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Titolo: Un problemino di fisica galileiana

In alcuni ng piu' "scientifici" ho proposto questo mio problemino.
Dato che non e' ancora risolto, lo ripropongo in questo ng, che fu
sede di tante genialate. :-)
Il problema e':
 
"Esiste una sfera di una certa densita' che, fatta cadere con partenza
da ferma dall'altezza di 2000 m, impiega lo stesso tempo a percorrere
il tratto 2000m-1000m che il tratto 1000m-0m. Trovare questa
densita'."
 
Qualche chiarimento e' d'obbligo:
 
L'esperimento si svolge sul pianeta Terra, tenendo conto della
resistenza aerodinamica nell'atmosfera e della diversa densita'
dell'aria a quote diverse.
 
Se la sfera cadesse nel vuoto, il moto sarebbe regolato dalla semplice
formula:
 
s = (1/2) g t^2
 
dove:
s spazio [m]
g = 9.8 [m/s2] accelerazione di gravita'
t tempo [s]
 
Se fate i conti, in queste condizioni, una sfera di densita' qualunque
percorrerebbe i primi 1000 m in circa 14 secondi e i 1000 m finali in
circa 6 secondi.
 
Nell'aria la sfera viene frenata da una forza data dalla:
 
Fa = (1/2) ro Cx S V^2
 
dove:
Fa [N] forza di resistenza aerodinamica
ro [kg/m3] densita' dell'aria
Cx coeff. res. aerodinamica (0.47 [] per la sfera)
S [m2] superficie sezione trasversale
V [m/s] velocita'
 
La densita' dell'aria a livello del mare vale ro(0)=1.225 [kg/m3]
 
La densita' dell'aria ro(H) in funzione dell'altezza H [km] e' data
dalla:
 
ro(H) = ro(0) * [1 - (6.5/288)*H]^4.255
 
Si accetta qualunque metodo: conto della serva, calcolo numerico,
calcolo grafico, equazioni differenziali di ordine n...
 
Ciao
Livio
 

Addi' 13 dic 2012, Chenickname scrive:

L'equazione differenziale esatta e':
h" + A h'^2 + B h^4,255 h'^2 - g = 0, con A e B costanti assegnate, le 
derivate (" e ') sono rispetto al tempo, h e' la quota sul mare cioe' 
dalla tua H e' definita cosi': h = 2000 - H, insomma orientata a 
scendere e con origine in H=2000.
 
Non mi sembra che si possa risolvere tanto facilmente.
Devi semplificare lo schema, puoi ipotizzare ad esempio che ad una 
certa quota la v si stabilizzi (effetto paracadute) e/o che la densita' 
dell'aria tra 2000 e 1000 sia costante e ancora costante - anche se 
maggiore - tra 1000 e zero, oppure sempre costante; ma allora con tutte 
queste semplificazioni forse si esce dallo spirito della tua domanda.
 
Ma ti aggiungo che se il moto fosse uniformemente accelerato nei primi 
tot metri, quindi uniforme fino a terra, avresti la tua soluzione cercata 
pero' tra 2000 e 1333,(3), cioe':
 
--- 2000 metri sul mare
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--- 1333,(3) metri sul mare ==> inizio velocita' costante, t=T secondi
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 |  mare quasi calmo        ==> t=2T secondi.
~~~ 
Questo forse puo' aiutare a vedere che forse non e' possibile avere la 
densita' che cerchi, cioe' che il tuo problema non ammette soluzioni.
 
 
P.S. Postalo magari anche su free.isf.
 
-- 
Tanti saluti
 


Perche' penso che una soluzione ci sia?
 
Se faccio cadere una sfera molto densa, mettiamo d'oro, l'andamento
sara' simile a quello in assenza di atmosfera, con t1>t2.
 
Se faccio cadere una pallina da ping-pong (D=40mm, m=2.7g) questa
cadra' prevalentemente secondo l'effetto paracadute ed impieghera'
poco piu' di 100 s per ogni tratta. Poiche' il tempo impiegato ad
accelerare sara' trascurabile e poiche' la densita' dell'atmosfera e'
piu' bassa tra i 2000 e i 1000 metri, succedera' che t1<t2.
 
La densita' cercata sara' quindi tra quella dell'oro e quella della
pallina da ping-pong :-)
 
Ciao
Livio
 
PS. Ora provo a postarlo cosi' com'e' su free.isf