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Titolo: rettangoli amicabili

I rettangoli 2x10 e 4x6 hanno una particolare relazione. Il perimetro di
uno e' uguale all'area dell'altro.
Difatti:
2x10 perimetro 24 area 20
4x6  perimetro 20 area 24.
Ci sono altre coppie ? Quante ?
La caccia e' aperta.
:) dario

le coppie di numeri sono naturalmente infinite
Dim:
Posti a,b i lati del primo rettangolo e c,d i lati del secondo rettangolo...
si ottiene il seguente sistema di equazioni
2a+2b=c*d
2c+2d=a*b
Siccome il sistema è a 2 equazioni in 4 incognite le soluziono sono infinite
(per la precisione ci sono 2 infinità di soluzioni) e ci sono due variabili
indipendenti
Scelti 'a' e 'd' come variabili indipendenti 'c' e 'b' sono dati da:
c= (2a^2 + 4d)/(da-4)
b= (2d^2 + ad)/(da-4)
P.S. 'a' e 'd' possono essere scelti a caso...ma   a*d > 4  (strettamente
maggiore) affinchè non si abbiano soluzioni irreali
Ciao
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 Ci sono altre coppie ? Quante ?
Fermandomi al 100 ho trovato queste......
dati
 a, b = lati del primo rettangolo
 c, d = lati del secondo rettangolo
 A1 = area del primo rettangolo
 P1 = perimetro del primo rettangolo
 A2 = area del secondo rettangolo
 P2 = perimetro del secondo rettangolo
 a=1, b=34, c=7, d=10	A1=34, P1=70, A2=70, P2=34
 a=1, b=38, c=6, d=13	A1=38, P1=78, A2=78, P2=38
 a=1, b=54, c=5, d=22	A1=54, P1=110, A2=110, P2=54
 a=2, b=10, c=4, d=6	A1=20, P1=24, A2=24, P2=20
 a=2, b=13, c=3, d=10	A1=26, P1=30, A2=30, P2=26
 a=3, b=6, c=3, d=6	A1=18, P1=18, A2=18, P2=18
 (sol. banale !)
 a=4, b=4, c=4, d=4	A1=16, P1=16, A2=16, P2=16
 (sol. banale !)
Ma poiche' il sistema ha 2 variabili che possono cambiare
indipendentemente, dovrebbero esserci infinito^2 soluzioni !!!!
Ciao
Vittorio
a=2, b=10, c=4, d=6 A1=20, P1=24, A2=24, P2=20
a=4, b=4, c=4, d=4 A1=16, P1=16, A2=16, P2=16

 Ci sono altre coppie ? Quante ?
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Ce ne sono solo 7:
 1  54         5  22
 1  38         6  13
 1  34         7  10
 2  13         3  10
 2  10         4  6
 3  6          3  6
 4  4          4  4
Vediamo come arrivarci (come al solito io l'ho risolto quasi tutto di forza
bruta, adesso faccio finta di aver lavorato di fino :)))))
In ogni coppia di rettangoli amicabili, uno dei due amici deve avere il
perimetro non piu' piccolo della superficie. Quali sono i rettangoli a lati
interi che godono di questa rara proprieta'?
Tutti quelli col lato corto unitario o di lunghezza 2 vanno bene, e poi
pochi altri. Col lato corto di 3 ci sono 3x3, 3x4, 3x5 e 3x6, col 4 anche
4x4. Tra questi ultimi una breve analisi ci convince che solo 3x6
(accoppiato ad un altro 3x6) e 4x4 (anche lui col suo gemello), vanno bene.
Restano da vedere i rettangoli 1xn e 2xn
Cominciamo con l'amico del rettangolo 2xn
Avra' perimetro 2n e superficie 2n+4.
Immaginiamo questo rettangolo come una stanza piastrellata con mattonelle
unitarie, e togliamo tutta una cornice di mattonelle esterne. Abbiamo tolto
2n-4 mattonelle (il perimetro meno 4, per via degli spigoli). Siccome erano
2n+4, resta al centro della stanza un rettangolo di 8 mattonelle, ovvero 1x8
oppure 2x4. Ma allora la stanza misurava 2x10 oppure 4x6.
Veniamo all'amico del rettangolo 1xn
Avra' perimetro n e superficie 2n+2.
Stavolta togliamo due file esterne di mattonelle, per un totale di 2n-16
mattolnelle (2 perimetri meno 4 angoli 2x2). Siccome erano 2n+2, resta al
centro della stanza un rettangolo di 18 mattonelle, ovvero 1x18 o 2x9 o 3x6.
Ma allora la stanza misurava 5x22 o 6x13 o 7x10.
Ciao, Silv:o)