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Titolo: Potenze

Cari amici,
 leggendo un articolo sulle dimensioni dei virus espresse in potenze 
negative di 10, mi è venuto in mente che c'è qualcosa che non va nelle 
definizioni di potenza e nella regoletta per il loro calcolo (prima 
madia).
 Ne prendo due a caso in rete:
 
"Le potenze sono moltiplicazioni ripetute, individuate da due numeri 
detti base ed esponente. Scrivere a elevato n, ossia elevare il numero 
a (la base) a potenza con esponente n, significa *moltiplicare la base 
per se stessa n volte*."
 
 "Chiamiamo potenza ennesima di un numero a *la moltiplicazione* di a 
per se stesso n volte. Tele operazione si indica con..."
 
 Non contesto l'aritmetica, ma l'italiano.: "moltiplicare la base per 
se stessa n volte" significa compiere l'operazione di moltiplicazione n 
volte, e se non sapessi niente lo interpreterei così:
 
 a^0 = a, non moltiplico;
 a^1 = a x a, moltiplico una volta;
 a^2 = a x a x a, moltiplico due volte...
 
 ovviamente è sbagliato, ma forse è la definizione ad indurre in 
errore.
 
 Non sarebbe meglio dire (più o meno) che l'ennesima potenza del numero 
a consiste in una serie di moltiplicazioni di a per se stesso, in cui a 
compare come fattore tante volte quante indica l'esponente?
 
 (pensate che siano vaneggiameti dovuti all'isolamento?)
 
 k

 (pensate che siano vaneggiameti dovuti all'isolamento?)
 
Tocca passare il tempo, in qualche modo ;-)
 
 
-- 
Ci sono 10 tipi di persone al mondo: quelle che capiscono il sistema binario
e quelle che non lo capiscono.

>se stessa n volte" ...
 
andrebbe completata con:
 
"...includendo il primo fattore nel conteggio" :)
 
et voilà!
 
a^3 = a * a * a
------1---2---3
 
il valore della potenza 0 di solito si spiega dopo aver definito la 
divisione di due potenze aventi la stessa base
 
a^3 / a^3 = a^(3-3) = a^0
 
poniamo a=4
 
64 / 64 = 1
 
quindi a^0 = 1
 
 
 
-- 
/-\ /\/\ /\/\ /-\ /\/\ /\/\ /-\ T /-\
-=- -=- -=- -=- -=- -=- -=- -=- - -=-
........... [ al lavoro ] ...........

 Sì, può andare (rimane il problema della Potenza 0).
 
  Ma quello c'è comunque, anche con la regola tradizionale. Si risolve 
solo come ha fatto Ammammata.
 
  k
 P.S. forse la sapete già, ma è carina:
 Il Corona virus si sta chiedendo: "Ma come cacchio fanno queste 
ordinaze a mutare così velocemente?"


Come ti piacerebbe la sostituzione di «sé stessa» con «uno»?
 
       «Elevare una base all'ennesima potenza
       significa moltiplicarla n volte per uno».
 
Tale definizione avrebbe il vantaggio di comprendere a°=1.
 
Ciao,
Wolfgang

       significa moltiplicarla n volte per uno».
 
Secondo questa definizione
 
a^3 = a * 1 * 1 * 1
 
Direi che non va bene.
 
-- 
Sanity is not statistical
 

 Direi che non va bene.
 
Al limite dovrebbe essere:
 
«Elevare una base all'ennesima potenza significa moltiplicare 1 per detta
base n volte».
 
a^3 = 1 * a * a * a



La mia definizione era una stupidaggine. Ti ringrazio per averla 
corretta. Ripeto che è compresa anche la potenza zero: a^0 = 1
 
Ciao,
Wolfgang

  Una volta avevo il correttore, bisogna che lo installi nuovamente.
 
Comincia a correggere l'introduziuone dei tuoi messaggi...  :-)
 
-- 
Ciao,
Roger
--
Vassene il tempo e l'uom non se ne avvede

 compare come fattore tante volte quante indica l'esponente?
 
Io direi che è il prodotto di n numeri tutti uguali ad a.
 
(Ovviamente queste definizioni valgono solo per n intero positivo.
Per gli interi non positivi occorre introdurre il concetto di elemento 
neutro e d'inverso. Si può poi estendere l'operazione ai numeri reali 
preservandone le proprietà.
Il modo più elegante è probabilmente quello di partire dalle definizioni 
di exp e log: a^b = e^{b lna}.)
 
-- 
Kiuhnm
 

a^3 = 1 * a * a * a
 
Mi piace :-)


ordinaze a mutare così velocemente?"
 
:-)
Qui invece il correttore avrebbe potuto agire.


 se ne scrivi un'altra.
 
Vero, ma tra un po' ne vedremo di più intelligenti. "Prima media" è 
molto più frequente di "prima madia". Infatti google ti corregge.
 
-- 
Kiuhnm
 

 Mi piace :-)
 
Non per fare il pignolo, ma moltiplicare 1 per un altro numero n volte 
dà n numeri uguali. Infatti, se si aggiungono le parentesi, si nota che 
non è 1 ad essere moltiplicato n volte per la base:
   (((1*a)*a)*...)
O si dice che a^n è il prodotto di n numeri uguali ad a (e il prodotto 
vuoto dà il neutro), oppure si dice che
   a^0 = 1
   a^n = a*a^{n-1},  n>0
Le definizioni ricorsive sono sempre molto eleganti.
 
-- 
Kiuhnm
 

 Le definizioni ricorsive sono sempre molto eleganti.
 
Della restrizione n>0 si può fare benissimo a meno per estendere la 
predetta ricorsione a potenze negative:
     a^(n-1) = a^n/a
 
Ma queste disquisizioni non tolgono che siano del tutto giustificate 
le riserve di Klaram su una definizione che parla di «n 
moltiplicazioni della base per sé stessa».
 
Ciao,
Wolfgang

 della base per sé stessa».
 
Su questo siamo tutti d'accordo. Noto comunque che in pratica si 
accetta, anche nella ricerca, una prosa non precisissima purché vengano 
fornite le dovute definizioni.
I linguaggi naturali sono inadeguati per parlare di certe cose.
 
-- 
Kiuhnm
 

 serve per dare senso all'operazione di potenza.)
 
Mi è sfuggita la parentesi che avevo inizialmente usato per delimitare 
la parte OT.
 
-- 
Kiuhnm
 

 Mi piace :-)
 
Fa schifo!
Matematicamente a^n per n intero >0 vale a.a.a... (n volte);
per n=0 vale a^0=1, per convenzione, come vale per convenzione,
cioè per necessaria uniformità di calcolo, 0!=1, ì^2 = -1, etc.
 
Bruno

 se stessa n volte*."
 
Data "a" come base e "b" come esponente, la potenza e' quella
operazione che, moltiplica "a" con stesso tante volte
quanto indicato da "b" e per il numero "1".
 
Notare l'importanza nella frase della posizione dei termini.
Ma e' una definizione "speciale" (ovvero ridotta).
 
Cosa accade se "n" non e' intero ?
 
E qui si esce dalla linguistica ...

 Io direi che è il prodotto di n numeri tutti uguali ad a.
 
 Mi sembra che vada bene e mi piace la concisione
 
 k

on 03-04-20, Roberto Deboni DMIsr supposed :

Sì, si esce.
 
Se n non è intero ma è un numero razionale (rappresentabile cioè
con una frazione c/d, allora a^(2/3) = a^(2/3) == (Power[a, (3)^-1])^2,
cioè (radice cubica di a ) elevata alla 2.
 
Se in a^(c/d), c/d è un numero irrazionale, allora
a^(c/d) = AntiLog(c/d Log(a)).
 
Bruno

 Bruno
 
Mmmm... pensavo di rispondere a Klaram
 
Bruno

 Sì, può andare (rimane il problema della Potenza 0).
 
https://it.quora.com/Perch%C3%A9-ogni-numero-diverso-da-zero-elevato-alla-zero-d%C3%A0-sempre-come-risultato-1
 
 
 
-- 
Et interrogabant eum turbae dicentes: “Quid ergo faciemus?”.
Respondens autem dicebat illis: “Qui habet duas tunicas,
det non habenti; et, qui habet escas, similiter faciat”.
(Ev. sec. Lucam 3,10-11)
 
-- 
Questa e-mail è stata controllata per individuare virus con Avast antivirus.
https://www.avast.com/antivirus
 
 

 Sì, può andare (rimane il problema della Potenza 0).
 
Dimostrazione del perché un numero elevato alla potenza 0 è uguale a 1:
 
La divisione tra due potenze aventi la stessa base e diverso esponente
è uguale al risultato di quella base elevata alla differenza degli 
esponenti.
Esempio:
 
2^5 (=32) diviso 2^3 (=8) è uguale a 2^2 (5-3) cioè 4
 
Così 2^5 diviso 2^5 è uguale a 2^0 (5-5).
Poiché ogni numero diviso per sé stesso è uguale a 1 cosi 2^0 è uguale 
a 1.


a 1.
 
Interessante :-)


 Poiché ogni numero diviso per sé stesso è uguale a 1 cosi 2^0 è uguale a 1.
 
In realtà non è proprio una dimostrazione. Le estensioni delle 
operazioni vengono fatte in modo che siano "regolari" e che vengano 
mantenute più proprietà possibili.
Per es. non c'è accordo sul caso 0^0. Qualcuno lo ritiene indefinito, 
altri dicono che deve valere 1, ecc...
In altre parole, non puoi /dimostrare/ che x^0 = 1 per x!=0. 
Tecnicamente, quello che puoi dimostrare è che con tale scelta allora la 
regola x^{a+b} = x^a + x^b viene preservata.
Comunque è la scelta più ovvia visto che si va a destra moltiplicando 
per x e quindi a sinistra dividendo per x:
  ... 1/(x^n) ... 1/(x^2) 1/x 1 x x^2 ... x^n ...
Per x=10 abbiamo il nostro sistema decimale con
   ... centesimi decimi unità decine centinaia ...
 
-- 
Kiuhnm
 

 dicono che deve valere 1, ecc...
 
 Come fa 0^0 a valere 1?
 La proprietà che giustifica a^0=1, con a diverso da 0 (ossia a^2:a^2 = 
a^(2-2)=a^0=1), non si può applicare, perché la parte che dice che un 
numero diviso per se stesso dà 1, dice anche che il numero deve essere 
diverso da zero. Non è meglio dire che è indeterminato?
 
 k

 regola x^{a+b} = x^a + x^b viene preservata.
 
x^{a+b} = x^a x^b
ovviamente.
 
-- 
Kiuhnm
 

 diverso da zero. Non è meglio dire che è indeterminato?
 
Ci sono altre importanti proprietà che verrebbero mantenute solo con 0^0 
= 1:
1. teorema binomiale
   (1+x)^n = sum_{k=0}^n bin(n,k) x^k
2. 1/(1-x) = sum_{n=0}^inf x^n
3. e^x = sum_{n=0}^inf (x^n)/(n!)
4. d/dx x^n = n x^{n-1}
 
1.
Il teorema binomiale è piuttosto intuitivo.
Consideriamo n=3:
   (1+x)^3 = (1+x)(1+x)(1+x) = 1 + 3x + 3x^2 + x^3
Chiaramente, i termini possibili sono del tipo
   1, x, x^2, x^3
Per i coefficienti basta un po' di combinatoria.
Per es. in quanti modi posso ottenere x^2? In 3 modi. Con riferimento 
all'espressione (1+x)(1+x)(1+x), posso ottenere x^2 scegliendo la prima 
e seconda x, la prima e terza x, o la seconda e terza x, quindi ci sono 
3 modi.
Se avessimo (1+x)^4 allora potremmo scegliere x^2 in 6 modi: 
[visualizzare con passo fisso, se possibile]
(1+x)(1+x)(1+x)(1+x)
   1    2
   1         3
   1              4
        2    3
        2         4
             3    4
Il binomiale bin(n,k) è definito come il numero di modi in cui si 
possono scegliere k oggetti tra n oggetti. Quindi bin(4,2) = 6, cioè si 
possono scegliere 2 "x" tra 4 "x" in 6 modi, come mostrato sopra.
Questo giustifica la formula.
 
Aggiungo che
sum_{k=0}^n bin(n,k) x^k
è la somma dei termini "bin(n,k) x^k" per ogni k da 0 ad n, cioè:
   bin(n,0) x^0 + bin(n,1) x^1 + ... + bin(n,k) x^k.
 
Ecco la parte importante.
Per x = 0, (1+x)^n = 1^n = 1.
Il teorema dà
   sum_{k=0}^n bin(n,k) 0^k =
     bin(n,0) 0^0 + bin(n,1) 0^1 + ... =
     0^0 + 0 + ...
bin(n,0) = 1 poiché esiste un solo modo per scegliere 0 oggetti tra n (è 
il sottoinsieme vuoto; tecnicamente si scelgono sottoinsiemi). Quindi 
affinché il teorema sia valido per x = 0 si deve avere 0^0 = 1
 
2.
1/(1-x) = sum_{n=0}^inf x^n
cioè
1/(1-x) = x^0 + x^1 + x^2 + x^3 + ...
Questa volta salto la semplice dimostrazione perché la formula, a 
differenza del binomiale, dovrebbe essere chiara.
Come prima, per x = 0 abbiamo
   1 = 0^0 + 0 + 0 + ...
quindi, affinché valga, si deve avere 0^0 = 1.
 
3.
e^x = sum_{n=0}^inf (x^n)/(n!)     [e=2.71828...]
cioè
e^x = x^0 + x + x^2/2 + x^3/6 + ...
poiché n! = n(n-1)...1, cioè
   3! = 3*2*1       [3 fattoriale]
   5! = 5*4*3*2*1   [5 fattoriale]
n! è il numero di modi in cui si possono disporre n oggetti, poiché si 
può scegliere il primo in n modi, il secondo in n-1 modi (perché ne 
restano n-1 tra cui scegliere), il terzo in n-2 modi, e così via fino 
all'ultimo che si può scegliere in un solo modo perché è l'unico 
rimasto, ovviamente.
La dimostrazione per e^x richiede il concetto di limite trattandosi di 
una somma infinita, quindi sorvolo. Per chi sa, quella è l'espansione di 
Taylor con centro in 0.
 
La parte importante è che per x = 0, si ha
   e^0 = 1 = 0^0 + 0 + 0 + ...
e quindi 0^0 = 1.
 
4.
d/dx x^n = n x^{n-1}
Questa è una proprietà delle derivate.
La derivata di x^2 è 2x^{2-1} = 2x^1 = 2x.
Anche qui sorvolo. Chi sa sa e per gli altri esistono i libri :)
Per n = 1, si ha
d/dx x = x^0
cioè
1 = x^0
poiché la derivata di x è 1. Quest'espressione è sempre (cioè per ogni x 
reale) vera se e soltanto se 0^0 = 1.
 
In generale si sceglie 0^0 = 1 in combinatoria (teorema binomiale, 
ecc...) e lo si lascia indefinito in analisi (studio di funzioni, 
ecc...) con le dovute eccezioni (ogni autore può fare quello che gli 
pare, purché la scelta porti evidenti benefici).
 
-- 
Kiuhnm
 

 [...]

Mai visto una presentazione così concisa e così bene comprensibile 
dei motivi per la scelta 0^0 = 1.
 
Neanche mai visto una notazione tanto intuiva e comprensibile delle 
formule matematiche con un insieme di caratteri tanto limitato.
 
Insomma una cosa mirabile e ammirabile - tantissime grazie!
 
Ciao,
Wolfgang


Uffa... l'ultimo termine è bin(n,n) x^n, visto che k va da 0 ad n.
 
-- 
Kiuhnm
 

 Insomma una cosa mirabile e ammirabile - tantissime grazie!
 
Troppo buono :)
 
-- 
Kiuhnm
 

 Uffa... l'ultimo termine è bin(n,n) x^n, visto che k va da 0 ad n.
 
Sai per caso come si dice «n su k» in inglese?
 
Ciao,
Wolfgang

 Insomma una cosa mirabile e ammirabile - tantissime grazie!
 
:-)


 Ci sono altre importanti proprietà che verrebbero mantenute solo con 0^0 = 1:
 
 Grazie Kiuhnm, è chiarissimo.
 
 Tornando a cose più intuitive, mi ricorda in fisica la teoria 
ondulatoria e quantistica della luce.
 
 k

 :-)
 
 Beh, era ovvio che argomenti del genere non possono essere trattati 
con il buon senso da bar, e che se non c'è accordo tra i matemetici 
significa che non si può dimostrare formalmente e definitivamente, 
tanto meno in modo semplice e intiutivo.  :))
 
 k

 :-)
 
Credi che le mie parole esaltanti fossero intese ironiche?
 
Sebbene le spiegazioni non contengano niente di nuovo, sono da 
esaltare la concisione, la comprensibilità anche e soprattutto per i 
non matematici, e la notazione nonostante i limiti dettati da un 
formato del tutto inetto a rappresentare formule matematiche.
 
Tanto per fare un esempio, la notazione b(k,n) per «k su n» si 
capisce subito senza alcuna spiegazione. Anche "sum_{k=0}^n" come 
surrogato della sigma grande mi è piaciuto tanto.
 
Non basta intendersi di una scienza. Si deve anche essere capaci di 
divulgare le proprie conoscenze, e il nostro amico Kiuhmn dispone di 
questa capacità.
 
Tutto sommato, non vedo alcun motivo di ironizzare con una faccina 
le mie parole esaltanti.
 
Ciao,
Wolfgang


"n choose k"
 
-- 
Kiuhnm
 


Te lo dico in modo più esplicito. Se, nella tua ricerca, porre 0^0=1 
semplifica teoremi e definizioni, allora ha senso porre 0^0=1. Se ti 
ritrovi spesso a scrivere una formula per il caso x!=0 e un'altra per 
x=0 quando definire 0^0=1 unificherebbe i due casi, allora ha senso 
definire 0^0=1.
Se a volte ti serve 0^0=0 e altre volte 0^0=1, come capita in analisi, 
allora è meglio lasciarlo indefinito perché creerebbe soltanto confusione.
 
-- 
Kiuhnm
 


Uhm... io direi n over k


 Uhm... io direi n over k
 
nel senso di n/k


 Uhm... io direi n over k
 
Per il binomiale ho sempre sentito e detto "n choose k". "n over k" di 
solito si usa solo per il rapporto n/k.
 
-- 
Kiuhnm