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Titolo: 1000 generazioni

In una particolare societa' si ha questa usanza: una coppia continuera'
ad avere figli finche' non nasce un figlio maschio. Dopo 1000
generazioni quale sara' la percentuale di maschi e di femmine?
ciao Domenico

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Assumendo che la probabilita' di avere un maschio o una femmina per ogni
gravidanza sia uguale, avremo (detto N il numero iniziale di famiglie,
quindi 2N il numero totale di individui della prima generazione):
1/2 delle coppie che hanno un maschio al primo parto, e li' si fermano.
del restante 1/2 che ha avuto la femmina, una meta' (quindi 1/4 del
totale) ha come secondogenito un maschio, e si ferma, l'altra meta' che
fa un terzo figlio
e cosi' via.
quindi avremo:
1/2 delle famiglie ha un solo figlio, sempre maschio (da cui N/2   
                          individui maschi per la seconda generazione)
1/4 ha un maschio e una femmina (da cui N/4 maschi e N/4 femmine)
1/8 ha due femmine e un maschio (da cui N/8 maschi e 2*N/8 femmine)
1/16 ha tre femmine e un maschio (da cui N/16 maschi e 3*N/16 femmine)
(....)
Il numero totale di maschi della seconda generazione sara' quindi:
N/2 + N/4 + N/8 + N/16 +.....  = N * (1/2+1/4+1/8+1/16....) = N
il numero totale di femmine sara' :
N/4 + 2*N/8 + 3*N/16 = N * S 
dove S e' la somma della serie di i/2^(i+1) per i che va da 1 a infinito
ma anche questa serie tende a 1, quindi il risultato e' N.
Conclusione: nel caso ideale, il numero di individui della seconda
generazione e' pari a quello della prima, equamente suddiviso fra uomini
e donne, del tutto identico cioe' a quello che succederebbe se ogni
coppia avesse esattamente due figli, un maschio e una femmina, e
evidentemente la cosa deve per forza rimanere invariata anche dopo un
numero qualunque di generazioni.  
Se invece si introduce una troncatura della serie, dovuta al fatto che
nessuno puo' fare un numero indefinito di figli, e che quindi in pratica
ci saranno sempre delle coppie che a un certo punto, pur non avendo
avuto il maschio, si devono fermare, mi aspetto che ci sia, nella
generazione successiva, una diminuzione della popolazione in generale,
e, contrariamente a quanto sembri a prima vista, uno squilibrio numerico
a favore dei maschi. 
Contaccio in soldoni nella pausa pranzo: se il numero limite e' ad
esempio cinque (cioe', dopo la quinta figlia, anche se il maschio non e'
arrivato, si smette comunque), il numero totale degli individui della
seconda generazione non va a 2*N, ma a 1.781 * N. Quello dei maschi non
va a N, ma a 0.968750 * N (somma di 1/2^n da 1/2 a 1/32) e quello delle
femmine non va a N , ma a 0.890625 * N. Risultato: rapporto
maschi/femmine uguale a 1.08772 invece che 1. Se il rapporto si mantiene
sempre, cioe' se si assume che tutte le donne si riproducano allo stesso
modo, che il tasso di riproduzione globale della popolazione si faccia
dipendere solo dal numero delle DONNE e dei FIGLI PER DONNA ignorando la
disparita' con il numero di uomini (cioe', se c'e qualche maschio che
rimane solo o qualche donna che fa figli con piu' uomini diversi non ci
interessa, facciamo comunque coincidere il numero di "famiglie" con
quello delle madri), e che la troncatura della serie si mantiene a 5, ad
ogni generazione si avra' nuovamente un fattore 1.08772 a moltiplicare
nel rapporto fra maschi e femmine. Dopo 20 generazioni il rapporto sara'
arrivato oltre il 5 :1 , ma la popolazione si sara' gia' ridotta a meno
del dieci per cento! Dopo mille, saranno praticamente tutti maschi, ma 
un numero infinitesimo, indistinguibile dallo zero!!!
Ovviamente le cifre cambiano se si cambia il numero massimo di figli al
quale si introduce la troncatura, ma l'andamento e' quello. 
ciao
Lisa

Ottima sia la risposta che le considerazioni :-)
ciao Domenico

ciao Domenico
Uhm.. vediamo se ho capito...
Per ''generazione'' intendi che tutte le coppie abbiano figli (finche' nasce
un maschio), poi questi figli ne abbiano a loro volta, etc.. ? Nel conteggio
dei maschi e delle femmine contiamo tutti i genitori/avi? Il numero iniziale
di coppie e' alto?
Inizio a dare una soluzione (magari parziale, magari sbagliata). Suppongo
che ci sia un numero sufficientemente grande di coppie. Calcolo la
distribuzione maschi/femmine della prima generazione.
Ogni coppia in media avra' un maschio (esattamente) e un numero di femmine
che si puo' calcolare come limite della sommatoria, per n che va da 1 a
+inf, di  n*p(n)
dove n e' il numero di femmine e p(n) la prob. di avere esattamente n
femmine. In generale p(n)=1/2^(n+1)      [credo]
Se ho fatto bene i conti (la serie e' evid. conv.) il limite e' 1.
Quindi mediamente maschi e femmine saranno in egual numero.
fammi sapere
MF
PS Questo problema mi ricorda uno simile che parlava di un gioco a
scommesse, postato un po' di tempo fa (forse da Paolo o da Claudio) acc..
dove l'ho messo...

I tre agenti segreti trovarono nella baracca un contenitore con 21 litri
di benzina, proprio lo stretto necessario per raggiungere il confine,
portandosi in salvo. Per disperdere le loro tracce avevano deciso di
prendere 3 strade diverse, ma della stessa lunghezza. Ora il problema
era dividere esattamente i 21 litri, per averne 7 a testa. Frugando
nella baracca trovarono altri 3 contenitori vuoti rispettivamente di
5,8,13 litri.
Come fecero ?


wrote:
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Scusa ma su una cosa non sono daccordo ..
ammettiamo pure che la possibilita' di avere un maschio sia di 1/2
mi sembra azzardato affermare che se N sono le coppie
allora N/2 saranno maschi al primo colpo
questo sarebbe vero solo per N->oo (N tendente ad infinito)
da quanto dici si deduce che per N = 2
sicuramente 1 delle coppie avra' un maschio al primo colpo
scusa ma dire che la probabilita' di avere un maschio sia 1/2
non significa sicuramente che su 2 coppie una avra' un maschio
ciao
Italo

Anche la tua soluzione e' esatta ;)
ciao Domenico

Come fecero ?
Si riempie il contenitore da 5. Una volta pieno, lo si svuota in
quello da 8. Si riempie di nuovo quello da 5. Si provvede ora, usando
quello da 5, a riempiere quello da 8. In questo modo in quello da 5
restano 2 litri. Si versano questi due litri in quello da 13. Si
riempie di nuovo il contenitore da 5 litri e lo si svuota in quello da
13: a questo punto quest'ultimo contenitore contiene 7 litri, che
vengono dati al primo uomo. Iterando il processo si risolve tutto ;)
Ciao,
      ___
     (___
      ___)tefano.

 quale si introduce la troncatura, ma l'andamento e' quello. 
 
Non mi convince... facciamo il caso peggiore: ci si ferma alla prima figlia
femmina. Risultato: ogni coppia avra' un figlio, meta maschi e meta'
femmine, e cosi' via, la popolazione scomparira ma non per mancanza di
maschi.
Ciao,
      GianPiero
-- 
*  Istituto Nazionale di Ottica                        GianPiero Puccioni  *
*  Largo E.Fermi 6                               E-Mail :  
g...@fox.ino.it
  *
*  I-50125  Firenze - ITALY    =>this space intentionally left non-blank<= *

 maschi.
Come dicevo....(a proposito sopra doveva essere "eccesso" non "mancanza")
Ho fatto un po' di conti ed in effetti e' venuto fuori che il troncamento
non influenza per niente il bilanciamento di M ed F. Facciamo un esempio
con 1024 famiglie (e' piu' facile dividere per2). 
Tronc    2          3            4           5
 
       512 M       512 M       512 M       512 M       
       256 FM      256 FM      256 FM      256 FM      
       256 FF      128 FFM     128 FFM     128 FFM
                   128 FFF      64 FFFM     64 FFFM
                                64 FFFF     32 FFFFM
                                            32 FFFFF
 Tot   768 M       896 M       960 M       992 M
       768 F       896 F       960 F       992 F
N.B. Assumendo una assoluta parita' nelle nascite: per ogni M un F...
Come si puo' vedere non solo M ed F sono sempre uguali ma il numero delle
famiglie alla generazione successiva saranno sempre meno o, al limite,
uguale se non c'e troncamento, ma ogni fluttuazione portera' ad uno
squilibrio e ad una diminuizione (se non si ammettono famiglie composte da
appartenenti a differenti generazioni). E se per un numero molto grande di
famiglie le fluttuazioni rispetto alla media 1/2 M ed 1/2 F saranno
piccole piu' le famiglie diminuiscono piu' ci sara' squilibrio e sara' un
declino sempre piu' veloce.
Quindi dato che la domanda iniziale era cosa succedera' in 1000 generazioni
direi che la risposta dovrebbe essere "dubito che durino tanto..." 
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