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Titolo: Mescolando

Ho comprato una macchinetta che mescola i mazzi di carte.
Ad ogni mescolata riarrangia le carte sempre nello stesso modo
relativamente all'ordine in cui sono inserite nell'apposita feritoia.
Per studiare il modo in cui lo fa, ho inserito le 13 carte di cuori in
ordine (Asso in alto, K sotto) dopo 2 miscugli l'ordine delle carte  da
sopra a sotto e' diventato:
10,9,Q,8,K,3,4,A,5,J,6,2,7.  
Mi sto chiedendo quale fosse la disposizione dopo il primo miscuglio.
:)dario

Mi sto chiedendo quale fosse la disposizione dopo il primo miscuglio.
SPOILER
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l'unica permutazione valida e' la
9,A,4,Q,J,7,3,2,10,5,K,8,6
prendiamo come punto d'inizio dell'analisi l'asso.
Qual e' stata la tappa intermedia? Possiamo provare ad ipotizzare dove e'
finito l'asso dopo la prima mescolata, oppure quale carta ha rimpiazzato
l'asso in prima posizione.
Seguiamo il primo metodo. Ipotizziamo per l'asso la seconda posizione.
Questo vorrebbe dire che la carta in seconda posizione viene poi mandata in
ottava (e' li' che troviamo l'asso alla seconda mescolata). Quindi il 2
viene parcheggiato in ottava posizione prima di finire in penultima. Ma
allora l'8 passa per la penultima prima di arrivare in quarta, e cosi' via.
Siamo stati fortunati gia' al primo tentativo. Se avessimo scelto una
destinazione diversa per l'asso ci saremmo imbattuti in un vicolo cieco.
Proviamo col secondo metodo. Ipotizziamo che al posto dell'asso ci sia dopo
la prima mescolata un 2. Ma allora cio' che sta in seconda posizione passa
poi in prima, e dato che alla fine in prima c'e' un 10 e' il 10 che alla
prima mischiata e' finito in seconda posizione. Alla fine in seconda
posizione c'e' un 9 che prima doveva stare in decima posizione. Proseguendo
si piazzano altre dieci carte ma poi si arriva ad un vicolo cieco.
Dobbiamo variare l'ipotesi iniziale fino a tentare col 9 in prima posizione,
allora risolviamo.
Ciao, Silv:o)

 Mi sto chiedendo quale fosse la disposizione dopo il primo miscuglio.
Ok, l'ottimo Silvio ha gia' risposto... quindi propongo una piccola
variante:
Dario mostra la macchinetta ad uno di quegli amici che non possono fare
a meno di trafficare pesantemente su tutto quello che trovano...
Quando l'amico se n'e' andato, Dario ordina il solito mazzetto in questo
modo:
K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, A.
Poi lo inserisce per due volte senza guardare nella macchinetta.
Esaminando la disposizione finale trova:
10, 6, 2, 8, A, 3, J, 4, 7, 9, Q, 5, K.
Arrabbiato con l'amico, sta per telefonare al negozio per far riparare
la macchinetta che sembra oramai rotta (perche' pensa questo?)... poi ci
ripensa, che' in fondo cosi' e' anche meglio di prima come mescolatrice
di mazzi di carte!
NB: il fatto che nel mescolare, la macchinetta abbia seguito regole
diverse dal primo quesito proposto da Dario, non e' un indice di
malfunzionamento. Le regole di mescolamento possono cambiare, ma
dovrebbero essere le stesse tra una mescola e l'altra se non si
modificano volontariamente.
NNBB: ovviamente si puo' risolvere come ha fatto Silvio... ma se
qualcuno [come me :-(] aveva sbadatamente invertito la posizione
iniziale delle carte tentando di risolvere il problema di Dario, forse
si e' accorto che delle volte c'e' un modo per separare in piu' gruppi
il mazzo... e verificare un piccolo gruppo e' piu' facile che
verificarne uno grande, no?
Ciao ciao
Claudio
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*Nessuno sa che quest'affermazione e' vera!*
da *Impossibilita'* di John D. Barrow

 di mazzi di carte!
Se la macchinetta funziona correttamente, allora la sua permutazione
caratteristica e' il prodotto di due permutazioni che operano su due
distinti gruppi.
Infatti J,7,5,2 alla fine occupano le posizioni di partenza, ma permutate, e
le rimanenti 9 carte occupano, permutate, le restanti. Ma allora ci dovrebbe
essere una sottopermutazione che manda le 4 carte in esame nelle nuove
posizioni in due passi. I tentativi da fare sono solo due, col J che va
temporaneamente al posto del 5 o del 9. Entrambi falliscono. Allora possiamo
fare a meno di controllare che ci sia una sottopermutazione valida sul
gruppo di 9.
Metodo alternativo:
Ogni permutazione e' caratterizzata da una parita', che corrisponde alla
parita' del numero di inversioni (scambi elementari di un numero con un
altro). La parita' di una sequenza di permutazioni si calcola come la
parita' di un prodotto.
Dunque due permutazioni identiche dovrebbero produrre una permutazione per
forza di cose pari. Ma la permutazione proposta e' dispari! Infatti partendo
dalla disposizione iniziale provate a portare il 10 in cima scambiandolo con
il K, poi a portare il 6 in seconda posizione scambiandolo col Q e cosi'
via: vi serviranno 11 scambi per arrivare alla disposizione finale.
Ciao, Silv:o)

 per forza di cose pari. Ma la permutazione proposta e' dispari!
... questo e' decisamente meglio! :-)


relativamente all'ordine in cui sono inserite nell'apposita feritoia.
La tua macchinetta potrebbe essere la fonte di dozzine di varianti, basate
sull'algebra delle permutazioni. Ne propongo un paio.
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A) non voglio proprio faticare, copio il tuo problema in maniera
praticamente integrale..
Ho inserito le 13 carte di cuori in ordine (Asso in alto, K sotto)
dopo 7 miscugli l'ordine delle carte da sopra a sotto e' diventato:
10,9,Q,8,K,3,4,A,5,J,6,2,7.
Mi sto chiedendo quale fosse la disposizione dopo il primo miscuglio.
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B) (ti consiglio di non sbagliare)
Il costruttore della macchinetta ti propone il seguente quesito: Disponi
inizialmente il mazzo come meglio credi, lo inserisci nella macchinetta
(della quale ovviamente NON CONOSCI la permutazione caratteristica), fai
tutte le mischiate che ritieni opportuno, senza mai vedere le carte, ma alla
fine fermi la macchina, prendi una carta, a tua scelta, e devi essere in
grado di indovinare che carta sia.
Se indovini la macchinetta e' tua gratis, se sbagli viene fatta una
mischiatina alimentandola con ... i tuoi attributi (bestiachedolooooooore).
Ciao, Silv:o)

 (bestiachedolooooooore).
Questo mi pare il piu' facile, anche se il piu' rischioso ;-).
...
...
...
Se la carta che scelgo e' coinvolta nella permutazione di k carte, dopo
k mescole si ritrovera' nella posizione di partenza.
Visto che non posso sapere con quante carte si mescolera', faccio il mcm
dei numeri tra 1 e 13, e cioe' 360360.
Sono un po' tantini, ma considerato il rischio...
Ciao ciao
Claudio

 Mi sto chiedendo quale fosse la disposizione dopo il primo miscuglio.
Che sciocco che sono...
...
...
Visto che dopo 13 mescole saranno di nuovo nelle posizioni iniziali,
posso sapere subito la disposizione dopo 6 mescole... ed avere quindi la
regola!
Dopo 6 mescole:
8, Q, 6, 7, 9, J, K, 4, 2, A, 10, 3, 5
Quindi dopo la prima:
4, 3, J, K, 2, 10, 5, 7, Q, 8, A, 6, 9
ArriCiao ciao
Claudio

 Che sciocco che sono...
Appunto! :-(
Invece che ricavare la regola dalla sesta alla settima, l'ho presa al
contrario.
Dopo la prima:
J, 5, 2, A, 7, Q, 8, 10, K, 6, 3, 9, 4
AncoraCiao ciao
Claudio

 Sono un po' tantini, ma considerato il rischio...
T'e' andata bene, il tuo debutto come soprano nel coro della chiesa e'
rimandato.
Ciao, Silv:o)

 rimandato.
Fiuuu... visto che e' andata, un'altra variantina... con l'unico
particolare che non sono sicurissimo che possa andare, ma la propongo lo
stesso... stavolta non sono io a rischiare ;-).
Dunque, al posto del negoziante prendo il solito re bisbetico che vuole
tagliare teste o quel che capita. Una macchinetta e un mazzetto di carte
come i precedenti.
Questa la proposta del re:
Prende il mazzetto (A, 2, ..., K), lo fa mescolare dalla macchinetta un
numero di volte sconosciuto, poi te lo mostra.
8, J, 7, 9, K, Q, 5, 4, 10, A, 3, 6, 2.
Ti da il mazzetto e ti chiede di mescolarlo un numero di volte a tua
scelta (ma comunque almeno una volta) e di indovinare la posizione di
almeno una carta.
Se indovini avrai salva la testa, ma c'e' una difficolta'... se mescoli
un numero di volte maggiore di quante ne ha fatte il re, il risotto che
i cuochi stanno preparando per la cena sara' condito da *tartufi*
trifolati...
Ciao ciao
Claudio

 trifolati...
Dunque. C'e un ciclo di lunghezza 2 (6,Q), quindi ad ogni mischiata queste
due carte si invertono. Quindi mi basta mischiare una volta e dichiarare che
la sesta carta sara' un 6.
Comunque dovendo in ogni caso fare meglio del re, dovevamo per forza
riuscirci in una mischiata sola.
Magari prova a riformularlo col ciclo minimo piu' lungo di due, l'idea e'
buona ma col due e' troppo semplice. Cosi' su due piedi non mi viene niente
di meglio, anche perche' bisogna inserire una clausula sulla lunghezza,
qualche minaccia del re, altrimenti si risolve col mcm.
Ciao, Silv:o)

 mcm.
Forse qualcosa si potrebbe fare con un mazzo piu' grande... ma
diventerebbe scomodo da trattare per chi cercasse di risolverlo...
mmmhhh... ci pensero'.
Intanto proviamo con questo...
Solito re che inserisce il mazzo:
A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K
Lo mescola varie volte (non si sa quante) e ti mostra:
8, Q, 4, 7, 10, 3, 2, 6, A, J, 5, 9, K
Lo mescola ancora varie volte di nascosto, prende le prime due carte ed
esclama: *Toh! c'e' il sette.*
Bene, se sai individuare una carta nel mazzo restante salvi la testa ma
rimane il risotto... se ne sai individuare almeno 2 eviti anche il
risotto ed un fantastilione per ogni carta oltre la terza.
Ciao ciao
Claudio
PS: e un premio speciale per tutti... la smetto con le varianti ;-).