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Titolo: A proposito di YAHTZEE


SPOILER
Dopo una prima coppia di risposte del tutto avventate e, perciò,
inaffidabili,
ho riflettuto con calma e ho capito che il problema  era meno semplice di
quanto mi fosse sembrato dopo un primo sommario e superficiale esame.
Si tratta di sviluppare tutte le ipotesi possibili di sviluppo dei lanci e,
evidentemente con una progressione quantitativa che ne esclude
lo sviluppo manuale (5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506 ...
accrescendo le ipotesi da vagliare di n^2 ad ogni lancio)
.
Con un programmino ho fatto sviluppare dal computer le probabilità
relative ai casi possibili sino al 65° lancio (al 65° ne sono 98021).
Nel prospetto che segue elenco, a lato del numero di lancio,
la probabilità di successo in quel lancio e, infine, la media di lanci
necessari a fare Yahtzee con accuratezza via via maggiore al crescere
del numero di lanci testati secondo la formula
1*p1 + 2*p2 + 3*p3 + ....... + n*pn
-------------------------------------
   p1 + p2 + p3 + ................ + pn
LANCIO  PROB  MEDIA
1  0,000772  1
2  0,011860  1,93891403008675499
3  0,033397  2,70881036737070836
4  0,054547  3,4090828468415838
5  0,069931  4,0615791369386577
6  0,078578  4,67308685877570604
7  0,081417  5,24630974636361196
8  0,079935  5,78260836836622315
9  0,075574  6,28290715617789293
10  0,069516  6,74804840304871948
11  0,062646  7,17894141173294032
12  0,055577  7,57662318042133913
13  0,048709  7,94227631508128264
14  0,042285  8,27722442812886023
15  0,036430  8,58291516137145539
16  0,031196  8,86089673877358669
17  0,026584  9,11279138690791673
18  0,022563  9,34026810840457624
19  0,019089  9,54501631325079881
20  0,016108  9,72872144996625517
21  0,013562  9,89304336299774376
22  0,011399  10,0395977142958108
23  0,009567  10,1699405265226485
24  0,008019  10,2855562437744098
25  0,006715  10,3878486773197128
26  0,005619  10,4781348347175637
27  0,004698  10,5576413961775935
28  0,003926  10,6275032491613236
29  0,003279  10,6887639007855458
30  0,002738  10,7423776026351435
31  0,002285  10,7892122677886262
32  0,001907  10,8300535674313529
33  0,001591  10,8656096281369022
34  0,001327  10,896516047942359
35  0,001107  10,9233411055675009
36  0,000923  10,9465912441427631
37  0,000769  10,9667162203863624
38  0,000642  10,9841143115093447
39  0,000535  10,9991372207599832
40  0,000446  11,0120945414280841
41  0,000372  11,0232584509962422
42  0,000310  11,0328675013375004
43  0,000258  11,0411302929664274
44  0,000215  11,0482290015086074
45  0,000179  11,054322376530566
46  0,000149  11,0595484572862156
47  0,000125  11,0640272357375531
48  0,000104  11,0678626383869149
49  0,000086  11,0711448170163496
50  0,000072  11,0739516383842235
51  0,000060  11,0763503739246504
52  0,000050  11,0783991200959763
53  0,000042  11,0801478173702948
54  0,000035  11,0816396192763836
55  0,000029  11,0829115654736714
56  0,000024  11,0839954382281606
57  0,000020  11,0849185946397381
58  0,000017  11,0857044649701842
59  0,000014  11,0863731319816202
60  0,000012  11,0869418302561046
61  0,000010  11,0874252768580793
62  0,000008  11,0878360766658566
63  0,000007  11,0881850058091299
64  0,000006  11,0884812304807002
65  0,000005  11,0887326420719736
Non so quanto possa ancora crescere dopo l'ultimo valore ottenuto
(11,0887...).
Si intuisce come la serie tenda a convergere su un valore probabilmente
inferiore a 12, ma non sono in grado di dimostrarlo.
Una sperimentazione al computer mi ha dato una frequenza intorno a 11,88
Qualcuno può dirmi come sia possibile determinare il valore effettivo della
media di lanci necessari a fare yahtzee o, almeno, un valore massimo oltre
il quale la serie non possa convergere?
Grazie e ciao.

 il quale la serie non possa convergere?
Ti do una dritta (se conosci le catene di Markov lo risolvi in un attimo):
Prova a calcolare le medie di lanci necessari partendo da un punteggio
acquisito. Per esempio, se hai gia' realizzato un poker, 1 volta su 6 vinci
mentre 5 volte su 6 ti ritrovi a dover lanciare. Se x4 e' il numero medio di
lanci necessari, si trova x4=1/6+5/6*(1+x4), oppure puoi ragionare cosi': 1
lancio devo farlo per forza, e se mi dice male mi mancheranno ancora altri
x4 lanci, da cui x4=1+5/6*x4, che e' la stessa di prima. In un modo o
nel'altro trovi comunque che i lanci necessari saranno x4=6 (che era tra
l'altro abbastanza ovvio). Se hai 3 di un tipo allora lanci due dadi e dei
36 esiti 1 ti fa vincere, 10 ti fanno passare a quattro di un tipo, gli
altri 25 non ti fanno migliorare. Gli altri casi sono un po' piu' tosti, ma
dovresti tirar fuori il sistemino risolutore.
Ciao, Silv:o)

Ti do una dritta (se conosci le catene di Markov lo risolvi in un attimo):
In realta' va un po' oltre le catene di Markov, visto che le tue
scelte modificano le probabilita' di transizione. Quindi abbiamo la
programmazione dinamica stocastica, e non le semplici catene di
Markov.
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
I am never forget the day I first meet great Lobachevsky. In one
word he told me secret of success in mathematics: Plagiarise.


SPOILER
Missione compiuta !
Non conosco Markov e men che meno le sue catene, ma grazie alla tua dritta
credo di aver individuato la soluzione.
Considerato che i casi possibili sono, in ordine decrescente di
vantaggiosità,
per x4    1 + 5 su 6
per x3    1 + 10 + 25 su 36
per x2    1 + 15 + 80 + 120 su 216
per x1    1 + 25 + 250 + 900 + 120 su 1296
li calcolo nell'ordine e ottengo per x1 il valore di
181283 / 17248 =~ 11,0901553803339518,,,,,,,,,,,,,
che è vicinissimo a quello che avevo ottenuto con il mio approccio,
assurdamente ed inutilmente complicato, di sommare le probabilità dei
singoli eventi fino al 65° lancio e di calcolarne poi la media
(11,0887326...).
Grazie e ciao.

 181283 / 17248 =~ 11,0901553803339518,,,,,,,,,,,,,
Ottimo. Anche il fatto che non hai aggiunto - come io avevo meccanicamente
fatto - x0, che a rigor di logica dovrebbe essere il dato cercato, essendo
la vera media a priori. Ma tutto sommato e' solo una perdita di tempo e di
calcoli: avere un dado in mano al momento del lancio non cambia
assolutamente nulla. Infatti se ti capita di lanciare 5 valori diversi, dopo
la dovuta imprecazione li rilanci tutti, tenendoti al piu' il numero
fortunato, se ne hai uno.
Ciao, Silv:o)