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Titolo: Stella a 5 punte... intera

Con 5 segmenti di lunghezza intera traccio una classica stella a 5
punte, anche irregolare. I 5 punti di incrocio suddividono ciascun
segmento in tre parti intere pure loro. Vi chiedo:
1) Esiste una simile stella?
2) Se sì, ditemene qualcuna.
3) Se ce n'è qualcuna, qual è la più piccola? (minor perimetro)
Ciao a tutti!!!  :o)
Livio

 3) Se ce n'è qualcuna, qual è la più piccola? (minor perimetro)
Per ora non ne ho idea.
-- 
Ciao, Silv:o)

> 3) Se ce n'č qualcuna, qual č la piů piccola? (minor perimetro)
per adesso siamo a 90+45+45+63+117 = 360
-- 
Ciao, Silv:o)

 EA = 13
Apparentemente si può fare meglio usando la sola terna fondamentale 3-4-5, 
senza scomodare la 5-12-13
A (-1, 0)
B ( 3, 3)
C ( 0,-1)
D ( 0, 3)
E ( 4, 0)
tutte le distanze, tranne CD=4, valgono 5. Il perimetro sarebbe dunque 24 
(nella soluzione precedente era 40).
Però per rendere tutte le distanze intere bisogna moltiplicare per 40 (nella 
soluzione precedente per 9), per cui il totale 24*40=960 è decisamente 
peggiore del 40*9=360 della soluzione precedente.
AB = 200 (50+75+75)
BC = 200 (72+78+50)
CD = 160 (40+30+90)
DE = 200 (75+21+104)
EA = 200 (130+30+40)
-- 
Ciao, Silv:o)

 per adesso siamo a 90+45+45+63+117 = 360
Che è già più piccola della mia. Come al solito, io non riesco
neppure a vincere i giochi che propongo io.  :o(
Che dite, 360 sarà il minimo? Qualcuno batterà la stella di Silvio?


 Come al solito, io non riesco neppure a vincere i giochi che propongo io.  :o(
Garanzia di originalità. Trovare un problema già risolto, spacciarlo
per tuo e *risolverlo* brillanemente non è proprio nel tuo stile, per
fortuna :)
-- 
Ciao , Silv:o)

 fortuna :)
Ma or ora mi dicono, dall'altra stanza, che si può far meglio e,
cacchio, penso
proprio che abbiano ragione...
Ciao!!!  :o)
Livio

 cacchio, penso proprio che abbiano ragione...
vediamo: 144?
(10+6+24) + (25+5+10) + (8+6+10) + (8+7+5) + (6+6+8)
[FIDOCAD]
PV -8 0 24 24 0 -8 0 16 12 0
-- 
Ciao, Silv:o)

Silvio Sergio ha scritto:

Bingo! E' la stessa. Comincio a pensare che sia la minima, almeno con
le terne pitagoriche. Già, perché le terne pitagoriche sembrano un
buon
metodo per arrivare ad una soluzione, ma rappresentano un vincolo in
più non richiesto. Voglio dire: potrebbe esisterne una più piccola (o
almeno
una qualunque) che non contiene angoli retti. Ah, saperlo! E non so da
che parte cominciare per indagarlo. (bruteforce?)
Ciao!!!  :o)
Livio

 cacchio, penso
L'altra stanza e' un altro forum/gruppo di matematica ricreativa o
giochi ?
Avevo pensato alla brute force, ma non e' tanto facile.
Cioe', e' relativamente facile trovare una soluzione come quella
minima trovata nella quale le punte della stella sono numeri interi,
relativamente  piccoli (e anche cosi' ce ne sono di configurazioni
da considerare...). Ma in linea di principio non sono assolutamente
sicuro che la soluzione minimale debba avere i vertici con
coordinate intere... e quindi la cosa si complica enormemente.
ciao,
g.

 coordinate intere...
In questo contesto, razionali = intere. Ogni soluzione razionale può
essere trasformata in una intera moltiplicando opportunamente distanze
e coordinate, e ogni intera può essere scalata a razionale dividendo
per il mcm delle distanze.
Però, dite voi, perché scartare soluzioni a coordinate irrazionali?
Che ne so se disegnando una stella con lati interi su un foglio bianco,
senza quadretti, posso rispettare i vincoli?
Ma, non saprei proprio da dove cominciare. Disegnando i lati della
stella non so perchè ma mi veniva in mente il nome di Talete.
C'azzecca qualcosa?
-- 
Ciao, Silv:o)

 coordinate intere... e quindi la cosa si complica enormemente.
Penso anch'io. Un triangolo equilatero a lati interi, ad es., puo'
avere due vertici su un reticolo razionale, ma non il terzo.
Ciao!!!  :o)
Livio

 C'azzecca qualcosa?
Talete non so. La scuola pitagorica aveva come simbolo un pentagono
con inscritta una stella a cinque punte.
Ciao!!!  :o)
Livio

 ?
-- 
Ciao, Silv:o)


Utile a che? Non lo so. Però mi piace :)
-- 
Silv:o)

 (10+6+24) + (25+5+10) + (8+6+10) + (8+7+5) + (6+6+8)
Io con un po' di forza bruta ho trovato un 105:
(5+4+6) + (5+5+5) + (6+4+5) + (6+4+20) + (20+4+6)
Maurizio

 (5+4+6) + (5+5+5) + (6+4+5) + (6+4+20) + (20+4+6)
Bella e irrazionale.
Con la tua ricerca, puoi confermare che è la più piccola tra quelle
formate da
4 triangoli scaleni identici e un isoscele?
Ciao!!!  :o)
Livio

 Io con un po' di forza bruta ho trovato un 105:
Questo risultato dovrebbe permetterci una ricerca sistematica di ogni
possibile stella più piccola, vista come composizione di 5 triangoli
interi qualunque. Infatti basta esaminare i triangoli con periodo
minore o uguale a (105-12) per aver la certezza di una ricerca
esaustiva. Tali triangoli sono "solo" 5952. [( 1 1 1)-( 1 2 2)-( 1 3 3)
... (31 31 31)].
Ciao!!!  :o)
Livio

 segmento in tre parti intere pure loro. Vi chiedo:
A me sembra di averne trovata una da 102:
I segmenti del pentagono interno dovrebbero essere
(in senso orario)
6 1 10 1 6
mentre le corrispondenti coppie di lati della punte
(sempre in senso orario)
(8 7) (2 2) (20 20) (2 2) (7 8)
quindi sarebbe composta da due triangoli scaleni uguali
(8,6,7) da due isosceli uguali (2,2,1) e da un ulteriore
isoscele (20,20,10) e avrebbe quindi un asse di simmetria.
Pregasi controllare...
Direi quasi che questa (se e' corretta) e' quella minimale,
se non fosse che so per certo che il programma esaustivo che ho
fatto e' bacato perche' non ha trovato quella da 105... sgrunt!
Se ho tempo controllo meglio.
ciao,
g.

 fatto e' bacato perche' non ha trovato quella da 105... sgrunt!
Anche la 105 mi sembra esatta. Sarà un baco tipo <=  :o)
Ciao!!!  :o)
Livio

 esaustiva. Tali triangoli sono "solo" 5952. 
Interessante alternativa, però mi sembra che ci siano lo stesso un bel
numero di possibilità.
Maurizio

 stampo.
Io impostato la ricerca in modo forse simile.
Faccio riferimento a questa figura:
http://ilex.iit.cnr.it/resta/stella.png
in cui ho assegnato una lettera ad ognuno dei 15
segmenti, altrimenti non ne esco!
Per comodita' di scrittura indico con A, ad esempio, sia
il segmento A sia la sua lunghezza.
Io parto fissando la misura di 5 dei 15 segmenti,
diciamo i segmenti rossi: A,F,G,S,E.  (Li faccio variare entro
un limite massimo. Alcune considerazioni possono ridurre il
numero di configurazioni, ad esempio possiamo decidere senza perdita
di generalita' che G >= F, oppure che il triangolo AFG sia quello
di perimetro minimo oppure massimo tra tutti quelli che andremo
a generare).
Una volta fissati A,F,G,S,E la lunghezza i R (in verde) puo' essere
calcolata in funzione di A,F,G,S,E.
Solo in un numero esiguo di casi R risultera' un numero intero.
E proseguo la ricerca solo in quei casi.
A questo punto ho A,F,G,S,E,R  e posso quindi calcolare in
che punto i segmenti N ed M si toccano.
Calcolando il punto di intersezione automaticamente calcolo
i segmenti blu (D+N) e (B+M).
Se queste due lunghezze non sono intere chiaramente non proseguo.
Se sono intere allora provo (i punti rossi) a partizionarle
in tutti i modi possibili in 2 segmenti.
(Avrei potuto procedere anche in altri modi, per esempio provando
a fissare in vari modi H e Q).
Quindi mi ritrovo con tutte le lunghezze fissate a parte
C, H,L, P,Q.
C lo determino subito e se non e' intero non procedo.
Una volta noto C posso calcolare facilmente i restanti 4 segmenti
e se sono interi ho finito.
Non credo che sia il metodo migliore, comunque il valore di 102
l'ho trovato in meno di un minuto, mi pare.
Rispetto all'approccio di Maurizio, forse ha il vantaggio
di fissare inizialmente 5 valori e non 7, mentre gli altri
2 valori "liberi" (le suddivisioni di D+N e B+M) vengono stabiliti
piu' avanti quando le considerazioni sulla interezza di R e
di (D+N) e (B+M) hanno gia' eliminato moltissime delle cinquine
iniziali.
Purtroppo il programma e' fatto con Mathematica, necessitando
anche sulla risoluzione di equazioni nella sua forma attuale,
e non e' quindi particolarmente veloce.
Disgraziatamente c'e' sicuramente qualche baco nel programma
(che non so quando avro' il tempo di correggere) perche'
non trova varie soluzioni, ma il metodo in se' mi sembra
corretto e non e' difficile stabilire dei limiti sulle
lunghezze degli archi in modo da essere poi sicuri di trovare
la soluzione minima. Se ho qualche novita' vi faccio sapere.
Comunque un problema interessante.
ciao,
g.

 Maurizio Frigeni wrote...
Intanto vi ho fatto il monumento con il Meccano:
http://www.geocities.com/liviozuc/meccano/stella102.jpg
... anzi con 
www.vitualmec.com
 che è un bel programma.
Ciao!!!  :o)
Livio

 ... anzi conwww.vitualmec.comche è un bel programma.
ops
www.virtualmec.com

 ... anzi con 
www.vitualmec.com
 che è un bel programma.
Ganzerrimo !
g.

 la soluzione minima.
Come li metti i limiti? Io ci ho pensato un po', ma mi uscivano sempre
numeri troppo grossi.
Maurizio

 numeri troppo grossi.
Grossi, ma non troppo grossi.
Supponiamo di voler cercare stelle di perimetro <= 102,
e consideriamo i 5 triangoli (le punte) che
la compongono.
Ce ne deve essere almeno una di perimetro minore o uguale a
20, perche' se avessero tutte perimetro maggiore uguale a 21,
il perimetro totale della stella sarebbe maggiore o uguale a 105.
Di punte di perimetro minore uguale a 20, considerando che
possiamo assumere che un certo lato, poniamo il sx, sia
maggiore o uguale al dx, ce ne sono 165.
Per ognuna di queste punte, diciamo di perimetro p,
dobbiamo fissare gli altri due lati x y della cinquina.
Di sicuro deve essere x+y+p+10 <= 102 dove il 10 tiene
conto dei 10 segmenti non ancora assegnati e che come
minimo sono lunghi 1.
Sommando il numero di coppie (x,y) possibili per ciascuna
delle 165 punte mi vengono circa 480000 cinquine da testare.
Sono tante ma non tantissime, e in una ventina di secondi
si possono ridurre a meno di 8000, scartando quelle che
rendono il sesto segmento (funzione dei primi 5) non intero.
(Spero almeno la formula del sesto segmento di averla imbroccata,
mi viene una cosa tipo Sqrt[d^2+e^2-(a^2+b^2-c^2)d e /(a b)]).
A questo punto le circa 8000 configurazioni richiedono
un po' piu' di lavoro, ma secondo me la cosa e' fattibile,
anche perche' via via che determiniamo dei segmenti,
il perimetro "parziale" cresce e quindi puo' capitare che
riduca i casi in cui si va avanti.
Ciao,
g.

 segmento in tre parti intere pure loro. Vi chiedo:
Ho riscritto il mio programmino.
Ora i risultati dovrebbero essere giusti.
Confermo che il perimetro minimo possibile e' 102,
gia' immortalato da Livio col meccano virtuale.
Le stelle con perimetri minimi successive hanno perimetri
105, 117, 124, 126, e 130.
Quella da 124 e' simpatica perche' la "punta" piu' piccola
e' un triangolo equilatero di lato 4.
ciao,
g.

 e' un triangolo equilatero di lato 4.
Finché siamo freschi, mi daresti i dettagli? Le "immortalerei" in una
paginetta web.
Tra 130 e 144 non c'è nulla?
La 144 è la più piccola con terne pitagoriche?
Ciao e complimenti!!!  :o)
Livio

 Tra 130 e 144 non c'è nulla?
Ecco i risultati completi fino a lunghezza totale <= 200
(circa un'ora e 10 di calcolo).
Ogni tripla rappresenta i lati di un triangolo-punta.
Le punte sono listate in senso orario. In ogni tripla il primo
numero e' la base (fa parte del pentagono interno) e gli altri due sono
nell'ordine il lato di sx e quello di dx rispetto alla base.
Da notare che per 132, 180 e 189 ci sono due stelle diverse,
e che la soluzione per 163 e' la piu' piccola nella quale
le punte sono tutte diverse.
=========================================================================
102 : {{1, 2, 2}, {6, 7, 8}, {6, 8, 7}, {1, 2, 2}, {10, 20, 20}}
105 : {{4, 6, 5}, {5, 20, 20}, {4, 5, 6}, {4, 6, 5}, {4, 5, 6}}
117 : {{3, 6, 6}, {9, 18, 18}, {3, 6, 6}, {6, 7, 8}, {6, 8, 7}}
124 : {{4, 4, 4}, {5, 8, 7}, {5, 7, 8}, {6, 16, 14}, {6, 14, 16}}
126 : {{4, 6, 5}, {4, 5, 6}, {8, 12, 10}, {4, 16, 16}, {8, 10, 12}}
130 : {{4, 7, 7}, {7, 8, 9}, {6, 14, 12}, {6, 12, 14}, {7, 9, 8}}
132 : {{6, 8, 7}, {5, 10, 10}, {8, 16, 16}, {5, 10, 10}, {6, 7, 8}
132 : {{7, 8, 5}, {4, 14, 14}, {7, 5, 8}, {6, 14, 10}, {6, 10, 14}}
144 : {{5, 6, 5}, {7, 25, 24}, {6, 8, 10}, {6, 10, 8}, {6, 8, 10}}
147 : {{6, 8, 7}, {7, 14, 14}, {7, 14, 14}, {7, 14, 14}, {6, 7, 8}}
155 : {{8, 7, 6}, {5, 16, 14}, {10, 15, 20}, {6, 12, 9}, {6, 9, 12}}
156 : {{2, 7, 7}, {14, 10, 16}, {6, 14, 10}, {6, 10, 14}, {14, 16, 10}}
162 : {{6, 8, 7}, {9, 18, 18}, {6, 12, 12}, {9, 18, 18}, {6, 7, 8}}
163 : {{4, 8, 8}, {12, 14, 16}, {5, 16, 14}, {10, 15, 20}, {7, 8, 6}}
168 : {{2, 4, 4}, {14, 28, 28}, {5, 10, 10}, {6, 7, 8}, {12, 16, 14}}
169 : {{4, 9, 8}, {12, 24, 27}, {6, 10, 9}, {6, 9, 10}, {11, 12, 12}}
170 : {{3, 7, 6}, {12, 24, 28}, {7, 9, 8}, {4, 7, 7}, {14, 16, 18}}
176 : {{6, 8, 6}, {8, 36, 36}, {6, 6, 8}, {7, 12, 9}, {7, 9, 12}}
177 : {{6, 8, 7}, {11, 22, 22}, {5, 10, 10}, {11, 22, 22}, {6, 7, 8}}
180 : {{3, 7, 6}, {9, 7, 12}, {9, 12, 7}, {5, 27, 28}, {14, 16, 18}}
180 : {{7, 9, 8}, {8, 14, 14}, {7, 8, 9}, {9, 21, 18}, {9, 18, 21}}
183 : {{4, 8, 8}, {13, 26, 26}, {7, 14, 14}, {6, 7, 8}, {12, 16, 14}}
184 : {{6, 9, 5}, {7, 30, 33}, {11, 9, 10}, {4, 11, 9}, {12, 10, 18}}
185 : {{2, 4, 3}, {12, 18, 24}, {10, 20, 15}, {5, 14, 16}, {16, 12, 14}}
189 : {{1, 4, 4}, {20, 25, 30}, {4, 6, 5}, {4, 5, 6}, {20, 30, 25}}
189 : {{4, 6, 5}, {11, 44, 44}, {4, 5, 6}, {8, 12, 10}, {8, 10, 12}}
190 : {{4, 8, 6}, {10, 28, 32}, {8, 6, 7}, {4, 8, 6}, {14, 21, 28}}
192 : {{4, 8, 8}, {13, 26, 26}, {6, 7, 8}, {6, 8, 7}, {13, 26, 26}}
198 : {{6, 8, 7}, {9, 18, 18}, {12, 24, 24}, {6, 12, 12}, {12, 14, 16}}
200 : {{2, 4, 3}, {12, 18, 24}, {8, 7, 6}, {5, 16, 14}, {18, 27, 36}}
=========================================================================
ciao,
g.

 ...
Grassie!!!  :o)
Livio

 
wrote:
Ah, dimenticavo, OEIS ti aspetta con la sequenza
102, 105, 117, 124, 126, 130, 132, 144, ...
Ciao!!!  :o)
Livio

Che nickname ha costui? wrote:

Prima o poi la invio...
posso mettere un link alla tua pagina con la figura ?
ah, dovrei anche aver trovato la stella piu'
piccola (la verifica completa prendera' ancora
molto tempo, ma penso sia questa) con i 15 segmenti
interi tutti diversi.
Nel formalismo gia' adottato dovrebbe essere questa
{26, 52, 39}, {5, 14, 16}, {40, 30, 35}, {2, 4, 3}, {22, 33, 44}
con perimetro totale 365.
Ho notato che nel caso di stelle a 6 e a 8 punte
e' facile ottenerne di intere in cui i segmenti
non sono tutti uguali ma i lati si.
(sovrapponendo due triagoli equilateri o due quadrati
uguali e con lo stesso centro, ma ruotati opportunamente.
Il vincolo sul fatto che i segmenti non siano tutti uguali
e' solo per escludere la stella esagonale banale composta da tutti triangoli
equilateri...)
Mi stavo chiedendo se per le stelle a 5 punte cio' e' possibile
oppure se il vincolo di uguaglianza tra i lati riduce
troppo le configurazioni possibili.
Io non riesco a raffigurarmelo mentalmente (sono negato)
ma tu che giochi col meccano dovresti rispondere
facilmente: se deformo rigidamente una stella a 5 punte
con i lati uguali posso ottenere una stella un po' sghemba oppure
ottengo sempre e solo stelle pentagonali "regolari"
cioe' con un pentagono regolare al centro ?
ciao,
g.

 cioe' con un pentagono regolare al centro ?
Se ho capito bene, ti stai riferendo ad una stella a 5 punte 
equilatera
con i soli vincoli di cerniere sulle punte, come questa qua fatta con 
il
VirtualMec:
http://www.geocities.com/liviozuc/meccano/stellaflex.jpg
Una stella siffatta ha 2 gradi di libertà: se tieni fermi due lati 
consecutivi
e ne muovi un terzo, i restanti due si muovono di conseguenza, 
ottenendo
una famiglia di stelle. Ora se muovi di uno step il secondo lato, 
puoi
ottenere un'altra famiglia di stelle, e così via. Non ho quindi 
elementi per
escludere che possa esistere una stella equilatera intera.
Ciao!!!  :o)
Livio
Sto finalmente leggendo "Il Codice Da Vinci" (ho aspettato l'edizione
economica :o)). La vittima traccia con il proprio sangue un 
*pentacolo*
(così chiamano la stella a cinque punte) attorno al proprio ombelico.
Nella storia, da Pitagora alle Brigate Rosse, la stella a 5 punte è un 
forte
simbolo. La scuola pitagorica era esoterica, non è detto che non 
conoscessero
qualche stella intera, ma non lo sapremo mai. Cmq sarà interessante se
riusciremo a dire qualche cosa di inedito. Venere traccia una stella a 
5 punte
in cielo ogni 8 anni e questo era il periodo delle Olimpiadi antiche, 
poi
dimezzato in quelle moderne, che avrebbero dovuto mantenere la stella
come simbolo, poi tramutato nei cinque cerchi...
Il pentacolo è ricco di phi, il divino rapporto aureo. Chissà se lo 
sono anche
le stelle intere, come media, come tendenza, non so...