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Titolo: La rete rotta e le formiche

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Due formiche devono ridiscendere la rete metallica in figura.
Se scendendo si trovano di fronte ad una possibile svolta a destra, allora
girano e si mettono a camminare in orizzontale sin quando non sono
obbligate a voltare di nuovo e iniziare un altro tratto di discesa. Stessa
cosa per le curve a sinistra. Se pero' incontrano una maglia integra, con
entrambe le svolte disponibili, nel dubbio proseguono dritte la loro
discesa.
Per esempio una formica che si mette in marcia dalla verticale 3 fa due
tratti di discesa, poi due in orizzontale fino alla verticale 5, quattro in
discesa e cosi' via.
Se le due formiche partono da due verticali distinte scelte a caso tra le
dieci possibili, qual e' la probabilita' che terminino la discesa sulla
medesima verticale?
E cinque formiche che partono da verticali diverse che probabilita' hanno
di terminare in verticali diverse?
Ciao, Silvio


wrote:

Se ho capito bene le regole del gioco, basta vedere dove arriva
ciascuna formica in fondo alla rete, associare ad ogni colonna il
numero della colonna d'arrivo e fare un conto sulle coppie cosi'
formate. Ad es. con le regole che hai dato, la formica che parte dalla
colonna n° 3 arriva sempre alla 7 (se non mi sono perso fra le
maglie!); avremo quindi la coppia (3,7); e in tutto 10 coppie.
Tento di generalizzare (col rischio di rompermi la faccia):
se abbiamo n colonne, e ne scegliamo m a caso da cui far partire le
formiche, possiamo formare P=n!/(n!(n-m)!) di queste m-uple distinte.
Una volta formate le coppie, contiamo, quante volte arriviamo sulla
stessa colonna per le n colonne; potremmo ad esempio trovare che sulla
colonna i arriviamo in r casi su n. Calcoliamo quante m-uple distinte
(distinte per le colonne di partenza) possiamo formare per ogni
arrivo: saranno, per la colonna i, Q(i)=r!/(m!(r-m)!).
Sommiamo ora i Q: otteniamo la probabilita' richiesta in P-esimi.
Esempietto: dalla colonna x si giunge alla y:
A->A
B->A
C->A
D->D
E->D
questo lo otteniamo dopo aver formato le coppie (m=2).
P=5!/(2!(5-2)!)=10 coppie.
AB   *
AC   *
AD
AE
BC   *
BD
BE
CD
CE
DE   *
Le coppie segnate con "*" sono quelle per cui si giunge sulla stessa
colonna. Esse sono infatti 3!/(2!(3-2)!) + 2!/(2!(2-2)!) = 3+1 = 4.
Risultato: 4/10. Nei restanti 6/10 finiranno su colonne diverse.
Se sempre nel mio esempietto considerassimo tre colonne di partenza,
avremmo P=5!/(3!(5-3)!)=10 ancora; pero' Q=3!/(3!(3-3)!)=1 e basta
(infatti solo scegliendo ABC si arriva sulla stessa colonna).
Nei restanti 9/10 si arriva su colonne diverse.
Spero (credo invano) di esser stato chiaro. Non appena avro' tempo e
voglia faro' i conti per la tua super-rete!
Stefano Costa
^^^^^^^^^^^^^
sco...@enjoy.it
cos...@odino.unipv.it

 arrivo: saranno, per la colonna i, Q(i)=r!/(m!(r-m)!).
e' moooolto piu' semplice ;)
Ciao, Silvio

>e' moooolto piu' semplice ;)
E cioe'?


Mi sembra analogo a questo:
in un lontano sistema solare ci sono 9 pianeti abitati. 6 carcerati
fuggono dalla prigione del pianeta X e raggiungono la sala
teletrasporti, dove sono disponibili 8 teletrasporti per ogni pianeta
(8 anche per il pianeta X stesso): in totale 9x8=72 capsule.
Spinti dalla fretta, si infilano ciascuno in un teletrasporto a caso;
qual'e' la probabilita' che si ritrovino tutti insieme sullo stesso
pianeta?


 pianeta?
L'analogia e' solo formale, c'e' un particolare che differenzia nettamente
i due problemi. fatti un esempio piccolo (3X4) ma concreto di rete, e
analizzalo bene, scoprirai che ho solo alzato un gran polverone con la mia
maxirete...
Ciao, Silvio
segue un suggerimento
S
U
G
G
E
R
I
M
E
N
T
O
S
U
G
G
E
R
I
M
E
N
T
O
ogni riga e' una permutazione

Ciao, Silvio
ciao
paolo

ogni riga e' una permutazione
Se non hai voglia di dirmi le cose, evita almeno per favore di dare
"suggerimenti" che non dicono niente. Cosi' prendi in giro la gente.


 Ne pesco 5 a caso......
Non e' la stessa cosa!
Se non mi sono spiegato io con le regole, faccio pubblica ammenda,
altrimenti dovete ammettere che l'approccio "combinatorio" non era il piu'
adeguato al problema.
Ciao, Silvio

 "suggerimenti" che non dicono niente. Cosi' prendi in giro la gente.
effettivamente il suggerimento e' (volutamente) vago, ma poteva bastare ad
indirizzare la soluzione, ed era quello che volevo, in quanto mi sembrava
che il problema fosse affrontato da un'angolazione "combinatoria"
sbagliata.
Mi scuso se questo ti e' sembrato irritante, non volevo certo esserlo,
pero' i casi sono due:
o non ho espresso chiaramente i termini del problema, e me ne dispiacerebbe
perche' in quel caso avresti ben ragione a prendertela con uno che la fa
tanto lunga, altrimenti devi ammettere di essere stato quantomeno
superficiale, non tanto nella soluzione, che non ha molta importanza,
quanto nella considerazione sul suggerimento, che mi sembra alquanto
gratuita.
Perche' mai dovrei prendere in giro qualcuno...
Ripeto: posso al massimo non essere stato chiaro nel formulare un problema.
Ma non c'era nessuna intenzione di mancare di riguardo a chicchessia.
Ciao, Silvio

gratuita.
Non e' gratuita nel senso che gia' ti avevo chiesto "E allora?" in un
msg precedente; credo che un suggerimento consista nel mettere una
persona, che gia' ammette di non esser riuscito a "vedere" dove
incamminarsi, sul "via" per risolvere un problema, e non dare
suggerimenti sibillini. Ho pensato a quello che mi hai detto e la
sensazione era quella di girare intorno senza fare un passo avanti.
Mi rendo comunque conto di esser stato un po' brusco e di aver usato
un "tono" un po' infelice, e di questo ti chiedo scusa.
Comunque: torniamo alle cose serie. Se era una semplice permutazione,
ho sparato ad una mosca con un cannone. Cosa mi dici comunque del
problema dei teletrasporti, hai provato a risolverlo? Non pensi anche
tu che sia una "generalizzazione" di quello che hai proposto (nel
senso che il metodo di calcolo e' applicabile ad entrambi e lo
risolve, lascia stare che e' come fare l'area del triangolo con un
integrale...).
Ciao,


 integrale...).
Non l'ho ancora affrontato, pero' continuo a considerarli completamente
diversi. Non si applica lo stesso metodo di calcolo perche' non ci sono
calcoli da fare...
Ciao, Silvio

Ciao, Silvio
ciao
paolo

nello stesso senso di marcia allora provengono dalla stessa colonna.
OK, questo va bene. Grazie.


 Qual'e' la probabilita' che ce ne siano zero od una bianche?
Qui credevo che la domanda a cui facevi riferimento fosse (e sarebbe stata
sbagliata) "Qual'e' la probabilita' che siano tutte nere?". Da qui la mia
obiezione.
Comunque anche se la funzione di trasferimento della rete fosse una
funzione generica, e non una semplice permutazione, il tuo approccio ha il
difetto di essere "asimmetrico": puoi trattare il caso delle uscite diverse
da 3 con un unico colore, solo perche' puoi considerare la condizione di
"uscite diverse" come complementare di "due bianche", ma e' solo dovuto
alla semplicita' del caso. In generale e' necessario un colore per ogni
possibile uscita e purtroppo l'analisi combinatoria di domande anche
semplici rimane abbastanza complessa.
Propongo comunque alcune varianti del problema della rete:
1) dimostrare che e' sempre possibile aggiungere righe alla rete per
renderla "neutra" (uscite sulle stesse colonne degli ingressi)
2) Trovare un insieme minimo di righe da aggiungere alla rete dell'esempio
per renderla neutra.
Ciao, Silvio