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Titolo: Triangoli e rette

Quanti triangoli si possono disegnare, al massimo, con
sei rette sul piano?
Ciao!!!  :o)
Livio
PS: A scanso di equivoci, tracciate a vostra maniera le 6 rette
sul piano, poi contate tutti i possibili triangoli, anche quelli
composti da altri triangoli.

10?
Ciao,
perf. 

 10?
No
Ciao!!!  :o)
Livio

composti da altri triangoli.
spoiler
17?
Triangolo (equ. se si vuole) + 2 mediane + la sesta
per il vertice senza mediane.
Il triangolo e` ABC; le mediane sono per B e C; la sesta
retta e` AD, essendo D sulla retta BC fuori dalla parte
di C distante circa 1/2 lato.
Le rette hanno il nome: a,b,c,m,n,r
a,b,c in faccia ai vertici omonimi;
m,n le mediane per C e per B rispettivamente;
r e` per A come gia` detto.
Orbene, le rette passano per:
A: b,c,r
B: a,c,n
C: a,b,m
Le combinazioni di 6 elementi a 3 a 3 sono 20.
Di esse si devono escludere solo le tre formate da rette
concorrenti in uno stesso punto. OK?
-- 
Ciao, rez	||  -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1  ||

concorrenti in uno stesso punto. OK?
Mah, sara` il caldo.. e l'ho pure detto che tre
le perdo perche' concorrenti:-(
Basta tracciarle tutte non parallele e mai tre (o piu`)
incidenti in uno stesso punto.
E cosi` sono 20. Va bene?


 E cosi` sono 20. Va bene?
Perfetto.
E' proprio questo che mi aveva stupito: non ha nessuna
importanza la topologia del disegno, sono sufficienti le
due condizioni da te citate.
Ora possiamo anche generalizzare per n rette.
Da notare che la sequenza c'è su OEIS, ma non comincia
correttamente per 0,0,0,1,... e non ha questa nostra come
giustificazione geometrica.
Ciao!!!  :o)
Livio

Forse possiamo anche generalizzare per il numero dei
quadrangoli, pentagoni, ... cioč: numero di poligoni con
m lati definibili con n rette sul piano.
Ciao!!!  :o)
Livio

 m lati definibili con n rette sul piano.
Mi sembra di aver trovato una relazione che mi stupisce:
n!/((n-m)!m!)
sarebbe il numero di poligoni CONVESSI (!) con m lati
tracciabili da n rette sul piano.
Qualcuno conferma?
Se č cosě, non so da che parte cominciare a dimostrarlo.
Ciao!!!  :o)
Livio

dicevo:


Excuse me ma non ti seguo mica tanto.. la formola indica
le combinazioni, e dovrebbe valere per i triangoli come
appunto dicevamo: tre rette incidenti non nello stesso
punto determinano sempre un triangolo, mai piu` di uno.
Ma di poligoni convessi ce ne dovrebbero stare di piu`,
guarda: traccio un triangolo e poi una quarta retta che
lo taglia non parallelamente alla base.
Be' in aggiunta ai 4 triangoli di 4!/3! ci sta un
quadrilatero: la parte BCED di giu` del triangolo quando
la quarta retta gli taglia via la punta in alto ADE.
          A
   *  D / \
      /*    \
    /       * \ E
  /_____________\__*__________
B                C      *


Ciao a tutti,
sono nuovo e sono contento di essere capitato su un
argomento che mi intriga da tempo.
Su un vecchio libro di ENIGMI del MENSA CLUB avevo
trovato un problema simile ma un po' diverso che
non sono mai riuscito a risolvere:
Quanti triangoli semplici (non composti) si possono
disegnare al massimo con 7 (sette) rette?
Io ne faccio 10 con facilità, ma la soluzione (non
illustrata sul libro) ne dava 11.
Qualcuno riesce a trovarla?
Angelo41

 ha scritto nel messaggio
[STRACUT]
Mammamia se son messo male... avevo letto
"triangoli e tette"... :-S
Sarà la giornata passata in spiaggia... :-D
GTFedelissimo 

 Qualcuno riesce a trovarla?
Vedi qui:
http://mathworld.wolfram.com/KobonTriangle.html
ciao,
g.

 Sarà la giornata passata in spiaggia... :-D
C'erano tanti triangoli? ;-)

C'erano tanti triangoli? ;-)
Il rapporto era 1:2
Ciao!!!  :o)
Livio

"rez" :

Non mi sono spiegato.
La formola P=n!/((n-m)!m!) indica in numero di poligoni
convessi di m lati che posso tracciare con n rette.
Nell'esempio tuo:
con m=3 e n=4 posso tracciare P=4 triangoli
con m=4 e n=4 posso tracciare P=1 quadrilatero convesso.
Altri esempi:
con n=6 e m=4 posso tracciare P=15 quadrilateri convessi.
con n=6 e m=5 posso tracciare P=6 pentagoni convessi.
Ciao!!!  :o)
Livio

 
il rapporto?! tra un po' bisogna censurare :)
m

 il rapporto?! tra un po' bisogna censurare :)
Mi hai colto in fallo!
Proprio ora che il timoniere, dalla poppa, mi domandava:
- Che fai, laschi?
- No, cazzo, cazzo...
Ciao!!!  :o)
Livio

Se č cosě, non so da che parte cominciare a dimostrarlo.
--cite--
Penso si possa argomentare cosi`.
1. m rette (incidenti tutte, ma non piu` di 2 in uno
stesso punto) determinano sempre uno e un solo poligono
convesso di m lati.
2. il numero delle combinazioni di n rette a m a m e`
quello che hai scritto.
[che poi e` la generalizzazione di quel che dicevi, e che
ora non riporto, per i casi di 4,5,6 rette/lati]
Ma l'asserto 1 ora non posso dimostrarlo (in questo
momento non ho testi), ma non dovrebbe essere
difficile: riguarda le poligonali chiuse e dunque
le rette dei loro segmenti.


 le rette dei loro segmenti.
Penso proprio che tu abbia ragione. Dimostrato l'1, il
gioco è fatto. E in qualche modo dev'essere dimostrabile.
Ciao!!!  :o)
Livio

 
Anche io pensavo a questa traccia, ma il punto 1) mi sembra falso.
Prendi
gli assi x e y
le rette
y=1-x/10
y=10-10x
y=3-3x
Sono 5 rette ma non mi pare definiscano un poligono convesso di 5 lati.
Sbaglio?
marco

 Sono 5 rette ma non mi pare definiscano un poligono convesso di 5 lati.
mi pare che si possano mettere giù in questo modo n rette in modo tale 
che non definiscano nessun poligono di m lati convesso se m>4.
Il che significherebbe che se la formula del binomio è giusta le rette 
vanno prese in modo particolare (non basta più il non parallele e 
nessuna coincidenza di 3 rette in un punto).
ciao
marco

 Sbaglio?
Sì, sbagli... :-)
In (1,0) ne fai incidere tre (l'asse x e le ultime due).
Invece il punto 1 richiedeva che non ne incidano più di due nello
stesso punto.
Ciao!


Però se come quinta retta mettiamo:
y= 2-x (al posto di y = 3-3x),
otteniamo cinque rette che esaudiscono le condizioni richieste,
ma il pentagono risultante NON è convesso !
Ciao!

> In (1,0) ne fai incidere tre (l'asse x e le ultime due).
sě hai ragione, volevo scrivere y=3-x nell'ultima.
ciao
marco

nessuna coincidenza di 3 rette in un punto).
Certo.
Nell'esempio cartesiano che hai/avete fatto basta infatti
traslare abbastanza in alto l'asse x ed abbastanza a
destra l'asse y per averlo convesso.
Forse bisogna sostituire cosi`: rette -> direzione,
ovvero: rette -> fascio improprio, o ancora passare
a coordinate omogenee coi punti impropri invece delle
rette.
Pero` e` da vedere cosa succede poi a tutti i poligoni
con meno lati (m<n) della formola.
C'e` da pensarci un po' abbastanza per sistemarlo:-(


convesso di m lati.
Va corretto cosě:
1. m rette possono al massimo determinare un solo poligono
convesso di m lati.
(La condizione: *tutte le rette sono incidenti, ma non piu` di 2 in uno
stesso punto* č condizione necessaria ma non sufficiente per n>=5).
s.e.&.o.
Ciao!!!  :o)
Livio

 
forse è un bound ma non credo sia raggiungibile.
Ad esempio io non con 6 rette non riesco a tracciare 6 pentagoni.
Però ho fatto di fretta, ora non ho tempo,ciao
marco-

 Ho fatto un disegnino così piccolo che dovrebbe fregare usenet :o)
mitico!
Questi giochetti mi fregano con niente! :)
ciao
marco



Se ho caputi bene, mi sembra facile:
Disegna un poligono convesso di n lati
Se n č dispari puň anche essere un poligono regolare, per n pari deve
essere irregolare, tale da non avere coppie di lati paralleli.
Ogni m_pla di lati del poligono dato, opportunamente prolungati,
genera un poligono convesso di m lati.
Il numero di m_ple č proprio quello che hai trovato.
ciao
paolo


Forse bisognerebbe verificare meglio che ogni m_pla di lati generi
sempre uno e uno solo poligono CONVESSO.
Per il momento mi sembra di sě.
Per esempio in un pentagono, una quadrupla di lati genera tre
poligoni, uno concavo, uno convesso e uno intrecciato (vedi figura)
[URL=
http://imageshack.us
][IMG]
http://img139.imageshack.us/img139/6622/pentagoniha1.gif[/IMG][/URL]
ciao
paolo