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Titolo: Triangolo Equilatero

                        A
                        /\
                       /  \
                      /    \
                     /      \E
                    /   . ° .\
                  D/. °     . \
                  /   .     .  \
                 /      .   .   \
                /         . .    \
               /_ _ _ _ _ _ . _ _ \
              B             A      C
Un triangolo equilatero viene piegato lungo la linea DE in modo tale da 
far cadere il vertice A sulla base BC.
Conoscendo la misura di AD=x e AE=y, calcolare la lunghezza del lato.



Ci provo, chiamando F il punto che nella figura è chiamato A sul lato BC
(per evitare confusione).
s
p
o
i
l
e
r
Il triangolo DEF è congruente al triangolo ADE (per costruzione), quindi
l'angolo <DFE=60°. Chiamati poi <BFD=a e <CFE=b troviamo:
a+60°+b=180°, in quanto adiacenti sul lato BC. 
Ma allora il triangolo CEF ha l'angolo in E pari ad a (essendo gli altri
due suoi angoli proprio b e 60°); in modo simile il triangolo DBF ha gli
angoli pari ad a, 60° e b. 
Allora i triangoli BDF e FEC sono simili, in particolare valgono le
proporzioni:
DF:EF=DB:FC e
DF:EF=BF:EC.
Dalla prima troviamo (detto l il lato):
FC=y(l-x)/x; 
dalla seconda troviamo
BF=x(l-y)/y.
Dall'uguaglianza BF+FC=BC possiamo quindi costruire un'equazioncella di
primo grado che ci fornisce la risposta:
l=2xy/(y+x-xy)
Va bene?

 wrote:

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lato = xy(x + y)/(x^2 +y^2 - xy)
Maurizio

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Evito di spoilerare... scriveresti il procedimento?


Ci provo io anche se è più difficile (e lungo) scriverla che capirla :o)
S
P
O
I
L
E
R
                        A
                        /\
                       /  \y
                     x/    \
                     /      \E
                    /   . ° .\
                  D/. °     . \
                  /   .     .  \
                 /    x .   .y  \
                /         . .    \
               /_ _ _ _ _ _ . _ _ \
              B             F      C
Tutto sta nel notare che sono simili i due triangoli BDF e CFE, vediamo
perchè. Intanto è ovvio che l'angolo DFE è pari a 60° in quanto pari
all'angolo DAE, sia l'angolo CFE pari ad h, DFB sarà 180-(60+h)=120°-h e
quindi l'angolo BDF=h, i due triangoli hanno gli angoli uguali e quindi sono
simili. Chiamiamo l il lato del triangolo e sia FC=u.
Nei due triangoli simili si possono imporre le similitudini:
BD:DF=CF:FE  che riscritta
(l-x):x=u:y  da cui si ricava
u=(l-x)y/x        (*)
altra similitudine è:
DF:FB=FE:EC  che si riscrive come
x:(l-u)=y:(l-y)  in cui, sostituendo la (*) si ricava proprio la formula di
Maurizio:
l=xy(x+y)/(x^2+f^2-xy)
Ciao,
GaS

Tutto sta nel notare
sě certo... io avevo postato la soluzione prima. Mi dici se trovi
errori?

 errori?
Il tuo procedimento č giustissimo, anche piů elegante del mio che non
essendomi accorto subito della similitudine ho usato la trigonometria.
Mi sa che hai semplicemente sbagliato a risolvere "l'equazioncella di
primo grado" finale...
Maurizio

primo grado" finale...
Ahahahah, che emerita gonade che sono. Grazie, hai perfettamente
ragione.

 errori?
Ti chiedo scusa, è andata cosi: trovo la soluzione e la scrivo, non riesco
però a mandarla perchè fastweb fa le bizze :o(
La mattina dopo mi collego e vedo due risposte: leggo (solo) la soluzione
della prima ed è diversa dalla mia, leggo la seconda ed è uguale: mando il
mio procedimento senza prendermi la briga di leggere quello tuo.
Scusa,
GaS

Ti chiedo scusa, è andata cosi:
ho già risolto, non ti preoccupare :-)