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Titolo: Le lampadine del bagno si bruciano spesso.

Un uomo, che alzando un braccio raggiunge con la mano una altezza "hu", deve 
cambiare una lampadina bruciata situata molto in alto sul soffito di un 
bagno nel punto P(a,b).
Ha a disposizione una scala a compasso con braccio lungo "L" e regolabile a 
piacere con apertura "alfa".
Esattamente sotto la scala c'� un lavabo di altezza e larghezza "C" che 
impedisce alla scala di spostarsi pi� di tanto a destra o a sinistra.
L'uomo, con i piedi bloccati sulla scala, pu? sporgersi dalla medesima con 
un angolo inferiore a 30 gradi rispetto alla verticale.
Se il lavabo � situato esattamente sull'origine degli assi, a che apertura 
"alfa" e a che distanza "PX" dall'origine degli assi deve essere posta la 
base sinistra della scala per far si che l'uomo sia nella posizione migliore 
per cambiare la lampadina bruciata? vedi 
http://picasaweb.google.it/lh/photo/seFZIAbCsvBJHh3TTKxOLQ?feat=directlink


Premesso che fisicamente parlando, guardando il baricentro del sistema 
uomo-scala un angolo di 30 gradi farebbe capitombolare il disgraziato per 
terra tirandosi dietro sia la scala che l'indispensabile sacca con i 
cacciaviti e le lampadine.
Ho provato innanzitutto ad usare la geometria analitica per trovare il moto 
della mano dell'uomo considerando che questo � una circonferenza avente il 
centro sul vertice superiore della scala.
Verificando il punto pi� vicino a P intersezione della circonferenza 
relativa al moto della mano e la retta portalampade/base-della-scala e 
imponendo i limiti imposti se ne ricava un sistema di equazioni un p� troppo 
complicato per i miei gusti. (che per� ho trovato) Il luogo dove si muove la 
mano � una specie di ovoide la cui punta si restringe tanto pi� ci si 
avvicina al portalmapade. Lo stesso ovoide tende a diventare una 
circonferenza se ci si allontana all'infinito dal portalampade.
Poi Ischcarmanaparanda Bramagupta Ramunajaprana Isidorrabi (un Dio indiano 
del quale ignoravo completamente l'esistenza) e' venuto in mio aiuto 
portandomi l'illuminazione! (e a prezzi pi� contenuti rispetto all'Enel!) 
Mi sono accorto di una semplice e banale evidenza: la lampadina � tanto pi� 
semplice avvitarla quanto la mano dell'uomo � pi� vicina al portalampade P.
Sembra una cazzata invece � gia di per se la soluzione perch� se � cosi' 
allora considerando il sistema uomo-scala-mano-portalampade si ha la 
distanza minima quando (nella maggior parte dei casi) tutti questi termini 
stanno sulla stessa retta!
Ma quale retta? Facile: la retta che dalla base sinistra della scala [-px,0] 
va al portalampade [a,b] e cio�
(1) y = b*x/(a - px) - b*px/(a - px)
questa retta che rappresenta pure il lato sinistro della scala si pu� 
spostare verso destra solo fino a quando incontriamo il lavandino nel punto 
[-c/2,c] e sostituendo questi valori nella retta (1) sappiamo che
(2) px = c*(2*a + b)/(2*(c - b))    =  posizione della scala in rapporto a 
P(a,b) e lavandino di lato c per minimizzare la distanza mano-portalampade
visto che adesso sappiamo px lo sostituiamo nell'equazione delle retta (1) e 
otteniamo
y = 2*x*(b - c)/(2*a + c) + c*(2*a + b)/(2*a + c)
da cui il coefficiente angolare m = 2*(b - c)/(2*a + c), che � l'angolo 
formato dal braccio sinistro della scala col pavimento, ci dice che 
l'apertura della scala deve essere
Pi-(ATAN(m)+Pi/2))  ovvero alfa=2*ACOT(2*(b - c)/(2*a + c))    [dove 
ambarab� cic� ...ACOT = arcocotangente ]
quindi ricapitolando:
alfa=2*ACOT(2*(b - c)/(2*a + c))
e
px = c*(2*a + b)/(2*(c - b))
e questo � quanto. :)

Le lampadine del bagno si bruciano spesso.
Per�, fanno cagare!!!

 e questo è quanto. :)
Ci credo che chiamare un elettricista costa così tanto: per fare il
loro mestiere serve un PhD in Matematica Applicata


Allora, per induzione, per fare l'idraulico devi come minimo aver vinto una 
medaglia Fields! :)

...........
la retta si pu� inclinare solo fino a 30 gradi dalla verticale



anche senza impostare vincoli si da per scontato che il portlampade sia 
sufficientemente in alto da dover prendere una scala per arrivarci.
Si suppone anche che il portalampade non sia eccessivamente distante dal 
lavandino altrimenti la scala potrebbe essere messa direttamaente a destra 
di quest'ultimo saltandolo.
Considerando i vincoli sopra esposti e impostando le equazioni che ho 
trovato sono ben pochi i casi che ci consegnano un angolo con la verticale 
maggiore di 30�. 

 ha scritto nel messaggio 
news:4beb0269$0$12127$4faf...@reader4.news.tin.it...

io senza usare formule, dal grafico traccio la circonferenza con centro la 
lampadina e raggio -l'altezza dell'uomo- , e da questa circonferenza prendo 
solo il settore di 30 gradi dalla verticale a sinistra in basso. Poi traccio 
la curva del luogo dei punti attraversati dal vertice della scala, scala che 
appoggia allo spigolo sx del lavello e scivola sul pavimento. Considerando 
la curva e il settore, le soluzioni possibili si trovano nell'area racchiusa 
dalle due curve. 

 trovano nell'area racchiusa dalle due curve.
mmmhh.. io avrei detto pi� che le soluzioni sono l'intersezione del luoghi 
dei vertici uomo - scala   e conseguentemente l'intersezioni delle due 
intersezioni considerando un angolo con la verticale da -30� a 30�.
(e andrebbe pure considerata una seconda intersezione di intersezioni e cio� 
quella con la scala appoggiata al lavandino dalla parte destra)
La lampadina ovviamente deve stare l� per essere raggiunta. L'avevo fatto 
anch'io con Cinderella ;-)
Per� a parte la definizione geometrica il problema secondo me chiedeva altro 
e cio� una funzione che descrivesse posizione e apertura della scala in base 
alla posizione della lampadina e non il punto di vista della lampadina 
ovvero "dove devo stare affinch� l'uomo possa raggiungermi?" anche perch� 
noi -sappiamo gia- dove sta la lampadina [a,b] e dubito molto che dalla 
complessa curva che descrive l'area delle soluzioni si possa ricavare la 
funzione.

 ha scritto nel messaggio 
news:4bebb393$0$12125$4faf...@reader4.news.tin.it...

meglio ancora: non serve tracciare la curva, basta con un bastoncino, lungo 
come la scala disegnata sul grafico, simulare sul grafico il movimento della 
scala che scivola sul pavimento, e segnare il punto superiore in cui il 
vertice della scala tocca il settore, e allo stesso modo segnare il punto 
inferiore d'interzezione. Col vertice della scala in corrispondenza di tali 
punti, segnare i due punti estremi in cui il lato sx della scala poggia sul 
pavimento: il segmento tra questi due punti rappresenta l'insieme dei punti 
su cui � possibile appoggiare la scala per raggiungere la lampadina. 


wrote:
[...]
Mi scusi Sig. Pedro, ma lei il problema geometrico dell'angolo minimo
e massimo di apertura della scala considerato il vincolo dato dal
lavabo come lo risolve? A me viene un'equazione trigonometrica di
secondo grado non omogenea (o riducubile a tale) e non simmetrica -->
eqquazione algebrica di 4° grado in tan(alfa)...

eqquazione algebrica di 4� grado in tan(alfa)...
Io l'ho semplicemente saltato perch� considerando la lampada in alto e a 
destra rispetto alla scala (come nel disegno) si ha la massima elongazione 
uomo-scala quando appunto l'uomo giace su una retta parallela alla gamba 
sinistra della scala e quest'ultima tocca il margine superiore sinistro del 
lavabo e questa retta (scala-uomo) punta alla lampadina. In queste 
particolari condizioni considerando la scala sempre appoggiata al lavabo il 
vincolo � gi� espresso dalla soluzione. 
http://pedroperaria.altervista.org/geoscala.jpg
  (l'ovoide � il luogo dei 
punti toccati dalla mano dell'uomo trascinando il vertice della scala)
Manca invece il vincolo dato dal fatto che l'uomo non pu� sporgersi per pi� 
di 30� dalla verticale della scala ma per quello essendo l'apertura della 
scala alfa=2*ACOT(2*(b - c)/(2*a + c))  e l'angolo formato dall'uomo con la 
verticale = alfa/2  (ovviamente � met� dell'apertura della scala)  ed � 
sufficiente imporre a posteriori   ACOT(2*(b - c)/(2*a + c)) < Pi/6
tra l'altro, come avevo gi� detto, la funzione dell'angolo mostra una cosa 
interessante e cio� che se la lampadina (rispetto alla retta ottimale) si 
trova in una posizione tanto a destra rispetto al lavabo da costringere 
l'uomo a sporgersi oltre i 30�  dalla verticale allora � possibile (e pi� 
conveniente) spostare tutta la scala a destra -oltre- il lavabo onde evitare 
di capitombolare e crepare indegnamente rompendosi la testa in un cesso 
pubblico. :)
 

 lavabo e questa retta (scala-uomo) punta alla lampadina.
Pero' non mi e' chiaro il fatto che la massima elongazione uomo-gamba
sinistra della scala sia la soluzione del problema, visto che il punto
di appoggio della gamba sinistra della scala non e' fisso. Inoltre non
mi e' chiaro il fatto che il portalampade non sia piu' facilmente
accessibile con la scala un po' piu' aperta o un po' piu' chiusa,
rispetto alla condizione che hai stabilito di parallelismo uomo-gamba
sx scala, tenendo conto che l'apice della scala non si trova
necessariamente alla minima distanza dal portalampade in quel caso e
tenendo conto che, ad angoli di apertura differenti, il portalampade
potrebbe essere accessibile ad angoli uomo/verticale inferiori a 30°.

>> Io l'ho semplicemente saltato perch� considerando la lampada in alto e a

sono d'accordo infatti io sono partito proprio dal presupposto che l'uomo 
non-possa arrivare alla lampada e che quindi provi ad avvicinarsi il pi� 
possibile.
In questa situazione solo mettendo l'uomo e il ramo sinistro della scala su 
un unica retta si ottiene il miglior risultato.
Conseguentemente a questo la mano dell'uomo ha il suo massimo avvicinamento 
alla lampada quando la retta che abbiamo detto � perfettamente verticale 
sotto la lampada.
Quindi, dato che il vincolo di massimo avvicinamento � dato dallo spigolo 
sinistro del lavabo, risulta chiaro che la retta migliore (sotto questo 
vincolo) � quella passante per lo spigolo stesso del lavabo.
Da questo poi ho ricavato che essendo la soluzione migliore nel caso del non 
raggiungimento tutte le altre devono, almeno in massima parte, essere 
contenute... e l'esame dei luoghi che ho effettuato con Cinderella lo 
conferma.
Si intende che se il portalampade � all'interno del raggio di azione 
dell'uomo e situato pi� in basso dell'altezza dell'uomo rispetto all'apice 
della scala non importa che l'uomo si sporga dalla scala per pi� di 30�-.. 
basta che allunghi una mano o che eventualmente scenda un gradino della 
scala.. a meno che cogito con "i piedi bloccati sulla scala" non abbia 
voluto intendere che ce l'hanno inchiodato sopra (poro disgraziato). :)
Tutto questo ovviamente senza fare valutazioni pi� approfondite che 
sarebbero comunque possibili. Ad esempio
1) il braccio dell'uomo si muove su una circonferenza di raggio (circa) 1/2L 
posta a 2/3L di L dove L � la lunghezza totale del sitema uomo-braccio (si 
lo so.. c'ho le braccia lunghe, non sono come il Vitruviano di Leonardo). 
Considerando questo l'area delle soluzioni (sempre con Cinderella) mi 
risulta l'intersezione di due sezioni di toro  (la prima con la scala 
appoggiata a destra e angolo -30� e la seconda con la scala appoggiata a 
sinistra e ancolo 30�)
2) Dando all'uomo e alla scala un certo peso, si potrebbe calcolare il 
baricentro del sistema e valutare l'angolo massimo effettivo oltre il quale 
sarebbe pericoloso sporgersi.. mi pare tra l'altro un problema pi� semplice 
rispetto al compasso appeso che pure era simpatico. :)