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Titolo: Mi sono perso ... (passaggio al limite al primo gennaio )

A un minuto da mezzanotte di ieri sera (31/12) ho preso un vaso vuoto e un'infinità di foglietti numerati a partire dall'uno. Ho messo i primi dieci foglietti e poi ho tolto il numero 1, quindi a mezzo minuto da mezzanotte ho messo altri 10 foglietti a partire dall'11 e ho tolto il numero 2, quindi a un terzo di minuto da mezzanotte (avevo un cronometro atomico per cui riuscivo a beccare l'esatto istante) ho inserito altri 10 foglietti a partire dal 21 ma ho tolto il numero 3 (riesco a fare queste operazione in tempo 0) ... e sono andato avanti così ....
Sapete dirmi quanti foglietti ho ritrovato nel vaso il primo gennaio ?
 

 Sapete dirmi quanti foglietti ho ritrovato nel vaso il primo gennaio ?
 
SPOILER
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Ovviamente è vuoto :-)
 
Il biglietto con il numero N, generico, è stato tolto ad 1/N di minuto dalla mezzanotte.
 
E' si, a giocar con gli infiniti ed infinitesimi....
 
Ciao
Gabriele


A me viene diverso... il numero f di foglietti sembrerebbe
divergere:
 n     foglietti = 10+9(n-1)     tempo = -1/n
 1        10+9*0 = 10                -1
 2        10+9*1 = 19                -1/2
 3        10+9*2 = 28                -1/3
 4        10+9*3 = 37                -1/4
...      ............               .....
inf     10+8*inf = inf               -0
 
Ho capito male il testo io? ciao
 
-- 
  (> '.')>
Oldghost
 

 Ho capito male il testo io? ciao
 
No, non penso che tu abbia capito male. Ovviamente il numero di biglietti diverge in quanto ad ogni step il loro numero aumenta di 9 (10 messi -1 tolto). Però, come scritto nella mia prima risposta, qualsiasi numero N viene eliminato quando mancano 1/N minuti a mezzanotte e quindi alla fine nessun biglietto può essere nel vaso.
Paradossale? Certo, quando si lavora su infiniti e infinitesimi paradossi di questo tipo sono all'ordine del giorno :-)
 
è dai tempi di Zenone, passando per Galileo, che ci si diverte con simili esperimenti mentali
 
Ciao
 

con simili esperimenti mentali
 
 


 Sapete dirmi quanti foglietti ho ritrovato nel vaso il primo gennaio ?
 
Stavo pensando a due variazioni del problema:
 
1) come prima ma quando mancano 1/N minuti alla mezzanotte, N>0, viene tolto il biglietto (N+1) (al posto del biglietto N)
 
2) come prima ma quando mancano 1/N minuti alla mezzanotte, N>0, viene tolto il biglietto 2N (al posto del biglietto N)
 
Dal punto di vista logico sembrerebbero sempre lo stesso problema: ad ogni passo metto 10 biglietti e ne tolgo 1.
Però i risultati nei 3 casi sono moooolto diversi
 
Ciao ciao

Stavo pensando a due variazioni del problema:
 
Ieri ero in errore nell'interpretare il quiz originale, perche'
la formula che diedi per i foglietti non c'entra nulla, con essa
non ci puo' esser dubbio che la serie diverge a +inf.
 
Il punto di vista corretto e' di pensare il vaso GIA' PIENO di
tutti in numeri naturali (AKA foglietti) e quindi non c'e' dubbio
che vengono tolti tutti, a uno a uno a partire dall'1, e il primo
gennaio (n=inf) e' vuoto.
 
spoiler

 E' si, a giocar con gli infiniti ed infinitesimi....
 
allo stesso modo si potrebbe dire che ne contiene infiniti, perchè per qualunque N grande a piacere, tutti i biglietti con N>=N+1 sono ancora lì.
 
Non è un paradosso, è proprio una successione che va ad infinito, e non può avere soluzione ;)
 
bye!

 Non è un paradosso, è proprio una successione che va ad infinito, e non può avere soluzione ;)
 
Ma anche i biglietti che vengono tolti formano una successione che va ad infinito... :-)
 
ciao

 .
 
La risposta è corretta ... al primo gennaio non o trovato alcun foglietto 8)))
 


Infatti cambiando procedura puoi fare in modo sia di avere un qualsiasi numero di foglietti che un infinito numero di foglietti.
Se per esempio decido di togliere i foglietti pari, invece del più piccolo, cioè 2 4 6 8 ... e così via alla fine avrò un infito numero di foglietti.
Mentre se decido di togliere il più piccolo foglietto  > di N che troverò nel vaso avrò esattamente N foglietti.
 
 
 
 

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Il risultato dipende da come si procede, come ho scritto nel post precedente, se togli sempre il più piccolo dei foglietti avrai il vaso vuoto ma modificando quali foglietti togliere (es: i pari o > N) avrai comportamenti divergenti o un numero ben preciso di foglietti.
In tutti e tre i casi stiamo sottrraendo un numero infinito ad un numero infinito ed entrambe le "classi" di infinito sono Aleph0 (spero non aver scritto una castronaggine) quindi il comportamento (al limite) dipende fortemente da come si procede.
Perdonatemi, ma correggetemi, se ho scritto inesattezze.

 Perdonatemi, ma correggetemi, se ho scritto inesattezze.
 
Secondo me non puoi parlare di comportamento al limite, una volta appurato che i limite non c'e' (non converge). 
In pratica quella definita è semplicemente la sottrazione delle due successioni 10*n e n, entrambi divergenti a infinito con n crescente, e di pari cardinalità. E' una forma indeterminata. Il diverso coefficiente però a lungo andare può dare una prevalenza all'una o all'altra: come avevo scritto sopra, ha più senso ipotizzare di trovare infiniti bigluetti (dato come comunque ad ogni step ne aggiungi più di quanti ne tolga). Wolphram Alpha, che se non vado errato approssima i limiti con metodi numerici, lo risolve come infinito in effetti:
 
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+10n+-n
 
 
 

Io non so se tu sia un matematico.Io non lo sono, mi appassiona e mi piace cercare di capire leggendo soprattutto trattati che non sempre comprendo fino in fondo.Ma tutto ciò che ho letto, rispetto a quanto ho proposto conduce al fatto che il vaso rimarrà vuoto, procedendo come nel primo post.

 
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+10n+-n
 
 
Perdonami ma continuo a non essere d'accordo: come giustamente dici il limite è una forma indeterminata (inf-inf) e quindi la soluzione non può essere trovata "semplicemente". è ovvio che WA dia Inf come risultato: la soluzione "numerica" è quella per cui (10N-N)=9N e quindi si tratta di un limite per N--> Inf di 9N che ovviamente diverge. è sicuramente la soluzione che verrebbe data in un liceo ma non penso che sia quella corretta
 
La procedura di immissione ed eliminazione dei biglietti del problema, infatti, non permette la semplificazione indicata. Come scrivevo in un altro post, procedure apparentemente identiche portano a risultati completamente differenti (tra cui una per cui ci sono infiniti biglietti come ipotizzi te).
 
Pensi che ci saranno infiniti biglietti: fammi un esempio di un biglietto che sarà presente... :-)
 
Un caro saluto
Gabriele

 Io non so se tu sia un matematico.Io non lo sono, mi appassiona e mi piace cercare di capire leggendo soprattutto trattati che non sempre comprendo fino in fondo.Ma tutto ciò che ho letto, rispetto a quanto ho proposto conduce al fatto che il vaso rimarrà vuoto, procedendo come nel primo post.
 
Forse devi rileggerlo, allora ;)
 
bye!

Il giorno lunedì 9 gennaio 2017 22:44:02 UTC+1, GaS ha scritto:
 
è sicuramente la soluzione che verrebbe data in un liceo ma non penso che sia quella corretta
 
Ok, se il punto è cosa pensi tu, non c'e' motivo di discutere. IO, ad esempio, penso che all'infinito ci trovi dentro un unicorno rosa. E non riuscirai a dimostrarmi il contrario. 
 
Bye!


Lo puoi fare anche tu Procurati una copia del libro di Littlewood "Mathemaichan Miscellany" e poi cerca dove ha fallato ... io non ne sono in grado ..Littlewood putroppo per me (e te) era un vero matematico.
 
Bye!

 che sarà presente... :-) 
 
 
Pero' anch'io avrei una domanda. :-)
Per ogni ennesima operazione che possiamo prendere in considerazione,
notiamo che la funzione e' crescente. Ora, se tu sostieni che alla fine
la funzione si annulla, la funzione da crescente a un certo punto dovra'
diventare necessariamente decrescente. 
 
Quindi... a che n la tendenza si inverte?
 
Ciao ;-)
Livio
 
 
 

 Lo puoi fare anche tu Procurati una copia del libro di Littlewood "Mathemaichan Miscellany" e poi cerca dove ha fallato ... io non ne sono in grado ..Littlewood putroppo per me (e te) era un vero matematico.
 
Sì è facile recuperarlo (
https://archive.org/details/mathematiciansmi033496mbp
)
A una prima lettura, mi pare un testo con finalità non esattamente scientifiche quanto divulgative o provocatorie. Già nelle prime pagine ci trovo degli esempi che sono completamente sballati (es. il discorso del gioco delle carte con numeri progressivi, dimostrato per "induzione"), e credo che l'autore lo sappia, ma li stia presentando come "esche" per far ragionare il lettore. Questo giochino in particolare lo presenta come una successione (come hai fatto tu) ma poi agilmente passa a darne la soluzione descrivendolo come la sottrazione tra due insiemi... in quel caso è ovvio concordare che l'insieme risultante dalla sottrazione dell'insieme dei numeri naturali da sè stesso è vuoto. Ma questa non è la stessa cosa del passaggio al limite di una successione, salta il vincolo della contemporaneità tra le operazioni di aggiunta e sottrazione che nel caso della successione vengono fatte con diversa "velocità" (aggiungo 10 e tolgo uno, con un risultato monotonamente crescente e ovviamente divergente) mentre nel secondo caso vengono considerate tutte contemporanee e a quel punto conta solo la cardinalità, che è la stessa. 
 
bye!

 Ma questa non è la stessa cosa del passaggio al limite di una successione, salta il vincolo della contemporaneità tra le operazioni di aggiunta e sottrazione che nel caso della successione vengono fatte con diversa "velocità" (aggiungo 10 e tolgo uno, con un risultato monotonamente crescente e ovviamente divergente) mentre nel secondo caso vengono considerate tutte contemporanee e a quel punto conta solo la cardinalità, che è la stessa.
 
Il termine "passaggio al limite" l'ho introdotto io, se il problema è stato il suo utilizzo improprio chiedo venia ... Littlewood non c'entra!!
 
Ciao!
 

Però i risultati nei 3 casi sono moooolto diversi
 
Gia', e considerarli puo' servire da chiarimeto ai perplessi ciao
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Ovviamente il punto, quando scrivo io, è cosa penso io. Mi è più difficile dire che cosa pensino gli altri e quindi mi limito al mio.
Però provo a giustificare quello che scrivo, magari in maniera errata che non ho certo pretese di infallibilità
 
Ciao ciao
Gabriele
 

 Quindi... a che n la tendenza si inverte?
 
Uff... Malefico Livio, questa notte non ho dormito e oggi a lavoro ho combinato poco per colpa tua :-)
 
Vorrei rispondere che "la funzione e' crescente solo per N finito, ma non per N-->Inf".
Mi spiego: Inf+9=Inf; oppure: Inf+9=Inf-199999999.
e quindi non è strettamente vero che la funzione è crescente (o si?). Però non sono mica sicuro che sia una risposta corretta...
 
E quindi? Boh, quando si gioca con gli infiniti vengono fuori queste perle.
 
Ciao,
Gabriele

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Grazie GaS!
Avevo paura di aver fatto un'obiezione banale ma, se ti ha dato 
da pensare, mi consolo.
 
Ciao ;-)
Livio
 

 E quindi? Boh, quando si gioca con gli infiniti vengono fuori queste perle.
 
E appunto, infatti Livio ti chiedeva: se parte crescente e a un certo punto non lo è più, dov'e' questo punto? Come lo determini? (hint: non c'e', dato che continua a crescere fino a infinito ;^))
 
bye!
 

 Il termine "passaggio al limite" l'ho introdotto io, se il problema è stato il suo utilizzo improprio chiedo venia ... Littlewood non c'entra!!
 
C'entra, c'entra. Per presentare la sua soluzione non c'era bisogno di specificare che l'inserimento e la sottrazione di nuovi numeri dovessi avvenire a momenti cadenzati (il che porta inevitabilmente a modellare il discorso come una successione). Il passaggio al limite è nelle sue parole "and so on". 
 
bye!

 C'entra, c'entra. Per presentare la sua soluzione non c'era bisogno di specificare che l'inserimento e la sottrazione di nuovi numeri dovessi avvenire a momenti cadenzati (il che porta inevitabilmente a modellare il discorso come una successione). Il passaggio al limite è nelle sue parole "and so on". 
 
Ma i momenti cadenzati delle operazioni erano necessari per presentare un qualcosa di astratto come l'infinito in forma "colloquiale" ... se iniziassi a dire che metto e tolgo all'infinito, la metà dei miei ascoltatori mi lascerebbe da solo con una frase del tipo " ... di matematica non ci capisco niente lascia perdere .."
 
 

 Ma i momenti cadenzati delle operazioni erano necessari per presentare un qualcosa di astratto come l'infinito in forma "colloquiale" ... se iniziassi a dire che metto e tolgo all'infinito, la metà dei miei ascoltatori mi lascerebbe da solo con una frase del tipo " ... di matematica non ci capisco niente lascia perdere .."
 
eppure "metto e tolgo all'infinito" è esattamente quello che ha detto, alla fine!
 
Bye!
 
 

 eppure "metto e tolgo all'infinito" è esattamente quello che ha detto, alla fine!
 
Se non ricordo male ha usato il termine "So on ..." che pur indicando "infinito" lo indica senza impaurire il lettore ... ma potrei sbagliarmi
 
Spero non averti ammorbato
 
Emanuele.

Per chi fosse ancora interessato ho trovato un link in cui spiegano i vari significati del paradosso presentato. 
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ross–Littlewood_paradox