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Titolo: Quiz matematici (poco logici)

Comincio a postare alcuni quiz matematici da me composti o ricavati da
compiti o domande.
Cominciamo con qualche quesito di analisi.
ANA1)
i) Riuscireste a trovare una funzione f:R->R definita su tutto R e continua
tale che assuma tutti i valori reali 1 sola volta? (Facilissima!)
ii) Riuscireste a trovare f:R->R continua e definita su tutto R che assuma
tutti i valori esattamente 2 volte?
iii) 3 volte?
iv) n volte?
v) che assuma tutti i valori reali infinite volte?
Se la risposta è sì, esibite un esempio, altrimenti dimostrate che non
esiste.
ANA2)
Riuscireste a trovare una funzione derivabile con derivata continua tale che
f'(0) = 0 e tuttavia 0 non è un punto di massimo, né di minimo, né di
flesso? (Di solito si insegna che se la derivata si annulla si ha un
massimo, un minimo o un flesso, ma potrebbe non essere così).
Riuscireste a fare la stessa cosa con una funzione infinite volte
derivabile?
Ciao
Max Reen

Spoiler Ana2
...ma corigetemi si sbaglio....
F(x)=
        0                x=0
        x^2 sin(1/x)     x!=0
sandro.kan

sandro.kan <gf...@tert.iyt> wrote in message
a538q0$316$1...@canarie.caspur.it...

Questa va bene. Bravo! Anche se non ha la derivata continua.
Come classificheresti quel punto?
Sai trovare una funzione C infinito con tutte le derivate nulle in 0, ma con
la stessa situazione?
MR

 v) che assuma tutti i valori reali infinite volte?
ci devo pensare un po'...
Ciao, Silv:o)

 ci devo pensare un po'...
ci ho pensato :)
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  \/    \  /
         \/
Silv:o)

Bravo le risposte anche se poco formali sono giuste.
C'è qualcuno che ha il coraggio di scriverle?
E' difficile e noioso scrivere la funzione che assume i valori n volte con n
dispari.
Ciao
MR

 derivabile?
Io conosco una funzione che e' C infinito su R, ha tutte le derivate 
nulle in 0, ma non e' una costante. Qualcun altro la conosce?
Dade :)


Tiro ad indovinare...
    exp(1/x)sin(1/x)        x!=0
    0                       x=0
Sandro.kan


come argomento, meglio: (-1/x^2)

derivabile?
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L'unica posibilita' che mi viene in mente e' che f' valga 0 per ogni
x, quindi f(x)=k.
Pero' e' discutibile dire in tal caso che 0 non sia ne un massimo ne
un minimo, secondo me e' contemporaneamente massimo e minimo
(proprieta' che condivide con qualsiasi altro punto della curva).
Ciao,
Natale Fietta

> come argomento, meglio: (-1/x^2)
Direi che il quiz è stato risolto. E' proprio la sol che avevo in mente.
MR

 (proprieta' che condivide con qualsiasi altro punto della curva).
Nel testo non è specificato ma non voglio che il punto sia di massimo,
minimo o flesso
sia forte che debole. Quindi la costante non va bene, e concordo con i tuoi
dubbi.
Quello che si chiede è di trovare un punto di altro tipo. Cmq, c'è la sol.
sopra.
Ciao
MR


La funzione che hai in mente ha anche un nome: la funzione di Brent,
classico esempio di funzione C infinito, ma non analitica (nonché funzione
per cui il metodo di Newton ha convergenza sublineare e decine di altre
proprietà dovute a questa sua caratteristica).
Come direbbe qualcuno (non ricordo se F. Conti o V. Benci)... ha tutte le
derivate nulle "...eppur si muove".
Ciao
MR


Me l'ha proprio indicata F. Conti ad un corso di calcolo infinitesimale. 
Lo conosci?
Dade :)

 Dade :)
Dade = Da..de?
indirizzo mazz88@...
Mi sa che abbiamo seguito lo stesso corso ma in anni differenti. Allora puoi
comprendere dove ho preso i quesiti per studenti con diploma postati quà e
là...
Ciao
MR