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Titolo: Poligono Massimo

Definisco "Poligono Massimo di Ordine N" quel poligono
equilatero di lato unitario che tassella il piano con la massima
area possibile.
Per N=3 esiste solo il triangolo equilatero, quindi esso e' il
poligono massimo di ordine 3.
Per N=4 il quadrato e' il poligono massimo poiche' ogni
rombo ha area minore.
Per N=5 ci sto lavorando io...  :o)
Per N=6 il poligono massimo e' l'esagono regolare.
Per N>=7 il poligono massimo puo' essere solo concavo,
ma la sua determinazione non sembra tanto scontata.
A titolo di gioco, vi chiedo di trovare eptagoni che tassellino
il piano con una buona area (possibilmente calcolata :o)), tali
da essere papabili al titolo di "Poligono Massimo di Ordine 7"
E vinca il migliore!  Ci proverete?
(Questo eptagono, un giorno, potrebbe portare il vostro nome)
Ovviamente, se qualche mente matematica superiore trovasse
un algoritmo valido per ogni N, sara' il benvenuto.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio
PS: questo mx e' cross-postato su IHE e ISM

 un algoritmo valido per ogni N, sara' il benvenuto.
proviamo ad abbozzare soluzioni semplici...
vai di FidoCad
spoiler
con l'angolo a che tende a 180 gradi si dovrebbe tendere ad area
massima...
posto l'eptagono e l'ottagono, si capisce facilmente che cosi' si va ad
n lati senza problemi...'
[FIDOCAD ]
LI 65 90 85 90
LI 105 90 125 90
LI 125 90 120 70
LI 120 70 120 50
LI 120 50 125 30
LI 125 30 105 30
LI 105 30 100 50
LI 100 50 100 70
LI 100 70 105 90
LI 75 30 65 50
LI 85 50 75 30
LI 65 50 60 70
LI 60 70 65 90
LI 80 70 85 50
LI 85 90 80 70
TY 55 70 5 3 0 0 0 * a
TY 75 70 5 3 0 0 0 * a
----------
Pinolo

 n lati senza problemi...'
Ottimo, soprattutto per la velocita' di risposta! La generalizzazione per N
qualsiasi e' altrettanto valida. Peccato pero' IMHO che non si tratti di
Poligoni Massimi.  :o)
Vediamo, per 'a' che tende a 180°, l'area del tuo eptagono vale 2.433+
e l'area dell'ottagono vale 3. Penso appunto che si possa fare di piu',
cmq ti ringrazio per aver dato il la. Son contento anche per il ritorno
di fidocad.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio


andiamo un pochino oltre...
per i poligoni di 4N lati sono pronto a scommettere che la soluzione
ottima e' quella qui di seguito (a voi la dimostrazione rigorosa).
L'area del tassello, per a che tende a pigreco, tende a N^2
riporto la soluzione per l'ottagono, per gli altri ci si arriva di
conseguenza...
[FIDOCAD ]
LI 60 90 65 70
LI 65 70 60 50
LI 60 50 85 45
LI 85 45 110 50
LI 110 50 105 70
LI 105 70 110 90
LI 110 90 85 95
LI 85 95 60 90
TY 85 40 5 3 0 0 0 * a
TY 100 65 5 3 0 0 0 * a
TY 85 95 5 3 0 0 0 * a
TY 65 70 5 3 0 0 0 * a
----------
Pinolo

 di fidocad.
Allora un piccolo miglioramento per l'eptagono, prendiamo un esagono e
aggiungiamo un triangolo equilatero su di un lato. In questo caso abbiamo un
eptagono degenerato in un pentagono di questo genere:
  /\
 /  \
 \_ /
L'area racchiusa vale 3.04+
Non sono sicuro che valga la degenerazione ma di sicuro si tassella il
piano.
Che ne dite vale?
Gabriele
[FIDOCAD]
LI 85 35 95 50
LI 95 50 85 65
LI 85 65 65 65
LI 65 65 55 50
LI 55 50 75 20
LI 75 20 85 35
LI 95 80 85 65
LI 85 65 95 50
LI 95 50 115 50
LI 115 50 125 65
LI 125 65 105 95
LI 105 95 95 80
LI 115 20 125 35
LI 125 35 115 50
LI 115 50 95 50
LI 95 50 85 35
LI 85 35 105 5
LI 105 5 115 20
LI 65 95 55 80
LI 55 80 65 65
LI 65 65 85 65
LI 85 65 95 80
LI 95 80 75 110
LI 75 110 65 95
LI 105 95 115 110
LI 115 110 105 125
LI 105 125 85 125
LI 85 125 75 110
LI 75 110 95 80
LI 95 80 105 95
LI 135 80 145 95
LI 145 95 135 110
LI 135 110 115 110
LI 115 110 105 95
LI 105 95 125 65
LI 125 65 135 80
LI 125 65 115 50
LI 115 50 125 35
LI 125 35 145 35
LI 145 35 155 50
LI 155 50 135 80
LI 135 80 125 65
LI 55 50 65 65
LI 65 65 55 80
LI 55 80 35 80
LI 35 80 25 65
LI 25 65 45 35
LI 45 35 55 50
LI 35 110 25 95
LI 25 95 35 80
LI 35 80 55 80
LI 55 80 65 95
LI 65 95 45 125
LI 45 125 35 110
LI 75 110 85 125
LI 85 125 75 140
LI 75 140 55 140
LI 55 140 45 125
LI 45 125 65 95
LI 65 95 75 110
LI 165 65 175 80
LI 175 80 165 95
LI 165 95 145 95
LI 145 95 135 80
LI 135 80 155 50
LI 155 50 165 65


Per l'ottagono, anzichè il *quasi* rettangolo 3*1, si può fare il *quasi*
quadrato 2*2. (figure 1,2)
Lo stesso procedimento si può adattare per tutti gli N multipli di 4, ma,
per il dodecagono, il *quasi* quadrato 3*3 è superato dal *quasi* esagono di
lato 2 (figura 3).
Per l'eptagono ho pensato quello di figura 3. Mi dirai che non tassella il
piano, ...  ma, al tendere degli angoli a 180 gradi, tende al *quasi*
trapezio, che lo fa. :-)
A parte le battute, chiedo se siano accettabili gli angoli di 180° (per
abolire tutti i quasi), ovvero se k lati unitari possano essere sostituiti
da un lato lungo K.
ciao
paolo
[FIDOCAD]
PV 10 40 15 10 45 15 75 10 80 40 75 70 45 65 15 70 4
LI 100 85 120 110 4
LI 120 110 130 135 4
LI 130 135 115 155 4
LI 115 155 100 185 4
LI 40 185 25 155 4
LI 25 155 10 135 4
LI 10 135 20 110 4
LI 20 110 40 85 4
LI 70 88 100 85 4
LI 40 85 70 88 4
LI 100 185 70 188 4
LI 70 188 40 185 4
PV 215 35 220 5 250 10 280 5 275 35 280 65 250 70 220 65 4
TY 95 15 20 12 0 0 0 * 1
TY 300 30 20 12 0 0 0 * 2
PV 240 100 280 100 295 140 300 180 260 175 220 180 225 140 4
TY 310 130 20 12 0 0 0 * 4
TY 145 125 20 12 0 0 0 * 3


Vedi perň la mia per il dodecagono.
Direi, fino a prova contraria, che la tua proposta č valida per i multipli
di 4, che NON siano anche multipli di 3.
ciao
paolo

 di 4, che NON siano anche multipli di 3.
E invece, la prova contraria anche per l'ottagono
L' area tende a 4.33+ (unione di due esagoni)
ciao paolo
[FIDOCAD]
PV 80 23 50 20 35 45 50 70 80 73 110 70 125 45 110 20
PV 35 110 50 85 80 85 95 110 80 135 50 135
PV 65 110 80 85 110 85 125 110 110 135 80 135

 da un lato lungo K.
Chiariamo questo punto.
Penso che siamo tutti d'accordo a dire che un infinitesimo non
e' uno zero e che un trapezio non e' un pentagono.
Da qui consegue che:
- non sono accettabili gli angoli di 180°, se non come limite di
un angolo che, tendendo a 180°, massimizza l'area, per cui
parleremo di area-limite.
- due pezzi non sono identici se differiscono di un
infinitesimo.
- una tassellatura non puo' avere buchi o sovrapposizioni
di un infinitesimo.
Pertanto, per tagliare la testa al toro, consiglierei di considerare,
laddove servano angoli che tendono a 180°, degli angoli ad es.
di 170° e 190°, verificarne l'esatta tassellatura, e poi magari
dire che al tendere di quegli angoli a 180°, l'area-limite vale tot.
D'accordo?  :o))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Che ne dite vale?
Direi di "NI"  :o)  (Vedi anche quello che ho detto a Paolo.)
Direi di NO alla tassellazione che proponi tu.
In essa, se tu fai i due angoli incriminati diversi da 180°,
o i due pezzi sono diversi, o la tassellatura e' imperfetta.
Se scrivi le equazioni agli angoli, vedrai che esiste "solo"
la soluzione con angoli=180°.
Diversamente sarebbe se la tassellazione fosse possibile
con angoli diciamo di 170° e 190° e che l'area si massimizzasse
al tendere degli angoli a 180°. Allora diremmo che l'area-limite
vale 3,0310889....
Ma ho risposto di "NI" perche' quello stesso pezzo che tu
proponi, con un angolo di 60° e UN angolo di 120° ammette
una tassellazione lecita nei termini innanzi detti...
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 quadrato 2*2. (figure 1,2)
Per l'ottagono il discorso pare assolutamente corretto.
Pero' non mi sembra che 4 sia la massima area ottenibile...  :o)))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 conseguenza...
Se non fosse chiaro quello che ho detto a Paolo e a GaS,
notiamo ancora come questo ottagono sia perfettamente
lecito. Infatti esso tassella "esattamente" il piano anche se
fosse: Ottagono(90,170,90,190,90,170,90,180). In questo
caso l'area sarebbe 4(cos5)^2 = 3.969...
Se usassimo angoli di 179° e 191°, l'area sarebbe di 3.999...
e varrebbe 4 come limite al tendere degli angoli a 180°.
Purtroppo, come ho gia' detto a Paolo, scommetto che
questo NON e' il Poligono Massimo di Ordine 8.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Pero' non mi sembra che 4 sia la massima area ottenibile...  :o)))
infatti in un altro post avevo indicato 4.33+
non so se sia il max.
ciao
paolo

 non so se sia il max.
Acc...  mi era sfuggito un post.
Fuochino, comunque!   :o)
Anch'io non so se i miei sono i massimi, non ho prove
matematiche. L'unica soluzione che ho trovato e' proporre
il quiz su un ng con le palle, come disse Dario Uri, e vedere
se qualcuno li supera.  :o)))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio


partendo da quella soluzione trovo un max di 4.40366948..., modificando gli
esagoni di partenza, non piů regolari, ma con altezza [anziché sqrt(3)] pari
a 1.86120972... che dovrebbe corrispondere a sqrt(2)*sqrt(sqrt(3))
l'angolo (ex 120 gradi) dovrebbe diventare all'incirca 137.0585974
s.e.o.o.
ciao
paolo

 questo NON e' il Poligono Massimo di Ordine 8.
Infatti, perché si può "ribaltare" una delle concavità ottenendo un
ottagono di area maggiore che tassella sempre il piano. In generale, se
x è un angolo compreso fra 90 e 180, posso costruire 
Ottagono(90, x, 270-x, x, 270-x, x, 90, 360-x)
che ha area: 2 - 2 cos(x) + sin(x).
Il massimo si trova quando tan(x) = -1/2, cioè x = 153,43...
L'area massima vale 2 + sqrt(5), se non ho fatto male i conti.
Maurizio

 L'area massima vale 2 + sqrt(5), se non ho fatto male i conti.
Vero. Ma Paolo (ed e' il mio max) ne ha scovato uno maggiore. :o)
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 l'angolo (ex 120 gradi) dovrebbe diventare all'incirca 137.0585974
Adesso coicide abbastanza con la mia.
Solo qualche differenza nelle virgole, ma io ho usato un metodo
numerico e tu forse analitico. E' cosi'? Cmq verifico.
Penso che per N pari, la generalizzazione possa passare per questi
esagoni ottimizzati nella "chiave".
Sia M=int(N/6) e R=0,2,4 il resto possibile, si hanno tre casi
a seconda del resto:
R=0  lati M x 6
R=2  lati M, M+1, M, M, M+1, M  chiave(M+1) da ottimizzare..
R=4  lati M+1, M, M+1, M+1, M, M+1  chiave(M) da ottimizzare.
Per N dispari sono ancora incerto sulla generalizzazione, mentre
per N=7 non ho ancora visto qua il mio massimo.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 numerico e tu forse analitico. E' cosi'? Cmq verifico.
Si', ho affinato il calcolo iterativo e adesso tornano anche le virgole.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 per N=7 non ho ancora visto qua il mio massimo.
Area = 3.03+ (pari a 7 triangoli equilateri unitari)
Costruisco un trapezio isoscele di lati 2,1,1,1 (mezzo esagono regolare);
sulla base maggiore costruisco un triangolo equilatero;
spezzo due lati di tale triangolo, e li deformo con una concavità e una
convessità, ottenendo l'eptaedro:
al tendere a zero della deformazione (al tendere degli angoli a 180°), la
figura tende a un pentagono formato da 7 triangoli equilateri unitari.
Sei di questi eptaedri formano un rosone 18edrico, che tassella il piano.
ciao
paolo
[FIDOCAD]
LI 52 144 212 144
LI 132 8 52 144
LI 132 8 212 144
PL 132 8 100 76 2
PL 100 76 52 144 2
PL 132 8 180 76 2
PL 180 76 212 144 2
PL 212 144 172 212 2
PL 52 144 92 212 2
PL 92 212 172 212 2
LI 260 160 420 160
LI 380 92 300 92
LI 300 92 380 228
LI 380 92 300 228
PV 340 20 260 156 300 224 380 224 420 156
LI 260 588 340 588
LI 340 588 380 656
LI 380 656 460 656
LI 460 656 500 724
LI 500 724 460 792
LI 460 792 500 860
LI 500 860 460 928
LI 460 928 380 928
LI 380 928 340 996
LI 340 996 260 996
LI 260 996 220 928
LI 220 928 140 928
LI 140 928 100 860
LI 100 860 140 792
LI 140 792 100 724
LI 100 724 140 656
LI 140 656 220 656
LI 220 656 260 588
LI 620 656 700 656
LI 700 656 740 724
LI 740 724 820 724
LI 820 724 860 792
LI 860 792 820 860
LI 820 860 860 928
LI 860 928 820 996
LI 820 996 740 996
LI 740 996 700 1064
LI 700 1064 620 1064
LI 620 1064 580 996
LI 580 996 500 996
LI 500 996 460 928
LI 460 928 500 860
LI 500 860 460 792
LI 460 792 500 724
LI 500 724 580 724
LI 580 724 620 656
LI 980 724 1060 724
LI 1060 724 1100 792
LI 1100 792 1180 792
LI 1180 792 1220 860
LI 1220 860 1180 928
LI 1180 928 1220 996
LI 1220 996 1180 1064
LI 1180 1064 1100 1064
LI 1100 1064 1060 1132
LI 1060 1132 980 1132
LI 980 1132 940 1064
LI 940 1064 860 1064
LI 860 1064 820 996
LI 820 996 860 928
LI 860 928 820 860
LI 820 860 860 792
LI 860 792 940 792
LI 940 792 980 724
LI 1340 792 1420 792
LI 1420 792 1460 860
LI 1460 860 1540 860
LI 1540 860 1580 928
LI 1580 928 1540 996
LI 1540 996 1580 1064
LI 1580 1064 1540 1132
LI 1540 1132 1460 1132
LI 1460 1132 1420 1200
LI 1420 1200 1340 1200
LI 1340 1200 1300 1132
LI 1300 1132 1220 1132
LI 1220 1132 1180 1064
LI 1180 1064 1220 996
LI 1220 996 1180 928
LI 1180 928 1220 860
LI 1220 860 1300 860
LI 1300 860 1340 792
LI 380 928 460 928
LI 460 928 500 996
LI 500 996 580 996
LI 580 996 620 1064
LI 620 1064 580 1132
LI 580 1132 620 1200
LI 620 1200 580 1268
LI 580 1268 500 1268
LI 500 1268 460 1336
LI 460 1336 380 1336
LI 380 1336 340 1268
LI 340 1268 260 1268
LI 260 1268 220 1200
LI 220 1200 260 1132
LI 260 1132 220 1064
LI 220 1064 260 996
LI 260 996 340 996
LI 340 996 380 928
LI 740 996 820 996
LI 820 996 860 1064
LI 860 1064 940 1064
LI 940 1064 980 1132
LI 980 1132 940 1200
LI 940 1200 980 1268
LI 980 1268 940 1336
LI 940 1336 860 1336
LI 860 1336 820 1404
LI 820 1404 740 1404
LI 740 1404 700 1336
LI 700 1336 620 1336
LI 620 1336 580 1268
LI 580 1268 620 1200
LI 620 1200 580 1132
LI 580 1132 620 1064
LI 620 1064 700 1064
LI 700 1064 740 996
LI 1100 1064 1180 1064
LI 1180 1064 1220 1132
LI 1220 1132 1300 1132
LI 1300 1132 1340 1200
LI 1340 1200 1300 1268
LI 1300 1268 1340 1336
LI 1340 1336 1300 1404
LI 1300 1404 1220 1404
LI 1220 1404 1180 1472
LI 1180 1472 1100 1472
LI 1100 1472 1060 1404
LI 1060 1404 980 1404
LI 980 1404 940 1336
LI 940 1336 980 1268
LI 980 1268 940 1200
LI 940 1200 980 1132
LI 980 1132 1060 1132
LI 1060 1132 1100 1064
PV 744 244 664 380 704 448 784 448 824 380
PV 744 244 904 244 944 176 904 108 824 108
PV 744 244 904 244 944 312 904 380 824 380
PV 744 244 584 244 544 312 584 380 664 380
PV 744 244 824 108 784 40 704 40 664 108
PV 744 244 584 244 544 176 584 108 664 108

 Sei di questi eptaedri formano un rosone 18edrico, che tassella il piano.
Sono molto contento che tu abbia scovato questa struttura.
Spero che abbia dato soddisfazione anche a te il trovarla.
Sottolineiamo che il bello di questo eptagono e' che non e' necessario
far tendere a 180° gli angoli incriminati per ottenere una tassellatura
perfetta,
infatti le condizioni sufficienti sono che l'angolo piu' acuto sia di 60°
e che UNO dei due angoli piu' opposti a questo sia di 120°.
Il modo generico di costruire questo eptagono equilatero e' il seguente.
- si scelgano due spezzate angolate tra loro di un angolo vicino a 180°,
  ad es. 170°.
- si uniscano con un angolo di 60°.
- si costruisca una spezzata rigida di due lati a 120° tra di loro.
- la si incernieri alla precedente imponendo poi l'ultimo lato.
Si puo' verificare che questo eptagono tassella il piano ricodando
che la somma degli angoli di un poligono e' (N-2)Pi.
Dopo di che possiamo far tendere l'angolo a 180° per dire che
l'area-limite e' di 3.03....
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Adesso pero' come faccio a dirti che conosco un eptagono con
area maggiore di questo?  :o))
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Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 area maggiore di questo?  :o))
:-(((
ciao
paolo

 da essere papabili al titolo di "Poligono Massimo di Ordine 7"
Ho messo le mie soluzioni qua:
http://www.geocities.com/liviozuc/maxpol.html
Come al solito saro' grato a quanti mi segnalassero errori,
imprecisioni, stafalcioni...
Mancano anche un paio di formule da ricavare derivando,
ponendo uguale a zero, risolvendo... Chi volesse aiutarmi,
al massimo avra' una citazione a pie' pagina...  :o))
NB: Le mie soluzioni sono indimostrate. Qualcuno potrebbe
trovare un poligono di area maggiore di quelli che indico io.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio