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Titolo: Cubi bordati

Definisco "quadrato bordato" QB una scacchiera a*a con le caselle
esterne nere e quelle racchiuse dal bordo, bianche. 
Se ad es. considero un 5*5 col bordo di una casella:
nnnnn
nbbbn
nbbbn
nbbbn
nnnnn
avro' 9 caselle bianche circondate da 16 nere. Con un bordo largo 2,
avrei 1 casella bianca circondata da 24 nere ecc.
E' facile dimostrare che non esistono QB con n = b. Dato che b e' un
quadrato dovrebbe esistere una terna pitagorica con 2 cateti uguali.
Se invece cerco un quadrato dove un colore e' divisibile per l'altro,
diventa tutto facile.
Ad es. in un QB 8*8 con bordo largo 2 ci sono 48n e 16b,  48/16=3.
Cubi Bordati (CB)
Passando alla versione 3D, la cosa si fa piu' interessante.
a) Molto facile. Cerca CB con n=b
b) Facile        Cerca CB con n= k^3
c) Meno facile   Cerca CB con b= k^3
d) Difficile     Esistono CB con un colore multiplo dell'altro ??
All'ultimo quesito non ho risposta. Conto su di voi.
:) dario

d) Difficile     Esistono CB con un colore multiplo dell'altro ??
n/b=(X^3-Y^3)/Y^3=(X/Y)^3-1 e' un intero solo se X/Y lo e', quindi solo se X
e' multiplo di Y. L'esempio piu' semplice e'
X=3, Y=1 ovvero nucleo bianco di un cubetto e cornice nera di 26 cubetti
Ma sicuramente ho frainteso l'enunciato...
Ciao, Silv:o)

 caselle bianche circondato da una o piu' cornici cubiche nere.
Mi sono spiegato male.
Il bordo e' formato dai 12 spigoli. Ogni faccia del cubo si presenta
come un quadrato bordato.
Ad es. Un 5^3 con bordo 1 ha 44 cubetti neri cioe' tutti quelli che
presentano piu' di una faccia.
ciao dario

 caselle bianche circondato da una o piu' cornici cubiche nere.


d) Difficile     Esistono CB con un colore multiplo dell'altro ??
Ci sto lavorando: per ora trovo solo tre rapporti semplici che pero' sono
presenti in tutti i CB: b/n=7/20, b/n=27/5 e... b/n=1 ;)
Ciao, Silv:o)

Ciao, Silv:o)
ciao
paolo

Qualcuno sa se e' possibile?
Non e' possibile.
Possiedo un'elegante dimostrazione di quanto affermo, ma e' troppo lunga per
stare nell'esiguo spazio a margine di questa mail... :)
Ciao Silv:o)

 stare nell'esiguo spazio a margine di questa mail... :)
Bene! mi fido.
:)dario

Bene! mi fido.
Male!
Chissa' se il Silv:o)'s last theorem restera' indimostrato per i prossimi
tre secoli...
Ciao, Fer[Backspace][Backspace][Backspace] Silv:o)


Ecco lo sapevo, adesso ci aspettano 3 secoli di lavoro.
Forse meno. Io ho seguito una strada leggermente diversa:
iniziando da
b=x^3+6*x^2*y
n=12*x*y^2+8*y^3
b/n = x^2(x+6y)/4y^2*(3x+2y) = intero
Supponendo che mcd(x,y)=1, y^2 deve dividere x+6y, quindi m* y^2=(x+6y).
ricavando x e sostituendo:
my(my-6)^2/(4*(3my-16)) = intero
eliminando i casi m o y potenze di 2, 3my-16 non ha fattori comuni con
m o y, quindi bisogna che
(m*y-6)^2/(4*(3m*y-16)) = intero
Questa equazione si riduce a una equazione di Fermat-Pell, che non ha
soluzioni con m*y e l'intero entrambi positivi. Non ho esaminato tutti i
dettagli
della dimostrazione, ma dovrebbe essere un banale esercizio per "uno
pratico".
Il caso m o y potenze di 2 <=16 si esamina a mano.
Ne salta fuori solo un rapporto semplice (x = 10, y = 1, rapporto 25/2), non
intero.
Non e' proprio rigorosa, ma dovrebbe essere una buona traccia.
Ciao
Mauro Fiorentini