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Titolo: Cubi

Cerco un cubo >1 tale che la somma di tutti i suoi divisori sia a sua volta 
un cubo.

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Così di botto mi pare che
1- Considenrando che tra i divisori del cubo c'è il cubo stesso (ogni numero
è divisore di sé stesso), credo non esista un cubo simile (dovrei fare due
conti ma occhio mi pare non esista)
2- Se tra i divisori escludiamo il cubo mi viene in mente 49: i suoi
divisori sono 7 e 1 e la loro somma da 8. Tuttavia ha poco senso escludere
49 ed ammettere 1 visto che 49 diviso 1 fa proprio 49.
Jameson
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 Jameson
Azzo dico???
Scusa perdonami è mattina presto... 49 è un quadrato non un cubo...
Sorry



non credo esista. i divisori del cubo sono le potenze del numero stesso
minori del cubo. ma supponiamo n grande. sappiamo che n^3>n^2 e prendendo
n+1 ottengo che (n+1)^3=n^3+3*n^2+3*n+1>n^2+2*n+1=(n+1)^2; quindi avrò
n^3+2*n^2+n>0. e la funzione n*(n^2+2*n+1) è sempre crescente, quindi è
sempre maggiore di zero. questo significa che se n cresce il divario tra n^2
e n^3 cresce. e quindi sarà sempre meno colmabile. prendiamo n=3 abbiamo
n^3=27 ma 27 != 9+3+1. quindi n=3 è già troppo grande. infatti se prendo n>3
la differenza tra n^3 e n^2 non è colmabile da n e 1. resta da provare solo
n=2. 2^3 = 8 != 4+2+1.

 non credo esista.
Ci deve essere qualcosa di inesatto nel tuo ragionamenrto, perche' questi 
numeri in effetti esistono. Devo ammettere che il problema e' piuttosto 
cattivello. Metto qui sotto il piu' piccolo.
S
P
O
I
L
E
R
 
3^9*7^3*11^3*13^3*17^3*41^3*43^3*47^3*443^3*499^3*3583^3=
27418521963671501273905190135082692041730405303870249023209
Difatti la somma dei suoi divisori e' = 
65400948817364742403487616930512213536407552 che e' il cubo di 
40289760243532800000 come puoi verificare facilmente con Ubasic.
ciao dario

 65400948817364742403487616930512213536407552
Non mi torna. Tra i divisori del numero che hai dato c'e' anche 
9139507321223833757968396711694230680576801767956749674403, che e' 
maggiore di quello che dovrebbe essere la somma.
Nicola Salmoria

 e' il cubo di 40289760243532800000
altrimenti come fa notare Nicola le cose non quadrano ;)
comunque, se la soluzione minima č questa, mi pare fuori portata. I
divisori di quel mostro sono dieci milioni di numeri alcuni dei quali
hanno piů di quaranta cifre.
Ciao, Silv:o)

 hanno più di quaranta cifre.
Se questa e' la soluzione minima, non mi sembra fuori portata.
Avevo pensato ad un metodo di ricerca che l'avrebbe trovata
velocemente, se avessi avuto il tempo di implementarlo.
Interessa ?
ciao,
giovanni.

 cattivello. Metto qui sotto il piu' piccolo.
penso che l'errore sia nel considerare n=3 come esempio del fatto che la
differenza sia incolmabile. E' vero che con l'aumentare di n cresce il gap
tra due cubi successivi ma e' anche vero che cresce il numero dei divisori e
quindi ci sono piu' probabilita' di *raggiungere* un cubo successivo.
Notiamo che questo e' tanto piu vero quanti piu' divisori possiede n, se n
e' primo il gap sara' incolmabile ma se n e' prodotto di molti fattori n^3
avra' una moltitudine di divisori come si vede, per esempio, dalla soluzione
data da Dario.
Ciao a tutti,
GaS

 Interessa ?
Altroche!
Ho recuperato da un cd di backup il vecchio Ubasic, magari ci provo pure io.
Ciao, Silv:o)

 data da Dario.
il ragionamento è giosto, ma vale solo per i numeri primi. io infatti fra i
divisori considero solo n^2, n e 1!

Silvio Sergio wrote:
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Difatti fra i programmi gia' confezionati allegati ad  Ubasic c'e' una 
routine che restituisce i  fattori primi e la somma di tutti i divisori, 
che ho utilizzato per verificare l'esattezza della soluzione,
con numeri di quella dimensione, la risposta e' immediata. Chiedo scusa se 
ho dimenticato i 15 zeri come notato da Nicole e Silvio.
Rubin, l'autore del problema, da' una serie di stratagemmi per potare l'albero dei tentativi.
Probabilmente Giovanni ha ripercorso la stessa strada.
ciao
 
 
 
 

Non conosco il metodo utilizzato per trovare la soluzione, ne'
ho letto nulla a proposito di questo problema o di altri
che coinvolgono divisori etc.etc., quindi il mio
approccio e' abbastanza naif.
La prima cosa che ho notato e' che non c'era una soluzione
"piccola" : ho provato con Mathematica i numeri fino a
(10^6)^3 senza successo.
Allora ho pensato di "costruire" i numeri, in questo modo.
Supponiamo che il mio numero n sia il prodotto di due
fattori primi  n=pq. Allora si vede facilmente che
la somma dei divisori di n^3 e'  (p+1)(p^2+1)(q+1)(q^2+1),
cioe' i contributi sono separabili.
Se invece n e' pqr allora devo aggiungere anche
un fattore (r+1)(r^2+1) e cosi' via.
Analogamente, un fattore primo elevato al quadrato (p^2) contribuisceper
un fattore (1+p+p^2+p^3+p^4+p^5+p^6) mentre un fattore primo elevato
al cubo (p^3) contribuisce per un fattore
(1+p)(1+p+p^2+p^3+p^4)(1-p+p^2-p^3+p^4) alla somma dei divisori di n^3
Allora avrei fatto cosi':
avrei fissato un tetto massimo M (diciamo 200 o 1000) per il massimo numero
primo in gioco.
Avrei definito
F1(p)=(p+1)(p^2+1)
F2(p)=(1+p+p^2+p^3+p^4+p^5+p^6)
F3(p)=(1+p)(1+p+p^2+p^3+p^4)(1-p+p^2-p^3+p^4)
A questo punto, se F1(x)F2(y)F2(z)F3(w) e' un cubo, allora
la somma dei divisori di (x * y^2 * z^2 * w^3)^3 e' un cubo.
Mi sarei fatto una bella tabellina delle fattorizzazioni dei numeri 
F1(p), F2(p) e F3(p) per p numero primo, diciamo da 2 a p<100000,
scegliendo solo quei p primi tali che F1 o F2 o F3 abbiano SOLO
fattori primi minori di M (e sono pochi, perche' F1,F2,F3 tendono
a essere numeracci...)
Questo passo costa poco perche' non devo veramente fattorizzare i
numeri che sarebbero anche enormi,
ma mi basta dividerli ripetutamente per i numeri
primi minori di M e se rimane un residuo maggiore di M li scarto subito.
A questo punto ho una lista degli ingredienti che posso usare
per costruire il mio numero.
Avro' cioe' una lista di numeri primi e loro potenze seconde e
terze che posso usare per costruire il mio numero: ne devo
mettere insieme abbastanza per poter ottenere un numero che sia
un cubo, ovvero un numero in cui tutti i fattori primi compaiono
con una potenza multipla di 3. Naturalmente a questo punto mi
sono gia' dimenticato di fattorizzazioni etcetc. Siccome dei numeri 
della mia lista so gia' i fattori, magari li riduco al vettore degli 
esponenti delle fattorizzazioni.
Facendo un po' di backtracking, trovare una combinazione giusta non 
dovrebbe essere troppo faticoso:
se assumo che il mio numero sia un multiplo di (ad esempio) 2^3,
allora siccome F3(2)=3*11*31, allora so che devo "completarlo" con
un insieme di fattori che (con esponenti modulo 3) contengano almeno
3^2*11^2*31^2 e cosi' via, e nel contempo posso scartare come possibili 
fattori 2 e 2^2. I fattori primi grossi sono radi e possono
sicuramente servire a sfoltire l'albero di ricerca.
Per la soluzione citata da Uri,
n=(3^3*7*11*13*17*41*43*47*443*499*3583)
direi che il massimo numero primo in gioco (c'e' solo un F3(3)=2^2*11*61 
e gli altri sono dei F1(..) ) e' 157, quindi con M=200 l'avrei trovata.
Ad esempio vale
F1(3583)=2^10*5*7*13*17*37*157 e anche F1(499) e F1(443) hanno 157 come
massimo divisore primo.
Spero di essermi spiegato abbastanza.
Ciao,
Giovanni.