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Titolo: Grappoli di icosaedri stellati

vedi foto:
 
http://s21.postimg.org/610it3o7r/Grappoli_Icosaedri_Stellati.jpg
 
 
Ho "scoperto" che 12 icosaedri stellati possono essere uniti per i vertici in modo
che i loro baricentri diventino i vertici di un nuovo icosaedro. (Nella fono centrale
ce ne sono solo 6... per esaurimento materiale:-) A sinistra un icosaedro stellato.
A destra 6 icosaedri non ancora stellati per vedere meglio le interconnessioni. In 
primo piano l'interconnessione a due punti di due icosaedri).
 
Ogni icosaedro e' interconnesso ai 5 icosaedri adiacenti tramite due vertici. Il
tutto mi sembra "di precisione", non per approssimazione dei pezzi, ma se qualcuno
me ne conferma l'esattezza, sarei piu' contento.
 
Ho cercato in rete qualcuno che l'avesse gia' fatto, ma senza successo. L'unica
cosa che gli assomiglia e' questa di George W. Hart e i suoi potenti mezzi, ma 
gli assomiglia solo:
 
http://www.georgehart.com/rp/polyhedra-clusters/Polyhedra-Clusters.html
 
 
... mi sembra che ogni dodecaedro stellato tocchi gli altri solo attraverso
5 vertici e cosi' son capaci tutti! :-)
 
Ciao
Livio
 
 

 in modo che i loro baricentri diventino i vertici di un nuovo icosaedro.
 
Immagino che tu con "icosaedro stellato" intenda un icosaedro regolare
sulle cui facce sono costruiti 20 tetraedri regolari, è così?
 
A naso comunque la tua costruzione mi sembra plausibile. Hai provato a
vedere se funziona anche con gli altri poliedri regolari?
 
M.
 
-- 
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

 in modo che i loro baricentri diventino i vertici di un nuovo icosaedro.
 
Non ho capito bene come sono uniti gli icosaedri. Mi spiego: se unisci
due icosaedri attraverso due vertici della stella, significa che i due
icosaedri uniti hanno due spigoli paralleli (intendo gli spigoli degli
icosaedri originali, non stellati). 
 
Tu dici che ogni icosaedro è unito ad altri 5, quindi devi aver
selezionato in qualche modo 5 spigoli dell'icosaedro: quali sono questi
5 spigoli?


 icosaedri uniti hanno due spigoli paralleli
 
Non sono necessariamente paralleli, ma possono esserlo, spero che si
capisca.
 
M.


 A naso comunque la tua costruzione mi sembra plausibile.
 
Mi sono fatto un pezzo della tua costruzione col poco GeoMag che ho e
credo di aver capito come funziona. I 5 spigoli di cui chiedo nell'altro
post dovrebbero essere quelli di uno dei 12 pentagoni dell'icosaedro. 
 
Se congiungo il centro A di un icosaedro coi centri BCDEF dei 5
icosaedri confinanti, le congiungenti tagliano a metà questi 5 spigoli e
sono tutte uguali, e uguali a loro volta alle distanze BC, CD, DE, ecc.
 
Perciò i punti ABCDEF formano proprio i vertici di una cupola
pentagonale, la struttura su cui si basa l'icosaedro ed ecco perché
continuando la costruzione si ottiene proprio un icosaedro.


 vedere se funziona anche con gli altri poliedri regolari?
 
Con il tetraedro, il cubo e l'ottaedro non vengono fuori cose interessanti.
Con il dodecaedro stellato vien fuori il lavoro di W.Hart, ma non e' molto
interessante perche' con qualunque solido che abbia una sezione pentagonale
si puo' montare un icosidodecaedro archimedeo.
 
Ciao
Livio


Esatto! :-)
 
 

 Esatto! :-)
 
Aspetta: ero stato troppo precipitoso. Non è scontato che AB = BC,
questo si verifica solo se la distanza fra il centro del poliedro e il
punto medio di uno spigolo è uguale alla distanza fra i punti medi di
due spigoli consecutivi.
 
Per l'icosaedro la cosa funziona, perché entrambe queste distanze sono
uguali a (1 + sqrt5)/4 (supposto unitario lo spigolo). Anche per il cubo
vale l'uguaglianza, ma per l'ottaedro ad esempio no. Per il dodecaedro
non ho controllato, lo farò più tardi.


 non ho controllato, lo farò più tardi.
 
Come al solito ho fatto un po' di casino. In effetti tutti i poliedri
regolari hanno degli spigoli i cui punti medi distano fra loro quanto
distano dal centro, però quali siano questi spigoli dipende dal tipo di
poliedro.


 loro quanto distano dal centro
 
Tranne i tetraedri.


 Tranne i tetraedri.
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Mmmm... qualche giorno fa avevo postato su Facebook questa mia foto:
 
http://s22.postimg.org/xf5cut474/La_Solitudine_Dei_Tetraedri.jpg
 
 
dal titolo "La solitudine dei tetraedri platonici".
 
Il senso "geometrico" era che dei cinque solidi platonici, l'icosaedro fa coppia
col dodecaedro, il cubo con l'ottaedro mentre il tetraedro e' solo con se stesso.
Cose note, ma mi divertiva sintetizzarlo.
 
Su tuo suggerimento ho provato a mettere insieme dei cubi stellati e... ho
visto che non e' banale! Non solo vengon fuori strutture con cubi i cui
baricentri sono i vertici di un ottaedro, ma anche vertici di un ottaedro
stellato! E mi sembra, anche se non ho provato, che sia vero anche il duale.
 
Quindi mi son detto: c'e' qualche cosa che non va se dagli icosaedri stellati
ottengo "solo" una struttura dove i baricentri sono i vertici di un icosaedro.
Infatti quel pezzo di maxi-icosaedro puo' essere visto come la cuspide di un
dodecaedro stellato! E allora tutto torna: il grappolo di icosaedri stellati
prende la struttura di un dodecaedro stellato e (probabilmente) viceversa
(vedi le sculture di George W. Hart). 
 
Mentre dal tetraedro stellato nascono solo strutture di tetraedri stellati.
c.v.d. :-)
 
Ciao
Livio
 
 

 dal titolo "La solitudine dei tetraedri platonici".
 
...
 
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Questa notte e' arrivata una riflessione banalizzante: i vertici di un icosaedro
stellato non sono altro che i vertici di un dodecaedro. Quindi tutto cio' che fu
scritto per i grappoli di dodecaedri vale per i grappoli di icosaedri stellati.
 
https://www.uwgb.edu/dutchs/Graphics-Geol/ROCKMIN/ATOM-STRUCT/ClathrateII-4.gif
 
 
Non so se rallegrarmene o dispiacermene.  :-)  :-(
 
Ciao
Livio
 
 

 scritto per i grappoli di dodecaedri vale per i grappoli di icosaedri stellati...
 
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Nonostante cio', continuo non vederlo in rete. Vabbe', lo disegno io:
 
http://s4.postimg.org/l4bd9jloc/Grappolo_Dodecaedri_Disegno.jpg
 
 
Con Paint. Per fortuna i dodecaedri non cambiano orientamento. :-)
 
Ciao
Livio


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Gia' che c'ero, ho disegnato anche il grappolo dei grandi dodecaedri stellati:
 
http://s15.postimg.org/wpynmehpn/Grappolododecaedro_Stellato_Disegno4.jpg
 
 
... che nel frattempo ho scoperto che tutto il mondo li chiama cosi', mentre 
io li avevo sempre chiamati icosaedri stellati. :-)
 
Ciao
Livio
 
 
 


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Un'ultima evoluzione:
http://s21.postimg.org/7zc3je1pi/Grappolo_Teoria_EPratica.jpg