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Titolo: Curiosa proprieta'

Il matematico francese Joseph Liuvulle, ha scoperto questa curiosa
proprieta' :
Prendiamo un qualunque intero positivo N.  Es. 6
Determiniamo i divisori di N. Nel nostro es. i divisori di 6  sono
(1,2,3,6).
Contiamo ora quanti divisori ha, a sua volta,  ciascun divisore di N,
nel nostro caso (1,2,2,4).
Allora la somma dei cubi di questi ultimi numeri e' uguale al quadrato
della somma dei numeri stessi:
1^3+2^3+2^3+4^3  =  (1+2+2+4)^2  =  81
Altro es: N=12
Divisori di 12 = (1,2,3,4,6,12)
numero di divisori dei precedenti = (1,2,2,3,4,6)
1^3+2^3+2^3+3^3+4^3+6^3 = (1+2+2+3+4+6)^2 = 324.
Perche' funziona ?
:) dario

 :) dario
Mi espongo e dico che...
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..."funziona perche' hai sbagliato i calcoli" :o)
GaS


No, penso che funzioni per qualche altro buon motivo.
Scusa, GaS, non volevo essere offensivo. E' che ho voluto fare il Silvio
della situazione. :-)))))
Scusa anche a te, Silvio. :-)))))
Ciao :-)
Giorgio


1 e' il numero di divisori interi di 1 = (1).
2 e' il numero di divisori interi di 2 = (1,2).
2 e' il numero di divisori interi di 3 = (1,3).
4 e' il numero di divisori interi di 6 = (1,2,3,6).
Ciao
*frankyz

 Perche' funziona ?
Per il momento trovo alcune spiegazioni parziali
spoiler
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A)
Prendo una normale tavola pitagorica, di quelle che si studiavano alle
elementari, e ne ritaglio una matrice rattangolare di n righe ed m colonne,
1   2   3 ....... m
2   4   6 ....... 2m
3   6   9 ....... 3m
...
n  2n  3n ......  m*n
Calcolo la somma di tutti i termini.
Ciascuna riga contiene termini in progressione aritmetica, le cui somme
valgono rispettivamente:
m*(m+1)/2
2*(m*(m+1)/2)
...
n*(m*(m+1)/2
e tali somme costituiscono a loro volta una progressione aritmetica; quindi
la somma di tutti i termini vale
S = n*(n+1)*m*(m+1)/4
Osservo che la somma dei cubi di ciascun termine vale S^2.
Per ora non sono riuscito a dimostrare questa proprietà, che considero
quindi come una congettura.
____________
Passiamo ora al problema in questione, con le seguenti osservazioni:
B)
Un numero primo ha due divisori.
____________
C)
Un numero N che abbia un solo fattore primo, della forma cioè
N=p^b
ha b+1 divisori (comprendendo il numero stesso e l'unità)
p^0, p^1,...P^b
____________
D) Considero un numero N che abbia DUE fattori primi (p,q)
N = p^a*q^b
I suoi divisori sono quelli indicati nella matrice seguente (a+1 righe e b+1
colonne)
P^0*q^0  p^0*q^1 ... p^0*q^b
P^1*q^0  p^1*q^1 ... p^1*q^b
...
p^a*q^0  p^a*q^1 ... p^a*q^b
ed il loro numero è (a+1)*(b+1)
____________
E)
Costruisco una nuova matrice, in cui ciascun termine rappresenta il numero
di divisori del termine corrispondente della matrice precedente.
Per quanto detto al punto D, questi numeri risultano
1        2  ...     b+1
2        4  ...     2*(b+1)
...
a+1   2*(a+1)  ...  b+1)*(a+1)
ossia questa matrice è del tipo di quella discussa al punto A) (una fetta di
tavola pitagorica) e quindi gode della proprietà  descritta da Joseph
Liuvulle/Dario Uri
____________
F)
Credo che tutto il ragionamento si possa estendere tranquillamente a numeri
con tre o più fattori primi, lavorando con matrici a tre o più dimensioni.
ciao
paolo


Hai fatto bene!
Sorry! Ho letto velocemente e non ho capito veramente niente :-(((((
GaS