Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Quali solidi tassellano lo spazio?

Quali solidi tassellano lo spazio?
Precisazioni:
Intendo dire: avvicinati gli uni agli altri, riempiono lo spazio senza
lasciare buchi.
Mi piacerebbe anche solo elencarli.
Mi fermerei cmq ai soli solidi convessi.
Intendo dire i solidi di un solo tipo, come il cubo. Il tetraedro e
l'ottaedro tassellano insieme lo spazio, ma non mi vanno bene perche'
sono due. Voglio i solidi di un solo tipo: un solo solido che ripetuto
uguale all'infinito riempia lo spazio infinito. Se unendo ottaedri e
tetraedri si ottiene un solo solido convesso che tassella cosi' lo
spazio, mi va bene (ma si puo'?).
Non metto limiti alla regolarita' dei solidi, se non la convessita'.
Tutte le idee sono ben accette.
Tra i solidi platonici, soltanto il cubo risponde ai requisiti.
Anche tra quelli archimedei, mi sembra che soltanto uno ce la faccia
(checche' ne dica wikipedia :o)) e forse anche tra quelli di Catalan.
Vi va di fare una garetta? Cioe', appena ve ne viene in mente uno lo
descrivete qua sotto?
Ciao
Livio

 Quali solidi tassellano lo spazio?
Senza mettere dei paletti forse ce ne sono troppi. Ad esempio: prendo un
poligono che tassella il piano e considero un prisma che abbia quello
come base (è la prima cosa che mi è venuta in mente).
Maurizio
-- 
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

 descrivete qua sotto?
Ci provo. Cercando di capire quale sia il solido Archimedeo che
tassella lo spazio (ancora non l'ho individuato) ho trovato questo:
prendiamo il tetraedro tronco e rincolliamogli uno, ed uno solo, dei 4
vertici tagliati via. Non ho modo di costruirmi un modellino per una
verifica ma, ad occhio, dovrebbe tornare.
Ciao,
GaS

 mi viene in mente ad esempio, gli infiniti prismi:
Mi scordavo di specificare che i prismi non devono essere
obligatoriamente retti ma possono essere inclinati a piacere.
Ciao

 (checche' ne dica wikipedia :o)) e forse anche tra quelli di Catalan.
Tra i solidi di Catalan, sicuramente il Dodecaedro Rombico tassella il
piano in maniera abbastanza semplice.
Ciao,
GaS

 come base (è la prima cosa che mi è venuta in mente).
Ok. Pero', adesso che li abbiamo detti, possiamo passare ad altro. :o)
Nulla ci vieta di fare poi delle sottospecie. Ad es. sembra che quelli
con facce regolari siano pochi pochi. Se imponiamo che abbiano gli
spigoli uguali (cosa buona per chi gioca con geomag) quando andiamo a
fare i prismi pentagonali allora dovremmo dire che sono solo quelli
convessi tra quelli che ho elencato qua:
http://www.geocities.com/liviozuc/pentagons.html
visto che passano gli anni e nessuno ne ha aggiunti (che mi risulti).
Ciao
Livio

 "giustificare matematicamente" l'esclusione di tetraedro ed ottaedro.
Sei in ottima compagnia. Aristotele affermò, nel suo lavoro De Coelo,
che è possibile tassellare lo spazio utilizzando solo tetraedri. E
poiche' per molti secoli si ando' avanti con l'ipse dixit, nessuno lo
mise in discussione per tanto tempo.
Ciao
Livio


Vedi, e poi dici di non avere immaginazione spaziale!
Io ci ho messo un casino a convincermene, ho costruito 4 modelli e li
ho affiancati. Soltanto allora ho capito che potevo fare un
ragionamento molto piu' semplice che penso sia il tuo. Cioe' ho
considerato un reticolo di cubi e ho costruito il dodecaedro di
Catalan sommando un cubo ad un sesto di ogni cubo adiacente.

 due solidi chirali sono considerati due cose diverse, se non sbaglio.
Perché no? Certo, non si può fare sempre, ma guarda, ad es.,
l'immagine (schifosa):
http://img261.imageshack.us/img261/7633/solid.th.gif
Lo stesso concetto vale, come minimo, per qualsiasi prisma a base
rettangolare e per prismi a base esagonale *abbastanza* regolari.
Ciao

 Catalan sommando un cubo ad un sesto di ogni cubo adiacente.
:o)

 Catalan sommando un cubo ad un sesto di ogni cubo adiacente.
:o)

 Catalan sommando un cubo ad un sesto di ogni cubo adiacente.
:o)


Si', hai ragione.

 Quali solidi tassellano lo spazio?
Intanto ho aggiunto al nostro google group:
http://it.groups.yahoo.com/group/enigmi
l'album foto "Tassellano lo spazio" dove possiamo mettere figure.
Ho gia' messo tre prismi, tanto per cominciare.

 Ok. Pero', adesso che li abbiamo detti, possiamo passare ad altro. :o)
Va bene. Tu hai escluso ottaedro e tetraedro staccati, per� nulla vieta
di incollare insieme un ottaedro e due tetraedri per ottenere dei solidi
nuovi, che mi pare funzionino (?).
Se incollo i tetraedri su due facce opposte, ottengo un parallelepipedo
che rientra fra i prismi. Ma negli altri due casi ottengo dei solidi
nuovi: uno ha per facce 4 rombi e 4 triangoli (se non ho contato male) e
l'altro ha per facce due trapezi, due rombi e due triangoli.


 e l'altro ha per facce due trapezi, due rombi e due triangoli.
Che funziona! :o)   Potrebbe cmq essere ancora considerato, al limite,
un prisma rombico tagliato con due piani obliqui come suggeriva GaS.
Ciao
Livio

 un prisma rombico tagliato con due piani obliqui come suggeriva GaS.
Infatti, unendone due, si ottiene ancora un parallelepipedo (vedi foto).
Anche con 3 ottaedri e 6 tetraedri non ottengo altro che un semiprisma.
Guarda l'immagine cliccando 
http://attach.mynl.it/img?id=OTEyMg
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 verifica ma, ad occhio, dovrebbe tornare.
Livio, hai modo di costruirlo per verificare, o meno, se tassella lo 
spazio?
Grazie mille,
GaS
P.S.: lo devo proprio comprare il Geomag (o, meglio, un'imitazione)

 verifica ma, ad occhio, dovrebbe tornare.
Questo solido si può costruire appiccicando 4 ottaedri e 8 tetraedri
regolari. Credo che funzioni, perché nella tassellazione
ottaedro/tetraedro i tetraedri sono il doppio degli ottaedri.
In generale, possiamo prendere dei "pezzi" della suddetta tassellazione,
che contengano tetraedri ed ottaedri nella giusta proporzione, ed i
solidi così ottenuti dovrebbero tassellare lo spazio. O almeno credo...


 spazio?
Francamente non riesco proprio a vederlo. Ne ho montati due con le
sferette, ma non vedo come collegarli per riempire lo spazio. Sorry.
Sei sicuro che stiamo parlando del tetraedro troncato, 6 facce: 3
esagoni e 3 triangoli?  Ricostruendo un vertice vengon fuori 3
pentagoni irregolari, 1 esagono e 3 triangoli. Come li collego?

che.ni...@gmail.com
 ha scritto:


Ho capito, ho capito!!!
Vien fuori un prisma continuo di sez. rombica 2x2. Ogni fianco del prisma
e' fatto come in figura e funziona!
Guarda l'immagine cliccando 
http://attach.mynl.it/img?id=OTEyMw


 e' fatto come in figura e funziona!
Puoi vedere ora la tua tassellazione nel ng google, fatta con Kalamyt.

...
Una domanda nella domanda potrebbe essere:
In quanti modi diversi possiamo suddividere un cubo in pezzi uguali e
ricongiungerli tra loro in modo da formare altri solidi che continuano
a tassellare lo spazio?
C'e' un modo curioso di tagliare in due parti uguali il cubo:
ricongiungendo 8 di queste parti si ottiene il solido archimedeo
incognito :o)
Ciao
Livio

 ...
Intanto ho scoperto che:
Michael Goldberg nel 1980 ha completato il catalogo esaustivo dei
solidi che tassellano lo spazio. Non conosco i dettagli, ma apprendo
che ci sono:
27 distinti esaedri
16 eptaedri che tassellano lo spazio in 56 modi diversi
N? ottaedri che tassellano lo spazio in almeno 49 modi diversi
40 11-edri
4  13-edri
8  14-edri
1  16-edro
2  17-edri
1  18-edro
6  icosaedri
2  21-edri
5  22-edri
2  23-edri
1  24-edro
1  26-edro
A questo punto sospendo ogni velleita' di catalogarli, salvo forse
concentrasi, come dicevo, sui poliedri a spigoli uguali, giusti per
Geomag et similia.
Quelli che hanno anche le facce regolari sono solo 5:
- il cubo
- il prisma triangolare
- il prisma esagonale
- il dodecaedro rombico di Catalan
- un archimedeo (non dico ancora quale perche' a me ha dato piacere
scoprirlo)
- uno dei 92 solidi di Johnson (idem)
A questi, per continuare la serie dei convessi con spigoli uguali,
aggiungerei:
- prismi rombici
- prismi esagonali equilateri (h=1) con un certi gradi di
irregolarita' (capire quali)
- prismi pentagonali equilateri (h=1) con due angoli consecutivi che
sommano 180°
- prismi pentagonali equilateri (h=1) tipo Cairo, cioe' con due angoli
non consecutivi che sommano 180°
- prismi pentagonali con basi come queste:
http://www.geocities.com/liviozuc/pagesp/nn0a.html
- il dodecaedro elongato:
http://mathworld.wolfram.com/images/eps-gif/ElongatedDodecahedronNet_700.gif
Per adesso non me ne vengono in mente altri. Se a voi si', fate un
fischio.
Ciao
Livio

 fischio.
Nel sito di cui sopra si parla di uno "squashed dodecahedron" di cui
però non trovo altre informazioni (ad es. se sia o meno un solido
convesso).
Ciao,
GaS

 convesso).
Neppure io. Letteralmente dovrebbe essere solo "schiacciato". In
quelle animazioni su youtube ci sono poliedri schiacciati, magari con
facce rombiche che ricordano Penrose. C'e' da pensare.
Ciao
Livio

 molto.
Ho meditato.  :o)
Sembrava che, con i lati uguali, l'unica soluzione fosse con i lati
paralleli, e invece no!
Ciao
Livio
Guarda l'immagine cliccando 
http://attach.mynl.it/img?id=OTEyNw
