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Titolo: Come vincere una scommessa

Come vincere una scommessa.
Se in una stanza ci sono 50 persone, qual e' la probabilita' che almeno 2 di
queste festeggino il compleanno lo stesso giorno? Ho provato a chiederlo a 3
persone: una mi ha risposto, a occhio, circa il 15%, l'altra circa il 50%,
l'altra il 5%. Tutti hanno sbagliato di grosso.
Domanda alternativa: qual e' il minimo numero di persone perche' la
probabilita' sia piu' della meta'? Risposte intervistati: 182, 50, 80
persone.
Anche dopo aver fatto i calcoli ancora non ci credo. Ho alcuni dubbi
''statistici''. Comunque io scommetterei solo con almeno 80 persone presenti
nella stanza.
Salve-salvino
MF

probabilita' sia piu' della meta'?
calcolando come sopra ho trovato 23 persone
ciao
Paolo

 
Indico con N il numero di persone presenti nella stanza.
Assumiamo che:
1) vi siano 365 giorni in un anno, quindi escludo i bisestili
   (anche se il risultato non cambierebbe di molto);
2) ogni giorno dell'anno abbia la stessa probabilita' di essere
   un compleanno;
3) le persone siano scelte casualmente rispetto al compleanno
   (quindi i singoli compleanni sono date indipendenti).
Il nostro evento e' A={almeno due persone hanno lo stesso compleanno}.
Considero il suo complementare A^c={due persone non hanno lo
stesso compleanno}.
Allora  P(A^c)=(365)_N/365^N  per cui   P(A)=1-(365)_N/365^N   e' la
probabilita' richiesta.
[ (n)_k = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)  e' il "fattoriale decrescente" ]
I valori che si ottengono in corrispondenza del numero N di persone
presenti sono i seguenti:
  N       P(A)
------------------
  10      .117
  20      .411
  22      .476
  23      .507   <-- un successo del 50%  si ha gia' con 23 persone
  30      .706
  40      .891
  50      .970   <-- con 50 persone si ha il 97% di successo
  60      .994
  70      .999
Ciao.
gi@der           [< was it a cat I saw >]        (L. Carroll)
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   un compleanno;
Questo era il mio dubbio piu' grande. Sono quasi sicuro che non e' cosi'.
Alcuni mesi sono piu' fertili di altri. Pensandoci un po' credo che se cosi'
non fosse la probabilita' di trovare due persone nate lo stesso giorno
sarebbe uguale o addirittura superiore. Ma e' pura congettura. C'e' qualcuno
(ad es. Dario) che potrebbe chiarirmi?
MF


Considerare i giorni con la stessa probabilita' di nascita, (principio
di indifferenza) penso sia il caso piu' sfavorevole. Supponi per
esagerare che la razza umana procreasse solo in certi periodi dell'anno,
questo aumenterebbe senz'altro le prob. dello scommettitore.
La realta' invece, implica anche il 29 feb. L'anno tropico, e' calcolato
dagli astronomi essere di 365,242217 giorni.
Con la riforma Gregoriana noi lo consideriamo di 365,2425. Uno scarto
tollerabile. Per ottenere questi risultati, Lilio l'astronomo che fece i
calcoli, decise per 97 bisestili ogni 400 anni.
Cosi' se vogliamo fare i conti esatti e se non ho i crampi alle meningi,
perche' fra n persone non ci sia un compleanno comune, si calcola:
365+97/400 * 364+96/400 * 363+95/400 .......ripetuto n volte 
___________________________________
           (365+97/400)^n.
Che per n=23 da' 0.499623... vale a dire 0.500377...che due persone
siano nate lo stesso giorno. Una scommessa sul filo dell'equita'.
A prima vista questo paradosso, notato per la prima volta dal matem.
Harold Davenport nel 1927, puo' sconcertare, pero' considerando che con 
23 compleanni si formano 253 coppie e che per ogni 365 coppie ce n'e'
una di due giorni uguali...

 
Non e' che sia un paradosso.
Certi problemi possono avere delle soluzioni che, apparentemente,
possono sembrare strane solo perche' vanno contro la nostra
"intuizione".
Questo comporta che non sempre dobbiamo fidarci dell'intuito e di quello
che ci sembra, al primo impatto, giusto senza aver fatto una verifica
numerica.
Ad esempio ad alcuni potrebbe sembrare strano che inserendo, a caso, N
lettere in N buste indirizzate, la probabilita' che almeno una lettera
sia finita nella busta giusta sia circa del 63% non solo perche' e' un
valore abbastanza alto, ma anche perche' tale probabilita' non dipende
dal numero N di lettere che si considera (purche' N>3).
Per quanto riguarda, poi, le ipotesi, eventualmente aggiuntive, che
vengono fatte, queste devono essere viste come parte integrante del
problema che avra' una certa soluzione anche in virtu' di quelle ipotesi
e non di altre.
Quindi la soluzione data precedentemente e' tale con le ipotesi 1), 2) e
3).
Se per un motivo o per un altro una o piu' di queste ipotesi non ci
convince e la modifichiamo, la nuova soluzione che si ottiene potra'
essere diversa dalla precedente.
Solitamente le ipotesi che si fanno sono quelle "piu' pacificamente"
condivisibili.
Quelle aggiuntive, poi, diventano necessarie nel momento in cui un
problema dato potrebbe condurre a diverse soluzioni.
Ad esempio, consideriamo il seguente problema:
"Si scelga, a caso, una corda in un cerchio di raggio R; con che
probabilita' la lunghezza di tale corda superera' la lunghezza del lato
del triangolo equilatero inscritto nel cerchio?"
Questo problema, cosi' com'e' dato, ha soluzioni differenti; le ipotesi
aggiuntive sono necessarie per avere soluzioni uniche.
Ovviamente il problema non e' piu', strettamente, quello di partenza ma
e' quello di partenza piu' l'ipotesi aggiuntiva formulata.
Voglio osservare, infine, per quello che riguarda le ipotesi per il
problema del compleanno che, la 1) e' pacifica come hai osservato.
L'ipotesi 2) e' anch'essa pacifica se non si hanno dati statistici che
dimostrino il contrario.
Il fatto che certi periodi dell'anno possano essere piu' prolifici o
meno di altri puo' essere vero ma potrebbe essere una di quelle citate
"intuizioni" che, poi, potrebbero risultare fallaci.
Ho cercato, dopo il tuo post, sul "Compendio dell'ISTAT" ma non ho
trovato nulla dal momento che i dati sono indicati sempre su base annua
o di piu' anni e non, ad esempio, mensile che sarebbe piu' indicativo.
Si dovrebbe fare una ricerca per avere dei dati oggettivi, ma fino a
quando non si hanno, l'ipotesi 2) possiamo considerarla "tranquilla".
Altrimenti si potrebbe anche fare ipotesi sulla regione di provenienza
di queste persone (se fossimo a conoscenza che la distribuzione delle
nascite vari da regione a regione) o sul loro sesso (se fossimo a
conoscenza del fatto che un sesso "prediliga" un mese piuttosto che
un altro); ma in questo modo ci si allontana sempre piu' da quello che
era il problema in origine.
L'ipotesi 3) invece e', effettivamente, la "piu' pericolosa" anche se
apparentemente, ma solo apparentemente, puo' sembrare innocua mentre
potrebbe essere, di fatto, del tutto arbitraria.
Il problema e' che non ci viene detto nulla su queste persone e sul
perche' si trovino insieme in quella stanza.
Cioe', se queste persone fossero dei ragazzi chiamati alla visita di
leva, l'ipotesi 3) sarebbe falsa dal momento che in quel giorno e in
quella stanza i ragazzi avrebbero date di nascita ravvicinate (ad
esempio, nati tutti nel secondo quadrimestre).
Quindi con la  3) si ipotizza che "le persone nella stanza siano state
scelte casualmente rispetto al compleanno" e, quindi, che "i singoli
compleanni siano date indipendenti".
In altre parole, ancora, il "campione" presente in quella famosa stanza
deve essere rappresentativo della popolazione effettiva.
E questa ipotesi puo' non essere del tutto innocua.
Comunque poiche' questi problemi rappresentano situazioni anche ideali
piuttosto che effettivamente reali, ritengo che la scelta generica delle
ipotesi 1), 2) e 3) sia, sostanzialmente, giusta.
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Giacomo Delre (
gia...@eostel.it
) wrote:
: Matteo Frigerio wrote:
: > La soluzione era facile. Il difficile e' vinsere il paradosso (almeno per me
: > lo e').
: Non e' che sia un paradosso.
                    ^^^^^^^^^
: Certi problemi possono avere delle soluzioni che, apparentemente,
: possono sembrare strane solo perche' vanno contro la nostra
: "intuizione".
: Questo comporta che non sempre dobbiamo fidarci dell'intuito e di quello
: che ci sembra, al primo impatto, giusto senza aver fatto una verifica
: numerica.
[...]
    Condivido le tue considerazioni (anche quelle che non riporto), ma non
il tuo concetto di "paradosso". Se un ragionamento corretto 
"apparentemente puo` sembrare strano" _e`_ un paradosso, cioe` qualcosa 
che va contro ("para'") l'opinione ("doxa"), cioe`, appunto, che 
contrasta con cio` che sembra intuitivamente vero.
   Sbaglio? Dico qualcosa di paradossale?   :^)
Saluti,
							Daniele

 Saluti,
Va bene, d'accordo.
Avevo pensato all'utilizzo del termine in logica e non avevo considerato
che la stessa espressione ha un significato comune sia in senso
oggettivo che soggettivo; quest'ultimo, IMHO, penso che sia quello piu'
inerente al problema trattato.
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