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Titolo: Ottusangolo

Scelti 3 punti a caso su un piano infinito, qual'e' la probabilita' che
siano i vertici di un triangolo ottusangolo ?
:)dario

:)dario
La probabilita' e' UNO.
SPOILER
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Siano
A,B,C, i tre punti,
r la retta contenente  il segmento AB,
a la retta passante per A perpendicolare ad r,
b la retta passante per B perpendicolare ad r,
H il punto ottenuto proiettando ortogonalmente C su r.
Le rette a,b, dividono il piano in tre regioni: una fascia e due semipiani.
Se il tiangolo e' acutangolo, C e' interno alla fascia delimitata da a,b, ed
H e' interno al segmento AB.
Se il triangolo e' rettangolo, C cade su una delle rette a,b, ed H coincide
con A o con B.
Se il triangolo e' ottusangolo, C cade in uno dei semipiani, ed H e' esterno
al segmento AB.
La probabilita' che il triangolo NON sia ottusangolo, dovrebbe essere data
dal rapporto tra la lunghezza del segmento AB e quella della retta r (se
cosi' si puo' dire), cioe' uguale a zero.
La probabilita' per il triangolo ottusangolo e' 1-0=1
ciao
paolo

...


ciao Domenico
C'e' un piccolo errore: se AB e' il lato piu' lungo, il punto C puo'
trovarsi ina regione del piano ben definita. Tale regione e' l'intersezione
delle due circonferenze di centro A e B e raggio AB. Il rapporto fra le
aree, con questo aggiustamento, da' una probabilita' di circa il 64% che il
triangolo sia ottusangolo.
Il ragionamento di Paolo, secondo me, ha un problema: se A e B sono
infinitamente distanti (e' il caso piu' probabile?), che succede?
E poi il triangolo puo' essere ottusangolo anche se C appartiene alla
fascia...
ciao
MF

MF
Diciamo che ho fatto un errore nella spiegazione (cioe' ho detto una cosa e
ne ho spiegata un'altra che in realta era cio' che volevo dire :-) )
Considero un punto A e chiamo B il punto maggiormente distante da A (A
centro del cerchio grande, B sulla circonrerenza)....... (il resto e'
uguale ) ;-)
ciao Domenico

 Aspettiamo risposte ;)
Esatto
anch'io sono arrivato alla stessa
conclusione
Italo

Se il triangolo e' ottusangolo, C cade in uno dei semipiani,
Rivedendo le cose, si puo' avere il triangolo ottusangolo anche in un altro
caso, quando C cade all'interno del cerchio di diametro AB.
In questo secondo caso il lato AB e' il lato piu' lungo del triangolo
ottusangolo.
Questo comunque non dovrebbe modificare il risultato.
Studiando questo problema mi sono imbattuto in una sorta di paradosso, che
espongo in un nuovo messaggio su it.fan.dewdney.
ciao
paolo

 fascia...
Proprio cosi'. Il problema fu proposto da Lewis Carroll. 
Che da come sol. il rapporto fra le due aree dette.
A me risulta 0.639382.
:)dario

fascia...
Questo e' vero, vedi mio secondo messaggio, pero' cio' dovrebbe rafforzare
il risultato di probabilita'=1.
ciao
paolo

A me risulta 0.639382.
Mi rimane un dubbio: il ragionamento che da' p=0.64 mi sembra corretto, ma
mi sembra corretto anche l'altro che da' p=1, tanto piu' che ci arrivo anche
con un altro percorso.
Se ripeto il ragionamento di Domenico_Matteo, partendo anziche' dal lato
piu' lungo da quello piu' corto, trovo che il punto C deve appartenere alla
parte (infinita) di piano esterna ai due cerchi di raggio AB con centri in A
e in B.
Il triangolo e' ottusangolo se C e' esterno alla fascia delimitata dalle
rette perpendicolari ad AB e passanti per gli estremi.
La probabilita' che il triangolo NON sia ottusangolo dovrebbe essere data
dal rapporto tra l'area di tale fascia e l'intero piano.
Si tratta di rapporto tra due infiniti, ma credo che sia lecito in quanto la
fascia e' infinita in una dimensione, il piano in due, quindi il rapporto
dovrebbe essere zero.
Se vogliamo evitare questo ragionamento, possiamo comunque ottenere un
risultato differente rimanendo in aree finite, cioe' ripetendo il
ragionamento a partire dal lato medio.
Sia AB il lato medio del triangolo.
Il punto C dovra' appartenere ad uno solo dei due cerchi di cui sopra, cioe'
deve appartenere alla figura data dall'unione dei due cerchi meno la loro
intersezione.
All'interno di questa figura, il triangolo e' ottusangolo se C e' esterno
alla fascia di cui sopra.
Dal rapporto delle aree risulta p=0.82 circa.
Anche tralasciando il ragionamento sulle aree infinite, mi sembra che almeno
i ragionamenti p=0.64 e p=0.82 siano equivalenti, quindi dovrebbero essere
entrambi corretti o entrambi errati.
Pero' non possono essere entrembi corretti in quanto danno risultati
differenti.
Quindi dovrebbero essere entrambi errati, a meno che non esista una ragione
che renda lecito il ragionamento sul lato lungo e non lecito quello sul lato
medio.
Secondo me l'errore potrebbe consistere nel fatto che per scegliere il lato
piu' lungo (o quello medio) occorre che siano stati gia' scelti i tre punti,
quindi non avrebbe piu' senso ragionare sulla probabilita' che C si trovi in
una o in un'altra posizione.
cosa ne pensate?
Credo comunque che l'errore di fondo sia un altro, che renderebbe il
problema improponibile. Ne parlero' in un prossimo messaggio.
Nel frattempo leggete il nuovo quesito "Il mio e' piu' lungo del tuo". Ha
qualche attinenza con questo problema.
ciao
paolo
P.S.
Ho cercato di riportare il problema in aree finite, limitando l'appartenenza
dei tre punti ad un quadrato o a un rettangolo.
Non sono riuscito a trovare una soluzione, comunque lo propongo come nuovo
enigma "Ottusangolo 2"

 scritto nell'articolo



A scuola ci hannosempre insegnato che l'unione dei punti all'infinito
descrivono una circonferenza
questo perche' tutti i punti sono equidistanti da un "centro" comune
(anche se tutti i punti al finito sono il centro)
e poi perche' se ci fossero due punti allineati
esisterebbe un fascio di rette parallele che
si incontrano all'infinito in due punti e non in uno
ciao
Italo


ciao Domenico

Raffaele
Non conoscevo il lemma di zerbino... :) Come si dimostra?
(a occhio avrei detto che la prob. di avere triangoli rettangoli fosse 0)
Perche' la probabilita' di avere tr. acut. od ottus. e' uguale?
ciao
MF


Ho trovato un'altra dimostrazione di un'altra probabilita'.
Presi tre punti nel piano esiste, ed e' unica, una circonferenza che passa
per tali punti. Il triangolo formato dai tre punti e' ottusangolo se e solo
se i 3 pti giacciono nella stessa semicirconferenza. Considero il caso del
triangolo rettangolo trascurabile.  (zerbino permettendo...  :D   )
Il problema e' un classico: qual'e' la probabilita' che n punti scelti su
una cfr. giacciano sulla stessa semicfr.? Nel nostro caso, con n=3, p=3/4.
ciao
MF


Su 100000 terne di numeri casuali tra 0 e 1000000 è successo:
Triangoli =   49991
Acutangoli =   21448 42,90%
Rettangoli =   0 0,00%
Ottusangoli =   28541 57,09%
Dal che si possono congetturare due cose
1. Data una terna a caso la prob. che questa sia i lati di un triangolo è
1/2
2. La prob. di avere un tr. ottusangolo è Pi/2-1, acutangolo 2-Pi/2
Sono rimasto sorpreso da entrambi i risultati e non ho la minima idea di
come dimostrarli
saluti

descrivono una circonferenza
Esatto. Probabilmente, partendo da questo, si ottiene la soluzione vera.
Se riesci a calcolare la probabilita' di ottenere un triangolo ottusangolo
con tre punti scelti a caso in un cerchio:
-se tale probabilita' p e' indipendente (come credo) dal ragggio r del
cerchio, e' la probabilita' cercata.
-se tale probabilita' p(r) e' funzione di r, la probabilita' cercata sara'
il limite (se esiste) di p(r) per r tendente all'infinito.
Credo che tutte le altre soluzioni proposte, compresa naturalmente la mia,
siano affette da un vizio di partenza, contenuto nella formulazione del
problema: secondo me non ha senso parlare di scelta casuale in un insieme
infinito (spazio, piano, retta, insieme di numeri naturali o reali, ecc.).
Credo che qualsiasi metodo di scelta si adotti, questo non possa rendere
tutte le scelte equiprobabili.
Quindi l'unico metodo corretto, ammesso che ne esista uno, dovrebbe partire
da un insieme finito e poi passare al limite.
E' come la soluzione che hai adottato per il problema del numero piu'
grande.
ciao
paolo

come dimostrarli
La probabilita' che hai trovato per il triangolo ottusangolo non mi pare
sorprendente: abbiamo visto dimostrate probabilita' 100%, 82%, 75%, 64%,
quindi anche 57% trova diritto di cittadinanza. Chissa' se il fatto che
questo valore sia PI/2-1 e' una coincidenza o se ha un significato?
La probabilita'=0 del triangolo rettangolo e' perfettamente logica.
Quello che trovo assurdo e' la probabilita' del 50% per i non triangoli.
Cosa significa? Che nel 50% dei casi i tre punti sono risultati allineati?
Credo che dovresti rivedere il programma, sicuramente c'e' qualche bug.
Comunque, se i numeri casuali sono stati scelti tra 0 e 1000000, cioe' tra
due valori finiti, questo non si puo' considerare rappresentativo di una
scelta in un piano infinito.
D'altra parte non credo che sia possibile realizzare un programma
rappresentativo di questo problema. Dal momento che normalmente vengono
generati numeri random tra zero ed 1, si dovrebbe trovare un algoritmo che
dia una corrispondenza biunivoca tra tali numeri e l'insieme dei numeri
reali, mantenendo l'equiprobabilita'.
Sarebbe interessante vedere come hai scelto i punti.
Se in cordinate cartesiane, cioe' per ogni punto una coppia di numeri random
tra zero ed L, il programma dovrebbe rappresentare la scelta all'interno di
un quadrato di lato L.
Se in cordinate polari, un numero tra zero e 2*Pi ed uno tra zero ed R,
dovrebbe rappresentare la scelta all'interno di un cerchio di raggio R. In
questo caso pero' mi sembra che i punti tendano ad addensarsi verso il
centro del cerchio, e quindi mancherebbe l'equiprobabilita'.
Fammi sapere
ciao
paolo


Hai ragione tu ... :-)mi son lasciato trarre in inganno dal fatto
che la regione interna alle rette
avesse ancora due dimensioni
dimenticando che in effetti una delle due dimensioni
e' finita ...
ciao
Italo


saluti
alla prossima

Visto che molti, come me, ritengono che un ipotetico confine di uno spazio
infinito possa essere circolare, ho provato a calcolare la probabilita' che
tre punti presi a caso all'interno di un cerchio di raggio r hanno di
formare un triangolo ottusangolo. premetto che non sono ancora pervenuto al
risultato numerico (molto difficile da calcolare per la presenza di un paio
di integrali) ma ho seguito il piu' rigoroso dei metodi (anche se, forse, il
piu' barbaro, ma, salvo errori di battitura, quasi sicuramente giusto) :
Ho fatto innanzi tutto questa considerazione: dati 3 punti A, B e C, scelti
a caso, la probabilita' che l'angolo ottuso sia in A, in B o in C e' la
stessa; mi calcolo dunque quella in A e moltiplico alla fine per 3 (lo posso
fare perche' se l'angolo in A e' ottuso sicuramente gli angoli in B e in C
non lo saranno, si tratta dunque di insiemi ben distinti).
Calcolo innanzitutto la probabilita' che ha A di trovarsi a una distanza x1
dal centro e la chiamo P1 : P1=2*x1*dx1/r^2 (dx1=differenziale di x1).
Immaginiamo ora di porre questa circonferenza col centro sull'origine di un
riferimento cartesiano; per l'alta simmetria del problema posso considerare
A giacente sempre sull'asse x. Ora devo vedere quando l'angolo in A e'
acuto. Chiamo a l'angolo formato dal segmento AB con l'asse x. La retta
passante per A perpendicolare ad AB divide il cerchio in due parti. Se C si
trova nella parte opposta rispetto a B l'angolo in A e' acuto. Devo dunque
trovare la probabilita' che ha B di formare, con A, un angolo a rispetto
all'asse x. Chiamando P2 questa probabilita' ho: P2=1/2*D^2*da/(P*r^2) (con
D distanza tra A e il punto della circonferenza individuato dalla
intersezione di una semiretta passante per A, con algolo a risperro all'asse
x, con la circonferenza stessa, P=pigreco, da=differenziale di a). Per
calcolarmi D, devo dunque individuare il punto di intersezione e calcolarmi
successivamente la distanza tra due punti. Per simmetria considero il
semicerchio delle y positive. Il punto di intersezione e' individuato dal
sistema: y=sqrt(r^2-x^2) , y=tan(a)*(x-x1) (x1 e' la posizione sull'asse x
di A). Risolvendo (vi risparmio i passaggi) si ha:
D^2=r^2-x1^2*(1-2*cos(a)^2)-2*x1*cos(a)*sqrt(r^2-x1^2+x1^2*cos(a)^2)
Dobbiamo ora calcolarci la probabilita' di trovare il punto C nell'area
suddetta (ora inizia la parte piu' difficile da spiegare, sigh!). Provate a
disegnare il cerchio, il punto A e il segmento AB (prolungandolo magari fino
a toccare la circonferenza) e la retta perpendicolare a questo passante per
A (per capire meglio fate in modo che l'angolo a sia minore di 90 gradi).
L'area individuata e' la somma di mezza circonferenza con un'altra area (che
nel caso in cui a>P/2 diventa negativa). Dobbiamo quindi calcolarci
quest'altra area (per comodita' disegnamo il diametro parallelo alla retta).
Tracciamo ora i due raggi che vanno dal centro ai due punti individuatisulla
circonferenza dalla retta. Abbiamo cosi' diviso la nostra area in 3 (2
spicchi di cerchio uguali e un triangolo. La distanza h del centro dalla
retta e' h=x1*cos(a); l'angolo b formato dai raggi col diametro disegnato
precedentemente e , quindi, con la retta e' dunque:
b=arcsin(h/r). Chiamo A1 la prob. di trovare C nell'area triangolare, A2
nelll'area degli spicchi e A0 nell'area del semicerchio:
A0=1/2; A2=b/P; A1=h*sqrt(r^2-h^2)/(P*r^2)
La prob. che l'angolo in A sia ottuso (salvo errori) e':
Pa=int(r,0)(2*int(P,0)(P1*P2*(A0+A1+A2))); la prob. che il triangolo sia
ottusangolo e' : Pt=3*Pa.
Per uno spazio infinito, ovviamente, tale prob. sara':
lim (r->oo) Pt
Devo dire che i programmi di matematica di cui dispongo non mi sono di
grande aiuto per la risoluzione di tali integrali; provero' (se si puo') a
risolverli manualmente (ma ci vorra', credo, un po' di tempo).
Spero, comunque, che la descrizione, anche se complessa, sia chiara.
ciao Domenico

ciao Domenico
In geometria proiettiva i pti all'infinito (pti impropri) su un piano
formano una retta (retta impropria). Usando coordinate omogenee (x,y,u) essi
sono rappresentabili nella forma (x,y,0). L'equazione della retta impropria
e' appunto u=0.
I pti impropri sono pensabili per analogia come la direzione di un fascio di
rette parallele.
La mia professoressa di geometria rappresenta la retta impropria come una
linea ondulata, anche se talvolta fa casino e rappresenta cosi' anche le
rette immaginarie :).
Analogamente in uno spazio 3D (x,y,z,u) esiste il piano improprio u=0, e le
rette improprie sono analoghe alla giacitura di piani paralleli...
ciao
MF

MF
ciao
Domenico

 probabilita' non dipende ovviamente dal raggio del cerchio.
Certo che qualcuno li legge. L'idea e' bella, e c'e' anche una
sorpresina. 
Questo problema e'identico a quello proposto da Paolo dell'assicella
spezzata in 3 pezzi a formare un triangolo. L'analogia si spiega cosi':
Dato che i tre punti possono cadere in qualunque posizione, posso
ruotare il cerchio fino a portare il primo punto scelto A, a coincidere
con un punto prefissato sulla circonferenza x. Apro la circonferenza in
x e la stendo a formare un segmento di retta, Ora se i tre punti A,B,C
cadono sulla stessa semicrf. uno dei tre pezzi AB,AC,BC, sara' piu'
lungo della somma degli altri due. I tre punti formeranno un tri.
ottusangolo, ma i tre segmenti NON formeranno triangoli. Come avevamo
gia' trovato la prob. = 3/4. 
:)dario