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Titolo: coppie

Mischia le 52 carte di un mazzo, poi comincia a girare le carte a due a
due: mediamente, quante coppie di colore diverso ti aspetti?
Io ho elaborato una soluzione, ma non mi torna con una simulazione che ho
fatto :(((
Provateci voi e ditemi se è sbagliata la soluzione o la simulazione.
I miei risultati li metto qui sotto per non influenzare i vostri
ragionamenti.
Ciao, Silv:o)
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Allora, chiamo D e S gli insiemi delle carte dispari e pari
Sia M il massimo delle carte dello stesso colore che ci sono in D (e quindi
in P ci saranno M carte dell'altro colore)
Supponiamo per esempio che nelle dispari ci siano 16 rosse e 10 nere.
Allora 6 di queste non hanno speranze di formare coppie tutte rosse, per
cui 6 coppie saranno sicuramente di colore diverso. Ne restano 20, ma ora P
e D hanno entrambi 10 rosse e 10 nere. Comunque siano disposte le 10 rosse
in D, analizziamo tutte le possibili combinazioni di P. Possiamo accoppiare
ogni combinazione con quella ottenuta scambiando le rosse con le nere. Se
la prima aveva 12 coppie di colore diverso, la seconda ne avrà 8, perchè le
coppie omogenee diventano eterogenne dopo lo scambio. Quindi ogni coppia di
combinazioni complementari porterà mediamente 10 coppie eterogenee. La
media delle coppie eterogenee prendendo tutto il mazzo diventa 6(sicure) +
10(media) = 16, ovvero M.
Siamo giunti alla conclusione che, mediamente, le coppie eterogenee
eguagliano il massimo tra rosse e nere presenti nei due semimazzi.
Ma qual è la probabilità che M assuma un certo valore?
Secondo me siamo in presenza di una distribuzione ipergeometrica, (quella
dell'urna senza rimpiazzo) e tale distribuzione dice che la probabilità che
in 26 carte ce ne siano m rosse e 26-m nere è
P(m,26-m)=C(26,m)*C(26,26-m)/C(52,26)
dove C(n,k) è ovviamente il coeff. binomiale, ovvero le combinazioni di n
elementi di classe k
La probabilità che M=m è il doppio di questa perchè potrebbero esserci m
rosse oppure m nere.
Se faccio la media mi viene E(M)=Sum (m=13, m=26) (m * P(M=m)) = 17.25
Provo a mischiare un milione di volte e contare (sono velocissimo con le
carte ;-)
Mi viene 13.25 :(((
I calcoli della media li ho fatti con Excel, ma escludo che una discrepanza
tale sia dovuta ad approssimazioni.

Ciao, Silv:o)
Secondo me ci sono quattrro possibilita':
- la carta di destra rossa e quella di sinistra rossa
- la carta di destra nera e quella di sinistra rossa
- la carta di destra nera e quella di sinistra nera
- la carta di destra rossa e quella di sinistra nera
quindi 2 volte su 4 viene una coppia dello stesso colore!
Quindi su 26 coppie "disponibili"... la media e' di 13 coppie dello stesso
colore !!!
O no?
Ciao
Paolo

 O no?
E' come pescare due palline alla volta da un'urna di 26+26: se le rimetti
dentro allora hai ragione tu, altrimenti...
Ciao, Silv:o)

Se tu metti sul tavolo 26 coppie di carte COPERTE, quante possibilita' hai
di VOLTARE una coppia dello stesso colore? Una su due! Ed alla fine avrai
voltato 13 coppie dello stesso colore e 13 coppie di colore diverso! Perche'
complicarsi la vita quando e' tutto cosi' semplice?
Paolo
Silvio ha scritto nel messaggio <01be56ca$e3ed12e0$3a50bfc3@gaetano>...


complicarsi la vita quando e' tutto cosi' semplice?
Stai di nuovo confondendo due modelli completamente diversi (estrazioni con
e senza rimpiazzo)
in questo caso le coppie NON sono indipendenti!
non ti convinco? prova con sole quattro carte.
ammetterai anche tu che posso mischiarle in 6 modi equiprobabili:
NN,RR  0 coppie miste
NR,NR  2
NR,RN  2
RN,NR  2
RN,RN  2
RR,NN  0
Totale:  8
Media:   4/3 E NON 1!!!!
Ciao, Silv:o)

fatto :(((
Ho trovato la falla del mio ragionamento (la simulazione era esatta), ed
anche un metodo ricorsivo per il calcolo di N(b, r) = # di coppie miste
attese con un mazzo di b + r carte
Adesso tocca a voi.
Giao, Sivv:o~)
scusade... bi cola il naso

 Ciao, Silv:o)
Io ho provato con il seguente ragionamento :
1) con 52 carte (26 R + 26 N) si fanno 495.918.532.948.104 mischiate
Le coppie di carte diverse, scelte in sequenza da uno dei mazzi
mischiati, possono essere 0 2 4 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26.
Allora prendo tutti mazzi mischiati con la 1) e trovo che :
coppie 0 : 67.108.864
coppie 2 : 10.905.190.400
coppie 4 : 376.229.068.800
coppie 6 : 4.828.273.049.600
coppie 8 : 28.667.871.232.000
coppie 10: 87.723.685.969.920
coppie 12: 146.206.143.283.200
coppie 14: 135.762.847.334.400
coppie 16: 70.002.718.156.800
coppie 18: 19.445.199.488.000
coppie 20: 2.722.327.928.320
coppie 22: 168.739.334.400
coppie 24: 3.515.402.800
coppie 26: 10.400.600
A questo punto si tratta di trovare una media tra tutte le mischiate
moltiplicando i valori trovati per il rispettivo numero di coppia
ad es. 2 * 10.905.190.400 .. 24 * 3.515.402.800 .. 26 * 10.400.600
Sommo tutte le coppie trovate, divido per i mazzi possibili trovati
nella 1) ed ottengo : 12,74510
Credo che possa essere considerato valido.
Aspetto vs preziosi commenti!
Massimo

A questo punto si tratta di trovare una media ... ottengo : 12,74510
Ti giuro che il risultato corretto è 13+13/51=13.2549.. confermato da
diverse megasimulazioni.
Pero'... riguardando... ma sì! Tu stai probabilmente contando le coppie
omogenee, mentre io conto le eterogenee, infatti i due numeri sono
complementari!
Quindi e' tutto OK, devi solo dirci come caspita hai trovato quei numeri!
(ovviamente anch'io devo dire come ho trovato il mio, aspetto ancora qualche
altro intervento)
Ciao, Silv:o)

 altro intervento)
Adesso a te la parola ...
Massimo

 E(n,r)= nr/(n+r-1) !?!?!?!?!?!!?
Ok, Sivio
il risultato e' quello giusto ma io proprio non ci arrivo alla tua conclusione
!!
Il mio ragionamento e' di quelli a forza bruta.
Infatti ho considerato tutte le possibili mischiate con 52 carte di cui 26R e
26N.
Ho poi utilizzato il calcolo combinatorio per ottenere i valori indicati e che
riporto
di seguito.
Avendo n coppie se vuoi sapere quante ce ne sono k omogenee, allora
devi considerare che ce ne sono k/2 Rosse e k/2 Nere, da cui :
1) n!/((n-k)!*(k/2)!*(k/2)!)
a questo punto basta calcolare quante volte questa combinazione e' ripetuta con
:
2) 2^(n-k)
e moltiplicare tra loro la 1) e la 2) per ottenere il numero di coppie della
combinazione.
Ripetendo il calcolo per 0 2 .... 24 26 si ottengono i numeroni da me indicati.
I dati sono da considerare comlementari in quanto avendo stabilito che
ci sono 26 coppie totali, allora se ci sono 0 coppie omogenee ci saranno 26
coppie
eterogenee e cosi via fino ad avere 26 coppie omogenee e 0 eterogenee.
Per il calcolo della media abbiamo gia' detto in precedenza.
Indicando con Co le coppie omogenee e con Ce le coppie eterogenee avremo :
Co(0) ; Ce(26) : 67.108.864
Co(2) ; Ce(24) : 10.905.190.400
Co(4) ; Ce(22) : 376.229.068.800
Co(6) ; Ce(20) : 4.828.273.049.600
Co(8) ; Ce(18) : 28.667.871.232.000
Co(10) ; Ce(16): 87.723.685.969.920
Co(12) ; Ce(14): 146.206.143.283.200
Co(14) ; Ce(12): 135.762.847.334.400
Co(16) ; Ce(10): 70.002.718.156.800
Co(18) ; Ce(8): 19.445.199.488.000
Co(20) ; Ce(6): 2.722.327.928.320
Co(22) ; Ce(4): 168.739.334.400
Co(24) ; Ce(2): 3.515.402.800
Co(26) ; Ce(0): 10.400.600
I risultati sono complementari a 26 (nr di coppie) :
media omogenee = 12,7451.....
media eterogenee = 13,2549.....
da cui si evince che le coppie eterogenee sono mediamente più presenti di quelle
omogenee.
Eppure, appena letto questo msg non ci avrei scommesso neanche 100 lire!!!!
Saluti,
Massimo

Eppure, appena letto questo msg non ci avrei scommesso neanche 100 lire!!!!
Io l'ho sospettato, dopo un po' che ci pensavo. D'altronde la prima coppia è
più facile che sia mista, lasciando poi un nuovo mazzo più piccolo ma simile
al precedente...
Con quattro carte si vede bene: giri una rossa, se la seconda è nera hai due
coppie miste altrimenti 0. Ma la seconda è nera due volte su tre.
Ciao, Silv:o)

 coppie miste altrimenti 0. Ma la seconda è nera due volte su tre.
....ma non avevi detto che si girano 2 carte alla volta ?
Saluti,
Massimo

 vedo !
Scusate, ma prima io non la vedevo.....
Solo dopo aver fatto i calcoli me ne sono convinto.... 8:-(
Massimo

Meditate genti, meditate!
macchestaiaddi?
Le carte le puoi girare anche mezza a mezza, o tutte insieme, devi sempre
confrontare la prima con la seconda, la terza con la quarta...
e come se dicessi che a poker se le carte le guardi tutte insieme
(orrore...) o le spizzi una ad una cambia qualcosa...
Ciao, Silv:o)


La differenza sta nel considerare UNA CARTA alla volta, oppure una COPPIA
alla volta!
La "domanda" fatta nel gioco (inizialmente) parlava di firare le carte a DUE
a DUE!
Quindi:
- se ho quattro carte e la PRIMA COPPIA e' OMOGENEA, anche la seconda sara'
omogenea!
- e se la prima coppia e' ETEROGENEA anche la seconda sara' eterogenea
Le possibilita' sono 1 a 1 e non 4 a 3 !!!
Insomma se consideriamo la COPPIA, allora non si deve considerare RN diverso
da NR, come fai tu!
Ciao
Paolo

 Paolo
Mi sa che non avevi capito bene il problema.... Paolo.
Si tratta di calcolare la media di presenze di coppie eterogenee e coppie
omogenee ! Non di calcolare la probabilità delle stesse.
Esiste una sottile differenza e spero che i miei conti te lo abbiano
dimostrato.
Io ho considerato, cosi come indicato nel problema originario, di prendere 2
carte
alla volta e pure la differenza c'e'.!.! Anche se non ti piace, ma c'e' !
Guarda che se io non l'avessi calcolata crederei ancora a qullo che dici tu!
E poi le megasimulazioni di Sivio dove le mettiamo ?!?!?
Saluti,
Massimo

- e se la prima coppia e' ETEROGENEA anche la seconda sara' eterogenea
E' vero, i casi sono solo due, il resto è forzato, ma NON certamente
equiprobabili!
La prima coppia (ed anche l'altra come giustamente dici tu) è più spesso
etereogenea che omogenea!!!
Facciamo così: Io e te usciamo insieme a due belle gemelle. Per decidere le
coppie ti conviene mettere i quattro nomi in un urna e tirarli fuori a
coppie oppure giocarti a testa o croce la possibilità di andare in bianco?
Io userei l'urna: mi deve dire male (1/3) ed il mio nome è accoppiato al
tuo, ma due volte su tre mi capita una gemella, ed è festa per entrambi!
P.S. se a te va bene io prenderei la mora...
Ciao, Silv:o)

Le possibilita' sono 1 a 1 e non 4 a 3 !!!
Paolo, in questi giorni su rec.puzzles c'è stato un problema simile che ha
scatenato decine di risposte. Io temo che anche qui tu risponda 50%...
Il quesito è questo:
...no è meglio che lo posto come quesito a parte, vedi "le due faccie della
medaglia"
Ciao, Silv:o)


E come vedi le probabilita' sono UNO a UNO: o ci va bene a tutti e due o ci
va male a tutti e due.-
TERTIUM NON DATUR!
Paolo (sempre piu' battagliero)

...


 Paolo (sempre piu' battagliero)
Scusate ma mi ripeto,
*nel problema non si parlava di probabilità, ma di media*
Massimo

due: mediamente, quante coppie di colore diverso ti aspetti?
Massimo Mondò con un approccio combinatorio, io algoritmico, siamo arrivati
alla soluzione.
Poi ho trovato per caso una formula per calcolare le coppie miste attese in
un mazzo qualsiasi di r+n carte:
E(r,n)=rn((r+n-1)
ma non riuscivo a spiegarmela.
Adesso ci sono!
Dunque, se consideriamo le coppie formate dopo aver mischiato, è vero che le
probabilità di ogni coppia dipendono dalle altre coppie, però A PRIORI non
ho ragione di pensare che una coppia abbia più probabilità di un altra di
essere mista. Quindi TUTTE le coppie hanno A PRIORI le stesse probabilità di
essere coppie miste.
Qual è questa probabilità:
P(mista)= P(NR) + P(RN) = 2*P(RN) = 2rn/((n+r)(n+r-1))
per avere la media basta moltiplicare per il numero di coppie (n+r)/2 !
E(n,r)=P(mista)*(n+r)/2 = nr/(n+r-1)
Il mio problema è che io pensavo che questa probabilità valesse solo per la
prima coppia :((
Ciao, silv:o)

va male a tutti e due.-
AAAAAAARRRRRRRRRRRRRGGGGGGGGGGGGHHHHHHHHHHHHHHH!!!!!!!!!!!!!
I casi sono due MA NON EQUIPROBABILI!!!!!!!!!!!!!!!!!
Ci va bene a entrambi due volta su tre, ci va male  una su tre
...ma forse mi stai prendendo in giro...
Ciao, Silv:o[

 Paolo
OK, Paolo mi sa che pian piano ci stiamo arrivando .....
Massimo


Sei sicuro?
Voglio dire, il tuo primi ragionamento era sbagliato, ma hai trovato l'errore,
OK, ma la
simulazione? Probabilmente hai usato un calcolatore e un generatore di numeri
casuali.
Molti di quelli in commercio sono fatti male (qualcuno malissimo). Uno degli
errori
piu' comuni e' usare un generatore lineare congruente con modulo 2^n. Nel
caso, i
numeri generati sono alternativamente pari/dispari; i resti modulo 4 ri
ripetono ogni
4, i resti modulo 8 ogni 8 etc. Questo potrebbe rovinare una simulazione come
la tua.
Se hai dubbi, fai un controllo, l'errore potrebbe non essere nel carbonio
(tuo), ma
nel silicio.
Il problema e' comunque interessante, ma si presenta complicatino.
Per inciso, ho visto una lunga diatriba sul ng, con un errore: quando peschi
la
prima coppia la probabilita' che sia di colore uguale non e' 1/2, ma
inferiore. Pescata
la prima carta, ve ne sono 25/51 dello stesso colore. Con 4 carte lo scarto
rispetto
a 1/2 e' evidente, come hai poi messo in luce.
Ciao
Mauro

 Ciao, silv:o)
Lo pensavo anche io, invece vale sempre, ma resta da dimostrare.
Ciao
Mauro

Lo pensavo anche io, invece vale sempre, ma resta da dimostrare.
Spero non piu'
Ciao, Silv:o)
P.S.
ho trovato un teorema su un libro di statistica matematica che mi fa tornare
i conti anche col mio primo approccio, quello di dividere le pari dalle
dispari e contare le coppie che si formano. Eccolo:
The card matching problem for two decks of cards
(provo a tradurre...)
Sia A un mazzo di N carte, ognuna appartenente ad una sola delle famiglie
S_1,..,S_k (semi, colori, valori ecc.), formate rispettivamente da
m_1,..,m_k carte (52 e 52 per i colori). Similmente sia B un secondo mazzo
di N carte avente n_1,..,n_k carte del tipo S_1,..,S_k.
I due mazzi vengono mischiati e le carte di un mazzo confrontate una per una
con quelle del secondo. Sia x il numero di coppie omogenee. Trovare la legge
di x.
Sol.:
La distribuzione e' difficile da descrivere, soprattutto in ASCII, ma la
media di x è:
sum(i=1,..,k) m_i*n_i/N
credo che questo teorema potrebbe fornire (e lo avra' fatto di sicuro)
spunto per qualche gioco interessante.

Il problema e' comunque interessante, ma si presenta complicatino.
credevo anch'io, infatti hai visto come l'ho affrontato con circospezione...
Ciao, Silv:o)