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Titolo: giochino matematico

Esiste un numero intero che letto da destra verso sinistra e' il doppio
di se' stesso.
Es. 45 letto al contrario e' 54, che non e' il doppio di 45.
By  Nicola e Mirko

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Scusate ma ho dimenticato il punto interrogativo. La mia non e' una
affermazione ma una domanda.
Ciao

Si: il numero 0 (zero)

> By  Nicola e Mirko
No, non esiste, abbozzo una dimostrazone:
la tua domanda equivale a trovare gli a con indice i che noterò a[i] che
risolvono l'equazione:
10^n*a[n]+...+10*a[1]+a[0]=2*(10^n*a[0]+...+10*a[n-1]+a[n])
con a[i] intero compreso tra 0 e 9 inclusi.
Dall'equazione ricaviamo il sistema:
a[n]=2*a[0]
a[n-1]=2*a[1]
...
a[1]=2*a[n-1]
a[0]=2*a[n]
nel quale, otteniamo per sostituzione che a[0]=4*a[0] da cui a[0]=a[n]=0,
procedendo nello stesso modo con le altre equazioni del sistema si verifica
facilmente che tutti i coefficienti a[i] devono essere per forza nulli da
cui l'unico numero che verifica la proprietà da te enunciata è 0. Infatti
0=2*0 !!
Ciao, Ludovico 
vip...@iol.it

Esiste un numero che letto al contrario coincide con il suo doppio?
Dopo aver tentato inutilmente di trovare questo numero con tre e quattro
cifre, mi e' venuto il dubbio che questo numero non esista proprio.
Provo a dimostrarlo.
Supponiamo di averlo trovato: lo chiamiamo N e chiamiamo Nc il numero
ottenuto leggendo N al contrario.
Sia N che Nc hanno (n+1) cifre e (ovviamente) non finiscono per zero.
La soluzione zero e' ovvia.
La condizione del problema e':  N = 2 Nc
Cosa succede se tolgo 1 ad N ?
Che Nc diminuisce di 10 elevato a n.
Allora: N - 1 = 2 Nc - 1 = 2 ( Nc - 10^n ) - 1
Ovvero: 2 Nc - 1 = 2 Nc - 2 * 10^n - 1
Semplificando:  2 * 10^n = 0 
Che non puo' essere vera per nessun valore positivo di n.
Quindi N = 2 Nc non puo' essere realizzabile.
Se ho fatto errori... non infierite! Grazie.
-- 
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Giancarlo Pillan  -  Ivrea  -  Italy
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Quando scrivi 2 Nc -1= 2 (Nc -10^n) - 1  con Nc indichi due cose
diverse, il primo  Nc e' l' inverso di N, il secondo (Nc -10^n) e' l'
inverso di N-1 quindi non sussiste l' uguaglianza.
Ciao

 
Il tuo ragionamento funziona con a[i]<5 perche' in tal caso a[i]*2 e'
ancora un numero con un' unica cifra. Negli altri casi ti rimane un
riporto che devi sommare al successivo quando moltiplichi per due.
Sei sulla strada giusta....
Ciao

riporto che devi sommare al successivo quando moltiplichi per due.
Ci riprovo !!
10^n*a[n]+...+10*a[1]+a[0]=2*(10^n*a[0]+...+10*a[n-1]+a[n])
Con a[i] intero compreso tra 0 e 9 inclusi eccezion fatta per a[0] che deve
essere pari (il numero di sinistra deve essere divisibile per 2),
strettamente minore di 5 (se no si hanno 2 numeri con ordini di grandezza
diversi) e diverso da 0 (per lo stesso motivo). Poniamo anche a[n] <>0 (da
intendere come ultima cifra non come tutte le cifre).
Riassumendo a[0]=2 o 4 sono le uniche possibilità.
(int(x) è la parte intera di x, nel mio sistema qualunque int(...) varrà 0 o
1)
Ora ricaviamo il sistema seguente :
a[0]=2*a[n]-10*int(a[n]/5)
a[1]=2*a[n-1]-10*int(a[n-1]/5)+int(a[n]/5)
...
a[n-1]=2*a[1]-10*int(a[1]/5)+int(a[2]/5)
a[n]=2*a[0]+int(a[1]/5)    rem: ometto 10*int(a[0]/5) perchè tanto è 0
Osservando la 1a eq. si ricava :
a[0]=2    =>   a[n]=1 o 6
a[0]=4    =>   a[n]=2 o 7
Proviamo ora a verificare se qualcuna di queste soluzioni verifica l'ultima
eq :
a[0]=2     =>  a[n]=4+int(...)  ma a[n]=1 o 6 ;  1 non può essere e 6
nemmeno (int(...)=0 o 1)
a[0]=4     =>  a[n]=8+int(...)  ma a[n]=2 o 7 ;  2 non può essere e 7
nemmeno (int(...)=0 o 1)
Si può quindi concludere che il sistema non ha soluzioni (il caso 0 non è
stato preso in considerazione).
Spero che la dim sia chiara e senza punti deboli ;-)
Ciao, Ludovico 
vip...@iol.it

By  Nicola e Mirko
Per ora sono a questo punto. Comunque ci devo pensare ancora..
Innanzitutto, se il numero è espresso in notazione binaria, vi sono infinite
soluzioni. Ad esempio, se il numero è di due cifre binarie, si ha che 10 (2)
è il doppio di 01 (1). Con tre cifre si ha che 110 (6) è il doppio di 011
(3) ecc. (discorso generalizzabile 0 1...1 è la metà di 1...1 0). Un'altra
possibilità può essere, ad esempio, 0100 (4) è il doppio di 0010 (2). In
generale, "shiftando" a sinistra il numero principale, se il risultato è la
configurazione originaria letta al contrario, allora ho trovato una
soluzione.
Se il numero è espresso in decimale, l'unica soluzione sembra essere 0.
Esprimiamo, ad esempio, il numero di 3 cifre come
(a b c).
Deve essere (c b a) - 2*(a b c )=0. Consideriamo le ultime cifre dei due
numeri. Deve essere
a = 2*c
Vi sono due casi da prendere in considerazione:
1.1)  c<5
in questo caso la differenza risulta essere
(c b 2*c)-2*c*100 -2*( b c)=0
per esser vera, deve essere b=[cifra meno significativa di] 2*b, ossia b=0.
In tal caso è c=2*c, per cui c=0 e a=0
--> soluzione 0
1.2) c>=5
in questo caso, risulta che
a=[cifra meno significativa di] 2*c
risulta b=[cifra meno significativa di] 2*b+1 (1 è il riporto)
1.2.1) b<5
non si ha soluzione!
1.2.2) b>=5
la soluzione si ha solo per b=9, e si ha riporto. Perciò si ha
c=2*a+1, e deve essere a<5 (se no mi esce che 2*(a b c) è di 4 cifre)
Riporto le condizioni che devo vedere ora:
i) c>=5
ii) a<5
iii)a=[cifra meno significativa di] 2*c
iiii) c=2*a+1
proviamo i vari casi per c
c=5-> per iii, si ha che a=0, il che non soddisfa iiii
c=6-> per iii, si ha a=2, il che non soddisfa iiii
c=7-> per iii, si ha a=4, il che non soddisfa iiii
c=8-> per iii, si ha a=6, il che non soddisfa ii
c=9-> per iii, si ha a=8, il che non soddisfa ii
Quindi non ho soluzioni.
In definitiva, l'unica soluzione ammissibile è 000.
Per numeri con più cifre, penso che la dimostrazione sia analoga, e che il
risultato sia sempre 0. Comunque, ci devo pensare su. La dimostrazione è
generalizzabile a N cifre? se qualcuno ha voglia di farlo...
Ciao, by Gualty
gua...@geocities.com
http://www.geocities.com/capecanaveral/hangar/9456

 inverso di N-1 quindi non sussiste l' uguaglianza.
Visto che la mia dimostrazione e' fallita cosi' miseramente provo a
formularne una di piu' semplice che si basa sulla "tabellina" del due.
Sia N un numero di n cifre e C un numero costituto dalle cifre di N
disposte in ordine inverso.
Vorrei dimostrare che N=2C e' impossibile per qualsiasi N > 0. 
Siano pX e uX la prima e l'ultima cifra di X. 
Se pN=uC=1 allora uN=pC=2 allora pN=4 o pN=5 quindi pN non e' 1.
Se pN=uC=2 allora uN=pC=4 allora pN=8 o pN=9 quindi pN non e' 2.
Se pN=uC=3 allora uN=pC=6 allora N ha n+1 cifre quindi pN non e' 3.
Se pN=uC=4 allora uN=pC=8 allora N ha n+1 cifre quindi pN non e' 4.
Se pN=uC=5 allora uN=pC=0 allora N ha n-1 cifre quindi pN non e' 5.
Se pN=uC=6 allora uN=pC=2 allora pN=4 o pN=5 quindi pN non e' 6.
Se pN=uC=7 allora uN=pC=4 allora pN=8 o pN=9 quindi pN non e' 7.
Se pN=uC=8 allora uN=pC=6 allora N ha n+1 cifre quindi pN non e' 8.
Se pN=uC=9 allora uN=pC=8 allora N ha n+1 cifre quindi pN non e' 9.
Se pN=uC=0 allora uN=pC=0 allora N ha n-2 cifre quindi pN non e' 0.
Tutti gli "allora" sono conseguenza della N=2C.
N non inizia con nessuna cifra pN compresa tra 0 e 9.
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