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Titolo: I componenti della banda

Ho trovato questo interessante indovinello matematico sul sito della
rivista Newton.
I componenti di una banda avanzano schierati formando un quadrato.
Quando si fermano per suonare, il numero delle colonne aumenta di 3,
formando quindi un rettangolo.
Quanti sono i componenti della banda?
Il link completo è:
http://newton.corriere.it/Curiosita/Test/2002/07_Luglio/Sei%20bravo%20con%20i%20numeri%20(2)_domande.shtml
Ovviamente si prega di dare spiegazione della risposta.

 wrote in message 
news:52f3cf49-43c3-4c6f...@f77g2000hsf.googlegroups.com...
Ho trovato questo interessante indovinello matematico sul sito della
rivista Newton.
I componenti di una banda avanzano schierati formando un quadrato.
Quando si fermano per suonare, il numero delle colonne aumenta di 3,
formando quindi un rettangolo.
Quanti sono i componenti della banda?
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Ovviamente si prega di dare spiegazione della risposta.
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mini- spoiler
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Sono 36 ! In quadrato 6x6 ed in rettangolo 9x4 !
Ho usato Excel pero'... Vale ?
M 

 Ho usato Excel pero'... Vale ?
Beh, esistono sicuramente dimostrazioni più semplici/eleganti (senza
cioè delegare il "cervello" elettronico, e senza l'approcio brute
force); comunque la risposta è esatta. Ottimo :-)

 Ho usato Excel pero'... Vale ?
Beh, esistono sicuramente dimostrazioni piů semplici/eleganti (senza
cioč delegare il "cervello" elettronico, e senza l'approcio brute
force); comunque la risposta č esatta. Ottimo :-)
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Non e' da me' (ci son persone di certo piu' brave qui)
ma provo a dare una spiegazione plausibile... ;)
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In pratica ho due figure con la stessa superfice !
A questo punto se devo aggiungere 3 colonne devo di
certo togliere alcune righe, perche' l'area finale
sia ovviamente invarita.
Area del quadrato = n^2
Area del rettangolo e' data dalla parte rimasta del
quadrato originale (n-k * n) con k numero di righe
che abbiamo tolto ed una parte aggiunta (n-k * 3).
Quindi avremo :
n^2 = (n-k * n) + (n-k * 3)
n^2 = n^2 - nk + 3n - 3k
ovvero :
3n - nk - 3k = 0
da cui estrapoliamo k (righe tolte) :
k = 3n / (n+3)
Quindi cerco il numero n che moltiplicato per 3 sia
anche divisibile per n + 3 che non puo' essere altri
che il 2 !
Mi rendo conto che l'affermazione finale e' forzata
ma non vedo altre strade alla mia portata... ;)
Massimo 


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.Se inverto ed estrapolo n forse e' piu visibile:
n = 3k / (3-k)
da cui k=2 perche' deve essere intero !
(trattandosi di persone)
Massimo 

 Ovviamente si prega di dare spiegazione della risposta.
Io ho preso un pezzo di carta e come esempio ho usato proprio un 
quadrato 6x6 per partire per cui non mi è venuta troppo difficile.
Provo una spiegazione più ragionata:
la formazione quadrata della banda ha un lato a, quando si dispongono a 
rettangolo il lato lungo diventa (a+3) quello corto diventa (a-b) perché 
abbiamo sottratto al quadrato un'area alta b.
Abbiamo due condizioni:
a e b sono numeri interi positivi
b è minore di a
l'area totale rimane costante perché la banda si ridispone
la terza condizione ci dice che 3*(a-b) che è il fianco aggiunto è 
uguale ad a*b che è il fiano sottratto:
3*a-3*b=a*b
dato che il problema chiede il numero totale di elementi esprimiamo a in 
funzione di b:
(3-b)*a-3*b=0
a(b)=3*b/(3-b) 
manipolando l'ultimo membro:
3*b/(3-b) = -3 * b/(b-3) = -3 (b-3+3)/(b-3) = -3 ( 1 + 3/(b-3) )
cioè
a(b) = -3 + 9/(3-b)
il cui grafico è un'iperbole centrata in b=3 e traslata verso il basso.
Per trovare le soluzioni possibili dobbiamo cercare nei valori interi di 
b in cui a(b)>0 cioè per 0<b<3 per cui abbiamo solo b=1 e b=2 e questi 
valori ci danno a^2 pari a 9/4 e 36.
Quindi 36 è l'unica soluzione valida.

 (trattandosi di persone)
non è detto, se due dei suonatori fossero Berlusconi e il ministro Brunetta 
potremmo anche prendere in considerazione risultati frazionari:
Quindi dato che  il vettore 
3n/(n+3)=[3/4,6/5,3/2,12/7,15/8,2,21/10,24/11,9/4,30/13,33/14,12/5,39/16,42/17,5/2,48/19,51/20,18/7,57/22,60/23]
Oltre a n=6 e x=2 in (n-x)(n+3)=n^2   (36 persone)
si potrebbe anche pensare ad un n=15 e x=5/2  (225 persone)
con un rettangolo di  12.5 x 18 =225 (Berlusconi fa finta di essere intero e 
Brunetta è 1/2)
e un quadrato di 15x15 =225 (Berlusconi e Brunetta stanno in piedi uno 
sull'altro facendo di altezza una persona normale)

 (trattandosi di persone)
non č detto, se due dei suonatori fossero Berlusconi e il ministro Brunetta
potremmo anche prendere in considerazione risultati frazionari:
Quindi dato che  il vettore
3n/(n+3)=[3/4,6/5,3/2,12/7,15/8,2,21/10,24/11,9/4,30/13,33/14,12/5,39/16,42/17,5/2,48/19,51/20,18/7,57/22,60/23]
Oltre a n=6 e x=2 in (n-x)(n+3)=n^2   (36 persone)
si potrebbe anche pensare ad un n=15 e x=5/2  (225 persone)
con un rettangolo di  12.5 x 18 =225 (Berlusconi fa finta di essere intero e
Brunetta č 1/2)
e un quadrato di 15x15 =225 (Berlusconi sta in piedi sulle spalle di 
Brunetta nascosto sotto un cappotto sembrando cosě, i due, una persona sola 
di altezza normale)
Mi sembra una soluzione ragionevole anche in considerazione del fatto che le 
persone citate fanno effettivamente parte di una banda. 

 Massimo
Perfetto!

 Quindi 36 è l'unica soluzione valida.
Ok giusto! Comunque bastava fermarsi alla prima espressione (cioè ad
a(b)=3*b/(3-b)) per dedurre la necessità di 0<b<3

 a(b)=3*b/(3-b)) per dedurre la necessità di 0<b<3
Giusto, semplicemente osservandone il segno.