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Titolo: era: Un cerchio [risultati]

Ho riassunto qua sotto i risultati della ricerca dei cerchi minimi
che passano per N punti interi. La ricerca con il calcolo numerico
e' "insidiosa" (imho) perche' e' affidata alla risoluzione dei calcoli
e, in linea teorica, un punto intero potrebbe sfiorare il cerchio per
un'entita' inferiore alla risoluzione, per qualunque precisione usata. (!)
Per N=7 ho trovato lo stesso risultato riportato da Antonio.
Per N=9 ho trovato un raggio minore di quello per N=7, ma ho
imparato a non stupirmene, visto che 7 e' primo e 9 no.  :o)
Per N=11 potrebbe essere dura.
Infine ho fatto qualche congettura, distinguendo N=4h, 4h+1, 4h+2, 4h+3
Se nessuno confuta i risultati e se sembra che la cosa abbia
un minimo di originalita', magari ci scappa una paginetta web.
Ciao!!!  ((^__^))
Livio
----------------------------------------------------------
N = 2
R = 1/2
C = (0,1/2)
P = (0,0) (0,1)
N = 3
R = 5/4
C = (0,3/4)
P = (1,0) (0,2) (-1,0)
N = 4
R = SQR(2)/2
C = (1/2,1/2)
P = (0,0) (1,0) (0,1) (1,1)
N = 5
R = SQR(1250)/6 = 5.892+
C = (1/6,1/6)
P = (-5,3) (-4,-4) (1,6) (3,-5) (6,1)
N = 6
R = 5/2
C = (1/2,0)
P = (3,0) (2,2) (-1,2) (-2,0) (-1,-2) (2,-2)
N = 7
R = SQR(276250)/22 = 23.890+
C = (13/22,5/22)
P = (-23,4) (-22,8) (-21,-10) (-5,-23) (14,20) (19,-15) (24,5)
N = 8
R = SQR(10)/2 = 1.581+
C = (1/2,1/2)
P = (2,0) (2,1) (1,2) (0,2) (-1,1) (-1,0) (0,-1) (1,-1)
N = 9
R = SQR(8450)/6 = 15.320+
C = (1/6,1/6)
P = (11,11) (4,15) (15,4) (-13,8) (8,-13) (-14,6) (6,-14) (-15,-2) (-2,-15)
N = 10
R = 25/2
C = (0,1/2)
P = (-12,-3) (-12,4) (-10,-7) (-10,8) (0,-12) (0,13) (10,-7) (10,8) (12,-3) (12,4)
N = 11
R = ???
C = ???
P = ???
N = 12
R = sqr(50)/2 = 3.535+
C = (1/2,1/2)
P = (4,0) (4,1) (3,3) (1,4) (0,4) (-2,3) (-3,1) (-3,0) (-2,-2) (0,-3) (1,-3) (3,-2)
Congettura per N=4h: il cerchio minimo e' quello
della On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
ruotato di 45°, ridotto di sqr(2) e traslato di (1/2,1/2)
Congettura per N=4h+1: il cerchio minimo ha la forma:
C = (1/6,1/6)
R = SQR(10x)/6
Congettura per N=4h+2: il cerchio minimo e' quello di Schinzel:
C = (0,1/2)
R = (5^h)/2
Congettura per N=4h+3: nessuna!

 ...
A conferma della congettura:
N = 21
R = SQR(5281250)/6 = 383.016+
C = (1/6,1/6)
P = (-379,-54) (-354,146) (-329,196) (-299,-239) (-280,-261)
(-261,-280) (-239,-299) (-184,336) (-158,349) (-54,-379)
(12,383) (41,381) (96,371) (146,-354) (196,-329) (271,271)
(336,-184) (349,-158) (371,96) (381,41) (383,12)
Non sono riuscito a verificare che sia realmente il minimo,
pero' esiste ed e' mooolto minore di quello di Schinzel che
avrebbe R = 3255208.333+
Ora, un'altra cosa mi turba:
Se il raggio di un cerchio di ordine 4h+1 vale SQR(X)/6 ...
h    N    X
1    5    1250
2    9    8450
3    13    ?
4    17    ?
5    21    5281250
6    25    ?
... 'sti numeri non li abbiamo gia visti?
Ciao!!!  ((^__^))
Livio
"... e non me l'aspettavo!"

 ...
Tutti d'accordo fino a qui?   ;o)
Ciao!!!  ((^__^))
Livio

ruotato di 45°, ridotto di sqr(2) e traslato di (1/2,1/2)
Concordo con questa congettura, che abbiamo verificato per
parecchi valori di N.
Secondo me la simmetria interna del reticolo e il fatto che
la congettura sia vera per per h=1 possono costituire le basi
per una dimostrazione (induzione?).
A proposito delle sequenze di OEIS: scomponendo in fattori i
raggi di quella sequenza, mi sono accorto di una cosa: quando N
e' un numero primo il raggio minimo e' r = 5^(N-1).
(Forse si spiega con le considerazioni fatte nell'articolo
segnalato a suo tempo da Giovanni e che ancora non ho avuto
il tempo di approfondire...)
Per quanto riguarda le altre congetture, credo che per N=4h+1 e
N=4h+3 sia complicato farle, perche' in quelle sequenze esistono
valori di N primo (es N=13 e N=23), e mi sembra che i numeri primi
abbiano un comportamento poco "inquadrabile". Magari le congetture
sono valide per i valori non primi di quelle sequenze.
Ti riporto alcune mie congetture:
- Il quadrato del raggio minimo deve essere un numero razionale.
- Il centro del cerchio di raggio minimo deve avere coordinate
  razionali.
- E' sempre possibile, mediante traslazioni e/o rotazioni, dare
  al cerchio minimo un centro con coordinate in [0,1/2].
Ti tornano? Pensi si possano dimostrare?
 
Ciao,
      Antonio

Tutti d'accordo fino a qui?   ;o)
Credo di averne trovato uno piu' piccolo...
N = 3
R = sqr(50)/6 = 1,178+
C = (1/6,1/6)
P = (-1,0) (0,-1) (1,1)
Ciao,
      Antonio

   al cerchio minimo un centro con coordinate in [0,1/2].
Non mi sembra opp. non ho capito. Quelle coordinate
impongono una simmetria e quindi possono valere solo per
N pari.
Ciao Antonio!!!  ((^__^))
Livio

 P = (-1,0) (0,-1) (1,1)
Gia' gia'... e se noti la forma di R e quel 50...
Viene da riconsiderare la congettura per N=4h+1 e N=4h+3
Infatti:
N = 7
R = SQR(31250)/6 = 29.462+
C = (1/6,1/6)
P = (-29,-4) (-14,26) (-12,27) (-4,-29) (21,21) (26,-14) (27,-12)
N = 11
R = SQR(19531250)/6 = 736.569+
C = (1/6,1/6)
P = (-729,-104) (-719,-159) (-354,646) (-304,671) (-159,-719)
(-104,-729) (480,559) (521,521) (559,480) (646,-354) (671,-304)
N = 13
R = SQR(488281250)/6 = 3682.847+
P = (-3354,1521) (-3229,1771) (-2794,-2399) (-2604,-2604)
(-2399,-2794) (243,3675) (521,3646) (796,3596) (1521,-3354)
(1771,-3229) (3596,796) (3646,521) (3675,243)
N = 15
R = SQR(211250)/6 = 76.603+
C = (1/6,1/6)
P = (-76,-8) (-74,-19) (-67,37) (-54,-54) (-39,66) (-29,71)
(-19,-74) (-8,-76) (11,76) (37,-67) (48,60) (60,48) (66,-39)
(71,-29) (76,11)
Almeno esistono! Non sono in grado di verificare che siano
minimi, salvo per N=7 che... non lo e'!   :o(
(Per N=3,5,9 si', ho verificato che sono minimi.)
Insomma, il metodo, che e' quello di dividere per 3sqr(2) il
raggio delle sequenze di OEIS di ordine 4N e spostare il centro
in (1/6,1/6), dovrebbe fornire una serie di cerchi  N=4h+1 e
N=4h+3 piccoli, "ricchi" di minimi. Di piu' nin so.
(hanno tutti un asse solo di simmetria e un punto e' sull'asse).
Ciao!!!  ((^__^))
Livio

... 'sti numeri non li abbiamo gia visti?
Guarda guarda...
Mi viene da fare la congettura del pigro: visto che su OEIS
affermano di aver fatto le verifiche di "minimalita'" sui
cerchi con centro nell'origine, allora ogni volta che troveremo
gli stessi valori per cerchi non centrati nell'origine quelli
saranno cerchi di raggio minimo.  :-)
Scherzi a parte, sarebbe carino disegnare i pattern descritti
dagli N punti per diverse posizioni del centro e per diversi
valori dei raggi e fare dei confronti visivi, che hanno
un'immediatezza notevole, e cercare poi per via algebrica i
valori di rotazioni, traslazioni e scalature per passare da un
pattern su un cerchio grande allo stesso pattern sul cerchio
minimo. (E poi via a congetturare... ;-)
Ciao,
       Antonio

N pari.
A rileggerla stamattina, mi rendo conto di averla espressa male!
Intendevo dire:
- E' sempre possibile, mediante traslazioni e/o rotazioni, dare al
  cerchio minimo un centro con coordinate nell'intervallo [0,1/2],
  cioe' appartenente al quadrato (0,0) (1/2,0) (1/2,1/2) (0,1/2).
 
Infatti mi sembra che, una volta trovato un cerchio con centro
qualsiasi, si possa sempre traslarlo in uno dei quattro quadrati
del reticolo con vertice nell'origine, e in seguito ruotarlo
(se serve) di 90 o 180 o 270 gradi in modo da portare il centro
nel primo quadrante nel quadratino con vertice nell'origine e
lato 1/2.
Questa congettura serve solo a restringere il campo di ricerca
delle posizioni del centro rispetto all'ovvio quadrato (0,0)(1,0)
(1,1)(0,1), e puo' essere comoda per trovare il cerchio "minimo
tra i minimi" che e' quello con il centro piu' prossimo possibile
all'origine.
Ciao,
       Antonio

   al cerchio minimo un centro con coordinate in [0,1/2].
Questo mi sembra difficile: se il numero di punti sulla circonferenza è
primo, mi pare che non abbiano in generale una simmetria che permetta di
ottenere questo, però devo pensarci meglio.
Maurizio

 Questo mi sembra difficile
Come non detto: ripensandoci è ovvio che è sempre possibile portare il
centro nel quadrato [0, 1/2]x[0, 1/2], hai ragione. Basta fare opportune
traslazioni e simmetrie assiali.
Maurizio

 che passano per N punti interi.
Ho trovato questi, ma non so se sono minimi:
n      raggio
11     sqrt(1185665/2)/11 = 69.996+
13     (25/11)sqrt(8177/2) = 145,321+
14     (125/3) sqrt(17/2) = 121,478+
Maurizio

Il quadrato del raggio č (O-A)^2 e quindi anch'esso razionale.
Giusto. Molto efficace e compatta la dimostrazione!
Mi ero incartato sul fatto che per due punti a coordinate intere
possono passare circonferenze con r^2 irrazionale e centro a
coordinate irrazionali. Mi e' mancato il saltino concettuale
verso il terzo punto...  ;-)
Ciao,
       Antonio

14     (125/3) sqrt(17/2) = 121,478+
Potresti indicare anche i centri e i punti di intersezione?
Io nei (pochissimi) ritagli di tempo sto cercando di scrivere
un programmino, e mi sono molto utili i casi di test.
Sai, tra una congettura e l'altra le conferme fanno comodo!  ;-)
Ciao e grazie,
                 Antonio

 Sai, tra una congettura e l'altra le conferme fanno comodo!  ;-)
Certo, anch'io ho cercato di interpretare le evidenti regolarità che si
presentano e mi sono fatto qualche idea.
Considera la trasformazione:
(*)       (x, y) -> (mx - ny, nx + my);
questa è una rotazione di angolo arctan(n/m) combinata con una
dilatazione uniforme di fattore sqrt(m^2 + n^2) e se i due coefficienti
m e n sono interi la (*) manda i punti a coordinate intere che stanno su
di una circonferenza di raggio r in punti a coordinate intere che stanno
su di un'altra circonferenza di raggio r*sqrt(m^2 + n^2).
Dirai: che me ne faccio di questo, visto che il raggio aumenta? Il punto
è che la seconda circonferenza potrebbe anche contenere ALTRI punti ma
coordinate intere, oltre a quelli di partenza; questo accade quasi di
sicuro se almeno una coordinata del nuovo centro è intera o semintera,
perché allora anche i simmetrici dei punti iniziali rispetto a una retta
orizzontale o verticale passante per il centro appartengono alla
circonferenza.
Esempio pratico: partiamo con il cerchio minimo di 4 punti:
{4, {1/2, 1/2}, 1/Sqrt[2], {{0, 0}, {0, 1}, {1, 0}, {1, 1}}}
(qui e nel seguito indico, nell'ordine: {n, {centro}, raggio, {punti}} )
e applichiamo la trasformazione (*) con n=1 e m=2, si ottiene:
{8, {1/2, 3/2}, Sqrt[5/2], {{-1, 1}, {-1, 2}, {0, 0}, {0, 3}, {1, 0},
{1, 3}, {2, 1}, {2, 2}}}
che è proprio il cerchio minimo di 8 punti; applicando ancora la stessa
trasformazione si trova il cerchio minimo di 12 punti, e poi un cerchio
con 16 punti che però non è minimo.
Il cerchio minimo per 16 punti si ottiene invece applicando al cerchio
di 8 punti la (*) con n=2 e m=3. Ti lascio continuare il giochino: in
questo modo si trovano tutti i cerchi minimi (credo) che hanno 4k punti.
Notare che ogni volta il raggio del cerchio viene moltiplicato per
sqrt(m^2 + n^2), questo spiega perché i raggi di questi cerchi siano
radici quadrate di numeri che contengono come fattori 5, 13, 17, 25,
ecc. E sospetto che la cosa funzioni anche per altri cerchi minimi: ad
esempio, il cerchio con n=11 che ti ho dato sopra ha il raggio uguale a
Sqrt[1185665/2]/11 e si ha: 1185665=5*13*17*29*37, fattori che sono
TUTTI somme di quadrati... Sarà un caso??
Maurizio
 

 Ho trovato questi, ma non so se sono minimi:
Ho trovato un cerchio di 13 punti ancora più piccolo:
centro: {-2143/22, 1849/22}
raggio: (25*Sqrt[6409/2])/11 = 128.655+
Maurizio

TUTTI somme di quadrati... Sarà un caso??
Credo proprio di no...
Qualche tempo fa avevo fatto un'analisi della sequenza di OEIS
che ti riporto, e che e' in linea con le tue osservazioni.
Chissa' che non si riesca a trovare una spiegazione teorica
generale.
Ciao,
       Antonio
-----------------------------------------------------------------
Sequenza A018782 
http://www.research.att.com/cgi-bin/access.cgi/as/njas/sequences/eismum2.cgi
a(n) = raggio minimo dei cerchi nell'origine che intercettano
       esattamente 4n punti a coordinate intere.
 n  a(n)              factor(n)  factor(a(n))
--  ----------------  ---------  ---------------
 1  1                 1          1
 2  5                 2          5
 3  25                3          5^2
 4  65                2^2        5 * 13
 5  625               5          5^4
 6  325               2 * 3      5^2 * 13
 7  15625             7          5^6
 8  1105              2^3        5 * 13 * 17
 9  4225              3^2        5^2 * 13^2
10  8125              2 * 5      5^4 * 13
11  9765625           11         5^10
12  5525              2^2 * 3    5^2 * 13 * 17
13  244140625         13         5^12
14  203125            2 * 7      5^6 * 13
15  105625            3 * 5      5^4 * 13^2
16  27625             2^4        5^3 * 13 * 17
17  152587890625      17         5^16
18  71825             2 * 3^2    5^2 * 13^2 * 17
19  3814697265625     19         5^18
20  138125            2^2 * 5    5^4 * 13 * 17
21  2640625           3 * 7      5^6 * 13^2
22  126953125         2 * 11     5^10 * 13
23  2384185791015625  23         5^22
24  160225            2^3 * 3    5^2 * 13 * 17 * 29
25  17850625          5^2        5^4 * 13^4
26  
3173828125
        2 * 13     5^12 * 13
27  1221025           3^3        5^2 * 13^2 * 17^2
28  3453125           2^2*7      5^6 * 13 * 17
Alcune congetture:
1. Se n e' primo  =>  a(n)=5^(n-1)
2. Se n non e' primo =>  a(n) | 13
3. Detto p_max il piu' grande fattore di n  =>  a(n) | 5^(pmax-1)

     Reduce[eqn, Integers]
... questo, con la 4.1, non funziona! Io ho fatto invece un banalissimo
ciclo:
Do[
    If[(rad = Sqrt[yc^2 - x^2 + 2x*xc]) == 0,
      If[IntegerQ[yc], ls++],
      If[IntegerQ[yc + rad], ls++];
      If[IntegerQ[yc - rad], ls++]
      ],
    {x, Ceiling[xc - r], Floor[xc + r]}
    ];
che impiega un po' di tempo, però almeno i punti li trova tutti... ;-)
Per inciso: ho trovato un risultato ancora migliore per il cerchio con
11 punti:
raggio = 5*Sqrt[32045/2])/11, centro = {193/22, 1251/22}
e guarda caso: 32045 = 5*13*17*29.
Maurizio

Riprendo il thread dopo diversi giorni (e dopo aver imparato
ad usare Mathematica un po' meglio ;-) con un paio di novita'.
Ho trovato un cerchio per 13 punti e uno per 14 punti piu'
piccoli di quelli finora segnalati.
n: 13
centro: (1/14, 1/14)
raggio: Sqrt(2442050)/14 = 1105 * Sqrt(2)/14 = 111.6218+
punti: {{-111, -11}, {-108, 28}, {-90, 66}, {-86, -71},
        {-71, -86}, {-57, 96}, {-38, 105}, {-11, -111},
        {28, -108}, {66, -90}, {79, 79}, {96, -57}, {105, -38}}
n: 14
centro: (3/14, 1/2)
raggio: Sqrt(2442050)/14 = 1105 * Sqrt(2)/14 = 111.6218+
punti: {{-103, -42}, {-103, 43}, {-82, -75}, {-82, 76},
        {-26, -108}, {-26, 109}, {-5, -111}, {-5, 112},
        {16, -110}, {16, 111}, {58, -95}, {58, 96},
        {107, -32}, {107, 33}}                 
Non so se siano i minimi assoluti, ma mi sembrano interessanti
per via del centro con il 14 a denominatore, che non era mai
capitato prima, e soprattutto per il fatto che una stessa
circonferenza con due centri diversi, ma posizionati entrambi
in [0,1/2]x[0,1/2], intercetti una volta 13 punti e una volta
14 punti. Non me l'aspettavo!
Saluti,
         Antonio

 piccoli di quelli finora segnalati.
Io ho trovato un cerchio di 14 punti ancora minore, comunque faccio un
riepilogo dei miei risultati "migliori" da 11 punti in su, vi prego di
segnalare eventuali errori.
N.    raggio                  raggio (approx.)     centro
---------------------------------------------------------------------
11    (5*Sqrt[32045/2])/11    57.53637010011598    {-1229/22,  303/22}
12    5/Sqrt[2]    3.5355339059327373    {-5/2, 5/2}   
13    1105/(7*Sqrt[2])    111.62185617301928    {-1343/14,  799/14}   
14    125/2    62.5    {-50, 75/2}   
15    325/(3*Sqrt[2])    76.60323462854264    {-445/6,  115/6}   
16    Sqrt[65/2]    5.70087712549569    {-7/2, 9/2}   
18    65/2    32.5    {-63/2, 8}   
20    25/Sqrt[2]    17.677669529663685    {-31/2, 17/2}   
21    (5*Sqrt[1313845/2])/11   368.41252592195934   {-5285/22, 6145/22}
22    (5*Sqrt[1676285/2])/9    508.6117937977092    {-4997/18, 2557/6}
24    5*Sqrt[13/2]    12.747548783981962    {-17/2, 19/2}   
26    (25*Sqrt[335257/2])/11   930.5104459825503    {-1367/2, 13891/22}
27    1105/(3*Sqrt[2])    260.450997737045    {-367/6,  1519/6}   
28    125/Sqrt[2]    88.38834764831843    {-155/2, 85/2}   
30    325/2    162.5    {-150, 125/2}   
32    Sqrt[1105/2]    23.50531854708632    {-41/2, 23/2}   
36    65/Sqrt[2]    45.961940777125584    {-89/2, 23/2}   
40    25*Sqrt[13/2]    63.7377439199098    {-113/2, 59/2}   
48    5*Sqrt[221/2]    52.5594901040716    {-93/2, 49/2}   
54    (1105*Sqrt[149/2])/3    3179.2095890505725    {-14465/6,  4145/2}
56    125*Sqrt[13/2]    318.688719599549    {-565/2,  295/2}   
60    325/Sqrt[2]    229.80970388562793    {-395/2, 235/2}   
64    5*Sqrt[1105/2]    117.52659273543159    {-227/2,  61/2}   
72    65*Sqrt[17/2]    189.5059365824723    {-267/2,  269/2}   
80    25*Sqrt[221/2]    262.797450520358    {-465/2,  245/2}   
96    5*Sqrt[6409/2]    283.0415163893806    {-469/2,  317/2}   
108    (1105*Sqrt[173])/2    7267.002906976163    {-13411/2,  2801}   
120    325*Sqrt[17/2]    947.5296829123614    {-1335/2,  1345/2}   
128    5*Sqrt[32045/2]    632.9000711012758    {-1227/2,  311/2}   
144    65*Sqrt[493/2]    1020.5207004269928    {-797/2,  1879/2}   
160    25*Sqrt[26129/2]    2857.501093613089    {-4569/2,  3433/2}   
192    5*Sqrt[262769/2]    1812.3499937925897    {-3051/2,  1957/2}   
240    325*Sqrt[15949/2]    29022.51819708276    {-50021/2,  29447/2}
256    5*Sqrt[1698385/2]    4607.582066550741    {-7997/2,  4579/2}   
288    85*Sqrt[205697/2]    27259.50132522604    {-48097/2,  25671/2}
-----------------------------------------------------------------------
Il problema è quello di dimostrare che un dato cerchio è il minimo: per
alcuni dei cerchi qui sopra ciò è vero, per altri non so perché
occorrerebbe troppo tempo macchina per dimostrarlo. A meno di trovare
strategie più furbe. Nel seguito spiego un possibile approccio.
[chi non è interessato ai dettagli tecnici può smettere di leggere qui]
Come ho fatto a trovare questi punti? Ho ragionato così: posso sempre
supporre che uno dei punti sia nell'origine (punto O) e che uno dei
punti ad esso adiacenti sia nel primo quadrante, ma non sull'asse y
(punto A), mentre l'altro punto (B) adiacente a O si troverà nel secondo
o terzo quadrante.
Posso restringere ulteriormente la ricerca osservando che posso sempre
supporre OB >= OA; inoltre, se il cerchio che sto cercando contiene N
punti, il poligono che essi formano ha almeno un angolo maggiore di
Pi(N-2)/N, e posso prendere questo come angolo in O. In pratica, ponendo
N=12, prendo B in modo che l'angolo AOB sia compreso fra (5/6)Pi e Pi.
Fissato un lato massimo Lmax, faccio quindi una ricerca esaustiva che
rispetti i limiti suddetti e che copre tutti i casi in cui OA e OB sono
minori di Lmax. In ogni caso trovo la circonferenza che passa per AOB e
vedo quanti punti a coordinate intere contiene. Se contiene N punti ed
ha un raggio minore rispetto a quento trovato finora, memorizzo i dati.
Quando trovo un risultato con N punti, mi chiedo: può esistere un
cerchio di raggio minore che sia sfuggito alla mia ricerca? Mi pare (ma
chiedo conferma) che il poligono più piccolo di N lati, che abbia almeno
uno dei lati adiacenti all'angolo maggiore più lungo di Lmax, sia quello
in qui i lati sono alternativamente 1, Lmax, 1, Lmax, ... e in cui gli
angoli sono tutti uguali (la cosa funziona bene per N pari, per N
dispari ci sarà qualche correzione).
Siccome il raggio del poligono suddetto (chiamiamolo Rlim(N)) si può
calcolare facilmente, deduco che se trovo un cerchio di N punti che
abbia il raggio minore di Rlim(N) allora non si può migliorare il
risultato facendo una ricerca con Lmax più grande, quindi il cerchio
trovato è minimo.
Vi pare che fili o sbaglio qualcosa?
Maurizio

 in su, vi prego di segnalare eventuali errori.
Ho controllato i tuoi risultati e in 25 casi ho trovato 
conferma delle tue soluzioni, mentre in altri 10 casi ho
trovato soluzioni migliori (ma non e' detto che siano ottime,
visto che ho finito da poco di scrivere il programma, e non
ho ancora lanciato una ricerca sistematica.)
Per ora, siccome e' tardissimo, li tiro fuori a mo' di
coniglio dal cilindro, ma mi riprometto nei prossimi
giorni di descrivere il metodo che ho usato (ti anticipo
che si basa su considerazioni relative ai fattori primi
del raggio).
Queste le 10 soluzioni migliorate di cui ti parlavo:
 N.    raggio             raggio (approx.)    centro
 -----------------------------------------------------
 21    Sqrt[59283250]/22    349.9800762    {1/22,5/22}
 22    Sqrt[59283250]/22    349.9800762    {9/22,1/2}
 26    Sqrt[70819450]/14    601.1020916    {3/14,7/14}
 54    Sqrt[1221025]/2      552.5000000    {1/2,0}
 108   Sqrt[2442050]/2      
781.3529932
    {1/2,1/2}
 160   Sqrt[8011250]/2     1415.207582     {1/2,1/2}
 192   Sqrt[11856650]/2    1721.674330     {1/2,1/2}
 240   Sqrt[104146250]/2   5102.603502     {1/2,1/2}
 256   Sqrt[65692250]/2    4052.537785     {1/2,1/2}
 288   Sqrt[154136450]/2   6207.585078     {1/2,1/2}
e queste sono altre soluzioni che ho trovato:
 N.    raggio                raggio (approx.)   centro
 ---------------------------------------------------------
 17    Sqrt
[2053764050
]/38      1192.591411  {15/38,13/38}
 19    Sqrt[1026882025]/14      2288.928571  {1/14,0}
 23    Sqrt[61051250]/14         558.10928   {5/14,5/14}
 31    Sqrt[2811602984450]/62  27044.89554   {23/62,23/62}
 31    Sqrt[2811602984450]/62  27044.89554   {17/62,5/62}
 33    Sqrt[75989269850]/38     7254.250347  {13/38,11/38}
 39    Sqrt
[2053764050
]/14      3237.033829  {1/14,1/14}
 42    Sqrt
[2053764050
]/14      3237.033829  {7/14,3/14}
 49    Sqrt[2811602984450]/38  44125.88220   {3/38,9/38}
 49    Sqrt[2811602984450]/38  44125.88220   {11/38,11/38}
 59    Sqrt[1405801492225]/14  84690.35714   {5/14,0}
 81    Sqrt
[2053764050
]/6       7553.078934  {1/6,1/6}
 162   Sqrt[1026882025]/2      16022.50000   {1/2,0}
 216   Sqrt[70819450]/2         4207.714641  {1/2,1/2}
 320   Sqrt[296416250]/2        8608.371652  {1/2,1/2}
 324   Sqrt
[2053764050
]/2      22659.23680   {1/2,1/2}
ti pregherei a tua volta, se ne hai voglia, di controllare
i vari risultati che ho ottenuto.
In particolare la soluzione per n = 23 mi ha letteralmente
sbalordito (mi aspettavo un raggio enorme), ed ho il timore
che possa non essere giusta, quindi te la riporto
integralmente per verifica (sempre se ne hai voglia ;-)
N = 23
R = Sqrt[61051250]/14 = 558.109280865096
C = {5/14,5/14}   
P = {{-555, -55}, {-540, 140}, {-489, -268}, {-450, 330},
     {-430, -355},{-355, -430}, {-285, 480}, {-268, -489},
     {-190, 525}, {-102, 549}, {-55, -555}, {140, -540},
     {209, 518}, {221, 513}, {314, 462}, {330, -450},
     {462, 314}, {480, -285}, {513, 221}, {518, 209},
     {525, -190}, {549, -102}, {395, 395}}
A brevissimo la descrizione del metodo!
Ciao,
       Antonio
P.S. Per il futuro ti vorrei proporre una normalizzazione della
     notazione del tipo di quella che ho adottato sopra:
       raggio -> Sqrt[k]/n   con k ed n interi
 
       centro -> in [0,1/2]x[0,1/2]
     in modo da poter confrontare piu' facilmente i risultati.
     Che ne pensi?

dispari ci sarà qualche correzione).
Forse non ho capito bene cosa intendevi dire, ma mi sembra che
non sia detto che il lato maggiore di un poligono debba per forza
essere adiacente all'angolo maggiore, e quindi esistono poligoni
di N lati piu' piccoli di {1,Lmax,1,Lmax,...}.
A titolo di esempio considera l'esagono {1,L,1,L,1,L} che
e' inscritto in una circonferenza di raggio circa L/Sqrt[3]
cioe' circa 0.577*L, mentre l'esagono {a,a,a,a,a,L}, ricavato da
"mezzo decagono regolare" di lato a e dalla diagonale maggiore L,
e' inscritto nella (semi)circonferenza che ha il lato L come
diametro e quindi raggio L/2.
Mi sembra che almeno per gli N pari si possa fare lo stesso tipo
di costruzione, e quindi il vero limite e' Rlim(N)=Lmax/2.
Ti torna?
Ciao,
       Antonio

Ho trovato una soluzione migliore per n=19 e altre 4
soluzioni nuove:
N   raggio                   approx        centro
-----------------------------------------------------
19  Sqrt[486122650]/38     
580.2155071
  {11/38,9/38}
29  Sqrt
[6319594450
]/38    2091.996762  {5/38,13/38} o {11/38,15/38}
41  Sqrt[1571634527450]/54 23215.71217  {25/54,17/54}
43  Sqrt
[5152900090
]/22    3262.895614  {5/22,7/22}
53  Sqrt
[12153066250
]/22   5010.952106  {7/22,1/22}
Non ho ancora lanciato la Grande Ricerca Esaustiva Globale :-)
quindi non so se quei valori siano o no minimi, anzi a naso
direi che la soluzione per n=41 quasi certamente non e' minima.
Il metodo che uso parte da alcune considerazioni fatte qui
su ihe, e in particolare da queste:
- Il centro ha coordinate razionali e il quadrato del raggio
  e' razionale
- il raggio e le coord. del centro hanno lo stesso denominatore
  (che deve essere il prodotto di due numeri al quadrato)
  Pertanto la soluzione al nostro problema puo' sempre essere
  espressa in una forma del tipo  r=Sqrt[k]/d , c=(xc/d, yc/d)
  in cui k, d, xc ed yc sono interi.
- Il numeratore del quadrato del raggio deve essere un numero
  esprimibile come somma di due quadrati
Come si deduce dall'articolo segnalato a suo tempo da Giovanni
Resta ["Sum of Squares" sul sito della Wolfram], affinche' un numero
sia esprimibile come somma di due quadrati deve avere fattori primi
del tipo 4k+1 e/o il 2 a qualsiasi potenza, ma NON deve contenere
fattori primi del tipo 4k+3 ad una potenza dispari.
Pertanto, in ultima analisi, a numeratore del quadrato di un raggio
*minimo* ci potranno essere solo numeri in cui i fattori primi del
tipo 4k+3 sono assenti del tutto. Inoltre, perche' la frazione
rappresentante il quadrato del raggio sia ridotta ai minimi termini,
il denominatore (al contrario del numeratore) dovra' avere SOLO
fattori primi del tipo 4k+3 e il 2, in modo da evitare semplifica-
zioni del numeratore.
 
Detto questo, il metodo procede cosi':
- Scelgo k = 2^a0 * 5^a1 * 13^a2 * 17^a3 *...  e calcolo tutti
  i possibili modi di esprimerlo come somma di quadrati
- Provo tutti i denominatori d del tipo  2, 2*2, 2*3, 2*7, 2*11...
  fino a quando diventa  r = Sqrt[k]/d  <  1/2
- Per ogni denominatore calcolo le coordinate del centro a
  partire dai possibili modi di esprimere il numeratore come
  somma di quadrati, e ipotizzando di mettere uno dei punti
  del cerchio proprio nell'origine. Poi riporto i centri
  cosi' calcolati all'interno del quadrato [0,1/2]x[0,1/2]
 
- Per ogni centro cosi' calcolato verifico quanti sono i
  punti sulla circonferenza di raggio  Sqrt[k]/d
Provando tutte le combinazioni crescenti di k, si intercettano
via via cerchi potenzialmente minimi passanti per diversi valori
di n.
L'unico problema che ho e' che se faccio crescere sia k che
n posso mantenere il raggio a valori arbitrariamente piccoli,
e quindi non posso mai essere certo del fatto che non
trovero' un cerchio piu' piccolo andando avanti nella ricerca.
Questo e' il limite attuale del mio metodo. Tuttavia come si
vede dalle soluzioni che ho postato, il denominatore si
mantiene sempre a valori bassi anche per valori enormi di k.
Confido quindi nella possibilita' di dimostrare prima o poi
che basta fare le verifiche fino ad un certo punto e poi
smettere. Se qualcuno mi vuole dare una mano......  ;-)
Saluti,
         Antonio

 di N lati piu' piccoli di {1,Lmax,1,Lmax,...}.
Io dicevo una cosa un po' diversa: cerco il più piccolo poligono
inscritto in una circonferenza, che abbia, fra i lati adiacenti
all'angolo maggiore, almeno un lato maggiore di L. Il tuo controesempio
{a,a,a,a,a,L} non va bene, perché i lati adiacenti all'angolo maggiore
hanno entrambi lunghezza a < L. 
L'altro giorno ho fatto una ricerca esaustiva con Lmax = 60 e, se il
limite di cui sopra è corretto, possiamo dichiarare ufficialmente minimi
i cerchi con n = 11, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 48, 60, 64,
72, 80, 96, che avevo già riportato in un messaggio precedente.
Alcuni altri valori sono vicini al limite, ma si tratta sempre di
multipli di 4; valori più interessanti di n richiederebbero un tempo
macchina proibitivo per la conferma, a meno di miglioramenti per il
momento impensabili.
L'altra novità è un nuovo valore (non so se minimo) per n = 17, che
migliora un po' il tuo:
raggio = (65*Sqrt[36941])/12 = 1041.0855879... 
centro = {-3857/6, 9827/12}
(non ho ancora implementato la normalizzazione da te auspicata, sarà per
la prossima volta). Ho controllato il tuo n=23 e alcuni altri dei tuoi
risultati ed ovviamente è tutto in regola.
Maurizio
 

 zioni del numeratore.
A me sembra che d possa contenere fattori primi qualsiasi, basta che non
compaiano in k con un esponente maggiore di 1. Di fatto, col mio metodo
ho trovato una soluzione con n=17 e d=12 (raggio = 65*Sqrt[36941]/12)
che ha raggio minore di quella che hai trovato tu. Può darsi che ce ne
sia un'altra più piccola fatta come dici tu, però non vedo la necessità
logica di avere a denominatore solo quei fattori primi. O forse mi è
sfuggito qualcosa?
Maurizio

sfuggito qualcosa?
Siccome stiamo cercando raggi minimi, il numeratore del quadrato del
raggio dovra' avere fattori del tipo 4k+1 piu' piccoli possibile.
Se tu a denominatore metti quei fattori, allora li cancelli dal
numeratore e quindi non potrai avere raggi minimi.
Tu dirai: ma se a denominatore metto fattori 4k+1 maggiori del
piu' grande di quelli che compaiono a numeratore?
E io diro': hai ragione!!!  Questa in effetti sembra un'altra
possibile falla del mio ragionamento... Ci pensero'. Magari lancio
un'altra ricerca per i denominatori che ho omesso e vedo che succede.
Nel frattempo uso la tua soluzione per n=17 come esempio per spiegare
il mio ragionamento:
   17   Sqrt[156075725]/12   1041.085588   {1/12,1/6}
   156075725 = 5^2 * 13^2 * 17 * 41 * 53
pero' i primi del tipo 4k+1 sono   5,13,17,29,37,41,53,61,...
e quindi potresti usare 29 e 37 prima di usare 41 e 53.
E infatti dall'elenco delle soluzioni che ho postato ieri:
   17   Sqrt[385341125]/22   892.2776189  {5/22,10/22} 
   385341125 = 5^3 * 13^2 * 17 * 29 * 37
il numeratore e' maggiore del tuo, ma anche il denominatore che,
non "cancellando" alcun fattore del numeratore, porta ad una
riduzione del raggio.
Spero di essermi spiegato meglio dell'altra volta!  ;-)
Ciao,
        Antonio

 risultati ed ovviamente è tutto in regola.
Ti ringrazio moltissimo della verifica!
Ciao,
       Antonio

    385341125 = 5^3 * 13^2 * 17 * 29 * 37
Chiedo scusa: l'ho vista solo dopo aver postato. Comunque uso anch'io
questo esempio per ribadire quanto sopra: il denominatore potrebbe
benissimo contenere fattori come 41 o 53. Potresti fare degli
esperimenti per vedere se ciò porta a qualcosa o se per qualche ragione
esoterica tali fattori sono vietati nel denominatore.
Maurizio

 Potresti provare a rispiegarlo?
Allora: io faccio una ricerca esaustiva in cui trovo TUTTI i poligoni
inscritti in una circonferenza che abbiano i due lati, adiacenti
all'angolo maggiore, minori o uguali di Lmax. Qual è il più piccolo
poligono che è sfuggito alla mia ricerca? Questo poligono deve avere
almeno uno dei lati adiacenti all'angolo maggiore più grande di Lmax. Io
dico che il più piccolo dei poligoni siffatti è proprio (1, Lmax, 1,
Lmax, ...) con gli angoli tutti uguali.
Se quanto sopra è vero, posso dire che il raggio del più piccolo
poligono di n lati che mi è sfuggito è sicuramente maggiore del raggio
del poligono (1, Lmax, 1, Lmax, ...) con n lati; se ho già trovato un
poligono con n lati e raggio minore di questo, sono sicuro che tale
poligono è minimo.
Spero di essere stato più chiaro, purtroppo la cosa è un po' contorta ed
è facile sbagliarsi. Ecco perché il tuo parere, positivo o negativo che
sia, mi sarebbe di grande aiuto.
Maurizio

vietati nel denominatore.
Dunque, ho fatto degli esperimenti e il risultato e' che usando
per il denominatore tutti i possibili fattori primi il risultato
*non* cambia. Pero' (ovviamente!) non ho potuto provare TUTTI i
numeri primi e TUTTI i valori del raggio...
Quindi mi trovo schiacciato da un lato dall'assoluta ragionevolezza
della tua osservazione, e dall'altro da una parziale, ma corposa, 
evidenza sperimentale ad essa contraria. Ho provato a cercare una
possibile spiegazione del perche' il denominatore del raggio minimo
non possa contenere fattori primi del tipo 4k+1, ma brancolo ancora
nel buio. Se ti viene qualche idea...
Purtroppo l'incapacita' di trovare questa spiegazione non mi
permette di dire che la mia ricerca e' stata esaustiva e quindi
non posso essere certo che i risultati trovati siano minimi.
Pero', come ti ho scritto nell'altro post, il tuo ragionamento
geometrico mi ha convinto e quindi potremmo affidarci al tuo
metodo per la validazione dei risultati, che ne dici?
Ciao,
       Antonio

poligono è minimo.
Il ragionamento mi sembra corretto, quindi passerei all'omologazione
dei risultati da te indicati nel post precedente!  Se vuoi un po' di
tempo macchina per andare avanti con le validazioni per Lmax piu'
grandi, puoi mandarmi l'eseguibile via email e ti metto a disposizione
il mio PC.
Se poi Livio e' ancora dell'idea di mettere su una "paginetta" web,
saremmo i primi al mondo ad aver pubblicato questo risultato in rete!
Ciao,
      Antonio

 metodo per la validazione dei risultati, che ne dici?
Mah, il mio metodo ha lo svantaggio che il tempo richiesto cresce con la
quarta potenza di Lmax, quindi si arriva presto al limite. Però si può
provare, vedi mia risposta all'altro messaggio.
Maurizio

 il mio PC.
Come dicevo nell'altro post, il problema č che col mio metodo il tempo
impiegato cresce come Lmax^4 - e forse qualcosa in piů nell'esponente.
Comunque č probabile che tu abbia piů tempo di me e una macchina piů
veloce, quindi ti mandertň via email il codice Mathematica che ho usato.
Dammi solo un po' di tempo per commentarlo un po' cosě da renderlo
comprensibile.
Maurizio

essere sotto una spiegazione semplice, il problema č trovarla.
Gia'.
Quello che ho notato io e' questo: raggi piccoli ottenuti con valori
alti sia di numeratore che di denominatore portano ad intercettare
pochissimi punti a coordinate intere.
Una possibile debolissima spiegazione - ben lontana dall'essere anche
solo un inizio di dimostrazione - e' la seguente: intercettare un
punto a coordinate intere significa ottenere un resto nullo in due
divisioni del tipo   (x*den-num1)/den   e   (y*den-num2)/den.
Al crescere del denominatore aumentano i resti possibili, che sono
proprio den, e quindi diminuisce la probabilita' 1/den di ottenere
un resto nullo (*). Quindi sara' piu' probabile intercettare punti
a coordinate intere se il denominatore non contiene fattori alti
(ne' di tipo 4k+1 ne' di tipo 4k+3). Inoltre, come gia' evidenziato
in discussioni precedenti, il denominatore non puo' contenere fattori
bassi del tipo 4k+1, perche' andrebbero a cancellare i corrispondenti
fattori del numeratore. Pertanto l'unica possibilita' rimasta sembra
essere quella che il denominatore abbia fattori bassi e solo del tipo
4k+3.
Che ne pensi?
Ciao,
       Antonio
(*) Mi rendo conto che parlare di probabilita' in un contesto
governato dalla Teoria dei Numeri sia una specie di blasfemia
matematica, ma non sono ancora riuscito a fare di meglio!  ;-)

quindi ti mandertň via email il codice Mathematica che ho usato.
Ok, per l'indirizzo basta rimuovere "nospam".
Ciao,
      Antonio

 matematica, ma non sono ancora riuscito a fare di meglio!  ;-)
Tutt'altro! Un esempio famoso č la "dimostrazione" statistica del
teorema di Gauss sulla distribuzione dei numeri primi; vedi: Courant e
Robbins: "Che cos'č la matematica" (1a edizione, pag. 702).
Maurizio