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Titolo: [MA] Prodotto massimo

Posto questo problemetto che mi e' venuto in mente. Ho appena cercato
con google e non mi sembra sia gia' stato postato in passato.
Supponiamo di avere un naturale N. Dobbiamo dividerlo in altri naturali
(non importa quanti siano) tali che la loro somma sia N ed il loro
prodotto sia massimo. Come vanno presi?
ciao, teo


-
.
.
S
P
O
I
L
E
R
.
.
-
A occhio:
Se N è pari: (N/2)^2
Se N è dispari: (N-1)(N+1)/4
Dovrebbe avere a che fare con il teorema che tra tutti i rettangoli con 
un dato perimetro, quello con l'area maggiore è il quadrato.
Dade :)

 un dato perimetro, quello con l'area maggiore è il quadrato.
Come non detto: non avevo letto che le parti in cui dividere N non sono 
necesariamente 2, ma un numero a piacere.
Dade :(


Ehi! Però forse la procedura si può effettuare in modo ricorsivo.
Prendo sempre i 2 interi più vicini a N/2: N/2 e N/2 se N è pari, 
(N-1)/2 e (N+1)/2, se N è dispari. E continuo ricorsivamente sulle due 
"metà" provvisorie" ottenute.
Chissà se funziona ...
Dade :)

 prodotto sia massimo. Come vanno presi?
Secondo me ci sono tre casi:
N=0 (mod 3) conviene 3^(N/3)
N=1 (mod 3) conviene 3^((N-1)/3-1)*4
N=2 (mod 3) conviene 3^((N-2/3)*2
Ammesso che sia vero, una dimostrazione credo possa essere
fatta considerando che ogni numero >4 (o uguale volendo)
deve essere convenientemente rotto in almeno due.
Inoltre non conviene lasciare più di due fattori 2, perché
tre fattori 2 vanno raggruppati per fare due fattori 3 che
aumentano il prodotto.
marco


Direi che hai ragione (ma sei del S. Anna?)
Una dimostrazione che mi era venuta in mente era la seguente:
I possibili fattori-addendi possono essere solo dei "2" o dei "3" 
(quelli più alti si possono sempre decomporre in modo conveniente per 
alzare il prodotto). Sotto il vincolo:
N=2a+3b
dove a è il numero di fattori-addendi "2" e b quello di fattori-addendi "3"
bisogna massimizzare il prodotto:
P=2^a+3^b
o in modo equivalente il suo logaritmo naturale:
L=ln(P)=a ln(2) + b ln(3)
e inserendo il vincolo si ottiene:
L=N/2 ln(2) + b (ln(3)-3/2 ln(2))
Siccome il fattore che moltiplica b è positivo, conviene che b sia il 
più alto possibile, lasciando quindi, a seconda dei casi, 0, 1, 2 
fattori-addendi "2".
Dade :)

 N=2 (mod 3) conviene 3^((N-2/3)*2
La soluzione e' giusta, bravo. Qualcuno sa dimostrarlo per bene?
ciao, teo

 Qualcuno sa dimostrarlo per bene?
Ci ho pensato un pochino e mi sembra fattibile in quel modo.
Nella soluzione che massimizza il prodotto non può esserci
nessun numero maggiore di quattro.
Altrimenti, detto n tale numero, si può scrivere n=(a+b) con
a,b>1; poichè con a,b>1 si ha a*b>(a+b), inserendo a e b
nella sequenza in sostituzione di n si lascia invariata la
somma e si aumenta il prodotto.
Pertanto nella soluzione ottima non ci sono numeri maggiori
di quattro.
Inoltre ogni 4 si può sostituire con due 2 lasciando
invariati somma e prodotto. Quindi la soluzione ottima si
può scrivere con soli 2 e 3.
Infine il 2 può comparire al massimo due volte; se
comparisse più di due volte sostituendo tre 2 con due 3
resta invariata la somma e aumenta il prodotto.
Quindi la soluzione ottima contiene un certo numero di 3 e
nessuno, uno o due 2.
Quindi si hanno rispettivamente tre casi:
N=3*k oppure
N=3*k+2 oppure
N=3*k+4
Ma in modulo tre si vede che solo un caso può funzionare per
un determinato N.
Risolvendo rispettoa k per i vari casi N=0,1,2 (mod 3) si
ottiene il risultato detto.
Ciao
marco