Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: ancora divisioni

Dividere un quadrato in sette parti simili, ma non uguali (devono essere
tutte e sette differenti).
ciao
paolo

 tutte e sette differenti).
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Cominciamo fissando x costruendo quattro triangoli simili
|---- x -----|
A____________E________B
|           /|        |
|          / |        |
|         /  |        |
|        /   |        |
|       /    |        |
|      /     |        |
|_    /______|________|
|I   /'-_    H        |F
|   /    '-_          |
|  /        '-._      |
| /             '-._  |
|/__________________'-|
D                      C
Quello che sarebbe auspicabile è che il rettangolo EBFH potesse contenere
tre triangoli simili agli altri.
E________B
|       /|
|     /  |
|    /   |
|  /     |
|._      |
|  '-._  |
|______'-|
H        F
Il rapporto tra i suoi lati EB e BF deve quindi essere uguale al rapporto
tra altezza e ipotenusa di uno degli altri quattro triangoli già costruiti,
per esempio AED.
In un triangolo rettangolo di cateti a e b, ipotenusa c e altezza relativa
all'ipotenusa h si ha, com'è noto:
a*b=c*h da cui h/c=a*b/c^2=a*b/(a^2+b^2)
nel nostro caso il rapporto h/c vale x/(1+x^2)
Che poi è lo stesso rapporto che c'è fra FC e CD, che ci permette di
ricavare FC:
FC/CD = x/(1+x^2)
da cui
FC = x/(1+x^2)
quindi
BF = 1-FC = 1-x/(1+x^2) = (1-x+x^2)/(1+x^2)
EB = 1-AE = 1-x
EB/BF = (1-x)(1+x^2)/(1-x+x^2)
ma come detto
EB/BF = FC/CD = x/(1+x^2) per cui
(1-x)(1+x^2)/(1-x+x^2)=x/(1+x^2)
che diventa una equazione di quarto grado con una soluzione reale
x =  -(SQRT(69)/18-11/54)^(1/3)+(SQRT(69)/18+11/54)^(1/3)+1/3
x =  5075/8906
x =~ 0,569840557
Ciao, Silv:o)

 x =~ 0,569840557
Lavorando con la trigonometria ho trovato gli stessi triangoli, con una
diversa disposizione:
D_________G_______I_____C
|\        |\      |\    |
| \       | \     | \   |
|  \      |  \    |  \  |
|   \     |   \   |   \ |
|    \    |    \  |  E'\|
|     \   |     \ |  _ -|E
|      \  |      \|-    |
|       \ |    _- H     |
|        \|_ -          |
|     _ - F             |
| _ -                   |
|-______________________|
A                       B
Comincio col tracciare AE (arbitrario) e chiamo W l'angolo BAE, poi traccio
DF, FG, GH, HI, IE', perpendicolari alternativamente ad AE e DC.
Provo con W=30 gradi, e vedo che E' non coincide con E, ma gli è molto
vicino; devo trovare allora un valore di W per cui E' coincida con E.
Noto che in ciascun triangolo l'ipotenusa è uguale al cateto lungo del
precedente, per cui
AD=1
DF=cosW
FG=cosW^2
...
CE=cosW^6
ed essendo
EB=tanW
deve essere
CE+EB = cosW^6 + tanW = 1
e trovo, col risolutore di EXCEL, w=0.51794797598 radianti (circa
29.67623303 gradi)
Noto che (ovviamente) tanW = 0.569840291  corrisponde al tuo x
ciao
paolo

tutte e sette differenti).
spoiler inutile perche' non faccio figura.. magari figuraccia si`:-(
Mi scuso per le minuscole, ma son piu` leggibili.
abcd il rettangolo dato, con ab=base e diciamo ab<bc.
Traccio la corda ef || ab, che divide i lati lunghi opportunamente.
Traccio la diagonale eb del sub-rettangolo abfe.
1. eab
traccio l'altezza fi di bfe.
2. eif
3. fib
Traccio la diagonale ce del sub-rettangolo efcd.
4. cde
Traccio l'altezza fg di efc.
5. cgf
Traccio l'altezza gh di fge.
6. ehg
7. ghf
Che siano tutti simili e` immediato.
Che siano tutti diversi.. be', ecco:
- E` immediato che in ognuno dei sub-rettangoli i triangoli sono tra
loro tutti diversi.
- Allora basta calibrare la corda ef per dimostrare che si possono
sempre trovare tutti complessivamente diversi.
Ok? ..speriam' :-)
-- 
Ci sentiamo  |  Remigio Zedda  || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio |                 ||==> E-mail: 
remi...@tiscalinet.it
-------------|      ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
/* Linux 2.2.19pre17 su Debian GNU/Linux 2.2 Potato */