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Titolo: Battaglia di Hastings

vi propongo un enigma che mi sta facendo impazzire e che non riesco a
risolvere:
In un'antica cronaca, che narrava lo storico scontro avvenuto nel 1066
tra i Sassoni di re Harold e i Normanni di Guglielmo il Conquistatore,
si leggeva:
"Gli uomini di Harold stavano ben compatti, come erano soliti fare, e
formavano sessantuno (61) quadrati, con un uguale numero di uomini per
ogni quadrato, il loro re era separato davanti a loro.
Quando Harold si getto nella mischia, lui e tutto il suo esercito
formavano un poderoso quadrato di uomini."
La domanda č questa: "Da quanti uomini era composto, minimo,
l'esercito dei Sassoni?"
per la cronaca l'ho trovato a questo indirizzo:
www.eclypse.freeweb.supereva.it/scienza/indov4.htm

 l'esercito dei Sassoni?"
Se non ho capito male il problema dovrebbe essere 3599 + il re
cioč 61 (quadrati) x 59 (uomini x ogni quadrato) + 1 (il re) = 3600
(quadrato di 60x60 uomini).
ciao

 ha scritto nel messaggio
news:y4aza.226233$K35.5...@news2.tin.it...

Non penso che sia cosi, i quadrati sono composti da un numero quadrato di
persone (59 non e' un quadrato) e quindi, detto x il lato dei quadrati,
avremo 61*x^2 persone piu il re.
Questo numero di persone devono essere in grado di formare un altro quadrato
e quindi si deve avere
61*x^2+1=y^2
con y lato del quadrato grosso formato da tutto l'esercito insieme. Bisogna
ora trovare due numeri interi (x, y) che soddisfino all'equazione, impresa
molto difficile in quanto entrano in gioco numeri mooooolto grandi, numeri
di svariate cifre.
GaS

 l'esercito dei Sassoni?"
Il problema è equivalente a risolvere una delle seguenti equazioni con x 
e z interi:
x^2=z(61z+2)
x^2=z(61z-2)
Forse un programmino per tentativi successivi aiuterebbe ...
Dade :)

> 61*x^2+1=y^2
Rileggendo il testo mi accorgo che probabilmente hai ragione tu; ma se così
fosse, correggimi se sbaglio, il problema non avrebbe soluzione...
secondo la tua equazione dovrei trovare y tale che:
y=sqrt(61*x^2+1)=x*sqrt(61+1/(x^2))
a meno che x non sia 1/sqrt(3) (o qualche altro numero, comunque non intero)
y non sarà mai un numero intero
ciao


il tuo ragionamento e' sbagliato.
Raccogliendo y = x*sqrt(61+1/(x^2))  implicitamente
affermi che y deve essere un multiplo di x.
Questo non e' affatto detto.
con il tuo stesso ragionamento uno dedurrebbe che
anche l'equazione simile
7*x^2+1==y^2 non ha soluzioni,
infatti se poni y = x*sqrt(7+1/(x^2)) non vai da nessuna parte.
Invece questa ha infinite soluzioni,
per esempio
x=3 y=8
x=48 y=127
etc.etc.
ciao,
g.

 x=48 y=127
Diciamo che l'affermazione sbagliata che ho fatto è stat quella di dire che
y non sarà mai un intero. per quanto riguarda l'equazione, quella va bene
(8=3*sqrt(7+1/3^2))
Comunque una cosa la posso dire... x è sicuramente maggiore di 40.000.000 :)
ciao

 l'esercito dei Sassoni?"
-
.
.
S
P
O
I
L
E
R
.
.
-
Con un programmino Fortran che gira in pochi secondi ho trovato che il 
numero minimo N di soldati dell'esercito era:
N=z*(z+2)
con z=61*13956741=851361201
ovvero circa 7.25 x 10^17 soldati (parecchia gente, direi!)
Dade :)

 ovvero circa 7.25 x 10^17 soldati (parecchia gente, direi!)
Il lato del quadrato grande (quello con Harold) era di 851361202 soldati 
e, calcolando almeno mezzo metro di spazio per ogni soldato, era lungo 
circa 425 000 mila km. Sul pianeta Terra non c'è nemmeno abbastanza 
posto per un esercito simile!
Dade :)

 > l'esercito dei Sassoni?"
la soluzione si trova risolvendo un'equazione di Pell, del tipo X^2 - 61*Y^2
= 1.
per trovare soluzioni di queste equazioni si sviluppa la frazione continua
di sqrt(61), che è periodica, e la si arresta prima che cominci il periodo.
poi si calcola la frazione risultante. il numeratore è la X, il denominatore
è la Y. la soluzione cercata
è X=1766319049 e Y=226153980
l'esercito era quindi composto da 1766319049 più il re
ed è la soluzione minima. se volete posso anche scriverle tutte,
parametrizzate...

 wrote in message
u0nza.25515$Ny5.7...@twister2.libero.it...

anzi no, quello è il lato. il numero di uomini è X^2...

 wrote in message
R1nza.25429$lK4.7...@twister1.libero.it...

ok, ho fatto un po' di conti con la calcolatrice di windows e risulta che il
numero minimo di uomini è esattamente 51145622669840401. un numero degno di
zichichi...
ciaooo

 parametrizzate...
Sostituendo i valori da te trovati in X^2 - 61*Y^2 mi viene 0 e non 1 (?!?)
Facendo fare a Matlab X^2 mi viene un numero completamente diverso dal tuo
(3.1199e+018) ci deve essere qualcosa che non quadra ad uno di noi due.
Comunque il metodo mi sembra molto interessante, potresti spiegare
esattamente che cosa hai fatto che non ho ben capito?
Grazie mille,
GaS


Certo che sono spiritosi: guardate che hanno messo al primo posto:
      I NUMERI PRIMI
Dimostrate che qualsiasi numero pari maggiore di 2, può essere dato 
dalla somma di due numeri primi.

 GaS
è Teoria dei numeri, sto studiando or ora nel corso apposito di matematica.
e l'argomento principe è l'equazione di Pell nella forma X^2 - D*Y^2 = 1,
seguita dall'equazione di Thue nella forma X^3 - a*Y^3 = b.
non posso dimostrare esattamente il teorema, ci son volute 2 lezioni per
dimostrare che l'equazione di Pell ha infinite soluzioni, e oltretutto, non
da nemmeno un metodo immediato, sebbene sia algoritmico, per trovare una
soluzione. tutte le altre soluzioni si ottengo in brevissimo tempo.
sai qualcosa di estensione algebrica di campi? in tal caso possiamo
discuterne in privato, non qua, il dscorso è più adatto a
it.scienza.matematica
cmq, l'algoritmo che ho usato per trovare le soluzioni consiste nel trovare
la frazione continua di sqrt(61)
cos'è la frazione continua? quacosa della forma a +
1/(b+1/(c+1/(d+1/(....))))
esempio facile. Phi ( rapporto aureo = (1 + sqrt(5))/2 ) ha la proprietà che
Phi^(-1) = Phi - 1
allora Phi = 1 + (Phi -1)= 1 + 1/(1/(Phi -1))= 1 + 1/Phi = 1 + 1/(1 +
1/Phi))= 1 + 1/(1+1/(1+1/(..)))
in generale si può trovare la frazione continua di un qualsiasi numero in
questo modo.
esempio sqrt(7). (7 è il mio D, in questo caso)
prendi la parte intera di sqrt(7) cioè [sqrt(7)]= 2
allora sqrt(7) = 2 + (sqrt(7) -2) = 2 + 1/(1/(sqrt(7)-2))
ora prendo 1/(sqrt(7) - 2) e razionalizzi.
ottieni (sqrt(7) + 2)/3. di nuovo predi la parte intera, scrivi la frazione
come 1/(1/(..)) e razionalizzi ancora.
dopo un paio di passaggi vedrai che comincia a diventare periodica.
tutte le frazioni continue di radici quadrate di numeri interi sono
periodiche. le frazioni continue di numeri razionali sono finite. del resto
non si sa, ma ci sono frazioni continue anche per e e Pi.
cmq, ad un certo punto trovi il periodo. tagli la frazione subito prima del
periodo e calcoli il valore della frazione ottenuta. l'approsimazione è così
buona che numeratore e denominatore sono soluzione dell'equazione di Pell.
spero di essere stato chiaro, se hai ancora dubbi prova innanzitutto a
risolvere X^2 - 3*Y^2 = 1. in questo caso la frazione diventa subito
periodica. prova anche con X^2 - 5*Y^2 = 1. anche qui non è difficile.
purtroppo con D= 61 ho dovuto usare il Maple per trovare e fargli calcolare
la frazione continua, visti i numeri tanto grandi!
ciao e a presto!

 (3.1199e+018) ci deve essere qualcosa che non quadra ad uno di noi due.
Matlab non e' un programma per fare calcoli in precisione arbitraria.
Semplicemente, il numero x^2 non e' rappresentabile in modo preciso
con i tipi di dato (in pratica il double) di Matlab.
Se fai invece i calcoli con Mathematica (che fa calcoli simbolici in
precisione arbitraria) il risultato e' giusto.
ciao,
g.

 posto per un esercito simile!
Non va bene:
il quadrato grande deve essere composto da Harold + 61 quadrati piccoli.
Se fai 851361202 al quadrato e togli 1 ottieni 724815896270884803
che diviso 61 fa 11882227807719423 che ovviamente (finisce per 3!)
non e' un quadrato perfetto.
Guarda la soluzione di Pazqo, che e' giusta.
ciao,
g.


Ach, allora temo che sia un errore di approssimazione dei numeri REAL*8 
in Fortran. Eppure mi pareva che tenessero fino a 19 cifre significative...
Sei sicuro di quello che dici? Cosa hai usato per fare il quadrato di 
851361202 con tutte quelle cifre?
Dade :)

 Guarda la soluzione di Pazqo, che e' giusta.
Ho ricontrollato. Ecco i risultati piů piccoli del mio programma Fortran 
per X e N:
    X              N=61*X^2
13956741     724815896270884864   (sol. mia)
28956050    3119882982860264448   (sol. di Pazqo)
40546075    6117265195460209664
45279507    7628919804764805120
56869532   12034248602632351744
60278816   13520386177410451456
68459557   17439251433343549440
71868841   19219449862400491520
76602273   21834486528585732096
80011557   23821281062751162368
80049582   23843928296898396160
83458866   25918187580234178560
88192298   28941496798843371520
95048891   33616599330911522816
99782323   37048181101944659968
Dade :)

 28956050    3119882982860264448   (sol. di Pazqo)
Mi dispiace dover fare la parte del pignolo, ma la soluzione di Pazqo
era diversa, cioe':
lato dei quadrati piccoli = p = 226153980
lato del quadrato grande  = g = 1766319049
relazione:  61*p*p+1 = g*g = 3119882982860264401 OK!
questi calcoli sono esatti. Uso Mathematica che lavora con
i numeri interi in precisione arbitraria.
Usando i tuoi dati non riesco a far tornare l'equazione.
In particolare non capisco la soluzione della prima tua linea:
se X=13956741 allora N=61*X^2 deve terminare per 1 e non puo' essere
uguale 724815896270884864 come scrivi.
Forse hai un problema di precisione nella routine che usi
per determinare se un numero e' un quadrato perfetto.
ciao,
g.

 zichichi...
Non trona neanche a me. Diciamo cosi':
1766319049^2 = 61 x 226153980^2 + 1 = 3119882982860264401 =~ 3.11E18 di GaS
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 wrote in message
bal94m$10i6d$1...@ID-92928.news.dfncis.de...

guarda, le elenco tutte con meno fatica:
sia c =  1766319049  + sqrt(61)*226153980
e d=  1766319049  - sqrt(6)*226153980 ( coniugato algebrico di c)
allora tutte e sole le soluzioni sono nella forma X= (c^n + d^n)/2 e
Y=(c^n - d^n)/(2*sqrt(61))
al variare di n in N*. per ogni numero naturale maggiore di 0 ho una
soluzione!
ah, la potenza della matematica contro la brute force!

 per determinare se un numero e' un quadrato perfetto.
Hai ragione, scusa: ho copia-incollato la colonna sbagliata del file di 
uscita del programma. I risultati giusti sono questi:
     X             N=61*X^2
109005632    724815896270884864   (sol. mia)
226153980   3119882982860264448   (sol. di Pazqo)
316674969   6117265195460209664
353644255   7628919804764805120
444165244  12034248602632351744
470792603  13520386177410451456
534686233  17439251433343549440
561313592  19219449862400491520
598282878  21834486528585732096
624910237  23821281062751162368
625207222  23843928296898396160
651834581  25918187580234178560
688803867  28941496798843371520
742355570  33616599330911522816
779324856  37048181101944659968
Ti torna ora? Io insisto a dire che la mia soluzione è più piccola di 
quella di Pazqo, anche se non è elegante usare la brute force contro la 
matematica pura.
Dade :)

dalla somma di due numeri primi.
C'e' anche stato scritto un romanzo, a proposito di un aspirante
matematico che in gioventu' viene traumatizzato proprio in questo
modo!  :)))
ciao
Lisa
 

posto per un esercito simile!
Variante:
esiste qualche altra versione del quesito in cui, usando un numero
diverso da 61, vengano fuori cifre accettabili?
ciao
Lisa

 diverso da 61, vengano fuori cifre accettabili?
Hai voglia!
3^2=2x2^2+1
5^2=6x2^2+1
7^2=3x4^2+1
...
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Livio
non solo, come dicevo, per ogni numero che non sia un quadrato perfetto
esistono soluzioni!
se poi vuoi soluzioni accettabili prendi numeri piccoli!

 wrote in message
3ece517a...@twister2.libero.it...

Zio petros e la congettura di Goldbach, edito da Bompiani. l'autore è
Apostolos Doxiadis
ciaooo

 


SPOILER


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Io direi... almeno 1 uomo: Harold!
Infatti 
c'erano 61 quadrati da 0 uomini, e al momento della battaglia c'era un unico 
quadrato composto da 1 uomo.
Con Excel ho preso i primi 10000 quadrati 
perfetti (non penso che l'esercito potesse essere composto da più di 100 milioni 
di soldati!), li ho moltiplicati per 61, ho aggiunto 1, e nessuno dei risultati 
è un quadrato perfetto.
Quindi, attenendosi strettamente al testo, non c'è 
soluzione.
Se i 61 quadrati fossero composti, ad esempio, da 59 uomini 
(non un quadrato perfetto, dunque), una soluzione ci sarebbe:
59 * 61 = 3599 
soldati
3599 + Harold = 3600 = 60^2 (quadrato finale)
Ma il testo dice che 
ci sono 61 QUADRATI, quindi non va bene.
L'unica idea che mi rimane è che 
i quadrati siano da intendere simili a questi:


 


*** *** ***


*** *** ***


***********


  *** ***


  *** ***


 


Questi sono 5 quadrati da 9 uomini ciascuno, ma in 
totale non sono 45 uomini, bensì soltanto 41 (4 angoli sono in 
comune).


 


Provando con vari schieramenti (e ricordando che i 
soldati erano "ben compatti"), tento una formazione di 
questo tipo:




 




  *** *** ***


  *** *** 
***
***************


*** *** *** ***


***************


  *** *** ***


  *** *** ***


 


che, continuando verso destra, si ripete in 
sequenza.


In pratica ci sono 20 quadrati davanti, 21 
nella zona centrale, e 20 dietro (totale 61).


Per ognuno dei quadrati delle file davanti e dietro 
ci sono 2 soldati in comune con i quadrati della zona centrale, per cui 40 
soldati sono contati due volte.


Ragionando così si può trovare una soluzione per 
10.000 uomini per ogni quadrato:


10.000 * 61 - 40 = 609.960 soldati (che mi sembrano 
davvero tanti!!!)


609.960 + 1 = 609.961 = 781 ^ 2


 


Ragionando così, però, si possono provare 
innumerevoli schieramenti e trovare innumerevoli soluzioni... :-/


 


Per il momento mi fermo qui, in attesa che qualcuno 
abbia ulteriori intuizioni!


 


Ciao,


    Daniele


 


(P.S.: scusate per l'HTML, ma avevo bisogno che gli 
schemini venissero correttamente formattati.)




Č una delle ipotesi che avevo scartato io, visto che 59 uomini non
riusciranno mai a formare un quadrato - a meno che non lascino dei posti
vuoti!
Daniele

10.000 * 61 - 40 = 609.960 soldati (che mi sembrano davvero tanti!!!)
Ho fatto un errore di calcolo, i soldati contati due volte sono in realtà 80
(40 per la fila davanti e altrettanti per la fila dietro), e per questa
configurazione non c'è una soluzione (almeno per valori ragionevoli).
Altre configurazioni danno soluzioni più ragionevoli, ma comunque elevate.
Una formazione fatta da 9 righe di soldati, contenenti questo numero di
quadrati:
  5
  6
  7
  8
  9
  8
  7
  6
  5
e uniti sempre per i vertici (il che comporta 104 soldati contati due volte)
dà come risultato 4624 soldati per ogni quadrato (281960 totali
nell'esercito).
Una formazione fatta da 7 righe di soldati, contenenti questo numero di
quadrati:
  10
  9
  8
  7
  8
  9
  10
e uniti sempre per i vertici (il che comporta 96 soldati contati due volte)
dà come risultato 1296 soldati per ogni quadrato (78960 totali
nell'esercito).
Forse non è la strada giusta...
Ciao,
    Daniele

 precisione arbitraria) il risultato e' giusto.
E dire che ho appena disistallato il Mathematica, per l'universita necessito
del Matlab ma non ho lo spazio per entrambi i programmi.
 Pensavo che un programma di calcolo potente come Matlab supportasse calcoli
a precisione arbitraria: mi sai dire se si può settare in modo da farlo o mi
devo arrendere?
Grazie mille per la segnalazione,
GaS

Grazie mille, il metodo č veramente interessante (che potenza la
matematica!), c'č ancora qualcosa che non mi torna sullo sviluppo in
frazioni continue ma mi cerco qualche cosa per conto mio, in caso mi faccio
risentire su it.scienza.matematica.
Ancora grazie mille.
GaS

 parametrizzate...
si hai ragione.... il risultato e' quello che dici tu. Grazie!
ho fatto una ricerca con google mettendo "pell fermat" come chiave ed
e' uscito questo:
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pell.html
Grazie a tutti per il contributo!
        --AsHuRe

 formavano un poderoso quadrato di uomini."
Da come e' esposto il problema, non e' detto che i 61 quadrati siano per
forza formati da x^2 soldati:
anche con 5 uomini si puo formare un quadrato, basta metterne uno al centro;
oppure con 8, mettendone uno anche in mezzo ad ogni lato.
(chiatro che in questo modo le soluzioni si moltiplicano)
saluti
Roberto M.

 del Matlab ma non ho lo spazio per entrambi i programmi.
Si puo' anche fare a mano, neh! O non siamo piu' capaci?
1766319049 x
1766319049 =
--------------------
         15896871441
 
7065276196
      15896871441
      1766319049
 
5298957147
   10597914294
  10597914294
 
12364233343
1766319049
-------------------
3119882982860264401
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio


Scusa, ma come fai a disporre 13956741 soldati in quadrato?
Il numero non č un quadrato perfetto!!!
Daniele

 frazioni continue 
Un algoritmo generale di facile applicazione c'e'.
Volendo risolvere x^2 - dy^2 = 1
a) Poniamo u = sqrt(d)
b) Supponiamo u=v+w dove v e' un intero positivo, e 0<w<1.
     Si registra v, e si sottrae v da u per ottenere la parte frazionaria w
     di u.
c) Si prende il reciproco di w, chiamiamo questo reciproco u, e ripetiemo
     il passo b) con il nuovo valore di u.
L'esempio con d=61 chiarisce meglio:
v          x         y         x^2-61y^2
7          7         1          -12
1          8         1            3
4         39         5           -4
3        125        16            9
1        164        21           -4
2        453        58            5
2       1070       137           -9
1       1523       195            4
3       5639       722           -3
4      24079      3083           12
1      29718      3805           -1
14    440131     56353           12
1     469849     60158           -3
4    2319527    296985           4
3    7428430    951113           -9
1    9747957   1248098           5
2   26924344   3447309           -5
2   63596645   9142716           9
1   90520989   11590025         -4
3   335159612  42912791          3
4  1431159437  183241189       -12
1  1766319049  226153980         1
Finalmente abbiamo ottenuto 1 nella colonna di destra arrivando alla soluzione.
Il bello e' che questi numeri possono essere scritti automaticamente, dopo 
aver calcolato i primi, difatti gli ennesimi numeri delle colonne "x" e "y" 
dalla terza riga in poi seguono questa regola:
Si moltiplica il numero corrispondente nella colonna v per n-1 poi si 
addiziona n-2.
Es. 24079 = 4*5639+1523
      3083 = 4*722+195...ecc.
Quando il primo valore di v (in questo caso 7) si raddoppia, c'e' un 
teoremino per il quale la serie dei numeri dopo il 7= 1,4,3,1,2,2,1,3,4,1.
si ripete dopo il 14.
ciao


Si parla di uno storico incontro avvenuto quasi 1000 anni fa, quindi chi ha
trovato soluzioni che comportino la presenza di un esercito spropositato non
dovrebbe neanche postarle... o perlomeno postarle senza dichiarare che si
tratta della soluzione ma, al contrario, dire che ci sarebbe una soluzione
per quei valori ma che questa non č accettabile per ovvi motivi.
Inutile stare a discutere sull'esattezza dei calcoli, sulle approssimazioni
che fanno i software, e soprattutto se una soluzione sia piů bassa
dell'altra... quando questa comporta comunque un numero di persone non
riuscirebbero a stare in tutti i pianeti della Via Lattea!!!
Daniele

 Daniele
è una scimmia che trasporta 1000 banane? ha senso? allora il problema è mal
posto!
e il problema dei 5 naufraghi + la scimmia sull'isola deserta? ha senso che
trovino tutte quelle noci di cocco e che ciascuno riesca a dividerle
esattamente in parti uguali in poco tempo, durante la notte?
si tratta di trasposizioni divertenti di problemi matematici. ma alla fine
ci dobbiamo occupare dei problemi matematici. agli storici la veridicità
dell'informazione...

 Inutile stare a discutere sull'esattezza dei calcoli...
Caro Daniele,
ci sono dei mondi paralleli in cui certe regole, come il rigore
matematico, continuano a valere e certe altre no.
Gli abitanti di questi mondi sanno per istinto o per trasmissione
orale o per fede religiosa o per fede politica quali sono le regole
che continuano a valere e quali no.
it.hobby.enigmi e' uno di questi mondi.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

Rispondo ad entrambi...
Capisco benissimo che porre un problema descrivendone solo la natura
matematica non invoglia a risolverlo, e che questo vada un po' romanzato.
La scimmia con le 3000 banane, se fosse stata una vera scimmia, sarebbe
rimasta lě a mangiarsele tutte... e per le noci di cocco dobbiamo supporre
che la notte fosse mooooolto lunga (e i naufraghi molto veloci a contare!).
Se al posto della battaglia di Hastings ci fosse stata un'invasione di
microbi in un corpo umano, che prima procedono compatti a gruppi di 61
quadrati con il capo-microbo davanti, il quale poco piů tardi si unisce per
l'attacco decisivo e assieme a loro forma un enorme quadrato, non avrei
avuto problemi ad accettare per buona la soluzione che prevede svariati
miliardi di microbi.
Ma invece di microscopici microbi sono stati messi grossi e poderosi soldati
all'interno di un campo di battaglia, un motivo ci deve essere... se non
altro per farci scartare quelle soluzioni che non sono coerenti con la
situazione, e spingerci a ragionare con un po' di pensiero laterale.
Io ci ho provato subito, un'ora dopo che il messaggio era stato postato, ma
non ho ricevuto risposte né adesioni né commenti né soluzioni alternative!
    Daniele

 miliardi di microbi.
preferisci presupporre che i microbi si sappiano disporre in quadrato e che
abbiano un capo?
io preferisco pensare ai miliardi di uomini...


non e' un problema di potenza, ma di specificita'.
Matlab e' ottimo per il calcolo numerico matriciale (e' nato per 
quello), ma non fa nessun tipo di calcolo simbolico.
Mathematica e' un software piu' complesso e versatile (e costoso!),
ma la versatilita' si paga a volte in termini di prestazioni.
Cioe' se devi fare operazioni su matrici di numeri Matlab e' piu'
veloce, perche' lavora sempre su numeri di macchina.
Poi, volendo, mi dicono che Matlab si puo' integrare con Maple (che e'
un altro software tipo-Mathematica) e in quel modo si possono avere
entrambi i mondi, quello numerico e quello simbolico.
ciao,
g.