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Titolo: [MA]Il pentagono

ABCDE e' un pentagono convesso i cui lati misurano 1,2,3,4,5, ma non
necessariamente in questo ordine.
Diciamo che F,G,H,I sono i quattro punti di mezzo dei lati AB,BC,CD,DE
rispettivamente.
X e' il punto di mezzo del segmento FH, e Y e' il punto di mezzo del
segmento GI.
Se la lunghezza del segmento XY e' un intero, quanto misura il lato AE ?
:) dario

DARIO URI PROPOSE:

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QUATTRO  (!)
CIAO  :o)
LIVIO
-- 
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 QUATTRO  (!)
Mi piacerebbe sapere come hai fatto. (Brute Force?)
ciao :) dario

Difficile da trovare senza Autocad!
La cosa mi sorprende, cosi' incomincio distrattamente
a mettere su un cad il tuo pentagono, e dato che son
pigro, scelgo la strada piu' semplice:
 
    _____5____
   |          \2
  1|          /
   |_________/3
        4
con 4 perpendicolare a 1 perpendicolare a 5: BINGO!
Gia' avevo subdorato che XY intero dovesse essere =1,
faccio una rapida verifica su alcune altre combinazioni
e mi convinco che e' la giusta risposta, solo perche'
esiste il quesito. Ho visto che sarebbe un altro paio
di maniche fare una dimostrazione per benino.  :o)
Ciao   :o)
Livio


 ?
M'e' piaciuta tantissimo la soluzione di Livio [fortunosa quanto si
vuole, ma certo simpatica], ma vorrei proporne una piu' geometrica...
...
...
Prima di tutto, chiamo E' e A' i punti X e Y. Chiamo L il punto medio di
EA. E di seguito:
B' il punto medio di GL,
C' il punto medio di FI,
D' il punto medio di HL.
Ottengo il pentagono A'B'C'D'E'.
Ad occhio questo pentagono e' simile all'originale, ed ogni suo lato e'
1/4 del corrispondente lato del pentagono ABCDE.
Una traccia [o uno straccio] di dimostrazione [che non ho seguito fino
in fondo, ma sono pronto a scommettere che possa portare al risultato]
e'...
Il segmento GF e' parallelo alla diagonale AC, e lungo la meta'.
A'C' e' parallelo a GF [e quindi ad AC] e lungo la meta' [quindi 1/4 di
AC].
E questo vale per tutte le diagonali dei due pentagoni.
Senza approfondire troppo mi pare sufficiente per rispondere... quattro
[l'unico divisibile per quattro ;-)].
Se tutto questo e' corretto, pero', mi pare non sia necessaria la
convessita' del pentagono originale.
Ciao ciao
Claudio

 convessita' del pentagono originale.
Infatti.
Ho provato a ripetere la costruzione con diversi pentagoni, concavi o
convessi, e con i lati di lunghezza qualsiasi. e risulta comunque
XY = AE/4
ciao
paolo

 :) dario
spoiler
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AE vale 4.
Dopo un po' di sostituzioni si trova
XY=AE/4, dovendo essere intero, con 1<=AE<=5
l'unica possibilità e AE=4
Ciao
Andrea

il lato AE ?
Per farmi perdonare la soluzione fortunosa, metto giu'
qua la dimostrazione che XY vale sempre AE/4, per 
qualunque pentagono, anche concavo. 
(Adesso e' facile).
          C
         /'.
        /   '. H
       /      '*
     G*         '.
     /            '.
    /               /D
  B/     X*-*Y     /
   \              /
    \            * I
   F *          /
      \        /
       \______/
       A      E
Impongo queste coordinate cartesiane:
P(A)=0,0
P(B)=x2,y2
P(C)=x3,y3
P(D)=x4,y4
P(E)=x5,0
Da cui ricavo i punti mediani F,G,H,I:
P(F)=x2/2,y2/2
P(G)=(x2+x3)/2,(y2+y3)/2
P(H)=(x3+x4)/2,(y3+y4)/2
P(I)=(x4+x5)/2,y4/2
e i mediani dei mediani:
P(X)=(x2+x3+x4)/4,(y2+y3+y4)/4
P(Y)=(x2+x3+x4+x5)/4,(y2,y3,y4)/4
da cui risulta:
y(X)=y(Y) cioe' XY sempre parallelo ad AE
XY=x(Y)-x(X)=x5/4=AE/4  c.v.d.  :o)
Ciao e grazie a Dario per questo bel pentagono!
(Ma quante ne sa!)  :o)
Livio
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