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Titolo: trovare 2 rettangoli che hanno area multipla, ma stesso perimetro

Trovare il procedimento generale/giustificare la soluzione.
Ciao a tutti :-)
GM
http://gabrielemartufi.altervista.org/

 Trovare il procedimento generale/giustificare la soluzione.
Consideriamo un rettangolo i cui 2 lati sono di lunghezza A e B.
Perimetro = 2 * (A + B)
Area = A * B
Trasformiamo le dimensioni di questo rettangolo come di seguito indicato.
Dividiamo la lunghezza del lato che misura A di un fattore K (K diverso da
1), quindi la nuova lunghezza è A' = A / K.
Moltiplichiamo la lunghezza del lato che misura B di un fattore H (H diverso
da 1), quindi la nuova lunghezza è B' = B * H.
Perimetro = 2 * (A' + B') = 2 * ((A / K) + (B * H))
Area =  A' * B' = (A * B) * (H / K)
Per il nostro quesito non è possibile avere contemporaneamente
"H > 1" e "K < 1"
oppure
"H < 1" e "K > 1"
altrimenti non si può soddisfare la condizione sul perimetro in quanto in
questi casi entrambi i lati diminuirebbero o aumenterebbero di lunghezza.
Quindi H e K sono entrambi > 1 o entrambi < 1.
Per avere l'area del nuovo rettangolo multipla dell'area del rettangolo di
origine deve essere:
H / K = N       (con N intero >= 2)
Quindi:
H = N * K       (con N intero >= 2)
Per avere il perimetro del nuovo rettangolo uguale al perimentro del
rettangolo di origine deve essere:
A + B = (A / K) + (B * H)
Eliminando H grazie al fatto che deve essere "H = N * K" si ha:
A + B = (A / K) + (B * N * K)
Con qualche passaggio si ottiene:
B * N * K^2   -  (A + B) * K  +  A  =  0
equazione di 2° grado nell'incognita K che ha come soluzioni reali ("sqrt"
indica la radice quadrata):
K1 = ((A + B) + sqrt((A + B) ^2 - 4 * A * B * N))   /  (2 * N * B)
K2 = ((A + B) - sqrt((A + B) ^2 - 4 * A * B * N))   /  (2 * N * B)
con la condizione che l'argomento della radice quadrata deve essere >= 0.
Per avere l'argomento della radice quadrata >= 0, bisogna che sia:
(A + B) ^2 - 4 * A * B * N >= 0
ossia
A^2  + B^2  >= (4 * N + 2) * (A * B)
ossia
A^2  + B^2  >= 10 * (A * B)     (per N = 2)
A^2  + B^2  >= 14 * (A * B)     (per N = 3)
A^2  + B^2  >= 18 * (A * B)     (per N = 4)
....
Quindi per un rettangolo di lati di lunghezza A e B esistono altri
rettangoli che soddisfano i requisiti richiesti solo se le lunghezze dei
lati A e B soddisfano alla relazione:
A^2  + B^2  >= (4 * N + 2) * (A * B)    (con N intero >= 2)
dove N è il rapporto (intero) tra le aree dei 2 rettangoli.
Un quadrato (A = B) ad esempio non soddisfa mai tale relazione qualunque sia
il valore di N (nemmeno per N = 2).
Fissate le lunghezze dei lati A e B, se c'è una soluzione, c'è solo per
valori di N che non superano un certo valore Nmax (che dipende dalla coppia
di valori A e B).
Quindi per un rettangolo di lati di lunghezza A e B, tali per cui soddisfano
tale relazione per un determinato valore di N, le soluzioni di K e H (con le
quali poi ricavare le dimensioni dell'altro rettangolo) sono:
Soluzione 1
K1 = ((A + B) + SQRT((A + B) ^2 - 4 * A * B * N))   /  (2 * N * B)
H1 = N * K1
(con N intero >= 2)
Soluzione 2
K2 = ((A + B) - SQRT((A + B) ^2 - 4 * A * B * N))   /  (2 * N * B)
H2 = N * K2
(con N intero >= 2)
A seguire una soluzione di esempio.
Rettangolo di origine:
A=1,  B=10 (area = 10, perimetro = 22)
Rettangolo modificato:
Con N= 2 (area doppia)     --->  K1 = (11+sqrt(41)) / 40 = 0.435 , H1 = 2 *
K1  --->   A'=2.298,  B'=8.701 (area = 20, perimetro = 22)
                                                   K2 = (11-sqrt(41)) / 40 =
0.115 , H2 = 2 * K1  --->   A'=8.702,  B'= 2.298 (area = 20, perimetro = 22)
Con N= 3 (area tripla)        --->  K1 = (11+sqrt(1)) / 60 = 0.2 ,     H1 =
3 * K1  --->   A'=5,  B'=6 (area = 30, perimetro = 22)
                                                   K2 = (11-sqrt(1)) / 60 =
0.167 , H2 = 3 * K1  --->   A'=5.988,  B'=5,01  (area = 30, perimetro = 22)
Con N= 4 (area quadrupla) --->  non ci sono soluzioni perchè non è più
soddisfatta la condizione  (A + B) ^2 - 4 * A * B * N >= 0
Nota 1
I valori di A' e B' sono espressi in genere con solo 3 cifre decimali e
quindi se si calcola perimetro e area usando questi valori non si trova un r
isultato perfettamente esatto.
Nota 2
Da notare che per uno stesso valore di N la soluzione 2 corrisponde allo
stesso rettangolo della soluzione 1 ruotato di 90 gradi.



Siano :
2p il perimetro dei rettangoli
A l'area del primo rettangolo
a,b i lati del secondo
k la costante di proporzionalità tra le aree
Devono essere verificate le equazioni:
a+b = p
ab = kA
Sostituendo nella 2 ° eq.  a=p - b:
b^2 - pb + kA = 0
risolvendo rispetto a b risulta 
b = (p+sqrt(p^2-4kA)) / 2
a = p - b
Sono possibili soluzioni solo se kA<(p/2)^2, ovvero l'area del 2°
rettangolo deve essere minore o uguale dell'area del quadrato di
perimetro 2p (che tra tutti i rettangoli di perimetro 2p ha area
massima)
Ciao

Ciao Marco complimenti davvero una bella soluzione!
Io ho trovato una soluzione diversa (forse meno generale e rigorosa) ma 
molto semplice.
In definitiva esprimo tutto in funzione di R (rapporto tra le aree) mediante 
una posizione-iniziale ottenendo poi:
1° rettangolo:
1° lato=R
2° lato=R^2(R+1)
2° rettangolo:
1° lato=R^3
2° lato=R(R+1)
per R=1,2,3,... per R=1 ottengo una identità.
Ciao
GM
http://gabrielemartufi.altervista.org/matematica.htm
 

 Ciao Marco complimenti davvero una bella soluzione!
Grazie, ma la mia soluzione in pratica č simile a quella di "Pronti Lee"
(che perň č molto piů "snella" con formule piů semplificate).
Alla fine entrambi arriviamo ad un'equazione di secondo grado con la stessa
condizione che deve essere verificata per avere soluzioni.
Infatti la mia condizione
A^2  + B^2  >= (4 * N + 2) * (A * B)
coincide con quella di "Pronti Lee"
kA<(p/2)^2
Basta fare pochi passaggi per trasformare una nell'altra.

 a = p - b
---
Ciao Pronti Lee, per un problema con il NG non vedevo la tua risposta... 
ottima soluzione!
Anche se io cercavo (e mi aspettavo) una soluzione dei 4 lati in funzione di 
R (rapporto tra le aree) vedi sopra...
Ciao
Gabriele 

 per R=1,2,3,... per R=1 ottengo una identità.
Così ottieni due rettangoli che hanno egual perimetro e area in rapporto R 
intero, e che in più hanno lati INTERI.
Secondo me hai sprecato un bel problema con un cattivo enunciato.
Messa come l'hai messa tu è sembrato un problema del tipo "trovare due 
numeri sapendo somma e prodotto".
Che poi è come dire trovare l'intersezione di una retta con una iperbole. 
Come ti hanno dimostrato esistono soluzioni solo se - in maniera non molto 
rigorosa - l'iperbole non "esce dal quadrato".
Invece potevi dire:
Trovare due rettangoli di lati interi, che abbiano stesso perimetro e area 
multipla.
Allora la tua sarebbe una soluzione accettabile, che tra l'altro, si può 
semplificare dividendo per R.
Infatti i rettangoli:
1 x R(R+1)
R^2 x R+1
hanno semiperimetro 1+R+R^2
e area rispettivamente R(R+1) e R^2(R+1)
-- 
Ciao, Silv:o)

 rigorosa - l'iperbole non "esce dal quadrato".
---
Non so, io ho riportato il quesito così come mi è stato proposto da un 
amico, non mi sembra strettamente equivalente a "trovare due numeri sapendo 
somma e prodotto", infatti questo problema è riconducibile al sistema:
XY=P (prodotto)
X+Y=S (somma)
che è equivalente alla seguente equazione di II° grado: X^2-SX+P=0 ovvero 
all'interzione della parabola con la retta di equazione Y=0
...il problema resta aperto ad altre soluzioni... tra l'altro chi mi ha 
proposto il problema ha un'altra soluzione diversa dalla mia, ma sempre in 
funzione di R ma più articolata...
Ciao
Gabriele