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Titolo: Probabilità di un ritardo

Visto il proliferare di thread sul lotto, provo a proporre un quesito di
probabilità che non mi pare banale e che è stato proposto qualche giorno
fa su una mailing-list:
Qual è la probabilità che, dopo aver estratto m cinquine, qualcuno dei
90 numeri non sia ancora uscito?
Naturalmente chiedo il valore esatto, non il risultato di una
simulazione Monte-Carlo. Diciamo che mi accontenterei della probabilità
per m=100, almeno per iniziare, anche perché una formula chiusa non so
se esista. 
Maurizio

se esista. 
???
Che vuol dire ? Puoi calcolare la probabilita' che esca, non che "non
sia ancora uscito". Se chiedi una "statistica", allora chiamiamola col
suo nome...
Sempre che non abbia frainteso <:-|
Robby
-
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Per risposte private, togliere TUTTE le "x" dal mio address !
For private replies, remove ALL the "x" from my address !
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 Maurizio
Senz'altro non sarà corretto; però penso che il risultato non si scosterà
da:
  N. Uscite medie in 100               Numeri totali
      estrazioni                        (tra i 90)
------------------------    --------------------------------
         0                                 0,296
         1                                 1,744
         2                                 5,077
         3                                 9,755
         4                                13,916
         5                                15,717
         6                                14,638
         7                                11,563
         8                                 7,907
         9                                 4,755
        10                                 2,545
        11                                 1,225
        12                                 0,534
        13                                 0,213
        14                                 0,078
     ........                            .........
Se applico Poisson, ottengo:
prob. 0,743 che in 100 estrazioni ci siano 0 numeri usciti 0 volte
(cioè nessun ritardo)
prob. 0,2203 che ci sia 1 numero uscito 0 volte (un ritardatario)
prob. 0,03266 che i ritardi siano 2
prob. 0,003227 che i ritardi siano 3.
Ciao, Nino

 Che vuol dire ?
Mi spiego meglio: se P č la probabilitŕ che dopo m estrazioni tutti i 90
numeri siano usciti almeno 1 volta, allora io cerco 1-P, cioč la
probabiltŕ che almeno un numero non sia mai uscito.
Maurizio

 (cioè nessun ritardo)
Quindi la probabilità cercata sarebbe circa 1 - 0,743 = 0,257.
Ovviamente è molto vicino al valore esatto, ma è solo
un'approssimazione...
Maurizio

"Maurizio Frigeni"  ha scritto nel messaggio

Purtroppo, arrivo solo a questo (ma in questa materia sono convinto
sia più che sufficiente l'ordine di grandezza).
In altra maniera  1 - [ 1 - (17/18)^100 ]^100   viene  0,281
Nino 

 se esista. 
Proviamo a farlo con una catena di Markov.
Lo "stato" e' i, il numero di numeri ... hmm.... quantita' di numeri...
non ancora usciti. 
Inizialmente, nessun numero e' uscito, quindi siamo sicuramente in stato
90. p_0(90)=1, p_0(i)=0 per i=0, ..., 89.
Adesso dobbiamo dire come calcolare p_t(i) conoscendo
tutti i p_{i-1}(i). Non importa _quali_ siano i numeri
nella prossima cinquina, solamente se sono nuovi o vecchi.
Quindi da stato i si puo' passare in stati i-5, ..., i. (Ovviamente
per i<5 solamente 0, ..., i sono possibili), e le probabilita'
di transizione sono le solite formule per "quanti fra k numeri
prescelti saranno estratti".
A questo punto possiamo scrivere un programma in perl o C
o quello che vuoi per calcolare p_t(0) per vari valori di t.
Ovviamente tu vuoi conoscere 1-p(0).
Per avere risultati _esatti_ sara' necessario usare Maple/Mathematica
o usare una libreria per gli interi arbitrariamente grandi
in Perl ecc. 
Magari stasera scrivo un programma per farlo in floating-point
se nessuno l'avra' ancora fatto. (hmm. si dice cosi'?)
-- 
Posted via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

 se esista. 
OK, come avevo detto, ho usato una catena di Markov. Spero
di non aver combinato troppo casini con i calcoli o col programma.
Qualcuno trovera' i miei eventuali errori molto rapidamente, immagino:
anche se ho sbagliato qualcosa, l'approcio dovrebbe essere giusto.
La catena e' in stato "i" se ci sono i numeri che non sono ancora
apparsi. p_0(90)=1 perche' prima della prima estrazione ci
sono sicuramente 90 numeri mai apparsi. E' evidente che
p_1(85)=1, perche' alla prima estrazione ci saranno sicuramente
5 numeri nuovi. Quindi gli stati da 86 a 90 non sono importanti
per t>=1 e li ignorero'.
Quant'e' p_t(i), la probabilita' di essere in stato i
dopo t estrazioni?
Lo stato dopo t-1 estrazioni deve essere stato i, i+1, i+2,
i+3, i+4 o i+5, e devono essere usciti 0, 1, ..., 5 numeri nuovi
rispettivamente.
La probabilita' che nella prossima estrazione ci siano
k fra i numeri prestabiliti e' [iCk * (90-i)C(5-k)] / 90C5
perche' k dei nostri i numeri e 5-k degli altri 90-i
devono uscire. Chiamiamo questo ... coso... c(i,k)
Quindi
p_t(i) = p_{t-1}(i)*c(i,0) 
        +p_{t-1}(i+1)*c(i+1,1)
        +p_{t-1}(i+2)*c(i+2,2)
        +p_{t-1}(i+3)*c(i+3,3)
        +p_{t-1}(i+4)*c(i+4,4)
        +p_{t-1}(i+5)*c(i+5,5)
La probabilita' che ci siano dei numeri mai apparsi dopo t estrazioni
e' 1-p_t(0).
Visto che la lotteria italiana ha 10 ruote, che supporremo indipendenti,
la probabilita' che ci siano numeri mai apparsi in almeno una ruota
della lotteria italiana dopo t estrazioni e' 1-p_t(0)^10.
Ecco un programma (in Perl) che stampa t, p_t(0), 1-p_t(0), 1-p_t(0)^10
per
t da 0 a ... quello che ti pare.
In particolare, per t=100, la probabilita' che in una data ruota
ci sia almeno un numero mai uscito e' 0.258987256129073,
e la probabilita' che in tutta la lotteria italiana ci sia
almeno un numero mai apparso e' 0.950082046745663.
#!/usr/bin/perl
$f[0]=1;
for $n (1..90) {
        $f[$n]=$n*$f[$n-1];
        }
for $n (0..90) {
        for $r (0..5) {
                if ($n<$r) {
                        $comb[$n][$r]=0;
                        } else {
                        $comb[$n][$r]=$f[$n]/($f[$r]*$f[$n-$r]);
                        }
                }
        }
for $i (0..90) {
        for $k (0..5) {
$c[$i][$k]=$comb[90-$i][5-$k]*$comb[$i][$k]/$comb[90][5];
                }
        }
$old=1;
$new=0;
$p[85][0]=1;
$t=1;
print "1 0 1 1\n";
while (1) {
$t++;
$old=1-$old;
$new=1-$old;
for $i (0..85) {
        $p[$i][$new]=0;
        for $k (0..5) {
                $p[$i][$new]+=$p[$i+$k][$old]*$c[$i+$k][$k];
                }
        }
$a=1-$p[0][$new];
$b=1-$p[0][$new]**10;
print "$t $p[0][$new] $a $b\n";
}
ed ecco i risultato fino a t=200
1 0 1 1
2 0 1 1
3 0 1 1
4 0 1 1
5 0 1 1
6 0 1 1
7 0 1 1
8 0 1 1
9 0 1 1
10 0 1 1
11 0 1 1
12 0 1 1
13 0 1 1
14 0 1 1
15 0 1 1
16 0 1 1
17 0 1 1
18 1.4912269103831e-37 1 1
19 2.50644159338068e-31 1 1
20 2.39182491052298e-27 1 1
21 2.69051799974058e-24 1 1
22 8.09901629579152e-22 1 1
23 9.68174479302372e-20 1 1
24 5.79180423071691e-18 1 1
25 2.01584215663592e-16 1 1
26 4.53467008051608e-15 0.999999999999995 1
27 7.12032057796262e-14 0.999999999999929 1
28 8.27280543491731e-13 0.999999999999173 1
29 7.44290561066485e-12 0.999999999992557 1
30 5.37628317991402e-11 0.999999999946237 1
31 3.21074272236504e-10 0.999999999678926 1
32 1.62399692131536e-09 0.999999998376003 1
33 7.09810373277975e-09 0.999999992901896 1
34 2.72657687470126e-08 0.999999972734231 1
35 9.33787634322876e-08 0.999999906621237 1
36 2.88652593146838e-07 0.999999711347407 1
37 8.13970222274378e-07 0.999999186029778 1
38 2.11324075072235e-06 0.999997886759249 1
39 5.09203619659249e-06 0.999994907963803 1
40 1.14684233273634e-05 0.999988531576673 1
41 2.42935639091225e-05 0.999975706436091 1
42 4.86687751959156e-05 0.999951331224804 1
43 9.2664229879794e-05 0.99990733577012 1
44 0.000168413875612774 0.999831586124387 1
45 0.000293325722491949 0.999706674277508 1
46 0.000491312568221124 0.999508687431779 1
47 0.000793922221080455 0.99920607777892 1
48 0.00124123399862724 0.998758766001373 1
49 0.00188239302091295 0.998117606979087 1
50 0.00277567583134514 0.997224324168655 1
51 0.00398801742834979 0.99601198257165 1
52 0.00559397584629523 0.994406024153705 1
53 0.00767415974672823 0.992325840253272 1
54 0.0103131908014945 0.989686809198505 1
55 0.0135973106752476 0.986402689324752 1
56 0.0176117685044085 0.982388231495592 1
57 0.022438137213385 0.977561862786615 1
58 0.0281517059533349 0.971848294046665 1
59 0.0348190830561044 0.965180916943896 0.999999999999997
60 0.0424961218571635 0.957503878142836 0.999999999999981
61 0.0512262537544433 0.948773746245557 0.999999999999876
62 0.0610392821699744 0.938960717830026 0.999999999999282
63 0.0719506605752508 0.928049339424749 0.999999999996282
64 0.0839612497711412 0.916038750228859 0.99999999998259
65 0.0970575258422304 0.90294247415777 0.999999999925819
66 0.111212191609453 0.888787808390547 0.999999999710583
67 0.126385131339265 0.873614868660735 0.999999998960176
68 0.14252464078148 0.85747535921852 0.999999996541406
69 0.159568861778459 0.840431138221541 0.999999989297593
70 0.177447351954904 0.822552648045096 0.999999969047536
71 0.19608272448196 0.80391727551804 0.99999991597794
72 0.215392299713598 0.784607700286402 0.999999785067677
73 0.235289718772382 0.764710281227618 0.999999479968673
74 0.255686478172062 0.744313521827938 0.9999988057985
75 0.27649335368985 0.72350664631015 0.999997388758961
76 0.297621690462979 0.702378309537021 0.999994546870755
77 0.318984544336425 0.681015455663575 0.999989093223638
78 0.340497666606599 0.659502333393401 0.999979052056163
79 0.362080330367855 0.637919669632145 0.999961269836651
80 0.383656001636567 0.616343998363433 0.999930909240983
81 0.405152862327397 0.594847137672603 0.999880823914972
82 0.426504195059582 0.573495804940418 0.999800825804299
83 0.447648641779025 0.552351358220975 0.99967687339972
84 0.468530349412492 0.531469650587509 0.999490226472395
85 0.489099016347334 0.510900983652666 0.999216628271722
86 0.509309853576001 0.490690146423999 0.9988255871752
87 0.529123473974256 0.470876526025744 0.998279834276635
88 0.548505722499672 0.451494277500328 0.997535030052457
89 0.567427459193988 0.432572540806012 0.996539781806022
90 0.585864305827273 0.414135694172727 0.99523601493474
91 0.603796365897936 0.396203634102064 0.993559717056194
92 0.621207926552395 0.378792073447605 0.991442047207957
93 0.6380871498519 0.3619128501481 0.988810775528111
94 0.654425759721912 0.345574240278088 0.985591994738091
95 0.670218729892924 0.329781270107076 0.981712025631474
96 0.685463977195017 0.314536022804983 0.977099426164015
97 0.700162063709934 0.299837936290066 0.971687008370615
98 0.714315910517642 0.285684089482358 0.965413769131532
99 0.727930525099147 0.272069474900853 0.958226649012801
100 0.741012743870927 0.258987256129073 0.950082046745663
101 0.753570990824041 0.246429009175959 0.940947033818307
102 0.765615052816786 0.234384947183214 0.93080023246794
103 0.777155871716914 0.222844128283086 0.919632339502393
104 0.788205353300794 0.211794646699206 0.90744629648482
105 0.798776192585319 0.201223807414681 0.89425712281929
106 0.808881715086807 0.191118284913193 0.880091441452514
107 0.818535733363063 0.181464266636937 0.864986736863315
108 0.827752418093763 0.172247581906237 0.848990391650689
109 0.836546182884932 0.163453817115068 0.832158551502073
110 0.844931581940173 0.155068418059827 0.814554868956511
111 0.852923219719969 0.147076780280031 0.796249174621929
112 0.860535671706707 0.139464328293293 0.777316120871433
113 0.867783415403601 0.132216584596399 0.757833838051412
114 0.874680770717223 0.125319229282777 0.737882637378904
115 0.881241848903392 0.118758151096608 0.717543788428788
116 0.887480509292428 0.112519490707572 0.696898392785338
117 0.8934103230504 0.1065896769496 0.676026369354141
118 0.899044543276426 0.100955456723574 0.655005561219416
119 0.904396080781103 0.095603919218897 0.633910968937685
120 0.909477484936668 0.0905225150633321 0.612814110867922
121 0.914300929034717 0.0856990709652827 0.5917825075849
122 0.918878199631661 0.0811218003683392 0.570879284598601
123 0.923220689404976 0.0767793105950244 0.550162885469675
124 0.927339393084483 0.0726606069155175 0.529686885908211
125 0.931244906061989 0.0687550939380106 0.509499898496923
126 0.934947425319578 0.0650525746804225 0.489645557209681
127 0.938456752351468 0.0615432476485323 0.47016257082059
128 0.941782297786721 0.0582177022132793 0.451084834539038
129 0.944933087450046 0.0550669125499537 0.432441589689001
130 0.947917769625724 0.0520822303742755 0.414257621911204
131 0.950744623315162 0.049255376684838 0.396553489147177
132 0.953421567302015 0.0465784326979852 0.379345771516412
133 0.955956169860179 0.0440438301398207 0.362647336081957
134 0.958355658959423 0.0416443410405775 0.346467610383831
135 0.96062693284109 0.0393730671589095 0.330812859478991
136 0.962776570852324 0.0372234291476762 0.315686462043076
137 0.964810844441643 0.035189155558357 0.301089181849815
138 0.966735728231743 0.0332642717682574 0.287019431640934
139 0.968556911096996 0.0314430889030036 0.273473527027952
140 0.970279807183597 0.0297201928164033 0.260445928626228
141 0.971909566819563 0.0280904331804367 0.247929471111823
142 0.973451087270143 0.0265489127298569 0.235915578315751
143 0.974909023301476 0.0250909766985243 0.224394463832028
144 0.976287797521912 0.023712202478088 0.213355316919977
145 0.977591610476115 0.0224083895238851 0.202786473732913
146 0.978824450472131 0.021175549527869 0.192675574109639
147 0.979990103126049 0.0200098968739515 0.183009704327767
148 0.981092160612734 0.0189078393872656 0.173775526343537
149 0.98213403061451 0.0178659693854905 0.164959394136838
150 0.983118944962546 0.0168810550374543 0.156547457846758
151 0.984049967968288 0.0159500320317124 0.148525756426617
152 0.984930004444364 0.0150699955556358 0.140880299571826
153 0.985761807416302 0.014238192583698 0.133597139682364
154 0.986547985527912 0.0134520144720882 0.126662434617318
155 0.987291010144537 0.0127089898554626 0.120062501984273
156 0.987993222159447 0.0120067778405533 0.113783865683778
157 0.988656838509543 0.0113431614904566 0.107813295400468
158 0.989283958407307 0.0107160415926927 0.102137839699459
159 0.989876569296452 0.0101234307035478 0.0967448533506293
160 0.990436552539235 0.00956344746076543 0.0916220194656404
161 0.990965688843686 0.0090343111563137 0.0867573669938367
162 0.99146566343928 0.00853433656072 0.082139284084343
163 0.991938071009686 0.00806192899031433 0.0777565277833914
164 0.99238442039136 0.00761557960864023 0.0735982304984877
165 0.992806139046721 0.00719386095327867 0.0696539036250025
166 0.993204577320636 0.00679542267936395 0.0659134386962615
167 0.993581012488843 0.00641898751115666 0.062367106385529
168 0.993936652606847 0.00606334739315328 0.0590055536573914
169 0.994272640167635 0.00572735983236483 0.0558197993371732
170 0.994590055576427 0.00540994442357301 0.0528012283400781
171 0.994889920450433 0.00511007954956655 0.0499415847767348
172 0.995173200751422 0.00482679924857754 0.0472329641287917
173 0.995440809758641 0.00455919024135854 0.0446678046669217
174 0.995693610889422 0.00430638911057846 0.0422388782641654
175 0.995932420374543 0.00406757962545656 0.0399392807397624
176 0.9961580097952 0.00384199020479958 0.0377624218524391
177 0.996371108488147 0.00362889151185286 0.0357020150474221
178 0.996572405825373 0.00342759417462679 0.0337520670481811
179 0.996762553374394 0.00323744662560566 0.0319068673719036
180 0.996942166945011 0.00305783305498852 0.0301609778369095
181 0.997111828528144 0.00288817147185572 0.0285092221205586
182 0.997272088132112 0.0027279118678879 0.0269466754175268
183 0.997423465521502 0.00257653447849837 0.0254686542406164
184 0.997566451863537 0.00243354813646313 0.0240707063993862
185 0.997701511286647 0.00229848871335347 0.0227486011857926
186 0.997829082355711 0.00217091764428945 0.0214983197906462
187 0.997949579468263 0.00205042053173743 0.0203160459699255
188 0.998063394175724 0.00193660582427646 0.0191981569758247
189 0.998170896433551 0.00182910356644883 0.0181412147637432
190 0.998272435784004 0.0017275642159964 0.017141957483238
191 0.998368342475037 0.00163165752496286 0.0161972912581896
192 0.998458928518687 0.00154107148131344 0.0153042822590375
193 0.998544488692112 0.00145551130788768 0.0144601490678724
194 0.998625301484342 0.00137469851565841 0.0136622553354101
195 0.998701629991577 0.0012983700084227 0.0129081027273885
196 0.998773722763808 0.00122627723619195 0.0121953241566379
197 0.99884181460531 0.00115818539468981 0.
0115216772960514
198 0.998906127331504 0.0010938726684957 0.0108850383667884
199 0.998966870484501 0.00103312951549916 0.010283396195347
200 0.99902424200955 0.00097575799044991 0.00971484653256982


ed ecco i risultato fino a t=200
i risultati
Bleah.
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
I have a spelling chequer. It came with my pea sea. It plane lee
marques for my revue miss steaks eye can knot sea.

 ci sia almeno un numero mai uscito e' 0.258987256129073,
Infatti viene lo stesso risultato anche a me. Usando Mathematica ho
trovato il risultato in forma di frazione, comunque le prime cifre
decimali coincidono con le tue, a parte l'ultima che non dovrebbe essere
3 ma 9 (probabilmente un errore di arrotondamento).
Maurizio

3 ma 9 (probabilmente un errore di arrotondamento).
Immagino di si'.
Ho comprato Maple 9.5 poche settimane fa. Dovrei imparare ad usarlo.
Di quante cifre e' il denominatore della tua soluzione?
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
Kids! Bringing about Armageddon can be dangerous. Do not attempt it in
your own home. (Terry Pratchett & Neil Gaiman)

 Di quante cifre e' il denominatore della tua soluzione?
728.
Maurizio