Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: I minori e i maggiori

Consideriamo di generare numeri casuali uniformemente distribuiti
nell'intervallo reale compreso tra 0 e 1. Se ne generiamo un numero
consistente e ne calcoliamo la media, questa dovrebbe attestarsi su un
valore vicino a 1/2. Fin qui, tutto tranquillo.
Generiamo ora numeri casuali sempre nello stesso intervallo e consideriamoli
a coppie, ed esempio la prima coppia potrebbe essere formata dal primo e dal
secondo numero generato, la seconda coppia dal terzo e dal quarto e così
via. Per ogni coppia di numeri generati individuiamo il minore e il
maggiore.
Esempio:
Prima coppia: 0.074669, 0.21035
Seconda coppia: 0.626835, 0.377083
Minori: 0.074669, 0.377083
Maggiori: 0.21035, 0.626835
Naturalmente può capitare, come in questo caso, che il maggiore di una
coppia sia minore del minore di un'altra coppia e viceversa
Generiamone un numero consistente e poi calcoliamo la media di tutti i
minori e la media di tutti i maggiori. I valori che otterremo saranno
rispettivamente 1/3 e 2/3 (facilmente verificabile con la forza bruta).
Siete in grado di giustificare il perché di tali valori?
Ciao :-)
Giorgio

 Siete in grado di giustificare il perché di tali valori?
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
La media dei minori si calcola con un integrale doppio:
 /1   /1
 | dx | dy min(x,y) =
 /0   /0
 /1   /x         /1   /1       1
 | dx | dy y  +  | dx | dy x = -
 /0   /0         /0   /x       3
E in modo analogo per i maggiori.
Maurizio

 Siete in grado di giustificare il perché di tali valori?
Ti rispondo da incompetente, con un ragionamento (speriamo) logico, ma
forse e' interessante anche questo  punto di vista, proprio per
cercare di unire il gruppo, coinvolgendo nella matematica pure gli
enigmisti e viceversa...
Non essendo la matematica il mio cibo preferito, purtuttavia
esercitando un notevole fascino su di me, vado a provare a risolvere
la questione "a tentativi", metodo alquanto scorretto, ma a volte
pratico.
Prendo in considerazione i seguenti 4 valori (tanto per ridurre il
campo senza stravolgere totalmente il senso del problema)
0,2
0,4
0,6
0,8
la loro somma e' 2 che diviso 4 fa 0,5 e fin qui ok!
Si generano le 6 coppie:
0,2 0,4
0,2 0,6
0,2 0,8
0,4 0,6
0,4 0,8
0,6 0,8
La somma dei minimi (a sinistra) e' 2 che diviso 6 da' guarda caso 1/3
La somma dei massimi (a destra) e' 4 che diviso 6 manco a farlo
apposta da' 2/3
Concludo non troppo arbitrariamente che i numeri presi in
considerazione sono "significativi" ai fini dello studio della
faccenda e mi metto ad osservarli con attenzione senza capirci
granche': soprattutto non mi va giu' il fatto che le medie siano 1/3 e
2/3 piuttosto che 1/4 e 3/4 (ossia i punti intermedi tra 0 e 0,5 e 0,5
e 1 come sarebbe lecito supporre...
A questo punto mi rendo condo che il problema assomiglia moltissimo a
quello noto dello spezzare un bastoncino in tre parti e la relativa
probabilita' di ottenere un triangolo con i tre pezzi. Per chi non lo
conoscesse dico solo che l' aspetto piu' interessante era che a
seconda dei criteri con cui si spezzava il bastoncino le probabilita'
di formare il triangolo variavano... Penso dunque a cosa ci possa
incastrare un triangolo con questo problema qua e... ah ecco! Eureka!
Abbiamo generato dei numeri casuali, li abbiamo accoppiati e quindi
abbiamo suddiviso la retta ipotetica che va da 0 a 1 in tre parti. In
3 parti e non in 4, dunque 1/3 e 2/3  non 1/4 e 3/4...  Mi saro'
spiegato da cani, pero' forse un po' ho reso l' idea...
Ehm... mi do' al racconto che e' meglio va'!
ciao
fulvio

 Siete in grado di giustificare il perché di tali valori?
La media del valore minore si calcola come:
m = S x*p(x)*dx da 0 a 1
dove p(x)*dx è la probabilità che il minore dei due valga x. Tale
probabilità è ovviamente: p(x)*dx=2*(1-x)*dx
Infatti c'è una prob. dx che uno dei due stia in un intorno infinitesimo del
punto x, e una prob. di 1-x che l'altro valore sia maggiore di tale valore
x. Il fattore 2 serve perché è indifferente quale dei numeri sia il maggiore
o il minore. Svolgendo l'integrale si trova subito m=1/3.
La media dei maggiori si calcola allo stesso modo, ma ora
p(x)=2*x, infatti fissato il maggiore, l'altro deve stare alla sua sinistra,
in un intervallo di larghezza x.
Si ottiene facilmente il valore 2/3.
In generale se estraggo N numeri i valori medi del minore, del secondo, ecc.
valgono: 1/(N+1); 2/(N+1); ...; N/(N+1).
Ciao
Andrea

 enigmisti e viceversa...
Cerco di dare una dimostrazione senza ricorrere agli integrali.
Riformuliamo il problema così: ho il quadrato [0, 1]x[0, 1] nel piano
cartesiano e prendo a caso al suo interno un punto P(x, y) a cui associo
la minore m (oppure la maggiore M) fra le sue coordinate:
m = min(x, y);   M = max(x, y).
Qual è il valore medio di m e M?
Ragiono così: divido il quadrato in due triangoli tracciando la
diagonale che unisce i punti (0, 0) e (1, 1) (triangoli A e B in
figura).
  ^
1 |------+
  |     /|
  | A  / |
  |   /  |
  |  /   |
  | / B  |
  |/     |
0 +------+--->
         1
Per un punto P in A si ha evidentemente m=x e M=y; quindi i valori medi
di m e M (se scegliamo i punti a caso solo in A) coincidono con le
coordinate x e y del baricentro del triangolo A. Il baricentro ha
coordinate (1/3, 2/3), sicché:
  valor medio di m = 1/3; valor medio di M = 2/3  (in A).
Lo stesso ragionamento si può ripetere per il triangolo B, trovando gli
stessi risultati. Siccome i due triangoli sono uguali, ne segue che 1/3
e 2/3 sono anche i valori medi quando i punti vengono scelti a caso in
tutto il quadrato.
Che ne dite, si capisce?
Maurizio

 Che ne dite, si capisce?
Secondo me si capisce molto bene, notiamo che la soluzione con gli integrali
č esattamente la stessa solo scritta in maniera piů criptica (per chi non ha
dimestichezza con gli integrali) e meno intuitiva. Il fatto č che, per
trovare il baricentro, si puň svolgere il doppio integrale che proponi
nell'altra mail.
Complimenti, la soluzione mi č piaciuta molto.
GaS


Complimenti per tutte le vostre soluzioni. Provo a dire anche la mia. Non
vuole essere una dimostrazione matematica, ma solo una giustificazione
intuitiva. Poi mi direte se la trovate lecita o no. :-)
Consideriamo la media M dei maggiori. Potremmo, come ipotesi semplificativa,
pensare che tale valore sia stato ottenuto "generando" ripetutamente lo
stesso numero M; naturalmente la media sarà M. Mi spiego: nel caso della
generazione di numeri casuali compresi tra 0 e 1, abbiamo detto che la media
è 0.5, ma otterrei la stessa media "generando" ripetutamente il solo valore
0.5. Dal punto di vista del risultato, non cambia nulla.
Fatta questa supposizione, posso dire che i valori minori saranno allora
sempre compresi tra 0 e M (Dal momento che tutti i valori maggiori valgono
M, per la premessa, i valori minori non possono superare tale limite).
Ora sappiamo che i valori minori sono uniformemente distribuiti tra 0 e M.
Quindi m (la media dei minori) varrà (0+M)/2 = M/2.
Lo stesso ragionamento si può fare considerando che m sia la media dei
valori minori ottenuti "generando" ripetutamente il numero m. Il valore M
(la media dei maggiori) sarà la media tra il valore minimo possibile (m) e
il massimo (1). Da cui M = (m+1)/2.
Abbiamo quindi:
m = M/2
M = (m+1)/2
Da queste due si trova che m = (m+1)/2/2, cioè m = 1/3. E, di conseguenza, M
= 2/3.
Può andare?
Ciao :-)
Giorgio

 Siete in grado di giustificare il perché di tali valori?
Giorgio pone il problema su un segmento unitario. Se però chiudiamo il
segmento ad anello, possiamo considerare come origine dell'anello un punto
scelto anche lui a caso, visto che non influisce minimamente sulla scelta
degli altri due. Allora per simmetria i tre punti (origine, minimo e
massimo) saranno equidistanti.
Facciamo un esempio concreto. Supponiamo che chieda a due persone di dirmi
un'ora a caso sull'orologio. Annoto la risposta minore (la prima che
incontro in senso orario) e la maggiore. Poi faccio le medie. Il gioco è in
tutto e per tutto uguale a quello proposto. Se chiedo ad una terza persona
di girare la ghiera del crono sub (o se scelgo a caso un fuso orario!) e poi
mi calcolo la distanza dalla risposta più vicina in senso orario alla tacca
della ghiera e quella della più lontana, non credo proprio le cose cambino,
in media. Epperò in realtà sto confrontando TRE ore scelte
indipendentemente.
Che in media distino di 4 ore non mi stupisce assolutamente.
--
Ciao, Silv:o)


Bello! E questo funziona ugualmente oltre che per N=2, come in questo caso,
anche per ogni altro N.
Ciao :-)
Giorgio