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Titolo: Pipe

Un'amico dell'ARM, l'accademia delle ricreazioni matematiche di Tokio,
recentemente mi ha passato questo problema.
Ho trovato una soluzione, ma non sono sicuro sia la migliore possibile.
Un tubo dell'acqua rettilineo abbastanza lungo e' sotterrato in un
campo.
Sappiamo che dista non piu' di 10 metri da un punto conosciuto.
Ora per rintracciare il tubo dovremo vangare dei solchi, e per
risparmiare fatica cercheremo di scavare il meno possibile.
Qual'e' il minor numero di metri che bisognera' vangare per rintracciare
il tubo.
Come al solito un problema geometrico, raccontato come un fatto reale
per renderlo piu' accattivante.


La prima idea che mi viene in mente e' un solco circolare, con raggio di 10
m
e centro nel punto conosciuto. Lunghezza = (2 * pi  *10) = 62.8.....
Non e' sicuramente la soluzione migliore: per esempio posso tracciare due
solchi rettilinei, paralleli, lunghi 20 m ciascuno, distanti 10 m dal punto
noto.
Lunghezza = 40 m.
Come si vede, si tratta di tracciare due lati del quadrato circoscritto alla
circonferenza.
Si puo' generalizzare in questo modo;
Disegno un poligono regolare di 2*N lati, con centro nel punto noto;
scavo alternativamente (un lato si, un lato no);
la lunghezza totale di solchi e' pari alla meta' del perimetro del poligono.
Al tendere di N all'infinito, la lunghezza del poligono tende a quella della
circonferenza, percio' la lunghezza dei solchi tende a 10*pi = 31.4 m.
Non sono sicuro che sia la soluzione migliore.
----------
P.S.
Se il tubo e' metallico lo trovo con un metal detector, senza scavare.
ciao
Paolo


Subito dopo aver postato il messaggio precedente, mi sono accorto di
aver commesso un ERRORE: avevo considerato la distanza tra il tubo e il
punto esattamente = 10 m, mentre il testo del problema diceva
non piu' di 10 m.
In pratica avevo considerato il tubo tangente alla circonferenza, mentre
puo' essere anche secante.
Evidentemente il poligono scavato a lati alterni non risolve il problema,
il tubo puo' entrare attraverso un lato non scavato e uscire attraverso
un altro lato ugualmente non scavato.
Provo a SPARARE un'altra soluzione:
Poligono di N lati, circoscritto alla circonferenza;
scavo N-1 lati
per N=4 lunghezza scavo =60 m
sempre meglio di 62.8 m del solco circolare
e per N generico?
ciao
Paolo

Una possibile soluzione che mi viene in mente e' vangare per i segmenti che
uniscono il centro (pto noto) ai vertici di un poligono circoscritto alla
circonf. di raggio 10m.
Se consideriamo un quadrato, la lunghezza e' 40sqrt(2)=56,57m. Altri
poligoni regolari portano a lunghezze maggiori. La soluzione e' cmq
provvisoria :oB
Bai-bai
MF

 poligoni regolari portano a lunghezze maggiori.
Aspetto miglioramenti.

il tubo.
...
Io conosco una soluzione: (Pi_greco+2)*r  dove r=10 metri
Questa soluzione non e' mia, quindi e' probabile che sia giusta! ;-)
Ciao ciao
Claudio
PS: per fortuna non faccio il camaleontologo! e grazie per i consigli sui
libri, li cerchero'!

Questa soluzione non e' mia, quindi e' probabile che sia giusta! ;-)
U. Mi sa di si'!
MF

 Questa soluzione non e' mia, quindi e' probabile che sia giusta! ;-)
Puoi descriverla ?
Pero' si puo' ancora migliorare !

Dario wrote:

 Uffa sei incontentabile..cercati un rabdomante ;-))
Provo io ..  10*( Pi_greco+1+sqrt(2)/2 ) = 48.49
Se ti basta posto anche il metodo!
Ciao Alex
--
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Pero' si puo' ancora migliorare !
Grande Dario! in realta' ero dispiaciuto di aver postato una soluzione letta
su "Le scienze" nella rubrica "L'angolo matematico" di Ian Stewart, ma se si
puo' migliorare... sono stupito ed entusiasta! solo... non ho la piu'
pallida idea!
Ciao ciao
Claudio
PS: questo NG e' popolato da personaggi davvero straordinari, parola mia!

Pero' si puo' ancora migliorare !
ci provo ancora
(Pi_greco + 1 + 2/sqrt(5)) * 10 = 50.36 metri
prendo come base la soluzione di Claudio
AB diametro della semicirconferenza
AD e BC i due segmenti
elimino il tratto AD
disegno (senza scavare) il segmento AC
da D traccio (e scavo) il segmento DH perpendicolare ad AC
salvo errori  DH vale 2/sqrt(5) * 10
P.S. credo che la soluzione di Claudio sia la migliore possibile
realizzabile con un solco continuo
ciao
Paolo

 Se ti basta posto anche il metodo!
VEDERE SUBITO !!!
La mia e' solo di 4,5*sqrt(125)= 50.3115

 pallida idea!
Che numero di Le Scienze? Mi e' sfuggito ! Pensa che ce le ho tutte (dal
num.1 intendo)

num.1 intendo)
E' il 328, dicembre 95.
Dal n.1? Domanda retorica: quanto vuoi per la serie completa? :-)
Ciao ciao
Claudio

Paolo Licheri (
pali...@tin.it
) wrote:
: Evidentemente il poligono scavato a lati alterni non risolve il problema,
: il tubo puo' entrare attraverso un lato non scavato e uscire attraverso
: un altro lato ugualmente non scavato.
: Provo a SPARARE un'altra soluzione:
: Poligono di N lati, circoscritto alla circonferenza;
: scavo N-1 lati
: per N=4 lunghezza scavo =60 m
: sempre meglio di 62.8 m del solco circolare
: e per N generico?
Non ho seguito i vari tentativi di soluzione, ma se uno fa come dici tu, 
scvando "lati alterni" di un poligono con un numero _dispari_ di lati. 
Intendo due lati consecutivi, e poi alternando. Ha senso? Non ci ho 
pensato molto, la butto li`.
Ciao,
							Daniele

In attesa della soluzione di Alessandro vi dico come riesco a scavare per
10*(2pi/3+2.5+sqrt(3)/3)=48.83m
Si scava lungo la circonferenza di 10m per un arco di 120 gradi.
Prolunghiamo l'arco da entrambe le parti con un segmento lungo quanto il
raggio. Lungo l'asse della linea finora tracciata, scaviamo ''quanto basta''
per ''coprire l'area'' (ovvero 1/2+sqrt(3)/3).
MF


Bello! mi avete risparmiato 2 metri di fatica! chissa' se questo e' il
meglio possibile?


Hai provato a generalizzare?
anziche'120 gradi , un arco 2*alfa
anziche' due segmenti lunghi quanto il raggio, due segmenti = raggio per k
quanto risulta il terzo segmento?
e qual'e' la coppia di valori (alfa ; K ) che minimizza il tutto?
se l'hai gia fatto mi eviti di fare i calcoli.
con l'arco di 122 gradi ho trovato qualche millimetro in meno, poi aumenta
di nuovo
ma forse ho sbagliato :-(
e poi, comunque, e' meglio scavare qualche millimetro in piu' che continuare
a fare calcoli :-)
ciao
Paolo

il tubo.
Se scavo lungo una circonferenza di centro il punto noto e raggio 10
metri sono sicuro di trovare il tubo in, al più, 2*pi*10 m.
63 m circa vangata più, vangata meno...
      Ciao
      Michele

 a fare calcoli :-)
Minimizzando la lunghezza di scavo al solo variare di alfa, ottengo (a
meno di errori di calcolo, spero assenti) un totale di 48.828 metri, in
corrispondenza di un angolo di 121.43.44 (scusate se manca una bella forma
tipo radice di qualcosa su qualcosa, ma l'ho fatto numericamente). In
sostanza, tenendo fissi i due segmenti pari al raggio, la soluzione
migliore differisce per un'inezia da qualla gia' postata.
Un'altra questione pero' mi incurioscisce: chi mi spiega come posso vedere
in maniera formalmente completa se una soluzione e' veramente valida?
Cioe' come posso vedere se il mio scavo lascia o meno delle 'lacune'?
Io fin'ora sono andato pressoche' ad intuito.
Saluti,
Kloro.


Ho seguito con interesse tutte le risposte; complimenti a tutti, anche
a chi "accelera" la soluzione con simulazioni numeriche. I "puri" sono
poi sempre i benvenuti.
Una osservazione (spero) simpatica: non sara' che tanti giochi
matematici nascono proprio da fatti reali e noi li raccontiamo prima
come problemi geometrici? Se cosě fosse, perderemmo un po' alla volta
il gusto dell'esperienza e dell'aderire alla realta'.
Massimo Vigliotti
vig...@usa.net