Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Il foglio...

Questo quesito mi è venuto in mente pochi minuti fa cercando di costruire un
origami...
Per fare quell'origami (o per farli in generale? Mah!) serviva un foglio
quadrato, mentre io disponevo solo di fogli A4 29.7x21 cm. Detto fatto ne ho
tagliato via il quadrato di 21 cm di lato e ho fatto l'origami (un risultato
penoso, ma questa è un'altra storia :-). Poi ho visto il pezzo rimanente, e
ho deciso di farne altri più piccoli da quel ritaglio: me ne sono venuti
altri 2. E ancora, una scriscia più piccola...
A quel punto mi è venuto in mente il rompicapo: vorrei avere un foglio in
modo tale che una volta tagliato il primo quadrato, dalla striscia rimanente
possa ricavare 2 quadrati di lato pari al lato più piccolo della striscia in
questione. E di nuovo, dalla nuova striscia rimanente voglio 3 quadrati
ancora più piccoli, e poi dal resto 4 quadrati e così via...
Mi chiedevo quale dovesse essere il rapporto tra altezza e larghezza del
foglio iniziale...
Variante: inizialmente voglio 1 quadrato, poi 2 più piccoli, poi 4, poi 8 e
via raddoppiando.
Non ci ho ancora pensato, alla soluzione... è tardi, ho mal di capa e ad
occhio e croce sembra rognoso... Cercherò di risolverlo prima di vedere le
vostre risposte.
MaxArt

 foglio iniziale...
Quello che mi aspettavo era una relazione alla ricorsiva alla fibonacci.
L'ho trovata, ma non riesco a fissare i valori iniziali, che in realta' sono
i valori che andiamo cercando. Quindi ho provato a procedere a ritroso, ma
per farlo c'e' bisogno di terminare in qualche modo la suddivisione, per poi
risalire la china.
Ho supposto che l'ultima strisciolina sia esattamente di n quadratini
unitari, senza residuo.
chiamo a(n+1)=1 ed a(n)=n le dimensioni della striscia. La striscia
successiva, quella che produce la strisciolina 1xn come residuo, ha
dimensioni n per n*(n-1)+1, e la relazione generica e'
a(i)=i*a(i+1)+a(i+2)
fissando n si puo' iterativamente calcolare a(n), a(n-1),..,a(1), ed il
rapporto tra gli ultimi due e' il valore che cerchiamo.
Gia' da n=4 il rapporto sembra stabilizzarsi:
n  a(2)/a(1)
2   0.667
3   0.7
4   0.697674
5   0.697778
6   0.697775
..
10  0.697775
Ciao, Silv:o)

10  0.697775
Avevo tentato un approccio molto simile; partendo da
un'ultima striscia di 100 quadretti unitari, il rapporto,
calcolato con ubasic, con 18 cifre decimali, risulta
0,6977746579640079819
pero' la controprova, anche con tanti decimali, fallisce
partendo dal primo rettangolo
697.774.657,9640079819*1.000.000.000
e calcolando ricorsivamente le striscie successive, tutto
sembra procedere bene per i primi 12 passaggi, poi, dal
13迺n poi, trovo un'alternanza di valori positivi e negativi
senza significato.
???
ciao
paolo

pero' la controprova, anche con tanti decimali, fallisce
Cosa intendi per controprova?
Stai partendo da un rettangolo con un rapporto tra le dimensioni che *non
e'* il rapporto limite teorico, ma una sua approssimazione decimale. E
quindi vai incontro a tutti i problemi del calcolo approssimato.
Un nuovo quesito:
Ho notato una cosa, costruendo i rettangoli approssimanti: quale che sia la
dimensione della strisciolina 1xn iniziale, tutte le strisce successive ed
il rettangolo finale hanno i lati primi tra loro. Chissa' se si puo'
dimostrare.
Ciao, Silv:o)