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Titolo: Alpi e trigonometria...

Questa mail non č uno scherzo.
Vi trovate ad una altezza di 1000mt slm.
Tracciando una linea retta su una mappa intersecate, dal vs punto di
osservazione, (con 1 grado di margine) le seguenti cime:
Cima A di 2551 mt a circa 48 km in linea d'aria.
Cima B di 2790 mt a circa 55 km in linea d'aria.
Cima C di 3371 mt a circa 72 km in linea d'aria.
La cima A la vedete certamente (č in primo piano).
Quella che appare dietro secondo voi č la B o la C?
Non č un indovinello, ma un dubbio che ho ogni volta che cerco di
ricostruire su una mappa la vista da una qualunque cima...
 
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 Quella che appare dietro secondo voi è la B o la C?
Se in un primo momento trascuriamo la curvatura terrestre la linea
immaginaria che unisce i nostri occhi con la cima A permette di vedere cime
superiori a:
2777 m a 55 km di distanza
3326 m a 72 km di distanza.
(altezze di poco inferiori alle cime da te nominate)
Quindi, tenendo conto della curvatura terrestre, mi sa che vedi solo la cima
A
Per quanto riguarda la curvatura non ho fatto nessun calcolo, (anche perche'
non me li ricordo piu' :-), e' solo un impressione.
Considera che, sempre senza considerare la curvatura, se la cima B e' a
55,396 Km allora le cime sono perfettamente allineati e quindi non vedi la
cima B.
L'allineamento con la cima C si ha ad una distanza di 73,377 Km
Ciao
  1 Stefano e fondamenti di algebra e geometria

mmh... mi dai la formuletta che applichi per favore?: mi interessa!!!
grazie!!



Considerando un sistema di riferimento cartesiano (x,y), cosiderati i punti
P,A,B,C di coordinate:
P(0;1000) (e' dove sei tu)
A(48000;2551)
B(55000;2790)
C(72000;3371)
la retta che unisce P con A ha equazione:
y = 0.0323125x + 1000
se sostituisci ad x il valore 55000 (ascissa del punto B) ottieni
y = 2777
se sostituisci ad x il valore 72000 (ascissa del punto C) ottieni
y = 3326
Per determinare l'equazione
y = 0.0323125x + 1000
si opera in questo modo:
l'equazione generica di una retta e'
y = ax + b
Sostisuisco i valori del punto P nell'equazione e ottengo
1000 = 0 + b
da cui
b = 1000
Sostisuisco i valori del punto A nell'equazione e ottengo
2551 = a*48000 + 1000 -->
a = (2551 - 1000)/48000 -->
a = 0.0323125
Quindi l'equazione e'
y = 0.0323125x + 1000
Ciao
  Stefano

   1 Stefano e fondamenti di algebra e geometria


Le vedi tutte e due.
Ho fatto un disegnino con il cad.
ciao

 P,A,B,C di coordinate:
[...]
...questi giorni sto passando in media 7-8 ore al giorno su Excel per
l'esame di costruzioni idrauliche ...allora per rilassarmi un attimo penso
bene di leggere qualche post su ISM e che cosa ti trovo?...un bel promemoria
del corso di Topografia...
...grazie di cuore :-)))))
Emno

 ciao
Sapevo che la "zampata" risolutiva dell'Ing. non si sarebbe fatta
attendere...
Ciao John Pit!
schen
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Quella che appare dietro secondo voi è la B o la C?
Ho tentato di impostare i calcoli in maniera scientifica ed ho
ottenuto quanto segue.
Se le cime fossero perfettamente allineate, non potresti vedere ne' B
ne' C.
Se non lo sono, e' piu' probabile vedere la cima B.
Come c'e' scritto nei piu' bastardi libri di matematica: "La
dimostrazione viene lasciata al lettore come esercizio"
Baco
PS: comunque sarebbe meglio interpellare un geometra

dimostrazione viene lasciata al lettore come esercizio"
LOL
Ciao
Emilio 

 ha scritto nel messaggio
news:066a31ca3628db1abcc...@mygate.mailgate.org...


 ricostruire su una mappa la vista da una qualunque cima...
e' un problema che mi sono spesso posto anche io, ho quindi cercato una
semplice correlazione da tenere a mente (durante le escursioni non mi
porto dietro calcolatrice con relativo software ...) per approssimare la
linea dell'orizzonte (e tenere quindi conto della curvatura terrestre), la
correlazione che impiego mi segnala se tra due punti di cui conosco
altezza (h1, h2 in metri) e distanza (in Km) c'e' visibilita' :
distanza max, linea orizzonte (in Km) = 3.5 * (sqr(h1) + sqr(h2))  
il nome sqr sottintende la radice quadrata
L'approssimazione e' grossolana e non tiene conto degli effetti di
diffrazione etc. pure presenti tuttavia ha il vantaggio che e' facile da
ricordare ed applicare.
Si presta ad una interessante elaborazione e cioe', dato un monte ad una
distanza definita (in Km) quant'e' l'altezza non visibile (posta sotto la
linea dell'orizzonte) ?
h = d(Km)^2 / ~12
per esempio di una montagna posta circa a 100 Km non vedremo i primi 800
mt , e cosi' via
Nel caso da te indicato possiamo assumere (semplificando grossolanamente)
di innalzare artificiosamente il piano dell'orizzonte sino alla quota
della cima A (l'ostacolo principale) sicuramente visibile, quindi ne
deriva per la cima B :
distanza max (Km) = 3.5 * (sqr(2790-2551))
viene fuori un valore di circa 50 Km, cioe' sembrerebbe che se la distanza
tra cima A e cima B (poste sullo stesso asse visivo) e' maggiore di circa
50 Km la cima B non si dovrebbe vedere, siccome e' ben piu' vicina la
dovremmo vedere...
Lascio a te i rimanenti esercizi ...
N.B. tieni conto che le approssimazioni introdotte con questo metodo sono
piuttosto grossolane, se i tuoi esercizi li puoi fare a casa con un buon
software i risultati saranno sicuramente piu' accurati,
Roberto


 > Vi trovate ad una altezza di 1000mt slm.
mi accorgo adesso che supponevi di trovarti ad una altezza di 1000 mt
(nella mia risposta avevo ritenuto ti trovassi alla stessa altezza della
cima A, ah, la stanchezza serale...) , i calcoli cambiano perche' bisogna
tener conto che trovandoti ad una altezza inferiore dell'ostacolo
principale (la cima A) non potrai vedere punti al di sotto del piano che
unisce il tuo punto di osservazione con la cima A, non considerando gli
effetti di diffrazione si puo' applicare la semplice equazione della retta
(quindi una proporzione diretta) per calcolare a distanze crescenti (dalla
cima A) l'altezza del tratto non visibile, quindi se la distanza tra il
tuo punto e la cima A e' di 48 Km e il dislivello e' di circa 1500 mt
significa che una montagna posta 7Km (e' il caso della cima B) DOPO la
cima A dovra' essere almeno piu' alta di 7 * 1500 / 48 ~ 200 mt cui
bisogna aggiungere l'effetto della curvatura terrestre (vedi precedente
messaggio) il cui contributo puoi approssimare in circa :
h = d(Km)^2 / ~12
cioe' probabilmente trascurabile, in definitiva dovresti vedere almeno la
cima B, per la cima C non ho tempo :- ))



eh eh... secondo me ti sei divertito coll'Autocad... direi
che vedi B ma non C, tuttavia la differenza e' cosi' piccola
che probabilmente le 3 cime sono allineate...
supponiamo che le 3 distanze d siano prese sulla superficie
terrestre che e' curva, cosicche' esprimo l'angolo in
radianti rispetto al centro della terra come d/R (R=raggio
terrestre = km. 6360 circa). La "perdita di quota" c dovuta
alla curvatura e' data con buona approssimazione da
c = d^2/(2*R), essendo gli angoli d/R sufficientemente
piccoli per arrestare lo sviluppo del coseno al termine di
2° grado. Quindi m.181 per A, m.238 per B e m.407 per C
(come si vede non sono quantita' trascurabili).
Adesso trascurando la divergenza dei 3 raggi terrestri,
sempre perche' i 3 angoli sono piccoli, basta calcolare le
pendenze delle rette PA, PB e PC (P punto di vista a 1000 m.
slm) in questo modo:
(h-c-1000)/d    e abbiamo:
per A: (1551-181)/48.000 = 0,02812
per B: (1790-238)/55.000 = 0,02822
per C: (2371-407)/72.000 = 0,02727
quindi si dovrebbe vedere B ma non C, tuttavia le differenze
sono cosi' piccole che probabilmente bisogna tener conto
anche del termine di 4° grado, che adesso non ho voglia di
calcolare, e delle altre approssimazioni fatte, cosi' non mi
stupirei che le 3 cime fossero perfettamente allineate.
Forse e' meglio fare un bel disegnino con un
simil-Autocad...
il barbi

per A: (1551-181)/48.000 = 0,02812
Oh barbi: hai la calcolatrice con le batterie a terra!
(1551-181)/48.000 = 0.02854
Devi rivedere le conclusioni.
Baco

 Mau, che ti serve tutto ciò?
Sono irresistibilmente attratto a dare un nome a TUTTO ciò che emerge come
cima sull'orizzonte... 


 per C: (2371-407)/72.000 = 0,02727
A parte l'errore di calcolo su A mi sembra che il tuo ragionamento sia
perfetto, ed anche l'unico che considera la curvatura: sei certo che ci
sia un'abbassamento così notevole a causa della curvatura? mi sembra
veramente elevata...
I risultati che ottieni (0,02812 etc.) sono gradi?
Quindi essendo 0,02822° > di 0,02727° significa che B copre C?
Interpreto bene il risultato ?
Grazie



...gulp...vabbe' allora A copre B e C, i quali pero' si
sporgono uno a dx e uno a sx...
il barbi


Questa risposta non e' uno scherzo.
Ho messo una croce alta 120 metri sulla cima B e un minareto alto 315 metri
sulla cima C, cosi' si vedono entrambe.
ciao :-)
sherpa
PS  Tanto l'elicottero non ci puo' atterrare perche' quelli del soccorso
alpino non sanno dove sono le cime B e C...


no, sono i coefficienti angolari delle rette PA,PB e PC,
cioe' la pendenza, ad es. 0,02812 vuol dire pendenza del
2,8%
il barbi

 Quella che appare dietro secondo voi è la B o la C?
non e' chiaro se ti interessa l'aspetto teorico del calcolo, assumendo
quindi una terra sferica, che i raggi luminosi percorrano delle linee rette,
che le distanze specificate tra le cime risultino pari ai segmenti di retta
che le uniscono e infine che gli occhi dell'osservatore abbiano il potere
discriminante del telescopio di monte Palomar, allora basta identificare
l'intersezione con l'asse verticale di A del segmento di retta che unisce la
cima B con l'osservatore, si scopre quindi che l'altezza max della cima A
affinche' la cima B sia visibile all'osservatore deve essere inferiore a
2535,85081 mt, nel nostro caso e' superiore quindi la cima B non e' visibile
, con lo stesso criterio si puo' identificare il punto di intersezione del
segmento che unisce la cima C con l'osservatore, si scopre quindi (vedi
precednti assunzioni) che affinche' la cima C sia visibile dall'osservatore
la cima A non deve superare l'altezza di 2490,39097 mt  (essendo superiore
la cima C non e' visibile), i calcoli sono stati eseguiti (c'e' solo una
formula, peraltro abbastanza semplice) con una calcolatrice HP48.
Tuttavia le cose non sono cosi' semplici, ad esempio a causa di una serie di
fenomeni (diffrazione etc.) i raggi luminosi non sembrano percorrere linee
propriamente rette nell'atmosfera,  poi l'approssimazione della forma della
terra si presta ad infinite discussioni, infine dubito molto che gli occhi
dell'osservatore (pur se aiutati da un buon binocolo) riescano a
discriminare ad una distanza di 55 Km differenze di pochi metri nei profili
dei monti :-))
Insomma, per rispondere alla tua domanda, la cima B e C non DOVREBBERO
essere normalmente visibili all'osservatore,  e' possibile pero' che in
particolari situazioni di propagazione dei raggi luminosi risultino visibili
:-)))
Saluti