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Titolo: Paradosso di San Pietroburgo

Allora, per il mio debutto su questo ng posto questo enigma basato sul
calcolo delle probabilità.
Questo enigma è stato posto per la prima volta dal matematico italiano
Bernulli.
In un casinò viene praticato il seguente gioco: viene lanciata una
moneta e se il risultato è CROCE la moneta viene ritirata, mentre se è
TESTA lo scommettitore vince 2^k lire, dove k è il numero di volte
consecutive in cui è uscita CROCE, e il gioco ricomincia.
Es.
1°      2°      3°      4°
C       C       C       T
Il banco paga 2^3 lire, quindi 8 lire.
Domanda: quale cifrà sareste disposti a pagare per questo gioco?
Prova:
La probabilità che esca TESTA al primo lancio 1/2 e l'incasso e 2^1 =
2 lire.
La probabilità che esca TESTA al secondo lancio (e che quindi prima
non sia usita) è 1/4 e l'incasso 2^2 = 4 lire.
.......
La probabilità che esca TESTA al lancio n-esimo è 1/(2^n) e la vincità
sarà 2^n lire.
Tiriamo le somme:
 (2 * 1/2) + (4 * 1/4) + (8 * 1/8) + .... + (2^n * 1/(2^n)), quindi
Sommatoria per k=1 a "infinito" di ( 2^k * (1/2^k) ).
La sommatoria deve andare fino a infinito poiché nulla vieta che TESTA
esca per la prima volta dopo infiniti lanci (cerco con una probabilità
bassissima, ma anche la vincità sarà corrispondentemente alta).
Ciascun termine della sommatoria può essere semplificato a 1, quindi
la sommatoria diventa:
Sommatoria per k=1 a "infinito" di 1,
che è uguale a "infinito"
Conclusione: sono disposto a pagare qualsiasi cifrà per questo gioco.
Chi mi sà spiegare dov'è l'inghippo?
Nota:
- non ho commesso errori di calcolo e i dati sono corretti;
- ho applicato alla lettera le regole per il calcolo delle probabilità
- è possibile, anche se estremamente improbabile, che l'uscita di
TESTA si protragga all'infinito, quindi da questo punto di vista è
lecito protrarre la sommatoria fino a infinito.
P.S.  Qualcuno sà anche dirmi (io sinceramente non lo so) perché
Bernulli l'ha chiamato "Paradosso di San Pietroburgo"?
Mox

Bernulli l'ha chiamato "Paradosso di San Pietroburgo"?
Codesto lo ignoro. Ma sicuramente Dario ti sapra' dare tutte
le informazioni in proposito.
ciao
paolo

 Domanda: quale cifrà sareste disposti a pagare per questo gioco?
Premesso che la speranza matematica E[X] e' definita solo quando la serie
sum(x*p(x)) converge, quindi non e' questo il caso, io farei cosi':
Quanto puo' arrivare a pagare il banco? diciamo che a 100 miliardi il banco
"salta".
Quante giocate ci vogliono? int(log_2(10E11))=39
Quindi siccome non posso "sperare" che il banco regga piu' a lungo, la serie
diventa una somma finita e la "speranza" e' di 40 lire (1 lira per le prime 38
possibilita', 2 lire per l'evento K>39). Punterei al massimo quella cifra. Fossero
Euro per sbancare basterebbero 3-4 puntate in meno, e quindi giocherei diciamo 35
euro.
Perdo quasi sicuramente (ma poco, qualche euro lo recupero di sicuro), ma se si
arriva a cinque croci (3.16%), allora ogni successiva croce mi porta vincite
consistenti.
Ho provato a giocare un milione di volte, e sto in rosso di 9 euro, ma gia' nelle
prime giocate ho vinto 256 euro.
Ciao, Silv:o)

 Bernulli.
[...]
Nato a Basel, Svizzera, il 6 agosto 1667. Ma non diventa più italiano di
prima nemmeno chiamandola "Basilea".
Saluti
K.

Faccio tre precisazioni:
1) il banco paga il numero di volte in cui e' uscita CROCE + la volta
in cui e' uscita testa, infatti se esce TESTA al primo lancio paga, in
caso contrario non dovrebbe pagare.... comunque questo non influisce
minimamente sul problema, era solo una puntualizzazione
2) non si comprano i biglietti per una certa posizione k di uscita
dalla moneta, ma si paga una posta (il problema e' appunto stabilire
quale sia equa) e si aspetta finché non esce TESTA: si riceve il
premio, che dipende ovviamente da quando quale lancio sia, e basta
(quindi non da quanto ho puntato).
Si hanno molte più probabilità di vincere di quanto hai detto, l'unico
rischio e' che prenda meno di quanto ho pagato.
3) il banco non ti chiede certo una lira, ma chiede di più, visto che
è troppo probabile il pareggio, anzi a quanto risulta TI PUO' CHIEDERE
QUALUNQUE CIFRA.
Nota: comunque fate attenzione a non andare nella direzione
sbagliatata, il testo che ho postato è corretto, ma...
Paolo.

Complimenti: hai centrato il problema!
Non importa che cifrà sia disposto a pagare il banco, la mia giocata
sarà sempre di poche lire (euro).
Quansiasi cifra sia disposto a pagare il banco, se è limitata, allora
cossisponderà a un limite ancora più astronomico del tuo:
1,267650600228e+30 lire (circa 1000 Mld di Mld di Mld, non riesco
neanche a dirlo), corrisponde a una giocata di 100 lire.
Il problema infatti era solo l'ultimo termine, cioè infinito.
Il paradosso è proprio questo: applico malamente il calcolo delle
probabilità: vedere anche il messaggio di Andrea (KameFan) "Vecchio
paradosso: i tre carcerati" e si avrà un ulteriore esempio.
Scusate ma ho postato un msg per fare alcune puntualizzazioni prima di
accorgermi che era già pervenuta la soluzione corretta.
Paolo

K.
Allora ho il prof di Algoritmi č impazzito ho stavo pensavo ad uscire
quando l'ho scritto sugli appunti (vi assicuro che ho controllato
prima di spedire il msg).
Comunque ho controllato (adeso adesso) sull'enciclopedia e ho scoperto
anche che il matematico č un altro Bernoulli, seppure appartenente
alla stessa famiglia, questo č Daniel I, nato nel 1700 e morto nel
1782. Tu parlavi di Jean I.

Il paradosso (e l'inghippo) sta nel fatto (secondo me) che la probabilita'
che ho di vincere al k-esimo tentativo (che secondo il tuo ragionamento ed
il tuo punto di vista non sono poche e quindi potrebbero spingermi a
puntare qualunque cifra) e'  la STESSA
che ho di NON vincere !
Cioe', affrontiamo il problema da un diverso punto di vista: io vinco SOLO
se esce
testa!  Finche' esiste la probabilita' di posticipare l'uscita di testa
(ed abbiamo detto che
esiste SEMPRE...serie infinita ricordate?...) esiste la probabilita' di
NON vincere (oltre, si, di aumentare la posta...).
Infatti, poiche' si parla di EVENTI CONNESSI (a due valori), la
probabilita' che al k-esimo lancio esca testa (essendosi verificati  k-1
eventi croce) e' pari alla probabilita' che si siano verificati k-1 eventi
croce [1/2^(k-1)] moltiplicata per la probabilita' che si verifichi testa
(1/2) totale 1/2^k; ma la probabilita' che si verifichino K eventi croce
e' uguale: [1/2^(k-1)] (probabilita' che si siano verificati k-1 eventi
croce) per 1/2 (probabilita' che esca ancora croce).
Dunque, dire che punterei qualunque cifra perche' la probabilita' che ho
di vincere non e' mai nulla (il che, a parer mio, non e' di per se una
gran scoperta!) e' lo stesso che dire che scommetterei qualunque cifra
perche' la probabilita' che ho di NON vincere non e' mai nulla !
Questo e' il mio punto di vista. Ogni commento e' ben accetto, Marco.
P.S. Sono nuovo di questo NG. Ho gia' dato (sempre oggi) un altro paio di
risposte ad alcini quesiti e devo dire che ADORO questo NG !!!
P.S. II - Ho visto che non sono l'unico "fisico" qui....

Caro Marco
Il cuore del problema non è questo, ma è leggermente diverso.
Come ha già capito Silvio, la chiave stà in quando può pagare il
banco. qualsiasi cifra sia, questa si riduce in poche lire, diciamo un
centinaio (che se la puntata era di 1 lira, corrispondono a ca 1000
MLD di MLD di MLD di lire).
Se riduci il problema in termini di quanto può pagare il banco allora
puoi limitare superiormente la sommatoria a questa cifra e ottieni un
valore dicverso da INFINITO, che era poi quello che si doveva fare.
Paolo

Si...non sara' il cuore del problema, ma la discussione era anche su quale
fosse il
paradosso...e con la soluzione che e' stata data si da una risposta al
problema....
ma non al paradosso (questo e' quello che credo io...NON ho dato una
soluzione
alternativa, ho solo provato a completare il quadro problema+paradosso).
Ciao, Marco.
Mox ha scritto:


Un paradosso probabilistico nascono dal fatto che viene applicato male
il calcolo delle probabilità.
Il paradosso esiste e viene chiarito semplicemente in termini di
probabilità. In questo paradosso si vuole semplicemente dimostrare che
se non consideri alcuni dati, magari apparentemente irrilevanti, ma
che alterano enormemente la soluzione.
La soluzione del problema consiste nell'limitare la vincita possibile.
La soluzione del paradosso consiste nell'applicare correttamente il
calcolo delle probabilità (e lo faccio considerando un limite
superiore al di la del quale il banco non può più pagare).
Le probabilità che ho di vincere al k-esimo tiro, dato che sia appena
stato effettuato con esito positivo (non è uscita TESTA) il tiro N°
k-1, sono effettivamente del 50%, ma quando facciamo un calcolo delle
probabilità per sapere quant'è la puntata equa, allora facciamo un
calcolo delle probabilità a priori e non della probabilità
condizionata (che si calcola con il teorema di Bayes).
Il tuo ragionamento è vero, ma non si applica al paradosso, perché per
fare la puntata NON posso aspettare che abbiano iniziato a lanciare la
moneta: si può puntare solo al primo lancio.
Paolo

che alterano enormemente la soluzione.
Gia'.
Le probabilita' vanno esponenzialmente a zero, ed il banco cerca di
equilibrarle con improponibili vincite esponenziali (che quasi sicuramente
non dovra' pagare, se anche disponesse di risorse enormi) solo per aumentare
la speranza teorica di vincita, e quindi aumentare la posta.
E' come se una compagnia di assicurazioni ti promettesse un rimborso
miliardario in caso di incidente dovuto al morso di un koala innamorato (e
chi non e' stato morso, almeno una volta ?!?), e pretendesse un premio
maggiorato per questo!
Con un banco infinitamente ricco il paradosso resta. Pero' dato che abbiamo
un casino' infinitamente ricco, sara' frequentato da infiniti giocatori.
Qualunque cifra il banco decida di fissare come posta, trova sempre qualcuno
che lo manda in rosso, quindi in questo senso nessuna posta sembra
esagerata.
Sicuramente a San Pietroburgo ci sara' stato (ci sara' ancora?) un famoso
casino'. Qualcuno conferma?
Ciao, Silv:o)