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Titolo: palle in scatola

Ho comprato un pallone da calcio, una palla da tennis e una da golf. Il
pallone era confezionato in una scatola cubica di lato pari al diametro
del pallone. Ho provato a infilare la palla da tennis in uno dei
quattro spazi d'angolo vuoti della scatola, e ci passava a stento,
tanto che si è incastrata perfettamente "all'equatore" del pallone. A
questo punto ho provato a inserire la palla da golf in uno dei due
vuoti formatisi tra pallone, palla da tennis e scatola, ed è successa
la stessa cosa. Per evitare equivoci, se sezionassimo la scatola a
mezzaltezza vedremmo:
- un quadrato Q
- un cerchio C1 inscritto in Q
- un cerchio C2 tangente C1 e Q (su due lati)
- un cerchio C3 tangente C1, C2 e Q
Quanto è grande la palla da golf?
-- 
Ciao, Silv:o)

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Se il pallone da calcio ha raggio R, allora
quella piccola dovrebbe aver raggio R(1-1/sqrt(2)-sqrt(3-2sqrt(2))/2)
cioe' circa 0.085786 R
ciao,
g.

 quella piccola dovrebbe aver raggio R(1-1/sqrt(2)-sqrt(3-2sqrt(2))/2)
Che semplificato fa R(sqrt(2)-1)^2/2
... e la palla da tennis?
guarda cosa esce e poi vediamo se si può fare qualche considerazione
-- 
Ciao, Silv:o)

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ah, non avevo visto che si potesse semplificare
come hai fatto tu in 3/2 - sqrt(2)
quella da tennis mi sembra fosse 3-2sqrt(2), cioe' il doppio...
a te le ulteriori considerazioni... :-)
ciao,
g.

 a te le ulteriori considerazioni... :-)
Non ci provare!
Io ho trovato il problema, ho provato a risolverlo ed ho notato il
risultato tondo tondo.
Ho pensato: risultato tondo, ci sarà qualche geniale spiegazione che
rende il tutto evidente! Ho riempito un paio di fogli di scarabbocchi,
e non ho cavato un ragno dal buco :(
In compenso mi sono imbattuto in rete in tanti altri problemi
interessanti, soprattutto alcuni legati a problemi giapponesi noti come
sangaku  o "san gaku".
Questo problema poi risulta un caso particolare del problema affrontato
da poco dei cerchi che si baciano, nel quale il raggio di uno dei
cerchi è infinito. Continuando a mettere palline più piccole escono
fuori cose interessantie ... insomma, c'è da perdere intere serate a
giocare con questi accrocchi!
-- 
Ciao, Silv:o)

Il 09-11-2005, Silvio Sergio scrive:
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Nell'altro post tuo ultimo dici che viene un risultato
tondo, be' a me l'impostazione sembra immediata, ma il
risultato e` solo approssimato.
Detti A,B,C i centri di C1,2,3 rispettivamente e detti
R,r i raggi di C2,C3, unitario quello di calcio - cioe`
il cubo e` di lato 2 - si ha:
1. (1+R)/a +R-1=0
2. (1+r)cos(x+pi/4)+r-1=0
3. AB^2+AC^2-BC^2-2(r+R)cos(x)=0
[a=sqrt(2) per brevita`; x angolo tra le rette AB e AC]
Viene in pochi passaggi x=2*arctg(5-3a)/14, che non
mi sembra pieno perche' da`: 6 gradi 11' 34" e rotti.
D'altra parte oltre Carnot per la 3 non mi viene in mente
altro.
In ogni caso verrebbe r=0,229484..
Ti viene molto diverso?
-- 
Ciao, rez	||  -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1  ||

 altro.
Mi sono perso nei conti, non sono neanche sicuro di saperli fare ;)
Perň mi pare che tu abbia scelto una strada complicata.
Ci sono almeno due alternative piů semplici:
        _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _E
       ||                    |
       | |            1  .   |
       |  \           .      |
       |   \        .        |
       |    `    .           |
       | .- .'.              |
       |' R   ''-.           |
       |.     '/r \'-._      |
       |_'-_-'_\__/____'`--..|
      A    B    C            D
AE č la diagonale di un quadrato di lato unitario, quindi AE = V2 (uso V per 
indicare l'operatore radice quadrata)
Ma anche:
AE = 1 + R + RV2 = V2
che č analoga alla tua 1. e porta allo stesso risultato
R = (V2-1)^2 = 3-2V2
Ma questo non č altro che un caso particolare delle scatole di Osvaldo, con 
tre cerchi in una scatola di raggio infinito o curvatura (il suo reciproco) 
nulla. La formula che lega le curvature nei cerchi di soddy, č:
(a+b+c+d)^2 = 2(aa+bb+cc+dd)
se consideriamo d=0 diventa:
[1] (a+b+c+d)^2 = 2(aa+bb+cc)
che si puň riscrivere in una maniera equivalente ma molto piů compatta:
Va = Vb + Vc  (ometto i passaggi, ma quadrando quest'ultima, isolando il 
radicale e riquadrando si ottiene proprio la [1])
tornando ai raggi diventa
1/Vr = 1/VR + 1/V1
1/Vr = 1/(V2-1) + 1
1/Vr = V2/(V2-1)
1/r = 2/(V2-1)^2
r = (V2-1)^2/2 = R/2
Che č la relazione notevole di cui parlavo.
===
Vediamo la seconda strada, che usa solo pitagora.
Prendiamo due cerchi qualsiasi, tangenti tra loro, e tracciamo una retta 
tangente ad entrambi. la distanza tra i punti di tangenza sulla retta č per 
pitagora d^2 = (R+r)^2 - (R-r)^2 = 4rR da cui d = 2V(rR)
Se applichiamo questo risultato al nostro caso vediamo che le distanze tra i 
punti di contatto delle sfere con la scatola (BC e CD nel disegno) valgono 
2V(Rr) e 2Vr per cui
AD = AB + BC + CD = R + 2V(Rr) + 2Vr = 1
risolvendo rispetto a Vr si ottiene 2Vr = (1-R)/(1+VR) = 1-VR
combinandolo con il risultato che avevamo ottenuto per VR, si ha che 2Vr = 
2-V2 e finalmente r = (6-4V2)/4 = (3-2V2)/2 = R/2
-- 
Ciao, Silv:o)

2. (1+r)cos(pi/4-x)+r-1=0
Si` certo, e` col meno.. 'mazzate che iella aho`:-(
Ottimi i tuoi due metodi velocissimi:-)
