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Titolo: Partite diverse

Quante partite diverse si possono giocare in un gioco in cui vince chi per
primo arriva a n punti?
A presto
--
CIAO
     Flavio
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Ci provo
A ocio....
Dato y il numero di giocatori
E se n e' cumulabile per punti unitari
n^(y-1)
Ciao
*frankyz

 primo arriva a n punti?
se le sq sono due il risultato dovrebbe essere, dall'alto della mia
inesperienza.. 2n

 primo arriva a n punti?
 
 
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          \  /
           \/  
Se ad ogni partita viene assegnato 1 punto e ammettendo che non ci
possono essere patte, al massimo ciascun giocatore G, potra' ottenere
n-1 punti, poi nella partita successiva un contendente arrivera'
obbligatoriamente ad n.
max= G(n-1)+1.
ciao :) dario


MA forse non ho capito io!
Supponiamo che ci siano 2 giocatori.
Quante partite diverse si posso giocare in un gioco (per esempio la semplice
"carta piu' alta") nel quale vince chi arriva per primo a n punti (per
esempio 5)?
Le soluzioni del gioco e di n di esempio
1) 5-0
2) 5-1
3) 5-2
4) 5-3
5) 5-4
e cioe' n
Se vi fossero 3 giocatori G e n fosse 3
1) 3-0-0
2) 3-1-0
3) 3-2-0
4) 3-1-1
5) 3-2-1
6) 3-2-2
7) 3-0-1
8) 3-0-2
9) 3-1-2
e cioe' n^(G-1) valida anche prima
O nooo?
Mi spiegate?
Ciao!!
*frankyz

 5) 5-4
Immaginiamo che ci sia un giocatore Bianco e l'altro Nero. Allora
consideriamo diverse le seguenti partite:
BBBNNBNB
NNBNBBBB
entrambe terminate 5 - 3 per il bianco.
Ora dovrebbe essere chiaro quello che ho chiesto (male :-)
A presto
CIAO
        Flavio

 chi per primo arriva a n punti?
con 2 giocatori saranno
  n-1
2* S  C(i+n-1,n-1)
  i=0
Perché ognuno dei due giocatori può vincere, e l'altro può ottenere un
punteggio i che va da 0 a n-1, distribuendo le sue i vittorie nelle i+n-1
partite precedenti l'ultima.
Per praticità possiamo riscrivere la quantità trovata come
f2(n)=2/(n-1)!*S(i+n-1)!
dove S è la somma estesa agli indici i da 0 a n-1
Con tre giocatori si ha
         n-1   n-1
f3(n)=3*  S     S   C(i+j+n-1)*C(j+n-1)
         i=0   j=0
Perché possono vincere in 3 e i due sconfitti possono aggiudicarsi i e j
partite (al massimo n-1 a testa), le vittorie del secondo saranno
distribuite in tutte le i+j+n-1 partite esclusa l'ultima, le vittorie del
terzo nelle j+n-1 restanti.
Ancora una volta si può semplificare
f3(n)=3/(n-1)!*SS(i+j+n-1)!
dove SS è la sommatoria doppia con i e j che variano tra 0 e n-1
A questo punto si può generalizzare
f4(n)=4/(n-1)!*SSS(i1+i2+i3+n-1)!
fm(n)=m/(n-1)!*S..S(i1+i2+..+i(m-1)+n-1)!
Per esempio:
f2(3)=32    (2 giocatori, si vince a 3 punti)
f2(4)=290
f3(2)=33    in dettaglio:
AA,BAA,ABA,CAA,ACA,ABCA,ACBA,BACA,BCAA,CABA,CBAA,
BB,ABB,BAB,CBB,BCB,ABCB,ACBB,BACB,BCAB,CABB,CBAB,
CC,ACC,CAC,BCC,CBC,ABCC,ACBC,BACC,BCAC,CABC,CBAC
f3(3)=1569
f4(2)=196
f4(3)=121528
Silv:o)


invece sono
  n-1
2* S  C(i+n-1,i)
  i=0
Perché ognuno dei due giocatori può vincere, e l'altro può ottenere un
punteggio i che va da 0 a n-1, distribuendo le sue i vittorie nelle i+n-1
partite precedenti l'ultima.
(la spiegazione è valida)
Con tre giocatori si ha
         n-1 // n-1             \           \
f3(n)=3*  S ((   S   C(i+j+n-1,j))*C(j+n-1,i))
         i=0 \\ j=0             /           /
ed in generale
fm(n)=3*Sum (C(i1+n-1,i1)*C(i1+i2+n-1)*..)
dove gli indici i1,i2,..,i_(m-1) variano tutti da 0 a n-1
Ho provato a semplificare le formule con Derive, ma solo per il caso dei due
giocatori trova una forma senza sommatorie, negli altri casi toglie una
sommatoria e scrive il tutto in termini fattoriali, ma senza semplificare
poi di molto.
f2(n)=2n!/(n!)^2=C(2n,n)  (numeri Catalani, ancora!)
Correggo i valori degli esempi
f2(3)=20    (2 giocatori, si vince a 3 punti) -->
AAA,AABA,ABAA,BAAA,AABBA,ABABA,ABBAA,BAABA,BABAA,BBAAA
BBB,BBAB,..,AABBB
f2(4)=70
f3(2)=33  -->
AA,BAA,ABA,CAA,ACA,ABCA,ACBA,BACA,BCAA,CABA,CBAA,
BB,ABB,..,ACBB,
CC,ACC,..,ABCC
f3(3)=543
f4(2)=196
f4(3)=22096
Silv:o)

 f2(n)=2n!/(n!)^2=C(2n,n)  (numeri Catalani, ancora!)
E anche questo si trova bene "leggendo" il triangolo di Tartaglia... perň
solo adesso che me lo hai detto tu! ;-)
Come si fa a trovare una formula esplicita a partire da una con la
sommatoria? Tu hai detto di usare il Derive, ma esiste un procedimento
(semplice) standard per farlo?
A presto
CIAO
        Flavio