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Titolo: it.fan.dewdney: risposte ritrite

Dewdney Answers v. 1.60 - 21 novembre 1997 [aggiunta R12]
Avete letto il file con i "Frequently Posted Problems" e non siete
riusciti a trovare le risposte ad alcuni problemi? Niente paura, noi siamo
buoni e alleghiamo (dopo un congruo numero di puntini per evitare spoiler)
le risposte in questo file.
               ciao, .mau.    (2:334/101.5, 
m...@beatles.cselt.it
)
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R01:
   Il problema e` semplicemente mal posto. Il modo piu` semplice di 
   vederlo e` notare che nelle 45000 pagate dagli amici ci stanno anche
   le 10000 lire che si e` intascato il cameriere.
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R02:
   Le terne di numeri il cui prodotto e` 36 (con le somme vicino) sono
   36-1-1 (38); 18-2-1 (21); 12-3-1 (16); 9-4-1 (14); 9-2-2 (13);
   6-6-1 (13); 6-3-2 (11); 4-3-3 (10).
   Il secondo matematico sa qual e` la somma (vede il numero della casa)
   ma non sa rispondere. Questo significa che la somma e` 13, l'unico
   numero che appare due volte. La seconda affermazione del primo
   matematico ci dice che la risposta giusta e` 9-2-2.
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R03:
   Il trucco qui e` il fatto che il presentatore non apre una porta a
   caso, ma ne sceglie una con una capra. Supponiamo di avere scelto la
   prima porta: in questo momento abbiamo probabilita` 1/3 che l'auto
   sia dietro una qualunque porta. Nei due casi in cui l'auto sia nella 
   porta 2 o 3, il presentatore apre rispettivamente la porta 3 o 2, e se
   noi cambiamo scelta vinciamo (probabilita` 2/3); se avevao scelto la
   porta giusta, lui ne apre a caso una delle altre (probabilita` 1/6 per
   ciascuna) e se noi cambiamo perdiamo (probabilita` 1/3). Quindi ci
   conviene cambiare porta.
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R04:
   La risposta tipica e` "sette", perche` la parola "quattro" ha sette
   lettere. Come gia` scritto, le risposte possibili sono infinite...
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R05:
   Numerando il quadrato con le cifre da 1 a 9, la spezzata 
   1-A-B-1-9 risolve il problema.
                        1  2  3  B
                        4  5  6
                        7  8  9
                        A    
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R06:
   Siano le monete ABCDEFGHI. Si mettano ABC su un piatto e DEF
   sull'altro. Si danno tre casi:
   ABC piu` pesante -> la moneta e` tra ABC
   ABC piu` leggera -> la moneta e` tra DEF
   stesso peso -> la moneta e` tra GHI
   Si prenda ora il gruppo di tre monete, se ne metta una su ogni piatto e
   si ragioni allo stesso modo.
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R07:
   Supponiamo che le monete siano ABCDEFGHIJKL. Come primo tentativo, si
   confrontino ABCD e EFGH. Si danno tre casi:
   (1) ABCD = EFGH. Si confrontino allora IJ e KA. Di nuovo tre casi:
   (1.1) IJ = KA. La moneta diversa e` L; la si confronti con A per sapere
         se e` piu` pesante o piu` leggera.
   (1.2) IJ < KA. Si ha o (I<) o (J<) o (K>). Facciamo il confronto
         tra AB e IK.
   (1.3) IJ > KA. Si ha o (I>) o (J>) o (K<). Procediamo come nel caso 
         precedente a confontare AB e IK.
   (2) ABCD > EFGH. La seconda pesata e` tra ABE e CDF. Si hanno di nuovo
       tre casi:
   (2.1) ABE = CDF. Si ha o (G<) o (H<). Si confronti A con G.
   (2.2) ABE > CDF. Si ha o (A>) o (B>) o (F<). Si confrontino AF e KL.
   (2.3) ABE < CDF. Si ha o (E<) o (C>) o (D>). Si confrontino CE e KL.
   (3) ABCD < EFGH. Si risolve come il caso (2)
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R08:
   I cornuti erano 15. Se ce ne fosse stato uno solo, questo l'avrebbe 
   saputo non appena fatto il discorso, e quindi il giorno dopo si sarebbe
   presentato. Se ce ne fossero stati due, entrambi si sarebbero aspettati
   che l'altro si presentasse il giorno dopo; non vedendolo, capiscono di
   esserlo anche loro. Si va avanti cosi` per induzione, e si mostra che
   se i cornuti sono n, si presenteranno tutti il giorno n.
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R09:
   Basta una pesata. Prendete una moneta dal primo sacchetto, due dal
   secondo... 10 dal decimo e guardate quanti grammi mancano al totale di
   550 che si avrebbe se tutte le monete pesassero 10 grammi.
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R10:
   Certo, visto che il filo rimarra` sollevato di 100/(2 pi) ~= 16 cm e i
   gatti sono piuttosto flessuosi.
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R11:
   Il problema si risolve se N ed M sono primi tra loro, e la soluzione 
   (non necessariamente la piu` breve) ricorda gli algoritmi di 
   divisibilita`. Supponiamo per comodita` M < N per sapere qual e` il
   recipiente piu` piccolo. Versiamo acqua dal recipiente grande al
   piccolo fino a riempirlo, e a questo punto travasiamo l'acqua nel
   recipiente medio. Se a un certo punto esso ha N litri, siamo a posto;
   altrimenti prima o poi si riempie. Allora versiamo l'acqua dal medio al
   grande, e finiamo di travasare dal piccolo al medio. La situazione e`
   simile a quella iniziale, modulo una classe di resto (il numero di
   litri d'acqua nel recipiente medio). Ripetendo le operazioni da capo,
   scorreremo tutte le classi di resto, e quindi avremo anche a un certo
   punto il valore N cercato.
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R12:
   Il termine successivo e` 312211. Ogni termine si ricava dal precedente
   "spiegando cosa e` scritto": in 1112211 ci sono tre 1, due 2 e ancora
   due 1, quindi 3 1,2 2,2 1, quindi 312221.
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    conviene cambiare porta.
E' una stupidaggine. Una VOLTA aperta la porta, la probabilita' di perdere NON e'
di 1/3 ma di 1/2. Non si puo scegliere la porta gia' aperta, restano dunque 
due porte , due possibilita'.
Cambiando si ha  una possibilta' di 1/2 di vincere, o di un 1/2 di perdere.
E' vero che non e' stato modificato lo spazio campionario, ma la probabilita' di vittoria
si e' modificata nel tempo.
E' l'equivalente di un problema di estrazione senza reimmisione.

Chi non e` convinto della risposta al problema ritrito #3 ha l'opportunita`
di fare una simpatica scommessa con me: leggere
http://beatles.cselt.it/~mau/problema.html
 per ulteriori informazioni.
.mau.


Prova a fare questo semplice esperimento. Prendi tre carte, un
asso (l'auto) e due scartine (le capre) ed un dado.
Mescola le carte e disponile scoperte da sinistra a destra e chiamale
rispettivamente 1,2 e 3. Lancia il dado ed il risultato modulo 3 sara' la
porta scelta dal partecipante. Appoggia il dado sulla carta relativa.
Elimina una delle due restanti carte con la regola che non sia mai l'asso. 
Scrivi su di un foglio "Cambio" se avresti vinto l'auto cambiando la
scelta rispetto al dado oppure "Lascio" se l' avresti vinta mantenendo
la prima scelta.
Ripeti una ventina di volte e guarda quanti "Cambio" e quanti "Lascio" hai
scritto.
Prevedo un tuo cambiamento di opinione, che potrebbe essere anche piu'
rapido se realizzi che se hai posato il dado sull'asso (una volta su tre)
vinci lasciando e so lo hai posato su di una scartina ( due volte su tre)
vinci cambiando, e quindi ti risparmi tutto il resto.
Ciao,
      GianPiero 
-- 
*  Istituto Nazionale di Ottica                        GianPiero Puccioni  *
*  Largo E.Fermi 6                               E-Mail :  
g...@fox.ino.it
  *
*  I-50125  Firenze - ITALY    =>this space intentionally left non-blank<= *

vinci cambiando, e quindi ti risparmi tutto il resto.
Il ragionamento sembra perfetto, ma non mi convince del tutto.
Forse c'e' un bug che non riesco a vedere.
Se e quando lo scopriro' scrivero' ancora.
Per ora rimango nel dubbio. Pero' ...
p = probabilita' che abbia ragione Stefano
1-p = probabilita' che abbia ragione GianPiero
la probabilita' di vincere e'
 se cambio porta  p * 1/2 + (1-p) * 2/3
se non cambio     p*1/2 + (1-p) * 1/3
nel dubbio cambio
ciao
Paolo

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Non sorprende che questa pur semplice situazione faccia ancora
discutere.
Quando Marilyn von Savant's columnist del settimanale americano Parade
propose questo problema dando la giusta soluzione (cambiando si vince 2
volte su 3), sollevo' un vero vespaio, il 92% delle lettere che
ricevette in merito erano in disaccordo con lei, lo strano e' che alcune
di queste provenivano da universitari. Quando, poi la stessa cosa
apparve in New Zealand Science Montly la discussione che si accese fu
veramente accanita, prevalentemente ad opera del sig. Vincent Gray di
Wellington grande sostenitore dell'inutilita' del cambiar porta, credo
che la diatriba con Russel Dear, autore dell'articolo, ando' avanti per
mesi, e penso che Gray non si sia mai convinto.

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R03:
   Il trucco qui e` il fatto che il presentatore non apre una porta a
   caso, ma ne sceglie una con una capra. Supponiamo di avere scelto la
   prima porta: in questo momento abbiamo probabilita` 1/3 che l'auto
   sia dietro una qualunque porta. Nei due casi in cui l'auto sia nella 
   porta 2 o 3, il presentatore apre rispettivamente la porta 3 o 2, e se
   noi cambiamo scelta vinciamo (probabilita` 2/3); se avevao scelto la
   porta giusta, lui ne apre a caso una delle altre (probabilita` 1/6 per
   ciascuna) e se noi cambiamo perdiamo (probabilita` 1/3). Quindi ci
   conviene cambiare porta.
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