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Titolo: Casellario

In ciascuna casella di una scacchiera 10x10, e' posto un numero scelto fra 
-1, 0, +1. E' possibile trovare una disposizione per cui le 20 addizioni, 
calcolate sulle 10 righe e sulle 10 colonne, diano tutte somme differenti?
:) dario

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Si`, ecco la soluzione:
-1  1  0  0  1  1  1  1  1  1 | 6
 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 | 10
 1  1  1  1  1  1  1  1  1  0 | 9
 1  1  1  1  1  1  1  1  1 -1 | 8
-1  1 -1 -1  1  0 -1 -1 -1 -1 | -5
-1  1 -1 -1  1 -1 -1 -1 -1 -1 | -6
-1  0 -1 -1 -1  1 -1 -1 -1 -1 | -7
-1 -1 -1 -1 -1 -1  1 -1 -1 -1 | -8
-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  0 -1 -1 | -9
-1  1  1  0  1  1  1  1  1  1 | 7
=============================
-4  5 -1 -2  4  3  2  1  0 -3
Ciao ciao,
Marco
:-)
-- 
http://www.ing.unife.it/docenti/MarcoGavanelli

 calcolate sulle 10 righe e sulle 10 colonne, diano tutte somme differenti?
spoiler
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Ecco una possibile soluzione,trovata per tentativi. Non so se esista un
metodo piů elegante.
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1  10
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +0 -1  +7
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1  +4
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +0 -1 -1 -1  +3
+1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1  +2
+1 +1 +1 +1 +0 -1 -1 -1 -1 -1  -1
+1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  -2
+1 +1 +0 +0 -1 -1 -1 -1 -1 -1  -4
+1 +1 +0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  -5
+0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  -9
+9 +8 +6 +5 +1 +0 -3 -6 -7 -8
ciao
paolo

 metodo più elegante.
C'è
spoiler
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Nella diagonale alterno zeri e +1, sopra la diagonale tutti +1, sotto la
diagonale tutti -1.
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1  +10
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +0 -1  +7
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1  +6
+1 +1 +1 +1 +1 +1 +0 -1 -1 -1  +3
+1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1  +2
+1 +1 +1 +1 +0 -1 -1 -1 -1 -1  -1
+1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  -2
+1 +1 +0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  -5
+1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  -6
+0 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1  -9
+9 +8 +5 +4 +1 +0 -3 -4 -7 -8
ciao
paolo

Dario Uri propone
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+  +  +  +  +  +  +  +  +  -   8
+  +  +  +  +  +  +  +  -  -   6
+  +  +  +  +  +  +  -  -  -   4
+  +  +  +  +  +  -  -  -  -   2
+  +  +  +  +  -  -  -  -  -   0
+  +  +  +  -  -  -  -  -  -  -2
+  +  +  -  -  -  -  -  -  -  -4
+  +  -  -  -  -  -  -  -  -  -6
+  -  -  -  -  -  -  -  -  -  -8
0  0  0  0  0  0  0  0  0  0   0
9  7  5  3  1 -1 -3 -5 -7 -9
con questo schema possiamo allargarci quanto ci pare
Silv:o)

 con questo schema possiamo allargarci quanto ci pare
ma ci sono due righe a somma zero
ciao
paolo

Paolo Licheri dice


vero.
la riga di zeri era comunque bruttissima.
Sono riuscito però a comporre un rettangolo n*(n-1) usando solo +1 e -1 ed
ottenendo tutte somme diverse.
ma sarebbe un problema diverso, meno interessante e con una soluzione troppo
evidente.
Silv:o)

 diagonale tutti -1.
Se vogliamo generalizzare, si verifica facilmente che questo schema funziona
per ogni quadrato pari. Per esempio per n=4
+1 +1 +1 +1  +4
+1 +1 +0 -1  +1
+1 +1 -1 -1  +0
+0 -1 -1 -1  -3
+3 +2 -1 -2
eccetera.
Per i quadrati dispari invece non ho trovato nessuna soluzione. Anzi
considerato che non esistono soluzioni per n=1 (banale), n=3 ed n=5 (forza
bruta), mi viene il sospetto che non ne esistano proprio.
Però non sono riuscito a trovare una dimostrazione attendibile. Qualcuno ha
trovato qualcosa in proposito?
ciao
paolo