Newsgroup: it.economia.borsa
Titolo: [OT] Se mod3=2 mod5=4 mod7=3 allora N=59

Un giochino matematico già noto nel medioevo.
Pensa un numero intero minore di 106.
Dividi il tuo numero per 3 e dimmi il resto.
Dividi il tuo numero per 5 e dimmi il resto.
Dividi il tuo numero per 7 e dimmi il resto.
Sapendo questi resti, come si fa ad indovinare facilmente
il numero che hai pensato? (Senza ovviamente esaminare
numero per numero o procedere per tentativi) 

> Un giochino matematico già noto nel medioevo.
azz..., sei così vecchio?

numero per numero o procedere per tentativi) 
In realtà questo è un problema generale che mi sono posto già in passato
senza trovare la soluzione, che immagino sia ovvia per chi conosce un
po' di teoria dei numeri o di aritmetica.  Hai N numeri primi fra loro
(in questo caso 3, 5, 7), e con i loro resti puoi esprimere in maniera
univoca qualunque numero fino al loro prodotto.  Ma come si fa a trovare
il numero dati i resti?  Io ho trovato una formula, ma è tutt'altro che
semplice...

 ha scritto nel messaggio 
news:87zlq6y...@tucano.isti.cnr.it...
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Prova a postarla.
Comunque, quella che conosco (per il caso particolare) è molto semplice. 

Francesco Potorti` ha scritto:
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Bingo!!!
Il giochino è basato su un teorema che viene chiamato "teorema cinese del
resto" (
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_cinese_del_resto
).
La tecnica per risolverlo è la seguente: (adattata all'esempio)
prendiamo intanto in considerazione 3 e il prodotto degli altri due
moduli: 5*7=35
troviamo due numeri a e b tali che 3*a+35*b=1 ovvero a=12, b=-1 (si
trovano tramite l'algoritmo di euclide delle divisioni successive, vedi
teorema di bezout)
dimentichiamoci di a e teniamo da parte b=-1: infatti con b=-1 si ha
-1*35=0 (mod 5); =0 (mod 7); =1 (mod 3)
quindi (-1*35)*2=0 (mod 5); =0 (mod 7); =1 (mod 3). E abbiamo per ora
risolto una delle 3 congruenze.
 
prendiamo ora in considerazione 5 e il prodotto degli altri due moduli
3*7=21
troviamo due numeri a e b tali che 5*a+21*b=1 ovvero a=-4, b=1
si ha 1*21=1 (mod 5); =0 (mod 7); =0 (mod 3)
quindi (1*21)*4=4 (mod 5); =0 (mod 7); =0 (mod 3). E abbiamo per ora
risolto la seconda delle 3 congruenze.
 
 
prendiamo ora in considerazione 7 e il prodotto degli altri due moduli
3*5=15
troviamo due numeri a e b tali che 7*a+15*b=1 ovvero a=-2, b=1
si ha 1*15=0 (mod 5); =1 (mod 7); =0 (mod 3)
quindi (1*15)*3=0 (mod 5); =3 (mod 7); =0 (mod 3). E abbiamo per ora
risolto la terza delle 3 congruenze.
 
dunque sommando i tre numeri ottenuti -35*2+21*4+15*3=59 otteniamo
certamente un numero N che soddisfa tutte e tre le richieste.
-- 
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ab...@newsland.it

Se mod3=2 mod5=4 mod7=3 allora N=59
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Prova a farne uno con il "69" :-))
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 ha scritto nel messaggio 
news:g1rjje$plm$1...@news.newsland.it...
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Trilussa, sai una cosa?
La gente normale si allontana dalla matematica, anche dai problemini e
quiz che potrebbero essere divertenti (e far imparare a ragionare), secondo
me, proprio perchè si introducono complicazioni inutili e concetti astrusi.
In questo caso, non ti sembra più semplice utilizzare:
N = 70R3 + 21R5 + 15R7 -105k
dove : N è il numero da indovinare
R3   R5   R7   sono i tre resti della divisione (:3  :5   :7)
k = 0, 1, 2  per riportare il risultato, se necessario, a meno di 106
Es. 70*2 + 21*4 + 15*3 = 269 - 210 = 59
Magari dirai: e come faccio a trovare quella espressione?
Vero, non tutti ci arrivano...
Allora, ragioniamo così:
Qual è il numero che diviso per 3 dà come resto 2 ed è multiplo di 5 e 7?
 5*7 = 35   OK
Qual è il numero che diviso per 5 dà come resto 4 e che è multiplo di 3 e 7?
3*7  no    2*3*7  no      3*3*7  no    4*3*7 = 84   OK
Qual è il numero che diviso per 7 dà come resto 3 e che è multiplo di 3 e 5?
3*5  no    2*3*5  no      3*3*5 = 45     OK
Sommiamo 35 + 84 + 45 = 164   troppo   togliamo 105 e otteniamo
164 - 105 = 59

certamente un numero N che soddisfa tutte e tre le richieste.
Vabbé, ma questo non è mica semplice :)

Comunque, quella che conosco (per il caso particolare) è molto semplice. 
Mi sa che è difficile, comunque non dire la soluzione, ancora.

 ha scritto nel messaggio 
news:87od6mx...@tucano.isti.cnr.it...
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Allora, non leggere la mia risposta a Trilussa 

 Allora, ragioniamo così:
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Giustissimo!
Ci vorrebbero due matematiche: quella per la "gente" e quella per gli
"astrusi".
Per gli astrusi uso le parole del mio "piccolo" matematico:
**********
Il procedimento è lo stesso: entrambi cerchiamo per ogni passo un numero
che dia il resto desiderato nella divisione per uno dei tre numeri e che
dia contemporaneamente resto 0 nella divisione per gli altri due, e infine
sommiamo i numeri così ottenuti.
L'unica differenza è che tu provi per tentativi il numero "che diviso per
5 dà come resto 4 e che è multiplo di 3 e 7..." mentre io ti spiego la
tecnica per trovarlo.
**********
Per la gente risponde "Trilussa":-)))
Fissato ne l'idea de l'uguajanza
un Gallo scrisse all'Aquila: - Compagna,
siccome te ne stai su la montagna
bisogna che abbolimo 'sta distanza:
perché nun è né giusto né civile
ch'io stia fra la monnezza d'un cortile,
ma sarebbe più commodo e più bello
de vive ner medesimo livello.-
L'Aquila je rispose: - Caro mio,
accetto volentieri la proposta:
volemo fa' amicizzia? So' disposta:
ma nun pretenne che m'abbassi io.
Se te senti la forza necessaria
spalanca l'ale e viettene per aria:
se nun t'abbasta l'anima de fallo
io seguito a fa' l'Aquila e tu er Gallo.


Francesco Potorti` ha scritto:

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Se hai un'altra "opinione"...... non l'accendiamo!-)



Ovviamente, non sono d'accordo. Non c'è nulla da spiegare.
La vera intelligenza sta  nell'intuizione.
Ci sono soluzioni addomesticate a seguito di procedimenti
più o meno farraginosi, che esigono conoscenze da cui derivano,
spesso con l'applicazione in modo automatico e senza
ragionamento, ed altre immediate e brillanti.
Come, nel caso precedente, il calcolo, eseguibile facilmente
a mente mediante  70R3 + 21R5 + 15R7 -105k
è un autentico gioiellino.
A differenza della spiegazione su wikipedia.
Un altro esempio lo puoi vedere se guardi il precedente thread
http://groups.google.it/group/it.economia.borsa/browse_thread/thread/358c0e5e53b4283/d50a18171a476ab5?hl=it&lnk=st&q=%5BOT%5D+%2B+variante+delle+palle#d50a18171a476ab5
Nella mia vita, tanti anni fa, ho conosciuto un analista chimico;
pur non avendo scuola, nè conoscenze matematiche, era una
persona veramente geniale e risolveva anche i problemi più
complessi, "inventandosi" il modo (non ortodosso, ma efficace)
per giungere al risultato.
Ad es., trovò subito la soluzione al quesito che posterò tra poco
(Uno strano torneo), mentre un famoso docente di matematica
sarebbe ancora lì a pensarci (se non gli avessi svelato la soluzione)

 concetti astrusi.
Per risolvere problemi come quello che hai postato esiste una procedura 
semplice generale e consolidata (che peraltro costruisce la soluzione 
esattamente come hai fatto tu nella tua spiegazione).
Se rileggi (e comprendi) la spiegazione su wikipedia, scopri che essa, al di 
la del formalismo, che a primo acchito può essere più o meno comprensibile, 
semplicemente dimostra, consolida e generalizza quella che altrmenti 
resterebbe solo una estemporanea intuizione, buona al massimo per farci un 
giochino con gli amici.
La matematica non serve solo a risolvere giochini e non è che si possa 
costruire granchè su "intuizioni" che poi ti consentono al massimo di fare 
affermazioni tipo:
"Prova a postarla.
Comunque, quella che conosco (per il caso particolare) è molto semplice."
C'è un salto di qualità enorme fra scovare in qualche modo una soluzione di 
un particolare problema e mettere a punto un procedimento generale per 
risolvere una intera classe di problemi.
-- 
Era un popolo strano e sfortunato:
il benessere li aveva privati di tutto.
(Stefano Benni - La compagnia dei Celestini)

 sarebbe ancora lì a pensarci (se non gli avessi svelato la soluzione)
Potrebbe essere ....perchè no?
Un matematico "normalmente" ad un quesito risponde "ci devo pensare".
Se poi il matematico è di "alto livello".....normalmente" non ha alcun
problema ad ammettere che "non conosce l'argomento".



Siamo fuori di testa? Prendiamola sul ridere, va... 

>> >numero per numero o procedere per tentativi)
Usando la tua notazione, R3 vuol dire n%3, cioč n modulo 3.
Dobbiamo trovare n avendo R3, R5, R7.
La mia formula č cosě fatta:
 R15  = (R5-R3)%3 x 5 + R5
 R105 = (R7-R15)%7 x 15 + R15
problemi: funziona, ma non so perché
          non č semplice, anche se si puň fare a memoria
          non riesco a semplificarla

 Siamo fuori di testa?
Non so che dire.
Io capisco quello che scrivi, non sempre lo condivido, ma lo capisco.
E a volte esprimo il mio dissenso. Non capisco perchè tu debba scaldarti 
tanto e passare all'offesa personale.



Scusa, non volevo assolutamente offendere.
Ho risposto così alla tua frase:
" C'è un salto di qualità enorme fra scovare in qualche modo una soluzione
di un particolare problema e mettere a punto un procedimento generale per
risolvere una intera classe di problemi."
Perchè prendi tutto troppo sul serio. Io non ho mai preteso di risolvere
in modo rivoluzionario una intera classe di problemi. Non ne sono fra 
l'altro
capace. Desideravo semplicemente (forse mi illudevo) sollecitare a
ragionamenti divertenti e alla portata di chiunque.

 ragionamenti divertenti e alla portata di chiunque.
E finchè ti limiti a quello nulla da eccepire, anzi, ma permettimi di 
prenderti (un po') sul serio se te ne vieni fuori con giudizi apodittici sul 
perchè "la gente normale si allontana dalla matematica" tipo quello a cui ho 
inizialmente replicato.



Non ho capito come dovresti (potresti) utilizzarla.
Comunque, trovare la formuletta (che per :3:5:7 ho riportato in
precedenza) č facile per tutti i casi in cui si hanno i resti delle
varie divisioni.
Ad es., 3-4-5  : resti R3, R4, R5  numero massimo 3*4*5 = 60
N = 40R3 + 45R4 + 36R5 - 60k
- 2-7-13   : resti R2, R7, R13  numero massimo 2*7*13 = 182
 N = 91R2 + 78R7 + 14R13 - 182k
- 2-3-5-11 : numero massimo 2*3*5*11 = 330
 N = 165R2 + 220R3 + 66R5 + 210 R11 - 330k
ecc...... 


Avevo precisato "secondo me".  E' quindi la mia opinione.
Avvalorata dall'odio che (inspiegabilmente) la maggioranza ha anche per
i calcoli più semplici. Non sarà mica perchè la materia gli è stata spiegata
male?
Opinione in cui confido, ma non sono così sciocco da presumere sia sempre
la "verità". 

 N = 165R2 + 220R3 + 66R5 + 210 R11 - 330k
Stai usando il metodo (assolutamente generale) proposto da Trilussa, quello 
spiegato su Wikipedia.
Lo sai vero ? Dimmi che lo sai ! :-)



Non capisco cosa dovrei dirti...
Che non ho inventato nulla?
Certo, in questo caso ti faccio contento.
Se invece pensi che con il metodo generale secondo le modalità proposte
da Trilussa la gente comune "a mente" riesce a scoprire il numero nei vari 
casi,
questo no! Ti dico che lo so che non è così.

 numero nei vari casi, questo no! Ti dico che lo so che non è così.
Tu contraddici te stesso.
Stai usando proprio quello, pari pari.


Non ho capito come dovresti (potresti) utilizzarla.
Beh, nel caso del tuo esempio, R3=2, R5=4, R7=3.  Allora:
 R15  = (4-2)%3 x 5 + 4 = 14
 R105 = (3-14)%7 x 15 + 14 = 59