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Titolo: Tassellazione

Il problema num.2438 apparso in CRUX dice:
Tassella un triangolo equilatero con pentagoni equilateri.
ciao a tutti
:) dario

Dario,
per favore, chiarisci.
Dario Uri wrote:

Intendi dividere n pentagoni nel minor numero di parti da ricomporre o
pentagoni equilateri, non regolari?
In quest'ultimo caso, i loro lati sono tutti uguali?
Grazie
Mauro Fiorentini


Scusate tutti !!
Il problema mi e' stato passato oggi da D.Hess, noto solutore
californiano, ora ho trovato un messaggio di rettifica con tanto di
scuse che io rivolgo a voi.
I pentagoni devono essere congruenti NON equilateri.
Mauro, non so altro e non conosco la soluzione.
Occorre unire un numero minimo (?) di questi pentagoni a formare un tri.
equilatero.
Immagino che i pentagoni possono essere anche non convessi.
Chi e' interessato a dare un'occhiata ai 14 pentagoni convessi che
tassellano il piano:
http://www.mathpuzzle.com/tilepent.html
dario

:) dario
Ci provo, dividendo il problema in tre parti:
1) Dividere un esagono regolare in due esagoni irregolari equilateri.
Dato un esagono regolare di lato 1, unisco due vertici opposti con una
spezzata di tre segmenti unitari. Questo e' possibile in infiniti modi, in
quanto la spezzata, vincolata agli estremi, ha un grado di liberta'.
Se voglio una certa simmetria, faccio in modo che il lato intermedio della
spezzata passi per il centro dell'esagono.
Ottengo due esagoni irregolari, equilateri, concavi.
2)Dividere tali esagoni in pentagoni equilateri.
In ciascuno degli esagoni scelgo due vertici opposti, traccio due archi di
raggio 1, e unisco l'intersezione degli archi con i due vertici scelti.
Ho cosi' ottenuto, dall'esagono regolare, quattro pentagoni irregolari,
equilateri.
3) Tassellare il triangolo equilatero.
Considero per semplicita' un triangolo equilatero di lato 3.
Dividendo in tre parti uguali ciascun lato, posso dividere il triangolo in
un esagono regolare, e in tre triangoli equilateri di lato 1.
Agisco sull'esagono come ai punti 1 e 2.
Ripeto il tutto su ciascuno dei tre triangoli rimasti, e cosi' all'infinito.
Credo di aver disegnato un frattale.
Non so se questa sia la soluzione richiesta,  ma mi e' piaciuta cosi'.
ciao
paolo

 paolo
Il problema e' steto poi corretto in " pentagono congruenti".
Ci ho provato anch'io.
Per il momento ho una soluzione con 24 pentagoni non convessi.
:)dario

Per il momento ho una soluzione con 24 pentagoni non convessi.
   /\
  /_/\
 /__\_\
3 pentagoni "uguali"
Ma mi sembra troppo facile, quindi c'e' qualcosa che non ho capito...
che intendi per congruenti?
quando dici NON equilateri che hai in mente? che un pentagono puo' avere
lati diversi o che due distinti pentagoni possono avere lati diversi (ma il
singolo pentagono ha tutti i lati uguali)?
Ciao, Silv:o)

Ciao, Silv:o)


Con pentagoni non convessi mi sembra semplice.
Parto col triangolo ABC, centro P; traccio da A, B, C segmenti diretti verso
P,
di uguale lunghezza, ma piu' corti di AP. Avranno estremi D,E,F.
Ruoto ciascun segmento AD, BE, CF in senso orario, con perno in A, B, C
dello stesso angolo (arbitrario, purche' le estremita' libere D,E,F restino
nel
triangolo).
D,E,F restano, per simmetria, ai vertici di un triangolo equilatero, con
centro O.
Congiungo D,E,F con O.
ADOEB e i suoi 3 compagni simmetrici sono i pentagoni cercati.
Dato che la lunghezza di AD e l'angolo di rotazione sono arbitrari, ho
infinite soluzioni.
Ciao
Mauro Fiorentini