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Titolo: Tutti a bordo!

Salve,
Ho letto un quiz interessante. E' senza risposta ma ho una mia
soluzione.
Funziona cosi':
Una aereo con 100 posti e 100 passeggeri in fila per l'imbarco. Ogni
passeggero ha un posto assegnato e tutti i posti sono assegnati.
Il primo quando sale a bordo non guarda nemmeno la carta d'imbarco e si
siede in un posto a caso. Tutti i passeggeri seguenti vanno a sedersi
nel posto assegnato a meno che non sia gia' occupato nel qual caso ne
scelgono uno a caso.
La domanda e': quale e' la probabilita' che l'ultimo passeggero a salire
si vada a sedere al posto assegnato?
Ciao,
      Gorgo


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La probabilità è 1/2.
Facendo una piccola modifica all'esposto, che non influisce sulla sostanza 
del problema, è molto più semplice arrivare alla soluzione.
Invece di pensare che il primo passeggero mantiene il posto occupato quando 
arriva il legittimo proprietario, si può decidere che sia invece proprio il 
primo passeggero a cercarsi un altro posto. Naturalmente nella sostanza non 
cambia niente: ogni nuovo arrivato o trova il proprio posto libero, o lo 
trova occupato dal primo passeggero, il quale dovrà alzarsi e cercare un 
altro posto.
Visto in questo modo possiamo immaginare che il primo passeggero ogni volta 
che è costretto ad alzarsi abbia le seguenti possibili scelte: o sceglie a 
caso proprio il posto a lui assegnato o sceglie a caso il posto assegnato 
all'ultimo passeggero (in entrambi i casi non si dovrà più alzare) oppure 
sceglie uno degli altri posti con la conseguenza che prima o poi sarà 
costretto ad alzarsi di nuovo.
In tutti i casi in cui deve scegliere un nuovo posto tra i k ancora liberi 
(compreso il caso in cui entra per primo - di fatto deve fare una scelta del 
tutto analoga) 1 volta su k sceglierà il suo, 1 volta su k sceglierà quello 
dell'ultimo e le rimanenti volte rimanderà il problema a un momento 
successivo.
Quindi la probabilità finale di occupare il suo posto o quello dell'ultimo è 
la stessa.
Ciao
Giorgio 

 
Non mi pare che la tua esposizione del problema coincida con quella 
originale... lě non sia accenna al fatto che un passeggero cambi posto 
dopo averlo preso. E' il passeggero successivo che se trova il proprio 
occupato se ne sceglie un altro.
-- 
Fabrizio "Hermooz" Ermini

 occupato se ne sceglie un altro.
Il fatto è che non siamo interessati se i primi 99 passeggeri occupino il
posto giusto o sbagliato, siamo interessati solo all'ultimo posto
disponibile.
Ai fini dell'ultimo posto disponibile è indifferente chi si cerca il posto
ogni volta, se a cercarselo sia il nuovo arrivato o quello che vi era seduto
prima, basta che entrambi lo cerchino "a caso". Possiamo quindi apportare al
problema la (bella) modifica proposta da Giorgio, in tal modo cambiamo il
posto ai primi 99 passeggeri ma lasciamo disponibile, per l'ultimo
passeggero, lo stesso posto.
E' come se, prima che entri l'ultimo passeggero, i 99 gia entrati si
scambino i posti tra di loro ma senza occupare il posto ancora libero.
L'esposto del problema cambia ma la probabilità finale resta la stessa.
Spero di non aver confuso ancora di più le idee :o)
GaS


Ciao Gabriele e grazie per il soccorso! ;-)
In effetti le due esposizioni, ai fini del problema, sono identiche. 
Facciamo un esempio: il primo passeggero (chiamiamolo A) entra e si siede al 
posto x. Quando entra il passeggero X e trova il suo posto occupato, uno dei 
due deve alzarsi e cercare un altro posto. Non è molto importante chi si 
alza perché in tutti i casi avremo il posto X occupato (e non verrà più 
reclamato da alcuno) e un nuovo posto y scelto a caso e occupato o da A o da 
X (chi sia poco importa, quando entrerà il passeggero Y, questi reclamerà il 
suo posto e qualcuno dovrà cercarsene un altro e così via).
Naturalmente lo si può risolvere anche ragionando sull'esposizione iniziale. 
Ma ho trovato molto più semplice risolverlo dopo la "reinterpretazione".
Dovendolo riproporre lo proporrei esattamente come è stato presentato da 
Gorgo proprio perché lo fa apparire più complesso di quanto realmente sia.
Ciao
Giorgio


Vero. Infatti, il fatto che i posti e i passeggeri
siano 100 o un altro numero qualsiasi è del tutto
ininfluente, visto che N-2 passeggeri vanno a sedersi
nel posto assegnato (a meno che non sia già occupato).
Quindi, per semplificare, supponiamo che i posti siano
solo 2: il primo che sale, scegliendo a caso, ha il
50% di probabilità di sedersi al posto giusto.
Ciao, Nino

 
Ovviamente devi aggiungere che il primo si alza se arriva il
proprietario del posto solo fino che arriva l'ultimo altrimenti tutti
vanno al proprio posto.
Comunque questa era la mia soluzione, ma io non avevo fatto la tua
ipotesi e mi pareva comunque semplice:
diciamo che i passeggeri sono numerati da 1 a 100 e
quello e' anche il numero del posto assegnato.
Il primo passeggero si siede al posto X e fino a che il passeggero X non
sale non ci sono problemi. Quando X trova il suo posto occupato ci sono
tre possibilita':
1) va sedersi al posto 1 nel qual caso il ciclo si chiude
e tutti gli altri troveranno il loro posto libero, incluso 100.
(risultato POSITIVO)
2) con uguale probabilita' del caso precedente va a sedersi nel posto
100 nel qual caso tutti i seguenti troveranno il posto libero tranne 100
(risultato NEGATIVO)
3) sceglie un'altro posto Y vuoto appartenente a qualcuno che ancora
deve salire.
In quest'ultimo caso quando Y sale a bordo si ripete quello accaduto a
X a cosi' via. Comunque sia ogni volta che qualcuno trova il posto
occupato (o si tratta del primo passeggero, ovviamente) la probabilita'
e' alla pari e quindi la probabilita' finale e' 50%.  
Ciao,
      Gorgo

"Gorgo" <go...@nowhere.invalid> ha scritto nel messaggio
news:ck0sf1$g50$1...@newsserver.cilea.it...

Per me le probabilità che una persona va a sedersi nel suo posto è uguale
alle probabilità che ha nel sedersi in altri posti.
Per cui se ci sono 100 posti, hai 1/100 di probabilità di avere il posto
assegnato libero.
Alessandro