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Titolo: Primo fuori

Un sacchetto contiene 10 palline bianche, 20 palline nere e 30 palline rosse
tutte uguali nelle altre caratteristiche.
Senza guardare viene estratta una pallina per volta senza reintrodurla.
Qual è la probabilità che sia bianco il primo colore delle palline che
sparisce dal sacchetto?


Bello questo problema. Io ho trovato una probabilitŕ di...
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7/12.
Ho ragionato cosě: ho immaginato tutte le possibili estrazioni come tutti i 
possibili modi di disporre i 10 caratteri B, i 20 caratteri N e i 30 
caratteri R in stringhe di 60 caratteri. Le estrazioni in cui i bianchi 
escono tutti prima degli altri sono quelle in cui l'ultimo carattere B 
appare prima di almeno un R *e* almeno un N.
Viene piů facile ragionare al contrario, trovare cioč le stringhe che non 
soddisfano il problema, quelle in cui o B č l'ultimo carattere oppure 
l'ultimo B č preceduto da soli caratteri N oppure l'ultimo B č preceduto da 
soli caratteri R. Trovata la probabilitŕ totale p che questo accada, la 
soluzione al problema dato sarŕ 1 - p.
Es.:
probabilitŕ che finisca con B = 10/60 +
probabilitŕ che finisca con BN = 20/60 * 10/59 +
probabilitŕ che finisca con BNN = 20/60 * 19/59 * 10/58 +
e cosě via...
Ho fatto fare a Excel i calcoli e ho trovato il valore finale (1 - p) di 
7/12. Lo stesso valore lo si ottiene con 1 pallina bianca, 2 nere e 3 rosse. 
Il sospetto che dovesse essere cosě ce l'avevo, perň non saprei dimostrare 
formalmente perché: sě, percentualmente le cose non cambiano ma non credo 
che questo basti come dimostrazione... :-)
Tra l'altro il caso di 6 sole palline č anche verificabile manualmente 
analizzando una per una le 60 possibili estrazioni e questo mi conforta sul 
metodo adottato e il risultato trovato.
Ciao!
Giorgio

 wrote in message
news:49a1a577$0$6821$5fc...@news.tiscali.it...

Bello questo problema. Io ho trovato una probabilità di...

7/12.
Ho ragionato così: ho immaginato tutte le possibili estrazioni come tutti i
possibili modi di disporre i 10 caratteri B, i 20 caratteri N e i 30
caratteri R in stringhe di 60 caratteri. Le estrazioni in cui i bianchi
escono tutti prima degli altri sono quelle in cui l'ultimo carattere B
appare prima di almeno un R *e* almeno un N.
Viene più facile ragionare al contrario, trovare cioè le stringhe che non
soddisfano il problema, quelle in cui o B è l'ultimo carattere oppure
l'ultimo B è preceduto da soli caratteri N oppure l'ultimo B è preceduto da
soli caratteri R. Trovata la probabilità totale p che questo accada, la
soluzione al problema dato sarà 1 - p.
Es.:
probabilità che finisca con B = 10/60 +
probabilità che finisca con BN = 20/60 * 10/59 +
probabilità che finisca con BNN = 20/60 * 19/59 * 10/58 +
e così via...
Ho fatto fare a Excel i calcoli e ho trovato il valore finale (1 - p) di
7/12. Lo stesso valore lo si ottiene con 1 pallina bianca, 2 nere e 3 rosse.
Il sospetto che dovesse essere così ce l'avevo, però non saprei dimostrare
formalmente perché: sì, percentualmente le cose non cambiano ma non credo
che questo basti come dimostrazione... :-)
Tra l'altro il caso di 6 sole palline è anche verificabile manualmente


 Giorgio
Ho fatto una simulazioncina e trovo 0.3969+
Sbaglio? Puo' essere, sono arrugginito.
Ciao!!!  :o)
Livio
**********************************************
For n = 1 To 1000000
    A = 0
    B = 0
    C = 0
    Do
        S = Int(Rnd * 60)   '0..59
        If S < 10 Then      '0..9
            A = A + 1
        ElseIf S > 29 Then  '30..59
            C = C + 1
        Else
            B = B + 1       '10..29
        End If
    Loop Until A = 10 Or B = 20 Or C = 30
    If A = 10 Then m = m + 1
Next n
Text1 = Str(m / n)

 Text1 = Str(m / n)
Secondo me il problema è che fai estrazioni sempre su 60 palline non
tenendo conto di quali palline vengono estratte ad ogni passo. Hai
calcolato la P di estrarre 10 palline bianche prima di estrarne 20
nere o 30 rosse rimettendo ogni volta le palline negll'urna.
Ciao,
GaS

che.ni...@gmail.com
 ha scritto:
...
Ho provato a scrivere una simulazione in Mathematica,
e risulta con ottima approssimazione il risultato di Giorgio Vecchi:
favorevoli=0;totale=100000;
Do[nb=10;nn=20;nr=30;palline=60;
While[nb*nn*nr>0,x=Random[];
If[x<nb/palline,nb--,If[x<(nb+nn)/palline,nn--,nr--]];palline--];
If[nb==0,favorevoli++]
,{i,totale}];
favorevoli/totale/(7/12)
25023/25000
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani 

 wrote:

Confermo questo risultato. Io ho trovato una relazione ricorsiva per la
probabilità p[a, b, c] di finire prima le palline bianche, partendo con
a bianche, b nere e c rosse:
p[a, b, c] =
  (a/(a + b + c))p[a - 1, b, c] + 
  (b/(a + b + c))p[a, b - 1, c] + 
  (c/(a + b + c))p[a, b, c - 1]
con le condizioni al contorno:
p[0, b, c] = 1; p[a, 0, c] = p[a, b, 0] = 0.
La ricorsione, tuttavia, è troppo impegnativa dal punto di vista
computazionale quando i valori di a, b e c superano le poche unità. 
Tuttavia, prendendo spunto dal caso di due soli colori, che è facile:
p[a, b] = b/(a+b);
ho trovato una forma chiusa anche per tre colori:
p[a, b, c] = bc(2a + b + c)/((a + b)(a + c)(a + b + c)).
Si vede che questa soddisfa la ricorsione di sopra e le condizioni al
contorno. 
Inoltre il risultato è il rapporto di due polinomi omogenei di terzo
grado, il che spiega l'osservazione fatta da Giorgio:
p[ka, kb, kc] = p[a, b, c].
Questo fatto deve avere una spiegazione generale più profonda, ma per
ora non l'ho trovata.
Maurizio

 nere o 30 rosse rimettendo ogni volta le palline negll'urna.
E gia' che e' cosi'!
hai proprio ragione.
Ciao!!!  :o(
Livio


Il programmino di simulazione in basic, riveduto e corretto, da'
0.583+ coerentemente col risultato di Giorgio e degli altri.  :o)
---------------------------------------------------------------
Dim GiaEstratta(59) As Boolean
For n = 1 To 100000
    A = 0
    B = 0
    C = 0
    For j = 0 To 59
        GiaEstratta(j) = False
    Next j
    Do
        Do      'estrai se non e' gia' estratta
            S = Int(Rnd * 60)       '0..59
        Loop Until GiaEstratta(S) = False
        GiaEstratta(S) = True


 ora non l'ho trovata.
Buongiorno a tutti, e ben ritrovati!
Capito qui molto di rado, ma quando capito e ci sono problemi così
interessanti, ancora per fortuna ci resto impantanato.
Volevo trovare la "spiegazione profonda", come la chiama Maurizio: per
un paio di volte pensavo di esserci riuscito ma sono state solo
illusioni. La volevo trovare senza usare i numeri, che con i numeri è
evidente dalla formula postata da Maurizio.
In realtà, guardando alla genesi della formula la cosa è ancor più
evidente:
un colore, diciamo A vince se l'ultimo a essere sbussolato è un B
(prob. b/(a+b+c)) e il penultimo un C (prob. c/(b+c)) oppure
nell'altro ordine, ultimo un C e penultimo un B.
La formula, b/(a+b+c)*c/(a+c) + c/(a+b+c)*b/(a+b) in ogni termine è
composta da rapporti tra le quantità a,b,c, e questi ovviamente non
cambiano se li moltiplichiamo tutti per k.
Ciao, Silv:o)

 (prob. b/(a+b+c)) e il penultimo un C (prob. c/(b+c))
quest'ultima probabilità è, e nella formula più sotto l'avevo scritto
bene, c/(a+c)
Ne approfitto per chiarire che per penultimo a essere sbussolato non
intendo il colore che viene sbussolato quando restano due palline
nell'urna, ma il penultimo colore a sparire dall'urna.
--
Ciao, Silv:o)

 cambiano se li moltiplichiamo tutti per k.
Molto bella questa derivazione, complimenti, è molto più semplice di
come la vedevo io. Direi che anche per l'omogeneità questa potrebbe
essere la spiegazione migliore, a questo punto non so se ne esista una
giustificazione più fondamentale.
Maurizio
-- 
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

 come la vedevo io.
Mi associo! Già mi era piaciuta la tua formula, anche se non mi era chiaro 
come l'avessi ricavata, ma questa di Silvio è bellissima. Il fatto che tutta 
la complessità iniziale del problema si riduca a trovare la banale 
probabilità che una pallina di un certo colore sia in una particolare 
posizione e che una di un altro colore sia in un'altra ben precisa posizione 
tra le rimanenti è veramente molto elegante. La solita zampata di Silvio! 
:-)
Ciao!
Giorgio

 La solita zampata di Silvio!
Ora m'imbarazzate ;)
Io amo questo genere di problemi, lo sapete.
Qui ho subito immaginato il filmino delle estrazioni al contrario, per
cui per me è subito stato un problema di imbussolamento.
Il primo colore a sparire dal sacchetto è l'ultimo a essere
insacchettato.
La distribuzione del primo colore insacchettato è banale, è la
distribuzione della prima pallina insacchettata e come tutte le
distribuzioni di un singolo evento coincide con la distribuzione dei
colori; la distribuzione del secondo è simile: ponderando su tutti i
possibili primi insacchettati, abbiamo di nuovo un primo
insacchettamento tra i colori rimasti, che rispecchia come prima la
distribuzione di colori rimasti.
E così via per eventuali altri colori.
--
Ciao, Silv:o)

 La solita zampata di Silvio!
Ora m'imbarazzate ;)
Io amo questo genere di problemi, lo sapete.
.
.
.Non e' solo una questione di amare certi problemi
perche anche io li amo ma evidente m'ero perso nel
ragionamento poi postato da Giorgio per me gia' di
fatto molto elegante...
Leggere la tua soluzione e' "scuola" per me... ;)
M 

 E così via per eventuali altri colori.
...e questo giustifica l'omogeneità: l'ordine in cui i vari colori
appaiono/scompaiono dal sacchetto dipende SOLO dalla distribuzione dei
colori.
--
Silv:o)