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Titolo: Chicane

Prese a caso 13 carte dal mazzo di 52, qual è la probabilità che
almeno un seme manchi del tutto?
Ciao!!!  :o)
Livio

almeno un seme manchi del tutto?
Totali=C'[4,13]= 560.
Favorevoli=senza un seme=560-C'[4,10]=174
p = 174/560 =~ 31.07%
P.S. Non garantisco!! :-))
-- 
Saluti, Dalet

 almeno un seme manchi del tutto?
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spoiler
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Il problema è di non contare le cose due volte, vediamo se ci riesco.
La probabilità che nelle 13 carte ci sia un solo seme (ad es. picche) è:
p1 = (13/52)(12/51)...(1/40) = 1/C(52,13) = x1
(ho indicato con C(a,b) il coefficiente binomiale).
La probabilità che ci siano solo due semi (ad es. picche e fiori) ma non
uno solo è:
p2 = (26/52)(25/51)...(14/40) - 2p1 = C(26,13)/C(52,13) - 2p1 
   = x2 - 2p1
dove ho sottratto la probabilità di avere solo picche o solo fiori.
La probabilità che ci siano solo tre semi (ad es. picche, fiori e
quadri) ma non uno solo né due è:
p3 = (39/52)(38/51)...(27/40) - 3p1 - 3p2 
   = C(39,13)/C(52,13) - 3p1 - 3p2
   = x3 - 3p1 - 3p2.
Siccome ci sono 4 modi di avere tre semi, sei modi di averne due e
quattro modi di averne uno solo, la probabilità cercata dovrebbe essere:
P = 4p3 + 6p2 + 4p1 = 4x3 - 6p2 - 8p1 = 4x3 - 6x2 + 4p1 
  = 4x3 - 6x2 + 4x1,
cioè:
P = (4C(39,13) - 6C(26,13) + 4)/C(52,13)
  = 1621364909/31750677980 = 0.0510655+
Spero sia giusto...
Maurizio

P.S. Non garantisco!! :-))
Infatti e' tutto sbagliato, e meno male: perche' non avevo
messo lo spoiler.
spoiler
La prima che pesco e' buona cmq.
La probabilita' che la seconda sia dello stesso seme e'
di 12/51,
che lo sia anche la terza 11/50,
e cosi' via... pertanto avrei: p=1/[51 su 12], che viene una
volta su: 158.753.389.900
Ma devo aver sbagliato ancora, perche' a Maurizio viene
molto piu' probabile, insomma... passo da un eccesso all'
altro: prima il 30% adesso una volta su 158 miliardi.
-- 
Saluti, Dalet


S
Sp
Spo
Spoi
Spoil
Spoile
Spoiler
Numero di gruppi totali di 13 carte da un mazzo di 52:   G= 52! / (13!
*  (52-13)!))
Numero di gruppi di 13 carte escludendo un seme, ossia numero di
gruppi di 13 carte da un mazzo di 52-13:    g= (52-13)!/ (13! *
(52-26)!)
Probabilita': g/G=  ((52-13)!)^2 / (52-26)!  52!
Calcoli in corso.

 Calcoli in corso.
Circa 1/78.


Sbagliato.
Ho calcolato la probabilita' che manchi del tutto un *determinato*
seme.
Che manchi del tutto un *qualsiasi* seme e' piu' complesso.

 Maurizio
Confermo.
Casi totali = 52!/(13!*39!)= 6,35014E+11
CartexSeme     Combinazioni
----------    -----------
  13-0-0-0         4
  12-1-0-0        2028
  11-2-0-0       73008
  11-1-1-0      158184
  10-3-0-0      981552
  10-2-1-0     6960096
  9-4-0-0      6134700
  9-3-1-0     63800880
  9-2-2-0     52200720
  8-5-0-0     19876428
  8-4-1-0    287103960
  8-3-2-0    689049504
  7-6-0-0     35335872
  7-5-1-0    689049504
  7-4-2-0   
2296831680
  7-3-3-0   1684343232
  6-6-1-0    459366336
  6-5-2-0   
4134297024
  6-4-3-0   8421716160
  5-5-3-0   5684658408
  5-4-4-0   7895358900
 Somma con max 3 semi = 32427298180
Prob. = 5,106552%
Non ho controllato se il resto (4 semi diversi)
va a prob. 1 ...
Ciao, Nino

>Circa 1/78.

spoiler
L'approccio coi casi: favorevoli e contrari che fai, l'avevo
abbandonato perche' m'ingannava l'indistinguibilita' delle
diverse carte d'un seme ai fini del quiz.
Ora lo vedo chiaro:
Casi totali siamo tutti d'accordo: 52!/13!/39!
Casi favorevoli e' l'uovo di Colombo: 4, cioe' 52/13.
E cosi' ritorna anche il calcolo mio probabilistico.
-- 
Saluti, Dalet


Ho completato anche il calcolo dei casi con tutti
i 4 semi diversi:
CartexSeme     Combinazioni
----------     -----------
 10-1-1-1       2513368
 9-2-1-1      
113101560
 8-3-1-1      746470296
 8-2-2-1     1221496848
 7-4-1-1     
2488234320
 7-3-2-1    11943524736
 7-2-2-2     
3257324928
 6-5-1-1     
4478821776
 6-4-2-1    29858811840
 6-3-3-1    21896462016
 5-5-2-1    20154697992
 5-4-3-1    82111732560
 5-4-2-2    67182326640
 5-3-3-2    98534079072
 4-4-4-1    
19007345500
 4-4-3-2    1,36853E+11
 4-3-3-3    66905856160
 6-3-2-2    35830574208
Somma con 4 semi diversi = 6,02586E+11
Prob. = 0,948934479
Nino

Spero sia giusto...
Se ho moltissimi tavoli e in ognuno ci metto una mano, in
tutto ho C(52,13) tavoli.
In ognuno di essi c'e' una mano diversa almeno per una carta.
Tra questi 653 miliardi e rotti ce ne sono solo 4 aventi
rispettivamente: tutte carte di picche, tutte di cuori, di
quadri e di fiori.
La risposta dunque sembra molto semplice: la probabilita' p
di avere tutte carte dello stesso seme e':
p = 4/C(52,13) = 1/C(51,12) = una su 158 miliardi e rotti.
Ma tutto questo l'ho gia' scritto, ora vorrei chiedervi
questa cosa strana.
Ai fini del quiz e' del tutto indifferente avere:
1) 12 carte di picche cui manca l'asso + l'asso di cuori
2) idem + l'asso di quadri
3) 12 carte di picche cui manca il 3 + il 10 di fiori
4)......
..........
ebbene come mi devo regolare nel contare i tavoli di prima?
In altre parole mi domando se il quiz non chieda per caso
quest'altro problema:
-- date 52 carte costituite da 13 assi di picche, 13 assi
di cuori, 13 assi di quadri e 13 assi di fiori,
-- calcolare la probabilita' di pescare tutti assi dello
stesso seme.
Beh, la scelta tra i due quiz non sembra molto semplice.
-- 
Saluti, Dalet

Beh, la scelta tra i due quiz non sembra molto semplice.
Mi autorispondo: sono uguali, i quiz e il risultato.
-- 
Saluti, Dalet

Prob. = 5,106552%
Presmesso che nei post che ho inviato prima avevo capito un
altro quiz, potreste dirmi dove sbaglio ora?
Calcolo la probabilita' di pescare 13 carte non di Picche:
39/52 * 38/51 * ... * 27/40 = (39!/26!)/(52!/39!) =~ 0.1279
Adesso se io moltiplico per 4 perche' sommo la probabilita'
di non avere a turno gli altri tre colori, ottengo una
probabilita' di circa 0.5116 cioe' piu' del 51 %
Sapreste dirmi dove sbaglio, perche' e' 10 volte maggiore
circa della vostra, mica poco!
-- 
Saluti, Dalet


Innanzitutto c'è un errore nel posizionamento della virgola, la tua formula 
dà come risultato ~0,01279, che moltiplicata per 4 dà ~0,051163, che è molto 
simile al valore trovato da Maurizio.
Il tuo valore è un po' maggiore per il fatto che conti (involontariamente) 
alcune situazioni più di una volta. Se, come dici tu, il valore trovato 
rappresenta la probabilità di non avere carte di Picche, in questo valore è 
inclusa la probabilità di non avere, ad esempio, né Picche né Cuori. Se 
moltiplichi tutto per 4, con lo scopo di considerare al posto delle Picche 
tutti gli altri semi, ti trovi a riconteggiare la probabilità di non avere 
né Cuori (al posto delle Picche) né Picche (al posto delle Cuori). Ma questa 
situazione l'hai già conteggiata, non la devi conteggiare due volte, e 
questo vale per altre situazioni simili.
Ciao
Giorgio

questo vale per altre situazioni simili.
Certo! a ri-grazie!
-- 
Saluti, Dalet


Quindi è sufficiente togliere i casi già considerati per ottenere il valore 
corretto.
a. (39!/26!)/(52!/39!) * 4 = ~0,051163792, probabilità di avere almeno un 
vuoto inclusi i casi ripetuti
b. (26!/13!)/(52!/39!) * 6 = ~9,82713E-05, probabilità di avere almeno due 
vuoti inclusi i casi ripetuti
c. 13!/(52!/39!) * 4 = ~6,29908E-12, probabilità di avere 3 vuoti
Sottraendo dalla a. la b. e la c. si ritrova il valore giusto: ~0,051065521.
Ciao
Giorgio

  11-2-0-0       73008
Scusa ma come calcoli queste combinazioni?
Il primo caso e' chiaro perchè possiamo avere 13 cuori, 13 quadri, 13 fiori 
o 13 picche.
Ma nel secondo io pensavo che i casi potessero essere:
12 cuori 1 quadri
12 cuori 1 fiori
12 cuori  1 picche
12 quadri 1 cuori
12 quadri 1 fiori
12 quadri 1 picche
12 fiori 1 cuori
12 fiori 1 quadri
12 fiori 1 picche
12 picche 1 cuori
12 picche 1 quadri
12 picche 1 fiori
Quali sono i calcoli che fai?
Ho visto che 2028 = 12*13*13 ma non capisco come mai e quale sia la regola 
per i casi successivi.
Grazie 

   = x2 - 2p1
Potresti spiegarmi come arrivi a questi calcoli e ai successivi?
Grazie 

per i casi successivi.
Cosi':
[13,a]*[13,b]*[13,c]*[13,d]*k
dove a,b,c,d sono la distribuzione (vale anche per 0) e k lo
determini cosi':
tutti diversi k=24
due uguali    k=12
tre uguali    k=4
mentre [] sono le combinazioni (coeff. binomiali).
Esempio: una 7-4-2-0  ->  [13,7]*[13,4]*[13,2]*[13,0]*24
E adesso ti fai il programma in Turbopascal 6.0 ? e a
proposito di programmi ne approfitto: ok per mastermind
nell'altro 3d.
-- 
Saluti, Dalet

 Potresti spiegarmi come arrivi a questi calcoli e ai successivi?
Nell'esempio qui sopra, p2 è la probabilità di avere due semi
particolari (es. picche e fiori) ma non uno solo. La probabilità di
avere in mano solo fiori e picche è C(26,13)/C(52,13), a questa devo
però togliere la probabilità di avere solo picche o solo fiori, che è
due volte la probabilità p1 calcolata prima.
Maurizio

 nell'altro 3d.
No no, volevo sapere solo che calcolo avevate fatto.
Ciao 

Ah, non conosco le distribuzioni.
Distribuzione e' come dire mano, viene da distribuzione delle
carte ai giocatori da parte del mazziere.
Una 7 4 2 0 ha 7 carte di un colore 4 di un'altro e 2 di uno
due restanti.
Una 7 6 0 0 puo' (con 2 colori l'elenco e' piu' breve) essere
solo una di queste:
7 picche + 6 cuori
7 picche + 6 quadri
7 picche + 6 fiori
7 cuori + 6 picche
7 cuori + 6 quadri
......
7 fiori + 6 quadri
dunque in tutto 4*3=12, che sarebbe k.
-- 
Saluti, Dalet


Dato un insieme di N oggetti, il numero di possibili gruppi di K
oggetti che se ne possono estrarre e'   N! / (K! * (N-K)!)
Quindi per il caso 11-2-0-0 si ha:
numero di gruppi di 11 carte estraibili da 13:  13! / (11! * 2!) = 78
 numero di gruppi di 2 carte estraibili da 13:  78 (si', e' uguale. Se
ci pensi, estrarre 11 carte e lasciarne 2 o estrarne 2 e lasciarne 11
e' la stessa cosa)
numero di gruppi di 2 semi estraibili da 4: 12 (sono gli stessi 12
casi del 12-1-0-0)
12* 78* 78 = 73008

 12* 78* 78 = 73008
In pratica la formula in generale sarebbe (come ha scritto Dalet)
C(13, a) * C(13, b) * C(13, c) * C(13, d) * k
Dove k sono i casi possibile e i rimanenti fattori tutti i sottocasi dei 
casi possibili?
Grazie 


Per completare.
Se si ha un mazzo di 52 carte e si danno 13 carte per ciascuno
dei 4 giocatori, il numero di modi di disporre le 13 carte (N)
secondo i 4 semi (k) è calcolabile secondo la formula delle
combinazioni con ripetizione:
M = (N+k-1)!/(N!*(k-1)!)
Se N=13 si ha M=560
Questi 560 posizionamenti sono partizioni non ordinate, in cui
è importante l'ordine dei semi.
Nei miei calcoli precedenti avevo esaminato invece le partizioni
ordinate (senza ripetizioni), che nel caso delle 13 carte sono
complessivamente 39 (da 13-0-0-0 a 4-3-3-3) e precisamente 1 con
solo 1 seme, 6 con 2 semi, 14 con 3 semi e 18 con tutti i 4 semi.
Esaminiamo ora le partizioni non ordinate.
A)Sono presenti tutti i 4 semi
  C((13-1),(4-1))=220  combinazioni diverse, di cui:
   .. 10-1-1-1 + 7-2-2-2 + 4-4-4-1 + 3-3-3-4  = 4*4 = 16
   .. 9-2-1-1 + 8-3-1-1 + 8-2-2-1 + 7-4-1-1 + 6-5-1-1 + 6-3-2-2 +
      + 6-3-3-1 + 5-5-2-1 + 5-4-2-2 + 5-3-3-2 + 4-4-3-2 = 11*12 = 132
   .. 7-3-2-1 + 6-4-2-1 + 5-4-3-1 = 3*24 = 72
   Totale = 16 + 132 + 72 = 220
B)Sono presenti 3 semi
  C((13-1),(3-1))=66 che, moltiplicato per 4 (seme escluso) dà 264
   .. 11-1-1-0 + 9-2-2-0 + 7-3-3-0 + 6-6-1-0 + 5-5-3-0 + 5-4-4-0 =
     = 6*3*4 = 72
   .. 10-2-1-0 + 9-3-1-0 + 8-4-1-0 + 8-3-2-0 + 7-5-1-0 + 7-4-2-0 +
      + 6-5-2-0 + 6-4-3-0 = 8*6*4 = 192
   Totale = 72 + 192 = 264
C)Sono presenti 2 semi
  C((13-1),(2-1))=12 che, moltiplicato per C(4,2)=6 che sono le possibili
   posizioni dei 2 zeri dà 72
   .. 12-1-0-0 + 11-2-0-0 + 10-3-0-0 + 9-4-0-4 + 8-5-0-0 + 7-6-0-0 =
     = 6*2*6 = 72
D) E' presente 1 solo seme
   C((13-1),(1-1))=1 che, moltiplicato per 4 (posizione 3 zeri) dà 4
    .. 13-0-0-0 = 1*4 = 4
Quindi, complessivamente, 220 + 264 + 72 + 4  = 560 come precedentemente
calcolato.
Nino

carte ai giocatori da parte del mazziere.
Veramente distribuzione e' il tipo di mano e viene da
"come sono distribuiti i semi", cioe' se in modo bilanciato
(bilanciatissima e' la 4333) o sbilanciato (cioe' con un seme
di almeno 5 o 6 carte)
-- 
Saluti, Dalet

 Aspetta, qui intendi dire che C(4, 2) = 12?
Hai ragione, mi sono spiegato male. Intendevo gruppi "ordinati", ossia
n!/k!
 (oppure C(n,k)*k! , che e' equivalente).

 (oppure C(n,k)*k! , che e' equivalente).
Ah le disposizioni semplici ovvero D(n,k) = n!/(n-k)! che volendo possiamo 
anche scrivere C(n,k)*k! ma non n!/k!
Ciao 

 ha scritto:

Giustissimo. Ho fatto un po' di confusione.