Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: La foresta 'intera'

Su un libro di enigmi che mi hanno regalato ho trovato questo, ma la
soluzione proposta non mi soddisfa molto...
Consideriamo una foresta composta da n alberi, posta su un piano.
Dimostrare che se presi due alberi a caso la loro distanza e' un
numero intero, allora tutti gli alberi giacciono sulla stessa retta.
La soluzione proposta usa dei fasci di iperboli, ma il caso usato per
la soluzione, con n=3, per me non vale, xche' ho infiniti triangoli
con lati interi (basti pensare ai triangoli equilateri). Io sarei piu'
propenso per una soluzione per induzione, tipo:
- 4 alberi che soddisfino le condizioni iniziali devono stare su una
retta (i casi con n=1 e n=2 sono banali, n=3 e' un caso anomalo)
- dati n alberi su una retta che soddisfano le condizioni iniziali, se
ne aggiungo uno, questo deve stare sulla stessa retta.
Purtroppo, non riesco a tirarne fuori una soluzione decente (anche
ragionando per assurdo). Qualcuno mi puo' aiutare?
Grazie!
Bye by SixaM 8-]
P.S. Mi basterebbe anche una conferma che la soluzione con le iperboli
e' l'unica possibile...

 numero intero, allora tutti gli alberi giacciono sulla stessa retta.
Hm... forse non ho capito qualcosa. Considera quattro alberi disposti ai
vertici di un rombo con lato 5 e diagonale maggiore 8...
Ale90

 Grazie!
Mah! Forse non ho capito il problema ma l'enunciato non mi sembra
corretto: non solo 3 è un caso anomalo ma anche (almeno) 4, 5, 6 e 7.
n=4
Per dimostrare che l'enunciato non è vero basta piantare gli alberi ai
vertici di un rombo con lati 5 e diagonali di 8 e 6 (avendo quindi 4
triangoli pitagorici 3-4-5)
n=5
Come prima ma piantando un albero anche nel centro del rombo.
n=6
Piantiamo gli alberi ai vertici di un esagono irregolare con lati
5-6-5-5-6-5 usando 6 triangoli 5-5-6 al posto dei canonici X-X-X.
n=7
Come prima ma piantando anche un albero al centro dell'esagono.
Naturalmente bastava descrivere il caso n=7 che ingloba tutti i casi
con n minore, io però gli ho costruiti in quest'ordine e quindi....
C'è qualcosa che non ho capito io?
Ciao,
Gabriele

 ...
Forse non ho capito, ma a me sembra falso anche per n -> oo
Prendiamo n=7 e mettiamo 7 alberi su queste coordinate cartesiane:
A(-36,0)  B(-4,0)  C(0,0)  D(4,0)  E(36,0)  F(0,3)  G(0,-3)
Qualunque coppia presa a caso ha distanza intera. La costruzione si
basa sulle prime due terne pitagoriche. Ma posso farne una analoga con
n=9 e le prime tre terne pitagoriche. Posso fare n=11 con le prime 4 e
cosi' via.
Ciao!!!  :o)
Livio


Mmm... mi sembra che ci siano delle coppie distanti sqr(97).
Ciao!!!  :o)
Livio


Decisamente.... :-(
Ciao,
Gabriele


pardon:
A(-36,0)  B(-20,0)  C(0,0)  D(20,0)  E(36,0)  F(0,15)  G(0,-15)
Ero troppo intento a trovare gli errori degli altri :o((
Ciao!!!  :o)
Livio

 numero intero, allora tutti gli alberi giacciono sulla stessa retta.
Presi due alberi a caso, la loro distanza e' *sempre* un numero intero, 
se non viene specificata una unita' di misura.
Definisci un po' meglio.

Pero' il problema di fare qualche forestina intera e' interessante.
Ad es., con n=6 si possono mettere su un rettangolo 3x2 cosi':
(0,0) (11,0) (91,0) (0,60) (11,60) (91,60)
Si potra' fare di piu', ad es. un rettangolo 4x2 o un 3x3 o piu'?
Ciao!!!  :o)
Livio



Si puň generalizzare cosě
sull'asse y due punti di ordinata +H e -H
dove H=A1*A2*B1*B2*C1*C2.....
essendo (A1,A2), (B1,B2) ecc. coppie di cateti di triangoli pitagorici
sul'asse x punti di ascissa
H*A1/A2, H*A2/A1, H*B1/B2, H*B2/B1, ecc
e i corrispondenti valori negativi, oltra al punto (0,0)
s.e.o.o.
ciao
paolo


Yes Sir!
Con H=240 si ottengono gia' 65 alberi complessivamente.
Ciao!!!  :o)
Livio

> Su un libro di enigmi che mi hanno regalato ho trovato questo,...
Di che libro si tratta se è lecito?

 Definisci un po' meglio.
Il teorema va letto come "se per ogni coppia di alberi la distanza è un 
numero intero...".
Ovviamente il discorso dell'unità di misura non c'entra, dato che 
intervengono problemi di commensurabilità.