Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Scommessa

Prendo un mazzo di 52 carte e dopo averlo ben mescolato lo divido in 2 
mazzetti da 26, che metto sul tavolo faccia in basso.
Ora scopro contemporeneamente le prime due carte di ciascun mazzetto, poi 
le seconde due, e via cosi' fino ad esaurimento.
Se almeno una di queste 26 coppie risultera' una coppia gemella, mi dai 1 
Euro, altrimenti lo vinci tu.
Per coppia gemella intendo due carte dello stesso valore e dello stesso 
colore. Es il 3 di cuori ed il 3 di quadri.
Ci stai ??

 says...

S
P
O
I
L
E
R
Ci sto, perche' la tua probabilita' di vittoria e'
47603333807475276088647100145227
---------------------------------
119209116549732434989049167756875
cioe' circa 0.4
Durante il gioco, ad ogni passo sul tavolo saranno rimaste x carte la 
cui gemella e' ancora sul tavolo, e y carte la cui gemella e' gia' stata 
scoperta; indichiamo lo stato con (x,y). Lo stato iniziale e' (52,0).
Quando sono nello stato (x,y), possono succedere 4 cose:
per brevita' sia K = (x+y)(x+y-1)
1) con probabilita' x/K, estraggo una coppia e vinco
2) con probabilita' x(x-2)/K, estraggo due carte la cui gemella rimane 
sul tavolo, portandomi nello stato (x-4,y+2)
3) con probabilita' 2xy/K, estraggo una carta la cui gemella rimane sul 
tavolo, e una carta la cui gemella era gia' stata estratta, portandomi 
nello stato (x-2,y)
4) con probabilita' y(y-1)/K, estraggo due carte la cui gemella era 
gia' stata estratta, portandomi nello stato (x,y-2)
Dunque la probabilita' di vittoria P(x,y) e'
P(x,y) = (x + x(x-2)P(x-4,y+2) + 2xyP(x-2,y) + y(y-1)P(x,y-2) ) / K
E asintoticamente che succede?
Nicola Salmoria

 cioe' circa 0.4
Allora sono stato fortunato. Su una ventina di prove empiriche avevo vinto 
12 volte. Non gioco piu'!  pero' ti devo un Euro.
Certo se prima dividessi ogni coppia fra i due mazzetti per poi mescolarli 
separatamente...ma sono sicuro che in questo caso non giocheresti.
grazie ciao

separatamente... ma sono sicuro che in questo caso non giocheresti.
Io no. Da me viene infatti:
p_1 = 26/26*(25/26)^25		   =~ 0,3751 =~ 38%
p_2 = 25*13/26**2*(25/26)**24	   =~ 0,1875 =~ 18%
p_3 = 25*13*8/26**3*(25/26)**23	   =~ 0,0600 =~  6%
p_4 = 25*13*2*23/26**4*(25/26)**22 =~ 0,0138 =~  1%
p_5 = 25*5*2*23*22/26^5*(25/26)^21 =~ 0,0024 =~  0%
............
Dunque piu` del 63%, anzi quasi il 64%
-- 
Ciao,		| Attenzione! campo "Reply-To:" alterato ;^)
Remigio Zedda	| E-mail: 
remi...@tiscali.it
	-- Linux 2.4.18 su Debian GNU/Linux 3.0 "Woody"

 Dunque piu` del 63%, anzi quasi il 64%
Concordo.
In questo caso c'e' un modo piu' rapido.
Se numero le carte del primo mazzetto 1,2,...,25,26, le carte 
corrispondenti nel secondo sono una permutazione di questi 26 numeri, e tu 
vinci solo se nessuna delle suddette carte si trova al proprio posto.
Una permutazione dove nessun termine cade nella propria posizione naturale 
e' nota come Derangement. Ricordi il famoso problema delle buste di 
Bernouilli?
I tuoi casi favorevoli sono dunque [26! /e] ~ 0.367879....

I tuoi casi favorevoli sono dunque [26! /e] ~ 0.367879....
Si`, come uno scemo non ci pensavo al caso complementare.
Pero` -e ho visto anche cio` che chiede LordBeotian- non riesco
ad individuare la tua formola (apprissimata?) 26!/e.
Con le complementari semplicemente a me ora sembrerebbe: (25/26)^26
dov'e` che eventualmente sbaglio? (qui su ihe ho percentuale
altissima di errore, per questo lo chiedo.. e faccio anche
prima:-))  )
Considera che posso:
A) Direttamente: 1 <--|--> 1'... 25 casi su 26
1<-|->1'; 2<-|->2'... (25/26)^2
eccetera
B) Applicando la formola: p_m = (n sopra m) p^m (1-p)^(n-m), nel
caso di m=0, n=26. Infatti: p_0 = 1*1*(1-1/26)^26 = (25/26)^26
Ah.. (25/26)^26 da` .360689232  un po' piu` basso di 26!/e.


 separatamente...ma sono sicuro che in questo caso non giocheresti.
Si puo' risolvere nello stesso modo di prima, cambiano solo i 
coefficienti della catena di Markov. La tua probabilita' di vittoria 
sarebbe 
10197152951125419990508487
--------------------------
16131658445064225423360000
cioe' circa 0.63.
Nicola Salmoria

 Ah.. (25/26)^26 da` .360689232  un po' piu` basso di 26!/e.
La formula errata da' una buona approssimazione ai nostri fini, ma il 
valore esatto e'
0.36787944117144232159552377025012732441191617353858....
Nicola Salmoria

 Mi sa di si`, anche a me viene appena sopra il 40%
Per la verita' e' un po' di meno:
0.39932628632153152074357584775131820989905110261129...
Nicola Salmoria

cambia. E' 25/26 solo alla prima estrazione.
Rispondo senza riflettere, ma cosi` facendo non e` per caso che tu
stia cadendo nella trappola della capra e dell'auto (della Savant)?


 Per la verità non lo ricordo neanche io...
Il problema che stiamo trattando sembra sia stato proposto per la prima 
volta da Niclaus Bernouilli sottoforma di N lettere infilate a caso in N 
buste con gia' l'indirizzo stampato.
Eulero se ne e' interessato, ed e' lui che ha tirato in ballo il numero "e"
in "Calcul de la probabilite dans le jeu de rencontre"
Memorie dell'Accademia delle scienze di Berlino 1751-1753 pagg.255-270.
Rencontre e' il nome con cui i francesi identificano questi subfattoriali.