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Titolo: Quesito della Normale.

Visto il successo che in questo gruppo (giustamente) riscuotono
i quesiti di Calcolo delle Probabilità, ve ne propongo uno
tratto dal Compito di Ammissione al Primo Anno di Matematica,
Fisica e Scienze dell'Informazione, della Normale di Pisa (anno
accademico 1991-92).
Al testo originale del problema, aggiungo una mia precisazione,
che mi è sembrata necessaria per chiarire un punto altrimenti
ambiguo (pur correndo il rischio che, agli occhi dei molti più
astuti di me, tale precisazione assuma i caratteri di un
ridicolo pleonasma ;-)
Il testo originale:
________________________________________________________________
su un treno, inizialmente senza passeggeri e formato da "c"
carrozze, salgono "v" viaggiatori disponendosi in modo casuale e
indipendente l'uno dall'altro. Qual è la probabilità che solo 3
carrozze siano occupate da almeno un viaggiatore?
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La precisazione:
stando al testo del problema, appare chiaro che manca un dato:
il numero di posti per carrozza.
Tale grandezza influenza la probabilità richiesta, come ci si
può facilmente convincere con il seguente esempio:
si supponga v=3 e, ad esempio, c=10. Se il numero di posti per
carrozza fosse pari ad 1, allora la probabilità richiesta
varrebbe 1.
Pur lasciando invariati v e c, se il numero di posti per
carrozza fosse invece, poniamo, pari a 3, la probabilità
richiesta varrebbe ovviamente meno di uno, poiché sarebbe
possibile disporre tutti i passeggeri in un'unica carrozza, ad
esempio.
A questo punto, per rispondere al quesito, io non ho saputo fare
di meglio che supporre:
"Il numero di posti per carrozza è sempre maggiore od uguale a
v" (col che si ha che si possono sempre aggiungere viaggiatori
ad ogni carrozza, quale che sia il numero di viaggiatori in essa
già presenti).
Il problema che propongo è pertanto quello descritto con la
suddetta precisazione, il quale è così resolubile, e spero anche
di qualche interesse.
Rimane chiaro che ogni altra interpretazione e/o precisazione,
alternativa o integrativa che sia, è beneaccetta.
Ciao e buon divertimento,
Emanuele Z.

carrozze siano occupate da almeno un viaggiatore?
se indico con
p(n) la probabilita' che i viaggiatori occupino ESATTAMENTE n carrozze
q(n) la probabilita' che ocupino ALMENO n carrozze
avro'
q(1)=1
per il calcolo di p(n) faccio il seguente ragionamento:
supponiamo vero che siano occupate almeno n carrozze, e, dal momento che non
interessa l'ordine di ingresso, che i primi n viaggiatori siano tutti in
carrozze diverse.
allora ciascuno dei restanti (v-n) viaggiatori potra' scegliere tra n
carrozze favorevoli su c carrozze possibili, quindi
p(n)=q(n)*(n/c)^(v-n)
per il calcolo di q(n) considero che l'evento "occupazione di almeno n
carrozze" e' vero se sono falsi gli eventi "esattamente 1", "esattamente
2",..."esattamente (n-1)". quindi
q(n)=1-Sommatoria_p(i)_[i=1...(n-1)]
(spero che la simbologia si a comprensibile, e che il ragionamento sia
esatto)
posso allora calcolare ricorsivamente q(1), p(1), q(2), p(2), q(3), p(3)
numericamente, dati (c,v), potrei fare in un attimo con un foglio
elettronico,
analiticamente viene fuori una formula kilometrica, probabilmente se ne puo'
trovare una piu' semplice
ciao
Paolo

________________________________________________________________
Allora, dato un numero di carrozze "c" e un numero di viaggiatori "v"
(tenendo conto della precisazione da te fatta), il numero totale di
combinazioni e' dato da x=c^v. Ora, date 3 carrozze, il numero totale
di combinazioni affinche' ci sia almeno un viaggiatore in ogni
carrozza e' dato da y=3^(v-3). Il numero totale di gruppi di tre
carrozze distinte in un treno che ne ha c, e' z=c*(c-1)*(c-2)/3! . La
soluzione sara' quindi data da : z*y/x (Ammesso naturalmente che
v>=3).
Fammi sapere
ciao Domenico 

Direi che sei in un intorno della soluzione (quindi a distanza
infinitesima ;-)
Ad inficiare la correttezza della tua formula, c'è una piccola
imprecisione.
Ciao, Emanuele Z.

L'idea sembra interessante, ma purtroppo presenta qualche
difficoltà di validazione, dovuta alla complessità
dell'espressione (un modo bizantino e pilatesco per dire: "non
mi va di controllarla" ;-)
Il problema è suscettibile di una soluzione "chiusa" (ovvero non
ricorsiva (fatta eccezione per i fattoriali) e senza
sommatorie), per cui se credi prova ad ottenerla (Domenico
Vacirca ci è andato molto vicino).
Altrimenti facciamo così: posta alcuni valori numerici tabulati
con la tua p(3), ottenuti con diverse combinazioni di c e v (una
decina bastano e avanzano), e vediamo se coincidono con quelli
forniti dalla formula "esatta" (o che almeno credo sia tale ;-)
Come metodo di validazione è alquanto rozzo, ma offre un buon
grado di fiducia, e, soprattutto, è il più semplice.
Beninteso, se riesci a dimostrare l'identità della tua formula
ricorsiva con la formula chiusa, è ancora meglio, ma lascio a te
l'onore e... l'onere ;-)
Ciao, Emanuele Z.

Credo di aver individuato l'errore (spero di non farne uno piu' grosso
:) ). Credo di aver sbagliato la y; dovrebbe essere y=3^(v-3) * 3!


Credo di aver individuato l'errore (spero di non farne uno piu' grosso
:) ). Credo di aver sbagliato la y; dovrebbe essere y=3^(v-3) * 3!
Fammi sapere.
ciao Domenico

Hai ragione, stavolta penso di aver individuato l'errore :
allora ho ragionato cosi': considero il numero di combinazioni su 3
carrozze : 3^v; il numero di combinazioni su 2 carrozze e' 2^v (che
comprende anche il caso particolare di v viaggiatori su una sola delle
due carrozze); ora, le coppie di carrozze possibili su 3 sono 3;
quindi dovrebbe essere y=3^v-3*2^v, ma affinche' non vengano
conteggiati (e quindi sottratti) due volte i casi in cui v viaggiatori
stanno in una sola carrozza, devo aggiungere 3; quindi sara' :
y=3^v-3*2^v+3.
Sara' giusto? speriamo ;)
ciao, Domenico

...

Hai ragione nell'aver individuato l'imprecisione (solo) nella y,
poiché tutto il resto (x e z) č OK, ma non ci siamo ancora ;-)
L'espressione per y č un po' piů... Articolata, diciamo, ma sei
ad un passo.
Puoi fare questo ragionamento: per ottenere y, bisogna partire
da una cosa analoga ad x, perň riferita soltanto a 3 carrozze; e
poi si deve perň togliere qualcosa, e per effetto di questo
infine aggiungere qualcos'altro...
Ciao, Emanuele Z.

 Hai ragione, stavolta penso di aver individuato l'errore:

PERFETTO!
Ed anche molto chiaro nella spiegazione ;-)
Ed io, da parte mia, non posso che proporre soltanto un piccolo
abbellimento tipografico, nel riassumere la soluzione: se
adoperiamo "a" in luogo di "v" (e quindi mi correggo da solo
nella scelta dei simboli), possiamo scrivere per l'espressione
completa della probabilità richiesta:
   3ª-2ª+3   c
  --------- ( )
      cª     3
Ciao e complimenti,
Emanuele Z.

      cª     3
Ho badato alla forma, e non alla sostanza, come volevasi
dimostrare :-(
Dovevo scrivere infatti:
    3ª-3·2ª+3   c
   ----------- ( )
       cª       3
Ciao, Emanuele Z.


Ho provato a "validare" il metodo che avevo proposto e ho dovuto
"invalidarlo" , infatti ho constatato che da risultati erronei per alcuni
casi elementari facilmente verificabili (p. es. c=3, v=3)
Credo di aver commesso un errore nel ragionamento per il calcolo di p(n)
non insisto perche' credo che l'ultima soluzione postata da Domenico Vacirca
sia quella buona.
Sarebbe comunque interessante sapere se esiste una soluzione "chiusa",
oppure "ricorsiva" per il calcolo della probabilita' che siano occupate n
carrozze.
ciao
Paolo