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Titolo: ancora probabilità....

Discussione tra amici su un quesito posto da Focus che non si riesce più a
recuperare.
In sintesi:
tiro in aria 2 monete e copro il risultato.
Ne scopro una e faccio vedere che è testa.
Quale la possibilità che anche l'altra sia testa ?
Accesa discussione tra i sostenitori del 50% (tra i quali io) e dei 2/3 (tra
i quali Focus, mi è sembrato di capire).
Sono poi volati nomi strani come Bayes e Erlang B e C che hanno ridotto il
numero dei contendenti a pochi eletti.
Chi risolve l'arcano con frasi comprensibili al vulgo ?
        Rebrac

 i quali Focus, mi è sembrato di capire).
Premetto che non sono un esperto di probabilita'. Vado molto "a buon senso".
Non ho capito bene come viene scelta la moneta che viene scoperta (e 
questo mi cambia il risultato).
Se viene scoperta a caso (e quindi consideriamo soltanto il 50% dei 
casi, quelli in cui e' testa), la possibilita' che l'altra sia testa e' 1/2.
Se invece dopo il lancio guardo le monete e mostro sempre una che e' 
testa (quindi escludo dal conto solo i casi in cui sono uscite due 
croci), la probabilita' che anche l'altra sia testa e' 1/3.
bye
-- 
Paolo Lucchesi
email: plucchesi(at)tin(dot)it
home page: 
http://www.paololucchesi.it


il fatto è che scopri una moneta "a caso". supponi di fare il seguente 
gioco:
lanci un moneta e la copri. lanci l'altra moneta e non la copri. la 
seconda è testa. qual è la probabilità che lo sia anche la prima?
invece di darti la risposta, ti invito a riflettere sul seguente:
tu sai che ho due figli. ti dico che uno dei due è maschio. qual è la 
probabilità che siano entrambi maschi?
tu sai che ho due figli. ti dico che il maggiore è maschio. qual è la 
probabilità che siano entrambi maschi?
pazqo
ps: se trovi risposta a questi, capisci meglio le difficoltà del quesito 
precedente
-- 
www.pazqo.altervista.org

 probabilità che siano entrambi maschi?
Questo non c'era.
Direi 50% anche in questo caso.
Se ho detto boiate scusassero. :-)
        Rebrac

 Direi 50% anche in questo caso.
la differenza sta nel fatto che qua hai modo di distinguere i due figli. 
Quindi:
nel primo caso le possibilità sono mm, mf, ff; <--- in questo caso la 
probabilità è 1/3
nel secondo caso le possibilità sono Mm, Mf, Ff, Fm; <--- in questo caso 
la probabilità è 1/4 (la differenza è che mf = fm mentre Fm != Mf)
se non ho sbagliato qualche cosa... :-)
pazqo

 pazqo
Ciao

 A meno che non abbia sbagliato io... ;-)
no, no. non ero sicuro della risposta, infatti... :-)
grazie per la correzione!
pazqo
-- 
www.pazqo.altervista.org

 la probabilità che l'altro sia maschio è 2/3
E' la tesi sostenuta dai miei amici.
La contro tesi è:
Va bene, sappiamo che uno è maschio.
E chissenefrega.
L'altro potrà essere o M o F, quindi ho solo 2 possibilità, ergo 50%
O no ?
        Rebrac

 la probabilità che l'altro sia maschio è 2/3
Non mi torna. L'altro e' maschio solo nel caso mm, quindi 1/3.
O sono io che non capisco?



Pardon...logicamente 1/3
Ciao

 O no ?
No.
Qui entra in gioco la formula di Bayes : P(A|B)=P(A,B)/P(B)
B="ALMENO 1 figlio è maschio"
A="L'altro figlio è maschio"
A|B=evento condizionato (L'altro figlio è maschio SAPENDO che l'altro figlio
è maschio)
A,B=evento congiunto (1 figlio è maschio E l'altro figlio è maschio)
P(A,B)=1/4 (Le 4combinazioni di figli sono equiprobabili)
P(B)=3/4 (Su 4 combinazioni 3 hanno almeno1 maschio)
Quindi P(A|B)=(1/4) / (3/4)= 1/3
Spero che sia chiaro :-)
Ciao

 Spero che sia chiaro :-)
Chiaro e' chiaro, ma il fatto che i 2 eventi sono indipendenti l'uno
dall'altro non varia nulla ?
        Rebrac

 ha scritto nel messaggio
news:UFu5e.173$TR5...@news.edisontel.com...

Gli eventi considerati NON sono indipendenti, e puoi accorgertene facilmente
rappresentando i 2 insiemi B="almeno un figlio è maschio" e A="entrambi i
figli sono maschi": logicamente il 2° è contenuto nel 1°. Quindi gli eventi
non sono indipendenti.
Diversa sarebbe la situazione se A="il 1° figlio è maschio" e B="il 2°
figlio è maschio": gli insiemi non hanno intersezione, quindi sono
indipendenti
Ciao

 ha scritto nel messaggio
news:yUt5e.1196594$35.44...@news4.tin.it...

Non sono d'accodo.
Nel problema esposto SO per certo che uno dei due figli è maschio.
Quindi, nel mio caso specifico, P(B)=1
Quella che hai calcolato con la formula è la risposta alla domanda:
"chiedo il sesso di un figlio a caso: qual è la probabilità che siano
entrambi maschi se avessi come risposta che uno dei due è maschio?".
Ora pero' il sesso di uno gia' lo conosco. Non ho più una probabilità, ma
una certezza.
Rimane il sesso dell'altro. Evento indipendente. 50%
Il fatto che un figlio sia o meno maschio è totalmente indipendente dal
sesso del fratello
E' come la differenza tra:
lancio un dado: calcolare la probabilità di ottenere 3 in caso di uscita di
un numero dispari
lancio un dado e ottengo un numero dispari: calcolare la probabilità che
questo numero sia 3
Tutto imho.
PiErre
.


Questa invece non l'ho capita: le affermazioni mi sembrano semanticamente
identiche...
Ciao

 l'altro? Logicamente 1/3.
Direi di no... e' una cosa di cui s'e' gia' parlato in passato e che e'
affrontata dallo stesso Martin Gardner... Imho, dipende molto dal
significato che si attribuisce all'affermazione "uno dei due figli è
maschio" o alla corrispondente "uno dei due è dispari"... Nel tuo esempio
assumi che sia piu' logico che tra i quattro eventi equiprobabili [DD, DP,
PD, PP... dove P e' pari e D e' dispari] l'affermazione che fai si limita
ad escluderne uno... vero in parte, ma in realta' io non ho idea di come
tu abbia scelto o dedotto l'informazione da darmi... Per esempio, se tu
scegli di dirmi la parita' o disparita' del secondo numero e' evidente che
escludi due possibilita'... come faccio a essere sicuro che la tua
affermazione sia da prendere nel primo significato piuttosto che in questo
secondo? Qua su IHE si prende il primo, ma solo per convenzione. :-)
Per quel che dice MG, puoi leggere questo messaggio:
http://www.google.it/groups?as_umsgid=954cbg%24fnmo2%2...@ID-17065.news.dfncis.de
Ciao ciao
Claudio [che ha cambiato nick... ma tiene l'originale nell'indirizzo]


Era questo che intendevo con "differenza sottile": concordo che
l'affermazione "uno dei miei due figli č maschio" č equivoca. Tuttavia credo
che sia piů logico associarla a "ho (almeno) un figlio maschio" piuttosto
che " il mio primogenito č maschio". Il secondo caso richiede una
informazione in piů rispetto a quella che abbiamo nel problema (in questi
casi si parla di "ragione insufficiente") quindi secondo l'approccio
classico bisogna considerare la prima delle due affermazioni. Il fatto che
il problema venga presentato in modo equivoco č imho un espediente per
rendere interessante una questione banale
Ciao

 per rendere interessante una questione banale
Vero! :-)
Ciao ciao
Claudio

 Claudio [che ha cambiato nick... ma tiene l'originale nell'indirizzo]
Ciao Claudio.
Ho letto tutto il thread :-(
Ovviamente, anche la mia risposta iniziale al problema è stata
immediatamente  p=1/3
Per i motivi (MM MF FM) già indicati e sostenuti dai vari partecipanti.
Però, pensandoci meglio, il ragionamento e la soluzione non mi
sembrano realistici e convincenti.
In effetti, il problema (Alberto ha due figli di cui almeno uno
è maschio) implica di considerare il numero di figli maschi nelle
famiglie che hanno due figli.
Distinguendo il primo dal secondo figlio si hanno 4 possibilità:
FF, FM, MF, MM. Se si assumono ugualmente possibili (p=1/4) è come
assimilare il sesso di un nascituro al lancio di una moneta: il che,
secondo me, è arbitrario e una forzatura.
Primo, perchè attribuire probabilità 1/2 alla nascita di un maschio
vale solo in prima approssimazione (le nascite maschili sono più di
quelle femminili). Ma soprattutto, appare del tutto ragionevole pensare
che il sesso del secondo figlio sia influenzato da quello del primo
(a differenza della moneta).
Si riscontra infatti sperimentalmente che se una coppia ha già avuto
un primo figlio maschio è più probabile che anche il secondo lo sia
(lo stesso per le femmine). La cosa più utile sarebbe fare un'indagine:
dalle mie conoscenze, immagino che nei 2/3 dei casi il sesso del
secondo figlio è uguale a quello del primo (è successo anche a me ;-)).
Supponendo che sia equiprobabile la nascita di un maschio o di una
femmina come primo figlio, se prendiamo 6 coppie con due figli, si avrà:
1° figlio  M   M   M   F   F   F
2° figlio  M   M   F   M   F   F
Cioé  p=1/3 per 2 figli maschi
      p=1/3 per 2 figlie femmine
      p=1/3 per un maschio e una femmina (o viceversa)
Con questa assunzione, la soluzione al problema originale (probabilità
di avere 2 figli maschi, sapendo che almeno un figlio è maschio) è
= 1/2 (valore che mi pare più realistico di 1/3).
Ciao, Nino 

 identiche...
nella prima bisogna condizionare la probabilità di ottenere 3 in base alla
probabilità di ottenere un valore dispari (pro. cond.)
nella seconda il risultato dispari è un dato già in mio possesso, e la sua
probabilità non entra più in gioco...
ciao
PiErre


Ciao

 l'altro? Logicamente 1/3.
Scusa, ma non mi sembra (o non l'ho capita).
Posso scegliere:   1-2   1-3   1-4   2-3   2-4   3-4     (sei casi)
Di questi, cinque contengono almeno un numero dispari e uno due dispari.
Perciò, la probabilità che sia dispari anche l'altro numero è 1/5.
Ciao, Nino 


Considera l'esperimento come "estrazione di un numero dispari" (mi rendo
conto che è poco intuitivo, forse era meglio con le palline rosse e blu). Ho
le coppie
dd,dp,pd,pp
equiprobabili. Torniamo al caso dell'indovinello
Ciao

 ha scritto nel messaggio 
news:_V66e.1206708$35.44...@news4.tin.it...

D'accordo.
Ma allora era preferibile dire:
"Esempio: scelgo a caso 2 numeri (anche con ripetizione) compresi tra 1 e 4.
Se ti dico che uno dei due è dispari, qual'è la probabilità che sia dispari
anche l'altro? Logicamente 1/3."
E non (come hai detto):
"Esempio: scelgo a caso 2 numeri (diversi tra loro) compresi tra 1 e 4.
Se ti dico che uno dei due è dispari, qual'è la probabilità che sia dispari
anche l'altro? Logicamente 1/3."
Ciao, Nino 

 2° figlio  M   M   F   M   F   F
Si', usando la stima che dai dei 2/3, e' questo che esce fuori...
Ora pero' provo a tornare al nostro gioco *idealizzato*, dove la nascita
di M e F e' assimilabile al lancio di una moneta... lo faccio perche' in
prima lettura non avevo capito bene il tuo messaggio e non capivo perche'
raddoppiassi i casi omogenei [MM e FF], ma cosi' facendo mi e' venuta in
mente una schematizzazione interessante [insomma, a volte pure
l'arteriosclerosi puo' essere utile :-)].
Costruiamo l'universo dei casi possibili dei due figli [i nostri canonici
quattro casi]: MM, MF, FM, FF.
E aggiungiamo l'universo delle informazioni possibili nella forma "ho un
figlio X" dove X puo' essere M o F. Questi due casi, dipendenti dai figli
effettivi, li chiamo:
m = ho un figlio maschio
f = ho un figlio femmina
Ora l'insieme dei casi possibili ed equiprobabili [comprensivi di figli e
informazioni] diventa:
MMm
MMm [sono doppi perche' f non e' possibile] 
MFm
MFf
FMm
FMf
FFf
FFf [doppi anche questi]
Credo che questo sia lo schema usato da chi risponde 1/2 nel gioco
classico... e c'e' pure un Bayes nascosto in mezzo, ma come al solito
preferisco altre strade. :-)
Ora, il ragionamento sembra molto naturale e condivisibile... e lo e'...
tuttavia la forzatura usata e' qui piu' evidente, a mio avviso... l'ho
messa sopra aggiungendo [arbitrariamente?] questo fantomatico "universo
delle informazioni possibili". In realta', una realta' forse idealizzata,
non abbiamo la piu' pallida idea di come sia questo universo... abbiamo
solo un'informazione che, per quanto ne sappiamo, poteva anche essere
"l'altezza di uno dei due e' un metro e novanta"... e statisticamente
poteva essere significativa pure quella... l'idea che l'amico possa
ugualmente dire "ho un figlio maschio" o "ho un figlio femmina" e' molto
politicamente corretta, ma e' anche un'attribuzione forzata a quel che
puo' o non puo' dire.
Vabbe', sono andato fuori tema rispetto al tuo messaggio e chiudo qua...
Ciao ciao
Claudio

 
Domanda: estrai due palline da un'urna che contiene due blu e due rosse
quale e' la probabilita' che la seconda sia dello stesso colore della
prima?
Risponde uno: O sono due rosse o due blu oppure una rossa ed una blu
quindi 2/3.
Interviene un'altro: No, prima ne estrai una e poi un'altra quindi o rr
o bb o rb o br quindi 2 su 4 cioe' 1/2.
 
Il terzo ribatte: No davvero! estrai una pallina e di qualsiasi colore
sia quando vai ad estrarre la seconda nell'urna e' rimasta una sola
pallina dello stesso colore e due dell'altro quindi la probabilita' e'
una su tre, 1/3!
Chi ha ragione? 
Ciao,
      Gorgo


Ovviamente, il terzo.
Gli ambi possibili con 4 palline sono 6;
di questi, gli unici 2 favorevoli sono RR e BB
(stesso colore); quindi p=2/6=1/3
Ciao, Nino 

 prima?
Domanda: estrai due palline da un'urna che contiene N blu e N rosse (dove N
e' tale da rendere trascurabile N-1)
Quale è la probabilità che la seconda sia dello stesso colore della prima ?
Mi sembra più ricollegabile al caso del figlio maschio.
        Rebrac

 
Vero, infatti la mia domanda non era collegata alla questione figli
ma a quella numeri pari/dispari e palline rosse/blu.
Ciao,
      Gorgo


Il terzo
Infatti
P(2 palline dello stesso colore) = P(r,r)+P(b,b) = P(r|r)*P(r) +
P(b|b)*P(b)=1/3*1/2 + 1/3*1/2 = 1/3
dove
P(r,r)= probabilità di pescare 2 palline rosse
P(r|r)= probabilità di pescare una pallina rossa sapendo che è stata pescata
una pallina rossa (idem per P(b,b), P(b|b))
Ciao

 probabilità non entra più in gioco...
Scusate se mi intrometto, ma continuo a non capire la sostanziale 
differenza tra questi due casi. Tanto che in entrambi i casi la 
probabilita' dovrebbe essere (1/6)/(1/2) = 1/3.


 Quale la possibilità che anche l'altra sia testa ?
Invece di fare supposizioni, perche' non buttate giu' due righe per un brute
force?
E' simile al quesito del quiz televisivo delle 3 porte che anni fa non capivo.
http://www.marianotomatis.it/index.php?id=20&r=1&s=1
La soluzione sta nel fatto che il conduttore apre la porta che VUOLE LUI (non
una a caso!), ed e' SEMPRE quella con una capra dietro, altrimenti il gioco non
ha senso. E' questa la condizione che rende condizionato l'evento.
Qui invece state discutendo su due eventi assolutamente indipendenti, mentre il
caso delle tre porte e' DIPENDENTE.
L'esposto dovrebbe essere: lancio 2 monete in aria e le copro ENTRAMBE.
IO (conduttore, Dio, etc...) guardo le monete: <se ce n'e' una T>, la scopro e
chiedo: "che possibilita' c'e' che l'altra sia pure T"?
Cio' IMPLICA che ALMENO una sia T e che io scopra proprio QUELLA, se no non
posso continuare con il resto dell'esposto.
Se IO (conduttore, Dio, etc...) vedo che nessuna moneta e' T, non posso andare
avanti, perche' non ha senso scoprire una moneta che non c'e' e chiedere  "che
possibilita' c'e' che l'altra sia pure T?"
Non posso nemmeno scoprire una monenta "a caso", altrimenti gli eventi sono
indipendenti e la possibilita' rimane 50%.
Insomma, IO, ho gia' fatto una scelta, a priori, ecco perche' gli eventi sono
dipendenti e vale la risposta 1/3.
L'evento diventa dipendente nel momento in cui scopro la moneta che voglio IO,
non nel momento in cui dico di cosa si tratta.
L'esposto, cosi' come e' dato, fa credere (OVVIAMENTE) che gli eventi siano
indipendenti, e quindi la risposta giusta e' 50%.
Tutto cio' perche' si dice che "Ne scopro una e faccio vedere che è testa".
CHI LO DICE che sia proprio testa?
L'hai vista? E' dipendente.
Non l'hai vista? E' indipendente, e poteva anche essere croce.
La prima moneta potrebbe anche non esserci, per quel che ci frega.
La probabilita' che l'ALTRA moneta sia T o C sono sempre 50%, se non condiziono
l'evento.
Non so se e chiaro.
Ad ogni modo, il brute force mi ha chiarito il concetto (che non capivo) anni
fa, e mi ha spinto a ragionare.
Per non cadere in equivoci, sarebbe 50% anche nel caso in cui ne scopra una a
caso e chieda: "che probabilita' ci sono che l'altra moneta sia dello stesso
segno (senza specificare altro)?"
Ciao

 Non so se e chiaro.
Uhm, forse sono arrivato troppo tardi, a discussione finita...