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Titolo: [REQ] Regoli Circolari Perfetti

Un regolo circolare perfetto (RCP) con t termini opportunamente posizionati,
copre tutte le distanze da 1 a n=t*(t-1), in un cerchio con n+1 archi (e'
compreso lo zero)
Vorrei inserire nel sito dell'archivio una tabella del genere:
t    n   n+1  posizioni
3    6    7   0,1,3
4   12   13   0,1,3,9
5   20   21   0,1,4,14,16
...
10  90   91   0,1,3,9,27,49,56,61,77,81
...
che potrebbe risultare utile per problemi futuri.
Qualcuno ha sotto mano i valori mancanti?
grazie
paolo

 Qualcuno ha sotto mano i valori mancanti?
t    n   n+1  posizioni
6   30   31   0,1,3,8,12,18
non e` molto, ma a mano non so andare oltre
Ciao, Silv:o)

 6   30   31   0,1,3,8,12,18
Ho trovato un po' di materiale. Necessita di una descrizione articolata.
Stasera la metto giu'.
Per il momento ecco  alcuni valori mancanti:
n+1
57    0,1,3,13,32,36,43,52
73    0,1,3,7,15,31,36,54,63
91    0,1,3,9,27,49,56,61,77,81,91
133   0,1,3,15,46,71,75,84,94,101,112,128
Ci possono essere piu' sol. per uno stesso n.
Ad es. ci sono 5 sol. differenti per n+1=31 con 6 posizioni.
A piu' tardi
:) dario

Richard Guy in "Unsolved Problem in Number Theory" dedica un paio di
pagine a questo argomento col titolo di Modular Difference Sets, per noi
RCP. Ecco cosa dice:
Singer ha dimostrato che un RCP puo' esistere solo se N (il numeri di
archi del nostro cerchio) e' della forma k^2+k+1, e che esiste sempre se
k e' un primo o una potenza di un primo. D'altro canto non si conoscono
sol. con k che non sia una potenza di un primo ed e' stato congetturato
che non ne esistino proprio.
Poi riporta 9 RCP con N da 3 a 91, che abbiamo gia' visto.
Piu' interessante il capitolo di T. O'Beine in Puzzles and Paradoxes.
Innanzi tutto se si ha una sol. per un dato N e' possibile ricavarne
altre differenti, con questo stratagemma.
Prendiamo ad es. N= 13  (0,1,3,9)
               x
               0    x
          12       1
       11             2
 
     10                 3 x
 
       9              4
     x    8        5
             7  6    
 
Ora procedo in senso orario contando r archi unitari come fossero 1,
ricordando quando incontro le x, e' evidente che dovro' fare r giri.
Con r=1 faro' i miei 13 passi 0,1,2,3.....12,0 incontrando le x in
0,1,3,9 come gia' visto.
Con r=2 faro' i 13 passi  0,2,4,6,8,10,12,1,3,5,7,9,11,0 incontrando le
x in 0,7,8,11
Producendo una nuova sol.
Se provo con r=3 mi ritrovo con 0,1,3,9 una sol. gia' vista. In questo
caso difatti esistono solo 2 sol.
Per ricavare tutte le possibili sol. per un dato N, occorre provere con
tutti gli r, da 1 a N-1.
Ma come fare per avere la sol. madre? Qui e' un po' piu' macchinoso.
Vediamo.
Indicando, come ha fatto Paolo, con T il numero di termini presenti in
un RCP, ci saranno T(T-1)/2 coppie, cosi' potremo coprire tutto il range
di N = T^2-T+1 unita'. Questo puo' essere sempre fatto  quando T-1 e' un
primo o una potenza di un primo. O'Beirne dice che per T-1 = potenza di
un primo, esistono procedure troppo complesse per essere descritte nel
suo libro, ma se T-1 ed N sono entrambi primi, c'e' un metodo abbastanza
semplice.
Mettiamo allora T = p+1, senza perdere di generalita' proviamo con p=5,
T=6 sappiamo gia' che N=31.
Possiamo vedere che N = p^2+p+1.
Noi dovremo esaminare tutte le espressioni x^3-Ax-1 per differenti
valori di A da 1 a p-1: se per alcuni x scelti fra 1 e p-1,
l'espressione e' multiplo di p, allora verra' eliminato il
corrispondente valore di A.
2^3-2-1 = 5       per  A=1
3^3-2*3-1 = 20    per  A=2
Nel nostro esempio per p=5, si elimina A=1 e A=2. Restano buoni i valori
A=3 e A=4.
Proviamo con A=3:
Incominciamo a scrivere una stringa di cifre che inizia con 001, poi
aggiungeremo altre cifre in questo modo ricorrente: l'ennesima cifra e'
= A(n_2)+n_3.
La quarta cifra sara' 3volte la seconda + la prima diventa 0010.
La quinta cifra sara' 3volte la terza + la seconda diventa 00103
Procedendo in questo modo si produce la stringa periodica di 31 cifre
0010314132042203244411242404421 
Gli zeri stanno in posizione 0,1,3,10,14,26, e provando con A=4 in
posizione 0,1,3,8,12,18.... Bingo!
:) ciao dario
PS. col metodo descritto si trova che per  N= 7,13,21,31,57,73,91
esistono rispettivamente 1,2,1,5,6,4,6 RCP differenti.

 Richard Guy in "Unsolved Problem in Number Theory" dedica un paio di
Che dire, siamo tutti ai tuoi piedi. Ma mica avrai un motore di ricerca per
la tua biblioteca, quindi almeno dicci come fai a trovare i riferimenti! Li
sai a memoria, almeno gli indici? hai delle schede perfettamente
organizzate? hai immesso tutto in un database con duemila chiavi di ricerca?
li hai scritti tutti tu con diversi pseudonimi e quindi te li ricordi?
Vabbè, volevo solo segnalare che nel bellissimo sito della Wolfram Research
trattano l'argomento e, pur non avendo molto di piu` che le definizioni,
hanno un'ottima bibliografia.
http://mathworld.wolfram.com/PerfectDifferenceSet.html
Ciao, Silv:o)

 k e' un primo o una potenza di un primo.
....sono alcuni giorni che sto lavorando su questi
"oggetti" curiosi ed avrei una domanda da fare che
forse risulta banale ma forse non lo e'.
Abbiamo visto gli RCP produrre combinazioni che
non hanno mai una coppia ripetuta......cosa cambia
se non volessimo avere nessuna terna, quaterna, etc.
ripetuta ? 
Gli RCP sono sempre utilizzabili ?
CiaO,
Massimo