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Titolo: numeri primi e terne pitagoriche

Per quali valori dei numeri primi  p e p_1 è verificata l'
uguaglianza :
                     (p^2+1)/2 = p_1^2.
Dopo semplici calcoli di algebra si arriva a determinare delle
particolari terne pitagoriche del tipo:
                     x^2 = y^2 + (y+1)^2
con x = p_1 e con 2y+1= p ( numeri primi).
esempi:
per x= 5 e per y = 3, si ha:
5^2 = 3^2+4^2 ; e, quindi, (7^2+1)/2 = 5^2
per x=29 e per y=20, si ha:
29^2 = 20^2+21^2; e, quindi (41^2+1)/2 = 29^2
Ne esistono delle altre ?
Ciao, Vincenzo Librandi
vli...@tin.it
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                      (p^2+1)/2 = p_1^2.
La prossima sol. e' :
63018038201^2 + 1
----------------- = 44560482149^2
      2
Vediamo come ci si puo' arrivare.
Innanzitutto, come da te suggerito, cerco le terne
pitagoriche con i cateti consecutivi.
Chiamando X e Y i cateti e Z l'ipotenusa, ricordo che  le
terne prime sono generate da:
X= m^2-n^2
Y= 2mn
Z= m^2+n^2
Poiche' i cateti devono essere consecutivi posso scrivere
m^2-n^2+1=2mn   oppure   m^2-n^2=2mn+1  ovvero  (m-n)^2 =
2n^2+-1.
Che si puo' riscrivere in forma di una veraPell 
(m-n)^2-2n^2 = +-1.
Non ho dimestichezza con questa roba, e per non rischiare di
rimanere sPellato, procedo cautamente con una delle mie
belle tabelline.
Per prima cosa mi scrivo i valori di n che fanno si' che
2n^2+-1 sia un quadrato = 1,2,5,12,29,70,169...si nota
subito che in questa serie 
A(n) = 2A(n-1)+A(n-2) cosi' possiamo smettere di calcolare e
scriverli automaticamente. Ricavo:
    | 2n^2+-1= |       |    X=   |    Y=   |    Z=    |
 n  | (m-n)^2  |   m   | m^2-n^2 |   2mn   | m^2+n^2  |
____|__________|_______|_________|_________|__________|
1        1         2        3         4          5
2        9         5       21         20         29
5        49       12      119        120        169
12      285       29      697        696        985
29      1681      70     4059       4060       5741
70      9801     169     23661      23660      33461
169    57121     408    137903     137904     195025
408   332929     985    803761     803760    1113689.....
Guarda guarda.. gli m sono gli stessi n shiftati di un
posto, allora dalla sequenza
1,2,5,12,27,70,169,408,985,1378.... 
mi genero le ipotenuse sommando semplicemente 2 termini
consecutivi elevati al quadrato.
Spingendo un po' avanti con Ubasic, trovo che le ipotenuse
prime sono
5,29,5741,33461,44560482149,1746860020068409 di queste oltre
a 5 e 29 solo il quinto termine genera una soluzione.
ciao :) dario

Che si puo' riscrivere in forma di una veraPell 
Cosa vuol dire veraPell?
E` qualcuno dei tuoi infernali crittoanagrammi rompicapo?
-- 
Ci sentiamo  |  Remigio Zedda  || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio |                 ||==> E-mail: 
remi...@tiscalinet.it
-------------|      ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
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 Cosa vuol dire veraPell?
Dovrebbe essere una battuta in risposta ad un'equazione in
similPell proposta dal Filibustero in un thread precedente!
ciao :) dario







Complimenti Dario :-)


 


Se non ti dispiace aggiungo qualcosa.


 


P=X   ,P_1=Y


 


(X^2+1)/2=Y^2    => 
X^2+1=2*Y^2 => (1) X^2-2*Y^2=-1 Equazione di Pell


 


Si chiede di trovare X e Y primi.


In generale se X e Y,primi tra loro, sono soluzioni 
dell'equazione X^2-D*Y^2=±1 ,allora X/Y tende a sqrtD (diverso da un 
quadrato)


I primi
 valori X,Y che 
soddisfano l'equazione (1)sono:


 


F(n) 1 3 7  17 41  99  239  
577                
LIM     F(N)/G(N) =sqrt2


G(n ) 1 2 5 12  29  70 169  
408               n->inf




 


Si ha che:


1^2-2*1^2=-1


3^"-2*2^2=+1


7^2-2*5^2=-1


ecc


 


Teone di Smirne (II secolo) sapeva che se a/b è un 
approssimazione di sqrt2 allora (a+2b)/(a+b) è un approssimazione 
migliore.


Oltre a questa formula ricorsiva ci sono 
altre formule per ricavare i  valori X,Y.Dario fa notare che 
F(n)=2F(n-1)+F(n-2),ma ci sono infinite altre relazioni.Esempio : 
F(n)=3F(n-1)-F(n-2)-F(n-3) oppure F(n)=6F(n-2)-F(n-4) ecc e altre simili per 
G(n).


Invece per calcolare l'ennesimo valore di X si usa 
F(n)=ceil(sqrt2+1)^n per i valori pari di n e F(n)=floor(sqrt2+1)^n per i 
dispari.


P
er Y  
invece,G
(n)=F(n)/(sqrt2 ).


Fermat nel 1657 sfidò i matematici inglesi a 
trovare le soluzioni generali dell'equazione di Pell X^2-2*Y^2=±1.


Chissà se ha notato che a volte X e Y sono 
primi e se si è chiesto,come Vincenzo,se ci sono altre coppie :-) 


 


Per n<10000 :


G(n) è primo 
per n=2,3,5,11,13,29,41,53,59,89,97,101,167,181,191,523,929,1217,1301,1361,2087,2273,2393,8093.


F(n) è primo per  
n=2,3,4,5,7,8,16,19,29,47,59,163,257,421,937,947,1493,1901,6689,8087,9679.


Per n=2,3,5,29,59 sia X che Y sono 
primi.


Perciò le soluzioni conosciute sono 
4:       
X                                               
Y


                                                    
          
7                                               
5


                                                              
41                                             
29


                                                              
63018038201                             
44560482149


                                                              19175002942688032928599       
13558774610046711780701


 


L'equazione X^2-2*Y^2=+1 ha un unica 
soluzione  per X=3 e Y=2.


 


G(n) è primo solo se lo è n,come per la sequenza di 
Lucas¹
 e di Fibonacci e credo sia così anche per 
F(n) a parte 4,8,16.


 


Forse si può passare dalla sequenza di Lucas o 
Fibonacci a quella di F(n) o G(n),ma ancora non ho trovato nessuna relazione.Se 
si trovasse una relazione sarebbe molto più veloce la ricerca delle soluzioni 
perche esistono programmi che testano la primalità di tali numeri(il più grande 
numero primo di Lucas conosciuto è L(51169),
di 
Fibonacci è FIB(81839)  ).


 


Credo che la 5° sia molto grande.Sono molto 
rarefatte le soluzioni,mi domando se siano finite.Ma è più probabile il 
contrario.


 


Mi sorprende che Dario non abbia scoperto anche la 
4° soluzione visto che con Ubasic si può arrivare a 24 cifre senza problemi.Dopo 
tutto era il 59° termine delle serie F e G.Le soluzioni le ho trovate facilmente 
con Derive,visto che si possono testare i primi 100 in alcuni secondi e i primi 
1000 in pochi minuti :-)


 


Per ora è tutto,


Ciao 


 


 


 


¹ I numeri di Lucas sono definiti allo stesso modo 
dei numeri di Fibonacci,cioè: L(n)=L(n-1)+L(n-2)


 ma con valori iniziali L(0)=1,L(1)=3.Anche il 
rapporto di 2 numeri di Lucas consecutivi tende alla sezione aurea.


(Ricordo che i numeri di Lucas sono legati al 
test di primalità dei numeri di 
Mersenne)



X^2+1=3D2*Y^2 =3D&gt; (1) X^2-2*Y^2=3D-1 Equazione di Pell</FONT></DIV>
Potresti evitare di postare in MIME? Per me e` illegibile:-((


 On Thu, 7 Jun 2001 04:00:05 +0000 (UTC), Roberto NT wrote:
Il msg. di Roberto non appare, almeno per il momonto, su
news.libero.it
. 
Cosi' me lo sono andato a cercare in 
news.unina.it
, li'
c'e'.
Ottimo lavoro Roberto !
ciao :) dario



Uhm.. ho come la sensazione di essere usato come trampolino:-)))
