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Titolo: Il pigro pigreco e l'evanescente e

Un tarlo che mi perseguita da cinque lustri, da quando cioč Martin Gardner
lanciň la sfida su Enigmi e Giochi Matematici affermando che esiste una
semplice dimostrazione del fatto che il numero di Nepero elevato a PiGreco č
maggiore di PiGreco elevato al numero di Nepero. Sě, č vero che se prendo la
calcolatrice me ne faccio subito una ragione, ma tutto ciň mi evoca i
fantasmi del Teorema di Eulero che per non sprecare un pň di carta fece
lavorare i matematici per quattrocento anni o giů di lě...
C'č per caso qualcuno che sappia dare, per favore, una risposta al problema
mettendo anche fine ai miei travagli?
Grazie a tutti in anticipo e buoni enigmi
Antonio Misericordia
-- 
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 [193.70.192.53] 
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 Grazie a tutti in anticipo e buoni enigmi
Grazie a te e benvenuto!

 mettendo anche fine ai miei travagli?
Non so se ti puo' soddisfare appieno, anzi sicuramente no, tuttavia una
quasi-dimostrazione prettamente analitica si puo' trovare:
Definisco la funzione f(x) = e^x-x^e
Chiediamo se e' vero che f(pi) >0
Si trova a occhio che f(x) ha uno zero per x = e.
Derivando la funzione, si scopre che questo e' un estremale.
Derivando ancora, si stabilisce che e' un minimo.
Nota: tutto cio' senza usare computer e calcolatrici.
Possiamo quindi dire che in un intorno di x = e, la funzione e' positiva, e
crescente per x > e.
A questo punto, con un piccolissimo salto di fede (d'altronde avevo detto
quasi-dimostrazione...), si puo' asserire che il punto x = pi fa parte
dell'intorno positivo di x = e, da cui la tesi f(pi)=e^pi-pi^e>0.
Per far togliere il quasi dal quasi-dimostrazione, bisognerebbe mostrare che
non ci sono altri estremali della funzione per x > e, ovvero che e' monotona
crescente. E' molto ragionevole che sia cosi' (l'esponenziale e' sempre piu'
rapido a divergere della potenza), ma non sono riuscito a dimostrarlo.
Aspetto con ansia dimostrazioni geometriche, che essendo ben al di la' delle
mie capacita', trovo molto affascinanti.
Ciao
Marco

maggiore di PiGreco elevato al numero di Nepero.
Ciao Antonio, una dimostrazione breve ma non elementare (richiede una
certa dose di calcolo differenziale) si basa sul fatto che 
per ogni x>0,  x/e > ln(x)   (ln=logaritmo in base e)
Infatti la tangente al grafico di y=ln(x) nel punto (e;1) e' proprio
la retta y=x/e. Essendo ln(x) concava verso y negativo, x/e>ln(x).
Percio' x/e>ln(x) --> x>e*ln(x) --> PiGreco>e*ln(Pigreco) ed
esponenziando entrambi i membri si ha appunto
e^Pigreco > e^(e*ln(Pigreco)) = Pigreco^e
Ciao

 Antonio Misericordia
Sono un po' OT, ma sai ho la febbre, il weekend e' saltato, l'uva e'
acerba...
Ho disegnato la funzione y=x^(e*pi/x) che passa per e^pi e per pi^e:
http://www.geocities.com/images/eelevpi.gif
E' carina, tutto qui. Ha un massimo per x=e. E' monotonica tra e..pi.
Nello stesso tratto dy/dx<=0. Tutte cose per cui sono pronto a mettere
la mano sul fuoco.
Pero' bisognerebbe dimostrarle analiticamente e la tua dimostrazione
sarebbe fatta.
Ma sai ho la febbre, il weekend e' saltato, l'uva e' acerba...
Ciao, scusa se ho scherzato  :o)
Livio
-- 
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laguna.tiscalinet.it
 [195.130.224.86] 
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 Ho disegnato la funzione y=x^(e*pi/x) che passa per e^pi e per pi^e:
 
http://www.geocities.com/liviozuc/images/eelevpi.gif
SCUSATE
Livio
-- 
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 [195.130.224.85] 
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Grazie Crios per il benvenuto!
In effetti è già un mese che mi trovo da queste parti, avendo proposto anche
qualche "banalizia" sotto il mio precedente identificativo che era AntonioM.
E' bello respirare aria di enigmi, anche se mi rendo conto che inventarne di
nuovi ed interessanti diventa sempre più difficile, anche perché quando non
c'era il computer le soluzioni erano "necessariamente" più belle. Mi viene
da pensare al famoso enigma della scimmia e delle noci di cocco, che M.G.
risolveva utilizzando l'assurdo ma efficace espediente delle "noci
negative"...
Ciao e arrivederci
Antonio Misericordia
P.S.: Dimenticavo una domanda. Sono, da sempre, uno scacchista appassionato
dell'analisi retrograda che sta a metà strada tra la logica e la
problemistica. Ho visto che nel sito degli scacchi non se ne parla proprio,
preferendo analisi di partite, varianti al computer, etc...
Qui in it.hobby.enigmi le analisi retrograde verrebbero inevitabilmente
considerate con un doppio OT?
Grazie di nuovo
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 [193.70.192.51] 
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Riporto una soluzione secondo me migliore.-.e comunque non mia...
Prendi il logaritmo naturale di entrambi i membri. Siccome il log
e' una funzione monotona crescente, la disuguaglianza di cui
sopra diventa
pi/e - lg(pi) > 0.
Considera ora la funzione f(x) = x/e - lg(x). Evidentemente, f(e)
= 0 e df/dx = 1/e - 1/x > 0 per ogni x > e. Da questo si deduce
che f(x) > 0 per ogni x > e, e siccome pi > e segue la tesi.
--
                                                                Giovanni

Grazie Giovanni!
penso che questa sia la dimostrazione che mette fine alle mie pene, in
quanto non si appoggia a nessun presupposto "numerico", ma semplicemente
sviluppa tutto il ragionamento a partire dalla monotonicità (mi viene il
dubbio se si dica così) di ln(x).
Ciao e grazie di nuovo
Antonio Misericordia
-- 
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 [193.70.192.52] 
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 considerate con un doppio OT?
Ehm... io conosco l'an.retrograda come l'aramaico...