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Titolo: Numero di scale musicali - lungo

Introduco velocemente alcuni concetti musicali per rendere il quesito
usufruibile a tutti (cmq sono cose che ho imparato su wikipedia tanto
per evitare fraintendimenti circa il mio grado di preparazione! :)).
Nella musica contemporanea viene usata la suddivisione dell'ottava
chiamata temperamento equabile: in pratica l'ottava viene divisa in 12
note facendo in modo che rimanga fisso il rapporto tra le frequenze di
note adiacenti. Per fare ciò, se f è la frequenza della prima nota si
vede facilmente che la sequenza delle 12 note deve essere: f,
f*2^(12/1), f*2^(12/2) ... f*2^(12/11) per poi arrivare all'ottava che
vale f*2^(12/12) = 2*f, e così via.
Fissata la frequenza della nota iniziale si costruisce quindi una
serie infinita di frequenze dette appunto "note" (quindi secondo la
nostra teminologia provvisoria, non tutte le frequenze sono delle
note!).
Le note uguali a meno di ottave vengono poi chiamate con lo stesso
nome (a volte per distinguerle, al nome si affianca il numero
dell'ottava); ovvero detto in termini matematici, due note di
frequenza x1 e x2 vengono convenzionalmente chiamate con lo stesso
nome se x1 mod 13 = x2 mod 13. Inteso in tal senso si può dire che in
musica le note sono solo 12.
Chiamiamo qui, tanto per fissare un linguaggio utile (ma forse non
convenzionale), "scala" ogni sequenza di n, con 1 < n < 13, note entro
una stessa ottava ordinate a frequenza crescente.
Ad ogni scala di n note (a1, a2, ..., an) possono essere associate
altre n-1 scale (dette "modi") di n note in questo modo: (a2, a3, ...,
an, a1), (a3, a4, ..., an, a1, a2), eccetera. Supponiamo anzi che R
sia la relazione che lega tra loro le scale secondo questo criterio.
si vede facilmente che R è una relazione di equivalenza e le classi di
equivalenza sono insiemi di n scale.
Do l'ultima definizione ad hoc: chiamiamo adiacenti due note se queste
vengono effettivamente una dopo l'altra nella sequenza infinita di
frequenze detta prima, ma anche se si tratta della dodicesima nota con
la prima. In altre parole chiameremo adiacenti anche il SI col DO!
Bene, le premesse sono finite.
Concentriamoci sulle scale di 7 note.
La domanda è: quante scale di 7 note esistono a meno di equivalenze
rispetto a R tale da soddisfare la seguente richiesta:
- la scala non deve possedere tre note adiacenti consecutive.
A dire il vero credo di averlo calcolato, ma non si sa mai, potrei
aver sbagliato. a me viene (lo dico in termini non immediati per non
togliere il bello di calcolarlo agli altri!): quarantesima cifra dopo
la virgola di pi greco moltiplicato per la quarantunesima cifra dopo
la virgola di pi greco. Non fate i furbi però! datemi un accenno di
dimostrazione oltre al numero.
Anzi, già che ci sono (anche se ora divento semi-OT) vi chiedo se
sapete dell'esistenza di un sito o un libro (in italiano) che parla di
queste ed altre cose del genere in modo più approfondito! Preferendo
ovviamente quelli che espongono le cose nel classico stile da
matematico nel rigore delle definizioni più che da musicista (con
tutto il rispetto per i musicisti).

 tutto il rispetto per i musicisti).
Di libri e trattazioni tecniche sull'argomento ce ne saranno tantissimi. Te 
ne posso citare uno che ho per le mani, ma non saprei se consigliartelo. E' 
"Accordature e accordatori" di Pietro Righini del 1978, tratta di vari tipi 
di scale e contiene parecchi numeri. :-)
Come ultima cosa, ma forse lo saprai, volevo dirti che la teoria del 
rapporto di semitono basato sulla "radice dodicesima di 2" non è adeguata 
per ottenere un'accordatura soddisfacente (in particolare di un pianoforte). 
Per questioni legate, per alcuni, alla percezione dei suoni da parte 
dell'orecchio umano, per altri, alla caratteristica fisica delle corde (la 
cosiddetta "inarmonicità"), avviene che per ottenere un'accordatura 
soddisfacente si debbano progressivamente "crescere" tutte le note delle 
ottave alte rispetto ai valori di frequenza che dovrebbero avere in base 
alla formuletta della radice dodicesima di 2 ed eventualmente intervenire 
anche sulle ottave basse. Questo mette in crisi tutto il sistema dei 
rapporti multipli di 2 tra le ottave ecc. Insomma la questione non è affatto 
semplice... :-)
Ciao
Giorgio

Giorgio Vecchi ha scritto:
cut
se ragioni per logaritmi in base 2 il calcolo è molto semplice.

 semplice... :-)
No non lo sapevo! Interessante... bisogna approfondire.
Ciao

> se ragioni per logaritmi in base 2 il calcolo è molto semplice.
Azz! E' davvero così semplice? Non vedo la strada...

 - la scala non deve possedere tre note adiacenti consecutive.
Se ho capito bene la domanda, potremmo riformulare il problema cosě: ho
dodici buchi disposti lungo una circomferenza e sette sassolini. Messo
un sassolino nel primo buco, in quanti modi posso disporre gli altri 6
in modo che non ci siano tre sassolini consecutivi?
Se č cosě a me viene 42, perň non torna con le cifre di pi greco che
avevi detto tu.
Maurizio
-- 
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

 ha scritto nel messaggio 
news:0859bacf-7967-442b...@34g2000hsh.googlegroups.com...


 - la scala non deve possedere tre note adiacenti consecutive.
E' un problema che avevo parzialmente risolto, nonostante non ne fu capita 
l'utilità da nessun musicista a cui lo presentai (chissà se poi hanno 
ragione loro!). Mi venne detto che qualsiasi sequenza di sette note 
crescente è una scala ed essa è buona o cattiva a seconda di come si suona. 
Nonostante ciò, mi accorsi che le scale con un nome e una "dignità" secolare 
avevano delle caratteristiche non solo ridondanti ma anche non ricalcanti la 
distribuzione delle combinazioni possibili: delle regole che se rispettate 
ne favorivano la sopravvivenza "storica".
Innanzitutto il problema così proposto da antologiko, sebbene chiaro, non 
rispecchia bene l'intenzione di identificare delle "ottime" scale: delle 413 
scale da 7 note possibili (come ad es. do - re - mi - fa - sol - la - si 
...) non si deve eliminare quelle che hanno tre semitoni adiacenti: ci sono 
scale "note" di questo tipo che sono utilizzate efficacemente da secoli. Si 
dovrebbe invece scegliere, tanto per iniziare, quelle la cui quinta nota 
della scala si distanzia dalla prima di 6 o 7 semitoni. In pratica 
*qualsiasi* scala nota che inizia per "do" ha come quinta il sol oppure in 
rarissimi casi il fa#. Nelle 413 combinazioni vi sono molte scale con la 
quinta nota che si distanzia dalla prima di 4, 5, 6, 7, 8 e 9 semitoni. E' 
come se le scale "buone" abbiano una caratteristica comune *forte* non 
assimilabile all'universo delle 413 scale.
Ce ne sono delle altre.. in pratica si possono trovare altre scale 
"papabili" con caratteristiche simili a quelle storiche..
C'e' qualcuno che vuole imbarcarsi nell'impresa ?
se si, posso presentare il problema in questi termini:
- sequenze di note standard espresse in sequenze numeriche
- sequenze numeriche da identificare come appartenenti o meno alle prime
Ciao,
Manuele Friargiu 

 avevi detto tu.
Ciao, posso sicuramente essermi sbagliato, eppure mi sembrava di aver
fatto dei ragionamenti giusti... Hai badato a scartare le sequenze del
tipo 1 3 5 7 9 11 12? ovvero quelle che finiscono con 11 e 12? Infatti
anche quelle, a meno di rotazioni, hanno tre elementi-sassolini
consecutivi (11 12 1).

 C'e' qualcuno che vuole imbarcarsi nell'impresa ?
Ne trovo 100 che hanno la quinta nota distante 7 semitoni e 60 che hanno
la quinta nota distante 6 semitoni.


 fatto dei ragionamenti giusti... 
Boh, ti riporto qui sotto le mie: le ho trovate con Mathematica,
scartando dalla lista di tutte le permutazioni quelle che non vanno
bene.
1 = buco pieno
0 = buco vuoto
{1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0}, 
{1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0}, 
{1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0}, 
{1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0}, 
{1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0}, 
{1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0}, 
{1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0}, 
{1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0}, 
{1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0}, 
{1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0}, 
{1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0}, 
{1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0}, 
{1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0}, 
{1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0}, 
{1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0}, 
{1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0}, 
{1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0}, 
{1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0}, 
{1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1}, 
{1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0}, 
{1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1}, 
{1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0}, 
{1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1}, 
{1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0}, 
{1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1}, 
{1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1}, 
{1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0}, 
{1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1}, 
{1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1}, 
{1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0}, 
{1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1}, 
{1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0}, 
{1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1}, 
{1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1}, 
{1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0}, 
{1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1}, 
{1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1}, 
{1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1}, 
{1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0}, 
{1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1}, 
{1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1}, 
{1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1}


 la quinta nota distante 6 semitoni.
No, probabilmente mi sono espresso male. Abbiamo 12 note:
do=1 do#=2  re=3 re#=4  mi=5  fa=6  fa#=7 sol=8 sol#=9 la=10 la#=11 si=12 
(do=13)
come si sa non esiste nè mi# nè si#
Prendiamo ad esempio la scala piu' nota a noi (do re mi fa sol la si (do)) 
può essere convertita in:
1 3 5 6 8 10 12 (13)
quindi in intervalli tra semitoni possiamo esprimerla in questa sequenza:
2 2 1 2 2 2 1
è facile vedere come la somma dei primi 4 intervalli dia 7; quindi la quinta 
nota della scala è sol (7+1 = 8 = sol) se la somma fosse stata 6, sarebbe 
6+1= 7 (fa#)
Altre regole:
- la somma degli intervalli 2 2 1 2 2 2 1 dà 12 come qualsiasi altra scala 
di 7 note;
- non esistono scale con intervalli superiori a 4
Ho quindi possibili 100 scale da 6 e 120 scale da 7
esempi di scale note (espresse con sequenze di intervalli):
      1141311
      3112131
      3112311
      2131221
      2131311
      2211222
      2212113
      2212122
      2212212
      2212221
Manuele 

 [...]
La prima: {1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0}
e la quinta:  {1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0}
sono equivalenti per rotazione.
Ciao!

 sono equivalenti per rotazione.
Ah, OK! Se consideriamo equivalenti le scale ruotate hai ragione tu: ne
rimangono solo 42/7 = 6.


 Ho quindi possibili 100 scale da 6 e 120 scale da 7
Sě scusa: ho fatto un banale errore di offset per cui le mie scale da 7
erano le tue da 6, ecc. Confermo i tuoi risultati.


> 42, lo sapevo. E' la risposta universale
Peccato che sia errata!