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Titolo: Un gran giramento d'ingranaggi!

Abbiamo tre ingranaggi che chiameremo A, B e C.
L'ingranaggio A e' il piu' grosso; e' l'unico dei tre che ha la forma di
corona circolare e lungo la sua circonferenza interna ha 480 denti.
L'ingranaggio C e' concentrico ad A ed ha 350 denti.
L'ingranaggio B e' tangente internamente alla circonferenza interna di A,
tangente esternamente a C, e ha 65 denti.
PRIMO CASO:
In questo primo caso, A puo' ruotare su se stesso e l'asse di B e' fisso,
cioe' B puo' ruotare su se stesso ma non cambia mai posizione rispetto
ad A ed a C.
Se A fa UN giro su se stesso in senso ORARIO:
- Quanti giri e/o frazioni di giro ha fatto B alla fine del giro completo
di A?
- In senso orario o antiorario?
- Quanti giri e/o frazioni di giro ha fatto C alla fine del giro completo
di A?
- In senso orario o antiorario?
SECONDO CASO:
Ora invece A e' fisso e non puo' ruotare su se stesso. Per contro, B non e'
piu' vincolato, puo' cioe' sia ruotare su se stesso, sia spostarsi in senso
orario o antiorario (descrivendo archi o circonferenze concentriche
ad A e C).
Se C fa UN giro su se stesso in senso ORARIO:
- Quanti giri e/o frazioni di giro ha fatto B su se stesso alla fine del
giro completo di C?
- In senso orario o antiorario?
- Di quanto (giri e/o frazioni di giro) si e' spostato il centro di B alla
fine del giro completo di C?
- In senso orario o antiorario?
A voi l'enigma! S'intende che oltre al risultato non sarebbe male se
fornirete anche un accenno al metodo impiegato per ricavarlo...
P.S. Le frazioni di giro, per evitare grane su arrotondamenti e simili,
piuttosto che con decimali (giri 4,8769654...) saranno meglio indicate con
frazioni (un giro e 1/5; tre giri e 3/16; 5/91 di giro; e cosi' via).
Andrea
salo...@mediacomm.it


Questo mi pare decisamente piu' ostico, propongo una soluzione ma non sono
affatto certo che sia giusta:
C imprime a B un movimento antiorario. A causa di questa rotazione B ruota
sulla superficie interna di A (fisso) ed il suo centro procede in senso
orario.
Per un osservatore posto nel cntro di B l'esperimento non e' diverso dal
PRIMO CASO, per cui quello che vede e' A che ruota di un certo numero X di
denti, e C dello stesso numero di denti.
Quindi il centro di B risulta alla fine ruotato di un angolo che e' X/450 di
angolo giro se espresso ripetto ad A, e (350-X)/350 di angolo giro se
espresso rispetto a B
Forse non e' chiarissimo: Se disegniamo la situazione iniziale, B era
tangente ad A e C in A0 e C0, alla fine lo sara' in A1 e C1. Quello che ho
affermato e' che:
Gli archi A0A1 e C1C0 hanno la stessa lunghezza, visto che rappresentano il
numero di denti che un osservatore posto su B vede scorrere lungo i punti di
contatto del sistema di ingranaggi.
Gli angoli A0A1 (X denti su 480) e C0C1 ((350-X) denti su 350) sono uguali,
essedo i punti di tangenza allineati lungo due distinti raggi.
Eguagliando trovo X= 16800/83 = 202+34/83 denti che mi porta alle seguenti
conclusioni:
- B ha fatto X/65=601/93=3+22/93 giri (in senso antiorario)
- Il suo centro si e' spostato di un angolo pari a X/480=35/83 di angolo
giro (in senso orario)
In altre parole: Se A e' fermo e B gli rotola internamente in senso orario
per 202 denti e mezzo, alla fine si ritrova nella posizione finale, ma se C
e' fermo e B gli rotola esternamente per 202 denti e mezzo in senso
antiorario, alla fine si ritrovera' sempre nella stessa posizione finale.
Ciao, Silv:o)


salo...@mediacomm.it
ciao
paolo

senso Orario di 35/48 di giro.
Questo pero' sarebbe vero se B avesse fatto passare tutti i 350 denti,
invece ne ha ingranati solo una parte. Se infatti fissiamo un punto sulla
circonferenza di C (possiamo chiamarlo x) e facciamo partire C con x
orientato a Nord, dobbiamo fermarlo quando x sara' di nuovo a Nord. Ma C
non si trova gia' piu' li'. Pertanto c'e' un arco di C (quello adiacente
a x verso Est, tanto per intenderci) i cui denti non hanno ingranato
con i denti di B.
Devo dire sinceramente che non pensavo che la seconda parte dell'enigma
fosse solubile, ma l'amico Silvio pare aver individuato una soluzione, ed io
gli credo sulla parola! ;-).
Grazie a tutti!
Andrea
salo...@mediacomm.it

senso Orario di 35/48 di giro.
Secondo me non puoi semplicemente sommare le due sequenze per produrre un
movimento che sia la somma dei due.
Guardiamo cosa succede ad A:
Nella fase 1 ruota di un certo angolo, nella 2 viene rimesso a posto, tutto
OK
Guardiamo B:
nella fase 1 ruota, nella due il centro si sposta: il movimento totale e'
effettivamente un moto di rotazione e rivoluzione, ma non e' quello
richiesto, infatti...
Guardiamo C:
Ruota di un giro in senso orario, poi viene ruotato ancora in senso orario
di 35/48 di giro: alla fine e' come se avesse ruotato di 83/48 di giro!
Il tuo metodo e' applicabile a patto che C subisca una rotazione TOTALE di
un giro ovvero, 1-X giri nella fase 1, e X nella fase 2. Quindi nella fase 1
A ruota di X giri, ovvero 480*X denti, e C di 350*(1-X) denti. Uguagliando
si ha X=35/83 di giro, come avevo trovato in maniera abbastanza simile.
Ciao, Silv:o)

Andrea
ciao
paolo

 B'=+(35/83) di giro (uguale al dato di Silvio)
OK. Appurato che la rivoluzione di B e' di 35/83 resta da calcolare la
rotazione.
La rotazione di B attorno al proprio asse risulta 3360/1079, come
giustamente dici tu, e come anch'io ho trovato, se solo non avessi letto il
risultato formattato da excel come frazione con al massimo 3 cifre :(((( per
cui riportavo (e avevo anche omesso un 1 al denominatore) 601/193 che e'
uguale alla tua per le prime 6 cifre.
Comunque se consideriamo un osservatore esterno, la rotazione di B che nota
e' uguale alla somma della rotazione (3360/1079) e della rivoluzione
(35/83), ossia una rotazione totale di
3815/1079. A spanne vede che B fa un po' piu' di 3 giri di rotazione piu'
quasi un altro mezzo di rivoluzione, quindi il dente che all'inizio puntava
a nord alla fine puntera' a sud
Ciao, Silv:o)

Ciao, Silv:o)
ciao
paolo