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Titolo: Un quadrato magico-mistico

Carissimi,
sono da poco tornato da un breve soggiorno a Barcellona, e
volevo condividere con voi una vera chicca di cui mi pare
non si sia mai parlato da queste parti.
Sulla Sagrada Familia, e precisamente sulla Facciata della
Passione, di costruzione recentissima, e' presente un enorme
quadrato magico 4x4 a somma 33 (gli anni di Cristo). Per la
cronaca, e' stato collocato vicino al gruppo scultoreo del
tradimento di Giuda.
Sulle prime mi ha colpito solo la stranezza della cosa, e ho
scattato una foto per poter poi con calma analizzare meglio
il quadrato. Ma nel bookshop interno un poster mi ha rivelato
che non si trattava di un quadrato magico qualsiasi, ma di un
quadrato che definirei "molto magico" :-) perche' da' somma
33 in tantissimi modi diversi, oltre alle classiche somme di
righe colonne e diagonali!
In quel quadrato, ad esempio, danno somma 33 anche:
- le quattro caselle d'angolo
- i quattro quadrati 2x2 che contengono gli angoli
- il quadrato 2x2 centrale
- le quattro caselle d'angolo di ciascuno dei 4 quadrati
   3x3 inscritti nel quadrato stesso
piu' tantissimi altri pattern simmetrici (88 in tutto, pare!).
C'e' chi dice che un quadrato del genere sia una specie di
"certificato temporale di fine XX secolo" della facciata,
perche' e' quasi impossibile che sia stato trovato prima
dell'era dei computer.
Che dite, e' un'esagerazione o no?   ;-)
Buon divertimento,
                      Antonio

 In quel quadrato, ad esempio, danno somma 33 anche:
trovato qualcosa su internet:
SCIENZE FISICHE. NUMEROLOGIA Un quadrato magico per vincere la peste Tra
matematica e superstizione, affascinò anche Albert Durer
Autore: ODIFREDDI PIERGIORGIO
ARGOMENTI: MATEMATICA
NOMI: GAUDI' ANTONI, SUBIRACHS JOSEPH MARIA, DURER ALBRECHT
LUOGHI: ITALIA
DURANTE un breve soggiorno a Barcellona ho visitato la Sagrada Familia,
incompiuta cattedrale dell'architetto Antoni Gaudi. Mentre l'occhio del
turista ondeggiava lungo le linee curve che caratterizzano l'intera opera,
quello del matematico si è fermato su di un particolare della Facciata della
Passione, opera dello scultore Joseph Maria Su birachs. Dietro la statua di
Giuda che bacia Gesù, oltre ad un serpente che rappresenta il diavolo, c'era
infatti la tabella di 16 numeri qui indicata con la lettera A. E' evidente
che essa ha alcune interessanti proprietà: ad esempio, la somma dei numeri
di ciascuna riga, di ciascuna colonna e di ciascuna diagonale è sempre la
stessa, cioè il fatidico 33 che permette al dottore di capire se abbiamo il
catarro, ma che in questo caso si riferisce all'età che, secondo la
leggenda, Cristo avrebbe avuto quando morì in croce. Tabelle di questo
genere si chiamano quadrati magici, e quello in questione è piuttosto
spettacolare: ci sono infatti 88 modi in cui quattro numeri della tabella
danno come somma 33 (se non ci si limita esattamente a quattro numeri, le
combinazioni salgono allora a 310). Lasciamo al lettore il divertimento di
scovarli da sè, citando soltanto le disposizioni particolarmente simmetriche
che si ottengono considerando ciascuno dei settori quadrati Nord-Est,
Nord-Ovest, Sud-Est e Sud-Ovest, così come il quadrato centrale, o i numeri
ai quattro angoli. A causa delle loro proprietà misteriose, i quadrati
magici hanno attirato l'attenzione di numerologi e mistici fin
dall'antichità. Il più antico che si conosca è qui indicato con la lettera
B. Esso è chiamato Lo Shu dai cinesi, che ne attribuiscono la scoperta al
mitologico imperatore cinese Yu (2200 a.C.). Gli I Ching gli assegnano un
significato particolare: il numero 5, che sta in mezzo sia al quadrato che
alla successione dei numeri da 1 a 9, rappresenta la terra; i rimanenti
numeri dispari rappresentano l'elemento maschile yang, i punti cardinali e
le stagioni (ad esempio, 1 il Nord e l'inverno); i numeri pari rappresentano
l'elemento femminile yin; sul bordo pari e dispari si alternano, e coppie
successive rappresentano i quattro elementi, cioè acqua (1, 6), fuoco (2,7),
legno (3,8) e metallo (4,9). Anche gli indiani conoscevano quadrati magici:
un esempio del secolo X o XI si trova a Kha juraho, benché esso sia
surclassato dalle statue erotiche che affollano il luogo, e che concentrano
l'attenzione del turista su piaceri certamente celestiali, ma di natura meno
astratta della matematica. In Europa i quadrati magici furono introdotti
relativamente tardi, nel secolo XV, dall'ottomano Moschopulos. L'esempio
classico forse più famoso è quello qui indicato con la lettera C. Esso
appare nell'incisione Malinconia di Albert Durer. La data dell'opera è il
1514, ed è riportata nelle due caselle centrali dell'ultima riga. Oltre alle
solite proprietà, l'esempio ne ha anche una speciale: la somma dei numeri in
due caselle simmetriche rispetto al centro è sempre la stessa (17). Questo
quadrato veniva spesso inciso su un piatto d'argento, e regolarmente usato
come talismano contro la peste. I quadrati magici 3 per 3 e 4 per 4 non sono
ovviamente i soli possibili: anzi, modificandoli appropriatamente e
aggiungendo loro dei bordi si possono ottenere quadrati 5 per 5 e 6 per 6,
da cui si possono poi ottenere quadrati 7 per 7 e 8 per 8, e così via. In
altre parole, quadrati magici n per n esistono per ogni n maggiore di 2.
Piergiorgio Odifreddi Università di Torino

 trovato qualcosa su internet:
Ciao Ludico.Net,
ti ringrazio per la segnalazione dell'articolo di Odifreddi
che peraltro avevo gia' trovato.
In realta' il mio post voleva suscitare curiosita' e spingere
qualcuno a provare a trovare quel quadrato magico, ma vedo
che il thread langue. Magari tra un paio di giorni postero'
la soluzione.
Ciao,
        Antonio


Ciao Antonio,
non so se questo quadrato ti va bene, è il più facile
e il primo che ho imparato.
(a me non piace lo zero, ho utilizzato i numeri da 1 a 16)
  ---------------------
  |  1  | 15 | 14 | 4  |
  ---------------------
  | 12  |  6 |  7 | 9  |
  ---------------------
  |  8  | 10 | 11 | 5  |
  ---------------------
  | 13  |  3 |  2 | 16 |
  ---------------------
O magari preferisci questo?
  ---------------------
  | 15  | 10 |  3 | 6  |
  ---------------------
  |  4  |  5 | 16 | 9  |
  ---------------------
  | 14  | 11 |  2 | 7  |
  ---------------------
  |  1  |  8 | 13 | 12 |
  ---------------------
Nino

   ---------------------
idem

 la soluzione.
Il problema è che se nel quadrato metto i numeri da 1 a 16 la somma
delle righe viene 34 e non 33 (vedi esempi di Nino). Quindi ci sarà
qualche numero ripetuto due volte? Senza altre informazioni sui numeri
effettivamente usati si possono fare solo congetture vaghe.
Maurizio
 

 ha scritto nel 
messaggio news:5rXVd.1002335$35.37...@news4.tin.it...

Con i numeri da 1 a 16 non è possibile che la somma
sia 33 (DEVE essere 34)
Nino 

  ---------------------
Ottimi, rispondono in pieno alle condizioni esplicite che avevo
dato (a parte la somma 34). Il che mi fa venire in mente che
quelle siano soddisfatte da qualunque quadrato magico 4x4.
Vedi che si impara sempre qualcosa a postare?  :-)
In realta' il quadrato magico della Sagrada Familia ha anche
moltissimi pattern aggiuntivi, simmetrici tra loro, che danno
la stessa somma di righe e colonne (pare che siano in tutto 88).
Come esempio ti indico questi due:
---------------------
|    |  x |  o |    |
---------------------
|    |  o |  x |    |
---------------------
|    |  o |  x |    |
---------------------
|    |  o |  x |    |
---------------------
Comunque non so se il quadrato magico della Sagrada Familia sia
l'unico ad avere quella proprieta'. Magari e' interessante scoprirlo.
Ciao,
        Antonio
 

effettivamente usati si possono fare solo congetture vaghe.
Hai ragione.
Nel quadrato mancano il 12 e il 16, mentre il 10 e il 14 sono
ripetuti due volte.
Ciao,
       Antonio

   3x3 inscritti nel quadrato stesso
  9  5 15  4
11  8 13  1
  7 10  2 14
  6 10  3 14
ciao,
g.

 sia 33 (DEVE essere 34)
credevo volessi provare ad indovinare
il quadrato che ha visto iant :)

   6 10  3 14
iant ha aggiunto anche l'occorrenza per
oxoo  | ooxo
ooxo  | oxoo
ooxo  | oxoo
ooxo  | oxoo

 ha scritto:

Ottimo!!!
Anche se a questo punto credo che lo stupore che ho avuto
rispetto a quelle proprieta' fosse solo dovuto alla mia
ignoranza sui quadrati magici 4x4.
Come ho scritto a Nino, in realta' pare (dico pare, perche' non
li ho verificati tutti ;-) che il quadrato magico della Sagrada
Familia abbia un totale di 310 pattern, di cui 88 simmetrici,
che danno somma 33.
Come esempi ti indico:
  . x o .
  . o x .
  . o x .
  . o x .
e
  . x o .
  x . . o
  o . . x
  . o x .
Comunque sto cominciando a credere che alla fine si scoprira'
che ci sono anche molti altri quadrati magici 4x4 con le stesse
proprieta'...
Ciao,
       Antonio

 che danno somma 33.
rileggi il mio post [Lungo] e questa volta tutto ;)

 ooxo  | oxoo
Si, l'avevo vista, ma non mi piaceva.
In pratica significa che i due numeri
centrali in alto devono essere uguali
(i due 10 o i due 14), perche', per
esempio nel primo caso, se la colonna
che contiene le 3 x deve dare somma 33
completata sia con la x in prima riga,
sia con il o sopra le 3 x, significa che
il valore del x e del o deve essere uguale.
Tipo:
  6 10 10  7
14  3  2 14
  4 15 13  1
  9  5  8 11
Ma in questo alcuni pattern dell'altra soluzione
sono andati persi.
ciao,
g.

 sono andati persi.
ma allora il quadrato vero com'è?

Ludico.Net ha scritto:

Ma perche', si vedeva cosi' tanto che non l'ho letto proprio
tutto attentamente?  :-)
Comunque avevo letto lo stesso articolo in rete qualche giorno
fa, e infatti quella era la fonte da cui avevo conosciuto le
proprieta' di quel quadrato.
Ora, rileggendolo bene, mi sembra che le proprieta' non siano
quelle che ho riportato io nei precedenti messaggi, ma:
  88 diversi pattern di 4 caselle a somma 33
222 diversi pattern di 3 caselle a somma 33
(e non si fa alcun riferimento alla simmetria dei pattern).
Sarebbe a questo punto interessante sapere se questo sia
un record battibile oppure no. Pero' non lo so se mi va
di scrivere un programmino per scoprirlo...
Qualcuno si fa avanti?  ;-)
Ciao,
        Antonio

 ma allora il quadrato vero com'è?
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[spoiler]
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Eccolo:
     1 14 14  4
    11  7  6  9
     8 10 10  5
    13  2  3 15
Ciao,
        Antonio

 di scrivere un programmino per scoprirlo...
posso provare, ma da dove si parte
per combinare i numeri assieme?


Non sono un esperto di quadrati magici, ma credo che se si rimuove il 
vincolo per cui tutti i numeri devono essere diversi (e possibilmente 
seguire una progressione di un qualche tipo) si entri in una situazione in 
cui tutto diventa lecito, quindi anche questo:
9  8  8  8
8  8  9  8
8  8  8  9
8  9  8  8
per non parlare di questo: :-)))
8.25 8.25 8.25 8.25
8.25 8.25 8.25 8.25
8.25 8.25 8.25 8.25
8.25 8.25 8.25 8.25
Ciao ;-)
Giorgio 


Ciao, Nino 

 8.25 8.25 8.25 8.25
E allora che ne dici di questo
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
che e' magico anche per il prodotto, e oltretutto con lo
stesso numero magico?  :-)))
Scherzi a parte la tua osservazione e' molto pertinente, e quindi
si potrebbe riformulare il problema della ricerca del numero record
di pattern a somma magica (Sm), mettendoli in relazione alla quantita'
di numeri duplicati che vengono usati. Userei solo numeri naturali.
Nel tuo esempio hai usato un solo numero 16 volte e quindi ottieni
il massimo teorico assoluto di pattern che e' comb(16,4) = 1820.
Nel caso di 16 numeri diversi, tutti i quadrati magici otterranno
lo stesso record, che se non sbaglio sara' dato dal numero di
partizioni dell'intero Sm composte da 4 addendi tutti diversi e
tutti compresi nell'intervallo di numeri usati.
(In effetti gia' mi sembra sfidante trovare il valore di questo
  numero per la progressione 1,2,...,16  :-))  Chi ci prova?)
In ogni caso direi che tra i vari quadrati magici ce ne possa
essere qualcuno che massimizza il numero di pattern *simmetrici*
a somma Sm. Il gruppo di simmetria potrebbe essere costituito dalle
rotazioni e riflessioni intorno agli assi centrali e alle diagonali,
e dalle rotazioni di k*pi/2 intorno al centro. Credo pero' che scrivere
un programma che faccia questi controlli sia piuttosto lungo e forse
non cosi' interessante...
Nel caso di 16-n numeri diversi, invece, mi sembra che non tutti i
quadrati magici otterranno lo stesso record. A occhio direi che piu'
i numeri duplicati sono piccoli, piu' alto sara' il numero di
partizioni che si otterranno, ma magari mi sbaglio.
Direi che di carne al fuoco ce n'e' gia' tanta, quindi e'
meglio che mi fermi qui...   :-)
Ciao,
        Antonio

  numero per la progressione 1,2,...,16  :-))  Chi ci prova?)
Giusto per non fare quello che pone i problemi e poi aspetta
che gli altri li risolvano, mi rispondo da solo...  :-)
A me viene 86.
Di sotto riporto l'intera lista delle 86 partizioni del numero
34, composte da 4 numeri diversi e minori di 17.
Qualcuno conferma?
Ciao,
         Antonio
16 15 2 1
16 14 3 1
16 13 4 1
16 13 3 2
16 12 5 1
16 12 4 2
16 11 6 1
16 11 5 2
16 11 4 3
16 10 7 1
16 10 6 2
16 10 5 3
16  9 8 1
16  9 7 2
16  9 6 3
16  9 5 4
16  8 7 3
16  8 6 4
16  7 6 5
15 14 4 1
15 14 3 2
15 13 5 1
15 13 4 2
15 12 6 1
15 12 5 2
15 12 4 3
15 11 7 1
15 11 6 2
15 11 5 3
15 10 8 1
15 10 7 2
15 10 6 3
15 10 5 4
15  9 8 2
15  9 7 3
15  9 6 4
15  8 7 4
15  8 6 5
14 13 6 1
14 13 5 2
14 13 4 3
14 12 7 1
14 12 6 2
14 12 5 3
14 11 8 1
14 11 7 2
14 11 6 3
14 11 5 4
14 10 9 1
14 10 8 2
14 10 7 3
14 10 6 4
14  9 8 3
14  9 7 4
14  9 6 5
14  8 7 5
13 12 8 1
13 12 7 2
13 12 6 3
13 12 5 4
13 11 9 1
13 11 8 2
13 11 7 3
13 11 6 4
13 10 9 2
13 10 8 3
13 10 7 4
13 10 6 5
13  9 8 4
13  9 7 5
13  8 7 6
12 11 10 1
12 11 9 2
12 11 8 3
12 11 7 4
12 11 6 5
12 10 9 3
12 10 8 4
12 10 7 5
12  9 8 5
12  9 7 6
11 10 9 4
11 10 8 5
11 10 7 6
11  9 8 6
10  9 8 7

 tutti compresi nell'intervallo di numeri usati.
"Matematica dilettevole e curiosa" Ulrico Hoepli - Milano
"Col nome di quadrati diabolici vengono designati quei quadrati che
oltre ad avere una somma costante nei 2(n+1) modi classici, ce l'hanno
anche in molti altri modi regolari o geometrici."
15  10   3   6   La costante 34 si ottiene (per quaterne) in 86 modi;
 4   5  16   9   70 di questi sono con disposizione simmetrica per
14  11   2   7   coppie (si ottengono congiungendo a forma di quadri-
 1   8  13  12   latero chiuso i 4 numeri di ciascuna combinazione);
                 6 sono semplici; gli altri 10 sono per colonne, righe
                 e diagonali.
Ciao, Nino