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Titolo: I due trenini elettrici

Ciao a tutti,
vi propongo questo mio "adattamento"...
Due ragazzi realizzano un circuito per trenini elettrici formato da sei
cerchi, disposti tangenti e in sequenza uno dietro l'altro, cioè con cinque
punti d'incrocio A, B, C, D, E.
Partendo dal punto più a ovest del primo cerchio, vorrebbero far partire
contemporaneamente i loro due trenini, uno verso sud e l'altro verso nord, e
il primo con velocità una volta e mezza superiore a quella del secondo.
Cioè, quando il treno più lento raggiungerà il primo incrocio A, il secondo
treno sarà già esattamente a metà strada tra A e B.
Quando il più lento raggiungerà B, il secondo si troverà in C.
Quando i trenini raggiungeranno l'ultimo cerchio, che faranno per intero,
torneranno indietro verso il primo cerchio seguendo il persorso
"sinusoidale" non attraversato all'andata.
Uno dei due ragazzi sostiene che i trenini non collideranno tra loro,
l'altro invece dice che l'incidente "ferroviario" sarà inevitabile.
Chi dei due ha ragione?
Francesco

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SPOILER
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Beh l'incidente ferroviario e' ovviamente inevitabile. A me pare 
abbastanza evidente di per se. Topologicamente e' come se fossero su una 
circonferenza e partissero nei due versi dallo stesso punto.
E' ovvio che per reincontrarsi al punto di partenza devono incrociarsi 
almeno un'altra volta.
frengo

On 8 Apr, 08:53, "Francesco Di Matteo" <frankdi...@TEMPOlibero.it>
wrote:
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SPOILER
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Condivido quanto detto da Frengo. Il percorso può essere visto come
una circonferenza, quindi l'impatto è inevitabile. Detto altrimenti
(senza considerare il circuito come una circonferenza), quando il
treno più veloce arriverà al punto più ad est, questo tornerà indietro
dal percorso "sinuisoidale" non attraversato all'andata, cioè proprio
quello che viene percorso dal treno più lento. In particolare, mi pare
che l'incidente avverrà nel penultimo cerchio.

Ehm scusate... il circuito è a doppio binario :)
I problemi sorgono (se sorgono) solo negli incroci.
Francesco
"Francesco Di Matteo" <frank...@TEMPOlibero.it> ha scritto nel messaggio
news:4bbd7d6e$0$1122$4faf...@reader2.news.tin.it...
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Sia 2v la velocita' del treno piu lento, che chiamiamo L,  la velocita 
del piu veloce (L1)sara' 3v.
Sia R il raggio del cerchio.
I tempi impiegati da L per giungere all'incrocio k sono k*PI*R/2v 
(all'andata) e (10-k)*PI*R/2v (al ritorno)
I tempi impiegati da L1 saranno k*Pi*R/3v e (10-k)*PI*R/3v.
Chiaramente l'incrocio puo' avvenire soltanto mentre L sta ancora 
andando, e L1 sta tornando.
Quindi si imposta l'equazione
k*PI*R/2v = (10-k)*PI*R/3v ->
k/2 = (10-k)/3 -> k = 4
Quindi i treni si scontreranno sicuramente nell'incrocio D.
Questo si puo' vedere anche in un altro modo, infatti ogni volta che L 
arriva ad un incrocio, ha percorso mezza circoferenza, per cui L1 lo ha 
distanziato di un quarto di circonferenza. All'incrocio D, L ha percorso 
2 circonferenze, per cui L1 gli e' avanti di una circonferenza, infatti 
anche L1 e' all'incrocio D, dopo aver percorso tutta l'ultima 
circonferenza in piu.
frengo

frengo
-- 
Dano


Se i due treni hanno una lunghezza, questa al massimo può essere di una 
semicirconferenza (altrimenti sarebbero già aggrovigliati l'uno all'altro in 
corrispondenza del primo incrocio).
Però, in tal caso cozzerebbero appena partiti!
Oppure dobbiamo immaginarli puntiformi?
Se sono puntiformi non dobbiamo far altro che verificare i tempi ai quali i 
due treni vengono a trovarsi in corrispondenza di un nodo.
Se per percorrere un semicerchio il treno veloce impiega 2'' e quello lento 
impiega 3'', verranno a trovarsi contemporaneamente in corrispondenza di un 
nodo dopo 6 secondi (il veloce è al nodo 3 ed il lento al nodo 2)
Saranno ancora contemporaneamente ad un nodo ai secondi 30, 42, 66, 78, 102, 
114, 138, 150, 174, 186, ecc. ecc. ma ogni volta sempre il veloce al nodo 3 
ed il lento al nodo 2.
Contemporaneamente allo stesso nodo non ci finiranno mai.
Se invece hanno una lunghezza (compresa tra 0 e un semicerchio) il discorso 
si complica un po'...
Ciao,
E.

>
Scusa ma avendolo fatto a mente mi ricordavo fossero 5 circonferenze.
Essendo sei ci va semplicemente il 12 al posto del 10 per cui viene
k/2 = (12-k)/3 cioe' 5k = 24 che non ha soluzione per k intero.
Quindi non si incontrano mai.
frengo

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Se abbiamo N circonferenze, l'equazione finale viene 5k = 4N
Quindi in generale i treni  si scontrano soltanto se il numero di 
circonferenze e' multiplo di 5, ed i treni si scontrano al nodo k = 4/5*N
frengo


Non mi sono addormentato fino a quando non sono giunto alla stessa
conclusione.
-- 
Dano


Se la lunghezza del treno veloce supera mezza semicirconferenza lo
scontro avviene subito al primo incrocio (A).
Se la lunghezza del treno lento supera 1/3 di semicirconferenza lo
scontro avviene nello stesso incrocio, ma quando i due treni stanno
per tornare contemporaneamente al punto di partenza.
-- 
Dano


Oppure se il rapporto delle velocità è diverso. 
Per esempio se il rapporto é 17:5 si scontrano all'ultimo incrocio
(E), infatti quando il treno più lento raggiunge questo incrocio (ha
percorso 5 semicirconferenze) il treno veloce ne ha percorse 17 e si
trova al medesimo incrocio e vanno nello stesso verso.
-- 
Dano


Non sono convinto. 
Mi sembra che, indipendentemente dal numero delle circonferenze,
quando i treni si incontrano vanno sempre nel verso contrario, quindi
lo scontro non avviene.
Con questo rapporto tra le velocit� (3/2) i treni si incontrano con la
medesima direzione solo mel punto iniziale dove non c'� incrocio.
-- 
Dano

 ancora andando, e L1 sta tornando.
Essendo anzi vero tutto l'opposto; ovvero lo scontro si può avere solo
quando entrambi si muovono in direzione dello stesso capolinea (est o
ovest)
Dai dati del problema si ha che il moto orario del treno lento è dato
da
s1(t) = Frac(K*t) per un certo K
mentre il moto orario del treno più veloce si scrive
s2(t) = 1 - Frac(1,5*K*t)
Quindi lo scontro può esserci solo se esiste un istante t per cui
risulti vero che:
Frac(K*t) = j/12 et 1 - Frac(1,5*k*t) = (12 - j)/12
per qualche j tra 1 e 5
Svolgendo i calcoli (esercizio!) si vede che non c'è soluzione per
tali valori di j
Digressione:
Di sicuro, essendo la linea chiusa, capiterà che i treni si incontrino
senza scontrarsi. Una curiosità può quindi essere: può capitare
qualche incontro in corrispondenza di uno dei punti di incrocio?
In questo caso l'equazione da impostare è ovviamente
Frac(K*t) = 1 - Frac(1,5*K*t), vedendo poi se tra le soluzioni è
contemplato uno dei punti detti sopra.
Rifacendo i conti si dovrebbe vedere che neanche ciò è possibile.

 lo scontro non avviene.
Ma perche dici questo ?
Perche se vanno in verso contrario lo  scontro non avviene ?
frengo

Perche se vanno in verso contrario lo  scontro non avviene ?
No, non avviene.
Come Ti avevo detto in un messaggio precedente prova a disegnare i due
binari che corrono parallelamente in tutto il percorso (magari nel
caso semplice di due circonferenze) e vedrai che quando i treni
provengono da due lati opposti non si scontrano, ma passano vicini e
separati, ognuno nel proprio binario (come capita nella realtà delle
ferrovie a doppio binario).
A naso, senza pensarci troppo, direi che condizione necessaria,
affinché i due treni si scontrino in un incrocio, è che la differenza
delle due velocità (espresse in numeri ridotti ai minimi termini) sia
pari a 2kN dove N è il numero di circonferenze e k>0.
In fatti nell'esempio che ho dato con le velocità di 17 e 5 si ha
17-5=2*1*6
-- 
Dano

Dano ha scritto:
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Scusa che i treni si debbano scontrare quando vanno in senso opposto e'
pacifico. Pensaci. Il treno piu veloce guadagna spazio continuamente, come
fanno ad incontrarsi prima del suo ritorno ?
L'equazione generale che dice se e dove si scontrano i treni e':
k[1+(v1/v)]=2N dove k e' il nodo dove si scontrano, N il numero di
circonferenze, v1 la velocita maggiore e v la velocita minore.
frengo
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
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 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it


No, prova a fare un disegno dettagliato come ti ho detto e te ne
renderai conto (vedi anche la risposta di antologiko). Tieni presente
che dal punto iniziale i treni partono in senso contrario (uno gira in
verso orario e l'altro antiorario quindi se avessero la stessa
velocità si scontrerebbereo al primo incrocio A).
Lo scontro avviene quando il treno più veloce partito dall'estremo est
raggiunge l'estremo ovest, poi ritorna di nuovo l'estremo est
(incontrando per strada il treno lento ma senza scontrarsi), quindi
ritorna verso ovest raggiungendo il treno lento prima che questo
giunga all'estremo ovest: se l'incontro avviene in un incrocio BOOM!
si scontrano.
Ti faccio un esempio facile con un rapporto delle velocita di 4:1
marcando le posizione dei due treni (incroci A,B,C,D,E e 0 punto
iniziale) in corrispondenza delle semicirconferenze percorse (TV =
Veloce, TL = Lento):
 T     TL      TV
----   --      --
 0      0       0
 1	A	D
 2	B	D   (sta tornando indietro)
 3	C	0   (é di nuovo al punto iniziale)
 4	D	D   BOOM!
Nel caso generale sia a/b il rapporto delle velocita (con a e b interi
ai minimi termini) e N il numero delle circonferenze:
i treni si scontrano se per qualche intero T si ha 
K = aT mod 2N = bT mod 2N
con K divesro da 0 e da N (in questi casi siamo all'estreno est o
ovest)
In altre parole si scontrano se esiste un K non congruente a 0 modulo
N tale che K(a-b) sia divisibile per 2N.
Nel caso proposto si ha a-b = 3-2 = 1, il K che rende il prodotto
divisibile per 2N = 12 è proprio un multiplo di 12 che quindi é
congruente a 0 modulo N = 6; perciò non si scontrano.
Nel caso dell'esempio che ti ho fatto sopra, si ha a-b = 4-1 = 3, e
utilizzando un K = 4 (non congruente a 0 modulo 6) si ottiene un
valore multiplo di 12. Quindi si scontrano.
In generale se la differenza delle due velocità a-b é uguale a 1 o a 2
i treni *non si scontrano mai* qualunque sia il numero N delle
circonferenze.
 
Puoi anche immaginare di srotolare i binari trasformandoli in una
circonferenza sulla quale si muovono due punti (i treni) *nello stesso
verso* ognuno con la propria velocità.
Si ha lo scontro quando le posizioni dei due punti coincidono tra loro
e coincidono con una frazione della circonferenza pari a un multiplo
di 2PiR/2N.
Naturalmente prima di incontrarsi entrambi i punti possono compiere
svariati giri.
Tutti i ragionamenti fatti ipotizzano che la dimensione dei treni sia
puntiforme altrimenti il problema si complica (vedi anche quanto ho
risposto a plinius).
-- 
Dano


Scusa mi sa che ho capito quale e' l'equivoco.
Io ho dato per scontato che quando il treno piu veloce torna al punto di 
partenza , la cosa finisce.
Se invece vanno avanti all'infinito il discorso e' differente.
Il quesito come era inteso ?
frengo


In effetti non è specificato chiaramente nel problema, ma io ho inteso
che i treni continuano a camminare fino a quando non c'é lo scontro o
almeno fino a quando non si ritrovano entrambi contemporaneamente al
punto di partenza (a questo punto tutto ricomincia e si ripetono tutte
le posizioni precedenti).
Se la cosa finisce quando il treno più veloce torna al punto di
partenza mi sembrerebbe troppo banale: i treni non si scontrano mai
qualsiasi sia il rapporto tra le velocità e il numero delle
circonferenze (purchè le velocità siano diverse).
-- 
Dano


None !
Ma perche dici questo ? Per esempio con le velocita del problema e 5 
circonferenze si incontrano nel 4 nodo.
frengo


Lo dico perchè è nel nodo 4 i due treni si incontrano ma NON COLLIDONO
dato che passano ognuno in un binario diverso, binari che non si
incrociano tra di loro.
Ti ho suggerito più volte di analizzare in dettaglio come è realizzato
l'incrocio delle due coppie di binari, ma visto che non lo vuoi fare
Ti mando alla tua email (spero sia funzionante) un piccolo disegno che
spiega come avviene l'incrocio.
-- 
Dano


L'email non funziona.
Ma secondo me e' chiaro che devi pensare ad uno schema, mica puoi 
utilizzare i veri scambi dei treni.
Anche perche veri treni puntiformi non ne ho ancora visti :-)
Comunque direi che si possono a questo punto aspettare dei chiarimenti 
dell'autore del post.
ciao,
frengo

"Dano" <da...@dano.it.invalid> ha scritto nel messaggio
news:gquur5t8p5i8irt7p...@camertes.tld...

Ciao,
ovviamente il quesito intendeva assumere due trenini corti con al massimo le
locomotive e una carrozza :))))
Cmq per il discorso "quando finisce" di frengo sinceramente non capisco: è
evidente che per considerare veramente conclusa la questione scontro si o
scontro no i due treni dovrebbeo quantomeno tornare alla situazione di
partenza e cioè entrambi a Ovest.
Infatti a quel punto il loop sarebbe il medesimo e l'impatto se non è
avvenuto ancora non avverrà più.
I due treni si ritroveranno a ovest quando il più lento avrà fatto due giri
completi mentre il più veloce tre giri completi.
E in effetti durante questi tragitti non si scontrano mai...
Saluti
Francesco

dell'autore del post.
Come avrai visto è intervenuto prontamente.
-- 
Ciao, Dano

 Come avrai visto è intervenuto prontamente.
Si ma non ha chiarito la questione degli scambi :-)
frengo

 Francesco
Bellissimo! Come non fare una simulazione con Phun?
http://www.phunland.com/wiki/Home
Vediamo dunque di calcolare la lunghezza max dei treni.
Per semplificarmi i calcoli, considero che il treno piu' lento proceda
alla velocita' di 0.333.. semicirconferenze/tempione dove il tempione
e' un'unita' di tempo arbitraria. Il treno piu' veloce viaggera' alla
velocita' di 1.5x0.333.. = 0.5 semicirconferenze al tempione.
Cosi' potro' tabulare (a numeri interi) i passaggi temporali ai vari
incroci, espressi ovviamente in tempioni.
Treno lento:
OVEST	A	B	C	D	E	EST
0	3	6	9	12	15	18
.	33	30	27	24	21
36	39	42	45	48	51	54
72	69	66	63	60	57
Treno veloce:
OVEST	A	B	C	D	E	EST
0	2	4	6	8	10	12
.	22	20	18	16	14
24	26	28	30	32	34	36
.	46	44	42	40	38
48	50	52	54	56	58	60
72	70	68	66	64	62
Dopo 72 tempioni i treni si ritrovano entrambi ad OVEST, quindi in
fenomeno puo' essere osservato come ciclico. Per scontrarsi, i treni
dovrebbero trovarsi nello stesso istante temporale nello stesso
incrocio e cio' e' evidente che non succede mai.
Considerando i calcoli eseguiti per la testa di ogni treno, vediamo
ora cosa possiamo dire sulla lunghezza. Il caso peggiore per il treno
piu' veloce e' di sfrecciare all'incrocio davanti all'altro con
l'anticipo di un tempione. Quindi potra' essere lungo s = v x t = 0.5
x 1 = mezza semicirconferenza (!)
Anche a quello piu' lento capita di transitare in anticipo di un
tempione (incrocio A: 69-70), quindi la sua lunghezza massima sara' di
un terzo di semicirconferenza.
s.e.&.o.
Livio