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Titolo: [FI] Geniale progettista

Posto questo enigma tratto dal forum di intelligiochi.
Non so se e' gia' noto.
Non e' stato ancora risolto.
Una nave militare è in movimento a velocità costante.
La sua forma è un quadrato di lato 500m.
Un elicottero della marina controlla la nave girando lungo il suo
perimetro.
Mentre l'elicottero compie un giro completo la nave si è spostata di
500m.
Quanti metri ha percorso l'elicottero?
Considera costanti le velocità dei due mezzi.
margravio


Cosi a occhio:
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
dato che le 2 velocità sono costanti
lato longitudinale + lato trasversale +
lato longitudinale + lato trasversale = totale
posto x = qualcosa dato dalle differenti velocità
500+(500+x)+500+(500-x)=2000m
E' come andare avanti e indietro in un treno
Elo giust?
Ciao
*frankyz
Ps: ragazzi, qui lo dico e qui lo nego!

 wrote in message aqb0fp$q20$1...@serv1.albacom.net...

sbagliato.
la nave si muove. intanto che l'elicottero arriva dove c'era prima lo spigolo, questo si è spostato
in avanti. tu sai che la velocità della nave e quella dell'elicottero sono costanti, ma non uguali.

 Considera costanti le velocità dei due mezzi.
-
.
.
S
P
O
I
L
E
R
.
.
-
A me viene:
(1000 m) * (1+sqrt(5)/2) = 2118 m
Dade :)

 sbagliato.
[...cut...]
Eh... Lo sapevo.
Non ci capisco tanto di niente.
Cheers!
*frankyz


sempre dal forum di intelligiochi, da parte dell'autore del gioco
------------------
Poiché l’elicottero non può essere ritenuto solidale con la nave,
bensì la sorvola in modo che la sua verticale ne percorra il
perimetro, occorre mantenere costante il rapporto delle velocità
dell’elicottero (Ve) e della nave (Vn), mentre i tempi di percorrenza
dei 4 lati saranno differenti (a due a due, per l’ipotesi fatta sulla
direzione).
Per semplificare i calcoli si può ipotizzare che la nave si stia
muovendo nella direzione della diagonale. In tal modo, l’elicottero
che parte, ad esempio, dall’angolo di poppa, percorrerà il 1° ed il 2°
lato in un certo tempo t (uguale per entrambi i lati) ed il 3° e 4°
lato in un tempo t’
Detto X lo spazio percorso dalla nave mentre la verticale
dell’elicottero percorre il 1° lato della nave (distanza Se) e detta A
= 500/SQRT(2)la semidiagonale della nave, si ha:
Vn*t = X 
Ve*t = Se = SQRT(A^2+(A+X)^2) (1)
Detto Y lo spazio percorso dalla nave mentre la verticale
dell’elicottero percorre il 3° lato della nave (distanza S’e) e detta
A = 500/SQRT(2)la semidiagonale della nave, si ha:
Vn*t’ = Y 
Ve*t’ = S’e = SQRT(A^2+(A-Y)^2) (2) 
Inoltre, deve essere: 2*(X+Y) = 500
Semplificando il tempo ed eguagliando i rapporti delle velocità si
ottiene:
X/SQRT(A^2+(A+X)^2) = Y/SQRT(A^2+(A-Y)^2)
Sostituendovi Y = 500/2-X, si ottiene un’equazione di secondo grado in
Y che, risolta, fornisce come soluzione accettabile il seguente
valore: Y=(500*(SQRT(2)+4)-500*3* SQRT(2)) / (4* SQRT(2)) = 103.55
metri
Pertanto: X = 250–Y = 103.55 metri
Se = 612.37 metri
S’e = 433.01 metri
Quindi, il percorso totale dell’elicottero è pari a: 2*(Se+S’e) =
2090.76 metri
Tale risultato è, ovviamente, indipendente dalla direzione della nave.
------------------
margravio

 Considera costanti le velocità dei due mezzi.
Per vedere l'ascii-art usare caratteri fissi.
Intanto sottintendo che la nave si muova con rotta
ortogonale alla sua geometria. L'elicottero viaggi
con  velocita' Ve > Vn, velocita' della nave.
  B ______________C
   |              |
   |              |
   |              |
   |              |
------------------------>
   ^   /Ve        |
   |  /           |
   | /            |
   |/__\__________|
   A   /Vn        D
                               _____
L'elicottero percorre la rotta ABCDA che in assoluto
sara' come disegnata qua sotto:
           B_______________________C
           /                       \
          /                         \
         /                           \
        /                             \
------------------------------------------------->
      /                                 \
     /                                   \
    /                                     \
   /A                   A'_________________\D
Poiche' la velocita' apparente nel tratto BC sara'
Ve-Vn e nel tratti DA' sara' Ve+Vn, la somma
BC+DA'=1000m
Resta da determinare AB=CD inclinati come lo e' Ve
rispetto Vn. Per trovare questa inclinazione occorre
determinare il rapporto tra le velocita', essendo che
le velocita' assolute non si possono determinare per
insufficienza di dati.
Basta uguagliare i tempi impiegati nei due percorsi.
Per la nave: T=500/Vn
Per l'elicottero:
T=500/(Ve+Vn)+500/(Ve-Vn)+1000/SQR(Ve^2-Vn^2)
Con un po' di pazienza si ricava Ve=4.181Vn   s.e.&.o.
Da cui AB=CD=1,03x1000
e il percorso dell'elicottero di 2030m.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Tale risultato è, ovviamente, indipendente dalla direzione della nave.
Ma non dall'orientamento della nave rispetto alla rotta !!!
(vedi sol. data indipendentemente).
Io una nave quadrata l'ho assimilata ad una chiatta. Mai visto chiatte
navigare in diagonale. :o)))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 BC+DA'=1000m
Questa e' un'approssimazione ingegneristica  :o)) eccessiva,
valida solo per Ve>>Vn. In realta' vale:
500Ve/(Ve-Vn)+500Ve/(Ve+Vn)=~1060m per Ve/Vn=4.181
Per cui il percorso dell'elicottero vale ~2090m
Acc... vuoi vedere che e' una costante per qualunque orientamento
e forma della nave? Vado a fare qualche integrale, se mi ricordo
come si fa.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Considera costanti le velocità dei due mezzi.
Questo tipo di problema diventa di soluzione "abbastanza" semplice se lo si
affronta mettendosi in un sistema di riferimento diverso da quello
terrestre. In questo caso osservando la scena dalla nave.
Un marinaio sulla nave vedrà l'elicottero muoversi a velocità diverse per i
4 lati (per l'esattezza quando l'elicottero si sposta trasversalmente alla
nave, le due velocità sono uguali). Alla fine, dal punto di vista del
marinaio, l'elicottero avrà percorso i 2000 metri del perimetro della nave.
Semplificando le cose, consideriamo che il lato della nave sia lungo 1 e che
il tempo che la nave impiega a spostarsi di 1 lato sia 1 (minuto), la
velocità della nave è quindi 1 (lato al minuto). Dobbiamo determinare la
velocità v dell'elicottero.
Supponiamo che l'elicottero parta da prua, in direzione trasversale alla
nave. Allora il marinaio vede inizialmente l'elicottero muoversi a una
velocità inferiore a quella che avrebbe l'elicottero visto da fermo, questa
velocità è la risultante dei moti combinati dell'elicottero e della nave. Il
valore è sqrt(v^2-1). Poi, in direzione opposta alla direzione della nave,
la velocità sarà v+1, ancora trasversalmente sarà sqrt(v^2-1), poi, quando
l'elicottero va nella direzione della nave, risulterà essere v-1.
Ad ognuna delle suddette velocità l'elicottero percorre una distanza pari al
lato della nave e una volta che avrà fatto il giro completo sarà passato 1
minuto.
La formula diventa: 1/sqrt(v^2-1) + 1/(v+1) + 1/sqrt(v^2-1) + 1/(v-1), da
cui, se uno è capace di fare i calcoli (altrimenti fa come me e usa Excel)
trova v = ~4.180. Moltiplicando per 500, dà ~2090 metri al minuto.
Ciao
Giorgio

 trova v = ~4.180. Moltiplicando per 500, dą ~2090 metri al minuto.
Elementare, Watson, elementare!   :o)))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Considera costanti le velocità dei due mezzi.
Mi pongo nel sistema di riferimento della nave, scegliendo gli assi
cartesiani paralleli ai lati della nave. Scelgo come unità di lunghezza
il lato della nave e come unità di tempo il tempo impiegato
dall'elicottero a fare il giro. Allora la velocità V della nave (vista
da terra) ha modulo 1, mentre la sua direzione è arbitraria e chiamo a
l'angolo che essa forma con l'asse x:
V = (cos a, sin a).
L'elicottero ha velocità diverse mentre percorre i quattro lati della
nave; se v1, v2, v3 e v4 sono i loro moduli, i vettori corrispondenti
saranno:
(v1, 0),  (0, v2),  (-v3, 0),  (0, -v4).
Noi sappiamo che il tempo impiegato dall'elicottero è 1, quindi:
(1)    1/v1 + 1/v2 + 1/v3 + 1/v4 = 1.
In un sistema di riferimento solidale al suolo (ma con gli assi
orientati nello stesso modo) la velocità dell'elicottero si ottiene
sommando a quella vista sopra la velocità della nave: 
(v1 + cos a, sin a),  (cos a, v2 + sin a),  
(-v3 + cos a, sin a),  (cos a, -v4 + sin a).
Inoltre sappiamo che in questo sistema di riferimento le quattro
velocità hanno lo stesso modulo, quindi:
(2)  (v1 + cos a)^2 + (sin a)^2 = (cos a)^2 + (v2 + sin a)^2
(3)  (v1 + cos a)^2 + (sin a)^2 = (-v3 + cos a)^2 + (sin a)^2
(4)  (cos a)^2 + (v2 + sin a)^2 = (cos a)^2 + (-v4 + sin a)^2
Le equazioni (1)-(4) consentono di ricavare le 4 velocità in funzione
dell'angolo a. In particolare, dalla (3) e dalla (4) si ricava subito:
v3 = v1 + 2 cos a,    v4 = v2 + 2 sin a,
e sostituendo queste nelle (1) e (2) si ottiene un sistema di due
equazioni in due incognite da cui si possono ricavare v1 e v2.
Infine, lo spazio percorso dall'elicottero è semplicemente uguale alla
sua velocità vista da terra, cioè:
x = spazio percorso = sqrt(1 + v1^2 + 2 v1 cos a).
Ho fatto risolvere a Mathematica il sistema ed ho ottenuto così lo
spazio percorso x; l'espressione risultante è troppo complicata per
riportarla qui, però ne ho fatto il grafico e quindi posso dire che il
risultato dipende dall'angolo a, anche se debolmente: l'andamento di x è
sinusoidale, con periodo uguale a Pi/2; il valore massimo di x si
raggiunge per a = Pi/4 e vale 4.18154... mentre il valore minimo si
ottiene per a = 0 e a = Pi/2 e vale 4.18113...
Quindi l'estensore del quesito si sbaglia: il risultato dipende
dall'angolo che la velocità della nave forma con i suoi lati.
Maurizio

Maurizio
nella mia diuturna opera di collegamento, posto alcune considerazioni
successive a questo scritto apparse sul forum di intelligiochi
-----------------
in effetti la cosa è strana e interessante: se la nave naviga lungo la
diagonale l'elecottero deve andare un pochino pochino più veloce per
fare il giro nello stesso tempo... 
l'ho verificato personalmente usando un metodo iterativo, quindi
diverso da quello citato da margravio, e mi viene esattamente lo
stesso: una lievissima sinusoide o qualcosa di simile.
Qualcuno pensa di avere qualche idea del motivo fisico di ciò?
Ho fatto delle prove facendo diventare la nave un rettangolo: se
viaggiamo lungo la bisettrice di un angolo (non la diagonale!) non c'è
nessuna variazione (ovviamente), mentre navigando "a chiatta" cambia
abbastanza.
Se vi interessa vi do un ultimo dato:
c'è equivalenza tra le velocità dell'elicottero (e quindi sulla
distanza da esso percorsa) calcolata nel moto della nave lungo la
diagonale e nel moto a chiatta se:
1) a pari perimetro se la chiatta è un rettangolo leggermente
allungato (quasi 504 m nella direzione del moto
2) se la chiatta ha ogni lato più lungo di circa 5 cm, quindi un
perimetro di 2000,2 m.
perché, perché, perché???
----------------------
ciao
margravio