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Titolo: Odifreddi e l'ornitorinco

Leggo (con gusto) un articolo su "La Repubblica" di oggi, 4 c.m., circa la 
"sfida" tenutasi a Bologna tra U.Eco, Odifreddi e Maurizio Ferraris. Ricordo 
che quest'ultimo (esimio professore di filosofia teoretica a Torino) e' 
autore di un libro violentemente anti-kantiano ("Goodbye, Kant!"), che, a 
sentire Eco, è "apprezzabile per la sua sfacciataggine e degno d'essere 
stato scritto in un seminario arcivescovile di inizio Ottocento". Non 
insisto oltre su questo esimio professore, il cui unico intento (a parte 
quello precipuamente editoriale) e' quello di convincere qualche sprovveduto 
lettore che la "Critica della ragion pura" e' da buttare. Quello che volevo 
invece segnalare e' la posizione di Odifreddi, che nella diatriba (il titolo 
era "Goodbye, Kant! Hello Einstein!", con evidente allusione all'annosa 
questione del rapporto tra filosofia e scienza) si schiera decisamente a 
difesa di Kant. Basta la citazione: "Kant sostiene, a proposito delle idee 
trascendentali, che se la ragione vuol essere completa, cioe' occuparsene, 
finisce con l'essere inconsistente, cioe' cadere in contraddizione. Se 
volete essere consistenti, dovete essere incompleti. E' proprio quello che 
sostiene il teorema di Goedel, o per lo meno cosi' io lo spiegherei a un 
neofita". Odifreddi sbaglia, nella misura in cui non riconosce che Goedel e 
Kant cosi' andrebbero spiegati, non solo al neofita, ma anche a qualche 
esimio professore universitario. Conosciamo tutti la posizione, non certo 
tenera, di Odifreddi nei confronti dei filosofi; a maggior ragione si 
dimostra ancora una volta che l'intelligenza costituisce uno schieramento 
trasversale. Se poi vogliamo a tutti i costi affidarci a tassonomie 
scientifiche, in questioni di questo genere, allora capita di non saper dove 
collocare un animale, come nel caso del sipatico mammifero ricordato da Eco. 
Sappiamo dove precisamente collocare Eco, un po' meno dove collocare 
Odifreddi; ma forse e' meglio prendere atto delle cose, e un animale che 
allatta i piccoli, ma nondimeno fa le uova, ha un becco, eppure non e' un 
uccello... e' meglio classificarlo a parte e con la dovuta attenzione per 
gli animali in via di estinzione: come appartenente alla classe dei 
mammiferi, sottoclasse dei monotremi, per la precisione gli 
"ornitorinchidi". Nessun dubbio, invece, su come classificare chi porta il 
cognome di chi ha dato vero lustro alla scienza, ma di nome non fa 
"Galileo"; lo ha gia' fatto Eco: in un seminario arcivescovile di inizio 
Ottocento. O forse in quello dei nuovi chierici della scienza?
Un saluto,
Loris

 lettore che la "Critica della ragion pura" e' da buttare. 
lol
ma almeno far finta di imbattersi per sbaglio in una rece sletterata di 
quel libro su web, in cui viene magari riportata una sintesi grossolana 
del retro di copertina letto al contrario, sarebbe un non insistere 
oltre già più fedele al testo...

 già più fedele al testo...
Certo, cara Logan, il rischio e' quello di leggere i libri da fondo a capo. 
Il modo piu' logico per farlo e' proprio quello di cominciare dal retro di 
copertina.
Ciao,
Loris

esimio professore universitario.
E qui Odifreddi lo possiamo riallacciare a Pareyson (la ragione è dogmatica)
che tentava, senza usare il linguaggio formale, di dire con "linguaggio
simbolico" la stessa cosa.
In realtà si tratta di far notare quel limite che è posto agli umani in
quanto tali. Un limite che Kant chiamava "cosa in sè", Odifreddi cita
giustamente Goedel, e Ferraris forse seguendo le orme di Pareyson cerca di
dire la stessa cosa ma "mettendo" in quel "limite" ancora una volta una
presenza, magari il divino. Farei notare anche come Eco si sia dedicato allo
studio dei simboli.....
Ricordo in ultimo che lo stesso Goedel ritenne di aver dimostrato con un
teorema la esistenza di dio o cose del genere.
A mio parere sono tre "amanti" del sapere che in modo diverso tentano di
dire la stessa cosa.
Il tutto rimanda al tema della "dotta ignoranza" di cui hanno parlato tanto
bene vari filosofi.
Resta purtroppo sempre la "religione" di turno che deve infilarci la propria
divinità in questa "dotta ignoranza". Ma anche questo è tema lungo e
stradibattuto.
E ho notato che si arriva a uno agnosticismo gnoseologico che permette di
"infilare" la divinità in questa "dotta ignoranza".
Non resta quindi che "chiarificare" ulteriormente i termini del discorso per
meglio intendersi e fare intendere le diverse sensibilità. E in questo
compito a volte la scienza aiuta per il semplice fatto che mostra una
oggettività che almeno mette d'accordo gli umani tra loro.
Ma si sappia che la scienza è fatta da un cervello umano inserito in
un'ambiente. E sia il cervello che lo ambiente non sono stati "inventati"
dagli umani. Caos, ordine.......
Io direi semplicemente "Mistero".
Saluti a tutti
Franco
p.s. mi scuso per la stringatezza, ma sono temi davvero ampi.

 studio dei simboli.....
Io invece osserverei che il collegamento stabilito da Odifreddi tra Kant e
Goedel è sicuramente interessante e per certi versi incontestabile, ma
dovrebbe essere approfondito. Lo stesso Odifreddi fa notare che la
"traduzione" di Kant in Goedel necessita della sostituzione della parola
"ragione" alla parola "sistema formale". Tenendo prensente il fatto
apparentemente pacifico che a "dimostrare" è sempre e comunque la ragione (è
la ragione che dimostra *nel* sistema formale, assumendone gli assiomi e le
regole di inferenza), quella sostituzione non mi pare una cosa così
automatica. Ci ritorno sotto.
 Il primo teorema di Goedel dimostra l'esistenza, all'interno del sistema
formale sintatticamente coerente (posto che soddisfi certe condizioni), di
proposizioni indecidibili (o meglio, di *almeno una* proposizione
indecidibile, che viene effettivamente esibita, cioè costruita). E questo
teorema equivale, in pratica, al fatto che un sistema (sintatticamente)
coerente è necessariamente (sintatticamente) incompleto. Ma a questo punto:
1. Andrebbe visto fino a che punto la "completezza sintattica" corrisponde
alla kantiana applicazione dei "concetti della ragion pura" alla "cosa in
sè" - applicazione che conduce alle antinomie (se il mondo è limitato nello
spazio e nel tempo allora è illimitato nello spazio e nel tempo; se il mondo
è illimitato nello spazio e nel tempo allora è limitato nello spazio e nel
tempo; etc.). E' chiamata in causa la relazione tra logica e gnoseologia.
2.Rimane vero che la formula (sia G) di cui Goedel dimostra l'indecidibilità
all'interno del sistema formale è, proprio perchè dice di sè stessa di non
essere dimostrabile, *vera* - e dunque il sistema è "semanticamente
incompleto" (=non tutte le verità esprimibili nel suo linguaggio sono
dimostrabili). La "ragione" kantiana, invece, non è semanticamente
incompleta. E questo introduce ad un'altra considerazione.
3. Come scrive lo stesso Goedel nella introduzione al suo lavoro del 1931
contenente i due celebri teoremi, il fatto della *verità* della formula G
sta a significare che essa non è decidibile *all'interno del sistema
formale*, ma lo è invece sulla base di considerazioni metateoriche (cioè, in
sostanza, trascendendo il sistema): G dice di sè stessa di non essere
dimostrabile all'inerno del sistema formale, *dunque è vera*. Ma allora -
stando al collegamento stabilito da Odifreddi - ci sono delle considerazioni
metateoriche che consentono di risolvere le "antinomie della ragione"? Ma
allora ha ragione Hegel!!! (chissà cosa starà pensando Loris:-)). Mi sono
limitato a dare indicazioni rozze, che tuttavia dovrebbero far capire che la
sostituzione di "sistema formale" a "ragione" non è una cosa così
automatica.
Un saluto,
Marco

 cercando di sviluppare uno dei suoi "discepoli"(Ferraris).
A questo vorrei rispondere con una citazione, questa si' da me
condivisibile, da Ferraris stesso (che traggo da una sua intervista sul tema
dell'ermeneutica (si trova on-line):
<<Noi aspettiamo continuamente un evento; il nostro rapporto con il testo e
con il mondo è sempre un rapporto interpretativo che ci induce ad attendere
che qualcosa avvenga. Tutte le volte che questo qualcosa si presenta diciamo
che non è questo il vero messia; se si è presentato allora non è il vero
messia. Dobbiamo aspettare ancora qualcos'altro>>.
Condivisibile, dicevo: condivisibile come... ermeneutica dell'ermeneutica.
Peccato che dia origine a un ben famoso paradosso. Ogni messia non e' il
vero messia, neppure il "messia" che predica l'impossibilita' della venuta
di qualsiasi messia. Kant, che non era affatto un messia, sara'
"decostruito" in nome di quell' "enorme ontologia invisibile" (Searl) "a cui
Kant non si era mai dato la pena di pensare" (pag. 139). Ma in fondo e' 
vero, perche' se e' vero che "non esiste testo, ma solo contesto", 
l'ermeneutica e' facile preda, come forma impotente di interpretazione del 
mondo, del suo rovesciamento in prassi potente di illimitata trasformazione 
del mondo. Dove volano le involontarie e riluttanti mosche cocchiere, dei 
non piu' visionari "messia" della scienza? Ok, per ora mi rimangio solo i 
"chierici della scienza"; dovevo dire meglio "i portatori d'acqua dei 
chierici della scienza". Quanto a tutto il resto... si', va bene:
Goodbye, vecchio Kant! Hello, Swedenborg!
E un saluto anche a te e a tutti,
Loris

 Loris
Un saluto,
Chérie 

 ha scritto nel messaggio
news:36ibksF...@individual.net...

Hello, Marco!:-). Una breve e frettolosa contro-osservazione alla tua;
proprio uno spunto E se
invece considerassimo la questione a "rovescio"? Se, cioe', "traducessimo"
Goedel in Kant? Due sommarie considerazioni preliminari:
1) Goedel dimostra (nel 1. teorema e fermandoci ad esso) l'indecidibilita'
di G, cioe' che G non e' formalmente *dimostrabile* (nel sistema S); con
cio' mostra una *verita'* informale (cioe' "esterna" ad S). "Formale" ed
"informale" corrispondono a livelli metalinguistici diversi, come vi
corrispondono *dimostrabilita'" e "verita'".
2) In base a questa distinzione Goedel ha potuto volgere in positivo il
paradosso del Mentitore (come ha fatto per sua stessa ammissione): appunto
la *verita'* incontrovertibile di G. Da cio' l'incompletezza di S ecc. ecc..
Ora, tu osservi che la "ragione" kantiana è semanticamente completa. Cosa 
accadrebbe allora, per ipotesi assurda, se S di Goedel fosse completo? 
Accadrebbe che ri-avremmo il paradosso del Mentitore "in negativo", cioe' 
non piu' la verita' informale di G, ma l'*antinomia* formale di G. Avremmo 
cioe' la forma pura delle antinomie di Kant, come risultato della "fusione" 
(diciamo cosi') dei livelli metalinguistici.
Questo mostra, forse (che a quest'ora diventa un *molto* forse), che la 
"ragione" kantiana, che esibisce le antinomie come prova della sua 
incompletezza, *mostra* quell'indecidibilita' formale, di cui Goedel 
*dimostra* la verita' informale.
Cari saluti e buona notte,
Loris

 *dimostra* la verita' informale.
Sopra avevi detto che la verità informale è *mostrata* da Goedel. E sulla
coppia dimostrare/mostrare ho fatto comunque delle osservazioni sopra,
dicendo che anche la "mostrazione" della verità di G in S è avvolta dalla
dimostrazione.
Se M è la formula "il mondo ha un cominciamento (nel tempo)", e se K deve
essere completo, allora tanto M quanto non-M sono teoremi di K. Tuttavia,
mentre l'indecidibilità di G non può essere dimostrata in S, perchè ciò
implicherebbe la dimostrazione di G in S (e da ciò seguirebbe l'incoerenza
di S), questa struttura logica non è prodotta in K dalla formula M.
Mi è chiaro comunque quel che vuoi dire, ponendo K dal lato del mostrare e
Goedel dal lato del dimostrare. Tuttavia, quando dici che K esibisce le
antinomie come *prova* della sua incompletezza, intendi che l'incompletezza
di K è mostrata o dimostrata? Te lo chiedo anche perchè l'incompletezza
(sintattica) equivale alla indecidibilità di almeno una formula.
Cari saluti,
Marco

 allora ha ragione Hegel!!! (chissà cosa starà pensando Loris:-)).
Provocatore di un Marco!:-)). Apro subito un'appendice, ironica e leggera, a
questo thread.
Cari saluti,
Loris.

 allora ha ragione Hegel!!! (chissà cosa starà pensando Loris:-)).
Per sua disgrazia Goedel non deve aver letto Hegel, altrimenti sarebbe 
rimasto fulminato da quella hilbertiana "dimostrazione assoluta" che andava 
refutando, e che invece si trova a chiare lettere nella Scienza della 
logica, e perfino gia' nella Fenomenologia. Non sarebbe certo rimasto 
sorpreso dal fatto che basta "ampliare" il sistema S in S' con l'assioma G 
per completarlo, ma la sua soddisfazione, nel replicare che e' sempre 
costruibile G' per tornare a renderlo incompleto, sarebbe stata di breve 
durata. Sarebbe infatti rimasto costernato di fronte all'assunzione 
assiomatica hegeliana che la verita' di G non appartiene ne' a S ne' a S', 
ma consiste nel rapporto dialettico S-S'. E che questo assioma H non teme la 
"cattiva infinita'" di un regresso all'infinito H', H''..., perche' non e' 
altro che l'assunzione sintetica della verita' di H come identita' di 
decidibilita' di qualsiasi H' e di non-decidibilita' del relativo H''; nello 
stesso senso in cui la ragione hegeliana e' identita' dell'identita' e della 
non-identita'.
Si', Goedel sarebbe rimasto comunque sconcertato, nel doverne dedurre che 
Hegel ha sempre torto... perche' ha sempre ragione:-)).
Salutoni,
Loris

 questo thread.
Mi accodo alla tua risposta (tutt'altro che
leggera: hai dato dell'inconsistente ad Hegel:-)).
Un caro saluto,
Marco

 ha scritto nel messaggio
news:q1DRd.562369$b5.25...@news3.tin.it...

Sarà meglio avere sempre torto...perchè si ha sempre ragione - oppure avere
sempre ragione...perchè si ha sempre torto?:-)
Molto interessanti le tue ossservazioni. Riferendoci al secondo teorema,
potremmo dire che, alla luce di questo teorema, un continuo potenziamento
del sistema consente una continua dimostrazione della coerenza - ma mai la
dimostrazione della coerenza di una determinata configurazione del sistema
all'interno della configurazione stessa. S1, S2, S3... Ciascun Sn può
dimostrare Coer(Sn-1), ma nessun Sn può dimostrare Coer(Sn). Un
trascendimento infinito, che non può concludersi con l'unica identità capace
di garantire l'assoluta dimostrazione della coerenza: l'identità tra il
sistema che dimostra la coerenza ed il sistema di cui si dimostra la
coerenza.
La dimostrazione *assoluta* della coerenza, sarebbe la dimostrazione della
coerenza *assoluta* (quella ricercata da Hilbert) - laddove la dimostrazione
*relativa* della coerenza è la dimostrazione della coerenza *relativa*. Ho
la netta impressione che Hegel reinterpreterebbe tutto questo come la
"contraddizione del finito":-). Ma la "contraddizione del finito" deve
essere essa stessa finita, in modo cioè da poter "racchiudere" in un luogo
finito, e dunque dialetticamente superabile, quel regresso all'infinito.
Hegel direbbe che tutto questo movimento avviene nella ragione (di cui
l'"assioma" H è parte integrante) - e che
l'espressione "Sn dimostra che.." va letta come "in Sn la ragione dimostra
che...". E di sicuro - lui al quale non era sfuggito che la formula del pdnc
"A non è non-A" contiene la contraddizione, cioè tanto A quanto non-A -
attaccherebbe l'ipotesi del teorema: la coerenza del sistema!:-): infatti,
se il sistema non fosse coerente, allora Coer(S) (ed infinite altre
proposizioni) sarebbe eccome dimostrabile. Per ogni Sn è necessario
ipotizzare che sia coerente, per poter dedurre che Coer(Sn) non è
dimostrabile in Sn. Dunque non possiamo dire - come molti autori hanno
fatto - che la coerenza del sistema sia ogni volta dubitabile. E d'altra
parte l'implicazione <Coer(S)=>G> - dalla quale si deduce appunto
l'indimostrabilità di Coer(S) in S - deve essere dimostrabile all'interno di
S.
Di nuovo saluti e a presto,
Marco

 prima comunicazione (1930) del suo teorema di incompletezza.
Di passaggio. Dimenticavo la cosa principale. Goedel la prima comunicazione
del suo risultato di incompletezza la dava il 7.09.1930 in un convegno
tenutosi a... Koenigsberg:-).
Un saluto,
Marco

 alla dimostrabilità di non-G?
Ciao Loris, scusa se intervengo di nuovo. Lo faccio solo per osservare, ora
che ho un pò di tempo - ci pensavo questa notte:-), ed ho trovato conferma
sui testi - che sia questa mia domanda sia il tuo ragionamento (non solo
questo qui sopra, ma anche quello dove operi l'identificazione tra il
predicato di dimostrabilità e verità, per dedurre le due antinomie) hanno
molto a che fare con quelle argomentazioni con cui Perelman cercò di
confutare il teorema di Goedel. Perelman ottenne due equivalenze (ribadisco
che sto usando una notazione "ingenua", che non consente di rispecchiare la
distinzione tra teoria e metateoria):
1. Dim(G)<=>non-Dim(G)
2. Dim(G)<=>Dim(non-G)
da cui si ottiene anche: Dim(non-G)<=>non-Dim(G)
Ora, sia la *derivazione* della 1. che quella della 2. contengono un errore,
consistente nel porre "verità=>dimostrabilità" (se P allora Dim(P), in
sostanza). Tuttavia la 1. è di per sè errata, mentre la 2. può essere
derivata in modo corretto (lo mostrò quel Kleene cui facevo riferimento).
Dicevo dunque:
3. Dim(non-G)<=>non-Dim(G)
Ora, da G<=>non-Dim(G) (che traduce il tuo "G è vera se e solo non-G è
dimostrabile) si ottiene Dim(G)=>non-G. Ma, per la correttezza del sistema,
non-G=>non-Dim(G). E allora, sulla base della 3., si ha che:
Dim(G)=>Dim(non-G).
Dim(G)=>Dim(non-G) è proprio quella implicazione che tu avevi ricavato
ex-negativo, e sulla quale ti avevo chiesto di fare luce. Tuttavia, la
equivalenza 3. (il suo lato non-Dim(G)=>Dim(non-G)) che mi ha consentito di
ricavarla, è falsa (dicevo che è falso quel suo lato; infatti l'altro,
Dim(non-G)=>non-Dim(G) è una semplice conseguenza della coerenza sintatica
del sistema). La 3. è falsa perchè lo è la 1., dalla quale essa dipende. La
1. infatti, è esattamemente quella antinomia che tu avevi ricavato
identificando verità e dimostrabilità. L'errore di Perelmann dipende dunque
da questa identificazione "inconscia", che tu invece operavi consciamente.
Questa era la mia osservazione "notturna". Sperando che la notte mia abbia
portato consiglio:-).
Un caro saluto,
Marco

 ex-negativo, e sulla quale ti avevo chiesto di fare luce.
non ti imputavo una petizione di principio, nè ci finivo dentro io,
ovviamente. Mi interessava mettere in luce metodi per derivare Dim(non-G) da
non-G. Ti avevo infatti chiesto di soffermarti su come passavi da
G<=>non-Dim(G) a Dim(G)=>Dim(non-G). Sappiamo entrambi che questa ultima
implicazione è in sè corretta. L'importante, qui, è *come* lo si dimostra.
Dico questo perchè sia:
i) il passaggio *immediato* da non-G a Dim(non-G)
ii) il passaggio da non-G a Dim(non-G) *mediato* da (a) non-G=>non-Dim(G)
*e* da (b) non-Dim(G)=>Dim(non-G)
non sono possibili. Il primo presuppone la completezza semantica, cioè
"verità implica dimostrabilità". Il secondo invece, nell'assunzione (b)
implica la completezza sintattica. Notavo anche che Perelman nella sua
derivazione utilizzava illegittimamente la completezza semantica.
Devo ringraziarti - dimenticavo di dirtelo - delle tue osservazioni, perchè
ragionandoci sopra, e tornando ai testi, ho scoperto non solo che il lavoro
di Goedel contenuto nel libro a cura di Shanker (edizione 1991) è
testualmente corrotto in un punto, ma che era a causa di questa corruzione
testuale che un giovane diplomato, un bel pò di anni fa (non troppi, eh!) si
spremette le meningi per giorni e giorni, senza riuscire a capire *quel*
passaggio!! Poi magari ne riparliamo.
Scusami per la frammentarietà, e la confusione, di queste mie osservazioni
"con il contagioccia":-).
Un caro saluto,
Marco

 Marco
mi inserisco nel saluto che fai a Loris,
salutandovi entrambi

 per essere subito oltre.
ed è subito sera
anzi, notte profonda.
Ciao

 Ciao
Ciao
Chérie 

 nonché alle parole oggi, ieri, domani, dopodomani et c.
Infatti gli Eschimesi fanno un casino...
Ciao

 Ciao
Ciao
Chérie 

 che non si escludono a vicenda, tra l'altro.
Pofferbacco, come mi è potuta sfuggire la costruzione grammaticale
partitiva!? E come ho potuto dimenticarmi che un eschimese va
in giro, ormai da un secolo almeno, con un bell'orologio da polso
impermeabile e, soprattutto, con datario.
Ciao

 impermeabile e, soprattutto, con datario.
oltre l'esempio specifico,
il pensiero, speculativo o applicativo, si modula umanamente a umano 
piacimento.
Saluti ad escursione variabile,
e buon week end :-)
Chérie 

 e buon week end :-)
E a te un buon weekend ininterrotto!

 da questa identificazione "inconscia", che tu invece operavi consciamente.
Ok Marco, notevole contributo, che forse ci permette un ulteriore passo
avanti
nell'approfondimento di quel rapporto Goedel-Kant da cui siamo partiti.
Purche' quanto segue non sia tutto sbagliato:-). Premesso, per inciso, che
la chiarificazione di Kleene mi sembra del tutto soddisfacente, vorrei
seguire una via un po' "anomala", che pero' metta in luce quel rapporto
verita'-dimostrabilita' e il suo significato, il piu' possibile aderente al
formalismo logico-matematico di Goedel. Impresa ardua, e infatti mi sto
piccando (=scervellando:-)) per trovare una versione sufficientemente snella
e intuitiva che, senza nello stesso tempo snaturare del tutto i risultati
originari di
Goedel, faccia emergere quel rapporto. Vediamo, siamo qui per discutere.
La cosa pacifica e' che Goedel, nel cosiddetto 1. teorema, in realta' ha
dimostrato precisamente questo: che se G e' dimostrabile allora lo e' anche
non-G (cosicche' l'aritmetica e' incoerente); e se non-G e' dimostrabile
allora l'aritmetica e' omega-contraddittoria. Tutto il resto e'
aggiustamento
o interpretazione, come in piccolo vuole essere il tentativo che segue.
Per giungere piu' in fretta al nocciolo del mio discorso forse e' utile una
precisazione terminologica, che non e' semplicemente tale, ma proprio il
punto cui vorrei arrivare, per mostrarne la valenza logica: la distinzione
tra "dimostrazione" (in lingua originale "Beweis") e il predicato
"dimostrabile" ("beweisbar"). L'espressione goedeliana 'Dim(x,z)' (ovvero
'Bew(x,z)') indica il numero di Goedel associato alla proposizione
meta-matematica che afferma: la sequenza di formule corrispondente al numero
goedeliano x e' una *dimostrazione* (Beweis) della formula cui corrisponde
il goedeliano z. Ora, G e' la formula che dice di se stessa che 'non e'
*dimostrabile*' (*beweisbar*), e come tale ha un num. goedeliano che la
rappresenta. Quale relazione numerica tra "dimostrabile" e "dimostrazione"?
Se ci riesce di individuarla, mantenendoci il piu' possibile aderenti alla
rappresentazione aritmetica del problema, penso che molte, o per lo meno
alcune, perplessita' circa il rapporto tra verita' informale e
dimostrabilita' nel calcolo vengano a cadere. Ma per individuare tale
relazione e' meglio dire anche quello che si potrebbe dare per scontato ed
esprimere in forma meno sintetica qualche espressione di Goedel, come quella
sopra (Dim(x,z)) circa le sequenze di formule connesse che costituiscono i
teoremi. Vengo al dunque.
Una dimostrazione, nel calcolo, e' una sequenza di formule che, iniziando da
quelle formule primitive che sono gli assiomi e mediante regole di
trasformazione stabilite, si conclude con un'ultima formula, che diciamo
cosi' dimostrata. Si puo' esprimere tale sequenza con 'Seq(A,B,...,Z)', meno
sinteticamente e dove 'Z' rappresenta (come ultima) la formula dimostrata.
Ogni variabile della sequenza rappresenta numericamente un fattore
goedeliano del numero che rappresenta numericamente l'intera sequenza. In
breve, 'Seq(A,B,...,Z)' e' una formula che dice la dimostrazione di 'Z' come
*ultima* formula della sequenza; sequenza alla quale corrisponde un unico
num. goedeliano. Dire che Z e' *dimostrabile* equivale a dire che puo'
definirsi tale se e solo se esiste una sequenza di cui e' l'ultimo fattore
goedeliano. Invece dire che 'Z' e' *dimostrato* equivale a dire che tale
sequenza esiste davvero. Il guaio, fonte di notevole perplessita', e' che
per qualsiasi formula (ben formata) o sequenza o sequenza di sequenze esiste
*sempre* un numero goedeliano che le rappresenta, tanto che appare difficile
porre la differenza tra "Z dimostrabile" e "dimostrazione di Z". Ma la
differenza c'e' ed e' piu' facilmente visibile in formula aritmetica
piuttosto che in formula logica. Si puo' infatti esprimere il fatto che un
determinato numero di Goedel N(Seq(A,B,...,Z)), cioe' il goedeliano che
rappresenta la detta sequenza, e' una *dimostrazione* di Z, notando che
N(Seq(A,B,...,Z)) e' maggiore del goedeliano N(Z), in quanto Z e' l'ultimo
di una sequenza di fattori. Allora si puo' esprimere la differenza tra
"dimostrazione" e "dimostrabile", perche' se
'N(Seq(A,B,...,Z))' e' il num. che rappresenta la *dimostrazione* di 'Z',
"dimostrabile" puo' essere espresso da un goedeliano che rappresenta la
formula 'N(Z)<=>N(Seq(A,B,...,Z)) > N(Z)'; che cerca di dire appunto il
fatto che Z e' *dimostrabile* se e solo se possiede la proprieta' di essere
un goedeliano minore del goedeliano del prodotto dei fattori cui Z
appartiene. Viceversa, diciamo che una formula e' *indimostrabile* se e solo
se possiede la proprieta' di essere rappresentata da un goedeliano uguale al
goedeliano del prodotto dei fattori, cioe' se la folmula e' l'*unico*
fattore della sequenza, vale a dire se e' un assioma. In definitiva e in
modo piu' approssimativo ma aritmeticamente piu' intuitivo:
per 'X=(A x B x...x Z)', dove "x" e' segno di moltiplicazione, 'X>Z' esprime
il fatto che l'espressione rappresenta
una dimostrazione di 'Z'. Per 'Z=(Z)' l'eguaglianza 'Z=Z' esprime il fatto
che 'Z' e' un assioma rappresentato dal numero Z.
Gli assiomi possono essere infatti rappresentati come una sequenza
impropria, costituita da un'unica formula:
A=Seq(A);
mentre una dimostrazione e' rappresentata da una sequenza propria:
D>(A x B x...x Z).
A questo punto (e per il nostro scopo) manca solo di definire la
contraddizione.
Se F e' una formula qualsiasi e N(F) il goedeliano che la rappresenta, quale
sara' il goedeliano che rappresenta non-F?
Sempre a scapito dell'assoluta precisione ma a vantaggio della chiarezza,
dato che al segno di negazione viene attribuito il numero 1 non-F potra'
essere rappresentata dal doppio di N(F): N(non-F)=2N(F). Se ad F
corrisponde il goedeliano N(F), a non-F corrispondera' il goedeliano
non-N(F). Il guaio e' che la notazione di Goedel si riferisce ai numeri
naturali e non prevede i numeri negativi, pero' tra N e non-N esiste una
relazione ben precisa, una relazione che per i "filosofi" comporta notevoli
difficolta' di comprensione, anche se per i matematici e' un gioco da
ragazzi (ma anche qui avrei qualche dubbio in proposito:-)). Tuttavia i
filosofi, questi perditempo che riescono a rendere complicate anche le cose
piu' semplici, hanno per lungo esercizio la capacita' di semplificare le
cose... rendendole piu' complicate:-)). Basta infatti "tradurre" ogni
formula dotandola di segno, in modo tale da avere il corrispondente in
numero naturale di un numero algebrico. Per esempio:
alla formula '0=0' corrisponde il goedeliano '(2^6)x(3^5)x(5^6)=243000';
chiamiamo allora i 3 fattori 'A', 'B' e 'C'; conveniamo poi di associare
alla formula non il goedeliano sopra ottenuto, ma quello ottenuto dal
prodotto dei progressivi numeri primi elevati alla potenza A, B, C (come del
resto fa Goedel stesso per le sequenze di un teorema); conveniamo infine di
attribuire al segno positivo della formula il numero 0, e a quello negativo
il numero 1 (cioe' il numero che Goedel associa alla negazione). La formula
sopra allora corrisponde al goedeliano '(2^0)x3^(AxBxC)'. Numero ancora piu'
complicato, ma che ci permette di esprimere la negazione di '0=0'
('non-(0=0)') come '(2^1)x3^(AxBxC), cioe' il doppio di '0=0'. In questo
modo la negazione di una formula o di un teorema e' rappresentata dal
*doppio* della sua affermazione.
In base a tutto questo si puo' abbozzare un ragionamento (se a questo punto
puo' ancora dirsi tale:-)).
G non e' dimostrabile, ovvero: se esiste un goedeliano N(Seq(A,B,...,G))
esiste anche il suo doppio non-N(Seq(A,B,...,G)) e il sistema e' incoerente.
Immaginiamo allora di indicizzare tutte le infinite formule, sequenze,
sequenze di sequenze riproducibili nel sistema, ma secondo un sistema di
indicizzazione piuttosto particolare: non secondo la progressione dei num.
naturali, ma secondo quella dei goedeliani che rappresentano l'affermazione
della formula stessa. Per esempio, se abbiamo un elenco di formule come:
A: x>y
B: z>y
C: z>x
D: Seq(A,B,C)
E: D>C
gli indici (A,B,C,D) sono proprio i goedeliani delle formule indicizzate, in
modo che si possa scrivere:
A=x>y
B=z>y
C=z>x
D=Seq(A,B,C)
E=D>C
(il segno '=' dovrebbe intendersi come segno di corrispondenza tra formula e
goedeliano che la rappresenta nel calcolo)
Nessun problema quando una formula parla di altre formule, come la E, che
dice che la sequenza D e' una dimostrazione di C. Il problema e' quando la
formula parla di se stessa, come la goedeliana G.
Essa dice infatti: G=non-Seq(X,Y,...,G). Ipotizziamo che sia vera, nel senso
che non ne esista una dimostrazione. Allora e' immediatamente vera nel senso
che e' l'unico fattore della sequenza impropria G=Seq(G); cioe' e' vera come
assioma *aggiunto* al sistema. Ipotizziamo che sia falsa, nel senso che fa
parte di una dimostrazione come suo ultimo fattore. Allora e' falsa nel 
senso che fa parte della
dimostrazione di *una* qualsiasi sua possibile negazione, cui corrisponde un
goedeliano diverso: G1=Seq(X,Y,...,G). In particolare puo' far parte della
dimostrazione del suo doppio, il suo contraddittorio *costruibile* nel
sistema: G=non-Seq(X,Y,...,G), che dice nuovamente di essere vera nel senso
di essere un assioma *aggiunto* al sistema.
Lascio perdere, per non dilungarmi otremodo, molte altre considerazioni
(poco in armonia con il platonismo di Goedel) sulla necessita' di
*decidere* la chiusura del sistema, onde evitare l'incontrollabile
"raddoppiamento" delle formule e con esso la riproducibilita' del paradosso
del Mentitore. Concludo invece con la domanda cui mi ero prefisso di
arrivare. Che si possa pensare una formula come *dimostrabile*, senza che di
essa si possa dare effettiva *dimostrazione*, non costituira' quel nesso
analogico, forse ora un po' piu' stretto, tra Kant e Goedel, di cui si
parlava?
Un caro saluto,
Loris
PS: non ce la faccio a rileggerlo!:-). Scusami gli eventuali errori di 
forma, e non perdonarmi quelli logici:-).

 D>(A x B x...x Z).
Ecco sopra un errore imperdonabile.
Assioma: A=Seq(A)
Teorema: Z<Seq(A x B x...x Z)
Saluti,
Loris

 ragazzi (ma anche qui avrei qualche dubbio in proposito:-)).
Mi inserisco in questo punto per segnalarti le difficoltà che gli allievi 
più giovani hanno nel seguire queste dissertazioni :-).
Per chi prova la piacevole illusione di orbitare attorno al pianeta 
filosofia :-),
vi è un enorme difficoltà a concepire anche il numero naturale stesso, 
nonché le origini dell'insieme N.
di fatto pare un'astrazione senza fondamento
quella di isolare nell'infinità del numero una casella che abbia caratteri 
definiti, se non in relazione a conteggi la cui applicazione pratica tutti 
conosciamo ( so che mi avevi già rimproverata al riguardo tempo fa, ma giro 
ancora sempre allo stesso punto ).
è come osservare danzare l'incommensurabilità del reale attorno ad una 
casella, creata attraverso una strumentalizzazione del pensiero, il cui 
valore viene assegnato con un'ulteriore strumentalizzazione della 
strumentalizzazione.
dal mio punto di vista, impermeabile a qualsiasi insegnamento matematico, i 
numeri negativi non hanno uno statuto ontologico a sé stante, ma 
rappresentano ciò che è ontologicamente non rilevabile nel numero naturale e 
che gli permette di raggiungere la condizione ( o stato ) "zero".
questa non rilevabilità deriva dall'impossibilità che ho espresso sopra.
Altra gravissima difficoltà, è quella di concepire ad esempio il *2* o il 
*3* come numeri naturali veri e propri: in quanto riesco solo a vedere ciò 
che li compone, ovvero 1, variamente sommato a sé stesso come in un gioco di 
specchi.
spero di non causare le ire di nessuno, solo che
questa frase di Severino, che commenta un "grande maestro del nulla", ha 
causato l'acutizzarsi dei miei problemi.
"la misura è il carattere matematico della realtà. Ma scorgere la misura al 
di sotto dell'apparenza- al di sotto di ciò che immediatamente, nella vita, 
sembra senza misura, "smisurato"- significa scorgere la nullità del 
misurato."
E.Severino, Il nulla e la poesia. Alla fine dell'età della tecnica: 
Leopardi.
personalmente non vedo altro che un'unica concretezza, rapportata allo zero: 
il variare delle combinazioni con cui questa dialettica si attua dà luogo 
all'apparente ( nel senso "che si palesa alla vista" ) divenire dell'essere.
[non annullando l'evoluzione della tecnica, ma causandone l'apoteosi.]
Un saluto,
Chérie 

 forma, e non perdonarmi quelli logici:-).
Hai appunto commesso un errore imperdonabile - quello di credermi
logicamente capace di non perdonarti i tuoi errori logici:-).
Un caro saluto,
Marco

[non annullando l'evoluzione della tecnica, ma causandone l'apoteosi.]
Cioè, vuoi dire che la sommatoria totale è zero?
Un saluto,
Marco

 Marco
Un saluto :-),
Chérie 

 a volte mi sembri uno psicologo in missione per segnalare i pazzi :-).
Sei pazza tu, a credere che io sia uno psicologo!:-))
Un saluto,
Marco

 Marco
Un saluto,
Chérie 

>In definitiva e in
modo piu' approssimativo ma aritmeticamente piu' intuitivo:
per 'X=(A x B x...x Z)', dove "x" e' segno di moltiplicazione, 'X>Z' esprime
il fatto che l'espressione rappresenta
una dimostrazione di 'Z'. Per 'Z=(Z)' l'eguaglianza 'Z=Z' esprime il fatto
che 'Z' e' un assioma rappresentato dal numero Z.<<
Ora, in  'X=(A x B x...x Z)' A, B,...Z sono dei numeri, ovviamente. Sono i
goedeliani delle rispettive formule A, B,...Z. Lascio intatta questa
notazione, ma la riprendo in questo modo: X=(A1 x A2 x...x An x Z). Perchè
il goedeliano di Z sia il goedeliano di una formula non-dimostrabile è
richiesto - secondo quanto stai dicendo - che A1=A2=...=An. Ma ogni Ai, in
quanto goedeliano della corrispondente formula, è un prodotto di fattori.
Dunque, per una ben nota proprietà delle potenze, la condizione perchè il
goedeliano di Z sia il goedeliano di una formula non-dimostrabile è che X
sia scrivibile come (B^0 x Z). Ma allora - stando alla notazione che hai
introdotto per rappresentare nel calcolo la contraddizione - si deve dire
che una formula Z è non-dimostrabile se e solo se è non-negata?
Cari saluti,
Marco

l'annullamento della potenza da come risultato costante *1*.
Mica vero. L'annullamento della potenza dà come risultato *0*. E
l'elevamento a *0* che dà come risultato *1*. Cioè, lo *0* lo dà - lo
implica - l'annullamento dell'*esponente*.  Di questo forse dovremmo tener
conto, se vogliamo rappresentare - tanto per dare loro una forma concisa -
aritmeticamente certi concetti filosofici. Ad esempio quello di identità.
Un saluto,
Marco

 richiesto - secondo quanto stai dicendo - che A1=A2=...=An.
...A1=A2...=An=1, ovviamente.
Marco

 implica - l'annullamento dell'*esponente*.
l'esponente espone, indica la potenza.
si dice anche elevare all'ennesima potenza.
se devo dire la verità, a me sembra che enunciare
l'annullamento dell'esponente
corrisponda a non scriverlo del tutto.


 aritmeticamente certi concetti filosofici. Ad esempio quello di identità.
aggiungo un'osservazione personale: non condivido la volontà di 
rappresentare concetti filosofici in forma aritmetica.
la filosofia è una disciplina con uno statuto proprio ( che può anche essere 
considerato nullo in alcune fasi ), che le permette di vagliare con la 
facoltà del pensiero ogni concetto, compresi quelli aritmetici.
questo suo stesso statuto non rende affatto necessario l'adeguamento dei 
concetti "alieni" al paradigma filosofico: libertà che invece non viene 
concessa dall'aritmetica.
sempre imho, pretendere di costringere la filosofia nel paradigma di altre 
discipline significa far perdere identità e valore a tutte.


 discipline significa far perdere identità e valore a tutte.
A tutte non so. Nel senso che questa pretesa, che è stata esercitata anche
dalla filosofia, serve ad accrescere l'ego della disciplina che include le
altre. Diciamo cheuna disciplina che cerca di ridurre a sè le altre, se
perde l'identità non se ne accorge. Per lo meno nell'atto in cui esercita
questa pretesa.
Un saluto,
Marco

 ha scritto nel messaggio
news:38f3lvF...@individual.net...
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Caro Marco, rispondo brevemente a questo tuo per non farti aspettare troppo
e prima che ti congedi per qualche giorno, come dici. Per quanto sopra, vedo
adesso una mia marchiana imprecisione; le ultime righe da te quotate
andrebbero riscritte:
<<'X>Z', in relazione alla sequenza, esprime il fatto che l'espressione
rappresenta una dimostrazione di
'Z'. Per 'X=(Z)' l'eguaglianza 'X=Z' esprime il fatto che 'Z' e' un assioma
rappresentato dal numero X>>. L'essere teorema od assioma, cioe'
sequenza propria od impropria, e' caratterizzato dalla diseguaglianza  o
eguaglianza  del num. naturale X rispetto al valore calcolato del prodotto
dei fattori della sequenza. Così se l'*affermazione* di '0=0' fosse
traducibile in '2^0 x 3^6 x 5^5 x 7^6', la *negazione* della formula (e
tralasciando per semplicita' le parentesi) sarebbe traducibile in '2^1 x 3^6
x 5^5 x 7^6', cioe' nel doppio della sua affermazione. Ti ringrazio comunque
delle tue osservazioni sui "buchi" del mio tentativo, dettato dal sacro
furore della semplificazione:-). E mi dispiace che adesso sia tu a
"scervellarti":-), mentre dovrei essere io a sistemare i buchi, dei quali
questo non e' il piu' grosso. A parte questo rispondero' con piu' calma, ma
qui anticipo una chiarificazione generale sul tuo importante quesito finale:
la dimostrabilita' della non-dimostrabilità di G. Sia pure in sintesi
e' opportuno riferirsi al 2. teorema.(XI).
Dire che S e' coerente equivale a dire: non esistono numeri x e y tali che x 
sia il goedeliano della dimostrazione di una qualche formula F di S, e y il 
godeliano della dimostrazione di non-F. Questo enunciato puo' essere 
espresso aritmeticamente in S come suo enunciato: 'Coer(S)'.
Dal primo teorema si ha che se S e' coerente allora G non e' dimostrabile in 
S. Anche *questa* affermazione e' traducibile in S, essendo stata dimostrata 
in "linguaggio" aritmetico: 'Coer(S)=>G'. E' a questo punto che occorre 
molta attenzione. In S abbiamo una dimostrazione, ma di *questa* 
implicazione e di nient'altro. E' molto facile... cadere in tentazione e 
ragionare cosi': ammettiamo la coerenza di S; applicando Modus Ponens 
(legittimamente, in apparenza, perche' regola di trasformazione del sistema) 
otterremmo subito la dimostrazione di G, cacciandoci poi in infinite 
discussioni sul rapporto tra semantica e sintassi. Il fatto e' che cio' che 
e' illecito, in base a quella dimostrazione, e' proprio l'applicazione 
ulteriore di una regola di trasformazione, il MP, pena la contraddizione di 
impostare una dimostrazione, nel punto stesso in cui si e' dimostrato che 
non vi e' dimostrazione.
E' questa considerazioni, sull'applicazione di una regola, che mi fa 
apprezzare la stringatissima e molto snobbata affermazione di incompletezza 
di Wittgenstein. Ma magari ne parliamo un'altra volta.
Salutoni,
Loris

 questa pretesa.
o forse se ne sta accorgendo senza aver ancora compreso l'impossibilità di 
includere se stessa, e quindi , a maggior ragione, le altre.


 x č dimostrabile significa *porre* l'esistenza della dimostrazione di x.
....ed ecco la tua conseguente riflessione, che colpisce in pieno il
centro del problema.
Rispondere a quella tua domanda significa anche sottrarre a una certa
vaghezza terminologica l'affermazione secondo cui Goedel avrebbe mostrato
l'indimostrabilita' di G come una "verita' informale", che non puo' essere
dimostrata all' "interno del sistema". "Informale"?! "All'interno del
sistema"?! Ma come e' possibile questo, se a G corrisponde un ben
determinato goedeliano? Come, se vi e' perfetta corrispondenza biunivoca tra
proposizioni meta-matematiche e una loro rappresentazione aritmetica, anche 
per
quelle auto-referenziali, come ci assicura il teorema di diagonalizzazione?
Goedel *costruisce* una formula, che ha un ben determinato goedeliano N=G,
del quale si mostra che "non si puo'" *costruire* il suo "doppio", pena la
contraddizione per cui il goedeliano della sua dimostrazione (D1=Dim(G))
avrebbe il suo "doppio" nel goedeliano D2=Dim(non-G). Achtung: proprio
Dim(non-G), e *non* non-Dim(G). Qui il cuore di una grossa difficolta'.
Balza infatti subito agli occhi una possibile e facile replica: ma la
negazione della dimostrazione di un teorema non e' la dimostrazione della
negazione di quel teorema! Se riuscissimo a goedelizzare la sequenza della
dimostrazione del teorema, p.e., corrispondente alla seguente sequenza di
affermazioni informali: 1) "Sia dato un triangolo ABC"; 2) "..."; ....; x) 
"La
somma degli angoli interni di ABC e' *uguale* a 180 gradi. CVD"; se
riuscissimo, dicevo, a goedelizzare il precedente teorema Tx in D1=Dim(Tx),
la negazione D2=non-Dim(Tx) e' una mera negazione di Tx e non certo la
dimostrazione che "la somma degli angoli interni di ABC e' *diversa* da 180
gradi"!
E invece no: nel caso della famosa G e' proprio cosi', perche' la sua mera
negazione (non-G) coincide e consiste proprio nella *dimostrazione* di
non-G. Per illustrare questo mi rifaccio a quanto anticipato nella mia
ultima risposta precedente, in modo davvero sintetico.
1) Coer(S)=>G:
dice, e lo dice in linguaggio rigorosamente aritmetico, che la coerenza del
sistema
implica l'*indimostrabilita'* di G; ovvero che G non appartiene alla
sequenza di una dimostrazione in cui compaia come ultimo elemento (cioe' G
sia teorema).
2) Coer(S):
assumiamo cioe' che ilsistema sia coerente.
Dunque
3) G
per Modus Pones.
I passi 1. 2. 3. costituiscono una sequenza in cui G e' teorema. Nel momento
stesso in cui si dimostra G (cioe' che G non appartiene ad alcuna sequenza
dimostrativa) si dimostra non-G, *costruendo* la sequenza cui G appartiene
come teorema. Tale *costruzione* e' del tutto legittima, perche' non e'
altro che l'applicazione di una regola del sistema: Modus Ponens; ma la cui
applicazione non sussunta sotto un principio superiore, il pdnc, porta
all'incoerenza del sistema. La "verita' informale" di G e' una verita'
*sintattica*, cioe' che riguarda l'uso combinatorio delle regole di
trasformazione del sistema. Con cio' siamo al punto centrale: G e'
*costruita* in modo tale che non abbia dimostrazione, a condizione che si
voglia salvare la coerenza del sistema, e che ce l'abbia, se non si vuole
salvare quella coerenza. Qui la differenza tra "dimostrabile" e
"dimostrazione" effettiva; differenza "informale", perche' non appartiene
alle regole di trasformazione codificate nel sistema, ma all'*uso*
trascendentale di tale regole, che pone un problema di *decisione* rispetto
al quale il linguaggio del sistema si rivela "non-sufficientemente ricco"
per risolverlo formalmente.
Questo approccio, marcatamente costruttivistico, al risultato goedeliano
fondamentale, naturalmente se ne infischia altamente del platonismo di
Goedel (per altro sicuro negli anni '40, ma non altrettanto nel 1931), e mi
fa piuttosto apprezzare, come anticipavo, la "sentenza" di Wittgenstein,
cosi' riformulabile:
data una sequenza di numeri positivi e negativi, e una regola R, per cui
ogni numero della sequenza venga rimpiazzato dal suo valore assoluto
cambiato di segno, se R appartiene alla sequenza R e' indecidibile.
Questo approssima molto quell'altra sua "sentenza", secondo cui "la logica
e' trascendentale", che e' una bella rimasticatura di un assunto kantiano.
Un caro saluto,
Loris