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Titolo: Quadrati ad incremento

I membri della sequenza
25, 2025, 13225, 4862055...
Sono quadrati che restano quadrati quando si incrementa di 1 ogni loro 
cifra, ad es. 25 diventa 36.
Cerca i prossimi tre.
dario

 ha scritto nel messaggio
news:3DE87593...@uriland.it...

25,2025,13225,4862025...
                   ^
                   |
Per il resto ci sto pensando...
Gabriele

 ha scritto:

Ne aggiungo uno:
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60415182025
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio


Grazie per aver pizzicato l'errore.
Non ti fidavi eh! hai voluto controllare,
ed infatti avevi ragione.
ciao

 Ne aggiungo uno:
Ne aggiungo un altro
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Non riuscivo ad andare avanti, allora sono tornato indietro:
0 (zero)
:-)
Una curiosità:
0^2=0   1^2=1
5^2=25  6^2=36
45^2=2025  56^2=3136
Per i primi termini della sequenza, la proprietà in questione vale non solo
per i quadrati (0,1; 25,36; 2025,3136) ma anche per le radici (0,1; 5,6;
45,56)
ciao
paolo

 :-)
Bravo, l'ha scovato anche il mio PC  :o))
 0 0 1 1
 5 25 6 36
 45 2025 56 3136
 115 13225 156 24336
 2205 4862025 2444 5973136
 245795 60415182025 267444 71526293136
 455645 207612366025 564556 318723477136
Ha anche trovato il settimo termine, ma non l'ottavo.
Di questo posso solo dire che e' (s.e.&.o.) maggiore di
922337203685477 il massimo che posso ottenere con il
compilatore a 64bit, senza fare doppi salti mortali.
Piu' guardo i risultati parziali, meno mi dicono qualche cosa.
Credo che bisogni rassegnarsi a fare calcoli con molte cifre.
Pare che Nick McGrath abbia trovato i 5 valori successivi.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 compilatore a 64bit, senza fare doppi salti mortali.
.....
Mi chiedo, anzi lo chiedo a chi sa programmare, se sia concepibile un
programma che trovi, in tempi ragionevoli, tutti i divisori di un numero
abbastanza grande, diciamo di 16 cifre e più.
In particolare si tratterebbe di trovare i divisori di un REPUNIT.
Per chi non lo ricordasse i REPUNIT (REPeated UNITy) sono numeri costituiti
di sole cifre 1. Chiamiamo R_n un REPUNIT costituito da n cifre 1: per
esempio R_4=1111.
Se ne è parlato nel ng qualche tempo fa. Hanno alcune proprietà che
potrebbero (forse) essere utili per questo problema. Per esempio se f è
divisore di n, allora R_f è divisore di R_n.
Allora, il nostro problema può porsi così:
Per un dato n, trovare una coppia di numeri A,B tali che i loro quadrati
differiscano di R_n.
B^2-A^2=R_n
Ossia
(B+A)*(B-A)=R_n
notare che si è posta una condizione necessaria, ma non sufficiente, per il
nostro problema: devono verificarsi anche le ulteriori condizioni:
A^2 e B^2 devono essere formati da n cifre
A^2 non deve contenere nessuna cifra 9 (e B^2 nessuna cifra 0).
Allora una via per completare la sequenza richiesta potrebbe essere:
Trovare tutti i divisori di R_n
Per ciascun divisore D, posto (B-A)=D, (B+A)=R_n/D, calcolare A e B, e
verificare se sono rispettate le condizioni di cui sopra.
Esempi:
per n=4
R_n=1111
I divisori sono 1, 11, 101, 1111
Posto (B-A)=1; (B+A)=1111 si avrebbe
A=555; B=556; A^2=308025; B^2=309136
NON va bene, perché A^2 e B^2 hanno più di 4 cifre
Posto (B-A)=11; (B+A)=101; si ha
A=45; B=56; che vanno bene
Per n=10; R_n=1.111.111.111
Due tra i divisori possibili:
(B-A)=9.091; (B+A)=122.221
da cui A=56.565; B=65.656
A^2= 3.199.599.225; B^2= 4.310.710.336
entrambi di 10 cifre, ma NON vanno bene per la presenza delle cifre 9 in A^2
A mano mi sembra impossibile andare avanti; qualcuno può provarci con un
programma?
ciao
paolo

 programma?
Qui ci sono le fattorizzazioni di R_n fino ad n=100
http://www.worldofnumbers.com/repunits.htm

 
http://www.worldofnumbers.com/repunits.htm
Grazie. Questo mi ha permesso di trovarne un altro di 20 cifre, lavorando *a
mano* (ho usato Ubasic solo come calcolatrice per i valori molto grandi)
a=   4.556.455.645
b=   5.645.564.556
a^2= 20.761.288.044.852.366.025
b^2= 31.872.399.155.963.477.136
ciao
paolo

 b^2= 31.872.399.155.963.477.136
Bravissimo!
ciao. dario

 Piu' guardo i risultati parziali, meno mi dicono qualche cosa.
In effetti la condizione che il quadrato non deve contenere la cifra 9 pone un vincolo
difficilmente quantificabile. La cosa più interessante mi sembra la distribuzione a
seconda del numero di cifre del quadrato:
2 cifre: 1 quadrato
5^2 = 25
3 cifre: 0 quadrati
4 cifre: 1 quadrato
45^2 = 2025
5 cifre: 1 quadrato
115^2 = 13225
6 cifre: 0 quadrati
7 cifre: 1 quadrato
2205^2 = 4862025
da 8 a 10 cifre: 0 quadrati
11 cifre: 1 quadrato
245795^2 = 60415182025
12 cifre: 1 quadrato
455645^2 = 207612366025
da 13 a 17 cifre: 0 quadrati
18 cifre: 1 quadrato
392005795^2 = 153668543313582025
19 cifre: 0 quadrati
20 cifre: 3 quadrati
3725086045^2 = 13876266042653742025 
4556455645^2 = 20761288044852366025
6876462325^2 = 47285734107144405625
21 cifre: 1 quadrato
20151099485^2 = 406066810454367265225
da 22 a 29 cifre: 0 quadrati
30 cifre: 8 quadrati
376436132272675^2 = 141704161680410868660551655625
638164268652835^2 = 407253633785207764225753537225 
666019070685725^2 = 443581402517076754021718775625 
739806476776405^2 = 547313623080317470600364724025 
749242496327965^2 = 561364318303760646508841041225 
763922617581155^2 = 583577765652043586303011134025 
774652482202595^2 = 600086468182641763222624734025 
929629274729515^2 = 864210588434124076176412135225
31 cifre: 0 quadrati
32 cifre: 3 quadrati
3572234897546275^2 = 12760862163247445846015766375625
3773068784309405^2 = 14236048051130051350322771454025
4845501557496605^2 = 23478885343702024850674586526025
da 33 a 39 cifre: 0 quadrati
40 cifre: 1 quadrato
41802280471721174115^2 = 1747430652636441427088830508434146033225
41 cifre: 0 quadrati
42 cifre: 9 quadrati
321985676200985197525^2 = 103674775678605685422556353424163266125625
349544585169857941475^2 = 122181417021568072352518046032124525175625
365459626610560149725^2 = 133560738682330044310788702132214417575625
400575157515212624675^2 = 160460456818337405300584446574502418855625
459649073191143891925^2 = 211277270485477554502412858470236080205625
523739729745639624715^2 = 274303304514035631515770054415126038831225
619448628833462079715^2 = 383716603763656268233625800362853014481225
786181154549357241955^2 = 618080807768560337178671611428404412222025
792562141051557004835^2 = 628154747428228141273808028217556213377225
da 43 a 50 cifre: 0 quadrati
eccetera.
Ci sarà un motivo per questo pattern apparentemente bizzoso. Certi numeri di cifre
sembrano favoriti, mentre compaiono larghi vuoti per altri valori.
Dovessi scommettere, direi poi che questi quadrati formano una successione infinita, ma
non ne sono sicuro.
Maurizio

 non ne sono sicuro.
Non ne sono sicuro neanch'io. Infatti al crescere del numero di cifre
dovrebbe aumentare la probabilità di incontrare la famigerata cifra 9.
O forse questa osservazione non ha molto senso, dal momento che la
distribuzione delle cifre non può considerarsi casuale.
Però:
osservando i risultati troviamo tra le coppie A,B
45 56 (quadrati di 4 cifre)
455645 564556 (quadrati di 12 cifre)
4556455645 
5645564556
 (quadrati di 20 cifre)
mi aspettavo che la cosa funzionasse anche per le coppie seguenti
45564556455645 56455645564556 (quadrati di 28 cifre), ecc.
invece, mentre le differenze tra i due quadrati sono giuste (B^2-A^2=R_28,
ecc)
trovo sempre in A^2 un gruppo di cifre 9.
boh!
ciao
paolo

 Ottimo lavoro.
Mi associo ai complimenti.
Hai utilizzato l'idea di Paolo ?

 Hai utilizzato l'idea di Paolo ?
Sì, più o meno l'idea è quella. Ho usato Mathematica, che ha già
incorporata una funzione che restituisce tutti i divisori di un numero e
che tratta agevolmente numeri di lunghezza arbitraria. Oltre le 50
cifre, però, il tempo di attesa tende a diventare lungo. Naturalmente si
potrebbe andare avanti un altro po', ma un pattern, se c'era, si sarebbe
già visto.
Maurizio