Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: quadrilateri biretti progressivi

1) il quadrilatero deve avere 2 angoli retti
2) i lati devono essere in progressione geometrica: 1,x,x^2,x^3 non 
necessariamente in quest'ordine
quanti di questi quadrilateri sapete trovare?
-- 
Ciao, Silv:o) 

 ha scritto nel messaggio
news:43615210$0$20496$4faf...@reader4.news.tin.it...

Escludendo il quadrato 1x1, ho trovato solo 6 trapezi rettangoli (x=0.643,
0.668, 0.806, 1.241, 1.497, 1.554).
Bye
Raf


Esiste una sola soluzione, il banale quadrato 1x1, nel caso in cui i due
lati retti non sono consecutivi.
Tracciamo la diagonale che unisce i due vertici NON retti, abbiamo due
triangoli rettangoli con l'ipotenusa in comune. Abbiamo 3 possibilità
distinte:
A) I due triangoli hanno cateti 1-x e x^2-x^3. Si deve avere:
1^2+x^2=x^4+x^6. Raggruppando si ottiene (x^4-1)*(1+x^2)=0 che ha una sola
radice reale e positiva: 1.
B) I due triangoli hanno cateti 1-x^2 e x-x^3. Si deve avere:
1^2+x^4=x^2+x^6. Raggruppando si ottiene (x^2-1)*(1+x^4)=0 che ha una sola
radice reale e positiva: 1.
C) I due triangoli hanno cateti 1-x^3e x^2-x. Si deve avere:
1^2+x^6=x^4+x^2. Raggruppando si ottiene (x^2-1)*(-1+x^4)=0 che ha una sola
radice reale e positiva: 1.
Nel caso in cui il quadrilatero fosse un trapezio rettangolo non ci sono
soluzioni se la base minore è lunga 1 ma non ho analizzato, ancora, tutti
gli altri casi.
Ciao,
Gabriele
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 gli altri casi.
Io una l'ho trovata.
Sia b la base minore, B la base maggiore, h l'altezza e d il lato obliquo.
b=1, h=x, B=x^3, d=x^2
si ha necessariamente (Pitagora)
h^2+(B-b)^2=d^2
Sostituendo:
x^2+(x^3-x)^2=x^4
x^6-x^4-2*x^3+x^2+1=0 che ha come unica soluzione reale non banale x =
1.241431484
Per cui
b=1
h=1.241431484
B=1.913234775
d=1.541152129
Bye
Raf
P.S.: ci sono altre 5 soluzioni...

 Io una l'ho trovata.
sottinteso, con la base minore lunga 1...

 P.S.: ci sono altre 5 soluzioni...
Ok, scusate, è che io consideravo x intero.
In effetti, anche con x non intero, non esitono soluzioni per x>2
Sempre considerando x>2 non esitono soluzioni neanche con l'altezza=1
(naturalmente i casi per cui 1 è la base maggiore od il lato obliquo, con
x>2, non sono neanche da prendere in considerazione).


 P.S.: ci sono altre 5 soluzioni...
sicuro?
mi sembrano troppe...
-- 
Ciao, Silv:o)

 ha scritto nel messaggio
news:4362c28d$0$20497$4faf...@reader4.news.tin.it...

Apparentemente sì... ma sai cosa? Non ho controllato se alcune danno origine a
quadrilateri simili (nel senso geometrico del termine).
E in effetti da 6 che avevo trovato le soluzioni si riducono a 3.
Ciao
Raf


ok
magari posta le soluzioni ed il metodo che hai usato, così chi è interessato 
può controllare
-- 
ciao, Silv:o) 

 ha scritto nel messaggio
news:43635b6a$0$29553$4faf...@reader1.news.tin.it...

Il metodo è in fondo...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Dato x, i lati del quadrilatero sono esprimibili con:
x^a, x^b, x^c, x^d in cui la quadrupla (a b c d) è una delle possibili
permutazioni di (0 1 2 3)
Nel caso di quadrilatero con angoli retti opposti deve valere:
(x^a)^2 + (x^b)^2 = (x^c)^2 + (x^d)^2
In questo caso si può vedere che tra tutte le 24 permutazioni di (0 1 2 3) si
originano solo 6 equazioni distinte (scambiando a<->b e/o c<->d si ottiene la
stessa equazione).
Di queste 6 nessuna ammette una soluzione reale positiva diversa dal valore
banale 1 (il quadrato).
Nel caso di trapezio rettangolo invece l'equazione che descrive le relazioni tra
i lati è questa:
(x^c - x^a)^2 + (x^b)^2 = (x^d)^2
Anche in questo caso le equazioni non sono 24 ma solo 12 (scambiando a<->c non
cambia nulla).
Di queste, 6 hanno una soluzione reale positiva non banale, che però danno
origine solo a 3 tipi di quadrilateri, in quanto a due a due simili (se x è una
soluzione generale, allora anche 1/x lo è):
1) (a b c d) = (0 1 3 2) => x1=1,241431484
2) (a b c d) = (0 2 3 1) => x2=1/x1 = 0,8055217 (simile)
3) (a b c d) = (0 3 1 2) => x3=0,6679607074
4) (a b c d) = (0 3 2 1) => x4=0,6435942529
5) (a b c d) = (1 0 3 2) => x5=1/x4=1,553773974 (simile)
6) (a b c d) = (2 0 3 1) => x6=1/x3=1,497094048 (simile)
Non sono stato a calcolare anche le misure degli altri lati... (x^2, x^3)
Ciao
Raf