Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: R: Corto ma mica semplice

 PsYChO
Tanto di cappello per l'inventività, devo proprio dire...! Ma mi sembra strano
che uno che arriva a questi ragionamenti non sappia cosa sono gli integrali,
quindi tento di spiegarlo alla breve e senza formule (eventualmente anche per
altri).
Immagina di avere una curva che giace in un sistema di due normali coordinate
cartesiane perpendicolari x e y, e che vuoi calcolare l'area della porzione di
piano delimitata da questa curva e l'asse x (cioè orizzontale) tra due valori
qualsiasi di x (due linee verticali scelte da te). Hai dunque un "rettangolo"
del quale uno dei lati (quello superiore se siamo nel primo o secondo quadrante)
è una curva, e del quale devi calcolare l'area.
Ovviamente non puoi (quasi mai) usare la geometria classica (non mi stupirebbe
che tu adesso tiri fuori un nuovo sistema per farlo :-) ...ma andiamo avanti).
Però puoi approssimare il problema dividendo il "rettangolo con un lato curvo"
in tante "fettine" per mezzo di linee verticali, cioè perpendicolari all'asse x
e parallele all'asse y: infatti, facendo finta che queste fettine siano
rettangoli, ora puoi calcolare l'area di ciascuno di essi nel modo tradizionale:
base (spessore dei rettangolini che hai scelto tu arbitrariamente) * altezza
(che è la distanza tra l'asse x e la curva, per esempio a metà di ciascuna
"fettina"). Poi, sommando le aree delle "fettine", cioè dei "rettangolini
sottili che hanno uno dei due lati corti costituiti da una curva", ottieni
ovviamente l'area dell'intera porzione tra la curva e l'asse x.
"Ovviamente" mica tanto, perché quei rettangolini hanno un lato curvo, quindi il
risultato sarà sempre un'approssimazione. Però si nota subito che, quante più
"fettine" (rettangolini) avrai scelto di fare dividendo la superficie sotto alla
curva, tanto più preciso sarà il risultato, perché il "lato curvo" dei
rettangolini diventa sempre più simile a una linea retta quanto più cresce il
numero dei rettangolini in questione in quanto essi diventano sempre più
sottili.
Un integrale - e qui comincia il bello - è la somma delle aree di rettangolini
del tipo descritto sopra che hanno la "base" di dimensione infinitamente
piccola, cioè che sono "infinitamente stretti" (o "sottili") guardando la nostra
figura nel sistema di assi cartesiani. Ciò equivale a dire che c'è una quantità
infinita di tali rettangolini, e dunque puoi calcolare l'area esattamente. "Il
bello" sta nel fatto che, se abbiamo una definizione analitica della curva che
giace nel sistema cartesiano (mettiamo sia una parabola, per es. y = 3*x^2),
allora è (quasi sempre) possibile calcolare l'integrale analiticamente, cioè con
una formula matematica precisa e senza dover dividere in un numero infinito di
rettangolini e farsi il c... sommando le loro aree. Dunque è possibile calcolare
l'area al di sotto della curva esattamente, senza approssimazione.
Ci si potrebbe chiedere cosa gliene frega a uno dell'area sotto a una curva, ma
metti di avere la curva della velocità di un corpo: il tempo sull'asse x e la
velocità sull'asse y... l'area al di sotto della curva rappresenta niente meno
che lo spazio percorso dal corpo! (infatti è uguale a velocità * tempo). Oltre a
questo puoi ad esempio calcolare la velocità media del corpo, lo spazio percorso
tra due determinati istanti ecc. ecc., il tutto naturalmente (ed è questo il
vantaggio degli integrali) in modo preciso e non approssimato anche quando la
velocità del corpo non è costante. Questo della velocità è solo uno dei tanti
esempi, perché praticamente tutta la fisica e anche altre scienze sono piene di
situazioni in cui l'uso degli integrali è insostituibile. Pensa che la base del
calcolo integrale, praticamente la stessa in uso al giorno d'oggi, è stata
inventata da Leibnitz più di 200 anni or sono... senza l'aiuto di altre
calcolatrici che non il pallottoliere, altro che AMD-K6 450 MHz MMX!!!
Ora mi piacerebbe sapere quanti di quelli che non conoscevano l'argomento hanno
capito il senso del discorso... OK, io perlomeno a spiegarlo ci ho provato.
Karamel

 capito il senso del discorso... OK, io perlomeno a spiegarlo ci ho
provato.
Ottimo, direi che non avresti potuto spiegarlo meglio! Io in realtà
conoscevo già l'idea di fondo degli integrali, senza formule naturalmente
(sto iniziando proprio ora quelli indefiniti a scuola), e la mia era più che
altro una battuta per invitarvi a pensare ad una soluzione "classica" del
problema.
A questo proposito vorrei chiedere a te e a tutto il newsgroup cosa ne
pensate del rapporto fra matematica tradizionale (intendo i concetti
anteriori ad Analisi) e matematica superiore. A me pare che, sebbene
utilissima, quest'ultima si riveli molto meno "bella" a livello
intellettuale della prima. Ad esempio: se uno dei grandi geni del passato,
come Fermat, Eulero o Gauss si fosse trovato di fronte un problema come
quello di questo thread, avrebbe trovato in un attimo una soluzione elegante
ed a portata di tutti, mentre oggi, una persona normale, con più conoscenze
di un matematico di due secoli fa, magari lo risolve lo stesso in pochi
minuti, ma con un procedimento molto più astratto  (come credo che siano gli
integrali) e difficile da comprendere. Quindi sarebbe opportuno cercare,
magari con sforzi più intensi, di trovare sempre la soluzione più semplice,
e nello stesso più bella, di un enigma.
Ma il mio è un giudizio di parte, in quanto non ho ancora affrontato nulla
di Analisi. Vorrei conoscere le vostre opinioni in proposito e capire se
anche nel calcolo integrale e negli strumenti superiori si riconoscono le
ammirevoli "bellezze" concettuali della matematica che per ora conosco ed in
quella che intravedo nella regina delle matematiche, la teoria dei numeri.
(Mi rendo conto del fatto che questo argomento sia OT in questo newsgroup.
Se interessa qualcuno, ci potremmo spostare in it.scienza.matematica)
PsYChO
--

OK, io perlomeno a spiegarlo ci ho provato.
NO! non ci hai provato.
Ci sei riuscito
Bravo e Grazie
egomego

egomego wrote:

Che vuoi, mi ero messo in testa di spiegarla, costi il tempo che costi... ci ho messo più di
mezz'ora a scrivere il tutto (ovviamente off-line). Ma era un po' una sfida anche a me
stesso.
Sono ingegnere diplomato, con specializzazione in radio e telecomunicazioni, ma lavoro in
proprio come traduttore tecnico. Guadagni discretamente, disponi più o meno come vuoi del
tuo tempo e soprattutto non hai capi rompipalle che ti dicono fai così e non far cosà.
Età... almeno i 40 li ho superati.
Saluti
Karamel

 --
OK, ti dirò subito che la matematica non è mai stata il mio forte (forse a parte
i problemi prettamente algebrici e di geometria analitica), comunque quello che
dici mi sembra una tipica reazione da parte di chi si accinge a studiare il
calcolo differenziale e integrale. Tipica perché questo tipo di matematica è
decisamente differente da quella che si studia prima (per prima cosa molto più
astratta).
Anche se dovrebbe risponderti chi ha una visione più ampia su tutto l'insieme,
credo che sia più che altro una questione di gusti. Ma senz'altro è vero quello
che dici sulla risoluzione dei problemi da parte dei grandi geni del passato:
già i Greci (non so se con Archimede o chi altro) avevano ad esempio calcolato
la lunghezza del raggio della Terra con (credo) un errore di un paio di
centinaia di chilometri, anche se non so se avrebbero potuo risolvere tutti i
tipi di problemi che possiamo risolvere oggi.
Qualche hanno fa ho letto in un libro la spiegazione di che cos'è un computer
più spiritosa e al tempo stesso più seria che ci sia: "Definiamo 'computer' un
velocissimo idiota". È proprio per questo che siamo in grado di risolvere tanti
problemi per mezzo dei computer: perché sono velocissimi. Ma in fatto di
intelligenza, l'uomo medio di 2000 anni fa avrebbe saputo far meglio.
Se lo trovi, prova eventualmente a leggere: "Introduzione alla filosofia
matematica" di Bertrand Russell. In questo libro il filosofo inglese ha provato
a spiegare le basi della matematica (che cos'è un numero, cos'è una somma ecc.)
a partire da concetti non matematici. Credo ti potrà interessare, perché tenta
di creare un ponte appunto tra il senso comune e la matematica "fredda" dei
numeri.
Saluti
Karamel