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Titolo: Un'ora improbabile...

Insegno matematica in un liceo e nella classe terza C ho cinque ore la
settimana, sul totale di 30 ore di lezione per gli studenti di quella
classe (5 ore al giorno per 6 giorni). Anche la mia collega Passamaglia
insegna matematica, nella classe terza I; quest'anno abbiamo chiesto che
nell'orario di lezione di queste due classi ci sia almeno un'ora in cui
siamo impegnati contemporaneamente, io in terza C e lei in terza I, in
modo da poterci qualche volta scambiare le classi.
Per vedere se la preside avrebbe avuto grosse difficoltà con l'orario,
ho calcolato rapidamente la probabilità che, distribuendo le nostre ore
a caso, ci fosse almeno un'ora in comune, e mi sono subito
tranquillizzato.
Poi però ho pensato che, come al solito, io sicuramente avrei avuto il
venerdì completamente libero, mentre la collega Passamaglia avrebbe
avuto libero il martedì. Tenendo conto di questo fatto, ma immaginando
di distribuire sempre a caso le ore nei 5 giorni rimanenti, qual è la
probabilità che io e lei abbiamo un'ora in comune?
Maurizio

 probabilità che io e lei abbiamo un'ora in comune?
Questo è naturalmente più lungo.
Calcoliamo prima le probabilità P(i) che a Maurizio capitino i ore di
venerdi.
P(5)=5*4*3*2*1/(25*24*23*22*21)=1/53130=x
P(4)=5*(5*4*3*2*20)/(25*24*23*22*21)=100x
P(3)=10*(5*4*3*20*19)/(25*24*23*22*21)=1900x
P(2)=10*(4*5*20*19*18)/(25*24*23*22*21)=11400x
P(1)=5*(5*20*19*18*17)/(25*24*23*22*21)=24225x
P(0)=20*19*18*17*16/(25*24*23*22*21)=15504x
Vediamo ora la distribuzione delle ore della Passamaglia considerando
separatamente i 6 casi appena visti, come fatto prima calcoliamoci la
probabilità Pn(i) che i due colleghi *NON* si incrocino quando MF ha i ore
di venerdi.
Pn(5)=1
Pn(4)=24*23*22*21*20/(25*24*23*22*21)=4/5
Pn(3)=23*22*21*20*19/(25*24*23*22*21)=19/30
Pn(2)=22*21*20*19*18/(25*24*23*22*21)=57/115
Pn(1)=21*20*19*18*17/(25*24*23*22*21)=969/2530
Pn(0)=20+19*18*17*16/(25*24*23*22*21)=2584/8855
Quindi la probabilità totale che i due colleghi si riescano ad incontrare è
data dalla somma, per i che varia da 0 a 5, dei termini:
P(i)*[1-Pn(i)]
In totale si dovrebbe avere P=0,6100+
Non posso mettere una mano sul fuoco per il risultato, mi si stavano
incrociando gli occhi e forse qualche svarione l'ho infilato, comunque mi
sembra un risultato plausibile.
Sono curioso di sapere se si poteva fare con meno calcoli, mi sono
complicato la vita?
Ciao,
GaS

probabilità che io e lei abbiamo un'ora in comune?
Questo caso e' piu' complicato e mi riservo di analizzarlo
con piu' calma.
Nel frattempo se mi concedi la semplificazione di considerare
il caso a piu' alta probabilita' possibile, e cioe' quello in cui
tu non puoi avere lezioni nel giorno libero della tua collega e
lei non puo' avere ore di lezione nel tuo giorno libero avremo:
numero totale di combinazioni totali:  c(25,5) = 53130
Stavolta, avendo voi due diversi giorni liberi, il numero di
sovrapposizioni sara' dato da:
c(5,4) * c(15,4) = 6825  ->  1 ora di sovrapposizione
c(5,3) * c(15,3) = 4550  ->  2 ore di sovrapposizione
c(5,2) * c(15,2) = 1050  ->  3 ore di sovrapposizione
c(5,1) * c(15,1) = 75    ->  4 ore di sovrapposizione
(infatti ci sono c(5,x) modi diversi di scegliere nel tuo orario
 le 5-x ore che *non* si andranno a sovrapporre, e c(25-10,x) modi
 per inserire quelle ore nell'orario della tua collega in modo
 da realizzare la *non* sovrapposizione).
=> numero di combinazioni favorevoli: 12500
quindi   p = 12500/53130 = .235+
e siccome questo e' lo scenario migliore possibile, le probabilita'
reali saranno certamente inferiori (forse anche sensibilmente).
Certo che siete stati proprio simpatici voi due a mettere dei
vincoli alla soluzione di un problema che gia' di suo e' solo
NP-completo... Vi sta antipatico il preside?  :-)) 
Saluti,
          Antonio

 complicato la vita?
Io ho fatto meno calcoli, ma ottenendo solo un risultato approssimato.
Ho ragionato così: distribuendo le ore a caso su sei giorni, la
probabilità di avere un'ora in comune è quella che hai calcolato sopra e
che ora chiamo P6:
P6 = 1 - 25*24*23*22*21/(30*29*28*27*26).
Se io e la collega avessimo lo stesso giorno libero, le ore sarebbero
distribuite su cinque giorni e quindi si troverebbe una probabilità:
P5 = 1 - 20*19*18*17*16/(25*24*23*22*21).
D'altra parte, se distribuisco a caso il giorno libero, la probabilità
che sia lo stesso giorno per entrambi è 1/6 e la probabilità che i
giorni siano diversi è 5/6. Quindi, se chiamo P la probabilità di avere
un'ora in comune avendo giorni liberi diversi, si ha
approssimativamente:
P6 = (1/6) P5 + (5/6) P,
da cui:
P = (6/5) P6 - (1/5) P5 = 0.610971...
Che comunque è molto vicino al valore esatto.
N.B. La vicepreside ha detto naturalmente che ha dovuto sudare sette
camicie per soddisfare questa nostra richiesta...
Maurizio

lei non puo' avere ore di lezione nel tuo giorno libero avremo:
Quello descritto sopra non e' il caso a piu' alta probabilita'
possibile, ma piuttosto uno di quelli a piu' bassa probabilita'!
Chiedo venia e riporto quello che secondo me e' il calcolo del
caso "completo".
Bisogna distinguere 6 casi diversi, corrispondenti alle 6
diverse possibili quantita' di ore di lezione che Maurizio
puo' avere nel giorno di riposo della sua collega, e calcolare
le probabilita' di sovrapposizione in ciascuno dei 6 casi.
Caso 1: 5 ore di lezione nel giorno di riposo della collega
   combinazioni possibili = 1/c(25,5)
   la probabilita' che l'orario della collega abbia almeno
   un'ora di sovrapposizione e' ovviamente p = 0
   => p_1 = 0
Caso 2: 4 ore di lezione nel giorno di riposo della collega
   comb = c(5,4)*c(20,1)/c(25,5) = 1.8e-3
   p = c(1,1)*c(24,4)/c(25,5) = .199+
   => p_2 = comb * p = 3.757e-4
Caso 3: 3 ore di lezione nel giorno di riposo della collega
   comb = c(5,3)*c(20,2)/c(25,5) = 3.57e-2
   p = [c(2,2)*c(23,3)+c(2,1)*c(23,4)]/c(25,5) = .366+
   => p_3 = 1.311e-2
Caso 4: 2 ore di lezione nel giorno di riposo della collega
   comb = c(5,2)*c(20,3)/c(25,5) = .214+
   p = [c(3,3)*c(22,2)+c(3,2)*c(22,3)+c(3,1)*c(22,4)]/c(25,5)
     = .504+
   => p_4 = .108+
Caso 5: 1 ora di lezione nel giorno di riposo della collega
   comb = c(5,1)*c(20,4)/c(25,5) = .455+
   p = [c(4,4)*c(21,1)+c(4,3)*c(21,2)+c(4,2)*c(21,3)+
       +c(4,1)*c(21,4)]/c(25,5)
     = .616+
   => p_5 = .281+
Caso 6: nessuna ora di lezione nel giorno di riposo della collega
   comb = c(5,0)*c(20,5)/c(25,5) = .291+
   p = [c(5,5)*c(20,0)+c(5,4)*c(20,1)+c(5,3)*c(20,2)+
       +c(5,2)*c(20,3)+c(5,1)*c(20,4)]/c(25,5)
     = .708+
   => p_6 = .206+
e quindi (finalmente!!! ;-) la p_totale che e' somma delle p_i
   p_tot = .609+
in ragionevole accordo con il calcolo di Gabriele....che ha avuto
da me un ottimo esempio del fatto che ci si poteva complicare la
vita moooolto di piu' di quanto non abbia fatto lui!!!  :-)))
Saluti,
          Antonio

 camicie per soddisfare questa nostra richiesta...
Scusa la curiosità: ma la storia è (più o meno)vera?
Mi piace proprio l'idea che due professori ogni tanto si scambino la classe.
Ciao,
GaS

 Scusa la curiosità: ma la storia è (più o meno)vera?
Tutto vero, ho cambiato soltanto il nome della collega.
Maurizio