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Titolo: Monete truccate

Abbiamo una moneta truccata con probabilità p
di mostrare testa, qual è la probabilità che lanciandola
più e più volte, prima o poi il numero di teste eguagli il numero di croci
uscite?
E il numero medio di lanci necessari perché questo avvenga?
Ciao
Andrea

"Andrea Artesiani" <overma...@LEVAMIlibero.it> ha scritto nel messaggio
news:01c09792$959715e0$LocalHost@default...

Ok,ci provo io:
R
E
S
P
O
N
S
U
M
Se il prima è il caso 2 ed il poi l'infinito,allora la probabilità è 1 ( si
sommano i casi  2*ck/p^k(1-p)^k dove ck è un numero di Catalan).
La media invece è  4p(1-p)/sqrt{1-4p(1-p)}.
Sarà così?Boh!?

 Sarà così?Boh!?
Anche qui: per p->0 o 1 il numero di turni diverge, a te viene 0.
Ciao
Andrea

 Andrea
Scusa,hai ragione il caso 1 mi viene nell'eventualità che p=1/2.Il caso
generale però mi viene :1-sqrt[1-4p(1-p)].
Per quanto riguarda la media ho sempre lo stesso risultato,anche perché
credo che se p=o oppure p=1 non sarebbe più giusto pensare una media
nulla,cioè 0 teste e 0 croci,piuttosto che ammettere l'esistenza di un tempo
seppure remoto in cui l'evento si verifichi nonostante ciò sia impossibile
?Dov'è che sbaglio?Rivelami l'arcano.

 ?Dov'è che sbaglio?Rivelami l'arcano.
Io intendevo: per p->0+ o p->1- il grafico della prob. ha due asintoti
verticali. Ad es. per p=0.001 il numero di turni necessari sarà enorme,
chiaro che se p vale esattamente 0 o 1 la funzione non è definita
(ci vuole un numero "infinito" di lanci, nel senso che essendo impossibile
eguagliare teste e croci, non esiste alcun valore finito
entro il quale fermarsi). Notare la stranezza: per p=1/2 c'è una prob.=1
di terminare il gioco, ma il numero di turni è infinito! (C'è un as. vert.
anche in 1/2). Allontanandoci leggermente da 1/2 è sempre più difficile
finire (la prob. cala), ma mediamente ci vogliono meno lanci (ci si
allontana dall'asintoto)!
Perché non provi a esporre i tuoi ragionamenti, invece del solo risultato,
se no non c'è gusto! Vorrei vedere come hai trovato la formula della prob.
(parlavi di numeri di Catalan, che io non ho usato) e quella del numero di
lanci.
Adesso che ci penso forse conviene distinguere i due tipi di infiniti: se
un evento è possibile ma la media di turni è infinita (per p=1/2) rispetto
a quando p=0,1 per cui è impossibile avere teste=croci. In quest'ultimo
caso io consideravo ugualmente infinito il numero di turni, visto che non
ci si ferma mai, ma forse non è opportuno...
Ad es. supponiamo di partire con una testa già fatta:
se la prob. di fare croce è nulla, quanti turni servono
per avere T=C?
1)Infiniti perché non si smette più di lanciare
2) -1, visto che la diff. T-C al lancio n vale n+1
Nel caso 2, avresti ragione a dire che per p=0,1
la media è 0: non bisogna tirare mai per avere T=C.
Quale dei due metodi è più corretto? Discutiamone.
Ciao
Andrea

 Andrea
Per correttezza ti scrivo il mio ragionamento anche se non sono un
probabilista e quindi non so ciò che scrivo!Non sono cosciente.I numeri di
Catalan ck mi forniscono tutte le soluzioni dell'equazione X1+X2+...+X2n-2=0
tali che X1, X1+X2,
X1+X2+X3,...,X1+..+X2n-2 sono sempre non negative e quindi rappresentano il
numero di soluzioni di X1+..+X2n=0 tali che le somme parziali di prima sono
sempre positive.Stesso discorso per quelle sempre negative.Quindi la
probabilità che in 2n si verifichi l'evento da noi voluto è 2cn/p^n(1-p)^n
dove cn=bin(2n-2,n-1)/n .La somma di tutti questi contributi 2,4,6....
mi fornisce il risultato (la tecnica utilizzata è quella delle funzioni
generatrici,che altro non sono che sviluppi in serie di McLaurin: nel caso
dei numeri nostri si ha 1-sqrt[1-4p(1-p)z^2], poni z=1 e ottieni il
risultato).I miei dubbi sono sulla media .Infatti per calcolarla
basterebbe,in teoria, fare la derivata prima in z della funzione generatrice
e porre z=1;ora questo è lecito per successioni di eventi che non sono
distribuzioni?Cioè, la media si calcola così: Sum( pk*xk) ,dove pk è la
probabilità dell'evento k-esimo e xk è il valore k-esimo del numero
aleatorio,ma deve essere necessariamente Sum(pk)=1??Oppure può anche essere
<>0??Non lo so e quindi non so se ciò che ho scritto sia corretto o meno.
Con rispetto Onoff.

 Con rispetto Onoff.
Ho controllato con un programmino e sembra corretta la tua soluzione,
che equivale a: sum p(2k)*2k.
Anche se la media dovrebbe essere: sum pk*xk /sum pk , se sum pk<>1.
Mi viene un dubbio, devo pensarci...
(oltretutto io avevo ragionato in un altro modo, senza le serie)
Ciao
Andrea

 Anche se la media dovrebbe essere: sum pk*xk /sum pk , se >sum pk<>1.
Come ogni media pesata, bisogna dividere per la somma dei pesi.
Ciao
Andrea