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Titolo: 4 tavoli da 4

 programma sono le uniche trovate):
 
Le due soluzioni che riporti sono scritte come insiemi (5 la prima e
altre 5 la seconda) di permutazioni di 16 oggetti. La situazione in
realta' e' un'altra, molto piu' semplice, che ora indico.
 
Il problema di Livio riguarda (in questo caso di 4 di cui parliamo
adesso) 16 amici, ma ogni soluzione e' invece legata a quelle che un
tempo (non esiste traccia in rete mi sembra) si chiamavano "Permutazioni
figurate" di 4 oggetti; "figurate" perche' i 4 oggetti: 1, 2, 3 e 4,
devono essere posti su una scacchiera (matrice) 4x4 in modo tale che ogni
orizzontale e ogni verticale li contenga sempre tutti e 4... come sudoku
per intenderci.
 
Passando dunque dai 16 amici di nome:
- da Dario lettere latine maiuscole;
- da te numeri da 0 a 15;
- da Livio e da me (almeno fino a 9) in forma matriciale semplificata;
 
passando -dicevo- alle permutazioni figurate, basta considerare 4 soli
oggetti anziche' 16.
 
Il passaggio, da permutazioni figurate ad amici, avviene secondo questo
codice inizialmente suggerito da Livio con lo schema:
11 2x 3x 4x
12 2x 3x 4x
13 2x 3x 4x
14 2x 3x 4x
e quindi tacitamente accettato ormai da tutti.
 
In esso cioe' si fissa la prima colonna delle permutazioni figurate
a 1 2 3 4, lasciando percio' i restanti 12 oggetti da piazzare in x
come incognita.
 
Per farla breve: le permutazioni figurate coincidono coi secondi indici
della notazione matriciale, i primi essendo tutti sempre e solo fissi.
 
* * *
 
Le 24 permutazioni di 4 oggetti si ripartiscono in due sottoinsiemi di 12
permutazioni ciascuno. Essi sono intrinsecamente differenti per classe
pari o dispari di scambi, perche' un isomorfismo (che non e' altro che
una corrispondenza biunivoca) puo' far cambiare classe a una delle 12
permutazioni, ma allora la fa cambiare anche a tutte le altre 11. Cioe',
come si dice, conserva la parita' comune in blocco.
 
E finalmente una cosa che ti puo' servire: Le soluzioni per la 4 sono
costituite ciascuna con tutte e sole le 12 permutazioni della medesima
classe.
 
In altre parole, quasi certamente devi trovare il modo di far cercare
soluzioni per la 12 all'interno della META' delle permutazioni totali; e
questo dovrebbe gia' dimezzarne il numero.
 
Guarda come costruisco la prima soluzione per la 4, e' semplice:
 
CLASSE PARI (due scambi a testa) rispetto a 1 2 3 4 (codice arbitrario).
A) 1 2 3 4  e' il codice stesso, zero (pari) scambi.
B) 1 3 4 2  seconda possibilita' di iniziare con 1 e avere 2 scambi
C) 1 4 2 3  terza e ultima possibilita' d'iniziare con 1 + 2 scambi.
 
Da ognuna di queste tre si genera una delle tre matrici finali, vediamo
con quale criterio comune.
 
A)
1 2 3 4  diretto, e' il codice  ->  riga 1 perche' inizia con 1
4 3 2 1  inverso                ->  riga 4 perche' inizia con 4
 
ora posso iniziare o col 2 o col 3 in modo diretto e con 2 scambi:
2 3 4 1  ...no! ha tre scambi, servira' per la soluzione 2, e' di
classe dispari!
 
3 4 1 2  ...ok! ha 2 scambi ed e' diretto, dunque:
 
3 4 1 2  diretto  ->  riga 3
2 1 4 3  inverso  ->  riga 2
 
Riassumendo A)
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 1 2
4 3 2 1
 
ovvero per la Matrice 3, passando dalle permutazioni figurate agli amici
in accordo col codice Livio:
11 22 33 44
12 21 34 43
13 24 31 42
14 23 32 41
 
Ora in breve B e C:
B)
1 3 4 2  diretto, codice_B
2 4 3 1  inverso
4 2 1 3  diretto (unica delle due)
3 1 2 4  inverso
 
Matrice 4:
11 23 34 42
42 24 33 41
13 21 32 44
14 22 31 43
 
C)
1 4 2 3  diretto cod_C
3 2 4 1  inverso
2 3 1 4  diretto (unico)
4 1 3 2  inverso
 
Matrice 5:
11 24 32 43
12 23 31 44
13 22 34 41
14 21 33 42
 
Una nota in vista di tradurre le condizioni per la 12: bada che se si
considera l'ordinamento "umano" (ovvero per il codice Livio, ossia con la
prima colonna 1 2 3 4) le inversioni hanno questo andamento in verticale:
A) d i d i
B) d i i d
C) d d i i
 
Io infatti ho gia' fatto la matrice 3 della 12, seguendo ed estendendo lo
schema a "diretto-inverso alternati e classe pari di scambi".
 
Nota_2, forse importantissima. Da A si puo' avere B e C anche senza
costruirli come ho fatto qui, basta fare successivamente due scambi:
A -> B
1 2 3 4 (2,3) -> 1 3 2 4 (2,4) -> 1 4 2 3
e continuando su tutte le altre tre righe e poi riordinando "umanamente"
l'ordine delle righe.
 
Circa quest'ultima nota infatti ieri ho scritto che mi sa che di matrici
in realta' ne entrano in gioco sempre e solo tre: la M classica NxN, la T
che e' la sua trasposta, e questa terza che e' la simmetrica S e che poi
si trasforma nelle altre N-2 restanti.
 
-- 
Tanti saluti
 

   0  7 14 16 23
[..........]
 
A me si', ma non ora, m'interessera' in seguito, adesso sto guardando la
8, perche' la 6 non ne ha e i numeri dispari (per giunta primi) hanno un
sistema di soluzioni completamente diverso: con le dispari hai soluzioni
con ql che sono anche di tipo misto (righe di classe pari e di classe
dispari mischiate), con le pari 8 non ne ho ancora trovato: sono o tutte
pari o tutte dispari... e la mia congettura e' che anche ogni soluzione
sia costituita con anche le serate che sono o tutte pari o tutte dispari.
 
Se t'interessa ti do' ad esempio tutte le 25 possibili righe con 4 scambi
simmetrici per la 8, ti puo' servire per fare il programma (se decidi di
farlo).
 
-- 
Tanti saluti
 

 trovata brute force e l'ha pure postata.
 
Vedi, il mio programma non fa congetture di alcun genere. Cerca solo di 
trovare le soluzioni cercando di potare il piů possibile. Perň quando ci 
sono di mezzo prodotti di fattoriali si fa presto ad arrivare a numeri 
ingestibili. Il tentativo era di provare a capire in che modo identificare 
parziali soluzioni isomorfe al fine di potare il prima possibile le 
successive diramazioni, ma non sembra sia per niente banale. Francamente non 
mi sono messo a seguire tutte le vostre argomentazioni, quindi non saprei 
proprio da dove cominciare a scrivere un programma.
 
Ti copio qui le soluzioni che mi hai richiesto per N = 8.
 
Ciao.
 
Giorgio
 
Soluzione n. 5754
  0  1  2  3  4  5  6  7
  8  9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
 
  0  8 16 24 32 40 48 56
  1  9 17 25 33 41 49 57
  2 10 18 26 34 42 50 58
  3 11 19 27 35 43 51 59
  4 12 20 28 36 44 52 60
  5 13 21 29 37 45 53 61
  6 14 22 30 38 46 54 62
  7 15 23 31 39 47 55 63
 
  0 14 19 29 33 47 50 60
  1 15 18 28 32 46 51 61
  2 12 17 31 35 45 48 62
  3 13 16 30 34 44 49 63
  4 10 23 25 37 43 54 56
  5 11 22 24 36 42 55 57
  6  8 21 27 39 41 52 58
  7  9 20 26 38 40 53 59
 
  0 15 20 27 37 42 49 62
  1 14 21 26 36 43 48 63
  2 13 22 25 39 40 51 60
  3 12 23 24 38 41 50 61
  4 11 16 31 33 46 53 58
  5 10 17 30 32 47 52 59
  6  9 18 29 35 44 55 56
  7  8 19 28 34 45 54 57
 
  0  9 23 30 36 45 51 58
  1  8 22 31 37 44 50 59
  2 11 21 28 38 47 49 56
  3 10 20 29 39 46 48 57
  4 13 19 26 32 41 55 62
  5 12 18 27 33 40 54 63
  6 15 17 24 34 43 53 60
  7 14 16 25 35 42 52 61
 
  0 10 22 28 35 41 53 63
  1 11 23 29 34 40 52 62
  2  8 20 30 33 43 55 61
  3  9 21 31 32 42 54 60
  4 14 18 24 39 45 49 59
  5 15 19 25 38 44 48 58
  6 12 16 26 37 47 51 57
  7 13 17 27 36 46 50 56
 
  0 11 17 26 39 44 54 61
  1 10 16 27 38 45 55 60
  2  9 19 24 37 46 52 63
  3  8 18 25 36 47 53 62
  4 15 21 30 35 40 50 57
  5 14 20 31 34 41 51 56
  6 13 23 28 33 42 48 59
  7 12 22 29 32 43 49 58
 
  0 12 21 25 34 46 55 59
  1 13 20 24 35 47 54 58
  2 14 23 27 32 44 53 57
  3 15 22 26 33 45 52 56
  4  8 17 29 38 42 51 63
  5  9 16 28 39 43 50 62
  6 10 19 31 36 40 49 61
  7 11 18 30 37 41 48 60
 
  0 13 18 31 38 43 52 57
  1 12 19 30 39 42 53 56
  2 15 16 29 36 41 54 59
  3 14 17 28 37 40 55 58
  4  9 22 27 34 47 48 61
  5  8 23 26 35 46 49 60
  6 11 20 25 32 45 50 63
  7 10 21 24 33 44 51 62
 
Soluzione n. 5755
  0  1  2  3  4  5  6  7
  8  9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
 
  0  8 16 24 32 40 48 56
  1  9 17 25 33 41 49 57
  2 10 18 26 34 42 50 58
  3 11 19 27 35 43 51 59
  4 12 20 28 36 44 52 60
  5 13 21 29 37 45 53 61
  6 14 22 30 38 46 54 62
  7 15 23 31 39 47 55 63
 
  0 14 19 29 39 44 50 57
  1 15 18 28 38 45 51 56
  2 12 17 31 37 46 48 59
  3 13 16 30 36 47 49 58
  4 10 23 25 35 40 54 61
  5 11 22 24 34 41 55 60
  6  8 21 27 33 42 52 63
  7  9 20 26 32 43 53 62
 
  0 15 20 27 34 46 49 61
  1 14 21 26 35 47 48 60
  2 13 22 25 32 44 51 63
  3 12 23 24 33 45 50 62
  4 11 16 31 38 42 53 57
  5 10 17 30 39 43 52 56
  6  9 18 29 36 40 55 59
  7  8 19 28 37 41 54 58
 
  0  9 23 30 37 42 51 60
  1  8 22 31 36 43 50 61
  2 11 21 28 39 40 49 62
  3 10 20 29 38 41 48 63
  4 13 19 26 33 46 55 56
  5 12 18 27 32 47 54 57
  6 15 17 24 35 44 53 58
  7 14 16 25 34 45 52 59
 
  0 10 22 28 33 47 53 59
  1 11 23 29 32 46 52 58
  2  8 20 30 35 45 55 57
  3  9 21 31 34 44 54 56
  4 14 18 24 37 43 49 63
  5 15 19 25 36 42 48 62
  6 12 16 26 39 41 51 61
  7 13 17 27 38 40 50 60
 
  0 11 17 26 36 45 54 63
  1 10 16 27 37 44 55 62
  2  9 19 24 38 47 52 61
  3  8 18 25 39 46 53 60
  4 15 21 30 32 41 50 59
  5 14 20 31 33 40 51 58
  6 13 23 28 34 43 48 57
  7 12 22 29 35 42 49 56
 
  0 12 21 25 38 43 55 58
  1 13 20 24 39 42 54 59
  2 14 23 27 36 41 53 56
  3 15 22 26 37 40 52 57
  4  8 17 29 34 47 51 62
  5  9 16 28 35 46 50 63
  6 10 19 31 32 45 49 60
  7 11 18 30 33 44 48 61
 
  0 13 18 31 35 41 52 62
  1 12 19 30 34 40 53 63
  2 15 16 29 33 43 54 60
  3 14 17 28 32 42 55 61
  4  9 22 27 39 45 48 58
  5  8 23 26 38 44 49 59
  6 11 20 25 37 47 50 56
  7 10 21 24 36 46 51 57
 
Soluzione n. 5756
  0  1  2  3  4  5  6  7
  8  9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22 23
24 25 26 27 28 29 30 31
32 33 34 35 36 37 38 39
40 41 42 43 44 45 46 47
48 49 50 51 52 53 54 55
56 57 58 59 60 61 62 63
 
  0  8 16 24 32 40 48 56
  1  9 17 25 33 41 49 57
  2 10 18 26 34 42 50 58
  3 11 19 27 35 43 51 59
  4 12 20 28 36 44 52 60
  5 13 21 29 37 45 53 61
  6 14 22 30 38 46 54 62
  7 15 23 31 39 47 55 63
 
  0 14 19 29 39 44 49 58
  1 15 18 28 38 45 48 59
  2 12 17 31 37 46 51 56
  3 13 16 30 36 47 50 57
  4 10 23 25 35 40 53 62
  5 11 22 24 34 41 52 63
  6  8 21 27 33 42 55 60
  7  9 20 26 32 43 54 61
 
  0 15 20 27 34 46 53 57
  1 14 21 26 35 47 52 56
  2 13 22 25 32 44 55 59
  3 12 23 24 33 45 54 58
  4 11 16 31 38 42 49 61
  5 10 17 30 39 43 48 60
  6  9 18 29 36 40 51 63
  7  8 19 28 37 41 50 62
 
  0  9 23 30 37 42 52 59
  1  8 22 31 36 43 53 58
  2 11 21 28 39 40 54 57
  3 10 20 29 38 41 55 56
  4 13 19 26 33 46 48 63
  5 12 18 27 32 47 49 62
  6 15 17 24 35 44 50 61
  7 14 16 25 34 45 51 60
 
  0 10 22 28 33 47 51 61
  1 11 23 29 32 46 50 60
  2  8 20 30 35 45 49 63
  3  9 21 31 34 44 48 62
  4 14 18 24 37 43 55 57
  5 15 19 25 36 42 54 56
  6 12 16 26 39 41 53 59
  7 13 17 27 38 40 52 58
 
  0 11 17 26 36 45 55 62
  1 10 16 27 37 44 54 63
  2  9 19 24 38 47 53 60
  3  8 18 25 39 46 52 61
  4 15 21 30 32 41 51 58
  5 14 20 31 33 40 50 59
  6 13 23 28 34 43 49 56
  7 12 22 29 35 42 48 57
 
  0 12 21 25 38 43 50 63
  1 13 20 24 39 42 51 62
  2 14 23 27 36 41 48 61
  3 15 22 26 37 40 49 60
  4  8 17 29 34 47 54 59
  5  9 16 28 35 46 55 58
  6 10 19 31 32 45 52 57
  7 11 18 30 33 44 53 56
 
  0 13 18 31 35 41 54 60
  1 12 19 30 34 40 55 61
  2 15 16 29 33 43 52 62
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Soluzione n. 5757
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Soluzione n. 5758
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Soluzione n. 5759
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Soluzione n. 5760
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Soluzione n. 5761
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