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Titolo: rettangolo e dischi

Un certo rettangolo puo' essere ricoperto completamente con 25 dischi di
raggio unitario.
E' possibile ricoprirlo con 100 dischi di raggio 1/2?
ciao
paolo

 >1/2?ciaopaolo
Tento uno SPOILER
Si. Ne bastano anche meno.
E' piu' facile spiegare supponendo che il rettangolo sia in particolare un 
quadrato di superficie 36, e non penso che tale assunzione comprometta le 
conlcusioni.
Dividiamo il quadrato con un reticolo di quadratini di lato 2. Si hanno nove 
quadratini di lato 2. Chiaramente, dovendo ricoprirlo con cerchi, ci saranno 
degli sprechi corrispondenti alle porzioni di superficie dei cerchi che si 
trovano a essere sovrapposti. Si intuisce (almeno mi sembra, ad intuito) che 
un'utilizzazione ottimale dei cerchi consiste nel piazzare un cerchio di 
raggio 1 inscritto in ognuno dei quadratini di lato 2 e poi un cerchio di 
raggio 1 centrato su ognuno dei 16 punti d'incrocio del reticolo. Cosi' 
utilizzo esattamente 9+16 = 25 cerchi.
Se invece seziono il quadrato con un reticolo doppimante fitto, trovo 36 
quadratini di lato 1 e 49 punti d'incrocio del reticolo. Con lo stesso 
procedimento, piazzo un cerchio di raggio 1/2 inscritto in ognuno dei 36 
quadratini e poi un cerchio di raggio 1/2 in ognuno dei 49 punti 
d'intersezione del reticolo. Utilizzando in totale 85 cerchi di lato 1/2 
ricopro quindi la superficie che ricoprivo con 25 cerchi di raggio 1.
Mi sembra che corrisponde all'intuizione che, diminuendo il raggio del 
cerchio (al limite se tendono a diventare punti), si ricopre con minore 
spreco (al limite nullo) la superficie.
Ciao, Antonio
P.S. Paolo, non so proprio perche' i miei messaggi non seguono l'ordine del 
thread, e questo mi infastidisce perche' a volte la mia soluzione appare in 
coda a soluzioni spedite dopo la mia. Forse perche' uso Hotmail? Non so 
proprio che fare, spero che qualcuno mi possa aiutare.
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 E' possibile ricoprirlo con 100 dischi di raggio 1/2?
Ho visto le considerazioni di antonio david e mi sembrano interessanti.
Ad intuito anch'io mi sento di condividere l`idea che basti un numero di cerchi 
+ piccoli con area aggregata minore o uguale. Ma dimostrarlo mi pare una cosa
tutt`altro che semplice (su un presupposto analogo si basa la def. della misura di
Hausdorff, di` la verita` Paolo !).
Un caso meno 'sprecone', in cui si e` costretti ad usare tutti e 100 i cerchi
piccoli e` questo : un rettangolo di lati sqr(2) e 25*sqr(2). Mi pare abbastanza
evidente che puo` ricoprirsi solo con i 25 cerchi di raggio unitario o con due
file da 50 di cerchi di raggio dimezzato.
Ciao, Crios.

 > E' possibile ricoprirlo con 100 dischi di raggio 1/2?
sp
o
i
l
e
r
Certo che si può!
Divido il rettangolo in 4 rettangoli simili al rettangolo di partenza
congiungendo il centro dei lati opposti:
------------------------
|               |                   |
|               |                   |
------------------------
|               |                   |
|               |                   |
------------------------
Su ciascuno di questi rettangoli effettuo il ricoprimento con i dischi
di raggio 1/2 nello stesso modo in cui prima ridoprivo il rettangolo
grande con i dischi di raggio 1.
Molto bello! (intendo il problema)
Ciao, Massimo

E` vero ! Ti ho servito un assist senza nemmeno accorgermene...
Sto cominciando ad accusare l'eta` ? :-(

 proprio che fare, spero che qualcuno mi possa aiutare.
Pero' questa volta ti sei agganciato al posto giusto:-)
Purtroppo non conosco Hotmail e non ti posso dare alcun suggerimento.
per quanto riguarda le considerazioni sull'enigma, vedi le risposte agli
altri.
ciao
paolo

 grande con i dischi di raggio 1.
Ottima risposta, sintetica e precisa.
ciao
paolo

 Hausdorff, di` la verita` Paolo !).
Per dire la verita', non ho la minima idea di cosa sia la misura di
Hausdorff :-(
L'enigma non e' mio, l'ho trovato sull'archivio di rec.puzzles e l'ho
rigirato sul nostro ihe.
Mi e' piaciuto soprattutto per la soluzione che proponeva, la stessa data da
Massimo Brighi, sintetica e senza alcun calcolo astruso.
Per quanto riguarda l'intuizione sul fatto che con dischi piu' piccoli si
abbia minor spreco, non mi sembra del tutto valida; o forse e' valida solo
per un certo *effetto bordo*.
Cioe' credo che il risparmio si possa avere solo verso il perimetro della
figura da ricoprire, ma non all'interno.
Il risparmio nell'usare dischi r=1/2 anziche' r=1 dovrebbe diminuire al
crescere dei lati del rettangolo, fino ad annullarsi per lati-> infinito (o
in pratica per lati abbastanza grandi rispetto ai dischi).
E' questo il motivo per cui in un calcestruzzo gli spazi vuoti totali non si
riducono riducendo semplicemente la granulometria della ghiaia, ma
utilizzando ghiaia composta da granulometrie differenti, in modo che i grani
piccoli riempiano gli interstizi tra i grossi.
ciao
paolo

 piccoli riempiano gli interstizi tra i grossi.
Che fai nella vita, l'ing. edile? ;-))))
Ciao
Gianni

 piccoli riempiano gli interstizi tra i grossi.
Esattamente. L`importanza dell`argomento presentato e` che la copertura con cerchi
piu` piccoli puo` essere scelta in modo da non peggiorare mai la precedente. Certo,
non dice se quest`ultima e` ottima, se la prima lo era, e infatti non lo e`. In questo
senso e` stato bravo antonio david. Il miglioramento e` proprio dato dal bordo.
E' invece inesatta l'affermazione che lo spreco tende a zero.
Credo sia intuitivo che usando cerchi identici il meglio che si puo` fare e` al limite
la copertura di cerchietti minutissimi a `nido d`ape`.
Ciao,
	Crios.