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Titolo: Quesito matematico 94/1

Stessa fonte del precedente.
Sono pensati per studenti appena diplomati, quindi si dovrebbero poter
risolvere anche senza alcuno strumento a livello universitario.
1. Sia X un insieme di n elementi, dove n è un numero pari e sia k un numero
positivo. Diciamo che una funzione f da X in X ha molteplicità k se per ogni
a appartentente a X l'insieme {x| f(x)=f(a)} ha k elementi.
Sono più le funzioni di molteplicità 1 o quelle di molteplicità 2?
2. Vi sono 4 città collegate a due a due da 6 strade che non si intersecano
(cioè ogni coppia di città è colelgata con una sola strada). Tutte le strade
sono aperte al traffico con la stessa probabilità p = 1/2.
Determinare la probabilità che in un determinato istante partendo da una
qualsiasi città si possa arrivare ad ogni altra città
3. Mostrare che 41 non può essere espresso come differenza di una potenza di
2 e di una potenza di 3, cioè non può sussistere nessuna delle due
uguaglianze seguenti:
41 = 2^n - 3^m , 41 = 3^n - 2^m (con m,n interi positivi).
Ciao
MR

 MR
Ci provo:
S
P
O
I
L
E
R
E
L
I
O
P
S
2)
Bastano 4 strade qualsiasi per avere il percorso richiesto.
Bastano tre strade opportune per avere il collegamento richiesto.
Calcoliamo la probabilità che il percorso sia interrotto come somma delle
probabilità di 6 strade chiuse, 5,4 strade chiuse e di 3 opportune strade
chiuse.
P=1/64+1/32+1/16+x
x è pari ad 1/8*1/4=1/32
            ^    ^
            |    |
         Prob.   |
        3 strade |
        chiuse   |
                 |
            Pro. che le tre strade
        chiuse blocchino il passaggio
Si ricava, a meno di possibilissime sviste,
P=9/64
Si ha, quindi che in 27 casi su 32 raggiungiamo ogni città.
Sinceramente mi sembra un po' alta ma così mi viene...
GaS

 MR
Visto che nessun'altro interviene lo risolvo a metà, piu di questo non
riesco a fare(almeno per ora).
M
E
Z
Z
O
S
P
O
I
L
E
R
!
Scriviamo il tutto in base 3.
(41)base10=(1112)base3
(3^n)base10=(10..0)base3
E' facile osservare che 2^m in base 3 finisce alternativamente con 2 (per
esponenti dispari) e con 1 (per esponenti pari).
[41+2^(2m+1)]base3  finisce con 2+2=..1 e quindi non puo' essre una potenza
di 3 (tranne 3^0=1 che facilmente si scarta)
Ugualmentre per l'altro caso.
Riassumendo non è possibile avere
 41 = 2^m - 3^n , 41 = 3^n - 2^m
per m dispari e qualsiasi n.
Ho risolto il problema per un'infinità di casi ma i ben informati mi dicono
che mi mancano ancora infiniti casi da esaminare. Sarà mai possibile?
:oD
GaS

 x è pari ad 1/8*1/4=1/32
Questo mi sembra invece che non vada.
La probabilità che ci siano 6 strade chiuse è giustamente 1/64
Ma la probabilità che ci siano 5 strade chiuse è data da 6 casi (uno per
ogni strada)
e a ciascuno di essi si assegna la probabilità 1/64 (la probabilità che 5
siano chiuse è 1/32, ma bisogna moltipicarla con la probabilità che la sesta
sia aperta che è 1/2, altrimenti non mi limito al caso in questione)
Quindi il secondo addendo è 6/64.
Il terzo è 1/64*(casi in cui si hanno 4 strade chiuse)= 1/64*15 (la formula
per avere il numero dei casi è (6 k) coeff. bin.)
Infine per quel che riguarda il quarto addendo... Come definiresti 3
opportune strade chiuse? Io direi che bisogna far funzionare quelle che
formano un triangolo e ci sono 4 triangoli e siccome ciascuna configurazione
ha probabilità 1/64 per questo ultimo caso avrei 4/64.
P = 13/32
Ciao
MR

 GaS
La metà che hai fatto mi sembra corretta.
MR

 MR
GaS