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Titolo: Poliforme

Ultimamente mi sono messo a giocherellare con i tetra triangoli rettangoli
isosceli.
La serie comprende le 14 poliforme seguenti, da visualizzare con carattere
fisso [l'ASCII-art fa un po' schifo, ma spero di essere capito lo stesso]
  A     B     C    D     E     F     G
 _ _   _     _           _ _       _ _ _
|_ _| |_ \  |_ \   /|_  |  /   /|  \ _ /
        |/     \| |_ /   \|   | |
                              |/
  H     I     J     K     L     M    N
       _ _              _
 / \  |  /   / \   / \  \ \ _ |\    /|
|/ \| |/     \ /   \|\|   \ /  \ \  \ \
                                 \|  |/
Le 14 poliforme hanno complessivamente 28 quadratini unitari con i quali
sarebbe teoricamente possibile costruire un rettangolo 4 x 7, costruzione
che risulta impossibile.
Indagando le motivazioni di tale impossibilità, ho individuato un problema
di parità. Infatti, ogni mezzo quadratino (triangolino) può essere
orientato in quattro modi diversi (diciamo NW, NE, SE e SW) ma deve trovare
un corrispettivo in un'altra poliforma che sia orientato in maniera
diametralmente opposta.
Ovviamente, i mezzi quadratini accoppiati all'interno di una singola
poliforma sono irrilevanti.
Per l'orientamento dei triangolini, abbiamo la seguente tabella:
A    nessun triangolino
B    2 triangolini orientati consecutivamente (NW, NE o NE, SE; etc.)
C    2 triangolini opposti (NW,SE o NE, SW)
D    2 triangolini opposti
E    2 triangolini consecutivi
F    2 triangolini opposti
G    2 triangolini consecutivi
H    4 triangolini orientati in tutti e 4 i modi
I      2 triangolini con lo stesso orientamento
J     4 triangolini orientati in tutti e 4 i modi
K    4 triangolini orientati in 8 modi possibili [2 NW, NE, SE;
           2 NW, SW, SE;  2 NE, SE, SW; 2 NE, NW, SW; etc.]
L     4 triangolini come K
M    4 triangolini orientati 2 in un modo e gli altri 2 in modo opposto
N     4 triangolini orientati in tutti e  4 i modi.
E' facile controllare che non vi è alcuna possibilità di orientare le
poliforme in modo che tutti i triangolini orientati NW siano bilanciati da
altrettanti triangolini orientati SE, come pure non vi è possibilità che
tutti i triangolini orientati NE, si riesca a farli bilanciare da
altrettanti orientati SW.
Ma questo non dovrebbe essere l'unico motivo per il quale non sia possibile
realizzare il rettangolo 4 x 7.
Infatti se così fosse, basterebbe sostituire una delle poliforme con 2
triangolini orientati consecutivamente, con un doppione di una di quelle
con 2 triangolini opposti, ed i conti tornerebbero. Come pure tornerebbero
con una sostituzione opposta o con altre sostituzioni analoghe.
Ma ciò avviene solo in determinati casi. E' infatti possibile sostituire la
poliforma D con una copia della E, ma non è possibile il contrario, come
pure non è possibile sostituire in alcun modo la poliforma C che pure ha
caratteristiche analoghe alla D.
Le sostituzioni possibili, per ottenere il rettangolo sono solo le
seguenti.
La D può essere sostituita dalla E o dalla G; la E dalla I; la F dalla G;
la J dalla E, dalla G o dalla L; la K e la L dalla I; la M dalla G; la N
dalla G, dalla K o dalla L.
Mentre continuo le mie prove per cercare altri motivi di limitazione,
lancio il sasso nello stagno per invitare qualcuno a cimentarsi in questo
enigma.
Ciao
Gianni.
PS: Per tutte le mie prove ho utilizzato il programma FlatPoly2
[segnalatomi da Dario] con la necessità, però, di trasformare le mie
poliforme in altre topologicamente equivalenti [il pgm lavora solo su
quadratini].

 quadratini]. 
Esser, l'autore del sito mette a disposizione gratuitamente alcuni suoi 
programmi adatti a manipolare varie forme 2D e 3D, in questo caso e' piu' 
agevole utilizzare MOPS. E' il Polyomino Solver:
http://mitglied.lycos.de/polyforms/index.html
ciao. dario

 Giovanni Ravesi wrote:




Lo avevo provato, ma Mops per 4 triangoli da solo 6 pezzi.
Infatti non è possibile ottenere pezzi che contengano al loro interno due
triangoli uniti in un quadrato.
Ciao.
Gianni.

 dalla G, dalla K o dalla L.
Vediamo che questi scambi sono sempre tra un pezzo "pari" ed uno
"dispari", cosi si riottiene la parita' e il rettangolo viene
composto.
Un saluto a tutti,
GaS

 triangoli uniti in un quadrato.
Perche' tu usi la generazione automatica, tipo "Aggiungi un mezzo quadrato..".
In MOPS puoi disegnare i pezzi che ti servono molto facilmente con Pattern 
-> Free Pattern. Nel campo a cui si accede puoi disegnare una forma 
qualunque. Una volta confermata, la puoi tenere come area totale da 
saturare, oppure puo' diventare un pezzo singolo con Pieces -> Pattern to 
Set, in questo modo puoi ottenere i pezzi che ti servono in pochi minuti.
Un'altra possibilita' e' quella di farli generare al programma utilizzando 
Add Half Square oppure Add Square, poi cancellare i pezzi in eccedenza 
tenendo solo quelli adatti. Clicca col pulsante destro del mouse sul pezzo 
  da eliminare.
Ciao dario

>>quadratini].
Sarei veramente curioso di sapere come hai ottenuto l'adattamento.

 Giovanni Ravesi wrote:


Ho diviso ogni quadratino in 9 quadratini, utilizzando solo i 4 quadratini
sui lati.
In particolare
.x.
x..      corrisponde al triangolo nell'angolo NW
...
.x.
..x     corrisponde al triangolo NE
...
...
x..     corrisponde al triangolo SW
.x.
...
..x     corrisponde al triangolo SE
.x.
.x.
x.x  corrisponde a 2 triangoli uniti in un quadrato
.x.
Le poliforme assumeranno il seguente aspetto un po' bizzarro.
 x  x     x       x        x       x
x xx x   x xx    x xx     x xx    x xx
 x  x     x  x    x  x     x  x    x  x
             x       x     x       x
            x         x     x     x
 x  x         x        xx     x
  xx xx     xx xx     x  x     x
    x  x   x  x  x    x  x     x
                     x    x   x xx
                               x  x
 xx     xx         xx       x     xx
x  x   x  x       x  x    xx     x  x
x  x   x  x       x      x    x  x
 xx     x  x    xx       x     xx
               x       xx
                      x
Ovviamente il "field" sul quale assemblare le poliforme va adattato a
questi nuovi pezzi. Le sue dimensioni risulteranno moltiplicate per 3 e
si dovranno interdire 5 caselle su 9 e le altre 4 andranno qualificate
"must square":
GMGGMGGMGGMGGMGGMGGMG
MGMMGMMGMMGMMGMMGMMGM
GMGGMGGMGGMGGMGGMGGMG
GMGGMGGMGGMGGMGGMGGMG
MGMMGMMGMMGMMGMMGMMGM
GMGGMGGMGGMGGMGGMGGMG
GMGGMGGMGGMGGMGGMGGMG
MGMMGMMGMMGMMGMMGMMGM
GMGGMGGMGGMGGMGGMGGMG
GMGGMGGMGGMGGMGGMGGMG
MGMMGMMGMMGMMGMMGMMGM          [G = Gray square]
GMGGMGGMGGMGGMGGMGGMG          [M = Must square]
Con un sistema analogo riesco a manipolare anche i tuoi polilati.
Ciao
Gianni

 Un saluto a tutti,
Ricambio cordialmente.
Ciao
Gianni

   da eliminare.
Effettivamente, quando l'ho provato non ho approfondito molto il
funzionamento del programma, anche perchč FlatPoly2 mi sembrava di gran
lunga migliore.
Cmq, ho generato la serie che mi interessava e l'ho salvata, ma ora ogni
volta che tento di aprirla mi da una serie di errori [perdipiů in
olandese].
Ciao
Gianni

 la soluzione se facciamo una di queste ultime sostituzioni.
Le parita' sono condizioni necessarie, ma non sufficienti per
avere soluzioni con le poliforme!  :o))
A livello intuitivo ho spesso notato che le poliforme di ordine
pari danno delle delusioni mentre quelle di ordine dispari e'
piu' facile che combinino qualche cosa di buono.
I 30 pentaboli, infatti, formano il loro bel rettangolo 5x15 e
sono molto belli, mentre gli esaboli tornano ad essere rognosi.
Mi sembra che in giro manchi una trattazione degli eptaboli,
purtroppo pero' formano gia' dei buchi.
I tetraboli erano stati battezzati da Henri Picciotto:
http://www.picciotto.org/math-ed/puzzles/#supertangrams
che ricava anche un figura simmetrica simpatica.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio