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Titolo: rettangoli di quadrati

Ho letto un problema interessante, si tratta di dividere un rettangolo in
quadrati e poi...
Partiamo da un rettangolo axb, da un estremo tagliamone via un quadrato di
lato massimo (axa) ottenendo un nuovo rettangolo. Continuiamo a togliere il
quadrato di lato massimo ai rettangoli che ci rimangono fino a che non
otteniamo solo quadrati.
Per esempio (usare caratteri fissi):
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               b
Naturalmente questo procedimento non ha sempre fine, quando ha fine?
Avremo cosi m1 quadrati di lato massimo  (axa), m2 più piccoli, poi m3, m4
ecc...
Nell'esempio avremo m1=1  (quadrati di lato 11), m2=3 (quadrati di lato 3),
m3=1(quadrati di lato 2) e m4=2 (quadrati di lato 1).
Data la sequenza m1, m2, m3, m4, ecc... trovare una formula per il calcolo
del rapporto a/b
La risposta mi è sembrata molto carina e con risvolti molto interessanti.
Buon weekend a tutti,
GaS

 Naturalmente questo procedimento non ha sempre fine, quando ha fine?
Cosě, di primo acchitto, direi che il rapporto tra i lati deve essere
razionale.
La condizione č sicuramente necessaria. Penso che sia anche sufficiente.
Per il resto ancora non so, ma ho forti sospetti che in qualche modo
c'entri il rapporto aureo.
ciao
paolo


Con il rapporto aureo potresti proseguire la procedura infinite volte.
Saluti.

 Con il rapporto aureo potresti proseguire la procedura infinite volte.
E' vero, ma succede anche con altri rapporti, per esempio sqrt(2)/1,
ossia il classico foglio A4.
ciao
paolo

 ha scritto nel messaggio
news:b_6gc.91422$rM4.3...@news4.tin.it...

Mi pare se ne fosse parlato proprio tempo fa, su questo ng, oppure su
it.scienza.matematica
Avevamo esaminato il rettangolo aureo e quello argenteo (A4) ma ora non
ricordo quali erano stati i risultati. o forse on ho capito bene il nuovo
problema...
pazqo

 c'entri il rapporto aureo.
Visto che non si vedono altre idee un piccolo suggerimento:
mettiamola cosi, se la sequenza di m1, m2, m3 ...... è la sequenza infinita
1,1,1,1, ....  allora la formula da trovare converge al rapporto aureo.
Adesso è più facile....
GaS

"Gabriele Carelli" <gas...@iol.it.toglimidaqui> ha scritto:

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spoiler
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furfante!  :o))
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E' uno di quei problemi dove la soluzione, banale, non appare
a prima vista perche' la mente e' sviata dall'apparente complessita'
dell'esposto!
Se L1, L2, L3, ..., Ln e' la sequenza dei lati dei quadrati, il
rapporto tra i lati del rettangolo vale:
R= (Ln+L(n-1))/Ln
indipendentemente dalla sequenza intera e indipendentemente
persino dal fatto che il rettangolo abbia una scomposizione finita.
(Questo, ovviamente, purche' l'ultimo quadrato sia presente
in un unico esemplare, se no il problema e' indefinito).
Ammetto che, prima di trovare la soluzione, sono passato
anch'io per il rapporto aureo. Non solo: se pensate che ogni
quadrato appaia in N esemplari, allora si puo' tentare con
una Fibonacci Machine:
http://www.geocities.com/liviozuc/fibonacci.html
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 R= (Ln+L(n-1))/Ln
Non ti seguo. Mi pare che il dato non sia la sequenza degli "l" (lati
dei quadrati) ma quella degli "m" (numero dei quadrati di ciascun
ordine).
Mi sfugge qualcosa?
ciao
paolo

 non vedevo la necessarietà,
Basta vedere che entrembi i lati del rettangolo sono multipli del lato
dell'ultimo quadratino.
ciao
paolo

 Naturalmente questo procedimento non ha sempre fine, quando ha fine?
Viceversa, dato il rapporto r = a/b, la successione dei m_k si ottiene
proprio dallo sviluppo di r in frazione continua. Tale sviluppo è finito
se e solo se r è razionale.
Maurizio

 ha scritto:

Scusa, ho saltato un passaggio ed ho invertito gli indici rispetto a GaS.
Sia   N1, N2, N3, ..., Nn   la sequenza dei numeri di quadrati a partire
dal piu' piccolo (M4, M3, M2, M1  (2,1,3,1)  dell'esempio)
La sequenza dei lati si ottiene semplicemente:
L1=1 (arbitrario)
L2=N1
L3=L1+N2*L2
...
Ln=L(n-2)+N(n-1)*L(n-1)
A questa si applica il ragionamento suddetto.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 se e solo se r è razionale.
E naturalmente anche qui nulla da eccepire, complimenti.
Quello che mi era piaciuto in maniera particolare era la possibile
estensione anche a sviluppi periodici infiniti che danno luogo a rapporti
irrazionali.
Per esempio il numero aureo prendendo m_i=1 oppure 1+sqrt(3) prendendo
alternativamente 1 e 2 quadrati ecc...
Ciao,
Gabriele

 una Fibonacci Machine:
Se ogni quadrato appare in N esemplari applicando la soluzione data da
Maurizio si riesce a tirare fuori la soluzione in maniera esatta.
Basta infatti scrivere
r=N+1/(N+1/(N+1/(......)))=N+1/r
moltiplico per r (che è sicuramente diverso da 0) ed ottengo un equazione di
2° grado la cui soluzione positiva è:
r=(N+sqrt(4+N^2))/2
Come caso particolare si ha N=1 ottenendo il rapporto aureo.
A me è piaciuto tanto.
Ciao a tutti,
GaS

 ha scritto::

ma il classico foglio A4 non viene ottenuto tramite calcolo della
sezione aurea, appunto?
il foglio A1 dovrebbe essere il rettangolo aureo costruito su un
quadrato di un metro e poi gli a2, a3 a4 si ottengono dividendo a
metà, (almeno credo)

 metà, (almeno credo)
Non è così.
Nel foglio A4 (ed anche A3, A2 ecc) il rapporto tra il lato minore e
quello maggiore vale 0.707... ossia 1/sqrt(2).
Nel *rettangolo aureo* tale rapporto vale 0.618... ossia (sqrt(5)-1)/2.
Il rettangolo aureo si può dividere in un quadrato e un ulteriore
rettangolo simile al primo.
Il foglio A4 si divide in due rettangoli (A5) entrambi simili al primo.
Il foglio A0 ha area di 1 m2, e i lati (in millimetri) dovrebbero essere
all'incirca 1189*840.
Dividendolo a metà si ottiene il foglio A1, poi A2, A3, A4 ecc.
ciao
paolo

 irrazionali.
In effetti per questa via è facile dimostrare, partendo da un rettangolo
aureo, che il rapporto aureo è irrazionale. La dimostrazione è molto più
geometrica, e forse anche più semplice, della classica dimostrazione che
il rapporto fra la diagonale di un quadrato e il lato è irrazionale. Mi
pare anche di aver letto da qualche parte che si pensa che questa del
rapporto aureo sia stata la prima dimostrazione di irrazionalità nota ai
pitagorici.
Maurizio