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Titolo: La collezione del signor Osvaldo

Sara' per quel suo nome rotondo, o chissa' per cos'altro, ma il signor
Osvaldo e' da sempre affascinato dai cerchi e dalle loro proprieta'.
Un suo amico gli ha rivelato questo fatto: presi tre cerchi tangenti
tra loro, nel piccolo "triangolo" esistente tra di essi si puo' sempre
collocare un piccolo cerchio che e' a sua volta tangente a tutti e tre
i cerchi originali. E fin qui la cosa e' (forse) intuitiva.
Il suo amico gli ha pero' rivelato anche una cosa meno intuitiva: esiste
sempre anche un altro cerchio che e' tangente esternamente ai tre cerchi
originali (cioe' li tocca in punti non appartenenti al piccolo triangolo
definito dai loro punti di tangenza). Molto spesso, ma non sempre, i tre
cerchi originali sono interni a questo cerchio tangente, cosicche'
questo puo' diventare una specie di loro contenitore.
Immediatamente al signor Osvaldo e' venuta l'idea di costruire e
collezionare scatole circolari contenenti al proprio interno tre
cerchi ad esse tangenti, che a loro volta abbiano un piccolo cerchio
tangente - una specie di perla - proprio nel mezzo.
Naturalmente si e' reso conto che di queste scatole ne esistono
un'infinita' non numerabile e, diciamocelo, non interessante.
Allora ha deciso di rendere molto piu' particolare ed interessante
la sua collezione aggiungendo dei vincoli che non mancheranno - ne
sono certo! - di solleticare la vostra curiosita':
1. I tre cerchi originali devono avere raggio intero
2. I tre cerchi devono essere diversi tra loro
3. I due cerchi tangenti internamente ed esternamente devono
    avere raggio intero
Ovviamente non era detto a priori che esistessero soluzioni ad un
problema con questi vincoli, ma anche stavolta l'istinto matematico
del signor Osvaldo non lo ha ingannato! E infatti ha trovato diverse
soluzioni. Ecco a voi la piu' piccola scatola che il signor Osvaldo
e' riuscito (finora) a costruire: il raggio della scatola e' 105, 70
30 e 21 sono raggi dei cerchi originali, e 5 e' il raggio della "perla".
Nell'enorme quaderno destinato ad ospitare la sua collezione, il signor
Osvaldo ha scritto:
[5 70 30 21 105]
A questo punto ha deciso di portare avanti sistematicamente la sua
collezione cercando innanzitutto di trovare i cerchi da mettere
attorno a perle di raggio via via crescente e poi, se possibile, di
fare anche la scatola. Questo e' l'inizio della sua collezione:
  3 8  22 264
  4 11 33 132
[5 21 30 70 105]
[6 23 46 69 138]
  7 18 56 504
dove con le parentesi quadre si indica l'esistenza della scatola.
Come potete vedere, il signor Osvaldo non e' ancora riuscito a
trovare i cerchi da mettere attorno alle perle di raggio 1 e 2,
e questo gli sta togliendo il sonno!!! Vogliamo aiutarlo?
Vogliamo anche completare la collezione fino al raggio 20?
Buon lavoro!
iant


Per ora solo un'osservazione banale:
Se riesci a fare la scatola con la perla di raggio 1, allora puoi
farle con qualunque raggio, semplicemente cambiando scala.
Se riesci con raggio 2 puoi fare tutti i raggi pari.
ecc...
ciao
paolo

> Vogliamo anche completare la collezione fino al raggio 20?
Per il momento ho valutato raggi < 300, escluso la scatola.
Ecco i risultati:
   3  8   22 264
   4  11  33 132
  [5  21  30  70 105]
  [6  23  46  69 138]
   8  22  66 264
   9  28  63 252
  10  24 135 216
[10  42  60 140 210]
[12  46  92 138 276]
  14  63  77 198
[15  63  90 210 315]
[17  72 136 153 306]
[18  69 138 207 414]
[21  70 189 270 945]
[21 102 119 238 357]
[22  75 200 264 825]

 ecc...
Dalla tua osservazione (che a mio avviso non e' affatto banale) deriva
che i casi piu' interessanti - poteva essere altrimenti? - sono quelli
in cui n e' primo.
Non sapendo quale interesse avrebbe riscosso il problema, che di suo e'
gia' abbastanza articolato, non ho voluto complicarlo ulteriormente.
Pero' sarebbe davvero molto bello trovare le soluzioni per tutti i
primi minori di 100. Per ora, a parte 1 e 2, la bestia nera del signor
Osvaldo e' n=11. Ci concentriamo tutti insieme per aiutarlo?  ;-)
Ciao,
        iant

Dario Uri wrote:

  7 18 56 504
11 33 64 2112
[13 45 72 520 1179]
16 44 132 528
19 56 114 3192
[20 84 120 280 420]
23 69 150 1150
[29 120 145 696 870]
direi nessuna soluzione con 1 e 2 per raggi inferiori a 50000.
ciao,
g.

iant ha scritto:

dalla stessa osservazione segue che basta che il raggio del cerchio 
interno sia un numero razionale, affinchè si riesca a ottenere un nuovo 
oggetto per la collezione.
in particolare, se il raggio del cerchio interno è 1/n, 11/n etc, allora 
siamo a posto :-)
non so se complica ulteriormente il problema, ma basterebbe scrivere il 
raggio del cerchiolino in funzione degli altri raggi e vedere che 
equazione vien fuori, poi risolverla sui razionali.
pazqo

   9  28  63 252
io l'avrei scritta cosi': [9 28 63 252 oo] -> cerchio degenere!
E' una chicca della collezione: scatola rettangolare 504x603.
Io mi ero spinto fino a raggi < 700 (ma ho di sicuro stoppato
prima che finisse tutto il ciclo). Questi sono i risultati diversi
dai tuoi che ho trovato:
  12 33 99  396
[13 45 72  520 1170]
  15 38 90  285
[15 58 87  290 435]
  15 35 160 672
Come dicevo a Paolo, sarebbe interessante trovare le soluzioni
per tutti i primi minori di 100.
Ciao,
        Antonio

Giovanni Resta wrote:

Considerando solo soluzioni non derivate posso aggiungere
[22 78 143 429 858]
[28 81 252 567 2268]

 equazione vien fuori, poi risolverla sui razionali.
sul problema sono stati versati fiumi di inchiostro, e il materiale online č 
tantissimo. Soddy, sui cerchi che si baciano, ci ha pure fatto un poema!
La formula č semplice:
r4 = r1*r2*r3/(r1*r2+r1*r3+r2*r3ąsqrt(r1*r2*r3*(r1+r2+r3)))
e deriva dalla bellissima:
(a+b+c+d)^2=2(a^2+b^2+c^2+d^2)
dove a b c d sono i reciproci dei 4 raggi ovvero le curvature dei cerchi. 
Una delle curvature puň essere negativa, nel qual caso il quarto cerchio č 
esterno agli altri 3. La maggior parte dei lavori, che hanno visto 
cimentarsi matemetici illustri, si concentra sulle curvature intere 
piuttosto che sui raggi.
Non so quanto ti puň aiutare, ma vado di fretta e piů di cosě ora non posso.
Se cerchi in rete forse rischi di rovinarti un po' del piacere delle 
scoperte, ma trovi davvero una montagna di roba.
-- 
Ciao, Silv:o) 

 direi nessuna soluzione con 1 e 2 per raggi inferiori a 50000.
Domanda: come hai fatto a spingerti cosi' in avanti?
Non credo per forza bruta, visto che comb(50000,3) ~= 2*10^13
e quindi anche se si riuscissero a valutare 10^6 soluzioni al
secondo (e non credo) ci vorrebbero 8 mesi!
Deve sicuramente essermi sfuggita qualche semplificazione.
Ciao,
       iant

 scoperte, ma trovi davvero una montagna di roba.
In effetti in rete non ho trovato riferimenti alla restrizione di questo
problema a cerchi di raggio intero, e mi sembrava interessante proporre
su ihe questo problema.
Guardando la [2] si vede banalmente che quando (r1*r2*r3*(r1+r2+r3))
e' un quadrato, il raggio r4 e' razionale. Pero' prima di scrivere un
programmino di verifica non potevo essere certo dell'esistenza di cerchi
di Soddy tangenti a cerchi interi aventi essi stessi raggi interi (o 
potevo e non me ne sono accorto?). Ne' potevo immaginare che nella quasi
totalita' dei casi in cui il cerchio di Soddy interno ha raggio intero,
anche il cerchio esterno lo ha (l'unica eccezione che ho trovato finora
e' [14 63 77 198 1386/5]).
Detto questo, mi rendo conto che da un punto di vista teorico per
risolvere il problema che ho posto basta risolvere l'equazione [1]
che diventa diofantea. Solo che io non lo so fare!!!  ;-)))
Ciao,
        iant


Ho usato la pura forza bruta!
In generale si puo' ricavare uno dei raggi in funzione
degli altri 3.
Quindi ho fissato un raggio che volevo (quello da 1, da 2 o da 11 per 
esempio),
e ho fatto variare gli altri due, e ho visto se dati i 3 raggi (tipo, 
11,x,y) i due quarti possibili dati dalla formula con + e -,
erano interi.
Ho fatto la cosa un po' in fretta e furia, quindi non sono stato poi
a studiare molto bene i risultati. Infatti per vedere poi
se i risultanti erano inscritti o circoscritti o frammezzati
ho fatto poi il controllo a mano.
ciao,
g.

 degli altri 3.
Hai perfettamente ragione!
Con il tuo suggerimento ho esplorato i valori primi di n (fermandomi
alla prima occorrenza di una soluzione per ciascun n), e questi
sono i risultati per n primo fino a 100:
  3 8 22 264
  5 8 117 4680
  7 18 56 504
  11 33 64 2112
  13 27 156 1404
[17 72 136 153 306]
  19 32 456 1824
  23 46 294 3381
  29 96 145 13920
  41 70 750 107625
  43 80 645 10320
  47 75 1128 28200
  53 120 795 1272
  59 105 1180 4956
  73 146 864 63072
mancanti: 31, 37, 61, 67, 71, 79, 83, 89, 97
Pero' io mi sono spinto solo fino a raggio 1000 (e fino a n=59 mi
sono spinto fino a raggio 2000). Tu sei sicuro di aver fatto una
ricerca esaustiva fino a raggio 50000? comb(50000,2) ~= 1.25*10^9
e' ancora _molto_ alto! O mi e' sfuggito di nuovo qualcosa?  ;-)
Ciao,
        Antonio

 e' ancora _molto_ alto! O mi e' sfuggito di nuovo qualcosa?  ;-)
Intanto volevo fare una premessa.
Parte della difficolta' di questo problema nasce dal fatto
che siamo forzati ad usare cerchi di raggi diversi.
Se cosi' non fosse
avremmo due soluzioni del tipo
1 2 24 24
e
[2 10 15 15 30]
e quindi in particolare tutti i raggi pari ammetterebbero
anche la scatola.
Il tuo risultato
5 8 117 4680
mi lascia perplesso, in quanto pensavo che l'altro cerchio
tangente (anche se non costituisce una scatola) dovesse avere
raggio intero. In questo caso e' frazionario.
Per quel che riguarda la velocita' del programma,
non e' che stiamo usando due linguaggi di programmazione diversi ?
Sul mio portatile che ha un Athlon 3000, il programmino sotto,
(molto naive scritto di getto in C) ci mette per arrivare fino
a 50000 circa 1 minuto e 20 secondi
I limiti (che dipendono dal fatto di non sforare nell'uso di
double e long long) dipendono dal raggio fissato del cerchio
piccolo. Per quanto riguarda 1 e 2 sono andato
avanti a controllare rispettivament fino a 104030 (in 5.5 minuti)
e fino a 82568 (in 3.5 minuti)
Te lo copio sotto. Magari poi lo faccio girare per i numeri
sotto 100 e vi dico se mi e' venuta qualche altra soluzione.
ciao,
g.
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
// test naive per controllare se un numero
// e' un quadrato. Se non lo e' restituisce 0.
long long isSqrt(long long x)
{
   long long y;
   y = (long long)(sqrt((double)x)+0.5);
   if (y*y==x) return (int) y; else return 0;
}
// calcola il raggio del cerchio circoscritto
long long rag(long long x, long long y, long long z)
{
   long long dd,mm,rr;
   mm=x*y*z;
   rr=2*isSqrt(mm*(x+y+z));
   if (rr==0) return 0;
   dd = x*y+y*z+z*x-rr;
   if (dd==0 || mm%dd) return 0;
   else
   return -mm/dd;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
   long long a,r,b,d, y,x,m, p, g;
   int lim, c=100000000, t,z;
   if ((argc<2)||(t=atoi(argv[1]))<1)
   {
     printf("Uso:\nkicit t [lim]\n con t raggio del cerchio piccolo\n");
     printf("lim = limite entro il quale cercare\n");
     return 0;
   }
// calcolo un valore ragionevole del limite entro
// il quale cercare senza sforare i limiti di double e long long
   lim = (int) pow(((double)(1LL<<50))/t,1.0/3.0)-t;
   if ((argc>2) && (lim>atoi(argv[2]))) lim=atoi(argv[2]);
   printf("t = %d   Limite = %d\n",t,lim);
   for (y=2; y<lim; y++)
   for (z=1; z<y; z++)
   {
     // ogni tot stampo per mostrare che sto facendo qualcosa...
     if (--c == 0){c=100000000; printf("-> %lld\n",y);}
     m = t*y*z;
     r=isSqrt(m*(t+y+z));
     // se non e' un quadrato perfetto passo al prossimo
     if (r==0) continue;
     r<<=1;
     b = t*(y+z)+y*z;
     d = b-r;
     // controllo che il cerchio sia intero
     if (d<=0 || m%d) continue;
     p = m/d;
     if (p<=z || p<=y || p==t) continue;
     // controllo che l'altro cerchio sia intero
     g = rag((long long)z,y,p);
     if (g==0)
     printf("%d %d %lld %lld (no int)\n",t,z,y,p);
     else
     if (g>p) printf("[%d %d %lld %lld %lld]\n",t,z,y,p,g);
     else
     printf("%d %d %lld %lld (%lld)\n",t,z,y,p,g);
   }
return 0;
}

   for (z=1; z<y; z++)
queste due righe era meglio se erano
for (y=t+2; y<lim; y++)
for (z=t+1; z<y; z++)
per evitare soluzioni spurie.
Allora. Tra il mio messaggio precedente e questo ho fatto
girare il programmino per tutti i valori t tra 1 e 100, dove
il limite per la ricerca, impostato a -t+((2^50)/t)^(1/3) varia
corrispondentemente tra 104030 e 22312.
Sotto riporto tutti i valori trovati.
Per completezza ho incluso anche i casi in cui
il cerchio interno e i tre attorno sono interi,
mentre l'altro tangente non ha raggio intero
(ovvero e' razionale o infinito).
Quindi una riga
[93 341 462 4774 7161]
vuoi dire che ha trovato un inscatolamento completo,
mentre
98 252 784 7056 (-1764)
indica che il quinto cerchio (raggio negativo) non
circoscrive gli altri.
Infine
16 21 999 111888 (no int)
indica che il quinto cerchio non ha raggio  intero.
ciao,
g.
3 8 22 264 (-66)
4 11 33 132 (-132)
[5 21 30 70 105]
5 8 117 4680 (no int)
6 19 32 1824 (-456)
6 16 44 528 (-132)
[6 23 46 69 138]
7 18 56 504 (-126)
8 22 66 264 (-264)
8 15 115 2760 (no int)
9 32 41 11808 (-2952)
9 28 63 252 (no int)
9 24 66 792 (-198)
9 17 136 1224 (no int)
[10 42 60 140 210]
10 24 135 216 (-135)
10 16 234 9360 (no int)
10 15 338 2535 (no int)
11 33 64 2112 (-528)
12 38 64 3648 (-912)
12 32 88 1056 (-264)
[12 46 92 138 276]
12 33 99 396 (-396)
[13 45 72 520 1170]
13 27 156 1404 (no int)
14 63 77 198 (no int)
14 36 112 1008 (-252)
[15 58 87 290 435]
[15 63 90 210 315]
15 40 110 1320 (-330)
15 35 160 672 (-168)
15 38 190 285 (-285)
15 24 351 14040 (no int)
15 24 490 1176 (no int)
16 44 132 528 (-528)
16 30 230 5520 (no int)
16 10 234 9360 (-16)
16 21 999 111888 (no int)
[17 72 136 153 306]
18 64 82 23616 (-5904)
18 57 96 5472 (-1368)
18 56 126 504 (no int)
18 48 132 1584 (-396)
[18 69 138 207 414]
18 34 272 2448 (no int)
19 56 114 3192 (-798)
19 32 456 1824 (no int)
20 64 105 6720 (-1680)
[20 84 120 280 420]
20 55 165 660 (-660)
20 48 270 432 (-270)
20 32 468 18720 (no int)
20 30 676 5070 (no int)
21 70 104 10920 (-2730)
[21 102 119 238 357]
[21 70 125 750 2625]
21 56 154 1848 (-462)
21 54 168 1512 (-378)
[21 70 189 270 945]
21 47 282 658 (no int)
21 34 561 2618 (no int)
21 30 845 11830 (no int)
21 30 1029 3430 (no int)
[22 77 126 693 1386]
22 66 128 4224 (-1056)
[22 78 143 429 858]
[22 75 200 264 825]
22 29 1566 8613 (no int)
23 69 150 1150 (-1725)
23 52 276 897 (no int)
23 46 294 3381 (no int)
24 76 128 7296 (-1824)
24 73 146 1752 (-1752)
24 64 176 2112 (-528)
[24 92 184 276 552]
24 66 198 792 (-792)
24 45 345 8280 (no int)
24 35 826 49560 (no int)
[25 105 150 350 525]
25 40 585 23400 (no int)
[26 90 144 1040 2340]
26 54 312 2808 (no int)
27 98 120 52920 (-13230)
27 108 121 1452 (no int)
27 96 123 35424 (-8856)
27 84 148 6993 (no int)
27 84 189 756 (no int)
27 72 198 2376 (-594)
27 58 290 3915 (no int)
27 51 408 3672 (no int)
27 46 552 4968 (no int)
28 126 154 396 (no int)
28 72 224 2016 (-504)
28 77 231 924 (-924)
28 81 252 567 (-2268)
28 57 399 1596 (no int)
29 96 145 13920 (-3480)
[29 120 145 696 870]
30 95 160 9120 (-2280)
[30 116 174 580 870]
[30 126 180 420 630]
30 80 220 2640 (-660)
[30 115 230 345 690]
30 70 320 1344 (-336)
30 76 380 570 (-570)
30 72 405 648 (-405)
30 48 702 28080 (no int)
30 48 980 2352 (no int)
30 45 1014 7605 (no int)
32 88 264 1056 (-1056)
32 60 460 11040 (no int)
32 20 468 18720 (-32)
32 42 1998 223776 (no int)
32 41 2952 11808 (no int)
33 99 192 6336 (-1584)
33 132 196 539 (no int)
33 92 220 3795 (no int)
33 87 232 7656 (-638)
33 88 242 2904 (-726)
33 64 528 2112 (-176)
33 40 3942 867240 (no int)
[34 144 272 306 612]
34 77 561 714 (no int)
[35 135 168 1512 1890]
[35 160 168 672 840]
35 110 198 3465 (-3465)
[35 147 210 490 735]
35 102 238 1785 (-1785)
35 90 280 2520 (-630)
35 84 340 1785 (no int)
35 56 819 32760 (no int)
35 52 1365 5460 (no int)
35 48 1660 139440 (no int)
36 128 164 47232 (-11808)
36 114 192 10944 (-2736)
36 117 208 1872 (no int)
36 112 252 1008 (no int)
36 96 264 3168 (-792)
[36 138 276 414 828]
36 99 297 1188 (-1188)
36 80 464 1305 (no int)
36 68 544 4896 (no int)
[38 135 190 2565 5130]
38 112 228 6384 (-1596)
38 64 912 3648 (no int)
39 136 182 37128 (-9282)
[39 135 216 1560 3510]
39 104 286 3432 (-858)
[39 165 286 390 715]
39 110 390 715 (-2145)
39 81 468 4212 (no int)
[40 168 182 1365 1560]
40 134 201 8040 (-8040)
40 128 210 13440 (-3360)
40 129 215 5160 (-5160)
[40 168 240 560 840]
40 110 330 1320 (-1320)
40 96 540 864 (-540)
40 75 575 13800 (no int)
40 64 936 37440 (no int)
40 71 1065 1704 (no int)
40 60 1352 10140 (no int)
41 70 750 107625 (no int)
42 140 208 21840 (-5460)
42 133 224 12768 (-3192)
[42 143 231 2002 6006]
42 189 231 594 (no int)
[42 204 238 476 714]
[42 140 250 1500 5250]
42 112 308 3696 (-924)
[42 161 322 483 966]
[42 141 329 658 1974]
42 108 336 3024 (-756)
[42 140 378 540 1890]
42 115 483 690 (-1610)
42 94 564 1316 (no int)
42 68 1122 5236 (no int)
42 60 1690 23660 (no int)
42 60 2058 6860 (no int)
42 47 17061 79618 (no int)
43 80 645 10320 (no int)
43 54 4128 37152 (no int)
[44 154 252 1386 2772]
44 132 256 8448 (-2112)
[44 156 286 858 1716]
44 121 363 1452 (-1452)
[44 150 400 528 1650]
44 58 3132 17226 (no int)
45 160 205 59040 (-14760)
[45 176 220 1584 1980]
[45 174 261 870 1305]
[45 189 270 630 945]
45 130 280 6552 (-1638)
45 140 315 1260 (no int)
45 120 330 3960 (-990)
45 105 480 2016 (-504)
45 114 570 855 (-855)
45 85 680 6120 (no int)
45 72 1053 42120 (no int)
45 72 1470 3528 (no int)
46 138 300 2300 (-3450)
46 104 552 1794 (no int)
46 92 588 6762 (no int)
46 69 1734 6647 (no int)
47 75 1128 28200 (no int)
48 152 256 14592 (-3648)
48 146 292 3504 (-3504)
[48 156 325 1200 5200]
48 128 352 4224 (-1056)
[48 184 368 552 1104]
48 132 396 1584 (-1584)
48 90 690 16560 (no int)
48 77 1155 18480 (no int)
48 70 1652 99120 (no int)
48 63 2997 335664 (no int)
49 126 392 3528 (-882)
49 60 6615 26460 (no int)
[50 210 300 700 1050]
50 120 675 1080 (-675)
50 80 1170 46800 (no int)
50 87 1450 2175 (no int)
50 75 1690 12675 (no int)
50 73 1752 43800 (no int)
51 187 224 125664 (-31416)
51 136 374 4488 (-1122)
[51 216 408 459 918]
[52 180 288 2080 4680]
52 143 429 1716 (-1716)
52 108 624 5616 (-351)
53 120 795 1272 (-530)
54 196 240 105840 (-26460)
[54 216 242 2904 3267]
54 192 246 70848 (-17712)
[54 190 285 2565 5130]
54 171 288 16416 (-4104)
54 168 296 13986 (no int)
54 168 378 1512 (no int)
54 144 396 4752 (-1188)
[54 207 414 621 1242]
54 116 580 7830 (no int)
54 105 686 46305 (no int)
54 102 816 7344 (no int)
54 92 1104 9936 (no int)
54 71 3550 47925 (no int)
55 165 320 10560 (-2640)
[55 231 330 770 1155]
55 120 770 1848 (-462)
55 123 902 1230 (no int)
55 88 1287 51480 (no int)
55 81 1980 17820 (no int)
56 252 308 792 (no int)
56 210 399 760 (no int)
56 144 448 4032 (-1008)
56 154 462 1848 (-1848)
56 162 504 1134 (-4536)
56 120 594 10395 (no int)
56 114 798 3192 (no int)
56 105 805 19320 (no int)
56 65 10890 3963960 (no int)
56 63 19881 123704 (no int)
57 168 342 9576 (-2394)
[57 190 390 1235 3705]
57 152 418 5016 (-1254)
57 165 418 2090 (-3135)
57 96 1368 5472 (no int)
58 192 290 27840 (-6960)
[58 240 290 1392 1740]
58 152 399 92568 (no int)
58 147 435 14210 (no int)
58 87 1815 35090 (no int)
59 105 1180 4956 (no int)
60 192 315 20160 (-5040)
60 190 320 18240 (-4560)
[60 232 348 1160 1740]
[60 252 360 840 1260]
[60 231 385 924 1540]
60 160 440 5280 (-1320)
[60 230 460 690 1380]
60 165 495 1980 (-1980)
60 140 640 2688 (-672)
60 152 760 1140 (-1140)
60 144 810 1296 (-810)
60 96 1404 56160 (no int)
60 96 1960 4704 (no int)
60 90 2028 15210 (no int)
61 75 6588 164700 (no int)
62 217 288 62496 (-15624)
62 155 630 1953 (no int)
63 224 287 82656 (-20664)
63 212 308 36729 (no int)
63 210 312 32760 (-8190)
[63 306 357 714 1071]
[63 210 375 2250 7875]
63 196 441 1764 (no int)
63 168 462 5544 (-1386)
63 162 504 4536 (-1134)
[63 210 567 810 2835]
63 141 846 1974 (no int)
63 119 952 8568 (-306)
63 102 1683 7854 (no int)
63 90 2535 35490 (no int)
63 90 3087 10290 (no int)
63 80 5005 720720 (no int)
63 77 7406 104742 (no int)
64 176 528 2112 (-2112)
64 120 920 22080 (no int)
64 105 1680 6720 (no int)
64 84 3996 447552 (no int)
64 82 5904 23616 (no int)
[65 225 360 2600 5850]
[65 273 390 910 1365]
65 160 585 3744 (-936)
65 135 780 7020 (no int)
65 140 819 3276 (no int)
65 104 1521 60840 (no int)
66 209 352 20064 (-5016)
[66 231 378 2079 4158]
66 198 384 12672 (-3168)
[66 264 392 1078 1617]
[66 234 429 1287 2574]
66 184 440 7590 (no int)
66 174 464 15312 (-1276)
[66 224 480 1155 3080]
66 176 484 5808 (-1452)
[66 253 506 759 1518]
[66 209 570 1045 6270]
[66 225 600 792 2475]
66 143 741 5434 (no int)
66 128 1056 4224 (-352)
66 129 1290 2365 (no int)
66 87 4698 25839 (no int)
66 80 7884 1734480 (no int)
[68 357 420 595 1020]
[68 288 544 612 1224]
68 187 561 2244 (-2244)
68 154 1122 1428 (no int)
68 117 1872 3536 (no int)
68 91 4641 18564 (no int)
69 256 299 229632 (-57408)
69 207 450 3450 (-5175)
69 184 506 6072 (-1518)
69 186 713 1426 (-2139)
69 156 828 2691 (no int)
69 138 882 10143 (no int)
69 150 1150 1725 (-575)
69 100 3588 7475 (no int)
[70 270 336 3024 3780]
[70 320 336 1344 1680]
[70 315 385 990 1386]
70 220 396 6930 (-6930)
[70 294 420 980 1470]
70 204 476 3570 (-3570)
[70 222 555 1295 7770]
[70 217 558 1395 19530]
70 180 560 5040 (-1260)
70 168 680 3570 (no int)
70 168 945 1512 (-945)
70 112 1638 65520 (no int)
70 105 2366 17745 (no int)
70 104 2730 10920 (no int)
70 99 3080 27720 (no int)
70 96 3320 278880 (no int)
71 114 2698 4047 (-213)
72 256 328 94464 (-23616)
72 228 384 21888 (-5472)
72 234 416 3744 (no int)
72 219 438 5256 (-5256)
72 224 504 2016 (no int)
72 192 528 6336 (-1584)
[72 276 552 828 1656]
72 217 558 1736 (-15624)
72 198 594 2376 (-2376)
72 153 833 6664 (no int)
72 160 928 2610 (no int)
72 135 1035 24840 (no int)
72 136 1088 9792 (no int)
72 153 1152 2176 (-544)
72 161 1288 1449 (no int)
72 105 2478 148680 (no int)
73 146 864 63072 (no int)
[74 312 481 888 1443]
[75 282 329 16450 24675]
[75 290 435 1450 2175]
[75 315 450 1050 1575]
75 200 550 6600 (-1650)
75 175 800 3360 (-840)
75 190 950 1425 (-1425)
75 120 1755 70200 (no int)
75 120 2450 5880 (no int)
75 119 2550 5950 (no int)
[76 270 380 5130 10260]
76 224 456 12768 (-3192)
76 209 627 2508 (-2508)
76 153 1292 2907 (no int)
76 128 1824 7296 (no int)
76 99 5985 29260 (no int)
77 273 352 96096 (-24024)
77 231 448 14784 (-3696)
77 198 616 5544 (-1386)
77 198 686 3087 (no int)
77 118 2478 13629 (no int)
77 108 4620 10395 (no int)
78 272 364 74256 (-18564)
78 247 416 23712 (-5928)
[78 270 432 3120 7020]
78 208 572 6864 (-1716)
[78 330 572 780 1430]
[78 299 598 897 1794]
78 220 780 1430 (-4290)
78 162 936 8424 (no int)
78 166 1079 3237 (no int)
78 95 9555 121030 (no int)
[80 336 364 2730 3120]
80 268 402 16080 (-16080)
80 256 420 26880 (-6720)
80 258 430 10320 (-10320)
[80 336 480 1120 1680]
80 220 660 2640 (-2640)
80 192 1080 1728 (-1080)
80 150 1150 27600 (no int)
80 128 1872 74880 (no int)
80 142 2130 3408 (no int)
80 120 2704 20280 (no int)
80 105 4995 559440 (no int)
80 99 7876 1417680 (no int)
81 306 344 473688 (-118422)
81 294 360 158760 (-39690)
81 324 363 4356 (no int)
81 288 369 106272 (-26568)
81 252 444 20979 (no int)
81 252 567 2268 (no int)
81 216 594 7128 (-1782)
81 174 870 11745 (no int)
81 153 1224 11016 (no int)
81 160 1440 3240 (no int)
81 138 1656 14904 (no int)
81 112 4032 36288 (no int)
82 140 1500 215250 (no int)
82 115 3690 42435 (no int)
84 280 416 43680 (-10920)
[84 327 436 2289 3052]
84 266 448 25536 (-6384)
[84 286 462 4004 12012]
84 378 462 1188 (no int)
[84 408 476 952 1428]
[84 280 500 3000 10500]
84 224 616 7392 (-1848)
[84 322 644 966 1932]
84 205 656 68880 (no int)
[84 282 658 1316 3948]
84 216 672 6048 (-1512)
84 231 693 2772 (-2772)
84 243 756 1701 (-6804)
[84 280 756 1080 3780]
84 230 966 1380 (-3220)
84 188 1128 2632 (no int)
84 171 1197 4788 (-532)
84 136 2244 10472 (no int)
84 120 3380 47320 (no int)
84 120 4116 13720 (no int)
85 290 408 59160 (-14790)
[85 357 510 1190 1785]
[85 360 680 765 1530]
85 204 735 9996 (no int)
85 136 1989 79560 (no int)
86 160 1290 20640 (no int)
86 108 8256 74304 (no int)
[87 357 406 2958 3451]
87 288 435 41760 (-10440)
[87 360 435 2088 2610]
[87 290 490 4263 21315]
87 232 638 7656 (-1914)
87 185 888 128760 (no int)
87 182 1131 5278 (-609)
87 134 3886 5829 (no int)
[88 308 504 2772 5544]
88 264 512 16896 (-4224)
[88 312 572 1716 3432]
88 231 609 53592 (-1624)
88 242 726 2904 (-2904)
[88 300 800 1056 3300]
88 165 1265 30360 (no int)
88 116 6264 34452 (no int)
90 320 410 118080 (-29520)
[90 352 440 3168 3960]
90 285 480 27360 (-6840)
[90 348 522 1740 2610]
[90 378 540 1260 1890]
90 260 560 13104 (-3276)
90 280 630 2520 (no int)
90 240 660 7920 (-1980)
[90 345 690 1035 2070]
90 210 960 4032 (-1008)
90 228 1140 1710 (-1710)
90 216 1215 1944 (-1215)
90 170 1360 12240 (no int)
90 144 2106 84240 (no int)
90 144 2940 7056 (no int)
90 135 3042 22815 (no int)
91 312 434 67704 (-16926)
[91 315 504 3640 8190]
91 429 572 924 (no int)
91 364 585 1260 (no int)
91 234 728 6552 (-1638)
91 189 1092 9828 (no int)
91 168 1950 4200 (no int)
91 174 2262 2639 (no int)
92 276 600 4600 (-6900)
92 253 759 3036 (-3036)
92 208 1104 3588 (-897)
92 184 1176 13524 (no int)
92 138 3468 13294 (no int)
[93 341 462 4774 7161]
93 248 682 8184 (-2046)
94 150 2256 56400 (no int)
95 280 570 15960 (-3990)
[95 399 570 1330 1995]
95 245 684 33516 (no int)
95 180 1881 4180 (no int)
95 152 2223 88920 (no int)
95 160 2280 9120 (no int)
96 304 512 29184 (-7296)
96 292 584 7008 (-7008)
[96 312 650 2400 10400]
96 256 704 8448 (-2112)
[96 368 736 1104 2208]
96 264 792 3168 (-3168)
96 250 864 3375 (no int)
96 180 1380 33120 (no int)
96 154 2310 36960 (no int)
96 140 3304 198240 (no int)
96 145 3480 13920 (no int)
96 126 5994 671328 (no int)
96 123 8856 35424 (no int)
98 352 441 155232 (-38808)
98 441 539 1386 (no int)
98 250 735 18375 (no int)
98 252 784 7056 (-1764)
98 120 13230 52920 (no int)
99 376 418 707256 (-176814)
99 352 451 129888 (-32472)
99 297 576 19008 (-4752)
99 396 588 1617 (no int)
99 276 660 11385 (no int)
99 308 693 2772 (no int)
99 261 696 22968 (-1914)
99 264 726 8712 (-2178)
99 286 1001 1638 (-9009)
99 238 1071 3366 (-1309)
99 220 1125 5500 (no int)
99 187 1496 13464 (no int)
99 192 1584 6336 (-528)
99 180 1705 12276 (no int)
99 133 5852 52668 (no int)
99 120 11826 2601720 (no int)
100 320 525 33600 (-8400)
100 336 525 8400 (no int)
[100 420 600 1400 2100]
100 275 825 3300 (-3300)
100 240 1350 2160 (-1350)
100 160 2340 93600 (no int)
100 174 2900 4350 (no int)
100 150 3380 25350 (no int)
100 146 3504 87600 (no int)
----------------------------------

 non e' che stiamo usando due linguaggi di programmazione diversi ?
Direi proprio di si'... Quando programmo sul serio, programmo in C.
Ma stavolta avevo deciso di usare Mathematica, un po' per rinfrescarmi
le idee sul programma, un po' peche' volevo anche vederli i cerchi
una volta trovati, un po' per sfruttare le potenzialita' di calcolo
in precisione arbitraria senza dover smanettare con la GMP.
Non pensavo che su due banali cicli for per bassi valori di n la
differenza di prestazioni col C potesse essere cosi' rilevante!
Ti confermo che anche sul mio Pentium III 900MHz il tuo programma
viaggia alla grande. Magari se ho un po' di tempo lo modifico usando
la GMP per provare a trovare i valori mancanti che, visto il tuo altro
post, mi sembra siano 1, 2, 31, 37, 67, 79, 83, 89, 97.
Ciao e grazie!
                  iant

 Ciao e grazie!
Grazie a te per il simpatico problema.
ciao,
g.