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Titolo: triangoli e bastoncini

Un bastoncino viene spezzato in corrispondenza di due punti scelti a caso.
Qual e' la probabilita' che i tre bastoncini cosi' ottenuti possano essere
riassemblati in modo da costruire un triangolo?
*La soluzione prossimamente su questo ng (prossimamente = 172800 s)*.
Ciao:-)
--
Giorgio Bibbiani
Per rispondere togliere la h nell'indirizzo e-mail.

 Giorgio Bibbiani
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1/4
Questo è un problema noto da tempo (E. Lemoine)
Consideriamo un triangolo equilatero ABC
I tre frammenti possono essere rappresentati dalle
tre perpendicolari abbassate da un punto O situato
nell'interno di tale triangolo sui lati di esso
(per una certa proprietà, la somma dei tre bastoncini
è uguale all'altezza del triangolo equilatero ABC).
Se A'B'C' è il triangolo formato unendo i punti
di mezzo dei lati di ABC, si nota che la condizione
necessaria e sufficiente affinchè i tre frammenti
possano formare un triangolo è che O sia interno
a A'B'C'.
L'area di A'B'C' rappresenta quindi l'insieme dei
casi favorevoli e l'area di ABC l'insieme dei casi
possibili.
La probabilità cercata, data dal rapporto di tali
aree, è dunque 1/4.
Ciao , Nino

 *La soluzione prossimamente su questo ng (prossimamente = 172800 s)*.
spoiler
spoiler
La soluzione l' ha gia' data Nino, pero' occorrerebbe precisare con quali
criteri il bastoncino viene spezzato *a caso*, in quanto si puo' ad esempio
spezzarlo a caso in due parti ed una di esse di nuovo in due, in tal caso le
probabilita' variano, non ricordo purtroppo esattamente quante diventino, ne' a
quest' ora ho la minima intenzione di calcolarle, tanto domani salta fuori
qualcuno con la risposta completa
 ;-))
ciao
fulvio

 riassemblati in modo da costruire un triangolo?
E' giusta la soluzione di Nino.
Fulvio ha osservato che il risultato dipende dal modo in cui si scelgono i
punti ove spezzare il bastoncino, in effetti supponiamo di scegliere a caso
due punti sul bastoncino prima di spezzarlo.
Ecco la soluzione che avevo pensato.
Siano a, b, c le lunghezze dei tre bastoncini ricavati dal bastoncino
originale di lunghezza L, deve essere a + b + c = L, inoltre a, b, c possono
essere le lunghezze dei lati di un triangolo se valgono le disuguaglianze
triangolari:
a < b + c  =>  a < L/2
b < a + c  =>  b < L/2
c < a + b  =>  a + b > L/2.
Se a e b sono lunghezze casuali comprese tra 0 ed L e tali che la loro somma
sia minore di L allora in un piano cartesiano ab il punto che rappresenta la
coppia (a, b) potra' cadere ovunque all'interno del triangolo di vertici
(0, 0), (L, 0), (0, L) e di area L^2/2, le tre disuguaglianze triangolari
determinano un secondo triangolo interno al primo di vertici
(L/2, 0), (0, L/2), (L/2, L/2) e area L^2/8, la probabilita' che a, b, c
possano essere lati di un triangolo e' quindi pari al rapporto delle due
aree, cioe' 1/4.
Ciao a tutti.


 riassemblati in modo da costruire un triangolo?
Mi è venuto in mente un problema collegato che ho visto di recente:
presi tre numeri interi a caso compresi fra 1 e N, qual è la 
probabilità che essi siano le misure dei lati di un triangolo?
Se lo conoscete già, porgo le mie scuse...
Maurizio

 probabilità che essi siano le misure dei lati di un triangolo?
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Prima di tutto una considerazione: al crescere di n la probabilità tende a
1/2
Infatti basta prendere un cubo unitario (le tre coordinate ovviamente
rappresentano i numeri scelti, in questo caso reali tra 0 e 1), e notare che
la regione che rispetta i vincoli del problema è data dal solido formato
unendo i vertici (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0) e (1,1,1), in pratica
tutto il cubo meno tra piramidi a base triangolare (mezzo quadrato) e
altezza unitaria, di volume 1/6. Quindi il volume è 1-3*1/6=1/2
Vediamo il problema discreto. Ammetto di aver usato Derive per risplvere le
sommatorie ;)
Ho diviso lo studio in tre sottocasi (a<=b<=c sono i tre lati).
A) a+b<=n            (e quindi c<a+b)
B) a<=n/2 e a+b>n    (c<=n)
C) a,b > n/2         (c<=n)
Sommando i contributi parziali e pasticciando non poco con le formule, sono
arrivato al risultato:
#tr. = (n^3+n)/2    su  n^3 possibili scelte.
come si vede l'andamento asintotico è quello previsto tendente ad 1/2
Ciao, Silv:o)

 #tr. = (n^3+n)/2    su  n^3 possibili scelte.
che poi č facilmente dimostrabile per induzione.
E' vero per n=1.
supponiamolo vero per n e dimostriamolo per n+1
I T(n+1) triangoli validi con lato massimo n+1 sono T(n) piů quelli in cui
almeno un lato č lungo n+1, che sono:
A: tr. con ESATTAMNENTE 1 lato lungo n+1:
sono quelli in cui gli altri due lati valgono:
(2,n)
(3,n)(3,n-1)
(4,n)(4,n-1)(4,n-2)
....
(n,2)..............(n,n)
E sono esattamente 1+2+..+(n-1)=n*(n-1)/2 moltiplicati per 3 per via delle
simmetrie
A: tr. con ESATTAMNENTE 2 lati lunghi n+1:
sono ovviamente n, tanti quanti sono i modi di scegliere il terzo lato da 1
a n, e vanno anche questi moltiplicati per 3 per le simmetrie
C: tr. con 3 lati lunghi n+1
ce n'č ovviamente uno solo.
A+B+C = (3n^2+3n+2)/2
T(n+1)=T(n)+(3n^2+3n+2)/2 = [(n+1)^3+(n+1)]/2
qed
Ciao, Silv:o)

 Ciao:-)
Salve a tutti.
Un mio collega sostiene che la probabilità è pari e 3/4.
Il ragionamento.
Presa l'asta lunga L, per *non* potere costruire il triangolo , il segmento
più lungo deve essere maggiore di L/2.
Preso quindi un segmento lungo L/2 sull' asta L, i due punti devono essere
esterni ad esso, e quindi con probabilità 1/2*1/2= 1/4.
Questa è la probabilità quindi di *non* poter costruire il triangolo.
Sottraendola a 1 la risposta al quesito sembra essere 3/4.
Non ho trovato pecche nel suo ragionamento...
Dove sbaglia?
Ciao e buon week-end.
Pietro

 esterni ad esso, e quindi con probabilità 1/2*1/2= 1/4.
L'ultima proposizione e' errata, la forma corretta sarebbe:
i due punti devono dividere il bastoncino in tre parti, la maggiore delle quali ha
lunghezza >=L/2, pertanto o i due punti distano tra loro piu' di L/2 (probabilita' = 1/4),
o giacciono entrambi nella prima meta' del bastoncino (probabilita' = 1/4),
o giacciono entrambi nella seconda meta' del bastoncino (probabilita' = 1/4),
quindi la probabilita' di non poter costruire un triangolo vale:
1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4.
Ciao
