Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: [MA] Altro quesito di probabilita'

Supponi che io possa estrarre due reali x e y con distribuzione uniforme su
tutto R. Ti mostro uno dei due numeri e ti chiedo di indovinare se il numero
che hai visto sia il più grande o il più piccolo dei due.
Esiste una strategia che ti assicura una probabilità di riuscita maggiore di
1/2?
Ciao
Andrea

 una probabilità di riuscita maggiore di 1/2?
Un problema simile, tanto noto quanto dibattuto, è quello delle due buste.
Due buste contengono del denaro, una il doppio dell'altra. Ti propongono una
busta. Conterrà x. Se cambi rschi di scendere a x/2, ma anche di salire a
2x. Mica sei fesso, cambi. O no?
--
Ciao, Silv:o)

 imbroglione
Già!
Però si potrebbe modificare in questo modo:
Scelgo due interi a,b, ma non ti dico quali.
Poi estraggo due numeri reali x, y, con distribuzione uniforme
nell'intervallo a-b.
Ti mostro uno dei due numeri e ti chiedo di indovinare se il numero che hai
visto sia il più grande o il più  piccolo dei due.
Esiste una strategia che ti assicura una probabilità di riuscita maggiore di
1/2?
ciao
paolo

 2x. Mica sei fesso, cambi. O no?
Prima di averne visto il contenuto cambiare è inutile, se invece la apri, il
trucco è quello di cambiare con una probabilità decrescente rispetto alla
somma trovata...
Ma il problema di prima è diverso, la soluzione che davano sul sito da cui
l'ho preso sembrava convincente!
Ciao
Andrea

 1/2?
Io dico: no! No! NO!
E neanche ci voglio stare a pensare. Non esiste e basta. La simmetria è
simmetria, non scherziamo.
--
Ciao, Silv:o)

 Io dico: no! No! NO!
Invece a me pare di sì.
ciao
paolo

 Invece a me pare di sì.
Sono curioso. A occhio mi viene da restare della mia idea, ma c'è il fatto
dei limiti interi.
Se non dovessimo trovarci daccordo, si potrebbe proporre una scommessa.
Decidi i limiti col "tuo" criterio (sempre gli stessi limiti per ogni prova?
cambiando ogni volta? riservandoti il diritto di cambiare ma senza dirmi
neanche questo?), generi le coppie di numeri casuali, mi mostri uno dei
numeri (anche qui, ce ne sarebbero di cose da dire. Quale mi mostri? lo
scegli tu? con che criterio? a caso? che "caso"? mi mostri il primo che
viene generato?) e io ti rispondo. A caso. O tutte risposte uguali, magari.
Tanto, dal mio punto di vista, non cambia nulla.
Ciao, Silv:o)

 Se non dovessimo trovarci daccordo, si potrebbe proporre una scommessa.
D'accordo sulla scommessa, ma farei al contrario.
Scegli tu un certo numero di intervalli a-b (interi), con il criterio che ti
pare.
Per ogni intervallo generi due numeri casuali (reali) e me ne comunichi uno.
Io proverň a indovinare se č il piů piccolo o il piů grande.
Vediamo se indovino piů del 50% dei casi.
Mi fido che non barerai. :-)
ciao
paolo

 Vediamo se indovino più del 50% dei casi.
Aggiungerei alcune regole:
Proviamo su una cinquantina di casi.
Gli intervalli non devono essere *troppo grandi*; diciamo che la differenza
b-a sia compresa tra 10 e 30.
Il numero che mi comunichi sarà scelto tra i due con criteri *neutrali*; per
esempio sempre il primo estratto.
ciao
paolo

 per esempio sempre il primo estratto.
I numeri li genero con la Rnd() di Visual Basic che genera un numero
[pseudo]reale [pseudo]random in [0,1).
"a" lo scelgo come mi pare a me e non te lo dico, il resto te lo posso pure
dire, anche se non dovrei:
b = a + 10 + Int(Rnd() * 20)
x = a + Rnd() * (b-a)
y = a + Rnd() * (b-a)
eccoti 50 x
001   13772,
3317700624
002   59722,1149136424
003   45192,4030404091
004   43088,3881669044
005   39543,
7038270235
006   58223,4203962684
007   8785,24910068512
008   11592,
2679718137
009   56003,8270845413
010   19174,5963147879
011   54668,459236145
012   2091,
2695838809
013   3023,91252326965
014   35050,7383665442
015   30312,
4134888649
016   6436,6120506525
017   51850,0566768646
018   36789,0155040622
019   6708,1547369957
020   23449,8424589038
021   51068,0891689062
022   53193,
2707903981
023   13834,1594264507
024   38486,
5009939075
025   36330,
6564375162
026   8465,27442759275
027   52186,1591873169
028   24213,4170387387
029   32526,2229032516
030   3289,66150200367
031   61499,
9197905064
032   280,845832169056
033   32710,4521435499
034   4375,52548605204
035   32067,1856770515
036   62594,
7207595706
037   14564,0780279636
038   52485,895824194
039   12385,8441357613
040   29719,7981848121
041   61862,
8143470287
042   43578,371899426
043   39611,3051309586
044   24234,1807076335
045   51869,
3635621071
046   1374,10793203115
047   53911,1885273457
048   58009,7591773272
049   60692,
9062246084
050   14739,742531538
--
Ciao, Silv:o)

 Ciao, Silv:o)
ciao
paolo

 criterio che ho adottato, e il perché.
Hai fatto 28, ma il numero di prove era veramente minimo.
Ho provato a fare delle simulazioni con 10 milioni di lanci la volta; ho
fatto le scommesse seguendo la regola che mi pare di aver intuito (meno di
.5 scommetto su P, altrimenti su G), variando il gap tra a e b. Ecco i
risultati
max(b-a)      Scommesse vinte
 1            75,00%
 10           55,32%
 100          51,36%
 1000         50,18%
 10000        50,03%
 100000       49,99%
 1000000      49,98%
 10000000     50,00%
 100000000    50,02%
 1000000000   50,01%
Con a e b interi si può speculare sulla parte decimale, anche se la cosa ha
un qualche significato solo per gap piccoli.
Nel caso generale, dove non sappiamo assolutamente nulla sul range di valori
possibili, a che ci possiamo appigliare per avere uno straccio di vantaggio?
--
Ciao, Silv:o)

 .5 scommetto su P, altrimenti su G),
La regola è proprio questa; la giustifico in diversi modi:
Vinco se si verificano due condizioni:
_I due numeri x,y hanno la stessa parte intera
Se d=b-a è l'ampiezza dell'intervallo, la probabilità che ciò accada vale
1/d, ed è tanto maggiore quanto più ristretto è il gap. Al limite per d=1 la
condizione diventa certa.
_Le parti decimali dei due numeri sono una maggiore ed una minore di .5. La
probabilità è 1/2.
Se si verificano entrambe le condizioni, p=1/(2*d), vinco. In caso contrario
è come se giocasi a caso, con p=1/2. In ogni caso la probabilità di successo
è >1/2 (di molto o di poco).
Altro ragionamento:
Ti comunico il numero x, per esempio x=1936.27. Non conosci a,b e quindi
nemmeno d. Puoi comunque scommettere che x è *piccolo*.
Infatti:
_Supponiamo che sia d=1; deve essere necessariamente a=1936, b=1937; la
probabilità di *insuccesso* vale q=.27.
_Se invece d=2, può essere:
a=1936, b=1938, q=1/2*(0.27/2)
a=1935, b=1937, q=1/2*(1.27/2)
e complessivamente q=0.385
_Se invece d=3... ecc.
In ogni caso risulta q<.5
Un terzo ragionamento mi è venuto in mente dopo che mi hai detto come scegli
il valore b.
Esiste la possibilità che b-a sia dispari (50% dei casi).
In questi casi, nella prima metà dell'intervallo prevalgono i numeri con
parte decimale <.5, viceversa nella seconda metà.
ciap
paolo

 da cui l'ho preso sembrava convincente!
Chissà che non convinca anche noi.
Un copincollo, o almeno un linchettino, plis ;)
--
Ciao, Silv:o)

 ha scritto nel messaggio
news:amdqb2$551ti$1...@ID-49224.news.dfncis.de...

Eccola: I numeri estratti siano x e y, la strategia consiste nello scegliere
un nuovo numero z con distribuzione a piacere (uniforme, gaussiana, non
cambia niente). Dopodiché confronta il numero mostrato con z e rispondi
maggiore o minore di conseguenza.
Ci sono tre casi:
1) z<x,y
Secondo la strategia dovrei dire che il numero mostrato è maggiore di quello
nascosto, visto che è senz'altro maggiore di z, ci posso azzeccare oppure no
col 50% di prob., dipende se x è > o < di y
2) z>x,y Analogo a prima.
3) z compreso fra x e y. Ci azzecco al 100%, infatti il numero mostrato è
maggiore o minore sia rispetto a z che rispetto al numero nascosto, come si
vede esplicitando i vari sottocasi.
Ecco perché la p. media di azzeccarci è >50%: abbiamo due casi al 50% e uno
al 100%.
Il problema specificava che fra x e y si sceglie quale mostrare al 50%, non
che venga mostrato sempre il primo
estratto, ma non dovrebbe cambiare troppo le cose...
Ciao
Andrea

 estratto, ma non dovrebbe cambiare troppo le cose...
Infatti non cambia assolutamente nulla. "Primo estratto" non ha alcun senso
se le prove ripetute sono indipendenti
--
Ciao, Silv:o)

 ha scritto nel messaggio
news:amfl40$5gmm1$1...@ID-49224.news.dfncis.de...
[...]
Le tue osservazioni sono giuste, diciamo che il problema era un po' strano
con la sua uniformità su tutto R... Però lo scopo era di vedere se ci fosse
oppure no un modo per avere una prob. di riuscita >1/2, quindi chiariamo
alcuni termini del problema:
-La distr. di x e y è nota, contrariamente al problema delle buste, possiamo
dire che è estesa a tutto R, ma non uniforme, oppure che è limitata a un
intervallo [a,b]
- L'intervallo [a,b] non è noto, altrimenti la cosa è banale, basta vedere
se il numero mostrato è vicino a un estremo oppure no
- a e b possono essere interi o reali, sempre che conti qualcosa
Il problema ora è: Si può trovare oppure no la strategia suddetta, fissando
meglio e non in modo banale i termini del problema? Forse questa volta sì...
Ciao
Andrea


Purtroppo non ho piu' trovato l'articolo sul web al quale Adam si
riferiva...
Una mia considerazione: anche scegliere due numeri *qualsiasi* tra
infiniti *limitati* a sinistra, rappresenta problemi... quindi il fatto
di *sapere* che sono stati scelti, e' un'informazione molto [si fa per
dire] vantaggiosa... saranno infatti certamente *piccoli* [tutti i numeri 
positivi sono *piccoli*, se raffrontati a tutti gli altri :-), si puo'
considerare una conseguenza della proprieta' archimedea]... 
Chiudo cosi', senza un vero perche'... un saluto a tutti.
Ciao ciao
Claudio
-- 
"[...] voglio sgrullarti fino a farti diventare una gattina,
 ecco che ti voglio fare!"
da "Attraverso lo specchio" di Charles Lutwidge Dodgson

 Questo te lo concedo.
Invece a me sembra proprio questo il punto che non va.
Se non ho alcuna informazione sull'intervallo a-b in cui sono stati estratti
x,y, e quindi nemmeno sull'intervallo x-y, devo scegliere z, qualunque sia
il modo di estrazione, tra tutti i reali, e quindi la possibilità che z sia
compreso nell'intervallo *finito* x-y dovrebbe essere pari a zero.
ciao
paolo

 compreso nell'intervallo *finito* x-y dovrebbe essere pari a zero.
Ecco forse dov'è l'equivoco. E' vero che la probabilità che z stia tra
x e y è più o meno piccola (al limite anche nulla) a seconda della
distribuzione, ma è pur ver che in quel caso vinco la scommessa al
100%
--
Ciao, Silv:o)

 Forse questa volta sì...
Io ripeto quel che ho detto. Secondo me no. Se la probabilità a priori
è 1/2, allora per variarla ci vuole un evento NON INDIPENDENTE dalle
estrazioni di x e y. Altrimenti non c'è niente da fare. Possiamo
chiedere a chi estrae x e y di estrarre un altro numero, o di dirci la
media su dieci lanci, o qualsiasi altra informazione pertinente? No?
...lo supponevo ;)
--
Ciao, Silv:o)

 chiedere a chi estrae x e y di estrarre un altro numero,
Piů o meno...
Se l'intervallo di x,y č limitato, visto che non lo conosciamo siamo
fregati...
Altrimenti, se stanno su tutto R, visto che la modalitŕ di estrazione di x e
y č nota, possiamo estrarlo noi un altro numero, ma non ci serve: in tal
caso la cosa diventa banale, visto che conosciamo tutti i termini del
problema basta calcolare le prob. che y>x e y<x e scommettere sulla piů
grande delle due...
Alla fine o sappiamo tutto della distr. di x e y e allora la strategia c'č,
ma il problema ha poco senso, oppure effettivamente la strategia magica non
esiste...
Che era quello che pensavo fin dall'inizio, in effetti, ma non trovavo
l'errore nella strategia proposta tempo fa...
Invece l'errore č che se z<x,y o z>x,y non č detto che ci azzecchi al 50%,
dipende proprio dalle distribuzioni...
Ciao
Andrea

 probabilità di vincere.
Il fatto e' che qualcosa succede... tu *vedi* x. E desumi che piu' e'
*grande*, piu' e' probabile che sia anche piu' grande di y. Il problema,
in questo caso, e' che non puoi dire cosa significhi *essere grande*.
Lo risolvi stabilendo *a priori* un numero soglia G. Qualunque sia
l'effettiva distribuzione adottata per scegliere i numeri, questa scelta
puo' solo migliorare le tue possibilita'.
Non scegliendo G, in pratica rinunci a guardare x... ovvio che cosi' le
possibilita' resteranno comunque a 1/2.
La scelta di G e' tanto migliore quanto piu' s'avvicina alla media dei
valori della distribuzione adottata per la scelta dei numeri... il punto
e' che comunque non puo' mai essere peggiorativa, e potrebbe essere
ininfluente solo se quella media non esistesse...
Mi pare...


 ininfluente solo se quella media non esistesse...
No, e' piu' complicato di cosi'... puo' essere *ininfluente* in
moltissimi altri casi... ma visto che tanto non li conosciamo, resta il
fatto rilevante che non puo' peggiorare le cose, ma solo migliorarle.
riCiao ciao


 valori della distribuzione adottata per la scelta dei numeri...
Non mi pare corretto sceglier solo il limite superiore. Se non fissi anche
quello inferiore non puoi parlare di distribuzione uniforme. Credo che
convenga fissare uno stimatore della media della distribuzione, ma se vuoi
farlo A PRIORI, non so se ce ne sia una migliore delle altre. Una volta
visto x, la stima migliore che puoi fare (stimatore di massima
verosimiglianza) è una normale di media x (e la varianza? mi pare ci
vogliano almeno due campioni per stimare la varianza, se ne usi uno solo lo
stimatore risulterà "distorto"). Ma se usi una normale di media x avrai il
50% di probabilità di vincere scommettendo al rialzo quanto al ribasso.
--
Ciao, Silv:o)

 50% di probabilità di vincere scommettendo al rialzo quanto al ribasso.
Anche se ci capisco davvero poco di 'ste cose, quello che dici mi
torna... Ora provo ad impostare la cosa in maniera piu' semplice.
Comunque si scelgano quei due numeri, di una cosa sono *certo*: sono
compresi fra un minimo m ed un massimo M... anche se non li conosco,
*devono* esistere. So anche che la mia scelta di G, se compresa fra m ed
M, sara' vantaggiosa... ininfluente altrimenti. Come si chiedeva Paolo:
che probabilita' ci sono di prendere un G tra m ed M? a naso direi 0, che
pero' non vuol affatto dire *impossibile*. A me pare che il cavillo sia
questo... se la probabilita' e' 0, perche' prenderla in considerazione? a
parer mio proprio perche' non e' un evento impossibile... mentre
scartarlo a priori non mi da alcun vantaggio.
C'e' di piu', in situazioni piu' reali immagino che quella probabilita',
per quanto piccola, sia comunque diversa da 0 [la mia e' una semplice
illazione... ma dubito fortemente che qualcuno possa lavorare in un range
di valori che *nessun altro* potrebbe pensare]... insomma: certamente
*conviene*!
C'e' un particolare che mi sembra importante in tutta questa discussione:
se la probabilita' di scegliere *bene* G e' 0, naturalmente il dire che
quella strategia ti assicuri probabilita' di vittoria maggiori del 50% e'
ovviamente *sbagliato*... tuttavia vorrei vedere bene i limiti nei quali
e' fatta quell'affermazione, che' qui stiamo parlando di un caso troppo
generale che potrebbe non corrispondere [come dicevo altrove, il problema
che ricordavo era, o mi sembrava, meglio definito... qualcuno l'ha
ritrovato? quello proposto da Adam, dico... perche' prendendo alla
lettera il problema com'e' stato posto in capo al thread, la risposta e'
ovviamente: no, non esiste strategia... ma del resto non esiste neppure
una distribuzione uniforme su R, com'era stato invece ammesso li'].


 *devono* esistere.
Auffi... messa cosi' pare proprio una *ciofeca*... confido nella pazienza
di Silvio :-)... sorry, comunque.


 confido nella pazienza di Silvio :-)... sorry, comunque.
Altro che pazienza. Mi hai convinto in pieno.
Provo a mostrare con un grafico quanto o capito della faccenda
Se x e y sono estratti da una distribuzione uniforme su [n,M], il
punto (x,y) è uno dei punti del quadrato di lato M-m
y
|_______
|      /|
| A  /  |
|  / B  |
|/______|___________
m        M         x
L'area A è quella per cui x<y. Si vede che P(x<y)=1/2
Ora fissiamo un valore G, la miglior stima che possiamo fare della
media della distribuzione (ricordandoci che noi NON SAPPIAMO nulla
riguardo m e M !). Come lo scelgo? A sentimento, all'inizio, poi
magari prendendo in maniera adattiva sempre la media di tutti i valori
che vedo man mano che vengono estratti, ma non importa poi molto.
Se abbiamo la fortuna (abilità, conoscenza) di avvininarci alla vera
media (m+M)/2) le cose andranno per il meglio, altrimenti nel peggiore
ei casi resteremo col nostro 50% di probabilità di vincere la
scommessa. Ovviamente scommetteremo al ribasso se ci verrà mostrato un
valore di x minore di G, al rialzo in caso contrario. Come dicevo, se
G è vicino a lla media reale è meglio. Vediamo nel grafico quale è la
regione che ci garantisce la vincita:
y
|_______
|     |/|
| A  /| |
|  /  |B|
|/____|_|___________
m     G  M         x
Non è difficile convincersi che vinciamo se:
x<G (quindi scommettiamo che x sia il più piccolo tra x e y) e poi
effettivamente x<y (area A)
oppure quando x>G e x>y (area B).
La probabilità di vincere è data dall'area di A+B, e quest'area è
massima se G cade al centro tra m e M e minima (1/2) se G<m o G>M.
Come dire: se ho toppato alla grande la media, mi resta sempre il culo
e almeno il 50% me lo garantisco, ma se ci sono andato vicino allora
le cose migliorano.
--
Ciao, Silv:o)

1/2 in quanto f e' crescente
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
What's yellow and equivalent to the Axiom of Choice? Zorn's lemon.

 Pr(finire con b)>1/2 in quanto f e' crescente
E questo risolve definitivamente il problema.
Resta da scegliere f
Io comincerei con una f qualsiasi di media 0, per esempio una normale
standard.
Poi, in caso di prove ripetute, continuerei utilizzando sempre distribuzioni
normali con media e varianza coincidenti con la media campionaria e la
varianza campionaria.
--
Ciao, Silv:o)


Scusate, probabilmente non ho capito bene, ma a me *sembra* che nel caso
indicato, con un numero elevato di prove, si possa avere una buona
probabilità di indovinare.
Mi spiego, i requisiti sono:
1. scelgo gli estremi dell'intervallo [a,b] (senza comunicarli)
2. scelgo due numeri x,y compresi nell'intervallo [a,b].
   Il requisito è che i due numeri siano casuali, con distribuzione
   uniforme, cioè la p(x) = p(y) probabilità che esca x o y sono
   le stesse.
3. Comunico x e verifico la risposta.
4. Ripeto 2 e 3 per circa un milione di volte.
Ebbene, se questi sono i requisiti esatti, credo si possa indovinare con un
75% di probabilità:
La mia idea sta nell'ipotizzare quale sia l'intervallo di partenza man mano
che ottengo nuovi valori. Partendo dall'intervallo ipotizzato [x1,x1], ma
mano che ottengo nuovi valori di x, estendo l'intervallo a sinistra o a
destra se il nuovo x supera gli estremi.
Poi ipotizzo che y sia minore di x solo se x supera la metà del mio
intervallo ipotizzato.
In questo modo, usando la "random" su intervalli da 1 milione di elementi e
con un milione di tentatvi, ottengo sempre il 75% di casi indovinati.
O sbaglio qualcosa ?

 O sbaglio qualcosa ?
Più o meno hai scoperto la legge dei grandi numeri ;)
Il 3/4 deriva dal fatto che in una distribuzione in cui la media corrisponde
con la mediana, un numero capita metà delle volte prima della media e metà
oltre la media, quindi metà delle volte due numeri staranno uno prima e uno
oltre la media. In quei casi vinci la scommessa. L'altra metà delle volte
vinci una volta su due.
--
Ciao, Silv:o)

Nota: questa soluzione non e' mia. Credo che sia stata scoperta du un
dottorando a Cambridge nel circa 1989-90.
-- 
Adam Atkinson (
gh...@mistral.co.uk
)
I was once a vengeful mad genius bent on destroying mankind,
but now I'm a vengeful mad genius bent on destroying mankind
WITH SUPER-POWERS! (Mojo Jojo)