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Titolo: Doppiastringa

Chiamo "doppiastringa" un qualunque numero naturale ripetuto 2 volte, come 
ad es: 11 oppure 1235912359 ecc...
a) Cerca  doppiastringa che siano  anche quadrati.
b) Esistono doppiastringa che siano anche cubi?
c) Esistono triplastringa che siano anche quadrati?

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Dunque. Per rispondere alla domanda a) ragionerei cosi':
un numero doppiastringa lungo 2k e' sicuramente un multiplo di M=10^k+1
es: 7373 e' un multiplo di 101. In particolare sara' uguale a x*(10^k+1)
dove x deve essere compreso tra 10^(k-1) e (10^k)-1. (quindi in 
particolare x<M)
Siccome e' un multiplo di M=10^k+1, ed e' richiesto che sia un quadrato, 
deve contenere tutti i fattori primi di M, con esponenti pari.
Quindi, se considero ad esempio 10001 = 73*137, vedo che non ho 
speranze: per rendere quadrato il numero devo COME MINIMO aggiungere
un fattore 73 ed un fattore 137, quindi devo moltiplicare per un numero 
x che contenga 73 e 173: ma questo implica che x>=M e questo non va
bene per generare un numero di 2k cifre.
Quindi cosa devo fare ? Cercare dei numeri M=2^k+1 tali che la loro
fattorizzazione contenga gia' un fattore elevato ad una potenza pari:
in questo modo dovro' moltiplicare per un numero minore di M per 
ottenere un quadrato.
Il piu' piccolo k per il quale M contiene un fattore quadrato e'
k=11 M=100000000001= 11^2 * 23 * 4093 * 8779
e' chiaro quindi che moltiplicando M per t^2(M/11^2), dove t e' un
numero arbitrario, ottengo un numero che e' sicuramente un quadrato,
e che e' anche una doppiastringa se il moltiplicatore t^2(M/11^2)
e' compreso tra 10^(k-1) e (10^k)-1.
In questo caso t=1 non va bene, perche' si ottiene
82644628100826446281 che non e' una doppiastringa a causa dei due zeri 
in mezzo. Lo stesso per t=2 e 3. ponendo t=4 finalmente otteniamo:
1322314049613223140496 = 36363636364^2 (e direi che anche la radice
e' un bel numero !).
per t=5: 2066115702520661157025 = 45454545455^2
per t=6: 2975206611629752066116 = 54545454546^2
per t=7: 4049586776940495867769 = 63636363637^2
..... etc.etc.
per t=10:8264462810082644628100 = 90909090910^2
Gli altri M=2^k+1 che contengono un quadrato si ottengono
per k=21, 33, 39 (mi sono fermato a k<46).
in questi casi i fattori al quadrato sono rispettivamente
7, 11 e 13. E si ottengono soluzioni per t rispettivamente
nei range 4..6, 4..10, e 4..12.
Gli altri problemi si possono affrontare in maniera analoga,
ma non ho trovato soluzioni relativamente piccole.
Il problema e' che nel caso b) dovremmo completare al cubo, quindi
bisognerebbe cercare un numero nel quale tutti o quasi i fattori
hanno esponenti maggiori di 1. Se ho solo un fattore piccolo al
cubo non mi basta. Per esempio M=10^121+1 e' un multiplo di 11^3,
ma questo ovviamente non basta per ottenere una soluzione, visto che
dovrei moltiplicare per il resto dei fattori al quadrato.
Idem con patatine nel caso c) dove dovrei cercare fattori multipli
"grandi" nelle fattorizzazioni di 10^(2k)+10^k+1.
Ps.
So che c'erano delle relazioni tra l'esponente k ed i possibili divisori
di 10^k+1 ma non mi ricordo.
Ciao,
g.

> a) Cerca  doppiastringa che siano  anche quadrati.
Pensandoci meglio, penso si possa dimostrare che i doppiastringa 
quadrati sono infiniti. Infatti....
g.