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Titolo: Lo scarabeo Arturo

Uno scarabeo stercorario di nome Arturo vive immobile al centro di una
sbarra di metallo lunga 1 metro. Un giorno, un bocciofilo in pensione
di nome Perilli Anselmo, detto Karamazov, getta 100 scarabei stercorari
su tale sbarra: accade, cosi', che Arturo ed i suoi cento consimili
comincino a correre casualmente lungo la sbarra in uno dei due versi
possibili.
E' noto che gli scarabei stercorari corrono tutti alla stessa
velocita', cioe' 1 cm/sec; inoltre, quando due scarabei si incontrano,
cambiano istantaneamente verso di percorrenza, mantenendo costante il
modulo della velocita'; lo stesso accade se uno scarabeo raggiunge uno
degli estremi della sbarra.
La disposizione iniziale dei 100 scarabei piovuti dal cielo e' del
tutto casuale, cosi' come i versi delle loro velocita'; d'altro canto
e' noto che Arturo parte dal centro, con velocita' in verso aritrario.
Qual e' la probabilita' che, dopo 100 sec (cioe' il tempo che uno
scarabeo impiegherebbe a percorrere l'intera sbarra se non ci fossero
ostacoli), Arturo si ritrovi ESATTAMENTE nel centro (cioe' nel punto da
cui e' partito)?

 wrote in message 
news:1116900872.0...@g49g2000cwa.googlegroups.com...

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1) Ogni volta che due scarabei S1 e S2 si scontrano, indipendentemente dalla 
loro posizione e direzione, entrambi invertono la loro direzione, quindi S1 
inizierà a percorrere la strada che avrebbe fatto S2 se non ci fosse stato 
lo scontro, e S2 inizierà a percorrere la strada che avrebbe percorso S1 se 
non ci fosse stato lo scontro.
Pertanto se un qualunque scarabeo Sx parte da un punto Px in una certa 
direzione, e incontra poi uno scarabeo Sy allora Sy sostituirà da quel 
momento Sx nella strada da percorrere; se poi Sy incotra a sua volta Sz 
allora Sz sostituirà Sy nella strada da percorrere, e così via.
Quindi indipendentemente dal numero di scarabei, dalla loro posizione di 
partenza e dalla loro direzione, ci sarà sempre in qualunque momento uno 
scarabeo Sj che sta percorrendo la strada che avrebbe percorso Sx in quel 
momento se Sx fosse stato da solo.
Questo ragionamento fatto per Sx vale ovviamente per tutti gli scarabei che 
sono sulla sbarra, compreso quindi Arturo.
2) Se uno scarabeo Sx fosse solo sulla sbarra, e partisse da un punto Px in 
una direzione, dove si troverebbe dopo 100 secondi? è facile verificare che 
si troverebbe nel punto simmetrico a Px rispetto al centro della sbarra. 
Cioe: se fissiamo lo 0 nel punto centrale dopo cento secondi si trova nel 
punto -Px. Arturo quindi si ritroverebbe al centro se non vi fossero altri 
scarabei sulla sbarra.
E' possibile che in 100 secondi Arturo non incontri nessuno scarabeo? Direi 
di no: l'unica possibilità sarebbe che Arturo parta verso destra e tutti i 
restanti 100 scarabei partano anch'essi dal centro verso sinistra. Ma visto 
il testo del problema mi pare non accettabile il fatto che i restanti 100 
scarabei partano tutti dallo stesso punto, pertanto Arturo deve scontrarsi 
con altri scarabei.
Comunque per quanto detto nei punti 1) e 2) ci sarà sicuramente uno scarabeo 
che sarà al centro della sbarra dopo 100 secondi.
In conclusione: dopo 100 secondi i 101 scarabei saranno disposti sulla 
sbarra in maniera esattamente simmetrica alla disposizione iniziale e ci 
sarà uno scarabeo anche al centro; la probabilità che tale scarabeo sia 
Arturo è pari alla probabilità che i 100 scarabei fossero disposti 
inizialmente 50 a destra e 50 a sinistra di Arturo (lascio ad altri il 
calcolo di questa probabilità).
Ovviamente dopo 200 secondi Arturo sarà sicuramente di nuovo al centro 
(doppia simmetria = posizione iniziale) 

Bravo.
Allora risolvi anche la generalizzaione che sto per inserire fra gli
enigmi.
Ciao
all ha scritto:


 ha scritto nel messaggio 
news:d6vl0r$38s$1...@domitilla.aioe.org...

e non potrebbe essere arturo stesso?
jojoz


Certo. Nella parte finale della mia spiegazione dico infatti che: se gli 
scarabei sono inizialmente 50 a destra di Arturo e 50 a sinistra, allora 
dopo 100 secondi lo scarabeo centrale sarà ancora Arturo.
Ma solo in questo caso, altrimenti non sarebbe rispettato il fatto che la 
disposizione degli scarabei dopo 100 secondi è simmetrica alla disposizione 
iniziale.
Es: 20 scarabei a sinistra di Arturo, Arturo al centro (punto 0) e 80 
scarabei a destra di arturo. Abbiamo dimostrato che dopo 100 secondi ci 
saranno 80 scarabei sulla sinistra, uno nel punto 0 e 20 a sinistra. Gli 
scarabei non possono ovviamente "mescolarsi tra loro", in quanto ad ogni 
scontro rimbalzano dall'altra parte (non si scavalcano); quindi Arturo in 
questo esempio è il 21-esimo da sinistra, e resterà sempre il 21-esimo da 
sinistra, e visto che dopo 100 secondi lo scarabeo nel punto 0 si ritrova ad 
avere 80 scarabei sulla sinistra, significa che è l' 81-esimo da sinistra 
quindi non Arturo.
questo è un esempio semplificato con 10 scarabei aggiunti anzichè 100. 
Arturo è lo scarabeo A e gli asterischi sono i limiti della sbarra.
Visualizzalo con un font proporzionale
situazione iniziale: Arturo è nel punto 0
*a  b c      A de f  ghi l*
situazione finale: ora al centro c'è lo scarabeo g
*a bcA  d ef g      h i  l*
Ciao.