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Titolo: [Matematica] Oltre Euclide: esiste un limite al numero più grande? (La Stampa online 30/3)

                 Problemi di
                 aritmetica estrema
                 OLTRE EUCLIDE
                 Esiste un limite al numero più grande?
        Se chiedi a un matematico, sostiene Brian Rotman sulla
                 rivista The Sciencies , di spiegarti la natura degli
oggetti che egli studia - numeri, punti, linee, insiemi, spazi - egli ti
esporrà una visione platonica secondo la quale gli oggetti matematici si
trovano da qualche parte là fuori "esistenti prima degli esseri umani e della
loro cultura, insensibili ai cambiamenti, indipendenti dalla materia e
dall'energia,oltre i confini e le necessità dello spazio e del tempo, eppure in
qualche modo accessibili alle menti dei
    matematici". Il punto di vista di Rotman è che quell'idea
  platonica sta per essere superata grazie alla nascita ed allo
   sviluppo della matematica sperimentale. Ma di che cosa si     tratta?
Innanzitutto, osserva Rotman, dobbiamo fare i conti con i
  computer, che non percepiscono gli oggetti matematici ma,
   piuttosto, li costruiscono. Ciò induce a ritenere che gli
   oggetti della matematica siano in realtà pure costruzioni e
    non entità ideali pre-esistenti: già nel secolo scorso
    Leopold Kronecker scriveva che "Dio fece gli interi, il
                 resto è lavoro dell'uomo" e, più recentemente, Jan
       Brouwer ha dato giudizi molto severi su un certo tipo di
        dimostrazioni della matematica. In particolare egli si
       riferisce a una tecnica di dimostrazione classica, nota a
        tutti fin dai tempi della scuola superiore e ampiamente
                 utilizzata per dimostrare l'esistenza di certi enti
                 matematici. Il metodo funziona così: si assume
       innanzitutto che l'oggetto non esista e poi si dimostra con
                 il ragionamento che questa ipotesi conduce ad una
        inevitabile contraddizione. A questo punto si conclude che
                 quell'oggetto deve esistere.
        Un famoso teorema, che si deve ad Euclide, dimostra in
            questo modo che debbono esistere infiniti numeri primi.
       La dimostrazione si basa sull'ipotesi che, se così non fosse,
                 dovrebbe esistere il numero primo più grande di tutti,
       diciamo P. Con questa ipotesi si può far vedere che allora
       esiste un numero primo più grande di P. Siccome questa
       conclusione è in palese contraddizione con l'ipotesi dalla
                 quale è scaturita, l'ipotesi è assurda. Pertanto se ne
                 dovrebbe dedurre che i numeri primi sono infiniti.
        "Sbagliato!", dice Brouwer che, tra l'altro, è un logico: se
                 gli oggetti matematici non esistono là fuori
    indipendentemente dalla mente dei matematici o dai
   circuiti integrati dei computer che li costruiscono, ebbene
     in questo caso l'unica prova accettabile per l'esistenza di un
                 oggetto matematico è una ricetta per costruirlo. Pertanto
l'infinito deve sparire dalla matematica. Infatti non è
  possibile fornire alcuna ricetta per costruire un numero infinito. Secondo
Rotman la matematica deve imparare a
     confrontarsi con la realtà della computazione. Per fare
         questo è necessario immaginare una aritmetica
    non-euclidea: potrebbe essere, infatti, che l'aritmetica a noi
     familiare avesse solamente un valore locale. Perché non
          ammettere che anche le operazioni aritmetiche più
                 elementari, se effettuate tra numeri molto grandi,
       potrebbero funzionare in maniera differente rispetto alla
                 loro applicazione a numeri di dimensioni ordinarie, i
       numeri cioè a noi familiari? Questa considerazione induce
                 Rotman a separare i numeri in due gruppi: i numeri
   contabili e quelli non contabili. Se ad esempio una cultura
       primitiva considerasse contabili i numeri inferiori al
      numero delle dita delle mani, il numero 11 sarebbe non
                 contabile. Per quella cultura 11 sarebbe semplicemente  non
accessibile. Ma per noi esistono sicuramente dei numeri non accessibili. Molto
maggiore di 10, certo!
 Potremmo immaginare, ad esempio, che un computer
                 ideale, grande quanto l'intero universo, possa contare
                 utilizzando tutta l'energia disponibile nell'universo stesso.
Utilizzando le stime dei fisici attorno al valore che la
                 massa-energia dell'universo visibile pare possedere, è
                 possibile calcolare, per mezzo della termodinamica e della
teoria dell'informazione, il numero massimo M che questo ipotetico immenso
computer potrebbe raggiungere,
                 semplicemente contando. Si tratta dell'equivalente di
                 quanto rappresentano le 10 dita delle mani per quella
                 ingenua cultura menzionata poco sopra. Si tratta dunque del
limite superiore per i numeri contabili. Al di sopra di esso, se accettiamo
questa visione costruttivista della
                 dimostrazione matematica, esistono numeri che possiamo certo
trattare ma le cui proprietà potrebbero essere
                 differenti da quelle a noi familiari: le proprietà di
                 aritmetiche non-euclidee, appunto.
                 Maurizio Dapor

 differenti da quelle a noi familiari: le proprietà di aritmetiche non-euclidee, appunto.
Certo: l'essenza della matematica e' la liberta'. Ciao

42.
:-)
Scusate, non ho resistito.
saluti a tutti.
                Fabrizio