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Titolo: Guadagni se scambi?

Vista l'invasione di lemmi e controlemmi, posto un problema di tipo 
diverso per variare un poco.
     Allora, io metto sul tavolo due pezzi di carta coperti. Dietro uno 
dei due pezzi c'e' un numero (diciamo N) , nell'altro vi e' il doppio 
(diciamo 2N) ma ovviamente non sappiamo dove. Hai la possibilita' di 
vincere tanti soldi quanti sono scritti sul pezzo di carta
     Ora tu scegli una carta, la scopri e guardi il numero. Io ti offro 
la possibilita' di scambiare, e prendere l'altra, oppure di tenerti 
quella. Scambi o tieni? Forse ti conviene scambiare. Dopo tutto,  se 
tieni, vinci N.  Se invece scambi, con probabilita' 1/2 vinci 2N e con 
probabilita' 1/2 vinci N/2, quindi mediamente vinci 1/2(2N) +1/2(N/2) = 
  N+N/4 che e' maggiore di N.
     Ovvio che ti conviene scambiare.
Pero' e' altrettanto ovvio che se siete in due e l'altro prende l'altra 
carta, con lo stesso ragionamento anche a lui conviene scambiare. A 
tutti e due conviene scambiarsi i numeri, ma ovviamente la cosa e' priva 
di senso.
     Dov'e' l'inghippo?? :-)
ciao Dario

Dov'e' l'inghippo?? :-)
Spoiler
I guadagni miei vanno di pari passo con le perdite
dell'altro giocatore e viceversa, infatti:
Carta in vista: 1000
A) Carta coperta:  500 --> io  -500 l'atro   +500
B) Carta coperta: 2000 --> io +1000 l'altro -1000
-- 
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Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1

Certo, ma il problema e' capire dove sta l'errore nel ragionamento.
ciao Dario

     Dov'e' l'inghippo?? :-)
Il ragionamento non torna: nei due casi "N" non è lo stesso, quindi non 
puoi sommarli come se lo fossero usando le regole del calcolo letterale. 
Per scoprire l'inghippo basta considerare che i due importi in gioco 
siano A e B, di cui si sa che A è maggiore di B ma non si sa in che 
rapporto sono. Allora i casi, se scambi, sono:
Avevi scelto "A" e trovi "B" = ci rimetti un importo pari a A-B.
Avevi scelto "B" e trovi "A" = ci guadagni un importo pari a A-B.
se i due casi sono equiprobabili, la media di vincita è
1/2(A-B)-1/2(A-B) = 0
Ovvero, come risulta anche intuitivo, mediamente scegliere di tenere o 
cambiare la carta coperta non cambia alcunchè ;-)
-- 
Fabrizio "Hermooz" Ermini

 cambiare la carta coperta non cambia alcunchè ;-)
Facciamo notare però che non è affatto detto che i due casi siano
equiprobabili.
Una volta guardata la prima carta, non è vero in generale che l'altra
mostrerà un valore doppio o dimezzato al 50% di prob. Affinché questo fosse
vero dovremmo avere una distribuzione di probabilità uniforme su tutti i
numeri reali, nella scelta dei numeri da scrivere sulle carte.
E questo ovviamente non è possibile.
O la densità di prob. non è costante, oppure l'intervallo di valori
possibili è limitato. In entrambi i casi non è vero che 2N e N/2 sono
equiprobabili, per cui il ragionamento che il problema suggerisce è
sbagliato.
Ciao
Andrea

Certo, ma il problema e' capire dove sta l'errore nel ragionamento.
OK.
Spoiler
Ho 100 tavoli, su ognuno di essi c'e` una carta scoperta
con scritto 1.000 e un'altra coperta.
Sui primi 50 la carta coperta e` 500, sugli altri e` 2.000.
E` chiaro che devo cambiare sempre, infatti:
Tengo: 100x1.000=100.000
Cambio: 50x500+50x2.000=125.000
Se ora supponiamo che anziche' sempre la carta da 1.000
le carte siano scoperte casualmente, avremo:
- Nei primi 50 tavoli 25 mostrano 1.000, 25 invece 500;
- Negli altri 50 avremo invece: 25 1.000 e 25 2.000.
In questo caso, che dovrebbe simulare la situazione reale,
si vede che e` indifferente scambiare o tenere, infatti:
Primi 50 tavoli. Tengo=cambio=12.500+25.000
Secondi 50. Tengo=cambio=25.000+50.000


 E questo ovviamente non è possibile.
O bella,  e perchè? Guarda che non sono carte da gioco, ma solo pezzi di 
carta su cui posso scrivere i numeri che mi pare. Anche limitandosi ai 
numeri naturali, ho a disposizione infinite coppie (n,2n) da usare come 
elementi della distribuzione. Anche limitando l'insieme, diciamo, a n da 
1 a 50, cosa mi impedirebbe di avere una distribuzione uniforme?
-- 
Fabrizio "Hermooz" Ermini

 ha scritto nel messaggio
news:2lf0e7F...@uni-berlin.de...

Se i numeri vanno da 1 a 50 e sulla carta trovo 49, io non cambierei,
pensando di raddoppiare! E anche se non so quali sono gli estremi
dell'intervallo, è comunque vero che se sono vicino a uno dei bordi, non ho
uguale prob. di raddoppiare o dimezzare se decido di cambiare carta.
In generale qualunque sia il criterio con cui opera chi prepara i due
numeri, non può essere vero in generale che c'è il 50 e 50 di raddoppiare
rispetto che dimezzare, cambiando carta. Questo vale anche se, in linea di
principio, comparissero tutti i numeri da -inf a +inf, non c'è modo di avere
distr. uniforme.
E' un problema molto noto questo, lo trovi anche nelle faq di rec.puzzles,
con una spiegazione più dettagliata.
Ciao
Andrea

 con una spiegazione più dettagliata.
Non frequento quell'ng, hai mica un puntatore pf?
bye!
-- 
Fabrizio "Hermooz" Ermini

 puoi sommarli come se lo fossero usando le regole del calcolo letterale.
Non è corretto: il valore che leggi è unico e lo puoi chiamare "N", per cui
è corretto il ragionamento fatto.
L'errore sta nel considerare equiprobabile il fatto che l'altro abbia 2*N o
N/2