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Titolo: Esami

Aldo, Bruno e Carlo si sottopongono alla stessa serie di esami.
Per ciascun esame, al migliore dei tre vengono assegnati x punti, al
secondo y punti, all'ultimo z punti. Dove x,y,z sono distinti interi
positivi.
Il totale dei punti ottenuti sono:
Aldo   20
Bruno  10
Carlo   9
Sapendo che Bruno si e' piazzato primo nell'esame di algebra, chi si e'
piazzato secondo nell'esame di geometria?
:) dario

Visto che il totale dei punteggi distribuito per ogni esame e' costante,
sara' un divisore di 20+10+9 = 39.
39 = 13*3, quindi x+y+z = 13 oppure 3.
Visto che non esistono 3 interi positivi distinti la cui somma sia 3,
considero il caso 13:
L'ultimo posto vale almeno 1. Quindi, se Bruno ha 10, il primo posto non
puo' valere piu' di 8.
Inoltre il primo posto non puo' valere meno di 6, perche' se suppongo x = 5
non arrivo a 13 sommando x,y e z.
Se x = 8 e z = 1, allora y = 4.
E' possibile che x sia minore di 8?
Caso x = 7: gli altri due punteggi di Bruno devono essere diversi fra loro,
per ottenere 10, quindi 2 e 1, ma 7+2+1 no e' 13.
Caso x = 6: avrei z = 2 e y = 5, con Bruno che prenderebbe 6+2+2 = 10
punti.
Quindi ho le 2 possibili soluzioni (8,4,1) e (6,5,2). E so che Bruno ha
(x,z,z). Quindi il massimo punteggio che A puo' ottenere e' (y,x,x), che
nel primo caso e' 20, ma nel secondo e' 17, quindi l'unica soluzione e'
(8,4,1).
Quindi
A 4 8 8
B 8 1 1
C 1 4 4
In entrambi i casi il secondo classificato e' Carlo.
Se invece di "interi positivi" avessimo "interi non negativi", z potrebbe
essere 0, e quindi oltre alla precedente soluzione avrei anche la terna
(10,3,0), che comunque assegna a Carlo tre "y".
Ma avremmo anche la soluzione consistente in 13 anziche' 3 esami, con
punteggi (2,1,0).
A 0 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
B 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
C 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2
In questo caso il secondo all'esame di geometria puo' essere Aldo oppure
Bruno.
Ciao,
Fabio



siccome ad ogni esame viene dato un numero di voti tale che la loro somma
sia inevitabilmente divisibile per un divisore della somma 20+10+9, trovo
che questa potrebbe essere 3 o 13.
la somma di x+y+z non può essere 3...per ovvi motivi :-), quindi mi resta
13.
Se bruno è arrivato primo ed ha 10 punti, il punteggio del primo
classificato non può superare 10! In ogni caso!
Dunque: Il numero delle prove non viene detto, quindi potrebbero essere
benissimo anche 3. Se consideriamo lo 0 come numero intero e positivo si
pottebbe giungere alla conclusione (in maniera semiempirica) che i punteggi
assegnati sono:
10 al primo
3 al secondo
0 al terzo
con i seguenti risultati:
Aldo: 1° all'esame di geometria e un terzo esame e 3° all'esame di algebra.
Bruno: 1° all'esame di algebra e 3° negli altri due
Carlo: secondo in tutti e tre gli esami.
Se invece come numero intero e positivo si considera il numero 1(come
minimo) ,(e si considerano 2 esami) si può avere:
Considerando le varie possibilità giungerei a concludere che la somma dei
primi due punteggi deve dare 10, il che mi porta ad escludere che gli asami
siano solo due! Devono essere tre per forza (altrimenti Carlo, nella
migliore delle ipotesi, totalizzerebbe 10)
Considero sempre 1 come minimo e 3 esami.
Noto subito che c'è un 9 e quindi deve esserci una componente dispari.
facendo una prima prova, con i seguenti punteggi  1°=8   2°=4   3°=1 (che
culo!) mi risulta:
Aldo: primo in geometria e nel terzo esame e secondo in algebra.
Bruno: primo in algebra e ultimo negli altri due.
Carlo: terzo in algebra e secondo negli altri due.
ciao!

A,B,C,D sono 4 interi positivi tali che sommati 3 alla volta risulti
sempre un quadrato.
Cerco la soluzione piu' piccola.
:) dario

 wrote:
: A,B,C,D sono 4 interi positivi tali che sommati 3 alla volta risulti
: sempre un quadrato.
: Cerco la soluzione piu' piccola.
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3,3,3,3 :-)
ciao, .mau.

 3,3,3,3 :-)
Hai ragione, ho dimenticato  DIFFERENTI interi positivi.
:( dario

dario uri  wrote
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I numeri cercati sono 1, 22, 41 e 58 ed i quadrati sono 64, 81, 100 e
121.
Se fossero accettabili anche numeri negativi, un'altra soluzione
potrebbe essere -2, 17, 34 e 49 con i quadrati = 49, 64, 81 e 100.
Non posso essere matematicamente certo che questi siano i più piccoli
possibili, in quanto li ho trovati con un procedimento semi-empirico.
Sono partito dalla considerazione che avendo una terna qualsiasi di
numeri la cui somma dia un quadrato, il 4° numero dovrebbe essere tale
che, sostituito a ciascuno degli altri tre, incrementi (o decrementi)
la somma di un valore pari a quello della differenza di due qudrati.
Limitandosi a prendere in considerazione quadrati consecutivi non è
affatto oneroso creare la tabellina (che riporto molto parzialmente,
per risparmiare spazio) nella quale sono esposte le differenze fra
ciascun quadrato ed i tre successivi.
Quadrato       Differenze
                       n2-n1     n3-n1     n4-n1
     1                    3             8          15
     4                    5          12           21
     9                    7          16           27
   16                    9          20           33
   25                  11          24           39
A questo punto si può procedere per tentativi, in questo modo:
Detti X, Y, Z e W,  i 4 valori cercati, si imposta, ad esempio, per la
3° riga
X = 9/3  (un terzo del quadrato, arrotondando se necessario)
Y = 3+16 = 19  (si aggiunge ad X  la diff. col quadr. di 2 ordini >)
Z = 19-7 = 12         (si calcolano Z e W in funzione di quanto
dovrebbero
W = 19-27 = -8        essere incrementati dalla sostituzione con Y)
A parte il valore negativo che viene fuori partendo da un quadrato
troppo piccolo, i valori trovati non concordano tra di loro.
La prima concordanza si ha per il quadrato più piccolo = a 64.
Altre concordanze si hanno per 100, 121, 169, 196, 256 e 289.
Ciao
:-) Gianni



Le quaterne dovrebbero essere tutte e sole quelle del tipo

3n
2   
3n
2   
3n
2   

k
2
 - 6n
2


n naturale

k naturale

k >= 3n

dario uri wrote:

A,B,C,D sono 4 interi positivi tali che sommati 3
alla volta risulti

sempre un quadrato.

Cerco la soluzione piu' piccola.

:) dario