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Titolo: Dal putnam

[]=parte intera.
Dato un numero intero n calcoliamo
f(n)=n+[sqrt(n)]
E' vero o no che nella sequenza
n,f(n),f(f(n)),f(f(f(n)))...
c'è sempre almeno un quadrato? Dimostrare la risposta.
Ciao
MArco

"Marco Dalai"  ha scritto

Non ho trovato la dimostrazione, ma sembra che funzioni sempre.
Ho trovato alcune proprietà interessanti:
se in una sequenza compare un quadrato, ne compaiono infiniti, ciascuno
uguale al precedente moltiplicato per quattro;
per esempio, per N=10 la sequenza è
10
13
16 = 4^2
20
24
28
33
38
44
50
57
64 = 8^2
...
Il numero di elementi compresi tra i due quadrati è pari alla radice del
secondo quadrato (nell'esempio, tra 16 e 64 ci sono altri 8=sqrt(64)
elementi).
Altra considerazione: riporto nello schema che segue, per ciascun N, il
valore R della radice del primo quadrato che si trova nella sequenza, e la
posizione P in qui questo compare (nell'esempio di prima, per N=10 troviamo
R=4 in terza posizione.
Lo schema è diviso in gruppi, in ciascun gruppo il primo valore di N è un
quadrato.
I valori iniziali di R nei diversi gruppi sono 1,2,3...,i valori iniziali di
P sono sempre 1 (ovvio).
Ciascun gruppo può essere diviso in due sottogruppi, il primo contenente un
elemento in più rispetto al secondo.
Nel secondo sottogruppo di ciascun gruppo il valore iniziale di R è pari a
quello del primo sottogruppo aumentato di 1; il valore iniziale di P è
sempre 2.
All'interno di ciascun sottogruppo i valori di R si incrementano sempre di
una unità, i valori di P sempre di due unità.
Domanda: che significa tutto ciò?
Risposta: non ne ho la minima idea, però mi è sembrato divertente.
;)
ciao
paolo
N   R Pos
1   1  1
2   2  3
3   2  2
___________
4   2  1
5   3  3
6   4  5
7   3  2
8   4  4
___________
9   3  1
10  4  3
11  5  5
12  6  7
13  4  2
14  5  4
15  6  6
___________
16  4  1
17  5  3
18  6  5
19  7  7
20  8  9
21  5  2
22  6  4
23  7  6
24  8  8
___________
25  5  1
26  6  3
27  7  5
28  8  7
29  9  9
30 10 11
31  6  2
32  7  4
33  8  6
34  9  8
35 10 10
___________
36  6  1
37  7  3
38  8  5
39  9  7
40 10  9
41 11 11
42 12 13
43  7  2
44  8  4
45  9  6
46 10  8
47 11 10
48 12 12
___________
49  7  1
50  8  3
51  9  5
52 10  7
53 11  9
54 12 11
55 13 13
56 14 15
57  8  2
58  9  4
59 10  6
60 11  8
61 12 10
62 13 12
63 14 14
___________
64  8  1
....

 uguale al precedente moltiplicato per quattro;
Esatto.. funziona sempre; nella dimostrazione si vedono
tutte le proprietà che hai elencato.
Suggerimento
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Nella sequenza c'è anche n, quindi tralasciate i quadrati
per il momento, studiando i numeri scritti come
a^2+n oppure a^2+a+n con 0<n<=a.

 a^2+n oppure a^2+a+n con 0<n<=a.
Si consideri l'intervallo di interi tra n^2 e (n+1)^2-1,
su di esso la funzione si riduce a f(x)=x+n; indicato
x=n^2+a un elemento dell'intervallo, con a un incremento tra 0
e 2n. se a=1..n c'e' giusto lo spazio per applicare due volte la
funzione :
f(f(n^+d))= n^2+d+2n = (n+1)^2+(d-1)
cioe' cade nell'intervallo successivo avvicinandosi di un'unita
al quadrato di sinistra, dunque basta reiterare quanto basta.
il caso a=(n+1)..2n e' del tutto analogo.
Se infine a=0, si puo' applicare 3 volte f :
fff(n^2)= n^2+3n = (n+1)^2+(n-1)
con l'operazione suddetta con altri (n-1) doppi passi torna ad
essere un quadrato, ed esattamente [(n+1)+n-1]^2=4n^2. CVD

fff(n^2)= n^2+3n = (n+1)^2+(n-1)
Ok, io facevo solo f(n)=n^2+n e poi in 2n passi torna un
quadrato (il discorso valeva per n=a).
A ogni doppiopasso il quadrato "inferiore" aumenta di uno e
quindi si arriva a (2n)^2.
Ciao
MArco