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Titolo: Polimini e probabilità

Di 'sti polimini non se ne può più!!!
E' da due mesi che non si parla d'altro! Se scopro chi ha dato il via a 'sta
trafila, non so cosa gli faccio! Chissà chi è stato? Mah, proprio non mi
viene in mente! ;-)))))
E poi, io, di tassellare il piano, non ne ho proprio voglia! Non ho neanche
un foglio a quadretti! Gli unici fogli che posseggo sono i retri dei fogli
usati della stampante...!
... comunque, visto che siamo nati per soffrire, mi inserisco anch'io nella
discussione proponendo un'ennesima variazione sul tema: classificare i
polimini in base alla loro probabilità.
Intendo questo: per ogni classe di polimini (trimini, tetramini, pentamini,
ecc.) stabilire quali sono i più e i meno probabili. Naturalmente bisogna
trovare un modo per misurarne la probabilità. Questo potrebbe essere uno:
Prendiamo ad esempio i trimini. Consideriamo il piano quadrettato e
individuiamo un quadretto (omino) di origine. Consideriamo ora i quattro
omini adiacenti di lato all'omino iniziale. Ne scegliamo uno a caso e
otteniamo un domino (e fino a qui niente di sconvolgente, potevamo
direttamente partire dal domino stesso). Ora abbiamo un domino con 6 caselle
adiacenti. Scegliendo a caso una di queste otterremo un trimino. 2 volte su
6 sarà il trimino I, 4 volte su 6 sarà il trimino L (spero che si chiami
così). Quindi il trimino I ha probabilità 1/3 (più prezioso) e il trimino L
ha probabilità 2/3 (più comune).
Si potrebbe però adottare un altro modo per "generare" i trimini. Sempre
partendo dall'omino iniziale, si potrebbero considerare tutti quegli omini
(anche non adiacenti) che comunque permettano alla fine di ottenere un
trimino. In questo caso tutte le 8 caselle attorno all'omino iniziale e le 4
caselle in corrispondenza dei lati dell'omino iniziale e distanti un omino
(vedi figura; l'omino al centro è l'omino iniziale):
     _
   _|_|_
 _|_|_|_|_
|_|_|_|_|_|
  |_|_|_|
    |_|
A questo punto, se scegliamo una della 4 caselle più esterne, otterremo solo
trimini I (1/3). Se scegliamo una delle 4 caselle d'angolo, otterremo solo
trimini L (sempre con probabilità 1/3). Se infine scegliamo una delle 4
caselle adiacenti di lato all'omino iniziale, ritorniamo al metodo
precedente, che dà 1/3 per I e 2/3 per L. A conti fatti la probabilità di I
sale a 1/3+1/9 e quella di L scende a 1/3+2/9. I è sempre più prezioso di L,
ma un po' meno rispetto al primo metodo.
Quale sarà il metodo più "giusto"? O ci sono altri metodi ancora più
"giusti"?
Naturalmente il discorso andrà esteso ai tetramini, pentamini ecc., per
generare le rispettive classifiche.
Detto questo le domande sono:
1. Quanti poliminOfili al mondo ci hanno già pensato e hanno già calcolato
tutte le probabilità di tutti i polimini con tutti i metodi possibili?
2. A quanti non poliminOfili gliene frega alcunché di tutta questa roba?
3. Che cosa ci sto a fare io qua?
Ciao e scusa a tutti (in particolare a Livio) :-)))))))))))))))))
Giorgio

 ...
Mi piace questa cosa e ti propongo subito una definizione che spero
ti piaccia e che piaccia anche a qualcun altro:
Prendiamo un foglio quadrettato... infinito e riempiamo con un
colore dei quadretti si' e dei quadretti no, casualmente, con una
densita' di 1/e.
1/e e' una dimensione armonica di cui e' permeato l'Universo.
Ad un eesimo si scarica il condensatore o l'induttore in una
costante di tempo, la temperatura corporea dei mammiferi
evoluti tende ad un eesimo dell'intervallo tra solidificazione
e liquefazione dell'H2O... [di solito, quando dico 'sta cosa
mi chiedono: ma dove l'hai letta?].
Ecco: qual e' la probabilita' che si formi ciascun polimino
in questo brodo primordiale?
This is the question!
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio
PS: programmino in VB per vedere un po' di brodo primordiale:
Private Sub Command2_Click()
'BRODO PRIMORDIALE DEI POLIMINI
Dim Colore As Long, X, Y, K
K = 10
For X = 0 To 35
    For Y = 0 To 25
        If Rnd < 1 / 2.718 Then Colore = RGB(0, 0, 255) Else Colore = RGB(255, 255, 255)
        Picture1.Line (K * X, K * Y)-(K * (X + 1), K * (Y + 1)), colore, BF
    Next Y
Next X
End Sub

 altri metodi ancora pių "giusti"?
Non č tanto una questione di metodi pių o meno giusti,
quanto una questione di probabilitā condizionate.
Secondo me, per ciascun polimino di ordine n, possiamo
calcolare una sua probabilitā per cosė dire "assoluta",
nel senso di non condizionata ad alcun evento o, meglio,
condizionata all'evento certo.
Possiamo, poi, calcolare la sua probabilitā condizionata
al fatto di fissare il primo omino.
Altre probabilitā interessanti da calcolare sono la
sua probabilitā avendo fissato il primo domino; la sua
probabilitā avendo fissato il trimino I e quella
avendo fissato il trimino L e cosė di seguito per ogni
sua probabilitā condizionata all'aver fissato di volta
in volta ciascuno dei polimini di ordine inferiore.
Mi rendo conto che fino ad ora posso non essere stato
chiarissimo, ma, se avrete la pazienza di proseguire
ancora per qualche riga, troverete delle definizioni
operative e degli esempi che dovrebbero chiarire il
discorso.
Esaminiamo il caso dei trimini.
                                           _ _ _
La probabilitā "assoluta" del trimino I ( |_|_|_| )
si calcola fissando un quadrato 3x3, numerando, per
comoditā, le sue caselle da 1 a 9 e facendo il rapporto
tra il numero delle terne di cifre distinte da 1 a 9 le
cui caselle corrispondenti formano il trimino I ed il
numero di tutte le terne di cifre distinte da 1 a 9 le
cui caselle corrispondenti danno origine ad un trimino.
                    _ _
Per il trimino L ( |_|_| ) vale, ovviamente, lo stesso
discorso.        ( |_|   )
Vi faccio vedere il conto per chiarire ulteriormente.
Le terne possibili di cifre distinte da 1 a 9 sono 84
((9*8*7)/(3*2*1), nient'altro che il coefficiente
binomiale 9 su 3), ma solo 22 danno origine ad un
trimino. Di queste 22, poi, 6 danno origine al trimino
I, mentre 16 danno origine al trimino L.
Solo per questo caso, ve le dettaglio pure, disegnando,
per vostra comoditā, anche il quadrato numerato:
|1|2|3|
|4|5|6|
|7|8|9|
Le terne che danno origine al trimino I sono:
(1,2,3),(4,5,6),(7,8,9),
(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9).
Le terne che danno origine al trimino L sono:
(4,1,2),(5,2,3),(7,4,5),(8,5,6),
(4,5,2),(5,6,3),(7,8,5),(8,9,6),
(1,2,5),(2,3,6),(4,5,8),(5,6,9),
(1,4,5),(2,5,6),(4,7,8),(8,8,9).
Risultato:
P_assoluta(I)= 6/22=3/11
P_assoluta(L)=16/22=8/11
Per quanto riguarda la probabilitā dei trimini
condizionata all'omino iniziale, questa si
calcola fissando l'omino centrale della seguente
figura
     _
   _|_|_
 _|_|_|_|_
|_|_|_|_|_|
  |_|_|_|
    |_|
e numerando tutte le caselle tranne quella centrale
(che eventualmente si puō etichettare con 0) con dei
numeri progressivi a partire da 1:
    |1|
  |2|3|4|    (ho usato le lettere A,B,C, che occupano )
|5|6| |7|8|  (un solo carattere, per indicare, come si)
  |9|A|B|    (fa ad esempio per la base esadecimale, i)
    |C|      (numeri 10,11,12.)
Basta, poi, fare il rapporto tra il numero di coppie
distinte di cifre da 1 a 12 le cui caselle corrispondenti
pių la casella centrale danno origine al trimino che
ci interessa (I o L) ed il numero di coppie di cifre
distinte da 1 a 12 le cui caselle corrispondenti pių
la casella centrale danno origine ad un trimino, per
avere le probabilitā cercate.
[Notazione: d'ora in poi scriverō P(...|...), utilizzando
il simbolo con cui universalmente si indica la probabilitā
condizionale, dove al posto dei primi tre puntini ci va
la sigla del polimino di cui stiamo considerando la
probabilitā condizionale ed al posto dei secondi tre puntini
ci va il polimino rispetto a cui condizioniamo, per indicare
la probabilitā di un determinato polimino condizionata a
quella di un altro polimino di ordine inferiore.
Come al solito, gli esempi chiariranno...]
Risultato:
P(I|omino)= 6/18=1/3
P(L|omino)=12/18=2/3
La probabilitā condizionata all'omino č sostanzialmente
quella che Giorgio voleva calcolare con il suo secondo
metodo; il valore numerico č diverso solo perché nel
ragionamento di Giorgio c'č una piccola falla (tra l'altro
č comunissimo incappare in questo tipo di errori quando
si fanno dei ragionamenti con le probabilitā e spesso
sono io stesso a prendere simili abbagli).
L'errore di Giorgio sta nel fatto di aver diviso il conteggio
in 3 sottocasi, solo i primi due dei quali sono corretti:
A)una tra la seconda e la terza casella del trimino č una
  di quelle numerate con 1,5,8,12. (questo evento ha davvero
  probabilitā 1/3 e dā origine a 4 trimini I)
B)una tra la seconda e la terza casella del trimino č una
  di quelle numerate con 2,4,9,11. (anche questo evento ha
  davvero probabilitā 1/3 e dā origine a 4 trimini L)
Il terzo sottocaso, per essere realmente complementare agli
altri due, avrebbe dovuto essere, invece, il seguente:
C)né la seconda, né la terza casella sono una delle seguenti:
  1,5,8,12,2,4,9,11; sia la seconda che la terza casella sono,
  quindi, da scegliersi tra queste: 3,6,7,10. (questo evento
  ha probabilitā 1/3 e dā origine ad altri 4 trimini L)
Come si vede anche questo ragionamento ci riporta alle
probabilitā trovate con il metodo sopra esposto:
P(I|omino)=1/3
P(L|omino)=2/3
Infine, per quanto attiene alla probabilitā dei trimini
condizionata al domino iniziale, che coincide con il primo
metodo descritto da Giorgio, questa sappiamo giā essere:
P(I|domino)=2/6=1/3
P(L|domino)=4/6=2/3
[E' solo un caso che le probabilitā condizionate all'omino
coincidano con quelle condizionate al domino!!]
Ovviamente, sarebbe molto interessante estendere tutto il
discorso anche ai polimini di ordine superiore.
Per quanto riguarda i tetramini (che indicherō con I,L,N,Q,T),
ho calcolato solo le probabilitā condizionate ai trimini
lasciando a voi, perché pių complicate, quelle condizionate
al domino, all'omino ed "assoluta".
Risultato:
P_assoluta(I)=?
P_assoluta(L)=?
P_assoluta(N)=?
P_assoluta(Q)=?
P_assoluta(T)=?
P(I|omino)=?
P(L|omino)=?
P(N|omino)=?
P(Q|omino)=?
P(T|omino)=?
P(I|domino)=?
P(L|domino)=?
P(N|domino)=?
P(Q|domino)=?
P(T|domino)=?
P(I|I)=2/8=1/4
P(L|I)=4/8=1/2
P(N|I)=0/8=0
P(Q|I)=0/8=0
P(T|I)=2/8=1/4
P(I|L)=0/7=0
P(L|L)=2/7
P(N|L)=2/7
P(Q|L)=1/7
P(T|L)=2/7
Come č naturale attendersi, per polimini di ordine superiore,
la faccenda si complica ulteriormente.
Buon lavoro a tutti!
Ciao!
Marco Fecchio
P.S.
Se non giā per le probabilitā "assoluta", condizionata all'omino
e condizionata al domino, dei tetramini, per quelle dei pentamini
servirā sicuramente l'ausilio di un aiuto informatico di qualche
tipo; ma visto lo splendido lavoro che ha fatto Livio per i
polimini cavalcabili (che tra l'altro, credo, possa presto
estendere anche agli walkable polyominoes ed ai polimini regali)
nutro grande fiducia in futuri sviluppi interessanti. Il problema
mi sembra degno di molta attenzione, anche dal punto di vista
teorico, quindi invito tutti a non farsi vincere dalla pigrizia.
P.P.S [Per Livio Zucca]
Mi sembra che il materiale che stiamo raccogliendo negli ultimi
giorni (polimini passeggiabili, cavalcabili, regali e non ultimo
questa questione sui polimini e la probabilitā) sia di notevole
interesse; quindi, se avrai tempo e lo riterrai opportuno, ti
consiglierei di dedicargli qualche paginetta web!

   ha probabilitā 1/3 e dā origine ad altri 4 trimini L)
Ora dovrebbe essere chiaro: la seconda scelta un terzo delle volte forma un
domino, e il domino 4 volte su 6 porta al trimino L
Nel secondo modello di Giorgio, quello a crescita semi-libera, le
probabilitā condizionate sono molto pių complesse appunto perché le
posizioni intermedie non sono necessariamente polimini.
--
Ciao, Silv:o)


Grazie Silvio, che ti svegli così presto al mattino per difendermi! :-)
Oppure dovevi andare ancora a dormire? A proposito, ma tu ci vai a
dormire??? :-)
Sì Marco, non puoi affermare che il mio metodo è sbagliato o che sono
sbagliati i calcoli. E' semplicemente diverso dal tuo. Tu consideri le
scelte in qualche modo simultanee e mutuamente esclusive, mentre io le
considero sequenziali e dopo la seconda scelta (equiprobabile tra tutte le
caselle compatibili con un qualsiasi trimino) non pongo limitazioni nella te
rza scelta, sempre che generi un trimino. Si tratta ancora di stabilire
quale dei due metodi è più "giusto". Nota che ho sempre scritto "giusto" tra
virgolette, proprio perché sono consapevole che quando c'è di mezzo lo
spazio infinito, il concetto di "giustezza" dipende sempre dalle assunzioni
che si fanno.
Mi torna in mente un tema già trattato qui in cui si chiedeva qual era la
probabilità di ottenere un triangolo ottusangolo scegliendo "a caso" 3 punti
sul piano. A seconda delle assunzioni che si facevano, si ottenevano
risultati numerici diversi ma tutti ugualmente plausibili.
A proposito di infinito e di 3 punti a caso, provo a fornire un altro modo
di vedere il problema.
Si prenda il piano infinito quadrettato. Si scelga "a caso" un quadretto.
Ora se ne scelga "a caso" un altro. Se i due quadretti scelti non sono
compatibili con alcun trimino è inutile andare avanti e quindi si ricomincia
dall'inizio. Se sono compatibili significa che il secondo quadretto è
proprio uno dei 12 del famoso rombo e allora se ne sceglie "a caso" un
terzo. Se non si genera un trimino, ricominciamo da capo; se si genera,
direi che la probabilità di essere I o L dovrebbe proprio essere quella
calcolata dal mio secondo metodo (anche perché ho solo riportato con parole
diverse gli stessi concetti presenti in quel metodo! :-) ).
Ora potremmo pensare che, invece di scegliere i quadretti uno alla volta e
valutarli man mano, li scegliamo "a caso" contemporaneamente e le stesse
valutazioni le facciamo tutte alla fine. I risultati non dovrebbero essere
diversi da quelli ottenuti con le generazioni distinte. Quindi il tutto può
essere espresso in questo modo: scegliamo "a caso" 3 quadretti sul piano e,
se si forma un trimino, contiamo quante volte è I e quante volte è L.
Detto così, ti sembra più "giusto"? ;-)
Ciao :-)
Giorgio

 probabilità. Tanto vale calcolare il momento d'inerzia.
La cosa più ragionevole da fare, dopo aver riesaminato la faccenda, mi pare allora
quella di fare il limite per n tendente all'infinito (da calcolare analiticamente
quando si può e numericamente quando non si riesce) dei rapporti tra il numero di
trimini I (o L) ottenuti scegliendo casualmente 3 caselle dentro un quadrato nxn
ed il numero di trimini che si vengono a formare in totale, sempre scegliendo 3
caselle dentro un quadrato nxn. (anche in questo metodo c'è l'arbitrarietà di fondo
di fare il limite per n che tende ad infinito delle probabilità calcolate su una
successione di quadrati sempre più grandi che invadono gradualmente tutto il piano,
mentre potremmo prendre al posto dei quadrati dei rettangoli o delle altre forme
geometriche; d'altra parte come avete ribadito tutti una certa dose di arbitrarietà
è ineliminabile e a me la scelta dei quadrati sembra, al momento, la più "naturale"
o, se preferite, la più "giusta"!)
Esempio:
Fissato un quadrato 3x3, troviamo i valori del mio post precedente:
P_assoluta_3(I)= 6/22=3/11
P_assoluta_3(L)=16/22=8/11
Fissando un quadrato 4x4, troviamo:
P_assoluta_a(I)=16/52=4/13
P_assoluta_4(L)=36/52=9/13
In generale, fissando un quadrato nxn, troviamo:
P_assoluta_n(I)=(2n^2-4n)/(6n^2-12n+4)
P_assoluta_n(L)=(4n^2-8n+4)/(6n^2-12n+4)
da cui, facendo il limite per n che tende ad infinito, otteniamo:
  lim   P_assoluta_n(I)=P_ASSOLUTA(I)=2/6=1/3
 n->+oo
  lim   P_assoluta_n(L)=P_ASSOLUTA(L)=4/6=2/3
 n->+oo
Ciao!
Marco Fecchio
P.S.
Mi piace la vostra vena polemica ed il vostro spirito critico, ma prima di
rispondermi di getto (nel caso aveste l'intenzione di farlo), provate a pensare
almeno per un attimo se esiste anche la possibilità che non abbia scritto solo
un mare di fesserie! :-))

 consiglierei di dedicargli qualche paginetta web!
Hai ragione. Ho un sacco di materiale, accumulato ormai da piu'
di due anni, che quasi non mi ricordo di averlo. Ma ho anche
accumulato delusioni ed amarezze. Quand'ero studente mi
pagavano per scrivere articoli. Oggi geocities mi chiede dei soldi
per continuare a pubblicarmi. E no eh!  Io l'ho letto Il Pendolo
di Foucault di U.Eco:  mai pagare per farsi pubblicare!
E' un mondo difiiicile!!!  ((^__^))'
Livio


- Huston, we have a problem.
- Apollo 13, write to it.hobby.enigmi, they are drakes!
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 se si forma un trimino, contiamo quante volte è I e quante volte è L.
Ma mi sorge un dubbio:
sceglendo a caso 3 qudretti sul piano, la probabilità che si formi un trimino è zero.
quindi
p(I)=0
p(L)=0
p(I) / (p(I)+p(L)) = 0/0 = valore determinato
o forse in ciò non c'è niente di male
:-)
ciao
paolo

 non abbia scritto solo un mare di fesserie! :-))
Mi dispiace ma qui è assolutamente vietato mettere le mani avanti. Si gioca
seriamente :)
Anche se c'è gente che scrive fesserie e poi dà la colpa al gatto ;)
--
Ciao, Silv:o)

 Detto così, ti sembra più "giusto"? ;-)
Hai poco fa detto che dalle sabbie mobili dello "scegliamo a caso tr punti
nel piano" non si esce facilmente, ed ora ti ci impantani? Tra l'altro, come
dice Paolo, il tutto fa 0/0 e buonanotte ;)
Mah, la cosa mi perplime. Non so rinunciare alla generazione sequenziale in
maniera indolore. Mi pare che Marco abbia ben espresso le difficoltà della
cosa. Se scegliamo di rappresentare il piano come un quadratone, si arriva a
certe conclusioni, magari consodrandolo un cerchio di raggio infinito si
arriva a conclusioni differenti.
--
Ciao, Silv:o)

 Come? Aggiungendo omini adiacenti? Mi pare di si.
OK, ho capito, parliamo di "crescita semi-libera". Scusa se sono di coccio.
Comunque spero ti sia convinto dell'esattezza dei risultati (5:4 per la L)
con questa tecnica.
--
Ciao, Silv:o)

 dice Paolo, il tutto fa 0/0 e buonanotte ;)
Ehi, ehi, ma lo so! Ho sempre messo quell'"a caso" tra virgolette proprio
per indicare che una scelta "a caso" tra infinite possibilità andava presa
con le molle.
Ciao :-)
Giorgio


Mi sembra che questa tua interpretazione del mio secondo metodo sia più
"giusta". :-)
In effetti io non davo importanza alle diverse possibilità per la terza
scelta, limitandomi a considerare che se era possibile "chiudere" un
trimino, così si dovesse fare e basta. Sono invece d'accordo sul fatto di
valutare in quanti modi diversi lo si possa chiudere. Come giustamente dici,
nel primo caso, il trimino I è chiudibile in un modo solo, mentre nel
secondo caso il trimino L, lo puoi chiudere in 2 modi. E, questo, essendo
equiprobabile la scelta della seconda mossa, determina ancora il rapporto
2:1 a favore degli L.
Quindi, visti in questo modo, metodo 1 e metodo 2 danno lo stesso risultato
per i trimini. Sarà così anche per i tetramini? Non so. Però ho provato a
calcolare la probabilità dei tetramini con il metodo 1 e questi sono i
valori che ho trovato. La loro somma dà 1 e ciò significa che non ho fatto
un errore... potrei averne fatti due o più! :-)
Dal più prezioso al più comune:
I    1/12    0.08(3)
O    2/21    0.0952+
S    4/21    0.1904+
T    23/84    0.2738+
L    15/42    0.3571+
s. e. & o.
Ciao :-)
Giorgio

 ancora il rapporto 2:1 a favore degli L.
Sicuro?
--
Ciao, Silv:o)


L'idea è di non considerare le scelte come forzate, ma come libere. Dopo
aver battezzato arbitrariamente la posizione del primo omino, abbiamo la
possibilità di scegliere a caso un altro omino tra "tutti" quelli che ci
sono. Per comodità (ma so già che è qui che ci si può appigliare per
demolire tutto il ragionamento che segue) stabiliamo che "tutti" gli altri
omini siano semplicemente un numero "grande a piacere" di omini attorno
all'omino iniziale. Diciamo un numero "quasi infinito" di omini e
chiamiamolo n. Notare l'uso delle virgolette dappertutto. :-)
Ora abbiamo 12 scelte possibili su n (ognuna di queste equiprobabili) che
permettono di formare un trimino. Se scegliamo una di quelle, possiamo
andare avanti, altrimenti no e si ricomincia tutto daccapo.
Ora, se questa seconda scelta è caduta su uno dei quattro omini che distano
1 dai lati dell'omino iniziale, avremo una sola possibilità su n (sarebbe
n-1, ma non è molto importante) di chiudere il trimino. Se invece la seconda
scelta è caduta su un omino d'angolo rispetto all'iniziale, avremo 2
possibilità su n di chiudere il trimino. In tutti gli altri casi non
otteniamo nulla e si ricomincia daccapo. Quindi si può concludere che il
trimino I lo ottinieni 1 volta su n e che il trimino L lo ottieni 2 volte su
n.
L'idea è che non abbiamo, come dici tu, due porte di cui una conduce a I e
l'altra a L. Abbiamo n porte di cui 1 conduce a I e 2 conducono a L.
E questo è un ulteriore modo (che è poi sempre quello, detto un po'
diversamente) di vedere il mio secondo metodo dopo l'interpretazione di
Marco. Sarebbe molto interessante sapere cosa ne pensano gli altri. Io, alla
fine, darò ragione alla maggioranza! ;-))))))
Ciao :-)
Giorgio

 andare avanti, altrimenti no e si ricomincia tutto daccapo.
Ripeto: il problema è qui. Se dici che le seconde scelte sono equiprobabili,
allora tutto il resto viene di conseguenza.
Se vuoi che tutti i percorsi finali siano equiprobabili, per poter definire
la probabilità delle forme come numero di casi favolrevoli fratto i
possibili, devi per forza rinunciare a questo assunto.
Una cosa esclude l'altra. O sono equiprobabili le scelte passo passo, o lo
sono i percorsi finali.
Se disegni l'albero delle possibili scelte, alla fine hai due possibilità:
1) per ogni nodo intermedio assumi che tutti i rami siano equiprobabili. A
questo punto per valutare il peso di un singolo percorso fino alla foglia
devi moltiplicare le probabilità dei singoli rami.
2) assumi come equiprobabili tutti i singoli percorsi. A questo punto ti
basta dividere le foglie per tipologia e contarle.
Nel nostro esempio, ci sono 36 foglie (che in realtà individuano solo 18
trimini, ognuno dei quali ottenuto in due modi differenti corrisponedetni
alle permutazioni della seconda e terza scelta). Se le "pesi" alla fine le
24 foglie L arrivano a 5/9 e le 12 I a 4/9, se le conti fa semplicemente 24
a 12.
-- 
Ciao, Silv:o)


I polimini sono per me materia affascinante, ma assolutamente sconosciuta...
Però, a mio avviso, la soluzione del problema prospettata da Marco mi sembra
più convincente.
Ed è anche la mia.
Scusate se il mio vizio di discutere di lotto mi porta anche in questo caso
a parlare di ambi e terni, anzichè di domini e trimini.
Accettata la figura proposta e numerate le caselle da 1 a 12 (l'omino
d'origine sia 0), il sistema è costituito dai 66 ambi che abbinati alla
fissa 0
formano tutti i terni possibili.
Di questi, i casi favorevoli alla formazione dei trimini sono:
I = 6   (0-1-3; 0-3-10; 0-5-6; 0-6-7; 0-7-8; 0-10-12)
L = 12  (0-2-3; 0-2-6; 0-3-4; 0-3-6; 0-3-7; 0-4-7; 0-6-9; 0-6-10; 0-7-10;
         0-7-11; 0-9-10; 0-10-11)
mentre gli altri 48 terni non danno luogo a polimini.
Lo stesso approccio potrebbe essere utilizzato per i tetramini, ecc..
Ciao, Nino

 mentre gli altri 48 terni non danno luogo a polimini.
Non voglio affatto discutere il conteggio in se, che vedo anchio porta a
12:6 per i trimini L.
Quello che contesto, ormai sono ripetitivo, è che si dica "il secondo
estratto è scelto in modo equiprobabile tra quelli che portano al terno".
Non è vero. Tutto qui. O se è vero non  è vero che i 18 terni sono
equiprobabili.
Supponiamo di avere un complice nell'estrazione, che conosca i 18 terni che
abbiamo giocato. Il complice non sa che se esce uno dei 12 terni marcati L
vince Pippo e se esce un terno I vince Pluto. Lui si preoccupa solo di far
uscire uno dei 18 terni.
Il primo numero che pesca è il perno che gli avevamo comunicato, l'omino
"0".
Poi procede ad estrarre un altro numero. Per non dare nell'occhio li ha
raffreddati e sceglie il primo bussolotto freddo che gli capita tra le mani.
Il banditore apre il bussolotto e legge il numero. A questo punto il nostro
complice deve fare in modo di pescare un numero che chiuda il terno. Siccome
è un baro, ha segnato i bussolotti e provvede a scegliere il numero che
chiude il terno. Se la scelta è forzata deve fare un po' più di fatica, ma
può succedere che possa scegliere fra due numeri buoni, o addirittura fra
sei.
Nino, te le senti di dire che due volte su tre è Pippo a vincere il terno?
Altra cosa se non ci fosse il complice. Allora vedo anch'io che Pippo vince
due volte su tre, anche se la stragrande maggioranza delle volte perdono
entrambi.
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Ciao, Silv:o)

 entrambi.
Appunto. Chi tiene il gioco, vince sempre (qui quasi per il 74% delle
volte),
com'è d'altronde giusto (il caos prevale sempre sull'ordine).
Ciao, Nino