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Titolo: Operazioni

Salve a tutti,
Husserl, in "Filosofia dell'Aritmetica", nota che le operazioni fondamentali
dovrebbero essere addizione e partizione (ossia divisione), e non addizione
e moltiplicazione.
Dal punto di vista formale, cosa comporterebbe questa assunzione?
Grazie per la collaborazione
Eugenio
PS: ho già postato questo messaggio su it.scienza.matematica, ma per ora... 
nessuna collaborazione. Spero di avere più fortuna tra voi. 

 Dal punto di vista formale, cosa comporterebbe questa assunzione?
Cosa significa essere operazione fondamentale? Forse banalmente non
significa niente, come sempre più spesso accade con i filosofi.
Significa essere chiusa rispetto all'insieme dei numeri naturali? (ossia
che per ogni insieme di valori di numeri interi la loro somma è ancora un
intero e cosi' il loro prodotto?)
Ok, mettiamo che questo signore abbia ragione, che intende per operazione
fondamentale? L'operazione mediante la quale costruire i numeri? Beh, ma
in definitiva non afferma semplicemente che in un solo passaggio vorrebbe
costruire i numeri interi ed i numeri razionali?
O mette in discussione delle proprietà di queste operazioni, ed allora che
si costruisca una aritmetica diversa, oppure taccia.
-- 
Emilio? Voil'him!
Ateo ed anarchico per grazia di Dio e volonta' della Nazione.
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 si costruisca una aritmetica diversa, oppure taccia.
In Piemonte si dice "Pisa pi curt" (Piscia più corto).
Mercurius

 Dal punto di vista formale, cosa comporterebbe questa assunzione?
definita la proprietą di O tale che
aOb = bOa
chiama O addizione o moltiplicazione
oppure tavolo, sedia o bicchiere di birra
e il concetto formale non cambia.
Questa proprietą (commutativa) formale appartiene
all'addizione e alla moltiplicazione ma
non alla divisione.
ciao
Massimo

Innanzitutto grazie per l'interessamento.
Dunque, il cosiddetto 'modello standard dell'aritmetica' è, dal punto di 
vista formale, uno dei modelli degli assiomi di Peano. Tali assiomi, esposti 
nella forma predicativa della logica matematica, fanno uso di due segni, il 
'+' e il 'X', per indicare due relazioni. Nel 'modello standard dell'aritmetica', 
l'interpretazione di questi due simboli, è quella dell'addizione e della 
moltiplicazione.
Ora, se interpretiamo il segno 'X' come divisione , i rispettivi assiomi
-         per ogni x: xX0 = 0    (assioma V)
-         per ogni x,y: xXSy = xXy + x    (assioma VI)
non sono più validi. Inoltre, l'insieme di riferimento per le variabili, non 
sarà più quello dei naturali.
Quindi mi chiedo: cosa deve cambiare, formalmente rispetto al sistema di 
assiomi di Peano, affinché il nuovo sistema di assiomi abbia come modello 
ancora il 'modello standard dell'aritmetica'? Oppure, sostituendo gli 
assiomi V e VI con altri che mi caratterizzino le proprietà della divisione, 
quali modelli di riferimento riuscirei a caratterizzare?
Ciao
Eugenio

 Eugenio
ciao
Massimo


scusa, non capisco precisamente cosa intendi. 

 ancora il 'modello standard dell'aritmetica'? 
Guarda sopra


 Guarda sopra
Ma alla fine non capisco le obiezioni di questo filosofo.


Se capisco bene, in questo caso, il modello di riferimento non sarebbe piů 
quello
standard (cioč dei naturali), ma forse quello dei razionali.
Io vorrei prorpio capire se č possibile aggiungere (eventualmente) ulteriori
assiomi in grado di forzare un modello per i numeri naturali anche facendo
uso del simbolo per la divisione (che ovviamente caratterizzi la divisione),
e se non č possibile perché.
Mi scuso di non essere molto chiaro e preciso.
Vi sono comunque molto grato del vostro aiuto.
Ciao 

 e se non è possibile perché.
Non so dirti se è possibile, il problema a mio avviso è come fare a
definire la condizione di multiplo del numeratore rispetto al denominatore
per poter definire la divisione intera.
Forse si potrebbe utilizzare l'operazione mod(n,d) con questi assiomi:
mod(0,d) = 0
mod(n,d) = n  per 0<n<d
mod(n+d,d) = mod (n,d)
E definire l'operazione di divisione intera cosi': solo se mod(n,d)=0
esiste n/d che appartiene ai numeri naturali.
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Mi pare un approccio interessante.
Per ora grazie ancora per l'aiuto, se troverò ulteriori spunti cercherò di 
farvi sapere.
Ciao
Eugenio