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Titolo: Facile Facile...

Una scala è appoggiata ad un muro, ed anche allo spigolo di un cubo, come in
figura.
Sapendo che il cubo misura di lato 1metro, e sapendo che la scala è lunga
radice di 15, qual è la massima altezza a cui può arrivare la scala?
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Ciao
    Enigm

...


 radice di 15, qual è la massima altezza a cui può arrivare la scala?
Facile? mmh.. non direi.
In ogni caso l'abbiamo gia' trattato. Ho ritrovato la sol. di Domenico
Vacirca, 
qui la lunghezza della scala e' = 7. 
Le sol. pubblicate altrove sono piu' semplici.
Ok adesso posto la soluzione:
chiamo a l'angolo formato dall'asta col terreno, x la lungezza che va
dallo spigolo della scatola al terreno, y la lunghezza che va dallo
spigolo dell'asta al muro (y=7-x), h=altezza-1, b=base-1:
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  |    \
h |     \
  |      \ y 
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  |        \
  |         \
  |          \
  |           \
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  |            |\
  |   1m       | \
  |            |  \
  |            |   \ x
  |            |  a \
  |____________|_____\_________
               |  b   |
 
ho: h=y*sen(a), b=x*cos(a);
y*cos(a)=1, x*sen(a)=1;
x^2=b^2+1, y^2=h^2+1, (x+y)^2=(h+1)^2+(b+1)^2,
da cui: x^2+y^2+2*x*y=h^2+2*h+1+b^2+2*b+1, da cui:
2*x*y=2*h+2*b => x*y=h+b => x*y=y*sin(a)+x*cos(a), divido adesso
y*sin(a) e x*cos(a) rispettivamente per x*sin(a) e y*cos(a) (non
cambia nulla in quanto entrambi uguali a 1), ottengo:
x*y=y/x+x/y => x^2*y^2=x^2+y^2, ma x^2+y^2+2*x*y=49, cioe' :
x^2+y^2=49-2*x*y, quindi (x*y)^2+2*x*y-49=0, cioe' ponendo z=x*y:
z^2+2*z-49=0 => z=-1+5*sqrt(2) (-1-5*sqrt(2) e' ovviamente da
scartare). Quindi x=(5*sqrt(2)-1)/y=7-y => y^2-7*y+5*sqrt(2)-1=0 da
cui y=(7+sqrt(53-20*sqrt(2)))/2 . La soluzione cercata e' data da :
altezza=1+sqrt(y^2-1)=1+sqrt(98-20*sqrt(2)+14*sqrt(53-20*sqrt(2)))/2
PS. DOMENICO dove sei finito ??
Se ci sei batti un .. tasto.
dario

Ho trovato un modo più semplice per risolvere il problema.
detta x la distanza del piede della scala dal cubo,
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|        \sqrt((1/x)^2+1^2)
|         \
| 1/x     \
|           \
|______ \
|     1     |\
| 1       1| \ sqrt(x^2+1^2)
|            |  \
|___1__ |_ \_________
                x
Uguagliando la lunghezza della scala con i due segmenti si ottine:
sqrt(x^2+1)/x+sqrt(x^2+1)=sqrt(15)
raccogliento,
sqrt(x^2+1)*(1/x+1)=sqrt(15)
sqrt(x^2+1)*(x+1)/x=sqrt(15)
sqrt(x^2+1)*(x+1)=x*sqrt(15)
(sqrt(x^2+1)*(x+1))^2=(x*sqrt(15))^2
(x^2+1)*(x^2+2*x+1)=15*x^2
risolvendo e semplificando,
x^4+2*x^3-13*x^2+2*x+1=0
che è una equazione simmetrica, divido tutto per x^2
x^2+2*x-13+2/x+1/x^2=0
(x^2+1/x^2)+2(x+1/x)-13=0
(x^2+1/x^2)=(x+1/x)^2-2
(x+1/x)^2-2+2*(x+1/x)-13=0
(x+1/x)^2+2*(x+1/x)-15=0
risolvo con una sostituzione, t=(x+1/x)
t^2+2*t-15=0
t1=3
t2=-5
Si tratta ora di risolvere le seguenti equazioni di 2° grado,
x+1/x=3
x+1/x=-5
x^2-3*x+1=0
x^2+5*x+1=0
eccetera ....
Ciao.
Angelo

 detta x la distanza del piede della scala dal cubo,
A me sembra che ce ne sia uno più semplice.
Chiamate x la distanza dal piede della scala al muro e y l'altezza da
trovare si ha:
x^2+y^2=15
E, inoltre, dal momento che i due triangoli che stanno tra il cubo e la
scala sono simili a quello grosso
(y-1):1=y:x
Da cui otteniamo
xy-x-y=0      (((che poi userò come xy=x+y)))
Metto in sistema le due equazioni e aggiungo alla prima il doppio della
seconda; perciò
(x+y)^2-2(x+y)-15=0
cambio variabile t=(x+y)
e risulta t=1+sqrt(1+15)
t=5
Perciò x+y=5 e, dall'equazione di prima, xy=x+y=5
Quindi risolvo il sistema
x+y=5
xy=5
Da cui si ottiene facilmente y=(5+sqrt(5))/2 (la y da tenere deve essere
quella massima)
Speriamo sia giusto
Ciao
Marco