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Titolo: Sistema infinito in equilibrio

Con le regole descritte nel thread "sistema in equilibrio" (vedi post di
Dario del 12/08), consideriamo il seguente rettangolo 6*4 con 10 gettoni:
1 - - -
- 3 2 1
1 - - -
- - 2 -
1 3 - 2
- - 2 -
vediamo che il rettangolo non è in equilibrio, in quanto in basso a destra
ci sono alcuni 2 a contatto.
Se però proviamo a tassellare il piano con questi rettangoli, cioè a
disporre infiniti rettangoli 6*4 a contatto, il sistema diventa equilibrato.
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . 2 - - - 2 - - - 2 - - - . .
. . - 3 2 3 - 3 2 3 - 3 2 3 . .
. . 2 - - - 2 - - - 2 - - - . .
. . - - 2 - - - 2 - - - 2 - . .
. . 2 3 - 3 2 3 - 3 2 3 - 3 . .
. . - - 2 - - - 2 - - - 2 - . .
. . 2 - - - 2 - - - 2 - - - . .
. . - 3 2 3 - 3 2 3 - 3 2 3 . .
. . 2 - - - 2 - - - 2 - - - . .
. . - - 2 - - - 2 - - - 2 - . .
. . 2 3 - 3 2 3 - 3 2 3 - 3 . .
. . - - 2 - - - 2 - - - 2 - . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
Questo sistema ha una densità di gettoni di 10/24=0.417 circa.
Il problema è trovare il sistema infinito in equilibrio con densità massima.
Finora il max che ho trovato è
2 - 2 -
4 7 4 -
3 5 3 -
- - - -
con densità 0.5
Si può migliorare?
ciao
paolo

 con densità 0.5
Invece non è il max.
Come si vede, ho usato il trucco di partire da un quadrato, o un rettangolo
m*n, in equilibrio con k gettoni: allora se si aggiungono una riga ed una
colonna vuota, si ottiene un blocco (n+1)*(m+1) con cui si può tassellare il
piano, con densità
k/((m+1)*(n+1)).
Però, nonostante la buona densità di partenza 8/9, il trucco funziona meglio
partendo da blocchi più grandi. Quindi, avendo già individuato nell'altro
thread il quadrato (7*7) con 38 gettoni, si arriva a
38/(8*8)=0.59...
Comunque, con o senza il  trucco di cui sopra, si può migliorare?
ciao
paolo

Si può migliorare?
.
.
.
.
.
.
Ecco alcuni quadrati e rettangoli che tassellano il piano regolarmente,
cioe' senza rotazioni o riflessioni, con i vertici coincidenti. Sono stati
ottenuti con una piccola modifica al programma precedente:
.
.
2x3_D=0.5__il_piu'_piccolo_possibile:
.
303
040
.
.
3x3_D=0.4444:
.
303
000
303
.
.
4x3_D=.5:
.
3530
0000
3530
.
.
4x4_D=0.6875:
.
0505
6464
0505
0363
.
.
5x4_D=.7:
.
70607
45454
00600
45454
.
.
6x4_D=.7083:
.
454545
600000
454545
607870
.
.
5x5_D=0.72:
.
76078
50456
40300
50405
76567
.
.
Essendo il risultato di una
evoluzione avvenuta nel microcosmo del mio PC in un tempo limitato, non li
garantisco affatto per massimi assoluti. E inevitabile notare il crescere
della densita' al crescere della dimensione. Di piu' nin so!
.
.
Ciao
:o)
Livio
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Inviato via 
http://usenet.iol.it
 

303
   I 3 vengono a contatto tra loro nella ripetizione, e cio` dovrebbe
essere proibito, sbaglio?
303|303|303
000|000|000
303|303|303
---+---+---
303|303|303
000|000|000
303|303|303
---+---+---
303|303|303
000|000|000
303|303|303
-- 
Totuccio.

Comunque, con o senza il  trucco di cui sopra, si può migliorare?
   A mano, e con un po' di fortuna, e un'ernia mentale, a causa delle
replicazioni (quelle agli angoli specialmente, mi uccidono):
4|5 3 5 4|5
-+-------+-
6|- - - 6|-
4|5 3 5 4|5
6|- 6 - 6|-
4|5 3 5 4|5
-+-------+-
6|- - - 6|-
   Densita`: 0,6875
-- 
Totuccio.

nelle tue soluzioni:
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.
Ne ho
scritte di ....ate questa notte, mica solo questa!
.
Ciao  :o((


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Ecco qualche dato riveduto e corretto:
.
4x4__D=0.6875:
.
4646
5050
3036
5050
.
.
5x5__D=0.6:
.
74035
03004
04003
75304
86006
.
.
6x4__D=.7083333:
.
006006
545454
060606
545454
.
che dovrebbe essere il max, per il momento.
.
.
Ciao
:o)
