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Titolo: Una successione

Sia data la seguente successione:
A1=1
A2=1+1/A1
.
.
.
An=An-1+1/An-1
Il termine A100 sara' maggiore o minore di 14?
Ovviamente la dimostrazione non deve essere fatta con calcolatori!
Ciao, Antonio
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Scusa ma forse non ho capito bene cosa c'entra il 14 (o 13 o 12?)
Comunque An > 0 (per costruzione)
ma e' anche allora An > 1 (per induzione)
ma e' anche allora   0 < 1/An < 1
e quindi A(n+1) < 2
Sono un po' perplesso........mi sfugge qualcosa?
Alessandro Mura

 e quindi A(n+1) < 2
E questa da dove l'hai tirata fuori?
Ad esempio:
A2 = 1 + 1/1   = 2
A3 = 2 + 1/2   = 2.5
A4 = 5/2 + 2/5 = 3.5
.....
infatti e' An = A(n-1) + 1/A(n-1) non An = 1 + 1/A(n-1) 
:-)
Ciao,
C.
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 wrote in message 3953472B...@stetel.com...

Okkei ho letto male.........infatti mi sembrava un po' troppo semplice....
vado a pari col seguente........

Per auto punirmi della prescia, calcolero' i primi 100 termini
con carta e penna.....(senza calcolatore, per esempio....)

 Il termine A100 sara' maggiore o minore di 14?
:
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tentativo di Spoiler
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Provo!
Chiamata y_n la successione, possiamo considerarla come la successione che
si ottiene come approssiamzione della soluzione di una equazione
differenziale. Infatti, supposto noto il valore di una funzione in un certo
punto x si puň approssimare il valore in x+h usando lo sviluppo di Taylor
x_(n+1)=x_n+f '(x_n)*h
Vista la nostra successione, essa potrebbe essere l'approssimazione (con
incremento h=1) di una funzione tale che f '(x)=1/f(x). Tale funzione
sarebbe y=sqrt(2x) e, in tal caso l'incremento h=1 non dovrebbe creare un
errore troppo grande. Comunque credo che tale errore sia necessariamente in
eccesso visto che la funzione č concava (non ne sono sicuro perň).
Quindi, supposto y_1=1 (significa che siamo partiti da x=1/2)
si dovrebbe avere (dopo 99 iterazioni)
y_(100)>sqrt(2*(1/2+99*h))=sqrt(199)=14.106...
In generale dovrebbe valere y_k>=sqrt(2k-1) che tende all'ugualianza per k
molto grande (perché l'incremento h=1 dovrebbe dare errore sempre piů
piccolo... boh!). Ho provato a fare un paio di esperimenti e sembra
funzionare.
Ciao
MArco

 funzionare.
E forse si potrà generalizzare per altre successioni del tipo
y_(n+1)=y_n+f(y_n) ???
Per esempio
y_(n+1)=y_n + 1/(y_n)^k
sarà y_t>=radiceindice(k+1)di[(k+1)*t-k]???
Ciao
MArco

 piccolo... boh!).
Partendo da x_n=sqr(2n+f(n))
con gli stessi metodi di approssimazione, sviluppando la ricorrenza e prendendo
la parte principale per n~oo si ricava f'(n)=1/2n, da cui
x_n = sqr(2n+log(n)/2-c+o(1))				(1)
con c=0.2769 con un`incertezza sulla 4a cifra, calcolabile (credo) solo per
approssimazione, un po` come nella serie armonica sum_{n=1}^inf 1/n = logn + c + o(1)
Senza costante dovrebbe essere una sovrastima, con la costante ancora una sottostima.
(sempre oltre un dato n...).
Se si sviluppa x_(n+1)=x_n+1/x_n, cercando un resto nella forma sqr(2n)+f(n) si ottiene
x_n ~ sqr(2n) + logn/(32n) 
    = sqr(2n) + o(1)
Che dimostra la congettura di Marco, dal momento che per qque costante le funzioni
sqr(2n+cost) si avvicinano indefinitamente tra loro per n grande.
Crios.

> x_n ~ sqr(2n) + logn/(32n)
x_n ~ sqr(2n) + logn/sqr(32n) volevo dire

Ottime spiegazioni, ti ringrazio!
(sapevo che sarei riuscito a strappare una
dimostrazione rigorosa a qualcuno :))
Ciao
MArco