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Titolo: I pastori

Due pastori hanno un gregge di pecore in società. Un giorno decidono di
venderle, e le vendono ad una cifra tale che il prezzo unitario N è
esattamente uguale al numero di pecore che hanno. Poi si dividono i
soldi. Il primo pastore si prende 10 dollari, poi da 10 dollari al
secondo pastore e così via. Alla fine, lui si prende gli ultimi 10
dollari e per il secondo pastore rimangono meno di 10 dollari. Il primo
pastore gli dice: "Ti regalo il mio accendino, così siamo pari", e il
secondo pastore accetta.
Quanto vale l'accendino?

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SPOILER
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L'accendino vale 2 dollari. Infatti dal testo si evince che la cifra
ricavata dalla vendita e' N^2, e questo numero deve essere tale che
le decine sono dispari. Per tentativi ho scoperto che, data questa
ipotesi, la cifra delle unita' e' sempre 6, per cui per esser pari
il primo pastore deve dare al secondo, che riceve in ultimo 6 dollari,
un oggetto di valore 2.
La cosa che non sono riuscito a fare e' dimostrare il fatto che l'ultima
cifra e' sempre 6. Come si fa?
Comunque complimenti, il quesito e' davvero carino (oltre che
inedito...)
Ciao, Giulio
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                   Giulio Giuranna            
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 cifra e' sempre 6. Come si fa?
Bella domanda. Non ne ho idea. Sono andata anche io per tentativi,
quando mi hanno sottoposto il gioco. Ci penserò su, comunque.
Sandra

 cifra e' sempre 6. Come si fa?
Bella domanda. non ne ho idea. Sono andata anche io per tentativi,


 inedito...)
E' il problema num.13 in "The USSR olympiad problem book" tradotto in
inglese e pubblicato da Freeman nel 1962.

 Sandra
Allora, ci provo...
Se indico il numero n da elevare al quadrato come 10d + u, dove
u e' la cifra delle unita' e d quella delle decine (non per forza
minore di 10, cioe' il discorso vale anche per numeri maggiori di
100, per i quali evidentemente d>=10), si ha
(10d+u)^2=100d^2 + 20du +u^2 = 10(10d^2 + 2du) + u^2
dall'ultima espressione si evince che la cifra delle unita' del
nostro numero e' quella del terzo addendo, ossia u^2, che
puo' essere, per u=0,1,....9 rispettivamente
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81. Inoltre, il numero di decine
(10d^2+2du) e' pari, per cui, dato il testo del problema,
si potra' solo scegliere un valore di u^2 che abbia la prima
cifra dispari, e questo si verifica solo per 16 e 36.
Quindi la cifra delle unita' del numero cercato e' per forza 6.
Se qualcuno ha avuto la pazienza di seguirmi e se sono stato
sufficientemente chiaro, gradirei pareri (o smentite) su 
questa dimostrazione (ahime', ne sono passati di anni dagli
esami di analisi matematica :-).



Direi che te la sei cavata egregiamente. In effetti era semplice,
bastava non essere pigri :)

Ciao, Giulio
Scriviamo N come a+ b*10+ c*100+...   (con a,b,c,.. =0,1,2...,9)
N^2=a^2+2ab*10+....
La cifra delle decine di N^2 e' data dalla somma della cifra delle decine di
a^2 (se c'e') e della cifra delle unita' di 2ab. Poiche' quest'ultima e'
pari, la cifra delle decine di N^2 e' quindi dispari se e solo se la cifra
delle decine di a^2 e' dispari. Vediamo i casi.
a=0; a^2=0     NO
a=2; a^2=4     NO
a=3; a^2=9     NO
a=4; a^2=16   SI'
a=5; a^2=25   NO
a=6; a^2=36   SI'
a=7; a^2=49   NO
a=8; a^2=64   NO
a=9; a^2=81   NO
Come si vede nei due soli casi positivi la cifra delle unita' di a^2 (e
quindi anche di N^2) e' 6.
MF  @B-)

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Scusate,
ho seguito tutti i ragionamenti ma non ho capito una cosa: xché la
cifra delle unità deve essere sempre 6. non possono avere 38 pecore e
si dividono i dollari così: 10 al primo e rimangono 28, 10 al secondo
e rimangono 18, dieci al primo e rimangono 8, poi il primo regala un
accendino che costa 1 dollaro al secondo e sono pari??
Io sono nuovo di questo Ng e, senza vedere le vostre risposte avevo
risposto così: (10$ - ultima quota del secondo pastore) : 2
Riccardo Spurio "alias" Er Quaja
spu...@etruria.net


La cifra da dividere deve essere un quadrato di un numero intero
cifra = numero di pecore * prezzo unitario, ed i due fattori sono
uguali.
Il fatto che l'ultima cifra sia 6 e' una conseguenza di questo
vincolo nonche' del fatto che il numero delle decine e' dispari
(e' il primo pastore l'ultimo a prendersi 10 dollari..)
Spero ora che sia chiaro.
Ciao, Giulio
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