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Titolo: Vertici equivalenti

                      x               x
                     /|  \         /  |\
                    / |     \   /     | \
                   / 5|      / \      |1 \
                  /   |   /       \   |   \
                 /    |/             \|    \
                /    /x               x\    \
              x/    /                   \    \x
              |\   /                     \   /|
              | \ /                       \ / |
             4|  \                         /  |2 
              | / \                       / \ |
              |/   \                     /   \|
              x\    \                   /    /x
                \    \                 /    /
                 \    \               /    /
                  \    \             /    /
                   \    \           /    / 
                    \    \         /    /
                     \    \       /    /
                      \    \     /    /
                       \    \   /    /
                        \    \x/    /
                         \    |    /
                          \   |   /   
                           \  |3 /
                            \ | /
                             \|/
                              x
Questo grafo ha 10 vertici segnati con le x.
Da ciascun vertice partono 3 lati, in tutto 10*3/2 = 15 lati.
I 5 lati verticali sono gia' contrassegnati coi numeri 1,2,3,4,5.
Diciamo che la valenza di un vertice e' uguale alla somma dei 3 lati che
convergono in esso.
E' possibile etichettare gli altri 10 lati coi numeri da 6 a 15 in modo
tale che tutti i vertici abbiano la stessa valenza ?
ciao :) dario

 stessa valenza ?
 
SI 
x=24
Ciao  :o)
Livio Zucca
-------------------------
It isn't trivial!
http://www.geocities.com/liviozuc
P.S.
Per vedere bene l'ascii-art usate caratteri fissi.
Al limite: VISUALIZZA SORGENTE HTML
Se l'hai visto con CiaoWeb, non hai visto niente!
-- 
Posted from 
mta01-acc.tin.it
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http://www.Mailgate.ORG

 ciao :) dario
I due pentagoni, grazie all'incrocio, formano un circuito. Disegnamolo
planarmente come un decagono. I tratti verticali diventano le diagonali
principali. Non le disegno per non creare confusione, ma i vertici
corrispondenti li etichetto col valore dell'arco.
    1 - 2
  /       \
 5         3
|           |
4           4
|           |
 3         5
  \       /
    2 _ 1
La valenza di ogni vertice è data dalla somma del valore del vertice e dei
lati vi fanno capo.
Come ha fatto notare Livio, la valenza comune sarà 24 ((1+2+..+16)/ 5).
Chiamiamo x il valore dell'arco 1-2, y il valore dell'arco 2-3 (x+y=22).
Tutti gli altri risultano fissati di conseguenza.
          x
        1 - 2
    y+1/     \y
     5         3
 x-4|           | x-1
    4           4
 y+2|           |y-1
     3         5
   x-3\       /x-2
        2 _ 1
         y+3
Se x<y allora la catena sarà
x-4,x-3,..,x,y-1,y,..,y+3 = 6,..,15
         (10)
        1 - 2
   (13)/     \(12)
     5         3
 (6)|           |(9)
    4           4
(14)|           |(11)
     3         5
   (7)\       /(8)
        2 _ 1
        (15)
Altrimenti sarà y-1 il 6 ed x il 15 (basta ruotare tutto di 180 gradi)
Silv:o)

 ciao :) dario
-N.B.: Ho aggiunto la denominazione ad ogni ramo
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Analizzo ognuno dei 10 collegamenti:
Per il ramo a pongo l'uguaglianza della somma tre rami che giungono ai due
nodi uniti da a; ottengo i=c+1
cosi faccio per i 9 rami rimanenti e ottengo:
ramo      uguaglianza
 b         l=d+1
 c         f=a+4
 d         e=b+4
 e         d=g+1
 f         c=h+1
 g         e=i+1
 h         f=l+1
 i         g=a+1
 l         h=b+1
svolgendo le somme ottengo le due sequenze
    b h c i l     /      a g d l f
Con una prova è facile verificare che:
a 6
g 7
d 8
l 9
f 10
b 11
h 12
c 13
i 14
l 15
GaS