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Titolo: Quante sono???

Buongiorno a tutti.
Ho una scatola con 30 palline tra bianche, rosse e nere. Sapendo che la
probabilita' di estrarre 3 palline rosse e' uguale alla probabilita' di
estrarre 2 palline nere, quante sono le palline per ciascun colore?
Naturalmente la soluzione e' costituita da interi.
--AG

 wrote in message
3AF9097E...@cs.tin.it...
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S
P
O
I
L
E
R
:
:
:
La coincidenza tra le due equazioni [N=Nere, R=Rosse]:
(R/30)*((R-1)/29)*((R-2)/28)=(N/30)*((N-1)/29)
Si verifica:
- Se l'evento è impossibile per entrambi (0,1 o 2 Rosse e 0 o 1 Nere)
- Per 8 palline Rosse e 4 palline Nere
C'è anche una soluzione per R= 28 e N= 27 che è da scartare (a meno di non
supporre l'esistenza di 25 palline bianche composte di antimateria)
Ciao
Capitan Harlock

Armando Grimaldi chiede
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Supponiamo di estrarre k palline alla volta (3<=k<=30), e chiamiamo b, n e r
il numero di palline bianche, nere e rosse.
2 bianche le otteniamo in C(b,2)*C(30-b,k-2) modi possibili, perché equivale
a scegliere due delle b palline bianche e k-2 delle restanti 30-b non
bianche. Analogamente 3 nere si ottengono in C(n,3)*C(30-n,k-3) modi. Se il
numero delle possibili scelte si equivale, allora coincideranno anche le
probabilità (infatti basta dividere entrambe le espressioni per i C(30,3)
casi possibili per ottenere le probabilità (distribuzione ipergeometrica)).
Prima considerazione: se k=5 e non ci sono palline rosse le cose vanno a
posto automaticamente (pescando 2 bianche anche le 3 nere sono assicurate!)
Altro caso limite: k=30, b=2, n=3 (se le estraggo tutte, di sicuro ne pesco
2 bianche, così come 3 nere!)
Tra questi casi limite ho trovato queste soluzioni:
k       b       n
7      11      11
11      7       7
15      5       5
15     14      16  (non valida se si impone r>0)
23      3       3
Non ci sono soluzioni con b diverso da n
Ciao, Silv:o)

Stamattina evidentemente ancora mi devo svegliare. Non ho capito una mazza del
tuo ragionamento. L'unica cosa che ho capito e' stata la tua frase "non ci sono
soluzioni con b <> n, il che non e' vero.
--AG


 quante sono le palline per ciascun colore?
Come la fai questa estrazione?
Io ho supposto che tu "peschi" k palline (almeno 3) e calcoli la probabilità
che 3 di queste siano rosse e le altre no; poi calcoli la probabilità che 2
siano nere e le altre no e questi due numeri coincidono.
Ho fatto questa supposizione dopo aver constatato che l'interpretazione più
semplice (estrai *3* palline dalla scatola) non porta a nessuna soluzione.
Ma forse...
forse intendi dire:
Sapendo che la probabilita' che estraendo 3 palline siano tutte rosse e'
uguale alla probabilita' che estraendo 2 palline siano entrambe nere, quante
sono le palline per ciascun colore?
Allora la cosa cambierebbe.
Usando la solita formula (per chiarezza: C(x,y) sono le combinazioni di x
oggetti presi y alla volta, i coeff. binomilali, quelli del triangolo ti
Pascal/Tartaglia)
Deve essere C(r,3)/C(30,3) = C(n,2)/C(30,2) ovvero
r*(r-1)*(r-2)/30*29*28 = n*(n-1)/30*29 (qui mi si può obiettare, ed io sono
sempre stato tra questi obiettori, che per ottenere questa formula basta il
buon senso, altro che che ipergeometrica, ma io ce l'avevo messa per il caso
generico, meno intutivo)
semplifichiamo
r*(r-1)*(r-2)/28 = n*(n-1)
dovendo esserci al numeratore del primo membro almeno un fattore 7 e un 2^2,
non è difficile per tentativi capire che deve essere r-1=7, da cui
n*(n-1)=12 ovvero n=4. Quindi ci sarebbero 7 rosse, 4 nere e 19 bianche. La
probabilità di pescare 3 rosse vale 2/145=~1.38%
Ho capito bene stavolta?
Ciao, Silv:o)

 probabilità di pescare 3 rosse vale 2/145=~1.38%
La probabilita' di estrarre 3 rosse vale:
7    6    5    1    6    5
-- X -- X -- = -- X -- X - =
30   29   28   30   29   4
1   1    5       1    1
- X -- X - = 1 X -- X - = 0.86%
5   29   4       29   4
La probabilita' di estrarre due nere vale:
4    3    4    1
-- X -- = -- X -- = 1.38%
30   29   10   29
E sono diverse (a meno di miei errori di calcolo - ho usato come definizione di
probabilita' di un evento il rapporto tra i casi favorevoli ed i casi totali,
inoltre ho ipotizzato che ciascuna estrazione e' un evento indipendente, e
quindi la probabilita' di estrarre n palline e' dato dal prodotto della
probabilita' di ciascuna singola estrazione).
Ciao
--AG

 Quindi ci sarebbero 7 rosse, 4 nere e 19 bianche.
Non mi pare ci voglia molto a scoprire la distrazione. O pensi che non
sappia fare le moltiplicazioni? Cercherò di stare più attento, ma tu non
fare come i professori che leggono l'ultima riga e mettono i 4 a casaccio
;-)
Ciao, Silv:o)


Concordo sul fatto che il testo è ambiguo sulle modalità di estrazione. La
frase "la probabilita' di estrarre 3 palline rosse e' uguale alla
probabilita' di estrarre 2 palline nere" non significa esattamente
"estraendo 3 palline, la probabilità che siano tutte rosse è uguale alla
probabilità che, estraendo invece 2 palline, queste siano tutte nere". Devo
però dire che quest'ultima interpretazione è stata quella su cui mi sono
concentrato per trovare una soluzione. La soluzione c'è ed è abbastanza
facile da trovare, coincide con quella data da Capitan Harlock, quindi, nel
mio caso, mi sono astenuto dall'intervenire.
Apprezzo il fatto che tu, Silvio, abbia voluto indagare su un'altra
interpretazione, oggettivamente più complessa. Penso che questo rifletta un
più generale atteggiamento nei confronti dei problemi. C'è chi si limita a
trovare una soluzione, avendo come scopo principale il dare la risposta (la
più immediata possibile, in caso di più interpretazioni possibili)
all'enigma proposto e chi invece si dedica a sviscerare tutte le possibili
interpretazioni del problema.
Penso siano entrambi atteggiamenti legittimi e meritori.
Ciao :-)
Giorgio

 fare come i professori che leggono l'ultima riga e mettono i 4 a casaccio ;-)
Un attimo: io non sto correggendo il compito. Quello che dici tu non ha minore
validita' di quello che dico io. Mi sono limitato a prendere la tua soluzione,
verificare se era rispondente al testo e constatare che non lo era. Questo e'
quanto. Se poi in realta' avevi sbagliato a scrivere, mi dispiace, avrei dovuto
accorgermene, me ne sarei sicuramente (spero...) accorto se avessi seguito i
conti, ma non l'ho fatto.
E comunque, come ho gia' detto prima, io ho postato male il problema, rendendolo
un banale compito di calcolo delle probabilita'. Questo non contribuisce a farmi
amare questo thread.
Ciao
--AG