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Titolo: Probabilita' lotto e memoria dei numeri

Nei precedenti thread parlando della probabilita' di uscita dei numeri nel
gioco del lotto si e' evidenziato che essi NON HANNO MEMORIA, pertanto
qualsiasi discorso relativo ai ritardi e alle probabilita' non ha senso.
Ed ecco il mio dubbio:
Come e' possibile calcolare (come nel precedente thread e' stato fatto) la
probabilita' che un numero possa uscire per 10 volte consecutive, se i
numeri non hanno memoria???
Sicuramente avro' le idee un po' *confuse*..... se qualche anima buona puo'
darmi qualche lume a riguardo, ne sarei molto contento.
--
Ciao e grazie a tutti
Sandro


beh,
il fatto è questo. a ogni estrazione ciascun numero ha la medesima 
probabilità di essere estratto.
in termini di processi stocastici:
X_n indica l'estratto alla n-sima estrazione. X_n è una variabile 
casuale che definisce un processo stocastico.
P(X_n = a_n | X_(n-1) = a_(n-1)) è la probabilità che esca a_n dopo che 
è uscito a_(n-1). è una probabilità condizionata.
P(X_n = a_n, X_(n-1) = a_(n-1)) è la probabilita che escano a_(n-1) e 
a_n in due estrazioni successive.
le due probabilità sono differenti e sono legate dalla formula di Bayes:
P(A|B)P(B) = P(A,B), dove A,B indica l'intersezione tra l'evento A e 
l'evento B.
Studiare la memoria dei numeri è come studiare il primo caso.
studiare una sequenza di uscite prestabilita è come studiare il secondo 
caso.
In pratica si ha: P(X_n=a_n | X_(n-1)=a_(n-1))*P(X_(n-1)=a_(n-1))= 
P(X_n=a_n, X_(n-1)=a_(n-1)).
Ma per quanto abbiamo detto, le estrazioni dei numeri sono indipendenti. 
Quindi P(X_n=a_n, X_(n-1)=a_(n-1)) = P(X_n=a_n)* P(X_(n-1)=a_(n-1)).
Con un passaggio algebrico, deduciamo che
P(X_n=a_n | X_(n-1)=a_(n-1)) = P(X_n=a_n)
quindi il condizionamento non serve a nulla.
spero di aver chiarito la differenza tra i due aspetti (prob. congiunta, 
prob. condizionata).
pazqo

numeri non hanno memoria???
Se la tua domanda e' "qual'e' la probabilita' che, prima o poi, lo stesso
numero esca 10 volte di seguito?" la risposta, usando un modello del
lotto in cui le estrazioni sono indipendenti, e' chiaramente "1".
La probabilita' che un dato numero esca 10 volte di seguito dalla
prossima estrazione in poi in (a? da?) una data ruota e' chiaramente
(1/18)^10, se le estrazioni sono indipendenti e tutte le cinquine
hanno la stessa probabilita'.
O magari vuoi conoscere la probabilita' che nelle prossime 10
estrazioni lo stesso numero appare 10 volte nella stessa ruota, in una
qualsiasi ruota della lotteria italiana?
In questo caso.. hmm.
Supponiamo che le ruote siano indipendenti. Quindi, se conosciamo la
probabilita' p per una sola ruota, la probabilita' per tutte e dieci
e' 1-(1-p)^10.
Per trovare p, consideriamo una sola ruota:
Alla prima estrazione va bene qualsiasi cosa.
Poi nelle 9 estrazioni successive almeno uno dei 5 numeri usciti alla
prima estrazione deve uscire ogni volta. (Sempre lo stesso, non uno
qualsiasi, ovviamente).
Calcolare p non mi sembra semplicissimo. E' facile contare le stesse
cose due volte.
Comunque, come prima approssimazione ignoriamo il problema di avere 2
o piu' numeri 10 volte di seguito: senz'altro il contributo maggiore
viene dal caso in cui esce solamente un numero 10 volte.
Quindi, la probabilita' che il primo estratto appare anche nelle 9
estrazioni successive e' (89C4/90C5)^9, e la probabilita' che uno
qualsiasi dei 5 lo faccia e' circa 5 volte maggiore, cioe'
0.00000985
Allora per tutta la lotteria italiana abbiamo circa 0.00009846
Potrei aver toppato clamorosamente, pero'.
Le correzioni per i casi con 2 (o piu') numeri che escono insieme 10
volte di seguito saranno piccole. Forse quando mandero' questo
messaggi qualcuno avra' fatto il calcolo esatto.
Ma magari la tua domanda riguarda non esattamente le 10 estrazioni
successive ma un qualche arco di tempo. In questo caso la cosa diventa
molto complicata e un calcolo esatto mi pare molto difficile.
Un'approssimazione sarebbe possibile con la tecnica spiegata
su 
http://www.mistral.co.uk/ghira/lotto/samaritani/samaritani.html
scambiando i ruoli di 1/18 e 17/18.
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
What's purple and commutes? An abelian grape.

 prob. condizionata).
Non intendo entrare nel merito del contenuto.
Ma comunicare significa cercare di farsi capire, utilizzando le parole,
i modi ed i mezzi più semplici possibili.
Perchè chi legge (e qui siamo in un NG che non è di matematica) potrebbe
non essere fresco di scuola e non conoscere o ricordare formule o strani
simboli matematici (mi scuso se in questo caso non è così, ma potrebbe
valere per altri).
E allora, visto che l'intelligenza e l'acutezza mentale prescindono dalla 
simbologia, è buona norma sforzarsi di chiarire e spiegarsi possibilmente
con ragionamenti ed esempi. Altrimenti, potrebbe solo aumentare la
confusione delle idee.
Ovviamente, non voglio riprendere nessuno, quanto detto è un discorso
di carattere generale ed anche una riflessione che rivolgo soprattutto
a me stesso.
Nino

Sandro, ti faccio io una domanda...
A me ha chiarito subito il concetto...
Ebbene, secondo te quale delle seguenti cose è più facile che si verifichi 
al termine di 10 estrazioni?
1) che esca lo stesso numero in tutte e dieci le estrazioni
2) che i numeri estratti, nell'ordine, formino la sequenza 1, 2, 3, 4, 5, 6, 
7, 8, 9, 10
3) che i numeri estratti formino una sequenza casuale di numeri scelta prima 
di iniziare le estrazioni
mini-spoilerino
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Risposta: tutte o nessuna, nel senso che tutti queste cosse si verificano 
con la stessa probabilità...
Semplifichiamo le regole del lotto (senza tuttavia perdere la validità 
generale del concetto) supponendo che ad ogni estrazione si estragga un solo 
numero...
Se ci pensi, ad ogni estrazione il sacchetto contiene sempre 90 numeri 
perchè i numeri estratti vengono reintrodotti prima della successiva 
estrazione...
Ad ogni estrazione - in ogni caso - ci occorre che esca esattamente un certo 
numero tra i 90 a disposizione.
Abbiamo quindi 1 caso favorevole ed 89 sfavorevoli. Si può dire che, ad ogni 
estrazione, la probabilità che esca il numero che a noi interessa è pari ad 
1/90. (Le estrazioni in tutto sono 10 dunque, se volessimo calcolare la 
probabilità complessiva che esca una qualsiasi delle 3 sequenze indicate, 
dovremmo contemplare tutte quelle probabilità di 1/90 assieme, ovvero: 1/90 
* 1/90 * 1/90 * ... * 1/90 dieci volte = 1/(90^10) )
Se per assurdo le estrazioni avessero memoria, le sequenze più "ordinate" 
come la (1) o la (2) si dovrebbero ottenere più difficilmente delle sequenze 
"casuali" come la (3). Ma così non è (in tutti i casi, calcolando le 
probabilità, si ottiene sempre lo stesso risultato), dunque il lotto, i 
numeri, il calcolo probabilistico, ecc. non ha ovviamente memoria...
Spero di esserti stato d'aiuto,
   Stefano
NB che il risultato è lo stesso in tutti e tre i casi contemplati, 
nonostante 

 a me stesso.
Mi scuso. a mia discolpa solo 2 fatti:
1) Sto studiando probabilità e processi stocastici... quindi son stato 
colto dalla sindrome "se io lo sto studiando allora qualcuno più 
efferato di me c'è sempre..."
2) In effetti pensavo di essere su it.scienza.matematica. In questi 
giorni, con quel dannato 53, l'argomento è trattato in ambedue i 
newsgroup...
scusate ancora!
penso che altri esempi più semplici non servano, visto che ci han già 
pensato!
pazqo

 efferato di me c'è sempre..."
   ^^^^^^^^
o_O
Magari c'è un serial killer appassionato di calcolo delle probabilità 
che legge IHE...
Scusami, non ho saputo resistere :)
Ciao,
Bl@de
-- 
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 prima di iniziare le estrazioni
Mi pare che per il caso 1) dovresti precisare: "... lo stesso numero 
*prefissato* in tutte e dieci le estrazioni"
se ci accontentiamo di dieci numeri uguali, quali che siano, la prob. 
diventa 1/90^9
ciao
paolo 

 diventa 1/90^9
Hai ragione! Mi sono espresso male!
Grazie per la doverosa correzione!
   Ste 

 numeri non hanno memoria???
Sono già state date alcune risposte molto precise alla tua domanda, ma
voglio provare a suggerirti un approccio intuitivo che a me aiuta a
chiarire molti meccanismi.
In realtà qualsiasi combinazione di numeri ha la stessa identica
probabilità di verificarsi. Il fatto è che solo ad alcune di esse diamo un
particolare significato.
Voglio dire: la probabilità che da 10 estrazioni esca la sequenza 31 31 31
31 31 31 31 31 31 31 è la stessa che esca 12 53 23 68 3 67 2 89 53 24, solo
che la prima finirebbe sulla prima pagina dei giornali, la seconda invece
non susciterebbe particolare attenzione.
L'apparente paradosso tra il fatto che "i numeri non hanno memoria" e che
certe combinazioni non si verificano mai (o anche che il 53 prima o poi
uscirà) si risolve pensando che le combinazioni notevoli (tipo la prima)
sono enormemente più rare di quelle non notevoli.
Il mio approccio in sintesi è questo (e in fondo è il metodo con cui si può
calcolare precisamente questa probabilità):
immagina di avere in un bussolotto non i 90 singoli numeri, ma bigliettini
su cui sono riportate tutte le possibili sequenze di 10 numeri. Tra quella
montagna di bigliettini la probabilità di estrarne uno riportante una
combinazione notevole è enormemente più bassa di estrarne una non notevole.
Anche se poi la probabilità di afferrare proprio quello contenente la prima
combinazione è *esattamente* la stessa di estrarre quello riportante la
seconda.
Nella speranza di non avere fatto troppa confusione...
Ciao,
XRay
-- 
fatti non foste a viver come bruti,
ma per seguir virtute e canoscenza
Inferno - Canto XXVI

 Nella speranza di non avere fatto troppa confusione...
Mi hai chiarito tante cose...
Grazie a te ed a tutti coloro che mi hanno risposto!!!!!
PS: In questo NG ci sono individui molto competenti, che capiscono se una
persona *non* ha molte conoscenze in materia e cercano comunque di far
capire alcuni concetti in modo *chiaro* e *semplice* senza utilizzare
fooormuuulooni.
Ciaooooooooooo

 NB che il risultato è lo stesso in tutti e tre i casi contemplati
*Verissimo*, anche se io continuo a puntare sulle sequenze *casuali* ....
:-D
Che ne pensi... ;-) ?????
Ciao e grazie di cuore
Sandro


Sul fatto di spendere pochi soldi, benissimo.
Però, non vorrei ci siano equivoci, chiarisco che questa forma di
"ritardismo" appartiene ad un altro ceppo, ha una virulenza ed un
quadro clinico che non hanno nulla a che vedere con quella di cui,
secondo alcuni, possa io stesso essere affetto.
Nino
 

 Che ne pensi... ;-) ?????
Ciao!
E' quello che fanno in molti... io semplicemente non gioco più al lotto da 
quando ho scoperto che probabilità di vincere...
Se non sbaglio, i sei numeri del superenalotto sono tutti diversi da loro 
(in caso di doppione si passa al numero secondo estratto, dico bene?). 
Significa che è come se si estraessero sei numeri diversi dallo stesso 
sacchetto senza reinserirli ogni volta. La probabilità di indovinare la 
sequenza giusta è in questo caso:
1/90 * 1/89 * 1/88 * 1/87 * 1/86 * 1/85
o, in modo più elegante usando il fattoriale:
84!/90!
Quel che si ottiene è un numero molto piccolo, ed infatti quanto più una 
probabilità è vicina a zero tanto più è difficile che accada...
Come abbiamo detto, le estrazioni del lotto non hanno memoria, quindi nulla 
vieta che la stessa sequenza possa uscire due volte di seguito. Questo per 
dire che le considerazioni che seguono hanno solo carattere speculativo e 
teorico, in pratica le cose sono molto più complesse.
Supponiamo invece che una certa sequenza non possa ripertersi se prima non 
sono state estratte tutte le altre sequenze, considerando che si hanno 2 
estrazioni a settimana (dico bene?), ebbene nel caso peggiore vinceremmo 
dopo 4150764200 anni (caso medio: 
2075382100
 anni circa). Se anche potessimo 
aspettare tutto questo tempo, non saremmo certi di vincere una somma di 
denaro tale nemmeno da farci andare in pari perchè magari il nostro vicino 
di casa avendo avuto più fortuna di noi ha vinto all'estrazione precedente 
alla nostra resettando il jackpot.
Tutto questo per dimostrare (in modo del tutto empirico, non sono in grado 
di darne una dimostrazione rigorosa) che il gioco non è equo. Io, quindi, 
dovendo scegliere in pratica tra perdere poco ad ogni estrazione (cioè fare 
la giocata) e vincere quasi mai (quanto non si sa), preferisco non 
giocare...
Ciao,
  Ste 


Non vorrei sbagliare, ma la tua formula riguarda la probabilità di uscita di
una sestina ordinata (ad es. 1-2-3-4-5-6). Nel Superenalotto l'ordine in cui
i 6 numeri vengono estratti non è rilevante (se ho giocato la combinazione
di cui sopra vinco anche se viene estratta 2-3-5-6-1-4). Bisogna quindi
moltiplicare per il numero di disposizioni possibili di 6 elementi, che sono
6!: la probabilità che una qualunque sestina venga estratta è
84!*6! / 90!
Se ho detto qualche corbelleria perdonatemi, è il sonno...
Ciao

giocare...
VIGLIACCO ! E dalli, un po' di soldini allo Stato, no ? :-))))
Nessuno di questi giochi e' equo. Se no, il banco che li ha introdotti
a fare ? :-P
Robby
-
-------------------------------------------------------------
Per risposte private, togliere TUTTE le "x" dal mio address !
For private replies, remove ALL the "x" from my address !
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 a fare ? :-P
E dai! ;-)
Allora mi devo anche mettere a fumare anche se fa malissimo perchè far 
arrivare nelle casse dello Stato un po' di soldini???
Che vuoi farci, non mi sento molto patriottico! ;-)
Ciao,
       Ste 

 84!*6! / 90!
Ciao!
Probabilmente hai ragione... le probabilità di vittoria sono leggermente 
maggiori di quanto stimato da me...
Il mio voleva essere solo un'indicazione a grandi linee...
Ad ogni modo, in questo caso sempre nelle ipotesi che avevo riportato nel 
mio post si vince "solamente" dopo 691794033,333 anni invece che 4150764200 
anni (caso medio: 345897016,667 anni invece che 
2075382100
).
Nonostante i numeri siano molto diversi, all'atto pratico non cambia 
nulla...
Ciao,
   Ste 


Mi sa che ti capisco... ;)
