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Titolo: L'ago, il filo e la scacchiera

Rieccomi dopo una lunga assenza, con due problemini che ho inventato
oggi: mi sembrano abbastanza interessanti.
Su una scacchiera infinita, con caselle di lato uno, gettate un ago
della lunghezza che preferite. Se le estremità dell'ago cadono su due
caselle di diverso colore, avete vinto.
Quale lunghezza scegliete per massimizzare la probabilità di vincita?
Secondo problema: uguale al precedente, ma al posto dell'ago gettate
un filo inestensibile e infinitamente flessibile.
Premetto che per il primo problema (ago) ho solo una soluzione
approssimata, brute force. Per il secondo (filo) per il momento
nemmeno quella. Quindi continuo a provarci anch'io.
Ciao
Paolo

 Quale lunghezza scegliete per massimizzare la probabilità di vincita?
Radice quadrata di 2?
Max

 un filo inestensibile e infinitamente flessibile.
Mmmm... siamo sicuri che in queste situazioni la probabilità di
successo sia esprimibile come funzione della lunghezza? Così a naso mi
sa di no, a parte casi limite tipo l=0...
bye!

bye!
Direi di si, anche se non riesco a trovare una formula semplice.
Con la brute force ho trovato, salvo errori, qualcosa del genere [vedi
immagine].
 
http://img211.imageshack.us/img211/3345/agoscacchieralj1.jpg
 
Il grafico appare molto frastagliato localmente, forse a causa
dell'approssimazione che ho usato, ma in grande sembra presentare un
andamento a oscillazioni smorzate, con il primo massimo, che è anche
il massimo assoluto, di circa 0.64 in corrispondenza della lunghezza
uno.
Sembra che al crescere della lunghezza la probabilità tenda a
stabilizzarsi attorno al valore 0.5.
Qualcuno riesce a esprimere queste oscillazioni con una formula? Io
no. :-)
ciao
Paolo

 no. :-)
Sarei sorpreso se una formula semplice esistesse. Io non ho fatto
simulazioni per il momento, perņ a naso mi sarei aspettato un massimo
per un valore leggermente maggiore di 1, dal tuo grafico non si capisce
bene.
Maurizio


vedo solo un ranocchio giallo :^(
bye!

 uno.
Non l'ho affrontato in dettaglio ma questa probabilità sembra molto
simile a 2/Pi=0,6366+
Puoi dare un valore più preciso che ti viene dalla simulazione?
Ciao,
GaS

 Puoi dare un valore più preciso che ti viene dalla simulazione?
Mmmm...  io quando vedo valori vicino a 2/3 penso a 1-1/e =


Ciao Paolo, ciao a tutti
Ho affronato il problema con derive e ho trovato un grafico molto vicino al 
tuo.
Descrivo il mio approccio.
L'ago può avere l'origine in un punto qualsiasi di un quadrato unitario 
bianco.
Fissato un angolo e una lunghezza, la punta dell'ago dovrà cadere per forza 
di cose in una regione quadrata unitaria, che rappresenta il quadrato di 
partenza traslato del vettore v che rappresenta l'ago.
Sarà un quadrato fatto così:
#######| ' ' ' ' ' '
#######|           '
#######|_ _ _ _ _ _'
'     P|############
'      |############
'      |############
'      |############
'      |############
'      |############
. . . .|############
V
Il vertice V in basso a sinistra ha coordinate Vx=l*cos(a) e Vy=l*sin(a). Il 
quadrato deve per forza contenere un vertice della scacchiera, P 
nell'esempio.
Ho provato a scrivere diversi tentativi di spiegazione, ma mi sono 
incartato. Vengo alla formula, che faccio prima.
Di sicuro la capite.
Definiamo la funzione [] che calcola la distanza da un punto al più vicino 
numero pari. Per esempio [2.8]= 0.8
Serve per capire qual è il più vicino bordo bianco->nero. Un punto di 
ascissa 2.8 ha alla sua destra 0.8 cm di bianco e 0.2 di nero (non 
necessariamente in quest'ordine!).
Per farla breve l'area del bianco è [Vx][Vy]+(1-[Vx])(1-[Vy])
[x] l'ho definita come |round(x/2)*2-x|
Fissando la lunghezza, e integrando su a da 0 a 2pi, trovo la probabilità 
richiesta.
Non ho provato a vedere se derive riesce a "derivare" questa funzione 
integrale. Ho solo plottato la funzione per valori di l da 0 a 6, ed il 
grafico è molto simile a quello di Paolo.
Più tardi ci lavoro un po' per vedere se si riesce a trovare qualche formula 
più elementare
-- 
Ciao, Silv:o)



Non si tratta di una vera simulazione: ho proceduto in questo modo:
Sia P1 l'estremo dell'ago che cade *più in basso* sulla scacchiera, P2
l'altro estremo.
Ho considerato un sistema di coordinate x,y, con origine nel punto in
basso a sinistra della casella in cui si trova P1,
Ovviamente le coordinate di P1 avranno valori compresi tra zero e 1.
Ho suddiviso la casella con una griglia di 10*10 (o 9*9, o 20*20)
caselline, e considerato le 100 (o 81 o 400) posizioni di P1 al centro
di ciascuna casellina.
Il segmento P1-P2 potrà avere, rispetto all'asse x, inclinazione
compresa tra zero e 180 gradi.
Ho considerato 100 possibili valori dell'angolo, a partire da 0.9 con
incrementi di 1.8, fino a 89.1.
Per ciascuna delle posizioni di P1 e per ciascuna inclinazione, ho
calcolato le coordinate di P2
x2=x1+l*cos(alfa)
y2=y1+l*sin(alfa)
Considero la parte intera di x2 e y2, se sono entrambe pari o entrambe
dispari, perdo, se sono una pari e una dispari, vinco.
Ripeto il tutto per diversi valori della lunghezza l.
Per lunghezza=1, su 10000 casi, 6432 successi (p=0.6425), su 8100
casi, 5204 successi (p=0.6424+), su 40000casi, 25536 successi (p=
0.6384)
Penso che le differenze dipendano dalla griglia prescelta. Purtroppo
non posso calcolare una griglia più fitta. Non dispongo per il momento
di strumenti di programmazione, e ho dovuto fare tutto a mano (vabbè,
ho usato Excel :).
Ciao
 Paolo

On Fri, 29 Feb 2008 10:41:03 -0800 (PST), 
che.ni...@gmail.com
wrote:

io invece, trattandosi di scacchiera, penso proprio a 64 :-)

 simile a 2/Pi=0,6366+
2 cents vinti.
Almeno così dice derive
-- 
Ciao, Silv:o)

 Almeno così dice derive
Infatti in caso di l=1 la probabilità che la punta dell'ago caschi in una 
regione baianca (l'origine è sul bianco), per un angolo fissato a vale 
semplicemente
sin(a)cos(a)-(1-sin(a))(1-cos(a))
che si integra facilmente. L'integrale vale
cos(a) + sin^2(a) - sin(a) + a
quindi se calcoliamo l'integrale tra 0 e pi/4 (per simmetria basta) e 
dividiamo per pi/4 otteniamo 1-2/pi
A noi interessa la probabilità contraria, che vale proprio 2/pi.
-- 
Ciao, Silv:o)

 richiesta.
Elementare Watson, elementare.
Mi fa un'invidia come sia trattare le probabilita', Silvio!
Ciao!!!  :o)ù
Livio

 un filo inestensibile e infinitamente flessibile.
Se capisco cosa vuoi dire questo filo dovrebbe essere il limite per N che 
tende a infinito di una spezzata composta da segmentini lunghi L/N (generata 
casualmente). E' questo che intendi? 


wrote:

Pensavo di semplificare il problema in questo modo: in un filo di
lunghezza L, la distanza tra gli estremi può assumere qualsiasi valore
tra zero ed lL; per semplificare considererei che i valori siano
equiprobabili.