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Titolo: scema sul cubo

Non sto cercando una cubista cubista senza cervello, ma il più piccolo
numero che elevato al cubo termina con le cifre "a scemare".
Insomma: qual è il più piccolo numero il cui cubo finisce con 0987654321?
(tenere a freno la forza brutta, se possibile ;)
-- 
Ciao, Silv:o)

 ha 
scritto nel messaggio 
news:2i4hb8F...@uni-berlin.de
...

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(ho usato i caratteri fissi perchè ho fatto i 
conticini in colonna:-) quindi se volete visualizzarlo bene sapete cosa 
fare)


 


con una calcolatrice che calcoli una trentina di 
cifre è piuttosto facile, il problema è che la mia non lo fa e comunque non c'è 
molto gusto quindi c'è da arrangiarsi :-)


prima di tutto:


le ultime n cifre di un cubo dipendono dalle 
ultime n cifre del numero di partenza; lo si nota facendo il cubo di un binomio: 
pongo x=10a+b dove b è una sola cifra, poi faccio x=100a+b con b di 2 cifre e 
svilupo, insomma ho sempre un 3*10^(numero di cifre di b)*a*b² come secondo 
termine più basso e comunque questo termine ha tutti zeri come ultime cifre, da 
qui il risultato di sopra(comunque si vede anche dall'operazione fatta in 
colonna!).


Quindi tutti i numeri che terminano con 
0987654321 avranno le ultime 10 cifre comuni e tutti i numeri con quelle 
particolari cifre termineranno con le cifre richieste.


Quindi l'ultima cifra del numero cercato è per 
forza 1


allora la penultima sarà:


 (cifra prima dell'1)* 1*3 +0(che è la 
cifra delle decine di 1³) e deve essere = a 2


allora (cifra prima dell'1)*3=...2  



e qui interviene la bellezza del 3 che per ogni 
finale può essere moltiplicato per un solo numero per ottenere quella 
particolare cifra delle unità.


quindi la cifra successiva è 4


41³=68921


da 9 per arrivare a 3 ci vuole 4 che si ottiene 
moltiplicando il 3 per 8 allora la cifra dopo è 8


841³=...3321


da 3 per arrivare a 4 ci vuole 1 allora ci serve 
un 7 da moltiplicare per 3


7841³=...24321


da 2 a 5 mi serve un 3 allora la cifra 
successiva è 1


17841³=...88131|54321


 


però questo è l'ultimo calcolone da fare :-) 



facciamo un altro ragionamento adesso ricordate 
i buoni vecchi falsi quadrati? (a³-b³)=(a-b)(a²+ab+b²)


se il numero che abbiamo trovato fino ad ora è 
x, il successivo della serie come la stiam costruendo noi sarà 
c*10^n+x  dove n è il numero di cifre di x.


quindi a-b= c*10^n  e questo spiega perchè 
le ultime n cifre del cubo dipendono solo dalle ultime n cifre del nostro 
numero.


ma c'è di più, se stiamo a guardare (chi ha 
voglia si faccia lo sviluppo che lo vede) le ultime n cifre prima delle ultime n 
dipendono solo da b² e questo ci semplifica di molto la vita, anche perchè a 
questo punto abbiamo già un numero di 5 cifre e quindi, ci bastano le ultime 5 
cifre del quadrato di 17841 per finire i nostri calcoli.


anche senza calcolatrici facendo lo sviluppo si 
vede che 17841²=...03843 .


Passiamo all'azione:


8 8 1 3 1 | 5 4 3 2 1


x x x x x 
| 0 0 0 0 0


ci serve un 5 per ottenere 6 e ...03843 finisce in 5 
solo se moltiplicato per 5  (siamo a 517841)


allora: ...03843*5=...19215




8 8 1 3 1 | 5 4 3 2 1


1 9 2 1 5 
| 0 0 0 0 0 
=


0 7 3 4|6 ...


ora da 4 a 7 c'è 3 allora ci serve un 1 (e bastano le ultime 4 cifre di 
03843)   (siamo a 1517841)


0 7 3 4 +


3 8 4 3 =


4 5 7 7 


da 7 a 8 c'è uno allora serve un 7 come cifra successiva  (siamo a 
71517841)


4 5 7  +


9 0 1  =


3 5 8 


ora serve un 4 allora aggiungiamo un 8 davanti al nostro numero  
(871517841)


3 5 +


4 4 =


7 9


ora dobbiamo sommare 3 e quindi serve un 1 davanti al numero che 
sarà:


1871517841


la cosa carina è che qualsiasi finale desideriamo con i cubi possiamo 
ottenerlo grazie all'amico 3 :-)


spero di non aver fatto errori avendo fatto quasi tutto a mano.


 


  



ultime n dipendono solo da b² 


 


mi correggo, dipendono da b²*3c  
:-)



(tenere a freno la forza brutta, se possibile ;)
tenere a freno il sonno più che altro...
sto per addormentarmi sulla tastiera e il massimo che posso dire è che
deve essere dispari... :-)
ciaoooo
-- 
www.geocities.com/alessandrorizzati

deve essere dispari... :-)
cvd: pari... :-)
-- 
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(tenere a freno la forza brutta, se possibile ;)
ausili alcolici sono permessi?... :-)
ciaooooo
AR
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 ausili alcolici sono permessi?... :-)
Dipende dall'alcol. Se non è di qualità, vino, birra o superalcolico che
sia, vade retro!
Anzi, visto che mi hai fatto venire voglia mi verso un sorso di Bally ;)
-- 
Ciao, Silv:o)

 ... vista l'ora e ...
vabbè che sei nottambulo, però non è tardi come dici tu ;)
altrimenti come potrei risponderti prima ancora di aver letto la domanda?
http://toi.iriti.cnr.it/it/rightime.shtml
-- 
Ciao, Silv:o)

Anzi, visto che mi hai fatto venire voglia mi verso un sorso di Bally ;)
e non dimenticarti di salutare anche lo zio jegher...
sennò lo sai che si arrabbia... ;-)
ciaoooo
AR
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