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Titolo: la cordata

E' un gioco da farsi in due persone. Magari Adam ci dirą che Conway
l'aveva gia' proposto (o forse solo accennato perche' banale...)
Diegnamo n punti equidistanti su di una circonferenza. Il primo
giocatore unisce con un tratto di penna due punti formando cosi' una
corda. Il secondo unisce una delle due estremita' della corda con uno
dei rimanenti n-2 punti, formando una "cordata" di due corde contigue, e
cosi' via, unendo una delle due estremita' con uno dei punti liberi,
evitando che la spezzata si intrecci. Chi disegna l'ultimo tratto vince
(o perde nel gioco duale). Ovviamente al massimo si finisce dopo n-1
mosse, se non rimangono punti isolati, per cui uno dei due deve cercare
di isolare un numero pari di punti, e l'avversario un numero dispari.
Esempio banale, con n=6:
A vince se nessun punto rimane isolato, (5 mosse, sue la prima e
l'ultima) oppure se isola 2 punti (3 sole mosse).
Iniziando con la corda 1-4 si assicura la vittoria. Infatti B deve
giocare 1-2 o 1-3 (le altre sono simmetriche). Nel primo caso A risponde
4-3 e vince lasciando 5 e 6 isolati, mentre a 1-3 risponde con una mossa
qualsiasi e vince perche' B non riesce ad isolare nessun
punto. Se A avesse esordito con 1-3 avrebbe perso dopo la risposta 3-5
che garantisce l'isolamento di un punto. Per completezza va detto che la
terza apertura possibile, la 1-2, vince. Infatti iniziare unendo due
punti contigui equivale a ridurre di una la dimensione del problema e
con n=5 chi comincia perde per l'impossibilita' di isolare punti.
Secondo voi chi vince, al variare di n?
Esistono insomma strategie vincenti per uno dei due giocatori?
Ciao, Silv:o)

Ciao, Silv:o)
ciao
paolo

 costringe l'avversario al caso di n perdente.
Anch'io credevo che 1-2 riconducesse al caso n-1, ma ora mi sono
ricreduto:
Per n=13 1-2 dovrebbe portare allo schema n=12, che e' vincente per chi
inizia con un diametro. Ma se a 1-2 rispondo col diametro 1-7 non ho
piu' a disposizione la strategia di simmetria, perche' a 7-6 per esempio
non posso piu' replicare con la 13-1 come avrei fatto se la corda 1-2
fosse un punto.
Dato che la variante diretta (vince chi disegna l'ultimo tratto) e'
banale per gli schemi pari, credo che dovremmo puntare solo alle
strategie "a perdere", ovvero quelle che costringono l'avversario
all'ultimo tratto, oppure limitarci agli schemi dispari.
Ciao, Silv:o)

all'ultimo tratto, oppure limitarci agli schemi dispari.
Sempre per la variante diretta, ho trovato una strategia semplice che
assicura la vittoria al secondo giocatore in caso di n dispari.
Consideriamo, in una qualsiasi fase del gioco, i punti disponibili
raggruppati in archi (al max. 4 archi), ciascuno formato da un numero
dispari o pari di punti. La strategia consiste nel lasciare all'avversario
solo archi pari.
Una corda che termina in un arco pari, lo divide in due archi, uno dispari
ed uno pari (quest'ultimo eventualmente vuoto).
Dal momento che dopo la prima mossa il cerchio (dispari) e' diviso in un
arco dispari ed uno pari, il secondo giocatore traccia una corda tra due
punti contigui dell'arco dispari, trasformandolo in pari, e prosegue in
questo modo fino ad esaurimento dei punti.
Esempio (n=13)
A 13-7 rimangono un arco con 6 p.ti (1..6) ed uno con 5 pti (8..12)
B 7-8  rimangono dua archi pari
A 13-4 l'arco 1-3 e' dispari
B 4-3  rimangono solo archi pari (1..2 e 9..12)
A 8-10
B 10-9
A 3-1
B 1-2 FINE
Che ne diresti di una partita in rete con n=99? Inizia pure :-)
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assicura la vittoria al secondo giocatore in caso di n dispari.
Che dire... giu' il cappello.
Passiamo ora al problema inverso, vince chi costringe l'avversario all'utima
mossa.
Hai gia' qualche strategia vincente?
Ciao, Silv:o)

Hai gia' qualche strategia vincente?
Ne ho qualcuna, ma non una regola generale.
Nel primo caso (vinceva chi tracciava l'ultima corda), con N pari il
giocatore A aveva la vittoria sicura, con N dispari la sicurezza era per B,
ora non vale questa regola ne' l'inversa.
Ho verificato che, fino ad N=7, A vince con N dispari e B con N pari, poi la
cosa sembra invertirsi.
Ecco i casi che ho considerato (indico solo le aperture, il proseguimento e'
abbastanza evidente) trascuro i casi banali N=2,3,4
N=5 (vince A)
1:A1-3
se 2:B3-2    3:A1-5
se 2:B3-4    3:A1-2
N=6 (vince B)
se 1:A1-2   2:B2-5
se 1:A1-3   2:B3-6
se 1:A1-4   2:B4-6
N=7 (vince A)
1:A1-4
se 2:B4-3   3:A1-7
se 2:B4-2   3:A1-7
se 2:B4-5   3:A1-7
se 2:B4-6   3:A1-7
se 2:B4-7   3:A qualsiasi
N=8 (vince A)
1: A1-5
se 2:B5-6   3:A1-8
se 2:B5-7   3:A1-8
se 2:B5-8   3:A1-3
per N=9 mi pare che vinca B, ma non sono del tutto sicuro di aver esaminato
tutte le possibili combinazioni di mosse;
andando avanti, evidentemente le combinazioni da esaminare aumentano di
molto, vedro' se mi viene in mente qualcosa per una regola generale
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