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Titolo: L'angolo APB

All'interno di un quadrato ABCD, c'è un punto P tale che:
PA=1
PB=2
PC=3
Qual è l'ampiezza dell'angolo APB ?


135°.
 
M.
 
-- 
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.


Naturalmente è giusto, ma mi piacerebbe conoscere la tua procedura.
ciao


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Intanto ti dico la mia. :-)
Chiamo L il lato del quadrato, X l'angolo ABP, Pi/2-X l'angolo PBC.
Scrivo un sistema di 2 equazioni 2 incognite:
 
L^2+2^2-2*2Lcos(X)-1^2=0
L^2+2^2-2*2Lcos(Pi/2-X)-3^2=0
 
... che non so risolvere analiticamente.
 
Quindi metto a occhio L=2.5 e X=30°, infilo il tutto in una Darwin Machine
nel mio amato Basic e dopo qualche minuto il quadrato "evolve" in:
 
L=2.797931
X=0.255495 (rad)
 
con un errore < 1e-5
 
da cui calcolo APB=134.9998° e ingegneristicamente mi accontento.
 
Ciao :-)
Livio
 
 
Per chi fosse interessato, il miniprogramma e' questo:
---------------------------------------------------------
Dim L, X, Pi, OldL, OldX, Err1, Err2, OldErr1, OldErr2
 
Pi = 4 * Atn(1)
OldX = Pi / 6			'valori iniziali ad occhio
OldL = 2.5
OldErr1 = OldL ^ 2 + 4 - 4 * OldL * Cos(OldX) - 1
OldErr2 = OldL ^ 2 + 4 - 4 * OldL * Cos(Pi / 2 - OldX) - 9
 
Evolvi:
    L = OldL * (0.995 + 0.01 * Rnd)	'mutazione casuale di +-0.5%
    X = OldX * (0.995 + 0.01 * Rnd)
    Err1 = L ^ 2 + 4 - 4 * L * Cos(X) - 1
    Err2 = L ^ 2 + 4 - 4 * L * Cos(Pi / 2 - X) - 9
 
If (Err1 ^ 2 + Err2 ^ 2) < (OldErr1 ^ 2 + OldErr2 ^ 2) Then	'errore quadratico
    OldL = L		'se le mutazioni diminuiscono l'errore, vengono accettate
    OldX = X
    OldErr1 = Err1
    OldErr2 = Err2
    If Abs(Err1) < 0.00001 And Abs(Err2) < 0.00001 Then		'uscita se errori<1e-5
        Text1 = Str(X) + Str(L) + Str(Err1) + Str(Err2)
        Exit Sub
    End If
End If
GoTo Evolvi

 Naturalmente è giusto, ma mi piacerebbe conoscere la tua procedura.
 
Ho usato anch'io il teorema del coseno, come Livio, però applicato in
modo diverso. Se L è il lato del quadrato, a è l'ampiezza dell'angolo
APB, b è l'ampiezza dell'angolo BPC, trovo:
 
L^2 = 1^2 + 2^2 - 4 cos(a)
L^2 = 2^2 + 3^2 - 12 cos(b)
2 L^2 = 1^2 + 3^2 - 6 cos(a+b).
 
Eliminando L trovo due equazioni in a e b, una delle quali mi dà:
 
cos(b) = [cos(a) + 2]/3,       (1)
 
mentre l'altra è
 
4 cos(a) = 3 cos(a+b).         (2)
 
Se ora sviluppiamo il secondo membro della (2) con la formula di
addizione del coseno, vi poniamo sin(a) = sqrt(1 - cos^2(a)), sin(b) =
sqrt(1 - cos^2(b)), sostituiamo cos(b) dalla (1) ed eleviamo tutto al
quadrato per eliminare le radici, otteniamo infine:
 
8 cos^3(a) - 10 cos^2(a) - 4 cos(a) + 5 = 0.
 
Questa si può fattorizzare così:
 
(4 cos(a) - 5)*(2 cos^2(a) - 1) = 0,
 
da cui la soluzione cos(a) = 5/4, che va ovviamente scartata, e le due
soluzioni cos(a) = +/- 1/sqrt(2).
 
La soluzione positiva tuttavia va scartata anch'essa, perché non
soddisfa l'equazione prima di elevare tutto al quadrato. Resta solo
 
cos(a) = - 1/sqrt(2)
 
da cui appunto a = 135°.
 
Vista la soluzione "semplice" mi sono chiesto se non esista una strada
più diretta, ma alla fine non so se sia una speranza fondata. Infatti se
guardo le espressioni per l'angolo b e per L non vedo affatto cose
"semplici".
 
Posso chiederti dove hai trovato questo problema? Mi pare di averlo già
visto da qualche parte ma non ricordo dove.


 "semplici".
 
Si' che c'e'!
Potenza della squadra e del compasso!
Ho provato a disegnarlo e la soluzione e' apparsa in tutta la sua evidenza!!!
Ora provo a mandarvi uno schizzo.
 


-------------------
Eccolo qua:
 
http://s23.postimg.org/744vpedbv/Quadrato_Di_Uri.jpg
 
 
Basta ruotare il triangolo PBC attorno a B, tracciare il segmento PP'
e il gioco e' fatto: l'angolo incognito appare come somma di un angolo
retto e di un angolo di 45°!
 
Ciao
Livio
 
 

 
http://s23.postimg.org/744vpedbv/Quadrato_Di_Uri.jpg
 
 
Bellissima!


 ha scritto:
 
 
 
La dimostrazione è perfetta, per la costruzione ho qlc problema a meno di
partire con la lunghezza AB opportuna o mi son perso qlc. saluti.


 > 
http://s23.postimg.org/744vpedbv/Quadrato_Di_Uri.jpg
 
 
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Per costruire il quadrato e il punto P usando squadra e compasso, devi
partire dal triangolo rettangolo isoscele PBP', poi con il compasso 1 e 3
trovi A, tracci il lato AB che non conoscevi, ricavi C, ecc...
 
Ciao
Livio
 
 
 


 
Bravo Livio !
 
Maurizio, il problema è apparso per la prima volta su Kvant, una rivista 
russa di fisica e matematica come M796 e riportato a pag. 162 in More 
Mathematical Morsels di Ross Honsberger, dove illustra la soluzione 
"ruotata" trovata per la prima volta da Murray Klamkin.