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Titolo: Targhe

Due problemi per i quali non conosco (ancora) la soluzione:
Parliamo di targhe automobilistiche di nuovo tipo, per intenderci quelle
della forma AB123CD.
Trascurando le lettere e considerando solo le cifre, in ciascuna targa si
possono isolare due numeri di due cifre (nell'esempio riportato i numeri
sono 12 e 23).
Problema 1:
I possibili numeri di due cifre sono 100 (da 00 a 99); dal momento che
ciascuna targa ne utilizza due, dovrei aspettarmi di poter avere 50 targhe
differenti senza numeri di due cifre ripetuti.
Per il momento sono riuscito a scriverne 45.
E' possibile arrivare a 50?
Problema 2:
Questo ricorda il noto problema delle date di nascita.
Considero N targhe a caso, per esempio le prime N auto che passano ad un
semaforo.
Qual è il minimo valore di N per cui posso scommettere, con almeno il 50% di
probabilità, di trovare almeno una coppia di numeri di due cifre uguali?
ciao
paolo

 ha scritto nel messaggio
news:9t8G6.3663$Hp1.1...@news2.tin.it...

Bello!
Con tutti i dubbi del caso, ti sottopongo i miei ragionamenti per vedere un
po' che cosa ne pensi.
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Problema 1:
Se comincio ad elencare le possibili targhe con le prime due cifre diverse
posso pensare di trovare 10 numeri:
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
Ma in realtà uno di questi lo devo togliere perché lo userò quando
aggiungerò la terza cifra alla targa che inizia con 00 (ad esempio 009 fa sì
che non possa più considerare le targhe che iniziano con 09). Quindi le
targhe diverse che iniziano con 0 sono 9.
Le targhe che iniziano con 1 sarebbero 9, escludendo 10x, per il motivo già
detto; ma devo escluderne anche un'altra che è quella che otterrò quando
aggiungerò una cifra alla targa che inizia con 11 e quindi rimangono 8. Il
ragionamento può proseguire fino alla fine dove scoprirò di avere
9+8+7+....+1=45 targhe diverse.
Problema 2:
E' più semplice calcolare quando la probabilità che i numeri di due cifre
siano tutti
diversi scende sotto il 50%.
Per la prima targa la probabilità che i due numeri siano diversi tra loro è:
999/1000 (Tutti i 1000 casi meno le targhe 000, 111, 222, ecc.). Per la
seconda targa la probabiltà è 999/1000 per la probabilità che entrambi siano
diversi da quelli della prima targa (98/100*98/100). Quindi:
999/1000*98/100*98/100. La terza sarà 999/1000*96/100*96/100 e così via.
Procedendo e moltiplicando tutti i termini tra loro, trovo che la
probabilità scende sotto il 50% alla settima targa, quindi con 7 targhe è
più probabile che ci siano almeno 2 numeri di 2 cifre uguali. A me risulta
~61%.
Concordi, Paolo?
Ciao
Giorgio

 E' possibile arrivare a 50?
Certo che si può !!!... :-)))))
(e senza programmini vari; tutto a mano !... :-)))
Il "trucco sta nel "riutilizzare" i numeri saltati eventualmente
scambiandoli in modo che la cifra comune stia in mezzo
come, ad esempio, dopo la coppia 09 90, posso scrivere
11 10 invece di 11 12; oppure, invece di non usare il 32
perché dovrei accoppiarlo con la ventina già tutta utilizzata,
scriverò 33 32, e così via...
01) 00 01
02) 02 20
03) 03 30
04) 04 40
05) 05 50
06) 06 60
07) 07 70
08) 08 80
09) 09 90
10) 11 10
11) 12 21
12) 13 31
13) 14 41
14) 15 51
15) 16 61
16) 17 71
17) 18 81
18) 19 91
19) 22 23
20) 24 42
21) 25 52
22) 26 62
23) 27 72
24) 28 82
25) 29 92
26) 33 32
27) 34 43
28) 35 53
29) 36 63
30) 37 73
31) 38 83
32) 39 93
33) 44 45
34) 46 64
35) 47 74
36) 48 84
37) 49 94
38) 55 54
39) 56 65
40) 57 75
41) 58 85
42) 59 95
43) 66 67
44) 68 86
45) 69 96
46) 77 76
47) 78 87
48) 79 97
49) 88 89
50) 99 98
--
Er Roscio.
(non si tratta, comunque, di una soluzione univoca; infatti, posso scambiare
due "secondi numeri", purché abbiano la stessa cifra iniziale)

 9+8+7+....+1=45 targhe diverse.
Il ragionamento ha un "buco" essenziale (o una topica... topica !... :-))):
non prevede che il numero "impossibile" possa venire riutilizzato più avanti
quando se ne presenta l'occasione. In effetti, ci sono svariate soluzioni
da 50 coppie (si può provare a calcolare quante sono; non dovrebbe
essere difficile con un paio di formulette di calcolo combinatorio;
sono un po' arrugginito in tal senso, altrimenti le avrei calcolate io...
:-))).
--
Er Roscio.
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 quando se ne presenta l'occasione.
Opsss! Mi ero fidato del 45 di Paolo e ho provato a dimostrarlo. Mai fidarsi
di Paolo! :-))))
Ciao :-)
Giorgio

 E' possibile arrivare a 50?
Se scriviamo le 100 coppie di numeri su altrettanti
rettangoli di carta, abbiamo formato una serie di domino che
chiameremo orientati, perche' in questa serie, a differenza
del domino classico, una tessera non puo' essere capovolta,
ed 1-6 ad es. e' differente da 6-1.
Dato che la regola del domino e' appunto quella di poter
unire 2 tessere solo dove presentano simboli uguali, il tuo
problema diventa quello di formare 50 coppie con la serie di
domino orientati da 0-0 a 9-9. Si puo' fare anche di piu',
unire cioe' tutta la serie in una unica catena, che spezzata
opportunamente restituisce soluzioni al tuo problema.
Per un'esempio  conviene utilizzare una serie piu' piccola. 
Per ottenere un'unica fila (chiudibili ad anello) con le 25
tessere da 0-0 a 4-4 procedo cosi':
Ignoro per il momento le 5 tessere doppie 0-0,1-1,...,4-4.
Metto i 5 simboli ai vertici di un pentagono regolare e
traccio tutte le possibili diagonali del pentagono
             3
             -     
          - /\ -
       -   /  \   -    
    -     /    \     -
 -_______/______\_______- 
4\ .    /        \    . /2
  \   °/ .      . \°   /
   \  /   . °  .   \  /
    \/_°__________°_\/
   0                1 
Allora ogni linea del nostro grafo rappresentera' un domino.
Percorrendo tutto il grafo in un senso es. 04321031420 (in
forma compatta) diventa in forma esplosa 0-4, 4-3,
3-2,....4-2, 2-0, come se avessi messo in linea meta' delle
tessere, non mi resta che rifare il giro all'indietro, visto
che ciascuna linea va percorsa nei due sensi, per sistemare
le altre 10, ottenendo la catena 043210314202413012340. E le
tessere doppie? abbiamo molte scelte, basta inserirle vicino
ad un numero corrispondente, ad es il 3-3 (forma compatta 3)
puo' essere inserito vicino ad uno dei quattro 3 gia'
presenti, se lo metto vicino al primo 3, si ha 043321.....
forma espansa= 0-4, 4-3, 3-3, 3-2, 2-1......ecc.
Naturalmente il grafico puo' essere percorso in molti modi
diversi. 
Con questo esempio possiamo risolvere il tuo caso piu'
complesso, mettendo i 10 simboli ai vertici di un decagono
regolare. Qui in ogni vertice concorrono 9 linee, e
sembrerebbe non percorribile, per la legge di Eulero, ma
dato che le linee vanno percorse nei due sensi, la parita'
viene riequilibrata. Un metodo semplice puo' essere quello
"per crescita", supponiamo di voler aggiungere il nodo 5 al
pentagono appena visto, non toccando il lavoro fatto finora,
posso proseguire con ..05152535450 e via via con altri
vertici.
ciao :) dario

 999/1000 (Tutti i 1000 casi meno le targhe 000, 111, 222, ecc.).
990/1000
Ieri era meglio se me ne rimanevo a letto! :-(
Ciao
Giorgio