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Titolo: [Segnalazione] Esagrammi

 3) Si puo' fare con triangoli, quadrati, pentagoni del Cairo?
Coi triangoli mi sa che ci sono troppe poche tessere possibili per fare
qualcosa di decente, idem con i quadrati.
Scusa l'ignoranza, ma cosa sono i pentagoni del Cairo? Grazie.
ciao, teo

 1) Ci sono tutte le tessere possibili?
Non mi sembra proprio, non vedo una definizione esatta dei pezzi e quindi
io, senza limitazioni, inserirei anche il pezzo:
   / \
 /\  X\
|  \  X|
|0  \  |
 \O  \/
  \  /
[Lo so, è una schifezza ma spero si capisca, metto sotto il file in FIDOCAD
per farmi perdonare]
Non vedo neanche i due pezzi con tre angoli bianchi (neri) alternati.
Forse c'è qualche definizione esatta che mi sfugge o forse si volevano avere
19 pezzi esatti :o)
Un saluto a tutti,
GaS
[FIDOCAD]
LI 55 20 40 35
LI 40 35 40 55
LI 40 55 55 70
LI 55 20 70 35
LI 70 35 70 55
LI 70 55 55 70
LI 45 30 65 60
BE 65 30 60 40 70 45 70 45
BE 40 45 50 50 50 60 50 65

 si possono trovare pavimentazioni del genere.
Grazie per la spiegazione.
Ora che li ho visti in effetti mi sono venuti in mente alcuni
documentari sull'architettura araba, se non ricordo male su alcuni
palazzi c'erano delle tassellature di questo tipo. Anni fa ero andato a
Bologna ad una mostra su Escher, ed in una sala c'era una TV che dava in
ripetizione un documentario sull'architettura araba e le sue strutture
geometriche, era veramente interessante (anche se non mi ricordo piu'
nulla). Sicuramente le saprai gia' ste cose, ma se non fosse cosi' credo
ti potresti divertire per bene ad approfondire l'architettura araba: se
ti piace questo lato della geometria (X-mini e simili) ci sono un sacco
di applicazioni sul tema.
ciao, teo

 versione (v0.96) perche' ha dei poligoni colorati:
E' la prima volta che metto le mani su FidoCAD, magari ho sbagliato
qualcosa, ma a me escono 3 tasselli con una coloratura in nero... e' un
errore mio da inesperto?
Se li si numera procedendo dal primo in alto e verso destra (seguendo il
senso di come si scrive), escono male il 12, il 18 ed il 19.
Il 12 lo vedo con 3 angoli bianchi (alto-sx, alto-dx, basso-sx) ed il
resto nero. Ad occhio dovrebbe essere analogo al 5 col verde al posto
del blu. Discorso simile per il 18 ed il 19... boh, eppure ho appena
installato la 0.96.
ciao, teo

 tasselli che abbiano un lato completamente bianco (o verde o blu).
Hahaha, che cazzata gigante che ho scritto!!! Non so manco piu' contare.
E' meglio se vado a mangiarmi un gelato.
ciao, teo

 Se non e' cosi', puoi togliere a mano gli "a capo" di troppo.
Ok, ora ho capito, grazie della dritta. Comunque me li ero messi a posto
a mano, ed ho provato a giocarci un po'.
Una cosa! Manca una tessera all'appello, quella con la diagonale verde
ed un angolo blu ed uno bianco.
Se il gelato ha fatto l'effetto giusto, credo che l'usare tutti i
quadrati di un solo colore siano un ostacolo insormontabile (sto
scrivendo in tempo reale mentre smanetto).
Di sicuro il posto piu' comodo dove metterli e' un angolo della figura
finale, in maniera che bisogna accoppiarli con solo 2 tessere. Se ad
esempio parto da uno blu in alto a sx, l'ostacolo si ha nel tassello che
andra' un passo a dx ed uno in basso, ossia in quello che andra' a
toccare le due tessere che verranno messe adiacenti al quadrato blu.
Queste due tessere adiacenti sono di due tipi: uno diviso a meta', e
l'altro con 3 angoli blu. Se prendo quella meta' blu e meta' bianca (se
fosse meta' verde e' un caso analogo), allora posso disporla in una sola
posizione (considerata la simmetria della disposizione).
Per la seconda tessera ho queste scelte:
1- quella meta' blu e meta' verde, e poi ho una scelta obbligata per la
quarta tessera, ossia quella con la diagonale blu e gli angoli bianco e
verde;
2- quella 3/4 blu con angolo verde, la dispongo col secondo lato blu che
da' verso il bordo dello schema, quindi torno al caso analogo del
precedente con scelta obbligata per la quarta tessera;
3- quella 3/4 blu con angolo verde, la dispongo col secondo lato blu che
da' verso l'interno dello schema, quindi per la quarta tessera ho una
scelta obbligata, vale a dire quella 3/4 blu con angolo bianco, a cui
andra' poi incollata sul lato blu quella meta' blu e meta' verde;
4- quella 3/4 blu con angolo bianco, la dispongo col secondo lato blu
che da' verso il bordo dello schema, quindi la quarta tessera deve avere
un angolo blu e la diagonale bianca, ce ne sono 3 possibili col 4 angolo
di colore a scelta; quella col terzo angolo bianco (vale a dire 3/4
bianca e 1/4 blu) porta evidentemente ad incartarsi; quella col quarto
angolo blu (due angoli blu e diagonale bianca) porta anche quella a
breve ad incartarsi (almeno a naso); l'unica buona e' quella col quarto
angolo verde;
5- quella 3/4 blu con angolo bianco, la dispongo col secondo lato blu
che da' verso il bordo dello schema, e mi pianto senza che ci sia una
quarta tessera possibile.
 
Prendendo in analisi questi casi, si nota che il primo esclude la
possibilita' che si possano usare gli altri 2 quadrati pieni perche' ha
gia' utilizzato 2 tessere del tipo "meta' e meta'", quindi ne resta
disponibile solo una, e non basta per disporre due quadrati pieni (parlo
per la disposizione a quadrato 4x4).
La seconda porta a piantarsi col fatto che ci sono due lati verdi
consecutivi.
La terza ad occhio puo' essere sviluppata, ed idem la quarta. Uhm, in
questi due casi si potrebbe arrivare ad utilizzare tutti e 3 i quadrati
pieni, vero!
Boh, per ora mi fermo qua perche' il gelato ha finito l'effetto e qua si
crepa dal caldo!
ciao, teo

>si possono trovare pavimentazioni del genere.
Aggiungo qualcosa.
Una tassellatura monoedrale e' definita a Vertici Regolari se l'angolo fra 
ogni due consecutivi lati e' 360°/v, dove v e' la valenza del vertice 
(numero di lati che si incontrano in quel vertice).
Il cristallografo Fritz Lavel e' stato il primo a classificare le 12 
possibili tassellature di questa famiglia.
La Cairo e' una di queste.
Contando le valenze ai vertici di una tessera si puo' scrivere [3.3.4.3.4] 
o meglio [3^2.4.3.4] e questa e' proprio la notazione ufficiale.
Le altre 11 sono:
[3^6] Esagoni regolari.
[3^4.6] Con la forma enantiomorfa.
[3^3.4^2]
[3.6.3.6]
[3.4.6.4]
[3.12^2]
[4^4]
[4.6.12]
[4.8^2]
[6^3]

3) Si puo' fare con triangoli, quadrati, pentagoni del Cairo?
Probabilmente si puo' fare, bisogna vedere se ne vale la pena e se
vengono degli schemi interessanti come gli Hexagrams !
Robby
-
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 ed un angolo blu ed uno bianco.
Questa me l'ero persa per strada, e mi ero ritrovato con due tessere
doppie di un altro tipo... coff coff...
[megacut sul resto di baggianate incomplete ed imprecise]
Per prima cosa si nota che ci sono 3 coppie di tessere equivalenti, e
sono: 4 e 5, 11 e 12, 18 e 19. Le tessere di queste coppie sono
interscambiabili, cambia solo l'effetto cromatico e nulla piu'.
Per seconda cosa si nota che esistono solo 3 tessere che contengono i 3
colori. Scelti due colori a caso, esistono solo 7 tessere che siano
composte solo da questi due colori (o solo uno di essi). Visto che
questo giochetto ha senso farlo solo per composizioni a rettangolo con
almeno 3 tessere per lato, ne segue che in ogni composizione dovranno
esserci tutti e 3 i colori.
Puo' esistere una di queste disposizioni che non contenga una delle 3
tessere tricolorate?
L'altra unica possibilita' (senza usare le caselle tricolorate) per
passare da due colori ad un terzo e' quella di accostare due tessere del
tipo diviso a meta' lungo un asse del quadrato (meta' di un colore e
meta' di un altro). Basta provare con una coppia di tessere accostate in
orizzontale per vedere che e' impossibile sviluppare una costruzione in
verticale: si riescono ad aggiungere due tessere sopra (o sotto), ma poi
ci si ferma li', a meno di chiamare in causa le tessere tricolorate.
Da questo ne consegue che per fare una costruzione di almeno 3x3 tessere
allora una di queste deve per forza essere una tessera tricolorata.
Una volta capito questo ho fatto qualche prova partendo da una tessera
tricolorata, ed ho visto che non si va mai oltre il 3x3, da qualsiasi
parte si provi a sviluppare la costruzione ci si trova sempre con le
mani legate per esaurimento delle tessere possibili.
Un modo per dimostrarlo puo' essere questo.
Consideriamo una tessera, schematicamente la si puo' raffigurare cosi':
----------------
| A          B |
|              |
|              |
|              |
|              |
|              |
| C          D |
----------------
Dove A, B, C, e D indicano il colore posto nel rispettivo angolo
(ovviamente almeno due devono essere uguali).
Consideriamo una tessera con le 8 adiacenti, schematicamente le si
possono raffigurare cosi':
       |              |
       |              |
       |              |
     A | A          B | B
------------------------------
     A | A          B | B
       |              |
       |              |
       |              |
       |              |
       |              |
     C | C          D | D
------------------------------
     C | C          D | D
       |              |
       |              |
       |              |
Per ovvi motivi le tessere che hanno un vertice in comune devono avere
lo stesso valore del colore che punta in quel vertice.
Quindi tanto vale semplificarsi la vita e passare ad una
schematizzazione del tipo:
       |              |
       |              |
       |              |
       |              |
-------A--------------B-------
       |              |
       |              |
       |              |
       |              |
       |              |
       |              |
       |              |
-------C--------------D-------
       |              |
       |              |
       |              |
       |              |
Dove si pone una sola lettera aper ogni vertice, e questa indica il
colore degli angoli che puntano a quel vertice di ognuna delle 4
tessere.
Quindi una disposizione 3x3 viene schematizzata cosi':
A-------B-------C-------D
|       |       |       |
|       |       |       |
|       |       |       |
E-------F-------G-------H
|       |       |       |
|       |       |       |
|       |       |       |
I-------J-------K-------L
|       |       |       |
|       |       |       |
|       |       |       |
M-------N-------O-------P
Dove le lettere A...P ovviamente possono assumere solo uno dei 3 valori
"bianco", "verde" e "blu", e devono sottostare alle relazioni del gioco,
vale a dire che le caselle devono esistere ed essere uniche, escluso il
caso:
A-------B
|       |
|       |
|       |
B-------A
visto che esistono 3 coppie equivalenti (come avevo scritto all'inizio).
Ora basta considerare la tessera centrale. Puo' essere di soli 5 tipi
(andando in senso orario):
1- A A A A;
2- A A A B;
3- A A B B;
4- A B A B;
5- A B A C.
Il primo caso non porta a soluzioni, si nota subito.
Gli altri casi possono portare soluzioni per un 3x3, ma non oltre, qui
diventa lunghissimo da dimostrare in maniera rigorosa, ma basta provare
con qualche disposizione per rendersi conto che e' impossibile
aggiungere 3 tessere su un lato, per il semplice motivo che se ne
mettono due e la terza o non esiste, oppure non e' piu' disponibile.
A meno di errori madornali (ma stavolta ci sono andato con molta piu'
attenzione rispetto a sto pomeriggio...) dovrebbe essere questa la
soluzione per questa "cesellatura".
Copio qua sotto il codice FidoCAD con disegnate 4 possibili soluzioni:
(attenzione a ricomporre le linee che iniziano con un numero...)
[FIDOCAD ]
PV 130 125 180 125 180 175 130 175
PP 130 150 145 155 150 160 155 175 180 175 180 150 165 145 160 140 155
125 130 125 1
PP 130 150 145 155 150 160 155 175 130 175 2
PV 185 125 235 125 235 175 185 175
PP 235 150 220 145 215 140 210 125 235 125 1
PP 185 150 200 155 205 160 210 175 185 175 1
PV 185 120 185 70 235 70 235 120
PP 210 120 215 105 220 100 235 95 235 120 1
PV 130 70 180 70 180 120 130 120
PP 130 70 155 70 155 120 130 120 1
PP 75 70 125 70 125 120 75 120 1
PV 125 125 125 175 75 175 75 125
PP 125 125 125 150 75 150 75 125 1
PP 125 150 125 175 75 175 75 150 2
PV 180 180 180 230 130 230 130 180
PP 155 180 150 195 145 200 130 205 130 180 2
PP 155 180 150 195 145 200 130 205 130 230 180 230 180 180 1
PV 235 230 185 230 185 180 235 180
PP 235 205 220 200 215 195 210 180 185 180 185 230 235 230 1
PV 75 230 75 180 125 180 125 230
PP 100 230 105 215 110 210 125 205 125 230 1
PP 100 230 105 215 110 210 125 205 125 180 75 180 75 230 2
PV 75 230 75 180 125 180 125 230
PP 100 230 105 215 110 210 125 205 125 230 1
PP 100 230 105 215 110 210 125 205 125 180 75 180 75 230 2
PV 300 70 350 70 350 120 300 120
PP 300 95 315 100 320 105 325 120 350 120 350 95 335 90 330 85 325 70
300 70 1
PP 300 95 315 100 320 105 325 120 300 120 2
PV 355 70 405 70 405 120 355 120
PP 355 95 370 100 375 105 380 120 355 120 1
PP 405 95 390 90 385 85 380 70 405 70 2
PV 350 175 300 175 300 125 350 125
PP 350 175 325 175 325 125 350 125 1
PP 325 175 300 175 300 125 325 125 2
PV 405 175 355 175 355 125 405 125
PP 405 150 390 145 385 140 380 125 355 125 355 175 405 175 1
PV 460 70 460 120 410 120 410 70
PP 460 70 460 95 410 95 410 70 2
PV 410 125 460 125 460 175 410 175
PP 410 150 425 155 430 160 435 175 410 175 1
PV 350 230 300 230 300 180 350 180
PP 350 205 335 200 330 195 325 180 350 180 1
PP 350 205 335 200 330 195 325 180 300 180 300 230 350 230 2
PV 350 230 300 230 300 180 350 180
PP 350 205 335 200 330 195 325 180 350 180 1
PP 350 205 335 200 330 195 325 180 300 180 300 230 350 230 2
PV 355 180 405 180 405 230 355 230
PP 355 205 370 210 375 215 380 230 355 230 2
PP 355 205 370 210 375 215 380 230 405 230 405 180 355 180 1
PV 410 180 460 180 460 230 410 230
PP 410 180 435 180 435 230 410 230 1
PV 130 360 180 360 180 410 130 410
PP 130 385 145 390 150 395 155 410 180 410 180 385 165 380 160 375 155
360 130 360 1
PP 130 385 145 390 150 395 155 410 130 410 2
PV 75 410 75 360 125 360 125 410
PP 100 410 105 395 110 390 125 385 125 410 2
PP 100 410 105 395 110 390 125 385 125 360 75 360 75 410 1
PV 180 415 180 465 130 465 130 415
PP 155 415 150 430 145 435 130 440 130 465 155 465 160 450 165 445 180
440 180 415 1
PP 155 415 150 430 145 435 130 440 130 415 2
PP 155 465 160 450 165 445 180 440 180 465 2
PV 125 415 125 465 75 465 75 415
PP 100 415 95 430 90 435 75 440 75 415 1
PP 100 465 105 450 110 445 125 440 125 465 1
PP 100 415 95 430 90 435 75 440 75 465 100 465 105 450 110 445 125 440
125 415 2
PV 235 415 235 465 185 465 185 415
PP 235 415 235 440 185 440 185 415 1
PP 235 440 235 465 185 465 185 440 2
PP 155 355 160 340 165 335 180 330 180 305 130 305 130 355 1
PV 130 355 130 305 180 305 180 355
PP 75 305 125 305 125 355 75 355 1
PV 185 410 185 360 235 360 235 410
PP 185 410 185 385 235 385 235 410 1
PV 235 305 235 355 185 355 185 305
PP 210 305 205 320 200 325 185 330 185 305 1
PV 355 360 405 360 405 410 355 410
PP 355 385 370 390 375 395 380 410 405 410 405 385 390 380 385 375 380
360 355 360 1
PP 355 385 370 390 375 395 380 410 355 410 2
PV 410 360 460 360 460 410 410 410
PP 410 385 425 390 430 395 435 410 410 410 1
PP 460 385 445 380 440 375 435 360 460 360 2
PV 405 465 355 465 355 415 405 415
PP 405 465 380 465 380 415 405 415 1
PP 380 465 355 465 355 415 380 415 2
PV 460 355 410 355 410 305 460 305
PP 460 355 435 355 435 305 460 305 2
PV 355 305 405 305 405 355 355 355
PP 355 305 380 305 380 355 355 355 1
PP 300 305 350 305 350 355 300 355 1
PV 300 410 300 360 350 360 350 410
PP 325 410 330 395 335 390 350 385 350 410 2
PP 325 410 330 395 335 390 350 385 350 360 300 360 300 410 1
PV 350 415 350 465 300 465 300 415
PP 325 415 320 430 315 435 300 440 300 415 1
PP 325 415 320 430 315 435 300 440 300 465 350 465 350 415 2
PV 350 415 350 465 300 465 300 415
PP 325 415 320 430 315 435 300 440 300 415 1
PP 325 415 320 430 315 435 300 440 300 465 350 465 350 415 2
PV 460 465 410 465 410 415 460 415
PP 460 440 445 435 440 430 435 415 410 415 410 465 460 465 1
ciao, teo

 [6^3]
Interessante, grazie per la spiegazione!
Mi viene da fare una domanda pero' (sono completamente inesperto ed
ignorante in quanto a tassellature). Questa tipologia di tasselli si
basa sugli angoli, e non sui lati dei poligoni, visto che la tessera del
tipo [4.6.12] non puo' essere di certo un triangolo equilatero.
Se invece si considerano solo i poligoni con lati uguali, allora esiste
la tassellatura per:
- triangoli equilateri;
- rombi con lati uguali (quadrato incluso);
- pentagoni del Cairo;
- esagoni equilateri con 3 coppie di lati paralleli (incluso l'esagono
regolare).
Ci sono solo questi, o ce ne sono altri?
ciao, teo

 3) Si puo' fare con triangoli, quadrati, pentagoni del Cairo?
Coi pentagoni del Cairo come si puo' provare? Visto che non sono a
simmetria centrale mi sa che con due colori dovrebbero uscire un bel
numero di tessere...
ciao, teo

 tassellano il piano.
Ah, vero, io pensavo solo a quelli convessi, ops!
Se invece restiamo nel campo dei poligoni convessi sono possibili
coperture con poligoni con piu' di 6 lati? Ho un barlume di ricordo
secondo cui mi sembra di aver letto anni fa che al massimo si potevano
usare gli esagoni... ricordo bene?
Mi viene in mente ora che si possono usare anche dei pentagoni con due
angoli retti consecutivi.
ciao, teo

 di concludere o no la figura, ma non l'ho ancora trovata.
A me sembrava di avere intravisto la regoletta per la parita' per le
tessere a 3 colori, ma evidentemente era sbagliata, visto che hai
trovato la configurazione 3x7, coff coff...
ciao, teo

 Mmmm...  :o))
SPETTACOLARE!!!
Ecco dove stavo sbagliando! Non avevo preso in considerazione le tre
tricolorate in fila e messe su un lato, mannagg! Ne prendevo sempre 2 e
mai una terza, e mi bloccavo con la parita' dei colori.
Se una tricolorata va al centro (nel senso che e' circondata da 8
tessere) ci si blocca per la parita', questo (a meno di ulteriori
sbagli, ormai uno piu' uno meno...) mi sembrava si potesse dimostrare
con un po' di pazienza.
Invece avevo saltato completamente questo caso particolare... beh,
complimenti!
E con 4 colori invece? Dovrebbe venire una cosa piu' agevole, perche'
escono molte di piu' tessere bicolori rispetto a quelle piene o
tricolori. Stasera provo con 4 colori.
ciao, teo

 angoli retti consecutivi.
Marjorie Rice e' una casalinga di San Diego che ha sbalordito tutti, 
scoprendo molte nuove tassellature con pentagoni convessi.
Qui il suo sito:
http://members.aol.com/tessellations/

 Qualcuno vuole verificarla e/o dirmi se l'ha gia' vista, s.v.p.?
Nel 1978 Doris Schattschneider ha pubblicato la lista dei pentagoni 
equilateri che tassellano il piano. Poco tempo dopo la lista e' stata 
controllata da D.C.Hunt e M.D. Hirschhorn che hanno dichiarato essere completa.
Purtroppo non so altro di questo lavoro, neppure quanti siano questi pentagoni.
Ciao

 anche questo.  :o))
Seguendo un link nelle pagine che avete segnalato si arriva
ad una lista di 14 tassellature, nella quale la tua non c'e'.
E non potrebbe esserci, visto che si parla di "14 tassellature 
CONVESSE", mentre la tua (molto bella) e' concava.
Oggi guardo a casa nel librone "Tilings and Patterns" se ci fosse
qualcosa di correlato.
ciao,
g.

> anche questo.  :o))
No! Sono convinto che non sia cosi'. Ho trovato altri riferimenti a questa 
lista e si parla di pentagoni congruenti, probabilmente i famosi 14.
Il riferimento precedente l'ho trovato in "Mathematical Gardner" di Klarner 
pag 75 dice ...a list of equilateral pentagons.., non vorrei che 
quell'equilateral stia per una cosa diversa da come l'ho intesa io.
Difatti nel "librone" suggerito da Giovenni "Tiling and Patterns" a pag. 
si asserisce che sui pentagoni non convessi si e' fatto ben poco (pag 495)
Cosi' ci sono ottime probabilita' che questa tassellatura sia originale.
Complimenti caro Livio, io intanto, per onorare l'evento, ho appena aperto 
una bottiglia alla tua salute.
ciao