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Titolo: Inferenza bayesiana in teoria dei numeri: la matematica come fisica

Come ha sostenuto anche Goedel, se si vuole essere coerenti con un punto di 
vista realista (ossia o platonista o materialista dialettico o qualsiasi 
punto di vista secondo cui la matematica studia una qualche realta`) sui 
fondamenti della matematica, bisogna ammettere ad esempio l'uso di metodi 
induttivi ("induttivi" nel senso epistemologico) in matematica.
Pertanto, se un enunciato aritmetico e` verificato per tutti gli esempi 
conosciuti, nulla vieta di assumerlo come assioma.
O meglio, nulla vieta di utilizzare metodi di inferenza bayesiana in 
matematica.
Pero` in matematica questo non basta: c'e` bisogno che l'enunciato sia 
"evidente". Perche'?
Ciao!
Giovanni 

 "evidente". Perche'?
Perchè rispetto alla incapacità di escludere la possibilità logica che un
enunciato P(n) risulti falsificato per una adeguata scelta di n finito, il
non disporre - ed un *continuare* a non disporre - di una falsificazione
di P(n) per un certo n, non ha alcuna potenza. Quella incapacità persiste
qualunque sia il "livello di confidenza" raggiunta nella ipotesi "per ogni
P(n)", e qualunque siano i metodi di quantificazione dell'incertezza, della
confidenza raggiunta etc. Ciò però presuppone una *sensibilità* della
matematica a quella incapacità. Una vocina nella testa che continui a
ripetere: "sì, va bene, la successione degli n per i quali P(n) risulta
vero, non fa che crescere, ma che per ogni n valga P(n) *non* lo hai ancora
*dimostrato*". La matematica - che eredita dalla filosofia una concezione
della verità come incontrovertibilità(=capacità di negare la negazione);
concezione via via indebolita, ma mai abbandonata - può coincidere con una
fisica se e solo se quella vocina giungerà a spegnersi del tutto. Ma
quella vocina c'è, perchè c'è la differenza tra proposizioni empiriche e
proposizioni universali. Dovrebbe sparire questa differenza che
la solleva, dunque. Matematica e fisica coinciderebbero perfettamente
nell'Assoluto, potremmo dire - perchè è solo nell'Assoluto che ciascuna
proposizione universale si "risolverebbe" completamente nella totalità
delle sue istanze. Il che, ovviamente, vale come definizione stessa di
"Assoluto".
Proprio per questo, non mi pare che l'abolizione costruttivistica
dell'"infinito attuale" riesca a spegnere quella vocina. La ripropone.
Saluti,
Marco
P.S.
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 "evidente". Perche'?
Perché i numeri in quanto idee platoniche che se ne stanno Lassù si 
manifestano Quaggiù non nel mondo reale, ma nella tua testa. In questo caso 
l'"esperimento" ha luogo nella mente. E' come se tu facessi in esperimento 
"reale" nel quale tu hai terminazioni nervose in ogni punto dello spazio ed 
hai una potenza di calcolo sufficiente per elaborare in tempo reale tutta 
quella informazione. Non avresti bisogno di usare strumenti di misura e di 
fare i calcoli per vedere se la tua teoria coincide con le osservazioni 
sperimentali: tutto ciò che è vero ti apparirebbe come "evidente". Ecco, dal 
momento che i numeri-idee si manifestano Quaggiù nella tua testa, per te è 
assolutamente evidente che due più due fa quattro, sebbene questo sia 
comunque un "esperimento", o meglio un "esperimento mentale": tu conti («due 
più uno tre, tre più uno quattro...») e contando stai eseguendo 
l'"esperimento", il cui risultato alla fine ti appare "evidente".
-- 
Ciao,
D.

 manifestano Quaggiů non nel mondo reale, ma nella tua testa.
Si`, ma esistono modelli dell'aritmetica anche nella realta`, fatti ad 
esempio coi sassolini.
G

 per un certo n, non ha alcuna potenza.
Questo perche' in matematica si vuole avere l'illusione di ricercare 
certezze.
G

 esempio coi sassolini.
Due sassi non sono "il" Due.
L'idea-Due che sta Lassù si manifesta Quaggiù dentro la tua testa come 
concetto-Due. Se poi tu vuoi costruire un isomorfismo fra l'insieme dei 
numeri ed un insieme di insiemi di sassi (e fra le operazioni con i numeri e 
le operazioni con gli insiemi di insiemi di sassi) lo puoi fare solo perché 
hai nella tua testa il concetto-Due e puoi trovare o realizzare nella realtà 
delle "icone" dell'Idea-Due, così come puoi trovare o realizzare la statua 
di un cavallo, senza che quella statua sia un cavallo né "il" Cavallo.
-- 
Ciao,
D.

 ha scritto nel messaggio 


Nella realta' esiste un modello dell'aritmetica fatto con i sassolini o
fattibile con i sassolini?
In un universo magari finito?
Per me esisterebbe solo in un universo infinito od in un universo finito
ma scindibile a piacere, ma in un universo finito e composto da quanta
discreti no.
Perche' se il numero delle particelle non e' illimitato col cavolo che
realizzo con i sassolini un modello dell'aritmetica!!!
-- 
genti diverse, venute dall'est
dicevan che in fondo era uguale.


 certezze.
E' chiaro che se uno si mette a dimostrare un teorema dando per "buoni" una 
decina di lemmi che non dimostra e che nessuno ha mai dimostrato non sarà 
preso in considerazione seriamente da nessuno. Diciamo che dai matematici in 
genere ci si aspetta che ottengano dei risultati che abbiano un margine di 
"dubitabilità" molto minore degli scienziati naturali, anche perchè possono 
permetterselo: in nessuna altra scienza si ha a disposizione uno strumento 
come la "dimostrazione matematica". C'è da dire tuttavia che nell'ambito 
dell'analisi numerica i matematici hanno preso a lavorare in modo molto più 
empirico producendo esempi che "suggeriscono" o supportano teorie di cui non 
si ha nessuna dimostrazione o formalizzazione. 

...
...nel senso che parlando di sassolini puoi dare senso (in potenza) a 
qualsiasi enunciato dell'aritmetica...
G

 di  "dubitabilita`" molto minore degli scienziati naturali
In che senso si puo` parlare di "dubitabilita`" di un enunciato della teoria 
degli insiemi?
In che senso si puo` parlare di verita` in un senso assoluto in teoria degli 
insiemi?
Davvero pensi che l'ipotesi del continuo sia vera o falsa in qualche senso 
assoluto?
E quale sarebbe questo modello standard della teoria degli insiemi?
G

 E quale sarebbe questo modello standard della teoria degli insiemi?
Non so se esista un modello che meriti di essere chiamato "standard" allo 
stesso modo in cui i numeri naturali meritano l'appellativo di "standard" 
trai modelli dell'aritmetica. Non lo escludo. 

 qualsiasi enunciato dell'aritmetica...
Ma cos'e' il senso se non la familiarita' con un comportamento di oggetti?
E ormai abbiamo cosi' tanta familiarita' con i numeri che il cosidetto
modello diventa solo un impiego dell'aritmetica, non ha piu' la funzine di
dare un senso all'aritmetica, piu' che una sua interpretazione, se non
come interpretazione OPERATIVA, ossia come impiego.
Prendi il caso dei soldi, per esempio.
Perche' mai i conti correnti ed i bilanci dovrebbero seguire le regole
aritmetiche? In realta' gia' non lo fanno in molti posti, se tieni piu'
soldi in banca ti danno di piu' di interesse, ad ogni prelievo ti prendono
una commissione, e tutto l'ambaradan sia un'interpretazione
dell'aritmetica lo credo poco.
Certo, sono tutte operazioni che nel micro si eseguono ancora con le
operazioni dell'aritmetica, ma l'insieme delle operazioni di prelievo e
versamento per il risparmiatore non sono piu' aritmetiche: il suo conto
non e' piu' un oggetto interpretabile come un semplice recinto da cui
prendi o dove metti soldi.
-- 
Per me l'universo ha un senso proprio perche' e' privo di significati.


 dalla comunità.
Certo. Qui inverti in un certo senso quello che dicevo sopra. Parli di
teoremi della forma "G=>X". Dimostrazioni, cioè, che X è una conseguenza
valida di G. Il che, ovviamente, non significa aver dimostrato nè G nè X, ma
solo quel condizionale. Anche tali teoremi potrebbero essere usati per
vagliare in qualche modo la verità (o falsità) di G. X potrebbe risultare un
enunciato fortemente controintuitivo. Sì che la verità di G implicherebbe la
verità di un enunciato fortemente controintuitivo.
Tutto ciò sul piano formale. Si tratta semplicemente del significato delle
implicazioni G=>X e X=>G. Tali implicazioni consentono di approfondire la
conoscenza del "significato" concreto di G, perchè il significato concreto
di G è determinato dalle relazioni che esso intrattiene con la totalità
degli altri enunciati aritmetici.  Francamente, non so quale sia lo status
attuale della congettura di Goldbach. Mi risulta cioè che la sua verità sia
informalmente accolta da *tutti* i matematici. Ma ignoro se e quanti teoremi
di quelle forme siano stati dimostrati (se cioè il giudizio informale di
verità è conferito sulla base della conoscenza del significato concreto di G
resa possibile da quei teoremi; o solo sulla base di un ragionamento
rozzamente "induttivo").
Ma poi è chiaro che il rischio è quello di muoversi in un circolo vizioso. G
è intuitivamente vero perchè la sua negazione implicherebbe la negazione di
enunciati intuitivamente veri perchè... Già, perchè? La giustificazione
della verità intuitiva di G mediante la verità intuitiva di altri enunciati
è una operazione pericolosa. Tuttavia, non credo che i matematici non
abbianto tentato di valutare il grado di radicamento di G nella teoria dei
numeri o nella sua struttura "intuitiva". Questa sarebbe forse una
operazione (ovviamente già nota ai matematici; ma quel che non so è se abbia
prodotto risultati per G) che è *a monte* della proposta di Lagnese di
adozione della inferenza statistica. Ed ha una propria autonomia
concettuale.
Un saluto,
Marco

 concettuale.
Tieni presente che in realtà i teorici dei numeri (come del resto quasi 
tutti i matematici) in genere non si preoccupano minimamente di costruire le 
dimostrazioni tipiche della logica formale che partano da assiomi e 
procedano rigorosamente verso la tesi: si appoggiano molto all'intuito e a 
strumenti teorici sofisticati presi a prestito dalle più varie branche della 
matematica (dall'analisi alla geometria algebrica).
Ciao!!
Marco 

Perche' non esce la risposta che ho dato a questo post?

 Perche' non esce la risposta che ho dato a questo post?
Credo tu alluda al post che hai inviato in risposta a LordB. (all'incirca
verso le 15:30 di ieri). Il post è stato approvato ieri sera, ma vedo che
non è apparso. Devi rinviarcelo.
Un saluto,
Marco

 non è apparso. Devi rinviarcelo.
Non ne posseggo piu` alcuna copia.
Quindi il post e` perso!   :-(((((((((((((((
Non e` giusto.

Giovanni Lagnese detto il Papero chiede:

Potrà sembrare paradossale ma la matematica utilizza già
l'induzione: infatti gli oggetti della matematica nascono da un
processo induttivo inconscio. Ad esempio il concetto del numero 2 nasce
dall'osservazione costante di coppie di oggetti, per cui astraendo
dalle determinazioni concrete delle varie coppie si ottiene un concetto
molto astratto e generale. Tuttavia, una volta ottenuti i concetti
astratti dei numeri e delle operazioni fondamentali, c'è un salto
logico per il quale quei concetti si ritengono validi in assoluto,
ossia validi in ogni caso perché non vengono mai contraddetti da
nessuna osservazione posteriore; pertanto la matematica non può che
procedere deduttivamente con dimostrazioni rigorose: infatti, proprio
per la generalità ed estensione degli oggetti matematici si pretende
che debbano valere in ogni caso (ad esempio il concetto del numero 2
deve essere applicabile ad ogni coppia concreta), quindi un metodo di
dimostrazione induttivo non garantirebbe questa generalità ed
estensività assoluta che è pretesa dagli enti matematici.