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Titolo: Corde

Ciao a tutti.
Ho il seguente problema. Ad un palo sono annodate 4 corde, di lunghezza 3,
6, 10 e 13 metri. All'estremo libero di ogni corda vi è una sfera d'acciaio.
Disponendo su un *piano* le corde (anche non perfettamente diritte), le
sfere individuano un poligono. Come bisogna disporre le corde per
massimizzare l'area di tale poligono?

"Alvaro" ha scritto

A prima vista sembra facile:
.      |
.      |
.      |
.      |
.      |10
.      |
.      |
.      |
.      |
.  3   |         13
. - - -P- - - - - - - - - - - - -
.      |
.      |6
.      |
Otteniamo un quadrilatero con le diagonali perpendicolari, entrambe lunghe
16.
L'area è il semiprodotto delle diagonali, quindi 16*16/2=128
Ma con un piccolo trucco si può fare di meglio
[spoiler]
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Non hai mica detto che il piano deve essere orizzontale ;-)
Un possibile miglioramento è questo:
Visto di fronte:
.                13
.        - - - - - - - - - - - - -
.       |                        .
.       |                      .
.       |                   .
.       |palo            .
.       |             .
.       |          .
.       |       .
.       |    .
.       | .
.       X
.     . |
.  .    |
.  - - -
.    3
ossia, faccio scorrere fino alla cima del palo il nodo della corda lunga 13,
e dispongo le due corde come in figura.
Individuo sul palo il punto X, e faccio scorrere fino a X gli altri due
nodi, disponendo le corde perpendicolari alle prime due.
Ottengo ancora un quadrilatero con le diagonali perpendicolari, una lunga 16
(10+6, non visibile nella figura), e l'altra, corrispondente alla linea
punteggiata, lunga
sqrt (16^2+L^2)
dove L è la lunghezza del palo.
Però si può ancora migliorare. Provateci.
ciao
paolo


Ciao Paolo,
è lo stesso risultato a cui sono giunto io, però non so se è il massimo
realmente. Ecco il mio modo di ragionare. Considera un generico poligono
individuato da quattro corde come in figura:
\        /
 \B     /A
  \    /
   \  /
 C  \/
-----\
      \D
Evidentemente l'area di tale poligono è la somma di 4 triangoli:
(A*B)/2 Sin(^AB^) +(B*C)/2 Sin(^BC^)+ (C*D)/2 Sin(^CD^)+(D*A)/2 Sin(^DA^).
Chiaramente, a dispetto di come si prendano le corde, si ha una somma
massima qualora gli angoli ^AB^, ^BC^ etc. siano uguali a 90°.
Per il resto si tratta soltanto di ottenere i prodotti più grandi: il 10 col
13, il 13 col 6 e così via, proprio come hai fatto tu.
Ma è sufficiente a garantire la massimalità del poligono?
Ah... ho letto la tua seconda soluzione... superba. Comunque il problema
richiedeva proprio un "piano orizzontale".

 richiedeva proprio un "piano orizzontale".
Ma il problema è tuo o ti è stato proposto da qualcuno?
Perché proposto così, senza specificare esplicitamente se il piano debba
essere orizzontale, mi sembra più intrigante. Credo che molti si
fermerebbero alla soluzione *orizzontale* senza pensare a quella *spaziale*.
Come dicevo nell'altro post, anche la seconda soluzione può essere
migliorata
.                13
.      P2 - - - - - - - - - - - - -B
.       |                        .
.       |                      .
.       |                   .
.       |palo            .
.       |             .
.       |          .
.       |       .
.       |    .
.       | .
.       X
.     . |
.  .    |
. A- - -P1
.    3
basta ruotare la corda P2-B verso l'alto, in modo da allinearla alla
congiungente A-P2, e piazzare gli altri due nodi in P2.
La diagonale che ci interessa ora diventa 13+sqrt(L^2+3^2), l'altra
diagonale è ancora 16.
Ma c'è un altro trucco, ancora più sporco.
lo dico o non lo dico? vabbé, lo dico. :-)
Scavo un pozzo verticale di tre metri presso la base del palo, e ci butto
dentro la sfera con la corda da 3 metri: la corda da 13 metri sarà invece
verticale verso l'altro, partendo dalla cima del palo (magari legata a un
palloncino).
La diagonale diventa 3+L+13.
Mi dirai: ma scavando il pozzo rischio di far cadere il palo.
Magari!
Con il palo steso per terra si lavora meglio, e inoltre sfrutto anche la
lunghezza della parte di palo che era conficcata nel terreno.
:-)))
ciao
paolo

 fermerebbero alla soluzione *orizzontale* senza pensare a quella
*spaziale*.
Sono d'accordo. Nel mio primo approccio di soluzione considerai il problema
in 3D, ritenendolo forse banale per il solo piano perpendicolare al palo.
Purtroppo anche il "banale" planare mi ha dato dei problemi...

Beh... qui si va nella sperimentazione!