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Titolo: 9 cerchi, 6 varianti

Per chi voglia continuare a cimentarsi sul tema gia' trattato dei 9 cerchi,
propongo non una ma ben 6 (diconsi sei) varianti:
Siano dati 9 cerchi di raggio R, con i centri disposti secondo una maglia
quadrata di lato L, (per semplicita' consideriamo L=1 metro)
o  o  o
o  o  o
o  o  o
per intenderci numeriamo i cerchi nel modo seguente
1 2 3
4 5 6
7 8 9
Caso A)
si vogliono unire i cerchi con una linea (spezzata con qualsiasi numero di
segmenti) che tocchi ciascuna circonferenza in almeno un punto.
Caso B)
si vogliono unire i cerchi con un grafo (linee con possibili diramazioni,
per esempio a forma di X, Y, H ecc, ma comunque connesse tra loro) che
tocchi ciascuna circonferenza in almeno un punto.
A1 e B1: cerchi tangenti tra loro (R=0.5 )
A2 e B2: cerchi generici (0<R<0.5)
A3 e B3: cerchi ridotti a un punto (R=0)
Come devono essere le tre linee e i tre grafi perche' le lunghezze siano le
minime possibili?
buon divertimento
paolo

Allora, per quanto riguarda A3 e B3, non sono riuscito a trovare una
soluzione migliore di 8 (cioe' quelle piu' banali); per i problemi A1
e B1 non ho trovato una soluzione migliore da quella trovata in
precedenza con 3 segmenti (in realta' non e' che ci abbia riflettuto
moltissimo, ma credo proprio che non ce ne siano). 
A2 e B2 devo dire che sono parecchio complessi e devo ragionarci un
po'.
ciao Domenico

po'.
anch'io
ciao
paolo

richiama una croce uncinata)
Per A3 ho trovato il valore 3.90632, ma non so se si puo' fare meglio
(devo ammettere pero' che la mia soluz. non presenta alcuna simmetria)
Adesso torno a ragionarci un po'.
ciao
Domenico

(devo ammettere pero' che la mia soluz. non presenta alcuna simmetria)
Si puo' fare meglio.....ho trovato 3.06 per A3.
ciao

Super errata corrige!!!!!!!!!
Scusa, ma ieri ho postato questo valore abbastanza tardi e (a parte
l'assurdita' del medesimo) non mi sono accorto che nel conteggio avevo
tralasciata due segmenti. 
Il valore reale e' circa 3.8238 ed ecco come l'ho trovato:
si consideri un primo segmento di lunghezza 0.356536 giacente sulla
diagonale che congiunge i centri dei cerchi 7 e 3 e che ha l'estremo
piu' basso che tocca il cerchio 7 e si consideri un secondo segmento
analogo che tocca pero' il cerchio 1. Ora si prenda un segmento 3 con
un estremo comune al segmento 1 (quello libero) e con l'altro
individuato dalla intersezione tra la retta passante per questo
estremo e il centro del cerchio 9 col cerchio 9 stesso (a conti fatti
la lung. di questo seg. sara' 1.020). Si consideri ora il seg. 4 che
congiunge l'estremo libero del seg. 2 con 2-5 (lunghezza:0.408) e poi
i seg. 5 e 6 congiungenti rispettivamente l'estremo comune tra i seg.
1 e 3 con 4-5 e quello comune tra seg. 2 e seg. 4 con 4-5 (hanno
entrambi lunghezza 0.408). Infine considero un segmento 7 con un
estremo su 2-5 e l'altro, in direzione orizzontale rispetto a questo,
verso 3-6, di lunghezza 0.7113 e due segmentini con un estremo comune
con l'estremo libero del seg. 7 e diretti perpendicolarmente verso i
cerchi 4 e 6, di lunghezza 0.07733 (quanto basta per toccare i cerchi
4 e 6).
La lunghezza totale dovrebbe essere appunto 3.8238 (ieri sera nella
somma avevo dimenticato di includere i seg. 1 e 5, sorry!).
ciao, fammi sapere
Domenico

La lunghezza totale dovrebbe essere appunto 3.8238
Ancora ottimo!
La mia soluzione dava una lunghezza un po' maggiore
(ma piu' breve da descrivere :-))
Primo segmento: dal centro di 5 ad un punto della circonferenza  2
individuato come estremita' del raggio a 45 gradi a sinistra e verso il
basso.
Secondo segmento: dall'estremo del primo, perpendicolarmente verso il
cerchio 1.
Sempre partendo dal centro di 5, ripeto il tutto altre tre volte,
verso i cerchi 4 e 7; 8 e 9; 6 e 3.
Lunghezza totale: 3.8944
P.S.
Nel messaggio precedente avevo fatto un po' di confusione con le sigle:
stiamo parlando di B1, non di A3.
Per B3 avevo trovato lo stesso tuo risultato 7.65685 =2+4*sqrt(2).
Per le altre varianti non ho ancora avuto tempo di approfondire.
ciao
paolo

Devo ammettere che trovare le soluzioni per A2 e B2 non e' molto
semplice, anche perche' non c'e' una vera e propria soluzione che vada
bene in assoluto; infatti ho visto  che per cerchi molto piccoli la
soluzione e' praticamente uguale (a parte qualche piccola
puntualizzazione) a quella trovata per cerchi ridotti a un punto (A3 e
B3), mentre per cerchi che si avvicinano allo 0.5 di raggio la
soluzione e' praticamente uguale a quella trovata per A1 e B1.
Bisognerebbe piu' che altro scoprire se ci sono passaggi intermedi tra
le due soluzioni (ma potrebbero essercene anche infiniti.... :( spero
di no) oppure c'e' (ma mi sembrerebbe strano) un passaggio brusco (e
in questo caso basterebbe trovare il valore di R in cui avviene tale
passaggio).
P.S. e se invece di 9 cerchi fossero 27 sfere?.....ok, ok non mi
linciare, ritiro quello che ho detto.