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Titolo: Filosofia della matematica

Parlare oggi di filosofia della matematica diventa impresa difficile per
l'elevato tecnicismo della disciplina. Tuttavia solo pochi matematici si
dedicano a questa impresa e pare che per fare il punto della situazione sia
indispensabile anche una conoscenza storica della stessa.
La matematica e la logica hanno da sempre accompagnato varie filosofie del
mondo greco a cominciare dai pitagorici, ed è stato cmq sempre un tratto
distintivo dell'occupazione dei filosofi in ogni epoca. Basti ricordare tra
i tanti i vari Platone, Aristotele, gli stoici, molti filosofi medievali,
Cartesio, Leibniz, e tanti altri.
Ma nel Novecento sembra che l'ultimo matematico a  poter padroneggiare
l'intera disciplina sia stato Hilbert e Von Neumann.
Questa crescita della disciplina ha quindi impedito di fatto a molti
filosofi di potersi occupare perfino di "filosofia della matematica" che in
definitiva è la ricerca dei fondamenti della matematica stessa, o cmq una
riflessione sulla essenza della matematica stessa che a mio parere sfocia
poi in gnoseologia.
Qui di seguito cercherò di mostrare in modo sintetico come sia ormai
impossibile parlare di filosofia della matematica senza averne una
conoscenza piuttosto avanzata.
Ma forse converrà vedere cosa è stata la storia "dei fondamenti" della
matematica.
Per poi svolgere qualche riflessione finale sul perché per continuare questa
riflessione sia indispensabile una conoscenza della disciplina.
Argomenti che tratterò rapidamente dopo la seguente breve panoramica
Nel VI sec. i Pitagorici posero a fondamento della matematica l'aritmetica
dei numeri interi e razionali. La crepa che fece crollare l'edificio fu la
scoperta di grandezze geometriche che non si possono esprimere come rapporti
tra numeri interi, il che mostrò l'inadeguatezza dei numeri razionali come
fondamento della geometria.
Nel III sec. prima di Cristo l'intero edificio fu ricostruito da Euclide
sulle fondamenta della geometria.. I numeri Interi e le loro operazione
persero il ruolo di entità primitive, furono ridotti alle misure di segmenti
e delle loro combinaizoni: per es. i prodotti alla misura dell'area di un
rettangolo.
Nel XVII sec. Cartesio inaugurò un nuovo paradigma numerico, basato questa
volta su ciò che oggi chiamiamo analisi, cioè sui numeri reali. La geometria
divenne appunto analitica, e punti ed entità geometriche vennero ridotti a
coordinate ed equazioni: per es. le rette alle equazioni di primo grado.
Nel XIX sec. il cerchio si chiuse, e l'analisi fu ridotta a sua volta
all'aritmetica. I numeri reali furono definiti come insiemi di loro
approssimazioni razionali, e la novità essenziale che permise ai moderni
questo passo, fu la considerazione dell'infinito attuale, che i Greci invece
rifiutavano.
Ma il processo di costruzione e decostruzione non si fermò qui,: anzi,
proprio il XX secolo ha visto un fiorire di alternative che si sono contesi
i favori dei matematici, e che permettono di caratterizzarlo come un vero e
proprio periodo di rifondazione. La caratteristica essenziale delle nuove
fondazioni è che esse si basano non più sugli oggetti classici della
matematica, cioè enti numerici o geometrici, ma su concetti completamente
nuovi, che ne hanno completamente mutato l'identità, sia formale che
sostanziale.
Andare nel dettaglio di tali "nuovi oggetti" è cosa sconsigliabile per il
semplice fatto che per comprendere certi sviluppi ulteriori(quelli del
Novecento appunto) è richiesta una competenza matematica che non può essere
data nella scuola superiore.
Quindi mi limiterò solo a tratteggiare molto brevemente per quanto
possibile, la "essenza" di questi nuovi oggetti su cui si è tentato di
fondare la matematica.
I tentativi più interessanti si basano sugli insiemi(verso gli anni Venti),
le strutture(verso gli anni Quaranta), le categorie(verso gli anni Sessanta)
per finire con il Lambda calcolo degli anni Ottanta.
Mentre Cantor con motivazioni purmente matematiche arrivò alla teoria degli
insiemi sui cui fondare la matematica, Frege aveva sviluppato un approccio
che oggi va sotto il nome di teoria ingenua degli insiemi. Frege, con
motivazioni diverse da quelle di Cantor si votò al tentativo di fondare la
matematica sulla logica formale. Cioè dimostrare come i concetti e gli
oggetti matematici fossero, nella loro essenza più profonda di natura
puramente logica.
Ma questa fondazione era inconsistente ecco perché definita "ingenua".
Infatti Russell mostrò che il principio di comprensione era
contraddittorio(il princ di compr. fa parte della teoria degli insiemi), con
un ragionamento che divenne noto come paradosso di Russell.
In sostanza si dividono gli insiemi di oggetti in due classi a seconda che
essi siano o no uno degli oggetti contenuti nell'insieme stesso: cioè a
seconda che essi appartengano o meno a se stessi.
Il problema diventa dunque: l'insieme di tutti gli insiemi che non
appartengono a loro stessi appartiene o no a se stesso? Se sì, allora è uno
degli insiemi con un solo elemento non appartengono a se stessi, e quindi
non può appartenere alla loro collezione, cioè a se stesso. Se no, allora è
uno degl insiemi che non appartengono a se stessi, e dunque appartiene alla
loro collezione, cioè a se stesso.
La rimozione di questo paradosso oggi passa per una limi tazione del
principio di comp rensione e una distinzione fra classe e insieme.Sì arrivò
dunque al sistema di Zermelo e Fraenkel. Ma in base al famosissimo teorema
di incompletezza di Goedel è cmq impossibile formulare un un sistema di
assiomi definitivo per la teoria degli insiemi o anche solo per la teoria
dei numeri.
Negli anni Trenta un gruppo di matematici fracensi, noto sotto il nome
collettivo di Bourbaki si propose quindi di fondare la matematica in maniera
più significativa, e trovò una soluzione in un'analisi non più logica ma
strutturale. Ed infatti nel '49 Bourbaki riassume le sue posizioni
filosofiche ormai divenute dominanti in un articolo famosissimo "I
fondamenti della matematica per il matematico"(per contraddistinguerla dalla
fondazione "per logici").
Per Bourbaki l'intera matematica si può costruire basandosi sulla nozione di
struttura.
Cosa è la struttura?
Facciamo un esempio:
Nella teoria degli insiemi i numeri reali vengono artificialmente definiti
come insiemi di numeri interi, e le operazioni e relazioni su di essi
vengono artificialmente ridotte a operazioni e relazioni su di essi vengono
artificialmente ridotte a operazioni e relazioni su insiemi. Invece
nell'approccio bourbakista i numeri reali e le loro operazioni e relazioni
si prendono come dati, e si isolano in maniera astratta le loro proprietà.
Da un punto di vista si tratta di descrivere le proprietà delle operazioni
di somma e prodotto. Per es. esistono due elementi neutri, lo 0 per la somma
e l'1 per il prodotto: entrambe le operazioni sono associative e commutative
oltre che invertibili(a parte la divisione per 0) e il prodotto è
distributivo rispetto alla somma e quindi queste proprietà si inquadrano in
uno studio generale delle "strutture algebriche": monoidi, gruppi, anelli,
corpi e campi. Per es. i numeri reali costituiscono un esempio di campo.
Da un secondo punto di vista si tratta invece di descrivere le proprietà
dell'ordine. Per es: ogni coppia di numeri reali è paragonabile; fra due
numer diversi ce ne sta sempre un terzo; e non ci sono buchi. Queste
proprietà si inquadrano in uno studio generale delle strutture d'ordine e si
esprimono con i concetti di totalità e densità e completezza.
Poi vi sono le strutture topologiche.
E questi tre punti di vista si integrano tra loro. Per es. le operazioni di
somma e prodotto sono compatibili con le relazioni sia d'ordine che di
vicinanza, nel senso che le preservano. Queste proprietà si inquadrano in
uno studio generale delle struture algebriche ordinate e delle strutture
algebriche topologiche.
Se le fondazioni insiemista e bourbakista furono considerate soddisfacenti
per buona parte della matematica, e tali rimangono, in alcuni campi i
concetti di insieme e struttura risultarono troppo limitati e richiesero
un'estensione. Si arriva così al concetto di categoria introdotto nel '45 da
Eilenberg e MacLane, che completa il lavoro di Bourbaki.
In definitiva da come si è visto la teoria degli insiemi ha fornito ai
logici una fondazione adeguata contro i paradossi. I matematici invece(che
neppure si sentono toccati da certi problemi fondazionali) hanno trovato
nelle strutture  bourbakiste e nella teoria delle categorie fondazioni
adeguate alla loro pratica.
Ma nessuno di questi tre approcci è invece soddisfacente dal punto di vista
degli informatici. i quali utilizzano massicciamente algoritmi e programmi
che lavorano su dai, ossia funzioni che vengono applicate ad argomenti.
Gia nel '36 Church e Kleene mostrarono che nel Lambda Calcolo era però
possibile inglobare l'aritmetica.
Il loro risultato si può oggi riformulare nel modo seguente: le funzioni
rappresentabili del Lambda calcolo sono esattamente quelle descrivibili in
uno qualunque dei comuni linguaggi di programmazione universali per
calcolatori. Naturalmente il risultato di Church e Kleene era futuristico
poiché allora i calcolatori non esistevano, e la sua formulazione originaria
non ne poteva mostrare appieno le potenzialità. Con l'avvento dei
calcolatori queste invece divennero molto evidenti e la teoria fu rivalutata
come la fondazione adeguata per l'informatica.
Come si nota, il livello formale è talmente elevato e richiede una
conoscenza della matematica a vari livelli. Fondare la matematica è cosa da
matematici e lo si è visto proprio in questo cammino.
Ma con tutto questo si continua a parlare di filosofia della matematica.
Sembra dunque evidente che la filosofia sia ormai solo un nome che viene
dato di volta in volta ad ambiti che fanno da avamposto per discipline
completamente autonome dal pensiero filosofico che ad oggi non è neppure in
grado di fondare le stesse(vedasi le "illusioni" di Fichte per es.).
E' per questi fondati motivi mostrati in questa breve panoramica sul tema
dei fondamenti in matematica che a mio parere bisogna evitare sia la
chiacchiera filosofica che lo scientismo.
La chiacchiera filosofica purtroppo non porta da nessuna parte, come lo
stesso Ricoeur(ma anche Jaspers) ha detto più volte, la filosofia senza la
scienza è cosa morta.
In realtà il vero significato di queste affermazioni lo si comprende solo in
casi come questo sopra esposto. Ovvero, per poter affrontare anche
l'argomento dei fondamenti della matematica, non basta più il linguaggio
comune ma il linguaggio formalizzato della matematica. Allo stesso modo ci
si serve della fisica per poterne elaborare la sua epistemologia.
Non si tratta di rinunciare ad un sapere globalizzante, ma di *sapere* che
se a questo si vuole tendere(e la filosofia a questo tende di solito) allora
bisogna rimboccarsi le maniche e studiare sodo per una intera vita, nella
speranza solo di sfiorare tutti i problemi sul tappeto.
E' questo che ha condotto alle varie "filosofie di"(filosofia del
linguaggio, filosofia della scienza, filosofia della matematica etc etc). Se
le discipline umanistiche sono sostanzialmente "manipolabili" da chiacchiere
più o meno fondate, le scienze "dure" come la fisica per es. non lo sono.
Ma forse questo è tema per un altro thread, e cioè su cosa si può intendere
ad oggi per "filosofia".
Saluti a tutti
Franco
Per la ricostruzione di alcuni passaggi storici mi sono aiutato con
Carl Boyer, A history of Mathematics, 1968
Morris Kline,Mathematical thought from Ancient to Modern Times, 1972.
Carl Boyer, A history of Mathematics, 1968.
Umberto Bottazzini, Storia della matematica moderna e contemporanea, 1990
(prima ed. in Storia della scienza moderna e contemporanea UTET, 1988 a cura
di Paolo Rossi).
Umberto Bottazzini, Teoremi e congetture in "Storia del pensiero filosofico
e
scientifico"1996.
Piergiorgio Odifreddi, La matematica del Novecento,2000

 Piergiorgio Odifreddi
ah, questi sono proprio due campioni!
hahaha!

 Franco
Saluti
Massimo

del mondo sui numeri?
Sì, ed è confermato sia dalla prima riv scient. che dalla seconda.
Forse varrebbe la pena di dire qualche parola sulla seconda riv. scient.
Questa a parere di Enrico Bellone(1) è avvenuta tra la seconda metà del
Settecento e gli inizi dell'Ottocento, in particolare ad opera di Laplace,
Fourier e Lagrange.
In breve, si è trattato(come scrivevano Laplace e Fourier: da cui per es.
Comte prese spunto) di "matematizzare" il mondo definitivamente. Cioè non si
tratta solo di "quantificare" le cose che osserviamo in natura, ma di
accettare un fondamento epistemologico secondo il quale la natura è
indagabile solo per via matematica. La matematica per dirla in breve diventa
"il senso"(vista, udito etc) privilegiato col quale indagare il mondo
fisico. Cmq il discorso è piuttosto lungo
 e l'ho svolto varie volte sul ng it.scienza.fisica.
Saluti a tutti
Franco
(1) Enrico Bellone, Il mondo di carta, ricerche sulla secoda rivoluzione
scientifica,1976.

 Nel XVII sec. Cartesio inaugurņ un nuovo paradigma numerico, 
Che delusione.
Dunque, se i numeri sono definite come proprietą geometriche da Euclide
non mi pare che Cartesio abbia inaugurato chissą che..;
Mi pare che Odifreddi mescoli la tecnologia con i concetti.
L'uso dei diagrammi cartesiani č solo un'applicazione di un concetto
introdotto da Euclide.
Cosi' come la notazione posizionale č una applicazione tecnologica
dell'introduzione concettuale dello zero.
Qui uso il termine applicazione in senso non matematica, in senso comune.
Poi anche il reale č astrazione dalle percezioni ed anche i numeri che
nascono come scoperta di similitudini di comportamento tra sistemi reali
diversi che sono gią astrazione, si scopre insomma che le pecore nei
recinti si comportano come i sassolini in un abaco.
Ecco che i numeri sono solo la descrizione di comportamenti comuni a molti
sistemi, ecco che l'astrazione consiste nel togliere per fare in modo che
la descrizione si applichi veramente a tanti sistemi.
-- 
Firmare stanca.
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