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Titolo: Il mio teorema del cuoco

Da vari anni vado a mangiare in un posto (macrobiotico) dove il cuoco si fa
un mazzo inenarrabile che mi ha dato spunto per una riflessione.
Il cuoco lavora dal mattino alle 7 alla sera alle 10 e non avendo davanti a
se ne la rosa dei piatti da preparare ne tempo di scriverli, ogni volta per
preparare il pasto deve attingere obbligatoriamente alla sua memoria.
Nulla di strano sembrerebbe invece questa situazione contiene un dilemma a
mio avviso molto interessante.
Supponiamo che il primo giorno abbia ben presente la rosa delle scelte a
sua disposizione sicchè simulo la situazione iniziale con tante vaschette
di area 1 per ciascun piatto
|a=1|b=1|c=1|d=1|...|n=1|
e supponiamo di simulare il suo criterio di scelta rappresentandolo con il
lancio di una pallina nell'area dove sono presenti tali vaschette e andando
quindi a imbucarsi in una anzichè all'altra vaschetta determinando dunque
la scelta del piatto del giorno.
La probabilità dunque che capiti un piatto (vaschetta) o un'altro è 1/n.
Ora supponiamo (sempre per simulare il suo criterio di scelta legato alla
memoria) di allargare del doppio l'area una certa vaschetta V (simulando
una sorta di rete neurale casereccia) ogni volta che viene scelta tale
vaschetta, portandola dunque da 1 a 2 o generalizzando da x a x+1,
aumentando la sua probabilità di uscita.
La situazione che verrebbe a crearsi sarebbe dunque (ad esempio) la
seguente:
|a=1|b=1|c=1|d=2|...|n=1|
Il campo di probabilità sarebbe dunque n+1 e dunque non più n.
Ora per i primi giorni più o meno verranno scelti i piatti con probabilità
equivalente ma quando i giorni passano cosa succede realmente ?
Succede che verranno scelti sempre di più gli stessi piatti fino (nel caso
in cui i giorni tendessero a infinito) a scegliere un solo piatto !!!!
sbaglio ?
Ora vi domando come faccio a rappresentare tale fenomeno (e a dimostrare
quindi il mio teorema) se tale il campo di probabilità è "elastico" ossia
dipende dall'andamento del fenomeno. Il campo delle possibilità aumenta
sempre di 1 ma quello delle probabilità è veramente difficile da gestire.
un saluto a tutti
Francesco

Scusa, qual è la domanda?
Ste

 Scusa, qual è la domanda?
beh effettivamente non era molto chiara :-)
La riposto meglio cambiandola anche un po'
Dimostrare che per giorni => infinito il piatto è unico.
bye
Fra
p.s.
spero che qualcuno ci riesca poichè non mi sembra affatto un semplice di
facile soluzione.

 Dimostrare che per giorni => infinito il piatto è unico.
Non e' detto che questo accada, a dire il vero.
Interessante perche' il problema con due soli piatti potrebbe modellizzare
il bilinguismo.
Una persona usa la lingua che conosce meglio e la conosce meglio
usandola.
In pratica occorre calcolare una probabilita' di avere certe probabilita'.
Io comincerei a studiare il caso con soli due piatti, perche' in questo
caso dovrei studiare la probabilita' di avere una certa probabilita',
cioe' avrei un grafico piano.
Invece con piu' variabili diventa un macello.
E' gia' un casino cosi'.
Poi forse comincerei a discretizzare il tempo.
Numericamente forse si riesce a fare un programmino.
Pero' il casino e' che ad ogni passo tu ottieni la probabilita' di avere
una certa probabilita'.
Ipotizziamo di cominciare da una probabilita' certa di 0.5 e 0.5 per la
scelta vino bianco/vino rosso
Che facciamo succedere alle probabilita' dopo la scelta?
Come la facciamo avvicinare alla certezza matematica?
Poi, dopo il primo passo io ottengo una distribuzione di probabilita' di
ottenere una certa probabilita'.
Al passo successivo che faccio?
Per ogni probabilita', presente con una certa probabilita', otterrei una
certa probabilita' di avere certe probabilita'.
Posso fare collassare questo concetto ottenendo un'unica distribuzione
delle probabilita' di avere una certa probabilita' non condizionata dalla
storia intermedia?
Una probabilita' che pero' sarebbe piu' quella di indovinare una certa
probabilita' che quella presente a quell'istante data una certa storia, e
che rischierebbe di non mostrare quanto tu vuoi vedere perche' mostrerebbe
gli sttrattori equiprobabili senza dirti che sono attrattori.
Vedresti gli attrattori solo considerando separatamente le varie
evoluzioni.
-- 
Look at my Uahlim's Ambipur gallery: 
http://www.revil.it/ambipur

in un foglio di excel ho preparato un modello per il problema del
bilinguismo...
chiaramente, è più probabile che i piatti del giorno "escano" più spesso e
la probabilità che vengano richiamati, tende a 1, ma in pratica non è detto
che vada così...
ho creato due colonne che ho chiamato piatto 1 e piatto 2 (P1 e P2)... nella
prima riga ho scritto in ciascuna colonna 1, probabilità relativa che quel
piatto diventi piatto del giorno...
Ho chiamato Tot la colonna adiacente, che mi calcola il totale delle
probabilità relative... questo valore non è indispensabile, ma mi torna
utile in segiuto...
Ho chiamato la quarta colonna Rnd, perchè qui viene scelto in modo
arbitrario il piatto del giorno... con il comando CASUALE() genero un numero
a caso tra 0 e 1, se questo numero è minore o uguale ai valori correnti di
P1/TOT allora P1 è il piatto del giorno, altrimenti P2...
Nella riga successiva, P1 viene incrementato di 1 se il piatto del giorno
era P1, altrimenti viene lasciato invariato... l'analogo dicasi per la
colonna 2...
ogni foglio è composto da 65536 righe, quindi se escludo la prima riga che
contiene i nomi delle colonne posso simulare 65535 piatti del giorno, pari a
circa 180 anni.
Premendo F9 ho un'altra simulazione.
Ecco alcuni risultati:
P1: 33750 (0,51)
P2: 31785 (0,49)
P1: 23337 (0,36)
P2: 42198 (0,64)
P1: 1870 (0,03)
P2: 63665 (0,97)
P1: 61165 (0,93)
P2: 4370 (0,07)
P1: 3815 (0,06)
P2: 61720 (0,94)
...
Se volete il foglio di calcolo fatemi sapere...

 Se volete il foglio di calcolo fatemi sapere...
Lo voglio!
Cosi' imparo anch'io a fare le simulazioni con excel.


 bilinguismo...
Ho provato a ricostruire un foglio analogo per il *trilinguismo*
ecco alcuni risultati:
           0.356       0.346       0.298
           0.103       0.232       0.665
           0.333       0.497       0.169
           0.322       0.358       0.321
           0.591       0.239       0.170
           0.468       0.258       0.275
           0.078       0.704       0.218
           0.241       0.072       0.687
           0.388       0.129       0.483
           0.117       0.490       0.393
           0.249       0.503       0.249
           0.157       0.737       0.105
           0.723       0.266       0.011
           0.285       0.335       0.380
           0.115       0.345       0.540
           0.286       0.056       0.659
           0.398       0.095       0.506
           0.532       0.146       0.323
           0.215       0.783       0.002
           0.297       0.026       0.677
Una osservazione che mi pare interessante č che le percentuali si
stabilizzano piuttosto rapidamente, sia per il bilinguismo che per il
trilinguismo. Dopo qualche centinaio di prove si trovano risulltati non
dissimili da quelli a 65535 prove.
E' un problema interessante, che, piů che ai piatti del giorno o al
pluringuismo, mi fa pensare all'equilibrio tra specie viventi.
ciao
paolo

 Se volete il foglio di calcolo fatemi sapere...
assolutamente si....
...ovviamente devi cancellare quello che c'è da cancellare per mandarmi
l'email
allora attendo la tua email
ciao e ancora grazie !
Francesco
p.s. mi sa che se non assume qualcuno dovrò cambiare locale di ristorazione
:-)

 paolo
ciao
Francesco
p.s
A me la storia delle specie viventi non sarebbe mai venuta in mente O_O

Il quesito è interessante. Lo affronterei in modo sistematico con un grafo
infinito. Da ogni nodo si diparte un arco per ogni scelta possibile, a cui
possiamo associare una probabilità. Lo spazio diventa così dato dai cammini
(infiniti) realizzabili e dalla loro probabilità. Si tratta di dimostrare
che esistono cammini con probabilità 1 (in cui perciò una delle scelte
diventa sempre più probabile tendendo alla certezza).

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Esaminando il problema in maniera non formale ho tratto le seguenti
conclusioni:
- non è affatto detto che ci sia la prevalenza di una scelta sulle altre
- ci sono delle distribuzioni di probabilità delle scelte più probabili
delle altre
Infatti per n molto grande la variazione di probabilità tra le scelte non
varia di molto ed anzi tende ad essere zero: in pratica per n molto grande
la distribuzione è praticamente costante. Se ad esempio ci fossero due
scelte possibili, una con prob 0.8 ed una con prob. 0.2, ed n, poniamo, un
miliardo, risulterebbe estremamente improbabile che, ad esempio il caso 0.8
uscisse con una frequenza anomala rispetto a quella di 8/10 tanto da variare
significativamente tale probabilità. Pertanto superata una certa soglia di n
diventa quasi certo che le prob. si stabilizzeranno.
D'altro lato questa stabilizzazione deriva dall'essersi verificata una certa
sequenza precedente. Ora non tutte le sequenze iniziali sono equiprobabili.
Perciò ci saranno delle distribuzioni di probabilità delle scelte più
probabili delle altre.

ops, mi č rimbalzata indietro la mail con il foglio che mi avevi chiesto...
sono formule semplici ma ripetute taaaante volte... č un file di quasi 10Mb!
provo a comprimere e a rispedire... senno' ti dico passo passo come fare per
fartene una copia anche te...
Ste

dopo compressione siamo arrivato a 2Mb circa di dati... che faccio, invio lo
stesso?
Ste

 stesso?
Tenuto conto che una azienda un paio di giorni fa mi ha spedito un file da
4 mega !!! dopo che ne aveva spediti 3 da 3 mega (meno male che ero a casa
mi è arrivato anche il mess da libero), tenuto conto di tutto questo il
resto è una passeggiata, quindi spedisci pure :-)
grazie mille per l'impegno e per la tua accortezza (che gli utenti
sprovveduti di fastweb non hanno)
Francesco

 delle altre
Mah?
Ho provato a simulare il problema con un programmino in basic.
Parto con due piatti A=1, B=1; lancio la moneta con probabilità A/(A+B)
di centrare il piatto A, e B/(A+B) di centrare il piatto B.
Ad ogni lancio, il piatto centrato incrementa di una unità.
Dopo 10000 lanci verifico il valore finale A/(A+B), che cade in uno dei
10 intervalli 0-0.1; 0.1-0.2; ....0.9-1.0.
Ripeto la prova 10000 volte.
Ecco i risultati:
0.0          0.1          996
 0.1          0.2       1 053
 0.2          0.3       1 016
 0.3          0.4          928
 0.4          0.5          993
 0.5          0.6       1 020
 0.6          0.7          993
 0.7          0.8          969
 0.8          0.9       1 012
 0.9          1.0       1 020
Devo dire che non me li aspettavo: aspettavo qualcosa come una
gaussiana, o meglio una campana rovesciata
Mah?
ciao
paolo

 Dopo 10000 lanci verifico il valore finale A/(A),
Leggasi A/(A+B)

 Leggasi A/(A)
Ma cosa cavolo succede? scrivo A più B tra parentesi, e trovo soltanto
A.
che ci sia qualche virus che si mangia le B?
ciao
paolo

io leggo (A+B) nei tuoi messaggi ma solo A quando ti quoti da solo... o il
tuo computer č posseduto, o č il maledetto correttore ortografico automatico
(che Outlook Express non dovrebbe avere... credo)...
Ciao,
  Ste

 10 intervalli 0-0.1; 0.1-0.2; ....0.9-1.0.
Mi sono spiegato male:
1) intendevo dire che non c'è necessariamente una scelta che diventa sempre
più probabile fino a predominare su tutte tendendo alla certezza
2) la distribuzione di probabilità a cui converge il sistema è fortemente
influenzato dalla casualità e variabilità della sequenza iniziale. Dato che
ad esempio su 1000 prove è più improbabile, partendo da 1 su tutti i piatti,
che una scelta esca, che so 700 volte e le altre complessivamente 300
rispetto al caso in cui i casi si ripartiscono in modo meno "estremo", se ne
deduce che le distribuzioni finali non sono equiprobabili.
Per dimostrare che vi è convergenza, al crescere del numero di  prove n,
basta osservare che la variazione delle probabilità tende a zero con ordine
n. Quindi per n sufficientemente grande la distribuzione di probabilità si
"assesta" ed in pratica ci troviamo in una situazione in cui ogni piatto ha
una sua probabilità, praticamente fissa, di essere scelto. Ad esempio se
n=1.000.000 ed un piatto ha al milionesimo piatto una prob
300.000/1.000.000=0,3.... si hanno i seguenti casi:
il piatto viene scelto: p=300.001/1.000.000=0,300001
il piatto non viene scelto: p=0,3
Spero di essermi capito

 ha scritto nel messaggio
news:cdqfd2$csg$1...@grillo.cs.interbusiness.it...


 però è stato divertente fare il foglio di calcolo!
Si, l'ho fatto anch'io. Ciao

 ha scritto nel messaggio
news:cdqhnp$ngu$1...@balena.cs.interbusiness.it...


Parliamo di cose diverse... rileggi i post precedenti.
Comunque ho proposto una nuova versione, sicuramente più realistica perchè
non vi è il "decadimento" nel tempo della variabilità delle probabilità che
deriva dal supporre che la somma dei pesi possa crescere all'infinito.
Più che un problema di ricerca operativa è di semplice calcolo delle
probabilità...
bai bai

a me sembra di parlare della stessa cosa, forse non sono in grado di farmi
capire bene. scusate!
Ste

"Francesco Rotta"
bah io ci provo :-)
Inizialmente faccio comunque notare una cosa abbastanza ovvia che lo
squilibrio maggiore è all'nizio e che tende ad attenuarsi via via (ossia
A=1 B=2 è ben diverso che A=100 B=101), ma ciò comunque non garantisce alla
lunga uno spazio equiprobabile.
Ecco una mia (molto approssimativa) dimostrazione:
Scelgo la strada più vantaggiosa X per mantenere lo spazio equiprobabile
ossia:
A=1 B=1
A=1 B=2 => P(A)=1/3
A=2 B=2
A=2 B=3 => P(A)=2/5
A=3 B=3
A=3 B=4 => P(A)=3/7
A=4 B=4
..............
Quindi un continuo bilanciamento forzato tra A e B
Traducendolo in formula il fenomeno X sarebbe:
P(X) = 1/3 * 2/5 * 3/7 *.........
P(X) = Produttoria [(n/(2n+1)] per n=>infinito
P(X) =  n!/(2n+1)! che tende a 0 (per n=>infinito) più rapidamente
addirittura di 1/n! (perdonate l'imprecisione ma mi ricordo poco di
matematica).
Si consideri ovviamente lanci=2n+1 ossia n=(lanci-1)/2 ma ciò non cambia
molto il risultato.
Inoltre dovrei sommare anche le situazioni più critiche.
Ossia quelle contenute nell'albero (rami esterni):
AB
AAB , ABB
AAAB , AABB , AABB , ABBB <======
AAAAB , AAABB , AAABB , AABBB , AAABB , AAABBB , AABBB , ABBBB
...........
Quelle centrali ovviamente si riferiscono alla situazione più favorevole
per garantirmi uno spazio equiprobabile.
Bisognerebbe fare dei calcoli (non facile), ma supponendo di equipararle
tutte a P(X) direi che anche somandole tutte si arriverebbe per lanci
infiniti a
P(area A = area B) = 0
Come vi sembra ?
Se qualcuno che appoggiasse quanto detto volesse completare il mio rozzo
ragionamento è ben accetto :-)
Francesco

 la distribuzione è praticamente costante.
ok immaginavo che qualcuno lo notasse :-) comunque agganciati pure
all'altro mio post per rispondermi

 ragionamento è ben accetto :-)
Io ho un'idea che esula dal calcolo delle probabilità "puro" ma non la dico
perchè influenzerebbe la ricerca della soluzione dell'altro quesito, quello
con la somma dei pesi costante...