Newsgroup: it.cultura.linguistica.italiano
Titolo: [FT] 0,(9) == 1

Piergiorgio Odifreddi tratta della questione
in oggetto nella sua rubrica fissa della rivista "Le Scienze",
proprio sul numero del giugno scorso (n.490).
Chi fosse interessato si rechi presso la biblioteca piï¿œ
disponibile e consulti.
Si parla anche di altre cose interessanti.
Incipit:
ï¿œUna della proprietï¿œ matematiche che piï¿œ lasciano perplessi
studenti e non addetti ai lavori ï¿œ che 0,9999... sia uguale a
1. In altre parole, la rappresentazione decimale di un numero
puï¿œ non essere univoca, ...ï¿œ
-- 
ï¿œï¿œï¿œ
 O 

 proprio sul numero del giugno scorso (n.490).
Come mai tanto interesse? Obiettivamente mi pare un argomento tedioso.
-- bb

 ha scritto nel messaggio
news:h7729v$bf2$1...@tdi.cu.mi.it...


Forse l'interesse ï¿œ di tipo filosofico ed esistenziale: non qualcosa di
infinitamente grande (forse fuori dall'orizzonte dell'uomo), ma qualcosa che
si ripete continuamente uguale a sï¿œ stesso e che non finisce mai, mentre
cerca di avvicinarsi a una meta realisticamente impossibile da raggiungere.
In realtï¿œ, 1,(9) palle!
Epi
---
"...l'infinito sai cos'ï¿œ?
L'irraggiungibile fine o meta che
rincorrerai per tutta la tua vita.
Ma adesso che farai?
Adesso io non so...
infiniti noi...
So solo che non potrï¿œ mai finire, mai,
ovunque tu sarai,
ovunque io sarï¿œ,
non smetteremo mai..."
http://www.youtube.com/watch?v=dm65dJqweTg
(cit. ripetitiva, ma gratificante)

Barone Barolo ha scritto:

  Io credo che l'altro filone sia anche abbastanza OT.
  Quanto al tedio, dipende dall'interesse. Se manca tutto ï¿œ tedioso, 
anche la linguistica e la dialettologia. :-)
k

 anche la linguistica e la dialettologia. :-)
A me sono molto piaciute queste digressioni scientifiche, matematiche e 
informatiche.
Forse ogni tanto fa anche bene variare un po'! :)

 "Le Scienze", (..)
Mi sembra un ottimo motivo per tenersi alla larga da "Le Scienze".

Gennaro 15:38, venerdï¿œ 28 agosto 2009 :

Meglio Famiglia Cristiana dici?
:-)


 pu� non essere univoca, ...�
Hai capito perch�? Ti ricordi come si trovano le frazioni generatrici dei
numeri periodici?
Verificalo ad es. con 3.02(25)
Buon divertimento e cordiali saluti,
Giuseppe
-- 
http://giuseppedecesaris.blogspot.com
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

"Gennaro" <MC7...@MCLINK.IT.HELL> ha scritto nel messaggio
news:h78mm4$6tf$1...@newsreader1.mclink.it...

Un altro "umanista" che si vanta: "Io, di matematica, non ho mai capito 
niente!" ?
S.S.S.

 puï¿œ non essere univoca, ...ï¿œ
Che 0,(9) sia uguale a 1 credo se ne possano convincere facilmente anche
coloro che - come dice Sapiens - si fanno un vanto di non aver mai capito
nulla di matematica. Quelli che "perï¿œ in italiano vanno (andavano) bene".
Infatti anche costoro dovrebbero saper fare una divisione, e se gli si fa
dividere 1 per 3 puï¿œ darsi che dopo aver scritto 0,333333... con una
trentina di cifre decimali abbiano una illuminazione e si rendano conto che
il 3 nel 10 ci sta sempre 3 volte col resto di 1, sicchï¿œ per scrivere quel
numero bisognerebbe mettere uno dietro l'altro un numero infinito di "3".
Una volta che ci sia convinti che 0,333333... ï¿œ 1 diviso 3, cioï¿œ 1/3:
1/3 = 0,333333...
allora basta moltiplicare entrambi i membri per 3 ed il gioco ï¿œ fatto:
3*1/3 = 3*0,333333
da cui:
1 = 0,999999...
Dal momento che tale relazione puï¿œ essere facilmente compresa anche in modo
intuitivo, mi sembra piï¿œ interessante cercare di analizzare il "dialogo" fra
la cultura scientifica e quella umanistica nel momento in cui si debbano
esprimere in modo chiaro e rigoroso quei puntini di sospensione.
Come dicevo, siamo in un caso in cui anche chi abbia poca dimestichezza con
la matematica ad un certo punto, nel dividere 1 per 3, ï¿œ in grado di dire:
ï¿œ...e cosï¿œ viaï¿œ, avendo in testa l'atto di aggiungere uno dopo l'altro un
numero infinito di "3".
Ma che cos'ï¿œ un "numero infinito di 3"? Ha senso parlare di un "numero
infinito"? O non si tratta piuttosto di un ossimoro? E anche ammesso che una
tale espressione abbia senso, chi ci assicura che un numero come questo
possa essere poi moltiplicato di nuovo per 3, e che 3 moltiplicato per
0,333333... faccia effettivamente 0,999999...? Anzi, visto che poi salta
fuori che 0,999999... ï¿œ uguale a 1, e visto che 0,333333... era stato
ottenuto dividendo 1 per 3, non sarebbe piï¿œ ragionevole pensare che
0,333333... molplicato per 3 faccia proprio 1, e non 0,999999...?
Per rispondere a tutte queste domande bisogna appunto cercare di definire
in modo chiaro e rigoroso quel ï¿œ...e cosi viaï¿œ a cui finora siamo giunti
solo intuitivamente.
Tanto per cominciare, come facciamo ad esprimere quel ï¿œ...e cosï¿œ viaï¿œ senza
nominare l'"infinito" (il che ci porrebbe nella imbarazzante condizione di
dover poi definire l'"infinito")?
Il primo matematico che ï¿œ riuscito a compiere questa impresa, dopo secoli
di tentativi andati a vuoto, ï¿œ stato Cauchy, il quale ha definito in modo
rigoroso il concetto di limite.
Ecco, la vera differenza fra la cultura scientifica e la quella "umanistica"
sta proprio nella volontï¿œ e nella capacitï¿œ di definire i concetti in modo
chiaro e rigoroso. La differenza fra lo scienziato e l'umanista non ï¿œ dunque
che il primo ha imparato a memoria che il quadrato costruito sull'ipotenusa
ï¿œ pari alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, e invece il secondo se
lo ï¿œ dimenticato dopo aver fatto l'ultimo compito in classe di matematica,
molti anni prima. Anzi, una volta ebbi l'onore di conoscere un grande
matematico il quale mi disse che un matematico ï¿œ tanto piï¿œ bravo quante
meno sono le formule che si ricorda. Egli, infatti, si ricordava non tanto 
delle
formule, quanto i ragionamenti, spesso dei veri e propri colpi di genio, che
avevano consentito a qualcuno di ricavare quelle formule, e cosï¿œ quando gli
serviva una formula non faceva altro che ricavarsela lï¿œ per lï¿œ.
Anche io, nel mio piccolo, non ho sempre sulla punta della lingua, che so,
la definizione di limite in tutti i vari casi che si possono presentare
(limite di una successione, di una funzione di variabile reale, di una
serie, limite negli spazi metrici o in quelli topologici, eccetera), e mi
limito a ricordare qual ï¿œ stato il "colpo di genio" di Cauchy che ha
permesso di sbloccare la situazione, sicchï¿œ di volta in volta non faccio
altro che applicare un certo ragionamento alle particolari circostanze in
cui mi trovo.
Cosï¿œ se intuitivamente mi viene da dire che 0,999999... "si avvicina sempre
di piï¿œ" a 1 quando si prenda un numero via via maggiore di cirfre decimali
tutte uguali a "9", ecco, se intuitivamente mi viene da dire qualcosa del
genere, allora mi chiedo: ï¿œCome avrebbe fatto Cauchy ad esprimere in modo
rigoroso quel "si avvicina sempre di piï¿œ"?ï¿œ, e nel momento in cui mi pongo
questa domanda cominciano ad affacciarsi alla mia mente tutte le
"formulette" che servono.
Ma d'altra parte faccio esattamente la stessa cosa quando affronto un
problema di linguistica o di fonetica. Ad esempio per quel che riguarda
la fonetica io ricordo solo alcune "idee geniali", come quella di ripartire
l'insieme di tutti i foni articolabili in delle classi di equivalenza, che i
linguisti chiamano fonemi. A partire da questa idea, che ï¿œ assolutamente
geniale nella sua semplicitï¿œ, ricavo di volta in volta tutto ciï¿œ che mi
occorre per affrontare il caso particolare. Cosï¿œ saltano fuori le cosiddette
coppie minime eccetera eccetera. Non solo, ma l'idea di ripartire i foni
articolabili in classi di equivalenza puï¿œ ovviamente estendersi anche ai
segni, e cosï¿œ salta fuori il concetto di grafema.
L'atteggiamente mentale ï¿œ sempre lo stesso, con tutti i suoi limiti e i suoi
vantaggi. Sï¿œ, perchï¿œ questo atteggiamento ha anche dei limiti. Io ad esempio
ho sempre avuto bisogno di ricavarmi tutto di nuovo e da solo. Se leggo che
il quadrato costruito sull'ipotenusa ï¿œ pari alla somma dei quadrati costruti
sui cateti, non mi do pace finchï¿œ non sono riuscito a dimostrarlo a modo
mio, in un modo che a me appaia assolutamente "evidente". Parimenti se
l'insegnante di italiano mi spiega in un certo modo che cosa siano il
soggetto, il complemento oggetto, il complemento di specificazione eccetera,
e quella spiegazione mi appare poco chiara o poco rigorosa, io non mi do
pace finchï¿œ non sono riuscito a riformularla a modo mio, anche a costo di
imboccare una lunga serie di vicoli ciechi che possono mettere a dura prova
la pazienza del povero insegnante di lettere :-)
Ma, lo ripeto, l'atteggiamento mentale ï¿œ sempre lo stesso. Se mi chiedo
quale funzione grammaticale svolgano quelle particelle atone che appaiono
obbligatoriamente prima del verbo in quasi tutti i dialetti settentrionali,
o mi chiedo quale sia il campo elettromagnetico prodotto da una carica in
moto, o mi chiedo fino a che punto i prezzi applicati dalla mia azienda
possano avvicinarsi ai costi marginali, la risposta viene costruita sempre
secondo le stesse modalitï¿œ. Tant'ï¿œ che nella mia mente la suddivisione delle
discipline appare una cosa piuttosto artificiosa. L'unica suddivisione che
mi appare sensata ï¿œ quella basata sulla esperienza personale. Cosï¿œ, ad
esempio, io in vita mia ho passato poco tempo a riflettere sulla grammatica,
per cui quando ragiono sulla grammatica mi capita molto piï¿œ spesso di
prendere delle cantonate di quanto mi capiti se ragiono su altri problemi
attorno ai quali ormai ho preso da tempo tutte le cantonate che si potevano
prendere. In questo sono certamente d'accordo con Bohr, il quale, quando
gli chiesero chi potesse essere considerato "esperto" in un certo campo,
rispose: ï¿œL'esperto ï¿œ una persona che ha fatto in un campo molto ristretto
tutti i possibili erroriï¿œ.
Tenuto conto di tutto ciï¿œ, non ï¿œ tanto il corso di laurea a fare la
differenza fra una mentalitï¿œ scientifica e altre mentalitï¿œ. Ci sono degli
studiosi di linguistica che hanno una mentalitï¿œ prettamente scientifica,
cosï¿œ come ci sono purtroppo degli scienziati di professione che hanno un
atteggiamento "bigotto" nei confronti della loro disciplina e di tutto ciï¿œ
che studiano, sicchï¿œ il loro ideale sarebbe quello di ricevere un certo
"canone" dalle generazioni precedenti per trasmetterlo pressochï¿œ inalterato
alle generazioni successive.
Non solo, ma anche fra gli scrittori c'ï¿œ chi ha la mentalitï¿œ del
"ricercatore" e chi invece si rivela "bigotto". Ad esempio nella
straordinaria ricerca linguistica compiuta da David Foster Wallace
si sente sempre il respiro profondo della sua laurea in filosofia con
specializzazione in logica modale e matematica. Che dire poi dell'"ingegner"
Carlo Emilio Gadda? E chi, se non l'"ingegner" Rober Musil avrebbe potuto
scrivere quell'incipit cosï¿œ sublime per descrivere una ï¿œuna bella giornata
d'agosto dell'anno 1913ï¿œ? Un incipit che, si badi bene, non ï¿œ un banale
sfoggio di cultura scientifica, ma ï¿œ un capolavoro di ironia (ï¿œInsomma, con
una frase che quantunque un po' antiquata riassume benissimo i fatti...ï¿œ),
la quale ironia nelle pagine successive verrï¿œ ferocemente diretta contro
la retorica ufficiale della _kaiserlich und kï¿œniglich Doppelmonarchie_.
-- 
Saluti.
D. 

 "perï¿œ in italiano vanno (andavano) bene".
Mah, io la vedo cosï¿œ: la notazione periodica ï¿œ una semplice
"stenografia" per indicare una frazione, quindi tutto il
discorso non mi interessa piï¿œ di tanto.
Ossia, io prendo per dato, assiomaticamente, che le due
scritture rappresentano lo stesso numero.
Se sbaglio, pazienza.
[zac! zac! zac! zac! zac! zac! zac! zac! zac! zac!...]
(taglio periodico di messaggio infinito)


Che 0,(9) sia uguale a 1 credo se ne possano convincere facilmente...
E' sufficiente chiedersi quanto fa 1 meno 0,(9)
Il risultato, che sar� non negativo, � per forza pi� piccolo di
qualsiasi numero positivo (per quanto piccolo) si possa ipotizzare:
quindi non rimane che lo zero.
CieloCheTuona

scritture rappresentano lo stesso numero.
Non c'� bisogno di "assiomaticamente".
Sono DIVERSE rappresentazioni dello STESSO numero.
CieloCheTuona

 discorso non mi interessa piï¿œ di tanto.
  E allora io mi chiedo perchï¿œ stiamo qui a pettinare le bambole! :-))
  La frazione ï¿œ una relazione tra due numeri che chiamiamo rapporto, il 
numero peridico che ne deriva ï¿œ il valore di tale rapporto, e i calcoli 
si fanno sul valore non sulla relazione (o Peano come avevi ragione!).
Quando dici che 1/3*3 = 1, non hai risolto il problema del decimale 
infinito, l'hai semplicemente eluso. Perchï¿œ compiendo questa operazione 
hai trattato la frazione come se il su valore fosse finito, cioï¿œ hai 
dato per scontato che 0.(9)=1, senza dimostrarlo.
La domanda corretta ï¿œ: qual'ï¿œ lo sviluppo decimale di 1/3?
  Se moltiplichiamo il numero per 3, il risultato ï¿œ 1 o ï¿œ 0,(9)?
1)Se scegliamo la *convenzione* usuale sarï¿œ 1. Questa scelta pone meno 
problemi ed ï¿œ molto piï¿œ utile, ed infatti ï¿œ quella comunemente adottata.
2)Se scegliamo 0,(9) diverso da 1, ci creiamo delle complicazioni, 
ostiche ma non insormontabili, infatti negli anni sessanta Robinson ha 
dato una definizione coerente di infinitesimo ed ï¿œ stata sviluppata 
l'analisi non standard. Quest'ultima non ha avuto successo nella 
matematica oggetto di studio estensivo, perchï¿œ poco utile, ma non per 
questo meno vera.
k

 di qualsiasi numero positivo...
Anche il grande Newton si esprimeva pi� o meno in questo modo per parlare
delle grandezze "infinitesime", ma fu ampiamente deriso dal vescovo
Berkeley, il quale in un noto saggio dedicato ad un "Analista":
http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Berkeley/Analyst/Analyst.html
con arguto sarcasmo mostrava che occorrevano pi� "dogmi & misteri" per
credere alla analisi infinitesimale di quanti ne occorressero per
abbracciare la religione cristiana.
Venendo al nostro caso, come si fanno in modo rigoroso le operazioni con
"infinite cifre decimali"? E cosa significa esattamente "infinite cifre
decimali"? A scuola ci hanno insegnato a fare le addizioni e le sottrazioni
partendo dall'ultima cifra, quella meno significativa. Ebbene, come si fa a
"partire dall'ultima cifra" quando le cifre sono "infinite"?
Tu dici che per te � evidente che la differenza fra 1 e 0,(9) � un numero
che �per forza pi� piccolo di qualsiasi numero positivo�. E sia, ma se uno
ti risponde che per lui non � affatto evidente, e che anzi per lui �
evidente che non pu� essere zero, ma che deve essere, che so, un numero
che pur non essendo zero non pu� essere scritto perch� le sue prime cifre
decimali diverse da zero vengono dopo un numero infinito di zeri dopo la
virgola? Se tu vuoi giocare con l'infinito, sar� pur libero anche lui di
fare altrettanto, no? Dunque come si fa a definire un criterio per stabilire
chi ha ragione, se ognuno di voi due si sente autorizzato ad appellarsi ad
una qualche "evidenza intuitiva"?
Se su queste cose i migliori ingegni si sono scervellati per secoli, ci
dovr� pur essere una ragione, no? O si facevano dei problemi inesistenti?
-- 
Saluti.
D. 

 La domanda corretta ï¿œ: qual'ï¿œ lo sviluppo decimale di 1/3?
                            ^^^
Sï¿œ perï¿œ caspita... IMHO su questo newsgroup ï¿œ tollerabile che uno non
sappia una mazza di matematica, ma non che scriva "qual ï¿œ" con l'apostrofo!
:-p
-- 
Massimo Bacilieri AKA Crononauta

 (o Peano come avevi ragione!)
Cazzarola, Karlina, mi stai mostrando dei lati di te che non avevo mai visto 
:-)
-- 
Ciao.
D. 

 ma non che scriva "qual ï¿œ" con l'apostrofo! :-p
Oh, lasciatemi stare la Karlina, eh!
Sotto sotto ï¿œ una donna passionale: quando qualcosa la emoziona perde le 
staffe e le si aggroviglia un poco la grammatica, ma subito dopo torna ad 
essere una composta signora piemontese e rimette apposto tutti gli accenti e 
gli apostrofi :-)
-- 
Saluti.
D. 

 questo meno vera.
Non stiamo dicendo che non sia vera, stiamo dicendo che *non � standard*.
Vale solo nel caso in cui si vogliono considerare gli infiniti e
infinitesimi come dei numeri, cosa assolutamente non necessaria.

Davide Pioggia, dopo aver letto tutta la tua disamina degli
atteggiamenti mentali, mi è venuto spontanea solo la differenza tra
persone dotate di senso pratico e di consapevolezza su causa-effetto,
e quelli che invece cercano di vedere "oltre".
Senza nulla togliere alle serie, alla convergenza, al significato di
limite, tutte teorie piene di conseguenze pratiche, la
rappresentazione di 1/3 è infinita solo concettualmente e non
praticamente. Non richiede infatti alcun calcolo infinito.
Chi è dotato di senso pratico sa qual è la differenza tra una
convergenza "vera", vuoi in ambito fisico, vuoi in ambito
computazionale e la convergenza "fasulla" che si ipotizza dove manca
sia l'aspetto fisico che l'aspetto computazionale legati alla
convergenza.
Forse chi sa tanto di matematica le considera la stessa cosa.
E' un peccato che si perda il senso pratico delle cose e si arrivi a
dire che tra 1/3 e 0,3 periodico ci sono altri numeri e che se
coincidono allora cade la teoria dei limiti (quelli veri).

Davide Pioggia ha scritto:

  Grazie, Davide!
  Questa matematica, che per altro era stata il mio primo amore, mi 
manda in fumo il cervello.
Pensavo di poter dire tavanate sull'infinito, ma mai e poi mai di poter 
scrivere qual'ï¿œ con l'apostrofo.  :-((
k

 "partire dall'ultima cifra" quando le cifre sono "infinite"?
   Si parte dalla prima cifra. Ovviamente si pu� anche fare con i 
decimali finiti.
   Immaginiamo di dover addizionare, che so:
   2,3859 +
   3,1405 =
   --------
   5,5264
  Partiamo dalla prima cifra, 2+3=5, virgola, 3+1=4 che non � esatta, ma 
poi troviamo 8 + 4, possiamo scrivere 2 e correggere la seconda cifra in 
5, continuiamo scrivendo 5 come quarta cifra che verr� poi corretta in 
sei e cos� via.
A volte la correzione avviene molto tempo dopo es.
  1,35555557+
  2,54444445=
-------------
cominciamo scrivendo 3,8999999 ma l'intera successione di nove dovr� 
essere corretta quando arriviamo a 7+5 e otterremo 3,90000002.
Ciascuna cifra non necessita di pi� di una correzione, quindi l'ennesima 
  cifra sar� quella che avremo calcolato o la sua eventuale correzione, 
e se sono due numeri infiniti la somma sar� ovviamente un numero infinito.
Per la moltiplicazione il procedimento � pi� complicato.
Molto pi� utile approssimare i decimali infiniti e trattarli come se 
fossero finiti. Come � molto utile che 0,(9) sia uguale a 1, o che 
radice di due al quadrato sia 2.
A nessuno interessa conscere la tremiliardesima cifra del quadrato della 
radice di due, ma questo non vuol dire che non esista.
k

 infinitesimi come dei numeri, cosa assolutamente non necessaria.
  Su questo sono perfettamente d'accordo.
  Ricordo per� che la domanda di partenza riguardava la "verit�" di una 
certa affermazione, ed era stata posta da un filosofo!  :-))
  k

 cifra del quadrato della radice di due
E se stai facendo dei calcoli nei quali � proprio la tremiliardesima cifra 
che ti costringe a "correggere" tutte le 2.999.999.999 cifre precedenti?
-- 
Saluti.
D. 

 scrive:

Ti armi di pazienza. :)
La questione � puramente teorica, ovviamente, ma ogni correzione
riguarda solo le cifre precedenti, quindi ogni volta solo una quantit�
finita. Il procedimento � infinito, ma ricorsivo, quindi descrivibile
con una procedura finita. Al matematico interessa solo questo, non il
calcolo effettivo; e, se deve calcolare il quadrato della radice di 2,
dice 2 e passa oltre. :)
Ciao
Enrico

 vera.
Ma queste cose le hai lette sulla "Padania"?
:-)


 S.S.S.
Gennaro 

 :-)
Se la mia scelta fosse limitata a Odifreddi e Famiglia Cristiana la 
situazione
sarebbe davvero senza speranza.
Il fatto che tu abbia scelto Famiglia Cristiana in contrapposizione ad
Odifreddi, tuttavia, mostra con quanto successo questo personaggio
sia riuscito a cucirsi addosso un ruolo molto piu' redditizio di quello
del logico matematico. Io pero' resisto alla deriva cialtrona e
populista e, se (ad esempio) volessi erudirmi sul rapporto tra
scienza e religione, leggerei autori piu' seri, come Riccardo
Chiaberge.
ciao
Gennaro 

 
Che la successione che hai scritto nella colonna a destra tenda a 2 siamo
tutti d'accordo, ma quella a sinistra (che approssima la radice di 2) non
tende a nessun numero razionale: non c'� alcuna regolarit� nel modo in cui
si susseguono le varie cifre decimali. Mi sembra una differenza non da
poco.

  Se moltiplichiamo il numero per 3, il risultato ï¿œ 1 o ï¿œ 0,(9)?
Questa domanda ï¿œ dovuta al fatto che tutti usano gli allineamenti 
decimali senza sapere esattamente come sono definiti.
-- bb

virgola? 
???? "perch� le sue prime cifre decimali diverse da zero vengono dopo
un numero infinito di zeri dopo la virgola" ????
e che vuol dire??? se esiste una prima cifra decimale diversa dallo
zero, facciamo alla M-esima posizione, allora M-1 � un valore infinito
secondo te?
 
CieloCheTuona

Ma del resto vale anche B>A (maggiore).
Ovviamente  B<=A  e  B>A  sono in contraddizione tra loro: assurdo che
nasce dall'aver ipotizzato A>0
CieloCheTuona

 dovr� pur essere una ragione, no? O si facevano dei problemi inesistenti?
Il problema � nella concezione che alcuni anche qui hanno di un
allineamento decimale: che si debbano /scrivere/ infinite cifre.
Niente di tutto questo: basta semplicemente considerare una funzione
dai naturali all'insieme delle cifre, definita in base a qualche regola;
per esempio l'allineamento decimale corrispondente a 1/3 � la funzione
che associa la cifra 3 a tutti i naturali (che si parta da 0 o da 1 �
irrilevante, qui � conveniente partire da 1).
Se si pensa di dover /scrivere/ tutte quelle cifre si � nella situazione
in cui il numero non � mai dato interamente. Ma, per fortuna, la
matematica si � sbarazzata dell'infinito potenziale e attuale da tempo:
descrive /concetti/ che ricevono nomi; alcuni nomi possono trarre in
inganno, fra questi c'� "infinito". Anche la nomenclatura classica dei
limiti con "tendere" pu� essere fuorviante; ne discutevo altrove,
purtroppo questi nomi fanno parte della tradizione. Se invece di
"insieme infinito" si dicesse "insieme ciccione", forse le cose
andrebbero meglio. Molti dei "paradossi" si presentano proprio quando
si assegnano a quei nomi significati presi dal linguaggio comune, l'ho
detto pi� volte, ma non sono affatto paradossi.
Ci siamo sbarazzati dei problemi dell'infinito potenziale e attuale,
ma ce ne siamo creati parecchi altri! Per esempio, non � possibile
descrivere la funzione associata all'allineamento decimale 
corrispondente a un numero reale "arbitrario": sono descrivibili 
solo alcuni di essi. Pazienza.
Ci sono pi� cose in cielo e in terra di quante ne possa sognare
la tua filosofia, scrisse qualcuno. C'� anche chi parla dell'ultimo
elemento di un allineamento decimale periodico, pensa un po'.
Ciao
Enrico

 e che vuol dire???
Appunto! Se cominciamo a "giocare con l'infinito", come facciamo a stabilire 
chi sta dicendo delle cose sensate e chi invece sta dicendo delle assurdit�?
Se tu mi parli vagamente di un numero con "infinite cifre decimali", perch� 
io non ti posso parlare di un numero che, avendo appunto "infinite cifre 
decimali", ha "infiniti zeri" prima che si incontri la prima cifra decimale 
diversa da zero? A me una volta � successo di partecipare proprio ad una 
discussione in cui qualcuno sosteneva qualcosa del genere, e opponeva la sua 
"evidenza intuitiva" alla mia. Che si fa in questi casi?
Persino il grande Newton us� delle espressioni del tutto vaghe per non dire 
insensate, come quando disse che le le "flussioni" erano delle �nascent or 
evanescent quantities�, il che consent� a Berkeley di prendersi facilmente 
gioco di lui, osservando che le "flussioni", per come erano definite, 
sembrano essere i fantasmi di quantit� decedute:
�And what are these Fluxions? The Velocities of evanescent Increments? And 
what are these same evanescent Increments? They are neither finite 
Quantities nor Quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call 
them the Ghosts of departed Quantities?�
-- 
Saluti.
D. 

 �nascent or evanescent quantities�
Ho appena scoperto che hanno messo in rete una scansione della edizione
originale del 1736 del _Method of Fluxions and Infinite Series_:
http://www.archive.org/stream/methodoffluxions00newt#page/n3/mode/2up
A pagina 237:
http://www.archive.org/stream/methodoffluxions00newt#page/236/mode/2up
e precisamente alla 13a riga del paragrafo 56, si pu� trovare l'espressione
che avevo citato.
Nel 1736 Newton era gi� morto da diversi anni, e - come si legge anche
nel frontespizio - l'edizione in lingua inglese era una traduzione
dell'originale in latino che Newton aveva scritto molti anni prima, senza
mai pubblicarlo. Gi� nel 1669 egli aveva fatto circolare fra un ristretto
gruppo di scienziati un suo manoscritto intitolato _De Analysi per
Aequationes Numeri Terminorum Infinitas_, e nel 1671 lo aveva riscritto
con il titolo _De methodis serierum et fluxionum_. � questo il testo che 
sar�
tradotto e pubblicato molti anni dopo.
Tant'� che la critica di Berkeley venne pubblicata gi� nel 1734, due anni
prima della pubblicazione del _Method_, perch� - come dicevo - il testo di
Newton era ormai noto da molto tempo, per quanto non fosse ancora stato
pubblicato.
Ora per� mi viene un dubbio: stiamo parlando di matematica, di filosofia
o di filologia? Che cosa dicono in proposito i programmi ministeriali? :-)
-- 
Saluti.
D. 

Persino il grande Newton
del grande Newton non so, ma lascerei perdere
CieloCheTuona

 periodico, pensa un po'.
Nell'articolo di Odifreddi che ho citato si parla non solo di
sequenze infinite a destra, ma anche di sequenze infinite a
sinistra, cioï¿œ numeri tipo ...999, che sarebbe uguale a -1 in
quanto sommandogli 1 dï¿œ 0.
(dov'ï¿œ scritto che un numero deve avere una rappresentazione con
una quantitï¿œ *finita* di cifre alla sinistra della virgola?)


 religione, leggerei autori piu' seri, come Riccardo Chiaberge.
Al popolo i populisti, alle menti raffinate i pensatori
raffinati.
La semplificazione, anche se non mi piace, non necessariamente ï¿œ
male e puï¿œ essere l'unico mezzo per rivolgersi alle masse.
Santa Madre Chiesa lo ha fatto per secoli.


 una quantit� *finita* di cifre alla sinistra della virgola?)
Si pu� fare anche quello, se si vuole. � solo un pochino pi�
complicato. Sapessi quello che ci inventiamo per passare il tempo! :)
Ciao
Enrico

 :-)
Ma va a dï¿œ via 'l numer periodï¿œch!  :-)

 Scusate, ma mi chiamano. Devo andare, finirï¿œ oggi pomeriggio.
Tu ci lasci sempre con il fiato sospeso...

 il risultato dovrebbe essere 0,000...1, con 1 all'infinito.
Ma che vuol dire "con 1 all'infinito"?
E' una frase senza senso: se ad una certa posizione n c'� la cifra 1,
allora non � "all'infinito", se invece la sequenza di zeri � infinita,
allora vuol dire che l'1 non c'�.

 Ah, qui mi ha proprio delusa! :(
Un attimo, un attimo.
Dal momento che questo non ï¿œ un ng di matematica, io fin qui ho fatto
l'"avvocato del diavolo", perchï¿œ mi interessava fare un confronto fra il
lessico umanistico e quello scientifico, e volevo far vedere che quando si
tirano in ballo dei concetti come quello di "infinito" si possono fare dei
discorsi che intuitivamente possono anche sembrare sensati, ma che tuttavia
consentono di dimostrare tutto e il contrario di tutto, sicchï¿œ si pone il
problema di definire in modo chiaro e rigoroso ciï¿œ che - a quanto pare -
non si lascia discutere in modo vagamente intuitivo.
Detto questo, bisogna tenere presente che stiamo parlando di un ottimo
matematico, il quale conosce molto bene la sua disciplina, e un ottimo
matematico a volte puï¿œ anche essere vittima di una certa foga divulgativa,
ma non ï¿œ cosï¿œ ingenuo o sprovveduto da non sapere quali sono le "trappole
dell'infinito". Proviamo allora a rileggere bene questo passaggio citato da
Karla:
ï¿œMa ï¿œ anche possibile (e intuitivo) definire numeri reali come decimali
'infiniti' e le loro operazioni su di essi come i limiti delle operazioni
parziali effettuate sulle sequenze finite che li 'approssimano'.ï¿œ
Vedi cosa dice? Dice che quelle operazioni con i "decimali infiniti" si
possono definire come *limiti delle operazioni parziali*.
Che cosa sono le "operazioni parziali"?
Dal momento che non possiamo scrivere concretamente un numero infinito
di cifre decimali, proviamo a concentrarci sulla seguente successione di
numeri:
0,9
0,99
0,999
0,9999
...
e vediamo cosa si ottiene quando si sottraggano tutti questi numeri da 1:
1 - 0,9 = 0,1
1 - 0,99 = 0,01
1 - 0,999 = 0,001
1 - 0,9999 = 0,0001
...
Otteniamo dunque una successione di differenze, il cui valore ï¿œ "sempre
piï¿œ piccolo" e "si avvicina sempre piï¿œ" a... ecco, a cosa "si avvicina"?
Se noi qui non introduciamo una qualche definizione rigorosa dalla quale
si possano trarre delle conseguenze univoche e sensate, non possiamo
fare altro che affidarci alla nostra intuizione, e l'intuizione di qualcuno
potrebbe suggerirgli che "alla fine" si ottiene proprio zero, mentre
l'intuizione di qualcun altro potrebbe suggerirgli che "alla fine" si
ottiene uno strano numero che ha come cifre decimali un numero
infinito di zeri e un uno "in fondo".
Se noi perï¿œ definiamo in modo rigoroso il concetto di *limite* allora
possiamo definire rigorosamente tutte le operazioni di quel genere come
limiti delle "operazioni parziali".
ï¿œ proprio per evitare delle discussioni come questa che i matematici
introducono quelle famose definizioni "astruse" che a molti umanisti
appaiono del tutto inutili e talvolta persino insensate.
Ma come si fa, allora, a parlare di quella cosa senza mai nominare
l'"infinito"?
Si racconta una storia, quasi una favola:
ï¿œC'era una volta una successione.
ï¿œChe cosa ï¿œ una successione - direte voi?
ï¿œï¿œ una regoletta che ad ogni numero naturale (i numeri naturali, si sa, sono 
quelli che piacciano ai bambini: uno, due, tre, quattro...), che ad ogni 
numero naturale - dicevo - fa corrispondere un altro numero. In una 
successione abbiamo dunque un certo numero che ï¿œ il primo numero della 
successione, un altro numero che ï¿œ il secondo numero della successione, un 
altro numero ancora che ï¿œ il terzo numero della successione, eccetera. In 
generale, prendete un certo numero N, e la regoletta vi dirï¿œ qual ï¿œ l'N-mo 
numero della successione.
ï¿œEbbene, la successione di cui si parla nella nostra favola ï¿œ una 
successione fatta cosï¿œ: il primo numero della successione ï¿œ 0,9, il secondo 
ï¿œ 0,99, il terzo ï¿œ 0,999, e in generale l'N-mo numero della successione ï¿œ 
quello che si ottiene mettendo N volte "9" dopo lo zero seguito da una 
virgola.
Ora che abbiamo definito la nostra successione, vi dirï¿œ che nella Foresta 
dei Numeri vive un certo Numero Magico, e questo Numero Magico ï¿œ fatto cosï¿œ: 
nessun numero della nostra successione ï¿œ piï¿œ grande del Numero Magico, ma se 
per caso uno si azzarda a pensare un numero piï¿œ piccolo del Numero Magico, 
allora si trova sempre un certo numero naturale N tale che tutti i termini 
della successione che vengono dopo il termine N-mo sono piï¿œ grandi del 
numero pensato.ï¿œ
Niente panico :-)
Come vedi fin qui abbiamo fornito solo delle *definizioni*.
Ora perï¿œ potremmo usare queste definizioni per dimostrare che nel nostro
caso il Numero Magico ï¿œ proprio 1.
ï¿œ vero, infatti, che nessun numero della successione ï¿œ maggiore di 1. Ma se
tu provi a pensare un numero piï¿œ piccolo di 1, ad esempio 0,9999999997,
trovi che tutti i termini della successione dal 10-mo in poi sono piï¿œ grandi
di quel numero che hai pensato.
Ebbene, dal momento che fino ad ora avevamo lasciato 0,(9) in balia della
nostra intuizione, e che questa nostra intuizione si ï¿œ dimostrata troppo
vaga e confusa, ora per liberarci da questa vaghezza e da questa confusione
possiamo *decidere di definire* il numero 0,(9) proprio come il Numero
Magico associato a quella successione che ad ogni numero naturale N associa
un numero che dopo la virgola ha N volte "9".
E se poi per fare le persone serie e non far vedere a tutti che ci piacciono
le fiabe anzichï¿œ chiamarlo Numero Magico preferiamo chiamarlo Limite,
vabbe', pazienza. Anzi, a dire il vero i matematici lo chiamano ï¿œlimite
della successione per N che tende all'infinitoï¿œ, e cosï¿œ dicendo puï¿œ sembrare
che si sia fatto rientrare dalla finestra quell'"infinito" che avevamo 
faticosamente fatto uscire dalla porta. Ma qui l'"infinito" compare solo 
come parte di un "nome". Avremmo potuto chiamarlo anche Numero Magico, e 
sarebbe stata la stessa cosa, perchï¿œ ciï¿œ che conta ï¿œ essersi chiariti le 
idee e aver formulato una definizione chiara e rigorosa.
Se vogliamo possiamo dire che i matematici si liberano dalla scomoda
presenza dell'infinito facendolo finire nel nome di ciï¿œ che essi definiscono
in modo rigoroso, laddove esso (l'infinito, dico) resta solo pere ricordare
che quella definizione esprime in modo rigoroso ciï¿œ a cui fino ad allora ci
si era riferiti parlando intuitivamente e confusamente di "infinito".
-- 
Saluti.
D. 

 allora vuol dire che l'1 non c'�.
  Ah, questa s�!!! Ho detto una bella tavanata!!!
Praticamente con questa stuppidaggine mi sono data la zappa sui piedi. 
Come faccio adesso a contestare che 0.999... sia uguale a 1? :-))
Comunque, tornando a Odifreddi, penso anch'io, come ha detto Davide, che 
sia tutt'altro che sprovveduto, anche se mi � sembrato un po' sbrigativo 
, dopo tutto quello che ha scritto non � un trattato dove si guarda il 
pelo nell'uovo, ma un breve articolo divulgativo.
Tornando ai numeri periodici (finiti o infiniti che siano), consentitemi 
ancora qualche considerazione da bar.
  Mi viene in mente che per duemila anni i matematici hanno costruito il 
loro bel castello senza dimostrare niente in proposito, la maggior parte 
della gente fa i suoi calcoli senza neanche porsi il problema. Solo da 
  Liebniz e Newton in poi si � avuta l'esigenza (e i mezzi) di definire 
tutto con rigore formale.
Se questo � stato fatto, perch� nel secolo appena trascorso � stato di 
nuovo messo in discussione da matematici competenti?
Perch�, ad esempio, il matematico Timothy Gowers, che insegna a 
Cambridge, che ha avuto diversi riconoscimenti internazionli, tra cui 
nel 1998 la Medaglia Fields (tanto per dire che non � un cretinetti 
qualunque), trattando proprio di 1,999... = 2, dice che si tratta di una 
"convenzione", sia pure di una convenzione non arbitraria, perch� il non 
accettarla comporterebbe... ecc. ecc. E pi� avanti riferendosi alla 
procedimento che svolge per spiegare (dimostrare?) la cosa parla di 
"addomesticare l'infinito"? e anche di difficolt� "aggirate"?
Si ha l'impressione che i problemi riguardanti l'infinito, 
l'infinitesimo ecc. non siano definitivamente chiusi, come per altre 
questioni che nessuno rimette in discussione. Sembra che l'infinito sia 
sempre un po' sfuggente.
Russell, nei Principi della matematica, d� la colpa ai filosofi, ma 
quelli a cui mi riferisco io sono matematici.
Non mi resta che concludere citando Joseph Conrad*: "L'infinito � nemico 
dell'uomo". Potrei aggiungere (viste le mie disgrazie): " e anche della 
donna". :-))
k

 donna". :-))
In effetti, da tutte queste discussioni, pare anche a me che l'infinito 
sia un bel guaio.

>> dando per scontato (o dimostrato) che siano finiti.
Perch� dici "su numeri infiniti"? Forse sei tu che dai per scontato che
siano infiniti?

 allora vuol dire che l'1 non c'�.
E' che i matematici sono cos� folli che si sono inventati diversi tipi 
di infinito. L'infinito di 0,999... pu� essere pensato come una catena 
infinita di punti:
*--*--*--*--* ...
Diciamo che il predecessore di un punto � quello che sta immediatamente 
alla sua sinistra, e il suo successore quello che sta immediatamente 
alla sua destra: in questo caso il punto pi� a sinistra � l'unico a non 
avere predecessore, e ogni punto ha un successore.
L'infinito di 0,000...1 pu� essere pensato come la catena infinita di 
cui sopra, a cui si aggiunge un ulteriore punto che viene dopo tutti gli 
altri:
*--*--*--*--* ... *
in modo tale che ci sono esattamente due punti senza predecessori 
(quello pi� a sinistra e quello pi� a destra) e un solo punto senza 
successore (quello pi� a destra).
Questi diversi tipi di infinito potrebbero sembrare masturbazioni 
mentali, ma in realt� giocano un ruolo importantissimo in certe 
discipline. Qui li ho tirati in ballo per spiegare che si pu� dare un 
significato formale a quello che Klaram ha descritto come "0,000...1 con 
1 all'infinito".
-- bb

 che l'infinito sia un bel guaio.
Eppure nella storia della umanit� si sono combattute non so quante guerre e 
si sono compiute non so quante persecuzioni con la pretesa di dire quale 
fosse il Vero Infinito, o il Vero Assoluto (perch� anche il problema 
dell'"assoluto" rimanda a quello dell'"infinito").
Se � vero che di queste cose si dovrebbe tacere perch� non ne possiamo dire 
nulla, ti sembra il caso di farne dei motti da issare su degli stendardi da 
porre innanzi a degli eserciti?
E d'altra parte non si creda di poter dare una risposta vagamente buonista a 
domande come questa, perch� interi popoli e intere culture hanno fondato la 
loro identit� su una certa immagine dell'Infinito e dell'Assoluto, e quelle 
identit� hanno profondamente plasmato la storia. Che ne sarebbe della storia 
umana se l'umanit� non avesse da sempre l'"assurda" pretesa di pensare 
l'Infinito?
La "follia" di Cantor � la stessa "follia" di chi pensa che possa esistere 
una Storia, e che Essa possa "appartenere" a qualcuno.
Ma qui mi fermo, perch� questo � un ng "umanistico", e non vorrei andare 
fuori tema :-)
-- 
Saluti.
D. 


Se questo punto che aggiungi non ha un predecessore e nemmeno un
successore, in che modo puoi aggiungerlo ad una qualche catena?
Al massimo ti puoi inventare un insieme chiamato per esempio "pippo" in cui
c'� la catena infinita di cui sopra e anche l'ulteriore punto che dici tu.
Ma sar� un insieme diverso, non � pi� semplicemente l'insieme dei
successori diretti o indiretti del primo punto.

 Santa Madre Chiesa lo ha fatto per secoli.
Non ho assolutamente nulla contro la semplificazione! Al contrario,
la divulgazione ben fatta e' di eccezionale utilita' per tutti.
Quando pero' si abbandona il proprio campo di ricerca per
cominciare a fare "divulgazione" su argomenti di cui si ha una
conoscenza molto limitata (o nulla), allora si fanno solo danni.
Quando poi questa "divulgazione" da baraccone e'
accompagnata da forti connotati ideologici e polemici, allora
e' chiaro che la compnente 'divulgativa' scompare del tutto,
e l'unico motivo per rivolgersi alle masse e' quello di lasciar
loro la possibilita' di riempire generosamente il mio
portafogli ;-)
Gennaro 

 matemetico "professionista" trovo che sia molto sbrigativo.
Odifreddi non e' un matematico ma un logico (con una vocazione
alla tuttologia).
Immagino abbia una rubrica fissa su "Le Scienze" perche' e' un
personaggio molto noto e puo' aiutare a vendere qualche numero
in piu'.

 Pensa che prima dell'Universitï¿œ ha fatto l'istituto per geometri.
Seguendo l'imperativo dell'Accademia di Platone ? :-)
-- 
----------------------------------------------------------------------
nos...@mi.iasf.cnr.it
 is a newsreading account used by more persons to
avoid unwanted spam. Any mail returning to this address will be rejected.
Users can disclose their e-mail address in the article if they wish so.

 annojare ulteriormente i lettori.
Annoiamoli pure per un altro po' e spiegami, se vuoi ed in poche righe,
per quale motivo a te sta simpatico. Forse per le sue pubblicazioni
scientifiche?
ciao
Gennaro 

 :-)
Trovo questo tuo intervento particolarmente infelice.
Mi ero limitato a rilevare che Odifreddi non e' un matematico
ma un logico. (ammetto di avere anche implicitamente disprezzato
chi pontifica su argomenti che non conosce).