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Titolo: Genealogia

Dopo aver letto l'interessante paradosso dell'ultimo respiro di Giulio
Cesare, mi e' tornato in mente un problema che proposi circa due anni fa su
it.fan.dewdney.
Lo ho recuperato da 
deja.com
 e lo ripropongo tale e quale, sperando di avere
piu' risposte di allora.
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Non so se il problema sia stato gia' trattato in questo o altri NG, nelle
FAQ non ne ho trovato cenno; mi sembra comunque interessante, anche perche'
permette di dimostrare le mie nobili origini :-).
Dimostrero' di essere diretto discendente dell'Imperatore Tiberio :-) Cerco
di ricostruire a memoria da quanto letto tempo fa in un articolo, non
ricordo su quale rivista, aggiungendo alcune mie considerazioni. Ho dovuto
fare alcune ipotesi, approssimazioni e semplificazioni, che pero' non credo
che spostino sostanzialmente i termini del problema.
Un individuo X ha 2 genitori, 4 nonni, 8 bisnonni ecc.
Il tutto si puo' rappresentare, a questo punto, come un grafo a forma di
albero, che parte dall'individuo e sale diramandosi per le diverse
generazioni.
Possiamo chiamare:
P il padre
M la madre
PP il padre del padre
PM il padre della madre
MP la madre del padre
MM la madre della madre
PPP il padre del padre del padre
eccetera
Risalendo lungo il grafo, alla K_esima generazione troveremo 2^K ascendenti,
ciascuno dei quali sara' indicato con una stringa di K caratteri P o M. Per
esempio per K=80 (risalendo sull'albero per 80 generazioni) troveremo A=2^80
ascendenti
pari a circa 1.2*10^24, che arrotondo a 1*10^24 (un milione di miliardi di
miliardi di possibili stringhe di 80 caratteri P o M).
Non tutte le stringhe indicano necessariamente individui distinti; per
esempio puo' capitare che:
il nonno PP ha sposato una cugina in secondo grado MM,
i rispettivi genitori PPP ed MMM sono cugini primi,
i genitori di questi, PPPP ed MMMM, sono fratello e sorella,
quindi PPPPP=PMMMM sono la stessa persona, come pure MPPPP=MMMMM.
Si possono certamente trovare innumerevoli combinazioni di questo tipo,
percio' il grafo, iniziato a forma di albero, man mano che si sale nelle
generazioni presentera' numerosi *incroci*, tendendo ad assomigliare ad una
rete sempre piu' intricata. Quindi un singolo individuo Y potrebbe essere
ascendente di X puo' in piu' modi (secondo piu' linee del grafo). Una
importante conseguenza e' che il grafo tende ad allargarsi *meno del
previsto*.
Non so se si possano stimare la frequenza e la distribuzione di questi
incroci, esistono comunque fattori che li ostacolano ed altri che li
favoriscono.
Tra i primi, il tabu' dell'incesto, che e' molto forte, almeno nella nostra
societa', al livello della prima generazione (unione tra fratello e
sorella); lo e' meno alla seconda (unione tra cugini) e diminuisce man mano
che si sale nell'albero, finche', risaliti di non molte generazioni, si
perde il concetto di parentela.
D'altra parte esiste in molti ambienti la tendenza alle unioni all'interno
dello stesso gruppo (paese, tribu', clan, ecc.), per cui si puo' ritenere
che le unioni tra parenti vicini (oltre un certo grado) siano piu' comuni
che tra parenti lontani o tra non parenti.
Per semplificare le cose, facendo forse una forzatura, suppongo che gli
effetti di tali fattori si compensino, e che pertanto il grado di parentela
si possa considerare un elemento *neutro* nel determinare le unioni, e che
queste possano essere considerate come casuali.
C'e' un'altra complicazione: la durata della stagione fertile, per il genere
umano, occupa una parte notevole della vita dell'individuo, e cio' comporta
sicuramente una perdita di *sincronismo* tra le generazioni.
Per esempio se le ascendenti di X in linea materna hanno generato i figli
all'eta' di 20 anni, e gli ascendenti in linea paterna all'eta' di 30 anni,
si avra' che MMM (terza generazione) e PP (seconda generazione) sono
coetanei.
Da cio' segue, tra l'altro, la possibilita' di incroci non solo allo stesso
livello di generazione (unione tra cugini piu' o meno prossimi), ma anche a
livelli differenti (
p.es
. unione zio-nipote) ed il grafo si intrica sempre
piu'.
Con una nuova forzatura suppongo pero' che le generazioni si mantengano
sincrone, quindi che tutti gli ascendenti del nostro individuo, a paritą di
generazione, siano tra loro contemporanei.
Credo che cio' non falsi troppo la sostanza del problema, e penso di non
sbagliare di molto supponendo che la distanza media tra due generazioni sia
di 25 anni, cioe' 4 generazioni in un secolo.
A questo punto, la risalita di K=80 generazioni ci porterebbe dai nostri
giorni all'inizio dell'Era Volgare (2000 anni fa, diciamo nell'Anno Domini
1, sotto l'Imperatore Tiberio), con
A = 10^24 potenziali ascendenti del nostro signor X.
Pero', nell'A.D. 1, la popolazione mondiale ammontava ad un numero molto
inferiore; sul momento non dispongo di dati attendibili ma tale numero era
sicuramente inferiore al miliardo.
Considerato che a questo punto uno zero in piu' o in meno non dovrebbe
spostare molto la sostanza del problema, pongo la popolazione mondiale B =
10^9
Possiamo quindi dire che ciascun individuo dell'A.D. 1 risulta essere
ascendente del nostro signor X mediamente in
A/B=10^15 modi (un milione di miliardi di modi).
Possiamo anche calcolare la probabilita' che, scelti (a caso) due individui,
X (nostro contemporaneo) ed Y (vissuto nell'A.D. 1), Y sia ascendente di X
in almeno un modo. Per il calcolo si puo' simulare un'estrazione (con
reimissione) ripetuta A volte da un'urna contenente B palline.
Dovrebbe risultare un numero formato da
zero_punto_molti 9 (ma veramente molti), cioe' praticamente 1.
Quindi, ponendo
X = io
Y = l'Imperatore Tiberio
Ho dimostrato con ragionevole certezza di essere di stirpe imperiale :-) O
no? :-(
Da quando ho letto questo problema, mi sono sempre domandato se il
ragionamento si possa ritenere valido, o se sia inficiato a causa di
ecessive approssimazioni o per aver trascurato qualche elemento sostanziale
che qui mi sfugge.
Insomma, posso o non posso mettere la corona imperiale sul mio biglietto da
visita? :-)
Cosa ne pensate?
Ciao
Paolo
P.S.
il ragionamento sarebbe lo stesso se anziche' a Tiberio mi fossi riferito ai
suoi contemporanei:
_ Wang Mang. Imperatore della Cina dall'A.D. 9?
_ L'allora imperatore dei Maya?
_ Il capo di una tribu' di aborigeni australiani?
_ eccetera...


[...]
Nell'anno 1 non c'era Tiberio ma Augusto ;-)
Fabio

 Fabio
Mma chè, badi ar capello??
Ciao
Gianni

 _ eccetera...
Il fatto che i caratteri somatici siano ancora fortemente distinguibili
testimonia a sfavore di quest'ipotesi, ma mica poi troppo... un/una
cinese giusto/a al momento giusto e potremmo ritrovarci tutti
discendenti di WM.
Penso che gia' dal modello ultrasemplificato [in particolare dal punto
2] si possano trarre indicazioni su quanto debbano essere separate due
civilta' per rendere improbabile un'eventuale parentela.
Ciao ciao
Claudio