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Titolo: Bilanciamento

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Il disegno rappresenta una bilancia a 3 bracci a 120 gradi vista
dall'alto.  Ogni braccio supporta 3 piatti "0", che distano 1,2,3 dal
centro.
Il centro appoggia su un perno, ed il sistama e' in perfetto equilibrio
orizzontale.
Come posso sistemare 9 pesi differenti che vanno da  1 a 9  sui piatti
in modo da mantenere l'equilibrio ?
dario

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Scusate, ma il disegnino e' arrivato deformato.
Ci riprovo.
dario


Ciao
Claudia

Detto Xn il peso sul piatto piu' esterno del braccio n, Yn il peso su
quello centrale e Zn su quello piu' interno, si ha:
3*X1+2*Y1+Z1=3*X2+2*Y2+Z2=3*X3+2*Y3+Z3 ;
La soluzione da me trovata e':
X1=1, Y1=6, Z1=9;
X2=2, Y2=5, Z2=8;
X3=3, Y3=4, Z3=7.
ciao Domenico

Per rendere un po' piu' impegnativo il problema si puo' provare a
trovare una soluzione per una bilancia con n bracci (ognuno dei quali
a 360/n gradi dal precedente) in ciascuno dei quali sono presenti n
piatti (che distano 1,2,..,n dal centro) in cui bisogna sistemare n^2
pesi da 1 a n^2 in modo da tenerla in equilibrio; per n=4, 5, 6,...

 Claudia
Molto bene,  Claudia e Domenico hanno dato la stessa soluzione. Il peso
esterno grava 3 volte quello interno, cosi' possiamo calcolare il peso
costante come:9 + 2*6 + 3*1 = 24
7 + 2*4 + 3*3 = 24
8 + 2*5 + 3*2 = 24
A quasto problema esistono molte soluzioni.  Una domanda piu' complicata
e':
Trova la soluzione col peso costante maggiore possibile.
ciao
dario

>Trova la soluzione col peso costante maggiore possibile.
Credo sia 36:
9*3+4*2+1=8*3+5*2+2=7*3+6*2+3
ciao Domenico

...

Ti do una soluzione per n=4 con una precisazione:
pesi per distanza:
10*1+11*2+13*3+16*4=135
7*1+6*2+4*3+1*4=35
9*1+12*2+14*3+15*4=135
8*1+5*2+3*3+2*4=35
la precisazione:
tra le molte soluzioni possibili, ne ho scelto volutamente una
apparentemente molto squilibrata
il fatto e' che per l'equilibrio della bilancia e' sufficiente in questo
caso equilibrare i bracci a due a due.
i pesi sui bracci 1 e 3 (o per la precisione i loro "momenti"), in
equilibrio tra loro, impediscono la rotazione intorno all'asse formato dai
bracci 3 e 4, e viceversa.
anche se si tratta di assi fittizi, e' sufficiente, per un principio di
statica, l'equilibrio alla rotazione intorno a due assi generici passanti
per il centro, per assicurare l'equilibrio complessivo
per un diverso valore di n la cosa si complica un po'
in ogni caso, per la verifica dell'equilibrio, si deve procedere in questo
modo
si scelgono due rette a piacere passanti per il perno (per praticita'
conviene sceglierle possibilmente  in corrispondenza dei bracci della
bilancia)
si calcolano, rispetto a ciascuna retta, le sommatorie dei momenti (prodotti
dei pesi per le rispettive distanze dai bracci), assegnando ai momenti
stessi il segno positivo o negativo se tendono a far ruotare la bilancia in
un senso o in quello opposto
le due sommatorie devono essere uguali a zero
nell'esempio di prima, scelto comme asse x la retta che contiene i bracci 2
e 4, il momento rispetto ad x sara'
Mx=+135-135=0
(i pesi sull'asse stesso danno un momento nullo essendo nulla la distanza)
idem per l'asse y corrispondente ai bracci 1e 3:
My=+35-35=0
credo che per n=6 o n=8 la cosa sia abbastanza facile
per n=5 o n=7 la vedo un po' duretta
ciao
paolo

Un'ottima soluzione! 
Io ho trovato una formula che rende, invece, relativamente semplice il
calcolo per un numero di bracci dispari e un po' (ma in realta' solo
un po') piu' complesso il calcolo per un numero di bracci pari non
dividibili per 4 (ad es. 6, 10, 14...). In pratica consiste in questo:
decido di mettere nei piatti piu' esterni i pesi da 1 a n, poi da n+1
a 2*n, e cosi' via (ma e' praticamente la stessa cosa se cominciassi
dai piu' interni); cosi facendo so che il momento di ogni braccio
(somma dei pesi per le distanze) e' sicuramente :
(n^2*((n+1)/2)^2+n^2*((n-1)*1+(n-2)*2+....+1*(n-1)))/n; e quindi con
pochi tentativi si riesce a trovare una disposizione dei pesi. Dalla
formula si puo' vedere che per un numero pari non divisibile per 4, la
quantita' tra parentesi che dovra' essere divisa per n, sara'
sicuramente dispari e quindi il risultato totale sara' un numero del
tipo xyz.5 (ad es. per n=6 viene 283.5), ed e' chiaramente impossibile
che lavorando con numeri interi si abbia un momento si' fatto;
comunque spostando (in maniera oculata) n/2 pesi si risolve il
problema. Io ho potuto calcolare (con estrema facilita') la
disposizione dei pesi per n=4, 5, 6 e 7:
n=4:
16+2*9+3*5+4*4=65
15+2*10+3*6+4*3=65
14+2*11+3*7+4*2=65
13+2*12+3*8+4*1=65 
n=5:
25+2*19+3*13+4*7+5*3=145
24+2*17+3*14+4*10+5*1=145
23+2*20+3*11+4*6+5*5=145
22+2*16+3*15+4*9+5*2=145
21+2*18+3*12+4*8+5*4=145
n=6:
36+2*31+3*25+4*15+5*9+6*1=284
35+2*27+3*23+4*14+5*8+6*5=284
34+2*26+3*20+4*19+5*10+6*2=284
33+2*29+3*22+4*17+5*7+6*4=284
32+2*28+3*18+4*16+5*12+6*3=284
30+2*24+3*21+4*13+5*11+6*6=284
n=7:
49+2*39+3*30+4*24+5*17+6*13+7*4=504
48+2*40+3*34+4*23+5*15+6*12+7*5=504
47+2*38+3*33+4*25+5*19+6*11+7*3=504
46+2*41+3*29+4*27+5*18+6*14+7*1=504
45+2*37+3*35+4*28+5*20+6*9+7*2=504
44+2*42+3*31+4*22+5*21+6*8+7*6=504
43+2*36+3*32+4*26+5*16+6*10+7*7=504