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Titolo: Il paradosso delle buste

Sarei grato a chiunque risolvesse il seguente quesito, (e lo considererei
anche un genio):
Abbiamo 2 buste: la A e la B.
Ci viene detto che una busta contiene una somma di denaro doppia rispetto
all' altra.
Ci viene fatta scegliere una busta, e noi scegliamo la A.
Ora ci consentono di aprirla e troviamo 100 mila lire.
Possiamo tenere le 100 mila o cambiare busta.
Risulta essere conveniente cambiare busta:
sappiamo che la B contiene la metà o il doppio della A, ora:
 - se contiene la metà (50 mila lire) e cambiamo busta allora perdiamo 100
e guadagnamo 50, dunque perdiamo 50;
 - se contiene il doppio (200 mila) e cambiamo busta perdiamo 100 e
guadagnamo 200, dunque guadagnamo 100;
Poichè l' eventuale guadagno (200) è maggiore della perdita (50) conviene
cambiare.
Ma lo stesso ragionamento si poteva fare qualunque fosse stata la cifra
nella busta!
Quindi è inutile guardare e conviene cambiare già dopo aver scelto la
busta!
Tutto ciò è chiaramente assurdo.
Dov'è l' errore nel ragionamento?
(tratto dal libro "Satana, Cantor e l' infinito" di R.Smullian, il quale
fra l' altro non fornisce la soluzione, nè probabilmente la conosce)
-- 
MarcoDiscens

Dov'è l' errore nel ragionamento?
...
E' davvero un bel paradosso! ma quando dici che il ragionamento e' assurdo,
non sono d'accordo. Questo genere di calcoli si basa sulle informazioni che
hai. In questo caso l'unica informazione e' che una busta contiene il doppio
dell'altra.
Se il problema fosse diverso... diciamo che sai che una busta contiene
cinquantamila lire piu' dell'altra, cambiare o non cambiare sarebbe lo
stesso (secondo una valutazione probabilistica). Nel nostro caso
l'informazione che abbiamo induce una valutazione diversa. Abbiamo la
possibilita' di scommettere 50 contro 150 e non sapendo nulla dobbiamo
considerare equiprobabili i due casi.
Quindi non e' inutile guardare, visto che cosi' possiamo valutare l'entita'
della scommessa. Poi, se anche la scommessa e' sempre conveniente, non e'
detto che il gioco valga la candela.
Insomma (visto che sto facendo un bel po' di confusione):
1. Guardare e' utile per sapere cosa stiamo rischiando
2. Non e' detto che si debba accettare una scommessa conveniente (a tal
proposito prova a leggere quello che ho scritto in *Variazioni sul tema...*
su un'altra scommessa per cosi' dire *conveniente*)
3. Si puo' parlare di paradosso (inteso come qualcosa che sovverte il *senso
comune*), ma non di assurdo (inteso come contraddizione), visto che, per il
fatto di non sapere nulla, qualsiasi cosa puoi dire di una busta lo puoi
dire anche dell'altra
In pratica non c'e' nessun errore nel ragionamento, solo un limite di
informazione.
Bene! sicuramente questo mio annebbiato disquisire non ti sara' stato di
nessuna utilita', ma l'argomento m'interessa e spero di sentire tuoi
chiarimenti sull'uso che hai fatto dell'aggettivo *assurdo*.
Ciao ciao
Claudio

Dov'è l' errore nel ragionamento?
Secondo me e' sbagliato il modo di ragionare:
a priori (cioe' all'inizio di tutto), abbiamo la stessa probabilita' (50%)
di guadagnare n o 2n lire (qualsiasi sia n).
Siccome non abbiamo nessun indizio, e' perfettamente inutile cercare di
fare scambi o altro, tanto la probabilita' non puo' in nessun modo cambiare.
E questo perche' non ci viene detto niente di piu' durante lo svolgimento
del "test".
Secondo me l'errore e' quando dici "Risulta essere conveniente cambiare
busta"; perche'?
Hai la stessa probabilita' (50%) di guadagnarci o perderci...perche'
dovresti cambiare?
Mah, cosi' a sentimento, non sono mai stato molto ferrato nel calcolo delle
probabilita'...
Se qualcuno ha la soluzione rigorosa, ben venga.
Ciao
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                 Mauro Cioni
 
vad...@iperbole.bologna.it
http://www.geocities.com/SiliconValley/Park/4122
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     Non importa in che modo tu ti giri...
 se conosci abbastanza persone, ci sara' sempre
     qualcuno a cui rivolgerai le spalle.
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--
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

 scegliendo a caso una delle due buste.
Non avevo molti dubbi sul fatto che non convenisse cambiare la busta, ma
resta un problema:
ti ho fornito una dimostrazione di un fatto non vero, che sembra non fare
una grinza!
La domanda č: dov'č che nella dimostrazione viene compiuto un passo non
lecito?
-- 
MarcoDiscens
________________
Dio puň creare un masso cosě grande da non poterlo sollevare?

 >Dov'è l' errore nel ragionamento?

Dunque... vediamo di formalizzare la cosa un po' di più:
quando dico che il ragionamento è assurdo è perchè esso porta a conclusioni
false.
Io credo che non convenga affatto cambiare busta, e la cosa si può
dimostrare altrettanto bene quanto ho potuto dimostrare che conviene
cambiarla. Eccoti la dimostrazione del fatto che NON conviene cambiare, più
o meno come la fa l' autore del libro da cui ho preso il paradosso (se non
ti ha convinto la dimostrazione più rigorosa che ne ha dato Pg):
diciamo che nella busta A c'è una quantità di denaro 2n, nella B  n
io scelgo una delle due, guardo la somma che contiene, e valuto se cambiare
o no:
- se ho la busta con 2n e cambio perdo 2n e guadagno n, quindi in totale
perdo n;
- se ho la busta con n e cambio perdo n e guadagno 2n, quindi in totale
guadagno n;
quindi non ho nessun vantaggio a fare il cambio poichè l' eventuale perdita
è uguale all' eventuale guadagno ed ovviamente ha la stessa probabilità di
verificarsi.
Ecco l' assurdo: ho dimostrato 2 cose contraddittorie.
Dove ho sbagliato? Quale passo del ragionamento è scorretto?
-- 
MarcoDiscens
________________
Dio può creare un masso così grande da non poterlo sollevare?

 Abbiamo 2 buste: la A e la B.
Guarda sull'inserto delle scienze "caso probabilità e statistica": lì ci
trovi la soluzione
Antonio

guadagno n;
e' un ragionamento valido prima di quantificare n, ma se ripeti la
valutazione dopo... ottieni il risultato del tuo primo post. Credo che tu
adesso vorresti dire: *appunto!*
In effetti sembrano risultati cosi' contraddittori e inconciliabili da
sembrare che non si possano accettare entrambi!
Proviamo a guardarla in modo diverso e vediamo cosa vien fuori.
Le informazioni a busta chiusa sono:
o A contiene n e B 2n, o A contiene 2n e B n.
Visto che non ho motivo di privilegiare un'ipotesi sull'altra, utilizzo il
famigerato *principio di ragione insufficiente* (un principio che muove
molti paradossi) e le considero equiprobabili.
Adesso apro la busta A e trovo 100, mi ritrovo con informazioni affatto
diverse:
o A contiene 100 e B 200, o A contiene 100 e B 50.
Per le stesse ragioni di prima le considero equipropabili.
A me sembra che le due situazioni siano diverse, abbiano *contenuto
informativo* (perdona l'orribile termine) diverso e richiedano anche
strategie diverse.
Con questo non voglio dire che il paradosso non sussiste, ma solo che non si
puo' parlare di assurdo.
Detto questo, tieni presente un principio universalmente valido:
*Le probabilita' che un pollo abbia ragione sono tendenzialmente zero
virgola zero zero zero...*
Ciao ciao
Claudio

 virgola zero zero zero...*
Sarà vero per un pollo qualsiasi, non certo per un Superpollo!!
-- 
MarcoDiscens
________________
Dio può creare un masso così grande da non poterlo sollevare?
P.S.: Tu che sei un veterano dei Newsgroup, potresti cortesemente dire ad
un novizio come me  che cos' è un "thread" (spero di aver scritto bene) e
che cos' è "IHU" (cosa di cui tutti parlano tanto)? Grazie.
 

che cos' è "IHU" (cosa di cui tutti parlano tanto)? Grazie.
Questo non l'ho mai visto, ma credo che tu ti riferisca a IMHO, che e' la
sigla di In My Humble Opinion. Molti lo preferiscono a frasi tipo: *a parer
mio*, e in effetti se si scrivono molti messaggi puo' risultare comodo.
Comunque, se anche in internet il tempo sembra scorrere a velocita' diverse,
la mia esperienza di qualche mese non mi rende un veterano... anzi, se le
informazioni che ti ho dato sono sbagliate, spero che qualcuno mi corregga!
Felice di averti fra noi
Ciao ciao
Claudio

verificarsi.
Visti da lontano non creano problemi, infatti equivalgono alle scelte:
a) o non-A o non-B
b) o A o B
che sono praticamente identiche.
Questo mi rassicura non poco sulla coerenza dei ragionamenti. Voglio dire
che un'eventuale contraddizione non sembra troppo grave...
Il *quasi* era dovuto a questo, ma...
Visti da vicino pero'... salta fuori il problema che il ragionamento a), ad
un certo punto, mi promette un irragionevole vantaggio a cambiare.
Io ho cercato di svicolare separando il problema in due fasi, ma non quadra
comunque, come giustamente mi hai fatto notare.
Non mi rimane che affidarmi al post di Antonio e andarmi a cercare
l'articolo... approposito, dove lo trovo? posso reperire numeri de *le
Scienze* anche abbastanza datati, ma avrei bisogno di indicazioni piu'
precise. Tu lo hai letto?
Ciao ciao
Claudio

 
Nel momento in cui scrivo questo no, ma forse riuscirò a procurarmi una
copia della rivista all' università. Se e quando riuscirò a trovarla
invierò la soluzione.
Non sono sicuro che la troverò, quindi se riesci a procurartela tu fammi
sapere.
Ciao!
MarcoDiscens

>che cos' è "IHU" (cosa di cui tutti parlano tanto)? Grazie.
E' la sigla (l'acronimo) del Newsgroup: it.hobby.umorismo
      Ciao
      Michele

Per come la vedo io la soluzione è la seguente:
A priori sappiamo che nelle due buste ci saranno delle quantità
indefinite che chiameremo x e 2x.
Potendo scegliere una delle due buste il valore atteso della nostra 
scelta sarà:
0.5*x + 0.5*2x = 3/2*x = 1.5x
A posteriori il valore atteso non cambia, infatti:
se siamo x cambiando prenderemo 2x;
se siamo 2x cambiando prenderemo x;
quindi:
0.5*2x + 0.5*x = 1.5x identico al precedente.
Spero di esserti stato utile...
Carlo Melzi

Fammi capire bene la tua posizione:
tu sostieni che il ragionamento che si usa per dimostrare che conviene
cambiare busta è sbagliato esattamente nel passo iniziale, quando si dice
"se nella mia busta c'è x, nell' altra c'è 2x o x/2". 
Premesso che non ho capito bene cosa ci sia che non va in tale assunzione
(in realtà non faccio altro che dare il nome x al contenuto (sconosciuto)
della busta: non mi vorrai impedire di chiamare le cose come più mi
aggrada!) ti faccio riflettere su una cosa:
nel caso in cui io guardo il contenuto della busta, trovo 100 e quindi
applico il ragionamento con 100 al posto x conviene o no cambiare?
Ciao!
MarcoDiscens

Ho riletto il mio messaggio e mi sono accorto che forse non e'
chiarissimo il concetto.
Cercherò di spiegarmi meglio facendo un discorso statistico:
ipotizziamo di avere scelto una busta per 1000 volte e di avere trovato
mediamente in questa busta 100000 lire.
Possiamo quindi assumere vista la grande quantità di prove che
100000 = 1.5x
Di conseguenza (facendo sempre una stima media) avremo che:
x = 66667 lire
2x = 13333 lire
Perciò se cambiamo guadagneremo
0.5 * 66667 + 0.5 * 13333 = 100000 lire
E' quindi indifferente cambiare busta o meno.
Quello che trae in inganno nel tuo ragionamento è che tu dovresti
usare le probabilità condizionate all'evento "ho trovato 100000 lire".
Cioè chiamando "a" la busta scelta e "b" la seconda avremo:
P( b=200000 | a=100000 ) = 0.33333
P( b=50000 | a=100000) = 0.66667
Nuovamente avrei che:
0.33333*200000 + 0.66667*50000 = 100000 lire
Se non è ancora chiaro aggiungo anche questo:
una popolazione di 50000 e 100000 avrebbe come valore atteso
75000
una popolazione di 100000 e 200000 avrebbe come valore atteso
150000
Dal momento che 100000 si avvicina più a 75000 che a 150000 
(e precisamente il rapporto delle distanze è 1/3 e 2/3)
questo significa che mediamente apparterrà 2/3°delle volte alla 
prima popolazione e 1/3° delle volte alla seconda.
(proprio da questo vengono fuori i valori delle probabilità condizionate).
Ebbene sì, anch'io mi considero un genio ma non diciamolo
troppo in giro........     :-)
-- 
Carlo Melzi

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Carlo Melzi