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Titolo: Gino e Gina - Ai confini della telepatia.

Da un mazzo di carte, la Gina ne estrae 14 (dall'1 al 7 di
cuori e dall'1 al 7 di quadri).
Porge questo mazzetto ad uno spettatore, il quale preleva
5 carte a sua scelta e poi le mostra alla Gina.
La Gina pensa intensamente e poi dice a voce alta un numero.
Il Gino non ha altra informazione che l'ascolto di questo
numero, che, per di più, deve essere compreso fra 1 e 10.
Il Gino riflette e poi dice una dopo l'altra 5 carte (fra le
14 iniziali); ebbene, si può scommettere che indovinerà con
certezza matematica almeno 3 delle 5 carte scelte dallo
spettatore.
Com' è possibile?
Ciao, Nino
---------------------------
Con 14 carte, le cinquine possibili sono 2002.
Dicendo una cinquina a caso, si ha:
Carte indovinate:        0       1       2       3       4       5
Cinquine favorevoli:    126     630     840     360      45      1
Probabilità:           0,0629  0,3147  0,4196  0,1798  0,0225  0,0005
Punteggio medio realizzabile:  1,7857
Se il numero trasmesso corrisponde ad una carta e si dice poi
una quartina a caso fra le 715 possibili:
Carte indovinate:        0        1        2        3        4
Cinquine favorevoli:    126      336      216       36       1
Probabilità:           0,1762  0,4699   0,3021   0,05035   0,01399
Punteggio medio realizzabile:  1+1,230769 = 2,230769

 Com' è possibile?
Si dovrebbe sviluppare qualcosa come un sistema ridotto
Il guaio è che non so come si fa :-)
Provo allora con un approcio più semplice:
[spoiler]
v
v
v
v
v
v
Tra le cinque carte estratte ce ne sono sicuramente almeno tre dello 
stesso seme (cuori o quadri)
Se ci sono almeno tre cuori, Gina dichiara un numero tra 1 e 5, in caso 
contrario tra 6 e 10.
Consideriamo il caso di almeno tre cuori (l'altro è simmetrico).
Se ci sono almeno due cuori compresi tra 1 e 4, Gina dichiara 1, 2, o 3, 
e Gino dichiara rispettivamente 1,2,3,4,5, o 1,2,3,4,6, o 1,2,3,4,7 
cuori, se la terza carta di cuori è 5, 6, o 7.
Se la terza carta di cuori è ancora compresa tra 1 e 4, tutti e tre i 
casi di cui sopra vanno bene.
Se non ci sono almeno due cuori compresi tra 1 e 4, ce ne saranno 
necessariamente almeno due compresi tra 5 e 7.
Allora Gina dichiara 4 o 5, e Gino dichiara 1,2,5,6,7 o 3,4,5,6,7 cuori, 
se la terza cuori è 1 o 2, oppure 3 o 4.
Se la terza cuori è ancora compresa tra 5 e 7, entrambi i due casi di 
cui sopra vanno bene.
ciao
paolo


[cut]
Tutto perfetto (anche se non era difficilissimo, e si prestava a soluzioni
con colonne diverse (sempre però e solo 5+5),  pensavo durasse di più.
Proverò magari con un numero un po' maggiore di combinazioni...)
Ciao, Nino 

 Proverò magari con un numero un po' maggiore di combinazioni...)
Ultimo esempio di questo tipo:
Stavolta, da un mazzo di 40 carte ne togliamo 9 di picche (lasciamo l'asso).
Le 31 carte vengono consegnate al solito spettatore, che ne sceglie 2
e le mostra alla Gina.
La Gina riflette e poi dice un numero compreso fra 1 e 31.
Il Gino ha a disposizione 6 tentativi, può dire cioè un massimo di
6 carte, fra le quali indovinerà sempre le 2 carte scelte dallo spettatore.
(Qui non c'è ridondanza, le coppie di carte possibili sono 465...)
Ciao, Nino

 spettatore.
Supponiamo di numerare le carte da  01 a 31. Costruisco una matrice 6*5 
con i primi 30 numeri:
01_06_11_16_21_26
02_07_12_17_22_27
03_08_13_18_23_28
04_09_14_19_24_29
05_10_15_20_25_30
Le prime sei combinazioni le ottengo abbinando il 31 a ciascuna delle 
sei colonne.
In questo modo ho considerato tutte le coppie che comprendono il 31, e 
tutte le coppie con due numeri nella stessa colonna.
Ho ancora a disposizione 25 combinazioni, tutte con due numeri in 
colonne diverse.
Ora metto da parte l'ultima colonna ed ho una matrice 5*5, con i primi 
25 numeri.
Abbino il 26 a ciascuna riga.
01_06_11_16_21
02_07_12_17_22
03_08_13_18_23
04_09_14_19_24
05_10_15_20_25
Ricopio la matrice 5*5, e faccio ruotare verso il basso la seconda 
colonna di una posizione, la terza di due posizioni, la quarta di tre 
posizioni e la quinta di quattro posizioni.
Abbino il 27 a ciascuna riga della nuova matrice.
Ripeto la procedura altre tre volte, sempre partendo dall'ultima matrice 
5*5 ottenuta, e abbino ale cinque righe di ciascuna nuova matrice 
rispettivamente il 28, il 29 e il 30.
In conclusione, la tabella che segue mi da la corrispondenza tra i 
numeri dichiarati da Gina e le carte dichiarate da Gino.
01 # 31_01_02_03_04_05
02 # 31_06_07_08_09_10
03 # 31_11_12_13_14_15
04 # 31_16_17_18_19_20
05 # 31_21_22_23_24_25
06 # 31_26_27_28_29_30
07 # 01_06_11_16_21_26
08 # 02_07_12_17_22_26
09 # 03_08_13_18_23_26
10 # 04_09_14_19_24_26
11 # 05_10_15_20_25_26
12 # 01_10_14_18_22_27
13 # 02_06_15_19_23_27
14 # 03_07_11_20_24_27
15 # 04_08_12_16_25_27
16 # 05_09_13_17_21_27
17 # 01_09_12_20_23_28
18 # 02_10_13_16_24_28
19 # 03_06_14_17_25_28
20 # 04_07_15_18_21_28
21 # 05_08_11_19_22_28
22 # 01_08_15_17_24_29
23 # 02_09_11_18_25_29
24 # 03_10_12_19_21_29
25 # 04_06_13_20_22_29
26 # 05_07_14_16_23_29
27 # 01_07_13_19_25_30
28 # 02_08_14_20_21_30
29 # 03_09_15_16_22_30
30 # 04_10_11_17_23_30
31 # 05_06_12_18_24_30
Facile a dirsi (per modo di dire), ma i Gini dovrebbero avere le tabelle 
a disposizione, oppure un memoria di ferro.
Non so se ci sia un modo più semplice.
ciao
paolo

 04 # 31_16_17_18_19_20
[cut]
Bravissimo!!!
Questo non era facile.
In sistemistica, raggruppamenti simili si definiscono ortogonali,
sono possibili solo in pochissimi casi e vengono applicati in
giochi come il lotto.
Del quale ora puoi ritenerti legittimamente un sistemista esperto!
Ciao, Nino 

 primo.
Guardo con calma, ma č una regola?
D'acchito conosco 10 numeri a garanzia del terno
in 30 quaterne.
Ciao, Nino 

 Paolo !! non ti ricordi piu' dei nostri RCP??
Ehi, Dario, i famosi RCP!
Certo che li ricordo, anzi avevo una vaga idea di usarli anche per 
questo problema.
Solo che ... sarei dovuto tornare a ripassare il loro funzionamento :-)
ciao
paolo 

 Del quale ora puoi ritenerti legittimamente un sistemista esperto!
Sono possibili quando il numero di elementi e' primo o potenza di un primo.
In combinatoria, si chiamano BIBD (Balanced Incomplete Block Design).
Sono generalmente indicati con BIBD(v,b,r,k,t) dove:
v = Numero degli elementi presenti
b = Numero di blocks (righe)
r = Numero di volte che un elemento appare
k = Elementi in un block
t = Numero di volte che ciascun elemento e' presente con ciascun 
           altro in uno stesso block.
In questo caso cerchiamo il BIBD(31,31,6,6,1)
Paolo !! non ti ricordi piu' dei nostri RCP??
Uno dei tanti modi per ottenerlo, difatti e' la rotazione di un disco 
con distanze: 1,5,11,24,25,27 (ci sono altre 4 possibili combinazioni).
Quando v=b e' chiamato SIMMETRICO, in questo caso due blocks qualunque 
hanno in comune esattamente t elementi.
Molti oggetti come;  Quadrati latini, Bibd, Grafi in Geometria 
Proiettiva e altra roba simile sono imparentati fra loro, ci sono cosi' 
molte strade per ottenere i suddetti raggruppamenti.

 In questo caso cerchiamo il BIBD(31,31,6,6,1)
Questo modo (probabilmente standard) di indicare questi raggruppamenti,
a me non pare intuitivo, nč chiarissimo. Ricordo di aver visto e mi
piace di piů        (v,k,t,m=b)
dove:  v  k  b   definiscono (come dici anche tu), rispettivamente il
numero di elementi (numeri, carte, ecc.), gli elementi in una riga (es.
sestine, ecc.) e il numero totale delle righe del sistema.
Ma  t  indica  il punteggio minimo garantito (es. terno, ecc.) e
m  indica il numero di presenze in v elementi, che sono anch'esse
informazioni fondamentali, mentre il tuo r non mi dice nulla.
Nel caso relativo al problema precedente sarebbe quindi:  (31,6,2,2=31)
Con il medesimo modo di rappresentazione:
(10,4,3,3=30)    (14,4,3,3=91)     (15,3,2,2=35)    (21,3,2,2=70)
(22,6,3,3=77)    (26,6,3,3=130)
sono raggruppamenti sicuramente "ortogonali" (senza ripetizioni) e
non mi sembra che v  sia primo...
Ciao, Nino 

 non mi sembra che v  sia primo...
Scusa mi spiego meglio.
In generale come dicevo precedentemente solo quando il numero di 
elementi=v e il numero dei bloks (righe)=b sono uguali, in altre parole 
v=b, allora il BIBD e' detto simmetrico, ed e' possibile generarli con 
un oggetto che chiamammo RCP.
In questo caso e' possibile se e solo se il numero degli elementi e' 
v=k^2+k+1  con k  primo o  potenza di un primo.
Ecco il link alla pagina di Paolo dove e' possibile approfondire un po'.
http://web.tiscali.it/paololicheri/figure/f001_q.htm
Qui c'e' anche l'archivio dei Cyclic Difference Sets
http://www.ccrwest.org/diffsets.html
Mi puoi spiegare meglio cosa intendi per ortogonali ?
Ad esempio:
Nel seguente  bibd(8,14,7,4,3)  [questa e' la notazione standard, ma i 
parametri non sono indipendenti, a volte si trova la notazione compatta
bibd(8,4,3)]
  Ci sono 8 numeri distribuiti in 14 quartine in modo che ciascun ambo 
e' ripetuto 3 volte, ed ogni possibile terno e' presente una sola volta:
1238
2468
3568
1458
2578
3478
1678
4567
1357
1247
2367
1346
1256
2345

 2345
I raggruppamenti dell'archivio da te citato (v=b) sono un'infinità, ma
rappresentano solo un caso particolare dei gruppi che in sistemistica
(lotto) vengono definiti "sistemi ortogonali". In pratica, scusa se mi
esprimo così, si limitano al sottogruppo che garantisce sempre l'ambo
(un numero di volte corrispondente al parametro t).
Invece, gli "ortogonali simmetrici" sono sistemi (v fino a 90 e k fino
a 10) che possono garantire, oltre all'ambo, anche terno o quaterna, ecc.;
sono ovviamente omogenei (tutti terzine, quartine, quintine, ecc.) e
ogni combinazione garantita è presente senza alcuna ripetizione in eccesso
rispetto a quanto stabilito. (Esistono anche gli ortogonali imperfetti,
in cui alcune combinazioni sono giocoforza ripetute un numero di volte
superiore alla garanzia minima).
Ad es., il semplice bibd(7,3,2,2)
123;  147;  156;  246;  257;  345;  367
è detto ortogonale di 7 numeri in terzine a garanzia ambo con l'uscita
di 2 numeri (sui 7).
Anche quello da te riportato bibd(8,4,3,3) è un sistema ortogonale di
8 numeri in quartine a garanzia terno con l'uscita di 3 numeri (sugli 8);
incidentalmente, è anche un ridotto derivato di 8 doppie per totocalcio,
a garanzia n-1 con 3 o 5 (1 o X) e probabilistico n per i 4 (1 o X)).
Di seguito, riporto 4 raggruppamenti ortogonali simmetrici di 14 righe
l'uno, e un quinto maggiorato di 18 righe, che nel loro insieme
costituiscono le 70 combinazioni (+ 4 ripetizioni) di v=8 e k=4.
         I                              II                        III
  ----------------               ----------------           ----------------
  1    2    3    5               1    2    4    5           1    3    4    5
  1    2    4    6               1    3    4    6           2    3    4    6
  1    3    4    7               2    3    4    7           1    2    3    7
  2    3    4    8               1    2    3    8           1    2    4    8
  4    6    7    8               3    6    7    8           2    6    7    8
  3    5    7    8               2    5    7    8           1    5    7    8
  2    5    6    8               1    5    6    8           4    5    6    8
  1    5    6    7               4    5    6    7           3    5    6    7
  3    4    5    6               2    3    5    6           1    2    5    6
  2    4    5    7               1    3    5    7           2    4    5    7
  2    3    6    7               1    2    6    7           1    4    6    7
  1    4    5    8               3    4    5    8           2    3    5    8
  1    2    7    8               2    4    6    8           1    3    6    8
  1    3    6    8               1    4    7    8           3    4    7    8
                        IV                             V
                 ----------------               ----------------
                 2    3    4    5               2    4    7    8
                 1    2    3    6               2    4    5    6
                 1    2    4    7               2    4    6    7
                 1    3    4    8               2    4    5    8
                 1    6    7    8               1    3    7    8
                 4    5    7    8               1    3    5    6
                 3    5    6    8               1    3    6    7
                 2    5    6    7               1    3    5    8
                 1    4    5    6               1    2    5    7
                 1    3    5    7               1    2    6    8
                 3    4    6    7               3    4    5    7
                 1    2    5    8               3    4    6    8
                 2    4    6    8               1    4    5    7
                 2    3    7    8               1    4    6    8
                                                2    3    5    7
                                                2    3    6    8
                                                1    2    3    4
                                                5    6    7    8
Ciao, Nino