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Titolo: Quattro numeri

Cerco quattro interi distinti, tali che la somma di qualsiasi tre dia
sempre un quadrato.
In altri termini A,B,C,D soddisfano:
A+B+C = x^2
A+B+D = y^2
A+C+D = z^2
B+C+D = W^2
Quante sol. possiamo trovare ?
E se aggiungiamo l'ulteriore condizione A+B+C+D = q^2 ?
:) dario


Infinite: 10^2n A, 10^2n B, 10^2n C, 10^2n D e'
ancora una soluzione.....


Diciamo che se ce ne e' una, allora sono infinite.....
E comunque la base 10 non e' l'unica.
sandro.san

 E comunque la base 10 non e' l'unica.
Volevo giusto osservare quello che ti sei gia' osservato da solo.
Aggiungo solo che per 101>D>C>B>A non trovo soluzioni.
Stanotte provero' numeri piu' grandi.
Ciao  :o)
Livio
Sent via Deja.com
http://www.deja.com/

"Dario Uri" <Da...@Uriland.it> wrote in message
news:3A756EBA...@Uriland.it...

Semi-Semi-Semi-Spoiler
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Se si accettano soluzioni negative quella con i moduli piu bassi e' dato da
-6,1,6,9 che pero' non soddisfa l'ulteriore condizione A+B+C+D = q^2.
Quella indicata e' l'unica soluzione per i primi quattro quadrati
(1,4,9,16).
In generale si deve avere
A=(X^2+Y^2+Z^2-2*W^2)/3   1)
B=A+W^2-Z^2               2)
C=A+W^2-Y^2               3)
D=A+W^2-X^2               4)
basta cioe' trovare dei quadrati per cui sia verificata la 1)[naturalmente
intendo che A ammetta soluzioni intere] per avere soluzioni.
Per esempio la quaterna (4,9,16,25) ammette la soluzione A=-7.
GaS

"GaS" (che poi sarei io) ha scritto

Non so perche' ma mi sono fissato di analizzare solo quartine consecutive di
quadrati. Cosi' dopo le ulteriori soluzioni negative
(-7,14,9,2)
(-7,26,17,8)
(-6,33,22,9)
(-2,49,34,17)
ecco apparire, finalmente, la prima soluzione con tutti numeri positivi:
(1,58,41,22).
E poi la seconda (9,57,34,78) e a seguire (credo, non me la sento di fare
ancora calcoli, ho consumato una matita :-).
E' interessante notare come non tutte le quartine consecutive diano
soluzioni, mancano all'appello tutte e sole quelle in cui il primo numero e'
il quadrato di un numero multiplo di 3; quindi danno una soluzione due
quartine ogni 3. Per spiegarmi meglio le quartine a cuio fanno riferimento
le mie soluzioni sono riferite alle quartine:
1,4,9,16
4,9,16,25
[9,16,25,36 NO]
16,25,36,49
25,36,49,64
[36,49,64,81 NO]
49,64,81,100
64,81,100,121
[81,100,121,144 NO]
100,121,144,169
...............
[....... NO]
.............
Notiamo che finora nessuna delle soluzioni ha pure la seconda proprieta'.
GaS

 E se aggiungiamo l'ulteriore condizione A+B+C+D = q^2 ?
Aggiungendo questa condizione le cose si fanno più interessanti.
Sarà
A = q^2-x^2
B = q^2-y^2
C = q^2-z^2
D = q^2-w^2
e quindi
A+B+C+D = q^2 = 4q^2 - (x^2+^2+z^2+w^2) ovvero
q^2 =  1/3(x^2+y^2+z*2+w^2)
brute-force, ho impostato una ricerca con x<y<z<w ed il minimo risultato
con q intero e maggiore di w (altrimenti qualcuno dei numeri A,B,C,D non è
positivo) è stato:
x   y   z   w   q
21  29  31  32  33    ovvero
A    B    C    D
648  248  128  65
e poi molti altri.
Silv:o)

 Stanotte provero' numeri piu' grandi.
Solo per il primo problema ho trovato (brute force)
A, B, C, D = 1, 22, 41, 58
da cui
x, y, z, w = 8, 9, 10, 11
non è verificato A+B+C+D = q^2
noto che le differenze
B-A, C-B, D-C valgono rispettivamente 21, 19, 17
progressione aritmetica di ragione -2
vorrà dire qualcosa?
ciao
paolo

 > Per esempio la quaterna (4,9,16,25) ammette la soluzione A=-7.

Ed ecco la dimostrazione:
Penso che sia noto che dato un quadrato X^2 ed il successivo Y^2=X^2+k il
successivo e' dato da Z^2=Y^2+(k+2) e quello ancora dopo da
W^2=Z^2+[(k+2)+2].
Presi quindi 4 quadrati consecutivi la condizione 1) diventa[con semplici
sostituzioni]:
A=(X^2+Y^2+Z^2-2*W^2)/3=(X^2-3k-10)/3=-k+(X^2-10)/3
Vediamo che A ammette soluzioni intere solo se X^2-10 e' divisibile per tre.
Se X=3n allora (X^2-10)/3=3n^2-10/3 cioe' A non ammette sol. intere.
Dimostriamo ora che per ogni altra X A ammette sol.intere:
Se X=1 (mod.3) possiamo scrivere X^2=(3n+1)^2=9n^2+3n+1 e si ha
 A=-k+3n^2+n-3
Se X=2 (mod.3) possiamo scrivere X^2=(3n+2)^2=9n^2+6n+4 e si ha
 A=-k+3n^2+2n-2
GaS

 wrote in message
news:h3jd6.32195$Up.2...@twister1.tin.it...

Solo per curiosita': ma i miei tre post vi appaiono?
GaS

 Solo per curiosita': ma i miei tre post vi appaiono?
NO. Me ne appaiono 4, compreso l'ultimo.
:-)
Li ho scaricati solo dopo aver inviato la mia soluzione, e ho visto che
avevi già trovato anche quel risulato.
ciao
paolo

In article <3A756EBA...@Uriland.it>,

Finalmente mi son venute due soluzioni complete:
(brute force)
 120 177 232 432
 136 264 384 441



Che sono le uniche due con 500>=D>C>B>A
Quelle normali sono:
 1 22 41 58
 1 32 88 136
 1 34 65 190
 1 42 153 246
 1 44 124 316
 1 52 236 388
 1 54 201 474
 1 97 226 302
 1 217 266 358
 2 37 130 157
 2 41 78 281
 2 47 207 275
 2 51 143 431
 2 57 302 425
 2 125 162 197
 2 126 401 497
 3 34 63 159
 3 79 114 207
 3 99 187 339
 3 103 150 423
 4 41 76 244
 4 49 172 308
 4 68 97 124
 4 88 164 232
 4 108 249 372
 4 236 289 436
 5 34 61 130
 5 54 230 341
 6 39 99 151
 6 41 74 209
 6 49 201 234
 6 90 129 265
 6 153 241 282
 7 34 59 103
 7 99 183 294
 7 215 262 307
 8 41 72 176
 8 57 104 464
 8 88 160 193
 8 128 393 440
 9 34 57 78
 9 46 114 201
 9 56 224 296
 9 60 156 460
 9 66 366 409
 9 138 177 214
 9 168 264 352
 10 41 70 145
 10 53 133 298
 10 57 102 417
 10 234 285 381
 11 58 187 331
 11 99 179 251
 11 119 311 354
 11 123 227 491
 11 170 219 395
 12 41 68 116
 12 57 100 372
 12 65 212 452
 12 153 196 276
 13 58 218 253
 13 70 278 493
 13 101 142 286
 14 41 66 89
 14 53 158 189
 14 57 98 329
 14 114 161 401
 14 329 386 441
 15 66 115 495
 15 70 315 399
 15 99 175 210
 15 123 223 438
 15 198 363 463
 16 57 96 288
 16 88 121 152
 16 232 281 328
 16 272 388 496
 17 62 146 321
 17 66 113 446
 17 72 272 440
 17 121 262 346
 18 55 123 183
 18 57 94 249
 18 77 389 434
 18 183 283 375
 18 213 445 498
 19 66 111 399
 19 123 219 387
 19 127 178 479
 20 57 92 212
 20 132 332 377
 20 185 236 420
 21 62 173 206
 21 66 109 354
 21 74 266 389
 21 198 357 406
 22 57 90 177
 22 69 198 309
 22 71 163 391
 23 66 107 311
 23 99 134 167
 23 123 215 338
 24 57 88 144
 24 81 336 424
 24 112 153 264
 24 136 240 465
 24 272 329 488
 25 64 136 200
 25 66 105 270
 25 76 260 340
 25 166 209 250
 25 350 409 466
 26 57 86 113
 26 83 291 467
 26 134 281 369
 27 66 103 231
 27 78 219 379
 27 123 211 291
 28 136 236 412
 28 156 441 492
 29 66 101 194
 29 78 254 293
 29 125 170 330
 30 73 153 258
 30 85 285 414
 30 270 325 429
 31 66 99 159
 31 123 207 246
 31 147 306 447
 32 136 232 361
 33 66 97 126
 33 82 174 369
 33 198 298 345
 34 87 279 363
 34 181 226 269
 35 86 135 455
 36 89 236 404
 36 136 228 312
 36 268 321 372
 37 82 205 242
 37 86 133 406
 38 89 273 314
 38 101 437 486
 38 138 185 353
 38 215 323 423
 39 86 131 359
 39 123 162 199
 39 198 247 339
 40 136 224 265
 40 160 376 425
 40 217 272 472
 41 84 164 236
 41 86 129 314
 41 153 206 482
 41 289 346 454
 42 93 189 394
 43 86 127 271
 44 97 148 484
 44 105 380 476
 45 86 125 230
 46 93 222 261
 46 97 146 433
 46 162 321 417
 47 86 123 191
 47 287 342 395
 48 97 144 384
 48 136 177 216
 48 164 272 464
 49 86 121 154
 49 102 249 378
 49 104 208 472
 49 232 344 448
 50 95 179 255
 50 97 142 337
 50 109 325 466
 51 151 198 327
 51 175 399 450
 51 234 291 499
 52 97 140 292
 52 164 268 409
 54 97 138 249
 54 111 319 411
 54 213 262 309
 54 249 426 481
 56 97 136 208
 56 113 272 456
 56 164 264 356
 57 106 198 321
 57 177 342 442
 58 97 134 169
 58 113 313 358
 58 166 217 401
 59 179 291 491
 60 164 260 305
 61 122 346 493
 62 117 221 446
 63 179 287 434
 65 124 340 436
 65 230 281 330
 66 117 258 301
 66 121 174 489
 66 249 361 414
 67 126 291 483
 67 179 283 379
 68 121 172 436
 68 164 209 252
 69 126 334 381
 69 181 234 426
 70 119 211 295
 70 121 170 385
 71 179 279 326
 71 327 386 443
 72 121 168 336
 72 249 304 408
 73 130 238 473
 73 268 388 500
 74 121 166 289
 76 121 164 244
 77 130 277 322
 78 121 162 201
 79 134 187 463
 79 179 226 271
 81 132 228 316
 81 134 185 410
 81 209 386 494
 82 141 306 453
 83 134 183 359
 84 196 249 396
 84 348 409 468
 85 134 181 310
 87 134 179 263
 87 211 327 486
 89 134 177 218
 89 152 384 488
 89 266 321 374
 90 145 249 390
 91 211 323 427
 93 154 378 429
 93 213 270 478
 95 211 319 370
 101 158 317 366
 102 285 342 397
 103 211 262 311
 104 228 344 452
 105 160 264 360
 105 162 217 462
 105 306 430 489
 106 169 401 454
 107 162 215 407
 108 228 340 393
 109 162 213 354
 111 162 211 303
 111 306 367 483
 113 162 209 254
 114 173 338 389
 116 228 281 332
 118 175 283 383
 118 177 234 489
 120 177 232 432*
 122 177 230 377
 123 247 306 471
 124 177 228 324
 126 177 226 273
 129 190 306 465
 130 325 386 445
 136 264 384 441*
 142 205 382 437
 144 264 321 376
 145 346 409 470
 146 207 323 431
 148 209 268 484
 150 209 266 425
 151 283 407 466
 152 209 264 368
 154 209 262 313
 157 222 405 462
 159 283 342 399
 161 224 344 456
 165 226 285 450
 167 226 283 391
 169 226 281 334
 191 323 386 447
 199 262 323 439
 201 262 321 378
 208 344 409 472
 216 281 344 464
 218 281 342 401
 254 321 386 449
 273 342 409 474


 Notiamo che finora nessuna delle soluzioni ha pure la seconda
proprieta'.
cioè A+B+C+D=q^2
Vediamo perché non succederà mai.
Ho già notato che le condizioni richieste equivalgono a
x^2+y^2+z^2+w^2 = 3q^2
Con x,y,z,w consecutivi si avrebbe
4x^2+12x+14 = 3q^2
4(x-1)(x+2)+6 = 3q^2      (1)
Se l'analizziamo mod 8 notiamo che il primo membro da sempre 6, mentre è
noto che q^2={0,1,4} in modulo 8, per cui 3q^2={0,3,4} mod 8. Ma allora
l'eguaglianza (1) è impossibile
Ciao, Silv:o)

 B+C+D = w = x+3
ovvimante mancano i quadrati, ed ovviamente me ne sono accorto appena
riletto (rileggerlo PRIMA di mandare, no, eh?). Poco grave stavolta, che
si capiva conoscendo il problema, ma vedrň di mettere un delay di 5 minuti
al tasto "Invia".
A+B+C = x^2
A+B+D = y^2 = (x+1)^2
A+C+D = z^2 = (x+2)^2
B+C+D = w^2 = (x+3)^2
Silv:o)

 4(x-1)(x+2)+6 = 3q^2      (1)
L'espressione giusta è
4(x+1)(x+2)+6 = 3q^2      (1)
che è valida a prescindere dalla seconda condizione, ovvero a prescindere
dal fatto che q^2 sia un quadrato perfetto.
Allora, analizzandola modulo 3, si può ricavare facilmente quello che GaS
ha già ricavato, ovvero che x non può essere multiplo di 3.
Silv:o)

>Quattro numeri di Dario Uri
E sotto quota mille ci sono solo 5 soluzioni complete:
 65 128 248 648
 73 144 408 744
 89 344 656 936
 120 177 232 432
 136 264 384 441
Ciao  :o)
Livio


  136 264 384 441
Con x<y<z<w<100 ci sono 163 soluzioni.
Livio, ma mica starai provando *tutti* gli A,B,C,D controllando che
togliendone uno alla volta le somma siano quadrati, spero. Anche la forza
bruta va domata. Impostando la ricerca su x,y,w,z ti basta controllare che
x^2+y^2+w^2+z^2 sia il triplo di un qudrato ed il gioco č fatto. In pochi
minuti trovi migliaia di soluzioni.
Silv:o)