Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: NUMERI E DIVISORI (per oggi è l'ultimo, lo prometto...)

Qual è il più piccolo intero positivo che ha esattamente 15 divisori? 
NB: per divisori si intendono anche l'1 e se stesso!

 NB: per divisori si intendono anche l'1 e se stesso!
SPOILER
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
144
Alcune considerazioni:
Da questa tabellina
x  / 1 = x
x  / a = c
....
x / b = b
....
x / c = a
x / x = 1
si ricava che il divisore centrale della serie è la radice quadrata
del numero cercato, la quale a sua volta deve avere un cospicuo numero
di divisori.
Scartati i numeri primi (2 div.), il 4 e il 9 (3 div.), il 6, l'8 e il
10 (4 div.), non resta che il 12. Infatti, 12^2=144 ha esattamente 15
divisori. Per trovare altri numeri con queste caratteristiche bisogna
arrivare a 18^2=324 o a 20^2=400.
D'altronde l'uso, anche attuale, della *dozzina* e del suo quadrato
(la *grossa*) è giustificato proprio dal fatto che essa fosse
divisibile in molti modi.
Ciao
Gianni

144
Mi chiedo se e' possibile generalizzare, con due problemi:
Qual è il più piccolo intero positivo che ha ESATTAMENTE K
divisori?
Qual è il più piccolo intero positivo che ha ALMENO K
divisori?
ciao
paolo

 divisori?
Ho un metodo per trovare il numero di divisori di n, puo' essere molto utile
al nostro problema:
Scomponiamo n in fattori primi: n = a1^x1+a2^x2+..+an^xn
Ogni divisore di n e' il prodotto dei fattori a1,..,an con esponenti che
vanno da 0 fino al rispettivo xi. Quindi il numero esatto di divisori sara'
(x1+1)*(x2+2)*..*(xn+1). Per ottenere numeri che hanno K divisori possiamo
scomporre K in fattori, togliere 1 ad ogni fattore, ed usarli come esponenti
per altrettanti numeri primi distinti. Ovviamente la scelta piu' economica
e' quella di assegnare l'esponente maggiore al 2, poi via via a tutti gli
altri numeri primi.
Per esempio, il 15 dal quale siamo partiti si scompone in 3*5, quindi gli
esponenti sono 2 e 4. Infatti 144=2^4*3^2.
Ma non sempre si ottiene il minimo n che ha k fattori, soprattutto se k ha
fattori ripetuti.
Per esempio, per k=8 il metodo che ho proposto darebbe 8=2*2*2 e quindi gli
esponenti 1,1,1, ottenedo n=2*3*5=30.
Ma div(24)=8. In pratica a volte conviene accorpare alcuni esponenti.
Ci pensero', la strada credo sia quella gusta.
Ciao, Silv:o)

Ci pensero', la strada credo sia quella gusta.
Puoi scrivere
8=2*2*2, esponenti 1,1,1, ed ottieni 2^1-3^1*5^1=30
oppure
8=4*2, esponenti 3,1, ed ottieni 2^3*3^1=24
nel secondo caso il primo esponente è passato da 3 ad 1,
diminuendo di due unita', e cio' equivale a moltiplicare per
2^2; in compenso hai eliminato il terzo esponente 1, quindi
elimini il fattore 5^1
la strada dovrebbe essere questa; stabilire per il caso
generale quali e quanti fattori accorpare, raffrontandoli
con i fattori che vengono eliminati
ci pensero' anch'io
ciao
paolo

 144
C'e' un metodo semplice per conoscere quanti siano i divisori di n.
Si scompone n in fattori primi, si moltiplicano fra loro gli esponenti
di ciascun fattore, aumentati di 1.
Es. n=14 = 2*7 i 2 esponenti sono 1 e 1. (1+1)(1+1) = 4 divisori
Es. n=60 = 2^2*3*5   "        " 2,1,1   (2+1)(1+1)(1+1)= 12 " ecc.
Il problema inverso diventa semplice.
Es. Trovare un numero con 14 divisori. Dato che 14 = 2*7, qualunque
numero della forma p1^1*p2^6 (dove p1 e p2 sono 2 primi qualunque)
soddisfa il problema. Il piu' piccolo sara' 2^6*3^1=192. Naturalmente
anche i numeri della forma p^13 vanno bene.
Nel nostro caso 15= 3*5, percio' gli esponenti devono essere 2 e 4, il
piu' piccolo e' 2^4*3^2 = 144.
Es. Qual e' il piu' piccolo intero con 100 divisori?
100 = 2*50, 4*25, 5*20, 10*10, 25*2*2, 10*5*2, 5*5*4, 5*5*2*2. Percio'
2^49*3
2^24*3^3
2^19*3^4
2^9*3^9 
2^24*3*5
2^9*3^4*5
2^4*3^4*5^3
2^4+3^4*5*7
hanno tutti 100 divisori. Il piu' piccolo e' l'ultimo = 45360.
:) dario