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Titolo: Triangoli nei poligoni

Prendendo tre vertici a caso di un poligono regolare con 2n lati,
qual è la probabilità che il centro del poligono sia esterno al
triangolo ottenuto?
Quanti lati ha il poligono regolare il cui numero di triangoli
(che si formano unendo tre dei suoi vertici in tutti i modi
possibili) ottusangoli sia 2,5 volte quello dei triangoli acutangoli?
E qual è il poligono in cui il numero dei triangoli ottusangoli
è uguale alla somma dei triangoli rettangoli e acutangoli? 

 è uguale alla somma dei triangoli rettangoli e acutangoli? 
A questi ci penso quando ho un po' di tempo...
Maurizio

 è uguale alla somma dei triangoli rettangoli e acutangoli? 
Questi problemi sono legati al precedente, perché i triangoli
ottusangoli sono quelli in cui il centro del poligono è esterno. Nel
caso di n pari, i triangoli rettangoli si hanno quando due vertici sono
opposti e questo ci dà (3/2)(n-2) casi. Combinando questo con i valori
dati nel post precedente, si trova che per n pari si hanno:
(1/8)(n-2)(n-4) triangoli acutangoli
(3/2)(n-2)      triangoli rettangoli
(3/8)(n-2)(n-4) triangoli ottusangoli
su un totale di (1/2)(n-1)(n-2) triangoli possibili.
Per n dispari si può ragionare come nel mio post precedente. Questa
volta non ci sono triangoli rettangoli e si hanno:
(1/8)(n-1)(n+1) triangoli acutangoli
(3/8)(n-1)(n-3) triangoli ottusangoli
su un totale di (1/2)(n-1)(n-2) triangoli possibili.
Rispondendo ora alle domande, si vede che il numero di triangoli
ottusangoli è 2,5 volte quello dei triangoli acutangoli per n=23, mentre
il numero dei triangoli ottusangoli è uguale alla somma dei triangoli
rettangoli e acutangoli per n=5 e n=10.
SE&O.
Maurizio
 


Io avevo ragionato così: (per comodità, sia n, non 2n, il numero dei lati
del poligono):
-i triangoli totali possibili sono C(n,3) = n*(n-1)*(n-2)/6
-affinchè il centro del poligono sia esterno, i triangoli che si ottengono
devono essere ottusangoli
-per n pari, i valori della sequenza che indicano il numero dei triangoli
ottusangoli sono determinabili con la formula: n*(n-2)*(n-4)/8
(v. thread con mio post del 23/11/07 su ISM)
-quindi, la probabilità richiesta è n*(n-2)*(n-4)*6/(n*(n-1)*(n-2)*8) ,
che, semplificata, dà (3/4)*(n-4)/(n-1) come da te indicato.
Nota: Si può aggiungere che questa formula è valida per i poligoni con
numero pari dei lati; in caso di lati dispari, la probabilità richiesta
si calcola così:
p_triangoliottusangoli_ = (3/4)*(n-3)/(n-2)

 Qui incomincio a far fatica... 
Sono stato molto stringato, cerco di spiegarmi meglio. 
Il numero k1 può assumere tutti i valori da 1 a n/2 (prima
disuguaglianza). Combinando la seconda e terza disuguaglianza otteniamo
n/2 <= k2 <= k1 + n/2
cioè: per un dato valore di k1, il numero k2 può assumere tutti i valori
da n/2 a k1+n/2, che sono (1+k1) valori diversi. Quindi, per k1=1 ho 2
valori di k2 (e quindi due triangoli buoni), per k1=2 ne ho 3, e così
via fino a k1=n/2 per cui ho n/2+1 triangoli, in totale:
2 + 3 + ... + (n/2 + 1) = n(n+6)/8.
In realtà, guardando meglio mi accorgo che ho contato due triangoli in
più perché quando k1=n/2, k2 non può assumere i valori estremi n/2 e n.
Allora sottraggo 2 dal risultato di sopra e ottengo:
(n+8)(n-2)/8 triangoli buoni.
Spero che ora sia più chiaro...
Maurizio

 consideri le coppie possibili con il numero n-1.
Sě, io ho considerato un vertice fisso, tanto non cambia nulla. Tu
invece li consideri tutti e tre mobili e siccome il primo vertice puň
occupare n posizioni devi moltiplicare tutto per n, e poi dividere per 3
per non contare 3 volte lo stesso triangolo. Ma ovviamente č la stessa
cosa.
Maurizio