Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: E in un parallelepipedo?

In un parallelepipedo di spigoli 2,3 e 5:
- quale sara' la rete stradale di superficie minima che unisce gli
otto vertici?
- Quale la rete minima di cunicoli interni?
L'ho scritta cosi', di getto, senza pensarci troppo, cosi' magari poi
ci gioco anch'io. :o)
Ciao
Livio

 - Quale la rete minima di cunicoli interni?
Questo mi sembra parecchio pi� complicato. La prima cosa che mi viene in
mente � quella di unire i 4 spigoli di ognuna facce pi� piccole ad un
punto che sta un po' sotto il centro della faccia, ed unire poi i due
punti fra loro. Se non ho sbagliato i calcoli la lunghezza �
sqrt(15)sqrt(a^2+b^2) + c.
Per� questa soluzione batte quella "superficiale" di cui sopra solo per
alcuni valori di a e b, quindi evidentemente c'� qualcosa che non va.
Probabilmente si pu� migliorare prendendo il reticolato minimale su una
faccia piccola ed abbassando un po' la strada centrale sotto il livello
stradale, ma adesso non ho tempo di fare i calcoli.
Maurizio 
-- 
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

 stradale, ma adesso non ho tempo di fare i calcoli.
Il tempo l'ho trovato... Effettivamente abbassando la strada centrale
sotto terra di a/(2sqrt(11)) e facendola partire da due punti che
distano a/sqrt(11) dalle facce laterali, si ottiene (SE&O) la lunghezza
minima di
sqrt(11)a + 2b + c.
Si pu� migliorare? Non lo so...


 stradale, ma adesso non ho tempo di fare i calcoli.
Questo si' e' diverso. Mi sembra difficile trovare una strada per
convincersi per via analitica di aver trovato davvero il minimo. Se
poi i vertici fossero N qualunque nello spazio.  :o)
Anche sul piano non so se c'e' la generalizzazione del problema di
Fermat per N punti qualunque. Oppure, per un ng di enigmistica,
qualche caso particolare interessante, come i vertici di qualche
poligono.
Ciao
Livio

 poligono.
Cosi', a caldo, mi sembra che trovare la rete stradale minima che
unisce i vertici di un pentagono regolare sia interessante, mentre per
gli altri poligoni regolari con N>=6 il percorso minimo sia sugli N-1
lati.
Ciao
Livio

 lati.
L'argomento � trattato nel par. 5.5 del capitolo VII di "Che cos'� la
matematica" (Courant & Robbins, prima edizione). Il libro non si dilunga
in dimostrazioni, ma asserisce che, dati n punti del piano, il
reticolato minimo si ottiene aggiungendo n-2 punti d'intersezione in
modo che ad ogni intersezione s'incontrino tre strade ad angoli di 120�.
Questo per� non � sempre possibile, in alcuni casi uno o pi� dei punti
d'intersezione devono essere sostituiti dai punti stessi.
Mi pare che questo sia il caso se gli n punti sono i vertici di un
poligono che ha tutti gli angoli >= 120�, come dici anche tu. Nel caso
di un pentagono, il reticolato minimo suggerito da Courant e Robbins si
pu� realizzare come in questa figura:
http://yfrog.com/79pentagonop
Per disegnarla, prima ho trovato il reticolo minimo passante per D e per
i punti medi F, G dei due lati AE e BC, trovando il primo nodo
intermedio K. Poi ho trovato le circonferenze che vedono AE e BC sotto
un angolo di 120�: le intersezioni N e O di tali circonferenze con KF e
KG danno gli altri due nodi N e O. Il reticolo finale (in rosso) � lungo
circa 3,92 (non ho voglia di fare il conto esatto...).


 circa 3,92 (non ho voglia di fare il conto esatto...).
La mia sol e' topologicamente uguale, si differenzia per la procedura.
Poiche' gli angoli in F,G e H sono tutti di 120�, traccio BH e AF // a DG.
Poi traccio CH inclinata di 30� e idem GH. Mi sembra cosi' che il reticolo
sia l'unico possibile (tra i simmetrici) con gli angoli esattamente di
120�.
La lunghezza calcolata con la trigonometria e' 3.851 (lato=1)
Ciao
Livio
Guarda l'immagine cliccando 
http://attach.mynl.it/img?id=OTk0MA
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 La mia sol e' topologicamente uguale, si differenzia per la procedura.
Ciao Livio,
ovviamente hai ragione tu: nella mia figura gli angoli non sono tutti di
120�!
