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Titolo: Probabilita' 1

Questa è una variante di un problema proposto mesi fa da Silvio:
Abbiamo due giocatori A e B che estraggono alternativamente numeri fra 0 e
1 (reali).
Il primo dei due che non estrae un valore maggiore dell'ultimo estratto
dall'avversario perde.
Si calcoli la probabilità di vittoria di A e il numero medio di turni del
gioco.
Generalizzare al caso che i numeri vadano da 0 a n.
Ciao
Andrea

 Generalizzare al caso che i numeri vadano da 0 a n.
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A vince se il primo lancio non in ordine decrescente è pari:
A1) X1<X2
A2) X1>X2>X3<X4
..
An) X1>X2>..>X(2n-1)<X(2n) ecc.
B ovviamente vince se il primo lancio che supera il precedente è dispari
B1) X1>X2<X3
..
Bn) X1>X2>..>X(2n)<X(2n+1) ecc.
Prob(A1)=1/2 evidentemente, ma proviamo a calcolarlo usando gli integrali, e
considerando che X1 è completamente priva di vincoli, mentre X2 (il lancio
che fa perdere B) dev'essere maggiore di X1
          /1   /1
Prob(A1)= |  ( | dX2 ) dX1 = 1/2
          /0   /X1
ripetiamo il calcolo per B1: X2 è minore di X1 ma X3 supera X2 determinando
la vittoria di B
          /1   /X1  /1
Prob(B1)= |  ( |  ( | dX3 ) dX2 ) dX1 = 1/3
          /0   /0   /X2
continuando si trova per A la sequenza
1/2, 3/4!, 5/6!, .. , (2n-1)/n! , ..
e per B
2/3!, 4/5!, 6/7!, .. , 2n/(2n+1)! , ..
sommando i termini delle due serie si ottiene 0.6321205588 per A e
0.
3678794411
 per B
Ho il sospetto che le serie siano legate agli sviluppi di Taylor di funzioni
note, ma al momento non saprei dire quali (El Filibustero che dice?).
Per il numero di lanci devo pensarci, la generalizzazione mi pare immediata,
visto che il procedimento descritto dipende solo dalla distribuzione delle
singole estrazioni, ed il risultato non cambia se continuiamo a considerare
l'esito uniformemente distribuito tra 0 ed n anziché tra 0 ed 1. O intendevi
qualcosa di diverso?
Ciao, Silv:o)

Prob(A1)=1/2 evidentemente, ma proviamo a calcolarlo usando gli integrali, e
Non ti seguo. Perche' un mezzo, e per giunta evidentemente? 
-- 
Ci sentiamo  |  Remigio Zedda  || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio |                 ||==> E-mail: 
remi...@tiscalinet.it
-------------|      ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
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 Non ti seguo. Perche' un mezzo, e per giunta evidentemente?
Ho già detto di aver invertito il punto di vista, per cui avrei dovuto dire:
A vince se il primo lancio non in ordine CRESCENTE è pari (cioè un lancio di
B, visto che A fa il lancio X1, B l'X2, A l'X3 e così via, i dispari ad A ed
i pari a B)
A1) X2>X1
A2) X1<X2<X3, X4<X3
ecc.
Ma le cose non cambiano affatto. L'evidentemente per il caso A1) si
riferisce al fatto che, dopo che A e B hanno fatto il loro primo lancio, A
ha il 50% di probabilità di aver ottenuto un risultato superiore a B, per
simmetria. Nell'altro 50% dei casi B avrà fatto meglio di A ed il gioco
proseguirà. Con gli integrali, facendo variare X1 tra 0 ed 1 e X2 tra 0 e X1
otteniamo ancora un triangolo di area 1/2.
Spero di essermi spiegato meglio.
Silv:o)

> estratto dall'avversario perde.
Per fortuna le cose non dovrebbero cambiare di molto :)
Ciao, Silv:o)

uffa! ho cambiato
A1) X1<X2
in
A1) X2>X1
invertendo termini e verso, tanto per non sembrare tirato (adbundandis
adbundandum)
Avrei dovuto dire
A1) X1>X2
Silv:o)

 Per il numero di lanci devo pensarci,
Ma è la parte più semplice! La media dei lanci si ottiene moltiplicando il
numero dei lanci per le rispettive probabilità e poi sommando.
n   P(#lanci=n)   n*P
2    1/2!         1/0!
3    2/3!         1/1!
4    3/4!         1/2!
5    4/5!         1/3!
6    5/6!         1/4!
.
.
e la somma degli n*P vale e = 2.718281eccetera
Silv:o)

 note, ma al momento non saprei dire quali (El Filibustero che dice?).
il primo valore è 1-1/e, l'altro 1/e
Vediamo perché, anche se è un po' OT
tutti sanno che e^x = sum (x^n/n!) (n=0,1,..,oo)
quindi 1/e = e^(-1) = 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ...
= (1-1)*1/0! + (3-1)*1/3! + (5-1)*1/5! + ..
= 2/3! + 4/5! + .. + 2n/(2n+1)! + ..
che è la serie trovata per A
Ricapitolando: A ha [1-1/e] probabilità di vincere, B ne ha [1/e] e le
partite durano in media [e] mosse.
Ciao, Silv:o)

dicevo (ma interessera a qualcuno?)
.. continuando (nel calcolo degli integrali) si trova la sequenza
1/2!, 2/3!, 3/4!, 4/5! , .. , (n-1)/n! , ..
E già, ma se uno non ha mai sentito parlare di integrali?
Vediamola così: se sono passati n-1 turni, qual è la probabilità che
l'ennesimo lancio non superi il precedente? Se io entrassi in questo momento
nella stanza, e mi dicessero che sono stati estratti 3 numeri a caso,
valuterei in 3/4 la probabilità di non superarli tutti estraendo a caso,
(1/4 delle volte mi aspetto di estrarre il numero più basso, altrettante di
finire secondo o terzo, e solo 1 volta su 4 mi aspetto di estrarre il numero
più alto). Se poi mi dicono che i numeri sono stati estratti in sequenza
crescente, non è che la cosa mi dica molto, se non che il numero da battere
è quello estratto per ultimo: ma sempre 3/4 è la probabilità di non
superarlo ed 1/4 la probabilità di continuare la sequenza.
Ma la stessa cosa valeva per chi ha fatto il terzo lancio, e così via, per
cui la probabilità che la catena duri n mosse vale
1/1 * 1/2 * 1/3 * .. * 1/(n-1) * (n-1)/n = (n-1)/n!
A posteriori è semplice, ed anche a priori se si ha l'intuizione giusta e
non ci si impegola nei calcoli, ma chi è in grado di intuire che un quesito
così possa portare a somme notevoli, con interventi del signor "e" (che è
peggio di Gasparri e Pecoraro Scanio, in quanto a presenzialismo). Anche il
proponente aveva parlato di integrali, mi pare...
Ciao, Silv:o)

 Ciao, Silv:o)
Ok.
Ecco la mia soluzione:
Sia P(A|A=x) la prob. che vinca A sapendo che A ha appena fatto x.
La prob. totale di A vale:
P(A)=S P(A|A=x)*dx da 0 a 1
ma: P(A|A=x)=1-P(B|A=x)
e anche: P(A|A=x)=P(B|B=x).
E' anche vero che:
P(B|A=x)=S P(B|B=y)*dy da x a 1
sostituendo:
=>P(A|A=x)=1- S P(A|A=y)*dy da x a 1
e derivando:
P'(A|A=x)=P(A|A=x) => P(A|A=x)=K*e^x; ma P(A|A=1)=1 =>
=> K=1/e => P(A|A=x)=e^(x-1).
P(A)=S P(A|A=x)*dx da 0 a 1 =1- 1/e=63.2%
Notare che P(A)=1-P(B|B=0),
cioè come se B avesse tirato uno 0 prima del primo lancio di A.
Vediamo ora i turni:
Sia T(A|x) il numero di turni che mancano, se l'ultimo tiro è stato: A=x.
Se B fa meno di A il gioco dura solo per quel turno, altrimenti
dura altri T(B|y):
T(A|x)=S 1 dy da 0 a x + S [1+T(B|y)]*dy da x a 1
ma: T(B|y)=T(A|y)
=>T(A|x)=x + S [1+T(A|y)]*dy da x a 1
derivando: T'(A|x)=- T(A|x)
=> T(A|x)=K*e^-x; ma T(A|1)=1 => K=e =>  T(A|x)=e^(1-x)
=>Tmedio=1+ S T(A|x)dx da 0 a 1 = e
Notare che Tmedio è anche: T(B|0), cioè come se B avesse fatto 0 al lancio
zeresimo.
E se i numeri andassero da 0 a n?
(saltando passaggi analoghi)
=> P(A|A=x)=e^(x-n)
=> Pmedia(A)=1- e^-n
=> T(A|x)=e^(n-x)
=> Tmedio=e^n
Ciao
Andrea