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Titolo: Il quatriello

Sei nel vecchio e selvaggio west e ti trovi coinvolto in un quatriello
(una specie di duello a 4). I tuoi nemici sono Clint Eastwood (il piu'
veloce), John Wayne (il secondo piu' veloce), tu (il terzo piu' veloce)
e Jack Tartaruga (il piu' lento tra i quatto). Nonostante Jack sia il
piu' lento, e' comunque in grado di sparare il primo colpo prima che
Clint spari il secondo.
1) Supponendo che i tuoi avversari decidano casualmente il loro primo
bersaglio (cioe' a chi sparare per primo) , a chi spareresti tu?
2) Se invece i tuoi avversari fossero in grado di fare i tuoi stessi
ragionamenti, come agiresti?
ciao Domenico

Domenico Vacirca wrote:

  1)
Ammettiamo per un attimo che io non spari affatto ...
la possibilita' che nessuno degli altri tre mi spari
e' pari a
P1 = 2/3 * 2/3 * 2/3
quindi la possibilita' di morire e' pari a
1 - P1
se io decidessi di puntare la pistola contro Clint o Wayne
non cambierei tale possibilita' in quanto non potrei impedire loro di uccidermi
sparando invece al Tartaruga
la possibilita' di morire scende a
1 - 2/3 *2/3
2)
    e' un macello ....
Italo

 Italo
  ciao Domenico


ho bosogno di piu' elementiuno dei quattro puo' decidere in base a quello
che ha fatto un suo "compagno" piu' veloce ?
se ad esempio il tartaruga aveva deciso (nel primo giro di spari)
di sparare a John Wayne, ma questo viene ucciso da Clint
il tartaruga puo' decidere e fa in tempo a cambiare bersaglio ?
In che senso sparare un da alcuna convenienza ... il gioco consiste nello sparare
e nel cercare di rimaner vivo .. vero ?
ciao :-)
Italo

 Italo
  ciao Domenico

ragionamenti, come agiresti?
io sparerei al Tartaruga, dato che lui spara dopo di me.
Ipoteticamente Clint mirera' a John e se lo ammazza io dovrei essere salvo
per il primo giro.
Si gioca tutto sul secondo colpo dove pero' so che devo aspettarmelo da
Clint: se sbaglia mira ho buone chances.
D'altronde essendo il terzo piu' veloce non ho grandi possibilita' di
sopravvivenza........
Ciao
Nik

Immagina di essere in una situazione ideale (non reale) in cui nessuno di voi
sbaglia mira;
in quanto alla questione della velocita' arrivando alla soluzione (per la
domanda 2) potresti avere delle sorprese ;-)
ciao Domenico


 ciao Domenico
 1. A nessuno in quanto avrei 1/3 probabilita' di vivere (e vincere).
Allora (indico con E=Eastwood, W=Waine, Me=Io, T=Tartaruga):
E spara a Me con 1/3
E spara a W con 1/3; M non spara; T spara a Me con 1/2
E spara a T con 1/3; W spara a M con 1/2
Se, dopo che E spara a W, io sparo a E oppure a T, al primo o al secondo
giro il restante mi uccide e vince
Da cui 1 - 1/3 - 1/3*1/2 - 1/3*1/2 = 1 - 4/6 = 2/6= 1/3
2. Indipendentemente da a chi spara E, al successivo a sparare non conviene
sparare a nessuno perche' sarebbe sicuro di morire al giro (primo o
secondo) successivo. Pertanto dipende solo se E e' un sanguinario, in
quanto sia che spari sia che non spari non ha possibilita' di vincere ne di
perdere, pertanto potrebbe non sparare a nessuno e risolvere il duello a
rubamazzetto.... :-)
Spero di aver azzeccato.  Ciao. Valter

 E spara a W con 1/3; M non spara; T spara a Me con 1/2
Perche T spara a Me con 1/2???T puo' sparare a E a W o a Me. Calcola che la
sparatoria e' abbastanza veloce, e come ho gia' detto a Italo, se ad esempio il
piu' veloce (E) spara a qualcuno, il piu' lento (T) non fa in tempo a cambiare
bersaglio (potrebbero mirare anche in 3 la stessa persona).
Quindi le risposte vanno riviste ;)
ciao Domenico


Domenico Vacirca wrote:

Sei nel vecchio e selvaggio west e ti trovi coinvolto
in un quatriello

(una specie di duello a 4). I tuoi nemici sono Clint Eastwood (il piu'

veloce), John Wayne (il secondo piu' veloce), tu (il terzo piu' veloce)

e Jack Tartaruga (il piu' lento tra i quatto). Nonostante Jack sia
il

piu' lento, e' comunque in grado di sparare il primo colpo prima che

Clint spari il secondo.


1) Supponendo che i tuoi avversari decidano casualmente il loro primo

bersaglio (cioe' a chi sparare per primo) , a chi spareresti tu?


2) Se invece i tuoi avversari fossero in grado di fare i tuoi stessi

ragionamenti, come agiresti?


ciao Domenico

  Dunque ho deciso di affrontare il problema di petto .... :-)

non sono sicuro se il mio metodo sia il piu' veloce ...


enumero i pistoleri

1 2 3 4

1 e' il piu' veloce ..

io sono il 3


con AB intendo che il pistolero spara al pistolero B (uccidendolo)

(ad esempio 12 significa che il pistolero 1 uccide il 2)


si possono elencare tutte le possibili situazioni usando gli alberi
di decisione binaria (BDD)

 

 


                                                                                                   
ROOT

                                                                     
/                                 
|                                   
\

                                                               
/                                       
|                                       
\

                                                         
/                                             
|                                           
\

                               
12                                                                   
13                                                                   
14

                       
/        |       
\                                                    
/        |       
\                                                      
/      |      \

           
31               
34               
32                           
21               
24               
23                           
21               
23               
24

        /    
|      \          
+           /     
|      \               
/      |      \           
+           /     
|      \                
/      |      \           
+           /     
|      \

    41    42    
4
3       

1
3        41   
42    43           
41    
4
2    43       

1
2       41    42   
43            31   

3
2    34        

1
2        31   
32    34

    +      +                             
+      +      +            
+             
+                   
+      +      +            
+             
+                      
+      +      +

    
3
4    
3
4                           

3
4  1
34
    
1
4           

2
4           

2
4                  

2
4    
1
4   1
24          
2
3           

2
3                    

2
3    
1
3    1
23


anche se non ci assomiglia molto .. volevo rappresentare un albero

seguendo un qualsiasi percorso dalla radice fino ad una foglia si

ottengono tutte le possibili combinazioni.

se nel cammino dalla radice ad una foglia si incontra un '+' significa
che si passa al secondo turno ..


ad esempio seguendo il ramo tutto a sinistra si ha che

al primo turno

1 spara 2

3 spara 1

4 spara 1

(non ci interessa quello che fa 2 in quanto qualunque scelta compie
viene seccato prima che possa sparare ...)

il primo turno vede soccombere 1 e 2

al secondo turno si ritrovano il 3 ed il 4

e vince il 3

Ho indicato in neretto il vincitore


Altro esempio ..prendendo il cammino

12 - 31 - 43

questa combinazione vede esaurirsi il duello al primo giro con vittoria
del 4


una nota va fatta sulle combinazioni in cui al secondo giro si ritrovano
tre pistoleri

(12 - 32 - 42 oppure 13 23 43 oppure 14 23 34)

1. se al secondo turno si ritrovano in te , tra questi tre c'e' sicuramente
1

2. per sapere come si comportano tre pistoleri si puo' rifare l'albero
delle decisioni

    oppure ragionare in questo modo ....

    ammettiamo che rimangano 123

    premesso che 1 uccidera' sicuramente uno deigli
altri due

    l'unica possibilita' che ha 2 di sopravvivere e'
che 1 spari al 3 lui quindi (il 2)

    sparera' al 1 (sperando che 1 spari al 3)

    ragionamento speculare viene fatto dal 3 che puntera'
dunque su 1

    sia il 2 che il 3 puntano su 1 ...

    Si ha quindi che con tre pistoleri .. il piu'
veloce muore sicuramente


    pero' e' lui che decide chi far vivere degli
altri due (magari chi gli e' piu' simpatico ... )


    il 2 ed il 3 hanno il 50% di possibilita' di
vivere


 


Premesso tutto cio' si puo' passare ad analizzare

quale puo' essere la mossa piu' conveniente per Me (il 3)


PUNTO 1

considerando che 1 2 e 4 puntino a caso

si ha quindi che la possibilita' che 1 2 o 4 punti contro uno qualsiasi
degli altri tre

e' pari ad 1/3


analizziamo le possibilita' che ho di sopravvivere se scegliessi di
sparare ad

----    1    ----

per calcolare tali probabilita' devo considerare quei cammini

che contengono il termine 31 (Io sprao a 1) e che hanno come foglia
finale

il 3 scritto in neretto ....


analizzando l'albero il gioco risulta facile ..

i cammini sono solo due

a) 12 - 31 - 41 + 
3
4

b) 12 - 31 - 42 + 
3
4


il primo cammino quindi si avvera se 1 spara a 2 e se 4 spara a 1

ora la possibilita' che 1 spari a 2 e' di 1/3

e la possibilita' che 4 spari a 1 e' di 1/3

quindi la possibilita' congiunta che si verifichino entrambi gli eventi

e' pari a 1/3 * 1/3 = 1/9

da cui Pa = 1/9 (probabilita' che si verifichi il cammino a)

lo stesso vale per il cammino b

Pb = 1/9

in totale sparando ad 1 mi salvo se si verifica il cammino a OPPURE
b

quindi

P1 = Pa + Pb = 2/9 (probabilita' di sopravvivere se sparo ad 1)


NOTA

solo per curiosita' si vede che se punto ad 1 sicuramente NON potro'
vincere al primo turno


----    2    ----

considero ora le possibilita' che ho di sopravvivere

se sparo al 2

analogamente con quanto fatto prima trovo i cammini

a) 12 - 32 - 41 + 
3
4

b) 12 - 32 - 42 + 1
34


c) 14 - 21 - 
3
2


Pa = 1/9

Pc = 1/9

Pb = 1/9 * 1/2 = 1/18


spiego la possibilita' per il cammino b:

il cammino b prevede due turni di spari

ed al secondo turno Io (il 3) ho il 50% di sopravvivere (per quanto
spiegato su)


in totale quindi

P2 = Pa + Pb + Pc = 5/18


----    4    ----

sparando al 4

trovo i cammini


a) 14 - 24 - 34 + 1
23


P4 = Pa = 1/9 * 1/2 = 1/18


______


dall'analisi quindi delle possibilita' deduco che

sparando al 2 avrei piu' possibilita' di sopravvivere


PUNTO 2

Per la risposta al quesito 2

rimando alla prossima ....


Spero di non essere stato noioso


Ciao

Italo



Considero, per il momento, solo il caso 1, quello in cui i miei rivali
sparano casualmente.
Uso questa notazione:
1->2 significa che il n. 1 (il piu' veloce) spara al secondo, ecc.
Comincio il ragionamento dalla fine.
Intanto stabilisco che il gioco, per me, puo' durare al massimo per due
turni. Infatti a ciascun turno viene eliminata almeno una persona (quella
colpita dal piu' veloce); quindi, o vengo colpito subito, oppure puo'
capitare che dopo il primo turno io sia l'unico superstite, o che rimaniamo
in due o in tre.
Se rimango da solo, no problem.
Se siamo in due, e il mio rivale e' Tartaruga, lo faccio fuori al secondo
giro, se invece e' uno degli altri due, sono dolori.
Se siamo in tre, mi restano il 50% di probabilita', infatti sparo al piu'
veloce dei due, sperando che questo spari all'altro superstite.
Detto questo, vediamo cosa mi conviene fare al primo tentativo.
Se sparo al n. 4 ho scarse probabilita' di sopravvivere; infatti devo
valutare cosa faranno 1 e 2.
Se si sparano a vicenda, al secondo giro rimaniamo io e n. 1, e sono
spacciato.
Se uno sei due spara a 4 e il secondo spara al primo, idem.
L'unica mia possibilita' e' che entrambi sparino al n. 4 (probabilita' 1/9),
per cui restiamo tre superstiti e al secondo giro ho probabilita' 1/2.
Complessivamente la scelta di sparare al n.4 mi lascia una probabilita' pari
a 1/9*1/2=1/18.
Se invece sparo al n. 1, le possibilita' a mio favore sono:
1->2 (p=1/3) e 4->(1 o 2) (p=2/3)
Quindi la mia probabilita' di salvezza risulta 1/3*2/3=2/9=4/18 (rimaniamo
io e il n. 4 e vincero' il secondo round).
Se al primo turno sparo al n. 2, le mie possibilita' sono:
1->2 e 4->1 (p=1/9) (rimaniamo io e 4)
oppure
1->4 e 2->1 (p=1/9) (rimango da solo)
o anche
1->2 e 4->2 (p=1/9) (rimaniamo in tre) (ulteriore p=1/2)
quindi complessivamente le probabilita' a mio favore sono 1/9+1/9+1/18=5/18.
In conclusione mi conviene sparare a John Wayne.
A meno che, mentre faccio tutti questi calcoli, quegli altri... :-((((
(Come diceva il Brutto in "Il Buono, il Brutto e il Cattivo":
"Quando si spara si spara, non si parla!")
-----------------
Sono arrivato alla stessa conclusione, sparare a John Wayne, anche con un
altro ragionamento:
Mi sono chiesto: cosa c'e' di piu' prezioso della vita?
Risposta: la Gloria.
Cioe':
John Wayne e' un tipo ambizioso, vuole passare alla Storia come colui che ha
ucciso l'uomo piu' veloce del West, quindi, incurante di qualsiasi
ragionamento, spara al n. 1.
Anche il n. 4 vuole almeno concludere in modo onorevole una mediocre
carriera da Tartaruga, e spara al n. 1.
Io, molto piu' prosaico, sparo al n. 2, sperando che la pistola di Clint
Eastwood non scelga proprio me come suo ultimo bersaglio.
Ci sono quindi 2 probabilita' su 3 che io possa continuare ad allietarvi con
i miei messaggi :-)))
ciao
paolo

 sparando al 2 avrei piu' possibilita' di sopravvivere
Giusto! Non ho controllato il ragionamento (perche' e' un po' lunghino
:-) ) ma la conclusione e' esatta.
Aspetto il punto 2 ;)
ciao Domenico


c'e' anche 1->4 e 2->4 (p=1/9) (ulteriore p=1/2,  piccola svista :-)  ) comunque
il risulatao non cambia.
Ottimo lavoro.
Aspetto la 2 ;-)
ciao Domenico

Aspetto la 2 ;-)
 ci sto pensando, mi sembra piuttosto complicato
ciao
paolo

 rimaniamo in piedi io e il temibile n. 1, ed al secondo turno... :-(((
Hai ragione (scusa) credevo sparassi al 4 (abbiamo fatto ragionamenti
praticamente identici e guardando il mio foglio chissa' perche' ero convinto
sparassi al 4 :(  ).
ciao Domenico


Cioe' se loro agissero pensando che tutti gli altri sparino a caso, e
quindi scegliessero razionalmente in quel senso, cosa prevederei che loro
facciano e cosa mi converrebbe di conseguenza fare.... .
Credo che tutti sparerebbero a Jack essenzialmente per lo stesso motivo per
cui lo farei io, e dunque mi converrebbe sparare su Clint o John.
--
Tonyx
(A. Lucca)

 ciao Domenico
usero' le stesse notazioni che ho usato nel precedente messaggio (punto 1)
    Se tutti fossero "intelligenti come me"
il tartaruga scoprirebbe che sparando al 1
non avrebbe NESSUNA speranza di salvarsi
inoltre il le possibilita' di sopravvivere sarebbero le stesse
se puntasse la pistola contro il 2 o il 3
quindi
l'evento
P(42) (probabilita' che 4 spari al 2) = 1/2
P(43) = 1/2
il pistolero 1 scopre che lui ha sempre le stesse possibilita'
di sopravvivere e quindi
P(12) = 1/3
P(13) = 1/3
P(14) = 1/3
il pistolero 1 continuera' ad andare a caso
tanto per lui non cambia niente
il pistolero 2 scopre che per lui
e' piu' conveniente puntare la pistola contro 1
e si trovano queste probabilita'
P(21) = 4/7
P(23) = 3/14
P(24) = 3/14
Tutto cio' e' stato trovato seguendo il ragionamento fatto
nel (punto 1) immedesimandosi di volta in volta in ogni pistolero
a questo punto io (il 3) ricalcolo le mie possibilita' sulla base
di queste altri informazioni (utilizzando ancora l'albero del messaggio precedente)
trovo che la probabilita' di sopravvivere
e' pari a
14/84 se sparassi ad 1
23/84 se sparassi a 2
3/84 se sparassi a 4
quindi scelgo ancora di sparare a 2
sono arrivato a tali conclusioni supponendo che
gli altri si fermino con il ragionamento
un passo prima di me ...
ciao Italo

 ciao Italo
  ciao Domenico

bassa, gli converra' sparare al 2 (avra' maggiori propabilita' di
sopravvivenza)...
Se cosi' fosse, il n.2 sarebbe X.
Anche una strategia basata sulle probabilita' delle possibili scelte degli
altri deve considerarsi come un criterio logico, quindi tutti potranno
ripetere il ragionamento di n. 1 ed arrivare a sapere chi sara' X, e si
ricade nel caso precedente.
Credo quindi che il n. 1 dovra' scegliere assolutamente a caso.
Cerchero' di sviluppare i ragionamenti degli altri in un prossimo messaggio.
ciao
paolo


Ti dico intanto i ragionamenti che ho fatto io:
Partiamo dal 4:
E' inutile dire che se il 4 spara ad 1, non ha alcuna speranza di salvarsi
(e su questo credo siate daccordo con me).
Questi si salva sicuramente se:
1) Spara a 2 e: 1->3, 2->1
2) Spara a 3 e: 1->2, 3->1
Si salva al 50% se :
1) Spara a 2 e: 1->2, 3->2
2) Spara a 3 e: 1->3, 2->3
In prima analisi, dunque, le due stategie sono equiprobabili.
Veniamo al 3:
Questi si salva sicuramente se:
1) Spara a 1 e: 1->2, 4->2
2) Spara a 2 e: 1->4, 2->1
Si salva al 50% se:
1) Spara a 2 e: 1->2, 4->2
2) Spara a 4 e: 1->4, 2->4
In prima analisi la strategia migliore e' dunque sparare a 2.
Veniamo al 2:
Questi si salva sicuramente se:
1) Spara a 1 e: 1->3, 4->3 o 1->4, 3->1 o 1->4, 3->4
2) Spara a 4 e: 1->4, 3->1
Si salva al 50% se:
1) Spara a 2 e: 1->3, 4->3
2) Spara a 4 e: 1->4, 3->4
Come e' facile vedere, gli unici eventi che danno probabilita', o sicurezza
di salvezza a 2 sono :1->3, 4->3 o 1->4, 3->1  o 1->4, 3->4 e sono tutti e i
soli che gli danno certezza di vittoria se questi spara a 1. Non c'e' dunque
alcuna convenienza per 2 nel non sparare a 1 (anzi... se dovessero
verificarsi gli eventi 1->3, 4->3 o 1>4, 3->4 potrebbe, se non spara a 1, al
50% lasciarci la pelle). Quindi 2 sparera' sicuramente a 1.
L'unico modo che ha 1 per sperare di salvarsi e sparare a 2 (egli e' infatti
l'unico che lo puo' uccidere al primo turno prima che questi lo faccia
fuori).
Torniamo al 4. Se 1 spara a 2, come abbiamo visto, questi puo' salvarsi
sparando a 3 (e se 3 spara a 1 vince) o sparando a 2 (e se 3 spara a 2 ha il
50% di probabilita' di farcela). Il 3 a sua volta puo' salvarsi sparando a 1
(e se 4 ha optato per 2 vince) o sparando a 2 (e se 3 ha optato per 2 ha il
50% di probabilita' di vincere), quindi non ha senso che 3 spari a 2
(sparera' dunque a 1). Sapendo questo 4 spara a 3 e paradossalmente vince.
Il problema sta nel fatto che gli altri tre, pur seguendo dei ragionamenti
logici, hanno la sicurezza di morire (se anche gli altri si faranno guidare
dalla logica). Potrebbero dunque (morti per morti) sparare a casaccio
(riportando il problema al punto 1 :-) ) o fare una strategia che permetta
lodo di morire dopo (guadagnare cioe' qualche secondo di vita) : ad es. 3
potrebbe sparare a 4 (anziche' a 1) e morire (contro 1 ) al secondo turno...
Oppure, credendo tutti di essere spacciati potrebbero suicidarsi in blocco
;)
(forse la soluzione migliore e' fare come fece Clint Eastwood ne "Il buono,
il brutto, il cattivo", cioe' nascondere le pallottole a qualcuno degli
avversari, nel nostro caso ai due piu' veloci, e sparare al piu' lento :-) )
ciao Domenico

ciao Domenico
 ciao
paolo