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Titolo: [MA] Quadro co (pe)rnicioso

Ho proposto ad un mio amico matematico il problemino della Bocconi e
lui, in cambio, me ne ha suggerito uno per voi. Spero di formularlo
correttamente.
Si voglia costruire un quadro rettangolare con cornice di spessore
unitario.
Il quadro nel suo complesso e' formato da una cornice e dal quadro
propriamente detto. La superficie della cornice deve essere uguale a
quella del quadro propriamente detto. Si vogliono soluzioni in
multipli interi dell'unita' di misura.
margravio

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L'amico in questione ha avuto un ripensamento, e teme che le soluzioni
siano piu' di quelle che lui ricordava; comincia e pensare si sia
dimenticato qualcosa nell'esposto. Per ora, quindi, accettate il
problema cosi' com'e' o attendete l'esposto corretto.
Ah, questi amici matematici!! :-)
margravio

 problema cosi' com'e' o attendete l'esposto corretto.
Per ora trovo solo due soluzioni:
S
P
O
I
L
E
R
!
Io la vedo cosi:
 ________________
|  ____________  |
| |     y      | |
| |x           | |x+2
| |____________| |
|________________|
       y+2
x e y devono essere tali che (x+2)*(y*2) sia il doppio di x*y.
Per prima soluzione cerco numeri tali che x+2=y e y+2 sia il doppio di x.
 Si ricava x=4 e y=6
Cerco poi soluzioni in cui x+2 sia la metà di y e y+2 sia quattro volte x
 Si ricava x=3 e y=10
Cerco poi soluzioni in cui x+2 sia un terzo di y e y+2 sia sei volte x
 Si hanno soluzioni non intere e quindi non accettabili (8/3 e 14)
Cerco poi soluzioni in cui x+2 sia un quarto di y e y+2 sia otto volte x
 Si hanno soluzioni non intere e quindi non accettabili (10/4 e 18)
Più in generale impongo (la parte scritta prima è per fare qualche esempio,
io sono partito con quello che segue):
x+2=y/n
y+2=2n*x
da cui si ricava
n*x+2n=2n*x-2   da cui
x=2(n+1)/n
ed x è intera solo per n=1 o n=2 (che sono le sol. prima trovate).
Un saluto,
GaS

 multipli interi dell'unita' di misura.
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spoiler
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3 x 10 e  4 x 6
Brute force  :o))
Ho appena visto un bel documentario dove si raccontava come
Reagan negli anni '80 avesse avviato il progetto per la stazione
orbitante permanente "occidentale" con il coinvolgimento degli
europei, da contrapporre e surclassare la vecchia Mir.
Dopo una dozzina d'anni e la spesa di 18 milioni di dollari, il
progetto naufrago' in un nulla di fatto e una nuova comunita'
mondiale, allargata dalla fine della guerra fredda, ha affidato il
progetto della stazione agli scienziati russi che tanta esperienza
avevano accumulato sulla Mir. Questi ci stanno riuscendo
abbastanza bene (e' la stazione che si sta realizzando anche con
lavoro nostro e dei giapponesi) e gli scienziati "occidentali"
interpellati per dare un giudizio sui colleghi russi sono stati
concordi nell'affermare che il successo e' dovuto ad un largo
uso della "brute force".
Avete sentito il botto?  E' Dom Perignon del '92  :o)))))
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 margravio
Io la vedo cosi:
 ________________
|  ____________  |
| |  ________  | |
| | |        | | |
| | |________| | |
| |____________| |
|________________|
Se costruiamo una cornice unitaria esterna ed una interna queste
differiscono di 8 unità (rispetto al perimetro, nell'esterna vanno aggiunti
quattro angoli, nell'interna vanno tolti). Dato che la cornice interna più
la porzione di quadro che resta in vista deve avere la stessa area della
cornice esterna, allora la porzione di quadro interna vale 8 quadretti, e
deve avere lati interi. Dunque deve essere 8*1 o 4*2. Di conseguenza il
quadro misura 10*3 o 6*4.
--
Ciao, Silv:o)

correttamente.
L'amico matematico vi saluta, vi fa i complimenti e vi invia questo:
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Le soluzioni trovate sono carine. Perché sono le uniche? 
Siano x e y le dimensioni dell'immagine: il problema equivale allora
all'equazione:
xy = 2x + 2y + 4 = 2(x+y +2) 
di cui si cercano soluzioni intere e maggiori di 0.
siccome 2 divide il prodotto xy deve dividere o x o y.
2 divida x, ovvero x=2k. Sostituendo nell'equazione
si ottiene rapidamente
(*) y(k-1)=2(k+1).
Di nuovo: o 2 divide y o 2 divide k-1.
CASO 1: 2 divide y, ovvero y=2h. Si ottiene sostituendo in (*)
l'equazione:
h(k-1)=k+1
questa equazione ha soluzioni intere solo per k=2 o per k=3, che danno
luogo però alle due coppie simmetriche
(x=4   y=6)
(x=6   x=4)
che evidentemente rappresentano però lo stesso quadro.
Di conseguenza il primo caso fornisce una sola soluzione.
CASO 2: 2 divide k-1.
Il che è come dire che k deve essere un numero dispari. Sia k=2s+1.
Sostituendo nell'equazione e semplificando si ottiene:
sy=2(s+1)
Ora i numeri s e s+1 sono primi fra loro (non hanno cioè divisori in
comune eccetto 1.Una proprietà elementare dei numeri afferma: "se un
numero divide un prodotto ed è primo con uno dei fattori, allora
divide l'altro". Di conseguenza s+1 deve per forza dividere y, il che
porta alla conseguenza che, se y=u(s+1), deve essere 
su=2.
Ci sono quindi solo due coppie di soluzioni possibili, (s=1 e u=2)
oppure (s=2 e u=1).
La prima fornisce per x e y i valori (x=6 e y=4) che si era già
trovata nel CASO 1 (infatti y è divisibile per 2 ...); la seconda
fornisce invece una nuova soluzione e precisamente
x=10 y=3
La discussione fatta dimostra che le due soluzioni (6,4) e (10,3) sono
le uniche soluzioni possibili.
margravio

 Siano x e y le dimensioni dell'immagine: il problema equivale ...
ecc..
Dico solo una cosa.
Il tuo amico è inguaribilmente un matematico. Con tutti i pro e i contro che
non sto qui a puntualizzare, per non scatenare guerre di religione.
Non ha disegnato il quadro? Io mi immagino proprio una scena dipinta su una
tela quadrettata e circondata da un cornice pure lei con le sue tacche
regolari.
Per altri non vale neanche la pena di fare considerazioni: due cicli for
annidati, guardi cosa stampa e in due secondi concludi.
C'è spazio per tutti, per fortuna.
--
Ciao, Silv:o)

Il tuo amico è inguaribilmente un matematico.
Confermo che sia un matematico. [Mi sento tanto Manzoni:" voi mentite
ch'io sia vile"  :-)]
Inguaribile non so, diamogli una speranza!
Ma devo dire che quando mi ha telefonato per dirmi che aveva risolto
il problema dei rettangoli, ha cominciato a parlare di x e di y
eccetera. Io, che avevo apprezzato assai la tua soluzione, che tra
l'altro aveva il pregio notevole che la capivo pure io, ho provato a
dirgli: ma immaginati i rettangoli e poi togli i lati d'angolo esterni
in modo da fare una specie di croce; lui mi ha bloccato affermando che
ragionava meglio nell'altro modo.
Certo che penso sia una dote naturale, sviluppata nel tempo, quella
tua di "vedere" con tanta lucidita' le soluzioni.
Credo che la "brute force" di Livio sia utilissima per non stare a
menarsela tanto e trovare le soluzioni ai problemi.
Ritengo che uno spazio per la matematica delle x e delle y ancora ci
sia, ma attendo conferma.
Gli enigmi che mi si pongo sono:
come usare al meglio persone che eccellono per queste caratteristiche?
all'universita' glielo dicono che la stazione russa va avanti grazie
alla "brute force"?
come cambia la matematica?
margravio

 bloccato affermando che ragionava meglio nell'altro modo.
Confesso: di solito uso x e y e brute force e solo DOPO vado a caccia di
soluzioni più eleganti.
O meglio, DURANTE. Perché se il problema è geometrico uno schizzo lo butto
giù, anche se solo per ricordarmi chi era x e chi y. E nel frattempo il
programmino è già partito.
D'altra parte il mondo geometrico si è sviluppato grazie al supporto
matematico-formale.
Ad esempio, come si potrebbe formalizzare la soluzione che ho proposto?
da  xy = 2x + 2y + 4 si ottiene
x(y-2) = 2y + 4
x(y-2) = 2(y-2) + 8
(x-2)(y-2) = 8
dalla quale si deduce subito che le sole fattorizzazioni possibili sono 1*8
e 2*4
--
Ciao, Silv:o)