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Titolo: Somme di potenze

Dopo venti anni di ricerca, finalmente mi e' riuscito di
trovare, in una libreria svizzera, il libro di Roland
Sprague "Recreation in mathematics".
Fra l'altro accenna di aver trovato  nel 1948 una
dimostrazione al teorema generale " Per ogni intero n >= 2
esiste un intero positivo >n NON esprimibile come somma di
distinte ennesime potenze", ma non dice quali sono questi
interi nemmeno per piccoli valori di n.
Leggo a pag.128 del Dictionary of Courious and Interesting
Numbers di D.Wells che 128 (che combinazione!) e' il piu'
grande intero che non e' somma di distindi quadrati, in
altre parole tutti i naturali maggiori di 128, possono
essere espressi come somma di quadrati distinti.
Come si puo' dimostrare ?
Qual e' il maggior intero positivo non esprimibile come
somma di distinti cubi ?
:) dario

Buongiorno, Dario Uri ha scritto:

Suppongo che il primo enunciato vada letto come "Per ogni intero n >= 2
esiste un intero positivo >n NON esprimibile come somma di *2* distinte
ennesime potenze", in caso contrario sarebbe falso, basterebbe prendere una
somma di potenze di 1, suppongo anche che si intendano potenze di numeri
positivi
Per la dimostrazione basta prendere come intero > n il numero n+1, se per
assurdo esistono a e b interi positivi tali che (n+1)^n = a^n + b^n, si vede
che a e b devono essere entrambi minori o uguali a n, e si ha a^n + b^n <= 2
* n^n < (n+1)^n, quest'ultima uguaglianza e' verificata sviluppando il
binomio, i primi due termini del quale sono n^n e n*n^(n-1).
Il secondo enunciato e' falso, 129 non e' somma di 2 distinti quadrati
(suppongo ancora che nell'enunciato manchi un 2), si verifica prendendo i
quadrati dei numeri da 1 a 11 e sottraendoli a 129, le differenze non sono
quadrati.
Ciao

Mi scuso, nel primo teorema ho interpretato male l'enunciato, la
dimostrazione che ho dato non ha nulla a che fare con quella richiesta!
Ciao

Correzione: al posto di "Per la dimostrazione basta prendere come intero > n
il numero n+1",
bisogna porre "Per la dimostrazione basta prendere come intero > n il numero
(n+1)^n", in questo modo la dimostrazione funziona, almeno credo...
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Per rispondere togliere la h nell'indirizzo e-mail.

 somma di distinti cubi ?
Non ho idea di come iniziare, ma ho il sospetto che sia 387420489.
Se fosse così ti dirò il perché, altrimenti, come non detto.
ciao
paolo

 quadrati.
129 lo puoi ottenere come 4 + 25 + 36 + 64. 128 invece non è possibile
ottenerlo, pur usando tutte le potenze distinte che vuoi.
Ciao :-)
Giorgio

Ciao a tutti, innanzitutto desidero ringraziare Giorgio Vecchi per la sua
cortesia nel correggere i miei strafalcioni precedenti, poi provo ad esporre
un'altra soluzione, comunque se questa non dovesse essere giusta mi impegno
a non scrivere altri messaggi riguardo a questo argomento...
Non e' una soluzione molto elegante perche' non sono riuscito ad evitare di
ricorrere a calcoli al computer, ma come diceva Casanova, se non si puo'
andare a cavallo si va a piedi...
Dimostro per induzione il teorema del 128:
Per ogni numero naturale n > 64, ipotizzando che ogni naturale compreso
nell'intervallo [129, n^2] sia somma di distinti quadrati, segue che ogni
naturale m compreso nell'intervallo [n^2, (n + 1)^2] e' somma di distinti
quadrati, infatti posto m = (n - 1)^2 + p, si ha n^2 < (n - 1)^2 + p < (n +
1)^2 (agli estremi dell'intervallo m e' ovviamente un quadrato) da cui 2*n -
1 < p < 4*n, e 129 < p < 4*n < (n - 1)^2 (se n > 64 si ha ovviamente 4*n <
(n - 1)^2), quindi p soddisfa all'ipotesi di induzione ed e' somma di
distinti quadrati, e cosi' pure m = (n - 1)^2 + p e' somma di distinti
quadrati.
A questo punto basta dimostrare che ogni naturale compreso nell'intervallo
[129, 65^2] e' somma di quadrati distinti, per fare questo ho scritto un
programma FORTRAN90 (riportato di seguito)che calcola tutti i naturali <=
65^2 = 4225 che non sono somma di distinti quadrati, e in pochi secondi da'
come risultato che il maggiore di questi numeri e' 128 C.V.D.
PROGRAM pow_sums
IMPLICIT NONE
INTEGER :: I = 0, J, max = 4225, somma, bin_digit, pos
LOGICAL, DIMENSION(4225) :: distinti = .False.
INTEGER, DIMENSION(65), PARAMETER :: quadrati = (/(J*J,J=1,65)/)
DO
 I = I + 1
 somma = 0
 J = I
 DO pos = 1, 65
  bin_digit = MOD(J, 2)
  IF (bin_digit == 1) somma = somma + quadrati(pos)
  J = (J - bin_digit) / 2
  IF (J == 0) EXIT
 END DO
 IF (somma < 4226) THEN
  distinti(somma) = .True.
  IF (somma == max) THEN
   DO J = max, 1, -1
    IF (.NOT. distinti(J)) THEN
     max = J
     EXIT
    END IF
   END DO
  END IF
 END IF
 IF (quadrati(pos) > max) THEN
  DO J = 1, 4225
   IF (.NOT. distinti(J)) PRINT*,  J
  END DO
  STOP
 END IF
END DO
END PROGRAM pow_sums
A proposito del primo teorema, vorrei chiedere se le distinte ennesime
potenze sono da intendersi potenze di interi positivi, se fosse cosi' il
numero cercato sarebbe n + 1, che e' maggiore di 1 e minore di 2^n.
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