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Titolo: Dilemmi e monete - nuovo spunto

Il seguente problema è stato posto qualche giorno fa:
Dovete prendere una decisione al 50%, e volete aiutarvi con il
lancio di una moneta. Purtroppo avete con voi solo una moneta
che da' testa con maggiore probabilita' rispetto a croce.
Come fate?
e il thread è arrivato a diverse decine di messaggi.
Scusate se riparto con un nuovo thread ma ho partorito qualche idea la
notte successiva avere letto questi messaggi e ora non sono più in
grado di rileggerli tutti per bene.
Dunque le mie risposte sono due:
1) caso Pr(T) incognito: basta trovare un evento E tale che S
Pr(E)dF(Pr(T))=1/2 dove F(.) è la mia funzione di ripartizione a
priori su Pr(T);
Per esempio, e per semplicità, supponiamo che io sappia che la moneta
sia taroccata senza sapere se è Testa o Croce a essere avvantaggiata.
Allora, se la mia distribuzione a priori circa Pr(T) è simmetrica
intorno a 1/2, allora
"testa al primo lancio" e "croce al primo lancio" hanno ciascuno
probabilità pari al 50%
2) caso Pr(T) noto: in tal caso la decisione al 50% che permette di
minimizzare il numero di lanci richiesti è la seguente: in due serie
di lanci conto il numero di lanci prima che appaia C (Pr(C)<1/2!),
avendo stabilito prima di cominciare la decisione "A" se il numero di
lanci minore avviene nella prima serie di lanci, e la decisione "B" se
il numero di lanci minore avviene nella seconda serie di lanci; in
caso di parità mi tocca ripetere le due serie di lanci.
Scusate se ho dato le due soluzioni in maniera intuitiva, e senza una
adeguata dimostrazione. Spero di stimolare ancora la discussione.

in caso di parità mi tocca ripetere le due serie di lanci.
quindi come fai a dire che questo e' il metodo "che permette di
minimizzare il numero di lanci richiesti"?  Mi sfugge qualcosa?
Ciao,
      Antonio

 minimizzare il numero di lanci richiesti"?  Mi sfugge qualcosa?
Beh, ammetti per un momento di avere una regola che si basa sul risultato 
di quattro lanci in due sequenze diverse, e di avere ottenuto in entrambi 
TTTT. Ovviamente è impossibile prendere una decisione in base a due 
sequenze identiche! Quindi, IN QUALUNQUE CASO, nell'eventualità di una 
"parità" ti tocca riprendere i lanci.
Comunque ho ripensato alla mia proposta ed esiste un metodo di costruire 
le due sequenze che fa risparmiare qualche lancio.
In sostanza si tratta di costruire le due sequenze alternativamente, un' 
uscita per volta, e di fermarsi quando il risultato (C uscito per primo 
nella prima o nella seconda sequenza) non può più cambiare.
Cioè ti fermi alla prima occorrenza di T non replicata, effettuando
SEMPRE UN NUMERO PARI di lanci.
Esempio: T T C T. Con le posizioni dispari costruisci la prima sequenza, 
con le posizioni pari la seconda. Quindi hai TC nella prima, TT nella 
seconda. La prima uscita di C sta nella prima sequenza, quindi prendi
la decisione associata ad essa.
Attenzione! Questo è ben diverso dal dire: se C esce in posizione pari, 
allora decidi A, mentre se esce in posizione dispari, decidi B!
Qui devi sempre eseguire un numero pari di lanci, di modo da verificare
se il numero di lanci prima dell'uscita di C è minore in una delle due
sequenze costruite "alternativamente, un passo per volta".
Nel caso fosse T C T C, le due sequenze diventerebbero TC e TC, e 
dovresti ricominciare daccapo.
Spero di essere stato chiaro.
Ciao

 dovresti ricominciare daccapo.
Qualcosa non quadra: le due sequenze di diventerebbero TT e CC ed la seconda
serie di lanci è inutile perché tu dicevi "di fermarsi quando il risultato
(C uscito per primo nella prima o nella seconda sequenza) non può più
cambiare"
-- 
Ciao, Silv:o)

 funzione F!
Bella forza! Se conosco F dov'è la cosa curiosa di cui parlava il proponente
del post?
Diventa un esercizietto di cdp dove si chiede di trovare un evento la cui
probabilità sia 1/2.
Il bello è che quest'evento E tale che P(E)=1/2 DEVE ESSERE INDIPENDENTE
dalla legge di partenza. A prescindere da come la moneta è taroccata,
l'evento "La prima coppia di lanci con esito discorde è TC" ha probabilità
1/2. Come dico io "per OVVIE ragioni di simmetria" ;)
-- 
Ciao, Silv:o)

 cambiare"
Hai perfettamente ragione. Leggasi Nel caso fosse T T C C.
Per farmi capire meglio, provo a scrivere cosě:
Immaginiamo di successione di lanci U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8 e cosě via.
Allora scrivo
U1     U3     U5     U7            <----- prima sequenza
    U2     U4     U6     U8        <----- prima sequenza
La successione va interrotta nel momento in cui (U_i-1, U_i), dove i č
pari, contiene una sola C.

 quesito: fermarsi alla prima coppia TC o CT !!!!!
Chiedo di nuovo venia. Se č cosě, mi mancava quel messaggio da leggere
o non ricordo piů di averlo letto. Concordo sulla soluzione.

Proboscide Alla Marinara ha scritto:

Ti riporto quello che scrissi a suo tempo:
----------------------------------------------------------------------
Detta p la probabilita' di fare testa, quella di fare croce sara' 1-p.
Di conseguenza il risultato di due lanci consecutivi avra' questa
distribuzione di probabilita':
TT  p^2
TC  p(1-p)
CT  p(1-p)
CC  (1-p)^2
da cui si vede che in ogni caso TC e CT sono sempre certamente 
equiprobabili.
Allora la procedura sara' quella di scegliere testa o croce, e poi
fare sempre coppie di lanci, di cui il secondo e' un "lancio di
validazione". Se da' lo stesso risultato del primo considero nullo
il lancio e ricomincio, se da' un risultato diverso considero buono
il primo lancio.
----------------------------------------------------------------------
Poi Nino ha descritto un metodo di ottimizzazione che riduce il
numero di lanci necessari per il verificarsi di un evento valido.
Ciao,
       Antonio

 1/2. Come dico io "per OVVIE ragioni di simmetria" ;)
Sì, PERO' non puoi pretendere di trovare una regola che minimizza il
numero dei lanci richiesti per ogni valore di p!
Per esempio, considera il caso in cui P(T)=2^-0.5. Allora è facile
verificare che
P(TT)=P(CC)+P(TC)+P(CT) e la regola di decisione diventa: A se TT, B
altrimenti che richiede sempre e comunque solo DUE lanci (un altro
esempio "limite" che richiedeva un solo lancio l'ho fatto nel mio
precedente post).
In altre parole, tu vuoi ragionare condizionatamente e
indipendentemente. A me sembra che questo non sia possibile

> lancio" hanno ciascuno probabilità pari al 50%
non sono daccordo neanche un po'.
La distribuzioni a priori è simmetrica per mancanza di informazioni, ma non
ha nulla a che vedere con la distribuzione reale. Se la moneta ha due teste
e tu non lo sai, scommettere alla pari su testa o croce non mi pare una cosa
troppo furba. E' una questione abbastanza delicata. Se chiedi a un milione
di persone di taroccare la moneta a loro piacimento, e tu ogni volta ti
comporti come se la moneta fosse equa, allora forse nel milione di prove
arrivi a vincere il 50% delle scommesse. Ma su ogni singola scommessa NON
HAI il 50% di probabilità di vincere! Vinci in media il 50% delle scommesse,
ma giocando sempre male! Con il metodo della prima uscita di coppie
discordanti anche io vinco in media il 50% delle scommesse, ma mentre io è
come se stessi lanciando un milione di monete eque, tu stai testando solo se
il milione di persone che hanno preparato le monete non hanno preferenze tra
testa e croce.
-- 
Ciao, Silv:o)

 il primo lancio.
Ritorno anch'io un attimo su questo problema per chiarire meglio la
procedura che avevo proposto per ridurre il numero di lanci ed
accelerare quindi la validazione.
Se il processo si limita a 2 lanci, l'esito positivo è dato
dall'uscita di CT o TC , mentre occorre ripetere la procedura con
 TT o CC (50% dei casi).
Nessun vantaggio si avrebbe con 3 lanci, in quanto i casi favorevoli
sono:  1 lancio    C       T        Non buoni:   C      T
       2 lancio    T       C                     C      T
       3 lancio    CT      CT                    CT     CT
(con CT indico l'uscita indifferente sia di C che di T , come fosse
una doppia integrale)
Invece, con 4 lanci, si hanno tutti questi casi favorevoli:
    1 lancio    C      T      C    !        T      C      T
    2 lancio    T      T      C    !        C      C      T
    3 lancio    CT     C      C    !        CT     T      T
    4 lancio    CT     CT     T    !        CT     CT     C
e rimangono esclusi solo le monotermini TTTT e CCCC (12,5% dei casi).
In pratica, dopo 2 lanci posso interrompermi per decidere con la
stessa probabilità (50% dei casi), ove uscissero TC o CT.
Però, con il 3° lancio ho un ulteriore 25% dei casi (non contemplato
con i soli 2 lanci). Infine, dopo il 4° lancio, gli eventi che non mi
consentono di scegliere sono solo 2, contro i 4 (25% dei casi) che
avrei con la ripetizione di 2 lanci.
Programmare in partenza un massimo di 5-6-7 lanci non è conveniente.
Un ulteriore vantaggio si avrebbe invece con 8 lanci:
1 lancio   C   T   C   T   C   T   C   !   T   C   T   C   T   C   T
2 lancio   T   T   C   T   C   T   C   !   C   C   T   C   T   C   T
3 lancio   CT  C   C   T   C   T   C   !   CT  T   T   C   T   C   T
4 lancio   CT  CT  T   T   C   T   C   !   CT  CT  C   C   T   C   T
5 lancio   CT  CT  CT  C   C   T   C   !   CT  CT  CT  T   T   C   T
6 lancio   CT  CT  CT  CT  T   T   C   !   CT  CT  CT  CT  C   C   T
7 lancio   CT  CT  CT  CT  CT  C   C   !   CT  CT  CT  CT  CT  T   T
8 lancio   CT  CT  CT  CT  CT  CT  T   !   CT  CT  CT  CT  CT  CT  C
in cui rimangono escluse solo le sequenze di 8 T e di 8 C (1/128 dei
casi contro 1/16 del metodo a 2 lanci).
E così di seguito... in particolare, se si intendono programmare
16 lanci, che consentono (entro i 16 lanci) una decisione quasi
certa, anche qualora la moneta sia nettamente sbilanciata a favore
di C o T.
Ciao, Nino

 arrivi a vincere il 50% delle scommesse.
Questio problemi secondo me sono insidiosi (ma anche interessanti perché
quasi sempre scatenano discussioni fiumi) per le diverse interpretazioni
possibili a fronte di una domanda tutto sommato chiara: hai UNA moneta, non
sai P, devi usararla per generare un evento che abbia il 50% delle
probabilità. Tu dici: se non so come è tarocca, testa vale croce. Massima
incertezza, massima libertà. Perché croce e non testa? 50 e 50.
Implicitamente pensi: se ripeto un milione di volte l'esperimento, non vedo
perché testa debba essere avvantaggiata su croce. L'insidia è lì, in quel
"se ripeto un milione di volte". Ripeti cosa? Tutto il processo? ovvero oggi
ti si presenta uno iant che ti propone il giochino, domani suo cugino,
dopodomani un'altro? O ripeti il gioco SEMPRE con la stessa moneta? Io
propendo più  per la seconda, e visto che anzi non ho nessuna voglia di
ripetere l'esperimento nemmeno una volta, cerco di pensare ad un metodo che
minimizzi i lanci a prescindere da P. So  di non poterlo fare, perché ci
sono casi concreti nei quali sapere P mi permetterebbe di trovare eventi
equiprobabili, anche non simmetrici, che richiedono meno lanci.
-- 
Ciao, Silv:o)


Si continuano i lanci fino al primo cambio (T con C o C con T).
Quindi, in generale, la decisione A si prende quando  c'è la coppia
CT con T a lancio pari, oppure la coppia TC con C a lancio dispari,
e viceversa la decisione B si prende quando la coppia TC si verifica
con C a lancio pari o la coppia CT con T a lancio dispari.
Ciao, Nino


Perchè dici che non puoi minimizzare i lanci a prescindere da P?
Non sei d'accordo con me che basta semplicemente continuare i lanci
finchè non si verifica un cambiamento (da T a C o da C a T) e
contare se quel cambiamento è venuto in un lancio pari o dispari?
Ciao, Nino

...

Il tuo metodo mi sembra perfetto. E sicuramente migliore del mio.
Soltanto non ho capito una cosa: che bisogno c'è di programmare il
numero di lanci in anticipo?  Non si può fare esattamente come dici
tu? [vedi qui sotto]


 ma giocando sempre male! 
IO HO IL 50% DI PROBABILITA' DI VINCERE, dato che la mia distribuzione
a priori è simmetrica sull'uscita di testa.
Dopo un certo numero di lanci posso anche anche aggiornare la mia
opinione (cioè la mia distribuzione di proabbilità) sull'uscita della
testa, ma a priori HO IL 50% DI PROBABILITA' DI VINCERE.
Semplicemente, tu ragioni in base al reale stato della moneta, io
ragiono in base alla mia opinione sul reale stato della moneta.
Proviamo a fare un altro esempio: scommettiamo che la finale degli
europei verrà vinta dalla squadra delle due in finale che sarà alla
destra del teleschermo. Una volta che si sarà arrivati in finale, le
squadre saranno scese in campo e sarà avvenuta la fatidica scelta
della parte del campo, allora potresti dirmi che (immaginiamo) alla
destra c'è la Lettonia e alla sinistra la Francia, e quindi è stupido
scommettere alla pari tra Lettonia e Francia.
Però, se al momento della scommessa non sai nulla di tutto questo,
SCOMMETTERE ALLA PARI E' LA SCELTA (non dico più intelligente ma) PIU'
COERENTE con le informazioni a tua disposizione (ovvero, nessuna).

 > Si continuano i lanci fino al primo cambio (T con C o C con T).
E' vero, ma per arrivare al metodo generale e capire che era esatto,
ho dovuto prima fare qualche prova, stabilendo un numero di lanci
progressivo. Chiaramente, una volta trovata la soluzione, non serve
piů assolutamente programmare un numero di lanci in anticipo.
E' invece sufficiente osservare se i cambiamenti T con C o C con T
si verificano in lanci pari o dispari (come detto sopra).
Ciao, Nino

 COERENTE con le informazioni a tua disposizione (ovvero, nessuna).
Benissimo. Però se uno ti chiede di usare la finale per simulare una moneta
equa mica scommetti sulla vincente, destra o sinistra. Potresti scommettere
invece che i primi due falli commessi siano SD o DS. Non dico i gol, perché
non sono evidentemente indipendenti e un pareggio della Francia al gol della
Lettonia mi pare obiettivamente più probabile rispetto ad un pareggio della
Lettonia una volta che la Francia sia passata in vantaggio.
-- 
Ciao, Silv:o)

 contare se quel cambiamento è venuto in un lancio pari o dispari?
Neanche per idea, ma probabilmente non ho interpretato bene quello che dici
;)
Sia P(T)=p, P(C)=q
L probabilità che il primo cambiamento arrivi dopo un numero pari di lanci
vale:
P[T(2i+1 volte)C] + P[C(2i+1 volte)T] =
= Sum{i=0,inf}[p^(2i+1)*q] + Sum{i=0,inf.}[q^(2i+1)*p] =
= Sum{i=0,inf}[p^(2i+1)*q] + Sum{i=0,inf.}[q^(2i+1)*p] =
= p*q*Sum{i=0,inf.}[p^(2i)] + q*p*Sum{i=0,inf.}[q^(2i)] =
= p*q/(1-p^2) + q*p/(1-q^2) =
= p/(1+q) + q/(1+q)
che non è certo 1/2!
Analogamente, la probabilità che il primo cambiamento arrivi dopo un numero
dispari di lanci vale:
P[T(2i+2 volte)C] + P[C(2i+2 volte)T] =
= Sum{i=0,inf}[p^(2i+2)*q] + Sum{i=0,inf.}[q^(2i+2)*p] =
= p^2/(1+q) + p^2/(1+q)
Per conferma, possiamo vedere che la somma delle due probabilità vale 1.
Ad esempio, se la moneta è equa la probabilità che la prima variazione sia
in un lancio pari vale 2/3. Il valore 1/2 si raggiunge al limite per monete
infinitamente sbilanciate.
-- 
Ciao, Silv:o)


Infatti!!!  Io non parlo SOLAMENTE di prima variazione in un lancio pari
o dispari. Dico invece:
Decisione A: quando si verifica la coppia CT con T in un lancio pari,
             OPPURE la coppia TC con C in un lancio dispari.
Decisione B: quando si verifica la coppia TC con C in un lancio pari,
             OPPURE la coppia CT con T in un lancio dispari.
Secondo me, le 2 decisioni hanno entrambe probabilità 1/2.
Ciao, Nino


Fammi capire:
A=(CT,CCCT,CCCCCT,..,C(2i+1)T, .. ,TTC,TTTTC,..,T(2i+2)C,..)
B=(TC,TTTC,TTTTTC,..,C(2i+1)C, .. ,CCT,CCCCT,..,C(2i+2)T,..)
Se ho finalmente capito bene, non mi torna lo stesso.
Commutando i termini dei calcoli che avevo proposto mi sembra che:
P(A)=p/(1+p) + q^2/(1+q)
P(B)=q/(1+q) + p^2/(1+p)
Che somiglia vagamente a una sinusoide centrata su 1/2
Tabulo qualche valore
 p     q     P(A)
.05   .95   .51044
.10   .90   .517225
.15   .85   .520975
.20   .80   .522222
.25   .75   .521429
.30   .70   .519005
.35   .65   .51532
.40   .60   .510714
.45   .55   .505506
.50   .50   .5
.55   .45   .494494
.60   .40   .489286
.65   .35   .48468
.70   .30   .480995
.75   .25   .478571
.80   .20   .477778
.85   .15   .479025
.90   .10   .482775
.95   .50   .48956
-- 
Ciao, Silv:o)

 E cosě di seguito...
Che ne dici?
-- 
Ciao, Silv:o)

 8 lancio   CT  CT  CT  CT  CT  CT  T   !   CT  CT  CT  CT  CT  CT  C
diventa
\  1  2 3   4   5 6   7   8 9  10    11  12 13 14  15 16 17  18 19 20
----------------------------------------------------------------------
1  C  T T   C   T T   C   T T   C  !  T   C C   T   C C   T   C C   T
2  T  T T   C   T T   C   T T   C  !  C   C C   T   C C   T   C C   T
3  x  C C   C   T T   C   T T   C  !  x   T T   T   C C   T   C C   T
4  x  C T   T   T T   C   T T   C  !  x   C T   C   C C   T   C C   T
5  x  x x   x   C C   C   T T   C  !  x   x x   x   T T   T   C C   T
6  x  x x   x   C T   T   T T   C  !  x   x x   x   C T   C   C C   T
7  x  x x   x   x x   x   C C   C  !  x   x x   x   x x   x   T T   T
8  x  x x   x   x x   x   C T   T  !  x   x x   x   x x   x   C T   C
---------------------------------------------------------------------
= 11 13 14 12   ? 17 15   ? 20 18     1   4 2   3   7 ?   6  10 ?   9
Al massimo possiamo accoppiare una delle 4 colonne della 5 con una della 16,
ma resta sempre
\   5    8     16   19
1  TTT   T  !  CCC   C
2  TTT   T  !  CCC   C
3  TTT   T  !  CCC   C
4  TTT   T  !  CCC   C
5  CCC   T  !  TTT   C
6  CCC   T  !  TTT   C
7  CTT   C  !  TCC   T
8  TTC   C  !  CTT   T
che non si bilanciano.
-- 
Ciao, Silv:o)



Sono questi valori, che avevo trovato anch'io, che mi avevano
instillato qualche dubbio... Ma per pigrizia (e fondamentalismo)
non avevo controllato tutti i casi (e avevo fatto male...)
Ciao, Nino


Qui infatti casca l'asino. Stavolta mi ha fregato la simmetria...
La troppa confidenza con i sistemi di doppie, ..., che scherzi gioca.
BISOGNA SEMPRE FARE LE VERIFICHE (lo dico per me...)
E pensare che l'applicazione impossibile del mio metodo ad un
numero dispari di lanci, che avevo evidenziato subito, (in realtà,
mi sembrava che le conclusioni fossero valide solo per 2^n lanci),
mi avrebbe dovuto mettere sull'avviso, che qualcosa non quadrava.
Per 8 lanci, sono necessarie modifiche, ad es. come segue:
                    Soluzione A
 1 lancio   C   T   C   T   T   T   C   C   C
 2 lancio   T   T   C   T   T   T   C   C   C
 3 lancio   CT  C   C   T   T   T   C   C   C
 4 lancio   CT  CT  T   T   T   T   C   C   C
 5 lancio   CT  CT  CT  C   T   C   C   T   C
 6 lancio   CT  CT  CT  T   T   C   T   T   C
 7 lancio   CT  CT  CT  CT  C   C   CT  C   C
 8 lancio   CT  CT  CT  CT  CT  CT  CT  CT  T
                    Soluzione B
 1 lancio   T   C   T   T   T   T   C   C   C
 2 lancio   C   C   T   T   T   T   C   C   C
 3 lancio   CT  T   T   T   T   T   C   C   C
 4 lancio   CT  CT  C   T   T   T   C   C   C
 5 lancio   CT  CT  CT  T   C   T   T   C   T
 6 lancio   CT  CT  CT  C   C   T   C   C   T
 7 lancio   CT  CT  CT  CT  T   T   CT  T   T
 8 lancio   CT  CT  CT  CT  CT  C   CT  CT  CT
Fino al 4° lancio, la regola (coppia CT in lancio pari
o TC dispari, o viceversa) tiene, dopo non più.
Occorre a questo punto incominciare da capo, dimenticando
i segni monotermini di 4C o 4T che si sono verificati
(trascurando anche l'eventuale cambio di segno al 5° lancio)
e vedere di nuovo se dal 6° lancio l'eventuale cambio di
segno si verifica ad un lancio pari o dispari (come da tabella).
Per uniformità, sono state aggiunte anche le due colonne di
4C e 4T in sequenza.
Prova a vedere se almeno questo va bene (e magari ci cavi
qualcosa di meglio).
Ciao, Nino