Newsgroup: it.cultura.filosofia.moderato
Titolo: "This Cantor is Killing Me"

Chi, come me, si diletta di matematica (espressione eufemistica per 
significare "dilettante della matematica") puo' leggere e rileggere anche 
100 volte la dimostrazione cantoriana della non numerabilita' di tutti i 
numeri reali, ma non manchera' mai di provare una qualche nuova perplessita' 
di fronte al procedimento diagonale.
Per chi ha pazienza di leggere sottopongo questa mia nuova, magari a Davide 
(se ha finito di riflettere sulla dimostrazione di Robbins:-)) ma anche a 
chiunque altro sappia dirmi dov'e' l'errore, naturalmente mio e non di 
Cantor:-).
Questa la successione posta da Cantor per assurdo: A1, A2, A3,... E questa 
la tabella in cui i reali sarebbero disposti:
A1=0, a(11)a(12)a(13)a(14)....
A2=0, a(21)a(22)a(23)a(24)....
A3=0, a(31)a(32)a(33)a(34)....
................................................
An=0, a(n1)a(n2)a(n3)a(n4)....
Qualunque sia la regola con cui rimpiazziamo i nomi indicizzati delle cifre, 
col procedimento diagonale si trova un numero che non figura certamente in 
essa.
Allora proviamo a costruire queste 2 tabelle, utilizzando (per semplicita') 
il sistema numerico binario, con l'aggiunta del segno "*", la cui funzione 
del tutto accessoria spieghero' subito dopo.
Ta:                        Tb
A1=0,0***...           B1=0,1***...
A2=0,1***...           B2=0,0***...
A3=0,10**...           B3=0,01**...
A4=0,11**...           B4=0,00**...
...............             .......................
La tabella degli A non e' altro che lo sviluppo (dopo la virgola) della 
serie dei naturali in notazione binaria. Quella dei B e' ottenuta dalla 
prima rimpiazzando lo "0" con "1" e "1" con "0". Con l'aggiunta che il segno 
"*" significa che va rimpiazzato con "0" (in Ta) e con "1" (in Tb) affinche' 
il numero di cifre sia eguagliato in modo che la successione mantenga sempre 
la forma "quadrata".
Con le due tabelle congiunte sono potenzialmente rappresentabili tutti i 
reali. Il procedimento diagonale non funziona piu', perche', qualsiasi 
regola di rimpiazzamento delle cifre si utilizzi, il numero costruito che 
non si trova in Ta si trovera' in Tb, e viceversa. Ora, tutti gli elementi 
di Ta e di Tb si corrispondono biunivocamente e ogni loro numero puo' 
rappresentare rispettivamente: in Ta l'ascissa di un punto P appartente a un 
quadrato, in Tb la sua ordinata. Utilizzando l'altro teorema di Cantor, per 
cui ogni punto del quadrato puo' essere biunivocamente associato a un punto 
del suo lato, si puo' costruire una tabella Tc.
In essa, con una regola tipo quella dell'alternanza delle cifre di un numero 
di Ta e il corrispondente biunivoco di Tb (es.: 0,a(11)b(11)a(12)b(12)...), 
ogni numero corrisponderebbe biunivocamente a una coppia biunivoca.
Dov'e' l'errore che non vedo?
Grazie a chi rispondera'
Saluti,
Loris

 A3=0,10**...           B3=0,01**...
Al solito, se ho capito cosa intendi, la riscrivo così:
A3=0,100000...           B3=0,011111...
Qui nella seconda colonna c'è il solito problema degli "1", ma ora salta
fuori un problema anche nella prima colonna, perché A3 è uguale ad A2!
Così facendo abbiamo perso del tutto la corrispondenza biunivoca fra le
successioni e i numeri naturali.
Ricapitolando, la presenza di sucessioni con tutti "1" da un certo punto in
poi fa sì che due successioni diverse rappresentino lo stesso numero, e
inoltre si hanno anche delle successioni ripetute due volte nella
enumerazione.
Tutto ciò, ovviamente, a condizione che io abbia capito bene cosa vuoi fare.
Se non è così mi scuso per l'incomprensione e ti chiedo di provare a
spiegarmi che cosa non ho capito.
-- 
Saluti.
D. 

 certamente in essa.
Siccome, scelta una certa base di numerazione, le cifre sono in numero 
finito, per esempio da zero a 9 nel sistema decimale, perché mai 
diagonalizzando non dovrebbe mai comparire un numero che fa parte degli An?
Questo procedimento dice solo che «non comparirà mai 
quell'indicizzazione» -- il che è banalmente ovvio per premessa formale ma 
non significa affatto che non comparirà mai lo stesso _numero_.
Saluti
qf 

 Loris
Dico la mia:
Devi formulare (per chiarezza e -direi- scienza):
1) Le ipotesi che il tuo sistema rispetta.
2) La tesi che vuoi affermare
3) La dimostrazione della tesi sotto le ipotesi formulate.
Ho letto di sfuggita, ma -a me pare- che dici tutte cose sensate.
Poiché -però- spesso si sottointende ciò che a noi -singolarmente- può
risultare chiaro, ma non è detto che lo sia in generale ..
Allora devi fare un piccolo sforzo di formalizzazione:
Provare a esprimerti all'interno di un modello.
Il modello che ti ho esposto è di tipo teoretico, ossia si deve
ipotizzare che sia vero qualcosa e poi si deve dimostrare che ciò è
vero.
Nel fare ciò si riesce ad esplicitare -anche a se stessi- cosa ci si
proponeva.
Oppure proponi un altro modello di rappresentazione e dicci come
funziona sia il modello e -inoltre- ciò che il modello afferma.
Un ultima aggiunta, mi scuserai:
Se -come io spero (per solidarietà ..)- ciò che affermi sia vero e
magari *non sia mai stato detto prima* .. non è detto che rappresenti la
realtà .. ma solo la sua coerenza all'interno de *il modello* con cui la
hai descritta ..
Saluti,
L

 Grazie a chi rispondera'
Anch'io, come Davide, ho dei dubbi, dovuti anche ad una "ruggine" matematica
della mia mente. La mia domanda te la metto in fondo, evidenziata dai
trattini, per cui se vuoi puoi cominciare da lì. Il resto è più che altro un
chiarimento tra me e me.
Cantor aveva dimostrato che assumendo per assurdo che tutti numeri reali
siano ordinabili in una successione, in modo da risultare in corrispondenza
biunivoca con i naturali, si può sempre costruire (tramite il procedimento
diagonale) un numero reale che non figura nella tabella della successione.
Tu invece costruisci *due* tabelle Ta e Tb. E poi dici:
1. facendo funzionare congiuntamente Ta e Tb, qualunque numero reale diviene
rappresentabile. Infatti, qualunque numero reale possa essere costruito
attraverso una regola [di rimpiazzamento], esso, se non è rappresentato in
Ta, allora lo è in Tb; e se non è rappresentato in Tb, allora lo è in Ta.
2. sfruttando la corrispondenza biunivoca tra Ta e Tb ed il teorema
cantoriano sulla corrispondenza biunivoca tra punti di un quadrato e punti
di un suo segmento, può essere costruita una tabella Tc. Questa tabella Tc
sarà tale che ogni suo numero sarà in corrispondenza biunivoca con le coppie
dei numeri di Ta e Tb a loro volta (i numeri) in corrispondenza biunivoca.
[questo passaggio da due tabelle ad una è necessario, proprio perché il
fatto che le *due* tabelle congiunte Ta e Tb siano in grado di rappresentare
tutti i numeri reali, non è ancora in grado di invalidare la dimostrazione
di Cantor].
3. ma allora tutti i numeri reali possono essere messi in corrispondenza
biunivoca con una successione del tipo C1, C2, C3...., la quale sarà perciò
in grado di catturare, nella propria tabella, tutti i numeri reali.
La 3. è la negazione logica della conclusione, ottenuta per assurdo, della
dimostrazione cantoriana. Dov'è l'errore? O è nella 1. o è nella 2.:-)).
Soffermiamoci sulla 1. (che è lo stesso punto sul quale si sofferma Davide).
Ovviamente la scelta del sistema binario è ininfluente, perché rimane
comunque sfruttabile il teorema cantoriano, nella forma della
rappresentabilità di uno spazio R^n in R. Dalle n tabelle T1,...Tn - per le
quali varrà (con 'app.' notazione per l'appartenenza), per ogni numero reale
r comunque costruito, una disgiunzione del tipo 'r app. T1 vel r app.
T2...vel r app. Tn' - si potrà sempre ottenere un'unica tabella, chiamiamola
T123...n.
-------------------------------------------------------
Torniamo perciò a Ta e Tb. Il numero reale periodico 0,01#..., con '#' 
stante per il periodo '01' (lo possiamo anche scrivere così: 0,(01); a 
significare che '01' è il periodo), è rappresentato in una delle due 
tabelle? Un numero periodo è razionale, per cui è rappresentabile come 
frazione. Tramite la regoletta (che non mi ricordavo:-)), ottengo che la 
"frazione generatrice" è 1/99, che non è uguale a nessuna frazione 
generatrice di 0,[01](*) - dove con '[01]' intendo una qualunque successione 
finita di '01' e con '(*)' intendo una successione infinita di '0' oppure di 
'1'. In particolare, la frazione generatrice di 0,(01) differisce dalla 
frazione generatrice di 0,[01](0), qualunque sia il numero delle ripetizioni 
di '01'. Oppure no?
------------------------------------------------------
Un saluto,
Marco

 ------------------------------------------------------
Se p и una qualunque sequenza finita di 0 e di 1 allora, ovviamente, un 
numero del tipo 0,p(0) и uguale a 0,p. Ma che dire di un "oggetto" dalla 
forma numerica 0,(01)(0)?
Mi viene in mente (mi sono andato a ripassare un po' di aritmetica ordinale 
transfinita) che 0,[01](0) (che и, come mostra il calcolo della frazione 
generatrice, uguale a 0,[01]) ha, a livello ordinale transfinito, un ordine 
di tipo 1+omega: ad un termine (quale puт essere intesa la successione 
*finita* di '01') segue una successione infinita.
Un "oggetto" dalla forma numerica 0,(01)(0) ha invece un ordinamento di tipo 
omega+omega=omega2 (=omega moltiplicato per 2): ad una successione infinita 
segue un'altra successione infinita.
Se introduco l'"oggetto" numerico 0,(01)(0) и per questa ragione: se nella 
tabella Ta fosse presente un tale oggetto, e *se* 0,(01)(0) fosse uguale a 
0,(01) (cosм come 0,[01](0) и uguale a 0,[01]), allora avremmo che la 
tabella Ta contiene tale oggetto. Il fatto che 0,(01)(0), che ha un ordine 
di tipo omega2, sarebbe uguale a 0,(01), che invece ha un ordine di tipo 
omega (e sarebbe uguale anche a 0,(01)(0), che ha un ordine di tipo omega+1) 
in linea di principio non dovrebbe stupirci piщ di tanto: un insieme 
infinito con una data cardinalitа puт essere ordinato secondo ordinamenti 
che mostrano un tipo d'ordine differente.
Ma qui la domanda и: un "oggetto" numerico di tipo 0,(01)(0) puт essere 
contenuto nella tabella Ta? E' chiaro, come nota anche Russell nel capitolo 
de "I principi della matematica" dedicato agli ordinali transfiniti, che 
omega2 и il tipo d'ordine di una riunione di due progressioni, la quale 
*non* и una progressione.
[infatti in tale riunione esistono *due* termini privi di precedessore 
immediato: il primo 01 della progressione infinita di 01, ed il primo 0 
della progressione infinita di 0; laddove in una progressione, di termini 
privi di predecessore, ne esiste uno solo, che viene appunto detto "il primo 
termine della progressione". Perciт и chiaro che se Ta puт contenere solo 
progressioni, allora non puт contenere la riunione di progressioni 
0,(01)(0)].
Ho ancora molto dubbi ed и probabile che non riesca a vedere ciт che и sotto 
i miei occhi. Ma и evidente il senso complessivo del mio ragionamento: il 
numero periodico 0,(01) puт essere contenuto in una delle due tabelle Ta e 
Tb solo se una delle due contiene l'oggetto 0,(01)(0) (e se lo contiene, 
allora esso и un numero, se le tabelle contengono solo numeri). Ma 
0,(01)(0), in quanto riunione di due progressioni infinite, non и una 
progressione, e perciт non puт essere contenuto in una delle due tabelle Ta 
e Tb, perchй queste contengono solo progressioni).
Un saluto (e se ho detto cazzate, beh, и stata certamente colpa del caldo 
agostano:-)),
Marco 

 Chi, come me, si diletta di matematica ...
....e qualche forma "diletto" un po' più intelligente proprio mai ?
http://www.atuttascuola.it/scuola/filosofia/ideologia.htm

(e sarebbe uguale anche a 0,(01)(0), che ha un ordine di tipo omega+1)
Correggo: è ovviamente 0,(01)0 ad avere un ordine di tipo omega+1.
Marco.
 

 ------------------------------------------------------
Si puo' (tentare di) rispondere a questa osservazione, caro Marco,
utilizzando il teorema cantoriano dell'equipotenza tra l'insieme dei punti
del quadrato e quello dei punti del suo lato unitario. Indicando una
sequenza qualsiasi di cifre in Ta o in Tb con "a(1)a(2)...a(n)" e un'altra
con "b(1)b(2)...b(n)", la sequenza "intrecciata"
a(1)b(1)a(2)b(2)...a(n)b(n)", per il teorema suddetto e le considerazioni
che ho svolto nella risposta a Davide (se non sono sbagliate), e' in
corrispondenza biunivoca diretta (se la sequenza decimale inizia con "1",
cioe' appartiene a Ta) o indiretta (se inizia con "0", cioe' appartiene a
Tb) con un numero dello sviluppo dei naturali. Un numero sempre "sfuggente"
per la sua "coda" periodica, ma sempre raggiungibile dall'induzione
matematica per la sua "testa naturale". Qui spunta il problema del contrasto
tra infinito potenziale e infinito attuale. Spunta soprattutto
nell'osservazione che fai nel tuo secondo e interessante post, al quale
rispondero' in un secondo tempo.
Salutoni,
Loris

 successioni che da un certo punto in poi sono costituite da tutti "9".
Giusto, lo si puo' fare per convenzione, ma e' ininfluente. E' senz'altro
indispensabile un chiarimento circa la questione che mi frulla per la testa
e l'obiettivo che mi propongo, indipendentemente dal fatto che possa (come
molto probabile) rivelarsi illusorio. Non mi propongo di contestare la non
numerabilita' dei numeri reali, ma non mi convince la dimostrazione cantoria
con il metodo diagonale (chiamiamo tale dimostrazione "Dd"). Avanzo
un'obiezione in base a un'osservazione fondamentale e con il supporto del
teorema, sempre cantoriano, della biunivocita' del rapporto tra i punti di
un quadrato e quelli del suo lato (chiamiamo tale teorema "Dq").
L'osservazione fondamentale da fare e' che Dd e' una dimostrazione (per
assurdo) che riguarda i numeri reali, ma che e' svolta sulla
*rappresentazione* di essi: e' una dimostrazione che presuppone una lista
che li rappresenterebbe tutti belli in ordine, in base alla quale Cantor poi
ne *rappresenta* uno che non puo' essere nella lista. Torno allora alle due
liste che ho proposto, sulle quali devo dare qualche spiegazione e fare
anche un miglioramento.
Ta:                        Tb
A1=0,0***...           B1=0,1***...
A2=0,1***...           B2=0,0***...
A3=0,10**...           B3=0,01**...
A4=0,11**...           B4=0,00**...
...............             .......................
Queste le tabelle che originariamente ho proposto. L'intervento di Marco mi
suggerisce una miglioria: al posto di "*" sostituire un tratto periodico
indicato tra parentesi. Diventano cosi':
Ta:                        Tb
A1=0,0(0)             B1=0,1(1)
A2=0,1(0)             B2=0,0(1)
A3=0,10(0)           B3=0,01(1)
A4=0,11(0)           B4=0,00(1)
...............             .......................
Ta e Tb costituiscono un sistema di *rappresentazione* di numeri, non i
numeri stessi.
Ta:  0,0 (0)           Tb: 0,1(1)
          1 (0)                   0(1)
          1 0 (0)                01(1)
          1 1 (0)                00(1)
          1 0 0 (0)             011(1)
          1 0 1 (0)             010(1)
          1 1 0 (0)             001(1)
          1 1 1 (0)             000(1)
          1 0 0 0 (0)          0111(1)
          1 0 0 1(0)           0110(1)
          1 0 1 0(0)           0101(1)
          1 0 1 1(0)           0100(1)
          1 1 0 0(0)           0011(1)
          1 1 0 1(0)           0010(1)
          1 1 1 0(0)           0001(1)
          1 1 1 1(0)           0000(1)
          ...........               .........
Parlo a braccio, giusto per capirci sull'idea di base. Questo sistema
di sviluppo numerale e' composto di 2 parti: una "finita" e una periodica.
Ogni numero e' l'unione di un numero naturale e di una parte periodica. La
parte finita, in Ta, non e' altro che lo sviluppo dei naturali in notazione
binaria, per cui ogni numero si auto-enumera secondo la successione dei
naturali. Non si pone il problema della convenzione che elimini i numeri
doppi. In Ta mi fai notare, per esempio, che A2=A3, cioe' 0,1(0)=0,10(0).
Non e' cosi', perche' la tabella non e' costituita da numeri, ma da
numerali: 0,1(0) e' diverso da 0,10(0) come, trasformando in sistema
decimale, 0,1(0) e' diverso da 0,2(0). Non c'e' neppure il problema degli
"1" in Tb, perche' 0,01(1) e' diverso da 0,011(1) come in decimale lo e'
0,01(9) da 0,03(9). Questo sistema di rappresentazione sembra invalidare il
procedimento diagonale con cui Cantor mostra il numerale di un numero che
non compare nella lista. Ora, utilizzando il teorema Dq di Cantor, si
possono costruire numerali periodici che eccedono sempre lo stadio di 
sviluppo potenziale
delle due liste. Per esempio, se in Ta abbiamo a=0,1(0) e in Tb b=0,0(1), si
puo' costruire il numerale c=0,(10). Ma il teorema Dq ci assicura che, come 
c
(numerale di un numero che individua un punto P(c) sul lato del quadrato di
area 1), *tutti* i punti cosi' costruiti e nominati sono in corrispondenza
biunivoca con un punto del quadrato. Dato che l'insieme dei punti del
quadrato (di ascisse in Ta e ordinate in Tb) e' equipotente a quello dei
punti del segmento unitario  e le ordinate sono in corrispondenza biunivoca
con le ascisse, *tutti* i numerali costruiti con la combinazione
ascissa-ordinata sono numerabili. Questo escluderebbe che ogni numerale
costruito col metodo diagonale non compaia nella lista. Il metodo di Cantor
sarebbe invalidato da un suo teorema. Da notare che questo vale per
*qualsiasi* numerale costruito con tale metodo, perche' Dq vale non solo per
il quadrato e il suo lato, ma anche per un cubo e il suo lato di base e, in
generale, per un ipercubo di 4, 5,..., n dimensioni.
Un saluto perplesso,
Loris

 naturale sia associabile...
L'ipotesi "per assurdo" di Cantor è che ci sia una corrispondenza biunivoca
fra i reali compresi fra 0 e 1 e i numeri naturali. Dunque - secondo questa
ipotesi - per ogni naturale n c'è uno e un solo reale r(n), che può essere
considerato l'n-mo numero naturale. Ma, sia ben chiaro, può essere
considerato l'n-mo rispetto alla successione r(n), non l'n-mo numero reale
sul segmento [0,1], nel senso che a partire da 0 si possa collocare un
primo, un secondo... e poi un un n-mo naturale, tutti ordinati sul segmento,
cioè nel senso che r(n+1) è il primo numero reale tale che r(n) < r(n+1).
Se la tua ipotesi è questa, allora è una ipotesi del tutto diversa da quella
di Cantor, ed è una ipotesi che viene immediatamente falsificata osservando
che dati due numeri reali r e t si trova sempre un numero reale s compreso
fra i due. Infatti questa cosa già la si può fare con i razionali, e a
maggior ragione la si può fare con i reali. Dunque se l'ipotesi "per
assurdo" è che si possano numerare e allo stesso tempo ordinare sul segmento
i numeri reali, questa ipotesi risulta immediatamente falsificabile.
Torniamo allora alla ipotesi di Cantor, che è molto più "debole" di questa,
in quanto si limita ad ipotizzare che esista una corrispondenza biunivoca
fra i numeri reali e i numeri naturali, senza che l'ordine lungo la
successione sia anche l'ordine sul segmento. Ne viene che r(1) potrebbe
essere, che so, vicino alla metà del segmento, poi r(2) potrebbe essere più
vicino allo 0, r(3) potrebbe saltare più vicino a 1, poi r(4) potrebbe
restare lì vicino e r(5) potrebbe tornare ad essere più vicino a 0, magari
anche più vicino di r(2), e così via, secondo un andamento del tutto
imprevedibile.
Domanda: per la dimostrazione di Robbins, quella che a r(n) associa un
segmento di lunghezza (1/10)^n, è necessario che la successione degli r(n)
si possa disporre ordinatamente sul segmento, oppure essa può anche
"saltare avanti e indietro" in modo imprevedibile?
-- 
Saluti.
D. 

 Giusto, lo si puo' fare per convenzione, ma e' ininfluente.
No, aspetta: non è una convenzione.
A questo proposito ci sono due scuole:
1)
Una certa scuola si limita ad osservare che se includi le
rappresentazioni/successioni che da un certo punto in poi sono "tutti 1"
(o "tutti 9" in notazione decimale) allora perdi la corrispondenza biunivoca
fra i numeri reali e le successioni che li rappresentano, perché in questo
modo si hanno più sucessioni che rappresentano lo stesso numero reale.
Ad esempio 1,000... viene a rappresentare lo stesso numero reale
rappresentato da 0,111...
Già questo semplice fatto di perdere la corrispondenza biunivoca metterebbe
in crisi i nostri ragionamenti. Infatti, come osservi giustamente tu, noi
stiamo usando delle rappresentazioni (binarie, o decimali, o altro) per
parlare dei numeri reali, e questa sostituzione può essere fatta a cuor
leggero solo se sappiamo (o abbiamo ipotizzato) che ci sia una
corrispondenza biunivoca fra l'isieme delle rappresentazioni e l'insieme
numeri reali. Altrimenti la faccenda è tutta da ridiscutere, e salta fuori
una complicata casistica.
2)
C'è poi un'altra scuola per la quale l'uso di una
rappresentazione/successione come 0,111... non solo fa perdere la
corrispondenza biunivoca, ma per di più *contraddice* la definizione
operativa che abbiamo dato della corrispondenza fra la misura dei segmenti e
la loro rappresentazione numerica.
Infatti noi abbiamo detto che bisogna "contare quante volte ci sta" un certo
segmento e i suoi sottomultipli. Così se abbiamo un certo segmento-campione
chiamato UNO che usiamo per misurare un certo segmento S, usando la base
dieci, dobbiamo confrontare i due segmenti, e se ci rendiamo conto che UNO
in S ci sta solo 9 volte scriviamo 9,... dopodiché dividiamo UNO in dieci
parti e ripetiamo l'operazione sul "resto" usando il deci-UNO per fare la
misura. Se troviamo che ci sta ancora 9 volte, scriviamo 9,9... e andiamo
avanti in questo modo.
Ebbene, se andando avanti "all'infinito" salta fuori che quel numero è fatto
di "tutti 9", cioè - per usare la notazione suggerita da Marco - è 9,(9),
allora la definizione della somma di una serie ci permette di dire che quel
numero è uguale a 10. Ma se è uguale a 10 allora *non era vero* che
UNO stava in S solo 9 volte, ma ci stava ben 10 volte senza alcun "resto",
sicché avremmo dovuto scrivere fin dall'iniziono 10,(0). Dunque se la misura
di un segmento è definita in questo modo allora è *contraddittorio*
affermare che la misura di un segmento può essere 9,(9), e per ragioni
analoghe è anche contraddittorio affermare che essa può essere costituita
da "tutti 9" da un certo punto in poi.
Certo, noi qui stiamo parlando della misura di segmenti, e non di numeri
reali. Tuttavia se abbiamo intenzione di porre una corrispondenza biunivoca
fra i segmenti della retta e i numeri reali allora la presenza di una
contraddizione nelle definizioni operative delle misure geometriche è
destinata a tradursi inevitabilmente in qualche contraddizione anche nella
rappresentazione numerica dei numeri reali. Se la ragioniamo così vediamo
allora che non abbiamo più la semplice perdita della corrispondenza
biunivoca fra i numeri reali e le successioni di cifre decimali, ma abbiamo
addirittura una contraddizione.
In nessun caso, comunque, il problema che ti ho sollevato può essere
trattato alla stegua di qualche cosa di cui si può o meno tenere conto,
e che risulta «ininfluente».
-- 
Saluti.
D. 

 0,1(0)=0,10(0). Non e' cosi'...
Come non è così?
Se è vero che (0) è una "successione infinita di 0", se io aggiungo uno "0"
davanti non ottengo ancora una "successione infinita di 0"?
Qual è la cifra decimale in cui differiscono 0,1(0) e 0,10(0)?
Me la sai indicare?
Mi sa che siamo arrivati al punto in cui bisogna tirare fuori le
antipaticissime definizioni formali, perché a quanto pare le nostre
rispettive "intuizioni" qui si dividono e vanno in direzione opposta.
-- 
Saluti.
D. 

 "saltare avanti e indietro" in modo imprevedibile?
Robbins (la cui dimostrazione trovo si' piu' intuitiva, ma anche piu' 
convincente di quella sopra di Cantor) dice semplicemente che, se per 
assurdo i reali avessero la potenza  di N, allora ci sarebbe un primo, un 
secondo ecc.. Allora dice di assegnare al primo un intervallo 1/10^1, al 
secondo 1/10/^2 ecc.. Ma ovviamente, aggiungo io, un ordinamento non implica 
che sia un buon ordinamento, cioe' che al primo reale corrisponda proprio il 
naturale 1, al secondo il 2 ecc..
Un saluto, Loris

 Marco 

 tra infinito potenziale e infinito attuale.
Hai ragione sulla faccenda della rappresentabilità di 0,(01), nel senso che 
viene tirato direttamente in ballo, per verificare la rappresentabilità di 
tale numero tramite le tabelle Ta e Tb, il teorema Dq (secondo la tua 
abbreviazione) di Cantor. Ma allora, se 0,(01) è rappresentabile sfruttando 
Dq, non è più vero, come dicevi, che un qualsiasi numero reale, se non è 
rappresentabile in Ta, allora lo è in Tb e viceversa?
Un saluto,
Marco

 Me la sai indicare?
Sě, questa č proprio una bella domanda. Il tipo d'ordine č il medesimo: come 
mi insegni, se w č il tipo d'ordine di (0), 1+w č il tipo di 0(0); ebbene, 
l'aritmetica degli ordinali transfiniti č fatta in modo tale che w=1+w. 
Uguaglianza, questa, che esprime semplicemente il fatto che anteponendo un 
termine ad una successione infinita di termini, non terminiamo la 
successione, ma otteniamo ancora una successione infinita.
Ora, perň, abbiamo, nelle rappresentazioni decimali '0,1(0)' e '0,10(0)', 
una differenza innegabile tra gli antiperiodi (le parti non periodiche della 
parte decimale): 1 differisce da 10. Intuitivamente: (solo) se io scrivo 
'0,1(0)' e '0,10(0)', allora quella differenza č rappresentata, ed č perciň 
evidente (cioč, risulta dalla rappresentazione stessa). Ma se io scrivo 
'0,1000000....' e '0,1000000...', allora quella differenza non č piů 
rappresentata.
Allora, riferendomi a quello che dici alla fine, credo che il punto al quale 
siamo arrivati riguardi le definizioni formali del rapporto tra i numeri e 
le loro rappresentazioni  numerali.
Buon ferragosto a tutti,
Marco 

 da "tutti 9" da un certo punto in poi.
Azz! E io che ho detto??? Che _non si può_ (non ha senso) dire che 10 e 
9,(9) sono la stessa cosa.
Segmento o no.
qf !
PS: le quadre sono mie 

 Marco
Ecco, io chiedevo quella algida stella .. (nel mio unico intervento in
questo 3d) ..
: - )
In particolare a Loris.
Per cui ho seguito con interesse la Vs discussione .. ma obietto .. che
non siamo ancora su un piano scientifico.
E -quindi- non mi sono posto di seguire -in dettaglio- ma solo un piano
"estetico" la Vs discussione.
E' una tecnica psicologica -questa- di controllare la dissociazione
mentale.
Del resto Cantor non andò fuori di testa ragionando di queste questioni?
Cosa si cela dietro il tentativo di creare una frontiera chiusa
(definita) all'infinito come ente anzichè come processo?
A mio modesto avviso un tentivo che parlare di Dio -> dal di fuori di
Dio.
Mentre -sempre (secondo me)- si può parlare dell'ESSERE (Dio) con
attinenza solo dal di dentro, essendo l'ESSERE (tutto l'essere) già
completo.
Vi lascio queste poche riflessioni estive per dirvi che mi cimenterò
anch'io -su questo vostro tema- solo dopo che esso -eventualmente- sarà
formalizzato.
Altrimenti sarà solo una *ricerca mistica sui generis*, un girare
attorno -nel migliore dei casi- nelle dinamiche dell'eureka.
Ma l'eureka (su uno specifico) è -in primis- una *affinità elettiva* e
non è *ben formato* parlare di scienza o di matematica senza avere prima
fissato la grammatica di quello che stiamo dicendo, salvo fare poesia ..
: - )
Saluti,
L

 formalizzato.
Anche Cantor ha cominciato, prima che i suoi teoremi venissero acquisiti 
dalla comunità matematica (e divenissero così dei dispositivi logici 
"riproducibili"), con le "lettere" dirette a Dedekind. Ecco, se un gigante 
logico-matematico di quella portata ha cominciato con le "lettere", noi 
possiamo ben cominciare dai...post:-). Fuor di metafora, mi pare proprio che 
la dimostrazione di Loris abbia un grado di formalizzazione più che 
sufficiente perché chunque abbia confidenza con queste questioni se ne possa 
occupare senza finire ad occuparsi di poesia.
Un saluto,
Marco
 

 Per quanto piccola la differenza, la differienza c'è.
Ma io per dimostrare la "contraddizione" qui sopra ho usato proprio quel
risultato sul quale tu non sei d'accordo:
SICCOME
    0,(9) è *esattamente* uguale ad 1
ALLORA
    è contraddittorio affermare che il risultato di una misura potrebbe
    essere 0,999999..., perché - stando alla definizione operativa
    della misura - dovremmo scrivere subito 1,...
Vediamo allora di tenere ben distinti i due discorsi.
Io dico che le seguenti serie geomentriche:
    1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
    9*1/10 + 9*1/10^2 + 9*1/10^3 + ...
hanno un valore ben preciso (se si definisce tale valore come il limite
della successione delle somme parziali, sennò non si capisce quale sia
esattamente il significato di quei puntini di sospensione) e questo valore è
esattamente 1:
    1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1
    9*1/10 + 9*1/10^2 + 9*1/10^3 + ... = 1
Detto questo, passiamo al secondo problema, che è quello della
rappresentazione (decimale, o binaria, o quel che è) dei numeri reali.
Per capire chiaramente che stiamo parlando di due problemi diversi,
consideriamo la misura degli angoli secondo il sistema sessadecimale.
Se noi, ad esempio, sommiamo un angolo di 29° ad un angolo di 1° otteniamo
un angolo di 30°
    29° + 1° = 30°
D'altra parte un angolo di 1° è costituito, per definizione, da 60', per cui
possiamo anche scrivere così:
   29° + 60' = 30°
In questo non c'è nulla di assurdo, di contraddittorio, né abbiamo a che
fare con l'"infinito".
Ora poniamoci la seguente domanda: è possibile che la misura di un certo
angolo dia come risultato 29° 60' ?
La risposta è che non è possibile. Infatti se la definizione operativa della
misura dice che dobbiamo contare "quante volte ci sta" un angolo di 1°
nell'angolo da misurare, siccome un angolo di 29° + 60' è *esattamente* un
angolo di 30°, allora andando a misurare quell'angolo noi dovremmo scrivere
subito 30°, per poi procedere eventualmente alla misura dei primi e dei
secondi di arco.
Dunque non è possibile che la misura di un angolo dia come risultato
29° 60', il che però non significa che non si possano sommare 29° a 60',
né che quel risultato non sia esattamente 30°. Anzi, è *proprio perché* quel
risultato è *esattamente* 30° che noi possiamo escludere che la misura di un
angolo dia come risultato 29° 60'.
-- 
Saluti.
D.

 Se introduco l'"oggetto" numerico 0,(01)(0)...
Non sono sicuro che sia possibile dare un senso preciso a questo oggetto.
Tieni presente che le notazioni che stiamo usando sono in fin dei conti una
sorta di "stenografia" per scrivere in modo conciso delle espressioni che
solitamente vengono espresse in modo più articolato.
Ad esempio quando parliamo del "numero 0,(9)" stiamo parlando di quel
particolare numero che si ottiene come somma della seguente serie:
    9*1/10 + 9*1/10^2 + 9*1/10^3 + ...
Più in generale possiamo dire che un numero è ben definito quando abbiamo
una relazione che ad ogni numero naturale n associa un numero a(n). Infatti
quando sia ben definita la successione a(n) ad essa si può associare il
numero:
    a(1)*1/10 + a(2)*1/10^2 + a(3)*1/10^3 + ... + a(n)*1/10^n + ...
Così quando scrivi "0,(9)" definisci un numero in modo univoco proprio
perché quella "stenografia" ti permette di dire quale numero a(n) è
associato ad ogni n; per ogni n si ha infatti a(n)=9.
Se ora passiamo a "0,(01)" si ha ancora una associazione ben definita,
poiché la successione a(n) si ottiene associando 0 ai numeri dispari e 1 ai
numeri pari:
    a(n) = 0   se   n è dispari
    a(n) = 1   se   n è pari
Ma che dire di "0,(01)(0)"?
Se è vero che "(01)" è intuitivamente la "ripetizione all'infinito" di "01"
allora questa nozione si lascia formalizzare di nuovo come la precedente:
    a(n) = 0   se   n è dispari
    a(n) = 1   se   n è pari
A questo punto già sappiamo quale a(n) associare ad ogni n, sicché quello
"(0)" non ci fornisce alcuna informazione, e come tale o è inutile o è
insensato.
Se poi cercassimo forzatamente di dare un senso alla espressione
"0,(01)(0)", un senso diverso da "0,(01)", essendo a(n) già definito per
ogni n, e definito nello stesso modo in entrambi i casi, questa forzatura
non potrebbe fare altro che introdurre da qualche parte una contraddizione.
Per questo sono propenso a credere che non ci sia alcun modo sensato di
formalizzare l'espressione "0,(01)(0)".
-- 
Saluti.
D.

 29° 60',
Non è vero, se hai uno strumento che misura solo i primi e, via via che 
arrivi a 60', incrementi un contatore dei gradi: dopo 29°e 60' -- ma solo 
dopo -- incrementerai il contatore a 30°.
qf
ps: per inciso, a me non sembra di essere stato così paranoico come da 
conclusione del tuo messaggio ad Alessandro del 14 alle 20 e 10 , che vedo 
solo ora (io ho persino meno tempo dei matematici). Si potrebbe anzi 
sospettare -- davanti a tanta drammatizzazione e a tanta difesa a oltranza 
dei così indaffarati e così poveri matematici -- che ci sia un certo timore 
nei confronti degli outsider, che rischiano di intorpidire acque ritenute 
sicure.
Ad rivum eundem Lupus et Agnus venerant siti compulsi: superior stabat 
Lupus, longeque inferior Agnus, ma guarda che quelli che stanno a bere a 
valle sono gli outsider, non i poveri matematici nelle loro cattedre 
stipendiate da tutti e dietro l'usbergo di editori protetti da severi 
referee che stanno sicuramente dalla loro parte perché sono loro stessi! Da 
qui a concludere che perlomeno sono un partito o un sindacato ci corre 
pochissimo, senza che perciò si debba parlare di "cupole" ecc. (benché --  
ammetterai -- in certi ambienti non manchino i baroni, e che per un Fields 
siano pronti a scannarsi -- a parte Perelman naturalmente).

 problema dell'altro thread.
Il questo thread io parto dalla premessa che 0,(9) sia esattamente 1
(una premessa che considero accettata da Loris, o almeno spero che lui la
accetti), e a partire da quella premessa dimostro una certa implicazione, la
quale io pongo come problema. Dunque il problema che io pongo a Loris è una
conseguenza del fatto che 0,(9) è esattamente 1.
Invece tu ed io stiamo discutendo se 0,(9) sia o meno esattamente 1, e tu
dici che «in realtà non lo è». Se tu hai ragione tutto il ragionamento che
ho illustrato a Loris perde ogni fondamento, e non ha ragione di porsi.
-- 
Saluti.
D. 

 sarebbe del tutto insensato.
Non insensato dal punto di vista del tipo ordinale, visto che mettendo un 
'1' dopo la totalità delle successione infinita di '0', otterremo un 
"oggetto" di tipo ordinale w+1: termineremmo, cioè, una successione 
infinita.
Ma dal punto di vista della quantità? Diciamo pure che 0,(9) differisce da 1 
di 0,(0)1. Che cosa significherà, dal punto di vista della quantità, questa 
differenza "formale"? Un modo per comprenderlo sarebbe il seguente: in 
0,(0)1, *nessuna* operazione di iterazione del "contare" ci permetterà 
(tramite l'induzione, cioè) di raggiungere quell''1' a partire da uno 
qualunque degli '0' della successione.
Quindi abbiamo che:
1. nessuna operazione di misura (secondo la definizione operativa di misura) 
del segmento in questione ci consentirà di scrivere, nella parte decimale 
del numero reale che deve corrispondere alla misura del segmento, una cifra 
che *non* sia '9'. Perciò diciamo che il numero che esprime quella misura è 
0,(9).
2. se scriviamo con '0,(0)1' il numero d=1-0,(9) che deve esprimere la 
differenza tra 1 e 0,(9), allora abbiamo che nessuna operazione "induttiva" 
ci consentirà, a partire da uno qualunque degli '0' del numero d, di 
raggiungere una cifra che *non* sia '0'.
A questo punto si impongono due considerazioni:
(i) Il senso di 1. e 2. è che il *medesimo* tipo di procedimento 
(l'iterazione finita) che ci impone, nella determinazione della 
rappresentazione numerale del numero che deve esprimere la misura del 
segmento, di scrivere sempre dei '9', ci impedisce, ***una volta che abbiamo 
scritto '0,(0)1' come rappresentazione numerale della differenza d***, di 
raggiungere quell'1' a partire da uno qualunque degli '0'.
(ii) la rappresentazione numerale '0,(0)1' del numero d non l'abbiamo 
ottenuta attraverso il medesimo tipo di procedimento con il quale abbiamo 
ottenuta la rappresentazione numerale '0,(9)' del numero esprimente la 
misura del segmento. L'abbiamo ottenuta, invece, attraverso un procedimento 
differente, che ha una natura puramente formale: sappiamo che se '0,[9]' è 
la rappresentazione numerale di un numero la cui parte decimale è composta 
da un numero finito n di '9', allora la differenza tra 1 e 0,[9] sarà uguale 
a 0,[0]1 (dove lo '0' si ripeterà n-1 volte); da questo ricaviamo, per 
rappresentare la differenza tra 1 e 0,(9), la scrittura '0,(0)1'. Quello che 
facciamo, in sostanza, è di sostituire formalmente alle "parentesi quadre" 
le "parentesi tonde": in questo modo passiamo dal finito (della successione 
di '0') all'infinito (della successione di '0'), lasciando immutato 
quell''1' finale che, nella rappresentazione '0,[0]1', sta a testimoniare il 
discostarsi quantitativo della differenza tra 1 e 0,[9] dalla nullità.
Attraverso questo passaggio dalle "parentesi quadre" alle "parentesi tonde", 
la "fine" che vale per quell''1' - il suo essere cioè la cifra che sta "alla 
fine" della rappresentazione numerale della differenza - diverrà la "fine" 
di una successione infinita. Ora, però, nulla ci garantisce a priori che 
questo passaggio dal finito all'infinito - dalle "parentesi quadre" alle 
"parentesi tonde" - sia in grado di preservare quel discostarsi quantitativo 
della differenza dalla nullità. La concezione di Qf, invece, sta proprio 
presupponendo che il passaggio dal finito all'infinito preservi il fatto che 
la presenza "finale" di quell'1' testimonia il discostarsi quantitativo 
della differenza d dalla nullità.
Nella rappresentazione numerale '0,(0)1' che deve rappresentare il numero d 
esprimente la differenza tra 1 ed il numero esprimente la misura di un certo 
segmento, noi vediamo chiaramente un '1': esso sta, graficamente, subito 
dopo il segno grafico che rappresenta la successione infinita di '0'. Eppure 
quell'1' che vediamo contenuto nella rappresentazione numerale di d, *non* 
lo raggiungeremo mai attraverso l'induzione (facendo cioè un "passo" dopo 
averne fatto un certo numero finito; proprio, cioè, lo stesso procedimento 
che ci ha imposto di scrivere, nella rappresentazione numerale del numero 
esprimente la misura del segmento, quel '9' tra "parentesi tonde").
Che d sia uguale a 0, e che dunque 0,(9) sia uguale ad 1 (facendo valere 
l'assioma che se x-y=0, allora x e y sono lo stesso numero), è proprio la 
conseguenza della irraggiungibilità "induttiva" di quell'*unica* cifra che, 
nella rappresentazione numerale di d, differisce da '0'. Proprio perché '1' 
non è induttivamente raggiungibile, qualora noi provassimo a determinare 
induttivamente, cioè passo dopo passo (e cioè attraverso lo stesso 
procedimento che ci ha imposto di scrivere quel '9' tra "parentesi tonde"), 
la differenza d, otterremo ***sempre*** 0,[0] come rappresentazione numerale 
di tale differenza.
Un saluto,
Marco
 

 successione.
Credo di capire che cosa vuoi dire, e a livello "intuitivo" sono d'accordo
con te.
Se però volessimo condurre la discussione su un piano più rigoroso, io
eviterei questo problema del "raggiungimento" (sul quale si rischia di
produrre qualche "deriva") e mi atterrei piuttosto alla esposizione che
facevo qui sopra.
È vero o non è vero che quando sia nota una successione c(k) allora è anche
determinata la serie che si ottiene sommando i c(k)?
Se è vero, allora una volta che sia noto c(k) per ogni k sappiamo tutto ciò
che c'è da sapere.
Ebbene, scrivere 0,(0) è solo una "stenografia" per parlare della serie
avente come k-mo termine c(k) il numero 0*1/10^k, che vale esattamente 0.
Dunque c(k) è nota.
Che cosa mi dice "in più" quell'"1" che aggiungo "in fondo"?
-- 
Saluti.
D. 

 1, 2,...,n,...»
Bene. Parliamo di questa dimostrazione.
Lasciami fare un passo indietro, per farti vedere questa dimostrazione in
un'altra prospettiva.
Consideriamo l'insieme N dei numeri naturali, e poi l'insieme di tutti i
suoi sottoinsiemi. Come sai quando è dato un insieme A l'insieme di tutti
i suoi sottoinsiemi viene detto "insieme potenza" di A, e lo si indica con
P(A). Ad esempio 3, 7, 11 sono dei numeri naturali, cioè elementi di N,
mentre {3,7} è un insieme di numeri naturali, così lo sono {7,11} e
{3,7,11}, e questi ultimi sono tutti elementi di P(N).
I matematici considerano insiemi di numeri naturali anche i "singoletti",
cioè gli insiemi che contengono un solo numero, come {3}, {7} e {11}.
Il fatto che un singoletto sia un insieme e non un numero può essere più
o meno compatibile con la nostra intuizione del concetto di insieme. Ad
esempio se uno concepisce intuitivamente gli insiemi come dei "contenitori"
gli apparirà chiaro che un cassetto che contiene solo un paio di calze non
può assolutamente essere confuso con un paio di calze. Altri, che hanno
una intuizione diversa del concetto di insieme, trovano delle difficoltà a
concepire un singoletto come un insieme, e altri ancora si oppongono
tenacemente a questa idea. A solito l'unico modo di venirne fuori è quello
di trovare una definizione formale delle proprietà degli insiemi, in modo
tale che uno possa dire: «Signori, quando parlo di "insieme" sto parlando
di un oggetto che ha le seguenti proprietà: ...». Ebbene, tutte le
formalizzazioni che conosco del concetto di insieme implicano la possibilità
di avere dei "singoletti", intesi come insiemi ben distinti da quell'unico
elemento che appartiene ad essi. Se poi qualcuno preferisce fare della
matematica nella quale i singoletti non sono degli insiemi faccia pure, ma
abbia almeno la bontà di dirmi qual è la definizione di insieme rispetto
alla quale i "singoletti" non sono definiti né definibili come insiemi.
I matematici, poi, considerano un insieme anche il cosiddetto "insieme
vuoto". Anche in questo caso ciò non corrisponde alla intuizione di tutti,
e di fronte a questo disaccordo a livello intuitivo l'unica strada
percorribile mi sembra - al solito - quella della formalizzazione rigorosa.
Anche senza entrare nei dettagli, dovrebbe essere chiaro che una
formalizzazione per la quale passando da {3,7} a {3} si ha ancora un insieme
e non un elemento, ci permette di dire che anche passando da {3} a {} si ha
ancora un insieme e non "nessun elemento". È un insieme che non contiene
nessun elemento, non "nessun elemento".
Dunque fra gli elementi di P(N) abbiamo i seguenti:
    P(N) = { {}, {0}, {1}, {2}... {0,1}, {0,2}... {1,2}... {0,1,2}... }
Cerchiamo ora di capire se P(N) è numerabile, cioè se può essere messo
in corrispondenza biunivoca con N.
Per rispondere a questa domanda utilizziamo proprio uno stratagemma messo
a punto da Cantor.
Consideriamo un generico elemento di P(N), come ad esempio T={3,7,11}.
Ad esso possiamo associare una certa successione t(n) che ad ogni n associa
0 se n non è compreso in T, e associa 1 se n è compreso in T. Nel nostro
caso si ha:
    t(n) = 1  se n = 3,7,11
    t(n) = 0  altrimenti
La successione t(n) può anche essere scritta così:
    t = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0...)
Se ora anziché T prendiamo l'elemento di P(N) U={1} dovrebbe essere chiaro
che la successione u(n) ad esso associata è:
    u = (1, 0, 0, 0...)
Invece se prendiamo O={} (l'insieme vuoto), la successione ad esso
associata è
    o = (0, 0, 0...)
Osserviamo che data una qualunque successione di "0" e di "1" essa definisce
in modo univoco un certo sottoinsieme di N, e dunque un certo elemento di
P(N), e - viceversa - ogni sottoinsieme di N definisce in modo univoco una
successione di questo genere. Dunque c'è una corrispondenza biunivoca fra
gli elementi di P(N) e tutte le successioni possibili aventi come valori 0 e
1.
Ne viene che P(N) è numerabile se, e solo se, lo è anche l'insieme di tali
successioni.
Supponiamo allora che tale insieme sia numerabile, ovvero che si possa
scrivere una *successione di successioni*, in modo tale da avere una prima
successione, una seconda, una terza e così via, enumerandole tutte. Anzi,
per andare dietro agli usi dei matematici è meglio partire non dalla prima
ma dalla "zeresima", il che è solo un dettaglio che non cambia la sostanza
delle cose. Dunque se s è una generica successione abbiamo s(0), s(1), s(2)
eccetera, e questa successione di successioni - secondo la nostra ipotesi -
enumera tutte le successioni possibili di quel tipo.
Ricordiamo che s(n) è una successione di successioni, e dunque l'n-mo
termine è a sua volta una successione, e come tale prende un ulteriore
argomento, sicché s(3)(2) è, ad esempio, il secondo termine della terza
successione. Tutto ciò dovrebbe risultare più chiaro se scriviamo le
successioni in una tabella:
    s(0) = (0, 0, 0, 0, 0, 0... )
    s(1) = (1, 1, 1, 1, 1, 1...)
    s(2) = (0, 1, 0, 1, 0, 1...)
    ...
A questo punto "scatta" l'argomento diagonale di Cantor: a partire da quella
successione di successioni si scrive la "successione diagonale", poi
cambiando lo "0" in "1" e viceversa si ottiene la "successione
antidiagonale", la quale non può coincidere con nessuna successione della
tabella, mentre noi avevamo ipotizzato che la tabella comprendesse *tutte*
le possibili successioni di quel tipo.
Dunque dobbiamo respingere la nostra ipotesi, il che ci impone di affermare
che l'insieme di quelle successioni non può essere messo in corrispondenza
biunivoca con N; cioè - per definizione - quell'insieme non è numerabile.
E se quell'insieme non è numerabile allora non è numerabile nemmeno
l'insieme P(N), che sta in corrispondenza biunivoca con esso.
==========
Ora tu potresti avanzare una grossa obiezione, osservando che noi in quella
tabella abbiamo usato dei puntini di sospensione, e questo fa sì che essa
sia ancora a metà strada fra l'ambito delle "chiacchiere intuitive" e quello
delle definizioni rigorose. D'altra parte per poter togliere quei puntini io
dovrei poter scrivere una "stringa infinita", e tu potresti sfidarmi a
farlo, pregustandoti già fin d'ora la mia sconfitta, poiché anche quando
avessi scritto un miliardo di cifre non avrei nemmeno cominciato a scrivere
una "stringa infinita".
Le cose non sono tuttavia così irrimediabili. La "tabella" infatti serve
solo come "aiuto visivo" a livello intuitivo, e nel linguaggio formale e
rigoroso della matematica non c'è spazio per le "tabelle".
Analogamente, come dicevo a Marco in un altro post, noi tutti siamo abituati
a scrivere:
    N = {0, 1, 2, 3...}
questo però non significa che per poter parlare dei "numeri" noi prima
dobbiamo scrivere per esteso tutto il contenuto di quella parentesi!
Anche Cantor, che pure riteneva che l'"infinto attuale" fosse concepibile,
riteneva che l'intero contento di quella parentesi fosse presente solo nella
"mente di Dio" (anzi, nel caso di Cantor senza virgolette, perché egli ci
credeva proprio a quella cosa), e che i matematici mortali, umani e finiti,
dovessero accontentarsi di accedere al rigore formale in altro modo, senza
prentendere di avere tutto "davanti agli occhi".
Facciamo allora un passo indietro, e ricordiamo che una successione a valori
in A è definita semplicemente come una relazione che ad ogni numero n
associa un certo elemento a(n) di A. Come vedi qui non si nomina
l'"infinito", e ci si limita a dire "ogni numero". Consideriamo ora *tutte*
le successioni a valori in A={0,1}, cioè le successioni che ad ogni numero n
associano 0 oppure 1. Stiamo dunque parlando di tutte le relazioni che ad
ogni numero n associano 0 oppure 1. C'è forse qualche ragione che ci
impedisce di dire: «tutte le relazioni che ad ogni numero n associano 0
oppure 1»? Non è chiaro il senso di ciò che abbiamo appena detto?
Abbiamo forse parlato dell'"infinito"? Direi di no.
Ebbene, a questo punto ipotizziamo che tutte queste relazioni si possano
mettere in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Anche qui non
dobbiamo nominare l'"infinito". Ci basta dire che per ogni numero n c'è una
e una sola successione s(n) associata ad esso.
Bene, ora che abbiamo fatto questa cosa, costruiamo una successione d che si
ottiene prendendo come n-mo termine l'n-mo termine della n-ma successione.
Cioè una successione tale che, per ogni n, si abbia:
    d(n) = s(n)(n)
Di nuovo: c'è qualcosa che ci impedisce di dire questa cosa? C'è qualche n
per il quale non si sappia che cosa fare o che cosa accade? E si è forse
dovuto nominare l'"infinito" per fare ciò? Direi ancora di no, dunque
possiamo andare avanti.
Ora costruiamo una nuova successione, antid, fatta così:
    antid(n) = 0  se d(n) = 1
    antid(n) = 1  altrimenti
Dopodiché si dimostra nel solito modo che questa successione antid non può
coincidere con nessuna delle successioni s(n). Ma d'altra parte noi avevamo
ipotizzato che le s(n) fossero *tutte*  le successioni a valori in {0,1} e
antid è proprio una successione di questo tipo.
Si ottiene così una contraddizione, che ci costringe a rigettare l'ipotesi
secondo la quale le successioni di quel tipo potessero essere poste in
corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.
==========
A partire da questo risultato si possono sviluppare diverse argomentazioni e
considerazioni sulla questione dalla quale avevamo preso le mosse (che è la
numerabilità dei numeri reali). Tuttavia per ora preferisco fermarmi qui per
chiederti se più o meno siamo d'accordo sugli orgomenti che ho sviluppato
finora.
-- 
Saluti.
D. 

 C'è forse qualche a(n) che viene modificato da quella >aggiunta?
la risposta mi sembra proprio che (usando la comune definizione di 0,(p))
non c'è nessun a(n) che, modificato (rispetto a 0,(0)) dall'aggiunta di un
'1' "subito dopo" la successione, possa essere raggiunto a partire da un
qualunque termine della successione - concetto, questo, che in aritmetica
ordinale transfinita può essere espresso "ex positivo" dicendo che il posto
occupato da quell''1' è il w+1-esimo. Se - riprendendo l'altra domanda -
quell''1' messo "alla fine" non riesce a dirci nulla di più di quanto già
non ci dicano gli 0 di 0,(0), è proprio perché quell''1' non può essere
raggiunto. Se lo fosse, allora esso direbbe: "io sono un 1, e dunque non
sono uno 0, e dunque la rappresentazione numerale in cui occorro rappresenta
un numero maggiore - anzi, il primo numero maggiore - di 0,(0)". Se 1 non
riesce a dirci questa cosa è, per così dire, perché noi non riusciamo a
mettergli il microfono davanti alla bocca: le bocche che passo dopo passo
incontriamo, quando procediamo con il microfono, sono tutte e sole quelle
delle cifre '0', e ciascuna di esse ci dice: "se è qui che cerchi la
differenza tra 0,(0)1 e 0,(0), allora procedi avanti, perché non la troverai
qui, visto che io sono uno 0".
Un saluto,
Marco

 dell'intuizione) a scrivere '0,(0)1' come differenza tra 1 e 0,(9).
Ecco, ad esempio io condivido, in me, la tua intuizione secondo la quale non
è possibile "raggiungere" quell'"1", e dunque non è possibile fare in modo
che esso "dica qualcosa", che possa in qualche modo modificare i risultati
che abbiamo ottenuto.
Invece non mi viene spontaneo scrivere la differenza fra 1 e 0,(9) come
0,(0)1
Oh, sia chiaro: visto che qui stiamo esercitando l'intuizione, se tu mi dici
che la tua intuizione ti porta a scrivere quella cosa, io non mi metto a
sindacare sulle tue associazioni di idee, e tutto ciò che posso fare è
invitarti a ragionare assieme a me sulla possibilità di dare un qualche
rigore formale a quella tua intuzione, che in me non si attiva.
Se provo a seguire i miei pensieri e le mie associazioni a me viene da
prendere in considerazione la differenza 1 - 0,9, che è 0,1. Poi la
differenza 1 - 0,99, che è 0,01, e anche la differenza 1 - 0,999, che è
0,001, eccetera. Come vedi quell'unico "1" della differenza cade sempre
in corrispondenza dell'"ultimo 9", ed è questo che mi resta in testa. Così
quando passo a considerare la differenza 1 - 0,(9) mi viene da pensare
che eventualmente l'unico "1" dovrebbe cadere ancora in corrispondenza
dell'"ultimo 9". Dunque non dovrei mettere "tanti 0 quanti sono i 9" e poi
l'"1", ma dovrei mettere "uno 0 in meno dei 9", e poi piazzare l'"1" in
corrispondenza dell'"ultimo 9".
Tutto questo ovviamente da un punto di vista rigoroso non ha molto senso,
e lo dico solo per illustrarti come procedono le mie associazioni di idee,
così come tu mi hai illustrato come procedono le tue.
==========
Un aspetto interessate di tutte queste "chiacchiere" che stiamo facendo da
giorni è che esse in qualche modo riproducono quello stato di confusione
che regnava nella matematica prima del lavoro di formalizzazione rigorosa
compiuto da alcuni grandi matematici del passato. Uno stato di confusione
che oggi a tratti permane in parte in alcune branche della matematica che
non sono ancora state adeguatamente formalizzate.
Come vedi noi possiamo stare qui a chiacchierare anche per un anno,
raccontandoci a vicenda le nostre associazioni di idee e il modo in cui
concepiamo certi concetti. Però questa condizione idilliaca nella quale non
facciamo altro che raccontarci a vicenda noi stessi tende ad essere una
condizione instabile.
Innanzi tutto la situazione tende a produrre spontaneamente degli stalli
ogni qualvolta il confronto cessa di essere una esplorazione dei propri
e degli altrui pensieri e si trasforma in un "muro contro muro", come
accadrebbe se io ti dicessi che per me è "evidente" che
    1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1
e tu (ovviamente dico "tu" tanto per dire) replicassi che per te invece è
"evidente" che quella uguaglianza non può sussistere esattamente.
Al che io ti potrei chiedere di dirmi esattamente quanto vale quella
differenza, sperando che tu - ritrovandoti incapace di scrivere qualunque
numero - ti convincessi della mia "evidenza". Tu però, messo alle strette,
potresti replicare che quella differenza è esattamente 0,(0)1. Allora io
potrei chiederti di rendere conto di quella notazione che a me sembra
"evidentemente" assurda, ma tu potresti replicare che se io mi sento
autorizzato a scrivere 0,12 o 0,43 o anche 0,(9) non si capisce perché tu
non dovresti essere autorizzato a scrivere 0,(9)1. Chi mi assicura ammé che
0,(9)1 non abbia altrettanto senso di quanto ne ha 0,(9)? A questo punto
cominceremmo a discutere delle nostre rispettive intuzioni sulla
rappresentazione dei numeri, e lo stallo potrebbe protrarsi all'infinito.
Questa scena, vista dal punto di vista di uno che avesse una sensibilità
matematica simile alla mia, sarebbe intesa come una situazione nella quale
Davide cerca pazientemente di "far ragionare" Marco, mettendolo di volta in
volta di fronte alle insostenibili implicazioni di ciò che egli si ostina a
sostenere, mentre Marco cerca caparbiamente di arrampicarsi agli specchi pur
di non mollare. Ovviamente tu avresti l'impressione contraria, e se io ti
dicessi che ti stai aggrappando disperatamente agli specchi pur di
continuare a credere ciò che vuoi credere nonostante ogni evidenza
contraria, tu probabilmente cominceresti anche a pensare e a dire che sono
un prevaricatore e che non ha alcun rispetto per le idee altrui. Al che io
comincerei forse a provare una certa insofferenza nei tuoi confronti, una
insofferenza prodotta dalla mia convinzione di averti rivolto pazientemente
ogni possibile invito ad esprimere in modo chiaro, intersoggettivo e
analitico i concetti di cui stai parlando, mentre tu in un modo o nell'altro
ti saresti ripetutamente sottratto a questo confronto.
Una volta che le cose avessero raggiunto questo radicale stato di
incomunicabilità e anche di assenza di reciproca disponibilità, non
essendoci stato ordinato dal Dottore di comunicare e metterci d'accordo
a tutti i costi, probabilmente tu e altri che la pensano come te vi
ritrovereste a chiacchierare per i fatti vostri in qualche piazza più o meno
virtuale, mentre io e altri ci ritroveremmo a discutere per i fatti nostri
in qualche altra piazza, facendo il possibile per evitarci a vicenda.
Mentre accade tutto ciò, il mondo va avanti, e i matematici non vivono
completamente ad di fuori del mondo. La stragrande maggioranza dei
matematici aspira a vedere riconosciuto dalla collettività il proprio
lavoro, se non altro per poter ottenere dei finanziamenti, in modo tale che
una parte del lavoro della collettività possa essere utilizzato per offrire
ai matematici il tempo e le risorse necessari a compiere le loro ricerche.
Analogamente un parroco ritiene importante che qualcuno dedichi del tempo
e delle risorse alla "cura delle anime", e per questo motivo chiede delle
offerte, cerca di ottenere delle sovvenzioni da parte della comunità,
eccetera.
A questo punto la palla passa nelle mani della collettività, la quale può
sentirsi più o meno solidale con chi cerca di dirottare una parte delle
risorse comuni su una impresa piuttosto che su un'altra. Qualcuno magari
riterrà che la matematica, a parte forse il semplice far di conto che si
impara alle scuole elementari, è una cosa del tutto insensata e inutile, e
preferirà che le risorse che egli stesso contribuisce a produrre vadano ai
parroci o alle associazioni di volontariato, che si occupano di chi ha più
bisogno. Altri magari saranno ancora più severi di così, e diranno che la
matematica avanzata è una enorme mistificazione di una casta di privilegiati
che la cantano e se la suonano, dandosi ragione l'un con l'altro per far
finta di avere qualcosa di importante da dire e per convincere la comunità
in cui vivono a concedere loro una parte delle proprie risorse. Altri,
al contrario, potrebbero essere propensi a destinare una parte di ciò che
producono con il loro lavoro al progresso della coscenza matematica, quello
portato avanti da quei signori che si incontrano in una certa piazza, e non
da quelli che si incontrano nell'altra piazza.
Ovviamente tutto questo processo di incanalamento delle risorse sarà
enormemente complesso, perché scelte come queste vengono fatte solitamente
a livello centrale, da parte di chi ammistra le scelte collettive, che è poi
il potere politico, il quale a sua volta è strettamente legato all'esercizio
del monopolio della forza, per cui bisogna vedere come si perviene, in una
certa comunità, ad esercitare il monopolio della forza ed a distribuire le
risorse collettive.
Ebbene, supponiamo che il risultato di tutta questa dinamica sia che coloro
che si erano ritirati a discutere in una certa piazza riescano a fondare una
loro rivista, a farsela finanziare, e poi riescano anche a farsi scegliere
dallo Stato per essere coloro che formano e selezionano coloro che devono
andare poi ad impartire una educazione matematica ai cittadini, ed anche a
certificare che coloro che aspirano a fare i tecnici abbiano superato con
profitto gli esami di matematica.
Come avranno fatto costoro ad ottenere tutto questo potere? Non è escluso
che quella comunità sia subordinata ad una dittatura, e che costoro abbiano
ottenuto i favori che hanno ottenuto grazie agli intrallazzi con il potere e
rendendosi disponibili a collaborare con il regime dittatoriale. Oppure può
trattarsi di una comunità populista sottoposta ad una sorta di dittatura di
chi è in grado di raccogliere il consenso attorno a delle manovre
propagandistiche. In tal caso quei matematici potrebbero avere ottenuto
il loro potere rendendosi disponibili ad assecondare il populismo e il
conformismo.
Non lo sappiamo. Anche perché coloro che sono rimasti nell'altra piazza
a dire che 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... non vale esattamente 1, e che
1 - 0,(9) non fa 0, ma fa 0,(0)1, costoro, dicevo, a questo punto saranno
convinti di avere in mano la prova provata del fatto che gli altri hanno
ottenuto tutto il potere che hanno ottenuto rendendosi disponibili ad
assecondare il più bieco conformismo pur di ottenere ricchi stipendi,
potere accademico e diritto di veto sulle voci non allineate al coro.
Ma qui si riproporrebbe il problema della incomunicabilità radicale, perché
chi ha una sensibilità matematica vicina alla mia troverebbe assolutamente
insostenibile l'idea che i fondatori del formalismo matematico moderno siano
stati preferiti ad altri perché più disposti ad assecondare il conformismo.
Pensiamo ad esempio a Bertrand Russell, che è certamente uno dei padri
fondatori di questa colossale impresa dell'intelletto. Ebbene, Russell finì
in carcere per le sue idee politiche, e quando fu chiamato ad insegnare al
City College di New York una violentissima campagna denigratoria messa
in atto da certi ecclesiastici e da potenti politici conservatori gli impedì
di ricoprire l'incarico, tant'è che il giudice che emesse il verdetto contro
Russell si appellò addirittura alle "leggi della natura":
http://snipurl.com/3gw4d
In quell'occasione Russell raccolse la solidarietà di molti grandi
scienziati, e Einstein disse che «i grandi spiriti hanno sempre trovato la
violenta opposizione dei mediocri, i quali non sanno capire l'uomo che non
accetta stuipidamente i pregiudizi ereditari, ma con onestà e coraggio usa
la propria intelligenza». Che qualcuno possa pensare che Einstein facesse
parte di una casta che si preoccupava solo di difendere i propri privilegi
accademici a me fa inorridire, ma devo riconoscere che uno può anche vederla
in questo modo. Io potrei anche ricordare che per molti anni Einstein subì
l'ostracismo del mondo accademico e dovette lottare duramente per fare
accettare le proprie idee, dimostrando in questo modo di non essere disposto
a barattare le proprie convinzioni per qualche privilegio in più, ma
immagino che anche questo fatto sarebbe interpretato chissà come da chi la
pensa in modo diverso.
A me non sembra che in generale gli scienziati abbiano mai riscosso delle
grandi simpatie fra l'opinione pubblica e presso coloro che detenegono
il potere economico, politico e sociale (insomma, coloro che controllano
le armi, il denaro e le coscienze). E se oggi ad occupare le cattredre
universitarie sono gli eredi culturali di Russell non è perché Russell a suo
tempo si è piegato alle esigenze del potere o del conformismo, né perché
nel frattempo è venuto di moda il pacifismo e Russell è diventato un martire
della cultura moderna. A me sembra invece che se il potere politico e
l'opinione pubblica accettano di pagare lo stipendio agli eredi di Galileo e
di Russell è perché coloro che imparano la matematica da costoro alla fine -
chissà come e chissà perché - riescono a costruire i grattacieli e a mandare
i satelliti in orbita.
Insomma, io (che sono ovviamente e dichiaramente di parte) dico che se lo
stipendio viene pagato a quelli di una certa piazza e non a quelli
dell'altra è perché una comunità che si affidasse a quelli dell'altra piazza
per l'esercizio e la trasmissione della conoscenza matematica verrebbe
spazzata via dalla storia nell'arco di un paio di generazioni. Per questo
motivo quelli della prima piazza vengono pagati e onorati, anche se un po'
obtorto collo.
Certo, non è così dappertutto. Ad esempio nei regimi politici che sono più o
meno gli eredi dell'antica teocrazia bizantina il titolo di "professore" è
ancora recepito come una sorta di titolo onorario da distribuire agli amici
e parenti del potere politico. Ma infatti quei regimi politici da molto
tempo non sanno più produrre scienza di eccellenza, e i sudditi di quei
regimi che sono in grado di produrla e vogliono manifestare la loro
creatività sono costretti a scappare, andando a lavorare presso altre
comunità E guarda caso le comunità che attirano i migliori cervelli del
mondo sono tutte comunità che bazzicano i matematici della piazza di
Russell, mentre i frequentatori della seconda piazza riescono a trovare
qualche timida simpatia solo in quei regimi politici dove il titolo di
"professore" è una sorta di titolo onorario eccetera.
Mi rendo conto, tuttavia, che questo è il punto di vista di chi, come me, è
dichiaratamente e appassionatamente di parte. Chi non sta dalla mia parte
può sempre accusarmi di farmi forte del fatto che gli Americani hanno vinto
le guerre (prima quelle belliche e poi quelle commerciali) e che io non sto
facendo altro che saltare sul carro del vincitore, allineandomi a ciò che
scrivono sulle loro riviste coloro che lavorano per il sistema educativo
americano.
Al che io potrei ribadire la mia tesi, osservando che l'America è un paese
che per mantenere la propria supremazia è costretta a stipendiare gente
come gli allievi di Russell, perché in qualche modo anche il più ottuso dei
politici conservatori da qualche parte dentro di sé ha la consapevolezza che
Russell e i suoi eredi hanno una marcia in più, e non può permersi di fare
a meno di loro. E infatti la società americana e il potere politico che essa
esprime stanno cimentandosi nella impresa impossibile di quadrare il
cerchio. Da una parte infatti essi cercano di attirare i migliori cervelli
del mondo mettendo a loro disposizione ampie risorse e prestigio sociale,
e dall'altra parte vorrebbero costringere quei cervelli e i loro allievi a
rinnegare il darwnismo per insegnare magari il "creazionismo" (?) o il
"disegno intelligente" (?).
Mi raccontava un amico che bazzica da quelle parti che quando si parla di
Darwin in pubblico (in occasione di conferenze eccetera) si vede una buona
parte di quel pubblico cominciare a scrollare la testa, come se si fosse
nominato un nemico della Verità e della Morale; e la cosa che al mio amico
pare più preoccupante è che ormai anche molti studenti cominciano a
comportarsi in quel modo, poiché si portano dietro da casa la convinzione
che Darwin sia una sorta di campione dell'ideologia atea e materialista
contro i "sani valori americani". Nonostante questo sono pochissimi gli
insegnanti che hanno deciso di "allinearsi", e probabilmente sono solo i più
mediocri, perché - per fortuna - fino ad ora non ho mai saputo che si sia
piegato qualcuno che io percepisco come un esponente di spicco di una certa
identità collettiva nella quale mi riconosco. Come dicevo già per me è una
sofferenza il pensiero che il grande Cauchy fosse bigotto e reazionario, e
preferisco che questi "casi" possano continuare a contarsi sulle dita di una
mano.
So che questo discorso appare arrogante e non attira certo le simpatie di
chi legge, ma d'altra parte che cosa dovrebbe fare la comunità degli
scienziati? Dovrebbe forse riservare degli spazi sulle proprie riviste a chi
volesse scrivere che a lui appare evidente che il formalismo matematico è
una enorme caterva di mistificazioni? Anche quando costui si rifiutasse di
esprimere le premesse delle sue opinioni in modo chiaro, rigoroso e
intersoggettivo, in modo tale da offrire ai suoi interlocutori la
possibilità di applicare quelle premesse autonomamente, per verificarne
tutte le possibili implicazioni nei vari casi? È questo che ci si aspetta
dai redattori di una rivista scientifica?
Secondo me questa pretesa è eccessiva, ed io ritengo che le riviste vadano
protette da pretese come queste, che io percepisco come potenziali "cavalli
di troia" di chi volesse paralizzare il discorso scientifico. Per me si può
discutere e cazzeggiare finché si vuole e come si vuole, ma non si può
pretendere che queste discussioni occupino proprio quegli spazi che il
pensiero scientifico usa per prodursi, per riprodursi e per manifestarsi in
quanto tale. Sarebbe come se io domenica prossima piombassi nel mezzo
di una funzione religiosa e pretessi di interromperla fino a quando i fedeli
presenti non avessero risposto a tutte le mie osservazioni sulla
costituzione dogmatica della loro fede. Essi hanno tutto il diritto di
manifestare la loro fede religiosa senza essere interrotti o disturbati nel
momento in cui quella fede si esplica secondo le modalità che le sono
proprie, né io posso pretendere il confronto proprio in quella sede, perché
la mia pretesa di avere un confronto proprio in quella sede sarebbe di fatto
la pretesa di impedire loro di manifestare la loro fede. Se voglio veramente
discutere con queste persone della loro fede possono chiedere loro un
confronto ovunque, tranne che in quel luogo e in quella particolare
circostanza. E anche quando il confronto lo abbia ottenuto, poi non posso
certo pretendere che essi non si rechino più alla funzione domenicale fino
a quando non avranno risposto a tutte le mie domande e obiezioni sulla
costituzione dogmatica della loro fede. Se pretendessi qualcosa del genere
non starei chiedendo il dialogo, ma starei cercando di opporre un veto di
fatto all'interlocutore, e non potrei certo stupirmi di ottenere ben poca
disponibilità al confronto.
-- 
Saluti.
D. 

 ho illustrato a Loris perde ogni fondamento, e non ha ragione di porsi.
Io dico che in realtà non lo è e tu dici che per il mondo scientifico lo è.
E' un problema.
Privilegio -- onore e onere -- della filosofia.
qf 

 Io faccio in concreto l'esempio della costruzione dell'inda quadra
_onda_ quadra, naturalmente.
L'"inda" quadra solleverebbe la curiosità e lo stupore dell'intero mondo 
matematico e di quello elettronico :-)
Formalmente l'onda quadra ondeggia così (versione dispari) nel primo 
periodo, poi si ripete:
f(t) =   k   per 0 < t < T/2
f(t) = - k   per T/2 < t < T
Con T = periodo

    t = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0...)
Considerazione 1). Molto semplice.
Nella successione t(n) ogni elemento dell'insieme e' rappresentato non dai
segni "0" e "1", ma da essi nella posizione che essi occupano nella
successione. E' per la combinazione segno-posizione che una successione
definisce in modo univoco un qualche sottoinsieme di N.
Allora prendiamo la successione t = (0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 
0...);
togliamo tutte le virgole e addiungiamo all'inizio "0,"; otteniamo
t = 0, 0100010001000...
Essa non e' che un tratto finito dello sviluppo dei naturali dopo la 
virgola, e il "trucco" di Cantor e' sostituibile semplicemente da tale 
sviluppo: lo rappresenta come applicazione dell'algoritmo che genera 
ordinatamente i naturali in base 2. Possiamo allora parlare di numerali, 
come sequenze di segni che rappresentano i numeri.
Prendiamo, p.e., il tuo P(N) = { {}, {0}, {1}, {2}... {0,1}, {0,2}... 
{1,2}... {0,1,2}... }
Se, per maggior chiarezza, lo riscrivo cosi'
{{}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}... }
 l'insieme potenza e' cosi' rappresentato:
{}:         0
{a}:       1
{b}:       01
{c}:       001
{a,b}:    110
{a,c}:    101
{b,c}:    011
{a,b,c}: 111
Tale rappresentazione numerale e' anche una numerazione, trattandosi di uno 
sviluppo parziale dei naturali in base 2. Basta infatti riscrivere la 
successione seguendo l'algoritmo di formazione dei numerali:
{}:         0,000(...)
{a}:       0,001(...)
{b}:       0,010(...)
{a,b}:    0,011(...)
{c}:       0,100(...)
{a,c}:    0,101(...)
{b,c}:    0,110(...)
{a,b,c}: 0,111(...)
Quello che va sottolineato come essenziale e' che nel sistema di 
rappresentazione cosi' delineato ha un ruolo non accessorio anche il segno 
"(...)" [PS: lo sostituisco al periodico "(0") dei miei precedenti 
interventi, che in effetti da' luogo a qualche ambiguita' nella 
rappresentazione]. Esso e' un delimitatore di lunghezza della sequenza di 
cifre; lunghezza che limita il numero di numeri esprimibile dallo sviluppo 
dei numerali, sviluppo finito ma *potenzialmente* estendibile all'infinito. 
So che questo ti apparira' un po' troppo "ruspante" perche' poco 
formalizzato. Allora qualche definizione.
1) Chiamiamo "capacita' semantica", Cs, la capacita' di un sistema numerale 
di individuare univocamente, rappresentandoli, una successione di numeri.
2) Chiamiamo "lunghezza del numerale", L, il numero di cifre che compone il 
numerale (dopo la virgola) in un punto qualsiasi dello sviluppo finito.
3) Chiamiamo "area semantica", As, il numero di numeri effettivamente 
rappresentabili dal sistema, data una qualunque lunghezza dei numerali.
In base a queste definizioni, l'area semantica e' determinata in funzione 
della lunghezza come esponente della potenza della base: As=B^L. Cosi' se il 
sistema e' binario (0,1) As=2^L; se a base 3 (0,1,2) As=3^L ecc.
Insisto ancora su quel "(...)", il quale ha una funzione espressiva, 
*numerale*, ben precisa: quella di demarcare As in funzione di L. Non si 
tratta affatto del gioco da bambini tipo "dimmi un numero e io te ne dico 
uno piu' grande".
Mi fermo qui, per ora, sottoponendomi al fuoco delle tue obiezioni:-). Ti 
faccio solo osservare, in base a tutti i miei precedenti interventi piu' 
"ruspanti", che il procedimento diagonale di Cantor non funziona piu', a 
meno che questa mia impostazione non valga meno del due di briscola, nel 
qual caso me lo mostrerai.
Un saluto,
Loris 

 davanti non ottengo ancora una "successione infinita di 0"?
Vedi la mia risposta a te, appena inviata oggi 17 alle 11.43
Saluti,
Loris

 E allora perché io dovrei accontentarmi di dire che 0,(9) è uguale a 1?
Non si tratta di accontentarsi o meno. Si tratta di dimostrare le
implicazioni di una certa definizione.
Dopodiché qui sopra ti ho anche mostrato che quella definizione si sposa
perfettamente con l'"intuzione" secondo la quale 0,(3) è esattamente 1/3 e
0,(9) è esattamente 3 volte 1/3.
-- 
Saluti.
D. 

 ho "detto un numero".
In questa pagina:
http://www.experimentalmath.info/bbp-codes/
si trovano alcuni documenti in proposito.
Nell'articolo in formato PDF viene illustrato matematicamente un algoritmo
per il calcolo della n-ma cifra decimale di pigreco. Si tratta di un
algoritmo notevole rispetto ad altri algoritmi simili, perché esso consente
di calcolare direttamente la n-ma cifra decimale senza dover calcolare tutte
le cifre precedenti.
Quanto alla implementazione, nella stessa pagina la possiamo trovare scritta
in codice sorgente c e in codice sorgente fortran
-- 
Saluti.
D. 

 {a,b,c}: 111
No, aspetta: o elenchi gli elementi del sottoinsieme o scrivi la successione
associata al sottoinsieme.
Supponiamo di avere come insieme A l'insieme delle 26 lettere dell'alfabeto
latino esteso:
A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j... x, y, z}
Un suo sottoinsieme è dato, ad esempio, da T={a,d,h}, e tutti questi
sottoinsiemi sono elementi dell'insieme potenza P(N).
Ora, anziché definire il sottoinsieme T elencando i suoi elementi, posso
usare una "successione finita" (i matematici di solito non chiamano
"successioni" quelle finite, ma noi usiamo comunque questa terminologia per
aiutarci in seguito nella generalizzazione) costituita da una sequenza di 26
"0" e "1", e tale che l'n-mo elemento della sequenza sia "1" se la n-ma
lettera dell'alfabeto è in T, e "0" altrimenti. Ad esempio nel nostro caso
all'insieme T={a,d,h} associamo la seguente sequenza:
t = (1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
Se ora prendiamo in considerazione lo sviluppo binario dei numeri naturali,
in quello sviluppo compaiono ad esempio i seguenti:
0
1
10
11
100
101
110
....
Ora, se tu decidi di prendere questi numeri per costruire delle sequenze
aventi quelli come primi numeri, ottieni le seguenti sequenze associate ad
ognuno di essi:
0 => (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
1 => (1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
10 => (1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
11 => (1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
100 => (1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
101 => (1,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
110 => (1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
....
Come vedi i numeri 1, 10, 100 eccetera producono tutti la stessa sequenza,
così come producono la stessa sequenza 11 e 110, eccetera eccetera.
Dopo un po' le ripetizioni diventano incontrollabili, e tu finisci in un
baratro nel quale non è più possibile conservare in alcun modo alcuna
corrispondenza biunivoca fra i numeri e le loro rappresentazioni.
Invece io - come ti ho fatto vedere prima - per conservare la corrispondenza
biunivoca non ho dovuto fare altro che eliminare un insieme numerabile di
successioni.
-- 
Saluti.
D. 

 Dunque 0(9) è esattamente uguale a 1.
Rotfl! Siccome 0,(9) è 1 allora 0,(9) è 1.
Volevi dimostrarmi questo?
Beh, ci hai provato :-)
qf 

 [...]
Beh, a questo punto io non riesco più ad immaginare nessuna strada per
cercare di trovare una intesa con te. Ci ho pensato per un po', ma non mi è
venuto in mente nulla.
Ho l'impressione che le nostre posizioni siano irrimediabilmente
incompatibili, per cui - a meno che non si apra qualche spiraglio che al
momento non so nemmeno immaginare - direi di chiudere qui la discussione.
-- 
Saluti.
D. 

 Marco
ciao
Massimo 

 Sì, ottima citazione (io ho l'edizione Longanesi 1988).
Ah bene! Questo mi permette di ottenere un chiarimento. Le edizioni
Longanesi sono piu' accurate delle Newton Compton. Alla mia pagina 477, che
ho in larga parte riportato, Russell esordisce: <<"Si deve mostrare ora",
egli [Cantor] dice, "come si giunga alle definizioni...>>, ma poi non si
trova piu' dove si chiudono le virgolette, per cui non si capisce se quella
frase ("Per quanto contraddittorio sia parlare di numero massimo della
classe (1)...") sia di Russell o del Cantor citato da Russell. Puoi
risolvermi questo dubbio? Grazie.
Vengo subito alla tua domanda finale.


Se ho ben capito l'osservazione (ma non ne sono certo), rispondo cosi'.
Al periodo (a) in Ta, che geometricamente puoi intendere come un punto di 
ascissa Q[...(a)] sul quadrato di lato unitario, corrisponde biunivocamente 
il periodo (b) in Tb, che e' l'odinata di quel punto. Abbiamo allora il 
punto del quadrato Q[...(a), ...(b)]. In Tc, tabella derivata 
dall'applicazione del teorema Dq,  il periodo (ab) assicura la 
corrispondenza biunivoca di Q (punto del quadrato) con P (punto sul lato) di 
ascissa P[(...ab)]. Ovviamente Q non e' P. Ora, se P e' rappresentato in Ta 
dal reale r, con a=1 e b=0, in Ta non e' rappresentato P' da r', con a=0 e 
b=1. Se il numero reale r, che rappresenta P, appartiene a Ta, r' appartiene 
a Tb, e viceversa.
Un saluto,
Loris

.....penso che un sogno cosě
non ritorni mai piů.........
http://it.youtube.com/watch?sitesearch=&eurl=http%3A%2F%2Fvideo.google.it%2Fvideosearch%3Fq%3Dquando+tramonta+il+sol&v=Z-DVi0ugelc
8o))) 

 8o)))
mi sa che lui voleva un pezzo della mia famosa torta
di qualche post fa..... qf voleva il resto dei 3/3.
Qf...... 3/3 = 1? Guarda che se è sì Davide ha ragione
a vendere. Altrimenti devi scrivere 3/3 circa 1
in quanto 0,3_ + 0,3_ + 0,3_ non da 1 ma questa
è metamatematica.
Differente invece è il problema di dare un posto
a un nuovo ospite in un Hotel di stanze infinite tutte
occupate.
Ci tocca spostare l'ospite della 1 nella 2, l'ospite
della 2 nella 3 e così via per poi far accomodare
il nuovo ospite nella 1.
Il problema di infinito si risolve a monte non a valle
perchè a valle c'è il problema dell'intorno dell'insieme.
ciao a tutti
Massimo

 di ascissa P[(...ab)]. Ovviamente Q non e' P.
D'accordo. Il teorema Dq garantisce la corrispondenza biunivoca di Q (che č
un punto di R^2 i cui punti-ascissa e punti ordinata hanno rispettivamente
periodo (a) e periodo (b)) con il punto P (che č un punto di R la cui
ascissa ha periodo (ab)). P, che appartiene alla tabella Tc costruita
sfruttando Tq, non č Q.
Ma - come dicevo - P appartiene a Tc, e cioč non appartiene né a Ta (che
contiene solo numerali con periodo (a) né a Tb (che contiene solo numerali
con periodo (b)). O no?
Quello che voglio capire, cioč, č se a Ta appartengono *tutti e soli* i
numerali dei tipo '0,...(a)', e a Tb appartengono *tutti e soli* i numerali
del tipo '0,...(b)' (dove al posto dei punti sospensivi ci puň essere o
niente, oppure una qualunque sequenza finita di 'a' e di 'b'). Se č cosě,
allora un numerale del tipo '0,...(ab)' non appartiene né a Ta né a Tb, e la
tabella Tc serve anche a dare una rappresentazione ai numeri di periodo
(ab).
Se le cose stanno cosě, allora il senso complessivo della tua dimostrazione 
(che vuole falsificare il metodo diagonale come metodo in grado di costruire 
un numerale non rappresentabile in una successione, e dunque come metodo in 
grado di esibire, per costruzione, la non numerabilitŕ dei reali) sarebbe il 
seguente:
i numerali che figurano in Ta ed in Tb possono essere messi in 
corrispondenza biunivoca con gli elementi di una tabella Tc; i numerali 
costruibili con il metodo diagonale sono in Tc, in virtů della 
corrispondenza biunivoca, sempre garantita dal teorema Dq, tra i punti di 
coordinate [...(a), ...(b)] ed i punti di ascissa [...(ab)]; dunque tutti i 
numerali presenti in Ta e Tb, e tutti i numerali costruibili su Ta e Tb 
mediante il metodo diagonale, sono in corrispondenza biunivoca con i 
naturali.
Come tu stesso dicevi in una risposta a Davide, il tuo teorema, se fosse 
valido, non garantirebbe la numerabilitŕ dei reali, ma solo la non 
falsificabilitŕ di essa attraverso il metodo diagonale. Ma allora dovremmo 
domandarci se esiste un'altra regola in grado di costruire numerali non 
rappresentabili in una successione?
Un saluto,
Marco 

 esserci messi d'accordo su questa prima parte.
E fin qui, su tutta la prima parte (che ho dovuto tagliare per via dei 
capricci del robomo.), siamo senz'altro d'accordo; accolgo le tue 
precisazioni.
A questo punto pero', leggendo il resto del tuo post, trovo un paio di
grossi ostacoli, due questioni da approfondire. Vado subito alla prima di
esse e, per non mettere troppa carne al fuoco (oltre che per questioni di
tempo), ti esporro' la seconda in un post separato, anche perche' piu'
impegnativa e lunga da esporre.



Ecco la prima difficolta'. Col numero 0,3278491556(9) procedi come hai
detto. Ok.
Adesso prendiamo un numero irrazionale qualsiasi, come p.e. 0,4142135...,
cioe' SQR(2)-1.
Prendi "4", la prima cifra decimale. 0,4 e' esprimibile come 0,3(9). Prendi
la seconda e 0,41 e' dato da 0,3(9)+0,00(9). Prendi la terza e 0,414 e' dato
da 0,3(9)+0,00(9)+0,003(9)... ecc.. Ora, se operi come fai tu, devi togliere
dall'insieme non numerabile tutti gli addendi di questa somma. Ma se 0,3(9)
equivale a 0,4, 0,00(9) a 0,01 ecc., allora dall'insieme togli anche
0,4142135... Operando cosi' per ogni irrazionale, l'insieme non numerabile
non rimane vuoto?
Un saluto,
Loris

 non rimane vuoto?
Ma il concetto di una operazione su *ogni* irrazionale, non ripropone la 
questione della numerabilità o meno degli irrazionali? Se gli irrazionali 
sono (come sono) non numerabili, le operazioni sugli irrazionali sono 
numerabili o non numerabili? Se sono numerabili, allora la corrispondenza 
biunivoca tra operazioni sui razionali ed i razionali implica la 
numerabilità dei razionali.
Un saluto,
Marco 

 detto. Ok.
Devo fare un'altra precisazione. Io per primo mi espimo in modo ambiguo, e a
volte chiamo "numero" una espressione come "0,3278491556(9)". In realtà
questa è solo una "rappresentazione", o - se vogliamo - una "stenografia",
la quale ci dice che stiamo parlando di quel certo numero avente come n-ma
cifra decimale eccetera eccetera.
Ora, se vogliamo chiamare "numero" una "rappresentazione stenegrafica",
dovremmo prima aver fatto in modo che le nostre rappresentazioni
stenografiche stiano in corrispondenza biunivoca con i numeri, perché solo
in questo caso ad ogni rappresentazione stenografica corrisponde uno
e un solo numero.
Noi qui però stiamo discutendo proprio della possibilità di realizzare
questa corrispondenza biunivoca, per cui dovremmo evitare di dire che che
"0,3278491556(9)" è un "numero". Dovremmo dire, al limite, che quella
espressione individua un certo numero, il che non esclude che quello stesso
numero possa essere individuato da qualche altra rappresentazione. E se io
per primo a tratti mi sono espresso in modo ambiguo, questo non significa
che facciamo bene ad essere ambigui in due. Meglio correggerci a vicenda,
soprattutto quando ci sembra che il contesto possa essere ambiguo.
Dunque, ricapitolando, noi abbiamo due insiemi: 1) l'insieme di tutte
le successioni di cifre decimali, e 2) l'insieme di tutti i numeri reali.
E siccome ci siamo accorti che diverse successioni di cifre decimali possono
individuare lo stesso numero, allora dall'insieme di quelle successioni
vogliamo eliminare i "doppioni", in modo tale che poi quell'insieme possa
essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri reali.
E ciò che cercavo di dire con tutto il discorso un po' confuso che ho fatto
nel post precedente, è che le successioni di cifre decimali che hanno "tutti
9 da un certo punto in poi", possono essere associate alle successioni che
hanno "tutti 0 al posto di tutti 9". Così, ad esempio, la successione
"0,3278491556(9)" sta in corrispondenza con la successione
"0,3278491556(0)". Dunque le successioni con "tutti 9 da un certo punto
in poi" sono tante quante sono le successioni con "tutti 0 da quel punto in
poi".
Quante sono queste successioni?
È qui che tiriamo in ballo la corrispondenza fra le successioni ed i numeri,
perché sappiamo che ogni successione con "tutti 0 da un certo punto in poi",
come ad esempio "0,3278491556(0)", sta in corrispondenza con uno e un solo
numero *razionale*, e come rappresentante di un numero razionale quella
successione viene solitamente scritta senza lo "(0)". Dunque le successioni
di decimali con "tutti 9 da un certo punto in poi" sono tante quanti sono i
*numeri razionali*, e siccome sappiamo che questi sono numerabili allora le
successioni che dobbiamo togliere dall'insieme di tutte le successioni
possibili sono numerabili.
Ma, sia ben chiaro, noi qui stiamo eliminando delle successioni di decimali
dall'insieme di tutte le successioni di decimali, e non stiamo affatto
togliendo dei numeri dall'insieme dei numeri reali, ché se facessimo una
cosa del genere poi verrebbe a mancare la corrispondenza biunivoca fra i
reali e la retta, oppure sulla retta comparirebbero dei "buchi".
Spero che questo chiarimento risponda alla obiezione che mi hai avanzato.
In caso contrario ti pregherei di riformularla tenendo ben distinto
l'insieme delle successioni/rappresentazioni da quello dei numeri.
-- 
Saluti.
D. 

 non ritorni mai piů.........
Cos'č che trovi tanto divertente?
-- 
Saluti.
D. 

 corrispondenza biunivoca fra i numeri e le loro rappresentazioni.
Spero di essermi salvato da questo baratro:-)
Ma non e' ancora questa la difficolta' piu' impegnativa che volevo
sottoporti.
Le obiezioni che hai mosso sopra sono eliminabili radicalmente operando
sulla parte intera dei numeri, invece che sulla parte decimale dopo la
virgola. Come segue.
Prendiamo la successione contestata
0,0
0,1
0,10
0,11
0,100
0,101
0,110
.........
Riscriviamola cosi':
  0,0
  1,0
  10,0
  11,0
100,0
101,0
110,0
.........
Lo sviluppo naturale degli interi. Se nella parte a destra della virgola
persisteva qualche ambiguita', adesso non ce n'e' nessuna. Ma, visto che
stiamo sempre parlando di *numerali* e non di numeri, possiamo certamente
ricostruire la parte decimale "ricopiando" ogni segno che si trova nella
posizione data dalla riga n-esima e dal posto m-esimo *a sinistra* della
virgola nella posizione riga n-esima e posto m-esimo *a destra* della
virgola. Possiamo dunque operare tranquillamente sulla parte intera, sicuri
che a ogni segno di intero corrispondera' eguale segno di decimale. Ma ecco
adesso la questione, di natura ben piu' generale, perche' finisce per
coinvolgere le ordinarie operazioni sui numeri, sollevando le questioni su
cui insiste Qf, in particolare i sempiterni paradossi di Zenone. (Per
inciso, mi fa piacere che Qf si sia riconciliato con lui:-)).
Prendiamo, sulla successione dei naturali, la seguente sequenza
potenzialmente infinita:
A: 2^0, 2^1, 2^3,..., 2^n
poi la corrispondente decimale:
B: 1/(2^0), 1/(2^1), 1/(2^3),..., 1/(2^n)
Le due sequenze sono in corrispondenza biunivoca, l'ho appena costruita
cosi'.
Ora, sappiamo che, come insegnano i matematici, 1/(2^n) tende a 0:
1/(2^n)-->0.
Se moltiplichiamo un elemento della sequenza per il suo corrispondente
biunivoco, (2^x)*(1/(2^x)), per ogni x si ottiene 1. Questo passaggio al
limite di 1/(2^n)-->0 ci permette di risolvere il paradosso di Achille e la
tartaruga. Ma, se vogliamo mantenere la corrispondenza biunivoca appena
creata tra naturali e decimali, non dobbiamo operare un analogo passaggio al
limite dalla parte dei naturali? Infatti si dice che 2^n tende all'infinito,
che nomineremo con "@": 2^n-->@. Il segno "@" indica l'infinito *attuale*,
esattamente come lo "0" in 1/(2^n)-->0 indica uno 0 attuale. Ma
moltiplicando @*1/0 non otteniamo piu' l'unita', ma un'espressione insensata
al di fuori di ogni logica umana di cui io sia a conoscenza. Dobbiamo allora 
rinunciare alla biunivocita' di A e B, o all'infinito attuale?
Dice Russell che il paradosso di Zenone e' risolvibile come lo e' quello di 
Tristram Shandy. Quest'ultimo narra, ricordo a chi non lo ricorda, che 
Shandy impiego' 2 anni a scrivere la storia dei primi 2 giorni della sua 
vita, per cui si lagnava che di quel passo non avrebbe mai finito di 
scrivere la sua autobiografia. Non e' logicamente vero, dice Russell: se 
Shandy vivesse per l'eternita', finirebbe l'autobiografia, perche' per ogni 
giorno della sua vita corrisponderebbe biunivocamente un anno per 
raccontarlo. Lo stesso paradosso di Zenone, ma rovesciato. Perche' allora 
far valere una biunivocita' temporale per Shandy, e toglierne una spaziale 
alla povera tartaruga, eternamente umiliata dal pie' veloce Achille?
Un saluto,
Loris

 Prendiamo ora T={0}
Un attimo: ora stai usando una notazione "mista" di cui non mi è chiaro
il senso.
Avevamo deciso di considerare i seguenti due insiemi:
1) da una parte l'insieme di tutte le sequenze di "0" e "1";
2) dall'altra l'insieme dei sottoinsiemi dell'insieme delle lettere
dell'alfabeto.
Dunque se A è l'insieme delle lettere dell'alfabeto:
A = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j... x, y, z}
un suo sottoinsieme T è un insieme di lettere dell'alfabeto, come può essere
ad esempio T={a, h, p}.
Supponi ora di voler spiegare a un tuo amico quali lettere dell'alfabeto hai
"scelto", usando solo una sequenza di "0" e "1", secondo una certa
convenzione sulla quale vi siete accordati.
Ora, se il tuo amico fosse certo che tu hai scelto solo una lettera
dell'alfabeto, potreste accordarvi per scambiarvi la posizione di quella
lettera nell'alfabero, scritto in base due. Ad esempio se la lettera fosse
la "d", che è la quarta, tu non dovresti fare altro che inviargli il numero
quattro scritto in base due, cioè la sequenza "100".
Tuttavia tu e il tuo amico non state cercando una convenzione per scambiarvi
delle singole lettere, ma state cercando una convenzione per scambiarvi
degli insiemi di lettere, cioè degli elementi dell'insieme P(A). Egli non
può essere sicuro che tu abbia scelto una sola lettera, e in genere ciò non
è vero. Tu potresti aver scelto, ad esempio, T={a, c, g, u}.
Ebbene, come faresti a stabilire una convenzione in base alla quale dirgli
*con una sola sequenza* di "0" e di "1" che hai scelto ben quattro lettere e
che le lettere sono proprio quelle e non altre?
Ecco, la proposta di Cantor è di usare la seguente convenzione: gli invii
una sequenza nella quale si trovano degli "1" in corrispondenza delle
lettere che hai scelto, e degli "0" in corrispondenza di quelle che non hai
scelto. Così per codificare T={a, c, g, u} dovresti inviargli la seguente
sequenza:
t = (1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0)
Stando a questa convenzione, se tu invii al tuo amico semplicemente "1",
quello potrebbe risponderti che c'è un errore, che si aspettava una sequenza
di 26 cifre binarie e invece gliene è arrivata una sola. Altrimenti potrebbe
fare uno sforzo di immaginazione, e supporre che tui gli abbia inviata solo
la prima perché tutte le altre sono nulle, nel qual caso egli capirebbe che
tu stai parlando di T={a}.
Ma se poi tu, dopo avergli inviato "1", gli invii anche "10" e "100", a quel
punto egli non sapra più cosa pensare, e dovrà dirti che le successioni che
gli stai inviando non corrispondono al codice sul quale vi eravate
accordati. Oppure proverà ancora a lavorare di fantasia, ipotizzando che
anche in questo caso tu abbia evitato di inviare una sequenza di "tutti 0",
nel quale caso però egli concluderà che "1", "10" e "100" sono delle forme
abbreviate di scrivere la medesima successione, cioè la seguente:
t = (1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)
la quale corrisponde al singoletto T={a}.
-- 
Saluti.
D. 

 costruire numerali non rappresentabili in una successione?
Possiamo domandarcelo. Ma ogni criterio possibile di rimpiazzamento dei 
simboli non puo' essere casuale (altrimenti non garantirebbe la validita' 
del procedimento diagonale); deve essere una regola. Per ogni regola 
possibile x e' possibile costruire una Tx che annulla l'antidiagonale. Il 
solito teorema Dq, applicato a un solido di x dimensioni fa il resto.
Un saluto,
Loris

 convenzione sulla quale vi siete accordati.
Scusami Davide, ma non capisco come possa ancora non essere chiaro. 
Certamente e' colpa mia.
Se voglio inviare al mio amicoT={a, c, g, u}, secondo il tuo esempio piu' 
sotto, gli invio questa sequenza di cifre:
10100010000000000000100000, che individua univocamente l'insieme.
 Un numerale binario di tante cifre quante sono le lettere dell'alfabeto A = 
{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j... x, y, z}, che abbiamo convenuto di usare. 
Se poi, invece di lettere e insiemi di lettere, vogliamo comunicare numeri e 
insiemi di numeri, e' del tutto e altrettanto convenzionale la base numerica 
sulla quale tale numerale binario viene "tradotto". Comunichero' in base a 
questo protocollo:
1) un numero di cifre concordato, grande a piacere; al limite infinito, 
ammesso che fossimo dotati di immortalita';
2) la base concordata su cui "tradurre" la sequenza binaria in numerali che 
rappresentano i numeri naturali.
Cosi' se io invio al mio amico una stringa di 10000 caratteri (perche' ci 
siamo accordati su questa lunghezza), una stringa cosi' "...10000", con 9995 
"0" al posto dei puntini,, il mio amico sapra' che gli ho comunicato il 
numero 101 in base 2, il numero 16 in base 10, 10 in base 16, G in base 
21... Se poi gli comunico "...10100", capira' che si tratta dell'insieme 
{11, 101} in base 2, dell'insieme {16, 4} in base 10, {10, 4} in base 16, 
{G, 4} in base 21... a seconda della base che abbiamo scelto per 
rappresentare i numeri naturali.
Un saluto,
Loris

 Cos'è che trovi tanto divertente?
.....la seriosità del congedo. 

 rappresentare i numeri naturali.
Noooo fermo! A quest'ora mi sono impappinato di brutto!
Correggo tutto e semplifico pure.
Cosi' se io invio al mio amico una stringa di 10000 caratteri (perche' ci
siamo accordati su questa lunghezza), una stringa cosi' "...10000", con 9995
"0" al posto dei puntini,, il mio amico sapra' (perche' "l"  e' la quinta 
cifra da sinistra), che gli ho comunicato il
numero 101 in base 2, il numero 12 in base 3, 11 in base 4,...
Se poi gli comunico "...10100", capira' che si tratta dell'insieme
{11, 101} in base 2, dell'insieme {12, 10} in base 3, {11, 3} in base 4... a 
seconda della base che abbiamo scelto per rappresentare i numeri naturali.
Pardon.
Saluti,
Loris

 cifra da sinistra),
Si', buona notte". La quinta da *destra*!
Meglio che vada a letto.
Buona notte

 inciso, mi fa piacere che Qf si sia riconciliato con lui:-))
E' cosě.
Il discorso sulla confusione fra il tempo della descrizione e il tempo 
dell'evento lo credo sempre valido, ma marginale rispetto ai contenuti 
parmenidei della posizione di Zenone. Non credo neppure che la convergenza 
della serie c'entri con (o risolva) ciň che egli intendeva dire. Del resto 
anche lui sapeva dividere una torta secondo una serie geometrica, quindi 
certamente il problema che poneva non č quello. Non credo che fosse ingenuo. 
Il suo problema non era aritmetico ma logico.
E' ragionando sulla difficile questione del tempo che mi sono ritrovato a 
riflettere su Zenone e su nonno Parmenide.
'notte
qf

 ...............             .......................
Ora, come ho cercato di spiegare in precedenza, ci sono un sacco di cose che
non mi stanno bene di queste tabelle, e proprio discutendo di ciò che non mi
stava bene siamo arrivati al punto in cui siamo arrivati.
Proviamo a concentrarci, ad esempio su "0,1(0)" e "0,10(0)".
Cominciamo col prenderle come semplici successioni di "0" e "1", nel qual
caso ci interessa ciò che viene dopo lo "0,", perché lo "0," è uguale per
tutti.
Ebbene, come è fatta la successione "1(0)"? A me sembra di poter dire che
essa è una successione b(n) di cifre binarie che vale "1" quando n=1 e vale
"0" per n>1.
E la successione "10(0)"? A me viene ancora da dire che è una successione
b(n) di cifre binarie che vale "1" quando n=1 e vale "0" per n>1. Dunque è
ancora la successione precedente: sono due modi di "stenografare" la stessa
successione.
Se poi quelle successioni le vogliamo intendere come rappresentazioni di
numeri, allora "0,1(0)" è questo numero:
    1*1/2 + 0 = 1/2
mentre "0,10(0) è questo numero:
    1*1/2 + 0 + 0 = 1/2
che è ancora il precedente.
Dunque, sia che le si consideri come semplici successioni di cifre binarie,
sia che le si consideri come rappresentazioni di numeri, a me sembra proprio
che "0,1(0)" e "0,10(0)" siano "la stessa cosa".
Perché allora tu dici che non è così?
==========
Mentre rifletti sulla domanda che ti ho posto qui sopra, provo a farti
vedere quello che mi sembra un altro punto debole della tua idea di
"mettere le rappresentazioni dei naturali dopo la virgola". Per farlo
lasciami tornare in notazione decimale.
L'idea sarebbe quella di partire così:
    1
    2
    3
    ...
    10
    11
    12
    ...
    100
    101
    102
    ...
e, a mano a mano che si procede nella numerazione, costruire i
corrispondenti numeri decimali:
    0,1
    0,2
    0,3
    ...
    0,10
    0,11
    0,12
    ...
    0,100
    0,101
    0,102
    ...
Ora, in tutta la discussione che si è svolta in questi giorni, io ho cercato
sistematicamente di eliminare la vaga nozione di "infinito" per sostituirla
con qualcosa che fosse "alla nostra portata". E ciò che ho trovato alla
nostra portata è stata il "per ogni n". Così io non dico che abbiamo
"infinite cifre decimali", ma dico che abbiamo una successione che ad ogni
numero naturale n (che ovviamente è "finito", poiché tutti i numeri naturali
sono "finiti", e non si capisce cosa potrebbe essere un "numero naturale
infinito") che ad ogni n - dicevo - associa una certa cifra decimale. Dunque
io ti dico: pensa un numero qualunque n, ed io ti dirò qual è la n-ma cifra
decimale. E quando ti avrò fornito una "ricetta" per rispondere a questa
domanda per ogni n, allora ti avrò detto tutto ciò che c'è da sapere su un
certo numero reale.
Dunque, come vedi, io ho evitato come la peste l'"infinito", per non parlare
di "infiniti attuali" (che salterebbero fuori dalla pretesa di scrivere per
intero una riga di quella tabella) o di "transfiniti". Niente di tutto
questo: io continuo a dire solo "per ogni n".
Tornando dunque alla nostra numerazione, a facendo finta di non vedere
l'enorme problema dei "doppioni" che secondo me non abbiamo ancora risolto,
ti faccio notare che continuando a contare tu non puoi fare altro che
continuare a produrre numeri finiti, con un numero finito di cifre decimali.
È vero che tu non incontri mai un numero N tale che dopo N non si possa più
contare, ma ciò non toglie che ogni numero che tu possa contare non può che
essere un numero finito.
Ne viene che andando avanti con il conteggio e mettendo quei numeri "dopo
la virgola" non potrai fare altro che produrre dei numeri con un numero
finito
di cifre decimali. Anche quando, dopo qualche anno passato a contare, tu
arriverai a contare questo numero:
    34565432897654322345612874539987
non potrai fare altro che aggiungere questo numero nell'intervallo [0,1):
    0,34565432897654322345612874539987
Dunque continuando a contare tu non potrai fare altro che continuare ad
aggiungere dei *numeri razionali*. In altri termini, *per ogni n che
conterai*, tu aggiungerai sempre e soltanto un numero razionale. E questo,
lo ripeto, *per ogni n*. E tu non potrai fare altro che contare *qualche n*.
Visto che tu hai una profonda avversione per l'"infinito attuale", spero che
non vorrai venirmi a dire che da un certo punto in poi potrai metterti a
contare, che so, i "transfiniti", e continuare a contarli fino a contarli
tutti. Perché è qualcosa del genere che dovresti fare per "riempire il
segmento".
Dunque continuerai ad aggiungere dei numeri *razionali*, cioè dei numeri
con un numero finito di cifre decimali. O, se prefirisci, con un numero
finito di cifre decimali diverse da 0, poiché possiamo anche pensare che i
numeri razionali abbiano "tutti 0 da un certo punto in poi".
Ma lì in mezzo a tutti i numeri razionali ci sono belli "densi" dei
numeri che hanno "infinite cifre decimali".
Anche in questo caso dobbiamo togliere quel "infinito", e ho già detto come
fare:
1) si dice che ad ogni numero *reale* è associata una successione, cioè una
    relazione che *ad ogni n* associa una certa cifra decimale;
2) dopodiché i *razionali* sono quelli associati ad una successione che da
    un certo n in poi è costitituita da "tutti 0";
3) mentre se non c'è un n tale che da quel n in poi la successione è
    costituita da "tutti 0", allora abbiamo un numero reale *irrazionale*.
Ebbene, come dicevo poco fa, questi dannati irrazionali sono "densi", nel
senso che dati due numeri qualunque c'è sempre un irrazionale lì in mezzo.
E nonostante essi siano densi, noi abbiamo visto che per quanto tu possa
procedere con la tua numerazione, cioè "per ogni n che conterai", non
riuscirai ad aggiungerne nemmeno uno.
Essi sono rappresentabili da successioni che si lasciano descrivere con il
"per ogni n", ma nessuna di queste successioni è raggiungibile da te "per
qualche n". Perché per poter "contare le successioni" tu dovresti "finire di
contare i numeri naturali" e poi metterti a "contare dei transfiniti".
Come vedi qui sono io che mi tengo ben stretti i "cari vecchi numeri
naturali", e mi limito a dire "per ogni numero naturale", mentre tu stai
cercando di vagare nell'empireo dell'infinito e dell'infinito attuale, come
se stessi giocando a trans-briscola con Dio in persona :-)
Tu stai cercando di *fare concretamente* ciò che Cantor *ipotizza solo per
assurdo di poter fare*, per dimostrare subito dopo che da quella ipotesi
salta fuori una contraddizione.
-- 
Saluti.
D. 

 Lo stesso paradosso di Zenone, ma rovesciato.
E infatti così non sono risolti né l'uno né l'altro, perché il 'lim' che fa 
finta di risolverlo in realtà maschera proprio un procedimento sul finito, 
ossia alla Zenone, il quale ci frega tutti ancora una volta :-)
Cari ragazzi, niente brodo di tartaruga neanche oggi.
Ciao
qf 

 Cari ragazzi, niente brodo di tartaruga neanche oggi.
Solo gli angeli di Cantor si cibano giornalmente di brodo di tartaruga. Io 
amo le tartarughe, per questo li odio:-)
Cari saluti,
Loris

[...] Perché allora tu dici che non è così?
Considerate il mio come un intervento a margine della vostra discussione, 
che tra l'altro si richiama ad una osservazione già fatta a Davide. In 
sostanza Davide prende "0,1(0)" e "0,10(0)"  e, domandandosi se sono o meno 
dei segni grafici che stanno per uno stesso numero, fa due cose:
1. prima li considera (nella loro parte decimale) come due successioni di 
"0" e di "1".
2. poi li considera come due rappresentazioni numerali.
e si domanda se da 1. o da 2. si possa ottenere la differenza tra "0,1(0)" e 
"0,10(0)".
Nel caso 1. tale differenza ci sarebbe, in generale, solo se, date le due 
successioni di termini a(n) e b(n), si avesse che esiste un n per cui a(n) 
differisce da b(n). Ma, nel caso di "0,1(0)" e "0,10(0)" si vede che non 
esiste alcun n tale che a(n) sia differente da b(n).
Nel caso 2. la differenza ci sarebbe solo se, in generale, date le 
rapprentazioni numerali binarie a="0,a1a2a3..." e b="0,b1b2b3..." (gli a_k e 
i b_k assumono dunque valori su (0, 1)), si avesse che 
N[a]=(a1*1/2)+(a2*1/2^2)+...(an*1/2^n)+... differisse da 
N[b]=(b1*1/2)+(b2*1/2^2)+...(bn*1/2^n)+...
Ma nel caso di "0,1(0)" e "0,10(0)" si vede nuovamente che nemmeno questo 
criterio è in grado di produrre la differenza.tra N[0,1(0)] ed N[0,10(0)] 
cioè, tra i due numeri rappresentati da "0,1(0)" e "0,10(0)".
Dunque, per quanto riguarda 1. la conclusione è che si tratta delle medesime 
successioni "stenografate" in modo differente: la differenza grafica tra le 
"stenografie" non intercetta una differenza tra le successioni stenografate; 
per quanto riguarda 2., la conclusione è che le due successioni numerali di 
cifre binarie in questione non rappresentano numeri differenti, ma 
rappresentano il medesimo numero: la differenza grafica tra le 
rappresentazioni numerali non intercetta una differenza tra i numeri 
N[0,1(0)] ed N[0,10(0)] rappresentati.
Ma a questo punto consideriamo "0,p(q)" come composto, nella sua parte 
decimale, da una qualunque successione finita p, chiamata "antiperiodo", di 
cifre binarie, e da una ripetizione infinita q, chiamata "periodo", di una 
certa sequenza (al limite composta di un unico termine) di cifre binarie. 
Sappiamo passare da un sistema numerico ad un altro. Ad esempio, sappiamo 
che "1" è la rappresentazione binaria di quel numero che in base decimale è 
rappresentato da "1", e che "10" è la rappresentazione binaria di quel 
numero che in base decimale è rappresentato da "2". Da qui otteniamo, 
tramite le corrispondenze biunivoche degli antiperiodi, le corrispondenze: 
"0,1(0)"-->"0,1(0)" e "0,10(0)"-->"0,2(0)".
Ma allora il passaggio - tramite le corrispondenze biunivoche degli 
antiperiodi - da un sistema numerico ad un altro, non preserva l'identità 
del numero rappresentato?
Un saluto a tutti,
Marco
 

 L'infinito attuale non e' pane per denti umani.
Nelle mie incombenze di spaccapalle di tecnici elettrici e info-elettrici 
devo talvolta tenere lezioni di matematica, e in tal caso mi faccio un punto 
d'onore di trombare clamorosamente quelli che affermano che 1/0=infinito 
oppure che 1/infinito= zero. Quando sono di buon umore raccomando loro di 
non dire cazzate o di occuparsi, ma subito e di corsa, della loro naturale 
regolarità :-))
Di converso, per far capire come funziona la faccenda, chiedo loro di 
scrivere, per esempio, la successione 1/1, 1/10, 1/100, 1/1000 ecc. per 
intuire **dove si tende** continuando ad aumentare il denominatore, per 
decadi o no. Si **tende** a zero, ovviamente. Ma mai ci si arriva, così come 
mai si arriva a un valore finito facendo crescere indefinitamente 'n' 
nell'espressione (1+1/n)^n, benché l'entità 'e' per noi, elettricisti 
dentro, sia praticamente sacra.(*)
(*) e^(PiGreco*i) = -1 non è forse un'affermazione eulerianamente divina?
Amen :-)
qf

 le corrispondenze: "0,1(0)"-->"0,1(0)" e "0,10(0)"-->"0,2(0)".
Osserverei che in generale dalla successione di cifre che rappresenta un
numero in una certa base *non si può estrarre una sottosuccessione di
cifre e convertire solo quella*, se non in alcuni casi particolarissimi.
Il discorso sarebbe un po' lungo, ma per tagliare la testa al toro lasciami
fare un semplice controesempio, prendendo una delle conversioni che fai tu:
    binario --> decimale
    "0,10(0)"-->"0,2(0)"
Ora, noi sappiamo che quel numero intero che in base due si scrive "10"
in base dieci si scrive "2". Questo significa forse che quando nella
rappresentazione in base due di un numero qualunque compare da qualche
parte un "10", allora possiamo dire che nella rappresentazione in base dieci
al posto di quel "10" compare "2"?
Per rispondere a questa domanda cerchiamo di capire se quelle che hai
scritto qui sopra sono effettivamente due rappresentazioni in basi diverse
dello stesso numero.
La notazione binaria, come abbiamo visto, è una "stenografia" per scrivere
la seguente somma:
    1*1/2 = 1/2 (in base dieci)
mentre quella decimale è una "stenografia" per scrivere questa somma:
    2*1/10 = 2/10 = 1/5 (in base dieci)
Si tratta evidentemente di due numeri diversi.
Per fare la conversione bisogna "uscire dalla stenografia" e applicare le
definizioni. In questo caso si tratta di cercare quel certo numero x tale
che:
    1*1/2 = x*1/10
dopodiché ciò che in base due si scrive come 0,1 in base dieci si scriverà
come 0,x. Con un calcolo elementare si vede subito che in questo caso è
    x = 5
per cui il numero che in base due si scrive 0,1 in base dieci si scrive 0,5.
Questo ovviamente non significa che tutte le volte che incontriamo un "1" in
base due volendo passare in base dieci al suo posto si deve mettere un "5".
Infatti a questo punto dovrebbe essere chiaro che la conversione da una base
ad un'altra è un processo "olistico", che coinvolge "tutto il numero"
(tranne casi particolari, di cui eventualmente possiamo discutere in
seguito).
Una verifica di questo fatto la si può ottenere facendo un po' di prove
con un convertitore, come ad esempio questo:
http://www.mathsisfun.com/binary-decimal-hexadecimal-converter.html
Inserendo "0.1" nel campo "Binary" si vede apparire "0.5" nel campo
"Decimal", ma questo non significa certo che qualunque "1" si scriva nel
campo "Binary" viene trasformato in un "5" nel campo "Digital".
-- 
Saluti.
D. 

[...]
Perfetto, hai ragione. Come dici, la conversione da una base ad un'altra è 
un procedimento "olistico". La rappresentazione, in una certa base numerica 
B', del numero rappresentato da una certa sottosuccessione di cifre di un 
numerale in una certa altra base numerica B, non necessariamente occorre 
nella rappresentazione, in B', del numero rappresentato da tutto il 
numerale.
Ora, prendiamo "0,p(q)", definito nel modo in cui avevo fatto nella mia 
precedente risposta, con la differenza che p e q stanno per un'unica cifra. 
Assumiamo pure, per cercare di complicare le cose, che p e q siano cifre 
differenti. Scriviamo:
0,p(q)
0,pq(q)
0,p(qq)
0,pq(qq)
In particolare osserviamo che l'ultima scrittura differisce dalla prima sia 
per il periodo che per l'antiperiodo.
In base alla sintesi di quello che hai finora detto, si deve dire che - 
chiamiamo D come "Davide" questa affermazione:-) - abbiamo scritto lo stesso 
numero, e che questa "stessità" del numero scritto è preservata dal 
passaggio da una base numerica ad un'altra base?
Adesso, riguardandomi il post di Loris del 14.08 ore 14.32, leggo questo 
brano, che intendeva costituire una obiezione alla tua affermazione che 
0,1(0)=0,10(0):
<<Non e' cosi', perche' la tabella non e' costituita da numeri, ma da 
numerali: 0,1(0) e' diverso da 0,10(0) come, trasformando in sistema 
decimale, 0,1(0) e' diverso da 0,2(0)>>.
Possiamo allora dire che questa obiezione di Loris si fonda sulla negazione 
di D? (in particolare, sulla presunzione che la negazione che "0,1(0)" e 
"0,10(0)" rappresentino lo stesso numero, sia avvalorata dalla non 
preservazione, per sostituzione della base numerica, della "stessità" del 
numero rappresentato).
Un saluto,
Marco

 successione.
L'equivoco e' sempre nella non netta distinzione tra numeri e numerali. 
Questi ultimi hanno a che fare solo e solamente con la *rappresentazione* 
dei numeri, la quale obbedisce solo a una legge combinatoria dei segni, che 
poi e' quella della formazione dei naturali (in qualsiasi base della 
rappresentazione) che tiene conto sia del segno che della *posizione* del 
segno in una sequenza di segni. E il procedimento di Cantor e' una 
dimostrazione basata sui segni (*"caratteri mutualmente esclusivi"*"), tanto 
che se io scrivo questa tabella
0,1111
0,1111
0,1111
0,1111
dove i caratteri dopo 0 sono tutti eguali, al procedimento diagonale non 
importa nulla che lo siano e costruisce l'anti-diagonale 0,0000.
Stiamo parlando in questo contesto, dove "01" non e' "10" e neppure "10" e' 
"100". Nemmeno "1(0)" e' lo stesso numerale di "10(0)", nemmeno qualora 
indicassero lo stesso numero, perche' l'antiperiodo "1" non e' l'antiperiodo 
"10" e il periodo e' un segno come un altro. Il problema e' nei numeri e 
*non* nei numerali. Vogliamo che sia chiaro che due numerali non indicano lo 
stesso numero? Va bene, allora accetta la proposta che ti ho gia' fatto; 
invece che ragionare sui decimali ragioniamo sugli interi:
...0000001,0
...0000010,0
...0000011,0
.....................
Poi "trasferiamo" uno ad uno tutti i segni, cominciando dal primo a 
sinistra, a destra della virgola in modo da ottenere
0,...0000001
0,...0000010
0,...0000011
.....................
Non sono tutti diversi e la sequenza di sequenze di segni numerabile? 
(Preferisco parla di "sequenza" di segni, per distinguerla da una 
"successione" di numeri)
Un saluto,
Loris

 del segno in una sequenza di segni.
Mi dispiace, mi dispiace davvero, ma io non riesco proprio a capire il senso
del passaggio che ho appena quotato. Se lo dovessi scrivere in un'altra
lingua non saprei scrivere nemmeno la prima parola della traduzione.
Proviamo a mettere da parte tutto ed a concentrarci solo su un oggetto.
Ad esempio quando nomino una «successione di "0" e di "1"», e dico che
si tratta di una relazione che ad ogni numero naturale n associa o "0" o
"1", per te è chiaro il senso di ciò che dico? Lascia stare i numeri, i
numerali, e tutto il resto, e concentrati solo sul concetto che ho appena
cercato di esprimere. È un concetto che ti è chiaro, oppure anche tu -
come me - ti trovi smarrito e non hai idea di cosa io stia parlando?
Se la tua capacità di venire incontro a me è migliore della mia capacità di
venire incontro a te, e ciò che ho appena detto ti risulta comprensibile,
allora proviamo assieme a definire degli "algoritmi" che possano "generare"
una successione di "0" e di "1".
Ad esempio potremmo metterci d'accordo che tutte le successioni che
da un certo n in poi sono costituite da "tutti 0" o da "tutti 1" le
scriviamo riportando la sequenza di "0" e "1" fino a quel punto, e poi
mettendo fra parentesi la cifra che viene ripetuta. Così se scriviamo
"0100101(0)" stiamo parlando della successione s(n) tale che:
s(n) = 1   se n=2,5,7
s(n) = 0   altrimenti
Stabilita questa "convenzione stenografica", prendiamo in considerazione le
due successioni s(n) e t(n) che si possono "stenografare" come "1(0)" e
"10(0)".
Ebbene, si tratta veramente di due successioni diverse?
Vediamo.
La prima, cioè, "1(0)", corrisponde alla seguente successione:
s(n) = 1   se n=1
s(n) = 0   altrimenti
Invece la seconda, cioè "10(0)" corrisponde alla seguente successione:
t(n) = 1   se n=1
t(n) = 0   se n=2
t(n) = 0   se n>2
Ma se la successione t(n) vale "0" per n=2 e vale "0" anche per n>2, allora
essa vale 0 per tutti gli n diversi da 1 (stiamo volutamente evitando di
prendere in considerazione il termine "zeresimo"), per cui può anche essere
scritta così:
t(n) = 1   se n=1
t(n) = 0   altrimenti
Ebbene, che cosa ha la successione t(n) di diverso dalla successione s(n)?
Non sono forse uguali?
-- 
Saluti.
D. 

 passaggio da una base numerica ad un'altra base?
Sì, certo.
Supponiamo ad esempio di essere in base 10. Allora scrivere "0,p(q)" è una
"stenografia" per nominare il seguente oggetto:
«quel numero che si ottiene sommando p volte 1/10 e q volte ogni altra
potenza di negativa di 10».
Lasciamo stare, per ora, il fatto che qui si sta parlando di una "somma
infinita", e concentriamoci semplicemente sulla "traduzione delle
stenografie".
Prendiamo poi la seconda "stenografia", cioè "0,pq(q)". Ebbene, in questo
caso stiamo parlando del seguente oggetto:
«quel numero che si ottiene sommando p volte 1/10, q volte 1/100 e q volte
ogni altra potenza negativa di 10».
Stiamo parlando di due numeri diversi?
Non direi. Infatti 1/100 è una delle potenze negative di 10 (infatti 1/100 =
10^-2), per cui dire «q volte 1/100 e q volte ogni altra potenza negativa di
10», dopo aver detto che si deve prendere p volte 1/10, è esattamente come
dire «q volte ogni altra potenza di negativa di 10».
Dunque stiamo parlando dello "stesso numero", poiché entrambi gli oggetti di
cui stiamo parlando si lasciano descrivere usando esattamente le stesse
parole.
==========
Ora proviamo a dire qualcosa circa la "somma infinita". Prima di andare
avanti vorrei ribadire che questo è un problema a parte. Ciò che conta,
ai fini della risposta alla tua domanda, è che quei due oggetti si lascino
descrivere usando esattamente le stesse parole, dopodiché quale sia
esattamente il senso da dare a quelle parole è - appunto - un problema a
parte. Ma proviamo a parlarne lo stesso.
Tanto per cominciare, io a rigore non ho detto che bisogna sommare "infiniti
termini". Ho detto:
1) che ogni numero reale r è rappresentato da una certa successione c(n) che
ad *ogni numero naturale n* associa una certa cifra decimale (cioè un numero
naturale compreso fra 0 e 9);
2) e che la relazione fra la successione c(n) e il numero reale r(c) che
essa rappresenta è definita nel modo seguente: il numero reale r(c)
associato alla successione c(n) è quel numero che si ottiene sommando
per ogni n i termini c(n)*1/10^n.
Ecco, come vedi l'"infinito" non l'ho ancora nominato.
Già immagino però che qualcuno storcerà il naso, accusandomi di aver
nascosto la polvere sotto il tappeto.
E va bene, allora ritorniamo daccapo a parlare dei "limiti".
Prendiamo ad esempio la successione
s(n) = 1/n
Esiste un qualche n per il quale s(n) vale 0?
No di certo. Tuttavia intuitivamente vediamo che quando n "diventa grande"
la successione "tende" ad un certo numero, che in questo caso è il numero 0.
A sua volta questo numero non "tende" né "diventa", né fa altre cose
"dinamiche". No, lui se ne sta lì eternamente uguale a sé stesso e senza
muoversi di un pelo, e sono i termini della nostra successione che "si
avvicinano sempre più" a quel numero, mentre quel numero se ne sta lì, e
magari nemmeno lo sa che c'è una successione che lo sta tampinando appresso
appresso.
Ora, questo numero a cui la nostra successione "si avvicina sempre più" noi
lo possiamo chiamare "la passione della successione", o anche "il desiderio
proibito della successione", o quello che ci pare. Per ragioni storiche e
anche per venire incontro a certe notre idee intuitive, lo chiamiamo invece
"il limite della successione per n che tende all'infinito". Sì, certo, detto
così pare brutto, anche perché si nomina l'"infinito", e nessuno capisce
bene che cosa sia 'sto "infinito". Ma il fatto che lo si chiami così anziché
"il desiderio proibito della successione" è proprio perché abbiamo
intenzione di dare una definizone rigorosa di questa idea intuitiva che
abbiamo in testa. Se vogliamo possiamo dire che nominiamo una volta
per tutte l'"infinito" proprio per non doverlo nominare mai più! O meglio,
lo nomineremo ancora molte volte, ma d'ora in poi tutte le volte che lo
nomineremo non steremo facendo riferimento alla vaga nozione intuitiva
che ci sembra di avere in testa, ma faremo riferimento ad una definizione
rigorosa che sarà chiara e intersoggettiva. Per questo, dopo aver discusso
per anni e anni, arriva Cauchy e dice:
«Signori, d'ora in poi tutte le volte che dirò "limite di una successione
per n che tende all'infinito" starò parlando di quel particolare numero tale
che eccetera eccetera».
A questo punto qualcuno degli interlocutori di Cauchy potrà saltare su
a dire che il modo in cui Cauchy intende il "limite per n che tende
all'infinito" non corrisponde all'idea intuitiva che egli ha in testa quando
usa quell'espressione. E vabbe', pazienza, vorrà dire che questo signore
provvederà a spiegarci con calma, in modo chiaro e intersoggettivo, che cosa
ha in testa lui quando usa quella locuzione. Nel frattempo però Cauchy ci ha
detto che quando lui usa quella locuzione ha in testa quella certa idea che
ci ha appena spiegato in modo chiaro e rigoroso, e se Cauchy ci dice che
quando usa quealla locuzione egli intende quella certa cosa, non vedo come
possiamo impedigli di parlarne. Anche perché finora è l'unico che è riuscito
a spiegare in modo chiaro e rigoroso che cosa ha in testa lui, e gli altri
continuano ad accapigliarsi contrapponendosi l'un l'altro "evidenze" del
tutto incompatibili fra di loro.
Dunque, data una certa successione, se la successione è fatta in un certo
modo c'è un certo numero fatto così e così, e questo numero lo chiamiamo
"limite per n che tende all'infinito della successione".
Che cosa c'entra tutto ciò che le "somme infinite" di cui parlavamo prima?
Dicevo che io ho intenzione di sommare i termini c(n)*1/10^n "per ogni n".
Come si fa a sommare "per ogni n"? Che cosa significa? Che cosa ho in testa
quando dico quella cosa?
Beh, tanto per fissare un po' di idee, visto che abbiamo intenzione di
sommare "per ogni n", mettiamoci in cammino e cominciamo a farlo per i primi
termini. La prima somma che si ottiene non è una vera e propria somma,
perché è costituita da un solo termine:
s(1) = c(1)*1/10
Ci possiamo fermare qui? No di certo, manca di sicuro un sacco di roba!
Allora andiamo avanti, calcolando la somma dei primi due termini:
s(2) = c(1)*1/10 + c(2)*1/10^2
Abbiamo forse "sommato per ogni n"? No di certo, per cui ci tocca andare
avanti:
s(3) = c(1)*1/10 + c(2)*1/10^2 + c(3)*1/10^3
E se vogliamo possiamo andare avanti così ancora per un po' fermandoci a
qualche n quando ci siamo stufati:
s(n) = c(1)*1/10 + c(2)*1/10^2 + c(3)*1/10^3 + ... + c(n)*1/10^n
Mentre siamo qui che cerchiamo di riprenderci dallo sforzo, ci rendiamo
conto che tutte queste s(1), s(2), s(3)... s(n) che abbiamo faticosamente
calcolato, sono i termini di una successione, una successione s(n) che può
essere calcolata per ogni n e che per ogni n restituisce il valore s(n)
della somma dei primi n termini che abbiamo intenzione di sommare.
Ma allora, se questa è una successione, è probabile che esista quella
roba di prima, quella che abbiamo definito il "limite per n che tende
all'infinito di s(n)". In particolare se andiamo a prendere la definizione
di Cauchy, facendo due conticini e tirando fuori un paio di teoremi
riusciamo a dimostrare che il limite di quella successione esiste proprio,
cioè c'è un certo numero tale che eccetera eccetera.
Ma se è vero che quel numero c'è, e se intuitivamente quel numero è quello
a cui "la successione s(n) si avvicina sempre più all'aumentare di n" allora
noi sappiamo che a mano a mano che aggiungiamo dei termini a quella somma
essa sarà sempre più vicina a quel certo numero.
Ebbene, è possibile che il numero reale r(c) che abbiamo definito come
«quel numero che si ottiene sommando per ogni n il termine c(n)*1/10^n» sia
diverso da quel certo numero che abbiamo definito come "limite delle somme
parziali"? È possibile questo?
No, non è possibile.
Supponiamo infatti che quel certo numero reale r(c) sia diverso dal limite L
delle somme parziali.
Se è diverso fra i due ci sarà una certa differenza, che possiamo indicare
con d:
d = | r(c) - L |
D'altra parte, per definizione, se L è il limite della successione delle
somme parziali s(n) allora per ogni epsilon positivo esiste un certo N tale
che per n > N tutti i termini della successione s(n) distano da L meno di
epsilon.
Va bene. Allora, visto che questo è vero per ogni epsilon, prediamo un
epsilon pari alla metà della differenza d fra r(c) e L, cioè pari a d/2.
Dunque c'è un certo numero N tale che per ogni n > N la somma parziale
s(n) dista da L meno di d/2. E siccome la distanza fra r(c) e L è pari a d,
allora la distanza fra s(n) e r(c), per ogni n > N, è certamente maggiore
di d/2.
Questo significa che una volta che saremo arrivati a s(N), cioè a questa
somma:
s(N) = c(1)*1/10 + c(2)*1/10^2 + c(3)*1/10^3 + ... + c(n)*1/10^N
noi potremo aggiungere tutti i termini che ci pare, *qualunque altro
termine*, ma quella somma non potrà comunque avvicinarsi a r(c) più di d/2.
Fra noi e r(c) sarà calata una "distanza di sicurezza" invalicabile, che non
sarà "infinitesima" o qualche altra diavoleria del genere, ma sarà proprio
un ben numerotto finito, pari a d/2. Infatti se ipotizziamo che r(c) sia
diverso da L allora la loro distanza è proprio un bel numerotto finito d,
e la metà di un numerotto finito e positivo è ancora un numerotto finito
e positivo. Non ci sono cazzi, per dirla alla francese.
Ma non è questo che noi abbiamo in mente intuitivamente quando diciamo
che r(c) è ciò che si ottiene "sommando per ogni n". Infatti, visto che
aggiungiamo addendi sempre più piccoli, a noi viene da pensare di poterci
avvicinare a piacere a r(c), aggiungendo una opportuna quantità di addendi.
Così se vogliamo avvicinarci a r(c) alla distanza di un milionesimo o di un
miliardesimo di unità vogliamo poterlo fare, e vogliamo poterlo fare *per
ogni distanza* che ci venga in mente.
Ma se è questo ciò che intendiamo e che vogliamo fare, allora bisogna che
quel certo numero r(c) associato alla successione c(n) sia esattamente il
limite delle somme parziali dei termini c(n)*1/10^n. Non ci sono cazzi,
di nuovo.
Ed infatti è proprio così che Cauchy defini la somma di una serie, cioè come
limite della successione delle somme parziali. Ecco le parole del maestro:
«Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme s_n [des n
premiers termes] s'approche indéfiniment d'une certaine limite s, la série
sera dite convergente, et le limite en question s'appelera la somme de la
série.»
-- 
Saluti.
D. 

 Vediamo.







Certo che sono uguali, ma lo vedi che non hai tenuto fede al proposito di
non parlare di numeri e di numerali? Ti e' scattato il riflesso condizionato
del matematico, che ti ha fatto costruire l'eguaglianza e non la
diseguaglianza delle sequenze di lettere. Tu mi dirai subito che la mia
osservazione e' una cazzata, perche' stiamo pur sempre discutendo
dell'ipotesi assurda della numerabilita' dei razionali, e lo sanno tutti che
0,1(0) e' uguale a 0,10(0) e noi dobbiamo preoccuparci di togliere
dall'insieme i numeri doppi. Invece io dico che non e' affatto necessario,
perche' se un insieme e' numerabile (sia pure per ipotesi assurda) lo e'
anche un suo sottoinsieme. Ma allora, dirai tu, cosa mi serve tutto questo?
Direi che e' il momento di fare il punto cui siamo arrivati
nell'evoluzione di questo thread. Il piu' brevemente possibile.
1) Riflettendo sullo "sconcerto davanti all'infinito" (innescato dall'altro
thread di Nathan), mi imbatto nella dimostrazione di Robbins circa la non
numerabilita' del continuo. Inesorabilmente salta fuori Cantor e il suo
procedimento diagonale.
2) Non ho alcuna intenzione di mettere in dubbio tale non numerabilita' (per
me e' sufficiente quella di Robbins); mi sorge invece qualche dubbio su
quella di Cantor. Qualcosa di non molto preciso, ma dettato da un'intuizione
insistente, che metterebbe in dubbio la validita' del procedimento di
Cantor.
3) Naturalmente e' fuori discussione se abbia ragione Cantor o io, che 
conosco
la matematica superiore quanto un turista, che si e' accontentato di un 
safari in Kenia, conosce l'Africa. Pero', approfondendo e via via chiarendo 
a me stesso la cosa, (e in questo mi sono utilissime le conoscenze 
matematiche dei partecipanti, in particolare la tua) mi convinco sempre piu' 
che la dimostrazione di Cantor e' *del tutto* astratta da cio' che i segni 
possano significare, e che, secondariamente, facendoli poi significare i 
numeri reali in corrispondenza di natura geometrica coi punti del segmento 
unitario, porta *forse* ad un conflitto tra il procedimento diagonale e il 
suo teorema Dq sulla equipotenza degli insiemi dei punti del quadrato e del 
suo lato.
4) Ora sono al punto che trovo la tua principale osservazione (esemplificata 
nell'eguaglianza tra 0,1(0) e 0,10(0)) non solo superabile ma anche del 
tutto secondaria rispetto al problema principale, che rimane quello della 
validita' del procedimento diagonale. Secondaria perche' il procedimento 
diagonale funziona lo stesso per un insieme presupposto numerabile e 
contenente infinite sequenze doppie di segni; e' infatti dimostrabile che se 
un insieme e' numerabile lo e' anche un suo sottoinsieme, per cui se 
l'insieme dei reali e' presupposto numerabile sara' numerabile per 
presupposizione anche se togliamo tutti i reali doppi.
Questione in ogni caso superabile, se questo puo' creare difficolta' 
all'interpretazione matematico-geometrica dei segni. Infatti non e' 
assolutamente necessario che le sequenze contestate siano scritte da 
sinistra a destra o viceversa, ne' che siano sviluppate immediatamente dopo 
la virgola. Posso infatti svilupparle da destra a sinistra da un punto 
qualsiasi, lontano quanto si voglia dall'origine della rappresentazione del 
reale:
A(a): 0,....................................0................
A(b): 0,....................................1................
A(c): 0,..................................10................
A(d): 0,..................................11................
A(e): 0,................................100................
.....
Adesso "...10..." non e' piu' uguale, neppure matematicamente" a 
"...100..."; ne lo e' "...1(0)"  a "...10(0)". E a me basta individuare una 
sezione verticale che mi permetta di interpretare sequenze di segni, di 
lunghezza via crescente, come sviluppo dei numerali naturali.
Ne' disturba l'apparente contraddizione che qualcuno potrebbe ipotizzare e 
cosi' costruire:
A(x): 0,........(1)...........................10........
perche', come implicito in una mia risposta a Marco (non trovo piu' quale in 
questo lungo thread) qualsiasi tratto periodico (xyz...) e' risolvibile in 
due tratti non periodici con l'applicazione del teorema inverso Dq' di 
Cantor; cioe' in due tabelle separate e in corrispondenza biunivoca, di cui 
poi si dimostra che sono parti di un'unica terza tabella, togliendo cosi' la 
contraddizione ipotizzata.
Non so se sono riuscito a spiegarmi. Se non ci sono riuscito me ne dispiace 
davvero, e mi rimane almeno la convinzione di... "essermi capito":-)
Un saluto,
Loris

 in due tratti non periodici
   ^^^
due o piu' (tanti quanti il numero di cifre del periodo).
Ciao,
Loris

 quello della validita' del procedimento diagonale.
La validità del procedimento diagonale è strettamente correlata al discorso
che ho fatto qui sopra. Infatti nei "libri di matematica veri" non copaiono
certamente delle "tabelle", ma laddove noi piazzeremmo una "riga infinita",
o una "riga con i puntini" compare una *successione*.
-- 
Saluti.
D. 

 in questo lungo thread) qualsiasi tratto periodico (xyz...)
Credo tu ti riferisca ai tuoi due post del 18.08 ore 11.42 e del 18.08 ore
22.12.
Cari saluti,
Marco

 numerica, della "stessità" del numero rappresentato).
Avrei una domanda da farti, e ti pregherei fin d'ora di rispondermi
sinceramente e "senza fare il tonto" :-)
Come sai, io considero il linguaggio "quella cosa che serve per mentire".
Questa è certamente una affermazione iperbolica e paradossale, che può
essere detta solo affidandosi alla capacità da parte dell'interlocutore di
intuire ciò che essa significa, al di là della forma in cui è espressa.
Come dicevo tempo fa, se tu leggi un testo di fisica fatto bene, in esso non
si nomina mai il "vero" e la "verità". Ad esempio non troverai mai scritto:
«è vero che l'uranio ha un isotopo fissile», oppure: «corrisponde a verità
che l'uranio ha un isotopo fissile». No, troverai scritto semplicemente che
l'uranio ha un isotopo fissile, che è l'isotopo 235. E trovi scritto così
proprio perché è dannatamente vero che quello è un isotopo fissile.
Siccome è vero, non c'è alcun bisogno di dire che è vero.
Per questa ragione quando qualcuno comincia un discorso facendo un gran
penegirico sulla Verità, io comincio subito ad agitarmi, perché mi aspetto
che da un momento all'altro salti fuori qualche... sorpresa.
Venendo al nostro caso, tu sai bene che l'approccio moderno della matematica
e della logica è considerato generalmente un approccio "formalistico".
Così ci sono dei pensosi filosofi "continentali" che si riempiono la bocca
di "sostanze" ed "essenze" e disprezzano la matematica e la logica moderne
per il loro "formalismo", sentenziando magari che «la scienza non pensa».
Ora, per le ragioni che ti dicevo sopra, quando io sento qualcuno nominare
l'"essenza" o la "sostanza", comincio subito ad agitarmi, perché mi aspetto
che da un momento all'altro salti fuori qualche sopresa, come ad esempio
un bel "(rag)giro di parole", uno di quei giochetti con i quali Hegel,
Heidegger e compagnia bella sarebbero capaci - dopo avere introdotto il
profondo concetto dialettico di "negazione delle cose" - di dimostrarti che
la negazione di "accumulatori" è "sparpagliavacche".
E vengo ora alla domanda che volevo farti, che è la seguente:
Alla luce di tutte le discussioni che si sono svolte in questi giorni,
secondo te qui sono io ad essere quello "formale", quello che
"si ferma alla forma", quello che "non guarda la sostanza"?
Non ti viene il terribile sospetto che il "formalismo" sia l'unico modo
autentico di "andare alla sostanza"?
Ammesso che tu fossi disposto a fare qualche debole concessione in questo
senso :-) mi potresti chiedere come mai, allora, è proprio la scienza
moderna a definire "formalista" il suo metodo, ed a rifiutarsi
categoricamente di parlare di "essenza" e di "sostanza", così come
i fisici evitano come la peste di nominare nei loro libri la "verità".
Ebbene, per rispondere a questa imbarazzante domanda credo che potrei
citarti il famoso giudizio di Salomone. La vera madre, quella che amava
veramente il bambino, di fronte alla eventualità che esso venga orrendamente
mutilato della contesa, grida: «No, questo figlio non è mio, portatemelo
via, lasciate che se lo prenda questa donna, e io vi prometto che non lo
cercherò mai più e non nominerò mai più il suo nome, mai più!»
Capisci cosa voglio dire?
-- 
Saluti.
D. 

 volte".
Diciamo una cazzata se intendiamo quello che letteralmente significa
"ripetere infinite volte".
Dobbiamo invece intendere che una ripetizione *potrebbe* essere fatta un
numero di volte grande quanto si vuole. E la stessa dimostrazione di Cantor
puo' forse superare la potenzialita' asserita da tre semplici puntini,
aprendogli la via a quell'infinita scala di aleph, con cui certamente
pensava di prenotarsi il posto in Paradiso? (***)
Ora la cosa importantissima, quella che ci divide e che ci impedisce di
proseguire senza incorrere in fraintendimenti. Su questa di conseguenza devo
fermarmi.
Se io scrivo 0,(8) e 0,888(8), le due *sequenze* di segni significano lo
stesso numero nell'interpretazione *matematica* dei segni, ma come
*sequenze* di segni astratti da qualsiasi significato sono due sequenze del
tutto diverse. Devo fermarmi su questo concetto, come dicevo. Rileggo
comunque il resto, che a una prima lettura mi sembra interessante come
sempre.
Un saluto,
Loris
(***)
<<La teoria generale degli insiemi... appartiene in profondita' alla 
metafisica [...] c'e' un legame indissolubile tra metafisica e teologia. 
[...] Ogni errore in metafisica implica sempre il piu' generale pericolo di 
un suo insinuarsi nel campo teologico [...] "Error in creaturis induit in 
divinorum errorem" [Un errore nelle cose create induce errore relativamente 
alle cose divine (san Tommaso)].
Se per esempio si potesse stabilire come del tutto sicuro e certo che poggia 
su di un evidente errore (nel quale gia' Aristotele e' incorso) la dottrina 
fino ad oggi cosi' generalmente trasmessa sull'infinito attuale "in 
creaturis" (e precisamente che esso non sia possibile ne' metafisicamente ne' 
fisicamente), allora non ci sarebbe da stupirsi se venissero fuori quasi da 
soli errori presenti nella teologia sistematica corrente (che non e' fatta 
assolutamente dai segreti e dalle verita' della fede che sono intangibili). 
Voglio chiarire con un semplice esempio quello che penso dicendo cosi'. Dice 
Sap(ientia) XI, 21: "hai disposto tutto in peso, numero e misura". Non e' 
qui scritto "in numero finito". Se dunque i numeri cardinali transfiniti e i 
tipi ordinali transfiniti si dimostrano non contraddittori, allora anche 
essi sono compresi in quel pensiero di quel passo, ed esso non puo' quindi 
piu' essere utilizzato come argomento contro i "numeri infiniti", come 
purtroppo avviene da parte di molti. [.]
Viene da me offerta alla filosofia cristiana per la prima volta la vera 
dottrina dell'infinito nei suoi principi. So con piena sicurezza e 
determinazione che essa accogliera' questa dottrina: e' soltanto da vedere 
se cio' accadra' gia' adesso o soltanto dopo la mia morte.>> (Cantor, da una 
lettera a padre Thomas Esser, febbraio 1890)

 --------------------------------------------------------
Supponiamo di avere una classe di bambini.
Io dico:
«Mario ha i capelli rossi, e tutti gli altri li hanno castani»
mentre tu dici:
«Mario ha i capelli rossi, Luigi li ha castani, e tutti gli altri li hanno
castani».
Secondo te noi due non stiamo descrivendo la stessa classe e gli stessi
bambini?
Se mettessimo in fila tutti quei bambini a partire da Mario, non vedremmo
comunque una fila di bambini con un bambino rosso davanti seguito da tanti
bambini castani?
Qui però qualcuno potrebbe obiettare che quando noi scriviamo "0,1(0)"
e "0,10(0)" stiamo proprio concentrandoci sul segno, e non sul referente.
Così quando io dico che "gatto" ha cinque lettere, non sto dicendo che
esiste un mammifero miagolante che è costituito da cinque lettere, ma sto
dicendo che il segno che uso per riferirmi a quell'animale (che solitamente
ha quattro zampe, una coda eccetera) è costituito da cinque segni
alfabetici.
E sia. Ma allora, se è così, quando tu mi scrivi "0,1(0)" io leggo
semplicemente "zero", "virgola", "uno", "parentesi", "zero" e "parentesi",
così come quando scrivi "gatto" io leggo "gi", "o", "ti", "ti", "o" e dico
che sono cinque lettere. O mi attengo al segno, o parlo del referente.
Non posso vedere "gatto" e leggere "gi", "a", "t", "zampa", "coda", "baffi".
Ora, quel "(0)" che tu mi metti di fronte, è un segno costituito da tre
segni, oppure è qualcosa che sta per qualcos'altro, e in particolare
qualcosa che sta per "una successione infinita di 0"? Che poi a sua volta
questa successione stia per un numero è un discorso a parte, che richiede
un altro "rimando", ma intanto cerchiamo di chiarire se "(0)" è "parentesi",
"zero", "parentesi", oppure se è "una successione infinita di 0", poiché se
stiamo parlando di 'sta roba qua allora il segno lo dobbiamo mettere da
parte e cominciare a parlare delle zampe e della coda. Dopodiché se salta
fuori che abbiamo usato due segni diversi per parlare dello stesso animale,
allora potremo dire che "gatto" e "piccolo felino domestico" sono "la stessa
cosa".
-- 
Saluti.
D. 

 successione di elementi ordinata secondo il prima e il dopo.
e una definizione è stabilire l'essenza di una cosa.
quindi qual'è l'essenza di un punto di una linea
se non di essere un infinito in atto?
Notare che definire un punto come una posizione
nello spazio è fornire la sua sostanza ma non
l'essenza. P(x,y,z,t) = P(6,3,6,2) è una formalizzazione
di che e rispetto a che?
ciao
Massimo 

 "zero", "parentesi", oppure se è "una successione infinita di 0",
Sì, una volta stabilito che ci si sta concentrando sul segno e non sul
referente (che salta fuori attraverso l'interpretazione matematico-numerica
del segno) - una volta, cioè, che, se proprio vogliamo usare un linguaggio
colto della terminologia scolastica, si è stabilito di considerare quelle
scritture "in suppositione materiali" - sorge subito la possibilità della
obiezione che hai sollevato, e che possiamo radicalizzare così: se "0,1(0)"
lo consideriamo "in suppositione materiali" - in funzione, cioè, della sua
graficità -, allora "(0)" non possiamo considerarlo investito di un qualche
significato, perché proprio la considerazione del significato è per
definizione esclusa dalla considerazione di una scrittura "in suppositione
materiali".
Ecco l'obiezione. Alla quale comincerei a rispondere rifacendomi al
bicondizionale tarskiano. Come sai, nel bicondizionale tarskiano '"p" è vero
se e solo se p", "p" è quel che Tarski stesso chiama un
<<nome-da-virgolette>>: "p", formato mettendo tra virgolette il segno
dell'enunciato, è un dispositivo linguistico che serve per nominare
individualmente l'enunciato. Questo significa che il bicondizionale
tarskiano attribuisce il predicato "vero" a dei nomi individuali di
enunciati. Tarski stesso dirà che "p" è costruito prendendo l'enunciato "in
suppositione materiali".
Ora - e con ciò vengo alla mia risposta alla tua obiezione - possiamo forse
dire che in una cosa come '"la neve è bianca" è vera se e solo se la neve e
bianca", la scrittura "la neve è bianca" occorra alla sinistra del
bicondizionale solamente ed esclusivamente sotto la considerazione del suo
aspetto grafico-sensibile? Se così fosse, allora Tarski avrebbe attribuito
il predicato "vero" ad una scrittura considerata meramente per il suo
aspetto grafico-sensibile. Ma ciò sarebbe assurdo, perché "verità" è nozione
semantica, che implica dunque una qualche valenza semantica del termine al
quale viene riferita. E tuttavia la occorrenza di "p" a sinistra del
bicondizionale implica una considerazione di "p" differente dalla
considerazione di "p" implicata a destra del bicondizionale. Questo sta a
significare che la "suppositio materialis" può includere (come nel caso del
bicondizionale tarskiano) anche la considerazione della relazione semantica
di cui sono titolari i segni considerati.
In sostanza, di "0,1(0)" possiamo dire: "0,1(0)" è composto da sei segni:
"0", ",", "1", "(", "0", ")". E possiamo dire: in "0,1(0)", "(0)" sta per
una successione lunga quanto si vuole (cioè più lunga di qualunque n dato)
di "0".
D'altra parte, se facessimo valere la pura "suppositio materialis" - quella
in base alla quale la scrittura in questione è considerata esclusivamente in
funzione del suo aspetto grafico-sensibile - allora verrebbe meno anche la
possibilità di considerare quel certo fenomeno sensibile come un *segno*.
Perciò quel che sto dicendo è: ci si può concentrare sul segno e non sul
referente senza con ciò essere costretti, nella considerazione della
scrittura, esclusivamente ad enunciati del tipo: "0,1(0)" è composto da sei
segni: "0", ",", "1", "(", "0", ")".
Ora devo uscire. Un saluto,
Marco

 bicondizionale tarskiano.
Sì, Tarski dice:
"la neve è bianca" è vera se, e solo se, la neve è bianca.
Ora, come dici tu stesso in modo più sofisticato, per Tarski "la neve è
bianca" è solo il nome di una proposizione. Dunque, obietti tu, Tarski sta
forse dicendo che un nome può essere vero o falso?
Direi che non è così che va intesa l'affermazione di Tarki. Tarki dice che
nell'istante in cui togliamo le virgolette, e *usiamo* una proposizione,
allora stiamo proprio affermando quella proposizione, e non ha senso dire
che è vero ciò che stiamo proprio affermando. Allora, dice Tarki, per poter
dire che una proposizione è vera o falsa dobbiamo metterci in condizione
*non di affermare* la proposizione, ma di poter *parlare della*
proposizione. E per poter parlare della proposizione bisogna mettersi in
un contesto in cui gli oggetti delle proprie affermazioni siano a loro volta
delle proposizioni. Tale contesto è, appunto, quello del meta-linguaggio.
Dunque Tarski dice che l'attributo vero o falso ha senso solo quando si
*parla delle* proposizioni di un linguaggio nel contesto di un
metalinguaggio.
Ne viene che al posto di quella cosa che gli abbiamo fatto dire qui sopra,
Tarski avrebbe anche potuto dire:
la proposizione che si chiama "la neve è bianca" è vera se, e solo se, la
neve è bianca.
Ovviamente non è così che si esprimeva Tarski, ma il senso è quello.
Dunque Tarski non stava dicendo che un nome può essere vero o falso,
ma stava dicendo che per poter attribuire la verità o la falsità le
proposizioni si devono *menzionare*, non usare, e le proposizioni si
menzionano usando il loro nome, il quale può essere "Carlotta" o anche la
proposizione stessa messa fra le virgolette. Se dicessi che la proposizione
"Carlotta" è vera, starei dicendo che la proposizione che ho chiamato
"Carlotta" è vera, non che il nome "Carlotta", in quanto tale, può essere
vero o falso.
Così se io parlo della successione "1(0)", sto parlando della successione
che ho chiamato in quel modo, non del segno che uso per riferirmi ad essa.
E se poi salta fuori che quella stessa successione la posso anche chiamare
in un altro modo, perché la mia procedura per costruire i nomi è ambigua o
comunque ridondante, dovrebbe comunque essere chiaro che sto parlando
della successione, e non del suo nome.
So che volendo su queste questioni mi puoi inchiodare a tuo piacimento,
perché qualunque chiarimento di questo genere non può che venire da un
con-testo che è sempre oltre il testo e che non può mai essere esplicitato
se non ponendosi in qualche altro con-testo non esplicitato, che i
dialoganti devono poter condividere per qualche miracolosa facoltà di
comunicare. Ma d'altra parte se è su questo punto che mi si vuole inchiodare
allora qui non entra in crisi solo la matematica, ma va in crisi ogni
possibile fondamento di qualunque possibilità di comunicare per mezzo
del linguaggio.
Se vogliamo tirare già tutto a me può stare anche bene, basta che non
si pretenda di tirare giù la matematica lasciando intatte tutte le altre
discipline. Se togliamo *questo* pilastro allora viene giù tutto,
e buonanotte.
-- 
Saluti.
D. 

 parte propria.
Ci sarebbe da discutere molto su questa definizione.
Comunque la prendo per buona, e la uso per dire che se l'infinito è quello
allora quando abbiamo una successione di "infiniti 0" e ci aggiungiamo uno
"0" otteniamo una successione che è esattamente equipotente ad ogni sua
parte propria, e in particolare è equipotente a quella che avevamo prima di
aggiungere lo "0". Dal che segue che gli zeri in "(0)" sono "tanti quanti"
sono gli zeri in "0(0)".
-- 
Saluti.
D. 

 D.
La scienza non ci parla della verità, sarebbe come dire che un'aquila
possa volare con una sola ala.
La scienza ci parla della "ricerca della verità" (tramite il metodo
scientifico), quella conoscibile (approssimativamente) tramite i
modelli.
Saluti,
L
P.S.
x Marco e Loris:
Io non sono contrario al metodo dialogico di Loris e che anche Marco
difendeva.
Solo che dico che non si sta facendo scienza, ma dialogo,
rispettabilissimo, magari anche opportuno .. ma io mi trovo a disagio a
parlare di matematica senza una metodologia formale.
Si noti che vi sono anche dei teoremi che furono formulati Ipotesi e
Tesi senza che l'autore disponesse subito di una dimostrazione.
Magari la trovò lui o altri dopo anni.
Ma l'impostazione -nella matematica- è metter nero su bianco quali
sarebbero le ipotesi e quali le tesi che si sostengono, senza lasciare
_nulla_ alla intuizione.
La intuizione serve per cercare una cosa che stia in piedi, che trovi
una base logica che la sostenga, ma è lo spazio dell'eureka, uno spazio
-secondo me- personale.

 sono gli zeri in "0(0)".
No. Se hai 1(0) e 10(0) lo sviluppo e' questo:
100000000000000........(0)
1000000000000000........0(0)
Facciamo cosi': contiamo... all'infinito. Io comincio a contare da 1, tu 
comincia pure da 10. Tu sarai sempre avanti di nove numeri, anche se 
continuiamo per l'eternita'. Equipotenti perche' in corrispondenza biunivoca 
sono le totalita' dei tuoi e dei miei *atti* di contare, io passando da 1 a 
2, a 3..., tu passando da 10 a 11, a 12, a 13...
Un saluto,
Loris

 parlare di matematica senza una metodologia formale.
Non importa, caro Lino. Almeno ci leggi. E spero che un po' ti diverta:-)
Un saluto,
Loris

 di che e rispetto a che?
Se ti sente Davide parlare di essenza e di sostanza ti fa la pelle!:-)
E io gli do una mano:-). Passami le battute, dai.
Il fatto e' che "sostanza" ed "essenza" sono concetti metafisici che neppure
Cantor si e' sognato di applicare alla matematica. Basta ben l'infinito
attuale per fare della matematica una metafisica, no? Se un punto e' una
sostanza, quali sono i suoi accidenti? No dai, retta, punto... sono
oggetti mentali e intuitivi di cui non si da' definizione.
Un saluto,
Loris


Caro Loris,
mi andai a leggere i problemi irrisolti del secolo o del millennio ..
http://it.wikipedia.org/wiki/Problemi_per_il_millennio
Trovai argomenti interessantissimi, specie in matematica.
Ora -in tali cimenti- io mi ci metterei pure .. ma mi chiedo  a che mi
serve? 
(sarà una deformazione professionale: un ingegnere si chiede sempre *per
prima cosa*: a che mi serve?)
Vale il mio tempo?
E -quindi- rivado alla storia di Ettore Majorana.
http://it.wikipedia.org/wiki/Ettore_Majorana
(consiglio di leggere che sorta di matematico era)
Un grande matematico italiano.
Capì -secondo me- cosa stava manipolando Fermi prima di Hiroshima.
Per cui avere uno sguardo complessivo è importante.
Altrimenti è una fuga dalla realtà.
E' vero -secondo me- che -per esempio- i sogni sono una fuga dalla
realtà e quindi ci aiutano a vivere .. velocemente impazziremmo se non
gestissimo la dissociazione mentale di tipo logico -> grazie ai sogni.
E -allora- lasciarsi andare nel mare dei numeri e delle
cardinalizzazioni magari comporta "e naufragar mi è dolce in questo mare
..."
Fai -ti consiglio- una prova di esplicitare (magari in privato) in
"Ip/Tesi" la novità di quanto sostieni.
Naturalmente si potrebbe anche desumere da tutto ciò che avete detto, ma
sarebbero congetture.
La semplicità della matematica è tutta qui.
Chiunque -anche un bambino- dovrebbe capire di cosa si stia parlando.
E tra le righe dei formalismi -spesso- c'è solo la paura di dire.
Ma l'astrazione può solo partire dal basso così come mettiamo dei numeri
grandi, e mai infiniti, in una espressione.
Quindi una regola, originariamente, è solo un insieme di casi
particolari.
Sola se ha una potenza di intuizione è _poi_ verificata "funzionare"
anche su casi che mai sperimentammo.
Altrimenti si specifica il "range" in cui vale.
Saluti e grazie dell'argomento,
L

 Loris
ciao
Massimo

 Ecco fatto, ora si ride :)
Dunque:
Sostanza ha questi molteplici sensi:
1) un senso generale per indicare cio' che vi e' di permanente e costante 
nelle cose che mutano.
2) un senso ontologico per dire a) cio' che esiste per se', non essendo 
predicato di altri; b) l'essenza di ogni cosa; c) l'essere di ogni cosa.
3) un senso logico, con cui il termine esprime la connessione costante tra 
dati contemporamei dell'esperienza, come, p.e., dati A e B 
contemporaneamente come due impressioni sensoriali che rimandano a due 
qualita' sensibili (come un colore e una forma) si deduce che a questi dati 
corrisponde una stessa realta' che fa si' che A e B si rapportino. Quale sia 
questa realta' che sottosta' alle due qualita' non e' dato conoscere.
Essenza ha questi sensi:
1) Un senso ontologico che risponde alla domanda "che cos'e'?" (il greco "ti 
estin") e indica cio' che costituisce una cosa nella sua realta' permanente, 
ossia cio' che costituisce un essere qual e' nella sua natura e nella sua 
determinazione. Come "essenza sostanziale" e' sinonimo di "sostanza" ed e' 
connesso ai caratteri di immutabilita', semplicita', necessita' ed 
eternita', contrapponendosi all'accidentale e contingente. Il termine va 
decisamente distinto da "esistenza".
2) Un senso logico, che designa il complesso delle determinazioni, cioe' dei 
caratteri che definiscono un oggetto del pensiero nelle sue note costitutive 
(definizione). Equivalente al concetto di una cosa. La differenza tra il 
senso predicativo e quello esistenziale della voce verbale "e'", innesca la 
questione della corrispondenza o meno della definizione alla sostanza.
Tutti questi sensi sono ampiamente discutibili, e se si tratta di ridere io 
sono sempre disponibile:-)
Ciao Massimo,
Loris

 oggetti mentali e intuitivi di cui non si da' definizione.
Considerazione molto interessante. E assolutamente condivisibile (lo stesso 
definire la "rettitudine" di una retta è una mission impossible).
Allora, però, mi scappa una considerazione:
se il punto è un oggetto mentale intuitivo, come si può parlare di 
corrispondenza biunivoca fra i punti di un ipercubo e quelli del suo 
spigolo?
Si potrà parlare di corrispondenza biunivoca di certi numeri con altri 
numeri, il che è semplice, facile e anzi quasi immediato, come ci state 
mostrando tu e Davide :-))), ma parlare di corrispondenza fra punti di qua e 
punti di là non sta proprio in piedi, dato che l'ente "punto" non ha alcuna 
definizione.
Io, all'inizio della discussione, dicevo anche di peggio: poiché il punto 
non ha dimensioni (la sola cosa che si sa di lui fin da Euclide), ne 
possiamo prendere quanti ne vogliamo, anche "infiniti", ma non abbiamo 
ancora cominciato a muoverci dall'origine (altro che obiettare su "il primo 
punto"!), come ci ricorda Zenone quando afferma  che la somma di infiniti 
enti di dimensioni nulle è nulla (conosceva evidentemente il signore di 
Lapalisse). Come dargli torto? Non si può. Neanche con un cesto pieno di 
aleph e di omega freschi di giornata.
Per inciso, se il presente è un evento, cioè un "punto" P(x, y, z, t) nello 
spaziotempo, per le medesime ragioni lo spaziotempo è nullo.
Insomma prima o poi bisognerà proprio pensarne un'altra :-)
qf 

 autentico di "andare alla sostanza"?
Ma certo che mi viene il sospetto che questo apparente paradosso celi una
verità. Tra l'altro non solo sappiamo tutti che "la sostanza è la forma" è,
al di là dello slittamento di significato che i termini possono aver subito,
uno slogan che ci riporta molto indietro nel tempo. Ma sappiamo tutti che
l'imposibilità di "dire" l'essenza, è strettamente congiunta alla sensazione
che l'essenza - quell'invariante che
la singola cosa non può non essere in ciascun contesto possibile - non sia
altro che il "nome". E "nominalismo" fa rima con "formalismo".
La scienza formale è la "vera madre", che rinuncia, per amore della verità,
a dire di dire la verità? Qui dovresti sapere come la penso. La "vera
madre" - la donna che veramente ama la "verità" etc. - è la filosofia. Tu
giorni fa usavi una metafora come sempre estremamente efficace: prendere il
"denaro" (cioè la "sostanza") e scappare via. La metafora è efficasissima:
infatti l'impresa scientifica, della quale la logica formale è parte in modo
eminente, assomiglia veramente all'impresa di chi, con la refurtiva in mano
ed oramai al sicuro, lascia tutti gli altri a discutere se il furto possa
essere veramente accaduto etc. Per la serie: voi parlate pure, ché intanto
io mi godo il denaro alle Bahamas con la biondona di turno:-). E "Bahamas" e
"biondona di turno" in logica matematica sono sinonimo di "teoremi". Voi
parlate, ché intanto io con quel "denaro" - con quel capitale di cui sono
entrato in possesso piazzando la botta (in testa a voi che state ancora lì a
chiaccherare se la botta che avete preso in testa sia valida o meno) delle
definizioni formali - ci dimostro i teoremi. E la dimostrazione di un
teorema, per le scienze formali, è l'equivalente di una resa incondizionata
del nemico per i militari.
Ecco, secondo me la filosofia è il metodo - mai formalizzabile - per
ritornare sul luogo dal quale è stato preso il "denaro". Perché bisogna
ritornarvi? Bisogna farlo, già se si vuole rispondere alla domanda "perché
il formalismo è l'unico modo per andare alla sostanza?". Per rispondere a
questa domanda, il formalismo non può servire.
Un saluto,
Marco

 Insomma prima o poi bisognerà proprio pensarne un'altra :-)
chi mi vieta di dire che qualsiasi punto ha
coordinate P(infinito,infinito,infinito,infinito),
cioè l'infinito attuale?
La colpa di tutto è pensare di essere al centro
del mondo.
Egocentrismo, va bene? :)
Il futuro è un infinito potenziale e il
presente un infinito in atto.
ciao
Massimo

 dall'ironizzare su quel "ogni" col chiederti quanti sono gli epsilon.
Mi ha poi incuriosito questa faccenda del "piccolo a piacere" e sono andato 
ad appurare cosa ne dice Cantor.
Lo trovo nella sua definizione di "coesivita'". Te la riporto:
<<Chiamiamo 'coesiva' una collezione di punti T quando, presi due punti t e 
t' di T, esiste sempre, per un numero epsilon dato in precedenza e comunque 
piccolo, un numero finito di punti t1, t2,..., tn, appartenenti a T, tale 
che le distanze tt1, t1t2, t2t3,..., tnt', siano tutte minori di epsilon>>.
Un saluto,
Loris

 Facciamo cosi': contiamo... all'infinito.
Sai bene che non ti posso lasciar dire «contiamo... all'infinito» senza
chiederti di darmi una definizione formale, rigorosa e intersoggettiva di
cosa intendi fare.
Se uso la mia intuizione, come tu stai usando la tua, mi verrebbe da dirti
che ciò che hai detto è assolutamente privo di senso, e anche ammesso
che gli si possa dare un senso sarebbe comunque una cosa impossibile.
Ma questa è solo la mia intuizione, che io potrei continuare a contrapporre
ostinatamente alla tua, senza che potessimo approdare ad alcuna reciproca
comprensione.
Comunque, volendo provare a restare a livello intuitivo, immaginiamo che tu
cominci a contare da 1 e io cominci a contare da 2:
Loris: «uno»
Davide: «due»
Poi andiamo avanti:
Loris: «due»
Davide: «tre»
e così via, all'"infinito" (?).
Ebbene, secondo te "alla fine" (?) io avrò contato "un numero in più" di te?
E *quale* numero in più avrò contato?
Non avrò forse contato gli stessi numeri, cioè tutti i numeri naturali?
Ovviamente tutto ciò per me non ha senso, ma visto che tu stai cercando di
dargliene uno, *qual è* quel numero in più che io avrò contato "alla fine"?
E se io sarò partito da 100 e tu da 1, *quali* saranno quei 99 numeri in più
che io avrò contato "alla fine"?
-- 
Saluti.
D. 

 epsilon».
Non voglio certo negare che nei testi dei matematici si trovi spesso quel
"piccolo a piacere". Lo so che c'è, e tutti lo abbiamo letto.
Ma si tratta di un registo discorsivo che intende venire incontro alla
intuizione, e che non si usa nelle formulazioni più rigorose e più formali.
Anche perché se il tuo interlocutore è uno che su certe cose vuol
spaccare il capello in quattro (magari mentre lascia del tutto intatte le
sequoie giganti, considerandole oggetti elementari non ulteriormente
suddivisibili :-) ), anziché andare incontro alla sua intuizione lo
confondi, oppure gli porgi il fianco per una polemica non necessaria.
Cosa vuol dire "comunque piccolo"? Come lo potremmo formalizzare?
Io lo formalizzerei così: «dato un qualunque numero positivo, possiamo
prendere un epsilon positivo più piccolo di quel numero». Ebbene, questo
non è come dire che epsilon può essere *qualunque* numero positivo?
Ma, come dicevo, non mi pare il caso di aprire un'altra discussione per
stabilire come formalizzare in modo rigoroso il "comunque piccolo".
Tanto poi nei testi più formali epsilon non è altro che una variabile
nell'insieme dei reali positivi, che viene quantificata con il
quantificatore universale, come si fa ad esempio qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_sequence
-- 
Saluti.
D. 

omega freschi di giornata.
Gruenbaum, ad esempio, accoglie la 1. ed intende mostrare che il postulato
di "densità" non implica i paradossi metrici. In questo egli è d'accordo con
Russell, ma poi se ne discosta in un punto fondamentale. Secondo Gruenbaum,
la soluzione del paradosso metrico richiede la neutralizzazione della 2.; e
la 2. può essere neutralizzata solo accettando la tesi che il continuo
infinito di punti che costituisce gli intervalli finiti sia non-numerabile.
Il concetto di "somma parziale", che garantisce l'additività anche per un
insieme infinito numerabile di sottointervalli, perde infatti completamente
di significato nel caso di insiemi infiniti non numerabili. Questa perdita
di significato implica l'inapplicabilità del postulato di additività.
Personalmente ho molti dubbi che la soluzione del paradosso metrico
zenoniano richieda lo sfruttamento della nozione cantoriana di infinito
non-numerabile. Tuttavia, quando tu dici che non si può dare torto a Zenone
nemmeno con un cesto di transfiniti, cerchiamo di intenderci.
Un conto è una soluzione (chiamiamola A) che volesse sostanzialmente dire:
"è vero che sommando un numero finito di entità la cui misura è 0, ottengo
ancora 0; ed è vero che continuo ad ottenere, come somma, uno 0, anche se
prendo una infinità numerabile di simili entità in modo da sfruttare le
definizioni formali dell'analisi matematica. Ma se prendo una infinità
non-numerabile di 0, allora ho talmente tanti 0 che alla fine ottengo un
numero maggiore di 0".
Un altro conto è una soluzione (B) che volesse disinnescare il postulato di
additività, in modo tale che l'intervallo I sia ancora concepibile come
unione insiemistica di "punti", e che però tale costituzione "puntuale" di I
non implichi che la misura di I sia data dalla "somma" delle misure dei suoi
punti costituenti.
Intuitivamente, sia la A che la B paiono "assurde". Tuttavia, forse la
"assurdità" della B è molto più profonda. La B, infatti, intende separare il
concetto di "costitutività", come concetto di "essere fatto di", dal
concetto di "essere la somma dei costituenti". Questa separazione resiste
strenuamente all'intuizione del senso comune, e forse - mi pare ne parlammo
già - ci sono anche argomenti ben fondati in grado di corroborare
logicamente tale intuzione, e dunque di invalidare confutativamente quella
separazione. Tuttavia, la B non è la A, e sembra più meritevole di
considerazione filosofica. Chissà cosa ne direbbe Zenone;-).
Un saluto [ho usato 'misura', 'lunghezza', 'estensione', senza particolare
riguardo definitorio. Spero che nessun cecchino di ICFM mi abbatta solo per
questo:-)],
Marco

 che io avrò contato "alla fine"?
Sempre intervenendo a margine. Secondo me non si tratta, per evidenziare la
differenza tra 1(0) e 10(0), di interrogarsi su quali numeri si sarà contati
in più o in meno "alla fine" del conteggio (non è proprio di queste
espressioni ambigue, che stiamo cercando di sbarazzarci?).
Ti ricordi quando discutemmo del concetto di "catena" che Dedekind mette a
fondamento della sua definizione dei naturali? E ti ricordi quando dicemmo
che Peano dice la stessa cosa di Dedekind, se non fosse che lui, da bravo
italiano, è troppo rispettoso delle "statuine" (la faccenda dell'"1"),
laddove Dedekind è interessato solamente alle strutture di relazioni (al che
gli elementi relazionati risultano sostituibili)?
Si può contare a partire da qualunque numero, e questo contare sarà
"isomorfo" (lasciami usare i concetti in modo estensivo) - "isomorfismo" che
coglie quella "equipotenza" degli atti del contare di cui parlava Loris - al
contare a partire da qualunque altro numero.
Ciò non toglie, però che, prendendo 1(0) e 10(0), per ogni passo della
iterazione congiunta della scrittura di "(0)", la scrittura di 1(0) avrà uno
"0" in meno della scrittura di 10(0). Questa differenza sta lì, ed è
graficamente irremovibile. E' vero che se A conta a partire da 1 e B a
partire da 100, gli atti del contare sono in corrispondenza biunivoca, e
questo non esprime che l'"isomorfismo" tra i conteggi, e dunque non si potrà
dire che B ha contato 100-1=99 numeri in più di A. Ma quello "0" in più
nella scrittura di 10(0) resisterà qualunque sia il passo k-esimo della
iterazione: per nessun k la differenza tra il numero di "0" sarà differente
da 1.
Un saluto,
Marco

 Non avrò forse contato gli stessi numeri, cioè tutti i numeri naturali?
No. Hai contato lo stesso *numero di numeri*, non i miei stessi numeri. Io 
ho contato l' uno, tu no. Per quanto si vada avanti tu sei sempre in 
vantaggio di uno. Ripeto: sono le nostre operazioni, che consistono nel 
sommare 1 passo passo, che sono in numero uguale. Io ho cominciato da 1, tu 
da 2; nessun infinito potenziale o attuale fara' si' che tu abbia contato 
anche l' 1.
Vedila cosi', con una variazione significativa:
io conto i dispari e tu i pari. Se poi ti da' fastidio l'intuitivita' 
dell'esempio, diciamo che i pari sono in corrispondenza biunivoca coi 
dispari e ambedue sono classi proprie dei naturali. In qualunque punto del 
nostro conteggio (o, in versione meno intuitiva, per qualunque X naturale) 
contando i pari tu hai contato tanti numeri quanti ne ho contati io (ovvero 
X), ma nessun numero che conto io e' uguale al numero che conti tu: per ogni 
X tu conti il numero 2*X e io conto il numero 2*X-1.
Ma tutto questo lo sai benissimo, e non capisco perche' tu... non voglia 
fare il pane:-)
Un saluto,
Loris
(***)
<<Salviati - Benissimo, e sapete ancora, che sì come i prodotti si
diman­dano quadrati, i producenti, cioè quelli che si moltiplicano, si
chiamano lati o radici; gli altri [numeri] poi, che non nascono da numeri
moltiplicati in se stessi, non sono altrimenti quadrati. Onde se io dirò, i
numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i
quadrati soli, dirò propositione verissima: non è cosi?
Simplicio - Non si può dir altrimenti.
Salviati - Interrogando io di poi, quanti siano i numeri quadrati, si può
con verità rispondere, loro esser tanti quante sono le proprie radici,
av­venga che ogni quadrato ha la sua radice, ogni radice il suo quadrato, né
quadrato alcuno ha più d'una sola radice, né radice alcuna più d'un
qua­drato solo.
Simplicio - Cosi sta!
Salviati - Ma se io domanderò, quante siano le radici, non si può nega­re
che elle non siano quante tutti i numeri, poiché non vi è numero alcuno che
non sia radice di qualche quadrato; e stante questo, converrà dire che i
numeri quadrati siano quanti tutti i numeri, perché tanti sono quante le
loro radici, e radici sono tutti i numeri; e pur da principio dicemmo, tutti
i numeri esser più che i propri quadrati, essendo la maggior parte non
qua­drati.>> (G.Galilei, "Dialogo sopra i due massimi sistemi...")

 stabilire come formalizzare in modo rigoroso il "comunque piccolo".
...comunque su questo sono d'accordo, per cui lasciamo perdere.
Saluti,
Loris

 precedente:-))
E va bene, non facciamoci passare nulla :-)
Ebbene, proprio in quest'ottica io dico che tutti questi discorsi che stiamo
facendo sono del tutto privi di senso se non si fa qualcosa per renderli più
rigorosi e intersoggettivi, e che fino ad oggi l'unico modo che i matematici
hanno trovato per fare ciò è quello di formalizzare il linguaggio in un
certo modo, un modo che prevede fra l'altro l'uso dei quantificatori.
Ne segue che per me "(0)" è solo un nome, come potrebbe essere "Carlotta",
per riferirsi ad una successione, e come sia definita una successione lo
vado dicendo da giorni: è una funzione F che *ad ogni numero naturale n*
associa un elemento a_n = F(n) di un certo insieme A.
Come vedi qui proprio non si parla di "infinito", né del fatto che i numeri
siano "infiniti" o altre cose del genere. Io mi limito a dire che ho una
certa funzione F, tale che qualunque numero n tu possa pensare io ti posso
dire qual è l'elemento a_n dell'insieme A che resta associato ad n.
Ora tu potresti mettere in dubbio anche l'impiego dei quantificatori, ma se
fai questo allora ci tocca mettere da parte la matematica e cominciare a
discutere di logica formale. Il che ci porterà di nuovo a contrapporre le
nostre rispettive "evidenze lapalissiane", e ci troveremo di nuovo nella
situazione in cui ci troviamo ora, nella quale io comincerò a dire che
l'unico modo di venirne fuori è quello di formalizzare la logica, per dare
una definizione rigorosa e intersoggettiva dei quantificatori, e anche di
tutti gli altri oggetti che si usano nella logica.
Dunque, a meno che tu non mi voglia trascinare anche in questa disputa, io
continuerò a dirti: «pensa *qualunque* numero naturale n, ed io ti dirò qual
è il termine a_n corrispondente, ed avendo stabilito un modo di fare questa
cosa io dirò di aver fissato una "successione"».
Ebbene, abbiamo visto che se seguiamo questa strada allora "(0)" e "0(0)"
sono solo due nomi diversi della stessa successione, così come "gatto" e
"piccolo felino domestico" sono solo due nomi comuni dello stesso animale,
e il discorso sarebbe finito qui.
A te però questa cosa non sta bene, dici che la tua intuizione di "(0)" e
"0(0)" non corrisponde a 'sta roba qua, eccetera.
Al che io, trovandomi in una impasse, ti chiedo di formalizzare in qualche
modo ciò che hai in testa (o che credi di avere in testa), affinché si possa
fare un discorso rigoroso e intersoggettivo.
Tu però non mi dài una di quelle risposte che piacerebbero a me e che io
considererei una risposta "vera", ma fai una serie di affermazioni che io
faccio fatica a comprendere e che non sono disposto a riconoscere come
risposta alla mia domanda. Per cui insisto e insistito, finché tu fai una
piccola concessione, venendotene fuori con la definizione di Dedekind
di "infinito"[*].
Si tratta di una definizione che va presa con le molle e calata in un
contesto ben preciso, ma visto che è l'unica cosa che sono riuscito
ad estorcerti :-) cerco di farmela bastare.
Perché dico che è una definizione da prendere con le molle?
Ad esempio, per dirne una, quella definizione si applica agli *insiemi*,
mentre tu hai parlato genericamente di "sistemi".
Ora, gli "infiniti 0" che tu rappresenti con "(0)" non sono un "insieme", o
almeno un matematico non direbbe che lo sono. La ragione è che non ha
alcun senso *ripetere gli elementi* di un insieme. Infatti un insieme è noto
quando di un oggetto sappiamo dire se appartiene o meno all'insieme.
Per questo motivo se noi abbiamo l'insieme di lettere T={a, b, c} già
sappiamo che ad esso appartengono le lettere "a", "b" e "c", e non vi
appartengono tutte le altre lettere. Che senso avrebbe, allora, ripetere che
"a" appartiene a T dopo averlo già detto? Per questo motivo non ha senso
dire che T={a, a, b, c}, e anche amesso che abbia senso l'insieme scritto in
quel modo è ancora l'insieme T={a, b, c}, perché se tu ripeti due volte che
"a" appartiene a T stai comunque dicendo che "a" appartiene a T.
Stando così le cose, è chiaro che non ha alcun senso parlare di "un insieme
di due zeri", o di "un insieme di tre zeri". Figuriamoci poi se ha senso
parlare di "un insieme di infiniti zeri". Tutto ciò che possiamo dire è se
lo "0" appartiene o meno ad un certo insieme.
Ma allora, come farei io a parlare di "infiniti zeri"? A me la risposta a
questa domanda sembra ovvia e scontata: quando dico quella cosa in realtà
sto pensando di mettere "uno 0 dopo l'altro", cioè un *primo* "0", un
*secondo* "0", e così via: uno "0" per ogni numero naturale n. Dunque
in realtà sto parlando di un *insieme di coppie*:
    {(1, "0"), (2, "0"), (3, "0")... (n, "0")...}
che - guarda caso - è proprio una bella *successione*.
Tu però da questo orecchio non ci senti, e allora io - fra me e me - faccio
la seguente ragionata:
«In quell'insieme di coppie un elemento della coppia è sempre "0", per cui
in realtà ciò che mi interessa è il primo termine della coppia, che è un
numero naturale. Dunque quell'insieme di coppie, recando una informazione
nulla sul secondo elemento della coppia, alla fin fine di riduce all'insieme
di tutti i numeri naturali, cioè l'insieme N, per cui può darsi che ciò che
Loris ha in testa quando dice "successione/sequenza infinita di zeri" sia
in qualche modo sovrapponibile a ciò che ho in testa io quando parlo
dell'insieme N dei numeri naturali.
In altri termini posso dire che "dietro" a 'sta roba qua:
    0 0 0 0 0 0 ...
si "nasconde" questo:
    0 0 0 0 0 0 ...
    1 2 3 4 5 6 ...
e poiché la prima riga sta lì "a far da palo" alla fine stiamo parlando
di questo:
    1 2 3 4 5 6 ...
Ma siccome non credo che Loris sarebbe disposto a parlarne in questi
termini, proverò a parlare di "(0)" continuando a pensare all'insieme N,
mentre Loris penserà a quel "sistema" (?) che ha in testa lui.»
Essendomi fatto questa bella ragionata, ora posso applicare Dedekind,
perché N è un insieme, ed è anzi il "prototipo" di tutti gli insiemi a cui
si applica Dedekind. Sappiamo benissimo, infatti, che ci sono dei
sottoinsiemi propri di N che sono equipotenti ad esso.
Forte di tutto ciò, provo a lanciarmi in una comunicazione
pseudo-formal-intuitiva, dicendoti che se a "infiniti 0" aggiungiamo uno
"0", abbiamo ancora "tanti 0 quanti ne avevamo prima". Ma tu a questo
punto, dopo aver preteso di far passare le sequoie giganti come se fossero
particelle elementari indivisibili, decidi che è arrivato il momento di
spaccare il capello in quattro :-)
A questo punto che cosa dovrei fare, secondo te? :-)
==========
[*]
Non è del tutto vero che questo "lo sapeva già Galileo". Infatti Galielo lo
presentava come un "paradosso", mentre la matematica moderna, quella del
rigore formale, ha compiuto l'opera grandiosa di trasformare in definizioni
e teoremi tutti ciò che l'intuizione percepiva come "paradosso". Quello che
per Galileo era un "paradosso dell'infinito" per la matematica moderna è una
delle possibili *definizioni* di teoremi. Non a caso Odifreddi ha intitolato
una sua opera divulgativa "C'era una volta un paradosso": ciò che una volta
era un paradosso, ora non lo è più.
-- 
Saluti.
D. 

 n*.
Caro Loris, non vorrei sembrare insistente o maleducato, ma ho l'impressione
che questo sia un punto cruciale della nostra discussione, per cui mi
piacerebbe sapere se hai avuto modo di riflettere su quanto tentavo di
spiegare nel passaggio qui sopra, che ho estratto dal discorso più ampio
che facevo nel mio post precedente.
Dicevo appunto che anche ipotizzando di poter trascurare il problema dei
"doppioni" (problema di cui stiamo discutendo altrove, cercando di capire
quale potrebbe essere la differenza fra "(0)" e "0(0)", e che rispetto a
questo costituisce un problema a parte), anche ipotizzando questo, dicevo,
resta comunque il fatto che continuando a contare tu non potrai fare altro
che contare dei numeri naturali, i quali hanno tutti un numero finito di
cifre, per cui riportando quelle cifre dopo la virgola tu otterrai sempre
e soltanto dei numeri *razionali*.
Che cosa dovrebbe accadere affinché tu potessi aggiungere anche un
solo numero *irrazionale*? È possibile immaginare qualcosa del genere?
Dovresti forse arrivare "fino in fondo", o all'"infinito", là dove si trova
un ipotetico numero naturale con un numero infinito di cifre decimali?
Anche se fosse possibile concepire qualcosa del genere, noi di numeri con
"infinite cifre decimali dopo la virgola" non ne dovremmo aggiungere uno
solo, ma tanti quanti sono i numeri irrazionali, i quali sono talmente
"tanti" che non sono nemmeno numerabili.
Dunque dopo essere arrivato "in fondo ai numeri naturali", tu dovresti
"ricominciare a contare i numeri infiniti", ma non sarebbe un vero
"contare", perché staresti cercando di contare cioè che non è nemmeno
contabile. Per cui arrivato "là in fondo" dovresti "ricominciare a contare
l'incontabile", per riempire tutti i "buchi" lasciati dal conteggio di tutti
i numeri naturali, i quali ti avrebbero permesso di aggiungere solo i numeri
razionali.
A fronte di questo smarrimento, non ti viene il sospetto che stiamo cercando
di immaginare ciò che non è immaginabile, e che può essere solo definito per
le sue proprietà "formali"?
D'altra parte qualunque matematico sa fare senza esitazioni della geometria
n-dimensionale con n > 3, ma per fare questo si affida scrupolosamente alle
definizioni formali, e non cerca di immaginare degli spazi geometrici aventi
più di 3 dimensioni, perché qualunque intuizione cercasse di avere di quello
spazio sarebbe certamente fuorviante. Tant'è che in n dimensioni con n > 3
si dimostrano spesso dei teoremi "sconcertanti" e "paradossali".
Ad esempio qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fourth_dimension
puoi vedere l'"ombra tridimensionale" di un "ipercubo rotante". Riesci ad
"intuire" che cosa accade in 4 dimensioni mentre l'ipercubo ruota? E siamo
solo in 4 dimensioni. Quali potrebbero essere le proprietà di un ipercubo
in una "infinità non contabile di dimensioni"?
-- 
Saluti.
D. 

 moderna è una delle possibili *definizioni* di teoremi.
Eh, buonanotte. Volevo dire:
Quello che per Galileo era un "paradosso dell'infinito" per la matematica
moderna è una delle possibili *definizioni* di "infinito", dalla quale si
possono ricavare dei teoremi.
-- 
Saluti.
D. 

 un ipotetico numero naturale con un numero infinito di cifre decimali?
E' possibile immaginarlo, non certo arrivando "fino in fondo", ma dato un 
numero comunque grande di decimali dopo la virgola. Con questa "lunghezza" 
dei decimali si rappresentano i segni in ogni loro possibile combinazione.
Per esempio: scegliendo la coppia di segni "+/-", con un numero di posti n 
dopo la virgola sono rappresentate tutte le 2^n combinazioni di segni "+" e 
"-". Oppure, la parte decimale di SQR(2) e' rappresentata, per n posti dopo 
la virgola presi in considerazione, in qualche punto dello  sviluppo 
combinatorio in base 10 (dieci segni reciprocamente escludentesi) che 
rappresenta 10^n successioni. E' rappresentata cioe' in qualche Ex parziale 
della successione di successioni di Cantor. La stessa cosa con 
l'antidiagonale. Poi, siccome lo sviluppo combinatorio e' comunque 
numerabile se assumiamo le regole di rappresentazione posizionale dei 
naturali, allora torniamo al punto di partenza: siccome Cantor non puo' 
essere cosi' ingenuo, in tutto quello che ho detto ci deve essere qualche 
grossa cazzata:-). Ma non riesco a trovarla e mi fermo qui.
Un saluto,
Loris

 considerazione filosofica. Chissà cosa ne direbbe Zenone;-)
Non so cosa sputerebbe questa volta, oltre alla lingua :-))
Saluti
qf

 sarebbero congetture.
Come ti dicevo, caro L., secondo me la questione di cui si sta discutendo in
questo thread, e che certamente - come è destino - si è ramificata in alcune
sotto-questioni (anche queste individuabili con chiarezza), possiede un
grado sufficiente di chiarezza perché chiunque abbia interesse per la teoria
cantoriana dell'infinito possa capire di che cosa si sta parlando. Se poi
uno non conosce o non ha capito bene la teoria cantoriana, o semplicemente
non ha la mente allenata per tali questioni, allora il problema - certamente
risolvibile con un po' di pazienza - comincia ad essere il suo.
Si sta parlando di questo.
TESI: il teorema cantoriano sulla sussistenza di una corrispondenza
biunivoca tra R^n ed R, consente di falsificare il metodo diagonale come
metodo in grado di costruire un numerale che non può mai risultare incluso
in una successione di numerali la quale sia stata posta, per ipotesi, come
successione in grado di enumerare tutti i numeri reali.
[Questo metodo diagonale è proprio il metodo con cui Cantor dimostra (per lo
meno in un suo lavoro) la non-numerabilità dei reali. Sì che la TESI
asserisce che tale dimostrazione non è valida come dimostrazione della
non-numerabilità dei reali].
Questo qui sopra è il giro di parole per spiegare di che cosa si sta
discutendo in questo thread. Il contenuto espresso da questo giro di parole
lo potremmo sicuramente "formalizzare". Ma tale formalizzazione non
aggiungerebbe o toglierebbe alcunché a ciò di cui si sta discutendo.
Un saluto,
Marco

 sua volta.
Ma allora in che senso dici che l'intervallo è ***costituito*** da punti? Il 
paradosso nasce proprio dal fatto che 1. e 2., che devono poter stare 
insieme, non sembrano poter stare insieme per i "punti".
A presto,
Marco 

 insieme, non sembrano poter stare insieme per i "punti".
Lo dico nel senso che ho anticipato più sopra: io posso *puntare* entro un 
certo spazio come e quanto mi pare, ma ciò che "punto" non è cosa che posso 
prendere e sommare. Ciascuno dei puntamenti individua una posizione, ma lì 
non c'è niente, tranne la punta della freccia del vettore di puntamento. 
Posso incrementare via via con un contatore il numero di puntamenti diversi, 
ma questo non significa contare i punti; nota infatti che questa idea del 
puntamento (del vettore, ovviamente finito) mette in dubbio la famosa 
corrispondenza biunivoca fra i "punti" di un ipercubo e i "punti" del suo 
spigolo -- infatti con quali coseni direttori posso trasferire quel vettore 
della retta (cioè dotato solo di lunghezza) in un iperspazio?
Un saluto
qf 

 proprietà metriche che non hanno.
Ma, appunto, la prima pretesa implica la connessione tra i punti e
l'intervallo, cioè il postulato di costitutività "puntuale" (quegli infiniti
nulla in cui i punti consistono, li prendiamo perché assumiamo che la
connessione tra punti e intervallo sia tale che l'intervallo è costituito da
punti: i punti che pretendiamo di prendere, sono quelli che costituiscono
l'intervallo come un aggregato di punti; tutto questo, indipendentemente
dalle proprietà matematiche di tale aggregato: densità etc.); la seconda,
implica il postulato di addività.
Tu qui potresti legittimamente obiettarmi che sono la "prendibilità" e la
"sommabilità" *in sé* a scatenare il paradosso, il quale dunque, in questo
senso, sta a monte e non a valle.
Tuttavia, proviamo a domandarci *che cosa* ci spinge a "prendere" i punti e
poi a "sommarli". La risposta mi pare essere fornita, rispettivamente, dalla
1. e dalla 2., le quali sono le due premesse alla base della corretta
deduzione del paradosso. I punti li "prendiamo", perché ce li ritroviamo per
così dire già in mano, una volta che abbiamo "preso" un intervallo e,
tramite il postulato di costitutività "puntuale", lo abbiamo connesso alla
sua costituzione "puntuale"; e li "sommiamo", perché, a causa del postulato
di additività, ci ritroviamo in mano l'estensione dell'intervallo come
risultato dei contributi metrici dei suoi costituenti.
Un saluto,
Marco

 era un paradosso, ora non lo è più.
Certo. Li' Odifreddi afferma questo e tra le righe esprime la fiducia che
qualsiasi paradosso sia razionalmente risolvibile. Odifreddi asserisce, 
insomma, tra detto e non detto e dando tempo al tempo, che O: "In realta' 
non esiste alcun paradosso".
Certo per Odifreddi sarebbe paradossale  se scoprisse che non e' cosi'...
Ma Odifreddi ha ragione, anzi dico di piu', e affermo categoricamente questa 
proposizione P: "Ogni affermazione, che asserisca che l'affermazione di 
Odifreddi e' paradossale, e' paradossale".
Ma che cos'e' poi un paradosso; ce ne sono cosi' tanti e di vari tipi... 
Pero' l'antesignano e' sempre lui, il Mentitore, che ben si merita la 
maiuscola, cosi' essenziale nella sua struttura logica: se P e' vera allora 
e' falsa, se e' falsa allora e' vera. In sostanza il paradosso si risolve 
togliendo in qualche modo ingegnoso quell'implicazione speculare, per cui P 
e' vera AUT e' falsa. Ma vediamo un po'...
Asseriamo Q:"La O di Odifreddi e' paradossale".
Detto questo, la mia P e' vera AUT falsa, altrimenti sarebbe paradossale e 
la O immediatamente falsa.
Se P e' vera, allora Q e' paradossale e conseguentemente O e' falsa.
Se P e' falsa, allora Q e' vera AUT falsa.
Ma se Q e' vera, allora O e' paradossale. Se invece Q e' falsa, allora O e' 
vera AUT falsa.
Se O e' falsa Odifreddi ha torto ed esiste almeno un paradosso mai 
risolvibile.
Ma che O sia vera dipende dalla condizione che la mia P sia falsa, cioe' che 
sia vero che Q e' paradossale e conseguentemente che O sia falsa.
Che dici, caro Davide, suggeriamo a Odifreddi una piccola variazione al 
titolo del suo pregevole saggio? Suggerirei questo: "C'era una volta (e c'e' 
ancora) un paradosso":-)
Un saluto,
Loris

 Marco
No, la formalizzazione, o meglio, la forma, è anche uno strumento per
sapere di cosa sia la sostanza, l'essenza.
Io non sono per la posizione di Mc Luan.
Ossia che il mezzo sia anche il contenuto.
Ma la forma quando non raggiunge l'essenza è solo a causa dell'attività,
magari involontaria, di mascheramento, pur essa interna ai formalismi.
Nei problemi di grande complessità 
(proprio per evitare i fenomeni di mask)
la metalinguistica non è un accessorio rinunciabile.
Quindi avventuriamoci al metalinguaggio della matematica:
1) Considero sufficiente il tuo sforzo di esprimere una tesi e non un
dubbio, come era nel caso di Loris.
2) Naturalmente -secondo me- Loris aveva una tesi, ed era che "Cantor
fosse in errore".
3) Però bisogna dire:
a) quale fosse la tesi esatta di Loris, al posto della tesi di Cantor,
b) la dimostrazione
Ora ci provo io:
: - )
Ip :
Siano i numeri naturali la seguente collezione che indicheremo con N:
N = {1, 2, 3, 4 ... }
Ip :
Siano i numeri razionali la seguente collezione che indicheremo con Q:
Q = {tutti quei numeri ottenibili dai naturali con le 4 operazioni:
somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione}
Ossia tutti quelli della seguente tabella
--
a1 = 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
a2 = 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
a3 = 3/1 3/1 3/3 3/4 3/5 ...
....
--
Etichettiamola
A(t)
a1 = a11(t1) a12(t3) a13(t4) ...
a2 = a21(t2) a22(t5) a23() ...
a3 = a31(t6) a32() a33() ...
....
--
Ora proviamo che la matrice (o tabella) è in corrispondenza biunivoca
con N:
a11(t1)=1/1
a21(t2)=2/1
a12(t3)=1/2
a13(t4)=1/3
a23(t5)=2/2
a31(t6)=3/1
a41(t7)=4/1
....
--
Ora vediamo la dimostrazione di Cantor sul fatto che "non vi sarebbe
corrispondenza biunivoca con N se la tabella contenesse i Reali", ossia
i Razionali + Irrazionali (dove dicasi irrazionali i numeri ottenibili
da operazioni del tipo radice quadrata di 2 = 2^(1/2)= 1,41421356 ...)
Una dimostrazione corretta è al link seguente:
http://www.sciacchitano.it/Diagonalizzazzione%20secondo%20Cantor.pdf
--
Proviamo a spostarci sul modo di ragionare di Cantor, seguendo
l'esposizione del link, che riassumo:
"Argomenti -secondo Cantor- sul perché i Reali = Razionali + Irrazionali
non sarebbero descrivibili da N":
La tabella di Cantor, già la conosciamo, è quella qui sopra che io ho
chiamato A(t) e ripeto di seguito:
A(t):
a1 = a11(t1) a12(t3) a13(t4) ...
a2 = a21(t2) a22(t5) a23() ...
a3 = a31(t6) a32() a33() ...
....
La notazione di Cantor non introduce il valore "ti"
Ma tale notazione ci consente di evidenziare l'esplorazione di A(t).
(senza doverla indicare con le freccette).
Ossia si può "visitare" la tabella andando prima in t1, poi in t2, etc.
Il metodo procede con la "tecnica" dell' assurdo:
Si mostrerà -secondo Cantor- che se noi immaginassimo che A(t) sia con
elementi in R ciò sarebbe assurdo.
Vediamo se è vero con gli argomenti di Cantor:
Valutiamo se vi possa essere però un elemento di R che non sia
descrivibile in A.
Come dovrebbe essere fatto tale elemento?
--
Ip :
sia 
beta= 0,b1 b2 b3 b4 ...
dove
(attenzione è questo il passaggio più delicato)
bi=f(aii)
f(aii) = 2 if aii =/= 2
f(aii) = 1 if aii = 2 
--
Quindi beta è trovato per costruzione su A(t).
Vediamo cosa succede se cominciamo a costruire una tabella al finito e
costruiamo beta:
Sia A(t) ad esempio:
a1 = 0,_1_ 2  3 ...
a2 = 0,4 _5_ 6 ...
a3 = 0,6 7 _8_ ...
....
Dove le sottolineature (ad esempio "_1_" = a11) indicano gli elementi
diagonali nella matrice qui sopra.
Calcoliamo beta:
beta= 0,b1 b2 b3 ...
b1=f(a11)=f(1)=2
b2=f(a22)=f(5)=2
b3=f(a33)=f(8)=2
Ok, in A(t) non vi è una riga -per ora- che sia
beta'(con 3 cifre) = 0,2 2 2 ...
Però potrei metterla in a4
Sia A(t) ad esempio':
a1 = 0,_1_ 2  3 ...
a2 = 0,4 _5_ 6 ...
a3 = 0,6 7 _8_ ...
a4 = 0,2 2 2 _2_... 
Ricalcoliamo beta, poiché ci manca b4
b4 = f(a44) = f(2) = 1
beta''(con 4 cifre) = 0,2 2 2 1 ... =/= a4 = 0,2 2 2 2 ...
Quindi -secondo Cantor- se ne conclude che io potrei realizzare A(t) con
la seguente rappresentazione, ossia mettere beta, ad esempio in a5
a1 = 0,_1_ 2  3 ...
a2 = 0,4 _5_ 6 ...
a3 = 0,6 7 _8_ ...
a4 = 0,2 2 2 _2_...
a5 = 0,2 2 2 1
In tal caso avrei che beta esiste in A(t) ma per *insufficienza di
rappresentazione*.
Infatti se decidessi chi è a55, *comunque lo assumessi con un valore
esplicito*, poiché beta è costruita su A(t), allora,
avrei che la proiezione (beta) la potrei rendere dissimile *per
costruzione* su A(t).
Riproviamo:
Sia A(t) ad esempio'':
a1 = 0,_1_ 2  3 ...
a2 = 0,4 _5_ 6 ...
a3 = 0,6 7 _8_ ...
a4 = 0,2 2 2 _2_...
a5 = 0,2 2 2 1 _8_
dove
b5 = f(a55) = f(8) = 2
da cui
beta'''(con 5 cifre) = 0, 2 2 2 1 2 =
beta''(con 4 cifre) = 0, 2 2 2 1 =
beta'(con 3 cifre) = 0, 2 2 2
che è diverso -beta'''- da a5=0,2 2 2 1 8
--
Critiche al metodo di Cantor:
La tabella A(t) può contenere qualunque numero per ipotesi.
E' chiaro che se dico -a Pierino- dimmi un numero -> vedrai che io te ne
dico uno più grande!
: - )
Pierino: "tutto il cucuzzaro"
Basterà dire -come si giocava da bambini- *tutto il cucuzzaro + 1*
Tale è la dimostrazione di Cantor.
Se gli si da la possibilità di "parlare per secondo" (a Cantor) ci sarà
sempre un numero che nella nostra tabella -in ipotesi che sia costruita
al finito- consentirà di far arrivare qualcuno e dire 
"rilancio l'offerta .. il quadro di Van Gogh .. è un milione di euro
+1".
Ossia di realizzare un'ipotesi che "per costruzione" sia dissimile.
Quindi -a mio avviso- Cantor dimostra che "_data_ una collezione", sia
A(t), 
si può sempre trovare una collezione dissimile da quella data e quindi
non 
cardinalizzabile semplicemente sulla "collezione A(t)".
E' un risultato vero, quello di Cantor, nelle ipotesi in cui vale, 
(limitatamente al fatto di dire che vi è una cardinalizzazione maggiore
di alef(0))
NON in generale, ossia 
"NON è vero che sia impossibile una rappresentazione esterna ad
alef(0)!"
Ma vediamo come ciò va interpretato:
===========================================================
Questo significa -forse- che lo spazio complementare a A(t)
non è cardinalizzabile in generale?
===========================================================
Secondo me l'affermazione precedente è falsa, e giustamente Loris
intuisce che grazie agli spazi complementari (che egli accenna con
l'esempio delle tabelle complementari) si può coprire ben più che
alef(0).
Infatti *esiste un bel teorema* sulla possibilità di misurare la
*cardinalità del continuo*!
http://it.wikipedia.org/wiki/Cardinalità_del_continuo
Vediamo di discuterlo:
Viene affermato che
P(N) = 2^alef(0)= c 
Ossia il numero delle parti (P) di un insieme (N) ha una cardinalità
maggiore dell'insieme originario
[la cardinalità di N è detta alef(0)]
Si noti che per partizione "propria" si deve intendere quanto segue:
http://it.wikipedia.org/wiki/Partizione_(teoria_degli_insiemi)
Ossia la scomposizione avviene tra insiemi disgiunti.
Facciamo un esempio al finito:
Quanto vale la cardinalità di B = [a,b,c] in questo caso?
Se B ha n elementi (qui n=3) 2^n = 8
le partizioni sono:
http://www.dm.uniba.it/~lazzo/precorso2004_05/13sett.pdf
vedi pag 3/16
P(B)={{0,0,0}, {a,0,0}, {0,b,0}, {0,0,c}, {a,b,0}, {a,0,c}, {0,b,c},
{a,b,c}}
oppure equivalentemente
P(B) = {{0}, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}
Infatti con gli insiemi si deve poter ricostruire B con la relativa
unione U
(1) [a,b,c] U [0,0,0] (2)
(3) [0,b,c] U [a,0,0] (4)
(5) [0,0,c] U [a,b,0] (6)
(7) [a,0,c] U [0,b,0] (8)
Quindi -per estrapolazione (ma vi sono trattazioni rigorose sulla
dimostrazione della cardinalità del continuo)- come al finito -per
esempio con B- si dice che con un insieme B con cardinalità n
si ha una card. di P(B)=2^n
Così se "card.di N={1,2,3,...}=alef(0)"
Allora (passando al limite)
card. di P(N) = 2^[alef(0)] 
Quindi non è che non esista la rappresentazione e la relativa
cardinalizzazione esterna all'ipotesi che A(t) sia rappresentato dai
Razionali!
Bensì che tale rappresentazione -> esiste -> è cardinalizzabile -> è sul
continuo -> vale 2^(alef(0))
ripeto:
card. di P(N) = 2^[alef(0)]
: - )
cvd.
PS
x Loris:
Sia Omega l'insieme che si scomponga in
Omega = A(t) U A'(t)
La cardinalità di Omega, grazie al fatto che è la somma di due parti, è
ben maggiore
alla card. di A(t)
Essendo A'(t) lo spazio complementare ad A(t) rispetto a Omega,
quindi rispettando -la composizione A(t) U A'(t)- la ipotesi di
disgiunzione che debbano avere le partizioni.
A(t) può ben essere la tua tabella binaria
A'(t) può ben essere lo spazio complementare di ciò che non fosse
rappresentato in A(t).
Dovremmo avere trovato *solo* una dimostrazione alternativa che la
cardinalità del continuo è 2^(alef(0)).

 riesco a trovarla e mi fermo qui.
Come sai ci sono certi scrittori dei quali si dice che hanno scritto per
tutta la vita lo stesso romanzo, anche se magari di romanzi ne hanno scritti
parecchi.
Ecco, io sarei quasi tentato di dire che riguardo alla questione della
cardinalità degli insiemi Cantor ha continuato per tutta la vita a
dimostrare lo stesso teorema, anche se egli stesso ha impiegato del tempo
per rendersi conto di questa cosa, perché è solo in retrospettiva, girandosi
indietro e osservando il lavoro di tutta una vita, che si può cogliere una
unità nelle proprie vicissitudini.
Ora, il fatto che Cantor sulla cardinalità abbia dimostrato sempre lo
stesso teorema, è una cosa che ci interessa per ben due ragioni:
1) innanzi tutto se raggiungiamo la consapevolezza di quella unità allora
possediamo una formidabile chiave di interpretazione per leggere tutta
l'opera di Cantor, i suoi sforzi, le sue congetture, le sue idee geniali,
i suoi ripensamenti, le diverse dimostrazioni dei medesimi teoremi,
eccetera;
2) in secondo luogo, a prescindere dall'interesse che possiamo avere per
la storia della matematica, quell'unico teorema di cui sto parlando ci
permetterebbe anche di impostare in modo sintetico ed elegante un corso
di matematica, perché tutti i vari teoremi sulla cardinalità di cui abbiamo
parlato in questi giorni si possono ricavare come corollari di quell'unico
teorema.
Vedi bene, allora, che dal mio punto di vista sarebbe assolutamente cruciale
poter enunciare quel teorema, mentre invece non lo abbiamo ancora enunciato
in modo chiaro e rigoroso, e per di più la situazione nella quale ci siamo
cacciati non ci consente di farlo, perché da una parte non siamo riusciti
a mettere a punto con chiarezza certi concetti matematici di cruciale
importanza, e dall'altra parte abbiamo continuato per giorni e giorni
ad "inquinare" la discussione con concetti intuitivi ambigui e fuorvianti,
come sono tutti quei concetti che ruotano attorno all'"infinito".
Prima di andare avanti, vorrei enunciare questo fantomatico teorema dal
quale si possono ricavare tutti gli altri e dal quale ci può venire una luce
per comprendere tutto ciò che abbiamo tentato di fare e di dire in questi
giorni. E stai attento, perché l'unica difficoltà di questo teorema sta
nella sua disarmante e apparentemente ovvia semplicità.
Questo teorema afferma che:
***
se abbiamo due insiemi A e B, e poi prendiamo l'insieme delle funzioni
da A a B, allora non è possibile mettere in corrispondenza biunivoca
l'insieme A con l'insieme delle funzioni da A a B.
***
(Purché A o B non siano costituiti da un solo elemento, ma questo è un caso
singolare privo di qualunque interesse, che in seguito non prenderemo
nemmeno in considerazione.)
Tutto qui.
Ora, questo teorema per certi versi potrà sembrare assolutamente ovvio e
banale, ma per comprenderne tutta la immensa portata bisogna che riflettiamo
in modo profondo e rigoroso sul concetto di "funzione".
Ho già spiegato nei giorni scorsi che dati due insiemi A e B si può sempre
costruire il loro "prodotto cartesiano", che è l'insieme di tutte le coppie
costituite da un elemento di A e un elemento di B.
Come mai per parlare delle funzioni parliamo delle coppie?
Beh, per rispondere a questa domanda in modo intuitivo, possiamo ricordarci
del modo in cui ci hanno insegnato a scuola gli insiemi e le funzioni.
Qualcuno ha disegnato sulla lavagna un cerchio, e ci ha detto che quello
era l'insieme A. Poi in quel cerchio ha disegnato dei puntini, li ha
chiamati "a", "b", "c" eccetera, e ci ha detto che quelli erano gli elementi
dell'insieme A. A questo punto ha fatto lo stesso con l'insieme B, magari
chiamando i suoi elementi "1", "2", "3" eccetera. Quando poi è venuto il
momento di spiegarci che cosa era una relazione o una funzione fra gli
elementi di A e gli elementi di B, ha disegnato delle frecce che andavano da
qualche elemento di A a qualche elemento di B. Ad esempio può aver disegnato
una freccia che andava da "a" a "2", un'altra freccia che andava da "c" a
"1", e magari ha fatto anche delle cose strane, come far partire due frecce
da "a", una che andava a "2" e l'altra che andava a "3", spiegandoci che
quella non era propriamente una funzione, però era pur sempre una relazione.
Ebbene, tutti questi "disegnini" possono aiutare l'intuizione di un bambino
o di un ragazzino, ma se vengono proposti ad una persona adulta che ha una
notevole sensibilità filosofica, anziché aiutarlo lo si confonde, perché
quello ha bisogno di chiarezza, di rigore e di senso critico. Dunque anziché
disegnare una freccia che va da "a" a "2", sarà meglio parlare della *coppia
ordinata* (a, 2), costituita dall'elemento "a" di A e dall'elemento "2" di
B. Pertanto quando parliamo del prodotto cartesiano AxB stiamo parlando
dell'insieme di tutte le possibili "frecce". Con la differenza che per usare
le frecce siamo costretti a immaginare dei "disegnini", il che può essere
fatto solo per insiemi molto semplici e ordinari, mentre l'insieme AxB può
essere definito in modo rigoroso e formale per qualunque coppia di insiemi.
Ora, quando sulla lavagna venivano disegnate un po' di frecce dagli elementi
di A a quelli di B, senza stare a preoccuparsi se da uno stesso elemento di
A partivano più frecce o se magari da certi elementi non ne partiva nemmeno
una, ecco, in quella circostanza dicevamo che stavamo disegnando una
"relazione". E questo corrisponde alla nostra intuizione della cosa, perché
se ad esempio vogliamo rappresentare la relazione "Genitore" fra l'insieme
degli adulti e l'insieme dei bambini, ci saranno degli adulti che sono
genitori di più bambini, altri adulti che non sono genitori di nessun
bambino, molti bambini che hanno due genitori, ma anche bambini che
purtroppo ne hanno uno solo o magari nessuno. Dunque se è vero che
basta disegnare un po' di frecce per avere una relazione, allora formalmente
possiamo dire che ogni sottoinsieme R di AxB definisce una relazione.
E arrivamo finalmente al concetto di funzione. Una funzione infatti è una
particolare relazione, che associa uno e un solo elemento di B a ogni
elemento di A. Attenzione: questo non significa che a ogni elemento di
A viene associato un diverso elemento di B, perché questa sarebbe
una ulteriore richiesta, che solo alcune funzioni soddisfano. No, a noi
interessa che da ogni elemento di A parta una e una sola freccia che arriva
a qualche elemento di B, e se poi a qualche punto di B arrivano due o più
frecce, pazienza. E il fatto che da ogni elemento di A parta una sola
freccia, ci permette, per ogni "a" di A, di parlare di quell'unico elemento
di B che resta associato ad a dalla funzione f, un elemento che indichiamo
con f(a).
Consideriamo ora un caso estremamente semplice, il caso in cui l'insieme
A è costituito da due soli oggetti, che chiamiamo "a" e "b", mentre
l'insieme B è costituito, diciamo, da tre oggetti, che chiamiamo "1", "2" e
"3".
Tanto per cominciare, consideriamo l'insieme di tutte le possibili coppie,
cioè l'insieme AxB, che è il seguente:
(a, 1)   (b, 1)
(a, 2)   (b, 2)
(a, 3)   (b, 3)
Come dicevo, se prendiamo un qualunque sottoinsieme di AxB, come ad esempio
questo:
#(a, 1)   ~(b, 1)
~(a, 2)   ~(b, 2)
#(a, 3)   ~(b, 3)
abbiamo già stabilito una relazione fra A e B (al solito marco con "~" gli
elementi di AxB che non fanno parte del sottoinsieme, e marco con "#"
quelli che ne fanno parte).
Tuttavia una relazione come quella che ho appena definito non è una
funzione, perché per avere una funzione bisogna prendere una e una
sola coppia per ogni "colonna", come ad esempio facciamo qui:
~(a, 1)   ~(b, 1)
~(a, 2)   #(b, 2)
#(a, 3)   ~(b, 3)
Ecco, questa è la funzione f che ad "a" associa "3" ed a "b" associa "2".
Ebbene, *quante* sono le funzioni che vanno da A a B?
Non ci vuole molto a capire che ogni elemento di A può essere associato a 3
diversi elementi di B, perché B è costituito proprio da 3 elementi. Dunque
se A fosse costituito da n elementi noi avremmo 3^n possibili funzioni. Per
fortuna abbiamo scelto un A con soli 2 elementi, così possiamo dire che le
funzioni sono in tutto 3^2=9. E con un po' di pazienza le possiamo anche
esplicitare tutte e 9:
------f1------
#(a, 1)   #(b, 1)
~(a, 2)   ~(b, 2)
~(a, 3)   ~(b, 3)
------f2------
#(a, 1)   ~(b, 1)
~(a, 2)   #(b, 2)
~(a, 3)   ~(b, 3)
------f3------
#(a, 1)   ~(b, 1)
~(a, 2)   ~(b, 2)
~(a, 3)   #(b, 3)
------f4------
~(a, 1)   #(b, 1)
#(a, 2)   ~(b, 2)
~(a, 3)   ~(b, 3)
------f5------
~(a, 1)   ~(b, 1)
#(a, 2)   #(b, 2)
~(a, 3)   ~(b, 3)
------f6------
~(a, 1)   ~(b, 1)
#(a, 2)   ~(b, 2)
~(a, 3)   #(b, 3)
------f7------
~(a, 1)   #(b, 1)
~(a, 2)   ~(b, 2)
#(a, 3)   ~(b, 3)
------f8------
~(a, 1)   ~(b, 1)
~(a, 2)   #(b, 2)
#(a, 3)   ~(b, 3)
------f9------
~(a, 1)   ~(b, 1)
~(a, 2)   ~(b, 2)
#(a, 3)   #(b, 3)
Proviamo ora a generalizzare questo risultato. Se prendiamo due insiemi A e
B costituiti da un numero qualunque (stavo per dire: "un numero finito", ma
è ovvio che un numero è "finito" - che altro potrebbe essere? :-) ) di
elementi, e indichiamo con |A| e |B| il numero di elementi di A e di B,
allora dovrebbe essere diventato chiaro che il numero di funzioni che vanno
da A a B è pari a |B|^|A|. Per questa ragione l'insieme delle funzioni che
vanno da A a B viene anche indicato come "insieme potenza", e scritto B^A.
Infatti così facendo i matematici possono scrivere un bel teoremino in
questa forma elegantissima:
..    |B^A| = |B|^|A|
il quale vale per lo meno tutte le volte che gli insiemi A e B sono
costituiti da "un certo numero di elementi".
(Questa, per altro è la stessa ragione per la quale il "prodotto
cartesiano" AxB si chiama e si scrive così. Infatti se indichiamo con AxB
l'insieme di tutte le coppie ordinate di elementi di A e di B allora il
numero di elementi di AxB è pari al prodotto del numero di elementi di
A per il numero di elementi di B, cioè:
..    |AxB|> = |A|x|B|
Diciamo allora che rispetto alla potenza e al prodotto le "parentesi
diritte", cioè |...|, si possono "distribuire".)
A questo punto è arrivato il momento di ricordare quello che (un po'
azzardatamente) ho definito "l'unico teorema di Cantor sulla cardinalità",
il quale - lo ricordo - afferma che l'insieme A non può essere messo in
corrispondenza biunivoca con l'insieme delle funzioni da A a B.
Dopo aver fatto tutta l'analisi che abbiamo fatto fino a qui, potremmo avere
l'impressione che la montagna abbia partorito un topolino. Abbiamo visto
infatti che il numero di funzioni da A a B è pari a |B|^|A|, e siccome
abbiamo escluso di avere degli insiemi costituiti da un solo elemento allora
è chiaro che |B|^|A| è un numero più grande di |A|. Basta che B sia
costituito da due soli elementi (ecco, bastano due soli elementi: te li
ricordi "+" e "-", oppure "m" e "w", oppure "0" e "1"?) dicevo che basta
che B abbia due soli elementi, e già siamo fritti, perché la potenza cresce
in modo esplosivo:
..|A|=n     |B^A|=2^n
2          2^2 = 4
3          2^3 = 8
4          2^4 = 16
....
Ed è chiaro che sia così. Infatti se abbiamo un insieme A di quattro
elementi, ad esempio A={a, b, c, d} e consideriamo le funzioni che a ogni
elemento di A associano "+" o "-", allora ad ogni elemento di A possiamo
associare due diversi elementi, e le combinazioni possibili sono appunto
2x2x2x2=2^4=16.
Dunque "l'unico teorema di Cantor sulla cardinalità" non fa altro che dirci
che 2^n è più grande di n quando n è maggiore di 1? Tutto qui?
E no, perché noi fino a qui per fare i nostri esempi e i nostri conticini
abbiamo dovuto ipotizzare che gli insiemi A e B fossero costituiti da
"un certo numero di elementi". Ma che fare quando quando non lo possiamo
dire?
Ecco, la grandezza di Cantor sta nell'aver trovato un modo per dimostrare
questo teorema senza fare alcun riferimento al "numero di elementi" degli
insiemi A e B. Ed è qui che si mostra tutta la potenza del "metodo
diagonale".
Prima di andare avanti mi devo fermare per dire ancora qualcosa sulle
funzioni, e in particolare sul modo in cui le rappresentiamo.
Fino a qui ho usato il seguente metodo: disegno una sorta di tabella che
contiene tutte le possibili coppie di AxB, e poi vado ad "annerire" quelle
coppie che appartengono ad un certo sottoinsieme.
Ebbene, questo è esattamente ciò che si fa quando si disegna il "grafico" di
una funzione dall'insieme R (cioè reali/retta) all'insieme R. Solo che in
quel caso si ha una "tabella continua", una tabella costituita da tutti i
punti del piano, ognuno dei quali rappresenta una certa coppia (x,y). Dunque
quel modo di rappresentare le funzioni, rappresentando tutto l'insieme AxB e
poi "marcando" un certo sottoinsieme, è il metodo che consiste nel
"disegnare il grafico".
Un altro metodo è quello di limitarsi ad elencare tutte le coppie che
costituiscono una certa funzione.
Ad esempio se abbiamo questa funzione:
------f8------
~(a, 1)   ~(b, 1)
~(a, 2)   #(b, 2)
#(a, 3)   ~(b, 3)
la possiamo anche scrivere così:
(a, 3)   (b, 2)
o magari così:
a  b
3  2
Si tratta evidentemente di un modo molto più sintetico, il quale ci consente
di costruire una tabella nella quale vengono rappresentate più funzioni. Ad
esempio se volessimo rappresentare tutte e 9 le funzioni che abbiamo trovato
prima potremmo fare così:
        a  b
       -----
f1     1  1
f2     1  2
f3     1  3
f4     2  1
f5     2  2
f6     2  3
f7     3  1
f8     3  2
f9     3  3
Ebbene, se fosse possibile mettere tutte queste funzioni in corrispondenza
biunivoca con gli elementi di A, allora ci dovrebbero essere solo due
funzioni: una che corrisponde ad "a" e l'altra che corrisponde a "b". Invece
le funzioni sono molte di più, e anche se associassimo f1 ad "a" ed f2 a "b"
ne resterebbero comunque fuori ben 7:
           a  b
          -----
a  f1     1  1
b  f2     1  2
    f3     1  3
    f4     2  1
    f5     2  2
    f6     2  3
    f7     3  1
    f8     3  2
    f9     3  3
Come dicevo, quando gli insiemi A e B sono costituiti da "un certo numero"
di elementi, è chiaro che questa corrispondenza biunivoca fra le funzioni e
gli elementi di A non c'è e non può esserci.
Ma quando non si può dire che A e di B sono costituiti da "un certo numero"
di elementi?
Ecco, qui arriva l'idea cruciale di Cantor, il quale *ipotizza per assurdo*
che lo si possa fare. Sarebbe come se noi ipotizzassimo per assurdo che nel
caso precedente ci sono solo due funzioni, le quali anziché essere chiamate
f1 e f2 a questo punto potrebbero essere chiamate fa e fb, o meglio, per
tenere distinti gli "indici", f_a e f_b, o addirittura f(a) ed f(b), avendo
però l'accortezza di comprendere chiaramente che f(a) non è una generica
funzione f applicata ad "a", ma è la funzione associata ad "a", la quale,
essendo una funzione, può essere calcolata sia per "a" sia per "b", e prende
quindi un secondo argomento. Avremmo dunque:
f_a(a) = f(a)(a) = f1(a) = 1
f_a(b) = f(a)(b) = f1(b) = 1
f_b(a) = f(b)(a) = f1(a) = 1
f_b(b) = f(b)(b) = f1(b) = 2
dopodiché altre funzioni, per ipotesi (assurda!) non ne esisterebbero.
Come vedi qui sono saltati fuori due argomenti: un primo argomento che ci
serve per "indicizzare" tutte le funzioni, e poi un secondo argomento che è
l'argomento della funzione. Possiamo anche ragionare diversamente, dicendo
che la corrispondenza biunivoca fra A e B^A è un certo funzionale F (è così
che i matematici chiamano le funzioni che "restituiscono" delle funzioni),
il quale ad ogni elemento "a" di A associa una corrispondente funzione
f_a=F(a), dopodiché la funzione f_a ovviamente può essere calcolata per ogni
elemento di A. Comunque sia, abbiamo ora due argomenti, e due argomenti sono
la forma rigorosa e formale nella quale si può rendere la famosa "tabella"
di cui andremo a prendere la "diagonale" e poi l'"antidiagonale".
Se ci sono da qualche parte degli insiemi dei quali *non si può dire* che
"sono costituiti da un certo numero di elementi", la nostra morsa sta ora
stringendosi anche su di essi. Perché in questo modo noi andremo a "pescare"
una di quelle altre funzioni che *per assurdo* stiamo considerando
inesistenti.
Tutto chiaro fino a qui? Ci sono domande? :-)
-- 
Saluti.
D. 

 card. di P(N) = 2^[alef(0)]
Perplessita' che sono quelle di Qf, solo mitigate dalla mia competenza 
matematica inferiore alla sua.
Ma questo si puo' mettere tra parentesi, perche' mi preme un'unica domanda, 
dalla risposta alla quale penso che il mio dubbio possa risolversi in un 
senso o in un altro.
Il teorema di Cantor in questione dimostra, in termini di cardinalita', che 
2^M > M, dove M e' un qualsiasi cardinale. Sulla base di questo Cantor 
sostiene la possibilita' di costruire una successione di cardinali di 
cardinalita' crescente.
Chiamando l'Aleph "A": 2^A0 < 2^2^A0 < 2^2^2^A0...
Domanda: per ogni b>2 e' valida la diseguaglianza b^A0 > 2^A0 ?
(ti lascio solo indovinare il motivo della domanda:-))
Un saluto,
Loris

 Loris
Caro Loris,
lasciami dire che ti ringrazio e sono contento che hai apprezzato la mia
trattazione, sebbene non è che dicessi molto di mio, ma una panoramica
di ciò che è già noto sull'argomento.
Ma -come certamente tu sai- [visto che (se ricordo bene) discussi io per
primo del metodo diagonale di Cantor per giustificare che una
cardinalizzazione andrebbe interpretata come qualcosa di scenario tra
spazi conformi e non direttamente come dimensioni di spazi] è rischioso
immergersi nella matematica di alto livello.
E' rischioso perché andrebbe fatto con metodo.
Prendi ad esempio Solania.
Ha una sua campagna contro la logico/matematica.
Non è che ha tutti i torti.
Perché bisognerebbe avere un bagaglio di capacità di cibernetica per
entrare nel modo giusto nella matematica.
Meglio non entrarvi affatto -> se non si conosce che il delirio e
l'allucinazione -> ci potrebbero fare compagnia.
Io me ne evito -di riflettere in profondità sulle questioni di
matematica- non per snobbismo, ma perché ho studiato le dinamiche
dell'eureka.
Possono facilmente portare alla destabilizzazione mentale -> tanto più
si è pronti a ragionare accogliendo la novità per introdurre elementi di
flessibilità nella gestione di strumenti idonei alla soluzione
dell'ignoto.
Quindi, in questo luogo pubblico, a mio avviso, la nostra è anche una
funzione magistrale, di magister ludi alla Hermann Hesse.
Per cui nell'indicare che dovrebbe esservi un metodo (magari da cambiare
-tramite argomentazioni- con un altro metodo) io pongo solo una
questione di cibernetica, ossia dell'arte di navigare nella conoscenza
non ancora disponibile.
Per il resto ti ho scritto queste poche righe -oltre perché sono onorato
della discussione in cui mi lasciate il diritto di parola- per dire che
non ti posso rispondere subito sulla tua domanda perché la matematica
non è una cosa superficiale, richiede tempo.
Tra la versione iniziale e finale del mio post di ieri ho -di fatto-
perso la cognizione del tempo e dalle 8 di mattina sono andato a
sbattere alle 8 di sera .. (anche se mi rendevo conto del tempo che
passava, ma se inizio una cosa mi piacerebbe completarla).
: - )
Questo -come vedi- contraddice le questioni di cibernetica che
sembrerebbero ingessarmi.
Ma Ulisse non si fece legare alla barca per andare ad ascoltare il canto
delle sirene?
Quindi io so già che nel momento che accetto di immergermi nella
matematica non lo so fare in modo superficiale.
Perdo i miei connotati di persona per come mi conosco.
Ciò -se ci si muove in modo onesto- è per tutti!
Solo il freno di dissolverci nella follia -con a pochi centimetri la
soluzione di un enigma- ci può fermare.
Ecco perché bisognerebbe lasciarsi del tempo e molta calma per esaminare
la riflessione profonda.
Tutto ciò detto perché questi concetti -secondo me- non servono solo a
noi .. ma sono questioni di .. filosofia .. mettere la saggezza a
disposizione NON del diritto a essere onorati perché di razza superiore
... ma perché è saggio domandarsi cosa ci aspettiamo dal tempo che
mettiamo come su un altare immolato a quello che avevamo a disposizione.
Non pensare quindi che sia una mancanza di delicatezza verso di te -> se
non posso risponderti subito, poiché appena mi sarà possibile cercherò
di vedere se ho qualcosa di valido da poter dire ..
Seguo comunque la Vs interessante discussione e ve ne ringrazio,
Lino

equipotenza degli insiemi dei punti del quadrato e del suo lato.
Ciao Loris, ti sottopongo due brevi osservazioni, che dovrebbero per lo meno 
servirci per recuperare la questione originaria.
1. Come sai, l'intuizionismo non accetta la prova diagonale di Cantor. E 
capire la ragione di questa non accettazione è, credo, abbastanza semplice. 
C'è ovviamente di mezzo la questione dell'"infinito attuale" che, nel caso 
dell'argomento diagonale, si specifica nella prescrizione, ai fini della 
costruzione del numerale che non può risultare incluso nella successione, di 
cambiare la cifra "diagonale" a *tutti* gli elementi della successione. 
Questa prescrizione non può essere intuizionisticamente eseguita. Ed è 
facile rendersi conto che avendo cambiato solo un certo numero di cifre 
"diagonale", il numerale così ottenuto sarà ancora incluso nella 
successione.
Perciò, se si vuole confutare la prova diagonale sul fondamento della 
inaccettabilità dell"infinito attuale", credo che sia sufficiente 
l'osservazione qui sopra.
2. La tua dimostrazione fa uso del teorema Dq. Hai, secondo me molto 
giustamente, insistito sul fatto che la dimostrazione cantoriana Dd della 
non-numerabilità dei reali [la possiamo trovare qui: 
http://snipurl.com/3j0nh
 , il lingua originale e nella sua traduzione in 
inglese] è indipendente dalla imposizione, ai segni utilizzati, di un 
significato matematico. Ma tale indipendenza vale anche per la dimostrazione 
del teorema Dq, il quale rientra nella tua dimostrazione?
Per adesso mi limito volutamente a buttare lì questa domanda. Ma il suo 
senso è ovvio. Si tratta di capire se la tua dimostrazione fa uso di qualche 
premessa o di qualche assunzione che rende inutilizzabile Dq. In questo modo 
Dq non potrebbe essere utilizzato per invalidare Dd. Questa inutilizzabilità 
di Dq sarebbe uno dei modi possibili per neutralizzare la tua dimostrazione.
Cari saluti e buon sabato,
Marco
 

 Tutto chiaro fino a qui? Ci sono domande? :-)
Ammesso che tutto ciò sia più o meno chiaro, proviamo ad andare avanti.
Prima di "stringere la morsa", tanto per prendere confidenza con i concetti
che stiamo impiegando, proviamo a fare un altro esempio, usando di nuovo
degli insiemi "con un certo numero di elementi". Questa volta supporremo che
l'insieme A sia costituto da quattro elementi, che indichiamo con le prime
quattro lettere, cioè A={a, b, c, d}, e che l'insieme B sia costituito da
due soli elementi, che per farti felice :-) indichiamo con due segni
qualunque, come possono essere "~" o "#": B={~, #}.
Ora, la nostra formuletta ci dice che di funzioni da A a B ce ne devono
essere B^A, cioè 2^4=16. E infatti non è difficile scrivere queste 16
funzioni:
           a b c d
           ----------
f_01     ~ ~ ~ ~
f_02     ~ ~ ~ #
f_03     ~ ~ # ~
f_04     ~ ~ # #
f_05     ~ # ~ ~
f_06     ~ # ~ #
f_07     ~ # # ~
f_08     ~ # # #
f_09     # ~ ~ ~
f_10     # ~ ~ #
f_11     # ~ # ~
f_12     # ~ # #
f_13     # # ~ ~
f_14     # # ~ #
f_15     # # # ~
f_16     # # # #
Supponiamo ora per assurdo che esista un certo funzionale biunivoco F che ad
ogni elemento di A associa una funzione da A a B, cioè un funzione da A a
B^A. Come dicevo nell'articolo precedente, essendo questo un caso in cui gli
insiemi A e B sono costituiti da "un certo numero di elementi" tale ipotesi
ci appare immediatamente in tutta la sua assurdità, poiché stiamo
ipotizzando di mettere in corrispondenza biunivoca 4 oggetti con 16 oggetti.
Dunque non ci sarebbe nemmeno bisogno di applicare il "metodo diagonale"
per mostrare tutta l'assurdità di quella ipotesi. Diciamo che applicare qui
il metodo diagonale è come mettere in funzione un maglio industriale per
schiacciare una nocciolina. Tuttavia noi ora per impratichirci con il
funzionamento del maglio metteremo proprio in funzione un maglio industriale
per schiacciare una misera nocciolina, e faremo finta di non vedere che 16 è
più grande di 4.
Ipotizziamo dunque che ci sia questo funzionale F che ad ogni elemento
di A ne associa uno di B^A:
    f_x = F(x)   per x = a, b, c, d
È chiaro che di funzioni ne può associare solo 4 su 16, per cui alla fine ci
ritroveremo con 4 di quelle funzioni, convinti (per assurdo) di averle prese
tutte. Ad esempio le 4 funzioni potrebbero essere le prime 4 della nostra
tabella (ma non è detto che siano proprio quelle, anche perché non c'è un
modo "naturale" di ordinarle):
           a b c d
           ----------
f_a     ~ ~ ~ ~
f_b     ~ ~ ~ #
f_c     ~ ~ # ~
f_d     ~ ~ # #
Ebbene, a partire da queste funzioni, costruiamo ora una nuova funzione dg
(dove qui dg sta ovviamente per "diagonale"), così definita:
dg(x) = f_x(x)
Nel nostro caso abbiamo:
      a b c d
     ---------
dg   ~ ~ # #
Siccome abbiamo ipotizzato, per assurdo, che il nostro funzionale F ci
permette di "catturare" tutte le funzioni possibili, ora siamo costretti a
pensare che la funzione dg così costruita sia una delle 4 funzioni f_a, f_b,
f_c e f_d. E se quelle 4 funzioni le avessimo scelte in qualche altro modo
già ora forse ci troveremmo nei guai, non riuscendo a "sovrapporre" la
nostra funzione dg a nessuna di quelle 4 funzioni. Noi però siamo stati
fortunati, perché abbiamo scelto quelle funzioni in modo tale che quella
sovrapposione è effettivamente possibile, e infatti la nostra funzione dg si
sovrappone perfettamente alla funzione f_d.
E va bene, siamo stati fortunati, ma ora stiamo per fare una mossa che non
lascerà scampo alla nostra "ipotesi per assurdo". Definiamo infatti una
seconda funzione, adg (cioè "antidiagonale") la quale è definita nel modo
seguente:
    adg(x) = ~   se dg(x) = #
    adg(x) = #   se dg(x) = ~
dunque abbiamo:
       a b c d
      ---------
adg   # # ~ ~
Avendo noi "sott'occhio" tutte le funzioni che abbiamo scelto e anche tutte
le funzioni possibili, ci rendiamo conto immediatamente che questa funzione
non rientra fra le 4 funzioni che restano associate agli elementi di A,
poiché coincide con la f_13, che avevamo lasciato fuori, facendo finta
di ignorarne l'esistenza.
Ma adg resta fuori dalle funzioni scelte perché siamo stati sfortunati nel
sceglierle, oppure resta fuori perché è necessario che resti fuori per come
è stata costruita? Se avessimo scelto diversamente le funzioni f_a, f_b, f_c
e f_d, avremmo potuto avere la fortuna di ritrovarci fra di esse anche la
funzione adg, come prima abbiamo avuto la fortuna di ritrovarci fra di esse
la funzione dg?
Per rispondere a questa domanda, supponiamo di non avere la minima idea
di quali siano le quattro funzioni che va a "pescare" il funzionale F per
associarle ad "a", "b", "c" e "d". Dunque abbiamo genericamente 4 funzioni
f_a, f_b, f_c e f_d, delle quali non sappiamo nulla, se non che ognuna di
esse associa un certo elemento di B ad ogni elemento di A:
           a          b          c          d
        --------------------------------
f_a     f_a(a)   f_a(b)   f_a(c)   f_a(d)
f_b     f_b(a)   f_b(b)   f_b(c)   f_b(d)
f_c     f_c(a)   f_c(b)   f_c(c)   f_c(d)
f_d     f_d(a)   f_d(b)   f_d(c)   f_d(d)
A partire da queste funzioni possiamo costruire la funzione dg:
           a          b          c          d
        --------------------------------
dg     f_a(a)   f_b(b)   f_c(c)   f_d(d)
Ebbene, avendo ipotizzato che quelle 4 funzioni siano tutte le funzioni
possibili, noi ora siamo costetti ad affermare che la funzione dg sia una di
quelle quattro funzioni, ovvero che essa coincida con qualche f_x per x
appartenente all'insieme A. Ed effettivamente non c'è nulla di
contraddittorio nell'affermare questo. Ad esempio se ipotizziamo che tale
funzione sia la f_c, allora stiamo dicendo che le seguenti due funzioni sono
uguali:
           a          b          c          d
        --------------------------------
f_c     f_c(a)   f_c(b)   f_c(c)   f_c(d)
dg     f_a(a)   f_b(b)   f_c(c)   f_d(d)
il che implica semplicemente che si abbiano le seguenti uguaglianze:
    f_c(a) = f_a(a)   (possibile)
    f_c(b) = f_b(b)   (possibile)
    f_c(c) = f_c(c)   (certo, certissimo, la cosa più certa che c'è!)
    f_c(d) = f_d(d)  (possibile)
Si osservi che in mezzo a tante affermazioni possibili ne abbiamo anche un
certa. Anzi, certissima, essendo vera per il principio di identità:
    f_c(c) = f_c(c)
Prendiamo ora la funzione adg. Essa è definita in modo tale da essere sempre
diversa da dg, per ogni argomento. Ma allora la cosa prende una brutta
piega, perché se ipotizziamo che la funzione adg sia una di quelle quattro
funzioni, laddove c'era l'affermazione del principio di identità ora c'è la
negazione di quel principio, che è la cosa più impossibile che c'è. Ad
esempio se ipotizziamo che adg coincida con f_c, in mezzo a tante
affermazioni tutte possibili ci ritroviamo questa:
    f_c(c) <> f_c(c)  (impossibile, la cosa più impossibile che c'è!)
Ecco, a questo punto la nostra ipotesi va ad infrangersi contro un muro la
cui evidenza non può essere negata in alcun modo, e questo ci costringe ad
ammettere che la nostra ipotesi era una ipotesi assurda, che va respinta,
poiché devono esistere necessariamente altre funzioni oltre a quelle
"catturate" dal funzionale F e messe in corrispondenza con gli elementi
di A.
==========
Ora che dovremmo esserci impratichiti con questi concetti e con questa
dimostrazione, proviamo a rifare il tutto usando due generici insiemi A e B,
dei quali non sappiamo assolutamente se siano costituiti o meno da "un certo
numero di elementi".
Dunque, cominceremo con l'ipotizzare per assurdo che esista un funzionale
F che realizza una corrispondenza biunivoca fra gli elementi di A e le
funzioni da A a B, sicché *per ogni x in A* avremo la funzione
    f_x = F(x)
la quale a sua volta si applica a tutti gli elementi di A, per cui se z è un
altro elemento di A (che può coincidere o meno con x) potremo applicare
la funzione f_x a z, ottenendo un certo elemento f_x(z) di B.
Definiamo ora una funzione diagonale:
    dg(x) = f_x(x)   *per ogni x in A*
Si osservi che qui stiamo usando *solo i quantificatori*, e non nominiamo
in alcun modo né il "finito" né l'"infinito".
Fatto questo, dobbiamo definire una qualche "regola" D (dove D sta per
"diverso") che ci permette di "cambiare elemento" in B. Ad esempio se B è
costituito dai soli elementi "0" e "1", D sarà una "regola" che al posto di
"0" prende "1" e viceversa. Non c'è nulla di strano nel fare questo, perché
D è semplicemente una funzione da B a B, definita in modo tale che
    D(y) <> y   per ogni y in B
Ora che abbiamo questa regola/funzione possiamo usarla per definire una
funzione "antidiagonale" adg:
    adg(x) = D(dg(x))   per ogni x in A
E siccome avevamo ipotizzato che le funzioni f_x fossero tutte le funzioni
possibili da A a B, bisogna che in A ci sia un quale elemento w tale che
    adg = f_w
ovvero
    adg(x) = f_w(x)   per ogni x in A
Ora, se questa è vera per ogni x, in particolare deve essere vera per x=w:
    adg(w) = f_w(w)
Ma d'altra parte per definizione abbiamo
    adg(w) = D(dg(w)) = D(f_w(w))
dunque si ottiene:
    f_w(w) = D(f_w(w))
ovvero
    f_w(w) <> f_w(w)
Stiamo dunque negando il principio di identità, e questa è la cosa più
impossibile che c'è.
Dunque la nostra ipotesi deve essere respinta.
-- 
Saluti.
D. 

> Tutto chiaro fino a qui? Ci sono domande? :-)
Ciao Davide. Si' e' tutto chiaro, ma proprio perche' lo e' ci sto ancora 
meditando, per organizzare una risposta altrettando chiara che riesca ad 
"agganciare" la mia obiezione nei termini in cui tu poni la questione, onde 
evitare che tu mi parli in lingua e io ti risponda in un suo dialetto. Leggo 
anche questo che aggiungi e che conclude la dimostrazione per assurdo sulla 
base del principio di identita'. Alzero' la mano:-) appena finito di 
ruminare.
Ti ringrazio e un saluto,
Loris

 E' rischioso perché andrebbe fatto con metodo.
Caro Lino, comprendo benissimo la tua riserva mentale e non posso certo 
darti torto. Neppure dovresti farti carico della delicatezza di non dire 
schiettamente che certe mie obiezioni sono "ingenue", ben piu' letteralmente 
di quanto si intendano "ingenui" gli insiemi di Cantor. Non lo dovresti, 
perche' io stesso ne sono pienamente consapevole, e so bene che se le 
postassi in un NG di matematica mi caccerebbero fuori a calci nel sedere, a 
meno che li' non siano tutti pazienti come Davide:-). Il difficile e', per 
chi non e' molto addentro nei tecnicismi della matematica superiore, frutto 
di una distillazione concettuale secolare da parte delle menti matematiche 
piu' brillanti, estrapolare da essi le ricadute filosofiche che possono 
interessare un NG di filosofia. Ricadute che indubbiamente ci sono e che, 
nello specifico, riguardano l'infinito potenziale vs l'infinito attuale. 
Nella lettera di Cantor a padre Thomas Esser, di cui ho citato qualche passo 
in altro post, egli afferma uno stretto legame tra la teoria generale degli 
insiemi con la metafisica e la teologia. Credo che abbia ragione, anche se, 
certo, la lettera puo' essere vista semplicemente come una disperata 
richiesta di soccorso, contro l'ostracismo decretato dai matematici 
accademici del suo tempo. Indipendentemente da questo, io penso che ci sia 
quel rapporto con metafisica e teologia, rapporto che non puo' non 
comportare quello con la filosofia e la questione generale della 
possibilita' di un rapporto non conflittuale tra la filosofia e il sapere 
scientifico, con il contenuto specifico delle sue solide acquisizioni. 
L'alternativa e' l'arroccamento reciproco, che per il matematico pungolato 
dal filosofo puo' arrivare fino all'affermazione di un'ontologia ultraricca 
a la Meinong, per il quale  "cio' che e' destinato ad essere oggetto di 
conoscenza non deve per questo necessariamente esistere". Se cosi' fosse, 
piu' in alto delle nuvole, tra le quali il filosofo e' condannato a vivere 
da un comune modo di dire, non sarebbe improbabile un incontro ravvicinato 
con qualche matematico, in visita al nostro pianeta.
Un caro saluto,
Loris

 dimostrazione del teorema Dq, il quale rientra nella tua dimostrazione?
E' un dubbio che e' venuto anche a me, dopo le osservazioni di Qf sui 
"puntatori". In effetti la corrispondenza tra numero reale e punto di una 
retta presuppone ancora una volta l'infinito attuale. Ma mi sono anche 
accorto che non e' indispensabile il ricorso al supporto di quel teorema. Su 
questo sto cercando di elaborare una risposta in una forma che sia 
accettabile per Davide. Ma, sigh!:-), sono ancora in alto mare.
Cari saluti,
Loris

 considerata un'operetta divulgativa.
Poco formale non implica divulgativo. Di fatto la matematica non si 
fonda sui formalismi, anche se i formalismi sono necessari a giustificarla.
-- 
No Barrique, no Berlusconi (B. Mascarello)

 sui formalismi, anche se i formalismi sono necessari a giustificarla.
Concordo, ma direi a 'rappresentarla' anziché a giustificarla. 
Rappresentarla a fini comunicativi il più possibile "universali".
Quanto a giustificarsi, si giustifica da sé come metodo, prima che come 
disciplina.
Circa il "piccolo a piacere", è davvero brutto, dal momento che il 'piccolo' 
e il 'grande' in matematica non hanno alcun senso. Ha senso "più piccolo 
di..." e "più grande di..."
Stando poi nell'indefinito (contratto poi in 'infinito') dell'analisi, il 
"piccolo" o il grande" a piacere è ancora più brutto.
Del resto l'analisi parla non solo di  infinito ma anche di infinitesimo, e 
già questa è una considerevole bruttura, benché "intuitiva". Cauchy e Davide 
se la cavano passando appunto al "minore di..." e "maggiore di...", ma, se 
si è nell'indefinito, il senso stenta comunque a emergere, perché nessuno 
impedisce di pensare che, scelto "epsilon" opportunamente, l'infinitesimo 
abbia la dimensione di una galassia, e l'infinito quella di un granello di 
sabbia.
qf 

di quel teorema.
Cioč, stai dicendo che la tua "neutralizzazione" del metodo diagonale puň 
fare a meno di Dq?
Buona domenica,
Marco 

 senso, sta a monte e non a valle.
Questo sto dicendo, in effetti.
Il "punto" ha proprietà "topografiche" ma non proprietà metriche.
Non si può né "prendere" né "sommare".
L'"intervallo" (o 'segmento') andrebbe considerato come unità misurabile 
unicamente con l'ausilio di un campione ovviamente finito ("metro") e non 
come "somma di punti", e con ciò di paradossi non ne comparirebbero.
Un saluto
qf 

 (ti lascio solo indovinare il motivo della domanda:-))
Per chi ci legge dico che con A0 tu intendi alef(0).
Ora se non si inquadrano le disuguaglianze all'interno di una teoria che
si sposta da un esame al finito e poi studia l'andamento al crescere del
numero degli elementi, capisci bene che la tua domanda è priva di senso,
poiché le lettere A0 o alef(0) non sono numeri, ma etichette che vanno
studiate dentro le ipotesi di che espressione compaiono e quindi nel
concetto di studio di una funzione che tende a valori complessivi al
variariare di valori che fungono da indice di incremento.
Ma supponiamo che -con le convezioni già studiate in questo post- tu ti
stia ponendo il seguente problema:
The generalized continuum hypothesis
http://en.wikipedia.org/wiki/Continuum_hypothesis
in Italiano:
http://it.wikipedia.org/wiki/Ipotesi_del_continuo
In tale articolo sono studiate disuguaglianze al variare di ipotesi di
contesto.
Se questo fosse l'argomento ti ringrazio se espliciterai comunque il
contesto e le notazioni della domanda, altrienti è come dire:
"in che mano ho la pallina? ..nella destra o nella sinistra?"
: - )
Ciao
L

 oppure 252 "partizioni della partizione" di 3 elementi
err: 2^8=252
corr: 2^8=256
Saluti,
L

 finito di ruminare.
So che la buona educazione mi imporrebbe di non insistere più di tanto,
e per di più in genere trovo l'atteggiamento paternalistico piuttosto
violento, ma se me lo permetti vorrei provare a darti un paio di consigli.
Se veramente avrai il tempo e la voglia di riflettere su questi problemi,
probabilmente ti verrà spontaneo - come viene a tutti - fare qualche
"disegnino".
Io per primo ho fatto diversi esempi con degli insiemi elementari, e se
avessi avuto a disposizione una lavagna probabilmente avrei anche
"disegnato degli insiemi", usando la solita raffigurazione che consiste nel
disegnare un cerchio con alcuni puntini dentro. E d'altra parte per
illustrare il metodo diagonale di Cantor l'ho applicato al caso di insiemi
"finiti", per i quali si possono "disegnare delle tabelle".
Tutto questo può essere molto utile e illuminante, ma nell'avvicinarsi ad
oggetti sempre più astratti si arriva sempre al momento in cui *qualunque*
"disegnino" può essere fuorviante e condurre a dei paradossi. Quando si
arriva a quel punto non si può fare altro che affidarsi completamente al
formalismo, e rinunciare con una fermezza stoica a qualunque "tentazione di
immaginare". Quello è il momento in cui ci si lascia andare completamente
alle proprietà formali degli oggetti di cui stiamo parlando, e si rinuncia
completamente a "immaginarli". Giorni fa facevo l'esempio della geometria
in n dimensioni con n > 3, che nessuno riesce ad immaginare, nonostante
gli oggetti di tale geometria siano perfettamente definiti e siano noti
decine e decine di teoremi.
Nel nostro caso, poi, subentra una ulteriore difficoltà psicologica. Infatti
se io raccomando a qualcuno di non cercare di immaginare un ipercubo
in n dimensioni con n > 3, e di limitarsi ad applicare le definizioni,
costui non farà molta fatica a seguire il mio consiglio, perché noi non
siamo in grado di immaginare uno spazio geometrico con più di 3 dimensioni,
e quindi siamo praticamente costretti a fare di necessità virtù, attenendoci
alle definizioni e solo a quelle. Invece nel nostro caso - come dicevo -
c'è una ulteriore difficoltà, perché a volte *ci sembra* di avere rinunciato
ad "immaginare", mente in realtà lo stiamo facendo, e facendolo si
introducono inevitabilmente delle ipotesi accessorie che facilmente
producono delle contraddizioni.
Supponiamo ad esempio che ci dicano di prendere un insieme A e le funzioni
da A ad un insieme B costituito da due elementi "0" e "1".
Ora, a noi viene spontaneo pensare che l'insieme A sia costituito da vari
oggetti, che possiamo chiamare "a", "b", "c", "d" eccetera. E fin qui mi può
anche stare bene.
Fatto questo, se qualcuno ci parla di una funzione che ad ogni elemento x
di A associa un elemento di B, a noi viene spontaneo elencare tutti gli
elementi di A uno di seguito all'altro, e per ognuno di essi scrivere
l'elemento di B che resta associato ad esso:
a b c d ...
0 0 1 0 ...
Ecco, facendo una cosa come questa a noi sembra di non avere affatto
perduto di generalità, e di avere rappresentato un insieme del tutto
generico, senza imporre su di esso alcuna ipotesi accessoria.
E invece questo non è vero, perché se pretendiamo di costruire delle "righe"
o delle "colonne" o delle "tabelle" noi stiamo implicitamente ipotizzando
che da A possiamo prendere un *primo* elemento, poi un *secondo* elemento,
poi un *terzo*, e così via. Ma perché sia possibile fare qualcosa del genere
bisogna che gli elementi dell'insieme A possano essere messi in
corrispondenza con i numeri naturali, il che equivale ad imporre che
l'insieme A sia numerabile. Questo però in genere non è vero, e anzi
potremmo anche trovarci in un caso nel quale si ipotizza proprio che
non sia vero. Ad esempio se l'insieme A fosse l'insieme dei punti di un
segmento, noi potremmo anche prendere come "primo punto" una delle due
estremità del segmento, ma quale prenderemmo poi come "secondo punto"?
Dato un segmento avente come estremità il punto P, qual è poi su quel
segmento il "primo punto dopo P"? E se questo punto non esiste, come
potremmo fare a disegnare una "tabella di punti"? Ecco allora che il
semplice fatto di voler disporre gli elementi di un insieme "uno dopo
l'altro", anche solo per "visualizzarli", aggiunge surrettiziamente una
ipotesi a quelle che abbiamo posto esplicitamente.
Ora però qualcuno potrebbe avanzare una protesta. Infatti io qui sto dicendo
che ad un certo punto dobbiamo rinunciare stoicamente e asceticamente a
qualunque "tentazione di disegnare/immaginare" e poi non mi scompongo di una
virgola quando Cantor disegna le sue "tabelle". Già, è vero, ma Cantor è
Cantor :-)
Tanto per cominciare, Cantor tratta il caso particolare in cui l'insieme A
è l'insieme dei numeri naturali N. E se c'è qualcosa che è "numerabile"
è proprio l'insieme dei numeri naturali! Dunque Cantor fa bene a pensare
di  poter prendere gli elementi di quell'insieme "uno dopo l'altro", il che
giustifica la pretesa di poterli disporre su una "riga":
1 2 3 4 5 6 ...
Supponiamo ora che sia data una funzione da N ad un insieme B, costituito
da due soli elementi, come "+" e "-". Allora per rappresentare la funzione
possiamo "disegnare due righe", costruendo una "tabella" le cui "colonne"
sono le coppie che definiscono la funzione:
1 2 3 4 5 6 ...
+ + - + - - ...
Questo implica che se ora vogliamo rappresentare *tutte*  le funzioni
da N a B non dobbiamo fare altro che "aggiungere delle righe"?
No, non è così, perché se pretendiamo di poter "mettere una riga
dopo l'altra" allora stiamo ipotizzando che tutte quelle funzioni siano
*numerabili*, e di questo in genere non possiamo essere certi.
Lo possiamo fare solo dopo avere *ipotizzato esplicitamente* che lo si possa
fare, e col senno di poi sappiamo che questa è una "ipotesi per assurdo".
Dunque sarebbe un gravissimo errore concettuale cominciare a disegnare la
tabella e poi ipotizzare che le funzioni siano numerabili. No, l'atto stesso
di cominciare a disegnare la tabella è un modo di "disegnare" l'ipotesi per
assurdo! E questo Cantor lo sa bene, cioè sa bene che l'atto stesso di
disegnare una tabella corrisponde a quella ipotesi, e quando poi egli mostra
che l'"antidiagonale" di qualla tabella non si lascia sovrapporre ad alcuna
"riga", sta "disegnando la contraddizione" derivante da quella ipotesi per
assurdo.
Ma qui qualcuno potrebbe avanzare una ulteriore protesta, osserevando
che Cantor si permette l'uso di una cosa tanto ambigua come i puntini di
sospensione.
Già, è vero, ma anche in questo caso bisogna dire che Cantor è Cantor :-)
Quando un matematico usa i puntini di sospensione, sta dicendo che
c'è una certa procedura che può essere reiterata a proprio piacimento.
Ad esempio i numeri naturali si costruiscono usando la funzione
"successore", e sappiamo che *ogni numero naturale* ha un suo successore,
e che esso può sempre essere raggiunto a partire dallo 0 e applicando
ripetutamente quella funzione. Dunque quando disegniamo qualcosa del genere:
1 2 3 4 5 6 ...
+ + - + - - ...
stiamo parlando di una funzione che ad 1 associa "+", a 2 associa "+",
"eccetera", "e così via", "e così di seguito". Una funzione, cioè, che
*per ogni n* restituisce un certo segno binario associato ad n. Quei puntini
dunque non stanno per una "riga infinita", ma stanno per un *quantificatore
universale*, e se noi pretendiamo di "immaginare una riga infinita" e poi ci
ritroviamo con dei paradossi in mano, stiamo sempliemente pagando il prezzo
di aver voluto "immaginare l'inimmaginabile".
(Ora è vero che Cantor oltre ad essere un genio era anche un po' matto;
era convinto di poter parlare della mente di Dio, e di poter dire che nella
mente di Dio c'erano effettivamente delle "righe infinite", presenti in modo
"attuale". Anche perché il linguaggio formale, con tanto di quantificatori e
tutto il resto, ai suoi tempi era ancora di là da venire. Già, è vero, ma
proprio per questo dico che "Cantor era Cantor", perché nonostante egli
concepisse tutte queste cose in modo mistico/delirante, poi il suo istinto
matematico lo guidava senza esitazioni a quei medesimi risultati che oggi
possiamo ricavare alla luce di una consapevolezza molto maggiore.
E comunque, anche se è vero che sui "puntini di sospensione" Cantor aveva
spesso un approccio mistico/delirante, egli era invece perfettamente
consapevole che il semplice fatto di disegnare una tabella era un modo
per "disegnare l'ipotesi di numerabilità".)
Così se noi scriviamo:
1 2 3 4 5 6 ...
+ + + + + + ...
stiamo riferendoci ad una funzione che *ad ogni n* associa "+".
Questo non significa che lì ci sia "una riga infinita di '+'", ma significa
solo che questa associazione può essere reiterata tutte le volte che si
vuole: tu pensa un qualunque numero n, ed io ti dico che a quel numero
è associato "+".
Dopodiché se noi ci inventiamo delle "stenografie" per parlare di queste
cose, ad esempio scriviamo "(+)", non è certo questo "disegnino" a cambiare
il senso di ciò di cui stiamo parlando, ovvero del fatto che *per ogni n* la
nostra funzione vale "+". La "stenografia" che ci permette di scrivere "(+)"
è talmente potente da racchiudere in se "due righe con puntini":
1 2 3 4 5 6 ...
+ + + + + + ...
e queste due righe con puntini a loro volta non sono "righe infinite",
ma è un modo per "disegnare" un *quantificatore universale*.
Ma una volta che si sia compreso ciò, non c'è più nessuna utilità a
"disegnare". Perché tanto a quel punto non possiamo certo farci guidare nei
nostri ragionamenti da delle tabelle e da dei puntini. Abbiamo tutta una
serie di oggetti che hanno certe proprietà formali, e ci basta usare quelle
per essere guidati rettamente alle loro conseguenze, senza essere fuorviati
dalla tentazione di "immaginare" ciò che non può essere immaginato senza
introdurre surrettiziamente delle ipotesi aggiuntive, le quali sono vieppiù
deleterie in quanto restano implicite, e chi le sta usando non è nemmeno
consapevole di averle introdotte, dandole per scontate in quanto non riesce
ad immaginare come le cose potrebbero essere diverse da così. E torniamo
allora a quei "limiti della immaginazione" di cui ho tanto parlato nel
passato.
I "limiti della immaginazione" sono quelli che ci costringono a introdurre
nel nostro pensiero delle ipotesi implicite, che sfuggono alla nostra
consapevolezza, proprio perché siamo incapaci di immaginare/concepire che le
cose potrebbero anche non essere così. E ciò che sfugge alla consapevolezza
diventa "autonomo", e anziché essere noi ad "usarlo" ne siamo "usati" o
- come si dice in psicanalisi - "agiti".
-- 
Saluti.
D. 

    f_x = F(x)







Ok, qui il punto.
Riprendiamo la tua precedente "tabella" (chiamandola Ta) delle funzioni,
aggiungiamoci pure i
puntini, per dire che puo' avere *qualunque* "lunghezza". (Concedimi un uso
di alcuni termini matematicamente non ortodosso,  ma che serve a farmi
capire). Una "qualunque lunghezza" vuol dire che l'insieme A contiene un
*qualsiasi* numero di elementi.
T(a)      a b c d..........
           ----------
f_01     ~ ~ ~ ~
f_02     ~ ~ ~ #
f_03     ~ ~ # ~
f_04     ~ ~ # #
f_05     ~ # ~ ~
f_06     ~ # ~ #
f_07     ~ # # ~
f_08     ~ # # #
f_09     # ~ ~ ~
f_10     # ~ ~ #
f_11     # ~ # ~
f_12     # ~ # #
f_13     # # ~ ~
f_14     # # ~ #
f_15     # # # ~
f_16     # # # #
........................
Ok?
Ora, sempre se non inorridisci per il mio linguaggio, la tabella si sviluppa
in orizzontale (cioe' nel numero di elementi dell'insieme A) e in verticale
(cioe' nel numero di funzioni da A a B). Il numero delle funzioni (z_F) e'
uguale al numero degli elementi di B (y_B) alla potenza numero degli
elementi di A (p_A): z_F=(y_B)^(p_A)
Ok?
Ogni segno corrispondente a una funzione f_x di Ta e' individuabile dalle
coordinate costituite dal numero della funzione f_x stessa e un elemento di
A. Cosi', pe.e, in
T(a)      a b c d..........
           ----------
f_01     ~ ~ ~ ~
f_02     ~ ~ ~ #
........................
Ogni carattere corrispondente a f_02 e' individuato come
f_(02,a) = ~,
f_(02,b) = ~,
f_(02,c) = ~,
f_(02,d) = #,
...................
Indichiamo con y una variabile per gli elementi di A={a, b, c, d,....}
Ora definiamo per ogni funzione f_x una funzione "orizzontale" O, definita
come
O(x) = f_x(x,y)   per ogni x e ogni y in A.
Definiamo ora una regola che permetta di costruire l'"anti-orizzontale". E'
la stessa regola dell'anti-diagonale:
H(y) <> y   per ogni y in B.
Consideriamo adesso solo le prime 4 funzioni di Ta:
Ta        a b c d..........
           ----------
f_01     ~ ~ ~ ~
f_02     ~ ~ ~ #
f_03     ~ ~ # ~
f_04     ~ ~ # #
........................
Costruiamo Tb con i rispettivi anti-orizzontali:
Tb       a b c d..........
           ----------
f_x1    # # # #
f_x2    # # # ~
f_x3    # # ~ #
f_x4    # # ~ ~
......................
In f_[(x4,a), (x4,b), (x4,c), (x4,d),...] c'e' l'anti-orizzontale che altro
non e' che l'anti-diagonale
in f_[(01,a), (02,b), (03,c), (04,d),...]. La regola H(y)<>y e'
semplicemente la contro-regola dell'anti-diagonalizzazione. L'antidiagonale
e' in Tb, che non contiene alcun elemento di Ta. Ma e' facile vedere che
f_x1 = f_16
f_x2 = f_15
f_x3 = f_14
f_x4 = f_13
..................
cioe' che Tb e' parte di Ta letta "dal basso in alto", e che l'antidiagonale
di f_x, con n elementi dell'insieme A, compare alla funzione
f_(x=2^n-(n-1)).
Questo perche' Tb e' parte di Ta, che e' ordinata secondo un criterio ben
preciso, che non hai esplicitato ma che mi facilita il compito. Infatti se
si riconsidera Ta nel suo sviluppo completo, per mostrare che le funzioni
possibili esemplificate sono 16 hai disposto i segni "~" e "#" secondo quel 
criterio
"verticale" che e' il piu' semplice per rappresentare lo sviluppo dei
numerali naturali in base 2; basta rimpiazzare "~" con "0" e "#" con "1" per
vederlo, separando le colonne per vederlo meglio:
T(a)       a     b    c    d..........
           -----------------
f_01     | 0  |  0 |  0 |  0 |
f_02     | 0  |  0 |  0 |  1 |
f_03     | 0  |  0 |  1 |  0 |
f_04     | 0  |  0 |  1 |  1 |
f_05     | 0  |  1 |  0 |   . |
f_06     | 0  |  1 |  0 |  .  |
f_07     | 0  |  1 |   . |  .  |
f_08     | 1  |  1 |   . |  .  |
f_09     | 1  |  .  |  .  |  .  |
........................
Stringhe verticali, da "d" ad "a", di tratti periodici rispettivamente "01",
"0011", "00001111", ecc., che lette da sinistra a destra rappresentano
appunto lo sviluppo dei naturali in notazione binaria. Potevi scegliere 
qualsiasi altro
criterio di ordinamento, ma ogni altro e' riconducibile a questo, che 
differisce da qualsiasi altro solo per il suo buon ordinamento.
*Se* questa e' una dimostrazione, dimostra che ogni antidiagonale compare
nello sviluppo di Ta, che e' numerabile perche' e' proprio lo sviluppo dei
numeri naturali.
Attenzione! Achtung! Non dimostra affatto (ci mancherebbe...) che l'insieme
A e' equipotente all'insieme potenza P^A, ma che gli elementi dell'uno e
dell'altro sono numerabili entro qualsia tratto dello sviluppo dei naturali,
precisamente quello che va da f_01 a f_(2^n), dove n e' un qualsiasi numero
di elementi di A.
Ci sono ancora molti punti che andrebbero esplicitati piu' rigorosamente, ma
spero apprezzerai il mio tentativo di venirti incontro:-)
Concludendo, si danno 4 casi, dal piu' probabile al meno probabile: o la mia
dimostrazione e' concettualmente sbagliata, o e' sbagliata la tua... for
dummies:-), o sbagliamo tutti e due, o il metodo diagonale di Cantor non e'
valido per dimostrare cio' che intende dimostrare.
In ogni caso, un saluto e vado a leggere con calma i tuoi consigli.
Loris

 fare a meno di Dq?
Mah, sto provando in modo piu' immediato, come vedi dalla mia ultima 
risposta a Davide. Se lo sviluppo degli antidiagonali e' parte dello 
sviluppo dei naturali, non e' necessario ricorrere alla mediazione di quel 
teorema. Tutti tentativi...
Un saluto,
Loris
 

 O(x) = f_x(x,y)   per ogni x e ogni y in A.
Vediamo esattamente che cosa dovremmo *fare* per costruire quella
funzione di cui stai parlando.
Io la vedo così:
1) fissiamo un generico elemento x di A;
2) andiamo a prendere la funzione f_x corrispondente ad esso.
Ora abbiamo la funzione f_x, che è una funzione che va da A a B, dunque una
funzione che ad ogni y di A (ora teniamo ferma la x e facciamo variare la y)
associa un certo elemento di B, cioè "+" o "-". Dunque la funzione f_x ha
*un solo argomento*, che è y. Ad esempio potrebbe essere:
y   f_x(y)
----------
a   +
b   +
c   -
d   +
....
Ecco, io mi aspetterei qualcosa del genere. Invece tu applichi la f_x non a
uno, ma a *due argomenti*. Ma se la f_x è una funzione che va da A a B,
come fa ad avere due argomenti?
Che cosa volevi fare, esattamente?
-- 
Saluti.
D. 

 Ok?
Se sei d'accordo con quello che ho detto qui sopra per me va bene.
Ma sei d'accordo? :-)
-- 
Saluti.
D. 

> O(x) = f_x(x,y)   per ogni x e ogni y in A.
Dopo quello che ho detto la risposta e' facile, modificando la notazione.
O(x) = f_x_y
dove tenendo presente T(a)...
T(a)   a b c ..........
           -------
f_1    ~ ~ ~
f_2    ~ ~ #
f_3    ~ # ~
f_4    ~ # #
f_5    # ~ ~
f_6    # ~ #
f_7    # # ~
f_8    # # #
....................
...x indica la funzione nella posizione x (in verticale, per intenderci), 
mentre y e' la sotto-variabile che indica l'elemento y-esimo (in 
orizzontale, per intenderci).
Del resto lo stesso problema ci sarebbe per individuare la stringa di 
caratteri in diagonale, se non fosse che nella funzione diagonale che tu 
scrivi "dg(x) = f_x(x)" e io dovrei scrivere d(x)=f_x_y, il valore di ogni x 
e' uguale al valore corrispondente di y.
Concludendo in chiarezza:
la stringa di segni O(x)=f_x_y, ponendo come esempio x=3,
e' costituita dalla stringa corrispondente a f_3_y={1,2,3}, cioe' y=primo, 
secondo, terzo,... elemento della stringa "~ # ~".
Leggero' con calma e rispondero' in un secondo tempo alle ulteriori 
osservazioni nel tuo secondo post.
Un saluto,
Loris

 punto 1.
Questa proprio non l'ho capita, per cui mi fermo qui e attendo chiarimenti,
nella speranza che i chiarimenti che ho fornito fino a qui possano aiutarci.
-- 
Saluti.
D. 

 Ma sei d'accordo? :-)
Fatte tutte le osservazioni di cui sopra, sono d'accordo; a meno che da esse 
tu non deduca che non sono affatto d'accordo:-)
Un saluto,
Loris

 elementi.
Eh, no, è qui il punto.
Adesso ti faccio vedere come funziona il teorema di Cantor "senza numeri".
Dunque, sia dato un insieme A, poi un insieme B, che per semplicità possiamo
considerare costituito da due soli elementi, che indichiamo con "+" e "-"
(sì, lo so, ho nominato il numero due, ma è assolutamente inessenziale,
perché è A che ci interessa, e potrei farlo anche con B qualunque).
Bada bene che sulla "lunghezza di A" non ho detto nulla. Può essere
costituito da un certo numero n di elementi, oppure può anche darsi che
proprio non abbia senso chiedersi "quanti elementi ha A". È una nozione che
proprio non ho intenzione di usare. È per questo che dicevo di volermi
"allenare all'uso del maglio", per quando sarebbe veramente servito.
Ed ora mi serve veramente.
Dunque, abbiamo 'sto insieme A, e anche l'insieme AxB, che è l'insieme di
tutte le coppie ordinate costituite da un elemento di A e un elemento di B.
Cioè:
per ogni a in A e per ogni b in B, (a, b) appartiene ad AxB
(come vedi uso solo il quantificatore universale, e non pretendo di dire
"quanti sono" gli elementi di A, o quelli di AxB).
Ora considero tutti i sottoinsiemi di AxB fatti in un certo modo, e per la
precisione considero quei sottoinsiemi f tali che
per ogni a in A esiste uno e un solo b in B tale che (a, b) appartiene ad f
Questi sottoinsiemi di AxB li chiamo "funzioni da A e B".
Prendo allora l'insieme di tutte le funzioni da A e B, e lo chiamo B^A.
Ora ipotizzo (per ora lo ipotizzo senza aggiungere altro, e solo in seguito
salterà fuori una contraddizione, la quale mi costringerà a dire che la mia
ipotesi era da respingere - dico questo perché così non sono nemmeno
costretto a parlare di "assurdo") ipotizzo, dicevo, che esista una
corrispondenza biunivoca da A ad AxB, cioè una "funzione funzionale"
F tale che:
per ogni funzione f in B^A esiste uno e un solo a in A tale che f = F(a).
Costruisco allora una funzione dg da A a B così definita:
per ogni a in A, dg(a) = F(a)(a)
Dopodiché definisco la funzione differenza D da B a B:
D(+) = -
D(-) = +
e compongo questa funzione con la funzione dg per ottenere la funzione adg,
così definita:
per ogni a in A, adg(a) = D(dg(a))
Ora sfrutto il fatto che la F realizza una corrispondenza biunivoca, per cui
deve esistere un certo a0 in A tale che:
adg = F(a0)
da cui segue che
per ogni a in A, adg(a) = F(a0)(a)
Se è vero per ogni a, allora è vero in particolare per a0, per cui si ha
adg(a0) = F(a0)(a0)
ma per definizione è anche
F(a0)(a0) = dg(a0)
da cui segue che
adg(a0) = dg(a0)
e siccome
adg(a0) = D(dg(a0))
allora
dg(a0) = D(dg(a0))
da cui
dg(a0) <> dg(a0)
che è la negazione del principio di identità, e come tale è leggermente
contraddittoria :-)
Come vedi non ho mai nominato la "lunghezza di A", e mi sono limitato ad
usare i quantitficatori.
Dunque o io ho sbagliato ad usare i quantificatori, oppure chi voglia
contestare la dimostrazione di Cantor deve contestare l'impiego dei
quantificatori per un generico insieme A. Ma allora il problema diventa un
problema di logica, e per tirare giù Cantor bisogna tirare giù buona parte
della logica moderna.
-- 
Saluti.
D. 

 di elementi.
Supponi di scrivere un programmino che prende un numero n e restituisce il
quadrato di quel numero. Tale programmino implementa la funzione quad,
cioè la funzione da N a N tale che:
per ogni n in N, quad(n) = n*n
Che cosa significa quel "per ogni"? Significa forse che io per scrivere quel
programmino devo avere "sott'occhio" tutti i numeri naturali?
No di certo, anche perché questa domanda forse non ha neanche senso.
Infatti se io chiedo: «Quanti sono gli ombrelli?», mi aspetto che uno mi
risponda dicendo *un certo numero*. Ma se chiedo: «Quanti sono i numeri?»,
che cosa potrebbe rispondermi un poveretto che volesse rispondermi?
Niente di tutto questo, si tratta di un programmino assolutamente
elementare, al quale puoi dare in ingresso *qualunque* numero ti venga in
mente, e quello ti restituisce il suo quadrato.
Dunque abbiamo "costruito" un programmino, che è poi un *algoritmo*
implementabile su una macchina universale di Turing, e siccome abbiamo
definito un algoritmo, possiamo proprio dire che quel concetto lo abbiamo
"costruito", visto che *per ogni n* sappiamo esattamente che cosa dobbiamo
*fare*: dobbiamo moltiplicare n per sé stesso e dire il risultato al signore
che ci ha passato n, qualunque sia l'n che gli è venuto in mente.
Più "costruito" di così si muore :-)
-- 
Saluti.
D. 

 Adesso ti faccio vedere come funziona il teorema di Cantor "senza numeri".
Bene, ci ho dato una prima occhiata. Adesso lasciami digerirlo, che' poi ho 
da farti qualche domanda.
Beh, la prima, che non entra direttamente nella logica di *questa* 
dimostrazione, posso fartela anche subito.
*Questa* dimostrazione non e' non dico quella che si trova nei manuali, ma 
neppure quella che si trova in Acta Mathematica scritta da Cantor di suo 
pugno, almeno per la parte che ho citato testualmente. *Questa* 
dimostrazione e' di Cantor? Si trova in qualche altra parte dell'articolo in 
Acta mathematica?
Un saluto,
Loris

 che cosa potrebbe rispondermi un poveretto che volesse rispondermi?
Potrebbe risponderti che il numero dei numeri da' luogo a un paradosso, e di 
rivolgersi a Russell per cercare di risolverlo.
Un saluto,
Loris

 *Questa* dimostrazione e' di Cantor?
Nì :-)
Come sai i teoremi di matematica venivano dimostrati molto tempo prima che
venisse definito e messo a punto il moderno formalismo matematico.
Ad esempio Newton e Leibniz avevano già reso noti i fondamenti del
cosiddetto calcolo infinitesimale nella seconda metà del XVII secolo:
sapevano calcolare integrali e derivate delle principali funzioni e avevano
formulato alcuni teoremi notevoli. Tuttavia essi si muovevano per lo più in
modo intuitivo, poco formale e rigoroso, e le definizioni che essi davano
degli oggetti del calcolo infinitesimale erano talmente vaghe e confuse da
prestarsi facilmente a interpretazioni paradossali o ambigue, scatenando
così il noto sarcasmo del vescovo Berkeley. Solo nella prima metà del XIX
secolo quei risultati trovarono una formulazione più chiara e rigorosa,
grazie all'opera di grandi matematici come Bolzano, Cauchy e Weierstrass.
Ora, possiamo dire che la dimostrazione che si dà oggi di quei risultati del
calcolo infinitesimale è ancora la stessa che ne diedero Newton e Leibniz?
Se ci si attiene al dettato del testo sicuramente dobbiamo rispondere di no.
Tuttavia è anche vero che ancora oggi molti continuano a calcolare le
derivate seguendo le intuizioni di Newton e Leibniz, e in particolare molti
fisici - con grande disappunto dei matematici - continuano ancora oggi a
ragionare "à la Leibniz", dopodiché solo all'occorrenza si premurano di
riformulare in modo più rigoroso e moderno ciò che hanno già calcolato o
dimostrato ragionando in quel modo.
Io per primo non faccio eccezione a questo andazzo, e se mi si chiede di
calcolare o dimostrare qualcosa di calcolo infinitesimale mi ritrovo a
scarabocchiare dei passaggi che sono molto simili, anche nella notazione,
a ciò che scriveva Leibniz più di tre secoli fa. Dopodiché se mi ritrovo fra
fisici non ho bisogno di fare altro, mentre se ne devo parlare con un
matematico o con un logico mi affretto a "tradurre" tutta quella roba in
una forma che risulti più rigorosa e non si presti a dubbi e contestazioni.
Il risultato di questa "ripulita" è che buona parte dei concetti impiegati
da Leibniz devono scomparire per essere sostituiti da concetti più moderni,
al punto tale che alla fine la dimostrazione, se confrontata con quella di
Leibniz, appare del tutto irriconoscibile. Tuttavia per me che sono abituato
a ragionare in modo più o meno intuitivo si tratta semplicemente di "dare
una ripulita" all'idea di fondo già espressa da Leibniz.
Venendo al nostro caso, la formulazione rigorosa (o almeno spero che sia
tale, perché ci possono sempre essere delle sviste) del teorema di Cantor
che ti ho fornito nel mio post precedente, non la si trova certamente negli
scritti di Cantor, poiché si avvale di un linguaggio e concetti messi a
punto molto tempo dopo, dall'opera di "ripulitura" iniziata da Frege e poi
proseguita da Russell e compagnia bella. Tuttavia dal mio punto di vista
questa formulazione è appunto una semplice "ripulitura" della idea
fondamentale di Cantor. Senza quella idea di Cantor io non avrei certo
saputo scrivere quella dimostrazione, mentre una volta letto il modo in cui
Cantor imposta la dimostrazione qualunque studente di matematica dovrebbe
essere in grado di riformularla con un linguaggio più moderno e rigoroso.
Ciò che conta è avere una idea geniale che possa portare alla dimostrazione
di un risultato notevole, poi la formulazione rigorosa in qualche modo si
trova, anche se magari servono un po' di aggiustamenti successivi. D'altra
parte se tu leggi un testo di matematica superiore ti trovi di fronte a
centinaia e centinaia di pagine piene zeppe di passaggi matematici,
implicazioni logiche, eccetera, per un totale di molte migliaia di formule.
Nessuno mai potrebbe ricordarsi a memoria tutte quelle formule, per cui
quello che si fa è ricordarsi l'"idea fondamentale" di un teorema per poi di
volta in volta esprimerla in modo rigoroso.
Ricordo che una volta il mio insegnante di analisi si bloccò a metà di una
dimostrazione e disse, più o meno: «Scusate, ma non riesco ad andare avanti
nella dimostrazione del teorema. Da questa equazione che ho ottenuto dovrei
riuscire a dimostrare qualcosa del genere [e qui espresse una idea in forma
vaga e intuitiva] seguendo più o meno questa idea di fondo, che consiste nel
fare così e così [altra idea in forma vaga e intuitiva, con tanto di
"disegnini"], ma ora non mi viene in mente come porre tutto ciò in forma
chiara e rigorosa». Così ci mettemmo tutti assieme a ragionare, e dopo
aver raccolto qualche suggerimento e fatto rimbalzare le idee da una testa
all'altra ad un certo punto l'insegnante esclamò: «Ah, sì certo, ci sono
arrivato: basta fare così e così, e scrivere questo in questa forma,
dopodiché da questo si ricava questo applicando quel certo teorema
già noto».
Questo aneddoto dovrebbe farti vedere che nessuno mai si ricorda tutte le
formule che servono per dimostrare un teorema. Anzi, di solito non se ne
ricorda nemmeno una. Io ad esempio per il teorema di Cantor mi ricordo
semplicemente che l'ipotesi della corrispondenza biunivoca ci costringe ad
affermare che ci deve essere una "riga" uguale alla "antidiagonale"; solo
che nel momento in cui cerchi di andare a piazzare quella riga in un
qualunque punto della "tabella" nell'incrocio con la "diagonale" si produce
una contraddizione. Ecco, questa è l'unica cosa che mi ricordo, e questa è
esattamente l'idea fondamentale (e geniale) avuta da Cantor, dopodiché si
tratta solo di "ripulire" l'idea in modo tale da renderla rigorosa e
proteggerla dalle contestazioni di chi la trova confusa o non è d'accordo
sulla "evidenza" della dimostrazione.
Dal mio punto di vista la scienza di svolge nei seguenti momenti cruciali:
1) si perviene per mezzo di una intuizione ad una qualche conoscenza, che a
quel punto appare "evidente" solo a chi ha avuto l'intuizione e a quei pochi
che sono immediatamente pronti a riconoscerla come tale fin dalla prima
volta che ne sentono parlare;
2) si subisce la critica feroce dei colleghi che non vedono la stessa
"evidenza" e dei filosofi che "ci vogliono vedere chiaro";
3) si fa uno sforzo (a volte notevole, a volte modesto) per rendere quella
intuizione più chiara e rigorosa, in modo tale da rendere partecipi di
quella "evidenza" il maggior numero possibile di persone, il che comporta
una lunga discussione su cosa si debba fare per rendere qualcosa "evidente",
per "mettersi d'accordo", eccetera eccetera.
Quest'ultima parte è certamente utile, e non serve solo per ottenere il
consenso, ma anche per chiarirsi con sé stessi sul significato e sui
fondamenti dei concetti e dei metodi che si impiegano. Tuttavia il "motore"
del progresso della conoscenza è quella intuizione di partenza, senza la
quale non ci sarebbe nemmeno qualcosa di cui discutere. Per questo dico
che la dimostrazione del teorema di Cantor è di Cantor, e se per caso sono
riuscito a formularla in un modo rigoroso che potrà resistere alle tue
obiezioni :-) non avrò fatto altro che dare una "ripulita" a ciò che aveva
già fatto Cantor.
-- 
Saluti.
D. 

 PC un "ogni" al posto di un numero qualsiasi.
Eh, ma io infatti non gli voglio passare "ogni".
Io non dico che:
     il programma ti restituisce un numero
     passandogli ogni numero
ma dico che:
     per ogni numero che gli passi
     il programma ti restituisce un numero.
Insomma, se ho scritto una "ricetta" che mi consente di calcolare una
funzione per ogni valore dell'argomento, non ho forse "costruito" la
funzione?
Qui noi potremmo scoprire di non essere d'accordo su cosa si debba intendere
per "costruzione" e "algoritmo". E questo disaccordo, qualora si dimostrasse
inconciliabile, ci costringerebbe a cercare rendere rigoroso e formale il
concetto intuitivo di "algoritmo". Ebbene, a questa impresa è stata dedicata
buona parte del XX secolo, e questa discussione coinvolgerebbe praticamente
tutta la matematica moderna.
-- 
Saluti.
D. 


 Organization: 
             [Infostrada]
 Newsgroups: 
             it.cultura.filosofia.moderato
  References: 
             1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14
, 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21 , 22
Ossia ho mostrato _con una analisi al finito_ come lo studio delle
partizioni al finito, e poi lo studio del limite di tali partizioni,
porta alla giustificazione del concetto della serie degli alef.
Infine, nel concetto di rappresentazione, uno spazio complementare -a
uno dato- copre _per definizione e per logica_ ogni altro ente rispetto
a l'insieme che contenga sia la rappresentazione data che lo spazio
complementare associato.
Quindi se si investiga sugli spazi *esterni* allo spazio dei razionali è
elementare usare il *concetto di partizione e di spazi complementari*,
senza però pretendere di dire cose definitive poiché le collezioni
avranno copertura solo "rispetto a che".
E ciò è una questione di metodo.
Saluti,
L

 Adesso ti faccio vedere come funziona il teorema di Cantor "senza numeri".
Provo a riscriverlo un po' meglio.
===DEFINIZIONI===
(1) A è un insieme
(2) B è un insieme tale che B = {+, -}
(3) AxB è un insieme tale che
     per ogni a in A e per ogni b in B, (a, b) appartiene ad AxB
(4) una funzione f da A a B è un sottoinsieme di AxB tale che
     per ogni a in A esiste uno e un solo b in B tale che (a, b)
     appartiene ad f; tale b si indica con f(a)
(5) B^A è l'insieme di tutte le funzioni da A a B
===IPOTESI===
(6) esiste una funzione funzionale F da A a B^A biunivoca, cioè tale che
     per ogni funzione f in B^A esiste uno e un solo a in A tale che
     f = F(a).
===DEFINIZIONI===
(7) dg è una funzione da A a B (cioè un elemento di B^A) tale che
     per ogni a in A, dg(a) = F(a)(a)
(8) D è una funzione da B a B tale che
     per ogni b in B, D(b) <> b
(9) adg è una funzione da A a B (cioè un elemento di B^A) tale che
     per ogni a in A, adg(a) = D(dg(a))
===IMPLICAZIONI===
Dalla (9) e dalla (6) segue che:
(10) esiste a0 in A tale che
       adg = F(a0)
e siccome due insiemi sono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi,
allora adg e F(a0) sono due insiemi costituiti dalle stesse coppie ordinate
di elementi di A e di B, per cui dalla (10) e dalla (4) segue che
(11) per ogni a in A, adg(a) = F(a0)(a)
Se è vero per ogni a, allora è vero in particolare per a0, per cui si ha
(12) adg(a0) = F(a0)(a0)
ma per la (7) si ha anche
(13) F(a0)(a0) = dg(a0)
Mettendo assieme la (12) e la (13) per la transitività della uguaglianza si
ottiene
(14) adg(a0) = dg(a0)
e dalla (9) segue che
(15) adg(a0) = D(dg(a0))
Mettendo assieme la (14) e la (15) per la transitività della uguaglianza si
ha
(16) dg(a0) = D(dg(a0))
da cui per la (8) si ha
(17) dg(a0) <> dg(a0)
che è certamente falsa, per cui l'ipotesi (6) è da respingere.
-- 
Saluti.
D.