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Titolo: Ancora urna (per 2 giocatori)

Cerco di migliorare un mio post precedente.
2 giocatori, A prepara casualmente un'urna in uno dei 2 seguenti modi:
1) 10 palline bianche, 0 nere
2) 9  palline bianche, 1 nera
Il giocatore B fa quante estrazioni (almeno una) vuole al costo
di 100 lire l'una, e poi deve indovinare se l'urna ha palline nere o no.
Se indovina vince 1000 lire, se perde perde 1000 lire.
Quindi se dopo un'estrazione indovina vince 900 lire perche'
100 le ha gia' date, se perde, perde 1100 lire.
Domanda facile:
il gioco conviene ad A o B?
Domanda facile 2: E se A non prepara piu' l'urna casualmente,
ma diciamo che 7 volte ogni 10 fa in modo che ci sia la pallina
nera (e B e' conscio di cio') chi favorisce il gioco?
Domanda facile 2: E se A non prepara piu' l'urna casualmente,
ma diciamo che 7 volte ogni 10 fa in modo che ci sia la pallina
nera (e B e' conscio di cio') chi favorisce il gioco?
Ciao
Andrea
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 il gioco conviene ad A o B?
Se non ho capito male il gioco, B puo' al massimo pareggiare
La strategia migliore per B e' quella di aspettare l'uscita di una pallina
nera, che gli darebbe la sicurezza di indovinare, ma solo fino ad un certo
limite, dopodichè gli conviene buttarsi sull'ipotesi piu' plausibile, dati
i risultati.
E' ovvio che quante piu' palline bianche vedo uscire, tanto piu' sono
portato a credere che siano tutte bianche, per cui P(10|n) (la probabilita'
che siano tutte e 10 bianche sapendo che le prime n estrazioni sono
bianche) e' una successione crescente che parte da P(10)(la probabilita' A
PRIORI)
Come si calcola P(10|n)?
          P(n|10)*P(10)         P(n|10)*P(10)
P(10|n) = ------------- = -------------------------
              P(n)        P(n|9)*P(9)+P(n|10)*P(10)
con P(n|10)=100% e P(n|9)=(9/10)^n
Nel caso P(10)=P(9)=50% ovviamente P(10|n)>50%, mentre nel caso P(10)=30%
allora P(10|n) supera la meta' solo per n>8 per cui se non vediamo almeno 9
palline di seguito dobbiamo puntare sull'ipotesi 2)
Cio' detto passiamo ad analizzare i due casi:
- Caso P(10)=50%
Sia n il numero massimo di estrazioni che A decide di effettuare prima di
dare la risposta.
Se c'erano solo palline bianche (50%) allora B paga n gettoni e poi dice
"tutte bianche" e vince il bonus. In totale vince 1000-n*100 con
probabilita' 50%
Se ce n'era una nera (50%) si vince solo se si estrae una nera nei primi n
tentativi (900 lire se la nera esce subito, 800 se esce come seconda
ecc...) Se la nera non esce proprio allora dopo n bianche si punta
sull'ipotesi 1), sbagliando e quindi pagando i gettoni piu' il bonus.
Sommando le diverse vincite ci accorgiamo che il totale non e' mai positivo
e che si va a pari se si estrae solo la prima vincendo 900 se e' nera
(1/2*1/10 di prob.) o e' bianca ed erano tutte bianche (1/2*10/10), ma
perdendo 1100 se e' bianca e ce n'era una nera (1/2*9/10). Il totale e'
900*11/20-1100*9/20=0
- Caso P(10)=30%
I conti sono gli stessi, solo che in caso di tutte palline bianche alla
fine degli n tentativi, conviene lo stesso puntare sulla presenza della
nera, almeno fino ad n=8
Di nuovo conviene estrarre solo una pallina. Si vince comunque se ce n'era
una nera (70%), perche' anche la vista della bianca non ci allontana dalle
nostre convinzioni, mentre si perde se erano tutte bianche (30%). La
vincita media e'
900*7/10-1100*3/10=300
Se lasciamo passare piu' estrazioni la vincita sara' minore, e da 5 in poi
si perde
Ciao, Silv:o)

 900*7/10-1100*3/10=300
Anche qui mi trovi daccordo con te. Ora viene il bello. Sembra quindi che ad A
non convenga variare la P(10).Infatti se P(10) > 50% e' peggio ancora.
Ma siamo proprio sicuri?
Se P(10) = 48% a chi conviene il gioco e che strategia deve adottare B?
Di sicuro non gli conviene adottare la stessa strategia di P(10)=30%.
A te la palla!
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 A te la palla!
Come dicevo, B una volta vista la prima pallina bianca, deve decidere su
cosa puntare. Puntera' sulla presenza della nera (strategia A) solo se la
probabilita' che ci sia una nera NONOSTANTE si sia vista una bianca si
mantiene oltre il 50%, cioe' se P(10|1)<1/2 ovvero se P<9/19=47,37%
altrimenti puntera' sull'assenza della nera (strategia B, per i calcoli
vedi il post precedente)
Dunque per P<9/19 si punta sulla presenza della nera anche se si vede
uscire una bianca ed in definitiva si vincono 900 lire solo se c'era una
nera nell'urna.
Allora la vincita media diventa
V=900*(1-P)-1100*P=1100-2000*P che e' positiva Per P<9/20=45%
Quindi abbiamo trovato un altro "zero" della funzione, ovvero un altro caso
di gioco equo, ed e' P=45%
Ricapitolando:
Se P<47.37% conviene la strategia B e V>0 per P<45%
Se P>47.37% conviene la strategia A e V>0 per P>50%
In altre parole A e' favorito solo per 45%<P<50%
Il tuo caso (48%) ricade in questo gap ed e' uno di quelli in cui se la
nera non esce subito e' difficile che ci sia, a differenza del caso 30%
(dove bisogna aspettare almeno 9 palle bianche per vincere i dubbi (ma
perdere 9 puntate!!!!))
La vincita media di A in questo caso e' 36 lire se B indovina la strategia,
di piu' se B non e' all'altezza (lascia passare piu' di una pallina e/o
punta sull'ipotesi sbagliata)
Ciao, Silv:o)


Ok, tutto giusto, ma ancora una piccola domanda: la tua analisi si sofferma
a considerare che B possa prendere solo una linea di condotta il 100% delle
volte che vede una pallina bianca, ma sei proprio sicuro che non possa
contrapporre egli stesso una strategia del tipo il 46 % delle volte diro' tutte
bianche etc.?
Comunque devo confessarti che ho appena letto il tuo messaggio, per cui
lo analizzero' meglio domattina per capire se esclude questo caso.
Certo che non era proprio facile dire a prima vista a chi il gioco conveniva!
Ciao
Andrea
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