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Titolo: Genesi dei numeri

Mi pare che i numeri nascano con l'operazione di conteggio, inventare una
nenia, una successione 
di parole, che segnino uno stato, il conteggio in fondo è una macchina a
stati finiti, un modo per 
verificare che un'altra macchina a stati finiti non cambi stato.
Poi la nenia diventa costruibile con regole con un sistema posizionale già
presente nella lingua 
latina ORALE o nei numeri scritti per LETTERE, ossia le CIFRE finiscono e
si usa la posizione per 
andare avanti, prima si pronunciano le CIFRE più significative. poi quelle
meno significative (e 
credo in tutte le lingue).
L'altra macchina potrebbe essere un magazzino, un recinto pieno di pecore,
eccetera.
In fondo i numeri nascono dalla proprietà privata, dall'inventario delle
proprie cose.
E li chiamano numeri naturali, ma se i numeri sono naturali, lo è la
proprietà privata.
I numeri sono nati per gestire le proprie cose, per non perderle.
Ecco perchè quando ci afffibiano un numero siamo una cosa per chi ce lo
affibia, o delle "risorse".
Ecco perchè qualcuno ha dei numeri tatuati addosso, perchè erano cose per
altri.
Poi questi stati cominciano ad avere altre proprietà, ma questo solo
quando si relazionano tra loro 
attraverso altre operazioni, e queste proprietà di quegli stati compongono
forse l'idea di quel 
numero. Avere l'idea dei numeri. conoscerli, quindi dovrebbe significare
conoscerne le proprietà 
particolari, ad esempio sapere che 16 è ottenibile sia come x elevato ad y
che come y elevato ad x, 
ove x e y sono 2 e 4, o se un numero è primo. Proprietà pitagoriche che
nascono dalle operazioni 
tra numeri, mentre la proprietà di successione è la sola operazione per
verificare la realtà con il 
calcolo simbolico.
Ma cos'è il calcolo simbolico? In realtà è solo la sostituzione delle
cifre infinite con un numero 
limitato di cifre, e come si fa? Disponendo le cifre, è come se si
aggiungesse una SECONDA 
dimensione, come se disponessi le cifre in un rettangolo con un'altezza
finita (il numero di cifre) 
ed una base infinita (la posizione).
Ma poi le operazioni sono sempre FISICHE, io dispongo su carta le cifre,
od in memoria i 
SASSOLINI (calcoli) che rappresentano le cifre, che sono le cifre
sull'abaco. E l'abaco è proprio un 
rettangolo.
Che differenza allora tra calcolatore analogico e calcolatore digitale?
che il primo somma 
accorpando, per dirne una. Esegue il fenomeno reale, poi tocca a noi dare
un nome al risultato 
CONTANDO, mentre il calcolatore digitale usa le CIFRE, ossia il sistema
POSIZIONALE, un numero 
FINITO di cifre moltiplicato per un numero FINITO di posizioni per
ottenere molte più cifre in 
senso ampio, ossia numeri, simboli.
Infatti 147 non sono 3 simboli, ma è UN simbolo che rappresenta UNO stato.
Il sistema posizionale nasce in realtà con l'abaco ed i suoi sassolini
(calcolus), non con i numeri 
arabi.
I numeri arabi trasferiscono solo un sistema già esistente ed usato
(l'abacus, il calculus, la 
pietrina), su un qualunque foglio.
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 macchina a stati finiti non cambi stato.
Sarà, ma se ti chiedessi di definirmi "conteggio" e "stati finiti" tu
dovresti ricorrere al concetto di numero, per cui comunque stai definendo i
numeri a partire dai numeri.  Ad esempio per il De Mauro "conteggio" è
"il contare":
http://www.demauroparavia.it/26579
dopodiché "contare" è "numerare progressivamente":
http://www.demauroparavia.it/26552
e "numerare" è "segnare con numeri progressivi":
http://www.demauroparavia.it/74902
Quindi tu in sostanza hai detto che:
«i numeri nascono con l'operazione di segnare con numeri progressivi».
Cosa abbiamo detto dei numeri?
Abbiamo detto che:
1) sono "progressivi";
2) con la progressione dei numeri si possono "segnare" degli oggetti.
Ora:
1) "progressivo" qui sta ad indicare "ordinato", nel senso che dati due
numeri possiamo dire quale viene "prima" e quale viene "dopo";
2) quanto al "segnare" si tratta di associare un certo numero ad ogni
oggetto; ma questo oggetto a sua volta è parte di un "insieme" di oggetti,
e questo "insieme" è una "molteplicità" costituita da tutti gli oggetti che
soddisfano certi requisiti.
Supponiamo ad esempio che io voglia sapere quante sedie ho in casa. Per
prima cosa prendo in considerazione la seguente proprietà predicata di una
variabile:
f(x) = x è una sedia
dopodiché comincio a girare per casa e fisso la mia attenzione su tutti gli
oggetti tali che quando essi siano "sostituiti" (= assegnati come valore) ad
x la f(x) risulti vera. Si parla anche di "estensione" di f(x), ovvero
l'"insieme" dei valori di x tali che f(x) è vera:
{x | f(x)}
Però non ho ancora definito che cosa è un "insieme". Ho detto che un insieme
è associato ad una proprietà f(x), ma poi per dire qual è l'insieme
associato alla f(x) ho dovuto dire che si tratta dell'*insieme* di tutti gli
oggetti x tali che f(x) è vera. Quindi "insieme" resta ancora indefinito.
Potrei dire - come ho fatto poco fa - che si tratta di una "molteplicità", o
tirare fuori la "classe", ma steremmo semplicemente facendo una fuga nei
sinonimi o nelle tautologie.
Una via d'uscita potrebbe essere quella di fornire una
*definizione implicita assiomatica* come fece Hilbert per la geometria e
come tentarono di fare Zermelo, Fraenkel, von Neumann e altri. Purtroppo
arrivò Goedel a rompere le uova nel paniere, per cui oggi se si vuole fare
della "assiomatica implicita" (ammesso che sia possibile, cosa di cui alcuni
"platonisti" dubitano) bisogna prendere la faccenda con le molle.
Comunque sia, ammesso che si possa sperare di sapere che cosa si dice quando
si parla di "insieme", il fatto di poter "segnare" gli oggetti di un insieme
con dei numeri significa semplicemente che è data una relazione biunivoca
fra i due insiemi. La relazione biunivoca, a sua volta, non è una nozione
fondamentale, perché può essere ricondotta a quella di insieme (una
relazione fra l'insieme A e l'insieme B è un sottoinsieme del loro
prodotto).
A questo punto se è vero che per "contare" bisogna porre una corrispondenza
biunivoca fra un insieme di oggetti e un insieme di numeri, tutti gli
insiemi che sono in corrispondenza biunivoca fra di loro saranno anche in
corrispondenza biunivoca con lo stesso insieme di numeri, per cui il loro
"conteggio" produrrà lo stesso risultato, cioè produrrà un insieme di numeri
avente come numero più grande lo stesso numero. Ma allora - come insegna
Russell - possiamo associare un numero ad ogni insieme di insiemi posti in
corrispondenza biunvica fra loro.
Cos'è allora "contare"? È un algoritmo per costruire insiemi di numeri
progressivamente "più grandi", finché non si ottiene un insieme che possa
essere posto in corrispondenza biunivoca con l'insieme che vogliamo
"numerare".
-- 
Saluti.
D.