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Titolo: Classe di rettangoli

Quanti rettangoli esistono con lati interi e l'area = 3 volte il perimetro ?

 Quanti rettangoli esistono con lati interi e l'area = 3 volte il perimetro ?
 
Tanto per cominciare, usiamo la bruteforce fino a 10000:
 
 7 42
 8 24
 9 18
 10 15
 12 12
FINE
 
Mmmm... non sembrano tanti. :-)
 
 
 


Mettiamo la sequenza delle aree su OEIS:
 
Search: seq:144,150,162,192,294
Sorry, but the terms do not match anything in the table.
 
Numble numble...
 
Ciao
Livio
 

Il giorno giovedì 4 giugno 2015 20:39:57 UTC+2, Chenickname ha scritto:

Infatti non ce ne sono altri.
Anche senza bruteforce abbiamo:
 
a*b=3*(2a+2b)
 
da cui, senza perdere di generalità, abbiamo
 
a=6b/(b-6)
 
partendo a sostituire i valori possibili per b>=7 abbiamo esattamente quanto ottenuto da Livio (ovviamene anche i valori ottenuti scambiando a e b)
 
Quindi abbiamo
  b a
  7 42
  8 24
  9 18
  10 15
  12 12
  15 10
  18 9
  24 8
  42 7
 
e nessun altro. Come lo dimostriamo?
La curva a=6b/(b-6) è un iperbole con asintoto orizzontale su a=6 e quindi la curva non arriverà mai a toccare tale valore minimo per a
 
CVD
 
Ciao
GaS

Addi' 04 giu 2015, Chenickname scrive:

Fino a 100.000 non ce ne sono altri... cavoli che programma che hanno
fatto per Bc (calcolatrice UNIX da riga di comando), mi usa (al 75 %)
entrambe le cpu!!
 
 
-- 
Tanti saluti
 


-----------------------------------------------
E se l'area fosse N = 1 volte il perimetro?
 3 6 18
 4 4 16
E se l'area fosse N = 2 volte il perimetro?
 5 20 100
 6 12 72
 8 8 64
E se l'area fosse N = 3 volte il perimetro?
 7 42 294
 8 24 192
 9 18 162
 10 15 150
 12 12 144
E se l'area fosse N = 4 volte il perimetro?
 9 72 648
 10 40 400
 12 24 288
 16 16 256
E se l'area fosse N = 5 volte il perimetro?
 11 110 1210
 12 60 720
 14 35 490
 15 30 450
 20 20 400
E se l'area fosse N = 6 volte il perimetro?
 13 156 2028
 14 84 1176
 15 60 900
 16 48 768
 18 36 648
 20 30 600
 21 28 588
 24 24 576
E se l'area fosse N = 7 volte il perimetro?
 15 210 3150
 16 112 1792
 18 63 1134
 21 42 882
 28 28 784
E se l'area fosse N = 8 volte il perimetro?
 17 272 4624
 18 144 2592
 20 80 1600
 24 48 1152
 32 32 1024
E se l'area fosse N = 9 volte il perimetro?
 19 342 6498
 20 180 3600
 21 126 2646
 22 99 2178
 24 72 1728
 27 54 1458
 30 45 1350
 36 36 1296
E se l'area fosse N = 10 volte il perimetro?
 21 420 8820
 22 220 4840
 24 120 2880
 25 100 2500
 28 70 1960
 30 60 1800
 36 45 1620
 40 40 1600
E se l'area fosse N = 11 volte il perimetro?
 23 506 11638
 24 264 6336
 26 143 3718
 33 66 2178
 44 44 1936
E se l'area fosse N = 12 volte il perimetro?
 25 600 15000
 26 312 8112
 27 216 5832
 28 168 4704
 30 120 3600
 32 96 3072
 33 88 2904
 36 72 2592
 40 60 2400
 42 56 2352
 48 48 2304
E se l'area fosse N = 13 volte il perimetro?
 27 702 18954
 28 364 10192
 30 195 5850
 39 78 3042
 52 52 2704
E se l'area fosse N = 14 volte il perimetro?
 29 812 23548
 30 420 12600
 32 224 7168
 35 140 4900
 36 126 4536
 42 84 3528
 44 77 3388
 56 56 3136
E se l'area fosse N = 15 volte il perimetro?
 31 930 28830
 32 480 15360
 33 330 10890
 34 255 8670
 35 210 7350
 36 180 6480
 39 130 5070
 40 120 4800
 42 105 4410
 45 90 4050
 48 80 3840
 50 75 3750
 55 66 3630
 60 60 3600
E se l'area fosse N = 16 volte il perimetro?
 33 1056 34848
 34 544 18496
 36 288 10368
 40 160 6400
 48 96 4608
 64 64 4096
E se l'area fosse N = 17 volte il perimetro?
 35 1190 41650
 36 612 22032
 38 323 12274
 51 102 5202
 68 68 4624
E se l'area fosse N = 18 volte il perimetro?
 37 1332 49284
 38 684 25992
 39 468 18252
 40 360 14400
 42 252 10584
 44 198 8712
 45 180 8100
 48 144 6912
 52 117 6084
 54 108 5832
 60 90 5400
 63 84 5292
 72 72 5184
E se l'area fosse N = 19 volte il perimetro?
 39 1482 57798
 40 760 30400
 42 399 16758
 57 114 6498
 76 76 5776
E se l'area fosse N = 20 volte il perimetro?
 41 1640 67240
 42 840 35280
 44 440 19360
 45 360 16200
 48 240 11520
 50 200 10000
 56 140 7840
 60 120 7200
 65 104 6760
 72 90 6480
 80 80 6400
FINE
 
Ciao
Livio
 


... Da cui salta all'occhio che c'e' sempre almeno un quadrato 4Nx4N.
Infatti area=16N^2  perimetro=16N  area/perimetro=N  c.v.d.  :-)
 

 Infatti area=16N^2  perimetro=16N  area/perimetro=N  c.v.d.  :-)
 
Per le stesse ragioni c'e' sempre un rettangolo 3Nx6N:
area= 18N^2  perimetro=18N  area/perimetro=N
 


--------------
Se N e' pari, esiste sempre un rettangolo 5N/2 x 10N
area=25N^2  perimetro=25N  area/perimetro=N
 

Addi' 05 giu 2015, Chenickname scrive:

Questo 4Nx4N mi fa un po' di pauretta.. non starai ricominciando di nuovo
coi quadrati greco-latini eh?
Comunque poi ho anche visto la bella dimo di GaS.
 
-- 
Tanti saluti
 

 FINE
 
Fine?
E se l'area fosse N = 1043857 volte il perimetro?
 (2087715, 4358551833510),
 (2087716, 2179276960612),
 (2087718, 1089639524163),
 (3131571, 6263142),
 (4175428, 4175428)
 
E se l'area fosse N = 79999169 volte il perimetro?
 (159998339, 25599468322760582),
 (159998340, 12799734241379460),
 (159998342, 6399867200688899),
 (239997507, 479995014),
 (319996676, 319996676)
 
Sempre 5 soluzioni (più 4 ottenute girando i rettangoli), come per tutti i
numeri primi maggiori di 2 che ho provato.  È un caso o è sempre così?
Si può dimostrare?
 
Ci sono altri numeri non primi oltre a 8 che hanno solo 5 soluzioni?
 
Ci sono numeri con meno di 5 soluzioni?
 
ciao,
Mauro


-----------------------
Se N e' multiplo di 3, esiste sempre un rettangolo (10/3)N x 5N ...
Questa storia mi ricorda il crivello di Eratostene!
 

 Ci sono numeri con meno di 5 soluzioni?
 
Direi di no.
 
Per un N generico abbiamo
 
a*b=N*(2a+2b)
 
da cui:
 
a=2*N*b*(b-2N)
 
Consideriamo quindi, senza perdere di generalità, a>=b
 
per aver soluzioni intere e positive dobbiamo avere
 
2N<=b<=4N
 
ed almeno le seguenti soluzioni sono sempre valide:
 
1)
b=2N+1
a=2N*(2N+1)
 
2)
b=2N+2
a=N*(2N+2)
 
3)
b=2N+4
a=N*(N+2)
 
4)
b=3N
a=6N
 
5)
b=4N
a=4N
 
 
Abbiamo quindi *sempre* almeno 5 soluzioni (ovviamente considerando le soluzioni speculari abbiamo sempre almeno 9 soluzioni). Non saprei però dire se è vero che per N primo le soluzioni sono solo le 5 elencate
 
Ciao
Gabriele


Dimenticavo: ovviamente per N basso alcune delle soluzioni possono coincidere: ad es. per N=1 la soluzione 1) la 3) e la 4) coincidono così come la 2) e la 5)
 
Quindi, in effetti, per N basso il numero di soluzioni può essere minore di 5 ma già per N>5 le soluzioni presentate sono tutte distinte.
 
ciao
Gabriele

Non saprei però dire se è vero che per N primo le soluzioni sono solo le 5 elencate
 
Provo ad abbozzare una dimostrazione.
 
Abbiamo visto che deve essere 2N<b<=4N, consideriamo quindi N primo e separiamo quattro casi:
 
==== CASO A ====
 
2N<b<3N
 
sia quindi b=2N+x  con 0<x<N
 
ed abbiamo quindi:
 
a=2*N*(2N+x)/x
 
Affinchè a sia intero, quindi, x deve dividere 2*N*(2N+x)
 
N per ipotesi è primo e quindi x non può esserne un divisore a meno che non sia x=1, e questo porta alla soluzione 1) già vista: b=2N+1
 
Altrimenti x deve dividere 2*(2N+x)
 
x=2 è una possibile soluzione, che ci porta alla soluzione 2) già vista: b=2N+2
 
Essendo N primo, x non può dividere 2N+x a meno che per un fattore 2: questo porta alla soluzione 2) già trovata 
 
Inoltre utilizzando il fattore 2 all'inizio del numeratore ed un fattore 2 nel termine (2N++x), si può ottenere la soluzione 3) già vista: b=2N+4
 
Direi che non ci sono altri casi possibili
 
==== CASO B ====
 
b=3N
 
tale caso riporta alla soluzione 4) già individuata
 
==== CASO C ====
 
3N<b<4N
 
sia quindi b=2N+x  con N<x<2N
 
Possiamo effettuare le stesse identiche considerazioni, e quindi soluzioni, viste per il caso A
 
 
==== CASO D ====
 
b=4N
 
tale caso riporta alla soluzione 5) già individuata
 
 
====== CVD =======
 
Abbiamo quindi una dimostrazione "costruttivista" che ci permette di trovare analiticamente tutte e sole le soluzioni per i casi in cui N primo,
 
Penso che sia tutto, fatemi sapere se vi torna,
ciao e bentrovati!
 
GaS

 elencate
 
In generale direi che si può costruire un rettangolo con lati
  2n*(j+k)/j
  2n*(j+k)/k
quando 2n è divisibile sia per j che per k.
[rapporto fra i lati: j/k, area 4n²(j+k)²/(jk), perimetro 4n(j+k)²/(jk)]
 
I casi con j:k pari a 1:2n, 1:n, 2:n, 1:2, 1:1 sono sempre validi e
corrispondono alle 5 soluzioni precedenti.
Per i numeri non primi si aggiungono anche 1:2p, 1:p e 2:p per ogni
divisore p, e tranne nel caso sfigato dell'8 in cui tutte le soluzioni
concidono con le 5 soluzioni base, direi che i numeri non primi hanno
sempre più di 5 soluzioni.
 
ciao,
Mauro