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Titolo: fof = f^2

Se scrivo sin^2(x) quasi tutti capiscono (sinx)^2, ma si potrebbe
anche interpretare sin(sin(x)).
Naturalmente la due cose sono diverse, ma esiste una funzione, diciamo
almeno continua, per cui queste due notazioni sono identiche ?
Formalmente...
Trovare una f tale che :
  1. f e' continua 
  2. f(f(x))=[f(x)]^2

   2. f(f(x))=[f(x)]^2
...e che non sia l'ovvia f(x)=1, credo.
Silv;o)

s
p
o
i
l
e
r
l
u
n
g
o
io ho trovato le funzioni 
f(x)=1 e f(x)=x^2 derivate da quelle del tipo x^k tali che k^2=2*k
altrimenti credo ci sia qualcosa nel campo delle distribuzioni
temperate, ma lasciamo perdere.
salve salvino
Sturmtruppen
-- 
Provare che ho ragione significherebbe riconoscere che posso aver
torto.
--
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   2. f(f(x))=[f(x)]^2
Se derivo membro a membro rispetto a x ottengo
f'(f(x)) * f'(x) = 2 f(x) f'(x)
ossia
f'(f(x)) = 2 f(x)
ossia
f'(t) = 2t
f(t) = t^2
o anche f(x) = x^2
....ma per la fretta non so ancora se ci sono altre soluzioni....ah,
l'ansia.
Ciao
Alessandro

   2. f(f(x))=[f(x)]^2
 
Direi che f(x) = x^(SQRT(2)) va bene. Ma dubito che sia unica.
-- 
Morel


f(x) = x^(SQRT(2))
f(f(x))  = f(x)^(SQRT(2)) = x^2
[f(x)]^2 = f(x)^2         = x^(2*(SQRT(2)))
Mi sa che non va bene... :-)
Ciao,
C.
--
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   2. f(f(x))=[f(x)]^2
ma nessuno ha ancora pensato a
f(x)=0 ?
ciao
paolo

Silv;o)
o anche f(x) = 0 ;-)

paolo
Io, solo che il messaggio non è arrivato. Credo che dovrò cambiare newsreader
:-(

 l'ansia.
Tra le derivabili c'è anche
f(x)=0 in x<0
f(x)=x^2 in [0,+infinito)
(Che però non è C^2)
Se ci accontentiamo anche di soluzioni NON derivabili c' è
f(x)=0 in x<0
f(x)=x^2 in [0,1]
f(x)=1 in x>1
Ciao!!
Marco

 f(x)=1 in x>1
Ciao, Marco.
Io sono l`iniziatore del thread (lo dico perche` ormai il mio server l`ha
falcidiato).
Sono due soluzioni raffinate, entrambe corrette.
Ma non le uniche. Va bene anche una variazione dell`ultima che
hai descritto, in cui alle parti costante sostituisci una qualunque funzione
continua limitata tra 0 e 1 compresi, passante quindi per f(0)=0 e f(1)=1.
Non l`ho completata formalmente (in realta` e` proprio un problemino da liceale...)
ma mi pare proprio che per mostrare che non ce ne sono altre basti il th. di Bolzano
e una semplice cosa... : per ogni punto x dell`immagine vale f(x)=x^2... di cui 0 e 1
sono... i punti fissi!

sono... i punti fissi!
Ok...
Una funzione continua su |R ha come immagine un intervallo (limitato o
illimitato).
Dunque esiste un intervallo in cui f(x)=x^2.
Ma questo intervallo deve necessariamente essere [0,1] o [0,+infinito)?
Perchč?
Ciao
Marco

 Perchè?
No, non necessariamente.
Mi costringi alla dimostrazione... vabbe'... 
Si parte da un qualunque punto x0 dell'immagine che non sia un punto fisso di x^2
(questo caso e' banale). Deve valere f(x0)=x0^2, ma ora tra x0 e x0^2 ci sono tutti i valori...
dunque in tale intervallo vale f(x)=x^2... in particolare f(x0^2)=x0^4... ripetendo,
la ricorrenza x_i -> x_i^2 converge solo al punto fisso 0 o diverge a +inf.
In definitiva tra x0 e tali limiti compresi deve valere f(x)=x^2.
Piu' precisamente si vedono i casi :
 1) Se e' x0>1 la ricorrenza diverge a infinito,
   le f. di tale classe sono f(x)=x^2 per x>=x0>1 e continue maggiori di x0 altrimenti,
   con un punto di raccordo in f(x0)=x0^2.
 2) se e' 0<x0<1 converge a 0, l'intervallo e' (0,x0)
Se esistono immagini positive sia maggiori che minori di uno f(x)=x^2 su tutto |R_+,
 tra queste c'e' quella che hai citato.
I casi x0<0 sono analoghi. Devo fare tutto io ? :-)
Ah, naturalmente molte di queste funzioni possono essere C^inf.
Ciao.

    con un punto di raccordo in f(x0)=x0^2.
per x>sqr(x0)>1 e raccordate in f(sqr(x0))=x0 volevo dire.

 per x>sqr(x0)>1 e raccordate in f(sqr(x0))=x0 volevo dire.
Tsk... era giusta.