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Titolo: L'orologio e le cariche [fisica]

Vi propongo un quesito abbastanza facile credo per i ferrati, preso dai
problemi del mio libro di Fisica2 (halliday, Resnick, Krane).
L'ho risolto non vi preoccupate, non è un espediente per farmi fare da voi i
miei compiti a casa :p
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Sul quadrante di un orologio vengono fissate una serie di cariche
puntiformi -q, -2q, -3q..., -12q in corrispondenza delle tacche orarie
corrispondenti. Le lancette dell'orologio non perturbano il campo elettrico.
A quale ora la lancetta delle ore punterà nella stessa direzione del campo
osservato al centro del quadrante?
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Per i digiuni di matematica e fisica la cosa è un pò complicata, ma provate
a considerare il campo prodotto da una singola carica in quel punto come una
freccia con direzione congiungente i due punti (punto al centro, e la
carica), col verso rivolto verso la carica e lunghezza (intensità)
proporzionale alla carica. Il campo totale è uguale alla somma di tutti e 12
i campi. In che direzione va' la freccia del campo totale?
Ciao, :o)
Luca(riello)

 osservato al centro del quadrante?
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Così ad occhio, 9:30?
Ciao
m

 osservato al centro del quadrante?
-
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S
P
O
I
L
E
R
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-
In notazione complessa si ha un campo elettrico:
E = somma[n=1,12] n*z^n
con z = e^(i*pi/6)
Sviluppando si ha:
E = z*somma[n=1,12] n*z^(n-1) =
   = z*(d/dz) somma[n=1,12] z^n =
   = z*(d/dz) ((1-z^13)/(1-z)-1) =   (poiché z^13=z)
   = z*(d/dz) ((1-z)/(1-z)-1) =
   = 0
Campo nullo (?): o ho sbagliato i calcoli, o la lancetta delle ore punta 
sempre nella direzione del campo.
Dade :)

 Così ad occhio, 9:30?
credo proprio di sì, e si può verificare facilmente eliminando coppie di
cariche uguali e contrarie.
Elimino la 1, e la 7 diventa 6
elimino la 2, e la 8 diventa 6
...
elimino la 6, e la 12 diventa 6.
In conclusione, rimangono 6 cariche uguali, di valore 6, nelle posizioni da
7 a 12, e, per simmetria, il centro corrisponde alle 9.30
ciao
paolo

    = z*(d/dz) ((1-z^13)/(1-z)-1) =   (poiché z^13=z)
Prima sarebbe meglio derivare ;)
ciao
m


Infatti l'ho fatto così :)
per quello dicevo "ad occhio"
ciao
m

 credo proprio di sě, e si puň verificare facilmente eliminando coppie di
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Ecco dove sbagliavo!
Dade :)

 osservato al centro del quadrante?
Spoiler
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Alle 9:30.
Le dodici cariche si possono raggruppare a coppie di cariche diametralmente
opposte: 1 e 7, 2 e 8, 3 e 9, 4 e 10, 5 e 11, 6 e 12.
Ogni coppia si può rimpiazzare con una sola carica negativa da 6, posta in
sostituzione della carica più grossa fra le due. Le dodici cariche sono
quindi equivalenti a sei cariche da -6 poste alle ore: 7,8,9,10,11,12. Per
simmetria il campo punterà lungo la bisettrice dell'angolo di 150° che dal
centro vede le sei cariche, cioè verso le ore 9:30.
Ciao
Andrea

    = z*(d/dz) ((1-z)/(1-z)-1) =
Occhio che non puoi fare questa sostituzione dentro la derivata!
Prima derivi e poi sostituisci, in questo caso però non mi sembra che i
conti
siano banali, utilizzando questo metodo coi complessi.
Ciao
Andrea

 ha scritto nel messaggio
news:qb6lb.321741$R32.10...@news2.tin.it...
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 conti siano banali, utilizzando questo metodo coi complessi.
Sì, mi ero già reso conto dell'errore. Il metodo coi complessi ha il 
vantaggio di calcolare anche l'intensità del campo, oltre alla direzione 
e verso che si possono dedurre col ragionamento più semplice ed elegante 
che altri hanno dato.
A me risulta:
|E| = 12*sqrt(2+sqrt(3)) = 23.18...
Dade :)

 ha scritto nel messaggio
news:bn4k4t$p9i$1...@lacerta.tiscalinet.it...
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 ha scritto nel messaggio
news:bn5d4l$thjf7$1...@ID-92928.news.uni-berlin.de...
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