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Titolo: Problema: probababiltï¿½ del ritardo

Ciao a tutti,
a prop di brute force, con un amico stiamo discutendo di probabilità e 
ritardi...
Il problema è questo:
 
Si lanci un dado 'n' volte.
Se, dopo gli n lanci, almeno un numero dei 6 non è mai uscito, allora vince 
il giocatore A, altrimenti vince il giocatore B.
Fino a quale n il gioco è favorevole al giocatore A?
 
In pratica stiamo cercando una formula matematica che calcoli la probabilità 
del ritardo (lasciando per il momento da parte la formula del Samaritani, 
che mi pare molto più utile su numeri più grandi).
Occorrerebbe quantomeno calcolare il numero dei casi favorevoli e quello dei 
casi possibili (vabbe' quest'ultimo è k^n).
Per esempio con un programmino si fa presto a calcolare che, con n=10, vi 
sono 44.030.736 combinazioni vincenti per A su 60.466.176, ma già per n = 11 
si va per le lunghe...
C'è una formula che dati n lanci e k eventi equiprobabili, estrapola i casi 
favorevoli evitando la brute force?
Francesco
 
 
 
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Se ho ben capito vuoi la probabilità che in n lanci non siano usciti più 
di 5 numeri. Direi che  detta P(a,n) la probabilità che in n lanci non 
siano usciti più di a numeri vale la relazione
 
P(a+1,n+1) = P(a,n)*(6-a)/6 + P(a+1,n)*(a+1)/6
 
con P(0,0)=1 e P(a,0)=0 con a>0
 
metodo ricorsivo, come dici tu il numero dei calcoli aumenta alla grande 
all'aumentare di n.
 
Oppure applichi un metodo Montecarlo.

 favorevoli evitando la brute force?
 
T'interessa proprio la formula o t'interessa di più evitare il "brute 
force"? Nel secondo caso, puoi scrivere facilmente un altro programmino 
(veramente banale) che ti dia il risultato con la confidenza voluta.
 
Cristiano

 (veramente banale) che ti dia il risultato con la confidenza voluta.
 
Come sarebbe un altro programmino? Non si debbono cmq contare le 
combinazioni?


 con P(0,0)=1 e P(a,0)=0 con a>0
 
P(5, 0) dovrebbe valere 1.
 
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani
 

 combinazioni?
 
Dipende da cosa ti serve realmente.
Se vuoi calcolare la probabilità *esatta*, allora ti serve la formula o 
il calcolo esatto delle "combinazioni"; mentre se vuoi conoscere la 
probabilità che A vinca con qualche decimale esatto, puoi fare una 
simulazione di Monte Carlo che dura poche decine di secondi tramite la 
quale calcoli il valore medio della probabilità che A vinca e il 
rispettivo intervallo di confidenza.
 
Cristiano

 P(5, 0) dovrebbe valere 1.
 
Si, avrei dovuto scrivere "detta P(a,n) la probabilità che in n lanci 
siano usciti esattamente a numeri".
In questo modo con a=5, P(6,n+1)=P(5,n)*1/6 + P(6,n)*1

 con P(0,0)=1 e P(a,0)=0 con a>0
 
Questa non va. Io direi piuttosto:
 
p[a, n] = p[a-1, n-1]*(6-a)/6 + p[a, n-1]*a/6
 
con le condizioni iniziali:
 
p[a, 1] = 1 se a >= 1;
p[a, 1] = 0 se a <= 0.
 
M.
 
-- 
Per rispondermi via e-mail togli l'ovvio.

 casi favorevoli evitando la brute force?
Eccoti la formula per k=6.
La generalizzazione è ovvia.
La dimostrazione è lasciata al lettore :-)
 
P(n,6) = (6*5^n - 15*4^n + 20*3^n - 15*2^n + 6)/6^n
 
P(12,6) = 0.5621843194...
P(13,6) = 0.4861418060...
 
 
-- 
Elio Fabri
 

 p[a, 1] = 0 se a <= 0.
 
Funge!
La versione ricorsiva d� la soluzione in 2^n - 1 chiamate; in pratica � 
una scheggia, complimenti. :-)
 
Cristiano
 

P(13,6) = 0.4861418060...
 
S�, funziona bene, e molto bella...
Ovviamente i valori 6, 15, 20... sono C(6,5) C(6,4)....
Ma � tua oppure era gi� nota? 



 
Io non credo al calcolo delle probabilitï¿œ, non ci credo proprio.
Le probabilitï¿œ sono "il caso", potresti vincere al primo colpo come 
potresti non vincere mai... . Lanciando un dado 10 volte, un determinato 
numero potrebbe uscire due volte di seguito o non uscire mai.
Il calcolo delle probabilitï¿œ ï¿œ una bufala.
Ciao
 
 
 
---
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 Il calcolo delle probabilit� � una bufala.
E Le assicurazioni, che basano tutti i loro affari su probabilita' e
statistiche sono tutte in perdita.....
 
Ciao,
      Gorgo
 

 Ma è tua oppure era già nota?
La cosa è piuttosto curiosa.
Da un lato, debbo dire che è mia, perché non l'ho presa da nessuna
parte, né ho trovato indicazioni o suggerimenti su come calcolarla.
Dall'altro, è un problema così "naturale", che sicuramente è noto e
probab. da un secolo o più.
 
Quello che sono riuscito a trovare è in
https://oeis.org
 
la successione A101030, che dà i numeri, ma non la formula che ho
scritta.
 
Ma sicuramente da qualche parte esiste...
 
 
-- 
Elio Fabri