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Titolo: Scegliendo *a caso*

Ecco una variante del solito paradosso dela scelta casuale.
E' volutamente un po' vago nella definizione, vincoli e precisazioni
li introdurremo strada facendo.
Si scelgono tre punti a caso A, B e C nell'ordine, e si uniscono a
formare un triangolo. Qual è la probabilità che l'angolo in A sia
maggiore di 90 gradi?
Un paio di rispostine buttate così:
- Prendo A come origine di un sistema di riferimento cartesiano, B lo
uso per tracciare l'asse delle x. A questo punto è chiaro che l'angolo
in A è ottuso solo se C cade nei due quadranti in cui x>0, ovvero in
un semipiano. 50% di probabilità
- L'angolo in A per essere ottuso deve necessariamente essere il
maggiore dei tre, e non è neanche sufficiente. Visto la simmetria del
problema, la probabilità che accada non può superare 1/3.
Che ne dite?
--
Silv:o)

"Silvio Sergio" ha scritto

Sempre più difficile:
Disegno il cerchio di diametro BC.
L'angolo in A è ottuso se e solo se A è interno al cerchio.
La probabilità è zero, pari al rapporto tra l'area del cerchio (finita) e
l'area esterna (infinita).
Però non ho rispettato tutti i termini del problema: infatti chiedevi di
scegliere A,B,C, nell'ordine.
Ma allora l'ordine di scelta può influenzare il risultato? Mi sembra un
paradosso nel paradosso.
Per complicare un po' le cose, mi chiedo quale sia la probabilità che
l'angolo sia retto.
A deve cadere sulla circonferenza, quindi la probabilità è ancora zero.
Ma l'angolo ottuso è evidentemente più probabile di quello retto.
Quindi uno zero è maggiore dell'altro.
0>0
Quella qui sopra è una disuguaglianza o una faccina? :-)
Aggiungo un'osservazione OT (o forse no).
Ho notato che il tuo post è stato spedito esattamente a *mezzanotte*.
Quale era la probabilità che ciò accadesse?
_Col normale orologio del computer (
hh.mm
) la probabilità *0.00* vale
1/(24*60).
_Se invece avessimo un orologio (hh.mm.ss) la probabilità *0.00.00* sarebbe
1/(24*60*60).
_Infine con un orologio analogico *ideale*, la probabilità *mezzanotte*
sarebbe 0.
Qualche attinenza col problema?
ciao
paolo


ehi, ma è stato spedito alle 00.00.16 !!


Provo ad affrontarlo in maniera "seria".
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Lasciamo perdere l'ordine dei 3 punti. Una volta scelti a caso questi 3
punti otteniamo un triangolo, e fin qui ci siamo. Senza perdere di
generalità si può affermare che tale triangolo avrà un lato più lungo degli
altri due (in realtà potrebbe essere isoscele o equilatero e quindi
(eventualmente) avere più di un lato "lungo", in questi casi ne scegliamo
uno tra quelli lunghi e lo chiamiamo "il più lungo"). Se mai questo
triangolo dovesse essere ottusangolo, avrebbe l'angolo ottuso opposto al
lato lungo (e anche su questo non dovrebbero esserci obiezioni).
Per comodità (e senza perdere di generalità) possiamo considerare che il
lato lungo misuri 1. Chiamiamo questo lato AB e tracciamo due cerchi di
raggio 1 incentrati rispettivamente in A e in B. L'intersezione di questi 2
cerchi rappresenta la zona in cui potrà venirsi a trovare il terzo vertice
C. Su questo non dovrebbero esserci obiezioni; se C stesse fuori da questa
zona, il lato lungo del triangolo non sarebbe più AB.
Disegniamo un altro cerchio con centro a metà del lato AB e raggio 1/2. Se
il vertice C cade in questo cerchio, il triangolo è ottusangolo, se cade
fuori è acutangolo, se cade sulla circonferenza è rettangolo (come ha detto
Paolo).
Quindi la probabilità che il triangolo sia ottusangolo è data dal rapporto
tra le aree di quest'ultimo cerchio e l'area della zona di cui prima. Ho
fatto due conti e se non li ho sbagliati viene un valore di circa 0.64.
Siccome il testo chiedeva qual era la probabilità che un ben preciso angolo
fosse ottuso, direi che questa è circa 0.64 / 3.
Ciao
Giorgio

 e l'area esterna (infinita).
E' il rapporto di due aree infinite: la striscia che contiene il cerchio
(meno il cerchio) e il piano esterno alla striscia (più il cerchio).
Risultato? Boh! forse un numero finito, forse un mal di testa.
--
Silv:o)

 fosse ottuso, direi che questa è circa 0.64 / 3.
Diamo per buona questa tua dimostrazione. Allora è buona anche questa:
Ragioniamo sul lato intermedio, ce ne sarà pure uno che non è il maggiore ne
il minore. Sia XY questo lato. Disegnamo i due cerchi come sopra (centri in
X e Y e raggio uguale al lato XY). Siccome sappiamo che XY è il lato
intermedio, il terzo punto Z non può cadere nell'intersezione dei due cerchi
(XY sarebbe il lato maggiore), ne all'esterno dei due cerchi (XY sarebbe il
lato più corto). Insomma Z deve cadere nell"unione disgiunta" dei due
cerchi.
Ora tracciamo le perpendicolari a XY passanti per X e Y, che individueranno
una striscia di larghezza XY. Se Z cade nei due semicerchi grandi esterni
alla striscia, il triangolo è ottusangolo. Se invece cade nella fascia
centrale dell'unione disgiunta il triangolo è acutangolo.
L'area dell'unione disgiunta dei due cerchi - supposto anche qui XY=1 - vale
(4/3*pi+sqrt(3)/2)=5.05+
Se togliamo i due semicerchi resta la parte delimitata dalla striscia, di
area (1/3*pi+sqrt(3)/2)=1.91+.
Il rapporto tra le due aree vale circa 0.378, sensibilmente lontano dal tuo
0.64
Come la mettiamo?
--
Ciao, Silv:o)

"Silvio Sergio" puntualizza

Ho velocemente fatto i conti e trovo valori decisamente diversi dai tuoi.
Con calma li rifarò (eventualmente, se hai tempo, ricontrollali anche tu).
Però ti chiedo: una volta tolto di torno il concetto di infinito e tutti i
paradossi ad esso connessi, che cosa c'è di formalmente sbagliato nella mia
dimostrazione (che con l'infinito non ha niente a che fare)?
Tornando all'infinito, frasi del tipo: "scelti due punti sull'asse delle x"
mi sembra che siano più che lecite e che la matematica ne sia piena, e non
vedo una grande differenza con la frase "scelti a caso due punti sull'asse
delle x". E in ogni modo mi sembra che, comunque scegli i due punti
sull'asse delle x, la distanza tra essi sarà sempre finita (Massimo Brighi
dice: "Qui il problema e' che se i punti B e C fossero effettivamente
"sceltia caso" la distaza BC non potrebbe essere finita").
Illuminatemi! :-)
Ciao
Giorgio

 In realtà è ottuso anche se la proiezione di A cade fuori del diametro BC.
Mi pare di no. Si chiedeva la probabilità che fosse ottuso *l'angolo in A*.
Nel tuo caso sarebbe ottuso l'angolo in B o quello in C.
ciao
paolo

 Illuminatemi! :-)
 Per ora sono all'oscuro.
:-)
ciao
paolo

  Per ora sono all'oscuro.
Qui possiamo trovare un po' di luce:
http://mathforum.org/library/drmath/view/54943.html
http://hades.ph.tn.tudelft.nl/Internal/PHServices/Documentation/MathWorld/math/math/o/o012.htm

 area = 3.8264
Ribadisco il mio 5.05.
Se anche non avessimo Autocad, ci si arriva in un attimo.
Basta notare che la regione comune ai due cerchi č quattro volte la
regione che si ottiene togliendo da uno spicchio di 60 gradi un mezzo
triangolo equilatero.
    .
   /| \
  / |  .
 /  |
/___|___|
Ho ricontrollato, e i conti mi sembrano a posto. Anche il rapporto
credo sia esatto e vale
(2*pi+3V3)/(8*pi+3*V3)=~0.3784951031
Comunque come abbiamo visto questa č accademia o poco piů, visto che
altri metodo potrebbero portare a risultati altrettanto validi, eppure
diversi.
--
Silvio)

 la distanza tra essi sarà sempre finita
Però al 100% (che non vuol dire con certezza!) sarà maggiore di 1, ma anche
maggiore di un miliardo o di tutto il cucuzzaro. Non vedo differenza con
l'infinito.
--
Ciao, Silv:o)

 magari si può fare un tentativo.
Corrisponde ad un problema che abbiamo gia' affrontato e risolto piu' 
volte, vediamo quale.
Scelti i tre punti, la circonferenza puo' sempre essere ruotata in modo da 
far corrispondere uno dei punti, diciamo A, ad una posizione prefissata. 
Possiamo percio' fissare il primo punto A, e solo 2 punti saranno scelti a 
caso.
Perche' vi sia un angolo ottuso e' sufficiente che uno degli archi AB, BC, 
AC sia maggiore di un semicerchio.
Tagliando la circonferenza nel punto A e "stirandola", otteniamo un 
segmento lungo il quale saranno localizzati i punti B e C.
A___________B______C_________A
Vi ricordate il bastoncino diviso in tre parti?
Quando c'e' un angolo ottuso, i tre pezzi nella versione "stirata" non 
possono formare un triangolo.
E sappiamo bene che la probabilita' e' = 3/4.
ciao dario

 Scelti i tre punti, la circonferenza puo' sempre essere ruotata ...
I punti li scegliamo su tutto il cerchio, non solo sulla circonferenza.
Probabilmente la prima parte del tuo ragionamento tiene lo stesso.
Basta prendere il punto piů lontano dal centro e ragionare sulla
circonferenza concentrica alla prima e passante per quel punto. Gli altri
due saranno ancora distribuiti uniformenmente su questo nuovo cercho piů
piccolo?
A me pare si sě, quindi possiamo assumere che uno dei punti del triangolo
stia sulla circonferenza, e gli altri due siano interni alla circonferenza
stessa, con distribuzione uniforme.
Come si continua?
Silv:o)

 diversi.
Su questo perfettamente d'accordo.
ciao
paolo

 :-)
:-)
Ciao
Giorgio

"Dario Uri" ci assiste

Oh, allora la mia idea non era poi cosě balzana! :-)
Ciao
Giorgio


Io personalmente la vedo, ma non vorrei che fosse un argomento di tipo
filosofico. La matematica "ufficiale" dice qualcosa in proposito? Chiedo
lumi (ancora!).
Ciao
Giorgio

 a ~0.696 che non è proprio uguale a ~0.64 ma ci assomiglia molto! :-)
A manipolarli un po' si trovano anche numeri più vicini ;)
Resta però una forzatura che non riesco a giustificarmi.
--
Ciao, Silv:o)

 e quindi deve essere necessariamente maggiore di 0.5
Visto solo col paraocchi dei calcoli, senza dar retta al buon senso, mica ti
accorgi se un numero non è assolutamente compatibile con la realtà
geometrica che dovrebbe rappresentare.
--
Silv:o)

 sia maggiore di 90 gradi?
C'e' qualche cosa che mi ha sempre dato fastidio nello scegliere
un numero a caso tra una serie infinita, forse e' il solo fatto che
ad estrarre un certo numero da tale serie la probabilita' e' nulla.
Purtuttavia la domanda "Che probabilita' ha un triangolo di essere
ottusangolo?" e' di una tale laconica semplicita' che mi piacerebbe
avere una risposta.
Da non-matematico limitato tecnologo mi son coltivato un
campicello cartesiano finito intero, il quadrante positivo con
x=0..10 e y=0..10 e li' ho disegnato tanti triangoli con i vertici
scelti casualmente tra quelle poche coordinate intere. Ho trovato
(forza bruta a me!! :o)) una probabilita' a favore degli ottusangoli
pari a circa 0,66
E' chiaro che la finitezza del campo comportera' un effetto
confine non trascurabile, ma questo effetto dovrebbe diminuire
all'aumentare delle dimensioni del campo. Cosi' ho ripetuto
l'esperimento con campi sempre piu' grandi, ottenendo:
N      P
10     0,66
20     0,70
50     0,72
100    0,72
1000   0,72
10000  0,72
0,72 (circa) sara' l'asintoto valido per rispondere alla domanda
iniziale? Io penso di si'.
And you?
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio

 And you?
Se l'infinito è quadrato, forse hai ragione. Ma - pur non essendo un
creazionista - il cerchio mi pare più politically correct.
--
Silv:o)

 un creazionista - il cerchio mi pare più politically correct.
Ho ripetuto in conti confinando le scelte dentro un campo circolare.
Converge piu' in fretta, ma sempre 0.72 mi viene.
Ciao!!!  ((^__^))'
Livio
PS: ma qual e' la distanza media di due punti scelti a caso? 0.52 inf?