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Titolo: Ancora roulette

Dopo quanti colpi alla roulette ci si può teoricamente
aspettare che il numero dei numeri usciti 3 volte sia
uguale al numero dei numeri usciti 4 volte?
E in questo ciclo di colpi è più probabile riscontrare
numeri assenti (non usciti neanche una volta), oppure
numeri usciti 9 o più di 9 volte?
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Non centra nulla con gli enigmi, ma sono contento
e ve lo dico lo stesso.
Cinque minuti fa, dopo che era scomparso esattamente
un anno fa, è improvvisamente tornato a casa il mio
gatto Alfonso.
Ovviamente, dopo aver finito anche la razione del cane
s'è subito accoccolato tra le mie braccia...
Ciao
Nino


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Per contare quanti numeri mediamente escono i volte, basta moltiplicare per
37 la probabilità che un determinato numero esca i volte. Questo per
l'additività della media e per la simmetria del problema. Quindi confrontare
le medie dei conteggi dei numeri usciti i volte è equivalente a confrontare
le probabilità di un singolo numero di uscire i volte.
Come ho già detto, se m è il numero di turni, X il numero di uscite di un
fissato numero e p=1/37 la probabilità che il numero esca, si ha
P(X=k) = C(m,k)*p^k*(1-p)^m-k) perchè ci saranno k successi e (m-k)
insuccessi *combinati* in tutti i C(m,k) modi possibili.
Quindi
P(X=3) = C(m,3)*p^3*(1-p)^(m-3) e
P(X=4) = C(m,4)*p^3*(1-p)^(m-4)
Dividendo e siluppando i coeff. binomiali si ottiene
P(X=4)/P(X=3) = (m-3)/144
il rapporto è uguale a 1 per m = 147, poi diventa a favore dei numeri usciti
4 volte.
Se facciamo i soliti conti per m=147, risulta
P(X>=9) = 1 - P(X=1,..,8) =~ 0.019
P(X=0) =~ 0.018
Ciao, Silv:o)


La soluzione dell'enigma della roulette e' semplicissima; mentre non riesco
a trovare quella del "gatto Alfonso".
E' forse un gioco di parole?

...
.
E diverso da zero, suppongo !!!
.
Ho implementato una soluzione a brute force.
La risposta alla prima domanda di Nino e' circa 62.
Non coincide con i calcoli di Silvio, ma non ho ancora
trovato l'inghippo. Metto qua il prog. in Basic (VB5)
nel caso qualcuno sappia trovarlo prima di me.  
Livio  :o)
Dim N(37), N3, N4, Nt, Nm
For c = 1 To 100000     'numero di cicli
    For j = 0 To 36     'azzeramento istogramma
        N(j) = 0
    Next j
    For Nt = 1 To 100000    'lanci in un ciclo
        i = Int(Rnd * 37)   'lancio
        N(i) = N(i) + 1     'istogramma
        N3 = 0:             'num. usciti 3 volte
        N4 = 0:             'num. usciti 4 volte
        For j = 0 To 36
            If N(j) = 3 Then N3 = N3 + 1
            If N(j) = 4 Then N4 = N4 + 1
        Next j
        If N3 = N4 And N3 > 0 Then
            Nm = Nm + Nt        'accumulatore
            Text1 = Str(Nm / c) 'stampa media
            DoEvents
            Exit For            'altro ciclo
        End If
    Next Nt
Next c
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 ha scritto nel messaggio
news:3A6B5298...@tin.it...
.
E diverso da zero, suppongo !!!
.
Ho implementato una soluzione a brute force.
La risposta alla prima domanda di Nino e' circa 62.
Non coincide con i calcoli di Silvio, ma non ho ancora
trovato l'inghippo.
Beh, cos'è questa storia, io credevo... mi fidavo..... davo per scontato che
la risposta di Silvio Sergio suffragata da geroglifici matematici fosse
inconfutabile, ed ora mi accorgo che il grande Zucca, ne propone
un'altra????
Ma allora posso provare anche con la mia calcolata spannometricamente con il
metodo da me descritto in risposta all'altro quesito sempre sulla roulette
(a proposito non ho ancora sentito le vostre risate).
Potrebbe essere tra la 129 e la 130 sortita?
Saluti a tutti, ma soprattutto un bentornato a casa ad Alfonso

nel caso qualcuno sappia trovarlo prima di me.
Hai completamente toppato l'approccio.
Nino dice: E' normale che più volte facciamo girare la ruota, e più
aumentano i casi di numeri molto frequenti. Da un certo punto in poi i
numeri usciti quattro volte saranno di più di quelli usciti tre volte, e ci
sarà pure un punto critico che corrisponde all'inversione di tendenza,
Questo è quello che andava calcolato. Tu invece stai contando mediamente
quando ciò avviene *per la prima volta*, senza aver *fissato* un numero di
lanci. Per esempio, se escono nell'ordine 1,1,1,1,2,2,2 tu ritieni il
risultato di 7 lanci significativo perchè i numeri usciti tre volte sono
tanti quanti quelli usciti 4 volte. Invece devi a priori decidere quanti
giri fare, poi contare i numeri tripli ed i quadrupli e confrontarli.
Per conferma, ho provato a fare centomila serie da 147 lanci. Ecco il
risultato:
Q < T:  44844
Q = T:  10600
Q > T:  44556
TotT:  733812
TotQ:  733048
Ovvero le (Q)uaterne la spuntano sulle (T)erne una manciata di volte meno,
con un 10% di pareggi. Anche i totali di T e Q sono abbastanza in linea. Per
Curiosità, con 100 e 200 lanci avrei ottenuto:
25684  11039  63277         434554  594578
lanci     100       200
------------------------
Q < T:  72410     25684
Q = T:   8364     11039
Q > T:  19226     63277
TotT:  826432    434554
TotQ:  558083    594578
I calcoli che ho proposto non credo siano *geroglifici* com è stato detto.
Andiamo, non bisogna essere esperti di probabilità per capirli. Faccio un
esempio col dado per rendere maglio il concetto:
Che probabilità ho che tirando dieci dadi l'uno esca 2 volte?
Direi che affinché ciò avvenga deve realizzarsi una sequenza di cose:
* due lanci danno "1" (prob. (1/6)^2 )
* otto lanci danno esito diverso da "1" (prob. (5/6)^8 )
e questo puo' accadere in diverse maniere:
11xxxxxxxx
1x1xxxxxxx
1xx1xxxxxx
...
xxxxxxxx11
Cioè in C(10,2)=45 modi diversi, tanti quanti sono i modi di *combinare* i
due esiti "1" nei dieci lanci disponibili.
Quindi, in totale, la probabilità è, detto p=1/6,
P(X=2) = C(10,2)*p^2*(1-p)^8 = 45*5^8/6^10 =~ .29
Ciao, Silv:o)

 Potrebbe essere tra la 129 e la 130 sortita?
Ma alla fine la Verità emerge e il liviozucca vien mandato per penitenza
come uditore unico in un ciclo di conferenze dell'Amodeo (scusate il
riferimanto ad altri ng, ma vi assicuro che la punizione è mostruosa).
Tu hai approssimato la distribuzione binomiale con una gaussiana, cosa
peraltro del tutto lecita e spesso utilizzata con questi numeri.
Giustamente, dovendo approssimare una distribuzione nella quale le colonne
del 3 e del 4 hanno la stessa altezza, utilizzi una gaussiana centrata sulle
3.5 sortite/numero che moltiplicato per 37 numeri da proprio 129.5 lanci. In
realtà la binomiale rispetto alla gaussiana è più addensata verso valori
minori del valore centrale, per cui la piccola dicscrepanza è assolutamente
giustificata.
Silv:o)

 wrote in message 3A6B5298...@tin.it...

Livio  :o)

Mi spiace, ma questo inconveniente conferma che,
se possibile, è sempre meglio affrontare i
problemi a tavolino.
Ciao
Nino

 wrote in message
94fl0k$h9p$1...@lacerta.tiscalinet.it...

La risposta corretta è quella di Silvio.
Ciao, e grazie soprattutto da Alfonso.
Nino

Mi spiace, ma...
.
.
Bastardi!!!  :)  Vi siete messi tutti d'accordo per 
pugnalarmi alla schiena durante la mia assenza, eh!
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                                                  Abiura
Certo che se proponente e solutori son tutti dell'idea
che quella era la soluzione, non mi resta che inchinarmi
alla maggioranza e subire la punizione: raccontero' ad
Amodeo la storia di quella sfera Una e Trina.
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                                          Eppur si muove
Ca custa lon ca custa...
Ma davvero i miei amici pensano che la migliore delle
interpretazioni possibili sia la loro?
"Dopo quanti colpi alla roulette ci si può teoricamente
aspettare che il numero dei numeri usciti 3 volte sia
uguale al numero dei numeri usciti 4 volte?"
Rileggete il *testo* del problema dodici volte, scandendo
le parole. C'e' forse scritto: "Dopo quanti colpi alla 
roulette ci si può teoricamente aspettare che diventi piu'
conveniente scommettere che il numero dei numeri usciti 4 
volte superi il numero dei numeri usciti 3 volte?" ?
No. C'e' scritto "Dopo quanti lanci ci si puo' aspettare 
che A uguagli B".  Questo c'e' scritto.
Che il proponente e i due solutori avessero in testa 
la prima, non v'e' dubbio, magari per qualche discorso
regresso che io ignoro. Ma e' veramente quello che c'e' 
scritto nel testo del problema?
Ve la sentite di tradurlo cosi' com'e' in un'altra 
lingua e di scommettere sulla sua interpretazione in
un ambiente vergine?
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                                      Lettera a Uanagana
Caro Alfonso,
lo so. Fuori fa freddo, molto freddo (soprattutto se c'e'
irraggiamento del corpo nero). Tu hai fatto la tua scelta
e nessuno ti puo' biasimare. E quando segnerai il tuo
territorio, come voi segnate il territorio, mentre Lui
continuera' a pensare che il giardino e' solo suo, quando
davanti al caminetto sognerai passate liberta', non 
raccontargli i tuoi pensieri. La polpettina non manchera'.
Livio  :o(


un ambiente vergine?
Traducendo anche l'altro? Sì: scommetto. Fai tu la posta.
Silv:o)

irraggiamento del corpo nero).
Alfonso, il cui corpo è più bianco che nero, ha fatto la
sua scelta, forse suggerita dall'età che sta avanzando...
Ed ha apparentemente accettato di dividere il territorio
con Jo-Jo (il cane), tollerandone la prepotenza e rivendicando
solo la priorità della polpettina.
Nino

ottenuto mediante il tuo prog. in Basic?
.
Ciao Nino,
.
Volentieri. Nei casi dei giochi a sorteggio, la brute force
diventa una vera e propria simulazione della realta', solo
piu' veloce, per poterne osservare i risultati statistici.
[i = Int(Rnd * 37)] e' la roulette che estrae un numero intero
casuale da 0 a 36 con distribuzione piatta.
[N(x)] e' la matrice unidimensionale che fa da istogramma per
un ciclo di lanci.
Il loop interno [For Nt=... Next Nt] e' il ciclo di potenziali
100.000 lanci per raggiungere l'obiettivo N3=N4 che, se
raggiunto, fa abortire il ciclo stesso [Exit For].
Il loop esterno [For c=... Next c] esegue molti di questi cicli,
ogni volta ricalcolando la media [Nm / c] dei lanci necessari a
raggiungere l'obiettivo, media che viene visualizzata man mano
che la simulazione progredisce [Text1 = Str(Nm / c)] e che si
vede rapidamente convergere a 62.+
Sperando di essere stato abbastanza comprensibile...
Ciao a tutti, anche ad Alfonso!
Livio  :o)
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   Dim N(37), N3, N4, Nt, Nm
   For c = 1 To 100000     'numero di cicli
       For j = 0 To 36     'azzeramento istogramma
           N(j) = 0
       Next j
       For Nt = 1 To 100000    'lanci in un ciclo
           i = Int(Rnd * 37)   'lancio
           N(i) = N(i) + 1     'istogramma
           N3 = 0:             'num. usciti 3 volte
           N4 = 0:             'num. usciti 4 volte
           For j = 0 To 36
               If N(j) = 3 Then N3 = N3 + 1
               If N(j) = 4 Then N4 = N4 + 1
           Next j
           If N3 = N4 And N3 > 0 Then
               Nm = Nm + Nt        'accumulatore
               Text1 = Str(Nm / c) 'stampa media
               DoEvents
               Exit For            'altro ciclo
           End If
       Next Nt
   Next c
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