Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: [MAT] Quadrilatero "intero"

Ho una curiosita', che quando ho tempo cerchero' di
dissipare, ma se intanto qualcuno vuol cimentarsi...
Tra tutti i quadrilateri convessi con i 4 lati interi e
*distinti* e non degeneri,
vorrei sapere quale e' quello con perimetro
minore tale che le due diagonali si intersecano
formando 4 segmenti a loro volta interi.
Poi sarebbe bello che anche l'area del quadrilatero
fosse intera.
Penso che prelimarmente si potrebbe partire dal
sottoproblema piu' semplice in cui nel quadrilatero
le diagonali sono perpendicolari tra loro.
Questo dovrebbe essere facile, perche' basta
trovare 4 triangoli che ...
ciao,
g.

On 29 Mar, 12:33, Giovanni Resta

Nel caso del sottoproblema, direi che si tratti di un rombo di lato 5
e diagonali 6 e 8.

Comincio ad avere il dubbio che sia anche la risposta del caso
generale.

Nel caso generale, la figura deve essere simmetrica rispetto al punto
di incontro delle diagonali.
Il che implica che il punto di incontro si trova al centro delle due
diagonali.

La figura cercata e' quanto meno un parallelogramma.

 La figura cercata e' quanto meno un parallelogramma.
E' il rombo di cui sopra.


Forse stai tralasciando la clausola secondo
la quale i lati devono essere distinti ...
g.


Non direi. Che cosa te lo fa pensare?
Se vedi qualcosa che mi e' sfuggito, dimmi. Non escludo certo di
essermi sbagliato.

 essermi sbagliato.
Forse non ci stiamo capendo.
Se riguardi il mio primo post,
avevo richiesto dei quadrilateri
con il lati distinti, altrimenti e' troppo facile :-)
Un rombo ha tutti i lati uguali.
ciao,
b.


Per "lati distinti", se non erro, si intende "non coincidenti", ossia
che il quadrilatero non deve essere degenere.
Puo' essere comunque che mi sbagli: e' passato parecchio tempo da
quando utilizzavo certe definizioni.
Comunque sia, se devono essere di lunghezza diversa, allora il
discorso cambia.
Ogni lunghezza deve essere diversa dalle altre, o e' sufficiente che
non siano tutte e quattro uguali?

 Per "lati distinti", se non erro, si intende "non coincidenti",
Io volevo banalmente dire che i lati fossero di lunghezze
intere  e tutte diverse tra di loro.
Sicuramente ho sbagliato a esprimermi.
g.

Giovanni Resta wrote:

in pratica forse si devono trovare 4 terne pitagoriche tali da formare un
quadrilatero con diagonali perpendicolari tra loro.
dopo circa 200 tentativi mi arrendo (per ora)


Ci ho provato anch'io: e' un bel casino.
Una terna pitagorica e' facile da trovare,. ma trovarne 4 con dei
valori in comune e' tosto.

Il bragozzi wrote:

io veramente stavo solo usando gli elenchi di terne pitagoriche presenti su
questo sito:
http://digilander.libero.it/salgam/
ed ovviamente i multipli interi delle stesse.

 valori in comune e' tosto.
Imho il vincolo di perpendicolarità sulle diagonali ostacola la
soluzione anzichè agevolarla... dei possibili quadrilateri interi con
lati di lunghezza diversa solo un sottoinsieme molto ridotto ha
diagonali ortogonali, direi.
Vero è che pero' non ho idea di come affrontare il problema senza il
vincolo dell'ortogonalità ;)

Hermooz wrote:

se i lati fossero 13,12,4,3 e il quadrilatero formato da due triangoli
rettangoli aventi un lato da 5 in comune, l'area sarebbe 36, ovvero
5*12/2+3*4/2

 vincolo dell'ortogonalità ;)
Puo'  essere di aiuto l'estensione del teorema di Pitagora?
Dato un qualunque triangolo di lati a,b,c,  se x e' l'angolo tra i
lati b e c si ha:
a^2 = b^2 + c^2  - 2*b*c* cos(x)

Il 30-03-2007, Il bragozzi dice:



Del tutto inutile, perche' potrebbe andare solo con x di 60
gradi ma allora del teorema non ne hai bisogno.
-- 
Saluti, Dalet


Si, ma, se non erro, l'altra diagonale del quadrilatero non sarebbe
intera.

Il bragozzi wrote:

non solo; il problema richiede siano interi anche i 4 pezzi di diagonale
partendo dal punto d'incontro delle stesse.
il mio era solo un suggerimento a Hermooz per trovare un punto di partenza
per risolvere il problema senza il vincolo dell'ortogonalità :)

 Saluti, Dalet
Se ti riferisci al fatto che:
a^2 intero, b^2 intero, c^2 intero,  quindi  2*b*c* cos(x) intero
allora e' sufficiente che cos(x)= 1/n, con n sottomultiplo di 2*b*c
O c'e' dell'altro che al momento mi sfugge?


Si, aiuta. Nel senso che in un certo senso tu vuoi
accoppiare due triangoli che si toccano all'incontro
delle diagonali e devono avere lo stesso valore
di cos(x). Chiaramente non ti interessa esplicitare la x,
ma ti basta il valore cos(x) che sara' un numero razionale,
come sempre nel caso di triangoli con i lati interi.
Il problema l'ho risolto, ma con un programma,
perche' non credo che a mano si possa andare tanto in la'...
Salvo errori et omissioni,
nel caso delle diagonali perpendicolari le terne pitagoriche
necessarie non sono enormi: il perimetro del quadrilatero
si attesta su 176, e la semidiagonale piu' lunga e' lunga 48.
Per i quadrilateri qualsiasi il perimetro minimo e' 66
(mi sembra ci siano due soluzioni diverse).
Casomai nel weekend faccio un disegnino.
ciao,
g.

 per risolvere il problema senza il vincolo dell'ortogonalità :)
Come del resto le mie osservazioni non vogliono assolutamente
criticare nessuno. Stiamo solo facendo quattro chiacchiere
tranquillamente ;-)

 tranquillamente ;-)
ovvio; in questo ng, a parte l'invasione dei lurkatori di un altro sito e
dello spammer dei post dal titolo .... non ci sono mai stati problemi, mi
pare :)

 (mi sembra ci siano due soluzioni diverse).
Confermo il minimo, perņ ho trovato una sola soluzione, 
con lati            13   11  26  16 (in senso antiorario)
e semidiagonali   6    9   12  18 
(il lato 13 sta fra 6 e 9, ecc.).
Perņ di quadrilateri che abbiano anche area intera non ne ho visti.
Maurizio

 Maurizio
quanto ti viene l'area?

 quanto ti viene l'area?
L'area di questo è la più piccola che ho trovato e vale 36*sqrt(35).
Maurizio

 Confermo il minimo, però ho trovato una sola soluzione, 
qui ci sono le figure delle due soluzioni minime con
perimetro 66 e della soluzione minima con diagonali
perpendicolari.
http://cycas.iit.cnr.it/~resta/quadrint.pdf
Tra l'altro la soluzione con diagonali perpendicolari
e' anche la piu' piccola tra quelle con area intera,
mentre la piu' piccola (sempre per perimetro)
con area intera e diagonali *non* perpendicolari
ha perimetro 198.
ciao,
g.

 perpendicolari.
che hai ottenuto usando solo le terne primitive 3,4,5 e 5,12,13.
complimenti

 perpendicolari.
Ovviamente confermo le tue soluzioni: c'era una stupida dimenticanza nel
mio programma.
Maurizio

 perpendicolari.
Ciao Giovanni,
Un quadrilatero con lati di 5,11,8,13 (perimetro 37)  dovrebbe avere 
diagonali di 9 e 17. Puoi controllare ?
La soluzione che dai con diagonali perpendicolari ad area intera, si 
trova descritta per la prima volta, dal matematico persiano  Bhaskara 
nel "Lilavati" un lavoro che la leggenda dice dedicato alla figlia.

 nel "Lilavati" un lavoro che la leggenda dice dedicato alla figlia.
E questa da dove l'hai tirata fuori ?
Le tue fonti sono come sempre incredibili !
ciao,
g.

 diagonali di 9 e 17. Puoi controllare ?
Controllato e va bene! (non che avessi dubbi...)
Rilancio con quello che dovrebbe essere minimale (perimetro 31),
con lati 3, 11, 8, 9 e diagonali 9 e 13.
Le figure di entrambi sono qui:
http://cycas.iit.cnr.it/~resta/quadrint2.pdf
ciao,
g.

 che le semidiagonali fossero intere.
Il problema originale richiedeva che le semidiagonali fossero intere, se
non ho capito male. Anch'io mi sono limitato a quel caso.
Maurizio


Adesso che mi ci fai pensare (e riguardare!) hai ragione!
(certo che sono psicolabile... pongo un quesito e manco
mi ricordo in che termini l'ho posto...)
vabbe', due quesiti al prezzo di 1...
ciao,
g.

Giovanni Resta wrote:

ma non erano 3?