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Titolo: Fino a quale ordinale accettate l'induzione?

Pongo la domanda a ognuno di voi:
fino a quale ordinale, in base alla vostra intuizione, vi sembra valido il 
principio di induzione completa?
Se uno accetta il principio di induzione completa fino a un dato ordinale, 
perche' non dovrebbe accettarlo fino ad un ordinale maggiore?
Ciao!
G 

 G
Se quella proprietà dice che "per ogni n in N ecc." (dove N è l'insieme dei
naturali), perché mai la si dovrebbe accettare solo fino a un dato 
"ordinale"?
Cosa dovrebbe o potrebbe cambiare, da un certo "ordinale" in poi, per 
fermare il principio di induzione (e quindi la proprietà di induzione 
completa)?
E perché usi il temine "ordinale"?
Comunque, se tu parlassi, anziché dei naturali, dei numeri primi, allora la 
domanda potrebbe essere interessante, dato che i numeri primi si fanno un 
baffo del principio d'induzione (o così sembra).
Una curiosità: nell'espressione della proprietà dell'induzione completa 
compare un 'n-1'.
Che cos'è quell''1', dato che gli assiomi di Peano-Dedekind non nominano mai 
l'unità dopo il pentimento di entrambi che ha introdotto lo zero?
Parlano solo di 'successivo', mai di "unità". A meno di non ammettere che il 
"successivo" disti sempre dell'unità dal precedente. Ma non è affatto detto 
da nessuna parte negli assiomi, altrimenti si dovrebbe assiomatizzare 
l'unità, come del resto era in origine (e nel buon senso).
Mi sembra davvero un bel pasticcio. 

"Giovanni Lagnese detto il Papero" <ese...@ign.ti> ha scritto nel messaggio
news:dgh9t7$qo6$1...@news.ngi.it...

Il principio di induzione completa per i numeri naturali suona:
SE per ogni numero naturale m vale che per ogni n se n è minore di m e gode
della proprietà P allora m gode della proprietà P, ALLORA la proprietà P è
soddisfatta per ogni numero naturale.
Insomma, se <per ogni numero m vale che se una certa proprietà P è
soddisfatta fino a m-1 allora vale anche P(m)>, allora vale P(n) per ogni n.
Con la tua domanda alludi al principio di induzione completa *transfinita*?
Un saluto,
Marco

,
temo che tu non abbia chiaro in concetto di ordinale.
G

 dell'induzione completa compare un 'n-1'.
L'induzione completa viene dopo (quando gia` si sono definite e dimostrate 
un po' di cose), non e` tra gli assiomi.
Nel principio di induzione che compare come assioma, non c'e` nessun "n-1".
G

 di induzione completa *transfinita*?
Certo. Mi pareva ovvio dal contesto.
G

 temo che tu non abbia chiaro in concetto di ordinale.
Non ne dubitavo.
Sicuramente non significa quello che significa.
Sennò che matematica sarebbe? :-) 

 E perché usi il temine "ordinale"?
Perchè l'induzione a cui fa riferimento è l'estensione del principio di 
induzione classico ad una classe molto (e sottolineo *molto*) più grande di 
"numeri": gli Ordinali Transfiniti.
Ti darei un link italiano ma purtroppo gli unici decenti sono in inglese, il 
migliore è
http://www.anselm.edu/homepage/dbanach/infin.htm
L'idea che c'è alla base degli ordinali transfiniti è molto più semplice di 
quanto potrebbe sembrare dalle definizioni rigorose. Esplorare gli ordinali 
è come fare una "scalata" intellettuale ad altezze sempre più vertiginose... 
tanto per farti un'idea:
Consideriamo i numeri naturali disposti in ordine crescente:
0 < 1 < 2 < 3 < 4 < .... < n < n+1 < .....
possiamo estendere la sequenza introducendo un nuovo "numero" che sta al di 
la di tutti gli altri (rispetto al nostro ordinamento), chiamiamolo "omega"; 
quindi abbiamo:
0 < 1 < 2 < 3 < 4 < .... < n < n+1 < ..... < omega
(NB: omega non ha un predecessore)
Perchè fermarci qui? A partire da omega possiamo introdurre altri elementi 
via via sempre maggiori:
... < omega < omega+1 < omega+2 < omega+3 < .... omega + n < ....
in questo modo ne abbiamo aggiunti infiniti, ma possiamo comunque andare 
avanti e piazzare alla fine della nostra sequenza un ulteriore elemento 
maggiore di tutti quelli finora definiti, che chiamiamo (coerentemente con 
le notazioni usate) "omega+omega":
... < omega < omega+1 < omega+2 < .... omega + n < .... < omega+omega
un'altra notazione ragionevole per omega+omega può essere 2*omega.
Da 2*omega possiamo andare ancora avanti con la stessa filosofia che abbiamo 
adottato finora: iniziamo ad aggiungere uno alla volta nuovi elementi da 
piazzare in cima alla sequenza:
... < 2*omega < 2*omega +1 < ... < 2*omega+2 < 2*omega+n < ...
arriveremo così a definire un numero maggiore di tutti i precedenti che 
chiameremo 2*omega+omega, altrimenti detto 3*omega.
Ora visto che abbiamo ben chiaro come costruire la sequenza che arriva fino 
a n*omega per qualsiasi n possiamo andare *molto* più avanti e definire un 
nuovo numero transfinito che si trovi al di là di tutti gli n*omega: lo 
chiamiamo (ovviamente) "omega*omega" ovvero omega^2 ("omega al quadrato").
A questo punto tutto l'iter che abbiamo affrontato si può chiaramente 
portare avanti in modo analogo in modo da definire omega^3, omega^4, ... 
omega^n... e non ci fermiamo qui ovviamente perchè ora che sappiamo che c'è 
omega^n per ogni n possiamo piazzare un nuomero nuovo e ancora più grande 
che si trovi al di là di tutti gli omega^n, che chiameremo omega^omega....
Dovrebbe essere abbastanza evidente che non ci si ferma qui, si arriverà a 
omega^omega^omega, omega^omega^omega^omega, e così via ... in realtà 
l'espressione "e così via" qui è inappropriata: perchè se è chiaro come si 
itera un procedimento che porta ad un certo numero ordinale non è chiaro 
quale sia e se esista un (unico) procedimento che ci fa andare avanti nella 
scalata verso ordinali sempre più grandi... e in effetti non esiste: la 
scalata la portiamo avanti "inventando" sempre nuove notazioni, non esiste 
un metodo algoritmico per generare nomi degli ordinali! Ma adesso rischio di 
mettere troppa carne al fuoco quindi mi fermo qui.
Ciao!! 

 L'induzione completa viene dopo
Anzi, nemmeno nell'induzione completa compare alcun "n-1".
G

 Senno` che matematica sarebbe? :-)
Sinceramente trovo assai sciocco pensare di poter fare matematica col solo 
linguaggio naturale.
Ma lasciamo perdere...
G

 generare nomi degli ordinali!
Pero` sappiamo che tutti gli ordinali generati in questo modo sono 
numerabili.
Tra l'altro e` un gran casino quando li vai a definire dentro PA.
Sapresti consigliarmi dove studiare l'argomento "ordinali definibili in PA"?
Sapresti dirmi, inoltre, ad esempio, se in PA (quindi con l'omega-induzione) 
si riesce a dimostrare l'induzione fino a omega+omega o magari proprio fino 
a qualsiasi ordinale minore di epsilon_0?
Ciao!
Giovanni 

 nomi degli ordinali!
Mi sapresti dire qualcosa in piu` al riguardo?
Come si formalizza questa cosa? Chi l'ha dimostrata?
Va bene anche se mi dai qualche riferimento (ma e` meglio se mi racconti 
anche un po' di cose tu).
G

,
vorrei chiederti anche una cosa (che pero` non c'entra molto): mi dai una 
piccola infarinatura di come si definiscono in PA cose tipo la potenza, il 
fattoriale, i coefficienti binomiali?
Se vuoi puoi darmi anche qualche riferimento, che so, qualcosa di Macintyre, 
ad esempio. Ma preferisco se mi racconti un po' di cose tu (scusa se abuso 
della tua disponibilita`).
Posso scriverti in privato per farti domande?
Sai com'e`, mi sembri piu` acuto tu che i prof ordinari italiani di logica 
che conosco.
Ciao!
Giovanni

Giovanni Lagnese detto il Papero ha scritto:

E' chiaro che si potrebbe pensare di utilizzare, come proprietą P di cui
parla il principio di induzione completa (vedi la formulazione che avevo
postato), lo stesso principio di induzione completa.
Saluti,
Marco
-- 
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 anche un po' di cose tu).
Purtroppo non ne so molto, l'ho letto la prima volta su "Goedel, Escher 
Bach" e non sono riuscito a documentarmi più di tanto. Dovrebbe essere un 
fatto collegato con un certo "ordinale di church-Kleene". 

 di "numeri": gli Ordinali Transfiniti.
E allora perché non lo dice?
(Marco glielo ha anche chiesto, ma G. non ha risposto.)
Gli ordinali transfiniti sono gli ordinali transfiniti, non "gli ordinali".
E quella proprietà si applica anche ai naturali.
Vogliamo essere un briciolo rigorosi, visto che pretendiamo di parlare di 
matematica?
Ti ringrazio comunque per i chiarimenti che sempre mi dài pazientemente qui.
(Ho anch'io un paio di buoni siti su queste questioni, e francamente non le 
trovo difficili o divine: solo senza fondamento. Perciò se si vuol parlare 
di transfiniti, che si parli in chiaro di transfiniti, così mi accontento di 
un'alzata di spalle e passo ad altro.)
Un saluto.
qf 

 Ma lasciamo perdere...
La matematica, e ancor prima la logica, è solo un (grezzo) distillato del 
linguaggio naturale, una sua approssimativa schematizzazione, quando non è 
proprio una banalizzazione.
E' assurdo (non solo sciocco) pensare il contrario.
Quello che non può essere detto nel linguaggio naturale non significa nulla.
Che conta è saperlo usare.

 (NB: omega non ha un predecessore)
La matematica assomiglia, nello sviluppo dei livelli di astrazione, ad un
grattacielo di sfolgorante rigore formale, le cui fondamenta poggiano su un
terreno avvolto dalla nebbia. Su quel terreno si sono dati battaglia
principalmente i filosofi - il che vuol dire che *ogni* volta che i
matematici ritornano (prendendo l'ascensore, o, forse meglio, il
"discensore":-)) su quel terreno per ridarsi battaglia, o anche solo per
riverificare l'esito di una battaglia, si (ri)trasformano in filosofi. E
forse potremmo riassumere i risultati di un secolo di battaglia
"fondazionale", dicendo che non sappiamo con certezza nemmeno se, oltre e al
di sotto di quelle nebbie, un terreno "fondativo" ci sia.
Ci si (ri)trasforma in filosofi, rispetto alla costruzione cantoriana degli
ordinali transfiniti, se ci si chiede (1) *perchè* la posizione(=atto di
porre) di quell'omega non contraddice logicamente l'assunzione (propria del
senso comune e che la matematica, ovviamente, fa sua) che la serie dei
numeri naturali sia priva di un ultimo termine ("non esiste il numero
naturale più grande di tutti"). E (2) *perchè* l'ordinale omega non può
essere raggiunto mediante iterazioni dell'aggiunta dell'unità al numero n;
perchè cioè, se S(n) è il successore immediato di n, l'operazione di
aggiunta dell'unità non possa essere iterata un numero di volte tale che il
risultato S...(S(n)) di questa iterazione sia uguale ad omega.
Ovviamente le domande (1) e (2) sono strettamente interconnesse. E,
altrettanto ovviamente, la risposta ad esse ha strettamente a che fare con
quei "rispetto al nostro ordinamento" e "omega non ha un predecessore" da te
scritti. Ciò significa che omega è il *primo* numero differente da *ogni*
numero del tipo "n", dove ciascun numero di tipo "n" costituisce (questa
vale grosso modo come la sua definizione) l'ultimo numero di un segmento
della serie ordinata dei naturali. Dunque omega è il *primo* numero che *non
è* l'ultimo numero di un segmento della serie ordinata dei naturali.
Equivalentemente, omega differisce da *tutti* i numeri n(k), con k indice,
che potremmo scrivere dopo n: 1, 2,...,n, n+1,...n(1), n(1)+1...; etc.Questa
osservazione dovrebbe eliminare la contraddizione dal cui avvertimento
prendono slancio le domande (1) e (2). E infatti, una volta elimimata questa
contraddizione nella posizione di omega, la posizione di tutti gli altri
numeri ordinali transfiniti differenti da omega si fonda, rigorosamente, *o*
sulla iterazione della operazione di aggiunta dell'unità (è così che da
omega otteniamo omega+1; da 2*omega, 2*omega+1 etc.) *oppure* sulla
iterazione della operazione che ci consente di porre un numero che stia
oltre qualunque numero ottenibile da un dato numero ordinale mediante
l'iterazione della operazione di aggiunta dell'unità. Sarà dunque vero, come
dici, che non è costruibile un algoritmo che ci consenta di costruire le
notazioni degli ordinali transfiniti. Ma è altrettanto vero che la
costruzione degli ordinali transfiniti si fonda sulla iterazione di quei due
procedimenti (in questo senso, è la seconda operazione, quella che ci
consente di effettuare il "salto" da n a omega, da omega+n a 2*omega etc., a
non essere "algoritmizzabile"; in ogni caso alla base di questi "salti"
nella potenza numerica, c'è un principio ben definito).
Immagino che l'affermazione di Qf (che mi perdonerà se lo chiamo in
causa:-); il fatto è che io sono d'accordo con lui sul fatto che il
grattacielo della matematica sia cresciuto sopra un terreno che potremmo
definire "non-ancora-matematico"; mentre discordo nell'assegnare le
costruzioni cantoriane all'infondatezza) secondo la quale la costruzione
cantoriana dei transfiniti (ordinali e cardinali) è priva di fondamento, si
riferisca almeno in parte alla questione sollevata da quelle due domande.
Proviamo allora a far parlare Cantor in persona, citato dal solito Russell
[ne "I Principi della matematica"]:
<<La serie (1) dei numeri interi reali positivi 1, 2, 3,...n,... nasce dalla
ripetuta assunziione e dalla riunione di unità presupposte e considerate
come eguali; il numero n è l'espressione tanto di un certo ammontare finito
di tali swuccessive assunzioni, quanto della riunione delle date unità in un
tutto. La formazione dei numeri reali finiti interi si basa dunque
sull'addizione di un'unità a un certo numero che è già stato formato; a
questo momento do il nome di *primo principio di formazione*. L'ammontare
dei possibili numeri n della classe 1 è infinito, e fra essi non ve ne è uno
massimo. Per quanto contraddittorio sia parlare di numero massimo della
classe 1, nulla ci impedisce tuttavia di immaginare un nuovo numero, che
chiameremo omega, il quale esprima che è data l'intera collezione (1) nella
sua naturale successione secondo la propria legge. Analogamente a come il
numero n esprime la combinazione di un certo ammontare finito di unità in un
tutto. E' anche lecito pensare il numero di nuova creazione omega come un
*limite*, verso cui tendono i numeri n, cioè il primo intero che si debba
chiamare maggiore di ciascuno dei numeri n. Ammettendo che all'assunzone del
numero omega possano seguire ulteriori addizioni di unità noi otteniamo, con
l'ausilio del *primo* principio di formazione, i numeri ulteriori omega+1,
omega+2,...omega+n,... Giacchè anche qui non perveniamo ad alcun numero
massimo, ne immaginiamo uno nuovo, che possiamo chiamare 2*omega, e che ha
da essere il primo dopo tutti i precedenti numeri n e tutti gli omega+n.
La funzione logica che ci ha formito i due numeri omega e 2*omega è
evidentemente differente dal primo principio di formazione; io la chiamo
*secondo principio di formazione* degli interi reali, e la definisco più
esattamente nel modo seguente: se noi abbiamo una qualsiasi successione
determinata di interi reali definiti, fra i quali non esiste un numero
massimo, si crea per mezzo di questo secondo principio di formazione un
nuovo numero che si considera come il *limite* di tali numeri, ossia un
numero che vien definito come il primo numero maggiore di tutti i numeri
dati>>.
In pratica, omega è il limite dei numeri di tipo n(k). Ce la fa Cantor - ed
in generale la logica sottesa da queste sue considerazioni - a rispondere
completamente alle domande (1) e (2) suscitate dal senso comune? (e in che
modo è, se lo è,  presupposta la concezione dell'"infinito attuale"?).
Un saluto,
Marco

 completamente alle domande (1) e (2) suscitate dal senso comune?
Ce la fa solo Borges.
Ma Borges non è un matematico.
Borges infatti fa (divinamente) conto solo sul linguaggio naturale.
Ciao.
qf 

 Borges infatti fa (divinamente) conto solo sul linguaggio naturale.
Ma il concetto di quel omega è chiaramente dicibile nel linguaggio naturale.
Ed un concetto che non sia dicibile nel linguaggio naturale, devo
ancora...dirlo:-).
Un saluto,
Marco

 modo è, se lo è,  presupposta la concezione dell'"infinito attuale"?).
La rilevanza "filosofica" di questi "ordinali transfiniti" sta nel fatto che
questi ci permettono di "quantificare" in qualche modo l'impegno ontologico
che siamo disposti ad assumere per quanto riguarda le entità "incorporee" di
cui tratta la matmatica (e non solo).
Uno può decidere che accetta solo i numeri naturali, e che tutto ciò che
esula da questa ristretta (neanche troppo) cerchia di numeri è pura
fantasia, finzione, nonsenso (in realtà si trova anche chi si ferma prima: 
chi pensa che ci sia un numero naturale "massimo" oltre il quale non 
"esiste" alcun numero, ma è una posizione estremamente difficile da portare 
avanti). Poi però una volta che abbiamo accettato i numeri naturali 
(*tutti*)  sembrerebbe strano non riconoscere il fatto che c'è (perlappunto) 
un *insieme dei numeri naturali*, che evidentemente è infinito, e qui siamo 
già al livello "omega"... inoltre risulta chiaro che una buona parte dei 
primi ordinali transfiniti che si riescono a costruire sono "codificabili" e 
"ricostruibili" dentro gli stessi numeri naturali (come ho fatto vedere 
sopra per omega), quindi che senso avrebbe non accettarli una volta 
accettati i naturali? Ma ora che abbiamo accettato tutti questi ordinali 
costruibili perchè non dovremmo andare avanti e accettare nella nostra 
ontologia l'insieme che li contiene tutti? Questo insieme sarà anche lui un 
ordinale (non costruibile) e da questo si può continuare ad andare avanti... 
ogni passo sembra inevitabile, ma quando si fa attenzione a dove si è 
arrivati vengono le vertigini e viene voglia di essersi fermati prima... ma 
dove esattamente?
Ciao!!
Marco 

 dentro gli stessi numeri naturali
Bisogna vedere se riesci a dimostrarci l'induzione, pero`.
G

 definita, quindi per gli ordinali fino a omega+omega?
Ovviamente si`.
Ma fino a che punto si puo` dimostrare l'induzione transfinita utilizzando 
l'omega induzione?
G

 ancora...dirlo:-).
«Questo concetto non и dicibile nel linguaggio naturale»
Epimenide docet (gli altri hanno solo copiato :-)
Ciao.
qf

 (x<y e x>0) oppure (y=0 e x>0)
Questo "oppure" è esclusivo , immagino, altrimenti sarebbe una funzione
contraddittoria, perché y, per la prima, è sempre maggiore di 1 (almeno 2),
quindi non potrei poi scrivere che y può essere 0 e che le due condizioni
possono valere contemporaneamente (caso OR).
Tuttavia ci trovo una cosa strana: per la prima, appunto, y non può assumere
il valore 1. Quindi mi chiedo che variabile sia y in N, dato che "salta" un
valore (1) potendo però poi assumere il valore 0.
x invece non salta niente perché *è scritto esplicitamente* che varia solo a
partire da 1 in entrambe le condizioni.
Se scrivo una funzione di x *e* di y, non posso *implicitamente* escludere 
per una delle due variabili un valore del dominio (là dove nessuna delle due 
condizioni è soddisfatta e quindi l'"oppure" perde senso, cioè perde senso 
la funzione stessa).
Ciao.
qf

 Questo "oppure" e` esclusivo
Mamma mia...
Tu e lo spirito della matematica non andate per niente d'accordo...
G

 strettamente minore di epsilon_0.
Vale forse la pena di ricordare quale sia il significato concettuale -
facilmente afferrabile, per altro - di epsilon_0, che č piuttosto
interessante. E' chiaro, dalla costruzione della
successione degli ordinali transfiniti, che omega^omega č il primo ordinale
non raggiungibile attraverso iterazioni delle operazione aritmetiche di
addizione e moltiplicazione. Nessuna iterazione della operazione di
moltiplicazione (omega*omega, omega*omega*omega etc.) puň raggiungere
omega^omega, perchč - fatalmente - queste iterazioni non farebbero che
"replicare" la serie dei numeri naturali (che infatti puň essere messa in
corrispondenza biunivoca con ciascuna applicazione della operazione di
moltiplicazione; la serie dei naturali puň cioč "indicizzare" quelle
iterazioni).  epsilon_0 č il primo ordinale non raggiungibile attraverso
iterazioni della operazione di esponenziazione, cioč - intuitivamente - il
*primo* ordinale che sta "oltre" ciascun termine della serie <omega,
omega^omega, omega^(omega^omega)...>. Cioč, č il primo ordinale che si
ottiene effettuando il medesimo - "medesimo" dal punto di vista
concettuale - passo effettuato per passare dai numeri di tipo "n" ad omega,
dai numeri di tipo "omega+n" ad "omega*omega*, dai numeri di tipo "omega^n"
ad "omega^omega", dai numeri di tipo "omega^(omega+n)" ai numeri di tipo
"omega^(omega*omega) etc. e che ci consenta di andare "oltre" qualunque
numero ottenibile mediante le operazioni iterate prima.
Quale sia poi l'importanza matematica di epsilon_0 (e come esso giochi un
ruolo persino nei vari tentativi, successivi ai teoremi di Goedel, di
dimostrare la coerenza dell'aritmetica; si veda Gentzen etc.), lo si puň
mostrare proprio facendo riferimento alla induzione transfinita cui č
dedicato questo thread. E qui, magari, lascio la parola ai matematici di
icfm.
Saluti,
Marco

 G 
la domanda, posta cosi', non ha molto senso; la domanda dovrebbe 
specificare "in quale ambito e per quale uso".
  ... per esempio:
nell'ambito delle pure ipotesi scientifiche attualmente il big-bang e' 
una ipotesi forte, ma al momento non rappresenta -- in se' -- alcuna 
utilita'.
Pero' la medesima ipotesi induttiva sorge da fatti (energia nucleare, 
meccanica quantistica che spiega il funzionamento di buona parte 
dell'elettronica attuale ...), esperimenti (ad esempio l'esperimento 
che durante una eclissi di sole confermo', entro le tolleranze degli 
strumenti disponibili, l'ipotesi einsteniana della curvatura spaziale 
...) e teorie attualmente applicate con successo.
In questo ( e solo in questo!) senso l'ipotesi del big-bang con tutto 
cio' da cui deriva e con tutto cio' che, per logica o per caso, ci puo' 
fornire di concreto e' una ipotesi induttiva corretta, qualunque sia il 
suo ordinale ...
Nelle cose del mondo con cui abbiamo "rapporti materiali" non esistono 
regole formali rigide, ma regole dialettiche, contestuali ed in continua 
evoluzione; potrebbe accadere un giorno che una teoria sul big-bang 
(teoria induttiva anche se gia' verosimile e scientifica ora) permetta 
una conoscenza teorico/pratica delle cose tale da affermare che il grado 
di induzione del big-bang lo rende assolutamente incontestabile anche se 
nessuno lo ha visto e nessuno mai lo vedra'. Il "fluido calorico" ad 
esempio e' stata per anni una induzione che rispetto ai rapporti 
dell'uomo di quell'epoca rappresentava una induzione d'obbligo e, non 
scordiamolo, tutta la termodinamica classica ancor usata ora in migliaia 
di motori o turbine e' nata sotto la verita' del fluido calorico ormai 
soppiantato dalla teoria cinetica dei gas ...
  pino
--
La <<ragione>> nel linguaggio:
ah, quale vecchia donnacola truffatrice!
Temo che non ci sbarazzeremo di Dio
perche' crediamo ancora nella grammatica...

 Tu e lo spirito della matematica non andate per niente d'accordo...
Io e certe battute di spirito - che si spacciano per matematica -
*sicuramente* non andiamo d'accordo.

 numeri naturali.
O forse meglio, lo sarebbe anche quella dei numeri naturali, *in quanto*
consente, sfruttando l'ordinamento "naturale", l'istituzione della relazione
d'ordine"<*".
Direi che siamo in linea di principio d'accordo (taglio dunque il resto, per
la fretta). Con maggiore precisione matematica, sottolinei ciò su cui avevo
insistito con Qf: la ragione per la quale si arriva a porre omega, sta a
monte, molto a monte, e la si può
reperire già nella struttura dei naturali stessa. Tuttavia, tale struttura
che implica *già* la ponibilità di omega (ed un volta posto omega, sulla
base del "secondo principio di formazione", non ci si ferma più: ciò che
veramente ha rilevanza concettuale è quel *primo* passo, che include in sè
il principio, e la necessità, di infiniti passi),
ha strettamente a che fare con la enucleazione del significato
dell'infinitità dei naturali. Trascrivo qui un brano di Cantor, citato in
"Storia del pensiero matematico" di Morris Kline (opera che, almeno nella
traduzione italiana, contiene a mio avviso parecchie imprecisioni):
<<Dipendo a tal punto da questa generalizzazione del concetto di numero che
senza di essa non potrei compiere liberamente neppure il più piccolo passo
verso la teoria degli insiemi. Spero che questa situazione giustifichi o, se
necessario, scusi l'introduzione nei miei ragionamenti di idee
apparentemente strane. In effetti il mio scopo è quello di generalizzare o
estendere oltre l'infinito la serie degli interi reali. Per quanto audace
possa apparire, esprimo...la ferma convinzione che a tempo debito questa
generalizzazione sarà riconosciuta come un passo assolutamente semplice,
appropriato e naturale. Sono tuttavia ben conscio che adottando tale
procedimento mi pongo in contrapposizione con opinioni diffuse circa
l'infinito in matematica e con punti di vista correnti sulla natura del
numero>>.
E allora, l'"opinione diffusa" contro la quale cozza la teoria cantoriana
dei transfiniti è massimamente quella della insensatezza della "equipotenza"
dell'insieme dei naturali con ciascuno dei suoi sottoinsiemi infiniti. Ciò
sta a significare che l'accettazione della legittimità (che ai
pre-cantoriani sembrava una bestemmia matematica) della equipotenza tra un
insieme infinito ed un suo sottinsieme (infinito), si colloca sullo stesso
piano concettuale dell'accettazione della legittimità della posizione di
omega.
A presto ad entrambi,
Marco

perche' non dovrebbe accettarlo fino ad un ordinale maggiore?
Nell'induzione quello che conta non è la quantità dei casi in cui
si riscontra la validità di una legge naturale o di un teorema, ma la
qualità: ossia la legge naturale da verificare va sperimentata in
condizioni sperimentali diverse in modo che l'induzione abbia una
base più larga possibile. Ad esempio se si deve studiare la legge di
caduta dei corpi, si deve ripetere l'esperimento in condizioni
sperimentali diverse: variando il peso o la grandezza o il materiale
costitutivo del corpo che cade, oppure facendolo cadere da diverse
altezze. Solo quando si avrà un ventaglio molto ampio qualitativamente
di verifiche sperimentali si potrà accettare la legge studiata; non
basta il ripetersi  un numero n di volte in condizioni fisse.
--
Il primo dovere di un uomo è parlare, è questa la sua principale
ragione di vivere (R.L. Stevenson)