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Titolo: un bel po' di fiammiferi

Prendiamo un bel po' di fiammiferi identici e costruiamoci un triangolo 
equilatero (con N fiammiferi per lato).
A questo punto costruiamo su ogni lato del triangolo equilatero, sempre con 
i fiammiferi, un triangolo rettangolo (in maniera che ogni lato del 
triangolo equilatero sia o cateto o ipotenusa di uno dei triangoli 
rettangoli) ed in maniera che non ci siano 2 triangoli rettangoli uguali.
(Insomma, alla fine avremo 3 triangoli rettangoli diversi con lati interi e 
con un lato della stessa dimensione)
Qual č il numero minimo di fiammiferi con cui possiamo fare questa 
operazione?
E se partiamo con un quadrato?
Con un pentagono?
.................
Ciao,
GaS 

visto che e' facile (quello per 3 si puo' fare a mente, penso),
do la soluzione per i caso esagonale.
Il lato in comune e'.
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24 e i triangoli hanno lati
{7, 24, 25} {10, 24, 26} {18, 24, 30}
{24, 32, 40} {24, 45, 51} {24, 70,74}
per un totale di 572 fiammiferi.
ciao,
g.

 operazione?

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150: triangolo equilatero di lato 12, triangoli rettangoli cosě composti: {5,
12, 13} {9, 12, 15} {12, 16, 20}.
In generale bisogna trovare n terne pitagoriche distinte (non necessariamente
primitive) con un elemento in comune che č pari al lato del poligono dato, in
modo da minimizzare la somma complessiva di tutti i lati.
Bye
Raf

 modo da minimizzare la somma complessiva di tutti i lati.
Esattamente.
Ciao,
GaS 

 per un totale di 572 fiammiferi.
Naturalmente č esatto.
Mi piaciono in particolare le soluzioni per il pentagono, ottagono, 
ennagono, decagono ecc... in cui il lato del poligono non č il piů piccolo 
possibile(come invece accade per gli altri casi).
Come c'era da aspettarsi i lati del poligono sono sempre numeri con "un 
alto" numero di divisori: 12, 24, 60, 120, 240....
Ci sono eccezioni?
Sarebbe carino andare anche a vedere cosa succede se voglio costruire i 
triangoli *all'interno* del poligono senza che si sovrappongano.
Idea venuta ora ora, ci devo ancora ragionare ma intanto ve la butto la, č 
sicuramente piů tosta ma magari qualcosa di carino esce fuori....
Ciao,
GaS
P.S.: Per la cronaca: il problema appare, solo per il caso del quadrato, sul 
libro "Ingenious mathematical problems and methods" di L.A.Grahm. 

 GaS
Ciao
Raf

 sicuramente piů tosta ma magari qualcosa di carino esce fuori....
Cosi' ad occhio sembra decisamente piu' tosto. Anche perche' mi sembra
che si possa dimostrare facilmente che dentro al triangolo e al quadrato
non ci si possono mettere. Quindi bisogna cercare minimo un pentagono,
e in particolar modo quindi un numero che si possa esprimere in almeno
5 modi diversi come somma di 2 quadrati (perche' dovrebbe essere per 
forza l'ipotenusa). Dopo di che bisogna vedere se gli angoli si 
incastrano bene.
ciao,
g.

 l'ipotenusa). Dopo di che bisogna vedere se gli angoli si incastrano bene.
Ho trovato le soluzioni (probabilmente anche ottimali in termini del numero 
di fiammiferi impiegati) per il pentagono, l'esagono e l'eptagono.
Il lato č di 325 e le terne sono le seguenti (vanno bene per tutti e 3 i 
casi prendendo le prime n):
    36   323   325
    80   315   325
    91   312   325
   125   300   325
   165   280   325
   195   260   325
   204   253   325
Ho fatto un disegno del pentagono e dell'esagono che dimostra che i 
triangoli non si incrociano, purtroppo non so dove metterlo sul web e cosi 
l'ho postato sulla vecchia casella di yahoo (ricordo lo username: 
hobbyenigmi e la pass: imgineybboh) che ho scoperto essere ancora attiva.
Comunque non č vero che il lato del poligono debba per forza essere sempre 
ipotenusa dei triangoli interni, esistono anche soluzioni in cui questo non 
accade. Gia per i casi qui mostrati si potrebbe costruire il triangolo
228 325 397
al posto di quello piů grande. Sfruttando questa ottava terna riusciamo a 
costruire anche un ottagono che soddisfa le richieste, non so perň se č 
ottimale nel numero di fiammiferi.
Ci sarebbero ora da analizzare anche le terne
325 360 485
325 780 845
e vedere se si riescono ad incastrare per ottenere l'ennagono e, con meno 
speranze, il decagono.
Ciao,
Gabriele 

 228 325 397
giusto! Non sono mai stato bravo a visualizzare le cose geometriche a 
mente....
ciao,
g.

 
http://www.imc.pi.cnr.it/resta/gas_5_6.jpg
Assolutamente, hai fatto benissimo. Gia che ci siamo potresti mettere anche 
quelli di ennagono e decagono che ho appena spedito alla stessa casella? 
Sempre con 325 di spigolo e la dimostrazione pratica che gli spigoli non 
devono per forza essere le ipotenuse.
Solo il decagono mi ha fatto un po' lavorare in quanto non si potevano 
associare i triangoli in ordine crescente ma ho dovuto riaggiustarli un 
minimo.
Per poligoni con più di 10 lati quali sono i candidati?
Ciao,
GaS
P.S.: Per lavorare su questo problema sto anche cominciando ad usare un 
minimo autocad: dimostrazione che i giochi matematici sono molto istruttivi 
:o) 

 Per poligoni con più di 10 lati quali sono i candidati?
Al momento sono oberatissimo e non posso neanche darci una occhiata...
putroppo.
ciao,
g.