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Titolo: Cavalletta

In questo gioco, che ho chiamato Cavalletta, una pedina e' messa sulla 
casella centrale di una scacchiera 11x11. A turno due giocatori muovono la 
pedina, da dove si trova, su una qualsiasi altra casella, col vincolo che 
ogni movimento (a partire dal secondo) deve essere piu' lungo del precedente.
Chi vince ?
Si puo' generalizzare per scacchiere di ordine 2k+1 ?


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.Scusa ma come al solito io chiedo chiarimenti...
;-)
La distanza la calcoli in caselle oppure tieni conto
della distanza reale dal centro casella ?
Ovvero l'ultima mossa possibile in teoria e' quella da
10 caselle oppure quella da 10*SQR(2) ?
CiaO,
Massimo

 ha scritto nel messaggio
news:dz5ta.89907$DT4.2...@twister1.libero.it...

Purtroppo sono di passaggio e non avro' tempo stasera di studiarlo
bene, pero' spoilero una dritta per chi ci sta tentando
spoiler
spoiler
Mi pare di cogliere una analogia con il Nim, per cui credo che la
faccenda si possa risolvere (anche) in termini di sistema binario.
ciao
fulvio

 wrote in message
b93t0u$ofr$1...@newsreader.mailgate.org...

penso in caselle. se invece prendi le distanze reali non vince mai nessuno!
ah, il continuo!
ciaoo

 ah, il continuo!
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.Mi spieghi come conteggi questa mossa da A a B...?
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. A . . . . . . . . .
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. . . . B . . . . . .
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CiaO,
Massimo

 wrote in message
b93to2$p04$1...@newsreader.mailgate.org...

avevo mancato la parte in cui specifica che si può muovere in OGNI casella.
cmq non serve passare proprio ai reali, si può ragionare anche con
disugualianze...
cmq avevo frainteso, pensavo tu dicessi che ci si può muovere in un
qualsiasi punto della scacchiera, anche 2 volte nella stessa casella, magari
in punti diversi...

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SQRT(58).
ciao

 wrote:

spoiler
spoiler
spoiler
spoiler
Il secondo giocatore vince sempre. Infatti può sempre giocare portando
la pedina dalla casella in cui si trova alla casella simmetrica rispetto
al centro della scacchiera.
Per vederlo, osserviamo che questa mossa è certamente possibile al suo
primo turno di gioco. Mostriamo allora che, se il secondo giocatore ha
seguito questa strategia fino ad una certa mossa, può giocare in tal
modo anche la mossa successiva senza violare le regole del gioco.
Supponiamo quindi che il secondo giocatore abbia portato la pedina dal
punto A al punto A' (simmetrico di A rispetto al centro O) e che quindi
il primo giocatore l'abbia portata in un punto B (con A'B > AA'). Se
indichiamo con B' il punto simmetrico di B rispetto ad O, basta
dimostare che BB' > A'B. Infatti, se indichiamo con t la misura
dell'angolo AA'B, considerando i triangoli uguali OA'B e OAB' si ha:
(BB')^2 = 4(A'B)^2 + (AA')^2 - 4 (AA')(A'B) cos(t),
cioè:
(BB')^2 >= 4(A'B)^2 + (AA')^2 - 4 (AA')(A'B),
ovvero
(BB')^2 >= (2 A'B - AA')^2 > (A'B)^2, c.v.d.
Ovviamente la cosa funziona con qualsiasi scacchiera dispari.
Maurizio


Ciao Maurizio,
avevo elaborato ieri sera una medesima soluzione, ripromettendomi di
inviarla questa mattina se non fosse stata già individuata. Ne approfitto
allora per aggiungere un paio di considerazioni:
Mi sembra più intuitivo vedere la progressione per cui ogni mossa di colui
che vincerà ha lo scopo di spingere l'avversario sempre più verso l'esterno
in questo modo: essendo la mossa A' diametralmente opposta ad A, possiamo
vedere il segmento AA' come il diametro di un cerchio concentrico al centro
della scacchiera. La mossa B dell'avversario dovrà essere per forza esterna
a questo cerchio e il vincitore muovendo in B' genererà un nuovo diametro
BB' > AA' spingendo progressivamente l'avversario verso l'ultima mossa
perdente.
L'altra considerazione riguarda la parità del lato della scacchiera. Se la
scacchiera ha lato pari e se supponiamo che la posizione iniziale della
pedina sia in una delle caselle centrali, le cose si invertono: chi muove
per primo può giocare la mossa diametralmente opposta rispetto al centro,
costringendo il secondo a uscire dal cerchio appena definito, quindi in
questo caso il vincitore è il primo a giocare.
A questo punto è facile stabilire chi vince se la scacchiera è una generica
scacchiera m x n, con m e n arbitrariamente pari o dispari.
Ciao :-)
Giorgio