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Titolo: Quiz per elettricisti

Ho costruito un icosaedro usando come spigoli 30 resistori da 1Kohm.
Poi ho misurato la resistenza tra due vertici opposti.
Quanto ho misurato?
Ciao!!!  :o)
Livio

 Quanto ho misurato?
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1kOhm? 

Multiscan ha scritto:

Mmmmm...   no!
Ciao!!!  :o)
Livio
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Questo articolo e` stato inviato dal sito web 
http://www.nonsolonews.it

chenickname ha scritto:

molto poco ragionato... mezzo?
ciao
m



Carino questo...
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spoiler
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Se A è il vertice da cui entra la corrente, questo è connesso a 5
vertici di secondo livello (che sono anche connessi fra loro a formare
un pentagono).
Analogamente, se B è il vertice da cui esce la corrente, questo è
connesso a 5 vertici di terzo livello.
Infine, ogni vertice di secondo livello è connesso con 2 vertici
adiacenti di terzo levello, e viceversa.
Se I è la corrente in entrata (e in uscita), attraverso ogni resistore R
che connette A con un vertice di secondo livello scorre una corrente
(1/5)I (per simmetria). Analogamente, scorre una corrente (1/5)I
attraverso ogni resistore che connette B con un vertice di terzo
livello. Sempre per simmetria, in ogni resistore che connette un vertice
di secondo livello con uno di terzo livello scorre una corrente (1/10)I.
Notare che i vertici di secondo livello sono allo stesso potenziale,
quindi nei resistori che li congiungono non scorre nessuna corrente. Lo
stesso vale per i vertici di terzo livello. In altre parole, hai
sprecato 10 resistori...
Adesso troviamo la caduta di potenziale fra A e B, andando da A ad un
vertice di secondo livello, da qui ad un vertice di terzo livello e da
qui a B. Si ha:
V = (1/5)I*R + (1/10)I*R + (1/5)I*R = (1/2)RI.
Quindi la resistenza equivalente è (1/2)R = 0.5 Kohm.
SE&O
Maurizio

Maurizio Frigeni ha scritto:

Bene. Ora non resta che qualche altro solido platonico, gli archimedei, quelli di Johnson e di Catalano...


 quelli di Johnson e di Catalano...
Per fortuna non tutti i poliedri si prestano, perché non tutti hanno
coppie di vertici opposti. Fra i solidi platonici, ad esempio, il
tetraedro non va bene.
Il cubo e l'ottaedro sono facili: ripetendo il ragionamento
dell'icosaedro si trova (5/6)R per il cubo e (1/2)R per l'ottaedro.
L'unico caso che dà un po' da pensare è quello del dodecaedro: per il
momento non dico il risultato, vediamo se qualcun altro si vuole
cimentare.
Maurizio

 quelli di Johnson e di Catalano...
Dopo i solidi platonici, ho provato a dare un'occhiata ai poliedri
semi-regolari ma le cose s'incasinano notevolmente. Ho iniziato dai
prismi (aventi un numero pari di facce laterali) che formano una serie
infinita. Per i primi 3 (considerando anche il cubo) trovo le seguenti
resistenze (se non ho fatto errori) espresse come frazione della
resistenza di ogni singolo spigolo:
cubo      prisma esagonale    prisma ottagonale
 5/6         21/20               61/48
Secondo voi questa successione tende a qualche limite? 
Se qualcuno ha delle idee...
Maurizio

 Se qualcuno ha delle idee...
Secondo me diverge semplicemente.
Prova a pensare ad un prisma con uno squillione di facce, avra' uno
squillione di ohm  :o)
Ciao!!!  :o)
Livio

 Secondo me diverge semplicemente.
Sì, hai ragione, è ovvio che sia così.
Fra l'altro avevo sbagliato il valore della resistenza nel caso di 8
facce, ora ho fatto un programmino per calcolare questi valori e per
curiosità ne riporto alcuni:
n. facce del prisma       resistenza equivalente
   4                               5/6
   6                              21/20
   8                              31/24
  10                             117/76
  12                             161/90
  14                             579/284
  16                             769/336
  18                            2691/1060
  20                            3497/1254
Devo dire che cresce più lentamente di quanto mi sarei aspettato.
Maurizio

 Secondo voi questa successione tende a qualche limite?
si, tende a infinito.

 ...
Provo a dire qualche cosa di meno banale (spero).
In questi prismi, in tutti gli spigoli verticali, eccetto i due
collegati agli
estremi, passa poca corrente. Quindi poco cambiera' se li sostituisco
con un
cortocircuito o con un circuito aperto. Il valore cercato sara'
compreso tra
questi due casi limite. E' facile calcolarli:
Rcc = n/8+1/4
Roo = n/8+1/2
dove n e' il numero delle facce laterali del prisma.
n	Rcc	R	Roo
4	3/4	5/6	1
6	1	21/20	5/4
8	5/4	61/48	3/2
....
1000	125.25	?	125.5
Ciao!!!  :o)
Livio

 Devo dire che cresce più lentamente di quanto mi sarei aspettato.
Mmmm ....
Ciao!!!  :o)
Livio

 1000  125.25  ?       125.5
R(1000) = 125.288675...
Maurizio

 Roo = n/8+1/2
In effetti i risultati sembrano indicare l'andamento asintotico:
R(n) ~ n/8 + 1/4.
Intanto ho fatto gli stessi calcoli anche per gli antiprismi (stavolta
le basi devono avere un numero dispari di lati):
n. lati di base       resistenza equivalente
   3                               1/2
   5                              15/22
   7                              51/58
   9                              41/38
  11                             509/398
  13                            1541/1042
  15                            1145/682
  17                           13419/7142
  19                           38871/18698
Sembra che
R(n) ~ n/10 + 1/4,
immagino che anche questo sia il valore che si ottiene mettendo in corto
le resistenze laterali.
Maurizio

 le resistenze laterali.
Nel caso dell'antiprisma sono un po' piu' in difficolta' a fare un
calcolo spannometrico. Se cortocircuitiamo gli spigoli laterali
otteniamo un bel corto generale. (limite inf. = 0).
Aprendoli, otteniamo un limite superiore di
Roo = n/8+1/4
Cortocircuitandone uno si' e uno no, otteniamo:
Rcc = n/12
Se il giusto è il sentiero di mezzo...
Ciao!!!  :o)
Livio
PS. Mi resta cmq la curiosita' di come hai fatto i calcoli.

 PS. Mi resta cmq la curiosita' di come hai fatto i calcoli.
Molto brutalmente: costruisco un sistema di equazioni usando le leggi di
Kirchhoff, dove le incognite sono tante quanti gli spigoli del poliedro
e rappresentano la frazione della corrente in entrata che passa in
quello spigolo. 
Fortunatamente le equazioni si possono generare automaticamente usando
un software di calcolo simbolico (io uso Mathematica) che poi uso anche
per risolvere il sistema. 
Se ti interessa ti mando via e-mail il file di Mathematica.
Maurizio

 cimentare.
Allora, visto che usi Kirchhoff e Mathematica :o), provo io a
dare una soluzione non convenzionale.
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spoiler
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Sospendendo in verticale il dodecaedro attorno all'asse che
passa per due vertici opposti ed applicando un potenziale tra i
due vertici, data la simmetria del tutto, possamo dire che vertici
che hanno la stessa altezza verticale avranno lo stesso potenziale.
Potremo quindi metterli in cortocircuito tra loro senza che cambi
la resistenza totale. Otterremo cosi' una resistenza formata dalla
serie di 3 R in parallelo + altre 6 + altre 6 + altre 6 + altre 3.
Totale: R=7/6.  s.e.&.o.
Ciao!!!  :o)
Livio

 
Tiriamo fuori le espressioni in forma chiusa? :)
ciao
m

 provo io a dare una soluzione non convenzionale.
Mi sembra perfetto.
Stavo pensando, cosě per sfizio, di riprendere un programmino che avevo
scritto anni fa per generare i poliedri archimedei e modificarlo per
fargli calcolare la resistenza...
Maurizio

 Tiriamo fuori le espressioni in forma chiusa? :)
E' una parola... Hai qualche idea?
Maurizio

 
Certo, però ho sbagliato qualche calcolo perchè non funziona :)
Appena ho tempo cerco l'errore.
Ciao
marco

 fargli calcolare la resistenza...
Mi sembra proprio che un archivio di poliedri fatti di resistenze
elettriche
manchi. Se lo spirito della ricerca e' quello di interessarsi cmq di
cio' che
non esiste ancora, allora la cosa ha un suo senso.
Ci vuole entusiasmo, pero'. Io l'ho perso un po' quando ho scoperto
che
c'e' gente che prende stipendi e finanziamenti per fare le cose che io
facevo (e meglio) per hobby. Ad es.:
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/probegio/GAMEMATH/Polimini/Polimini.htm
Istituto Superiore Mario Boella, mica micio micio bau bau.
Ciao!!!  :o)
Livio

Maurizio Frigeni ha scritto:

Riecchime, ho ricontrollato e scovato l'errore.
Dunque, anzitutto le formule. E' possibile che si possano scrivere in 
modo più compatto, ma sinceramente ho già scribacchiato troppo.
Posto
n=numero facce prisma
x=2+rq(3)
y=2-rq(3)
Se n=4m
R(n)= n/8 + (rq(3)/6) (x^m+y^m)/(x^m-y^m)
Se n=4m+2
R(n)= n/8 + (rq(3)/6) (x^m+y^(m+1))/(x^m-y^(m+1))
Sul come ottenerle.. beh, non è che sia proprio una passeggiata... vedi 
in fondo.
Cmq, problema molto interessante! Devo ringraziarvi, era un po' che non 
passavo di qui e mi sono subito imbattuto in un bellissimo problema :)
Ciao
marco
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... Traccia
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v
E' un po' complicato scrivere qui tutta la dimostrazione, quindi faccio 
solo una traccia.
Il circuito è simmetrico rispetto al piano verticale che passa per i due 
nodi estremi. Pertanto, sia sulla base superiore che sulla base 
inferiore, le resistenze poste in modo simmetrico rispetto a questo 
piano hanno le stesse tensioni ai loro estremi. Pertanto possiamo 
considerarle in parallelo. Lo stesso vale per le resistenze verticali, 
anch'esse simmetriche a due a due, a parte le due verticali direttamente 
connesse agli estremi. Quindi, impacchettando tutte le coppie di 
resistenze simmetriche, il circuito tridimensionale diventa 
bidimensionale. In pratica è come guardare di profilo il solido; quando 
due resistenze si sovrappongono è come se fossero in parallelo.
Ad esempio, il prisma a base ottagonale diventa
  ---- ---- ---- ----B
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A---- ---- ---- ----
dove tutte le resistenze sono 1/2 a parte le due verticali collegate ad 
A e a B.
Ora, chiamo I1 la corrente che passa nella prima resistenza verticale, 
I2 nella seconda, I3 dalla terza.. per simmetria nella quarta passa 
ancora I2 e nella quinta I1.
Imponendo la conservazione della corrente ai nodi si ricavano facilmente 
le correnti nei tratti orizzontali.
Poi costruisco un sistema di equazioni nel seguente modo.
a----b----c----d----B
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A----x----y----z----t
[calcolo Vb-VA sui due possibili percorsi]
I1+I1/2=(I1+2I2+I3)/2+I2/2
[calcolo Vc-Vx sui due possibili percorsi]
I2/2+(I1+I2)/2=(I1+I2+I3)/2+I3/2
ecc... sono (r-1) equazioni, dove r è il numero di incognite, ovvero il 
numero di diverse correnti verticali etichettate. In questo caso 
sarebbere in effetti già finite, perchè poi si ripetono.
Invece di queste equazioni, prendo le loro differenze, ovvero: 2a-1a, 
3a-2a, 4a-3a ... (r-1)a-(r-2)a, che sono equazioni così
I1=2I2-I3
I2=4I3-I4
I3=4I4-I5
I4=4I5-I6
...
I_(r-2)=4I_(r-1)-Ir
(probabilmente si possono ricavare in modo più furbo)
e aggiungo l'ultima delle equazioni originali, che è sempre molto 
semplice. Questa dipende dal fatto che n=4m o n=4m+2, ed è
I_(r-1)=2Ir se n=4m
I_(r-1)=3Ir se n=4m+2
Ora, le equazioni poste sopra, quelle tutte uguali, si possono risolvere 
all'indietro partendo da Ir e I_(r-1). Infatti le altre correnti si 
ricavano applicando ricorsivamente l'equazione alle differenze 
(all'indietro)
I[r-k]=4I[r-(k-1)]-I[r-(k-2)]
L'equazione caratteristica è
x^2-4x+1=0
ed ha soluzioni 2+rq(3) e 2-rq(3).
Pertanto la corrente I[r-k] si esprime con combinazione delle potenze 
k-sime di questi due valori. I coefficienti della combinazione vanno 
sistemati in modo da avere Ir e I_(r-1) corretti, e quindi variano se 
n=4m o n=4m+2.
Poi si va avanti, c'è ancora un bel po' di calcoli ma sono quasi 
solamente algebrici. C'è da prestare attenzione ai valori di I1 e Ir e 
ci sono un po' di calcoli fastidiosi, ma alla fine saltano fuori quelle 
due espressioni.

 
 > Se n=4m
 > R(n)= n/8 + (rq(3)/6) (x^m+y^m)/(x^m-y^m)
 >
 > Se n=4m+2
 > R(n)= n/8 + (rq(3)/6) (x^m+y^(m+1))/(x^m-y^(m+1))
 >
Stupidamente non avevo considerato che, dal momento che y=1/x, le due 
formule si possono riassumere in
R(n)= n/8 + (rq(3)/6) (x^(n/2)+1)/(x^(n/2)-1)
Ora sono più tranquillo, non riuscivo a capire come potessero rimanere 
due espressioni separate :)
Ciao
marco

 
Ciao Maurizio,
Mi interesserebbe molto vedere come hai fatto.
potresti per favore inviare il file anche a me?
All'indirizzo
(p=punto)
marco p dalai chicciola ing p unibs p it
Grazie mille,
ciao
marco

 potresti per favore inviare il file anche a me?
OK, hai posta!
Maurizio

 A---- ---- ---- ----
Bingo! Bellissima idea, complimenti. 
Maurizio

Maurizio Frigeni ha scritto:

Grazie :)
A dire il vero secondo me era molto più difficile la parte dopo, ovvero 
impostare le equazioni in modo da poterle risolvere.
Sto cercando di fare lo stesso per gli antiprismi ma mi sembra più 
complicato. Se non ho sbagliato, facendo il discorso riportato sopra, il 
grafo che ne risulta è del tipo
  ___ ___       ___ B
|\  |\  | ... |\  |
| \ | \ | ... | \ |
|__\|__\|     |__\|
A
con tutte resistenze da 1/2.
Pensavo fosse più semplice ma forse sbagliavo. Riesco forse ora a 
intravedere un sistema di equazioni che si possano risolvere 
simbolicamente, ma ci sto perdendo molto più tempo. Forse mi sta 
sfuggendo un modo semplice?
Ciao
marco

 
Grazie :)
marco

 elettriche manchi. 
Come avevo promesso, ho rispolverato una vecchia procedura che avevo
scritto per generare i poliedri semi-regolari e l'ho ampliata per
calcolarne la resistenza quando i loro spigoli sono formati da
resistenze unitarie.
Per completezza, riscrivo anche i solidi platonici:
Nome          incidenza ai vertici     resistenza
cubo                (4,4,4)                5/6
dodecaedro          (5,5,5)                7/6
ottaedro           (3,3,3,3)               1/2
icosaedro         (3,3,3,3,3)              1/2
manca il tetraedro, che non ha simmetria centrale.
Ecco i poliedri archimedei:
Nome                incidenza ai vertici     resistenza
cubo troncato             (3,8,8)              47/30
ottaedro troncato         (4,6,6)               9/7
dodecaedro troncato      (3,10,10)            191/90
icosaedro troncato        (5,6,6)              17/11
cubottaedro              (3,4,3,4)              2/3
icosidodecaedro          (3,5,3,5)              8/9
rombicubottaedro         (3,4,4,4)         498433/613032
cubottaedro troncato      (4,6,8)            1583/990
rombicosidodecaedro      (3,4,5,4)            651/638
icosidodecaedro tr.       (4,6,10)          42815/21114
Mancano: cubo camuso (3,3,3,3,4), dodecaedro camuso (3,3,3,3,5) e
tetraedro troncato (3,6,6), che non hanno simmetria centrale.
Per i prismi, c'è la formula chiusa trovata da Marco. Ne manca una
analoga per gli antiprismi.
Maurizio

 
Per esserci c'è, ma mi sono dovuto appoggiare a Mathematica per alcuni 
passaggi algebrici e ciò che ne esce è un mostro di 10 righe.
Per ora ho svolto i calcoli (seguendo quanto indicavo nel post del 
03/05) solo per n=4m+1, ma confido che per n=4m+3 cambi poco.
Se prendiamo la seguente semplificazione del circuito
  ___ ___       ___ B
|\  |\  | ... |\  |
| \ | \ | ... | \ |
|__\|__\|     |__\|
A
per il momento ho provato assegnando i nomi I1 I2 ec... alle correnti 
che passano sulle resistenze verticali e diagonali, etichettando in 
ordine da sinistra a destra (I1 vert, I2 diag, I3 vert, ecc...)
Proverò quando ho tempo ad assegnare in modo diverso le incognite per 
vedere se si riesce a trovare una espressione più semplice, ma ho dei 
dubbi, temo che il problema sia sostanzialmente più complicato. Certo se 
qualcuno prova a darmi una mano... :)
Ciao
marco

 passaggi algebrici e ciò che ne esce è un mostro di 10 righe.
Purtroppo capita. Io ho usato Mathematica per ritrovare la tua formula
dei prismi: mi ha dato una versione molto più complicata che è
evidentemente uguale alla tua (dà gli stessi risultati) ma che non ho
ancora capito come si può ricondurre a quella.
Comunque proverò anch'io a trovare la formula per gli antiprismi. BTW:
non so se lo sai, ma Mathematica può anche risolvere equazioni alle
differenze, usando RSolve.
Maurizio

 
Ah, in effetti non lo sapevo, vedo che è una nuova funzione della 
versione 5. Grazie,
marco

 ordine da sinistra a destra (I1 vert, I2 diag, I3 vert, ecc...)
Io invece ho chiamato a[1], a[2], ... , a[k+1] le correnti verticali e
b[1], b[2], ..., b[k] quelle diagonali (k = (n-1)/2), ottenendo un
sistema di due equazioni alle differenze. Per chiudere il sistema ho
usato le prime due equazioni delle maglie e la condizione di simmetria
a[k+1]=a[k]. 
Maurizio

 sistema di due equazioni alle differenze. 
Questa è davvero una ottima pensata. Complimenti.
Una curiosità mi resta.. quando dici << "massaggiandolo" un po' e
rifinendolo a mano >>, ma come diavolo hai fatto?? :)
Ciao
marco

 n/10 indicato da Livio
ehm, l'n/10 mi sa che l'avevi detto proprio tu, scusa :)
ciao
m

 rifinendolo a mano >>, ma come diavolo hai fatto?? :)
Ti mando via e-mail il notebook di Mathematica con la spiegazione.
Maurizio

 
Proverò a pensarci ma mi pare che debba necessariamente essere più 
complicato (ma ho già sbagliato una previsione) perchè n/10 non ha al 
denominatore un multiplo di 4, mentre la tattica di cortocircuitare, se 
fatta secondo le due principali simmetrie del prisma che abbiamo 
considerato, porta in un modo o nell'altro ad avere sostanzialmente 
circa n/(4k).
Quindi secondo me bisogna cortocircuitare seguendo altre simmetrie.
Ciao
m