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Titolo: Un problemino da "Archimede"

Facile ma simpatico:
"dimostrare che tutti i numeri della forma
44...44355...556
(con n cifre 4 e n cifre 5) sono quadrati perfetti"
Maurizio
-- 
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

 Maurizio
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Soluzione
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Premetto il simbolo
m(n)=mmmmm cifra m scritta n volte
m da solo è la sola cifra m
E' facile verificare che 44...44355...556
è il quadrato di 6...6
Dimostriamo allora che [6(n)]^2=4(n-1)35(n-1)6
[6(n)]^2=[6*1(n)]^2=36*1(n)*1(n)
36*1(n)=39(n-1)6=40(n)-4
(Si potrebbe passare anche per 36=40-1 ma si allungherebbe il brodo)
[40(n)-4]*1(n)=4*[10(n)-1]*1(n)= distribuendo
4*1(n)*10(n)-4*1(n)=
4(n)0(n)-4(n)=
4(n-1)35(n-1)6
qde o qed o cvd o cdv

"... sono quadrati perfetti"
Esistono quadrati imperfetti?
-- 
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 (Si potrebbe passare anche per 36=40-4 ma si allungherebbe il brodo)
Tutti quegli 1 me ne hanno fatto lasciare uno anche dove non ci stava
p.s. Se posso chiedertelo, visto che la leggi , quanti problemi attinenti a
questo ng quindi giocosi, contiene questa
rivista mediamente? Ricordo che postasti il bel problema del parcheggio
poi null'altro

 rivista mediamente?
E' una rivista che esce ogni 3 mesi, in ogni numero c'è la rubrica
"Archimede Eureka" che contiene 3 problemi. Per darti un'idea, in questo
numero oltre a quello di cui sopra ci sono questi altri due:
"In un tetraedro le circonferenze inscritte in tre facce sono a due a
due tangenti. Dimostrare che le circonferenze inscritte in tutte e
quattro le facce sono a due a due tangenti."
"Esiste un insieme finito X di punti del piano con la proprietà che, per
ogni P in X, ci sono almeno 2008 punti di X a distanza unitaria da P?"
Poi c'è anche la rubrica "Archimede Eureka Giovani" che contiene altri
due problemi dello stesso genere ma più semplici, adatti quindi anche a
ragazzi. Inoltre c'è la rubrica "Enigmistica Matematica" che presenta
cruciverba e giochi di enigmistica classica di argomento matematico. In
questo numero, oltre al cruciverba, c'è ad esempio l'indovinello
(facile):
<Una donna leggera>
E' un elemento di separazione
proprio dove si trova l'unità;
all'estero è diversa. In conclusione
dire che è mobile non è una novità.
e la crittografia (6, 8):
Sedicenne corrotto.
(mi manca la seconda parola...).
Spero di aver reso l'idea. Io ogni tanto posto un problema o un gioco
qui se mi sembra abbastanza carino.
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Vado sul classico usando le sommatorie.
Il numero x = 4...435...56 (con n quattro ed n cinque)
si scrive come
x = 6 + 5*(10 + ... + 10^n) + 3*10^(n+1) +
+ 4*(10^(n+2) + ... + 10^(2n+1))
Per i discorsi che faremo può anche essere n = 0, ed in tal caso x
vale ovviamente 36
Posto quindi
[Sn] = 1 + 10 + ... + 10^n
notiamo che
5*(10 + ... + 10^n) = 5*([Sn] - 1)
e che
4*(10^(n+2) + ... + 10^(2n+1)) =
= 4*([Sn] -1)*10^(n+1)
dunque si ha
x = 6 + 5*([Sn] - 1) + 3*10^(n+1) +
+ 4*([Sn] -1)*10^(n+1)
semplificando si ottiene
x = 1 - 10^(n+1) + 5*[Sn] + 4*[Sn]*10^(n+1)
e ricordando che come è noto
Sn = (10^(n+1) - 1)/(10 - 1) = (10^(n+1) - 1)/9
da cui 10^(n+1) - 1 = 9*[Sn]
si ha
x = 4*[Sn]*10^(n+1) - 4*[Sn]
= 4*[Sn]*(10^(n+1) - 1)
= 4*[Sn]*9*[Sn]
= (6*[Sn])^2
che è la tesi.
Ovviamente il numero 6*[Sn] si scrive
6....6, dove la cifra 6 è scritta n + 1 volte
Saludos.
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P.S.
Per anbra1:
Non capisco una cosa. Se usiamo la notazione
m(n) = m...m, cioè la cifra m scritta n volte
allora cosa significano
39(n - 1), 40(n), 10(n), ecc.?

 39(n - 1), 40(n), 10(n), ecc.?
Credo che 40(n) sia 4 seguito da n zeri, e cosě via.
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 Credo che 40(n) sia 4 seguito da n zeri, e cosě via.
E' cosě. Se una cifra č seguita
dall'indice in parentesi va scritta altrettante volte,
se č sola va scritta una volta.

> Credo che 40(n) sia 4 seguito da n zeri, e così via.
Ok grazie, poi me ne sono accoro. Come al solito leggo
frettolosamente!
Per anbra1:
Complimenti innanzitutto per l'uso spigliato di simbolismo
altermativo.
Volevo chiederti:
alcuni passaggi tipo
36*1(n)=39(n-1)6
non riuscivo a vederli al volo ed ho dovuto esplicitarli su carta
tramite vari sotto-passaggi.
E' giusto così o c'è qualche idea che non ho colto che rende evidente
questi passaggi?
Solo per curiosità!
Grazie.

(mi manca la seconda parola...).
Non ho capito di che tipo di crittografia si tratta... :-(
Comunque, a proposito di questo argomento, vi segnalo il libro
"Enigmistica e matematica -Edipo si diverte con Pitagora " di Giovanni
Riva (Lasting) e Ornella Di Prinzio (Lora).
È una vasta antologia di tutti i giochi di enigmistica classica che
hanno come soggetto la matematica nei suoi vari aspetti. Può essere
richiesto direttamente all'autore (Giovanni Riva - Via Torino,22 -
20040 Usmate MI.)
Robby
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Per risposte private, togliere TUTTE le "x" dal mio address !
For private replies, remove ALL the "x" from my address !
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 20040 Usmate MI.)
E quanto costa?

 Grazie.
Ha solo un valore descrittivo anche se magari
si potrebbero ricavare delle proprietà generali
per questo tipo di numeri con cifre ripetute

 tramite vari sotto-passaggi.
Non so come hai fatto tu, io li vedo bene con la moltiplicazione in
colonna:
 111...111 x
        36 =
----------
 666...666
3333...33
----------
3999...996
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 Non ho capito di che tipo di crittografia si tratta... :-(
Dovrebbe essere una mnemonica. "Sedicenne" penso si risolva con
"minore", che è una sottomatrice. Però non mi viene un aggettivo
pertinente sinonimo di "corrotto".
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 3999...996
Nooo! :-) Con la fissa delle dimostrazioni formali finisce che questi
metodi semplici semplici mi sfuggono! E' un difetto.