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Titolo: Ennesima pesata

Abbiamo 13 pesi tutti diversi, ciascuno porta un'etichetta del proprio
peso 1,2,3....12,13, ma uno e' difettoso ed e' piu' pesante o piu'
leggero del peso dichiarato.
Con una bilancia a doppio piatto e' possibile individuarlo  con 3 pesate
?
:) dario

Dario Uri chiede

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Primo problema: Se la prima pesata, qualunque sia, risulta equilibrata,
allora devo cavarmela con i restanti pesi di cui non so nulle e con due
pesate. Non ci vuol molto a vedere che con due pesate non posso risolvere se
ho 5 pesi incogniti, quindi la prima pesata coinvolgera' 9 pesi. In caso di
parita' il peso falso e' tra i 4 non usati, ne metto uno da una parte e due
dall'altra, con eventuali pesi sicuri per quadrare i conti. Se c'e'
equilibrio il falso e' l'ultimo rimasto da pesare, altrimenti avro' tre pesi
sospetti (due di essere leggeri ed uno di essere pesante o viceversa).
Questo caso ricorrera' anche in seguito ed e' facile da risolvere con
l'ultima pesata, che consiste nel pesare due sospetti di tipo opposto contro
pesi garantiti. Se invece la prima pesata era sbilanciata, allora pesiamo 6
dei 9 sospetti, confermandone 3 negli stessi piatti e invertendo la
posizione di altri 3. Se la bilancia ripende come prima, i responsabili sono
i confermati, se pende nell'altro verso e' colpa degli invertiti, in caso di
parita' degli assenti. Una volta individuato il gruppo da 3 il
procedimento e' il solito.
Forse e' meglio uno schemino:
[1,3,4,5,10]^[2,6,7,8]
(1) S=D
.   [9,11]^[12,8]
.   (1.1) S=D
.         [13]^[5,8]
.         (1.1.1) S<D : 13-
.         (1.1.2) S>D : 13+
.   (1.2) S<D (sospetti 9-,11- o 12+)
.         [9,12]^[13,8]
.         (1.2.1) S=D : 11-
.         (1.2.1) S<D : 9-
.         (1.2.1) S>D : 12+
.   (1.3) S>D  : come 1.2 (sospetti 9+,11+ o 12-)
(2) S<D
.   [1,3,6,7]^[2,4,11]
.   (2.1) S=D  : come 1.2 (sospetti 5-,10- o 8+)
.   (2.2) S<D  : come 1.2 (sospetti 1-,3- o 2+)
.   (2.3) S<D  : come 1.2 (sospetti 6+,7+ o 4-)
(3) simmetrico di 2
Ciao, Silv:o)

Credo di aver trovato un metodo generale.
Se ho una sola pesata a disposizione, allora posso risolvere se:
A1: ho un peso sospetto mai pesato (caso limite, mi servirebbe un
contrappeso sicuro)
B1: ho 3 pesi sospetti (2 sopetti leggeri e 1 sospetto pesante o viceversa)
e opportuni contrappesi sicuri.
Con due pesate:
A2: ho 4 pesi sospetti mai pesati (A1+B1), ne peso 2 contro 1 (se gli
addendi me lo consentono) e mi riconduco ad A1 o B1
B2: ho 9 pesi sospetti (5 di un tipo e 4 di un altro), ne peso 6
confermandone 3 ed invertendone 3, e mi porto in B1
Con tre:
A3: A2+B2
B3: 3^3
Generalizzando trovo che An=(3^n-1)/2. Per esempio, con 4 pesate posso
trovare il peso falso tra 40, con 5 tra 121.
Che ne pensate? Sempre che gli addendi me lo consentano, dovrebbe valere per
ogni n. Secondo voi usare 1,2,.. come pesi e' sufficiente?
Ciao, Silv:o)

 Forse e' meglio uno schemino:
OK. Abbiamo gia' visto che in questi problemi di pesate, vi e' una sol.
come la tua, dove il risultato di ciascuna pesata influenza la scelta
per la pesata successiva, ma esiste anche un metodo predeterminato. In
questo caso ciascun peso deve essere distribuito in modo diverso dagli
altri per essere individuato inequivocabilmente. Allora una soluzione
del secondo tipo puo' essere:
Pesate:
1)  2,4,6,8,10  ^  3,7,9,11
2)  1,4,6,9,13  ^  2,8,11,12
3)  1,6,8,9,11  ^  5,7,10,13
I 3 risultati possibili di ogni pesata = / \ generano 3^3=27
combinazioni, dall'enunciato === e' impossibile, restano le 26
possibilita' che corrispondono appunto ai 26 casi possibili, (13 pesi,
piu' pesanti o piu' leggeri). Vediamoli:
Peso Risultato Risultato
      Pesante   Leggero
1)      =//     =\\
2)      /\=     \/=
3)      \==     /==
4)      //=     \\=
5)      ==\     ==/
6)      ///     \\\
7)      /=/     \=\
8)      /\/     \/\
9)      \//     /\\
10)     /=\     \=/
11)     \\/     //\
12)     =\=     =/=
13)     =/\     =\/                
:) dario