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Titolo: dadi d'annata

Giusto una decina d'anni fa qui su ihe Giovanni Rana proponeva:
Si lancia un dado finchè non esce 5 ed un altro dado finchè non esce
3.
Sia X il numero di tiri del primo dado ed Y il numero di tiri del
secondo dado, determinare:
1)P(X<Y);
2)P(X>Y);
3)P(X=Y);
Livio lo attacco' col suo solito "For i = 1 To 10000", altri proposero
soluzioni algebriche.
Questi problemi dalla semplice formulazione mi intrigano, si sa:
soprattutto mi piace trovare soluzioni semplici e con pochissimi
conti.
Questo è uno di quelli: con due conti e un paio di minuti si risolve.
--
Ciao, Silv:o)

 3)P(X=Y);
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Per simmetria si ha P(X<Y) = P(X>Y), inoltre per la
condizione di normalizzazione si ha
P(X<Y ) = (1 - P(X=Y)) / 2, calcoliamo quindi P(X=Y):
la probabilita' che all'n-esimo lancio (n >= 0) non siano ancora
usciti ne' X ne' Y e':
P1(n) = (5/6)^(2n)
allora la probabilita' che X e Y escano contemporaneamente
al lancio (n+1)-esimo e':
P2(n) = P1(n) * 1/36 = (5/6)^(2n) / 36,
la probabilita' P(X=Y) e' quindi:
P(X=Y) = Sum[P2(n), {n, 0, oo}] = 1/11
(il risultato si ottiene sommando la serie geometrica di
ragione (5/6)^2), e infine P(X<Y) = 5/11.
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 

 wrote in message 
news:24211c6c-48b8-433b...@y17g2000yqd.googlegroups.com...

Al posto del 3 e del 5 consideriamo l'1 e l'1 (è la stessa cosa) e lanciamo 
i dadi contemporaneamente (è ancora la stessa cosa). Tra tutti gli esiti 
possibili ed equiprobabili, quelli che interessano a noi sono gli 11 in cui 
compare almeno un 1 e cioè:
6-1
5-1
4-1
3-1
2-1
1-1
1-2
1-3
1-4
1-5
1-6
L'originale P(X<Y) diventa la probabilità che l'1 sia nel solo dado di 
sinistra (5/11), la P(X>Y) solo in quello di destra (5/11) e la P(X=Y) 
coincide con la probabilità che entrambi i dadi valgano 1 (1/11).
Ciao!
Giorgio
 

 Giusto una decina d'anni fa qui su ihe Giovanni Rana...
No, ma non era mica lui!
[qui la voce deve essere modulata un po' come quella di Gene Gnocchi]
E' venuto da me a cena l'altra sera, portando il solito pacchettino di
ravioli col ripieno di kiwi e fragola, e me l'ha detto tondo tondo:
"Non ero mica io! Dev'essere lo stesso impostore che sta cercando di
vendere i tortellini col ripieno di carne. Roba da matti!".
Ciao a tutti.  :o)
Livio

 ragione (5/6)^2), e infine P(X<Y) = 5/11.
Non che non apprezzi la versatilità che l'apparato formale che hai 
utilizzato comporta: soluzioni standard valide per una vasta classe di 
problemi legati alle prove ripetute. Pero' quello che cercavo - l'avevo 
specificato - era un approccio piu' rapido e meno formale.
E' proprio dopo aver letto questa soluzione porposta anche a suo tempo, che 
mi è venuta voglia di cercare una soluzione breve e di invitarvi a provare.
-- 
Silv:o) 

 coincide con la probabilità che entrambi i dadi valgano 1 (1/11).
Ottimo. Anch'io ho immaginato subito i dadi lanciati assieme, e poi li ho 
mentalmente sostituiti cin tessere di domino (senza zeri) estratte da un 
urna con reimbussolamento. A parte la 3-5, cinque hanno un 3 e cinque un 5. 
Le altre non contano ai fini del gioco: cambiano solo i tempi di durata 
della partita, non certo le percentuali di vittoria, per cui le togliamo 
proprio e buonanotte.
-- 
Ciao, Silv:o)


... niente, ho preferito - a sensazione - la simmetria che derivava dal 
considerare i due 1. Poi mi viene sempre spontaneo riformulare i termini di 
un problema quando vedo che sono puramente arbitrari e sostituibili con 
qualcosa di più comodo (almeno per me! :-) ).
Ciao Silvio!
Giorgio