Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Re: triangoli

  aldobertolotto
Premessa: per ISM sei un po' OT. Il manifesto prevede che i problemi
di tipo enigmistico, anche se matematico, siano posti su
it.hobbi.enigmi.
Sei comunque piu' IT di quelli che pretendono di parlare di problemi
sociali, politici, ecc., semplicemente ponendo come titolo "Fatemi un
modello matematico" oppure "Analizziamo logicamente l'affermazione del
politico X"
Ti rispondo crosspostando su IHE, pregando eventuali prossimi
interlocutori di togliere il crosspost verso ISM.


Ed eccoci qua su IHE.
Dunque: istintivamente direi infiniti. Questo perche' ci sono infiniti
triangoli di base intera e altezza razionale che hanno l'area cercata.
Se una percentuale di essi ha lati interi, sono anche questi in numero
infinito.
Pero'  l'ipotesi di quest'ultima frase e' tutta da dimostrare.
Devo pensarci su.

 Devo pensarci su.
La bruteforce mi dice che sono solo 4:
 15 14 13
 21 10 17
 25 7 24
 35 8 29
Prima o poi ce ne faremo una ragione :o)
Ciao!!!  :o)
Livio

Devo pensarci su.
Sicuramente non possono essere infiniti, vediamo perchè.
Siano a, b, c i 3 lati interi del triangolo, per la formula di Erone si ha 
che:
Area=sqrt[S*(S-a)*(S-b)*(S-c)]
dove S è il semiperimetro: S=(a+b+c)/2. Da questa si ha che:
Area=1/4*sqrt[(a+b+c)*(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)]
Ma Area=84 e quindi si deve avere:
(a+b+c)*(b+c-a)*(a+c-b)*(a+b-c)=(84*4)^2
Considerando che la somma di due lati di un triangolo deve essere sempre 
maggiore del terzo lato, i 4 contributi tra parentesi sono sempre positivi e 
quindi a+b+c è sicuramente limitata al valore di (84*4)^2 e quindi ha un 
numero finito di combinazioni.
Che queste siano tutte e sole quelle indicate da Livio è un'altra storia, ma 
il metodo pone un limite superiore alla ricerca per forza bruta che potrebbe 
quindi garantire la completezza della soluzione.
Ciao,
GaS 

  35 8 29
E vedendo questi numeri, a occhio non mi convince.
Saranno sicuramente giusti, non sto a verificare, ma mi sarei aspettato 
qualcosa di diverso che trovare un 17 o un 29...
Ad ogni modo osservo che 84 e' il doppio di 42, e quindi questo problema 
ha una sua ragion d'essere.

 essere intera.
Mmmm ...
Ciao!!!  :o)
Livio

Scriveva Che nickname ha costui? lunedì, 19/11/2007:

Confermo la soluzione di Livio.
L'ho trovata (in 10 secondi) con un risolutore di problemi a vincoli 
interi.
A=15, B=14, C=13
A=21, B=17, C=10
A=25, B=24, C=7
A=35, B=29, C=8

 costituiscano mezza base, altezza e lato del triangolo.
Perche' mezza base? Non siamo limitati agli isosceli.
Qualunque scomposizione della base puo' essere presa in
considerazione, anche in due reali; basta che siano razionali i
quadrati.

 > > numero intero ci sono con area 84?
Problema mal posto: tutti i triangoli hanno un numero intero di lati,
e cioè tre.
;^)
Sorry, ultimamente tendo più sul lateral che sul matematico ;^)
bye!

 ;^)
"lati di numero" non e' la stessa cosa di "numero di lati"
"lati di numero" significa che a ogni lato e' assegnato un numero.
Non essendo specificato quale numero, propongo 123, 14 e 72
A questo punto, ci sono infiniti triangoli di area 84 cui possiamo
assegnare questi tre numeri, in 6 modi diversi ognuno, e quindi era
giusta la mia prima risposta intuitiva. :-D
papappapaa pa pa pa paaaaaa
(vogliate concedermi alcuni festeggiamenti comprensivi di banda
musicale)

 quindi garantire la completezza della soluzione.
Partendo dal tuo ragionamento, cerco di restringere il campo.
Sia a il lato maggiore.
Il triangolo di maggior area sara'... l'equilatero, quindi a>=14
Il triangolo piu' piccolo sara':
- se a pari, quello con b=a/2 e c=b+1
- se a dispari, quello con b=int(a/2)+1 e c=b
Con la bruteforce (per non star li' a perdersi nei passaggi :o)) a<=38
A questo punto la ricerca e' veramente ristretta a pochi casi che si
fa quasi a mano. Basta esaminare tutti i triangoli con lato maggiore =
base compresa tra 14 e 38 avente altezza h=2x84/a e verificare se
possano essere interi gli altri due lati.
Ciao!!!  :o)
Livio

 Non essendo specificato quale numero, propongo 123, 14 e 72
In realtà quello che contestavo io è che "lati di numero" non è chiaro
come concetto. 'Sti matematici, che ancora non hanno imparato che
senza unità di misura non si va da nessuna parte... Se mi dici "lati
lunghi un numero intero di piedi/pollici/metri/pertiche/stadi"  allora
non si può fraintendere, neanche se uno ci si mette apposta ;^)
bye!


Sono d'accordo. "Lati di numero" in realta' e' scorretto; si sarebbe
dovuto dire "lati di lunghezza intera".
Mi stavo divertendo a buttarla un po' sul demenziale.

 Mi stavo divertendo a buttarla un po' sul demenziale.
Ovviamente, anch'io ;^)
Ciao!