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Titolo: Tutto per tutto

Qual è la vincita attesa del gioco di Pupo "Tutto per tutto"?
Per chi non ha sotto mano i vari valori, li riporto qui sotto:
I round
0, 0, 500, 1000, 1500, 2000, 2500, 3000, 3500, 4000, 4500, 5000
+ + + + + (cinque "più")
- - - - (quattro "meno")
II round
1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5
x x x x (quattro "per")
: : : : (quattro "diviso")
Ho un'idea ma volevo conferme.
Mariano Tomatis
www.marianotomatis.it

 Qual è la vincita attesa del gioco di Pupo "Tutto per tutto"?
come funziona?
ciao
marco

 come funziona?
Il concorrente inizia a 0.
Nel corso di 9 fasi, ogni volta sceglie un segno (più o meno) dalla lista a 
disposizione (composta da 5 più e 4 meno) ad esaurimento.
A questo segno si associa un valore dei 12 a disposizione, che ogni volta 
viene fuori casualmente.
Il concorrente deve chiudere in attivo alla fine delle 9 operazioni.
Esempio:
Prima fase: sceglie il + ed esce il 3000 [Parziale: 3000]
Seconda fase: sceglie il + ed esce il 4500 [Parziale: 7500]
Terza fase: sceglie il - ed esce il 5000 [Parziale: 2500]
...
e così via fino a esaurimento dei 9 segni.
La seconda fase è identica ma con i "per" e i "diviso" che sono in numero 
uguale, e i coefficienti che diventano quelli che ho indicato.
Esempio: supponiamo che il parziale dopo il primo round fosse 3000
Prima fase: sceglie il x ed esce il 5 [Parziale: 3000x5=15000]
Seconda fase: sceglie il : ed esce il 2 [Parziale: 15000 : 2 = 7500]
...
e così via fino a esaurimento degli 8 segni.
Nota: i valori che man mano escono casualmente vengono ogni volta elimitati.
Chiedevo quale fosse la vincita attesa media.
Mariano 

"Mariano Tomatis" <nospam_tom...@hotmailcom.invalid> ha scritto nel
messaggio news:6cHIg.1047$wD1...@tornado.fastwebnet.it...

in un mondo perfetto? 925.000 nella migliore delle ipotesi.....nella
peggiore non si può fare in quanto sotto zero, ma se mettiamo sia 1.000 euro
immagino la media sia 463.000.....o sbaglio?.

 immagino la media sia 463.000.....o sbaglio?.
"se mettiamo sia 1.000 euro", ma io chiedevo la vincita media.
Mariano 

"Mariano Tomatis" <nospam_tom...@hotmailcom.invalid> ha scritto nel
messaggio news:MpSIg.1550$wD1...@tornado.fastwebnet.it...

la vincita media matematicamente non è 463.000?....io mangiando da nonna me
lo sorbivo tutte le sere, almeno i dieci minuti finali, e le vincite erano
sempre dai2000 ai 5000....ma non è la media quella.....o forse sì?

 Il concorrente deve chiudere in attivo alla fine delle 9 operazioni.
Se esce un numero negativo finisce il gioco? Si conta vincita 0?.
Mi pare che sia difficile trovare un modo "analitico" per calcolare il 
valore atteso (a causa dei prodotti) forse mi sfugge qualcosa?
ciao
marco


No. Quando si parla di media statistica, per una variabile aleatoria
discreta (cioè un esperimento in cui i valori possibili sono in numero
finito o un'infinità numerabile) la media E[X] è pari a :
E [X] = somma (x*px)
dove x è il risultato dell'esperimento e px la sua probabilità. La
media,quindi, dipende dalla probabilità dei singoli eventi: la tua
formula andrebbe bene se tutte le vincite fossero distribuite in modo
uniforme, ma in questo gioco non è così. 

> la vincita media matematicamente non è 463.000?
Sarebbe folle! Quale TV presenterebbe un quiz in cui *mediamente*
regala 463 mila euro ogni sera?! :-)
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[SPOILER]
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Credo che la seconda fase sia ininfluente perché hai tanti "per"
quanti "diviso", ed essendo l'una l'operazione inversa dell'altra, il
valore atteso resti quello della prima fase.
La prima fase è diversa perché c'è un + in più. Quindi la vincita
media è quella di quella somma in più. A me viene 2291,67 euro.
Mariano Tomatis

 valore atteso (a causa dei prodotti) forse mi sfugge qualcosa?
Se alla fine della prima fase si ha un numero pari o inferiore a 0 il
gioco finisce.
Secondo me si può sfruttare il fatto che moltiplicazioni e divisioni
si annullano a vicenda.
Mariano Tomatis

 
Concordo sul fatto che si possano disaccoppiare le due fasi. Perchè se X 
è la vincita della prima fase, la vincita finale è X*Y dove Y è la 
frazione ottenuta concatenando molt. e divisioni della seconda fase. E 
siccome Y e X sono chiaramente indipendenti si ha E[X*Y]=E[X]*E[Y].
Quindi si può calcolare il valore atteso finale come prodotto del valore 
atteso della vincita nella prima fase, diciamo A=E[X], e frazione 
complessiva media ottenuta nella seconda fase, diciamo B=E[Y].
Non è lecito però dire che nella seconda fase si ottiene mediamente un 
fattore moltiplicativo 1, perchè la media dei prodotti è ben diversa dal 
prodotto delle medie.
Ipotizza che ci siano solo una moltiplicazione e una divisione, con 
fattori 2 e 5. La vincita media A della prima fase viene moltiplicata 
con prob. 0.5 per 2/5 e con prob. 0.5 per 5/2, e il valor medio è 
A*(2/5+5/2)/2=A*29/20.
Il fattore moltiplicativo medio è certamente maggiore di 1, perchè è 
ottenuto come somma pesata di valori del tipo (c+1/c)/2 che sono tutti 
maggiori di uno (ogni frazione è diversa da 1 e ha la stessa probabilità 
della sua inversa).
Sperimentalmente mi risulta un fattore maggiore di 2.2.
Quindi la vincita media dovrebbe essere circa maggiore di circa 7000 
euro. Altrimenti vuol dire che c'è qualcosa sotto... o semplicemente che 
ho sbagliato qualcosa nel mio ragionamento :)
Ora provo a mettere insieme le cose con una simulazione magari.
Ciao
marco

 ha scritto nel messaggio
news:%ySIg.55$Yc3...@nntpserver.swip.net...

X mariano (non trovo più il tuo post di risposta) ...cmq, non sono
ininfluenti i per e diviso!ci sono ben 2 uno che se presi cambiano eccome la
situazione!

 ininfluenti i per e diviso!ci sono ben 2 uno 
2 uno?
Nel posto originale c'era un solo 1.
ciao
marco

 Nel posto 
post

 post
si si ho sbagliato io scusate!

> non sono ininfluenti i per e diviso
Hai ragione.
Supponiamo di partire da 1000 ed avere soltanto un "per" e un "diviso", e i 
due numeri 2 e 5.
Le combinazioni possibili sono quattro:
1000 x 2 : 5 = 400
1000 x 5 : 2 = 2500
1000 : 2 x 5 = 2500
1000 : 5 x 2 = 400
Media: 1450
Anche con l'uno supponiamo di partire da 1000 ed avere soltanto un "per" e 
un "diviso", e i due numeri 1 e 2.
Le combinazioni possibili sono quattro:
1000 x 2 : 1 = 2000
1000 x 1 : 2 = 500
1000 : 2 x 1 = 500
1000 : 1 x 2 = 2000
Media: 1250
Mariano 

"Mariano Tomatis" <nospam_tom...@hotmailcom.invalid> ha scritto nel
messaggio news:sxZIg.2532$wD1....@tornado.fastwebnet.it...

......cosa sarebbe meglio fare,avendone 4, usare prima tutti i per o prima
tutti i diviso?

 wrote in message 
news:qQZIg.197$Yc3...@nntpserver.swip.net...

Questo e' ovviamente ininfluente.
frengo 

 ha scritto nel messaggio
news:44f49...@x-privat.org...

sicuro?, io preferirei usare tutti i diviso dal momento che piu il numero è
piccolo meno "perde" dividendolo.....ma son stanca posso dire una minkiata
è!

Puo' aiutare...
http://www.soldionline.it/SOL_Editoriale.nsf/alldocs/13BAB8C8528E3818C12571D1002D1D7C/
-- 
GTFedelissimo
Membro accolto con lode nella
Federazione Italiana Giovani Artisti 


Ciao,
in realtà hanno già cambiato qualcosa rispetto alle prime puntate della
trasmissione.
Ora ci sono due "5" nella seconda fase: evidentemente si sono resi conto che
i premi distribuiti erano troppo bassi, e si sa che i premi alti equivalgono
a maggiore share. Segno che la Endemol non ha fatto nemmeno troppo playtest
o una seria simulazione per constatare la media dei premi.
Inoltre ci si dimentica dell'ultimo elemento aleatorio del gioco, la scelta
del "per" e "diviso" finale (quella con le buste), che cambia parecchio il
montepremi accumulato.
In ogni caso io non ci perderei troppo tempo: è puro caso, ed è un peccato
che la meccanica di questo gioco, che poteva essere sfruttata facilmente con
l'aggiunta di un qualche elemento strategico, sia invece stata buttata via
così.
Spero finisca presto l'epoca di questi giochi, almeno in Rai, alla "gratta e
vinci", e dove l'abilità maggiore dei concorrenti consiste nel riuscire a
parteciparvi.
Francesco


Senza offesa, hai detto effettivamente una minchiata :-))
Ciao,
frengo 

 ha scritto nel messaggio
news:44f58...@x-privat.org...

figurati non mi offendo :o))....andavo solo ad intuito senza provare
...ritiro tutto allora ;o)))

 piccolo meno "perde" dividendolo...
Io preferirei usare tutti i per dal momento che più il numero è
grande più esplode moltiplicandolo...
Ma sbagliamo entrambi! Perché i due ragionamenti si annullano
vicendevolmente :-(
Mariano

 così.
Sì, il fatto che sia "puro caso" è assodato. La mia domanda (più 
interessante) riguarda la vincita media.
Dobbiamo usare simulazioni di Montecarlo o lo si può valutare 
analiticamente?
Mariano 

 
Sarebbe forse interessante trovare un calcolo analitico per il fattore 
medio ottenuto nella seconda fase, anche se non mi pare facile. E credo 
che il calcolo debba cmq passare per una somma di diversi "pezzi" visto 
che non c'è una piena regolarità nei coefficienti (un 1 e due 5).
Per la prima fase invece, il fatto di forzare a zero i valori negativi 
rende il calcolo analitico poco allettante (imho).
ciao
marco

 ha scritto nel
messaggio news:1157060028.4...@m79g2000cwm.googlegroups.com...



**si, me lo han fatto notare e ora me ne rendo conto...!:o(
--
Barbara
Bart: Lisa, tutti in città si comportano come me. Perché fa tanto
schifo, allora?
Lisa: Semplice. Ti sei definito un ribelle e, in assenza di una
sovrastruttura repressiva, la tua nicchia nella società è stata
incorporata.
Bart: Capisco


Non ho esaminato la prima fase (quella delle somme e sottrazioni).
Con pazienza certosina ho invece calcolato il fattore medio nella
seconda fase (quella delle 4 moltiplicazioni e divisioni), che, salvo
errori di calcolo, risulta pari a 2,299744836 (cioè molto prossimo
a quello sperimentale di Marco Dalai).
In pratica, ho supposto di effettuare prima le 4 moltiplicazioni
(e poi le 4 divisioni); essendo i valori da moltiplicare (e dividere)
4 su 12, ci sono 495 combinazioni (4 moltiplicazioni), ciascuna delle
quali è a sua volta costituita da 70 combinazioni (divisioni da
effettuare per 4 degli 8 valori rimanenti), per un totale di 34650
casi possibili.
Di seguito riporto il fattore medio che si realizza verificandosi
ciascuno dei 47 casi (4 valori che si possono moltiplicare):
Valori delle 4     Combinazioni    Fattore di vincita medio
moltiplicazioni
---------------    ------------    ------------------------
 1-2-2-2                1                0,04032
 1-2-2-3                9                0,07762
 1-2-2-4                9                0,11976
 1-2-2-5                6                0,16460
 1-2-3-3                9                0,14866
 1-2-4-4                9                0,36813
 1-2-5-5                3                0,65270
 1-2-3-4               27                0,22840
 1-2-3-5               18                0,31295
 1-2-4-5               18                0,47824
 1-3-3-3                1                0,28314
 1-3-3-4                9                0,43318
 1-3-3-5                6                0,59163
 1-3-4-4                9                0,66067
 1-3-4-5               18                0,90030
 1-3-5-5                3                1,22489
 1-4-4-4                1                1,00453
 1-4-4-5                6                1,36587
 1-4-5-5                3                1,85433
 2-2-2-3                3                0,25812
 2-2-2-4                3                0,39598
 2-2-2-5                2                0,54187
 2-2-3-3                9                0,49066
 2-2-3-4               27                0,74943
 2-2-3-5               18                1,02217
 2-2-4-4                9                1,14099
 2-2-4-5               18                1,55265
 2-2-5-5                3                2,10937
 2-3-3-3                3                0,92716
 2-3-3-4               27                1,40979
 2-3-3-5               18                1,91652
 2-3-4-4               27                2,13676
 2-3-4-5               54                2,89821
 2-3-5-5                9                3,92485
 2-4-4-4                3                3,22844
 2-4-4-5               18                4,36931
 2-4-5-5                9                5,90443
 3-3-3-4                3                2,63539
 3-3-3-5                2                3,57087
 3-3-4-4                9                3,97629
 3-3-4-5               18                5,37589
 3-3-5-5                3                7,25725
 3-4-4-4                3                5,98095
 3-4-4-5               18                8,06905
 3-4-5-5                9               10,87054
 4-4-4-5                2               12,07619
 4-4-5-5                3               16,23677
Ciao, Nino 



Secondo me invece somme e sottrazioni si annullano a vicenda (nel calcolo 
del valore atteso per la vincita), ma questo non vale per le moltiplicazioni 
e le divisioni. Mi spiego con un esempio.
Supponiamo ci siano un "per" e un "diviso" e due soli moltiplicatori "1" e 
"2".
Se il concorrente trova il per 2 e il diviso 1 allora la vincità sarà 2x, 
altrimenti sarà x/2. Il valore atteso della vincita sarà pertanto (2x + x/2) 
/ 2 = 5/4 x.
Papageno 

Ho fatto una simulazione e i risultati sono i seguenti:
FASE 1:
Strategia 1: Scelta random dei segni
In questo caso la probabilità di non passare la fase 1 (cioè di
ottenere un premio inferiore a 0) e’ circa del 35.5%. Il valore atteso
della vincita e’ di circa 2,300 Euro con una mediana di 2,500 Euro.
Come gia' detto precedentemente questi valori sono nell'ipotesi che
anche valori negativi siano validi. Se i valori negativi vengono
portati a zero il valore atteso diviene ~3,450 Euro con una mediana
pari a 2,500 Euro
Strategia 2: Scelta dei segni (prima tutti + e poi tutti -)
In questo caso la probabilità di non passare la fase 1 (cioè di
ottenere un premio inferiore a 0) e’ ancora circa del 35.5%. Il valore
atteso della vincita e’ ancora di circa 2,300 Euro.
Strategia 3: Scelta dei segni (Se il valore uscito a t-1 e maggiore
della media dei valori rimanenti scegli – altrimenti +)
In questo caso la probabilità di non passare la fase 1 (cioè di
ottenere un premio inferiore a 0) e’ ancora circa del 35.5%. Il valore
atteso della vincita e’ ancora di circa 2,300 Euro.
Sembra che la fase 1 sia basato sulla fortuna, cioe' poco dipendente
dalla strategia di scelta segni. 
FASE 2:
Simulando la fase due usando come input la distribuzione di risultati
della fase uno mi risulta che il valore atteso di fase 1+ fase 2 sia di
9,350 Euro anche se la mediana e' 1,111 Euro. Mentre la probabilita' di
vincere piu' di 100 K Euro e' solo del 1,46%. Di sotto la distribuzione
dell'outcome del gioco 
5%	0
10%	0
15%	0
20%	0
25%	0
30%	0
35%	0
40%	312.5
45%	666.7
50%	1111.1
55%	1666.7
60%	2475
65%	3555.6
70%	5000
75%	7000
80%	10000
85%	15000
90%	23730.5
95%	44444.4
Max	925000
Spero di non aver sbagliato visto che la fase 2 l'ho fatta un po'
rapidamente.
Fatemi sapere se qualcuno ci si ritrova
saluti
Franz
PS: le simulazioni le ho fatte con 100,000 e 200,000 iterazioni e
cambiano di poco. I valori li ho arrotondati un po'.
-- 
franz
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