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Titolo: I cento anni di Kurt Goedel

Il 1929 era l'anno della tesi di dottorato dal titolo "Über die
Vollständigkeit des Logikkalküls" ["Sulla completezza del calcolo della
logica"], nella quale veniva dimostrata la completezza (in particolare: se
una formula è logicamente valida, allora è dimostrabile) della logica del
prim'ordine.
Nel 1930, precisamente il 7 settembre, nel dibattito che concludeva il
Convegno sull'Epistemologia delle Scienze Esatte tenuto nella città kantiana
di Koenigsburg, il giovane - il giorno dopo aver presentato il suo lavoro
sulla completezza della logica dei predicati del prim'ordine - informò i
colleghi della eistenza di proposizioni formalmente decidibili per
l'aritmetica. Con queste parole: <<[...] si possono addirittura dare esempi
di proposizioni che sono di fatto contenutisticamente vere ma che non sono
dimostrabili nel sistema formale della matematica classica>>.
Nel gennaio del 1931, poi, il lavoro venne pubblicato: "Über formal
unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme 1"
["Sulle proposizioni formalmente indecidibili dei Principia Mathematica e
sistemi affini 1"].
Stiamo parlando, ovviamente, di Kurt Goedel, di cui il 28 aprile si
celebrerà il centenario della nascita. A quanto egli stesso scrisse, fu il
platonismo - la convinzione filosofica, e sempre più profonda nel corso
della sua vita, della oggettività della verità matematica, ovvero della sua
indipendenza dalle costruzioni formali - a guidarlo verso il risultato di
incompletezza. Infatti, pensava, se (ciò è quanto l'indagine alla base del
risultato di incompletezza aveva portato alla luce) il predicato di
"verità", a differenza di quello di "dimostrabilità", non è formalmente
definibile nel linguaggio del sistema, e se dunque tra dimostrabilità e
verità non c'è coestensività, allora il concetto di verità si sottrae alla
determinazione cui la filosofia matematica implicita nel formalismo
hilbertiano lo aveva sottoposto. E così anche il concetto di esistenza degli
enti matematici, che Hilbert voleva coincidente, senza residuo alcuno, con
la coerenza degli assiomi formali corrispondenti.
E tuttavia, Goedel, a quel risultato, ci giunse a conclusione del tentativo
di dimostrazione della *coerenza* dell'Analisi (la teoria dei numeri reali).
E, ancora, nel lavoro del 1931 *non* fece il minimo cenno della non
definibilità del predicato di verità per l'aritmetica nell'aritmetica
stessa. Egli stesso, più tardi, confessò il suo timore che il carattere non
sintattico della verità, in quanto convalidante - questa era la sua
convinzione - l'interpretazione platonista del concetto di verità
matematica, avrebbe costituito una difficoltà notevole per la ricezione del
risultato di incompletezza da parte della comunità matematica,
filosoficamente dominata dal pensiero hilbertiano. E delle sue convinzioni
filosofiche platoniste, cominciò a parlare pubblicamente solo nel 1944, in
"Russell's mathematical logic", un articolo apparso in un volume collettaneo
dedicato al logico inglese. Hilbert era morto l'anno prima, nel 1943, e
dunque non lesse mai alcun lavoro in cui Goedel avesse esposto la sua
interpretazione platonista della matematica e della metamatematica.
Il platonismo: una farfalla filosofica desiderosa di posarsi sullo splendido
fiore dei teoremi di incompletezza? Goedel stesso rappresentò, e forse patì,
la vicenda della separazione tra logica matematica e filosofia. Goedel
stesso fu la prima farfalla per il fiore da lui stesso nominato. Ma il fiore
non sbocciò, alla logica, con già sopra la farfalla dell'interpretazione
filosofica platonista, altrimenti non sarebbe stato un fiore sbocciato alla
logica. Alla logica - si usa dire - non sboccia alcuna interpretazione
filosofica. E così la farfalla del platonismo non appartiene al fiore logico
dei teoremi di incompletezza. Ma senza una farfalla che avesse voluto
posarsi su quel fiore, quel fiore sarebbe sbocciato?
Un saluto,
Marco

 posarsi su quel fiore, quel fiore sarebbe sbocciato?
.....tiggiuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuro che non lo sň !
Ma non solo te lo giuro.
Che diventassi cieco io e tutta la mia famiglia compreso i quattro gatti e 
quattro gradi di discendenza futura se ho la minima idea di che **biiip** di 
fine avrebbe fatto quel **biiip** di fiore.
Lo so che stenterai a credermi, ma non fosse altro che per la gratitudine 
che ti devo c'ho provato.
Ma non c'č stato niente da fare.
Sono affranto dal dolore.
Te lo giuro anche sul criceto vivo che domattina do da mangiare ai gatti.
Ma capisco che quello conta poco visto le poche ore di vita che gli 
rimangono.
8o((

 rimangono.
Però ora sei tu a dovermi spiegare cosa c'entri mai il "criceto". Vuoi forse 
dire che Goedel ti ha fatto girare a vuoto come fanno certi criceti 
posizionati sulle ruote?:-).
Saluti,
Marco 

 l'aritmetica.
Orrendo errore!:-). Leggi: _formalmente INDECIDIBILI_ ("eistenza" a parte,
che vale, ovviamente, come _esistenza_)
Marco

 Nel 1930...
C'è una cosa che mi ha sempre impressionato.
La logica moderna è stata interamente edificata negli anni '30 del secolo
scorso. Nel 1930 e nel 1931 ci sono stati i grandi risultati di Goedel
(completezza e adeguatezza, primo e secondo teorema di incompletezza) nel
1933 abbiamo il teorema di Tarski e poi nel 1934 la sintesi di Carnap, con
il suo teorema del punto fisso.
Tutti questi matematici si erano formati all'interno della cultura di lingua
tedesca.
E' vero che Goedel per ragioni politiche era nato austro-ungarico e poi era
diventato cecoslovacco, ma è pur vero che la sua famiglia era tipicamente
austriaca, tant'è che nel 1929 egli ottenne il suo dottorato a Vienna e allo
stesso tempo prese la cittadinanza di quel paese. Anche su Tarski si
potrebbe avanzare una riserva, osservando che egli si era formato
all'interno della celebre scuola di logica polacca, ma a questa riserva si
può facilmente replicare osservando che il padre della scuola polacca, e
maestro di Lukasiewicz e Lesniewski, fu Twardoswski, che aveva preso il
dottorato a Vienna con Brentano. Quanto a Carnap, era nato a Ronsdorf e si
era formato a Jena. Insomma, come dicevo in quegli anni la migliore logica
del mondo parlava senz'altro tedesco (o qualche suo "dialetto").
Ebbene, proprio negli anni in cui la cultura tedesca raggiungeva i vertici
della riflessione sulla logica, pervenendo alla espressione più pura della
razionalità, dal punto di vista politico nei paesi di lingua tedesca
accadeva quel che sappiamo, finché nel 1936 le vicende della comunità dei
matematici e quelle della politica si intersecarono sulle scale
dell'università di Vienna, dove Moritz Schlick - che era stato il
fondatore del Circolo di Vienna - fu ucciso da uno studente nazista.
Non è impressionante che mentre nelle aule accademiche si raggiungevano i
vertici universali della logica pura fuori nelle strade, negli stessi luoghi
e negli stessi momenti, si stesse precipitando in uno dei più grandi deliri
di tutti i tempi? E' possibile che si tratti solo di una casualità? E come
mai tutti i massimi teoremi di quegli anni sono "limitativi", cioè segnano i
limiti oltre i quali la logica non può andare?
-- 
Saluti.
D. 

 limiti oltre i quali la logica non può andare?
Stai cioè dicendo che ciò che non "si potè" - e si stava capendo di "non
poter" - fare sul piano logico-concettuale, lo "si potè" sul piano della
teorizzazione, e, ahimé, della prassi,
politico-ideologica? Una sorta di "repressione"?
Un saluto,
Marco

 diamo il nome di "nazionalsocialismo tedesco".
Nell'altro thread ho eleborato questo tuo suggerimento, cercando di
illustrare che proprio perché l'Idealismo fu l'erede più "avanzato"
dell'Illuminismo, esso si espose anche al pericolo - poi purtroppo
concretizzatosi - di una deriva psicotica.
-- 
Saluti.
D. 

 concretizzatosi - di una deriva psicotica.
La deriva psicotica (probabilmente inevitabile) di una certa cultura si vede 
bene proprio nella vicenda di Goedel stesso, e secondo me è particolarmente 
ben rappresentata da Thomas Mann in 'Morte a Venezia', che è del 1912. Quasi 
profetico quel precipitare dal cristallo del pensiero al marasma delle 
emozioni fino alla fogna del disfacimento.
Ma forse non è semplicemente una deriva dovuta a illuminismo (che non ha 
radici tedesche) e idealismo, se non perché hanno messo radici in una certa 
cultura di ben più lontana origine e profondità. E forse già Goethe aveva 
capito (e ancora Mann lo riprende con il Doctor Faustus).
Ciao.
qf 

di tutti i tempi? E' possibile che si tratti solo di una casualità?
Secondo me questo è un punto cardine, vorrei ricordare umilmente che
lo stesso Goedel era considerato, senza raccogliere il tuo intervento
ma ampliandolo umilmente, oltre che genialmente eccentrico anche
paranoico per la sua *imho* delucidante paura di "diffusione dei germi"
, che lo spinse verso la mania compulsiva di lavare ripetutamente gli
utensili domestici, ed a girare con una maschera da sci ovunque egli
andasse.Quindi non solo la scissione èlite-popolazione ma anche
eccezionali microfratture di una violenza preannunciata

(..)
prometto che la prossima volta avrò meno fiducia della mia capacità
di non fare errori sintattici, e rileggerò i post prima di
pubblicarli.. :)me ne scuso