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Titolo: Probabilita' che un solitario riesca

Un saluto. Sono certo che qualcuno dei nostri matematici potra' soddisfare
questa mia curiosita'. Vo ad esporre.
Uno dei solitari piu' semplici che si possono fare con un mazzo di carte e'
chiamato "il suicidio". Si fanno scorrere le carte (mazzo da quaranta) una
ad una contandole ad alta voce a gruppi di dieci, vale a dire ritornando
all'uno dopo ciascun dieci. Il solitario viene se nessuna carta ha un valore
pari al numero della sua posizione: nessun asso deve occupare il primo,
undicesimo, ventunesimo o trentunesimo posto, nessun due puo' essere
secondo, dodicesimo, ventiduesimo o trentaduesimo e cosi' via fino alle
donne che non possono essere al posto 9, 19, 29 e 39 ed ai re che non
possono essere decimi, ventesimi, trentesimi o quarantesimi.
Il solitario riesce se si riesce ad arrivare al termine del mazzo, vale a
dire che appena s'incontra una carta corrispondente alla sua posizione il
solitario non e' riuscito.
Vorrei sapere, con una spiegazione possibilmente non troppo specialistica,
quali sono le probabilita' che una mano di "Suicidio" riesca e come le si
calcola; quali sarebbero esse usando un mazzo da 52 carte (ed ovviamente
contando da 1 a 13); e se tale metodo puo' essere impiegato o adeguato per
altri calcoli relativi a solitari o comunque giuochi di carte diversi.
Grazie anticipate!
P.S. Per la cronaca, il nome di tale solitario si deve alla leggenda
riguardante un tizio che, dopo ore d'inani tentativi, era li' li' per
farcela... ma proprio l'ultima carta era un re! La disperazione lo avrebbe
spinto all'insano gesto.
Andrea
salo...@mediacomm.it

 calcola;
Il problema è stato discusso poco fa su it.scienza.matematica
"un giochino di probabilità" 05-01-2005
La soluzione esatta è molto complicata: vedi thread "Solitario e
probabilità di riuscita" del 30-08-04
Il risultato è: prob. vincita = 1,562% (mazzo 40 carte)
                              = 1,623% (mazzo 52 carte)
Io ho proposto una soluzione approssimata (considera gli eventi
indipendenti, come cioè se si rimettesse ogni volta la carta nel
mazzo) 05-01-2005 23:30
Vedi anche su it.scienza.matematica "Riflessioni sul solitario
di O'Blivion" del 07-01-2005 14:02
Ciao, Nino 

 "un giochino di probabilità" 05-01-2005
E' stato discusso  piu' volte anche qui. Ecco ad esempio cosa sriveva 
Silvio nel 2002:
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 >Emanuele chiede
 > Si prende
 > un classico mazzo di carte da 40 (quelle da scopa per intenderci), si
 > mescola, e poi si inizia a scoprire le carte una ad una. > > 
 >Contemporaneamente
 > si conta da uno a dieci dicendo un numero per ogni carta uscita, 
 >quindi in
 > totale di dovrebbe contare 4 volte fino a 10. Il solitario termina (e 
 >non
 > riesce) se nello scoprire le carte, il valore della carta uscita
 > corrisponde a quello pronunciato [..]
 > qual è la probabilità di riuscita del gioco?
201028342764877992289387752167601/12868639981414579848070084500000000 =
0.0156215686393598242
Quindi riesce solo nell'1.5% dei casi. Poco, ma quasi il doppio dell'altra
variante "1,2,3,1,2,3,.." che riesce solo nello 0.84% delle volte.
Vedi 
http://www.research.att.com/~njas/sequences/Sindx_Ca.html#cardmatch
(in particolare è la sequenza A059074)
oppure sull'onnipotente google partendo da "Derangements" (sono i modi di
riarrangiare una sequenza senza mettere al posto giusto nemmeno un numero,
ne parlammo anche qui su ihe), fino ad arrivare alla generalizzazione
"Dinner-Diner matching numbers". Io l'ho trovata semplicemente calcolando a
forza bruta i primi tre termini (0, 1 e 346) e usando l'enciclopedia delle
sequenze. Ci sono elencate le sequenze più assurde, figuratevi se non c'era
questa!
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                               = 1,623% (mazzo 52 carte)
xchč la prob. č dir proporzionale al numero
delle carte e non inversamente come mi
sarei aspettato?

 chiamato "il suicidio". Si fanno scorrere le carte (mazzo da quaranta) una
gioco incredibilmente noioso perchè
manca di un elemento bravura, io ne
conosco una variante in cui si sistemano
le carte in colonne e quelle al loro posto
(asso in prima ecc..) vengono prese e
ordinate secondo il seme, esempio se in
prima colonna ho un 2 di picche come
secondo vado nella 4a colonna e faccio
lo scambio, dovrebbe succedere che in
4a/2 posizione trovi il 2 di cuori.


Avresti potuto guardare dove consigliavo...;-)
Comunque, incollo la mia soluzione (approssimata....):
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Il problema è stato postato qualche giorno fa ("un giochino di
probabilità"). Lo sintetizzo.
Si prende un mazzo di carte, si mescola, e poi si inizia a scoprire
le carte ad una ad una. Contemporaneamente si conta da 1 a N.
Il solitario termina (e si perde) se il valore della carta uscita
corrisponde a quello pronunciato.
Si chiedeva qual è la probabilità di riuscita del gioco al variare
di N (e al cambiare del numero di carte del mazzo, aggiungo ora io).
Alcuni avevano cercato di approssimare la soluzione con una ricerca
empirica mediante simulazione al PC.
Io avevo postato i risultati per tutti i possibili N ottenuti con
un semplice metodo di calcolo, valido per un mazzo di 40 carte.
El Filibustero mi aveva risposto che il mio calcolo era sbagliato,
indicando il valore esatto per un mazzo di 40 carte e N=10.
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Risultati da me indicati:
N=2  prob. di perdere = 0,996   (1-1/2^8)
N=3          "        = 0,9923  (1-(2/3)^12)
N=4          "        = 0,990    ecc..
N=5          "        = 0,9885
N=6          "        = 0,9874
N=7          "        = 0,9866
N=8          "        = 0,9861
N=9          "        = 0,9856
N=10         "        = 0,9852
---------------------------
La procedura corretta è in effetti complicatissima, necessita di una
funzione ricorsiva, secondo il principio di inclusione e esclusione.
Però, il metodo molto semplice da me indicato è utilissimo per rendersi
conto dell'ordine di grandezza del risultato, e dà sempre un risultato
molto vicino a quello corretto (al massimo scarta di pochi %).
Dopo l'osservazione che mi è stata rivolta, mi sono subito reso conto
dell'errore concettuale commesso. Cioè di aver considerato ogni girata
delle carte come un evento indipendente; in realtà, dopo ogni operazione,
il mazzo si impoverisce, e non è più composto dalle primitive 40 carte.
Da qui il lieve discostamento tra i valori corretti e i risultati da me
indicati.
E mi sono chiesto: quando i valori calcolati secondo i due procedimenti
tendono ad uniformarsi?
Evidentemente, quando lo scarto delle carte diventa praticamente
ininfluente;  questo vale quando sia le carte del mazzo che il
numero N che si pronuncia tende all'infinito.
Non mi cimento neppure nelle verifiche dei limiti (ho abbandonato
esercizi come questo da almeno trent'anni). Ma sono pronto a scommettere
che il calcolo che io ho utilizzato, cioè:
                 prob. vincita = ((N-1)/N)^4N
dove N è il numero delle carte di ogni seme e anche il numero massimo
che viene pronunciato (da 1 a N per 4 volte)
rappresenta la soluzione mano a mano più corretta (fino a diventare
quella esatta per  N ---> inf.).
Cioè:   lim (N--->inf) = ((N-1)/N)^4 = 1/exp(4) = 0,018315639
che è quindi la probabilità massima di vincita.
    N         % vincita esatta         % vincita mio calcolo
  -----       ----------------         ---------------------
    3              0,0083                    0,007707
   10              0,01562                   0,014781
   13              0,0162327                 0,015573
   20              0,0169543                 0,016515
   50              0,017768                  0,017588
  inf              0,0183156                 0,0183156
Ciao, Nino