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Titolo: Definizioni impredicative ?

Qualcuno sa spiegarmi cosa si intende per definizioni impredicative
nell'intuizionismo? E per quale motivo queste non sarebbero valide?
Grazie per eventuali chiarimenti
A. C.

 Grazie per eventuali chiarimenti
In maniera approssimata e su due piedi. Il problema delle definizioni
impredicative è stato sollevato dall'analisi delle antinomie (e dello loro
cause) successive alla faccenda del paradosso di Russell. Russell riconduce
l'origine di *tutte* ke antinomie che affliggono la teoria degli insiemi,
alla ammissione di definizioni predicative. Dicesi "definizione predicativa"
una definizione di un oggetto (matematico o meno) la quale implichi un
riferimento alla classe (la totalità) stessa cui il definiendum appartiene.
O anche: una definizione all'interno della quale sia presente almeno un
termine la cui definizione implichi un riferimento alla classe cui il
definiendum appartiene.
Ora, il punto è: le definizione impredicative sono inaccettabili
simpliciter? La risposta che ha dato il pensiero logico-matematico è: no,
non lo sono simpliciter. Lo sono esclusivamente all'interno di una
concezione "concettualistica" per la quale le definizioni costituiscono gli
oggetti di cui esse parlano. Sarà Carnap a mostrare come di per sè
l'impredicatività non implica di per sè la necessiità di rigettare la
proprietà corrispondente. Il punto però - è torno al tuo post - è che nella
concezione intuizionista le definizioni impredicative non sono di per sè
prive di validità. Mi pare che Carnap facesse riferimento proprio ad una
concezione costruttivistico-intuizionista, quando diceva che la
impredicatività di una definizione non implica di per sè il rigetto della
proprietà corrispondente. E non è difficile capire perchè. Proverò però a
documentarmi meglio sul nesso tra intuizionismo e impredicativismo. Non
voglio metterti sulla cattiva strada:-)
Cari saluti,
Marco

 voglio metterti sulla cattiva strada:-)
Ma poi dimenticavo una cosa. Abbiamo il matematico Lagnese tra noi, che mi
pare più di una volta abbia parlato bene di Brouwer e compagni. Cedo a lui
la parola. Ci risponderà?:-)
Ancora saluti,
Marco

 Marco
Ciao carissimo
A. C.

 Marco
Ciao, a presto
A. C.

il grattacielo piu` alto della citta`.
nulla da dire se la citta` c'e`.
se la citta` e` un universo di oggetti matematici, similmente niente da dire
se pensiamo che quest'universo c'e`, che e` li` indipendentemente da noi.
se invece...
ciao!
giovanni lagnese

 giovanni lagnese
Ciao e grazie per il tuo messaggio
A. C.

 Credo che più che altro potresti contribuire a togliermici... ;-)
E chi te lo dice?:-)
Un caro saluto,
Marco

 meglio essere precisi).
si tratta di nomi, comunque direi che l'intuizione e` qualcosa di piu`
debole della percezione.

 debole della percezione.
OK, thanks. E un piccolo sforzo per rispondere alla questione che ci
ponevamo con Marco, cioè se l'intuizionismo rigetta in toto le definizioni
impredicative o se vi sono eccezioni?
Ciao e grazie
A. C.

 impredicative o se vi sono eccezioni?
La mia idea è che non vi sia piena coincidenza tra l'intuizionismo ed il
rigetto delle definizioni impredicative. D'altra parte l'intuizionismo è
solo una parte del costruttivismo. E, ancora, l'intuizionismo ha conosciuto
notevoli sviluppi da quando venne formalizzato da Kolomogorov ed Heyting
negli anni 20-30. Di getto uno direbbe che c'è *incompatiblità* tra le
premesse dell'intuizionismo e le definizioni impredicative. Ma non credo sia
in tutto e per tutto così, come in qualche modo è testimoniato dalla
posizione di Carnap. Dovrà comunque essere Lagnese a pronunciarsi. Questa è
la *sua* materia:-).
Comunque questo è un argomento molto interessante. L'opposizione tra Hilbert
e Brouwer è drammatica. Da una parte (Hilbert, il fondatore del formalismo)
il tentativo di salvare domini fondamentali della matematica quali la
validità universale (dunque anche su insiemi infiniti) del terzo escluso
assieme alla decidibilità di ogni problema (in sostanza ciò equivale al
terzo escluso): la matematica non ammette ignorabimus, diceva Hilbert.
Dall'altra parte (Brouwer, il fondatore dell'intuizionismo) il netto rifiuto
"contenutistico" della concezione formalista, che riduceva la matematica ad
un gioco di segni sulla carta.
Altro aspetto interessante, è che questa faccenda tira in ballo un problema
di *filosofia* della matematica. Come dicevo, e come diceva anche Lagnese
(l'esempio del grattacielo lo prende da uno scritto di Goedel, se ricordo
bene), se si ha una concezione "realista" degli enti, allora le definizioni
impredicative *non* pongono alcun problema. La definizione si limiterà a
descrivere ciò che esiste di per sè, indipendentemente dall'atto
definitorio. E' invece una concezione costruttivistica a far sorgere il
problema (ma è da vedere se ci sia incompatibilità simpliciter). Lo stesso
Goedel - che in una fase della sua vita fu "platonista", affermatore cioè
della esistenza degli enti matematici indipendente dalle operazioni compiute
dai matematici - più di una volta ha suggerito che la presenza delle
definizioni impredicative in numerosi settori della matematica, e
l'importanza del loro ruolo, siano fattori che fanno propendere per una
scelta "platonista" in filosofia della matematica. E' interessante vedere
cioè come ci sia una "nebulosa" filosofica attorno alla matematica, che ne
influenza in qualche modo le assiomatizzazioni etc.
Cari saluti,
Marco
P.S.
Molto interessante quel brano dello studioso di Campanella.

 solo una parte del costruttivismo.
Ma chiaramente è anche possibile che sia il costruttivismo a non implicare
di per sè (o anche: a poter non implicare, in qualche sua formulazione) un
rigetto delle definizioni impredicativa - laddove tale rigetto sarebbe
obbligato per quella parte del costruttivismo corrispondente
all'intuizionismo.
Saluti,
Marco

 Molto interessante quel brano dello studioso di Campanella.
Di Napoli sintetizza bene i problemi, cosa utile di fronte
all'enciclopedismo campanelliano... :-)

dunque,
ho gia` espresso altrove le mie idee sull'intuizionismo e sul
predicativismo.
comunque, ne faccio una sintesi.
io penso, rivoluzionariamente, che intuizionismo e costruttivismo siano agli
antipodi.
il secondo toglie ragion d'essere al primo.
l'intuizionismo ha tanto piu` senso quanto piu` sono "infiniti" i domini di
cui trattiamo, mentre il costruttivismo tende a rendere quanto meno
"infiniti" e` possibile i domini di cui trattiamo.
esempio banale ma emblematico: nella forma piu` estrema di costruttivismo,
ossia il finitismo, la logica intuizionista perde completamente la sua
ragion d'essere.
ciao!
giovanni lagnese

 giovanni lagnese
Saluti
A. C.