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Titolo: Quadrato singolare

Trovare un numero di 10 cifre il cui quadrato termini con le stesse 10
cifre e nello stesso ordine!
Karamel

cifre e nello stesso ordine!
spoiler
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Ne ho trovato due
8 212 890 625 ^2 = 67 451 572 418 212 890 625
1 787 109 376 ^2 = 3 193 759 921 787 109 376
Si trovano abbastanza facilmente partendo dalla
considerazione che se N ed N^2 terminano con la stessa
cifra, questa puo' essere solo 0,1,5,6.
Escludo lo 0; infatti se N termina con 0, N^2 termina con
00; ma allora anche N deve terminare con 00 ed N^2 con 0000
e cosi' via...
Considerazioni simili (anche se un po' piu' elaborate) mi
portano ad escludere anche 1. Infatti trovo subito che se
l'ultima cifra di N ed N^2 e' 1, la penultima deve essere 0,
ecc...
Con il 5 e' stato facile: noto che per tutti gli N
terminanti con 5, N^2 termina con 25; per tutti gli N
terminanti con 25 N^2 termina con 625; e cosi' via,
procedendo da destra a sinistra trovo la soluzione
obbligata.
Per il 6 considerazioni quasi analoghe ( vedo che per N ed
N^2 terminanti con 6, l'unica possibilita' per la penultima
cifra e' 7, ecc...)
ciao
paolo

Paolo Licheri wrote:

Ben fatto, i due numeri sono esatti! La soluzione che ho io, tratta da
"Matematica dilettevole e curiosa" di Italo Ghersi, 778 pagine, L. 2200
(sic! e non è neppure tanto vecchio, 1972), è di natura algebrica:
Se N è il numero cercato, si deve avere: N^2 - N = p * 10^10, cioè:
N(N-1)  =  p * 10^10
Prima di tutto dobbiamo verificare l'ipotesi in cui p è un numero primo.
In tal caso può soltanto essere N = p con N - 1 = 10^10 da cui si
ricava:
N = 10000000001
Questo numero rispetta la condizione del quadrato di 10 cifre identiche
e nello stesso ordine, ma ha 11 cifre (anche se per poco), e quindi non
è una soluzione accettabile.
Nel caso in cui p non sia primo, lo si può scomporre in perlomeno due
fattori m ed n, nel qual caso si ha: N(N-1) = m * n * 5^10 * 2^10, da
cui:
N = m * 5^10  con:  N-1 = n * 2^10 oppure:
N = m * 2^10  con:  N-1 = n * 5^10
Nel primo caso si ha: m * 5^10 - n * 2^10 = 1 da cui:
n * 2^10 = m * 5^10 - 1 --> m = 841 (OK, non ho però capito come
ricavino questo numero!) e quindi:
N = 841 * 5^10 = 8212890625
Nel secondo caso:
m * 2^10 - n * 5^10 = 1 --> m = 1745224 (anche qui non capisco come ci
siano arrivati per via teorica) e quindi:
N = 1745224 * 1024 = 1787109376
Nota inoltre che tutte le potenze dei numeri che terminano con uno dei
due gruppi di 10 cifre sopra accennati terminano con queste medesime
cifre disposte nello stesso ordine (mi sembra che ciò sia chiaro anche
dal tuo ragionamento).
Saluti
Karamel

 (sic! e non è neppure tanto vecchio, 1972), è di natura algebrica:
In realta' poco e' cambiato dalla prima edizione del 1913.730 pag.
Costava Lire 9.50.
E' stato fatto molto su questi numeri chiamati automorfi.
In generale un n-automorfo e' un numero k tale che nk^2 termina con le
stesse cifre di k.
Esistono esattamente 2 1-automorfi con un dato numero di cifre, come ha
trovato Paolo.
Considerando 10 cifre, gli n-automorfi sono:
n
1  8212890625   1787109376
2  0893554688
3  6666666667   
7262369792
 
9404296875
4  0446777344
5  
3642578125
6  3631184896
7  
7142857143
   4548984375   1683872768
8  0223388672
9  
5754123264
 
3134765625
 
8888888889
 
ciao :)dario