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Titolo: L'implicazione logica

Io trovo che la questione dell'implicazione logica sia solo colpa di
docenti che non spiegano e ci marciano.
Dire A implica B, se A allora B è solo fuorviante, suggerisce l'esistenza
di un legame tra A e B.
Molto meglio scrivere le cose come stanno, ossia:
Non è vero che l'antecedente A è vera e la conseguente B è falsa.
Solo questo esprime l'implicazione logica.
Ed allora è chiaro che se so che l'antecedente A è falsa sarà sempre vero
che non è vero che l'antecedente A è vera e la conseguente B è falsa.
Come è chiaro che se la conseguente B è vera sarà sempre vero che non è
vero che l'antecedente A è vera e la conseguente B è falsa.
Certo, A implica B è fuorviante, non fa pensare che si afferma solo che
non è vero che A è vero e B è falso.
Conoscendo i fatti A e B, indipendentemente dalla loro natura.
Vedo lo stato dei fatti ed in base ai valori di verità di A e B posso dire
se non è vero che A è vero e B è falso, ed in base a questo posso dire se
A implica B oppure no.
COme posso dire se è vero A e B, oppure A vel B, e cosi' via.
Insomma, tutta colpa di chi non spiega bene le cose, magari perchè non le
ha capite.
Ma pure su alcuni libri di logica sto fatto non è spiegato bene.
-- 
Emilio? Voil'him!
Ateo ed anarchico per grazia di Dio e volonta' della Nazione.
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ab...@newsland.it

 ha capite.
Ce l'hai con te? :-p Io sinceramente non riesco a seguirti. Cosě mi immagino
la tua risposta a un sacerdote che ti chiedesse: vuoi tu prendere in moglie
... e prometti di esserle fedele sempre....? - No no.
(Almeno che quella volta tu non volessi proprio usare una negazione
rafforzata!)
non č vero che non ti saluto,
Mercurius

 Ce l'hai con te? :-p Io sinceramente non riesco a seguirti. 
Credo che tu ti riferisca all'espressione "e' vero che non è vero che A è
falso e B è vero" ed all'espressione "non è vero che non è vero che A è
falso e B è vero", ho usato queste espressioni per evidenziare "è vero che
A implica B" oppure "non è vero che A implica B", se operavo la
semplificazione delle due negazioni in particolare, affermavo che è vero
che A è falso e B è vero, ma detta cosi' non si evidenziava la negazione
dell'implicazione logica "A implica B" espressa nella forma "non è vero
che A è falso e B è vero", scrivendo "non è vero che non è vero che A è
falso e B è vero" evidenzio proprio che sto scrivendo "non è vero che A
implica B".


 Non è vero che l'antecedente A è vera e la conseguente B è falsa.
E questo non è un legame fra A e B?
Non si ha un legame fra A e B quando lo stato di verità di A non dipende da
quello di B (cioè A può essere vera o falsa indipendentemente dal fatto che
lo sia B) e viceversa. Ma se tu dici che quando B è falsa A non può essere
vera, allora stai istituendo un legame fra A e B.
Nel frattempo ti faccio osservare che per parlare di questo legame dobbiamo
usare l'implicazione logica. Ad esempio se ci mettiamo a discutere di un
legame fra A e B, io dico - come ho appena detto - che *se* tu dici che A
non può essere vera quando B è falsa, *allora* hai posto un legame. Tu
magari potresti non essere d'accordo (anche se non vedo proprio in che modo,
ed in tal caso ti proporrei comunque di darmi una definizione di "legame"
diversa da quella che ho usato io), ma in ogni caso staremmo discutendo di
una implicazione, la quale può sussistere o meno a seconda di come definiamo
il legame.
Vediamo infatti di capire meglio cosa abbiamo fatto. Io per prima cosa ho
detto che per me, per definizione, sussiste un legame fra A e B quando lo
stato di verità dell'una è vincolato da quello dell'altra. Poi ho detto che
*se* tu dici: «Non è vero che l'antecedente A è vera e la conseguente B è
falsa» *allora* poni un legame. E perché sostengo quella implicazione?
La sostengo perché, stando alla tua affermazione, quando B è falsa A deve
essere vera, e *dunque* (vedi? ho usato "dunque" al posto di "allora", ma
siamo sempre lì: non se ne esce, non se ne esce!) c'è almeno un caso in cui
l'esser vera o falsa di B pone dei vincoli sull'essere vera o falsa di B.
E poiché esiste un caso in cui accade questa cosa, *allora* non è vero, in
generale, che ognuna di quelle due proposizioni è vera o falsa
indipendentemente dal fatto che sia vera o falsa quell'altra.
Come vedi per poter *ragionare* assieme di quella cosa lì, cioè della
"conseguenza", di fatto non possiamo evitare di usare di usare delle
"implicazioni". Solo che la "conseguenza" tu la definisci in un linguaggio
formale, il quale viene descritto da un linguaggio più ampio, quello
"naturale", nel quale già esiste la "implicazione". Ebbene, a questo punto
tu non puoi fare finta che non esista l'"implicazione". Ciò che puoi fare,
piuttosto, è cercare di definire all'interno del linguaggio formale una
operazione che in qualche modo formalizzi quella che nel linguaggio naturale
è l'implicazione. Ma non puoi collocarti in una posizione del tutto
"neutra", cioè non puoi partire da un linguaggio "minimo" nel quale la
implicazione sia ancora da definire, e possiamo fare finta di non saperne
ancora niente. Senza quella non potremmo nemmeno ragionarci su.
Tutti i processi di formalizzazione cercano di "catturare" qualche concetto
che preesiste a livello intuitivo. Quando negli anni '30 del secolo scorso
un certo gruppo di matematici si mise a lavorare per cercare di esprimere in
modo formale il concetto intuitivo di "algoritmo" imboccarono strade diverse
e apparentemente eterogenee fra loro, ognuna delle quali cercava di
"catturare" qualche particolare aspetto di un "algoritmo". Church mise a
punto il lambda-calcolo, Turing introdusse il concetto di macchina
universale, eccetera. La grande sorpresa fu che alla fine tutte quelle
formalizzazioni che sembravano così diverse fra loro si rivelarono - a suon
di teoremoni - del tutto equivalenti fra loro: qualunque concetto potesse
essere espresso in una di quelle formalizzazioni avrebbe potuto essere
espresso anche in tutte le altre.
Così tutti si convinsero che quello non poteva essere un caso, che tutte
quelle formulazioni equivalenti dovevano effettivamente aver catturato
l'"essenza" di ciò che intuitivamente si definisce "algoritmo". Però
ovviamente questa cosa non era dimostrabile, perché i teoremi si possono
dimostrare solo all'interno del sistema formale, e dunque si può dimostrare
che un sistema formale è equivalente ad un altro, ma non si può dimostrare
l'equivalenza fra un concetto intuitivo ed un concetto definito in un
sistema formale. D'altra parte è pur vero che a quel punto nessuno riusciva
ad immaginarsi qualcosa che potesse essere definito "algoritmo" e che non
rientrasse in una quelle formalizzazioni, perché esse - appunto - avevano
preso in considerazioni tutti i vari aspetti di un "algoritmo" che erano
venuti in mente nel momento in cui si era cercato di formalizzarlo. Dunque
in linea di principio non si poteva dimostrare che quella formalizzazione
"catturasse l'essenza" dell'algoritmo, e allo stesso tempo non si poteva
trovare nessun "controesempio" di qualcosa che fosse evidentemente un
"algoritmo" e non fosse formalizzabile in uno di quei modi.
Si ottenne così un "quasi-teorema", qualcosa di simile ad una "legge
fisica", che non può considerarsi dimostrata nello stesso modo in cui si
dimostra un teorema di matematica, e però fino a quel momento nessuno è
riuscito a "falsificarla", per quanto si sia cercato di farlo.
Ora, una legge fisica potrebbe dire, che so: «tutti i gravi cadono nel vuoto
con la stessa accelerazione», e questa la prendiamo per buona perché fino ad
oggi nessuno ha mai visto accadere qualcosa di diverso. Nel nostro caso
abbiamo invece una "legge" che dice: «tutte le volte che un certo
procedimento viene riconosciuto intuitivamente come "algoritmo" dalla mente
umana, quel procedimento può essere formalizzato in uno di questi modi
equivalenti». Anche questa, dicevo, è una sorta di "legge fisica", però non
è proprio una legge fisica come le altre, perché qui l'oggetto di cui si
parla non è un oggetto fisico, ma un concetto della mente. Potremmo
introdurre il nuovo concetto di "legge concettuale": qualcosa di simile ad
una legge fisica, la quale però riguarda i concetti.
Una "legge concettuale" ha dunque qualcosa della "legge fisica" e qualcosa
del "teorema", e all'inizio - prima di mostrare il suo carattere di
"legge" - l'avevo definita un "quasi-teorema". I matematici la chiamano
solitamente "tesi" o "congettura". In questo caso particolare stiamo
parlando ovviamente della "tesi di Church-Turing".
Ciò che fino a qui abbiamo detto sulla formalizzazione degli algoritmi, può
essere ripetuto pari pari anche per la formalizzazione di tutti gli altri
concetti, o almeno di tutti quei concetti intuivi che intuitivamente
appaiono formalizzabili. Lo vedi dove siamo arrivati? Stiamo parlando della
*formalizzazione* di concetti *intuitivi* che *intuitivamente* appaiono
*formalizzabili*, e dunque ci si mette al lavoro per riuscire - grazie
all'*intuito* dei matematici - a compiere quel processo di
*formalizzazione*.
Nel tuo caso si tratta di formalizzazare l'"implicazione". Ma - come
dicevo - dal momento che stai cercando di formalizzare la logica, non puoi
partire da una condizione "neutra", perché per compiere quel processo di
formalizzazione dovrai pure "ragionare". Dunque la tua "conseguenza" non può
far finta di essere sbucata dal nulla, e di essere stata definita in quel
modo quando avremmo potuta definire in qualunque altro modo.
Piuttosto dovremo chiederci se quella definizione riesce o meno a "catturare
l'essenza" di ciò che intuitivamente chiamiamo "implicazione".
Da questo punto di vista per la formalizzazione del concetto di "algoritmo"
ciò che è stato determinante - come ricordavo - è stata la piacevole
scoperta che tutte le formalizzazioni introdotte erano fra loro equivalenti.
Ad un certo punto tutti i matematici hanno detto: «Sì, non c'è dubbio:
questa volta l'abbiamo presa, abbiamo catturato l'essenza dell'algoritmo».
Chiunque abbia un minimo di sensibilità matematica leggendo gli articoli di
Turing e di tutti gli altri (Church, Goedel, Post, Kleene, eccetera) ad un
certo punto "vede" che lì davanti agli occhi sta la formalizzazione di ciò
che intuitivamente definiamo "algoritmo"[*].
Anche nel caso della "implicazione" e dei suoi rapporti con il concetto
formale di "conseguenza", accade qualcosa del genere, solo che questa volta
le strade che possono essere imboccate per cercare di "catturare l'essenza"
del concetto di "implicazione" sono sostanzialmente due:
1) La prima strada (che possiamo definire "semantica") consiste
nell'elencare "tutti i mondi possibili", e fondare il concetto di
implicazione su ciò che accade o non accade in tutti i mondi possibili. In
questo approccio si realizza quella che viene propriamente chiamata
implicazione logica, e si indica con "|=".
2) La seconda stra (che possiamo definire "sintattica") è quella di
procedere in modo puramente formale, attraverso il concetto di "argomento
valido", che viene indicato con "|-".
Entrambi questi concetti si prestano poi ad essere messi in relazione con la
"conseguenza" che tu hai definito formalmente come operazione fra
proposizioni, perché vale in entrambi i casi un "teorema di deduzione" il
quale (in forma molto semplificata, e sotto certe ipotesi che sarebbe lungo
discutere qui, e che ho in parte esposto nel corso di un lungo thread che ho
imbastito tempo fa con Marco V.) può essere scritto nell'uno e nell'altro
caso nel modo seguente:
.    A|=B sse |=A>B   oppure    A|-B sse |-A>B
Anche se molti troveranno piuttosto oscure queste relazioni, chi abbia
sviluppato una certa sensibilità a questi argomenti di solito arrivato a
questo punto parafrasando il Manzoni esclama: «la c'è la Conseguenza!»,
convinto di aver finalmente "catturato" ciò che intuitivamente definiamo
"implicazione". Certo, non dobbiamo dimenticare che è solo una... come la
vogliamo chiamare? tesi? congettura? Insomma è quella che poco fa ho
definito "legge concettuale".
[*] E se uno dichiara di non vedere quella evidenza? Abbiamo forse
falsificato quella legge concettuale? No, certo, basta dire che non tutti
gli esseri umani hanno diritto di esprimersi in questa faccenda, e solo
quelli che hanno ricevuto un certo addestramento fanno testo. Se poi ci
chiediamo quale sia quell'addestramento, potremmo dire che è quello che
consente a qualcuno di vedere con evidenza che la macchina universale di
Turing formalizza tutto ciò che intuitivamente può essere definito un
algoritmo. A questo punto il mio salumiere, che è una persona pratica, e
dunque saggia, potrebbe esclamare: «Eh, grazie al cazzo che non avete delle
"falsificazioni": se dite che coloro che fanno testo ai fini della verifica
sono solo coloro che sono d'accordo, per forza che poi siete tutti
d'accordo!». Ma tant'è, la meta-matematica è fatta così: prendere o
lasciare. Aggiungo - en passant - che questo è proprio il punto esatto in
cui, secondo me, si possono fondere le scienze naturali, la matematica e la
psicanalisi.
-- 
Saluti.
D. 

 vera, allora stai istituendo un legame fra A e B.
Io non dico quello, io dico che lo stato di verità di A e B sono
compatibili con il fatto che non è vero che A è vera e B è falsa.
Io dico che se A è vera allora B è vera.
Ossia che non è vero che B è falsa e A è vera.
Questo dico...
Ad esempio posso dire...
Se Parigi è la capitale d'Italia allora Roma è la capitale d'Italia.
Questa affermazione è vera ma non ho istituito nessun legame tra le due
capitali.
Oppure posso dire se Roma è la capitale d'Italia allora Parigi è la
capitale di Francia.
Anche questa proposizione è vera e non istituisco nessun legame.
Cosi' come non istituisco nessun legame dicendo Io sono Uahlim e Roma è la
capitale d'Italia, eppure posso dirlo ed è vero.


 vera, allora stai istituendo un legame fra A e B.
No, perchè la logica non parla di mondi ipotetici con gradi di libertà, ma
parla solo di mondi popolati da fatti, ossia da proposizioni vere o false.
E quando dico che A implica B osservo solo lo stato di A e di B e da
questo ne deduco se A implica B.
A è falsa? Bene, A implica B
B è vera? Bene, A implica B
Se né A è falsa, né B è vera, allora A non implica B.
Se io so che A è falsa, oppure se io so che B è vera, allora io so che A
implica B.
Ma non impongo proprio nessun vincolo, io constato solo o che A è falsa, o
che B è vera od entrambe le cose, ed allora dico che A implica B.
Non faccio affermazioni ipotetiche su cosa deve accadere se accade che A
sia vera, no, dico solo che attualmente non accade che A sia falsa e B sia
vera.
Ossia, se un legame istituisco è lo stesso legame che istituisco dicendo
Parigi è la capitale della Francia e Roma è la capitale dell'Italia.
Ecco, ho istituito un legame tra le due capitali.
Guarda l'immagine cliccando 
http://attach.mynl.it/img?id=Mjg5NA
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 capitali.
Io ti ho proposto una mia definizione di "legame", in base alla quale il
condizionale pone un legame.
Mi vorresti dire cosa intendi tu per "legame"?
-- 
Saluti.
D. 

 parla solo di mondi popolati da fatti, ossia da proposizioni vere o false.
Non mi pare proprio.
Quando prendi due proposizioni A e B, le quali descrivono
dei fatti, e poi scrivi la "tabella" di tutte le combinazioni possibili:
A    B
--------
V    V
V    F
F    V
F    F
ognuna di quelle righe è un "mondo possibile", o una "realizzazione", di
quelle due proposizioni.
Se tu dici che data una certa proposizione A quella o corrisponde o non
corrisponde a qualcosa che accade "davvero", e dunque sara assolutamente
vera o assolutamente falsa, tu stai dicendo che in quella tabella ci può
essere solo una riga.
Invece è proprio scrivendo tutte le combinazioni possibili (= mondi), che ci
rendiamo conto che ci sono certe proposizioni composte che sono vere
qualunque sia il valore di verità delle proposizioni atomiche che le
compongono, e queste proposizioni sono le cosiddette "tautologie", sulle
quali si fonda poi anche la deduzione logica.
Se potessimo parlare solo di ciò che effettivamente accade, non ci sarebbe
logica.
-- 
Saluti.
D. 

 condizionale pone un legame.
No, non è il condizionale in se' a porre il legame.
Il condizionale è solo una funzione F(p1,p2) 
Il legame, se c'è, lo introduci quando introduci l'equazione F(p1,p2)=Vero
oppure F(p1,p2)=FALSO.
Ma questo lo fai quando non si ha una conoscenza dei fatti puntuali, o
meglio espressa in forma pn=valore, ma solo in forma di
F(p1,...,pn)=costante
Ma lo fai col condizionale come con la congiunzione logica, con la
disgiunzione, con la negazione, con qualunque operazione.
Il condizionale esprime un legame come lo fa un'addizione, l'addizione x+y
in se' non introduce nessun legame, lo introduce invece l'equazione x+y =
qualcosa, se mi metto nell'idea che devo trovare i valori di x e y che
soddisfino all'equazione.
Ossia l'espressione SE A ALLORA B va intesa come A E B, purtroppo nel
linguaggio essa viene subito intesa come (SE ALLORA B)=VERO.
Ma come dicendo A E B.
Ma se è naturale dire A E B se si nota che A è vera e B è vera, è
difficile ch'io mi metta a dire se A allora B se noto che A è falsa, o se
noto che B è vera.
Ossia, all'implicazione logica si tende a dare un altro significato, a
caricarne il senso, cosa che non si fa con gli altri operatori logici.
E questo accade perchè si tende a darle un senso CAUSALE quasi.


 logica.
Peccato che invece la matematica tratta solo di quello che effettivamente
accade.
Ok, d'accordo, la logica viene usata anche per risolvere equazioni, ma si
risolvono equazioni proprio per estrarre "in forma significativa" quello
che effettivamente accade e che è stato descritto tramite equazioni in
forma diversa.
Poi se i dati non sono sufficienti ad individuare un unico stato di cose,
se ci sono mondi possibili, cio' è dovuto al fatto che il mondo descritto
con quello equazioni non dice tutto di quel mondo, d'accordo.
Ma ogni proposizione, vista cosi', introduce un legame, perchè il legame è
semplicemente il fatto affermato.
Allora non è l'implicazione logica ad introdurre il legame, ma
l'affermazione in se', ad introdurre il legame, ossia affermando si
introducono vincoli, legami.
E' l'equazione che vincola, non la funzione in se' che è una semplice
funzione che nulla afferma e nulla vincola ed il cui valore dipende dai
suoi argomenti.
Certo, ponendo questa funzione uguale a qualcosa si ha l'operazione
opposta, se vuoi, io vincolo in maniera indiretta certe proposizioni ad
avere certi valori di verità.
Ma è un vincolo come lo è qualunque parlare di... è la proposizione
medesima che crea il vincolo, non la funzione in se' che non è una
proposizione ma un termine privo di valore di verità ma solo dotato di
significato.
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