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Titolo: Veleni e antidoti

Indiana Jones è stato morso da un terribile scorpione velenoso. L'unico 
antidoto è in una fiala che si trova in mezzo ad altre 30, di cui 29 
contenenti acqua distillata e 1 contenente un liquido capace di annullare l'effetto 
benefico dell'antidoto. Le 31 fiale e quel che vi è dentro sono del tutto 
indistinguibili. Il nostro eroe, con i minuti contati, ha solo la 
possibilità di prendere un numero di fiale a suo piacimento, versarle in un 
recipiente, e bere la sostanza così ricavata. Data la sua scaltrezza, 
Indiana Jones adotterà la strategia migliore. Quante fiale verserà Indiana 
Jones? Che probabilità ha di salvarsi?

Nino ha scritto:

prende quella in mezzo e si salva di sicuro.

Jones? Che probabilità ha di salvarsi?
spoiler
15, oppure - se c'ha sete - 16. E' indifferente.
Poi se per disgrazia sta per morire, allora altre 8 delle
restanti.
Il calcolo non lo faccio, perche' essendoci simmetria devo
cercare di dare a entrambe la massima probabilita' nel
proprio raggruppamento, cioe' di restare separate azzeccando
poi pero' anche il gruppo con l'antidoto... lo vedo gia'
praticamente cadaverizzato.
In ogni caso va al 50%, sempre a causa della simmetria, una
volta che gli sia capitata la fortuna di separarle.
E adesso chiederai le probabilita' di separarle?!
-- 
Saluti, Dalet


Non ho capito.

Non ho capito.
Se antidoto e veleno risultano uno nel gruppo di 15 e l'altro
nel gruppo di 16, ancora deve avere la fortuna di pescare il
gruppo con antidoto e non quello col veleno.
Ps. Siccome ho calcolato solo ora (qui su) col modo delle
probabilita', questa storia dei raggruppamenti e' inutile. 
Pps. Allora spiegami il paradosso che scegliendo di pescare
anche la 16-ma il calcolo da': 15/(31*30), cioe' piu'
sfavorevole, contro la (apparente?) simmetria che dicevamo.
Be'... e' chiaro: non va bene il calcolo mio, perche' ad
esempio 1/31 e' arbitrario metterlo per primo, cmq ormai
l'ho scritto e lo lascio, e invio.
-- 
Saluti, Dalet

 wrote:

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La prob. di salvarsi mischiando k fiale su n=31 dovrebbe essere:
k(1/n)*(n-2)/(n-1)*(n-3)/(n-2)*...*(n-k)/(n-k+1) = k(31-k)/930.
Il max si ottiene per k = 15 o 16 e la prob. di salvarsi è 8/31 = 25,8%
SE&O.
Maurizio


Infatti... Supponi che scelga solo una fiala...
ovviamente avrebbe 1/31 di prob. di scegliere quella con
l'antidoto... ma 1/31 è già più del 1,72%... 

 Maurizio
OK, io ci arrivo solo con passaggi elementari (fatti con una tabellina
excel):
Fiale     Casi totali    Casi sfavorevoli  Casi favorevoli   probabilità
-----    -------------   ----------------  ---------------   -----------
 1            31               30                1             0,032258
 2           465              436               29             0,062366
 3          4495             4089              406             0,090323
...........
...........
15          3,01E+08        2,23E+08         77558760          0,258065
16          3,01E+08        2,23E+08         77558760          0,258065
...........
Ciao, Nino 

l'antidoto... ma 1/31 è già più del 1,72%... 
Si' ma infatti coi raggruppamenti si fa al volo, ora
l'ho fatta giusta perche' e' uguale a quella di Maurizio.
spoiler
p = C(n-2,k-1)/C(n,k)=k(n-k)/n/(n-1)  ->  p_max = 8/31
e la dimo che e' max per k=15 (indistinguibile da 16) e'
dal fatto che il numeratore ha somma dei fattori costante
(ed uguale a n, cioe' a 31) ed allora il max del prodotto
e' quando i fattori sono il piu' possibile uguali uguali.
-- 
Saluti, Dalet

 p = C(n-2,k-1)/C(n,k)=k(n-k)/n/(n-1)  ->  p_max = 8/31
Perfetto.
Ora ne sono rimasti due (torneo di calcio e triangoli nei
poligoni :-))