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Titolo: Il teorema di Pitagora

Una delle prime figure che ho messo in rete per esercizio
e' stata questa dimostrazione del teorema di Pitagora.
Non e' che una delle tante, ma mi e' sempre piaciuta per
la sua semplicita':
http://www.geocities.com/liviozuc/images/pitagora.gif
Quello che in genere nessuno pensa e' che, se e' vero che
la somma dei quadrati costruiti sui cateti e' uguale al quadrato
costruito sull'ipotenusa, e' anche vero che la somma dei
pentagoni costruiti sui cateti e' uguale al pentagono costruito
sull'ipotenusa. E la cosa e' ovviamente valida per triangoli
equilateri, esagoni, eptagoni, ottagoni e qualungue poligono
regolare, non solo ma anche qualunque figura geometrica,
purche' le tre figure siano simili tra di loro.
Volevo chiedervi se qualcuno di voi volesse pensare ad una
dimostrazione simile alla prima, anche per questi altri casi.
Io, per adesso, conosco solo quella per l'esagono, che e' qua:
http://www2.math.unifi.it/~archimede/archimede/pitagora/immagini/imm6.jpg
Ciao a tutti!!!  ((^__^))'
Livio
PS:
Chi volesse mandare dei disegni visibili a tutti, puo' inviarli
in attach a 
hobby...@yahoo.com
Chi vuole vederli puo' accedere a questa casella postale.
Vi ricordo la procedura:
- andare su 
www.yahoo.com
- cliccare Email
- id: hobbyenigmi  pw: imgineybboh

 dimostrazione simile alla prima, anche per questi altri casi.
Forse il più facile di tutti è questo:
http://drking.worldonline.co.uk/pythag/tri.html
--
Ciao, Silv:o)

 
http://drking.worldonline.co.uk/pythag/tri.html
Gia', non c'avevo pensato. Veramente minimale!
Grazie Silvio!!!  ((^__^))'
Livio
PS
Nella famosa casella postale ho messo una soluzione per
l'ottagono in 33 pezzi. E' il primo tentativo. Penso che si
possa fare molto meglio. Per i pupilli di Odette ho raffigurato
il teorema "la somma dei pentamini disegnati sui cateti..."
Lo pubblicheranno loro.

 
http://www.geocities.com/liviozuc/images/pitagora.gif
A me e' sempre piaciuta la seguente:
   _ _ _B_ _ _C_ _
  |               |
A_|               |
  |               |_D
  |               |
H_|               |
  |               |_E
  |               |
  |_ _ _ _ _ _ _ _|
      G     F
   _ _ _ _ _ _ _ _
  |               |
  |               |
  |               |
  |               |

  d    D     c
Il triangolo rettangolo e' uno qualsiasi dei AaB, BbC, CcD, DdA; ABCD e' il
quadrato costruito sull'ipotenusa.
I 4 triangoli si possono riasettare nella figura sottostante.
    _ _ _ _ _
   |     |   |
   |_ _ _|_ _|
   |     |   |
   |     |   |
   |_ _ _|_ _|
ed il teorema e' dimostrato.
Per un triangolo rettangolo di cateti x e y, basta lavorare con un quadrato
di lato x+y.
Spero che si capisca, non ho la piu pallida idea di come fare un disegno
gif.
A presto,
GaS

 ...non ho la piu pallida idea di come fare un disegno gif.
Neanch'io! Io li converto in gif con un vecchio convertitore.
Cmq la nostra casella postale accetta anche scarabocchi bmp
fatti con il Paint di Windows o jpg di uno scanner o di una
macchina foto o di una webcam.
Ciao e grazie!!!  ((^__^))'
Livio

 ha scritto nel messaggio
news:b406j1$1qjr3q$1...@ID-88791.news.dfncis.de...

Stavo tentando di costruire qualcosa con i triangoli equilateri.
E mi è venuto in mente un procedimento che genera scomposizioni non
proprio eleganti ne minimali, ma funzionanti.
Una dissezione che dimostri il teorema con rettangoli di qualsiasi
proporzione (notevole il caso dei domini) è semplice, sulla falsariga
di quella che hai pubblicato tu.
         /'-._
        /     |-._
  /'-._/_____ |____'-._
 /    /'-._   |       /
/    /     '-.|      /
'-._/__________'-._ /
    |      /'-._    |
    |     /    /'-._|
    |'-._/    /     |
    |____'-._/______|
Altrettanto semplice è trasformare il triangolo equilatero in un
rettangolo, tagliandolo a mezz'altezza
   /\
  /  \     ________
 /    \   | /    \ |
/______\  |/______\|
Unendo le due cose si ottiene una dissezione/dimostrazione. Non ho
contato i pezzi, ma non dovrebbero essere moltissimi. Certo,
*rettificare* il triangolo equilatero in questo modo barbaro non è il
massimo dell'eleganza...
Comunque se non rieso a fare meglio preparo una gif di questo metodo e
la pubblico, appena ho un attimo.
--
Ciao, Silv:o)

 [...]
Ho paura che porti a soluzioni molto frazionate.
Tieni conto che la dissezione dell'ottagono in 33 pezzi che ho messo
in casella parte dalla dissezione del trapezio isoscele in triangolo
isoscele in soli 5 pezzi, la quale sarebbe anche una soluzione per il
triangolo equilatero, oltre che per qualunque poligono regolare (certo
non una soluzione minimale). Il triangolo equilatero dovrebbe essere
risolvibile in addirittura 4 pezzi.
Ho ridisegnato per conto mio la soluzione dell'esagono vista nella
foto segnalata. Direi che e' proprio brillante. Ce ne vorrebbe una
cosi' per il pentagono!  :o)
Ho intenzione di costruire queste dimostrazioni in legno o in
metalcrilato come pezzi da collezione. Oltre l'ottagono, non e'
interessante perche' i pezzi sui cateti si intersecano.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 dimostrazione simile alla prima, anche per questi altri casi.
Ho disegnato il caso del mezzo quadrato, ma in pratica è quella classica del
quadrato.
Volevo usarla per risolvere un generico troangolo - attraverso
trasformazioni affini - ma non ci sono riuscito :(
Comunque la posto su yahoo, ormai il lavoro l'ho fatto
--
Ciao, Silv:o)

>Stavo tentando di costruire qualcosa con i triangoli equilateri.
Come si puo' immaginare molto e' gia' stato fatto.
TRIANGOLI
Un certo Bradley nel 1922 ha trovato una dissezione in 5 pezzi, lasciando 
il tri.eq. piccolo integro e dividendo in soli 4 pezzi l'altro tri.eq. 
quello costruito sul cateto piu' lungo.
Frederickson, un esperto del ramo (*), dice che vi sono 2 metodi essenziali 
per  dissezionare 2 quadrati e ricomporli in un terzo, e 2 metodi anche per 
i tri. eq., difatti sfruttando il secondo metodo, Lindgren ("Recreational 
Problems in Geometric Dissections" Dover 1972) fornisce una soluzione 
differente dalla prima, sempre in 5 pezzi.
Il bello e' che entrambe queste soluzioni sono valide per ogni tipo di 
triangoli e non solo per quelli equilateri.
ESAGONI
Per x^2+y^2=z^2 Sempre Lindgren ha trovato (1964) una soluzione in 8 pezzi 
se y > x*sqrt(3), se invece y < x*sqrt(3) esiste una sol. in 9, e in soli 6 
pezzi se y = x*sqrt(3).
Per poligoni maggiori ci devo guardare.
Frederickson tiene una pagina qui:
http://www.cs.purdue.edu/homes/gnf/book/webdiss.html
(*) Ha scritto 2 libri sull'argomento dissezioni di figure geometriche:
- Dissections: Plane & Fancy 1997
- Hinged Dissections: Swinging & Twisting
In quest'ultimo sono descritte dissezioni molto belle nelle quali i pezzi 
possono essere collegati con cerniere a formare catene (aperte o chiuse) 
che possono assumere le 2 forme volute, per intenderci, tipo la famosa 
trasformazione di Dudeney fra Triangolo eq. e quadrato.
Livio, molte di queste meritano di essere realizzate in modelli in legno !
Ad esempio i 4 pezzi esterni nella dimostrazione di Perigal (quella che hai 
descritto per prima) possono essere incernierati in quel modo.

 descritto per prima) possono essere incernierati in quel modo.
Ho paura di essermi preso una brutta urimania. Ho messo un po'
di attrezzi nella stanzetta dietro il mio ufficio, una morsa, un trapano,
dei listelli di legno, un archetto da traforo elettrico, dei tubetti di
ottone, colla, chiodi, anelli, bulloni...  aiuto!!!
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Comunque la posto su yahoo, ormai il lavoro l'ho fatto
Cosi' almeno usiamo la casella che miracolosamente funziona
ancora dopo tanto tempo.
Non c'entra nulla, ma io ho appena postato le foto che mi ha
inviato Gabor Hevesi dall'Ungheria sulla sua realizzazione in
legno dei miei SexeHexeS. Son cosi' ben fatti che piacerebbero
anche a Dario!
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 
http://www.cs.purdue.edu/homes/gnf/book/webdiss.html
Partendo da lì e gugolando un po' si trovano tonnellate bellissimi
siti, a me piace moltissimo cut the knot con le sue le animazioni java
(
http://www.cut-the-knot.org/ctk/index.shtml
)
--
Ciao, Silv:o)

 ...  aiuto!!!
Poco male, anzi: Bene!
Così sappiamo già dove tenere il prossimo raduno.
--
Ciao, Silv:o)

 dimostrazione simile alla prima, anche per questi altri casi.
Sarò un po' troppo algebrico, ma io penso che una volta nota quella del
quadrato le altre vengano... per i numeri fissi di elementare memoria :-)
MaxArt

 di elementare memoria :-)
Of course. Resta pero' la soddisfazione estetica di una bella
dissezione.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 macchina foto o di una webcam.
E va bene l'ascii-art, ma bisogna arrendersi all'evidenza della loro
limitatezza!
Per fare semplici disegni basta il normale Jasc Paint Shop Pro, shareware,
di ottima utilità.
Se siete ancora ancorati al vecchio Paint, è capace anche di convertire,
neh!
MaxArt

 dissezione.
In piu' si possono risolvere fisicamente,  problemi come la duplicazione 
del cubo.

 ha scritto:

Ma certo! Con gli origami.
La mia ragazza ci ha fatto la tesina di laurea a riguardo (risoluzione di
problemi di terzo grado con gli origami), e io l'ho abbondantemente aiutata!
:-)
Ho fatto anche delle belle animazioni con Mathematica.
MaxArt

 Ho fatto anche delle belle animazioni con Mathematica.
Esiste in 3D, secondo voi, qualche cosa di analogo al teorema di Pitagora?
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Esiste in 3D, secondo voi, qualche cosa di analogo al teorema di Pitagora?
Un analogo esiste per i tetraedri rettangoli (quelli che hanno tre delle
facce perpendicolari a due a due): il quadrato dell'area della quarta
faccia è uguale alla somma dei quadrati delle aree delle altre tre
facce.
Maurizio

 Ho fatto anche delle belle animazioni con Mathematica.
bello! fai i complimenti alla tua ragazza!