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Titolo: Torneo di scacchi

Il circolo ricreativo ha organizzato un piccolo torneo di scacchi ad
eliminazione diretta. 
Ci sono 8 giocatori. I vincitori delle prime 4 partite, si sfideranno
nella semifinale, ed i 2 vincitori daranno luogo alla finalissima. In
tutto 7 incontri.
Sapendo che tutti i giocatori hanno la stessa chance, qual e' la
probabilita' che Aldo e Bruno, due dei partecipanti, si incontrino?
Generalizza per 2^n giocatori.
:) dario


Così su 2 piedi senza pensarci troppo direi :
       1
_______
  (2^n)-1
ma non ci giurerei.
22/7

 wrote in message
3A6F2B6B...@uriland.it...

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Se non ho toppato per la fretta, la probabilità che due
giocatori si incontrino su 8 partecipanti è 1/4
(1/7 + 1/14 + 1/28).
In generale, per 2^n giocatori la probabilità è 1/[2^(n-1)].
Nino

Dario Uri propone

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Ci risiamo!
Non capisco. Non capisco proprio.
In questo periodo sto portando avanti una campagna per abolire il calcolo
delle probabilità dalla scuola.
Questi problemi possono essere affrontati tutti con semplicissimi
argomenti di simmetria.
C'è una coppia avvantaggiata rispetto alle altre? NO
Quante possibili coppie di finalisti possiamo fare con 2^n giocatori?
2^n*(2^n-1)/2, TUTTE EQUIPROBABILI
Quindi la probabilità che proprio A e B vadano in finale è
2/(2^n*(2^n-1)), ovvero 1/(2^(n-1)*(2^n-1), 1/28 nel caso dell'esempio.
Altro ragionamento, sempre per convincersi del risultato:
Che probabilità ha Aldo di andare in finale? Dato che i posti sono 2 su
2^n candidati, direi 1/2^(n-1) (potevamo anche dire che A è il vincitore
della sua metà del tabellone). Stabilito un finalista, che probabilità ha
B di essere il suo avversario? Possiamo dividere i casi in cui A e B siano
o meno nella stessa metà, o inventare mille modi complessi, ma più
semplicemente possiamo rispondere: ha le stesse possibilità degli altri!
C'è un posto con 2^n-1 candidati, quindi 1/(2^n-1). Moltiplichiamo ed
abbiamo il risultato.
Insultatemi pure, ma io continuo la mia crociata. Abbasso il cdP!
Ciao, Silv:o)

"3,
14159265358
" ha scritto

a me risulta
1/2^(n-1)
(al momento di postare questa soluzione vedo che Nino Aspesi ha già
trovato lo stesso risultato; posto comunque il ragionamento che ho
seguito)
spoiler
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.  A 1  2 2  4 4   4 4
.  | |  | |  | |   | |
.   O    O    O     O
.   |_  _|    |__ __|
.      O         O
.      |____O____|
Rappresentando in questo modo la tabella degli incontri, e fissando la
posizione  di Aldo nel punto A, Bruno potrà trovarsi
in posizione 1 con prob. 1/7
in posizione 2 con prob. 2/7
in posizione 4 con prob. 4/7
generalizzando per 2^N giocatori, le rispettive probabilità risultano
2^0/(2^N-1)
2^1/(2^N-1)
2^2/(2^N-1)
....
2^(N-1)/(2^N-1).
per ciascuna di queste posizioni, la condizione perché A e B si
incontrino è
che ciascuno dei due vinca tutte le partite necessarie per portarli
sulla
stessa linea del tabellone, cioè
0 partite, prob. 1 nel primo caso
1 partita ciascuno, prob. 1/2*1*2=1/4 nel secondo
2 partite ciascuno, prob 1/4*1/4=1/16 nel terzo
ecc.
ossia, sempre generalizzando per 2^N giocatori
1/4^0
1/4^1
1/4^2
...
1/4^(N-1)
moltiplicando i termini corrispondenti e sommando
1/(2^N-1)*(1/2^0+1/2^1+1/2^2+...+1/2^(N-1))
considerando che la sommatoria tra parentesi è uguale alla differenza
tra 2
e l'ultimo termine della sommatoria stessa
p=(2-1/2^(N-1))/(2^N-1)
e, con alcune semplificazioni
p=1/(2^(N-1))
cioè per 8 giocatori, N=3
p=1/4
Il fatto di trovare un risultato così *tondo* mi fa pensare che forse ci
potrebbe essere un metodo più diretto
ciao
paolo
Sent via Deja.com
http://www.deja.com/

Scusate!
Preso dalla foga avevo capito male la domanda.
Credevo che A e B si dovessero incontrare *in finale*.
Chiedo umilmente scusa.
Silv:o((((((((

Dario Uri chiede

Ho toppato il primo intervento, ma non rinuncio all'idea della simmetria.
Come dice Paolo, ci DEVE essere un metodo semplice. Ecoolo qui:
Ogni coppia ha la stessa probabilità di scontrarsi, nel torneo. Voglio
dire che quel che è vero per A e B lo sarà anche per A e C e così via.
Diciamo che ognuna delle 28 coppie ha probabilità X di incontrarsi. Quindi
vuol dire che il numero degli incontri sarà 28*X. Ma sappiamo che gli
incontri sono 7, da cui X = 1/4.
Generalizzando abbiamo X = 1/2^(n-1)
Che ne dite, regge?
Silv:o)

 delle probabilità dalla scuola.
Caro Silvio
la tua campagna può essere condivisibile in linea di principio, purché
non diventi una crociata dove i princìpi prevalgono sul resto e
facciano perdere di vista la realtà delle cose.
:-)
Per esempio, nel problema in questione, si chiedevano le probabilità che
Aldo e Bruno si incontrino, NON la probabilità che si incontrino IN
FINALE...
Io l'ho risolto calcolando diverse probabilità, ma, come ho detto al
termine del mio post, ritengo possibile che esistano soluzioni più
dirette e più semplici. Se ce ne sono, ben vengano.


 dirette e più semplici. Se ce ne sono, ben vengano.
Già cosparso il capo di cenere prima del tuo intervento, grazie :), e già
fornita una proposta di soluzione semplice.
Se i server delle news propagassero i messaggi con più rapidità, oltre ad
evitare di essere ripreso, avrei visto la tua soluzione prima di spedire
il mio intervento, e dato che era l'unica a contenere un'analisi avrei
capito di aver male interpretato.
Comunque la campagna prosegue. Problemi come quello proposto da Dario sono
veramente insidiosi, e in genere l'intuizione arriva - se arriva - DOPO
che l'analisi di casi e sottocasi ha fornito il risultato, tanto semplice
da apparire sospetto. Ciò non toglie che probabilmente varrebbe la pena
cercare di fare certi discorsi di simmetria e di semplificazione prima di
aver visto il risultato tondo tondo.
Silv:o)

Ma perchè deve essere così complicato ??? :-(
Scusate:
Al primo turno hanno un 1/7 di probabilità di beccarsi.
Che bisogno c'è di fare calcoli per i turni successivi che ABBASSANO la
PROBABILITA'.
In un problema come questo si deve cercare la probabilità migliore, QUINDI
AL PRIMO TURNO--------> Quindi 1/7
Che c'entra cosa succede dopo ????
Hanno o no come probl. migliore di incontrarsi con 1/7. Si !!
Quindi..............
Sono disponibile a qualsiasi tipo di confutazione.
:-))
22/7

 In un problema come questo si deve cercare la probabilità migliore,
????
Cosa intendi per *probabilità migliore*?
Non mi sembra che tu abbia le idee troppo chiare, scusa.
Se io ti dicessi:
Lancio una moneta e decido se ucciderti o no.
Se ti salvi la prima volta rilancio la moneta e decido se ucciderti o no,
e così via per 100 volte.
Hai una probabilità su due di morire al primo turno. Una volta su 4
morirai al secondo turno e via dimezzando.
Avresti il coraggio di dire: La probabilità maggiore di morire ce l'ho al
primo turno, quindi ho il 50% di probabilità di salvarmi?
Silv:o)

 Non mi sembra che tu abbia le idee troppo chiare, scusa.
Si hai ragionem scusa, mi sono riletto, che cavolate ho detto !!!!  :-((
La fretta !!!!!
E la superficialità nel ragionamento !!!
Però si da per scontato che entrambi vincano le partite.
Se al primo turno uno perde o tutti e due, la prob, rimaneva 1/7
Questa è l'unica certezza. Quello che succede dopo svincola dal calcolo
probabilistico. IMHO
O meglio, rientra anche qui, ma è un problema a parte.
Sono consapevole che potrei aver detto una ca**ata !!!
Secondo te?
:-)
22/7

 O meglio, rientra anche qui, ma è un problema a parte.
"a parte" rispetto al calcolo delle probabilità del primo turno. Ma
necesario per il computo totale.
Silv:o)


E' esattamente il ragionamento che d'acchito avevo fatto
quando ho postato la mia soluzione (che ho poi confermato
con le considerazioni seguite anche da Paolo Licheri).
Nino

 Generalizzando abbiamo X = 1/2^(n-1)
Io ho usato lo stesso metodo di Paolo.  Questo pero' mi piace di piu' .
Complimenti a te e Nino.
A proposito,  Nino,  ho una dolcissima gatta tutta chiazze rosse e nere,
potrebbe corrispondere a quello che Alfonso e' andato in cerca per un anno.
ciao :) dario


Non č che stasera č in compagnia di un gattone bianco a chiazze nere?
(Alfonso č da stamattina in libera uscita)...
Ciao, Nino