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Titolo: Il valore del bluff

Ciao a tutti,
vorrei proporvi il seguente gioco:
Si lancia una moneta
se esce testa, tu mi dai 1 euro
se esce croce io ti do 2 euro
*MA*
io posso guardare prima la faccia della moneta, ed eventualmente rilanciare
di 2 euro; a questo punto
se non accetti il rilancio, mi dai 1 euro
se lo accetti si scopre la moneta e
se è testa tu mi dai 3 euro
se è crorce io ti do 4 euro.
Accetti?
Ciao, enrico.
[Tratto da L. Mero, "Calcoli morali"]

Ciao a tutti,
vorrei proporvi il seguente gioco:
si lancia una moneta,
se esce testa tu mi dai 1 euro
se esce croce io ti do 2 euro
*MA*
io posso guardare prima la faccia della moneta, ed eventualmente rilanciare
di 2 euro; a questo punto
se non accetti il rilancio mi dai 1 euro
se lo accetti si scopre la moneta e
se è testa tu mi dai 3 euro
se è croce io ti do 4 euro.
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 Accetti?
..
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Io non ci starei.
Concentriamoci sulle strategie probabilistiche, quelle in cui le decisioni
vengono prese in base all'osservazione ma condizionate da fattori aleatori,
ovvero quelle nelle quali stabilisco che, se vedo il caso A, il 70% delle
volte faccio una cosa, se vedo B al 10% ne faccio un'altra e così via.
Le strategie deterministiche, quelle in cui le decisione è funzione della
sola osservazione, sono un caso particolare di queste.
Tu puoi decidere con che frequenza bluffare in caso di Testa (Xt) e
l'analoga percentuale di bluffate in caso di Croce (Xc), io posso solo
decidere con che probabilità (y) venire a vedere
il tuo eventuale bluff.
La mia vincita attesa, quella che cercherò di massimizzare e tu di rendere
minima, vale
1/2*(Xt*(-3*y -1*(1-y))-1*(1-Xt)) + 1/2*(Xc*(4*y -1*(1-y))+2*(1-Xc))
---  --  ---- --------  --------    ---  --  --- --------  --------
 |    |    |      |        |         |    |   |       |        |
 T  bluff acc.  rif.   non bluff     C  bluff acc.  rif.   non bluff
Intuitivamente si può prevedere che in caso di Croce blufferai
sistematicamente, in quanto se abbocco ti becchi 3 euro, e se non accetto il
tuo bell'euro non te lo toglie nessuno.
Anche l'analisi ti da ragione. La somma dei termini nei quali compare Xt
risulta -y*Xt e quindi ti conviene porre Xt=1. Semplifichiamo l'espressione
alla luce di questa considerazione.
1/2*(-2*y -1) + 1/2*(Xc*(4*y -1*(1-y))+2*(1-Xc))
---  ---- --    ---  --  --- --------  --------
 |    |   |      |    |   |       |        |
 T   acc. rif.   C  bluff acc.  rif.   non bluff
Diversa è la situazione per la Croce. Il coefficiente di Xc è (5y-3)/2 ed è
positivo se y>3/5. Quindi se sai che abbocco meno di 3 volte su cinque, ti
conviene bluffare sistematicamente anche su Croce, spillandomi probabilmente
un euro, se invece sai che sono molto propenso ad accettare i tuoi bluff non
ti conviene rischiare di perdere 4 euro, per cui faresti bene a non bluffare
mai quando vedi croce.
Ma come faccio a decidere y? Non posso basarmi sul tuo Xt, altrimenti è un
serpente che si morde la coda. Devo sempre supporre che tu conosca la mia
strategia, quindi tu cambieresti portando Xt a 0 o 1 e io di conseguenza
cambierei y e così via all'infinito. Il massimo che posso fare è porre y=3/5
rendendo nulla la componente relativa al bluff su croce, ma in tal caso
vincerei mediamente 2 euro per ogni croce e perderei 11/5 di euro per ogni
testa.
In definitiva non credo mi convenga.
Riassumo il ragionamento, per chiarire le idee prima a me che a voi:
Se esistesse una strategia ottima per me, anche tu lo sapresti, e basandoti
su quella potresti variare la tua strategia, il che sarebbe un controsenso
se la tua variazione facesse cambiare la mia valutazione. Quindi se la
strategia ottimale esiste deve prescindere dalla tua decisione. Abbiamo
visto che questo è vero per y=3/5, ed in quel caso comunque tu giochi
vinceresti in media 1/10 di euro per ogni giocata. Vallo a proporre a
qualche amico tuo più ingenuotto!
Ciao, Silv:o)

In tutto il post ho usato impropriamente i termini bluff e bluffare. Leggasi
rilancio e rilanciare.
Silv:o)

 wrote in message 966eod$q9j$1...@nreadB.inwind.it...

s
p
o
i
l
e
r
Senza rilancio da parte tua ho una speranza di vincita doppia della tua:
2 * 1/2 la mia
contro la tua di
1 * 1/2
E' evidente che il tuo rilancio porta le due speranze a:
4 * 1/2 contro 3 * 1/2
e quindi il mio vantaggio scende a 4/3 rispetto a quello senza rilancio che
è 2.
Dunque il tuo rilancio non mi fa piacere ma le probabilità restano comunque
favorevoli a me e, dunque, giocando sono destinato a vincere.
Rinunciando a giocare, invece, di fronte ai tuoi rilanci perdo con certezza
1 euro per volta.
Concludendo:
accetto ad occhi chiusi e gioco sempre, senza sforzarmi di indovinare i tuoi
comportamenti che potrebbero trarmi in inganno.
Accetto, gioco sempre e, alla lunga, vinco con certezza.
Ciao
et

 Accetto, gioco sempre e, alla lunga, vinco con certezza.
Ce ne fossero, di polli cosě!
Il banco lo faccio io: se esce testa, allora io rilancio sistematicamente e
tu abbocchi come un tonno e mi consegni 3 euri facili facili, se viene croce
ti pago i tuoi due euri di consolazione.
Chi č che vince?
Silv:o)

 Accetto, gioco sempre e, alla lunga, vinco con certezza.
Scusami, ma ti sei un po' perso:  se giochi sempre e
sistematicamente sui rilanci (come mi pare di capire da quest' ultima frase)
il rilancio lui te lo fa solo quando esce testa ed accade questo:
Quando esce croce tu vinci 2, ma quando esce testa lui rilancia sempre
(e solo in quel caso) e tu perdi sempre 3, dunque il gioco ti e'
sfavorevole, cosi'.
Nessuna tattica predefinita mi sembra favorevole (e vale pure
per il tuo avversario)
Io credo che convenga tirare un' altra moneta per decidere se
accettare o meno i rilanci ;-))
PS- non e' solo una battuta quest' ultima...

Come non detto, ti avevano gia' risposto.....


Perfetto!! L'analisi è corretta. Riassumendo:
Il valore del gioco è 1/10 per me (che chiamero primo giocatore) e la strategia
ottimale è di rilanciare sempre se esce testa e 2 volte su 5 se esce croce,
mentre il secondo giocatore ha come strategia ottimale quella di accettare 3
volte su 5.
Sulla conclusione non sono pero cosi sicuro... prova ad immedesimarti in una
sesssione reale, fissata per esempio a qualche ora di gioco (tipo poker):
secondo me non è poi cosi facile spuntarla per il primo giocatore. Il valore
teorico (1/10) è piccolo rispetto la puntata, e bisogna essere capace di
bluffare 3 volte su 5 senza dare alcuna indicazione se stai bluffando o meno.
Il secondo giocatore invece non ha questo stress, non corre il rischio di
trasmettere informazioni (a parte deviazioni dalla strategia ottimale).
Io temo che un abile giocatore di Poker mi batterebbe alla grande!! ma queste
sono considerazioni piu di natura psicologica che matematica...
Ciao a tutti, Enrico.