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Titolo: Quattro triangoli in un cerchio.

Quali sono i quattro piu' grandi triangoli congruenti
che si possono impaccare in un cerchio?
(Come il precedente, ma N=4)
Verrebbe da pensare che la soluzione che si ottiene
dividendo per quattro il quadrato inscritto sia gia'
fortemente ottimizzata. (2/Pi=63.661+%)
Ma io scommetto che si puo' battere.
Ciao!!!  :o)
Livio

Il 30-05-2007, Che nickname ha costui? dice:


Mi sembra un caso disperato... dovessi rispondere per forza
si' o no, direi no.
-- 
Saluti, Dalet

 si' o no, direi no.
Non ho detto che e' facile, anzi...
Pero' mi sembra interessante, proprio perche' appare improbabile.
Ciao!!!  :o)
Livio

 wrote:

Mannaggia, ho trovato diverse soluzioni con area complessiva pari a
due, nel cerchio unitario, uguale quindi alla prima indicata da te, ma
non riesco a migliorale.
Una di queste, vedi sotto, parte dalla quadrisezione di un angolo del
quadrato iscritto.
Ciao
Paolo

Paolo
dimenticavo di inserire la figura
http://img528.imageshack.us/img528/2623/cerchio4triangoliai8.jpg


Si' mi sembra giusto "partire" da qua.
Ciao!!!  ;o)
Livio

Livio
E' vero!
Se rispetto alla figura precedente ribalto i due triangoli centrali e
poi li abbasso, ottengo due fasce libere (vedi figura a sinistra9 che
mi permettono di allargare gli angoli piů acuti dei triangoli.
Portando questi angoli a 23,5 gradi (aumento di un grado rispetto ai
precedenti), ottengo triangoli di area 0,5247 ciascuno.
Tra i triangoli rimane ancora un piccol gap che permetterebbe un
ulteriore allargamento, ma non saprei calcolare analiticamente di
quanto.
http://img167.imageshack.us/img167/7794/cerchio4quadrati2ir6.jpg
Ciao
Paolo

 
http://img167.imageshack.us/img167/7794/cerchio4quadrati2ir6.jpg
Bravissimo!
Neppure io so fare il calcolo analiticamente. Anche perche' si
puo' ancora ottimizzare l'angolo di 90° che derivava dal quadrato
inscritto. Io ho usato il calcolo numerico con due iterazioni
concatenate e il frutto del mio sudore e' questo qua:
http://www.hostingfiles.net/files/20070601105259_4triaCerchio.gif
Magari qualcuno provera' analiticamente o con altro metodo.
Alla prossima!!!  :o)
Livio


http://img167.imageshack.us/img167/7794/cerchio4quadrati2ir6.jpg
Scusa ma una cosa a colpo d'occhio, senza pensarci tanto eh.
-- Detti A,B,C i vertici del triangolo a sinistra (quello
inscritto) con A in alto: A^=23.5 o piu'; B,C antiorari;
-- detti D,E,F i corrispondenti del II triangolo rispettiv.
di A,B,C; (considero solo il semicerchio di sinistra);
-- il vertice E risulta necessariamente sulla retta BF.
Questo: o e' un gran bene per il calcolo analitico, oppure
rende impossibile il tutto. [ma ripeto: posso sbagliarmi]
-- 
Saluti, Dalet

 
http://www.hostingfiles.net/files/20070601105259_4triaCerchio.gif
Durante il week-end ho pensato al problema e sono giunto alla stessa
configurazione, ma non sono riuscito a fare il calcolo analitico. Ora ci
ho ripensato ed ho capito come fare, però l'equazione che si ottiene non
è risolubile per quadrature.
Facendo riferimento alla tua figura, consideriamo solo il semicerchio di
destra e indichiamo con A, B e C i vertici del triangolo che ha un lato
lungo il diametro, presi in senso orario con A in basso e B in alto
sulla circonferenza. Chiamo A', B' e C' i vertici omologhi del secondo
triangolo.
Indico poi con a l'angolo AA'B' e con b l'angolo ABC (o A'B'C').
Tracciando la tangente in B' si vede che l'angolo alla circonferenza che
insiste sulla corda B'C' è 90°-a-b, sicché:
B'C' = 2 sin(90°-a-b) = 2 cos(a+b)
(sto supponendo che il raggio del cerchio sia 1).
D'altra parte, applicando il teorema dei seni al triangolo A'BC si
ottiene:
BC = 2 sin(a)/sin(a+b),
quindi confrontando otteniamo una relazione di vincolo fra a e b:
sin(2a+2b) = 2sin(a).
D'altra parte, si ha:
A'B' = 2 cos(a)
quindi possiamo calcolare l'area del triangolo A'B'C':
S = (1/2) A'B'*B'C'*sin(b) =  2 sin(b) cos(a) cos(a+b).
Di questa funzione di a e b va cercato il massimo, tenendo conto del
vincolo trovato sopra. Volendo si può usare il vincolo per riscrivere S
come funzione della sola a:
S = (1/2) sin(2a) (Sqrt[2+2cos(2a)] + sqrt[2cos(2a)-1] - 1).
In ogni caso, l'equazione che si ottiene ponendo la derivata uguale a
zero è troppo complicata (pare di sesto grado, stando a Mathematica) per
avere una soluzione esplicita. Non resta quindi che la risoluzione
numerica, che porta i risultati che avevi già dato.
SE&O.
Maurizio