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Titolo: Biliardo

Un tavolo da biliardo ha superficie utile rettangolare, di lati 100*240 cm
(mi scusino gli appassionati, ma non conosco le misure regolamentari),
misurata sul filo interno delle sponde.
Su una diagonale del rettangolo individuo due punti A e B, simmetrici
rispetto al centro, distanti tra loro 104 cm. Su ciascuno dei due punti
piazzo una palla di 10 cm di diametro.
Con un colpo di stecca centrato, senza effetto e sufficientemente forte
spedisco la palla A in una dirzione assolutamente casuale.
Mi chiedo quali siano le probabilita' :
_ che la palla A colpisca la B direttamente,
_ che la colpisca dopo uno ed un solo rimbalzo su una delle sponde,
_ che riesca a fare n rimbalzi senza colpire la B.
ciao
Paolo


anche facendo solo un colpo dovrebbe essere facile
il terzo credo che sia tosto
ciao
Italo

Paolo Licheri ha scritto ..
+AD4-Un tavolo da biliardo...
+AD4-Mi chiedo quali siano le probabilita' :
+AD4AXw- che la palla A colpisca la B direttamente,
+AD4AXw- che la colpisca dopo uno ed un solo rimbalzo su una delle sponde,
+AD4AXw- che riesca a fare n rimbalzi senza colpire la B.
1) p+AD0- +AFs- arctan (5/52) +AF0- / 180 +AD0- 3.05+ACU-
2)
sponda lunga (una precisa delle due)
p1 +AD0- +AFs- arctan ( 5/ sqrt ( 48+AF4-2 +- (20+-25)+AF4-2) ) +AF0- / 180 +AD0- 2.41+ACU-
sponda corta (idem)
p2 +AD0- +AFs- arctan ( 5/ sqrt ( (48+-67)+AF4-2 +- 20+AF4-2 ) ) +AF0- / 180 +AD0- 1.31+ACU-
la prob. cercata +AOg- 3.72+ACU-
3) questo +AOg- duro.
Scelta una sequenza di sponde, la prob. che la battente colpisca la palla,
seguendo tale sequenza +AOg-:
p +AD0- +AFs-arctan ( 5/ sqrt ( (48+-A)+AF4-2 +- (20+-B)+AF4-2 ) ) +AF0- / 180
,dove
A vale 0 se nessuna sponda lunga +AOg- stata colpita, vale 110a-43 se sono state
colpite a sponde lunghe.
B vale 0 se nessuna sponda corta +AOg- stata colpita, vale 45b-20 se sono state
colpite b sponde corte.
Per la probabilit+AOA- cercata bisogna anche considerare che una sequenza di n
sponde porta a n+-1 tipi di sequenze lunga/corta, tali che a+-b+AD0-n, che le
corte e le lunghe sono 2 (+ACo-2+AF4-n)...
Poi bisogna anche vedere se la palla non +AOg- stata gi+AOA- colpita in un rimpallo
precedente.
E' decisamente un casino :)
Come disse Qu+AOk-lo: +ACI-Tu come la vedi?+ACI- (c'+AOg- grossa grisi...)
ciao
MF
P.S. Vedo che non sono l'unico ad aver preso una lunga vacanza: dov' +AOg-
Domenico? Troppi 3 figli, 12 monete, 5 condannati ...

+AD4-1) p+AD0- +AFs- arctan (5/52) +AF0- / 180 +AD0- 3.05+ACU-
Ops.. sostituire tutti gli arctan con arcsin (come diceva il buon Italo). Un
po' di ruggine +ADs-(
ciao
MF

 il terzo credo che sia tosto
penso anch'io. per due o tre rimbalzi non dovrebbe essere poi
difficilissimo, ma non credo sia facile generalizzare, (tanto poi piu' di
otto sponde - l'ottavina reale in "Io Chiara e lo Scuro" di Nuti -
difficilmente si possono fare)
il metodo delle riflessioni porta a uno schema di questo tipo
|n=2         |3           |4           |5
|____________|____________|____________|_
|1           |2           |3           |4
|            |            |            |
|            |            |            |
|        °   |   °        |       °    |
|_______/____|____________|____________|_
|0     /\    |1           |2           |3
|     /  °- _|_ -°        |       °    |
|    /_ . -  |            |            |
|   °        |            |            |
|____________|____________|____________|_
Notiamo che per colpire la bilia sul biliardo 3 in alto a destra dobbiamo
spostarci di due colonne, intercettando due volte la sponda corta e poi
salire di una riga, incontrando una sponda lunga, quindi i biliardi
etichettati col 3 (sono 4*3 e 4*n in generale) distano tre sponde. si
potrebbe scrivere un programma che per ogni n calcola le distanze e quindi
gli angoli utili, ma sarebbe estremamente complicato calcolare se una bilia
e' _impallata_ da un'altra (come il caso della bilia posta nel biliardo
(1,1) che non potra' mai essere raggiunta perche' mirando nell'angolino si
colpisce la palla direttamente senza fare le due sponde).
possiamo calcolarci le distanze e quindi le probabilita' per ogni n.
per n = 2  P =  8.5  %,
per n = 3  P = 10.34 %
a meno di errori di calcolo :)
Ciao, Silvio

P.S. Vedo che non sono l'unico ad aver preso una lunga vacanza:
comunque, bentornato!

Italo
ciao
Paolo

 Paolo
Ciao
Arrivo tardi, le risposte ai primi 2 quesiti sono gia' arrivate, quindi  mi
accontento del terzo.
Definiamo un sistema di coordinate parallelo agli assi del biliardo. Sia a
l'angolo di tiro,
rispetto all'asse x. Considero il caso di assenza di attrito.
La probabilita' che tg(a) sia razionale e' nulla (tale e' la densita' dei
razionali in un intervallo
qualsiasi); se tg(a) e' irrazionale, la traiettoria non e' periodica e passa
arbitrariamente vicino
a qualsiasi punto del biliardo, quindi colpisce qualsiasi bilia di dimensione
finita con
probabilita' 1.
(Scusate lo scarso rigore;  si puo' rendere il tutto piu' formale, ma il
risultato non cambia).
Con l'attrito il problema diventa noioso: bisogna stabilire il massimo di
rimbalzi,
tassellare una parte di il piano con copie del biliardo, tracciare tutte le
traiettorie che
raggiungono la bilia bersaglio (o le copie) calcolare e sommare i relativi
angoli.
Il limite di rimbalzi e' pero' arbitrario.
P.S. Che colpo e' l'"ottavina reale"?
Mauro Fiorentini


E i +AD4- +AD0- +ADs- +ACU- ecc. con cosa li sostituiamo?
Misteri di Outlook... riguardare la configurazione, grazie :->
Ciao, Gabry :-)
-- 
 _                        _   _
( )                      ( ) ( )   
http://poisson.dm.unipi.it/~stilli/
| |                      | |/ /
| |                      |   <
| |__                    | |\ \
(____)   I   G   H   T   (_) (_)   N   I   G   H   T

Ciao, Silvio
ciao
Paolo

> P.S. Che colpo e' l'"ottavina reale"?
E' un colpo della goriziana, si tratta di colpire la biblia avversaria
spedendola sul castello (la croce formata dai 9 birilli), dopo aver colpito
otto sponde. L'esecuzione piu' famosa dell'ottavina e' stata fatta da
Francesco Nuti nella drammatica partita finale contro "Lo Scuro" (Marcello
Lotti, pluricampione italiano di 5 birilli e goriziana) nel bellissimo film
"Io, Chiara e lo Scuro" con Giuliana De Sio.
La descrizione che da Nuti del colpo e delle sensazioni provate in partita,
coi rumori del gioco che si stagliano netti nella sua mente anche in mezzo
al frastuono della sala "Stumb... stumb... stumb... tac! ...frrrrrrrrr" e'
il brano piu' bello del film.
da affittare (***1/2)
Ciao, Silvio

probabilita' 1.
Ottime argomentazioni, e' vero, prima o poi si colpisce la palla, ma al
limite dopo un numero indefinito di rimbalzi. La domanda si riferiva pero'
alla probabilita' con un numero di rimbalzi prestabilito.
Credo comunque che il cacolo, per un n abbastanza elevato, sia
improponibile.
ciao
Paolo

tradurre?
Non e' TeX. E' Microsoft Outlook che sputa roba comprensibile solamente
ad un'altra copia di Outlook.
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
Ordinary decent people in this country are sick and tired of being told
that ordinary decent people in this country are fed up with being sick
and tired. I am certainly not, and I'm sick and tired of being told that
I am. (M. Python)

 Francesco Nuti nel film "Io, Chiara e lo Scuro" con Giuliana De Sio.
Per chi non lo sapesse: non si e` fatto "doppiare" da una
controfigura, quel colpo lo ha tirato davvero lui...
mi chiedo pero` quanti "ciak" abia dovuto fare... :-)))
Ciao.
Mauro