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Titolo: torneo di scacchi 2

Dario non ha considerato che il bianco negli scacchi è molto
avvantaggiato. Diciamo che vince 6 volte su 10.
Che probabilità hanno ora Aldo e Bruno di incontrarsi prima o poi in un
torneo ad eliminazione diretta con 8 giocatori, supponendo che ci sia un
sorteggio integrale per il primo turno? Generalizzare per 2^n giocatori.
Silv:o)

 ha scritto nel messaggio
news:94p45i$ehrdl$1...@ID-49224.news.dfncis.de...

spoiler
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Provo a seguire la scuola di Silvio
:-)
Senza pensarci troppo, mi pare che, nonostante le apparenze, il problema sia
ancora simmetrico.
Per 8 giocatori la probabilità dovrebbe essere ancora 1/4. Se infatti per la
coppia AB fosse p<1/4 (p>14), per almeno un'altra coppia di giocatori si
dovrebbe avere p>1/4 (p<1/4), e ciò non avrebbe senso.
Idem nel caso di 2^n, p=1/2^(n-1)
ciao
paolo

 wrote in message

Le cose potrebbero cambiare se col sorteggio all'inizio
si dovesse scegliere chi deve avere il bianco e chi il nero;
in tal caso ci sarebbe 1/4 di probabilità con Aldo e Bruno
entrambi col bianco, 1/4 con entrambi il nero (quindi senza
potersi incontrare nella prima partita) e 1/2 con uno il
nero e l'altro il bianco o viceversa.
Le probabilità di incontrarsi prima o poi nel caso abbiano
all'inizio entrambi il bianco è di 9/200; nel caso abbiano
entrambi il nero è di 2/100; nell'ultimo caso è di 17/100.
Facendo la somma viene 47/200 (invece di 1/4); dove ho
sbagliato? (si sono persi 3/200)
Nino

 entrambi il nero è di 2/100; nell'ultimo caso è di 17/100.
A me risultano 27/700, 12/700, 136/700 e la somma viene giustamente
175/700=1/4
Silv:o)

 sbagliato? (si sono persi 3/200)
Mi sembra la storiella delle diecimila lire e della mancia al cameriere :)
Il risultato è giusto, è il valore atteso (?!?) ad essere sbagliato.
Infatti Scegliere il colore di A e B indipendentemente l'uno dall'altro ha
portato realmente una asimmetria, per cui ciò che è vero per A e B non lo
è per gli altri.
Facciamo i conti per una coppia che non coinvolga A e B.
Per loro ovviamente le probabilità di avere b o n saranno subordinate
all'esito del sorteggio per A e B, quindi:
P(bb)=P(bb|AB=bb)P(AB=bb)+P(bb|AB=bn)P(AB=bn)+P(bb|AB=nn)P(AB=nn)=
=1/15*1/4+1/5*1/2+2/5*1/4=13/60
Analoagamente
P(bn)=P(bn|AB=bb)P(AB=bb)+P(bn|AB=bn)P(AB=bn)+P(bn|AB=nn)P(AB=nn)=
=8/15*1/4+3/5*1/2+8/15*1/4=34/60
e
P(nn)=P(nn|AB=bb)P(AB=bb)+P(nn|AB=bn)P(AB=bn)+P(nn|AB=nn)P(AB=nn)=
=2/5*1/4+1/5*1/2+1/15*1/4=13/60
Con questi valori mi viene che la probabilità di incontrarsi per le coppie
che non contengano ne A ne B vale
P(x,y)=747/3000
Ora, per calcolare la probabilità delle coppie che contengano A o B si può
fare un conto analogo, oppure fidarsi di quanto fatto finora e dedurlo da
questi dati.
Le coppie sono 28:
*  1 (A,B)
* 15 (x,y)
*  6 (A,x)
*  6 (B,x)
Se moltiplichiamo le probabilità di incontrarsi delle diverse coppie per
il numero delle coppie, alla fine dovremmo ottenere 7, gli incontri.
Allora, chiamando X=P(A,x)=P(B,x), avremo:
1*P(A,B)+15*P(x,y)+12*X=7 da cui
X=P(A,x)=P(B,x)=101/400
Verifichiamo. Per una coppia (A,x) valgono le seguenti (stavolta, sia per
la coppia A,x che per la coppia AB, conta l'ordine):
P(A=b,x=b)=P(A=b,x=b|A=b,B=n)P(A=b,B=n)+P(bb|bb)P(bb)=
1/2*1/4+1/3*1/4=5/24
P(bn)=P(bn|bb)P(bb)+P(bn|bn)P(bn)=
2/3*1/4+1/2*1/4=7/24
P(nb)=P(nb|nb)P(nb)+P(nb|nn)P(nn)=
1/2*1/4+2/3*1/4=7/24
P(nn)=P(nn|nb)P(nb)+P(nn|nn)P(nn)=
1/2*1/4+1/3*1/4=5/24
Risulta
P(A,x)=101/400 come avevamo previsto.
Ricapitoliamo. Le probabilità di incontrarsi valgono:
P(A,B)        =  47/200  = 23.5%
P(A,x)=P(B,x) = 101/400  = 25.25%
P(x,y)        = 747/3000 = 24.9%
Quindi se dovessi scommettere su un incontro che ci sarà, direi Aldo e
Claudio.
Ciao, Silv:o)