Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Cubastri

Chiamo "cubastro" un intero che sia uguale alla somma delle cifre del 
proprio cubo. Ad es. 8. Difatti 8^3 = 512 e 5+1+2=8
Cerca due cubastri consecutivi.


molto simile a quello proposto ieri da Dendi a Udine...
diceva:
supponiamo di sapere che la somma dei cubi delle cifre del numero 72188180 
sia pari al numero stesso. trovare un altro numero con le stesse 
caratteristiche
:-P
pazqo
ps: il meccanismo dovrebbe essere lo stesso, presumo 

Cerca due cubastri consecutivi.
0 e 1


e infatti ho trovato:
Prima di leggere sotto provate a risolvere il quesito che ho proposto io!
*
s
p
o
i
l
e
r
*
370 e 371
:-P
pazqo 


una parola di spiegazione:
immaginavo che il numero dovesse terminare per 0.
mi son scritto i 10 cubi e ho appaiato quelli che, sommati, mi davano 0 come 
ultima cifra (è stato facile poichè se a^3 = b (mod 10) allora anche (-a)^3 
= -b (mod 10). anche senza questa oss. era banale). al secondo colpo è 
andata liscia: 27 + 343 = 370.
e così anche 371 ha la stessa proprietà
pazqo

 Cerca due cubastri consecutivi.
Oltre ai gia detti ho trovato:
S
P
O
I
L
E
R
17^3=4913
18^3=5832
26^3=17576
27^3=19683
Ciao,
Gabriele 

 0 e 1
3 consecutivi: -1, 0 e 1 :-))))

>>> Cerca due cubastri consecutivi.
oops, mi accorgo che ho fatto il contrario...
ho preso un numero pari alla somma dei cubi delle sue cifre...
:-P
pazqo 

>stesse caratteristiche
Questi sono noti in matematica ricreativa come PDI (Perfect Digital 
Invariant) piu' interessante invece se l'esponente e' uguale al numero 
delle cifre, in questo caso sono chiamati Armstrong oppure PPDI
PluPerfect Digital Invariant). Per esponente=3 sono:
153, 370, 371, 407.


in realtà intendevo proprio le ottave potenze. e infatti son ben stato 
attento a mettere otto cifre.
tuttavia la soluzione al quesito di Dendi non richiede nessuna conoscenza 
specifica. e nemmeno un calcolatore. e nemmeno carta e penna.
solo colpo d'occhio 

 solo colpo d'occhio 
Beh, sarebbe 72188181


esatto. :-p
pazqo 

Solo per curiosita' riporto la tabella dei cubastri geralizzati,
per potenze dalla 2 alla 100.
La cosa simpatica e' che ci sono certi numeri che sono cubastri
rispetto a piu' potenze.
Per esempio le
cifre di 36^4 = 1679616 e 36^5 = 60466176 hanno entrambe
somma 36. Altri numeri sono cubastri rispetto a piu' di 2 potenze.
Se non ho sbagliato i conti e' facile vedere che oltre
un certo limite e' inutile cercare.
Infatti al massimo un numero n^p ha come somma di cifre
(stando larghi)  9(log(n^p)+1) e facendo un po' di conti
(approssimati) si vede che per esempio per la potenza
100 possiamo limitarci ai numeri sotto circa 3160, mentre
all'altro capo, per i quadrati ci basta cercare entro 40.
Chi sa quale e' la potenza che non ammette nessun p-cubastro a
a parte 0 e 1 ?
Comunque ecco la tabella fino a 100 (ometto i casi 0 e 1)
============================================================
2 => 9
3 => 8, 17, 18, 26, 27
4 => 7, 22, 25, 28, 36
5 => 28, 35, 36, 46
6 => 18, 45, 54, 64
7 => 18, 27, 31, 34, 43, 53, 58, 68
8 => 46, 54, 63
9 => 54, 71, 81
10 => 82, 85, 94, 97, 106, 117
11 => 98, 107, 108
12 => 108
13 => 20, 40, 86, 103, 104, 106, 107, 126, 134, 135, 146
14 => 91, 118, 127, 135, 154
15 => 107, 134, 136, 152, 154, 172, 199
16 => 133, 142, 163, 169, 181, 187
17 => 80, 143, 171, 216
18 => 172, 181
19 => 80, 90, 155, 157, 171, 173, 181, 189, 207
20 => 90, 181, 207
21 => 90, 199, 225
22 => 90, 169, 193, 217, 225, 234, 256
23 => 234, 244, 271
24 => 252, 262, 288
25 => 140, 211, 221, 236, 256, 257, 261, 277, 295, 296, 298, 299, 337
26 => 306, 307, 316, 324
27 => 305, 307
28 => 90, 160, 265, 292, 301, 328
29 => 305, 314, 325, 332, 341
30 => 396
31 => 170, 331, 338, 346, 356, 364, 367, 386, 387, 443
32 => 388
33 => 170, 352, 359, 378, 406, 422, 423
34 => 387, 412, 463
35 => 378, 388, 414, 451, 477
36 => 388, 424
37 => 414, 421, 422, 433, 469, 477, 485, 495
38 => 468, 469
39 => 449, 523
40 => 250, 441, 468, 486, 495, 502
41 => 432
42 => 280, 487, 523, 531
43 => 461, 499, 508, 511, 526, 532, 542, 548, 572
44 => 280, 523, 549, 576, 603
45 => 360, 503, 523
46 => 360, 478, 514, 522, 544, 558, 574, 592
47 => 350, 559, 567, 575, 576, 595, 603, 666
48 => 370, 513, 631, 667
49 => 270, 290, 340, 350, 360, 533, 589, 637, 648, 661, 695
50 => 685
51 => 360, 666, 685
52 => 625, 688, 736, 739
53 => 648, 683, 703, 746
54 => 370, 603, 657, 667, 739
55 => 677, 683
56 => 684
57 => 370, 460, 719, 748, 793, 802
58 => 667, 721, 754
59 => 370, 440, 693, 845
60 => 694, 784, 792, 793
61 => 440, 490, 758, 815, 833
62 => 855, 865
63 => 827, 836, 846
64 => 430, 793, 829, 871
65 => 818, 856, 891, 928
66 => 837, 864, 927
67 => 450, 859, 865, 866, 869, 874, 926, 934
68 => 837
69 => 540, 936, 962, 963, 1016
70 => 540, 882, 909
71 => 917, 991
72 => 901, 1062
73 => 853, 882, 928, 1006, 1015
74 => 936, 1008, 1009, 1018
75 => 630, 964, 999, 1016, 1053
76 => 1044, 1075, 1093
77 => 1061, 1062, 1088
78 => 964, 1117, 1126, 1134
79 => 610, 1031, 1043, 1054, 1064, 1091, 1108, 1133
80 => 1044, 1071, 1134, 1144
81 => 1062, 1196
82 => 1048, 1111, 1134, 1231
83 => 730, 1115, 1151, 1207
84 => 1188
85 => 1051, 1103, 1165, 1183, 1277
86 => 1134, 1225
87 => 1187, 1216, 1224, 1232, 1278, 1288
88 => 730, 1084, 1147, 1183, 1186, 1206
89 => 1151, 1232, 1358
90 => 1306, 1422
91 => 720, 1208, 1233, 1253, 1258, 1261, 1278
92 => 720, 1296, 1359
93 => 810, 820, 1396
94 => 1285, 1287, 1303, 1327, 1332, 1339, 1341, 1444
95 => 820, 1323, 1342, 1351, 1385
96 => 1387
97 => 1237, 1322, 1324, 1361, 1367, 1397, 1442
98 => 1359
99 => 1322, 1403, 1405, 1441
100 => 1363, 1378, 1408, 1414, 1489
===========================================================
ciao,
g.


E io che stavo impazzendo :S :))
ciao

 per potenze dalla 2 alla 100...
Cacchio! che lavorone hai fatto.
C'e' anche 666^47 ...  La bestia morta che parla :)
ciao

 Cacchio! che lavorone hai fatto.
Be', cinque minuti in tutto...
Per la cronaca, dopo ho esteso i conti fino alla potenza 200.
Fino alla potenza 200 quelle per le quali non ci sono cubastri
sono 105, 164, 189 e 194, mentre le 2 con piu' cubastri (cioe' 13)
sono la 25 e la 169 (che per un caso sono quadrati...).
Per la potenza 200 l'unico e' 2989 (2989^200 ha 696 cifre),
mentre quello che da origine al numero piu' grande (700 cifre)
e' il 3259^199.
ciao,
g.

 e' il 3259^199.
Per curiosità: come fai a lavorare con numeri cosi grandi? Con il Matlab ti 
riesco a seguire fino alle 9 potenze (e, se servisse, confermo tutti i 
risultati). Usando Il Matlab da molto poco non so se si riesce ad estendere 
il range di numeri trattabili, si può fare? O bisogna adoperare qualcosa di 
più specifico per lavorare con grandi numeri?
Ciao e grazie,
Gabriele 

 riesco a seguire fino alle 9 potenze (e, se servisse, confermo tutti i 
Matlab e' un programma votato principalmente al calcolo
numerico (e in particolare al calcolo matriciale).
A meno che non sia integrato con Maple,
Matlab utilizza numeri di macchina che
hanno una precisione fissata a priori.
Per questo tipo di calcoli bisogna invece usare un
programma o una libreria  che permetta di fare calcoli aritmetici
su numeri in precisione arbitraria.
In particolare ho usato Mathematica (ma ne esistono
anche altri, e probabilmente qualcuno free).
Se sai programmare in C esiste una libreria molto
buona (e gratuita) della gnu, la liberia gmp,
che permette calcoli su numeri interi, razionali e
floating point in precisione arbitraria ed e'
molto veloce. Io di solito uso questa.
In questo caso ho usato mathematica perche' l'avevo
gia' usata per stabilire dei bound alla ricerca
e il programma era in ogni caso cortissimo e
veloce da scrivere ed eseguire.
ciao,
g.

 anche altri, e probabilmente qualcuno free).
appunto. io consiglio il Parì, scaricabile gratuitamente. ci puoi lavorare 
con numeri grandi quanto ti pare ed è ottimo per fattorizzare :-P