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Titolo: Paradosso del dirottatore

Un comico, non ricordo piu' chi - forse Beppe Grillo - aveva enunciato
quello che possiamo definire "Paradosso del dirottatore".
Diceva che esiste un metodo per ridurre al minimo le probabilita' di
trovare un dirottatore a bordo dell'aereo che si deve prendere. La
soluzione e' quella di fare noi stessi i dirottatori: visto che la
probabilita' che ce ne sia uno a bordo e' bassissima, figuriamoci la
probabilita' che ce ne siano due! Sara' infinitamente piu' bassa.
Ingenuamente si potrebbe formalizzare cosi':
Probabilita' che ci sia un dirottatore: 1/1.000.000 una su un milione
Probabilita' che ci siano due dirottatori: 1/1.000.000 * 1/1.000.000
ovvero una su mille miliardi.
Il che confermerebbe il metodo proposto. In realta' si puo' dimostrare
che la probabilita' quasi non cambia.
A qualcuno viene in mente una dimostrazione?
Poi postero' la mia, e magari la mettiamo in FAQ.
Mariano Tomatis

spolier  a metà
Intanto direi che ipotizzando valido il calcolo "1 su mille miliardi"  la
probabilità può essere senz'altro abbattuta almeno a 1 su 6 miliardi dato
che l'umanità ad oggi è costituita da 6 miliardi di persone e la probabilità
più piccola non può certo superare questo valore.
Poi se la probabilità è 1 su un milione , con lo stesso ragionamento i
dirottatori nel mondo sono al massimo 6 MLD / 1 MLN = 6000.
Poi ..... mi fermo e ci penso

 che la probabilita' quasi non cambia.
Come "quasi"? Non cambia e basta!
Al limite puoi dire che magari il secondo dirottatore, se vede che
l'hai preceduto, si impaurisce e non si palesa... :-)
Cmq, il motivo e' semplice e ovvio, ed e' lo stesso motivo per cui
i numeri centenari al lotto hanno la stessa probabilita' di uscire
di tutti gli altri, con buona pace dei ritardisti: perche' stai
condizionando la probabilita' ad un evento certo.
Qual e' la probabilita' di avere un altro dirottatore su tuo stesso
aereo? Nell'ipotesi che si tratti di eventi indipendenti, e' data
dal prodotto delle singole probabilita', e questo e' corretto.
Ma se la prob. di trovarci il secondo dirottatore e' e resta 
1/1.000.000, la prob. di trovarci te non e' 1/
1.000.000.
.. e' pari
a 1, poiche' tu ci sei sicuramente!
Per cui la prob. di trovarci entrambi (dal tuo punto di vista) e'
1 * 1/1.000.000 = 1/1.000.000, vale a dire esattamente la stessa.
:-)
Ciao,
C.
--
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 Quella piu' semplice che ho trovato sfrutta il processo di Bernoulli.
Forse ho capito cosa intendi, pero' scusa allora il problema e'
formulato male... :-)
Se ho capito bene, il quesito e' il seguente: un aereo trasporta n
passeggeri, e la probabilita' che uno di essi sia un dirottatore, e'
pari a p = 1/
1.000.000.
 Ma questo che vuol dire? Cos'e' p, la prob.
che un determinato passeggero sia un dirottatore, o n volte la prob.
che un dato passeggero sia un dirottatore? O e' semplicemente la prob.
di trovare un dirottatore su un aereo, indipendentemente dal numero
n di passeggeri (il che sarebbe plausibile, potendosi supporre che
la prob. che un dirottatore salga su un determinato aereo non dipenda
dal numero di passeggeri imbarcati... salvo disponibilita' di posti,
naturalmente)?
Nel primo caso: esiste una probabilita' p che ciascuno degli n
passeggeri sia un dirottatore. Allora, la prob. di trovarne un altro
oltre a te e' (n-1)*p, visto che tu occupi uno dei posti disponibili.
Analogamente nel secondo caso: (n-1)*p/n.
Nel terzo, la prob. ovviamente resta pari a p.
In tutto questo pero' Bernoulli non c'entra assolutamente; per cui
credo che avessi in mente qualcosa di diverso: ti spiace formulare il
problema in maniera piu' chiara?


 Mariano Tomatis
S
P
O
I
L
E
R
 La probabilità che ci siano due dirottatori sullo stesso aereo è
diversa dalla probabilità che ci sia un secondo dirottatore nell'ipotesi
che già uno è a bordo.
Indichiamo con E1 e E2 rispettivamente gli eventi :
"a bordo c'è il primo dirottatore" e "a bordo c'è il secondo dirottatore",
e facciamo l'potesi, abbastanza realistica, che siano due eventi
indipendenti.
Nel primo caso ha senso fare il prodotto delle due
probabilita :p(E2 e E1) = p(E2)p(E2) = 1/1.000.000 * 1/1.000.000;
ma nel secondo dobbiamo calcolare la prob. condizionata
p(E2|E1) = p(E2 e E1)/p(E1)  = p(E2)p(E2)/p(E1) = p(E2) = 1/
1.000.000.
L'errore che produce l'apparente paradosso è lo stesso
di chi pensa che dopo una lunga serie di rossi alla roulette
l'uscita del nero sia più probabile.
Ciao
Massimo.

 Come "quasi"? Non cambia e basta!
Cambia, invece. Diminuisce, ma di un fattore dipendente da n e p.
Riusciresti a trovare la formula?
Quella piu' semplice che ho trovato sfrutta il processo di Bernoulli.
Mariano Tomatis

 Come "quasi"? Non cambia e basta!
Cambia, invece. Diminuisce, ma di un fattore dipendente da n e p,
dove n e' il numero di passeggeri e p e' la probabilita' che un
passeggero sia un dirottatore.


 l'uscita del nero sia più probabile.
Si tratta di un problema ben diverso. Sapresti trovare la funzione
dipendente da n e p attraverso cui confrontare le probabilita'
del testo?
Mariano Tomatis

 dirottatori nel mondo sono al massimo 6 MLD / 1 MLN = 6000.
Vero, ma ininfluente per il calcolo della probabilita'.
Grazie comunque delle interessanti idee!
Mariano Tomatis

 problema in maniera piu' chiara?
Credo invece che Bernoulli sia l'unico approccio possibile e corretto
per trovare la formula corretta in funzione di n e p.
Mariano Tomatis

 In realta' si puo' dimostrare che la probabilita' quasi non cambia.
Al che io ti ho fatto presente che non cambiava e basta, senza quasi;
tu hai risposto che invece diminuiva leggermente. Ma comunque metti la
questione, dato che tu comunque l'aereo lo devi prendere, la prob. di
trovare un dirottatore fra gli altri passeggeri non dipende dal fatto
che tu decida di fare il dirottatore o meno... Per cui almeno su questo
punto credo di aver ragione! :-)


 punto credo di aver ragione! :-)
No, neanche su questo punto.
Prendiamo un caso limite:
2 passeggeri, 1/2 di probabilita' che un passeggero
prima di salire a bordo scelga di fare il dirottatore.
Chiamiamo D dirottatore e N normale.
I casi possibili sono:
DD
DN
ND
NN
I quattro casi sono equiprobabili.
La probabilita' che ci sia almeno un dirottatore a
bordo e' di 3/4, giusto?
Ora, io sono il primo passeggero. Dunque fisso la
prima lettera a D. I casi possibili sono:
DD
DN
La probabilita' che ci sia almeno un altro dirottatore a
bordo e' di 1/2, giusto?
Vedi che e' cambiata?! E' piu' bassa (0.5 contro 0.75).
Il fatto e' che applico il ragionamento non piu' a n
persone ma a n-1.
La formula da usare e':
n * p * (1-p)^(n-1)
Esattamente un dirottatore a bordo su n passeggeri
(n-1) * p * (1-p)^(n-2)
Dato un dirottatore sicuro a bordo, esattamente un altro
Il rapporto tra le due misure tende a 1 per valori
grandi di n e piccoli di p. Per valori verosimili,
cioe' n circa uguale a 100 e p pari a 1/1.000.000
le due probabilita' sono QUASI identiche.
Se vuoi la soluzione dettagliata, vedi le FAQ.
Mariano Tomatis

Mariano Tomatis
La probabilità 1/1.000.000 è riferita al numero di passeggeri N, tale che la
probabilità P che ciascun passeggero sia un dirottatore moltiplicata per N sia
1/1.000.000:
P = 1/ (N E6) (notate la scrittura esponenziale, per N milionesimi :-)
La probabilità 1/1.000.000 è valida solo se non conosciamo nessuno sull'aero.
Ma nel nostro caso sappiamo con certezza che un passeggiero (cioè NOI) non è un
dirottatore, per cui la probabilità D che ce ne sia uno è:
D = P * (N-1)
Se invece noi siamo dirottatori, abbiamo una prob. A che sull'aereo ce ne sia
uno solo e B che ce ne siano due:
B = D
A = 1 - B

 Vedi che e' cambiata?! E' piu' bassa (0.5 contro 0.75).
Ahem!! Mariano, non barare.
Se decidi di non fare il dirottatore avrai
ND
NN
 La probabilita' che ci sia *un*  dirottatore a bordo e' di 1/2,
giusto?
Vedi che e' cambiata?! E' piu' bassa (0.5 contro 0.75).
;-))
Ciao
Gianni

 ;-))
Ciao Gianni!
Il fatto che fai notare e' vero: la probabilita' scende comunque, che io
decida di fare il dirottatore o che io decida di non farlo.
Perche' la probabilita' p non e' applicabile a me, dunque da n passo
a n-1 passeggeri. Il caso da me segnalato (DD e DN) era coerente con
il testo iniziale (il consiglio di fare il dirottatore) che suonava
bene. Si poteva anche dare il consiglio di non fare il dirottatore,
seguendo la tua nota, ma questo non sarebbe suonato paradossale.
A presto!
Mariano





 Prendiamo un caso limite:
<snippone>
Eh no, tu stai cambiando le carte in tavola! :-)
Il quesito originale diceva: io salgo su un aereo. La prob. di trovarci
un dirottatore e' p. Quanto vale la prob. di trovarci un secondo
dirottatore, se io stesso decido di fare il dirottatore?
Tu sei *gia'* sull'aereo, e in un caso decidi di fare il dirottatore,
in un altro decidi di non farlo; ma  la prob. p e' in un caso, p resta
nell'altro... tu non hai detto "ogni passeggero decide con prob. p di
fare il dirottatore"; tu hai dato la probabilita' _totale_ di trovare
un dirottatore sull'aereo, _indipendentemente_ dal numero di persone
a bordo. Poi successivamente hai posto la questione in modo diverso,
ma a quel punto il problema e' cambiato... :-)


 
[CUT]
Ma cosa stai dicendo :-) ?
Se per te, con n=4 --> p=1/2, è come dire che se lancio 4 monete di fila ho il
50% di trovare tutte testa e il 50% di trovare 3 testa e una croce?
Mi sembra che non sia un ragionamento corretto...

 ma a quel punto il problema e' cambiato... :-)
Mi pare non sia successo questo. Comunque spero che la soluzione
in FAQ sia autoesplicante.
Ciao.
Mariano

 Mi sembra che non sia un ragionamento corretto...
Non capisco questo appunto. Cosa significa "n=4 --> p=1/2" ?
Mi sembra di esser stato chiaro nel dire che
a. la probabilita' che una moneta mostri testa e' 1/2
b. la probabilita' che, lanciate due monete, almeno una dia testa e' 3/4
c. la probabilita' che, lanciata due monete e la prima e' testa, la
probabilita' che l'altra sia testa e' di 1/2
Qui c'e' tutto il mio ragionamento: come vedi nel caso c ho FISSATO il
valore di una moneta (e' come se io decidessi di fare il dirottatore),
e la probabilita' di averne almeno un altro e' 1/2, minore di quella
di avere almeno un dirottatore a bordo nel caso b, in cui e' 3/4.
E' qualcosa di paradossale, certo, perche' non e' la mia scelta di
fare il dirottatore che cambia la probabilita', ne' di fissare a testa
la prima moneta. La probabilita' cambia perche' ho ridotto i casi
a n-1.
A cosa si riferisce il tuo appunto? Ho usato n=4 e p=1/2 per mostrare
come la formula di Ciccio fosse sbagliata. Niente piu'.
In quel caso la formula corretta sarebbe:
n * p * (1 - p)^(n-1)
Probabilita' di trovare esatt. un dirottatore a bordo su n passeggeri
Probabilita' di ottenere esatt. una testa su n monete
che con n=4 e p=1/2 da':
1/4
Mariano

Mariano
Hai ragione, avevo frainteso il tuo post :-(((((((
In pratica dicevamo la stessa cosa....
Ciao aNto