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Titolo: 1-2-3-4

Un quadrilatero ha i lati che misurano 1,2,3,4.
Qual e' l'area massima ottenibile?
Ciao, Silv:o)

Ciao, Silv:o)
ciao
paolo

 A=4.89897948...
Ottimo, anch'io con un metodo simile ho trovato quel valore.
La mia idea di partenza era quella di chiedere il massimo ell'area di un
poligono coi lati "pandigitali" tanto cari a Dario, ma il problema mi pare
un tantinello complicato, cosi' ho ripiegato sul fratellino minore.
Potremmo provare ad aggredirlo un passo alla volta (fissiamo comunque la
faccenda dei lati: devono essere ordinati).
Credo che gia' il pentagono sia tosto, tu che ne pensi?
Ciao, Silv:o)

Per il pentagono ho trovato 13.605
Attendo conferme
Ciao, Silv:o)

 Volendo, comunque, si puo' adattare lo stesso procedimento.
Ripeto il procedimento nei 2 casi rimanenti: 1 e 3 consecutivi, 1 e 2
consecutivi.
x=2/11*sqrt(385); e x = 1/7(sqrt(385).
Sorpresa: A invariata nei due casi.
Mannaggia! E' ovvio! Dovevo pensarci prima di fare i conti.
Se 1 e 4 sono consecutivi, dall'altra parte del lato lungo 1
ci sara' quello lungo, p. es. 2. Allora il massimo per 1 e 4 consecutivi DEVE
essere lo stesso che per 1 e 2 consecutivi. Ora ribaltiamo il triangolo x-2-3
rispetto all'asse del lato x: 1 e 3 sono consecutivi e l'area, massima per
ipotesi,
e' invariata!
Quindi nel fare i conti basta prendere un ordinamento qualsiasi.
Morale: a volte l'eccesso di strumenti rincogl... ehm,  ottenebra.
Mauro Fiorentini

Ciao,
Silvio wrote:

Mi fido.
Ho un dubbio: "a spanne" mi viene in mente che il poligono massimo debba
essere circoscrivibile. In pratica, cerco di approssimare al meglio il
cerchio, che a
parita' di merimetro massimizza l'area. Com'e' il tuo pentagono?
Mauro Fiorentini

Rifacendo i conti in modo simbolico, ho trovato che un quadrilatero di
lati A,B,C e
D ha area max:
1/4*(-A^2*B^2*(-2*C^2*D^2+D^4+C^4-2*A^2*B^2-2*C^2*B^2-2*B^2*D^2-2*A^2*C^2-2*A^2*D^2-8*C*D*A*B+B^4+A^4)/
(C*D+A*B)^2)^(1/2)+
1/4*(-C^2*D^2*(-2*C^2*D^2+D^4+C^4-2*A^2*B^2-2*C^2*B^2-2*B^2*D^2-2*A^2*C^2-2*A^2*D^2-8*C*D*A*B+B^4+A^4)/
(C*D+A*B)^2)^(1/2)
(mi spiace, non sono riuscito a semplificarla).
L'area max non dipende dall'ordine dei lati e il quadrilatero e' sempre
inscrivibile
in un cerchio. Quest'ultimo punto l'ho dimostrato calcolando i due raggi
dei cerchi circoscritti ai due triangoli col lato X comune (ABX e CDX).
Le formule non valgono se un lato e' maggiore della somma degli altri,
ma
restano valide per lati qualsiasi.
Sono curioso di sapere se anche il pentagono di Silvio e'
circoscrivibile.
Esiste una dimostrazione piu' semplice?
Vale per qualsiasi numero di lati?
Ciao
Mauro

Credo che gia' il pentagono sia tosto, tu che ne pensi?
Vorrei proporre due tipi di approccio, uno *geometrico* e l'altre *fisico*.
Dal punto di vista geometrico, non mi sembra particolarmente complicato,
piuttosto lungo da calcolare.
Teniamo presente che un poligono articolato di N lati ha N-3 gradi di
liberta', quindi puo' essere deformato in N-3 modi, e la sua area risulta
funzione di N-3 variabili.
Per esempio, per il pentagono 1-2-3-4-5, con:
AB=5
BC=4
CD=3
DE=2
EA=1
Sia beta l'angolo ABC.
Facendo variare beta, si determinano, in funzione di beta, la diagonale BC
del pentagono e l'area del triangolo ABC.
La parte di pentagono esterna ad ABC e' il quadrilatero ACDE.
Sia gamma l'angolo ACD.
Facendo variare gamma, si determinano la diagonale DA e le aree dei
triangoli ACD ed ADE.
Quindi l'area del pentagono puo' essere espressa in funzione dei due valori
beta e gamma.
Analogamente per qualsiasi poligono con lati di lunghezza nota.
_______________________
Dal punto di vista fisico: perche' le bolle di sapone sono sferiche?
Perche', per la pressione interna, tendono ad assumere la forma che, a
parita' di superficie, racchiude il volume massimo.
Trasferendo il problema sul piano, una linea chiusa con infiniti gradi di
liberta', come un filo perfettamente deformabile, sottoposto a *pressione
interna*, assumerebbe la forma circolare, con max. area a parita' di
perimetro.
Se anziche' il filo consideriamo un poligono articolato nei vertici,
sottoponendolo a pressione interna dovrebbe assumere la forma di max. area
richiesta.
Provo a buttare giu' una realizzazione pratica.
Costruisco un prisma (solo le facce laterali) avente per sezione il poligono
dato, per esempio realizzando strisce di lamierino abbastanza lunghe, di
larghezza rispettivamente uguli ai lati del poligono, e le unisco con nastro
adesivo per i lati lunghi.
Per mettere in pressione l'interno di questa sorta di tubo prismatico ho
pensato di metterlo dritto su un piano orizzontale e riempirlo d'acqua, ma
non saprei come assicurare la tenuta.
Forse funzionerebbe utilizzando sabbia anziche' acqua?
Oppure, collego alla parte superiore del tubo una calza, e collego l'altra
estremita' della calza ad un compressore d'aria.
Se qualcuno volesse provare, mi faccia sapere se funziona.
:-)))


 parita' di superficie, racchiude il volume massimo.
Mi vergognavo quasi a dirlo, ma l'idea che il poligono tendesse
naturalmente a disporsi coi vertici su una circonferenza mi era venuta
subito.
Ciao, Silv:o)

 Sono curioso di sapere se anche il pentagono di Silvio e'
circoscrivibile.
Il pentagono che ho studiato ha i lati in progressione (AB=1, BC=2,..) e le
diagonali risultano AC=2.8956 e AD=4.953. I triangoli ABC, ACD e ADE sono
circoscrivibili con circonferenze che hanno lo stesso raggio, almeno per i
primi tre decimali (R=2.717). A meno di errori di approssimazione, penso
che i 5 punti stiano effettivamente su di una circonferenza, la qual cosa
mi conforta.
Ciao, Silv:o)

Se qualcuno volesse provare, mi faccia sapere se funziona.
Più semplice: gonfiargli dentro un palloncino, il che equivale a trovare il cerchio inscritto di massima area.
--
Er Roscio.