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Titolo: triangoli (rettangoli)amicabili ?!

dopo il quesito sui rettangoli amicabili....mi è venuto in mente questo...
esisto triangoli rettangoli 'amicabili'??
Io dopo due fogli protocollo di calcoli mi sono arreso
(avrei dovuto risolvere un equazione di sesto grado)
voi riuscite a fare di meglio?!?!
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 esisto triangoli rettangoli 'amicabili'??
Io ho trovato questi valori, sempre rimanendo entro il 10.......
Dati
   |\                /|
   | \              / |
 a |  \ c       f  /  | e
   |   \          /   |
   |    \        /    |
    -----        -----
      b            d
 a, b, c = lati del primo triangolo rettangolo
 d, e, f = lati del secondo triangolo rettangolo
 A1 = area del primo triangolo
 P1 = perimetro del primo triangolo
 A2 = area del secondo triangolo
 P2 = perimetro del secondo triangolo
a=3, b=8, c=1, d=4, e=6, f=2,   A1=12, P1=12, A2=12, P2=12
a=3, b=8, c=3, d=4, e=7, f=1,   A1=12, P1=14, A2=14, P2=12
a=3, b=8, c=4, d=5, e=6, f=1,   A1=12, P1=15, A2=15, P2=12
a=3, b=10, c=1, d=4, e=7, f=4,  A1=15, P1=14, A2=14, P2=15
a=3, b=10, c=2, d=5, e=6, f=4,  A1=15, P1=15, A2=15, P2=15
a=3, b=10, c=3, d=4, e=8, f=3,  A1=15, P1=16, A2=16, P2=15
a=3, b=10, c=5, d=4, e=9, f=2,  A1=15, P1=18, A2=18, P2=15
a=3, b=10, c=5, d=6, e=6, f=3,  A1=15, P1=18, A2=18, P2=15
a=3, b=10, c=7, d=4, e=10, f=1, A1=15, P1=20, A2=20, P2=15
a=3, b=10, c=7, d=5, e=8, f=2,  A1=15, P1=20, A2=20, P2=15
a=3, b=10, c=8, d=6, e=7, f=2,  A1=15, P1=21, A2=21, P2=15
a=4, b=6, c=4, d=4, e=7, f=1,   A1=12, P1=14, A2=14, P2=12
a=4, b=6, c=5, d=5, e=6, f=1,   A1=12, P1=15, A2=15, P2=12
a=4, b=7, c=4, d=5, e=6, f=3,   A1=14, P1=15, A2=15, P2=14
a=4, b=7, c=5, d=4, e=8, f=2,   A1=14, P1=16, A2=16, P2=14
a=4, b=7, c=7, d=4, e=9, f=1,   A1=14, P1=18, A2=18, P2=14
a=4, b=7, c=7, d=6, e=6, f=2,   A1=14, P1=18, A2=18, P2=14
a=4, b=7, c=7, d=9, e=4, f=1,   A1=14, P1=18, A2=18, P2=14
a=4, b=7, c=9, d=5, e=8, f=1,   A1=14, P1=20, A2=20, P2=14
a=4, b=7, c=10, d=6, e=7, f=1,  A1=14, P1=21, A2=21, P2=14
a=4, b=8, c=3, d=5, e=6, f=5,   A1=16, P1=15, A2=15, P2=16
a=4, b=8, c=6, d=4, e=9, f=3,   A1=16, P1=18, A2=18, P2=16
a=4, b=8, c=6, d=6, e=6, f=4,   A1=16, P1=18, A2=18, P2=16
a=4, b=8, c=8, d=4, e=10, f=2,  A1=16, P1=20, A2=20, P2=16
a=4, b=8, c=8, d=5, e=8, f=3,   A1=16, P1=20, A2=20, P2=16
a=4, b=8, c=8, d=10, e=4, f=2,  A1=16, P1=20, A2=20, P2=16
a=4, b=8, c=9, d=6, e=7, f=3,   A1=16, P1=21, A2=21, P2=16
a=4, b=9, c=2, d=5, e=6, f=7,   A1=18, P1=15, A2=15, P2=18
a=4, b=9, c=5, d=6, e=6, f=6,   A1=18, P1=18, A2=18, P2=18
a=4, b=9, c=7, d=4, e=10, f=4,  A1=18, P1=20, A2=20, P2=18
a=4, b=9, c=7, d=5, e=8, f=5,   A1=18, P1=20, A2=20, P2=18
a=4, b=9, c=7, d=10, e=4, f=4,  A1=18, P1=20, A2=20, P2=18
a=4, b=9, c=8, d=6, e=7, f=5,   A1=18, P1=21, A2=21, P2=18
a=4, b=10, c=1, d=5, e=6, f=9,  A1=20, P1=15, A2=15, P2=20
a=4, b=10, c=4, d=6, e=6, f=8,  A1=20, P1=18, A2=18, P2=20
a=4, b=10, c=6, d=5, e=8, f=7,  A1=20, P1=20, A2=20, P2=20
a=4, b=10, c=7, d=6, e=7, f=7,  A1=20, P1=21, A2=21, P2=20
a=4, b=10, c=10, d=6, e=8, f=6, A1=20, P1=24, A2=24, P2=20
a=5, b=6, c=7, d=6, e=6, f=3,   A1=15, P1=18, A2=18, P2=15
a=5, b=6, c=9, d=5, e=8, f=2,   A1=15, P1=20, A2=20, P2=15
a=5, b=6, c=10, d=6, e=7, f=2,  A1=15, P1=21, A2=21, P2=15
a=5, b=8, c=5, d=6, e=6, f=8,   A1=20, P1=18, A2=18, P2=20
a=5, b=8, c=8, d=6, e=7, f=7,   A1=20, P1=21, A2=21, P2=20
Probabilmente ce ne sono altri andando fino a 100, ma la cosa sembrava
lunga !!!!
Ciao
Vittorio

 esisto triangoli rettangoli 'amicabili'??
Premetto che mi limito ai triangoli coi tre lati interi.
Intanto il triangolo (5,12,13) e' amicabile con se stesso, avendo S=P=30
Poi suggerisco di procedere come ho gia' fatto per i rettangoli, ovvero
limitando la ricerca a quei triangoli rettangoli che abbiano perimetro
maggiore o uguale all'area. Questi sono tutti i triangoli col cateto minore
che misura 1, 2, 3, 4 piu' i triangoli 5x5, 5x6,..,5x12, 6x6 e 6x7. Tra
questi l'unico pitagorico e' il 5,12,13 che abbiamo gia' visto essere
amicabile con se stesso.
Per gli altri... vedro' piu' in la', ora ho da fare.
Buon lavoro!
Ciao, Silv:o)

 Buon lavoro!
Purtroppo anche mentre lavoro la mente mi va ai problemi irrisolti, con
grave danno per il lavoro :((
Quindi dato che mi sono accorto di un particolare che risolve subito, lo
posto e mi libero del peso.
Dicevo che ci sono da controllare i triangoli 1xn, 2xn, 3xn, e 4xn.
Ma i pitagorici tra questi sono pochissimi!
Infatti di pitagorici 1xn non ce ne sono (l'ipotenusa misura sqr(1+n^2) che
non arriva mai ad n+1). Di 2xn idem (ipotenusa sqr(4+n^2) minore di n+1 gia'
da n=4), 3xn c'e' solo il classico 3,4,5, che non va bene, e 4xn anche lui
senza terne valide (ip. minore di n+1 a partire da n=8)
Quindi l'unico caso e' quello dei gemelli 5,12,13.
Ciao, Silv:o)

 a=3, b=8, c=1
Pitagora sarebbe daccordo?
;)
Ciao, Silv:o)

Non ho visto molto interesse per questo enigma, o meglio credo che avete
rinuciato perche' questo gioco non da' molte informazioni.
Eppure quando e' stato proposto, il testo era identico a quello che vi ho
postato.
Comunque vi voglio dare una mano.
Pensate a delle figure piane ...per esempio con 4 lati....
se non rispondete ora.........:)
Daniele

 voi riuscite a fare di meglio?!?!
Il caso dei triangoli a lati reali qualsiasi porta come tu dici a equazioni
di grado elevato.
Comunque i triangoli amicabili sono ovviamente infiniti ogni triangolo ha al
massimo un amico.
Ho provato a risolverlo graficamente.
Fissato un parametro k, e detto x uno dei cateti, costruiamo le due funzioni
p(x)=perimetro di un triangolo di area k e cateto x
s(x)=superfice di un triangolo di perimetro k e cateto x
risulta
p(x)=x+y+sqr(x^2+y^2), dove y=k/(2*x) e' l'altro cateto e
s(x)=x*y/2 con y=(2*p*x-p^2)/(2*x-2*p) come secondo cateto
Se visualizziamo le due funzioni, la prima comincia come un'iperbole, poi
c'e' un minimo quando il triangolo e' isoscele (x=sqr(2*k)) e all'infinito
va come 2x, la seconda e' una specie di parabola rovesciata con un massimo
quando il triangolo e' isoscele (x=k/(2+sqr(2)) ed e' definita ovviamente
tra 0 e k/2, perche' il cateto e' al massimo meta' del perimetro.
Per k superiore ad una certa soglia (2*(2+sqr(2))^2 = 23 e spicci...) il
minimo di p e' inferiore al massimo di s, per cui le funzioni si intersecano
in due punti. Quelli sono i valori di x in corrispondenza dei quali p=s=k,
per cui il triangolo e' amicabile con se stesso.
Se tracciamo una retta orizzontale ad una quota compresa tra la massima
superfice ed il minimo perimetro, incontrera' due volte p(x) e due volte
s(x). I due punti su p individuano i cateti di un triangolo che risulta
amicabile con quello individuato dai due punti su s. Infatti l'area dell'uno
e' uguale al perimetro dell'altro e coincide con k per ipotesi, mentre il
perimetro del primo coincide con l'area del secondo perche i punti stanno
sulla stessa orizzontale.
Ciao, Silv:o)

 Pitagora sarebbe daccordo?
Opss !!! Hai ragione, ho dimenticato di mettere il Pitagora-filtro :-)))
Non sono riuscito a trovare altro che queste 2 sol. "banali" nei primi
100 interi !!!
 - a=5, b=12, c=13, d=5, e=12, f=13    A1=30, P1=30, A2=30, P2=30
 - a=6, b=8,  c=10, d=6, e=8,  f=10    A1=24, P1=24, A2=24, P2=24
Magari non ne esistono altre negli interi !
Ciao
Vittorio

 ... piu' i triangoli 5x5, 5x6,..,5x12, 6x6 e 6x7.
Ooops, c'e' anche il 6x8 :(
Colmo della sfiga: me ne sono dimenticato uno, ed e' pitagorico (!) e
soprattutto amicabile con se stesso (!!). Chiaramente sono stato subito
tanato da Vittorio.
Ciao, Silv:o)

Silvio ha scritto nel messaggio ...

E poi è un bel po' strano un triangolo in cui un lato è maggiore della somma
degli altri due!!! :-)