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Titolo: [un perche'] quadrato e punto medio sul lato

Il 13/03/2001 GIP su questo NG proponeva:
**********
Un piccolo problemino che ho trovato in giro:
Poniamo di avere un quadrato, il  problema e' di intercettare il punto medio
su un lato del quadrato e per fare questo si puo' usare solamente un
righello non graduato (ed ovviamente una matita...). Non si potranno quindi
tracciare perpendicolari, parallele, bisettrici ecc.
***********
Allora fu data una soluzione geometrica che non trascrivo per lasciarla a
chi, non conoscendo il problema, voglia cimentarsi.
Qualcuno vorrebbe darmi invece la soluzione analitica?
Cioč, fatta la costruzione, chi mi dice che il punto che trovo č
analiticamente il punto medio del lato del quadrato e non uno molto vicino?
Ciao!
*frankyz

 tracciare perpendicolari, parallele, bisettrici ecc.
Posso farla senza righello e matita solo con le forbici?
Ritagli accuratamente il quadrato e pieghi il foglio in due finche' le
parti non combaciano  :-)
... ok era tanto per mandare un post, qui e' un deserto ormai....
ciao
fulvio


Spoiler
Ci provo.
1 Traccio le diagonali.
2 Metto il righello "a filo" con un lato del quadrato e traccio la parallela
al lato del quadrato (chiamo i vertici di tale lato A e B). Essa
intersechera' le diagonali in C e D.
3 Traccio i segmenti da A a C e da B a D. Si intersecano in E.
4 La retta che congiunge il centro del quadrato a E passa per il punto medio
del lato.

 intersechera' le diagonali in C e D.
[...cut...]
Ciao!
Il testo riporta la parola righello solo per chiarezza. In realta' abbiamo
la possibilita' di tracciare solo rette, come se avessimo un righello di
larghezza zero. La soluzione è puramente geometrica, non ci sono trucchi o
giochi di parole.
Ciao!
*frankyz

 ha scritto nel messaggio
news:UT7Wa.216467$Ny5.6...@twister2.libero.it...

Sembra semplice....ma non so....
basta tracciare i prolungamenti dei lati adiacenti al lato su cui cercare il
punto medio, cosi' da ottenere
un quadrato e un rettangolo adiacenti. Tracciare le diagonali di tutti e due
i quadrilateri e unire i rispettivi centri.
Il lato viene tagliato perfettamente a meta' da quest'ultimo segmento.
La soluzione geometrica e' banale....la dico solo per formalita'
Nei rettangoli ( ricordo che un quadrato e' un rettangolo con la
particolarita' dei lati uguali) le parallele ai lati passanti per l'incrocio
delle diagonali, identificano il punto medio di un lato. Possiamo dire che a
noi serviva solo il un altro incrocio di diagonali oltre a quello che
avevamo per poter tracciare il segmento.
Non so se sono stato chiaro, ma penso di aver sopperito con la figura in
allegato ;))
kamala

 un quadrato e un rettangolo adiacenti. Tracciare le diagonali di tutti e
due
[...cut...]
Ciao Nino e grazie per aver risposto.
Ti sei spiegato molto bene.
In casi reali è molto semplice trovare il punto medio sul lato di un
quadrato.
Nella tua soluzione ometti come fai a prolungare due lati paralleli del
quadrato di una stessa quantità o come individui la parallela che chiude il
tuo rettangolo prima di tracciare le quattro diagonali. Infatti, con gli
strumenti a tua disposizione, non puoi misurare ne fare segmenti di
lunghezza data, ne puoi disegnare archi, ne puoi disegnare parallele o
perpendicolari.
La caccia alla soluzione è ancora aperta!!
Ricorda che questo NG non è binario e non è possibile inviare files
allegati.
CIao!
*frankyz

 
forse ci siamo
un po' macchinosa
Spoiler
scegliete un punto su un lato (a)
costruite i punti b e c come indicato in figura (non e' difficile,
guardate dove intersecano le rette)
poi trovate i punti H e K tirando le rette per ab e bc
tirate la retta HK
scegliete un altro punto a caso sullo stesso lato e fate la stessa cosa,
tirate la nuova retta (PQ nel disegno)
guardate un po' dove si congiungono HK e PQ...
DISCLAIMER
se ho detto una cazzata fate finta di niente, non ero in me
[FIDOCAD ]
LI 20 80 20 120
LI 20 120 60 120
LI 60 120 60 80
LI 60 80 20 80
SA 50 80
SA 60 90
SA 30 120
LI 20 120 60 80
LI 20 80 60 120
LI 50 80 30 120
LI 20 80 60 90
LI 50 80 60 120
LI 60 120 125 120
LI 60 80 130 80
LI 50 80 90 120
LI 30 120 70 80
LI 70 80 90 120
TY 90 125 5 3 0 0 0 * Q
TY 75 75 5 3 0 0 0 * P
LI 20 10 20 50
LI 20 50 60 50
LI 60 50 60 10
LI 60 10 20 10
LI 20 10 60 50
LI 20 10 60 15
TY 65 15 5 3 0 0 0 * b
LI 60 10 20 50
LI 55 10 60 50
TY 50 5 5 3 0 0 0 * a
SA 60 15
SA 55 10
LI 60 10 130 10
LI 60 50 130 50
LI 55 10 95 50
LI 55 10 25 50
TY 25 55 5 3 0 0 0 * C
SA 25 50
LI 25 50 65 10
LI 65 10 95 50
TY 65 5 5 3 0 0 0 * H
TY 95 50 5 3 0 0 0 * K
LI 155 80 155 120
LI 155 120 195 120
LI 195 120 195 80
LI 195 80 155 80
SA 185 80
SA 195 90
SA 165 120
LI 155 120 195 80
LI 155 80 195 120
LI 195 120 260 120
LI 195 80 265 80
LI 205 80 225 120
TY 225 125 5 3 0 0 0 * Q
TY 210 75 5 3 0 0 0 * P
LI 200 80 230 120
LI 175 100 215 100
TY 200 75 5 3 0 0 0 * H
TY 230 120 5 3 0 0 0 * K
----------
Pinolo

 analiticamente il punto medio del lato del quadrato e non uno molto vicino?
Con una traduzione in "geometria analitica" del metodo usato, trovi che le
coordinate del punto medio trovato non dipendono da quelle del punto
scelto all'inizio.
Una dimostrazione solo geometrica mi sembra invece piu' complicata. In
quel piccolo gioiello [datato, ma splendido] che e' "Che cos'e' la
matematica" di Courant e Robbins si trova tutto il necessario... Ho
provato a cercare qualcosa che non facesse ricorso a roba tipo il
birapporto, ma senza successo. :-(
Da notare che qualsiasi costruzione con riga e compasso puo' essere
effettuata solo con il compasso [si trovano tutti i punti che interessano,
ma ovviamente non si tracciano fisicamente le linee]... e si puo' fare
pure con la sola riga, purche' si abbia a disposizione un cerchio con il
suo centro... nel nostro caso il cerchio non serve.
Ciao ciao
Claudio
-- 
"[...] voglio sgrullarti fino a farti diventare una gattina,
 ecco che ti voglio fare!"
da "Attraverso lo specchio" di Charles Lutwidge Dodgson

 Una dimostrazione solo geometrica mi sembra invece piu' complicata.
Ciao, ecco una dimostrazione che mi sembra non troppo complicata.
Per non svelare la costruzione mi riferisco alle lettere usate da Crios
nella risposta a gip del 19/03/2001 (il thread si intitolava "Problema
Quadrato").
Traccio per D la parallela a AC fino a incontrare FG in K, congiungo poi K
con C.
I triangoli FDK e FAG sono simili pertanto FD:DA=FK:KG.
Anche i triangoli FDC e FAE sono simili, pertanto FD:DA=FC:CE.
Confrontando le due proporzioni si ottiene FK:KG=FC:CE e quindi i triangoli
FKG e FGE sono simili e KG e' parallelo a GE.
Il quadrilatero DKCG e' quindi un parallelogramma e le sue diagonali si
tagliano a meta' :-)
Ciao!

 tagliano a meta' :-)
Bello! :-)



Scusate se cosě in ritardo rispondo ma sono tornata - purtroppo! :(  - ora
dalle vacanze...cmq volevo chiedervi come fate a capire la figura da
costruire? Sapete che le lettere indicate si riferiscono ad un riferimento
orario?E poi assunto ABCD i nomi dei vertici del quadrato,cosa sono FGKH? mi
sono persa io qualche post?...Insomma sarei curiosa di leggere la soluzione
di questo enigma perchč non riesco a trovarla io ma purtroppo non l'ho
capita neanche da voi :(  ...se non č una seccatura, per favore, qualcuno me
la scrive? Grazie!!
Ciao, Alessandra ^_^

 la scrive? Grazie!!
Nonno', nessuna seccatura... anzi!
Dunque... dato il nostro quadrato ABCD... sulla retta AB [esternamente al
segmento AB e dalla parte di B... non e' che sia importante, ma semplifica
la costruzione... in realta' il punto puo' essere piu' generico] prendo un
qualsiasi punto E.
Il punto F e' dato dall'intersezione della retta CE con la retta AD.
Il punto G e' l'intersezione della retta DE con AC.
Il punto H e' l'intersezione di FG con CD, ed in particolare [come ha
dimostrato ticonzero attraverso la sua costruzione e le proprieta' delle
similitudini] H divide CD a meta'... ed e' il punto cercato.
K e' un punto che ha costruito ticonzero per la dimostrazione, ma non
serve per ottenere H.
Questa e' una possibile soluzione geometrica al problema... come avviene
quasi sempre ce ne sono altre, ma questa e' molto rapida.
Se non sono stato molto chiaro, chiedi pure ancora... il massimo che puo'
succedere e' che nessuno ti risponda, ma e' oltremodo improbabile. ;-)



Grazie, sei stato chiarissimo e gentilissimo...Buona domenica!
Ciao,Alessandra ^_^