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Titolo: Un'altra formica

Una formica F, che si trova su un vertice di una tela metallica di 9*12
maglie quadrate, vuole raggiungere una goccia di miele M che si trova sul
vertice opposto.
    _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ M
   |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
   |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
   |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
   |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
   |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
   |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
   |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
   |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
   |_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|_|
  F
La formica ha calcolato che il tragitto minimo e' di 21 passi (12 passi
verso destra e 9 verso l'alto), e che questo minimo puo' essere ottenuto con
diversi percorsi.
Quanti?
ciao
paolo

Paolo Licheri ha scritto:

Non do la soluzione, ma solo due varianti:
1) Come al solito mi piace pensare che tutto si muova a caso, e quindi
immagino che la formichina scelga a caso tra i possibili passi, destra ed
alto (ovviamente sui bordi superiore e destro la direzione e' forzata). Se
ripete il tragitto un gran numero di volte, in media quante saranno quelle
in cui raggiunge il miele dal basso?
2) i cambi di direzione fanno perdere tempo: ci vogliono dieci secondo ad
attraversare un tratto di rete, ed un altro secondo per ogni manovra di
svolta. Qual'e' il tempo medio del tragitto?
Ciao, Silvio

Ciao, Silvio
ciao
paolo

 adattato qualche procedimento risolutivo?
Metodi simili sono comuni in problemi di questo tipo. Un esempio
notissimo che si trova su molti libri:
In un rettangolo M*N in quanti modi diversi posso andare dalla casella
in alto a sinistra a quella in basso a destra, passando da una casella
ad una adiacente e ortogonale, senza mai tornare indietro, posso
muovermi solo a destra o in basso?. 
Il metodo e' lo stesso:
0  1  1  1  1...
1  2  3  4  5...
1  3  6 10 15...
1  4 10 20 35...
1  ...
In ogni casella metto la somma sopra+sinistra.
Non e' difficile calcolare tutta la tabellina fino al valore voluto, ma
c'e' un metodo piu' matematico.
Possiamo notare che i valori sono i coefficenti binomiali dati dal tri.
di Pascal, allora numerando righe e colonne 1,2,3,4,5...n  abbiamo per
le righe:
2)= C(n,1)
3)= C(n+1,2)
4)= C(n+2,3)
5)= C(n+3,4)
...
k)= C(n+k-2,k-1)
Per la riga 9 e colonna 12 = C(12+7,8) = 75582.
ciao :)dario

 Per la riga 9 e colonna 12 = C(12+7,8) = 75582.
credo che si debba utilizzare la riga 10 e la colonna 13
Ciao, Silvio

 cioe' la probabilita' P=9/21
non sono daccordo. hai fatto lo stesso ragionamento che fece Italo sul
footing di Lucia.
e' vero che il rapporto tra i percorsi che terminano verso l'alto e quello
che terminano verso destra e' 9/21, ma i percorsi _non sono equiprobabili_
(sono le singole scelte ad esserlo!).
prova a riesaminare il problema tenendo conto di cio'. per convincerti
prova con un caso semplice (3X2). ci sono due percorsi che arrivano da
destra ed uno solo che arriva dal basso, ma i due da destra hanno
probabilita' 1/2 e 1/4 (rispettivamente quello con una e due svolte),
mentre quello dal basso ha probabilita' 1/4. allora le probabilita' di
arrivare dal basso sono 1/4 e non 1/3 come otterremmo se considerassimo
equiprobabili i tre percorsi.
Ciao, Silvio


Perche? i valori dovrebbero essere questi:
1 1  1   1   1    1    1    1     1    1      1     1
1 2  3   4   5    6    7    8     9   10     11    12  
1 3  6  10  15   21   28   36    45   55     66    78
1 4 10  20  35   56   84  120   165  220    286   364 
1 5 15  35  70  126  210  330   495  715   1001  1365
1 6 21  56 126  252  462  792  1287  2002  3003  4368  
1 7 28  84 210  462  924 1716  3003  5005  8008 12376
1 8 36 120 330  792 1716 3432  6435 11440 19448 31824
1 9 45 165 495 1287 3003 6435 12870 24310 43758 75582
dario

 1 9 45 165 495 1287 3003 6435 12870 24310 43758 75582
forse pensi che la formica debba camminare nei quadrati invece che sui
vertici del reticolo (io all'inizio avevo frettolosamente capito cosi').
se ho ben interpretato il problema allora la tua dodicesima colonna
corrisponde all'undicesimo passo verso destra e cosi' per le righe.
comunque possiamo interpretare i possibili percorsi della formica come i
modi possibili di distribuiore i dodici passi verso l'alto su un totale di
21 passi, da cui ricaviamo n=C(21,12)=C(21,9)=293930
Ciao, Silvio

Ciao, Silvio
ciao
paolo

Ciao, Silvio
ciao
paolo

 vertici del reticolo (io all'inizio avevo frettolosamente capito cosi').
Sono andato a rileggere, acc.!!    proprio cosi'. 
ciao :( dario