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Titolo: zero

Frege
Lo zero � quel numero diverso da se stesso
Peano
Lo zero � quel numero che permette l'inizio di una successione
di numeri naturali
ciao
Massimo 

 di numeri naturali
Questo, dice Qf, � il Peano gi� affetto dal morbo dello "zero":-). 
Inizialmente l'assiomatizzazione dell'aritmetica data da Peano non 
contemplava lo zero.
Aggiungerei alla tua lista un altro nome illustre: lo Husserl de "La 
filosofia dell'aritmetica", per il quale n� 1 n� 0 sono numeri cardinali in 
senso proprio.
Un saluto,
Marco 

"Massimo 456b"

Sulla questione di Frege ci vediamo pi� tardi davanti a Marco. Comunque la 
tua definizione "secondo Frege" � davvero divertente :-)
Circa Peano, inizialmente il brav'uomo ha dichiarato "Uno � un numero 
naturale" e da l� � partito con gli altri assiomi. Poi, visto che la cosa 
era sensata e che quindi la gente non rideva abbastanza, ha cambiato 
bandiera e ha dichiarato "Zero � un numero naturale". Adesso dall'aldil� 
sorride contento, perch� vede che siamo tutti allegri, anzi che ridiamo a 
crepapelle :-))
Ciao
qf 

 in senso proprio.
Se le inventano tutte.
Se 1, fondazione di ogni valutazione quantitativa, non � un numero 
cardinale, cosa lo �, dal momento che ogni cardinale non � che una 
collezione di unit�? Elefanti o zanzare o numeri che siano.
1 � il concetto stesso di cardinalit�, direi l'*indice di cardinalit�*, ci� 
che d� la porpora cardinalizia a ogni quantit�.
Perci� non perdoner� mai -- dico mai !!! :-)) -- il pentimento di Peano.
Ciao
qf 

 qf
ciao
Massimo 

 di una successione di numeri naturali
Questa come la accordiamo con il tuo detestare
i diritti naturali? :)
Ciao
-- 
come to the dark side 
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ab...@newsland.it

 Ciao
ciao
Massimo 

 nei diritti naturali mi appello al diritto positivo.
A parte che il "rientra nei diritti naturali"
sarebbe tutto da approfondire, tu il diritto
positivo da dove lo trai?
Ciao!


 Ciao!
ciao
Massimo

 un uomo creato da Dio da un uomo-scimmia.
E perche' non dire naturale la ragione 
che Dio ci ha donato? D'altronde lo zero
senza i numeri naturali non esisterebbe.
O vogliamo solo ragionare per quantita'?


http://snipurl.com/sxbja


 Ciao!
ciao
Massimo 

 
http://snipurl.com/sxbja
http://snipurl.com/sxbze

 Niente da fare Dio crea anche l'istante To.
Lo prendo per un no ;)
Ciao


 dotato di ragione = che ha ragion d'essere
Caro PlatoBoy non fare il furbetto...
dotato di ragione = animale razionale
salva capra e cavoli, mette d'accordo 
darwinisti e creazionisti....
ciao
AristoMassimo

 d'accordo darwinisti e creazionisti....
Imho e' un accordo di "facciata", 
la pugna e' nel naturale-sovranaturale.
Ciao!
Z.E.R.O (BluVertigo) (tDb: e c'e' anche il concord)
Chi mi ama non mi vuole correggere, 
infondo si tratta solo di essere buoni o cattivi 
a certe cose che dici non pensi neanche 
e se sei nervoso � solo perch� vivi in citt� 
percorsi esistenziali monza-milano 
e se prendi il concorde arrivi prima di partire 
soddisfatto d'esserti anticipato 
psico-dramma, oppure psico-reato 
poter migliorere peggiorando 
la notte serve a scrivere romanzi 
-ti dispiace essere un mio sogno erotico?- 
se l'uno � la verit�, il due � la materia 
il tre �: "tutto ci� che senso ha?" 
il cattivo tenente si trova da blockbuster 
chi fa film di questo tipo si descrive o inventa tutto? 
c'� chi muore per quello che fa e chi ogni tanto si concede 
di non essere bravo, gli tocca reincarnarsi 
io � un altro 
lo zero non esiste 
niente � nulla 
tutto � mio 
la soluzione non � l'oriente, 
ma poter scegliere di andarci a piacimento, l'innamoramento 
come motore universale 
ma � come non aver detto niente: 
ti piace springsteen? o.k. non c'� problema 
in tutto quello che la gente fa, nei giudizi 
non � che cosa ma come lo si fa 
anche il solo dire "io" � un messaggio 
senza un'idea non ci si alza dal letto, purtroppo 
la questione � l'interesse nelle cose z.e.r.o. 
il messaggio � conservare bottiglie vuote z.e.r.o. 


 Perci� non perdoner� mai -- dico mai !!! :-)) -- il pentimento di Peano.
Dopo aver definito, nell'insieme dei numeri naturali, le operazioni di 
addizione e moltiplicazione, torna utile avere un elemento dell'insieme che 
sia neutro rispetto alla moltiplicazione, e un altro neutro rispetto 
all'addizione.
Perci� Peano ha fatto bene a pentirsi, e bene ha fatto il ministero 
dell'interno a concedergli il programma di protezione dei pentiti. Esistono 
certi fanatici dell'ontologia che potrebbero assassinarlo:-) 


 dicesi anche shivalingam o asso bastoni nelle nostre carte oppure
lo iod giudeo J..ecc(=prima lettera del nome di dio). Lo zero invece
apre e chiude la lame maggiori, pu� essere anche il ventidue e rappresenta
il matto. Contrapposto al bagatto, ermes in persona che ha i quattro semi
sul
banco e forma la lettera aleph.(come michelangelo nella celebre figura di
 Aristotele e Platone) ..con l'infinito sulla testa come cappello..

 tu e Marco nel definire lo zero.
0 � un numero naturale, ma non � un numero cardinale.
I numeri cardinali incominciano da 1.
In altre parole, quando si deve eleggere il nuovo papa, 1 va in conclave e 
vota, 0 non vota. 


Massimo, scusa  Peano e Frege hanno mai detto simili assurdit�?
La citazione?
Non mi sembra che sia possibile che due grandi logici-matematici del
calibro
di un Peano o Frege abbiano mai scritto niente di simile.
Grazie

 Grazie
ciao
Massimo 

 Marco
ciao
Massimo 

ah ecco...
ho trovato altro materiale...
[Ci siamo gi� occupati dell'opera di Frege nella presentazione
dell'antinomia di Russell;
nel 1884, Frege pubblica Die Grundlagen der Arithmetik,
 l'opera in cui si trova la
fondamentale definizione di numero.
Egli introduce il numero "zero" facendolo
corrispondere al concetto di "diverso da se stesso" (ovvero ad una
condizione di
impossibilit�): potremmo dire che, per Frege, "zero" �
la quantit� di elementi che
verificano una condizione impossibile.
A partire dallo zero, Frege introduce ricorsivamente
ogni altro naturale, ciascuno sulla
base del precedente: cos� il numero 1 � associato al (solo) concetto
di "zero" (si tratta
dunque di un concetto, considerato singolarmente), il numero
2 ai (due) concetti di "zero" e
di "uno", il numero 3 ai (tre) concetti di "zero", di "uno" e di "due",
e cos� via.
Ricordiamo che, sette anni dopo la pubblicazione del trattato
di Frege, un grande
matematico italiano propone per l'aritmetica una sistemazione
di tipo assiomatico. Con il
lavoro Sul concetto di numero, del 1891, Giuseppe Peano
(1858-1932) introduce
un'impostazione dell'aritmetica basata su tre concetti
primitivi e su sei postulati (la
formulazione originale della teoria di Peano assume
quali concetti primitivi l'unit�, il
numero ed il successivo; all'unit� lo stesso Peano
sostituir�, in un secondo momento, il
concetto primitivo zero). Illustreremo una costruzione
di N sulla base della teoria degli
insiemi.]
http://www.dsi.uniroma1.it/~lpara/LOGICA/DISPENSE/dispense2.pdf
ciao
Massimo 

 la cardinalit� dell'insieme dei sarchiaponi esistenti nella val Brembana.
Ma attenzione. Lo scopo di Frege �, nell'ambito del suo programma logicista, 
di ridurre la matematica alla logica. Questo significa stabilire (nel 
linguaggio della teoria degli insiemi) definizioni logiche delle nozioni 
matematiche primitive e a partire da esse ottenere deduttivamente, tramite 
le consuete regole della logica, le propriet� che la matematica ascrive agli 
enti che compongono il suo dominio.
Tra le nozioni matematiche primitive di cui Frege deve fissare una 
definizione logica, c'� proprio la nozione di *numero cardinale*. Perci� 
Frege non pu�, pena la nullificazione del suo programma logicista, 
presuppore la nozione di "cardinalit�" alla definizione del numero "zero". 
Invece, la definizione logica di "numero cardinale" dovr� ricorrere nella 
definizione di "zero" e di qualunque altro numero.
Dunque prima di ogni cosa Frede deve rispondere logicisticamente alla 
domanda "che cosa � un numero cardinale"?.
Per costruire la risposta, Frege sfrutta la relazione di "equinumerosit�": 
la relazione che, detto terra terra, sussiste tra due insiemi che hanno "lo 
stesso numero" di elementi e che ovviamente per Frege (ma non per Qf:-)) NON 
presuppone il concetto di "numero cardinale", cio� il concetto del 
definiendum (pena la circolarit� viziosa della definizione)
La relazione di equinumerosit� � perci� il significato logico presupposto 
alla definizione del numero cardinale. La definizione fregeana di "numero 
cardinale di una classe" suona cos�:
"il numero cardinale di una classe A � la classe di tutte le classi 
equinumerose ad A".
Di qui segue che il numero "zero" � la classe di tutte le classi vuote. Per 
Frege, perci�, i numeri cardinali sono classi [di classi], e dicendo questo 
non stava affatto facendo dell'umorismo:-).
Un saluto,
Marco 

 Brembana.
Guarda che in val Brembana ï¿½ pieno di sarchiaponi.
Io ho casa in val Brembana e il mio giardino ne pullula.
Occorre trattarli con rispetto. Non con certe barzellette logiche.
Saluti
qf 

 tu e Marco nel definire lo zero.
Ci hanno pensato gli indiani, come dicevo, e proprio quando lo hanno 
inventato (poi a noi ï¿½ arrivato attraverso gli arabi cone 'al-sifr', da cui 
pare 'zefiro' e poi 'zero').
Per gli indiani era un segno per indicare che in un certo "peso" dei numeri 
pesati non c'era niente, per esempio c'erano le unitï¿½ le decine e le 
migliaia ma non le centinaia, come in 1021, che avrebbero scritto 1-21, per 
dire che la posizione ci deve essere per far capire che il primo 1 ï¿½ per le 
migliaia, ma che in quella posizione non c'ï¿½ niente.
Come conseguenza questa definizione ï¿½ in sostanza ordinale, nel senso che 
indica il posto su cui si puï¿½ fissare un paletto con un numero, da 1 a 9 nel 
sistema decimale.
Lo stesso significato di paletto ï¿½ molto chiaramente indicato nei diagrammi 
cartesiani, in cui di nuovo indica una sezione di separazione (il concetto 
di Frege di 'sezione' ï¿½ buono: probabilmente non era ancora impazzito :-)) 
fra il mondo dei crediti e quello dei debiti -- secondo me da qui, cioï¿½ dal 
commercio, nasce l'idea di numero relativo, che alla geometria non serve 
fino all'avvento della geometria analitica.
Nota che lo zero, inteso come paletto da cui parte un conteggio, cioï¿½ come 
'origine', ï¿½ l'unico segno che si puï¿½ usare per traslare il riferimento di 
calcolo. E il fatto che in geometria analitica non si sappia mai bene se sia 
uno zero o la lettera 'O' ne fa capire la natura ambigua.
Poi le convenzioni fanno tutte le loro puttanate usandolo come numero (somma 
con lo zero, prodotto per zero, divisione per zero, che ï¿½ uno di quegli 
orrori [i pazzi da manicomio dicono che ï¿½ = infinito] che mostrano la 
paradossalitï¿½ di considerarlo numero).
Sono d'accordo con te: zero non ï¿½ un numero, come non lo ï¿½ infinito, con 
buona pace per Georg Cantor e per la sua preoccupazione di offendere gli 
uffici romani del Padreterno.
Ciao
qf 

elementi semplicemente _non c'�_, non esiste. Punto.
E allora � molto interessante che Husserl abbia escluso 1 dal dominio dei
numeri cardinali in senso proprio, proprio (scusami l'omografia:-))
ragionando sulla nozione di "raggruppamento". Come sai, l'Husserl de
"Filosofia dell'aritmetica" era uno convinto che l'aritmetica avesse
essenzialmente il suo fondamento nella "psicologia" (Herr Frege non
sopportava questa cosa), cio�, potremmo dire, in certe operazioni mentali
fondamentali - le operazioni dell'enumerare - le quali danno, esse e solo
esse, significato alle nozioni aritmetiche fondamentali.
In una parola, per Husserl: un numero cardinale � il risultato di una
enumerazione; l'enumerazione richiede una operazione di collegamento,
consistente nel <<pensare insieme>> ad altri gli oggetti; "1" non pu� essere
il risultato di una enumerazione, perch� manca l'altro assieme al quale
pensare il singolo oggetto. Va da s� che la prima obiezione cui la tesi
husserliana deve saper rispondere, � che il costituirsi di qualcosa come
"singolo oggetto" richiede l'enumerazione, cio� proprio quella operazione
dal cui risultato Husserl vuole escludere l'unit� aritmetica.
Un saluto,
Marco

 sopra - garantire il non avere senso del non avente senso.
Leggi: ...garantire l'_avere_ senso del non avente senso.
Marco.

 
http://twiki.di.uniroma1.it/pub/Users/MarcoBianchi/logicaquestionedeifondamenti.doc
.
Non ho sottomano i testi originali di Frege (Loris, sei l�? li hai tu?). 
Direi per� che Frege non usa l'espressione "numero appartenente a..." ma 
l'espressione "numero _spettante_ a...". Perci� la definizione fregeana di 
zero (a partire dalla quale Frege ricava la definizione dei successori dello 
zero) viene ad essere:
"numero spettante al concetto 'diverso da se stesso'".
Se invece, per esprimere il fatto che per Frege i numeri cardinali sono 
classi [di classi], dicessimo che lo zero � il numero appartenente al 
concetto "diverso da se stesso", renderemmo possibile l'affermazione che lo 
zero � quel numero che � diverso da s� - e la renderemmo possibile nella 
misura in cui "appartenere ad un concetto" viene interpretato come 
"appartenere alla _estensione_ di un concetto". Infatti "appartenere alla 
estensione del concetto 'x'" significa appunto "essere x".
Un saluto,
Marco 

 impossibilit�):
Ma questo non equivale a dire che lo zero *�* quel numero diverso da se 
stesso.
Lo zero per Frege � una classe (precisamente, la classe di tutte le _classi 
di classi_ che sono numeri cardinali della classe vuota), e la definizione 
di tale classe richiede il concetto "diverso da se stesso" - ma tale classe, 
ovviamente, *non* � diversa da se stessa.
Vedi anche la risposta che ti ho appena dato, delle ore 21.29, circa 
l'equivoco linguistico che pu� aver generato la definizione di zero che hai 
riferito a Frege.
Di nuovo saluti,
Marco 

 "numero spettante al concetto 'diverso da se stesso'".
Da uno sguardo veloce trovo, al capitolo IV - Der Begriff der Anzahl �55, la 
seguente espressione:
<<einem Begriffe kommt die Zahl 0 zu, wenn kein Gegenstand unter ihn
faellt>>,
che tradotto e': "il numero 0 [kommt...zu] ad un concetto, se nessun oggetto
ricade sotto di esso". Qui il verbo "zukommen" ha esattamente il significato
che dici tu: "spettare a...". Dunque:
"il numero 0 _spetta ad_ un concetto, se nessun oggetto ricade sotto di 
esso".
Per quanto riguarda questa questione dello 0, aggiungo (se non e' gia'
emerso dalla vostra discussione) che la definizione di 0 come la classe di
tutte le classi vuote (numero spettante a qualunque concetto
contraddittorio), e' indispensabile a Frege per una teoria generale delle
successioni, finalizzata al suo intento di ricondurre a leggi logiche
generali il processo matematico-induttivo da n a n+1. Senza lo 0, come
"punto di partenza", questo progetto non e' possibile.
Un saluto,
Loris

 Loris
ciao
Massimo

 dal cui risultato Husserl vuole escludere l'unit� aritmetica.
Ecco, � la stessa cosa che io ho detto pi� terra-terra qui sopra.
Ma adesso, tornando a Frege, vediamo di tagliare la testa al toro.
Nell'insieme vuoto che � lo zero non c'� forse niente per definizione stessa
di Frege, cio� appunto zero?
Ma allora arriviamo addirittura all'indecidibilit�: tale insieme infatti
 "contiene" (secondo la logica degli insiemisti) �tutto ci� che non � ci� 
che �, cio� esso "contiene" zero, il quale
� ci� che �, non ci� che non �; epper� lo zero, in quanto elemento 
dell'insieme, per definizione non � ci� che �.
Aaaargh! (A far naufragare i progetti di Frege, per inciso, � stato propro 
Goedel.)
Un saluto
qf

 "punto di partenza", questo progetto non e' possibile.
Certamente. Il  successore immediato del numero n viene definito da Frege 
come il numero cardinale della classe formata da tutti i numeri naturali 
fino ad n: (0,1,2...n). Il concetto cui il numero "spetta", � qui quello di 
"appartenente alla successione dei numeri naturali che termina con n": il 
successore immediato di n � dunque il numero spettante a quel concetto.
Frege sfrutta il concetto logico di "seguire in una successione" per 
catturare l'essenza dell'induzione matematica.
Ricambio il saluto,
Marco 

 zero fondante tutti gli zero delle classi.
Ho qualche perplessita' quando parli dei numeri naturali come di "etichette" 
(sia pure specificando poi "concetti"). "Etichette" sarebbero piu' 
propriamente i numerali, che come tali ricadono sotto il concetto appunto di 
"numerale", costituendo una classe cui e' attribuibile un numero, che cosi' 
sfugge alla "etichettazione". C'e' poi da aggiungere che per Frege i 
naturali costituiscono una sotto-classe della classe dei cardinali. Per 
Frege un numero naturale e' un *oggetto*: un "qualunque oggetto" 
raggiungibile a partire dallo 0, applicando un numero finito di volte 
l'operazione logica di induzione dal predecessore al successore.
Tramite il concetto generale di "seguire in una successione" egli definisce 
l'immediato successore di un numero, in poche parole cosi': il successore di 
un numero di elementi di una classe e' il numero della classe formata da 
essa con un elemento x che ad essa non appartiene. Dice Frege: <<Il numero 
spettante al concetto "appartenente alla successione dei numeri naturali che 
termina con d" segue immediatamente d nella successione dei numeri 
naturali>>. C'e' bisogno di una spiegazione, con un esempio. Se abbiamo la 
classe A:{0, 1, 2,..., n}, il numero di tale classe e' n+1, che e' il 
successore di quella classe. Questo perche' nella classe e' compreso lo 0! 
Se lo 0 non fosse cmpreso, cioe' se A:{1, 2,..., n}, non vi sarebbe 
successore (infatti il numero di tale classe e' n). Ecco perche' lo 0 e' 
necessario: la classe vuota e' l'elemento logico per cosi' dire "propulsivo" 
dell'induzione matematica, che senza quella non ci sarebbe, se non come 
concetto psicologico e intuitivo, irriducibile a un concetto logico, come 
era considerato anche fino a Cantor.
Un saluto,
Loris

 catturare l'essenza dell'induzione matematica.
Esatto. Se leggevo prima questo tuo post mi risparmiavo una parte della mia 
risposta a Massimo:-).
Salutoni,
Loris

 "Abelardo Golia"

Per inventarsela a modo suo introducendo una testa di legno con tutti i 
difetti/paradossi gi� discussi.
Poi:
1. l'induzione matematica non ha affatto bisogno dell'invenzione dello zero, 
per poi contare in modo paradossale come da punto 2 seguente.Se anzich� 
contare i numeri si contano gli intervalli, l'induzione � immediatamente 
applicata. Sia n = 4 per esempio: 1-2, 2-3, 3-4, 4-? Ecco: l'induzione 
matematica, non affatto intuitiva ma decisamente meccanica come le spetta, 
ha posto quel punto di domanda -- che chiameremo 5 o Papageno, non ha 
nessuna importanza, ma non si sono introdotte teste di legno e non si � 
introdotto un assai discutibile conteggio di ci� che serve per contare, che 
� un gran bel paradosso come da punto seguente.
2. Perch� a contare i numeri Frege comincia da 1 e non da 0? La coerenza 
cio� direbbe che il successore secondo Frege non c'� proprio. Oppure forse 
usa gli ordinali a modo suo per contare i cardinali (0 � il primo, 1 il 
secondo e cos� via, invece ugualmente dovrebbe dire: 0 � lo zeresimo, 1 � il 
primo e cos� via, cos� non arriverebbe mai a n+1.)
Secondo me Frege, a parte l'elegante analogia della "sezione del campo 
razionale" -- presa in prestito alla geometria -- per definire il numero 
reale, non ne ha azzeccata una.
Baci e abbracci
qf 

 reale, non ne ha azzeccata una.
Frege come sai � un logicista bello tosto: si tratta per lui di ridurre 
l'aritmetica alla logica (e, attraverso la riduzione della matematica 
all'aritmetica, ridurre la matematica alla logica). "Ridurre l'aritmetica 
alla logica" significa mostrare che le verit� aritmetiche sono *verit� 
logiche*. Il tedesco dice:
<<l'aritmetica � una branca della logica [...] non ha bisogno di prendere 
alcun fondamento della dimostrazione n� dall'esperienza n� 
dall'intuizione>>.
Ora, l'induzione �, per usare le parole di Frege citate da Loris, il 
procedimento che <<fa concludere da n a n+1>>. Frege vuole *dare un 
fondamento logico a questo procedimento*; nel suo linguaggio: <<ricondurre a 
leggi logiche generale>> tale procedimento. Il concetto di "successore 
immediato" viene definito nei termini del concetto di "seguire in un 
successione". E allora � chiaro che lo zero fregeano assolve ad una 
necessit� inderogabile *per il suo progetto logicista. Il punto di partenza 
della successione dei naturali , cio� l'unico termine della successione che 
non ricade sotto il concetto di "successore immediato":
1. *non* pu� ovviamente essere definito nei termini del concetto di "seguire 
in una successione".
2. *deve* essere definito nei termini di un *concetto logico*, pena la 
nullificazione del programma logicista.
Il concetto logico richiesto dalla 2. � appunto "essere diverso da se 
stesso". Va da s� che lo zero fregeano, come dicevo, assolve un ruolo 
all'interno della prospettiva (che si dice essere stata distrutta dall'opera 
di uno che condivideva il platonismo fregeano: quel Goedel che menzionavi 
nell'altro tuo post) del programma di fondazione logica dell'aritmetica. Lo 
zero fregeano � il numero, potremmo dire, la cui definizione � 
*immediatamente logica*, e che serve perci� ad "innescare" la fondazione 
logica dell'aritmetica (un innesco interno all'aritmetica, visto che per 
Frege 0 � un numero a tutti gli effetti). Lo zero fregeano � perci� il punto 
di massimo contatto tra logica ed aritmetica. Questo, ovviamente, nelle 
intenzioni quella prospettiva fondazionale.
Un saluto al volo (vado a prendere una boccata di...aria e stelle, e non di 
zeri:-)),
Marco 

 Goedel.)
Tu dici:
1. la classe vuota contiene tutto ci� che non � ci� che �; ovvero, la sua
estensione � l'estensione del concetto "essere diverso da se stesso".
2. essa � priva di elementi dunque contiene "zero" elementi; dunque lo zero
� elemento della classe vuota.
3. lo zero � ci� che lo zero � (non � diverso da se stesso)
4. e per� lo zero, come elemento della classe vuota, � diverso da se stesso.
5. dunque lo zero � e non � diverso da se stesso.
Incominciamo col dire che Frege, se � vero che usa la nozione di "classe
vuota" per definire lo zero, *non* per questo definisce lo zero *come* la
classe vuota. Lo zero per il logico tedesco � [1] il numero spettante al
concetto "essere diverso da se stesso", cio� (analizzando questa definizione
e riducendola ai suoi elementi logici, cos� come Frege cerca di fare), [2]
la classe di tutte le classi equinumerose alla classe vuota, cio�, infine,
[3] l'estensione del concetto "equinumeroso al concetto 'essere diverso da
se stesso'". Perci� lo zero, definito nei termini di estensioni di concetti,
*non* � l'estensione del concetto "essere diverso da se stesso", ma �
l'estensione del concetto "_equinumeroso al concetto_ 'essere diverso da se
stesso'". E, come sai, "equinumeroso" viene da Frege preventivamente
definito nei termini di una "relazione di equivalenza" (cio� una relazione:
simmetrica, transitiva, riflessiva)
La 2. della tua deduzione � errata, proprio perch� - sto dicendo - per
collegare lo zero fregeano all'estensione di un concetto, occorre dire che
lo zero � l'estensione del concetto "_equinumeroso al concetto_ 'essere
diverso da se stesso'", e non che lo zero � l'estensione del concetto
"diverso da se stesso".
Dunque, � vero che per Frege "zero" � la risposta, dotata di valore numerico
(ecco la chiusura sul dominio dei numeri) a "quanti elementi ci sono?"; �
perci� vero che "zero" � la risposta alla domanda "quanti elementi ci sono
nella classe vuota?"; ed � vero che la classe vuota � ci� nei cui termini �
definito lo zero. Ma non per queste ragioni lo zero ricade nella estensione
della classe vuota, cio� di quella classe corrispondente al concetto "essere
divero da se stesso", in modo tale che lo zero venga ad essere diverso da se
stesso (il che farebbe scattare la taglientissima contraddizione che avevi
dedotto e che seduta stante farebbe stramazzare al suolo il toro Frege).
Poi conosciamo tutti la tempesta che l'antinomia di Russell scatena nel 
sistema di Russell. Ma le definizioni fregeane dei numeri, costruite 
ricorsivamente a partire da quella dello zero (sfruttando, detto terra 
terra, il fatto che nella classe (0,1,2...n) ci sono n+1 elementi), vengono 
abbattute non perch� direttamente contraddittorie, ma perch� esse fanno uso 
di nozioni (essenzialmente quella di "estensione di un concetto") che, se 
definite come aveva fatto Frege, conducono a contraddizioni (vedi Russell). 
<<I miei sforzi di chiarire ci� che si vuole chiamare "numero" sono finiti 
in un completo fallimento>> (Frege, nei suoi scritti postumi).
Un saluto (risponder� poi agli altri punti della tua replica),
Marco

 perci� il punto di massimo contatto tra logica ed aritmetica.
Punto di contatto zero, appunto.
Che l'aritmetica si serva della logica � evidente.
Ma io credo che qui ci sia un grosso equivoco -- proprio anche in Frege.
Ma � un equivoco molto diffuso: si confonde la logica con la logica formale, 
dimenticando che per formulare una logica formale occorre prima disporre di 
una logica che formale non �. Parliamo di intuizione o di processi psichici 
di base, o di processi biologici di base, come preferiamo, ma la logica 
formale � un prodotto -- psichicamente secondario cio�, tal quale alla 
matematica, e direi, alla scrittura musicale, cio� un distillato simbolico 
del linguaggio -- e non un bagaglio originario.
Entrambe, logica formale e matematica, che sono appunto solo linguaggi, 
fanno appello alla logica essenziale o naturale, a quella "lumi�re 
naturelle" o a quel "bon sens" che � la vera fondazione di ogni prodotto del 
pensiero.
Frege pretendeva invece di costruire uno strano anello chiuso su se 
stesso -- autofondante -- di logica formale e matematica.
In altre parole la sua ambizione era il retaggio positivista di voler 
rendere totalmente autonoma e assolutamente oggettiva la scienza.
Secondo me un atteggiamento adolescenziale.
Saluti
qf 

 diverso da se stesso",
Invece non pu� che ricaderci, a meno di non cadere nella contraddizione del 
contenitore, dalla padella nella brace.
Se lo zero non � simbolo/contenitore ma concetto, allora esso non definisce 
che se stesso nella propria assurdit�, e quindi nella propria specifica 
tecnica ci sta dentro con tutte le scarpe -- e ci sta dentro proprio e solo 
lui, non essendoci in circolazione altre classi caratterizzate dall'esser 
nulla: lui invece � nulla, essendo contraddizione conclamata. Dunque ci sta 
proprio dentro.
Per salvare una capra zoppa e dei cavoli marci occorre almeno distinguere 
fra concetto e numero che lo rappresenta, e bisogna aggrapparsi all'idea di 
insieme come contenitore, che � assurda di suo ma che consente di dire: in 
quella scatola, in base alla definizione scritta sulla sua etichetta, non 
c'� niente; e a questa scatola diamo il nome di 'scatola zero' per 
semplicit�. Il che � l'assurdo della teoria degli insiemi, ma almeno ha una 
parvenza di buon senso, bench� solo una parvenza, dato che uno potrebbe dire 
che se la definizione sta scritta fuori, allora � solo una frase nero su 
bianco e non un concetto, invece il concetto in quanto tale risponde --  
unico al mondo -- a se stesso nel suo non essere quello che � in quanto 
conclamata contraddizione, quindi ci sta dentro con tutte le scarpe e anche 
le mutande.
Cio�, se mi dici che una frase designa una contraddizione ma non � in s� una 
contraddizione in quanto frase, allora se la frase sta fuori, sull'etichetta 
appiccicata alla scatola, invece quello che la frase designa, la 
contraddizione in quanto tale, ci sta proprio dentro, dato che � nulla in 
quanto contraddizione. Ma se ci sta dentro, allora *�* quello che � 
(contraddizione), mentre dovrebbe starci solo ci� che � e non �, dunque ci� 
che � e non � contraddizione.
Saluti e buona domenica.
qf 

 medesima propriet�, implicando cio� a sua volta un successore.
Questa tua obiezione mi lascia perplesso. Stai *presupponendo* che, nel tuo 
esempio, 5 (o Papageno) sia il successore di 4.
Perche' dopo il 4 non potrebbe esserci il 3, cioe' un elemento gia'
presente nella successione? In Frege questo problemino (!) non c'e', perche'
il concetto di "seguire in una successione" e' successivo ad una rigorosa
definizione *logica* di numero, cui e' essenziale il concetto di "egualmente
numeroso". Per Frege il fondamento analitico dell'aritmetica va cercato nel
concetto di "estensione", che ha carattere logico e non aritmetico: e' il
concetto che fonda la sua estensione, non viceversa (anche se questo poi gli 
procurera' i guai comunicatigli da Russell). Su queste premesse, il
numero naturale corrispondente a un concetto F e' l'estensione del concetto
"egualmente numeroso" a F; dove un concetto dicesi "egualmente numeroso" ad
un altro quello i cui oggetti possono essere messi in corrispondenza
biunivoca con gli oggetti del secondo. Se abbiamo 2 insiemi, come A:{3,1,2}
e B:{gatto, cane, cavallo}, ambedue gli insiemi contengono 3 elementi; ma
che cos'e' questo numero "3"? Qual e' la sua genesi *logica*? il 3 non e' in 
A, ne' tanto meno in B, ma e' nella relazione R (di biunivocita') tra gli 
elementi di A e quelli di B. Il numero 3 (il *numero*, non Papageno) e' 
nell'astrazione di questa *relazione*, generalizzata a qualsiasi altro 
insieme X:{n, o, p}. Questo detto in modo semplificato, perche' a voler 
essere precisi bisognerebbe dire che il concetto generale di numero 
cardinale si ottiene ponendo che un numero cardinale e' una classe di classi 
che e' il numero di una data classe: e' la classe di tutte le classi di 
classi che sono numeri cardinali di una qualche classe.
La definizione di numero cardinale di Frege e' fondata su quella 
*relazione*: e' una definizione *per astrazione* da quella relazione. Una 
definizione estremamente rigorosa, sulla quale *poi* (su questo suo 
presupposto *logico*) si innesta la questione dell'induzione matematica e 
dello 0 di cui stiamo discutendo. Questione dello 0 e' questione 
dell'induzione matematica, fondata logicamente su un altrettanto rigoroso 
concetto di "seguire in una successione", che non soffre del "successore 
immediato" *presupposto* a una sua rigorosa definizione, come invece mi 
sembra soffrire il tuo concetto di "procedura".
Buona domenica,
Loris

 Secondo me un atteggiamento adolescenziale.
Sull'atteggiamento adolescenziale, ho detto sopra. Quanto al progetto
dell'autonomia della scienza, si trattava di darle *basi sicure*, cio� non
smentibili. La scienza ha percorso oltre due millenni della sua traiettoria,
nel campo della "verit�". Frege � evidentemente un segmento di questa
traiettoria. Se questa traiettoria la si vuole collocare nell'alvedo di
qualche spiegazione psicologica, mi domando se non ci sia pi� teoria in
queste spiegazioni di quanta non ce ne sia nello zero platonista di Frege.
Quanto alla logica formale. Anch'io sono convinto che la logica formale non
contiene la totalit� della "logiciti�"; � per questo che Hegel mi sta
simpatico. Al contempo sono per� convinto - stando in buona compagnia di
Husserl - che sia contraddittorio affermare che la logica � un "processo
psichico". Come pu� un *processo psichico* dare o essere la *fondazione* di
qualcosa? C'� *fondazione* solo "tra" cose articolate proposizionalmente. Ma
allora o il "processo psichico" ha struttura proposizionale, e allora esso
fonda allo stesso modo in cui la proposizione fonda; e questo modo � lquello
della *connessione logica*. Oppure il "processo psichico" non ha struttura
proposizionale, e allora l'uso della parola "fondazione" per qualificare la
connessione tra "processo pschico" e "prodotto del pensiero" � fuori luogo,
perch� in realt� tale connessione � quella producente-prodotto.
Ma quanto a quest'ultima cosa. Non trovi che nel linguaggio che parla di
"prodotti del pensiero" ci celi una metafisica intera di raffigurazioni
metaforiche? Il stile inconfondibilmente Qf: Che cazz'� "prodotto del
pensiero"?:-)).
Un saluto,
Marco

 essendolo in quanto specifica tecnica dell'assurdo.
Dici che il nulla non �, perch� questo insegna l'ontologia, quella branca
della filosofia che a me non piace.
Io preferisco dire che il nulla non esiste. Il verbo esistere mi sembra pi�
appropriato in quanto dobbiamo indicare, in questo caso, un'esistenza nella
realt�.
Il nulla come concetto per� esiste. Infatti noi parliamo del nulla, possiamo
dare ua definizione del nulla, quindi come concetto il nulla c'�, e come
concetto pu� essere trattato nelle nostre discussioni. Anche Zenone e
Parmenide, quando hanno scritto del non essere, hanno trattato il nulla come
concetto, anche se l'idea di concetto � stata elaborata dopo di loro.
Anche i numeri sono concetti, sia se li definiamo come Frege, sia se ne
diamo un'altra definizione. E anche gli insiemi sono concetti. E lo sono
anche il numero zero e l'insieme vuoto.
Non c'� quindi nessuna contraddizione nel mettere in relazione gli uni con
gli altri i numeri e gli insiemi, lo zero e l'insieme vuoto.

 Massimo
Come del resto obietto il grande Russell , la successione 2,3,4
� finita , di numeri naturali e inizia con il 2.
Ciao

 anche il numero zero e l'insieme vuoto.
No. *Per* il realista Frege (sottolineo "per Frege"), che alla distinzione 
tra concetto ed oggetto ha dedicato svariate opere (una anche omonima: 
"Concetto e oggetto"), i numeri sono *oggetti* e non concetti.
La differenza tra concetto ed oggetto � per Frege la differenza tra ci� che 
non � saturo (il concetto), e che proprio in virt� di questa non saturazione 
pu� fungere da predicato; e ci� che � saturo (l'oggetto), e che proprio in 
virt� di questa saturazione non pu� fungere da predicato e dunque non pu� 
sussumere una molteplicit� sotto di s�.
Ci� che garantisce logicamente a Frege che i  numeri siano oggetti (come 
classi [di classi]) � proprio il principio di comprensione (responsabile 
della devastante antinomia scoperta da Russell), che permette il salto dalla 
logica all'ontologia: ad ogni concetto corrisponde la classe consistente 
nella estensione del concetto.
Data la caratterizzazione del concetto come ci� che � capace di sussumere 
una molteplicit� di cose sotto di s�, se, ad esempio, il numero "1" fosse un 
concetto allora esso dovrebbe sussumere una molteplicit� di oggetti sotto di 
s�, predicabili tramite il concetto "essere 1". Ma le cose per Frege stanno 
in un certo senso al contrario. E' il numero "1" a consistere in un 
*oggetto*, precisamente nella classe di tutte le classi equinumerose alla 
classe unitaria.
Un saluto,
Marco

 alla classe unitaria.
sembrerebbe dalla definizione di zero
che l'oggetto 1 non sia prescindibile
dall'oggetto 0.
1=1 esiste perchï¿½ 1=/=0...
2=2 esiste perchï¿½ 2=/=0
ma 0=0 perchï¿½.... ??
Se non si accetta la contraddizione
p V non(p)
come dare una diversa giustificazione
a 0=0?
I numeri Naturali sono come le
dita della mano.
Ma c'ï¿½ una bella differenza fra nascondere
tutte e cinque le dita ed essere monchi.


 metaforiche?
Certo che � cos�. Del pensiero non si pu� parlare che per allusioni e per 
metafore, non essendo immediatamente accessibile. Vi si accede solo mediante 
l'osservazione del comportamento -- di cui fa parte il linguaggio, che ha 
palesi connotazioni individuali. Azione tipicamente deduttiva quanto 
erronea, in quanto necessariamente basata sulla memoria, mentre il pensiero 
che si vorrebbe osservare � presente e solo presente.
Ma a inventare allusioni e metafore per rappresentare se stesso � proprio e 
solo il pensiero. Non ha altro modo di mostrarsi in quanto pensiero. Deve 
studiare un "prodotto" che riveli la sua esistenza e il suo funzionamento: 
che dia un'idea di che cosa esso �. Il pensiero, si dovrebbe dire 
all'ingrosso, si pu� vedere solo attraverso il pensato, e il 
pensato-che-�-il-pensiero-stesso � un grosso problema psico-logico di 
autoreferenzialit�, gi� segnalato autorevolmente da Epimenide. Impraticabile 
dal prodotto 'logica', che � paralizzato nella sua "struttura 
proposizionale" e nella sua pretesa "oggettivit�" (o assolutezza o 
veridicit�).
Un saluto
qf 

 classi equinumerose alla classe unitaria.
Una domanda. Frege dice che i numeri sono oggetto e non concetto. Si � posto 
il problema per i numeri razionali e reali, che non possono definirsi come 
la classe di tutte le classi equinumerose?
Orbene, il numero 1 � un numero naturale, e anche cardinale, per cui la 
definizione di Frege ha un significato. Ma � anche un numero reale. In 
quanto numero reale, Frege � disposto a considerarlo concetto invece che 
oggetto?
PS. Dopo questa discussione, mi chiedo fra Frege e l'elettricista Hegel chi 
� pi� ...... 

 contenitore sta dicendo che il nulla �. Mica c�tica! :-)}
La contraddizione di cui parli � talmente profonda che sta gi� nella
espressione che usi: "l'esserci niente che _gli_ compete": contraddizione
inevitabile, se l'esserci niente � posto come una propriet� che deve essere
attribuita a ci� che non c'�. Frege parte dal concetto-classe "[essere]
diverso da se stesso". Questo concetto *�*.
L'estensione di questo concetto, alla quale potremmo riferirci tramite
l'espressione "le cose che sono diverse da se stesse", per la teoria
intensionale di Frege, a sua volta *�*, perch� fonda il suo essere
nell'essere del concetto.
Affermare l'essere de "le cose che sono diverse da se stesse" - dove
quest'essere � tutto e solo l'essere della classe vuota in quanto questa �
determinata intensionalmente dal concetto-classe "[essere] diverso da se
stesso" - non significa ancora affermare l'essere delle cose che sono
diverse da se stesse. La considerazione complessiva, allora, � che:
-  questa qui sopra � la strategia logica tramite la quale Frege si salva
*formalmente* dalla contraddizione cui ti sei riferito e che doveva essere
ben nota al logico tedesco.
- rimane il problema *filosofico* di quale sia mai l'entit� oggettiva
denotata dal concetto "le cose che sono diverse da se stesse" (cio�, dal
*concetto dell'estensione del concetto* "[essere] diverso da se stesso")  e
di cui, tramite il principio di comprensione, dovremmo affermare
l'esistenza. Che cosa � mai, infatti, questa "estensione del concetto F"
(qualunque sia F) che costituisce una entit� (Frege, nella traduzione
italiana, la chiama "sistema dei valori", in connessione con i valori
assumibili dalle variabili delle funzioni proposizionali) distinta dalla
collezione degli oggetti che soddisfano il concetto?
Se lo domanda anche Russell, che segue infatti un'altra strada per
conservare, nel formalismo, la notazione della "classe vuota". Tutttavia mi
pare provato che la fondazione fregeana dello zero non � *immediatamente*
travolta dalla contraddizione del "nulla". Occorre, per poterla ridurre a
contraddizione, prima rimuovere il presupposto "intensionale" consistente
nella concezione fregeana della "estensione di un concetto" (come entit� che
affonda il suo essere nell'essere del concetto-classe). Ma tale rimozione
esigere una mobilitazione di idee filosofiche. La rimozione del "principio
di comprensione" a causa delle contraddizioni logiche derivabili dalla
ammissione della corrispondenza tra certi predicati "totali" e la relativa
estensione concettuale, � gi� una questione distinta.
Un saluto,
Marco

 esigere una mobilitazione di idee filosofiche.
Il che non guasterebbe.
Ti ringrazio comunque per tutte le precisazioni, ma me ne manca una, come 
dicevo qui sopra.
Terra-terra, ma se una cosa non � chiara terra-terra, per me non � chiara 
affatto.
Gnucco come i sarchiaponi della val Brembana, ma sono fatto cos�.
Un saluto
qf 

 � pi� ......
Quando si teorizza sul fondamento, c'� il rischio di prendere...la
scossa:-). Comunque Frege ne sapeva di numeri molto pi� di quanto ne
sapesse Hegel di elettricit�.
Un saluto,
Marco 
-- 
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 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 Gnucco come i sarchiaponi della val Brembana, ma sono fatto cos�.
Ma la ricerca della chiarezza � faticosa. Intanto cominciamo a dire: la
teoria fregena dello zero pu� essere palesemente investita dalla
contraddizione del "nulla" solo a patto di rimuovere il presupposto
"intensionale" che assegna alla estensione delle classi, nei cui termini
vengono da Frege definiti i cardinali, una realt� distinta da quella delle
collezioni di individui che cadono sotto i concetti-classe.
Poi diciamo anche: Russell (o chi per lui; non cito auctoritas) rimuove
quel presupposto, e tuttavia, per conservare nel calcolo logico la
notazione della null-class, si inventa un escamotage. Per cui possiamo
anche domandarci: la rimozione del presupposto della considerazione
"intensionale" delle classi, se � necessaria ad abbattere logicamente la
classe vuota, � anche sufficiente?
La classe vuota, se mai � qualcosa, � filosoficamente il segno notazionale
della resistenza della prospettiva intensionale alla completa abolizione
di questa da parte della prospettiva estensionale.


 tutte e cinque le dita ed essere monchi.
Gi�, sono "come". Chi perde tutti gli arti, non per questo perde la
capacit� di contare. Se il successore di 4 � 5, non � perch� su una mano
ci sono 5 dita, ma � il contrario.(al pi� la conformazione delle mani ci
spiega geneaologicamente la notazione decimale).


 sublimazione della gnocca :-)
Quel genere di significati ce li abbiamo in testa centinaia di volte al
giorno. Basta soffermarsi sul profilo di una "c" o magari ed addirittura sul
grafema greco per "omega", per vederli apparire al posto degli zeri
platonisti di Herr Frege:-).
Quanto al conteggio, ti ho fatto sopra delle osservazioni. Ma in generale
osserverei questo. Se i numeri naturali sono presupposti a qualunque
operazione dell'intelletto, tanto vale rinunciare definitivamente alla loro
definizione, visto che la loro definizione sarebbe "1 definizione".
Domani sveglia non con gli zero di Frege ma con le galline. Ti risponder�
poi sul resto.
Un saluto,
Marco

 Se io dico "0 � un numero" sto necessariamente contando? 
E se dico "0 e' numero"?
-- 
come to the dark side 
(we have cookies)


 E se dico "0 e' numero"?
Se dico "0 � _il_ numero degli elefanti rosa che in questo momento volano 
nella mia stanza" allora posso in qualche modo connettere questa 
affermazione con l'enumerazione (ma gi� l'Husserl psicologista di "Filosofia 
dell'aritmetica" non sarebbe d'accordo). Ma se dico "0 � numero" in che modo 
questa affermazione � connessa con una enumerazione?
Ogni cosa � in un qualche senso "uno". Ogni atto di pensiero � "uno". Ma 
questo esser-uno � veramente gi� una nozione *aritmetica*?
D'altra parte, come volevo osservare a Qf, il buon Euclide, nel libro 
settimo degli "Elementi", definisce il numero come "_molteplicit�_ di 
unit�_. Domanda: con tale definizione di numero non � stato proprio il padre 
del pensiero geometrico in persona ad *escludere* che l'"unit�" nella cui 
molteplicit� consiste il numero, ricada sotto il concetto di numero?
Un saluto,
Marco 

 numero, ricada sotto il concetto di numero?
Buh, direi dipende, dipende se la definizione
di numero di Euclide e' l'unica possibile, e
se una fra molte se e' quella piu' vicina 
all'essenza del numero.
Ciao!


 all'essenza del numero.
Mi ero limitato a domandare se la definizione _di_ Euclide esclude che 
l'unit�, che occorre nel definiens di "numero", ricada sotto il concetto 
definito.
Un saluto,
Marco 

 elementi di cui si compone segnicamente il numerale.
Opinabile, nel senso che l'essenza del numero
potrebbe essere cosi' trasparente da permetterne
un'analisi *sommatoria*, ma questo non vuol dire
che il 10, o la X, siano dieci stanghette o due.


 che il 10, o la X, siano dieci stanghette o due.
Volevo semplicemente dire che il numero pu� contare anche gli elementi 
grafici dei numerali una volta che questi ultimi siano presi, come diceva la 
logica al tempo di Tommaso, "in suppositione materiali" (assunti cio� come 
puri enti fisici oggetto di una percezione).
Un saluto,
Marco
 

 partecipano del tre.
Evidentemente Frege non e' un platonico :)


 il che, a me, pare impossibile.
Difficile sostenere questa equivalenza. Se dico che in questo momento ho 0 
euro in tasca, equivale a dire che in tasca non ho nulla?
Un saluto,
Loris

 di questa da parte della prospettiva estensionale.
Suona molto bene, ma vorrei di nuovo capire cosa intendi come prospettiva
intensionale (attribuita a Frege) e prospettiva estensionale (attribuita a 
un
queffe di passaggio)
Un saluto
qf

 Marco

 euro in tasca, equivale a dire che in tasca non ho nulla?
Un bel problema, risolto solo dall'"estensionalit�" della dichiarazione, che 
precisa 0 _euro_. Non sarebbe invece risolto dicendo "ho zero in tasca". 
Dubito che in tal caso avresti detto qualcosa, nemmeno che "in tasca non ho 
nulla".
Un saluto
qf 

 possano essere dubbi sul fatto che lo sia.
Tu dici che Frege stesso, per passare con i suoi procedimenti definitori da 
zero ad uno, � costretto a dire "0 � un numero" (e che debba e voglia dire 
questa cosa, non ci sono dubbi) ad assegnare una valore numerico - il valore 
di 1 - a quel "un", s� che la sua definizione � circolare.
Ora, la definizione fregeana di 1 come naturale �: 1 � il numero spettante 
alla classe formata dallo zero, cio� spettante alla classe (0).
Ora:
1. la classe formata dallo zero, *non* � la classe vuota (e infatti il 
simbolismo deve usare lo "zero spaccato", per indicare la classe vuiota).
2. la nozione di "numero spettante ad una classe" � stata ***precedentemente 
definita*** da Frege (il quale usa infatti il metodo definitorio per 
astrazione) nei termini della relazione di equinumerosit�, alias relazione 
di equivalenza, alias cosiddetta relazione uno-uno.
E allora ecco, in virt� di questo punto 2., che tutta la tua argomentazione 
� ancora una volta logicamente scaricata sul problema se la definizione 
logica della relazione di equinumerosit� faccia o meno uso del numero 1. 
Questo "scaricamento" logico non � che una conseguenza dello stesso metodo 
di definizione per astrazione usato da Frege.
Un saluto,
Marco
 

 tasca non ho nulla".
Ma dubito di dire qualcosa anche dicendo "in tasca ho uno (o due o tre... o 
n)"
Ciao,
Loris

 Come a dire che zero _non_ e' un numero :)
Dimostrare, please:-). Prima di tutto dovremmo dire per filo e per segno
*che cosa* � un numero, e per farlo ci occorrer� una teoria capace di
fornire definizioni.
Un saluto,
Marco

estensionale?
Preferisco di gran lunga la prospettiva intensionale, perch� il concetto di 
collisione non � una collisione. Per la stessa ragione preferisco invece la 
prospettiva estensionale rispetto alle x che mi consigli di portare sul 
sellino: perch� il concetto della x non � una x:-)).
Un saluto,
Marco 

 in tasca non ho nulla?
Vuol dire che non hai euro (ma se vuoi
ti offro un caffe'), dunque: si, poiche' 
*riferisci* lo zero ad un oggetto-quantita' 
detto "euro", come vedi accompagni lo 
zero con un qualche', allo stesso modo 
con i numeri lo zero "e' numero" quando si 
accompagna con essi - quando vi partecipa - ma 
"da solo" lo zero, prescindendo dal grafo,
indica _nulla_.


 lato del concetto.
Questo e' veramente il punto centrale della questione 0. Un ulteriore 
contributo alla chiarificazione ci viene da Russell, nei "Principi della 
matematica", nella prima appendice dedicata appunto a Frege. A sostegno di 
quanto dici penso sia utile riportarne qualche passo; non certo per far 
valere il peso dell'autorita' di un logico del calibro di Russell, ma come 
contributo alla chiarezza della distinzione su cui giustamente insisti.
Russell, dopo aver "candidamente" ammesso che "la teoria di Frege delle 
classi e' molto difficile, e non sono certo di averla compresa fino in 
fondo", viene a dire:
<<Egli da' il nome di Werthverlauf [Russell lo traduce poi con 'range', i 
traduttori di Russell con 'decorso di valori'] a un'entita' che sembra 
essere piu' o meno identica a quella che io ho chiamato la classe come uno. 
Il concetto della classe, e la classe come molti, non compaiono nella sua 
esposizione. [...] egli adotta una interpretazione delle classi piu' 
intensionale di quanto non abbia fatto io, essendo condotto a questo 
principalmente per il fatto di voler ammettere la classe nulla e di 
distinguere un termine da una classe di cui esso e' l'unico elemento. Sono 
perfettamente d'accordo che questi due scopi non si possono raggiungere per 
mezzo di una teoria estensionale...>>.
Seguono le... chiare chiarificazioni che riporto:
<<L'estensione di un Begriff [concetto] e' il decorso di valori [range] di 
una funzione il cui valore per ogni argomento e' un valore di verita'>>
Vale a dire, se ci fosse bisogno di un esempio, che l'estensione della 
funzione predicativa "e' un uomo" e' costituita da Tizio, Caio, Sempronio... 
e tutti quegli altri argomenti per cui la funzione ha valore di verita'.
Prosegue:
<<I decorsi di valore sono cose, mentre tali non sono le funzioni. Se le 
classi fossero prese in estensione non esisterebbero classi nulle; la classe 
nulla, infatti, e' possibile solo se la classe non e' una collesione di 
termini. Se x e' un termine, non possiamo identificare, come esigerebbe il 
punto di vista estensionale, x con la classe il cui unico elemento e' x; 
supponiamo infatti che x sia una classe che abbia piu' di un elemento, e 
siano y, z due elementi diversi di x; allora, considerando la classe il cui 
unico elemento e' x, se x fosse ad essa identico, y e z sarebbero ambedue 
elementi di questa classe e percio' identici a x e identici l'uno all'altro, 
contrariamente all'ipotesi. L'estensione di un Begriff ha il suo essere 
nello stesso Begriff, non negli individui che ricadono sotto il Begriff. 
Quando esprimo qualcosa intorno a tutti gli uomini, non dico nulla di un 
qualche sciagurato del centro dell?Africa, che qui non e' indicato in alcun 
modo e non appartiene all'indicazione di 'uomo'. I Begriffe sono anteriori 
alla loro estensione, e costituisce un errore tentare, come fa lo Schroeder, 
di basare l'estensione sugli individui; cio' porta al calcolo delle regioni, 
non alla logica>>.
Credo che qui Russell abbia sintetizzato il punto di vista di Frege senza 
bisogno di ulteriore chiarificazione. Ma se proprio ce ne fosse bisogno, 
penso che sia da sottolineare la differenza (russelliana) iniziale tra 
"concetto della classe" e "classe come molti". Posso dire "Tizio e' *un* 
uomo" (e questo ha indubbiamente a che fare col "decorso di valori", col 
range del concetto "uomo"), ma posso forse dire "Tizio e' *l'* uomo"? La 
seconda espressione e' un concetto che non ha a che fare con l'estensione 
della classe "uomini", e ha senso come ne ha "Tizio e' un extra-terrestre", 
anche se non esiste alcun Tizio extra-terrestre.
Cari saluti,
Loris

 indica _nulla_.
Certo, ma come dicevo a Qf "da solo" non ha senso neppure l' "uno", il "due" 
ecc...
Il problema e' quello dello zero quantitativo: cosa significa "zero 
quantita'" rispetto a una qualsiasi unita' di misura? Zero e' una misura di 
quantita'? Ammettiamo che 0 quantita' sia il nulla della quantita' e 
diciamo, p.e., che tra l'oggetto A e l'oggetto B c'e' una distanza di 0 
millimetri (o decimi, o centesimi ecc. di millimetro); ma se 0 e' il nulla 
della quantita', allora vi e' identita' tra A e B, e dunque, anche qualora 
tra A e B ci fosse una distanza di 100 metri, tra essi non vi sarebbe alcuna 
distanza. D'altra parte se tra due punti P1 e P2 vi e' una distanza=0, P1 e 
P2 sono *lo stesso* punto. Sembra che dobbiamo ammettere l'esistenza dello 0 
come quantita', in quanto connesso col principio di identita'.
Un saluto,
Loris

 identita'.
A me non pare, ma se lo dici tu...
Ciao


 concetto di "[essere] il primo numero primo dopo 19"; etc.
Come ormai tutti sapete, ho il pallino della fecondit�, quindi leggendo la
tua dotta spiegazione (non facile) della dotta teoria di Frege, mi nasce
spontaneo l'interrogativo: ma questa teoria dei numeri � feconda?
Allora ti pongo questa domanda. Peano, dopo aver dato con i suoi cinque
assiomi la definizione di numeri naturali, passa a definire l'operazione di
addizione, e da questa fa derivare la moltiplicazione, la sottrazione, ecc.
Come allora si definisce l'addizione nell'insieme dei numeri naturali
definiti alla maniera di Frege?

 portare sul sellino: perch� il concetto della x non � una x:-)).
Molto bene: il concetto di una x � la proiezione psichica di una x che 
eventualmente non c'� (mica tutti sono presidenti del consiglio :-))
Ecco che tu stesso hai estensionalmente :-) mostrato la differenza fra 
l'unit� -- realt�, identit� -- e l'1' -- gnocca virtuale.
Allora, propriet� di '1' � la virtualit� proiettata dalla realt� 
'unit�-identit�'.
Un saluto
qf 

 I Begriffe sono anteriori alla loro estensione,
Certo, anche se non nascono dal nulla. Infatti vanno definiti, ed � 
l'esperienza a definirli. Lo stesso 'Begriff' della classe nulla viene dalla 
constatazione che nessuna cosa concreta (ecco qui l'estensionalit�) pu� non 
essere quello che �: poi siccome l'enumerazione non � possibile, allora si 
astrae -- o meglio si estrapola -- e si fa saltar fuori il 'Begriff' e si va 
in giro a dire ai pellegrini di passaggio che � 'intensionale'.
Niente � realmente intensionale, se non in quanto l'enumerazione non � 
possibile essendo orientata verso l'infinito.
Un saluto
qf 

..ma poi, banalmente, se zero fosse
un numero, perche' se lo sommo ad un
altro numero il risultato non cambia?
Qualsiasi "essenza" abbia un numero
e qualsiasi "essenza" abbia lo zero,
noto che qualsiasi numero sommato ad
un altro varia il numero, con lo zero
invece il numero non fa una grinza,
rimane cio' che e'.
Ora questo, pur non conoscendo l'essenza
dei numeri, mi informa, direi sperimentalmente
(lol), che la sostanza dello zero non e' 
la stessa del numero :)
Ah, sono proprio un gro�artig Mathematische!
Ciao!


 altro numero il risultato non cambia?
Ma anche 1 � l'unico numero che diviso e moltiplicato per un qualunque altro 
numero restituisce quest'ultimo. Cos� 0 ha, rispetto all'addizione, la 
*stessa* propriet� che 1 ha rispetto alla moltiplicazione.
A questo punto, per derivare dalla propriet� di 0 rispetto all'addizione 
l'estromissione di 0 dal dominio dei numeri, dovresti individuare una 
ragione per privilegiare, nel rapporto con l'"essenza" del numero, 
l'operazione dell'addizione.
Un saluto al volo,
Marco 

 del numero, l'operazione dell'addizione.
L'operazione dell'addizione non e'
astratta.


 Ciao!
ciao
Massimo

 + + + + + 
^___^
Hai notato come sto seguendo
il tuo consiglio di seguire
quella "spinta" :))
Saluti o Maestro dell'irrazionale :))


 + + + + + 
WOW, la rarissima 
edizione "crucifix aurea"!!!
Nooooooooo, graaazie!
^___^
Hai notato come sto seguendo
il tuo consiglio di seguire
quella "spinta", non che sia
cosi' difficile, sono una capra
matematica :))
Saluti o Maestro dell'irrazionale :))
Ciao!


 dell'uomo non e' animale :)
Aspetta(aaaaaa:-)). "animale" � un termine che occorre nella espressione 
definitoria di "uomo" (ad esempio quando diciamo che "uomo" � "animale 
razionale"), cio� in quella espressione che ci restituisce l'essenza 
dell'uomo. Se tu vuoi conservare lo zero nel dominio dei numeri, dovrai 
semplicemente dire che lo zero � un numero "un po' speciale" (e cercare di 
chiarire la sua specialit�). Ma, appunto, sempre numero: non tanto speciale 
da non essere numero. Se invece l'essenza dello zero � tanto speciale da far 
s� che lo zero non sia un numero, lo avrai automaticamente estromesso dal 
dominio dei numeri.
Che lo zero sia un numero un po' speciale, lo riconoscono tutti (quelli che 
lo ammettono come numero. Ma speciale lo � anche 1. Prendi ad esempio il 
teorema fondamentale dell'aritmetica: "ogni numero ammette una e una sola 
fattorizzazione in numeri primi". Beh, � ovvio che se non escludiamo 1 dai 
numeri primi, questo teorema sarebbe facilmente falsificabile sfruttando la 
propriet� della moltiplicazione per 1: 10 lo posso scrivere 2 * 5, ma anche 
2 * 5 * 1, 2 * 5 * 1 * 1, etc.
Un saluto,
Marco 

 definiti alla maniera di Frege?
Il logicismo si propone di dedurre logicamente da un certo insieme di verit� 
logiche primitive (essenzialmente espresse nel linguaggio della teoria degli 
insiemi; ecco perch� il destino del logicismo � legato a quello della teoria 
degli insiemi) *tutte* le propriet� degli enti matematici. Dunque � ovvio 
che la fondazione fregrana dell'aritmetica deve essere in grado di definire 
le consuete operazioni aritmetiche sui naturali.
Questa definizione si svolge sostanzialmente in tre passaggi, che riflettono 
coerentemente il metodo definitorio "per astrazione" utilizzato nella 
fondazione fregeana dell'aritmetica:
1.  la classe dei naturali � individuata, da Frege, all'interno (cio� come 
sottoclasse) della classe dei numeri cardinali. Questi ultimi sono definiti 
nei termini di "classi di tutte le classi equinumerose etc.", dunque 
immediatamente nei termini della teoria delle classi, cio� degli insiemi. 
L'operazione di addizione sui cardinali � definita nei termini dell'*unione 
insiemistica* ("U").
2. il principio di individuazione dei naturali all'interno dei cardinali, � 
quello del "seguire in una successione". Sostanzialmente, i naturali, per 
come risultano definiti da Frege, sono tutti e soli quei cardinali 
raggiungibili a partire dallo zero attraverso l'interazione del "successore 
immediato" (Peano, invece, aveva introdotto l''induzione matematica 
direttamente come assioma).
3. Di qui le operazioni aritmetiche sui naturali risultano facilmente 
definibili.
Un saluto,
Marco 

 matematica direttamente come assioma).
Il concetto di successore � stato ben presentato da Peano nei suoi assiomi. 
In Frege � un assioma? Se s�, come si concilia con la definizione basata 
sull'equinumerosit�?


 insiemi.
Qui servirebbe far notare che classe e insieme non coincidono.
Non � una cosa di una chiarezza esaltante, ma la teoria su questo non 
transige:
�Tutti gli insiemi sono classi, ma non � vero il contrario. Una classe che 
non sia un insieme si dice classe propria� (una classe propria non pu� 
appartenere a un altro insieme o classe).
Va per� anche detto che questa distinzione nasce proprio a fronte della 
critica (Zermelo, Fraenkel, Russell) alla teoria "naive" degli insiemi cui 
Frege si ispira.
Saluti
qf
 

 il segno dell'addizione?
�n+� e non puoi aggiungere altro, perch� n non va proprio sommato a niente.
Certo che non ha alcun senso, ma perch� non si tratta affatto di 
molti-plicazione.
Considerare una certa cosa una volta sola non ha certo il significato della 
molti-plicazione.
Occorre almeno che la si consideri due volte, come dice il 'molti' contenuto 
nel termine.
Nemmeno �n*0� ha senso. Sarebbe meglio dire "non si consideri n". La 
simbologia �n*0� magari si pu� pelosamente giustificare formalmente [sdi 
giustifica per esempio formalmente da n*(5-3-2)], dopodich� per� al posto di 
quella espressione uno non scrive proprio pi� niente, e non ha affatto 
bisogno dello zero.
Inoltre con lo 0 c'� il dramma poi della divisione per zero. L� siamo alla 
follia pura, specie quando si dice che d� infinito (aaargh!!!)
Su queste stronzate che si spalmano nelle scuole sulle teste dei ragazzi, 
non sui crocifissi, dovrebbero intervenire i "laici", se fossero seri.
Un saluto
qf 

 sull'equinumerosit�?
Proprio in *questo* risiede la peculiarit� della teoria dei naturali di
Frege (che assomiglia molto a quella di Dedekind) rispetto a quella di
Peano: l'induzione matematica viene da Peano introdotta come un assioma,
laddove Frege cerca di *dimostrarla*. Peano - tramite le sue
"explicationes" - vincola il riferimento delle sue nozioni primitive (ad
esempio, la explicatio del primo assioma, il quale � "1 � un numero", � "1
significa unit�"; questa � la Qf-explicatio, potremmo dire:-)). Frege,
invece, definisce gli oggetti matematici per astrazione, e *senza*
vincolare il riferimento dei simboli (senza dunque fondare le proprie
definizioni su una ontologia data una volta per tutte). Frege (e nemmeno
Dedekind) non dir� mai "1 significa unit�", facendo cos� riferimento ad
una nozione, quella di "unit�", che vuole rimandare all'intuizione.
Beh, anche qui si solleva la stessa questione: vuoi vedere che Frege
dimostra l'induzione presupponendola? Vuoi vedere che i procedimenti
fregeani (e dedekindiani) sono tutto fumo e niente arrosto (l'arrosto del
numero: la "sostanza")?. Ed anche qui la risposta che suggerisco a questa
domanda � di provare a seguire il ragionamento di Frege. Egli fa uso della
nozione di "seguire in una successione", tramite la quale *definisce* il
concetto di "successore immediato". Di qui, partendo dallo "zero" (la cui
definizione, essendo puramente logica, non richiede la nozione di
"succesore immediato") Frege ottiene le definizioni dei numeri naturali.
Regge il sistema di Frege? Concludo con una considerazione di carattere
generale. Noi vorremmo che le nostre definizioni potessero fondarsi su un
riferimento all'"intuzione". Ma se la logica formale ha cercato di fare,
fin dove possibile, a meno di tale riferimento, � stato per una ragione
fondamentale: il rigore. La rigorizzazione ha implicato la rinuncia al
riferimento fondativo all'"intuizione". Questa rinuncia esprime la
consapevolezza che qualunque riferimento all'intuizione dovrebbe essere
fatto nel linguaggio, e dunque ricadrebbe fatidicamente nel *segno*. Il
*segno* � stato il destino della logica. In ci� potremmo anche leggere il
destino di una intera civilt�. 
Ma riprendiamo in mano quella frase, con la quale Peano pretende di
vincolare una volta per sempre il significato del segno "1": "1 significa
unit�". Se io cambio la frase cos� "1 significa il numero 2", ottengo,
tramite gli assiomi di Peano, un sistema numerico che � - dice la logica -
"isomorfo" al sistema che ottengo, tramite quegli stessi assiomi, se come
"punto di partenza" prendo l'unit�. "Isomorfo" significa grosso modo: che
ha la stessa struttura. Infatti il sistema che ottengo tramite quella
modifica � il sistema dei "numeri pari". E' facile capire che � possibile
ottenere una infinit� numerabile di simili sistemi numerici.
E ora vengo veramente alla conclusione. Sui buoni manuali di logica si
racconta che � la teoria "astratta" di Dedekind, e non quella di Peano, a
consentirci di indagare a fondo l'isomorfismo di cui sopra e la struttura
da esso sottesa. Chi � invece convinto che "1 significa unit�" sia
irrinunciabile perch� cattura una intuizione fondamentale, non sar�
d'accordo con questo racconto. Ma non lasciamoci sfuggire questo: Peano
*ha avuto bisogno* di dire "1 significa unit�". Se la logica formale
(quella disciplina che pretende di definire le nozioni tramite
procedimenti segnici e senza fondarle nelle intuizioni) � un delitto, non
ha Peano, con la sua explicatio "1 significa unit�", gi� compiuto il
"delitto" consistente nell'affidare un significato (il significato di
unit�) ad un segno ("1") che lo vincoli a s�?
Un saluto (e spero di non averti annoiato con le considerazioni generali
che la questione intuitivo vs. formale mi ha suggerito),
Marco
-- 


 Frege si ispira.
Certamente, Maurizio. La differenza insieme/classe venne in sostanza gi�
proposta, come sai, da Cantor per risolvere i ben noti paradossi
producibili dal predicato "appartenere a". Fu poi von Neumann a fondare su
quella differenza una teoria "non ingenua" capace di impedire l'antinomia
delle classi, in un suo famoso articolo del 1925: _Eine Axiomatisierung
der Mengenlehre_. 
E' in tale articolo, infatti, che si formalizza la distinzione tra "cose
di tipo I", cio� quelle cose di cui possiamo dire che esse "appartengono
a"; "cose di tipo II", cio� quelle cose di cui possiamo dire che certe
cose appartengono ad esse; e "cose di tipo I-II", cio� quelle cose di cui
possiamo dire sia che appartengono a qualcosa ("tipo I") sia che hanno
elementi ("tipo II"). 
Le cose di tipo II sono appunto le classi; le cose di tipo II che *non*
sono anche cose di tipo I-II, sono le "classi proprie" di cui parla il
brano che hai riportato; le cose di tipo I-II sono gli insiemi. Si vede
facilmente che tutti gli insiemi (cose di tipo I-II) sono anche classi
(cose di tipo II); ma non tutte le classi (cose di tipo II) sono insiemi
(cose di tipo I-II), visto che ci sono classi (cose di tipo II) che non
sono anche cose di tipo I-I.
E, appunto e come tu stesso dici, tutta questa faccenda � interna alla
"teoria degli insiemi", che, al di l� di quella distinzione, � una
espressione storicamente acquisita nella tradizione italiana degli studi
logico-filosofici. Espressione che dal punto di vista di quella
distinzione non sarebbe lecita, visto che non tutte le classi (oggetti di
cui certamente quella teoria deve occuparsi) sono insiemi.
Un saluto,


 non sui crocifissi, dovrebbero intervenire i "laici", se fossero seri.
Ma tu mi insegni che "(n/0)=infinito" � roba per studenti che hanno
bisogno di memorizzare qualche tecnica di calcolo per superare l'esame di
analisi matematica I. 
Dicevo a Luciano, in sostanza, che la didattica non fa (necessariamente)
teoria. Allo stesso modo la teoria non fa (necessariamente) didattica. Io
penso che quella dello "zero" sia una grande impresa intellettuale. Ma ne
riparleremo, ch� s'� fatto tardi.
A presto,
Marco 
 
-- 


 "n*1").  
Sto dicendo, qui, che lo zero ha a che fare con la *memoria* del calcolo.
Marco.


 elementi della classe B":-).
Stai scherzando, vero?
Il faccino me lo conferma, per fortuna.
Io sono disposto a tutto per amore della matematica, anche a concedere che 
lo zero sia una tradizione forte quasi come quella del crocifisso, anche se 
assai meno fondata o del tutto infondata.
Ma venirmi a dire che quelle due proposizioni non affermano la stessa cosa 
fa appunto ridere come il faccino.
Per� solo che per queste cose non sono disposto a piangere :-))
Un saluto
qf 

 Per� solo che per queste cose non sono disposto a piangere :-))
...secondariamente, l'identit� di significato tra quei due asserti non pu� 
certo essere dimostrata mettendo non il faccino ma il trattino:-) in 
"equi-numeroso". Credo allora che sia superfluo ricostruire daccapo il 
ragionamento che conclude dicendo che la relazione di equinumerosit� 
presuppone il numero 1.
E allora va detto che la discussione su questa faccenda chiama 
essenzialmente in questione quello che dicevo a Luciano: la nostra pretesa 
che le definizioni si fondino sulle intuizioni. Ma seguire questa pretesa 
conduce, nel caso in questione, a chiamare in causa il concetto di "unit�", 
il quale chiama in causa a sua volta quello di "atto" (cui per altro si era 
richiamato lo "strutturalista" Dedekind stesso). E allora ecco che la 
fondazione della matematica � divenuta metafisica: l'explicatio "1 significa 
unit�" � metafisica.
Io non dico affatto che la fondazione della matematica non debba divenirlo 
(anzi, in un certo senso ogni fondazione implica una base metafisica). Dico 
che, per�, una volta che lo � divenuta, abbiamo gi� detto addio alla 
"certezza del segno".
E allora cerchiamo di capire fino in fondo che � stato l'*amore per la 
verit�*, ad aver condotto il pensiero occidentale ai procedimenti astratti 
della logica formale. L'amore per la verit�, ha condotto al dominio del 
segno.
Un saluto,
Marco 

 cio� con finalit� di rappresentazione e comunicazione, per definizione.
Su questo ho cercato di risponderti pi� sopra.
Un (1:-)) saluto,
Marco

 in una scrittura in cui compare il segno dell'addizione.
Nel senso che la moltiplicazione "astrae" la quantita' 
delle quantita', evita di segnare la quantita' delle 
quantita'; per cui se il concreto e': due piu' due piu' 
due, la moltiplicazione "toglie" la ripetizione dei due, 
ne "astrae" la concreta presenza e la segna con tre. 
Ciao


 ne "astrae" la concreta presenza e la segna con tre.
...vorrei capire questo. "n*1" � un segno che compare nel calcolo. Ad 
esempio, il calcolo contiene segni del tipo "n*(5-4)", ed una regola del 
calcolo � che a "5-4" posso sostituire, in base all'uguaglianza "5-4=1", il 
segno "1". Vorrei capire perci� quale via intendi seguire: respingere che 
"n*1" esprima una moltiplicazione? oppure affermare che "n*1" esprime s� una 
moltiplicazione, ma per tale segno non esistono segni per significare la 
"sostanza", cio� la somma?
Una cosa � certa. Il segno '0', in quanto gli corrisponde un oggetto 
matematico, permette di fondare *ontologicamente* le esigenze del calcolo. 
Altrettanto certo � che non � detto che alle esigenze del calcolo debba 
corrispondere una ontologia aritmetica in grado di soddisfarle.
Un saluto,
Marco 

 debba corrispondere una ontologia aritmetica in grado di soddisfarle.
Credo invece che le esigenze del calcolo esigano un'ontologia
aritmetica e per questi puo' bastare trattare - quasi - lo zero
come un vero numero; la questione "zero e' numero?" pero' non e',
imho, ontologia aritmetica ma si pone, imho, ad un livello piu' 
*alto* del reale, e' una questione eccellentemente ontologica.
Ciao!


 *Perchï¿½* allora "n*1" deve fare eccezione?
se parli di prodotti devi parlare di potenze.
perchï¿½ non provi a partire da qui?
prendi l'insieme N
0^0 = 1  ma 0^1 = 0
1^0 = 1    e  1^1 = 1 (solo in questo caso c'ï¿½ identitï¿½)
2^0 = 1 ma  2^1 = 2
..............................
n^0 = 1 e  n^1 = n
Si torna alla definizione di Frege.
ciao
Massimo

 *alto* del reale, e' una questione eccellentemente ontologica.
Scusa tDB, ma se ammetti (e ne ero sicuro;-)) che le esigenze del calcolo 
esigano una ontologia aritmetica, la questione "zero � un numero" non viene 
decisa all'interno di tale fondazione ontologica?
Infatti, alla fondazione ontologica delle esigenze del calcolo interessa di 
fondare una ontologia aritmetica che soddisfi tale esigenze, cio� una 
ontologia in cui le manipolazioni calcolatorie del segno "0" corrispondano a 
*propriet� di un numero*; e qualunque sia il grado di eccellenza ontologica 
dell'indagine, se la questione � "zero � un _numero_?", si tratter� pur 
sempre di ontologia dell'aritmetica.
Un saluto,
Marco 

 si tratter� pur sempre di ontologia dell'aritmetica.
Solo, imho, se l'ontologia aritmetica e' in grado 
di porsi da se, cioe' se e' in grado di partire da
zero :)
Ciao!
 
-- 
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ab...@newsland.it

 zero :)
L'ontologia dell'aritmetica non � una aritmetica dell'ontologia, certo. Ma
se la fondazione della "numericit�" dello zero � valida, allora lo zero � un
numero a tutti gli effetti. E se questa fondazione rende possibile la
fondazione dell'aritmetica sullo zero, lo dovremo accettare.
Un saluto,
Marco

 non � mai n per qualunque k differente da 1. 
Si, va bene, ma come abbiamo visto la moltiplicazione
come "definizione" e' perlomeno piu' problematica della 
somma e comunque per qualsiasi definizione tu voglia
dare difficilmente puoi mettere tra parentesi la somma
(lo abbiamo sperimentato in questo discorso).
Quindi, per me, la somma e' il "luogo" adatto per
vedere come si comportano i numeri o i presunti tali :)
Grazie!


 lo zero ï¿½ un numero.
porca zozzina...
credevo servisse per fare le
addizioni in colonna...
e che i numeri decimali
fossero sï¿½ 10 ma quelli che
andavano da 0 a 9
e poi come li faccio i numeri
di telefono che contengono lo 0??
no no.... ormai ï¿½ un numero e non
si torna indietro....
;)
ciao
Massimo 

 ;)
Si, anche perche' senno' vieni tu qui
a modificare, e quindi ritestare, tutti 
i sorgenti in base zero :P


 i sorgenti in base zero :P
eppure guarda come cambiano
le cose se viste da un filosofo, da un matematico,
da un intuizionista, o da un fisico.
Filosoficamente sono d'accordo con
te, sto' zero cozza con il principio di identit�.
Matematicamente direi che � indispensabile.
Da l� parte l'induzione.
Geometricamente � la degenerazione di un punto.
Fisicamente son zeri amari....
hai presente la misura di una velocit� istantanea?
Oppure prova a pensare a un punto di coordinate
P(0,0,0,0), s� quello nella IVa dimensione.
Se il tempo fosse assoluto e non einsteinianamente
relativo... brrrrrrrrr .... lo zero sarebbe ovunque.
Per� come ti spieghi questo cambiar prospettiva?
Non sar� un punto a favore dei relativisti?
ciao
Massimo

 Non sar� un punto a favore dei relativisti?
Solo se si ammette che la conoscenza e' 
sostanzialmente relativa, ma questo non
lo fa neppure il piu' convinto dei 
relativisti, lo dice ma non lo fa, come
lo zero che dice di essere numero ma
non fa numero :)
Ciao!


 Un (1:-)) saluto,
Ma � un segno o una quantit�?
E quando si fanno i saluti, si tratta di una molteplicit� di un saluto?
E' bene dirlo per tempo: siamo sotto le feste :-))
Ciao
qf