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Titolo: Problema dei Sig. Somma e Prodotto

Premetto che non so se sia gia' apparso nel newsgroup.
Almeno non sta nelle faq!
In sintesi, Andrea e' in possesso di 2 numeri vincenti(n1, n2) alla
prossima estrazione
del lotto, e volendo fare un regalo ai suoi due amici (i signori Somma e
Prodotto),
notevoli matematici li va a trovare e dice al Sig. Prodotto il prodotto
n1*n2,
e al Sig. Somma la somma di codesti 2 numeri.
Dialogo:
Somma (ridendo e rivolto a prodotto): Io so che tu non sai quali sono n1 e
n2.
Prodotto: Hai ragione, ma ora lo so.
Somma: Bene allora lo so pure io.
Domanda: Quali sono i 2 numeri da giocare al lotto?
Sbrigarsi, vale per Sabato :-)))))
Andrea    
visc...@hotmail.com
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Andrea
Caspita! Fra una settimana circa cade il primo compleanno del mitico post di
Dario, che fece penare non poco...
Illo tempore Darius scripsit...
Un problema recentissimo e.. veramente bello:
---------------------------------------------------------------
2 numeri interi positivi maggiori di 1 sono stati scelti.
Al matematico S viene data la loro somma, ed al matematico P il loro
prodotto.
Entrambi conoscono i termini del problema.
S  afferma:   "Tu non puoi indovinare i 2 numeri".
P  conferma:  "Difatti non li so".
S    dice:    " Ora so quali sono !!".
Quali sono i 2 numeri scelti ??
ciao
MF

 Quali sono i 2 numeri scelti ??
Il problema e' bel-lis-si-mo!
rispetto al problema di Dario qui non c'e' la limitazione n>1, quindi penso
che
1 e 6 siano una possibile soluzione:
S sapendo la somma 7 ipotizza solo questi scenari:
n1    n2     S     P
 1     6     7     6  (a)
 2     5     7    10  (b)
 3     4     7    12  (c)
In tutti e tre i casi ci sono almeno due diverse scomposizioni del
prodotto, e la prima affermazione di S è giustificata.
Se fosse (a) allora P potrebbe congetturare:
n1    n2     S     P
 1     6     7     6  (a)
 2     3     5     6  (a1)
ma (a1) va scartata perche' S avrebbe pensato:
n1    n2     S     P
 2     3     5     6  (a1)
 1     4     5     4  (a2)
e non avrebbe potuto fare la sua prima affermazione in quanto in uno dei
casi (a2) P indovinerebbe subito.
Quindi P puo' sciogliere i suoi dubbi dopo la prima affermazione di S.
Proviamo (b). P ipotizza:
n1    n2     S     P
 2     5     7    10  (b)
 1    10    11    10  (b1)
che sono entrambe valide in quanto (b1) darebbe a S troppe scelte
n1    n2     S     P
 1    10    11    10  (b1)
 2     9    11    18  (b11)
 3     8    11    24  (b12)
 4     7    11    28  (b13)
 5     6    11    30  (b14)
analogamente (c)
n1    n2     S     P
 3     4     7    12  (c)
 1    12    13    12  (c1)
 2     6     8    12  (c2)
e non ci sono speranze di eliminare le ambiguita'
Ricapitolando, solo (a) permette la seconda affermazione di P e dunque S
sentendola puo' a sua volta sciogliere i dubbi.
Piu' piccole non ce ne sono perche' se S<7 allora S=1+X con X univocamente
fattorizzabile (i fattori devono essere diversi!!!) e tra i possibili
prodotti ci sarebbe proprio X
Piu' grandi la vedo difficile, anche se la limitazione superiore del 90
potrebbe dare qualche appiglio. chissa'.
Ciao, Silv:o)

Maledizione, mi precede sempre Dario,
ma io lo sapevo ben prima, accidenti a lui :-)
 
Pensa te, solo una settimana sigh.


 potrebbe dare qualche appiglio. chissa'.
Anche cosi' sono almeno 2.
Nel dubbio, Sabato non giochero'
Ciao
Mauro Fiorentini

 ... La successiva soluzione credo sia 4 e 61.
Perche?
A priori P puo' risalire ai due numeri solo se il prodotto che gli viene
passato e' univocamente fattorizzabile. Quindi S puo' fare la  sua
affermazione solo se gli viene passata una somma che in nessun caso porta a
tali prodotti.
Nel nostro caso S vede 65 e non puo' escludere (4+61) che darebbe appunto
un prodotto, 244, univocamente fattorizzabile coi numeri del lotto.
Pero' credo che tu abbia ragione sulla presenza di altre soluzioni:
1 e 8 mi sembra una di queste:
P vede 8 ed è indeciso tra (1*8) e (2*4), ma quando sente la dichiarazione
di S capisce che lui non puo' avere 6 perche' 6=1+5 e (1*5) e' univocamente
fattorizzabile, quindi scioglie le riserve.
S sa che fra i possibili addendi del 9 solo (1+8) danno un prodotto che
permette questo tipo di ragionamento, quindi anche lui risolve.
Altre soluzioni?
Ciao, Silv:o)

ehm.. , la soluzione qual ' é ?
                                        Grazie , Stefano

 Tanto recente non direi: comparve su Scientifica America una ventina d'anni fa.
Davvero?
Dammi dei dettagli.
Conosco differenti versioni di alcuni annetti fa. Ma  questa passatami
da R.Hess un amico californiano, solutore DOC (vedi JRM), mi risultava
nuova.
ciao :)dario

Ebbene si, scusatemi, nella fretta avevo dimenticato di aggiungere che
il prodotto e' > somma,
condizione che faceva si che fosse possibile una sola soluzione.
Bene a sapersi che fosse apparso 20 anni fa, ma forse Dario ci dira' che
, tombe etrusche a parte,
apparve gia' nel 19xx!!
Ciao
Andrea
--
Posted from 
mta04-acc.tin.it
 [212.216.176.35]


il prodotto e' > somma,
...e le mie soluzioni con l'uno vanno a farsi friggere... Prima di
rimettermi a cercarne altre: ma S e P sanno che p > s ?
Ciao, Silv:o)

 
Ah, se ti riferisci al problema corretto ossia quello
in cui il prodotto > somma, 
la sol e' 4 , 13.
Ciao!
Andrea
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Posted from [208.163.206.2]


 la sol e' 4 , 13.
Allora ragazzi ! si e' fatta un po' di confusione attorno a questo
problema che presenta un certo numero di varianti.
Quello di Gardner del '79 citato da Mauro e' differente da quello
postato un anno fa da me (che mi risulta di D.Hess 1997) e da questo di
Andrea.
Sono state pubblicate molte varianti e diverse analisi. Per non essere
troppo prolisso vi invito allo studio di tutta la casistica in 
http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/
cercando nella lista Sum Product.
Sillke in queste pagine, ha fatto un lavoro ciclopico di aggionamento
intorno a problemi matematici.
Troverete analisi dettagliate di molti problemi trattati anche qui.
ATTENZIONE delle suddette pagine si consiglia la visione solo a
matenigmisti adulti.
dario

matenigmisti adulti.
Non ci saranno dei numeri nudi ???
--
€r Roscio.

 cercando nella lista Sum Product.
Allora, sembra che Dario non avesse pubblicato lo stesso problema
identico, comunque io non ho dato delle limitazioni opportune
dicendo che i numeri sono del lotto. Si puo' rimediare dicendo
che tutti i numeri coinvolti sono del lotto ossia anche la somma
ed il prodotto, altrimenti vi sono anche le seguenti soluzioni:
4 13
4 61
16 73
64 73


 del lotto ossia anche la somma ed il prodotto ...
Credo che questa limitazione, a differenza di quella p > s, NON vada
comunicata a P ed S, altrimenti cambierebbe tutte le loro congetture,
"potando" l'albero delle decisioni.
Ad esempio, la soluzione (4,13) non credo che sarebbe piu' tale:
Infatti la soluzione (4,13) si basava sull'ipotesi che tra le sei possibili
decomposizioni in somma di 17 UNA SOLO, quella 4+13, portava P alla sua
affermazione, in base a questo ragionamento:
"Il prodotto che vedo è 52, che si puo' fattorizzare come 2*26 o 4*13, ma
il primo va scartato perche' S vedendo 28 non puo' essere sicuro che io non
abbia 5*23 che mi farebbe indovinare, quindi S deve avere 4+13=17"
E' chiaro che se S avesse saputo della limitazione sul prodotto, vedendo 28
avrebbe lo stesso potuto fare la sua prima affermazione in quanto 5*23 non
è giocabile al lotto.
Che ne pensi di rendere piu' "naturale" la tua condizione, aggiungendo una
chiusa spiritosa del veggente (che tu, stranamente, hai chiamato Andrea, ma
che deve essere uno di quei funzionari che ultimamente...):
Dopo aver suggerito i numeri a S e P, e DOPO aver ascoltato le loro
affermazioni, aggiunge: "Bravi! era solo un esamino per vedere se
meritavate la soffiata: in realta' i due numeri sono quelli che vi ho dato
esplicitamente."
Ciao, Silv:o)

 esplicitamente."
--


 ...
Credo che la condizione p > s sia inevitabile, perche' se si ammette 1 il
problema
diventa davvero insolubile (tutte le potenze di 2 + 1, tranne i primi di
Fermat, vanno bene).
Ciao
Mauro