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Titolo: DIECI NUMERI TRA 0 E 1

Trovare dieci numeri a1, a2,...,a10 tali che:
-a1 sia contenuto nell'intervallo chiuso [0 ;1]
-suddiviso [0 ;1] in due parti uguali, a1 e a2 appartengano ciascuno a una
parte distinta delle due
-suddiviso [0 ;1] in tre parti uguali, a1, a2 e a3 appartengano ciascuno a
una parte distinta delle tre
-e cosě via fino alla suddivisione in dieci parti uguali.
Si noti che ci sono piů soluzioni, ma puň essere divertente cercarne
qualcuna.
(Poi si potrebbe ad esempio considerare l'intervallo [0 ;100] e cercare
dieci numeri interi...)
Ri-buon anno a tutti
Giancarlo

 dieci numeri interi...)
  1 - 91 - 34 - 71 - 56 - 17 - 81 - 45 - 29 - 63
	Mauro

  1 - 91 - 34 - 71 - 56 - 17 - 81 - 45 - 29 - 63
Sě questa va bene. Allora te ne regalo un'altra:
95 - 5 - 35 - 74 - 58 - 18 - 46 - 87 - 26 - 66
Ci sono altri solutori in giro?
NB
non mettete perň soluzioni che piazzino i dieci numeri nei nostri stessi
intervalli, sarebbe troppo banale...
Ciao
Giancarlo

 Giancarlo
Se dividiamo l'intervallo 0..1 in due poi in tre, in 4 etc, otteniamo in
tutto
32 intervalli distinti.
Ogni NUOVO punto di suddivisione aumenta di 1 il numero delle parti, ma non
tutti i
punti di suddivisione sono nuovi (p. es., la divisione centrale delle 2
parti e' comune a
quella in 4, 6 e 8; non e' detto che dividendo in n parti si aumenti di n il
numero di
intervalli).
Vi sono 32 intervalli rilevanti nel problema (da 0 a 1/10, da 1/10 a 1/9 ...
da 9/10 a 1)
Con un po' di pazienza ho contato 22896 soluzioni distinte.
(Ci crede qualcuno? OK, ho fatto lavorare il PC)
Si puo' aumentare il numero di parti fino a 17 (96 intervalli e 354816
soluzioni) poi
il problema diventa insolubile.
Una soluzione e':
0.05, 0.54, 0.85, 0.27, 0.71, 0.42, 0.925, 0.14, 0.62, 0.35, 0.77, 0.21,
0.48, 0.95, 0.7, 0.65, 0.355.
Un contro-problema facile: se il segmento e' stato diviso in intervalli,
come descritto, n-1
volte, quanti intervalli aggiunge la suddivisione in n parti?
Concludo con la bibliografia.
Steinhaus, Hugo, One Hundred Problems in Elementary Mathematics, New York,
Dover, 1979. Traduzione dal polacco di Sto Zadan (cento problemi),
pubblicato nel 1938, introvabile, oltre che poco accessibile.
Buon 1999 (piu' che un anno, sembra un'approssimazione!).
Mauro

...
........................


 >volte, quanti intervalli aggiunge la suddivisione in n parti?
  Per questo, non voglio rovinarVi il divertimento. La soluzione tra qualche
giorno.
Buona notte
Mauro Fiorentini

 volte, quanti intervalli aggiunge la suddivisione in n parti?
La suddivisione in n parti taglia il segmento in n-1 punti, 
a  k/n  per  k = 1 .. n-1. Se k e n sono primi fra loro questi
tagli sono nuovi, altrimenti erano gia presenti e non aggiungono
nuovi intervalli, infatti se k ed n hanno un divisore d in comune,
il taglio era gia stato fatto con la divisione in n/d parti.
- Se n e' primo, i nuovi intervalli sono n-1.
- Se n e' una potenza a^m, con a primo, la divisione in a^(m-1)
parti aveva fatto a^(m-1)-1 tagli, gli altri sono nuovi, e sono:
(n-1) - (a^(m-1) - 1) = a^m - 1 - a^(m-1) + 1 = (a-1)*a^(m-1)
Come caso particolare, per m=1 (n primo) si ha (a-1)*1 = n-1
- Negli altri casi, n = prod_i a_i ^ m_i (con gli a_i primi).
Per ogni i, la divisione in a_i^m_i parti fa a_i^m_i - 1 tagli,
(che coincidono con tagli di n). I tagli per diversi i sono
tutti distinti. 
Quindi i tagli nuovi sono
n-1 - sum_i (a_i ^ m_i - 1)
Questo pero' funziona solo se n ha almeno 2 fattori primi distinti.
Non sono riuscito a trovare qualcosa di piu' generale che comprenda
tutti i casi.
	Mauro
Le divisioni in a_i^m_i parti avevano fatto a_i^m_i - 1 tagli

 Le divisioni in a_i^m_i parti avevano fatto a_i^m_i - 1 tagli
La risposta e' corretta. Hai caratterizzato la funzione e ne hai descritto
alcune
proprieta'. Manca solo il nome.
Il numero di tagli "aggiunti" suddividento in n parti e' il numero di interi
minori
di n che non hanno divisori comuni con n, cioe' phi(n)  (phi di Eulero).
Il numero totale di frammenti con n parti in tutto e' la somma per k da 1 a n
di phi(k).
Questa non credo abbia nome.
Mauro Fiorentini