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Titolo: le tessere di domino

Da un normale set di domino ho preso 8 tessere tra cui la 6-6 e la 3-1 e le 
ho usate per formare un quadrato con le seguenti caratteristiche:
- è un quadrato magico (stessa somma per righe, colonne e diagonali 
principali).
- anche l'insieme dei quattro angoli ha per somma la stessa costante magica
- in tutte e quattro le caselle centrali c'è lo stesso numero.
Quali sono le altre sei tessere?
-- 
Ciao, Silv:o) 


Ho appena visto il problema e con pochi tentativi a mano ho trovato
una possibile soluzione. Cosi' ritengo ce ne siano parecchie.
Ecco qui:
6 6 1 3
5 1 5 5
3 6 4 3
2 3 6 5
Tessere tutte orizzontali.
ciao

> - in tutte e quattro le caselle centrali c'è lo stesso numero.
dove tu hai messo 1 5 6 4 ci va x x x x
-- 
ciao, Silv:o)

 ha scritto nel messaggio 
news:436ab25e$0$6013$4faf...@reader4.news.tin.it...

Sei sicuro sia possibile?
Fra tutti i miei tentativi, quello che si avvicina di più è:
  --- --- --- ---
 | 2 | 5 | 6 | 3 |
 |   |   |   |   |
 | 7*| 4 | 4 | 1 |
  --- --- --- ---
 | 2 | 4 | 4 | 6 |
 |   |   |   |   |
 | 5 | 3 | 2 | 6 |
  --- --- --- ---
Ma, mi sembra, a domino non esiste una tessera con il 7 :-(
Ciao, Nino

 Ma, mi sembra, a domino non esiste una tessera con il 7 :-(
Il 7 no, ma i valori possibili sono 7 ;^)
-- 
ciao, Silv:o)

 Quali sono le altre sei tessere?
Mi sembra che questo vada bene:
   ---------------
  | 0 | 6   6 | 0 |
  |   |-------|   |
  | 5 | 3   3 | 1 |
   ---------------
  | 1   3 | 3 | 5 |
  |-------|   |   |
  | 6   0 | 0 | 6 |
   ---------------
Maurizio

 
acc.. alle 2.56 le palpebre giocano brutti scherzi.
ciao

 Mi sembra che questo vada bene:
va benissimo
puoi provare che č unica? non č difficilissimo.
Ciao, SIlv:o)

 puoi provare che è unica? non è difficilissimo.
Proviamo, non è molto elegante e concisa ma pazienza...
Comincio col dimostrare che i 4 numeri centrali non possono essere tutti
6. Infatti, siccome nello schema ci deve essere almeno un 1, chiamiamo a
il numero che sta nella stessa fila con l'1 e due 6, mentre chiamo a, b,
c gli altri tre numeri nella stessa riga (o colonna) dell'1 che non
contiene 6, ad esempio:
  1     b     c     d
        6     6
        6     6
1+a-d 1+a-b 1+a-c   a
I valori della quarta riga seguono dal fatto che la somma magica è 13+a.
Quindi anche la brima riga deve dare 13+a, da cui si ricava:
b+c+d = 12+a
mentre la quarta riga dà:
3+4a-(b+c+d) = 13+a, cioè: 3+4a-(12+a) = 13+a, da cui a=11, che è
impossibile.
Quindi al centro c'è un numero diverso da 6, chiamiamolo x; questo
significa che la tessera [6 6] deve essere sul bordo del quadrato.
Questo può avvenire in due modi.
PRIMO MODO 
[6 6] è nell'angolo, ad esempio nei primi due posti della prima riga;
chiamo a il numero che sta nella stessa fila con due x e un 6, in modo
che la somma magica è 2x+a+6. Lo schema è il seguente:
  6     6   6+a-e 6+a-d
  b     x     x   6+a-b
  c     x     x   6+a-c
  d     a     e     a
Gli altri valori della prima riga e della quarta colonna vengono
dall'aver imposto che la somma delle file corrispondenti sia 2x+a+6.
D'altra parte, la somma delle quattro caselle d'angolo è 12+2a ed
essendo anch'essa uguale alla somma magica, otteniamo:
a = 2x-6, memtre la somma magica è 4x. 
Lo schema diventa:
  6     6   2x-e  2x-d
  b     x     x   2x-b
  c     x     x   2x-c
  d    2x-6   e   2x-6
Anche nella quarta riga la somma deve essere 4x, da cui:
d+e = 12,
per cui c'è una sola possibilità: d = e = 6 e lo schema diventa:
  6     6   2x-e  2x-6
  b     x     x   2x-b
  c     x     x   2x-c
  6    2x-6   6   2x-6
Nella prima colonna la somma è 4x se:
b+c = 4x-12,
da cui si vede che x deve essere almeno 3.
Se x=3, l'unica possibilità è che b = c = 0, ma lo schema così ottenuto
non contiene nessun 1.
Se x è 4 o 5, d'altra parte, né b né c possono essere 1 perché lo schema
contiene 2x-c e 2x-d, che sarebbero maggiori di 6. Quindi nel primo modo
non ci sono soluzioni.
SECONDO MODO 
[6 6] è al centro di un lato, ad esempio al secondo e terzo posto della
prima riga; procedendo come prima ottengo lo schema seguente:
  b     6     6 a+2x-6-b
  c     x     x   6+a-c
  d     x     x   6+a-d
  e     a     a 6+2x-a-e
I valori della quarta colonna vengono dall'aver imposto che la somma
delle righe corrispondenti sia 2x+a+6.
D'altra parte, la somma delle quattro caselle d'angolo è 4x, che è
quindi la somma magica; perciò
2x+a+6 = 4x, da cui a = 2x-6, con x che dunque deve essere almeno 3. 
Il quarto elemento della quarta riga diventa 12-e, quindi si ha
necessariamente e=6.
Lo schema diventa:
  b     6     6  4x-12-b
  c     x     x    2x-c
  d     x     x    2x-d
  6    2x-6  2x-6   6
Anche nelle diagonali la somma deve essere 4x, quindi 
b = 2x-6,
e lo schema diventa:
 2x-6   6     6    2x-6
  c     x     x    2x-c
  d     x     x    2x-d
  6    2x-6  2x-6   6
Nella prima colonna la somma è 4x se:
b+c = 2x,
Se x=3, otteniamno la soluzione che ho dato ponendo b=1 e c=5 (o
viceversa).
Se x è 4 o 5, d'altra parte, né b né c possono essere 1 perché lo schema
contiene 2x-c e 2x-d, che sarebbero maggiori di 6. Quindi non ci sono
altre soluzioni.
QED

Io l'ho dimostrato in maniera diversa. Che ne dite?
k=costante magica
x=numero al centro
Per via della presenza delle due tessere 6-6 e 3-1 abbiamo che 12<=k<=16
6-6 non può essere al centro perchè se avessi solo 6 al centro sarei 
costretto a riempire i bordi con 3 ed 1 e in quel caso la somma degli angoli 
andrebbe da 4 a un max di 12, sicuramente minore della somma dei numeri 
sulle diagonali, che per via dei 6 e dei numeri agli angoli >0, sarebbe >12.
Chiamati a,b,c,d i numeri agli angoli si ha che a+b+c+d = 2x+a+d = 2x+b+c da 
cui segue che a+d=b+c
Cioè i numeri agli angoli sulle diagonali hanno la stessa somma. Quindi, o 
tutti i 4 numeri sugli angoli sono uguali, oppure sono uguali a due a due e 
quelli uguali fra loro stanno sulla stessa riga o colonna.
Se fossero tutti uguali potrebbero essere solo 3 o 4, altrimenti k uscirebbe 
dai limiti. In entrambi i casi però,dovendo mettere un 6-6 su un bordo al 
centro avrei k >16 quindi non è possibile.
E' vera quindi la seconda ipotesi. Ma se è così, la riga (o colonna) che ha 
lo stesso numero agli angoli avrà la riga (o colonna) opposta con quei 
numeri al centro.
cioè è del tipo
ABBA
exxf
fxxe
BAAB
con e+f=A+B con A diverso da B
Scopriamo quindi che k =2A+2B è pari e può essere 12,14 o 16.
e ed f sono diversi sia da A che da B, altrimenti avrei
ABBA
AxxB
BxxA
BAAB
ma, essendo k=2A+2B, dovrei mettere una x uguale ad A e una uguale b, che è 
assurdo.
Avendo una tessera 6-6 da piazzare, questa non potrà che 
stare,indifferentemente, in alto come BB, o in basso come AA.
Scegliamo BB:
A66A
exxf
fxxe
6AA6
A quindi potrà essere solo 0, 1, o 2. (altrimenti k>16)
Abbiamo l'equazione k = 2x+6+A = 6+A+A+6, da cui segue che A+6=2x.
Allora A è pari (o 0 o 2) e x è o 4 o 3.
In ogni caso abbiamo che, dovendo piazzare un 1, indifferentemente, o e o f 
è uguale a 1.
Scegliamo e.
Dato che e+f=A+B ---> 1+f=6+A e si esclude che f possa essere 3.
Per esclusione, il 3 dovrà essere x.
A66A
133f
f331
6AA6
Non potendo f, per quanto detto prima, essere 6, ma essendo <6, per 
risolvere l'equazione  l'unica soluzione è f=5 e A=0 con k=12
0660
1335
5331
6006
Sebbene il quadrato sia unico,in realtà le soluzioni però sono due.
Infatti si possono usare 2 combinazioni di tessere del domino
1°---> 66,01,05,33,06,30,56,31
2°---> 66,01,05,33,06,30,35,16
Alessandro
PS: da notare che anche la somma dei numeri al centro è uguale alla costante 
magica 12 e che la somma dei numeri sul bordo è divisibile per 12 che oltre 
ad essere la costante magica, è anche il numero di caselle sul bordo. 

 costante magica
Buona la dimostrazione. Sfruttando le due considerazioni che hai fatto,
si poteva subito dire che x doveva essere 3 o 4.
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Ciao, Silv:o)

 ha scritto nel messaggio 
news:1131442406....@g49g2000cwa.googlegroups.com...
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Ciao, Silv:o)
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Grazie :)
Però la seconda considerazione è stata fatta a posteriori, una volta trovata 
la soluzione. A priori non si sapeva (o almeno non l'ho dimostrato) quindi 
non poteva essere usata nella dimostrazione.
Certo, se fosse stato nel testo del problema, sarebbe stato più facile. 

 dimostrato) quindi non poteva essere usata nella dimostrazione
epperò detta cosa è facilina da dimostrare, visto cha il quadrato
centrale è formato dalle due diagonali meno i quattro angoli :)
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Ciao, Silv:o)

 ha scritto nel messaggio 
news:1131465275.3...@z14g2000cwz.googlegroups.com...
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Ciao, Silv:o)
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In effetti hai ragione.
A volte si vanno a trovare soluzioni complesse non vedendo quelle più 
semplici :) 

 ha scritto nel messaggio 
news:7j8cf.52418$Pe2.9...@twister2.libero.it...
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