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Titolo: un gioco col dado

A e B lanciano a turno un dado, perde il primo dei due che non riesce a
migliorare, o almeno a pareggiare, il tiro dell'avversario. Qual e' la
probabilita' che vinca A, che lancia per primo? E se escludiamo che A possa
lanciare 6?
Ciao, Silv:o)


Mi butto: 70% e 58% ???
Ciao
Giulio

lanciare 6?
Credo che il modo corretto di procedere consista nella definizione di
una catena di Markov (come per la soluzione di Memory).
Sono pigro e ancora non l'ho fatto.
Però in cinque minuti ho scritto una simulazioncina:
probabilità che A vinca: 53.7% (circa)
     "       "  A   "   senza potere fare 6: 41.3% (circa)
mi dispiace
stefano
--

>>in cinque minuti ho scritto una simulazioncina
ed ovviamente ho sbagliato!!!
probabilità che A vinca: 60.4% (circa)
     "       "  A   "   senza potere fare 6: 46.7% (circa)
boh, speriamo
stefano
--

 lanciare 6?
33,3(periodico)%
In tal caso le probabilità di B vanno da 6/6 a 2/6 e quelle di A,
da 0/6 a 4/6 con media 2/6 = 33,3(periodico)%

 wrote in message
8e505f$40m$1...@pegasus.tiscalinet.it...


 Ciao, Silv:o)
...scusa la mia domanda.....ma volevo capire meglio questo quesito.
Se ho capito bene, allora i due giocano a turno finche' si superano,
mentre nel caso opposto vince chi ha il punteggio maggiore.
Fin qui tutto ok.
Ma in caso di pareggio cosa si fa' ? Si riconmincia oppure si prende
per buono il punteggio acquisito e si passa il turno all'avversario
che deve a sua volta superare oppure almeno pareggiare ? ? ?
In tal caso ci potrebbe essere anche il caso in cui si abbia una partita
infinitamente lunga tipo :
A B
1 1
1 1
...
2 2
...
3 3
...
...
6 6
Fine obbligatoria della mano.....
;-)
Grazie per i chiarimenti.
CiaO,
Massimo

 che deve a sua volta superare oppure almeno pareggiare ? ? ?
La seconda che hai detto, e quindi non c'e' limite alla lunghezza delle
partite.
Inizialmente intendevo proibire il 6 ad A _come primo lancio_, solo per
riequilibrare la partita, ma poi mi sono accorto di essere stato poco
chiaro, e che cosi' come l'ho formulato si capisce che A non puo' fare 6 in
nessuno dei suoi lanci: meglio cosi', il gioco e' piu' interessante, e posso
partecipare anch'io.
Ciao, Silv:o)

      "       "  A   "   senza potere fare 6: 46.7% (circa)
Per questo, come ho detto in un altro msg, non so ancora il risultato,
quindi devi darti da fare per giustificare questi numeri.
Ciao, Silv:o)

 
Ok.... allora ho esaminato tutte le possibili partite andando a
vedere solo i "momenti topici" della partita ovvero allor quando
uno dei due giocatori ha un valore minore o maggiore rispetto al proprio
avversario.
Come e' noto se il valore e' inferiore allora egli stesso perde, ma se
e' superiore si continua in loop fino ad un massimo di 7 "momenti
topici".
Infatti viste le sei facce del dado si potranno avere al massimo
6 incrementi oltre l'ultima giocata che decide per la parita' oppure
per la sconfitta del giocatore che gioca per ultimo.
Analizzando soltando le 258 possibili partite ho ottenuto una
parita' perfetta, ovvero 129 vittorie cadauno !!!! 
Da non credere....!!!!
;-)
Non so dare una spiegazione analitica.....ma forse pensandoci bene
la risposta e' abbastanza giusta.....sempre che abbia fatto bene i conti
il mio fido PC....
;-)
CiaO,
Massimo

 parita' perfetta, ovvero 129 vittorie cadauno !!!!
Non ho ben capito come salta fuori quel 258, pero' a me il 50% non torna, e
credo che nel tuo caso non basti contare le vittorie, ma le si deve anche
"pesare" perche' non tutti gli esiti possibili sono equiprobabili.
Ciao, Silv:o)

 
Allora mi spiego meglio.
Se i due giocatori A e B devono lanciare a turno un dado, allora
avremo che la prob. che esca uno dei 6 numeri e' sempre 1/6.
Durante la partita abbiamo detto che ci possono essere anche
casi in cui i due si equivalgono ed in questo caso si continua
fin che uno dei due non supera l'avversario o fin che non si
aggiunga la situazione 6-6 in cui si patta e finisce la mano.
Quindi in una ipotetica lunghissima partita, quello che serve
valutare e' :
1) Il giocatore che ha la mano lancia un numero maggiore del
   suo avversario
2) Il giocatore che ha la mano lancia un numero minore del
   suo avversario
Ovvio che nel secondo caso il giocatore perde, ma nel primo abbiamo
detto che si continua invertendo le due parti (swap A con B).
Io ha fatto un piccolo programma che analizza tutte le possibili
partite tenendo conto di massimo 7 lanci (quelli che ho chiamato
"momenti topici" nel precedent post). (TOT MAX = 6^7 partite anche se
in effetti sono molto di meno a cuasa del termine nei casi detti).
Infatti al massimo la partita avra' una lunghezza 7 ad es :
A lancia 1
B lancia 2
A lancia 3
B lancia 4
A lancia 5
B lancia 6
...e nella ultimo "momento topico" A puo' solo pareggiare oppure
perdere.
Come dicevo il mio programma, scritto in VB, ha tenuto conto solo
dei lanci in cui c'e' un esito di sconfitta oppure di continuo fino
alla situazione 6-6 prima detta.
Totale 258 partite possibili e vittoria al 50%.
Se vuoi posso anche postare tutte le possibili partite per verificare
se effettivamente sono tutte !!!!
;-)
Ripeto.....non ho una spiegazione analitica, ma mi fido abbastanza del
risultato trovato.
Come dice Dani, "spannometricamente parlando..." il risultato e'
corretto.
CiaO,
Massimo

 corretto.
Non so cosa ne pensi Dani (Ferrari, chi legge(va) Intelligiochi su MC lo
conosce bene), ma a me l'intuizione dice che A e' decisamente avvantaggiato.
Il 50% e' impossibile. Se fosse vero, allora A lanciando 1 lascerebbe a B il
50% di probabilita' di vincere (e' come se iniziasse lui), mentre lanciando
piu' di 1 le possibilita' di B sarebbero inferiori. La media per B non puo'
che essere inferiore al 50%.
Stefano ha ottenuto 60.4% in una simulazione, ed ha suggerito come si
potrebbe arrivare al risultato esatto (che vale 1-(6/7)^6=0.603430543...).
Ciao, Silv:o)

 
Stamattina ho scritto un programmetto di simulazione per questo gioco, e
ho deciso di uploadarlo perchè forse può essere utile anche ad altri. E'
completo anche di codice sorgente (Delphi).
www.geocities.com/gfhammer78/dadiAB.zip
Ciao
Giulio

potrebbe arrivare al risultato esatto (che vale 1-(6/7)^6=0.603430543...).
parli del diavolo...
Vettore si stato:
    [p(LOSE),p(1),p(2),...p(6),p(WIN)]
La matrice delle transizioni di stato (indice di riga = stato 
finale) è
 W = 1/36 * [
   36  0  0  0  0  0  0  0
    0  1  2  3  4  5  6  15
    6  0  1  2  3  4  5  15
   12  0  0  1  2  3  4  14
   18  0  0  0  1  2  3  12
   24  0  0  0  0  1  2  9
   30  0  0  0  0  0  1  5
    0  0  0  0  0  0  0  36
 ]
la prima e l'ultima riga possono essere interpretate come il
fatto che una volta giunti nello stato WIN o LOSE non ci se ne
allontana.
La diagonale interna di 1/36 è la probabilità che dopo un tiro
di A ed uno di B ci si trovi ancora nello stesso stato (cioè esca
per due volte lo stesso numero: probabilità (1/6)^2).
Si tratta a questo punto di determinare il valore finale della
risposta libera di un sistema lineare avente questa matrice come
matrice dinamica, a partire dallo stato iniziale [0 1 0 0 0 0 0 0].
Risulta (col matlab/octave)
  p(LOSE)=0.3965694566039659197,
  p(1..6)=0.,
  p(WIN)=0.6034305433960337472
Per quanto riguarda il problema in cui A non può fare 6, la matrice
di transizione di stato è
 WW = 1/30 * [
    30  0  0  0  0  0  0  0
     0  1  2  3  4  5  5  10
     6  0  1  2  3  4  4  10
    12  0  0  1  2  3  3  9
    18  0  0  0  1  2  2  7
    24  0  0  0  0  1  1  4
    30  0  0  0  0  0  0  0
     0  0  0  0  0  0  0  30
 ]
che risulta
  p(LOSE)=0.5329052994544575261
  p(1..6)=0.,
  p(WIN)=0.4670947005455422518
La condizione che A non possa ottenere 6 al primo lancio si può imporre
utilizzando la matrice WW per determinare le condizioni iniziali da cui
si evolve il sistema W.
Risulta
  p(LOSE)=0.4473119193533307003
  p(1..6)=0.
  p(WIN)=0.5526880806466694107
 
E adesso Silvio ci racconterà come ha fatto ad ottenere l'espressione in
forma chiusa delle probabilità ?______?
byebye
stefano
--

   p(WIN)=0.5526880806466694107
Qui va bene il sistema usato per il primo caso, e la probabilita' di
vittoria per il secondo giocatore e' la media di x1,..,x5, ovvero
0.44731191935333...
Metodi diversi, risultati identici.
Ciao, Silv:o)

 
...come volevasi dimostrare : "Ho capito male il problema !!!"
Ok adesso e' tutto chiaro.
;-)
Provero' anche io con una simulazione e ti diro' cosa viene fuori.
CiaO,
Massimo