultime discussioni puo' essere interessante.
Ahemmm, non ho chiesto il permesso all'autore... quindi gliene mando
una copia per conoscenza.
Ciao ciao
Claudio
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Subject: Un intrigante problema di calcolo delle probabilità
From: 
rig...@iol.it
Date: 1999/11/10
Newsgroups: it.scienza.matematica
[...]
Ora vorrei proporre un problema che si incontra frequentemente nel gioco
del bridge, problema che, come capirà chi avrà la pazienza di leggere,
ha qualcosa in comune con i numeri ritardatari del Lotto, anche se in
maniera più intrigante, ovviamente a mio giudizio.
Per coloro che non conoscono assolutamente il bridge spiegherò il minimo
indispensabile per capire il problema in oggetto, gli altri possono
saltare tranquillamente il paragrafo.
I giocatori sono 4 indicati come i punti cardinali e si gioca a coppie,
Nord e Sud contro Est e Ovest. Le 52 carte vengono distribuite coperte
in modo che ogni giocatore ne possieda 13, e dopo una specie di asta a
chi si impegna a fare più prese, si inizia a giocare. Uno dei giocatori
della coppia che ha vinto l'asta sarà il giocante mentre il suo compagno
stenderà le carte sul tavolo e farà il cosiddetto morto. Il giocante
giocherà quindi con 26 carte, con le 13 sue e con le 13 del morto (che
come tale non può parlare). Il gioco si svolge quindi calando sul tavolo
una carta per volta da parte di ciascun giocatore. 4 carte costituiscono
una presa ed il gioco consiste nel fare più prese possibili (13 al
massimo), cercando di mantenere l'impegno preso al momento dell'asta.
Come a tressette c'è l'obbligo di rispondere al colore, se si possiedono
carte dello stesso colore della carta con cui inizia ciascuna presa.
Supponiamo quindi di essere all'inizio del gioco vero e proprio con le
13 carte del morto visibili a tutti. Per semplicità supponiamo che
l'avversario che precede il morto in senso antiorario (si gioca seguendo
il senso orario) non abbia messo sul tavolo la cosiddetta carta
d'attacco, come avrebbe dovuto fare secondo le regole del bridge prima
che il morto stendesse le sue carte sul tavolo.
Io sono il giocante in Sud e mi accorgo che posso vincere se riesco a
sapere quale dei due avversari, Est od Ovest, possiede ad es. la Donna
di Quadri (QD), che nè io possiedo, né è visibile tra le carte del morto
(Nord).
E' facile comprendere che la  probabilità di trovare la QD in Est o in
Ovest è la stessa e pari al 50% (p = 0.5), supponendo che le carte siano
state mescolate perfettamente ed io non abbia alcuna informazione utile
a modificare tale percentuale.
Ma alcuni esperti di bridge e di statistica hanno suggerito il seguente
sistema per migliorare la probabilità di vittoria. Io posso prendere in
considerazione una seconda carta dei miei avversari, ad es. per fissare
le idee il 2 di Fiori (2F), che so certamente in loro mano perché io non
la possiedo e non è tra le carte del morto. La scelta di questa seconda
carta è del tutto arbitraria, salvo la condizione che io possa accertare
quale dei due avversari la possiede prima di affrontare il problema
della QD. Ricordo a chi non conosce il bridge che c'è l'obbligo di
rispondere al colore, e quindi sarà sufficiente giocare le Fiori prima
delle Quadri in modo da far cadere il 2F.
Ora quali sono le probabilità che QD e 2F si trovino nelle mani di Est o
di Ovest prima di iniziare a giocare? Se fate un atto di fede nelle mie
conoscenze statistiche esse sono:
Est  QD   -   Ovest 2F                  p = 0,26  =
(24!/(12!*12!))/(26!/(13!*13!))
Est  2F   -   Ovest QD                  p = 0,26  =
(24!/(12!*12!))/(26!/(13!*13!))
Est  QD + 2F                               p = 0,24  =
(24!/(11!*13!))/(26!/(13!*13!))
Ovest 2F + QD                            p = 0,24  =
(24!/(11!*13!))/(26!/(13!*13!))
In altre parole ho il 52% di probabilità che le due carte siano divise
tra gli avversari, contro il 48% che siano nella mano di uno solo dei
due avversari.
Allora io giocherò in modo di accertare chi possiede il 2F, e, una volta
che l'ho saputo, avrò il 52% di probabilità di trovare la QD nella mano
dell'altro avversario, migliorando quindi la mia speranza iniziale di
vittoria. Potrei migliorare ulteriormente con una terza ed una quarta
carta, ma complicherei troppo i calcoli.
Ma è giusto tutto questo?
[...]





 [...]
direi di no.
supponiamo che io giochi AF,
Est gioca 2F
Ovest gioca 3F
La probabilità che QD e 2F siano divise è 52%, quindi, dal momento che Est
aveva 2F, è più probabile che QD sia in Ovest.
Ma anche la prob. che QD e 3F siano divise era 52%, quindi, dal momento che
3F era in Ovest, è più probabile che QD sia in Est
Come la mettiamo?
in realtà mi pare che la strategia possa funzionare se uno dei due avversari
(per esempio Ovest) non ha nessuna carta di fiori; in questo caso risponderà
scartando un altro seme, e quindi so che tutte le fiori mancanti sono
concentrate in EST, e quindi rimangono più prob. per QD in Ovest.
ciao
paolo

 [...]
Ragionando come un noto personaggio:
"Volendo sapere chi ha la QD,  il 2F... ma che ci azzecca ?"
Che non č molto rigoroso, ma credo sia giusto!
Iniziamo a giocare.
SUD gioca AF
EST gioca 2F
A questo punto, cioč a metŕ della mano, ed *assumendo* che la strategia di
gioco di EST sia stata di giocare una carta a caso (non molto realistico
direi), si puo correttamente dedurre che la probabilitŕ che EST abbia anche
la QD sia il 48% (12/25)  contro il 52% (13/25) che l'abbia OVEST.
E' possibile sia seguire il ragionamento esposto nel post originale (che a
me sembra un po contorto) sia semplicemente osservare che ora EST ha 12
carte (tra 25) e quindi la probabilitŕ ci sia la QD č
Binomial[24,11] / Binomial[25,12] = 12/25.
OVEST gioca 3F
Non penso sia necessario argomentare oltre per dedurre che ora la
probabilita di avere la QD č di nuovo 1/2 per EST ed OVEST.
Tuttavia anche l'esiguo guadagno di informazione a metŕ della mano non mi
sembra realistico, in quanto č necessario conoscere il criterio di gioco di
EST.
Consideriamo i seguenti eventi non condizionati
A) EST ha la QD
B) EST gioca 2F
Siamo interessati a P(A|B). Applicando la formula di Bayes
P(A|B)=P(A) * P(B|A) / P(B) = 1/2 P(B|A)  / P(B)
dobbiamo cioe stimare come la presenza della QD influisca sulla probabilita
di giocare 2F.
Come gia visto se EST gioca a caso
P(B)=1/2 * 1/13
P(B|A)= 12/25 * 1/13
e quindi
P(A|B)=12/25
ma se per esempio la strategia di EST fosse "giocare una carta a caso
*tranne* la QD", allora
P(B|A)=12/25 * 1/12
e quindi
P(A|B)=13/25.
Concludendo a me sembra che il ragionamento iniziale del post sia proprio
infondato... non so giocare a bridge, ma veramente chi ci gioca usa di
queste argomentazioni?
Ciao a tutti, Enrico.

 ultime discussioni puo' essere interessante.
[...]
Ciao Claudio,
ci ritroviamo su un altro problema che tocca il paradosso! :-)
Non mi sembra però che in questo caso ci siano contraddizioni. Penso che il
ragionamento sia corretto. Può sembrare paradossale che l'informazione
relativa ad una carta
qualunque (il 2F) influenzi un'altra carta (la DQ), ma non è così. Il testo
fa supporre che sia indifferente trovare il 2F in una mano o nell'altra,
mentre è facile stabilire che la probabilità che il 2F sia nella mano in cui
c'è anche la DQ è minore rispetto ad essere nell'altra mano. Nel primo caso
il 2F può essere una delle rimanenti 12 carte (prob. 12/25), nel secondo
caso una delle 13 (prob. 13/25). Per cui sarà più facile che il 2F sia nella
mano che non contiene anche la DQ.
Ci si può convincere prendendo quattro carte (A, B, C, D) e distribuendole
in due mazzi di due carte ciascuno. Le possibili distribuzioni sono:
AB CD
AC BD
AD BC
BC AD
BD AC
CD AB
scegliendo due carte a caso la probabilità che si trovino nello stesso mazzo
è minore (la metà) della probabilità che siano in mazzi diversi.
Meno carte ci sono e più l'informazione relativa a dove è il 2F condiziona
la presenza della DQ nell'altra mano, fino ad arrivare al caso limite in cui
una volta rimasti con due carte (complessive) in mano agli avversari (il 2F
e la DQ), l'apparire del 2F in una mano dà la certezza che la DQ è
nell'altra! :-)
Naturalmente "non vale" cambiare la carta
"sentinella" in corso d'opera. Cioè non posso dire, appena vedo il 3 di
fiori, che in fondo è la stessa cosa del 2F e quindi far finta che sia
quella la carta sentinella. Sarebbe come "puntare" sull'uscita del 2
lanciando un dado e poi, constatando che è uscito il 3, dire: "ho vinto
ugualmente perché, avendo le stesse probabilità di uscire, è come se fosse
uscito il 2 !". :-)
Un discorso diverso è quello che fa Paolo. L'informazione che traiamo
constatando che il 2F è in una mano e il 3F è nell'altra diventa nulla, ma
nel caso in cui le due carte fossero nella stessa mano, avremmo
ancora più speranze sulla collocazione della DQ nell'altra mano.
Può sembrare che il ragionamento di un bridgista sul 2F sia assurdo. Perché
proprio
il 2F? Il fatto di verificare che uno dei due avversari ha il 2F è un modo
indiretto per desumere che probabilmente ha più carte di
fiori del suo compagno (se ha più carte di fiori, sarà più facile che tra
queste ci sia proprio il 2F). Il fatto che abbia più carte di fiori
riduce il numero delle altre carte e conseguentemente la possibilità che tra
le altre carte ci sia la DQ.
Un'altra situazione quasi limite è questa: supponiamo che tra la mia mano e
quella del morto ci sia una sola fiori. Ovest esce a fiori e si scopre che
est non
ne ha (è un po' improbabile, ma facciamo finta :-) ). Io non scommetterei
molto che l'unica carta non di fiori in mano a ovest sia proprio la DQ!
Stiamo parlando di probabilità, non di certezze. Alla lunga uno stratagemma
di questo genere, porta ad "indovinare" la posizione della DQ 52 volte su
100. Voglio rassicurare Enrico che i bridgisti (quelli "veri"), operano ben
altre deduzioni per individuare la posizione di una determinata carta in
mano agli avversari, ma... in mancanza di meglio... ! :-)
Ciao
Giorgio
P.S. Claudio, come hai visto, ho lasciato cadere il discorso sui frati. Il
motivo principale è che ho davvero poco tempo iu questo periodo e poi non so
più cos'altro aggiungere! :-) Le tue ultime obiezioni non hanno smosso di
molto le mie convinzioni. Forse in un momento di minore impegno lavorativo
potrò rimettermi a rifletterci su ancora un po'. Per ora ti lascio
riportandoti l'ultimo scambio di battute che i frati fecero quando si
rincontrarono, poco prima di congedarsi per sempre. Non
credo siano importanti, ma te le riporto per completezza di informazione:
...
"... e poi il prurito che mi dava quel puntino era davvero insopportabile!"
"Già!!"
"A chi lo dici!!!"
:-)

 "A chi lo dici!!!"
:-)))))))
Chissa', forse erano bridgisti pure loro? ;-)
[dopo tante astratte discussioni sui nei ed i 2F... si scoprono le
ragioni ben piu' solide delle loro scelte]
Ciao ciao
Claudio


Allora proviamo ad isolare le condizioni puramente probabilistiche dagli
aspetti strettamente bridgistici. Il problema potrebbe a questo punto
trasformarsi nel seguente:
Prendo 26 carte costituite dai soli due semi di fiori e di quadri, le
mescolo e le distribuisco 13 e 13 in due mazzi che do a due giocatori. Il
mio scopo è di indovinare dove è la DQ, chiedendo che mi venga rivelata la
presenza nei due mazzi di alcune carte a mia richiesta. Naturalmente il
gioco è generalizzabile a qualunque numero di carte, ma tanto per scrivere
qualche numero, trattiamo il caso di 26 carte.
Senza indizi:
La probabilità di indovinare la presenza della DQ è evidentemente 1/2.
Con 1 indizio:
Chiedo di scoprire il 2F. La probabilità che la DQ sia nell'altro mano è
13/25. E anche su questo siamo d'accordo. Certo è che nella mano in cui non
c'è il 2F ci sarà sicuramente un'altra carta qualunque (oltre all'eventuale
DQ) della stessa importanza del 2F; ma proprio perché di questo ne sono
certo, è inutile che me ne curi. Questo fatto non cambia le informazioni in
mio possesso. Semmai io non so se nella mano in cui non c'è il 2F, ci sia o
meno il 3F e quindi posso valutare quali informazioni mi dia il fatto di
sapere dove è il 3F.
Con 2 indizi:
Chiedo quindi di scoprire anche il 3F. La probabilità che non sia insieme al
2F è ancora 13/25. In questo caso la mia probabilità di indovinare dove è la
DQ ritorna 1/2. Ma con probabilità 12/25 il 3F sarà insieme al 2F e in
questo caso la probabilità di individuare la DQ nell'altra mano sale a
13/24. A conti fatti la probabilità totale di individuare la DQ scoprendo 2
carte diventa: 13/25 * 1/2 + 12/25 * 13/24 = 13/25, e quindi rimane uguale
alla probabilità di indovinare con 1 solo indizio.
Con 3 indizi:
Le carte che chiedo di scoprire potranno essere divise 3-0 (probabilità
11/50) o 2-1 (probabilità 39/50) nelle due mani. Nel primo caso la DQ sarà
nella mano con 0 carte 13 volte su 23, nel secondo caso sarà nella mano con
1 carta 12/23. In totale la probabilità di indovinare sarà 11/50 * 13/23 +
39/50 * 12/23 = 611/1150 (0.5313...)
Con 4 indizi:
Divise 0-4 55/575, probabilità che sia nella mano 0: 13/22
divise 1-3 286/575, probabilità che sia nella mano 1: 12/22
divise 2-2 234/575, probabilità che sia in una delle due mani: 1/2
probabilità totale di indovinare: 55/575 * 13/22 + 286/575 * 12/22 + 234/575
* 1/2 = 0.5313...
Mi fermo qui perché la probabilità di fare errori di calcolo cresce più
della probabilità di trovare la DQ! :-)
Si vede però che più carte si scoprono, maggiori informazioni si hanno sulla
posizione della DQ. Penso non sia difficile da dimostrare il fatto che
passando da 1 a 2 carte e da 3 a 4 carte non aumenti la probabilità (ma al
momento non mi ci metto). Resta comunque il fatto che la probabilità non
cala con l'aumentare delle carte.
Come caso finale si può considerare quello con 24 indizi:
Se chiedo di scoprire 24 ben precise carte, arriverò ad una situazione in
cui i giocatori rimangono esattamente con una carta ciascuno 13 volte su 25
(dal
momento che le nomino tutte meno una e meno la DQ, è come se nominassi
quell'una, chiedendo di scartare tutte le altre; 13/25 sarà nella mano che
non contiene la DQ e quindi i due rimarranno con una carta ciascuno). In
questo caso ho 1/2 di indovinare, ma
in tutti gli altri casi (12/25), cioè quando uno dei due mazzi si esaurisce,
ho la certezza della posizione della DQ. Quindi in totale 13/25 * 1/2 + 12/
25 = 37/50.
Forse qualche calcolo è sbagliato, ma, se non è sbagliato il ragionamento in
generale, direi che il metodo funziona e può essere preso in considerazione
anche nel gioco vero.
Ciao :-)
Giorgio

 mazzo è minore (la metà) della probabilità che siano in mazzi diversi.
Abbiamo quindi sei casi possibili. Noi siamo interessati esclusivamente
a quelli in cui esce la carta segnale [diciamo la B], ma non esce la
carta segnalata [diciamo la A]. Ovviamente come strategia dei giocatori
scelgo quella casuale... Nel primo dei casi elencati, abbiamo due casi
ne quali esce il
"segnale" e non esce la "segnalata": B-C e B-D.
Nel secondo degli elencati, abbiamo un solo caso: C-B. Cosi' nel terzo:
D-B. Cosi' nel quarto: B-D. E nel quinto: B-C. Mentre nel sesto ne
abbiamo due: C-B e D-B. Quattro casi contro quattro, che giustificano
[almeno in quest'ottica] il fatto che anche dopo l'uscita del "segnale",
non ho ragioni per dare ad A maggiori probabilita' di stare nell'altra
mano [sempre ricordando che questo vale solo considerando che entrambi i
giocatori... giocano].
Riprendendo un ragionamento che avevo fatto a suo tempo con chi questo
gioco aveva proposto, immaginiamo una situazione diversa. All'inizio
della partita ad EST cade casualmente una carta: e' il 3F. Faccio i miei
conti ed a questo punto do maggiori probabilita' ad OVEST di avere la
DQ. Ma anche OVEST e' un po' impacciato nel sistemare le carte e gliene
cade una... il 2F. Avevo gia' deciso che quella era la mia carta
segnale... ma questo cambia qualcosa? per me no, e credo nemmeno per
l'*odioso* [solo una questione di gusti, generalmente lo evito come la
peste] Bayes... il 2F posso pure considerarlo particolare, ma non lo e'
per la posizione della DQ... o almeno non piu' del 3F.
Pensandoci ora, questa situazione si presta bene ad una simulazione...
si puo' vedere cosa succede nei casi in cui ad EST cade una carta
qualsiasi ed a OVEST il 2F...
---
Ho visto poi che non occorre una simulazione, visto che bastano alcuni
calcoli...
Immaginiamo le solite 26 carte. Tutte bianche ad eccezione del solito
2F e della DQ. Le distribuiamo poi casualmente in due mani. 13 volte su
25 il 2F e la DQ saranno in mani diverse, 12 su 25 invece nella stessa
mano. Ora, senza guardare, impacchettiamo le due mani in due mazzetti...
scopriamo la prima carta di ogni mazzo finche' non compare o il 2F o la
DQ. Allora...
12 volte su 25 sono nello stesso mazzetto. Di queste 1 volta su 2
scopriro' prima il 2F [totale 6/25].
13 volte su 25 sono in mazzetti diversi. Di queste 1 volta su 13
scopriro' contemporaneamente il 2F e la DQ. Restano 12 volte su 13
delle quali 1 volta su 2 scopriro' prima il 2F [totale 6/25].
Quindi, quando scopriro' il 2F senza scoprire anche la DQ, la posizione
di questa sara' sempre alla pari...
Certo, in una partita vera le cose son molto diverse... ma 'sta storia
del "segnale" non mi pare regga.
Per intanto ti saluto, sperando di non averti annoiato.
Ciao ciao
Claudio


Certo che non mi hai annoiato! :-)
Anzi ti ringrazio per avermi "costretto" a ragionarci ancora un po' sopra.
Sì perché penso di aver trovato una soluzione al problema. Se hai pazienza
di seguire tutta la trattazione, penso possa essere interessante; se i
ragionamenti sono giusti, vedrai che alla fine abbiamo ragione entrambi!
(Cosa non si fa per un amico!!! :-))))) ).
Direi che la chiave di tutto sta nel rendersi conto della differenza
sostanziale tra due
situazioni apparentemente simili.
Facciamo anche questa volta un'ipotesi riduttiva. Le carte in gioco sono 4:
DQ, 2F, 3F e 4F distribuite in mano ai due giocatori.
Queste sono le distribuzioni possibili, ovviamente le stesse carte possono
trovarsi scambiate nelle due mani.
DQ 2F - 3F 4F
DQ 3F - 2F 4F
DQ 4F - 2F 3F
Ti presenterò tre casi distinti.
Primo caso. Chiedo ad entrambi i giocatori di scoprire una carta a caso, che
però non sia la DQ. E' evidente che essendo 3 le carte possibili (2F, 3F e
4F) ed essendo 2 le carte che vengono scoperte, la probabilità di vedere il
2F sarà 2/3. Di queste 2 volte su 3, 1 volta su 3 il 2F accompagnerà la DQ e
quindi verrà obbligatoriamente scoperto. Nei casi in cui non accompagna la
DQ (2/3) verrà scelto a caso 1 volta su 2, per cui, se non accompagna la DQ,
verrà scoperto 2/3 * 1/2 = 1/3. Nel caso in cui non appaia il 2F si
rimescola e si rifà. In definitiva appare 1/2 se accompagna la DQ e 1/2 se
non l'accompagna. Da ciò si conclude che l'apparire del 2F non dà alcuna
informazione sulla posizione della DQ e io posso solo tentare di indovinare
con probabilità 1/2. Questo è ciò che sostieni tu, e
adesso l'abbiamo pure dimostrato! :-)
Secondo caso. Chiedo ad entrambi che venga scoperto proprio il 2F. Una volta
scoperto (dal giocatore che lo possiede) chiedo all'altro giocatore di
scoprire una carta a caso. Siamo nella stessa situazione di prima? Anche
ora, come nei 2 su 3 casi precedenti, mi ritrovo ad avere sul tavolo il 2F e
un'altra carta. Ma adesso la situazione è molto diversa. Come si vede dallo
schema delle distribuzioni delle carte, il 2F che ho chiesto di scoprire
accompagna la DQ 1 volta su 3. Questo già da solo mi permette di concludere
che la DQ ha maggiore probabilità di essere nell'altra mano a prescindere
dalla carta che
verrà scoperta dall'altro giocatore. Costui può scoprire una carta qualunque
(ne ha certamente una diversa dalla DQ) quindi nel momento in cui la vedo
non traggo alcuna informazione aggiuntiva. L'atto di scoprirla è puramente
formale. In questo caso è facile determinare che la probabilità di
indovinare la DQ è 2/3.
Sei d'accordo sulla diversità dei due casi e sul fatto che la differenza sta
nella libertà o nell'essere costretti a giocare il 2F?
Terzo caso. Si potrebbe allora continuare imponendo di scoprire anche il 3F.
Però in questo modo, chi avesse in mano sia il 2F che il 3F dovrebbe
scoprirli entrambi e il gioco sarebbe svelato. Si può utilizzare un piccolo
trucco per salvare le apparenze, ma con lo stesso esito. Chiedo dunque che
venga scoperta la carta di valore più basso in mano ad entrambi. 2 volte su
3 verranno scoperti sia il 2F che il 3F e io non avrò informazioni e tenterò
di indovinare (1/2); ma 1 volta su 3 compariranno il 2F e il 4F e io saprò
con certezza che la DQ è insieme al 4F. In totale 2/3 * 1/2 + 1/3 = 2/3. Ho
quindi ancora 2 possibilità su 3 di indovinare.
Anche se non così consapevolmente, questi erano i presupposti su cui
ho basato tutta la mia analisi nel mio post precedente.
Proviamo allora a vedere a quale dei tre casi una normale partita di bridge
assomiglia maggiormente. Non è facile ridurre il gioco del bridge a semplici
constatazioni probabilistiche, ma forse qualche supposizione si può ancora
fare.
Se i due avversari giocano completamente a caso, non si potrà trarre molte
informazioni dal loro gioco e qui siamo al primo caso. E' però anche vero
che, se giocano a caso, non sarà difficile vincerli! :-)
Ammesso che non giochino a caso, li possiamo suddividere in due categorie:
principianti ed esperti.
Se sono principianti, in seguito alla mia uscita di, supponiamo, AF, saranno
portati ognuno a scartare la carta più piccola che hanno in mano. E'
abbastanza naturale che ciò avvenga; forse, possedendo 2F, 3F e 4F, un
giocatore potrà scartare il 4F, che è comunque la sua carta più bassa, ma io
vedendo che il suo compagno ne scarta una più alta, capirò dove sta il 2F e
anche il 3F. Se il criterio che viene seguito è scartare la carta più bassa
o una equivalente, saprò sempre individuare la posizione del 2F e del 3F.
Sei d'accordo che questo equivale a dire: "Ognuno giochi la carta più bassa
che possiede"? Sei
d'accordo che questo ci riporta al terzo caso analizzato precedentemente?
Se invece sono esperti, approfitteranno dei loro scarti per darsi
informazioni reciproche sulla loro forza in altri semi. Saprai che esistono
convenzioni
(alta-bassa, pari-dispari) per fornire le suddette informazioni. Si può
comunque pensare che nella stragrande maggioranza dei casi, nel giro di due
mani (quelle in cui io mi "tiro" in sequenza AF e KF), prima o poi le loro
carte più basse di fiori verranno giocate. Anche questo è quindi
ricondicibile alla situazione in cui io chiedo ad entrambi i giocatori:
"mostratemi le carte più basse che avete". Se il 2F e il 3F
sono nella stessa mano ho le indicazioni sulla posizione della DQ appena
trattate e trattate anche nel mio post precedente.
Il secondo caso forse non si presenterà mai. Dovremmo trovare un avversario
che scarta a caso e il suo compagno che scarta con un criterio e questo non
è molto probabile.
Per concludere direi che, con le opportune premesse e considerazioni sulla
non casualità del gioco (e questo, ad analisi fatta, è determinante e forse
costituiva la differenza tra il tuo approccio e il mio), l'indicazione delle
cartine di fiori possa effettivamente essere utilizzata.
Che cosa ne pensi?
Ciao
Giorgio

 o una equivalente, saprň sempre individuare la posizione del 2F e del 3F.
A pensarci bene puň rimanere fuori qualche caso in cui non so determinare la
posizione di una delle due carte. Ad esempio se uno gioca 2F e l'altro 4F,
non posso stabilire dove č il 3F, sebbene entrambi abbiano giocato la carta
"piů bassa". Puň anche capitare che uno giochi il 4F avendo in mano solo il
4F e l'altro giochi il 5F pur possedendo il 2F e il 3F, constatando che, una
volta sceso il 4F, il suo 5F vale come il 2F. In questi casi ci si puň
mettere il cuore in pace e rinunciare al giochetto. :-)
Ciao :-)
Giorgio