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Titolo: Rettangolo perfetto di ordine minimo

Siamo abituati, quando parliamo di quadrato perfetto,
a considerarlo la somma di quadrati diversi tra loro, con il
lato intero. A ben pensarci, pero', quest'ultima restrizione
e' soltanto una convenzione: non cambia nulla se
consideriamo i lati razionali, la forma della soluzione
sarebbe sempre quella. Anche se i lati fossero irrazionali,
penso, (anche se non ne ho la dimostrazione) il risultato
sarebbe lo stesso.
Per un rettangolo il discorso cambia. Accettando che i due
lati stiano tra loro con un rapporto a piacere, qual e' il
rettangolo perfetto di ordine minimo?
Se lo scovate, troverete dei valori... emozionanti.  :o)
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio
PS: A scanso di equivoci, per rettangolo perfetto intendiamo
quello formato da rettangoli tra loro diversi ma i cui lati hanno
la stessa proporzione tra loro, che e' la stessa proporzione tra
i lati del rettangolo risultante.
PS2: Ignoro quale potrebbe essere il rettangolo perfetto, a lati
interi (polimini), di minimo ordine e questo potrebbe essere
un secondo problema.
PS3: se cadesse anche la retrizione che i rettangoli debbano
essere diversi, la soluzione sarebbe sotto i nostri occhi.
Si tratta del foglio di carta A4, ma sembra che questo non
lo si sappia piu' (soprattutto gli Yankees :o)).

 lo si sappia piu' (soprattutto gli Yankees :o)).
il rettangolo aureo invece può essere scomposto in un numero infinito di
quadrati messi "a spirale".
cmq vengono 2 numeri di Fibonacci?
è solo un'impressione a caldo, che deriva dal fatto fatto che le proporzioni
dei lati del rettangolo aureo possono essere approssimate con il rappporto
tra 2 numeri di fibonacci successive.
ciao!

 tra 2 numeri di fibonacci successive.
fuochino, fuochino!!!
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Se lo scovate, troverete dei valori... emozionanti.  :o)
[SPOILER]
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salvo errori:
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _B _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
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|                                                             |A
|                                                             |
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| _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ |
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|                                   |                         |D
|                                   |                         |
|_ _ _ _B-C_ _ _ _ _ _|_ _ _ _ C_ _ _  |
B=1
C=(3-sqrt(5))/2
D=sqrt(C-C^2)
A=C/D
ciao
paolo

 ha scritto:

Ciao Paolo!
E' senz'altro lui. Sotto l'ordine 3 penso proprio che non
si possa andare.
Pero' i tuoi valori non mi... emozionano.
E non sembrano c'entrare con quello che si e' detto con Pazqo.
Quando c'e' di mezzo sqr(5)...
Lo lascio cosi' per un po' per vedere se qualcuno trova anche
il busillis.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Pero' i tuoi valori non mi... emozionano.
Uh, quanto sei venale! Ti emoziona solo l'Auro!
A me, più modestamente, basta l'Euro. :-)))
Anziché guardare ai valori,  guardiamo ai reciproci rapporti.
Allora sia
R=(1+sqrt(5))/2=1.618034+
Il rapporto tra i lati di ciascun rettangol vale 1.27202 [che sarebbe
sqrt(R)]
I rapporti tra i lati corrispondenti dei quattro rettangoli valgono
rispettivamente
sqrt(R); R; sqrt(R)
i rapporti tra le quattro aree:
R; R^2 [o, se preferisci. R+1); R
Emozionante?
ciao
paolo

 Emozionante?
Si, queste cose non finiscono di stupirmi.
Assegnando il valore 1 al lato piu piccolo, gli altri
diventano sqr(r), r, r*sqr(r), r^2.
Sfruttando le proprieta' del rapporto aureo 1+r=r^2 o
1+1/r=r si dimostra immediatamente che il rettangolo
complessivo ha le stesse proporzioni di ciascuno,
senza fare calcoli numerici!
E se una spirale di quadrati tende al rettangolo aureo,
una spirale di rettangoli a che cosa tende?
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 una spirale di rettangoli a che cosa tende?
a un quadrato?

 a un quadrato?
Non mi sembra cosi' semplice, pero' forse vale la pena di
dargli un'occhiata.
Cominciamo col dire che:
- una spirale di rettangoli, i cui lati abbiano un qualunque
rapporto purche' costante, convergono tutti (o quasi) ad
un altro rettangolo. [poi capiremo il quasi]
- quando il rapporto tra i lati tende a 1, la spirale tende ad
un rettangolo che tende al rettangolo aureo e la serie dei
lati e' quella di Leonardo Pisano Fibonacci.
- quando il rapporto tra i lati tende ad infinito, la spirale
forse tende ad un quadrato, anche se e' difficile immaginarselo
fisicamente.
Quindi possiamo dire che tutte le spirali di rettangoli
tendono a rettangoli con rapporti tra i lati compresi
tra 1 e il rapporto aureo.
In particolare io avrei trovato il rettangolo la cui spirale
tende al rettangolo di rapporto 2:3, ma non ve lo dico...  :o)
Ora mi chiedo: se 1:1 tende a 1:1.618... e 1:inf tende a 1:1,
ci sara' un incrocio, da qualche parte, per cui la spirale di
un certo rettangolo, uno solo, tende a se stesso?
Bonne recherche!   :o)))))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 ha scritto nel messaggio
news:bpb7m3$1mllt8$1...@ID-88791.news.uni-berlin.de...

non sarà mica il foglio A4? almeno, è scomponibile come somma infinita di
rettangoli = a se stesso. se non è lui non ho capito il problema...

 una spirale di rettangoli a che cosa tende?
Non ho capito cosa intendi per spirale di rettangoli.
qual è l'algoritmo per costruirla?
ciao
paolo

 un certo rettangolo, uno solo, tende a se stesso?
ponendo L=1/x otteniamo x = sqrt(2)/2
--
Ciao, Silv:o)

 il problema...
Mi sa che hai ragione!
Questa volta l'istinto matematico ti ha portato dritto dritto alla
soluzione:  1:sqr(2)
Non mi resta che aggiungere una chicca (credo):
Cosi' come la serie di Fibonacci fa convergere sempre il rapporto
tra due termini consecutivi, qualunque sia l'inizio, cosi' queste
spirali di rettangoli convergono sempre ad un solo rettangolo,
anche se la partenza fosse ad es. un quadrato:
 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
|                 |           |
|                 |           |
|        4        |           |
|                 |           |
|_ _ _ _ _ _ _ _ _|           |
|     |       |   |           |
|     |       |   |     5     |
|     |   0   | 1 |           |
|  3  |_ _ _ _|_ _|           |
|     |           |           |
|     |     2     |           |
|_ _ _|_ _ _ _ _ _|_ _ _ _ _ _|
|                             |
|                             |
|                             |
|              6              |
|                             |
|                             |
|                             |
|_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _|
[Per vedere l'ascii art usare caratteri fissi]
Oltre a trovare il rettangolo che genera il 2:3 (soluzione che ho)
sarebbe bello trovare una relazione generica.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 qual è l'algoritmo per costruirla?
Seguendo la regola che val piu' uno schizzo di mille parole,
nella risposta a Pazqo c'e' un ascii-art.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 ...
Mmmm...
Una spirale di domini converge a 1.2807...
C'e' qualche cosa che non mi torna.
Ciao!!!  ((^__^))
Livio

 Livio
ciao
stefano

 C'e' qualche cosa che non mi torna.
Ho confuso L (il rapporto-limite) e x (il rapporto dei singloi rettangoli)
Infatti un aspirale di rettangoli 2x3 tende ad un rettangolo 1x3 (L=3)
viceversa, se poniamo L=3/2 nella formula
L = x + 1/L otteniamo x = 5/6
--
Ciao, Silv:o)

 L = x + 1/L otteniamo x = 5/6
in pratica, se x è il rapporto dei singloi rettangoli e L è il
rapporto-limite, da
L = x + 1/L
si ottiene
L = (x+sqrt(x^2+4))/2
x = (L^2-1)/L
--
Ciao, Silv:o)

 1x3 (L=3)
... ma non si parlava di domini?
l'"aspirale" di 2x3 converge ad un domino (L=2)
--
Ciao, Silv:o)

 L = x + 1/L
Questo e' il tuo colpo di genio! I formuloni sono capaci
in tanti, questa invece e' sintesi pura!!!  :o)
Tu dici, se ho ben capito: che converga lo dimostriamo
altrove  :o) , ma se converge quella e' la relazione.
E di li' vien fuori tutto: il rapporto aureo per x=1, i 5/6
per L=3/2, quel L=1.2807... che avevo ricavato con il
calcolo numerico per la spirale di domini e che adesso
possiamo specificare meglio:
L = (1/2 + sqr(17/4))/2
Evviva!
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 in tanti, questa invece e' sintesi pura!!!  :o)
eh, vero!
altro che frazioni continue...
:-)
e cmq è proprio una frazione continua, se viene sviluppata...
L = x + 1/ (x+1/(x+1/(x+1/(...))))
che era quella che avevo ottenuto io!
ciao!!

 l'"aspirale" di 2x3 converge ad un domino (L=2)
E' vero! E questo butta all'aria la mia prima ipotesi
empirica che diceva che le spirali potevano convergere
soltanto a rettangoli da 1:1.618... a 1:1
Infatti le spirali si', ma le aspirali no! Le aspirali sono le
spirali fatte con i mattoni messi di testa!  :o)
A parte gli scherzi, ogni rettangolo puo' generare due
tipologie diverse di spirali, quelle per cui x=2/3 e quelle
per cui x=3/2
Noto inoltre che quello L=x=1:sqr(2) puo' essere a buon titolo
nomato: Rettangolo Perfetto di Ordine Infinito.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

> L = x + 1/L
Questo mi suggerisce un semplice metodo per costruire, senza neanche usare
le forbici, i rettangoli della spirale a partire dal rettangolo-limite.
Partendo da un foglio di carta qualsiasi di proporzioni 1:L, si traccia la
diagonale piegando il foglio e poi la sua perpendicolare.
__ _ _ _ _1_ _ _ _  __
  |\               |
  | \              |
  |  \             |
  |   \            |
  |    \           |
  |     \          | x
  |      \         |
L |       \        |
  |        \       |
  |         \      |
  |_         \    _|_
  |           \  _.|
  |          _.\'  |
  |      _.-'   \  |
  |  _.-'        \ |
__|_'_ _ _ _ _ _ _\|
Non è difficile controllare che tra x ed L vale la relazione richiesta.
Possiamo tranquillamente tagliare il rettangolo superiore 1:x lasciando
comunque un rettangolo delle stesse proporzioni iniziali 1:L, già pronto con
le linee guida tracciate per proseguire all'infinito.
  |_ _ _ _ _ \_ _ _|_
  |          |\  _.|
  |          |.\'  |
  |      _.-'|  \  |
  |  _.-'    |   \ |
__|_'_ _ _ _ | _ _\|
[FIDOCAD ]
LI 25 10 125 10
LI 25 10 125 210
LI 125 210 25 210
LI 25 210 125 160
LI 125 10 125 210
LI 25 210 25 10
LI 100 160 100 210
LI 101 172 126 172
LI 125 160 25 160
LI 106 160 106 172
--
Ciao, Silv:o)