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Titolo: Scacchiere

Ispirato al gioco proposto da Dario sul lancio delle tigelle (ma cosa
saranno mai?), propongo alcune variazioni sul tema, con diversi gradi di
difficoltà
a)Immaginiamo una scachiera infinita, con caselle quadrate di 4*4 cm
(la scacchiera deve essere infinita per evitare complicazioni di calcoli
legate alle caselle periferiche)
Lanciamo sulla scacchiera una moneta di diametro 2 cm
Quando la moneta si ferma, quali sono le probabilità che tocchi
_una sola casella?
_due caselle?
_tre caselle?
_quattro caselle?
b)Consideriamo ora una normale scacchiera di 64 caselle, sempre 4 cm di
lato, munita di un bordino a filo dlle caselle periferiche, per evitare la
fuoriuscita della moneta.
Lanciamo la solita moneta 2 cm di diametro.
Qual'è, per ogni singola casella, la probabilità di essere toccata dalla
moneta?
c)Scacchiera del caso b) e domande del caso a)
d) e) f)
come i tre problemi precedenti, ma con moneta quadrata di 2 cm di lato
ciao
Paolo

Ciao Paolo
e ben ritrovati a tutti del NG
dunque per adesso mi fermo ai primi due quesiti
(quelli piu' semplici .... forse)
a) secondo il mio ragionamento
dovrebbe risultare ....
moneta tocca 1 casella => 1/4
moneta tocca 2 caselle => 1/2
moneta tocca 3 caselle => (4-PI)/16
moneta tocca 4 caselle => PI/16
spero che siano corrette ...
b)
per una scacchiera finita
la probabilita' che sia toccata una casella d'angolo dovrebbe essere pari a (24 + PI/4) / 1024
la probabilita' per le caselle ai margini della scacchiera mi risulta pari a (28 + PI/2) / 1024
mentre per le altre caselle (quelle centrali) ho trovato (32 + PI) / 1024
per gli altri quesiti dovrei arzigogolarmi un po' di piu' ...
ciao ciao
Italo

le tigelle (ma cosa saranno mai?)
Chiedo scusa per l'OT...
Comunque le tigelle sono (in prima approssimazione) delle focacce
moolto buone tipiche della zona emiliana.
Da non confondere con le *piadine* ;-)
Purtroppo in questi giorni il lavoro e' *tanto*: posso solo sbirciare
ogni tanto :-((
Ciao, Alessio.
--
ø*°`°*ø,ļ_ļ,ø*°`°*ø,ļ_ļ,ø*°`°*ø,ļ_ļ,ø
   PER RISPONDERE TOGLIERE  .linus
ø,ļ_ļ,ø*°`°*ø,ļ_ļ,ø*°`°*ø,ļ_ļ,ø*°`°*ø
Vuoi sapere come funzionano i newsgroup ?
Leggi 
http://beatles.cselt.it/news-it/

mentre per le altre caselle (quelle centrali) ho trovato (32 + PI) / 1024
qui trovo qualcosa che non va: il denominatore 1024, ed i termini 24 e 28
cerco do spiegare meglio i termini del problema
il bordo impedisce non solo che la moneta esca dalla scacchiera, ma anche
che sporga oltre le caselle periferiche
quindi le posizioni che la moneta puo' assumere sono ...


 d) e) f)
dovrebbero essere piu' semplici...
Ciao, Silvio


In effetti hai ragione ... :-)
ricalcolando ...
per le caselle angolari P = (15 + PI/4) / 900
per le caselle laterali P = (22 + PI/2) / 900
per quelle centrali P = (32 + PI) /900
ho visto le risposte di Silvio e rispetto ai miei risultati c'e' una differenza
nel calcolo delle caselle laterali ..
fammi sapere
ciao
Italo


ho trovato quanto segue ...
P(1) = 256 / 900
P(2) = 448 / 900
P(3) = 49 * (4- PI) / 900
P(4) = 49PI / 900
saranno esatti ? Mahh
ciao
Italo

 dovrebbero essere piu' semplici...
Scusa tanto, ma avevo, chissa' perche', la convinzione che le monete
dovessero cadere parallele alle linee di base... (allora si' che era facile
:)
Comunque si puo' applicare lo stesso metodo che ho usato per la moneta
tonda.
Se consideriamo la scacchiera infinita, una moneta puo' essere
completamente descritta dalla posizione del suo baricentro P e dall'angolo
alfa compreso tra la diagonale inclinata verso l'alto (almeno una delle due
lo e' sempre) e l'asse x. Supponiamo di conoscere tale angolo.
Disegnamo la moneta in questione e _racchiudiamola_ in un quadrato 4x4 che
tocchi i 4 vertici.
Il lato di questi quadrati dipendera' ovviamente da alfa, che abbiamo
deciso di misurare sulla diagonale ascendente e che puo' variare da 0 a
pi/4. Dato che la diagonale della moneta misura d=4*sqrt(2) cm, il lato del
quadrato misurera' l=d*cos(alfa) e variera' da d (massimo, per alfa=0) fino
a 2 (minimo, alfa=pi/4)
Ora piazziamo questi quadrati sulla scacchiera centrandoli nei vertice di
casella, e, come prima, usiamo i lati di questi quadrati come guida per
costruire un reticolo all'interno della scacchiera. questo reticolo
individuera' diverse tipologie di rettangoli:
A) quadrati contenenti monete, di lato l
B) quadrati che non contengono monete, di lato (4-l)
C) rettangoli, di dimensioni l x (4-l)
Ogni casella della scacchiera conterra' 4 quarti di quadrato, che possono
essere riarrangiati per formarne uno intero.
Affinche' la moneta copra 1 casella il suo centro deve cadere all'interno
del quadrato B, quindi
P(1|alfa)=(4-l)^2/16
Con considerazioni simili si trova
P(2|alfa)=l*(4-l)/8
P(3|alfa)= (l^2-4)/16
P(4|alfa)=1/4
ovviamente tutto cio' dipende ancora da alfa: per trovare le probabilita' a
prescindere da alfa vanno trovate le marginali di queste distribuzioni
condizionate, ovvero bisogna lavorare di integrali... appena ho tempo ci
provo.
per la scacchiera 8x8 la vedo complicata: i calcoli sui bordi dovrebbero
essere abbastanza tosti
Ciao, Silvio
P.S. nel post precedente c'era un errore su una probabilita', il valore
corretto l'ha dato poi Italo

 essere abbastanza tosti
insomma, meno tosti di quel che pensavo.
come prima fissiamo alfa e troviamo le probabilita' condizionate. l e'
ancora il lato del quadrato usato nel post precedente.
alla scacchiera 8x8 va tolta una cornice di larghezza l/2, lasciando
un'area utile S=(32-l)^2
Ho trovato:
Per le 36 centrali
P = (20+8*l)/S
Per le 4 d'angolo
P = (68-l^2)/S
Per le 24 laterali
P = (36+8*l-l^2)/S
che dovrebbero essere giusti (per l=2 per lo meno lo sono:)) )
anche qui ben venga chi vuole calcolare le probabilita' svincolate
dall'inclinazione della moneta
Ciao, Silvio

Ciao, Silvio
ciao
Paolo

 uno.
probabilmente le mie indicazioni su come ho costruito il reticolo non sono
state un modello di chiarezza...
la moneta tocca tre caselle solo se il suo centro cade nel quadrato di lato
l, ma non nel quadrato di lato due ad esso interno, quello inclinato come
la moneta (se cade li' ne tocca 4), quindi l'area utile e' appunto l^2 - 4.
comunque ho controllato e la somma fa 1 ;)
hai notato che la probabilita' di toccare 4 caselle non dipende
dall'inclinazione?
Ciao, Silvio