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Titolo: ...nemero

Salve a tutti,
magari è un problema trito e ritrito...comunque:
trovare almeno un numero in cui spostando la prima cifra dopo l'ultima si
ottiene un numero esattamente dimezzato rispetto al primo.
Saluti
--
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Vincent: There's no gene for fate.

 ottiene un numero esattamente dimezzato rispetto al primo.
La mia memoria storica (2 anni) ricorda solo un mio quesito di piu' di
un anno fa, ed uno riproposto poco tempo dopo. Ho ripescato il msg, nel
quale chiedevo di trovare un numero che raddoppiasse spostando l'ultima
cifra in prima posizione. Ovviamente e' equivalente a questo. Dario Uri
prontamente diede la soluzione e propose di generalizzare con diversi
fattori moltiplicativi. Seguono soluzioni ed un semplice algoritmo per
risolvere questo tipo di problemi:
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L'algoritmo per trovare le soluzioni e' semplicissimo e si basa su
questa considerazione:
sia aXXcb il numero prima dello spostamento, XXcba dopo.
Il primo e' il doppio del secondo, per cui b rappresenta le unita' di
2*a.
Continuando la moltiplicazione, 2*b piu' l'eventuale resto di 2*a deve
dare c, e cosi' via. Quando ritorniamo alla cifra a dalla quale siamo
partiti (con riporto nullo) allora abbiamo trovato il numero in
questione.
L'algoritmo genera facilmente le soluzioni che riporto piu' giu', e si
presta ottimamente alla generalizzazione del problema, che consiste nel
trovare quei numeri che si dividono per n quando l'ultima prima cifra
viene spostata in prima posizione:
Si fissa una cifra, la si moltiplica per n, si scrive il risultato (solo
le unita') e si tiene a mente l'eventuale riporto; la seconda cifra (da
destra) la si ottiene moltiplicando per n la prima ed aggiungendo il
riporto precedente, e cosi' via finche' non si ottiene la
stessa cifra di partenza, con riporto nullo.
Per esempio, per n=4, partendo dal 4 come prima cifra si ottiene:
4*4  =16, scrivo 6 e riporto 1 => ¹6
6*4+1=25, scrivo 5 e riporto 2 => ²56
5*4+2=22, scrivo 2 e riporto 2 => ²256
2*4+2=10, scrivo 0 e riporto 1 => ¹0256
0*4+1=1,  scrivo 1 e riporto 0 =>  10256
1*4+0=4,  scrivo 4 e riporto 0 =>  410256
mi fermo perche' sono tornato al 4 di partenza con riporto nullo e
quindi l'ultimo numero, 410256, e' esattamente ottenuto moltiplicando
102564 per 4
Ecco una tabella dei risultati, a partire da n=2 che e' il caso in
questione
n=2
210526315789473684
315789473684210526
421052631578947368
526315789473684210
631578947368421052
736842105263157894
842105263157894736
947368421052631578
---------
n=3
3103448275862068965517241379
4137931034482758620689655172
5172413793103448275862068965
6206896551724137931034482758
7241379310344827586206896551
8275862068965517241379310344
9310344827586206896551724137
---------
n=4
410256
512820
615384
717948
820512
923076
---------
n=5
510204081632653061224489795918367346938775
612244897959183673469387755102040816326530
714285
816326530612244897959183673469387755102040
918367346938775510204081632653061224489795
---------
n=6
6101694915254237288135593220338983050847457627118644067796
7118644067796610169491525423728813559322033898305084745762
8135593220338983050847457627118644067796610169491525423728
9152542372881355932203389830508474576271186440677966101694
---------
n=7
7101449275362318840579
8115942028985507246376
9130434782608695652173
---------
n=8
8101265822784
9113924050632
---------
n=9
91011235955056179775280898876404494382022471
Molto spesso le soluzioni sono ottenibili le une dalle altre con
rotazioni cicliche, prendendo come ultima cifra una di quelle ottenute
senza generare riporto. Concatenando due o piu' soluzioni se ne
ottengono delle altre, avendo l'accortezza di scegliere il primo e
l'ultimo anello uguali.
Se invece si ammette che il numero dopo lo spostamento possa avere degli
zeri iniziali, ci sono soluzioni per tutti i valori di n, ancora
ottenibili con lo stesso algoritmo;
per esempio, per n=22 una soluzione e' 10045662, infatti
10045662/22=00456621
per n=100, banalmente 100, 200,... sono soluzioni.
Ciao, Silvio

 Giň scrive
Visto che Silvio ha gia' risposto con dovizia di particolari come sua
consuetudine, propongo quest'altro molto piu' intrigante:
Dimostrare che non esiste un numero in cui,
spostando la prima cifra dopo l'ultima si ottiene un secondo numero che
sia  doppio del primo.
:)dario

 sia  doppio del primo.
.

Lo dimostro in maniera esaustiva, ma sono sicuro che ci sono metodi
molto piu' eleganti.
Sia X = x..... il primo numero e Y = .....x il secondo.
Ovviamente x<5, altrimenti il secondo numero dovrebbe avere una cifra in
piu', e x>0: restano solo 2 o 4!
1. Proviamo col 2.
  X = 2.....
  Y = .....2
  Ora l'ultima cifra di X deve valere 1 oppure 6
  1.1
    X = 2....1
    Y = ....12
    Impossibile perche' 1*2=2 non genera riporto e la moltiplicazione
successiva
    dara' quindi un risultato pari, e non certo 1 (chiamiamo (a) questo
assurdo)
    1.2
      X = 2...86
      Y = ...862
  1.2
    X = 2....6
    Y = ....62
    Impossibile (a)
    Impossibile per il motivo opposto: 6*2 genera riporto da sommare
alla successiva
    ottenendo un dispari, e non certo 6 (assurdo (b))
2. Proviamo col 4
  X = 4.....
  Y = .....4
  2.1
    X = 4....2
    Y = ....24
    Ma ora siamo ricaduti nel caso 1.!
  2.2
    X = 4....7
    Y = ....74
    2.2.1
      X = 4...37
      Y = ...374
      Impossibile (a)
    2.2.2
      X = 4...87
      Y = ...874
      Impossibile (b)
Ciao, Silv:o)

mi sono incasinato col taglia-incolla, e due righe che avevo tagliato
sono bellamente ritornate a galla. Scusate.


     X = 2....6
     Y = ....62


 molto piu' eleganti.
L'aveva proposto Elio Fabri in altra sede.
Ho ripescato la mia risposta:
Dobbiamo risolvere:
k.........*
         2=
------------
.........k
Il numero di cifre non cresce dopo la moltiplicazione, percio' k<5 e
dovendo essere pari, k=2 o k=4.
Poniamo X = il numero di m cifre ottenuto cancellando k.
a) Se k=2, dovrebbe essere (2*10^m+X)*2 = 10X+2
b) Se k=4,    "       "    (4*10^m+X)*2 = 10X+4
Ma risolvendo i 2 casi, Derive mi da':
a) X = 10^m/2-1/4 
b) X = 10^m-1/2
In entrambi i casi X non puo' essere intero.
Cosi' il numero non esiste.
dario

dario
ciao
paolo