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Titolo: tre intorno e uno dentro

Se scegliamo a caso tre punti A,B,C, su di una circonferenza ed un punto P
nel cerchio delimitato da tale circonferenza, qual e' la probabilita' che il
punto P sia interno al triangolo ABC?
Ciao, Silv:o)

Ciao, Silv:o)
ciao
paolo
PS
possibile variante:
qual'e' la probabilita' che il centro del cerchio sia interno al triangolo?

qual'e' la probabilita' che il centro del cerchio sia interno al triangolo?
Questo l'abbiamo risolto qualche giorno fa!
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...se il centro e' interno allora il triangolo e' acutangolo e le tre
tangenti eccetera eccetera...
Ciao, Silv:o)

 rapporto tra l'area del triangolo e quella del cerchio.
e cosi' se risolviamo questo abbiamo risolto anche uno dei problemi di
Matteo...
Io la vedo cosi':
I tre punti individuano tre angoli, a1, a2 e a3, la cui somma e duepigreco
e che, pur essendo dipendenti, sono egualmente distribuiti per questioni di
simmetria.
Comunque si scelgono i tre punti, il triangolo e' la somma dei tre
triangolini OAB, OBC e OCD, la cui area e'
S_i=1/2*sen(a_i/2)*cos(a_i/2)=1/4*sen(a_i)
Mediamente ognuno avra' area pari alla media (integrale) di S_i, che e'
1/pi*integrale(0,pi;S_i)=1/(2*pi)
Per l'additivita' della media, l'area del triangolo ABC e' mediamente tre
volte S, quindi 3/(2*pi).
Il rapporto tra questa e' larea del cerchio e' 3/(2*pi^2)=0,15198...
che e' il valore che hai trovato simulando (btw anch'io ho ripetuto con gli
stessi risultati la simulazione).
Ho imbrogliato un po' trascurando il caso di angoli maggiori di  pi che
darebbero triangolini da sottrarre (infatti nella formula dell'area c'e' il
seno che diventa correttamente negativo) ma poi mediando li ho trascurati
(la media mi veniva nulla altrimenti ;( )
Pero' il procedimento mi pare quelo giusto (tra l'altro si dovrebbe
applicare facilmente anche al problema del perimetro)
Sta in piedi?
Ciao, Silv:o)

 Sta in piedi?
Ovviamente no :(
Ciao, Silv:o)


Indubbiamente quando ho letto il problema mi sembrava complicata la
risoluzione,
a meno di qualche teorema dimenticato.
Vedo che la discussione sta scivolando su argomenti di tipo
it.scienza.matematica !
Magari Matteo ha una soluzione banale. Comunque sono problemi interessanti.
Ciao
Andrea
--
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it.scienza.matematica !
Senza che ce ne sia troppo bisogno, dopotutto.
Allora:
I tre archi, come suggerisce l'intuizione, vanno trattati in maniera
simmetrica.
Il triangolo ABC e' la somma di tre triangoli OAB, OBC e OCA i quali possono
essere "negativi" se hanno l'angolo in O maggiore di 180.
Fin qui mi pare tutto abbastanza intuitivo.
Anche la considerazione che, dato che cerco l'area MEDIA e non quella di un
particolare triangolo, posso in realta' calcolare l'area media del
triangolino e moltiplicarla per tre, mi pare ragionevole, anche se non
proprio intuitiva.
Ora nel mio primo tentativo avevo assunto che gli archi avessero una
lunghezza casuale tra 0 e 2pi, mentre in realta' non e' cosi'. Dato che
stiamo segnando due punti a caso sulla circonferenza (il terzo lo fissiamo
come origine) un arco sara' il minimo tra i due, l'altro la differenza tra
minimo e massimo, ed il terzo il rimanente fino a 2pi. Pero' avevamo detto
che studiavamo solo il primo di questi, quindi dobbiamo cercare di capire
che valori assume il minimo tra due numeri scelti a caso.
Con qualche calcolo abbastanza semplice si trova che questo minimo assume
valori piccoli con probabilita' abbastanza grande, e che questa probabilita'
va a scendere IN MANIERA LINEARE al crescere dell'arco. Il grafico e' una
retta in discesa che parte da 1/pi per l'angolo nullo fino a zero per
l'angolo giro.
Torniamo all'area del triangolo AOB. Questa vale, con un po' di
trigonometria, S(a)=sen(a/2)*cos(a/2)=1/2*sen(a). Per calcolare la media di
questa superficie "pesata" a seconda della effettiva incidenza, bisogna
integrare da 0 a 2pi la superficie S(a) per la "frequenza" con la quale il
triangolo si presenta.
Ho calcolato la superficie media e viene 2/pi, proprio come avevo trovato
col procedimento sbagliato del post precedente!
Quindi confermo il mio primo (fortunoso) tentativo: 3/(2*pi^2)=0,15198...
Ciao, Silv:o)

Andrea
Oddio, anch'io avevo fatto l'integrale, che a veder bene e' banale...
Ho impostato cosi':
  Fisso un punto A. Il primo punto in senso orario lo chiamo B ed il secondo
C. Chiamo il centro della cfr O. Chiamo 2x l'angolo AOB  (positivo) e 2y
l'angolo AOC (positivo). x puo' variare fra 0 e pi, y puo' variare tra 0 e
pi-x.
  L'area del triangolino AOB, tenendo conto dell'affare dei triangolini
negativi quando x>pi/2, e' data da sin(x)*cos(x)=1/2*sin(2x), l'area di AOC
da 1/2*sin(2y), e l'area di BOC da
sin(2pi-2x-2y)*cos(2pi-2x-2y)= -1/2*sin(2x+2y). Il dominio di integrazione
sul piano xy e' il triangolo x>0,  0<y<pi-x, di area 2*pi^2.
  Come ha notato Silvio e come ci si poteva aspettare da ragioni di
simmetria, i 3 integrali hanno lo stesso valore, pari a pi. L'area media
risulta quindi 3/2pi.
  Non voglio addentarmi in questioni sottili di distribuzioni et affini: a
mpsps non siamo nemmeno ad un terzo del programma... ;)
  La cosa davvero strabiliante invece e' il fatto che io e Silvio abbiamo
pensato ad un problema identico, non ancora visto su questo ng, quasi nello
stesso momento. Personalmente ritengo di essere stato influenzato dalla
recente abbondanza di problemi riguardanti corde, archi, frecce etc..
ciao
MF