Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Tagliare una torta

di area identica.
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Ciao Crios, per iniziare: fare due fette A e B a forma di quadrato con
un angolo arrotondato e tagliare l'istmo lungo la diagonale.
+--------------------+
|          |         |
|          |         |
|    A     |         |
|         / _________|
|________/\/         |
|         /          |
|         |     B    |
|         |          |
|         |          |
+--------------------+
La scelta ottimale del lato di A e B e del raggio dello smusso da' un
lato di 0.
5007645975
 e un raggio di 0.05971256335 per un taglio di
lunghezza complessiva di 1.999105585. Ciao

Trovare un insieme di tagli di lunghezza complessivamente *minima*,
tale da dividere una torta quadrata di lato unitario in 4 pezzi
di area identica.
Naturalmente, a chi indovina gli regalo la torta...

 ha scritto nel messaggio
news:39634d58...@news.libero.it...
: >Trovare un insieme di tagli di lunghezza complessivamente *minima*,
: >tale da dividere una torta quadrata di lato unitario in 4 pezzi
: >di area identica.
: .


 wrote in message
news:lAU85.32753$2s6.4...@news.infostrada.it...


 ha scritto nel messaggio
news:kjW85.32958$2s6.4...@news.infostrada.it...
: Il problema e' nel computere(server?) di Crios. Infatti i 3 messaggi

: >
:
:
:

 Naturalmente, a chi indovina gli regalo la torta...
Io proporrei due tagli a iperbole, congiunti da un pezzo di diagonale.
Non riesco a fare disegni, comunque si riesce a stare sotto la lunghezza
due, per diversi parametri. Per ora ad esempio potrei offrire un taglio
di lunghezza 1.99808, inferiore a quello proposto da El Filibustero.
Spiegare per bene le cose e' quasi piu' arduo che fare i calcoli. Appena
trovo un minimo assoluto lo scrivo con la procedura completa. Cmq e'
stata una faticaccia.
Ciao
Marco

 di lunghezza 1.99808, inferiore a quello proposto da El Filibustero.
Ma siete sicuri che a far tagli curvi ci si guadagni?
 _________________
|        '        |
|                 |
|                 |
|.     *A         |
|                .|
|         B*      |
|                 |
|                 |
|_________._______|
A e B sono disposti simmetricamente sulla diagonale e sono congiunti ai lati
da segmenti rettilinei. Se non ho sbagliato i calcoli facendo A e B distanti
0.061047854 si ottiene un taglio lungo 1.98108902
Ricontrollero`
Silv:o)

 Ma siete sicuri che a far tagli curvi ci si guadagni?
No in effetti. Pensavo a una geodetica di qualche tipo, e allora ho puntato con
le curve.
Confermo il tuo risultato per la lunghezza del taglio, anche se la distanza tra
i punti da te chiamati A e B mi viene maggiore, 0.0863 circa.
Per distanza intendevi in realta' la proiezione sul lato? se e' cosi' il mio
risultato coincide col tuo.
Mi piacerebbe applicare un po' di calcolo variazionale al problema, ma non sono
in grado di affrontare la cosa.
Ciao
Marco

 in grado di affrontare la cosa.
...figurati io. Ne ho sentito parlare un gran bene, pero` :^)
Silv:o)

        
Infatti e` colpa mia, la mia macchina aveva il timer settato
x sbaglio in anticipo di circa 24 ore.
Scusatemi.

 Ma siete sicuri che a far tagli curvi ci si guadagni?
Si, si guadagna.
Per non farvi fare calcoli micidiali vi avverto che il
problema cede ad alcune considerazioni...
!
!
!
!
!
!
!
!
!
(non e` la soluzione)
!
!
!
!
!
!
!
!
... di statica dei fluidi.

 Silv:o)
Non ho controllato i tuoi conti, ma le esperienze di Steiner, il punto
di Fermat, e le lamine di sapone indicherebbero per il minimo un
incontro a 120 gradi dei tagli nei punti A e B.
In questo caso il triangolo CAD ha gli angoli di 45,60,75 gradi e l'area
di 0.125.
Risulta AD=0.4597
CA = 0.627961..
AB = sqrt(2)-2*CA= 0.158291..
Totale tagli = 4*AD+AB = 1.99709..
:) dario

Si, si guadagna.
Ciao Crios, per quella categoria topologica di tagli che abbiamo
proposto io, Marco Beleggia e Silvio Sergio, l'ottimo si ha risolvendo
il problema variazionale della minimizzazione di
sqrt(2)-f(0)+2[integrale{dt=0..pi/4} sqrt(f(t)^2+f'(t)^2]
con il vincolo 
integrale{dt=0..pi/4} f(t)^2 = 1/4
dove la funzione incognita del taglio curvilineo f(t) e' il raggio (in
coordinate polari con polo in un vertice del quadrato) in funzione
dell'angolo t formato con la diagonale del quadrato.
Il minimo che ho trovato con una soluzione approssimata e' ~ 1.9758
f(0)      = 0.6523
f(pi/24)  = 0.6088
f(2pi/24) = 0.5758
f(3pi/24) = 0.5515
f(4pi/24) = 0.5349
f(5pi/24) = 0.5252
f(6pi/24) = 0.5220
Ciao

 integrale{dt=0..pi/4} f(t)^2 = 1/4
rettificazione e calcolo delle aree in coordinate polari ... può addirittura
essere che le abbia studiate, tempo fa :)
Ho provato a plottare la tua soluzione, e le curvature sono appena
accennate, mentre per t=0 c'e` un punto angoloso. In definitiva, tra le
approssimazioni proposte - quadrato smussato, rami di iperbole, lati
rettilinei non ortogonali - l'ultima sembra la meno peggio.
... e stiamo dando per scontato che l'ottimo debba stare in questa classe
(cos'altro, se no?).
Con che tecniche/software hai trovato la soluzione approssimata?
Ciao, Silv:o)

problema cede ad alcune considerazioni...
Ciao Crios, la soluzione si puo' esprimere come funzione elementare?
Il taglio minimo e' di molto inferiore a 1.9757? Ciao

Con che tecniche/software hai trovato la soluzione approssimata?
Matlab, funzione fmins (algoritmo del simplesso di Nelder-Mead). Ciao

problema cede ad alcune considerazioni...
Probabilmente l'equazione differenziale di Eulero ha degli archi di
circonferenza come soluzione. Considero solo la classe di archi che,
partendo da un punto P della diagonale, incontrano ortogonalmente il
lato della torta (sembrano i piu' corti rispetto agli altri). NB: P e'
angoloso, in generale. Sia x la distanza di P dal lato; la distanza di
P dal centro del quadrato risulta sqrt(2)(1/2-x). La condizione
dell'area della fetta = 1/4 impone una relazione trascendente tra x e
raggio r di curvatura dell' arco:
r^2 arcsin(x/r) - x * sqrt(r^2-x^2) + x^2 = 1/4
la lunghezza complessiva del taglio e'
4 r arcsin(x/r) + sqrt(2)(1-2x).
Per tentativi ho trovato che per r=sqrt(3) e x=0.4600947472 la
lunghezza del taglio e' 1.975609257. Ciao

 Il taglio minimo e' di molto inferiore a 1.9757?
No. E' appena inferiore a questo valore.
Posso anche confermare che l'approccio e il valore dato da Dario Uri
(per la sottoclasse di funzioni che ha preso in considerazione)
sono entrambi corretti.
Ciao.

 post. Ciao
Ottimo lavoro. Un mix di raffinate tecniche matematiche (El Filibustero),
intuizione (Paolo), esperienza e conoscenza (Dario).
Magari troveremo qualcosa di meglio, non lo so, aspettiamo anche Crios e le
sue considerazioni idrostatiche. Intanto mi pare siamo arrivati ad un bel
risultato.
Paolo, ovviamente lo inserisci nel sito!
Ciao, Silv:o)

 ha scritto nel messaggio
news:39645E48...@cclinf.polito.it...
: Trovare un insieme di tagli di lunghezza complessivamente *minima*,


 lunghezza del taglio e' 1.975609257. Ciao
con un mix di tutte le considerazioni fatte nei messaggi precedenti, ho
trovato
1.975593 (salvo errori)con questo ragionamento :
l'arco cercato PV deve incidere a 90 gradi sul lato, e a 60 gradi sulla
diagonale, (due archi si incontrano in P a 120 gradi)
U___________ A_____H_V________B
.           |      |  '       |
.           |      |          |
.           |      |          |
.           |.     *P         |
.           |                .|
.           |         Q*      |
.           |                 |
.           |                 |
.           |_________._______|
allora, detta x la distanza di P dalla mediana (distanza PH=1/2-x)
considerato un valore arbitrario di x, costruisco il triangolo PHU, con
angolo in U di 15 gradi
posso calcolare agevolmente, in funzione di x, tuttu gli elementi del
disegno, tra cui in particolare, l'area del settore circolare UPV e del
triangolo UAP, e quindi la differenza, pari all'area APV
per tentativi cerco il valore di X per cui tale differenza vale 0.125
ho trovato:
x=0.0389587
arco PV=0.466350264
lunghezza totale di taglio=1.975592901
ciao
paolo

angolo in U di 15 gradi
OK! Partendo dal presupposto che l'arco abbia ampiezza angolare di 15
gradi, non e' necessario andare per tentativi. La condizione dell'area
(x ed r sono riferiti al mio post)
r^2 arcsin(x/r) - x * sqrt(r^2-x^2) + x^2 = 1/4
da' risultati non approssimati: 
r = sqrt(3/(pi-3sqrt(3)+3))
x = r(sqrt(6)-sqrt(2))/4 = sqrt(3/(pi-3sqrt(3)+3))*(sqrt(6)-sqrt(2))/4
che sostituiti nella formula della lunghezza danno il valore esatto 
sqrt(3)/3 sqrt(pi-3sqrt(3)+3) + sqrt(2) =~ 1.975592884
Quella di esprimere x ed r in funzione di alfa (ampiezza dell'arco)
anziche' viceversa (come avevo fatto io) e' un'ottima idea che puo'
condurre ad una dimostrazione formale, senza andare per tentativi.
Infatti la lunghezza del taglio puo' venire espressa, tramite il
vincolo sull'area, come funzione di solo alfa:
lunghezza =
sqrt(2)*((alfa*sqrt(2)-sin(alfa))/sqrt(alfa-sin(2alfa)/2+sin(alfa)^2)+1)
La derivata rispetto ad alfa uguagliata a 0 da' un'equazione
trascendente, che pero' almeno si puo' verificare risolta da
alfa=pi/12. Cio' dimostra formalmente che


 Paolo, ovviamente lo inserisci nel sito!
Fatto!
ricordo che l'URL dell'Archivio ihe e':
http://web.tiscalinet.it/paololicheri
ciao
paolo

Ooops... l`ho rifatto ancora...
sono tornato indietro nel tempo di 10 giorni...
spero che non crei problemi ai newsreaders.
Crios.

 intuizione (Paolo), esperienza e conoscenza (Dario).
Grazie per le lodi, ma...
non vorra' dire che la torta va divisa in tre?
:-)
Tutto da rifare
chi inizia?
ciao
paolo

 wrote in message
8kfbvl$n5e$1...@nslave1.tin.it...

Inizio io: come si fa a dividere una torta in N parti,
a mano libera, senza che nessuno dei "destinatari"
si lamenti ???...
--
Er Roscio.

 chi inizia?
Inizio io. Con tecniche e considerazioni del tutto analoghe a quelle gia`
utilizzate, trovo un taglio di lunghezza 1.623278144
 _____________
|             |
|             |
|--.._   _..--|B
|     \O/     |
|      |.     |
|      | .    |
|______|__.___|
       A   .  .C
            . .
             ..
              .P
Chiamando AO=x ed a l'angolo OPB, l'area di AOBC mi risulta
S = a/(8*sen(a)^2) - cos(a)/(8*sen(a)) + x/2 = 1/3 da cui
x = 2/3 - a/(4*sen(a)^2) + cos(a)/(4*sen(a))
La funzione da minimizzare e` T = x + a/sen(a), e si verifica che per a = 30
gradi c'e` un minimo che vale
T = 2/3 + Pi/6 + sqrt(3)/4 = 1.623278144
Ciao, Silv:o)

 wrote:
: non vorra' dire che la torta va divisa in tre?
: :-)
: 
: Tutto da rifare
: chi inizia?
Potrei proporre un taglio alla Steiner (una Y con la gamba verticale a
meta` del lato del quadrato e angoli di 120 gradi):
   +-----------+
   |           |
   |\         /|
   |  \     /  |
   |    \ /    |
   |     |     |
   |     |     |
   +-----------+
Se non ho sbagliato i conti, la somma dei tre segmenti e` (8+7sqrt(3))/12),
pari a circa 1.677.
ciao, .mau.

 T = 2/3 + Pi/6 + sqrt(3)/4 = 1.623278144
Bingo. Volendo, a=30 si puo` dedurre anche inizialmente.
Per completezza, esiste un altro taglio localmente minimo, con due tagli
che cominciano su uno stesso lato per cui T = 1.90493 :
  _____________
 |  |       |  |
 |  |       |  |
 |   \     /   |
 |     \ /     |
 |      |      |
 |      |      |
 |______|______|

 pari a circa 1.677.
Ma allora ti conviene tagliare una fetta da un terzo e poi dividere a meta`
l'altra:
+-----+
+--+--+
|  |  |
+--+--+
te la cavi con 1.(6)  ;)
Mantenendo lo schema a Y, si puo' fare di meglio scegliendo l'angolo tra la
gamba ed i lati della Y uguale a 90+arcsen(1/4)
In questo modo il taglio viene lungo poco meno 1.635, ma con i bracci della
Y arcuati ho gia` trovato di meglio.
Ciao, Silv:o)

chi inizia?
Ciao Paolo, si puo' iniziare dalle considerazioni gia' fatte, cioe'
1) I tagli devono essere archi di circonferenze o segmenti di retta
2) Il taglio deve incidere perpendicolarmente il contorno della torta
3) n tagli concorrenti in un nodo debbono formare angoli di 360/n
Per la suddivisione della torta in tre parti, la topologia del logo
Mercedes sembra evidente. Ciao

La risposta di Silvio e' la stessa che avevo in mente, ma anche le altre
sono buone.
e,... dal momento che avete risposto almeno in cinque,...
ciao
paolo

 risultato.
Eccomi.
Il problema e` equivalente a trovare i bordi di 4 bolle di sapone chiuse in
uno spazio quadrato. La tensione superficale e la pressione interna agiscono
in modo da minimizzare *localmente* la superficie totale. In 2d la cosa si
semplifica solamente. Le forze di volume si trascurano
Tutti i tagli devono essere archi di circonferenza.
Dal diagramma di corpo libero di un elemento di superficie si ottiene subito
2*t*c=p, con t la tensione `lineare`, c la curvatura 1/R e p la differenza di pressione,
costante all`equilibrio. Da cui c costante.
In un punto di diramazione tutti gli angoli tra le tangenti sono di 120 gradi.
Su di essi infatti agisce solo la tensione superficiale... se t_i sono i versori...
t(t_1+t_2+t_3)=0...
Con piu` di 3 intersezioni il punto di diramazione e` instabile.
Analogo ragionamento per i punti ai bordi... la componente di tensione lineare tangenziale...
Queste considerazioni non sono sufficienti in generale, neppure per una soluzione localmente
minima. Una breve riflessione bastera` a comprenderlo. Ma per questo problema bastano.
Aggredendolo con tecniche puramente matematiche il problema e` eccezionalmente difficile.
Io non riesco neppure a dimostrare che i tagli devono essere archi di circonferenze, cosa
apparentemente ovvia...
Riesco invece a dimostrare che in assenza di vincolo di area nei punti di diramazione gli
angoli sono di 120 gradi, ma anche qui e` eccezionalmente arduo generalizzare.
Ciao, Crios.


A proposito del punto di Fermat c`e` questo :
http://cedar.evansville.edu/~ck6/tcenters/class/fermat.html
(per un triangolo con tutti gli angoli minori di 120 gradi e` il punto interno P
per cui AP+BP+CP e` minimo)

 Ma per questo problema bastano.
Assi`, questa parte puo` essere debole...
Cosi` ho mostrato localmente l`ottimalita` nella classe di tagli gia` presa in considerazione,
nel senso che perturbandola di poco si ottiene sempre un peggioramento.
Analizzando le alternative (sono circa 8, purtroppo non ho le mie cartacce...), si dimostra
abbastanza agevolmente che non vanno bene.. tranne 2, segnatamente quelli in cui alla
soluzione 'naturale', si sposta un taglio fino a fargli attraversare un angolo.
Queste non le ho analizzate a fondo.
La mia sicurezza sta nel fatto che nel taglio ottimo il guadagno e` sempre estremamente scarso, rispetto a uno con tagli
rettilinei.
RiCiao a tutti, il grande El Fili, Dario, Paolo, Silvio e chiunque abbia seguito
per diletto il problema, mi avete data molta soddisfazione ;-),
	Crios.

 e,... dal momento che avete risposto almeno in cinque,...
Dacci ... un taglio! Non ci vorrai costringere a tagliare torte
all'infinito...
Cio` detto, si cominci la gara.
T = 2.50211293
Qualcuna sa fare di meglio?
Silv:o)
PS. Dobbiamo rispondere al massimo in cinque, ed evitare qualsiasi
riferimento ad insiemi di cardinalita` maggiore di cinque, non diamogli
appigli ;)

 appigli ;)
Niente paura, ormai ho fatto indigestione di torte.
A proposito, qualcuno conosce qualche enigma sui digestivi?
:-)
ciao
paolo

 Tutti i tagli devono essere archi di circonferenza.
Forse intendi tutti i tagli curvi?
Nel risultato che abbiamo trovato finora ci sono quattro archi di
circonferenza piu' un tratto rettilineo; credo che per ragioni di simmetria
non potrebbe essere diversamente.
Basta considerare il caso elementare della divisione della torta in due
parti; il minimo assoluto dovrebbe essere la soluzione piu' ovvia, taglio
parallelo a due lati, lunghezza =1.
ciao
paolo

 come e' fatta?
Come al solito: archi e raccordi rettilinei, incroci a 120 gradi.
 _________________
|        |        |
|       .^.120°   |
|    .'     '.    |
|   /         \   |
|--<           >--|
|   \         /   |
|    '.     .'    |
|       'v'       |
|________|________|
Ciao, Silv:o)

 non potrebbe essere diversamente.
Be'... la locuzione esatta e' 'a curvatura costante'
Colgo l'occasione per spiegare la formula t*c=p (oops ho scritto 2*t*c=p...) :
un segmento elementare di bolla si comporta come una cordicella lunga dl, sottesa da
un angolo dO (leggi de-theta) e stirata da due forze uguali ed opposte t. La componente
normale t_n (l'unica efficace) di queste ultime e' 2*t*sin(dO/2)=2*t*(dl/2R)=t*dl/R, la
pressione invece e' (p1-p2)*dl, diciamo con p1 la pressione dalla sezione concava della
bolla, indicando con m la densita' lineare si ottiene (verso concorde tra a e t_n) :
	t*dl/R - (p1-p2)*dl = m*dl*a
Che e' (circa) l'equazione che avevo scritto.