Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: [MA] Radice di cinque in almeno cinque mosse

Supponiamo di avere due punti A e B a distanza unitaria e di voler costruire
un segmento di lunghezza pari alla radice quadrata di cinque usando solo una
riga (non graduata) e un compasso.
Il problema e' che il nostro pennino ha inchiostro a sufficenza per
tracciare al piu' 5 tra rette e cerchi.
come fare? ciao

 ha scritto:
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Apri il compasso di un'apertura compresa (ad occhiometro) tra la metà del
segmento e il segmento intero. Si punta il compasso su A e su B, tracciando
due (1, 2) archi verso l'interno del segmento che s'intersechino in due
punti. I punti d'intersezione individuano l'asse di AB, che tracciamo (3).
Apriamo il compasso della lunghezza AB e puntiamo in A: tracciamo un arco
(4) che intersechi l'asse appena tracciato. Chiamiamo con C il punto
d'intersezione. Con la stessa apertura del compasso, puntiamo in C e
tracciamo un arco (5) verso la parte opposta rispetto al segmento AB.
Chiamiamo con D la nuova intersezione con l'asse di AB.
Il segmento che va da D al punto medio di AB misura sqrt(5).
MaxArt

 del segmento e il segmento intero.
Deh, ma anche di più :-)
L'importante è che non sia meno della metà. Per tagliare la testa al toro,
apriamolo della distanza AB.
MaxArt

 apriamolo della distanza AB.
.. e tagliando la testa al toro ti accorgi che bastano SOLO tre mosse!
1) punti in A con apertura AB
2) punti in B con apertura AB
i due archi si incontrano in C e D
3) traccio il segmanto CD che ha la lunghezza richiesta (il doppio
dell'altezza del triangolo equilatero unitario)
--
Silv:o)

 dell'altezza del triangolo equilatero unitario)
Ma cosi non si avrebbe un segmento lungo radice di 3?
GaS


Ciao, c'e' qualcosa che non capisco.
Il punto medio M di AB chi te lo da?
Puoi trovarlo come intersezione tra l'asse di AB e
AB stesso ma non hai mai tracciato AB nelle tue 5 mosse!
Potresti risparmiare una mossa facendo coincidere la tua prima mossa con la
quarta e  trovare quindi M  ma anche cosi' facendo a me sembra, se ho capito
bene, che il segmento DM sia lungo 1+sqrt(3)/2 e non sqrt(5).
ciao

 dell'altezza del triangolo equilatero unitario)
e' radice di 3! io avevo chiesto radice di cinque!
ciao

"ticonzero" propoine:

Se io avessi due punti equidistanti radice di 5 senza che siano uniti ti va
bene? In questo caso me la cavo con 6 altrimenti devo usare un settimo
tratto per unirli.
GaS


Trovata con 5/6 tratti:
S
P
O
I
L
E
R
!
Tracciamo la circonferenza di centro B e raggio AB, tracciamo l'arco di
centro A e raggio unitario che intersechi la circonferenza in C, tracciamo
la retta passante per A e B che intersechi la circonferenza in D, tracciamo
la retta passante per C e D, tracciamo un'arco di raggio 2(preso da AD) con
centro in C e dalla parte di D che intersechi in E la retta CD: AE e'
proprio radice di 5.
Va bene cosi?
GaS

 Va bene cosi?
Bravo! ti stai avvicinando ma il probema richiede di avere anche il
segmento/retta che congiunge AE (o chi per loro) compreso nelle cinque
mosse.
ciao

 ha scritto:

Ho messo un disegnino nell'email yahoo accessibile
con id=hobbyenigmi e pw=imgineybboh
1) Traccio il cerchio unitario in A.
2) Traccio il cerchio unitario in B.
3) Traccio il centhio unitario in una delle due intersezioni C.
4) Traccio la retta per A e le due intersezioni esterne D e E.
Ora appoggio il righello tra B e D che interseca il cerchio
unitario in B nel punto G e con il compasso prendo la
misura tra G e F (punto esterno di intersezione tra cerchi
in B e in C).
5) Riporto questa misura (che e' sqr(2)) in A tracciando sulla
retta il punto H.
Essendo AF=sqr(3) perpendicolare a AH=sqr(2), FH=sqr(5)
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 wrote:

Due chiarimenti:
- è sufficiente avere alla fine i due punti alla distanza voluta, oppure
occorre anche tracciare il segmento che li unisce?
- il compasso può riportare una misura, oppure è come quello di Euclide?
Se la risposta è sì ad entrambe le questioni, una possibilità è la
seguente:
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(1) traccio la retta AB;
(2) con centro in B e raggio BA traccio una circonferenza, che interseca
la retta (1) anche in C;
(3) con centro in B e raggio AC traccio una circonferenza, che interseca
la retta (1) in D ed E;
(4) con centro in D e raggio DA traccio una circonferenza;
(5) con centro in E e raggio EC traccio una circonferenza, che interseca
la circonferenza (4) nel punto F;
Il segmento BF ha lunghezza pari alla radice quadrata di cinque.
Maurizio
 

 - il compasso può riportare una misura, oppure è come quello di Euclide?
La risposta e' si.
Il compasso puo' riportare le misure.
ciao

 e' radice di 3! io avevo chiesto radice di cinque!
Mi sembrava troppo facile!
Non so perché ma mi ero fissato che volevi radice di tre in cinque
mosse.
Eppure c'era ben scritto nel subject... boh!
--
Ciao, Silv:o)


Spoiler
Pitagora. Cateti 1 e 2.
1,2. Le due crf. unitarie con centro in A e B.
3. Retta perpendicolare.
4. Retta AB
5. Con apertura = diametro, centro nell'intersezione delle rette,
si stacca il cateto lungo 2.
-- 
Ciao,		| Attenzione! campo "Reply-To:" alterato ;^)
Remigio Zedda	| E-mail: 
remi...@tiscali.it
 
	-- Linux 2.4.18 su Debian GNU/Linux 3.0 "Woody"

 si stacca il cateto lungo 2.
 
Gia`, son sei:-(
Allora:
1,2,4 invariati.
3. Retta tangente le due crf.
5. L'ipotenusa ha estremi uno sull'intersezione tra retta AB e crf.
con centro in A, e l'altro sulla verticale per B sulla tangente.


 non sqrt(5). ciao
Infatti mi sono decisamente incasinato.
In 5 mosse posso arrivare a sqrt(5)/2... così:
1) Traccio AB; :-)
2-3) traccio i due archi di ampiezza AB puntando prima in A poi in B;
4) traccio l'asse di AB, e individuo M;
5) traccio un arco di ampiezza AB puntando su M, determinando C sull'asse.
AC è sqrt(5)/2.
MaxArt

 Il compasso puo' riportare le misure.
Ma per individuare punti... è necessario che segni un tratto?
MaxArt

 con centro in A, e l'altro sulla verticale per B sulla tangente.
E come lo troviamo il punto sulla verticale?
:o)
Non penso sia valida, chiedo pero' se sia valida la mossa della tangente ad
un circonferenza come singola mossa.
In questo caso io faccio cosi:
-Circonferenza unitaria di centro A_
-Retta r passante per A e B e che intersechi la circonferenza in C_
-Retta s tangente alla circonferenza in C_
-Con centro in C stacchiamo su s un segmento unitario CD_
-Tracciamo DB che misura radice di 5_
Come dicevo non so se sia valido a causa della tangente.
GaS

 ha scritto:

La soluzione e' arrivata in sogno questa notte ed e':
2 x sqr(5)/2
dove sqr(5)/2 si ottiene dal triangolo rettangolo 1:0,5 e
2 x si ottiene con il compasso.
1) Traccio il cerchio unitario in A
2) Traccio il cerchio unitario in B
3) Traccio la retta tra i punti secanti
4) Traccio la retta tangente ai due cerchi
5) Sia C l'intersezione tra le due rette: traccio il cerchio in C di raggio
AC.
Il diametro di questo cerchio e' sqr(5) e i segmenti distinti di
lunghezza sqr(5) sono addirittura 2. Dovresti omologarmi
2,5 passaggi!   :o)   Notare che non traccio la retta AB.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 wrote in message
news:hW_ca.17458$7y3.6...@twister1.libero.it...

Primo tratto: prolungo il segmento AB dalla parte di B
Prendo con il compasso la misura AB e la riporto sul segmento appena
tracciato con centro in B (secondo tratto) ottenendo il punto C.
Con il compasso aperto per una lunghezza circa uguale al segmento AC,
traccio un cerchio centrato in A e un altro centrato in C (terzo e quarto
tratto). Chiamo D uno dei due punti in cui le circonferenze si intersecano.
Traccio il tratto (il quinto) AD che è lungo radice quadrata di 5.
Ciao
Giorgio

 Come dicevo non so se sia valido a causa della tangente.
No. Tracci con la riga il segmento richiesto CD.
Oppure PQ, a scelta.
Ps. Piuttosto ho vaghi ricordi che la tangente a due crf. non credo
che sia valida nelle costruzioni con riga e compasso.. ci vuole un
esperto;-)


 con centro in A, e l'altro sulla verticale per B sulla tangente.
No, il tuo terzo passaggio non e' lecito: la retta tangente le due
circonferenze non la puoi tracciare "a occhio" ma la devi "costruire" (cioe'
trovare due punti per cui passa e poi congiungerli) con un certo numero di
mosse ulteriori.
Nelle costruzioni con riga e compasso le rette si possono tracciare nei
seguenti modi:
1) retta a caso del piano.
2) retta per un punto e una qualunque direzione.
3) retta per due punti.
Il tuo punto 3. non rientra in nessuno dei tre casi. ciao

 MaxArt
Nelle costruzioni con riga e compasso i punti li puoi trovare nei seguenti
modi:
1) Punto a caso nel piano.
2) Punto a caso su una retta o su una circonferenza.
3) Intersezione tra retta e retta o tra retta e circonferenza o tra
circonferenza e circonferenza.
Trovare un punto di intersezione tra due rette o circonferenze gia'
tracciate non e' considerata "mossa".
ciao

 Traccio il tratto (il quinto) AD che è lungo radice quadrata di 5.
Non mi sembra corretto.
La posizione del punto D dipende dal raggio scelto nel tracciare il terzo e
quarto tratto.
Quindi AD ha una posizione variabile.
Se scegli una ampiezza di compasso proprio uguale al segmento AC per
tracciare il terzo e quarto tratto allora AD=2.
ciao

 4) Traccio la retta tangente ai due cerchi
E come fai? A occhio?
Vedi il mio reply a rez.
Ciao

 wrote in message
news:kMhda.20971$Lr4.6...@twister2.libero.it...

Oppsss! Avevo "solo" dimenticato di tracciare il segmento BD e di riportare
su di esso col compasso la misura AC. Altri due tratti! :-|
Ciao :-)
Giorgio

 Come dicevo non so se sia valido a causa della tangente.
E infatti non lo e'. :-)
Ripeto quello che ho gia' scritto a rez:
Nelle costruzioni con riga e compasso le rette si possono tracciare nei
seguenti modi:
1) retta a caso del piano.
2) retta per un punto e una qualunque direzione.
3) retta per due punti.
Tracciare una retta tangente ad un cerchio dato, nel caso si conosca il
centro del cerchio, e' una *costruzione* che richiede:
- Quattro "mosse" (riuscite a farlo in meno?) se la tangente e' in un punto
dato sulla circonferenza.
- Sei "mosse" (riuscite a farlo in meno?) se la tangente e' condotta da un
punto dato esterno al cerchio.
ciao

 esperto;-)
sono daccordo con te :o)
GaS

 Vedi il mio reply a rez.
Questo non e' un ng di matematica e io non sono un
matematico. Finora ho dato risposte in linea con l'enunciato
del tuo problema. Appoggiare un righello a due circonferenze
non e' ambiguo e non da' origine a nessuna imprecisione.
In meccanica sarebbero addirittura usate come precisi punti
di riscontro.  Se adesso aggiungi regole non vale.   :o)))
Scherzi a parte, ci riproveremo. Ma se poi non fosse possibile,
ti daremo un sacco di legnate.  :o)))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio
PS
SQR(4.96) non va bene, vero?
Due segmenti SQR(5) in dieci mosse va bene lo stesso?
[Woody Allen]

[Woody Allen]
 No, ma SQRT(10) in 5*SQRT(2) mosse si! :-)
 [Pitagora]
PS
Neanche io sono un matematico

 come fare? ciao
Allora, e' noto che se un punto x divide il diametro di un cerchio in due 
parti;  la prima di lunghezza = 1 e la seconda di lunghezza = a, tracciando 
la normale da x si incontrera' un punto y sulla circonferenza tale che il 
segmento xy sara' = sqrt (a) Questo e' facilmente provabile con il teorema 
di Euclide.
              y
        .  °  .
    .°        |  °.
   /          |    \
  °           |     °
.            |      .
---------------------
        a     x   1
Si capisce qualcosa del disegnino ? spero di si'.
Veniamo al nostro caso, il diametro dovra' essere lungo 6 (a=5).  Raggio=3.
1) Traccio la linea passante per A e B lunga a piacere.
2) Con centro in A e apertura =AB trovo C. (CB=2)
3) Con centro in A e apertura =CB trovo D ed E. (DB=3)
4) Con centro in D e apertuta =DB trovo X incrocio fra questa circonferenza 
        e quella tracciata al punto 3).
5) Traccio la linea XA = sqrt(5)
                           X
                           |
                           |
                           |
                           |
-----------------D---C----A----B----E------
Le circonferenze sono omesse, il punto E simmetrico a D, serve per provare 
che XA e' effettivamente perpendicolare a AB.
Dovrebbe andar bene.

 5) Traccio la linea XA = sqrt(5)
...
Se ho capito bene, la circonferenza del punto 3) ha, per costruzione, raggio
pari a 2.
X sta su questa circonferenza. Quindi AX=2 :-)
Il fatto e' che AX non e' perpendicolare a AB!
ciao

        e quella tracciata al punto 3)
Ovviamente X e' il punto d'incontro fra le circonferenze tracciate con 
centro in D e con centro in E e apertura DB. Ho scritto una cazz.. 
occorrono sempre 6 passaggi.

 come fare? ciao
Visto che la discussione si e' spenta mando la soluzione
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COSTRUZIONE
1) circonferenza c1 centrata in A e raggio AB.
2) circonferenza c2 centrata in B e raggio AB.
Siano C e D i punti di intersezione tra c1 e c2.
3) retta r3 che congiunge A e C.
Sia E l'intersezione di r3 con c1.
4) retta r4 che congiunge E con B.
Sia F la sua intersezione con c2
5) circonferenza c5 centrata in B e raggio CF.
Siano G e H le intersezioni di c5 con r3: GH=sqrt(5)
SPIEGAZIONE
Il triangolo CBE e' inscritto in una semicirconferenza quindi l'angolo
CBE=CBF e' retto.
Il triangolo CBF e' quindi  rettangolo e isoscele di lato 1 pertanto
CF=sqrt(2).
Il triangolo HBG e' isoscele di lato sqrt(2) e ha altezza sqrt(3)/2
(l'altezza del triangolo eqilatero ABC).
Pertanto HG=2*sqrt( (sqrt(2))^2-(sqrt(3)/2)^2 )=2*sqrt( 2-3/4 )= ...
ciao

Visto che la discussione si e' spenta mando la soluzione
[...]
Splendido:-))


 Visto che la discussione si e' spenta mando la soluzione
AaAaAaARRRgRrgGGGGGHHH ci stavo ancora pensando :-(
Maledizione, non avevo tempo!
MaxArt

 ...
Bello!
Confesso che ci ho pensato parecchio. Ero arrivato a quel
triangolo isoscele alto sqr(3)/2, ma mi ostinavo a trovare
sqr(2) come nella mia prima non-soluzione, con un totale di
6 passaggi.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

1 - traccio un cerchio con centro in A e apertura AB
2 - traccio una retta passante per B e un punto esterno al cerchio (retta r)
3 - traccio il diametro del cerchio per A e B. (Si genera il punto C sul
cerchio)
4 - punto su B e con apertura AB individuo il punto D sulla retta r
5 - unisco i punti C e D con un segmento che vale appunto sqr(5).
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marmo

 Visto che la discussione si e' spenta mando la soluzione
Per quanto mi riguarda cercavo ancora la soluzione ma non pervenivo a niente
di nuovo, altre soluzioni da 6 mosse ma poi niente :o(
Bella soluzione,
GaS

 Visto che la discussione si e' spenta mando la soluzione
nooooooooo! mi hai fatto perdere l'occasione di fare un
figurone!
peccato che non ho visto prima il post!!!
la soluzione non la ho letta! giuro!
la mia suonava cosi':
1 e 2)traccio le due cfr di raggio unitario
3)traccio la retta che passa per AB
4)traccio la retta che passa per una intersezione delle due cfr e il punto B
5)traccio il segmento che passa dall'intersezione della retta AB con la
cfr di centro A e da il punto determinato della retta del punto 4
penso sia giusto! mo leggo la soluzione :-)
PS: scusate la mia vanita'

 PS: scusate la mia vanita'
Ciao, non ho capito bene il tuo punto 5):
se "il punto determinato  della retta del punto 4" e' l'intersezione di
quella retta con la circonferenza di centro B, allora hai costruito sqrt(7)
e non sqrt(5)! ciao

 e non sqrt(5)! ciao
ops!