Newsgroup: it.hobby.enigmi
Titolo: triangolo nuovo enigma

Da quanto leggo, ho capito che la soluzione geometrica non e' stata ben
interpretata.
Sempre per la legge del minimo sforzo, cerco di spiegarmi meglio.
Disegnatevi un bel triangolo equilatero di altezza 1, diviso in quattro
triangoli,sempre equilateri di altezza 0.5.
          /\
         /  \
        /    \
       /______\
      /\      /\
     /  \    /  \
    /    \  /    \
   /______\/______\
Un punto scelto all'interno di questo triangolo corrisponde esattamente
ad un modo di spezzare il bastoncino in 3 pezzi. I tre pezzi
corrispondono ai 3 segmenti che partendo dal punto scelto, sono
perpendicolari ai 3 lati. Per il teorema di Viviani la somma dei 3 pezzi
e' =1. Questa dimostrazione si trova in diversi articoli riguardanti
questo problema. Difatti ogni punto scelto nei 3 triangoli esterni non
genera soluzioni per il fatto che un pezzo e' piu' lungo della somma
degli altri due, viceversa ogni punto scelto all'interno del triangolo
centrale e' una soluzione. Prob = 1/4. Disegnatelo su un foglio e
verificate i vari casi.
Nel secondo modo di procedere, dopo aver spezzato in due, scelgo il
pezzo piu' lungo, cosa succede ora?
Se il pezzo piu' corto e' rappresentato dal segmento verticale,  ogni
punto all'interno del nostro triangolo (escluso il triangolino piu' in
alto) corrisponde ad un modo di spezzare il pezzo piu' lungo, e come
sopra la soluzione si ha solo se cade nel triangolino centrale. E'
evidente che la prob = 1/3
Se la scelta del pezzo da spezzare una seconda volta la consideriamo =
1/2, il risultato e' 1/2*1/3=1/6.
Se sono stato chiaro, non dovrebbero esserci dubbi. A me risulta cosi'
evidente che non mi farete cambiare idea nemmeno sotto tortura !
ciao 
dario

evidente che non mi farete cambiare idea nemmeno sotto tortura !
Al posto delle torture fisiche (sono per la non violenza), propongo per
Dario una tortura psicologica molto piu' sadica:-)
costringerlo a leggere questo messaggio strampalato, dove si parla di
continuo e di discreto, di istogrammi e di nanometri, di seghetti ad arco e
di chimica.
Dopo la spiegazione e le successive rettifiche di Emanuele, le mie idee
erano, se possibile, piu' confuse di prima.
L'unica cosa evidente era il fatto che il mio procedimento proposto nel
messaggio precedente era sbagliato, mancando un 2 da qualche parte. Su
questo non ci piove, ed e' dimostrato dalla simulazione. Quello che non mi
era ben chiaro e' il significato del 2 mancante.
Per cercare di chiarirmi le idee ho proceduto ad una sperimentazione sul
campo: mi sono armato di riga e squadra, di matita e gomma, e di un seghetto
ad arco.
Con dei segni a matita ho graduato l'asta in centimetri, e quindi, con il
seghetto, ho praticato negli spazi tra le graduazioni una serie di tacche (a
0.5, 1.5, 2.5,...99.5 cm), realizzando cosi' dei punti di minor resistenza,
e quindi dei punti di rottura obbligata. Il che equivale a spostare il
problema dal continuo al discreto e cercare una soluzione approssimata. (o a
rappresentare il problema con istogrammi anziche' con curve).
Se l'approssimazione sembra troppo grossolana, si puo' raffinare passando
dai centimetri ai millimetri, ai nanometri ed anche, mi voglio rovinare, ai
picometri.
A questo punto spezzo l'asta la prima volta in corrispondenza di una delle
incisioni, ottenendo un pezzo piu' lungo ed uno piu' corto. La misura X di
quello piu' lungo puo' assumere 50 valori diversi: 50.5, 51.5, 52.5
.......99.5 cm.
Per fare un esempio numerico, diciamo che ho ottenuto un pezzo lungo 61.5
cm.
Con la seconda rottura ottengo ancora due pezzi differenti; consideriamo
tutte le possibili coppie di lunghezze, ed in quali casi sia possibile
costruire il triangolo:
0.5   61   NO
1.5   60   NO
.........
10.5   51   NO
11.5   50   SI *(caso limite)
12.5   49   SI
13.5   58   SI
.........
49.5   12   SI
50.5   11   NO
.........
60.5   1   NO
l'aver considerato SI il caso limite puo' comportare un errore, che pero'
diventa sempre meno significativo se si riduce l'intervallo tra le tacche;
con i nanometri sarebbe praticamente trascurabile.
Contati i Si ed i No trovo 39 Si e 22 No per un totale di 61 casi.
Considerato che si tratta di un problema matematico e non fisico posso
considerare i 61 casi equiprobabili, quindi chiamo p(61.5)=39/61 la
probabilita' che si possa costruire un triangolo quando l'asta piu' lunga
ottenuta dal primo taglio sia lunga 61.5
Ripeto ilprocedimento per tutti i 50 possibili valori di X, e per ciascuno
ottengo una probabilita' p(x)
La sommatori di tutti i p(x) divisa per 50 mi da' 0.396344...; moltiplicando
questo numero per 1/2 ottengo 0.198172..., che mi sembra imparentato con
0.193147...= log(2) - 1/2
Con i nanometri avrei sicuramente ottenuto una parentela piu' stretta.
A questo punto mi viene un dubbio:
provo a sommare brutalmente tutti i SI e tutti i NO dei 50 esperimenti
trovo 1275 SI e 2450 NO
calcolo 1275/(1275+2450)=0.3422
moltiplico per 1/2 ed ottengo 0.1711
che mi sa tanto di essere parente di 0.1666...=1/6
ciao
paolo
P.S.
Non conoscevo il teorema di Viviani, o almeno non lo conoscevo con questo
nome.
Pero' ho trovato spesso delle sue applicazioni: per esempio in chimica un
diagramma di Viviani e' usato per rappresentare composti trifasi.
Ciascun punto all'interno del triangolo rappresenta le possibili percentuali
dei tre componenti.
Un punto su un lato rappresenta un composto con due soli dei componenti
I vertici rappresentano i tre componenti allo stato puro.

 [...]
Ed hai ragione, considerando la poltiglia che ho postato ;-)
Vediamo se riesco a riabilitarmi, almeno parzialmente.
_______________________________
Allora, provo a spiagrmi con pił calma.
Cominciamo dal motivo per cui nel tuo metodo manca un fattore 2,
e per farlo propongo il mio procedimento risolutivo completo,
ulteriormente semplificato
Supponiamo di praticare il primo taglio sull'asta in una
posizione casuale, e di prendere, per praticarvi il secondo
taglio, _sempre_ la porzione di asta di lunghezza > 1/2,
e domandiamoci quanto vale la probabilitą che si possa costruire
un triangolo con i 3 pezzi cosģ ottenuti (per adesso non
consideriamo la scelta casuale del pezzo d'asta tra i 2 ottenuti
col primo taglio, tanto abbiamo visto (e rivedremo) che questa
introduce soltanto un fattore 1/2).
Ora studiamo separatamente i 2 seguenti casi:
A. il primo taglio capita nella prima metą dell'asta (nel qual
   caso prenderņ la seconda metą per il secondo taglio);
B. il primo taglio capita nella seconda metą dell'asta (nel qual
   caso prenderņ la prima metą per il secondo taglio).
Studiamo dapprima il caso A, e vediamo che probabilitą ho di
costruire il triangolo con i 3 pezzi ottenuti quando esso
capita.
Fissiamo lo zero di una ipotetica ascissa sulla estremitą
iniziale dell'asta, e l'1 sull'estremitą finale dell'asta.
Chiamiamo "x" il punto dell'ascissa sul quale cade il primo
taglio (0<x<1/2, nel caso A ora in esame).
Chiamiamo "M" il punto medio della restante porzione di asta
(quella che va da x ad 1).
Se il primo taglio cade in un dato x (0<x<1/2), allora, per
poter costruire il triangolo con i 3 pezzi ottenuti, il secondo
taglio _deve_ cadere in un intorno del punto M di ampiezza x.
Il disegno dovrebbe aiutare:
|------|-------------------€€€|€€€-------------------|
0      x                      M                      1
Cioč, si puņ costruire il triangolo *se e solo se* il secondo
taglio cade nella regione €€€€€€, centrata attorno ad M,
e lunga esattamente x.
Questo perché se il secondo taglio cade colą, certamente
entrambi i pezzi ottenuti con esso sono minori-uguali di 1/2 in
lunghezza, e d'altro canto se il secondo taglio cadesse fuori da
€€€€€€, allora necessariamente 1 dei 2 pezzi ottenuti sarebbe
maggiore di 1/2, e allora il triangolo non si potrebbe
costruire.
Prima di procedere oltre, prendiamoci 5 minuti per convincerci
della cosa ;-)
Fatto? Bene, allora, quanto vale la probabilitą che un taglio
praticato "a caso" nella regione da x ad 1, cada nel
segmento €€€€€€ (che č lungo esattamente x)?
E' evidente che tale probabilitą vale
p1(x) = x/(1-x).
Consideriamo ora il caso B.
Bene, ora, se siamo convinti di quanto enucleato in precedenza,
ci
convinceremo pure che nel caso B, cioč quando x>1/2, la
situazione č speculare alla precedente: si prende stavolta il
"primo" pezzo d'asta per il secondo taglio, cioč quello che va
da 0 ad x , si considera il suo punto medio come sopra, il suo
intorno che stavolta č lungo 1-x, e si vede che la probabilitą
di ottenere il triangolo col secondo taglio vale
p2(x) = (1-x)/x
(abbiamo fatto lo stesso identico ragionamento del caso A: in
pratica č soltanto come se avessimo scambiato tra loro i
punti 0 ed 1 nel disegno).
Osservando quindi che la variabile aleatoria X (da cui č
estratto x) č distribuita uniformemente in [0,1] (poiché il
primo taglio č fatto "a caso"), e che quindi la sua "densitą di
probabilitą" č costante e pari ad 1, si puņ calcolare finalmente
la probabilitą richiesta:
      ½              1
P  =  S p1(x) dx  +  S p2(x) dx  =  2[ log(2) - 1/2 ]
      0              ½
(i 2 integrali hanno uguale valore, e da questo trae origine il
fattore 2 mancante nel procedimento di Paolo).
Per ottenere infine quanto richiesto nella formulazione
originaria di Dario, il valore P ottenuto sopra deve essere
moltiplicato per 1/2, perché la metą delle volte (in media)
per fare il secondo taglio si sceglie il pezzo "sbagliato",
cioč quello pił corto di 1/2.
Si ottiene cosģ in definitiva il fatidico
log(2) - 1/2  =  0.19314718...
_______________________________
Vorrei anche dire che non c'č alcuna differenza tra il caso
"discreto" e quello "continuo".
Se si trova convincente la simulazione in JavaScript
(replicabile in qualsiasi altro linguaggio) da me proposta,
allora si puņ osservare che essa č condotta senz'altro nel
discreto, dal momento che la funzione random() adoperata porge
valori estratti da un insieme certamente *finito*, visto che
restituisce un valore espresso con un numero finito di bit! (48
mi sembra).
La spiegazione per cui il metodo del Viviani non funziona in
questo caso, č quella da me precisata nei miei 2 ultimi
messaggi, che posso anche tentare di rendere pił chiara, su
richiesta.
Se avete qualche dubbio, e qualche impeto di masochismo,
fatemelo sapere, e sarņ pronto ad ammorbarvi anche con quella
;-)
Ciao, per adesso...
(spero non suoni come una minaccia ;-)
Emanuele.

Emanuele,
probabilmente non riesco bene a capire quale sia la causa della
differenza dei 2 procedimenti, e forse non sono capace di fare piena
chiarezza. Pero' sono ancora convinto che tutti i punti nel triangolo
tronco siano equiprobabili.
Vediamo un po'. Dopo la prima rottura prendo il pezzo piu' lungo,
chiamiamolo "b", (il pezzo piu' corto "a" per il momento lo lasciamo da
parte).
Dobbiamo per forza essere daccordo che tutti i punti su b, scelti per la
seconda rottura sono equiprobabili.
Pratico la seconda rottura. Bene ! I due pezzi ottenuti li vado a
posizionare nel nostro triangolo di Viviani (che per comodita' non sto a
ridisegnare) in modo che siano perpendicolari ai 2 lati obliqui e che 2
estremi siano sui lati e gli altri coincidino. Questi individueranno un
punto sul triangolo, e' evidente che cambiando la posizione di rottura
cambiera' anche il punto. Quelli che parlano bene dicono che c'e'
"corrispondenza biunivoca" vale a dire che ad ogni punto di rottura sul
bastoncino corrisponde uno ed uno solo punto sul triangolo, e ogni punto
del triangolo indichera' un solo modo ed uno soltanto di spezzare il
bastoncino. Se ogni punto sul bastoncino e' equiprobabile, lo deve
essere anche ogni punto nel triangolo. Il resto lo abbiamo gia' detto.
ciao

tronco siano equiprobabili.
Dario
Forse ho capito quale e' il problema.
Un disegno chiarisce piu' di molte parole, quindi puoi controllare nel mio
sito
http://space.tin.it/scienza/pliche
Con la prima rottura ottengo una certa lunghezza a per il lato piu' corto,
ed una lunghezza b=1-a per quello piu' lungo.
Cio' corrisponde nel diagramma di Viviani (figura in alto) ad un segmento
distante a dalla base del triangolo
Ogni punto del segmento rappresenta un possibile modo di fare il secondo
taglio; al centro, in verde, i casi in cui si puo' costruire il triangolo,
alle estremita', in rosso, i casi in cui cio' e' impossibile.
E' evidente che la ripartizione verde/rosso sara' diversa in funzione della
posizione del segmento.
Se il segmento e' molto vicino alla base,
cioe' se a e' molto piccolo,
e quindi b prossimo ad 1,
le probabilita' di riuscita saranno molto scarse.
Al contrario se il segmento e' prossimo al meta' della figura, significa
a circa 0.5,
b circa  0.5,
probabilita' elevate.
Questo e' evidente nella figura in basso.
Credo che il tuo errore consista nel calcolare la probabilita' come rapporto
di aree
verde/(rosso+verde
anziche' calcolarla separatemente per ogni segmento e poi fare la media.
In sostanza, credo che non possano considerarsi equiprobabili tutti i punti
nel triangolo tronco, me che siano equiprobabili i segmenti.
P.S.
mi pare che il diagramma ddi Viviani debba avere altezza=1
non lato=1
ciao
paolo


Certamente non ha lato=1. La lunghezza del lato è pari invece
alla distanza dei 2 punti dello spazio euclideo:
(1,0,0) e (0,1,0)
                   ___
e quindi è pari a V 2 .
Ma non ha neanche altezza=1, perché considera che il triangolo
di Viviani è "inclinato" rispetto agli assi (dai un'occhiata
alle mie figure).
L'altezza misura allora:
   ___
  V 6
  -----
    2
Ciao, Emanuele.


Giustissimo, ed anche chiaro nei disegni ;-)
E passando da un segmento ad uno più lungo, la probabilità
diminuisce.
Pertanto si può dire che la probabilità di ottenere il triangolo
sia più alta nei pressi dei segmenti più corti, cioè dentro il
triangolino centrale, mentre il metodo del Viviani la stima
uguale alle altre aree, e perciò fornisce un valore più basso.
Di nuovo Ciao, Emanuele.
P. S.
Purtroppo ho postato il mio messaggione prima di aver visto il
tuo con il link ai disegni, altrimenti avrei fatto a meno di
ingolfare il newsgroup.

Datemi un po' di soddisfazione ogni tanto! ;-)
su questo posso darti non un po', ma la massima soddisfazione.
credo che la simulazione abbia dato la risposta definitiva
tutte le discussioni successive, le mie per prime, a questo punto diventano
superflue
anche se non prive di interesse accademico
ciao
paolo

 anche se non prive di interesse accademico
Grazie, sto gongolando di piacere! :-)
Comunque ho apprezzato anche ogni ulteriore discussione
(le tue per prime), che  sono servite
a spolpare ben bene il problema (tranne che per questo
fatto ancora pendente, della lunghezza dell'altezza del...
(di quale triangolo?))
;-)
Ciao e grazie,
Emanuele.

Paolo Licheri ha scritto nel messaggio
