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Titolo: [MA] Fiammiferi UNO

E' tanto tempo che seguo questo newsgroup e per la prima volta ho due
problemi inventati da me da sottoporvi, spero li troviate interessanti...
IL PRIMO:
Ho dato ad un mio amico un numero N di fiammiferi e lui si è divertito a
formare una griglia rettangolare in modo da formare quadrati tutti di
dimensione uguale tra loro e con lato pari alla lunghezza dei fiammiferi.
Poi gli ho chiesto un fiammifero per accendermi una sigaretta. Ma lui
modificando la lunghezza dei lati della griglia (ovvero il numero di
fiammiferi per lato) è riuscito a riformare lo stesso numero di quadrati con
tutti e soli i fiammiferi che gli erano rimasti.
Quanti fiammiferi ho dato al mio amico all'inizio e quali le dimensioni
della prima e della seconda griglia?
La soluzione è unica?
Tanto per intenderci:
Se il numero iniziale fosse stato 17
Il mio amico avrebbe potuto formare una griglia rettangolare 2 x 3 (formando
dunque 6 quadrati) utilizzando tutti i 17 fiammiferi. Una griglia
rettangolare di dimensioni (a x b) utilizza esattamente a+b+2ab fiammiferi.
Con un fiammifero in meno (16) non è però possibile trovare una qualunque
griglia rettangolare che mi dia luogo a 6 quadrati.
Luigi

 problemi inventati da me da sottoporvi, spero li troviate interessanti...
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per x>=2
posso prendere un rettangolo di lati
2(x-1) e x
e l'altro di lati
2x e x-1
g.

 tutti e soli i fiammiferi che gli erano rimasti.
Quel tuo amico, il giorno dopo e' passato da me.
Ha fatto la sua griglia rettangolare e io gli ho chiesto un fiammifero.
Me l'ha dato e pazientemente ha ricostruito una griglia rettangolare
con lo stesso numero di quadrati. Purtroppo il fiammifero ha fatto
cilecca e lui ha dovuto darmene un'altro. Dopo di che non solo
ha ricostruito una terza griglia con lo stesso numero di quadrati,
ma alla fine questa era pure quadrata!
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 2x e x-1
Ecco un'altra famiglia di soluzioni.
Si nota che iniziando con un rettangolo di lato 1 ad ogni passo devo 
aggiungere 3 fiammiferi per chiudere un nuovo quadrato. Per un rettangolo 
alto 2 devo aggiungere 5 pezzi, per uno alto 3 occorre aggiungere 7 
fiammiferi ad ogni passo, e cosi' via.
In generale tutti i rettangoli ottenibili contengono un numero di 
fiammiferi  della forma:
1+k3, 2+k5, 3+k7, 4+k9, 5+k11....
Dove la prima cifra rappresenta un lato, e k l'altro.
Allora da 2 termini consecutivi si ricava subito una soluzione sostituendo 
a k il coefficiente dell'altro termine.
Ad es. da 3+k7 e 4+k9 ottengo 3+9*7 e 4+7*9.
In pratica i rettangoli 3*9 e 4*7 con 3+7*9=66 fiammiferi il primo e 
4+9*7=67 il secondo.

:))))
Se mi dai i fiammiferi che ti sono avanzati giuro che lo brucio (il mio
amico)!
Cmq penserò alla soluzione.
Luigi

 ma alla fine questa era pure quadrata!
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Se K e' un numero tale che 1+2K+K^2 e' un quadrato perfetto,
la cui radice e' H, allora i rettangoli di lati A,B,C,D,E,E (e' un 
quadrato) sono:
A=1+K+K^2+H
B=1+K+K^2-H
C=(1+K)^2
D=K^2
E=K(1+K)
ci sono soluzioni per K=3,20,119,696,4059,23660,137903,.....
la piu' piccola, per K=3 e H=4 e'
A=18 B=8  C=16 D=9 E=12
ciao,
g.

 Se K e' un numero tale che 1+2K+K^2 e' un quadrato perfetto,
Ho sbagliato a scrivere: volevo dire se ... 1+2K+2K^2 e' un quadrato 
perfetto...
scusate,
g.

 ci sono soluzioni per K=3,20,119,696,4059,23660,137903,.....
Che è la sequenza che anche Dario ha riportato (aumentata di 1 perché la sua
si riferisce ai cateti maggiori), e risponde alla - ormai facile da
torvare - formula ricorsiva
X(n+1) = 6*X(n) - X(n-1) + 2
--
Ciao, Silv:o)

 Dario e poi delle estrazioni di Matteo Brighi.
ops: Massimo "M B" Brighi
Silv:o)

 arieccoli!
:o))))))))))))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio