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Titolo: Modi di calcolo della volatilita' per le opzioni (lungo)

 per calcolare la volatilità da solo.
Ho preparato un messaggio di risposta piuttosto lungo (ricavandolo da cose
che avevo), con l'intenzione di inviarlo anche al news-group.
Cerco di dare una risposta esauriente a questo tipo di richiesta, cui
peraltro ho gia' cercato in occasioni precedenti di rispondere.
Prima pero' vorrei fare, se ne sono capace, un po' di chiarezza. E non
sarebbe male, se dico cose non corrette, che successivi messaggi, da parte
di persone piu' esperte, intervenissero a rettificare e a stabilire i
concetti in forma definitivamente valida, cosicchè, alla fine, possa
memorizzare il risultato una volta per tutte, per semplicemente accluderlo
come risposta a possibili successive richieste sullo stesso argomento.
Esistono due distinti tipi di volatilita' del prezzo di una attivita'
sottostante una opzione.
Il primo tipo, detta volatilita' "storica", e' un indice statistico ben
definito, che dipende dai valori assunti dal prezzo dell'attivita'
sottostante nei vari intervalli elementari del periodo al quale si vuole
estendere il significato e il calcolo della volatilita' stessa.
Se il valore assunto dal prezzo nei vari intervalli elementari e' noto,
esiste un procedimento di calcolo preciso che permette di valutare
direttamente la volatilita' "storica". (La spiegazione dettagliata del
metodo di calcolo, pur semplice, richiede una notazione di tipo matematico
che non e' facilmente riportabile nel formato testo di un messaggio e-mail.
Se qualcuno la desidera, dato che non e' ammesso di norma allegare file ai
messaggi verso i news-group, posso inviare direttamente un file in formato
.doc con tale spiegazione, ed un foglio di lavoro esemplificativo .xls che
attua il calcolo di tale indice).
Il secondo tipo di volatilita', detta volatilita' implicita, e' invece un
diverso parametro, cui viene fatto riferimento nel modello di calcolo del
prezzo di una opzione a suo tempo approntato da Black & Scholes (cui questo
modello, tra le altre cose, e' servito, a quanto mi risulta, per ottenere il
premio Nobel!).
Il modello di B&S (come viene detto in un gergo abbreviato) e' un
ragionamento che si concretizza alla fine in una formula matematica, e che,
in base a plausibili assunzioni di tipo statistico/probabilistico sul modo
di variare dei prezzi di una attivita', determina la probabilita' che, in
una certa situazione descritta in modo sintetico dal valore di alcuni
parametri, il prezzo dell'attivita' raggiunga un certo valore fissato.
Questo modello, dato che e' davvero abbastanza plausibile, viene largamente
usato per stimare, contemporaneamente a  tale probabilita', quanto e'
corretto far costare una opzione (cioe' il diritto di acquistare o vendere)
sull'attivita' sottostante, per i vari valori del prezzo di esercizio.
I parametri che descrivono la situazione di mercato da cui parte il modello
di B&S sono:
1. il tempo che manca alla scadenza dell'opzione
2. il prezzo attuale del sottostante
3. il prezzo di esercizio dell'opzione
4. la rendita corrente (anualizzata) di un investimento considerato "senza
rischio" (ad esempio in titoli di stato)
5. la rendita eventuale (ad esempio distribuzione di dividendi) prevista per
l'attivita' sottostante nel periodo di tempo che intercorre fino alla
scadenza dell'opzione (anch'essa riportata all'anno)
6. la volatilita' (e cioe' l'indice di cui si e' parlato prima), ma
calcolata sull'andamento dei prezzi del sottostante dal momento corrente
fino all'istante di scadenza dell'opzione (e quindi nel futuro!), e
rapportata ad un anno.
Come risulta ovvio, i valori dei primi cinque parametri sono in genere
calcolabili con relativamente poca incertezza, mentre il valore da
attribuire all'ultimo risulta assolutamente non calcolabile!
Per ottenere con il modello di B&S un valore di partenza probabilisticamente
equo del prezzo dell'opzione stessa, da modificare poi eventualmente in base
ad altre considerazioni, chi mette in vendita l'opzione, inizialmente, stima
allora  la volatilita' assumendo (come si fa spesso quando si vogliono
trarre previsioni per il futuro a partire da quello che si sa) che la
volatilita' futura abbia un valore deducibile dalla volatilita' registrata
in passato (e cioe' dalla volatilita' "storica").
Poi pero' il mercato regola il prezzo reale dell'opzione in base a tutti gli
innumerevoli fattori che determinano il mercato stesso.
In un momento successivo qualsiasi, quindi, il prezzo effettivo dell'opzione
e' correlato (sempre secondo il modello di B&S, se lo si vuole continuare a
ritenere valido, e a parita' di valore per gli altri parametri) ad un valore
del parametro volatilita' proprio determinato dal mercato.
Questo valore e' detto volatilita' "implicita", ed e' quindi, in altre
parole, quel valore di volatilita' che, se inserito nel modello B&S,
fornisce proprio il prezzo reale di mercato dell'opzione.
Qui nasce una ulteriore (piccola) difficolta'. Il modello di B&S, per il
tipo di relazioni matematiche cui esso da' luogo, non permette direttamente
di calcolare, a ritroso, dati i valori dei primi cinque paramentri ed il
prezzo dell'opzione, il valore della volatilita' corrispondente (e cioe' la
volatilita' "implicita" attuale). E' pero' molto semplice ricavare tale
valore ugualmente, numericamente, se si dispone del modo per calcolare con
la relazione di B&S il prezzo dell'opzione: basta fare alcuni tentativi,
partendo da un valore di volatilita' ipotizzato, e modificandolo fino a
quando il prezzo dll'opzione calcolato non risulta sufficientemente vicino
al prezzo di mercato corrente. Il valore di volatilita' per cui questo
succede e' il valore corrente della volatilita' "implicita". Il confronto di
esso con il valore di volatilita' "storica" relativa ad un periodo
precedente che si reputi significativo puo' essere di aiuto a capire se il
mercato attualmente sta sopravvalutando o sottovalutando il valore
dell'opzione rispetto al valore equo da un punto di vista puramente
probabilistico (e conforme al modello di B&S!).
Detto tutto questo, risulta evidente (spero!) che per il calcolo della
volatilita' "implicita" in tempo reale e' necessario conoscere il valore
corrente dei primi cinque parametri elencati piu' sopra, il valore attuale
del prezzo di mercato dell'opzione in esame, e disporre di un modo "comodo"
di valutare, con le relazioni di B&S, il prezzo teorico dell'opzione.
Quest'ultimo modo "comodo" puo' essere uno dei tanti "calcolatori" che si
trovano gia' pronti in vari siti finanziari nel web, oppure un programma per
computer che si possa utilizzare direttamente sul proprio PC, senza essere
collegati alla rete.
Una breve ricerca in rete fornisce subito risultati, piuttosto
indifferenziati tra loro, per entrambi.
Dando la preferenza fra gli esiti della ricerca ai siti "educational", uno
strumento del primo tipo puo' essere trovato, ad esempio, all'indirizzo
http://student-www.uchicago.edu/~rkimmel/Option.html
Programmi di calcolo stand-alone (programmi veri e propri oppure fogli di
calcolo per applicazioni quali Excel o Mathcad) si possono per esempio
scaricare dai siti
http://www.swcollege.com/finance/moyer/excel.html
http://www.gsb.georgetown.edu/faculty/bodurthj/teaching/optsimpl.htm
http://www.bookcase.com/library/software/win3x.desktop.finance.html
http://finance.expedition.com/Html/Financial_Software.htm
http://venus.mathsoft.com/appsindex.html
Avvertimento conclusivo. Ritengo essenziale avvertire che la scelta dei siti
indicati e' (quasi) completamente casuale, e che non sono in grado di dare
alcuna valutazione, di nessun tipo, sulla qualita' reale delle informazioni
che in essi si trovano disponibili.
Come al solito, resta responsabilita' individuale dell'utilizzatore delle
informazioni che provengono dalla rete verificarne correttezza e
utilizzabilita' nel proprio contesto particolare.
Saluti a tutti. Andrea.
P.S.  Dimenticavo. Parecchio tempo fa una ricerca in rete con argomento
simile a quello di questo messaggio, mi aveva permesso di trovare un foglio
.xls dedicato sia al calcolo del modello di B&S che della volatilita'
"storica". Non ricordo pero' piu' quale fosse l'indirizzo dal quale lo avevo
prelevato. Il foglio .xls (cui ho apportato qualche modifica ed
aggiustamento) pero' ce l'ho ancora, e, anche se in misura piuttosto
modesta, l'ho anche superficialmente provato. Se qualcuno lo desidera, posso
inviare per e-mail l'intero foglio di lavoro, anche se mi dispiace non
essere piu' in grado di riferirlo a chi in origine lo aveva realizzato.
Anche per questo e' comunque esclusa esplicitamente ogni garanzia o
affermazione di responsabilita' o correttezza.

Se a qualcuno interessano un paio di titoli di libri che trattano il
modello di b&s me lo faccia sapere.
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l'allegro chirurgo
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