Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: [MA]L'AntiPythagoras

Teorema di AntiPythagoras:
Ogni numero intero maggiore di 2 puo' essere
espresso come la radice quadrata della differenza 
di due quadrati di interi.
Oh come mi sono divertito, oh come mi sono divertito!
Ciao neh!   :o))
Livio Zucca
--------------------------------
 3 = SQR( 5^2 - 4^2)
 4 = SQR( 5^2 - 3^2)
 5 = SQR( 13^2 - 12^2)
 6 = SQR( 10^2 - 8^2)
 7 = SQR( 25^2 - 24^2)
 8 = SQR( 10^2 - 6^2)
 9 = SQR( 15^2 - 12^2)
 10 = SQR( 26^2 - 24^2)
 11 = SQR( 61^2 - 60^2)
 12 = SQR( 13^2 - 5^2)
 13 = SQR( 85^2 - 84^2)
 14 = SQR( 50^2 - 48^2)
 15 = SQR( 17^2 - 8^2)
 16 = SQR( 20^2 - 12^2)
 17 = SQR( 145^2 - 144^2)
 18 = SQR( 30^2 - 24^2)
 19 = SQR( 181^2 - 180^2)
 20 = SQR( 25^2 - 15^2)
 21 = SQR( 29^2 - 20^2)
 22 = SQR( 122^2 - 120^2)
 23 = SQR( 265^2 - 264^2)
 24 = SQR( 25^2 - 7^2)
 25 = SQR( 65^2 - 60^2)
 26 = SQR( 170^2 - 168^2)
 27 = SQR( 45^2 - 36^2)
 28 = SQR( 35^2 - 21^2)
 29 = SQR( 421^2 - 420^2)
 30 = SQR( 34^2 - 16^2)
 31 = SQR( 481^2 - 480^2)
 32 = SQR( 40^2 - 24^2)
 33 = SQR( 55^2 - 44^2)
 34 = SQR( 290^2 - 288^2)
 35 = SQR( 37^2 - 12^2)
 36 = SQR( 39^2 - 15^2)
 37 = SQR( 685^2 - 684^2)
 38 = SQR( 362^2 - 360^2)
 39 = SQR( 65^2 - 52^2)
 40 = SQR( 41^2 - 9^2)
 41 = SQR( 841^2 - 840^2)
 42 = SQR( 58^2 - 40^2)
 43 = SQR( 925^2 - 924^2)
 44 = SQR( 55^2 - 33^2)
 45 = SQR( 51^2 - 24^2)
 46 = SQR( 530^2 - 528^2)
 47 = SQR( 1105^2 - 1104^2)
 48 = SQR( 50^2 - 14^2)
 49 = SQR( 175^2 - 168^2)
 50 = SQR( 130^2 - 120^2)
 51 = SQR( 85^2 - 68^2)
 52 = SQR( 65^2 - 39^2)
 53 = SQR( 1405^2 - 1404^2)
 54 = SQR( 90^2 - 72^2)
 55 = SQR( 73^2 - 48^2)
 56 = SQR( 65^2 - 33^2)
 57 = SQR( 95^2 - 76^2)
 58 = SQR( 842^2 - 840^2)
 59 = SQR( 1741^2 - 1740^2)
 60 = SQR( 61^2 - 11^2)
 61 = SQR( 1861^2 - 1860^2)
 62 = SQR( 962^2 - 960^2)
 63 = SQR( 65^2 - 16^2)
 64 = SQR( 80^2 - 48^2)
 65 = SQR( 97^2 - 72^2)
 66 = SQR( 110^2 - 88^2)
 67 = SQR( 2245^2 - 2244^2)
 68 = SQR( 85^2 - 51^2)
 69 = SQR( 115^2 - 92^2)
 70 = SQR( 74^2 - 24^2)
 71 = SQR( 2521^2 - 2520^2)
 72 = SQR( 75^2 - 21^2)
 73 = SQR( 2665^2 - 2664^2)
 74 = SQR( 1370^2 - 1368^2)
 75 = SQR( 85^2 - 40^2)
 76 = SQR( 95^2 - 57^2)
 77 = SQR( 85^2 - 36^2)
 78 = SQR( 130^2 - 104^2)
 79 = SQR( 3121^2 - 3120^2)
 80 = SQR( 82^2 - 18^2)
 81 = SQR( 135^2 - 108^2)
 82 = SQR( 1682^2 - 1680^2)
 83 = SQR( 3445^2 - 3444^2)
 84 = SQR( 85^2 - 13^2)
 85 = SQR( 157^2 - 132^2)
 86 = SQR( 1850^2 - 1848^2)
 87 = SQR( 145^2 - 116^2)
 88 = SQR( 110^2 - 66^2)
 89 = SQR( 3961^2 - 3960^2)
 90 = SQR( 102^2 - 48^2)
 91 = SQR( 109^2 - 60^2)
 92 = SQR( 115^2 - 69^2)
 93 = SQR( 155^2 - 124^2)
 94 = SQR( 2210^2 - 2208^2)
 95 = SQR( 193^2 - 168^2)
 96 = SQR( 100^2 - 28^2)
 97 = SQR( 4705^2 - 4704^2)
 98 = SQR( 350^2 - 336^2)
 99 = SQR( 101^2 - 20^2)
 100 = SQR( 125^2 - 75^2)
-------------------------------------
P.S. Qualche cosa da obbiettare?
-- 
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 di due quadrati di interi.
[CUT]
Cosa vuol dire [MA] prima nell'oggetto del post?
Grazie
Un curioso Walker


Sì. Hai una dimostrazione o (cosa che è equivalente) un algoritmo per
calcolare i due interi a partire dal numero.
Altrimenti un matematico direbbe che non è un teorema, bensì una congettura.
In ogni caso complimenti per l'idea e l'impegno.
Ciao   (-%

 di due quadrati di interi.
Oh, in molti modi diversi. Quanti? Ecco quel che postņ Dario Uri assieme a
molte altre proprietą delle TP e TPP (Terne Pitagoriche e Terne
Pitagoriche Prime)
Lo riporto per intero, l'interese č assicurato. Ai punti 6, 7 e 8 c'č il
tuo teorema ed un metodo costruttivo.
************************ By Dario Uri *****************************
Terna pitagorica = (TP)
Terna pitagorica prima = (TPP)
Siano X,Y e Z i tre lati di un triangolo pitagorico primo (TPP).
Allora:
primo cateto     X = m^2-n^2
secondo cateto   Y = 2mn
ipotenusa        Z = m^2+n^2
m ed n sono interi scelti arbitrariamente e sono detti numeri
generatori.
Eccoti alcune relazioni utili:
--------------------------------------------------------------------
(1) Se m ed n sono numeri consecutivi allora anche Y e Z lo sono. es:
m   n   X   Y   Z
2   1   3   4   5
3   2   5  12  13
4   3   7  24  25
5   4   9  40  41 ... fig.1
---------------------------------------------------------------------
(2) Se prendiamo come generatori X e Y di fig.1, le ipotenuse saranno
rappresentate da quadrati. Solo un lato di un TP puo' essere un
quadrato. es:
 m    n    X    Y    Z
 4    3    7   24   25 =  5^2
12    5  119  120  169 = 13^2
24    7  527  336  625 = 25^2
40    9 1519  720 1681 = 41^2...
L'area di un TP non puo' essere un quadrato.
---------------------------------------------------------------------
(3) Se prendiamo come generatori Z e Y di fig.1 il lato piu' piccolo X
sara'
un quadrato:
 m    n    X    Y    Z
 5    4    9   40   41
13   12   25  312  313
25   24   49 1200 1201...
----------------------------------------------------------------------
(4) Se prendiamo come generatori i numeri triangolari 1,3,6,10,15 ecc.
il cateto X e' un cubo:
 m    n    X    Y    Z
 6    3   27   36   45
10    6   64  120  136
15   10  125  300  325...
-----------------------------------------------------------------------
(5) Se i 2 numeri m ed n hanno un fattore comune (FC), i numeri X,Y e Z
contengono le stesso fattore, d'altro canto se m ed n sono entrambi pari
o entrambi dispari, X Y Z hanno almeno il num.2 come FC. Se si desidera
escludere dal set XYZ numeri con FC, bisognera' scegliere m ed n uno
pari e l'altro dispari e senza FC. I TP generati con queste limitazioni
sono detti Triangoli Pitagorici Primi (TPP).
In un TPP un lato e' divisibile per 3 ed uno per 5.
-----------------------------------------------------------------------
(6) Trovare un TPP che contenga un dato lato N.
Se N e' dispari:
Risolvere N in due fattori qualunque, il fattore maggiore sara'= m+n, il
minore sara'= m-n. Risolvendo le due equazioni lineari simultanee si
ricavano m ed n. es:
N=35   m+n=7   m-n=5   m=6   n=1    TPP= 35, 12, 37
oppure m+n=35  m-n=1   m=18  n=17   TPP= 35,612,613
Se N e' pari:
Risolvere N = 2mn es:
N=12    mn=6    m=6   n=1   TPP= 35,12,37
        oppure  m=3   n=2   TPP=  5,12,13
------------------------------------------------------------------------
(7) Dato un numero, supponiamo 60 di quanti TPP puo' essere cateto?
Risolvere in fattori primi, ignorando gli esponenti. Se ci sono x
differenti primi, allora 2^(x-1) e' il numero richiesto. Nel nostro
esempio 60= 2^2*3*5. x=3. 2^(3-1)=4
60 e' la misura di un cateto in 4 TPP diversi.
ancora 5040=2^4*3^2*5*7  x=4  2^(4-1)= 8
c'e' pero' una eccezione, se il numero e' pari e non divisibile per 4
non c'e' soluzione. 30 ad es. non puo' essere un cateto di un TPP e non
puo' esserlo ogni numero della forma 4x+2.
--------------------------------------------------------------------------
-
(8) Dato un numero di quanti TP primi e non primi puo' essere cateto?
Risolvere in fattori primi. Ora si considerino solo gli esponenti.
Raddoppiare ogni esponente ed aggiungere 1 (tranne per l'esponente di 2,
se c'e', dove va sottratto 1) moltiplicare assieme i risultati,
sottrarre 1 e dividere per 2.
es: 60= 2^2*3*5    ((2*2-1)(2*1+1)(2*1+1)-1)/2 = (3*3*3-1)/2 = 13
es: 45= 3^2*5      ((2*2+1)(2*1+1)-1)/2 = (5*3-1)/2 = 7
--------------------------------------------------------------------------
--
(9) Dato un numero di quanti TPP puo' essere ipotenusa?
I numeri che hanno n fattori primi tutti della forma 4x+1
(5,13,17,29...) sono ipotenuse di 2^(n-1) TPP. Se un solo fattore primo
e' della forma 4x-1 (3,11,19,23...) non puo' essere ipotenusa di un TPP.
es: 1105 = 5*13*17 e' ipotenusa in 2^(3-1) = 4 TPP.
--------------------------------------------------------------------------
---
(10) Dato un numero N di quanti TP primi e non primi puo' essere
ipotenusa?
Si scartano tutti i fattori primi della forma 4x-1.
Si applica agli esponenti 4x+1 la regola data in (8).
es:N = 2^5*3*5*7^5*11^3*13^2 si scartano 2,3,5,11 considerando solo gli
esponenti  5 e 13 avremo  ((2*1+1)(2*2+1)-1)/2 = 7.
Cosi' questo numero puo' essere ipotenusa di soli 7 TP, ma puo' essere
cateto di altri 15592 per un totale di 15599 triangoli.
************************ Ciao, Silv:o) ****************************

 Un curioso Walker
e' un tag ovvero un robo messo li per distinguere, il tipi di enigmi..
purtroppo in disuso noto :-(
MA --> matematica
SOL--> soluzione


P.S. :
Spero che tu non sia andato per tentativi nel trovare le scomposizioni dei
primi 100 interi !
Anche perché l'algoritmo per determinarne sempre almeno una č estremamente
semplice (basta dire che l'ho trovato anch'io)

Vedo che Pitagora e' sempre Pitagora e ci avete gia'
lavorato assai! Allora scopriamo le carte, forse avete
gia' la soluzione in tasca di quel che stavo cercando.
Se fossimo certi che qualunque intero superiore a 4
possa essere il *cateto minore* di un pitagorico intero,
allora la serie che ho postato poco piu' in la':
 3, 4, 5, 12, 13, 84, 85, 132, 157, 12324, 12325, 15960,...
sarebbe infinita e io dormirei tranquillo.
Almeno come congettura mi sembra che valga, ma forse
voi ne sapete di piu'.
Ciao e grazie  :o)  Livio
--------------------------------
 5 = SQR( 13^2 - 12^2)
 6 = SQR( 10^2 - 8^2)
 7 = SQR( 25^2 - 24^2)
 8 = SQR( 17^2 - 15^2)
 9 = SQR( 15^2 - 12^2)
 10 = SQR( 26^2 - 24^2)
 11 = SQR( 61^2 - 60^2)
 12 = SQR( 20^2 - 16^2)
 13 = SQR( 85^2 - 84^2)
 14 = SQR( 50^2 - 48^2)
 15 = SQR( 25^2 - 20^2)
 16 = SQR( 34^2 - 30^2)
 17 = SQR( 145^2 - 144^2)
 18 = SQR( 30^2 - 24^2)
 19 = SQR( 181^2 - 180^2)
 20 = SQR( 29^2 - 21^2)
 21 = SQR( 35^2 - 28^2)
 22 = SQR( 122^2 - 120^2)
 23 = SQR( 265^2 - 264^2)
 24 = SQR( 40^2 - 32^2)
 25 = SQR( 65^2 - 60^2)
 26 = SQR( 170^2 - 168^2)
 27 = SQR( 45^2 - 36^2)
 28 = SQR( 53^2 - 45^2)
 29 = SQR( 421^2 - 420^2)
 30 = SQR( 50^2 - 40^2)
 31 = SQR( 481^2 - 480^2)
 32 = SQR( 68^2 - 60^2)
 33 = SQR( 55^2 - 44^2)
 34 = SQR( 290^2 - 288^2)
 35 = SQR( 91^2 - 84^2)
 36 = SQR( 60^2 - 48^2)
 37 = SQR( 685^2 - 684^2)
 38 = SQR( 362^2 - 360^2)
 39 = SQR( 65^2 - 52^2)
 40 = SQR( 58^2 - 42^2)
 41 = SQR( 841^2 - 840^2)
 42 = SQR( 70^2 - 56^2)
 43 = SQR( 925^2 - 924^2)
 44 = SQR( 125^2 - 117^2)
 45 = SQR( 75^2 - 60^2)
 46 = SQR( 530^2 - 528^2)
 47 = SQR( 1105^2 - 1104^2)
 48 = SQR( 73^2 - 55^2)
 49 = SQR( 175^2 - 168^2)
 50 = SQR( 130^2 - 120^2)
 51 = SQR( 85^2 - 68^2)
 52 = SQR( 173^2 - 165^2)
 53 = SQR( 1405^2 - 1404^2)
 54 = SQR( 90^2 - 72^2)
 55 = SQR( 143^2 - 132^2)
 56 = SQR( 106^2 - 90^2)
 57 = SQR( 95^2 - 76^2)
 58 = SQR( 842^2 - 840^2)
 59 = SQR( 1741^2 - 1740^2)
 60 = SQR( 87^2 - 63^2)
 61 = SQR( 1861^2 - 1860^2)
 62 = SQR( 962^2 - 960^2)
 63 = SQR( 105^2 - 84^2)
 64 = SQR( 136^2 - 120^2)
 65 = SQR( 97^2 - 72^2)
 66 = SQR( 110^2 - 88^2)
 67 = SQR( 2245^2 - 2244^2)
 68 = SQR( 293^2 - 285^2)
 69 = SQR( 115^2 - 92^2)
 70 = SQR( 182^2 - 168^2)
 71 = SQR( 2521^2 - 2520^2)
 72 = SQR( 120^2 - 96^2)
 73 = SQR( 2665^2 - 2664^2)
 74 = SQR( 1370^2 - 1368^2)
 75 = SQR( 125^2 - 100^2)
 76 = SQR( 365^2 - 357^2)
 77 = SQR( 275^2 - 264^2)
 78 = SQR( 130^2 - 104^2)
 79 = SQR( 3121^2 - 3120^2)
 80 = SQR( 116^2 - 84^2)
 81 = SQR( 135^2 - 108^2)
 82 = SQR( 1682^2 - 1680^2)
 83 = SQR( 3445^2 - 3444^2)
 84 = SQR( 140^2 - 112^2)
 85 = SQR( 157^2 - 132^2)
 86 = SQR( 1850^2 - 1848^2)
 87 = SQR( 145^2 - 116^2)
 88 = SQR( 137^2 - 105^2)
 89 = SQR( 3961^2 - 3960^2)
 90 = SQR( 150^2 - 120^2)
 91 = SQR( 325^2 - 312^2)
 92 = SQR( 533^2 - 525^2)
 93 = SQR( 155^2 - 124^2)
 94 = SQR( 2210^2 - 2208^2)
 95 = SQR( 193^2 - 168^2)
 96 = SQR( 146^2 - 110^2)
 97 = SQR( 4704^2 - 4703^2)
 98 = SQR( 350^2 - 336^2)
 99 = SQR( 165^2 - 132^2)
 100 = SQR( 145^2 - 105^2)
----------------------------------
-- 
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 [195.130.225.149] 



Se non hai ancora trovato la soluzione, per evitarti un'altra notte
insonne...
S
P
O
I
L
E
R
Dato n intero positivo devo trovare a e b interi positivi tali che:
n^2 = a^2 - b^2
Siccome deve essere a>b   suppongo  a = b + d  in cui d č pure intero
positivo
Sostituendo:
n^2 = (b+d)^2 - b^2 = b^2 +2bd + d^2 - b^2
quindi
n^2 = 2bd + d^2
Ora:
se n č dispari scelgo d=1 e ottengo sempre b intero  b = (n^2 - 1)/2d
se n č pari allora n^2 č divisibile per 4; posso quindi scegliere d = 2 e
ottengo ancora un b intero come b = (n^2-4)/4
Cosě la tua congettura diventa un teorema
(Ma davvero i primi 100 li hai trovati per tentativi ?!?!? )
Ciao   (-;

 wrote in message
newscache$nce18g$8w8$1...@traminer.inferentia.it...

Grazie mille!
Walker

 n^2 = a^2 - b^2
Con una piccola estensione del tuo ragionamento, si possono trovare 
TUTTE le coppie (a, b) di interi positivi tali che n^2 = a^2 - b^2.
Tutti sanno che
        a^2 - b^2 = (a + b) * (a - b)
ove (a + b) - (a - b) = 2 b.
E' facile vedere che e' equivalente trovare le coppie (u, v) tali che
        n^2 = u * v,
con u > v, e tali che u - v e' pari. Infatti data una tale coppia (u, 
v), si ricostruisce b da u - v = 2 b, e poi si ricostruisce a = v + b, e 
si ha in effetti u = v + 2 b = a + b.
Adesso, se n e' dispari, qualsiasi scomposizione di n^2 nel prodotto di 
due interi positivi u, v va bene. Il numero di queste fattorizzazioni 
dipende dalla fattorizzazione in primi di n.
Se n e' pari, vanno bene le scomposizioni n^2 = u * v in cui sia u che v 
sono pari. Anche queste dipendono in modo diretto dalla fattorizzazione 
in primi di n.
SE&O,
Andreas


Ho seguito, con interesse la discussione su [MA]L'AntiPythagoras,  e, pur
apprezzando l'excursus di Dario Uri, riportato da Silvio Sergio, di Rascal e le
considerazioni di Andrea Caranti che, in qualche modo, ricalcano le mie precedenti
esposizioni circa le terne pitagoriche, ho preso atto che nessuno si è "ricordato"
delle terne pitagoriche Librandi, più volte "comparse" su it.scienza,matematica.
Eppure, con esse, forse "l'enigma" proposto da Livio Zucca, si risolverebbe prima.
Riporto, per gli amici, alcuni stralci  del mio precedente dire.
1° metodo:
 Per h intero dispari e (2n+3) dispari, abbiamo la terna (1):
x=2*h*n^2+6*h*n+4*h
z=x+h
y=h(2n+3)
con h= dispari intero e n>=0
Per h intero pari e (n+2) pari abbiamo la terna (2):
x= (h/2)*n^2+2hn+(3/2)h
z= x+h
y=h(n+2)
con h intero pari  e n>=0.
Queste terne Librandi,  riescono a risolvere il problema quando a conoscersi è un
solo cateto (nel nostro caso y).
y=16 ; dalla (2), h(n+2)=16 . Determiniamo D_(16) = (1,2,4,8,16) le cui coppie dal
prodotto uguale a 16 sono (1,16); (2,8); (8,2): (4,4).
La prima coppia (1,16) è da scartare perchè h è un intero dispari mentre si sta
operando sulla terna con h e (n+2) uguale ad un intero pari.
La seconda coppia (2,8) porta h=2; n=6; x=63; z=65 e y=16
63^2+16^2 = 65^2
La terza copia (8,2) porta h=8; n=0; x= 12; z=20 e y=16
12^2+16^2=20^2
La quarta coppia (4,4) porta h=4; n= 2; x=30; z=34 e y=16
E non ne esistano altre con y=16.
Vediamo perché 30 non può essere un cateto di una TPP (terna pitagorica prima) come
suggerisce Dario Uri.
D_30= (1,2,3,5,6,10,15,30)  con le coppie (1*30), (2*15), (3*10), (5*6) che non
soddisfano le precedenti limitazioni.
Il problema diventa interessante quando il cateto è uguale ad un numero primo. In
questo caso la terna è unica.
y=17; dalla (1), h(2n+3)=17; D_(17) = (1,17)
coppia unica con h=1; n=7; x=144; z=145 e y=17
144^2+17^2 = 145^2
2° metodo:
Se si conosce un cateto: x=n, l'altro cateto y intero è dato da (Dn-D1)/2
dove (D1, D2,.Dn) sono i divisori di n^2.
Esempio: x=28 segue 28^2 = 784 i cui divisori sono:
(1,2,4,7,8,14,16,28,49,56,98,182,196,392,784) 2, quindi,
y = (784-1)/2 non intero, da scartare.
 y = (392-2)/2 = 195  segue: 28^2+195^2 = 197^2
y = (196-4)/2 = 96   segue : 28^2+96^2 = 100^2
y = (182-7)/2 non intero, da scartare.
 y  = (98-8)/2 = 45 segue: 28^2+45^2 = 53^2
y = (56-14)/2 = 21 segue : 28^2 + 21^2 = 35^2
y = (49-16)/2 non intero, da scartare.
E, come suggerisce Dario Uri, il numero delle volte è dato da:
28=2^2*7 , considerando gli esponenti si ha: [(2*2-1)(1*2+1)-1]/2 = 4.
Se, invece,  x= 30 segue 30^2 = 900 i cui divisori sono:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 25, 30, 36,  45, 50, 60, 75, 90, 100, 150,
180, 225, 300,  450, 900)  tutte le combinazioni del TP (terna pitagorica) sono: y=
(224, 72, 40, 16) quattro.
Infine, ricordo la formula Librandi per il calcolo di tutte le terne pitagoriche
prime (TPP):  a^2 + b^2 = c^2 .
Dato c-b = n^2 (con n dispari ed h>=0) tutte le terne pitagoriche sono determinate
da:
a = n*[2h+(n+2)]
b = 2(h+1)[h+(n+1)]
c = 2*h^2 + [2(n+2)]*h + [n(n+2)+2]
Ciao, Vincenzo Librandi
vli...@tin.it
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 più volte "comparse" su it.scienza,matematica.
Da parte mia più che altro è stata questione di pigrizia.
Ho seguito con alterno interesse su ism i post sul triangolo da te creato,
e quando ho visto il problema sollevato da Livio ero sicuro che in qualche
parte del tuo triangolo stava nascosta la soluzione. Ma il post di Dario
l'avevo salvato a suo tempo, i tuoi li avrei dovuti recuperare su 
deja.com
(e magari avrei lavorarci su per pescare i numeri richiesti...) ;)
Silv:o)