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Titolo: Spigoli numerati

Etichettare gli spigoli di un cubo con 12 differenti numeri
naturali in modo che:
a) Le somme dei valori dei tre spigoli che concorrono in un
vertice siano uguali per tutti gli 8 vertici.
b) Le somme dei valori dei quattro spigoli che formano una
faccia  siano uguali per tutte le 6 facce del cubo.
:) dario

"Dario Uri" ha scritto
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|     |                 |     |
|n    |a                |c    |l
|     |                 |     |
|     |                 |     |
|     |_ _ _ _d_ _ _ _ _|     |
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|   /                     \   |
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| /                         \ |
|/            m              \|
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Utilizzo questa rappresentazione prospettica, che ha il vantaggio di
mostrare tutti gli spigoli. Il cubo (trasparente) è visto dall'alto; abcd è
la faccia inferiore, ilmn quella superiore,i quattro trapezi sono le facce
laterali.
Per risolvere il problema, considerate le 12 incognite a,b,...n, potrei
scrivere 12 equazioni, del tipo
a+b+c+d = b+f+i+e ... ecc. (cinque equazioni per sei facce), e
a+b+e = b+c+f ... ecc. (sette equazioni per otto vertici)
[nota OT: questi valori mi fanno venire in mente la regola generale
num. facce + num. vertici = num. spigoli + 2]
Però non mi voglio complicare la vita con un sistema simile, allora cerco
qualche scorciatoia.
Prima considerazione: detti
T = somma dei valori di tutti gli spigoli
V = somma dei valori in un vertice
Z = somma dei valori su una faccia
valgono le relazioni
8*V = 2*T
6*Z = 2*T
da cui
V = Z*3/4
Seconda considerazione: se esiste una soluzione, allora ne esistono
infinite; le posso ottenere sommando lo stesso valore a tutti gli spigoli,
oppure moltiplicandoli  tutti per lo stesso fattore.
Allora posso sottrarre da tutti gli spigoli il valore "a", ottenendo una
soluzione ancora valida, con a=0
poi posso moltiplicare tutti i valori per un fattore opportuno, tale che
risulti Z=4( e quindi V=3); la soluzione sarà ancora valida, anche se i
valori saranno probabilmente numeri razionali (a risultati ottenuti posso
poi operare per avere la soluzione in numeri naturali).
A questo punto ho
a=0
V=3
Z=4
considero b,c incognite, e calcolo nell'ordine gli altri valori, come
complemento a 3 degli spigoli concorrenti in un vertice, o come complemento
a 4 dei lati di una faccia.
Notare che per i vertici l,m devo effettuare entrambi i calcoli, verificando
che i risultati coincidano, e il vertice n
lo devo calcolare quattro volte
Tralasciando i passaggi intermedi, ottenendo
d=4-b-c
e=3-b
f=3-b-c
g=b-1
h=b+c-1
i=b+c-2
l=2
m=2-b
n=2-c
Solo a questo punto ricorro alla forza: metto le formule in un foglio di
Excel, e provo a variare i valori di b,c fino a ottenere valori differenti
per tutti gli spigoli.
con pochi tentativi per b=4, c=5, trovo:
a = 0
b = 4
c = 5
d = -5
e = -1
f = -6
g = 3
h = 8
i = 7
l = 2
m = -2
n = -3
visto che il valore più basso è f=-6, non mi resta che sommare 7 a ciascun
valore, per avere la soluzione con numeri naturali:
a =7
b = 11
c = 12
d = 2
e = 6
f = 1
g = 10
h = 15
i = 14
l = 9
m = 5
n = 4
con
V = 24 (somma in ciascun vertice)
Z = 32 (somma in ciascuna faccia)
ciao
paolo

con pochi tentativi per b=4, c=5, trovo:
Anch'io son passato al foglio di Gnumeric:-))  e ho lasciato da
introdurre solo k, a, b, c.
Scrivo tutto questo perche' c'e` una cosa interessante: minimizzando T
al valore 84, cioe`: k=7, a=1, b=8, c=10, si ha che:
1 2 3 4 5 6 sono in ordine: a g f n i m
e che invece:
8 9 10 11 12 13 sono b d c h e l
Tutto questo perche' purtroppo T >= 78 --> T >= 84 come ho gia` detto.
Se la natura del problema avesse permesso T = 78, cioe` non
necessariamente multiplo di 12, allora si sarebbe potuto avere per gli
spigoli i primi 12 numeri, cioe` da 1 a 12, come nei quadrati magici.
-- 
Ci sentiamo  |  Remigio Zedda  || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio |                 ||==> E-mail: 
remi...@tiscalinet.it
-------------|      ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
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 spigoli i primi 12 numeri, cioe` da 1 a 12, come nei quadrati magici.
Ottimo.
Io mi ero fermato alla prima soluzione trovata, che dava T=96
Verificando ho visto che continuando i tentativi, con a=0, b=5, c=3, alla
fine, sommando +6 a tutti, sarei arrivato agli stessi risultati (in diverso
ordine) con T=84:
a = 6
b = 11
c = 9
d = 2
e = 4
f = 1
g = 10
h = 13
i = 12
l = 8
m = 3
n = 5
ciao
paolo