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Titolo: p r e d i c a t i v i s m o

cari ngisti, cosa pensate del predicativismo in matematica?
gl


Stimatissimo collega ngista,
da un anno e mezzo conosco i Suoi Grundgesetze der Arithmetik, ma solo ora
mi è stato possibile trovare il tempo per lo studio approfondito che mi
proponevo di dedicare alle Sue opere. Lei afferma che anche la funzione può
costituire l'elemento indeterminato. Ne ero convinto anch'io, ma ora
quest'opinione mi sembra dubbia a causa della seguente contraddizione. Sia w
il predicato: essere un predicato che non può essere predicato di se stesso.
Si può predicare w di se stesso? Da ogni risposta segue l'opposto. Bisogna
dunque concludere che w non è un predicato. Allo stesso modo non esiste una
classe (come totalità) di quelle classi che come totalità non appartengono a
sé stesse. Ne concludo che in determinate circostanze un insieme definibile
non forma una totalità.
Scherzi (e dialoghi fra Frege e Russell) a parte,
personalmente non ci ho capito né un punto né una retta. In altre parole non
ci ho capito una mazza.
ciao
Massimo

 non forma una totalità.
Carissimo collega,
come ebbi gia' modo di scrivere, con inchiostro amaro, nella
prefazione alla mia improba fatica...
"Difficilmente ad un autore d'opere scientifiche puo' accadere
qualcosa
di piu' ingrato che vedere scosso uno dei fondamenti del suo edificio
dopo che il lavoro e' finito.
Questa fu la condizione in cui mi ha messo una lettera di Bertrand
Russell proprio quando la stampa di questo volume stava per essere
compiuta. Si tratta del mio Assioma (V). Non mi sono mai nascosto che
ad esso manca quell'evidenza che invece gli altri assiomi hanno e che
ci si puo' attendere da una legge logica. Anzi, ho indicato questo
punto debole nella Prefazione al volume I. Avrei volentieri
fatto a meno di questo fondamento se avessi conosciuto qualcosa che lo
potesse sostituire. Ed anche adesso non vedo come l'aritmetica si
possa fondare scientificamente, come i numeri si possano apprendere
quali oggetti logici e sottoporre ad indagine, se non ci e' permesso -
almeno condizionalmente - di passare da un concetto alla sua
estensione. Posso io sempre parlare dell'estensione d'un concetto -
d'una classe? E, se non posso: come riconoscere le eccezioni? Dalla
coincidenza in estensione d'un concetto con un altro concetto
possiamo noi sempre inferire
che ogni oggetto che ricade sotto l'uno ricade parimenti sotto l'altro
concetto? Queste sono le questioni sollevate dalla comunicazione di
Russell.
Solatium miseris, socios habuisse malorum. Anch'io ho questa
consolazione, se e' una consolazione; infatti, tutti coloro che, nelle
loro dimostrazioni, abbiano fatto uso d'estensioni di concetti, di
classi, di insiemi, sono nella mia stessa condizione. Cio' di cui si
tratta non e', in specie, la mia particolare fondazione
dell'aritmetica, ma, in genere, la possibilita' stessa d'una
fondazione logica dell'aritmetica.
Ma veniamo al sodo..."
Anzi no, non veniamo al sodo proprio per niente; perche' il sodo lo
conoscete voi quanto lo conosco io. Credete forse che qui, nel
Paradiso che fu di Cantor,
non mi giungano ovattate notizie di un Kronecker, Weyl, Ramsey o
Brouwer? Mi giungono perfino notizie di giovani matematici di belle
speranze, come quel tale Lagnese laggiu' tra voi... Il fatto e' che
qui, in questo luogo impossibile, si sta relativamente bene, perche'
non esiste quella dannata razza dei barbieri. Mi rimane, certo,
l'amarezza dell'impossibilita' di questo luogo e quella
dell'impossibilita' di questa stessa mia comunicazione. Magari anche
un certo fastidio per questa lunga barba, che cresce a tutti (perfino
a Russell!) in questo luogo di contraddizione; ma in compenso siamo
liberi da tutti quei giovani matematici, che di barba non ne hanno
affatto. Lasciate dunque che mi ripeta, una volta tanto senza
contraddizione, a vostra e a mia consolazione: "Solatium miseris,
socios habuisse malorum".
In fede, vostro
Gottlob Frege

 Gottlob Frege
ovviamente anch io non ho capito . a cominciare dai fondamenti della 
matematica. non a caso ho deciso di dedicarmi all'arte.
a me sembra, infatti, che dicano la stessa cosa, senza contraddirsi.
perché un insieme C formato da componenti x tali che x sia un numero 
naturale compreso tra 2 e 8, non può dirsi una totalità , come totalità si 
intende un cesto di sette mele.
in quanto non è possibile definire ciò che separa un numero naturale da un 
altro: tra il 2 e il 3 posso scrivere infiniti numeri non naturali con la 
virgola, mentre non posso che considerare una mela intera ( non una mela e 
un infinitesimo di mela )
la stessa cosa vale per il tempo, che a rigor di logica non può essere 
scandito secondo i nostri calendari.
questi numeri con la virgola tra il 2 e il 3 iniziano però tutti per 2 + 
infinito
cosa ne consegue, che il numero naturale non esiste?
ne consegue che vediamo sette mele? o che nemmeno possiamo stabilire 
l'esistenza di una mela perché non sappiamo esattamente dove i suoi atomi 
finiscano?
ovviamente è necessario fermarsi e continuare a contare come abbiamo sempre 
fatto.
imho un insieme di numeri, mele o sassi, costituisce una totalità relativa 
( ovvero stabilita arbitrariamente dall'uomo ), ma di elementi in sé 
assoluti.
:-//
sono un po' confusa stasera scusate.
Chérie 

 virgola, mentre non posso che considerare una mela intera ( non una
mela e > un infinitesimo di mela )
Cara Chérie, non ti devi crucciare piu' di tanto se ti senti un po'
confusa, ne' se dico che il tuo esempio e' un po' troppo
semplicistico, per poter anche soltanto iniziare ad illustrare il
problema. Non lo devi, se e' vero, come e' vero, che perfino a Cantor
si imputo' una concezione un po' "naif" di "insieme", come origine dei
molti guai che tale concetto causo' alla matematica e alla logica.
Certamente, senza tema di offenderti, va detto che il tuo esempio
delle mele e' di gran lunga piu' "naif". Per cercare di *iniziare* a
capirci qualcosa, credo si possa partire dal paradosso piu' semplice e
fondamentale scoperto proprio da Cantor: forse il piu' semplice anche
da illustrare. Supponi che I sia l'insieme di *tutti* gli insiemi. Per
il teorema di Cantor sugli insiemi-potenza, P e' maggiore di I. (La
cosa e' facilmente intuibile se pensi, come esempio approssimativo, ad
I come all'insieme delle 3 lettere <a,b,c>, e a P come all'insieme dei
suoi sotto-insiemi <a,b,c,ab,ac,bc,abc>, che e' pure un insieme di
lettere). Ma, poiché P e' un insieme di insiemi (e cioe' l'insieme di
tutti i sottoinsiemi di I), esso deve essere parte dell'insieme di
*tutti* gli insiemi, cioe' di I. Ne segue che P e' minore di I, il che
contraddice il teorema che afferma che P e' maggiore di I.
Se questo ti e' chiaro, un altro spunto per un'*introduzione* al
problema ti puo' venire dalle parole di Frege, continuando la mia
precedente citazione dal post-scriptum ai suoi "Grundgesetze":
<<Ma veniamo al sodo. Russell ha scoperto una contraddizione che si
puo' enunciare cosi'. Nessuno certo asserira' che la classe degli
uomini sia essa stessa un uomo. Abbiamo qui una classe che non
appartiene a se stessa. Dico che qualcosa appartiene ad una classe
quando ricade sotto il concetto la cui estensione e' appunto quella
classe. Consideriamo ora il concetto: classe che non appartiene a se
stessa. L'estensione di questo concetto (se possiamo parlare della sua
estensione) e', allora, la classe delle classi che non appartengono a
se stesse. Per brevita', la chiameremo la classe K. Domandiamoci ora,
se questa classe K appartenga a se stessa. Si possono ipotizzare due
risposte. Prima ipotesi: appartenga la classe K a se stessa. Se
qualcosa appartiene ad una classe, ricade sotto il concetto la cui
estensione e' quella classe. Se, dunque, la nostra classe appartiene a
se stessa, essa e' una classe che non appartiene a se stessa. La
nostra prima ipotesi porta, quindi, ad un'autocontraddizione. Seconda
ipotesi: non appartenga la classe K a se stessa. Allora, essa ricade
sotto il concetto la cui estensione e' essa stessa, si' che K
appartiene a se stessa. Anche qui ricadiamo in una contraddizione: che
ogni oggetto che ricade sotto l'uno ricade parimenti sotto l'altro
concetto? Queste sono le questioni sollevate dalla comunicazione di
Russell>>.
Questa dunque la un po' mesta comprensione di Frege di quel paradosso,
che Russell divulghera', con una punta di humor tipicamente inglese,
come il famoso paradosso del barbiere. Se non l'hai compreso, Chérie,
non fa nulla e possiamo tranquillamente darci all'arte; purtroppo
senza la speranza di non ritrovarcelo tra i piedi, sotto forma di
quella vertigine un po' inquietante, che prende per esempio chi
osserva un'opera di Escher, e che caratterizza l'uomo moderno in tutte
le sue modalita' espressive di un universo senza piu' alcun fermo
fondamento metafisico. Ma qui mi fermo, per non incorrere nella
censura dell'airone cinerino Sinuhe:-), al quale per l'occasione va,
come a te, il mio saluto.
Loris

uffa, volevo iniziare una discussione seria e invece leggo in risposta
sempre le solite ingenuita`.
a mai piu` risentirci.
gl

 gl
ciao
Massimo

 come a te, il mio saluto.
Mi fermo pure io, per non lasciare che quelle questioni mi in-cen-eriscano
il resto della giornata:-)
Cari saluti,
Marco

 Loris
credo che Sinuhe sarebbe solo contento del Vostro esempio,
mi pare infatti di aver udito e confusamente percepito
qualche richiamo da lui emesso riguardo alla dialettica ombra/luce.
Vi Ringrazio cordialmente per quelli che interpreto come preziosi 
suggerimenti
riguardo alla necessità dell'apprendimento degli strumenti
di base.
Con rinnovato interesse alla materia filosofica, Vi porgo i miei
etimologicamente Confusi Saluti.:-)
Chérie 

 Loris
Ciao caro Loris
A. C.

 "metafisico" (a questo punto le virgolette sarebbe logicamente
d'obbligo).
Si' sono d'accordo. La mia precedente considerazione (nella risposta a
Chérie) sul circolo vizioso e' solo una via, facile da individuare,
che porta alla distruzione del fondamento come contraddizione
dell'identita' di fondante e fondato: la via del barone di Munchausen.
E' la "cattiva" auto-referenzialita', prerogativa di un  metafisica
che la porta inesorabilmente alla sua implosione logica; ma non e'
essenziale alla metafisica della distruzione del fondamento.
Quest'ultima riposa su una metafisica immanentistica, come esito
ultimo e perfettamente coerente del discorso metafisico dalle sue
origini fino alle porte della materialismo tecnologico, che ne
raccoglie l'eredita' depurandola dalle sue contraddizioni, nella sua
moderna concezione del sapere. Questa almeno la diagnosi per me
accettabile di Heidegger, sulla cui cura credo sia meglio stendere il
velo del silenzio e del gia' detto.
Cari saluti,
Loris