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Titolo: si fa presto a dire "x"

Abbiamo visto che il problema del mattone era riducibile a una equazione
come questa:
    M = 1 + M/2
dove M è il peso (o, se vogliamo, la massa) del mattone. Questo problema,
quando viene formulato verbalmente, all'inizio può dare un senso di
vertigine, perché una certa grandezza viene determinata in relazione ad una
sua parte: per sapere quanto pesa un mattone avremmo bisogno di sapere
quanto pesa mezzo mattone, ma non ci dicono quanto pesa mezzo mattone,
e per saperlo avremmo bisogno di sapere quanto pesa un mattone...
(Chi ha delle competenze matematiche più robuste troverà incredibile che
qualcuno si possa perdere in un circolo vizioso come questo, che è solo
apparentemente tale e che si dissolve non appena ci si rifletta un po'.
Tuttavia, per quanto a qualcuno possa sembrare incredibile, resta il fatto
che secondo quanto mi hanno raccontato gli amici la maggior parte dei
concorrenti e delle persone del pubblico che partecipavano a quella
trasmissione non è stata in grado di comprendere il problema e la sua
soluzione anche quando gli autori del quesito hanno cercato di spiegarne la
soluzione. Da quel che ho capito, alcuni si rendono conto che ipotizzando
che il mattone pesi due chilogrammi i conti effettivamente tornano, ma poi
non realizzano come si possa ottenere quel risultato, e sembra loro che in
casi come questi sia necessaria una sorta di rivelazione oracolare, la quale
fornisca quel particolare valore che introdotto nei calcoli faccia tornare i
conti.)
Il passo successivo nella scalata alla complessità circolare si ottiene
introducendo *due variabili che si determinano a vicenda*.
(E se a qualcuno è venuto in mente Hegel lo tenga in caldo, ché prima o poi
ci arriviamo.)
Il quesito, ad esempio, potrebbe essere modificato nel modo seguente:
«Un mattone pesa un chilo più una bottiglia, e una bottiglia pesa due
mattoni meno tre chili. Quanto pesa un mattone?»
Anche qui sembra di essersi infilati in una determinazione circolare, nella
quale per sapere quanto pesa un mattone dovremmo sapere quanto pesa una
bottiglia, e viceversa. Sappiamo però che questo problemino corrisponde ad
un sistema in due variabili e due equazioni:
    M = 1 + B
    B = 2 M - 3
Chi abbia qualche nozione di matematica non farà fatica a risolvere questo
sistema, ma a me più che trovare la soluzione in sé interessa analizzare il
procedimento passo passo a passo, per renderci conto di cosa stiamo facendo
e diventare consapevoli di alcuni aspetti che solitamente nelle lezioni
scolastiche vengono un poco trascurati. Questa consapevolezza ci tornerà
utile, in seguito, quando dovremo cercare di sbrogliare concettualmente
certi problemi circolari assai più complessi.
Per fare ciò dobbiamo fare un passo indietro, e ripartire dalla equazione
relativa al mattone:
    M = 1 + M/2.
A scuola ci hanno insegnato che una cosa come questa si chiama "equazione
nella variabile M". Dal momento che ora tutti sappiamo la soluzione del
problema, se volessimo sottoporre un problema analogo ad un ragazzino per
vierificare se abbia capito il metodo di risoluzione, glielo potremmo
riporre variando il "peso noto" che sta "accanto" al mezzo mattone,
formulando delle varianti del problema corrispondenti alle seguenti
equazioni:
    M = 2 + M/2
    M = 3 + M/2
    M = 4 + M/2
    ....
Nel primo caso il mattone peserà 4 chili, nel secondo 6, nel terzo 8,
eccetera.
E siccome ci sembra di aver colto il "principio generale", ci piacerebbe
poter scrivere una "soluzione generale" del "problema generale". Potremmo
allora provare così: al posto del peso noto di un chilo, viene posto un
"generico peso P dato", dopodiché del mattone ci viene detto che il suo peso
M è pari al "peso P dato" più il peso di mezzo mattone, così:
    M = P + M/2
A scuola ci hanno insegnato che questa si chiama "equazione nella variabile
M e nel parametro P", e ci hanno insegnato a risolverla "facendo finta" che
P sia un valore fissato. Dunque facendo finta che P sia un valore fissato,
noi togliamo il peso di mezzo mattone ad entrambi i membri dell'equazione:
    M - 1/2 M = P
da cui
    M/2 = P
e quindi:
    M = 2 P
Pertanto abbiamo scoperto che un mattone deve sempre avere un peso pari al
doppio del peso P che bisogna porre accanto al mezzo mattone per far stare
in equilibrio la bilancia.
Era banale, si dirà. Già, era banale, ma intanto ci siamo andati a cacciare
in qualche guaio concettuale. Infatti inizialmente abbiamo introdotto il
generico peso P proprio per poterci "mettere dentro" tutti i pesi possibili:
2, 3, 4 chili. Poi però quando siamo andati a risolvere l'equazione ci hanno
detto che dovevamo "fare finta" che P fosse un valore fissato. Ma come?
Lo avevamo introdotto proprio per poterlo far variare, e poi salta fuori che
per risolvere il nostro spinoso problema circolare dobbiamo "fare finta" che
esso sia un numero fisso?
Non solo, ma se noi volessimo impostare la cosa da un punto di vista
puramente matematico, e partissimo dalla semplice uguaglianza
    M = P + M/2
chi ce lo direbbe che questa è una "equazione nella variabile M e nel
parametro P"? Non potrebbe essere, invece, una "equazione nella viariabile P
e nel parametro M"? In tal caso dovremmo ricavare P "facendo finta" che M
fosse un valore fissato, ed otterremmo:
    P = M/2
Non solo, ma poco fa avevamo visto che quando si hanno due variabili occorre
disporre di due equazioni da mettere "a sistema":
    M = 1 + B
    B = 2 M - 3
Questo è un "sistema di equazioni nelle variabili M e B", e ci hanno
insegnato che se di equazioni anziché averne due ne avessimo una sola le due
variabili resterebbero "indeterminate". Dunque se prendiamo solo la prima
equazione:
    M = 1 + B
essa è una "equazione in due variabili indeterminate". Ma allora, se questa
è una equazione in due variabili indeterminate, perché quando abbiamo
scirtto:
     M = P + M/2
abbiamo detto che si trattava di una "equazione nella variabile M e nel
parametro P"?
Immagino che i miei poveri lettori si saranno resi conto che questo è uno di
quei casi in cui bisogna "fare a capirsi", senza mettersi a spaccare il
capello in quattro, ché tanto tutti hanno capito come funziona la faccenda.
Già, sarà anche vero, ma che ne sarebbe di noi se avessimo a che fare con un
sistema complesso che si trova in uno "stato auconsistente", uno stato
descritto da azioni e retroazioni e che sembra "sollevarsi nel vuoto
tirandosi per i lacci delle scarpe", e in questa precaria situazione
concettuale dicessimo che per capire "come funziona" dobbiamo introdurre dei
segni che sono fatti apposta per rappresentare delle grandezze variabili, e
però quando si cerca di risolvere il problema bisogna "fare finta" che ciò
che è stato definito come variabile sia un valore fissato?
Ve lo immaginate che piazzata ci farebbero i filosofi in una circostanza del
genere? Ci farebbero a pezzi. Non solo, ma oltre ai filosofi che si
metterebbero a spaccare il capello in quattro, c'è anche il problema dei
mistici, i quali direbbero: «Ecco, lo vedete, gli scienziati strombazzano
tanto la loro razionalità, e poi sono i primi a credere a delle
contraddizioni! Allora tanto vale credere ciò che crediamo noi, che guarda
caso è proprio ciò che ognuno di noi vuole sentirsi dire».
Come fa il discorso scientifico a sottrarsi a queste obiezioni?
-- 
Saluti.
D. 

 capello in quattro, ché tanto tutti hanno capito come funziona la faccenda.
Beh non è detto che sia necessario "fare a capirsi", se si vuole si può 
essere rigorosi e puntigliosi ad oltranza, ma in genere a scuola gli studenti 
si acontentano di capire il "meccanismo" senza andare ad indagare troppo 
sulle sottigliezze concettuali. 

 Come fa il discorso scientifico a sottrarsi a queste obiezioni?
In termini generali per ora nicchio un po', anche perché vorrei vedere 
meglio dove vuole arrivare la tua domanda.
Riguardo al concetto di parametro: il fatto di usare un simbolo non 
significa necessariamente che si sta parlando di una variabile intesa come 
incognita, come la M del problemino del mattone. P è una quantità *nota* 
*prima*, solo che può assumere diversi valori. M può diventare nota solo 
*dopo*, una volta che P è stata fissata e si è eseguito il calcolo.
Certo, in un'equazioncina in cui compaiono solo due simboli e non si dice 
niente su cosa "stanno per", si può scrivere l'inversa senza colpo ferire, 
ma resta il fatto che se sono i valori di P a essere nelle mani 
dell'operatore a priori, allora P è un parametro.
Così, come metafora, se hai un certo motore - che è quello che è - un 
parametro è la posizione del cambio, non la velocità periferica attesa delle 
ruote, che è ciò che interessa conoscere uscendo la prima volta per il 
collaudo sapendo già bene com'è il cambio e quante combinazioni ha.
Un filosofo non dovrebbe perdersi neppure tanto analizzando il problema e 
vedendo cosa è noto e selezionabile *prima* e cosa non è noto se non dopo 
aver fatto tutte le selezioni possibili fra ciò che è noto e selezionabile e 
avere poi eseguito i calcoli.
Certo in sede di ricerca non è tutto così chiaro, ma che ricerca sarebbe se 
così non fosse?
Ciao.
qf 

 noi vuole sentirsi dire».
Qualcuno avrà pensato che esagero, che i mistici non stanno tutto il tempo
in agguato, e poi anche se ci volessero stare non avrebbero gli strumenti
concettuali per mettere nell'angolo il discorso scientifico. Ma chi
pensa questo ignora quanto il bisogno possa aguzzare l'ingegno e la
determinazione.
Tempo fa avevo analizzato le prime pagine dei _Principia_ di Newton e degli
_Elementi_ di Euclide, mostrando che in entrambi i casi la costruzione delle
"definizioni" e degli "assiomi" fallisce miseramente perché ci si va ad
infilare in delle vere e proprie tautologie che risultano inutilizzabili
(e che effettivamente non vengono mai usate per la soluzione dei problemi).
Nel caso di Euclide sembra di poter dire che quelle tautologie sono tali
solo perché Euclide non ha avuto il coraggio di andare fino in fondo nella
costruzione di un "sistema di definizioni" nel quale ogni concetto sarebbe
stato determinato da tutti gli altri, e tutti si sarebbero determinati
simultaneamente, tutti assieme. Qualcuno potrebbe pensare che Euclide non
ebbe l'acume necessario ad andare fino in fondo, per cui se è vero che nelle
sue definzioni troviamo tracce di un approccio modernissimo (per il quale
avremmo dovuto attendere Hilbert) è anche vero che a voler cercare bene si
trovano ovunque anticipazioni di qualunque cosa, e se uno volesse potrebbe
anche cercare di dimostrare che nell'età della pietra avevano già capito
tutto l'essenziale della teoria della relatività. Non dobbiamo dunque
seguire le vaghe suggestioni.
Già, non dobbiamo seguire delle suggestioni,
ma poi ho anche presentato delle pagine in cui Aristotele scaglia dei
violenti anatemi su coloro che si azzardano a definire gli enti geometrici
in un certo modo, e guarda caso tutto ciò che Aristotele carica a testa
bassa è il cuore dell'approccio moderno alla definizione degli enti
geometrici, e lo si ritrova poi chiaramente impostato nelle definizioni di
Euclide, solo che poi quest'ultimo si ferma lì, non va fino in fondo, e
chiude la faccenda quasi autocensurandosi, mettendoci dei tappi formali che
fanno degenerare in tautologia ciò che era iniziato con un approccio che
persino a noi appare moderno e geniale. E Newton, che aveva una vera e
propria venerazione per la costruzione assiomatica degli _Elementi_  di
Euclide, accetta - come il suo maestro - di inchinarsi all'anatema di
Aristotele ed alla sua imposizione di disporre sempre in sequenza lineare
ciò che viene "prima" e ciò che viene "dopo".
Detto questo, proviamo a proseguire nella lettura dei _Principia_. Le
_Definizioni_ e gli _Assiomi_ costituiscono questo saggio una sorta di
prologo, terminato il quale si accede cuore del testo, organizzato il libri
e sezioni. E la prima che si incontra è ovviamente la prima sezione del
primo libro:
=========[inizio citazione]========
DE MOTU CORPORUM LIBER PRIMUS.
SECTIO I.
De methodo rationum primarum & ultimarum, cujus ope sequentia demonstrantur.
LEMMA I.
Quantitates, ut & quantitatum rationes, quae ad aequalitatem tempore quovis
finito constanter tendunt, & ante finem temporis illius propius ad invicem
accedunt quam pro data quavis differentia, fiunt ultimo aequales.
Si negas; fiant ultimo inaequales, & sit earum ultima differentia D. Ergo
nequeunt propius ad adqualitatem accedere quam pro data differentia D:
contra hypothesin.
=========[fine citazione]========
Se qualcuno crede di non aver capito bene perché ha dei problemi con il
latino, provi un po' a leggersi questa mia modesta traduzione:
=========[inizio citazione]========
LIBRO I: DEL MOTO DEI CORPI.
SEZIONE I: Del metodo dei primi e ultimi rapporti, grazie ai quali si
dimostra quanto segue:
LEMMA I.
Le quantità, come anche i rapporti delle quantità, che in un qualunque tempo
finito tendono constantemente all'uguaglianza, e prima della fine di quel
tempo si avvicinano l'una all'altra più che per ogni data differenza,
divengono infine uguali.
Se [tu] lo neghi, [supponi che] siano alla fine ineguali, e sia D la loro
ultima differenza. Allora esse non possono avvicinarsi più della data
differenza D: contrariamente all'ipotesi.
=========[fine citazione]========
Che dite? Si capiva quasi meglio il latino, eh? Vabbe', è pur vero che io
sono sempre stato una disgrazia a tradurre, ma mi sa che anche quando i
latinisti di passaggio avranno finito di apportare le debite correzioni non
sarà ancora molto più chiaro di così.
D'altra parte, però, chi abbia passato parecchio tempo a fare disegnini con
segmenti e archi di curve che diventavano sempre più piccoli, "tendendo a
zero", leggendo Newton si rende conto immediatamente che egli aveva in testa
proprio quei disegnini lì. Come quando uno sa bene di cosa sta parlando
l'interlocutore, e capisce ciò che dice pur rendendosi conto che la cosa non
si poteva spiegare peggio di così. D'altra parte sappiamo bene che all'epoca
il calcolo differenziale era concettualmente insufficiente, privo di
fondamenti rigorosi, e solo nel XIX secolo Cauchy lo avrebbe sistemato in
modo soddisfacente. Dunque Newton avrebbe dovuto scrivere: «Ancora non siamo
in grado di formulare la cosa in modo rigoroso, ma l'idea di fondo e questa
ed i risultati che si ottengono sono sempre coerenti fra loro, per cui si
tratta solo di darci una sistemata». Ma chi abbia letto qualcosa di Newton
sa bene che egli considerava i _Principia_ il monumento a se stesso, per cui
una cosa del genere non gli passava nemmeno per la mente. E poi erano anche
altri tempi, e se si fosse azzardato a scrivere qualcosa che non pretendeva
di calare dall'alto in modo definitivo e marmoreo nessuno lo avrebbe degnato
di considerazione. Quindi fece come aveva sempre fatto: scrisse una cosa che
non avrebbe capito nessuno tranne quelli che l'avevano già capita per i
fatti loro. E in questo aveva avuto sicuramente dei bravi maestri, tutta una
lunghissima tradizione di bravi maestri.
Ma non l'avesse mai fatto, perché c'era lì appostato il vescovo Berkeley, un
mistico irlandese dalle indubbie capacità fisolofiche e matematiche, il
quale prendendo la palla al balzo nel 1734 pubblicò un breve saggio che già
dalla copertina era tutto un programma:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Bookpages/Berkeley2.gif
[L'ANALISTA
o un
DISCORSO
indirizzato a un
MATEMATICO INFEDELE
nel quale
viene esaminato se l'oggetto, i principi e le inferenze della moderna
analisi siano più distintamente concepiti, o più evidentemente dedotti dei
misteri religiosi e degli articoli di fede.]
Questo "Analista" a cui si rivolge Berkeley molto probabilmente è Newton o
qualche matematico della sua scuola. Abbiamo visto, infatti, che Newton
cercava di definire i differenziali usando gli "ultimi rapporti", come si
trattasse, per così dire, dell'ultimo valore di una grandezza prima che essa
si annullasse. Ed ecco che prontamente arriva la stilettata di Berkeley:
«And what are these Fluxions? The Velocities of evanescent Increments? And
what are these same evanescent Increments? They are neither finite
Quantities nor Quantities infinitely small, nor yet nothing. May we not call
them the Ghosts of departed Quantities?»
[E cosa sono queste flussioni? Le velocità di incrementi evanescenti? E cosa
sono questi stessi incrementi evanescenti? Essi non sono né quantità finite
né quantità infinitamente piccole, né ancora nulle. In che altro modo
potremmo chiamarle se non fantasmi di quantità dipartite?]
Tutto questo per dire che non possiamo permetterci di prendere sottogamba
nemmeno una umile equazioncina.
-- 
Saluti.
D. 

 troppo sulle sottigliezze concettuali.
Il che è un modo per far sì che le cose da un orecchio entrino e dall'altro 
escano, o che restino appese lì come ex-voto per chi ha buona memoria.
Non distinguere fra un parametro e una variabile in un problema di fisica 
(in senso lato) è non aver capito il problema.
Ma anche in matematica l'uso di parametri al posto di costanti  serve spesso 
per individuare le forme utili (a certi fini) di un'equazione. 

 troppo sulle sottigliezze concettuali.
Eh, ma qui siamo proprio alle prese con le sottigliezze circolari delle
cause che diventano effetti e viceversa.
-- 
Saluti.
D. 

    per ogni B, esiste M tale che: M - B = 1
Ma allora B č una *variabile vincolata*. E lo č anche M. Dunque B e M in 
questa scrittura svolgono lo stesso ruolo logico: quello di variabile 
vincolata (ad un quantificatore: nel primo caso, quello universale; nel 
secondo caso, quello esistenziale).
La domanda, allora, č: il fatto che noi vogliamo far svolgere a B la 
funzione di "parametro" e a M la funzione di "variabile incognita" - in modo 
tale che la scrittura "M-B=1" abbia il significato di una equazione nella 
variabile incognita M e nel parametro B - č compatibile con il fatto che 
tanto M quanto B svolgano la funzione di variabile vincolata?
E se, invece, la situazione in cui <<comunque si fissi B č possibile trovare 
per M un valore che soddisfa quella equazione>> fosse rappresentata non 
dall'enunciato <<per ogni B, esiste M tale che: M - B = 1>> (per chi si 
fosse perso: quest'ultima scrittura č un enunciato, puň cioč essere vero o 
falso, perché non figurano in esso variabili libere, cioč non quantificate), 
ma dallo *schema* S:
Esiste M tale che M-B=1
? In questo caso B funzionerebbe come una "lettera schematica" (e dunque 
*non assumerebbe valori*, ma sarebbe una cifra fittizia; č vero che una 
lettera "sta al posto di", ma il suo "stare al posto di" non implica 
l'assunzione di valori), e la scrittura che ho indicato con S cesserebbe di 
essere un enunciato ma diverrebbe, appunto, uno schema: cioč, <<uno 
pseudoenunciato creato espressamente per evidenziare una forma che vari 
enunciati manifestano>> [Quine, "La logica e la reificazione degli 
universali", in "Da un punto di vista logico", Raffaello Cortina editore, 
2004]. Qui gli enunciati in questione sarebbero:
Esiste M tale che M-0=1
Esiste M tale che M-1=1
Esiste M tale che M-2=1
...
La domanda č: c'č qualcosa che osta a tradurre la situazione in cui 
<<comunque si fissi B č possibile trovare per M un valore che soddisfa 
quella equazione>>, in uno schema piuttosto che in un enunciato nel quale 
sia M che B figurino come variabili vincolate? E se non c'č nulla che osti a 
tale traduzione, quest'ultima č forse necessaria, al fine di rispecchiare la 
differenza di "stato" tra la B (che č un parametro) e la M (che č una 
variabile incognita)? Ai filosofi della matematica del ng, la risposta.
Un saluto,
Marco
 

 Esiste M tale che M-B=1
No, perché tu hai detto una cosa che può essere vera o falsa. Hai detto che
comunque si fissi B, è possibile trovare M tale che eccetera. Ora, siccome
tu hai detto una cosa che può essere vera o falsa, quando quella cosa la vai
a scrivere in modo formale devi scrivere un enunciato, cioè qualcosa che
possa essere vero o falso, e se invece tu scrivi uno schema con una
variabile che resta libera allora non è un enunciato, e non hai "scritto"
quello che hai "detto".
-- 
Saluti.
D. 

 quello che hai "detto".
OK, mi sono sacrificato alla rigorizzazione concettuale del linguaggio 
matematico:-). Scherzi a parte, <<comunque si fissi B è possibile trovare 
per M un valore che soddisfa quella equazione>> è un enunciato (può essere 
vero o falso). E io stesso avevo insistito sul fatto che uno schema *non* è 
un enunciato, ma una scrittura che esibisce la forma di determinati 
enunciati. "Comunque si fissi B" va dunque necessariamente tradotto in "per 
ogni B", e non può dar luogo allo schema.
Un saluto e grazie per la risposta,
Marco 

 e si limitano a mettere in evidenza la parte "algoritmica".
Tutta questa faccenda si può risolvere sostituendo all'espressione "risolvere 
l'equazione ... nell' incognita X e paratero A" con "determinare e discutere 
l'esistenza di un valore X in funzione dei possibili valori di A tale che 
soddisfi la relazione ...." e si possono trovare delle parafrasi analoghe per 
le equazioni in 2 incognite, i sistemi di equazioni, eccetera... Ecco lì che 
non c'è più il problema di parlare della essenza di un'espressione algebrica.

nè va affermata l'esistenza di una soluzione a priori per ogni parametro.
Certo. Però la scrittura 'per ogni B, esiste M tale che: M - B = 1' *non* 
vuole essere la traduzione dell'equazione (il che sarebbe assurdo, per le 
ragioni di cui abbiamo discusso), ma la formalizzazione della frase 
'comunque si fissi B è possibile trovare per M un valore che soddisfa
quella equazione'. E questa frase, ovviamente, *non* esprime il
"contenuto" dell'equazione.
E allora va detto che la ragione per cui il parametro non deve essere
quantificato, non può essere che la sua quantificazione (universale)
implicherebbe che per ogni valore del parametro, viene affermata
l'esistenza di una soluzione dell'equazione, la quale, invece, può non
avere soluzioni.
Infatti la quantificazione universale del nostro parametro compare in una
scrittura formale che *non* vuole essere la formalizzazione della frase
che esprime il "contenuto" dell'equazione. 
L'unico "contenuto" esprimibile da una equazione del tipo f(x,p) nel
parametro p, ha una forma *problematica*: 'per quali valori di p esistono
valori di x tali che f(x,p)=0?' Ed è risaputo che una asserzione
interrogativa non è né vera né falsa, cioè non è "apofantica"). (o forse,
l'unico modo perché una asserzione interrogativa sia considerabile
"apofantica", è identificarla a qualcosa del tipo 'io mi sto domandando
se...').
Un saluto,
Marco 
-- 
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nè va affermata l'esistenza di una soluzione a priori per ogni parametro.
Certo. Però la scrittura "per ogni B, esiste M tale che: M - B = 1" *non* 
vuole essere la traduzione dell'equazione (il che sarebbe assurdo, per le 
ragioni di cui abbiamo discusso), ma la formalizzazione della frase 
"comunque si fissi B è possibile trovare
per M un valore che soddisfa quella equazione". E questa frase, ovviamente, 
*non* esprime il "contenuto" dell'equazione.
Un saluto,
Marco 

 soluzioni.
Infatti lei non è obbigata. Sono io che "affermo", e sei tu che di volta in
volta puoi far vedere che affermo il vero (ad esempio se affermo che ci sono
le soluzioni basta scrivere un algoritmo che mi permette di calcolarle) o il
falso. Ma intanto io avrò *detto qualcosa*, e - soprattutto - sarò stato
capace di scrivere in modo formale ciò che ho detto.
No, perché si fa presto a *dire* "causa" e "effetto".
Il problema è imparare a *scriverlo*!
-- 
Saluti.
D. 

 introducendo *due variabili che si determinano a vicenda*.
Finora abbiamo parlato di sistemi di grandezze variabili che
si determinano a vicenda. A questo punto per fare qualcosa di più
"filosofico" possiamo procedere in due direzioni: passare dalle variabili
che si determinano a vicenda agli eventi che si causano a vicenda,
oppure passare ai termini che si definiscono a vicenda.
Il parallelo, schematicamente, è questo:
    sistemi di *grandezze* che si *determinano* a vicenda;
    sistemi di *eventi* che si *causano* a vicenda;
    sistemi di *termini* che si *definiscono* a vicenda
anche se quel "a vicenda" lascia molto a desiderare, e andrà opportunamente
chiarito.
So bene che passando da 1) a 2) e 3) è tutta un'altra musica, ma proprio
perché è tutta un'altra musica non possiamo portarci dietro in ambiti più
difficili delle insufficienze concettuali derivate da ambiti più facili.
Voglio dire che se facciamo fatica a concettualizzare un sistema di
equazioni in più variabili, come pensiamo di poter dire qualcosa di sensato
su argomenti come: «Da dove viene la cellula?», o «Che cosa sono il soggetto
e l'oggetto?». Se uno ha dei problemi ad andare in motorino, farà un po'
fatica a partecipare al Motomondiale.
Dunque ogni volta che ci imbattiamo in una difficoltà concettuale, bisogna
sempre fare un passo indietro, e vedere che aspetto assumerebbe quella
difficoltà in un ambito molto più semplice, se in quell'ambito la sapremmo
risolvere, come faremmo a risolverla, eccetera. Di solito già basta questo a
mettere a dura prova il nostro povero cervello (siamo qui - tutti quanti -
che ancora non abbiamo ben chiaro che cosa sia una "equazione parametrica),
per cui non mi sembra il caso di cercare di saltare il fiume con un salto
solo, disdegnando di appoggiare il nostro raffinato piedino su quei due o
tre massi che miracolosamente sporgono dall'acqua fra le due rive.
Detto questo, proviamo a mettere mano alla faccenda dei "sistemi di
definizioni".
Già Goethe, che era un ottimo botanico, si era reso conto che per definire
le parti anatomiche di una pianta non era sufficiente fornire una
descrizione delle singole parti anatomiche, ma bisognava fornire una
*struttura di relazioni*, come un cristallo in cui ogni atomo è tenuto al
suo posto da tutti gli altri. Scrive Goethe:
«Un picciolo è ciò che porta le foglie».
«Una foglia è ciò che ha una gemma nell'ascella».
«Un picciolo è ciò che in quella stessa posizione era prima una gemma».
Ho trovato questo "sistema di definizioni" in _Mente e natura_ di Gregory
Bateson, dove egli dice che tutto ciò che è "vivo" presenta questo tipo di
organizzazione tipico di quelle che egli chiama le «strutture di
connessioni». Scrive Bateson:
========[inizio citazione]========
*Che cos'è la proboscide di un elefante?* Che cos'è filogeneticamente?
Che cosa le ha ordinato di essere la genetica?
Come sapete, la risposta è che la proboscide di un elefante è il suo «naso»
(lo sapeva perfino Kipling!) [...] La proboscide è un «naso» in virtù di un
processo di comunicazione: è il contesto della proboscide che la identifica
come naso. Ciò che sta tra due occhi e sopra una bocca è un «naso», punto e
basta. E' il *contesto* che fissa il significato, e dev'essere sicuramente
il contesto ricevente a dare significato alle istruzioni genetiche.»
========[fine citazione]========
Una delle più grandi imprese di questo genere è senz'altro quella di
Hilbert, il quale riesce nell'impresa di ottenere una costruzione puramente
assiomatica della geometria (impresa nella quale aveva fallito Euclide, che
come dicevo aveva "suonato a orecchio", anche se faceva finta di tenere
davanti gli spartiti) procedendo nel modo seguente:
1) si introducono una serie di "concetti vuoti",
    cioè "variabili concettuali" o "etichette".
2) utilizzando quei concetti si scrive una serie di "enunciati veri".
Il sistema assiomatico proposto da Hilbert lo si può trovare anche qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Assiomi_di_Hilbert
Può essere utile osservare che fra i concetti-etichette non ci sono solo
degli "oggetti" (come _punto_, _retta_, _piano_) ma ci sono anche delle
"relazioni fra oggetti" (come _contiene_, _sta in mezzo_, ed
_è congruente a_). E osserviamo anche che in un sistema come quello non ha
più senso parlare di "definizioni" e "assiomi", perché non c'è mai un
enunciato esplicito che dica: «Un punto è...», completando la frase con
"il-che-cosa-è" (oh, non guardatemi così: non me la sono mica invetata io
'sta roba) del punto.
Perché allora diciamo che tutti quegli enunciati (fra i quali non siamo più
capaci di distinguere delle "definizioni" nel modo in cui le intendono gli
ontologi), messi assieme, sono in grado di "definire" quei concetti che
all'inizio erano solo delle "etichette vuote"?
Lo diciamo perché a mano a mano che aggiungiamo degli assiomi aumenta
rapidamente il numero di "teoremi" che si possono ricavare da tutti quegli
assiomi, e nel caso particolare della geometria euclidea esiste per gli
assiomi una "massa critica" raggiunta la quale per ogni enunciato
esprimibile per mezzo di quei concetti è possibile stabilire in modo
puramente deduttivo se esso sia "vero" o "falso", ovvero se esso si possa
dimostrare a partire dagli assiomi o se invece si possa dimostrare il suo
contrario. Così una volta arrivati a quella "massa critica" noi siamo in
grado di affermare o di negare tutto ciò che può essere enunciato sulla
geometria euclidea, per cui tutto avviene "come se" noi sapessimo
"il-che-cosa-è" (non ridete!) del _punto_, della _retta_, del _piano_, della
relazione _contiene_ eccetera.
In queste condizioni diciamo di avere ottenuto una "definizione implicita":
è il sistema di tutti gli assiomi che, preso come sistema di relazioni,
definisce in qualche modo quei concetti, nel senso che ci consente di
affermare o negare tutto ciò che possiamo enunciare usando quei concetti.
A questo punto gli esperti di logica formale potrebbero saltare su a dire
che però non tutto ciò che può essere saputo si lascia assiomatizzare
docilmente al pari della geometria euclidea, e che i lavori di Goedel stanno
lì a dimostrare che il programma di Hilbert è fallito nelle sue pretese
universali.
Ora, che il programma di Hilbert sia fallito è tutto da discutere, e
comunque non è mia intenzione riscrivere qui l'ennesimo trattato filosofico
sulla "adeguatezza" (= complezza e validità) dei sistemi formali.
Il programma di Hilbert ha effettivamente delle pretese universali, e può
darsi che queste pretese siano solo dei pii desideri di un matematico. Ma a
noi qui non interessa sapere se questo approccio sia in grado di occupare
ogni angolino dello scibile. Ci interessa invece mettere a confronto questo
approccio con quello tradizionale.
L'approccio tradizionale è quello che pretende di dire:
    «Una foglia è...»
completando la frase con tutti concetti che sono "già noti", cioè che
"vengono prima". Questo, se vogliamo, corrisponde alle equazioni fatte così:
    x = 3 + 1/2 + (2 * 3 - 1)^2 -5*3*2 +...
cioè a quelle equazioni in cui da una parte c'è solo la variabile da
determinare e dall'altra ci sono solo grandezze note alle quali applicare
operazioni note. Sono quelle che a scuola ci hanno insegnano a chiamare
"espressioni".
Invece l'approccio che noi stiamo prendendo in considerazione è quello delle
"molte equazioni in molte incognite", come la botanica di Goethe:
    «Un picciolo è ciò che porta le foglie».
    «Una foglia è ciò che ha una gemma nell'ascella».
    «Un picciolo è ciò che in quella stessa posizione era prima una gemma».
Io non escludo che questo secondo approccio non possa pretendere di occupare
ogni angolino dello scibile, e che in futuro non si renda necessario pensare
forme ancora più complesse del "significato", ma resta il fatto che del
secondo approccio si sta discutendo da quasi un secolo se sia vero o meno
che i lavori di Goedel gli abbiano posto dei paletti, mentre il primo
approccio sono venticinque secoli che prende le botte da chiunque
dimostrandosi un insensato colabrodo. Nessuno, mai, è riuscito a completare
la frase:
    «Una foglia è...»
con "il-che-cosa-è" della foglia, né con concetti di cui "il-che-cosa-è"
fosse "già noto".
Certo, gli ontologi dicono che questa cosa non riesce perché il
"significato" è qualcosa che trascende il linguaggio. E vabbe', ma così sono
capaci tutti. Allora va bene, diciamo pure che l'ontologia ha a che fare con
delle cose che trascendono le capacità del linguaggio, dopodiché - siccome
possiamo discutere solo di ciò di cui si può parlare - cancelliamo quella
roba lì dalle nostre chiacchierate e parliamo di ciò di cui si può parlare,
facendo contento Wittgenstein, anche se questo ovviamente - sempre per dare
ragione a Wittgenstein - non ci rende meno depressi, e anzi ci lascia
assetati di "senso". Vorrà dire che il "senso" ce lo dovremo andare a
cercare da un'altra parte (lo spumante, il panettone, la birra, le tette: ce
ne sono di angolini da esplorare), ma non mi sembra il caso di molestare la
coniugazione del verbo "essere" per risparmiare sui serotoninergici.
-- 
Saluti.
D. 

 Il problema è imparare a *scriverlo*!
Insomma tutta questa faccenda delle variabili e dei parametri è un pretesto 
per introdurre l'idea di causa ed effetto fondata sulla teoria del controllo? 

 se...').
Una possibile traduzione formale del concetto di "risolvere un'equazione 
parametrica" può essere invece (come suggerisco nell'altro post) quella di 
ricorrere al concetto di *funzione incognita*. 

 del controllo?
Non ho "pretesti", né "strategie". A me interessa solo mettere sul piatto
dei problemi "semplici" e mostrare che già in quelli appaiono degli aspetti
che possono sembrare problematici (e magari lo sono davvero). Se io anziché
scrivere un sistema di equazioni lineari in x e y avessi scritto un sistema
di equazioni differenziali, il filosofo giustamente avrebbe voluto sapere
quali erano i concetti corrispondenti a tutte quelle "formule". E io mi
sarei trovato a mal partito.
Ma perché mi sarei trovato a mal partito? Perché i problemi che i matematici
credono di poter risolvere con quelle equazioni in realtà sono troppo
difficili e non si lasciano domare concettualmente? No, non è per questo, ma
è perché ci sono delle difficoltà concettuali di fondo che si trovano già
nelle equazioni elementari; per cui il problema non è che certi sistemi sono
troppo difficili per la matematica, ma il problema è che in generale
dobbiamo imparare dalle basi a "dire la matematica in linguaggio
filosofico". E' questo che ci manca.
Non sono solo i filosofi a non saper leggere i libri di matematica, ma sono
anche i matematici a non saper scrivere i libri di filosofia. Della serie:
ognuno pensi a risolvere le proprie magagne.
-- 
Saluti.
D. 

 ricorrere al concetto di *funzione incognita*.
Due cose:
1)
Mettiamo che io non accetti la faccende delle "prime e ultime lettere
dell'alfabeto", sostenendo che quella roba lì non c'entra niente con la
matematica.
Ora, o tu riesci a definirmi in modo rigoroso (cioè usando il linguaggio
formale) che cosa sono queste "prime e ultime lettere dell'alfabeto", oppure
devi rinunciare a quella roba lì, dopodiché dimmi un po' tu come facciamo a
sapere che l'incognita è la funzione x(p) e non p(x).
2)
Tu dici che l'incognita è una funzione, dici cioè che:
    esiste x(p) tale che: f(x,p)=0.
Ma, tanto per cominciare, dire "esiste x(p)" è un po' troppo vago, perché mi
dovrai dire che quella è una funzione che associa numeri a numeri, e non
scarpe a indossatrici. E già che ci siamo, non basterà dirmi che si tratta
di numeri, ma dovrai specificare bene il dominio P di x(p). Dunque,
riformuliamo:
    esiste x(p) da P a R tale che: f(x,p)=0.
Già, ma che cos'è, matematicamente, una funzione da P a R? E' una relazione
tale che per ogni elemento p di P esiste un elemento x(p) di R associato.
Dunque stiamo dicendo che:
    per ogni p in P esiste x(p) in R tale che: f(x,p)=0.
Dunque, che cosa abbiamo fatto, alla fine, per dare un senso a quella
formula? Abbiamo quantificato le variabili libere, e d'altra parte questo è
l'unico modo per dare un senso ad una formula con delle variabili libere,
per cui qualunque modo tu ottieni di dare un senso sarà equivalente a
questo.
-- 
Saluti.
D. 

 questo.
Continuano a non ritornarmi questi quantificatori iniziali... perchè affermi 
l'esistenza di soluzioni?
Che cosa stai cercando di tradurre formalmente? 

 dell'equazione, non una generica proprietà astratta dell'equazione stessa.
In realtà posso tranquillamente evitare di fare riferimento all'attività 
umana e spiegare che cosa sia una "soluzione dell'equazione parametrica 
f(x,p)=0 *considerando x incognita e p parametro*" dicendo che si definisce 
questa "soluzione" come l'insieme di tutte le funzioni g(t) tali che 
f(g(t),t)=0... Anche in questo caso non ho espresso una frase che può essere 
vera o falsa (come quella che asserisce l'esistenza di soluzioni) perchè sto 
dando una definizione e le definizioni non sono nè vere nè false.