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Titolo: Una strana bicicletta

Ieri ho visto un uomo andare in una strana bicicletta, questa aveva
infatti le ruote quadrate, ma la cosa ancor piu' strana e' che non
sobbalzava, ma procedeva dolcemente.... a questo punto mi sono accorto
che il terreno su cui procedeva non era piatto (come una normale
strada).....
Com'era fatta la superficie su cui viaggiava questa bicicletta ?
Buon lavoro ;-)
ciao Domenico

...
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Non direi, altrimenti povero l'uomo che ci stava sopra :-)
Devi immaginare una supreficie tale che se una ruota quadrata ci ruota su,
il suo centro rimane sempre alla stessa altezza.
ciao Domenico

Com'era fatta la superficie su cui viaggiava questa bicicletta ?
La strada avra' un profilo longitudinale ondulato, con dossi a forma
tondeggiante e incavi angolati.
Quando la ruota ha un lato in posizione orizzontale, poggia su uno dei
dossi, quando il lato e' a 45 gradi un angolo si inserisce nell'incavo.
Si puo costruire questo profilo facendo ruotare il quadrato e
contemporaneamente facendolo traslare orizzontalmente.
Vedi disegno che ho riportato sul sito
http://space.tin.it/scienza/pliche/
Non sono del tutto sicuro del rapporto tra rotazione e traslazione, nel
disegno ho fatto corrispondere una traslazione pari al lato della ruota ad
una rotazione di 45 gradi.
Notare che la distanza tra le ruote anteriore e posteriore deve essere
multipla del lato della ruota.
fammi sapere se va bene
ciao
paolo
P:S.
E' noto che quando fu inventata la ruota non si conosceva ancora il cerchio,
quindi le prime biciclette avevano le ruote quadrate, il che sottoponeva i
nostri antenati a fastidiosi sobbalzi.
Un notevole miglioramento si ottenne quando fu inventata la ruota
triangolare, che eliminava un sobbalzo per ogni giro :-)

 triangolare, che eliminava un sobbalzo per ogni giro :-)
  :-))))

 
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Su questo non ci giurerei..... sei sicuro?
In realta', per quanto detto sopra, la distanza dovra' essere multipla del
passo, cioe' della corda dell'arco ( se gli assi delle due ruote sono alla
stessa altezza).
Fammi conoscere la tua soluzione.
ciao
paolo

 paolo
Ecco la mia soluzione. Nel suo moto di rotolamento, a ogni istante, ovviamente
un lato della ruota sara' tangente alla superficie.
Io ho imposto che i punti di massimo (cioe' quei punti in cui la ruota si trova
ruotata di 0, 90,180, o 270 gradi) si trovino a livello 0, e gli altri punti
della curva ad un livello dunque inferiore; data inoltre la periodicita' della
curva, basta studiarne un periodo.
Quindi, partendo da un punto di massimo, sia r la lunghezza della corda (uguale
a meta' lato) e h la distanza (inizialmente uguale a 0) del punto della ruota
tangente alla superficie col punto centrale dello stesso lato della ruota (per
intenderci quello tangente al punto di massimo della superficie).
Ora, affinche' ci sia equilibrio, l'asse della ruota deve trovarsi in posizione
verticale rispetto al punto h; ne segue (per capirlo bene servirebbe un
disegnino) che l'altezza (o meglio la bassezza) della superficie in quel punto
e':
y(h)=r-sqrt(r^2+h^2)
Mi sono dunque ricavato l'equazione della superficie in funzione della lunghezza
percorsa; devo adesso ricavarla in funzione di x, e qui (ahime!) entra in gioco
un integrale (non so se agendo in qualche altro modo era possibile evitarlo).
Considera la curva come composta da tantissimi tratti rettilinei di lunghezza
infinitesima dh; di questi tratti io conosco la proiezione lungo l'asse y, che
e' : y(h+dh)-y(h), mi devo trovare la proiezione sull'asse x, di ognuno, e
sommarli tutti. La proiezione di uno generico e' data da :
dx= sqrt (dh^2-(y(h+dh)-y(h))^2), cioe':
dx= sqrt (1-y(h)'^2) dh ,(y(h)' indica la derivata di y(h) rispetto a h), e
quindi :
dx= sqrt (1- h^2/(r^2+h^2)) dh = sqrt(r^2/(r^2+h^2)) dh
Questa va integrata da 0 a h quindi (usando una variabile ausiliaria k) :
x(h) = int(h,0) (sqrt(r^2/(r^2+k^2)) dk) = ln(k+sqrt(k^2+r^2))*r (h,0) =>
x(h) = r*(ln((h+sqrt(h^2+r^2))/r))
Con passaggi abbastanza semplici mi ricavo h in funzione di x:
h=r/2*(exp(x/r)-exp(-x/r))=r*sinh(x/r)
Infine sostituendo, ho:
y(x)=r*(1-sqrt(1+sinh(x/r)^2))
La curva ha un periodo di r*P/2 (P=pigreco).
Spero di non aver fatto errori (rileggendolo ne ho gia' corretti un paio :-) ) e
che sia abbastanza chiaro (in ogni caso se c'e' qualcosa di poco chiaro fammelo
sapere).
ciao Domenico

ciao Domenico
Uao, domani ho giusto l'esame di analisi! Non mi sono soffermato a
controllare i calcoli (a occhio giusti). Ma il periodo...  sinh!!!=sin  X-(
Il periodo giusto e' 2ln(sqrt(2)+1). (derive permettendo..)
Problemino supplementare:
una ruota quadrata rotola su di un piano. Qual e' la traiettoria di un punto
situato sul suo bordo (facile)? E se invece rotolasse sul nostro terreno a
cunette (questa forse e' un po' difficile...)?
ciao
MF

 MF
Ci pensero'
Ciao Domenico

A zig-zag?
-- 
Greetings!
Arianna Milazzo Microchip
E-mail: 
arianna...@usa.net
Web: 
http://www.x-net.infoservizi.it/microchip.htm
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