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Titolo: [supermag] Scalenoedri

Quanti scalenoedri si possono fare?
Ho messo il tag [sepermag] perché mi sa che questo
è un altro colpo basso a geomag.  :o)
Uno scalenoedro, a scanso di equivoci, è un poliedro
che ha tutte le facce triangolari scalene, ma congruenti,
cioe' uguali sovrapponibili (anche rovesciandole).
Stasera magari apro un folder su:
http://it.groups.yahoo.com/group/enigmi
)
se non lo fa qualcuno prima.
Ciao!!!  :o)

 Quanti scalenoedri si possono fare?
Non lo so, però voglio segnalare che sul numero 1/2005 della rivista
Archimede c'è un articolo dedicato ai "tetraedri isosceli"
(disphenoids), cioè tetraedri formati da quattro triangoli scaleni
uguali.
Ogni triangolo scaleno, purché acutangolo, si presta all'uopo: basta
congiungere i punti medi dei lati per suddividerlo in quattro triangoli
uguali (grandi la metà del triangolo di partenza) e poi "ripiegare"
lungo le linee.
Maurizio

 Quanti scalenoedri si possono fare?
Oltre ai tetraedri, si possono fare anche gli ottaedri, aventi tre rombi
come sezioni mediane. Anche in questo caso, i triangoli possono essere
qualsiasi, purché acutangoli.
E poi si possono fare delle bipiramidi, la cui base č un poligono
equilatero con un numero pari di lati. Qui ci sono restrizioni piů
stringenti sui triangoli, ancora piů stringenti se si vuole ottenere un
poliedro convesso, ma non ho voglia di mettermi a trovarle!
Per il momento non me ne vengono in mente altri.
Maurizio

 Quanti scalenoedri si possono fare?
Me ne sono venuti in mente altri due tipi.
1) Parto con un esaedro rombico (cioè un parallelepipedo le cui facce
sono 6 rombi uguali) e poi costruisco su ogni faccia delle piramidi
uguali, ottenendo uno scalenoedro con 24 facce.
2) Parto con un dodecaedro rombico e procedo come sopra, ottenendo uno
scalenoedro con 48 facce.
Maurizio

 ottenendo uno scalenoedro con 48 facce.
E qua cominciano i miei dubbi. Catalan fa questa operazione
ponendo i 12 vertici aggiunti sulla superficie della sfera che
già circoscrive il solido di partenza: è il *dodecaedro disdyakis*.
Fa la stessa cosa con il *triacontaedro rombico* ottenendo
un 120-scalenoedro bellissimo.
Nel weekend mi è venuta questa idea:
prendo i 5 solidi platonici e aggiungo dei raggi, pari al raggio
della sfera circoscritta, che passino per il centro di ogni
faccia e per il punto mediano di ogni spigolo. Poi congiungo
ogni nuovo vertice e i vecchi con una superficie di triangoli
scaleni congruenti. Ottengo:
1) dal tetraedro un 24-scalenoedro.
2) dal cubo un 48-scalenoedro.
3) dall'ottaedro un 48-scalenoedro.
4) dal dodecaedro un 120-scalenoedro.
5) dall'icosaedro un 120-scalenoedro.
I dubbi ora sono (a caldo):
- il 4) e il 5) sono uguali tra loro e uguali al triacontaedro
disdyakis di Catalan?
- il 2) e il 3) sono uguali tra loro e uguali al dodecaedro
disdyakis di Catalan?
- Se Catalan ha scoperto i 2), 3), 4) e 5), perché gli è
sfuggito l'1) ? [O sfugge qualche cosa a me? Sarà
senz'altro così.]
Altre idee:
Prendiamo, sempre tra i solidi catalani, l'icosaedro
trapezoidale e l'esacontaedro trapezoidale. Già non
capisco perché li chiamano trapezoidali: le facce sono
delle losanghe. Le losanghe sono sormontabili da piramidi
di scaleni ove il terzo lato non è arbitrario. Otteniamo due
begli scalenoedri rispettivamente di 80 e 240 (!) facce.
Sulle dipiramidi:
E' interessante notare come si possano ottenere sia
solidi convessi che no. E' anche possibile *sfasare* di
un passo le due piramidi ottenendo un bordo a zigzag.
Dai deltaedri:
Anche i deltaedri hanno le facce a losanga sormontabili
da piramidi di scaleni congruenti. Ne ho fatto uno di
cartone partendo da un deltaedro pentagonale e ottenendo
un 40-scalenoedro.
Metterò delle foto sul ng yahoo e, se il lavoro promette
di essere esaustivo, farò una pagina web. Qualunque
contributo sarà gradito.
Ciao!!!  :o)

 lungo le linee.
Grazie, mi ero proprio dimenticato del più semplice!
Ciao!!!  :o)

> Quanti scalenoedri si possono fare?
Questa sera mi č venuto questo:
http://tinypic.com/5ote2f
Ciao!!!  :o)

 lungo le linee.
Questo dimostra anche che su ogni scaleno si può costruire
un tetraedro fatto da scaleni congruenti a quello dato. Quindi
ogni scalenoedro si può stellare, salvo impossibilità di
compenetrazioni. A cominciare dal tetraedro stesso.
Dovrebbe anche essere possibile formare un lattice di
tetrascalenoedri e ottascalenoedri che tassellano lo spazio. (SE&O)
Ciao!!!  :o)

 un 40-scalenoedro.
Leggasi "deltoedri". I deltaedri sono un'altra cosa.
Sorry.  :o(

 senz'altro così.]
4) e 5) sono uguali tra loro, così come 2) e 3). Questo è dovuto alla
dualità cubo-ottaedro e dodecaedro-icosaedro; in altre parole, se
considero le semirette che congiungono il centro di uno di questi solidi
con:
a) i vertici, 
b) i centri delle facce, 
c) i punti medi dei lati, 
per cubo e ottaedro ottengo le stesse semirette, ed anche per dodecaedro
e icosaedro. I tuoi solidi hanno come vertici le intersezioni di queste
semirette con una sfera centrata nell'origine. Coincidono con quelli di
Catalan se questi sono effettivamente inscritti in una sfera. Non so
perché 1) gli sia sfuggito, non avendo letto le sue argomentazioni.
In generale, mi sembra che molti degli scalenoedri proposti rientrino in
questa costruzione più generale: parto con un poliedro regolare,
considero le semirette a), b) e c) di cui sopra e le interseco con tre
sfere concentriche (non necessariamente distinte). I vertici ottenuti
dall'intersezione delle semirette di tipo a) con la prima sfera, delle
semirette di tipo b) con la seconda sfera e delle semirette di tipo c)
con la terza sfera sono i vertici di uno scalenoedro, avente 24, 48 o
120 facce.
In altre parole, parto dal solido ottenuto "reticolando" ogni faccia di
un poliedro regolare con triangoli rettangoli (ottenuti congiungendo il
centro della faccia con i vertici e con i punti medi dei lati) e poi
posso "aggiustare" separatamente come voglio la distanza di ognuna delle
tre famiglie di vertici dal centro del poliedro.
Mi sembra comunque interessante cercare di capire quali siano gli
scalenoedri inscrivibili in una sfera, questa forse è una domanda a cui
una risposta definitiva si può dare.
Maurizio

 essere qualsiasi, purché acutangoli.
Ce ne sono almeno due topologicamente diversi: il primo è quello
che dici, il secondo ha due sezioni mediane a forma di losanga.
L'ho chiamo provvisoriamente "ottaedro deltoide" e ne metto
una foto su      
http://it.groups.yahoo.com/group/enigmi
  .
Inaspettata è la forma dell' "ottaedro deltoide stellato" (altra foto).
Già che ci sono aggiungo il dimenticato tetraedro col suo
sviluppo, un tetraedro stellato e la prova fotografica :o) che
l'ottaedro scaleno di primo tipo con il tetraedro scaleno
possono tassellare lo spazio.
Ciao!!!  :o)

 essere qualsiasi, purché acutangoli.
Ce ne sono almeno due topologicamente diversi: il primo è quello


 essere qualsiasi, purché acutangoli.
Ce ne sono almeno due topologicamente diversi: il primo è quello
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 essere qualsiasi, purché acutangoli.
Ce ne sono almeno due topologicamente diversi: il primo è quello
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 essere qualsiasi, purché acutangoli.
Ce ne sono almeno due topologicamente diversi: il primo è quello
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 essere qualsiasi, purché acutangoli.
Ce ne sono almeno due topologicamente diversi: il primo è quello
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 essere qualsiasi, purché acutangoli.
Ce ne sono almeno due topologicamente diversi: il primo è quello


 a cui una risposta definitiva si può dare.
- certamente il tetra-scaleno-edro è inscrivibile nella sfera.  :o)
- degli ottoedri, soltanto quello che ha due sez. a losanga. L'altro
diventerebbe platonico.
- le dipiramidi, solo quelle *sfalsate* (come l'ottaedro suddetto).
- antiprismi dipiramidati?
- il 48 e il 120 catalani, che hanno più assi di simmetria.
- ???
Anche interessante potrebbe essere la famiglia dei convessi.
Tutti possono solo essere dei 4N-edri.
Ciao!!!  :o)

 possibile ottenere un 120-equi-edro, ovviamente non convesso.
Confermo che è possibile costruire il 120-equi-edro, quindi
geomag dovrebbe rientrare dalla finestra.
La soluzione è bella a vedersi e abbastanza... inedita (imho):
http://tinypic.com/5tx3ky
Riassumo: è derivato dal *triacontaedro disdyakis* di Catalan
dove i 12 vertici blu sono quelli di un icosaedro, i 20 verdi sono
sulle semirette che passano per il centro delle 20 facce e i 30
fuxia sono sulle semirette che passano per il punto mediano di
ogni spigolo. Sono necessarie 180 barrette e 62 sfere.
Ciao!!!  :o)