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Titolo: la scommessa delle tre carte

ci sono tre carte, delle quali la prima (A) � rossa su entrambi i lati,
la seconda (B) su un lato � rossa e sull'altro � bianca
e la terza (C) � bianca su entrambi i lati.
 
Ponendo su un tavolo una delle tre carte,
scelta a caso, ottengo che il lato visibile � di colore rosso.
 
Qual � la probabilit� che anche
il lato non visibile sia di colore rosso?
 
Soluzione
Ci sono in tutto 6 facce, delle quali 3 sono rosse e 3 sono bianche.
 Denominiamo 1 e 2 le due facce che appartengono alla carta rossa su 
entrambi i lati;
denominiamo 3 la faccia rossa della carta rossa su un lato e bianca 
sull'altro.
� possibile che la faccia visibile all'inizio del gioco sia 1, 2 o 3, con 
uguale probabilit�.
Su tre possibili casi, due comportano che la faccia non visibile sia rossa: 
1 e 2.
Pertanto la probabilit� che il lato non visibile sia rosso � di 2/3.
L'intuizione suggerisce la risposta sbagliata perch� porta a non
distinguere le facce 1 e 2 come eventi distinti.
 
da 
http://it.wikipedia.org/wiki/Paradosso_delle_tre_carte
 
 
ciao
Massimo 

 il lato non visibile sia di colore rosso?
 
No, aspetta, dunque, una carta e' bianca 
quindi e' fuori dal gioco. 
Mi rimangono 4 facce. 
Due le tolgo perche' sono entrambe rosse 
e sono quelle visibili. 
Restano 2 facce. 
IMHO la probabilita' e' fifty-fifty.
 
 
-- 
Se fossi io a testimoniare di me stesso, la mia testimonianza non sarebbe
vera. C'e' un altro che da' testimonianza di me, e so che la testimonianza
che egli da di me e' vera.
 
 
 
 
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 IMHO la probabilita' e' fifty-fifty.
 
Lo so che preferisci l'intuizione al
calcolo. Volevo farvi provare in che
casini si era messo Pascal con
le sue manine.....
 
ciao
Massimo 

 IMHO la probabilita' e' fifty-fifty.
 
Forse (*forse*) � pi� facile giungere anche intuitivamente alla soluzione 
giusta con un quesito del tutto analogo, che pu� essere questo:
Ci sono 3 sacchetti, A, B, C. In A ci sono 2 palline rosse, in B una rossa e 
una nera, in C  due nere. Estrai da un sacchetto una pallina, che risulta 
essere rossa. Che probabilit� c'� che nello stesso sacchetto ci sia un'altra 
rossa?
Procedi cos�:
diamo una collocazione precisa a ogni pallina con due lettere e un numero, 
indicando rossa con R e nera con N; la seconda lettera (A, B, C,) per 
individuare il sacchetto, il numero per indicare le 6 palline, 
indipendentemente dal sacchetto in cui sono contenute. Per esempio: R(A,2) 
dice che la pallina numero 2 � nel sacchetto A ed � rossa.
Con questo metodo individuiamo tutte le palline. Dato che la pallina 
estratta risulta essere rossa, escludiamo subito il sacchetto che contiene 
le due nere, diciamo il sacchetto C. Rimangono:
R(A,1), R(A,2), R(B,3), N(B,4). Quattro casi.
Hai gi� estratto una pallina rossa, ma non sai se il sacchetto sia quello 
delle due rosse o quello della rossa e della nera (non sai se � A o B), n� 
sai se � la prima o la seconada pallina del sacchetto. Indichiamo allora la 
pallina estratta con R(x,y). Che valori possono assumere x e y? Quelli dei 4 
casi sopra! Ora un ultimo sforzo. Delle 4 palline dei casi di cui sopra, una 
l'hai estratta ed � rossa. Pu� essere la 1, la 2 o la 3. Considera infine i 
tre casi e i nomi dei sacchetti:
1) Se hai estratto la pallina 3: il sacchetto � il B e la seconda pallina � 
N (nera)
2) Se hai estratto la pallina 2: il sacchetto � A e la seconda pallina � R 
(rossa)
3) Se hai estratto la pallina 1: il sacchetto � ancora A e la seconda 
pallina � R (rossa).
Come vedi in 2 casi su 3 il sacchetto da cui hai estratto la pallina rossa 
ne contiene una seconda rossa. Dunque la probabilit� � 2/3 e non 1/2.
Un saluto,
Loris

 giusta con un quesito del tutto analogo, che pu� essere questo:
 
Loris, prima di tutto un grazie per il quesito analogo
ed ampio svolgimento della soluzione, ma tu hai a che 
fare con una cozza, e purtroppo mi sfugge l'intuitivita' 
e dopo averlo riletto le tre canoniche volte continuo a 
non capire.
 
Propongo invece un quesito analogo alle carte ma al mio 
livello, sfruttando la tua intuizione ed assumendo una 
sfumatura parmenidea.
 
Ho un sacchetto con dentro tre sfere parmenidee.
 
Una sfera bianca, una sfera blu ed una sfera a
strisce bianche e blu. 
 
Dal sacchetto tolgo una sfera, questa e' bianca. 
 
Adesso quante probabilita' ho di estrarre la 
sfera a strisce?
 
Questo quesito a me pare del tutto identico 
a quello delle carte. 
 
La risposta a me pare proprio essere 1/2. 


 Ho un sacchetto con dentro tre sfere parmenidee.
 
Ne esiste una sola nella metafora parmenidea :-) 

 La risposta a me pare proprio essere 1/2.
 
S�, 1/2. Solo che il tuo quesito non � identico a quello proposto e ne 
conserva l'errore. Spero di mostrarti bene dove sta il busillis. Riduco ai 
minimi termini la questione con un esempio forse pi� semplice ancora:
hai 3 carte coperte di cui sai che 2 sono eguali e una diversa. Ne giri una 
e vedi che � l'asso di cuori. Che probabilit� hai di aver girato una delle 
carte gemelle?
Il tuo errore (facile da compiere) � qui: nel pensare che *se giri* un'altra 
carta certamente hai 1/2 di probabilit� di trovare la carta gemella. Ma non 
� questo il quesito, ma quest'altro:
qual � la probabilit� di *aver girato* una delle carte gemmelle, non sapendo 
che sono gli assi le carte gemelle?
Vedi che � diverso? Tu non sai se la carta che hai girato � una delle carte 
gemelle, potrebbe essere la carta diversa, chess�, il re di fiori. Allora 
diciamo X la carta che hai girato e sotto mettiamo le tre carte:
X=carta estratta
A1, A2, R1 (dove A=asso di cuori e R=re di fiori)
Quale probabili� c'� che X sia una carta gemella?
X pu� essere A1, A2 o R1. Hai 2 probabilit� su 3 che sia una carta gemella.
Ciao,
Loris

>
 
Ora, porre sul tavolo una carta con il dorso
rosso cosa vuol dire? 
 
Vuol dire che la carta tutta bianca 
non "partecipa" alle probabilita'. 
 
Giusto? 
 
Secondo me pare proprio che sia giusto. 
 
-- dire che la carta bianca non partecipa e' 
come dire che dal mio sacchetto ho estratto
la sfera total white --
 
Se cio' e' corretto cosa mi rimane? 
 
O una carta rossa/rossa (R/R) o rossa/bianca (R/B)
-- la prima lettera e' il colore del dorso. 
 
A questo punto, dato che della carta vedo il dorso 
(R) che probabilita' ci sono che la faccia nascosta
sia rossa? Secondo me una su due.


 sia rossa? Secondo me una su due.
 
Sbagliato:-). Ecco, io ho proposto 2 variazioni del medesimo quesito, perch�
quello originale, che hai quotato, sembra fatto apposta per confondere le
idee. Hai detto, giustamente, che le possibilit� in gioco sono R/R e R/B. 
Per una chiarezza ancora maggiore numeriamo le "facce" delle 2 carte: R1/R2, 
R3/B1. Ora, tu vedi il rosso R della carta scelta, ma *non sai* se � R1, o 
R2, o R3. Esamina i 3 casi:
Se � R1, girando la carta vedi che il retro � R2: *rosso*
Se � R3, girando la carta vedi che il retro � B1: *bianco*
Se � R2, girando la carta vedi che il retro � R1: *rosso*
Come vedi, su tutti icasi possibili la probabilit� che girando la carta 
trovi *rosso* � di 2/3.
Tu invece ragioni cos�: se la carta ha una faccia rossa, girandola sar� pure 
o rossa o bianca! In forza di questa alternativa logica, tu conferisci una 
probabilit� al 50% alle due alternative di un aut-aut. Ma cos� tu elimini un 
evento possibile, perch� gli eventi possibili sono 3 e non 2!
Curiosamente (ma non troppo, perch� mi sembra che Massimo vi abbia alluso 
sardonicamente:-)), questa tua sovrapposizione di un aut-aut logico alle 
leggi della probabilit� � il medesimo che fa Pascal, quando dice che Dio o 
esiste o non esiste, e dunque ha la probabilit� del 50% di esistere! 
Trattandosi di Pascal, per�, non � credibile che si tratti di errore, deve 
trattarsi di pura malafede.
Ciao,
Loris

 Ne esiste una sola nella metafora parmenidea :-)
 
Una sola nella metafora di Parmenide di Elea.
 
Un suo lontano quanto poco conosciuto discendente cristiano, 
Parmenide di Nicea, elaboro' ispirandosi all'eleate, una 
proto-teologia trinitaria :)


Dopo una tormentata notte di pensieri in merito ed
i vostri contributi posso finalmente dire di aver 
capito :) 
 
Tuttavia credo che ci possa essere un'altra spiegazione 
oltre l'aut-aut logico, ed e' quello di valutare le 
probabilita' *dopo* l'estrazione quando oramai l'evento 
"rosso o bianco" e' gia' avvenuto. D'altronde e' cosi'
anche per la scommessa: siamo stati es-tratti, siamo
imbarcati :)


 proto-teologia trinitaria :)
 
Azz! che cosa mi sono perso!
Mi son perso una metafora non solo ipostatizzata ma anche proliferata ! :-))
Come piantare una pianta virtuale e bagnarla ogni giorno :-)
 
Omaggi
Omega 


 
Nello spazio degli eventi, una volta scartata la carta bianca, devi 
considerare i due lati della carta che li ha entrambi rossi come due 
eventi distinti (chiamiamoli RR'). Quindi lo spazio degli eventi, una 
volta saputo che il lato della prima carta estratta � rossa, si riduce a
RR'
R'R
RB
Dunque, usando il concetto classico, la p. � 2/3.
O forse pensi che i due lati rossi della carta con questa caratteristica 
siano identici, nel senso che esiste un solo un solo lato? :-) :-)
Puoi anche provare con l'approccio frequentista alla von Mises.
Basta un banale foglio excel e ti accorgerai che per un numero ripetuto 
di "estrazioni" simulate la frequenza converge a 2/3.
Se ti interessa, puoi anche dimostrarlo attraverso l'uso del teorema di 
Bayes: in rete dovresti trovare qualcosa.
Di soluzioni controintuitive a problemi di probabilit� ne trovi quanti 
ne vuoi. Pi� interessanti i paradossi, come quello di Bertrand, il 
quale, invece, nasce dall'insufficiente specificazione degli elementi 
costitutivi l'esperimento (cito a memoria Fortunato Pesarin, uno degli 
statistici pi� "interessanti" degli ultimi cinquant'anni). In questo 
caso, il problema sta nell'ambiguit� con cui � posto il problema e, a 
seconda delle interpretazioni che assegno alle parti che compongono la 
descrizione dell'esperimento, posso ottenere misure classiche di 
probabilit� diverse.
Bye.

 siano identici, nel senso che esiste un solo un solo lato? :-) :-)
 
^___^
 
Facevo di peggio :)
 
In sostanza "calcolavo" la probabilita' in base 
all'evento concluso, come se rispondessi alla 
domanda "quante probabilita' di trovare la faccia
nascosta R *adesso* che ho estratto una carta 
e la faccia che vedi e' R?"
 
thx
