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Titolo: Testamento

In un sito noto a molti qui, è stato postato questo problemino.
Un padre lascia ai due figli una quantità infinita di monete; le
condizioni per la spartizione sono queste: il primo figlio (P) prende
una quantità qualsiasi finita di monete, ed il secondo (S) ne prende
una dal gruppo di quelle prese da P. L'operazione va ripetuta infinite
volte. Il testamento è equo?
Lì si stanno divertendo, ma parlano di Aleph zero ecc ecc.
A me basterebbe che qualcuno mi convincesse non tanto che è giusta la
prova principe che viene addotta per motivare la risposta nel sito in
questione (parlo di quelle comprensibili ad uno con conoscenze medie
di matematica),  ma che mi dimostra che questo ragionamento è
sbagliato:
P prende 3 monete, S ne prende 1: al termine del primo turno P ha una
moneta più di S. Continuando così, al secondo turno ne ha 2 in più, al
terzo 3, all'infinito infinite.
ciao,
margravio

 volte. Il testamento è equo?
Alla fine entrambi avranno una quantità infinita di monete, quindi non
vedo motivi di discussione fra i due...
Comunque, per dire se il testamento è equo occorre un metodo per
confrontare fra loro due insiemi infiniti.
Trattandosi di insiemi numerabili, il metodo che si usa di solito dà
come risultato che i due insiemi, essendo in corrispondenza biunivoca,
sono sostanzialmente equivalenti.
Il ragionamento che riporti non fa una piega, solo che infinito +
infinito dà sempre infinito, quindi di per sé non dimostra nulla.
Maurizio

 In un sito noto a molti qui, è stato postato questo problemino.
[CUT]
Buonaseeeeeera... :)))
Ale90
PS Non pensavo di provocare tutto questo marasma! :D

Maurizio Frigeni ha scritto:

solo che lim x->oo f1(x)/f2(x)=2 quindi il primoi figlio avrà in ogni caso, 
il doppio delle monete del secondo.


ciao,
margravio

 di ripensare meglio quel settore della matematica.
Numeri reali, non razionali :)
Viene coinvolta la famosa diagonale di Cantor, una delle dimostrazioni più
eleganti e "matematiche" che conosca (sì, d'accordo, non sono molte...)
Alessio

 solo che lim x->oo f1(x)/f2(x)=2
sicurosicurosicuro?

 terzo 3, all'infinito infinite.
all'infinito hai una differenza tra infiniti. Che anche se è a sua
volta infinita, questo non ti consente comunque di confrontare i due
infiniti di partenza...

 sicurosicurosicuro?
banale. basta che esplicitiamo le funzioni:
f1(x)=2x
f2(x)=x
lim x->oo 2x/x = 2
anzi, visto che parliamo di successioni e non di funzioni, sarebbe meglio
usare n al posto di x, ma il risultato non cambierebbe come neanche il
formalismo.

 il doppio delle monete del secondo.
Supponiamo che ad ogni turno P prenda due monete e S una e immaginiamo
che ognuno dei due appiccichi su ognuna delle sue monete una piccola
etichetta. Al primo turno P scrive 2 e 4 sulle sue monete, mentre S
scrive 1 sulla sua; al secondo turno P scrive 6 e 8 mentre P scrive 2;
al trezo turno P scrive 10 e 12 mentre S scrive 3; e così via.
Alla fine le monete sono etichettate così:
P: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...
S: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...
Come vedi è palese che invece è S ad avere il doppio delle monete!
Maurizio

 eleganti e "matematiche" che conosca (sì, d'accordo, non sono molte...)
A proposito, ricordiamo a Margravio che Cantor impazzi' pensando
troppo agli infiniti!
Ciao!!!  :o)
Livio



Tu sei ancora generoso nei confronti di P. Nell'altro sito fonte più
che autorevole sostiene che in effetti tutte (e diconsi tutte) le
monete saranno di S. A dimostrarlo una prova molto semplice da capire,
ma che io non condivido, pur capendola....saranno i primi segni della
pazzia che ha attanagliato Cantor? :-)
ciao,
margravio

 ma che io non condivido, pur capendola....
Dubito assai che possa dimostrarlo... non secondo le regole espresse nel 
problema proposto:
***
il primo figlio (P) prende una quantità qualsiasi finita di monete, ed 
il secondo (S) ne prende una dal gruppo di quelle prese da P.
***
Ad ogni passaggio quindi la quantita` di monete in possesso di P cresce 
[o al massimo resta uguale], e S non le tocchera` piu` [interpretando il 
"prende una dal gruppo di quelle prese da P" nel senso che S prende solo 
da quanto preso da P nel giro corrente, non dall'intero mucchio]...
Ci sarebbe comunque un modo per finire P senza monete...
Immaginiamo che P abbia un portamonete particolare... con infinite 
posizioni numerate [o comunque ordinate] da 1 ad infinito... E 
immaginiamo che ad ogni giro metta le monete prese nel portamonete in 
modo ordinato [sempre partendo dalla prima posizione non ancora 
usata]... e che S prenda sempre la moneta della posizione piu` bassa... 
Ebbene, alla fine P non avra` monete! :-) perche`, considerato un k 
comunque grande [o piccolo], non avra` una moneta in quella posizione.
Ciao ciao
Claudio

 posizioni numerate [o comunque ordinate] da 1 ad infinito...
[CUT]
A margra', rassègnati :-P
Alessio

 A margra', rassègnati :-P
:-)
Il Sito al quale faceva riferimento Margr e` il tuo? Perche`, se e` 
passato in questi luoghi l'avro` quasi sicuramente gia` visto, ma dato 
che i miei segnalibri non sopravvivono che un paio di settimane... 
Insomma, mi piacerebbe darci un'occhiata, ma non so dove...
Ciao ciao
Claudio

 Insomma, mi piacerebbe darci un'occhiata, ma non so dove...
Non č il "mio", perň ho proposto lě il problema :)
Ti passo il link alla discussione:
http://www.aenigmatica.it/phpBB/viewtopic.php?t=31021
Alessio

Claudio
ciao,
margravio

 credo. :-)
[DISCLAIMER: sicuramente sparero' qualche ca**ata, non bacchettatemi troppo 
le dita...]
Supponendo che al primo "pescaggio" P peschi una monetina ed S pure, al 
secondo P ne peschi quattro (e così via sempre al quadrato) e via dicendo si 
ha che le monetine di P salgono in progressione geometrica secondo y=n^2 
mentre quelle di S sono descritte dalla bisettrice y=n. La prima funzione 
tende ad infinito piu' velocemente e sicuramente e' piu' "alta" della prima, 
ragion per cui la differenza tra i due cumuletti, ergo le monetine di P, 
dovrebbero essere date dal limite per n->oo di n^2-n che fa infinito. P 
dovrebbe avere un numero di monetine infinitamente maggiore (o meglio di un 
ordine d'infinito piu' grande) rispetto a S e quindi il testamento non 
dovrebbe essere equo.
O no? Cosa sbaglio?
Ciao.
-- 
Ainsi qu'un débauché pauvre qui baise et mange
Le sein martysé d'une antique catin,
Nous volons au passage un plaisir clandestin
Que nous pressons bien fort comme une vieille orange. 

"margravio" <chiedime...@nospam.invalid> ha scritto nel messaggio 
news:aaole35oagh6vsdkg...@4ax.com...

Prendiamo una coppia di fratelli:
P preleva 3 monete (nell'ordine di estrazione da M_1 a M_3)
S prende dalle monete di P la M_1
P preleva 11 monete (nell'ordine di estrazione da M_4 a M_6)
S prende dalle monete di P la M_2
P preleva 11 monete (nell'ordine di estrazione da M_7 a M_9)
S prende dalle monete di P la M_3
e via di seguito...
Al limite degli infiniti turni S sarà in possesso delle monete da M_1 a 
M_inf
Quindi P sarà privo di monete perché nessuno è in grado di indicare il 
numero progressivo di estrazione di una sola moneta che sia ancora in suo 
possesso.
(Ancorché, secondo una logica elementare, saremmo indotti a credere che P 
debba avere il doppio delle monete possedute da S)
------------------------------------------------------
Prendiamo ora un'altra coppia di fratelli:
P preleva 3 monete (nell'ordine di estrazione da M_1 a M_3)
S prende dalle monete di P la M_3
P preleva 11 monete (nell'ordine di estrazione da M_4 a M_6)
S prende dalle monete di P la M_6
P preleva 11 monete (nell'ordine di estrazione da M_7 a M_9)
S prende dalle monete di P la M_9
e via di seguito...
Al limite degli infiniti turni S non sarà in possesso di tutte le monete da 
M_1 a M_inf, ma solo di quelle con indice multiplo di 3
Quindi P non sarà affatto privo di monete ed è banale di indicare il numero 
progressivo delle  monete che sono rimaste in suo possesso.
E' anche possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra le monete 
possedute da P e quelle possedute da S, dal che emerge chiaramente che P ne 
ha il doppio.
-------------------------------------------------------
Orbene... nei due esempi fatti è evidente che le due coppie di fratelli 
fanno esattamente le medesime cose e prelevano lo stesso numero di monete.
Qualcuno può spiegarmi come sia possibile che l'esito (quantitativo) finale 
possa dipendere da "quali" monete siano prese da S e non da "quante" monete 
siano prese da S?
Grazie ;-)

 credo. :-)
Sai? non penso sia questine di crederci... sono solo i classici 
paradossi dell'infinito. In questo caso bisognerebbe rispondere a questa 
domanda: quanto fa infinito meno infinito? E da quanto ne so io la 
risposta e`: *dipende*! :-) Nel caso di infiniti numerabili ogni 
risposta *finita* va bene [nel senso che puoi trovare un procedimento 
ragionevole per ottenerla] come pure il banale *infinito*.
Giocando con i termini [come del resto ho fatto finora], analizziamo la 
situazione. Hai P che prelevando un numero finito di monete alla volta 
deve esaurire un forziere infinito... Quanto ci impieghera`? almeno un 
numero infinito di passi... ma dopo quel numero infinito di passi avra` 
davvero esaurito il forziere? ancora una volta: dipende! nel problema 
niente gli impedisce di numerare le monete del forziere... mettere le 
pari da una parte e le dispari dall'altra... lavorare solo sulle dispari 
e magari esaurirle in un numero infinito di passi... *Finito* il lavoro, 
S avra` gia` il suo numero infinito di monete... P? forse anche lui o 
forse no, ma quante ne rimangono nel forziere? tutte le pari... e visto 
che gli avanza del tempo decide di rinumerarle ancora da 1 a infinito... 
Orpo, dopo un lavoro infinito si ritrova nella situazione di partenza! 
Qualcuno potrebbe dire che ha gia` fatto un numero infinito di prelievi, 
quindi dovrebbe fermarsi... ma io non ne capirei la ragione... nel 
forziere ci sono ancora un'infinita` di monete, e soprattutto se anche 
lui facesse un'altra serie infinita di prelievi quanti ne farebbe in 
tutto? una miserabile quantita` infinita. :-)
Insomma, quel che voglio dire e` che quando accetti che l'infinito 
finisca il minimo che ti puoi aspettare sono dei risultati paradossali.
Non che non si possa affrontare l'infinito in maniera rigorosa [grazie 
al gia` citato Cantor ci si riesce piuttosto bene, direi]... solo che 
non e` ragionevole aspettarsi che l'infinito si comporti come un numero 
[naturale o reale che sia]... in effetti, qualsiasi cosa sia, di certo 
non e` un numero naturale ne` reale...
In una situazione solo leggermente piu` realistica [accettando pure 
l'infinita` delle monete nel forziere] semplicemente i prelievi di P non 
finiranno mai... e quindi non dovra` preoccuparsi troppo di restare con 
zero monete, pure se S continua a prendergli la prima moneta aspettando 
[all'infinito :-)] di lasciare a secco il fratello.
Ocappa, forse e` meglio se vado a dormire! :-)
Ciao ciao
Claudio

 O no? Cosa sbaglio?
Non mi pare sbagliato, solo che avere un'infinita` piu` di infinito, non 
e` che significhi molto... sempre infinito e` [al di la` del tipo... ma 
credo che stiamo parlando solo di infiniti numerabili]. Poi va detto che 
il limite per n che tende ad infinito e` un concetto diverso dal valore 
che potrebbe avere una funzione al fantomatico passo *infinito*... piu` 
o meno come avviene per gli altri limiti: un conto e` il valore della 
funzione sul punto limite, un altro e` il valore del suo limite a quel 
punto. Ehi, solo piu` o meno, neh! senno` mi fucilano sul serio e a 
ragione... :-)
Ciao ciao
Claudio

volte. Il testamento è equo?
spoiler
No, non e' equo.
Perche' e' subordinato alla stupidita' di P: se P ogni volta
s'intestardisce a prendere una sola moneta, S - furbissimo -
gliela frega immancabilmente, lasciando P a bocca asciutta.
-- 
Saluti, Dalet

 direi uguale! piu` o meno infinito... :-)
Scusa ma per quel poco (ed e' davvero poco) che ho capito, cio' che hai 
detto entra in contraddizione. Se uno si trova un'infinita' e l'altro 
un'infinita' al quadrato allora non hanno la stessa cardinalita'. Cantor non 
aveva dimostrato proprio che in una superficie c'è un numero di punti di un 
ordine infinito maggiore che in una retta?
Viceversa se la relazione fosse tra "n" e "2n" avremmo un infinito dello 
stesso ordine; ergo su un segmento di retta ci sono lo stesso numero 
infinito di punti che ci sono su un segmento lungo il doppio.
Mi scuso per il gergo non propriamente tecnico ma spero di essermi fatto 
capire. :)


ordine infinito maggiore che in una retta?
Ricordi male... un segmento lungo solo un centimetro ha
tanti punti quanti ce ne stanno in tutta la retta o in tutto
un rettangolo o in tutto il piano o in tutto lo spazio 3-dim.
-- 
Saluti, Dalet

 ordine infinito maggiore che in una retta?
No, aveva invece dimostrato che un segmento ed una superficie possono 
essere messi in corrispondenza biunivoca... il che, se non ricordo 
proprio male, significa che hanno la stessa cardinalita`... ma non ti 
fidare troppo sul mio uso dei termini... E vale anche per un solido e 
piu` su... Insomma, un segmento ha gli stessi punti che ha un quadrato e 
un cubo. :-)
Piu` o meno quel che succede fra gli interi ed i razionali [che puoi 
immaginare come una coppia ordinata di interi]... la cardinalita` e` la 
stessa proprio perche` possono essere messi in corrispondenza biunivoca.
Come si puo` fare? un modo ad esempio e` questo. Prendi un segmento 
lungo 1... ogni suo punto lo puoi vedere come un numero reale fra 0 e 
1... considera i due numeri reali che puoi associare a questo numero 
considerando in un caso solo i decimali in posizione pari, nell'altro 
solo i decimali dispari... ora puoi prendere un punto sul quadrato di 
coordinata x del valore 0.(x1)(x2)(x3)...(xn) e avanti [che sarebbe un 
numero reale con cifre decimali x1, x2, x3... xn...] e di coordinata y 
del valore di 0.(y1)(y2)... vabbe', spero si sia capito... a questa 
coppia puoi associare il numero reale 0.(x1)(y1)(x2)(y2)... che sta sul 
segmento...
Non so se e` abbastanza chiaro, ma al di la` del casino che faccio io e` 
piuttosto semplice...
Ciao ciao
Claudio

 essere messi in corrispondenza biunivoca...
Visto che siete in due a farmelo notare... avro' ciccato di brutto. :)
Probabile, a questo punto, che il ragionamento che avevo letto doveva 
portare a questa conclusione proprio partendo da un esempio semplice 
relativo ad un segmento ed il suo doppio (che e' anche facile da disegnare) 
per arrivare alla generalizzazione piu' ampia.
Grazie comunque per la "lezione". :-)



Ehmm, ho trovato la falla (nella memoria)!
Quello da me riportato era il risultato cui era giunto Bolzano, non Cantor. 
Cantor estese questo risultato, come mi avete fatto notare. A questo punto, 
quindi, avendo stessa cardinalita' il testamento dovrebbe essere equo, no?
Ultima curiosita': sapete se ci sono stati progressi nella dimostrazione 
dell'ipotesi del continuo? Va bene anche un link (magari ad un sito 
divulgativo), magari in italiano. Non sara' uno dei problemi del millennio 
ma mi incuriosiva.


 ma mi incuriosiva.
Oh, be'... magari Dalet ne sa di piu`, ma quel che puoi trovare su 
wikipedia supera di gran lunga quel che posso dirti io. :-(
Molto ad occhio, non credo sia troppo diverso da quanto gia` si 
sapeva... lo puoi prendere come il postulato delle parallele... puoi 
considerarlo vero o falso ottenendo geometrie diverse... Di certo va 
molto al di la` della mia capacita` di comprensione. :-(
Ciao ciao
Claudio

 considerarlo vero o falso ottenendo geometrie diverse...
Credo che sia proprio così. :-)
Ho trovato un riferimento quasi subito e a quanto pare Cohen ha dimostrato 
l'indimostrabilita' (scusa la cacofonia) dell'ipotesi del continuo.
Grazie, ciao.


 Grazie, ciao.
Grazie a te! :-)
Nel frattempo m'e` venuto un dubbio... Diciamo che P al passo n-esimo 
prenda 2^n monete... il che ovviamente non comporta alcuna difficolta` 
per ogni n finito... ma quando si passa ad infinito? perche` qua 
passiamo da una cardinalita` all'altra... dal numerabile al continuo... 
Boh! rimango perplesso...
Ciao ciao
Claudio

 Boh! rimango perplesso...
Insomma, quel che voglio dire e` che se nel forziere ci fosse 
un'infinita` piu` che numerabile di monete, *forse* P potrebbe 
raccoglierne abbastanza da superare quelle raccolte da S [che non 
possono che essere un'infinita` solo numerabile]...
ariBoh!
riCiao ciao
Claudio


E', grosso modo, lo stesso esempio portato da me solo che io avevo capito 
male il discorso sulla cardinalita' quindi ho tarato l'esempio su un 
generico esponenziale e non sul 2^n. :-)
Leggendo sul forum, comunque, ho visto che Ale90 mette come premessa base 
che la cardinalita' dei due insiemi sia la stessa.
Ciao.


volte. Il testamento è equo?
Ciao
ho seguito di sfuggita il thread sull'altro sito, ero in viaggio con
accesso limitato al PC.
Provo ad aggiungere qui qualcosa:
Giocando con gli infiniti credo che si possa dimostrare tutto e il
contrario di tutto.
 Il ragionamento proposto dimostra che alla fine S avrà tutte le
monete (alla fine dell'infinito? bellissimo ossimoro)
Mettiamo che le monete siano numerate, o meglio che vengano numerate
man mano che sono estratte da P.
Mettiamo anche che P estragga sempre tre monete, S preleva sempre
quella col numero più basso.
Dopo la prima mossa P ha 2, 3;   S ha 1.
Dopo la seconda mossa P ha 3,4,5,6;  S ha 1,2.
...
Dopo n mosse P ha n+1,n+2,...3n;  S ha 1,2,...n, cioè P ha il doppio
di quelle di S.
Alla fine (?) S avrà tutte le monete: infatti non gli può mancare la
numero 1750, che avrà prelevata alla 1750esima mossa, e così per
qualunque n.
Però in ogni caso P non resterà mai senza monete. Non può succedere
alla 1750esima mossa, perché a quel punto ne avrà comunque 3500, e
così per qualunque numero.
Direi perciò che alla fine (?)  S avrà tutte le monete, ma P ne avrà
comunque il doppio. :-)))
Ed essendo tutte+2*tutte=tutte, o anche tutte=2*tutte, il testamento
mi pare equo.
ciao
paolo

comunque il doppio. 
Fantastico....ora capisco perchè Cantor è impazzito :-)
ciao,
margravio

 credo. :-)
Ma scusa, questo funziona solo se P prende una moneta ogni volta, se ne 
prende di più no.... sbaglio? 

 Grazie ;-)
Perchč tu poni come regola il fatto che P prenda sempre lo stesso numero di 
monete, ed S prenda le monete sempre nello stesso ordine. MA il testo del 
gioco non vieta P di prendere 123546512345489789 monete al n passaggio, e 
soprattutto non vieta a S di prendere, al secondo passaggio, la moneta M_1 e 
al terzo la moneta M_2, ristabilendo il rapporto della tua prima ipotesi. 



Sì, dovresti sbagliare, ma io non ne sono affatto sicuro.
Se P prende una sola moneta per volta non ne avrà mai nessuna, e se lo
meriterà, perché è scemo :-)
ciao,
margravio