Newsgroup: it.economia
Titolo: Curva di trasformazione, saggio marginale di sostituzione e rapporto tra i prezzi.

Mi chiedo se avrebbe ancora senso nel caso ci trovassimo con piu' di 2
beni.
Diciamo 3 : X, Y, Z.
In tal caso, che senso avrebbe parlare di "quante unita' dei beni X ed
Y debbo
perdere per averne una in piu' di Z" ?
Se i beni sono almeno tre, ci sono piu' "percorsi" per avere una
unita'
di bene in piu' Z.
O mi sfugge qualcosa ?


Scusami ma inserire una ulteriore variabile a che pro?
-- 
http://www.youtube.com/watch?v=RZUOkGxGUVs
http://www.youtube.com/watch?v=wltv12Hx9Bo

 Scusami ma inserire una ulteriore variabile a che pro?
Non ti capisco.
Intendi dire che non e' necessario ? Perche' ?


Che informazione ti da in pi� avere 2 o 3 beni?
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 Che informazione ti da in pi avere 2 o 3 beni?
Il mondo reale ha MILIARDI e MILIARDI e MILIARDI
di beni diversi.
Se la teoria regge solo con due, e' da buttare.
Mi sono spiegato ?


La teoria regge anche con n elementi. Semplicemente la dimostrazione 
diventa sempre più complicata e non porta nuovi elementi.
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 La teoria regge anche con n elementi.
Come ? E' questo che non comprendo. Spero tu
possa spiegarmelo. Su google non ho trovato nulla.
Cerco di spiegare :
se si pretende di dimostrare che l' inclinazione della
tangente alla curva di trasformazione rappresenta, all'
equilibrio, il rapporto tra i prezzi dei due beni, e' perche'
nel caso di DUE beni A e B, la quantita' di A a cui
devo rinunciare per avere una unita' di B in piu' e'
UNICA.
Ma se i beni sono almeno di tre tipi, A,B,C,  ecco che
per avere una unita' in piu' di B posso scegliere piu'
combinazioni "rinunciatarie" (diciamo) di A e C.
O solo A, o solo C, o una combinazione bA + cC.
Quindi, cosa si puo' dire dei rapporti tra i prezzi in
quel caso ? C'e' un modo per definirli comunque ?
Grazie

possa spiegarmelo. Su google non ho trovato nulla.
Bè, spiegarlo è questione matematica, non di ciance :-)
Se guardi su wiki, si arriva alla dimostrazione che @U/@x / Px = @U/@y / Py, 
dato che tanto il rapporto tra utilità che quello tra prezzi sono pari al 
saggio marginale di sostituzione. Ora:
Max U(x,y,z)
sv Px*x+Py*y+Pz*z
può essere risolto con Lagrange, e così una qualsiasi generalizzazione a n 
beni.
Se provi a risolvere, ti accorgerai che la condizione di ottimo è data 
quando il rapporto tra utilità e prezzo di ogni bene sono uguali tra loro, 
ovvero i loro sms.
Il problema, qui, è che reddito e prezzi sono dati, il che, come ben noto, è 
una condizione priva di senso, così come lo è il fatto di pensare a una 
misura di utilità che abbia U'>0; U''<0. La sostituibilità, come ben noto, 
dipende dal livello del reddito. 

 ovvero i loro sms.
Ma se ho tre beni, i loro sms quali sono ?

"radicale 004"  ha scritto nel messaggio 
news:0596c3b7-a511-49e2...@e7g2000vbw.googlegroups.com...
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Non ho capito bene se non conosci la teoria o cosa. Nel caso generale, come 
in quello di due beni, puoi scrivere:
dU = @U/@x1*dx1  + .... + @U/@xn*dxn
che è il differenziale totale.
Per definizione, il sms è il rapporto tra variazioni di due beni, quindi 
puoi trovare le C(n,2) combinazioni, ovverosia quello che possiamo definire 
come smsi,j, ponendo dU=0, come:
-dxi / dxj =   @U/@xi / @U/@xj per ogni i div. j.
Non mi pare puoi fare meglio, perché altrimenti se fai variare tutto 
contemporaneamente non arrivi a capo di nulla...


Ripeto, un bene in piů non ci porta ad una singola informazione in piů. 
Se non ad una complicazione, inutile, del modello.
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 contemporaneamente non arrivi a capo di nulla...
Dunque vediamo se riesco a spiegarmi.
Sei d' accordo che, nel caso di DUE beni, il costo dell' uno si
misura
in termini della quantita' a cui devo rinunciare dell' altro ?
(ovviamente, SULLA curva di trasformazione : si ipotizza di
trovarci in piena occupazione, o salta tutto)
Matematicamente questo e' pari alla inclinazione della tangente
alla curva di trasformazione.
Ora, nel caso di tre beni, continua o no ad essere precisamente
definito *questo concetto* di costo ? QUESTO. Che e' poi
quello che definisce il rapporto tra i prezzi relativi, almeno
all' equilibrio.
Secondo me NO. Pero' molto prudentemente attendo la tua
risposta.

 contemporaneamente non arrivi a capo di nulla...
Dunque vediamo se riesco a spiegarmi.
Sei d' accordo che, nel caso di DUE beni, il costo dell' uno si
misura
in termini della quantita' a cui devo rinunciare dell' altro ?
(ovviamente, SULLA curva di trasformazione : si ipotizza di
trovarci in piena occupazione, o salta tutto)
<Matematicamente questo e' pari alla inclinazione della tangente
<alla curva di trasformazione.
Radicale, questo non c'entra niente con i costi. Ti ho già detto prima che 
se imposti Lagrange e hai n beni, otterrai che il punto di ottimo vincolato 
lo ottieni quando U'(x1) /P1 = ... = U'(xn) / Pn. Essendo un esercizio di 
pura statica se esiste, vi è un vettore di quantità che definisce il massimo 
di utilità, dato il vincolo di bilancio.

non ad una complicazione, inutile, del modello.
Stai scherzando, o parli sul serio? Quello è un problema di massimo 
vincolato che, risolto col metodo dei moltiplicatori, ti mostra che max di 
U, s.v. di bilancio porta a un vettore, per le condizioni di primo ordine, 
secondo cui U'(xi) / Pi = U'(xj) / Pj, per ogni i,j; i =|j. In ogni caso, a 
complicare il modello ci pensano già altri, per esempio definendo un sms 
generalizzato in presenza di vincoli molteplici formulati in problemi di 
programmazione quasi concava. In questi problemi, tuttavia, bisogna 
esplorare anche le condizioni di secondo ordine.
Questo, in ogni caso, è un approccio di derivazione della domanda superato 
da parecchi decenni. 

 "radicale 001"  ha scritto nel messaggionews:70527dfd-8bb8-4c46...@e7g2000vbj.googlegroups.com...
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Ok ok ... Non ti irritare :-)
Allora mi confermi che nel caso di n beni la teoria non e' piu' in
grado
di spiegare il livello dei costi, cosi come riusciva a fare nel caso
di
soli due beni.

<Ok ok ... Non ti irritare :-)
<Allora mi confermi che nel caso di n beni la teoria non e' piu' in
<grado
<di spiegare il livello dei costi, cosi come riusciva a fare nel caso
<di
<soli due beni.
Non mi sto irritando.
Su una curva di livello avrai:
dU = @U/@Y*dy + @U/@x dx
dato che dU = 0, ovvero assumi che l'utilità si mantiene costante,
ottieni che:
-dy / dx = @U/@x / @U/@Y
e -dy/dx è definito come SMS.
Estendendo a tre variabili:
dU = @U/@Y*dy + @U/@x dx + @U/@z dz = 0
- @U/@z dz = @U/@Y*dy + @U/@x dx
prima ti riconducevi a -dy / dx che ha senso, e ti chiedo,
mo' che fai? Mi raccomando, non scrivere cazzate :-)

Mi raccomando, non scrivere cazzate :-)
Non fare l' acidone :-)
(A me piace semplificare)
Avremo ady + bdx + cdz = 0
dove a, b, c sono le derivate parziali della U rispetto
a y, x, z.
Per cui
a(dy/dx) + c(dz/dx) = - b
In generale esistono infinite coppie
(dy/dx) ; (dz/dx) che verificano quella equazione
Quindi, sembrerebbe di trovarci di fronte ad una
indeterminatezza.
Invece ?

Mi raccomando, non scrivere cazzate :-)
Meglio non leggere quello che hai scritto :-)
<Quindi, sembrerebbe di trovarci di fronte ad una
<indeterminatezza.
<Invece ?
L'obiettivo è di trovare qualcosa che ha senso...ma mi pare che con tre 
variabili non ne abbia...

 Meglio non leggere quello che hai scritto :-)
No dai ... Non fare cosi. Dove ho sbagliato ?

No dai ... Non fare cosi. Dove ho sbagliato ?
- @U/@z dz = @U/@Y*dy
questa scrittura ti permette di scrivere
che
-dz/dy = @U/@Y / @U/@z
mentre con questa non ci fai niente
ciò significa che la variazione che z decresce, al variare di y, come 
l'inverso del rapporto tra la variazioni dell'utilità fatta rispetto alle 
due variabili.
Ma - ripeto - con questa scrittura:
- @U/@z dz = @U/@Y*dy + @U/@x dx
che ci fai?

 "radicale 001"  ha scritto nel messaggionews:94ccdba9-7a51-4a7b...@b21g2000yqc.googlegroups.com...
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Non ci fai nulla, sono d' accordo con te !
E' quello che ho detto, non mi sono spiegato ?
Ma non vedo perche' ho sbagliato allora.
Non c'e' nessuna differenza tra questa :
 - @U/@z dz = @U/@Y*dy + @U/@x dx
 e questa
 - c dz = b dy + a dx
dopo aver posto
- c = - @U/@z
  b =   @U/@Y
  a =   @U/@x
Per cui
 - c dz = b dy + a dx  puo' essere scritto
come, mettendo dz a denominatore :
- c = b dy/dz + a dx/dz
Per cui esistono infinite coppie
dy/dz ; dx/dz che risolvono la equazione.
Per cui ancora NON C'E' PIU' un concetto
univoco di "costo opportunita'".
Va meglio ora ?

Va meglio ora ?
Secondo me non ha grande senso quella scrittura.
Cmq i problemi teorici sono ben altri...

 Cmq i problemi teorici sono ben altri...
A beh, se la metti su questo piano, sul punto specifico non posso
che darti ragione.
Pero' intanto pare proprio che la teoria del costo opportunita'
e' una GRAN CAGATA, visto che schioda non appena i beni
sono piu' di due.

sono piu' di due.
Mah... che dire allora della teoria della produzione e dell'accumulazione 
marginalista che, come ben noto, è in via sostanziale inesistente. 

 marginalista che, come ben noto, è in via sostanziale inesistente.
... Sono completamente d' accordo con te.

Te lo devo ripetere ancora? :-)
-dy/dx è il saggio marginale di sostituzione, al quale si interscambiano i 
due beni, in modo che l'utilità rimanga costante (ricordi che siamo partiti 
dal differenziale totale dU, constatando che è pari a zero?) tale rapporto 
lo posso esprimere in termini di rapporti tra derivate parziali dell'utilità 
rispetto alla variazione dei singoli beni.
<"secondo me" (con un grosso "forse") all' equilibrio
<(sul piano tangente alla curva di trasformazione) quei tre
<rapporti sono ... "interscambiabili" ovverossia :
<per avere una unita' in piu' di A la puoi ottenere rinunciando
<a x unita' di B ma anche a y unita' di C. E questo e' vero.
<Ma *quelle* unita' x y si equivalgono tra loro in termini
<di utilita' U. Per cui in effetti il costo opportunita' misurato
<pero' in termini di utilita' e' identico, e quindi unico.
Forse ti sfugge che se stanno sulla stessa curva di livello significa che dU 
= 0 e che, in generale @U/@xi =! @U/@xj.
Quindi...
U = lnx*radq(y)
dU = radq(y) / x dx + lnx /2*radq (y) dy dato che dy = 0
-dy / dx (saggio a cui si scambiano i due beni) = radq (y) / x * 2radq(y) / 
lnx = 2y/x*lnx (1) (rapporto derivate parziali, dato dU=0)
se non ho sbagliato a fare i conti.
Ora poni:
U = lnx*radqy*z^1/3
dU = z^1/3*radq(y) / x dx + lnx*z^1/3 /2*radq (y) dy + 1/(3*x^2/3) * 
lnx*radq(y) dz
ora, dato che dU = 0:
z^1/3*radq(y) / x dx + lnx*z^1/3 /2*radq (y) dy + 1/(3*x^2/3) * lnx*radq(y) 
dz = 0
ti invito a ricavare un'espressione che abbia un significato economico come 
nella 1, ovvero scrivi un'espressione e spiega il significato economico dei 
termini. Naturalmente, senza inventarti niente. Ah, controlla i conti e 
verifica se sono giusti... 

Alcune precisazioni:
1) ho usato quelle funzioni perché U' > 0 e U''<0 come da definizione;
2) in generale non puoi dire nulla su dx / dy;
3)  tranne nel caso di due beni, in cui dx/dy lo riconduci al rapporto tra 
derivate parziali di U fatte rispetto a x e y.
4) per n>2 scrivere che adx/dy + b dx/dz etc etc è un'espressione che non ti 
porta a capo di nulla... 


Dammi tempo per pensarci. :-)
Grazie ! Grazie per la pazienza. Spero sia stato stimolante anche
per te.