Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Enigma di fine anno.

2 amici si sono iscritti alla prima classe di un liceo. Tale
liceo ha 2 sezioni le cui prime classi hanno ognuna un
numero di studenti compreso tra 20 e 30.
Sapendo che la probabilità che i 2 amici si trovino nella
stessa classe vale ½, dite quanti sono gli studenti delle
2 classi.
(Tutti gli studenti iscritti al primo anno del liceo
vengono distribuiti "casualmente" tra le 2 classi).
____________________
Posterò la soluzione venerdì 2 Gennaio.
Ciao e buon divertimento,
Emanuele Z.

>dite quanti sono gli studenti delle 2 classi.
20 studenti in una classe e 30 nell'altra.
Per giungere alla soluzione e' sufficiente risolvere il seguente sistema:
[x/(x+y)] * [(x-1)(x+y)] + [y/(x+y)] * [(y-1)/x+y)] = 1/2
0 <= abs(x-y) <= 10
20 <= x, y <= 30
dove x e y indicano il numero degli studenti nelle due classi.
Saluti Arturo


Caro Arturo,
Mi spiace, la soluzione è inesatta (non è x=20, y=30, o
viceversa).
Inoltre non si capisce bene quali siano le operazioni da
effettuare nei 2 fattori della tua equazione che ho
evidenziato sopra.
Io ho supposto che intendessi
[(x-1)/(x+y)] e [(y-1)/(x+y)]
perché così l'equazione risulta verificata per x=20 e y=30.
Ma anche in questo caso non mi è ben chiaro quali
considerazioni ti abbiano portato a quella formulazione per
la probabilità richiesta.
Infine non capisco la necessità della condizione
0 <= abs(x-y) <= 10
visto che hai stabilito pure
20 <= x, y <= 30
che da sola è sufficiente.
Ciao, Emanuele Z.

 2 classi.



Il numero degli alunni nelle 2 classi NON è "identito", e
non è affatto vero che soltanto così la probabilità vale 1/2
;-)
Ciao, Emanuele Z.
____________________________
Emanuele Z., il sedicente "Webmaster" di
  _  _ _  _ _  _  _, _,_ ___  _,  _, ___  _, __,
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>quanti sono gli studenti delle 2 classi.
... io ci riprovo:
Siano x e y il numero di alunni nelle due classi.
E' possibile comporre le due classi in (x+y)! / (x! * y!) modi differenti.
Di questi solo
{(x+y-2)! / [(x-2)! * y!)]} + {(x+y-2)! / [x! * (y-2)!]}
possono essere considerati casi favorevoli (cioè i casi in cui i due amici
sono accoppiati nella prima o nella seconda classe).
Ne consegue che:
( {(x+y-2)! / [(x-2)! * y!)]} + {(x+y-2)! / [x! * (y-2)!]} )   /   ( (x+y)!
/ (x! * y!) ) = 1/2
Semplificando si ottiene:
(x-y)^2 = x+y
Considerando gli altri dati a disposizione si ha:
(x-y)^2 = x+y  and 20<=x,y<=30 => 40 <= (x-y)^2 <= 60 => x-y = 7
Ne consegue che (x+y) = 49 da cui:
x = 21 e y = 28
Saluti da Arturo e ... buon 1998

Bravo Arturo, hai fornito la soluzione esatta! ;-)
Ti sottopongo anche il mio procedimento, che forse è un po'
più sintetico.
Si supponga di avere x+y sedie (o banchi di scuola) messe in
fila, le prime x appartenenti alla prima classe e le
restanti y appartenenti alla seconda classe. Si supponga
quindi che per comporre le 2 classi gli x+y studenti vengano
fatti sedere "a caso" nelle sedie.
Calcoliamo ora la probabilità che i 2 amici *non* capitino
nella stessa classe, che è più semplice da esprimere, e che
vale anch'essa 1/2.
I 2 amici non capitano nella stessa classe, se il primo
capita tra le prime x sedie, ed il secondo tra le restanti
y, o viceversa.
Quindi si ha per tale probabilità:
   2(xy)(x+y-2)!     1
  --------------- = ---     (*)
       (x+y)!        2
Spiegazione della (*):
il fattore xy esprime il numero di modi di mettere il primo
amico tra le prime x sedie ed il secondo tra le restanti y,
che va moltiplicato per 2 per considerare anche la
situazione invertita, e (x+y-2)! sono i modi possibili di
distribuire i restanti studenti tra le restanti sedie: il
numeratore rappresenta quindi il totale delle disposizioni
degli studenti nelle sedie, con il vincolo di avere il primo
amico tra le prime x ed il secondo tra le restanti y, o
viceversa.
Il denominatore rappresenta banalmente il numero totale di
disposizioni di tutti gli studenti nelle x+y sedie.
Dalla (*) si ricava allora:
x+y = (x-y)²
da cui si vede che |x-y| può valere soltanto 7, altrimenti
per qualsiasi altro valore (x-y)² sarebbe o troppo alto o
troppo basso per il vincolo
20 <= x,y <= 30
e quindi x=21 e y=28 (o viceversa ;-)
Di nuovo complimenti ad Arturo e buon 1998 a tutti!


Sono arrivato anch'io allo stesso risultato per altra strada... il che
aumenta la probabilità che la soluzione sia giusta ;-)

Posso competere in semplicita'?
Non faro' uso di fattoriali ma solo di algebra elementare.
Ho A+B posti nelle sezioni A e B.
Estraggo a sorte il primo studente: 
A/(A+B) possibilita' di capitare in A.
Estraggo a sorte il secondo studente:
B/(A+B-1) possibilita' di capitare in B.
La probabilita' dei due eventi contemporanei e' il prodotto delle due.
Ora devo raddoppiare per tener conto dell'equiprobabile estrazione
inversa.
Ecco la probabilita' dei due studenti in classi diverse che deve essere
1/2.
2 A/(A+B) * B/(A+B-1) = 1 - 1/2
Eseguendo le moltiplicazioni:
A+B = (A-B)(A-B)
I due numeri la cui somma e' pari al quadrato della loro differenza e
che rientrano in 20..30 sono 21 e 28.
-- 
____________________________________
Giancarlo Pillan  -  Ivrea  -  Italy
____________________________________

Scusate il ritardo ! 
Altro procedimento ( a mio parere più intuibile) : 
la probabilità che il primo capiti nella prima classe è :
 x/(x+y)
la probabilità che il secondo capiti nella prima classe condizionato
al fatto che un posto sia già occupato è :
(x-1)/(x+y-1)
Quindi la probabilità che stiano nella prima classe è :
 x/(x+y) moltiplicato (x-1)/(x+y-1)
Analogamente la probabilità che stiano nella seconda classe è :
 y/(x+y) moltiplicato (y-1)/(x+y-1)
Sommando le due probablità e ponendole uguali a 1/2 si ottiene la
solita equazione ... (x-y)^2 = x+y
Ciao Giampaolo
zumzu...@generali.it
N.B. togliere zumzum per e-mail

Visto che questo tipo di soluzione sta riscuotendo un certo
successo, nonostante sia errata, mi tocca intervenire (è
stata perfino inserita nella raccolta di soluzioni di
Michele Stanghini, peraltro meritoria).
Scusate la presunzione, scherzo eh! ;-)
Allora, veniamo al dunque: le soluzioni proposte tanto da
JeanPaul che da GCPillan, sono certo piuttosto semplici (fin
troppo ;-) ma sono scorrette entrambe, almeno nella
motivazione che è stata fornita.
Entrambi infatti dicono:
la probabilità che il primo capiti nella prima classe è:
x/(x+y), la probabilità che il secondo capiti nella prima
classe condizionato al fatto che un posto sia già occupato
è:
(x-1)/(x+y-1).
(GCPillan usa A e B in luogo di x ed y, non parla di
probabilità condizionate, e dice che il secondo studente
capita nella seconda classe con probabilità B/(A+B-1) (ma la
sostanza è la stessa ;-)
Ma l'affermazione di cui sopra è palesemente falsa, perché
non si tiene conto di tutti gli altri studenti da
distribuire nelle classi.
La valutazione di probabilità di cui sopra, sarebbe esatta
soltanto nel caso in cui il primo amico venisse assegnato ad
una classe quale primo studente in assoluto, e il secondo
quale secondo studente in assoluto, o in altre parole, se
quando viene assegnata la classe ai 2 amici, le classi sono
ancora entrambe "vuote" (vincoli questi di cui nell'enigma
non si parla affatto).
Supposto infatti, come dice l'enigma, che *tutti* gli
studenti vengano assegnati in ordine casuale alle classi, e
che quindi i 2 amici vengano assegnati l'uno per settimo e
l'altro per dodicesimo ad esempio, oppure l'uno penultimo e
l'altro ultimo, allora come si fa a dire che la probabilità
che il secondo amico capiti nella prima classe vale:
(x-1)/(x+y-1) ?!
(Oppure che capiti nella seconda classe con probabilità
B/(A+B-1) ?!)
______________________
Tali procedimenti, ancorché errati, conducono alla soluzione
esatta, soltanto perché si tratta di semplificazioni
(inconsapevoli, beninteso ;-) operate nella formula (*) del
procedimento da me proposto.
(Infatti, come ho detto, è sbagliata la "motivazione" che è
stata proposta, più che il procedimento in sé).
Nella formula (*) del mio procedimento, la quantità (x+y-2)!
figura come fattore tanto al numeratore che al denominatore,
e quindi si può elidere, portando ad una formula
"apparentemente" senza fattoriali, cioè proprio quella che
è stata proposta da JeanPaul e da GCPillan.
Ma la ragione per cui si perviene alle formule più semplici
che sono state proposte, è dovuta *esclusivamente* alla
semplificazione poc'anzi descritta, e non certo al fatto che
"la probabilità che il secondo capiti
nella prima classe è : (x-1)/(x+y-1)".
Con rispetto,
Emanuele Z.

Non sono d'accordo con le tue conclusioni ;-).
Se l'argomento del contendere è la probabilità condizionata 
(x-1)/(x+y-1)
Questa vale che il secondo venga estratto per primo,a metà o per
ultimo ( non è importante ). La questione influente è che un posto
nella classe di x elementi sia già impegnato ( che il primo venga
estratto per primo, settimo o quindicesimo) e quindi su un totale di 
( x+y-1) posti liberi (x-1) siano quelli disponibili.
Saluti  jeanpaul 

...

Evidentemente non mi sono capito ;-)
Riproviamo a spiegarci con termini più commestibili (anche
se, sinceramente, non mi sembrava di essere stato poi tanto
oscuro ;-)
Allora, tu scrivi testualmente (nell'ultima riga del tuo
messaggio):
"su un totale di ( x+y-1) posti liberi (x-1) siano quelli
disponibili"
dicendo che la cosa è *indipendente* dall'ordine di
estrazione(!): come dire, se il secondo amico viene estratto
per 3° 10° o 20° i posti liberi totali sono sempre (x+y-1)
(!!).
Ma allora io ti chiedo, supposto che il secondo amico venga
estratto per ultimo (e nella soluzione *dovresti* tenere
conto di questa *eventualità*), allora i posti liberi in
totale sono 1, e non (x+y-1), come dici tu! Non ti pare?!
(Considera che anche tutti gli altri studenti sono già stati
assegnati alle classi!)
Se tu poi con la locuzione "posti disponibili" intendi altro
da quello che sembrerebbe, fossi in te proverei a spiegarlo
meglio ;-)
Il tuo messaggio conferma in pieno quello che sospettavo:
come ho tentato di spiegarti, hai interpretato male la (tua
stessa) formula, la quale funziona, dal punto di vista
numerico, perché è corretto il rapporto tra le quantità
(x-1) e (x+y-1), ma questo accade *soltanto* perché c'è un
fattore comune che si elide, e non certo perché (x-1) sono i
casi favorevoli e (x+y-1) i casi totali!
Cordialità, Emanuele Z.

 Emanuele Z.
Anche io ti rispetto con tutta la mia buona volonta',
ma considero il motto "conta piu' il metodo del risultato" come l'arma
spuntata delle peggiori profie di matematica. Non mi pare molto
rispettoso dichiarare "certamente errata" una soluzione che non capisci.
Mai il beneficio del dubbio?
La semplificazione che io faccio e' anteriore alla matematica, e
PERSONALMENTE la ritengo ESATTA anche come motivazione. Io non sto
pensando ad una scatola con dentro i bigliettini con i nomi degli
studenti. Io sto pensando all'elenco degli studenti ed all'estrazione
dei POSTI. E' decisamente facile procurarsi (A+B) palline da pingpong
con A palline gialle e B palline rosa (si', le vendono!). Mettiamo le
palline nell'urna: l'estrazione della prima pallina assegna il posto al
primo studente, la seconda pallina al suo amico. Fermiamoci qui, perche'
dopo il tutto si complica... (con gli amati fattoriali...) Tanto a noi
basta aver assegnato i posti ai primi due studenti che sono
(combinazione!) i nostri amici. Detto questo, tento di spiegare come
calcolo le probabilita' ripercorrendo la vecchia soluzione.
... Ho A+B posti nelle sezioni A e B.
... Estraggo a sorte il primo studente: 
... A/(A+B) possibilita' di capitare in A.
Spiego: ci sono A palline gialle e B palline rosa.
Estraggo la prima pallina: e' gialla.
... Estraggo a sorte il secondo studente:
... B/(A+B-1) possibilita' di capitare in B.
Spiego: ci sono ancora B palline rosa ma solo A-1 gialle 
(perche' ho estratto una prima pallina gialla)
... La probabilita' dei due eventi contemporanei e' il prodotto delle
due.
Spiego: la probabilita' di avere in sequenza la 1^ gialla e la 2^ rosa
e' il prodotto delle due.
... Ora devo raddoppiare per tener conto dell'equiprobabile estrazione
inversa.
Spiego: devo considerare anche la probabilita' di avere in sequenza la
1^ rosa e la 2^ gialla. (Questa seconda e' complementare alla prima,
infatti estraendo una pallina o e' gialla o e' rosa).
Convinto? 
Se no, ti posso spedire contrassegno l'urna e le palline :-)
Ritengo che la probabilita' che la matematica semplifichi "casualmente"
qualcosa di complesso sia molto bassa, tendente a zero...


 assegnati alle classi!)
........
Ma certamente! Hai ragione, man mano che procediamo nell'estrazione le
condizioni cambiano...
Esiste pero' un principio di statistica (lecito) che se sei abbastanza
"furbo" puoi applicare.
Ovvero: se l'estrazione e' casuale, c'e' qualche motivo per ritenere che
il risultato FINALE sia influenzato dalla progressione dell'estrazione?
Ovviamente no! Allora, proprio sapendo che a meta' estrazione o al fondo
della stessa calcolare le probabilita' e' complicato, possiamo limitarci
alla prima che e' la piu' semplice proprio perche' non e' influenzata da
nessuna estrazione precedente.
In altre parole tu calcoli la probabilita' che due "qualsiasi" studenti
stiano insieme, mentre si puo' onestamente calcolare la probabilita' che
i primi due stiano insieme, trascurando tutti gli altri. Se escludiamo
la fortuna, i primi due hanno la stessa probabilita' di tutti gli altri,
come la tua semplificazione dei fattoriali dimostra.
Se cosi' non fosse, i primi due studenti estratti non potrebbero essere
certi del loro risultato fino al termine dell'estrazione.
Perche' attendere tutte le assegnazioni se ce ne servono solo due?
Saluti.


...

Mi scuso per non averti risposto prima, ma il server dei
newsgroup che adopero io non mostra ancora i tuoi messaggi
di risposta, che ora ho invece trovato su un altro server.
A dire il vero non mi sembra che il tuo precedente messaggio
meritasse più di tanta attenzione, visto che è la
riproposizione pedissequa della tua ipotesi di soluzione
iniziale.
Dopo averlo letto, considerato che anche JeanPaul mi aveva
dato una risposta che ricalcava il suo precedente
ragionamento, ho cominciato a nutrire dei seri dubbi sulle
mie capacità esplicative.
Devo dire però che mi ha poi rincuorato l'aver constatato
quali siano le tue capacità di lettura, visto che mi
attribuisci un (virgolettato per giunta): "certamente
errata", che io avrei adoperato come qualifica del tuo
metodo, e che invece non figura in alcuno dei miei messaggi
(vatteli a rileggere se non ci credi).
Quindi la prossima volta, se vuoi riportare una citazione,
ti consiglio vivamente di usare il copia e incolla: ti
assicuro che non è così complicato ;-)
Per quanto riguarda poi il tuo (stavolta riportato
fedelmente invece): "considero il motto "conta piu' il
metodo del risultato" come l'arma spuntata delle peggiori
profie di matematica", mi domando se mi concedi la
possibilità di precisare che io non ho mai condiviso tale
motto, oppure se hai sentenziato che io abbia sbandierato
anche quello.
Mi ero limitato ad esprimere una critica al tuo
ragionamento: mi spiace davvero che tu l'abbia presa così
male!
Per giunta ho precisato pure nel mio messaggio, chiaro e
tondo:
"Infatti, come ho detto, è sbagliata la "motivazione" che è
stata proposta, più che il procedimento in sé"
(sempre che uno non sia talmente ottenebrato dal livore da
non essere neanche in grado di leggere ;-)
Ma veniamo al tuo ultimo messaggio, nel quale hai finalmente
ammesso (c'è n'è voluta, ma meglio tardi che mai!) che
l'espressione da te formulata è *soltanto* quella della
probabilità che *i primi 2* studenti estratti capitino
assieme nella stessa classe.
Difatti tu stesso, hai riconosciuto che l'espressione della
probabilità che, ad esempio, gli ultimi 2 studenti capitino
assieme, è più complicata (e quindi *diversa* no?) sebbene
porti allo stesso risultato numerico, in forza del principio
statistico da te ricordato.
Ma io nella mia critica ho detto esattamente questo, cioè
che avete "spacciato" *l'espressione* della probabilità
calcolata sui primi 2 studenti come *l'espressione* della
probabilità relativa a 2 studenti generici, mentre tali
*espressioni* sono *diverse*, ancorché uguali numericamente
(perché, come ho pure ripetuto più volte, si deve aggiungere
soltanto un fattore comune tanto al numeratore che al
denominatore, avendo così enunciato il tuo stesso "principio
statistico" in altra forma).
Ritengo che tale ambiguità fosse per giunta rafforzata dalla
totale assenza del principio statistico che hai enunciato
*soltanto* nel tuo ultimo messaggio (quando forse ti eri
sfogato ;-)
Ti ripeto per la terza volta, nella (vana) speranza che tu
riesca a comprenderlo, che avevo scritto, testualmente:
"Infatti, come ho detto, è sbagliata la "motivazione" che è
stata proposta, più che il procedimento in sé"
e confermo che ritengo errato, o se preferisci impreciso,
formulare quella espressione per la probabilità relativa
a 2 studenti generici, senza precisare che essa è relativa
soltanto ai primi 2 studenti estratti in assoluto, e senza
spiegare perché abbia lo stesso valore di quella per ogni
altra coppia di studenti.
Tu poi sei liberissimo di pensarla diversamente, e ti
assicuro che io, al contrario di te, non ne sarò turbato più
di tanto ;-)
Stammi bene,
Emanuele Z.

 di tanto ;-)
Non OSARE neppure a fare un confronto tra noi due!
Io ho postato una soluzione sostenendo che fosse piu' semplice senza
criticare la tua. Tu hai sostenuto *senza esitazioni*, che la mia era
ERRATA e che avevo fatto una inconsapevole semplificazione. Non e'
semplice diversita' di vedute: qui c'e' uno che si sente professore e
l'altro che tenta di difendere le sue capacita' di ragionamento.
***************************************************************
E ora le tre classi!
Calcoliamo la probabilita' che tre amici capitino nella stessa sezione
tra A, B e C.
Io con il mio sistema dell'estrazione di soli tre studenti, tu con tutte
le permutazioni e i fattoriali... Vediamo se i due sistemi sono
equivalenti o se il tuo metodo diventa troppo complicato :-)   


Ciao Emanuele
 per cercare di intenderci vediamo di analizzare un problema un po'
più semplice:
L'alunno Mario Rossi si iscrive alle elementari e nella sua futura
scuola ci sono solo 2 sezioni: la A che sarà composta da 30 alunni e
la B che ne avrà solo 20. Gli alunni vengono sorteggiati.
Qual'è la probabilità che capiti nella sezione A ? 
Penso che concorderai che indipendentemente dall'ordine di estrazione
Mario avrà la probabilità di 0.6 (60%) di capitare nella sezione A.
Per calcolarti questa probabilità come fai ? 
(casi favorevoli)/(casi possibili)
Mi sembra che il problema si analogo a quello che hai proposto, non
sei d'accordo?
      Ciao
      Michele

metodo diventa troppo complicato :-)
come hai detto testualmente.
Orbene, il "mio" metodo (ma ti assicuro che non l'ho
inventato io, esso discende semplicemente dalla definizione
di probabilità come rapporto tra il numero di casi
favorevoli ed il numero di casi totali (Se non ci credi,
guarda sul tuo sussidiario! ;-)
Dicevo, il mio metodo, per la probabilità che i 3 amici
*capitino* assieme, porta alla seguente espressione, in
maniera immediata:
   3![(x|3)+(y|3)+(z|3)](x+y+z-3)!
  ---------------------------------
              (x+y+z)!
dove con (A|B) si intendono le combinazioni di A oggetti di
classe B.
La (***) è uguale a quella che otterresti tu con il tuo
metodo, a meno di semplificazioni, e gode per giunta del
vantaggio di essere più chiaramente motivata (sempre
a mio personale avviso eh! ;-)
Inoltre la (***) non mi sembra così complicata (se non per
"qualcuno") ma in ogni a caso continuo a ritenere che questo
esempio c'entri come i cavoli a merenda con la nostra
discussione.
Infine, per quanto attiene alla possibilità che io OSI
paragonarmi a te, per quanto io possa soffrire di pulsioni
masochistiche, di impeti di autocritica, di foghe
autolesionistiche e di cadute verticali dell'autostima,
non arriverei mai a tanto, non temere! ;-)
Cordialità, Emanuele Z.

...

_________
Caro Michele,
devo dirti, in tutta sincerità, che la tua risposta mi
sembra davvero sconcertante!
Il problema che mi hai proposto tu, non mi sembra abbia
nulla a che fare con la critica che muovevo io (e sia ben
chiaro che si tratta soltanto della mia opinione personale).
Ora proverò a spiegarmi meglio, servendomi del linguaggio
più semplice possibile.
Supponiamo che Marco e Giulio si iscrivano alla prima classe
di un liceo, che ha 2 sezioni.
La sezione A conta 30 posti, e la B ne conta 20 (uso i tuoi
stessi numeri così mi seguirai meglio, forse).
Se Marco viene estratto per primo, è corretto dire che la
probabilità che capiti nella prima classe vale
30/(30+20)=0.6, e siamo d'accordo.
Ma se Giulio viene estratto per terzo diciamo, perché prima
di lui viene estratto un altro ragazzo che si chiama Andrea
poniamo, ti sembra corretto dire che la probabilità che
Giulio capiti nella sezione B sia
(20)/(30+20-1), come affermi tu nella tua soluzione?!
E tieni presente che Giulio può benissimo essere estratto
per terzo, per quarto e così via, senza alcun vincolo,
stando al testo del mio enigma.
Evidentemente non è corretto dire che i casi totali sono
(30+20-1) se Giulio viene estratto per terzo, visto che è
già stato sorteggiato anche Andrea, e per giunta *non* puoi
sapere se i casi favorevoli sono 30, 30-1, oppure 30-2,
perché non sai dove sono capitati Marco e Andrea.
Non sei d'accordo?
Quindi, ciò che è omesso nella tua soluzione, è la
precisazione che tu stai valutando la probabilità *soltanto*
per i primi 2 studenti in assoluto.
Inoltre, una volta precisato questo, e questo è più
importante, devi spiegare *perché* sia sufficiente calcolare
la probabilità soltanto per i primi 2 studenti in assoluto,
non ti pare?
Se ti va magari dai un'occhiata al lungo thread intercorso
nel Newsgroup tra GCPillan e me.
Infine vorrei precisare che sei libero di includere nella
tua raccolta le soluzioni che preferisci, come è ovvio, e,
pur apprezzando la tua premura nello spiegarmi che la
probabilità si calcola facendo il rapporto tra i casi
favorevoli ed i casi totali (ma dove l'hai imparato? ;-) se
non sei d'accordo con i miei suggerimenti, limitati pure ad
ignorarli, non c'è alcun problema ;-)
Ciao, Emanuele.

B/(A+B-1) possibilita' di capitare in B.
Ma come fai a dire che per il secondo studente i casi
favorevoli sono B ????
Se il primo studente è capitato nella sezione B, non ti pare
che per il secondo i casi favorevoli siano allora B-1 ???
E come fai a sapere se il primo studente è capitato in A o
in B ???
A ben guardare ora, l'omissione di JeanPaul che criticavo
nel mio primo messaggio è del tutto veniale, mentre il tuo
procedimento non regge proprio, altro che omissione!
(E' sempre un'opinione personale, sia ben chiaro! ;-)
Ciao, Emanuele Z.

(casi favorevoli)/(casi possibili)
E questo è invece sbagliato! (Sempre secondo me eh!)
(Da precisare che tu nella tua soluzione specifichi
chiaramente che i casi possibili sono SEMPRE (20+30), e
quelli favorevoli SEMPRE 30).
Infatti, se Mario Rossi viene estratto per secondo, allora i
casi possibili diventano (20+30-1), perché è già stato
estratto un altro alunno, e i casi favorevoli non sei
neanche in grado di determinarli, poiché potrebbero essere
30 oppure 30-1, a seconda di dove è capitato il primo alunno
estratto.
Non è chiaro?!
Il motivo per cui comunque la probabilità ti viene uguale a
0.6, indipendentemente dall'ordine di estrazione, si può
spiegare in 2 modi:
1.
partendo dal rapporto (casi favorevoli)/(casi totali)
CORRETTO, cioè che vale sempre, indipendentemente
dall'ordine di estrazione, e cioè:
   30 (20+30-1)!
  ---------------
     (20+30)!
il quale rapporto è appunto pari a 30/(20+30)=0.6, visto che
si
elide il fattore (20+30-1)!
2.
Anzitutto specificando che stai valutando la probabilità
ESCLUSIVAMENTE per il primo alunno estratto, e poi
ricorrendo alla spiegazione qualitativa fornita da GCPillan
(a qualche messaggio di distanza dalla propria soluzione),
secondo cui è logico ipotizzare che le probabilità di
capitare nella stessa classe siano le stesse per ogni alunno
estratto (ed io in ogni caso preferisco il primo metodo, che
mi sembra più rigoroso).
Se vogliamo, la spiegazione 1. (cioè la mia soluzione) è la
traduzione in termini quantitavi del principio enunciato
qualitativamente al punto 2.
Nella soluzione da te prposta nella tua raccolta, non figura
né la prima, nè la seconda motivazione.
Ciao, Emanuele Z.

 non avresti fatto altro che riproporre la mia formula, "pari pari"!!
Io la semplifico col ragionamento, tu con i fattoriali.
Ovvio che per essere entrambe esatte devono coincidere!!!
Piu' tu scrivi, piu' la mia certezza aumenta.
La tua e' partita molto alta e ora non puo' che scendere.
Rileggiti quanto hai scritto!
Passo e chiudo. Ciao.
************************************************************
  Nuovo Enigma - Le tre sezioni!
************************************************************
Garantisco che la matematica e' a livelli umani.
Vengono costituite tre sezioni suddividendo equamente gli studenti,
naturalmente senza fare a pezzi l'ultimo! Se la probabilita' che tre
amici stiano insieme e' di 1/14 quanti sono gli studenti?
Tra le soluzioni esatte vince la piu' semplice, non quella che arriva
prima!


La tua e' partita molto alta e ora non puo' che scendere.
Caro Giancarlo, anche questo è falso.
L'unica mia certezza che durante questo scambio di messaggi
è scesa, è quella che tu fossi un ragazzetto sveglio ;-)
________________________________
Ed ora veniamo all'errore, o all'omissione (marchiana) che
dir si voglia, che ho "scoperto" nella tua soluzione (sempre
a modestissimo avviso dello scrivente ;-)
Nella tua soluzione originaria, hai scritto testualmente:
" Ho A+B posti nelle sezioni A e B.
  Estraggo a sorte il primo studente:
  A/(A+B) possibilita' di capitare in A.
  Estraggo a sorte il secondo studente:
  B/(A+B-1) possibilita' di capitare in B.
  [...]
"
Ma come si evince, quella che hai calcolato per seconda, non
è la "possibilità che il secondo studente capiti nella
sezione B"!
Mi sembra superfluo farti notare infatti, che se il primo
studente fosse capitato egli stesso nella sezione B, allora
i "casi favorevoli" per il secondo studente si sarebbero
ridotti a B-1.
Inoltre, tu non hai considerato i 2 eventi come indipendenti
(e infatti non lo sono) dal momento che hai detto che per il
secondo studente, i "casi totali" si riducono ad (A+B-1), ma
allora non puoi ignorare la possibilità che il primo
studente capiti in B.
In definitiva, quella che hai calcolato, NON E' "la
probabilità che il secondo studente capiti in B", bensì...
Un'altra cosa! (Vediamo se tu lo sai ;-)
Ora, pur dando per scontato, ancora una volta (guarda come
sono generoso! ;-), che tu fossi CONSAPEVOLE di "cosa fosse"
la grandezza che hai calcolato (ma mi piacerebbe sentirtelo
dire), non ti pare che fosse il caso di specificarlo? Oppure
ancora una volta, hai ritenuto che la tua consapevolezza
fosse sufficiente?
(Se è così, la prossima volta puoi proprio evitare di
postare una soluzione (tanto non lo fai mai ;-) ti puoi
limitare solo a pensarla tra te e te! ;-)
Se ritieni che io sia troppo fiscale nel muovere certe
critiche, tieni presente che ho postato sul gruppo dei
messaggi di rettifica ad alcune mie soluzioni, per omissioni
assai più veniali di questa.
N. B.
Ho postato da un paio di giorni sul gruppo questa stessa
critica alla tua soluzione, anche come messaggio di risposta
al tuo messaggio originario, che quindi non appare in questo
thread: dovresti vederlo a breve anche sul server delle news
che adoperi tu.
Sei libero di rispondere a quello dei 2 che preferisci, o a
nessuno dei due ;-)
________________________________
Bene, ti prometto che farò di tutto per evitare di allungare
ulteriormente questo thread, lasciandoti così l'ultima
parola (sempre però che non le spari troppo grosse eh! ;-)
Ti saluto con deferenza,
Emanuele Zeppieri.

Nessun errore: quello che Emanuele crede di aver scoperto e' dovuto al
suo non capire il concetto di eventi contemporanei. Quella calcolata e'
la probabilita' p(AB) di estrarre un posto B *dopo* aver estratto un
posto A.
p(AB) = p(A) * B/(A+B-1) = A/(A+B) + B/(A+B-1)
Dopo aver estratto A ho ancora tutti i posti B su un totale di A+B-1
posti.
(Questa espressione e' "errata" solo per chi non la capisce...)
Sono altrettanto corrette le espressioni:
p(AA) = A / (A+B) + (A-1) / (A+B-1)
p(BB) = B / (A+B) + (B-1) / (A+B-1)
p(BA) = B / (A+B) + A / (A+B-1) = p(AB)
Per l'enigma proposto e' sufficiente porre:
p(AA) + p(BB) = 1/2  oppure  2 p(AB) = 1-1/2
Le difficolta' di comprensione possono essere causate da un'esposizione
poco chiara. Non ho il diritto di giudicarmi, solo quello di riportare
il mio primo post (Soluzione SEMPLICE). Giudicate voi se calcolo p(AB) o
meno.
_______________________________________________________
Posso competere in semplicita'?
Non faro' uso di fattoriali ma solo di algebra elementare.
Ho A+B posti nelle sezioni A e B.
Estraggo a sorte il primo studente: 
A/(A+B) possibilita' di capitare in A.
Estraggo a sorte il secondo studente:
B/(A+B-1) possibilita' di capitare in B.
La probabilita' dei due eventi contemporanei e' il prodotto delle due.
Ora devo raddoppiare per tener conto dell'equiprobabile estrazione
inversa.
_______________________________________________________
Se ci sono ancora dubbi si legga la mia spiegazione per bambini del
13/1. Se altri miei "errori" dovessero essere scoperti in futuro, chiedo
gentilmente un'esposizione *concisa* del punto eventualmente non chiaro.
Grazie.
Io comincio ad essere stufo dei disperati (e finora falliti) tentativi
di Emanuele di trovare presunti errori. Emanuele ha "brillantemente"
risolto l'enigma che LUI stesso ha proposto? Complimenti! Ora pero'
dimostri le sue *reali* capacita' risolvendo il *nuovo* enigma da ME
proposto. Io l'ho gia' risolto! :-)
********************************************************************
Vengono costituite tre sezioni suddividendo equamente gli studenti,
naturalmente senza fare a pezzi l'ultimo! Se la probabilita' che tre
amici stiano insieme e' di 1/14 quanti sono gli studenti?
********************************************************************
Tra le soluzioni esatte vince la piu' semplice!
-- 




*nuovo* enigma da ME proposto. Io l'ho gia' risolto! :-)
Bravo, complimenti per la soluzione, sei un genietto! ;-)
Grazie di tutto,
Emanuele.




 Bravo, complimenti per la soluzione, sei un genietto! ;-)
Non capisci l'ironia neppure se uso la benedetta faccina!
Ma dove la tieni l'intelligenza?
1) Continui a fare penosi tentativi per dimostrare presunti errori
2) Non risolvi un enigma simile (ma diverso) al tuo
Che conclusioni dobbiamo trarne?
Io, come gia' scritto, mi sono scocciato.
Rispondero' solo a *concise* osservazioni.



senza un'aggiunta del tipo  "e suppongo che ci capiti"
ha prestato il fianco ad una serie di equivoci.
Non e' mia intenzione fare prediche  [ pero' le fai (ecco me
lo sono detto da solo cosi' vi risparmio questa fatica :-) ]
ma, in Matematica, e' meglio non dare tutto per scontato
o per sottintesi contando sul fatto che poi gli altri capiscano,
perche' non sempre e' cosi'. Meglio spendere una parola in piu'.
Questo poi, nel Calcolo delle Probabilita' e' ancor "piu' vero"
in quanto anche un'esposizione precisa ma non del tutto
esaustiva puo' condurre a diverse interpretazioni e, quindi,
a risultati diversi.
Esempio classico e' il seguente Paradosso di Bertrand:
__ Si sceglie a caso una corda di un cerchio.
     Qual'e' la probabilita' che sia maggiore del lato del
     triangolo equilatero inscritto?
L'esposizione e' chiara pero' cosi' formulata puo' essere
interpretata in piu' modi ed, infatti, proprio in virtu' di questa
"celata ambiguita' " si arriva a TRE valori diversi della suddetta
probabilita' (chi non lo conosce puo' cimentarsi nella ricerca
della soluzione o, meglio, "delle soluzioni").
L'ambiguita' e, quindi, il paradosso nasce non per "quello che
e' stato scritto" bensi' per "quello che non viene scritto" e che
viene, pertanto, lasciato alla singola interpretazione.
Ciao,
gi@der             [< was it a cat I saw >]      (L. Carroll)

 argomentazioni.
....
Ringrazio per le parole di saggezza... ovviamente se avessi previsto
come andava a finire, sarei stato piu' dettagliato fin dal principio.
Purtroppo non c'e' stata una richiesta di chiarire un punto ambiguo:
c'e' stata una dichiarazione di ERRORE senza mezzi termini, senza
tentativi di capire. Ho risposto a questa obiezione, spiegando il mio
operare con una descrizione *molto* dettagliata del mio procedimento,
addirittura visualizzandolo con delle palline colorate, piu' di
cosi'.... Ma questo non e' servito. Dopo un po' di batti e ribatti e'
stato annunciato che le osservazioni non erano riferite a me ma a
qualcun altro! Si arrivava a scrivere che la mia formula semplice era
plagiata semplificandone una fornita prima! Come se la mia spiegazione
fosse sparita. Infine si trovava un ennesimo "errore" che altro non era
che l'aver considerato implicita l'estrazione condizionata. Di nuovo,
come se la mia spiegazione delle palline fosse sparita! Ora non si parla
piu' di "errore" ma solo di mancata chiarezza, arrivando persino a
sostenere che "suddividere equamente" sarebbe un'espressione
incomprensibile!
Non ho alcuna pretesa di fare dimostrazioni matematicamente
ineccepibili, credo che gli enigmi si basino *anche* sul dire il meno
possibile: questo non e' it.hobby.matematicarigorosa. Io presumo che il
gruppo it.hobby.enigmi abbia lettori dotati di normali capacita'
deduttive.
Non ho alcun pregiudizio su Emanuele. Ho solo osservato che si e' reso
ridicolo andando alla caccia di errori che non c'erano, invece di
chiedere chiarimenti su concetti non capiti (fossero anche mal
espressi). Il tutto facendo molto teatro invece di andare dritto al
punto. Confido nella comprensione di tutti voi per scusarmi delle mie
reazioni. Grazie.


Caro Giacomo,
hai ragione, per cui mi scuso con te e con tutti gli altri
frequentatori del gruppo per l'uso improprio che ne ho
fatto, eccedendo in polemiche a tratti forse troppo aspre.
Vorrei soltanto precisare che da parte mia non vi č alcuna
acrimonia né risentimento nei confronti di GCPillan.
Anzi, se avessi la fortuna di incontrarlo di persona, gli
offrirei un caffč (o anche un cappuccino se preferisce), e
gli farei i complimenti per la sua sagacia.
Comunque spero che nel lungo thread tra GCPillan e me,
almeno qualche spunto divertente ci sia stato! ;-)
Buon divertimento con gli enigmi a te e a tutti gli altri,
Emanuele Z.