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Titolo: La catena

Una catena ha N elementi.
Gli elementi di lunghezza 1,2,3.....,N, sono incernierati uno dopo
l'altro come in un doppiometro da muratore. 
Qual e' il minimo N che mi permette di ripiegare la catena in modo da
formare un rettangolo ?
:) dario

"Dario Uri" ha scritto
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spoiler
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se e' possibile chiudere la catena all'interno di un lato, anziche' su un
vertice, con N=8 posso formare un rettangolo 7*11
i lati sono:
(3+4), (5+6), (7), (8+1+2)
ciao
paolo

Dario Uri dice
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20?
(1,..,11)(12,..,14)(15,..,18)(19,20) = 66 X 39
Ciao, Silv:o)

 (3+4), (5+6), (7), (8+1+2)
Silvio wrote:
20?
(1,..,11)(12,..,14)(15,..,18)(19,20) = 66 X 39
Esatte entrambe le soluzioni.
C'e' una sol. alternativa sempre con N=20 con partenza dal vertice.
Ora rilancio:
E' possibile formare un triangolo ? e un quadrato ?
:) dario

 wrote in message
8peljl$cluom$1...@ID-49224.news.cis.dfn.de...

Ho fatto lavorare un po' il mio computer e ho trovato conferma alla
soluzione di Silvio: 20 č il valore minimo.
C'č un'altra soluzione con 20 (uso la "notazione" di Silvio):
(1,...,5)(6,...,14)(15)(16,...,20) = 15 X 90
Dal momento che la somma dei primi due lati del rettangolo č uguale alla
somma degli altri due, bisogna trovare un N per cui, dividendo per 2 la
somma dei numeri da 1 a N, si ottiene un valore che possa essere ottenuto a
sua volta come somma dei numeri da 1 a K (Nel caso di N = 20, K vale 14).
Questi valori di N sono abbastanza sparsi: oltre a 20 ho ottenuto
sperimentalmente: 119, 696, 4059... e per ognuno di questi ci sono una o piů
soluzioni.
Ciao
Giorgio

 E' possibile formare un triangolo ? e un quadrato ?
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Dario, se ti accontenti di un triangolo "qualunque" c'è una prima soluzione
con N = 4:
(1,2)(3)(4)
eviterei di considerare il triangolo "anomalo" di lati 1, 2 e 3.
Se però vuoi un triangolo equilatero, temo che i numeri diventino piuttosto
grandi. Peggio ancora per quel che riguarda il quadrato.
Ciao
Giorgio

 grandi. Peggio ancora per quel che riguarda il quadrato.
Scusate, intendevo naturalmente "Equilatero".
Per il quadrato ho una dimostrazione di impossibilita', ma per il
Tri.Eq. non lo so.
:) ciao dario

 Tri.Eq. non lo so.
(4+5+6), (7+8), (9+1+2+3)
ma forse stiamo parlando di due diverse famiglie di problemi, CON o SENZA la
condizione che l'inizio della catena debba coincidere con un vertice.
La dimostrazione relativa al quadrato a quale si riferisce?
ciao
paolo

 soluzioni.
Puoi trovare tutti gli n che tali che T_n = 2*T_m (T_k sono i numeri
triangolari, ovvero le somme 1+..+k) con una semplice relazione ricorsiva:
a_1   = 3
a_2   = 20
a_n+2 = 6*a_n+1 - a_n + 2
Questo e` necessario per la soluzione del problema (ti permette solo di
piegare il "metro progressivo" in due parti uguali). Per la sufficienza
occorrerebbe dimostrare che una volta piegato in due si trova un modo per
piegarlo di nuovo, e sono portato a pensare che sia vero, ma non so
dimostrarlo.
Il problema del triangolo rettangolo e` simile a questo. Il metro si deve
poter piegare in tre parti uguali (1,..,l)(l+1,..,m)(m+1,..,n) e quindi
T_m = 2*T_l
T_n = 3*T_l
Esiste un numero triangolare il cui doppio ed il cui triplo siano
triangolari?
Secondo me no. Ma ancora una volta non so dimostrarlo. La prima relazione e`
sottisfatta, come abbiamo gia` visto, da:
a_1   = 2   (il metro di ordine due si raddoppia aggiungendo la terza
stecca)
a_2   = 14
a_n+2 = 6*a_n+1 - a_n + 2
Primi valori: 2, 14, 84, 492, 2870, 16730, 97512
Per quanto riguarda i metri che si possono triplicare, questi sono tutti e
soli quelli di lunghezza:
a_1   = 1   (si triplica aggiungendo la seconda stecca)
a_2   = 5
a_n+2 = 4*a_n+1 - a_n + 1
Primi valori: 1, 5, 20, 76, 285, 1065, 3976
Per quanto ho potutto constatare, le due sequenze non hanno valori comuni,
ovvero nessun metro progressivo si puo' contemporaneamente raddoppiare e
triplicare.
Ciao, Silv:o)

 La dimostrazione relativa al quadrato a quale si riferisce?
Al caso con partenza al vertice. Non esistono 4 triangolari in
progressione aritmetica.
:) dario