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Titolo: (Poliedromania) 4 anni fa...

... si discuteva sul fare dei tori piu' o meno esatti con Geomag.
Ho trovato questi fatti con i solidi di Johnson:
http://textodigital.com/P/GG/aj84.php
http://textodigital.com/P/GG/aj86.php
http://textodigital.com/P/GG/aj90.php
Bello cmq tutto il sito.
Ciao!!!  :o)
Livio

 ... si discuteva sul fare dei tori piu' o meno esatti con Geomag.
Ti ringrazio per la segnalazione, bella davvero.
Io mi ero appassionato al problema di costruire una figura più o meno
toroidale usando solo dei tetraedri. Tu hai trovato in giro qualcosa del
genere?
Maurizio
-- 
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

 genere?
No, pero' non so se hai notato il "Segmento de curva tetraédrica
circular" qua:
http://textodigital.com/P/GG/ap04c.php#tt3cci2a
Il testo dice che 32 di questi segmenti fanno quasi un toro ma che "no
se puede cerrar". "No se puede cerrar" con Geomag, ma con Kalamyt se
serra certamiente! :o)
Vale!!!  :o)
Livio

 Livio
Se cerra, se cerra!
Guarda l'immagine cliccando 
http://attach.mynl.it/img?id=ODg0Mw
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
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 se puede cerrar".
Ho visto e non so di preciso quanto "buono" sia il toro risultante. Se
ho capito bene l'anello dovrebbe essere formato da 32x12=384 tetraedri.
Io ho trovato un anello abbastanza buono formato da 60 tetraedri ma non
ho ancora potuto costruirlo col Geomag per vedere se si chiude (non
trovo più il Geomag di mio figlio e riesco a costruirne solo metà...).
Per il momento ho solo una simulazione fatta al computer...
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 Per il momento ho solo una simulazione fatta al computer...
Se riesci a descrivermelo o a postare in qualche modo una figura,
provo a farlo e lo fotografo.
Ciao
Livio

 provo a farlo e lo fotografo.
Ho messo delle figure qui:
http://www.webalice.it/maurizio.frigeni/toro_fronte.jpg
http://www.webalice.it/maurizio.frigeni/toro_retro.jpg
http://www.webalice.it/maurizio.frigeni/toro_barrette.jpg
La terza è sempre una vista frontale, ma con i tetraedri "vuoti" (tipo
Geomag, insomma). Spero che si capisca qualcosa...
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 Geomag, insomma). Spero che si capisca qualcosa...
Detto fatto, eccolo qua, bellissimo e divertente da costruire.
Quasi non si e' accorto di non essere perfetto :o)
Ciao
Livio
Guarda l'immagine cliccando 
http://attach.mynl.it/img?id=ODg0NA
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 Detto fatto, eccolo qua, bellissimo e divertente da costruire.
Wow, grazie Livio! Non credevo che riuscisse a chiudersi...
Ho costruito al computer il toro da 96 tetraedri:
http://www.webalice.it/maurizio.frigeni/toro96.jpg
Come vedi, la distanza fra il primo e l'ultimo pezzo è abbastanza
cospicua. 
Se la cosa t'interessa, posso tediarti con alcune considerazioni di tipo
matematico su come costruire questi quasi-tori.
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 matematico su come costruire questi quasi-tori.
Si', mi interessa perche' io ho un approccio un po' troppo fai da te.
Ciao e grazie a te.
Livio

 Si', mi interessa perche' io ho un approccio un po' troppo fai da te.
La prima cosa è quella di trovare una notazione standard per catalogare
le catene di tetraedri. Io ne ho escogitata una che mi sembra abbastanza
naturale, anche se agli umani a volte risulta un po' indigesta...
Innanzitutto numeriamo i vertici di ogni tetraedro da 1 a 4, in modo che
guardando dalla parte del 4 i vertici 1, 2, 3 si succedano in senso
antiorario. Ogni volta che allunghiamo la catena di un tetraedro, non
facciamo altro che aggiungere un vertice e tre spigoli, che vanno ad
appoggiarsi ad una faccia dell'ultimo tetraedro della catena. Il vertice
aggiunto è il simmetrico, rispetto a questa faccia, dell'altro vertice
dell'ultimo tetraedro (quello non appartenente alla faccia). Sicché la
cosa più semplice per indicare come abbiamo aggiunto il nuovo tetraedro
è quella di indicare il numero del vertice del tetraedro precedente che
viene "riflesso" rispetto alla faccia ad esso opposta.
Dobbiamo però specificare come numerare i vertici del tetraedro
aggiunto. Possiamo fare in questo modo: il nuovo vertice (quello
aggiunto) prende il numero 4, il vertice 4 del tetraedro precedente
diventa il numero 1 e gli altri prendono i numeri 2 e 3 in modo da
rispettare la regola data sopra per il senso antiorario. Stiamo
supponendo che il vertice aggiunto non sia simmetrico del n. 4, ma
questo è giusto: il n. 4 è sempre l'ultimo vertice aggiunto ed il suo
simmetrico si trova già nella catena.
Con queste convenzioni posso specificare una catena di 5 tetraedri per
esempio così: (1, 3, 3, 2). Significa che ho aggiunto all'inizio il
simmetrico del vertice 1 del tetraedro iniziale, poi il simmetrico del
vertice 3 del secondo tetraedro, poi il simmetrico del vertice 3 del
terzo tetraedro e infine il simmetrico del vertice 2 del quarto
tetraedro. In generale, ogni catena di n tetraedri corrisponde ad una
lista di n-1 elementi scelti fra 1, 2 e 3.
Adesso possiamo cercare di esplorare le possibili catene. La catena che
si ottiene ripetendo sempre 1 si ferma a 5 tetraedri, perché poi si
auto-interseca. Questo significa che in ogni catena ci possono essere al
massimo quattro 1 di fila.
Invece le catene (2, 2, 2, 2, ...) e (3, 3, 3, 3, ...) possono essere
prolungate all'infinito: non sono altro che le ben note barre ad elica
(provare per credere). Potremmo chiamarle "barra levogira" e "barra
destrogira".
Se ora si combinano pezzi delle due barre, si possono ottenere delle
curve, che prolungate possono chiudersi o quasi. Come era lecito
attendersi, per avere una buona chiusura occorre che siano presenti lo
stesso numero di tratti levogiri e destrogiri. In altre parole, la lista
deve contenere lo stesso numero di 2 e 3. Particolarmente interessante è
poi il caso in cui la catena è formata da un "modulo" che si ripete più
volte.
Ad esempio, il toro di 96 tetraedri è descritto dal modulo (2, 2, 2, 3,
3, 3) che si ripete 16 volte. Il toro di 60 tetraedri corrisponde al
modulo (2, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 3, 3) che si ripete 6 volte. Un altro
toro interessante, formato da 48 tetraedri, corrisponde la modulo (2, 2,
1, 3, 3, 1). Questo ha un angolo di mancata chiusura di circa 4,8°.
Mi piacerebbe avere una teoria che spiega la lunghezza del toro a
partire dal modulo che lo genere, o che mi permette di predire se un
toro si chiuderà meglio di un altro. Purtroppo non ce l'ho, né è detto
che una teoria ragionevole esista. Però è facile programmare un computer
(io ho usato Mathematica) per fare esperimenti con i vari moduli.
Mi fermo qui, sperando di non aver fatto troppi errori e di essere stato
chiaro (ma, vista l'ora, ne dubito...)
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Maurizio Frigeni ha scritto:
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Se ho capito bene la tua notazione, la foto allegata e' proprio codesto
toro 8(2,2,1,3,3,1). Usando ogni volta tre bacchette di un nuovo colore,
e' facile mantenere la numerazione a memoria senza bisogno di altri
contrassegni. Infatti il vertice nuovo e' il 4 e quello precedente l'uno.
La chiusura e' leggermente truccata, ma l'importante e' il metodo!
A presto!!!  :o)
Livio
Guarda l'immagine cliccando 
http://attach.mynl.it/img?id=ODg1MQ
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 contrassegni. Infatti il vertice nuovo e' il 4 e quello precedente l'uno.
Hai capito benissimo: anch'io faccio cosě.
In questi giorni ho poco tempo, perň ho intenzione di provare al
computer altri moduli promettenti.
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 computer altri moduli promettenti.
Intanto ho fatto quel toro di 13 antiprismi quadrati di cui si parlava
quattro anni fa. Meglio tardi...
Ciao 
Livio
Guarda l'immagine cliccando 
http://attach.mynl.it/img?id=ODg1NQ
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 quattro anni fa.
Bello. Ho fatto un calcoletto ed ho visto che con 13 pezzi la rotazione
è di 359.74°, praticamente perfetto!
Sto sempre cercando di trovare altri tori tetraedrici, ma finora niente
d'interessante...
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 è di 359.74°, praticamente perfetto!
E' vero!
Ora ho montato, dando fondo al mio patrimonio magnetico, l'anello di 14
disfenoidi, ma non sono ancora riuscito a calcolare se e' esatto. :o(
Ciao
Livio
Guarda l'immagine cliccando 
http://attach.mynl.it/img?id=ODg2OQ
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 disfenoidi, ma non sono ancora riuscito a calcolare se e' esatto. :o(
Come non detto.
C'era anche scritto nel sito spagnolo, e' approssimato.
Cmq su Wolfram Math World:
http://mathworld.wolfram.com/SnubDisphenoid.html
si puo' ricavare facilmente la larghezza del disfenoide:
L=1,289168
Mentre, con un po' di trigonometria, la distanza ideale tra i vertici
delle 14 piramidi a base quadrata dovrebbe essere 1,289620 quindi c'e'
un errore dello 0.035% che equivale ad un errore di 1.4 centesimi di
mm sull'interasse delle sferette che e' di circa 4 cm. Non so lo
sfizzero Geomag, ma Kalamyt ha sicuramente errori piu' grossolani.
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http://textodigital.com/P/GG/aj90.php
Voglio anch'io la paternita' di un anello (almeno fino a che Dario Uri non
tornera' a dirci che c'e' gia' tutto scritto in un codice del '500 :o)).
Il mio anello e' fatto di 85 ottaedri e 85 dipiramidi pentagonali (Johnson
13). Copre teoricamente 359.2°, ma distribuendo l'errore su 85 lati,
l'approsimazione risulta buona. In pratica diventa perfetto con gli
spigoli interni lunghi 0.9999 anzi che 1.
Questo il procedimento: unendo N ottaedri per gli spigoli opposti
paralleli, si possono ottenere anelli circolari distanziando i vertici
esterni di un aopportuna quota D (tabella in fondo).
Se la quota D e' vicina ad una quota notevole di un poliedro, si puo'
ottenere l'anello inserendo tra ciascun ottaedro quel poliedro.
Per N=85 D vale 1,051574+ mentre l'altezza della dipiramide pentagonale
vale 1.051462 (-0.01%).
Allego la foto di un pezzo dell'anello, perche' non ho abbastanza barrette
e sfere per costruirlo tutto :o) (1785 barrette).
Ciao
Livio
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Anello di ottaedri uniti per spigoli opposti
N numero di ottaedri
D distanza tra i vertici esterni
 N D
 5 1.64027086992985
 6 1.57313218497099
 7 1,51457313625562	2*sqr(5)/3 +1.6% (altezza bi-tetraedro)
 8 1,46507563265748	2*sqr(5)/3 -1.7% (altezza bi-tetraedro)
 9 1,42338214608186	sqr(2) +0.65% (altezza ottaedro)
 10 1.38807254074397
 11 1.3579229764617
 12 1.33195123007351
 13 1.30938527554984
 14 1.28962003489477	h +0.035% (larghezza disfenoide)
 15 1.2721791336642
 16 1.25668465968617
 17 1.24283415985961
 18 1.23038336095015
 19 1.21913320527098
 20 1.20892008267761
 21 1.1996084204183
 22 1.19108501629395
 23 1.18325466793114
 24 1.17603677265633
 25 1.16936266003719
 26 1.16317348207856
 27 1.15741853139326
 28 1.15205389050254
 29 1.14704133935996
 30 1.14234746577541
 31 1.13794293642905
 32 1.13380189587129
 33 1.12990146819938
 34 1.12622134162595
 35 1.12274342036823
 36 1.11945153152418
 37 1.11633117710538
 38 1.11336932334554
 39 1.11055422093103
 40 1.10787525100298
 41 1.10532279273464
 42 1.10288810904851
 43 1.1005632476467
 44 1.09834095501923
 45 1.09621460149209
 46 1.09417811569993
 47 1.09222592713212
 48 1.09035291561751
 49 1.08855436679129
 50 1.08682593273508
 51 1.08516359710364
 52 1.08356364415362
 53 1.08202263117511
 54 1.08053736389833
 55 1.07910487450801
 56 1.07772240194898
 57 1.07638737424934
 58 1.0750973926247
 59 1.07385021715756
 60 1.07264375387311
 61 1.07147604305513
 62 1.07034524866569
 63 1.06924964874878
 64 1.06818762671311
 65 1.06715766340138
 66 1.06615832986464
 67 1.06518828076981
 68 1.06424624837647
 69 1.06333103702654
 70 1.06244151809658
 71 1.06157662536816
 72 1.06073535077632
 73 1.05991674050081
 74 1.05911989136811
 75 1.05834394753593
 76 1.05758809743469
 77 1.0568515709429
 78 1.05613363677601
 79 1.05543360007006
 80 1.05475080014347
 81 1.05408460842167
 82 1.05343442651122
 83 1.05279968441069
 84 1.05217983884731
 85 1,05157437172917	h +0.0107% (altezza bipiramide pentagonale, 359.2°)
 86 1.05098278870368 		
 87 1.05040461781385
 88 1.04983940824483
 89 1.04928672915364
 90 1.04874616857577
 91 1.04821733240279
 92 1.04769984342564
 93 1.04719334043883
 94 1.04669747740089
 95 1.04621192264721
 96 1.04573635815133
 97 1.0452704788313
 98 1.04481399189798
 99 1.04436661624222
 100 1.04392808185845
**********************************************
 
Guarda l'immagine cliccando 
http://attach.mynl.it/img?id=ODg3Mw


  9 1,42338214608186     sqr(2) +0.65% (altezza ottaedro)
Qui ci sono degli errori. La tabella corretta e':
***********************************************************
Anello di ottaedri uniti per spigoli opposti
N numero di ottaedri
D distanza tra i vertici esterni
 N D
 5 1,64027086992985	2*sqr(6)/3 +0.45% (altezza bi-tetraedro)
 6 1.57313218497099
 7 1,51457313625562
 8 1,46507563265748
 9 1,42338214608186	sqr(2) +0.65% (altezza ottaedro)
 10 1.38807254074397
 11 1.3579229764617
 12 1.33195123007351
 13 1.30938527554984
 14 1.28962003489477	h +0.035% (larghezza disfenoide)
Sia l'anello N=5 che quello N=9 sono montabili un po' grossolanamente.
Ciao
Livio

 
http://attach.mynl.it/img?id=ODg1NQ
Un antiprisma quadrato si puo' fare con 8 sfere unitarie (l'antiprisma
risulta unendo i centri delle sfere). Se lo componiamo con le sfere
magnetiche, l'antiprisma e' stabile, per cui si puo' pensare di
realizzare lo stesso toro con 13 di quasti antiprismi. Si potrebbe
anche costruire un modello incollando palline da pingpong o altre
bilie.
http://it.groups.yahoo.com/group/enigmi/photos/album/1532836321/pic/333818965/view?picmode=&mode=tn&order=ordinal&start=1&count=20&dir=asc
Ciao
Livio
PS: Se non funzionasse il link:
http://it.groups.yahoo.com/group/enigmi
Foto
Neocube
Anello13Antiprismi