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Titolo: Ancora su riga e compasso

Prima delle vacanze hanno riscosso un buon sucesso dei problemi di
costruzione di segmenti utilizzando solo riga e compasso. Vengo a scoprire
solo questa mattina che, nella definizione classica, un compasso non può
riportare misure da un punto all'altro del piano. Appena si alza da un
foglio si richiude, si può solo tracciare una circonferenza con centro A e
che passi per un punto B.
Quindi gli strumenti a nostra disposizione sono:
- la riga non graduata, l'unica operazione che può compiere è tracciare una
retta tra due punti dati.
- Il compasso, può tracciare una circonferenza di centro dato e che passi
per un'altro punto.
Abbiamo un segmento AB e un punto C, il nostro scopo è di tracciare la
circonferenza di centro C e raggio A. Come fare?
Un saluto a tutti,
GaS


Ciao

 circonferenza di centro C e raggio A. Come fare?
Naturalmente intendevo: Abbiamo un segmento AB e un punto C, il nostro scopo
è di tracciare la
circonferenza di centro C e raggio *AB*. Come fare?
Scusate,
GaS


Ciao, in effetti il compasso usato da Euclide non trasporta distanze, ma
gia' la seconda proposizione del primo libro degli Elementi dimostra che il
suo compasso e quello moderno sono di fatto equivalenti.
La soluzione di Euclide si puo' trovare qui
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/propI2.html
ciao ciao

circonferenza di centro C e raggio A. Come fare?
Ovviamente: "e raggio AB".
Spoiler
E` banale, ma lungo. Certamente si potra` trovar modo di
accorciarlo.
Chiamo r la lunghezza AB, traccio gli assi per A e per B,
chiamo d la distanza di C dall'asse per B.
Traccio la retta per C _|_ ad AB e quindi la sua _|_
sempre per C. Chiamo a quest'ultima retta, che risulta
la || ad AB per C.
Chiamo A' e B'... e` ovvio che cosa su a.
Insomma si ha +o- questa figura:
--A--------B--
  |        |
--A'-------B'----C---E-----M------D-----
__0________r____r+d__2r___2r+d___2r+2d____ ascisse
Supponiamo che C sia piu` vicino a B; se invece e` piu`
vicino ad A si procede in maniera del tutto analoga.
Ecco: [funziona indifferentemente con C esterno o interno
alla striscia di piano AB]
- Traccio la crf. centro C e raggio CA' che
incontra a in D;
- traccio la crf. di centro B' e raggio r, che incontra
a in E;
- traccio l'asse di DE, che determina il punto medio M.
L'apertura richiesta e` CM.
-- 
Ciao,		| Attenzione! campo "Reply-To:" alterato ;^)
Remigio Zedda	| E-mail: 
remi...@tiscali.it
	-- Linux 2.4.18 su Debian GNU/Linux 3.0 "Woody"

 L'apertura richiesta e` CM.
Ciao rez, puoi semplificare la tua costruzione trasformando il rettangolo
ABB'A' nel parallelogrammo ABB'A' con B'=C. In questo caso CA'=AB.
Per fare un parallelogrammo bisogna saper costruire pero' rette parallele.
Ma come si traccia da un punto P una parallela a una retta r con  riga e
"compasso moscio"?
Una possibilita' potrebbe essere:
1) costruire circonf. c1 di centro P e che taglia r in R.
2) circonf. c2 di centro R e raggio RP che taglia r nel punto S
3) circonf. c3 di centro S e raggio SR che taglia c1 in T (oltre che in R).
4) la retta PT e' parallela a r.
ciao

"ticonzero" ha scritto

La costruzione di Euclide richiede 7 mosse (righe o cerchi) per costruire la
circonferenza di centro C e raggio AB col "compasso moscio". Ho trovato (su
un libro! :-) una costruzione con 5 mosse. Ci volete provare?
(ovviamente usando solo riga e "compasso moscio")
ciao

ABB'A' nel parallelogrammo ABB'A' con B'=C. In questo caso CA'=AB.
Ottimo e forse resta il piu` semplice, ma visti i precedenti
col numero di mosse obbligate non si puo` mai dire..
P.S. Aggiungo questo P.S. perche' vedo ora che hai trovato che
bastano 5 mosse.. e te pareva!


 (ovviamente usando solo riga e "compasso moscio")
Non mi viene proprio, un aiutino?
:-)
GaS
P.S.: Il problema era nato proprio dalla lettura della costruzione negli
Elementi di Euclide

 :-)
Ciao GaS, ecco qualche piccolo aiuto:
tutte e cinque le mosse sono col compasso!!!
... due delle circ. costruite hanno lo stesso raggio
...se c'e' la circ. di centro C e raggio CA
non c'e' la circ. di cento C e raggio CB e viceversa
ciao ciao

 non c'e' la circ. di cento C e raggio CB e viceversa
Con questi aiuti penso di esserci:
A_________B
               .C
1) Traccio la circonferenza C1 di centro B e raggio BA
2) traccio la circonferenza C2 di centro C e raggio CB
3) traccio la circonferenza C3 di centro B e raggio BC
Sia D l'intersezione tra C1 e C2 (una qualsiasi delle due) ed E
l'intersezione tra C2 e C3 (ancora una qualsiasi delle due)
4) traccio la circonferenza C4 di centro E e raggio ED
Chiamo F l'intersezione tra C4 e C3: CF è uguale ad AB e con la quinta mossa
traccio la circonferenza desiderata.
Dimostrazione? Ho trovato una mirabile dimostrazione ma "hanc marginis
exiguitas non caperet"  :-)
Che ne dite? mi sembra che torni.
Un saluto,
GaS

 GaS
Ciao, ho provato e direi che funziona alla grande!
ma non ho la minima idea del perche' :-(
L'unico problema si ha se AB>2*BC: in questo caso C1 e C2 non si toccano e
non riesci quindi a trovare D.
Caso strano, i miei suggerimenti ti hanno portato ad una costruzione
completamente diversa da quella che ho io! :-)
Eccola qui
1) Circ. di centro C e raggio CB
2) Circ. di centro B e raggio BC
(e fin qui la tua costruzione, la "mia" e quella di Euclide coincidono)
Siano E e K i punti in cui queste due circonferenze si incontrano.
3) Circ. di centro E e raggio EA
4) Circ. di centro K e raggio KA
La circ. del punto 4) incontra quella del punto 1) in A' e CA'=BA, quindi
5) Circ di centro C e raggio CA' e' la circ. cercata.
Questa costruzione e' piu' facile da giustificare: il segmento CA' sarebbe
il simmetrico di BA rispetto all'asse di BC (la retta EK).
ciao ciao

 non riesci quindi a trovare D.
Per ovviare a questo fatto potresti sostituire C4 con la retta EK (l'asse di
BC) e chiamare F l'intersezione tra EK e C1. ciao

 BC) e chiamare F l'intersezione tra EK e C1. ciao
Ops... cosi' facendo non si riesce a trovare F se AB < BC/2. sorry. ciao

 il simmetrico di BA rispetto all'asse di BC (la retta EK).
Molto bella, proprio molto bella e simmetrica. Per curiosità: in che libro
l'hai trovata?
GaS

 GaS
L'ho trovata su "Ingenuity in Mathematics" di Ross Honsberger, in un
capitoletto intitolato "Mascheroni and Steiner", dove si discute delle
costruzioni geometriche con solo compasso e con sola riga. ciao