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Titolo: Spirali finite di rettangoli che...

Spirali finite di rettangoli che formano un quadrato.
(stiamo sempre parlando di spirali di rettangoli simili tra loro)
[Per vedere l'ascii-art usare caratteri fissi]
 _ _ _ _ _ _
|  B  |     |
|Ż Ż Ż|     |
|     |     |
|     |     |
|  A  |  C  |
|x    |     |
|     |     |
|     |     |
|     |     |
|  1  |     |
 Ż Ż Ż Ż Ż Ż
Ragionamento intuitivo:
Se costruiamo spirali di rettangoli "alla prima maniera", cioe'
appiccicando l'ennesimo rettangolo per il suo lato piu' lungo,
convergiamo verso rettangoli dalle proporzioni comprese tra
1:1 e 1:1.618...
Questi rettangoli a cui si tende saranno sempre "bislunghi"
dalla parte dell'ultimo rettangolo aggiunto.
Ma... partendo da rettangoli snelli, come ad es. 1:3 della figura,
nelle prime spire succede che il rettangolo risultante non e'
"bislungo" dalla parte dell'ultimo rettangolo appiccicato.
E' dunque possibile che la spirale, nel suo incedere, "passi"
per un quadrato.  :o)
Infatti la figura in ascii-art puo' diventare la spirale quadrata di
ordine minimo (3) per x = 1.7548... (calcolo numerico)
Vogliamo provare ad andare avanti?
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Vogliamo provare ad andare avanti?
Brute force
per ordine 3: x =  0.5698403
(ho usato una notazione che inverte i tuoi valori)
per ordine 5: x= 0.41628354
vedi figura
_ _ __ _ _ _ _ _ _ _
|      |  B  |     |
|      |Ż Ż Ż|     |
|      |     |     |
|      |     |     |
|      |  A  |  C  |
|  E   |1    |     |
|      |     |     |
|      |     |     |
|      |     |     |
|      |  x  |     |
|      | Ż Ż Ż Ż Ż |
|______|_____D_____|
A          1  * 0,41628354
B 0,41628354  * 0,173291986
C 1,173291986 * 0,488422141
D 0,904705681 * 0,376614084
E 1,549906066 * 0,645200385
A         0,41628354  * 1
A+B       0,41628354  * 1,173291986
A+B+C     0,904705681 * 1,173291986
A+B+C+D   0,904705681 * 1,549906066
A+B+C+D+E 1,549906066 * 1,549906066
---------------------------------------
per ordine 7: x= 0.3336435
...
per ordine 25 : x = 0.1334797
Mi pare che la cosa sia fattibile per tutti gli ordini dispari.
Per i pari si hanno sempre rettangoli *bislunghi*
ciao
paolo

 per un quadrato.  :o)
spirale di ordine 1:
A1 = x  (A è il lato sul quale attaccare il prossimo rettangolo)
B1 = 1
ordine 2:
A2 = B1 + x*A1 = 1 + x^2         '1 0 1
B2 = A1 = x
A3 = B2 + x*A2 = 2x + x^3        '0 2 0 1
A4 =           = 1 + 3x^2 + x^5  '1 0 3 0 1
possiamo costruire una specie di triangolo di tartaglia
' 1
' 0 1
' 1 0 1
' 0 2 0 1
' 1 0 3 0 1
' 0 3 0 4 0 1
' 1 0 6 0 5 0 1
la regola è semplice, e si capisce dalla relazione ricorsiva che vuole
A(n)=A(n-2)+xA(n-1) per cui la riga n si forma sommando la riga n-2 con
quella n-1 'shiftata' di una posizione per via del fattore x.
il 6 dell'ultima riga, ad esempio, è somma dei due 3 delle due righe
precedenti.
Ad occhi esperti non sarà sfuggito che sulle diagonali spuntano dei 'numeri
figurati'.
Per esempio, i termini non nulli dell'ultima riga del triangolo (quindi
1,6,5,1) sono i coefficienti binomiali
(3,3) (4,2) (5,1) (6,0)          e quelli della riga successiva sono
(3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (7,0)    cioè 0,4,10,6,1  [se passa che (3,4)=0 :)]
Ora sappiamo come costruire le righe.
Per risolvere il problema posto vanno uguagliate due righe consecutive, il
che equivale a risolvere una equazione di grado n con tutti i coefficienti
non nulli per via del fatto che alternativamte le righe presentano solo
potenze pari o solo potenze dispari.
Per esempio, per la spirale di ordine 3 vanno eguagliate le righe 2 e 3.
L'equazione da risolvere è 1+x^2=2x+x^3 che ha per soluzione x=.56984 già
trovata da Paolo e Livio
Purtroppo non credo ci sia di meglio del calcolo numerico per gradi
superiori.
--
Ciao, Silv:o)

 Per i pari si hanno sempre rettangoli *bislunghi*
Mi torna anche questo.
Tentando una via analitica, vengon fuori equazioni dello
stesso grado dell'ordine. Le prime due sono (per X=1/tuo_x):
3) X^3 - 2X ^ 2 + X - 1 = 0
5) X^5 - 3X^4 + 3X^3 - 4X^2 + X - 1 = 0
Hanno un aspetto familiare...
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 Spirali finite di rettangoli che formano un quadrato.
Proviamo ora:
Spirali finite di rettangoli che formano... se stessi.
Rettangoli perfetti, quindi, se esistono.
Abbiamo detto che una spirale di rettangoli 1:sqr(2) forma
un rettangolo simile come limite all'infinito.
Rettangoli dal rapporto piu' piccolo formano rettangoli
piu' grandi, tant'e' che i quadrati formano il rettangolo aureo.
Similmente a come abbiamo fatto prima, e' possibile che
qualcuna di queste spirali, nel loro progredire, "passino"
per un rettangolo dalle stesse proporzioni, generando
cosi' un rettangolo finito perfetto. Potra' anche essere
intero? Ne dubito, anche se, facendo graficamente la
spirale di rettangoli 5:7 il risultato di ordine 7 mi ha fatto
sussultare! Provare per credere!
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

  1  0  3  0  1
0  1  0 -2  0 -1 (differenza)
x - 2x^3 -x^5 = 0
x = SQRT(SQRT(2)-1) = 0.643+
--
Ciao, Silv:o)

 sussultare! Provare per credere!
5/7=0.71285714...  rassomiglia vagamente a sqrt(2)/2=0.707106781...
se avessi scelto un rapporto pari a (circa) 0.71268528... (ancora
somigliante a quei due di prima), per la spirale di ordine  7 avresti
trovato la spirale con lo stesso rapporto.
ragionando all'inverso, per ogni *ordine* si può trovare il rapporto x
(approssimato)
ordine        x
3           0,708640215
4           0,64391612
5           0,729391241
6           0,693725925
7           0,712684528
8           0,703903156
9           0,708657171
10          0,70634024
11          0,707503975
...
25          0,707106805
...
99          0,70710678
vediamo che al crescere dell'ordine, gli x tendono a sqrt(2)/2: per ordine
dispari gli  x sono minori del valore limite, per ordine pari sono maggiori.
ignoro però se, tra gli infiniti x, se ne trovi qualcuno razionale.
ciao
paolo
(ma perché, quando faccio il copia-incolla, mi cambia il formato dei
caratteri?)

 ordine        x
scusate, avevo fatto un po' di casino con la tabella.
Questa dovrebbe essere piů corretta:
ordine            x
3                   0,78615138
4                   0,64359425
5                   0,72944423
6                   0,6936817
7                   0,71307867
8                   0,703923
9                   0,70864021
10                  0,7063241
11                  0,7074936
25                  0,7074936
99                  0,70710678
ciao
paolo

 formato dei caratteri?)
Io so che se faccio il copia di un testo qualunque (txt, doc, html,...)
viene copiato il solo ascii e non il font del carattere.
Se invece faccio il copia di un bit-map, allora copio l'immagine,
ma i due copia non sono compatibili.

 x = SQRT(SQRT(2)-1) = 0.643+
Sempre limpido!!!
Con questo valore ho potuto controllare l'affinatezza del
calcolo iterativo che descrivo sotto Paolo.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio


non so se la terminologia "ragionando all'inverso" sia corretta: per ogni
ordine della spirale,  cerco il valore di x.
      x  0,64359425
               1
      1      0,64359425      0,45508986      0,707106783
      2      1,414213559    0,910179724    1,414213574
      3      1,553773965    0,643594253    1,000000004
      4      2,414213548    0,776886989    1,207106789
      5      3,107547922    0,703986771    1,093836327
      6      4,414213523    0,74207041      1,153009695
      7      5,948510364    0,72167533      1,12132035
      8      8,242640589    0,732456077    1,138071194
      9      11,25342645    0,726717607    1,129154909
Foglio Excel
in alto: valore di x (di prova)
prima colonna: numero d'ordine
seconda colonna: lati del rettangolo  (primo ordine: 1*0.643+; secondo
ordine 0.643+*1.414+) calcolati
1
B(1)=x
(B(n) =B(n-2)+B(n-1)*x
terza colonna rapporto C(n)=B(n)/B(n+1)
quarta colonna rapporto D(n)=C(n)/x
cerco i valori di x che portano ad 1 i diversi vaori dell'ultima colonna
(nell'esempio ho la x corrispondente all'ordine 3)
uso lo strumento "ricerca obiettivo" poi affino a mano gli ultimi decimali.
Certamente il tuo metodo mi pare meno laborioso.
Hai qualche idea sulla possibilità di x razionali?
ciao
paolo

 Hai qualche idea sulla possibilità di x razionali?
A me sembra che spesso queste cose abbiano bisogno
di una botta di ... fortuna. Perche' i dodici pentamini
entrano nel rettangolo 6x10? Boh! Entrano.
Quando sono uscito con i miei sexehexes, Ed Pegg Jr
scommeteva su una rivista americana dicendo "Non ne
ho la prova ma secondo me non puo' esserci soluzione".
In quel caso io ero riuscito a calcolare la probabilita' che
ce ne fossero, che era molto alta. Un mese dopo "Mira"
Vicher lo risolse. Ancor meglio quell'altro mio puzzle da
1355 pezzi. Qui i grandi numeri sembravano rendere ancora
piu' lecito il calcolo della probabilita' se ci fosse o no una
soluzione. I miei calcoli davano molte soluzioni, anche se
in un rapporto enorme con le combinazioni possibili.
La soluzione venne fuori poi 17 mesi dopo e non so ancora
come!
Qual e' la probabilita' che esista un rettangolo razionale
di ordine 7 o meno?  Boh! Non so da che parte cominciare.
Quando scriviamo equazioni, vengono fuori equazioni del
tipo 0=1-ax+bx^2-cx^3+dx^4-... le quali possono avere
soluzioni razionali? Direi proprio di si'.
Per N=3, la topologia papabile e' soltanto una. Trovata
la soluzione 1:sqr(rapporto aureo) possiamo escludere
che ne esista una razionale.
Per N=4, la topologia papabile mi sembra di nuovo una
sola, quella che abbiamo trovato studiando le spirali di
rettangoli.
Resta da vedere N=5, 6 e 7.
Si potrebbero esaminare tutte le topologie possibili e vedere
se esiste una soluzione razionale? Il lavoro sembra grande
ma non ciclopico. Inoltre, non trovando la soluzione,
sarebbe la prova che non esiste.
Avevo cominciato a catalogare quelle per N=6 e non ne avevo
trovate mica tante... poi pero' ho smesso perche' mi mancava
un metodo sistematico per essere sicuri di non tralasciarne
nessuna. Un metodo sistematico, anche ridondante, potrebbe
essere automatizzato da un programma.
Insomma, "Qual e' il rettangolo perfetto di minor ordine"
e' uno di quei tarli che non ti molla fino a che non l'hai
risolto. Ma se lo risolvi, pochi si ricorderanno di te per
questo!   :o)))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 ...
Come non detto. Ne esiste almeno un altro ma non sembra
razionale:
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x = .759835685651593
Ciao!!!  ((^__^))
Livio

 essere automatizzato da un programma.
mi puzza tantissimo di già fatto...
vatti a rivedere il thread "domino perfetto" (chi mai lo avrà proposto?)
mi pare che lì avessimo trovato un modo sistematico per generare rettangoli
per "accrescimento finito".
-- 
Ciao, Silv:o)



Il metodo che trovammo era quello di generare almeno un
rettangolo di domini per ogni ordine, che e' diverso dal
presente, quello di generare tutte le topologie per un certo
ordine. Se allora avessimo avuto un metodo del genere,
avremmo trovato il domino perfetto di ordine 8, mentre
ci accontentammo di quello di ordine 17.
Ora che ce l'abbiamo, ce l'abbiamo anche in qualita' di
rettangolo intero perfetto di ordine 8. La questione e':
esiste un rettangolo intero perfetto di ordine minore?
I casi sono due: o lo scoviamo, o dimostriamo che non
esiste.
I numeri sono abbastanza piccoli, quindi la tentazione
e' quella di esaminare tutte le possibilita' di ordine 3..7.
Un metodo potrebbe essere questo:
1) si generano tutte le topologie che scompongono un
rettangolo in 3, 4, 5, 6 e 7 rettangoli. (si puo' andare per
accrescimento solo fino al 4.o ordine)
2) si scartano quelle che non possono essere realizzate
con rettangoli simili tra di loro.
3) si scartano quelle che non ammettono che anche
il rettangolo finale sia simile.
4) si scartano quelle dove due rettangoli sono uguali.
5) si scartano quelle dove i lati non possono essere
razionali.
Se non restano soluzioni, il domino perfetto di ordine 8
e' il rettangolo intero perfetto di minor ordine.
In entrambi i casi avremo salvato il Mondo e l'Umanita'
tutta ce ne sara' grata eternamente.  :o)
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio