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Titolo: Paradosso delle due buste

Su it.scienza.matematica è stato posto questo enigma-paradosso:
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Sei coinvolto nel seguente gioco:
- si gioca in due, tu e il tuo avversario
- viene scelto a caso un numero naturale n nel seguente modo:
si tira un dado fino a che esce 6 e si conta il numero di lanci fatti prima
che uscisse 6, questo è n. La probabilità che esca n è quindi 1/6*(5/6)^n
- si prendono due fogli su cui si scrivono rispettivamente le cifre 2^n e
2^(n+1), poi si inseriscono in un due buste identiche
- una busta a caso va a te, l'altra al tuo avversario
- tu puoi guardare nella busta e poi decidere se tenerla o cambiarla
- poi si aprono le buste e vince chi ha il punteggio più alto
Ci poniamo la domanda: qual'è la strategia migliore?
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Io e rez sosteniamo che la scelta di cambiare o tenere la busta è
indifferente (50% di guadagnare o perdere); anzi, secondo me, la strategia
migliore dovrebbe essere cambiare busta se trovo dentro il n. 1 e
tenerla in tutti gli altri casi (in tal modo, la prob. di trovare il
numero maggiore contenuto nelle due buste è mediamente pari a 7/12).
Invece, l'autore del post, dai conti dell'aspettazione condizionata,
deduce che *qualunque cifra si trovi nella propria busta conviene sempre
cambiarla*.
Mi piacerebbe sapere come la pensate.
Ciao, Nino 

 Mi piacerebbe sapere come la pensate.
Prima di tutto una bella simulata: si fanno 1.000.000 di
esperimenti e si guardano i risultati:
Strat.  Vincite    Totalizzatore
A)      499683    1.55059067179656E+26
B)      583399    1.55059067179656E+26
C)      500317    1.93016299189891E+22
D)      557637    1.55059067179656E+26
Strategie:
A) = tengo sempre la prima busta
B) = la cambio solo se c'è "1"
C) = la cambio sempre
D) = la cambio se è inferiore ad un tot (nella sim. tot=5)
Si noti che le vincite in A) e C) sono ovviamente al 50%
mentre in B) si avvicinano a 7/12 calcolato da Nino.
Il Totalizzatore nel caso A) e B) non differisce perchè
le vincite in più sono unitarie rispetto a numeri molto
grandi.
Non stupisca il totalizzatore in C) minore degli altri.
Ripetendo il pacchetto di 1.000.000 di esperimenti, i
risultati dei totalizzatori sono molto *ballerini*, talvolta
prevale A), talvolta C). La strategia di *cambiare sempre*
non dà alcun vantaggio né svantaggio rispetto a *non
cambiare mai*.
Ciao!!!  :o)
Livio

Io e rez sosteniamo che la scelta di cambiare o tenere la busta è
Ho postato adesso su ism questo: se leggo 1.073.741.824 che
faccio? tengo? oppure cambio perche' il dado e` truccato?
Questo nei criteri dell'a posteriori di Bayes non l'hanno
preso in considerazione..
-- 
Ciao, rez	||  -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1  ||

esperimenti e si guardano i risultati:
Prima di tutto una bella considerazione teorica: la simulazione e'
inutile perche' il valore atteso in entrambe le buste e' infinito. Non
ha senso parlare di convenienza. Vedi (se vuoi) it.scienza.matematica.
Ciao


Beh, il dado potrebbe essere perfetto...
D'altronde, dovrei trovare scritto 2^30 ogni 1500 lanci di un dado
(con questo ritardo di uscita del 6).
Io comunque mi accontenterei, e direi di tenere :-)
Ciao, Nino

 Vedi (se vuoi) it.scienza.matematica.
L'avevo vista, l'avevo vista. Ho anche visto che la discussione
"teorica è durata dalle 13:46 del 16/12 alle 18:40 di oggi. Io ci
ho messo 10 minuti di simulazione...  :o))
Ma torniamo alla teoria: hai notato che nella simulazione ho
introdotto la strategia (l'ultima) "cambio busta se < tot" ?
Ottengo un risultato intermedio tra 1/2 e 7/12. Perché?
Ciao!!!  :o)
Livio


Questo è una cosa logica. Ne sono convinto.
A prescindere dalle conclusioni cui si potrebbe pervenire con
le considerazioni teoriche.
Perchè mai dovrebbe esserci un vantaggio per il primo giocatore
a cambiare? (se il primo cambia, significa che cambierà anche
l'altro giocatore, che quindi, a sua volta, ne dovrebbe trarre
vantaggio :-))
Abbiamo trovato il sistema che favorisce tutti...
Ciao, Nino

 se si cambia sempre busta, è minore?
In realtà i risultati dei totalizzatori non sono statisticamente
significativi, non ostante il milione di esperimenti. Ripetendo
più volte il pacchetto di esperimenti, si ottengono valori
compresi tra 10^20 e 10^26. Talvolta e' maggiore nella
strategia C), talvolta viceversa. Mi spiego la cosa con i
*ritardi* delle uscite del 6. Basta un forte ritardo che finisca
in una busta e non nell'altra per sballare la statistica. Credo
che aumentando il numero degli esperimenti il risultato
non migliori perché aumenta anche l'entità dei ritardi.
Ciao!!!  :o)
Livio

Ottengo un risultato intermedio tra 1/2 e 7/12. Perché?
Non ne ho la minima idea. Bisognerebbe conoscere la distribuzione
*effettiva* che hai usato nella simulazione. Ciao


Sono d'accordo.
Infatti, la progressione fra 2^n e 2^(n+1) è troppo alta.
Con un milione di esperimenti, dovresti trovare un ritardo per
il 6 di 76 lanci del dado (ciò significa una differenza di
3,77E+22 fra le due buste, già di per sè stessa quasi in grado
di sballare tutto il guadagno di una strategia.
Suggerirei di ridurre, anzichè da x a 2x,
a X e 1,25X  per le due buste.
Ciao, Nino 

 a X e 1,25X  per le due buste.
Per 1.25^n:
A)     500442     86248268
B)     583436     86331262
C)     499558     62258085
D)     523457     86386387
Per 1.2^n:
A)     500663     9508874
B)     583890     9592101
C)     499337     8621421
D)     519217     9607056
Per 1.1^n:
A)     499176     1093837
B)     582448     1177109
C)     500824     1100380
D)     504841     1118650
Ciao!!!  :o)
Livio

 stessa di quella di LordBeotian
Non ti capisco mica tanto. Una simulazione numerica di un
qualunque sistema fisico finisce sempre per tosare un po'
le gausiane e usa sequenze ovviamente pseudo-random.
Ciň non toglie che si ottengano risultati confrontabili con
quelli analitici.
Dov'č che i risultati di questa simulazione non concordano
con i tuoi calcoli?
Ciao!!!  :o)
Livio

con i tuoi calcoli?
Non e' questione di concordare o no. I risultati di questa simulazione
sono... insignificanti ai fini della risposta logica che si aspetta
LordBeotian. Ciao

 LordBeotian. Ciao
La domanda posta da Nino non è quella del quesito storico delle "due buste"
dove la scelta della cifra x (e conseguenzialmente di 2*x) è arbitrariamente
rimessa al donatore e di essa non se ne conosce il meccanismo di
determinazione.
Qui l'algoritmo è noto e ci è dunque anche nota la probabilità dei diversi
eventi
 Rit. del 6      Probabilità
     0            16,666667%
     1            13,888889%
     2            11,574074%
     3             9,645062%
     4             8,037551%
     5             6,697960%
     6             5,581633%
     7             4,651361%
     8             3,876134%
     9             3,230112%
    10             2,691760%
    11             2,243133%
    12             1,869278%
    13             1,557731%
ecc. ecc. .................
Supponiamo dunque che su un numero indeterminato di prove esca dalla mia
busta per 506 volte un valore 2 (corrispondente all'importo più grande
collegato al ritardo 0 o all'importo più piccolo collegato al ritardo 1).
Esaminiamo questi casi e trascuriamo, per il momento, gli altri.
Posso con tutta evidenza dire che in quelle 506 volte mediamente nel
54,(54)% dei casi
16,(66)/[16,(66)+13,(88)] = 54,(54)%
cioè per   54,(54)% * 506 = 276 volte
mi dovrei trovare in presenza della coppia (1,2)
mentre per 45,(45)% * 506 = 230 volte
mi dovrei trovare in presenza della coppia (2,4).
Se non cambio busta guadagno per 506 volte 2 e, quindi, 1012.
Se cambio sempre busta guadagno
276 * 1 + 230 * 4 = 1196
Quindi, cambiando, ho una speranza di vincita superiore del 18,(18)%
Non è certo la mia scelta che cambia un evento già determinatosi (il ritardo
del 6) ma io mi limito a tener conto della frequenza (che conosco) con la
quale essi ritardi mediamente mi si presentano.
Questo ragionamento è ovviamente estensibile a qualunque altro valore
diverso dal 2 ora esaminato e per qualunque numero di uscite.
Dunque (potrei concludere) il ragionamento tiene, è generalizzabile e,
dunque, mi consente di stabilire che la strategia più conveniente è quella
di cambiare sempre la busta ma ATTENZIONE il trucco c'è...
Dal momento che l'incidenza in termini assoluti dei casi (o del caso)
connessi ai ritardi di maggiore rilevanza è talmente schiacciante che, se
sono sfortunato in questi, a nulla sarebbe valso di aver risolto
positivamente un elevato numero di cambi vantaggiosi ma di piccola entità,
la mia strategia deve, a questo punto, fare una scelta sostanziale:
1) decido di giocare avventurosamente cambiando *sempre^ e posso vincere
moooooolto di più rispetto a chi non cambia mai, ma anche perdere
altrettanto
2) non mi assumo l'alea dei giochi più ricchi eliminando quei rischi e
garantendomi un vantaggio relativamente piccolo ma più o meno sicuro
E passiamo alla sperimentazione.
Se considero che su 100000 prove dovrei aspettarmi un ritardo massimo 63,15,
proviamo ad escludere il cambio tutte le volte che il ritardo supera
(margine di sicurezza) 30/31 corrispondente ad un valore di 2^31 =
2.147.483.648.
Risultati:
*1° esempio:*
Limite x cambio:      
2147483648
  corrispondente a 30/31 ritardi
Massimo ritardo:              64  (teorico: 63.15)
--------------------- % teor. ----- % reale ------------- vincita ---------
Strategia di gioco    di cambi      di cambi             realizzata
---------------------------------------------------------------------------
A (non cambia mai)      0.00%         0.00%            38129943052264030000
---------------------------------------------------------------------------
                                                          diff. + / -
                                                         rispetto ad "A"
---------------------------------------------------------------------------
B (cambia se x=1)       8.33%         8.41%                               0
C (cambia sempre)     100.00%       100.00%           -18162135974067102000
D (cambia se x<=Lim.)  99.68%        99.67%                     73135202304
E (cambia se x>Lim.)    0.32%         0.33%           -18162136047202095000
---------------------------------------------------------------------------
*2° esempio:*
Limite x cambio:      
2147483648
  corrispondente a 30/31 ritardi
Massimo ritardo:              61  (teorico: 63.15)
--------------------- % teor. ----- % reale ------------- vincita ---------
Strategia di gioco    di cambi      di cambi             realizzata
---------------------------------------------------------------------------
A (non cambia mai)      0.00%         0.00%             3014524685772634000
---------------------------------------------------------------------------
                                                          diff. + / -
                                                         rispetto ad "A"
---------------------------------------------------------------------------
B (cambia se x=1)       8.33%         8.54%                            2048
C (cambia sempre)     100.00%       100.00%             2068298696653043700
D (cambia se x<=Lim.)  99.68%        99.66%                     70052495360
E (cambia se x>Lim.)    0.32%         0.34%             2068298626600542200
---------------------------------------------------------------------------
Come si vede immediatamente, "C" che cambia sempre (e anche "E" che,
cambiando nei casi di maggior valore, segue le stesse sorti) possono vincere
molto di più di "A", ma anche molto di meno.
"D", persona assennata e non avida, si assicura un piccolo margine in più di
"A" senza troppi rischi.
Naturalmente abbassando il valore limite per il cambio si riducono i rischi
ma anche il vantaggio. Al contrario alzando tale limite si guadagna di più
ma i rischi crescono.
Guardate qui, per esempio:
Limite x cambio:  35184372088832  corrispondente a 44/45 ritardi
Massimo ritardo:              61  (teorico: 63.15)
--------------------- % teor. ----- % reale ------------- vincita ---------
Strategia di gioco    di cambi      di cambi             realizzata
---------------------------------------------------------------------------
A (non cambia mai)      0.00%         0.00%             6359580693434310000
---------------------------------------------------------------------------
                                                          diff. + / -
                                                         rispetto ad "A"
---------------------------------------------------------------------------
B (cambia se x=1)       8.33%         8.27%                            2048
C (cambia sempre)     100.00%       100.00%            -2303373057312254000
D (cambia se x<=Lim.)  99.97%        99.98%                  77414599069696
E (cambia se x>Lim.)    0.03%         0.02%            -2303450471911349800
---------------------------------------------------------------------------
ma anche, seppur raramente...
Limite x cambio:  35184372088832  corrispondente a 44/45 ritardi
Massimo ritardo:              65  (teorico: 63.15)
--------------------- % teor. ----- % reale ------------- vincita ---------
Strategia di gioco    di cambi      di cambi             realizzata
---------------------------------------------------------------------------
A (non cambia mai)      0.00%         0.00%            74419376307517620000
---------------------------------------------------------------------------
                                                          diff. + / -
                                                         rispetto ad "A"
---------------------------------------------------------------------------
B (cambia se x=1)       8.33%         8.33%                               0
C (cambia sempre)     100.00%       100.00%           -36340681807968797000
D (cambia se x<=Lim.)  99.97%        99.98%                 -10514818777088
E (cambia se x>Lim.)    0.03%         0.02%           -36340671293151011000
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Limitando il valore limite per il cambio a valori corrispondenti al 50% del
"ritardo massimo atteso" i rischi sono quasi inesistenti e dovrebbe essere
dunque questa la strategia migliore che contempera in un giusto equilibrio
rischi e vantaggi.
Ho provato diverse decine di volte e, limitando entro il 50% del "ritardo
massimo atteso" non sono riuscito a perdere mai!!!!!!!
Ciao, plinius
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(Se vuoi scrivermi, fai a meno dell'indirizzo) 


[cut]
Ciao Plinius,
ho dato una veloce scorsa a quanto dici, e le tue conclusioni ricalcano
esattamente (18,(18)% di vincita attesa superiore cambiando sempre) le mie
prime riflessioni, che poi ho ritenuto di correggere.
A tal proposito, ti consiglio di andare a vedere il lungo thread postato
dal 16-12-2005 su it.scienza.matematica (paradosso delle due buste 
rivisitato).
Purtroppo, là ci sono matematici, secondo me, un po' avulsi dalla 
concretezza
dei problemi, che prediligono l'astrattezza teorica all'incisività della
soluzione pratica (anche se a volte può essere approssimata).
Però, i tuoi esempi e simulazioni, con la strategia di fissare un limite
al di sotto del quale cambiare busta (e al di sopra tenere), mi convincono
pienamente. Non solo. Nel mio messaggio su it.scienza.matematica di oggi
ore 16:17 avevo proposto (pur senza fare simulazioni) di scegliere come L,
il ritardo medio teorico che lascia un numero pari alla radice quadrata
delle prove (38 nel caso di un milione di prove, nel tuo caso di 100 mila
prove L = [ln(RADQ(100000))-ln(100000)]/ln(5/6) = 31,57
che è esattamente uguale al limite da te proposto e utilizzato.
Ciao, Nino 

 limite da te proposto e utilizzato.
Ho dato una sbirciata su it.scienza.matematica ma la lunghezza del thread mi 
ha spaventato. Allora, forse scorrettamente, ho fatto una copia del 
messaggio di IHE e l'ho accodato all'ultimo post. Magari non capita proprio 
nel contesto giusto, ma almeno lo leggeranno e diranno (forse) quel che ne 
pensano.
Concordo con te sul diverso approccio (che a me non è troppo congeniale) che 
in genere hanno i matematici. Io cerco di cavarmela con la logica e con le 
scarsissime conoscenze matematiche (né vaste, né recenti) che riesco a 
ripescare nei miei ricordi.
Mi fa piacere che le tue conclusioni concordino con le mie ma, forse perché, 
anche se non sei un matematico, certamente hai più dimestichezza di me, mi 
riesce difficile capire il discorso del "numero pari alla radice quadrata 
delle prove". Cosa intendi?
Il 31 (su 100000 prove) che ho usato io non è frutto di una determinazione 
di calcolo. Mi sono semplicemente detto che, visto che è attendibile un 
ritardo massimo di 63,15, se più o meno mi colloco intorno alla metà non 
rischio di cambiare su livelli da suicidio e mi lascio un sufficiente 
margine verso l'alto per evitare batoste non compensabili con le piccole 
risorse dei cambi.
Avevo in mente, però, che la scelta potesse essere libera e flessibile cioè:
1 = guadagno un'inezia e forse niente ma non posso rimetterci;
2 = in teoria potrei già rimetterci ma è praticamente impossibile
3 = ecc. ecc.
......
......
31 = punto medio nel quale posso aspettarmi un rischio accettabile
......
......
63 = quasi certamente sbatto il muso
Se vogliamo tentare di rendere oggettiva la scelta del livello 
rischio/beneficio ottimale potremmo pensare di calcolare il punto nel quale 
speranza di vincita e di perdita si equivalgano (e forse il calcolo da te 
proposto potrebbe centrare questo numero?). Ma perché definirlo ottimale? In 
quel punto in realtà, su un sufficiente numero di prove, mediamente guadagno 
zero. Mentre se mi accontento di meno posso rischiare pochissimo e avere un 
vantaggio quasi sicuro.
Boh!... bisogna rifletterci sopra ancora...
-- 


 da te proposto potrebbe centrare questo numero?).
Penso di no.
Comunque, se ricordo, il 50% di prob. è pari a 0,7 sigma.
Puoi provare con L=34 (100000 prove)
Ciao, Nino 

 Puoi provare con L=34 (100000 prove)
Sembra che sia costante nel rendere bene....
----------
*prova 1 :*
----------
Limite x cambio:     
17179869184
  corrispondente a 33/34 ritardi
Massimo ritardo:              61  (teorico: 63.15)
--------------------- % teor. ----- % reale ------------- vincita ---------
Strategia di gioco    di cambi      di cambi             realizzata
---------------------------------------------------------------------------
A (non cambia mai)      0.00%         0.00%             5391509826481914000
---------------------------------------------------------------------------
                                                          diff. + / -
                                                         rispetto ad "A"
---------------------------------------------------------------------------
B (cambia se x=1)       8.33%         8.44%                               0
C (cambia sempre)     100.00%       100.00%            -2530234759644239900
D (cambia se x<=Lim.)  99.81%        99.81%                    241876903936
E (cambia se x>Lim.)    0.19%         0.19%            -2530235001521181700
---------------------------------------------------------------------------
----------
*prova 2 :*
----------
Limite x cambio:     
17179869184
  corrispondente a 33/34 ritardi
Massimo ritardo:              60  (teorico: 63.15)
--------------------- % teor. ----- % reale ------------- vincita ---------
Strategia di gioco    di cambi      di cambi             realizzata
---------------------------------------------------------------------------
A (non cambia mai)      0.00%         0.00%             3941800624308756000
---------------------------------------------------------------------------
                                                          diff. + / -
                                                         rispetto ad "A"
---------------------------------------------------------------------------
B (cambia se x=1)       8.33%         8.38%                               0
C (cambia sempre)     100.00%       100.00%              258824852367760380
D (cambia se x<=Lim.)  99.81%        99.82%                    364945148928
E (cambia se x>Lim.)    0.19%         0.18%              258824487422629880
---------------------------------------------------------------------------
----------
*prova 3 :*
----------
Limite x cambio:     
17179869184
  corrispondente a 33/34 ritardi
Massimo ritardo:              62  (teorico: 63.15)
--------------------- % teor. ----- % reale ------------- vincita ---------
Strategia di gioco    di cambi      di cambi             realizzata
---------------------------------------------------------------------------
A (non cambia mai)      0.00%         0.00%            19235089874655040000
---------------------------------------------------------------------------
                                                          diff. + / -
                                                         rispetto ad "A"
---------------------------------------------------------------------------
B (cambia se x=1)       8.33%         8.28%                            8192
C (cambia sempre)     100.00%       100.00%            -1546367853831786500
D (cambia se x<=Lim.)  99.81%        99.79%                    280317083648
E (cambia se x>Lim.)    0.19%         0.21%            -1546368134148825100
---------------------------------------------------------------------------
----------
*prova 4 :*
----------
Limite x cambio:     
17179869184
  corrispondente a 33/34 ritardi
Massimo ritardo:              74  (teorico: 63.15)
--------------------- % teor. ----- % reale ------------- vincita ---------
Strategia di gioco    di cambi      di cambi             realizzata
---------------------------------------------------------------------------
A (non cambia mai)      0.00%         0.00%         37952054905161880000000
---------------------------------------------------------------------------
                                                          diff. + / -
                                                         rispetto ad "A"
---------------------------------------------------------------------------
B (cambia se x=1)       8.33%         8.27%                               0
C (cambia sempre)     100.00%       100.00%        -18719817534283629000000
D (cambia se x<=Lim.)  99.81%        99.81%                    573629792256
E (cambia se x>Lim.)    0.19%         0.19%        -18719817534857103000000
---------------------------------------------------------------------------


 per il ritardo massimo 63,15).
Siano A e B due giocatori, dove A è quello che non cambia mai la busta.
B, invece, decide di cambiare la busta ogniqualvolta essa contenga V <= 2^k
Detto V il valore che viene trovato nella busta sarà
r = ln(V)/ln(2)
il ritardo nell'uscita del 6 da cui è stato originato, se si tratta 
dell'importo più piccolo (r-1 nell'altra ipotesi).
Sia, infine, n il numero di giocate fatte.
Vincite di A:
-------------------------------------------------------
   V    V deriva da r              V deriva da r-1
-------------------------------------------------------
   1           //                  n/12*(5/6)^0*1
   2    n/12*(5/6)^0*2             n/12*(5/6)^1*2
   4    n/12*(5/6)^1*4             n/12*(5/6)^2*4
 ...    ...................        ....................
 2^k    n/12*(5/6)^(k-1)*2^k       n/12*(5/6)^k*2^k
-------------------------------------------------------
Vincite di B:
-------------------------------------------------------
   V    V deriva da r              V deriva da r-1
-------------------------------------------------------
   1          //                   n/12*(5/6)^0*2
   2    n/12*(5/6)^0*1             n/12*(5/6)^1*4
   4    n/12*(5/6)^1*2             n/12*(5/6)^2*8
 ...    .......................    ....................
 2^k    n/12*(5/6)^(k-1)*2^(k-1)   n/12*(5/6)^k*2^(k+1)
-------------------------------------------------------
I termini della seconda serie di A (escluso l'ultimo) coincidono tutti con 
la prima serie di B.
I termini della seconda serie di B (escluso l'ultimo) coincidono tutti con 
la prima serie di A.
Visto che per (V > 2^k) B non cambia, i termini successivi delle due serie 
coincidono.
Dunque la differenza (qualunque sia k) è:
Delta_B_A = V_B - V_A = n/12*(5/6)^k*2^(k+1) - n/12*(5/6)^k*2^k
cioè:
-------------------------------
Delta_B_A = n/4 * 5^k / 3^(k+1)
 ------------------------------
che diverge per K->inf.
Questo significa, per esempio, che se si decide di giocare 1000 partite
e B adotta la strategia di cambiare busta per k=16, cioè se V <= 2^16,
B vincerà mediamente più di A
Delta_B_A = 1000/4 * 5^16 / 3^17 = 295.392
Delta_B_A è evidentemente un valore crescente al crescere di k e, perciò,
in teoria converrebbe non fissarlo affatto e cambiare busta sempre.
Però, mentre per k molto alti la maggior vincita è affidata a rarissimi 
eventi di valore immenso, per k sufficientemente piccolo dipende da eventi 
frequenti di piccola entità.
La tabella che segue riporta, per n=1000, la frequenza degli eventi 
(arrotondata a 1) e il conseguente vantaggio atteso da B rispetto ad A.
--------------------------------------------
  r           V = 2^k   freq.      Delta_B_A
--------------------------------------------
  0                 1     83              83
  1                 2    153             139
  2                 4    127             231
  3                 8    106             386
  4                16     88             643
  5                32     74           1.072
  6                64     61           1.786
  7               128     51           2.977
  8               256     43           4.961
  9               512     36           8.269
 10             1.024     30          13.782
 11             2.048     25          22.970
 12             4.096     21          38.283
 13             8.192     17          63.805
 14            16.384     14         106.341
 15            32.768     12         177.235
 16            65.536     10         295.392
 17           131.072      8         492.320
 18           262.144      7         820.533
 19           524.288      6       1.367.556
 20         1.048.576      5       2.279.259
 21         2.097.152      4       3.798.766
 22         4.194.304      3       6.331.276
 23         8.388.608      3      10.552.127
 24        16.777.216      2      17.586.878
 25        33.554.432      2      29.311.463
 26        67.108.864      2      48.852.438
 27       134.217.728      1      81.420.730
 28       268.435.456      1     135.701.217
 29       536.870.912      1     226.168.695
 30     1.073.741.824      1     376.947.826
 31     2.147.483.648      1     628.246.376
 32     4.294.967.296      1   1.047.077.293
 33     8.589.934.592      0   1.745.128.822
 34    17.179.869.184      0   2.908.548.037
............................................
............................................
Si nota che il totale dei casi per r<=20 accoglie già il 95% del totale.
Per limitare il rischio che una distribuzione anomala possa pregiudicare il 
risultato, la strategia consigliabile mi pare possa essere quella di fissare 
un k che non determini un valore marginale di frequenza troppo basso.
Poi è questione di scelte: rischiare di più per guadagnare di più o 
accontentarsi di poco e vivere tranquilli.
Non credo che ci sia una strategia *oggettivamente* migliore anche se, ma 
non mi è davvero chiaro il motivo, il k che secondo buon senso mi verrebbe 
da scegliere somiglia sempre troppo alla formula da te suggerita con 
riferimento alla distribuzione di Poisson:
k = [ln(RADQ(n))-ln(n)]/ln(5/6)


 Non credo che ci sia una strategia *oggettivamente* migliore ...
L'ottimizzazione, come dici, è di scegliere un k tale che questo ritardo
capiti un numero di volte sufficiente per poter ammortizzare eventuali
anomalie di ritardi superiori a k (scelta delle buste non equilibrata
con il 50% di prob. di trovare il numero maggiore e minore).
Penso anch'io che tale scelta di k  non possa prescindere dall'accettazione
di una determinata probabilità di perdere rispetto all'entità della vincita
casuale.
Visto comunque che lo scambio delle buste conduce ad un guadagno nel 50%
dei casi relativi alle prove con ritardo k, forse l'equilibrio dovrebbe
trovarsi a circa 0,35*RADQ(N)   , per 100000 prove k circa 37,33.
Ciao, Nino

 [cut]
Abbiamo ormai acclarato che il vantaggio nel cambiare le buste diventa 
concreto nel momento in cui si verifica l'evento ritardo=k e busta assegnata 
contenente 2^k.
Dunque il maggior guadagno di B (che cambia busta per V<=2^k) rispetto ad A 
è, per ogni singola prova, mediamente pari a
(5/6)^k/12    *     2^k
dove
2^k               è l'ammontare dell'ipotetico vantaggio e
(5/6)^k/12        è la probabilità di realizzarlo
Appare evidente che al crescere di k la maggior speranza di vincita di B 
tende complessivamente a crescere ma, ed è questo il punto nodale per la 
piena comprensione del fenomeno, occorre esaminare i due fattori 
distintamente.
Per fare in modo che già i primi dati siano significativi, prendiamo in 
considerazione un basso numero di prove (100 nella tabella che segue).
Se k=20, ha poca importanza sapere che, qualora l'evento si verificasse B 
avrebbe un vantaggio su A di 1048576.
Altrettanto poco importante è sapere che, tenuto conto della probabilità che 
k=20 si verifichi, mediamente B avrà un vantaggio di 2279 (1048576*0,22%).
Dobbiamo, invece, relisticamente tener conto del fatto che, se le prove sono 
solo 100, quasi certamente l'evento non si verificherà.
-------------------------------------------
 k  probabil.   vantaggio  eventi previsti
    evento k     x prova    su 100 prove
-------------------------------------------
 0   8,33%           1            8
 1   6,94%           2            7
 2   5,79%           4            6
 3   4,82%           8            5
 4   4,02%          16            4
 5   3,35%          32            3
 6   2,79%          64            3
 7   2,33%         128            2
 8   1,94%         256            2
 9   1,62%         512            2
10   1,35%        1024            1
11   1,12%        2048            1
12   0,93%        4096            1
13   0,78%        8192            1
14   0,65%       16384            1
15   0,54%       32768            1
16   0,45%       65536            0
17   0,38%      131072            0
18   0,31%      262144            0
19   0,26%      524288            0
20   0,22%     1048576            0
21   0,18%     2097152            0
22   0,15%     4194304            0
23   0,13%     8388608            0
24   0,10%    16777216            0
25   0,09%    33554432            0
26   0,07%    67108864            0
27   0,06%   134217728            0
28   0,05%   268435456            0
......................
E' evidente che se dovesse accadere che in tutte le 100 prove l'evento 
fortunato non si verifichi, sarebbe vanificata ogni speranza di avere un 
vantaggio col sistema del cambio delle buste.
La probabilità Q (che l'evento k non si verifichi in nessuna delle n prove) 
è:
Q = [1 - (5/6)^k/12]^n
e deve essere tenuta bassa, comunque al di sotto del 50% e, preferibilmente, 
quanto più possibile prossima allo zero.
Valori di k (in relazione a n e Q) arrotondati all'unità:
-----------------------------------------------------
! Probab.!            numero n di prove             !
!   Q    !------------------------------------------!
! scelta !   100    1000    10000   100000  1000000 !
!--------!------------------------------------------!
! 50,00% !    14      26       39       52       64 !
! 45,00% !    13      25       38       51       63 !
! 40,00% !    12      25       37       50       63 !
! 35,00% !    11      24       37       49       62 !
! 30,00% !    11      23       36       48       61 !
! 25,00% !    10      22       35       48       60 !
! 20,00% !     9      22       34       47       60 !
! 15,00% !     8      21       33       46       59 !
! 10,00% !     7      20       32       45       58 !
!  5,00% !     6      18       31       43       56 !
!  4,00% !     5      18       30       43       56 !
!  3,00% !     5      17       30       43       55 !
!  2,00% !     4      17       29       42       55 !
!  1,00% !     3      16       29       41       54 !
!  0,90% !     3      16       28       41       54 !
!  0,80% !     3      16       28       41       54 !
!  0,70% !     3      15       28       41       53 !
!  0,60% !     3      15       28       41       53 !
!  0,50% !     3      15       28       40       53 !
!  0,40% !     2      15       28       40       53 !
!  0,30% !     2      15       27       40       52 !
!  0,20% !     2      14       27       39       52 !
!  0,10% !     1      14       26       39       52 !
La cosa sorprendente, una volta capito a fondo il meccanismo, è che il 
ragionamento può essere esteso anche alla versione tradizionale del quesito. 
Anche se lì il sistema di selezione degli importi assegnati alle buste non è 
dichiarato, viene comunque dichiarato che tutti gli importi sono possibili.
Dunque, anche se in quel contesto non è determinabile l'entità del 
vantaggio, è peraltro possibile affermare che la strategia è applicabile e 
fornisce un surplus di possibilità di vincita, ancorché indeterminato nella 
misura.
Questa conclusione contraddice tutto quello che finora si è scritto 
sull'argomento !!!!!


 sull'argomento !!!!!
Precisazione doverosa:
L'estensibilità del ragionamento alla versione tradizionale del paradosso è 
condizionata al fatto che l'esposto conduca ad assumere, per il contenuto 
delle buste:
- un numero finito di valori equiprobabili
oppure
- un numero infinito di valori con probabilità decrescenti e convergenti
Non varrebbe, invece, se facessimo riferimento a infiniti valori, tutti 
equiprobabili.
Ma il quesito posto in questi termini è, a mio avviso, inaccettabile 
logicamente, oltre che tecnicamente. Di conseguenza è perfettamente inutile 
parlarne.


 1/2 visto che f e' crescente. 
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Ciao, Silv:o)

> 1/2 visto che f e' crescente.
Finora avevo avuto modo di leggere solo post che trattavano con sufficienza 
coloro che osavano mettere in dubbio l'assoluta equivalenza delle buste e 
non avevo, sull'altro versante, visto dimostrazioni valide del contrario.
La mia conclusione, dunque, collima con quella di di Adam Atkinson e ne sono 
assolutamente contento.
Quello che mi convince meno (anche se non intacca la validità del 
ragionamento) è l'impostazione della scelta sulla base di una funzione 
dell'importo trovato, come se si potesse cambiare un po' di più o un po' di 
meno.
In realtà o si cambia o non si cambia e, dunque, non mi sembra il caso di 
scomodare una funzione crescente: basta assumere un valore soglia.
Inoltre mi pare che ora sia stata fatta più chiarezza anche sul processo di 
determinazione del vantaggio, che dipende proprio dall'uscita del valore 
soglia prescelto e quindi determinabile nel suo ammontare e nella sua 
probabilità.
Mi par di capire che anche tu, pur non avendolo detto esplicitamente, 
condividi le conclusioni e, avendoti spesso letto e ammirato, anche questo 
mi fa enorme piacere.


 scomodare una funzione crescente: basta assumere un valore soglia.
La tua soglia potrebbe non essere fra a e b. E allora vinci con prob
0,5
La "mia" tecnica (inventata, per quanto ne so, da un collega
al puzzles and games ring a Cambridge) e' una sorta di media ponderata
di tutte le soglie possibili.

<Adam Atkinson> ha scritto:

In questo thread si discuteva del paradosso in una versione rivisitata nella
quale venivano contati i lanci falliti di un dado prima che esca il 6 (r) e 
quindi
inserita la somma 2^r in una busta e 2^(r+1) nell'altra.
La conclusione raggiunta era che giocare fissando un valore soglia (al di 
sotto del quale cambiare busta) era conveniente in quanto al verificarsi 
dell'evento r=k e contemporanea scelta della busta con valore 2^k si ottiene 
un vantaggio pari a 2^k.
Vantaggio non controbilanciato (come invece avviene per tutti quelli 
relativi a r<k) dal cambio in perdita del caso r=k e scelta della busta 
contenente 2^(k+1).
Quindi se giocheremo n volte siamo in grado di dire a priori che mediamente
ci sarà un vantaggio (rispetto a chi adottasse la strategia di non cambiare 
mai busta) uguale a 2^k per tutte le volte che si verificherà l'evento r=k e 
busta=2^k
e cioè:
n*(5/6)^k/12 volte
Al crescere del valore di k aumenta il suo valore ma diminuisce la 
probabilità che l'evento si verifichi.
Pertanto la scelta del valore k dipende dal numero di prove n e dalla 
probabilità di vincita che desidero avere (v. i miei post precedenti).
Il superamento del 50% si ha:
per n=    1000 con k=26
per n=  100000 con k=52
per n= 1000000 con k=64
ecc.
Se decidiamo di giocare 100000 volte posso decidere:
- di scegliere k=10, aspettandomi di vincere 1346 volte un importo 2^10
  per un totale di            1.378.304
- di scegliere k=30, aspettandomi di vincere   35 volte un importo 2^30
  per un totale di       37.580.963.840
- di scegliere k=44, aspettandomi di vincere    3 volte un importo 2^44
  per un totale di   52.776.558.133.248
Nella formulazione tradizionale del paradosso, non essendo noto l'algoritmo
per determinare il contenuto delle buste, non è naturalmente possibile
quantificare le probabilità.
