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Titolo: Poliedromania, Kalamyt e Pentamini

Oltre ai noti marchi Geomag e Supermag, c'e' un'altra ditta italiana, la
Globo, che tempo fa mise in commercio un giocattolo fatto di sferette e
barrette magnetiche col marchio "KALAMYT". Non e' un gran che, ma il
vantaggio e' economico. Il prodotto non mi sembra che sia piu' in
catalogo, forse e' fuori produzione, forse c'e' un problema di brevetti.
Fatto sta che si trovano ora sul mercato, nel senso di mercato rionale :o)
, delle confezioni a prezzi stracciati. Io ne ho comperati a 3 e 5 euro a
confezione. Dev'essere stato proprio un fiasco perche' mi sono accorto che
il commerciante accetta anche una trattativa, per cui ho portato via a 5
euro una confezione di cui ne voleva 8 euro e 22 di listino. Non e'
difficile dunque, con piccola spesa, farsi una collezione di buone
dimensioni.
Hanno un difetto di progetto: non si possono disporre sei barrette attorno
ad una sferetta sul piano, cioe' non si puo' fare un angolo di 30 gradi.
Per un Poliedromane e' un difetto grave perche' non si puo' fare il
reticolo 3D tetro-ottaedrico che riempie lo spazio.
Soluzione: si prende un temperamatite di quelli a due buchi e, usando il
buco piu' grosso, si temperano leggermente le estremita' delle barrette.
Basta una passata e un po' di pazienza. Avrete cosi' un sistema perfetto.
E adesso che ce l'ho, esauriti i soliti poliedri di Platone e di
Archimede, mi e' venuto da metterli in piano, come nella foto che spero
possiate vedere. Li riconoscete? sono i dodici pentamini sistemati in un
rettangolo 10x6, in una delle tante soluzioni possibili.
Spontanee vengono certe domande:
- Qualunque soluzione nel rettangolo 10x6 richiede lo stesso numero di
sfere e barrette? E quante, calcolandole a priori? [questa e' facile]
- E i nodi? Li' sembrano 22, se non ho sbagliato a contarli. E' una
costante? E se no, qual e' il max e il min?
Ciao!!!  :o)
Livio
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 costante? E se no, qual e' il max e il min?
Per questa ci devo pensare/sperimentare un po', spero che la notte porti 
consiglio...
Ciao,
Gabriele 

 in cui ne mancano 5. In totale le barrette sono: 136-4*11-5=87.
Ma guarda! Non ci avevo pensato.
Io avevo ragionato sui perimetri. Poiche' tutti i pentamini hanno
perimetro 12 eccetto uno che ce l'ha di 10, la somma dei perimetri
vale 142. Se P e' il perimetro dello shape (buchi compresi):
N = (142-P)/2+P = 71+P/2
dalla quale si desume che per il rettangolo 10x6:
N = 71+32/2 = 87
che dovrebbe essere anche il minimo possibile, condiviso con lo shape
quadrato 8x8 senza i 4 quadrati ai suoi vertici e anche qualcun altro.
(Nasce spontaneo un altro problema: dato un numero di quadrati
unitari, qual e' lo shape che li contiene con il minimo perimetro e
quanto vale questo perimetro? Noto che, mentre i problemi di geometria
classici sono sviscerati da secoli, questi su geometrie elementari ma
discrete, non lo sono affatto. Sbaglio?)
Sui nodi devo dire che non ho soluzioni che non siano di bruteforce.
Mi viene anche da chiedermi se, a parita' di P, c'e' uno shape con un
minimo numero di nodi.
Ciao
Livio

minimo numero di nodi.
Cominciamo con mettere qualche paletto: intanto la soluzione che hai 
trovato, 22 nodi, è sicuramente la massima possibile, vediamo perché.
Abbiamo detto che ci sono 87 barrette che equivalgono a 87x2=174 
terminazioni sulle sfere.
Ognuna delle 76 sfere è raggiunta da almeno 2 terminazioni e quindi, se non 
ci fossero nodi, sarebbero utilizzate comunque 76x2=152 terminazioni.
Avanzano 174-152=22 terminazioni per "comporre" dei nodi: il numero max di 
nodi si ha se tutte e 22 le terminazioni avanzate terminano su 22 sfere 
differenti dando luogo a 22 nodi (come la tua soluzione che quindi è 
sicuramente un max).
Si può scendere? In linea teorica non mi sembrava impossibile trovare una 
soluzione con 4 pentamini che si incontrano in uno stesso punto ed infatti 
con una breve ricerca, assolutamente NON esaustiva, ho trovata la seguente 
soluzione da 19 nodi (3 nodi "quadrupli").
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Si può battere? Considerazioni assolutamente spannometriche mi portano a 
piazzare almeno 7 nodi (tripli) sul perimetro esterno. Questi lassciano un 
massimo di 15 terminazioni per l'interno che comportano un minimo di 8 nodi. 
In totale abbiamo un minimo, teorico, di 15 nodi ma non penso proprio che 
possa essere raggiunto.
Ciao,
Gabriele 

 quanto vale questo perimetro?
Come non detto, e' la sequenza A027709 dell'OEIS