Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: SUI QUADRATI MAGICI DI ORDINE PARI

SUI QUADRATI MAGICI DI ORDINE PARI
Si è scritto abbondantemente che mentre esiste un metodo generale di
costruzione per i quadrati magici di ordine dispari, per quelli di ordine
pari vi è solo la possibilità di costruirli per tentativi.
Concordo con queste assersioni solo per il quadrato 4x4, mentre per gli
altri quadrati di ordine 2n vi è sempre la possibilità di costruirli
abbastanza agevolmente a partire da un quadrato noto (*) di ordine n.
Ecco l'esempio, generalizzabile, per la costruzione del 6x6, a partire dal
3x3.
Si costruisca il q.m. 3x3 e si dividano in quattro le sue caselle. Si
inseriscano i numeri da 1 a 4 nelle caselle ottenute dalla casella 1, da 5 a
8 in quelle ottenute dalla casella 2 e così via, fino ai numeri da 33 a 36
nelle caselle ottenute dalla 9.
Otterremo il seguente quadrato (magico solo per le diagonali maggiori: somma
= 111) nel quale le righe daranno alternativamente le somme 105 e 117 e le
colonne 108 e 114.
  5    6  25  26  21  22
  7    8  27  28  23  24
33  34  17  18    1    2
35  36  19  20    3    4
13  14    9  10  29  30
15 16  11  12  31  32
A questo punto sarà estremamente agevole correggere le discrepanze
scambiando tra di loro i numeri di ciascun quartetto, con la sola avvertenza
che se si scambia uno dei numeri di una delle diagonali maggiori, occorre
scambiare anche l'altro, per non scompaginare la diagonale (ad esempio, lo
scambio 5 - 7 va compensato con quello 8 - 6).
Comunque questo problema si pone solo per il 6x6; infatti la regola (non
perfettamente valida per il 6x6) è che si debbano scambiare tra di loro la
metà dei numeri fra ciascuna coppia di righe e di colonne e già dall'8x8,
ciò si può fare senza coinvolgere i numeri delle diagonali maggiori.
Dopo questi scambi, il quadrato (finalmente magico) potrebbe diventare:
  7    8  26  27  22  21
  5    6  25  28  24  23
33  35  20  19    3    1
36  34  18  17    2    4
14  13  12    9  31  32
16  15  10  11  29  30
Sperando di non avervi annoiato,
 :-) Gianni
(*)  Se n è dispari, esiste già un metodo generale di costruzione;
      Se n è pari, potrà essere a sua volta costruito con il metodo che sto
esponendo;
      Se n è uguale a 4, è noto e documentatissimo il q.m. 4x4.

 pari vi è solo la possibilità di costruirli per tentativi.
Gianni, trovo un po'strana questa tua asserzione.
Metodi assolutemente generali, che producono tutti i quadrati di un
certo ordine, effettivamente non esistono, ed e' vero che per  quadrati
di ordine dispari vi sono metodi semplici e di "grande" generalita' ma
si conoscono molti modi per ottenere famiglie con N pari.(N=numero di
caselle del lato) 
Innanzi tutto bisogna distinguere fra due tipi :
Se N e' divisibile per 2, ma non per 4 sono detti di ordine
"semplicemente pari".
Se N e' divisibile per 4 sono detti "doppiamente pari".
Ricordo alcuni tra i vari metodi messi a punto negli anni che prendono
quasi sempre il nome del loro inventore
Per i dispari:
Bachet de Mezierac
De La Laubere
Stairstep metod
Fults' Triangular-Parallelogram
Metodo Siamese 
Lozenge (J.H.Conway)
Per i semplicemente pari:
Ralph Strachery.
De La Hire.
Devedec
LUX (J.H.Conway)
Per i doppiamente pari:
Durer
Metodo della diagonale.
De La Hire   
Franklin
e chissa' quanti altri.
ciao :)dario

 > SUI QUADRATI MAGICI DI ORDINE PARI
Per un'inesauribile fonte sui quadrati magici, storia, metodi, software,
risultati recenti ecc..
http://www.pse.che.tohoku.ac.jp/~msuzuki/MagicSquare.html
:)dario

 >

Forse sono stato un po' troppo categorico, ma sistemi generali validi per
tutti i 2n non mi pare che ci siano. Come ti sembra il mio?
:-)  Ciao Gianni


Ciao
Mauro Fiorentini

Ciao Giovanni,
Ho trovato un riferimento bibliografico sul tuo metodo:
"Magic Squares and Cubes", di Andrews, riporta a pag 163 un metodo praticamente
identico al tuo.
La fonte citata e' "Games, Ancient and Oriental" di E. Falkener, (Londra 1892, forse
Dario ce l'ha...).
Il libro asserisce che con pochi semplici scambi di righe e colonne si aggiustano
anche le somme sulle
diagonali, ma non da' altre indicazioni. L'esempio e' 6x6.
Quindi se trovi una procedura rigorosa o almeno la dimostrazione che lo scambio e'
sempre
possibile, puoi ben attribuirti la paternita' del metodo.
Buona fortuna. :-)
Mauro Fiorentini

 Mauro Fiorentini
Ho riconsiderato un po' più approfonditamente il problema e per quanto
riguarda i 4n posso già darti una regola precisa.
Ecco, ad esempio, l'8x8
   3    1     -3  -1     3   1     -3  -1
  -1  -3      1   3     -1  -3     1   3
  -3  -1      3   1     -3  -1     3   1
   1    3     -1  -3     1   3     -1  -3
   3    1     -3  -1     3   1     -3  -1
  -1  -3      1   3     -1  -3     1   3
  -3  -1      3   1     -3  -1     3   1
   1    3     -1  -3     1   3     -1  -3
Per ciascun quartetto ho indicato solo la differenza dalla media del
quartetto stesso, esprimendola in mezzi.
Come si può vedere, lo scambio (sia alto-basso che destra-sinistra) va fatto
un quartetto si ed uno no, a scacchiera, il che equivale anche a dire che un
quartetto va scritto 1-2-3-4 e l'altro in ordine inverso.
Per i 4n+2, il discorso è un po' più complicato, in quanto c'è
necessariamente, per ciascuna riga e colonna, uno scambio che deve
coinvolgere mezzo quartetto.
Sto provando in diversi modi, per trovarne uno che possa essere facilmente
enunciabile
Ciao :-) Gianni

         problema
P.P.S. Caro Mauro, scusami per l'errore di battuta :-(
           Ciao :-)))
           Gianni


 Ecco l'algoritmo valido per le 4n+2, analogo a quello per le 4n, con alcune
aggiunte e correzioni.
Se vediamo i quartetti come unità di una matrice e li identifichiamo con la
loro posizione nella matrice stessa, gli scambi debbono essere i seguenti:
1) Scambio alto-basso destra-sinistra di tutti e quattro i numeri del
quartetto
    a) Tutti i quartetti con coordinate entrambe pari od entrambe dispari
(disposizione a scacchiera) ad eccezione di 1,1; 3,3; .; n,n
2) Scambio alto-basso di una sola coppia del quartetto
a) 1,2; 1,4; ..; 1,n-3
b) 2,1; 2,3; ..; 2,n-2
c) n,n-1; n-1,n
3) Scambio sinistra-destra di una sola coppia del quartetto
a) 3,2; 5,2; ..; n,2
b) 4,1; 6,1; ..; n-1,1
c) 1,n-1; 2,n
Ovviamente, funziona anche adottando scambi diversi, ma questi scelti mi
sembra che siano abbastanza semplici da enunciare. In pratica, si invertono
i numeri sui quartetti a scacchiera (con quelle eccezioni) come per i 4n,
minimizzando le discrepanze e poi si effettua un singolo scambio per
ciascuna coppia di righe e colonne, operando solo sui quartetti che non
fanno parte delle diagonali interessate agli scambi già effettuati. In
particolare, gli scambi di un tipo avverranno su tutti i quartetti utili
delle prime 2 colonne ad eccezione dell'ultimo di ciascuna colonna e sull'
ultimo quartetto utile di ciascuna delle ultime 2 colonne, quelli dell'altro
tipo su tutti i quartetti utili delle prime 2 righe ad eccezione del primo
di ciascuna riga e sul primo quartetto utile di ciascuna delle due ultime
righe.
Ma meglio di qualunque descrizione, che rischia di diventare involuta nella
ricerca di precisione di linguaggio, ecco l'esempio per il 14x14 (ho
adottato le stesse convenzioni del mio precedente msg).
 -3 -1     1 -1     3   1    -1 -3     3   1    -1 -3     3  1
  1   3    -3  3    -1 -3     1   3    -1 -3     1   3    -1 -3
  1 -1      3  1    -1 -3     3   1    -1 -3     3   1    -1 -3
 -3  3    -1 -3     1   3    -1 -3     1   3    -1 -3     1  3
  3   1     1 -1    -3 -1    -3 -1     3   1    -3 -1     3  1
 -1 -3   -3   3     1   3     1   3    -1 -3     1   3    -1 -3
  1 -1     3   1    -3 -1     3   1    -3 -1     3   1    -3 -1
 -3  3    -1 -3     1   3    -1 -3     1   3    -1 -3     1  3
  3   1     1 -1     3   1    -3 -1    -3 -1    -3 -1     3  1
 -1 -3    -3  3   -1  -3     1   3     1  3      1  3     -1 -3
 -1 -3     3  1    -3 -1     3   1     -3 -1     3   1     1 -1
  1   3    -1 -3    1   3    -1 -3      1   3    -1 -3    -3  3
  3   1    -1 -3    3   1    -3 -1      3   1     1 -1    -3 -1
 -1 -3     1   3   -1 -3     1   3     -1 -3    -3  3      1  3
Il procedimento, con l'ausilio di Excel, è stato provato fino al 98x98 e non
mi sembra che possano esserci dubbi sulla sua applicabilità generale. L'
unica eccezione è rappresentata dal 6x6 (per cercare di comprendere il
quale, mi ero infilato in una serie di vicoli ciechi). Per esso sono
necessari degli scambi aggiuntivi (Cfr. il 1° msg di questa serie).
A questo punto, sono promosso? E con che voto? ;-))
Ciao    Gianni
P.S. Ringrazio Mario Fiorentini, per la spinta ad esaminare più a fondo il
        problema

 > Dario ce l'ha...).
Ragazzi! vi ringrazio della fiducia,ma questo proprio NON ce l'ho.
Se puo' interessare, per informazioni bibliografiche, ho appoggiato la
lista dei miei libri di mat. ricreativa e dintorni in :
http://digilander.iol.it/maior2000/
Ciao :)dario

         problema
Di nulla. Spingere gli altri a perdere il sonno e' sempre un piacere... :-)
Continua!
Mauro Fiorentini
P.S., se vuoi , posso mandati altri dettagli, che richiedono Word o
Excel per non impazzire con i disegni. Scrivimi a  
mfior...@etnoteam.it


Grazie del suggerimento.
A questo punto
Q.M. 8x8
xBxBxBxB
BxBxBxBx
xBxBxBxB
BxBxBxBx
xBxBxBxB
BxBxBxBx
xBxBxBxB
BxBxBxBx
Q.M. 18x18
xxBxBxBxB        xCxxxxxxx         xxxDxDxDx
xBxBxBxBx        Cxxxxxxxx         xxDxDxDxD
BxxxBxBxB        xCxxxxxxx         xxxxxxxxx
xBxBxBxBx        Cxxxxxxxx         xxxxxxxxx
BxBxxxBxB        xCxxxxxxx         xxxxxxxxx
xBxBxBxBx        Cxxxxxxxx         xxxxxxxxx
BxBxBxxxB        xCxxxxxxx         xxxxxxxxx
xBxBxBxBx        xxxxxxxxC         Dxxxxxxxx
BxBxBxBxx        xxxxxxxCx         xDxxxxxxx
Per maggior chiarezza, o segnato separatamente i diversi tipi di scambi.
Ovviamente, i quartetti non interessati resteranno di tipo A.
Come si può vedere e più facile operare che descrivere (almeno senza il tuo
suggerimento).
Proviamo a riscrivere gli enunciati.
                              (omissis)
A questo punto sarà estremamente agevole correggere le discrepanze
scambiando tra di loro i numeri di ciascun quartetto.
Gli scambi sono di tre tipi .. (descrizione dei tipi di scambio + A =
quartetto non scambiato) ..
Le matrici verranno, quindi, composte da quartetti sistemati nel seguente
modo:
Le righe dispari di quartetti, come BABA...... e quelle pari come ABAB...
In più, se le righe di quartetti sono in numero dispari, valgono le seguenti
regole aggiuntive:
Il 1° quartetto della 1° riga, il 3° della 3° riga, etc. , vanno lasciati di
tipo A.
Il 2° quartetto delle righe dispari ed il 1° di quelle pari, dovrà essere di
tipo C ad eccezione delle due ultime righe, nelle quali il quartetto C
comparirà rispettivamente in ultima ed in penultima posizione.
Analogamente, il 2° quartetto delle colonne dispari ed il 1° di quelle pari,
dovrà essere di tipo D, ad eccezione delle due prime colonne, nelle quali il
quartetto D comparirà rispettivamente nella penultima e nell'ultima
posizione.
 E' più chiaro ora?
:-) :-) Bye Bye
Gianni