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Titolo: Tre triangoli in un cerchio

Quali sono i piu' grandi tre triangoli congruenti
(identici, sovrapponibili al limite rovesciandoli)
che si possono mettere senza sovrapposizioni
in un cerchio?
Non ho una soluzione certa nel cassetto.
Ciao!!!  :o)
Livio
PS. Chi non sapesse dove mostrare i propri disegni,
puo' metterli qua:
http://www.hostingfiles.net/

Non ho una soluzione certa nel cassetto.
spoiler
I tre triangoli ottenuti tracciando i tre raggi per i vertici
del triangolo equilatero inscritto.
Area totale coperta: 3*sqrt(3)/4 =~ 1.299 (raggio unitario).
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Saluti, Dalet


Si puo' fare di piu'.
Ciao!!!  :o)
Livio

 in un cerchio?
Cosi' su due piedi,
arrivo al 58.165 % dell'area del cerchio, pari
ad una area di 1.827 in un cerchio di raggio unitario.
Ho anche un altra soluzione possibile in mente ma
e' piu' complicata.
ciao,
g.

 e' piu' complicata.
Credo valga la pena affrontarla!
Ciao!!!  :o)
Livio

 in un cerchio?
Io arrivo circa al 62% per il momento.
Maurizio

 Io arrivo circa al 62% per il momento.
Ancora 2 o 3 punti percentuali e facciamo il disegno.
Ma a questo punto direi che ci sei, solo una piccola
ottimizzazione, sempre che non abbia sbagliato io
i conti. La qual cosa non e' improbabile.
Ciao!!!  :o)
Livio

Il 29-05-2007, Che nickname ha costui? dice:
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Beh ora trovo 65.2226...% cioe' area coperta=2.0490...
pero' gli angoli li ho scelti esatti e facilmente si
possono ancora migliorare.
-- 
Saluti, Dalet

 possono ancora migliorare.
E allora e' ora di raccontarla tutta.
Quando ho trovato questa configurazione, ho impostato
un programma per ottimizzare l'angolo piu' acuto dei
triangoli ed ho trovato esattamente 30°.
Allora, tutto entusiasta, ho fatto questo disegno:
http://www.hostingfiles.net/files/20070529104847_leo.GIF
Ero veramente meravigliato di quanto fosse brillante una
soluzione del genere: i triangoli sono estratti da una
costruzione semplice, vitruviana direi, dove in un cerchio
sono inscritti un triangolo equilatero, un quadrato ed un
esagono. Gli angoli acuti dei triangoli sono di 30° e di 45°.
I triangoli sono la somma delle due squadrette da disegno.
Piu' classico di cosi' si muore.
E mentre gongolavo di questa soluzione, ho trovato
un baco nel programma...
Ciao!!!  :o)
Livio

un baco nel programma...
Io ho mollato adesso l'ottimizzazione analitica, perche'
ci sta un polinomio in coseno troppo lungo da annullare.
Ho invece visto, ma brute force, che intorno a 45-30 il
valore dell'area decresce. Agli estremi tende a zero in
entrambi i casi... per intenderci beta=b e' quello di 30,
alfa=a quello di 45.
Dovendo essere:
--1. b=60-2/3 a  <==>  a=90-3/2 b
--2. 0<a<90
--3. 0<b<60
Con Bc ho fatto con Erone:
area=sqrt(p*(p-2x)*(p-2y)*(p-2z))
p=x+y+z=sen(a/3+60)+sen(a)+sen(60-2a/3)
ovviamente x,y,z sono i semilati,
e facendo a=46 oppure 44 decresce.
D'altra parte aprendo o chiudendo di molto di piu' si vede
anche col solo disegno che diminuisce senz'altro.
-- 
Saluti, Dalet


http://www.hostingfiles.net/files/20070529104847_leo.GIF
Identico!!
-- 
Saluti, Dalet

 Identico!!
Ora pero' il mio cruccio e' che l'ottimizzazione mi viene per
Beta=30.64° e non 30°, con una copertura del 65.258%
Qualcuno conferma?
D'altra parte non conosco nessun altro sistema per dimostrare
che soluzioni del genere sono ottimali: le rendo pubbliche e
se nessuno obietta, le prendo per buone. Non e' matematico,
ma scientifico si'!  :o)
Ciao!!!  :o)
Livio

ma scientifico si'!  :o)
Io con Bc non e' comodissimo per fare molti tentativi, perche'
bisogna per ognuno:
-- introdurre a
-- richiamare le 4 righe x,y,z,p
-- richiamare la riga dell'area per vedere il risultato.
Moh piu' tardi provo col foglio elettronico Gnemeric, li'
dovrebbe essere istantaneo.
Il sistema esatto sarebbe risolvere l'equazione di iv grado
in coseno che si ottiene annullando la derivata dell'area
della formula di Erone, pero' magari l'area si puo' trovare
anche diversamente: non ci ho pensato.
Ah... ora guardo se va a zero introducendo a=45, cosi'
sarebbe dimostrato che non e'.
D'altra parte se invece lo fosse stato, avremmo avuto un
bel problemaccio a trovare perche' poroprio 45-30 dava il
massimo.
-- 
Saluti, Dalet

dovrebbe essere istantaneo.
Uno con un programma di matematica lo fa al volo, con
Calc invece (foglio el. di openoffice) mi da' 44.03885 (cioe'
44 gradi 2 primi 19 secondi e 86 centesimi di secondo) come
minimo. In esso la derivata va quasi a zero: questa e' un'
importante conferma.
-- 
Saluti, Dalet

 Beta=30.64° e non 30°, con una copertura del 65.258%
Esatto, ho rifatto i calcoli analiticamente e confermo la vostra
soluzione. Per la precisione, la frazione coperta è:
(34Sqrt[2] - 5Sqrt[5])/(18 Pi) ~ 0.652587
e l'angolo minore dei triangoli risulta:
ArcSin[(2Sqrt[5] - Sqrt[2])/6] ~ 30.6408°
Per inciso, io avevo pensato ad una disposizione diversa, in cui i due
triangoli a sinistra nel tuo disegno sono rettangoli e sono uniti a
formare un rettangolo. Ma in questo modo non si va oltre il 62%.
Resta aperta la questione se esista una disposizione ancora migliore.
Maurizio  

ArcSin[(2Sqrt[5] - Sqrt[2])/6] ~ 30.6408°
Cioe' 44.0388 l'altro angolo.
Beh col foglio Calc mi da' valore migliore con 44.03885 si
vede che dipende dalle approssimazioni digitali.
Ma mi diresti come hai espresso l'area, per estremarla?
Perche' con Erone viene di iv grado in coseno e io ci ho
rinunciato. E Calc non da' 0 ma un qualcosa alla vi cifra
decimale.
-- 
Saluti, Dalet

vede che dipende dalle approssimazioni digitali.
Ora l'ho pure mandata a zero: 44.0388483523 pero' e' sempre
una cosa approssimata.
Cmq vedo che e' in accordo col tuo arcseno.
-- 
Saluti, Dalet

 rinunciato.
Io ho chiamato h l'altezza del triangolo isoscele "centrale" (quello un
po' azzurro e un po' bianco nel disegno di Livio, con il vertice in
basso e la base in alto), ho chiamato 2a la sua base, e ho posto il lato
obliquo uguale a 1.
Il raggio della circonferenza risulta r = 1/(2h), mentre a =
Sqrt[1-h^2]. Chiamando alfa l'angolo al vertice del triangolo isoscele,
si ha sin(alfa) = a/r, mentre per l'angolo ottuso beta dei tre triangoli
abbiamo sin(beta) = h.
Poiché l'area di uno dei tre triangoli è data da S = a sin(alfa+beta),
si ricava agevolmente l'espressione R = 3S/(Pi r^2) espressa in funzione
di h:
R = (12/Pi) h^3 Sqrt[1-h^2] (4h^2 - 3)
di cui si trovano facilmente gli estremi con una derivata e si arriva al
risultato che avevo riportato.
Spero si capisca: sono stato fortunato perché scegliendo quel parametro
le espressioni sono molto semplici.
Maurizio

le espressioni sono molto semplici.
Chiarissimo tutto grazie e... veramente una scelta ottima,
perche' non credo che altrimenti se ne possa cavar qcs.
-- 
Saluti, Dalet


Interessante anche notare i diversi approcci allo stesso
problema. Per la cronaca io ho usato in calcolo numerico
con il linguaggio basic.
Il problema dei 4 triangoli mi sembra piu' difficile, ma
garantisco che la soluzione e' bella, almeno esteticamente.
Ignoro se sia affrontabile analiticamente.
Ciao!!!  :o)
Livio