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Titolo: Tovaglie

Qual'e' il diametro del piu' grande tavolo circolare che posso
interamente coprire con tre tovaglie quadrate di un metro di lato ??


La prossima volta che compri una tovaglia, controlla prima la forma e le
dimensioni del tavolo. Altrimenti il nuovo enigma sara' tavolo quadrato con
tovaglie circolari.
Comunque provo e trovo:
Esagono, lato 1, angoli 90,150,90,150,90,150.
Cerchio iscritto, diametro 1,5774.
ciao
Paolo
P.S. aspetto con terrore un rettangolo circolare da riempire con dischi
quadrati.

Cerchio iscritto, diametro 1,5774.
La tua soluzione si puo' migliorare di poco (penso un paio di cm),
allontanando verso l'esterno le tre tovaglie, in modo che il tavolo, oltre
che tangente a due lati di ogni tovaglia, passi anche per il punto comune di
altri due lati. Insomma ci vorrebbe un disegno. Rimane un poligono di 12
lati con angoli: 90, 90, 330, 90, 90, 90, 330, 90, 90, 90, 330, 90.
Comunque ho generalizzato il problema per n tovaglie si area A. Il diametro
del piu' grande tavolo e' ottenibile da sqrt(nA/pi). Si procede in questo
modo. Se le tovaglie sono cartacee (modello trattoria svincolo
Fontanellato), con molta pazienza ed un paio di forbici ben affilate, le si
tagliano in minuscoli coriandolini. Indi, armandosi di colla (consiglio
Vinavil) li si incolla sul tavolo fino a completa copertura.
Il problema di questo metodo e' che e' difficile scuotere le briciole di
pane dopo il pranzo. Hanno la tendenza ad impiastrarsi di colla.
MF
P.S. Studi recenti hanno appurato che per vivere 100 anni basta bere 1 litro
di vino rosso alla settimana per 5200 settimane.

 Cerchio iscritto, diametro 1,5774.
Ottimo!, c'e' la possibilita' di un piccolo miglioramento.
Nel tuo esagono, agli angoli di 150 gradi concorrono i vertici di due
quadrati, questo punto e' piu' esterno della circonferenza inscritta.
Ora immagina che la circonferenza si dilati trascinando con se i 3
quadrati, fino a portare i punti di sovrapposizione dei quadrati a
coincidere con la circonferenza stessa. Si puo' calcolare che il
diametro diventa 1.588

tovaglie circolari.
Perche' no? A me la prima mossa: lato= (sqrt(2)+sqrt(6))/4 = 0.9659...
MF


Buono anche, solite 3 tovaglie quadrate e tavolo quadrato.


Devo correggere la mia precedente soluzione.
Evidentemente, avendo usato tovaglie a scacchi, mi ero distratto cercando di
contare il numero max. di quadretti visibili sulla superficie del tavolo :-(
Questa volta, a scanso di equinozi  :-) usero' tre tovaglie in tinta unita,
tutte dello stesso colore.
Nella figura descritta sopra si ha un eccesso di sovrapposizione tra le
tovaglie; in particolare potrei eliminare la sovrapposizione tra i lembi di
tovaglia sporgenti dal bordo del tavolo; ossia allontanando le tovaglie in
direzione radiale posso dilatare leggermente il tavolo.
Credo che l'ottimo si abbia quando i lati di due tovaglie si intersecano sul
bordo del tavolo, lasciando all'esterno una piccola apertura a V.
Disegno un cerchio di raggio R, e sei raggi a 60 gradi: tre raggi normali
alternati con tre raggi lunghi R*sqrt(2).
Le estremita' dei raggi lunghi sono vertici delle tovaglie; da ciascuno di
questi traccio due semirette tangenti al cerchio (lati delle tovaglie).
Dalle estremita' dei raggi normali traccio le perpendicolari alle semirette
e trovo altri due vertici di ciascuna tovaglia, quindi completo i tre
quadrati.
Il lato di ciascun quadrato risulta L=R*1,2588 ; che risulta essere anche
L=R*(1+sin(15)).
Posto L=1 trovo R=0,7944
e quindi il diametro del tavolo  D=1,5888
risulta un po' maggiore del precedente: posso aggiungere un posto a tavola!
ciao
Paolo
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Per tre punti passano infinite rette, purche' siano abbastanza spesse.

Buono anche, solite 3 tovaglie quadrate e tavolo quadrato.
Il signore e' servito... provo: lato= (sqrt(2)+1)/2 =1.207...
Riassumendo la questione tovaglie-tavoli quadrati-circolari:
3 tovaglie circolari, tavolo quadrato: lato tavolo= 0.965...
3 tovaglie circolari, tavolo circolare: diametro tavolo= 1.333...
3 tovaglie quadrate, tavolo quadrato: lato tavolo= 1.207...
3 tovaglie quadrate, tavolo circolare: diametro tavolo= 1.588...
Alcuni dei risultati sopra possono essere provvisori. Comunque tutto cio' ci
insegna:
- quando usciamo per comprare delle tovaglie per il nostro tavolo, conviene
ricordarsi forma e dimensioni: anche esteticamente, meglio una sola tovaglia
ma buona.
-nel dubbio compriamo tovaglie quadrate.
MF