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Titolo: Tetraipercubi

I tetracubi sono solo otto:
http://www.hostfiles.org/files/20060303121226_tetrahy.gif
Come potete vedere, essi riempiono facilmente un
parallelepipedo 2x4x4.
Non ho motivi per ritenere che i tetraipercubi non siano
anch'essi 8. Infatti i baricentri degli ipercubi che formano
i tetraipercubi sono 4 come 4 sono i baricerntri dei cubi
che formano i tetracubi. 4 punti possono definire soltanto
uno spazio 3D (2 punti per una retta, 3 per un piano, 4 per
lo spazio e 5 per l'iperspazio 4D).
Ora mi aspetto che gli 8 tetraipercubi tassellino un
iperspazio 2x2x2x4 che ho disegnato in assonometria.
Mi interessa la soluzione o anche solo qualche commento.
(questo è uno di quegli argomenti di cui è difficilissimo
conversare con il vicino di casa :o)).
Ciao!!!  :o)
Livio

 anch'essi 8.
Penso che fai male a fidarti dell'intuito... :o)
I due tetracubi rosso e verde della tua figura sono equivalenti all'interno
di uno spazio a 4D.
O sbaglio?
Sorvolando su questa sottigliezza per ora mi viene un'unica facile
considerazione: il tetracubo I può essere fissato, a priori, in qualunque
punto senza perdere di generalità, le 8 posizioni in cui può essere inserito
sono tutte equivalenti.
Ora rimangono solo 7 pezzi da piazzare (di cui 2 uguali) :o)
Vedo se si riesce a tirare fuori qualche cosa.
Ciao,
GaS
--------------------------------
Inviato via 
http://arianna.libero.it/usenet/


Velocissimo e di passaggio ... giusto un istante per farti usare google:)
Cerca Hypercube (il film)
e poi questi signori:
Durer (artista)
Escher (artista)
Pacioli (matematico)
non tutti in tutto attinenti all'ipercubo!

 O sbaglio?
E tu lo dici per istinto o sai qualche cosa che io non so?  :o)
Lo so che la A068870 recita 1,1,1,2,7,26,... ma non c'è nessun
commento. Non vorrei che sottintendessero "a rotazioni e
riflessioni eliminate". Infatti, in altri casi recitano:
<A038119
Number of n-celled solid polyominoes (or free polycubes,
allowing mirror-image identification).
 1, 1, 2, 7, 23, 112, 607, 3811, 25413,...>
All'interno di un iperspazio 4D (w,x,y,z) sono sempre identificabili
4 spazi 3D (w,x,y), (w,x,z), (w,y,z), (x,y,z). All'interno di ciascuno
di questi spazi i 2 tetraipercubi simmetrici non sono sovrapponibili,
perché non sono sovrapponibili i loro baricentri. Quindi per me
restano diversi. Perché dici di no?
Ciao!!!  :o)
Livio

 restano diversi. Perché dici di no?
Non ho assolutamente consultato la sequenza della OEIS ma mi sembra
proprio che in 4 dimensioni i due tetraipercubi siano "identici" senza
bisogno di riflessioni, basta ruotarli (naturalmente in uno spazio a
4D). E' vero che nei 4 sottospazi 3D in cui è suddivisibile
l'iperspazio le due figure appaiono distinte, ma se consideriamo
l'iperspazio nella sua interezza questa distinzione viene meno. E' come
se mi dicessi che esistono due distinti pentacubi L perchè se li metto
nel piano non riesco a trasformarne uno in un altro!
Il problema è che stiamo proiettando tutto nel nostro povero spazio
tridimensionale: hai ombre diverse ma l'oggetto è lo stesso!
Curioso, ci pensavo proprio ieri: nell'enumerazione dei polimini
(oggetti 2D) consideriamo anche rotazioni in 3D (equivalenti a
riflessioni in 2D) ma nell'enumerazione dei policubi (oggetti 3D)
solitamente non consideriamo le rotazioni in 4D (equivalenti a
riflessioni in 3D): questa è una discriminazione bella e buona! :o)
Solo che......
...solo che tu queste cose le sai molto meglio di me e quindi forse
stiamo partendo da presupposti diversi :o(
A te la parola,
ciao,
GaS

 A te la parola,
No, no, caro Gabriele. Ero in errore e ti ringrazio di avermelo
fatto notare. _Nell'iperspazio qualunque solido *è* anche il suo
simmetrico_. Ottimo il parallelo con il pentamino asimmetrico.
Noi rovesciamo il pentamino quando _ruotiamo nello spazio_
il piano su cui giace. Senza lo spazio, a Flatland, giocheremmo
con tutti i 18 pentamini non flippabili (A000988).
Questo vuol anche dire che nell'iperspazio non esistono eliche
o viti destrorse e sinistrorse. Chi glielo dice ora ad Alice che
il latte per il suo micino è salubre ed è anche velenoso? Ecco
risolto il busillis del gatto di Schodinger, quello che è vivo ma
anche morto: aveva bevuto il latte di Alice!
Io, la 4D me la sto (ri)studiando ora, e faccio fatica. E' veramente
antintuitiva. Come si fa a mandar giù il fatto che, affiancando
due ipercubetti, sparisce del volume (che, per noi mortali, è
materia)?  :o)
(Hai per caso visto le mie elucubrazioni sul 24-cell
recentemente su ISM?)
Ciao e grazie!!!  :o)
Livio

"Gabriele GaS Carelli" ha scritto
[cut]
Non ho assolutamente consultato la sequenza della OEIS ma mi sembra
proprio che in 4 dimensioni i due tetraipercubi siano "identici" senza
bisogno di riflessioni, basta ruotarli (naturalmente in uno spazio a
4D). E' vero che nei 4 sottospazi 3D in cui è suddivisibile
l'iperspazio le due figure appaiono distinte, ma se consideriamo
l'iperspazio nella sua interezza questa distinzione viene meno. E' come
se mi dicessi che esistono due distinti pentacubi L perchè se li metto
nel piano non riesco a trasformarne uno in un altro!
Il problema è che stiamo proiettando tutto nel nostro povero spazio
tridimensionale: hai ombre diverse ma l'oggetto è lo stesso!
Curioso, ci pensavo proprio ieri: nell'enumerazione dei polimini
(oggetti 2D) consideriamo anche rotazioni in 3D (equivalenti a
riflessioni in 2D) ma nell'enumerazione dei policubi (oggetti 3D)
solitamente non consideriamo le rotazioni in 4D (equivalenti a
riflessioni in 3D): questa è una discriminazione bella e buona! :o)
Infatti, a Flatlandia, i pentamini sarebbero 18, per la presenza delle sei 
coppie enanziomorfe dei pentamini F, L, N, P, Y e Z, con l'impossibilità di 
trasformare l'uno nell'altro i due membri della coppia.
In realtà, quando parliamo di polimini, sarebbe più appropriato parlare di 
policubi, per i quali viene posta la limitazione della complanarità dei 
cubetti, sia nella costruzione dei singoli pezzi, sia nell'assemblamento dei 
pezzi stessi.
Ciao
Gianni
--
Chi vota per il Cdx danneggia anche te! Digli di smettere!

 ha scritto nel messaggio 
news:440890dd$0$29092$5fc...@news.tiscali.it...


 Chiedo scusa: vedo che Livio mi ha preceduto.
Ciao Gianni, niente scuse, vuol solo dire che le nostre idee
convergono! (e che i server funzionano sempre peggio :o)).
Intanto ho disegnato, nella mia solita assonometria 4D, una
matrice 2x2x2x2 con il tetraipercubo incriminato:
http://www.hostfiles.org/files/20060303110813_rotazione.gif
[Modelli più semplici non riesco a farne.]
Secondo voi, quali operazioni (matematiche) devo fare sulla
matrice (booleana) P(w,x,y,z) per essere sicuro di aver operato
tutte le rotazioni possibili del pezzo nello spazio 4D?
[ricordo che il pezzo è un tetraipercubo e i pallini sono i 4
baricentri dei 4 ipercubetti]
[pezzo che è ora colorato in:
| P(1,0,0,0)=1
| P(1,1,0,0)=1
| P(1,1,0,1)=1
| P(1,1,1,1)=1
]
Mi aspetto che, dopo un'opportuna sequenza di rotazioni,
si possano vedere i baricentri del pezzo nello stesso spazio (wxy),
ma simmetrici rispetto a prima. Giusto?
[Ma che cos'è una rotazione in una geometria euclidea 4D?
E' ancora attorno ad un asse? E se sì, come la manipolo
la matrice? Una figura piana posso rotarla sul piano attorno
ad un punto, una solido 3D attorno ad un asse; un oggetto
4D posso ruotarlo attorno ad un piano? Mi sono incasinato.]
Ciao!!!  :o)
Livio

 ...
Si è perso il cross-post (il crost-post è male :o)) e la
discussione va avanti su IHE.
Ciao!!!  :o)
Livio

 recentemente su ISM?)
Veramente no, ho cominciato a lavorare ed il tempo č poco. A malapena riesco 
a seguire ihe, comunque nel weekend provo a dargli un'occhiata. Comunque 
tienici aggiornati delle tue escursioni nella 4a dimensione.
Per ora, tanto per toglierci di torno il problema originale (ormai abbiamo 
scoperto che č "mal formulato" ma tant'č) ne propongo una soluzione.
Mi sembra interessante perchč č fatta con due "strati" tridimensionali, la 
potete trovare su:
http://www.hostfiles.org/files/20060304120553_sol_tetrahy.GIF
Per quanto riguarda gli iperpentamini devo ancora trovare il coraggio di 
affrontare il problema, vedremo....
Ciao,
a presto,
Gabriele 

 
http://www.hostfiles.org/files/20060304120553_sol_tetrahy.GIF
E ti par poco? Potrebbe essere la prima pubblicazione al mondo
di un iperspazio tassellato da polipercubi! Vediamo se qualcuno
(Dario?) ci smentisce.
Ciao!!!  :o)
Livio

 anziche' un asse.
Questo per me è importante. L'ho quindi realizzato nella
solita assonometria:
http://www.hostfiles.org/files/20060305113144_proveR.gif
Già si intravede una inversione chirale. Ora vedo in quante
posizioni può finire il tetraipercubo nell'iperspazio 2x2x2x2,
ma devono essere tante. In 2D sono 4, ma già in 3D sono 24.
(Ci scappa una sequenza per Sloane: ...,4,24,?,...).
Ciao!!!  :o)
Livio

 wxy, wxz, wyz, xyz.
Che sono appunto le quattro trimensioni dell'iperspazio...
Tetrapartizioni
\/\/\/||==o
Kriss


 Ma le isometrie inverse hano diritto di cittadinanza di per se'...
E' qui il problema. Io sono uno che gioca e uno che gioca
si immagina un mondo con delle regole e poi segue quelle
regole:
2D) Se mi immagino un mondo 2D, mi immagino Flatland
di Abbott. E' vero che i flatmatematici non avranno grande
difficoltà a disegnare, data una figura, la sua simmetrica. Ma
spintonandola, ruotandola o traslandola, non riusciranno
mai ad ottenere dalla prima la seconda. Soltanto i flatscienziati
riusciranno a farle fare un salto in 3D e a farla ripiombare sui
campi di Flatland rovesciata.
3D) Non ho nessuna difficoltà a giocare in un mondo 3D
con le sue regole, visto che è proprio il mio. In esso esistono
dei *dadi da gioco* che io posso orientare in 24 modi diversi.
Non ho difficoltà ad immaginarmi il dado speculare, ma per
quanti movimenti imprima al mio dado, piu' di quei 2^(n-1) * n!
orientamenti non riesco a fargli assumere. Per riuscirci, dovrei
tirarlo nell'iperspazio: allora avrei una probabilità su due che
mi ricaschi sul tavolo rivoltato. Così come se tirassi Elio
Fabri avrei una probabilità su due che mi ritornasse mancino
se è dritto e dritto se è mancino. Così l'Alice di Carroll, se vi
tirasse  la bottiglia del latte, avrebbe questa volta una buona
probabilità di avvelenare il suo gattino.
4D) Nel mondo 4D c'è un *iperdado da gioco a otto cubi*
dove i cubi sono numerati da 1 a 8. Anche in questo mondo
posso rivoltarmi tra le iperdita il mio ipercubetto ruotandolo
attorno ad un punto, un asse o un piano e traslandolo a
piacere. Quanti orientamenti riuscirò a fargli assumere?
192 o 384?   This is the question.
Ciao!!!  :o)
Livio

192 o 384?   This is the question.
Bah, finalmente lo dici chiaro;-) perche' anche su ism
non mi riusciva di seguirne il senso, di tutti questi
tuoi ipercubi (mi portavano fuori strada i 3-piani
delle facce, che chiamavi ipercubi lo stesso o no?).
Be'.. mi sembra prorio 192, perche' senza cambiare
"classe" sono in totale: 8*6*4*2=384, e di classi ce
ne stanno sempre (e solo) 2.
Lo vedi chiaro accoppiando i vettori degli spigoli
da un vertice della figura con quelli del riferimento
cartesiano dello spazio ambiente: i modi sono 8*6*4*2=384,
altri non ne esistono, ma 192 di classe pari e 192 di
classe dispari.
In altre parole, scegli come ti pare un accoppiamento
diverso dal precedente e vedi che: se sono della stessa
classe ti basta girare il dado (iper o no che sia), se
invece di classe discorde allora dovresti "tirar fuori"
l'ultimo spigolo e invertirlo perche' non concorda
(l'ultimo infatti non e` piu` libero, ma gia` determinato
dai precedenti in qualunque dimensione si sia: puo` solo
accoppiarsi con +- l'ultimo del riferimento [ed ecco le
due classi]).
Per dire con un esempio.
VERSORI
Assi cartesiani: i,j,k.
Spigoli da un vertice del cubo: i',j',k'.
[il vertice possiamo pensarlo/fissarlo nell'origine,
i versori suddetti determinano la posizione del cubo]
SCELGO A CASO UNA CLASSE PARI
i'=j
j'=i
k'=-k  [se avessi scelto k, sarebbe stata dispari,
perche' contraria alla regola del cavatappi. E vedi
anche che l'ultimo e` obbligato ad andare in k, o in -k]
SCELGO UNA CLASSE DISPARI
i'=k
j'=-i
k'=-j
Ps. Una curiosita` su Flatland che dicevi: e se lei
se ne sta sul nastro di Moebius? mo' come la metti
con l'orientamento? ;-)
-- 
Ciao, rez	||  -- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1  ||

 delle facce, che chiamavi ipercubi lo stesso o no?).
Per me il difficile è stato arrivare a formulare la domanda e
ci sono arrivato per gradi anche grazie ai vari interventi.
I policubi che ti hanno buttato fuori strada, in realtà li
avevo tirati in ballo con lo scopo di semplificare. Infatti
la posizione nello spazio dei baricentri dei cubi è la stessa,
in ogni sottospazio dell'iperspazio, dei baricentri degli
ipercubi costituenti i poliipercubi fino al grado 4. E così
come è possibile studiare i policubi ponendo i baricentri
dei loro cubi negli incroci di un reticolo cubico, altrettanto
si può fare con i baricentri degli ipercubi in un lattice
ipercubico.
Grazie a tutti.
Ciao!!!  :o)
Livio

ipercubico.
Be' ognuno la vede a modo suo, che gia` e` difficile
vederla.
Per me la strada maestra e` prendere un - iper o no - cubo
e imperniargli un suo vertice nell'origine, come ho gia`
detto nel post precedente.
Ma forse a te servono i baricentri per la composizione
del gioco che stai progettando: forse deve ruotare come
Tetris, no? anzi c'era anche Blockout che era tetris
proprio in 3d, lo conoscevi? ce l'ho ancora, gira sotto
DOS 3.3 (o successiva) e sta su un floppy da 360 (5"1/4).


 Il fatto e` che la terminologia e` importante assai...
Allora ti consolo dicendoti che "polyhypercubes" comincia
a far capolino tra gli anglofoni come termine che designa gli
insiemi di ipercubi 4D uniti per un cubo. Sulla OEIS al n.
A068870 si legge:  "Number of polyhypercubes or
4-dimensional polyominoes with n cells" che valgono:
1, 1, 1, 2, 7, 26, 147, 1019, 8699, 82535, ...
Per quanto detto su ism, mi sarei aspettato "polytesseracts".
Ciao!!!  :o)
Livio