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Titolo: Numeri primi

Mi secca alquanto che non si sia ancora spiegato da quali presupposti 
nascano le peculiari proprietà dei numeri primi. Che non sia possibile 
applicare una formula tale che possa individuare tutti e solo i numeri 
primi.
Credo sia scontato che ciò sia dovuto a qualche incongruenza tra due o 
più assiomi fondamentali della teoria dei numeri.  Ma quale/i?
Purtroppo non sono per nulla ferrato in matematica. Dunque perché mi sto 
imbarcando in questa avventura? Boh!
Forse perché credo che sia possibile dire qualcosa di sensato anche per 
logica, magari iniziando a porsi domande sulla "natura" dei numeri.  Che 
sono enti astratti, ma che si suppone siano astrazioni di certe 
proprietà del mondo fisico.

Beh, la "natura" dei numeri, e non solo dei numeri (sarei tentato,
molto tentato, di dire "la natura dell'ente"), è l'unità.
Riguardo l'atto di astrazione c'è sempre il solito quizzibus 
gnoseologico: per farlo devi conoscere il soggetto, sia in senso 
inclusivo (ciò che astrai) che in senso esclusivo (ciò che non è
astratto).

Persio

Considera un numero N a piacere, poi dividilo per tutti i numeri interi 
minori di N: se in corrispondenza di uno o più di quei numeri il 
quoziente è intero, allora N non è un numero primo. Evidentemente i 
numeri < N che interessano in questa operazione sono solo i numeri primi.
 
Temo non ci sia un altro modo per sapere se un numero è primo oppure no.
 
Stante questa regola, che è quella stessa che definisce il numero primo 
- che non è divisibile per alcun altro numero tranne che per l'unità - 
si nota che non lo si costruisce a partire da un qualche algoritmo, ma 
si decide che lo è mediante l'operazione indicata nella definizione 
stessa, cioè nel modo che ho descritto qui sopra.
 
A rigore esiste un altro modo: si moltiplicano fra loro in tutti i modi 
possibili - con tutte le potenze possibili - tutti i numeri minori di un 
certo numero arbitrario H (anche solo i primi < H, se si conoscono): 
nella sequenza dei numeri naturali < H che ne risulta compariranno dei 
vuoti. Ebbene, quei "vuoti" sono numeri primi.
 
Dato comunque che in sostanza si tratta di una definizione 'a 
posteriori', ossia basata su verifica, non sembra rimanere spazio logico 
per altri metodi.
 
Non penso ci siano incongruenze fra gli assiomi fondamentali della 
teoria dei numeri (assiomi di Peano, benché molto discutibili con 
l'introduzione dello zero; il primo assioma, in origine, era '1 è un 
numero naturale' e non 'zero è un numero naturale'). In ogni caso gli 
assiomi di Peano dicono in sostanza che i numeri si costruiscono per 
aggregazione di unità (riconoscendo di nuovo all'unità il ruolo 
fondamentale, anche se Peano si limita al concetto un po' [tanto] 
ambiguo di 'successore'). Non dicono altro. Perciò vedrei strano 
individuare incongruenze, dato che non dicono niente altro.
Ma se hai delle altre critiche sugli assiomi di Peano, per me è un 
invito a nozze :)
 
Tornando al topic, il fatto che sia così difficile individuare i numeri 
primi ne fanno strumenti "tecnologici" nel mondo informatico, per varie 
applicazioni.
 
Circa la natura del numero, credo che la cosa sia più complessa di come 
la ipotizzi. Una domanda immediata è infatti: come si fa ad astrarre?
Astrarre non è forse un processo di "entificazione", ossia, 
preliminarmente, di riconoscimento di qualcosa come ente, cioè come 
unità? E questo concetto di 'unità', da cui discende di fatto l'intera 
teoria dei numeri - dalla quale discende l'intera matematica/geometria, 
- che natura ha?
Oggettiva ovviamente no. Perciò è una proprietà psichica e solo psichica 
(per tutte le specie).
 
Omega

 ha scritto:

Bisogna distinguere tra "algoritmo" e "funzione" (cioè espressione 
analitica). L'*algoritmo* per la determinazione di tutti e soli i numeri 
primi non maggiori di un dato numero N (chiamiamo P(N) l'insieme di tali 
numeri) ovviamente c'è, come Omega ha ricordato. Dunque l'insieme P(N), 
detto in soldoni, è computabile. 
Perché mai, allora, l'inesistenza di una *espressione analitica* 
("formula") capace di determinare l'insieme P(N) dovrebbe implicare una 
contraddizione all'interno degli assiomi della teoria dei numeri? La 
computabilità non richiede necessariamente una "formula", perché il 
concetto di "formula" non esaurisce quello di computabilità. Non esiste 
nemmeno la "formula" (cioè l'espressione analitica) in grado di dirci, per 
un dato N, il numero di numeri primi non maggiore di N (sappiamo solo - e 
questo è il "teorema dei numeri primi" dimostrato da Hadamard nel 1896 - 
che all'infinito questo numero approssima N/log(N), sì che si può 
studiare, come Omega sa benissimo, la distribuzione dei primi sulla retta 
dei naturali). 
 
Se proprio vogliamo avventurarci filosoficamente nel mondo dei numeri, 
domandiamoci non tanto quale sia la radice delle proprietà dei numeri 
primi (dalla quale devono sgorgare cose come la congettura di Goldbach, 
parzialmente dimostrata alcuni anni fa, etc.) ma "perché" mai un essente, 
cioè una qualunque cosa, che sia una idea, un sentimento o una cosa che ci 
sta sotto il naso, faccia proprio "uno". Così saremmo arrivati al fondo e 
ci ritroveremo a dialogare con Pitagora. Anche perché, ovviamente, non si 
capisce bene se 1 sia o meno un numero primo:-).
 
Un saluto,
 
Marco

 Marco
 
Un saluto
Omega

 In tal caso non come ente.
 
Il concetto di numero come "funzione" è valido, perché ne implica una 
"deontologizzazione" (un po' alla Kant) e dun

 "deontologizzazione" (un po' alla Kant) e dun
 
[continuo la risposta, inviata per sbaglio ancora incompleta]
L'attribuzione al numero di uno status "funzionale" è sicuramente valida, 
perché ne implica quel depotenziamento ontologico (un po' alla Kant) - che 
potremmo chiamare "deplatonizzazione" o "depitagorizzazione", visto che per 
questi due giganti del pensiero occidentale (seguiti a millenni di distanza da 
Goedel), a quanto pare, i numeri sono enti nel senso stretto del termine (cioè 
"oggetti") - che sembra necessario. 
 
Il problema, allora, è se vedendo il numero come *parte* della natura, esso 
non venga nuovamente reificato. Proprio qui si può comprendere l'efficacia 
teorica della soluzione kantiana (da vedere, poi, se alla resa dei conti si 
regga in piedi): il valore *costitutivo* delle categorie che Kant chiama 
"matematiche" (quantità e qualità) non implica la loro appartenenza alla 
natura.
 
Un saluto,
 
Marco

 Marco V.

Mi sembra proprio che Kant abbia ragione :), perché quantità e qualità 
sono attribuite dal soggetto che osserva, non appartengono 
"ontologicamente" alle cose osservate. Le cose osservate possono essere 
dieci o mille, "oggettivamente", ma esse forse "si presentano" come 
dieci o mille, oppure ciascuna per sé del tutto indipendentemente dalle 
altre? Direi questa seconda ipotesi. Per l'osservatore invece contano 
sia il cosa sono singolarmente, sia quante sono (come gruppo) - 
supponiamo siano semi da beccare, tu osserva come si affollano i 
piccioni se i semi gettati dal pensionato sono molti. La quantità, come 
la qualità, sono appunto, kantianamente, categorie della mente dei 
viventi. Piccioni inclusi.
 
E alla base della categoria di quantità ci sono a mio parere due 
elementi "innati": uno è l'unità, direi persino 'il senso' dell'unità; 
l'altro è il confronto, inteso come il valutare quante volte è 
applicabile il senso dell'unità a un gruppo di enti.
Al "senso dell'unità" riconopscerei un processo fondamentale - con tutti 
i suoi errori, - che chiamo 'entificazione'. Esso consiste 
nell'attribuzione di 'ente' - quindi di unità - a un certo sottoinsieme 
di stimoli sensori dentro a un più ampio insieme di stimoli. Noi lo 
chiamiamo 'riconoscimento', mentre è un'attribuzione da parte nostra di 
unità a quel sottoinsieme di stimoli. Perciò parlo di errori, perché 
spesso ci si azzecca, ma non raramente si prendono lucciole per 
lanterne. In ogni caso, anche questa presenza dell'errore dimostra che 
l'"entificazione", o attribuzione del senso di unità - e poi la 
categorizzazione - è un processo che riguarda noi, non le cose 
osservate, benché (talvolta) ci sia buona corrispondenza con una misura 
"oggettiva", o anche solo con un'osservazione più accurata.


Mi scuso per aver proposto un argomento abbandonandolo subito dopo e 
ringrazio tutti quelli che hanno risposto. Purtroppo sono stato 
distratto da altre cose.


 astratto).
 
E' un vicolo cieco: non posso conoscere nessuna cosa senza astrarla, 
dunque non posso nulla di ciò che non è astrazione. Di ciò che NON E' 
astratto posso solo avere una conoscenza mediata, non diretta.  Sia pure 
soltanto attraverso i sensi.

 E' un vicolo cieco: non posso conoscere nessuna cosa senza astrarla, 
 
Attenzione io non dico che la conoscenza dipende dall'astrazione,
dico l'esatto contrario, se poi qualcuno pensa che la conoscenza
dipenda dall'astrazione beh sono "cavoli" suoi dire come fa ad
astrarre qualcosa che non conosce.
 
Sulla mediazione non ho nulla da dire che non abbia già detto
per l'astrazione in quanto, a mio parere, non si fa altro che
spostare il problema dato che in ogni caso ogni tentativo di
mediare implica la conoscenza di ciò che è, o fa da, "intermedio".