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Titolo: Gara di mediocrita'

Rileggendo il messaggio di Silvio Sergio "Piu' e meno", mi e' tornato
alla mente un "gioco" (le virgolette sono d'obbligo) che vado subito a
descrivere (e mi scuso sin d'ora, come e' d'uopo, se il problema e'
noto; ad ogni modo non compare nelle FAQ ).
Tre (almeno) amici scrivono ognuno su un foglietto un numero.
   Vince chi ha scritto non il numero piu' alto, non il numero piu'
basso, bensi' il terzo, cioe' chi ha scritto il numero "mediocre", e
puo' sommare il numero proposto al proprio punteggio. Se due o tutti e
tre i giocatori per ironia della sorte propongono lo stesso numero, non
viene assegnato alcun punteggio.
Ovviamente si gioca a mani e, ancor piu' ovviamente, alla fine delle
mani concordate vince chi ha stabilito il punteggio mediocre.
   Se ricordo bene ho letto di questo gioco (taaaanti anni fa...) su
Scientific American nella famosa rubrica di Martin Gardner "Giochi
matematici" a cui era stato dedicato piu' di un numero.
Gardner descrive una strategia ottimale per giocare, ma per quanti
sforzi faccia,non la ricordo. <sic!>
Lascio dunque alla vostra eventuale curiosita' il dilemma, impegnandomi
a ricercare, se qualcuno si dimostrasse interessato, ulteriori notizie.
Ciao,
Alberto
Sent via Deja.com 
http://www.deja.com/
Before you buy.

a ricercare, se qualcuno si dimostrasse interessato,
ulteriori notizie.
Trovo il gioco molto interessante e, almeno per me, nuovo.
Sto provando ad elaborare qualche strategia, ma avrei
bisogno di qualche precisazione circa le regole; trovo
infatti che differenze, anche apparentemente minime, nelle
regole, possano stravolgere le strategie.
In particolare bisognerebbe precisare in quale insieme
possano essere scelti i numeri, e le conseguenze del
pareggio.
Per quanto riguarda l'insieme: numeri reali o interi? e, per
i due casi, tutto l'insieme (positivi e negativi), solo
positivi (zero escluso), o solo non negativi (zero
compreso)?.
Mi sembra evidente che giocare con gli interi renda piu'
probabile il pareggio, che la possibilita' di numeri
negativi renda in qualche modo simmetrica, in una fase
intermedia del gioco, la posizione di chi ha il punteggio
parziale piu' alto o piu' basso, ecc.
Per quanto riguarda il pareggio: se in una mano si hanno due
(o tre) numeri uguali, non si assegna punteggio; in questi
casi la mano va ripetuta o la partita comportera' una mano
in meno?
Mi pare che, se non e' prevista ripetizione, il giocatore
temporaneamente mediocre avrebbe l'interesse a puntare al
pareggio.
Infine, in caso di pareggio tra due (o tre) giocatori nel
punteggio finale, la partita e' pari o si va ai
supplementari?
ciao
paolo

 supplementari?
Ho paura che Gardner, data la estrema difficoltà dell'evento,
trattandosi di numeri reali, non si sia posto il problema o,per essere
piu' precisi, non mi ricordo che se lo fosse posto.
  Come avevo detto nel precedente messaggio, mi impegno nei prossimi
giorni a (*sigh*) dare un'occhiata alla vecchie annate di S.A.


Reali, se non erro. Reali positivi.
In questo caso trovo (ma la cosa e' suscettibile di
approfondimento) che tutto si risolve nella prima e
nell'ultima mano. Chi risulta mediocre nella prima mano e'
tagliato fuori dalla gara per la vittoria finale, ma in
compenso potra' decidere chi, tra gli altri due, avra' il
titolo di mediocre.
Cominciamo dall'ultima mano: poniamo che i tre giocatori
A,B,C abbiano totalizzato finora a,b,c punti, con
a<b<c
Il giocatore A potra' vincere solo se risultera' mediocre
nell'ultima mano, raggiungendo un punteggio finale superiore
a quello di B ed inferiore a quello di C, quindi scrivera'
certamente un numero x tale che
b-a<x<c-a.
Il giocatore B potra' vincere se risultera' mediocre
nell'ultima mano, con un punteggio finale inferiore a quello
di C, quindi sceglira' un numero y
y<c-b
(in realta' B ha anche un'altra possibilita' che vedremo in
seguito)
Molto probabilmente sara' y<x. Lo sara' con certezza se i
ranges di possibili scelte dei due giocatori non hanno
elementi in comune (per esempio se a,b,c valgono 80,100,110,
A puo' scegliere tra 20 e 30, B tra 0 e 10).
Se A e' B scelgono di giocare in questo modo, C non ha
nessuna chance, quindi giochera' a caso e la sua scelta
determinera' chi sara' il vincitore.
Se C giochera' un numero <y, il mediocre finale sara' B, in
caso contrario sara' A. Direi che approssimativamente A e B
hanno uguale probabilita'.
(forse B ha un leggero vantaggio: infatti C non ha nessun
interesse a sforzarsi di giocare numeri grandi, e scegliera'
probabilmente il minimo sforzo, giocando per esempio il
numero 1)
Dicevo che B ha un'altra possibilita': infatti se C
risultera' mediocre nell'ultima mano B sara' comunque il
vincitore.
Allora B, conoscendo approssimativamente la puntata di A,
potrebbe cercare di prevedere se C giochera' alto o basso, e
fare in modo di farlo risultare mediocre giocando altissimo
o bassissimo; cioe' se prevede che C giochi alto (
p.es
. 100)
puo' giocare 9999999999999; se prevede che C giochi basso,
gioca basso e vince.
Ritengo comunque questa strategia piu' rischiosa, quindi
suppongo che B si atterra' alla prima, giocando
y<c-b
Pero', il giocatore C pensa che, se esiste una pur minima
possibilita' che B giochi altissimo, puo' rientrare in gioco
giocando *ancora piu' altissimo*  e portando B a sballare.
Quindi potrebbe scegliere di giocare 
p.es
.
9999999999999999999999999, sperando di scrivere piu' cifre 9
di quante ne scriva B.
La possibilita' che C faccia questo ragionamento inverte a
favore di A il leggero vantaggio che avevo considerato per
B.
Riepilogando, con la situazione esaminata abbiamo C *quasi*
certamente fuori gioco, e A e B con possibilita' *circa*
uguali (o uno dei due, non so quale, in leggero vantaggio).
In tutte le fasi precedenti i giocatori dovranno quindi
puntare in modo proritario a non arrivare all'ultima mano
con il punteggio piu' alto, mentre mi sembra secondario
scegliere (ammesso che sia possibile farlo) se arrivare con
il punteggio basso o medio.
Tutto allora si decide alla prima mano: ritengo che i tre
giochino a caso, e chi risulta mediocre, e quindi accumula i
primi punti, e' condannato ad avere in ciascuna fase il
punteggio complessivo piu' alto.
Se infatti e' P il punteggio del mediocre dopo la prima
mano, e se sono previste N mani, giocando sempre numeri
minori di P/N gli altri due si garantiscono in ogni caso di
arrivare all'ultima mano con un punteggio minore di P.
spero di non essere stato troppo confusionario:-)
ciao
paolo