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Titolo: Life

E' definita una matrice n x n: M_ij(t) i cui elementi siano posti 0 od 1,
con
uguale probabilita', al tempo 0.
La somma di N e' compresa tra 0 ed n^2, ed ha valore medio n^2/2.
Si definisca  S_ij(t) la somma degli 8 elementi adiacenti l'elemento ij, +
n_ij.
S_ij(t), pertanto, ha valori compresi tra 0 e 9.
Sia ora Mij(t +1) = 1 se S_ij(t) e' compreso tra 3 e 7,
            Mij(t +1) =  0 altrimenti.
Per i bordi, valga: Mij(t +1) = Mij(t).
Si lasci evovere il sistema per un tempo sufficiente.
Vi chiedo di rispondere a bruciapelo: la somma di M sara' diventata maggiore
o
minore di n^2 / 2 ?
sandro.kan

sandro.kan <gf...@tert.iyt> wrote in message
a148pf$i4t$1...@canarie.caspur.it...

A bruciapelo direi che:
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 il valore medio della somma aumenta, e come spiegazione semplicistica direi
perche' le configurazioni con valori vicini alla media sono di piu' di
quelle per valori lontani dalla media.
Vado a spiegarmi un po' meglio.
Prendiamo il caso banale di una matrice 3x3.
Consideriamo le 8 caselle del bordo, queste potranno avere le seguenti
somme:
Somma    probabilita'
0        1/256
1        8/256
2        28/256
3        56/256
4        70/256
5        56/256
6        28/256
7        8/256
8        1/256
Le configurazioni con somma = 0, 1 , 8 hanno equilibrio stabile, nel senso
che indipendentemente dal fatto che la casella centrale abbia valore
iniziale 0 oppure 1, alla successiva la casella centrale avra' valore 0
La configurazione con somma 2 ha equilibrio instabile, nel senso che la
casella centrale rimarra' con il valore che aveva all'inizio.
La configurazione con somma 7 non ha equilibrio, in quanto la casella
centrale oscillera' indefinitivamente tra 0 e 1.
Le configurazioni con somma 3, 4, 5, 6 hanno di nuovo equilibrio stabile,
nel senso indipendentemente dal fatto che la casella centrale abbia valore 0
oppure 1, alla successiva la casella avra' valore 1
Poiche' inizialmente la casella centrale avra' possibilita' 1/2 di essere 0
o 1, e le configurazioni con equilibrio (stabile o instabile) 1 sono molte
di piu di quelle con equilibrio 0, ne segue che al passo successivo (ai
passi successivi) la probabilita' che la casella centrale sia 1 e' molto
maggiore della probabilita' che la stessa casella sia 0. Poiche' le caselle
del bordo rimangono inalterate, ne consegue che il valore medio aumenta.
(Si puo' fare facilmente il conto, ma ve lo risparmio.)
Nel caso generale, io mi aspetto che come in questo caso il valore medio sia
comandato dalle configurazioni del bordo, che rimangono inalterate.
E l'intuito mi dice che le configurazioni con equilibrio > (n^2)/2 sono
maggiori di quelle in cui esso e' minore, sempre per il motivo espresso
all'inizio.
Mi sbaglio ?
--
Ciao,
Francesco - Franc...@Rinaldi.as
- TIOs , i Tornei Italiani Online
 
http://utenti.tripod.it/RinaldiF/partite.htm
"Life's but a walking shadow. A poor player
That struts and frets his hour upon the stage,
And is heard no more. It is a tale
Told by an idiot, full of sound and fury,
Signifying nothing."

> Mi sbaglio ?
Bellissima risposta, poiche' mi ha fatto venire in mente un altra
domanda a bruciapelo. Se sia, cioe', possibile trovare configurazioni
di bordo che forzino il sistema verso determinate soluzioni, a prescindere
dalle condizioni iniziali. Probabilmente in letteratura esiste gia'. Ci
pensero' su.
Ciao,
sandrokan