Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Su due problemi classici di logica

In una famiglia con due figli è noto che c'è almeno un maschio. Qual è
la probabilità che entrambi i figli siano maschi ?
Risposta= 1/4
In una famiglia con due figli è noto che il figlio maggiore e'
maschio. Qual è la probabilità che entrambi i figli siano maschi ?
Risposta=1/2
Non e' che voglia contestare l' esattezza della soluzione pero' questa
faccenda non son mai riuscito a digerirla completamente, soprattutto
se si considera un altro problema classico di logica:
Ci sono tre scatole identiche. Una contiene due monete d'oro, l'altra
due monete d'argento e la terza una moneta d'oro e una d'argento.
Il giocatore sceglie una scatola. Qual è la probabilità che sia la
scatola con due monete diverse?
Risposta= 1/3.
Supponiamo che il giocatore prenda una moneta a caso dalla scatola
scelta e che questa moneta sia d'oro. Dopo aver avuto questa
informazione, qual è la probabilità che quella sia la scatola con due
monete diverse?
Risposta= 1/3
Qualcuno ha da offrire un ragionamento lampante?
ciao
fulvio
--
...alla fine della guerra nei paesi vinti faceva la fame la povera
gente; la stessa cosa succedeva nei paesi dei vincitori. (B. Brecht)

Qualcuno ha da offrire un ragionamento lampante?
Sono d'accordo su 1/3 e provo cosi`:
oo, oo,..., oo, oa
cioe` 99 oo in tutto e 1 oa. Pescando a caso i casi
totali sono 199, i favorevoli 1.
-- 
Ciao,		| Attenzione! campo "Reply-To:" alterato ;^)
Remigio Zedda	| E-mail: 
remi...@tiscali.it
 
	-- Linux 2.4.18 su Debian GNU/Linux 3.0 "Woody"

 anche diversamente.
In effetti e' questo che mi disturba di piu': il ragionamento e' qui
http://www.matematicamente.it/statistica/calcolo_probabilit%C3%A0.htm
quasi in fondo alla pagina, esempio 2
Io non capisco perche' si debba considerare MM MF FM FF: mettiamo il
caso che una donna sia incinta di due gemelli; per me o sono due
maschi o due femmine o maschio e femmina; i casi sono 3 non 4...
ciao
fulvio

 quasi in fondo alla pagina, esempio 2
scusate, ecco il link corretto
http://www.matematicamente.it/statistica/calcolo_probabilità.htm

 Risposta= 1/3
Scegliere una scatola e scegliere da questa una moneta a caso significa
prendere a caso (e con la stessa probabilità) una delle 6 monete.
Chiamiamo A1, A2 e A3 le tre monete d'argento, O1, O2 e O3 quelle d'oro;
le tre scatole contengano:
O1 O2;  A1 A2; O3 A3.
Avendo scelto a caso una moneta d'oro (tre casi possibili), solo una
volta su tre la moneta scelta sarà nella scatola O3 A3, quindi la
probabilità è effettivamente 1/3.
Maurizio

 http://www.matematicamente.it/statistica/calcolo_probabilità.htm
Ed infatti c' e' pure un errore di stampa nella pagina : il risultato
secondo il loro calcolo e' 1/3 (1/4 x 4/3=1/3)
ed ora che ci ripenso pure negli altri posti dove l' ho trovato la
risposta data e' 1/3: (Gardner,Falletta ecc...)
Comunque resta il fatto che a me torna sempre meglio 2/3
MF  MM  FF  in due casi su 3 c' e' almeno un maschio...
ciao
fulvio

 tutto molto chiaro.
Si' l' errore l' ho appena notato pure io, tornando alla pagina, vedi
l' altro messaggio su come la penso, in realta' il secondo problema
delle monete mi torna perfettamente, l' avevo messo solo per l'
analogia con questo dei figli che resta per me incomprensibile.
Rifacciamoci per un' attimo alla donna che attende due gemelli.
Possibile che le probabilita' siano
1/2  MF
1/4 MM
1/4 FF
???????????
ciao
fulvio (sempre piu' rinco... probabilmente)

 avendo acceso la lampadina, avrai anche scelto la scatola con MM?
Io capisco perfettamente le tue ragioni e sono perfettamente logiche,
pero' devo dirti anche che stasera mi vengono dei dubbi clamorosi :-)
Ad esempio:
sono d' accordo con te sul fatto che se una coppia decidesse di
mettere al mondo due creature e preferisse avere maschio e femmina
piuttosto che due figli dello stesso sesso, avrebbe 2 probabilita' su
4 di avere due figli di sesso diverso e le altre due su 4 di averli di
sesso eguale. Dunque le probabilita' di avere due figli di sesso
diverso sono doppie di quelle di avere due maschi e di quelle di avere
due femmine.
Ammettiamo che il primo figlio sia maschio. Bene, siamo a cavallo!!!
Visto che la probabilita' di avere bambini di sesso opposto era il
doppio rispetto a quella di avere due maschi a questo punto la nostra
fortunata famigliola dovrebbe avere 2 probabilita' su 3 di dare alla
luce una femminuccia, altrimenti il calcolo iniziale era sbagliato!!!
:-)
Lo stesso ragionamento vale se fosse nata prima una femmina.
Per favore non ridete, bevo solo acqua, aranciata e coca cola al
massimo...
ciao
fulvio

 maschi o due femmine o maschio e femmina; i casi sono 3 non 4...
Ah, è solo questo che non ti torna? La risposta mi sembra semplice: si
considerano i 4 casi MM MF FM FF perché sono equiprobabili(vedi sotto);
puoi considerare anche solo tre casi MM MF FF ma questi non sono
equiprobabili.
Che cosa significa "equiprobabili"? Dipende... nel contesto astratto
della pagina da te citata è solo una convenzione, nata dal fatto che
pare logico supporre che la nascita di un bambino di un certo sesso non
influenzi il sesso dei fratelli che nascono dopo di lui. Ovvero: quando
un bambino nasce c'è probabilità 1/2 che sia maschio e 1/2 che sia
femmina, indipendentemente dal sesso dei suoi fratelli. Questo
ovviamente non è esattamente vero nella realtà, ma è vero con ottima
approssimazione e parlare ogni tanto di bambini anziché di monete o di
dadi serve a rendere più vario il discorso.
Però sarebbe una convenzione priva di senso se non ci fosse un riscontro
almeno approssimato nella realtà. Intendo dire: se prendo un vasto
campione di famiglie con 2 figli, mi aspetto che le percentuali di MM MF
FM FF siano tutte del 25% con buona approssimazione. Ci sono piccole
discrepanze dovute a diversi fattori, ad esempio al fatto che in realtà
nascono leggermente più maschi che femmine. Inoltre, nel caso di parti
gemellari l'indipendenza dei sessi non è più rigorosamente vera: nel
caso di parti gemellari omozigoti i due gemelli devono avere lo stesso
sesso. Questi comunque sono solo una frazione dei parti gemellari, i
quali a loro volta sono una piccola frazione dei parti totali, quindi
l'influenza sul risultato totale è piccola.
Maurizio

 ???????????
Esattamente!
Uno dei due potrà essere M o F ed anche l'altro.
Per cui si avrà
MM
MF
FM
FF
Sempre che si tratti di gemelli eterozigoti, altrimenti i casi sarebbero
solo due
MM
FF
Un saluto
Gianni
--
Socio fondatore del Luigino Fans Club. Tessera n° 0001.
Aderite compatti al Luigino Fans Club (n° 80 aderenti, finora)
AAAA Meccanico esperto cercasi per installazione turbo.
Curriculum dettagliato a Tremonti - Ministero dell'Economia.

 Lo stesso ragionamento vale se fosse nata prima una femmina.
Il problema è che, in questo caso, il sesso del primo figlio sarebbe
assolutamente irrilevante.
Infatti esso serve solo ad eliminare due delle 4 possibilità e cioè se
fosse maschio verrebbero eliminate FM ed FF e rimarrebbero MM ed MF e
viceversa se fosse femmina.
In entrambi i casi si avrà che le probabilità sarebbero il 50% di avere
sesso discorde ed altrettante di sesso concorde.


 Io non capisco perche' si debba considerare MM MF FM FF: 
Te ne puoi convincere subito con un piccolo esperimento reale.
Metti in tasca 3 gettoni. Le facce sono colorate cosi'
Rosso-Rosso,  Bianco-Bianco, Rosso-Bianco.
Ora con i gettoni in tasca e senza guardare ne estrai uno e lo metti sulla 
tavola. Supponiamo che la faccia visibile sia bianca.
Qual e' la probabilita' che anche la faccia invisibile dello stesso gettone 
sia bianca?
Col tuo ragionamento, scommetteresti il 50%, difatti la faccia bianca 
elimina la possibilita' che il gettone in questione sia rosso-rosso e 
restano gli altri 2 equiprobabili.
Se la pensi cosi' arrivo con i tre gettoni e facciamo qualche puntatina.
In realta' la faccia bianca visibile puo' essere uno di questi 3 casi:
La faccia bianca del gettono rosso-bianco.
La faccia A del gettone bianco-bianco.
La faccia B del gettone bianco-bianco.
La probabilita' e' 2/3.
Assomiglia molto a Monte Hall, il gioco delle 3 porte che confonde ancora 
molte persone.
ciao dario

 sesso discorde ed altrettante di sesso concorde.
Chiedo scusa anticipatamente se posso sembrare polemico a tutti i
costi.
In effetti il paradosso che ho cercato di esporre e' solo apparente,
se cosi' non fosse i numeri del lotto ritardatari avrebbero piu'
probabilita' di uscire di quelli usciti di recente, il che e' assurdo
come sappiamo...
Purtroppo la discussione si e' spostata dal punto che intendevo
mettere in luce.
Prendiamo soltanto il primo problema:
In una famiglia con due figli è noto che c'è almeno un maschio. Qual è
la probabilità che entrambi i figli siano maschi ?
Risposta= 1/3
In una famiglia con due figli è noto che il figlio maggiore e'
maschio. Qual è la probabilità che entrambi i figli siano maschi ?
Risposta=1/2
Vediamo allora questo (lo enuncio per quei 2 o 3 che ancora non lo
conoscessero):
Depongo sul tavolo 3 carte coperte: due re ed un asso. Tu non puoi
sapere quale sia l' asso , io invece lo so. Tu scegli una delle tre
carte, indubbiamente hai 1 probabilita' su tre di trovare l' asso. Le
carte sono ancora coperte, io scopro una delle due carte che tu non
hai scelto e questa e' un re (ti posso sempre mostrare un re che non
hai scelto, perche' i re sono due e tu hai scelto una sola carta).
Adesso ci sono solo due carte coperte: un re ed un asso ed una delle
due e' la tua. Le tue probabilita' di aver trovato l' asso sono salite
forse ad 1/2 ?  No di certo erano 1/3 e restano 1/3.
Non vedete l' analogia tra questo gioco ed il problema dei figli? Ti
viene detto che c' e' un maschio e le probabilita' che siano due
maschi e' 1/3... OK! Ti viene detto che il maggiore e' maschio e le
probabilita' di 2 maschi salgono ad 1/2?  Continuo ad avere diverse
incertezze...
Certo se tu avessi posto la domanda : di che sesso e' il maggiore? e
ti venisse risposto : maschio! Allora si' lo accetterei
tranquillamente l' aumento ad 1/2, nell' esempio delle carte sarebbe
come se io avessi chiesto: "scoprimi un po' quella li'!" Indicandone
una delle due non scelte da me. Se fosse un re allora si' che le mie
probabilita' salirebbero ad 1/2, ma cosi' continua a non tornarmi,
anche se forse non riesco a spiegarmi bene...
ciao
fulvio

 molte persone.
Si'... li conosco naturalmente e non ho dubbi nemmeno su questi,
filano benissimo, vedi un po' la mia risposta a Ravesi, che ho cercato
di focalizzare la faccenda, poi domani ne parliamo con calma... :-)
ciao, buonanotte a tutti (come al solito lo leggeranno tutti a
mezzogiorno di domenica l' augurio di buonanotte :-))
fulvio

 luce una femminuccia, altrimenti il calcolo iniziale era sbagliato!!!
Forse ho capito qual è il problema: trascuri il fatto che la probabilità
di un evento non è data "una volta per tutte" ma dipende dalle
informazioni che ho sull'evento. La probabilità di avere figli di sesso
opposto è doppia di quella di avere due maschi solo se non ho altre
informazioni. Se so che il primo figlio è maschio, le due probabilità
sono invece uguali.
Esempio banale: qual è la probabilità di estrarre 11 da un sacchetto con
i numeri della tombola? Risposta: 1/90. Qual è la probabilità di
estrarre 22? La stessa.
Supponiamo adesso di sapere che una delle cifre del numero estratto è 2.
Qual è la probabilità di estrarre 11? Risposta: 0. Qual è la probabilità
di estrarre 22? Non ho voglia di fare il conto, ma sicuramente è
maggiore di zero. Le due probabilità ora sono diverse.
Maurizio

Puoi vederla "dinamicamente" per convincerti ...
Mamma e papa' decidono di allargare la famiglia :-)
Il primo figlio puo' essere maschio o femmina (incredibile, vero?)
Pm = 1/2
Pf = 1/2
Stesse prob valgono per il secondo figlio, quindi:
Pmm = 1/2 * 1/2 = 1/4
Pmf = 1/4
Pfm = 1/4
Pff = 1/4
Quindi la Pmm dato che almeno uno dei due e' maschio e' Pmm / (Pmm + Pmf +
Pfm) = 1/3
Nel secondo caso invece sai che il piu' grande e' maschio ... quindi la
probabilita' che entrambi siano maschi e' uguale alla probabilita' che il
secondo sia maschio, cioe' 1/2
Per quanto riguarda il tuo esempio con le monete, non puoi prenderlo a
paragone con questo.
In realta' per rendere calzante il paragone, le scatole da considerare
dovrebbero essere 4:
- una con 2 monete d'oro
- una con 1 moneta d'oro, una con 1 moneta d'argento
- una con 1 moneta d'argento, una con 1 moneta d'oro (ho volutamente
invertito l'ordine ...;-)
- una con 2 monete d'argento
Ciao
Tom Cat

 paragone con questo.
Ok concordo su tutto, ma questa discriminante introdotta dall' eta'
(potrebbe essere il piu' alto, il piu' pesante, il piu' bravo a scuola
e si avrebbe in tutti questi casi lo stesso aumento delle probabilita'
ad 1/2) continuo a trovarla "pretestuosa"
Che mi dici allora del problema delle tre carte? (lo riposto qui per
non perderci troppo nel thread)
Depongo sul tavolo 3 carte coperte: due re ed un asso. Tu non puoi
sapere quale sia l' asso , io invece lo so. Tu scegli una delle tre
carte, indubbiamente hai 1 probabilita' su tre di trovare l' asso. Le
carte sono ancora coperte, io scopro una delle due carte che tu non
hai scelto e questa e' un re (ti posso sempre mostrare un re che non
hai scelto, perche' i re sono due e tu hai scelto una sola carta).
Adesso ci sono solo due carte coperte: un re ed un asso ed una delle
due e' la tua. Le tue probabilita' di aver trovato l' asso sono salite
forse ad 1/2 ?  No di certo erano 1/3 e restano 1/3.
Non vedete l' analogia tra questo gioco ed il problema dei figli? Ti
viene detto che c' e' un maschio e le probabilita' che siano due
maschi e' 1/3... OK! Ti viene detto che il maggiore e' maschio e le
probabilita' di 2 maschi salgono ad 1/2?
Certo se tu avessi posto la domanda : di che sesso e' il maggiore? e
ti venisse risposto : maschio! Allora si' lo accetterei
tranquillamente
l' aumento ad 1/2.
Nell' esempio delle carte sarebbe come se io avessi chiesto: "scoprimi
un po' quella li'!"
Indicandone una delle due non scelte da me. Se fosse un re allora si'
che le mie
probabilita' salirebbero ad 1/2, ma cosi' continua a non tornarmi,
anche se forse non riesco a spiegarmi bene...
ciao, scusate di nuovo la polemicita'
fulvio

 la probabilità che entrambi i figli siano maschi ?
Segnalo a fulvio un thread iniziato qui il gennaio 2001, aperto da Diego 
Cuoghi col titolo: "Non capisco: enigma dei fratelli".
Credo ti possa interessare... prova a darci un'occhiata.
Sulle trepporte o le tre carte o le tre scatole invece puoi trovarne a
bizzeffe, ma immagino che gia' lo sai. C'erano anche delle
divertentissime dimostrazioni... ma dovrei cercarle.
Ciao ciao
Claudio
-- 
"Non si puo' far la frittata senza rompere le uova.
 Purtroppo, da un secolo si son rotte molte uova, e
 siam sempre senza frittata." (Isaiah Berlin)

 fulvio
Io la vedo cosi: la probabilità che il secondo figlio sia maschio è sempre
1/2, Ok?
 Dicendomi che il primo è maschio io so che le probabilità che siano
entrambi maschi è uguale alla probabilità che il secondo sia maschio e cioè
1/2.
GaS

 probabilita' di 2 maschi salgono ad 1/2?
Attenzione: sono due problemi differenti.
(1) Tra tutte le famiglie in cui un figlio e' maschio quale e' la prob che
entrambi siano maschi?
(2) Tra tutte le famiglie in cui il figlio maggiore e' maschio quale e' la
prob che entrambi siano maschi?