Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Lottizzazione

Un terreno circolare di raggio R deve essere diviso in 4 lotti di area
uguale, e ai confini tra i lotti deve essere realizzata una recinzone.
Per esempio, con la classica divisione a croce (due diametri perpendicolari)
la lunghezza della recinzione sara' evidentemente 4*R.
Come si possono tracciare i confini per minimizzare questa lunghezza?
ciao
paolo

Ciao a tutti.
Come fare non lo so, x ora ;-), però forse la lunghezza minima possibile è pi *
r.
Il perimetro minimo per racchiudere 4 superfici di area pi*r/4 è pari a
4*2pi*r/2, ossia 4 circonferenze di raggio r/2.
Abbiamo disponibile la circ. originaria 2pi*r, quindi ci mancano altri 2pi*r.
Siccome la recinzione è comune a 2 superfici, divido per due.
Chissà se ci si riesce.
Marco.

paolo
ciao Domenico

...
|Un terreno circolare di raggio R deve essere diviso in 4 lotti di area
|uguale, e ai confini tra i lotti deve essere realizzata una recinzone.
|Per esempio, con la classica divisione a croce (due diametri
perpendicolari)
|la lunghezza della recinzione sara' evidentemente 4*R.
|Come si possono tracciare i confini per minimizzare questa lunghezza?
A colpo d'occhio e senza fare troppi calcoli :^), ho trovato: 3.951 (vabbe',
scherzavo! mi ci sono spompato sopra).
Sarebbe una specie di H con le quattro gambette piegate verso l'esterno che
dividono la circonferenza in quattro parti: due di 50 gradi e due di 130.
Visto che questi valori li ho trovati numericamente, non escludo marchiani
errori di arrotondamento :-(.
Ciao ciao da un pollo sudato (e non solo per il caldo)
Claudio
PS: Volevo anche dire che mi e' piaciuto il ragionamento di Marco. C'e' solo
un difetto a mio parere: un confine curvo dovrebbe essere sempre
sostituibile con una retta piu' corta percio' mi sento di considerare solo
recinzioni rette. Uhmm... forse significa che e' sempre meglio seguire la
retta via piuttosto che sinistri percorsi tortuosi??? boh, speriamo di no!

 paolo
Problema perfido ?
Ricordando il famoso problema dato da Fermat a Torricelli "Trovare il
punto all'interno di un triangolo in modo da minimizzare la somma delle
distanze dai 3 vertici" Dove le tre linee punto-vertice stanno a 120
gradi, e ricordando come si dispongono certe lamine di sapone, mi sa che
il recinto debba avere la forma di una  H, dove le 3 linee che si
incontrano nei 2 nodi della H, stanno a 120 gradi. Pero' non sono capace
di calcolarlo.
:( dario

...
|[...]
|Sarebbe una specie di H con le quattro gambette piegate verso l'esterno che
|dividono la circonferenza in quattro parti: due di 50 gradi e due di 130.
Ooops! 50 gradi e' il semiangolo e 130 e' il risultato di (360-2*50)/2...
E' un errore di sbaglio!
Avrei dovuto scrivere: due parti di 100 gradi e due di 80.
Ciao ciao
Claudio

recinzioni rette.
Credo che il ragionamento di Claudio abbia qualcosa che non va. Infatti la
seconda soluzione...
 Non dico di piu', cercatela voi.
ciao
paolo

della H.
Io ho fatto i calcoli e posso confermare la soluzione di Claudio (che
rappresenta ovviamente un arrotondamento); ho provato anche a cercare
il massimo per una tale configurazione e si ottiene per un angolo di
99.6167.. gradi (anziche' i 100 esatti), comunque il risultato cambia
di pochissimo.
ciao Domenico

...

Ho capito anch'io, finalmente! (evidentemente anche i miei neuroni sono
influenzati dalla temperatura :-).
In realtą i dati forniti da Claudio erano sufficienti per la costruzione del
disegno.
Entrambe le soluzioni forniscono due falsi settori circolari (falsi perche'
i vertici non sono al centro del cerchio) e due non_so_come_si_chiamano
(specie di trapezi a base curva).
Per la costruzione del settore Claudio partiva dall'ampiezza dell'arco, 100
gradi, a cui corrisponde un angolo al vertice di circa 110 gradi. La mia
soluzione partiva da un angolo al vertice di 120, e l'arco risulta di circa
104 gradi.; il vertice del settore dista dal centro 0.1529 per me, 0.114 per
Claudio.
(Chissa' se esiste una formula che dia la relazione tra idue angoli e la
distanza vertice-centro; preferisco non pensarci :-).
Il che, avendo verificato che la soluzione di Claudio da una lunghezza
minore, indicherebbe che il teorema proposto dall'autore, e richiamato da
Dario, in questo caso non e' applicabile.
Comunque, con la seconda soluzione, si puo' scendere ancora! Un altro
piccolo sforzo.
ciao
paolo

...
|[...]
|Si prendono su un diametro due punti simmetrici rispetto al centro,
distanti
|da questo 0.1579*R. Da ciascuno dei due punti si mandano due segmenti che
|formano tra loro e con il diametro angoli di 120 gradi.
C'e' qualcosa che non mi torna... quel 0.1579 mi da' un angolo inferiore a
120... mah...
Comunque ecco il metodo che ho usato:
Anch'io ho preso due punti simmetrici rispetto al centro ed ho indicato con
x la distanza dal detto centro. Ho poi indicato con a l'arco di
circonferenza che unito al punto (x,0) delimita un'area di un quarto di
circonferenza.
Ho trovato questa relazione:
x=(2*a-Pi)/(4*sin(a/2))
Se ad a do un valore di 100 gradi, ottengo:
x=0.1139 ed una recinzione di 3.951
L'angolo fra le gambette della H mi risulta di poco piu' di 110 gradi.
Credo sia ragionevole pensare che debba essere minore di 120 gradi, direi
anzi che ne sono sicuro.
Dovro' comunque controllare, potrei benissimo aver commesso qualche errore.
(Ci provo stasera se nessuno trova qualcosa di piu' preciso)
|Potete vedere lo schema sul mio sito
|
http://space.tin.it/scienza/pliche
|
|La lunghezza di recinzione risultante e' di 3.962*R.
|Lo strano e' che la lunghezza indicata da Claudio e' minore, pero' non ho
|capito bene come abbia proceduto, servirebbero le coordinate dei due nodi
|della H.
x te l'ho dato, ti do anche il resto:
(cos(50°), sen(50°))
ovvero, le coordinate delle estremita' della H sulla circonferenza:
( 0.6427876096865,  0.766044443119)
(-0.6427876096865,  0.766044443119)
(-0.6427876096865, -0.766044443119)
( 0.6427876096865, -0.766044443119)
|L'idea  proposta da Marco mi sembra interessante, ma non praticabile;
|probabilmente pi*R puo' essere considerato un limite inferiore teorico, ma
|credo non raggiungibile.
|Se tracciamo due cerchi piccoli, tangenti tra loro, con diametro pari al
|raggio originario, troviamo esattamente il doppio della misura di Marco.
|Credo che il problema consista nel fatto che le due figure esterne ai due
|cerchi non sono cerchi anch'esse :)).  Non si puo' cioe' dividere il
|cerchio in quattro cerchi.
|
|Per finire, a proposito del commento fatto da Claudio alla proposta di
|Marco:
|>C'e' solo
|>un difetto a mio parere: un confine curvo dovrebbe essere sempre
|>sostituibile con una retta piu' corta percio' mi sento di considerare solo
|>recinzioni rette.
|Credo che il ragionamento di Claudio abbia qualcosa che non va. Infatti la
|seconda soluzione...
| Non dico di piu', cercatela voi.
Il mio ragionamento ha mostrato il suo unico pregio: ci hai dato una dritta!
;-)
In effetti funziona solo con due regioni, con quattro le relazioni si
complicano e il mio ragionamento non vale piu'! :-(
Ciao ciao
Claudio
PS: Vedo adesso la conferma di Domenico!
Il messaggio lo lascio com'e', ma volevo dire: grazie Domenico! :-)

Ho seguito il ragionamento e confermo il risultato di claudio.
La forma dei confini č la stessa del disegno sul sito di Paolo, ma il punto sul
diametro da cui divergere dista 0,109881784 *R dal centro.
A meno di aver problemi di approssimazione, perchč l'ultimo passaggio
nell'azzeramento della derivata l'ho fatto fare ad Excel.
L'angolo in oggetto non č 120 gradi ma 109.94, cui corrisponde un angolo al
centro di 99,62 gradi.
Usando 120 gradi nel foglio, ottengo una lunghezza di recinzione di 3,9624 R,
che torna con la soluzione di Paolo.
Per essere sicurissimi occorrerebbe qualche passaggio algebrico in piů, magari
confrontando le lunghezze nei due casi in forma simbolica, perň non č veloce.
La differenza tra le soluzioni mi sembra comunque abbastanza consistente da
escludere errori di approx. Ipotizzo che la soluzione 120 gradi (che a quanto
dice Paolo non č la migliore per ammissione dell'autore), sia piů che altro
semplice da calcolare e minore di 4, che č il punto interessante.
Per quanto attiene alla seconda soluzione, direi che se sostituiamo le due
coppie di gambette con archi di circonferenza, ottenendo una specie di palla da
basket proiettata, la situazione dovrebbe migliorare.
Bisognerebbe fare 2 conti. o magari 3. :-P
Il mio primo intervento (pi * r) stabiliva solo un limite teorico sotto il quale
sicuramente non si va. Temo che per raggiungerlo ci serva uno spazio con qualche
dimensione in piů :-(

Riguardo l'ipotesi di usare archi di circonferenza, i conti fatti dicono che sotto
al 4 non si scende. Salvo errori ho un minimo usando archi di raggio 0,916224891 * R
e la lunghezza della recinzione viene circa 4.07.
Uffa.

...

Forse hai usato due archi. Prova a usarne quattro.
ciao
paolo

...

La seconda soluzione proposta dall'autore del problema e' costituita da
quattro archi di circonferenza che sostituiscono i quattro segmenti
inclinati della prima soluzione. In ogni coppia l'angolo tra gli archi (o
tra le loro tangenti) e' di 120 gradi, e gli archi incidono sulla
circonferenza con angoli di 90 gradi. I punti di incontro tra due archi
distano dal centro 0.1219*R.
La lunghezza totale di recinzione risulterebbe L=3.941.
Potete vedere lo schema sul mio sito
http://space.tin.it/scienza/pliche
Purtroppo mi pare che il disegno proposto non contenga tutti gli elementi
necessari per costruire la figura, quindi non ho potuto verificarne
l'esattezza. In particolare non ho capito quale sia il centro o il raggio
degli archi.
ciao
paolo