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Titolo: [MA] La gara di nuoto

Sulla spiaggia si decide di fare una gara a nuoto.
A un kilometro dalla riva si pone una boa che e' l'arrivo,
mentre la partenza e' sulla riva, ad un kilometro dal
punto piu' vicino alla boa del bagnasciuga, che e' rettilineo.
Sulla riva la massima velocita' che sei capace di mantenere e' 
di 2km/h, mentre a un kilometro dalla costa, dove c'e' la boa,
tale velocita' e' di solo di 1km/h, essendo l'acqua + alta.
Nei tratti intermedi riuscirai a tenere una velocita' intermedia,
es. ed un kilometro dalla riva sara' 1.5km/h.
E' vietato correre fuori dall'acqua.
Qual e' il percorso che sceglierai, tenendo conto che sei
un frequentatore di IHE, per riuscire ad arrivare prima possibile ?
Ecco la ascii-art del campo da gioco :
                              (arrivo)
                          |>
 |   . . . . . . . . . . .|. . . . . . . . .    1km/h
 |              ~               ~    ~
 |   ~                ~               ~
1km         ~                ~                  1.5km/h
 |            ~                      ~
 |      ~                  ~             ~
 |            X (partenza)                      2km/h
     ---------|----1km----|------------------ (bagnasciuga)

 un frequentatore di IHE, per riuscire ad arrivare prima
possibile ?
spoiler
spoiler
spoiler
Arco di parabola con vertice in X ?
Se cosi' fosse qualcuno ti trova di sicuro l' equazione in
breve tempo.
E' un problema interessante, grazie di averlo mandato!
ciao
fulvio


Perche' non ipotenusa del triangolo X-boa-bagnasciuga?
Ci impiegherei solo 1h (+ o -)
Almeno credo...
Fab!o

      ---------|----1km----|------------------ (bagnasciuga)
Scegliamo un sistema di assi cartesiani coordinati in modo che il punto P di
partenza sia nell'origine, quello A di arrivo sia (1, 1) e l'asse y concida
con la battigia, allora il modulo della velocita' e' v = 2 - x, dobbiamo
minimizzare il tempo di transito che vale:
t = Integrale[SQRT(dx^2 + dy^2) / (2 - x), da P ad A] =
Integrale[dx SQRT(1+ y'^2) / (2 - x), da P ad A], con y' = dy/dx
scriviamo l'eq.e di Eulero-Lagrange:
d/dx[y'/SQRT(1 + y'^2)/(2 - x)] = 0
che ha soluzione
y = SQRT(a^2 - (2 - x)^2) + b
con a e b costanti opportune, richiedendo che y(x) passi per P ed A si
ottiene l'eq.e:
(y + 1)^2 + (2 - x)^2 = 5
cioe' la traiettoria e' un arco di ellisse di centro (2, -1).
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Per rispondere togliere la h nell'indirizzo e-mail.

 cioe' la traiettoria e' un arco di ellisse di centro (2, -1).
A me viene l'equazione:
y'/SQRT(1+y'^2)=a*(2-x)
dove a e' una costante da determinare (dai vincoli y(0)=0, y(1)=1)
E poi come si continua? Non mi riesce di integrare l'equazione 
differenziale (sono un po' arrugginito su analisi 2...)
Dade :)

 differenziale (sono un po' arrugginito su analisi 2...)
Moltiplichiamo i due membri per SQRT(1+y'^2) e otteniamo
y' = a * SQRT(1+y'^2) * (2 - x),
facciamo il quadrato dei due membri,
y'^2 = a^2 * (1 + y'^2) * (2 - x)^2,
raccogliamo y',
y'^2 = a^2 * (2 - x)^2 / [1 - a^2 * (2 - x)^2]
dividiamo il 2° membro a numeratore e denominatore per a^2 e estraiamo la
radice dei due membri, teniamo il segno positivo poiche' vogliamo y'>0,
y' = (2 - x) / SQRT[a^-2 - (2 - x)^2]
che si integra a vista (derivare per credere...):
y = SQRT[a^-2 - (2 - x)^2] + b,
la costante che tu hai chiamato a corrispondeva nella mia notazione ad a^-1.


 cioe' la traiettoria e' un arco di ellisse di centro (2, -1).
A vista mi sembra un arco di cerchio (un ellisse un po' particolare...)
di raggio SQRT(5) e centro (2,-1), appunto.
Dade :)

Arco di parabola con vertice in X ?
...
.
Devo dire che anch'io
intuitivamente ho pensato a qualche cosa del genere. Allora ho cercato con
il calcolo numerico i coefficienti ottimali di un'equazione y=a*x^2+b*x ed
ho trovato y=0.618X^2+0.382X
A parte quello 0.618 che fa pensare, questa
curva si sovrappone abbastanza bene all'arco di cerchio calcolato dai
*matematici*.
.
Ciao!
Livio
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Inviato via 
http://usenet.iol.it
 

 *matematici*.
graaaaaaaaazie del conforto!!!!
Ne ho quasi beccata una !!!!
ciao
fulvio

Buongiorno, Dade ha scritto:

E' vero!!!!!
Ciao:-)



Come cambia la soluzione se nell'acqua c'e' uno squalo?
--
--AG
"Another visitor. Stay well! Stay forever!"