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Titolo: [MA] Aree intere

Il triangolo con i lati di 13,14 e 15  ha la particolarita'
di avere i tre lati consecutivi e l'area intera (eroniano),
pur non essendo rettangolo.
Quanti altri possiamo trovarne ?
:) dario


.
.
.
A_B_C_Area:
.
13_14_15_84
51_52_53_1170
193_194_195_16296
723_724_725_226974
2701_2702_2703_3161340
10083_10084_10085_44031786
.
Incredibile, non so
perche' succede, ma succede!
.
Ciao  :o)
Livio
--------------------------------
Inviato via 
http://usenet.iol.it
 

"Dario Uri" ha scritto nel messaggio

Il primo è il triangolo degenere di lati 1,2,3
Il secondo è il pitagorico 3,4,5
Il terzo è il tuo esempio 13,14,15
Entro 1.000.000 se ne trovano pochi altri:
A              B         C            Area S
1              2         3               0
3              4         5               6
13            14        15              84
51            52        53            1170
193          194       195           16296
723          724       725          226974
2701        2702      2703         3161340
10083      10084     10085        44031786
37633      37634     37635       613283664
140451    140452    140453      8541939510
524173    524174    524175    118973869476
trovati naturalmente con forza bruta (U basic)
l'unica cosa che finora sono riuscito a trovare è che B deve essere pari
infatti se B fosse dispari sarebbe dispari anche il perimetro 2p, quindi la
formula di Erone
S^2 = p*(p-a)*(p-b)*(p-c)
non potrebbe dare un intero (tutti i fattori a secondo membro son non
interi)
non è molto, ma almeno permette di dimezzare i valori da indagare.
ciao
paolo

 524173    524174    524175    118973869476
Noto che i numeri in colonna B seguono la regola ricorsiva:
Bn = 4B(n-1) - B(n-2).
:) dario

Bn = 4B(n-1) - B(n-2).
infatti applicando la formula di Erone il quadrato dell'area del
triangolo e' la seguente funzione del lato mediano B:
3/16 BB(BB-4)
pertanto l'area sara' intera sse 3(BB-4) e' un quadrato perfetto.
Paolo Licheri ha notato che B deve essere pari. Indicando con b la sua
meta', 3(b^2-1) deve essere un quadrato perfetto: l'equazione in
similPell
3(b^2-1) = x^2
e' risolta dalla ricorsione (per quanto riguarda b)
b(n) = 4 b(n-1) - b(n-2); b(0)=1; b(1)=2
Bisognerebbe dimostrare che ogni sua soluzione e' data dalla
ricorsione suddetta. Ciao

 3(b^2-1) = x^2
Non so come sia quella di Pell, però ci si può riportare ad
un altro tipo di equazione; lo posto perché magari voi lo
conoscete e lo avete già risolto in passato.
x deve essere divisibile per 3, posto x=3y si ha
(b-1)(b+1)=3y^2
dividiamo il caso in due
** b=2n
b-1 e b+1 sono dispari consecutivi e quindi non hanno
fattori comuni da cui si deduce che sono un quadrato e il
triplo di un quadrato (non nell'ordine).
Quindi b-1=H^2 e b+1=3T^2 da cui H^2+2=3T^2
oppure b-1=3T^2 e b+1=H^2 da cui H^2-2=3T^2
Con la congruenza modulo tre si vede che la seconda non è
mai verificata.
**b=2n+1
si deduce che y è pari e posto y=2z
n(n+1)=3z^2
n e n+1 non hanno fattori comuni quindi
n=H^2 e n+1=3T^2 da cui H^2+1=3T^2 oppure
n=3T^2 e n+1=H^2 da cui H^2-1=3T^2
Con la congruenza modulo quattro si vede che la prima non è
mai verificata.
Quindi ci siamo portati al caso
b=H^2+1 con H che risolve
H^2+2=3T^2
oppure b=2H^2-1 con H che risolve
H^2-1=3T^2
Faccio notare che la prima ci servirebbe con soluzioni (H e
T) dispari, ma la congruenza modulo quattro mostra che sono
anche le uniche possibili.
Comunque si vede che se l'equazione di partenza ammette b
dispari come soluzione, b=2H^2-1 con H che risolve la stessa
equazione di b.
Se si potesse fare qualcosa di simile con i pari sarebbe una
bella cosa.
Ciao
MArco

b(n) = 4 b(n-1) - b(n-2); b(0)=1; b(1)=2
La ricorsione di b è giusta.
Faccio vedere come si potrebbero determinare i valori di
b e di x contemporaneamente.
Dopo aver determinato i valori banali di b=2 e x=3, il valore
successivo di b è dato da 2b+x ed il valore successivo di x da
3b+2x e così di seguito ottenendo:
b=2                                          x=3
2b+x = 7                                 3b+2x = 12
2*7+12 =26                             3*7+24=45
2*26+45=97                           3*26+90 = 168
2*97+168 =362                      3*97+336 = 627
2*362+627 = 1351                 3*362+1254 = 2340
2*1351+2340 = 5042            3*1351+4680 = 8733
2*5042+8733 =18817            3*5042 + 17466 = 32592
2*18817+32592 =70226        3*18817+65184 = 121635
= == = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Ora, se vogliono, Andrea e gli amici di ihe possono trovare
la ricorsione di x o quella che lega entrambi i valori di x e b.
Ciao,
Vincenzo Librandi
vli...@tin.it
-- 
Posted from 
pop09-acc.tin.it
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
.
Come appare diverso un problema se
hai davanti un PC o solo un blocco notes! Quando ho risposto al volo
all'inizio di questo thread, la formula di Erone proprio non la ricordavo
(ho fatto altro nei penultimi trent'anni). Ricordavo che avevo in macchina
la formula del coseno, l'avevo memorizzata perche' in Basic non c'e', per
ragioni storiche, la funzione arcocoseno e la cosa e' sempre un po'
macchinosa; suona cosi':
.
X=(C^2-A^2-B^2)/2/A/B
Alfa=Atn(-X/Sqr(-
X*X+1))+2*Atn(1)
H=B*Sin(Alfa)
area=A*H/2
.
Fatto sta' che leggo
velocemente venerdi' sera i vostri interventi e vado in montagna. Sabato
sono su uno sdraio con un blocco notes, neanche una calcolatrice tascabile,
nella memoria (la mia) la formula di Erone, Paolo che diceva che B doveva
essere pari, Dario che parlava di qualche cosa di ricorsivo ed El
Filibustero che diceva "bisognerebbe dimostrare...".
Ora, domenica sera
davanti al PC scopro che quello che ho calcolato nel weekend l'avevate gia'
quasi tutto scoperto, ma ve lo racconto lo stesso perche' e' un po'
diverso.
Intanto, ricordando Paolo, parto subito da X semilato mediano e
trovo per sostituzione che
X^2=3*N^2+1 con N intero
e' condizione
necessaria e sufficiente perche' l'area sia intera. Cosi', a mano posso
calcolare:
X=1_2_7_26
N=0_1_4_15
E l'area diventa S=3*N*X (!), quindi
S=0_6_84_1170
Ora, quando penso a qualche cosa di ricorsivo, penso alla
Fibonacci Machine:
http://www.geocities.com/liviozuc/fibomac.html
Cosi'
scopro subito (due equazioni) che X potrebbe essere ottenuta con K1=4 e
K2=-1
E' la stessa cosa che dice Dario, solo che io la chiamo Serie di
Fibonacci Estesa.
Ma la cosa piu' bella e' che N segue la stessa legge e
l'area idem, ma con coefficienti K1=14 e K2=-1. Cosi' posso verificare a
mano la serie fino a:
X=1_2_7_26_97_362 e S=0_6_94_1170_16296_226974
Ora
vi accorgerete che il rapporto S(i)/X(i)^2 tende a SQR(3), infatti questi
scaleni tendono a diventare sempre piu' equilateri, al crescere delle
dimensioni!
Morale: credo che le due serie di Fibonacci siano realmente i
numeri che cerchiamo di qui all'eternita' e che la dimostrazione, avendo le
due serie e l'equazione trasversale per ogni coppia omologa, dovrebbe
essere a portata di... matematico.  :o)
.
Ciao e scusate la lunghezza


 bella cosa.
Scusate, non vorrei insistere troppo, ma ho notato che lo
studio del caso pari conduce a trovare due numeri
triangolari tali che uno sia triplo dell'altro.
Ho già trovato parecchi problemi che si riconducono alla
determinazione di numeri triangolari multipli di altri
numeri triangolari, qualcuno conosce una trattazione
generale?
(o anche particolare per il 3)
Ciao
MArco

 (o anche particolare per il 3)
Provo a fare qualche osservazione per il 3.
Utilizzo un semplice metodo geometrico. Metto 2 dei
triangolari di ordine n, a formare un rettangolo n x(n+1)
sotto il primo triangolare. Come es. uso n=5 (anche perche'
e' una soluzione) a,b,c sono i tre triangolari:
       a
       aa
       aaa
       aaaa
       aaaaa
     / bbbbb
    |  bbbbc
    |  bbbcc
n+1 <  bbccc
    |  bcccc \ 
     \ ccccc / k
Per avere una soluzione, un certo numero di linee di
elementi, che chiamo k, venno spostate in modo da ottenere
un'unica forma triangolare.
Nel nostro caso i 10 elementi delle ultime 2 file possono
essere risistemati cosi':
       a
       aa
       aaa
       aaaa
       aaaaa
     / bbbbbb
n+1 |  bbbbccc
-k  |  bbbccccc
     \ bbccccccc
 
Il numero dei punti spostati sono nk, e devono formare un
triangolare di ordine n+1-k, allora posso scrivere:
nk = (n+1-k)(n+2-k)/2
Verificando con un programmino trovo i primi valori  T_n
sono 1,5,20,76,285,1065,3976....
Per osservazione vedo che A_n = 4A_(n-1) - A_(n-2) + 1
Nell'esempio abbiamo visto che T_5 = 5*6/2 = 15     15*3=45
= T_9 = 9*10/2
ciao :) dario


Questa e' proprio una equazione di Pell in forma canonica:
b^2-3y^2 = 1
Si puo' risolvere con la ricorsione o le frazioni continue (provate a
fare una ricerca su web con "Pell's equation") ma possiamo anche dare
una formulazione diretta per il calcolo dell'ennesimo termine b_n:
b_n é data dalla sommatoria per i che va da 0 a n/2 di
   (n,2*i)*3^i*2^(n-2i)
dove (n,2*i) é il coefficiente binomiale = n!/((2*i)!*(n-2*i)!)
Potete verificare subito i risultati gia' ottenuti.
-- 
Ciao, Damiano

 una formulazione diretta per il calcolo dell'ennesimo
termine b_n:
tenuti.
Ho dato un'occhiata, grazie :)
Non immaginavo fossero cosě studiate.
Ciao
MArco

 Provo a fare qualche osservazione per il 3.
Mmmm interessante la "visione" geometrica :)
Dopo quello che ho visto sulle equazioni di Pell direi che i
problema si riporta sempre a quelle.
Infatti partendo da
a(a+1)/2=Nb(b+1)/2
moltiplicando per 8 a destra e sinistra e ponendo
x=2a+1
y=2b+1
si ottiene
x^2-Ny^2=N+1
che è del tipo delle similPell :) di cui vanno cercate le
soluzioni dispari
Ciao
MArco