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Titolo: Domino perfetto

Un quadrato perfetto (o meglio: la dissezione perfetta di un
quadrato) si ha quando si riesce a scomporre un quadrato
in tanti quadrati tutti diversi fra loro e dai lati interi.
Il piu' piccolo ottenibile e' di ordine 21 e lo potete vedere ad es. qua:
http://mathworld.wolfram.com/p1img2084.gif
E' chiaro che se lo ridisegno allungato di un rapporto 2:1
ottengo un domino perfetto di ordine 21.
Pero' i domino hanno un altro grado di liberta': possono
essere ruotati di 90°. Con questa liberta', potro' trovare
una soluzione di ordine minore?
Ah saperlo!
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 ha scritto nel messaggio
news:ast2kv$ujaiv$1...@ID-88791.news.dfncis.de...

Avevamo gia accennato il problema ad Aprile in un thread dal titolo
"Rettangolo di domini" ma poi e' stato dimenticato (o nessuno e' arrivato a
qualcosa?).
Provo a vedere qualcosa ma intanto propongo un altra domanda.
E' possibile costruire un cubo di cubi?
Ho letto una dimostrazione veramente elegante (=bella+semplice), vediamo se
qualcuno che non conosce il problema riesce ad affrontarlo.
A presto,
GaS

 una soluzione di ordine minore?
Se si trovasse un rettangolo perfetto (diviso in quadrati) con i lati che 
stanno in rapporto 4:3 avremmo il domino cercato.
Stirando il rettangolo come da te suggerito parallelamente al lato maggiore 
  otterei un rettangolo di domino 4:6, diciamo con i lati lunghi 
orizzontali, allora aggiungendo un domino 2:4 in posizione verticale 
otterrei l'agognato "domino dominizzato".
Qui c'e' l'archivio dei rettangoli squadrati calcolato da Bouwkamp, (lo 
stesso che per primo computo' i 2339 solidi 3x4x5 ottenibili con gli 
stereopentamini):
http://xraysgi.ims.uconn.edu/simple-perfect-rects-to-16.txt
Nei rettangoli di 16° ordine c'e' ad es. un 1472 x 1105 una quasi 
soluzione. Il lato corto dovrebbe essere 1104.
Chi ha voglia di controllarsi tutto l'archivio?
Questo e' l'esempio piu' semplice, ma ci sono altri modi per integrare il 
rettangolo una volta stirato, con altri domino per ottenere il rapporto 
voluto 2:1

 ottenere il rapporto voluto 2:1
Ora il programma e' pronto per altri controlli.  :o))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Ora il programma e' pronto per altri controlli.  :o))
Allora cerchiamo dei 5:4
Stiro e ottengo 5:8 poi aggiungo altri 2 domino, 1x2 orizz. e 2*4 vert.
risultato 5:10
ciao. dario


Niente 5:4  :o(   Il piu' vicino e'  Order 16 = 2739 x 2191
Ora ci vorrebbe una strategia generale ed esaustiva....
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Ora ci vorrebbe una strategia generale ed esaustiva....
Potremmo, tanto per cominciare, collezionare un certo numero di rettangoli 
formati da domino (d'ora in poi RD), vedere poi se nell'archivio alcuni di 
questi possono essere sommati o combinati per arrivare ad una soluzione.
Trovarne non e' difficile. Faccio un semplice esempio di un rettangolo di 
quinto ordine.
Disegno un ipotetico rettangolo senza badare alle proporzioni. ad es:
  ______ ______ ____ ____
|      |      | y  | y  |
|  b   |  b   |____|____|
|      |      |x_|      |
|______|______|x_|  a   |
|        |       |______|
|        |       |      |
|   c    |  c    |  a   |
|________|_______|______|
Iniziando dai 2 domino piu' piccoli i cui lati corti sono x e y 
rispettivamente, ricavo il rapporto algebrico dei lati degli altri domino.
a = 2y-x
aa= 4y-2x
c = (4y-2x)-2x = 4y-4x
cc= 8y-8x
b = y+2x
bb= 2y+4x
Ora bb+x deve essere = cc
percio' scrivo:
2y+5x = 8y+8x. Risolvendo si ricava x=6 y=13. Ecco il nostro primo RD 76x53
  ______ ______ ____ ____
|      |      | 13 | 13 |
|  25  |  25  |____|____|
|      |      |6_|      |
|______|______|6_|  20  |
|        |       |______|
|        |       |      |
|   28   |  28   |  20  |
|________|_______|______|
dario

 2y+5x = 8y+8x. 
.
.
.Non per sembrare pignolo ma solo per la precisione. L'ultima
equazione e':
2y+5x = 8y-8x
Mi pare di capire che ci sono RD solo con un numero dispari di domini
oppure mi sbaglio ? (come sempre succede, ndr)
;-)
CiaO,
Massimo

 Ah saperlo!
.
.
.Se ne era parlato ad aprile quando avevi postato quel bel problema
dello schema 70x73 e ricordo che GaS aveva trovato una soluzione con 
un approccio interessante...
;-)
CiaO,
Massimo

 Mi pare di capire che ci sono RD solo con un numero dispari di domini
Perche? nell'esempio fatto, un lato del rettengolo e' pari = 76, e li' ci 
puoi aggiungere un'altro domino.
ciao.

 ;-)
Mi sembra che si possano fare rettangoli con qualunque
numero di domino diversi tra loro. Questo ci fa sperare
di trovare un domino perfetto ben prima dei 21 quadrati
necessari al quadrato. Infatti con 2,3,4,5,... quadrati
non si combinava un bel niente.
Proviamo a trovare tutti quelli con 2 domini, 3, 4,...
Con 2, cascasse il mondo, se ne puo' fare solo uno:
 _ _ _ _ _
|       | |
|_ _ _ _|_|  5:2
Con 3 se ne possono fare 2, s.e.&.o.:
 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
|_ _|                   |
|   |                   |
|   |                   |
|   |                   |
|_ _|_ _ _ _ _ _ _ _ _ _|  12:5
e
 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
|               |   |
|               |   |
|               |   |
|_ _ _ _ _ _ _ _|_ _|
|                   |
|                   |
|                   |
|                   |
|_ _ _ _ _ _ _ _ _ _|  10:9
Con 4, se non mi sbaglio, posso farne 5:
29:18  28:9  29:10  29:12  12:11
La serie dovrebbe essere 1,2,5,... oppure 0,1,1,2,5,...
ma tra le serie depositate che iniziano cosi' non mi
sembra che ce ne sia nessuna definita come numero di
rettangoli che si possono fare con domino diversi.  :o)
Magari facciamo in tempo a scovarla noi.
Se qualcuno ha qualche idea di come procedere oltre in
modo sistematico, si faccia avanti!
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

Vediamo come generare un gran numero di rettangoli di domini:
partiamo da un domino qualsiasi e ve ne affianchiamo un altro, otteniamo
cosi' un rettangolo che potra' a sua volta essere affiancato da un altro
domino per generare un rettangolo piu grande e cosi' via, naturalmente i
rettangoli cosi' ottenuti possono essere messi insieme per avere altri
rettangoli e cosi via. Vedi:
http://groups.google.it/groups?q=g:thl3167216756d&dq=&hl=it&lr=&ie=UTF-8&selm=Tmax8.77957%24SR5.1986954%40twister1.libero.it&rnum=6
Naturalmente abbiamo il vincolo di non poter usare piu volte uno stesso
domino.
Vediamo ora come generare automaticamente, al computer, tali rettangoli
(nella ricerca di un maxi-domino).
Partiamo, per es., dal domino 1x2 possiamo affiancare il 4x2 ed ottenere 5x2
a questo affianchiamo il 5x10 ed otteniamo 5x12, a questo possiamo
affiancare o il 6x12 (ottenendo il 11x12) oppure il 24x12 (ottenendo il
29x12) e cosi via. Notiamo che al terzo passo non possiamo affiancare il
5x10 in quanto gia usato.
E' facile vedere che dobbiamo esplorare un albero, ad ogni passo possiamo
affiancare dei domini al massimo in 3 modi distinti (piu facilmente in 2
modi ma al massimo 3).
Al rettangolo axb possiamo affiancare:
ax(2a) ottenendo ax(b+2a)
(2b)xb ottenendo (a+2b)xb
(b/2)xb ottenendo (a+b/2)xb ma solo se b e' pari
ax(a/2) ottenendo ax(b+a/2) ma solo se a e' pari
Notiamo che almeno uno di questi e' stato gia usato per raggiungere la
configurazione di partenza e cosi al masimo abbiamo 3 alternative (quasi
sempre 2).
Partendo da 1x2 ho esplorato a mano 8 livelli dell'albero, per un computer
non dovrebbe essere troppo oneroso esplorarne 20 (ricordiamo che il nostro
obbiettivo e' avere un domino formato da meno di 21 domini), vi assicuro che
ogni nodo ha quasi sempre 2 figli.
Naturalmente non possiamo limitarci a partire dall'1x2 ma l'algoritmo e'
valido per qualsiasi domino di partenza.
Non sono un bravo programmatore ma sicuramente abbiamo dei validi
informatici/programmatori che ci seguono, vedete voi se l'idea di ricerca ad
albero si riesce ad attuare (naturalmente sempre che vi sembri un approccio
interessante), magari fermandosi non a 20 ma ad un livello piu
accettabile(notiamo comunque che i primi 3-4 livelli sono a scelta
obbligata).
Un eventuale programma asservirebbe a piu obbiettivi contemporaneamente:
1) Trovare il mega-domino cercato;
2) in alternativa si avrebbe un buon database di rettangoli "dominati" :o) a
cui attingere per una ricerca tipo quella di Dario.
Notiamo pero' che cosi facendo non otteremo tutti i possibili rettangoli di
20 domini, otteniamo solo quelli di un certo tipo (non perfetti?).
Un saluto a tutti,
Gabriele
--------------------------------
Inviato via 
http://usenet.libero.it

 con  un approccio interessante...
Hai ragione. Non mi ricordavo che ne avevamo gia' parlato
cosi' tanto. Adesso basta trovare la soluzione!  :o))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

Propongo la seguente notazione (mutuata da quella dei
quadrati) per risparmiare i disegni in ascii-art,
soprattutto quando diventassero molto grandi:
- le dimensioni del rettangolo (lato.magXlato.min)=
- i domino sono chiamati con il lato minore, "h" se
  horizzontali, "v" se verticali.
- i domino sono elencati dall'alto al basso, da
  sinistra a destra.
- tra parentesi quelli che hanno il lato superiore
  alla stessa quota.
Esempio: il rettangolo di Dario da 5 domino:
(76X53)=(25h,13h),(6v,20v),(28h)
 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _     ___ 1.a quota
|                 |         |
|                 |13       |
|25               |_ _ _ _ _|    ___ 2.a quota
|                 |6|   20  |
|_ _ _ _ _ _ _ _ _|_|       |    ___ 3.a quota
|                   |       |
|                   |       |
|28                 |       |
|                   |       |
|_ _ _ _ _ _ _ _ _ _|_ _ _ _|
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio
PS: le presenti regole son sono obbligatorie. :o))

 Propongo la seguente notazione...
2 domino:
(5x2)=(2h,1v)
3 domino:
(10x9)=(4h,2v),(5h)
(12x5)=(1h,5h),(2v)
4 domino:
(29x18)=(8h,4v,9v),(10h)
(28x9)=(4h,2v,9h),(5h)
(29x10)=(2h,5v,10h),(4v)
(29x12)=(5v,12h),(1v,2h)
(12x11)=(1h,5h),(2v),(6h)
Ora penso al 5, se qualcuno non arriva prima...
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 partiamo da un domino qualsiasi e ve ne affianchiamo un altro...
Cosi' facendo mi sembra che il rapporto fra i lati resti vincolato.
Come per le classificazioni fatte per i quadrati, vanno cercati solo i 
domino "semplici"  quelli cioe' dove non sia possibile togliere un domino 
lasciando ancora un rettangolo. Quelli che tu descrivi come non perfetti, 
nella terminologia comune sono detti "composti" .
Per trovare RDS occorre lavorare un po' di piu'.
da un diagramma di questo tipo ad es,
col solito sistema algebrico si ricava questo 158 x 101. In notazione Livio
(36v,61h) (11h,20v,40h) (29h).
  _____ __________ __________
|     |          |          |
|  b  |          |          |
|_____|    c     |    c     |
|     |          |          |
|  b  |_ ________|__________|
|_____|_|_|  |       |      |
|    |    |__|       |      |
| a  | a  |  |   d   |  d   |
|____|____|__|_______|______|

Sembra che i possibili rettangoli con 5 domino siano 12.
Se per caso quelli con 6 sono 35, giuro che impazzisco.
(spero tanto di sbagliarmi)
(28x23)=(14h),(4h,2v,9h),(5h)
(34x11)=(1h,5h,11h),(2v),(6h)
(35x12)=(5v,12h,6v),(1v,2h)
(35x22)=(2h,10h,11v),(4v),(12h)
(58x49)=(29h),(8v,10v,20h),(4h)
(58x53)=(29h),(10v,24h),(2v,4h)
(65x18)=(8h,4v,9v,18h),(10h)
(65x28)=(5v,4v,28h),(2h),(9v)
(65x58)=(18h,29v),(8h,20v),(16v)
(70x29)=(29h,1h,5h),(2v),(12v)
(76x29)=(10v,8v,29h),(4h),(9h)
(76x53)=(25h,13h),(6v,20v),(28h)
Confido che siano giusti, ma non giuro di non averne
dimenticato qualcuno.
(Il fatto e' che me ne aspettavo 12  :o))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 (76x53)=(25h,13h),(6v,20v),(28h)
Come dicevo in un post precedente, mi sembra importante cercare quelli 
semplici e non quelli derivati dall'ordine inferiore. Ad es manca
19x26 = (11h,7v),(8h,3h),(5h)
Purtroppo non c'e' corrispondenza con il numero dei polimini!
ciao

 Purtroppo non c'e' corrispondenza con il numero dei polimini!
Avrai ragione, ma non mi torna mica, ne' vedo come farlo tornare.
19x26 # 2(11^2+7^2+8^2+3^2+5^2)
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 19x26 # 2(11^2+7^2+8^2+3^2+5^2)
Ah!Ah! ho sbagliato a fare i conti.
In un passaggio ho scritto 1/2 invece che 1,5.
Generalmente alle 23.05 non sono cosi' cotto.
Ad ogni modo ricostruendo , se ne ricava sempre uno mancante nella lista.
(34x23) = (7h,10h), (8v,3h), (13h).
ciao

 (34x23) = (7h,10h), (8v,3h), (13h).
Di 1,1,2,5,13,... ce ne sono tante tante.  :o)
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Se per caso quelli con 6 sono 35, giuro che impazzisco.
Ho scritto un programma per calcolare i RD non "semplici", quelli che
restano RD togliendo un domino.
Poi con i primi dieci termini ho controllato se la sequenza esisteva e ho
trovato questa:
ID Number: A000129 (Formerly M1413 and N0552)
Sequence:  0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378,5741,13860,33461,80782,
           195025,470832,1136689,2744210,6625109,15994428,38613965,
           93222358,225058681,543339720,1311738121,
3166815962
,
           7645370045,
18457556052
,44560482149
Name:      Pell numbers (denominators of continued fraction convergents to
              sqrt(2)).
Comments:  Number of lattice paths from (0,0) to the line x=n-1 consisting
of
              U=(1,1), D=(1,-1), and H=(2,0) steps (i.e. left factors of
Grand
              Schroder paths); for example, a(3)=5, counting the paths H,
UD, UU, DU,
              and DD. - Emeric Deutsch (
deu...@duke.poly.edu
), Oct 27 2002
vado di fretta, stasera vedo di lavorarci un po'.
Ciao, Silv:o)

 Sequence:  0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378,5741,13860,33461,80782,...
Dal momento che tra i miei primi 12 c'era un non-semplice,
allora vuoi dire che me ne e' sfuggito un altro? Ohi, ohi!!!
All'interno dello stesso ordine, quando consideri i RD diversi tra loro?
Io li ho considerati equivalenti (non-diversi):
*se hanno la stessa dimensione E sono formati dagli stessi domino*
(anche in posizioni diverse).
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 (anche in posizioni diverse).
Credo che sia la stessa cosa anche per me, ma non ne sono sicuro.
Ecco il mio approccio:
parto da un RD di ordine n, provo ad aggiungerne altri in uno dei quattro
modi possibili:
    _ _
   |   |
   | 1 |
   |   |
 __|_ _|_ _ _ _ _ _
|  |   |           |
|4 |   |    2      |
|__|_ _|_ _ _ _ _ _|
   |_3_|
Se le scelte 3 e 4 non risultano possibili, raddoppio i lati a tutti i
domini usati. Per esempio, il RD che ti mancava č stato generato a partire
da un 2v tramite la sequenza 2132. Poi anche la 2312 genererebbe lo stesso
RD, ma viene scartato. Ovviamente i 2 ed i 4, che comportano crescite
orizzontali, possono essere scambiati tra loro quando sono consecutivi,
stessa cosa per 1 e 3.
Ad occhio mi pare che con questo metodo si costruiscono tutti i RD composti,
ma qualche dubbio mi resta, anche se la corrispondenza con una sequenza nota
mi ha fatto desistere da ulteriori controlli. Se fossi cosě, le sequenze
potrebbero essere una maniera piů snella per individuare gli RD composti.
Ciao, Silv:o)

 |____|____|__|_______|______|
Ho provato ad elaborare un po' quest'idea di procedere "a spirale", ma
temo che anche per questa via non si possa giungere allo scopo. Mi sono
infatti spinto fino a rettangoli composti di 24 domini e trovo questi
valori per il rapporto dei lati del rettangolo finale:
0.620690, 0.545455,   4 domini 
0.928571, 0.697368,   5 domini 
0.804348, 0.639241,   6 domini 
0.941935, 0.666667,   7 domini 
0.871463, 0.656034,   8 domini 
0.905473, 0.660725,   9 domini 
0.889284, 0.658818,  10 domini 
0.896789, 0.659625,  11 domini 
0.893361, 0.659292,  12 domini 
0.894903, 0.659430,  13 domini 
0.894218, 0.659373,  14 domini 
0.894519, 0.659397,  15 domini 
0.894388, 0.659387,  16 domini 
0.894444, 0.659391,  17 domini 
0.894420, 0.659389,  18 domini 
0.894430, 0.659390,  19 domini 
0.894426, 0.659390,  20 domini 
0.894428, 0.659390,  22 domini 
0.894427, 0.659390,  23 domini 
0.894427, 0.659390,  24 domini
Come si vede, il valori tendono rapidamente a due limiti (che
corrispondono ai due diversi orientamenti che si possono scegliere per
il domino "di chiusura") e non c'è speranza di ottenere 0.5.
Maurizio 

 Sequence:  0,1,2,5,12,29,70,169,408,985,2378,5741,13860,33461,80782,
Questi numeri oltre ad essere le cardinalita' di RD composti per gli ordini 
1,2,3...
compaiono anche come misure dei lati di un RD ad "accrescimento continuo".
Partendo dal domino unitario 1x2 ad aggiungendo ad ogni passo un domino sul 
lato piu' lungo diciamo in senso orario ottengo:
1x2   + 2x4   = 2x5
2x5   + 5x10  = 5x12
5x12  + 12x24 = 12x29
12x29 + 29x58 = 29x70 ....
che non puo' essere una coincidenza...

 una sequenza nota mi ha fatto desistere da ulteriori controlli.
Attenzione al tacchino di B.Russell.   :o))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 che non puo' essere una coincidenza...
Va' che bčllo!
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 12x29 + 29x58 = 29x70 ....
e ancor di più lo si nota se proviamo a disegnare i vari stadi
dell'accrescimento.
Vediamo di giustificare il fatto che la sequenza descrive anche la
cardinalità degli RDC di ordine n.
Con riferimento al modello che avevo suggerito nel post precedente
    _ _
   |   |
   | 1 |
   |   |
 __|_ _|_ _ _ _ _ _
|  |   |           |
|4 |   |    2      |
|__|_ _|_ _ _ _ _ _|
   |_3_|
ogni RDC può essere identificato dalla sequenza di accrescimenti.
Queste sequenze hanno alcune interessanti caratteristiche.
- non ci sono elementi consecutivi uguali
- al massimo due elementi consecutivi possono avere la stessa parità
- gli elementi consecutivi della stessa parità possono essere
invertiti generando sequenze equivalenti, per cui potremmo sempre
supporre che le sottosequenze 24 e 13 siano le uniche accettabili.
Detto ciò, si ricava che:
a) da ogni sequenza di ordine n+1 si ottengono 2 nuove sequenze di
ordine n+2, con i due ultimi elementi di parità opposta
xxxP => xxxP1 e xxxP3
xxxD => xxxP2 e xxxP3
b) da ogni sequenza di ordine n si ottiene una sequenza di ordine n+2
avente gli ultimi due termini della stessa parità
xxx => xxx13 oppure xxx24
Dato che le sequenze di ordine n+2 sono di tipo a o di tipo b, ciò
dovrebbe spiegare perché gli RDC di un ordine n+2 sono il doppio di
quelli di ordine n+1 più quelli di ordine n.
Resterebbe da dimostrare che le sequenze rappresentino tutti e soli
gli RDC. Che ogni RDC sia rappresentabile con una sequenza mi pare
ovvio procedendo a ritroso e "smontando" l'RDC.
Che però tutte le sequenze rappresentino RDC "validi", senza domini
ripetuti, mi pare meno ovvio. Per esempio durante un accrescimento di
tipo 3 il domino aggiunto non potrebbe già essere presente in
orizzontale nell'RDC di partenza?
--
ciao, Silv:o)

 xxxD => xxxD2 e xxxD4
Silv:o)

 cui attingere per una ricerca tipo quella di Dario.
come dicevo, con il sistema di accrescimento che suggerisci č facile
generare gli RDC.
Ho generato tutte le soluzioni fino ad un certo ordine (mi pare 12) ed ho
provato ad affiancarle tra loro in tutti i modi possibili, dopo averle
zoomate per trovare una dimensione comune. Niente da fare: nessun domino.
Ovviamente se avessi trovato una coppia di RDC "amici", poi avrei dovuto
controllare eventuali domini doppi.
Gli schemi possibili di unione di piů di due RDC sono moltissimi. Posso
provarne uno semplice, ad esempio
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|  |    |
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ma gia combinare qualche migliaio di RDC tre alla volta (ruotandoli,
scalandoli e alla fine controllando i doppioni), diventa abbastanza noioso
da implementare e temo anche lungo come tempi di calcolo.
--
Ciao, Silv:o)

 Gli schemi possibili di unione di più di due RDC sono moltissimi...
L'unico utilizzo che si può fare degli RDC è all'interno di soluzioni
"semplici". Non so comw mai nessuno di noi l'abbia notato prima, ma
non possono esistes RD composti che siano anche domini.
Supponiamo che un tale domino esista, diciamo di proporzioni 8x4.
Cominciamo a smontarlo togliendo un domino alla volta e lasciando
sempre RDC.
L'ultimo domino aggiunto può essere stato solo un 2x4. Resta un 6x4.
L'unico domino possibile da togliere, diverso dal 2x4, è il 6x3, e
resta una striscia 6x1.
Possiamo ancora togliere un 2x1, ma poi con una striscia 4x1 non
andiamo da nessuna parte.
O sbaglio?
--
Ciao, Silv:o)

 "semplici". 
Se una soluzione esiste per un domino perfetto < 21, io credo sia un RDS.
Dato che deve esserci almeno un elemento orientato in modo differente dagli 
altri, una strada potrebbe essere questa.
Cerchiamo un DP con tutti i suoi elementi orientati in un verso, diciamo 
orizzontali EO, tranne uno solo con il suo lato lungo messo verticalmente EV.
Se "schiaccio" un siffatto domino in senso orizzontale, dimezzando la sua 
lunghezza ottengo esternamente un quadrato, dove tutti gli EO saranno 
diventati quadrati a loro volta, e l'EV un rettangolo 4:1.
Ora mi e' facile provare la strada inversa.
Ecco un semplice esempio:
  __________ ________ _________
|          |        |         |
|          |   b    |         |
|    a     |________|   c     |
|          |     |  |         |
|          |  y  |x_|_________|
|__________|_____|            |
|                |            |
|                |            |
|       e        |     d      |
|                |            |
|                |            |
|________________|____________|
Sappiamo che le sette aree di questo rettangolo non possono essere tutti 
quadrati (il piu' piccolo e' di nono ordine), allora considero uno di 
questi elementi come un rettangolo 1x4.
Se pongo "e" come un 1x4 orizzontale, col solito calcolino algebrico trovo
a=11, b=6, c=7, y=5, x=1, d=8, e=16x4. In questo caso il rettangolo 
risultante e' di 24x15, che produce, una volta stirato un RD 24x30 che a 
noi non interessa.
Faccio un'altro tentativo. Provo con "a" considerandolo come un 1x4 posto 
verticalmente. Ottengo a=3x12, b=7, c=9, y=5, x=2, e=8, d=11.
Una quasi soluzione, con un quasi quadrato 19x20.
Posso tentare ancora dividendo in 4 "y". Risultato 17x19 con
a=8, b=4, c=7, y=1x4V, x=3, e=9, d=10.
Come abbiamo visto su una stessa figura si possono fare svariati tentativi,
bisognerebbe spingersi su schemi piu' complicati e forse non limitarsi ad 
un solo elemento 4x1.

 zoomate per trovare una dimensione comune. Niente da fare: nessun domino.
Forse ci sono! Usando il metodo che hai usato tu per i RDC, si può
ottenere con 12 domini un rettangolo 96x128, i cui lati sono quindi nel
rapporto di 3/4.
Usando il metodo a spirale suggerito da Dario, si può costruire con 7
domini un RD 18x27, i cui lati sono nel rapporto di 2/3. Affiancando i
due triangoli, dopo aver scalato il secondo di un fattore 32/9, si
ottiene un domino fatto di 19 domini.
Ecco i dettagli: il primo rettangolo è costruito usando la procedura
spiegata da Gabriele, con i 12 domini (come al solito riporto solo la
lunghezza del lato corto):
1, 2, 5/2, 9/2, 7, 23/2, 37/2, 15, 26, 28, 40, 48.
Il secondo rettangolo, costruito usando il procedimento a spirale,
contiene invece i 7 domini:
1, 2, 3, 4, 7, 10, 8,
che vanno però moltiplicati tutti per 32/9. Non ci sono quindi domini
ripetuti. Il domino ottenuto ha dimensioni 96x192. Volendo riportare
tutto a misure intere, bisogna moltiplicare tutto per 18 e il domino
finale avrebbe quindi dimensioni 1728x3456.
Dopo aver scritto tutto ciò, mi sono accorto che si può fare ancora
meglio usando due RDC:
con i 6 domini: 64, 128, 160, 320, 464, 392,
posso costruire un RDC 1320x784;
con i 12 domini: 1, 2, 5, 6, 11, 17, 28, 14, 104, 52, 144, 248 
posso costruire un RDC 248x784;
unendoli, si ottiene un domino perfetto 784x1568 composto da 18 domini.
Maurizio

 unendoli, si ottiene un domino perfetto 784x1568 composto da 18 domini.
Bravissimo!
Una possibile soluzione invita a cercarne una (la) migliore,
secondo una mia valutazione spannometrica dovrebbe essere un RDS.

 unendoli, si ottiene un domino perfetto 784x1568 composto da 18 domini.
Evviva!!!  Bravo!!!
Son contento! Son contento! Son contento!
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 meglio usando due RDC:
bravo! due RDC...
avevo controllato tutti gli accoppiamenti fino all'ordine 11 :(
Aumentando di 1 la soglia l'ho trovata anch'io. Troppo tardi, perň :)
--
Silv:o)

 secondo una mia valutazione spannometrica dovrebbe essere un RDS.
Intanto ne ho trovata una da 17, che non è un RDS ma è composta da tre
RDC:
342x1235 formato da: 76, 152, 190, 171, 342;
438x1235 formato da: 8, 16, 40, 48, 44, 70, 140, 219, 438;
325x780  formato da: 65, 130, 325.
Il domino perfetto finale è di 780x1560.
Maurizio 

 RDC:
.
.
.Anche se in ritardo mi associo ai complimenti fatti per la soluzione
di un bel problema.
Il tuo approccio e' stato manuale, come lasci intendere, oppure ti sei
avvalso di un qualche programmino ?
Eventualmente quale e' stato l'approccio "brute force" ?
CiaO,
Massimo