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Titolo: Problemino sulle funzioni

Sapendo che f(1000)=999
e che f(x)*f(f(x))=1
quanto vale f(500)? 
Se lo trovate potete anche farmelo sapere via e-mail a
alep...@tiscalinet.it
Grazie

quanto vale f(500)? 
Quello che ti pare. Le sole cose che si possono dedurre riguardo a f
sono: f(999)=1/999; f(1/999)=999, salvo errori. Ciao

 Grazie
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Mi pare che tu cerchi l'inesistente. Infatti se
        f(x)*f(f(x))=1
deve essere
        f(f(x))=1/f(x)
cioč, posto
        z=f(x),
        f(z)=1/z
ed anche, dunque,
        f(x)=1/x
che, essendo l'unica soluzione ammessa, č incompatibile con
        f(1000)=999
risultando invece
        f(1000)=1/1000
e
        f(500)=1/500
..... oppure, visto che non sono un grande esperto di matematica,
mi sfugge quaccheccosa ?

         f(x)=1/x
Non č detto, non sai se esiste y tale che x=f(y).

sono: f(999)=1/999; f(1/999)=999, salvo errori.
...anche che non esiste x per cui f(x)=1000 oppure f(x)=0. f potrebbe
essere (ad esempio):
f(1000)=999
f(999)=1/999
f(1/999)=999
f(500)=69 (per esempio)
f(69)=1/69
f(1/69)=69
f(x)=1 altrimenti.
Ciao

 quanto vale f(500)?
Proviamo con questa funzione a due valori?
f(x)=x-1  se la parte intera di x è pari
f(x) =1/x se la parte intera di x è dispari.
La funzione mi sembra soddisfi le proprietà volute.
In questo caso f(500) = 499

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Una precisazione: il problema l'ho trovato sul sito delle olimpiadi di
matematica, inoltre la funzione è continua (quindi non credo che la
tua soluzione sia esatta).
PS: l'unico suggerimento che danno sul sito è che si risolve con un
teorema che si studia al liceo...MAH?

 teorema che si studia al liceo...MAH?
Se la funzione deve essere continua, senza altre condizioni (p.es.funzione
algebrica, derivabile con continuita', ecc.) credo che sia
f(500)=1/500
partendo dalle considerazioni fatte da Enrico Tolone:
"deve essere f(f(x))=1/f(x)
cioè, posto z=f(x),
        f(z)=1/z"
dico che cio' e' valido se z e' un possibile valore di f(x)
ora, essendo
f(f(1000))=f(999)=1/999
la funzione puo' assumere i valori 999  e 1/999, quindi, per la sua
continuita' tutti i valori compresi tra quei due, tra i quali 500 ed 1/500,
quindi f(500)=1/500
f(1/500)=500
ipotizzo la funzione in questo modo:
sia un valore k, tale che
999<=k<1000
per tutti i valori di x compresi tra 1/k e k,  sara' f(x)=1/x
cioe' avro' un ramo di iperbole equilatera,
per i valori di x esterni all'intervallo 1/k..k la funzione potra' assumere
valori abitrari, purche' non superiori a k ne' inferiori ad 1/k, col solo
vincolo di passare per il punto(1000,999)
cioe' collego (
p.es
. con un segmento di retta) l'estremo (k,1/k)
dell'iperbole con il punto (1000,999),
spero di essermi spiegato in modo comprensibile, anche se forse non troppo
rigoroso
ciao
paolo

 teorema che si studia al liceo...MAH?
Se la funzione e' continua probabilmente si puo' fare, ma ancora non
dici DOVE e' continua. Nel caso sia definita e continua sull'intervallo
chiuso [999,1000] allora il teorema da applicare e' quello che piu' o
meno (sono passati tanti anni...) dice: se una funzione e' continua su
un'intervallo e ivi assume i valori A e B allora assume anche tutti i
valori intermedi.
E' gia stato notato che f(999) = 1/999 necessariamente. Dal problema si
sa f(1000) = 999, quindi esiste z, 999 < z < 1000 tale che f(z) = 500.
Allora, valendo f(z)*f(f(z)) = 1, segue f(500) = 1/500. 
In effetti e' f(x) = 1/x per ogni x in [1/999,999].
-- 
Morel


Credo che la soluzione possa essere
f(500)=499
la funzione dovrebbe essere
f(x)=x-1
il valore di f(x)*f(f(x))=1 si ha
per x=2,6180340  con un errore massimo pari a   2,2204460e^(-16)  e
per x= 0,38196601 con un errore massimo pari a 1,1102230e^(-16)
Vorrei sapere se la soluzione è coerente, ciao        Angela
il mio e-mail è  
vi1...@libero.it


Non sono daccordo.
Infatti la seconda condizione implica che per un x0 generico tale che f(x0)
= y0  debba essere :
  y0 * f (y0) = 1
Quindi, per tutti i punti in cui la y0 e f(y0) sono non nulli si deve avere
f(x) = 1/x
risultato che è incompatibile con la prima condizione.
Di conseguenza, secondo me, non esistono soluzioni.
Ciao

Rascal wrote:
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Vi è però una certa ambiguità nella formulazione del problema. Mi sembra di
capire che il tuo ragionamento sia del tipo: la seconda condizione è da
interpretare come: Per ogni x  nel dominio di esistenza (che non è stato
specificato) vale f(x) * f(f(x)) = 1. Quindi non puo' essere f(1000) = 999.
Il ragionamento non fa una grinza, certamente.
Posso però interpretare la domanda come: dammi un possibile valore di x tale
che soddisfi entrambe le condizioni poste. La domanda che è stata fatta
infatti  è:  Quanto vale f(500) ?
Non mi si chiedeva di specificare la funzione f.
In ogni caso in mancanza di una formulazione precisa, penso che la tua
interpretazione sia la piu' corretta dal punto di vista delle convenzioni
matematiche accettate (quantificazione universale implicita nelle formule).
Quindi la tua risposta mi ha convinto.
Ciao
                      Giulio Falco