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Titolo: Gioco "strano"

Giocatori : 6
Premio : 10 Miliardi
Ciascuno dei 6 giocatori riceve un cartoncino e puo' scegliere :
1) Scrivere il proprio nome sul cartoncino.
2) Non scrivere nulla.
I cartoncini vengono ritirati e scrutinati.
Se un solo cartoncino contiene un nome, quella persona e' il vincitore.
In ogni altro caso nessuno vince.
Naturalmente i giocatori non devono avere possibilita' di consultarsi e di
prendere accordi una volta conosciute le regole del gioco.
Come vi comportereste ?
Scrivereste il vostro nome ?
Questo esempio puo' servire a riflettere sul significato di "vittoria" in un
gioco .
Ciaoo !!!

...

Ad una prima lettura questo gioco potrebbe sembrare una variante di qualche
paradosso, invece credo che si possa trovare una soluzione logica.
Cerco di arrivarci per gradi.
Premessa:
Se scrivo il mio nome esiste una probabilita' (forse molto bassa ma comunque
non nulla) che io vinca 10 miliardi, mentre si ha la certezza che gli altri
non vincano niente.
Se lascio il foglio in bianco ho la certezza di non vincere, ed esiste una
probabilita' che vinca qualcuno degli altri.
Caso a)
Supponiamo che gli altri giocatori siano miei acerrimi nemici, e che una
eventuale loro vincita sia per me un evento estremamente negativo. Per
quanto detto in premessa dovrei scrivere il mio nome.
Tornero' in seguito su questo caso.
Caso b)
Supponiamo che gli altri giocatori siano per me dei perfetti estranei, e che
una loro vincita mi lasci indifferente. Anche se con meno convinzione
rispetto al caso a dovrei scegliere di scrivere il mio nome.
Tornero' in seguito anche su questo caso.
Caso c)
Supponiamo invece che io consideri come fatto positivo la vittoria degli
altri giocatori.
Per esempio i partecipanti al gioco sono mia moglie, mio figlio, mio
fratello ecc. e noi formiamo una famiglia molto unita.
Tutti i componenti della mia famiglia sono "perfetti logici", ad eccezione
di mio cugino Pippo che e' un tipo un po'... poco portato alla logica.
Tutti gli altri penseranno che Pippo si fermi al ragionamento in premessa
("se scrivo posso vincere"), e pertanto decideranno di lasciare il foglio in
bianco.
Caso d)
Ancora i partecipanti sono tutti miei familiari, ma questa volta sono tutti
"perfetti logici".
La strategia comune sarà di massimizzare la probabilita' che almeno uno
vinca.
Io farei cosi':
Lancio un dado, se esce 6 scrivo, negli altri casi lascio il foglio in
bianco.
Gli altri faranno lo stesso ragionamento.
Ci sono discrete probabilita' che uno ed uno solo faccia sei, e quindi il
malloppo entri in famiglia.
Questa strategia puo' essere perfezionata con alcune considerazioni
probabilistiche (vedi alla fine).
-------------------------------------
Ripensandoci, la strategia proposta per il caso d) si puo' applicare anche
al caso b).
Se tutti sono "perfetti logici", e se nessuno bara (ma credo che nessuno
avrebbe la convenienza di barare), facendi cosi' aumentano le probabilita'
di ciascuno.
Ripensandoci ancora, credo che il ragionamento sia applicabile anche al caso
a), a meno che l'inimicizia con gli altri sia tale da....
Vi racconto una parabola:
Un tale odiava senza motivo il suo vicino di casa.
Il re lo fa chiamare e gli dice:
"Esaudiro' qualsiasi tuo desiderio, ma il tuo vicini ricevera' il doppio di
quello che riceverai tu."
Il tale risponde:
"Fammi togliere un occhio".
-------------------------------------
Considerazioni probabilstiche
Se lancio un dado per sei volte, quale e' la probabilita' che esca sei una
ed una sola volta?
La probabilita' migliora se anziche' un normale dado uso un ipotetico dado a
5 facce, o a 7 facce, od anche con un numero non intero di facce?
In pratica si tratta di estrarre un numero casuale tra zero ed uno, e
decidere di scrivere se il numero e' compreso tra zero ed X.
Si vince se, su sei estrazioni, esce una ed una sola volta un numero <=X.
Quale e' il valore di X che massimizza il risultato?
ciao
paolo

"perfetti logici"....

gioco .
Io scriverei comunque il mio nome, assicurandomi cosi' una
piccolissima probabilita' di vittoria...
Ciao,
<manoo>

questo Ng ...
A differenza dei quesiti matematici, per i quali esiste una soluzione
"chiusa", questi "giochi" si prestano a discussioni e soluzioni
personalizzate.
Per quanto mi riguarda li trovo estremamente interessanti (vincita
immateriale elevata :-)
ciao
paolo

 wrote:
% Giocatori : 6
% Premio : 10 Miliardi
% 
% Ciascuno dei 6 giocatori riceve un cartoncino e puo' scegliere :
% 
% 1) Scrivere il proprio nome sul cartoncino.
% 
% 2) Non scrivere nulla.
% 
% I cartoncini vengono ritirati e scrutinati.
% Se un solo cartoncino contiene un nome, quella persona e' il vincitore.
% In ogni altro caso nessuno vince.
% Naturalmente i giocatori non devono avere possibilita' di consultarsi e di
% prendere accordi una volta conosciute le regole del gioco.
Una simpatica variante e` stata descritta da Doug Hofstadter su
_Metamagical Themas_ (che e` da una vita in corso di traduzione in
italiano... prendetevi l'edizione Penguin oppure andate a scartabellare le
vecchie copie di _Le Scienze). Il gioco si chiamava "Lurking Lottery" e
funzionava quasi allo stesso modo, salvo il fatto che ognuno poteva
comprare un numero (intero positivo) qualunque di biglietti. Il montepremi
finale era di 1.000.000/N di dollari, dove N era il numero di biglietti
venduti, e veniva diviso proporzionalmente tra i partecipanti (cioe`, se A
aveva comprato un biglietto e B due biglietti, B avrebbe vinto il doppio di
A).
Quale sarebbe in questo caso la vostra strategia, e perche`?
ciao, .mau.
(notate il followup su it.fan.dewdney, mi sembra che il problema sia piu`
adatto a quel gruppo)

Quale sarebbe in questo caso la vostra strategia, e perche`?
Quanto costa un biglietto?
ciao
paolo

...
% >
% >Quale sarebbe in questo caso la vostra strategia, e perche`?
% 
% Quanto costa un biglietto?
Nulla. Puoi comprare quanti biglietti vuoi.

Quale sarebbe in questo caso la vostra strategia, e perche`?
SE i giocatori sono ancora sei
SE il biglietto costa 1dollaro
SE non sono possibili accordi tra i giocatori
compro 135 biglietti
in questo momento purtroppo mi manca il tempo;
questa sera, se il server me lo permette, postero' la discusssione
ciao
paolo

% prendere accordi una volta conosciute le regole del gioco.
Premetto che mi sono perso il thread originale, quindi non so se una
soluzione sia gia' stata data.
A freddo, direi che il mio nome ce lo scrivo.
1) se gli altri hanno fatto ragionamenti strani, rischio di vincere
2) alla peggio, non perdo niente (Pascal insegna)
3) se non ci si puo' mettere d'accordo, perche' dovrei supporre che
l'eventuale vincitore divida il premio con gli altri, cosi' gentili da
abbozzare? Io non lo farei.
conclusione: direi che il gioco e' una truffa :-)
Marco Frattini
---
Internet e' un posto dove andare quando vuoi accendere il cervello,
la televisione e' un posto dove andare quando vuoi spegnerlo.
(Steve Jobs)
---

 wrote:
% >Quale sarebbe in questo caso la vostra strategia, e perche`?
% 
% SE i giocatori sono ancora sei
% SE il biglietto costa 1dollaro
% SE non sono possibili accordi tra i giocatori
I giocatori sono illimitati, cosi` come il numero di biglietti; 
i biglietti non costano nulla;
pero` non puoi sapere cosa facciano gli altri.
.mau.

,
Marco Frattini <mf...@SPIKNSPAMsplit.it> wrote:
% >% Giocatori : 6
% >% Premio : 10 Miliardi
% >% 
% >% Ciascuno dei 6 giocatori riceve un cartoncino e puo' scegliere :
% >% 
% >% 1) Scrivere il proprio nome sul cartoncino.
% >% 
% >% 2) Non scrivere nulla.
% >% 
% >% I cartoncini vengono ritirati e scrutinati.
% >% Se un solo cartoncino contiene un nome, quella persona e' il vincitore.
% >% In ogni altro caso nessuno vince.
% >% Naturalmente i giocatori non devono avere possibilita' di consultarsi e di
% >% prendere accordi una volta conosciute le regole del gioco.
% A freddo, direi che il mio nome ce lo scrivo.
% 1) se gli altri hanno fatto ragionamenti strani, rischio di vincere
% 2) alla peggio, non perdo niente (Pascal insegna)
% 3) se non ci si puo' mettere d'accordo, perche' dovrei supporre che
% l'eventuale vincitore divida il premio con gli altri, cosi' gentili da
% abbozzare? Io non lo farei.
Non e` detto.
Supponiamo che tutti i giocatori siano logici perfetti (occhei, su Usenet
e` un'assunzione un poco esagerata, ma facciamo finta di nulla).
Un logico perfetto (che sappia che anche gli altri sono logici perfetti)
cercherebbe di massimizzare la probabilita` che ci sia un vincitore,
proprio per la scommessa del buon Pascal (altro sarebbe dire "se c'e` piu`
di un cartoncino con un nome, chi ha scritto il nome vince 10 $").
A questo punto vediamo una formula generale: se ci sono n giocatori e
ciascuno mette il proprio nome con una probabilita` p [1] la probabilita`
che uno e un solo giocatore abbia messo il proprio nome e` 
     n p (1-p)^(n-1).
Per massimizzare questo valore rispetto a p, prendiamone la derivata e
facciamola uguale a zero: se non sbaglio i conti ottengo
     n ( (1-p)^(n-1) - p(n-1)(1-p)^(n-2) ) = 0
     n (1-p)^(n-2) (1-p-np+p) = 0
     np = 1
     p = 1/n
e quindi nel nostro caso p = 1/6 . (tanti conti per nulla...)
ciao, .mau.
[1] e` facile vedere che per ragioni di simmetria tutti devono usare la
stessa probabilita`, altrimenti la probabilita` complessiva diminuisce.

pero` non puoi sapere cosa facciano gli altri.
Quindi la soluzione di 135 biglietti e' da ritenersi non valida.
Credo comunque che possa essere interessante descriverla, magari
considerando le ipotesi da me fatte (giocatori in numero limitato, costo del
biglietto diverso da zero) come possibili varianti del problema.
Ipotesi di sei giocatori:
Ciascun giocatore puo' scegliere di:
- non comprare nessun biglietto
- comprarne uno
- comprarne piu' di uno
ho motivo di credere che tutti i giocatori faranno gli stessi ragionamenti e
quindi compreranno (all'incirca) lo stesso numero di biglietti.
Non essendo possibili accordi, la soluzione ottimale per tutti sarebbe che
ciascuno compri un biglietto; quindi tutti, in prima istanza, faranno questa
scelta.
Con le ipotesi fatte, risulta:
monte premi M=1.000.000/6=166.666
vincita pro capite  M/6=27.777
A questo punto faccio il ragionamento:
tutti comprano un biglietto, se io ne compro due risulta:
monte premi M=1.000.000/7=142.857
mia vincita  M*2/7=40.816
pero' tutti fanno lo stesso ragionamento, e comprano due biglietti, quindi:
M=1.000.000/12=83.333
vincita pro capite  M/6=13.888
Continuando avanti di questo passo (io decido ogni volta di acquistare un
biglietto in piu', gli altri fanno lo stesso), essendo possibile aumentare
all'infinito i biglietti acquistati, il monte premi e la vincita di ciascuno
tenderanno a zero.
Se invece facciamo l'ipotesi che il biglietto abbia un costo (diciamo 1
dollaro), il paradosso puo' essere in parte superato, considerando che il
vantaggio marginale risultante dal comprare un biglietto in piu' degli altri
decresce rapidamente all'aumentare del numero totale di biglietti.
Ad un certo punto tutti hanno optato per 135 biglietti, quindi
Biglietti venduti 135*6=810
Monte premi 1.000.000/810=1234,57
Vincita pro capite =1234,57/6=205,76
Se decido di comprare il 136e.mo biglietto
Monte premi 1.000.000/811=1233,05
Mia vincita  = 1233,05*136/811=206.77
L'incremento di vincita, rispetto al caso precedente, uguaglia il costo del
biglietto (a meno di un centesimo), quindi il biglietto aggiuntivo non mi da
alcun vantaggio.
Se tutti faranno questo ragionamento, si fermeranno al 135.mo biglietto,
spenderanno 135 dollari, vinceranno 205 dollari, con un utile di 70 dollari
Meglio poco che niente :-)
E' interessante il caso particolare di soli due giocatori: in questo caso si
vince il massimo:
1 biglietto a testa, monte premi 500.000; vincita pro capite 250.000
se compro il secondo biglietto: monte premi 333.333; mia vincita
333.333*2/3=222.222
mi conviene fermarmi comunque al primo biglietto.
Con un numero di giocatori illimitato credo invece che non si esca dal
paradosso, ne' con biglietti gratuiti, ne' con biglietti onerosi.
ciao
paolo

...
|[...]
|Una simpatica variante e` stata descritta da Doug Hofstadter su
|_Metamagical Themas_ (che e` da una vita in corso di traduzione in
|italiano... prendetevi l'edizione Penguin oppure andate a scartabellare le
|vecchie copie di _Le Scienze). Il gioco si chiamava "Lurking Lottery" e
|funzionava quasi allo stesso modo, salvo il fatto che ognuno poteva
|comprare un numero (intero positivo) qualunque di biglietti. Il montepremi
|finale era di 1.000.000/N di dollari, dove N era il numero di biglietti
|venduti, e veniva diviso proporzionalmente tra i partecipanti (cioe`, se A
|aveva comprato un biglietto e B due biglietti, B avrebbe vinto il doppio di
|A).
I numeri de *Le scienze* (edizione italiana) sono:
numero 179, luglio '83 (valutazioni metamagiche sul dilemma del prigioniero)
numero 180, agosto '83 (dove propone la lotteria)
numero 183, novembre '83 (risultati e discussioni sulla strategia)
Vedo che pero' Mau ha introdotto una variante alla lotteria originale, e
visto che concordo con la soluzione di Marco Frattini (per questa variante),
vorrei riproporre la versione di DRH.
Ognuno puo' comprare (a costo zero) un qualsiasi numero di biglietti.
Il montepremi finale e' di 1.000.000/N di dollari, dove N e' il numero di
biglietti venduti.
Il vincitore pero' e' uno solo, estratto casualmente in proporzione al
numero di biglietti che ha comprato (con un biglietto, 1 possibilita' su N;
con cento, 100 possibilita' su N).
[Un ulteriore variante che mi sembra di aver visto da qualche parte, faceva
vincere quello che acquistava piu' biglietti]
Aggiungo che DRH questa lotteria l'ha proposta davvero! e aveva un poco
allarmato i responsabili della rivista (per fortuna o purtroppo, i risultati
smentirono decisamente le preoccupazioni).
Ciao ciao
Claudio

 wrote:
% Vedo che pero' Mau ha introdotto una variante alla lotteria originale,
oops... e` vero. Mi scuso con tutti.
% visto che concordo con la soluzione di Marco Frattini (per questa variante),
Il problema della soluzione di Marco e` che comunque assumeva un numero
fisso di possibili giocatori.
% Aggiungo che DRH questa lotteria l'ha proposta davvero! e aveva un poco
% allarmato i responsabili della rivista (per fortuna o purtroppo, i risultati
% smentirono decisamente le preoccupazioni).
A dire il vero, aveva messo in palio *lui* il montepremi :-)
.mau.

...
|[...]
|Vi racconto una parabola:
|Un tale odiava senza motivo il suo vicino di casa.
|Il re lo fa chiamare e gli dice:
|"Esaudiro' qualsiasi tuo desiderio, ma il tuo vicini ricevera' il doppio di
|quello che riceverai tu."
|Il tale risponde:
|"Fammi togliere un occhio".
:-)))
E ricordi cosa fece lo stesso tale per far dispetto alla moglie?
|-------------------------------------
|Considerazioni probabilstiche
|Se lancio un dado per sei volte, quale e' la probabilita' che esca sei una
|ed una sola volta?
Vediamo:
con t indico il numero di tiri (in questo caso 6)
con f indico le facce del dado (in un ipotetico spazio multidimensionale ;-)
invece che 6 uso 1 per un dado con le facce numerate da 1 a f (con f<6 avrei
qualche problema :-)
Se un dado mi da 1, le possibili combinazioni degli altri t-1 che non danno
1 sono (f-1)^(t-1).
Il totale delle combinazioni e' f^t.
La probabilita' cercata e' allora: (t*(f-1)^(t-1))/(f^t).
Con t=6 e f=6, ottengo: 3125/7776 ~ 0.402 ~ 40%
|La probabilita' migliora se anziche' un normale dado uso un ipotetico dado
|a 5 facce, o a 7 facce, od anche con un numero non intero di facce?
C'e' un massimo con f=6 e un minimo con f=1. Questo minimo, poi, coincide
con la scelta: *Scrivo sempre il mio nome*. Una scelta perdente, che nessun
buon giocatore potrebbe fare.
Ciao ciao
Claudio

Andrea Graveglio ha scritto nel messaggio
<01bd8f1f$175beb20$LocalHost@wonwiije>...
|Conosco un solo modo di divertirmi ad un gioco: vincere.
|Soprattutto se in palio ci sono 10 miliardi...
|E l'unico modo per avere una possibilità di vincere è quella di scrivere
|il mio nome sul cartoncino poichè non scrivendo nulla non vincerei in
|nessun caso.
|Anzi, siccome un giocatore vero non gode affatto nel vedere vincere
|gli altri, prevedo che ci saranno 6 cartoncini scritti, così tutti quanti
|saluteranno (saluteremo) i 10 miliardi...
Ma non lo trovi un atteggiamento schizofrenico?
Vuoi vincere e segui la strategia peggiore? :-)
Ciao ciao
Claudio