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Titolo: Variante della variante

Siano date quattro persone intelligenti, non cieche, non daltoniche ed
interessate a vincere 1000 euro tirando ad indovinare, siano disposte con
un cappello in testa che non vedono di colore sia distribuito a ciascuna
di esse prendendolo da in insieme di 4 cappelli, due bianchi e due neri,
poste agli angoli di una stanza un po' particolare formata da quattro
corridoi che formano i lati di un quadrato e disposte verso un corridoio
in modo che possano vedere solo davanti a se' solo un'altra persona ed il
suo cappello.
Le persone devono indovinare il colore del loro cappello per ricevere 1000
euro di premio ciascuna.
Quello che si chiede è la probabilità che nessuno indovini, che tutti
indovinino, che sia solo una persona ad indovinare, due oppure tre.
Ossia la funzione P(n) ove n indica il numero di persone che indovinano il
colore del loro cappello.
Calcolare la cosa in entrambi i casi, sia che le persone debbano scrivere
la risposta su un foglio raccolto da un esaminatore, sia che lo facciano
parlando e facendosi sentire dalle altre persone.
E se l'acustica è tale che la risposta di una persona non la sente chi sta
nell'angolo opposto ma solo le altre due persone? E se la risposta infine
la riesce a sentire solo chi è visto dalla persona che parla, visto che
com'è messo ha proprio l'orecchio in direzione della sua faccia?
-- 
Emilio? Voil'him!
Ateo ed anarchico per grazia di Dio e volonta' della Nazione.
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 colore del loro cappello.
Se non parlano tra loro....
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P(n) = (2/3)^n * (1/3)^(4-n) * comb(4,n)
P(0) = 0,012346
P(1) = 0,098765
P(2) = 0,296296
P(3) = 0,395062
P(4) = 0,197531
Ciao
Giorgio


Se parlano e tutti sentono...
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Dei 6 casi possibili considero per semplicità solo i 3 in cui B ha il 
cappello Nero. Gli altri 3 sono simmetrici. Quindi le possibili situazioni 
sono:
BNBN
BNNB
NNBB
ABCD
Abbiamo detto che A vede B, B vede C, C vede D e D vede A.
A vede B e sa di avere il cappello Bianco 2 volte su 3, quindi dirà Bianco, 
indovinando con prob. 2/3.
B ha la certezza di averlo Nero (in generale di averlo del colore diverso da 
quanto detto da A) e indovinerà sempre, senza nemmeno guardare il cappello 
di C. Prob. 1.
Se C vede che D ha il cappello Nero, sa di averlo Bianco e questo succede 
una volta su 3. 2 volte su 3 invece potrà averlo indifferentemente Bianco o 
Nero quindi in totale indovinerà 1/3 + 2/3 * 1/2 = 2/3.
Bisognerebbe che C fosse così gentile da dire Nero (per lui è uguale) quando 
vede che D ha il cappello Bianco. In questo modo chiarisce tutti i dubbi a D 
che può indovinare con certezza il colore del proprio cappello dicendo il 
colore opposto a quello detto da C senza nemmeno guardare il cappello di A. 
Prob. 1.
Mi sembra che il discorso non cambi se i tentativi detti da ognuno vengono 
ascoltati solo da chi segue e  non da tutti. Ascoltare i tentativi di tutti 
non fornisce informazioni aggiuntive.
Ciao
Giorgio 

 P(4) = 0,197531
Sicuro?
Piccolo suggerimento: le possibili sequenze sono solo 6, e le persone,
razionalmente, non scelgono casualmente, ma in base al colore del cappello
del vicino che esse vedono...
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 del vicino che esse vedono...
Appunto. Ognuno vede il cappello di un altro e nessuno parla. L'unica 
considerazione che ognuno può fare è pensare di avere il colore opposto a 
quello che vede. Indovinerà 2 volte su 3. Il fatto che sia più probabile che 
indovinino 3 persone (P(3) è maggiore degli altri valori) discende dal fatto 
che la scelta non è puramente casuale, altrimenti il valore massimo sarebbe 
P(2).
Ciao
Giorgio 

 quello che vede. Indovinerà 2 volte su 3. 
Certo, indovina 2 volte su 3, quando la sequenza cambia, ma non esistono
sequenze senza cambiamenti, ne' sequenze con un numero dispari di
cambiamenti.
Spiego elencando i casi con sequenza colori, sequenza risposte e numero di
risposte giuste:
1) NNBB, BNNB, 2 risposte giuste
2) NBNB, NBNB, 4 risposte giuste
3) NBBN, NNBB, 2 risposte giuste
4) BNNB, BBNN, 2 risposte giuste
5) BNBN, BNBN, 4 risposte giuste
6) BBNN, NBBN, 2 rispôste giuste
Quindi 
P(0)=0
P(1)=0
P(2)=2/3
P(3)=0
P(4)=1/3



Ma guarda un po'. Hai ragione!
Quello schemino non me l'ero fatto e mi ero calcolato le probabilità in modo 
"disgiunto".
Bello!
Ciao
Giorgio 


Potrebbero essere considerati solo questi 2 casi:
  P(2)=1/2     P(4)=1/2
  _________________
  |                |
  | B  _________ B |
  |   |        |   |   Unisce i 4 casi:
  |   |        |   |   NNBB - NBBN - BBNN - BNNB
  |   |        |   |     2 risposte giuste
  |   ---------    |
  |_N___________ N_|
^
|      <----
|  _________________
  |                |
  | N  _________ B |
  |   |        |   |   Completa gli altri 2 casi:
  |   |        |   |   NBNB - BNBN
  |   |        |   |     4 risposte giuste
  |   ---------    |
  |_B___________ N_| 

   P(2)=1/2     P(4)=1/2
Certo, dipende da come fai l'estrazione, se fai in modo che le 6 sequenze
non siano equiprobabili ottieni un altro risultato.
Puoi ottenere il tuo stampando le sequenze su 8 fogliettini e stampando le
due sequenze in cui ci sono 4 alternanze due volte.
Se la sequenza la estrai invece distribuendo a casaccio i cappelli
facendoli estrarre da un insieme missà che i casi equiprobabili siano i 6
visti, perchè ottieni un albero probabilistico dato da 3 estrazioni con
tutti i rami equiprobabili, in quanto ci sono le doppie probabilità alla
seconda estrazione di estrarre un cappello del colore diverso da quello
del primo cappello estratto poi si dimezzano dalla circostanza che dopo
rimangono dimezzate dalla possibilità di avere ancora ancora cappelli di
entrambi i colori.
Quindi estraendo i cappelli e distribuendoli, come da me richiesto dal
quesito, si ha proprio l'equiprobabilità delle 6 sequenze.
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 quesito, si ha proprio l'equiprobabilità delle 6 sequenze.
Fatto bene, ossia marcando i cappelli con B1, B2, N1 ed N2, e considerando
equiprobabili le estrazioni successive condizionate alla successione già
estratta, si ottengono 24 sequenze equiprobabili che si semplificano in 6
sequenze di colori equiprobabili.
Effettivamente andava spiegato perchè le sei successioni sono
equiprobabili.
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 quesito, si ha proprio l'equiprobabilità delle 6 sequenze.
Fatto bene, ossia marcando i cappelli con B1, B2, N1 ed N2, e considerando
equiprobabili le estrazioni successive condizionate alla successione già
estratta, si ottengono 24 sequenze equiprobabili che si semplificano in 6
sequenze di colori equiprobabili.
Effettivamente andava spiegato perchè le sei successioni sono
equiprobabili.
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