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Titolo: Problemino

Saluti a tutto il NG.
Questo quesito e' stato proposto sulla rivista MC di  un po' di tempo fa.
"Nell'aula magna di una universita' si tiene un convegno di biologia; i posti
sono numerati e le persone che vi partecipano hanno un numero (progressivo da
1) attaccato al loro vestito. Ho visto uscire tre persone che avevano i numeri
13, 46 e 80. Qual'e' la miglior stima di persone che partecipano a tale
convegno?"
Che ne dite?
Ciao
Sergio
-- 
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 ha scritto nel messaggio
news:d17bec43f0631dfe2a6...@mygate.mailgate.org...


 convegno?"
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io punterei sull'80.
Il problema è quello di "stimare" con la massima "accuratezza" (???) il
parametro "numero di partecipanti".
E' un po' che non traffico con problemi di statistica, ma mi ricordo che
questo problema l'ho incontrato come esempio di utilizzo degli "stimatori di
massima verosimiglianza". Questi sono aggeggi che ti permettono di scegliere
il parametro che più degli altri abbia possibilità di generare proprio il
caso ossevato.
In altre parole: Da quale gruppo di persone più frequentemente possiamo
aspettarci di estrarre a caso proprio i tre numeri osservati? Secondo me
meno sono le persone e più ho probabilità di pescare le tre giuste, e le
persone sono almeno 80, visto che l'80 l'ho visto passeggiare!
Questo stimatore è valido a due condizioni:
- suppongo che le persone uscite siano state sorteggiate a caso tra tutti
- non ho un'idea a priori di quanti possano essere i partecipanti
(altrimenti utilizzerei questa conoscenza, e mi pare che questo tipo di
stimatori siano legati al nome di Bayes).
Ad esempio, se avessi letto che al convegno partecipano rappresentanti di
oltre cento paesi, non punterei certo sull'80 nella mia previsione. Mi
converrebbe partire dalla mia stima a priori (per esempio potrei assumere
una campana di gauss centrata sul 120) per poi aggiustare il tiro
considerando i 3 numeri osservati.
l'obiezione alla mia stima (80) potrebbe essere: ma cavolo, non è un po'
improbabile che proprio l'ultimo sia uscito in quel momento? No, rispondo
io. E' un numero come un altro. Sarebbe ben più difficile incontrare il 43
su 90, ad esempio.
Ciao, Silv:o)

> convegno?"
Secondo me la miglior stima e' 92 persone.  Se prendo un'aula con 92 persone
numerate progressivamente e ne "estraggo" due a caso, il numero piu'
probabile che ottengo sommando i due cartellini e' 93.  In generale la media
dei cartellini delle persone estratte sara' 46.5.  Ora, la media dei
cartellini delle persone uscite e' 46.3; a meno che non si voglia ipotizzare
che al convegno abbiano partecipato 91.6 persone (fatemi conoscere la .6!),
la stima "intera" piu' vicina e' appunto 92
Zaknafein

 la stima "intera" piu' vicina e' appunto 92
come dicevo ci sono diversi tipi di stimatori ognuno con le sue
cartteristiche (minima varianza, massima verosimiglianza ecc.).
A quanto pare la supposizione iniziale di estrazione a caso dei tre
rappresentanti osservati l'accetti anche tu, e anche tu sei d'accordo
nel cercare il numero di partecipanti che "con maggior probabilità"
potrebbe produrre il fenomeno osservato (stima di massima
verosimiglianza).
Detto questo, se qualcuno mi dicesse "ho visto tre persone i cui
cartellini avevano media 46.3" probabilmente direi anch'io 92, ma il
fatto è che "quei" tre numeri li ho visti, e se faccio finta di non
averli visti mi starei mangiando dell'informazione. A rigor di logica,
meno informazione considero e peggio posso fare le mie stime.
Sembrerebbe la stessa cosa per la mia stima, di 80, che
deliberatamente prende in considerazione un solo numero su tre: il
fatto è che, prendendo IL MASSIMO, sto ben considerando gli altri due,
anche se solo dal punto di vista qualitativo, tanto è vero che se uno
dei due fosse stato 85 anziché 13, non avrei certo detto 80.
Questo modo di stimare il numero di partecipanti è, come ho detto,
quello di massima verosimiglianza, ma ha anche qualche difetto.
Per esempio, è "distorto". In che senso?
Supponiamo che le persone siano n. Stimando questo n tramite il
massimo fra 3 numeri estratti a caso tra 1 e n, otterremo qualcosa che
è minore di n, quindi mediamente sappiamo già di sbagliare per
difetto, mentre gli stimatori "non distorti" in media ci azzeccano,
nel senso che se faccio mille stime la medie di queste stime si
avvicina al parametro da stimare.
Per tornare al nostro caso, so benissimo che probabilmente le persone
saranno di più di quelle che prevedo, ma non ho nulla di meglio da
dire. Con la tua stima di 93 persone, quante probabilità ci sono di
pescare a caso proprio i tre numeri 13, 46, 80?
Io direi una sola sui possibili modi di scegliere a caso tre numeri su
93, ovvero una su C(93,3) che è poco meno di 8 possibilità su un
milione. Con 80 persone la probabilità è una su C(80,3) che è più di
12 possibilità su un milione.
Il tuo metodo (guardare la media degli estratti) è ottimo per stimare
la media (è non distorto, è quello di varianza minima e ha un sacco di
altre belle proprietà) ma per la stima della numerosità della
popolazione non credo sia il più indicato.
Ciao, Silv:o)


"Sono la segretaria dell'universita'. Nell'aula magna si tenne
un convegno di biologia; i posti furono numerati a mia
insaputa e le persone che vi parteciparono portarono un numero,
progressivo da 1, attaccato al loro vestito. Quando vidi uscire tre
persone che avevano i numeri 13, 46 e 80, chiesi quale fosse la
miglior stima di persone che partecipavano a tale convegno a due
matematici dell'universita', tali Prof. Zaknafein e Prof. S.Sergio.
Dovevo preparare delle pergamene-ricordo per ciascun
congressista. Attraverso due metodi differenti mi fornirono le
stime di 80 e 92 partecipanti. Meglio abbondare, mi dissi, e
ordinai 100 pergamene. Ora sono nei pasticci perche' vengo
a sapere che i congressisti erano 432. La prossima volta,
esimi Prof., mi fornite anche una stima di quanto e' attendibile
la vostra stima?
Ciao  :o)))
LZ

la vostra stima?
Cavoli che scalogna! Tutti e tre nel primo centinaio.. ma e` proprio
la risposta o e` un nuovo quiz?
-- 
Ci sentiamo  |  Remigio Zedda  || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio |                 ||==> E-mail: 
remi...@tiscalinet.it
-------------|      ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
/* Linux 2.2.19pre17 su Debian GNU/Linux 2.2 Potato */

 ha scritto nel messaggio
news:B81B7DF8.1F35%mrcm...@tin.it...

Scusa, Zaknafein, che risultato darebbe il tuo metodo se le persone uscite
avessero i numeri 1, 2 e 80?
Ciao :-)
Giorgio

 Giorgio
Beh allora sarebbe ragionevole prevederne 80, di persone.  A voler essere
rigorosi ne prevederemmo 56, ma sappiamo che devono essere almeno 80,
quindi...
Considera che stiamo parlando di probabilita'.  Nessuno vieta che da un'aula
con 1000 persone escano quelle con i numeri 1, 2 e 3.  E in quel caso?  Se
ci pensi e' ragionevole pensare che le persone fossero 4, e invece... ci si
sbaglia di quasi 2 ordini di grandezza e mezzo!
Il calcolo delle probabilita' non e' divinazione.  Ci saranno sempre i casi
limite.
Zaknafein

 sbaglia di quasi 2 ordini di grandezza e mezzo!
Se vedo uscire i numeri 1, 2 e 3, io ipotizzo che le persone siano 3. Se le
persone sono 3 è MOLTO probabile che escano la 1, la 2 e la 3 :-). Se
fossero 4, quelle 3 persone uscirebbero solo 1 volta su 4.
Riconosco comunque che potrebbero essere anche 1000. Però credo che ad un
convegno di biologia, 1000 persone siano un po' tantine! :-))))
Ciao :-)
Giorgio

 fossero 4, quelle 3 persone uscirebbero solo 1 volta su 4.
Pardon, se secono 1 2 e 3 effettivamente la probabilita' maggiore e' che ci
fossero effettivamente 3 persone, non 4 :)
Zaknafein


Fate voi. Pero' e' scientifico, quando si fornisce un dato statistico,
dire anche qual e' la significanza del dato.
Ciao!
Livio

dire anche qual e' la significanza del dato.
Ehh buona notte! Non ci capisco niente di statistica, ora poi con la
significanza sono a posto:-(( Cmq non era un quiz, pazienza..



Premesso che le serie non mi sono mai piaciute tanto (preferisco di gran
lunga le allegre!), ditemi se c'è un buco in questo ragionamento.
Ammesso che vedendo uscire le persone a, b, e n (con n > a e n > b),
desumiamo che è più probabile che le persone siano effettivamente n,
vogliamo stabilire QUANTO è probabile che siano n.
Per ogni valore p del numero dei partecipanti che ipotizzo (p >= n), posso
calcolare la probabilità che escano effettivamente le 3 persone che ho visto
uscire. Sommando tutti questi valori trovo un risultato che converge a
3/(n-1)(n-2) (ottenuto sperimentalmente con Excel). Non mi resta che
rapportare la probabilità associata ad ogni stima sui partecipanti a questo
valore, per conoscere quanto questa stima è effettivamente probabile.
Es. con numeri semplici.
Se vedo uscire le persone 1, 2 e 3, stimo che la probabilità di questo
evento, se le persone fossero 3, è uguale a 1; se le persone fossero 4,
sarebbe uguale a 1/4; se fossero 5 sarebbe 1/10. Sommando tutti questi
infiniti valori ottengo 1.5. Quindi stabilisco che la probabilità che
fossero 3 è uguale a 1/1.5=2/3, che fossero 4 è 0.25/1.5=1/6 e così via.
Applicando lo stesso discorso alle 80 persone, trovo che (se Excel non ha
sbagliato i conti :-) ) la probabilità che siano effettivamente 80 è 1/40.
Facendo qualche somma trovo che con probabilità di circa 1/2 il numero dei
partecipanti è compreso tra 80 e 112. Con probabilità circa 3/4 il numero
dei partecipanti è compreso tra 80 e 159. 9 volte su 10 saranno compresi tra
80 e 249. E così via.
s.e. e o.
Ciao
Giorgio