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Titolo: Corde

Su una circonferenza si scelgono a caso tre coppie di punti,
A1,A2,B1,B2,C1,C2.
Si tracciano le tre corde A1-A2, B1-B2, C1-C2.
Qual'e' la probabilita' che le corde si incrocino in tre punti interni alla
circonferenza?
ciao
paolo

Paolo Licheri dice
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probabilmente sto dicendo una sciocchezza, ma io la butto li'...
Due corde hanno probabilita' 1/3 di incrociarsi.
Infatti se A1 lo consideriamo origine degli archi su una circonferenza
unitaria  (C=1, non R!) e misuriamo gli archi in senso orario, allora
possiamo chiamare x l'arco A1A2. le corde A1-A2 e B1-B2 si incrociano se:
B1<x e B2>x (prob. x*(1-x)) o viceversa (ancora prob. (1-x)*x). In totale
la prob. di incrocio, dato x, e' 2*x*(1-x), con x uniforme su [0,1].
Integrando ottengo 1/3
Fin qui la cosa regge (spero)
Adesso azzardo:
Se le tre corde hanno una probabilita' su tre di incrociarsi UNA CON
L'ALTRA, e considerando che per realizzare le condizioni del quesito SI
DEVONO incrociare una con l'altra, non sara' che la probabilita' totale e'
P=(1/3)^3=1/27 ???
Ciao, Silv:o)

Ciao, Silv:o)
ciao
paolo


Non avere dubbi! La soluzione mi sembra perfetta, essendo richiesta
l’intersezione in 3 punti all’interno del cerchio,
Tutte e 3 le corde devono intersecarsi, per cui la probabilita’ finale e’
proprio necessaria e sufficiente = 1/3*1/3*1/3
Ciao
Andrea
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Comunque, con un approccio diverso, ho ottenuto un valore diverso da 1/27.
Io ho provato diversi approcci, e finalmente due convergono. Dato che uno di
questi e' la solita megasimulazione (qualche decina di milioni di prove), mi
ritengo soddisfatto:
La probabilita' cercata e' 1/15
Fissato un verso di percorrenza sulla circonferenza, ogni scelta dei sei
punti determina una permutazione ciclica dei sei punti (A1-A2-B1-B2-C1-C2)
Non c'e' ragione a priori di credere che tra le 120 possibili permutazioni
cicliche ce ne siano di privilegiate, quindi suppongo che siano
equiprobabili.
Di queste permutazioni, solo 8 portano al triplice intreccio, quindi la
probabilita' e' 8/120=1/15
Ciao, Silv:o)

punti determina una permutazione ciclica dei sei punti (A1-A2-B1-B2-C1-C2)
Si puo' fare meglio.
Tutto sommato possiamo considerare indisinguibili i punti A1 A2, B1 B2, C1
C2 (vabbe' che le corde sottendono archi, ma non sono frecce :) quindi non
hanno un verso)
I possibili schemi si riducono a 30 di cui due buoni (A-B-C-A-B-C e
A-C-B-A-C-B)
Ciao, Silv:o)

probabilita' e' 8/120=1/15
Il mio approccio era abbastanza simile.
Partendo da A1 e girando in senso antiorario, numeriamo i sei punti da 1 a 6
(1=A1).
Deve essere:
2=B o 2=C   p=4/5
se 2=B, 3=C; se 2=C, 3=B; in ogni caso p=2/4
4=A   p=1/3
5=2   p=1/2
quindi 4/5 * 2/4 * 1/3 * 1/2 = 1/15
o, piu' direttamente:
4=A2   p=1/5
2 qualsiasi (B o C)
5=2   p=1/3
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 proprio necessaria e sufficiente = 1/3*1/3*1/3
Purtroppo, come ha fatto notare Paolo, gli eventi NON SONO INDIPENDENTI
Vedila cosi':
se traccio due corde A CASO si incrociano una volta su tre.
Ma cio' non vuol dire che comunque traccio la prima corda, una volta su tre
la seconda la incrocia - le corde corte hanno scarse probabilita' di essere
incrociate.
DOPO che ho tracciato con successo due corde che si incrociano, queste
corde, per il fatto di aver superato la prima selezione, mostrano una certa
"propensione" all'incrocio, quindi la terza corda le incrocera' con
frequenza maggiore che non nel caso generale. Infatti la probabilita'
totale risulta, con altri approcci, 1 su 15, quasi il doppio rispetto all'1
su 27 che difendi.
Esempio chiarificatore:
tre urne uguali con 2N+1R
Qual e' la probabilita' di estrarre tre palline uguali?
La probabilita' di estrarre due uguali pescando da due urne e' 1/9+4/9=5/9
La probabilita' di estrarne tre uguali e' 1/27 (3R) + 8/27 (3N) = 1/3 ben
maggiore di 125/721 che si avrebbe moltipliplicando tra loro le mutue
probabilta' di fare coppia urna con urna.

 probabilta' di fare coppia urna con urna.
Pessima giornata quella di ieri per me! I problemi di Paolo li ho sbagliati
entrambi.
Effettivamente mi avevi convinto. Comunque devo accettare il fatto che gli
eventi
non sono indipendenti. Devo stare piu’ attento quando ci sono di mezzo le
probabilita’!
Il fatto e’ che una corda ha probabilita’ 1/9 di intersecare le altre 2, e in
questo caso gli
eventi sono indipendenti, ma quando si devono intersecare mutuamente, allora
sono dipendenti.
Bene, sono convinto e ti ringrazio della spiegazione!
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