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Titolo: Er quadratozzo.

Prendiamo una griglia quadrata n*n, cioč delimitata da n+1 segmenti
orizzontali ed altrettanti verticali, tutti della stessa lunghezza (tanto
per chiarire).
Ora noi per costruire questa griglia vogliamo usare dei quadrati di
dimensione qualsiasi, purché intera. Questi quadrati possiamo sovrapporli
come ci pare.
La domanda č: qual č il numero minimo di quadrati necessari per costruire la
griglia?
MaxArt

 MaxArt
S
P
O
I
L
E
R
2n-1
ciao :)dario

 MaxArt
Se ho ben capito la domanda, la risposta e'
4*[n/2], ossia 4 volte la parte intera di n/2. ove n >1
n quadtrati
2    4
3    4
4    8
5    8  etc.
La costruzione della griglia avviene nel modo seguente. 4 Quadrati di lunghezza
n-1 dai 4
angoli, 4 quadrati di lunghezza n-2 spostandosi di un quadretto rispetto al
quadrato di
angolo e cosi' via fino a 4 quadrati di lunghezza [n/2]
Ciao
Andrea
P.S. Come al solito puo' essere che qualcuno abbia gia' risposto ma sono su
mailgate
--
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http://www.mailgate.org


Ciao Dario, penso che abbiamo ragione a meta' :-)
Non avevo visto il tuo post, comunque per n pari
la risposta e' 2n-1 (si poteva risparmiare 1 quadrato
rispetto alla mia risposta), x n dispari la risposta e'
2*(n-1), e si puo' risparmiare 1 rispetto alla tua :-)
Ciao
Andrea


 Ciao Dario, penso che abbiamo ragione a meta' :-)
Abbiamo fatto qualcosa insieme! ne sono contento.
Dove eri finito? E' da un po' che non visitavi il mio schermo.
ciao :) dario

 mailgate
Nessuno, neanche il bravo Dario Uri ha fornito la risposta esatta.
Purtroppo quindi anche la tua risposta è sbagliata. Ad esempio, per una
griglia 2x2, basta mettere un quadrato unitario in altro a sx, uno in basso
a dx e rinchiudere tutto in un quadrato 2x2.
Provaci ancora!
MaxArt

 Abbiamo fatto qualcosa insieme! ne sono contento.
E' vero che siamo in periodo festivo.....ma se almeno per noi
piccoli...piccoli ci diceste anche la composizione della griglia
ve ne sarei grato.
:-)
Io avevo trovato una grossolana soluzione con tutti i quadrati
da 2*2 con un totale di (n-1)^2 che mi ripromettevo di migliorare.
CiaO,
Massimo

 2*(n-1), e si puo' risparmiare 1 rispetto alla tua :-)
Mmm, ci siamo andati moooooolto vicini!
Ma ancora si puň fare di meglio! :-)
MaxArt

 ciao :) dario
Ciao Dario,
vicissitudini varie di cui ti parlero' in privato.
Comunque pare che la soluzione sia migliorabile x Max
Ciao
Andrea

 :-)
Ciao Massimo, pare che la risposta sia migliorabile,
comunque x N dispari avevo fatto cosi':
 4 Quadrati di lunghezza n-1 dai 4
angoli, 4 quadrati di lunghezza n-2 che comprendono sempre
un angolo  e cosi' via fino a 4 quadrati di lunghezza (n+1)/2
Abbiamo x cui 2(n-1) quadrati che fanno la griglia,
piu' di cosi' non so spiegarmi.
Ciao
Andrea

 a dx e rinchiudere tutto in un quadrato 2x2.
Si, infatti la correzione parla x n pari = 2n-1, che nel caso n=2 da 3
quadrati.
Ci pensero' meglio oggi, ciao, buon problema comunque!
Andrea

a dx e rinchiudere tutto in un quadrato 2x2.
Non sara' che hai volutamente portato un esempio fuorviante?
:-)
Infatti mi pare che esista la soluzione 2n-2, valida solo
per n>2 (pari o dispari).
Per n dispari
costruisco su ciascun vertice i quadrati di lato n-1,
n-2,... (n+1)/2
p.es
 n=9; quadrati di lato 8,7,6,5; in totale 16 quadrati.
per n pari
costruisco su ciascun vertice i quadrati di lato
n-1,n-2,...n/2+1
e in ultimo , su due vertici opposti, i quadrati di lato n/2
per esempio, n=10
su quattro vertici quadrati di lato 9,8,7,6,
e su due vertici quadrati di lato 5
in totale 18 quadrati.
ciao
paolo

 per n>2 (pari o dispari).
Bravooooooooo!!!
Questa è infatti la soluzione! I tuoi sistemi sono metodi, quindi
complimenti!
Questo problema mi era stato posto il 3 maggio 1996, a Cesenatico, nella
selezione nazionale delle XII Olimpiadi della Matematica. Io allora ero un
povero pivellino della terza liceo scientifico, e questo fu uno dei problemi
in cui riuscii a ricavarci qualcosa (feci 6 punti su 42... in seguito mi
andò meglio).
Quando vidi la soluzione mi misi le mani nei capelli tanto era completa ^__^
Insomma, dimostrava:
1) Che ne occorrevano almeno 2n-2 (splendido!)
2) Che erano sufficienti 2n-1
3) Che bastano 2n-2 per n>2 e 2n-1 per n=1,2
In particolare, la soluzione fornita era comune sia per n pari che per n
dispari. La posto, sperando di essere chiaro.
Siano A, B, C, D i 4 vertici della griglia, posti in senso antiorario a
partire al vertice in basso a sinistra. Disegnare 2 quadrati di dimensione 1
in A e in C, e altrettanti da n-1 sempre in A e in C. Ne dovrebbe uscire una
vigura del genere (mi raccomando i fixed fonts):
D -  +-----------+--+ C
     |           |  |
  +--+-----------+--+
  |  |           |  |
  |  |  -  -  -  |  |
  |  |           |  |
  |  |  -  -  -  |  |
  |  |           |  |
  |  |  -  -  -  |  |
  |  |           |  |
  +--+-----------+--+
  |  |           |
A +--+-----------+  - B
A questo punto concentriamoci sulla diagonale BD, e si disegnino per ogni
1<i<n-1 i quadrati di dimensione i e n-i+1 posti rispettivamente in B e D,
in questo modo:
D +-----+  -  -  -  - C
  |     |
  |  -  |  -  -  -  -
  |     |
  +-----+-----------+
        |           |
  -  -  |  -  -  -  |
        |           |
  -  -  |  -  -  -  |
        |           |
  -  -  |  -  -  -  |
        |           |
A -  -  +-----------+ B
É facile verificare che riempie tutta la griglia.
MaxArt