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Titolo: La somma dei cateti...

Il mio amico Luca mi pone questo problema:
seghettiamo l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con tratti
paralleli ai cateti, così:
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[per vedere l'ascii-art, usare caratteri fissi]
La lunghezza della seghettata è ovviamente uguale alla somma dei
cateti.
Al tendere del numero degli scalini ad infinito, l'ipotenusa diventa un
segmento di retta ma la sua lunghezza è sempre pari alla somma dei
cateti.
Come si spiega? Non ho saputo rispondergli.
Ciao!!!  :o)
Livio

Al tendere del numero degli scalini ad infinito, l'ipotenusa diventa un
segmento di retta ma la sua lunghezza è sempre pari alla somma dei
cateti.
Come si spiega?
---
Il ragionamento è erroneo, in tale contesto infatti non si puo' applicare il 
concetto di limite (tendere all'infinito...
) in quanto il rapporto tra le spezzate "orizzontali" e "verticali" che 
compongono l'ipotenusa rimane sempre e comunque costante e il rapporto tra 
la lunghezza della "spezzata approssimante l'ipotenusa" è "l'ipotenusa vera" 
è sempre costante (ed è ovviamente uguale a: (somma dei cateti)/(ipotenusa)) 
quindi il passaggio al limite non ha senso...
Ciao
Gabriele
http://gabrielemartufi.altervista.org/

 Come si spiega? Non ho saputo rispondergli.
Rispondi che non e' vero che gli scalini tendono ad una retta (o 
perlomeno, prima devi definire una funzione che ti dia la "distanza" tra 
le due curve. A seconda della funzione "distanza" che usi puoi avere 
risposte diverse, ma la *funzione* a scalini non tende alla funzione 
ipotenusa (insomma, le derivate differiscono sempre a qualsiasi livello 
di dettaglio..)
ciao Dario

 
Digli la parola magica: Frattali 
O scappa urlando e non ti assillera' piu' o (piu' improbabile) capisce
dove sta il problema.
Comunque sia non importa quale sia il numero degli scalini lui sta
sostituendo tratti lunghi C con due tratti lunghi SQRT(C^2) quindi il
risultato sara' sempre ugale alla somma dei cateti, e mai ad una retta
lunga come l'ipotenusa.  
Cosa diversa e' ad esempio l'approssimare una circonferenza con poligoni
sempre di maggiore numero di lati, cosi' facendo l'errore dimuisce e al
limite si trova il risultato giusto. Qui l'errore e' sempre lo stesso. 
Ciao,
      Gorgo


Scusa, ma il suo amico dice proprio che l'errore diminuisce, non puoi
semplicemente ribattergli che rimane costante: devi provarlo.
Come faresti? In questo momento non ho idee...
Ciao.

 Come faresti? In questo momento non ho idee...
Con una lente di ingrandimento e qualche elementare nozione sulle 
similitudini.
L'errore non diminuisce: a qualunque livello di ingrandimento si ottiene 
sempre una situazione simile (matematicamente parlando) a quella iniziale.
Frattali non e' propriamente la risposta corretta, ma rende l'idea del 
concetto.

 ha
scritto:

Il limite di una costante è la costante stessa.
Prenditi un quadrato di lato 1 e considera la sua diagonale eccedente data
dai due lati (chiamiamola D_1). La diagonale eccedente sarà lunga 1+1=2.
Dividi il quadrato in 4 parti uguali (prendendo le eccedenti dei due
quadrati piccoli) e ti accorgi che D_2 è uguale a D_1 in lunghezza. Itera il
procedimento e vedi facilmente che D_k=D_{k+1} per ogni k. Ti trovi di
fronte ad una successione costante che non tende alla lunghezza della
diagonale.
Purtroppo qui non abbiamo un parametro t che possa far variare la lunghezza
al tendere di t ad infinito.
Un effetto simile è quello delle circonferenze disposte col centro lungo il
diametro di una circonferenza più grande. Aumentando il numero delle
circonferenze si arriva a stabilire che il diametro è uguale alla somma
delle semicirconferenze, e ciò è falso.
P.S.
Io ho preso una suddivisione che va secondo la successione 1, 4, 16, 64...
eccetera, ma anche prendendo una suddivisione qualsiasi (magari estratta) o
di passo qualsiasi le cose non cambiano.
Non per niente quando si calcolano le lunghezze delle curve mediante il
calcolo integrale, i "pezzettini" elementari di curva non hanno la forma dx
+ dy, ma sqrt(dx^2 + dy^2) (Pitagora docet).
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Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/

paralleli ai cateti.....
Vedo che hanno gia' risposto in parecchi alla tua "provocazione", 
personalmente non ho competenze geometriche ne' matematiche in genere tali 
da potermi inserire nella discussione, pero' la faccenda mi suggerisce una 
domanda che penso sia banale: mi pare che per definizione in geometria un 
*punto* sia da considerarsi un elemento privo di dimensioni, giusto?
Se affianchiamo 2,10,100, un miliardo di punti in modo che siano contigui l' 
uno all' altro, otteniamo un qualche elemento dimensionale?
Trovo che sia inutile prolungare i due cateti all 'infinito, basta 
"seghettare", come dici tu, l' ipotenusa in segmenti sempre piu' piccoli, ma 
cosi' facendo si arriva mai a dimensione zero?
Chissa' il buon vecchio Zenone cosa ne penserebbe :-)
ciao
fulvio


La prove e scritta sopra:
"non importa quale sia il numero degli scalini lui sta sostituendo
tratti lunghi C con due tratti lunghi SQRT(C^2) quindi il risultato
sara' sempre ugale alla somma dei cateti" 
Dove il tratto lungo C e' l'ipotenusa di un piccolo triangolino che
diverra' lo scalino e i due tratti che lo sostituscono sono i cateti.
E questo e' sempre vero non importa quanti scalini ci siano
Ciao,
      Gorgo