Newsgroup: it.cultura.filosofia.moderato
Titolo: Infinito (altra replica)

 quanto il matematico e il fisico.
Vorrei che questi ultimi lo fossero. Se fanno le cosette che tu hai
accennato qui sopra circa la legge di Snell, rigorosi non lo sono mica tanto
(lo so, lo so, che anche senx/x ha come limite uno per x che tende a zero,
ma si sta parlando di limiti, di definizioni dinamiche, non affatto di
numeri).
Saluti,
queffe

Vorrei che questi ultimi lo fossero
mi sa che tu vorresti sapere chi sono
io per dirmi "LEI NON SA CHI SONO IO!"
Il fatto è che io non so chi sei tu
ma so che non sai dare una definizione
di infinito seguendo un metodo.
Se si procede con questo metodo
sarà difficile che un asino come me
capisca le cose elementari che
vorresti insegnarmi.

 vorresti insegnarmi.
Non sto insegnando niente. Sto riflettendo su alcuni luoghi comuni della
matematica.
"Infinito", in matematica, significa solo 'indefinito'. Quindi indefinibile
se non come entità dinamicamente crescente. Dunque è un non-numero. (Per i
Greci i numeri irrazionali stessi erano non-numeri.)
L'infinito inteso alla Leopardi è poesia, mentre, psicologicamente,
l'infinito si costruisce con un semplice processo ricorsivo - simile in
sostanza a quello di Zenone -, processo oggi meccanizzato con poche righe di
istruzioni che includono un loop. E che è il processo che ha posto il
problema di fondo alla macchina di Turing ("halt problem"), ponendo un primo
(grosso) limite al concetto stesso di algoritmo.
L'infinito del linguaggio corrente è a metà fra quello del Leopardi e quello
che ha messo Alan Turing in imbarazzo.
Quello della matematica, dicevo, non ha alcun senso se non come concetto
dinamico, quindi totalmente al di fuori dell'"insieme" dei numeri.
"Insieme dei numeri reali", per inciso, è un altro ossimoro tipico della
matematica, dato che i numeri "reali" non sono "numerabili". Mentre
l'insieme è "unione in un tutto di oggetti distinti della nostra intuizione
e del nostro pensiero" (Cantor), il che ne implica la numerabilità. Buffo,
no?
Saluti,
queffe

 Massimo
Saluti,
queffe

 (proprio nell'ambito del concetto di limite)...
Non è la prima volta che dici che in matematica il concetto di limite è
"dinanico".
Intuitivamente capisco ciò che vuoi dire, perché a scuola si prende il
gessetto e si fa la "mossa" di "avvicinarsi indefinitamente" ad un punto o
di "allontanarsi indefinitamente" da esso.
Però il fatto che noi facciamo muovere il gessetto non implica poi che
quella "dinamica" sia qualcosa di più di una metafora.
Prendiamo ad esempio questa funzione:
f(x) = 1 / x^2
(sto parlando dell'inverso del quadrato)
Ecco, di questa si può fare un "limite" in cui compaiono entrambi i nostri
"mostri": lo zero e l'infinito.
Infatti diciamo che il *limite* della funzione per x che tende a *zero* è
*infinito*.
Ecco, a scuola ci dicono che per calcolare il limite non ci si può "mettere"
in x=0, ma bisogna "avvicinarsi indefinitamente" ad esso, e -mentre facciamo
questo- la funzione "va" all'infinito.
Ma questo modo di parlare è improprio, soprattutto se lo riferiamo alla
definizione di Cauchy, a cui tu ami fare riferimento.
Cauchy dice:
==========
SE
a) *comunque* fissiamo un certo numero _M_ positivo
b) è *sempre* possibile trovare un numero _d_ tale che
c) la f(x) sia maggiore di M per tutti gli x che stanno nell'intervallo
aperto di centro x=0 e raggio _d_, con x=0 escluso
ecco, se accade tutto ciò
ALLORA
diciamo che il limite della f(x) per x che tende a 0 è infinito.
==========
Come vedi non c'è nulla di "dinamico", nulla che "si muove".
Basta dimostrare che per ogni valore di _M_ c'è un opportuno valore di _d_.
E per dimostrare questo non ci mettiamo a "far muovere" M, ma facciamo dei
conticini.
Ad esempio se vogliamo che sia
f(x) > M
basterà prendere
d < 1 / sqrt(M)
e quindi concludiamo che per ogni possibile scelta di _M_ possiamo scegliere
_d_ in modo opportuno.
Questo, lo ripeto, non significa necessariamente che _M_ lo facciamo
"variare".
Possiamo anche intendere la cosa dicendo che non abbiamo alcun vincolo su
_M_, che avendone scelto uno *qualunque*, si trova un opportuno valore di
_d_
Anzi, lo sforzo di Cauchy va proprio in questa direzione: quella di
sostituire a dei vaghi concetti "dinamici" (come il "tendere",
l'"avvicinarsi", l'"allontanarsi", ecc.) dei concetti *logici*, e più
precisamente i due "quantificatori" per eccellenza: "per ogni" ed "esiste".
*Per ogni* _M_.... *esiste* _d_...
E cosa c'è di più "statico" di un quantificatore logico? :-)
--
Ciao,
Davide

 E cosa c'è di più "statico" di un quantificatore logico? :-)
"Esiste" un solo 'd' oppure gli in(de)finitamente numerosi 'd' che stanno in
un intervallo in(de)finitamente contraibile dell'asse reale?
Mah, mi sa che non volevi dire 'statico' :-))
bap!
queffe

 dinamico.
Prima di tutto buongiorno a tutti.
Che poi i giorni siano una successione
di interi dipende da noi :-)
Pensavo alla y=tg(x) per un angolo di 90 gradi
e mi venivano in mente i binari di un treno
con le loro traversine.
Se io sono un osservatore posto al centro dei
due binari, dopo essermi accuratamente
accertato che non passi un treno, osservo
i due binari e li vedo convergere in quello
che nella prospettiva è chiamato punto di fuga.
Ora, se la matematica è una rappresentazione
della realtà perchè vedo due rette parallele
convergere in un punto?
Avrei bisogno di un'altro osservatore posto
sul punto di fuga che mi confermasse con
una telefonata che i binari sono ancora paralleli.
Se mi trovassi nell'universo di Autocad o di
Intergraph posso scegliere se reppresentare
i due binari in due viste particolari *3d* e *3d dinamica*.
Quale delle due rappresentazioni è vera?
ciao
Massimo

 una telefonata che i binari sono ancora paralleli.
Basta prendere il treno.
In senso buono :-)
Se è vero che il mondo è rotondo, l'infinito è il punto da dove parti.
Metafisica sperimentale :-))
Ciao,
queffe