Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Chi è avvantaggiato ?

Io e un mio amico facciamo a volte un gioco.
Lui mi chiede secondo me che ore sono.
Per esempio io dico che sono le 12.15
Lui deve dire se secondo lui l'ora giusta è prima o dopo le 12.15, e se
indovina, vince lui.
Per esempio lui dice che le 12.15 sono passate.
Vediamo l'orologio, sono le 12.17 e quindi la vittoria va a lui.
Mentre se per esempio fossero state le 12.13 avrei vinto io.
Ci chiediamo, chi (a parità di capacità di stimare l'orario giusto)ha
maggiori probabilità di vincere questo giochino : colui che dice
l'orario iniziale, o colui che rispetto a quell'orario può se l'ora
giusta è prima o dopo.
Io dico che ha maggiori probabilità chi agisce per secondo, dicendo se
l'ora giusta è prima o dopo quella indicata dall'altro.
Il mio amico invece dice che è avvantaggiato il primo.
Voi che ne pensate ?
-- 
Posted via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

Voi che ne pensate ?
Manca una regola: quand'e` che uno azzecca l'ora?
Potrebbe essere ad esempio +o- 15".
Si puo` giocare velocissimamente con l'orologio
per gli scacchi:-)
-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1

 Voi che ne pensate ?
Penso che puoi sfruttare il fatto che il tuo amico erroneamente crede di
essere avvantaggiato per farlo giocare sempre per primo.
Se il tuo amico e' veramente convinto di questo puoi fare finta di essere
d'accordo con lui e di accettare di farlo giocare per primo salvo avere
una differenza nel pagamento della posta.
Ovviamente io come te penso che hai ragione, quindi ti 
incoraggio a beffare due volte il tuo amico, giocando
in posizione avvantaggiata e facendogli credere il contrario.
Senno', a che servono gli amici?
-- 
Look at my Uahlim's Ambipur gallery: 
http://www.revil.it/ambipur

 
Era sottintenso che se il primo indovina l'ora ha vinto.
Infatti se io dico che sono le 12.15, e sono davvero le 12.15,
qualsiasi cosa dica il mio amico ( che l'ora giusta è dopo le 12.15
 o che è prima delle 12.15), egli non indovina, e quindi perde.


 essere avvantaggiato per farlo giocare sempre per primo.
Ho detto al mio amico, che se era convinto di ciò, che iniziasse sempre
lui a dire l'orario.
Gli ho detto che ero disposto ad avvantaggiarlo.
Lui invece non ha voluto.
Dice che è giusto che una volta inizi io, e una volta lui.
Non ho capito bene comunque i tuoi ragionamenti sul perchè è
avvantaggiato il secondo, li rileggerò questa sera.


 Era sottintenso che se il primo indovina l'ora ha vinto.
Allora dipende da cosa si intende per indovinare: si indovina il minuto
primo, il minuto secondo o cosa?
Se la bravura e' tale che riescono a stimare l'ora al minuto e' certamente
avvantaggiato il primo, perche' e' come dire che vince il primo che dice
una cosa che e' ovvia da indovinare.
Occorre vedere la probabilita' di stima.
Se la probabilita' di azzeccare il singolo minuto sono  maggiori del 50%
e' sicuramente avvantaggiato il primo, ad esempio.
Perche' per vincere il secondo dovrebbe incappare in un errore nel primo e
poi indovinare od errare nella parte comunque piu' giusta rispetto alla
stima, quindi una probabilita' molto minore del primo che gioca, pur
essendo entrambi bravi uguali.
Quindi di volta in volta occorrerebbe avere la distribuzione di
probabilita' di stimare un'ora in funzione dell'ora reale e calcolare i
singoli casi.
Si potrebbe simulare con excel, magari.


Un approccio un po' più rigido al problema:
distinguo innanzitutto i possibili modi in cui può finire il gioco:
* il primo giocatore indovina l'ora esatta e vince
* il primo giocatore non indovina l'ora esatta e il secondo giocatore
indovina l'intervallo esatto e vince
* il primo giocatore non indovina l'ora esatta e il secondo giocatore non
indovina l'intervallo esatto e vince il primo giocatore
adesso come adesso mi verrebbe da dire che il primo giocatore ha più
probabilità di vincere, perchè ha due "modi" di vincere invece di uno
solo... ma procediamo con l'analisi...
in un giorno ci sono 24 ore, ed in una ora ci sono 60 minuti... in tutto si
hanno 24*60 = 1440 minuti.
dovendo indovinare l'ora esatta (ora e minuti) il primo giocatore ha in
teoria 1/1440 (=0,000694) probabilità di indovinare e vincere.
tuttavia in pratica ognuno di noi, osservando il cielo, la posizione del
sole, ricordando quanti rintocchi ha sentito, ecc. è in grado di ridurre
notevolmente l'insieme di orari plausibile tra cui scegliere l'ora giusta...
considerando tutto, personalmente ritengo che l'insieme di cui sopra possa
essere considerato di un'ora. in questo modo le probabilità che il primo
giocatore vinca subito sono di 1/60 (=0,016667).
Nel caso in cui il primo giocatore sbagli, il secondo giocatore entra in
gioco. questo può scegliere tra due intervalli di tempo, che in teoria sono
di dimensione diversa a seconda dell'ora in cui viene svolto il gioco. se ad
esempio il gioco viene svolto a mezzogiorno, il secondo giocatore deve
scegliere tra due intervalli grandi uguali ed equiprobabili. quanto più il
gioco viene fatto presto (o tardi), tanto più gli intervalli sono diversi
tra loro e uno di loro conterrà con maggiore probabilità dell'altro l'ora
esatta. tuttavia, anche questo primo tentativo di esprimere il gioco
mediante un modello è poco preciso: poichè il primo giocatore cerca di
indovinare l'ora al primo colpo, la differenza tra l'ora pronosticata e
l'ora effettiva è minima e dunque si possono scartare come risultati
plausibili tutti quei valori dei due diversi intervalli distanti dall'ora
indicata dal primo giocatore. In questo modo il secondo giocatore deve
scegliere tra due intervalli piccoli che con buonissima approssimazione
possono ritenersi egualmente probabili. Si deduce quindi che se il primo
giocatore non vince subito, il secondo ha in questo caso probabilità di
vincere pari a 1/2 (così come il primo giocatore, sempre in questo caso).
ai tre casi che ho distinto sopra compete quindi una probabilità di:
* vittoria immedita del primo giocatore: 1/60 (=0,0166667)
* vittoria del secondo giocatore (1/2 = 0,5) dopo l'errore del primo
giocatore (59/60 = 0,983333): 59/120 (=0,491667)
* vittoria del primo giocatore (1/2 = 0,5) dopo l'errore del primo giocatore
(59/60 = 0,983333): 59/120 (=0,491667)
visto che alla fine ci basta sapere chi vince e chi no, sommo i risultati
utiliper il primo giocatore, ottenendo:
* vittoria del primo giocatore: 1/60 + 59/120 = 61/120 (=0,508333)
* vittoria del secondo giocatore: 59/120 = 59/120 (=0,491667)
si deduce che il primo giocatore ha un piccolo vantaggio rispetto al secondo
giocatore.
ciao,
  Ste
nota: i valori che ho indicato non sono esatti, dipendono dalla bravura del
primo giocatore nel restringere l'insieme dei risultati probabili, e quindi
i valori numerici possono oscillare ma in ogni caso il primo giocatore avrà
sempre un leggero vantaggio sul secondo.

 wrote in message

Non avevo considerato il caso di indovinare esattamente l'ora come poco
probabile.
E' avvantaggiato il secondo se la bravura non e' esattamente la stessa e la probabilita' di
azzeccare e' comunque bassa e quindi il caso di indovinare esattamente il
numero e' trascurabile.
Se invece lo e' al centesimo la bravura uguale a volte conviene che giochi per primo il
primo, specie se entrambi sono molto bravi perche' in questo secondo caso
l'evento "indovinare il numero" e' molto alto per entrambi, cioe' sia il
primo che il secondo indovinerebbero e penserebbero la stessa ora ma solo
il primo avrebbe la possibilita' di vincere.
E' come un quiz con domande molto facili o domande molto difficili.
Se le domande sono facili conviene essere primi, se le domande sono
difficili no perche' il primo puo' sbagliare clamorosamente e rendere
facile all'altro di indovinare almeno l'intervallo giusto in una domanda
che altrimenti sarebbe stata difficile.
Quindi, se entrambi si e' bravi conviene giocare per primi, se entrambi si e' scarsi
conviene giocare per secondi se si e' leggermante piu' bravi
dell'avversario ma non al punto da indovinare esattamente l'ora.
Il quesito comunque e' molto stimolante.
Se la bravura pero' e' esattamente la stessa effettivamente non conviene
giocare per secondi perche' non si potrebbe sfruttare il maggior tasso di
errore di stima di chi gioca per primo, ma conviene giocare per primi
specie se si e' molto bravi a stimare.
Quindi in definitiva:
Bravi uguali e molto bravi: conviene essere primi.
Bravi uguali e molto scarsi: indifferente, credo
Uno bravo ma non al punto da essere cosi' bravo da individuare l'ora
esatta ma piu' bravo dell'altro: conviene essere secondo per sfruttare
l'errore dell'altro.
Uno scarso piu' dell'altro ed entrambi non bravissimi: conviene giocare per secondo per non fare
sfruttare i propri errori.
Ecco allora che nel caso di bravura non esattamente uguale e di scarsa
bravura conviene giocare per secondi per evitare di farsi sfruttare
il maggior tasso di errore o per sfruttare l'errore altrui.
Magari faro' un foglio excel in cui introducendo le densita' di
probabilita' di stima per entrambi si ottenga la probabilita' di vittoria
se si gioca per primi o per ultimi.
Ciao


il gioco che ci hai descritto (come ho dimostrato nel mio altro post nel
thread) non è equiprobabile per i giocatori.
iniziare per primi a turno è un modo per cercare di equilibrare il gioco...
si fa sempre così anche nei giochi di carte o negli sport, ad esempio.
tuttavia, per essere precisi, dovreste giocare tutte le volte più o meno
allo stesso orario perchè diverse condizioni ambientali (chiamiamole così)
possono influenzare il gioco sensibilmente.
di notte ci sono molti meno indizi per indovinare l'ora che di giorno,
quindi se uno di voi avesse la fortuna di giocare sempre di giorno per primo
e di notte per secondo, avrebbe poi più probabilità di vittoria...
ciao,
  Ste

 l'ora effettiva è minima 
Quindi ti poni nell'ipotesi di giocatori molto bravi.
Poi comunque affronti il problema come se la probabilita' di stimare
un'ora data l'ora vera fosse uguale per tutto l'intervallo della mezzora
prima e di quella dopo.
La probabilita' alla fine e' 1/2 come tu dici ma solo per la
simmetria del problema, la simmetria e l'uguaglianza delle due densita' di probabilita'
che ti consentono di dire che globalmente la probabilita' di indovinare
intervallo e' di 1/2.
Anzi, vista la simmetria del problema, se i giocatori sono esattamente
bravi uguali effettivamente sia pur in modo trascurabile la possibilita'
di indovinare l'ora favorisce sempre il primo.
Se invece uno e' piu' bravo dell'altro ci sono situazioni in cui e'
favorito il secondo a giocatore se il primo e' leggermente meno bravo.
Non ho capito la manfrina dell'ora a cui si gioca. Se gioco a mezzanotte
e' ovvio che l'una di notte sara' un'ora dopo e non prima, e questo sino
a mezzogiorno, solo le ore dopo mezzogiorno saranno considerate ore prima,
non tutto l'arco delle 24 ore.


 e di notte per secondo, avrebbe poi più probabilità di vittoria...
Ihi ihi ihi, e' vero, perche' salirebbe la probabilita' di indovinare
l'ora per entrambi di giorno ma solo il primo potrebbe rubare la risposta
giusta di bocca al secondo.
Di giorno e' pieno di meridiane naturali.
E' come se di giorno si giocasse con l'orologio al polso.
Ma questo vale sempre che sia sempre uguale la bravura dei due giocatori
al variare del giorno e della notte.
Se invece c'e' una varianza nella bravura dei due ecco che giocare per secondi
consente di sfruttare l'errore del meno bravo che gioca per primo.
Sempre che la bravura sia da intendersi come curva piu' stretta se vista
da lontano ma troppo larga per avere la certezza di indovinare.


o che è prima delle 12.15), egli non indovina, e quindi perde.
--> l'ora *non si puo`* indovinare: e` operativamente
impossibile.
Devi dare l'intervallo - come penso ti stia +o- dicendo
anche Uahlim (che poi rileggo) - altrimenti la stima del
vantaggio non penso abbia attendibilita`, anzi mi sa che
non si puo` proprio fare.
N.B. e se l'intervallo lo dai.. invece pure! Mi sa cioe`
che non e` mica tanto facile mettere giu` dei calcoli:-(


In verità non mi sono posto il problema. Secondo me non serve a niente
tenere conto della bravura dei giocatori (secondo il mio ragionamento
servirebbe comunque tener conto della bravura del primo, ma tra l'altro
visto che i giocatori non sanno della rispettiva bravura, secondo me non
serve proprio a niente saperlo).
Io ho supposto che un giocatore sia abbastanza scaltro da indovinare sempre
l'ora in modo che debba indovinare solo i minuti.
ma era solo per dare una soluzione numerica al problema. è un dettaglio
ininfluente.
per quanto riguarda il compito che spetta al secondo giocatore, una volta
che il primo giocatore ha fatto il proprio pronostico, questi non avrà MAI
due intervalli simmetrici tra cui scegliere (in un giorno ci sono 1440
minuti, il primo giocatore ne sceglie uno su 1440; ne restano 1439 che
essendo un numero dispari, comunque tu li voglia partizionare in un due
insiemi, non saranno mai grandi uguali). è possibile considerare gli insiemi
tra cui deve scegliere il secondo giocatore equiprobabili solo se si da per
scontato che il primo giocatore cerchi di pronosticare con esattezza il
risultato esatto (e così farà perchè gli conviene!) perchè in questo modo è
possibile considerare come insieme degli eventi per il secondo giocatore
solo un intorno dell'orario detto dal primo giocatore e non tutti i restanti
minuti che fanno parte del giorno. poichè questo intorno è centrato
nell'orario detto dal primo giocatore (lo prendiamo noi così) allora i due
intervalli tra cui il secondo giocatore sceglie sono davvero equiprobabili.
ma questo è vero SOLO perchè si è supposto alcune cose. se cadono queste
ipotesi, la soluzione trovata non è più valida. tu non ne tieni conto ed in
caso il tuo modello fosse sbagliato, non sapresti capire da dove viene
l'errore.
ad ogni modo, forse tu tieni conto della bravura dei giocatori perchè
concepisci il caso in cui un giocatore possa affermare che sono le due di
notte anche se vede il sole a perpendicolo sulla propria testa. mi sono
sentito in dovere di escludere questa eventualità, perchè anche il più
sprovveduto cerca di giocare bene. libero comunque di complicarti la vita
come vuoi.
la "manfrina" dell'ora in cui si gioca si basa su considerazioni oggettive.
tra le persone che conosco, tutte sono in grado di stimare con buona
approssimazione l'ora durante il giorno osservando la posizione del sole o
la luminosità del cielo (se è nuvolo, c'è foschia, ecc.) o la lunghezza
delle ombre. molte di meno invece sono in grado di capire l'ora osservando
la posizione delle stelle o della luna (se è visibile). tra l'altro molti
campanili di giorno battono le ore, mentre di notte no. in molte zone allo
scoccare del mezzogiorno viene suonata una sirena. per questo dicevo che
l'uomo medio che gioca per primo di giorno è avvantaggiato da tutta una
serie di fattori ambientali su cui l'uomo medio che gioca per primo di notte
non può contare. comunque è un discorso da poco. non ci perdiamo su questo.
piuttosto, mi è parso di notare che tu non ti preoccupi mai di calcolare
probabilità. prova a fare due conti anche tu e facci sapere: a me pare che
sia così lapalissiano che il primo giocatore è avvantaggiato (seppur non di
molto) rispetto al primo. gli altri che ne pensano?
per comodità di tutti, riporto di seguito i dati che ho trovato.
sia x la probabilità che il primo giocatore indovini l'ora esatta subito.
nel caso peggiore sceglierà a caso tra tutti i 1440 minuti che fanno parte
di un giorno (x=1/1440) nel caso in cui sia un mago (nel vero senso della
parola), riuscirà a restringere l'insieme dei minuti del giorno tra cui
scegliere il proprio pronostico ad un solo minuto (x=1/1). La probabilità
che il primo giocatore vinca subito oscilla quindi tra 1/1440 <= x <= 1.
se poi il primo giocatore non ci azzecca (x-negato probabilità che succeda,
ovvero 0 <= x-negato <= 1439/1440) allora il secondo ed il primo giocatore
hanno rispettivamente 1/2 e 1/2 probabilità di vittoria.
poichè
x-negato = 1 - x
risulta che il secondo giocatore ha (1 - x) * 1/2 = (1 - x)/2 probabilità di
vittoria
mentre il primo ha x + (1 - x) * 1/2 = (2x + 1 -x)/2 = (1 + x)/2 probabilità
di vittoria.
nonostante x sia libero di oscillare tra 1/1440 e 1, osservando i due
risultati ottenuti, risulta sempre che il primo giocatore ha maggiori
probabilità di vittoria del secondo.
ciao,
  Ste

   Ste


 ha scritto nel messaggio
news:pan.2004.07.25....@bynoia.com...


 (a parità di capacità di stimare l'orario giusto)
CI ho ripensato e mi sono chiesto: qual'e' la probabilita' di pensare che
sia una certa ora condizionata all'ora in cui si pensa?
Ho pensato che questa probabilita' non possa essere funzione dell'ora vera 
perche' altrimenti il comportamento sarebbe condizionato
dall'ora vera e cd analizzando il proprio comportamento si indovinerebbe
l'ora.
Quindi deve succedere altro.
Ho pensato allora che il giorno vada diviso in un numero di intervalli ed
all'interno di questi intervalli la persona sa di essere all'interno di
esso ed ha quindi il comportamento uguale, questo perche' la persona sa di
essere in un certo intervallo ma non sa esattamente l'ora.
Allora che accade? Accade che se e' cosi', in ogni intervallo il primo
dira' sempre l'ora centrale di tale intervallo, cioe', ad esempio tra le
tre e le tre e mezza saprete entrambi solo che l'ora puo' variare tra le
tre e le tre e mezza ed il primo di voi dira' sempre tre e un quarto per
fare in modo che la probabilita' che abbia l'altro di indovinare sia
minima.
Quindi effettivamente banalmente il primo dira' sempre l'ora centrale
dell'intervallo stimato che non variera' in modo continuo ma a salti
perche' l'ora non si sa e l'altro a caso dira' su o giu'.
Che gioco stupido!
Se poi l'intervallo ha un numero pari di minuti e cioe' non esiste un
minuto centrale non e' vero che il primo e' avvantaggiato piu' di tanto,
perche' il secondo indichera' sempre l'intervallo piu' ampio di un minuto.
Cioe', mettiamo che tra le 3 e le 3 e 29 si sappia che si e' in
qull'intervallo li'.
Allora il primo dira' 3 e 15, ma il secondo dira' meno di tre e 15, ed
avra' 15 possibilita' di indovinare non su 30 (e quindi il 50%) ma su 29.
E la probabilita' di vincita di uno o dell'altro sara' uguale in realta'.


 "prima" o "dopo".
No, dico prima perche' ho piu' probabilita' di indovinare, mi sarei
buttato solo qualora tu avessi detto l'ora centrale del'intervallo
stimato.
Quindi il gioco diventa alla fine banale, tu dici 17:00 ed io tra le 16:30
e le 17:00 oppure tra le 17:01 e le 17:31.
E la probabilita' di azzeccare l'ora del primo non da' piu' alcun
vantaggio se la stima che facciamo sono le stesse (stessa bravura) e non
ha un minuto centrale.
Solo se l'intervallo stimato ha un minuto centrale conviene giocare per
primi.
Perche' c'e' la probabilita' 1/numero totali in piu' di vincere.
Ma se n e' pari non c'e' piu' tale vantaggio,


 disparita' nel giocare per primi sparisce.
Pari, pari, perche' sparisce il minuto centrale e gli intervalli rimanenti
non sono grandi uguali ma uno ha un minuto in piu' e sara' quello che
scegliera' il secondo giocatore per avere le probabilita' uguali.


no, no... se dico 17:07 intendo che l'intervallo vada dalle 16:37 alle
17:37... altrimenti quello che considero non sarebbe un intorno delle 17:07
con centro nelle 17:07 stesse!
Ste

tieni presente inoltre che a te avrei detto solo 17:07 e quindi ogni
eventuale elucubrazione sull'intervallo di tempo l'avresti dovuta fare tu!
io ti ho solo spiegato il procedimento logico che ho fatto nella mia testa
per modellizzare il problema. durante il gioco non ti direi nulla, e che,
son scemo?!?
Ste

In funzione dell'intervallo minimo che i giocatori stimano poi ci sono dei
casi limite:
Se N=1 minuto entrambi i giocatori conoscono quel minuto e vince il primo.
Se N=2 minuti il primo giocatore dira' uno dei due minuti che entrambi i
giocatori conoscono e l'altro scegliera' maggiore o minore in modo da
considerare l'altro minuto: quindi avremo un gioco equo.
Se N=3 il primo giocatore scegliera' il minuto centrale ed il secondo
giocatore sara' obbligato a scegliere a caso uno degli altri due minuti,
ma il primo giocatore avra' il 33% di probabilita' di vittoria
Se N=4 gioco equo
Se N=5 primo = 60%, secondo = 40%
N=6 gioco equo
N=7 primo = 4/7, secondo = 3/7
e cosi' via.
Quindi uno strano modello discontinuo tra gioco equo e gioco non equo e
che per questo mi convince poco e che nel caso 2 e 3 premia l'ignoranza
:-)
In una stima poi che se non si sa neppure bene se dotata o no del minuto
centrale non puo' sballare da un gioco equo ad uno non equo la situazione
al variare di un minuto!
E' troppo caotico, in un problema dove pure la stima dell'intervallo dei
valori possibili in realta' e' una stima.

non voglio scatenare flames, ma mi sorge il dubbio che tu non abbia capito
bene come si svolge il gioco, cosa si dicano i giocatori perchè tiri in
ballo delle cose che a me sembra proprio che non abbiano senso.
correggetemi se sbaglio, ma il gioco non dovrebbe avvenire nel modo che
segue? il primo giocatore deve pronosticare l'ora. fa tutta una serie di
considerazioni che tiene per se e dice un orario. il secondo giocatore deve
quindi scegliere "prima" o "dopo" facendo una serie di considerazioni
proprie. non sa quali considerazioni abbia fatto il primo giocatore, sa solo
l'orario che ha detto e non sa se le considerazioni che ha fatto lui
corrispondondono a quelle fatte dal primo giocatore.
fatto questo si guarda l'orologio e si assegna il punto, tenendo conto che
il primo giocatore vince se indovina subito o se l'altro sbaglia dopo che
lui stesso ha sbagliato mentre il secondo vince solo se indovina dopo che
l'altro ha sbagliato.
apro una parentesi. la correlazione tra ora effettiva e ora pronosticata
varia tra 0 (nel caso in cui il primo giocatore sia un perfetto sprovveduto
e ci tiri completamente a caso) e 1 (nel caso in cui invece il primo
giocatore sia un mago e ci prende per forza). questo discorso è logico,
perchè se un giocatore sceglie il proprio pronostico a caso, vuol dire che
non osserva tutti quegli indizi che lo possono aiutare (non c'è legame tra
ora pronosticata ed ora effettiva) mentre se è preveggente vuol dire che
tiene conto di tutti gli indizi possibili ed indovina sempre (correlazione
senza incertezza tra l'ora effettiva e quella pronosticata, cioè data l'una
si ricava con esattezza l'altra). in mezzo ai due casi limite c'è ancora una
volta tutta la gamma possibile. più un giocatore è accorto e più sarà
possibile passare dall'ora pronosticata a quella effettiva con precisione.
sarà possibile farlo però senza possibilità d'errore solo nel caso in cui il
giocatore sia un mago.
tuttavia nel nostro gioco il seconso giocatore non può sapere quale
strategia ha utilizzato il primo e quindi non può inferire sull'ora
effettiva a partire da quella pronosticata. può solo ragionare e stabilire
secondo lui qual è l'ora esatta. se l'ora che lui pensa che sia è inferiore
a quella pronosticata dall'altro dirà "basso", altrimenti dirà "alto". se
l'ora coincide, tirerà completamente a caso tra "alto" e "basso". in ogni
caso il secondo giocatore ha sempre 1/2 di probabilità di prenderci se il
primo giocatore ha sbagliato il pronostico.
Ste

no, hai proprio capito male i termini del gioco. leggi il mio post in fondo
al thread...
ciao,
  Ste

 con centro nelle 17:07 stesse!
Ok, ma quello che dico e' altro.
Poniamo che sono veramente le 17:00. Tu, in base alle tue considerazioni, in che
intervallo pensi di essere quando sono le 17:00?
E se sono le 17:07 come cambia la tua valutazione?
E cambia? Perche' se cambia ed e' diversa ad ogni ora:minuto, tu l'ora la sai
indirettamente perche' basta che analizzi l'intervallo che ipotizzi
funzione dell'ora:minuto vera.
Quindi non puo' essere diversa ad ogni ora precisa ora:minuto della giornata, ma deve
variare per intervalli discreti nella giornata, chesso', tra le 17:00 e le
18:00 saprai di essere tra le 17:00 e le 18:00, ma lo saprai alle 17:00 come
alle 18:00 e quindi dirai sempre le 17:30 in qualunque istante tra le
17:00 e le 18:00 dovessi valutare l'ora esatta con quel giochino, perche'
sapresti solo che e' un'ora a caso nell'intervallo tra le 17:00 e le 18:00
e cercheresti di rendere minimo l'intervallo che sceglie l'avversario.
Chi propone l'enigma parla poi di giocatori bravi uguali e quindi che
stimano gli stessi intervalli alle stesse ore del giorno.
Quindi significa che anch'io tra le 17:00 e le 18:00 valutero' di trovarmi
tra le 17:00 e le 18:00.

se fossero esattamente le 17 e io non lo sapessi, dovrei fare alcune
elucubrazioni per determinare l'ora.
dopo averle fatte stabilirei che sono le 17:07.
a te direi "17:07" e nulla più. a mio beneficio invece considero che
probabilmente l'ora esatta è compresa tra le 16:37 e le 17:37... in base a
questo ragionamento stimo che le mie probabilità di vittoria di pimo acchito
siano di 1/60... ma tu questo non lo sai. tu sai solo "17:07". Non sai quale
ragionamento abbia fatto, ne quanto stimi la mia probabilità di indovinare
subito.
Tu adesso cosa faresti?
Ste

 Ste


 Ste


 probabilmente l'ora esatta è compresa tra le 16:37 e le 17:37... 
Domanda: alle 17:37 che ore pensi che potranno essere?>
La risposta e' senz'altro che pensi che potranno essere tra le 16:37 e le 17:37, questo perche'
altrimenti quando pensi che l'intervallo e' tra le 16:37 e le 17:37
sapresti che sicuramente non sono le 17:37, altrimenti non avresti stimato
un tale intervallo p[erche' alle 17:37 avresti stimato qualcos'altro.
Quindi, o l'intervallo che stimi quando vedi gli elementi che vedi tra le
16:37 e le 17:37 e' proprio l'intervallo tra le 16:37 e le 17:37, oppure
dovresti concludere che quando stimi l'intervallo 16:37-17:37 in realta'
non possono essere le 17:37.
E puoi iterare questo ragionamento fino a dividere il giorno in intervalli
in cui tu fai sempre la stessa stima ed indovini l'intervallo.
E poi tiri a cso all'interno di esso.

 se fossero esattamente le 17 e io non lo sapessi, dovrei fare alcune

Poi c'e' un'altra variante, io potrei avere una bravura tale che dai segni
che vedo alle 17:00 potrei collocare l'intervallo tra le 16;30 e le 17:30,
oppure tale che potrei collocare l'intervallo tra le 16:40 e le 17:40.
In un caso vincerei, nell'altro no.
Ma la cosa interessante e' che se gli intervalli di confidenza stimati
sono solo funzione di elementi delle varie ore del giorno, alla fine e'
piu' l'ora reale in cui si svolge il gioco e quindi gli elementi tipici di
quell'ora che fanno fare certe considerazioni a determinare l'esito dela
partita, al punto da potersi avere una casistica esatta dell'esito degli
scontri in funzione dell'ora del giorno vera e della scelta del minuto
centrale.
Si puo' studiare questa cosa nel caso ideale di intervalli esatti, cosa
succede alle varie hh:mm del giorno, e forse non basta evitare di
alternare notte e giorno.
E se uno e' bravo e sa che l'altro e' bravo come lui sapendo il minuto
centrale che ha detto l'altro e' un minuto centrale di uno stesso
intervallo io farei anche questo altro ragionamento:
dalla risposta del primo so che per lui il minuto centrale sono le 17:07.
Per ipotesi e' bravo come me, cioe' ha diviso il giorno in intervalli
certi come me dove riesce a sapere che l'ora sicuramente e' contenuta
nello stesso intervallo.
Per me l'intervallo mettiamo che sia tra le 16:40 e le 17:40, per lui so
che l'intervallo e' dalle 16:37 e le 17:37, quindi sicuramente
l'intervallo e' tra le 16:40 e le 17:37, posso escludere gli ultimi 4
minuti.
Quindi per me il punto centrale e' tra le 16:40 e le 17:37 e quindi non
dove avevo ipotizzato inizialmente il mio punto centrale ma a meta' strada
tra il mio ed il tuo, non solo, ma con la probabilita' di indovinare il
numero leggermente piu' elevata, perche' l'itervallo che considero e'
l'intersezione tra il tuo ed il mio intervallo e quindi con 4 minuti in
meno nell'esempio.


ancora una volta, NO!
io scelgo l'orario che voglio dire e poi dico di averci preso con un margine
d'errore di + o - mezz'ora...
Ste

1) L'enigma prevede che i giocatori siano di pari livello, perchè mi
interessa sapere se il meccanismo del gioco avvantaggia il primo o
il secondo.
2) Se uno volesse poi stabilire quanto il gioco favorisce il primo
piuttosto che il secondo, o viceversa, allora sì che avrebbe senso
mettere in gioco giocatori di abilità differenti. Ma non è una cosa
che mi interessa sapere.
3) Ho letto molti vostri discorsi, ma non li ho seguiti bene. Anche se
all'università ho studiato statistica, sono piuttosto scarso in quel
campo.
4) Se prendiamo giocatori capaci di individuare sistematicamente l'ora
giusta, allora è evidente che è avvantaggiato il primo.
Per giocatori capaci di individuare l'ora giusta, intendo quei
giocatori in grado, data un ora, di stimare un intervallo
che abbia l'ora giusta nel punto centrale.
5) Se prendiamo giocatori di pari bravura, ma non in grado di
individuare sistematicamente l'ora corretta, chi è avvantaggiato ?
A questa domanda vorrei si rispondesse.
Per giocatori di pari bravura, ma non in grado di individuare l'ora
corretta, intendo quei giocatori capaci di stimare intervalli il
cui punto centrale è distante dall'ora corretta di una stessa quantità.
Supponiamo ad esempio che siano le 17.
Due giocatori siffatti sono ad esempio due che stimassero : 17-18 uno,
16-17 l'altro. Infatti i punti centrali delle stime sarebbero 17.30 e
16.30, entrambi distanti dall'ora corretta (le 17) di 30 minuti.
6)A propposito dei giocatori definiti al punto precedente, guardate
cosa ho notato.
Prendiamo due che stimano 17-18 uno, 16-17 l'altro, quando l'ora giusta
sono le 17.
Vincerà sistematicamente chi inizia per secondo.
Non riesco invece a fare nessun esempio analogo di intervalli
tra giocatori di pari livello) che permetta sistematicamente la
vittoria di chi invece inizia per primo (tranne che non si prenda
in considerazione giocatori in grado di trovare l'ora corretta).
Questa non simmetria, non potrebbe indicare che tale metodo favorisce
effettivamente chi gioca per secondo ?
-- 
Posted via Mailgate.ORG Server - 
http://www.Mailgate.ORG

vabbč... io rinuncio a farti capire il mio punto di vista...
tu sostieni ancora che i giocatori possano leggersi nel pensiero... cosa che
non accade...
tutto il resto č solo un modo di descrivere numeriacamente cosa succede...
ma questa conoscenza la potrebbe avere solo un narratore esterno che
racconta la vicenda o chi ci deve ragionare sopra per esprimere una
probabilitą...
visto che non č divertente ripetere sempre le stesse cose, non replico
oltre...
prego si facciano avanti gli altri...
Ste

in questo caso non serve la statistica ma lo studio delle probabilità...
la statistica anche nel basket ti dice quante azioni, assist, canestri ha
fatto un giocatore in passato non necessariamente quanti ne farà in futuro.
Ste

 wrote in message
news:A9TMc.97633$
G%.4752@tornado.fastwebnet.it

Mettiamo che l'orario corretto siano le 17.
Supponiamo che un giocatore stimi l'ora dalle 17 alle 18, l'altro
dalle 16 alle 17.
Chi inizia per primo perde sistematicamente.
Invece vince sistematicamente il primo che inizia, solo se individua
l'ora giusta.
Ma questi due casi, non sono equiprobabili.
E' molto più probabile trovarsi in un caso in cui vince sistematicamente
il secondo che inizia, piuttosto che il primo.
Questa assimmetria, secondo te implica che il gioco avvantaggia il
secondo
giocatore ?


 non accade...
Accade invece, specie se i segni che si vedono sono gli stessi.
Perche' la bravura alla fine la misuri nella granularita' con cui tu
individui un'ora, se riesci a distinguere distanze di un minuto, di due
minuti, di quattro minuti e cosi' via.
E quando si dice nel problema che i due giocatori devono essere bravi
allla stessa maniera si dice questo. Che alla fine con le stesse condizioni la loro
suddivisione del giorno in intervalli che riescono a distinguere e' la
stessa.
Ma che se vedono gli stessi elementi individuano grosso modo lo stesso
intervallo.
Pero' diciamo che c'e un pero'.
Che piu' che intervalli si devono considerare ore apparenti, e queste ore
apparenti sono ore che hanno sempre le stesse condizioni.
E che sono legate alle ore reali dal fatto che ad ogni ora apparente e'
piu' o meno probabile che ci sia una certa ora reale, diciamo che e' una
gaussiana centrata.
Questo modo diverso di modellare le cose supera il paradosso che non
capivo, restituendo il vantaggio dell'essere il primo a scegliere.
Ok, pero' ripeto, se si ipotizza che i due giocatori abbiano pari abilita'
significa che hanno lo stesso repertorio di ore apparenti che distinguono,
ore che sono individuate dall'esame degli stessi elementi.
Ora occorre mettersi d'accordo se la variabilita' e' nell'interpretazione
di questi elementi e quindi puo' cambiare da persona a persona o nelle
condizioni naturali (non ci sono due ore uguali di giorni diversi che
appaiono esattamente uguali) e quindi due persone alla fine stimano la
stessa ora apparente.
Se anche nell'interpretazione c'e' una forte variabilita' (ne dubito
assai se i giocatori sono bravi uguali) hai ragione tu, altrimenti i giocatori
"si leggono nel pensiero", ma in realta' non lo fanno, semplicemente fanno
gli stessi ragionamenti partendo dagli stessi elementi perche' hanno la
stessa bravura.
Quindi in definitiva la bravura nell'indoviduare l'ora la puoi definire nel
numero di intervalli che riesci a definire e nella larghezza della
pseudo gaussiana che lega ogni ora alla probabilita' che sia azzeccata in
una data ora apparente od intervallo.
Se due giocatori sono definiti bravi uguali ma hanno delle percezioni
delle ore apparenti sfasate possono magari accadere delle sorprese.
Comunque il vantaggio di giocare per primi torna prepotente perche' la
probabilita' dell'ora reale nell'intervallo stimato non e' la stessa per
ogni ora reale e quindi la prima ora detta ha molta piu' probabilita' di
venire azzeccata delle altre.
Con n invece sopra 7 ad esempio, la gaussiana e' larga si torna ad un quasi caso omogeneo e si ha
di nuovo la manfrina del minuto centrale.


 Mentre se per esempio fossero state le 12.13 avrei vinto io.
No, avrei vinto sempre io perche' nel frattempo sarebbe passata mezzora ed
avremmo visto segnate le ore 12:43  :-)

secondo me non è possibile fare un ragionamento di questo tipo perchè
durante il gioco i due giocatori non sanno l'ora (altrimenti che gioco
sarebbe?) e dunque non possono fare supposizioni del tipo che dite tu e
uahlim...
oppure, i giocatori le possono anche fare, ma non avendo riscontri sull'ora
effettiva, potrebbero essere ugualmente esatti quanto fallaci. per questo
motivo i giocatori dovrebbero secondo me accantonare questo tipo di
strategia.
ad ogni modo il quesito ero stabilire quale fosse la probabilità di vittoria
di ogni giocatore, in modo da stabilire chi fosse più avvantaggiato. secondo
me voi state invece cercando di stabilire quale sia la strategia vincente.
purtroppo il problema va analizzato e non interpretato.
in qualsiasi modo voi lo vogliate interpretare, infine, ricadrete nella
forbicedei casi che ho già indicato più volte. in quell'intervallo il primo
giocatore è sempre e comunque avvantaggiato di un po'...
ciao
  Ste

s
p
o
i
l
e
r
s
p
o
i
l
e
r
s
p
o
i
l
e
r
s
p
o
i
l
e
r
s
p
o
i
l
e
r
E' impossibile con i dati a disposizione stabilire chi è in vantaggio.
Il problema può essere modellato così: un numero è scelto a caso tra n
numeri (n molto grande: sono ad esempio i secondi della giornata). La
distribuzione di probabilità di indicare il numero esatto è uguale per
entrambi i contendenti e presumibilmente sarà del tipo a campana, con
l'apice intorno al numero (ora) prescelto (prescelta). A questo punto il
primo fa il tentativo. Detta x la probabilità che indovini il numero, questo
sarà il vantaggio del primo. A questo punto il secondo giocatore può stimare
la probabilità che il numero sia precedente o successivo. In termini
matematici si calcola la sommatoria delle probabilità di tutti i numeri
inferiori al valore e si confronta con la sommatoria dei numeri superiori al
valore. La differenza tra queste due probabilità è il vantaggio y del
secondo giocatore. Converrà il gioco al primo se x>y e viceversa. Dal
momento che la distribuzione di probabilità non è nota il problema non è
risolvibile.

 E sbaglia il tuo amico.
Non sbaglia nessuno: vedi la mia soluzione


A dimostrazione di quanto detto due casi estremi:
Caso uno:
La probabilità è uniforme, cioè il primo giocatore (ed anche il secondo) per
indovinare il numero (l'ora) scelgono a caso. In questo caso il vantaggio
del primo è 1/(num. valori). Il vantaggio del secondo è superiore sempre se
ci sono un numero pari di valori, nel caso ci siano un numero pari di valori
è superiore in tutti i casi eccetto uno, quando viene scelto il numero
centrale.
Caso due:
la probabilità di indovinare il numero giusto è superiore al 50%. In questo
caso il primo giocatore è in vantaggio comunque

 ci sono un numero pari di valori, nel caso ci siano un numero pari
DISPARI pardon


quindi secondo te il secondo giocatore sceglierà sempre l'insieme di orari
"più numeroso". ovvero, se il gioco viene fatto alle 14, l'insieme superiore
è composto da 14 ore, min e sec, mentre l'insieme inferiore è composto da 10
ore, min e sec, e quindi il secondo giocatore dice "alto" perchè è più
facile che ci becchi.
a me non sembra molto logico. spero di farti vedere perchè...
supponi di fare il gioco all'una di notte. l'insieme superiore e composto da
1 sola ora, min e sec, l'altro dalle rimanenti 23 ore, min e sec. il secondo
giocatore dovrebbe preferire il secondo insieme quindi. ma secondo te,
vedendo che è buio, non sarà portato a scartare la maggior parte delle ore
(le diurne +altre)? non ha senso considerare il secondo insieme così grande!
se ci pensa su, poi capirà che al primo giocatore conveniva di più prenderci
subito o andarci tanto vicino da rendergli problematico stabilire "alto" o
"basso" e dunque i due insiemi (alto e basso) diventano ancora più piccoli
ed essenzialmente grandi uguali...
altra cosa è tuttavia considerare la bravura dei giocatori o il fatto che si
possa bluffare.
nel primo caso, nessun giocatore conosce l'ora. indifferentemente dalla sua
bravura, il primo giocatore suppone un orario. L'unica maniera per misurare
la sua bravura è confrontare la sua dichiarazione con l'orario effettivo, ma
non è ancora consentito dalle regole del gioco. Il secondo giocatore,
indipendentemento dal fatto che sia bravo o scarso, non può sapere il grado
di bravura suo e dell'altro perchè non conosce ancora l'ora esatta e dunque
non può confrontare il pronostico dell'avversario ed il proprio pronostico
con tale ora. Si deve affidare ad altre considerazioni. L'unico pensiero che
può fare è quello suddetto e quindi alla fine ha il 50% di prenderci.
nel caso in cui invece il un giocatore volesse bluffare, si può dire che il
secondo avendo cmq il 50% di probabilità di prenderci, è inutile che bluffi
mentre al primo non conviene perchè se afferma qualcosa di palesemente falso
(sono le 23PM quando il sole è alto) si da la zappa sui piedi da solo e
avvantaggia l'altro. visto che entrambi i giocatori vogliono vincere, questo
caso non si presenta.
ciao,
  Ste

 Voi che ne pensate ?
Io penso che sia un problema molto simile a questo:
D. Avendo una torta da dividere tra 2 persone, qual è un modo equo di 
procedere per accontentare entrambi?
R. Uno taglia e l'altro sceglie
Secondo me nessuno dei 2 è avvantaggiato, se entrambi hanno un uguale 
capacità di stimare l'ora senza orologio. Nel caso della torta vale lo 
stesso, se entrambi hanno un uguale capacità di stimare a occhio metà torta.
Dade :)

 facile che ci becchi.
E' incredibile come riesci a farmi dire proprio il contrario di ciò che
dico:-)
Io non ho fatto nessuna ipotesi sulla distribuzione di probabilità (salvo
ipotizzare una distribuzione a campana, cioè la probabilità di dire una
certa ora è tanto più piccola quanto più ci si allontana dall'ora
effettiva)...
Ora i casi sono due: o non leggi attentamente i miei post o sei un troll...
:-)

 (le diurne +altre)?
Vuol dire che la distribuzione di probabilità delle ore non sarà uniforme:
la probabilità stimata delle ore diurne sarà zero o prossima a zero (ci sono
sempre le eclissi!) quella delle ore notturne sarà presumibilmente più
elevata intorno all'una di notte e via via meno probabile: noi non lo
sappiamo. Ciò che è certo è che tutto il ragionamento fatto continua a
valere: il comportamento più razionale è proprio quello di sommare le
probabilità delle ore successive e poi di quelle precedenti e scegliere la
somma maggiore.
Ad esempio, supponendo di avere solo 10 ore nella giornata, e che questa è
IN QUESTO ISTANTE la probabilità che i giocatori assegnano a ciascuna ora
(valutando la luce presente e tutto ciò che concorre a formare questa
opinione):
1 : p=0
2 : p=0
3 : p=0
4 : p=0
5 : p=0.05
6 : p=0.1
7 : p=0.25
8 : p=0.2
9 : p=0.2
10 : p=0.2
Il primo giocatore sceglie ovviamente che sono le 7, con una probabilità
stimata di x=0.25 di vincere subito.
Se non vince il secondo giocatore valuta che la prob che l'ora esatta sia
inferiore è data da: (0.1+0.05)/(1-0.25)=0.2,  la probabilità che l'ora sia
superiore è (0.2+0.2+0.2)/(1-0.25)=0.8. Il comportamento più razionale per
lui è scommettere che sia superiore perchè è il caso con maggiore
probabilità.

 probabilità.
Aggiungo che il secondo giocatore in tal caso ha più convenienza: vince al
60%

Definisco giocatori ugualmente capaci di stimare l'ora : due igocatori
le cui stime hanno un punto centrale ugualmente sfasato rispetto
all'ora corretta.
Mettiamo che l'orario corretto siano le 10.
Per ipotesi avremo quindi a che fare con giocatori capaci di fare ad
esempio le seguenti stime :
GIOCATORE A) 9.10-10.10
GIOCATORE B) 9.00-10.20
GIOCATORE A) 10.00-11.00
GIOCATORE B) 11.00-12.00
........
In questo caso saranno possibili solo tre eventi.
                              PRIMO EVENTO
Ci troviamo di fronte a due giocatori, di cui uno fa una stima con
punto centrale di X minuti in anticipo rispetto all'ora corretta, e
l'altro di X minuti in ritardo.
Per esempio (nel caso siano le 10 l'ora corretta):
GIOCATORE A) 9.40-10.00, punto centrale 9.50, 10 minuti in anticipo
GIOCATORE B) 9.50-10.30, punto centrale 10.10, 10 minuti in ritardo
In questo caso, perde sempre il giocatore che inizia per primo.
Infatti egli come orario dirà (molto presumibilmente) quello centrale
della sua stima.
Il giocatore A) giocando per primo dirà 9.50, a cui certamento il
giocatore B) risponderà con l'intervallo più alto.
Viceversa, giocando prima il giocatore B) dirà 10.10, a cui certamente
il giocatore A) risponderà con l'orario più basso.
                         SECONDO EVENTO
Ci troviamo di fronte a due giocatore le cui stime hanno un uguale
punto centrale (quindi entrambi in anticipo o in ritardo rispetto
all'ora corretta).
Per esempio (nel caso siano le 10 l'ora corretta):
GIOCATORE A) 9.40-10.00, punto centrale 9.50, 10 minuti in anticipo
GIOCATORE B) 9.10-10.30, punto centrale 9.50, 10 minuti in anticipo
In questo caso, si ha il 50% che vinca il primo giocatore.
Infatti il primo giocatore dice (molto presumibilmente) l'intervallo
centrale della sua stima, che è anche l'ora che avrebbe detto l'altro
giocatore.
Pertanto il secondo non avrà ragioni per dire l'intervallo superiore
piuttosto che quello inferiore. Quindi deciderà a caso.
                           TERZO EVENTO
Ci troviamo di fronte a due giocatori, che nel caso specifico
individuano entrambi l'ora corretta.
Per esempio (nel caso siano le 10 l'ora corretta):
GIOCATORE A) 9.40-10.20, punto centrale 10, che è l'orario corretto
GIOCATORE B) 9.10-10.50, punto centrale 10, che è l'orario corretto
In questo caso, si ha il 100% che vinca il primo giocatore.
CONCLUSIONE
Se i giocatori come da ipotesi sono di pari abilità, è più probabile
che vinca il secondo, perchè il PRIMO EVENTO è molto più probabile del
SECONDO EVENTO.
Io penso che sia questo il modo corretto di risolvere il problema.
Ma vorrei che mi diceste cosa ne pensate.
Nel caso non siate d'accordo, vorrei che entramdo nel mio ragionamento
mi mostraste dove commetto secondo voi l'errore.


                              IPOTESI
Definisco giocatori ugualmente capaci di stimare l'ora : due igocatori
le cui stime hanno un punto centrale ugualmente sfasato rispetto
all'ora corretta.
Mettiamo che l'orario corretto siano le 10.
Per ipotesi avremo quindi a che fare con giocatori capaci di fare ad
esempio le seguenti stime :
GIOCATORE A) 9.10-10.10
GIOCATORE B) 9.00-10.20
GIOCATORE A) 10.00-11.00
GIOCATORE B) 9.00-10.00


oddio, cos'è un troll? è un termine troppo tecnico questo, per un
frequentatore relativamente giovane di NG come me...
Ste

ad ogni modo non volevo farti dire cose che non hai detto... voglio farti
solo presente che č inutile complicarsi la vita inutilmente con una
gaussiana...
ciao,
  Ste

 ha scritto nel messaggio
news:ce3dof$af8$1...@lacerta.tiscalinet.it...


non riesco a capire perchè secondo te la probabilità prima e dopo l'ora
scelta dal primo giocatore non è simmetrica... me lo puoi spiegare?
ciao,
  Ste

guarda... io sono gnucco... ma perchè tutto ciò?
fare supposizioni sulla bravura dei giocatori non limita la validità
generale della soluzione?
supporre che i giocatori siano ugualmente bravi non limita tantissimo la
generalità della soluzione?
perchè tenere conto di tutti quegli intervalli di tempo? i giocatori non
sono a conoscenza delle stime dell'altro (sennò lo avvantaggerebbero) dunque
perchè tenerne conto? (es.: viaggi su una punto. sai che la velocità media
di una alfa è metti caso 150km/h e quella di una cinquecento è di 100km/h.
qual è la velocità media della tua punto? non si può dire perchè dipende
dalla pesantezza del tuo piede e dai limiti del tuo motore, e non dalle
velocità delle altre macchine).
Secondo me quello che hai fatto tu è stato cercare di capire quale possa
essere la strategia vincente per i giocatori. ma non è la stessa cosa di
calcolare le probabilità di vittoria che hanno a prescindere dalla loro
bravura e dalla strategia che adottano.
una soluzione è generale quando non dipende da parametri, non è così?
boh,
  Ste

 e le 17:00 oppure tra le 17:01 e le 17:31.
Ma scusa, che intendi per "ugualmente bravi"?
Io intendo questo:
Facciamo un gioco più semplice: mettiamo in busta la nostra stima dell'ora
attuale. Vince chi ci si avvicina di più. Se siamo "ugualmente bravi" il
match si chiuderà in parità. Tutto qui. Non è detto che, volta per volta,
stimiamo l'ora alla stessa maniera, ma solo che mediamente una volta per uno
forniamo una stima migliore dell'altro.
Ovviamente considero bassa la probabilità di azzeccare esattametne l'ora.
Diciamo mediamente 1/60 tanto per ripetere valori già detti.
Rispetto al modello che ho usato per affermare che i giocatori sono
"ugualmente bravi", il gioco proposto è notevolmente favrevole al secondo
giocatore!
Nel modello con le buste (in cui i giocatori pareggiano!), il secondo
giocatore deve mettere in busta la sua stima senza vedere la stima del
primo. Diciamo che sta per mettere in busta la sua stima, 17:30. Ora - senza
volerlo, naturalmente! - gli cade l'occhio sulla busta del suo avversario e
in trasparenza legge 17:15. Se lui non mette in busta 17:16 o è
irrimediabilmente onesto oppure è irrimediabilmente coglione.
Se lo fa sistematicamente, vince tutte le sfide che avrebbe vinto anche
senza imbroglio, e in più vince tutte quelle che avrebbe perso perché l'ora
esatta era compresa tra la sua stima e l'altra, ma più vicina all'altra.
Comunque, fai tu la posta. Io gioco per secondo.
-- 
Ciao, Silv:o)

 momento che la distribuzione di probabilità non è nota 
Pero' forse non e' vero che non e' completamente ignota.
Ad esempio si puo' ragionevolmente ipotizzare che sia simmetrica attorno
all'ora piu' probabile..
In questo caso la scelta prima o dopo sarebbero piu' o meno equamente
probabili e quindi si avrebbe il vantaggio a giocare per primi.
Perche' chi gioca per secondo avrebbe solo 1/2 di probabilita' di
azzeccare.


 generale della soluzione?
Se vogliamo capire se questo gioco avvantaggia il primo o il secondo
giocatore, è a mio parere necessario ipotizzare che si abbia a che fare
con giocatori di pari livello nello stimare l'orario.
Inoltre la soluzione che ho dato io, non contempla che ciascuno conosca
le stime dell'altro.
Anzi, è esplicitamente detto come ciascun giocatore giochi in base alla
propria stima (facendo riferimento al proprio valore centrale, ovvero
all'ora che egli ritiene più probabile).
Nella realtà, comunque, non avremo mai due giocatori di livello
esattamente pari.
Ma se dimostriamo che a pari livello il meccanismo del gioco favorisce
il secondo, continuerà a favorirlo sempre.
Tanto più che se ci avventuriamo nella casistica in cui i livelli non
sono pari, a mio parere il vantaggio del secondo giocatore, diventa
più evidente.
Infatti se è il più bravo a partire per secondo, in base all'orario che
dà il primo, avrà facilità a vincere. Infatti l'orario datogli dal
primo giocatore, non sarà quasi mai al centro della propria stima
(essendo i giocatori di diverso livello), pertanto lui si limiterà a
scegliere l'intervallo prima o dopo, in base a dove si concentra
maggiormente la propria stima.
Quindi questo (ovvero il poter contare su un intervallo che comprenda
maggiormente la propria stima) unito al fatto che lui faccia stime più
attendibili dell'altro (essendo il giocatore più bravo) rende il suo
vantaggio a dir poco schiacciante.
Facciamo un esempio in cui l'ora corretta siano le 10
GIOCATORE A) stima 9.00-10.00, valore centrale 9.30
GIOCATORE B) stima 9.00-10.30, valore centrale 9.45
Il giocatore più debole (il giocatore A) inizia per primo, e dice
l'orario 9.30
Il giocatore più forte (il giocatore b) punterà senza dubbio
sugli orari più alti, e vincerà (visto che le 10 sono dopo le 9.30).
Si nota come il secondo giocatore abbia potuto puntare sull'intervallo
9.31-10.30 che è un buon pezzo della sua stima (9.00-10.30), mentre il
primo giocatore abbia potuto contare sull'intervallo 9.00-9.30 che è
solo la meta della sua stima.
Mentre se fosse il più bravo (ma non sufficientemente bravo da
individuare sistematicamente l'orario corretto ) a partire per prima,
non avrebbe un altrettanto importante vantaggio, rispetto al caso
precedente.
Questi miei ragionamenti vi convincono ?


 generale della soluzione?
Certo che lo fa.
SI fa questa supposizione perche' se un giocatore e' piu' bravo dell'altro
ma non bravissimo conviene a volte giocare per secondi.
AL giocatore bravo ma non bravissimo perche' se gioca per primo non
sfrutta la possibilita' di rispondere agevolmente prima o dopo a stime completamente sballate
del meno bravo.
Se e' meno bravo perche' evita appunto di prestare il fianco con le sue
stime sballate al piu' bravo.
Se invece il giocatore e' bravissimo e' ovvio che gli conviene giocare per
primo.


mi mostraste dove commetto secondo voi l'errore.
Quindi ci viene al contrario, iella.. ma guarda che io
qui su ihe sbaglio moltissimo:-))
-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1

 l'altro di X minuti in ritardo.
Non mi convince perche' la stima se l'ora vera e' la stessa e' sempre
uguale.
Invece mi convince questo altro modello,
A seconda della loro bravura i giocatori riescono a suddividere il giorno in
intervalli in cui sono convinti di dire: l'ora e' questa.
Per dire questo considerano degli elementi che statisticamente dipendono
dall'ora vera.
Allora in base ai fenomeni fisici esistera' data un'ora vera una
distribuzione di probabilita' che venga prodotta un'impressione di ora
apparente tramite quei segni.
Ma viceversa, data un'ora apparente impressa, ci sara' una distribuzione
delle probabilita' che questa ora apparente sia stata provocata in una
certa ora vera.
Ovviamente non esistono off-set, solitamente e' ovvio che l'ora vera piu'
probabile per ogni ora apparente stimata e' proprio l'ora stimata, senno'
col tempo si imparerebbe ad associare quelle impressioni per generare
l'ora ad un'altra ora vera.
Inoltre qualche giocatore studiando i propri errori si accorgerebbe della
propria tendenza a ritardare od anticipare e si correggerebbe da se.
Imfine occorre chiedersi quanto l'errore nel fare una stima sia dovuta a
variazioni di elementi oggettivi oppure anche di differenza di percezione ed interpretazione degli
elementi esterni.
In un caso i due giocatori faranno sempre le stesse stime e quindi il
gioco sara' deterministico, nel secondo no.

-- 


 ha scritto nel
messaggio news:ueeNc.99260$G%.17229@tornado.fastwebnet.it...


 5 : p=0.7
p=0.07?
Se la distribuzione fosse realmente simmetrica (ma il problema non lo dice)
con distribuzione gaussiana allora il primo giocatore sarebbe sempre
avvantaggiato. Ma nel problema nessuna ipotesi si fa sulla distribuzione.
In ogni caso non può essere una gaussiana, se non altro perchè ci sono degli
estremi nella giornata e altri fattori (come l'alternanza
luce-crepuscolo-buio) che influiscono sulla simmetria. Come ti ho detto in
un altro post se è appena tramontato il sole, nel senso c'è buio pesto, è
difficile che siano ore crepuscolari o diurne, mentre è più probabile che
sia più tardi...

 capacità di stimare l'ora senza orologio.
Il fatto è che il primo ha un vantaggio in più nel taglio... può azzeccare
al primo colpo. Nella torta il problema non si pone...

Questo quesito mi piace sempre più perchè non è scontata la soluzione.
Ragionando sulla scelta del primo mi pareva ovvio che scegliesse l'ora
stimata più probabile: non è così!!!!!
Ad esempio, supponendo sempre per semplicità che ci siano solo 10 ore con
questa probabilità:
1 p=0 %
2 p=0 %
3 p=0 %
4 p=0 %
5 p=9 %
6 p=10 %
7 p=21 %
8 p=20 %
9 p=20 %
10 p=20 %
Cosa deve scegliere il primo giocatore? l'ora 7? Sbagliato! Se sceglie l'ora
7 ha esattamente 21+10+9=40% di possibilità di vincere, in quanto se non
vince subito il secondo giocatore punta sulle ore successive. Se sceglie
invece l'ora 8 ha 20+40=60% di possibilità di vincere. Perciò la scelta del
primo giocatore non è necessariamente quella più probabile...
Secondo me poi la distribuzione riportata sopra non è illogica: infatti
supponendo che alle 7 faccia buio si valuta più improbabile che siano le ore
precedenti, in cui c'è ancora un pò di luce: possono variare le quantità ma
non l'asimmetria complessiva della distribuzione. IMHO off course

Fai troppe ipotesi arbitrarie secondo me...
La soluzione che ho proposto nel post precedente è più generale


Il problema , per evitare ragionamenti basati su presupposti a mio avviso
fuorvianti (ore stimate più o meno probabili in base a luce o buio, ecc.)
va leggermente modificato, dando ai 2 giocatori i mezzi (soggettivi, e
ovviamente grossolani) per poter motivare la propria valutazione.
Propongo quindi che, anzichè l'ora, si debba indovinare la distanza, che
so, fra 2 punti X e Y (che potrà essere talvolta di qualche decina di
metri, e talaltra di qualche centimetro, ecc..).
Il mezzo di valutazione potrebbe essere il numero dei passi, integrato,
se del caso, dalle spanne di una mano, ecc..
Dire che i 2 giocatori A e B sono ugualmente bravi, significa affermare che
daranno risultati (da indicare in una unità di misura variabile e tale da
rendere difficile l'individuazione del valore esatto), mediamente ugualmente
accurati rispetto al valore vero. Cioè, che l'errore assoluto (in eccesso
o in difetto di cui sono affetti i rispettivi risultati) è mediamente lo
stesso. E questo a prescindere dalla precisione, che può avere, nel caso
di prove ripetute, deviazioni dal valore medio difformi (e la cui
distribuzione
non ci interessa).
Facciamo un esempio: sia da stabilire una distanza (che sappiamo essere
di 100 metri esatti)
GIOCATORE A (risultati di 3 prove)
         1) 90 passi (di 1,1 m) e 3 spanne (di 21 cm)  = 99,60 metri
         2) 89 passi (di 1,1 m) e 4 spanne (di 21 cm)  = 98,70 metri
         3) 90 passi (di 1,1 m) e 1 spanna (di 21 cm)  = 99,20 metri
 MEDIA: 99,17 metri
GIOCATORE B (sempre 3 misure)
         1) 108 passi (di 0,95 m) e 0 spanne (di 19 cm)  = 102,60 metri
         2) 104 passi (di 0,95 m) e 3 spanne (di 19 cm)  = 99,37  metri
         3) 105 passi (di 0,95 m) e 4 spanne (di 19 cm)  = 100,51 metri
 MEDIA: 100,83 metri
L'errore è in entrambi i casi pari a 83 cm (con maggiore precisione per
il giocatore A). Però, il secondo giocatore può utilizzare la decisiva
informazione supplementare che gli deriva dal conoscere il risultato
ottenuto dal giocatore A, il quale ovviamente darà come risposta il valore
99,17 m, e vincerà sempre dicendo 99,18 m (tranne il rarissimo caso in
cui il risultato di A sarà esatto).
Ciao, Nino

 cui il risultato di A sarà esatto).
Quello che ho detto anch'io.
Il secondo giocatore stima per i fatti suoi l'osservabile; poi, invece di
dire fornire la sua stima dice se è maggiore o minore dellaltra. Se è bravo
quanto l'altro (e non ci importa se i due stimatori siano distorti, o quale
sia la varianza della stima, purchè uguale) mediamente una volta su due
avrebbe vinto con la sua stima, figuriamoci potendosela aggiustare come dici
tu!
-- 
Ciao, Silv:o)

 distorti, o quale sia la varianza della stima, purchè uguale) ...
A pensarci bene basta che entrambi gli stimatori siano non distorti per
garantire il vantaggio a del secondo giocatore.
Per stimatore non distorto si intende uno stimatore a scarto medio nullo,
ovvero uno stimatore che sbaglia un po' per eccesso, un po' per difetto, ma
alla fine la media delle stime coincide con la media dell'osservabile da
stimare.
Nel nostro caso il secondo stimatore può essere molto più scarso dell'altro,
nel senso che la sua varianza (scarto quadratico medio) è decisamente più
alta dell'altro. Immaginate due campane centrate sul valore esatto, una
delle due molto più stretta dell'altra. Ho detto campane, ma la
distribuzione esatta non è importante. Ora, pure se il secondo giocatore
sbaglia in media di un'oretta mentre l'altro sta quasi sempre entro il
quarto d'ora, in media vince il secondo, sempre con il solito metodo, ovvero
dicendo "di più" se la sua stima supera quella del primo.
Infatti una volta su due le due stime saranno una per ecceesso ed una per
difetto. Per esempio, alle 10:00, A dice 9:48, B pensa 10:50 e dice "più
delle 9:48" vincendo lo stesso pur avendo sbagliato la stima di qusi un'ora.
L'altro 50% delle volte le stime saranno entrambe per difetto o per eccesso,
e allora molto probabilmente B perde, ma non è detto che qualche volta non
riesca a spuntarla.
Ad esempio, sempre alle 10:00, può capitare che A dica 10:20 e B vinca
stimando invece 10:15 e dicendo "meno delle 10:20".
-- 
Ciao, Silv:o)

 dicendo "di piů" se la sua stima supera quella del primo.
A mio parere non č importante la varianza della stima.
Ovvero che uno stimi l'ora in un intervallo di 10 minuti piuttosto che
di 2 ore, non cambia nulla.
Non cambia nulla, perchč l'ora che ciascuno ritiene piů probabile, e
quella in base alla quale gioca, č quella centrale.
Facciamo un esempio, supponendo sempre che siano le 10.
GIOCATORE A) stima 8.00-12.00, punto centrale ore 10
GIOCATORE B) stima 9.55-10.15, punto centrale ore 10.05
Ecco che vincera il giocatore A sia che inizi primo, sia che inizi
secondo, nonostante la sua stima abbia varianza maggiore.


 secondo, nonostante la sua stima abbia varianza maggiore.
Se sistematicamente il giocatore A ci azzecca, la sua varianza è nulla,
altro che. Se è un caso che alle 10:00 ci azzecca, allora bisogna analizzare
come si comporta durante tutta la giornata, ma non è che il fatto che A dica
10:00 perché la colazione e il pranzo sono equidistantoi e lui ha fame renda
peggiore la sua stima rispetto ad uno che ha visto l'ora dieci minuti prima
e quindi abbia ragionevolmente ristretto l'intervallo. Se poi A dalle 9:30
alle 10:30 va ripetendo 10:00 mentre B più o meno guarda l'orologio ogni
qurto d'ora, allora la stima di B sarà ovviamente migliore, ma è un'altra
questione.
Per varianza della stima intendo una cosa diversa. Ripeti miliardi di volte
la prova, a tutte le ore, fai la media dei quadrati degli scarti rispetto
all'ora esata ed avrai la varianza dello stimatore.
Uno stimatore è tanto migliore quanto più bassa è la varianza. Meglio è poi
se lo stimatore è "non distorto" ovvero se mediamente ci azzecca. Per
esempio se prendi un orolgio digitale con i minuti rotti, è uno stimatore
per difetto dell'ora. Se stimi l'ora con quell'orologio e dici 10:30 quando
vedi il 10 delle ore, allora lo stimatore è non distorto. Se è rotta solo
l'ultima cifra e consideri sempre 5 allora lo stimatore è di nuvo non
distorto ma ha una varianza molto minore.
-- 
Ciao, Silv:o)

 secondo, nonostante la sua stima abbia varianza maggiore.
Supponiamo invece che siano le 10:04.
Vince chi gioca per secondo.
Gioca prima A, e dice 10:00.
B, che pensa siano le 10:05 dice "più tardi" e vince. Anche se fosse
costretto a dire un'ora direbbe 10:01 e non certamente 10:05.
Gioca prima B, e dice 10:05. Ci ha quasi azzeccato, ma perde!
A, che pensa siano le 10:00 dice "più presto" e vince. Se fosse costretto a
dire un'ora direbbe 10:04 e farebbe pure un figurone.
-- 
Ciao, Silv:o)

 delle due molto più stretta dell'altra.
In una singola misura il valore medio può ovviamente essere diverso per i
due giocatori e la varianza della stima non è importante sia o meno uguale.
Gli stimatori potrebbero anche essere distorti, almeno se con questo
termine intendi la presenza di errori sistematici, che agiscono sempre
nello stesso senso, e che, una volta conosciuti, possono essere corretti,
tenendone conto.
L'importante è che l'accuratezza per i 2 giocatori sia uguale, cioè che
in una lunga serie di misure le differenze fra i valori medi ottenuti
e i valori esatti siano uguali e di somma zero (due campane centrate sul
valore esatto, (normalizzato) dici tu). Anche la dispersione di queste
differenze, entro certi limiti, non è molto rilevante, e non pregiudica
vittorie più frequenti al secondo giocatore  se dotato di minore precisione,
cioè con maggiore larghezza della sua campana.
Ciao, Nino


Ma in questo esempio il punto centrale della stima coincide con l'ora
esatta. Per forza che in questo caso vincerà sempre il giocatore A.
E' perciò un caso eccezionale, normalmente il punto centrale della stima
di una prova singola sarà diverso dall'ora esatta (in eccesso o in
difetto) e questo potrà essere sfruttato dal giocatore B.
Silvio diceva: "Immaginate due campane centrate sul valore
esatto, una delle due molto più stretta dell'altra..."
Ma questo  valore esatto (che deve essere uguale per entrambi i
giocatori) è da intendersi come la media di molteplici prove
sperimentali, la cui dispersione è di scarsa rilevanza.
Ciao, Nino

 Stiamo parlando di due cose diverse.
Si hai ragione, parlevamo di due cose diverse.


 Stiamo parlando di due cose diverse.
Si hai ragione, parlevamo di due cose diverse.


 Stiamo parlando di due cose diverse.
Si hai ragione, parlevamo di due cose diverse.


 
secondo me:
se per entrambi i giocatori la distribuzione dell'errore nella stima e' 
simmetrica (ovvero la probabilita' di sbagliare in difetto per un valore 
X, e' uguale alla probabilita' di sbagliare in eccesso per un valore X) 
e se questa distribuzione e' continua allora:
la probabilita' di azzeccare esattamente l'orario per il primo giocatore 
e' trascurabile, mentre il secondo giocatore non ha nessun vantaggio 
rispetto al primo, e gli conviene decidere lanciando una moneta non 
truccata per scommettere se l'orario giusto e' prima o dopo quello 
suggerito dal primo giocatore.
In questo caso non fa differenza chi gioca prima.
Tuttavia, se il tempo viene discretizzato in una unita' di misura come 
il minuto allora la probabilita' che il primo giocatore indovini 
l'orario "discretizzato" e' maggiore di zero, e quindi possiede un lieve 
vantaggio.
Altro discorso e' se i due giocatori non hanno nessuna informazione 
sulla capacita' dell'altro di saper stimare, e se man mano che giocano 
imparano a stimare meglio l'orario, o a capire gli errori dell'altro 
giocatore.
Per esempio:
A potrebbe tendere a sbagliare piu' in eccesso che in difetto e non 
accorgersene, e quindi B farebbe bene a farlo giocare sempre prima, e 
scommettere il piu' delle volte che l'orario sia sempre maggiore di 
quello stimato da A.

 In questo caso non fa differenza chi gioca prima.
Ma perche? perché rinunciare all'informazione!
Il secondo è avvantaggiatissimo.
Se tira la moneta vince una volta su due, OK
Ma gli basta scommettere che l'orario giusto è successivo se lui ha stimato
un orario successivo al primo (e viceversa) per avere un grande vantaggio.
Pensaci bene. Fai qualche prova e ti convincerai.
A causa della simmetria delle distribuzioni degli errori di entrambi, i casi
equiprobabili sono 2:
1) uno sbaglia per eccesso e l'altro per difetto
2) entrambi sbagliano per difetto o per eccesso
Nel caso 1 vince sistematicamente il secondo giocatore.
Nel caso 2 vince chi si è avvicinato di più, ovvero il più bravo. Se sono
egualmente bravi il secondo giocatore vince una volta su due, ovvero in
totale il 75% delle volte. Ma anche se il secondo giocatore è più scarso,
non è detto che perde sistematicamente.
Sei convinto?
-- 
Ciao, Silv:o)


mmm si, pero' c'e' un pero'. Scusa se divago, o incasino le cose:
il secondo sarebbe avvantaggiato, in soldoni, dal fatto che lui avrebbe 
a disposizione due stime anziche' una.
Avrebbe a disposizione la stima dell'avversario, e quella propria.
Ok?
(Si sta infatti considerando che chi dispone di un valore campionario in 
piu'e' avvantaggiato, tanto e' vero che si puo' dimostrare che
V(Xn) = V(X)/n, ossia la varianza si riduce in proporzione dell'inverso 
della numerosita' dei campioni, che e' n, e quindi minore varianza 
significa anche minore errore)
Il secondo ha a disposizione due campioni, il primo uno solo.
Io per la verita' avevo pensato che se il primo stima l'orario, allora 
il secondo non puo' piu' fare alcuna stima.
Credevo che se facesse anche lui la stima avrebbe lo stesso esatto 
valore avuto dal primo, quindi nessuna informazione aggiuntiva, perche' 
il tipo di dispositivo "stimatore dell'orario" cui possono affidarsi e' 
affetto da errore, ma da un errore che non e' sempre diverso ad ogni 
lettura riguardante il *medesimo orario* ossia il medesimo istante.
Sara' diverso (e modellato da una opportuna legge di probabilita' 
sull'errore) magari se lo consultiamo di nuovo tra una mezz'oratta, ad 
esempio)
Se infatti il dispositivo, non preciso, desse valori differenti ad ogni 
lettura, (a riguardo dell'orario attuale naturalmente) tali da dare una 
informazione aggiuntiva al secondo giocatore, allora questo potrebbe 
comunque averlo fatto anche il primo a priori: consultarlo piu' volte e 
avere piu' campioni, e quindi piu' accuratezza.
Certo: il secondo avrebbe comunque il vantaggio di poter poi usare di 
nuovo altre volte lo stesso tipo di dispositivo, ed avere di fatto una 
stima comunque piu' accurata, ma sta di fatto che il primo e' in grado 
di poter ridurre arbitrariamente il suo errore, e dare potenzialmente 
minore vantaggio al secondo giocatore.
Ma comunque sono disquisizioni.
Io ritenevo (inconsciamente forse) che a causa di questa sorta di 
paradosso, non avesse senso ipotizzare il discorso per cui il secondo ha 
a disposizione due campioni *diversi*, ed il primo uno solo.

 a disposizione due campioni *diversi*, ed il primo uno solo.
mmm, se dici che due arcieri sono ugualmente bravi mica ti immagini che a
ogni tiro il secondo spacchi in due la freccia del primo.
Ma forse questo paragone non č felice perché uno si potrebe allora chiedere:
dopo che ha tirato il primo, al secondo dove conviene mirare?
anzi, ne facciamo un quesito a parte, vediamo che ne pensano gli altri.
-- 
Ciao, Silv:o)