Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: Uno strano podere

ciao!
Il mio amico Giovanni sta valutando se comprare un podere. Egli, pero`, non sa
l'estensione del podere, ha solo alcuni indizi. Il podere e` costituito da tre
campi quadrati, ognuno dei quali si affaccia su un lato di un lago triangolare,
piu` o meno cosi`:
     /\
    /  \
   /    \ ___
   \    /|   |
    \  / |   |
     \/__|___|
     |   |
     |   |
     |___|
ora, il lago ha un'estensione di 7 ettari ed i tre campi hanno ciascuno un'area
che, espressa in ettari, e` un valore intero.
Qual e` l'area totale minima che puo` avere il podere?
Marco
-- 
http://www.ing.unife.it/docenti/MarcoGavanelli

 Qual e` l'area totale minima che puo` avere il podere?
Ho trovato una sol. di 88.
I lati del triangolo sono= sqrt(10), sqrt(26), sqrt(52)
Senza fare calcoli si osserva subito che tale triangolo ha l'area=7 dal 
seguente disegno:
d
|\
| \
|  \
|   \
|    \
|     \
|      \
|       \
|        \
|e__f     \
|   |      \
|___|_______\
a   b        c
 ab=1, bc=3, ae=1, de=5
Considera tracciate anche le linee df, cf.
Il triangolo def ha area=2.5
Il triangolo bcf ha area=1.5
Il quadrato abef ha area=1
Il totale per le tre figure = 5.
L'area del triangolo grande acd e'=12 percio' l'area del tri. dfc sara'=7, 
e potrebbe essere il nostro lago. Non so' se e' il minimo.
ciao :) dario
 
 

Qual e` l'area totale minima che puo` avere il podere?
.
.
.
.
.
indicando con a,b,c le aree dei campi e applicando qualche teorema di
trigonometria, si trova che deve essere soddisfatta l'equazione
diofantina simmetrica
2(ab+ac+bc)=aa+bb+cc+28^2
La minima soluzione e' 13,17,20, per un totale di 50. Ciao

 Non so' se e' il minimo.
E` davvero un bel risultato ed una bella dimostrazione!
Giovanni pero` e` convinto che il podere potrebbe anche 
essere piu` piccolo :(
ciao ciao,
Marco
-- 
http://www.ing.unife.it/docenti/MarcoGavanelli

El Filibustero escribe:

Bravissimo!
Il problema originario e` di Colin Singleton (New Scientist 29/8/98)


Qual e` l'area totale minima che puo` avere il podere?
spoiler
Brute force!
56 ettari, cioe` 14, 14, 28
-- 
Ci sentiamo  |  Remigio Zedda  || Attenzione! campo "From:" alterato
ciao Remigio |                 ||==> E-mail: 
remi...@tiscalinet.it
-------------|      ..si` d'accordo.. ma con la Deb e` un'altra cosa!
/* Linux 2.2.19pre17 su Debian GNU/Linux 2.2 Potato */

 56 ettari, cioe` 14, 14, 28
Molto bravo, e` una soluzione accettabile ed e` quasi la soluzione ottima!
Ma El Filibustero e` stato piu` veloce ed ha fornito l'ottimo.


 Qual e` l'area totale minima che puo` avere il podere?
Ecco alcune delle (infinite) soluzioni, che, se non mi sono perso nelle fattorizzazioni, sono
anche le piu' piccole ed in ordine :
 aree		 totale
13,17,20	50 (ElFilibustero)
14,14,28	56 (rez) (*)
10,20,26	56
 8,25,29	62
10,20,34	64
 8,25,37	70
 7,28,35	70 (*)
13,17,40	70
Se si toglie la richiesta di aree intere il minimo e' il lago equilatero
lato   = 16.16  [28/sqr(3)]
totale = 48.49  [28*sqr(3)], vicinissima al 50 discreto
Infine, una parziale giustificazione alla bella costruzione di Uri :
la risolvente (ottenibile x es. dal th. di Carnot) e' :
a = b+c+2*sqr(bc-28^2),
e quindi occorre bc-28^2 = n^2, cioe' il prodotto di due delle aree e' sempre
la somma di due quadrati, pertanto, tolti i rari casi in cui c'e' un fattore primo
di potenza dispari della forma 4k+3, comune a tutte le aree (come in (*)), queste 
sono sempre ipotenuse di triangoli pitagorici.
Se si riescono ad assemblare il gioco e' fatto.
es. (13,17,20)
+--+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  |  |  |
+--+--+--A--+--+--+
|  |  |  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+
|  |  |  |  |  |  |
+--B--+--+--+--+--+
|  |  |  |  |  |  |
+--+--+--+--+--C--+
|  |  |  |  |  |  |
+--+--+--+--+--+--+
AB=4+9, BC =1+16, AC=4+16

Ma El Filibustero e` stato piu` veloce ed ha fornito l'ottimo.
Ehh.. leggo le news offline, se l'avessi vista non avrei neppure
postato:-((
Il legame tra i lati da me era identico, proviene da Erone e io ce
l'avevo gia` pronto da un quiz in un certo senso simile, mi sembra su
.matematica. Pero` mi sa che le soluzioni si possono trovare solo per
tentativi, cioe` brute force. Io provavo le bilanciate, sapendo che per
misure continue avrei dovuto avere il triangolo equilatero.. infatti
El Filibustero le ha beccate nel complesso piu` bilanciate:-))


 El Filibustero le ha beccate nel complesso piu` bilanciate:-))
Scusa, che cosa intendi per bilanciate?
Ciao
Marco
-- 
http://www.ing.unife.it/docenti/MarcoGavanelli

Scusa, che cosa intendi per bilanciate?
17, 17, 17. Invece 2, 3, 30 sbilanciate. Io provavo infatti 16, 16, e
il terzo niente; 15, 15, e il terzo niente ancora. Poi con 14, 14 ho
beccato 28:-))
