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Titolo: Il numero

Il concetto di numero subisce grosse variazioni nel corso del tempo.
Le apparenti contraddizioni pseudometafisiche che vengono evidenziate
spesso nella "filosofia de noantri" portata avanti da chi cerca di
sostenere l'esistenza dei concetti metafisici in una sfera diversa da
quella puramente concettuale loro propria, sono tanto per cambiare
tutte legate ad equivoci che vengono fuori dai diversi significati
attribuiti al concetto nel corso del tempo che in questo post (molto
in soldoni, e probsbilmente con qualche imprecisione) tento di fare: 
La prima concezione importante del numero, è quella originaria dei
pitagorici, che credevano che il numero fosse un elemento costitutivo
di quella realtà non accessibile ai sensi ma alla ragione. "Le cose
sono esse stesse numeri e composte di numeri come loro elementi" per
cui "il numero è il sistema delle unità". 
Questa concezione realistica del numero è, con qualche variante, fatta
propria da tutti i pensatori antichi, matematici, geometri, filosofi:
il numero come "moltitudine di unità" di Euclide, il numero come
manifestazione dell'intelligenza dell'ordine delle cose di Platone,
mentre lo stesso Aristotele, pur rendendosi conto dei problemi
derivanti dalla concezione realistica del numero, li risolve
assegnando ai numeri uno status di esistenza speciale astratto dalle
cause sensibili ma non separabile da esse: in altri termini Aristotele
si rende conto del carattere astratto del numero, ma non riesce, o non
vuole separarlo completamente dalla realtà fattuale. Arriva però a
riconoscere che il numero è "una pluralità misurata o una pluralità di
misura" e afferma, cosa molto importante, "che l'unità non è un numero
ma una misura del numero". 
Da notare che questa definizione comporta che né lo zero né l'uno
siano definibili come numeri, cosa che Aristotele esplicita per quanto
riguarda l'uno: da qui nasce il problema dello zero non-numero, per
esempio, che dovrà attendere i tempi moderni per essere del tutto
risolto
Le cose vanno avanti così praticamente sino a Cartesio, che respinge
completamente il numero come realtà per darne una definizione
soggettiva: "Il numero che consideriamo in generale, senza riflettere
su alcuna cosa creata, non esiste fuori del nostro pensiero come non
esistono fuori da esso tutte le idee generali che gli scolastici
comprendono sotto il nome di Universali".
Il numero secondo questa concezione è quindi un'operazione di
astrazione del pensiero eseguita su cose sensibili od altre
astrazioni. Questo concetto *soggettivo* del numero - con variazioni -
è quello di Newton (che enfatizza l'aspetto di misura) di Kant, e
degli stessi Cantor e Dedekind, che per quanto innovativi sotto il
profilo matematico, (Cantor introduce i numeri transfiniti che
consentono di trattare come numero l'infinito, vedi mio vecchio post
su infinito ed eternità) dal punto di vista filosofico mantengono il
concetto di numero nell'ambito della soggettività.
Successivamente, si passa ad una concezione del numero che, sia pur
mantenendogli uno status puramente concettuale e non reale fattuale,
lo riconduce all'oggettività: Frege nei suoi fondamenti della
matematica, opera una netta distinzione tra ciò che è reale e ciò che
è oggettivo: "l'asse terrestre, o il baricentro del sistema solare,
sono oggettivi, ma non direi che sono reali, palpabili e che occupano
uno spazio, come la Terra", e propone una nuova definizione di numero
che risolve definitivamente il problema dello zero come numero:  "il
concetto F è *ugualmente numeroso* del concetto G ogni qual volta è
possibile porre in corrispondenza biunivoca gli oggetti che cadono
sotto F e quelli che cadono sotto G. Il numero naturale che spetta al
concetto F altro non è che l'estensione del concetto "ugualmente
numeroso ad F".
Questa definizione anticipa quella assai più famosa e posteriore di
Russell, che è espressa nei termini assai più definiti di "classi"
invece di "concetti":
<<Quando si ha una relazione di termine a termine fra tutti i termini
di una collezione e tutti i termini di un'altra, diciamo che le due
collezioni sono simili. Si può allora vedere che due collezioni simili
hanno lo stesso numero di termini e definire il numero di una
collezione data come la classe di tutte le collezioni simili ad essa,
per cui il numero dei termini di una classe si definisce come la
classe di tutte le classi simili alla classe data>> 
Questa definizione risolve, se impiegata, tutti gli apparenti problemi
sui numeri, derivanti dall'ingenua concezione realista di essi, posti
nei thread di questi ultimi giorni: spiega perché lo zero sia un
numero, in quanto è la classe di tutte le classi nulle (o vuote, se si
preferisce), spiega lo strano fenomeno  per cui in una scatola possono
esserci contemporaneamente due sassi tre mele una pera, tre scarrafoni
e zero albicocche (l'ultima se l'è mangiata mio cuggino) per un totale
di nove oggetti numerabili, quattro frutti tre insetti e due minerali
e assenza di ogni altra collezione di cui intendo rilevare i termini
(ma potrei mettermi a contare le molecole d'aria, o gli acari della
polvere e via dicendo, come pure potrei dire senza sbagliare: la
scatola contiene due sassi, senza aggiungere altro): è solo una
questione di *collezioni*, niente di più, niente di meno.
Va poi detto che più recentemente ancora sono state proposte
definizioni di numero ancora più raffinate, necessarie per impostare
problemi matematici, si tratta della concezione "convenzionalista" che
riduce i numeri a segni. Ma siccome di questi problemi non ne capisco
una mazza, fatico tremendamente a cercar di raccapezzare un senso
nelle definizioni convenzionaliste, e odio copiare quello che non
capisco, quindi lascio il compito di spiegarle - e di correggere
eventuali cappelle nel mio riassuntino, a chi conosca la matematica
meglio di me, se ne ha voglia :-)
Saluti da Bhisma
-- 
...e il pensier libero, è la mia fé!

 edo_b
Grazie del post interessante.

concetto astratto a reale.
Mah, qui non ti seguo: anche il concetto di insieme ha un' esistenza
concettuale: posso benissimo definire l'insieme dei triangoli
rettangoli, per esempio, che a loro volta hanno un'esistenza puramente
concettuale, e non mi pare che l'insieme dei triangoli rettangoli
abbia una realtà maggiore o minore dell'insieme "mucche pezzate".
Saluti da Bhisma
-- 
... e il pensier libero, è la mia fé!

 allora avrei accettato, come fai tu, il concetto espresso.
e avresti dovuto.
Ribadisco per l'ennesima volta il concetto:
zero e uno hanno lo stesso livello d'astrazione e sono entrambi suggeriti da 
una "base materiale"
(uso il termine "base materiale" non perchè mi piaccia ma solo perchè è 
quello che hai usato tu).
ciao
feynman 

 feynman 

 Io mi sono trattenuto ad offenderti
ma vai a quel paese deficiente.
ciao
feynman 

:

C'hai messo più di me, ma alla fine l'hai sfanculato pure tu.
Menomale, cominciavo a sentirmi in colpa :o)
Saluti da Bhisma
-- 
... e il pensier libero, è la mia fé!

alcun elemento relativo a quell'insieme.
Quale insieme intendi con "quell'insieme"? Ciao

questi risultano vuoti).
In ogni teoria assiomatica degli insiemi nota, l'insieme vuoto e'
unico. Ciao


http://ares.science.unitn.it/~tullio.garbari/ecc/eccel/assiomi.pdf
in cui si dice appunto che gli insiemi di arance o pere *non* sono
oggetti descritti dalla teoria assiomatica ZFC. Tu conosci teorie
assiomatiche non estensionali degli insiemi in cui ci sono distinti
insiemi vuoti? Ciao

oggetti descritti dalla teoria assiomatica ZFC. 
Non ho capito: cosa c'è che non va in
F = {x:x è un agrume}
A = {x:x è un'arancia}
A è un sottoinsieme di F
Saluti da Bhisma
-- 
... e il pensier libero, è la mia fé!

A è un sottoinsieme di F
in ZFC standard non ci sono i cosiddetti urelementen, cioe' oggetti
che non siano a loro volta insiemi (magari in altre teorie ci sono).
Invece un arancio non e' un insieme. In ogni caso, se queste teorie
sono estensionali, l'insieme vuoto e' unico. Ciao

prima ci siano assenza di arance e nell'altra assenza di mele ?
Il fatto e' che l'insieme vuoto *non serve* per strutturare situazioni
del genere. La struttura piu' naturale e' il quadrato cartesiano NxN
dove nella prima coordinata metto il numero di arance e nella seconda
quello di mele. La prima situazione e' (0,y) e l'altra (x,0), dove x e
y sono naturali qualsiasi e 0={}. NB: ne' (0,y) ne' (x,0) sono
l'insieme vuoto, neppure se x=y=0={}. Ciao.

 Confermo che non ho alcun dubbio che tu intendessi quello.
Certo, godiamo tutti delle nozioni di insiemistica di feynman:
 > 1) Se conti i sassi allora non c'è materia.
"come no, c'è l'aria nella scatola.
ma l'assenza del sasso equivale allo zero."
"queste sono le basi dell' aritmetica"
Il virgolettato è di feynman.
Tra un po' mi si dirà che sono il migliore amico di AB e che dichiaro al 
mondo l' esistenza di omini verdi. Scommettiamo?

 privo di senso
In parole povere esiste o no questo "concetto matematico deducibile da 
qualcosa di non materiale"?

Invece un arancio non e' un insieme.
Boh, prendo atto, e vedo del resto che anche altre teorie assiomatiche
pongono questo.
Però resto perplesso, perché wikipedia a parte (che non è un mostro di
precisione, ma l'errore sarebbe marchiano) vedo che in logica e anche
in altre scienze, gli insiemi di "urelementen" sono largamente usati
Domanda (che di insiemistica ho appena appena un'infarinatura): 
Magari questo uso di oggetti non a loro volta insiemi è consentito
nella cosiddetta "teoria ingenua" degli insiemi?
Oppure si tratta di una confusione terminologica, per cui in logica ed
in altre discipline si chiama insieme anche una collezione che in
senso matematico stretto non lo è, tipo diagrammi di Venn o che so io?


senso matematico stretto non lo è,
E' legittimo chiamarle insiemi, anche se non si tratta di insiemi
numerici. Ciao

sistemare rigorosamente i concetti del transfinito.
Mh, interessante: a questo punto mi pare che persino la matematica sia
costretta a riadeguare le teorie a seconda del problema indagato, e
che si possano definire teorie diverse sullo stesso problema... tanti
saluti alla cristallina universalità iperurania persino in matematica,
allora... 


 edo_b