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Titolo: Strane divisioni

Anche questo risale a Pergioco di quasi venti anni fa:
Trovare il più piccolo numero che diviso per 45, 454, 4545 e 45454,
dia come resti 4, 45, 454 e 4545, rispettivamente.
:-)
Ciao
Gianni

...

Detto N il numero cercato, le condizioni poste si possono
esprimere con le relazioni:
i)    N=45*A+4
ii)   N=454*B+45
iii)  N=4545*C+454
iv)   N=45454*D+4545
con A,B,C,D interi
Le relazioni (ii) e (iv) mostrano che N (somma di un termine
pari ed uno dispari) deve essere dispari.
Perche' sia N dispari, anche A e C devono essere dispari.
Confrontando i secondi membri di (i) e (iii) trovo
A=101*C+10
A qesto punto... non so piu' che pesci prendere:-)
provo con il classico metodo bruto, e trovo
N=35.641.667.749
Non so se sia effettivamente il piu' piccolo, ma soddisfa
tutte le condizioni, con
D=784.126
C=7.841.951
B=78.505.876
A=792.037.061
comunque, ci deve essere un metodo migliore
ciao
paolo

 dia come resti 4, 45, 454 e 4545, rispettivamente.
Tale numero sembrerebbe non esistere, ma forse non ho ben
interpretato il quesito.
Da quanto ho capito tu cerchi il piu' piccolo numero x che
verifichi tutte le seguenti equazioni:
[1]   x % 45 = 4
[2]   x % 454 = 45
[3]   x % 4545 = 454
[4]   x % 45454 = 4545
nelle quali con "%" ho indicato l'operatore "resto".
Perche' cio' sia possibile deve accadere che
x = (n1*45454+4545) = (n2*4545+454) = (n3*454+45) = (n4*45+4) 
per almeno un valore della quadrupla di interi (n1,n2,n3,n4).
Ma se sostituiamo la (n1*45454+4545) nella [3] avremo:
(n1*45454+4545) % 4545 = 454
n1*(45454%4545) = 454
n1*4 = 454
n1 = 454/4
e poiche' 454/4 non e' intero, non puo' esistere nessun
numero x che soddisfi contemporaneamente la [3] e la [4].
Saluti,
         iant

 wrote in message
3839cda7...@news.libero.it...

Il numero esiste. Paolo Licheri l'ha trovato in modo bruto e si
chiedeve se fosse possibile trovarlo in altro modo.
;-)))
Ciao
Gianni


Il quesito è esattamente
X mod 45 = 4
X mod 454 = 45
X mod 4545 = 454
X mod 45454 = 4545
Spero di essere stato sufficentemente chiaro
Bye bye
:-)
Gianni

 numero x che soddisfi contemporaneamente la [3] e la [4].
Ovviamente, essendo un'equazione modulare, il secondo membro
doveva essere scritto cosi' "k*4545+454"  con "k" intero
qualsiasi, e non semplicemente "454".
Pertanto la   n1 = (k*4545+454)/4   ammette infinite soluzioni
intere, precisamente   n1=2386+k*4545   (con k=0,1,2,...)
Quindi le conclusioni che ho tratto nel post precedente sono
da considerarsi *non* valide.
Mi rimetto alla ricerca della soluzione.
Saluti,
          iant

 ;-)))
Ehm...arrossisco di vergogna...   :))
In effetti ho gia' fatto pubblica ammenda del mio errore!
Non appena avro' una soluzione (anzi, *se* ce l'avro'...)
non manchero' di postarla. Sai com'e', adesso ci vado con
i piedi di piombo!   :))
Ciao,
       iant


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Il n cercato è 35.641.667.749
vediamo come ci si arriva
In base ai dati, si ha:
(I)        45a + 4 = 454b + 45 = 4545c + 454 = 45454d + 4545
(dove a, b, c, d sono i quozienti interi ed ignoti delle quattro
divisioni)
dalla (I) è possibile ricavare le tre seguenti equazioni:
(II)            45a = 45454d + 4541
(III)         454b = 45454d + 4500
(IV)      4545c = 45454d + 4091
Dalle quali dividendo per il coefficente del termine di sinistra
(divisione per interi con conservazione del resto) si ottengono:
(V)       a = 1010d + 100 + (4d + 41)/45
(VI)      b = 100d + 9 + (54d + 414)/454
(VII)     c = 10d + (4d + 4091)/4545
Ma osservando che (4d + 41)/45 deve essere un intero, i valori che può
assumere "d" per risolvere la (V) saranno 45x +1 (con "x", con "x"
intero da zero all'infinito).
Con la stessa logica, nella (VI) e nella (VII) avremo d = 227y + 68 e
d = 4545z +2386.
Con questi tre valori trovati per "d" si potrà impiantare:
(VIII)     45x + 1 = 227y + 68 = 4545z +2386
analoga alla (I), ma con un'incognita in meno, alla quale potremo
applicare lo stesso procedimento:
(IX)       45x = 4545z + 2385
(X)        227y = 4545z + 2318
che, dopo la divisione per interi, divengono
(XI)      x = 101z + 53 [ + (0z + 0)/45 ]
(XII)     y = 20z + 10 + (5z + 48)/227
dalle quali si ricavano i seguenti valori per "z" : z = h + 0 e z =
227k + 172
con i quali si potrà fare un'ultima equazione
(XIII)   h = 227k + 172
nella quale, ponendo K = 0, si avrà h = 172 e, via via sostituendo, z
= 172, d = 784.126 ed infine 35.641.667.749, il numero cercato
:-) ciao
Gianni