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Titolo: Generalizzazione del Teorema Ippoliti-Orsi

Purtroppo solo stasera ho avuto modo di apprendere l'interessante scoperta 
di Giuliano e la relativa elaborazione teorica di Massimiliano che veniva 
fatta considerando le effettive funzioni utilizzate per il calcolo dell'ELO.
Ci ho riflettuto un po' e sono giunto alla conclusione che questo risultato 
possa essere generalizzato, ovvero che non dipenda esplicitamente dal fatto 
che si usi una logistica piuttosto che una gaussiana.
Riassumo i termini del problema:
detta f(d) la funzione che mi restituisce il punteggio atteso in funzione 
della differenza di rating tra me e i miei avversari e ipotizzando che io 
sia sottostimato di k (>0) punti (ovvero che al posto di "d" debba mettere 
"d + k") quali sono gli avversari che mi consentono di guadagnare il più 
rapidamente possibile il gap?
Otterrò il risultato di Ippoliti-Orsi (d=-k/2) con ipotesi abbastanza 
generali sulla funzione f().
Ipotesi:
---------------------------------------------------------------------------------
1) f è continua e due volte derivabile;
2) 0<= f(d)<= 1 per ogni d   (non posso fare peggio che perdere o meglio che 
vincere);
3) f'(d)>0 per ogni d       (più sono forte più faccio punti);
4) f(d)+f(-d)=1  per ogni d    (i punti che non faccio io li fa il mio 
avversario);
5) f''(d)>0 per ogni d<0  e  f''(d)>0 per ogni d>0  (ipotesi complicata, ma 
che, in sostanza, vuol dire solo che f'(d) è una funzione genericamente a 
campana con un unico massimo in d=0).
----------------------------------------------------------------------------------
Come correttamente diceva Massimiliano, bisogna massimizzare:
f(d+k) - f(d)
dove il primo termine sono i punti che, mediamente, farò, mentre il secondo 
sono è il punteggio aspettato dal sistema ELO.
Ponendo a 0 la derivata prima si ottiene:
6) f'(d+k) - f'(d) = 0
e dall'ipotesi 4) (derivando) discende:
7) f'(d) - f'(-d) = 0
poiché da 2) 3) e 5) si vede che
8) lim f'(d) (d->-inf) = lim f'(d) (d->+inf) = 0
possiamo concludere che f'(d) è una funzione strettamente crescente che 
varia da 0 e f'(0) per d negativi e strettamente descrescente per d positivi 
da f'(0) a 0.
Perché la 6) possa essere vera, data la 7) e la conclusione precedente, ci 
sono due possibilità:
o
9) d+k = d
o
10) d+k = -d
ma la 9) è impossibile perché allora k=0 contro l'ipotesi iniziale
e dalla 10)
d = -k/2
rimane da verificare il segno della derivata seconda nel punto della 
soluzione:
11) f''(-k/2 + k) - f''(-k/2) = f''(k/2) - f''(-k/2)
ma, per la 5) e per il fatto che k>0 per ipotesi entrambi i termini portano 
un contributo negativo per cui siamo effettivamente in presenza di un 
massimo.
QED
Corollario:
Se sono sovrastimato di k punti gli avversari che hanno k/2 punti meno di me 
sono quelli che mi fanno scendere più velocemente.
La dimostrazione è lasciata per esercizio :-)
Buona notte a tutti,
Paolo

 QED
Complimenti per la generalizzazione. Ho seguito la dimostrazione e la
trovo corretta e soprattutto elegante! Ti sei guadagnato l'immortalità
con il Teorema di Violini :-)))
Ciao,
Giuliano

 con il Teorema di Violini :-)))
Guarda in questi casi l'ultimo arrivato (se è onesto) si limita a
giustapporre il proprio nome a quello degli altri.
Quindi al massimo "Teorema di Ippoliti-Orsi-Violini" (e siamo pure già in
ordine alfabetico!)
:-)
Ciao,
Paolo
-- 
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 trovo corretta e soprattutto elegante! 
...
Poiché non sono del tutto d'accordo sull'eleganza della dimostrazione e
poiché è sempre più facile trovare dimostrazioni alternative una volta
capito il meccanismo della prima, mi è venuta in mente questa
dimostrazione semi-informale per chi avesse problemi a seguire quella
precedente:
Dovendo massimizzare:
f(d+k) - f(d)
si può osservare che ciò equivale a massimizzare l'integrale di f' tra d e
d+k.
Ora se f' è una generica campana centrata in 0, quale sarà l'intervallo
lungo l'asse delle x che massimizza l'area della campana in esso contenuta?
A me pare abbastanza evidente che tale intervallo (che è lungo k) debba
essere centrato in 0, da cui d=-k/2


 essere centrato in 0, da cui d=-k/2
Giusto. Per una spiegazione intuitiva del risultato, sei d'accordo con
la mia interpretazione? Ovvero : se 2 giocatori che hanno Elo E ed E+K
affrontano giocatori con una media M, le loro prestazioni si
assomigliano sempre di più via via che M si allontana dal loro Elo e
tendono a differire via via che M si avvicina al loro Elo, con un
massimo nella media tra i 2. Insomma, la differenza tra i 2 risalta al
massimo quando giocano con avversari con media E+K/2. Per questo, per
"mostrare" che si vale E+K invece di E, bisogna cercare avversari con E
+K/2.
Ciao,
J.

 +K/2.
Sono abbastanza d'accordo anche se sostituirei "prestazioni" con "punteggi
attesi" perché il primo termine rischia di essere confuso con la
performance. D'altra parte mi rendo conto che, forse, questa sostituzione
renderebbe meno scorrevole l'intera interpretazione.


 renderebbe meno scorrevole l'intera interpretazione.
Ovviamente le performance saranno sempre E ed E+K, fai bene a
puntualizzare : intendevo i punteggi attesi.
Ciao,
J.