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Titolo: Cubo rivestito da 5 pezze uguali

Dunque, noi possiamo rivestire il cubo con:
- 1 pezza: e' il classico sviluppo a croce.
- 2 pezze: 2 trimini.
- 3 pezze: 3 domini, due facce alla volta
- 4 pezze: 4 rettangoli 1x1.5
- 5 pezze:   ???
- 6 pezze: le 6 facce quadrate.
Volete trovare la soluzione da 5?
Le pezze devono essere uguali, cioe' sovrapponibili,
ma possono essere rovesciate.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio


.
.
Questo e' un bel dilemma... Io partecipo solo in qualita' di
lettore...ma una domanda lo volevo fare per dare chiaramente
l'idea che ci ho capito poco anche della soluzione con 3 pezze.
;-)
Le altre mi tornano facili ma quella con 3 pezze no... C'e' una
anima pia che ha pieta' di un povero lettore...?
CiaO,
Massimo
PS
Cosa usi per questi enigmi...sempre il classico Paint?

 Cosa usi per questi enigmi...sempre il classico Paint?
Penso che con il tempo Paint venga rivalutato. Ho visto
che c'e' in giro una certa schiera di estimatori.  :o)
Ultimamente, pero', per comunicare con disegni sul ng stiamo
tentando di usare Fidocad, un semplice CAD che ha il vantaggio
di rappresentare i disegni vettoriali con files ascii molto concisi.
Trovi la versione 2003 qua:
http://www.enetsystems.com/~lorenzo/fidocad_win.html
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 
http://www.enetsystems.com/~lorenzo/fidocad_win.html
.
.Si grazie, ho letto abbastanza negli ultimi tempi ed avevo
scaricato la ver. 0,95 anche se a volte nn capisco alcuni
disegni..ma va bene lo stesso..
CiaO,
Massimo

 Volete trovare la soluzione da 5?
NON TI ARRABBIARE.....
Spoiler...
Fu proposto da Torbijn in CFF num 59 l'anno scorso.
Lui chiedeva pero' di utilizzare 5 esamini.
Si e' trovato che 12 esamini su 35 risolvono.
Naturalmente la prima cosa da fare e' considerare la divisione di un 
quadrato in 5 quadrati col classico metodo (piu' generale) dato da Abu'l 
Wafa al Buzjani un persiano nato nel 940 e morto nel 998.
c-----a-----b
|           |
|           |
d           c
|           |
|           |
a-----b-----d
Unendo a con a, b con b, ecc..
Cosi' facendo per le sei facce, lo sviluppo del cubo sara' formato da 30 
quadrati unitari con lo spigolo del cubo = sqrt(5).
Gli esamini che possono tassellare questo cubo sono:
[FIDOCAD ]
LI 20 5 25 5
LI 25 5 25 10
LI 25 10 30 10
LI 30 10 30 15
LI 30 15 25 15
LI 25 15 25 20
LI 25 20 20 20
LI 20 20 20 25
LI 20 25 15 25
LI 15 25 15 20
LI 15 20 15 15
LI 15 15 20 15
LI 20 15 20 10
LI 20 10 20 5
LI 45 5 50 5
LI 50 5 50 10
LI 50 10 55 10
LI 55 10 55 15
LI 55 15 50 15
LI 50 15 50 20
LI 50 20 50 25
LI 50 25 45 25
LI 45 25 45 20
LI 45 20 45 15
LI 45 15 40 15
LI 40 15 40 10
LI 40 10 45 10
LI 45 10 45 5
LI 70 5 70 10
LI 70 10 70 15
LI 70 15 70 20
LI 70 20 65 20
LI 65 20 65 25
LI 65 25 70 25
LI 70 25 75 25
LI 75 25 75 20
LI 75 20 75 15
LI 75 15 80 15
LI 80 15 80 10
LI 80 10 75 10
LI 75 10 75 5
LI 75 5 70 5
LI 90 20 85 20
LI 85 25 90 25
LI 90 10 90 15
LI 95 10 90 10
LI 95 5 95 10
LI 100 5 95 5
LI 100 15 100 5
LI 95 15 100 15
LI 95 25 95 15
LI 85 20 85 25
LI 90 25 95 25
LI 90 15 90 20
LI 115 5 120 5
LI 120 5 120 15
LI 120 15 125 15
LI 125 15 125 20
LI 125 20 120 20
LI 120 20 120 25
LI 120 25 115 25
LI 115 25 115 15
LI 115 15 110 15
LI 110 15 110 10
LI 110 10 115 10
LI 115 10 115 5
LI 135 5 135 10
LI 135 10 140 10
LI 140 10 140 25
LI 140 25 145 25
LI 145 25 145 15
LI 145 15 150 15
LI 150 15 150 10
LI 150 10 145 10
LI 145 10 145 5
LI 145 5 135 5
LI 15 35 25 35
LI 25 35 25 55
LI 25 55 20 55
LI 20 55 20 45
LI 20 45 15 45
LI 15 45 15 35
LI 40 35 50 35
LI 50 35 50 45
LI 50 45 45 45
LI 45 45 45 50
LI 45 50 35 50
LI 35 50 35 45
LI 35 45 40 45
LI 40 45 40 35
LI 60 35 60 55
LI 60 55 65 55
LI 65 55 65 50
LI 65 50 70 50
LI 70 50 70 45
LI 70 45 65 45
LI 65 45 65 40
LI 65 40 70 40
LI 70 40 70 35
LI 70 35 60 35
LI 80 35 85 35
LI 85 35 85 40
LI 85 40 95 40
LI 95 40 95 50
LI 95 50 90 50
LI 90 50 90 45
LI 90 45 85 45
LI 85 45 85 50
LI 85 50 80 50
LI 80 50 80 35
LI 105 45 110 45
LI 110 45 110 35
LI 110 35 115 35
LI 115 35 115 45
LI 115 45 120 45
LI 120 45 120 50
LI 120 50 115 50
LI 115 50 110 50
LI 110 50 110 55
LI 110 55 105 55
LI 105 55 105 50
LI 105 50 105 45
LI 140 35 130 35
LI 130 35 130 50
LI 130 50 135 50
LI 135 50 135 55
LI 135 55 140 55
LI 140 55 140 50
LI 140 50 140 45
LI 140 45 135 45
LI 135 45 135 40
LI 135 40 140 40
LI 140 40 140 35

 Fu proposto da Torbijn in CFF num 59 l'anno scorso.
Beh, se non altro... non e' del 200 a.C.  :o)
Ciao Dario, cosa faremmo senza la tua memoria storica!
Per gli altri, mi dispiace, credevo proprio fosse inedito.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Per gli altri, mi dispiace, credevo proprio fosse inedito.
Non e' mia intenzione fare sempre il guastafeste, ma cosa devo fare??
Difronte ad un problema che so gia' trattato in precedenza ho 3 possibilita':
a) Faccio finta di niente, lasciando pero' il NG in una completa ignoranza,
ed al ludibrio di eventuali visitatori esterni piu' aggiornati.
b) Ne approfitto per postare le soluzioni spacciandole per mie, guadagnando 
cosi' un immeritata deferenza da parte di chi legge.
c) Riporto la notizia, possibilmente con dovizia di particolari. Sara' un 
po' deludente per il propositore, ma e' l'unico modo, a mio avviso per 
crescere insieme, e far si che questo sia un NG con le palle.
Dite voi!

Dite voi!
Risposta:
Rebus stereoscopico.
Prima vignetta.
Orgia: due uomini e una donna ne fanno di tutti i colori.
Seconda vignetta.
La ragazza P ride in una compagnia di musoni, uno dei due uomini (N)
si rivela essere Kevin Costner, il terzo e' contrassegnato da una G.
1 7, 1 4: 1 2 3 = 5 6 8!
:-))
margravio (colla emme minuscola)

 Dite voi!
Vai cosi'... come ha detto margravio!!!!   :o))
[FIDOCAD ]
EV 20 20 580 630
EV 545 20 1105 630
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Non e' mia intenzione fare sempre il guastafeste, ma cosa devo fare??
Secondo me fai benissimo a riportare dove, come e quando è stato risolto.
Magari dacci, come fai quasi sempre, una giornata o due di vantaggio (magari
3-4 per quelli più tosti :-); se non viene risolto riporti soluzione con
notizie varie (sempre interessantissime), se siamo stati bravi ci fai sapere
le notizie aggiuntive.
Mi dispiace però che spesso i problemi proposti non siano per te una novità,
hai meno possibilità di noi di divertirti :-)
Un saluto e continua così,
Gabriele
P.S.: Per abbonarti a CFF tu come paghi? Mi hanno richiesto un bonifico
bancario ma viene a costare più di spese varie che di abbonamento annuo (36
Euro totali per un abbonamento di 15 Euro annui).

 ...
Su Polyforms di Yahoo ho avuto risposta simile da parte di
Aad van de Wetering. Ero cosi' entusiasta di aver trovato
quella soluzione che ho fatto il quiz in mezzo mondo.  :o(
Ho risposto che allora avrei cercato di dividerla in 7 parti.
Se qualcuno vuole aiutarmi...
Se qualcuno volesse ispirarsi, avevo iniziato un piccolo
lavoro qua nel 2001:
http://www.geocities.com/liviozuc/tocoverasolid.html
ma poi ho fatto altre cose.
Anche la sup. del tetraedro in 5 parti non sembra male.
Di queste, sia ben chiaro, NON ho le soluzioni.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 quella soluzione che ho fatto il quiz in mezzo mondo.  :o(
Allora per giusta conoscenza.
Il primo esempio di cubo ricoperto con 5 esamini congruenti lo ha dato 
Martin Gardner (CFF25-2). Vedi Livio! hai seguito le orme di un grande.
Questo ha stimolato Pieter Torbjin per una ricerca generale, i risultati 
sono pubblicati in 2 articoli:  CFF58 July 2002 pag.18-20 e CFF59 November 
2002 pag 14. si sono affrontati 3 problemi.
a) Il cubo wrappato (passatemi il neologismo) con 5 esamini congruenti.
b) Il cubo wrappato con 6 pentamini congruenti.
c) Il cubo wrappato con 3 decamini congruenti.
Ecco i risultati:
a) Ci sono 12 esamini (su 35) che lo fanno, numerandoli da 1 a 12 in 
ordine, come nell'allegato Fidocad del mio post precedente ecco il numero 
di soluzioni differenti generate da ciascuno di questi:
1=15, 2=5, 3=6, 4=6, 5=8, 6=5, 7=3, 8=5, 9=5, 10=5, 11=15, 12=5.
b)Solo il pentamino I non da luogo a soluzioni, per gli altri:
F=173, L=33, P=102, N=54, T=8, U=14, V=1, W=9, X=2, Y=49, Z=13.
c)Questo e' un problema ancora aperto. Ci sono 4460 decamini senza fori 
interni. E' certo che alcune soluzioni esistono. 3 di queste si possono 
ricavare direttamente dalle soluzioni precedenti, in una delle 2 soluzioni 
con il pentamino X, ad es. i 6 pezzi possono essere uniti in 3 coppie 
uguali. il decamino risultante in questo caso e'
       _
     _| |_
    |_   _|
   _| |_|
  |_   _|
    |_|

 Se qualcuno vuole aiutarmi...
Una soluzione che impieghi polimini?  La vedo dura.
Una divisione obliqua dello sviluppo del cubo, mi sembra non si possa fare. 
Se da un reticolo quadrato taglio un quadrato piu' grande inclinato, con i 
vertici su coordinate intere, questo racchidera' un numero di quadretti 
unitari che deve essere somma di 2 numeri quadrati a^2+b^2.
I residui dei quadrati naturali 1,4,9,16,25,36.... modulo 7 sono:
1,4,2,2,4,1,0,.... poi la serie si ripete, non c'e' verso di sommarne due 
==0 Mod.7
Ricorrendo a tagli ortogonali dovresti utilizzare sette 42mini.
Sě.. la vedo proprio dura.
dario

 |_|_|_|_|_|_|_|
Allora, quei polimini che hanno elementi connessi anche per uno spigolo
sono detti Pseudo-Polyominoes es:
  _ _ _
|_|_|_|_
       |_|
I pezzi che hanno parti completamente sconnesse, come quella che presenti 
qui, sono detti Quasi-Polyominoes.
Entrambi i termini sono stati introdotti da Golomb.
Ad es. con i 22 pseudo-tetramini e' possibile formare 2 rettangoli 4x11.

 dei termini.
Ecco un altro italiano che da la colpa ai traduttori in tedesco ;-)
Vediamo di mantenerci politically correct ;-). Please.
In effetti ho avuto difficoltà a spiegare il concetto di "flippable".
Bellissima davvero la soluzione di werner salomon proprio perchè valida per
ogni n e anche perchè rinuncia alla "rovesciabilità".
Oltretutto si vede come in Germania hanno rinunciato a ragionare per
pentamini, esamini e decamini. Segno di un differente approccio a questo
tipo di problemi.
x Livio
Se hai qualcos'altro, mi interessa davvero vedere come li affrontano.
Ciao
Maurizio

 Se hai qualcos'altro, mi interessa davvero vedere come li affrontano.
Beh, visto che "Ottaedro rivestito da 7 pezze" e' ancora vergine,
si potrebbe ritentare il gemellaggio. Ho una sol. in cassaforte.
Ciao e grazie. E' stato veramente interessante.  ((^__^))'
Livio

 tipo di problemi.
Perche' ?
Il tedesco ha trovato proprio quel 42-mino di cui si  parlava.
Invece del taglio obliquo sulle teste, basta seguire il reticolo.
ciao
[FIDOCAD ]
LI 116 20 116 48
LI 116 48 88 48
LI 88 48 88 76
LI 88 76 60 76
LI 60 104 36 104
LI 60 76 60 104
LI 116 20 120 20
LI 120 20 120 52
LI 120 52 92 52
LI 92 52 92 80
LI 92 80 64 80
LI 64 80 64 108
LI 64 108 36 108
LI 36 108 36 104
LI 120 24 120 52
LI 120 52 92 52
LI 92 52 92 80
LI 92 80 64 80
LI 64 108 40 108
LI 64 80 64 108
LI 120 24 124 24
LI 124 24 124 56
LI 124 56 96 56
LI 96 56 96 84
LI 96 84 68 84
LI 68 84 68 112
LI 68 112 40 112
LI 40 112 40 108
LI 124 28 124 56
LI 124 56 96 56
LI 96 56 96 84
LI 96 84 68 84
LI 68 112 44 112
LI 68 84 68 112
LI 124 28 128 28
LI 128 28 128 60
LI 128 60 100 60
LI 100 60 100 88
LI 100 88 72 88
LI 72 88 72 116
LI 72 116 44 116
LI 44 116 44 112
LI 128 32 128 60
LI 128 60 100 60
LI 100 60 100 88
LI 100 88 72 88
LI 72 116 48 116
LI 72 88 72 116
LI 128 32 132 32
LI 132 32 132 64
LI 132 64 104 64
LI 104 64 104 92
LI 104 92 76 92
LI 76 92 76 120
LI 76 120 48 120
LI 48 120 48 116
LI 132 36 132 64
LI 132 64 104 64
LI 104 64 104 92
LI 104 92 76 92
LI 76 120 52 120
LI 76 92 76 120
LI 132 36 136 36
LI 136 36 136 68
LI 136 68 108 68
LI 108 68 108 96
LI 108 96 80 96
LI 80 96 80 124
LI 80 124 52 124
LI 52 124 52 120
LI 136 40 136 68
LI 136 68 108 68
LI 108 68 108 96
LI 108 96 80 96
LI 80 124 56 124
LI 80 96 80 124
LI 136 40 140 40
LI 140 40 140 72
LI 140 72 112 72
LI 112 72 112 100
LI 112 100 84 100
LI 84 100 84 128
LI 84 128 56 128
LI 56 128 56 124
LI 140 44 140 72
LI 140 72 112 72
LI 112 72 112 100
LI 112 100 84 100
LI 84 128 60 128
LI 84 100 84 128
LI 140 44 144 44
LI 144 44 144 76
LI 144 76 116 76
LI 116 76 116 104
LI 116 104 88 104
LI 88 104 88 132
LI 88 132 60 132
LI 60 132 60 128

 si potrebbe ritentare il gemellaggio. 
A questo punto la generalizzazione sembra diventata semplice.
[FIDOCAD ]
LI 30 40 50 10
LI 50 10 70 40
LI 70 40 30 40
LI 50 10 90 10
LI 90 10 70 40
LI 70 40 110 40
LI 110 40 90 10
LI 30 40 50 70
LI 50 70 70 40
LI 90 10 130 10
LI 130 10 110 40
LI 110 40 150 40
LI 150 40 130 10
LI 130 10 170 10
LI 170 10 150 40
LI 130 10 150 -20
LI 150 -20 170 10
LI 93 14 127 14
LI 96 18 125 18
LI 98 22 122 22
LI 101 26 120 26
LI 104 30 117 30
LI 107 35 113 35
LI 127 14 132 14
LI 132 14 153 -16
LI 125 18 135 18
LI 135 18 156 -11
LI 122 22 138 22
LI 138 22 159 -7
LI 120 26 140 26
LI 140 26 141 26
LI 141 26 162 -3
LI 117 30 143 30
LI 143 30 164 1
LI 113 35 147 35
LI 147 35 167 5
LI 93 14 53 14
LI 53 14 33 43
LI 96 18 56 18
LI 56 18 35 48
LI 98 22 59 22
LI 59 22 38 51
LI 101 26 60 26
LI 104 30 64 30
LI 107 35 66 35
LI 66 35 46 64
LI 64 30 43 60
LI 61 26 40 56

 ...
E verooo!  Non ci avevo pensato.
E io che mi ero scervellato per farlo con un octiamond.
(Pero' era carino: chissa' con quanti octiamond si potra' fare?
dejavu?  :o)) ).
Ma allora ci sara' anche una soluzione simile per la superficie
di un icosaedro divisa in 19 parti...
Ebbene si', c'e'!    :oP
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 A questo punto la generalizzazione sembra diventata semplice.
Intanto mi e' venuta un'altra soluzione per il cubo in N
parti congruenti: Tracciando una diagonale per ogni faccia,
e' possibile ricavare uno sviluppo costituito da una striscia
di 12 triangoli rettangoli isosceli facilmente suddivisibile.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio
[FIDOCAD ]
LI 60 135 85 110
LI 85 110 110 135
LI 110 135 135 110
LI 135 110 160 135
LI 160 135 185 110
LI 185 110 210 135
LI 185 135 160 160
LI 160 160 135 135
LI 135 135 110 160
LI 110 160 85 135
LI 85 135 60 160
LI 60 160 60 135
LI 60 135 210 135
LI 110 135 110 160
LI 135 110 135 135
LI 160 135 160 160
LI 185 135 185 110
LI 85 110 85 135
LI 210 135 210 160
LI 210 160 185 135
LI 60 140 85 115
LI 85 115 110 140
LI 110 140 135 115
LI 135 115 160 140
LI 160 140 185 115
LI 185 115 210 140
LI 120 90 145 90
LI 145 90 145 65
LI 145 65 120 65
LI 120 65 135 50
LI 135 50 160 50
LI 160 50 145 65
LI 145 90 160 75
LI 160 75 160 50
LI 120 65 120 90
LI 120 90 145 65
LI 120 65 160 50
LI 160 50 145 90