Newsgroup: it.hobby.scacchi
Titolo: Re: Gioco a premio per i lettori di IHS

 100 ore da adesso. Una risposta sola per partecipante. Via!
 
Se la matematica non mi tradisce, a rischio di sputtanamento...
 
definisco:
N = numero di giocatori (12 nel caso)
Rij = risultato di i contro j, con Rii = 0
Pj = punti di j = SUMi(Rji)
Si = SonneborgBerger di i = SUMj(Rij * Pj)
 
La somma di tutti i SonneborgBerger e' = SUMi(Si)
 
Quindi, se non ho sbagliato:
 
SUMi(Si) = SUMi(SUMj(Rij * Pj) =
= SUMj(Pj * SUMi(Rij))
quella sopra e' l'espressione (a)
 
Ora notiamo che Rij = 1 - Rji ma solo per i<>j, per cui
 
SUMi(Rij) = SUMi(1 - Rij) - 1 = N - 1 - Pj
quella sopra e' l'espressione (b)
 
Sostituendo (b) in (a) si ha che
SUMi(Si) = SUMj(Pj * (N - 1 - Pj)) = 
= (N * ((N - 1) ^ 2 ) / 2) - SUMj(Pj ^ 2)
 
Se non ho sbagliato i conti tornano, sia nell'esempio del torneo reale, sia nel caso estremo di tutti pareggi:
 
Somma di tutti gli SB =
= (N * ((N - 1) ^ 2 ) / 2) - SUMj(Pj ^ 2)
 
Si puo' anche notare che SUMj(Pj ^ 2), supponendo che la somma di tutti i Pj e' costante, e' minimo quando tutti i Pj sono uguali, quindi la somma di tutti gli SB e' massima in quel caso. Probabilmente, il rapporto di tale somma rispetto al valore massimo potrebbe essere usata come indicazione di quanto "equilibrato" e' stato il torneo.
 
 
 

 SUMi(Si) = SUMj(Pj * (N - 1 - Pj)) = 
 
che puoi scrivere anche come:
 
... = SUMj {Pj * [(N-1) - Pj]} =
     = (N-1) * SUMj(Pj) - SUMj(Pj^2)
 
nell'ultima espressione, il primo termine è praticamente una costante 
(ritardi e telefonini a parte... :)), quindi per ora ci interessa 
relativamente poco; invece il secondo termine, SUMj(Pj^2), è parente 
stretto della potenza statistica associata al processo dei punteggi, una 
bestia ben nota in teoria della probabilità (in altro contesto, potrebbe 
ad esempio essere la potenza di un segnale), ed effettivamente è tanto 
maggiore quanto più ampie sono le variazioni della grandezza associata. 
Quindi la tua conclusione è esatta: questo numero indica effettivamente 
quanto equilibrato fosse il torneo :)
 
ciao!
mario
 
-- 
73 es 51 de i3hev, op. mario
 
Non è Radioamatore, se non gli fuma il saldatore!
- Campagna "Il Radioamatore non è uno che ascolta la radio"
 
it.hobby.radioamatori.moderato
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http://digilander.libero.it/esperantovenezia
 

In parole più povere?
Scusa ma io non ho capito uno stracazzo!!!!
Molto interessante ma difficile...
Fai finta di parlare con... insomma spiegati meglio, ma con parole semplici semplici...
 
Graaaaaazie

semplici semplici...
 
Beh, la brillante dimostrazione di Paolo Casaschi ha messo in evidenza 
come la SSB (Somma dei Sonneborg-Berger) sia proporzionale 
all'equilibrio di un torneo round-robin. Tanto maggiore e` la SSB, tanto 
piu` equilibrato e` il torneo.
 
Il massimo dell'equilibrio si raggiunge ovviamente quando tutti i 
giocatori finiscono con lo stesso punteggio (il che non significa che 
tutte le partite siano finite in parita`). In quel caso la SSB e` 
massima e vale:
 
max(SSB) = N * (N-1) * (N-1) / 4
 
che coincide col valore indicato da Musso nel suo messaggio (quindi si 
puo` dire che quel valore rappresenti l'indice di massimo equilibrio di 
un round-robin).
 
La formula di Casaschi (e qualche ulteriore considerazione e calcolo, 
che vi risparmio:-) ci puo` anche permettere (non e` l'unica via) di 
trovare la minima SSB, che si ha quando il torneo e` il piu` possibile 
squilibrato (un giocatore vince tutte le partite, il secondo batte tutti 
gli altri tranne il primo, il terzo tutti tranne i primi due e cosi` 
via). In questo caso si ha:
 
min(SSB) = N * (N-1) * (N-2) / 6
 
Per un qualunque round-robin (in cui vengano disputate tutte le 
partite:-), la SSB dello stesso varia sempre tra questi due valori.
 
Come esempio, prendiamo un torneo con quattro giocatori. Se tutti 
finiscono a 1.5 punti, il Sonneborg-Berger di ognuno sara` 1.5/2 + 1.5/2 
+ 1.5/2 = 2.25. La SSB sara` quindi 4*2.25 = 9.
 
Se invece il primo ha fatto 3 punti, il secondo 2, il terzo 1 e il 
quarto zero avremo: SB(1)=2+1=3 SB(2)=1 SB(3)=0 SB(4)=0. La SSB e` 
quindi 3+1+0+0 = 4.
 
Provare ora a calcolare max(SSB) e min(SSB) utilizzando le formule di 
cui sopra con N=4. Senza alcuna sorpresa (:-) si otterra` max=9 e min=4.
 
-- 
 
Roberto Ricca
2010:  1st time WORLD SERIES CHAMPIONS SAN FRANCISCO GIANTS
2012:  2nd time WORLD SERIES CHAMPIONS SAN FRANCISCO GIANTS
2014:  3rd time WORLD SERIES CHAMPIONS SAN FRANCISCO GIANTS
2015: GO GIANTS (Anybody but the Dodgers) 
 
 

 partite:-), la SSB dello stesso varia sempre tra questi due valori.
 
quindi viene naturale definire E = "indice di equilibrio del torneo round robin a N giocatori" come:
 
E = (SBB - minSBB) / (maxSBB - minSBB)
 
con 0 <= E <= 1
 
Se ho fatto i conti giusti:
 
E = (12 * SBB - 2 * N * (N - 1) * (N -2)) / (N * (N - 1) * (N -2)
 
Un ovvio candidato alla medaglia per la matematica inutile :-)


 
ooooops correzione
 
E = (12 * SBB - 2 * N * (N - 1) * (N -2)) / (N * (N - 1) * (N + 1))

Un ovvio candidato alla medaglia per la matematica inutile :-)
 
cosa dici, la matematica non č mai inutile :)
 
ciao
C. 
 

 
 
Purtroppo la soluzione che ho trovato richiede la consoscenza di alcuni concetti matematici fondamentali (roba da ultimo anno di liceo o istituto technico). Se il concetto di "sommatoria" non ti e' familiare allora e' normale che tu non abbia capito la risposta; non c'e' niente di male, solo che non hai mai studiato certe cose e non si puo' improvvisare una spiegazione semplice: per far la frittata (capire un calcolo matematico che usa la sommatoria) bisogna prima rompere le uova (studiarsi cos'e' una sommatoria).
 
Tu chiedi se c'e' "una formula che in generale lega quei due tipi di cifra": se la formula e' quella che ho indicato io, ci puoi arrivare in mille modi diversi ma dubito ne trovi uno semplice semplice che si capisce senza complicanze matematiche.
 
E' come se un tipo che ha appena imparato a muovere i pezzi di scacchi di chiede di insegnargli in maniera semplice semplice come giocare il Dragone: semplicemente non si puo' fare, prima di tutto il tipo deve sporcarsi le mani a capire un po' di tattica, strategia, attacco e difesa.

 ... ma con parole semplici semplici...
 
ci provo... :)
 
Il guaio è che *quello* è il modo più semplice: come accade quasi sempre 
quando c'è in ballo la matematica, qualsiasi tentativo di tradurre la 
cosa in "parole povere" richiederebbe, per dire davvero la stessa cosa, 
pagine e pagine di parole complicatissime... qualcosa ha già raccontato 
benone Roberto Ricca, e quindi non lo ripeterò; ma forse vale la pena di 
tentare di dire due parole di più su quel secondo termine che indica la 
"potenza" (in statistica e calcolo delle probabilità si chiama proprio 
così, perché è strettamente legata alla potenza di un fenomeno fisico, 
meccanico, elettrico eccetera), e contiene la somma dei quadrati dei 
punteggi di tutti i giocatori.
 
Se, per esempio, prendiamo due soli giocatori ed una sola partita, i 
soli risultati possibili (stranezze a parte) sono la patta o la vittoria 
di uno dei due. Nel primo caso, la somma vale 0,5*0,5 + 0,5*0,5 = 0,5
Nel secondo, vale 1*1 + 0*0 = 1. Come vedi, il secondo caso dà un 
risultato maggiore del primo.
 
Se prendiamo tre giocatori (quindi tre partite in totale), quando tutti 
pattano con tutti abbiamo una somma che vale
0,5*0,5 + 0,5*0,5 + 0,5*0,5 = 0,75
Se invece A vince con B, B vince con C, C vince con A, la somma vale 3.
 
Se ora i giocatori sono quattro, le partite sono sei; le cose già si 
complicano, ma il conto si riesce ancora a fare, e trovi che se tutti 
pattano la somma vale 1,5; ma se invece ad esempio A fa 3 punti, B ne fa 
2, C ne fa 1 e D ne fa 0, la somma vale già 14.
 
Da qui in poi, i numeri e le complicazioni crescono assai rapidamente... 
però questa cosa è vera in generale: se prendi tanti giocatori e tante 
partite, quanto più equilibrato è il torneo, tanto più è grande il 
numero di patte, e tanto più piccola è quella somma.
 
Le altre formule mostrano che la somma di tutti i Sonneborn-Berger è 
pari alla differenza tra una quantità praticamente fissa e questa 
"potenza" che abbiamo visto crescere con il disequilibrio del torneo. La 
differenza perciò è minima quando il disequilibrio è grande, e massima 
quando il torneo è perfettamente equilibrato.
 
Ciao!


 punteggi di tutti i giocatori.
 
Il parallelo e' carino: se in fisica l'energia si puo' vedere come variazione di potenza, allora la misura della somma degli SB indica quanta "energia" i giocatori hanno messo nel giocare torneo :-)


E per finire con un bel parolone, il valore
 
E = (12 * SBB - 2 * N * (N - 1) * (N -2)) / (N * (N - 1) * (N + 1))
 
lo chiamiamo l'ENTROPIA del torneo.

lo chiamiamo l'ENTROPIA del torneo.
 
Ricordando che SBB = N*(N-1)*(N-1)/2 - P
 
Possiamo anche esprimere L'entropia in funzione della potenza P (somma 
dei quadrati dei punteggi dei singoli giocatori):
 
E = (2*N * (2*N - 1) * (N-1) - 12 * P) / (N * (N-1) * (N+1))
 
-- 
Roberto Ricca
2010:  1st time WORLD SERIES CHAMPIONS SAN FRANCISCO GIANTS
2012:  2nd time WORLD SERIES CHAMPIONS SAN FRANCISCO GIANTS
2014:  3rd time WORLD SERIES CHAMPIONS SAN FRANCISCO GIANTS
2015: GO GIANTS (Anybody but the Dodgers)  [Magic Number: 109] 
 
 

 0,5*0,5 + 0,5*0,5 + 0,5*0,5 = 0,75 ...
 
sorry, ho scritto una cavolata: se tutti pattano con tutti, ogni 
giocatore non ha mezzo punto, ma un punto intero! Quindi la somma dei 
quadrati vale tre! <:(
 
Del resto, i conti tornano: se tutti pareggiano, o se A vince con B, che 
vince con C, che vince con A, il torneo è egualmente equilibrato (anche 
se in maniera diversa), quindi è giusto che la potenza sia la stessa.
 
Invece è diverso il caso, e il risultato del conto, quando A vince 
sempre e B vince solo con C, che invece perde sempre; in questo caso, la 
somma vale 2*2 + 1*1 + 0*0 = 5, che giustamente è maggiore di tre.



 
 
Bravo Musso e complimenti per l'iniziativa.
Per rinvigorire un newsgroup che ancora sopravvive nonostante i social 
network, c'è anche bisogno di queste stimabili idee.
 
Ce ne fossero di troll come te ;-)
 
 
Maurus
 

 Si = SonneborgBerger di i = SUMj(Rij * Pj)
 
E' perfetta.
 
-- 
Tanti saluti
 


domanda.. Yoda = Paolo Casacchi ??

 domanda.. Yoda = Paolo Casacchi ??
 
Non capisco se e cosa chiedi.
E' perfetta come contenuto matematico e come contenuto sostanziale; la
forma (cioe' le notazioni scelte) puo' essere migliorata, specie se non
viene scritta a macchina e limitatamente ai caratteri ASCII, ad esempio
la lettera greca Sigma maiuscola invece di SUM e' il simboli standard
di sommatoria -- vuoi sapere altro?
 
 
-- 
Tanti saluti
 


 
Scusa la risposta in ritardo ma non ho guardato molto IHS nelle ultime settimane.
Il libro, ti ringrazio, puoi usarlo per il tuo prossimo quiz a premi. Ho partecipato solo per la gloria e per il piacere di risolvere un problemino matematici interessanti. Grazie comunque.