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Titolo: Dubbio su vecchia SE (Enigma 7643)

Tratto da SE 3776 del 7 agosto 2004.
Cito: "Se un vostro amico si toglie dalla tasca un certo numero di monete a 
caso e quindi vi invita a indovinare se esse sono in numero pari o dispari, 
secondo voi una risposta vale l'altra?".
La risposta fornita dalla SE non mi convince per nulla. La riporto sotto.
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SPOILER
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Spiega la SE: "No. Infatti, se tutte le monete che l'amico aveva in tasca 
erano in numero pari, ad esempio 10, egli può averne prese o un numero 
dispari, che può essere 1, 3, 5, 7 o 9, oppure un numero pari, che può 
essere 2, 4, 6, 8 o 10: in tal caso, quindi, le probabilità sono identiche. 
Se invece le monete in tasca erano in numero dispari, ad esempio 11, le 
probabilità che egli ne prenda un numero pari sono le stesse 5 del caso 
precedente, ma quelle che ne prenda un numero dispari salgono a 6, poiché a 
quelle si aggiunge l'11. Perciò, rispondendo "dispari", si ha sempre un 
vantaggio, se pur lieve".
Non mi convince per nulla. E voi?
Mariano 

 Tratto da SE 3776 del 7 agosto 2004.
Ohi, caro Mariano... non prenderlo come un rimprovero, che` non lo
e`... ma... non sara` che hai imparato su idm a fare multipost?
Non ripeto qua la domanda che ho fatto altrove, tanto non e` che sia
interessante...
Ciao ciao e perdona il mio OT
Claudio

> non sara` che hai imparato su idm a fare multipost?
Ciao Claudio,
prima ho spedito su IHE, poi ho pensato che su ISM sarebbe stata altrettanto 
IT. Cos'avresti fatto tu? Come avresti risolto?
Io ho fatto un secondo post su ISM...
Mariano 

:

Hai fatto benissimo... Avevo questa curiosita` OT che riguarda IDM...
dove il multipost e` fatto di proposito... cosi` volevo sapere se ti
aveva influenzato... per questo volevo chiedertelo.
Comunque aggiungo anche il modo piu` indicato per farlo [solo se pero`
uno si accorge prima che il post potrebbe interessare altri gruppi, cosa
che non e` avvenuta nel tuo caso]. Normalmente si puo` fare un
cross-post che raggiunga tutti i gruppi... il cross-post e` male! :-)
pero` non e` tanto male se si aggiunge il follow-up sul gruppo piu`
indicato alla discussione...
In ogni caso il tuo multipost credo sia gradito su entrambi i gruppi,
percio` non ho proprio nulla da ridire... solo quella mia perversa
curiosita`. :-)
Ciao ciao
Claudio

 sotto.
a me sembra una soluzione validissima.
L a riprova?
Metti 3 monete in tasca e avrai il 66,6 per. di avere un numero dispari di 
monete in mano ( 1 e 3)


 numero dispari di monete in mano (1 e 3)
Questa non è una prova. E' un singolo esempio. Le monete possono essere N, e 
il problema non fissa un limite superiore.
All'aumentare di N, la probabilità di estrarne un numero pari o un numero 
dispari tendono a diventare uguali.
Mariano 

di monete in mano (1 e 3)
A me non tanto...
Date le monete: {1,2,3}, si ha:
Casi totali:
{1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} {1,2,3}
Casi favorevoli pari:
{1,2} {1,3} {2,3}
Casi favorevoli dispari:
{1} {2} {3} {1,2,3}
Ma non vedo come andare avanti per valutare la probabilita'
che decida di prendere 1 oppure 2 o anche 3 monete.
In altre parole come faccio ad assegnare una probabilita'
ad ognuno degli eventi dei casi totali? chi mi assicura
che siano tutti e 7 equiprobabili?
Se lo fossero, allora si avrebbe:
prob_pari = 3/7 =~ 43 %
prob_disp = 4/7 =~ 57 %  
Come abbiamo visto con Coso anche su ism, se si include la
possibilita' che estragga zero monete, allora la cosa si
risolve per simmetria, considerando le decisioni 0...3
come scelte equiprobabili (ad esempio nell'altra tasca ha
4 palline numerate da 0 a 3); cioe' ecco cosa viene:
SCELTA: 0
pari: {0}
disp: {1,2,3}
SCELTA: 1
pari: {2,3}
disp: {1}
SCELTA: 2
pari: {1,3}
disp: {2}
SCELTA: 3
pari: {1,2}
disp: {3}
e questo allora porta, escludendo lo zero, a quest'altra
probabilita':
pari = 3/8 = 37.5 %
disp = 1/4+3/8 = 62.5 %
D'altra parte si potrebbe ancora fare:
TASCA PALLINE: {0,1}
TASCA MONETE: tre monete indistinguibili
0 ==> {0 monete} oppure {tre monete}
1 ==> {1 moneta} oppure {due monete}
ed allora, escludendo lo zero, si avrebbe:
prob_pari = 1/4 = 25 %
prob_disp = 1/2+1/4 = 75 %.
In definitiva sono d'accordo con Coso che dice che il
problema e' mal posto.
(Coso mostra anche come avere sempre il 50%) 
-- 
Saluti, Dalet

 {1} {2} {3} {1,2,3}
ok, allora passiamo dalla teoria alla pratica.
Saresti disposto a una scommessa dove un computer  randomizza quante 
palline scegliere su tre disponibili ?
Io mi prendo il dispari.
bruno

Io mi prendo il dispari.
Non accetto: giocherei a svantaggio certamente!
Ma non e' questo il punto che dicevo, perche' sullo
svantaggio non ci puo' esser dubbio una volta che sia
escluso lo zero.
Io ti propongo, in accordo coi dubbi che dicevo, di giocare
con vincite diverse: TU proponi e poi IO scelgo se pari o
dispari.
Ad esempio, te la sentiresti di giocare col 66.(6)=2/3 a me
che scelgo pari? io in questo caso accetto al volo!
Sarebbe:
esce pari, io vinco 2/3 di euro
esce dispari, tu vinci 1/3 di euro, OK?
-- 
Saluti, Dalet

 Io mi prendo il dispari.
Dipende da che distribuzione di probabilita` vuoi utilizzare per
randomizzare la cosa... ne abbiamo gia` viste diverse che danno
risultati diversi... *se* la randomizzazione si limitasse a scegliere
tra 1 e 3 quale numero [con uguali probabilita`] di monete estrarre,
avresti il risultato della SE.
Ti diro` che non mi aspetto affatto che il prendere a caso un mucchietto
di monete dalla tasca piena abbia [in generale] una simile
distribuzione... ma non saprei dire quale distribuzione possa modellare
al meglio la cosa.
Ciao ciao
Claudio

 escluso lo zero.
Anche escludendo lo zero potremmo metterla cosi`: a me basta che esista
almeno una pallina o moneta che abbia uguali probabilita` di essere
estratta o di rimanere in saccoccia indipendentemente dalle altre... In
questo caso scommetto alla pari su pari o dispari! :-)
E non mi pare un'ipotesi meno credibile o meno forte di quella che
vorrebbe che estrarne 1 o 2 o 3 abbia uguali probabilita`.
Ciao ciao
Claudio

 Non mi convince per nulla. E voi?
se aggiungi che il certo numero a caso non può essere zero e deve
essere necessariamente limitato (ipotesi non esplicite ma
ragionevoli), mi pare abbia senso, invece. In pratica hai due insiemi
(i possibili valori dispari e i possibili valori pari) che
differiscono al massimo di una unità (date N monete in tasca, i due
insiemi avranno floor(N/2) e ceil(N/2) elementi, se mi consenti la
notazione "informatica"). Al crescere di N è ovvio che la differenza
di elementi diventa trascurabile, ma per N "piccoli" (cioè coerenti
con il numero di monete che si possono tenere in una tasca) bisogna
tenerne conto.
bye!
bye!

 ragionevoli), mi pare abbia senso, invece.
Resta il fatto che la distribuzione è ignota, e ritenere che tutti i numeri 
siano equiprobabili è un'assunzione illecita. Per questo, restano i miei 
dubbi...
Mariano 

 dubbi...
ah, non avevo capito che era alla distribuzione che ti riferivi :^)
Beh, chiaro che l'equiprobabilità o la assumi anch'essa come ipotesi
implicita, ammettendo che quando si dice che l'amico estrae N monete a
caso lo faccia in maniera effettivamente indipendente da N, o
altrimenti il problema non ha semplicemente soluzione, a meno di
aggiungere informazioni su come vengono estratte le monete.
bye!