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Titolo: Enigma coi dadi...

Ecco un simpatico enigma preso dal sito segnalato da Dario:
A,B e C lanciano a turno e ciclicamente 3 dadi ciascuno,
ogni volta chi tira i dadi punta 10$ e il primo che fa almeno 10
coi suoi 3 dadi vince tutto il piatto.
Quanto si puņ aspettare di vincere ciascun giocatore?
(Non le prob. di vittoria, ma l'importo medio che ad ogni partita
A,B o C vince o perde)
Il risultato č piuttosto interessante...
Ciao
Andrea
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Quale sito?
Per la risposta ci devo pensare. Intendi su una singola partita, vero?
Perche'
su tante partite il vantaggio o svantggio di iniziare per primi viene
ciclicamente
distribuito, quindi nessuno e' favorito e il gioco diventa simmetrico.
Un'altro chiarimento: se A fa 10 vince e la partita si interrompe? Quindi
B e C potrebbero non giocare affatto?
Vedo ben messo C, A occhio? ma vorrei fare qualche conto.
Ciao
Mauro Fiorentini

 Il risultato č piuttosto interessante...
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Innanzitutto chiamiamo p la probabilita' di fare almeno 10 con tre lanci, ed
e' facile vedere, elencando i possibili casi, che succede 135 volte su 216.
Quindi p=5/8 e q=3/8 e' la probabilita' di fare meno di 10 e passare la
mano.
Vediamo le possibili vincite di A, B e C associate ad ogni esito
n  pr.     A     B     C
-------------------------
1  p       0     0     0
2  pq     -1     1     0
3  pq^2   -1    -1     2
4  pq^3    2    -1    -1
5  pq^4   -2     3    -1
6  pq^5   -2    -2     4
7  pq^6    4    -2    -2
8  pq^7   -3     5    -2
9  pq^8   -3    -3     6
.  .       .     .     .
la colonna di B e' la stessa di A, spostata di uno verso il basso e
ovviamente con un gettone in piu per ogni vittoria, quella di C e' traslata
di due e ha due gettoni in piu' per vittoria, infatti B sta a guardare un
lancio senza rischiare niente, ma se gli arriva il giro ha gia' un gettone
nel piattino, C incrocia le dita per due lanci ma se gli arriva il giro puo'
vincere da subito due gettoni.
Operiamo una sorta di riallinemento:
n  pr.     A     B     C
-------------------------
1  p       0     1     2
2  pq     -1    -1    -1
3  pq^2   -1    -1    -1
4  pq^3    2     3     4
5  pq^4   -2    -2    -2
6  pq^5   -2    -2    -2
7  pq^6    4     5     6
8  pq^7   -3    -3    -3
9  pq^8   -3    -3    -3
.  .       .     .     .
Ora le colonne rappresentano le vincite di A, B e C nel caso in cui il giro
sia arrivato fino a loro, e anche n e pr. sono relativi a questa premessa.
Voglio dire che se A non vince subito (prob. q) allora B vince 1 gettone se
fa subito 10, ne perde uno se vince il suo vicino e cosi' via, mentre se non
vincono ne A ne B (prob. q^2), allora C vince 2 gettoni se fa subito piu' di
10, ne perde uno se vince il suo vicino e cosi' via.
Siano vA, vB e vC le vincite medie di queste colonne. La vincita media
effettiva di A sara' vA, quella di B sara' q*vB e quella di C q^2*vC
Che realzione c'e' tra vA, vB e vC?
Le colonne sono uguali nelle componenti negative, le colonne B e C hanno uno
e due gettoni in piu' nelle componenti positive. Quindi vB = vA + p + pq^3 +
pq^6 + .. + pq^3n + ..
Cioe', ricordando che la somma della serie geometrica 1+r+r^2+..+r^n+.. vale
1/(1-r), si ottiene vB = vA + p(1/(1-q^3)) = vA + 1/(1+q+q^2).
Analogamente si ottiene vC = vA + 2/(1+q+q^2)
Ora, poiche' i soldi che girano li tirano fuori i giocatori, la vincita
media totale e' nulla, per cui
vA + q*vB + q^2*vC = 0, da cui si deduce
vA = -2688/9409 = -0.285
vB =  1320/9409 =  0.14
vC =  1368/9409 =  0.145
Ciao, Silv:o)


Ottimo, Silvio! Veniva lo stesso risultato anche a me,
ma se lo confermi anche tu vuol dire che è proprio giusto.
La cosa carina è che A è l'unico che ci rimette, pur avendo
64/97 prob. di vittoria, mentre il furbo C con solo 9/97 prob.
alla fine incassa più di tutti!
Ciao
Andrea
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