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Titolo: Testa o croce

In un romanzo giallo che ho letto diversi anni fa (credo che il titolo fosse
*testa o croce*), tra due personaggi A e B si svolgeva questo gioco:
Si lancia ripetutamente una moneta
Se esce Testa A  paga a B un dollaro e si procede a un nuovo lancio.
Se esce Croce B paga ad A una cifra X e il gioco termina.
Ammesso che la moneta non sia truccata
quale deve essere il valore di X, perche' il gioco sia equo?
(nel romanzo il personaggio B, giocatore di professione, aveva stabilito il
valore di X per intuito, ma non in base a un calcolo rigoroso).
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Sarei grato se qualcuno potesse fornirmi indicazioni bibliografche sul libro
citato, o su eventuali precedenti pubblicazioni che riferiscono di questo
gioco.
ciao
Paolo

quale deve essere il valore di X, perche' il gioco sia equo?
...
Io scommetterei 1$.
Vediamo:
Considero C_n la probabilita' che esca croce all'n-esimo lancio, dopo n-1
teste.
Con A_n indico quanto paga A nell'evento suddetto.
A_n=n-1
C_n=1/2^n
X=somma(C_n*A_n)   con n che va da 1 ad infinito
X=somma((n-1)/2^n) con n che va da 1 ad infinito
Praticamente sommo tutte le possibili vincite di B pesate dalla loro
probabilita', questo mi da la somma che deve pagare B perche' il gioco sia
equo.
Mi spiace, non conosco il libro. Ma sono curioso di conoscere il
ragionamento intuitivo del giocatore!
Ciao ciao
Claudio


Grazie per la soluzione rigorosa
Confesso che, ad intuito, avrei scommesso 1.5 o 2 $
Se non ricordo male anche il personaggio B scommise 1.5 (forse si trattava
di migliaia o di milioni di $)
Si puo' arrivare al risultato di 1 $ anche con questi semplici ragionamenti:
per un solo lancio ovviamente la posta deve essere uguale (1$) per ciascun
giocatore
se il gioco consiste in un numero prestabilito N di lanci la posta sara'
sempre di 1$ per ciascun giocatore e per ciascun lancio
non esiste alcun motivo per cui le cose debbano cambiare se il numero di
lanci e' stabilito a posteriori.
In pratica un problema asimmetrico puo' essere scomposto in una serie di
problemi simmetrici
a prima vista puo' trarre in inganno il fatto che A puo' vincere al max. 1$,
mentre potrebbe perderne molti
ciao
Paolo

lanci e' stabilito a posteriori.
...
A dire la verita', trovo questo ragionamento elegante e ineccepibile, meglio
dell'applicazione brutale di formule...
Nel frattempo mi e' venuto un dubbio.
Se il gioco termina "solo" quando esce croce e il giocatore A deve
proseguire fino al termine... Io non accetterei solo 1$ come contro-puntata.
Credo pero' che una valutazione numerica sia, in questo caso, molto
personale.
Ciao ciao e grazie
Claudio
PS: se ti capita di leggere l'articolo che citavo a proposito di "Pipe"
capirai quanto ho apprezzato la tua soluzione... e anche quella di Dario.
Semplicemente fantastici.

 Confesso che, ad intuito, avrei scommesso 1.5 o 2 $
E' ancora piu' semplice pensare che i due, appena finita una partita ne
rincomincino subito un'altra, molte partite di seguito corrispondono ad
una unica, normale, testa o croce.

quale deve essere il valore di X, perche' il gioco sia equo?
Salve a tutti,
per la Legge dei Grandi Numeri, il gioco risulta equo se B paga ad A 1
dollaro.
Riccardo Spurio "alias" Er Quaja
spu...@etruria.net