Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: la sveglia

Abbiamo una sveglia con quattro lancette: tre mobili (ore, minuti, secondi) 
e una fissa (quella dell'allarme).
Le lancette divideranno il quadrante in quattro settori.
Qual è la probabilità che, scegliendo a caso un momento, almeno uno dei 
settori abbia ampiezza maggiore di 120 gradi?
-- 
Ciao, Silv:o)

"Silvio Sergio"  ha scritto nel messaggio

In questi problemi non ci azzecco mai....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
(2^3 + 2^2 + 2)/3^3 = 14/27
Nino 

 In questi problemi non ci azzecco mai....
Proprio mai mai, non direi :)
Dicci come sei arrivato alla tua proposta (che lascio in basso) e se ne può 
parlare.
-- 
Ciao, Silv:o)


 wrote:

.

La probabilità è di 26/27. Ora cerco di spiegare il perché.
Comincio con l'osservare che avere una lancetta fissa non ha nessuna
importanza. Posso schematizzare il problema così: prendo una delle
lancette come origine degli angoli e chiamo x, y, z le posizioni delle
altre tre lancette. Se pongo l'angolo giro uguale a 1 (e quindi
120°=1/3), i tre punti x, y, z dividono l'intervallo [0, 1] in 4
segmenti: devo calcolare la probabilità che almeno uno di questi
segmenti sia maggiore di 1/3.
Visto che non ci sono posizioni preferenziali, i tre numeri x, y, z sono
distribuiti uniformemente nell'intervallo [0, 1], quindi riempiono
uniformemente un cubo di lato 1. Per semplicità posso considerare solo
il sottoinsieme A di questo cubo in cui
    0 < x < y < z < 1;
per simmetria, la probabilità calcolata in A è uguale a quella calcolata
su tutto il cubo. Il vantaggio è che in A le misure dei quattro segmenti
sono semplicemente: x, y-x, z-y e 1-z.
Il volume di A si calcola con un integrale:
    V(A) = \int_0^1 dx \int_x^1 dy \int_y^1 dz = 1/6.
Per calcolare la probabilità richiesta dobbiamo trovare in quale
frazione di A sono soddisfatte le richieste del problema. E' più facile
calcolare il complementare di questa probabilità, cioè la zona in cui
tutti e quattro i segmenti hanno misura minore di 1/3. Chiamiamo dunque
B la regione di A in cui
    x < 1/3 AND y-x < 1/3 AND z-y < 1/3 AND 1-z < 1/3.
Anche il volume di B si calcola con un integrale:
V(B) = \int_0^(1/3) dx \int_x^(1/3+x) dy \int_(2/3)^MAX(2/3, 1/3+y) dz =
     = \int_0^(1/3) dx \int_(1/3)^(1/3+x) dy \int_(2/3)^(1/3+y) dz = 
     = 1/162.
Quindi la probabilità che tutti i segmenti siano  minori di 1/3 è:
V(B)/V(A) = 1/27
e la probabilità cercata è il complementare di questa, cioè 26/27.
Maurizio

 ha scritto nel messaggio
news:4571a461$0$13751$4faf...@reader3.news.tin.it...

Ciao Silvio,
con forza bruta (ma molto "alla brutta" ;-)) confermerei il risultato di
Maurizio, anche se mi risultano 42654 casi favorevoli su 43200 (tutte le
posizioni possibili delle 3 lancette mobili), cioè 26.65 su 27, ovvero un
evento quasi certo, così come è quasi certo si trovi qualche errore nel mio
programmino...
Saluti
Francesco



Trovo lo stesso valore di Maurizio con un diverso ragionamento.
Divido il quadrante in tre settori, da ore 12 a ore 4, da ore 4 a ore
8, e da ore 8 a ore 12.
Sia la lancetta dell'allarme fissa a ore 12, le altre tre disposte a
caso.
Considero separatamente i due casi_
_Le tre lancette cadono ciascina in un diverso settore: 
probabilità 1 * 2/3 * 1/3 = 2/9. 
_Almeno due lancette cadono nello stesso settore, (probabilità 7/9)
quindi uno dei tre settori risulta vuoto,  e esiste almeno un settore
tra le lancette maggiore di 120 gradi.
Nel primo dei due casi considerati, siano A,B,C le posizioni delle tre
lancette nei tre settori, prese in senso orario,. E' evidente che i
possibili settori maggiori di 120 sono AB e/o BC.
Siano x,y, z, rispettivamente le lunghezze degli archi ore12-A;
ore4-B; ore8-C.
Disporre le lancette a caso, in settori distinti, equivale a scegliere
a caso i tre archi x,y,z, ciascuno con valori tra zero e 120.
Il settore AB è minore di 120 se x>y.
Il settore BC è minore di 120 se y>z.
Quindi nessun settore risulta maggiore di 120 se i tre archi risultano
ordinati per lunghezza con x>y>z.
Questo è uno dei sei possibili ordinamenti dei tre valori, quindi la
probabilità 1/6, moltiplicata per i 2/9 visti prima, da una prob, 1/27
che nessun settore risulti maggiore di 120, e quini 26/27 che si
verifichi il contrario.
Naturalmente il tutto vale se si considerano le tre lancette
indipendenti, cosa che in realtà in un orologio non avviene...
Ma a questo preferisco non penserci. :)
ciao
paolo

 Ma a questo preferisco non penserci. :)
Eh già... Anch'io ho "glissato" su questo piccolo particolare, anche
perché non saprei proprio come tenerne conto in modo esatto.
Ho provato a fare qualche simulazione, per forza di cose discreta, ed in
effetti trovo una piccola differenza rispetto al risultato di 26/27.
Ho considerato un orologio che va a "scatti" di durata t secondi, in
modo che nelle 12 ore ci sono 43200/t scatti. Posso allora andare a
contare quanti di questi scatti corrispondono alle richieste del
problema (almeno un angolo maggiore di 120°) e trovo:
durata dello
scatto (s)        probabilità
   1             20693/21600  ~ 0.958009
   0.1           41437/43200  ~ 0.959190
   0.01         690733/720000 ~ 0.959351
da confrontarsi con:    26/27 ~ 0.962963. 
Il primo risultato è diverso da quello riportato da Francesco, quindi
sarebbe bello se qualcuno potesse rifare simulazioni analoghe. E'
difficile dire quale sarà il valore del limite per t che tende a zero,
però mi aspetto qualcosa intorno a 0.960, circa lo 0.3% in meno rispetto
al caso astratto delle lancette indipendenti.
Di più, per il momento, non mi viene.
Maurizio

 Ma a questo preferisco non penserci. :)
Io pure ci ho fatto qualche pensierino, e non sono riuscito a venirne a capo 
definitivamente. Sbirciando su rec.puzzle, da dove ho preso il problema, ho 
letto qua e la di alcune simulazioni che, come quelle di Maurizio, sembrano 
discostarsi lievemente dal modello a lancette indipendenti. Lì per l' 
pensavo fossero attribuibili ad approssimazioni; ma ora che anche qui su ihe 
(!!!) sembra convalidare la tesi, bisognerà che mi ci metta a pensare.
-- 
Ciao, Silv:o)

 ..non si sia messo a studiare gli integrali :)
Assolutamente no!!!
Me ne guardo bene...:-) Con tutte le cose utili che ci sono da imparare...
Non li avevo capiti 40 anni fa, figurati se  ci perdo tempo adesso...
Ciao, Nino

 effetti trovo una piccola differenza rispetto al risultato di 26/27.
Ciao, scusa la curiosità ma la simulazione è stata effettuata con la 
lancetta della sveglia fissa a mezzogiorno o hai analizzato anche tutte le 
posizioni che può assumere (con lo stessa granularità della lancetta dei 
secondi)?
Non sono sicuro ma, nella versione *complessa* del problema, fissare la 
lancetta della sveglia in una posizione particolare potrebbe alterarne il 
risultato.
Ho provato a fare qualche calcolo per verificare (matematicamente) che la 
versione complessa del problema si discosta da quella analizzata finora.
A partire dalla soluzione di Paolo ho fissato la lancetta dei secondi nel 
primo terzo del quadrante (x) e quella dei minuti nel secondo terzo (y). In 
queste condizioni P(x>y)=0,5196... invece che un ideale 0,5. Per calcolare 
P(x>y>z) bisognerebbe analizzare singolarmente le 6 possibili combinazioni 
(x,y,z)-(ore, minuti, secondi) ma, con il metodo che ho usato io, è 
veramente un lavoraccio. E poi non sono neanche sicuro che le 6 combinazioni 
siano equiprobabili....
Proprio un bel problema,
ciao,
GaS 

 Proprio un bel problema,
Già nella versione con la lancetta fissa sulle 12 mi sembrava un
problema quasi intrattabile; ora dopo la tua osservazione io lo
archivierei fra i problemi impossibili.
Maurizio