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Titolo: matematica

Qualcuno mi potrebbe cortesemente aiutare con questo problemino, semplice
ma.................  grazie.
Quattro orologi a pendolo compiono rispettivamente 20 30 36 48 oscillazioni
al minuto. Se vengono fatti partire contemporaneamente, dopo quanto tempo si
troveranno nella stessa posizione?
Banale ma non ne vengo a capo.  Grazie

 troveranno nella stessa posizione?
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Il periodo di oscillazione, cioe' la durata di tempo che ciascun orologio
impiega per compiere un'oscillazione completa, vale per i 4 orologi
nell'ordine:
T1 = 1/20 min., T2 = 1/30 min. , T3 = 1/36 min. , T4 = 1/48 min..
Gli orologi si ritrovano contemporaneamente nella posizione iniziale se
hanno compiuto un numero intero di oscillazioni, nell'ordine n1, n2, n3, n4
oscillazioni, nella stessa durata di tempo t, quindi vale la condizione:
t = n1 * T1 = n2 * T2 = n3 * T3 = n4 * T4  (abbiamo usato il fatto che
il tempo trascurso e' uguale alla durata di un'oscillazione moltiplicata
per il numero di oscillazioni).
Sostituendo otteniamo:
n1 / 20 = n2 / 30 = n3 / 36 = n4 / 48, da cui:
n1 = (2/3) n2 = (5/9) n3 = (5/12) n4,
quindi n1 deve avere come fattori 2 e 5, il piu' piccolo numero avente
questi fattori e' 10, da cui
n1 = 10, n2 = 15, n3 = 18, n4 = 24,
e il piu' piccolo tempo t per cui i 4 orologi hanno contemporaneamente
la posizione iniziale e' t = n1 * T1 = 1/2 min..
Ciao
-- 
Giorgio Bibbiani

 Giorgio Bibbiani
Grazie  sarò, forse, tonto ma  qualcosa mi sfugge, rileggerò con attenzione
la tua soluzione eventualmente mi permetterò di disturbarti nuovamente.
Grazie


Provo a proporre una soluzione alternativa a quella, peraltro corretta,
fornita da Giorgio B. Dovrebbe essere piů semplice da seguire.
Innanzitutto, l'esposto del problema dice che in un minuto tutti i pendoli
compiono un numero intero di oscillazioni. Ciň garantisce di per sé che al
termine del minuto tutti i pendoli saranno ritornati nella posizione
iniziale. Questa č un po' la chiave del problema. Bisogna cioč convincersi,
e forse non č del tutto intuitivo, per lo meno all'inizio, che se affermi
che in un certo lasso di tempo tutti i pendoli compiono un numero di
oscillazioni intero, questo lasso di tempo rappresenta giŕ una soluzione al
problema, forse non la migliore.
Ora si tratta di trovare una soluzione migliore, se c'č. Si tratta di vedere
se esiste un fattore per cui tutti i valori di oscillazione dei pendoli
possano essere divisi. In questo modo troverň un altro lasso di tempo,
inferiore a quello dato, per cui vale ancora l'affermazione che tutti i
pendoli compiono un numero di oscillazioni intero in detto periodo. Cerco
quindi il fattore di divisione piů grande (altro non č che il massimo comune
divisore) tra 20, 30, 36 e 48. Questo fattore vale 2 e ciň significa che
anche dimezzando il numero di oscillazioni di ogni pendolo e
conseguentemente dimezzando il lasso di tempo, i pendoli continuano a
compiere un numero intero di oscillazioni e a riportarsi al termine di
queste nella posizione iniziale.
Quindi il valore cercato č uguale al tempo iniziale diviso l'MCD tra tutti i
valori di oscillazione = 1 min. / 2.
Ciao
Giorgio

 Giorgio
Quoto interamente. Naturalmente ringraziando. La soluzione proposta si
avvincia a quella che pensavo, sicuramente dopo un minuto i pendoli saranno
nella stessa posizione ma esiste un momento precedente, o meglio, una
soluzione migliore.
La tua analisi appare logica e semplice.
Ciao
Anto

anto wrote:

A me non tornano nessuna delle due soluzioni. Primo perché pensavo che 
per "stassa posizione" non si intendesse per forza la posizione 
iniziale, allargando di molto il campo di analisi. Secondo, prendendo 
cmq in considerazione "l'incontro" nella posizione iniziale, le cose non 
vanno correttamente. Ho provato con esempi più semplici (2 orologi che 
compiono 2 e 4 oscillazioni al minuto) e la storia del MCD non funziona più.
Ho provato allora a controllare anche i 4 oralogi citati e, come si puo' 
facilmente notare, al 30° secondo il pendolo che fa 30 oscillazioni al 
minuto si trova esattamente nella posizione opposta rispetto a quella 
degli altri 3.
"Schema" delle posizioni di due orologi
20 oscillazioni
 
0	3
6	9
12	15
18	21
24	27
30	33
36	39
42	45
48	51
54	57
60	
30 oscillazioni
	2
4	6
8	10
12	14
16	18
20	22
24	26
28	30
32	34
36	38
40	42
44	46
48	50
52	54
56	58
60	
Come si vede, al trentesimo secondo, quello da 20 è a sinistra mentre 
quello da 30 è a destra.
Non ho altre soluzioni, perché non sono assolutamente un matematico, ma 
secondo me queste non soddisfano la richiesta.
Saluti

 6 9
[cut]
Ciao, per oscillazione si intende generalmente un'oscillazione completa,
cioe' che il pendolo parte da un estremo A della traiettoria (punto di
inversione) arriva all'altro estremo B e torna in A, quindi per il pendolo
che compie 20 oscillazioni al minuto abbiamo:
A       B
0s      1,5s
3s      4,5s
ecc. ecc.
Per Giorgio Vecchi: complimenti per la dimostrazione, un esempio
di chiarezza :-)
Ciao a tutti
--
Giorgio Bibbiani

di chiarezza :-)
Si`, davvero bella, viste anche tutte quelle postate
su ism.
-- 
Ciao,		|   Attenzione! campo "Reply-To:"  alterato	|
Remigio Zedda	|   posta: ti.ilacsit@zoigimer  <-- dx/sn  ;^)	|
	-- GNU/Linux 2.4.25 su Slackware 9.1

Giorgio Bibbiani wrote:

Ok, ora mi torna... :-)
-- 
<Anche se ho le zanne e le corna, io sto solo piangendo
eppure vogliono uccidermi ugualmente>
By(t)e By(t)e


Oh, vi ringrazio molto...
Volevo però tornare sull'osservazione di Giuseppe in merito al fatto che per
"stessa posizione" non si intende automaticamente "posizione iniziale".
Avevo dato per scontato che si intendesse quella, forse perché convinto che
non ce ne potessero essere altre e in effetti si può verificare che non ce
ne sono altre.
Partiamo dai primi due pendoli, quelli con 20 e 30 oscillazioni al minuto.
La formuletta dice che si ritroveranno nella stessa posizione iniziale ogni
6 secondi (l'MCD tra 20 e 30 vale 10, 1 min. / 10 = 6 sec.). Durante questo
tempo si ritrovano ad occupare la stessa posizione 5 volte, una volta ogni
1,2 secondi (lo si può verificare anche empiricamente). Se immaginiamo i
pendoli come lancette di un orologio con solo metà quadrante, in cui ogni
lancetta va dalle ore 12 alle ore 6 e poi torna indietro, possiamo
attribuire ad ogni lancetta/pendolo una posizione angolare compresa tra 0° e
180°. Ad ogni istante in cui i primi due pendoli coincidono, troveremo però
che ognuno degli altri due occupa sempre posizioni angolari differenti
(tranne quando t è multiplo di 30 sec.). I valori dovrebbero essere i
seguenti (s.e.& o.):
t    20/30    36    48
0,0    0,0    0,0    0,0
1,2    144,0    100,8    14,4
2,4    72,0    158,4    28,8
3,6    72,0    57,6    43,2
4,8    144,0    43,2    57,6
6,0    0,0    144,0    72,0
7,2    144,0    115,2    86,4
8,4    72,0    14,4    100,8
9,6    72,0    86,4    115,2
10,8    144,0    172,8    129,6
12,0    0,0    72,0    144,0
13,2    144,0    28,8    158,4
14,4    72,0    129,6    172,8
15,6    72,0    129,6    172,8
16,8    144,0    28,8    158,4
18,0    0,0    72,0    144,0
19,2    144,0    172,8    129,6
20,4    72,0    86,4    115,2
21,6    72,0    14,4    100,8
22,8    144,0    115,2    86,4
24,0    0,0    144,0    72,0
25,2    144,0    43,2    57,6
26,4    72,0    57,6    43,2
27,6    72,0    158,4    28,8
28,8    144,0    100,8    14,4
30,0    0,0    0,0    0,0
Ciao
Giorgio