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Titolo: Tetraedro

Questo e' un tetraedro realizzato con Kalamit:
 
http://s11.postimg.org/ngzlmungj/Tetraedro.jpg
 
 
Generalizzando, se lo spigolo vale N (nella foto N=6), quanti pezzi occorrono?
 
Ciao
Livio
 
 

Addi' 24 apr 2015, Chenickname scrive:

Scusa ma la foto... ma no, e' certamente il riflesso.
 
Per il numero a me viene molto semplicemente: n_Kal = 6 N^2 (con 6
perche' 6 son le costole del tetraedro).
 
Siccome e' troppo semplice, mi sa che tu quella bestia l'hai fatta
mettendoci i kalamit anche dentro, in questo caso il calcolo si complica
un bel po', credo.
 
Curiosita': ma Kalamit non si chiamava Geomag o qualcosa del genere?
Io devo averne ancora molti.
 
-- 
Tanti saluti
 

Questo e' un tetraedro realizzato con Kalamit:
 
Mi pare la versione moderna dei mandala.
Belli, intricati, destinati ad essere distrutti.
 
--
 
Byebye from Verona, Italy
 
Bernardo Rossi


Il tetraedro grande può immaginarsi composto da T_N tetraedri
"elementari" che hanno in comune solo i vertici, dove T_N è l'N-simo
numero tetraedrico:
 
http://it.wikipedia.org/wiki/Numero_tetraedrico
 
 
Siccome ogni tetraedro elementare ha 6 spigoli, ne segue che occorrono
 
6*T_N = N(N+1)(N+2) 
 
pezzi "lunghi" (spigoli).
 
Se fissiamo invece l'attenzione sui vertici (le sferette) allora vale un
discorso analogo: anche i vertici sono disposti a tetraedro ed ogni
spigolo di base ne ha N + 1, sicché il numero di vertici è:
 
T_(N+1) = (1/6)(N+1)(N+2)(N+3).
 
M.
 
-- 
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

 Io devo averne ancora molti.
 
Kalamit e' la versione filsdemignote di Geomag, che si trovava a poche lire (!) sui mercatini.
 
Ciao
Livio
 
 
 


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Mi piace come ci sei arrivato! :-)
Io sono stato molo piu' tortuoso: ho scritto i primi termini della sequenza per N=0,1,2,... e poi l'ho cercata su OEIS. :-)
 
 

 Belli, intricati, destinati ad essere distrutti.
 
 
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Beh, in un cero senso si', io li uso cosi'.
Mi rilassa molto costruire questi modelli, poi li distruggo. 
(Ma prima pero' li fotografo :-) ).
 
 


Sai mica se esistono anche di lunghezza varia, in particolare come:
1/2; 1/3; sqrt(3/4); sqrt(2); sezione aurea; pi; e, eccetera?
 
Per esempio per i poliedri stellati non penso che potresti farli con solo
elementi a lunghezza fissa. Con cartoncino le istruzioni ce le ho nel
Rivelli (manuale Hoepli), ma i triangoli sono isosceli con l'angolo al
vertice di 36 gradi.
 
-- 
Tanti saluti
 


http://s23.postimg.org/j2472cm56/Starred_Ico.jpg
 
 
Come vedi dalla foto, ho sempre raccattato tutto quello che trovavo, Kalamit, Geomag e Supermag. Con un po' di pazienza, anche usando sfere diverse, si possono avere rapporti interessanti. Di fabbrica Supermag aveva fatto lo sqrt(2) da centro sfera a centro sfera.
 
Ad maiora! :-)
 
 


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Idem con patate per l'ottaedro:
 
http://s1.postimg.org/x4ofma8b3/Ottaedri.jpg
 
 
Solo che questa volta, contati a mano i primi termini:
0,12,60,168,360,...
e inseriti nell'Enciclopedia delle Sequenze di Interi (OEIS)...
Sorpresa! La sequenza non c'e'! :-)
 
 


Possiamo sfruttare il risultato trovato per il tetraedro, perché
l'ottaedro di spigolo N si può ottenere costruendo un tetraedro di
spigolo 2N e poi rimuovendo a partire da ogni vertice quattro tetraedri
di spigolo N, sicché rimangono
 
2N(2N+1)(2N+2) - 4N(N+1)(N+2) pezzi.
 
Però in questo modo abbiamo rimosso anche quattro facce dell'ottaedro,
ognuna delle quali contiene
 
6N(N+1) pezzi.
 
Aggiungendo questo al precedente e semplificando si trova il risultato
finale:
 
2N(N+1)(2N+1) pezzi.
 
Dividendo questo per 12 otteniamo il numero di ottaedri "elementari"
contenuti in un ottadro di spigolo N:
 
O_N = (1/6)N(N+1)(2N+1)
 
Potrebbero essere i "numeri ottaedrici"? Sull'OEIS non mi pare che ci
siano, però.


 siano, però.
 
Infatti i numeri ottaedrici sono altri:
 
https://oeis.org/A005900
 
 
e sono ottenuti "costruendo" l'ottaedro come sovrapposizione di quadrati
(non so se mi spiego). 


 (non so se mi spiego). 
 
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Interessante. Pensa che io invece sono partito di qua, trovando il numero degli ottaedri elementari che hanno tra loro tutti gli spigoli in comune tranne quelli sulla superficie totale. Quindi ottengo la tua espressione moltiplicando per 12 gli ottaedri elementari, aggiungendo i pezzi in superficie e dividendo tutto per due.
 
Ciao
Livio

 sulla superficie totale.
 
Tutte le strade portano a Roma...
 
Però hai ragione tu: la mia successione O_N non dà il numero di ottaedri
elementari, come pensavo in un primo momento.
