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Titolo: 15 cervellotiche monete

Sfido chiunque a risolvere questo gioco ...
Vi sono 15 monete , 14 delle quali hanno lo stesso peso mentre
una soltanto ha un peso diverso dalle altre .
Avendo a disposizione 4 pesate con una normalissima bilancia
pesapersone e' richiesto di individuare quale e' quella diversa
dalle altre.
NON sono ammesse soluzioni " a trucco ".
N.B. non si conosce ne' il peso di una moneta " buona " , ne' quello
della moneta " non buona " , e nemmeno se essa pesa piu' o meno
delle altre.
BUON DIVERTIMENTO !!!!!!!
Albero.
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 dalle altre.
Allora, con calma perche' non e' del tutto semplice.
Etichettiamo le monete da 1 a 15 e le 4 pesate A,B,C,D.
Procediamo con le prime due pesate.
A = 8,9,10,11,12,13,14,15.
B =   4,5,6,7,12,13,14,15. 
Non pesate = 1,2,3.
Supponiamo per il momento che i risultati delle prime due pesate siano
uguali (vedremo in seguito il caso "differenti"). In questo caso la
difettosa e' fra le monete pesate 2 volte oppure le NON pesate, dobbiamo
indagare fra: 1,2,3,12,13,14,15 e dovendo fare in modo che ogni moneta
sospetta sia distribuita in modo differente da ciascuna altra per essere
individuata, possiamo procedere con:
C = 2,3,14,15.
D = 1,3,13,15.
Le monete sospette appaiono cosi' nelle varie pesate:
MONETA    PESATE
  1       D
  2       C
  3       C,D
  12      A,B
  13      A,B,D
  14      A,B,C
  15      A,B,C,D
Questo risolve gia' il problema? purtroppo no! Facciamo un esempio.
I risultati delle 4 pesate sono 81,81,40,40.(diciamo grammi)
Se le monete fossero tutte autentiche i risultati delle prime due pesate
(8 monete) sarebbero il doppio delle ultime due(4 monete). Qui vediamo
che c'e' un eccesso di 1 sulle prime due pesate oppure un difetto di 0.5
sulle ultime due. Nel primo caso avremmo 10g per le monete autentiche e
11g per moneta num.12, unica ad apparire nelle pesate A,B oppure 8.1g
per le autentiche e 7.6g per la moneta num.3, unica ad apparire nelle
pesate C,D. Come fare per evitare questa ambiguita'?
Il trucco sta nell'aggiungere una o due monete sicuramente autentiche in
C o in D.
Noi decidiamo di aggiungere 2 monete in C, che diventa: C = 2,3,14,15 +
8,9.
A questo punto possiamo fare uno schemino che ci da per ogni moneta
sospetta lo scompenso ottenuto confrontando le pesate 4C-6D e B-2D che
sarebbero =0 con monete tutte uguali.
Monete  1  2  3  12  13  14  15
4C-6D  -6  4 -2   0  -6   4  -2
B-2D   -1  0 -2   1  -1   1  -1     (Tab1)
In questo modo la moneta diversa puo' essere individuata
inequivocabilmente. es:
A=81, B=81, C=60, D=40, non da adito a dubbi
4C-6D = 240-240 = 0
B-2D  =  81- 80 = 1   
E' la moneta num.12 piu' pesante di 1.
Un'altro es: A=79.5, B=79.5, C=59.5, D=40
4C-6D = 238-240 = -2
B-2D  = 79.5-80 = -0.5  i due risultati stanno 4/1, cosi' e' la moneta
num.14 in A,B,C. In D sono tutte autentiche percio' 40/4 = 10g per le
autentiche e 9.5 per la num.14.
Il problema in questo modo e' completamente risolto.
Nel caso che le due prime pesate siano differenti, il sistema e' del
tutto analogo, le sospette sono quelle pesate una volta sola:
4,5,6,7,8,9,10,11. Procediamo con:
C = 6,7,10,11 + 3,14
D = 5,7,9,11
La distribuzione diventa:
MONETA  PESATE
  4      B      
  5      B,D
  6      B,C
  7      B,C,D
  8      A
  9      A,D
  10     A,C
  11     A,C,D
Potete vedere che i risultati delle pesate 4C-6D e B-2D sono identici a
quelli ottenuti nel caso precedente, (Tab1) la corrispondenza per le
monete 1,2,3,12,13,14,15 e' rispettivamente 9,10,11,4,5,6,7 c'e' in piu'
la moneta num 8, che e' presente solo nella pesata A, e da' 4C-6D = B-2D
= 0.
Spero sia tutto chiaro.
:)dario

Penso sia giusta la tua soluzione ( come hai fatto cosi' in fretta ?).
Io , dopo 3 mesi , ne ho trovata un'altra :
pesata A (8 monete): 1,2,3,4,5,6,7,8
pesata B (7 monete):         5,6,7,8,9,10,11
Vi sono 2 alternative :
1- Otteniamo 8X per A e 7X per B ... in questo caso la moneta falsa e'
   chiaramente tra 12,13,14,15 e conoscendo ora anche il peso di una
   moneta buona con le 2 pesate che restano e' immediato trovare quale
   tra queste restanti 4 non pesa X.
2- Otteniamo 8X per A e 7Y per B ... allora la moneta falsa e' per forza
   di cose tra queste 11 monete.
pesata A (8 monete): 1,2,3,4,5,6,7,8
pesata B (7 monete):         5,6,7,8,9,10,11
pesata C (5 monete): 1,2,    5,6,    9
   a) Se la moneta falsa si trova tra 1 o 2 , allora con B si erano pesate
      7 monete buone e con A 7 buone e 1 falsa
      -> peso moneta buona Y
         peso moneta falsa 8X-7Y
         risultato pesata C : 4Y+8X-7Y = 8X-3Y
  b) Se la moneta falsa si trova tra 3 o 4 , allora con B si erano pesate
      7 monete buone e con A 7 buone e 1 falsa
      -> peso moneta buona Y
         peso moneta falsa 8X-7Y
         risultato pesata C : 5Y
  c) Se la moneta falsa si trova tra 5 o 6 , allora ...
ecc...
A questo punto rimarrebbe l'indecisione su 2 sole monete per cui sarebbe
banale trovare quella falsa con l'ultima pesata.
Ciao !!!!!


    tra queste restanti 4 non pesa X.
Va bene anche la tua, pero' e' leggermente piu' debole. Sei sicuro di
individuare la moneta falsa, ma non sei sicuro di conoscere il suo
esatto peso. Se e' fra 12,13,14,15 C=12,13 e se sono autentiche, D=14,
se anche 14 e' regolare, puoi dire che la difettosa e' la 15, senza
pero' sapere l'entita' ed il segno della differenza. 
Alla luce di questa esperienza, puoi immaginare un modo semplice per
individuare la moneta difettosa determinandone anche il peso fra 63
monete in 6 pesate?? Hai tutti gli elementi per riuscirci in pochi
minuti.
ciao :)dario