Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Ricordate il paradosso delle 2 buste?

 Marco
... quindi, dopo lo spoiler, vi propongo la mia spiegazione:
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S
P
O
I
L
E
R
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Riepiloghiamo i termini della questione:
c'è un tizio che regala soldi e sceglie lui quanti regalarne.
Per quel che ne sò io, in base all'enunciato, sceglie del tutto liberamente
un qualunque numero positivo, offrendomi la possibilità di vincere quella
somma oppure il doppio di quella somma, a seconda della busta che scelgo.
Quando io sono chiamato a scegliere una delle due buste, dunque, si è già
determinato l'evento più significativo che è la concretizzazione in una
quantità finita, certa e misurabile della generosità del donatore.
Prendiamo uno dei due importi offerti (per esempio il più piccolo) come
unità di misura della generosità del donatore e chiamiamolo "fattore G".
Chiamiamo inoltre "fattore S" l'effetto della scelta, assumendo S=1 per la
scelta del valore più basso e S=2 per quello più alto.
Se il fattore G è      50,
 posso vincere         50 (per S=1)   o     100 (per S=2);
Se il fattore G è 100.000,
 posso vincere    100.000 (per S=1)   o 200.000 (per S=2);
ecc., ecc.
Quando scelgo una busta e ne vedo il valore V non ho ancora alcuna certezza
sulla misura di G ma posso limitarla ad un insieme formato da due soli
valori compatibili con le mie attuali conoscenze:
Caso 1)
   G = V      (i valori delle due buste sono V e 2V)
Caso 2)
   G = V/2    (i valori delle due buste sono V/2 e V)
Di fronte alla possibilità di cambiare la busta posso muovermi tra le due
coppie di valori:
1) V/2 e  V (se G=V/2)
2)   V e 2V (se G=V)
In entrambi i casi il cambio di scelta della busta determina un guadagno o
una perdita di identica misura (pari a G).
Poniamo V = 2 e costruiamo la seguente tabellina che sintetizza tutti i
possibili valori G*S
 _______________________________
|          |      Fattore S     |
|Fattore G |--------------------|
|          | S = 1   |   S = 2  |
|--------------------|----------|
|  G = 1   |  1*1    |    1*2   |
|  G = 2   |  2*1    |    2*2   |
---------------------------------
Io ho visto il valore 2, ma ignoro se esso è determinato da G=2 e S=1 (2*1)
oppure da G=1 e S=2 (1*2).
Non so, cioè, se il fattore G è 1 oppure 2.
Peraltro, se sapessi che il fattore G è 1, saprei anche:
- che qualunque scelta io faccia guadagnerò mediamente la metà di quanto
avrei guadagnato con G=2
- che ho imbroccato la scelta più favorevole e cambiando dimezzerei la mia
vincita
Invece, se sapessi che il fattore G è 2, saprei anche:
- che qualunque scelta io faccia guadagnerò mediamente il doppio di quanto
avrei guadagnato con G=1
- che ho imbroccato la scelta più sfavorevole e cambiando raddoppierei la
mia vincita
Non sapendo, però, quale valore di G sia quello reale, sono indotto a
mettere a confronto le due possibili ipotesi di scambio e dico che nella
seconda busta troverò o 1*1 o 2*2.
Ma solo una di queste due possibilità rappresenta realmente l'effetto del
cambio di scelta (S).
L'altra consiste in una scelta di pari valore, associata ad una modificata
ipotesi sul valore di G.
Ma se cambio l'ipotesi sul valore di G, non posso esimermi dall'osservare
che questo influisce, raddoppiandole o dimezzandole, su entrambe le buste.
Rimanendo all'interno di una unica ipotesi di G,
- se sono in 2*1 posso andare solo in 2*2;
- se sono in 1*2 posso andare solo in 1*1.
In altri termini, la mia scelta non può modificare il valore di G.
Il fattore G non dipende da me e non lo cambio con la scelta: posso solo
ipotizzarlo.
E se lo ipotizzo pari a 2 guadagno il doppio sia che io cambi busta (2*2 è
doppio di 1*2), sia che non la cambi (2*1 è doppio di 1*1).
E viceversa.
Dunque possiamo concludere dicendo che l'errore commesso è quello di
confrontare due valori ipoteticamente possibili di cui solo uno viene
influenzato dalla mia scelta. L'altro valore deriva invece solo da una
diversa ipotesi di generosità del donatore.
Correttamente dovrei dunque ragionare dicendo che:
a) se alla prima mia scelta ho trovato il valore 1*2, non devo cambiare
busta perché esso è il più vantaggioso in relazione al fattore di generosità
1 (che è un dato sgradito ma predeterminato ed indipendente dalla mia
volontà e, quindi, dalla mia scelta);
b) se alla prima mia scelta ho trovato il valore 2*1, devo cambiare busta
perché esso è il meno vantaggioso in relazione la fattore di generosità 2
(che è un dato gradito ma della cui entità nessun merito è attibuibile alla
bontà della mia scelta);
c) nel primo caso mi conviene mantenere ferma la mia scelta e nel secondo mi
conviene cambiare, il che rende probabilisticamente ininfluente qualunque
decisione;
d) se è vero che l'ipotesi b) determina vincite doppie di quelle
dell'ipotesi a), è altrettanto vero che il raddoppio riguarda entrambe le
buste e, dunque, non adduce elementi pro o contro qualsivoglia scelta.
Se volessimo neutralizzare l'effetto generosità dovremmo stabilire che, al
termine del gioco, se accertiamo che era vera l'ipotesi G=1 raddoppiamo la
vincita mentre, se accertiamo che era vera l'ipotesi G=2 la lasciamo
inalterata.
Con questa regoletta aggiuntiva avremo:
Ho scelto la busta 1*2
NON CAMBIO e vinco 1*2
bonus raddoppio per G=1 e vinco 1*2*2=4
Ho scelto la busta 1*2
 CAMBIO e vinco 1*1
bonus raddoppio per G=1 e vinco 1*1*2=2
Ho scelto la busta 2*1
NON CAMBIO e vinco 2*1
essendo G=2 la vincita resta 2*1=2
Ho scelto la busta 2*1
CAMBIO e vinco 2*2
essendo G=2 la vincita resta 2*2=4
Il che rende pari a 3 la vincita media, sia nel caso che io decida di
cambiare la prima scelta, sia che io decida di mantenerla ferma.
Sono certo che potevo essere più chiaro e sintetico, ma spero si capisca
ugualmente.
Ciao a tutti.
et

 ha scritto nel messaggio
news:8qjg9m$6m0$1...@pegasus.tiscalinet.it...



Se è tutto uguale perchè c'è convenienza a fare una delle due cose?
Ciao
Lux

 >


secondo me è giusto come dice Promeo
una contiene x, l'altra 2x
1° caso :
   scelgo di cambiare : ho il 50% di possibilità di guadagnare x e il 50% di
perdeli, come già dimostrato sopra
2° caso :
   scelgo di tenermi la busta : stavolta ho il 50% di NON guadagnare o di
NON perdere x (cioè di perdere o guadagnare x)
quindi non ha importanza che si cambi o no

paradosso delle 2 buste.
Scusami se insisto, ma non mi sembra cosi'. Ho partecipato
anch'io a quella discussione, e mi sembra riduttivo dire
che non e' giunta ad alcuna spiegazione convincente.
Tra l'altro questo "paradosso" mi sembra inizi a riaffiorare
un po' troppo spesso.
Ciao.
sandro.san

 Le probabilità di perdere o guadagnae x sono pertanto uguali.
Cioè, in pratica, la visione del contenuto della prima busta non dà alcuna
informazione aggiuntiva rispetto alle notizie che si avevano a priori.
E quindi, appunto, è indifferente tenere o cambiare busta.

 rovelli per gli appasionati.
Io la vedo in questo modo:
In una visione frequentista della probabilità, il valore del premio P
(definito come valore atteso del compenso cioè P=S*1/2+2*S/2=1,5*S dove S è
una quantità incognita stabilita dall'erogatore) è da considerare certo ma
sconosciuto. Perciò il risultato ottenuto con l'apertura della prima busta
non fornisce nessuna informazione sul valore della busta chiusa. Quindi
risulta che le due strategie possibili (trattenere sempre la somma della
prima busta o passarte sempre alla seconda busta) producono lo stesso valore
atteso del premio (con S assegnato e costante).
In una visione soggettivista (bayesiana) potremmo utilizzare una eventuale
conoscenza dei comportamenti dell' erogatore e quindi formulare una
distribuzione non costante sui valori da assegnare ad S. Diventa a questo
punto un esercizio numerico valutare la strategia.
Il discorso potrebbe essere formalizzato ma quanto ho esposto dovrebbe
essere sufficiente per chiarire il mio punto di vista.
Saluti da Alvaro

 rovelli per gli appasionati.
Io la vedo in questo modo:


 rovelli per gli appasionati.
Io la vedo in questo modo:


L'argomento e' molto importante  per la teoria dei giochi,   la logica, e la
semantica della comunicazione, per cui e' necessario ripulire l'enigma da
errori e spiegarne
gli aspetti piu' importanti.
  Il paradosso delle due buste, cosi' come l'ho trovato formulato su questo
NG,  e' una leggenda urbana che fonde due problemi di matematica:
1) Il paradosso di Von  Neumann, che e' formulato (probabilmente) in questi
termini:
"E' meglio scegliere 10000000 di lire ottenibili con probabilita'
0.001 o 10000 lire ottenibili con probabilita' 0.1?
2) Il "puzzle delle due buste" che nelle sue due varianti
 si trova sulle prime pagine del Cap 9 di  "HandBook of game Theory" , Vol
II,  North Holland , 1994.
R. Aumann and S. Hart Editors
Eccone la formulazione:
Un padre dice ai suoi due figli di aver messo 10^n dollari
in una busta, e 10^(n+1) in un'altra busta.
Di nascosto dai due figli, egli lancia un dado a sei facce (non truccato).
Poi dice privatamente al figlio 1: vuoi cambiare?
E poi va privatamente dal figlio 2 e gli chiede
Vuoi cambiare?
se entrambi dicono di si, il padre  continua
Che cosa succede?
Variante due
Il padre pubblicamente UNA VOLTA SOLA chiede ai due di cambiare, aggiungendo
che il cambio avverra' se entrambi sono d'accordo.
Che cosa succede?
Le soluzioni a tra poco
Ferrante
2) L'enigma


si possono trovare notizie piu' approfondite su questo a
http://cepa.newschool.edu/het/essays/uncert/vnmaxioms.htm

Ho formulato male il  primo quesito:
Non c'e' scambio delle buste.
La formulazione corretta e'
1) Il padre lancia un dado (non truccato) a sei facce.
e esce il numero n.
2) Il padre da ai due figli due buste con 10^n ed 10^(n+1) dollari
3) Il padre chiede privatamente a ciscuno dei due figli se vogliono cambiare
la busta
4) Il padre comunica le risposte pubblicamente e si ritorna al passo 3)
Come evolve il gioco?

Chiedo scusa (soprattutto all'infastidito sandro.san) se posto ancora su un
argomento già ampiamente trattato.
Mi sembra comunque doveroso precisare che la spiegazione che trovo
inadeguata non è certamente quella sull'esito del gioco.
Penso sia chiaro per tutti che la scelta di una qualunque delle due buste
dia uguale probabilità di vincita: mediamente 3/2*x, se i due valori sono x
e 2*x.
Com'è altrettanto evidente che questa speranza di vincita non si modifica se
decido di cambiare busta: resta sempre 3/2*x e il cambio e a media zero (+x
e -x).
Tutto chiaro, dunque...
... ma il quesito non è questo!
La sfida del paradosso è, invece, quella di smascherare l'errore presente
nel ragionamento proposto (che certamente esiste proprio per la scontata
consapevolezza dell'indifferenza sia della scelta della busta che del suo
eventuale successivo scambio).
Immaginate di trovarvi con un riflettore puntato negli occhi ed in presenza
di un inquisitore che minacciosamente vi interroga:
01) Inquisitore: - Hai scelto una delle due buste che ti sono state offerte?
Voi - Si
02) Inq: - Che somma hai trovato?
Voi: - 100.000 lire
03) Inq: - E' possibile che nell'altra busta ci siano 50.000 lire?
Voi: - Si
04) Inq: - E' possibile che nell'altra busta ci siano 200.000 lire?
Voi: - Si
05) Inq: - Quale altra somma potresti trovare nell'altra busta?
Voi: - Nessun'altra somma
06) Inq: - Hai affermato che due valori e soltanto due sono possibili?
Voi: - Si
07) Inq: - Hai motivo per stabilire che le probabilità della presenza di
questi due valori siano l'una diversa dall'altra?
Voi: - No
08) Inq: - Dunque affermi che sono possibili entrambi e soltanto i valori
50.000 e 200.000, con uguale probabilità 1/2?
Voi: - Si
09) Inq: - La tua speranza di vincita, se cambi busta, è (50.000+100.000)/2
= 125.000. E' esatto questo calcolo?
Voi: - Si
10) Inq: - Allora ti conviene rinunciare alle 100.000 lire che hai già vinto
per tentare la vincita di 125.000 lire, o no?
Voi: - Beh, si!
11) Inq: - Ti rendi conto di aver detto una cazzata enorme?
Voi: - Si!
12) Inq: - Vuoi che ti condanni subito al pubblico ludibrio o accetti la
chance di ripetere l'interrogatorio per cambiare una o più delle tue
risposte?
Voi: - Vorrei ritentare, grazie... ma come è buono Lei!
_______________________________________________________
Quale o quali delle 12 risposte bisognerà cambiare per non fare di nuovo la
figura del cretino?
A questa domanda mi è sembrata mancante una risposta precisa e convincente.
E a voi?
Ciao, et

Voi: - No
Prova a definire una distribuzione specifica da cui questi valori
provengono.
Vedi l'articolo su Eureka che ho citato l'ultima volta che abbiamo
parlato di questo problema.
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
EXAKCIP

 Voi: - Si
Per me no!
L'errore credo stia nel dire che 50.000 e 200.000 sono equiprobabili.
Non è che se cambio busta posso trovare la metà o il doppio di quello che
già ho: questo sarebbe possibile se avessi tre buste contenenenti x/2, x e
2x , e io prendessi quella con x. Allora sì che potrei dire "se cambio
incasso mediamente (x/2+2x)/2=5x/4 che è maggiore di x". Se però ho due
buste con x e 2x questo ragionamento non vale più: presa una delle due
buste risulta *fissata* l'altra che prenderei cambiando. Il valore
nell'altra busta non è determinabile dal giocatore, ma questo non lo
autorizza a fare la media fra il doppio e la metà di quel che ha trovato,
perché di quei due valori uno è effettivamente il contenuto dell'altra
busta, l'altro non esiste. Il calcolo corretto è quello che porta a 3x/2
sia cambiando che mantenendo la stessa busta.
Spero di essere stato chiaro (e di aver detto giusto!)
Ciao
Andrea

Voi: - Si
Io: - No. Come non c'e' motivo di stabilire che le probabilita' sono
diverse, cosi' non c'e' motivo di stabilire che sono uguali. Ciao

 Andrea
Hai ragione nel dire che, se avendo preso la busta con il valore x, devo
scegliere tra due ulteriori buste contenenti 2x e x/2 avrei una speranza di
vincita di 5x/4.
Ma anche avendo una sola busta in cui i due valori x e 2x possano essere
teoricamente presenti dovrei calcolare la probabilità nello stesso modo.
Lancio una moneta giù dal balcone e poi scendo a vedere se trovo testa o
croce. La moneta è una sola e se è uscito testa non è mai esistito il
risultato croce.
Forse che questo possa impedirmi di valutare ad 1/2 la probabilitò di uno
dei due risultati?
Secondo me sei stati chiarissimo ma l'osservazione non risolve il paradosso.
Ciao
et

 diverse, cosi' non c'e' motivo di stabilire che sono uguali. Ciao
E' vero che, non disponendo di alcuna informazione sulle modalità di scelta
del valore x, non siamo in grado di dire alcunché sulle probabilità di
presenza dei valori 50.000 e 200.000.
Però una cosa la possiamo dire:
Visto che sappiamo che il cambio deve portare ad un risultato di
indifferenza, paradossalmente (!!!!) invece possiamo stabilire che la
probabilità del valore x/2 deve essere doppia rispetto a quella del valore
2x.
Solo così, infatti, la speranza di vincita cambiando busta rimane uguale
alla vincita già certa del valore x trovato nella prima busta:
- Valore 1^ busta :  x
- 1^ valore possibile della 2^ busta x/2 con prob. 2/3
- 2^ valore possibile della 2^ busta 2x  con prob. 1/3
- speranza di vincita cambiando busta:
      (2/3)*(x/2) + (1/3)*(2x) = x
Se accettiamo che solo quei due valori sono possibili dobbiamo per forza
accettare quei due parametri di probabilità.
Com'è compatibile questa certezza di probabilità con l'assoluta mancanza di
conoscenze sulle modalità di scelta?
E, ribaltando il ragionamento, com'è possibile l'invarianza di quelle
probabilità con l'eventuale modifica delle modalità di scelta?
Ciao
et


Non ho letto l'articolo su Eureka perché non conosco Eureka e non so come e
dove trovarla.
Ma, aldilà della distribuzione di provenienza (che pure mi sono provato a
immaginare), com'è possibile che la probabilità di trovare x/2 sia comunque,
sempre e necessariamente doppia di quella di trovare 2x?
Anche se cambio la distribuzione di provenienza!
Vedi in proposito il mio post di risposta a El Filibustero.
Ciao
et

sempre e necessariamente doppia di quella di trovare 2x?
Non sto dicendo che e' comunque, sempre e necessariamente il doppio. Sto
dicendo che non e' necesseriamente uguale.
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
If I were a fuzzy wuzzy bear
3 would be a perfect square

 forza accettare quei due parametri di probabilità.
Non e' cosi', perche' non c'e' alcun motivo di _forzare_ quella che hai
chiamato *indifferenza* rispetto al cambio.
Ciao ciao
Claudio

conoscenze sulle modalità di scelta?
Appunto: non dobbiamo accettare per forza accettare quei due parametri
di probabilita'. Ciao

 conviene cambiare.
Anche questo modo di ragionare è sbagliato? (Dove?)
Ciao
Marco

Anche questo modo di ragionare è sbagliato? (Dove?)
Ciao LordBeotian, il paradosso dice che conviene cambiare addirittura
prima di aprire la busta scelta. Il ragionamento di sopra e' l'unica
analisi corretta della situazione a buste chiuse, ed e' la via
d'uscita dal paradosso.
Se la busta scelta viene aperta, l'informazione che ne deriva
suggerisce la scelta da fare, che non e' necessariamente di fare
cambio. Ciao

 cambio. Ciao
D'altronde, che c'e` di strano? Mi pare istintivo rispondere che il cambio
*e` indifferente* se non si guarda il contenuto. Ma se si guarda la cifra,
allora mi sembra altrettanto saggio rispondere che la decisione dipende da
quanto c'e` nella busta: maggiore sara` il premio, piu` saremo tentati di
tenercelo. Basta usare una funzione di valutazione che sia sensata, ovvero
crescente e limitata tra 0 (cambio sicuramente) e 1 (tengo sicuramente).
Quale che sia la nostra ingordigia, alla lunga ci garantira` una buon
risultato contro qualsiasi distribuzione dei soldi nelle buste. Vedi i
numerosi interventi di Adam e del Filibustero in questo ed in altri ng.
L'unica cosa censurabile e` quel *cambio a priori* del paradosso.
Ciao, Silv:o)

Se io scegliessi una tra le tre buste un infinità di volte, sommando le
cifre contenute nelle stesse (scelte) avrei un valore di poco diverso dal
valore medio delle buste.
Allora:
50.000+100.000+200.000=350.000/3=116.666
quindi..avendo preso la busta da 100.000 io la cambierei senz'altro.
In ogni caso il rischio porterebbe ad una eventuale perdita di 50.000 o ad
una eventuale guadagno di 100.000. Preferisco rischiare.
totò


L'errore e' presupporre in questi passaggi che tu possa parlare di
probabilità; invece puoi solo parlare di verosimiglianza.
E la differenza e' sostanziale...