Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Diofantea

a^2+b^2+c^2 = 10^n-1
In questa equazione a,b,c,n sono interi positivi e senza perdere di 
generalita' diciamo che a<=b<=c.
La piu' semplice soluzione per (a,b,c,n) e'= (1,2,2,1)
Quante sono le possibili soluzioni?

"Dario Uri"

Boh. Per ora ne ho trovate alcune con n=2
(1,7,7,2)
(5,5,7,2)
(3,3,9,2)
ciao
paolo


wrote:

Con un semplice programmino se ne possono trovare parecchie, ma
immagino che tu voglia la dimostrazione che sono TUTTE quelle
possibili, e non ce ne possono essere altre. Giusto ?
Robby 
-
**** Per risposte private: cancellare TUTTE le "x" dal mio address ! ****
**** To reply privately: delete ALL the "x" from my address ! ****

 possibili, e non ce ne possono essere altre. Giusto ?
Si' Roberto,
Cosi' avremmo la soluzione completa.
ciao


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Un noto teorema di teoria dei numeri afferma
che i numeri della forma 8k+7 (cioe' i numeri che
divisi per 8 hanno resto 7) NON sono esprimibili come
somma di 3 quadrati.
Siccome si puo' far vedere facilmente che per n>=3
10^n-1 modulo 8 e' proprio 7, perche'
10 e' multiplo di due e le sue potenze da 10^3 in
poi sono multipli di 2^3=8.
Segue che ci possono
essere soluzioni solo per n=1 e n=2 e sono numeri
cosi' piccoli (9 e 99) che si possono cercare
a mano.
ciao,
g.

Se questo č vero, allora le soluzioni in tutto sono 3 (piů le permutazioni
di a, b, c).
S1=(2, 1, 1, 1)
S2=(3, 3, 9, 2)
S3=(5, 5, 7, 2)
M'ero intrippato a verificari quali condizioni dovevano soddisfare a, b, c,
n (interi, pari o dispari, divisibili per 4) per dare soluzione ed avevo
trovato un metodo veloce per scartare le quadruplette da provare...
fino ad n=2 avevo provato... ma č un lavoro incompleto che non voglio qui
riportare...
ciao,
  Ste

 somma di 3 quadrati.
Visto che questo risultato non mi era assolutamente noto (come non mi è noto
niente, o quasi, della teoria dei numeri) ho provato a dimostrarlo per conto
mio.
Cominciamo a considerare come appare il modulo 8 dei quadrati dei numeri
interi:
1^2 (mod8)=1
un numero dispari > 1 può essere scritto come 4k+-1 che, al quadrato, da
16k^2+-8k+1 e quindi è 1 mod8.
Sappiamo cosi che tutti i dispari valgono 1 modulo 8.
Per i pari abbiamo due possibilità: se NON è multiplo di 4 il quadrato sarà
multiplo di 4 ma non di 8 e quindi sarà 4 mod8.
Se invece consideriamo i multipli di 4 avremo che sicuramente il qudrato è
un multiplo di 8 e quindi varrà 0 mod8.
In definitiva i quadrati dei numeri reali hanno tre sole possibilità: 0
(mod8), 1 (mod8) o 4 (mod8).
Combinando tre di questi 3 valori non potreno avere mai 7 (mod8).
E' interessante notare che il 7 è l'unico caso di impossibilità, tutti gli
altri casi sono possibili (0+0+0=0, 0+0+1=1,0+1+1=2,....,4+1+1=6).
Carina questa,
Gabriele
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

 che i numeri della forma 8k+7.... 
Ottimo Giovanni. Per la cronaca lo affermo' per la prima volta il solito 
Fermat che lo srisse a Mersenne in una lettera datata Settembre 1636.
Gabriele scrive:
 >In definitiva i quadrati dei numeri reali hanno tre sole possibilità: 0
 >(mod8), 1 (mod8) o 4 (mod8).
e bravo GaS, proprio Cartesio fu il primo a provare l'affermazione di 
Fermat considerando che i quadrati possono essere della forma 4k oppure 
8k+1, e lo scrisse a Mersenne il 31 Marzo 1638.
Ma quante lettere riceveva questo Mersenne?? :)

 Ma quante lettere riceveva questo Mersenne?? :)
da quanto detto sopra, ALMENO due
(sapendo che allora le poste funzionavano meglio che adesso)
:-)))
ciao
paolo