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Titolo: La Gina si e' truccata!

Domanda di cui non conosco la risposta:
Se la Gina usasse una moneta truccata  p(T)=0.6  p(C)=0.4
per fare i suoi 16 lanci, quanti potrebbe riuscire a farne
indovinare a Gino comunicandogli la sequenza da 8 bit?
Ciao,
       Antonio
P.S. Naturalmente Gino sa che la moneta e' truccata e
     conosce p(T) e p(C).

Vi racconto cosa mi è venuto in mente, i conti di quanto è buono il metodo
li lascio a fare a chi ne è capace!
Tuttavia, questo è un metodo naif e come tutti i metodi naif è di solito
altamente migliorabile!
Allora, con distribuzione di probabilità: p(T) = 0,6 e p(C) = 0,4,
arrotondando al'intero più vicino, si ha che in 16 lanci mediamente escono
10 Testa e 6 Croce.
Questo implica che, sempre mediamente ed arrotondando all'intero più vicino,
esce Croce ogni 2 Testa uscite.
Usando 2 bit, posso esprimere quante Testa ci sono tra due Croci successive.
Avendo 8 bit a disposizione, è possibile descrivere in media 4 * (1"C" +
2"T") + 1"C" = 13 risultati. Mediamente rimangono 3 risultati ancora da
indovinare: essendo più alto il numero di T, mi converrebbe chimare tutte T
o al limite TTC, per le suddette questioni statistiche.
Gino, leggendo i primi due bit, sa quante Testa ci sono tra le prime due
Croce, quindi dovrebbe in teoria chimare sempre Croce fino a quando
effettivamente non esce Croce, e quindi procedere come da accordi con Gina.
Questo implica un po' di errori, almeno all'inizio, ma se si sbaglia un tiro
all'inizio, la probabilità di sbagliare il secondo cala, e così via! Si
potrebbe pensare di impiegare i primi due bit per indicare quante Testa ci
sono all'inizio e poi comesopra, ma in teoria questo permetterebbe di
indovinare mediamente solo 11-12 risultati.
Il limite di questo metodo è che non è detto che il numero di Testa tra due
Croce sia sempre compreso tra 0 e 3, dunque qualche volta potrebbero
capitare ritardi di Croce maggiori. In quel caso, Gino potrebbe continuare a
chiamare Croce ricadendo in un caso del tutto simile a quello iniziale in
cui si fanno errori a cuor leggero perchè la probabilità di sbagliare ancora
dopo un errore si abbatte drasticamente, oppure leggere i successivi bit, se
presenti, e usarli a partire dall'errore.
L'analisi del caso peggiore è sconfortante. Se si hanno 11 Testa iniziali
seguiti da 5 Croce, con questo metodo si ottiene solo 5 risultati utili che
equivale ad una clamorosa perdita!
I miei due soliti soldini (uno truccato e l'altro no!)
    Stefano


Anche in questo caso le colonne possibili sono sempre 2^16,
ma rispetto a prima, non sono tutte ugualmente probabili.
Ci troviamo in pratica come se dovessimo pronosticare tante
partite Milan - Ancona (senza mancare di rispetto all'Ancona,
la probabilità di vittoria del Milan rispetto al pareggio
(anche se non si può escludere del tutto il segno 2) è forse
superiore al 60%, almeno per me, milanista dai tempi di Gre-No-Li).
La strategia che qui "mediamente" potrebbe rivelarsi come la
migliore potrebbe essere quella di utilizzare sistemi che in
gergo totocalcistico sono definiti a correzione di errori (o
statistici). Stabilito cioè un segno "base" (quello più probabile,
in questo caso T), viene ammessa una presenza del segno alternativo
 "errore" o "sorpresa", qui C, che va da 0 fino ad un massimo
(logicamente inferiore ai lanci totali ), compatibile con il
picchetto, il rischio che si accetta e la spesa che si è in grado di
sostenere. In tal modo, si "escludono" molte colonne dall'integrale
delle 2^16, ed è possibile con uno sviluppo colonnare nettamente
inferiore realizzare la relativa riduzione (ovvero una riduzione
n-2 anzichè ad es. n-3).
Ovviamente, nel caso questa condizione dovesse saltare, la
vincita sarebbe irrimediabilmente compromessa.
Ciao, Nino


Con una moneta buona, la probabilità di uscita di una qualsiasi
colonna su 16 lanci è 1,52588E-05.
Quindi, suddividendo in funzione del numero di T e C si ha una
distribuzione simmetrica con massimo 8T8C, come di seguito:
   16T0C        15T1C        14T2C        13T3C        12T4C
   16C0T        15C1T        14C2T        13C3T        12C4T
-----------  -----------  -----------  -----------  -----------
1,52588e-05  0,000244141  0,001831055  0,008544922  0,027770996
   11T5C        10T6C         9T7C         8T8C
   11C5T        10C6T         9C7T         8C8T
-----------  -----------  -----------  -----------
0,066650391  0,122192383  0,174560547  0,196380615
Invece, se la moneta è truccata p(T)=0,6 e p(C)=0,4, le probabilità
singole (per colonna) e totali, secondo le presenze di T e C risultano:
   16T0C        15T1C        14T2C        13T3C        12T4C
-----------  -----------  -----------  -----------  -----------
  0,000282     0,000188     0,000125     8,36e-05     5,57e-05
  0,000282     0,003009     0,015046     0,04681      0,101421
   11T5C        10T6C         9T7C         8T8C         7T9C
-----------  -----------  -----------  -----------  -----------
  3,72e-05     2,48e-05     1,65e-05     1,1e-05      7,34e-06
  0,162273     0,198334     0,188889     0,141667     0,083951
   6T10C        5T11C        4T12C        3T13C        2T14C
-----------  -----------  -----------  -----------  -----------
  4,89e-06     3,26e-06     2,17e-06     1,45e-06     9,66e-07
  0,039177     0,014246     0,003957     0,000812     0,000166
   1T15C        0T16C
-----------  -----------
  6,44e-07     4,29e-07
  1,03e-05     4,29e-07
Quindi, la vincita media con la moneta truccata sale da 8 a 10
(giocando una singola colonna con 16 teste).
La strategia che avevo proposto nel messaggio precedente di
limitare la copertura ad una determinata correzione di errori,
non appare molto producente, in quanto, se si vuole garantirsi
fino al 99,5% delle probabilità, occorre giocare tutte le colone
fino alla presenza di 12C (rimangono escluse solo 697 colonne,
poco più dell'1%).
A intuito, assodato che mediamente c'è prevalenza di T, io mi
accorderei così:
- riservo 2 bit ogni 4 lanci
- metto in gioco solo 4 combinazioni su 16 e precisamente
  00 = TTTC    01 = TTCT    10 = TCTT     11 = CTTT
Con questo metodo, però, la vincita minima sarebbe solo 4.
Ciao, Nino

equivale ad una clamorosa perdita!
Questo in effetti e' piuttosto limitante, perche' risulta di gran
lunga peggiore che non scommettere con le tecniche ormai classiche
;-) di codifica dei Gini, come se la moneta fosse equa.
Io istintivamente penso che nel caso di moneta iniqua con pT e pC 
note, teoricamente si debba poter fare meglio del caso con moneta 
equa. Questo perche' le stringhe prodotte con la moneta iniqua non
sono tutte equiprobabili, e quindi si puo' pensare di comprimerle
con maggior successo, forse anche con una compressione non lossy
(fino ad un certo punto ovviamente).
Mi verrebbe in mente di rispolverare una mia vecchia idea di
usare i primi tre bit per indicare il numero di C (es. 000=3C
001=4C  010=5C ... 111=10C  coprendo il 96.25% delle probabilita'),
e di usare i rimanenti 5 bit per un ridotto "tipo Totogol" a 32
colonne che dica dove sono posizionate le croci. Pero' non mi va
di fare i conti... ;-))
Ciao,
       Antonio

gergo totocalcistico sono definiti a correzione di errori
Subito dopo aver postato mi sono reso conto che avere una pT
diversa da pC rafforzava ancora di piu' il parallelo tra
il problema dei Gini e le scommesse al Totocalcio, che a suo
tempo fu cosi' fecondo nel farci trovare il famoso 13.605+
Quando ho scritto il messaggio il mio obiettivo era quello di
stimolare qualche teorico a ragionare sulla comprimibilita'
delle sequenze derivante dalla conoscenza della probabilita'
della sorgente, ma non ho avuto molto successo...
Sarebbe carino se qualcuno che sa come fare la compressione
di una sorgente non equiprobabile ci desse qualche idea,
perche' sarebbe un modo per far restituire ai Gini cio' che
hanno preso alla sistemistica!  ;-))
Potrebbero emergere nuove idee per sfruttare nel Totocalcio le
informazioni date dal "picchetto" per ottenere sistemi
maggiormente ridotti. Staremo a vedere.
Ciao,
       Antonio

Con questo metodo, perň, la vincita minima sarebbe solo 4.
Temo che ci sarebbero problemi anche con la vincita media,
non solo con la minima (peraltro poco probabile).
Come hai fatto notare nel tuo messaggio, la distribuzione
di probabilita' delle sequenze di 16 lanci e': 
16T0C  0,0002821110
15T1C  0,0030091839
14T2C  0,0150459195
13T3C  0,0468095274
12T4C  0,1014206426
11T5C  0,1622730282
10T6C  0,1983337011
 9T7C  0,1888892391
 8T8C  0,1416669293
 7T9C  0,0839507729
6T10C  0,0391770274
5T11C  0,0142461918
4T12C  0,0039572755
3T13C  0,0008117488
2T14C  0,0001159641
1T15C  0,0000103079
0T16C  0,0000004295
e quindi la vincita media di un metodo che facesse sempre
indovinare con certezza 4C e/o 12T sarebbe 13,42588+
Pero' siccome il metodo che proponi non potrebbe far
indovinare tutte le sequenze 12T4C (che sono 1820 contro
le 256 del codice dei Gini) allora la vincita media
risultante sarebbe anche inferiore. Quindi converrebbe
ancora usare il metodo classico dei Gini come se la moneta
fosse equa, ottenendo 13.605+
Mi chiedevo: visto che l'evento piu' probabile e' 6C si potrebbe
usare qualche ridotto del SuperEnalotto per indicare dove sono
localizzate?  Bisognerebbe ridurre le 8008 combinazioni
con un sistema di 256 colonne, e questo sarebbe un grande
vantaggio rispetto al caso di moneta equa in cui l'evento
piu' probabile e' 8C e ci sono 12870 combinazioni da ridurre.
Ciao,
       Antonio

 della sorgente, ma non ho avuto molto successo...
Io ci avevo provato, cercando in rete qualcosa sull'argomento.
Purtroppo c'è un sacco di matematica che ho dimenticato dai tempi dell'esame
di TIT (dieci abbondanti anni fa), e mi sono un po' scoraggiato. Se riprendo
fiducia magari ci riprovo.
Purtroppo poi i codici a perdita di informazione sono meno presenti nella
letteratura accademica, ma molto utilizzati nelle applicazioni (jpeg mp3 e
via comprimendo). Mettici pure che il materiale quando non è in giapponese è
almeno in inglese, che il tempo è poco, che il governo è ladro ecc. ecc.
;)
-- 
Ciao, Silv:o)

almeno in inglese, che il tempo è poco, che il governo è ladro ecc. ecc.
LOL  :-)
A presto,
           Antonio


Sono fuori casa, ma non ho abbandonato il problema (come
quello proposto da Silvio...).
Con la mia proposta, effettivamente sui 16 risultati ci sono
problemi anche con la vincita media.
Perň, lascia un sacco di informazioni supplementari (dati dalle
molte colonne a vincita uguale). Per cui, se le 4 combinazioni
proposte si riducono es. a 12 ( e non a 16), probabilmente le
ultime 4 sarebbero automaticamente determinabili.
Ciao, Nino


Mi sembra sia un errore limitarsi alla riduzione delle colonne
con 6C10T, visto che è l'evento più probabile. Ma in apparenza,
poichè le colonne sono molte... Infatti, singolarmente, la
colonna più probabile è quella costituita da 16T, che quindi
non andrebbe esclusa (analogamente a 15-14-13-12-11 T).
La soluzione migliore sarebbe un ridotto a correzione di
0-1-2-3-4-5-6-7 errori, dove per errori si intende il numero
(presenze) di C (ovviamente T è la differenza).
Per la moneta equa NON ci siamo giustamente limitati a ridurre
le 12870 colonne con 8C8T!!!! che non avrebbe senso.
Ciao, Nino


Esistono già modi di giocare basati sul picchetto (es. si
prendono le colonne dell'integrale condizionato risultante
fra un minimo e massimo di probabilità tecnica globale e si
effettuano le relative riduzioni).
Ciao, Nino


Siamo limitati dalla discrezionalità dei bit (in questo caso,
fare sistemi con 129 o 256 colonne non produce differenza).
Se poni p(T)=0,9 e p(C)=0,1  è un'altra storia...
Ciao, Nino

le 12870 colonne con 8C8T!!!! che non avrebbe senso.
Nino hai ragione a manifestare perplessita'!
In realta' mi sono espresso molto male.
Cio' che intendevo e' questo: nel caso di moneta equa il caso
8C8T e' il piu' probabile, ed e' anche il piu' numeroso con 12870
casi su 65536.  La non equita' della moneta con pT=0.6 e pC=0.4
comporta che il caso piu' numeroso 8C8T non sia piu' quello piu'
probabile, che invece e' il 6C10T.
In questa differenza mi sembra di intravvedere una strada
possibile per sfruttare la conoscenza del tasso di iniquita'
della moneta.
Il mio ragionamento e' questo: se Gino giocasse solo sequenze
della serie 6C10T, prendendo ogni volta la migliore tra le 8008
possibili, otterrebbe questa distribuzione di vincite:
Seq.   probabilita'  punti   vincita
----------------------------------------
16T0C  0,0002821110   10    0,0028211099
15T1C  0,0030091839   11    0,0331010229
14T2C  0,0150459195   12    0,1805510341
13T3C  0,0468095274   13    0,
6085238556
12T4C  0,1014206426   14    1,
4198889964
11T5C  0,1622730282   15    2,4340954224
10T6C  0,1983337011   16    3,1733392173
 9T7C  0,1888892391   15    2,
8333385869
 8T8C  0,1416669293   14    1,
9833370108
 7T9C  0,0839507729   13    1,0913600483
6T10C  0,0391770274   12    0,4701243285
5T11C  0,0142461918   11    0,1567081095
4T12C  0,0039572755   10    0,0395727549
3T13C  0,0008117488    9    0,0073057394
2T14C  0,0001159641    8    0,0009277129
1T15C  0,0000103079    7    0,0000721555
0T16C  0,0000004295    6    0,0000025770
vincita media: 14,435+
Ora poiche' Gino non puo' scegliere la migliore tra 8008, ma
solo tra le 256 con cui si accordera' con la Gina, il limite
14.435 non potra' essere raggiunto. Tuttavia se si trovasse
un buon ridotto a 256, forse si potrebbe ottenere qualcosa di
meglio del classico 13.605
Ciao,
       Antonio

Se poni p(T)=0,9 e p(C)=0,1  è un'altra storia...
Ho la sensazione che in questo caso sia solo piu' semplice, ma
concettualmente non dovrebbe cambiare gran che. O sbaglio?
Comunque la maggior facilita' aiuta parecchio! ;-)
Applicando il metodo che ho descritto nell'altro post si trova
in modo facilissimo un sistemino di 256 colonne che realizza una
vincita media prossima a 15.734 (basta prendere la 16T0C, le 16
15T1C, le 120 14T2C e 119 a caso tra le 560 13T3C).  
Ciao,
      Antonio


In fondo trovi un probabilistico di 256 colonne che penso
risponda al tuo ragionamento (nessun miracolo, solo MR 4
a formula 6C10T).
A mano non sono in grado di calcolare le prestazioni con
p(1)=0,6 e p(0)=0,4 ; se puoi, verifica tu la vincita media
(nel caso non fosse soddisfacente, proverò ad elaborare un altro
raggruppamento di 256 colonne che ritengo migliore).
Ciao, Nino
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Appunto, è proprio quello che intendevo...
Quando il valore probabilistico delle colonne è nettamente diverso,
è molto facile sfruttare questa peculiarità a proprio vantaggio,
proprio come hai fatto tu, scegliendo semplicemente le colonne
più probabili (integralmente).
Invece, quando le probabilità sono prossime, le colonne "utili"
(che incidono sulla vincita media)
rimangono moltissime, ed è giocoforza estendere il pronostico ad
una correzione di errori ragionevole (ridotta o biridotta, ma
PARTENDO SEMPRE DAL CASO PIU' PROBABILE, che è la colonna con 16 teste,
e non deve essere esclusa).
Ciao, Nino

a formula 6C10T).
Se non ho commesso errori nella modifica del programmino per
lo spoglio dei sistemi, la vincita media del ridotto che hai
postato dovrebbe essere 12.014194, quindi la mia idea di giocare
solo 6C10T e' decisamente fallimentare...
Tra l'altro ho calcolato anche la vincita del ridotto record di
Giorgio Vecchi: 13.602453. Nel caso classico pT=pC=0.5 otteneva
13.601563. Quindi si vede che sbagliavo a pensare che adottando
la strategia classica si sarebbe ottenuta la stessa vincita media
del caso classico. Si ottiene di piu'! (Per Silvio: ovviamente! ;-))
Ciao,
       Antonio


Mi sembra ci sia qualcosa che non va...
Testando con il tuo programma "spoglio" come se pT=pC
le 256 colonne che ho postato danno Vmedia >12,9
Poichč le colonne sono orientate su T>C in linea con
la probab., dovrebbe venire un valore piů alto.
Non č che nella verifica hai invertito T(1) con C(0)?
Ciao, Nino

 ha scritto:

Caspita! E' proprio cosi'!  Mettendo nel programma pT=0.4 ottengo
una vincita media 13.455+ e quindi cio' significa che ho invertito
T con C in qualche punto. Ora non ho tempo di ricontrollare, ma
sono quasi sicuro di aver agganciato agli "1" la probabilita' che
si da' in input...ma forse ero stanco... ;-)
Ciao e complimenti per l'occhio!
Antonio

 T con C in qualche punto.
Se hai voglia di controllare, con le 256 colonne allegate
la Vmedia (p(1)=0,6 ; p(0)=0,4) dovrebbe essere leggermente
superiore a 13,6.
Ciao, Nino

Scusa, non avevo allegato le colonne:
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Ciao, Nino

"Nino" ha scritto:

Ma certo che ho voglia di controllare: vincita media 13.670906!!!
Non c'e' niente da fare, la solidita' della tua preparazione
sistemistica e' davvero straordinaria. E stavolta era proprio
complicato come problema di riduzione...
Complimenti davvero,
                     Antonio


Il sistema allegato ha vmedia = 13,715885
Penso si possa migliorare fino a 13,8 circa,
ma a mano chiudo.
Ciao, Nino

Di nuovo, mi sono dimenticato le colonne:
1111111111111111
1111111111100000
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ma a mano chiudo.
Ormai smetto di stupirmi!  ;-)
Sarei curioso di capire piu' in dettaglio la tecnica che hai
usato per "spostare" il ridotto verso le zone a maggiore
probabilita'. E' molto complicato?
Ciao,
      Antonio


In realtà, è semplicissimo, e ho quasi vergogna a dirtelo...
Dal derivato (che ho inviato su tua richiesta) con le 256 colonne
contenenti 10T6C, diverse tra loro di 4 segni (MR 4), abbiamo
appurato che la vmedia era piuttosto bassa (circa 13,45), pur
essendo il sistema tecnicamente valido e concentrato nelle zone
a maggior probabilità.
Ciò dipende dal fatto che, avendo le colonne tra loro 4 differenze
di segni 0 - 1  , esistono molte ripetizioni e sovrapposizioni di
vincite n-2, inutili perchè non contribuiscono ad elevare la vmedia
(sono le famose ridondanze!!), mentre rimangono escluse dalla
copertura n-3, ma anche n-4, ecc., molte colonne contenenti poche T,
il cui contributo sulla vmedia diventa significativo.
E' quindi evidente che l'ossatura del sistema debba essere composta
da colonne a MR 5 (5 differenze di segni 0 - 1, che presentano la
massima copertura colonnare).
Questo è il famoso probabilistico ricavato tempo fa da Giorgio Vecchi,
la cui struttura è stata da me facilmente schematizzata su carta.
Si tratta semplicemente di alzarne la vmedia, sfruttando le diverse
p di C e T. Se ricordi, le 256 colonne di Giorgio lasciavano escluse
dalla vincita n-3 solo le 256 colonne reciproche (a segni invertiti
rispetto alle 256 giocate).
Per alzare la vmedia ho quindi dedotto che bastava invertire i segni
da 0 a 1 (privilegiando quindi T) di alcune colonne: ovviamente, le
colonne di peso minore sono quelle ad elevata presenza di C.
Nel primo sistema che ti ho inviato ho invertito i segni delle
colonne con fino a 5 segni 0; nel secondo sviluppo ho cambiato anche
le colonne con 6 segni 0 (probabilmente un altro piccolo vantaggio
si avrebbe continuando questa inversione anche per i 7 segni 0,
meglio se con una ricerca mirata e non indifferenziata su tutte).
Ovviamente, questo discorso è un po' empirico e valido solo in
alcune circostanze (dipende dai valori di p. C e T, che non
devono essere troppo diversi tra loro, altrimenti sono più
convenienti colonne a MR 4 o addirittura 3, che lasciano scoperte
per n-3, ecc., colonne a valore trascurabile).
Ciao, Nino