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Titolo: Teorema dei 4 colori e tassellatura Cairo

E' possibile colorare con soli 3 (tre) colori una tassellatura Cairo
grande a piacere in modo che nessun tassello confini con un altro
dello stesso colore?
Ciao!!!  :o)
Livio
PS: Chi non conoscesse la tassellatura Cairo può cercare su google
"cairo tiling".

 dello stesso colore?
A occhio direi di sì. Ovviamente due tasselli che si toccano in un
solo punto non devono essere considerati confinanti...
Ciao!

 solo punto non devono essere considerati confinanti...
Certo.
Ciao!!!  :o)
Livio

 dello stesso colore?
Mi sembra di si.
Consideiamo gli esagoni verticali:
      ___
     /   \       
    /  1  \     
   / `   / \    
  / 3  |  2 \
  \    |    /
   \ /   ` /
    \  1  /
     \___/
ovviamente i due pentagoni "1" vanno colorati dello stesso colore.
Uso 3 colorazioni diverse degli esagoni:
  colorazione "a": 1=rosso, 2=verde, 3=blu
  colorazione "b": 1=verde, 2=blu, 3=rosso
  colorazione "c": 1=blu, 2=rosso, 3=verde
e dispongo gli esagoni in questo modo:
   _   _   _   _
  /a\_/c\_/b\_/a\
  \_/c\_/b\_/a\_/
  /c\_/b\_/a\_/c\
  \_/b\_/a\_/c\_/
  /b\_/a\_/c\_/b\
  \_/a\_/c\_/b\_/
  /a\_/c\_/b\_/a\
  \_/ \_/ \_/ \_/
dovrebbe funzionare.
        Mauro

 dello stesso colore?
Direi che si puo' fare in questo modo:
http://ilex.iit.cnr.it/~resta/cairo.png
per linee successive dove i tre colori si alternano
(immagine di partenza rubata a qualcuno...).
g.

 per linee successive dove i tre colori si alternano
Mi sembra che la tua soluzione, la mia e quella di Mauro (abc) siano
equivalenti.
In esse un insieme di soli 12 tasselli si può ripetere all'infinito.
E', credo, la sol
periodica minima.
Ciao a tutti!!!  :o)
Livio

 dello stesso colore?
Si può generalizzare qualche cosa?
Si può dire, ad es., che una tassellatura di pezzi congruenti di un
sol tipo è sempre colorabile con un max di 3 colori?
Ciao!!!  :o)
Livio

 un sol tipo è sempre colorabile con un max di 3 colori?
Purtroppo sui 3 colori non si può generalizzare.
Credo ci siano doverse tassellazioni che ne richiedono .
Per esempio la tassellatura fatta con i "terzi di esagono":
 \_____/ '. .' \_____/ '. .' \_____/ '. .' \_____/
 /     \   |   /     \   |   /     \   |   /     \
/       \__|__/       \__|__/       \__|__/       \
\       /  |  \       /  |  \       /  |  \       /
 \_____/   |   \_____/   |   \_____/   |   \_____/
 /     \ .' '. /     \ .' '. /     \ .' '. /     \
/ '. .' \_____/ '. .' \_____/ '. .' \_____/ '. .' \
\   |   /     \   |   /     \   |   /     \   |   /
 \__|__/       \__|__/       \__|__/       \__|__/
 /  |  \       /  |  \       /  |  \       /  |  \
/   |   \_____/   |   \_____/   |   \_____/   |   \
\ .' '. /     \ .' '. /     \ .' '. /     \ .' '. /
 \_____/ '. .' \_____/ '. .' \_____/ '. .' \_____/
comunque decidi di scomporre gli esagoni che nel disegno ho lasciato interi, 
serve sempre un quarto colore.
-- 
Silv:o)

 Per esempio la tassellatura fatta con i "terzi di esagono":
Ottimo, non ci avevo pensato. E' un controesempio determinante che
uccide la teoria!  :o)
Ciao!!!  :o)
Livio



Invece mi pare che si possa fare con due colori,
ma forse bisogna definire meglio il problema.
Cosa intendi per terzo di esagono? Mi pare che il tassello sia un
rombo con angoli 60/120/60/120.
Allors basta prendere una normale scacchiera (bianco e nero) e
deformarla opportunamente....
ciao
paolo

 rombo con angoli 60/120/60/120.
quella che di ci tu è questa
   _______
  /\      \
 /  \      \
/    \______\
\    /      /
 \  /      /
  \/______/
mentre io intendevo questa divisione
   _______
  /   |   \
 /    |    \
/     |     \
\   . ^ .   /
 \'       '/
  \_______/
--
Ciao, Silv:o)


wrote:

Anche se... anche se...
Il dubbio è che la tassellatura che proponi abbia qualche cosa di
speciale che la fa distinguere da altre, e cioè, forse,
l'obbligatorietà di possedere un angolo al nodo di 180°.
Definito l'insieme delle tassellature dove ciò fosse vietato, allora
questo insieme forse si potrebbe colorare con non più di tre colori,
così come una tassellatura qualunque con soli nodi pari si può
colorare con soli due colori.
Ciao!!!  :o)
Livio

 type 9
--
Ciao, Silv:o)

 type 9
ma anche il 6 e il 7
--
Ciao, Silv:o)

 type 9
perché scomodare link stranieri?
Ho scoperto che c'è anche un italiano che si è occupato di "pentagon's
tilings"
http://tinyurl.com/2b6by9
--
Ciao, Silv;o)

 type 9
Colorattta:
http://www.geocities.com/liviozuc/images/pent9.gif
Ciao!!!  :o)
Livio

 ma anche il 6 e il 7
Anche la 6 e la 7 sono colorabili con tre colori.
C'è qualche cosa che mi sfugge?
Ciao!!!  :o)
Livio

 C'è qualche cosa che mi sfugge?
no no.
A un certo punto mi sono inventato la regola secondo la quale due
regioni che si toccano in un punto in un incrocio a quattro dovessero
avere per forza lo stesso colore.
Ieri ho gugolato su decinaie di siti tiling e non sono riuscito a
trovare uno straccio di pattern edge-to-edge non colorabile con tre
colori.
Che tu abbia ragione?
--
Silv:o)

 Che tu abbia ragione?
Edge-to-edge mi piace ma purtroppo formalmente forse è ancora debole
come definizione. Ad es. il pentaesagono seguente, che è anche un
icogono equilatero, tassella il piano con delle combinazioni che
richiedono 4 colori.
 __
/  \
\  /
/  \__
\     \
/   __/
\  /
/  \
\__/
Insomma, ci sono tante mappe che richiedono solo tre colori, ma
scovarle tutte o addirittura trovare una condizione *sufficiente e
necessaria* (come succede per 2 colori) non sembra facile.
Ciao!!!  :o)
Livio


wrote:
Scommetterei, ad es., che *qualunque* polimino che tasselli il piano,
può generare soltanto tassellazioni colorabili con non più di 3
colori, anche se, visti come poligoni, non costituiscono una
tassellazione *edge-to-edge*.
Ciao!!!  :o)
Livio