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Titolo: somme di quadrati

50 è il primo numero che si può scrivere come somma di 2 quadrati (di numeri
naturali) in due modi diversi, cioe':
1^2 + 7^2 oppure 5^2 + 5^2
(Per semplicita' da ora in poi sottintendo ^2 nei numeri che si sommano).
Alcuni altri numeri con questa proprietà sono:
65 ( 1+8 e 7+4 )
85 ( 7+6 e 2+9 )
125 ( 2+11 e 5+10)
130 (3+11 e 7+9)
e poi 145 , 170 , 185 , 200 , 205 , 221 , 250 , 260 , 265 , 290 , 305 , 325
ecc.
Chiedo:
- c'è un algoritmo che consenta di ricavarli ?
- 221 (5+14 e 10+11) è interessante perche' non è un multiplo di 5; il
successivo non multiplo di 5 e' 338 (13+13 e 7+17). Qual è il prossimo?
- che proprietà ha 325 ? ci sono altri numeri con la stessa proprietà?
Saluti
Roberto M.

Per ora non riesco a vedere se c'e' un algoritmo   per calcolarli ...
Il successivo non multiplo di 5 e' 377 (4+19 e 11+16) e poi 442 (1+21 e 9+19)
325 (1+18 / 6+17 / 10+15) e anche 425 (5+20/8+19/13+16) ... e 650, 725,845 ??
e cosaltro ad esempio 1625 ???
Ciao Massimo.


Piccolo rilancio ...
9425 si puo' scrivere come somme di 2 quadrati in 6 modi diversi ... quali ??
Ciao. Massimo.


4.005.625 e' il piu' piccolo numero che si puo' scrivere come somma di
2 quadrati in 20 modi diversi. 
Quale e' il piu' piccolo numero che si puo' scrivere come somma di due
quadrati in 11 modi diversi?  ;-)
-- 
Ciao, Damiano  

,

Ciao, Massimo i sei quadrati che cerchi sono:
4^2+97^2 = 9425
20^2+95^2 = 9425
31^2+92^2 = 9425
41^2+88^2 = 9425
55^2+80^2 = 9425
64^2+73^2 = 9425
Inviterei gli amici di consultare le terne
pitagoriche di Librandi.
ciao, Vincenzo
vli...@tin.it
-- 
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 - c'è un algoritmo che consenta di ricavarli ?
questo e' quello che vogliamo trovare
N = a^2 + b^2   con a,b numeri naturali
quindi, applicando il teorema di pitagora ricaviamo:
a = sqr(N - b^2)  con b=1, 2, 3, ..., sqr(N)
cioe' con 1<= b <= sqr(N)
probabilmente qualcuno sara' in grado di scrivere in notazione piu'
matematica quanto detto sopra. Intanto vi propongo una routine in C:
float a,b;
int N;
for ( N = 1; ; N++)    /* Loop infinito */
{
    for ( b=1; b <= sqr(N) ; b++ )
    {
        a = sqr(N - b^2);
        if ( a == (int)a )
            printf ( "%d = %d^2 + %d^2\n", N, a, b );
    }
}
Questa routine da' tutte le somme di quadrati valide per i numeri che vanno
da 1 a infinito, quindi anche per quei numeri che hanno un solo modo di
essere scritti come somma di quadrati. Cmq, bastano pochi accorgimenti per
fargli fare quello che si vuole.
Ciao,
Lorenzo Lazzeri 'spider'

quadrati in 11 modi diversi?  ;-)
Non era arrivata nessuna risposta ed ora ripropongo il quesito
precisando che per trovare il piu' piccolo numero che si puo' scrivere
come somma di quadrati in N modi diversi non e' necessaria la forza
bruta, ma qualche piccolo calcolo.
Rilancio proponendo di trovare il numero che si puo' scrivere come
somma di 2 quadrati in 19 modi diversi (e' troppo per la forza bruta).
Naturalmente si parla di numeri interi.
-- 
Ciao, Damiano


Gia' il magico Fermat  si accorse che i primi della forma 4x+1 =
5,13,17,29.... si possono sempre esprimere come somma di 2 quadrati,
mentre i primi della forma 4x-1 mai.
Es 5=1^2+2^2, 13=2^2+3^4...
Se prendiamo un intero con fattori primi di questa forma es 65 = 5*13
possiamo verificare che 65= 1^2+8^2 ed anche 4^2+7^2 questo deriva
direttamente dalla identita' algebrica:
(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac+bd)^2 + (ad-bc)^2 = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2.
da qui e' possibile ricavare una formula generale per sapere in quanti
modi un intero N puo' essere espresso come somma di 2 quadrati
DIFFERENTI.
Si scompone N in fattori primi. Si considerano solo gli esponenti
a,b,c,d.... dei fattori tipo 4x+1. Allora il valore cercato e' dato da:
(a+1)(b+1)(c+1)...(n+1)/2. Considerando solo la parte intera se il
numeratore sara' dispari.
Facciamo un es. N=2^3*3^4*5*7^2*13^3.  I fattori che ci interessano sono
il 5 e il 13 con esponenti 1 e 3. Scrivo:
(1+1)(3+1)/2 = 4.  Ci dice che 8*81*5*49*2197 e' somma di 2 quadrati in
4 modi diversi.
Verifichiamo col numero che hai dato per il piu' piccolo "Somme di
Quadrati" SQ(20)=4.005.625.
Scomponendo in fattori primi trovo 4.005.625 = 5^4 * 13 * 17 * 29 e
applicando la formulina appena vista
(4+1)(1+1)(1+1)(1+1)/2 = 20 Esattamente come abbiamo detto. 
Difatti per trovare il minimo numero, hai scomposto 40 come 5*2*2*2, hai
sottratto 1 da ogni termine, ottenendo 4,1,1,1 che hai usato come
esponenti di primi 4x+1 piu' bassi possibile.
Procedo in modo simile per SQ(19). Gli esponenti devono dare
(a+1)(b+19(c+1)...(n+1)=38
38 = 19*2, percio' gli esponenti da usare saranno 18 e 1.
Il numero cercato e' 5^18 * 13.
Allo stesso modo per SQ(11). Gli esponenti (a+1)(b+1)...(n+1) devono
dare 22.  22=11*2.
SQ(11) = 5^10 * 13.
ciao :) dario

SQ(11) = 5^10 * 13.
Anche in questo caso le possibilita' sono:
2*11-1 = 21 scomponibile in (1*21) e (7*3) 
Genera 2 possibilita': 5^20 e 5^6*13^2 (o meglio 2*5^20 e 2*5^6*13^2
se escludiamo scomposizioni degeneri)
2*11 = 22 scomponibile in (1*22) e (2*11)
Genera 2 possibilita': 5^21 e 5^10*13
2*11+1 = 23 scomponibile solo in (1*23) cui corrisponde 5^22
Il piu' piccolo numero e' 2*5^6*13^2 = 5.281.250
Qualcuno ha voglia di trovare il piu' piccolo numero scomponibile come
somma di due quadrati in 1000 modi diversi? ;-))
Una proposta e' 5^4*13^4*17^4*29*37*41*53 ma non sono sicuro che sia
il minimo (non e' opera mia, e' stata fornita da T.W.A. Baumann).
-- 
Ciao, Damiano

 ecc.
Ottimo lavoro. Io ho inteso il problema in modo leggermente diverso,
scrivevo:
"..da qui e' possibile ricavare una formula generale per sapere in
quanti
modi un intero N puo' essere espresso come somma di 2 quadrati
DIFFERENTI.
Si scompone N in fattori primi. Si considerano solo gli esponenti
a,b,c,d.... dei fattori tipo 4x+1. Allora il valore cercato e' dato da:
(a+1)(b+1)(c+1)...(n+1)/2. Considerando solo la parte intera se il
numeratore sara' dispari."
Accorgrndomi della possibile doppia interpretazione, ho evidenziato la
parola "differenti" intendendo non solo coppie di quadrati diversi, ma
escludendo quadrati uguali anche in una stessa coppia.
Con la formulina che ho dato 50=2*5^2  si ha (2+1)/2 = 1.5  INT(1.5) = 1
considerando come valida solo la somma 1^2 + 7^2.
ciao :) dario