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Titolo: Numeri che contengono un solo 3

Tra tutti gli interi, ce ne sono alcuni che contengono un solo 3.
Essi sono, ad esempio, 3 - 13 - 30 - 103 ecc...
Il loro numero e' infinito. Qual e' la percentuale di questi numeri
sulla totalita' degli interi? (Nel senso che se venisse chiesta la
percentuale dei numeri pari su tutti gli interi, la risposta sarebbe
il 50%).
La risposta e' veramente sorprendente!
Il problema e' del matematico Clifford Pickover.
Mariano Tomatis

 wrote:
" Tra tutti gli interi, ce ne sono alcuni che contengono un solo 3.
" Essi sono, ad esempio, 3 - 13 - 30 - 103 ecc...
" Il loro numero e' infinito. Qual e' la percentuale di questi numeri
" sulla totalita' degli interi? (Nel senso che se venisse chiesta la
" percentuale dei numeri pari su tutti gli interi, la risposta sarebbe
" il 50%).
 
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Spoiler
 
A me viene fuori 1/2, che mi sembra francamente un po' strano.
Ho calcolato le probabilita` P(n) dei numeri con un solo 3 su quelli tra 
0 e 10^n - 1, e viene fuori la relazione 
P(n) = 1/10 + 8/10 * P(n-1) 
Se la successione dei P(n) converge a un valore x, si ha 
x = 1/10 + 8/10 x 
2x = 1
x = 1/2
Ora, se P(n-1)< 1/2 su ha che P(n) > P(n-1), quindi 1/2 e` effettivamente
il limite.
Sono troppo pigro per dimostrare che Q(m), cioe` la probabilita` dei numeri
con un solo 3 tra 0 e m, tende comunque a 1/2, ma direi di si`.
cioa, .mau.

 Mariano Tomatis
--
Saluti
Stefano Tassi
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
Mix Ceramiche srl
Menestrello Ceramiche spa
Stylgraph srl
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mailto:
stefan...@mix-ceramiche.it


dimenticavo
ponendo n=infinito


La risposta e' veramente sorprendente!
Cioe' non e' 0?
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
"That's the biggest shark I've ever seen" he said, superficially.




 wrote:
" Se quello che mi ricordo sulla legge dei grandi numeri è giusto...
" la percentuale è lo 0 %.
" In effetti facendo un ragionamento assolutamente banale...se un numero ha
" molte cifre...la possibilià che solo una di queste sia un 3 tende a 0 con
" l'aumentare delle cifre.
E` quello che pensavo anch'io.
Ma naturalmente c'e` una gabola.
Il mio primo pensiero e` stato quello, dicendo "leggiamo il numero da
destra a sinistra, consideriamolo con una virgola davanti, e via"
Peccato che sia vero che i numeri reali tra 0 e 1 sono quasi tutti con piu`
di un 3 nella loro espansione decimale, ma sono un po' troppi rispetto agli
interi.
ciao, .mau.

SPOILER
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Il 100% degli interi contiene esattamente un 3. Il semplice fatto che il
numero 8 abbia esattamente nessun 3 sembrerebbe contraddire la risposta.
In realta' si devono compiere le seguenti considerazioni: qual e' la
percentuale, tra i primi dieci numeri, dei numeri che contengono uno e
un solo 3? Il 10%, perche' c'e' solo il 3. Tra i primi cento sono il
19%. Tra i primi mille sono il 27,1%.
La crescita di tale percentuale e' esprimibile come 1-(0,9)^n dove n e'
il numero di cifre. Tale cifra raggiunge il 99% quando n vale 42.
All'infinito, la percentuale e' del 100%.
E' interessante notare che ci sono anche infiniti interi che non
contengono affatto il 3: si pensi alla progressione 1, 11, 111 ecc...
Questo paradosso illustra uno dei principali problemi che sorgono
dall'applicazione delle percentuali all'infinito.
Il quesito e' stato inventato dal matematico Clifford Pickover.
Mariano Tomatis

Il quesito e' stato inventato dal matematico Clifford Pickover.
avra' chiesto quanti contengono almeno un 3, forse.
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
Anvedi oh che roba!

x = 1/2
non e' troppo difficile vedere che con (0.9^(n-1))/10 invece di 1/10
nella tua formula, p(n) tende a 0.
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
What's purple and commutes? An abelian grape.

avra' chiesto quanti contengono almeno un 3, forse.
esattamente => 0
almeno      => 1
Ma perche' parlare di sorprendente, o paradosso?
Mi pare del tutto ragionevole: alla lunga i numeri con un solo 3 si diradano
fino a diventare irrilevanti in percentuale, quelli senza 3 ancora piu'
velocemente.
Scommettereste qualche lira che scegliendo un numero a caso, anche
piccolissimo, diciamo al massimo di cento cifre (!!!), ci sia esattamente un
3?
E accettereste una mia scommessa di un milione contro una birra rossa che
c'e' almeno un 3?
Ciao, Silv:o)

3?
no
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
"Let's catch that sick bird" he said, illegally.

interi.
Se proprio vogliamo trasferirci sul segmento [0,1), lo possiamo fare a patto
di scartare irrazionali e decimali periodici. L'insieme restante, quello con
le espansioni decimali di lunghezza finita, e' assimilabile ad N. Ed e'
ancora denso in [0,1), nel senso che e' senza buchi. Ed ancora una volta i
"mono-tre" fanno una figura barbina, mentre gli "almeno-un-tre" la fanno da
padrone.
Ciao, Silv:o)


--
Alessandro

 Mariano Tomatis
Credo che il punto debole stia nel fatto che non ha senso parlare di
"percentuale" quando si ha a che fare con una serie infinita. Si può parlare
solo di limite e di tendenza: quando il numero di cifre tende all'infinito,
la probabilità di aver un numero che non contenga una cifra data tende a
zero.
K.

guinness. :-)
OK. dove ci vediamo? (N.B. spese di trasferta a carico di chi perde la
scommessa ;)
Ciao, Silv:o)

 wrote in message
7qsei1$voa$1...@news.flashnet.it...

Spero tu sia di Roma o meglio ancora Roma Sud :-)
Alessandro