Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Cubo colorato

Ho trovato un vecchio scatolone contenente una bella quantita', non piu'
di 3000,  di dadi di legno tutti uguali.
Allora mi sono divertito a costruire un cubo n*n*n con una certa
quantita' di questi dadi, poi ho colorato di rosso una o piu' facce del
medesimo.  Rismontato il cubo ho contato quanti singoli dadi erano stati
macchiati di rosso. Anche se vi dicessi quanti, non potreste dirmi con
certezza il valore di n.  Pero' se aggiungo che i dadi col colore, sono
1/6 di quelli adoperati per la costruzione, forse.......
:) dario

dario uri dice

   _ _
 /\   \
/  \_ _\
\S /   /
 \/_ _/
   _ _
 /\ P \
/  \_ _\
\  /   /
 \/_ _/
   _ _
 /\  O\
/  \_ _\
\  /   /
 \/_ _/
   _ _
 /\   \
/I \_ _\
\  /   /
 \/_ _/
   _
 /\   \
/  \_ _\
\  / L /
 \/_ _/
  _ _
 /\   \
/  \_E_\
\  /   /
 \/_ _/
  _ _
 /\   \
/  \_ _\
\ R/   /
 \/_ _/
L'ultimo suggerimento mi pare davvero troppo esplicito.
Se la sesta parte di n^3 e' un intero, alloroa 6 divide n.
Quindi n e' 6 o 12.
12^3/60 = 288 = 2*12^2 proprio il numero di cubi che stanno in due facce
opposte.
Anche una faccia di un cubo di lato 6 contiene 1/6 dei cubi totali, ma
mentre 288 si ottiene anche colorando 4 facce disposte a fascia di un cubo
9*9*9, 36 cubi non si possono ottenere in nessun altro modo (non e'
difficile costruire esplicitamente tutti i modi possibili di colorare le
facce del cubo: 1 faccia, 2 opposte, due adiacenti ed i 5 casi
complementari).
Ciao, Silv:o)

 :) dario
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
v
Innanzitutto contiamo quanti cubetti risulterebbero macchiati a
secondo di quante e quali facce hai colorato
1 faccia                      n^2
2 facce opposte       2n^2
2 facce contigue      2n^2-n
3 facce in fila            3n^2-2n
3 facce contigue      3n^2-3n+1
4 facce in fila           4n^2-4n
4 facce contigue      4n^2-5n+2
5 facce                     5n^2-8n+4
6 facce                     6n^2-12n+8
(dove n è lo spigolo del cubo)
Considerando che con 3.000 cubetti si possono costruire cubi fino a
14^3 e considerando anche che che per i cubi 1^3 e 2^3 si avrebbero
praticamente tutte le facce macchiate, possiamo fare il controllo, con
il solito foglio Excel, di cosa viene fuori per i cubi da 3^3 a 14^3.
Resta una sola incertezza: si hanno 1/6 dei cubetti macchiati sia se
hai colorato una faccia di un cubo 6^3 e sia se hai colorato 2 facce
opposte di un cubo 12^3

 opposte di un cubo 12^3
Ci sono cascato come un allocco. Non ho prestato molta attenzione a
quella frase
Ciao
Gianni:-(

 (dove n è lo spigolo del cubo)
Difatti per confezionare il problema ho fatto esattamente questo
schemino, ed ho trovato che i risultati doppi sono:
25 con n=3 caso h) e n=5 caso a) piu' brevemente
25  = 3h, 5a
98  = 5i, 7b
91  = 6e, 7c
169 = 8e, 13a
225 = 9d, 15a
288 = 9f, 12b
728 = 12i,14f
A questo punto dovevo introdurre un'altro indizio per rendere la
soluzione unica, ma ho fatto una scelta infelice, come dice Silvio
troppo esplicita. Cosa si potrebbe mettere nell'esposto per rendere il
problema interessante ?
:) dario

problema interessante ?
Per semplificare l'enunciato forse e' meglio trasformarlo in stile "l'eta'
dei miei figli":
I due soliti amici matenigmici:
- "Ho trovato un vecchio scatolone contenente una bella quantita', non piu'
di 3000, di dadi di legno tutti uguali. Allora mi sono divertito a costruire
un cubo n*n*n con una certa quantita' di questi dadi, poi ho colorato di
rosso una o piu' facce del medesimo. Rismontato il cubo ho notato che il
numero di dadi macchiati di rosso coincide col numero civico della tua casa"
(...no! ancora!)
- "non basta!" (e te pareva...)
- "alcuni dadi hanno due facce rosse"
- "non basta ancora"
- "piu' di uno ha tre facce rosse"
E finalmente arriva la soluzione.
Ciao, Silv:o)