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Titolo: More dice!

Ho comperato una nuova edizione del Monopoli (Ed. lim. per enigmisti). Ad
ogni turno il giocatore lancia i due dadi contenuti nella confezione, ne fa
la somma, e avanza sul percorso di quel numero di caselle . Leggendo le
istruzioni, ho scoperto che i dadi sono speciali: la somma puo' essere 1,
3,... , 17, 18 con uguale probabilita' e i numeri sulle facce sono tutti
maggiori di zero. Inoltre la somma delle facce di un dado e' divisibile per
5. Come sono fatti questi dadi?
D'Oh.
MF


Scrivo, mentre ci penso (soluzione in diretta!):
Se i due dadi sommano a 1, ci deve essere almeno uno 0.5 per dado.
Se le probabilita' devono essere tutte uguali, meglio che tutte le facce
di un dado presentino lo stesso numero, che deve essere 0.5.
La somma delle facce di un dado deve essere divisibile per 5, bene!
allora il dado con tutti 0.5, e' un icosaedro (tot. 10).
Il secondo dado ha tutti numeri tipo x.5 che sommato allo 0.5 del primo
dado danno l'intero x+1.
Non puo' essere un icosaedro perche' i numeri  1,3,...,17,18. sono meno
di 20
Puo' essere : dodecaedro, ottaedro, cubo o tetraedro. Nei primi 3 casi
ci saranno altri numeri tra 3 e 17.
Dato che ogni numero possibile e' ottenibile in un solo modo, la
probabilita' e' la stessa per tutti.

probabilita' e' la stessa per tutti.
??
Aahh, mo ho capito! Ho sbagliato a porre il problema (e a batterlo).
Le somme ottenibili sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
16, 17, 18; tutte hanno la stessa probabilita' di uscire.
Io avevo considerato due dadi della stessa forma. Con le mie condizioni ci
sono solo due soluzioni. Almeno credo.

 sono solo due soluzioni. Almeno credo.
Uao! Uao! Accidenti! ma cosi' e' piu' difficile. Mi  togli il gusto
della diretta.
Allora in differita:
Tutti i numeri da 1 a 18 devono apparire, non esistendo un poliedro
regolare di 18 lati, si deve pensare che le n x n uscite dei due dadi
sono multipli di 18. 6*6= 36. possono essere solo cubi, e ciascun numero
e' ottenibile in 2 modi.
Due facce sommano ad 1, percio' ci sono decimali. Ignorando per il
momento i decimali, gli interi devono sommare da 0 a 17.
Lo zero deve uscire in 2 modi differenti percio' un dado ha 2 zeri e
l'altro 1.
Con alcune prove si trova l'unica disposizione:
Primo dado   = 0,0,1,1,2,2
Secondo dado = 0,3,6,9,12,15
Ora dobbiamo aggiungere i decimali facendo attenzione che il totale di
un dado sia divisibile per 5.
La somma del secondo dado e' gia' divisibile per 5, percio' la somma dei
decimali delle sei facce deve sommare a 5, deve essere 5/6.
Oppure posso far diventare divisibile la somma delle facce del primo
dado aggiungendo ad ogni numero 4/6, portando il totale a 10.
Un bel problema. Bravo.

 Un bel problema. Bravo.
Mi sono dimenticato, ma e' evidente, che nella prima soluzione agli
interi dell'altro dado va aggiunto 1/6,
e nella seconda soluzione 2/6.

sono solo due soluzioni. Almeno credo.
Nel caso B2 trovo almeno (?) infinite soluzioni. Ti do' la piu' banale, non
escludendo che se ne possano trovare di piu' eleganti.
Per motivi gravitazionali (posizione del baricentro) escludo gli
ornitorinchi e le altre forme *molto* irregolari e mi limito alle
bipiramidi. Credo che siano le uniche, oltre ai poliedri regolari, che
consentano l'equiprobabilita' dal punto di vista geometrico.
Bipiramide avente per base un poligono regolare di 45 lati. 90 facce uguali
.
  :-) * 90
Sul primo dado: 0.5 ripetuto 90 volte (somma 45)
Sul secondo dado: (0.5, 1.,5 ........17.5) ripetuto 5 volte (somma 810)
Con poligoni di 90, 135, 180 ...... lati .......
---------------------------
Per il caso B1 alcune considerazioni mi portano a puntare sul dodecaedro
---------------------------
ciao
Paolo
P.S.
Chissa' perche' ho sempre sospettato che ci sia una certa parentela tra
l'icosaedro e l'ornitorinco.
Forse l'accostamento non e' del tutto arbitrario. Nell'insieme di tutte le
cose, considero l'intersezione tra i due sottoinsiemi:
- cose che ci hanno detto che esistono
- cose che non si incontrano tutti i giorni all'angolo della strada

5. Come sono fatti questi dadi?
Considerando, come hai detto, la forma dei dadi uguale... che le somme sono
sempre intere... ho trovato che tutte le soluzioni devono soddisfare questa
condizione:
n = 30*p
dove n e' il numero delle facce e p un intero qualsiasi.
La numerazione delle facce dei dadi, sotto questa condizione, e' molto
semplice.
Una possibilita' e': (0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5) per il primo e (0.5,
6.5, 12.5) per il secondo (ripetute fino a esaurimento...).
Ho considerato anche numerazioni diverse come 0.1 su un dado e 0.9
sull'altro, ma generalizzando ho trovato che non cambia la soluzione.
Stavolta sono abbastanza sicuro per dire:
o non ho visto qualcosa di evidente (possibilita' davvero non trascurabile
;-),
o non ho capito il problema (eventualita' che comprende la prima).
Posso dire pero' con certezza che il problema finora mi ha divertito molto!
Ciao ciao
Claudio

 0,0,6,6,12,12 vs 0,1,2,3,4,5
Giuste osservazioni.
A questo punto sono buone anche le bipiramidi tetraedriche. 6 facce!
Toglimi una curiosita', che diavolo sono 'sti "ornitorinchi"?

Concordo.
Davvero!!! :-)
Ciao ciao
Claudio

(Domanda per Paolo: cosa diavolo e' un ornitorinco?)
Considerate le due domande simili, non posso esimermi dal rispondere.
Dicesi:
ORNITORINCO
un animale esotico che non c'entra per niente col problema,
(Tipo: Cordati; Sottotipo: Vertebrati; Classe: Mammiferi; Ordine: Monotremi)
ha il corpo coperto di peli, il becco simile a quello delle anatre, le zampe
con artigli,
depone le uova ma allatta i piccoli,
ha una faccia molto brutta, non divisibile per cinque.
Per saperne di piu' potete consultare un buon testo di zoologia.
Per quanto riguarda i rapporti tra l'ornitorinco e la semiotica, potete
consultare il saggio di Umberto Eco *Kant e l'ornitorico*, ed. Bompiani.
Per quanto riguarda i rapporti tra l'ornitorinco e l'icosaedro, potete
consultare il poscritto al mio messaggio *Re: More dice!* del 15/03/98.
a proposito, chi diavolo e' More?
ciao
Paolo