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Titolo: dadi e monete

Facciamo un gioco:
Io ho una moneta, tu un dado.
Io tiro la moneta 6 volte e conto le teste, tu lanci il dado. Vince chi
realizza il punteggio piu' elevato, in caso di parita' il punto e' mio.
Chi e' avvantaggiato?
Con le stesse regole, se tu usi due dadi, quante monete sei disposto a farmi
lanciare?
Ciao, Silv:o)

 lanciare?
Per il momento nessuna, visto che sono le 4 di notte, che ho sonno e
che vado a dormire.
Se domani, come non credo, il problema non sarà stato fatto fuori da
qualcunaltro, proverò a darti una risposta.
Ciao
Gianni
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Se non ci fosse la clausola della prevalenza del valore del lancio
delle monete, sarebbe facilissimo vedere che il lanciatore di dadi è
favorito, in quando le medie attese delle due operazioni sono 3 per i
lanci di monete e 3,5 per il lancio del dado.
Ma, la suddetta clausola impone calcoli più precisi.
Il risultato del lancio di sei monete (o, indifferentemente, di sei
lanci di una moneta) è dato dalla riga 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 del
triangolo del Tartaglia relativo ai coefficenti binomiali, che dà in
64esimi le probabilità di ottenere da 6 a 0 teste.
Ora, se dal lancio del dado sortisce:
 6: il nostro ha 1/64 di probabilità di fare 6 teste e, quindi, di
vincere.
 5: (1+6)/64 di fare almeno 5 teste e, quindi, di vincere
 4: (1+6+15)/64 di fare almeno 4 teste
 3: (1+6+15+20)/64 ..............
etc.
La media semplice (vista l'equiprobabilità delle varie uscite dei
valori del dado) da la probabilità generale di vincita, che è del 50%.
Quindi il gioco sarebbe assolutamente equo

 qualcunaltro, proverò a darti una risposta.
spoiler
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Volendo mantenere l'equità del gioco occorre concedere 13 lanci della
moneta.
Il calcolo, stavolta è ancora più complicato dal fatto che i valori
ottenibili con il dado non sono più equiprobabili.
Quindi la probabilità cumulativa di fare almeno "n" teste va
moltiplicata per la probabilità che esca "n" al lancio del dado.
Una prova con 12 lanci da 43,55% di probabilità a favore del
lanciatore di monete. Il 50% si raggiunge con 13 lanci.
Ciao
Gianni

 Quindi il gioco sarebbe assolutamente equo
Come dici tu, le 64 possibili sequenze del lancio della moneta fanno
ottenere a Silvio i punti da 0 a 6 = n 
1,6,15,20,15,6,1 volte rispettivamente. Vediamo per ciascuno dei 7 casi
il confronto col lancio del dado:
n=        0   1   2   3   4   5   6   
freq.     1   6  15  20  15   6   1
vince
il dado   1   5  10  10   5   1   0
Questo si vede facilmente. Es. Nelle 15 volte che Silvio conta 2 punti,
il dado vince con 3,4,5,6 cioe' i 2/3 delle volte ecc.
Visto che il dado vince 32 volte su 64 il gioco e' come hai detto equo.
La curiosita' sta nel fatto che le vincite del dado sono indicate dalla
riga precedente del triangolo di Tartaglia TT (o Pascal? o Yanghui il
matem. cinese che lo aveva scoperto 500 anni prima?) a cui fai
riferimento. Questo  fatto e' generale. Facciamo l'esempio di un dado
tetraedrico in lotta con 4 lanci della moneta, le frquenze dei possibili
5 punteggi per la moneta sono date dalla 5° riga del TT (1 4 6 4 1)  e
le vincite per il dado dalla 4° (1 3 3 1).
Passando ai 2 dadi, la cosa si complica un po' e dobbiamo innanzitutto
elencare le frequenze d'uscita dei punti da 2 a 12, lo faccio subito
costruendomi una tabellina pitagorica 6*6 mettendo la somma al posto del
prodotto nei quadretti di incrocio:
   1   2   3   4   5   6
 |¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
1| 2   3   4   5   6   7
2| 3   4   5   6   7   8
3| 4   5   6   7   8   9 
4| 5   6   7   8   9  10
5| 6   7   8   9  10  11 
6| 7   8   9  10  11  12
Da qui si vede che i punteggi da 2 a 12 sono ottenuti dai 2 dadi in 36
lanci 1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1 volte rispettivamente, con una media di 7
punti per lancio. Per avere una media di 7 punti con la moneta occorre
ovviamente fare 14 lanci, ma dato che la parita' gioca in favore di
Silvio,  preferisco dare una occhiata ai 13 lanci. La 13° riga del TT
recita cosi' 
1,12,66,220,495,792,924,792,495,220,66,12,1
A questo punto mi devo calcolare ogni singolo caso, con M indico i punti
ottenuti dalla moneta, con VD la percentuale di vincita con i dadi in
quel caso
M   Casi   VD
0    1     1/1
1    12    1/1
2    66    35/36 
3   220    33/36
4   495    30/36
5   729    26/36
6   924    21/36
7   729    15/36
8   495    10/36
9   220     6/36
10   66     3/36
11   12     1/36
12    1     0/36
Il totale mi risulta 2312 + 1/3 su 4096, ci posso stare! A me i 2 dadi,
a te i 13 lanci della moneta. (Sempre se cio' che ho scritto non sia
contaminato da puttanate).
ciao :)dario


Hai usato la riga sbagliata del triangolo!!!
Scendendo di una riga, la tredicesima, i dati dieventerebbero
 M   Casi   VD
 0     1   36/36
 1    13   36/36
 2    78   35
 3   286   33
 4   715   30
 5  1287   26
 6  1716   21
 7  1716   15
 8  1287   10
 9   715    6
10   286    3
11    78    1
12    13    0
13     1    0
Il totale stavolta e' 4096 su 8198, ovvero il 50% esatto!
Non e' un caso, a questo risultato si puo' arrivare anche senza fare nessun
calcolo!
Io ovviamente ho fatto tutti i miei bravi conti, poi ho visto quel 0.5 e la
cosa mi ha insospettito...
Trovato il meccanismo e' facile generalizzare: quante monete mi concedi se
io ti faccio tirare con n dadi?
Ciao, Silv:o)

 Hai usato la riga sbagliata del triangolo!!!
Porca paletta! ho fatto una routinina con un ciclo in meno del dovuto.
Bhe! memo male che l'approccio e' quello giusto.
:( dario

 io ti faccio tirare con n dadi?
7n-1
:) dario

7n-1
Esatto.
Io la vedo cosi':
La distribuzione delle probabilita' dei dadi e' simmetrica: fare 2 con due
dadi e' difficile tanto quanto fare 12, e lo stesso succede con piu' dadi.
Se trovo una distribuzione, con le monete, per la quale vincere col 2 sia
tanto facile quanto perdere col 12, allora ho gioco equo. Con 13 monete
succede proprio questo. Se ai dadi tu fai 2 io vinco se escono almeno 2
teste, se tu fai 12 vinci se escono meno di 12 teste, ovvero almeno 2 croci.
La stessa probabilita' che hai tu di vincere se fai 11 ce l'ho io se fai 3,
e fare 3 o 11 e' ugualmente probabile.
Con questa semplice argomentazione di simmetria (e quando trovi 50% come
risultato, DEVE esserci sotto una questione di simmetria...) si prova la
generalizzazione che hai trovato tu.
Ciao, Silv:o)