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Titolo: [geomag] Quanti icosaedri?

Quanti icosaedri, convessi o concavi, a facce triangolari
equilatere (20, a scanso di equivoci :o)) esistono?
Non sono pochi, ma non dovrebbero essere neppure
tantissimi. Ignoro la risposta esatta.
Alcuni sono famosi, altri derivabili da poliedri noti.
Un elenco potrebbe cominciare così:
1) Icosaedro platonico (non ci piove).
2) Icosaedro platonico rientrato (una piramide pentagonale
   è *spinta* verso l'interno).
3) Triplo antiprisma triangolare.
4) Girobifastigio quadripiramidato (qui ci vuole già Poly :o))
5) Spirale ennotetraedrica destrorsa.
6) Spirale ennotetraedrica sinistrorsa.
7) ...
L'elenco potrebbe essere ordinato in funzione del loro
grado di simmetricità. All'ultimo posto dovrebbero
trovarsi vari, ma non so quanti, politetraedri.
Potremmo mettere le soluzioni (geomag, supermag, cotton
fioc, fiammiferi, foto, disegni, scarabocchi, fidocad, autocad... )
man mano in una cartella qua:
http://it.groups.yahoo.com/group/enigmi
Che ne dite?
Ciao!!!  :o)

 
http://it.groups.yahoo.com/group/enigmi
Se riesco ne disegno qualcuno con Mathematica. Pensate sia meglio la
versione "solida" oppure una versione "scheletrica" alla Geomag?
Maurizio

 versione "solida" oppure una versione "scheletrica" alla Geomag?
Basta che si capisca.  ;o)
Guarda, if you like, il [rilancio]
Ciao!!!  :o)

 equilatere (20, a scanso di equivoci :o)) esistono?
Calma, non spingete, troppo entusiasmo!
Ma forse sono io che ho "imboccato il corso Napoleone
Buonaparte dalla parte sbagliata" [Mii... questa metafora
la capiscono solo qua!].
Vediamo... se andassimo a dare un'occhiata all'Enciclopedia
delle Sequenze di Interi e cercassimo qualche cosa del tipo:
"Number of polyhedra with 2N equilateral triangular faces" ?
Niente, nèh! Vuoi vedere che i matematici degli ultimi secoli
si son dimenticati di trattare l'argomento? Non mi stupirebbe:
Nonostante che Euclide, Platone, Archimede siano antichi,
bisogna ad es. arrivare al XX secolo perché Solomon W.
Golomb tratti sistematicamente i polimini, sapete, quelle
figure piane formate da N quadrati uniti almeno per un lato.
E bisogna aspettare il 1961 perché T. H. O'Beirne battezzi
"poliamanti" le figure piane formate da N triangoli equilateri
uniti per almeno un lato.
E' interessante notare una cosa che magari ci servirà più
avanti: entrambe le etimologie sono alla *Ale e Franz* dello
Zelig Circus. Infatti il primo ritiene erroneamente che la
parola "domino", che indica la tessera del famoso gioco
da tavolo, derivi da "di-omino" = 2 omini con "omino" =
quadrato (chissà perché) e forgia il vocabolo "poly-omino"
da cui il famoso "pentomino" che uno zelante traduttore,
ricordando l'origine greca della radice, trasforma nell'italiano
"pentamino", arbitrariamente accorciando "omino" in "mino".
Il secondo, vista la disinvoltura del primo, attribuisce alla
parola "diamond" (udite, udite) l'origine "di-amond"= 2
amonds, cioè il rombo come somma di 2 triangoli.
Inventa quindi il termine "polyamonds" che il solito
traduttore, poiché "diamond" = "rombo" ma anche "diamante",
tradurrà in "poliamanti", scivolando nel boccaccesco!
Ora, i poliedri a facce triangolari equilatere non sono altro
che delle specie di poliamanti ove ogni triangolo abbia in
comune _tutti_ i lati con altri. Poiché sul piano non si
può fare, è ovvio che dobbiamo andare nella 3.a dimensione.
Chiamerò dunque queste figure "poliamanti solidi". Quanti
sono?  [ Dai che ci scappa una nuova sequenza di interi per
l'Enciclopedia: Nobel in vista, ragazzi!  ;o) ].
E' banale (he, he) che si possano fare soltanto solidi con
un numero pari di facce triangolari, quindi studiamo
sistematicamente la sequenza per 2N facce con N =
0) Con zero facce, zero solidi (No Martini, no party].
1) Con due facce, niente nèh.
2) Con 4 facce, uno: il tetraedro platonico.
3) E' facile verificare che anche con 6 facce ce n'è uno
solo: è il bi-tetraedro.
4) con 8 c'è l'ottaedro platonico e un tri-tetraedro. Cmq
lo si rigiri, il tritetraedro è soltanto uno. Quindi totale 2.
La sequenza, a 'sto punto, comincerà così:
********    0, 0, 1, 1, 2, ...    *********
Per N=5 ci troviamo già di fronte ad un paio di trabocchetti
interessanti e per N=6 incontriamo quel *disfenoide dilatato*
(J84) di cui non avevo mai sentito parlare nei primi 20.000
giorni della mia vita.
Che ne dite, si va avanti, ora ?  ;o)
Ciao

 Molto bello!
Anzi, belli!
Già, perché quanti sono gli icosaedri ottenibili con due bipiramidi
pentagonali e un tetraedro? Più di quanti pensassi di primo
acchito. Qualcuno mi aiuta?

 tetraedro "ponte"
Mi sono accorto, ripensandoci, che questo si può fare in tre modi
diversi. Inoltre c'è anche il caso di un decaedro sulle cui facce
vengono appiccicati 5 tetraedri (in quanti modi diversi?), oppure un
ottaedro e 2 tetraedri.
Maurizio

 ... oppure un ottaedro e 2 tetraedri.
No!  :o))))
Ciao

 No!  :o))))
Risposta impulsiva precipitosa: volevo dire no
all'ottaedro unito ai tetraedri, ovviamente sì se
non uniti tra di loro.
Ciao

 acchito. Qualcuno mi aiuta?
In effetti io avevo pensato solo agli icosaedri che si ottengono usando
il tetraedro come "ponte" per congiungere le bipiramidi, e questi
dovrebbero essere 3. Però è anche possibile unire direttamente fra loro
le due bipiramidi (in 2 modi diversi, mi pare) e poi appiccicare il
tetraedro ad una delle facce, il che mi sembra possa avvenire ogni volta
in 9 modi diversi. In tutto quindi 3 + 2x9 = 21 icosaedri diversi.
Almeno mi sembra...
Maurizio

 dovrebbero essere 3. ...
Qui non sono d'accordo. Il tetraedro ha un solo modo per
connettersi alla prima dipiramide, ma poi presenta tre facce
a cui la seconda dipiramide può connettersi in tre modi
diversi, quindi totale 9. Però, dato che la prima dipiramide
è uguale alla seconda, alcune di queste soluzioni sono
equivalenti... e qui impazzisco.
Ciao!

 equivalenti... e qui impazzisco.
Hai ragione, ripensandoci mi pare che le combinazioni siano sei. Infatti
le tre facce del tetraedro a cui può connettersi la seconda dipiramide
sono quella di Fronte, di Destra e di Sinistra (viste dal vertice della
calotta del prima dipiramide su cui è posto il tetraedro). La seconda
dipiramide può essere appiccicata a ogni faccia in tre modi, e a seconda
di come si mette la prima dipiramide (vista dalla seconda) può essere
attaccata al tetraedro in posizione F, D o S. 
Quindi abbiamo le nove combinazioni: FF, FD, FS, DF, DD, DS, SF, SD, SS;
ma ovviamente FD=DF, FS=SF e DS=SD, sicché le combinazioni diverse sono
solo sei.
Maurizio