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Titolo: Credenze di matematici ......... [...]

Parlando con diversi miei amici matematici, alcuni dei quali anche molto 
noti e stimati, e parlo di gente a livello di medaglia fields, mi sono reso 
conto che sono quasi tutti convinti di un sacco di cose che non stanno ne' 
in cielo ne' in terra.
Ad esempio, sono tutti convinti che si usi il terzo escluso per dimostrare 
che, per ogni insieme S, la cardinalita` di P(S) sia strettamente maggiore 
della cardinalita` di S.
Ovviamente il terzo escluso non si usa ne' per dimostrare il "maggiore o 
uguale", per il quale basta associare ad ogni elemento di S il suo 
singleton, ne' per dimostrare il "maggiore stretto", per il quale si usa un 
assurdo debole senza terzo escluso.
Mi chiedo come faccia gente cosi` valida nel suo campo ad essere cosi` tonta 
su cose cosi` banali.
Un'altra credenza diffusa tra matematici anche validi e` che nella 
dimostrazione del primo teorema di incompletezza di Goedel si faccia uso del 
terzo escluso.
Anche questa e' una credenza sbagliata, dato che il terzo escluso usato e` 
dimostrabile mediante un'induzione estremamente debole.
Anzi, le dimostrazioni dei due teoremi di Goedel sono quanto di piu` 
costruttivo vi sia in matematica.
Tutto questo per evidenziare due delle credenze sbagliate piu` diffuse tra i 
matematici.
G 

 che, 
Ma scusa, non me ne intendo, ma di ogni teorema esiste una sola
dimostrazione?
Io credevo che a seconda anche degli assiomi da cui si parte esistessero
dimostrazioni diverse per dimostrare un teorema.
O magari dimostrazioni piu' evidenti ma che facessero ricorso ad ipotesi
piu' stringenti sfruttando proprieta' in realta' non necessarie con altre
dimostrazioni piu' potenti ma meno evidenti, meno facili da trovare e con
magari piu' passaggi.
-- 
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 ogni teorema esiste una sola dimostrazione?
Ovviamente "la" dimostrazione e` quella che usa proprieta` piu` deboli e che 
e` piu` semplice.
G

 ha scritto nel messaggio 


*Ovviamente*, fesserie.
Di un teorema esistono piu' dimostrazioni logicamente equivalenti
(anche a partire dallo *stesso* insieme di assiomi, uahlim),
e si preferisce una all'altra solo per motivi storici (es. la prima
dimostrazione che fu trovata) o soggettivi ("mi ci capisco meglio
cosi'", "mi vien piu' facile da ricordare cosa'").
In definitiva si sceglie quella che piace di piu', e si sa che i
gusti sono mutevoli.
Ciao
Neo


 logicamente equivalenti
Si`, ma le dimostrazioni possono essere, in vari modi, enumerate; pertanto, 
scegliendo un criterio ragionevolmente significativo, possiamo considerare 
la prima dimostrazione di questo "elenco" ricorsivamente enumerabile.
Un criterio ragionevole mi sembra:
1) anteporre le dimostrazioni che potrebbero essere basate su un sottinsieme 
proof-teoreticamente debole degli assiomi a quelle che invece fanno uso di 
assiomi proof-teoreticamente forti;
2) a parita`, o non confrontabilita`, di forza proof-teoretica delle 
assunzioni utilizzate, anteporre le dimostrazioni piu` "brevi", cioe` quelle 
che consistono di una sequenza piu` breve di formule, a quelle piu` 
"lunghe";
3) se persiste ancora la "parita`", ordinare lessicograficamente.
G

 ha scritto nel messaggio 


Uhm.
Secondo me di solito si inizia piuttosto scegliendo la dimostrazione
piu' breve per la "forza" che mi serve; ma il tutto rimane comunque
parecchio soggettivo. Basti pensare che il tuo 3) dipende dalla
lingua in cui scrivo la dimostrazione, o da quali sinonimi scelgo
di usare...


 o da quali sinonimi scelgo di usare...
Ehm... guarda che io facevo riferimento alle dimostrazioni espresse in un 
linguaggio formalizzato, non nel linguaggio naturale...
Comunque, in ogni caso, si`, il punto tre va sostituito opportunamente con 
altri criteri piu` sensati.
Per quanto riguarda i punti 1 e 2, penso che, nello spirito di "reverse 
mathematics", vadano mantenuti nell'ordine in cui sono.
G

 mathematics", vadano mantenuti nell'ordine in cui sono.
Vabbe'...


 3) se persiste ancora la "parita`", ordinare lessicograficamente.
La dimostrazione piů breve č sicuramente quella che parte dal teorema stesso 
considerato come assioma. Prooftereticamente dovrebbe essere il sistema di 
assiomi piů debole possibile tra quelli che dimostrano quel teorema. 

 considerato come assioma. 
Che tra l'altro richiede, oltra alla validita' di A, anche la famiglia di
assiomi che affermano che se vale A allora vale A.
O no?
-- 
 I tracciati di Nazca sono opera di un popolo notevolmente civile,
provvisto di uno spirito geometrico eccezionale, (tratto da
http://web.genie.it/utenti/m/mysteryworld/nazca.html
 ) e di un altrettanto
eccezionale numero di schiavi (aggiungerei io).


 O no?
No.
Gli assiomi sono teoremi per definizione.
G

 quel teorema.
E` chiaro che si intendeva "in una data teoria".
G

 E` chiaro che si intendeva "in una data teoria".
In effetti questo potrebbe vincolare ad utilizzare solo sottoinsiemi 
dell'insieme degli assiomi della teoria.
Viceversa, uno potrebbe assumere il teorema stesso.
Pero`, originariamente, si parlava di assiomi logici e non di assiomi 
propri.
Il problema e` proprio distinguere formalmente gli assiomi logici da quelli 
propri... come lo si puo` fare? Al momento non saprei dirlo.
G