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Titolo: quesito della "Normale" di Pisa.

Salve a tutti. spero che voi possiate aiutarmi a risolvere questo
dilemma che mi si e' presentato durante un concorso per accedere alla
Normale di Pisa.
Quesito: Un produttore di diapason vuole controllare la qualita' dei
diapason da lui prodotti. La precisione degli apparecchi della
fabbrica consente di determinare la frequenza di un diapason prodotto
a meno di un Hz, ma l'orecchio umano e' capace di discriminare 2
diapason di frequenze diverse quando la loro differenza e' pari ad
almeno 3 millesimi della frequenza (es: un orecchio umano distinguera'
un diapason da 1000Hz da uno di 1003Hz, ma non da uno da 1001Hz)
Trovare un metodo per discriminare con l'orecchio umano due diapason,
l'uno da 2000Hz e l'altro da 2001Hz, e che permetta di stabilire quale
tra i due sia piu' acuto. Si dispone solo dei diapason e degli
orecchi.
Grazie.

 wrote in message
39d9e45...@news.libero.it...
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S
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Secondo me per discriminare tra i due diapason č sufficiente far variare la
frequenza di uno dei due. Questo lo si puņ fare mediante l'effetto doppler.
Avendo un diapason di 2000 e uno di 2001 a noi serve una variazione di
esattamente 5Hz.
Ecco il procedimento:
Montiamo uno dei diapason a caso su un carrello e poniamoci all'estremita
della rotaia con a fianco il secondo diapason.
Un nostro assistente farą risuonare il  diapason sulla rotaia e la metterą
in movimento a velocitą v costante verso di noi mentre noi faremo risuonare
l'atro diapason.
La frequenza del diapason in movimento risulterą aumentata come abbiamo
detto di 5Hz.
Supponiamo che il diapason sulla rotaia risulti quello da 2000. Esso
acquisterą una frequenza di 2005 Hz restando indistinguibile da quello fermo
accanto a noi.
Supponiamo invece che sul carrello sia posizionato quello da 2001. Questo
acquisterą una frequenza di 2006 Hz permettendoci di sentire la differenza!
Ora passerņ alla matematica sperando di non commettere errori. Se ricordo
bene la variazione di frequenza č data dalla formula:
 Df = v / s
dove v č la velocitą costante della sorgente ed s la velocitą del suono s =
350 m/s.
Una variazione di 5 Hz su 2000 comporta Df = 5/2000 = 0.0025 chi ci da v =
0.875 m/s = 3.15 Km/h
Volendo essere pignoli nel caso del diapason da 2001 la nuova frequenza
sarebbe di 2006.0025. Ma ciņ č anche meglio.
Scusate la prolissitą.
Massimo

 Grazie.
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Poni i due diapason ad una certa distanza (diciamo 10 metri), e mettili
in vibrazione.
Se stai fermo tra i due diapason avvertirai un battimento di frequenza 1
Hz, che si manifesta come variazione dell'ampiezza del suono percipito
con periodo di 1 sec.
Ora sfrutta l'effetto Doppler.
Se camminando verso uno dei diapason la frequenza del battimento cresce,
stai andando verso il diapason a 2001 Hz, se la frequenza diminuisce
stai andando verso quello a 2000 Hz. (Attento a non camminare troppo
veloce, o la frequenza aumentera' in entrambi i sensi).
Un grazie a Mage per l'idea di usare l'effetto Doppler.
-- 
Morel

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Sei sicuro che sia possibile avvertire a orecchio un battimento di 1 solo
Hz, considerando i limiti dell'orecchio umano e la sensibilità di 3/1000
data dal problema?
Ciao.

 wrote:

Non e' un TONO di un Hz che devi sentire, e' un tono di circa 2000 Hz la
cui ampiezza varia con periodo di un secondo:
oooooOOOOOoooooOOOOOoooooOOOOO
ove ciascun oooooOOOOO dura 1 secondo (se sei fermo).
-- 
Morel


Scusa la mia ignoranza in materia di battimenti. Hai detto che se sei fermo
ciascun ciclo dura un secondo. Invece se ti muovi di quanto varia ?
Massimo

 Massimo
--
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 Livio Zucca
Nessuna noia. Anzi, grazie per aver fatto  i conti.
-- 
Morel

 ciascun ciclo dura un secondo. Invece se ti muovi di quanto varia ?
Ipotizziamo che il suono percepito sia la somma dei suoni prodotti dai
due diapason (in realta' immagino che ci siano correzioni non lineari,
ma che siano trascurabili), e che le loro ampiezze siano uguali e pari
ad 1. Allora, con opportuna scelta dell'origine dei  tempi il segnale
e':
S(t) = cos(2 pi 2000 t) + cos(2 pi 2001 t) =
= 2 cos (2 pi 0.5 t) cos ( 2 pi 2000.5 t).
(Basta scrivere 2000 = 2000.5 - 0.5   e 2001 = 2000.5 + 0.5 ed applicare
una semplice relazione trigonometrica). 
Si ha insomma:
S(t) = A(t) cos (2 pi 2000.5 t) ove A(t) e' una funzione lentamente
variabile (rispetto alla "portante" a 2000.5 Hz) che "modula" l'ampiezza
del tono a 2000.5 Hz.
Se dici V la velocita' del suono e v la velocita' a cui ti muovi, il
segnale della sorgente a cui ti avvicini presentera' un anticipo di fase
pari a (incrocio le dita e spero di aver ragionato giusto) 2 pi (fv/V) t
e quella da cui ti allontani un ritardo di fase di pari entita'. Allora
(immagina di andare verso quella a 2001 Hz)
S(t) = cos(2pi 2001 (1 + v/V) t) + cos(2 pi 2000 (1 - v/V) t)
Usando la cos(A+B) + cos (A-B) = 2 cos (A) cos(B)
con A = 0.5 + 2000.5 v/V e B = 2000.5 + v/2V si ha che la modulante A(t)
e'
A(t) = 2 cos(2 pi (0.5 + 2000.5 v/V) t)
Pertanto la frequenza di modulazione percepita (se non ho sbagliato i
conti, il che mi capita non di rado) e'
1 + 4001 v/V    Hz
Se ti muovi nell'altro senso, v ==> -v e sei a posto.
Spero di aver chiarito le cose.
Saluti.
-- 
Morel

 cui ampiezza varia con periodo di un secondo:
Ma qui entra in gioco un altro problema: i battimenti non riesci a sentirli!
Il loro volume è troppo basso quando la differenza è così piccola. Provate
con una chitarra.
Io avevo pensato subito ai battimenti, però era una soluzione che avevo
escluso dopo proprio per il volume, perché dei battimenti così leggeri non
li senti neanche se picchi i diapason con un martello da 5 kg...
O sbaglio?
MaxArt

 MaxArt
-- 
Morel

 MaxArt
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No sbagli (IMHO)
Il confronto non regge. Dovresti montare due corde di chitarra uguali,
tenderle entro l'hertz, pizzicarle con uguale intensità e... metterci
l'orecchio in mezzo. Diversamente i mille rimbalzi e la cassa non ti
faranno apprezzare nulla.
Sei in una camera anecoica, (la Normale di Pisa ce l'avrà, no?), i 2
diapason sono montati a regola d'arte lontano da superfici riflettenti,
tu sei in mezzo con un orecchio tappato. La lunghezza d'onda è 
velocità_del_suono / frequenza = 170 mm, quindi la dimensione
dell'orecchio e quasi trascurabile, ma la distanza tra i 2 orecchi no!
(insisto: meglio sarebbe che la Normale comperasse 2 diapason da 400
Hz).
In queste condizioni non avviene nessun battimento, fisicamente
parlando, ma la somma vettoriale dei segnali nel punto di ascolto. Se i
segnali sono di uguale intensità ma di frequenza leggermente diversa, ci
saranno dei momenti in cui il segnale risultante si ANNULLA e dei
momenti in cui RADDOPPIA l'ampiezza. Il risultato è assimilabile ad una
modulazione (battimento) con soppressione della portante, altro che non
sentirlo, ti verrà il mal di testa!   :o)
Ciao
Livio Zucca
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It isn't trivial!
http://www.geocities.com/liviozuc


 parlando, ma la somma vettoriale dei segnali nel punto di ascolto.
Ok, grazie!
Purtroppo non ho mai studiato teoria delle onde, per cui ho difficoltà ad
orientarmi in questi problemi.
In effetti, anche il fenomeno dei battimenti non ce l'ho molto chiaro in
testa.
MaxArt