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Titolo: Sfera

La superficie ed il volume di una certa sfera, sono uguali a Pi greco volte 
un numero di 4 cifre. Quanto vale il raggio ?

volte un numero di 4 cifre. Quanto vale il raggio ?
spoiler
18 sembra l'unico:-) Brute force!
-- 
Ci sentiamo, |  Remigio Zedda  || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio |                 ||  ==>   E-mail: 
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-------------|     ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
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 ha scritto nel messaggio
news:ahu6mj$nja$1...@lacerta.tiscalinet.it...
| On Sat, 27 Jul 2002 10:52:01 GMT, Dario Uri wrote:
|
| >La superficie ed il volume di una certa sfera, sono uguali a Pi greco
| >volte un numero di 4 cifre. Quanto vale il raggio ?
 18 sembra l'unico:-) Brute force!
Sembra l'unico in base 10.
La domanda non specificava la base in cui esprimere il raggio.
Io dico che ne esistono di infiniti
VP

 Io dico che ne esistono di infiniti
E io dico di no :-)
Nicola Salmoria

Io dico che ne esistono di infiniti
Uhm.. mi sa piuttosto che il diabolico Dario c'ha messo di mezzo
le frazioni.. era troppo banale cosi`.


 E io dico di no :-)
Dato che il volume della sfera e' 4/3 Pi r^3, r deve essere un multiplo 
di 3, sia r = 3n. Dunque
S = 4 *Pi (3n)^2 = 36 Pi n^2
V = 4/3 Pi (3n)^3 = 36 Pi n^3
se lavoriamo in base B, perch' entrambi si rappresentino con 4 cifre 
deve essere
36 n^2 >= B^3
36 n^3 < B^4
da cui
n >= B^(3/2) / 6
n <  B^(4/3) / 6^(2/3)
L'esponente di B nella prima disequazione e' maggiore che nella seconda, 
per cui asintoticamente il limite inferiore cresce piu' rapidamente di 
quello superiore; quindi le soluzioni sono finite. Le due curve si 
incontrano in B=0 e B=36, quindi le soluzioni si trovano comprese tra 
questi due estremi.
Queste di seguito sono dunque tutte le 38 soluzioni, al variare della 
base (nell'ordine: raggio, superficie e volume).
base  3:  3=[1,0]  ([1,1,0,0],   [1,1,0,0])
base  5:  6=[1,1]  ([1,0,3,4],   [2,1,2,3])
base  6:  9=[1,3]  ([1,3,0,0],   [4,3,0,0])
base  7: 12=[1,5]  ([1,4,5,2],   [6,5,0,1])
base  8: 12=[1,4]  ([1,1,0,0],   [4,4,0,0])
base  9: 15=[1,6]  ([1,2,1,0],   [6,1,5,0])
base 10: 18=[1,8]  ([1,2,9,6],   [7,7,7,6])
base 11: 21=[1,10] ([1,3,6,4],   [9,3,0,6])
base 12: 21=[1,9]  ([1,0,3,0],   [7,1,9,0])
base 12: 24=[2,0]  ([1,4,0,0],   [10,8,0,0])
base 13: 24=[1,11] ([1,0,8,3],   [8,5,0,11])
base 13: 27=[2,1]  ([1,4,3,4],   [11,12,3,10])
base 14: 27=[1,13] ([1,0,12,4],  [9,7,12,8])
base 14: 30=[2,2]  ([1,4,5,2],   [13,1,9,6])
base 15: 30=[2,0]  ([1,1,0,0],   [10,10,0,0])
base 15: 33=[2,3]  ([1,4,5,6],   [14,2,14,6])
base 16; 33=[2,1]  ([1,1,0,4],   [11,11,2,12])
base 16: 36=[2,4]  ([1,4,4,0],   [15,3,0,0])
base 17: 36=[2,2]  ([1,0,15,16], [12,11,4,5])
base 17: 39=[2,5]  ([1,4,0,15],  [16,1,11,8])
base 18: 39=[2,3]  ([1,0,14,0],  [13,10,2,0])
base 18: 42=[2,6]  ([1,3,14,0],  [16,16,16,0])
base 19: 42=[2,4]  ([1,0,10,7],  [14,7,12,3])
base 19: 45=[2,7]  ([1,3,8,6],   [17,13,10,14])
base 20: 45=[2,5]  ([1,0,5,0],   [15,3,15,0])
base 20: 48=[2,8]  ([1,3,0,16],  [18,8,12,16])
base 21: 51=[2,9]  ([1,2,12,9],  [19,2,1,6])
base 22: 54=[2,10] ([1,2,2,4],   [19,15,17,6])
base 23: 57=[2,11] ([1,1,13,1],  [20,6,17,19])
base 24: 60=[2,12] ([1,1,0,0],   [20,20,0,0])
base 25: 63=[2,13] ([1,0,10,1],  [21,8,10,21])
base 25: 66=[2,16] ([1,2,21,24], [24,13,8,3])
base 26: 69=[2,17] ([1,2,4,12],  [24,23,24,16])
base 27: 72=[2,18] ([1,1,12,0],  [25,7,18,0])
base 28: 75=[2,19] ([1,0,19,16], [25,17,13,8])
base 30: 84=[2,24] ([1,1,10,24], [29,8,2,12])
base 31: 87=[2,25] ([1,0,15,20], [29,14,19,22])
base 33: 96=[2,30] ([1,0,28,3],  [32,27,7,30])
Osservazioni:
- non ci sono soluzioni in base 4, 32, 34 e 35
- per alcune basi comprese tra 12 e 25 ci sono due soluzioni
- salta agli occhi questa serie:
base  3:  3=[1,0]  ([1,1,0,0],   [1,1,0,0])
base  8: 12=[1,4]  ([1,1,0,0],   [4,4,0,0])
base 15: 30=[2,0]  ([1,1,0,0],   [10,10,0,0])
base 24: 60=[2,12] ([1,1,0,0],   [20,20,0,0])
in questi casi:
B = b^2-1
r = bB/2
S = [1,1,0,0] Pi
V = [bB/6, bB/6, 0, 0] Pi
- c'e' anche questa ma e' molto breve:
base  6:  9=[1,3]  ([1,3,0,0],   [4,3,0,0])
base 12: 24=[2,0]  ([1,4,0,0],   [10,8,0,0])
B = b(b-1)
r = bB/2
S = [1,b,0,0] Pi
V = [(b+1)B/6, bB/6, 0, 0] Pi
Nicola Salmoria