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Titolo: [MA] La tombola 1

Voglio estrarre tutti e 90 i numeri della tombola con le seguenti modalità:
estraggo a caso un numero dal sacchetto (che contiene i 90 numeri), quindi
segno sul tabellone il numero estratto. Ripongo il numero estratto nel
sacchetto e procedo a una nuova estrazione e così via. Se esce un numero già
segnato sul tabellone, semplicemente lo rimetto nel sacchetto. In poche
parole, ad ogni estrazione, il sacchetto contiene sempre tutti i 90 numeri.
Quante estrazioni mediamente occorreranno per completare tutto il tabellone?
Ciao :-)
Giorgio

 Quante estrazioni mediamente occorreranno per completare tutto il
tabellone?
Premetto che i problemi di probabilità e di valori attesi di solito li toppo
tutti,comunque ci provo:
S
P
O
I
L
E
R
Vediamola cosi, quando sul tabellone ho N numeri estratti riesco ad avere un
"nuovo" numero con probabilità (90-N)/90, ne segue che, in media, avrò
90/(90-N) estrazioni prima di poter aggiornare il tabellone. Sommando questi
valori attesi per N che varia da 0 a 89 ho la soluzione del problema.
Il numero medio di estrazioni sarà quindi:
1+90/89+90/88+.....+90/3+90/2+90/1=367,43+
Giusto?
Ciao,
GaS
P.S.: L'oggetto del problema implica che questo è solamente un allenamento
in vista di qualcosa di più tosto? :o)


Bravo Gabriele! Infatti ti rimando al thread successivo. :-)
Ciao
Giorgio

 Giusto?
Il ragionamento mi torna ma la somma fatta utilizzando l'approssimazione della 
serie armonica con log(n)+c, dove c=0.577215+ è la costante di Eulero-Mascheroni 
e n=90, mi dà 456.93+.
Forse hai fatto qualche errore nel calcolo numerico?
Dade :)

"Giorgio Vecchi"  ha proposto:

La soluzione di Gabriele deriva da un ragionamento esatto e convincente.
Supponiamo però di introdurre una variante alla domanda di Giorgio e cioè:
quante estrazioni mediamente occorreranno non per completare tutto il
tabellone, ma per avere 89 numeri estratti (cioè, finchè rimanga un solo....
ritardatario)?
Si tratta quindi di trovare il ritardo normale, cioè il numero medio teorico
di estrazioni affinchè rimanga l'ultimo numero non sorteggiato in una serie
di prove ripetute.
Con il metodo di Gabriele sembrano necessarie 367,43.. estrazioni.
Invece, applicando      N = N°q^E
                 dove:  N = numeri non estratti (1)
                        N°= numeri iniziali   (90)
                        q = probabilità contraria (di non estazione  89/90)
                        E = numero di estrazioni
si ottiene   E = 402,7288..
che personalmente mi sembra più attendibile.
Analogamente, estraendo 2 numeri per volta (tombola 2), occorrono mediamente
200,2331.. estrazioni perchè nel sacchetto rimanga un solo numero mai
estratto.
Ciao, Nino


Ciao Nino,
c'è qualcosa che non mi torna nella tua formula. Ancora non ho capito
esattamente che cosa calcola, ma non mi sembra corretta per il problema in
questione.
Proviamo a trattare un caso piccolo: supponiamo una tombola con soli 3
numeri invece di 90. Quante estrazioni devo fare perché ne rimanga uno solo?
Naturalmente ci vorrà una sola estrazione per piazzare il primo numero, poi
ci vorranno 1.5 estrazioni per piazzare il secondo (ho 2 numeri buoni su
3). Quindi dopo 2.5 estrazioni ho un solo numero non estratto.
La tua formula dovrebbe essere:
1 = 3*(2/3)^E
da cui E = 2,709+
O c'è qualcosa che mi sfugge?
Ciao :-)
Giorgio


Ciao, Giorgio
In realtà la formula che ho postato relaziona semplicemente probabilità e
numero di estrazioni; calcola cioè con quale probabilità composta ci si
dovrebbe aspettare la non comparsa di un numero dopo un determinato numero
di estrazioni.
Nel caso specifico della tua tombola, 402,72+ rappresenta il numero di
estrazioni dopo le quali la probabilità di non estrarre un numero qualsiasi
si riduce a 1/90 .  Cioè, quando la sua probabilità di venire estratto è
di 89/90.
Forzando, ho attribuito a questa frazione di probabilità residua il mezzo
per stabilire la quantità dei numeri iniziali che sono ancora da sorteggiare
ad un dato ritardo (1/90*90=1).
La formula è semplice, comoda ed accettabilmente approssimata per l'uso che
ho inteso attribuirgli. Infatti, almeno per le estrazioni del lotto, questa
formula ha sempre avuto validazione sperimentale e mostrato un ottimo
accordo con l'andamento estrazionale reale.
Inoltre, dall'esame delle estrazioni reali del lotto, non ho mai evidenziato
quel 10% circa di errore sistematico cui pare affetto il risultato rispetto
a quello ottenuto col calcolo progressivo, indicato da Gabriele.
La formula descrive l'equazione di una retta su scala semi-logaritmica
(ordinata Numeri non estratti  -  ascissa Numero di estrazioni ),
la cui visualizzazione indica la posizione dei ritardi, o meglio dice quanti
numeri dovrebbero idealmente essere rimasti dopo un certo numero di
estrazioni.
Ad es., nel caso della tombola 1, si trova che la costante (o velocità)
di decadimento degli estratti  (ln(90/89))   è pari a 0,011173 estrazioni-1,
per cui il tempo di dimezzamento, definibile come il numero di estrazioni
necessarie affinchè il numero dei non estratti si riduca da 90 a 45 è
pari a  ln(2)/0,011173 = 62,036... estrazioni.
Scusa la confusione e se sono stato un po' approssimativo.
Ciao, Nino