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Titolo: Variazione su un problema noto

 
          Molti di voi penso conoscano il problema dei quattro prigionieri con i
quattro cappelli colorati (2 bianchi e due neri) disposti nel seguente modo
(sopra il prigioniero è indicato il colore del cappello)
B N B N
A B C || D
dove || è un muro, C e D sono rivolti verso il muro e non si possono girare
(quindi non vedono nessun altro prigioniero), B è rivolto verso il muro
(vede solo il cappello di C), A è rivolto verso il muro (vede i cappelli di
B e C).
I prigionieri non potendo comunicare devono indovinare di che colore è il
loro cappello: se il primo che parla indovina sono tutti liberi, altrimenti
vengono tutti uccisi.
Il mio problema non è nella soluzione.....
S
p
o
i
l
e
r
B indovina che ha il cappello nero perchè non sentendo parlare A capisce che
ha sta vedendo due cappelli di due colori diversi (se ne vedesse due uguali
capirebbe di avere un colore diverso) e quindi lui deve avere un colore
diverso da C: quindi B capisce che il suo cappello deve essere nero.
Il mio dubbio è il seguente: se fosse chiesto ad ognuno di indovinare il
colore del proprio cappello in base a quello che vedono e sapendo che ci
sono in totale due cappelli bianchi e due neri, senza comunicare la loro
scelta ad alta voce ma, ad esempio, scrivendola, la migliore strategia per
ognuno sarebbe:
C e D: non vedono nulla, quindi tirano a caso ed hanno il 50% di indovinare;
A: vede un cappello bianco ed uno nero, quindi ne restano uno bianco ed uno
nero e, tirando a caso, ha lo stesso il 50% di indovinare
B: vede invece il cappello bianco di C, quindi è meglio scommettere sul nero
che ha il 66% di essere il colore giusto.
Mi chiedo: come è possibile che B, pur avendo meno informazioni di A (vede
un cappello in meno) ha una probabilità maggiore di indovinare?
Spero di aver chiarito il mio dubbio, magari mi sfugge qualcosa di banale.
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


Ciao,
mi sembra che le tue conclusioni prendano in considerazione solo il caso 
particolare in cui i cappelli sono disposti come li hai messi tu all'inizio, 
mentre vanno considerate tutte le possibilità, che sono:
BBN|N
BNB|N
BNN|B
NBB|N
NBN|B
NNB|B
ABC|D
D'accordo su quello che riguarda C e D che possono solo tirare a caso e 
indovinare una volta su due.
B avrà 2/3 di prob. di indovinare, come hai detto.
A indovinerà con certezza 2 volte su 6 (i casi in cui vede i due cappelli 
dello stesso colore), e avrà 1/2 di prob. di indovinare negli altri casi (4 
volte su 6). In totale 2/6 + 1/2*4/6 = 4/6 = 2/3.
Quindi anche A indovina 2 volte su 3.
Ciao
Giorgio 

 un cappello in meno) ha una probabilità maggiore di indovinare?
Perchè devono indovinare informazioni DIVERSE.
-- 
Emilio? Voil'him!
Ateo ed anarchico per grazia di Dio e volonta' della Nazione.
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 Spero di aver chiarito il mio dubbio, magari mi sfugge qualcosa di banale.
Secondo me tu non hai proprio capito la faccenda. I personaggi sanno come
sono disposti e quindi tutti aspettano la mossa di A.
Se A parla, lo fa solo se è sicuro, per indovinare il colore del suo
cappello.
Se A dopo un tempo ragionevole non parla, B ne deduce che A non puo'
indovinare, e quindi che il suo cappello è diverso dal cappello di C che
egli vede.
Ed allora parla a sua volta ed indovina e libera tutti.
Nessuno quindi valuta probabilità od altro, C e D sanno che devono stare
zitti e basta.
A ha più informazioni di B sul colore del cappello di B, lo conosce
addirittura, peccato che A debba indovinare il colore del cappello di A,
non il colore del cappello di B.
Ma A se ignora il colore del suo cappello, comunica a B qualcosa che B non
sa, ossia che A non sa il colore del suo cappello, e non lo sa perchè il
cappello di B è diverso da quello di C.
Ora conoscendo questa informazione comunicata senza parlare, B conosce
anche lui esattamente la situazione che vede A, niente di più, e niente di
meno.
E quindi è come se vedesse il suo cappello come fa A ed indovina.


 Secondo me tu non hai proprio capito la faccenda.
La soluzione al problema originale l'avevo già descritta io. Ho invece
proposto una variante (probabilistica) del problema in cui i prigionieri
stanno zitti e devono indovinare ognuno il colore del proprio cappello senza
comunicarlo a nessuno.
Ciao,
zem


                  Era la stessa risposta a cui avevo pensato. Rimane il fatto che entrambi
hanno la stessa probabilità di indovinare il colore del proprio cappello,
nonostante sembri a prima vista che A sia in una posizione più favorevole.
Ciao,
zem


                  Era la stessa risposta a cui avevo pensato. Rimane il fatto che entrambi
hanno la stessa probabilità di indovinare il colore del proprio cappello,
nonostante sembri a prima vista che A sia in una posizione più favorevole.
Ciao,
zem
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


Questo dipende sostanzialmente dalle poche diverse situazioni che si vengono 
a creare. Se invece si aumenta il numero dei cappelli e delle persone, ad 
esempio 5 persone con 3 cappelli B e 2 N e con il muro messo così:
ABC|DE
e quindi considerando sempre le probabilità di indovinare di A e B si nota 
che B indovina 6 volte su 10 mentre A indovina 7 volte su 10.
E questo è già più in linea con ciò che ci si aspetta. In ogni caso la 
probabilità di A non è mai inferiore a quella di B.
Ciao
Giorgio 

 comunicarlo a nessuno.
Vabbe', allora che vuoi sapere?
Le probabilità di avere delle probabilità di indovinare.
D e C ovviamente hanno sempre il 50 per cento
Ci sono 56 combinazioni.
B ha sempre il 66 per cento di indovinare perchè conosce il colore di un
cappello.
A invece si ritrova ad avere un quadro più complesso.
Perchè ha il 33 per cento di probabilità di essere sicuro, e poi negli
altri casi il 50 per cento di indovinare.
Nei casi in cui non sa le cose sono messe in modo che anche B,
CONDIZIONATAMENTE AL FATTO CHE A NON SAPPIA, ha solo il 50 per cento di
azzeccare, perchè viene esclusa una possibilità che sbilancia le
probabilità.


 comunicarlo a nessuno.
Ok, tu vuoi la soluzione del problema condizionato dalla certezza BNBN,
già dal caso.
La risposta che devi considerare sempre tutti i casi è una non risposta.
Allora, A vede un cappello nero ed uno bianco ed ha realmente il 50 per
cento di possibilità di indovinare.
Perchè sa che i casi possibili sono solo 2: BNBN oppure NNBB.
B vede invece un cappello bianco e CREDE DI AVERE IL 66 per cento di
probabilità di indovinare, perchè sa che i casi possibili possono essere
solo BNBN NBBN NNBB e sceglie sicuramente B, e poichè la scelta è proprio
quella della successione ha il cento per cento di probabilità di
indovinare, ossia indovina di sicuro.
Ma questo per la particolare soluzione che hai scelto, avendo tu scelto di
metterti nella soluzione probabile, quella probabile con i dati in mano a
B, B allora ha la certezza matematica di indovinare perchè sceglie proprio
la soluzione che hai scelto.


 > hanno la stessa probabilità di indovinare il colore del proprio cappello,
Ma il bello è che considerando il quesito posto nel caso del caso
particolare, porta a concludere che in quel caso particolare B indovina
sicuramente, perchè  con le informazioni che ha in mano ha il 66% di
probabilità di indovinare compiendo una certa scelta, e quindi il suo
comportamento, la sua scelta, è razionalmente determinata e quella fa.
E poichè noi conosciamo lo stato del sistema, sappiamo con certezza se
indovina o no con quella configurazione data.
E con la configurazione BNBN sicuramente indovina, cosi' come sicuramente
indovina con NNBB, con BBNN e con NBNB mentre sicuramente sbaglia con BNNB
e con NBBN, confermando il dato iniziale del 66 per cento di probabilità
di indovinare a seconda di adottare la strategia ottima sempre, ovviamente.
La cosa interessante è che proprio la valutazione della probabilità muove
il tizio a fare delle scelte deterministiche che portano proprio la
probabilità di indovinare a quella predetta dal tizio e che lo ha portato
a fare quelle scelte.
Un meccanismo autoreferenziale o di retroazione interessante.
