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Titolo: probabilità parodossale

Ciao a tutti,
    Sono da tempo lettore del newsgroup ma solo ora
intervengo come scrittore.
L'enigma "un sacco di palline" proposto da Paolo Licheri, mi
ha fatto ricordare questo problemino di probabilità che, se pure
non difficile, ha una risposta un po' sorprendente o addirittura
paradossale per alcuni.
    In un urna sono state immesse n palline numerate da 1 a n
e rimescolate accuratamente.
Il numero n è stato sorteggiato a caso (cioè con
uguale probabilità) e può andare da 1 a 1000.
Vincete 1000$ se indovinate il numero n di palline nell'urna.
L'impresa è ardua perchè avete una probabilità su 1000
di indovinare, ma inaspettatamente vi arriva una soffiata:
un amico vi dice che sbirciando dentro l'urna ha visto parecchie
palline e in particolare è riuscito a leggere il numero 901 su una
di esse. Bene! Ora sapete che 900 < n <=1000  e potete escludere
i numeri da 1 a 900; ma la probabilità di indovinare è ancora bassa,
1/100 .... o forse no?
Su che numero vi conviene puntare?
Ciao.
Massimo.

 Su che numero vi conviene puntare?
O non ci ho capito niente io, o c'è qualcosa che non quadra...
--
Er Roscio.

 Su che numero vi conviene puntare?
S
P
O
I
L
E
R
Sul 901.
Ciao
Giulio

 1/100 .... o forse no?
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forse no.
Il fatto di aver visto la 901 ci da un'appiglio per poter stimare il valore
di n con in maniera verosimile.
Utilizziamo la formula di Bayes dell'inversione della causa con l'effetto.
Cerchero` di giustificare i passaggi per chi non conosce il metodo.
Dunque: la probabilita` P(n=k,a=901) che le palline siano k e che sbirciando
a caso capiti di vedere la 901 si puo` calcolare in due modi distinti:
(1) P(n=k|a=901)*P(a=901)
ovvero moltiplicando la probabilita` che le palline siano k sapendo di aver
visto la 901 per la probabilita` *a priori* di pescare proprio la 901,
oppure
(2) P(a=901|n=k)*P(n=k)
ovvero moltiplicando la probabilita` di pescare la 901 sapendo che sono k,
per la probabilita` a priori che siano proprio k.
Confrontando i due procedimenti si ottiene la formula di Bayes:
P(n=k|a=901)=p(a=901|n=k)*P(n=k)/P(a=901);
p(a=901|n=k) vale 1/k per k>900 e 0 altrimenti
P(n=k)=1/1000
P(a=901) si potrebbe calcolare, ma ci basta sapere che non dipende certo da
k, ma e` costante e vale c.
Allora scommettendo che nell'urna ci siano k palline, con k ovviamente
maggiore di 900 avremmo una probabilita' di vincere che vale:
P(n=k|a=901)=1/k*1/1000*1/c
ed e` massima quando k e' la piu' bassa possibile, ovvero per k=901
La cosa non deve sorprendere piu` di tanto: meno sono le palle e piu` facile
e` che sbirciando a caso si riesca a vedere proprio la 901, quindi l'aver
visto proprio la 901 e` frutto piu` probabilmente di una situazione con 901
palle che non con 1000.
Quello che e` ancora piu` sorprendente secondo me e che se anche non
avessimo idea del range di variazione di n, ne` delle modalita` di scelta
del numero di palline nell'urna, la stima piu` verosimile di n sarebbe
sempre 901. Notate che in questo caso non potremmo utilizzare il metodo di
Bayes, non essendo nota la distribuzione *a priori*.
Ciao, Silv:o)

 
Non è tanto sorprendente se pensi che per tutti i valori di N >= 901 la
pallina 901 è sempre presente, mentre le altre hanno una distribuzione
che segue una linea retta con pendenza negativa (902 appare 99 volte,
903 appare 98 volte, etc.). In questa distribuzione il 1000 appare solo
in un caso: quello che venga sorteggiato il numero 1000.
Seguendo lo stesso ragionamento, in un sacco che contiene una quantità N
di palline, con 1<=N<=1000, converrebbe comunque scommettere sul numero
1.
Ciao
Giulio

Da quello che leggo l'unica cosa che so è di avere ALMENO 1 possibilità su
901!
Ma secondo me è formulato male.

 wrote:
: > in particolare è riuscito a leggere il numero 901 su una
: > di esse. Bene! Ora sapete che 900 < n <=1000  e potete escludere
: > i numeri da 1 a 900; ma la probabilità di indovinare è ancora bassa,
: > 1/100 .... o forse no?
: > Su che numero vi conviene puntare?
: 
Sono d'accordo sullo spoiler.
Per la precisione, il mio modello e` il seguente:
- e` stato scelto a caso il numero di palline da mettere
- sono state messe le palline nell'urnona
- abbiamo estratto a caso una pallina ed e` la 901
Mio spoiler:
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 V
 
Supponiamo che il numero massimo di palline sia tre, e che il mio amico
abbia sbirciato una delle palline.
A questo punto le probabilita` sono le seguenti: le indico nella forma 
M(N) intendendo che ci sono N palline nell'urna e lui ha sbirciato la
pallina M.
1(1) = 1/3
1(2) = 1/6
2(2) = 1/6
1(3) = 1/9
2(3) = 1/9
3(3) = 1/9
Visto che la pallina vista e` la 2, solo il terzo e il quinto caso sono
possibili: rinormalizzando abbiamo 
2(2) = 3/5
2(3) = 2/5
quindi mi conviene dire che ci sono due palline nell'urna.
ciao, .mau.

 in un caso: quello che venga sorteggiato il numero 1000.
Tu stai dicendo che se le palline sono piu` di 900 allora la 901 c'e`
sempre, la qual cosa non mi sorprende. Inoltre continui a riferirti alla
situazione in cui il numero di palline da inserire nell'urna e` scelto a
caso tra 1 e 1000, mentre io parlavo del caso piu` generico in cui nulla
sappiamo della composizione dell'urna, che potrebbe contenere un qualsiasi
numero di palline, con una probabilita` la cui legge non conosciamo
(potrebbe essere uniforme, oppure a scalare fino ad un valore limite, o
esponenziale o quello che vuoi). Se io ti dicessi che prima lancio una
moneta, se esce croce metto nell'urna 950 numeri, altrimenti scelgo a caso
tra 1 e 1000, il 901 sarebbe ancora presente piu' volte di tutte, ma se tu
non scommetti sul 950 sei un folle.
Nel caso di ignoranza assoluta non puoi fare meglio, in sede di stima, che
ipotizzare che il numero di palline sia proprio dato dalla pallina che sei
riuscito a vedere. Questa tipo di stimatore si chiama "di massima
verosimiglianza", ad indicare il fatto che la composizione dell'urna dalla
quale con piu` facilita` si estrae il numero k e` proprio quella con k
numeri. Non e` l'unico stimatore possibile, ed ha anche qualche difetto, per
esempio e` *distorto*, nel senso che se calcoli il numero medio delle
palline inserite nell'urna, questo valore non coincide con la media delle
stime fatte usando una singola osservazione. Quasto e` ovviamente dovuto al
fatto che quasi sicuramente la nostra e` una sottostima del numero di
palline nell'urna, pur essendo la piu` verosimile.
Conoscendo la legge che regola il numero di palline inserite nell'urna, come
nel nostro caso, potremmo tentare di fare una stima *non distorta*. Per
esempio potremmo pensare che il numero visto sia quello di mezzo tra i
presenti, non essendoci motivo per cui debba essere tra i piu` alti o i piu`
bassi. Quindi stimiamo n=2k-1, dove k e` il valore osservato. In questo caso
la stima e` mediamente corretta, nel senso che non e` sistematicamente
sbilanciata, ma non e` la piu` verosimile, quindi se dovessi scommettere,
pur sapendo che quasi sicuramente sbaglio per difetto, direi 901.
Ciao, Silv:o)

Le osservazioni scaturite da questo interessante problema mi hanno portato a
proporre alcune varianti. Lo scenario e` sempre quello proposto da Massimo:
In un urna sono state immesse n palline numerate da 1 a n e rimescolate
accuratamente.
Il numero n è stato sorteggiato a caso (cioè con uguale probabilità) e può
andare da 1 a 1000.
La scommessa e` leggermente diversa.
(1) Vincete 1000$ se vi avvicinate piu` degli altri concorrenti al numero n
di palline nell'urna.
(2) Come sopra, ma se la vostra stima e` maggiore del numero effettivo
allora *sballate* e quindi perdete, una specie di OK il prezzo e` giusto.
Un amico vi dice che sbirciando dentro l'urna ha visto parecchie palline e
in particolare è riuscito a leggere il numero 901 su una di esse. Bene! Ora
sapete che 900 < n <=1000  e potete escludere i numeri da 1 a 900.
Su che numero vi conviene puntare nei due casi?
Ciao, Silv:o)


Anch'io sono caduto nell'inganno! Il fatto è che bisogna indovinare n e non
il numero estratto! Quindi è logico che tutti i numeri inferiori a 901 sono
da scartare!
Considerando che se io avessi 1 sola possibilità si direbbe che ne ho 1 su
1000.
Se ne avessi due (arbitrariamente) ne avrei 2 su 1000 cioè 1/500.
Di questo passo è facile intuire che conoscendo il numero 901, ho 901
probabilità su 1000 cioè 1 su 1,098.
A questo punto mi conviene puntare sul 901 (che è l'unico numero dei mille
che so che c'è(e che mi ha scartato gli altri 900!!))!

 1.
Attenzione: dire che ci sono almeno 901 palline e dire di aver visto la 901
sono due cose abbastanza differenti. La seconda implica la prima ma non
viceversa.
Se io so che ci sono lameno 901 palline non ho nessun motivo per stimare il
numero delle palline in 901 anziche' un numero superiore. Aver *visto* la
901 invece mi da informazione. Mi dice che e` successa una cosa, e mi induce
a pensare "ma..., se fossero 936, pescandone una a caso quante volte
pescherei la 901? e se fossero proprio 901?" innescando quindi il meccanismo
di Bayes. Diversamente, se chiedessi all'organizzatore: "ma la 901 c'e`?" in
caso di risposta positiva non potrei puntare con qualche fondamento su un
numero superiore al 900 piuttosto che su un altro.
Quindi se qualcuno mi dice che c'e` almeno la palla numero uno nell'urna, se
lo poteva pure risparmiare, se invece mi dice che da un buchetto dell'urna
ha intravisto il numero uno, e` pacifico che io scommetto sulla presenza di
un'unica palla.
Ciao, Silv:o)