Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Non capisco: enigma dei fratelli

Vorrei tornare su un famoso enigma proposto da Martin Gardner e
riproposto da Mariano Tomatis nelle FAQ del gruppo it.hobby.enigmi:
l'enigma dei fratelli.
http://www.geocities.com/marianoantoniono/faq.htm
Nonostante tutta la mia buona volontà e nonostante abbia letto la
riproposizione di questo enigma per due volte anche su "Scienza e
Paranormale", ed infine nonostante abbia avuto proprio con Mariano
Tomatis uno scambio di messaggi in e-mail... continuo a non capire e a
ritenerlo una vera e propria "truffa logica", non un enigma.
Provo a spiegare partendo dall'inizio, quindi ripropongo sia la domanda
che la risposta:
=============================
54 
Alberto ha due figli, almeno uno dei quali è maschio. Qual è la
probabilità che siano entrambi maschi?
Bruno ha due figli, il primo dei quali è maschio. Qual è la probabilità
che siano entrambi maschi? 
--------------------
Soluzione:
Così Martin Gardner sul suo "Enigmi e giochi matematici" Volume 2
(pp.282 e 337-338): 
Sappiamo che il più grande dei due figli di Bruno è femmina, e questo ci
limita a solo due casi equiprobabili: femmina-femmina, femmina-maschio.
Perciò la probabilità che entrambi i bambini siano femmine è 1/2.
Se Alberto ha due bambini, dei quali almeno uno dei due è maschio,
abbiamo tre casi equiprobabili: maschio-maschio, maschio-femmina,
femmina-maschio. In un solo caso entrambi i bambini sono maschi, sicché
la probabilità corrispondente è 1/3. La risposta - però - dipende dal
procedimento con cui l'informazione "almeno uno è maschio" viene
ricavata. Se fra tutte le famiglie con due bambini, di cui almeno uno è
maschio, ne viene scelta una a caso, allora la risposta è 1/3. Ma vi è
un altro procedimento che conduce esattamente allo stesso enunciato del
problema. Dalle famiglie con due figli, viene scelta una a caso. Se
entrambi i bambini sono maschi, chi fornisce l'informazione dice:
"almeno uno è maschio"; se entrambe sono femmine, dice: "almeno uno è
femmina". E se sono presenti entrambi i sessi, egli prende uno a caso
dei bambini e dice: "almeno uno è..." nominando il sesso del bambino
scelto. Quando questo procedimento viene adottato, la probabilità che
entrambi i bambini siano dello stesso sesso è chiaramente 1/2. Ciò è
facile da vedere perché l'informatore dà un enunciato per ognuno dei
quattro casi - MM, MF, FM, FF - e in metà di questi casi entrambi i
bambini sono dello stesso sesso. 
==============================
Intanto non capisco da dove salti fuori il dato secondo il quale "il più
grande  dei due figli di Bruno è femmina". Nell'enunciato si diceva al
contrario che "Bruno ha due figli, il primo dei quali è maschio". Errore
di traduzione? Io ho solo il volume 1 e 3 quindi non posso controllare.
Comunque, nel caso dei figli di Bruno il risultato è 1/2, e qui non ci
piove.
Nel primo caso, quello di Alberto, invece non riesco proprio a capire il
concetto che sta alla base del risultato di 1/3, ovvero la differenza
(una differenza che si pretende essere non solo linguistica ma concreta)
tra il caso MF e il caso FM.
Nell'enunciato si dice solo che "Alberto ha due figli, almeno uno dei
quali è maschio". Le uniche possibilità sono che l'altro figlio sia di
sesso maschile o femminile. Non ce ne sono altre (o vogliamo considerare
anche l'omosessualità?, o l'ermafroditismo? il transex?). Quindi le
possibilità sono MM o MF. E basta. Perchè dovrei considerare anche il
caso FM? o meglio, perchè dovrei ritenere il caso FM diverso da MF?
Vorrei capire, forse mi manca qualche informazione... forse perchè nella
foto di famiglia fatta a Natale a casa della zia sono lei a destra e lui
a sinistra?, perchè lei è alta e lui è basso?, perchè lei è grassa e lui
è magro? perchè lei è bionda e lui è moro? perchè lei è brava a scuola e
prende voti molto migliori di lui? o forse perchè la femmina è più
anziana del maschio?...
E se davvero MF è diverso da FM allora perchè non considerare anche i
casi in verticale, non solo in orizzontale:
M
F
e il caso 
F
M
Tutti questi dati comunque sono assolutamente ininfluenti per il
problema perchè non compaiono nell'enunciato e il risultato anche nel
primo caso, quello di Alberto, non può che essere 1/2, non 1/3
In effetti nella seconda parte della soluzione di questo caso si dice
che la soluzione può anche essere 1/2 se le famiglie vengono scelte in
un altro modo. Quali famiglie? Si parlava di metodi per scegliere le
famiglie nell'enunciato? Insomma gli enigmi sono confusi e le soluzioni
ancora più confuse.
Ma se, secondo la logica gardneriana invece mi dite che il risultato
(concreto) del caso di Alberto è 1/3, allora spiegatevi meglio... io non
capisco.
-- 
D  I  E  G  O    C  U  O  G  H  I
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www.diegocuoghi.com

 primo caso, quello di Alberto, non può che essere 1/2, non 1/3
Visto che con il ragionamento logico non riesci a convincerti, prova con
questo metodo empirico.
Prendi la classica moneta e considera ad esempio:
croce = figlio maschio
testa = figlio femmina
Esegui ora una serie di n coppie di lanci della moneta, annotando i
risultati.
Per ogni coppia di lanci (cioè una famiglia con due figli generica) otterrai
una di queste combinazioni:
MM
MF (o FM, come vedi non ti chiedo di distinguerle)
FF
Dopo un numero ragionevole di lanci conta le "famiglie" con "almeno un
maschio", cioè tipo quella di Alberto (chiamiamo questo numero M1
Conta poi quelle con entrambi maschi che saranno M2
Il rapporto M2/M1 sarà una stima della probabilità cercata e sarà tanto
migliore quanto più alto sarà il campione di famiglie, cioè il numero di
lanci che hai fatto.
Provare per credere.
Nello stesso modo puoi verificare il risultato per la famiglia di Bruno. qui
però devi distinguere MF da FM perché il "primo" figlio (cioè lancio della
moneta) deve essere M. Quindi devi dividere il numero di MF per la somma di
MF e MM
Ciao  (-;

 risultati.
L'esempio è utile a capire il ragionamento che sta alla base di
quell'enigma, ma non cambia una virgola del fatto che è un ragionamento
sbagliato nel caso si parli di figli.
Infatti l'esempio portato, il lancio delle monete, non è assolutamente
confrontabile con quello proposto in origine, in cui si parla di figli,
perchè mentre le monete possono avere sia testa che croce una persona
non può essere alternativamente o maschio o femmina a seconda dei casi.
O se vogliamo fare un esempio un pò macabro, se si lanciano in aria dei
figli quando cadono per terra non diventano o maschio o femmina. Se va
bene si rompono le ossa, se va male muoiono, ma non cambiano sesso.
Quindi o l'enigma è mal posto (forse tradotto male dall'inglese?) o la
soluzione è sbagliata se si parla di "figli di Alberto" e non di monete.


 non capisco.
Ohila', Diego. Rascal ha gia' detto come funziona il gioco, ma io ero
interessato al motivo della confusione. Volevo risponderti io, ma nel
cercare il testo originale del problema m'e' capitata sottomano la
risposta del diretto interessato... ovvero Martin Gardner in "Enigmi e
giochi matematici" della BUR che, guarda il caso ;-), ho comperato poco
tempo fa dall'Avverbi.
Questo e' il testo originale del problema:
---
Il sig. Smith ha due bambini. Almeno uno di essi e' un maschio. Qual e'
la probabilita' che entrambi siano maschi? Il sig. Jones ha due figli.
Il piu' grande e' una femmina. Qual e' la probabilita' che entrambi i
figli siano maschi?
---
Quello che ho trovato poi, pero', potra' chiarire meglio le cose.
---
[...] Oggi, la teoria della probabilita' fornisce delle risposte chiare
e inequivocabili a questioni semplici di questo tipo, ma solo quando il
procedimento sperimentale interessato e' definito con precisione. La
mancanza di questo requisito e' una fonte comune di confusione in molti
problemi ricreativi che hanno a che fare col caso.
[...]
Un altro esempio di ambiguita' derivante da un difetto di specificazione
del procedimento di casualizzazione compare nel problema
2 del Cap. 14 [NdP: il nostro problema, appunto].
[...] Molti lettori indicarono correttamente che la risposta dipende
dal procedimento con cui l'informazione "almeno uno e' maschio" viene
ricavata. Se fra tutte le famiglie con due bambini, di cui almeno uno e'
maschio, ne viene scelta una a caso, allora la risposta e' 1/3 [NdP:
come appunto scritto da Rascal]. Ma vi e' un altro procedimento che
conduce esattamente allo stesso enunciato del problema. Dalle famiglie
con due figli, ne viene scelta una a caso. Se entrambi i bambini sono
maschi, chi fornisce l'informazione dice: "almeno uno e' maschio"; se
entrambe femmine, dice: "almeno uno e' femmina". E se sono presenti
entrambi i sessi, egli prende uno a caso dei bambini e dice: "almeno uno
e'..." nominando il sesso del bambino scelto. Quando questo procedimento
viene adottato, la probabilita' che entrambi i bambini siano dello
stesso sesso e' chiaramente 1/2. (Cio' e' facile da vedere perche'
l'informatore da' un enunciato per ognuno dei quattro casi - MM, MF, FM,
FF - e in meta' di questi entrambi i bambini sono dello stesso sesso).
Che anche i migliori matematici possano trascurare tali ambiguita' e'
mostrato dal fatto che questo problema, in forma non risolubile, appare
in uno dei migliori testi scolastici recenti di matematica moderna.
---
Per chiudere, rinnovo il giochino cercando di superare le ambiguita'.
Qualche tempo fa ho incontrato di corsa Carlo Dalamberti. Mi ha detto di
avere due figli.
Caso A) Ho fatto appena in tempo a chiedergli se ha poi avuto il maschio
che desiderava e mi ha risposto al volo: "Si'".
Caso B) Non sono riuscito a sapere altro, ma poco dopo mi si e'
avvicinata una ragazza in modo del tutto casuale. Mi ha detto di
chiamarsi Anna Dalamberti... e stava cercando il padre che era appena
passato di li'.
Senza essere eccessivamente pignoli, quali sono le probabilita' che
l'altro figlio sia maschio nei due casi?
Ciao ciao
Claudio

 l'altro figlio sia maschio nei due casi?
Dicevi che vuoi superare le ambiguità? :-)
Nel caso A la frase "il maschio che desiderava" è decisamente ambigua e
può far supporre che Carlo Dalamberti abba avuto per prima una femmina
(e tu già lo sapevi) e perciò poi desiderasse un maschio.
Non riesco a decidermi tra nessuna possibilità e 50%, infatti qui si
gioca sull'ambiguità dell'esposizione.
Per risolvere il caso B (nell'ipotesi che si sia verificato subito dopo
il caso A; anche questo non è ben chiaro infatti alla fine fai una
chiara distinzione tra i "due casi", ma se vado avanti così non arrivo
mai a nessuna conclusione...) si dovrebbe considerare la possibilità che
Anna Dalemberti possa non essere la figlia di Carlo Dalamberti tuo amico
(non è specificato), ma una sua parente che cercava il padre, lontano
cugino omonimo di Carlo Dalamberti che tu non conoscevi e quindi non
potevi essersi accorto se fosse o no passato di lì poco prima.
Ma visto che si parla di "probabilità" devo considerare entrambe le
possibilità: che la ragazza sia figlia del Carlo tuo amico (e che quindi
abbia un fratello nel caso che il "caso A" sia collegato al "caso B"), o
che sia un'altra... quindi, e solo per questa ambiguità
nell'esposizione, il 50%
Credo che l'importante, comunque, sia sempre una chiara esposizione del
problema e una chiara soluzione, altrimenti finiamo nel nonsense.


 del problema e una chiara soluzione, altrimenti finiamo nel nonsense.
Come ha scritto Gardner, in quel gioco l'esposizione non era
chiarissima.. ma una volta accettate quelle ipotesi non dovrebbero
esserci problemi, no?
Ciao ciao
Claudio

 l'enigma dei fratelli.
...
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"Alberto ha due figli"
Questa definisce l'insieme di quelli che hanno 2 figli.
"Almeno uno dei quali è maschio"
Questa e' l'infornazione che l'osservatore ha.
"Qual è la probabilità che siano entrambi maschi?"
Questa e' la domanda.
L'insieme di quelli che hanno due figli si puo' dividere
in tre sottoinsiemi dalle seguenti proporzioni:
a) maschio-maschio 25%
b) maschio-femmina 50%
c) femmina-femmina 25%
Sapendo che un figlio e' maschio, la probabilita' che
entrambi siano maschi e':
P=a/(a+b)=25%/75%=1/3
Tutto il resto e' illazione.
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Ciao  :o)
Livio
Sent via Deja.com
http://www.deja.com/

 la probabilita' che entrambi siano maschi? 
io dò una risposta realistica: 1/2 perchè se in quella precisa famiglia
almeno uno dei due è maschio l'altro può essere solo (anagraficamente) o
maschio o femmina nel mondo reale
Quindi o Maschio + Maschio oppure Maschio + Femmina
E non mi importa l'ordine in cui considero la coppia di figli, MF o FM
(secondo quale concetto deve essere condiderata diversa e quindi
valutabile statisticamente in modo diverso la coppia formata da me e mia
sorella Angela o da mia sorella Angela e me?), la sostanza non cambia
nel mondo reale a cui fa riferimento l'enunciato dell'enigma, dove non
si parla di altra famiglia che quella del Sig. Smith, nella quale almeno
uno dei due figli è maschio.
Te l'ho già detto, sono cocciuto e concreto e forse per questo poco
adatto a speculazioni e sofismi come la differenza tra MF e FM in una
coppia di fratelli (mentre lo capisco se si tratta di monete dove la
moneta N. 1 può cadere con testa o croce, così come la moneta N.2)
L'errore di fondo che trovo in questa storia è il voler affermare che il
risultato più corretto è 1/3 (o 2/3 a seconda che si parli di femmine o
maschi) quando lo stesso Martin Gardner afferma che l'enigma dei figli è
ambiguo e che una risposta altrettanto accettabile è 1/2 
Mettiamolo tra gli enigmi ambigui... e comunque mi piacerebbe leggere la
versione originale in inglese perchè tra la versione citata nelle FAQ,
la diversa traduzione che mi hai citato tu e quella che ho letto su
Scienza e Paranormale ormai non ci capisco più niente :-)
Ciao (e grazie per la pazienza)


entrambi i bambini siano dello stesso sesso e' chiaramente 1/2 
Aggiungo ai due casi della FAQ 54 una terza variante, mi dirai se è
corretta o meno:
"Io ho due figli di cui uno è maschio, quale probabilità c'è che IL
SECONDOGENITO sia maschio?
In questo caso (e seguendo un ragionamento ancora diverso) le
possibilità da considerare avrebbero potuto essere tre, dove i figli
sono ordinati a seconda dell'età: MM, MF e FM e il risultato sarebbe
stato 66,6% ma a FAVORE del maschio.
Questo perchè ho, oltre al numero dei figli anche un' altra variabile,
l'età. E il risultato non sarebbe cambiato se invece che secondogenito
tu avessi detto primogenito.



Vi ho seguito nella vostra disputa e conosco il testo di Martin
Gardner.
Ho sintetizzato la soluzione come l'ho sintetizzata per esprimere la
mia modesta opinione in contrasto anche con Martin.
Che cos'e' un calcolo probabilistico? Mi chiedo. E' la stima di una
soluzione che un osservatore fa in base alle informazioni in suo
possesso. Quando le informazioni scarseggiano, deve fare le ipotesi
di massimo risparmio. E' il parallelo all'ipotesi scientifica. Tra
due ipotesi entrambe accettabili, si sceglie la piu' semplice, la
piu' realistica, la piu' onesta intellettualmente parlando.
Nel testo in questione, il campione piu' plausibile, in assenza di
altre specificazioni, e' la popolazione terrestre. L'esperimento
e' singolo ed isolato. Il risultato onesto e' 1/3.
Poi possiamo giocare. Possiamo immaginare che esista solo quella
famiglia, possiamo pensare di essere dentro al film *Matrix* e
che il quel mondo virtuale una macchina abbia distribuito le
nascite maschi/femmine = 1/20. Anch'io mi diverto un sacco a
trovare soluzioni ai post del Vecio Gi le piu' strane. In un
recentissimo thread "Il pallone sull'albero" ci siamo sbizzarriti.
Basta non prendersi troppo sul serio.  :o)


 >entrambi i bambini siano dello stesso sesso e' chiaramente 1/2
Resta il fatto che esiste una interpretazione *naturale*, come nel più
classico tre porte/buste. Se la grande maggioranza lo interpreta in un certo
modo (qui potete pure smentirmi, io parlo della mia esperienza, e non è che
i numeri interessati siano rilevanti. Ma quanto scommettereste sulla
risposta 1/2 se viene concesso tutto il tempo di riflettere?), ci sarà pure
un motivo.
Non è certo l'interpretazione di Gardner che modifica le statistiche, pur
essendo la sua osservazione del tutto legittima.
Ciao, Silv:o)

 che siano entrambi maschi?
Ciao a tutti, provo a dare il mio contributo a questo quesito.
Innanzi tutto perche, secondo me, appare  come "enigma".
Credo che la ragione risieda in due modi diversi di applicare il concetto
di probabilita alla descrizione di situazioni delle quali abbiamo
informazioni parziali.
C'e' un approccio "intuitivo" (1/2 per la prima risposta) nel quale non si
usano informazioni "irrilevanti" (tipo se il maschio è il primogenito o il
secondogenito, o se il il maschio va meglio a scuola, o se è piu alto o piu
basso o piu magro o piu grasso) e si assegna 1/2 all'eventualita "Maschio"
per l'altro fratello, considerato come evento indipendente.
C'e' un approccio statistico, molto attraetente per chi e' abituato a
risolvere quesiti classici di probabilita', rigoroso e  deduttivo, che pero
per essere applicato richiederebbe di conoscere alcuni dettagli.
Se si ritiene corretta la risposta 1/3 al primo quesito, si osservi che
qualunque informazione (scorrelata al genere) che lasci invariata ad 1/4 la
percentuale dei casi MM, (ma discrimini gli altri casi) aumenterebbe la
probabilita: non sembra un po strano?
Ovviamente all'interno dell'approccio statistico è perfettamente logico e
consequenziale...
Se mi dicessero che il maschio è piu qualcosa (giovane, vecchio, buono o
cattivo) del fratello, la probabilita cambierebbe.
Spesso per aiutare l'intuito su certi problemi conviene provare ad
ingrandirli:
Alberto ha 10 figli almeno 9 dei quali sono maschi: quale  e' la
probabilita che anche il decimo sia maschio?
Gli intuitivi direbbero 1/2, ma gli statistici 1/11: non vi sembra un po
piccolina?
Saluti a tutti, Enrico.

 piccolina?
e perché? A parte il fatto che lo statistico direbbe 1/12 (ci sono 12 casi
con (M,F)=(10,.), 11 sono (10,1) contro un caso (11,0)).
Mi dirai che comincio a sospettare che il cromosoma Y (o X?) del padre sia
una ciofeca, ma se continuo a reputare equiprobabile il sesso di ogni
bambino, come sembri fare tu dando 1/2 come intuitiva, allora penso di
essere in presenza di un evento rarissimo, ma che ancor piů raro sarebbe
il caso (11,0).
Fallo con le monete: lancio 11 monete e segno il numero delle teste su un
foglietto. Tu non lo vedi ma capisci dal movimento della mia mano che ho
scritto un numero di due cifre. Su cosa scommetti? 10 o 11?
Ciao, Silv:o)

 essersi sbagliati, nel calcolo e non nell'interpretazione.
Su questo sono d'accordo. La mia prima risposta è stata 1/2, poi dopo le
spiegazioni di Tomatis e altri in questo ng ho capito che è giusta 1/3.
Ma continuo a non escludere la prima anche considerando il problema
sotto l'altrnativo punto di vista di Gardner:
"Ma vi e' un altro procedimento che
conduce esattamente allo stesso enunciato del problema. Dalle famiglie
con due figli, ne viene scelta una a caso. Se entrambi i bambini sono
maschi, chi fornisce l'informazione dice: "almeno uno e' maschio"; se
entrambe femmine, dice: "almeno uno e' femmina". E se sono presenti
entrambi i sessi, egli prende uno a caso dei bambini e dice: "almeno uno
e'..." nominando il sesso del bambino scelto. Quando questo procedimento
viene adottato, la probabilita' che entrambi i bambini siano dello
stesso sesso e' chiaramente 1/2. (Cio' e' facile da vedere perche'
l'informatore da' un enunciato per ognuno dei quattro casi - MM, MF, FM,
FF - e in meta' di questi entrambi i bambini sono dello stesso sesso)."


 FF - e in meta' di questi entrambi i bambini sono dello stesso sesso)."
Allora non devi escludere neanche questo meccanismo:
Se i figli sono entrambi maschi l'informatore dice: "almeno uno è
maschio", altrimenti dice "almeno uno è femmina". Dopo aver sentito
l'informatore dire che c'è almeno un maschio, non è che ci sia molto da
stare a scommettere. E posso trovare meccanismi per giustificare qualsiasi
probabilità.
Il fatto è che se non viene menzionato alcun meccanismo, allora non si
possono fare ipotesi sulla volontà dell'informatore. Diciamo che un
ragazzo ci chiede: "I miei hanno due figli. Qual'è la probabilità che io
abbia un fratello?". Nessun informatore. Nessun meccanismo. Che
risponderesti?
Il fatto è che l'informazione introduce asimmetria. Voler far tornare la
simmetria è una pretesa infondata. Quindi propendo nettamente per
riportatare in tutte le raccolte di problemi *solo* la risposta 1/3.
Ciao, Silv:o)


Mi vuoi spingere a ragionare statisticamente! scommetto sul 10, ovviamente,
ma in questo caso come sono ottenuti i dati (lanciando una moneta) e'
chiarissima!
Provo a fare un'altro piccolo ragionamento, anch'esso apparentemente assurdo:
Alberto ha due figli, almeno uno dei quali è maschio. Qual è la
probabilità che siano entrambi maschi?
ok gli statistici mi dicono 1/3
Adesso provo ad avere altre informazioni facendo un'altra domanda:
Alberto dimmi,  il maschio e' il primogenito?
1) Si
perfetto! adesso gli statistici mi dicono che la probabilita e' diventata 1/2
2) No
stesso ragionamento e gli statistici mi diranno che la probabilita e'
diventata 1/2
Quindi qualunque sia la risposta di Alberto la probabilita' che entrambi
siano maschi e' 1/2.
Ma allora che gliela faccio a fare la domanda? tanto sempre 1/2 viene.
Quindi la probabilita senza la domanda e' 1/2 (ma non era 1/3 ? )
Ciao a tutti, Enrico.

 Quindi la probabilita senza la domanda e' 1/2 (ma non era 1/3 ? )
Direi che le cose non stanno così. E' vero che la risposta è ininfluente,
ma solo se l'interpretazione è la C, e giustamente entrambe le risposte
non fanno altro che confermare il 33% che ci aspettavamo. Se invece la
domanda va interpretata come B, allora la risposta porta informazione e le
probabilità che Alberto abbia due maschi diventano 1/2 o 0 a seconda della
risposta. Incidentalmente un generico Alberto, padre di un generico Luca e
di un'altra creatura X, 2 volte su 3 ha un primogenito maschio e risponde
Sì alla domanda B, e vedi bene che 2/3*1/2 fa 1/3.
Ciao, Silv:o)

 proprio su quello che stiamo scommettendo.
Hai ragione. E sono anche d'accordo sulla tua seguente analisi.
Forse non ho formulato bene la domanda:
Alberto, visto che hai almeno un figlio maschio, mi puoi dare una ulteriore
informazione scegliendo tra le seguenti 2?
1) Il primogenito e' un maschio.
2) Il secondogenito e' un maschio.
Ovviamente almeno una delle due e' vera e quindi alberto mi potra dare questa
ulteriore informazione.
Che dici la probabilita ora e' saltata ad 1/2 ?
Nel caso abbia due maschi, Alberto avra un attimo di indecisione (fatti
suoi), scelga come gli pare,  la cosa quindi e' un po ambigua; quello che
volevo dire e' che a me appare il tutto un po ambiguo  fin dall'inizio. Poi
che l'interpretazione statistica sia la piu "naturale", sono  d'accordo, pero
non scordiamoci che abbiamo introdotto un elemento soggettivo!
Ciao a tutti, Enrico.

 Che dici la probabilita ora e' saltata ad 1/2 ?
Nooooooo!
SE - se - PRIMA della domanda la pensavo in un certo modo, e la risposta
non aggiunge informazioni, allora la mia stima NON cambia, 1/3.
Ma scusa, come potrebbe cambiare! Lo sapevo da me che se uno ha un figlio
maschio almeno uno tra il primogenito ed il secondogenito sono maschi.
Ammetto che il tentativo è abilissimo, e del tutto funzionale ai tuoi
scopi. Introducendo un fattore soggettivo come la possilità di Alberto di
dare un'informazione piuttosto che un'altra, hai riportato equilibrio dove
equilibrio non c'era.
Però entra in gioco l'analisi Bayesiana. Ovvero, ci cominciamo a chiedere,
ascoltata la risposta di Alberto, quale potrebbe essere la causa di quella
sua affermazione.
Proviamo:
P(MM|1) =
= P(1|MM)*P(MM) / P(1) =
= P(1|MM)*P(MM) / (P(1|MM)*P(MM)+P(1|MF)*P(MF)+P(1|FM)*P(FM)) =
=   1/2  * 1/3  / (  1/2  * 1/3 +   1   * 1/3 +   0   * 1/3 ) = 1/3
Qui ovviamente ho usato le mie stime a priori, ovvero che MM capiti 1
volta su 3 quando un maschio è sicuro.
Perché nel mio precedente esempio NON avevo applicato questa analisi?.
Semplice: perché l'alternativa a "il primogenito è un maschi" era: "il
primogenito è una femmina"! E la cosa è ben diversa. L'informazione
*positiva* è la stessa ("il primogenito è maschio", ma qui non posso
essere sicuro che in caso di due maschi mi avrebbe risposto così, mentre
se gli avessi chiesto esplicitamente il sesso del primogenito sì.
Se ripetessi l'analisi per la domanda "Il primogenito è maschio?" 1)Sì
2)No  avrei:
P(MM|1) =
= P(1|MM)*P(MM) / P(1) =
= P(1|MM)*P(MM) / (P(1|MM)*P(MM)+P(1|MF)*P(MF)+P(1|FM)*P(FM)) =
=    1   * 1/3  / (   1   * 1/3 +   1   * 1/3 +   0   * 1/3 ) = 1/2
    ^^^              ^^^
La conclusione alla quale cerchi di portarmi è:
Un uomo ha almeno un figlio maschio. A domanda risponde: "il primogenito è
maschio". Qual è la probabilità che abbia due maschi?
E qui, tu mi dirai, dovremmo rispondere 1/2 se pensiamo che poteva
alternativamente dichiarare "il primogenito è femmina", oppure 1/3 se
pensiamo che l'alternativa poteva essere "il secondogenito è maschio".
Insomma: dipende dalla domanda.
Hai ragione. A fare questo tipo di speculazioni saltano fuori risultati
differenti. Ma come ho già detto questo è tutto un altro problema.
Nell'originale non è legittimo chiedersi perché sia stata divulgata la
notizia del figlio maschio. Il figlio c'è, e tanto ci basti.
Ciao, Silv:o)


Ambe allora! Non insistero' oltre a farmi domande illegittime! :-),
anche perche mi sembra abbiamo chiarito abbastanza la cosa...
Ciao a tutti, Enrico.

 *solo* la risposta 1/3.
A me sta bene! ma un'eventuale risposta 1/2 giustificata da una lettura
diversa, continuerei a _non_ considerarla sbagliata. Un po' come avviene
nelle serie numeriche... Qual e' il numero successivo? 42 non e' mai
sbagliata come risposta.
Ciao ciao
Claudio

 cambiato se invece che secondogenito tu avessi detto primogenito.
Visto che nessuno l'ha commentata, lo faccio io... non solo la trovo
corretta, ma e' pure una simpatica variante. Piu' che l'eta', pero', la
differenza sta nel chiedere di uno specifico figlio. Funzionerebbe
altrettanto bene cosi':
Io ho due figli, A e B, ed almeno uno e' maschio. Quale probabilita'
c'e' che A sia maschio? e che B sia maschio?
Ciao ciao
Claudio
PS: mi correggo! Silvio ed Enrico sembrano averla commentata
ampiamente... almeno mi pare, sto inviando e scaricando...

 ampiamente... almeno mi pare, sto inviando e scaricando...
Grazie del commento; in effetti stavo seguendo anch'io la discussione di
Silvio e Enrico... :-)


 lettura diversa, continuerei a _non_ considerarla sbagliata.
Appunto. Se è giustificata da una lettura diversa (tipo quella proposta da
Gardner, del padre che dice di avere almeno un maschio se ha MM, almeno
una femmina se ha FF o una cosa a caso se ha MF). Chi invece dice: "uno
dei figli è maschio, e pace. L'altro non c'entra nulla con quello, e il
sesso me lo gioco a testa o croce", beh, quello per me sbaglia, non è che
interpreta diversamente, sbaglia proprio. E venitemi a dire di no...
Ciao, Silv:o)

Salve a tutti, vorrei provare (abbiate pazienza!!) a sintetizzare quel che
ho capito, leggendo i vostri post ed in particolare una discussione con
Silvio, a proposito dell'origine di una possibile ambiguita nel problema
dei due fratelli:
Alberto ha due figli, almeno uno dei quali è maschio. Qual è la
probabilità che siano entrambi maschi?
Io penso ci siano due modi di "percepire" la questione:
1) "un uomo viene pescato a caso nell'insieme di quelli con due figli, tra
i quali almeno uno maschio..."
Impostato  cosi non  ci sono dubbi: il risultato e'  1/3.
Si considera il padre come variabile casuale (ed alla fine esce Alberto).
2) Alberto Lo Cascio, nato a Messina il 29/2/1963, sposato a Concetta
Calogero, dalla quale ha avuto 2 figli, la mattina del 29/1/2001 guardando
i suoi pargoli fare colazione dice "Ho almeno un figlio maschio".
(nella formulazione originale i dati anagrafici erano stati omessi per la
legge sulla privacy).
Percepita cosi non viene  in mente di considerare il padre come variabile
casuale,
piuttosto uno pensa che la variabile casuale sia la frase con la quale se
ne e' uscito quella mattina (ed alla fine esce "ho almeno un figlio
maschio").
Adesso invoco l'onesta intellettuale (simmetria, in assenza di
informazioni) ed assumo che l'insieme delle possibili risposte sia "ho
almeno un figlio maschio" "ho almeno una figlia femmina".
Impostato cosi, ottengo 1/2.
Concludo dicendo che, secondo me, e' sicuramente piu naturale
l'atteggiamento 1), ma non negherei una menzione alla 2).
Ciao a tutti, Enrico.

 
La probabilità è uguale a 1 (100%). Infatti Alberto è maschio, e anche
suo figlio :-)
Ciao
Giulio

 wrote:
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Complimenti!
Ormai l'ambiguità e i doppi sensi si sprecano... :-)


 l'atteggiamento 1), ma non negherei una menzione alla 2).
Anch'io la penso così. Dopo un iniziale smarrimento ho capito che è
giusto 1/3 se si tiene in considerazione un caso tra tanti, quindi se si
ragiona in modo statistico-probabilistico.
Se invece si considera solo il caso singolo, se guardiamo a quel
particolare padre con due figli come ad un Adamo che dice "Ho due figli,
uno è maschio e si chiama Caino. Qual'è la probabilità che anche l'altro
sia maschio?", allora, permettete che si possa anche rispondere 1/2?


 Africa che muore di fame. Almeno baciarlo!
:-))))
Questa storia di sprechi mi ha ricordato un post di ISM. Non ha niente
di nuovo o di particolare, ma lo propongo qui giusto come *memento*
contro gli sprechi ;-).
Ciao ciao
Claudio

 variabile indipendente.
Boh. E' veramente soggettivo il modo di interpretare i problemi. A me pare
naturalissimo dire 1/3 e 2/3. Penso che tra tutti i Marchi del mondo che
hanno un fratello, 2 su tre ce l'hanno femmina. Ma ormai ho capito che non
basterebbe nenache eliminare del tutto ogni possibile ambiguità, per rendere
chiaro il problema. Vedi il thread dei calzini: lì è tutto specificato con
chiarezza, ma non è che le discussioni siano mancate. Io penso che il nostro
cervello *desideri* la simmetria, vi tenda naturalmente, e non si accorga
delle trappole che ci sono sulla strada.
Silv:o)

 strada.
Si', io la vedo cosi': per costruire un qualsiasi ragionamento abbiamo
bisogno di basarci su ipotesi che accettiamo per vere... trovare [o
pensare di trovare] una simmetria e' il modo piu' semplice per arrivare
a quelle ipotesi... e la prima che troviamo e' la piu' facile ;-)...
Fortunatamente c'e' sempre la verifica sperimentale, o metodo
santommaso, o pratica vs. grammatica... che permette di scartare quelle
che non funzionano.
Ciao ciao
Claudio