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Titolo: la mascotte del plotone

La mascotte di un plotone di soldati e' un simpatico cagnolino che li
accompagna durante le marce. Dal solito Gardner ho tratto tre problemi
sulla marcia del cagnolino, l'ultimo era solo proposto, e non risolto:
1) Il plotone e' disposto in formazione quadrata, di lato, diciamo, 50 m.
Il cagnolino parte dal centro dell'ultima riga, risale la formazione in
marcia fino al centro della prima riga, poi torna indietro fino alla
posizione di partenza. Quando termina la doppia traversata il plotone ha
apercorso un tratto pari alla sua lunghezza. Quanta strada ha fatto il
cagnolino?
2) Come 1), solo che il cagnolino parte da un vertice e percorre l'intero
perimetro.
3) La formazione in marcia e' circolare e il cagnolino fa tutto il giro.
Ciao e buon ferragosto, Silvio

non lo so !!!
Silvio ha scritto nel messaggio <01bdc780$9dc02ac0$3350bfc3@fn204720>...
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> non lo so !!!
almeno non quotare tutto il msg!!
...e poi almeno il primo e' facile :)

Ciao e buon ferragosto, Silvio
altrettanto, grazie
ciao
paolo

 
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in effetti anch'io mi sono imbattuto in un integrale formalmente simile,
anche se piu' semplice, e non l'ho saputo risolvere elementarmente, ma
forse nello Shaum di analisi...

perimetro.
Il cagnolino percorre poco piu' di 209 metri.
Supponiamo che parta dall'ultima riga, colonna destra, e proceda in senso
antiorario.
Dividiamo l'azione in quattro tempi:
1) Il plotone percorre un tratto X, il cagnolino 50+X raggiungendo la prima
riga.
2) Il plotone percorre un tratto Y, il cagnolino sqrt(50^2+Y^2) raggiungendo
la colonna di sinistra.
3) Il plotone percorre un tratto Z, il cagnolino 50-Z, tornando indietro
fino all'ultima riga.
4) Per simmetria, come al tempo 2.
Siano U la velocita' del plotone, V quella del cagnolino, ed R=V/U il loro
rapporto.
Sara':
(50+X)/V = X/U
sqrt(50^2+Y^2)/V = Y/U
(50-Z)/V = Z/U
da cui, esprimendo tutto in funzione di R, si trova
X = 50/(R-1)
Y = 50/(sqrt(50^2-1))
Z = 50/(R+1)
poiche il percorso del plotone, pari a 50 metri, e' uguale alla somma
X+2*Y+Z, sara':
50/(R-1) + 2*50/(sqrt(50^2-1)) + 50/(R+1) = 50
razionalizzando ne viene fuori un'equazione di quarto grado, la risolvo con
il risolutore di Excel ed ottengo
R = 4.181125....
cioe' la velocita' del cagnolino e' 4.181125 volte maggiore di quella del
plotone, e altrettanto sara' il percorso, quindi
R*50= 209.056272...
gli spazi percorsi dal plotone e dal cagnolino nei quattro tempi risultano
approssimativamente:
1) 15.71771   65.71771
2) 12.31594   51.49449
3)  9.65041   40.34959
4) 12.31594   51.49449
ciao
paolo



3) La formazione in marcia e' circolare e il cagnolino fa tutto il giro.
ci penso un po' :)
ciao Domenico

 R = 4.181125....
esatto.
mettiti al lavoro sul terzo, lo vedo bello tosto...
ciao, Silvio

Io ho trovato 50*(3+2*sqrt(2))
sorry :( ho interpretato male il testo (credevo che il caglolino in
questo secondo quesito andasse alla stessa velocita' del primo).
A me viene una equazione di quarto grado del tipo:
x^4-4*x^3-2*x^2+4*x+5=0, che, salvo errori, risolta per
approssimazione mi da x=4.57917 ; la distanza percorsa mi viene 50*x
(x rappresenta il rapporto tra la velocita' del cane e quella del
plotone).
ciao Domenico

Hey! Io ho subito pensato che cagnolino e plotone andassero alla stessa
velocita'; se le cose stanno cosi' pensa che mentre il plotone si muove,
il cagnolino si sposta con lui (50 m); poi percorre il plotone (100 m) e
infine torna indietro (150 m).
Tu hai perfettamente ragione nel dire che l'assumere le velocita' uguali
e' arbitrario; io ti rispondo che il problema e' mal posto, e in caso di
velocita' diverse la tua soluzione e' sbagliata! Infatti pensa che il
cagnolino, ammesso che abbia una velocita' maggiore del plotone, arriva
in fondo mentre il plotone e' ancora in marcia; e poi, che succede? Se
la velocita' del cagnolino e' sufficientemente grande, tornera' al lato
in basso prima che il plotone avra' arrestato la marcia; quindi dovra'
percorrere l'ultimo tratto con il plotone ALLA STESSA VELOCITA' DEL
PLOTONE; se invece la velocita' del cagnolino non e' sufficiente, il
plotone si fermera' mentre ancora il cagnolino zampetta verso l'ultima
linea. Percio' come vedi i tempi non sono in generale uguali; il
problema va scomposto in piu' sottocasi.
2- Stesso ragionamento di sopra...
3- Vorrei sapere in che integrale ti sei imbattuto; nota che anche qui
ho supposto che i due avessero la stessa velocita'. Per quanto riguarda
l'integrale: l'ho dato in pasto al derive e non ha potuto farci niente.
Quindi dubito che lo Shaum...
-- 
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 3- Vorrei sapere in che integrale ti sei imbattuto; 
il primo che avevo trovato l'ho poi scartato, per una falla nel
ragionamento, poi ho trovato:
pi/2
 /
 |dx/(sqrt(c^2-(cos (x))^2)-sin(x))=2
 /
 0
dove si tratta di determinare la costante c in modo che l'integrale dia 2
Integrandolo in maniera assassina con un ciclo for con step 0.001 (non ho a
disposizione sw specifico) ho trovato c=3.368446


 approssimazione mi da x=4.57917 
l'equazione e' giusta, ma l'unica radice accettabile e' x=4.181125535
(Risolutore di Excel)
con che l'hai risolta?
Ciao, Silvio

Ok Silvio, ci sono anch'io. Non avevo capito bene come impostare il calcolo
per i primi due punti; adesso posso confermare i risultati da voi
raggiunti... meglio tardi che mai.
Per quanto riguarda il terzo punto, la soluzione che ti avevo inviata
rimane valida:
...supponiamo che il cerchio abbia raggio r; che il plotone si sposti per
50 m con velocita' v; che il cagnolino si muova lungo la circonferenza con
velocita' angolare w; allora il cagnolino percorre una distanza:
     50/v
    /
l = | sqrt(w^2*r^2+v^2+2*v*w*r*cos(wt)) dt
    /
     0
basta imporre che i tempi di percorrenza siano uguali, cioe' detto tp=50/v
il tempo del plotone, sara' w=2*pi/tp=2*pi/(50/v)=2*pi*v/50; poniamo
inoltre r=25 m (e' il cerchio inscritto nel quadrato di lato 50 m).
Otteniamo cosi':
     50/v
    /
l = | v*sqrt(2*pi*cos(pi*t*v/25)+pi^2+1) dt
    /
     0
Nota che a questo punto per eseguire l'integrazione numerica possiamo
scegliere un valore QUALUNQUE per v: infatti per come e' impostato il
legame tra v ed w, il cagnolino fara' un giro comunque sia la velocita' v
del plotone (se non ci credi, prova con v=1 e v=1500000, tanto per fare un
esempio): si ottiene:
l=161,084 m


 ... l=161,084 m
beh, pero' a me esce 168.42..., quindi non siamo tanto lontani
Ciao, Silvio

 Y = 50/(sqrt(R^2-1))
tu fai il rapporto tra gli spazi percorsi e lo uguagli al rapporto delle
velocita' e trovi gli spazi percorsi.
io invece ragionio pensando al plotone fermo ed al cane che gli gira
intorno. nello stesso tratto che consideri tu la velocita' relativa del
cane rispetto al plotone e' sqrt(U^2-V^2), il cane percorre il lato di 50 m
in 50/sqrt(U^2-V^2) e in questo tempo il plotone avanza di 50/sqrt(R^2-1)
come dici tu, pero' i calcoli sono piu' semplici. Nel terzo problema la
differenza si fara' sentire: si arriva allo stesso integrale, ma i calcoli
col tuo metodo sono abbastanza complicati (pero' dopo un paio di metri di
formule si ha magicamente la stessa espressione...)
Ciao, Silvio

beh, pero' a me esce 168.42..., quindi non siamo tanto lontani
Io ho trovato L=161.083.., quindi praticamente lo stesso risultato di
Stefano
Considero le tre velocita' (lineari) in gioco:
U = velocita' del plotone
V = velocita' reale del cagnolino
W = velocita' apparente del cagnolino per un osservatore che si muove con il
plotone
naturalmente U e V sono costanti, W e' variabile in funzione dell'angolo
alfa percorso dal cagnolino.
Per semplificare le cose considero che il plotone si muova a velocita'
unitaria (
p.es
. U=1m/s)
(questo non dovrebbe portare complicazioni, se fosse U diverso da 1, basta
sostituire alle altre velocita' i rapporti V/U e W/U)
In ogni posizione, la velocita' V sara' la risultante (vettoriale) di W ed
U; cioe' lo spostamento del cagnolino e' composto da un tratto tangenziale
al cerchio, a velocita' W, + un tratto in direzione del plotone a velocita'
V.
costruisco il triangolo delle velocita', si puo' notare che l'angolo tra U e
W e' pari ad alfa (spostamento angolare del cagnolino rispetto al cerchio),
quindi, da un noto teorema sui triangoli, posso scrivere:
W^2=U^2+V^2-2*U*V*cos(alfa)
Da cui
W=sqrt(1+V^2-2*V*cos(alfa))
Per un dato spostamento angolare elementare d_alfa, lo spostamento lineare
del cagnolino, visto dall'osservatore che si muove con il plotone, vale
ds=25*d_alfa, dove 25 e' il raggio del cerchio; il tempo per tale
spostamento elementare vale dt=ds/W
Integrando tra zero e 2*Pi, troverei il tempo totale per percorrere l'intera
circonferenza (funzione di V)
quindi potrei trovare il valore di V per cui l'integrale risulta uguale a 50
secondi (tempo in cui il plotone percorre 50 m).
Trovato V posso trovare L=V*50=percorso reale del cagnolino.
Per evitare il calcolo dell'integrale, lo sostituisco con una sommatoria di
3600 termini, ossia sostituisco il cerchio con un poligono di 3600 lati,
ognuno corrispondente ad uno spostamento di 0.1 gradi:-)
Utilizzo un foglio di Excel;
in due celle indico :
 V (un valore di tentativo)
 ds = valore (in radianti) di 0.1 gradi
poi, per 3600 righe, scrivo le seguenti colonne:
  angolo in gradi 0.1, 0.2,   360
  alfa = valori in radianti corrispondenti alla colonna precedente
  cos(alfa)
  W=sqrt(1+V^2-2*V*cos(alfa)) _ con riferimento relativo ai valori di
cos(alfa) della colonna precedente e riferimento assoluto al valore di
tentativo di V
  dt=ds/W _ con riferimento relativo ai valori di W della colonna precedente
e rifermento assoluto al valore di ds
calcolo la somma dell'ultima colonna
per tentativi, e con l'utilizzo del risolutore, trovo il valore di V per cui
la somma suddetta risulta =50
ottengo l'uguaglianza per V=3.221661... da cui
L=V*50=161.0831...
fammi sapere se va bene
ciao
paolo

> Io ho trovato L=161.083.., quindi praticamente lo stesso risultato di
Stefano
Il tuo ragionamento mi sembra corretto, e la discrepanza e' dovuta solo
alle approssimazioni dellla macchina.
Io, sempre facendo riferimento al triangolo delle velocita', ho considerato
pero' l'angolo alfa formato da w rispetto all'orizzontale e, con un po' di
trigonometria, la velocita' W mi esce sqrt(V^2-(cos(a))^2)-sin(a).
Integrandola in basic con un ciclo for con step 0.001 radianti (6283 cicli)
avevo trovato 3.368446 (168.4223). Rifacendolo con Excel mi da' 161.3535
coi centesimi di grado e 161.3493 coi millesimi di radiante, risultati
concordanti fino al secondo decimale con la tua formula, se hai
l'accortezza di non moltiplicare per 25 tutti i termini della sommatoria,
ma solo la somma.
Complimenti a entrambi per la soluzione, anche se non capisco come fa
l'integrale di Stefano a dare il risultato giusto ;)
Ciao, Silvio

 beh, pero' a me esce 168.42..., quindi non siamo tanto lontani
insomma: dimmi un po' tu come pensi di impostare i calcoli! Tu sei sicuro
di avere la soluzione esatta?
p.s.: bravo, veramente un bel problema. Gardner sarebbe contento; non so
pero' quanta parte del suo pubblico conosca gli integrali curvilinei.


 
infatti, anch'io pensavo di usarli, ma l'esame di analisi l'ho fatto
qualche anno fa, e dalle formule che ho frettolosamente ripassato mi
sembrava che fosse necessario conoscere la posizione in funzione del tempo,
cosa che non ho saputo calcolare - e tuttora non saprei calcolare :(( 
comunque Gardner in una delle raccolte di problemi analizzava i primi due,
dell'ultimo diceva solo che gli erano arrivate, da parte di alcuni lettori,
delle analisi  di varianti, tra le quali quella della formazione circolare
Ciao, Silvio

Piu' lo riguardo e piu' la cosa mi sembra oscura: sembra che il cane sia
che giri intorno al plotone mantenendo costante la velocita' angolare sia
che mantenga la velocita' lineare, la strada che fa sia la stessa.
Questo risultato mi sconcerta! la traiettoria mi sembra diversa, le
velocita' sono diverse... eppure i risulatati coincidono!
Che mi dite di questa situazione?
Allora, ricapitolo per chiarirmi un po' le idee:
il caso che ha ipotizzato Stefano e' il seguente:
il plotone avanza a velocita' costante ed il cane gli trotterella intorno
con velocita' angolare costante - ovviamente dovra' accelerare quando
marcia nella direzione del plotone e decelerare quando va contromano... ma
e' un cane militare e segue fedelmante le consegne: velocita' angolare
costante...
Poniamo per semplicita' che il plotone abbia raggio unitario e
che il cane abbia una velocita' angolare di 1 rad/sec
v=1/pi   # il plotone fa 2 m in T=2*pi sec
w=1
il cane alll'istante t ha coordinate  p(t) = (x(t),y(t)) = (sen(t),1 -
cos(t)+v*t)
allora l'analisi ci dice che la lunghezza di una curva siffatta (cicloide)
si calcola
   /
l=| |p'(t)| dt
  /
   T
   /  
l=| sqrt((cos(t))^2+(sen(t)+v)^2) dt =
  /
  0
   T
   / 
= | sqrt(1+v^2+2*v*sen(t)) dt = 6.44...
  /
  0
che moltiplicato per il vero raggio di 25 m da appunto 161.03...
Fin qui e' lavoro di Stefano.
Ma non e' questo quello che chiedevo!
Il mio cagnolino e' meno versatile, sa andare solo ad una certa velocita',
giusto quella che gli permette di fare un giro esatto, quindi dovra' solo
preoccuparsi di stare attaccato al plotone e di continuare a girare.
Ora prendo i risulati di Paolo
La velocita' relativa del cane rispetto al plotone e' la composizione
vettoriale delle velocita' del plotone (sia v=1 m/s) e di quella reale del
cane, entrambe costanti in modulo, e l'angolo tra le due e' tale da rendere
sempre tangenziale la velocita' apparente. Costruiamo il triangolo delle
velocita' e troviamo con un po' di trigonometria che la velocita' relativa
del cane e', in modulo, r=sqrt(1+c^2-2*c*cos(a)) dove a e' l'angolo formato
dai due vettori, r (velocita' relativa del cane) e c (velocita' del cane)
Con tale velocita' si spazza un angolino da in un tempo dt=da/r
integrando da 0 a 2*pi si deve ottenere il tempo totale, 50 secondi nel
nostro caso:
 2*pi
 /      
| da / sqrt(1+c^2-2*c*cos a) = 50
/
0
l'integrale somiglia molto a quello di prima, ma qui si tratta di trovare
il valore di c per cui l'integrale dia proprio il valore 50
ebbene, la velocita' c del cane risulta circa 3.22.. che moltiplicato per
50 sec. da lo stesso risultato di prima!
Ripeto: i due cani fanno cose diverse e passano per punti diversi.
Allora mi chiedo: a prescindere da come il cane decida di distribuire le
forze, fara' la stessa strada comunque? anche se si affianca al suo padrone
sta 10 secondi a fargli le feste?
Se me lo chiedevate ieri rispondevo no...
Ciao, Silvio

Ciao, Silvio
ciao
paolo

sta 10 secondi a fargli le feste?
Come ha scritto Paolo, in questo caso la diversificazione diviene totale, e
ci vuole uno studio ad hoc per ogni caso.
Spero di essere stato chiaro. Se ti rimane qualche dubbio, non esitare a
chiedere.


 una somma di moto rettilineo e circolare (meccanica razionale).
sono daccordo, ma non e' sempre facile! nel caso di w costante la
scomposizione diventa banale perche' e' il moto e' di per se una
composizione di un moto rettilineo uniforme e di uno circolare, sempre
uniforme...
Comunque, e scusate se continuo con questa storia, ma non mi ha fatto
dormire..., non so calcolare alfa(t) pero' so trovare t(alfa)
L'integrale utilizzato per ottenere la velocita' del cane fornisce in
realta' il tempo occorrente per spazzare un angolo alfa generico, quindi,
per ogni alfa ho la possibilita' di calcolare le coordinate del punto
       a
      /
t(a)=| dx/sqrt(1+c^2-2*cos(x)
     /
     0
e quindi si ha 
x(a)=R*sen(a)
y(a)=R*(1-cos(a)) + v*t(a)
Mentre nel caso di velocita' angolare costante si aveva
x(t)=R*sen(w*t)
y(t)=R*(1-cos(w*t)) + v*t
Ho tracciato le due traiettorie e risultano _molto_ simili (se volete vi
mando una giff dei tracciati...), ma ancora non mi giustifico la'appartente
coincidenza dei risultati...
se i cani fanno la pipi' durante tutto il tragitto ed analizziamo le scie,
saranno diverse... 
arriveremo mai ad una conclusione? i due risultati sono _simili_ o prorpio
coincidenti?
Ciao, Silvio

      0
quella giusta e'
        a
       /
 t(a)=| dx/sqrt((c^2+cos(x)^2)-sen(x))
      /
      0
Effettivamente con questa espressione i due grafici risultano molto piu'
simili :(((
Questo succede perche' il termine c^2 e' preponderante nella funzione
integranda, che e' quasi una costante, per cui il suo integrale e' simile
ad una retta. Se aumentiamo c questo  comportamento e' ancora piu'
evidente, ma e' del tutto naturale: essendo il cane molto piu' veloce del
plotone il moto traslatorio perturba poco quello rotatorio; in caso invece
di velocita' del cagnolino minori, i risultati si discostano
considerevolmente.
In conclusione penso che i risultati sono solo apparentemente
coincidenti...
fatemi sapere che ne pensate
Ciao, Silvio

 
Devo chiederti scusa. Ammetto di aver letto la tua risposta troppo
frettolosamente: credevo di aver capito che tu stavi usando il triangolo
delle velocita' imponendo a modulo costante la velocita' del plotone e
quella del cane rispetto al plotone (come ho fatto in fondo io)... sono un
pirla! Rileggendo meglio, vedo che tu hai preso costanti la velocita' del
plotone e quella reale del cane, ricavando da queste la velocita' relativa.
Ti chiedo ancora scusa, ma sono fatto cosi': quando risolvo un problema poi
lo do per scontato; se anche mi dicevi che lo avevi risolto utilizzando la
teoria degli anelli, ti rispondevo subito che avevamo fatto la stessa
cosa!!!
In effetti puo' sorprendere come i nostri due cani abbiano percorso la
stessa lunghezza, anche se credo sempre che il mio cane sia quello che in
fondo ha fatto la strada piu' facile ;) ...sembra che il mio cammino sia
come uno spago di lunghezza fissata che puo' essere deformato nel tuo, ma
questo e' da dimostrare; in fondo pero' e' possibile: la deformazione e'
determinata dai due MODI di percorrere il cerchi. Se ci pensi esistono
altri modi che danno lo stesso risultato: il cane percorre il cerchio a
v=00 e poi va con il plotone: risultato l=2*r*pi+50; il cane si muove con
il plotone e poi percorre il cerchio a v=00: risultato l=50+2*r*pi.
Ho provato a fare qualche simulazione con MATLAB, ma la cosa e' veramente
pesante. Di ricavare direttamente a(t) nel tuo caso non se ne parla
neppure, ma credo che la soluzione sia proprio nascosta qui... riguardo le
tue formule. Sempificando con raggio unitario e v=1, deve valere insomma:
       50                            50
      /                             /
l/r = | sqrt(1+c^2-2*c*cos(a)) dt = | sqrt(2*pi*cos(t*pi/25)+pi^2+1) dt =
6.44...
      /                             /
      0                             0
e inoltre hai trovato che c=3.22..., la meta' esatta di l/r.
Boh...  penso che abbiamo trovato lo stesso spago messo giu' in due modi
diversi, ma per pura coincidenza. In effetti il tuo metodo e' congruente
con le altre soluzioni: il cane va a velocita' reale costante... ho
scoperto un mostro, e non ho abbastanza matematica per attaccarlo (conosci
qualche esperto di geometria differenziale?).
Dimmi cosa ne pensi


Bene, bene. Anzi male, molto male. Piu' passa il tempo piu' mi convinco che
hai ragione tu:((( la mia curva e' una misera omotopa della tua, e cosi'
vicina ad essa che ci vorrebbero un bel po' di cifre dopo la virgola per
vederlo.
Credo comunque che questo insieme di curve abbia per massima lunghezza
l=207.07963..., cioe' quelle con il cerchio percorso a w=00.
p.s.: Gardner sarebbe _molto_ felice di vedere che i suoi fan perdono
giorni (e notti ;) su giochi di cui neanche lui conosce la soluzione...
