Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: quesito maturità (urgente!)

In un quesito questa mattina nel compito di maturità c'era questo problema:
due numeri x e y dispari,appartenenti ad N, sottratti devono dare 2. elevati
entrambi alla terza e sottratti nuovamente (x-y) il risultato sarà:
1) divisibile per 2 e per 3
2)divisibile solo per 2 e non per 3
3)divisibile per 3 ma non per 2
4)non divisibile né per 2 né per 3.
una sola di queste è vera, dire quale e fornire spiegazione.
ora: da quello che mi hanno detto esiste una formula per cui è semplice
risolvere questo quesito. Nella mia classe nessuno ricordava la formula e
abbiamo dovuto usare la logica.
Poichè due numeri dispari elevati alla terza rimangono due numeri dispari e
poichè due numeri dispari sottratti danno un numero pari sicuramente il
numero ottenuto sarà divisibile per 2. Fin qui ci sono arrivati tutti.
Usando qualche esempio ho notato che tutti i numeri che mi risultavano non
erano divisibili per 3. Ho dedotto che la risposta esatta fosse la B ed ho
cominciato a capire perchè.
La mia spiegazione è stata questa:
il numero ottenuto non sarà divisibile per 3 poichè elevando alla terza un
suo multiplo e sottraendolo per un suo non multiplo alla terza si avrà
necessariamente un numero non divisibile per 3. Poichè scegliendo ad esempio
un suo multiplo 9 ed elevandolo alla terza si dovrà sottrarre per un numero
di due cifre minore quindi non multiplo di 3 elevato alla terza. Da cui
l'indivisibilità del numero per 3 poichè un multiplo di 3 elevato alla terza
sottartto per un suo non multiplo elevato alla terza non darà mai un numero
divisibile per 3.
La prof. mi ha chiesto tempo per pensare se la risposta era corretta e mi ha
detto che il ragionamento è plausibile. Poichè sono stato l'unico a fare
questo esercizio ed io a matematica non vado granchè bene volevo sapere con
certezza se il mio ragionamento può considerarsi corretto.
grazie in anticipo.
R.


Non so se il ragionamento logico sia corretto, ma io mi atterrei
semplicemente alle formule matematiche...
Poniamo che x sia il più grande dei due: allora sarà x = y +2 (visto che x -
y deve dare 2).
Elevandoli alla terza, e sottraendoli, si ottiene (con le dovute
sostituzioni):
x^3 - y^3 =
= (y+2)^3 - y^3 =
= (y^3 + 6y^2 + 12y + 8 ) - y^3 =
= 6y^2 + 12y + 8
Il primo e il secondo termine sono multipli sia di 3 che di 2, mentre il
terzo è multiplo solo di 2.
Di conseguenza la somma sarà divisibile solo per 2 ma non per 3.
Ciao,
    Daniele

Di conseguenza la somma sarà divisibile solo per 2 ma non per 3.
oppure:
(x^3-y^3) = (x-y)*(x^2+xy+y^2)
il primo termine vale proprio 2 e quindi il totale e' pari;
il secondo termine, se ci si sostituisce y = 2 + x, viene uguale a:
3x^2+6x+4  ;
che e' uguale a   3x^2+6x+3 ...  + 1, ovvero a:
 3(x+1)^2 + 1  ;
quindi sicuramente NON divisibile per 3
ciao
Lisa

 una sola di queste è vera, dire quale e fornire spiegazione.
Io l'avrei risolto con i residui (o resti o congruenze) modulo 3
In modulo 3 si ha:
x ==> x^3
0 ==> 0
1 ==> 1
2 ==> 2
Quindi i resti modulo 3 dei cubi coincidono coi resti modulo 3 dei numeri.
Nell'aritmetica modulo 3, fare la differenza dei cubi equivale a fare la
differenza dei numeri, che sappiamo essere 2. Se la differenza fosse
divisibile per 3 dovrebbe invece dare resto nullo.
--
Ciao, Silv:o)