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Titolo: [MA]Dodecaedro(...forse FAQ)

In quanti modi si possono dipingere le facce di un dodecaedro regolare con 3
,4 e5 colori?E con m colori?

 ,4 e5 colori?E con m colori?
Ciao caro,
come ti va?Provo a spoilerare il tuo fetishquiz:direi 3,4,5 & m
rispettivamente,perché ognuno può fare (e dipingere) come vuole con le sue
cose e a casa sua.Si è proprio una faqyou datata 1936 del tipo "how solve
it".
 faccina-pera  :-|

 ,4 e5 colori?E con m colori?
Non ne ho la piu' pallida idea, ma visto che nessuno
ti risponde provo a dare un consiglio:
chi sa come e' fatto costruisca un bel dodecaedro regolare,
cerchi il salvadanaio del figlio ed un martello.
A questo punto potra' agevolmente telefonare ad un
imbianchino senza incidere sul proprio stipendio ed
assegnargli il lavoro. I vantaggi sono evidenti:
se, come dicono stare seduti dentro una piramide conferisce
energie e rilassa la mente, voi non avete neanche idea
di cosa puo' combinarvi una bella seduta di un ora
dentro un dodecoso li' come si chiama
:-))))))))))
ciao, un salutone davvero grande
fulvio

 ha scritto nel messaggio
news:96uu2r$9d7$1...@nreadB.inwind.it...

Sei sempre tu quello che ha pietà per gli ignora(n)ti.Se davvero ti piace
passare la vita dentro le piramidi (sarai mica un Egiziano?) sicuramente
sarà più comodo per te soggiornare in ambienti più spaziosi: il dodecoso è
fatto come un banalissimo pallone da calcio.
Siccome il salutone è un saluto già grande,rispondo con un saluto.:-)

 ,4 e5 colori?   E con m colori?
Tutt'altro che semplice.
Esiste il teorema di enumerazione di Polya a volte riportato come lemma
di Burnside-Polya, ma la sua applicazione non e' sempre agevole, occorre
indagare ad una ad una su tutte le simmetrie, che nel caso del
dodecaedro sono 60. Ricordo che per i poliedri regolari il numero di
simmetrie e' semplicemente 2S, dove S e' il numero degli spigoli.
Nel '93 ho svolto un piccolo lavoro riguardante le tessere di Mac Mahon
su superfici 3D, ed in quella occasione ho dovuto trovare alcune
formulette per enumerare vari casi di colorazione.
Ecco come ho proceduto. Prendiamo un caso semplice, un quadrato 2x2 dove
ogni quadratino unitario e' colorato con uno di n colori e la
ripetizione di colori e' ammessa. Ci interessano le soluzioni
fondamentali, escludendo quelle identiche ottenute ruotando il nostro
quadrato.
La prima osservazione e' che possono essere utilizzati 1,2,3,4 colori
scelti fra gli n disponibili. 
Ci sono 5 classi possibili dove a,b,c.....indicano colori differenti:
Classi     Colori impiegati
4       =  (4 caselle di un solo colore) aaaa
3+1     =  aaab
2+2     =  aabb
2+1+1   =  aabc
1+1+1+1 =  abcd
Esaminiamole ad una ad una. Dobbiamo contare in quanti modi i colori
impiegati possono essere scelti fra gli n disponibili =S, e in quanti
modi  possono essere distribuiti sulle quattro aree in modo distinto =D.
Il totale per ciascuna classe sara' dato da SxD.
Classe Colori      S              colorazioni          D              
SxD 
4        1         n                  aa                
                                      aa               1               
n
-----------------------------------------------------------------------------
3+1      2      n(n-1)/2          aa      bb 
                                  ab      ba           2             
n(n-1)
-----------------------------------------------------------------------------
2+2      2      n(n-1)/2          aa      ab
                                  bb      ba           2             
n(n-1)
-----------------------------------------------------------------------------
2+1+1    3    n(n-1)(n-2)/6       11   11   12 
                                  23   32   31
                                  22   22   21
                                  13   31   32         9       
3n(n-2)(n-1)/2
                                  33   33   31
                                  12   21   23     
------------------------------------------------------------------------------ 
1+1+1+1 4                                                          n!/4
------------------------------------------------------------------------------
Sommando le 5 formule a destra e semplificando, Derive mi spara fuori:
n(n^3+n+2)/4    Che e' il risultato cercato.
------------------------------------------------------------------------------
Tornando al nostro problema, con questo metodo trovo
Per i tetraedri     (n^4+11n^2)/4
Per i cubi          (25n^4-120n^3+209n^2-108n)/6
Scusa ma per il dodecaedro.... lascio a te il lavoro.
ciao :) dario

Come spesso accade, mi si e' incasinata la tabellina, che doveva essere:
 
Classe Colori    S            colorazioni        D         SxD
 
 4       1       n                  aa
                                    aa           1          n
 ----------------------------------------------------------------------
 3+1     2    n(n-1)/2          aa      bb
                                ab      ba       2        n(n-1)
 ----------------------------------------------------------------------
 2+2     2    n(n-1)/2          aa      ab
                                bb      ba       2        n(n-1)
 ----------------------------------------------------------------------
 2+1+1   3  n(n-1)(n-2)/6       11   11   12
                                23   32   31
 
                                22   22   21
                                13   31   32     9      3n(n-2)(n-1)/2
 
                                33   33   31
                                12   21   23
 -----------------------------------------------------------------------
1+1+1+1  4  n(n-1)(n-2)(n-3)/24      4!/4        6     n(n-1)(n-2)(n-3)/4                                    
------------------------------------------------------------------------