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Titolo: Una scatoletta di cartone

Ho davanti a me un foglio di cartoncino di formato A4 (210x297 mm).
Voglio ritagliare, in un *pezzo unico*, lo sviluppo di un solido per
costruire una scatoletta di cartone, piegando alcuni spigoli ed
incollando tra di loro gli altri con un po' di colla da modellismo o
con del nastro adesivo.
Potrei, ad esempio, ritagliare lo sviluppo classico di un cubo, a
forma di croce latina, di 70 mm di spigolo, ottenendo cosi' una
bella scatoletta con un volume di 343 cc.
Pero' mi sono fissato di ottenere la scatoletta che abbia il
massimo volume possibile. Mi aiutereste a trovarla?
Ciao!!!  ((^__^))
Livio

 solido per costruire una scatoletta di cartone
Prima che mi ci metto: la scatoletta può essere qualcosa di diverso da un
parallelepipedo rettangolo?
-- 
Silv:o)

 parallelepipedo rettangolo?
Con un parallelepipedo rettangolo il massimo teorico dovrebbe essete un
cubo di lato 101.95+
Per ora ho trovato un cobo di lato quasi 99
Disegno 6 quadrati di lato 99 meno qualcosa, per permettermi di avere,
nella parte alta della figura, una striscia sottilissima.
Taglio secondo la linea grossa.
Utilizzo la striscia per portare il lato A in corrispondenza del lato B
[FIDOCAD]
RV 15 7 45 38
RV 15 38 45 69
RV 50 38 80 69
RV 50 69 80 100
RV 50 7 80 38
RV 15 5 80 7
TY 28 9 5 3 0 0 0 * A
TY 76 51 5 3 0 0 0 * B
PL 50 8 50 100 1
PL 45 7 45 100 1
RV 15 69 45 101
PL 17 7 78 7 1
ciao
paolo

 ha scritto:

Speravo che lo scopriste un po' piu' tardi...  :o)
Cmq si'.
Ciao!!!  ((^__^))
Livio

 ...
La tua soluzione mi pare *compatibile* con l'esposto del problema.
Francamente, pero', pensavo a qualche cosa di piu' matematico e
meno ingegneristico ;o) : uno sviluppo in un pezzo solo in grado
di formare la superficie del solido senza stirature, forzature o
sovrapposizioni. L'interpretazione meno maliziosa, insomma.
Di un solido qualunque, pero'.   :o)
Non son sicuro di avere la soluzione ottimale nel cassetto.
Ciao!!!  ((^__^))
Livio

 Di un solido qualunque, pero'.   :o)
Beh, ci avevo provato.
:-)
In attesa di provare con solidi qualunque, o con parallelepipedi
inclinati, ho visto un po' cosa si potesse fare con parallepipedi
rettangoli, con tagli e pieghe paralleli ai lati del foglio.
Con la croce latina disposta in orizzontale o in verticale, ho trovato
questi sviluppi, che danno il massimo volume.
Il volume è lo stesso nelle due figure. In un primo momento la cosa mi
ha un po' sorpreso.
ciao
paolo
[FIDOCAD]
RV 30 10 135 160
LI 30 30 135 30
LI 30 85 135 85
LI 50 105 115 105
LI 115 10 115 160
LI 50 10 50 160
TY 50 50 4 2 0 0 0 * 108.07
PL 115 10 115 30 1
PL 115 30 135 30 1
PL 50 10 50 30 1
PL 50 30 30 30 1
PL 115 160 115 85 1
PL 115 85 135 85 1
PL 50 160 50 85 1
PL 50 85 30 85 1
RV 160 10 265 160
PL 180 10 180 30 1
PL 180 30 160 30 1
PL 180 140 160 140 1
PL 180 160 180 140 1
LI 180 10 180 160
TY 180 70 4 2 0 0 0 * 216.14
TY 35 30 4 2 0 0 0 * 40.43
TY 70 30 4 2 0 0 0 * 129.14
TY 165 30 4 2 0 0 0 * 40.43
TY 190 30 4 2 0 0 0 * 64.57
LI 213 10 213 160
LI 232 30 232 140
PL 213 10 213 30 1
PL 213 160 213 140 1
PL 213 30 265 30 1
LI 161 30 266 30
PL 213 140 265 140 1
LI 160 140 265 140

 ...
Cio' ci fa piacele!
Intanto siamo a 564.247+ cc. Qualcuno rilancia?
Ciao!!!  ((^__^))
Livio

 Intanto siamo a 564.247+ cc. Qualcuno rilancia?
810.479
Un prisma avente per base un poligono con mooolti lati. In pratica un
cilindro.
ciao
paolo
[FIDOCAD]
LI 110 20 135 20
LI 45 35 45 110
LI 55 35 55 110
LI 65 35 65 110
LI 75 35 75 110
LI 85 35 85 110
LI 95 35 95 110
LI 105 35 105 110
LI 115 35 115 110
LI 125 35 125 110
LI 135 35 135 110
LI 145 35 145 110
LI 155 35 155 110
LI 165 35 165 110
LI 175 35 175 110
RV 35 20 185 125
LI 35 35 185 35
LI 35 110 185 110
PL 35 35 40 20 1
PL 40 20 45 35 1
PL 45 35 50 20 1
PL 50 20 55 35 1
PL 55 35 60 20 1
PL 60 20 65 35 1
PL 65 35 70 20 1
PL 70 20 75 35 1
PL 75 35 80 20 1
PL 80 20 85 35 1
PL 85 35 90 20 1
PL 90 20 95 35 1
PL 95 35 100 20 1
PL 100 20 105 35 1
PL 105 35 110 20 1
PL 110 20 115 35 1
PL 115 35 120 20 1
PL 120 20 125 35 1
PL 125 35 130 20 1
PL 130 20 135 35 1
PL 135 35 140 20 1
PL 140 20 145 35 1
PL 145 35 150 20 1
PL 150 20 155 35 1
PL 155 35 160 20 1
PL 160 20 165 35 1
PL 165 35 170 20 1
PL 170 20 175 35 1
PL 175 35 180 20 1
PL 180 20 185 35 1
PL 35 110 40 125 1
PL 40 125 45 110 1
PL 45 110 50 125 1
PL 50 125 55 110 1
PL 55 110 60 125 1
PL 60 125 65 110 1
PL 65 110 70 125 1
PL 70 125 75 110 1
PL 75 110 80 125 1
PL 80 125 85 110 1
PL 85 110 90 125 1
PL 90 125 95 110 1
PL 95 110 100 125 1
PL 100 125 105 110 1
PL 105 110 110 125 1
PL 110 125 115 110 1
PL 115 110 120 125 1
PL 120 125 125 110 1
PL 125 110 130 125 1
PL 130 125 135 110 1
PL 135 110 140 125 1
PL 140 125 145 110 1
PL 145 110 150 125 1
PL 150 125 155 110 1
PL 155 110 160 125 1
PL 160 125 165 110 1
PL 165 110 170 125 1
PL 170 125 175 110 1
PL 175 110 180 125 1
PL 180 125 185 110 1
TY 190 25 5 3 0 0 0 * 47.269
TY 190 115 5 3 0 0 0 * 47.269
TY 190 65 5 3 0 0 0 * 115.462

 In pratica un cilindro.
Vedo che la notte porta consiglio!  :o)
Cosi' sei gia' arrivato ad un risultato notevole, saltando a pie' pari
alcune soluzioni che riporto per la cronaca.
Il primo e' lo sviluppo classico del cilindro (due cerchi ed un rettangolo,
vedi fido-cad) che avrebbe portato ad un volume soltanto leggermente
superiore a quello dei parallelepipedi:  573 cc.
E' da notare che una base ellittica puo' aumentare questo valore e la
ricerca del suo massimo puo' ancora essere un bell'esercizio.
Il secondo e' un interessante tetraedro che utilizza tutto il foglio e
che, grazie al rapporto di sqr(2) dei lati del foglio A4, ha due facce
perpendicolari, cosicche' il calcolo del volume diventa... facile:
V = 210x297^2/24 == 771.828 cc
Col cilindro di Paolo siamo dunque a 810.479 cc.
Qualcuno rilancia?
[quando il gioco si fa duro...]
Ciao!!!  ((^__^))
Livio
[FIDOCAD ]
EV 35 10 65 40
TY 40 75 5 3 0 0 0 * 210
EV 35 80 65 110
TY 10 55 5 3 0 0 0 * 163.3
RV 10 40 90 80
TY 30 115 5 3 0 0 0 * V = 573.079 cc
RV 115 10 185 110
LI 115 60 185 60 2
LI 185 60 150 10 2
LI 150 10 115 60 2
LI 115 60 150 110 2
LI 150 110 185 60 2
TY 135 115 5 3 0 0 0 * V = 771.828+ cc

 V = 210x297^2/24 == 771.828 cc
Questo mi ricorda il tetrapack del latte.
Mi pare che non se ne trovino più in giro, sarebbe interessante vedere
se sono realizzati proprio partendo da un rettangolo 1*sqrt(2).
ciao
paolo
[FIDOCAD]
TY 205 80 5 3 0 0 0 * 47.269
TY 205 120 5 3 0 0 0 * 115.462
TY 205 170 5 3 0 0 0 * 47.269
RV 50 155 200 180
PL 53 82 55 87 1
PL 55 87 58 91 1
PL 58 91 64 96 1
PL 64 96 69 99 1
PL 51 75 53 82 1
PL 100 82 98 87 1
PL 98 87 95 91 1
PL 95 91 89 96 1
PL 89 96 84 99 1
PL 102 75 100 82 1
PL 69 99 75 100 1
PL 84 99 80 100 1
PL 75 100 50 100 1
PL 127 82 129 87 1
PL 129 87 132 91 1
PL 132 91 138 96 1
PL 138 96 143 99 1
PL 174 82 172 87 1
PL 172 87 169 91 1
PL 169 91 163 96 1
PL 163 96 158 99 1
PL 176 75 174 82 1
PL 125 75 127 82 1
PL 143 99 145 100 1
PL 158 99 155 100 1
RV 50 75 200 100
RV 50 100 200 155
PL 80 100 145 100 1
PL 155 100 200 100 1
LI 50 60 100 60
LI 50 50 125 50
TY 65 55 5 3 0 0 0 * 297/Pi
TY 75 45 5 3 0 0 0 * 297/2
LI 50 49 50 51
LI 50 59 50 61
LI 100 59 100 61
LI 125 48 125 51
PL 50 155 55 180 1
PL 55 180 60 155 1
PL 60 155 65 180 1
PL 65 180 70 155 1
PL 70 155 75 180 1
PL 75 180 80 155 1
PL 80 155 85 180 1
PL 85 180 90 155 1
PL 90 155 95 180 1
PL 95 180 100 155 1
PL 100 155 105 180 1
PL 105 180 110 155 1
PL 110 155 115 180 1
PL 115 180 120 155 1
PL 120 155 125 180 1
PL 125 180 130 155 1
PL 130 155 135 180 1
PL 135 180 140 155 1
PL 140 155 145 180 1
PL 145 180 150 155 1
PL 150 155 155 180 1
PL 155 180 160 155 1
PL 160 155 165 180 1
PL 165 180 170 155 1
PL 170 155 175 180 1
PL 175 180 180 155 1
PL 180 155 185 180 1
PL 185 180 190 155 1
PL 190 155 195 180 1
PL 195 180 200 155 1

 ...
Oh, ma a questo gioco gioca solo Paolo ?
O siete tutti li' come corvi che aspettate di dare l'ultima beccata?
C'e' da faaareee !!!
O matematici, e' ora di tirare fuori gli integrali. (per i fatti vostri,
neh, a noi bastano i risultati  ;o))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio


... i frati cominciano a giocare? :-)
Comunque oggi mi sento generoso e offro 874 cc più cc meno
Ci fai sapere quando è finita l'asta? O ho sbagliato post? :-))


A proposito, io non so come si ottenga perchè la risposta me la ha data
FraPitagora , il frate geometra, che è un tipo un pochino originale e parla
sempre in maniera un abbastanza oscura... quando gli ho chiesto come avesse
ottenuto quel risultato mi ha detto: "Caro FraSisto è bellissima la cupola
di Brunelleschi quando si specchia nel lago vero?".
Io gli ho risposto : "Ma fratello Pitagora... la cupola di Santa Maria del
fiore non si specchia in alcun lago che io sappia..."
E lui non ha detto più nulla ... strano tipo eh? :-)
Avete mica capito cosa intendesse voi?
P.S.: ah dimenticavo, fratello Pitagora è un tipo un po' superficiale, mi ha
dato la misura approssimativa del limite superiore perchè usa 3,14 per
pigreco...

Uff dimenticavo, per quei pochi infedeli che non conoscessero la cupola del
brunelleschi...
prima di tutto pentitevi e mandatemi un'offerta per l'indulgenza, poi potete
vederla qui:
http://www.francescomorante.it/pag_a/tava43.htm
Pace e bene!

 Ci fai sapere quando è finita l'asta? O ho sbagliato post? :-))
A proposito di gioco duro, che ne dici del rugby?
Usano un pallone che ricorda vagamente la cupola di Brunelleschi
riflessa nel lago ;-)
Diciamo un cilindro con due volte semisferiche.
Se provo ad ribassare le volte, ottengo qualcosa che farebbe rivoltare
nella tomba il povero Brunelleschi, ma che ha un volume di 884 circa.
s.e.o.o.
ciao
paolo
[FIDOCAD]
BE 65 60 70 15 160 15 165 60
BE 165 140 160 185 70 185 65 140
RV 65 60 165 140
LI 115 25 115 60
TY 115 40 5 3 0 0 0 * 35.5
TY 75 55 5 3 0 0 0 * 47.269
TY 45 95 5 3 0 0 0 * 78.68
TY 65 35 5 3 0 0 0 * 65.66

 s.e.o.o.
Mi torna: 884.543 cc e' il nuovo record.
Sempre per la cronaca riporto in calce la soluzione di 880 cc che avete
bruciato: era quella dell'ultimo cilindro di Paolo ove, al posto dei cerchi,
si mettano degli ellissi opportuni.
Ciao!!!  ((^__^))
Livio
PS. Ah, dimenticavo: l'asta e' ancora aperta!  ;oP
[FIDOCAD ]
BE 75 25 90 71 170 72 185 25
BE 225 25 240 71 320 72 335 25
BE 185 230 170 184 90 183 75 230
BE 335 230 320 184 240 183 225 230
LI 76 25 185 25
LI 225 25 335 25
LI 75 230 185 230
LI 225 230 335 230
LI 75 25 185 25
RV 55 60 355 195
LI 385 25 385 230 1
LI 390 230 340 230 1
LI 340 25 390 25 1
LI 55 255 355 255 1
LI 355 200 355 260 1
LI 55 200 55 260 1
TY 195 245 10 6 0 0 1 * 297
TY 375 140 10 6 90 0 1 * 210
TY 345 145 10 6 90 0 1 * 135.495
TY 170 120 10 6 0 0 1 * V = 880.182 cc
TY 115 15 10 6 0 0 1 * 111.012


mmm temo che la forma a bombola sia il limite teorico... ho più di un dubbio
che possa essere maggiorato, io onestamente la ho raggiunta ottimizzando la
sfera, che in sè è la forma con maggiore volume, ad un rapporto diverso da
1:2; per questo sfoggiavo sicurezza scherzando (salvo sbagliare i conti come
sempre) :-))

 forma con maggiore volume...
... pero' quanta superficie buttata via...
Ciao!!!  ((^__^))
Livio

 ... pero' quanta superficie buttata via...
Proviamo a recuperare un po' di questa superficie.
Parto dal tuo cilindro ellitico bombato
Con la superficie residua costruisco 4 cilindretti orizzontali, che
rimarranno attaccati al cilindro principale, a mo' di cornice.
Il volume risulta 896.742 s.e.o.o.
Chisssà se Brunelleschi apprezzerebbe :-)
Naturalmente l'idea si presta a ulteriori ottimizzazioni.
ciao
paolo
[FIDOCAD]
BE 40 45 55 91 135 92 150 45
BE 190 45 205 91 285 92 300 45
BE 150 250 135 204 55 203 40 250
BE 300 250 285 204 205 203 190 250
LI 41 45 150 45
LI 190 45 300 45
LI 40 250 150 250
LI 190 250 300 250
LI 40 45 150 45
RV 20 80 320 215
LI 350 45 350 250 1
LI 355 250 305 250 1
LI 305 45 355 45 1
LI 20 275 320 275 1
LI 320 220 320 280 1
LI 20 220 20 280 1
TY 160 265 10 6 0 0 1 * 297
TY 340 160 10 6 90 0 1 * 210
TY 310 165 10 6 90 0 1 * 135.495
TY 80 35 10 6 0 0 1 * 111.012
RV 150 45 190 80
TY 150 30 10 6 0 0 1 * 37.488
EV 190 65 205 80
EV 135 65 150 80
PL 110 80 165 80 1
PL 170 80 230 80 1
LI 150 60 160 90 3
TY 155 100 10 6 0 0 1 * 37.2526
LI 160 90 160 100 3
TY 35 125 10 6 0 0 1 * V = 880.182 + 4 * 16.460

 Il volume risulta 896.742 s.e.o.o.
Oops.
C'era un errore nel disegno, nell'espressione del vol. totale.
Quella giusta è
V = 880.182+4*4.140=896.742
ciao
paolo

TY 35 125 10 6 0 0 1 * V = 880.182 + 4 * 4.140 = 896.742

 Chisssà se Brunelleschi apprezzerebbe :-)
Forse direbbe che non e' proprio nello spirito del problema e delle
grandi opere architettoniche, pero' almeno dimostra agli scettici che
qualche cosa si puo' ancora fare.
L'asta e' aperta.  :o)))
Ciao!!!  ((^__^))
Livio

 ha scritto nel messaggio
news:2hggalF...@uni-berlin.de...

uhm. la butto lì, perchè non sono molto libero in questi giorni.
mi viene in mente la struttura dei favi delle api. se non sbaglio, riescono
a realizzare il miglior volume a superficie minima e impacchettare il tutto.
quindi propongo qualcosa di simile a un prisma esagonale, che termini con
dei tetraedri. se trovo qualche immagine posto qua dietro. rimane da vedere
se è realizzabile da un foglio di carta quadrato ( o rettangolare, ora non
ho presente, ma tanto è indifferente, presumo.)
pazqo

 pazqo
this is what i mean. work about it!
http://www.apicolturaonline.it/comb.htm
pazqo
:-P

 pazqo
anzi, meglio:
 C'è da dire che a parità di volume tra due prismi a facce esagonali la
superficie è minima non quando il fondo è costituito da tre rombi con angolo
di 'Maraldi' ma se il fondo è costituito da 2 rombi e due esagoni.Problema
risolto da F.Toth.
e ora a voi, vedere se si riesce a trasportarlo su foglio di carta...
pazqo


 mi cospargo il capo di cenere per non aver creduto :-)
stupidamente facevo i conti sulla superficie totale dei solidi e non
consideravo l'ottimizzazione del consumo di carta.
Un paio di appunti:
la bombola, o pallone da rugby o doppia cupola che dir si voglia, abbassando
adeguatamente il semi ellissoide dŕ un volume massimo di circa
892.639  (con ellissoide di assi 47.269;47.269;26) (lo ho fatto a mano
ottimizzando "per tentativi" perchč purtroppo ci son di mezzo gli integrali
ellittici che non possono esser espressi in forma chiusa... si dice cosě
no?)
Il cilindro a base ellittica dovrebbe essere ottimizzato attraverso un
ellisse di base di assi 116.5;70 che danno un volume di 896.689 circa.
A dire il vero anche sui vostri disegni mi vengon volumi leggermente piů
grandi di quelli che son venuti a voi, per esempio nell'esempio con i
cilindretti aggiunti il volume della parte cilindrica principale mi viene di
circa 1 cc maggiore.
In generale come avete fatto a fare i calcoli per ottimizzare gli ellissi?
Io, che non ho minimamente voglia di calcolarli tutte le volte, ho usato
questo sito: 
http://www.ex.ac.uk/trol/scol/callipse.htm
   dove viene
impiegato il metodo di Ramanujan (non crediate, non ho la piů pallida idea
di chi sia sto tizio :-) ).
Sarebbe interessante che qualcuno di voi bravo col computer e con
dimestichezza sugli integrali (mi viene in mente uno a caso, G.Resta :-)  )
facesse un programmino che ottimizzi da solo le forme degli ellissi con
calcoli precisi.
Oppure si potrebbe cercare di elaborare algoritmi originali per il calcolo
del perimetro degli ellissi (anche se temo che ci sia una letteratura enorme
in proposito, ma se si resiste alla tentazione di cercarla magari č
stimolante ocme cosa).
Un ultimo appunto, i cilindretti non mi piacciono, perchč viene una scatola
a piů volumi isolati :-) Comunque in effetti basta un piccolo accorgimento e
un ritaglio nei semiellissi per ottenere delle eleganti guglie da mettere
sopra la nostra cattedrale fratelli :-)  E poi procedere cosě mettendo delle
gugliette via via piů piccine ... cavolo che architetto che sarei :))
Basta la smetto di rompere, ciao :-)

 Basta la smetto di rompere, ciao :-)
Anzi! Mi aspettavo piu' partecipazione! Secondo me (mi posso sbagliare
perche' io sono uno che si sbaglia :o)) ci sono ancora soluzioni piu'...
ottimali e anche altre fantasiose. Ora provo a fare qualche conto sull'idea
di Pazqo, anche se a prima vista mi sembra che abbia troppi sfridi (le api
non hanno questo problema).
Sto poi lavorando su questa nuova idea, di cui non ho ancora risultati
certi (vi invito a ripetere l'esperimento):
ho preso un foglio A4 dalla stampante, l'ho piegato semplicemente in
due e ne ho chiuso i tre bordi con del nastro adesivo. Poi ho smontato
una Bic e ne ho infilato l'astuccio, a mo' di cannuccia, in un vertice,
sigillando con altro scoch. Poi ho... soffiato!
Il rigonfio cuscino che ho ottenuto ha ovviamente delle grinze, che
pero' mi sembrano eliminabili sacrificando poca superficie del foglio,
ottenendo un solido formato dall'intersezione di un cilindro a base
ellittica con 4 coni. Calcolarne il volume sara' giusto uno scherzo!  :o)
Ne metto in calce una versione a sezione ottagonale, di cui non ho
ancora calcolato il volume, ne' tantomeno operato ottimizzazioni.
(accettasi consigli)
Ciao!!!  ((^__^))
Livio
[FIDOCAD ]
LI 140 330 160 300
LI 160 300 195 290
LI 250 330 230 300
LI 230 300 195 290
LI 250 330 230 360
LI 230 360 195 370
LI 140 330 160 360
LI 160 360 195 370
LI 195 220 140 255
LI 140 255 160 195
LI 140 50 140 255
LI 160 195 160 110
LI 160 110 140 50
LI 140 50 195 85
LI 195 75 195 5 2
LI 160 110 195 85
LI 195 75 140 50
LI 160 195 195 220
LI 195 220 250 255
LI 250 255 230 195
LI 250 50 250 255
LI 230 195 230 110
LI 230 110 250 50
LI 250 50 195 85
LI 230 110 195 85
LI 195 75 250 50
LI 250 255 195 230
LI 230 195 195 220
LI 195 75 195 230
LI 140 255 195 230
LI 195 230 195 290 2
LI 140 330 195 290
LI 195 290 250 330
LI 250 330 195 370
LI 195 370 140 330
LI 140 330 105 330 2
LI 195 370 195 405 2
LI 140 330 250 330
LI 195 290 195 370
LI 335 50 335 255
LI 335 50 295 85
LI 295 85 295 220
LI 295 220 335 255
LI 335 50 375 85
LI 375 85 375 220
LI 375 220 335 255
LI 295 85 305 110
LI 305 110 305 195
LI 305 195 295 220
LI 335 50 305 110
LI 305 195 335 255
LI 335 255 365 195
LI 365 195 365 110
LI 365 110 335 50
LI 375 85 365 110
LI 365 195 375 220
LI 295 85 335 75 2
LI 335 75 375 85 2
LI 375 220 335 230 2
LI 335 230 295 220 2
TY 565 270 10 6 0 0 1 * 297
LI 425 260 425 284 1
LI 635 85 635 215 2
LI 670 110 705 50 2
LI 640 80 705 50 2
LI 635 85 670 110
LI 670 110 640 80
LI 640 80 645 50
LI 645 50 705 50
LI 600 110 565 50 2
LI 630 80 565 50 2
LI 635 85 600 110
LI 600 110 630 80
LI 630 80 625 50
LI 625 50 565 50
LI 600 195 565 255 2
LI 630 225 565 255 2
LI 635 220 600 195
LI 600 195 630 225
LI 630 225 625 255
LI 625 255 565 255
LI 670 195 705 255 2
LI 640 225 705 255 2
LI 635 220 670 195
LI 670 195 640 225
LI 640 225 645 255
LI 645 255 705 255
LI 670 110 670 195 2
LI 600 110 600 195 2
LI 705 50 705 255
LI 565 50 565 255 2
LI 495 85 495 215 2
LI 460 110 425 50 2
LI 490 80 425 50 2
LI 495 85 460 110
LI 460 110 490 80
LI 490 80 485 50
LI 485 50 425 50
LI 530 110 565 50 2
LI 500 80 565 50 2
LI 495 85 530 110
LI 530 110 500 80
LI 500 80 505 50
LI 505 50 565 50
LI 530 195 565 255 2
LI 500 225 565 255 2
LI 495 220 530 195
LI 530 195 500 225
LI 500 225 505 255
LI 505 255 565 255
LI 460 195 425 255 2
LI 490 225 425 255 2
LI 495 220 460 195
LI 460 195 490 225
LI 490 225 485 255
LI 485 255 425 255
LI 460 110 460 195 2
LI 530 110 530 195 2
LI 425 50 425 255
LI 735 50 735 255 1
TY 725 165 10 6 90 0 1 * 210
LI 740 255 710 255 1
LI 705 260 705 285 1
LI 710 50 740 50 1
LI 425 280 705 280 1
LI 335 305 335 255 2
LI 335 50 335 5 2
LI 250 330 295 330 2

 ...
La mia Darwin-Machine ha trovato questa formuletta
empirica che dovrebbe garantire la precisione dell'uno
per mille del perimetro per ellissi il cui rapporto
tra i due diametri sia compreso tra 1.2 e 1.8:
P= (1.56298+0.0488396*((a-b)/b))*(a+b)
con a, b diametri, a>b, a/b=1.2 .. 1.8
Non e' un granche', ma e' comoda nei calcoli iterativi.
Ciao!!!  ((^__^))
Livio

 Mi ricordi il Gaudi', quello della Sagrada Familia (si dice cosi'?
:o))
Dopo tante superbe realizzazioni architettoniche, da Brunelleschi a
Gaudì, sono qui a riproporre l'umile opera di un semplice ingegnere
minerario, esperto in scavi e gallerie.
Mi riallaccio al mio primo post, premettendo alcune precisazioni volte a
prevenire eventuali obiezioni anti ingegneristiche :-)
Mi pare che le regole, più o meno sottintese, prevedano:
1) Il foglio su cui si lavora è flessibile, ma inestensibile: sono
quindi lecite, per esempio, porzioni di superfici cilindriche, ma non di
superfici sferiche;
2) Non sono ammesse sovrapposizioni;
3) Il volume all'interno della scatola deve essere unico; non sono
quindi ammessi, per esempio, due cilindri tra loro tangenti. Però, con l
'accorgimento evidenziato da FraSisto, a questo si ovvia facilmente.
Ci sarebbe, forse, una quarta regola che vedremo più avanti.
Cerco di realizzare un parallelepipedo rettangolo che sfrutti *quasi*
tutta la superficie del foglio.
Lungo i due lati maggiori del foglio disegno due rettangoli, larghi poco
meno della metà del lato minore, separati da una striscia di larghezza
2x.
Entro questa striscia realizzo un *nastro*, che unisce i rettangoli.
(Nel FIDOCAD che segue la striscia non è in scala, per comodità di
rappresentazione).
La lunghezza del nastro consente, senza stiramenti, di muovere i due
rettangoli principali, fino a far coincidere le lettere corrispondenti,
e quindi realizzare il parallelepipedo.
Ho ottenuto a questo punto, uno scatolone con nastro all'esterno che fa
da manico.
Mi pare che la cosa contravvenga ancora a qualcuna delle regole
suesposte.
Noto però che un *nastro*, se unisco tra loro i due lati lunghi, si può
trasformare facilmente in un *tubo*.
Considero ancora che questo tubo dovrà formare qualche curva, per
collegare i due punti in cui si innesta nel solido principale. Un tubo a
sezione cilindrica non può essere curvato senza stiramenti, e quindi
opto per un tubo a sezione quadrata, sul quale, con opportuni tagli, non
riportati in figura, posso effettuare i piegamenti necessari.
Devo ancora eliminare due pezzetti della superficie del parallelepipedo,
in corrispondenza degli innesti del tubo, ed ho ottenuto la galleria che
collega due punti dello scavo.
Abbandonando per un attimo l'ingegneria per tornare alla matematica: il
volume, al tendere a zero della larghezza x, tende a
10.5*10.5*9.6=1058.400 cc.
Rimane un dubbio sulla quarta regola a cui accennavo.
Ho ottenuto un solido che dal punto di vista topologico equivale ad un
toro. E' lecito ciò?
Se non lo fosse, ho quasi pronta una forse possibile variante.
ciao
paolo
[FIDOCAD]
RV 35 15 140 165
LI 35 70 75 70
LI 35 110 75 110
LI 100 110 140 110
LI 100 70 140 70
TY 40 10 5 3 0 0 3 * 105-x
TY 80 10 5 3 0 0 3 * 2x
TY 110 10 5 3 0 0 3 * 105-x
TY 15 80 5 3 0 0 3 * 105-x
TY 10 40 5 3 0 0 3 * 96+x/2
TY 10 135 5 3 0 0 3 * 96+x/2
TY 40 20 5 3 0 0 2 * A
TY 70 20 5 3 0 0 2 * B
TY 70 65 5 3 0 0 2 * C
TY 70 105 5 3 0 0 2 * D
TY 70 160 5 3 0 0 2 * E
TY 105 160 5 3 0 0 2 * C
TY 135 160 5 3 0 0 2 * D
TY 105 105 5 3 0 0 2 * B
TY 135 105 5 3 0 0 2 * E
TY 105 65 5 3 0 0 2 * A
TY 135 65 5 3 0 0 2 * F
TY 135 20 5 3 0 0 2 * G
TY 105 20 5 3 0 0 2 * H
TY 40 160 5 3 0 0 2 * F
TY 40 105 5 3 0 0 2 * G
TY 40 65 5 3 0 0 2 * H
PL 75 30 90 30 1 1
PL 85 35 75 35 1 1
PL 75 15 75 30 1 1
PL 75 35 75 165 1 1
PL 100 155 85 155 1 1
PL 90 150 100 150 1 1
PL 100 165 100 155 1 1
PL 100 150 100 15 1 1
PL 85 155 85 35 1 1
PL 90 30 90 150 1 1


Appena meglio la (piu' sintetica):
 P=(1.5144+0.048685*a/b)*(a+b)
a/b   errore
1.2   -7.78E-04
1.3   1.32E-04
1.4   5.27E-04
1.5   5.57E-04
1.6   3.24E-04
1.7   -8.72E-05
1.8   -6.15E-04
Piu' pretenziosa la:
P=(1.51335+0.0487869*a/b+0.0220353*(a/b-1.5)^2)*(a+b)
a/b   errore
1.2   -1.05E-04
1.3   1.11E-04
1.4   9.43E-05
1.5   -7.06E-06
1.6   -9.35E-05
1.7   -8.28E-05
1.8   8.38E-05
Ciao!!!  ((^__^))
Livio

 toro. E' lecito ciò?
Mi sembra proprio di si': si cercava un solido, un toro e' un solido.
Ho cominciato a disegnarlo nel dettaglio, mi pare proprio che non
faccia una grinza (letteralmente!  :o)).  Temevo ci fosse una torsione
nel tubo, ma mi pare scongiurata sfasandone le linee di piegatura
(vedi disegno sviluppo).
Complimenti! Ovviamente una soluzione non pensata dal proponente.
Questo volume superiore al litro sara' veramente duro da battere.
Mi sa che ci arrenderemo. Per la cronaca, in un post piu' sotto,
mettero' un paio di soluzioni a cui ero arrivato.
Ciao a tutti!!!  ((^__^))
Livio
[FIDOCAD ]
LI 225 20 185 20
LI 225 20 225 40
LI 225 45 235 45
LI 225 25 235 25
LI 235 25 235 30
LI 235 30 240 35
LI 240 35 240 40
LI 240 40 245 40
LI 245 40 250 45
LI 250 45 255 45
LI 255 45 255 75
LI 185 90 225 90
LI 185 20 185 90
LI 225 40 240 40 2
LI 225 35 240 35 2
LI 225 30 235 30 2
LI 240 40 240 75 2
LI 185 90 185 130
LI 185 130 225 130
LI 225 130 225 90
LI 225 90 225 70
LI 225 70 220 70
LI 220 70 220 65
LI 220 65 225 65
LI 225 65 225 45
LI 225 130 225 200
LI 225 200 185 200
LI 185 200 185 130
LI 245 80 250 80 2
LI 255 75 250 80
LI 250 80 255 85
LI 255 85 255 95
LI 235 75 240 75
LI 240 75 245 80
LI 245 80 240 85
LI 240 85 235 85
LI 235 85 235 95
LI 240 85 240 95 2
LI 235 45 235 75
LI 245 100 250 100 2
LI 255 95 250 100
LI 250 100 255 105
LI 255 105 255 115
LI 235 95 240 95
LI 240 95 245 100
LI 245 100 240 105
LI 240 105 235 105
LI 235 105 235 115
LI 240 105 240 115 2
LI 245 100 245 115 2
LI 250 100 250 115 2
LI 245 40 245 100 2
LI 250 45 250 100 2
LI 260 200 300 200
LI 260 200 260 180
LI 260 175 250 175
LI 250 175 250 145
LI 260 195 250 195
LI 250 195 250 190
LI 250 190 245 185
LI 245 185 245 180
LI 245 180 240 180
LI 240 180 235 175
LI 235 175 230 175
LI 230 175 230 145
LI 300 200 300 130
LI 260 180 245 180 2
LI 260 185 245 185 2
LI 260 190 250 190 2
LI 245 180 245 145 2
LI 240 180 240 145 2
LI 235 175 235 145 2
LI 300 130 260 130
LI 260 155 260 175
LI 260 130 260 150
LI 260 150 265 150
LI 265 150 265 155
LI 265 155 260 155
LI 300 130 300 90
LI 300 90 260 90
LI 260 90 260 130
LI 260 90 260 20
LI 260 20 300 20
LI 300 20 300 90
LI 155 20 115 20
LI 155 20 155 40
LI 115 90 155 90
LI 115 20 115 90
LI 155 70 150 70 2
LI 150 65 155 65 2
LI 155 40 170 40
LI 165 45 155 45
LI 170 80 165 80
LI 170 40 170 80
LI 165 80 165 45
LI 150 70 150 65 2
LI 155 90 155 65
LI 155 65 155 40
LI 155 55 165 55
LI 155 60 165 60
LI 150 55 150 65 2
LI 150 55 155 55 2
LI 165 55 170 55 2
LI 165 60 170 60 2
LI 165 75 170 75 2
LI 50 20 90 20
LI 90 90 50 90
LI 50 90 50 20
LI 90 65 100 65
LI 100 65 100 60
LI 105 70 105 60
LI 85 40 85 80
LI 85 80 105 80
LI 105 80 105 55
LI 105 55 100 55
LI 100 55 100 75
LI 100 75 90 75
LI 85 40 90 40
LI 90 70 90 75
LI 90 80 90 90
LI 90 20 90 70
LI 90 70 100 70
LI 85 45 90 45 2
LI 100 60 105 60 2
LI 105 70 100 70 2
RV 50 110 90 150
LI 85 150 85 165
LI 85 165 105 165
LI 105 165 105 145
LI 105 145 90 145
LI 100 150 90 150
LI 90 160 100 160
LI 90 150 90 165
LI 100 165 100 145
LI 85 160 90 160 2
LI 100 150 105 150 2
LI 100 160 105 160 2

 ...
Ecco, per la cronaca le soluzioni a cui ero giunto.
La prima, a base ottagonale, tende ad usare quasi tutto il foglio.
V =  919.419 cc
La seconda, non calcolata, e' l'ottimizzazione della prima sostituendo
l'ellisse all'ottagono. Le pieghe sono da *origami*, ma si possono
anche tagliare.
Ciao a tutti!!!  ((^__^))
Livio
[FIDOCAD ]
LI 20 55 40 55
LI 40 55 40 35
LI 20 55 20 225
LI 20 225 40 225
LI 40 225 40 245
LI 40 55 40 225 2
LI 80 35 80 245 2
LI 120 35 120 245 2
LI 240 35 240 245 2
LI 280 35 280 245 2
LI 40 35 160 35
LI 160 35 160 55
LI 160 55 200 55
LI 200 55 200 35
LI 200 35 320 35
LI 320 35 320 55
LI 320 55 340 55
LI 340 55 340 225
LI 340 225 320 225
LI 320 225 320 245
LI 320 245 200 245
LI 200 245 200 225
LI 200 225 160 225
LI 160 225 160 245
LI 160 245 40 245
LI 160 55 160 225 2
LI 200 55 200 225 2
LI 40 55 80 80 2
LI 80 80 120 80 2
LI 120 80 160 55 2
LI 240 80 280 80 2
LI 200 55 240 80 2
LI 280 80 320 55 2
LI 40 225 80 200 2
LI 80 200 120 200 2
LI 120 200 160 225 2
LI 200 225 240 200 2
LI 240 200 280 200 2
LI 280 200 320 225 2
LI 20 15 340 15 1
TY 155 5 10 7 0 0 1 * A = 297
LI 20 50 20 10 1
LI 340 10 340 50 1
TY 170 45 10 7 0 0 1 * A/8
TY 110 160 10 7 90 0 1 * 135.302
LI 395 35 395 245 1
LI 330 35 400 35 1
LI 325 245 400 245 1
TY 385 165 10 7 90 0 1 * B = 210
LI 345 55 380 55 1
LI 375 35 375 100 1
TY 365 95 10 7 90 0 1 * A/16
TY 130 250 10 7 0 0 1 * V =  919.419 cc
LI 320 55 320 225 2
[FIDOCAD ]
LI 385 25 385 230 1
LI 55 255 355 255 1
TY 195 245 10 6 0 0 1 * 297
TY 375 140 10 6 90 0 1 * 210
LI 361 25 390 25 1
LI 390 230 360 230 1
LI 355 235 355 260 1
LI 55 235 55 259 1
RV 55 25 355 230
BE 205 25 220 80 340 80 355 25
BE 55 25 70 80 190 80 205 25
BE 205 230 190 175 70 175 55 230
BE 355 230 340 175 220 175 205 230

 Questo volume superiore al litro sara' veramente duro da battere.
Abbi fede, direbbe l'amico frate.
Pensa a una sfera di raggio 70.45+
Ha una superficie pari a quella del foglio A4, e volume 1464+ cc.
Questo sarebbe il limite teorico, certamente irraggiungibile, ma penso
che ci si possa avvicinare.
Esamina per esempio un pallone da calcio. Mi pare che sia fatto con
settori esagonali e pentagonali.
Prova a tagliare tutti i settori e a disporli su un rettangolo, cercando
la disposizione a densità max.
I settori non devono essere però a perfetto contatto, ma tra uno e
l'altro dovrà rimanere un piccolo gap
Utilizza questi gap per disporre opportuni nastri/tubi, e....
Se son rose fioriranno.
:-)
ciao
paolo


Avete mai sentito parlare del frate parassita?
Eccolo qui :-)
purtroppo con quel cad terribile non riesco a disegnare, quindi spiego solo.
Prendendo l'idea di Paolo, ma usando anzichè due strisce rettangolari due
strisce che son come dei rettangoli sormontati da ambo i lati da semicerchi
(insomma dei rettanogli smussati, o in altre parole una figura piana che se
ruotata sul proprio asse maggiore darebbe la vecchia buona doppia cupola
:-) ),viene un solido che è come se fosse composto da un parallelepipedo di
13.533*105*105    (sormontato da due volte a botte (facciamo semicilindri)
con assi di simmetria del cerchio "originario" perpendicolari tra loro,
ciascuno dei due volumi sarà (1/2)*52.5²*pigreco*105
allora il volume totale è:  1058400 ...identico all'altro... chi se lo
sarebbe aspettato :-)
Magari ho sbagliato i calcoli, ma sarebbe carino vedere se anche con smussi
ellittici viene sempre lo stesso volume.
Ad ogni modo ci sono avanzati un pochino di ritagli, e ora che abbiamo i
manici infinitesini nulla ci è più precluso e possiamo sfruttarli per
maggiorare il volume, però non sto a vedere di quanto, tanto sarà di poco.
Chissà perchè mi sento un po' cinese oggi :-)
Poi in verità questi manici mi sa che ci aprono mille strade, d'altro canto
le vie ... sono infinite figliuoli!

 Esamina per esempio un pallone da calcio.
Meglio del pallone c'è il mappamondo.
Considero una sfera di raggio 66.845 mm, che ha la semicirconferenza di
circa 210 mm, o meglio il poliedro inscritto in questa sfera, con facce
trapezoidali delimitate dai paralleli e meridiani.
Con queste misure i settori possono essere disposti sul foglio A4 senza
interferenze, anzi dovrebbe rimanere un piccolo gap, utilizzabile per
realizzare i famosi manici tubolari che colleghino i settori nel modo
opportuno.
Infittendo i paralleli e meridiani, il volume del poliedro tende a
quello della sfera, circa 1.25 litri, s.e.o.o.
ciao
paolo
[FIDOCAD]
LI 255 213 290 218
LI 290 218 325 222
LI 325 222 360 225
LI 360 225 395 228
LI 395 228 430 230
LI 255 213 290 208
LI 290 208 325 204
LI 325 204 360 201
LI 360 201 395 198
LI 395 198 430 196
LI 290 208 290 218
LI 325 204 325 222
LI 360 201 360 225
LI 395 198 395 228
LI 430 196 430 230
LI 260 548 260 598
LI 430 230 465 230
LI 430 196 465 196
LI 465 196 465 230
RV 260 338 860 758
LI 350 356 385 361
LI 385 361 420 365
LI 420 365 455 368
LI 455 368 490 371
LI 490 371 525 373
LI 350 356 385 351
LI 385 351 420 347
LI 420 347 455 344
LI 455 344 490 341
LI 490 341 525 339
LI 385 351 385 361
LI 420 347 420 365
LI 455 344 455 368
LI 490 341 490 371
LI 525 339 525 373
LI 525 373 560 373
LI 525 339 560 339
LI 560 339 560 373
LI 350 391 385 396
LI 385 396 420 400
LI 420 400 455 403
LI 455 403 490 406
LI 490 406 525 408
LI 350 391 385 386
LI 385 386 420 382
LI 420 382 455 379
LI 455 379 490 376
LI 490 376 525 374
LI 385 386 385 396
LI 420 382 420 400
LI 455 379 455 403
LI 490 376 490 406
LI 525 374 525 408
LI 525 408 560 408
LI 525 374 560 374
LI 560 374 560 408
LI 350 426 385 431
LI 385 431 420 435
LI 420 435 455 438
LI 455 438 490 441
LI 490 441 525 443
LI 350 426 385 421
LI 385 421 420 417
LI 420 417 455 414
LI 455 414 490 411
LI 490 411 525 409
LI 385 421 385 431
LI 420 417 420 435
LI 455 414 455 438
LI 490 411 490 441
LI 525 409 525 443
LI 525 443 560 443
LI 525 409 560 409
LI 560 409 560 443
LI 350 460 385 465
LI 385 465 420 469
LI 420 469 455 472
LI 455 472 490 475
LI 490 475 525 477
LI 350 460 385 455
LI 385 455 420 451
LI 420 451 455 448
LI 455 448 490 445
LI 490 445 525 443
LI 385 455 385 465
LI 420 451 420 469
LI 455 448 455 472
LI 490 445 490 475
LI 525 443 525 477
LI 525 477 560 477
LI 525 443 560 443
LI 560 443 560 477
LI 350 496 385 501
LI 385 501 420 505
LI 420 505 455 508
LI 455 508 490 511
LI 490 511 525 513
LI 350 496 385 491
LI 385 491 420 487
LI 420 487 455 484
LI 455 484 490 481
LI 490 481 525 479
LI 385 491 385 501
LI 420 487 420 505
LI 455 484 455 508
LI 490 481 490 511
LI 525 479 525 513
LI 525 513 560 513
LI 525 479 560 479
LI 560 479 560 513
LI 350 531 385 536
LI 385 536 420 540
LI 420 540 455 543
LI 455 543 490 546
LI 490 546 525 548
LI 350 531 385 526
LI 385 526 420 522
LI 420 522 455 519
LI 455 519 490 516
LI 490 516 525 514
LI 385 526 385 536
LI 420 522 420 540
LI 455 519 455 543
LI 490 516 490 546
LI 525 514 525 548
LI 525 548 560 548
LI 525 514 560 514
LI 560 514 560 548
LI 350 566 385 571
LI 385 571 420 575
LI 420 575 455 578
LI 455 578 490 581
LI 490 581 525 583
LI 350 566 385 561
LI 385 561 420 557
LI 420 557 455 554
LI 455 554 490 551
LI 490 551 525 549
LI 385 561 385 571
LI 420 557 420 575
LI 455 554 455 578
LI 490 551 490 581
LI 525 549 525 583
LI 525 583 560 583
LI 525 549 560 549
LI 560 549 560 583
LI 350 601 385 606
LI 385 606 420 610
LI 420 610 455 613
LI 455 613 490 616
LI 490 616 525 618
LI 350 601 385 596
LI 385 596 420 592
LI 420 592 455 589
LI 455 589 490 586
LI 490 586 525 584
LI 385 596 385 606
LI 420 592 420 610
LI 455 589 455 613
LI 490 586 490 616
LI 525 584 525 618
LI 525 618 560 618
LI 525 584 560 584
LI 560 584 560 618
LI 350 636 385 641
LI 385 641 420 645
LI 420 645 455 648
LI 455 648 490 651
LI 490 651 525 653
LI 350 636 385 631
LI 385 631 420 627
LI 420 627 455 624
LI 455 624 490 621
LI 490 621 525 619
LI 385 631 385 641
LI 420 627 420 645
LI 455 624 455 648
LI 490 621 490 651
LI 525 619 525 653
LI 525 619 560 619
LI 560 619 560 653
LI 350 670 385 675
LI 385 675 420 679
LI 420 679 455 682
LI 455 682 490 685
LI 490 685 525 687
LI 350 670 385 665
LI 385 665 420 661
LI 420 661 455 658
LI 455 658 490 655
LI 490 655 525 653
LI 385 665 385 675
LI 420 661 420 679
LI 455 658 455 682
LI 490 655 490 685
LI 525 653 525 687
LI 525 687 560 687
LI 525 653 560 653
LI 560 653 560 687
LI 350 706 385 711
LI 385 711 420 715
LI 420 715 455 718
LI 455 718 490 721
LI 490 721 525 723
LI 350 706 385 701
LI 385 701 420 697
LI 420 697 455 694
LI 455 694 490 691
LI 490 691 525 689
LI 385 701 385 711
LI 420 697 420 715
LI 455 694 455 718
LI 490 691 490 721
LI 525 689 525 723
LI 525 723 560 723
LI 525 689 560 689
LI 560 689 560 723
LI 350 741 385 746
LI 385 746 420 750
LI 420 750 455 753
LI 455 753 490 756
LI 490 756 525 758
LI 350 741 385 736
LI 385 736 420 732
LI 420 732 455 729
LI 455 729 490 726
LI 490 726 525 724
LI 385 736 385 746
LI 420 732 420 750
LI 455 729 455 753
LI 490 726 490 756
LI 525 724 525 758
LI 525 758 560 758
LI 525 724 560 724
LI 560 724 560 758
LI 770 356 735 361
LI 735 361 700 365
LI 700 365 665 368
LI 665 368 630 371
LI 630 371 595 373
LI 770 356 735 351
LI 735 351 700 347
LI 700 347 665 344
LI 665 344 630 341
LI 630 341 595 339
LI 735 351 735 361
LI 700 347 700 365
LI 665 344 665 368
LI 630 341 630 371
LI 595 339 595 373
LI 595 373 560 373
LI 595 339 560 339
LI 560 339 560 373
LI 770 391 735 396
LI 735 396 700 400
LI 700 400 665 403
LI 665 403 630 406
LI 630 406 595 408
LI 770 391 735 386
LI 735 386 700 382
LI 700 382 665 379
LI 665 379 630 376
LI 630 376 595 374
LI 735 386 735 396
LI 700 382 700 400
LI 665 379 665 403
LI 630 376 630 406
LI 595 374 595 408
LI 595 408 560 408
LI 595 374 560 374
LI 560 374 560 408
LI 770 426 735 431
LI 735 431 700 435
LI 700 435 665 438
LI 665 438 630 441
LI 630 441 595 443
LI 770 426 735 421
LI 735 421 700 417
LI 700 417 665 414
LI 665 414 630 411
LI 630 411 595 409
LI 735 421 735 431
LI 700 417 700 435
LI 665 414 665 438
LI 630 411 630 441
LI 595 409 595 443
LI 595 443 560 443
LI 595 409 560 409
LI 560 409 560 443
LI 770 460 735 465
LI 735 465 700 469
LI 700 469 665 472
LI 665 472 630 475
LI 630 475 595 477
LI 770 460 735 455
LI 735 455 700 451
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LI 665 448 630 445
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LI 295 461 295 495
LI 295 495 260 495
LI 295 461 260 461
LI 260 461 260 495
LI 470 443 435 448
LI 435 448 400 452
LI 400 452 365 455
LI 365 455 330 458
LI 330 458 295 460
LI 470 443 435 438
LI 435 438 400 434
LI 400 434 365 431
LI 365 431 330 428
LI 330 428 295 426
LI 435 438 435 448
LI 400 434 400 452
LI 365 431 365 455
LI 330 428 330 458
LI 295 426 295 460
LI 295 460 260 460
LI 295 426 260 426
LI 260 426 260 460
LI 470 408 435 413
LI 435 413 400 417
LI 400 417 365 420
LI 365 420 330 423
LI 330 423 295 425
LI 470 408 435 403
LI 435 403 400 399
LI 400 399 365 396
LI 365 396 330 393
LI 330 393 295 391
LI 435 403 435 413
LI 400 399 400 417
LI 365 396 365 420
LI 330 393 330 423
LI 295 391 295 425
LI 295 425 260 425
LI 295 391 260 391
LI 260 391 260 425
LI 470 374 435 379
LI 435 379 400 383
LI 400 383 365 386
LI 365 386 330 389
LI 330 389 295 391
LI 470 374 435 369
LI 435 369 400 365
LI 400 365 365 362
LI 365 362 330 359
LI 330 359 295 357
LI 435 369 435 379
LI 400 365 400 383
LI 365 362 365 386
LI 330 359 330 389
LI 295 357 295 391
LI 295 391 260 391
LI 295 357 260 357
LI 260 357 260 391
LI 470 338 435 343
LI 435 343 400 347
LI 400 347 365 350
LI 365 350 330 353
LI 330 353 295 355
LI 295 355 260 355
LI 260 338 470 338
LI 470 583 435 588
LI 435 588 400 592
LI 400 592 365 595
LI 365 595 330 598
LI 330 598 295 600
LI 470 583 435 578
LI 435 578 400 574
LI 400 574 365 571
LI 365 571 330 568
LI 330 568 295 566
LI 435 578 435 588
LI 400 574 400 592
LI 365 571 365 595
LI 330 568 330 598
LI 295 566 295 600
LI 295 600 260 600
LI 295 566 260 566
LI 260 566 260 600
LI 470 618 435 623
LI 435 623 400 627
LI 400 627 365 630
LI 365 630 330 633
LI 330 633 295 635
LI 470 618 435 613
LI 435 613 400 609
LI 400 609 365 606
LI 365 606 330 603
LI 330 603 295 601
LI 435 613 435 623
LI 400 609 400 627
LI 365 606 365 630
LI 330 603 330 633
LI 295 601 295 635
LI 295 635 260 635
LI 295 601 260 601
LI 260 601 260 635
LI 470 653 435 658
LI 435 658 400 662
LI 400 662 365 665
LI 365 665 330 668
LI 330 668 295 670
LI 470 653 435 648
LI 435 648 400 644
LI 400 644 365 641
LI 365 641 330 638
LI 330 638 295 636
LI 435 648 435 658
LI 400 644 400 662
LI 365 641 365 665
LI 330 638 330 668
LI 295 636 295 670
LI 295 670 260 670
LI 295 636 260 636
LI 260 636 260 670
LI 470 688 435 693
LI 435 693 400 697
LI 400 697 365 700
LI 365 700 330 703
LI 330 703 295 705
LI 470 688 435 683
LI 435 683 400 679
LI 400 679 365 676
LI 365 676 330 673
LI 330 673 295 671
LI 435 683 435 693
LI 400 679 400 697
LI 365 676 365 700
LI 330 673 330 703
LI 295 671 295 705
LI 295 705 260 705
LI 295 671 260 671
LI 260 671 260 705
LI 470 723 435 728
LI 435 728 400 732
LI 400 732 365 735
LI 365 735 330 738
LI 330 738 295 740
LI 470 723 435 718
LI 435 718 400 714
LI 400 714 365 711
LI 365 711 330 708
LI 330 708 295 706
LI 435 718 435 728
LI 400 714 400 732
LI 365 711 365 735
LI 330 708 330 738
LI 295 706 295 740
LI 295 740 260 740
LI 295 706 260 706
LI 260 706 260 740
LI 470 758 435 753
LI 435 753 400 749
LI 400 749 365 746
LI 365 746 330 743
LI 330 743 295 741
LI 295 741 260 741
LI 260 758 470 758
LI 435 753 435 758
LI 400 749 400 758
LI 365 746 365 758
LI 330 743 330 758
LI 295 741 295 757
LI 260 741 260 757
LI 435 337 435 343
LI 400 337 400 347
LI 330 337 330 353
LI 295 337 295 355
LI 260 338 260 355
LI 365 337 365 350
LI 560 295 560 795
TY 180 235 20 12 0 0 0 * 4.53
TY 225 265 20 12 0 0 0 * 8.75
TY 270 290 20 12 0 0 0 * 12.37
TY 370 290 20 12 0 0 0 * 15.16
LI 290 220 270 245 2
LI 270 245 240 245 2
LI 325 220 290 270 2
LI 290 270 275 270 2
LI 360 225 335 295 2
LI 335 295 325 295 2
LI 395 230 355 300 2
LI 355 300 370 300 2
TY 435 270 20 12 0 0 0 * 16.90
LI 430 230 415 275 2
LI 415 275 435 275 2
TY 485 205 20 12 0 0 0 * 17.50
TY 345 160 20 12 0 0 0 * 105
LI 260 170 335 170 2
LI 390 170 460 170 2
LI 460 165 460 175 2
LI 260 165 260 175 2
EV 880 160 1160 440
LI 880 300 1160 300
BE 1020 160 910 225 900 365 1020 440
BE 1020 160 980 255 980 330 1020 435
BE 1020 160 940 245 940 350 1020 440
BE 1020 160 870 230 875 375 1020 440
BE 1020 160 860 205 845 375 1010 440
BE 1020 160 1060 255 1060 330 1020 435
BE 1020 160 1100 245 1100 350 1020 440
BE 1020 160 1170 230 1165 375 1020 440
BE 1020 160 1180 205 1195 375 1030 440
BE 1020 160 1130 225 1140 365 1020 440
BE 895 235 995 275 1075 270 1145 230
BE 945 185 1010 210 1050 210 1095 180
BE 975 170 1010 185 1040 185 1065 165
BE 880 270 1008 291 1039 290 1160 270
BE 920 205 998 239 1045 238 1120 205
LI 1020 161 1020 441
BE 1094 414 1029 389 989 389 944 419
BE 1064 429 1029 414 999 414 974 434
BE 1119 394 1041 360 994 361 919 394
BE 1144 364 1044 324 964 329 894 369
BE 1159 329 1031 308 1000 309 879 329
TY 959 483 20 12 0 0 0 * SFERA
TY 961 520 20 12 0 0 0 * r=66.845 mm
TY 959 559 20 12 0 0 0 * V=1251 cc

 Esamina per esempio un pallone da calcio.
Meglio del pallone c'è il mappamondo.

ciao
paolo

LI 490 341 525 339
LI 385 351 385 361
LI 420 347 420 365

LI 525 618 560 618

LI 400 539 400 557

LI 330 463 295 461

LI 470 338 435 343


 quello della sfera, circa 1.25 litri, s.e.o.o.
Mi arrendo  :o))
Mi sembra proprio che anche questa volta non faccia una grinza.
Anzi, se non mi sbaglio, c'e' un po' di carta per fare una sezione
equatoriale cilindrica sormontata da due ellissoidi a paralleli
circolari, aumentando ulteriormente il volume di un pelino. Ma
il calcolo diventa complicato, perche' bisogna imporre che il
parallelo distante 297/4 dall'equatore (distanza curva di meridiano)
valga 1/2 equatore.
Complimentoni!!!  ((^__^))
Livio