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Titolo: Piramide

Oggi ho ricevuto il JRM num.1 Vol.30.
Fra i problemi proposti, c'e' questo che mi e' piaciuto, proposto da Carmelo Di Stefano.
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La piramide in figura e' composta da 16 quadretti.
Quanti rettangoli di tutti i tipi e dimensioni, (compresi i quadrati), si possono contare ?
Generalizza per piramidi con base 2n-1.
ciao :) dario

 Quanti rettangoli di tutti i tipi e dimensioni, (compresi i quadrati), si
possono contare ?
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Io ho contato un totale di 80 figure fra quadrati e rettangoli.
Piu' precisamente:
1x1 => 16
2x1 => 21
3x1 => 13
4x1 => 7
5x1 => 4
6x1 => 2
7x1 => 1
2x2 => 6
3x3 => 1
3x2 => 6
4x2 => 2
5x2 => 1
tot      80
Ho provato a generalizzare per 2n-1 ma mi sa che fondo il cervello sulle
sommatorie. Lascio a qualcun altro l'analisi
Ciao
*frankyz

Dario Uri propone

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175
R(n) = n^2*(n^2 + 3*n + 2)/6
1, 8, 30, 80, 175, 336, 588, 960, 1485, 2200
L'ho trovata col metodo delle differenze finite di Newton.
In pratica il metodo delle differenze finite si basa sul fatto che
calcolando il valore di un polinomio per x= 1,2,3,.., sottraendo i valori
trovati e reiterando, dopo un numero di passi pari al grado del polinomio si
giunge a differenze costanti.
Esempio per n=2: p(x)=x^2+1
p(1)  p(2)  p(3)  p(4)  p(5)
 2     5     10    17    26
    3     5     7     9
       2     2     2
          0     0
Quindi basta trovare un certo numero di termini a mano, verificare che le
differenze ad un certo punto si annullino e poi ci sono regole semplici per
ricavare i coefficienti.
Nel nostro caso ho notato che le differenze seconde erano generate da un
polinomio di secondo grado, per cui il polinomio totale doveva essere di
quarto.
Vediamo perché.
Intanto vediamo quanti sono i quadrati cha hanno la base su di una linea
prefissata.
sulla linea 1 (la punta) si può costruire un solo quadrato unitario.
sulla seconda linea si possono costrure 1 rettangolo 3X1, 1+1 rettangoli 2X1
e 1+2+1 rettangoli 1Xn dove n vale al massimo due.
sulla terza riga si possono costruire 1 rettangolo 5X1, 1+1 4X1, 1+2+1 3Xn,
1+2+2+1 2Xn e 1+2+3+2+1 1Xn.
Se scriviamo la tabella
1 = 1
2 = 1+1
4 = 1+2+1
6 = 1+2+2+1
9 = 1+2+3+2+1
12= 1+2+3+3+2+1
16= 1+2+3+4+3+2+1
possiamo calcolarci i rettangoli che poggiano su ciascuna riga.
1 = 1          per la prima
7 = 1+2+4      per la seconda
22= 1+2+4+6+9  per la terza e così via
questi numeri rappresentano le differenze prime, ovvero le quantità di
rettangoli che vengono aggiunti al crescere della piramide, infatti le prime
3 piramidi avranno
1 = 1
8 = 1+7
30= 1+7+22
rettangoli.
Le differenze seconde, ovvero le differenze tra una differenza prima e
l'altra, sono date dai termini 2+4, 6+9, .. , n(n-1)+n^2. Da qui la certezza
che il grado del polinomio è 4.
Per calcolare i primi termini della successione non serve neanche trovare il
polinomio, si può procedere a ritroso. Cominciamo a scrivere quello che
abbiamo trovato. La successione delle differenze seconde, con la formula
appena vista, vale 6,15,28,45,66,..
1      8      30      .       .       .
    7     22      .        .      .
      15      28      45      66
          13      17      21
              4        4
ora basta risalire sommando per trovare i prossimi valori
1     8      30      80     175    336
   7     22      50      95     161
     15      28      45      66
         13      17      21
             4        4
volendo altri valori basta aggiungere un 4 in basso a destra e risalire. A
partire dai valori sul bordo sinistro 1,7,15,13,4 si trovano i coefficienti
del polinomio.
Lascio a voi il piacere di scoprire la regola.
Silv:o)

 L'ho trovata col metodo delle differenze finite di Newton.
Si puň fare anche cosě:
Una piramide di N righe ha R_n rettangoli
poniamo R_n=A_n+B_n+C_n
dove A_n č il num, di rettangoli che NON toccano la riga di base
B_n č il num di rettangoli che toccano la riga di base E almeno un'altra
riga
C_n č il num di rettangoli che interessano SOLO la riga di base
se passiamo alla piramide di n+1 righe
tutti gli R_n rimangono come rettangoli di tipo A
tutti i B-n e C_n, estesi verso il basso, generano nuovi rettangoli di tipo
B
posso calcolare facilmente i nuovi rettangoli di tipo C
quindi
A_n+1 = R_n
B_n+1 = B_n + C_n
C_n+1 = 2*(n+1)*2*n/2
partendo dal caso n=1, metto tutto in una tabella di Excel e trovo
(evidentemente) gli stessi tuoi risultati
n     A   B   C    R
1     0   0   1    1
2     1   1   6    8
3     8   7  15   30
4    30  22  28   80
5    80  50  45  175
6   175  95  66  336
7   336 161  91  588
8   588 252 120  960
9   960 372 153 1485
10 1485 525 190 2200
perň... mi viene un dubbio
abbiamo contato solo i rettangoli con lati orrizzontali e verticali...
e, tutti i possibili rettangoli inclinati?
:-(
ciao
paolo

 C_n+1 = 2*(n+1)*2*n/2
Bello.
I metodi sono piů o meno simili, si parte dalle C che sono le piů facili da
calcolare e si ricava il resto con delle semplici somme. Queste tue eleganti
formulette ricorsive evidenziano molte analogie col mio calcolo.
Le differenze prime nel tuo caso, seppur sfalzate, sono nella colonna B
perché
R_n+1=A_n+1 + B_n+1 + C_n+1 = R_n + B_n+2 quindi la differenza tra due R
consecutivi la troviamo due righe piů giů in colonna B.
Le differenze seconde ovviamente sono nella colonna C, esplicita differenza
di due B consecutive.
Le C le calcoli direttamente, e crescono con legge quadratica. La legge di R
DEVE essere di quarto grado.
Silv:o)

"Dario Uri"  ha scritto nel messaggio ...

r
e
s
p
o
n
s
u
m
64. Sia T(n) il numero di rettangoli in piramidi con base 2n-1,allora vale:
  T(n)=2T(n-1)-T(n-2)+C(2n,2)-2
con T(0)=T(1)=0
Onoff

 con T(0)=T(1)=0
Prima di tutto ci sono un paio di imprecisioni nella formula di Onoff:
T(n)=2T(n-1)-T(n-2)+C(2n,2)
T(0)=0
T(0)=1
ma l'approccio resta comunque corretto, e molto simile -credo- a quanto
detto da me e da Paolo.
Scusate se sono fissato con le differenze finite, ma volevo far notare
come anche da quest'altro approccio si noti come le differenze seconde
siano quadratiche, e quindi deve esserci una forma chiusa costituita da un
polinomio di quarto grado.
T(n)-T(n-1) = T(n-1)-T(n-2) + C(2n,2)
D1(n) = D1(n-1) + C(2n,2)
D2(n) = C(2n,2)
Ciao, Silv:o)

 Io ho contato un totale di 80 figure fra quadrati e rettangoli.
Il conto e' giusto. 
Naturalmente la parte piu' ambita e' una sol. generale.
ciao :) dario

 > Generalizza per piramidi con base 2n-1.
La mia sol. simile alle vostre e' basata sull'induzione.
Per prima cosa, vi ricordo che un paio di anni fa, postai un problema analogo,"quanti sono i
rettangoli di tutte le misure compresi in un rettangolo m*n".
La bella sol. data da Paolo fu (m+1)(n+1)mn/4 
(m+1)(n+1) sono tutti i punti d'incrocio delle linee (interi cartesiani) compresi nel rettangolo ed
mn tutti i punti non ortogonali ai primi.
Questo si spiega perche' unendo ciascuna coppia di punti si traccia la diagonale di un possibile
rettangolo. 
Allora conto i rettangoli compresi in ogni possibile base dispari della nostra piramide:
Base           Rett.(orizzontali)
1               1
3   1*3*2*4/4   6
5   1*5*2*6/4  15
7   1*7*2*8/4  28...   
Noti come num. esagonali, n(2n-1) = 1,6,15,28,45...
A questi dovro' aggiungere i rettangoli con altezza >1, ma questi non son altro che le proiezioni
verso il basso delle file superiori gia' presenti. Es.
Aggiungendo la base lunga 5, oltre ai 15 rettangoli orizzontali appena visti, se ne aggiungeranno 6
di altezza 2, gli stessi della base lunga 3 proiettati verso il basso, ed ancora un'altro di altezza
3 al centro.
Base           Rett.(verticali)
1    1           1    
3    1+6         7
5    1+6+15     22
7    1+6+15+28  50...
Noti come num. Piramidali a base esagonale, n(n+1)(4n-1)/6 = 1,7,22,50,95...
 
Sommando trovo l'aumento dei rettangoli.
Base          totale
1    1           1           
3    6 +  1      7
5   15 +  7     22
7   28 + 22     50
9   45 + 50     95... gli stessi, scalati di un posto.
                                                                      / n+2 \
Le somme degli elementi di questa serie sono 1,8,30,80,175...=     n |       |
                                                                      \  3  /
:) dario


Scusate ho dimenticato n^2 quadratini da aggiungere a T(n).Allora è 80=64+16

 ha scritto nel messaggio
news:97ls87$72t$1...@nreadA.inwind.it...

Scusate ho dimenticato n^2!