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Titolo: Una strana divisione del conto

Ieri sera ho incontrato Mario, non lo vedevo da trent'anni...
Siamo finiti in trattoria a far bisboccia, alla fine eravamo
un po' alticci.
Quando l'oste porta il conto, entrambi poniamo mano al
portafoglio, tutti e due vogliamo assolutamente pagare.
Per vedere a chi tocca, decidiamo di giocare alla morra, chi
arriva per primo a 12 vince e acquisisce il privilegio di
pagare il conto.
Iniziamo a giocare, ma poco dopo l'oste ci interrompe, dice
che è tardi e deve chiudere; nessuno era ancora arrivato a
12, però Mario in quel momento era in vantaggio per 9 a 7 e
allora porge 100 euro all'oste (il conto era 96 euro, il
resto mancia).
Appena usciti, l'aria fresca mi fa riflettere, dico che non
è giusto, e insisto per dargli la mia parte (se volete,
aggiungendo metà mancia...)
Considerata l'interruzione ed il punteggio parziale di 9-7,
come dovrebbero essere ripartiti i 96 euro?
Nino 

 come dovrebbero essere ripartiti i 96 euro?
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spoiler
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Dividendo in due parti con un rapporto 9:7,
52 e 44 euro?
(54 e 46 con la mancia)
Oppure, considerando che Mario aveva il 75% dei punti necessari per
giungere a pagare tutto:
72 euro (il 75% di 96), e tu il resto (24 euro).


E' un altro modo di vedere le cose, ma, secondo me, non corrisponde
a quello che si sarebbe potuto verificare continuando fino al termine. 

Nino wrote:

a
l
e
t
t
o
n
e
ad uno mancano 3 punti, all'altro 5 per vincere, per cui chi è a 9 deve
pagare i 5/8 del conto, chi è a 7 i 3/8, ovvero chi è a 9 deve pagare 62,50
euro e chi a 7 gli restituirà 37,50 euro pagati in più.

 euro e chi a 7 gli restituirà 37,50 euro pagati in più.
Non immaginavo ci fossero così tanti modi di vedere la questione...
La mia soluzione è diversa (la suddivisione deriva da come potrebbe
concludersi la partita...) 

 come dovrebbero essere ripartiti i 96 euro?
Secondo me...
S
P
O
I
L
E
R
...bisogna calcolare la probabilità che sia il tuo amico a vincere la
partita: mi viene fuori che il tuo amico aveva il 77.34% di
probabilità di vittoria e quindi è questa la quota che deve pagare.
A te rimane da saldare una quota pari al 22.66% del totale pari a 21.75
euro (esclusa mancia) o 22.65 (mancia inclusa).
Però non capisco la scelta dei numeri: vittoria a 12, parziale di 9-7,
96 euro. Sono solo numeri buttati la oppure aiutavano a semplificare i
calcoli in qualche modo?
Comunque il tutto era molto più semplice: usciti dovevate continuare
la partita e nel caso di una tua vittoria avresti restituito tutti i
soldi.
Ciao,
Gabriele

Il 04-10-2006, Nino scrive:




spoiler
Per brevita` (ho poco tempo) indico lo schema-guida che
presumo valido, passando pero` a Testa o Croce e al
punteggio gia` piu` avanzato: M=11; N=10.
pM = 3/4; pN=1/4, va bene? 
-- 
Ciao, rez	||  -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1  ||

 come dovrebbero essere ripartiti i 96 euro?
Secondo me...
----> Il tuo risultato č corretto (almeno, come lo intendevo io :))
Perň non capisco la scelta dei numeri: vittoria a 12, parziale di 9-7,
96 euro. Sono solo numeri buttati la oppure aiutavano a semplificare i
calcoli in qualche modo?
----> Semplificavano... I casi possibili ed il risultato finale si
possono ricavare in un modo semplicissimo...
Comunque il tutto era molto piů semplice: usciti dovevate continuare
la partita e nel caso di una tua vittoria avresti restituito tutti i
soldi.
-----> Troppo difficile ;-) (Eravamo brilli :))
Ciao, Nino
----------------------------------
Ciao,
Gabriele


Non č la mia soluzione .
Devi far finta di proseguire la partita fino ad arrivare
al punteggio di 12, esaminandone tutti i casi (il risultato
giusto l'ha trovato Gabriele, ma mi piacerebbe vedere
come ci arrivate...)
Ciao, Nino

 come ci arrivate...)
Vediamo un po':
S
P
O
I
L
E
R
Per comodità ho trasformato la partita: si arriva a 5 e siamo 2-0.
In numero massimo di partite che sono possibili a questo punto sono 7
(finendo4-5), ci sono quindi 2^7=128 partite possibili. Di queste 7, se
vuoi assicurarti la vittoria, ne devi vincere almeno 5.
Ci sono 6+5+4+3+2+1=21 combinazioni in cui vinci 5 partite su 7
Ci sono 7 combinazioni in cui vinci 6 partite su 7
C'è una sola combinazione in cui vinci 7 partite su 7
N.B.: non c'è bisogno di scomodare il binomiale, che pur farebbe
comodo (sono i tre <binomiale 7 su 5,6,7>), si può fare ad occhio che,
per quanto mi riguarda, è sempre preferibile alle formule.
In totale 21+7+1=29 casi sui 128 possibili
Naturalmente il risultato non l'ho trovato cosi :o)
Inizialmente avevo analizzato un'evoluzione a stati del gioco
riempiendo una paginetta di quaderno. Trovato il primo risultato, di
cui ero abbastanza sicuro, ho cercato un metodo più "semplice" che
giustificasse il risultato. Conoscendo Nino mi sono buttato su
combinazioni varie ed ho facilmente trovato una giustificazione più
"tecnica" del risultato.
That's all.
Gabriele

 come ci arrivate...)
In numero massimo di partite che sono possibili a questo punto sono 7
(finendo4-5), ci sono quindi 2^7=128 partite possibili. Di queste 7, se
vuoi assicurarti la vittoria, ne devi vincere almeno 5.
.
.
N.B.: non c'č bisogno di scomodare il binomiale, che pur farebbe
comodo (sono i tre <binomiale 7 su 5,6,7>), si puň fare ad occhio che,
per quanto mi riguarda, č sempre preferibile alle formule.
In totale 21+7+1=29 casi sui 128 possibili
---------------
----> Tutto perfetto. :-)
Se siamo 9 a 7 e si deve arrivare a 12, ci sono (12-9)+(12-7)-1=7
livelli (di partite possibili da esaminare).
Graficamente, č un po' lungo.
Perň, ad es. con il triangolo di Tartaglia...
si separano i 128 casi in 1+7+21+35+35=99 e 21+7+1=29
---------------
Naturalmente il risultato non l'ho trovato cosi :o)
Inizialmente avevo analizzato un'evoluzione a stati del gioco
riempiendo una paginetta di quaderno. Trovato il primo risultato, di
cui ero abbastanza sicuro, ho cercato un metodo piů "semplice" che
giustificasse il risultato. Conoscendo Nino mi sono buttato su
combinazioni varie ed ho facilmente trovato una giustificazione piů
"tecnica" del risultato.
That's all.
Gabriele
---------------
------>  ;-) Confesso che anch'io, all'inizio mi ero fatto lo schema:
                              9-7
                            /     \
                          9-8       10-7
                         /   \     /    \
                       9-9  10-8  10-8   11-7
                              ecc..
Ciao, Nino

Non è la mia soluzione.
Uhm.. veramente mi sembrano indistinguibili.
Ed infatti guarda, si fa al volo:
pM=1/8+3/16+6/32+10/64+15/128=7.734.375/10.000.000=~77,34%
pN=1/32+5/64+15/128=2.265.625/10.000.000=~22,65%
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Cosě, va bene, ma il procedimento per me non č chiarissimo...
Ciao, Nino 

Cosě, va bene, ma il procedimento per me non č chiarissimo...
Certo, perche' l'ho scritto nel modo probabilistico
ed e` - come sempre - piu` tortuoso.
MARIO VINCE
- Alla settima: dunque fisso M alla 7 posizione
della stringa/esito xxx.xxxM, poi le restanti sei
uscite/partite (che generano ognuna una probabilita`
di 1/128) le conto come Permutazioni P di 6 elementi
dei quali 4 uguali: le N, e due uguali: le M, dunque:
P[6;4,2]=15 -> 15*1/128.
- Alla sesta partita: idem con xxx.xxM dunque:
P[5;3,2]=10 -> 10/64. Eccetera.
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