Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Generazione di numeri

Questo problema concerne la costruzione di interi positivi.
Un nuovo intero puo' essere generato dal precedente
utilizzando una qualunque di queste tre operazioni:
a) Aggiungo uno zero alla fine (moltiplicazione per 10).
b) Aggiungo un 4 alla fine (moltiplico per 10 poi aggiungo
4).
c) Divido a meta' se il numero e' pari.
Partendo dal numero 4, e' possibile generare tutti gli
interi?
ES. posso ottenere il num.3 applicando cbccc =
4,2,24,12,6,3.
:) dario

"Dario Uri" <Da...@Uriland.it> ha scritto nel messaggio
news:3AF4EEAD...@Uriland.it...

Spoiler    (ma che ce lo metto a fare???? Figurati se l' azzecco!!!!)
Dopo un po' di prove mi sembra che si possa fare
con tutti gli interi, provo a dimostrarlo a modo mio, non so se e'
corretto:
arrivo facilmente ad ottenere il 10 con
a,c,c =
4, 40,20,10
quindi poi posso elevarlo a tutte le potenze usando  a
Ora, a me pare che usando opportunamente a e c
qualunque intero possa essere ricondotto alle potenze di
10, ma forse qui e' il mio errore...
Comunque ci ho provato   :-)
ciao
fulvio

 ha scritto nel messaggio
news:9d31f0$ja9$1...@nreadA.inwind.it...

Avendo la netta sensazione di averla sparata grossa,
comincio il lavoro "pionieristico" di trovare i primi interi
(non ho la forza bruta e se l' avessi non avrei idea di
come si usa  :-))). Non so nemmeno se il numero dei
passaggi che compio sia un minimo...
4,2,1
4,2
4,2,24,12,6,3
4
4,40,20,10,5
4,24,12,6
4,2,1,14,7
4,24,12,6,64,32,16,8
4,2,1,14,144,72,36,18,9
4, 40,20,10
4,44,22,11
4,24,12
4, 40,20,10,104,52,26,13
eccetera!!!   Aiutooooo!!!!!
Non ne esco piu' , mi accorgo che nel messaggio precedente
ho detto una cappellata, mi pare che convenga moltiplicare
il numero che si cerca per 2 fino ad ottenere un suo multiplo
che termina con 4, per quanto riguarda i multipli
di 5 non e' questo il metodo, ma mi paiono
comunque semplici, prima di impazzirci sopra vi saluto...
ciao
fulvio

 fulvio
MI accorgo di aver saltato un passaggio in alcuni casi, ecco
le soluzioni corrette
 4,2,1
 4,2
 4,2,24,12,6,3
 4
 4,40,20,10,5
 4,2,24,12,6
 4,2,1,14,7
 4,2,24,12,6,64,32,16,8
 4,2,1,14,144,72,36,18,9
 4, 40,20,10
 4,44,22,11
 4,2,24,12
 4, 40,20,10,104,52,26,13
ed in piu'
4,2,1,14
4,2,24,12,120,60,30,15
4,24,12,6,64,32,16
4,2,24,12,6,3,34,17
4,2,1,14,144,72,36,18
4,2,24,12,6,3,30,304,152,76,38,19
4,2,20
4,2,24,12,6,64,32,16,8,84,42,21
4,44,22
4,2,1,14,144,72,36,18,184,92,46,23
4,2,24
Mi fermo perche' fortunatamente devo
andare al lavoro...
Ultima cosa: qualcuno provi a dire un numero che non
si riesce a trovare e vediamo un po'.....!!!
ciao, bell' invenzione Dario, e' tua?
fulvio


a) sia N il numero da dimostrare generabile secondo le regole a,b,c, e dove
tutti i k 1<k<N-1 siano già stati generati.
b) per qualsiasi N, si sa che 2N è pari, per cui abbiamo cinque casi:
1) 2N termina con 0. Allora, per la regola 'a', 1<2N/10<N-1, che è già
dimostrato;
2) 2N termina con 4. Allora, per la regola 'b', 1<(2N-4)/10<N-1, che è già
dimostrato;
3) 2N termina con 2. Allora, 4N termina con 4, ma anche 1<(4N-4)/10<N-1 è
già dimostrato;
4) 2N termina con 6. Allora 4N termina con 2 e 8N termina con 4, ma anche
1<(8N-4)/10<N-1 è già dimostrato;
5) 2N termina con 8. Allora N termina con 4, per cui 1<(N-4)/10<N-1 è
sicuramente già dimostrato.
Saluti,
Francesco

 sicuramente già dimostrato.
Infatti qui sfuggono gli N dispari terminanti con 9.
D'altro canto (16N-4)/10 non è dimostrato (es. N=19 e 16N=304, dove 30 non è
minore di 19)
Meglio pensarci ancora un poco...
Francesco

 ciao, bell' invenzione  e' tua?
No No, presa da  Nordic Olympiad 1990.
:) dario

 interi?
 
Non sono titolato per problemi di questo tipo....ma,
.
V
.
V
.
V
.
V
.
V
.
V
.
V
.
V
.
V
.
Questo problema puo' anche essere visto al contrario,
almeno io .... riesco sempre a fare quanto di seguito:
Dimostrare che si puo' sempre arrivare al numero
"4" da un qualsiasi intero positivo con le seguenti
operazioni disponibili:
a) Eliminare uno "0" alla fine del numero.
b) Eliminare un "4" alla fine del numero.
c) Moltiplicare per 2.
Per la dimostrazione "non so"...
;-)
CiaO,
Massimo
-- 
Posted from 
net128-053.mclink.it
 [195.110.128.53] 
via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

 almeno io .... riesco sempre a fare quanto di seguito:
V
.
V
.
V
.
V
.
V
.
V
.
V
.
V
. 
Ecco una breve routine in VB per gli amanti della
"brute force"...Spero possa servire.
;-)
CiaO,
Massimo
-----------------------------------
-----------------------------------
Private Sub Command1_Click()
    passi$ = ""
ini:
    x = Text1.Text
    If x = 4 Then GoTo fine
    Select Case Right$(LTrim$(Str$(x)), 1)
    Case "0"
        x = x / 10
        Text1.Text = x
        Text1.Refresh
        passi$ = passi$ + "a"
    Case "1"
        x = x * 2
        Text1.Text = x
        Text1.Refresh
        passi$ = passi$ + "c"
    Case "2"
        x = x * 2
        Text1.Text = x
        Text1.Refresh
        passi$ = passi$ + "c"
    Case "3"
        x = x * 2
        Text1.Text = x
        Text1.Refresh
        passi$ = passi$ + "c"
    Case "4"
        x = Val(Left$(LTrim$(Str$(x)), Len(LTrim$(Str$(x))) - 1))
        Text1.Text = x
        Text1.Refresh
        passi$ = passi$ + "b"
    Case "5"
        x = x * 2
        Text1.Text = x
        Text1.Refresh
        passi$ = passi$ + "c"
    Case "6"
        x = x * 2
        Text1.Text = x
        Text1.Refresh
        passi$ = passi$ + "c"
    Case "7"
        x = x * 2
        Text1.Text = x
        Text1.Refresh
        passi$ = passi$ + "c"
    Case "8"
        x = x * 2
        Text1.Text = x
        Text1.Refresh
        passi$ = passi$ + "c"
    Case "9"
        x = x * 2
        Text1.Text = x
        Text1.Refresh
        passi$ = passi$ + "c"
    End Select
    GoTo ini
fine:
    Text2.Text = passi$
End Sub
-----------------------------------
-----------------------------------


"Dario Uri" <Da...@Uriland.it> ha scritto nel messaggio
news:3AF4EEAD...@Uriland.it...

Provo a invertire il problema, e a verificare che partendo da qualunque N si
possa generare il numero 4 con le operazioni inverse.
Le operazioni inverse sono:
A) Elimino uno zero finale (divisione per 10)
B) Elimino un 4 finale (sottraggo 4 e divido per 10)
C) Raddoppio il numero.
Applico il seguente procedimento: quando possibile utilizzo le operazioni A
o B, altrimenti utilizzo la C.
Ipotizzo che per qualsiasi N si riesce a generare un numero <N con un n.
finito di operazioni.
Se N termina con zero o con 4 la verifica è immediata.
Se N termina con un qualsiasi altra cifra diversa da 9, applicando una, due
o tre volte la C (moltiplicando per 2, 4, 8) ottengo un numero che termina
con 4 e poi applico la B. E'evidente che se moltiplico per un fattore minore
di 10 poi decremento il numero e lo divido per 10 ottengo un numero
inferiore a quello di partenza.
Rimane il caso di N terminante con 9.
In questo caso occorre applicare 4 volte la C (moltiplicare per 16) per
ottenere un numero terminante per 4.
Qui non ho una dimostrazione rigorosa, ma mi pare che si arrivi comunque a
decrementare il N di partenza con operazioni finite.
Riporto nella tabella seguente le sequenze di operazioni per N compreso tra
9 e 999:
009 CCCC 144 BB 1
019 CCCC 304 BA 3
029 CCCC 464 B 46 CC 184 B 18
039 CCCC 624 B 62 C 124 B 12
049 CCCC 784 B 78 CCC 624 B 62 C 124 B 12
059 CCCC 944 BB 9
069 CCCC 1104 BA 11
079 CCCC 1264 B 126 CC 504 B 50
089 CCCC 1424 B 142 C 284 B 28
099 CCCC 1584 B 158 CCC 1264 B 126 CC 504 B 50
109 CCCC 1744 BB 17
119 CCCC 1904 BA 19
129 CCCC 2064 B 206 CC 824 B 82
139 CCCC 2224 B 222 C 444 B 44
149 CCCC 2384 B 238 CCC 1904 B 190 C 380 A 38
159 CCCC 2544 BB 25
169 CCCC 2704 BA 27
179 CCCC 2864 B 286 CC 1144 B 114
189 CCCC 3024 B 302 C 604 B 60
199 CCCC 3184 B 318 CCC 2544 B 254 B 25
209 CCCC 3344 BB 33
219 CCCC 3504 BA 35
229 CCCC 3664 B 366 CC 1464 B 146
239 CCCC 3824 B 382 C 764 B 76
249 CCCC 3984 B 398 CCC 3184 B 318 CCC 2544 B 254 B 25
259 CCCC 4144 BB 41
269 CCCC 4304 BA 43
279 CCCC 4464 B 446 CC 1784 B 178
289 CCCC 4624 B 462 C 924 B 92
299 CCCC 4784 B 478 CCC 3824 B 382 C 764 B 76
309 CCCC 4944 BB 49
319 CCCC 5104 BA 51
329 CCCC 5264 B 526 CC 2104 B 210
339 CCCC 5424 B 542 C 1084 B 108
349 CCCC 5584 B 558 CCC 4464 B 446 CC 1784 B 178
359 CCCC 5744 BB 57
369 CCCC 5904 BA 59
379 CCCC 6064 B 606 CC 2424 B 242
389 CCCC 6224 B 622 C 1244 B 124
399 CCCC 6384 B 638 CCC 5104 B 510 A 51
409 CCCC 6544 BB 65
419 CCCC 6704 BA 67
429 CCCC 6864 B 686 CC 2744 B 274
439 CCCC 7024 B 702 C 1404 B 140
449 CCCC 7184 B 718 CCC 5744 B 574 B 57
459 CCCC 7344 BB 73
469 CCCC 7504 BA 75
479 CCCC 7664 B 766 CC 3064 B 306
489 CCCC 7824 B 782 C 1564 B 156
499 CCCC 7984 B 798 CCC 6384 B 638 CCC 5104 B 510 A 51
509 CCCC 8144 BB 81
519 CCCC 8304 BA 83
529 CCCC 8464 B 846 CC 3384 B 338
539 CCCC 8624 B 862 C 1724 B 172
549 CCCC 8784 B 878 CCC 7024 B 702 C 1404 B 140
559 CCCC 8944 BB 89
569 CCCC 9104 BA 91
579 CCCC 9264 B 926 CC 3704 B 370
589 CCCC 9424 B 942 C 1884 B 188
599 CCCC 9584 B 958 CCC 7664 B 766 CC 3064 B 306
609 CCCC 9744 BB 97
619 CCCC 9904 BA 99
629 CCCC 10064 B 1006 CC 4024 B 402
639 CCCC 10224 B 1022 C 2044 B 204
649 CCCC 10384 B 1038 CCC 8304 B 830 C 1660 A 166
659 CCCC 10544 BB 105
669 CCCC 10704 BA 107
679 CCCC 10864 B 1086 CC 4344 B 434
689 CCCC 11024 B 1102 C 2204 B 220
699 CCCC 11184 B 1118 CCC 8944 B 894 B 89
709 CCCC 11344 BB 113
719 CCCC 11504 BA 115
729 CCCC 11664 B 1166 CC 4664 B 466
739 CCCC 11824 B 1182 C 2364 B 236
749 CCCC 11984 B 1198 CCC 9584 B 958 CCC 7664 B 766 CC 3064 B 306
759 CCCC 12144 BB 121
769 CCCC 12304 BA 123
779 CCCC 12464 B 1246 CC 4984 B 498
789 CCCC 12624 B 1262 C 2524 B 252
799 CCCC 12784 B 1278 CCC 10224 B 1022 C 2044 B 204
809 CCCC 12944 BB 129
819 CCCC 13104 BA 131
829 CCCC 13264 B 1326 CC 5304 B 530
839 CCCC 13424 B 1342 C 2684 B 268
849 CCCC 13584 B 1358 CCC 10864 B 1086 CC 4344 B 434
859 CCCC 13744 BB 137
869 CCCC 13904 BA 139
879 CCCC 14064 B 1406 CC 5624 B 562
889 CCCC 14224 B 1422 C 2844 B 284
899 CCCC 14384 B 1438 CCC 11504 B 1150 A 115
909 CCCC 14544 BB 145
919 CCCC 14704 BA 147
929 CCCC 14864 B 1486 CC 5944 B 594
939 CCCC 15024 B 1502 C 3004 B 300
949 CCCC 15184 B 1518 CCC 12144 B 1214 B 121
959 CCCC 15344 BB 153
969 CCCC 15504 BA 155
979 CCCC 15664 B 1566 CC 6264 B 626
989 CCCC 15824 B 1582 C 3164 B 316
999 CCCC 15984 B 1598 CCC 12784 B 1278 CCC 10224 B 1022 C 2044 B 204
Per N con più di tre cifre *dovrebbe* ripetersi la sequenza.
Dico dovrebbe perché ho verificato che non succede sempre:
Per esempio
129   CCCC    2064 B   206 CC    824 B    82
24129 CCCC 386064  B 38606 CC 154424 B 15442
OK
e la cosa si ripete *quasi* sempre.
ma
499   CCCC   7984 B   798 CCC   6384 B   638 CCC   5104 B   510 A 51
22499 CCCC 359984 B 35998 CCC 287984 B 28798 CCC 230384 B 23038 C 184304 B
18430
per il secondo numero occorre un'operazione in più.
Non ho capito bene dove stia l'inghippo, mi pare che sia legato al 999 o al
499 finali.
Comunque nelle verifiche che ho fatto si riesce sempre ad arrivare ad un
numero inferiore a quello di partenza. perciò la sequenza di operazione
genera numeri via via decrescenti ed alla fine si *dovrebbe* arrivare
agevolmente a 4.
ciao
paolo

Dovrei aver risolto il problema.
Premessa:
1 = 4,2,1
2 = 4,2
Dopodichè:
A) Si dimostrano tutti gli N pari:
a) sia N il numero *pari* da dimostrare generabile secondo le regole a,b,c,
e dove
tutti i k *pari* precedenti (1 < k < N-2) siano già stati generati.
b) Si sa che 2N è pari, per cui abbiamo cinque casi:
1) 2N termina con 0. Allora, per la regola 'a', 1<2N/10<N-2, che è già
dimostrato;
2) 2N termina con 4. Allora, per la regola 'b', 1<(2N-4)/10<N-2, che è già
dimostrato;
3) 2N termina con 2. Allora, 4N termina con 4, ma anche 1<(4N-4)/10<N-2 è
già dimostrato;
4) 2N termina con 6. Allora 4N termina con 2 e 8N termina con 4, ma anche
1<(8N-4)/10<N-2 è già dimostrato;
5) 2N termina con 8. Allora N termina con 4, per cui 1<(N-4)/10<N-2 è
sicuramente già dimostrato.
esempio: devo generare N=12
2N=24, e quindi (2N-4)/10 è uguale a 2, già generato, per cui 12 = 4,2,24,12
altro esempio: N=14 e 2N=28
per cui (N-4)/10 = 1, già premesso.
B) Si dimostrano tutti gli N dispari:
a) sia N il numero *dispari* da dimostrare generabile secondo le regole
a,b,c, e dove
tutti i k *pari* (ma proprio tutti però, cioè 1 < k < infinito) siano già
stati generati (vedi sopra).
b) Si sa che 2N è comunque pari, per cui abbiamo cinque casi:
1) 2) 3) 4) come sopra;
5) 2N termina con 8. Allora 4N termina con 6, 8N con 2 e 16N con 4. Ora, è
facile dimostrare in maniera empirica che (16N-4)/10 è sicuramente pari,
(infatti, qualsiasi numero, grande quanto si vuole, terminante con 9 e
moltiplicato 16, dà come risultato un numero terminante in 4, la cui cifra
delle decine è sempre pari), e quindi già dimostrato.
esempio: devo generare N=9
2N=18, 4N=36, 8N=72, 16N=144
(16N-4)/10=14 che è pari, già dimostrato (vedi sopra)
Saluti
Francesco

> "Dario Uri"  ha scritto:

.
brute force
.
.
.
.
.
.
.
Volevo dare il mio contributo in termini di brute force, anche
se magari e' un po' tardi (oggi c'era il sole), forse ci sono 
gia' altri messaggi analoghi, pero' alcuni non li vedo perche'
se usate il simbolo *minore*, iol li taglia come se fossero 
html (baco, baco, baco!!!)
.
.
Per usare la brute force bisogna applicare l'*ingegneria inversa*:
dato n intero qualunque lo moltiplico per due fino a che finisce 
per zero o quattro. A questo punto elimino l'ultima cifra.
Se diventa uquale a 4, l'assunto e' provato per quel numero, se no
lo moltiplico per 2 e ricomincio.
.
Faccio un programma in *Italiano*, per chi la brute force 
non ce l'ha  :o))
.
1) Per tutti gli interi da 5 a i:
.
2) SE il numero finisce per 0 o per 4
   ALLORA elimino l'ultima cifra
   SE NO lo moltiplico per 2
.
3) SE il numero e' diverso da 4 
   ALLORA torno al punto 2)
   SE NO e' provato.
.
Questi sono i risultati dei primi 50 interi, ma l'ho
provato per numeri molto piu' grandi. Con questa consolazione
si potrebbe tentare di dimostrare la validita' generale,
compito che come al solito lascio ad altri.
E che la brute force sia con voi  :o)
Livio
-------------------------------------------
 5, 10, 1, 2, 4
 6, 12, 24, 2, 4
 7, 14, 1, 2, 4
 8, 16, 32, 64, 6, 12, 24, 2, 4
 9, 18, 36, 72, 144, 14, 1, 2, 4
 10, 1, 2, 4
 11, 22, 44, 4
 12, 24, 2, 4
 13, 26, 52, 104, 10, 1, 2, 4
 14, 1, 2, 4
 15, 30, 3, 6, 12, 24, 2, 4
 16, 32, 64, 6, 12, 24, 2, 4
 17, 34, 3, 6, 12, 24, 2, 4
 18, 36, 72, 144, 14, 1, 2, 4
 19, 38, 76, 152, 304, 30, 3, 6, 12, 24, 2, 4
 20, 2, 4
 21, 42, 84, 8, 16, 32, 64, 6, 12, 24, 2, 4
 22, 44, 4
 23, 46, 92, 184, 18, 36, 72, 144, 14, 1, 2, 4
 24, 2, 4
 25, 50, 5, 10, 1, 2, 4
 26, 52, 104, 10, 1, 2, 4
 27, 54, 5, 10, 1, 2, 4
 28, 56, 112, 224, 22, 44, 4
 29, 58, 116, 232, 464, 46, 92, 184, 18, 36, 72, 144, 14, 1, 2, 4
 30, 3, 6, 12, 24, 2, 4
 31, 62, 124, 12, 24, 2, 4
 32, 64, 6, 12, 24, 2, 4
 33, 66, 132, 264, 26, 52, 104, 10, 1, 2, 4
 34, 3, 6, 12, 24, 2, 4
 35, 70, 7, 14, 1, 2, 4
 36, 72, 144, 14, 1, 2, 4
 37, 74, 7, 14, 1, 2, 4
 38, 76, 152, 304, 30, 3, 6, 12, 24, 2, 4
 39, 78, 156, 312, 624, 62, 124, 12, 24, 2, 4
 40, 4
 41, 82, 164, 16, 32, 64, 6, 12, 24, 2, 4
 42, 84, 8, 16, 32, 64, 6, 12, 24, 2, 4
 43, 86, 172, 344, 34, 3, 6, 12, 24, 2, 4
 44, 4
 45, 90, 9, 18, 36, 72, 144, 14, 1, 2, 4
 46, 92, 184, 18, 36, 72, 144, 14, 1, 2, 4
 47, 94, 9, 18, 36, 72, 144, 14, 1, 2, 4
 48, 96, 192, 384, 38, 76, 152, 304, 30, 3, 6, 12, 24, 2, 4
 49, 98, 196, 392, 784, 78, 156, 312, 624, 62, 124, 12, 24, 2, 4
 50, 5, 10, 1, 2, 4
-- 
Posted from 
htt06-acc.tin.it
 [212.216.176.133] 


E che la brute force sia con
voi  :o)
.
.
.
Provo invece a fornire una dimostrazione, ispirato dai
dati numerici:
.
1) Potendo verificare facilmente con la brute force che
fino ad un certo intero finito (poniamo n=1.000) la funzione e' valida,
resta da provare che la funzione per ogni i maggiore di n e' mediamente
decrescente.
2) Moltiplicando un numero qualunque per potenze di due si
ottiene la cifra finale 4 in un massimo della potenza di due = 4. In quasto
caso la funzione e' temporaneamente crescente, dovendo moltiplicare il
numero per 16 e dividerlo per 10 o circa 10 (eliminazione dell'ultima cifra
per numeri grandi).
3) Ma dopo il primo step, la funzione e' certamente
decrescente, perche' la penultima moltiplicazione per due ci ha posto nella
situazione ...yyyyy2 che moltiplicato per due rende pari anche la penultima
cifra, poiche' 2x2 non ha riporto. E per arrivare ad un numero che termini
per 4 partendo da un numero pari occorre al massimo la terza potenza del
due, quindi la peggior ipotesi di moltiplicare per 8 e dividere per 10
genera una serie certamente decrescente.
c.v.d. s.e.&o.
u.p.p.r.u.p.p.n.m.  :o)
Livio
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Inviato via 
http://usenet.iol.it
 

Dario Uri <Da...@Uriland.it> wrote in message
3AF4EEAD...@Uriland.it...

Dario Uri propone

s
p
o
i
l
e
r
Grazie al suggerimento di Massimo M., conviene ribaltare il problema
dimostrando che si puo' sempre arrivare al numero "4" da un qualsiasi intero
positivo con le seguenti operazioni disponibili:
a) Eliminare uno "0" alla fine del numero.
b) Eliminare un "4" alla fine del numero.
c) Moltiplicare per 2.
Il ché è lo stesso che dimostrare che da un qualunque numero, applicando
queste operazioni, possiamo ottenerne uno minore, visto che al numero
ottenuto posso applicare il medesimo algoritmo per ridurlo ulteriormente
fino ad ottenere 4 (se ottenessi meno di 4 è facile dimostrare che 4 è
sempre ottenibile).
Qualunque numero N è esprimibile nella forma indicata nella prima colonna.
Con le operazioni indicate nella seconda colonna ottengo i numeri indicati
nella terza
N           operazioni        risultato       è < N ?
-----------------------------------------------------
10x         a                 x                 SI
10x+1       ccb               4x                SI
10x+2       cb                2x                SI
10x+3       cccb              8x+2              SI
10x+4       a                 x                 SI
10x+5       ca                2x+1              SI
10x+6       ccb               4x+2              SI
10x+7       cb                2x+1              SI
10x+8       cccb              8x+6              SI
10x+9       ccccb             16x+14            NO
Come si vede, solo nel caso di N tipo 10x+9 si ottiene un numero superiore a
quello di partenza.
I risultati però sono ciclicamente di tipi terminanti per 4,0,6,2,8
Applicando le operazioni già individuate per tali tipi, quelli terminanti
per 4,0,6,2 scendono al di sotto del valore di partenza.
Quelli terminanti per 8 richiedono successive operazioni (sotto indicate)
che ci consentono di raggiungere l'obbiettivo. Anche per queste operazioni
si rileva una ciclicità rassicurante: i valori corrispondenti a x =  4,  9,
14, 19, 24
si ripetono per         x = 29, 34, 39, 44, 49
ecc. ecc.
                  1^oper.   2^     ris. 3^     ris.
  x     10x+9     (ccccb)   oper.  ott. oper.  ott.
---------------------------------------------------
  0       9         14      b       1
  1      19         30      a       3
  2      29         46      ccb    18
  3      39         62      cb     12
  4      49         78      cccb   62   cb     12
  5      59         94      b       9
  6      69         110     a      11
  7      79         126     ccb    50
  8      89         142     cb     28
  9      99         158     cccb  126   ccb    50
 10     109         174     b      17
 11     119         190     a      19
 12     129         206     ccb    82
 13     139         222     cb     44
 14     149         238     cccb  190   a      19
 15     159         254     b      25
 16     169         270     a      27
 17     179         286     ccb   114
 18     189         302     cb     60
 19     199         318     cccb  254   b      25
 20     209         334     b      33
 21     219         350     a      35
 22     229         366     ccb   146
 23     239         382     cb     76
 24     249         398     cccb  318   cccb  254
Dunque, concludendo, SEPOFFA'
:-)kk

 > almeno io .... riesco sempre a fare quanto di seguito:
...insomma, mi sembra di capire che la cosa funziona.
Giusto per riepilogare quanto ho capito io....
Invertendo il problema, un qualsiasi numero nella
forma "...X" applicando le 3 regole inverse in modo
ricorsivo puo' divenire un numero N <= di 4 che dopo
poco porta al "4" richiesto.
In particolare e' noto che:
..0 ->  Viene applicata la a).
..1 -> ..2 -> ..4  Viene applicata la b) finche' N<>4
..2 -> ..4  Viene applicata la b) finche' N<>4
..3 -> ..6 -> ..2 -> ..4  Viene applicata la b) finche' N<>4
..4  Viene applicata la b) finche' N<>4
..5 -> ..0 ->  Viene applicata la a).
..6 -> ..2 -> ..4  Viene applicata la b) finche' N<>4
..7 -> ..4  Viene applicata la b) finche' N<>4
..8 -> ..6 -> ..2 -> ..4  Viene applicata la b) finche' N<>4
..9 -> ..8 -> ..6 -> ..2 -> ..4  Viene applicata la b) finche' N<>4
Mi pare di capire che se si utilizzava un numero pari>0 diverso
dal "4" funzionava lo stesso....Giusto ?
CiaO,
Massimo
