Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Esponenti

Consideriamo questi esempi:
2^1 = 2       2 = 2
9^2 = 81      9 = 8+1
8^3 = 512     8 = 5+1+2
7^4 = 2401    7 = 2+4+0+1
...
Il problema:
Esiste, per ciascun esponente B (intero), una base A (intera e maggiore
di 1), tale che la somma delle cifre di A^B sia uguale ad A?
In caso contrario, qual č il minimo B per cui ciň non č possibile?
ciao
paolo
Sent via Deja.com
http://www.deja.com/


ci provo (se ho capito...)
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10?
(anche 11, direi...)

 (anche 11, direi...)
82^10 = 13744803133596058624
1+3+7+4+4+8+0+3+1+3+3+5+9+6+0+5+8+6+2+4=82
Silv:o)

ops, non capisco perche' questo msg
sia capitato prorpio qui ma..
gia' che ci sono, emh, non conoscete qualche
linguaggio di programmazione che tenga
gli interi ad un numero piuttosto grande di cifre?
[abbasso la forza bruta, cmque]
sandro.san

 di 1), tale che la somma delle cifre di A^B sia uguale ad A?
Confutando un tentativo di soluzione ho trovato 82^10; continuando a
pasticciare mi sono imbattuto in:
107^11 = 21048519522998348950643
2+1+0+4+8+5+1+9+5+2+2+9+9+8+3+4+8+9+5+0+6+4+3=107
E non saranno neanche i più bassi possibili. Io ho provato a partira prima
21,31,.. ecc. ed ho visto che intorno al 100 le undicesime potenze hanno
somme delle cifre paragonabili alle basi. Una decina di tentativi e l'ho
beccato.
Comincio a pensare che non ci siano limiti. E' vero che al crescere
dell'esponente si ottengono numeri con molte cifre, quindi con totali
alti, ma questo non è un problema. Per esempio la somma delle cifre di
12^24 è 117. Va quasi bene: fosse stato 120 bastava aggiungere uno zero:
120^24.
Tu fino a che valori hai controllato, prima di formulare l'ipotesi?
Silv:o)

 gli interi ad un numero piuttosto grande di cifre?
UBasic, un bellissimo Basic che occupa pochissime risorse ed ha una
libreria di funzioni impressionanti. E poi torni a programmare con i
numeri di linea, č ciň fa molto amarcord. Altrimenti tool secializzati
come Derive o Matemathica, e dovrebbero esserci unit Pascal e classi C e
java a precisione multipla; anche il Perl ce li ha.
Silv:o)

 numeri di linea, č ciň fa molto amarcord. Altrimenti tool secializzati
Oddio, ho come un sentimento
sinclairiano
che mi  travolge e mi porta via,
lontano,
lontano...
sandro.san
[abbasso la forza bruta e i commodor 64]

 wrote in message
94he2e$dc88n$1...@ID-49224.news.dfncis.de...


 Tu fino a che valori hai controllato, prima di formulare l'ipotesi?
98^11
108^12
20^13
eccetera eccetera eccetera
(con molti eccetera)
L'ipotesi non č mia, l'ho trovata spulciando su rec.puzzles.
Un tale "William Rex Marshall" ha trovato un certo valore N (vedi
sotto) ed ha fornito la prova che quanto chiesto č impossibile per
l'esponente B=N; inoltre ha riportato una tabella con i piů piccoli
valori di A corrispondenti a tutti gli esponenti B compresi tra 1 ed
N-1.
Tra l'altro, a conferma di quanto dicevi in un altro post, conclude la
dimostrazione dicendo:
"It should be easy to verify this list with software such as Delphi or
UBasic."
Chi volesse puo' trovare la risposta di William dopo uno spoiler.
La risposta č in inglese, ma la tabella č leggibile anche in italiano
:-)))
ciao
paolo
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Nessuna soluzione per B=105
Almeno una soluzione per ciascun B tra 1 e 104
"William Rex Marshall"
I won't post an entire proof to the newsgroup - its size might start a
flame war. But I'll show that it's not necessary to check any integer A
with more than 4 digits when B = 105.
If A has d digits then A^105 will have at most 105*d digits, and the
sum of the digits of A^105 cannot exceed 105*9*d, or 945*d. Since 945*d
grows only at a linear rate as d increases, while 10^(d-1) (the minimum
A with d digits) grows exponentially, only finitely many integers A
exist for which the sum of the digits of A^105 >= A. In particular, if
A has 5 digits, the sum of the digits of A^105 cannot exceed 105*9*5,
or 4725, which is only a 4-digit sum, and the discrepancy grows even
worse very fast as d increases further.
It is therefore not necessary to check any integer A > 105*9*4, or 3780
(and more careful reasoning can narrow the range to check even
further).
An exhaustive computer check of A for 1 < A <= 3780 found 1431 integers
for which the sum of the digits of A^105 is at least A. For none of
these is the sum exactly A. The largest case occurs when A = 1671 for
which 1671^105 is
258539698972018906333106459193793212263491830826846987769653337292539636
497795763241536438196983579820751282675635128838135101608109755966343797
598480259899056704330789784558380905915765969020035861763459855185998387
799390321629386119543442187227474245786499985012083957546116589077418839
 571725757482696173982912525307119507155672192049351
with the sum of the digits being 1674.
For B < 105 here are the smallest integer values of A > 1 for which the
sum of the digits of A^B is A:
B: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
A: 2 9 8 7 28 18 18 46 54 82 98 108 20
B: 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
A: 91 107 133 80 172 80 90 90 90 234 252 140 306
B: 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
A: 305 90 305 396 170 388 170 387 378 388 414 468 449
B: 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
A: 250 432 280 461 280 360 360 350 370 270 685 360 625
B: 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65
A: 648 370 677 684 370 667 370 694 440 855 827 430 818
B: 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
A: 837 450 837 540 540 917 901 853 936 630 1044 1061 964
B: 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 A: 610 1044 1062 1048 730
1188 1051 1134 1187 730 1151 1306 720
B: 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104
A: 720 810 1285 820 1387 1237 1359 1322 1363 1423 1359 1379 1377
It should be easy to verify this list with software such as Delphi or
UBasic.


 dove posso trovare il Visual basic in rete, mi date un URL per il
download?
E' software commerciale, quindi o lo compri (ci sono le licenze studenti
che costano poco) o ti rivolgi al ... fornitore di fiducia.
Comunque ce l'hai su Excel (volendo anche su Word o PP), ammesso che tu
abbia Office. Basta che fai partire l'editor di VB con Alt-F11 e puoi
scrivere lė il codice, con in pių il vantaggio di poter usare le funzioni
del foglio di lavoro e le celle per memorizzare-inserire i dati da
elaborare. ti conviene installare i file dell'help di VB, che di default
non ci sono con l'installazione tipica.
Ciao, Silv:o)

 download?
Dato che la tua richiesta segue una mia segnalazione riguardo UBasic (con
la U di Udine), forse chiedevi quello.
A parte il fatto che basta cercarlo con un motore di ricerca, puoi
trovarlo facilmente nella sezione DOS di  
www.simtel.net
 (magari su un
mirror italiano tipo
http://serviceftp.flashnet.it/simtel.net/msdos/ubasic-pre.html
)
Silv:o)

 gli interi ad un numero piuttosto grande di cifre?
ho trovato un'URL dove puoi trovare tutto quello che vuoi:
http://www.mat.uniroma3.it/ntheory/N1.html
Silv:o)

grazie dei consigli!
GDR


La mia risposta era senz'altro incompleta, non foss'altro perchè non
avevo letto la domanda in modo sufficientemente attento.
Il "10" della mia risposta non era l'esponente (B), bensì la base (A)!
A qualsiasi potenza lo si elevi, la somma delle cifre darà sempre e
soltanto 1 (UNO), *** mai *** 10!!!
O continua a sfuggirmi qualcosa?