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Titolo: La casa al mare

Ho appena scelto la villetta in cui passero' il mio mese di vacanze al mare.
E' situata su un bellissimo viale alberato, proprio davanti alla spiaggia, 
per cui le case, diversamente dal solito, sono numerate con la seguenza 1, 
2, 3, 4, ...
Il numero della mia villetta e' nella trentina, e gode di una 
particolarita': La somma dei numeri delle case che la precedono e' 
esattamente uguale alla somma dei numeri delle case che la seguono.
Quante case ci sono su quel lungomare, e qual'e' il numero della mia 
villetta?
Ciao, Antonio
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spoiler
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Il numero della villetta è 35:
somm. num. da 1 a 34 = 595
somm. num da 36 a 49 (numero totale delle villette) = 595.
Ciao

 Ciao, Antonio
spoiler
V
V
V
V
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V
V
Ci sono 49 villette e la tua è la 35esima
sia n il numero della tua villetta e m il totale
noi vogliamo che la somma da 1 a n-1 sia uguale alla somma da n+1 a m
ovvero: n*(n-1)/2=(n+m+1)*(m-n)/2.
risolvendo per m si ha: m=(sqrt(8n^2+1)-1)/2
dovendo essere intero abbiamo 8n^2+1=quadrato perfetto.
Sapendo che n va da 30 a 39 troviamo n=35 m=49.
Ciao
Andrea

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complimenti per l'ottima scelta, anche io l'anno scorso ho preso la 35 e mi
sono trovato stupendamente. :o)
                                                            Gas

 noi vogliamo che la somma da 1 a n-1 sia uguale alla somma da n+1 a m
In sostanza si ha n^2=m*(m+1)/2, ovvero stiamo cercando un numero che sia
contemporaneamente quadrato e triangolare (sono cosi` detti i numeri
1+2+..+n=n*(n+1)/2).
Prima di arrivare alla domanda fatemi dare ancora una volta sfoggio di
ascii-art ;)
Rappresentiamo ogni villa con un segmento di lunghezza crescente
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|_|_
|_ _|_
|_ _ _|_
|_ _ _ _|_
|_ _ _ _ _|_
|_ _ _ _ _ _|_
|_ _ _ _ _ _ _|_
|_ _ _ _ _ _ _ _|
La villa x che risponde alle ipotesi del problema deve essere tale che la
somma delle strisce che la precedono eguagli la somma delle strisce che la
seguono. Se aggiungiamo alle strisce prima della villa x un triangolo
simmetrico e togliamo le strisce oltre la x, l'area della figura non cambia,
pero` si e` trasformata da triangolo in quadrato.
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|_|_        |
|_ _|_      |
|_ _ _|_    |
|_ _ _ _|_  |
|_ _ _ _ _|_|
|_x_x_x_x_x_|
Very nice.
La domanda e` questa. Diversi anni fa, per un problema simile, dovevo
trovare numeri quadrato-triangolari. Non sapevo certo dell'esistenza delle
equazioni di Pell per la soluzione di equazioni di quel tipo, per cui trovai
una semplice formula ricorsiva che mi forniva tutti i valori che volevo.
Sapreste trovare qualcosa di simile, insomma un metodo che senza patemi mi
dia la lista di tutti i numeri T-Q?
Ciao, Silv:o)

 dia la lista di tutti i numeri T-Q?
Forza bruta + intuito :-)
m             n             m*(m+1)/2=n^2           r=m(i)/m(i-1)
1             1             1
8             6             36                      8
49            35            1225                    6.125
288           204           41616                   5.87755102
1681          1189          1413721                 5.83680555
9800          6930          48024900                5.82986317
57121         40391         1631432881              5.82867346
332928        235416        55420693056             5.82846938
1940449       1372105       1882672131025           5.82843437
11309768      7997214       63955431761796          5.82842836
65918161      46611179      2172602007770041        5.82842733
384199200     271669860     73804512832419600       5.82842716
2239277041
    1583407981    2507180834294496361     5.82842713
13051463048   9228778026    85170343853180456676    5.82842712
76069501249   53789260175   2893284510173841030625  5.82842712
443365544448  313506783024  98286503002057414584576 5.82842712
fino alla settima riga trovata con la forza bruta (programmino in basic)
poi, esaminando i dati trovati, ho osservato che i rapporti r tra due valori
consecutivi di m tendono a convergere (vedi quarta colonna), quindi, con
pochi tentativi, ho trovato i valori successivi.
Pero', non ho idea del significato del numero 5.828427....
ciao
paolo

 Pero', non ho idea del significato del numero 5.828427....
Se trovi la relazione ricorsiva scopri anche l'origine del 5.82...
Ciao, Silv:o)

dia la lista di tutti i numeri T-Q?
Ciao Silvio, una formula ricorsiva per risolvere l'equazione
diofantina n*(n+1)/2=mm si puo' ottenere in quato modo.
Mettiamo che n+1 sia dispari: deve essere un quadrato, perche'
moltiplicato per un numero primo con esso (n/2) da' il quadrato mm;
anche n/2 deve essere un quadrato. Posto n/2=xx e n+1=yy si ha
2 xx = yy - 1
Analogamente, se n+1 e' pari, sia n sia (n+1)/2 devono essere
quadrati. Allora, posto (n+1)/2=xx e n=yy, si ha
2 xx = yy + 1
Si tratta di risolvere l'equazione di Pell 
2 x^2 = y^2 segno 1, dove segno e' + o -.
La formula ricorsiva si ha osservando che 
(1,1) risolve 2 xx = yy+1
se (x,y) risolve 2 xx = yy segno 1 
 allora (x+y,2x+y) risolve 2 xx = yy -segno 1.
Quindi le soluzioni dell'equazione di Pell sono
(x(n), y(n)) dove x_0=y_0=1 e x(n+1)=x(n)+y(n) ; y(n+1)=2x(n)+y(n).
(in verita' si dovrebbe provare anche che tutte le soluzioni sono
fornita da questa formula). Eliminando y(n+1)=x(n+1)+x(n) si ha la
formula ricorsiva
x(0) = 0
x(1) = 1
x(n+2) = 2x(n+1)+x(n)
Cosi' i numeri triangolari e al tempo stesso quadrati sono tutti e
soli gli (x(n)*y(n))^2=(x(n)^2+x(n))^2. Notare che il problema
equivale a trovare quei numeri triangolari il cui doppio e' ancora
triangolare (3,105,3570,..)
Ciao

soli gli (x(n)*y(n))^2=(x(n)^2+x(n))^2.
volevo dire: (x(n)*y(n))^2 = (x(n)^2+x(n)*x(n-1))^2

 volevo dire: (x(n)*y(n))^2 = (x(n)^2+x(n)*x(n-1))^2
Davvero illuminante.
Io le relazioni ricorsive le avevo trovate in maniera molto piu' empirica,
ma comunque ci ero arrivato.
per m trovavo:
m(-1)=0
m(0)=1
m(i+2)=6m(i+1)-m(i)
per n invece:
n(-1)=0
n(0)=1
n(i+2)=6n(i+1)-n(i)+2
in entrambe le successioni il rapporto tende a stabilizzarsi verso un valore
r:
r(i)=m(i+1)/m(i)=(6m(i)+m(i-1))/m(i)=6+m(i-1)/m(i)
passando al limite si ottiene
r=6+1/r da cui r^2-6r-1=0 ==> r=3+2*sqrt(2)=5.82... (il valore trovato da
Paolo)
Ora che conosco la successione di Pell x(i), posso esprimere volendo il
tutto in base a quella, n sara' 2*x^2 (2*x^2+1 per i termini dispari) e
similmente m.
Ciao, Silv:o)

 2 x^2 = y^2 segno 1, dove segno e' + o -.
Si puo' ragionare anche cosi':
Per il teorema di Diofanto, sui numeri figurati, 8T+1=Q (8 Triangolari +
1 = Quadrato) facilmente verificabile con un disegnino geometrico.
Se troviamo un quadrato X^2 tale che 8X^2+1=Q, allora X^2 deve essere
triangolare. Questo richiede la sol. di 8X^2+1=Y^2. 
1,36,1225,41616,1413721...
Questi sono generati dai quadrati di 1,6,35,204...
Dove l'ennesimo termine u_n e' dato da 6u_(n-1) - u_(n-2).
Il prossimo sara' 204*6-35. ecc.
:)dario
ciao :) dario