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Titolo: riduttori

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Bene, la scelta di un'intera partizione come da me supposto non e'
ottimale, naturalmente
era solo un'indicazione dell'uso dei dischi rotanti. Questi metodi
(usati per la prima volta da Lulli) hanno risolto molti problemi di
block-design nel passato, non escluderei il loro uso per i
riduttori.   Forse bisognerebbe studiarli meglio.
Le uniche altre strade che intravedo sono l'uso della geometria
proiettiva e le n-tuple di Steiner.
Vediamo di cosa si tratta e se possono servire da stimolo.
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Nella "Transylvana Lottery" vengono estratti 3 numeri da un'urna che ne
contiene 14, si vince col 3 e col 2.
Totale terni C(14,3)= 364
Giocandoli tutti si totalizzeranno 1 terno e 33 ambi, cosi' per
assicurarsi un ambo occorre giocarne almeno 364/34=11 (limite teorico),
ma come fare? Ci viene in aiuto il piano di Fano.
Un piano proiettivo e' formato da punti e linee, con lo stesso numero di
linee che attraversa ogni punto, e
lo stesso numero di punti su ogni linea. Il piu' semplice e' appunto il
piano di Fano con 7 punti e 7 linee:
 
             5
 
         6       4
             7
 
      1      2      3 
Le sette linee qui omesse sono
(1,2,3)(3,4,5)(5,6,1)(1,7,4)(3,7,6)(2,7,5)(2,4,6) l'ultima non e' un
segmento di retta, ma e' generalmente rappresentata da un cerchio. Come
si vede ciascuna coppia e' presente in una linea. Per trovare le terne
che garantiscono il "2", basta disegnare un'altro piano di Fano con i
numeri da 8 a 14, difatti dei 3 numeri estratti almeno due devono
risultare in uno dei due piani, assicurando  l'ambo.
Si ottiene cosi' un riduttore di 14, abbastanza vicino al limite
teorico. Le 14 giocate sono:
(1,2,3)(3,4,5)(5,6,1)(1,7,4)(3,7,6)(2,7,5)(2,4,6)
(8,9,10)(10,11,12)(12,13,8)(8,14,11)(10,14,13)(12,14,9)(9,11,13)     
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Un sistema di terne o quadruple di Steiner lo possiamo indicare con
S(n,t,v) dove n= il numero totale di simboli che entrano in gioco,
t=tuple nel nostro caso quanti ne vengono estratti, e v=quanti ne devono
apparire in una delle tuple appartenenti a S. Un esempio che abbiamo
gia' considerato: S(8,4,3), indica un insieme S di quadruple tali che
qualunque terna scelta dagli 8 simboli, appaia in una delle quadruple
selezionate.
Per questa combinazione si conosce la sol. data da Barrau nel 1908:
(1,2,4,8)(2,3,5,8)(3,4,6,8)(4,5,7,8)(1,5,6,8)(2,6,7,8)(1,3,7,8)
(3,5,6,7)(1,4,6,7)(1,2,5,7)(1,2,3,6)(2,3,4,7)(1,3,4,5)(2,4,5,6)
Ciascuna delle possibili 56 terne ottenibili da 8 simboli e' presente in
una delle 14 quadruple.
Ovviamente se vengono estratti 4 numeri dagli otto, nel nostro sistema
saranno presenti 4 terni.
Se dividiamo le 14  4tuple date da Barrau in 7 coppie complementari (le
ho scritte apposta accoppiate verticalmente, in ciascuna coppia appaiono
gli 8 numeri) constateremo che la distribuzione dei 4 terni non sara'
casuale. 
a) Se i 4 numeri estratti corrispondono ad una quadrupla giocata,
ovviamente nelle altre 6 coppie non saranno    presenti terni.
b) Altrimenti ci saranno 3 gruppi dove ciascun elemento totalizzera' 2
punti, e 4 gruppi contenenti un terno    ciascuno.
Queste regolarita' sono importanti per la confezione di un eventuale
riduttore.
Ricordo molti anni fa che, con una distribuzione simile delle colonne
utili, Alfonso Musso riusci' ad ottenere al totaocalcio un riduttore per
triple a rapporto 13.
Sono fiducioso che lo studio di questi gruppi di Steiner possa portare a
qualche risultato.
Sono note soluzioni per:
S(26,4,3) Fitting 1915
S(14,4,3) Bays & Weck 1935
Hanani (1960) ha provato che una condizione necessaria e sufficiente per
l'esistenza di una S(n,4,3) e' che n sia congruente a 2 o 4 mod.6.

l'esistenza di una S(n,4,3) e' che n sia congruente a 2 o 4 mod.6.
Dove si puo' trovare qualche riferimento?
Proprio l'altro ieri ho trovato che S(n, 3, 2) ha soluzione se n e' del tipo
6k+1 (mi hanno detto di aver scoperto l'acqua calda, forse proprio per
Steiner). Ma so che ha soluzione anche se n = 6k+3. C'e' qualche
riferimento?
Inoltre: generalizzando dovrebbe essere che (non l'ho ancor dimostrato, ma
facendo alcune prove i conti tornano):
S(n, t, t-1) ha soluzione solo se C(n, t) / (n(n-t+1)) = (tK+Z) / t con Z
che va da 0 a t-1 e K intero.
Purtroppo ho dimostrato (almeno credo...) solo che e' necessaria, ma non che
e' sufficiente.
Marco