Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Quadrati magici



Penso che tutti sappiano cosa sono i 'Quadrati Magici' (per chi non
lo sapesse, sono griglie quadrate piene di numeri in cui la somma di righe,
colonne e diagonali da' sempre lo stesso numero); ho due domande da fare
in proposito:


1) Esiste una tecnica (algoritmo???) che, dati la misura del lato
e la somma costante, costruisce il quadrato magico equivalente (o uno dei
possibili, se ce ne sono)?


2) Leggendo 'Focus' di maggio ho trovato un simil-quadrato magico,
fatto cosi': in una griglia di 5X5, bisognava coprire 5 numeri a caso,
cancellando dopo ogni copertura la riga e la colonna corrispondenti al
numero coperto (ovviamente il numero da coprire deve essere scelto tra
quelli non coperti ne' cancellati). Si avevano cosi' 5 numeri (uno su ogni
colonna). La somma di questi 5 numero era fissa (in questo caso, valeva
57). Quale puo' essere la regola di generazione di un quadrato simile?


Grazie a tutti!


Maxis 8-]


"Tutti i cretesi mentono" by Epidemide


P.S. Se lo dice lui che i CDretesi li conosce, deve essere vero!
8-))))



 8-))))
P.S. Forse sto mentendo.

 > simile?
La regola e' veramente semplice ed e' applicabile a quadrati di
qualunque ordine.
Cominciamo col mettere dei numero qualsiasi che chiameremo "generatori"
all'esterno del quadrato con le caselle ancora vuote, un numero per ogni
colonna e un numero per ogni riga. Come es. uso i num da 1 a 10:
    1   2   3   4   5
  ---------------------
6 |   |   |   |   |   |
  ---------------------
7 |   |   |   |   |   |
  ---------------------
8 |   |   |   |   |   |
  ---------------------
9 |   |   |   |   |   |
  ---------------------
10|   |   |   |   |   |
  ---------------------
Ora completiamo il quadrato mettendo in ciascuna casella la somma dei 2
numeri ad essa corrispondenti:
    1   2   3   4   5
  ---------------------
6 | 7 | 8 | 9 | 10| 11|
  ---------------------
7 | 8 | 9 | 10| 11| 12|
  ---------------------
8 | 9 | 10| 11| 12| 13|
  ---------------------
9 | 10| 11| 12| 13| 14|
  ---------------------
10| 11| 12| 13| 14| 15|
  ---------------------
Scegliamo un numero es. 10 corrispondente a 7+3, cancellando gli
ortogonali, non potro' piu' scegliere altri numeri nella colonna 3 e
nella riga 5. Scelgo un secondo numeroes.15 = 10+5 e cancello la colonna
5 e la riga 10 ecc.. alla fine i 5 numeri scelti corrisponderanno alla
somma dei 10 numeri generatori. In questo caso 55.
Variando i generatoti posso costruire tabelline con somma finale a mio
piacimento.
Mi ricordo che una decina di anni fa utilizzando questo principio misi a
punto un giochetto magico che fece meravigliare diverse persone.
Tradendo la deontologia del piccolo mago, vi svelo il trucco. Sappiatemi
dire se sara' efficace nell'allietare qualche cena.
Munitevi di carta e penna, tracciate sul foglio un quadrato 5*5.
Spiegate che andrete ad apporre un numero in ciascuna casella,
riempiendo effettivamente, mentre parlate le prime 2 file con numeri
consecutivi iniziando dall'uno:
 1   2   3   4   5
 6   7   8   9  10
A questo punto vi fermate, chiedendo ad una spettatrice di scegliere un
numero compreso fra 50 e 99 e di scriverlo ben visibile a tutti in un
angolo del foglio. Supponiamo venga scritto 86.
Non badando troppo al numero scelto, avrete nel frattempo riempito la
terza riga coi numeri da 11 a 15.
 1   2   3   4   5
 6   7   8   9  10
11  12  13  14  15
A questo punto fate mentalmente questa semplice somma: Il numero fisso
12 + le unita' del numero scelto, in questo caso 12+6=18
Spiegando che i numeri nella matrice non necessariamente devono essere
messi in ordine regolare,ma possono essere messi a piacere,cosi' dicendo
riempite la quarta riga con 5 numeri consecutivi a partire dalla somma
appena trovata:
 1   2   3   4   5
 6   7   8   9  10
11  12  13  14  15
18  19  20  21  22
Il numero di partenza della quinta riga si trova semplicemente prendendo
le decine del numero scelto, sottraendo 4, e moltiplicando per 10. Nel
nostro caso (8-4)*10=40
Il quadrato diventa:
 1   2   3   4   5
 6   7   8   9  10
11  12  13  14  15
18  19  20  21  22
40  41  42  43  44
Facendo scegliere numeri disponibili col criterio gia' visto
"cerchiando" ogni volta il numero scelto e cancellando quelli
ortogonali, resteranno 5 numeri che sommati.... sorpresa!!   daranno il
numero scelto dalla spettatrice. In questo caso 86.
:) dario

 Cerca "Magic squares" su Internet e troverai una ventina almeno di siti.
Mamma mia! sarebbe gia' arduo elencare bibliografie di bibliografie. Ci
sono 500 anni di storia su questo argomento. Lo sforzo degli ultimi anni
ha prodotto decine di tesseratti magici (cubi quadrimensionali).
Il massimo che posso fare e' riproporre un post di circa un anno fa dove
tentavo una piccola classificazione di tali oggetti: 
I quadrati magici sono conosciuti nel mondo occidentale, contrariamente
a quanto asseriscono alcuni testi, in tempi relativamente recenti.
L'introduzione in europa e' del XIV secolo da parte del bizantino
Moschopoulus.
Si sente spesso nominare quadrati magici coi nomi piu' disparati in base
alle loro caratteristiche. Spero di fare cosa gradita tentando un
piccolo riordino:
SIMMETRICI o ASSOCIATIVI 
La somma delle coppie di numeri simmetrici rispetto il centro e'
costante.
SEMIDIABOLICI
Quelli di ordine pari che restono magici se si invertono le due meta'
ottenute dividendolo per una mediana.
15  04  01  14
06  09  12  07
10  05  08  11
03  16  13  02     questo e' sia associativo che semidiabolico.
DIABOLICI o PANMAGICI o PANDIAGONALI o di NASIK o MAGICAMENTE MAGICI
In questi la costante oltre che su righe, colonne e diagonali e'
riscontrabile anche sulle diagonali spezzate. Se ne conoscono 384 di
ordine 4 e 3600 di ordine 5.
23 06 19 02 15
04 12 25 08 16
10 18 01 14 22
11 24 07 20 03     questo e' sia associativo che diabolico,
17 05 13 21 09     se ne conoscono solo 16 di 50 ordine.
BIMAGICI o DOPPIAMENTE MAGICI
Restano magici dopo la sostituzione dei numeri con i loro quadrati.
Un quadrato e' detto multimagico di grado p se il quadrato formato
sostituendo ogni suo elemento con la sua kesima potenza conserva la sua
magicita' per ogni k da 1 a p" 
Devo dire che i piu' grossi contributi sono stati dati dai francesi.
Il 26 marzo 1906, Henri Poincare' presento' all'Accademia delle Scienze
un lavoro di Gaston Tarry dove si dimostra che e' possibile ottenere QM
di qualunque grado.
I risultati ottenuti furono pubblicati dal generale Cazalas nel 1934 a
Parigi:
"Carres Magique au degre' n". Libro che ho la fortuna di possedere.
Tarry e' stato anche il primo che ha messo a punto un metodo per
generare quadrati trimagici (p=3) di lato 128. Ora si sa che il piu'
piccolo ottenibile e' di ordine (lato) 32 ed e' stato pubblicato su
"Petite Archimede" num.73-74.
Il piu' piccolo bimagico e' di ordine 8.
Tra i vari metodi trovati per generare dei bimagici, quello di Aubry e'
di gran lunga il piu' semplice. Chi fosse interessato lo puo' trovare
in:
Maurice Kraitchik "Mathematical Recreations" Dover, 1953 pag. 177
SATANICI
Restano magici dopo la sotituzione dei numeri con i loro cubi.
CABALISTICI
Diabolici e bimagici allo stesso tempo.
SUPERMAGICI
Schemi n x n in cui ogni quadrato (n-1) x (n-1) ottenuto rimuovendo una
colonna ed una riga mantiene la sua magicita'.
ANTIMAGICI
Termine coniato nel 1962. Le somme di righe, colonne e diagonali non
danno un numero costante, ma bensi' una serie di numeri consecutivi.
15 02 12 04
01 14 10 05
08 09 03 16
11 13 06 07    Le somme vanno da 30 a 39.
INCANTEVOLI o GNOMONICI
La costante figura anche in ogni suo quadrato elementare 2x2.
01 12 07 14
08 13 02 11
10 03 16 05
15 06 09 04
SUPERTRUCCATI
I numeri contenuti nelle caselle che si toccano ortogonalmente sono
primi tra loro.
03 32 39 16
40 09 14 27
21 34 33 02
26 15 04 45
PRIMI CONSECUTIVI
Quadrati formati da numeri primi consecutivi escluso il 2.
Il piu' piccolo conosciuto e' di 120 ordine.
P-MAGICI
Definiti da Friedman nel 1975. Danno la costante non per somma, ma per
moltiplicazione.
128 001 032
004 016 064
008 216 002    Questo ha una costante moltiplicativa di 4096.
TALISMANICI
La differenza di ogni coppia di numeri adiacenti ortogonalmente e
diagonalmente, e' inferiore ad una data quantita' (grado).
:)dario