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Titolo: Frattali

da:Nel mondo dei frattali di Benoit Mandelbrot
citazione: >> La realtà che sta dietro il concetto di frattale è
meglio esemplificata se facciamo riferimento a prodotti già coltivati
dagli antichi romani, come il cavolfiore e i broccoli.Una testa di
cavolfiore è facilmente divisa in piccoli fiori; ogni fiore è come un
piccolo cavolfiore, che puo' essere ancora diviso in altri fiori
ancora piu' piccoli.Usando una lente di ingrandimento, questo processo
puo' essere osservato in vari stadi.Una formula matematica che
imitasse questa struttura potrebbe continuare all'infinito.
L'idea, percio', è quella di autosimilitudine:ogni parte, cioe' ogni
piccolo fiore, è come l'intero o qualsiasi altro fiore, eccetto per
una dilatazione o riduzione.
Frattali in finanza (sempre citando dal sudetto libro)
<< Trovai le ragioni per credere e dimostrare  che le variazioni dei
prezzi finanziari possono essere spiegate mediante un modello frattale
o multifrattale.I frattali non pretendono di predire il futuro con
certezza, ma creano un quadro realistico delo rischio di mercato>>
Altri frattali: secondo Mandelbrot, il susseguirsi di piene e secche
nel fiume Nilo potrebbe spiegarsi usando modelli che fanno uso di
frattali (per una trattazione piu' precisa vedere libro citato)
Altri frattali: la geometria costiera
I frattali in biologia (sempre citando dal libro di Mandelbrot)
<< Qual'e' la piu' piccola quantità di codice genetico necessaria per
ottenere la diversità e ricchezza di forme che osserviamo negli esseri
viventi? Se si dovesse paragonare tutte le minime e irrilevanti
differenze fra due specie di aragoste con spine, ci si dovrebbe
chiedere:perchè la natura dovrebbe investire una tale esuberanza di
forme senza un uso ovvio?
La chiave risiede in quanto già menzionato, ovvero nel fatto che le
forme frattali di grande complessità possono essere ottenute
facilmente nel ripetere una semplice trasformazione geometrica, e dato
che piccoli cambi nei parametri di quella trasformazione provocano
cambiamenti globali, cio' suggerisce che una piccola quantità di
informazione genetica puo' dare origine a forme complesse-
cut- consideriamo ad esempio lo sviluppo del polmone -cut-
Occorerebbe molte informazioni per specificarlo nel dettaglio, ma in
realtà sono sufficienti istruzioni molto brevi.
Quando un feto sviluppa un semplice processo di riproduzione si ripete
continuamente per 23 volte.Un involucro
di un soffice tessuto in un volume ristretto finisce con il formare
una struttura frattale>>
Poi c'è anche un capitolo riguardante la distribuzione delle galassie
e la geometria frattale.
Per quanto riguarda aggregati di particelle fatti crescere
aggiungendole ad una ad una, una possibile spiegazione la si puo'
trovare qui:
(Le scienze-quaderni-n67 del settembre 1992)
<<Immaginiamo di far crescere un aggregato di particelle aggiungendone
una alla volta,in modo che appena viene in contatto con l'oggetto in
accrescimento vi aderisca,senza cercare altri siti di legame.E' un
esempio estremo di processo lontano dall'equilibrio perchè non vi
avviene alcun riarrangiamento.
Ora,supponiamo che le particelle diffondando verso l'aggregato
seguendo un cammino casuale,costituito da una successione di passi di
lunghezza e direzione casuali-cut- Il processo di aggregazione di
particelle che si muovono secondo un cammino casuale è appunto quello
che Witten ed io (nota mia: l'articolista è Leonadr M.Sander)chiamiamo
aggregazione per diffusione.-cut-
Malgrado l'aggregazione per diffusione sia semplice da descrivere il
processo non è ancora ben chiaro .
Perchè, per esempio, vengono prodotti dei frattali e non dei complessi
amorfi e privi di simmetria?
Perchè si formano raramente degli anelli?Quali sono le relazioni di
dipendenza della dimensione frattale dalla dimensione dello spazio nel
quale avviene l'aggregazione?Le risposte a questi quesiti sono ancora
lontane e pongono un problema ai fisici teorici perchè sembra che in
questo caso i consueti strumenti matematici non funzionino piu'.
Tuttavia , alcune caratteristiche del processo possono essere comprese
in maniera qualitativa.
Immaginiamo di iniziare facendo depositare particelle su un aggregato
con la superficie liscia.Quando l'aggregato è piccolo piu' particelle
aderiscono per puro caso in una certa regione.Si formano in tal modo
sulla sua superficie piccole protuberanze e buche, in conseguenza del
<<rumore>> imputabile al comportamento casuale delle particelle.
Una volta formatesi, le protuberanze crescono piu' rapidamente delle
buche.Questo perchè una particella che si muove casualmente verso
l'aggregato ha una probabilità elevata di aderire nei pressi della
sommità di una protuberanza o sui suoi fianchi prima di cadere entro
una buca.Dato che la crescita avviene prevalentemente presso la
sommità delle protuberanze,queste diventano sempre piu' alte e il
riempimento delle buche diviene sempre meno probabile.
Ne segue che l'aggregato, inizialmente appena distorto, cresce sempre
piu' distorto,effetto che viene detto instabilità di accrescimento.E'
presumibile che alla fine la crescita e la suddivisione delle
protuberanze diano origine ad un frattale >>
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La matematica della complessità non è studiata da molto, ciononostante
molti comportamenti naturali si possono studiare soltanto ricorrendo
ad essa; 
 questo mi riporta indietro nel tempo a pensare a come sia nata la
matematica, a quali fini sia nata; sebbene essa sia stata arricchita
da che è nata, nel corso dei secoli e dei millenni è sorprendente
come si sia rivelata uno strumento irrinunciabile per la descrizione
della realtà seppure circoscrivendola di volta in volta, o forse
dovrei dire di epoca in epoca in relazione alla capacità di analisi
che tale strumento aveva raggiunto.
Molte volte ho sentito dire oppure ho letto che essa (matematica)
è un linguaggio universale , ho sempre pensato che in realtà essa
fosse un linguaggio umano adattato alle esigenze umane e per questo
non necessariamente universale...
ora pero', pensando a quanti altri lingiaggi umani abbiano fallito,
quante concezioni filosofiche si siano rivelate inconsistenti
e completamente disancorate dalla realtà ( e sopratutto come esse si
siano rivelate inconsistenti a posteriori, mentre nel momento della
loro "creazione" erano stimate per "modelli descrittivi" del reale)
mi ritorna il dubbio: se effettivamente la matematica non sia un
linguaggio universale che va di volta in volta arricchendosi
ma che non scade nel corso dei millenni come già altri linguaggi.
ciao, Jasmine

 e
bello e lungo il trattato, perņ, perdona la mia ottusagine, ma non riesco
a vedere dov'č il mistero in tutto ciņ :-)

a vedere dov'è il mistero in tutto ciò :-)
diversi aspetti del reale in ambiti che non hanno a che fare nulla o
quasi tra loro si riconducono a forme frattali, la discussione sta
dunque sulla matematica che descrive queste comunanze in ambiti tanto
diversi e quindi sull'amplificazione che c'è stata introducendo la
matematica della complessità e in ultima analisi sul mistero se si
possa parlare di matematica come linguaggio universale o meno.
Se per te questo non è un mistero poco male purtroppo mi tocca
risponderti per rispetto al resto del ng e perchè questa è una domanda
che potrebbe avermi rivolto chiunque ma la parzialità che dimostri
nell'appoggiare gli sconci ot del tuo amico Antonio e pero'
intervenire a puntualizzare sul fatto che altro possa essere it ot o
it mi indispone e  a meno che le domande che tu farai' non possano
interessare altre persone mi riservo di non risponderti, non ho
nessunissima intenzione di discutere affabilmente con te come faccio
con altre persone.
--
<<*<<*<<*<<*<<*<<*<<*<<*<<*<<*<<*<<*<<*<<*<<*<<*<<*<<*
For the sea calles Kali long before he was born 
throught the cold winter nights the sweet summer moon   
<<*<<*<<*<<*<<*Martin Donnelly*<<*<<*<<*<<*<<*<<*<<*<<*

 
vabbè scusa, adesso la metti sul personale, ho capito che ti sto
antipatico e che se potessi mi scioglieresti nell'acido :-)), ma  io ti ho
espresso una legittima curiosità, e non era volta a sottolineare un tuo
OT, ma semplicemente a capire dov'era il mistero. Su questo mi conosci
poco, non sono uno sceriffo dei NG, tantomeno con gli OT, penso che tu sia
prevenuta contro di me, e questo ti porta a pensare che qualsiasi mio
intervento in risposta ad un tuo post sia un attacco personale, ma non è
così.
Pace? :-))

E' vero, la teoria dei frattali ci riporta ad uno dei più grandi misteri
naturali: la riproduzione degli effetti.
Io ho utilizzato la teoria dei frattali nell'ambito dell'organizzazione
umana, ovvero cercando di trasmutare il significato di "similitudine" della
riproduzione frattale nella "similitudine" comportamentale umana.
Mi sono accorto (purtroppo non sono un matematico) che la teoria dei
frattali è applicabile a molte (se non a tutte) situazioni comportamentali.
E' noto, ad esempio, che il nostro sistema organizzativo si rifà a criteri
tribali che ci trasciniamo geneticamente (frattale storico) e che le stesse
organizzazioni moderne si sviluppano similarmente (in un'organizzazione
scorgiamo diverse strutture concatenate che si sviluppano per similitudine:
un organigramma prevede ruoli diversi ma mansioni simili, un partito
politico contiene correnti che emulano l'organizzazione generale, etc...).
Il mistero è, per me: come mai la teoria dei frattali è comparsa solo dopo
gli anni '70 (mi pare) e non prima?
S.:.I.:.

OT, 
ok, ora ci siamo compresi meglio e quindi ho risposto in maniera
serena ad un dubbio legittimo
ciao, Jasmine




molto interessante quanto da te detto e riportato, non avevo idea che
le forme frattali si potessero trovare anche in ambiti umani diversi
da ambiti quali quelli del mercato azionario da me citato nel post
iniziale  (rimango volutamente nel generale perchè non ho competenze
per scendere nel particolare)
Per quanto riguarda la parte del tuo post, nel quale chiedi come mai
di frattali si sia cominciato a occuparsene solo molto tardi; penso
che la risposta stia nel fatto che non è semplice addomesticare la
matematica della complessità con seplice matita e carta, e che a mano
a mano che i calcolatori cominciavano a divenire sempre piu' potenti
risultava possibile investigare qualcosa in piu' di questo neonato
ambito; prima si cercavano delle aprossimazioni onde riuscire a
descrivere il tutto con le capacità di calcolo a disposizione,
soltanto che nei sistemi complessi spesso, perturbazioni minime
nelle condizioni iniziali portano a risultati diversissimi fra loro.


gli anni '70 (mi pare) e non prima?
Il fiocco di neve di von Koch, la curva di Peano, lo stuoino di
Sierpinski e altre figure frattali erano note nella prima meta' del
'900, come pure il concetto di dimensione frattale di Hausdorff. Che
la teoria dei frattali (quale teoria, poi?) sia comparsa solo dopo gli
anni '70 e' solo una questione di "moda" esteriore, resa possibile dal
grandissimo progresso del computo elettronico.
Piu' o meno come per la teoria del caos. Leggendo la parte iniziale
del famoso libro di Gleick sul caos (non ce l'ho fatta ad andare
avanti) l'unica concetto che si trova -- strombazzato per decine di
pagine -- e': il caos e' il nuovo paradigma interpretativo della
realta'. A pensarci bene, tutta questa "novita'" era perfettamente
nota alla Fisica-Matematica ottocentesca. Ciao

 č comparsa solo dopo gli anni '70 (mi pare) e non prima? S.:.I.:.
Questo non e' tecnicamente vero, esempi di frattali erano noti gia' da
prima (vedi msg di El Filibustero).
Alcuni frattali sono diventati "famosi" fra gli anni '70 e '80 soprattutto
grazie all'accresciuta capacita' di calcolo dei computer, e alla
possibilita' di visualizzare graficamente e rapidamente dati di quella
complessita'.
Ciao
Eugenio
-- 
Peace is our profession -- mass murder's just a hobby

 --
NON CI AVEVO PENSATO!!!!
Sarà che ho appena visto "The beautifuol mind" e sono ancora troppo
impressionato...
Arrithx,
S.:.I.:.

 nota alla Fisica-Matematica ottocentesca. Ciao
Perdincibacco! Grazie!
Spiegazione sintetica ed esaustiva.
Inserirņ queste infos nelle mie lezioni di organizzazione (io non sono un
matematico...).
Grazie ancora.
S.:.I.:.

 ha scritto nel messaggio
news:aj5ogb$jf0$1...@newsreader.mailgate.org...

Ringrazio pure te, Eugenio.
S.:.I.:.

politico contiene correnti che emulano l'organizzazione generale, etc...).
L'idea è molto interessante al punto da essere affascinante; pero'...
bisognerebbe poter schematizzare l'organizzazione sociale cosi' com'è
ora e quella tribale per poi ricavarne dei dati da graficare
e quindi confrontare i risultati ottenuti; questo  imo, è un 
compito immane sopratutto perche' non so quanto si possa
effettivamente capire al punto da ridurlo ad uno schema, il modello
sociologico attuale...
cmq la tua intuizione potrebbe anche rivelarsi un'intuizione che ci
azzecca in parte o in tutto, chissà :o)


da:Nel mondo dei frattali di Benoit Mandelbrot
[cut]
Belli, i frattali. :D
http://www.fractalus.com/
Up
-- 
Ceci n'est pas une signature.