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Titolo: Quesito: eredità e pecore...

Il subject potrà far pensare ad un filone di enigmi abbastanza 
sfruttato, ma questo mi pare leggermente diverso e quindi ve lo ripropongo:
Due fratelli ricevono in eredità dal padre un gregge di pecore. Decidono 
di venderlo e dividersi equamente la somma ricavata.
Combinazione vuole che riescano a contrattare la vendita delle pecore 
guadagnando per ognuna di esse un numero di monete d'oro pari al numero 
totale di pecore nel gregge.
Una volta tornati a casa con le monete ricavate, i fratelli si accingono 
a dividersele seguendo il seguente metodo: il maggiore inizia e preleva 
per sè dieci monete, poi il minore ne prende dieci per sè, e così via.
Ovviamente il mucchio si assottiglia sempre di più, finchè ad un certo 
punto, dopo che il fratello maggiore ha prelevato la sua parte, il 
fratello minore resta con un numero di monete insufficiente per far pari.
Per amor di giustizia allora il fratello maggiore offre al minore una 
penna, in modo da pareggiare i conti.
Quante monete d'oro vale la penna?
-- 
Fabrizio "Hermooz" Ermini


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Due.
Ciao :-)
Giorgio 

Giorgio Vecchi wrote:

Giusto! :-)
bye!
-- 
Fabrizio "Hermooz" Ermini

 Giusto! :-)
Uhm...ho trovato la soluzione ma non il modo di mostrare che è
l'unica.....
Saluti
Moonself

>> Quante monete d'oro vale la penna?
Per la cronaca e' un problemino di origine russa.
Tutto sta nel fatto che un quadrato mod 20 == 0,1,4,5,9,16

 
Onestamente, neanch'io sono riuscito a trovare una dimostrazione 
"elegante" della validità della soluzione (ho fatto appello a un po' di 
brute force ;-)). Ho postato il quesito anche per vedere se qualcuno ne 
produceva una soddisfacente :-)
bye!

 Tutto sta nel fatto che un quadrato mod 20 == 0,1,4,5,9,16
Grande! Questo risolve in parte i miei dubbi. Perň tu scrivi "un
quadrato": significa che oltre a 36 ci sono altri quadrati che danno
16 come resto della divisione per 20?
Inoltre, la dimostrazione della tua affermazione si puň trovare da
qualche parte o puoi postarla?
Saluti
Moonself

 16 come resto della divisione per 20?
Ok, mi sono ripreso un attimo e ho capito che, ai fini del problema,
il mio dubbio č inessenziale. :)
(Ri)Saluti
Moonself

 qualche parte o puoi postarla?
Provo con una schifezza di dimostrazione, non molto elegante ma efficiente.
Prendiamo il generico numero N=20*a+b con b conpreso tra 0 e 19 e facciamone 
il quadrato.
N^2=(20*a+b)^2=400+40*ab+b^2
quindi N^2 mod20 = b^2 mod20
basta ora controllare i primi 19 interi e vedere che è soddisfatta la 
proprietà detta da Dario.
Ciao,
Gabriele

 Tutti i (20*k+4)^2, (20*k+6)^2 e (20*k+16)^2
mi è rimasto nella tastiera un (20*k+14)^2
:)
GaS 

 proprietā detta da Dario.
Esatto. Gli interi  mod 20 possono essere solo del tipo:
20a, 20aą1, 20aą2, 20aą3, 20aą4, 20aą5, 20aą6, 20aą7, 20aą8, 20aą9.
I quadrati di questi (sempre mod 20) sono:
0,1,4,9,16,5,16,9,4,1.
E' un metodo generale molto comodo.
Se faccio la stessa cosa mod9, ottengo 0,1,4,9,7 cosi' una condizione 
necessaria perche' un intero sia anche un quadrato, e' che la sua radice 
numerica (somma delle cifre) sia una di queste.



Ai fini del problema dobbiamo dimostrare che tutti i quadrati con un numero
di decine dispari terminano con la cifra 6. Credo che si possa dimostrare
così.
Tutti i naturali sono esprimibili nella forma 10x + y, dove x rappresenta le
decine e y le unità. Elevando al quadrato troviamo 100x^2 + 20xy + y^2. I
primi due termini producono evidentemente un numero pari di decine e 0
unità. Quindi l'eventuale disparità nel numero di decine è dovuta unicamente
a y. Solo nel caso di y = 4 e y = 6 abbiamo un quadrato con decine dispari,
rispettivamente 16 e 36 (entrambi terminano con 6). CVD
Tutto questo, naturalmente, "a posteriori". Per risolvere il problema
proposto (tra l'altro molto simpatico, soprattutto per l'esposizione, che a
una prima lettura fa pensare di non avere molti appigli) ho fatto ricorso a
una tabella di Excel con i quadrati dei primi 30 numeri e poi mi sono
affidato a uno dei famosi principi fondamentali della matematica, quello che 
dice,
testualmente:
"Se per i primi n numeri (con n grande *quanto basta*), le cose funzionano
in un certo modo, puoi star sicuro che funzioneranno allo stesso modo anche
per tutti gli altri numeri!"
Ciao :-)
Giorgio

 per tutti gli altri numeri!"
Lol!
Sapevo che doveva esserci una base matematica "forte" cui far
riferimento. :)
Se non erro questo va sotto il nome di "principio di induzione
agevolata"...
Saluti
Moonself

 "Se per i primi n numeri (con n grande *quanto basta*)
Il piu' e' stabilire il "quanto basta".
Esempi:
Fermat congetturo' che i numeri 2^2^n+1 fossero tutti primi, perche' 
fino a 2^2^4+1 = 65537 lo sono. Sfortunatamente i successivi testati 
sono tutti composti.
Su una circonferenza sono segnati n punti in posizione generica (nessuna 
delle C(n,2) corde sono concorrenti) in quante regioni e' diviso il 
cerchio dalle suddette corde? contando per n=1,2,3... si trova: 
1,2,4,8,16....ma per n=6 sono 31 e per n=10 tornano ad essere 256 !!
I numeri 31,331,3331,33331,333331,3333331, sono tutti primi, ma...
Vuoi qualcosa che si spinga oltre?  Allora:
2^n non e' mai ==1 (mod n)
2^n e' sempre ==2 (mod n) quando n e' primo e occasionalmente anche 
        quando non lo e' (n=341,561...)
2^n  puo'  essere ==3 (mod n) ??
:) ciao dario

H> Due fratelli ricevono in eredità dal padre un gregge di pecore. Decidono
H> di venderlo e dividersi equamente la somma ricavata.
H> Combinazione vuole che riescano a contrattare la vendita delle pecore
H> guadagnando per ognuna di esse un numero di monete d'oro pari al numero
H> totale di pecore nel gregge.
H> Una volta tornati a casa con le monete ricavate, i fratelli si accingono
H> a dividersele seguendo il seguente metodo: il maggiore inizia e preleva
H> per sè dieci monete, poi il minore ne prende dieci per sè, e così via.
H> Ovviamente il mucchio si assottiglia sempre di più, finchè ad un certo
H> punto, dopo che il fratello maggiore ha prelevato la sua parte, il
H> fratello minore resta con un numero di monete insufficiente per far
H> pari. Per amor di giustizia allora il fratello maggiore offre al minore
H> una penna, in modo da pareggiare i conti.
H> Quante monete d'oro vale la penna?
Provo a formalizzare
Risulta:
1) N^2=20n+10+r
dove
N=numero di pecore;numero di monete d'oro per pecora
N^2=incasso della vendita
n=numero di turni con 10 monete per fratello
r=ultime monete per il fratello minore;r=0,1,..,9 (se mettessi anche 10 ,la
penna non vale niente)
2) 10-p=r+p
con p=valore della penna in monete d'oro(escludo 0)
2')r=10-2p
quindi r è pari cioè r=0,2,4,6,8
Ma
3) N^2 mod 20=10+r  (dalla 1)
cioè 10+r=0,1,4,5,9,16 (basta verificare che tutti i quadrati di interi
diviso 20 hanno solo questi resti)
L'unica relazione valida è
10+r=16
r=6
p=2 monete d'oro