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Titolo: Ancora sul povero Arturo

Il povero Arturo, dopo essere stato liberato dalla sbarra, viene
intrappolato su una circonferenza metallica lunga 1 metro.
Ad altri 100 scarabei tocca la sua stessa sorte; tutti insieme, Arturo
compreso, partono lungo la circonferenza alla velocita' costante di 1
cm/sec.
E' gia' noto che quando due scarabei si incontrano cambiano
istantaneamente e bigottamente il proprio verso di percorrenza, senza
rallentare o accelerare.
Qual e' la probabilita' che Arturo, dopo 100 secondi, si ritrovi nel
punto da cui e' partito?

 wrote in message 
news:1116953752.4...@g49g2000cwa.googlegroups.com...

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Questo caso è apparentemente meno complicato di quello precedente (quello 
con la sbarra). Anzitutto vale la regola di cui avevo parlato nella 
soluzione al problema della sbarra: dopo che 2 scarabei Sx e Sy si sono 
scontrati Sy inizia a percorrere la strada che avrebbe fatto Sx senza 
scontro e viceversa; pertanto in qualunque momento ci sarà un scarabeo Sj 
che sta percorrendo la strada che avrebbe percorso Sx in quel momento se Sx 
non si fosse mai scontrato.
Inoltre, vosto che uno scarabeo farebbe dopo 100 secondi il giro esatto 
della circonferenza tornando al punto di partenza, la disposizione degli 
scarabei dopo 100 secondi sarà esattamente uguale a quella iniziale. E' 
curioso notare che in questo caso, gli scarabei potrebbero anche non 
scontrarsi mai (se tutti andassero in senso orario o tutti in senso 
antiorario), ma comunque dopo 100 secondi si avrebbe la disposizione 
iniziale.
C'è però un aspetto più subdolo da considerare, ed è per questo che ho 
iniziato dicendo che questo caso è "apparentemente" più facile del 
precedente: è vero che dopo 100 secondi gli scarabei occuperanno esattamente 
le 101 posizioni che erano occupate all'inizio, ma ogni scarabeo occuperà la 
propria posizione iniziale, o quella di qualcun altro?
Si può fare una considerazione:
A) supponiamo che M scarabei inizino il loro cammino in senso orario, e N in 
senso antiorario (con N+M = 101). In base a quanto detto all'inizio (ci sarà 
sempre un Sj che percorre la strada che avrebbe percorso Sx se Sx non si 
fosse scontrato mai) il totale di strada percorsa in senso orario dagli 
scarabei in 100 secondi sara 100*M cm e in senso antiorario 100*N cm.
In quali circostanze uno scarabeo torna al "proprio" punto di partenza? Solo 
in 2 casi:
1) se non si scontra con nessun altro, e questo è possibile solo se tutti 
gli scarabei ruotano nello stesso senso
2) se lo scarabeo percorre in senso orario lo stesso numero di cm percorsi 
in senso antiorario (indipendentemente dal numero di scontri)
Nel caso 1 ogni scarabeo sarà ovviamente tornato al proprio punto di 
partenza, quindi anche Arturo
Anche nel caso 2 ogni scarabeo sarebbe tornato nel proprio punto di 
partenza; se infatti anche un solo scarabeo è tornato al priprio punto di 
partenza, anche tutti gli altri lo saranno, in quanto gli scarabei non 
possono "mescolarsi" tra loro: se uno scarabeo Sx si trova tra Sy e Sz, 
resterà tra Sy e Sz per sempre, e quindi se dopo 100 secondi Sx torna al 
proprio punto di partenza, e tutte le posizioni iniziali degli scarabei sono 
occupate dopo 100 secondi, significa che sono occupate dallo scarabeo che 
era partito da quella posizione.
Abbiamo quindi visto che se si verifica il caso 2), ovvero uno scarabeo 
percorre 50 cm in senso orario e 50 in senso antiorario indipendentemente 
dal numero di scontri, allora tutti gli scarabei compreso Arturo saranno 
tornati al punto di partenza.
Ma il caso 2) si può verificare?
Se tutti gli scarabei sono tornati al punto di partenza allora tutti hanno 
fatto 50 cm in senso orario e 50 in senso antiorario, pertanto il totale dei 
cm percorsi in senso orario è uguale al numero di cm percorsi in senso 
antiorario, per l'esattezza 5500 cm. Per quanto detto nella considerazione 
A) ciò è impossibile in quanto gli scarabei sono in numero dispari, e quindi 
M*100 non potrà mai essere uguale a N*100.
Quindi la propabillità che Arturo sia nel punto di partenza dopo 100 secondi 
è pari alla probabilità che tutti gli scarabei inizino il loro cammino nello 
stesso senso. 

Esatto.
E' carino anche osservare che, se Arturo viene messo in compagnia di 99
scarabei, allora c'e' anche la possibilita' che 50 scarabei partano in
un senso e 50 nell'altro, a favore della situazione finale in cui tutti
si ritrovano da dove sono partiti...
Ciao
all ha scritto:


 wrote in message 
news:1117034518....@o13g2000cwo.googlegroups.com...
Esatto.
E' carino anche osservare che, se Arturo viene messo in compagnia di 99
scarabei, allora c'e' anche la possibilita' che 50 scarabei partano in
un senso e 50 nell'altro, a favore della situazione finale in cui tutti
si ritrovano da dove sono partiti...
Ciao
Si. In pratica dipende dal fatto che siano in numero pari o dispari.
Tra l'altro, poco prima che mi rendessi conto che essendo dispari non 
potevano tornare ognuno al proprio punto di partenza, mi chiedevo appunto 
questo: cosa succede se metà di loro partono in un senso e metà partono 
nell'altro? In questo caso potrebbero anche tornare ognuno al loro punto di 
partenza, ma lo faranno "in ogni caso" o solo in determinate circostanze?
Non mi è venuto in mente nessun ragionamento intuitivo per dare una risposta 
a questa domanda; poi appena mi son reso conto che non aveva senso parlare 
di "metà di loro" in quanto sono 101, ho lasciato perdere...
Tu hai idea di come si possa generalizzare il caso in cui, avendo un numero 
pari di N scarabei, N/2 partono in senso orario e N/2 in senso antiorario? 
Torneranno sicuramente ognuno al loro punto di partenza?
Ciao.

Allora, un ragionamento interessante mi sembra il seguente.
Scegliamo uno degli scarabei, ad esempio proprio Arturo (nel problema
sulla circonferenza, come ormai ti e' chiaro, non esistono scarabei
privilegiati...); consideriamo un sistema di riferimento solidale con
Arturo, in cui cioe' Arturo e' inizialmente fermo.
In questo sistema di riferimento, nell'istante iniziale, ci saranno un
certo numero di scarabei fermi ed un certo numero di scarabei mobili.
Usando le tue notazioni, diciamo che N scarabei sono fermi (cioe' vanno
inizialmente nello stesso verso di Arturo) ed M scarabei sono mobili.
Supponiamo che N ed M siano diversi; per comodita' trattiamo il caso
N=M+1 (vedrai che tutti gli altri casi seguono a maggior ragione).
Nel nostro sistema di riferimento ci sono N postazioni fisse (per tutto
il tempo) ed M punti mobili (diciamo in senso orario); i punti mobili
vanno alla velocita' di 2 cm/sec per la scelta del sistema; quindi ogni
punto mobile, in 100 secondi, percorrera' due giri completi. Quando un
punto mobile arriva su una postazione fissa, da' un calcetto nel sedere
di chi la occupa e vi si ferma, lasciando il testimone allo scalciato;
Arturo riceve la prima spinta e parte, raggiunge la seconda postazione
fissa e vi si ferma, riceve un'altra spinta e cosi' via...
Si vede chiaramente che Arturo riceve la spinta dal primo punto mobile
che lo porta nella seconda postazione fissa, poi dal secondo punto
mobile per arrivare nella terza postazione fissa e cosi' via, fino
all'M-esimo punto mobile che lo spinge nella M+1=N-esima postazione
fissa. A questo punto ci sono, essenzialmente, due possibilita':
1) la N-esima postazione fissa si trova prima della postazione di
partenza del primo punto mobile che ha spinto Arturo: in questo caso,
tale punto mobile, che deve compiere DUE giri completi, spinge Arturo
per l'ultima volta: il povero Arturo non puo' piu' raggiungere la sua
postazione iniziale, in quanto muore come primo punto mobile (cioe'
prima della sua postazione iniziale);
2) la N-esima postazione fissa si trova dopo la prima postazione
mobile: in questo caso Arturo non viene piu' spinto, in quanto il primo
punto mobile e' gia' passato due volte in quel punto: quindi Arturo
muore come N-esimo punto fisso, cioe' non come l'Arturo che era nato...
Ragionando in questo modo, si vede facilmente che, se N=M, Arturo
riesce a tornare a casa...
Quello che trovo interessante, e' che, con questo ragionamento, puoi
valutare esattamente di quanti scatti  ruota il sistema di scarabei in
base alla differenza N-M, non trovi?
Ciao.
ps: la generalizzazione sulla bacchetta magica l'ho pensata ieri e non
l'ho ancora risolta...

Si, direi che il tuo ragionamento funziona.
Ciao.