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Titolo: scatole e cubetti

Una scatola (parallelepipedo rettangolo) puo' essere coperta completamente
con cubetti unitari (ha le tre dimensioni intere, insomma). Usando invece
cubetti di volume doppio, mantenendo gli spigoli paralleli a quelli della
scatola, allora riusciamo a coprire esattamente il 40% del volume della
scatola. Quale potrebbe essere la dimensione della scatola.
Ciao, Silv:o)

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SPOILER
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L'unica condizione che riesco ad intravedere e' che almeno una
dimensione del parallelepipedo deve essere proporzionale a 5.
Ciao,
Alberto
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Before you buy.

 scatola. Quale potrebbe essere la dimensione della scatola.
2*3*5 = 30 ci stanno 1*2*3 = 6 cubi con vol = 12
2*5*6 = 60      "    1*3*4 = 12      "      = 24
 
:) dario

Ciao, Silv:o)
Ohibo! Avevo letto il problema di fretta, ed anziche'
*volume doppio* avevo capito che i nuovi cubetti dovessero
avere *lato doppio*.
Dopo averci riflettuto un bel po', ero arrivato alla
conclusione...
Va bene, e' un nuovo problema, provateci
(nel frattempo ricomincio a pensare al problema originario)
ciao
paolo

 Va bene, e' un nuovo problema, provateci
Vediamo:
Sia V1 il volume della scatola, V2 quello coperto con i cubi di lato doppio
e DV la differenza, cioe' lo spazio che resta vuoto. Si deve avere
V2:DV=40:60, ovvero 3*V2=2*DV.
Dato che V2 e' multiplo di 8, il primo membro resta pari anche dividendolo
per 2, per cui DV deve essere pari. Ma allora V1=V2+DV deve essere pari, per
cui eliminiamo il caso di 3 dimensioni dispari. Restano 3 casi:
1) tutte dimensioni pari.
il volume coperto e' il 100%
2) una dimensione dispari
A = 2a+1
B = 2b
C = 2c
I volumi risultano
V1 = 8abc + 4bc
V2 = 8abc
DV = 4bc
Per avere 3*V2=2*DV si dovrebbe avere 3a = 1, impossibile.
3) due dimensioni dispari
A = 2a+1
B = 2b+1
C = 2c
V1 = 8abc+2c(2a+2b+1)
V2 = 8abc
DV = 2c(2a+2b+1)
3*V2=2*DV ==> 6ab=2a+2b+1
che e' impossibile perche' i due membri hanno diversa' parita'
Ciao, Silv:o)

Ciao, Silv:o)
come avevo detto, ci ho ripensato
spoiler
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Il lato del cubetto e' B=2^(1/3)=1.2599...
Lungo uno spigolo della scatola di lunghezza L posso
disporre N=int(L/B) cubetti. Per i primi valori di L trovo:
L    B
1    0
2    1
3    2
4    3
5    3
6    4
7    5
.....
La scatola di lati 2,3,5 (volume 30) contiene
1*2*3=6 cubetti (volume 12=30*0.4)
La scatola di lati 2,5,6 (volume 60) contiene
1*3*4=12 cubetti (volume 24=60*0.4)
si puo' vedere che sono i soli due casi possibili
ciao
paolo

che e' impossibile perche' i due membri hanno diversa'
parita'
Esatto!
Io l'ho visto cosi':
Se ci sono N cubetti, il volume riempito e' 8*N ed il volume
della scatola 20*N, pari, quindi almeno una dimensione deve
essere pari.
Lungo quella dimensione il riempimento sara' completo,
quindi la perdita di volume deve essere imputata alle altre
due dimensioni.
Il problema da spaziale diventa piano: disporre, in un
rettangolo di lati interi, quadretti 2*2,in modo da coprire
il 40% dell'area.
Se K e' il numero di quadretti, l'area coperta e' 4*K e
l'area totale 10*K, ancora pari.Quindi un lato del
rettangolo e' pari, e la perdita di riempimento e'
imputabile solo all'altro lato, che deve essere dispari.
Se L e' la lunghezza di questo lato, il rapporto di
riempimento deve essere
R=(L-1)/L=0.40
Si vede subito che R cresce al crescere di L, e (trascurando
il caso non significativo di L=1), gia' per il minimo valore
L=3 risulta R=0.666>0.40
Comunque, la cosa piu' interessante e' che da una errata
interpretazione di un problema possa nascere un problema
nuovo.
Dovro' provare a capire male qualche altro enigma:-)
ciao
paolo