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Titolo: Alcuni problemini

Ho trovato questi enigmi in un sito internet:
http://www.dse.nl/puzzle/index_us.html
 e ho visto che erano ancora
irrisolti, cosi' ho pensato di postarli:
1) Una strada di lunghezza L (intero) viene riempita a caso con delle
macchine (una per volta), la cui lunghezza e' 1. Quante mecchine
verranno parcheggiate quando la strada sara' piena?
(spero di aver interpretato bene il testo, comunque posto anche la
versione inglese: 
A street of length L is randomly filled with cars (one by one), where
the length of a car is the unity of L (i.e. 1). 
The Question: What is the expectation for the number of cars that can
be parked until the street is filled? 
)
2) In una stradina sono posizionate due sbarre (una di lunghezza 2 m e
l'altra 3 m) in modo che hanno un capo appoggiato ciascuna ad un
estreme della stadina e l'altro alla parete opposta. Queste sbarre si
incrociano ad un'altezza di 1 m; quanto e' larga la stradina?
(testo inglese:
In an alley two ladders are placed cross-wise. The lengths of these
ladders are resp. 2 and 3 meters. They cross one another at one meter
above the ground. 
The Question: What is the width of the alley? 
)
3) Quattro pedine bianche sono posizionate in un lato di una
scacchiera (sulle caselle nere) e una nera e' posta nell'altro lato
(su una delle due caselle nere centrali, in modo tale che la pedina
nera vede due pedine bianche alla sua destra e due alla sua sinistra).
Si gioca osservando le seguenti regole:
 - Il nero vince se raggiunge il lato opposto.
 - Il bianco vince se blocca il nero in modo tale che questo non puo'
   piu' muoversi.
 - Sono solo consentite solo mosse diagonali (di 1 casella).
 - Il bianco puo' solo muovere in avanti.
 - Il nero puo' muovere avanti e indietro.
 - Il nero muove per primo, quindi muove il bianco...e cosi' via.
Domanda: e' questo gioco computabile (cioe' si puo' decidere fin
dall'inizio chi vincera', nonostante le mosse dell'avversario) ?
(testo inglese:
Four white pieces are placed on one side of a chess board, and one
black piece is placed at the opposite site. The game is played by the
following rules:
        Black wins if it reaches the opposite side. 
        White wins if it blocks black in such a way that black can not
do any legal move anymore. 
        Only diagonal moves (of length 1) are allowed. 
        White only moves forward. 
        Black can move backward and forward. 
        Black may make the first move, then white make a move, and so
on... 
The Question: Is this game computable (i.e. is it possible to decide
beforehand who wins the game, no matter how hard his opponent tries to
avoid this)? 
)
Buon lavoro (anche a me :) )
Domenico

 incrociano ad un'altezza di 1 m; quanto e' larga la stradina?
Il problema è indeterminato finchè non si fissa la lunghezza della stradina, che, 
comunque, dovrà essere minore o uguale a
radice(3)+2*radice(2)= 5.28.....mt
in tale caso limite la larghezza della stradina è zero.
--
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via Mailgate Server - 
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Vincera' SEMPRE quello con 4 pedine (se non fa l'asino !)
Ciao
Nik

in tale caso limite la larghezza della stradina è zero.
Anche qui non sono stato del tutto preciso (poiche' ho omesso un
elemento che rende giustamente indeterminato il problema). Bisogna
considerare la sezione della stradina (in pratica come se avesse
lunghezza 0); quando ho letto il problema c'era un'immagine che ne
rendeva piu' facile la comprensione. Se ti puo' aiutare puoi vederlo
cosi': considera un rettangolo con base da determinare e altezza
maggiore di 3; considera adesso un segmento di lunghezza 2 che va da
uno spigolo della base e tocca il lato opposto (tocca senza
trapassare), e un segmento di lunghezza 3 che va dall'altro spigolo
della base e tocca l'altro lato; questi due segmenti si incrociano ad
un'altezza h=1; quanto misura la base?
Spero di essere stato piu' chiaro.
ciao Domenico

verranno parcheggiate quando la strada sara' piena?
Non e' possibile che la strada venga riempita a caso.
Non hai mai notato che, se in un parcheggio ci sono due posti liberi
consecutivi, nel 100% dei casi il primo che arriva fa in modo di occuparli
entrambi? :-)
Quindi la strada conterra' circa 50 macchine: troveremo una perfetta
alternanza di spazi occupati lunghi 1 e spazi liberi lunghi 0.999.
scherzi a parte, il problema mi sembra abbastanza complesso, ci devo pensare
su.
ciao
paolo

be parked until the street is filled?
Penso che sarebbe stato meglio tradurre: ''Quante macchine si possono
mediamente parcheggiare finche' la strada e' piena?''. Vedi post di Elio
Sammarco.

...

Che sia computabile e' fuor di dubbio (persino gli scacchi lo sono!), ma sei
sicuro che vincera' sempre il bianco? io ho ancora qualche perplessita'.
Ciao ciao
Claudio

    b-x        < >    x     <
Dal punto di incrocio abbasso la normale a b (base).
Il lato di sinistra e' = sqrt (9-b²)
Il lato destro   =  sqrt (4-b²)
Per la similitudine dei triangoli ho:
1/(b-x) = (sqrt(4-b²)/b
1/x  = (sqrt(9-b²)/b
Si ricava:  1/(sqrt(9-b²)) = 1-1/(sqrt(4-b²))
che non so risolvere.
Per tentativi trovo che 1.23118572236 < b < 1.23118572237.
dario

Ottimo lavoro!
Io sono arrivato allo stesso risultato, procedendo per un'altra via:
chiamando a l'angolo formato dall'asta di lunghezza 3 (e A il
vertice), b l'altro angolo(e B il vertice), L la larghezza della
strada, x la distanza del punto d'incrocio (lo chiamo M) da A e y
quella di M da B, ottengo:
1) y*sen(b)=1;
2) x*sen(a)=1;
3) x*cos(a)+y*cos(b)=L;
4) 3*cos(a)=L;
5) 3*cos(b)=L;
dalle ultime tre ottengo 2*x+3*y=6, da cui 6)x=(6-3*y)/2;
dalle 1)-5) e 2)-4) ottengo 7)x*sqrt(1-L^2/9)=1 e 8)y*sqrt(1-L^2/4)=1;
da 6),7) e 8) ottengo la tua stessa equazione, e anch'io per appross.
trovo il valore da te trovato.
Non credo ci siano metodi per ottenere una soluzione pura (almeno
senza ricorrere a programmi di matematica professionali).

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

Ho riflettuto un po' sul primo problema, ed ho trovato un metodo (e'
laborioso, vista la presenza di un integrale, ma non sono riuscito a
fare di meglio; non si puo' certo dire che e' un problema facile :) ).
Detto P(L) il numero di macchine parcheggiate nella strada di
lunghezza L si ha:
                L-1
P(L) = 1/(L-1)*§ ( P(L-x-1) + P(x) + 1) dx  
               0
Sapendo che P(x)=0 per x<1, P(x)=1 per 1<=x<2, si possono ottenere
(svolgendo calcoli non troppo facili, visto che bisogna lavorare con
funzioni che presentano discontinuita') tutti i valori per x>2;
io ho trovato per 2<=x<=3 P(x)=(3*x-5)/(x-1), e per 3<=x<=4
P(x)=(11*(x-3)+4*(4-x)-2*ln(x-2))/(x-1) (ad es. P(4)=2.76).

dall'inizio chi vincera', nonostante le mosse dell'avversario) ?
E anche questa e' fatta.....era prevedibile, ma non scontato: vince il
bianco.
Ho fatto un programmino che simula una partita, io ho la pedina e il
computer le quatto pedine. Questo programma impara dai propri errori,
e adesso e' imbattibile (ho provato tutte le stategie ma non c'e'
stato nulla da fare....se qualcuno volesse provare a batterlo.... ;) )
Quindi il gioco e' praticamente computato.
ciao Domenico