Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Altra sequenza numerica

Ciao.
 
Vista la rapidità con la quale avete risolto la sequenza di ieri, oggi ve ne 
propongo una un po' più difficile...
 
1 = 7
2 = 10
75 = 67
100 = 77
10 = 24
25 = 38
120 = 84
30 = 42
200 = 109
150 = 94
1000 = 244
 
50 = ?
60 = ?
 
 
Saluti. 
 

 60 = 60
 
Perlomeno questi sono i valori che risultano applicando
una semplice funzione che soddisfa tutti i valori noti,
ma altre risposte sono possibili.
 
ciao,
g.
--
http://equal.to/
 

 
 
"giovanni resta"  ha scritto nel messaggio 
news:eb37ee72-360a-4f63...@googlegroups.com...

Ottimo!
Posso chiederti come hai fatto?
 
Io, se qualcun'altro mi avesse proposto una sequenza del genere, non so se 
ci sarei arrivato.
Quale sistema hai utilizzato per ottenere questa funzione?
Ci sei arrivato per tentativi successivi o hai utilizzato qualche algoritmo 
particolare?
 
Grazie e ciao. 
 

 particolare?
 
Dunque,
ho ordinato i valori come coppie (x,y) e li ho plottati.
 
Ho visto ad occhio che seguivano una curva piuttosto regolare e 
probabilmente sublineare.
 
Questo mi ha dato qualche speranza di poter risolvere la cosa nei 5
minuti max che posso dedicare a queste cose senza rompermi gli
zebedei (e' molto facile costruire quiz di questo tipo che non siano
umanamente risolvibili).
 
Inoltre questo mi ha permesso di escludere, almeno in prima battuta, polinomi,
trucchi basati sulla lunghezza delle parole che corrispondono ai numeri (odio queste cose), funzioni legate ai fattori primi (come sigma, phi, somma dei fattori o dei divisori primi, etc) e anche funzioni legate alla rappresentazione in base, quelle cose tipo "numero costituito dalle cifre di posto dispari nel prodotto tra n e il numero ottenuto rovesciando le cifre di n+1".
 
Il fatto f(1)=7 mi suggeriva una componente additiva o moltiplicativa.
Ho fatto un fit ai minimi quadrati con una funzione del tipo f(x)= a + b*sqrt(x), in quanto l'andamento del grafico mi ricordava molto la radice quadrata.
 
Il fit, f(x) = -0.6357730801 + 7.738935359*sqrt(x), era molto buono e questo
mi ha fatto capire di essere sulla strada giusta.
 
A questo punto ho cercato di immaginare una funzione semplice che 
usasse solo interi. Ho calcolato il quadrato di 7.73893 che e' circa
59.8911 quindi ho assunto che sqrt(60*x) potesse essere coinvolto.
 
A questo punto ho calcolato il floor, ceiling e round di sqrt(60*x) e ho
visto che i dati noti potevano essere rappresentati da
f(x)  = floor(sqrt(60*x)) oppure
g(x)  = ceiling(sqrt(60*x))-1
sfortunatamente queste due funzioni danno valori diversi in 60,
perche' f(60)=60 mentre g(60)=59.
Allora per semplicita' ho scelto f(x) e quindi f(50)=54 f(60)=60.
 
Questo e' solo un tentativo, fatto a posteriori, di
spiegare la strada. In realta' il pensiero non e' cosi'
lineare e tutta la faccenda non ha richiesto piu' di 4 minuti,
potendo usare Mathematica per fare i plot e i fit.
 
Diciamo che non sono molto intelligente e generalmente rifuggo
da questo tipo di quiz, ma ho una certa familiarita' con
i numeri interi.


 
 
"giovanni resta"  ha scritto nel messaggio 
news:ed57fae3-0127-4bae...@googlegroups.com...

Beh, complimenti!
 
In effetti il numero risultante era la parte intera della radice quadrata 
del primo numero moltiplicato 60.
 
La funzione č frutto di mie elucubrazioni notturne.
Sinceramente non pensavo potesse essere risolta cosě in fretta.
 
Grazie per il suggerimento di utilizzare il software "Mathematica".
 
Un saluto.
 

 potendo usare Mathematica per fare i plot e i fit.
 
Uhm... provate a plottare questa:
 
 5  10
10  20
11  22
13  26
16   5
17  34
20  40
22   7
26  52
34  11
40  13
52   ?
 
Ma non sono pratico eh, magari e' cretina-immediata o non valida.
 
-- 
Tanti saluti
 

 Uhm... provate a plottare questa:
 
una risposta semplice e'
 52   17
 
ma come sempre non e' l'unica possibile.


 ma come sempre non e' l'unica possibile.
 
Si' e' l'inversa di Collatz: (n-1)/3 se n = 4 modulo 6, se no 2n.
Insomma son riuscito a farla cretina-immediata e anche non valida visto
che la risposta non e' univoca -- scusate:-(
 
-- 
Tanti saluti
 

 che la risposta non e' univoca -- scusate:-(
 
Non capisco perche' ti butti giu' in questo modo.
Guarda che la risposta non e' MAI univoca e il tuo enigma
era perfettamente legittimo.
 
Ci sono sempre infinite risposte possibili, che si differenziano
sostanzialmente per maggiore o minore semplicita'.
 
Io a Collatz non avevo neanche pensato. Ho solo notato che
alcuni numeri davano il doppio e altri (16, 22, 34, 40), davano (n-1)/3.
(Questo si vede bene con un plot, perche' si nota che i punti
si dispongono su due rette ideali).
 
A questo punto si trattava di vedere quale fosse la regola che
identificasse 16, 22, 34 e 40 e li differenziasse dagli altri
valori.  Facendo le differenze tra numeri successivi viene 6, 12 e 6,
quindi e' immediato pensare a qualcosa del tipo h+6*k e quindi 6*k+4.
Siccome 52 e' in questa classe, allora (52-1)/3 = 17.
 
Pero', avrei anche potuto notare che 16, 22, 34 e 40 sono anche
numeri n per i quali l'espressione 275*2^n-1 corrisponde ad un numero
primo, mentre per gli altri valori n = (5, 10, 11, 13, 17, 20, 26)
l'espressione 275*2^n-1 non e' mai un numero primo. 
Ora, siccome 275*2^52-1 non e' primo (e' uguale a 89*1091*462577*27573613), 
se avessi utilizzato questo
criterio avrei dovuto rispondere con la coppia (52, 104).
 
Ti ho fatto un esempio di alternativa, ma ci sono sempre delle alternative,
si tratta di scegliere quella piu' ragionevole,
quindi il tuo enigma andava benissimo,


 che la risposta non e' univoca -- scusate:-(
 
Piu' che altro non ti sei accorto che siccome 10  = 6+4 allora anche
per 10 dovevi fare (10-1)/3 = 3 invece hai dato 10 20.
 
Siccome e' sfuggito anche a me, ho dato comunque la risposta "giusta"...
 
g.
--
http://equal.to/
 

Addi' 20 feb 2014, giovanni resta scrive:

Si', ma infatti in realta' il legame inverso, per n=4 mod 6, non e' solo
(n-1)/3 ma anche 2n, cioe' non e' univoco. La sequenza diretta, con
partenza da 3, tratta il 10 come (n-1)/3, invece partendo da 7 (come nel
mio caso), lo fa provenire da 20/2.
Non ci avevo pensato, altrimenti forse avrei dovuto dare:
10  20; 3.
Allora anche il 40, e allora anche tutti gli altri mod 6.
 
-- 
Tanti saluti
 

 era perfettamente legittimo.
 
OK, allora vedi un po' per questa, famosissima, se trovi piu' d'una
spiegazione:
 
14  24
16  31
18  39
20  42
22  ??
 
-- 
Tanti saluti
 

 spiegazione:
 
Be' in questo caso, avendo solo 4 punti noti non e' difficile
trovare funzioni alternative a quella "famosissima" che 
fornisce f(22) = 36 e che non siano esageratamente complicate.
 
Per esempio possiamo usare il polinomio di terzo grado interpolante,
ovvero f(x) = (4056 - 766 x + 49 x^2 - x^3)/8 da cui f(22)=34.
 
Il polinomio interpolante fornisce sempre una soluzione alternativa,
peccato che raramente sia quella giusta.
 
Si puo' ridurre il grado e introdurre un altra funzione, tipo il mod(x,y),
ovvero il resto della divisione di x per y, ottenendo
f(x) = x^2/8 + 21 - 5/4*x - 2*mod(x,3).
 
Oppure per qualcosa di piu' esoterico, possiamo definire f come
f(x) = 6 + tau(x)(x+4)/4, dove tau(x) e' il numero dei divisori di x.
In questo caso f(22) = 32.
 
Oppure anche f(x) = tau(x)(5+12/(26-x)). Di nuovo f(22)=32.
 
Oppure anche f(x) = 6*tau(x) + p(x/2)/2 - 17/2, dove p(k) e' il k-esimo numero primo. In questo caso f(22) = 31.
 
Oppure f(x)= 27 + (12 - sop(x))*(x-15) dove sop(x) denota la somma di tutti
fattori primi di x. Qui f(22)=20.
 
etc.


 fornisce f(22) = 36 e che non siano esageratamente complicate.
 
Gia', con quattro punti e' facile, pero' c'e' il vantaggio che hai
potuto fare molti esempi, alcuni molto belli -- grazie ciao.
 
-- 
Tanti saluti