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Titolo: [MA]Piramidi intere

Possiamo costruire piramidi regolari (base = poligono
regolare, asse verticale) con spigoli e volume interi.
Vince chi scova la piu' piccola in volume. OK?
 
Ciao   :o)
Livio Zucca
-------------------------
It isn't trivial!
http://www.geocities.com/liviozuc
-- 
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 Vince chi scova la piu' piccola in volume. OK?
Vabbč, comincio io
Piramide regolare a base quadrata, lato 12 altezza 3. Gli altri spigoli
sono lunghi 9. Il volume č 144.
Non č obbligatorio il vertice stia sul baricentro della base, come succede
in questo caso, vero?
Silv:o)

Livio Zucca chiede



Si', con
asse verticale intendevo proprio quello, cioe' l'altezza
parte dal
baricentro della base.
Ovviamente chi pensa di aver trovato un minimo,
puo' tentare una
dimostrazione.  :o)))
Livio
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Inviato via 
http://usenet.iol.it
 

Vedo che il weekend non e' stato sufficiente
per battere il record di Silvio della piu'
piccola piramide regolare con volume e spigoli
interi. (La sua fu: base quadrata 12x12, h = 3,
spigolo diagonale = 9, volume =144).
Daro' un aiutino:
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.spoiler
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AIUTINO: si PUO' battere.
Ciao  :o)
Livio
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mta03-acc.tin.it
 [212.216.176.34] 


 AIUTINO: si PUO' battere.
Ma devono essere interi solo gli spigoli laterali, o anche i lati del
poligono di base?
se cosě non fosse:
base quadrata, lato 4*sqrt(2), altezza 3
area base 32
semidisgonale di base = 4
spigoli laterali = 5
volume = 32
nel caso di spigoli tutti interi, con la forza bruta trovo solo la soluzione
di Silvio
???
ciao
paolo

poligono di
base?
No, no, tutti. Ricopio l'enunciato originale:
Possiamo costruire
piramidi regolari (base = poligono
regolare, asse verticale) con spigoli e
volume interi.
Vince chi scova la piu' piccola in volume. OK?
Niente
trucchi e niente inganni.
Ciao neh!  :o)



Il piu piccolo volume che ho trovato è 6:
Base esagonale con lato 1 e spigolo 7
Ciao a tutti, Enrico

Ciao a tutti, Enrico
E
questa e' dura da battere! Penso sia davvero la piu' piccola. Come
dimostrarlo? Beh, mettiamo sulle ordinate i volumi, sulle ascisse le
piramidi, annulliamo la derivata prima, calcoliamo la seconda...
.
Speravo qualcuno trovasse prima la esagonale lato 2 altezza 2sqr(3),
spigolo 4, volume 12. Doteva essere una *buona trappola*.
.
Ciao a tutti


 Livio Zucca
T
E
N
T
A
T
I
V
O
Volume 3
Prendo un dodecagono di lato 1 con uno spigolo di 2 (quindi altezza di
sqrt[3]).
Naturalmente trovata con la forza bruta ponendo il lato del poligono di base
unitario.
Per come va la serie dei volumi mi sento di affermare di aver vinto
:o)
GaS

GaS
????????????????????????????
Ciao  :o)  Livio


 GaS
Se continuo a fare tutto di fretta non vincero' mai. A mia discolpa ho da
dire che mi sono ricavato la formula mentre durante lo studio, tra un
esercizio e un altro che gia mi stavano fondendo il cervello; come scusa non
e' un gran che, ma sempre meglio cghe dare la colpa al gatto.... :o)
GaS
P.S.: Per la cronaca il mio sbaglio e' stato trovare l'area di un poligono
di n lati in funzione di 2Pi/n invece che Pi/n come sarebbe stato giusto.

 esercizio e un altro che gia mi stavano fondendo il cervello
penso che questo passaggio basti a dimostrare che ho il cervello fuso,
perdonatemi!
:o((((((((((
GaS

 :o((((((((((
Chi non ha mai preso un granchio, lanci la prima
pietra, te lo dice un *miserecondo*.  :o)
Piuttosto hai presente Perry Mason che dice alla
corte "Ecco entrare la presunta vittima". Tutti
si voltano e l'assassino viene assolto per legittima
suspicione? Questo hai fatto. Ora chi mi garantisce
che una piramide di 101 facce e altezza infima non
possa avere spigoli interi e volume intero minore
di sei? Io ho verificato tutte le piramidi fino a
50 lati di base, ma magari a cinquanta e uno, per un
gioco di seni e tangenti...
C'e' qualcuno che vuole azzardare uno straccio
di dimostrazione matematica?
Si puo' sempre rispondere: "Beh, s'e' fatto tardi".
Ciao  :o)
Livio
Sent via Deja.com
http://www.deja.com/

 di dimostrazione matematica?
beh, s'é fatto tardi
(lo volevo proprio scrivere, perdono!)
GDR


Ci posso provare.
Una piramide retta con base un poligono regolare di N lati L e spigolo
S ha un volume dato da:
Volume = N*L^2*H*cotg(pi/N)/12
cotg() e' la cotangente e H e' l'altezza della piramide che e' uguale
a
H = sqrt(S^2-(L/(2*sen(pi/N)))^2)
Condizione necessaria affinche' il volume sia intero e' che 
K = H*cotg(pi/N) = sqrt((S^2-(L/(2*sen(pi/N)))^2)* cotg(pi/N)^2) 
sia un numero razionale. Questo puo' avvenire solo quando sia il seno
sia la cotangente sono espressi da un numero razionale o da una radice
quadrata (non da una somma di radici quadrate o radici con indice
maggiore di 2).
Raccogliendo i ricordi di trigonometria questo avviene solo per angoli
di pi/3, pi/4 e pi/6 radianti (cioe' per poligoni di 3,4 e 6 lati).
Triangolo: 
N = 3, sen(pi/3) = sqrt(3)/2, cotg(pi/3) = sqrt(3)/3  
k = sqrt(3*S^2-L^2)/3
volume = L^2*k/12
ci si rende conto facilmente (congruenze modulo 4) che la radice non
ammette risultati interi quindi non ci sono soluzioni.
Quadrato:
N = 4, sen(pi/4) = sqrt(2)/2, cotg(pi/4) = 1  
k = sqrt(S^2-L^2/2)
volume = L^2*k/3
si hanno infinite soluzioni, quella con volume inferiore e' stata
indicata da Silvio (S = 9, L = 12)
Esagono: 
N = 6, sen(pi/6) = 1/2, cotg(pi/6) = sqrt(3)/3  
k = sqrt(3*(S^2-L^2))
volume = L^2*k/2
si hanno infinite soluzioni, quella con volume inferiore e' stata
indicata da Enrico (S = 7, L = 1)
Non mi soddisfa del tutto, ma al momento non ho di meglio. Il mio
tentativo brute force fino a poligoni di 1000 lati mi ha dato
risultati solo per quadrati ed esagoni.
-- 
Ciao, Damiano