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Titolo: [MA]Golden Ratio

Ho tre tavolette quadrate unitarie.
Taglio ciascuna in due parti, con un taglio a piacere,
anche non rettilineo. Con i pezzi compongo un quadrato
pieno di lato L. Si puo' buttare via un pezzo.
Esempio:
 ___    ___    ___   
|___|  |___|  | |_|
|___|  |___|  |___| 1
 ___ _ 
|___| |               _
|___|_|              | |_
|___|_| L  e butto:  |___|
1/L = 2/3
Se usassi tutto il materiale varrebbe 1/L=1/SQR(3)
Vince chi si avvicina di piu' al rapporto aureo (!)
Ciao a tutti    :o)
Livio Zucca
-------------------------
It isn't trivial!
http://www.geocities.com/liviozuc
P.S.
Per vedere bene l'ascii-art usate caratteri fissi.
Al limite: VISUALIZZA SORGENTE HTML
Se l'hai visto con CiaoWeb, non hai visto niente!
-- 
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 [195.130.225.153] 
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 Livio Zucca
Dato che 809/500 = 1.618 ~fi
Metto le tavolette con lato 500 ed il quadrato grande con lato 809.
La costruzione diventa semplice es:
 _______________
|         |  |  |
| A ______|  |  |
|  |         |  |
|  |    C    |B |
|__|______ __|__|
|         |     |
|    B    | A   |
|_________|_____|
Dalla prima tavoletta A = 500x500 seziono un quadrato piu' piccolo
309x309
La seconda tavoletta B, e' divisa in 2 pezzi 500x309 e 500x191.
Il pezzo C coi lati 118,500,427,309,309,191 e' la parte utilizzata della
terza tavoletta. 
ciao :) dario

terza tavoletta. 
Ehi ragazzi, Dario c'è andato subito pesante!
E'
dentro i 21 ppm secondo i miei calcoli.
Sara' dura superarlo. (Ci
proverete?)
Ha saltato a pie' pari soluzioni piu' approssimate come
queste:
 _________
|   |_____|
|   |    _|    _
|___|   | |   | |
|
|___| | + |_|
|___|_____|
3x3->5x5  5/3=1.666+  (+3%)
 ___ ___
_______            _
|   |   |       |          | |
|   |   |       |   +
| |
|   |   |  _____|     _____| |
|   |   | |     |    |       |
|___|___|_|     |    |_______|
|         |     |
|         |     |
|_________|_____|
5x5->8x8  8/5=1.6  (-1.11%)
Ciao  :o)
Livio
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Inviato da: 62.10.35.187, via 
http://usenet.iol.it
 

 proverete?)
Sia 1+x il lato del quadrato richiesto, con x=0.618...
Mi pare che si possa approssimare a piacere, ed anche trovare la soluzione
esatta, sempre che si sia in grado di costruire un segmento lungo x (non
ricordo, ma mi pare che esista un metodo grafico per farlo)
Divido il primo quadrato in due strisce A1, A2, larghe rispettivamente x,
1-x
._ _ _ _ _.
|     |   |
|     |   |
| A1  |A2 |
|     |   |
|_ _ _|_ _|
Ritaglio dal secondo un rettangolo B2 di lati x, 1-x
._ _ _ _ _.
|     |   |
|     |B2 |
|  B1 |_ _|
|         |
|_ _ _ _ _|
Unisco i quattro pezzi come in figura, su un quadrato di lato 1+x:
._ _ _ _ _ _ _ _.
|         |     |
|  A1     |  C  |
|_ _ _ _ _|     |
|     |_ _ _ _ _|
|     |   A2    |
| B1  |_ _ _ _ _|
|         | B2  |
|_ _ _ _ _|_ _ _|
rimane un'area C non coperta, a forma di L, con entrambi i lati minori di 1
Sovrappongo il terzo quadrato all'area C, con un vertice in corrispondenza
del vertice della L, e ritaglio via la parte eccedente
ciao
paolo

1-x
...
Eh si'! Dopo un'approssimazione di appena 21 ppm non poteva
che arrivare la soluzione matematicamente esatta.
Quel che mi stupisce e'
che e' arrivata in una notte.
Io ci ho messo di piu' a pensarlo!
Ciao
:o)
Livio
-------------------------------------------------
Inviato da: 62.10.37.53, via 
http://usenet.iol.it
 

 rimane un'area C non coperta, a forma di L, con entrambi i lati minori di
1
CORRIGE
con entrambi i lati non maggiori di 1
ciao
paolo
P.S.
Rivedendo le cose, mi accorgo che la mia soluzione non è sostanzialmente
differente da quella già data da Dario;
il discorso sulla possibilità di approssimare a piacere vale ovviamente
anche per quella;
dato un numero irrazionale, è sempre possibile trovare un numero razionale
che differisce dal primo meno di una quantità data piccola a piacere (magari
i matematici non si esprimono esattamente così, ma la sostanza è quella).
:-)

 Dato che 809/500 = 1.618 ~fi
Se anziché 809/500 consideri due numeri di Fibonacci consecutivi, per
esempio 987/610, oppure 1597/987, oppure...
;-)
ciao
paolo

(Spero che i server non facciano casino sull'ascii-art)
Volevo sottolineare come ho cercato di unire il topologico
(come ama definirlo Gianni Ravesi) con qualche cosa di
aritmetico molto classico, e che cosa c'e' di piu'
classico del rapporto aureo?
Ecco la serie di Fibonacci:
1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...
Nelle seguenti figure A e B hanno i lati secondo due
termini consecutivi della serie, C e D sono i complementi
al quadrato, E e' il ritaglio della terza tavoletta.
Il quadrato complessivo ha i lati uguali al termine
successivo della serie. (!)
 _ _ _
| | |_|
|_|_|B|
|_A_|_|
 _ _ _ _ _
| | |  E  |
|C|D|  _ _|
|_|_|_|   |
|  A  | B |
|_ _ _|_ _|
 _ _ _ _ _ _ _ _ 
|   |   |       |
|   |   |   E   |
| C | D |  _ _ _|
|   |   | |     |
|_ _|_ _|_|     |
|         |  B  |
|   A     |     |
|_ _ _ _ _|_ _ _|
 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 
|     |     |             |
|     |     |             |
|     |     |      E      |
|  C  |  D  |             |
|     |     |    _ _ _ _ _|
|     |     |   |         |
|     |     |   |         |
|_ _ _|_ _ _|_ _|         |
|               |    B    |
|               |         |
|       A       |         |
|               |         |
|_ _ _ _ _ _ _ _|_ _ _ _ _|
Il processo puo' continuare all'infinito arrivando
all'esatto rapporto aureo come trovato da Paolo Licheri.
Ciao  :o)
Livio
-- 
Posted from 
mta09-acc.tin.it
 [212.216.176.40] 


(Sto spezzando i messaggi, se no non passano!)
Per finire una soluzione esatta che ricorda quella
dissezione del rettangolo proposta tempo fa da Dario Uri:
 ___________
|\          |
| \         |
|  \        |
|   \       |1
|    \      |
| T   \     |
|______\____|_ _ _ _
|       \   |       |
|        \  |       |
|         \ |       |
|1         \|       |
|           \       |
|           |\      |
|___________| \     |L
|           |  \    |
|           |   \   |
|           |    \  |
|1          | T   \ |
|___________|______\|
|  scarto   |
|___________|x
L^2 = (2-x)^2 = 3-x
Lo stupore e' che il taglio orizzontale del triangolo T
coincida, per la soluzione mat. esatta, con la 
separazione dei primi due quadrati.
E questa e' l'unica soluzione a tagli rettilinei che
abbia trovato, mentre la sol.nr.2 e' quella con il
quadrato complessivo relativamente piu' grande.
Ciao  :o)
Livio
-- 
Posted from 
mta23-acc.tin.it
 [212.216.176.76] 


 ha
scritto: 


Anche i numeri di Dario fanno
parte di "una" serie di 
Fibonacci e anche in questo caso la convergenza
al 
rapporto aureo e' garantita:
1,5,6,11,17,28,45,73,118,191,309,500,809,1309,2118, ...
^^^^^^^^^^^
Ma non gli hai dato il tempo!  ;o)
Ciao  :o)
Livio
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Inviato da: 151.17.229.146, via 
http://usenet.iol.it
 

 abbia trovato,
Avresti potuto mettere nel problema originario la condizione dei tagli
rettilinei
La soluzione (forse) avrebbe tardato un po' di più
:-)
ciao
paolo

 1,5,6,11,17,28,45,73,118,191,309,500,809,1309,2118, ...
c'è sempre da imparare
pensavo che la cosa funzionasse solo con la serie 1,2,3,5....
:-)
ciao
paolo

:-)
Gia', ma io l'ho trovata "dopo". Perche' il perfetto 
masochista, prima fa
i problemi, poi li risolve...
Comunque non me la sono ancora spiegata
bene...
Cioe' non capisco perche' esiste. Se qualcuno...
Ciao  :o)
Livio
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Inviato da: 62.10.35.117, via 
http://usenet.iol.it
 

 Cioe' non capisco perche' esiste. Se qualcuno...
Il rapporto aureo ha diverse proprietą misteriose che si ritrovano anche in
natura. Vedi in proposito, tra l'altro, un post di Max Art sul mio sito.
Ai tanti misteri, ora ne aggiungiamo uno.
:-)
Scherzi a parte, vista a posteriori la spiegazione mi sembra abbastanza
facile
sia sempre x=0.618...
tra le proprietą del rapporto aureo ci sono anche:
1+x=1/x
(1+x)^2=2+x
considera la tua figura, con i tre quadrati unitari incolonnati
la linea inclinata genera tre triangoli simili,tutti con vertice nel punto
in alto a sinistra, le cui misure (altezza * base) sono:
1    x    (quando la linea taglia la base del primo quadrato)
1+x  1    (quando taglia il lato verticale)
2+x  1+x  (al termine)
e i tre rapporti sono uguali ad 1+x
ciao
paolo