Newsgroup: it.cultura.filosofia.moderato
Titolo: Cantor (ripresa di "This Cantor is Killing Me")

 che è certamente falsa, per cui l'ipotesi (6) è da respingere.
A me sembra che la dimostrazione, da un punto di vista strettamente logico,
sia corretta.
Se accetti i complimenti di chi non e' non matematico, eccoteli.
A questo punto devo pero' fare una considerazione di tipo "ermeneutico", 
diciamo cosi'.
Che cosa hai dimostrato? Hai dimostrato la contraddittorieta' dell'ipotesi;
dimostrazione che e' valida per *ogni* insieme, ma non per *tutti* gli
insiemi. Non e' un paradosso, ma la questione che gia' tu ponevi dei
quantificatori esistenziale e universale. Russell poneva una differenza tra
"any", nel senso di "qualunque", e "all", tutti. Ora tu hai dimostrato
l'assurdita' dell'ipotesi per *qualunque* insieme I, ma non per *tutti*.
Questo non tanto e non solo perche', parlando di *tutti* gli insiemi, ci
andiamo a cacciare immediatamente nel paradosso di Russell, ma perche' e'
rilevabile la seguente difficolta'.
Tu hai definito, in (9), una funzione che ti serve per individuare (direi
meglio: per *costruire*) l'antidiagonale che falsifica l'ipotesi. Ok. Prova
ad applicare tale funzione a *ogni* elemento di B^A. Se chiamiamo "I"
l'insieme B^A, avrai costruito l'insieme H degli elementi
antidiagonali. Ogni elemento di H e' in corrispondenza biunivoca col
corrispettivo di I, per *costruzione*. Se la dimostrazione deve intendersi 
come
dimostrazione della non numerabilita' dei numeri reali, abbiamo allora la 
contraddizione di due
insiemi non numerabili che sono tra di loro numerabili. La contraddizione
non c'e' se consideri, per *ogni* insieme I, gli insiemi I', I'', I'''... 
cui
applicare ricorsivamente la dimostrazione. E' a questo punto che l'
"infinito", che abbiamo voluto cacciare dalla porta, rientra prepotentemente
dalla finesta, sotto le mentite spoglie di quella che sembra solo una
sottigliezza lessicale: la differenza tra "tutti" e "qualunque" (o "ogni").
Tale differenza, nello specifico di questa discussione, e' quella tra
attualita' e potenzialita' dell'infinito, e la contraddizione e' tolta solo
se consideriamo l'infinito come potenziale, o, come lo chiama Qf,
in(de)finito.
Un saluto,
Loris

 Se accetti i complimenti di chi non e' non matematico,
!:-)
Ovviamente:... "di chi non e' matematico". (Anche se, comunque, un 
non-matematico e' chiunque non sia matematico, come p.e. un giardiniere o un 
falegname, per cui, come non-non-matematico potrei benissimo essere un 
falegname o un giardiniere:-))
Ciao,
Loris

 tra attualita' e potenzialita' dell'infinito...
In tutte le discussioni che abbiamo fatto nelle ultime settimane, io
l'"infinito" l'ho nominato solo nella fase del "cazzeggio preliminare" con
l'intenzione esplicita di sostituire quel concetto con qualche altro
concetto più chiaro e rigoroso, in modo tale da non doverlo nominare
mai più.
Anche quando si parlava dei limiti, sono partito da una successione come
questa:
s(n) = 1/n
per dire che intuitivamente quando "n diventa sempre più grande" allora i
termini della successione "si avvicinano a 0". Ciò intuitivamente può anche
essere detto affermando che quando "n tende all'infinito" allora la
successione "tende a 0".
Comuque si voglia dire, c'è quel certo numero 0 che in qualche modo è
associato a questa successione. Ebbene, io voglio trovare una definizione
che mi definisca proprio quel numero lì, a prescindere dal fatto che lo
voglia chiamare "desiderio proibito della successione", o "limite per n che
tende all'infinito della successione" o in qualunque altro modo. È solo un
nome che viene dato a "quella cosa lì", e il fatto che il nome venga
ereditato dal "cazzeggio preliminare" anziché essere coniato come
neologismo in questo contesto non mi riguarda.
Dunque, lo ripeto, parlando dei limiti ho nominato l'infinito solo per
relegarlo al rango di "etichetta" di un concetto definito in modo chiaro e
rigoroso, mentre discutendo del teorema di Cantor io proprio l'"infinito"
non l'ho mai usato, e quando ho parlato di "un certo numero" ho sempre
aggiunto fra parentesi che un certo numero è ovviamente "finito", perché
proprio io non so come concepire un numero "infinito" (e se anche sapessi
come farlo in questo contesto non lo farei).
Così io di "infinito" ho parlato sempre e soltanto a livello di "cazzeggio
preliminare" e sempre per dire che è un concetto fuorviante e confuso,
che va eliminato da una trattazione chiara e rigorosa. Siete tu ed altri che
avete continuanto a tirarmi fuori l'Aleph-0, l'inifinito di Dedekind e
compagnia bella. E ogni volta io ho invitato a volare basso, e a non
pretendere di giocare a trans-briscola con Dio.
Tu dici che non accetti il concetto di "infinito attuale", e poi me lo tiri
fuori continuamente! E adesso, dopo che io ho prodotto una dimostrazione
senza nemmeno nominarlo, mi dici che quella contraddizione pone un
problema «tra attualita' e potenzialita' dell'infinito». Ma come fa a porre
un problema un concetto che io non ho nemmeno mai nominato?
A meno che tu non possa farmi vedere che quel concetto è implicito in
qualcuno dei concetti che ho usato io. Ebbene, io non escludo che esso
possa essere presente implicitamente, e se vuoi posso anche suggerirti dove
andarlo a cercare (ci sono alcuni autori che introducono *intuitivamente*
il quantificatore universale come "congiunzione transfinita"). Ma proprio
perché io credo di avere anche gli strumenti per suggerirti dove andarlo a
cercare, mentre invece non mi è chiaro come potresti fare tu a farlo saltare
fuori, allora io mi convinco vieppiù della validità dei miei strumenti (che
sono capaci di sopravvivere anche alle "critiche" che essi rivolgono a sé
stessi), mentre non mi sono ancora del tutto chiare le potenzialità dei tuoi
strumenti "ermeneutici" :-)
-- 
Saluti.
D. 

 il quale non è dimostrata? Quale sarebbe quell'insieme?
E' quell'insieme che e' condizione della dimostrazione, in quanto non e' 
sottoinsieme di nessun insieme.
Spiegazione.
Stiamo parlando di un insieme R (mettiamo quello dei numeri reali) che 
vogliamo dimostrare non numerabile.
Nella tua dimostrazione ti avvali di una funzione diagonale dg(a), e di una 
antidiagonale adg(a) . Con la prima individui l'elemento che chiamiamo 
semplicemente "diagonale", nella seconda l'elemento che chiamiamo 
semplicemente "antidiagonale".
Dimostri che, pena una contraddizione, l'antidiagonale non appartiene 
all'insieme R. Ok. Dunque l'insieme A, che e' l'insieme che contiene un solo 
elemento (l'antidiagonale), non appartiene all'insieme R. Se vi apartenesse 
sarebbe la dimostrazione a contenere una contraddizione. Ora, l'insieme A e' 
un insieme che fa parte di *tutti* gli insiemi, cioe' della totalita' degli 
insiemi T; ma la tua dimostrazione, che assume come oggetto *qualsiasi* 
insieme I, dimostra proprio che esiste l'insieme degli antidiagonali che non 
appartiene a quel "qualsiasi" I, e che dunque non appartiene a T. Della 
dimostrazione puoi produrre innumerevoli istanze, niente lo impedisce (dato 
che essa e' valida per *ogni* insieme), che assumano come oggetto un insieme 
di insiemi o di insiemi di insiemi, ma non potra' applicarsi a T, perche' 
per non essere contraddittoria deve individuare la totalita' degli 
antidiagonali che non appartengono a T.
In sintesi: la dimostrazione e' valida per *ogni* insieme I, in quanto e' 
individuabile un insieme A degli antidiagonali che non appartiene a I. 
Dunque e' valida a condizione che lo sia per *ogni* insieme, ma non per 
*tutti* gli insiemi.
Lascio perdere la seconda parte della mia considerazione (che considera la 
totalita' degli antidiagonali), finche' non ci siamo chiariti su tutto 
questo.
Un saluto,
Loris

 sottoinsieme di nessun insieme.
Aspetta, perché altrimenti ci perdiamo di vista.
Immagina che io sia una sorta di programmino implementabile su un computer:
tu mi passi due insiemi A e B, e io ti "restituisco" la dimostrazione che
l'insieme A non può stare in corrispondenza biunivoca con l'insieme B^A.
Questo programmino lo chiamiamo Cantor_Davide, e prende come argomenti due
insiemi A e B
Ecco come potremmo scrivere questo programmino che "restituisce la
dimostrazione" (le "istruzioni" vengono tutte stampate, sostituendo ad A e B
i due insiemi che mi passi).
=====INIZIO SUBROUTINE===
Cantor_Davide(A,B)
dati A e B, esiste l'insieme AxB
si definisce funzione da A a B un sottoinsieme di AxB tale che...
....
IPOTESI:
esiste un funzionale F da A a B^A tale che...
...
C.V.D.
=====FINE SUBROUTINE=====
Ora immagina di passarmi, che so, l'insieme N dei numeri naturali e
l'insieme {+,-}. Dunque fai la seguente "chiamata":
Cantor_Davide(N, {+,-})
e a quel punto io comincerò a "stampare":
===INIZIO OUTPUT===
dati N e {+,-}, esiste l'insieme Nx{+,-}
sidefinisce funzione da N a {+,-} un sottoinsieme di Nx{+,-} tale che...
...
IPOTESI:
esiste un funzionale F da N a {+,-}^N tale che...
...
C.V.D.
=====FINE OUTPUT=====
Ebbene, nella dimostrazione-prototipo in cui comparivano i due insiemi
generici A e B, si sfruttava unicamente il fatto che quelli fossero degli
insiemi, e non compariva alcuna altra ipotesi sulla loro natura oltre a
questa. Dunque se tu dici che quella dimostrazione è corretta, allora devi
dire che anche la dimostrazione che viene "stampata" con N e {+,-} è
corretta.
Qualunque insieme A e B gli passi, il programmino ti costruisce la
dimostrazione.
Ora io ti pongo questa domanda:
qual è esattamente quella coppia di insiemi che potresti passare al
programma in modo tale da fargli stampare una dimostrazione non corretta?
Se sei in grado di rispondere a questa domanda, scrivimi qui di seguito
questi due insiemi:
A = ?
B = ?
-- 
Saluti.
D.

 Loris
Scusa, Loris, se mi inserisco nella vostra interessante discussione.
Lo faccio perché Davide ti chiede
A?
B?
Sia io che tu -mi sembra- dicevamo che il problema di numerare non un
insieme esplicitabile tramite una collezione di elementi, come lo
sarebbe l'insieme dei naturali o dei razionali, ma l'insieme -ad
esempio- degli irrazionali non prevede una costruzione che sia
esplicitabile così:
A = (1,2,3 ..)
o
così
A = (a1, a2, a3 ..)
Non lo prevede perché "ai" potrebbe essere rad quadrata di 2, e altri
numeri che non sono esplicitabili con un numero finito di cifre, e
-quindi- al più indicando una "procedura" o una serie o un algoritmo di
calcolo che però non vale per ciascun ai, ma solo per il singolo ai,
mutando la serie -come struttura- se si muta ai.
Se volessimo inquadrare tale questione nella teoria generale delle
rappresentazioni degli insiemi (numerici come caso particolare) ci
troveremmo con le aporie di dover spiegare perché non è stato ancora
definita e accolta -in matematica- "la collezione di tutte le
collezioni".
Il perché non si riesce a cimentarsi con "la collezione di tutte le
collezioni" è presto detto da Russell:
"La collezione di tutte le collezioni non è definibile al finito"
Poiché comunque io fisso
chi è A?
chi è B?
Non basta dire chi sia A e chi sia B
Ma -in una rappresentazione ben formata che non introduca aporie-
bisogna dire chi contiene A e chi contiene B.
E' -se poi vogliamo vederla anche così- la questione ben nota in
matematica di definire lo spazio complementare di uno dato all'interno
di uno spazio che li contenga entrambe.
Vediamo la questione con la topografia:
Supponiamo che io abbia un cerchio, C0, con un certo raggio di 2 metri.
Mi si chiede quanti cerchi, C1, di raggio 1 metro possa contenere, C0,
in ipotesi di non sovrapporre i cerchi.
Io rispondo -magari dopo aver provato- il macrocerchio C0 contiene due
microcerchi C1.
Ora poiché C0 contiene C1={c1,c2} .. allora .. tutto lo spazio
topologico, C0, è esaurito?
Se calcolo l'area di C0= r0*r0*3,14 (circa, ma si potrebbe espandere p
greco)
e calcolo l'area di C1=r1*r1*3,14 (circa)
trovo forse C0=C1+C1?
No, rimane una ampia superficie che la tipologia degli insiemi che ho
usato per la copertura di C0 non mi ha consentito di descrivere, data
dalla natura della tipologia della collezione prescelta.
Ad esempio se accettassi dei cerchi di raggio minore troverei che posso
inserirne altri senza creare sovrapposizioni!
Quindi data *una natura* del _tipo_ di collezione (che uso per la
misura) e della macrocollezione (che è l'insieme di Russell che ne fissa
la frontiera per indicarne l'ambito di validità), la tipologia prescelta
non ci dice nulla sulla misurabilità di *altri spazi* interni a C0, a
meno di cambiare la collezione di misura.
Ora Davide dice:
"Mostrami un caso in cui avvenga un passagio dei parametri in cui il mio
sottoprogramma fallisce"
(Ho sintetizzato con parole mie).
Ma non sa forse Davide(?) che nel passaggio dei parametri è obbligatorio
definire la "natura" degli elementi della collezione?
Non sa forse Davide(?) che necessita nel definire una collezione
specificare in C, in Pascal, in Java, in qualunque linguaggio
artificiale, se gli oggetti della collezione siano 
interi
con virgola (e con che precisione)
alfanumerici
esadecimali
etc?
(Pena per esempio in linguaggio macchina, ad esempio, non potere avere
il grado di astrazione locale per potere trattare tali tipologie con
astrazione locale).
Quindi ribadisco che la strada che state dibattendo è carente *nel
metodo*, non nelle conclusioni del metodo prescelto.
Come tu puoi osservare tali situazioni -spostare avanti il confine di
una frontiera- si possono gestire solo in bottom up e non top down.
Ad esempio:
Se io trovo una matematica che funziona con le seguenti rappresentazioni
a+jb = z
Da dove dovevo trovare la intuizione che poteva esistere una soluzione
... (per un ampliamento di un set) se non da un problema particolare (non
ancora risolto) e poi verificare se posso estendere a casi più generali
ciò che ho trovato su un caso particolare?
Se infatti io dico:
La radice di un numero, ad esempio 4=y, è quel numero x tale che
moltiplicato per se stesso, mi deve dare y
allora ho
x*x=y=4
Provo x=2 nella precedente espressione e vedo che la soddisfa.
Allora so che la radice di 4 è 2.
Ma se l'espressione fosse:
x*x=-1 ?
Non esiste nessun numero di quelli già noti (all'epoca) tale che sia
vero ..
Devo *introdurre una rappresentazione* che scavalchi questa difficoltà,
motivata a partire "dall'incidente" di avere trovato
x*x=-1 non soddisfatto da nessuno degli insiemi che conoscevo (ciò
accade -anche fisicamente- per esempio nelle equazioni di Lorentz sulla
teoria di Einstein se v>c).
http://digilander.libero.it/n8/lorentz.htm
Quindi ci si muove -nella scienza & nell'eureka- in bottom up.
Solo successivamente si sistematicizza l'ambito -magari in modo formale
e teoretico- avendo esplorato il nuovo territorio come un Indiana Jones
fa con il macete nella foresta in cui non sa neanche cosa possa
incontrare.
La natura di ciò che ci si può parare di fronte non è categorizzabile a
priori.
Si potrebbe categorizzare a posteriori se fissassimo la classe dei
fenomeni che potrebbero occorrerci e dovremmo -però- limitarci agli
eventi che sappiamo riconoscere come classificazione aprioristica.
In fondo, perché a me piace parlar chiaro, è la stessa ragione del
perché l'occidente ha avuto più successo nello studio delle scienze
dell'oriente.
L'occidente -con l'Ebraismo/Cristianesimo- ha investigato la natura di
Dio, che io considero la famosa collezione del "tutto", con una umiltà
che non era e non è presente in oriente.
Ha usato il bottom up cognito di poter dire solo qualcosa e non potersi
esprime sulla completezza di Dio.
Nel buddismo -viceversa (e come esempio)- l'uomo è il principio e la
fine necessario e sufficiente alla esplorazione di tutto l'ESSERE e ciò
è la sua condanna come possibilità di espansione culturale.
A me pare che tu hai bene intuito l'umiltà di intuire "un Dio che non
serve per giocare a transbriscola (mera fantasticheria)" e -ciò- ti fa
intuire che esiste tra cielo e terra più di quanto possa la nostra
immaginazione.
A Davide un tale Dio, anche se esistesse, non serve, perché -a me pare-
lo senta (erroneamente) umiliante.
Quindi piega la logica e la possibilità di dialogo -> apriori, non
riconoscendo *la potenza dell'immaginazione oltre i confine del sè*.
Ma gli immaginari non hanno un confine -> se non in una matematica che
fissi quali e poi -però- ci si riferirà solo a quelli ..
Saluti,
L

 topologico, C0, è esaurito?
errata:  C1={c1,c2} 
corrige: C1 non viene supposto scomposto
ma si può osservare che
sup C0 > sup C1 + sup C1 (sup = superficie del cerchio Ci)
essendovi la replica di due volte C1 per coprire C0 senza
sovrapposizioni.

 mai più.
bene, allora compi una traslazione degli
assi cartesiani con origine degli
assi su O(a,0) dove a è il più grande
a piacere della collezione
dei numeri reali e studia la funzione
y=1/x nell'intervallo positivo.
Hai perso una dimensione o no?
Risposta secca pls.
Guarda che l'innominato non l'ho nominato.
ciao
Massimo 

 definire la "natura" degli elementi della collezione?
Sì, certo, bisogna fare la "type declaration". E infatti io l'ho fatta:
ho detto che A e B sono due insiemi. Se vuoi lo posso mettere nelle
prime righe della procedura:
    set A
    set B
oppure "in linea" nei parametri della subroutine:
    Cantor_Davide(set A, set B)
Ma a prescindere da tutto ciò, cerchiamo di "fare a capirci", per favore,
anche perché ho detto chiaramente che sono "io" quella macchina sulla quale
"gira" quel programmino. Dunque Loris deve immaginare di passarmi due
insiemi specifici, io gli ricopio la dimostrazione mettendo quegli insiemi
al posto di A e B, e gli passo il foglietto.
Ci sono forse due particolari insiemi per i quali la dimostrazione non è più
valida? È questo il punto.
Se vogliamo "fare a capirci" bene, sennò per favore ditemi esattamente
quale delle 17 formule della mia dimostrazione è sbagliata, e perché.
-- 
Saluti.
D. 

 dei numeri reali...
Stop.
L'assioma di Dedekind dice che ogni sottoinsieme S non vuoto di R, avente
almeno un maggiorante in R, ha un estremo superiore.
Ma se come sottoinsieme S prendi l'intero R, esso non ha alcun maggiorante
in R, dunque non ha nemmeno un estremo superiore.
-- 
Saluti.
D. 

 B = ?
Beh, *qualsiasi* insieme. Facciamo A={1,2,3}; B={*,#}
Un saluto,
Loris

 A=A+C
Ah no, scusa: A=C
Saluiti,
Loris

 ma non per *tutti*.
Dunque siamo d'accordo che qualunque siano i due insiemi A e B in ingresso,
la procedura ti restituisce un teorema che dimostra correttamente che non
può esistere alcuna corrispondenza biunivoca fra A e B^A.
Se siamo d'accordo su questo, lasciamo stare tutti i discorsi sulla
diagonale, l'antidiagonale e compagnia bella. Se è vero che la procedura
funziona con qualunque insieme si metta al posto di A e B, allora essa
costruirà tutti gli oggetti che le servono per fare quella dimostrazione,
e alla fine ti restituirà la dimostrazione della seguente proposizione:
«A non può essere in corrispondenza biunivoca con B^A»
dopo aver sostituito ad A e B i due insiemi che tu hai passato alla
procedura.
Dunque, lo ripeto, se siamo d'accordo che il teorema è corretto, e
"funziona" con ogni coppia A e B, non andiamo più a vedere come è fatta
"internamente" la procedura, ma prendiamola come una "scatola chiusa" che
per ogni coppia di insiemi che le passi ti risponde - dimostrandolo - che il
primo insieme non può stare in corrispondenza biunivoca con l'insieme di
tutte le funzioni dal primo al secondo insieme.
Se siamo d'accordo su tutto questo, e se possiamo smettere di parlare
dell"interno" di quella procedura, per concentrarci solo sugli argomenti in
ingresso e sulla dimostrazione che essa restituisce, allora abbiamo una
"funzione dimostrativa", cioè una funzione che "restituisce" una
dimostrazione. Scriviamo questa cosa cosa in questo modo:
D = *per ogni* coppia di insiemi A e B si dimostra validamente che A non può
essere in corrispondenza biunivoca con B^A
Ora dobbiamo solo cercare di capire se è vero che ciò che è vero *per ogni*
insieme è anche vero per *tutti* gli insiemi. Proviamo allora a negare
questa cosa, cioè avanziamo la seguente ipotesi:
I = *non* è vero che la dimostrazione è valida per *tutte* le coppie di
insiemi
Ora, che proprietà logiche attribuisci tu, intuitivamente, a "tutti"?
A me intuitivamente viene da dire che che la "negazione di tutti" è "qualche
negazione". Cioè, se non è vero che il teorema è valido per tutti gli
insiemi, allora dovrebbe esistere una qualche coppia di insiemi  A0 e B0
per i quali quella dimostrazione non è valida. La nostra ipotesi I implica
dunque una affermazione di esistenza E:
I => E
E = *esiste* una coppia di insiemi A0 e B0 per i quali la dimostrazione
*non* è valida.
A questo punto riprendiamo la D, la quale se è vera *per ogni* A e B in
particolare sarà vera per A0 e B0, dunque dalla D segue per
"esemplificazione" che:
D' = per la coppia A0 e B0 si dimostra validamente che eccetera eccetera.
Vedi bene che E contraddice D', e siccome E è implicato dall'ipotesi I,
allora dobbiamo negare I.
Tutto ciò dipende dal fatto che I implica E, e questa implicazione secondo
me sussiste perché io intuitivamente attribuisco una certa proprietà logica
alla combinazione di "tutti" con la negazione. Tu sei d'accordo
nell'attribuire questa proprietà logica? Se non lo sei, quali sarebbero
secondo te le proprietà logiche di "tutti"? Di cosa stiamo parlando
esattamente quando diciamo "tutti"?
-- 
Saluti.
D. 

 metodo*, non nelle conclusioni del metodo prescelto.
Penso che tu abbia ragione, ma sono io che ho trascinato Davide cosi' in 
basso:-).
Grazie Lino di tutte le tue osservazioni.
Un saluto,
Loris

 *non* è valida.
E se il significato più profondo della distinzione che Loris sta facendo 
funzionare tra "ogni" e "tutti", risiedesse proprio nella problematicità 
*costruttiva* di questo passaggio logico dalla *negazione* che D valga per 
tutti gli insiemi alla *asserzione della esistenza* di una coppia di insiemi 
per quali D non è valida?
Buon sabato a tutti,
Marco
 

 ha scritto nel messaggio 
news:Fovtk.49466$Ca.1...@twister2.libero.it...

ma io mi riferivo al 5° assioma dell'induzione di
Peano. Praticamente traslando ho creato un nuovo insieme
su R____R' completo che non è un sottoinsieme.
(avrei potuto traslare su qualsiasi n appartenente a R)
per riassumere:
assiomi di Peano sui numeri Naturali:
  1.. Esiste un numero naturale, 0 (o 1)
  2.. Ogni numero naturale ha un numero naturale successore
  3.. Numeri diversi hanno successori diversi
  4.. 0 (o 1) non è il successore di alcun numero naturale
  5.. Ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero (o l'uno) e il 
successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri 
naturali (assioma dell'induzione)
Cantor associa i numeri Naturali ai numeri Reali
e la soluzione diagonale dimostra che non
abbiamo un sistema completo.
Ma l'assioma dell'induzione dimostra che associando
un Reale a un Naturale non ottieni un sottoinsieme
ma un nuovo insieme completo di numeri Naturali.
Poi semmai chiedo lumi a it.scienza.matematica.
ciao
Massimo

 Loris
Ho appena letto le nuove osservazioni di Davide.
Egli, in sostanza, ribadisce che se una dimostrazione è vera qualunque
siano i due input (A, B), allora ciò significa che egli ha realizzato
una copertura completa di tutti i casi che potrebbero occorrere.
L'affermazione di Davide -secondo me- è vera, ma sotto alcune ipotesi
sottointese:
a) 
Si deve rispettare la "tipologia" di come è rappresentato sia A che B,
quindi un problema analogo al sommare pere con mele.
NON SI POSSONO SOMMARE PERE CON MELE, DACCORDO?
Se A & B hanno elementi rappresentati nell'insieme dei razionali ciò non
è la stessa cosa che se gli elementi (di A & B) sono irrazionali!
Infatti la rappresentazione dei razionali si può dare al finito.
Mentre per gli irrazionali, la rappresentazione (in A e B) NON si può
dare al finito.
b)
Se io organizzo una chiamata a sottoprogramma in cui io gli dico che la
rappresentazione è in codice ascii, il sottoprogramma userà la tabella
per le associazioni tra binari e codice ascii.
Se io organizzo una chiamata a sottoprogramma in cui gli do gli stessi
valori binari, ma gli dico di interpretarli come numeri in cui il primo
byte e la parte intera e il secondo byte è la parte decimale li
considererà diversamente, anche se a partire "dalla stessa
rappresentazione"!
Cosa c'era di diverso?
Non erano diversi A e B!
Era diverso *il significato* con cui andavano interpretati:
Ossia che non si può mischiare PERE CON MELE.
c)
Mi si potrebbe obiettare:
Daccordo, ma chi ci vieta di rendere uniforme la base di dati su cui
agiscono A e B e quindi utilizzare il fatto che ho un teorema che
qualunque siano A e B posso dimostrare una certa proprietà su A e B?
RISPOSTA:
Il fatto che io *non conosco tutte le possibili forme in cui si può
presentare una collezione*, e la varietà di tali forme cambia la natura
della possibilità di come agisce una proiezione sul dato da proiettare!
Ossia se io ho un sasso da 1 kg e so lanciarlo .. mi alleno .. mi scrivo
alle olimpiadi e magari vinco una medaglia competendo con altri che
sanno lanciare sassi (o pesi di piombo) da 1Kg.
Ma se mi si chiede di fare torte di mele, non cambia solo il peso
dell'oggetto, ma anche la procedura a cui deve essere sottoposto
l'oggetto.
Il concetto di "funzione" ossia di "implicazione grazie a regola",
andrebbe investigato, lo feci con il mio prof Ossicini (facoltà di
Roma).
Nel caso della torta di mele i "funzionali" non sono "tutti i modi in
cui posso lanciare una torta di mele lontano".
Ma cambiando l'oggetto(!), è sensato che anche la procedura non sia
lanciare la torta di mele (come lo era per il lancio del peso), ma -per
esempio- realizzare una "decorazione con le ciliegine sulla torta di
mele".
Noi, con i numeri, siamo in un ambito più limitato della teoria degli
insiemi!
Infatti siamo fuorviati (per coloro che non conoscono a fondo la teoria
degli insiemi) dal fatto che si dice:
Ebbene che cambia se cambia il tipo di numero?
Pur sempre di numeri si tratta!
Sempre di somme e sottrazioni si parla(!) o altre operazioni di cui si
possa scrive la funzione o il funzionale!
Ma NON SI RIFLETTE(!) che la collezione di tutte le f su 2 punti sono 
ff={f1, f2, f3, f4} perché posso prendere
f1(a1) = b1
f1(a2) = b1
f2(a1) = b1
f2(a2) = b2
f3(a1) = b2
f3(a2) = b1
f4(a1) = b2
f4(a2) = b2
MA A CAUSA DELLA NATURA DEGLI OGGETTI DI CUI SI ESEGUE LA f e delle
ipotesi su A e B come "natura degli oggetti".
La copertura sui comportamenti *assumibili* da una proiezione *a partire
da un certo dato*
-ossia f(a)- non necessariamente ricade nella stessa base di dati su cui
è A=(a1, a2, ..)
Altrimenti stiamo parlando di come si proiettano A -> B su spazi già
classificati.
Ma il punto che stiamo trattando è che stiamo esaminando proprio il caso
che A e B possano essere "esterni" agli spazi già classificati!
Ora la "natura" di tali spazi muterà le stesse operazioni che possono
essere eseguite sui singoli elementi della collezione.
Ad esempio la derivata può essere applicata su una funzione (sempre che
non abbia punti singolari).
Ma la derivata può essere eseguita alla stessa maniera su una serie di
elementi illimitati come serie e come elementi?
Muta la forma del "funzionale"! (essendo mutato il dominio su cui agiva,
non come quantità, ma mutato come qualità: naturali, razionali,
irrazionali, immaginari, trascendenti, ..)
NON SI PUO' quindi dire -come Davide fa- passami i valori di A e B,
perché io ho un sottoprogramma che li sa trattare *qualunque siano*.
Non si può dire perché per trattare dei dati, oltre che conoscerne il
numero, necessita conoscerne *la natura*, e ciò vale anche per le
macchine .. che -viceversa- restituirebbero parametri errati, se non
fosse specificata correttamente ed esplicitamente la natura dei dati
Ad esempio in Pascal:
program addizione (input, output);
var a, b, s: integer;
begin
read (a,b);
s:=a+b ;
write (s);
end.
*la natura* = integer, nell'esempio.
Ma quali sono *tutte le nature del tutto*?
Forse Davide le conosce?
Mi fa piacere per lui.
Saluti,
L

 l'assurdita' dell'ipotesi per *qualunque* insieme I, ma non per *tutti*.
Per capire meglio cosa intendi potresti fare un esempio di una proprietą che 
valga per "qualunque" uomo ma non per "tutti" gli uomini? 

 *non* è valida.
No. Non esiste alcuna *coppia* di insiemi per cui non sia valida la
dimostrazione. Esiste invece, per *ogni* istanza X della dimostrazione, *un*
insieme (che e' l'insieme-unione dei diagonali e degli anti-diagonali) di
cui non puoi  dimostrare la non-numerabilita', se non reiterando la
dimostrazione con una sua istanza X+1, la quale ripropone il medesimo
problema, risolvibile solo introducendo il concetto per cui l'insieme
non-numerabile e' il limite della successione "infinita" delle istanze della
dimostrazione. Che la successione delle istanze sia "infinita", nonostante
la dimostrazione sia valida per *ogni* sua istanza, e' una necessita' logica
della stessa dimostrazione: se esistesse un' "ultima" istanza la
dimostrazione sarebbe errata, perche' significherebbe che in essa non e'
individuabile l'antidiagonale dell' "ultima" coppia di insiemi. E' proprio
l'esistenza (o la costruibilita') dell'insieme antidiagonale (su cui poggia
la dimostrazione) che consente di dire che la dimostrazione e' valida per
*ogni* insieme, ma non per *tutti* gli insiemi, cioe' per la *totalita'* di
essi. E questo senza preoccuparci dell'ombra lunga di Russell, che a questo 
punto
incombe vasta su tutta la questione.
Come conclusione, di risonanza filosofica, si puo' dire questo: l'infinito 
rimane "aperto", come piace a Lino; l'attualita' di un infinito di cui non 
sappiamo se abbia consistenza esistenziale o solo quella di una necessaria 
illusione del nostro intelletto. A noi rimane la potenza di un infinito 
approssimarsi ad esso. Che sia l'infinito approssimarsi all'attualita' di 
un'esistenza, o a quella di un'illusione..., beh, qui non c'e' niente da 
fare: intervengono motivi psicologici e culturali insuperabili, che ci 
spingono inesorabilmente ad imboccare una moltitudine di strade divergenti.
Un saluto,
Loris

 insiemi per quali D non è valida?
Infatti il mio post al quale stai rispondendo terminava proprio così:
«Tutto ciò dipende dal fatto che I implica E, e questa implicazione secondo


 che valga per "qualunque" uomo ma non per "tutti" gli uomini?
Qualunque uomo e' mortale. La totalita' degli uomini e' mortale. "Mortale"
e' proprieta' di ogni singolo uomo, ma non lo e' della "totalita'" degli
uomini. Non so se per te questo e' convincente, ma credo che lo sia un po'
di piu' nell'ultima mia risposta (delle 11:27 circa) a Davide, nello 
specifico della questione.
Un saluto,
Loris

 ma io mi riferivo al 5° assioma dell'induzione di Peano.
Come mai applichi l'induzione di Peano a quella che tu stesso hai definito
la «collezione dei numeri reali»?
-- 
Saluti.
D. 

 uomini.
"Tutti" in senso cumulativo, dunque.
E la non inerenza di "mortale" a "totalità degli uomini" si fonda sul fatto 
che la totalità degli uomini non è un uomo. Se infatti lo fosse, allora la 
totalità degli uomini, in virtù dell'affermazione che qualunque uomo è 
mortale, sarebbe mortale: se la totalità degli uomini fosse un uomo, l'uomo 
che essa sarebbe sarebbe mortale.
Cari saluti,
Marco
 

 diagonale e anti-diagonale...
Sì, ma tu qui vuoi tornare all'"interno" della procedura.
Il punto è questo: è vero o non è vero che *qualunque* coppia di insiemi mi
passi io ti restituisco una dimostrazione valida per *quella coppia* di
insiemi?
Se non è vero, qual è quella coppia di insiemi per la quale la dimostrazione
non è valida?
Risolviamo questo nodo una volta per tutte, e poi "chiudiamo" quella
procedura.
Non posso tenere la procedura sul tavolo operatorio e allo stesso tempo
farla correre in pista. 'Sta procedura è sana o malata? Se è sana chiudiamo,
cuciamo, e poi ti faccio vedere fin dove può correre.
-- 
Saluti.
D. 

 ha scritto nel messaggio 
news:ixPtk.138799$FR.4...@twister1.libero.it...

perchè Cantor associa a ogni R un N per
arrivare alla sua conclusione e non mi
convince.
Io ho fatto il contrario associando l'insieme
R ad un numero N e quindi è applicabile
l'induzione.
Che sicuramente, come al solito, è come dire che
se non è zuppa è pan bagnato.
ciao
Massimo 

 non è valida?
A margine. Proprio qui sta il punto, in base a quanto mi pare di aver capito 
del ragionamento di Loris. Per *ogni* determinata coppia di insiemi (A0, 
B0), vale:
1. lo schema dimostrativo di cui stiamo parlando (e che sfruttando 
impropriamente la tua notazione, possiamo indicare con D(X,Y)) si specifica 
in una dimostrazione D(A0,B0) valida. Per cui dobbiamo dire che non esiste 
una coppia di insiemi per i quali quello schema dimostrativo non si istanzi 
in una dimostrazione valida.
2. viene "generato", attraverso gli stessi procedimenti sati da D(A0,B0), un 
insieme C0 di cui è dimostrabile la non-numerabilità (ovviamente per "non 
numerabilità" si intende che stiamo parlando del fatto che l'insieme X^C0 
non può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme C0 [tranne i 
casi di "trivialità" di X]) solo attraverso una *nuova* istanziazione dello 
schema dimostrativo, per cui il tentativo di dimostrare la non-numerabilità 
per tutti gli insiemi dà luogo ad una "infinità" di istanziazioni dello 
schema dimostrativo.
Ciò significa che la non-numerabilità per tutti gli insiemi non si trova 
"attualmente" dimostrata. E potremmo dire: la dimostrazione della 
non-numerabilità per tutti gli insiemi è il limite della successione delle 
istanziazioni dello schema dimostrativo.
Un saluto,
Marco

 Buon sabato a tutti,
Non fateci caso, è colpa del lavoro:-)) (il lavoro, quella cosa che dovrebbe 
"nobilitare" l'uomo).
Marco. 

 uomini.
Perchč la totalitą degli uomini non potrebbe morire? 

 ...e non mi convince.
Qual è esattamente il passaggio della mia formulazione del teorema di Cantor
che non ti convince?
-- 
Saluti.
D. 

 fatto che la totalitą degli uomini non č un uomo.
Esattamente. Cosa che pero', nello specifico della nostra questione, e' 
complicata dal fatto che un numero di numeri non e' nessuno dei singoli 
numeri, ma e' pur sempre un numero. Se allora parliamo di *tutti* i numeri, 
abbiamo il noto paradosso del numero massimo, a sua volta riconducibile al 
paradosso principale di Russell: l'insieme di tutti gli insiemi e' e non e' 
l' insieme di tutti gli insiemi.
Un saluto,
Loris

 sempre un numero.
E questo chi o cosa ce lo assicura?
E dove sono i "numeri" nella mia dimostrazione?
-- 
Saluti.
D. 

 un insieme C0 di cui è dimostrabile la non-numerabilità
E quale sarebbe questo insieme C0?
Io nella mia dimostrazione non ho mai nominato né i "numeri" né la
"numerabilità".
Non solo, ma se abbiamo stabilito che D è una "scatola chiusa", non ci
interessa sapere quali siano gli oggetti "interni" (o "locali") che essa usa
per fare i suoi "calcoli".
-- 
Saluti.
D. 

 Perchč la totalitą degli uomini non potrebbe morire?
Ammettiamo di non fare distinzioni di tipo linguistico-concettuale, come si 
potrebbero fare. Si potrebbe, per esempio, dire che ogni pecora ha la lana, 
mentre non ha senso dire che un gregge ha la lana. Ammettiamo di non fare 
questo tipo di distinzione. Diciamo invece che la totalita' degli uomini e' 
composta dai singoli uomini, Tizio, Caio, Sempronio... ecc., da ogni singolo 
uomo che compone la totalita' degli uomini viventi sulla terra. Se dico che 
ogni uomo e' mortale, dico che a Tizio e' attribuibile la proprieta' M di 
essere mortale, cosi' per  Caio ecc.. Ammettiamo anche che la proprieta' M 
sia attribuibile alla totalita' degli uomini. Tizio un giorno muore. Con 
cio' muore anche la totalita' degli uomini? Un giorno muore anche Caio; e la 
totalita' degli uomini? Quando morira' la totalita' degli uomini? 
Evidentemente quando anche l'ultimo degli uomini se ne andra' dalla faccia 
di questa terra. Ma la proprieta' M che attribuiamo alla totalita' degli 
uomini e' la medesima che attribuiamo all'ultimo uomo vivente? Perche' non 
quella che attribuiamo al primo, o al secondo, o all'x-esimo uomo? Questo 
evidenzia che la proprieta' M attribuibile a Tizio, Caio ecc., cioe' a 
*ogni* uomo, non e' la medesima proprieta' impropriamente attribuita alla 
totalita' degli uomini. Tale proprieta', infatti, sussiste per *ogni* uomo, 
anche nel caso che la totalita' degli uomini non si estingua mai su questa 
terra.
Un saluto,
Loris

 D.
ciao
Massimo 

 Loris
E ciò dimostra -una volta di più- che quando si cambia l'oggetto che su
cui agisce una regola, non è detto che la regola valga.
Affinché la regola valga non deve cambiare la "natura" dell'oggetto a
cui la si applica.
La collezione di oggetti si dirà infatti "classe" se è una collezione
che soddisfa una regola, la regola che disciplina "la natura" di quegli
oggetti: di soddisfare la regola con cui sono stati collezionati.
Ora se una regola può essere applicata a un oggetto di quella classe può
essere applicata al complesso di quella collezione?
Solo se sto intendendo che il macroinsieme non muta "la natura" rispetto
al singolo elemento della collezione.
Prendo proprio il tuo esempio per dimostrarlo:
Se io dico che sono sotto la mia definizione di A, 
A = "tutti gli uomini sono quelli in t0, ossia A=A(to)"
La conclusione è che è vero che :
"ogni singolo uomo fotografato in A(t0) morirà"
"tutta la collezione A(t0) morirà"
Ma supponiamo che sotto la mia definizione sia 
A'="tutti gli uomini sono quelli in qualunque t, ossia A=A(t)"
La conclusione è che è vero che ogni uomo singolarmente morirà sia che
sia fotografato in A(t0) sia in A(t), ma la completezza di tutti gli
uomini potrebbe non morire mai!
Infatti, l'insieme ha una proprietà che non ha il singolo! Un singolo
-da solo- non si può riprodurre (deve rimediare un compagno o una
procedura di clonazione), e anche se solo facesse -come singolo- muore.
Ma *una collettività* potrebbe continuare a vedere A(t) esistere.
Cosa è questa proprietà che ha il macroinsieme e non il microinsieme?
Un cambio della *natura* per cui l'umanità non è un uomo, ha cambiato la
macrocollezione la natura di ciò che lo tipicizza, quindi è ERRATO,
estendere a macroinsiemi (o sovra-insiemi) le regole che vigono per le
parti(*1) o i sotto-insiemi.
Al fine di risolvere tali difficoltà la teoria degli insiemi non
sottovaluta MAI che il macroinsieme , sia I, su cui si applicano di
operatori, _compresi i funzionali_ deve essere definito in un insieme
maggiore di se stesso, I+CI=Omega. Ossia deve esistere, e definito, lo
"spazio complementare di I" = CI. E ciò che si può dire su I non è detto
che si possa dire su Omega, poiché Omega consente di definire I, ma non
è definito esso stesso, se non all'interno di un insieme che sia
maggiore di Omega.
Ribadisco che tali questioni non solo vincolano gli A e B di Davide, ma
il "contesto" all'interno di cui è valida la sua dimostrazione.
Tale contesto se è valido dentro la frontiera che contenga A e B, non è
detto che sia giustificante ciò che succede "fuori" di tale frontiera.
Poiché oltrepassata una frontiera la cosa usuale è che cambi *la natura*
della tipologia degli oggetti che incontriamo, visto che la regola con
cui sono collezionati non è detto che sia la stessa che valeva dentro un
contesto.
Mi spiego?
Bah, speriamo ..
: - )
Ciao,
L
(*1)
Del resto non si interessa delle modalità dell'estrapolazione per
esempio l'analisi numerica?
Risulta forse a qualcuno che se conoscessimo tutti i punti per un
intervallo e fossimo certi che la funzione passa per tutti quei punti
(in numero limitato) possiamo esser certi di quale sia l'andamento di
una funzione in extra-poli-azionem?
La tesi di Davide che in extrapolazione riesca a descrivere ogni *che*
-> è suggestiva, ma -assicuro- che è infondata, poiché nessuno sa cosa
ci sia dietro l'angolo, con certezza.

 "numerabilità".
Con "non-numerabilità" intendevo l'impossibilità di una corrispondenza 
biunivoca tra X e Y^X, con X ed Y insiemi (e con la condizione di non 
"trivialità" per Y).
[ed aggiungo di aver usato il concetto di "limite" in un senso diverso da 
quello di Loris].
Un saluto,
Marco 

 E questo chi o cosa ce lo assicura?
Che il numero dei numeri sia un numero, ce lo assicura l'espressione stessa
'numero dei numeri'; allo stesso modo, che Eva, in quanto "madre di tutte le
madri" sia una madre, ce lo garantisce l'espressione stessa 'madre di tutte
le madri'.
Ovviamente questo non ci dice ancora nulla sulla possibilità che il numero
dei numeri sia un numero di tipo differente rispetto ai numeri di cui esso è
il numero.
Buon venerdì:-),
Marco

 E' l'insieme costituito dall'antidiagonale.
Va bene. Allora diciamo che per ogni coppia A0 e B0 si ottiene una certa
dimostrazione valida, la quale dimostra che A0 non può stare in
corrispondenza biunivoca con B0^A0, e per dimostrare questa cosa
adottiamo una certa dimostrazione, fra le tante dimostrazioni che potrebbero
esistere (infatti, come sai, in generale l'enunciato di un teorema lo si può
dimostrare in diversi modi, e comunque trovato un modo non si può certo
escludere che ne esistano tanti altri), adottiamo questa dimostazione -
dicevo - la quale prima *ipotizza* che esista un certo funzionale biunivoco
F0 fra A0 e B0^A0, e poi - a partire da questa ipotesi - costruisce un
certo sottoinsieme dell'insieme A0xB0, e precisamente questo
adg0 := {(a, b) : a in A0, b in B0, b =  D(F0(a)(a)) }
Come dicevo, questa è solo una delle possibili dimostrazioni dell'enunciato
del teorema, e in generale ce ne potrebbero essere altre. Non solo, ma per
dimostrare il teorema si nega il suo enunciato, ipotizzando che esista il
funzionale F, perché l'esistenza del funzionale è proprio la negazione
dell'enunciato del teorema. Così quando poi salta fuori la contraddizione
noi siamo costretti a negare l'ipotesi, cioè a negare che esista un tale
funzionale F. E siccome l'insieme adg (cioè la funzione andiagonale) era
stata costruita proprio a partire da F, se non esiste F non possiamo neanche
definire adg. Per cui il teorema, producendo una contraddizione, ci fa
sapere che non esiste né il funzionale F, né i vari oggetti che avevamo
costruito a partire dall'ipotesi della sua esistenza, come ad esempio la
funzione dg, e - appunto - la funzione adg.
Ora supponiamo che tu abbia passato al programma un po' di coppie di
insiemi: A0 e B0, poi A1 e B1, poi A2 e B2 eccetera. Ovviamente gliene
puoi aver passate quante ne vuoi, e tutte le coppie che ti pare:
*qualunque numero* di coppie e *qualunque coppia*.
Ma gli avrai comunque passato un certo numero di coppie di insiemi, no?
Potranno essere 10, 100, 1000 o quello che ti pare, e io ogni volta ti avrò
scritto il teorema nel quale si dimostra che data una certa coppia di
insiemi non può esistere un certo funzionale F, né la funzione/insieme dg né
la funzione/insieme adg. Così tu avrai ottenuto, diciamo, 1000 teoremi i
quali ti dicono che non esiste l'insieme adg0, né l'insieme adg1, né adg2
eccetera eccetera, e nemmeno adg1000.
Ebbene, mi dici esattamente che cosa hai intenzione di fare con questi 1000
insiemi/funzioni inesistenti?
-- 
Saluti.
D. 

 alla fine una dimostrazione.
Credo che qui ci sia sotto un equivoco che ricorre spesso nella lettura
della matematica.
Si dice spesso, infatti, che la matematica cerca di fare delle "ipotesi
deboli".
Molti mistici (non dico che tu sia un mistico, ma faccio solo l'esempio di
una delle poche categorie di persone con le quali spesso non mi riesce
proprio di parlare di matematica), molti mistici, dicevo, di fronte a quella
espressione lì, cioè "ipotesi deboli", si levano con un sorriso di
superiorità esclamando:
«Ecco! Avete visto che la ragione umana non può pretende di
comprendere tutto!? Essa stessa ammette di dover fare delle ipotesi deboli!
E io aggiungo che queste ipotesi deboli sono troppo deboli per poter
conoscere la Verità!»
Tu avrei notato che io sono poco incline a parlare di "infinito", ma se c'è
un caso in cui sono tentato di usare quel termine è proprio per descrivere
la pazienza infinita che ci vuole in questi casi.
Infatti una "ipotesi debole" è una delle cose più "forti" di cui dispone il
nostro pensiero.
Nella mia dimostrazione, infatti, io mi sono limitato a supporre che A e B
siano degli insiemi. Non so altro di A e B, e questo potrebbe farci pensare
che le mie conoscenze di A e B sono molto "vaghe", o molto "deboli".
Già, può anche essere, ma proprio usando quelle vaghe e deboli conoscenze
io sono riuscito a dimostrare il teorema. Dunque se tu ora te ne salti fuori
a dire:
«Sia dato un insieme A tale che...»
ecco, tu poi puoi completare la frase come ti pare, e la puoi completare
anche in una lingua che io non conosco, tanto a me basta il fatto che quello
sia un *insieme*. Tu inventati pure tutte le definizioni che ti pare: se
quello è un insieme la dimostrazione è valida, perché io ho utilizzato solo
questa caratteristica. E se invece dici che A non è un insieme, allora a me
di A non me ne può fregare di meno, perché a me basta poter dire che
quella cosa è vera per *qualunque insieme*.
Facciamo un altro esempio di "ipotesi deboli".
Supponiamo di essere interessati a studiare la caduta dei gravi. Ebbene,
anche se è brutto dirlo, una volta che abbiamo studiato come cade un sacco
di patate noi sappiamo anche come cade un essere umano. La resistenza
dell'aria, l'accelerazione di gravità e tutto il resto non dipendono dal
fatto che quello che cade sia un sacco di patate, o un leone, o un letterato
che conosce tutti i lavori di Shakespeare a memoria. Dunque se quello che ci
interessa è sapere "come cade" noi facciamo la semplice ipotesi che si
tratti di un grave, e da questo punto di vista per noi un sacco di patate è
come un uomo, sicché quando dovremo parlare della caduta dell'uomo potremo
applicare ciò che abbiamo imparato studiando genericamente i "gravi", cioè
limitandoci alla "ipotesi debole" che l'oggetto di cui stiamo parlando abbia
una massa (ed eventualmente un certo profilo). Solo questo ci interessa.
Invece se tu ti azzardi a parlare di un uomo dicendo che esso è
genericamente un "grave", e che non ci servono altre ipotesi sulla sua
natura, ecco che il solito mistico di turno si alza indignato strappandosi
le vesti e gridando che qui si attenta alla dignità dell'essere umano,
facendo finta di ignorare che esso possiede un'anima immortale e indulgendo
nella odiosa e ottusa fallacia riduzionista che crede di poter ridurre
l'uomo ad un meccanismo, o addirittura di poter confrontare un essere
umano con un sacco di patate.
Ma se io ho dimostrato che qualcosa vale per tutto ciò che genericamente
ha una massa, allora quando mi trovo di fronte qualcosa che ha una massa
applico ciò che ho dimostrato, il che non vuol dire che io non sono capace
di vedere le differenze fra il corpo di un essere umano e un sacco di
patate. Anzi, è proprio perché ho riflettuto a lungo su quelle differenze
che posso dire che ai fini di certi effetti esse non sono rilevanti.
Vedi bene allora che l'"ipotesi debole" costituita dalla semplice ipotesi
che un certo oggetto abbia una massa, ci consente di ricavare delle
implicazioni che sono - purtroppo - dannatamente "forti", e in questo caso
quelle implicazioni ci dicono che se ho la disgrazia di precipitare dal
quinto piano nessuna delle caratteristiche specifiche che fanno di me un
essere umano mi permetterà di non cadere, ma cadrò esattamente come
qualunque oggetto inanimato.
Tutto questo per ribadire che le "ipotesi deboli" sono quelle che ci pongono
di fronte a qualcosa di "dannatamente forte".
Così, tornando agli insiemi, tu puoi divertirti a formulare tutte le ipotesi
e le definizioni che ti pare, tanto io non ho usato alcuna ipotesi su quegli
insiemi se non quella che si tratti di insiemi, per cui la mia dimostrazione
è del tutto "insensibile" alle tue ipotesi, per quanto esse possano essere
creative e geniali.
-- 
Saluti.
D. 

 Buon venerdì:-),
Stavolta mi sa che ci hai preso ;-)
-- 
Saluti.
D. 

 D.
Saluti
Massimo 

 quadrato del lato, giusto? Dimentico qualcosa? :-)
Non dimentichi nulla, visto che hai preso i due termini, 'cerchio' e 
'quadrato', ed hai applicato a 'cerchio quadrato' le loro proprietà. O forse 
dimentichi la solita domanda: dire che il numero dei numeri è un numero, 
significa forse dire che il numero dei numeri *esiste*?
Buon sabato:-),
Marco 

 oggetti: di soddisfare la regola con cui sono stati collezionati.
D'accordo, pero' prima di proseguire mi occorre un chiarimento. Qui stai 
usando una definizione intensiva o estensiva di "classe"? Mi spiego. Una 
classe definita intensivamente e' caratterizzata da una proprieta' definita, 
o piu' in generale da un predicato, che determina gli elementi assumibili in 
quella classe. Per esempio, se definiamo l'uomo come "animale razionale", la 
classe e' costituita dagli animali cui e' attribuibile tale predicato, e' 
cioe' costituita dagli "uomini" (al plurale) e ad essa non appartiene "uomo" 
(al singolare), che non e' uno di quegli "uomini" ma il *concetto* sotto cui 
assumiamo ciascun elemento della classe. Estensivamente, invece, la classe 
e' definita dall'enumerazione dei suoi termini, ai quali e' attribuita la 
proprieta' di essere, appunto e semplicemente, termini della classe; e in 
questo senso viene normalmente chiamata "collezione". Tu dici sopra che una 
classe "e' una collezione che soddisfa una regola"; pero' l'approccio 
intensivo e quello estensivo si basano su due regole diverse per trattare le 
classi. Questo fatto e' spesso fonte di notevoli fraintendimenti. Se, p.e., 
mi sposto in cucina e ti dico che li' ci sono 2 mele, tu comprendi che ho 
enumerato 2 oggetti che chiamo mele, come effettivamente ho fatto. Ma se io 
definisco "mela" quel frutto prodotto dall'albero chiamato "melo", non 
saprei di preciso se dirti se io vedo 2 oppure 3 mele; perche' nel mio 
quadro appeso in cucina e' rappresentato un cesto di frutta in cui compare 
una mela. Ti chiedo allora se per definire una classe intendi avvalerti 
dell'intensione o dell'estensione.
Un saluto,
Loris

 E dove sono i "numeri" nella mia dimostrazione?
Vuoi dire che la dimostrazione non vale per quei segni che chiamiamo 
"numerali", che ci servono per designare numeri?
Un saluto,
Loris

 "numerali", che ci servono per designare numeri?
Direi che la risposta a questa domanda è contenuta nella mia risposta a
Massimo delle ore 19.57 del 29 agosto.
-- 
Saluti.
D. 

 il più grande a piacere della collezione dei numeri reali
Ora, tanto per cominciare l'articolo determinativo "il" non si lascia usare
con "a piacere". Infatti se tu dici che esiste un certo numero reale che è
*il* più grande di tutti i numeri, poi come numero più grande devi prendere
proprio quello, e non qualche altro numero. Solo se di "numeri più grandi"
ce ne fossero tanti, allora ne potresti prendere uno qualunque, a piacere.
Altrimenti potremmo dire: "prendiamo *un* numero reale grande a piacere".
Ebbene, in tal caso "grande a piacere" sarebbe come dire "qualunque",
dunque staremmo dicendo che prendiamo un qualunque numero reale.
Se poi dicessimo: "prendiamo un numero reale più grande a piacere",
che significato avrebbe questa affermazione? Cioè, fra tutti i numeri reali
"più grandi" ne prendiamo uno, a piacere? E come sono fatti i numeri reali
"più grandi"? Ad esempio pi greco e radice di 2 sono numeri reali "più
grandi"?
A nessuna di queste espressioni io riesco a dare un senso, e l'unica
interpretazione che riesco a dare della tua descrizione è che tu volessi
parlare del più grande dei numeri reali. Ma non esiste un numero reale
del quale si possa dire che è il più grande dei numeri reali.
Che cosa intendevi, esattamente?
-- 
Saluti.
D. 

 numero dei numeri *esiste*?
Diciamo che ho lasciato che fossi tu a trarre le debite conseguenze :-)
Anche perché non sono sicuro di avere la forza di imbarcarmi in una
discussione sul significato di "esistere" in matematica. Se riusciamo a
trattare in modo intuitivo almeno questo concetto bene, sennò la cosa
rischia veramente di esploderci nelle mani.
Mi limiteri a dire questo: qualunque cosa sia 'sta "esistenza", se la
definizione di un oggetto implica una contraddizione allora certamente non
può "esistere" alcun oggetto come quello. Che poi questa sia condizione
sufficiente o solo necessaria per l'esistenza, è un altro paio di maniche.
-- 
Saluti.
D. 

 > oggetti: di soddisfare la regola con cui sono stati collezionati.
Loris Dalla Rosa wrote:

Argomento molto succoso per la filosofia, il come si forma una
collezione e se una classe sia un insieme in senso riduttivo, oppure no.
Dico subito che, poiché -ad esempio- mi sono anche interessato dello
studio di mascheramento nel caso della follia, non mi risulta che vi sia
mai una accozzaglia di fatti dentro un cerchio che sia lì -> per caso
<-.
Quindi escludo che non sia rintracciabile una logica di relazione in
qualunque insieme.
Quando non è di interesse esplicitare tale logica si parla di insiemi,
quando si parla della possibilità che vi sia una logica in una
collezione (una logica che li accomuna) si parla di classe.
Si noti che però la classe non contiene la regola, ma la rispetta.
Faccio un esempio tra i più clamorosi:
Un numero è una classe?
No. Il numero è solo un concetto astratto. Astratto dal contesto a cui
si riferisce, anche se -nell'astrarsi- ha *una relazione* con ciò a cui
si riferisce, appunto, la fattispecie di "indicare una regola".
Quindi il numero non è una classe.
Ma allora cosa è?
Nella matematica un qualunque ente matematico non si definisce -nel
comportamento- dalla etichetta, ma dalla associazione di una etichetta
per esempio la parola "numero" -> con un comportamento.
Qui è corretto dire che è un numero un "ente" tale che *genera* una
classe di equivalenza (intendendolo come "un operatore" che applicato ad
una collezione generica ne "estrae" un risultato. Risultato frutto della
applicazione di quell'operatore).
Quindi ho tipicizzato un ente astratto tramite un comportamento (e un
etichetta "numero" associata al comportamento che tipicizza quel nome,
quella etichetta).
Se io "applico" il numero 3 a un cesto di mele prendo 3 mele e lo metto
nel mio cesto C1 (di tutte le cose che sono, in C1, in numero di 3).
Se io "applico" il numero 3 a un campo di fiori prendo 3 fiori e lo
metto nel mio cesto C1
e così via.
Ora ho 
C1 = { [mela rossa, mela bianca, mela arancio]; [fiore azzurro, fiore
verde, fiore giallo]; ...}
Una collezione in cui ogni sottoinsieme
mele
fiori
etc
è caratterizzato dal rispettare il fatto che ripete una quantità presa a
riferimento -> 3 volte.
Ora tu, caro Loris, sia qui sopra, sia nell'esempio in cui citavi:
++
cit on
++
A={1, 2, 3, 4}
B={6, 7, 8, 9}
A contiene 4 numeri, e in effetti "4" e' in A. B contiene 4 numeri, ma
"4"
non e' in B...
Il numero di numeri di un insieme di numeri appartiene all'insieme?
++
cit off
++
Ti poni un quesito sul fatto se il numero sia da intendere solo
associabile a "4" oppure alla fatto di avere una proprietà di oggetti
che non vedano la etichetta 4, ma siano ricorrenti 4 volte.
Se il numero fosse associabile a una sola rappresentazione per esempio
in base dieci:
[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]
Non avremmo la famosa barzelletta che dice:
L'umanità si divide in 
10 parti
coloro che conoscono il digitale e coloro che non lo conosco ..
: - )
Infatti
10 in base due, significa proprio 2 in base dieci! essendo possibile
descrivere *con etichette diverse* -in questo caso solo lo "0" & "1"
come mattoni di composizione, per il bi-ennario, binario- qualunque
numero comunque grande, purché finito.
0 = 0000
1 = 0001
2 = 0010
3 = 0011
4 = 0100
5 = 0101
6 = 0110
7 = 0111
8 = 1000
9 = 1001
Quindi non vi è un problema di scelta delle etichette per tipicizzare
l'attività di numerare.
Anche se non è indifferente -dal punto di vista della efficienza di
rappresentazione- fare una scelta o un'altra.
Sugli aspetti procedurali che poi tu chiami intensivi o estensivi .. io
consiglio una cosa molto semplice con gli insiemi:
Scrivere "la regola tal che l'applicazione della regola la possa fare
anche un robot", ossia senza alcuna immaginazione se non rispettare la
regola.
Se io programmo un robot per raccogliere le mele e voglio che ne
raccolga solo 3, mi servono i seguenti progetti:
P1:
Progetto per riconoscere una mela e non confonderla con gli altri
frutti.
P2:
Progetto per contare quante mele ha raccolto (per esempio incrementando
un contatore).
Quindi non possiamo numerare aggiungendo al concetto di numero (che è
replicare n volte la unità presa a riferimento se il numero è n) anche
altri concetti sussidiari, magari per dire "devono essere 3 .. però devo
anche essere *succose*" (le mele). (Lo posso fare scorporando le
questioni).
Il concetto *primitivo* del numerare è stabilire *i limiti* in cui un
oggetto può essere ritenuto equivalente con un altro che gli assomiglia
e dire che ne ho prima il doppio, poi tre volte etc.
Si sottointende -quindi- una *teoria dell'errore* che fissi i limiti
della possibilità della elaborazione reale grazie ad un modello, il
modello "surreale" che possa esistere A=A.
: - )
Saluti,
L

 può "esistere" alcun oggetto come quello.
Assumiamo che se x non esiste: allora per ogni y è vero che x non è y. 
Questo, ad esempio, è quel che sostiene Aristotele, quando dice che la 
differenza logica tra "Socrate non è bianco" e "Socrate è non bianco" è resa 
evidente dal fatto che, nel caso in cui Socrate non esiste, la seconda 
proposizione è falsa, laddove la prima è vera.
Allora in base a quella assunzione se il numero dei numeri non esiste, si 
deve dire che il numero dei numeri non è un numero (così come di Babbo 
Natale-dalla-barba-bianca si deve dire che non ha la barba bianca). E' ovvio 
che qui, se non si introducono altre precisazioni (tutte grosso modo facenti 
capo alla distinzione tra significare e nominare; vedi Quine), la 
contraddizione sarebbe contraddittoriamente scaricata addosso ad un giudizio 
analitico (al limite, anche addosso alla tautologia 'il numero dei numeri è 
il numero dei numeri', dovendo dire che il numero dei numeri non è il numero 
dei numeri).
Un saluto,
Marco

 numeri non è il numero dei numeri).
Ben vengano quelle precisazioni.
Tieni presente però che il nostro approccio, in questo contesto, è più o
meno il seguente:
1) Si trattano intuitivamente i concetti più comuni, e non si mettono in
discussione fino a quando l'intuizione di tutti è concorde. Così se io
chiedo a qualcuno quante camicie ha nell'armadio e quello mi risponde che ne
ha 12, non tiriamo fuori gli assiomi di Peano per capire il senso della sua
risposta.
2) Invece quando ci spingiamo verso concetti che appaiono vaghi e sfuggenti
alla intuizione, e sui quali coloro che partecipano alla discussione portano
delle "evidenze" discordanti fra di loro, allora - non potendo trovare un
accordo su quel problema specifico - si cerca di "mettersi d'accordo su come
mettersi d'accordo".
Ebbene, in questo caso io "non sono d'accordo" a parlare di "numero dei
numeri". È un concetto che trovo vago, e direi anche insensato, se non fosse
che sarei anche disposto a usarlo, ma solo quando tutti avessero accettato
pienamente il teorema di Cantor di cui stiamo discutendo, per descrivere in
un certo modo una certa conseguenza di quel teorema. E anche in questo
caso non sarebbe affatto necessario introdurlo. Dunque, visto che in questo
contesto quel concetto mi appare confuso, superfluo e fino ad ora anche
indefinibile (diventerà eventualmente definibile solo *dopo* che avremo
terminato questa discussione, ma - lo ripeto - non ce l'ha ordinato il
Dottore) allora io dico che non mi sta bene introdurre un concetto che in
gran parte sfugge alla mia intuzione e che, anche quando lo possa in qualche
modo intuire, mi si pone con delle "evidenze" che sono incompatibili con
quelle di coloro che ne stanno parlando. Per questo dico che io non sono
d'accordo nell'impiegare questo concetto.
Ora il problema diventa quello di "mettersi d'accordo", e per farlo - come
dicevo - bisogna "mettersi d'accordo su come mettersi d'accordo".
Ebbene, la mia proposta è che se uno vuole introdurre un concetto, deve fare
qualcosa di simile a ciò che ha fatto Cauchy per parlare di "limite per n
che tende all'infinito" e dire:
«Signori, d'ora in poi quando parlo di "numero dei numeri" intendo...»
e qui dovrebbe completare la frase usando altri concetti, che siano in
qualche modo chiari alla intuizione di tutti.
Così Cauchy (in realtà Cauchy non lo disse in questo modo, ma facciamo
finta che la storia sia molto più semplice di com'è) disse:
«Signori, d'ora in poi quando dico "limite per n che tende all'infinito" di
una successione s(n) intendo quel particolare numero L tale che comunque
si fissi un numero positivo epsilon si può trovare un certo N tale che per
tutti gli n > N il termine n-mo della successione dista da L meno di
epsilon».
Come vedi nella definizione compaiono tutti concetti che mi sembra si
possano considerare noti: ci sono i cari vecchi numeri ordinari e poi un
"comunque", il quale è un comunissimo avverbio indefinito, e sappiamo che
logicamente gli indefiniti vengono analizzati come quantificatori.
A questo punto ovviamente uno può dire che per lui non è affatto pacifico
e intuitivo il modo in cui si usano gli indefiniti e i quantificatori, per
cui dovremmo cominicare a discutere anche di questo, cercando di dare una
"definizione rigorosa", che è poi un rimando a qualcosa che si spera essere
più condivisibile.
Non solo, ma questo delle "definizioni chiare e rigorose", che sono poi dei
"rimandi a concetti che si sperano essere più condivisibili", è solo la mia
proposta circa il "mettersi d'accordo su come mettersi d'accordo".
Cioè, quando non siamo d'accordo io propongo di fare così, e propongo questo
come "metodo" per mettersi d'accordo. Ma uno non è obbligato a riconoscere
che questo è il metodo migliore, o l'unico metodo possibile. Uno potrebbe
anche essere convinto, che so, che da qualche parte c'è un Librone nel quale
ci sta scritta tutta la Verità, e che solo alla conoscenza di Quella
dobbiamo rivolgere il nostro pensiero, ché anche quando fossimo tutti
d'accordo nel dire che 2 più 2 fa 5, non per questo farebbe 5.
Io qui potrei ribadire che nelle epoche storiche in cui comandavano quelli
che ragionano in questo modo di solito si doveva proprio dire che 2 più 2 fa
5, o 3 (a seconda di chi vinceva le guerre di Verità), ed era vietato dire
che faceva 4. Comunque, siccome non voglio polemizzare, supponiamo pure
che ci sia questo Librone. Come facciamo a conoscerne il contenuto?
Ecco, io qui risponderei che la cosa migliore che possiamo fare è cercare di
costruire una comunità di persone che sono capaci di intendersi al volo su
un certo argomento. Ad esempio se tu consegni a me e Lordbeotian un certo
problema di matematica che non abbiamo mai visto prima e ci chiudi in stanze
separate, dopo un po' noi usciamo con la stessa soluzione del problema.
E se per caso ci capita - spero raramente - di uscire con due soluzioni
diverse, ci basta scambiarci due parole e sentirai uno dei due esclamare:
«Oh cazzo, hai ragione! Ho fatto un errore!».
Ovviamente tu qui potresti ipotizzare che noi ci siamo messi d'accordo
prima per fare finta che uno possa cedere all'altro in quei casi in cui non
usciamo con delle soluzioni uguali. Certo, ma a parte il fatto che quei casi
sono piuttosto rari, tu potresti anche fare delle altre prove, e consegnarci
un elenco di problemi analoghi a quello su cui eravamo in disaccordo.
Ebbene, dopo che uno di noi due avrà "capito l'errore commesso" tu ci
vedrai uscire dalla stanza quasi sempre con le stesse soluzioni su problemi
analoghi a quello su cui eravamo in disaccordo, e proseguendo di questo
passo osserverai una "convergenza" verso una situzione nella quale capiterà
molto raramente di vederci in disaccordo. Dopo un po' di "allineamento
reciproco" potrebbero passare dei mesi fra un "disaccordo" e l'altro.
Dunque noi qui saremmo di fronte ad un fatto: esiste una comunità che
è in grado di raggiungere certi livelli di accordo intersoggettivo.
Questo dimostra che quella comunità, tutta assieme, è in grado di leggere il
libro della Verità?
No, non lo dimostra, ma siccome nessuno di noi può dimostrare con assoluta
certezza ed evidenza come si faccia a leggere il libro della Verità, ammesso
che quel libro esista, se io dovessi scommettere la pelle su come si faccia
a leggerlo scommetterei sulla costruzione di una comunità intersoggettiva.
Non potrei essere certo di portare a casa la pelle, ma io la pelle la
scommetterei su questo.
Non solo, ma oserei dire di più, anche se da questo orecchio tu non ci
senti. Mi riferisco al fatto che fra i problemi di matematica che tu
potresti dare da risolvere a Lordbeotian e me, ce ne sarebbero anche alcuni
aventi qualche "implicazione pratica". Ad esempio tu potresti presentarci
una vasca dai profili curvi, nella quale non fosse possibile rintracciare
una semplice regolarità geometrica, ma solo una moltitudine di regolarità
parziali, tutte eterogenee fra loro (in parte i profili potrebbero essere
circolari, in parte diritti, in parte ellittici eccetera) e ci potresti
chiedere di calcolare quanti litri di acqua occorrono per rimpire
esattamente la vasca. Ebbene, un fatto che si osserva regolarmente è che
coloro che sono capaci di costituire ampie comunità intersoggettive come
quella che descrivevo sopra non solo escono dalle stanze separate con la
stessa soluzione del problema, ma se poi tu prendi quella soluzione e ti
presenti con un numero di litri di acqua esattamente pari al numero indicato
dalla soluzione, nella stragrande maggioranza dei casi ti accorgi che la
vasca si riempie esattamente con quei litri.
Dunque mi verrebbe da dire che la comunità non solo raggiunge un accordo
intersoggettivo, ma è una comunità che si accorda su qualcosa che
"funziona". Tu però mi potresti chiedere che cosa significa che "funziona",
e allora ci dovremmo rimettere a discutere, e alla fine tutto ciò che potrei
fare è cercare di costruire una comunità intersoggettiva che fosse d'accordo
su cosa significa "funzionare". Diciamo, per fissare le idee, che si è
d'accordo su cosa "funziona" se si è disposti a "giocarsi la pelle".
Ad esempio io sono parte di una comunità per la quale il pavimento,
se fatto in un certo modo, regge, e per questo non esito a salire anche al
quinto piano di un palazzo. D'altra parte un altro potrebbe essere pronto a
scommettere che se si lancia dal ventesimo piano invocando il nome di Dio
troverà un angelo pronto a sorreggerlo un attimo prima di toccare terra, e
siccome costui non potrà mai essere sconfessato nella sua aspettativa,
allora anche la sua convinzione non può venire "falsificata", per cui a modo
suo "funziona". L'unico fatto concreto è dunque l'esistenza di una comunità
di individui pronti a "scommettere la pelle" su qualche verità condivisa
intersoggettivamente, dopodiché il fatto che questa verità "funzioni" può
essere considerato una tautologia.
Il fatto concreto - dicevo - è solo l'esistenza della comunità. Ma anche su
questo uno potrebbe avere da ridire. Perché come facciamo a dire che si è
concretamente costituita una comunità? La psichiatria conosce dei casi di
"folie à deux" nei quali due persone considerate folli si danno ragione a
vicenda su tutto o quasi, creando una intesa stupefacente. Ebbene, quei due
signori sono una "comunità intersoggettiva"? E se anziché restare due
diventassero mille, o centomila, o magari qualche milione, e si rivelassero
molto prolifici e cominciassero a crescere i loro numerosi figli in quella
loro Verità, per quale ragione non dovremmo dire che quella è una "comunità
intersoggettiva"? Anche perché se quella comunità riesce in qualche modo a
sopravvivere si vede che le loro convinzioni, qualsiasi esse siano, non si
trovano mai di fronte a dei fatti concreti che possano imporre di rigettarle
(ad esempio una comunità di individui convinti di poter volare gettandosi da
un dirupo secondo me farebbe fatica a preservarsi e prosperare, ma anche
questa è solo una "scommessa"), per cui dobbiamo dire che in qualche modo
le convinzioni di quella comunità "funzionano", e funzionano pure benissimo,
visto che spesso le comunità di questo tipo hanno un impatto demografico che
è capace di rivoltare la Storia come un calzino.
Tutto bene? Ognuno la pensa come gli pare?
Non proprio, perché fra le verità sulle quali sono pronto a scommettere io
(assieme ad altri che la pensano come me) è che la realtà sia una sola, e
che siamo tutti costretti a vivere nella medesima realtà. Così se tu ed io
ci troviamo a vivere nella stessa comunità, tutte le scelte collettive che
vengono compiute coinvolgono sia te sia me, e se tu sei disposto a
scommettere la pelle di tutti su qualcosa su cui io non scommetterei neanche
un pelo della mia barba, e viceversa, vedi bene che tu ed io ci troveremo ai
ferri corti nel decidere quale "verità" debba essere la verità condivisa
dalla comunità. Anche perché spesso il semplice fatto di andare tutti nella
stessa direzione con la massima determinazione rende vincente la decisione
presa, qualunque essa sia stata, per cui la "salvezza" potrebbe essere
proprio nel fatto stesso di avere delle verità condivise. Dunque per
ognuno di noi due la "salvezza" (cioè quello su cui "scommettere la pelle")
renderebbe necessario imporre la propria verità alla comunità ed impedire
che si imponga anche solo in parte quella dell'altro.
Se c'è la possibilità di confrontarci, e di stabilire un "metodo per
metterci d'accordo", allora può darsi che se ne venga fuori senza ricorrere
alla misura estrema della forza, e alla fine uno di noi due accetterà la
sconfitta, e lascerà che le sorti della comunità vengano decise dalla verità
dell'altro, sperando magari che le proprie certezze si rivelino sbagliate.
Ma se invece la divisione fra me e te si era creata proprio nella
possibilità di trovare un qualunque metodo condiviso, a qualunque livello,
per metterci d'accordo, allora per ognuno di noi due l'altro sarà solo un
pazzo furioso che minaccia di far precipitare tutta la comunità nella rovina
e nella follia collettiva; e uno così va fermato ad ogni costo.
Vedi bene, allora, che per chi voglia evitare il ricorso alla forza è
assolutamente importante lavorare costantemente alla costruzione di una
qualche forma di intersoggettività, a qualunque meta-livello (ad esempio
mettersi d'accordo su come mettersi d'accordo, o addirittura mettersi
d'accordo su come mettersi d'accordo su come mettersi d'accordo, eccetera).
Tuttavia non tutti sono disposti a lavorare nello stesso senso. Magari
qualcuno sarà convinto per i fatti suoi di possedere la Verità Assoluta e
sarà anche convinto che essa non può essere assolutamente essere intaccata
da alcuna forma di compromesso con la Menzogna, sicché costui sarà deciso
ad imporre quella Verità e nient'altro che quella, costi quel che costi.
D'altra parte per me è "facile" proporre la costruzione di un livello
intersoggettivo, visto che per me la Verità è proprio la possibilità della
costruzione e l'esistenza di un livello intersoggettivo. Dunque quando il
signore secondo il quale la Verità non può essere mutilata dal compromesso
decidesse di scendere a compromessi con me, io sarei nella posizione comoda
di chi vede imporsi la propria Verità, mentre l'altro dovrebbe soffrire le
pene dell'inferno di chi si trova a dover affidare la propria "salvezza" a
qualcosa in cui non crede.
Ora tu potresti chiedermi:
Senti un po', Davide, ma che differenza c'è fra questa tua "scommessa sulla
comunità intersoggettiva", e il famoso motto secondo il quale «extra
Ecclesiam nulla salus», soprattutto se tieni presente che etimologicamente
la "Ecclesia" è proprio la "Comunità", e in particolare la comunità di
coloro che condividono certe convizioni su cosa si possa e si debba
"scommettere la pelle"?
Ecco, di fronte a questa domanda, dopo aver ammesso che sì, probabilmente
siamo di fronte ad un derby (e non potrebbe essere diversamente, per ragioni
che potremo discutere a parte e che comunque puoi intuire da solo), aggiungo
che qualche differenza forse la si può trovare. E la differenza sta in quel
piccolo particolare che sicuramente non ti era sfuggito, quando ho detto che
per costituire la comunità io e Lordbeotian dobbiamo essere capaci di uscire
da stanze separate con la stessa soluzione. Non c'è uno di noi che convince
l'altro una volta per tutte che lui ha sempre ragione, qualunque cosa gli
venga in mente, ma siamo costretti a trovare dei criteri che ci consentano
di trovare un accordo anche quando non possiamo comunicare in alcun modo fra
di noi. Dunque questi criteri devono essere tali che in ogni circostanza si
possano applicare in uno e un solo modo.
Poi qualcuno, più sensibile ad uno scientismo un po' ingenuo, dirà che c'è
anche un'altra bella differenza, ed è il fatto che quel risultato che salta
fuori - guarda caso - ti dice esattamente quanti litri di acqua ci vanno
nella vasca o quanto combustibile devi caricare per piazzare un satellite in
orbita geostazionaria esattamente in un punto desiderato. Ma - come dicevo -
questa faccenda del "funzionare" può essere tirata fuori solo in un secondo
momento, mentre noi (tu, io ed altri) non riusciamo a trovare un accordo
nemmeno ad un livello che viene molto "prima" di quello.
Questa, per altro, al di là delle amicizie personali, è una delle ragioni
per le quali trovo così interessante questo ng. Infatti negli altri ng di
solito in qualche modo ci si mette d'accordo. Invece qui ci sono persone che
in anni e anni non solo non si sono mai messe d'accordo fra di loro, ma sono
anche riuscite a distruggere con determinazione assoluta qualunque tentativo
compiuto da altri di configurare delle forme di intersoggettività Diciamo
che partecipando a questo ng mi trovo, in un certo senso, di fronte ad una
sorta di "fenomeno della natura". Mi capita spesso, ad esempio, di scrivere
tutto un bel discorsetto, un discorsetto che io non riuscirei mai a
rifiutare integralmente, rifiutando anche la possibilità di mettersi
d'accordo su cosa non si è d'accordo (perché nemmeno io, che pure mi
considero un esperto di "decentramento", riesco a prendere le distanze da me
stesso al punto tale da far calare una lastra impenetrabile di
incomunicabilità fra me stesso e il mio pensiero), di preparare questo
discorsetto - dicevo - e di dirmi: «Ecco, adesso voglio proprio vedere come
farà a far calare una lastra di incomunicabilità perfettamente priva di
spiragli!». E invece ogni volta accade, senza eccezione, con una precisione
assoluta e mirabile. Se anche leggessi cento libri sui "meccanismi di
difesa" (fra i quali ovviamente ci sono anche i miei) non potrei mai
imparare tanto quanto imparo dai "filosofi" :-)
-- 
Saluti.
D. 

 risposta.
che sciocchezza sta frecciata....
tu mi hai tirato fuori un assioma di Dedekind
per tapparmi la bocca... !
l'assioma di Peano dice solo che l'esistenza
di 2 è indotta dall'esistenza di 1
perchè senza 1 non esiste 2 (1+1).
Una volta ammesso che esiste 2
esiste 3 sempre per induzione di induzione di 1.
2=(1+1)
3=(1+1)+1
e così via fino dove vuoi tu.
L'induzione la puoi applicare a l'intero insieme
dei numeri Naturali o Reali o ad un'intera
funzione y=F(x) associandola a 1 senza che crolli
la volta celeste.
Che sarà mai in una discussione fra amici
che parlano la stessa lingua?
Fra matematici si parla di infinito come
numero e nessuno si scandalizza.
Capisco che il tuo fine è dimostrare
che puoi dimostrare un teorema completo
sulla matematica senza nominare il nome
di Dio invano ma questo non fa altro di
te non solo un mistico ma un ottimo cristiano :)
Il mio esamino universitario di matematica
l'ho passato a pieni voti.
Se avessi dato risposte mistiche sarei ancora
lì a calcolare.
ciao
Massimo 

 il più grande a piacere della collezione dei numeri reali
ed io ti ho detto che non riesco a dare alcun senso a quella espressione.
Non riesco a darci un senso intuitivamente, non riesco a darci un senso
applicando la definizione assiomatica dell'insieme dei numeri reali, ti ho
fatto tutto un discorsetto per dirti dov'è che "mi blocco" se cerco di dare
un senso a quella espressione, eccetera eccetera.
Che altro devo dire o fare, se non chiederti di trovare qualche criterio
condiviso per "metterci d'accordo su come metterci d'accordo"?
-- 
Saluti.
D. 

 Massimo delle ore 19.57 del 29 agosto.
Si', ho visto. Li' affermi, illustrando il concetto di "ipotesi debole", che 
di A e B non sai altro eccetto il fatto che sono insiemi, e questo basta 
alla dimostrazione. E' vero. Ma questo basta a che la dimostrazione sia 
applicabile a un insieme di cose qualsiasi ben concrete, materiali, come 
possono essere dei segni, che stanno al posto di entita' astratte come i 
numeri? Li', in risposta a Massimo, parli anche di misticismo. Ti sembra che 
questa mia sia la domanda di un mistico? O non e' ben piu' mistica una 
dimostrazione che "si trattiene in se'", applicabile a qualsiasi insieme 
purche' si trattenga nell'astrazione di un insieme?
Un saluto,
Loris

 D.
Salutoni
Massimo 

 numeri" (cioe' di un numero qualsiasi *finito* di numeri)...
Ho letto il tuo intervento fino alla fine, e per quanto i problemi da te
sollevati mi sembrino interessanti, ho come l'impressione che stiamo
"partendo per la tangente".
Mi sembra di poter dire che il problema che stavamo cercando di risolvere è
questo:
1) Consideriamo valida la dimostrazione di Cantor ("ripulita" da Davide alla
meno peggio) dell'enunciato secondo il quale dati due insiemi qualunque A e
B non è possibile mettere A in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle
funzioni da A a B? Sì o no?
2a) Se questa dimostrazione non la consideriamo valida, qual è esattamente
il passaggio di quel teorema che non ci pare corretto?
2b) Se invece la consideriamo valida, abbiamo qualche ragione per ritenere
che ciò che è valido per ogni coppia di insiemi possa non essere valido per
tutte le coppie di insiemi? Sì o no?
Mi scuserai la perentorietà delle domande, ma - come dicevo - ho
l'impressione che stiamo andando un poco fuori tema. Ammesso che
il tema sia ancora il teorema di Cantor.
-- 
Saluti.
D. 

 ed io ti ho detto che non riesco a dare alcun senso a quella espressione.
per completezza ti riporto la lettura che
probabilmente mi ha fuorviato dalla discussione:
_____________________________________________
Paradosso del mucchio
I mucchi di sabbia possono essere grandi o piccoli. Un
mucchio piccolo con un solo granellino in più non diventa un
mucchio grande. Quindi aggiungendo un granellino alla volta
un mucchio piccolo non diventa mai grande,
indipendentemente da quanti granellini di sabbia
aggiungiamo.
Questo paradosso nasce dall' imprecisione del linguaggio
non formalizzato, il concetto di mucchio grande o piccolo non
è preciso. Cosa succede quando il linguaggio diventa
sufficientemente preciso, come in matematica? La risposta
è molto interessante.
In matematica il grande è l' infinito. Ecco che appare tutta la
forza del paradosso: partendo da un numero finito, per
esempio 0, ed aggiungendo 1, possiamo continuare quanto
vogliamo ma non costruiremo mai un numero infinito. Per
ottenere l' infinito attuale dobbiamo cambiare strategia, non
dobbiamo più contare, ma creare l' insieme di tutti i numeri
naturali. Solo così otteniamo qualcosa di grande, qualcosa di
infinito.
Questo si rispecchia nella teoria degli insiemi ZFC con la
necessità di introdurre un assioma apposito, l' esistenza dell'
insieme infinito non è derivabile dagli altri assiomi.
Ma ancora più sorprendente è quello che succede dopo: ora
che abbiamo l' infinito scopriamo che è solo un mucchio
piccolo per un infinito più grande, che possimo costruire
nuovi cardinali sempre più grandi finendo in una specie di
struttura che si ripete a scala diversa e che non si lascia
catturare nella sua interezza, al punto che l' insieme di tutti gli
insiemi, l' infinito assoluto, l' ipotetico punto di arrivo, è un
concetto contradditorio (vedi il paradosso di Russel).
Ci sono delle teorie degli insiemi alternative (come la NF di
Quine), che riescono ad ammettere l' insieme di tutti gli
insiemi. Ma allora perdono altre proprietà, per esempio non
è sempre possibile costruire una biiezione tra un insieme e
gli insiemi costituiti prendendo uno ad uno i vari elementi (i
singoletti). In NF non è più possibile dimostrare il teorema di
Cantor che l' insieme delle parti ha una cardinalità maggiore
dell' insieme stesso.
C'e' anche un' altra soluzione: ridurre il grado di precisione.
La logica "fuzzy" percorre questa strada. I concetti non sono
più netti, ma sfumati; l' essere mucchio grande o piccolo non
è più una proprietà netta ma una possibilità e non si cade più
in questo tipo di paradossi.
__________________________________
lo sai che sono sempre stato affascinato dalla
logica fuzzy.
Ne ho scritto ampiamente anche in altri interventi.
ciao
Massimo 

 il più grande a piacere della collezione dei numeri reali
nell'ambito della NF o della logica "fuzzy"?
-- 
Saluti.
D. 

 funzione dg, e - appunto - la funzione adg.
Purtroppo in questo periodo - e non so quanto sarà lungo - ho pochissimo 
tempo libero; ed un filosofo senza tempo libero è una contradictio in 
terminis.
Ma a parte queste miserie della quotidianità. Il teorema, nelle "infinite" 
istanziazioni della sua dimostrazione, riduce a contraddizione logica 
l'ipotesi della esistenza di un funzionale F biunivoco etc. Ora, nella 
definizione di adg, della quale tu hai prodotto la rigorosa enunciazione, è 
presente tale funzionale, l'ipotesi della cui esistenza è ridotta a 
contraddizione logica dalla dimostrazione del teorema. Ma tutto questo è 
sufficiente a dire che adg non può essere definita? Dicevamo che un oggetto 
la cui definizione concettuale implica una contraddizione logica, non può 
esistere. Ma l'insieme adg non esiste, oppure è un insieme vuoto?
Un saluto,
Marco 

 ha scritto nel messaggio
news:48B9319C...@yahoo.it...





Penso di aver capito la tua impostazione, espressa cosi' chiaramente.
Essa relegherebbe a questione secondaria la distinzione tra approccio 
intensivo ed estensivo alle classi. Del resto anche Russell e' propenso a 
credere che dal punto di vista logico tale differenza sia superabile (*).
Mi piace anche il tuo suggerimento di affrontare il problema da un punto di 
vista puramente "meccanico". Il perche' del mio gradimento apparira' chiaro 
alla fine del post, rientrando in pieno nella questione del procedimento 
diagonale di Cantor. Ma prima di questo occorre qualche osservazione 
connessa alla tua impostazione. Mi hai stimolato ad ideare un piccolo 
esperimento mentale, cosi' concepito:
Ammettiamo di aver costruito un robot R capace di distinguere le mele dai 
fiori (del tuo esempio). Implementiamogli la regola di raccogliere mele e 
fiori a 3 a 3. Sulle due condizioni esposte, nessun problema. Come riuscire, 
con la stessa logica, a implementargli una regola che gli permetta di 
"raccogliere" numeri? Anzittutto sara' necessario che sappia distinguere i 
numeri, che pero' sono "atti di contare", niente di visibile quanto un fiore 
o una mela. Sara' allora necessario che ad ogni "atto" del contare sia 
associata un'etichetta, riconoscibile come un "ente" che rimanda a un 
"operatore" che svolge l'atto effettivo di contare. R non sara' in grado di 
assolvere il compito di "raccogliere" numeri, se non in base a una sua 
rappresentazione interna dei numeri in base alle etichette che li 
rappresentano, cioe' enti ben concreti, che sono tuttavia astratti dalla 
pratica effettiva del contare.
E ora sara' molto chiaro perche' questa tua impostazione mi piace molto, in 
relazione alla questione Cantor.
Infatti, data (per assurdo) una numerazione dell'insieme dei numeri reali, 
il procedimento diagonale e' riproducibile da R in modo del tutto meccanico: 
si tratta solo di individuare un tratto finito (costituito, solo per 
semplicita' del sistema binario, da una sequenza di etichette "0" e "1") del 
diagonale e applicare la regola di rimpiazzamento che costruisce 
l'antidiagonale. Ma R e' anche in grado di riprodurre meccanicamente e molto 
semplicemente la successione dei numeri naturali (sempre costituita da 
sequenze di etichette "0" e "1"), che per qualsiasi lunghezza 
dell'antidiagonale comprende un corrispondente numero naturale. Ma se a 
qualsiasi numerale antidiagonale corrisponde un numerale dei naturali, 
allora l'insieme dei numeri reali sarebbe numerabile. Devo dunque dedurne 
che il procedimento diagonale non riesce a dimostrare cio' che intendeva 
dimostrare?
Cari saluti,
Loris
(*) "La classe puo' essere definita tanto estensionalmente quanto 
intensionalmente. Ovvero, possiamo definire che tipo di oggetto e' una 
classe, oppure il tipo di concetto che denota una classe: questo e' il 
preciso significato della opposizione tra estensione e intensione in questo 
contesto. [...] Credo che questa distinzione sia puramente psicologica: dal 
punto di vista logico, si puo' applicare la definizione estensionale anche 
alle classi infinite, ma, in pratica, saremmo colti dalla morte prima di 
raggiungere il nostro fine. Dal punto di vista logico, percio', estensione 
ed intensione sembrano essere sullo stesso piano" (Russell, "I principi 
della matematica", Newton Compton, pagg. 128-129)

 vuoto?
Noi abbiamo supposto che esista una corrispondenza biunivoca F fra gli
elementi di A e le funzioni da A a B.
Ora, quando andiamo a definire la funzione dg, noi dobbiamo dire come essa
si comporta quando venga applicata ad un generico elemento a di A. Ad
esempio se stessimo cercando di implementare la funzione dg su un computer,
noi dovremmo scrivere qualcosa del genere:
FUNCTION dg(a)
....
END FUNCTION
e lì in mezzo, al posto dei puntini, dovremmo mettere tutti i calcoli
necessari per calcolare il valore "restituito" dalla funzione.
Ma questi calcoli richiedono proprio una "chiamata" al funzionale F:
FUNCTION dg(a)
....
dg = F(a)(a)
END FUNCTION
Nel momento in cui scopriamo che il funzionale F non esiste e non può
esistere, ci rendiamo conto che non ci potrà mai essere alcuna "chiamata" ad
esso, o meglio ci sarà una chiamata ad un funzionale che non esiste, e
questa chiamata produrrà un errore. Così ogni volta che noi passeremo a dg
un qualche elemento di A, ci tornerà un errore.
Invece noi abbiamo detto che una funzione su A è tale se ad ogni elemento di
A associa uno e un solo elemento del codominio. Questa è la definizione di
funzione. Così quando salta fuori che la presunta funzione dg restituisce
un errore per ogni elemento di A per il quale si tenti di calcolarla, noi
dobbiamo prendere atto che quella non è una funzione, cioè non è un insieme
di coppie (a,b) tale che ogni a di A compaia in una e una sola coppia; anzi
non ci compare nessun elemento di A, e questo mi basta per dire che non
esiste alcuna funzione dg come quella che ho cercato di definire.
Tu a questo punto potresti anche dire che dg è un insieme vuoto di coppie.
Ma a parte il fatto che un insieme vuoto non è una funzione su A, e che
avendo richiesto che dg sia una funzione su A noi abbiamo prodotto una
contraddizione, a parte questo - dicevo - proviamo a fare finta di niente e
diciamo che dopo aver chiamato 1000 volte la procedura dimostrativa
Cantor_Davide con 1000 coppie di insiemi diversi tu ti sia ritrovano in mano
i 1000 insiemi vuoti dg1, dg2... dg1000, e anche gli insiemi vuoi agd1,
adg2... adg1000.
Ebbene, che te ne fai esattamente di questi 1000+1000 insiemi vuoti?
-- 
Saluti.
D. 

 connessa alla tua impostazione. 
Esperimento di Loris:

Ho detto il mio parere su ciò.
Lo riformulo sinteticamente:
Cantor dimostra che vi può esser corrispondenza tra i razionali e i
naturali.
Fin qui mi pare che nessuno abbia avanzato dubbi.
Ma diciamo due parole per chi segue il discorso ora senza dover andare a
cercarsi gli estremi.
Si tratta di notare che una matrice bi-dimensionale può raccogliere una
collezione del tipo:
a11 a12 a13 ..
a21 a22 a23 ..
a33 a32 a33 ..
...
dove gli elementi di questo insieme siano
1/1 1/2 1/3 ..
2/1 2/2 2/3 ..
...
ed in particolare il modo di visitare la matrice sia
a1 = a11(t1) a12(t3) a13(t4) ...
a2 = a21(t2) a22(t5) a23() ...
a3 = a31(t6) a32() a33() ...
Da cui
a11(t1)=1/1
a21(t2)=2/1
a12(t3)=1/2
a13(t4)=1/3
a23(t5)=2/2
a31(t6)=3/1
a41(t7)=4/1
...
Ora Cantor afferma che non siano numerabili più che i razionali, ossia
tale corrispondenza non possa essere estesa fuori della collezione dei
razionali.
Ciò perché esiste -nella di Cantor dimostrazione- il presupposto che
comunque noi costruiamo (al finito) A(t) si può dire che
1) possono essere trovati dei numeri esterni alla A(t) costruita al
finito
2) ciò dimostrerebbe che non sia possibile collezionare tali "numeri
esterni" ai razionali essendo già i naturali tutti impegnati in
corrispondenza biunivoca con i razionali.
A tali conclusioni tu -a mio avviso giustamente- hai obiettato che sono
-come dire- illazioni "deboli", in quanto potrebbe anche darsi che si
riesca a numerare ciò che è esterno alla tabella di Cantor.
Argomenti contro Cantor:
++
on
++
Facciamo il caso che vi sia "un solo numero irrazionale esterno alla
tabella di Cantor" che volessimo contabilizzare. Per esempio radice
quadrata di 2. Forse che in naturali essendo infiniti, non ci
consentirebbero di tenero conto di tutti i razionali e del solo
irrazionale radice di 2? Ma certo che lo potremmo collezionare e
numerare! Infatti radice di 2 -per essere utilizzato- andrebbe troncato.
Quindi ricadrebbe nella rappresentazione di un razionale, che -per il
teorema di Cantor- appartiene ad una collezione contabile!
++
off
++
Argomenti a favore di Cantor:
++
on
++
Io -a mia volta- ho detto che è vera la dimostrazione di Cantor, ma *non
per le tesi di Cantor*, ma per la questione di "tutto il cucuzzaro".
(Dimmi un numero il più grande possibile Pierino! Pierino: "tutto il
cucuzzaro" Lino: "tutto il cucuzzaro + 1").
Ossia vi sono dei numeri "esterni ai razionali e non si sa quanti siano"
perché il fatto di avere trovato un metodo per contare i razionali non
ci dice *nulla* di cosa sia esterno alla spazio di quella collezione! (
a meno di valutare come proiettare gli spazi esterni su quelli
numerabili, di cui una soluzione è il troncamento ).
Riassumendo:
a) Ha ragione Cantor a dire che i razionali sono contabili
b) Ha ragione Cantor a dire che gli irrazionali siano incontabili, ma
solo nell'ipotesi di rappresentarli in astratto, ossia che siano
descritti (ciascuno) da serie di lunghezza infinita.
c) Ha torto Cantor a dire che gli irrazionali siano incontabili al
finito, poiché -al finito- gli irrazionali sono indistinguibili da i
numeri razionali che possono essere utilizzati al loro posto nella
rappresentazione troncata (non commettendo errore nella rappresentazione
tra razionali e irrazionali -> se al finito).
++
off
++
Il punto c determina lo stress di non vedere le implicazioni della
dimostrazione di Cantor.
Infatti la tabella che sia costruita al finito, offre senzaltro l'idea
di poter coprire qualunque rappresentazione magari con opportuna
multiplazione tabellare.
Se non che, la tabella degli irrazionali è già in partenza costruita
"all'infinito" avendo una potenza di espressione ineguagliabile per
costruzione, se si accetta al finito una collezione di numeri
(irrazionali) che ha infinite cifre (per ciascun irrazionale).
Quindi inseguire Cantor nella sua briscola con numeri infiniti -come del
resto consigliava anche Davide- è sconsigliabilissimo.
L'unica cosa razionale è usare numeri razionali! (*1)
: - )
Se non fossero razionali staremmo parlando di follia, se pretendessimo
-al finito- di mettere in un recipiente limitato una quantità
illimitata.
Ma il numero i(de)finito -di qf- è maneggiabile solo come extrapolazione
non presente -con completezza- in t0, ma come andamento.
Fortunatamente la mia cultura di ingegneria se ne ride delle tesi di
Cantor, poiché gli risponde:
"A cosa mi serve?"
Se gli irrazionali sono una regola per estrapolare un numero
potenzialmente infinito di cifre di precisione, nessuno sia così pazzo
da credere che tale precisione sia rappresentabile -al finito- con un
numero di cifre finito, senza commettere un errore.
Con "l'errare è umano ma il perseverare è diabolico", allora dovremmo
mettere *una pietra tombale* -> su Cantor e sulla sua pretesa di usare
cifre infinite, se non come congettura da troncare, se usata "su oggetti
osservabili" (compresi i robot e il software e hardware).
E' stato comunque un argomento di cui vi ringrazio dello scambio di
idee, molto stimolante ..
Saluti,
L
(*1) 
Lapalissiano direbbe qualcuno!
che sia razionale usare i razionali!
Ma voglio aggiungere, perché non bisogna farsi mancare nessun confort:
"più il concetto di serie, che però rimane astratto, come
rappresentazione utilizzabile, se non si specifica il troncamento".

 libro della Verità?
Sì: infatti se lo è scritto da sé. Neanche alla rivelazione si è affidata 
:-)
Tu e Lordbeotian e tanti altri risolvereste lo stesso problema allo stesso 
modo proprio perché avete studiato nello stesso librone scritto precisamente 
da quella comunità. E' una situazione... circolare, PiGreco incluso :-))
Come può dunque giustificare qualcosa, filosoficamente parlando? Non 
giustifica neppure se stesso, dal suo interno. Lo giustifica appunto solo il 
successo di pubblico (la comunità, l'ecclesia [nota che con Smargiassi 
[prof?] sono ricomparsi i crackpot su icf; credevo che quella barbarie fosse 
rimasta all'infanzia di isf e alla santa inquisizione]).
Saluti
qf 

 D.
Saluti
Massimo

 tutti i numeri Reali come nella tombola.
Ma se faccio conto che siano tutti in un sacchetto, come nella tombola,
sto facendo conto che i numeri reali siano "un certo numero".
E invece io fino a prova contraria non me la sento di fare conto che i
numeri reali siano "un certo numero" (anche perché è proprio di questo
che stiamo discutendo).
-- 
Saluti.
D. 

 D.
pensieroso
Massimo