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Titolo: Mi e' caduto uno stuzzicadenti....

...lungo L, su di un pavimento a piastrelle
quadrate di lato d. Quante piastrelle, mediamente,
tocca lo stuzzicadenti?
sandro.fan

"sandro.kan" wrote:

Se lo hai tenuto bene in bocca...
.
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ne tocca una sola, poi ci resta appiccicato a quella.
Post disgustoso delle 16:00 :-))
--AG

 Post disgustoso delle 16:00 :-))
ROFTL: vado a fare merenda e faccio la prova!
sandro.pan

 sandro.fan
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Se e' giusto, vi racconto il metodo risolutivo.
Mediamente lo stuzzicadenti (supponendo ovviamente L<d) tocchera' 
[1+(4*L)/(pi*d)] piastrelle. Naturalmente ho contato solo i casi senza 
rimbalzo dello stuzzicadenti stesso (l'esempio della saliva di Armando 
calza a pennello), altrimenti penso che sia un calcolo impossibile.
Dade :)

E se lo stuzzicadenti cade tra gli interstizi delle mattonelle?
--AG


 --AG
Il signor Lebesgue (quello che ha inventato l'integrazione secondo 
Lebesgue) risponderebbe che sono eventi a misura nulla e quindi non 
contribuiscono alla media. Infatti per l'angolo di "orientamento" dello 
stuzzicadenti (quello su cui ho fatto una media integrale), solo i 
valori 0 e pi/2 nell'intervallo continuo [0,pi/2] gli consentono di 
cadere negli interstizi.
Dade :)

...ma il signor Riemann (quello che ha inventato gli spazi di Riemann) gli
risponderebbe che il pavimento non e' uno spazio di Riemann, e che gli
interstizi tra le mattonelle una misura ce l'hanno, eccome (specialmente
dopo aver litigato col suo piastrellista, che guarda caso si chiamava
Lebesgue, che gli aveva fatto degli interstizi di mezzo metro e pretendeva
di fargli pagare una superficie di piastrelle pari a tutto il pavimento con
la scusa che gli interstizi avevano misura nulla).
--AG.
PS. A proposito di misura nulla, la sai la storia del segmento [0,1]? bene,
prendi il segmento e togligli tutta la parte che va da un terzo a due
terzi. Prendi i segmenti rimasti e di nuovo togligli un terzo centrale.
Continua cosi' fino all'infinito. A questo punto avrai tolto dal segmento
[0,1] un tratto la cui lunghezza (al limite per numero di iterazioni che
tende ad infnito) vale esattamente 1, mentre il segmento si e' ridotto ad
un nugolo di punti. Domanda: cio' che resta del segmento, ha misura nulla?


 un nugolo di punti. Domanda: cio' che resta del segmento, ha misura nulla?
Per quanto ne so, quello che hai descritto ha qualcosa a che fare con un 
insieme frattale di dimensione 1. Quindi la sua misura (lunghezza 
secondo Lebesgue) dovrebbe essere ancora 1. Contraddicimi, cosi' ci 
divertiamo un altro po'!
Dade :)


.
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Dev'esser giusto si'! A casa mia le
piastrelle sono unitarie e gli stuzzicadenti sono lunghi circa un terzo. Ne
ho lanciati centomila e la media delle piastrelle toccate e' 1.425 in
accordo con la tua teoria. :o)))
.
For_J=1_To_100000
_X1=Rnd+1:Y1=Rnd+1:alfa=2*pi*Rnd
_X2=X1+Cos(alfa)/3:Y2=Y1+Sin(alfa)/3
_N=1+Abs(Int(X2)-1)+Abs(Int(Y2)-1)
_tot=tot+N
Next J
Media=tot/100000
.
Ciao  :o)
Livio
--------------------------------
Inviato via 
http://usenet.iol.it
 

 Dade :)
Perche' dovrei contraddirti? E' giusto. Pero' la cosa carina e' che dal segmento
[0,1], di lunghezza 1, abbiamo tolto dei pezzi di lunghezza totale 1 e quello che
resta ha ancora lunghezza 1... ah, questi matematici!
--AG

Armando Grimaldi wrote:

E' anche per questo che da grande ho deciso di fare il fisico. La 
matematica mi sembrava, a tratti, un losco affare da imbroglioni: meglio 
la cruda realta' sperimentale che non mente mai e di cui ti puoi fidare 
sempre (guasti agli strumenti permettendo...)!
Ciao.
Dade :)

 Dade :)
E cosi' sei un fisico? Ma guarda un po'. E che fisico sei?
--AG

 Livio
Allora aspetto solo la conferma di sandro.kan per raccontare come ho 
cop.... ehm! ... dedotto la formula di cui sopra (sempre che sia esatta 
non solo per le simulazioni al computer, ma 100000 mi sembra un buon 
campione per il test).
Dade :)

 campione per il test).
La conferma di sandro.jan arriva.... : - )
sandro.pan

> Mediamente lo stuzzicadenti (supponendo ovviamente L<d) tocchera'
                                            ^^^^^^  (??)
Guarda l'obj.....:-)

sandro.kan wrote:

Che significa, che era tutto uno scherzo, con domanda a trabocchetto e 
che nemmeno tu conosci la soluzione del caso "umano" (elefanti a parte)? 
Se e' cosi', mi devo fidare del controllo numerico fatto da Livio, che 
pero' e' una consolazione non da poco...
Dade :)


No, no....scusa se non sono stato chiaro.
Volevo solo enigmisicamente dire che
non e' scontato che lo stuzzicadenti
sia piu' piccolo del lato della mattonella,
e pertanto aspetto una soluzione completa,
(e una dimostrazione).
Ciao.
sandro.lan

 sandro.lan
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Dimostrazione (pongo a=L/d)
- a<1 (caso umano)
Indico con phi l'angolo che identifica l'orientamento dello 
stuzzicadenti sul piano delle piastrelle (prendendo, per esempio, phi=0 
per la direzione orizzontale a destra e scegliendo il verso antiorario). 
Bastera' mediare sugli angoli dell'intervallo [0,pi/2], in quanto gli 
altri casi si ottengono per riflessioni/simmetrie (in realta' forse 
basterebbe [0,pi/4], ma non complichiamoci troppo la vita). Il numero 
medio di piastrelle toccate dallo stuzzicadenti si ottiene dal una media 
integrale sugli angoli.
Il primo termine da sommare nell'integrale e' quello corrispondente allo 
stuzzicadenti che tocca una sola piastrella (peato 1), senza intersecare 
alcun bordo:
(1-a*sin(phi))*(1-a*cos(phi))*1
Il secondo termine da sommare nell'integrale e' quello corrispondente 
allo stuzzicadenti che tocca due piastrelle (pesato 2), intersecando un 
bordo verticale XOR un bordo orizzontale:
(a*sin(phi)*(1-a*cos(phi))+a*cos(phi)*(1-a*sin(phi)))*2
Il terzo termine da sommare nell'integrale e' quello corrispondente allo 
stuzzicadenti che tocca tre piastrelle (pesato 3), intersecando un bordo 
verticale AND un bordo orizzontale:
a*sin(phi)*a*cos(phi)*3
La media m si scrive allora come:
m=(2/pi)*Integrale(da 0 a pi/2) d(phi)(
(1-a*sin(phi))*(1-a*cos(phi))*1+
(a*sin(phi)*(1-a*cos(phi))+a*cos(phi)*(1-a*sin(phi)))*2
a*sin(phi)*a*cos(phi)*3)=
=(2/pi)*Integrale(da 0 a pi/2) d(phi)(1+a*(sin(phi)+cos(phi)))=
=1+(4/pi)*a
(Spero di non aver fatto casino con le parentesi).
- a>1 (caso elefantesco)
Basta aggiungere alla soluzione del caso a<1 il termine Int(a), cosi' la 
soluzione generale diventa:
1+Int(a)+(4/pi)*a
Dade :)

 Guarda l'obj.....:-)
Funziona anche se L>d.
      |_
     /|
  L /   L*SIN@
   /
_ /@)_|_
 |    |
 L*COS@
Se chiamiamo @ l'angolo formato dall'ago rispetto alle fessure orizzontali
(uniformemente distribuito tra -pi/2 e pi/2), il numero di piastrelle
toccate dipende da quante linee vengono attraversate dall'ago, ed
esattamente saranno 1+o+v con o numero di orizzontali e v di verticali
toccate. Le orizzontali saranno in media L*COS@/d e le verticali |L*SIN@/d|.
Integrando si ottiene il risultato già presentato 1+4L/(pi*d).
Silv:o)

Silvio Sergio wrote:

Hai ragione: non mi ero accorto che la mia soluzione comprendeva gia' il 
caso L>d. Nella dimostrazione che ho gia' dato, bisogna quindi ignorare 
il caso a>1 (cioe' L>d). Grazie per la precisazione.
Dade :)

Mi sembra superfluo, qui, rimarcare che
la soluzione di Silvio e' esatta.
Per quanto riguarda il procedimento
di Davide, esso porta alla formula
esatta, ma con la condizione L<d.
Sembra evidente che, se una formula
analitica per p(L,d) esiste, essa
debba essere la stessa per q.siasi
L e d. Ma in che modo si puo'
dimostrare questo?
Mi spiego meglio.
Supponiamo che il procedimento,
per L<d, sia semplicissimo,
e che per L> d sia impervio.
Ottenuta p(L,d; L<d), posso banalmente
dire che e' uguale a p(L,d)?
sandro.son

sandro.kan wrote:

Mi e' appena venuta in mente una dimostrazione lampo per un problema 
simile: anziche' lo stuzzicadenti lanciamo un disco (una moneta, per 
esempio) di diametro L. Quale sara' il numero medio di piastrelle 
toccate dal disco in questo caso (piu' semplice, direi)?
Dade :)


Non mi pare, il frattale e' :
___________________________
_________         _________
___   ___         ___   ___
_ _   _ _         _ _   _ _
La sua misura (di Lebesgue, ma veramente anche secondo la normale Peano-Jordan...) è (2/3)^k,
quindi tende a zero e la sua dimensione-frattale e' log(2)/log(3) = 0.63..

 toccate dal disco in questo caso (piu' semplice, direi)?
Di solito lo affronto geometricamente, dividendo i punti di una piastrella
in regioni in base al numero di piastrelle toccate da una moneta centrata
in quel punto. Si tratta poi di sommare le aree coi diversi pesi. Un
problema di geometria, quindi.
Ma la dimostrazione che ho dato per l'ago mi ha fatto venire in mente un
metodo semplice ed applicabile anche ai casi in cui la moneta è più grande
della mattonella.
Il numero di regioni toccate è ugale a 1+o+v+i dove o è il numero delle
fessure orizzontali, v le verticali, i il numero degli incroci del
reticolo. Questo perché ogni linea che attraversa la moneta individua
tante nuove regioni quante sono le trasversali che incontra, più una. Se L
è il lato della piastrella (il passo del reticolo) e D il diametro della
moneta, le orizzontali sono in media D/L, altrettante le verticali, e gli
incoci sono 1/4*pi*D^2/L^2 (rapporto tra le superfici della moneta e della
piastrella). Quindi in media le piastrelle toccate sono
1 + 2*D/L + pi/4*(D/L)^2
Silv:o)

nella seconda parte il termine regione č vago: intendo proprio
"piastrelle". Riscrivo:
Il numero di piastrelle toccate da un amoneta č ugale a 1+o+v+i dove o č
il numero delle fessure orizzontali che la attraversano, v le verticali, i
il numero degli incroci tra fessure coperti dalla moneta. Questo perché
ogni fessura che attraversa la moneta individua tante nuove piastrelle
quante sono gli incroci che forma, piů una. Se L č il lato della
piastrella e D il diametro della moneta, le orizzontali coperte sono in


Silvio Sergio wrote:

Ho delle perplessita' sull'ultimo termine (quello quadratico in d/L). Il 
mio calcolo (per d<L) da' una media di piastrelle pari a:
1+2*(d/L)+(pi+3/2-3*sqrt(2))*(d/L)^2
I coefficienti dei termini quadratici sono diversi:
tuo: pi/4=0.
7853981634
...
mio: pi+3/2-3*sqrt(2)=0.39895196647...
La differenza e' notevole (circa un fattore 2) e una simulazione al 
calcolatore (con d=L, ad esempio) dovrebbe dirimere la questione...
Livio Zucca, dove sei?
Dade :)

 Livio.san
sandro.zuc, che si scusa per il morphing...

 La discrepanza e' dovuta, IMO, alla quantizzazione...
Caro sandro.zuc,
puoi provare con L=D=1, mettendo a confronto il risultato della tua 
simulazione con il mio e quello di Sergio. Grazie.
Dade :)

Ciao,
senza entrare nel merito del procedimento teorico,
questo e' il risultato di un run da 5000 tiri...
D=L
freq:     3.74165
sandro.ran


.
.
Ero andato nel bosco a tagliare gli
stuzzicadenti:
.
Stuz/Piastr___N
.2____________1.255
.4____________1.514
.6____________1.771
.8____________2.026
1_____________2.279
1.2___________2.53
1.4___________2.786
1.6___________3.039
1.8___________3.297
2_____________3.554
2.2___________3.808
2.4___________4.061
2.6___________4.315
2.8___________4.565
.
Torno e voi avete cambiato argomento. Ma se non
state fermi, come faccio a colpirvi?  :o)
.
Per la moneta con D=L
beccatevi sto ragionamento (rien brute-force, c'est plus facil):
.
Mediamente tocchera' tot piastrelle
tot=p(1)+2p(2)+3p(3)+4p(4)
con
p(1),p(2),... =probabilita' che ne tocchi 1,2,3,4
p(1) e p(2) sono
trascurabili rispetto p(3) e p(4), *non fanno media*.
p(4) e' anche la
probabilita' che un incrocio cada nella circonferenza, quindi p(4)=pi/4,
non ci piove!
A questo punto p(3)=1-P(4) e tot=3+pi/4 senza Montecarlo!
(tanto vedo che c'e' uno spiritello emulatore...:)
.


 (tanto vedo che c'e' uno spiritello emulatore...:)
Bella dimostrazione, Livio, complimenti! La formula giusta dovrebbe 
essere allora quella di Sergio e non la mia (sigh!). Se D=diametro 
moneta e L=lato piastrella (e' stata invertita la notazione, rispetto al 
buon vecchio stuzzicadenti), il numero medio m di piastrelle toccate e' 
allora:
m=1+2*(D/L)+pi/4*(D/L)^2
Secondo voi vale per qualunque valore di D/L?
Dade :)

 Secondo voi vale per qualunque valore di D/L?
Allora non sono riuscito a convincerti !?!
Prova a disegnare una moneta su un quaderno a quadretti, a caso, e conta i
quadretti. Sono 1 + linee (orizzontali e verticali) + incroci. E questo è
vero comunque siano fatte la regione e le linee che l'attraversano, purché
non ci siano incroci di tre o più linee.
Quante linee orizzontali mediamente coprirà una moneta di diametro D? D/L
(rapporto tra larghezza della moneta e passo del reticolo). Per simmetria
pure D/L saranno le verticali pestate. Ora mi pare anche di poter dire che
una moneta che abbia superficie S con quella bella simmetria toccherà in
media S/D^2 punti del reticolo.
Cosa c'è che non ti convince?
Silv:o)


.
.
La simulazione della moneta sul pavimento mi risultava fastidiosa
perche', mettendo tondo su quadrato, di solito bisogna fare campionamenti
fitti che, per precisioni accettabili, richiedono tempi lunghi. Poi mi sono
accorto (vedo che Silvio ben l'aveva gia' visto) che il numero dei
quadretti toccati da un cerchio e' pari al numero delle linee che lo
attraversano piu' il numero degli incroci contenuti in esso piu' uno (!).
Con un tale algoritmo la simulazione e' banale. Ecco i dati *sperimentali*
su 10.000 lanci per diametro:
.
.
D/L____Sim________Silvio
.2_____1.431_____ 1.431415
.4_____1.933_____ 1.925663
.6_____2.481_____
2.482743
.8_____3.096_____ 3.102654
1______3.79______ 3.785398
1.2____4.533_____ 4.530973
1.4____5.368_____ 5.339380
1.6____6.186_____
6.210619
1.8____7.161_____ 7.144690
2______8.152_____ 8.141592
2.2____9.203_____ 9.201327
2.4____10.315____ 10.32389
2.6____11.496____
11.50929
2.8____12.738____ 12.75752


 Allora non sono riuscito a convincerti !?!
Convinto, ma non c'era bisogno di scaldarsi tanto! :).
Dade :)

 Convinto, ma non c'era bisogno di scaldarsi tanto! :).
Vorrei vedere te. Mi sono ritrovato col nome scambiato, i complimenti se
l'è beccati quel simulatore da strapazzo di Livio, il mio ego vanaglorioso
s'è ribellato!
Ciao, Silv:o)
... o Serg:o) ??? boh, fate un po' voi...