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Titolo: la Diagonale di Babele

«Questo pensatore osservò che tutti i libri, per diversi che fossero,
constavano di elementi uguali: lo spazio, il punto, la virgola, le ventidue
lettere dell'alfabeto. Stabili, inoltre, un fatto che tutti i viaggiatori
hanno confermato: non vi sono, nella vasta Biblioteca, due soli libri
identici. Da queste premesse incontrovertibili dedusse che la Biblioteca è
totale, e che i suoi scaffali registrano tutte le possibili combinazioni dei
venticinque simboli ortografici (numero, anche se vastissimo, non infinito)
cioè tutto ciò ch'è dato di esprimere, in tutte le lingue. Tutto: la storia
minuziosa dell'avvenire, le autobiografie degli arcangeli, il catalogo
fedele della Biblioteca, migliaia e migliaia di cataloghi falsi, la
dimostrazione della falsità di questi cataloghi, la dimostrazione del
catalogo falso, l'evangelo gnostico di Basilide, il commento di questo
evangelo, il commento del commento di questo evangelo, il resoconto veridico
della tua morte, la traduzione di ogni libro in tutte le lingue, le
interpolazioni di ogni libro in tutti i libri.»
    Jorge Luis Borges, _La Biblioteca di Babele_
1 - IL REGISTRO DI INVENTARIO E ALTRI CATALOGHI
Molti anni fa per un po' di tempo ho prestato servizio in una biblioteca.
Ricordo che avevamo un grosso timbro, di quelli con una serie di ruote
meccaniche, su ognuna delle quali erano impresse tutte le cifre dallo "0" al
"9": ogni volta che si imprimeva un numero un meccanismo faceva avanzare le
ruote in modo tale che la volta successiva venisse impresso il numero
seguente. Così se si disponevano le ruote del timbro in modo tale che
comparisse il numero "1", e poi si azionava il timbro più volte, la prima
volta veniva impresso il numero "1", la seconda volta il numero "2", la
terza volta il numero "3", e così via.
Questo timbro serviva per stampare sul retro del libro quel numero che i
bibliotecari chiamano "numero di inventario": ogni volume di una biblioteca
ha un suo numero di inventario, e non esistono due volumi che abbiano numeri
di inventario uguali. Anche se un'opera è in più tomi, ognuno di essi ha un
suo numero di inventario. Se ad esempio un volume ha numero di inventario
24374 significa che prima di quel volume la biblioteca ne aveva acquisiti
altri 24373, sicché quello era il 24374-esimo volume acquisito.
Avevamo poi dei grossi registri, costituiti da schede numerate
progressivamente da "1" in poi, e su ogni scheda era riportata la
descrizione del volume avente numero di inventario corrispondente alla
numerazione della scheda: la scheda col numero "1" riportava la descrizione
del primo volume acquisito dalla biblioteca, la scheda col numero "2"
riportava la descrizione del secondo, eccetera. Quanto alla descrizione di
un volume, è noto in cosa consista: titolo, autore, luogo di pubblicazione,
casa editrice, anno di pubblicazione, numero di pagine, dimensioni,
eccetera.
Possiamo pensare che quel nostro registro di inventario fosse una sorta
di immaginaria scaffalatura, nella quale erano stati riposti tutti i libri
della biblioteca, nell'ordine in cui erano stati acquisiti. Dico che quella
scaffalatura era immaginaria perché in realtà le biblioteche tengono i loro
volumi disposti secondo la "collocazione", la quale solitamente non coincide
con il numero di inventario, ma tiene conto anche dell'argomento principale
del volume, dell'autore, eccetera, in modo tale che volumi che siano affini
fra loro compaiano vicini nella scaffalatura. Questo è particolarmente
importante nelle biblioteche "a scaffalatura aperta", cioè quelle in cui gli
utenti hanno libero accesso ai volumi. In questo caso infatti l'utente non è
minimamente interessato a scorrere i volumi nell'ordine in cui sono stati
acquisiti dalla biblioteca, ma se ad esempio sta cercando un testo sulla
filosofia del linguaggio desidera che esista un settore della biblioteca nel
quale sono raccolti tutti i volumi che riguardano la filosofia del
linguaggio.
A prescindere da questi dettagli pratici, nulla ci vieta comunque di pensare
che i libri siano disposti negli scaffali secondo l'ordine di inventario,
per cui ogni volta che la biblioteca acquisisce un nuovo volume lo si
aggiunge in fondo ai volumi dell'ultimo scaffale, e quando nell'ultimo
scaffale non c'è più posto se ne aggiunge un altro. Come dicevamo, una
biblioteca così non sarà facile da consultare, tuttavia se ne realizzassimo
una così potremmo sempre tenere, oltre al registro di inventario, un secondo
registro nel quale siano riportati tutti i possibili soggetti trattati, in
ordine alfabetico, e per ogni soggetto tutti i libri presenti nella
biblioteca, con accanto il numero di inventario. Così se un utente della
biblioteca stesse cercando un testo sulla filosofia del linguaggio, potrebbe
cercare nel registro dei soggetti alla lettera "F", fino a trovare
"Filosofia", e poi scorrere tutti i soggetti che iniziano con "Filosofia"
fino a trovare "Filosofia del linguaggio". A quel punto prenderebbe nota del
numero di inventario di tutti i testi che trattano quell'argomento, per poi
andarli a cercare nelle scaffalature.
Da quando le biblioteche dispongono dei calcolatori elettronici tutte queste
operazioni di catalogazione sono diventate rapide ed efficaci, sicché si può
tenere un unico registro, avente vari "campi" (inventario, soggetto, titolo,
autore, eccetera) e consultarlo "indicizzando" di volta in volta  il campo
che ci interessa. Così in pochi secondo possiamo trovare tutti i testi di un
certo autore, o tutti i volumi che trattano un certo soggetto, eccetera.
Quanto ai libri, se ne staranno disposti fisicamente sui loro scaffali,
disposti in qualche *ordine* che ci consenta di scorrerli dal primo
all'ultimo: ci sarà un primo volume, un secondo, un terzo, e così via,
secondo un certo criterio che ci permette di trovarli.
2 - LA BIBLIOTECA COME MATRICE
Con il proseguire della informatizzazione, possiamo anche immaginare che le
biblioteche vogliano offrire qualcosa di più ai loro utenti, rendendo più
esauriente quel "registro unico". Ad esempio includendo tutto l'indice del
libro, poi - eventualmente - anche il contenuto delle prime pagine, e non
possiamo escludere che infine, fra qualche decennio o forse qualche secolo,
tutti i libri di una biblioteca siano contenuti sulla memoria di massa di un
computer, la quale contenga un "registro" le cui schede siano costituite da
dei "record", ognuno dei quali contenga un intero volume. Anche in questa
memoria di massa ad ogni libro ha il suo "numero di inventario",
corrispondente al numero progressivo del record, e il contenuto di un certo
record è costituito da una serie di campi, uno dei quali riposta il testo
del libro per intero.
Se, come si è soliti fare, immaginiamo che ogni record sia disposto sulla
riga di una tabella, quella tabella avrà tante colonne verticali che
separano i vari campi dei record: nella prima colonna ci sarà il numero
progressivo del record, nella seconda il titolo del testo, nella terza
l'autore, e così via, fino ad arrivare all'ultimo campo, che conterrà una
"stringa" costituita da tutti i caratteri che compongono l'intero testo del
libro!
Supponiamo ad esempio di avere una biblioteca che come primo volume abbia
acquisito _La Divina Commedia_ di Alighieri, come secondo volume
_L'Orlando Furioso_ di Ariosto, come terzo volume _I promessi sposi_
di Manzoni, eccetera. Se ci concentriamo sulle due colonne che contengono,
rispettivamente, il numero di inventario del volume ed il testo per intero,
otteniamo qualcosa del genere:
    1   =   "N"   "e"   "l"   " "   "m"   "e"   "z"   "z"   "o"   ...
    2   =   "L"   "e"   " "   "d"   "o"   "n"   "n"   "e"   ...
    3   =   "Q"   "u"   "e"   "l"   " "   "r"   "a"   "m"   "o"   ...
    . . .
Si osservi che abbiamo riportato separatamente il contenuto di ogni singolo
byte, perché un testo è appunto una successione di caratteri, presi da
quell'insieme di venticinque caratteri (o qualcuno di più) di cui ci parla
Borges.
Tutta la nostra biblioteca può dunque essere contenuta in una sorta di
"matrice", costituita da un numero potenzialmente illimitato di righe e
colonne, tale che nella k-ma riga ci sia tutto il testo del k-mo volume e
nella j-ma colonna ci sia il j-mo carattere di tutti i volumi della
biblioteca. Indicando dunque con a(k,j) il j-mo carattere del k-mo volume
abbiamo una matrice di questo tipo:
   1   =   a(1,1)   a(1,2)   a(1,3)   . . .
   2   =   a(2,1)   a(2,2)   a(2,3)   . . .
   3   =   a(3,1)   a(3,2)   a(3,3)   . . .
Ad esempio nel nostro caso a(3,2) è il secondo carattere del terzo volume,
ovvero la lettera "u"
(continua)
-- 
Saluti.
D.

> (continua)
3 - IL LIBRO DIAGONALE
Come è fatta la "matrice" della Biblioteca di Babele?
Ci viene detto che essa contiene tutte i libri possibili, ovvero tutte le
combinazioni possibili di caratteri, i quali formano volumi aventi tutte le
possibili dimensioni. Dunque il nostro sembra essere un semplice problema di
calcolo combinatorio: realizzare tutte le combinazioni possibili di un certo
numero di caratteri.
Ora, dal momento che i libri sono disposti su degli scaffali, essi si
troveranno in qualche ordine. Ad esempio potremmo partire dal piano terra, e
numerare le stanze in un certo ordine, poi numerare gli scaffali (da destra
a sinistra, dal basso all'alto), e alla fine ci troveremmo con tutti i
nostri libri disposti in un certo ordine. Magari non basterebbe una intera
vita per scorrere anche solo una piccola parte della biblioteca, e tuttavia
se i libri sono stati acquisiti dalla biblioteca essi dovranno pure essere
collocati in un qualche ordine, sicché potremo parlare di un primo libro, un
secondo, un terzo, eccetera, secondo una certa disposizione che potrà essere
arbitraria finché si vuole, ma certamente deve esistere.
Dunque ogni volume ha un suo "numero di inventario", ovvero una certa
posizione in una certa successione, ed è a sua volta costituito da una
successione ordinata di caratteri. Ne viene che tutta la nostra Biblioteca
di Babele potrà essere trasferita in una Matrice di Babele, sulle cui righe
ci sono tutte le combinazioni possibili di tutti i caratteri dell'alfabeto.
Ora che abbiamo trasferito la nostra matrice su un calcolatore, possiamo
estrarre da essa qualunque informazione su tutti i libri della Biblioteca.
Ad esempio potremmo essere curiosi di sapere qual è la prima lettera di ogni
volume, e scrivere un programma che stampi un volume costituito da tutte le
prime lettere di tutti i volumi della biblioteca. Ogni volta che facciamo
qualcosa del genere diciamo che stiamo facendo una "interrogazione" alla
matrice che contiene tutte le informazioni sui volumi della biblioteca.
Ebbene, fra tutte le possibili "interrogazioni", potremmo decidere di farne
una che probabilmente molti giudicherebbero un po' strana. Supponiamo
infatti di impostare una interrogazione in modo tale che il calcolatore
stampi un elenco di caratteri, di cui il primo è il primo carattere del
primo volume, il secondo è il secondo carattere, del secondo volume, il
terzo è il terzo carattere del terzo volume, e - generalizzando - il k-mo è
il k-mo carattere del k-mo volume. Disponendo tutti questi caratteri su una
riga avremmo dunque:
    a(1,1)   a(2,2)   a(3,3) . . .
Nel nostro esempio con Dante, Ariosto e Manzoni otterremo un libro che
inizia così:
    "N"   "e"   "e"   . . .
Se si confronta questa successione con la matrice descritta più sopra, ci si
può rendere conto che si tratta di tutti i termini della matrice che stanno
sulla sua "diagonale".
Non solo, ma questa stampa a sua volta è un libro, un libro come tutti gli
altri.
Certo, che io sappia non c'è in commercio nessun libro, per lo meno in
italiano, che inizi con "Nee". E se anche esistesse, o se ne esistesse uno
in qualche altra lingua, basterebbe continuare a scrivere questo nostro
"libro diagonale" per ottenere prima o poi una sequenza di caratteri
insensata - e probabilmente pure illeggibile - che nessun editore
pubblicherebbe mai. Dunque ad un certo punto ci convinceremmo che il libro
che stiamo stampando non esiste, nel senso che non è mai stato pubblicato, e
sicuramente non ce n'è uno uguale nella nostra biblioteca.
Tutto ciò varrebbe appunto per una biblioteca comune, di quelle che si
trovano in ogni città. Ma la Biblioteca di Babele è speciale, perché di essa
ci viene detto non solo che contiene ogni libro che sia mai stato
pubblicato, ma addirittura ogni libro possibile. Se è così, allora anche il
"libro diagonale" deve essere già presente da qualche parte nella
biblioteca, e dunque ci deve essere una riga della Matrice di Babele che è
esattamente uguale alla diagonale della matrice stessa. Non sappiamo qualche
sia il "numero di inventario" di quella riga, ma ci deve essere. Magari è la
decima, o la centesima, o la milionesima, comunque sia ci deve essere una
riga uguale alla diagonale. Se il Bibliotecario pretende di dire che nella
sua Biblioteca ci sono tutti i libri possibili, allora deve accettare che
nella sua Matrice ci sia una riga uguale alla diagonale, non ci sono
alternative.
Dunque ci deve essere un libro che è ottenuto prendendo una lettera da ogni
libro della biblioteca.
Ma una attimo: anche il libro diagonale è un libro della bilioteca, dunque
esso deve contenere anche una certa lettera presa da se stesso! E qual è
questa lettara? Non è difficile rispondere: è quella corrispondente, nella
successione delle lettere, al numero di inventario del libro!
Riflettiamo meglio si questo punto. Supponiamo che il "libro diagonale" sia
il centesimo. Dunque la centesima riga della nostra matrice sarà uguale alla
sua diagonale:
    001   =   "N"   "e"   "l"   " "   "m"   "e"   "z"   "z"   "o"   ...
    002   =   "L"   "e"   " "   "d"   "o"   "n"   "n"   "e"   ...
    003   =   "Q"   "u"   "e"   "l"   " "   "r"   "a"   "m"   "o"   ...
    . . .
    100   =   "N"   "e"   "e"   ...
Se ora prolunghiamo la diagonale fino alla centesima riga e nel frattempo
prolunghiamo la centesima riga fino al centesimo carattere, otteniamo un
certo carattere che sta sulla diagonale ed anche sulla centesima riga,
poiché il centesimo carattere della centesima riga è anche il centesimo
carattere della diagonale.
Si tratta dunque del carattere in corrispondenza del quale la centesima riga
e diagonale si "intersecano",  Pertanto quando diciamo che il "libro
diagonale" è ottenuto
prendendo un carattere da ogni libro, a partire dal primo, stiamo anche
dicendo che esso ad un certo punto prende una lettera da se stesso.
Generalizzando, se il "libro diagonale" corrisponde alla k-ma riga, avremo
che la sua k-ma lettera è anche la k-ma lettera della diagonale:
    1   =   a(1,1)   a(1,2)   a(1,3)   . . .   a(1,k)   . . .
    2   =   a(2,1)   a(2,2)   a(2,3)   . . .   a(2,k)   . . .
    3   =   a(3,1)   a(3,2)   a(3,3)   . . .   a(3,k)   . . .
    . . .
    k   =   a(1,1)   a(2,2)   a(3,3)   . . .   a(k,k)   . . .
    . . .
Tutto questo può anche dare un senso di vertigine, ma non c'è niente di
sbagliato: stiamo semplicemente dicendo che ogni riga della matrice dovrà
intersecare la diagonale in una colonna che ha nella successione delle
colonne la stessa posizione che la riga ha nella successione delle righe.
(continua)
-- 
Saluti.
D.

> (continua)
4 - UN LIBRO ANTIDIAGONALE
Dal momento che la nostra Biblioteca ha pochi utenti, e ci annoiamo,
continuiamo a pensare a delle possibili "interrogazioni" da fare alla
Matrice, finché non ci viene in mente una idea bislacca: far stampare al
calcolatore un "libro antidiagonale", cioè un libro tale che nessuno dei sui
caratteri coincida con il corrispondente carattere del libro diagonale.
Per ottenere questo libro possiamo partire dal "libro diagonale" ed istruire
il calcolatore affinché ogni singolo carattere venga sostituito da un
carattere diverso. Ad esempio potremmo decidere che le lettere vengono
sostituite dalla lettera successiva, in modo tale che le "a" divengano delle
"b", le "b" divengano delle "c", e così via fino alla "z", che verrebbe
trasformata in una "a", immaginando che l'alfabeto venga scritto su un
anello chiuso, sicché la lettera successiva della "z" verrebbe appunto ad
essere la "a". Analogamente ogni cifra numerica verrebbe parimenti
sostituita dalla successiva, con l'avvertenza di sostituire il "9" con lo
"0". E infine tutti i segni di punteggiatura e di spaziatura potrebbero
anch'essi essere sostituiti dal "carattere successivo", che si otterrebbe
dopo averli disposti su un opportuno anello chiuso, secondo un qualche
ordine stabilito in modo arbitrario. (Se poi non vogliamo ripartire il
nostro alfabeto in più sottoinsiemi, possiamo disporlo su un unico anello
chiuso, e prendere sempre il carattere successivo, con la libertà di
trasformare le lettere in cifre, le cifre in segni di punteggiatura,
eccetera.)
Questo sarebbe effettivamente un libro antidiagonale, poiché per ogni k
potremmo dire che il suo k-mo carattere è diverso dal k-mo carattere del
libro diagonale. Nel nostro esempio il libro antidiagonale inizierebbe così:
    "O"   "f"   "f"   . . .
Più in generale, se la diagonale è data dalla seguente successione:
    a(1,1)   a(2,2)   a(3,3)   . . .
possiamo indicare l'antidiagonale con nel modo seguente:
    à(1,1)   à(2,2)   à(3,3)   . . .
dove l'accento sta ad indicare una differenza, prodotta dalla trasformazione
che abbiamo effettuato.
Ora, dal momento che nella Biblioteca di Babele (e nella corrispondente
Matrice di Babele) per ipotesi ci sono tutti i libri possibili, allora ci
deve essere anche questo, dunque deve esistere una riga della matrice che
coincide con questa "antidiagonale", ovvero una "riga antidiagonale".
Ovviamente può essere ovunque: se la "riga diagonale" era la centesima,
questa potrebbe essere la milionesima, o anche la decima, o la quinta, ma
una "riga antidiagonale" deve esistere.
Ed è qui che saltano fuori le grane. Supponiamo infatti che questa riga sia
la p-ma. Allora la successione dei termini della p-ma riga:
    a(p,1)   a(p,2)   a(p,3)   . . .
deve coincidere con la successione dei termini dell'antidiagonale:
    à(1,1)   à(2,2)   à(3,3)   . . .
ovvero, generalizzando,
    a(p,j) = à(j,j)   per ogni j.
Le grane cui accennavo saltano fuori quando si arriva alla p-ma colonna,
ovvero quando la p-ma riga interseca la diagonale. Infatti in quel punto la
p-ma riga e la diagonale dovrebbero avere un elemento comune, come capitava
in precedenza, quando avevamo considerato la riga diagonale. Ora però la
riga p-ma è una riga *anti*diagonale, che non coincide con la diagonale in
nessun carattere, e dunque non può coincidere nemmeno nel p-mo carattere!!!
Ce ne rendiamo conto se prendiamo la precedente equazione nel caso
particolare in cui j è uguale p, ottenendo:
    a(p,p) = à(p,p)
che è impossibile, poiché per ipotesi à(k,k) è sempre diverso da a(k,k), per
ogni k.
Disponendo il tutto su una matrice siamo aiutati a visualizzare meglio il
problema:
    1   =   a(1,1)   a(1,2)   a(1,3)   . . .   a(1,p)   . . .
    2   =   a(2,1)   a(2,2)   a(2,3)   . . .   a(2,p)   . . .
    3   =   a(3,1)   a(3,2)   a(3,3)   . . .   a(3,p)   . . .
    . . .
    p   =   à(p,1)   à(p,2)   à(p,3)   . . .   à(p,p)   . . .
    . . .
Siamo dunque arrivati ad un assurdo: à(p,p) deve essere uguale ad a(p,p)
e allo stesso tempo deve essere diverso da esso!
5 - AUTOREFERENZA + NEGAZIONE = PARADOSSI
Che cosa ha prodotto questa contraddizione?
Ricordiamo che il libro diagonale era costituito dalla successione che si
ottiene prendendo una lettera da ogni libro secondo l'ordine in cui essi
sono disposti nel registro di inventario. Se il decimo carattere di questo
libro è, ad esempio, una "e", il libro ci sta parlando del decimo libro
della biblioteca, e ci dice che il suo decimo carattere è una "e". Se poi il
libro diagonale ha numero di repertorio k, allora quando arriviamo al k-mo
carattere, che ad esempio potrà essere una "h", il libro diagonale ci starà
parlando del k-mo libro, cioè di *se stesso*, e starà dicendoci che la sua
k-ma lettera è una "h". Questa non è altro che una tautologia. E' come se il
libro diagonale, arrivato il momento di parlare di sé, non sapesse fare
altro che dire «Io sono io». Bella scoperta.
Le cose vanno diversamente con il libro *anti*diagonale. Anche esso ci parla
di tutti i libri della biblioteca, ma *in negativo*. Se ad esempio la sua
decima lettera è una "f", allora il libro antidiagonale ci sta parlando del
decimo libro della biblioteca, e ci sta dicendo che il suo decimo carattere
*non è* una "f". Ma abbiamo detto che anche il libro antidiagonale deve
essere un libro della biblioteca, ed abbiamo ipotizzato che esso abbia
numero di repertorio sia p. Allora quando arriviamo al p-mo carattere del
libro antidiagonale, che ad esempio potrà essere una "r", esso ci sta
parlando del p-mo libro della biblioteca, cioè di *se stesso*, e ci sta
dicendo che il suo p-mo carattere *non è* una "r". Dunque ci sta dicendo che
il suo p-mo carattere non è il suo p-mo carattere!
Mentre il libro diagonale, arrivato il momento di parlare di sé, non sapeva
fare altro che enunciare «Io sono io», ovvero una tautologia, ora il libro
antidiagonale, arrivato il momento di parlare di sé, enuncia una
contraddizione: «Io *non* sono io»!
Qui non possiamo fare a meno di ricordare il cosiddetto "paradosso del
mentitore", che si produce quando qualcuno afferma: «Io sto mentendo».
Se dicesse: «Io sto dicendo la verità», allora egli direbbe il vero se e
solo se stesse dicendo la verità, il che ci riporta alla tautologia della
"diagonale". Egli invece dice: «Io sto mentendo», ed in tal caso se ciò che
dice è vero allora deve essere falso, e se è falso deve essere vero! Una
contraddizione, del tutto analoga a quella  della "antidiagonale", poiché
anche in quel caso si ha una *autoreferenza* unita ad una *negazione*.
Come se ne esce?
-- 
Saluti.
D.

> Come se ne esce?
6 - DAI PARADOSSI AI TEOREMI: ANALISI DELLE PREMESSE
Il filosofo Marc Sainsbury ha proposto una felice definizione informale di
paradosso, secondo la quale un paradosso è «una conclusione apparentemente
inaccettabile, che deriva da premesse apparentemente accettabili, per mezzo
di un ragionamento apparentemente accettabile».
[M. Sainsbury, _Paradoxes_, Cambridge University Press, 1995]
Quando si arriva ad una contraddizione, e non si riesce a trovare nulla
nelle premesse o nel ragionamento che si è fatto che si possa mettere in
discussione, allora non si sa come liberarsi dalla contraddizione, e si dice
che si è prodotto un paradosso, qualcosa della serie "lo vedo ma non ci
credo".
Le cose sarebbero diverse se le ipotesi fossero in discussione. Anzi, c'è
persino un caso in cui l'esito contraddittorio è auspicabile, e si traduce
immediatamente in un teorema. Questo è il caso in cui si hanno una serie di
ipotesi certe, e poi una ulteriore ipotesi della quale si ritiene di poter
dimostrare la falsità. In questo caso si potrà procedere "per assurdo",
assumendo per vera l'ipotesi che si intende negare, e dimostrando che così
facendo si produce una contraddizione. Dal momento che tutte le altre
ipotesi non erano in discussione, dovremo imputare la contraddizione
all'aver presa per vera l'ipotesi che si voleva negare, sicché la
contraddizione diventa una dimostrazione per assurdo che l'ipotesi in
questione va negata.
La storia della matematica potrebbe essere interamente descritta come la
vicenda di ragionamenti che nascono come paradossi e finiscono come teoremi,
o come definizioni.
Nel nostro caso, se vogliamo trasformare la contraddizione in un teorema
dobbiamo cercare di esplicitare tutte le ipotesi del nostro ragionamento,
per cercare di capire se ce ne sia almeno una che possa essere messa in
discussione.
Se ora andiamo a rileggere con attenzione tutta l'argomentazione che abbiamo
sviluppato per arrivare a quella contraddizione, ci possiamo rendere conto
che più o meno esplicitamente abbiamo fatto uso delle seguenti tre ipotesi:
1) tutti i libri della Biblioteca sono disponibili su degli scaffali (o
    in un registro di inventario) in una qualche successione ordinata;
2) ogni libro è costituito da una successione ordinata di caratteri;
3) ogni possibile combinazione di caratteri è un libro della
    Biblioteca.
Le prime due ipotesi si possono riassumere dicendo che il nostro insieme può
essere interamente descritto come una "successione di successioni". Di qui
la "matrice", che può essere intesa come una "successione a due indici",
ovvero - per usare una metafora - una "successione bidimensionale". Abbiamo
infatti un insieme costituito da una successione di oggetti, ognuno dei
quali può essere descritto da una successione di caratteri, i quali a loro
volta sono presi da un insieme finito di caratteri, cioè un alfabeto.
La terza ipotesi afferma invece che ogni possibile combinazione di caratteri
dell'alfabeto corrisponde a qualche elemento della successione di elementi
che compongono l'insieme. In altri termini stiamo ipotizzando che l'insieme
sia in qualche modo "completo" rispetto alla combinazione dei caratteri
dell'alfabeto. Qui potremmo osservare che affinché si produca l'assurdo in
realtà non abbiamo bisogno che ogni possibile combinazione di caratteri
definisca qualche elemento dell'insieme. Ad esempio il fatto che esista una
certa riga che coincide con la diagonale non produce alcuna assurdità, e
quella riga potrebbe non esistere. Ciò che ci interessa è che esista almeno
una trasformazione che cambiando tutti i termini della successione degli
elementi diagonali produca una successione che corrisponde a qualche
elemento dell'insieme, sicché si possa dire che quella successione di
termini trasformati deve stare su qualche riga della matrice. Ci interessa
dunque che l'insieme sia (o pretenda di essere) abbastanza "completo" da
consentirci di dimostrare che esso contiene almeno una successione
"antidiagonale".
Queste sono le tre ipotesi del nostro ragionamento. E se riusciamo a
trovarne una che possa essere messa in dubbio, allora il nostro
ragionamento, che produce una contraddizione, può essere utilizzato per
dimostrare che quella ipotesi deve essere rigettata.
Ma di quale ipotesi possiamo dubitare?
-- 
 Saluti.
 D.

> Ma di quale ipotesi possiamo dubitare?
6.1 - L'IPOTESI DELLA COMPLETEZZA
La pretesa che una biblioteca possa contenere tutti i libri possibili è
quella che ci può apparire più sospetta. Nessun bibliotecario comune, di
quelli che amministrano le comuni biblioteche, pretende di dire che nella
sua biblioteca c'è un libro che si può ottenere prendendo una lettera da
ogni libro della biblioteca stessa. Se invece il bibliotecario avanza delle
pretese circa la completezza della propria biblioteca, e queste pretese
implicano che in quella biblioteca ci deve essere almeno un "libro
antidiagonale", allora si produce l'assurdo. Dunque se incontriamo un
bibliotecario poco pretenzioso sappiamo che esso non cadrà in
contraddizione, mentre un bibliotecario troppo pretenzioso cadrà in
contraddizione.
Ma quand'è che un bibliotecario è "troppo pretenzioso"? Quali sono le
"pretese minime" che sono sufficienti a raggiungere quella certa "massa
critica" che produce l'assurdo? Nel caso del Bibliotecario di Babele è stato
facile produrre l'assurdo, poiché costui pretendeva addirittura che nella
sua biblioteca ci siano tutti i libri possibili, ovvero tutte le possibili
combinazioni di tutti i caratteri dell'alfabeto, ed è per questo che è stato
facile ottenere un "libro antidiagonale" che doveva appartenere
necessariamente alla Biblioteca. In altri casi però la cosa può essere più
complessa. A volte ci sono dei bibliotecari che sembrano disposti a fare
umilmente delle rinunce, al punto tale che nella loro biblioteca non c'è
nemmeno un "libro diagonale", che pure potrebbe esserci (anche se sarebbe
inutile, perché tautologico). Eppure, se si riflette attentamente, si trova
che c'è un modo di trasformare quella diagonale in un certo "libro
antidiagonale", e che questo è uno dei libri che il bibliotecario pretende
di avere nella sua biblioteca! Questo è uno dei casi più difficili, un caso
che potremmo definire di "falsa umiltà" del bibliotecario.
Dunque sembra proprio che l'ipotesi che può essere messa in discussione dia
la terza, quella secondo la quale una biblioteca possa contenere tutti i
libri possibili. D'altra parte le altre due ipotesi sembrano proprio
indiscutibili: i libri devono comunque essere disposti su degli scaffali, la
biblioteca deve essere costituita da un successione di stanze, ogni stanza
deve essere possedere una certa successione di scaffali, che possano essere
in qualche modo ordinati a partire dal basso all'alto o viceversa, da destra
a sinistra o viceversa, in senso orario o antiorario. E che un libro sia una
successione di caratteri è implicito nella definizione stessa di libro.
Dunque ci sembra evidente che sia l'ipotesi di "completezza" a dover essere
respinta.
6.2 - L'IPOTESI DEL REGISTRO DI INVENTARIO
Che accadrebbe, tuttavia, se fossimo altrimenti in grado di dimostrare che
il nostro insieme deve possedere un certo grado di completezza, sufficiente
a contenere degli elementi diagonali e pure degli elementi antidiagonali?
Cosa faremmo se arrivasse Dio in persona a garantirci che la Biblioteca è
sempre esistita, che è infinita e che contiene effettivamente ogni libro
possibile?
In tal caso se volessimo ancora evitare l'assurdo dovremmo rinunciare ad una
delle altre due ipotesi, ovvero che i libri della biblioteca siano
disponibili secondo una certa successione ordinata in un qualche registro di
inventario, e che ogni libro possa essere descritto come una successione
ordinata di caratteri.
E' vero che abbiamo appena detto che entrambe queste ipotesi ci sembrano
indiscutibili, però visto che ora ci troviamo in una circostanza nella quale
una delle due è da respingere, dovremo aguzzare l'ingegno e cercare di
trovare uno spiraglio dove fin'ora non ci pareva ce ne fossero.
Per cominciare possiamo osservare che delle due ipotesi quella che appare
più granitica è che ogni libro sia costituito da una successione di
caratteri presi da un alfabeto. Questa sembra essere proprio la definizione
di libro, e dire che un oggetto non è fatto in questo modo sarebbe come dire
che non è un libro. Dunque, se questa che ci pare una indiscutibile evidenza
è tale, bisogna che il problema sia prodotto dall'altra ipotesi, quella
secondo la quale i libri possono essere disposti in una successione
ordinata.
Ma come si fa a negare che i libri della biblioteca siano disponibili, anche
solo in linea di principio, in una successione ordinata? E' vero che ora
abbiamo saputo che la Biblioteca in realtà è infinita, ma questo non è
sufficiente per escludere che i libri siano ordinabili in una successione.
Anche i numeri naturali sono infiniti, eppure possono essere disposti in una
successione ordinata; anzi, sono il prototipo di ogni successione ordinata,
che infatti per essere tale deve essere "numerabile". E d'altra parte se i
libri sono infiniti, e se i numeri naturali sono pure infiniti, dovrebbe
esistere un modo per scrivere tutti i libri su un registro di inventario
infinito, con tutte le schede numerate a partire da "1".
Negare che i libri siano "numerabili" equivale infatti ad ammettere che non
esiste alcun modo di scrivere tutti i libri su un registro di inventario,
anche quando questo registro sia infinito, e si disponga di un tempo
infinito per registrare in esso tutti i libri della biblioteca. Ed equivale
anche ad affermare che non esiste nessun modo di percorrere la Biblioteca in
modo tale da scorrere tutti i libri in successione, uno alla volta, anche
quando disponessimo di un tempo infinito. Nemmeno Dio, se decidesse di
scorrere con lo sguardo un libro alla volta, pur disponendo di un tempo
infinito potrebbe trovare un metodo per farlo. Se Dio vuole contemplare la
Biblioteca lo può fare, al limite, con un unico sguardo onnicomprensivo, ma
nemmeno Lui - se è soggetto al principio di non contraddizione - può
scorrere tutti i libri della Biblioteca come farebbe un lettore che
decidesse di passare il rassegna tutti i libri di una comune biblioteca,
seguendo un certo criterio (ma sarebbe il caso di cominciare a parlare di
"algoritmo") che gli assicuri di passare una ed una sola volta davanti ad
ogni libro.
6.3 - L'IPOTESI DELLA TOTALITA'
Infine c'è la possibilità piuttosto inquietante che anche l'ipotesi del
registro di inventario si riveli certa o necessaria.
Il caso più eclatante si verifica quando da certe caratteristiche note della
Biblioteca riusciamo a produrre esplicitamente un certo criterio (leggi:
"algoritmo") che ci consente di porre tutti i libri della Biblioteca in una
successione ordinata, il che equivale a scrivere un "programma" che - avendo
tempo a sufficienza - sarebbe in grado di scrivere tutti i libri della
Biblioteca in un registro di inventario, nel quale ogni libro comparirebbe
una ed una sola volta. In tal caso non dobbiamo più chiederci se esista o
meno un modo per "scorrere" i volumi della bilioteca ad uno ad uno, perché
quel modo di fatto lo abbiamo trovato, e se lo abbiamo trovato allora - a
maggior ragione - esiste. Al solito, se la Biblioteca è infinita dovremo
ammettere che noi non potremo mai scorrere tutti i suoi volumi ad uno ad
uno. Tuttavia esisterebbe un modo di farlo - lo potrebbe fare Dio - dunque i
libri sarebbero disponibili in una successione ordinata, anche se infinita.
Ma allora, come se ne esce in questo caso? Dio in persona ci ha assicurato
che nella Biblioteca ci sono tutti i libri possibili, ed ora abbiamo trovato
un metodo che ci consente (o comunque ci consentirebbe) di scrivere il
registro di inventario della Biblioteca. Né la prima né la terza ipotesi
possono essere negate. Dunque bisogna negare la seconda, quella che fin
dall'inizio ci era sembrata la più certa, poiché essa non fa altro che
affermare che un libro è una successione di caratteri.
Come si fa a concepire un libro che non sia una successione di caratteri?
Come facciamo a scrivere con la tastiera un testo nel quale al posto di
certi caratteri ci sia qualcosa che non corrisponde a nessun tasto della
tastiera? Non è questa una contraddizione di termini?
Dobbiamo rifletterci bene.
Supponiamo dunque di essere partiti dalle nostre tre ipotesi, e di aver
dimostrato che la biblioteca deve contenere un certo "libro antidiagonale".
Sappiamo già che questo produce una contraddizione, ma come si produce
esattamente questa contraddizione? Si produce perché il libro antidiagonale
ci dice che il suo p-mo carattere è diverso dal suo p-mo carattere! Dunque è
il p-mo carattere del libro antidiagonale che crea dei problemi: l'assurdo
si produce lì dove la p-ma riga interseca la diagonale.
Ma allora per sistemare le cose dovremmo sperare che aprendo il libro
antidiagonale, il libro con numero di invetario p impresso sul retro, e
sfogliandolo fino a cercare il suo p-mo carattere, arrivati a quel carattere
trovassimo un bel buco nella pagina, cioè un "non carattere". Attenzione:
non uno spazio, perché lo spazio è un carattere come tutti gli altri, quello
corrispondente alla barra spaziatrice sulla tastiera. E nemmeno una macchia,
cioè un "carattere incognito", perché un carattere che non possiamo leggere
sarebbe comunque stato trasformato in qualcosa di diverso da sé dalla
trasformazione che abbiamo applicato alla diagonale. No, nessuna di queste
possibilità risolverebbe i nostri problemi. Ci deve essere proprio un "non
carattere", o - se vogliamo - un "carattere indefinito", un carattere la cui
definizione non definisca nulla, come quando si dice "il più grande numero
primo".
In questo modo la contraddizione sarebbe evitabile, perché lì dove dovrebbe
comparire la contraddizione ci sarebbe un bel buco, e buonanotte.
E la matrice? Se il p-mo libro al p-mo carattere contiene un buco, cosa
scriviamo sulla nostra matrice, che se ne sta memorizzata sul disco rigido?
Quale carattere premiamo sulla tastiera quando arriviamo a quel punto?
Oppure, se la matrice la facciamo scrivere ad un programma, cosa deve
scrivere il programma quando arriva il momento di scrivere a(p,p)?
Si sarà capito che questo è uno di quei casi in cui bisogna adottare delle
soluzioni "drastiche". Se siamo sulla carta bisogna prendere un mozzicone di
sigaretta e fare un bel buco dove dovrebbe esserci la "contraddizione".
Dunque bisogna "rompere" il sistema in qualche punto. Analogamente, se la
matrice è scritta su un disco bisogna prendere il disco e rovinarlo proprio
dove dovrebbe esserci quel byte, in modo tale che quando la macchina cerca
di accedere a quel byte dia un segnale di errore, del tipo "settore
danneggiato". Se poi a scrivere la matrice è un programma, allora dobbiamo
scrivere il programma in modo tale che se gli
chiediamo di calcolare il p-mo elemento della p-ma riga esso si infili in un
"loop" infinito e resti lì, senza fornirci alcuna risposta, per tutti i
secoli dei secoli, oppure continui a scrivere in un certo punto del disco
rigido fino a quando esso non si danneggia, e si produce un errore che
arresta il programma, non prima però che si sia prodotto il danno.
In sostanza, bisogna che il nostro sistema sia "rotto" là dove il libro
antidiagonale dovrebbe parlare di sé. Così il libro antidiagonale sarà quel
libro che dirà che il suo primo carattere dirà non è il primo carattere del
primo libro della biblioteca, che il suo secondo carattere non è il secondo
carattere del secondo libro della bilioteca, e così via, fino ad arrivare al
p-mo carattere, laddove il libro antidiagonale dovrebbe dire - con una
tragica contraddizione - che il suo p-mo carattere non è *proprio* p-mo
carattere. Ma invece non lo dice, perché dove dovrebbe esserci il p-mo
carattere non c'è nulla, c'è un buco. Così quando abbiamo costruito il libro
diagonale abbiamo dovuto fare anche lì un buco, poi è arrivata la
trasformazione del libro diagonale nel libro antidiagonale, la quale
trasformazione ha trasfomato ogni carattere in un carattere diverso, tranne
il buco, che ovviamente non ha potuto essere trasformato in un carattere
diverso, visto che su un buco non si può scrivere nulla. E non si può
nemmeno dire che la trasformazione non abbia fatto il suo lavoro, perché la
dove ha trovato dei caratteri li ha trasformati tutti.
In definitiva, se dobbiamo respingere la seconda ipotesi, perché delle altre
due siamo certi, l'unico modo per farlo è ammettere la possibilità che
esistano dei libri "con i buchi", o - se vogliamo utilizzare un linguaggio
che piacerebbe di più ai matematici - dei libri "parziali", una definizione
che segue quando si decida di definire "totali" i libri che non hanno buchi.
Se siamo certi che la Biblioteca è completa e che è possibile scrivere per
essa un registro di inventario, allora da qualche parte ci deve essere un
buco. Non sappiamo dove sia, ma la Biblioteca deve avere almeno un buco.
(continua)
-- 
Saluti.
D.

> (continua)
7 - AUTOREFERENZA + NEGAZIONE = TEOREMI LIMITATIVI
Ricapitolando, ogni volta che abbiamo una "successione bidimensionale",
ovvero la possibilità di "contare in lungo e in largo", si produce una
autoreferenza, e se questa autoreferenza si accompagna alla possibilità di
"negare" una intera successione, allora si produce una autoreferenza assieme
ad una negazione, ovvero una "autonegazione", che si manifesta come
contraddizione.
Per evitare la contraddizione abbiamo solo le seguenti possibilità:
1) negare che gli oggetti con cui abbiamo a che fare si possano
    effettivamente "contare" in lungo e/o in largo;
2) ammettere l'esistenza di "buchi" in quelle successioni che si
    ottengono "contando";
3) escludere la possibilità di "negare", o comunque di negare una
    intera successione.
Quella contraddizione può dunque essere utilizzata per dimostrare "per
assurdo" un gran numero di teoremi: basterà partire da due ipotesi certe ed
una terza che si intende negare. Ammettendo per assurdo che l'ipotesi che si
intende negare sussista, si produce una contraddizione, dopodiché la
negazione dell'ipotesi è dimostrata.
Trattandosi in ogni caso di dimostrazioni per assurdo tese a negare
l'esistenza di certi enti o di certe proprietà di quegli enti, tutte le
dimostrazioni che si ottengono sono "limitative", nel senso che pongono dei
limiti a ciò che possiamo definire o che possiamo predicare. In certi casi
dovremo ammettere che certi insiemi non possono essere "contati", in altri
casi dovremo ammettere l'esistenza di "buchi", in altri casi dovremo negare
la possibilità di negare certi enunciati, il che ci impedisce anche di
affermarli. Si tratta sempre di porre dei "limiti" a certe "pretese".
Ed i teoremi che si ricavano da questo schema vengono detti appunto "teoremi
limitativi".
Tutti questi teoremi hanno in comune quella struttura sottostante, legata
alla possibilità di negare e di autoreferenziarsi allo stesso tempo, la
quale a sua volta è tipica degli insiemi "bidimensionali" che siano
abbastanza "completi" da contenere una qualche "antidiagonale". Infatti ogni
volta che si cerca di dimostrare qualche "teorema limitativo" legato alla
autoreferenzialità ed alla negazione salta sempre fuori una "antidiagonale",
ovvero un insieme di oggetti che si riferiscono a se stessi per mezzo di
disuguaglianze o negazioni.
I nomi dei cavalieri che ferecero l'impresa sono celebri:
Cantor, Burali-Forti, Russell, Zermelo, Goedel, Tarski, Church, Turing,
e tutti gli altri che dopo di loro hanno percorso le scale infinite della
Biblioteca di Babele.
-- 
Saluti.
D.

Davide Pioggia wrote:
[...]
mi scuserai del taglio, spero.
Una domanda semplice:
Avevi dubbi che ci fossero casi di singolarità nella mappatura o
mappabilità tra spazi, singolarità implicate dal sistema teoretico
proposto?
O pensavi -come nello studio del Teorema dell'Halt (di cui Turing/Godel
trovarono il flop)- che si potesse formalizzare che esiste un funzionale
ottimo per il riconoscimento di una successione qualunque, comunque
estesa?
I paradossi che trovi sono "nel disporre di un metodo costruttivista e
pretendere di trarre delle conclusioni generaliste".
E' l'antinomia strutturale tra induttivismo e deduttivismo, è la non
equivalenza tra l'approccio dal generale al particolare e dal
particolare al generale -> quando la frontiera non è finita.
E' il pianto dell'uomo che intuisce Dio, ma non lo può possedere senza
rischiare di uscire da sè stesso e guardare con occhi altri da sè.
E' la necessità della metafisica come capacità e dominio dell'eureka!
Grazie della tua ricerca, scusa la mia perentoreità, poiché io so di non
sapere.
L

 > ........
Nel ragionamento hai supposto che la biblioteca (e la matrice) sia infinita.
Può essere questo un motivo della contraddizione?
I libri normalmente sono composti da un numero finito di caratteri.
Supponiamo che il più lungo abbia n caratteri, e quelli più corti abbiano
alla fine un numero di spazi fino all'ennesimo carattere, sicché diventa
legittima l'ipotesi che tutti i libri siano di uguale lunghezza.
Se i caratteri sono 40, tra lettere numeri e segni d'interpunzione, e se
ammettiamo che esistano tutti i libri possibili, questi saranno pari a 40^n,
quindi la matrice avrà un numero di righe certamente superiore al numero
delle colonne. In queste condizioni la matrice diagonale non può esistere.
Se, dopo i primi n caratteri, immaginiamo di aggiungere tanti spazi alla
matrice diagonale fino a farle raggiungere una lunghezza di 40^n, questa
matrice non può esistere in una riga orizzontale poiché abbiamo supposto che
il libro più lungo di tutti (probabilmente il libro dei re di Firdusi) abbia
n caratteri.
Se aggiungiamo a ogni libro tanti spazi da portarlo a 40^n caratteri,
potremo scrivere la diagonale, però adesso le disposizioni di 40 caratteri
su (40^n) posti sono diventate (40^(40^n)), e una diagonale di questa
lunghezza anche in questa nuova matrice ingrandita non esiste.
Insomma la contraddizione nascerebbe dal fatto che si è voluto supporre
l'esistenza di una biblioteca con infiniti libri, ciascuno lungo anche
infiniti caratteri. Rinunciando all'ipotesi delle grandezze infinite, la
contraddizione non c'è più: e l'ipotesi falsa è quella che la biblioteca
possa contenere "tutti" i libri immaginabili.
È la prima volta in vita mia che mi cimento in ragionamenti di questo tipo;
perciò potrei aver fatto qualche errore grossolano di cui non mi accorgo. Se
è così, sono certo che sarai tanto gentile e mi corriggerai.

 Può essere questo un motivo della contraddizione?
Sicuramente se la biblioteca è finita la contraddizione non si riesce 
più a ricavare, ma è una limitazione eccessiva: se la biblioteca è 
infinita ma non completa non sembra esserci niente di contraddittorio.
Inoltre il "paradosso" della biblioteca può essere rielaborato per altri 
insiemi diversi dalla biblioteca che sono chiaramente infiniti. 

> Come se ne esce?
Infatti non se ne esce ma si entra manicomio.
-- 
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 Infatti non se ne esce ma si entra manicomio.
Quel manicomio chiamato "logica".
Saluti,
Marco 

 Biblioteca di Babele.
Vero che questi che citi qui sopra sono coloro che hanno dato alla
riflessione sulla autoreferenzialità un aspetto "teorematico" (hanno cioè
dimostrato i "teoremi limitativi" di cui parli). Ma prima di loro c'è una
lunghissima storia di cavalieri, e sono posti anche i fondamenti per una
soluzione dell'antinomia che tocca i fondamenti della logica in modo forse
più decisivo di quanto non abbia fatto la soluzione apportata da Tarski.
A quanto ne so, l'inizio degli studi logici sull'antinomia del mentitore
(assumiamola nella forma "questa proposizione [è falsa] [non è vera]"; qui
possiamo assumere che sia sostanzialmente indifferente se la proposizione
antinomica asserisca la propria falsità piuttosto che la propria non-verità)
che hanno infine condotto alla "teorematizzazione" effettuata dalla logica
formale, è da far risalire al 1868, quando Peirce, uno dei fondatori della
logica formale contemporanea, se ne occupò in un suo articolo, dal titolo
"Grounds of validity of the laws of logic". Ed è proprio dando una sbirciata
alla soluzione logica avanzata da Peirce, che si può evidenziare la lunga
storia della riflessione sulla antinomia del mentitore. Lo stesso Peirce, in
un lavoro successivo dedicato all'antinomia del mentitore, citerà il nome di
Paolo (il) Veneto, il famoso logico medioevale nato in Italia verso il 1370.
Peirce usa uno schema analogo al tuo. Egli cioè, una volta stabilito che la
proposizione antinomica (sia p) *deve essere falsa* (perché implica una
contraddizione), va alla ricerca della ragione concreta di questa falsità.
Questa falsità, ovviamente, *non potrà* essere quella falsità l'assunzione
della quale conduce, antinomicamente ed in base alle usuale regole della
logica, alla verità della proposizione. Ma se (1) il ragionamento che
conduce all'antinomia è corretto, e se (2) la proposizione deve essere vera
o non vera, allora l'errore deve annidarsi nelle premesse del ragionamento.
Senza tirarla troppo per lunghe, la soluzione di Peirce si fonda
sull'assunzione che *ciascuna proposizione implica o asserisce la propria
verità*. Così che *è falso* che tutto ciò che p asserisce è che p non è
vera, perché p oltre ad asserire che p non è vera (asserire la propria non
verità), asserisce, come ogni altra proposizione, che p è vera (asserisce la
propria verità). Dunque p asserisce di non essere vera (p infatti è: "p non
è vera") e asserisce di essere vera (p infatti è una proposizione). Quando,
perciò, si assumerà come premessa la non-verità di p, non sarà più possibile
concludere antinomicamente con la verità di p. Infatti, il ragionamento che
conduce, dalla premessa consistente nella non-verità di p alla conclusione
antinomica consistente nella falsità di p, suona così:
1. p non è vera.
2. ma tutto ciò che p dice, è che p non è vera.
3. dunque p è vera
Ma se p - in base alla regola semantica sfruttata da Peirce - *non* dice
solo di non essere vera (infatti dice, come ogni altra proposizione, di
essere vera), allora la 2. è falsa, e dunque la dimostrazione della verità
di p dalla non-verità di p, è invalidata.
Ora, questa regola semantica in base alla quale ogni proposizione asserisce
la propria verità, e che consente a Peirce di fondare la propria soluzione
dell'antinomia del mentitore, è *proprio* ciò che riaggancia le indagini di
Peirce alla tradizione logica medioevale. Per circa due secoli, dal XIII al
XV, i logici medioevali (tra i quali anche Ockham e Tommaso) si
accapigliarono sugli "insolubilia": ne tentarono le più svariate soluzioni;
produssero i più svariati esempi di proposizioni o situazioni pragmatiche
antinomiche, molti dei quali, oggi, sono divenuti puri esercizi
intellettualistici (c'è chi si diverte a scriverci sopra libri); e,
soprattutto, giunsero a comprendere perfettamente che la proposizione
antinomica costituisce l'ombra che la relazione fondamentale tra
*significato e verità* proietta sull'intero dominio della logica, e che
dunque la soluzione dell'antinomia richiama ad una profonda riflessione su
quella relazione fondamentale.
Con Giovanni Buridano (che tanto...asino non era:-)) la logica medioevale
giunse a risolvere l'antinomia sulla base del principio semantico secondo il
quale: <<omnis propositio de forma sua significat vel asserit se esse
veram>>, che è proprio l'ingrediente essenziale della soluzione avanzata da
Peirce.
Dunque "de forma sua" il "se esse veram" è parte del contenuto semantico
della proposizione. E tuttavia 'la mela è rossa' non è "'la mela è
rossa' è vera". Da una parte, quel principio afferma che ogni proposizione
significa o asserisce "se esse veram", e, dunque, che ogni proposizione dice
di essere vera. Dall'altra parte, dire 'la mela è rossa' non è dire '"la
mela è rossa" è vera'.
Quando si dice che la mela è rossa, il dire che dice che 'la mela è rossa'
"significa vel asserit" la propria verità, è privo di un segno sensibile:
'la mela è rossa' *non è*, se preso in suppositione materiali (quanto, cioè,
al suo essere un segno sensibile), '"la mela è rossa" è vera", e, se si dice
che la mela è rossa, 'la mela è rossa' è l*unico* segno sensibile. Quel
principio semantico, allora, estende la potenza del "dire" oltre i limiti
dell'enunciato sensibile: l'enunciato sensibile non racchiude la totalità
del dire della proposizione. La proposizione dice ciò che "chi" emette
l'enunciato, non enuncia. Ma che cosa c'è oltre il limite dell'enunciato
sensibile? C'è l'atto della affermazione. Cioè, quella "cosa" che, se
nominata nell'ambito di un discorso sulla logica, fa temere che si stia sul
punto di abbandonare la chiarezza e la scientificità della logica formale,
per abbandonarsi alle poco controllabili astruserie linguistiche della
filosofia e, magari, allo psicologismo (vade retro!;-)).
In base a quel principio, la potenza del nesso tra verità e significato è
tale che anche *la* (ce n'è una sola in tutto l'universo delle proposizioni
possibili) proposizione che asserisce la propria falsità, non può sottrarsi
dall'asserire, in quanto proposizione ("de forma sua"), la propria verirà.
Se il nesso tra verità e significato espresso dal principio semantico che
estende la potenza del dire oltre il limite del segno sensibile, richieda
necessariamente una rivisitazione della teoria corrispondentista della
verità; e in che senso la proposizione può *implicare* la propria verità.
Queste sono cose che richiederebbero una lunga e difficile riflessione. Ma
pare certo che il nesso tra verità e significato segna *precisamente* il
bivio del pensiero, a partire dal quale le sorti della filosofia tentano di
separarsi da quelle della logica formale.
Un saluto,
Marco

 ci sono tutte le combinazioni possibili di tutti i caratteri dell'alfabeto.
No, qui sta l'errore, la Matrice non è unica, perchè ogni possibile libro
ha un solo codice identificativo.
Il suo codice puo' dipendere dal contenuto del libro, essere il contenuto
del libro, essere il contenuto del libro letto al contrario, od altro.
Ecco che allora cosa distingue una biblioteca da un'altra? Proprio il
catalogo, il meccanismo di catalogazione.
Ed ecco che la le righe della matrice non conterranno tutte le possibili
successioni di caratteri ma solo un sottoinsieme, ed è questo sottoinsieme
che caratterizzerà la biblioteca, una biblioteca unica non per i libri che
contiene, ma per il suo schema di catalogazione.
-- 
Emilio? Voil'him!
Ateo ed anarchico per grazia di Dio e volonta' della Nazione.


Marco V. ha scritto:



Già, logica, l'ho visto scritto su una piccola etichetta di una bottiglia
di vino.
Od era la bottiglia che era piccola?
Anno', lo era il suo proprietario, piccolo piccolo, klein.
-- 
Emilio? Voil'him!
Ateo ed anarchico per grazia di Dio e volonta' della Nazione.
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 


 No, qui sta l'errore, 
Ops, mi ha confuso tutta quella prefazione INUTILE e NOIOSA sul database.


 Come se ne esce?
Embe'.
Hai solo mostrato che un problema non ha soluzione, che la configurazione
ipotizzata non è raggiungibile dal sistema.
Nessun paradosso, in realtà.
Hai analizzato una situazione ed hai scoperto una condizione di non
esistenza di soluzioni al tuo problema.
Il paradosso è finto, quindi.
E lo stesso vale per il paradosso del mentitore.
Sono solo sistemi di equazioni senza soluzioni.
1/x=0 È EQUIVALENTE all'equazione verità('x=falso')=x
0/x=0 È EQUIVALENTE all'equazione verità('x=vero')=x
La prima equazione non ammette soluzioni, la seconda ne ammette due.


 di vino.
"Quam ampla est illa veritas/in qua est omne quod verum est", dice, nel 
Proslogion, il tuo conterraneo Anselmo. Ma abbiamo anche che "in vino 
veritas". Quanto ampia dev'essere, quella bottiglia!:-).
Un saluto,
Marco 

 ha scritto nel messaggio 
news:dq60pm$f3g$1...@news.newsland.it...
| Già, logica, l'ho visto scritto su una piccola etichetta di una bottiglia
| di vino.
la svuotasti di contenuto e la bottiglia rimase.
| Anno', lo era il suo proprietario, piccolo piccolo, klein.
La bottaglia cadde e si ruppe.
:-)
Un saluto
Chérie 

 infinita. Può essere questo un motivo della contraddizione?
Come dice LordB., se l'insieme è finito il problema non si pone. Ma ci sono
degli insiemi che sono infiniti.
Considera ad esempio l'insieme dei numeri reali fra 0 ed 1. Abbiamo che:
a) ognuno di essi può essere scritto come la successione infinita delle sue
    cifre decimali,
b) inoltre qualunque successione di cifre decimali, del tipo:
   0,3245642221234...
   definisce un numero reale fra 0 ed 1.
Dunque sono soddisfatte due delle tre ipotesi di cui abbiamo bisogno per
generare la contraddizione.
La terza ipotesi consisterebbe nell'affermare che i numeri reali sono
numerabili, cioè possono essere disposti in una qualche successione
ordinata. Noi già sappiamo che se accettiamo questa ipotesi si produce la
contraddizione, per cui siamo più che sospettosi, ed anzi già sappiamo di
doverla rigettare.
Tuttavia in un'epoca in cui questa consapevolezza non c'era, si potevano
fare dei ragionamenti che sembravano corretti e conducevano ad ammettere che
i numeri reali si potessero disporre in una successione. Ad esempio potremmo
osservare che per disporre i numeri reali in una successione ordinata
bisogna che ad ognuno di essi corrisponda un numero naturale, dunque i
numeri reali possono essere disposti in una successione se esiste una
corrispondenza biunivoca fra i reali (o meglio, nel nostro caso, fra quel
sottoinsime dei reali) ed i numeri naturali. A sua volta affinché esista
questa corrispondenza bisogna che i numeri reali siano "tanti" quanti sono i
numeri naturali. Sappiamo già che i numeri reali che stanno in un intervallo
sono infiniti, perché fra due numeri reali ne possiamo sempre scegliere un
terzo. Ma anche i numeri naturali sono infiniti. E siccome non ci può essere
niente di più grande dell'infinito, allora quella corrispondenza deve
esistere, e dunque deve essere possibile disporre i numeri reali di
quell'intervallo in una successione ordinata.
Questo ragionamento da un punto di vista intuitivo potrebbe anche sembrare
corretto. Noi però sappiamo che in qualche modo lo dobbiamo respingere, e se
ci mettiamo a cercare il punto debole ci rendiamo conto che è del tutto
arbitrario affermare che tutti gli infiniti sono uguali perché non c'è
niente più grande dell'infinito.
E se esistessero "molti infiniti", alcuni dei quali "più grandi" di altri?
Sembra impossibile una cosa del genere, eppure se vogliamo evitare la
contraddizione dobbiamo essere pronti ad accettare tutte le conseguenze.
Questo per quel che riguarda i numeri reali.
Ma c'è un insieme infinito che è ancora più intrigante, ed è quello degli
enunciati, ovvero di tutto ciò che può essere affermato, e che può essere o
vero o falso. Anzi, in realtà l'insieme che ci interessa è quello delle
proprietà, ovvero di ciò che può essere predicato di qualche cosa. Ogni
volta che una proprietà viene predicata di qualche oggetto, si produce un
enunciato. Ed è qui che il nostro teorema incontra la logica, perché ci sono
infinite proprietà ed infiniti oggetti di cui predicarle, sicché abbiamo una
"successione doppia".
-- 
Saluti.
D. 

 Questo per quel che riguarda i numeri reali.
Ricordiamo comunque che i numeri razionali, anche essi infiniti di ordine
superiore ai numeri naturali, sono numerabili.

 superiore ai numeri naturali, sono numerabili.
Già, infatti i numeri razionali possono avere un numero infinito di cifre
decimali (basti pensare ai numeri periodici), ma non possiamo essere sicuri
che combinando a piacere le cifre decimali di due o più numeri razionali si
ottenga ancora un numero razionale. Invece se lo facciamo con i numeri reali
quella certezza l'abbiamo, perché per ipotesi l'insieme dei reali è
(o comunque pretende di essere) "completo", per definizione.
-- 
Saluti.
D. 

 Ma questa possibilità è da escludere, perché a questo punto non dovremmo

Grazie delle spiegazioni, ma debbo dirti che già dal precedente post è tutto
chiaro, addirittura semplice, e senza paradossi.
Tu dici:
"Ci viene detto che essa contiene tutti i libri possibili, ovvero tutte le
combinazioni possibili di caratteri, i quali formano volumi aventi tutte le
possibili dimensioni. Dunque il nostro sembra essere un semplice problema di
calcolo combinatorio: realizzare tutte le combinazioni possibili di un certo
numero di caratteri."
Come si fa a utilizzare le formule del calcolo combinatorio in un insieme
infinito?
Insomma qualche incertezza su come interpretare il sistema che stavi
descrivendo era giustificato. Ti faccio notare anche un'altra cosa.
Se c'è un libro lungo 1000 caratteri, e viene sistemato alla riga 2000, il
libro diagonale quando arriva alla riga 2000 non trova niente. Non hai detto
nulla su questa eventualità, il che poteva anche farmi pensare che un libro
corto deve allungarsi aggiungendo un numero idoneo di spazi fino al numero
di caratteri contenuti nel libro più lungo. Ma se non c'è un limite massimo
alla lunghezza dei libri, che facciamo? Aggiungiamo infiniti spazi?
Insomma tutte queste incertezze dovevo risolverle io indovinando, o dovevi
spiegarle tu nella descrizione del sistema?
Spiegandole, sarebbe risultato tutto evidente, quasi banale, e senza
paradossi.

 tutto evidente, quasi banale, e senza paradossi.
Eh, ma a me interessava mostrare come è facile "perdersi" in quella foresta.
Se fosse una foresta con dei sentieri segnati ogni tanto arriveremmo ad un
bivio, e dovremmo decidere se andare a destra o a sinistra. Qualora in
seguito arrivassimo ad un punto dal quale è impossibile procedere, saremmo
perfettamente consapevoli di quali sono state tutte le "scelte" nelle quali
possiamo esserci "sbagliati". Ed è questo che pretendono di fare i logici:
rendere tutto "esplicito", in modo tale che si possa sempre dire che se si è
arrivati lì è perché si sono fatte certe scelte, elencandole tutte.
Ma la foresta del pensiero non ha i sentieri tracciati in modo assolutamente
esplicito o completo. A volte ci sembra di star seguendo un sentiero
tracciato, e che quello sia l'unico sentiero possibile, visto che non ci
appaiono dei bivi. Poi però improvvisamente ci ritroviamo ad affacciarci ad
una scarpata, e vorremmo tornare indietro a prendere un'altro sentiero, ma
non ricordiamo di essere arrivati ad un bivio e di avere preso un sentiero
piuttosto che un altro. Così dobbiamo eplorare palmo a palmo tutta la strada
che abbiamo fatto fino a lì, con la speranza che esista qualche altro
sentiero, il quale magari non essendo mai stato percorso si era rimepito di
vegetazione, sicché ad un certo punto c'era un bivio e non ce ne siamo
accorti.
Certo, non possiamo essere certi che esista un sentiero che porta fuori
dalla foresta. Ma fino ad oggi tutte le volte che ci si è infilati in un
sentiero chiuso, si è riusciti a trovare il punto in cui una fitta
vegetazione aveva nascosto l'accesso ad un altro sentiero, sicché la prima
volta che ci siamo passati davanti non ci sarebbe mai venuto in mente di
provare a scostare quella fitta vegetazione per vedere se un po' più in là
iniziava un altro sentiero.
A volte ci sono voluti secoli, o addirittura millenni, ma ogni volta si sono
scoperti dei nuovi sentieri dove sembrava che ce ne fosse uno solo
percorribile.
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Saluti.
D.