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Titolo: Lanci di monete

Ogni volta che Tizio lancia una moneta, se viene testa fa 1 punto, se viene
croce ne fa 2.
Con che probabilita' fa cento punti ?
Ciao a tutti

 Con che probabilita' fa cento punti ?
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La probabilità che nei punteggi parziali ci sia l'uno vale P(1)=1/2.
E' facile convincersi che faccio n+1 punti se:
- faccio un parziale di n punti e poi una Testa [prob. P(n)*1/2]
- NON passo per il parziale n [prob. 1-P(n)]
Da cui
P(n+1) = P(n)/2 + 1-P(n)
P(n+1) = 1 - P(n)/2
La semplice relazione ricorsiva non credo abbia una soluzione in forma
chiusa (ma forse qualche buon matematico con cose tipo le equazioni di
Pell tira fuori una magia "alla Fibonacci")
Sarebbe semplice calcolare f(100), anche a mano volendo, visto che i
denominatori della successione sono le potenze di 2 e i numeratori
valgono 1,3,5,11,21,43... e così via sommando il doppio del penultimo
all'ultimo calcolato. Ma visto che non abbiamo troppo tempo e voglia
di calcolare a mano numeri di 30 cifre, possiamo accontentarci di
scrivere i primi termini e accorgerci che le frazioni convergono
rapidamente a 2/3.
Cosa tra l'altro più che ragionevole. Che converga, me lo aspetto,
perché non vedo differenze di difficoltà tra il fare 1000 o 1001.
Che converga proprio a 2/3 non ci vuol molto a ricavarlo:
Se L è il limite cercato, dalla ricorsione di prima otteniamo
L = 1 - L/2  ==> L = 2/3
Ciao, Silv:o)

...
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spoiler
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E' chiaro che: P(n)=P(n-1)*1/2 + P(n-2)*1/2
P(100)=P(99)*1/2 + P(98)*1/2
2P(100)=P(99) + P(98)
rimescolando
P(100)-P(99)=-[-P(98)+P(100)]
P(100)-P(99)=-[-P(98)+P(99)/2+P(98)/2]
P(100)-P(99)=-[P(99)-P(98)]/2
=> la differenza dimezza e cambia segno al crescere dell'indice n di P(n).
Dato che P(0)=1 e P(1)=1/2 abbiamo come differenza P(n+1)-P(n):
-1/2 , 1/4 , -1/8 , 1/16 , ...
cioč:
P(0)=1
P(1)=1/2
P(2)=3/4
P(3)=5/8
P(4)=11/16
....
P(100)=P(0)+ i primi 100 termini della successione delle differenze
P(100)=1 -1/2 +1/4 -1/8 +1/16 - ...
P(100)=1 + (-1/2+1/4) + (-1/8+1/16) + ...
P(100)=1 + (-1/4) + (-1/16) + ...
P(100)=1 - sum (1/4)^i da 1 a 50 = 2/3 - 2^(-100)/3
che č molto vicino a 2/3.
In generale, per n pari:
P(n)=1 - sum (1/4)^i da 1 a n/2 = 2/3 + 2^(-n)/3
per n dispari:
P(n)=2P(n+1)-P(n-1)= 2/3 - 2^(-n)/3
al limite P(inf)=2/3
Ciao
Andrea

 P(100)=1 -1/2 +1/4 -1/8 +1/16 - ...
L'intervanto del matematico preparato che avevo auspicato è arrivato
puntuale.
In realtà P(n) è semplicemente la somma parziale delle potenze
di -1/2.
Una curiosità: in binario il risultato si scrive in un batter
d'occhio!
P(n)= 1 -0.1 +0.01 -0.001 +0.0001 - ...
= 1.010101010.. - 0.101010101.. =
= per n dispari ==> 0.0101..01
  per n pari    ==> 0.0101..011
es.:
1
0.1
0.11
0.101
0.1011
0.10101
...
Ciao, Silv:o)

 puntuale.
Elucubrazioni sciolte.
Non sono avvezzo alla statistica e non sono un grande matematico, mi
piace affrontare gli argomenti da un punto di vista più logico ed
intuitivo. La mia domanda è la seguente: è ovvio che il ragionamento
da voi proposto è valido per un alto numero di lanci perchè se ad
esempio invece che 100 prendo in considerazione ad es. il numero 3 mi
accorgo che le prob. sono di 3/8, di fare 4 sono 11/16 ecc. Ora mi
domando, se, ragionando su un alto numero di lanci non possa
considerare equivalente la possibilità di ottenere i risultati n o
n+1. Mi parrebbe di sì, ma così non è e vorrei sapere perchè. Tutto
ciò nasce dal fatto che per risolvere il problema sopra posto io
postulavo l' "equivalenza probabilistica" (non so se si può dire!)
degli eventi 99 e 98, perciò arrivavo ad una soluzione pari a 0.675
(5/8) invece che al vostro (sicuramente più corretto) 0.6666666666666
(periodico ovvero 2/3). Mi viene in mente ora che forse il discorso
sulla "equivalenza probabilistica" lo si debba fare su tre numeri e
non su due, e che quindi prendendo 3 numeri consecutivi
sufficientemente alti si ha la stessa probabilità che essi si
verifichino come risultato (2/3). Spero di non essere stato chiaro!
:-)

 verifichino come risultato (2/3). Spero di non essere stato chiaro!
Questo direi che non c'entra.
Ciao
Andrea