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Titolo: [MA] Giochini algebrici

Ecco un paio di enigmetti per chi ha voglia di
cimentarsi con dei problemi puramente matematici:
1)
Trovare tutte le coppie p,q di primi (positivi) tali che
l'eq. 5x^2 - px + q abbia soluzioni razionali distinte.
2)Determinare le soluzioni dell'eq. y^2=x^3+16.
Ciao
Andrea

 2)Determinare le soluzioni dell'eq. y^2=x^3+16.
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1) Credo che siano solo q=2 e p=7. Ho una mezza idea per dimostrarlo, sempre
che non abbia fatto un gran casino...
2) x=0  e y=±4.
MaxArt

 2)Determinare le soluzioni dell'eq. y^2=x^3+16.
Ciao, io sono nuova quindi magari non capisco, pero' secondo me questa e'
una funzione:
y=sqrt(x^3+16)
che quindi e' definita per ogni x >= -16^(1/3)
Cosa intendi con ''determinare la soluzione''?
Ciao, TBB

...

Ho dimenticato, in effetti, di specificare che x e y
devono essere interi. A questo punto è facile vedere
che x=0 e y=4 è una soluzione, ne trovi altre?
Ciao
Andrea

 
Ciao
Andrea


.
.
Adesso e' chiaro anche a me.
Si, la soluzione e' unica, a parte la specularita' in y=-4
Avete notato come sarebbe simpatica per:
y^2=x^3+8
?
Ciao  :o)
Livio
-- 
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Ciao
Nino

 
Hai trascurato il fatto che p e q devono essere primi,
altrimenti di soluzioni ce ne sono a volontà.
Con p e q primi io ho trovato solo (p,q)=(7,2) e (11,2),
lo confermate?
Ciao
Andrea

Livio
In questo caso le uniche sol. sono:
(x,y)=(-2,0), (1,ą3), (2,ą4)
trovate col calcolo, senza forza bruta ;)
Ciao
Andrea

trovate col calcolo, senza forza bruta ;)
.
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Peccato, ne avresti trovata un'altra!!!
Ciao  :o))
Livio
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Inviato via 
http://usenet.iol.it
 

 
Ciao
Andrea

Livio
S P O I L E R
Infatti la forza bruta dice (46, 312).
Buon 2001, Buon XXI secolo e Buon III Millennio!
--
Ciao, Damiano Scapeccia


Bentornato Damiano!
Tu la brute force la sai
domare. 
Mi ricordo le tue Donne ...
E ti sto leggendo ~ Dudeney's round
table.
Delle equazioni tipo Andrea Artesiani,
oggi mi colpisce questa,
un pelo diversa
dalla sua:
x,y interi
y^2=x^3+17
Potete trovare
(con la b.f.?) alcune interessanti
soluzioni, ma la domanda che sorge
spontanea e':
Saranno infinite ???
[quesito a cui non mi sono ancora
risposto]
Che la b.force sia con voi nel III Millennio!



Non saprei proprio cosa rispondere, ma comincio a pensare che siano
uniche.
-- 
Ciao, Damiano


Questa volta ci provo senza forza bruta! ;-)
Non ci sono soluzioni razionali per q diverso da 2.
Infatti l'equazione kx^2 - px + q = 0 con k,p,q interi e k e p
dispari, ammette soluzioni razionali solo con q pari.  (1) 
Nel nostro caso dovendo essere p e q entrambi primi con  p > q, deve
essere per forza q = 2.
La dimostazione dell'affermazione (1) e' la seguente:
affinche' la soluzione sia razionale e' necessario eliminare il
radicale dalla formula di risoluzione dell'equazione, cioe' il
discriminante deve essere un quadrato perfetto, quindi
p^2-4kq = d^2
p^2-d^2 = 4kq
(p-d)(p+d)= 4kq
si deduce immediatamente che essendo p dispari anche d deve essere
dispari.
Poniamo
p = 2m+1
q = 2n+1
dove m,n sono numeri naturali. Sostituendo
(2m+1-2n-1)(2m+1+2n+1) = 4kq
(2m-2n)(2m+2n+2) = 4kq
4(m-n)(m+n+1) = 4kq
(m-n)(m+n+1) = kq
Se k e q sono dispari, anche i due numeri a sinistra tra le parentesi
devono essere entrambi dispari, ma questo non e' possibile perche':
se m e n sono entrambi pari oppure entrambi dispari (m-n) e' pari
se m e n sono uno pari e uno dispari (m+n+1) e' pari
quindi per avere una soluzione o k o q devono essere pari!
Nel nostro caso essendo k = 5 dispari e q primo, risulta q = 2, quindi
(m-n)(m+n+1) = 5*2 = 10
da semplici considerazioni risulta che (m-n) puo' essere solo uguale a
1 o 2, quindi m = 3 o 5, da cui p = 7 o 11.
Se k fosse pari si avrebbero infinite soluzioni con p e q primi,
mentre se k = 1 si avrebbe un'equazione (forse l'unica?) con radici
entrambe intere:
x^2 - 3x + 2 = 0    radici 2 e 1
Spero di non aver detto fesserie.
-- 
Ciao, Damiano 

 
Ciao
Andrea