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Titolo: Quale triangolo?

All'interno di un angolo acuto si trova un punto P.
Indicare un punto su ogni lato dell'angolo in modo che il triangolo formato
da questi due punti e dal punto P abbia perimetro minimo.
Ciao.
Gianni.

Giovanni Belloni ha scritto:

Un problema davvero interessante!!!
Mi ha dato del filo da torcere per diversi giorni, ma credo di averlo
risolto, utilizzando un procedimento grafico piuttosto che analitico.
Dunque, sia O il vertice dell'angolo, A e B i due punti cercati, X e Y ue
punti posti all'infinito sui due lati (mi servono solo per la notazione)
Quello che ho trovato e' che i punti A e B vanno scelti in modo da rendere
uguali gli angoli OAB e PAX, e cosi' pure per l'altro punto: OBA = PBY.
Un altro modo per esprimere queste condizioni e' affermare che il triangolo
deve avere le bisettrici agli angoli A e B perpendicolari ai lati OX e OY.
Come sono giunto a questa conclusione?
Fissiamo un punto A sul lato OX. il punto B deve essere tale da minimizzare
la somma AB + BP.
Consideriamo l'ellisse di fuochi A e P passante per B. Per una nota
proprieta' dell'ellisse ogni punto interni all'ellisse formera' con i
fuochi un triangolo di perimetro minore rispetto ad ABP, mentre i punti
esterni avranno perimetro maggiore. Affinche' B sia il punto di minimo
perimetro l'ellisse deve essere tangente al lato OY, altrimenti potremmo
scegliere su OY un punto diverso da B con perimentro minore. Ma la tangente
di un ellisse in ogni punto forma angoli uguali con le semirette uscenti
dai fuochi. Ripetendo il ragionamento sull'altro lato si arriva alla
conclusione che ho esposto.
Con un po' di geometria si trova che il triangolo ha gli angoli A e B doppi
rispetto ai due angoli nei quali viene diviso l'angolo di partenza (XOY)
dalla semiretta OP
 
ABP = 2*POX
BAP = 2*POY
Quindi conoscendo la posizione di P e' facile costruire il triangolo
richiesto
Ciao, Silvio

 Gianni.
La prima cosa che mi e' venuta in mente e' di prendere i punti che
minimizzano la distanza da P, ovvero le proiezioni ortogonali di P sui
lati.
Devo controllare qualche passaggio, ma mi sembra che per piccoli
spostamenti, quello che guadagno sul lato opposto a P e' minore di quanto
perdo sui due lati adiacenti P.
L'intuizione e' quella giusta?
Ciao, Silvio

 L'intuizione e' quella giusta?
assolutamente no :((
Mi sembrava di aver cancellato questo post, ma evidentemente anche le
soluzioni sbagliate hanno voglia di emergere...
La soluzione giusta (credo) l'ho gia' postata un paio di giorni fa


No, non ci siamo. La soluzione è davvero più semplice, pur non essendo
banale.
Non conosco le regole di questo NG e non so se devo postare o meno la
soluzione.
Ditemi.
Gianni.

 Gianni.
Probabilmente non ho scelto la maniera piu' breve per arrivare alla
soluzione, ne la forma piu' elegante di dimostrazione, ma la soluzione e'
quella giusta!
Ho trovato molte altre maniere piu' semplici per costruire il triangolo, ma
sostanzialmente la soluzione non cambia. Eccone una:
Prendiamo due punti A' e B' simmetrici di P utilizzando i lati dell'angolo
come assi di simmetria.
Comunque prendiamo A e B sui lati il perimetro del triangolo APB sara'
uguale alla lunghezza della spezzata A'PB', che ovviamente avra' lunghezza
minima quando i punti saranno allineati, quindi i punti richiesti si
trovano all'intersezione di A'B' coi lati.
Ce ne sono altre, ma questa mi sembra la piu' semplice. Comunque cio' non
toglie che la soluzione che ho dato sia esatta, per quanto abbastanza
contorta, e che forse meritava un po' piu' d'attenzione...
Ciao, Silvio

 uguale alla lunghezza della spezzata A'PB'
                        ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^      
della spezzata A'ABB'
maledetta fretta...
Ciao, Silvio

 > Gianni.
Io la vedo cosi':
Proietto il punto p all'esterno delle due semirette OX e OY, chiamo
questi punti speculari P1 e P2.
Ogni punto della semiretta OX sara' equidistante da P e P1, analogamente
ciasun punto di OY e' equidistante da P e P2. La retta che unisce P1 con
P2 intercetta i punti cercati A e B. Difatti il perimetro del triangolo
A,B,P sara' sempre uguale a P1,P,P2. La retta e' naturalmente la
distanza piu' breve.
ciao :)dario

 distanza piu' breve.
Tutto collima, distrazione compresa (il perimetro di ABP e' sempre uguale a
P1,A,B,P2, e non P1,P,P2), chissa' perche'...
:)
Ciao, Silvio

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Perche' in verita' bisognerebbe rileggere quello che si scrive !!  pero'
tu hai capito ugualmente cosa intendevo !
Ciao :( dario

...
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