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Titolo: ruota la bacchetta

E' un problema abbastanza noto, ma forse ha degli sviluppi
interessanti...
Abbiamo una bacchetta rigida di lunghezza 1 e spessore nullo. Qual è
la regione di piano di superficie minima all'interno della quale la
bacchetta può esssere orientata di un angolo qualsiasi? Ovviamente un
cerchio di diametro unitario abbasta, ma si può fare meglio?
-- 
Ciao, Silv:o)

Silvio Sergio ha scritto:
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Dovrebbe bastare anche un quadrante di circonferenza di raggio 1
(ovvero un quarto del cerchio di diametro 2), ma l'area è la stessa:
pigreco/4...

 cerchio di diametro unitario abbasta, ma si può fare meglio?
A naso direi che il cerchio di diametro uno è il doppio di quello che 
serve, in quanto non avendo stabilito orientamenti particolari facendo 
il "giro" dopo 180° si ripassa dagli stessi angoli. Pero' non riesco a 
figurarmi quale può essere la regione in questione...

 cerchio di diametro unitario abbasta, ma si può fare meglio?
aspettaaspetta... forse ho trovato!
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SPOILER
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Basta una superficie di area 3/4 (inferiore a pigreco/4)!!
La costruiamo così: tracciando le diagonali di un quadrato di lato 1,
eliminiamo una delle quattro regioni in cui abbiamo diviso il quadrato
(per esempio quella in alto).
Orientiamo così l'asticella:
da 0° a 45° tenendone un'estremità fissa nell'angolo in basso a
sinistra
da 45° a 90° tenendone un'estremità fissa nell'angolo in alto a
destra
da 90° a 135° tenendone un'estremità fissa nell'angolo in alto a
sinistra
da 135° a 180° tenendone un'estremità fissa nell'angolo in basso a
destra.
Mi pare che funzioni!!
Ciao

cerchio di diametro unitario abbasta, ma si può fare meglio?
Rispondo in fretta e poi verifico, perché qua mi sa che c'è
poco tempo.
Parto da un triangolo equilatero unitario e aggiungo tre
settori circolari puntando il compasso sui vertici.
area = 3pi/6-sqr(3)/2 = 0.70477+
Ciao!!!  :o)
Livio

 figurarmi quale può essere la regione in questione...
Ok, pensandoci meglio, la figura in questione potrebbe essere quella 
racchiusa tra due archi di 90° con i centri in 1,1 e 1,-1 e gli estremi 
rispettivamente in (0,1),(1,0) e in (0,-1),(1,0). l'area dell'orrore in 
questione dovrebbe essere 2-pi/2 (cioè circa 0,43), che è in effetti un 
po' più della metà dell'area del cerchio di diametro unitario.
Considerate pero' che sono a letto con l'influenza quindi posso aver 
detto e scritto delle colossali bischerate...

 area = 3pi/6-sqr(3)/2 = 0.70477+
Dovrebbe funzionare, ma forse un ipocicloide a tre cuspiti
può fare meglio...
http://mathworld.wolfram.com/Hypocycloid.html
Ciao!!!  :o)
Livio

Intanto che gli do un'occhiata, lancio la provocazione.
Si può fare meglio. E - bada bene - non mi hai detto quant'è l'area
dell'ipocicloide!
In realtà non sono sicurissimo, l'ho sentito dire...
-- 
Ciao, Silv:o)

 
http://mathworld.wolfram.com/Hypocycloid.html
ecco, la figura che suggerivo io è la metà di un ipocicloide a 4 cuspiti 
"tagliato" lungo una diagonale, più o meno.

"Silvio Sergio":

Allora mi è venuto in mente di verificare se per caso una
corona circolare vedesse rimpicciolirsi l'area al crescere
del diametro, ma niente. La corona che fa passare la
bacchetta ha area costante al crescere del diametro e
pari a pi/4. Toh!
Ciao!!!  :o)
Livio

 pari a pi/4. Toh!
Però... organizzando tre segmenti di questa corona così:
http://www.hostfiles.org/files/20060217024138_bacch.gif
si ottiene un'area < pi/8 che comincia a non essere male e
al crescere dei diametri sembra che si possano potare le punte.
Sono sulla strada giusta?
Ciao!!!  :o)
Livio

 Sono sulla strada giusta?
Sono al lavoro e quindi giusto una considerazione veloce veloce.
Ad occhio direi che aumentando il raggio ->oo possiamo diminuire lo spessore
quanto vogliamo e quindi avere un'area che tende a 0.
Potrebbe funzionare?
Ciao,
GaS
 
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 Potrebbe funzionare?
Nel caso della corona circolare completa direi di no.
Mi son calcolato che all'aumentare del raggio, l'area
vale sempre pi/4.
In questo caso dei tre segmenti di corona non ho ancora
visto quanto si possano potare le tre punte.
Ciao!!!  :o)
Livio

 lo spessore quanto vogliamo e quindi avere un'area che tende a 0.
C'era chi giurava di poter rinchiudere l'asta che tiene la terra a
distanza fissa dalla luna (che altrimenti scapperebbe via o
collasserebbe sulla terra) in una superficie grande quanto un
francobollo. Ed è persona degna di fede. Soprattutto qui su IHE
-- 
Ciao, SIlv:o)

 non ho ancora visto quanto si possano potare le tre punte.
Unendo queste due considerazioni, forse si può trovare una
dimostrazione di convergenza a 0.
Se le punte si possono potare, allora bisognerebbe vedere se può
convenire potarne tante e non solo tre. Se convenisse, la cosa sarebbe
fattibile usando corone sempre più lunghe e sottili, e disponendo gli
spezzoni a formare stelle tipo quelle disegnate nella pagina di
mathworld (hypocycloid con n razionale).
-- 
Ciao, Silv:o)

 non ho ancora visto quanto si possano potare le tre punte.
Allora cominciamo a dimostrare la prima, mentre meditiamo
sulla seconda, della quale comincio ad essere pessimista,
almeno rispetto all'ipocicloide.
In riferimento a questa figura:
http://www.hostfiles.org/files/20060217084849_corona.gif
R^2 = r^2+1/4
Area = pi(R^2-r^2) = pi/4
Ciao!!!  :o)
Livio

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
La corona vale sempre pi/4, ma non la devi prendere tutta. Puoi
escludere il settore indicato a destra in questa figura
http://www.hostfiles.org/files/20060218090543_corona.JPG
al crescere del diametro l'ampiezza del settore cresce, e al tendere
del diametro all'infinito tende all'angolo piatto.
Quindi l'area necessaria diventa pi/8
 (mi pare che tu avessi già trovato questo valore)
ciao
paolo

  (mi pare che tu avessi già trovato questo valore)
A questo punto poni un problema di interpretazione. Poichè
si parla di bacchetta (qualche cosa di fisico, pur ideale) io
lo interpreto *polarizzato*, come se le estremità fossero
segnate, similmente ad un segmento AB. Allora ho bisogno
di tutta la corona per far assumere al segmento sul piano
tutte le posizioni che tengano conto del suo orientamento,
così come riusciva a fare all'interno di un cerchio di diametro
unitario.
La figura di area pi/8 che ho presentato qua:
http://www.hostfiles.org/files/20060217024138_bacch.gif
realizza questo completo orientamento.
Ciao!!!  :o)
Livio

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
Per l'interpretazione autentica bisogna sentire Silvio che ha proposto
il problema.
Io ho pensato a un segmento non  *polarizzato*, oppure, che è la
stessa cosa, alla possibilità di sollevare la bacchetta dalla
superficie e rimetterla nella stessa posizione ma a poli invertiti.
ciao
paolo

 wrote:

Provo con un diverso approccio. 
Mi pare che non sia richiesto che la bacchetta debba potersi spostare
da ciascuna posizione a ciascun'altra muovendosi con continuità.
Parto da un semicerchio di raggio 1, area pi/2., che può contenere la
bacchetta con qualsiasi orientamento.( Fig. A nell'immagine seguente.)
http://www.hostfiles.org/files/20060218113427_SETTORI.JPG
Divido il semicerchio in due settori, ciascuno di area pi/4. (Fig. B)
 Ciascun orientamento della bacchetta sara contenuto in uno dei
settori.
Sovrapponendo i due settori in modo opportuno ottego una figura che
può ancora ottenere qualsiasi orientamento della bacchetta. (Fig. C)
L'area, che dipende dalla modalità di sovrapposizione, sarà
evidentemente </pi2 ma >pi/4.
Se anziche due settori ne faccio tre, ciascuno di area pi/6 (Fig. E) e
poi li sovrappongo (Fig. F), l'area risulta ancora minore.
Non so se sia possibile andare avanti fino a trovare un ottimo con n
settori, ciascuno di area 1/2n, opportunamente sovrapposti.
ciao
paolo

 superficie e rimetterla nella stessa posizione ma a poli invertiti.
Io penso che sia nello spirito del gioco non sottrarre gradi
di libertà alla bacchetta rispetto a quelli che aveva nella figura
di partenza, che era il cerchio di diametro unitario.
Siiilviooooooooo!
Ciao!!!  :o)
Livio

interessanti...
Intanto mi son calcolato l'area dell'ipocicloide n=3 con
2a-2b=1 affinché la bacchetta giri. Avete indovinato?
A=pi/8  (!)
Credo che sia questo il valore da battere. Anche se...
Ciao!!!  :o)
Livio

 Io ho pensato a un segmento non  *polarizzato*
In questo caso basterebbe un quarto di asteroide, di area 3pi/32.
(Ricordo che l'asteroide ha l'equazione cartesiana x^(2/3)+y^(2/3)=1
ed è l'inviluppo di un segmento di lunghezza unitaria con gli estremi
vincolati ai due assi coordinati).
Maurizio

Livio,
(1)  A rigid thin rod of length 1 is confined to a planar region.  What is 
the
     region of least area which permits the rod to be rotated to any angle?
     [The answer is better than a disc of diameter 1].
Questa è la formulazione dalla quale sono partito.
Non volevo leggere altri messaggi per non rovinarmi il piacere di provarci,
a occhio, "rod" è traducibile con "asta", che non mi pare sia polarizzata, e 
"any angle"? boh
-- 
Silv:o)



Sei sicuro? Mi pare che occorra mezzo asteroide.
Se non ho capito male, l'asteroide dovrebbe essere questo:
http://www.hostfiles.org/files/20060218052426_asteroide.JPG
se prendi solo 1/4, 
p.es
. la parte in celeste, non ci può stare un
segmento orientato come quello dosegnato in rosso.
ciao
paolo

 segmento orientato come quello dosegnato in rosso.
Magari sovrapponendo due quarti, come già suggerivi:
http://www.hostfiles.org/files/20060218065446_aster.gif
Ma quanto valga l'area ottimizzata lo lascio fare a qualcun altro.
Ciao!!! :o)
Livio



Graficamente, con una sovrapposizione tale che i due tratti verticali
distino 0.5, misuro un'area di circa 0.41, poco maggiore di pi/8.
Però ho il sospetto che, facendo un disegno più accurato, e cercando
la sovrapposizione ottimale, si arrivi proprio a 0.392699+
ciao
paolo

bacchetta puň esssere orientata di un angolo qualsiasi?
Un triangolo equilatero di altezza unitaria non avrebbe sfigurato
come prima soluzione: A=0.577
Una stella a 5 o 7 punte puň fare il suo lavoro. Ma forse si puň
fare di meglio.
Guardate, per favore, l'ipocicloide in questa pagina:
http://mathworld.wolfram.com/Hypocycloid.html
con a/b=9/4.
Lě, con a poco minore di 1, la nostra bacchetta unitaria
č in grado di assumere tutti gli orientamenti, entrando ed
uscendo dalle punte.
Ora supponiamo di aumentare di molto il numero delle
punte ponendo a/b=(2m+1)/m con  m  grande.
Allora, perchč la bacchetta possa muoversi occorre a=~1
Se č valida la (15) per il calcolo dell'area, sostituendo
n=(2m+1)/m, mi sembra che l'area tenda a zero al tendere
ad infinito di m.
s.e.&.o.
Ciao!!!  :o)
Livio

 la sovrapposizione ottimale, si arrivi proprio a 0.392699+
Purtroppo no: io ottengo la sovrapposizione ottimale spostando il
secondo quadrante verso destra di 0.480545, col che l'area viene
0.420255. 
Maurizio

cerchio di diametro unitario abbasta, ma si può fare meglio?
Visto che non mi viene nesuna soluzione seria migliore delle vostre vorrei 
proporre una risposta *laterale*:
S
P
O
I
L
E
R
Prendiamo una curva di Peano costruita su un quadrato di lato 1: sappiamo 
che tale curva passa per ogni punto del quadrato ed ha aria nulla. Ne 
risulta che ogni bacchetta all'interno del quadrato originale è 
completamente contenuta nella curva...
Che ne dite?
:o)
Ciao,
Gabriele