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Titolo: per i mateamatici

si divida una circonferenza in N spicchi, determinati da N raggi e si
mettano in ogni spicchio un numero intero.
dimostrare che esiste sempre un settore del cerchio, delimitato dai raggi di
prima, in cui la somma dei numeri coinvolti sia divisibile per N.

stefano pascolutti chiede

Cosa intendi con "settore del cerchio, delimitato dai raggi di prima" ?
* Se intendi uno o piu' spicchi contigui, allora esistono almeno due
soluzioni banali, il settore composto dal solo spicchio n ed il settore
composto da tutti gli spicchi escluso lo spicchio n se n č diapari o n/2 se
č pari.
Per esempio, per n=8 si puň prendere lo spicchio 8 oppure tutti meno lo
spicchio 4.
* Se intendi settori formati da un numero di spicchi contigui compresi tra
questi due casi estremi, allora la cosa si fa piů seria.
* Se intendi che non ho capito assolutamente cosa intendi, la cosa si fa
drammatica ...per me 8^)
Ciao, Silv:o)

 drammatica ...per me 8^)
hai capito bene quella degli spicchi contigui. perň i numeri non č detto che
siano tutti i numeri tra 0 e n. potrebbe essere qualsiasi numero naturale!

 siano tutti i numeri tra 0 e n. potrebbe essere qualsiasi numero naturale!
Non riesco a venire a capo del quesito, espongo i miei pochi ragionamenti
qui sperando che possano servire da trampolino di lancio a qualcun'altro.
1) E' facile vedere come i numeri negli spicchi si possono considerare
modulo n, se x=n+y si puo' sostituire con y e la storia non cambia.
2) Considerando che, per quanto detto prima, possiamo avere come numero
massimo in ogni spicchio n e come minimo si ha 1 (l'esposto dice che devono
essere interi) la somma di tutti gli interi presenti va da n a n^2, in tutto
si hanno n^2-n+1 possibili somme.
3) Gli spicchi sono "radunabili" in n(n-1)+1 modi diversi (tutti gli n
spicchi da soli, le n coppie di 2 spicchi contigui, le n triple di 3 spicchi
contigui,....., tutti gli n spicchi).
4) Notiamo che al punto 2 e 3 si ha lo stesso valore.
Di piu' non so' proprio, forse non servono a niente queste mie
considerazioni ma forse si.
Ciao a tutti,
GaS

stefano pascolutti dice

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Scegliamo un raggio qualsiasi come origine, e proseguiamo in verso
orario marcando ogni raggio con la somma parziale (modulo n) di tutti
gli spicchi compresi tra l'origine ed il raggio in questione. Se
troviamo due raggi con la stessa etichetta, allora la regione compresa
tra i due raggi ha una somma divisibile per n. Se non ci sono
etichette uguale almeno un raggio sarà etichettato con 0, e la regione
compresa tra l'origine e quel raggio avrà ancora somma nulla.
Ciao, Silv:o)

 Scegliamo un raggio qualsiasi come origine...
Alcune considerazioni:
1) abbiamo dimostrato un risultato leggermente più generico: scelta comunque
una sequenza di n numeri interi, esiste almeno una sottosequenza con somma
degli elementi multipla di n
2) nel caso ciclico, esistono almeno due settori con somma multipla di n,
tranne i casi limite in cui l'unica soluzione è costituita da un solo
spicchio oppure tutto il cerchio. Infatti, esclusi i casi limite, possiamo
scegliere l'origine all'interno della soluzione trovata, e il punto 1) ci
dice che
un'altra soluzione deve esistere.
--
Ciao, Silv:o)

 wrote in message
agf5jd$kg0jk$1...@ID-49224.news.dfncis.de...

e come dimostri il punto 1??

 e come dimostri il punto 1??
mi pareva di averlo dimostrato.
Basta gurdare le somme parziali modulo n, e notare che ce ne devono
essere due uguali oppure uno 0.
esmpio con n=6
1-3-5-2-3-8
se guardiamo le somme parziali abbiamo
1 - 3 - 5 - 2 - 3 - 8
. 1 . 4 . 3 . 5 . 2 . 4
ci sono due 4, quindi la sequenza 5-2-3-8 ha somma nulla modulo 6,
infatti vale 18 che è multiplo di 6. Se non ce ne sono due uguali vuol
dire che c'è uno 0. Per esempio
1 - 3 - 5 - 2 - 1 - 8
. 1 . 4 . 3 . 5 . 0 . 2
questo significa che la sequenza 1-3-5-2-1 ha somma nulla modulo 6,
infatti vale 12.
--
Ciao, Silv:o)


ok! quello che avrei voluto vedere era il teorema cinese del resto, ma
questa dimostrazione è ineccepibile! ci sentiamo per il prox quesito!