Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Urna e palline

Ho trovato un simpatico enigma:
Estraiamo una palla da un'urna che ne contiene inizialmente
una rossa e una verde; se è rossa la ributtiamo dentro
e aggiungiamo nell'urna un'altra rossa e una verde; se invece è verde
non facciamo altro. Poi continuiamo a pescare più volte con le stesse
regole.
Trovare la probabilità che alla lunga le verdi si esauriscano.
Ciao
Andrea

 Trovare la probabilità che alla lunga le verdi si esauriscano.
Abbiamo, ovviamente, che se peschiamo la verde al 1° tentativo
il gioco termina alla 1° estrazione (50%)
Se, invece peschiamo una rossa, avremo 2R e 2V e, quindi avremo
la possibilità di concludere al 3° tentativo se peschiamo 2 verdi
consecutive, ma le probabilità calano drasticamente = 1/3 x 1/2 x
1/2 = 8,33% e, ad ogni altra pallina rossa, le probabilità di
esaurire le verdi divengono sempre più remote
2,92%  al 5° tentativo
1,26%  al 7° tentativo
0,60%  al 9°
0,30%  all'11°
0,15%  al 13°
0,08%  al 15°
0,04%  al 17°
A questo punto le probabilità cumulative si attestano al 63,68%
e, siccome si sono fatte le 2 e 1/2 di notte, pianto tutti i
calcoli ed incrociando le dita, azzardo una probabilità finale di
2/3.
Ciao
Gianni


 Newsgroups: it.hobby.enigmi
 Sent: Saturday, April 15, 2000 2:26 AM
 Subject: R: Urna e palline
 >
 > Andrea Artesiani wrote
 > > Ho trovato un simpatico enigma:
 >
 > Effettivamente !!!!!
 >
 > > Estraiamo una palla da un'urna che ne contiene inizialmente
 > > una rossa e una verde; se è rossa la ributtiamo dentro
 > > e aggiungiamo nell'urna un'altra rossa e una verde; se invece è
 > verde
 > > non facciamo altro. Poi continuiamo a pescare più volte con le
 > stesse
 > > regole.
 > > Trovare la probabilità che alla lunga le verdi si esauriscano.
 >
 > Abbiamo, ovviamente, che se peschiamo la verde al 1° tentativo
 > il gioco termina alla 1° estrazione (50%)
 > Se, invece peschiamo una rossa, avremo 2R e 2V e, quindi avremo
 > la possibilità di concludere al 3° tentativo se peschiamo 2 verdi
 > consecutive, ma le probabilità calano drasticamente = 1/3 x 1/2 x
 > 1/2 = 8,33% e, ad ogni altra pallina rossa, le probabilità di
 > esaurire le verdi divengono sempre più remote
 Non sono d'accordo con i conti di probabilità che hai fatto; secondo me
 funziona come segue.
 Al primo tentativo ho 1R e 1V; la prob. che si peschi la pallina V è del
 50%.
 Se si pesca una pallina R avremo 2R e 2V.
 Al secondo tentativo la prob. di estrarre una prima pallina V è di 2/4,
 quindi del 50%, mentre di estrarre la seconda V è di 1/3. Per questa
ragione
 la prob. totale alla seconda estrazione è pari a 1/2*1/3=0,1667=16,67%.
 Da ciò si può dedurre la seguente relazione di probabilità data da:
                                                 n-1                n-i
 P(pallina solo rosse nell'urna)=produttoria    ------
                                                 i=0                2n-i
 dove si è indicato con n il numero del tentativo (n-esimo tentativo si
hanno
 nell'urna 2n palline).
 In totale si ha:
 1° tentativo 50%
 2° tentativo 16,67%
 3° tentativo 5%
 4° tentativo 1,43%
 5° tentativo 0,4%
 6° tentativo 0,03%
 7° tentativo 0,007%
 ....
 Alla lunga la probabilità cumulativa dovrebbe attestarsi attorno al 73,64%
 Fatemi sapere qualcosa.
 Ciao
 ---
        ,,,,
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           Gabriele Grillo - 
ele...@iol.it
   .oooO
   (   )   Oooo.
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     \_)    ) /
           (_/

  la prob. totale alla seconda estrazione è pari a
1/2*1/3=0,1667=16,67%.
Appunto! il 16,67% del 50% di probabilità di non avere estratto
una pallina verde al 1° tentativo
1° tentativo 50%            OK
2° [le verdi non possono essere esaurite in nussun caso]
2° tentativo 16,67%  [3° tentativo] il 16,67% del 50%= 8,33%
Etc.
3° tentativo 5%
 4° tentativo 1,43%
 5° tentativo 0,4%
 6° tentativo 0,03%
 7° tentativo 0,007%
 ....
Ciao
Gianni