Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: uno

Probabilmente e' abbastanza noto, comunque lo ripropongo, e' un gioco da
farsi in due, una specie di "ok il prezzo e' giusto".
Bisogna avvicinarsi il piu' possibile ad 1 senza oltrepassarlo, avendo a
disposizione al massimo due lanci con un generatore di numeri casuali
uniformemente distribuiti tra 0 e 1.
Supponendo che il primo giocatore utilizzi la migliore strategia, ovvero
sappia qual e' il valore limite oltre il quale non conviene tentare il
secondo lancio, qual e' la sua probabilita' di vittoria?
Consideriamo le due varianti possibili:
(1) B tira solo dopo che A ha esaurito i suoi lanci.
(2) si fa un tiro ciascuno, poi A decide se lanciare ancora e lo stesso puo'
fare B.
Ciao, Silv:o)

 (1) B tira solo dopo che A ha esaurito i suoi lanci.
In questo caso le probabilità di A sono:
(-t^4-4t^3+4t+4)/12 = 0.4538  con t=2*cos(2*pi/9)-1
che è circa 0.5321 e rappresenta il confine fra il fare o meno il secondo
lancio da parte di A.
Per l'altra versione mi sembra che venga per A un prob. di circa 0.2677
ma ci riguarderò perché non mi convince.
Ciao
Andrea

Andrea, per la prima variante tutto bene. Magari qualcuno e' curioso di
sapere come sei arrivato alla soluzione, qualche dettaglio sul metodo
utilizzato sarebbe gradito.
La seconda, come dici, ha bisogno di essere rivista. A occhio le cose per A
dovrebbero essere migliori rispetto alla prima variante, visto che ha la
possibilita' di vedere il lancio di B prima di decidersi a tirare di nuovo.
Ciao, Silv:o)

Ciao, Silv:o)
Ciao
Andrea

 conviene piů tirare č lo stesso di prima, e non dipende dal primo tiro di
B.
E allora dov'e' la differenza con la prima variante? ..solo nel risultato?
;)
A mica e' matto: se al primo lancio e' indietro ritira di sicuro.
Se invece e' in vantaggio effettivamente il valore critico oltre il quale
non conviene ritirare non dipende dal primo tiro di B (apparentemente...),
ma e' comunque diverso da quello della prima variante.
Ciao, Silv:o)

 3) Però sono soddisfatto
a giusta ragione
Ciao, Silv:o)

 ma e' comunque diverso da quello della prima variante.
°°°°° SPOILER °°°°°
Mi piacciono i giochi di logica, enigmistica, matematica ecc. (del tipo di
it.hobby.enigmi, insomma) anche se mi manca il tempo per dedicarmici ed
anche, purtroppo, una conoscenza della matematica sufficientemente fresca ed
approfondita.
Ho infatti una laurea in Economia e Commercio conseguita diversi anni fà e,
dunque, conoscenze matematiche limitate e sbiadite.
Quanto alla mia età, posso dirvi che non tutti vivono abbastanza perché
succeda loro ciò che è successo a me 8 anni fa, anche se per alcuni, invece,
si verifica prestissimo. Per esempio a chi è nato l'anno scorso succederà
nel 2098, mentre chi è nato quest'anno non deve proprio aspettare dato che
l'evento si verifica quest'anno stesso.
Naturalmente non è di questo che volevo parlarvi ma, comunque, se qualcuno
sapesse individuare la mia età dimostrerebbe, credo, un bell'intuito.
Ma torniamo all'argomento e, prima di passare ai calcoli, analizziamo
sommariamente ciò che ci aspettiamo da essi.
Abbiamo due giocatori: A e B.
Chiameremo il valore delle loro estrazioni rispettivamente:
 a1 e a2 quelle di A
e
b1 e b2 quelle di B.
Entrambi estraggono, necessariamente, un primo numero a1 e b1.
Per decidere se estrarre il secondo numero, però, solo B ha conoscenza di
entrambe le estrazioni di A (o della rinuncia ad estrarre a2) ed è quindi
avvantaggiato. Quella probabilità di vittoria che sarebbe evidentemente
divisa al 50% nel caso in cui entrambi estraessero obbligatoriamente due
numeri, nella circostanza ipotizzata deve squilibrarsi a favore di B.
Vorremmo, inoltre, individuare la strategia ottimale che ha A a sua
disposizione per limitare al massimo lo svantaggio.
Quanto a quest'ultimo punto rileviamo che:
1) se b1>a1, A deve per forza estrarre a2, altrimenti avrebbe già perso;
2) se a1>b1 A può decidere di non estrarre mai a2, sperando che b2 resti
inferiore ad a1-b1, oppure che esca un b2 superiore a 1-b1 (che farebbe
sballare B);
3) se, in presenza di un a1>b1, A decide di estrarre a2, lo fa per
avvicinarsi di più ad 1 e rendere così più difficile la vittoria che B può
conseguire con la seconda estrazione. E' chiaro che un miglioramento del suo
punteggio, piccolo o grande che sia, è il benvenuto. L'unico rischio di A è
quello di sballare e, dunque, deve temere l'evento negativo di estrarre un
a2>1-a1. Rispetto alla sua scelta è perciò del tutto irrilevante la
differenza tra a1 e b1 ed il suo unico riferimento deve essere la misura di
a1 ed il rischio che da essa deriva per il superamento di 1.
Chiamiamo k la misura di a1 di sotto della quale ad A conviene estrarre a2
ed al di sopra della quale il rischio di sballare rende invece preferibile
passare.
Impostiamo il nostro problema considerando l'esistenza di un ipotetico
valore k e, potremo successivamente pensare di ricavare come casi
particolari l'ipotesi di non estrarre mai a2 (ponendo k=0) e l'ipotesi
inversa di estrarlo sempre (ponendo k=1).
1) Caso  b1<a1
Estraz.            intervallo favorevole         dimensione
a1                             0..1                          1
b1                           a1..1                          1-a1
a2                      b1-a1..1-a1                    1-b1
b2                             0..a1+a2-b1
                           1-b1..1                          a1+a2
2) Caso  a1>b1 con a1<k
Estraz.            intervallo favorevole         dimensione
a1                            0..k                            k
b1                            0..a1                          a1
a2                            0..1-a1                      1-a1
b2                            0..a1+a2-b1
                          1-b1..1                            a1+a2
3) Caso  a1>b1 con a1>k
Estraz.            intervallo favorevole         dimensione
a1                            k..1                            1-k
b1                           0..a1                           a1
b2                           0..a1-b1
                         1-b1..1                             a1
La somma delle probabilità dei tre casi indicati forma la probabilità
complessiva di vittoria di A.
Caso 1)
 Una volta estratti con esito positivo, nei termini indicati, i valori di
a1, b1 e a2, A vince se B estrae un b2 compreso tra 0 e a1+a2-b1 (che fa
restare B al di sotto di a1+a2) oppure compreso tra 1-b1 e 1 (che fa
sballare B).
Questa probabilità è pari alla somma delle ampiezze dei due intervalli (cioè
a1+a2) rapportata all'intervallo dei numeri estraibili (tutti) che è pari a
1.
Andando a ritroso la probabilità complessiva del caso 1 si ottiene
integrando nei rispettivi intervalli e nelle rispettive variabili.
Dunque, indicando con I(m,n) l'integrale definito tra m ed n, calcoliamo:
I(b1-a1,1-a1)(a1+a2)da2 = -1/2*b1^2+1/2
I(a1,1)(-1/2*b1^2+1/2)db1 = 1/6*a1^3-1/2*a1+1/3
I(0,1)(1/6*a1^3-1/2*a1+1/3)da1 = 1/8 = P1
Caso 2)
I(0,1-a1)(a1+a2)da2 = -1/2*a1^2+1/2
I(0,a1)(-1/2*a1^2+1/2)db1 = -1/2*a1^3+1/2*a1
I(0,k)(-1/2*a1^3+1/2*a1)da1 = -1/8*k^4+1/4*k^2 = P2
Caso 3)
I(0,a1)(a1)db1 = a1^2
I(k,1)(a1^2)da1 = 1/3-1/3*k^3 = P3
La probabilità complessiva di vittoria di A è dunque
P = P1+P2+P3 = 11/24 + 1/4*k^2 - 1/3*k^3 - 1/8*k^4
Conclusione:
Se ipotizziamo che A, quando è in vantaggio con a1 su b1, non estragga a2,
dobbiamo porre k=0 e la sua probabilità di vittoria diventa:
P = 11/24 = 0,458333333333333333..........
Se ipotizziamo che A, quando è in vantaggio con a1 su b1, estragga comunque
e sempre a2, dobbiamo porre k=1 e la sua probabilità di vittoria diventa:
P = 11/24 = 11/24 + 1/4 - 1/3 - 1/8 = 0,25
La funzione
P = 11/24 + 1/4*k^2 - 1/3*k^3 - 1/8*k^4
ha comunque il suo massimo nell'intervallo 0..1 in
                     k = sqrt(2)-1 = 0,414213562373095049.....
in corrispondenza del quale
P = 17/12 - 2/3*sqrt(2) = 0,473857625084603301..........
Il seguente programmino in Turbo Pascal consente di verificare la
correttezza dei risultati enunciati sopra:
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
program uno;
uses crt;
const
  r                   = 32768;
var
  k,a1,a2,b1,b2,ta,tb : real;
  PA,PB,i             : longint;
begin
  ClrScr;
  k:=sqrt(2)-1;
  a1:=0;
  a2:=0;
  b1:=0;
  b2:=0;
  ta:=0;
  tb:=0;
  PA:=0;
  PB:=0;
  Randomize;
  for i:=1 to 100000 do begin
      a1:=random(r)/r;
      b1:=random(r)/r;
      if ((b1>a1) or (a1<k))  then a2:=random(r)/r else a2:=0;
      ta:=a1+a2;
      if ta>1 then ta:=0;
      if b1<ta then b2:=random(r)/r else b2:=0;
      tb:=b1+b2;
      if tb>1 then tb:=0;
      if tb>ta then inc(PB) else if ta>tb then inc(PA) else dec(i);
  end;
writeln('Partite n. ',PA+PB);
writeln('Vinte da A n. ',PA);
writeln('Vinte da B n. ',PB);
writeln('% vinte da A ',PA/(PA+PB:7:3));
writeln(k);
end.
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
Assegnando a k qualsivoglia valore tra 0 e 1possono essere verificate anche
le altre soluzioni indicate.
PS:
1) Uffa che fatica!
2) Scusate lo sproloquio.
3) Però sono soddisfatto
4) Se non mi ricordate la mia età, magari sono più contento.
5) Fine.
et

 4) Se non mi ricordate la mia età, magari sono più contento.
Non te la prendere neanche per questo.
Per consolarti ti diro' solo che a me e' successo 20 anni fa
quindi ho qualche anno piu' di te :-((((((
(non troppi, pero' )
ciao
paolo

 (non troppi, pero' )
E cosi` alcuni dei cervelli piu` brillanti e prestigiosi del ng hanno
felicemente doppiato la boa dei ...anta, con entusiasmo e` freschezza di
idee che non temono certamente confronti.
Si dice che il bello della comunita` digitale (?!?) sia dato dalla
possibilita` di spogliarsi della propria identita` esteriore e di
confrontarsi solo sul piano delle idee, belli e brutti, poveri e ricchi,
giovani e meno giovani. Storie. Quello e` il bello dell'intelligenza. Se
c'e` c'e`.
Ciao, Silv:o) (al quale capitera` nel 2034)

...
[snip]
Bravo Enrico!
Ci ero quasi arrivato anch'io, ma per un banale errore non mi veniva
un risultato accettabile, acc...!
(grazie anche a Silvio per il bell'enigma che ci ha postato)
Ciao
Andrea

 sapesse individuare la mia età dimostrerebbe, credo, un
bell'intuito.
La butto là:
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
Se ho intuito giusto, a me che di anni ne ho 57, l'evento si
dovrebbe essere verificato nel 1986 e tu dovresti avere 3 anni
meno di me.
Ciao
:-))
Gianni

 Ciao, Silv:o) (al quale capitera` nel 2034)
Pischelletto!!!
;-)))
Ciao
Zio Gianni

6  meno di Paolo
3  meno di Gianni
21  più di Sergio
Finora sono in passivo di 12 !!!
Titolari di eventi antichi, manifestatevi: voglio collezionarvi!
et

 Per consolarti ti diro' solo che a me e' successo 20 anni fa.
Allora vi seguo a ruota. Mi e' capitato la stessa cosa 6 anni fa, ma
quello che conta e' l'eta' biologica !
:) dario

 quello che conta e' l'eta' biologica !
Urca! ma allora sono il piu' grande!
infatti dai calcoli ho scoperto di avere 110 anni :-)
ciao
paolo

 ;-)))
di` la verita`: ce lo vorresti avere un figlio come me, e`?
Io un padre come te si. Anche se il mio, ottimo enigmista, qualche
soddisfazione me l'ha data...
Pero` la mamma/moglie sarebbe scappata col primo camionista di passaggio.
Sai che stress per lei, tutto il giorno a combattere coi matti:  - A che ora
torni? - Posso dirti che dieci minuti dopo, le lancette formerebbero un
angolo... - Quante ragazze ci sono nella tua classe? - Due in meno della
seconda, ma tre in piu' della terza, e la somma... e via di questo passo,
fino a completo rimbecillimento di tutta la famiglia.
Ciao, Silv:o) (che magari fosse ancora pischello...)

 sui bei vecchi tempi di Pergioco e dei PC senza Hardisk
Un po` di sano amarcord ci sta sempre bene, mi dispiace solo di non aver
conservato i listati di alcuni programmi per gli anagrammi che scrissi per
lo ZX81 (1 K di ram!!!!), sono sicuro che nessuno gridera` all'OT.
Devo dire con molto piacere che ultimamente il ng si sta rivelando
godibilissimo: buoni enigmi, interventi di ottimo livello sia tecnicamente
che nello stile decisamente brillante, tanto che alcuni post meriterebbero
diversa collocazione.
E, soprattutto, uno spirito di fondo entusiasta e quindi molto coinvolgente.
Dopo giorni bui di interventi stupidelli anziche` no e strafaq postate con
irritante frequenza, una stagione decisamente positiva per ihe. Dovremmo
cercare di scaglionare le ferie per evitare periodi morti. O forse no. Se ce
ne andiamo tutti al mare che il ng rimanga deserto che ce ne frega? ;)
Ciao, Silv:o)