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Titolo: Considerazioni su Urne e Palline [lungo]

Salve,
    Credo di aver messo un po' d'ordine nei miei problemi con il quesito
delle urne, questa e' una raccolta  del tutto ( e quindi sara' un po'
lunghetta).
Cominciamo dall' inizio: tutto e' nato da questo messaggio di Domenico
Vacirca (che devo ringraziare per avere scatenato una delle piu'
interessanti discussioni di questi ultimi tempi).
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In una urna ci sono due palline, ciascuna delle quali puo' essere
parimenti bianca o nera; ne estraiamo una e vediamo che e' nera, la
riponiamo dentro e ripeschiamo: che probabilita' c'e' di ripescare una
pallina nera?
Quale sarebbe stata la probabilita' del problema 1 se ci fosse stato
detto inizialmente che almeno 1 delle palline era nera?
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Punti da considerare:
1)
Dire "In una urna ci sono due palline, ciascuna delle quali puo' essere
parimenti bianca o nera" e' la stessa cosa di dire "ci sono quattro urne
con la combinazioni NN BB BN NB di palline e ne scegli una"? Credo di si,
ma vorrei conferma. Comunque da ora in poi assumo che sia vero.
2)
La risposta al primo problema che puo' essere semplificato in "quale e' la
probabilita' di avere scelto l'urna con NN" (di nuovo: credo sia cosi',
conferma?), si puo dedurre da una considerazione: a partire dalle quattro
urne la probabilita' di avere scelto un'urna con due palline uguali e' 1/2
e questa deve rimanere anche dopo aver estratto la pallina N quindi NN ha
prob 1/2 e le altre due 1/4 ciascuna (dato che BB viene eliminata). Se
cosi' non fosse, e, dopo aver pescato N, l'urna NN avesse prob 1/3, allora
potrei ragionare cosi' dopo avere scelto l'urna: "se estraggo una pallina
sara B o N ma qualsiasi delle due sia la probabilita' di avere scelto
l'urna con due palline uguali diventera' 1/3 e quindi anche senza estrarre
una pallina so che ho 1/3 di prob". Questo contrasta con la probabilita'
di 1/2 detta prima e quindi e' falso. Incidentalmente questo significa che
la risposta che avevo dato al primo quesito era sbagliata... cosi' va il
mondo.
3)
Secondo quesito: qui si va in acque piu' turbolente, dato che continuo a
non essere d'accordo con Domenico (il che si sta dimostrando alquanto
pericoloso :-}...). La mia risposta era "dipende da cosa esattamente viene
detto" e continuo a pensarla cosi': dato che se viene detto che viene
eliminata l' urna BB allora ci sono tre possibilita' NB BN e NN mentre se
io introduco una pallina nera e poi un'altra che puo' essere o bianca o
nera ho evidentemente solo le possibilita' NB e NN e la soluzione DEVE
essere differente.
4)
Comunque sia, mettiamo il caso che le urne siano BN NB NN. qui non si puo'
piu applicare il ragionamento di 1) per dire che NN ha 1/2 di
probabilita', ci vuole qualcosa di piu' e qui casca l'asino...
5)
E' lecito considerare il singolo evento usando la statistica? Con questo
intendo dire che "scelgo un urna e ne tiro fuori una pallina nera..." e'
diverso da "su 1 milione di tentativi fatti scegliendo un urna e tirando
fuori una pallina...." non fosse altro che nel secondo caso ho bisogno di
una informazione supplementare (cosa fare se pesco una B).
Nel secondo caso (se quando pesco una B scarto quel tentativo) e' ovvio
che nella meta' dei casi in cui avevo scelto BN la scelta viene scartata e
quindi NN avra' il doppio di probabilita'. Pero', nel primo caso (ti mettono
davanti a tre urne, scegli e peschi una pallina ed e' finita li') non sono
del tutto convinto che questo cambi le probabilita' della scelta,
dopotutto gia' sapevi che in ogni urna c'era gia' almeno una N. 
Forse questo e' un dubbio piu' che altro "filosofico" ma esiste.
Qualcuno ha idee in proposito?
A questo punto mi e' venuto un pensiero orribile mescolando porte ed
urne:  
C'e' un gioco a premi per vincere devi scegliere fra tre urne (BN NB e NN)
quella con NN. Ne scegli una ed il presentatore ti dice" voglio darti la
possibilita' di cambiare idea e ti do un aiuto" e da una delle altre due
pesca a caso una pallina: e' N. Ti conviene mantenere la scelta cambiare,
con quella da cui il pres ha pescato o la terza? E se la palline fosse
stata B?
AAARGHHH !
Ciao
     GianPiero
-- 
*  Istituto Nazionale di Ottica                        GianPiero Puccioni  *
*  Largo E.Fermi 6                               E-Mail :  
g...@fox.ino.it
  *
*  I-50125  Firenze - ITALY    =>this space intentionally left non-blank<= *

*  I-50125  Firenze - ITALY    =>this space intentionally left non-blank<= *
ciao Domenico

 
Be' non volevo proporlo veramente come un quesito serio... comunque penso
che tutto dipenda dal presentatore, se veramente vuole dare un aiuto o no 
e se sa cosa c'e' nelle urne o no. Puo darsi che sappia cosa c'e' nelle
urne ma poi debba pescare una pallina a caso, nel qual caso quale dovrebbe
essere la strategia del pres?  Ci sono un po' troppe variabili per farne
un quiz da rendere pubblico, forse studiandoci un po'.....
Comunque nel tuo caso 2 io cambierei comunque anche se pesca a caso visto
che si ricade in un caso simile alle tre porte e comunque non ci perdo
niente....
Ciao,



Se il presentatore non sceglie a caso la palla nera allora e' del tutto indifferente
tenere o cambiare
se invece lo fa a caso ho ragionato cosi'
la possibilita' che lui estragga N avendo tu scelto l'urna NN
e' di 1/2
mentre la probabilita' che lui estragga N avendo tu scelto una delle BN
e' di 3/4
essendo quindi piu' probabile la seconda deduco che conviene cambiare
stabilito quindi che conviene cambiare devo decidere quale urna prendere
visto che la probabilita' che esca nera dall'urna NN e' 1
mentre la probabilita' che esca nera dall'urna NB e' 1/2
penso che sceglierei l'urna da cui ha estratto la pallina nera ...
Se la pallina fosse stata B
anche qui'
se la scelta non e' a caso
scelgo di cambiare e prendo la terza urna in questo modo ho 2/3 di vincere
se la scelta viene fatta a caso ragiono nello stesso modo di prima
la probabilita' che lui estragga B avendo io scelto NN e' di 1/2
mentre la probabilita' che lui estragga B avendo io scelto una delle due BN
e' di 1/4
dato che la probabilita' e' piu' alta nel primo caso
penso che NON cambierei urna
Anche se mi sembra un ragionamento corretto non sono cosi' sicuro del risultato :-))
ciao
Italo


Visto che questo caso è svincolato dal problema iniziale ed  è un caso
reale (3 urne distinte), qui le probabilità di ogni urna sono tutte
1/3. (Anche prima il caso delle tre urne era reale, ma non
rispecchiava il problema!)
1° soluzione (ad intuito e quindi prob. sbagliata)
Nel caso in cui il presentatore pesca una N, è equivalente scegliere
la tua urna o quella del presentatore con uguali possibilità di
vincere.
Se il presentatore pesca una B è equivalente scegliere la tua urna o
quella in cui non ha pescato nessuno con uguali possibilità di
vincere.
2° soluzione(calcolata spero giusta)
* Caso Nera *
P (la mia sia NN) = P (io abbia pescato da NN) * P (estrarre una nera
dalle altre due) = 2/4 * 2/4 = 1/4
P (la mia non sia NN) = P (io non abbia pescato in NN) * P(estrarre
una nera dalle altre due) = 2/4 * 3/4 = 3/8
Il secondo caso è il più probabile, cioè che io non abbia pescato da
NN, quindi non scelgo la mia: resta da vedere quale devo scegliere
(forse quella del presentatore?).
* Caso Bianca *
P (la mia sia NN) = P(io abbia pescato da NN) * P(estrarre una bianca
dalle altre due) = 2/4 * 2/4 = 1/4
P (la mia non sia NN) P(io non abbia pescato in NN) * P(estrarre una
bianca dalle altre due) = 2/4 * 1/4 = 1/8
Il primo caso è il più probabile, quindi scelgo la mia urna.
Christian Salvaneschi
Casarza Ligure, Genova, Italy
e.mail: 
cr...@geocities.com
   web: 
http://www.geocities.com/SiliconValley/Lakes/5139

 Casarza Ligure, Genova, Italy



Secondo me no.
Nel primo caso dai peso alla "posizione" della palla, infatti usi BN e
NB, ma le loro probabilità sono rispettivamente (BN = 1/4)(NB = 1/4)
(NN = 1/2). Questo si può capire perchè in NN c'è anche il caso con le
palle in posizione rovesciata che da sempre NN.
Quindi, non avendo le tre urne le stesse probabilità di essere scelte,
non le puoi usare per semplificare il problema immaginandoti di fronte
alle tre urne nell'atto di sceglierne una, perchè in quel caso ne
sceglieresti una con prob. 1/3, ma non è così.
Puoi invece usare 4 urne: BN NB NN NN, tutte con prob 1/4. Così'
funziona.
Nel secondo caso, avendo ogni urna prob. 1/2, puoi invece immaginarti
di fronte alle due urne nell'atto di pescare. 
I risultati sono identici considerando le prob. sopra indicate per il
caso 3 urne (1/4, 1/4, 1/2) o per il 4 urne (tutte 1/4).
Spero di aver centrato il problema...
Saluti
Christian Salvaneschi
Casarza Ligure, Genova, Italy


 Spero di aver centrato il problema...
Non credo... Ma ho qualche difficolta' a seguire il tuo ragionamento 
(anche perche continui ad usare le lettere accentate che io, usando Unix
non vedo, anzi mi tocca sostituirle dato che il mio sistema si lamenta per
l'uso di caratteri illegali). Comunque mi sembra di capire che stai
considerando una questione differente. Questo particolare problema e' "una
urna in cui almeno una pallina e' nera", fine. In seguito poi si peschera'
etc etc. ma per ora fermiamoci qui: Cosa significa? Il mio punto e': detto
cosi' e' vago, per le ragioni di cui sopra. Ora tu mi dici che nel primo
caso (tiro una moneta per ogni pallina per decidere se e' B o N e se
ottengo BB riprovo) si ottiene NN con 1/2 di probabilita', non vedo come
sia possibile. Puoi spiegarmelo? E perche' non consideri mai il secondo
caso (si introduce una pallina N e poi si tira una moneta per decidere la
seconda)? Il succo del mio discorso e' che se non so in quale dei due casi
si e' non posso andare avanti, non sei d'accordo neanche su questo?


Ho ritrovato l'articolo da cui ho preso il problema
Buona traduzione :)
Balls and Urns 
An urn contains two balls, each black or white with even odds. You
pick a ball from the urn. It is black. You replace the ball. You pick
another ball from the urn. What are the odds that it is also black? 
Do the odds change if prior to picking the first ball in problem 1,
you are told that one of the balls is black, then again your first
pick is black? 
--------------------------------------------------------------------------------
Solutions were received from Phillippe Fondanaiche, Bert Sevenhant,
Nick Baxter, Highlander, and David Shield. 
The solutions were varied and much email was exchanged about the
correct analysis. In the end, a little computer simulation pointed
toward the answers below. 
3/4. Phillippe's solution explains Bayes' Theorem and shows an
excellent use of it: 
There are 4 possible configurations to fill the urn,each of them with
the same probability 1/4: 
C1 = BB, C2 = BW, C3 = WB, C4 = WW 
Let us call : Bi (or Wi) = a black (or white) ball is taken from the
urn at the i-th picking. Obviously Pr(B1) = Pr(W1) = 1/2. Let us call
B12 = B1 and B2. 
According to Bayes' theorem, we have: 
Pr(B12) = Pr(B12/C1)*Pr(C1) + Pr(B12/C2)*Pr(C2) + Pr(B12/C3)*Pr(C3) +
Pr(B12/C4)*Pr(C4) 
So Pr(B12) = 1*1/4 + 1/2*1/2*1/4 + 1/2*1/2*1/4 + 0*0*1/4 = 3/8 
The requested probability is Pr(B12/B1) = Pr(B12)/Pr(B1) = (3/8) /
(1/2) = 3/4. 
3/4. This answer surprised me, but simulation verified it. I extend
Phillipe's solution from above. Learning that one black ball exists
removes the C4 configuration from the possibilities: 
C1 = BB, C2 = BW, C3 = WB 
Pr(B1) = 1*1/3 + 1/2*1/3 + 1/2*1/3 = 2/3 
Pr(B12) = 1*1/3 + 1/2*1/2*1/3 + 1/2*1/2*1/3 = 1/2 
Pr(B12/B1) = Pr(B12)/Pr(B1) = (1/2) / (2/3) = 3/4. 
I think the above solution is the one that best matches the problem.
Several people read the problem differently and came up with different
answers. One solver suggested that "hearing that one ball is black" is
the same as "picking a black". The resulting answer shows this is not
the case since the probability is different: 
Again we'd start with the initial four configurations, and 
Pr(B123) = 1*1/4 + 1/2*1/2*1/2*1/4 + 1/2*1/2*1/2*1/4 = 5/16. 
The requested probability is Pr(B123/B12) = (5/16)/(3/8) = 5/6. 

 3/4  [etc etc....]
OK, ma qui si ricasca in quello che pensavo fosse il punto piu' importante
del mio messaggio, ma che e' stato ignorato (troppo stupido? troppo
filosofico? magari perfino troppo inteligente...) e cioe': e' lecito
considerare il caso singolo usando una statistica che presuppone delle
informazioni in piu' rispetto al problema? In particolare la "little
computer simulation" di cui sopra come e' stata fatta nel secondo caso? 
(sul primo, con 4 urne, penso nessuno abbia piu' problemi...), immagino
dando uguali probabilita' alle tre urne, estraendo una palla a caso e
scartando dalla simulazione tutti gli eventi in cui si pescava una Bianca,
questo ovviamente dara' 3/4, e' quasi insito nel metodo, ma perche' non
farla seguendo esattamente il problema, e cioe' dando uguali probabilita'
alle tre urne ed assumendo che pescando a caso venisse la N. Il risultato
e' ovviamente diverso e personalmente non so quale dei due sistemi abbia
piu' problemi. Per me la questione e' ancora irrisolta. E poi c'e ancora
il problema di cosa esattamente significa "you are told that one of the
balls is black", che e' un' altro dei punti del mio messaggio originale.
Forse questo sono piu' cose da it.fan.dewdney ma avendo problemi a postare
su gruppi moderati....... 


      GianPiero
Forse ho capito il problema ed hai ragione tu.
Nel primo caso le probabilita sono 1/3 ciascuna, ovvero
P(NN) = 1/3
P(NB o BN) = 2/3
ovvero e' più probabile che le palle escano differenti.
Nel secondo 1/2 NN e 1/2 NB: stessa prob.
Qual'e' la fregatura?
Che nel secondo caso, fissando una pallina a N, effettuo poi UNA SOLA
estrazione, per vedere il colore dell'altra.
Il secondo caso si riduce al caso precedente se escludo da questo il
caso BN, perche' la prima pallina non e' nera. A rigore di logica,
mettere prima una pallina nera nell'urna equivale a dire che LA PRIMA
DEVE ESSERE NERA!. Quindi l'uscita BN del primo caso andrebbe scartata
come BB, per poter pretendere che i due casi diano gli stessi
risultati probabilistici.
Conclusione: i due modi di sorteggio sono differenti, perchè il primo
ammette entrambe le coppie BN e NB, mentre il secondo ammette solo NB.
I risultati delle prob. 1/3 del primo caso, a scanso di equivoci,  li
ho verificati al calcolatore su 10000000 di sorteggi.
Spero che tu riesca a leggere bene questo messaggio...
Ciao
Christian Salvaneschi
Casarza Ligure, Genova, Italy
