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Titolo: Triangoli pitagorici quasi-isosceli

Un triangolo pitagorico quasi-isoscele é un triangolo rettangolo con
lati interi nel quale la differenza tra i cateti è uguale a 1.
Ad esempio: (3,4,5) oppure (20,21,29)
Siete in grado di trovare una semplice regola che permette di
determinare tutti i triangoli di questo tipo?
Più in generale, é possibile stabilire una regola che consenta di
determinare tutti i triangoli rettangoli pitagorici i cui cateti
differiscono di una determinata quantità?
Ancora, la differenza tra i cateti può assumere qualsiasi valore?
Spero non siano cosa trite e ritrite.
Ciao, Damiano

 determinare tutti i triangoli di questo tipo?
S
P
O
I
L
E
R
Ciao Damiano,
Non solo i cateti possono differire di 1.
Una famiglia quasi isoscele con ipotenusa-cateto=1 e' facile da ottenere.
Le note formule per generare tutte le Terne Pitagoriche Primitive (ma non 
solo) sono:
Cateto 1  = m^2-n^2
Cateto 2  = 2mn
Ipotenusa = m^2+n^2
con m ed n interi qualunque. Cosi' scegliendo m ed n consecutivi si ottiene:
m  n   Cat1  Cat2  Ipo
2  1    3     4     5
3  2    5    12    13
4  3    7    24    25
5  4    9    40    41
6  5   11    60    61
7  6   13    84    85 ..... ecc.
Se devono essere i cateti a differire di 1, la cosa sembra un po' piu' 
complicata. Allore deve essere
m^2-n^2+1 = 2mn.   (1)  oppure
m^2-n^2-1 = 2mn.   (2)
La(1) diventa  (m-n)^2 = 2n^2+1
La(2) diventa  (m-n)^2 = 2n^2-1
In pratica si deve risolvere la Pell (Fermat)  (m-n)^2 - 2n^2 = ą 1
Senza ricorrere ai soliti metodi, con alcune prove si trova che i valori di 
n per i quali 2n^2ą1 e' un quadrato, sono 1,2,5,12,29,70,169...(con + e - 
alternati) ed e' la sequenza num.1413 di Sloane.
Dove a(n) = 2a(n-1)+a(n-2). Si ricava:
n     Terna
1     3,4,5
2     21,20,29
5     119,120,169
12    697,696,985
29    4059,4060,5741  ecc....
ciao dario


E' proprio questa la regola alla quale alludevo (e non speravo che
fosse ignota!)
Si puň facilmente dimostrare per induzione che se una coppia di numeri
(ad esempio m = 2 e n = 1) risolvono il problema anche la coppia 2m+n
e m é una soluzione del problema; quindi é sufficiente trovare la
prima coppia di numeri per determinare tutti triangoli cercati.
Hai provato a determinare quali sono le differenze ammissibili tra i
cateti e per ognuna di queste quante diverse successioni risolvono il
problema? (naturalmente limitandosi alle terne pitagoriche primitive).
Ho alcuni risultati, ma nessuna dimostrazione.
Ciao, Damiano



Aggiungo le mie personali conclusioni (o congetture?) sperando che
qualcuno sia in grado di dimostrarle.
Come già sottolineato da Dario Uri, per determinare le terne
pitagoriche primitive che differiscono di un numero k, si tratta di
risolvere l'equazione diofantea 
a^2 - b^2 - 2*a*b = +/- k
con a,b primi fra loro e a > b.
Si é già visto che é risolubile per k = 1, ma per quali altri valori
di k é risolubile? 
E' risolubile per ogni valore di k composto da soli numeri primi della
forma 8q+1 e 8q-1 con q intero qualsiasi. 
In questi casi le infinite soluzioni sono date assegnando ad a,b due
numeri consecutivi appartenenti a successioni i cui due numeri
iniziali (S(0), S(1))sono da determinare di volta in volta (come?),
mentre tutti gli altri numeri seguenti si calcolano con 
S(n) = 2*S(n-1) + S(n-2)
come già detto questo é facile da dimostrare per induzione.
Alcune coppie iniziali (S(1), S(0)) per diversi k sono:
k = 1    ->(2,1)
k = 7    ->(3,2), (4,1)
k = 17   ->(4,3), (7,2)
k = 23   ->(6,1), (7,4)
...
k = 49   ->(6,5), (13,4)
...
k = 119  ->(11,8), (12,1), (18,5), (19,10)
...
k = 2737 ->(38,37), (59,6), (66,41), (67,12), (73,16), (74,43),
           (88, 47), (109, 36)
ecc..
Per un determinato numero k (della forma indicata) quante sono le
diverse successioni risolutive?
Per me sono pari a 2^p dove p é uguale al numero dei differenti
fattori primi di k.
Ad esempio per k = 2737 = 7*17*23 si ha 2^3 = 8, mentre per k = 49 =
7*7 si ha 2^1 = 2. Da notare che per k = 1 si ha 2^0 = 1 unico caso
con una sola successione ad indicare una volta in più che 1 non deve
essere considerato primo.
Avete qualche condiderazione da aggiungere o magari fornire qualche
dimostrazione?
-- 
Ciao, Damiano 

ciao dario
Ciao Dario, si riesce a fare, da
qualche tempo, più matematica su Ihe che su Ism. Visto che nessuno si
“ricorda” le terne pitagoriche Librandi nel ricordarle voglio dare un
piccolo “contributo” alla discussione.
Formule Librandi per le terne
pitagoriche:
a^2 + b^2 = c^2 
con  ( c – b ) = n^2 (n dispari)  ed h >=0
a = n[2*h + (n+2)]
b = 2*(h+1)*[h + (n+1)]
c = 2*h^2 + 2h(n+2) + n(n+2)
+2
sfruttando queste si possono ottenere tutte le combinazioni
possibili. 
_______________________      
Il problema: si vuole sapere
il valore dei cateti che differiscono di 1 (uno) e che formano una terna
Pitagorica.  Sia x^2 + y^2 = z^2 la terna Pitagorica. Dalla prima terna
Pitagorica 3^2 + 4^ 2 = 5 ^2 vediamo qual è la formula ricorsiva  che ci
determina tutte le altre: 
x_1 = 3x + 2z + 1
y_1 = 3x + 2z + 2
z_1 = 4x
+ 3z + 2 
e queste valgono quando y – x = 1 
ma, in generale, le formule
di sopra continuano ad essere sempre valide per ogni differenza y-x.
Posto
quindi y- x = h    [h>=1]  si ha:
x_1 = 3x + 2z + h
y_1 = 3x + 2z + 2h
z_1 = 4x + 3z + 2h
Qualche esempio:
y - x = 1 = h
da: 3^2 + 4^2 = 5^2
si ha:
x_ 1 = 3*3+2*5+1 = 20
y_1 = 3*3+2*5+2 = 21
z_1 = 4*3 + 3*5 +2 =
29
con 20^2 + 21^2 = 29^2 e, quindi:
x_1 = 3*20 + 2*29 +1 = 119
y_1 =
3*20+2*29+2 =   120
z_1 = 4*20 + 3*29 +2 = 169
119^2 + 120^2 = 169^2 
e
cosi di seguito
696^2 + 697^2 = 985^2
4059^2 +  4060^2 = 5741^2
23660^2
+ 23661^2 = 33461^2
…………………………….  
y – x = 2 = h 
da 6^2 + 8^2 = 10^2
si ha:
x_1 = 3*6+2*10+2 = 40
y_1 = 3*6+2*10+4 = 42
z_1 = 4*6+3*10+4 = 58
40^2 + 42^2 = 58^2 
e, quindi:
238^2 + 240^2 = 338^2
1392^2 + 1394^2 =
1970^2 
…………………………. 
Si possono determinare tutte le terne che si
vogliono. 
Ciao
Vincenzo Librandi 
vli...@tin.it
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