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Titolo: il peso del mattone

Giorni fa ero a cena da amici e ad un certo punto uno mi fa:
«Di', tu che pasticci con la matematica, senti un po' cosa hanno chiesto
l'altra sera in televisione: "Un mattone pesa un chilo più mezzo mattone.
Quanto pesa un mattone?"».
Devo dire che sono stato fortunato, perché questa stessa domanda mi era
stata posta diversi mesi fa su un altro ng, e ricordavo ancora il risultato
senza nemmeno doverci riflettere per quel mezzo secondo necessario a fare il
calcolo, per cui ho risposto subito:
«Due chili!»
Le persone sedute al tavolo erano tutte indubbiamente intelligenti, gente
che nella vita pratica ha avuto successo, ma proprio perché sono sempre
stati in tutt'altre faccende affaccendati non hanno avuto tempo di
frequentare a lungo i banchi di scuola, sicché di fronte a quella faccenda
del mattone ad alcuni di loro si era chiusa la mente. Così, sentendo la mia
risposta, hanno fatto la faccia basita ed hanno detto che sì, effettivamente
era la stessa risposta che avevano dato nella trasmissione televisiva, però
loro non erano ancora convinti.
Prima di andare avanti ricordiamo, a chi si fosse distratto negli ultimi
dodici secoli, come si risolve questo problema usando la matematica
elementare.
Dal momento che un mattone pesa un chilo più mezzo mattone, abbiamo:
    1 mattone = 1 chilo + 1/2 mattone
Ora, noi non sappiamo quanto pesi un mattone e quanto pesi mezzo mattone,
tuttavia sappiamo che a destra ed a sinistra del segno "=" ci sono due
grandezze uguali, per cui se aggiungiamo o togliamo grandezze uguali a
destra e sinistra di quel segno otteniamo ancora grandezze uguali. Ma
allora, se possiamo aggiungere o togliere quel che ci pare purché sia uguale
ciò che aggiungiamo o togliamo a destra e a sinistra, ne possiamo
approfittare per togliere proprio il mezzo mattone, così:
    1 mattone - 1/2 mattone = 1 chilo + 1/2 mattone - 1/2 mattone.
Perché ci viene utile togliere proprio mezzo mattone? Perché a destra del
segno "=" avevamo un mezzo mattone ed ora l'abbiamo tolto, sicché a destra
di mattoni non ne restano più, e c'è solo il chilo. Il prezzo da pagare per
questa semplificazione del termine destro è che ora a sinistra non abbiamo
più un mattone intero, ma ne rimane solo mezzo, per cui non otteniamo
direttamente il peso di un mattone, ma quello di mezzo mattone, così:
    1/2 mattone = 1 chilo.
Vabbe', questo non è un gran problema, perché se sappiamo che mezzo mattone
pesa un chilo è ovvio che un mattone pesa due chili. E se poi qualcuno
non fosse convinto e volesse essere garantito da un maggior rigore
matematico, tenga presente che dal momento che a destra ed a sinistra del
segno di "=" ci sono due grandezze uguali, allora possiamo moltiplicare
entrambe quelle grandezze per lo stesso numero di volte ottenendo ancora due
grandezze uguali. In particolare possiamo moltiplicarle per 2, così:
    2 x 1/2 mattone = 2 x 1 chilo
Come sanno tutti i golosi, prendendo due mezze torte si ottiene una torta
intera, e questa cosa vale anche per i mattoni, per cui abbiamo:
    1 mattone = 2 chili
come avevo anticipato.
Questo era più o meno il ragionamento che avevo fatto per dare quella
risposta. E siccome lì per lì non sapevo come fare per convincerli che le
cose stavano proprio come dicevo io, contravvenendo alle regole della buona
educazione che abbiamo imparato fin da bambini, quando la mamma ci ha
insegnato che a tavola non sta bene parlare di certi argomenti come la
cacca, la matematica e la logica formale, di fronte alla insistenza degli
amici ho provato a scrivere un paio di equazioncine così come ve le ho
presentate qui sopra. Ma non c'è stato niente da fare: quelli che si erano
intestarditi non hanno mollato di un millimetro.
Ero lì che mi sforzavo di capire da cosa fosse prodotto quel blocco
psicologico (come dicevo, non poteva trattarsi di una questione di
intelligenza, perché alcuni di loro hanno dimostrato in diverse occasioni di
essere molto più intelligenti di me, per cui se ci arrivavo io dovevano
poterci arrivare anche loro), quando uno di loro mi ha offerto la soluzione
sul piatto, nel momento in cui ha cercato di articolare le sue obiezioni in
una forma "filosofica", dicendomi:
«Ma non capisci? Non puoi pretendere di fornire il peso del mattone usando
il peso di mezzo mattone, perché per sapere quanto pesa mezzo mattone tu
dovresti prima sapere quanto pesa il mattone, ma il peso del mattone è
proprio quello che vuoi sapere e che non sai!»
«Ah, ecco - ho pensato fra me e me - qual è il problema!
E' *quel* problema lì: il solito vecchio problema!».
Resomi conto che il problema era *quello* avevo la strada tutta in discesa.
Infatti se qualcuno ha delle difficoltà a definire un oggetto a partire
dall'oggetto stesso (o da parti di esso che a loro volta sono definite a
partire dall'oggetto intero) è solo perché il nostro linguaggio è
sequenziale: ci permette di dire e scrivere una parola alla volta; così noi
partiamo volendo sapere quanto pesa un mattone, e ci fanno fare tutto in
giro che alla fine ci porta al mezzo mattone, e a noi sembra di aver girato
inutilmente in tondo. Ma è solo una impressione, perché se anziché stare lì
nella giungla del linguaggio parlato a farci largo col machete potessimo
vedere la scena dall'alto e cogliere tutto l'insieme con un unico colpo
d'occhio, ci potremmo rendere conto che non abbiamo girato inutilmente in
tondo, ma invece abbiamo tracciato le mura della città.
Si trattava dunque di dare la possibilità ai miei amici di cogliere quella
relazione fra il mattone ed il mezzo mattone con un unico colpo d'occhio,
il che poteva essere fatto con un semplice disegnino. Così ho preso un
tovagliolo di carta e ho fatto un disegno come questo:
http://www.geocities.com/duca_d_auge/bilancia.jpg
Non avevo ancora finito di mettere gli ultimi ritocchi al disegnino che già
tutti avevano capito alla grande che il mattone doveva sicuramente pesare
due chili, e anzi erano talmente convinti che quando ho chiesto ad uno degli
ex irriducibili per quale ragione il mattone doveva pesare proprio due chili
questo mi ha risposto che non c'era niente da spiegare, e che a quel punto
era «evidente» (ha detto proprio così: evidente) che il mattone doveva
pesare due chili.
E vissero felici e contenti. Già, perché questa è una storia a lieto fine.
Ma che si fa quando non basta un disegnino per consentire di cogliere una
relazione circolare in modo sincronico, con un unico colpo d'occhio, e
invece ci tocca dispiegarla in modo diacronico, sequenziale, raccontandone
un pezzo alla volta finché non ci ritroviamo - orrore - al punto di
partenza?
-- 
Saluti.
D. 

 partenza?
Nota che sul tuo disegnino tu hai riportato esattamente l'equazione, solo 
che invece di usare certi simboli ne hai usati altri:
'=' -> bilancia
'mattone' -> parallelepipedo
'chilogrammo' -> blocco con scritto '1 kg'
Ma hai scritto esattamente la medesima equazione.
Hai solo usato simboli _meno_astratti_.
Meditate, prof, meditate, voi che di matematica ai figli della lupa non fate 
capire una mazza :-)
Ciao.
qf 

 ritroviamo - orrore - al punto di partenza?
Divertente!
Anche a me capitò qualcosa del genere: all'esame di maturità, non
mi fu possibile convincere la professoressa di matematica che mi
esaminava, che il modo (in effetti non "ortodosso") in cui avevo
impostato certe equazioni, nella prova scritta, fosse del tutto
legittimo...
Famoso, a questo riguardo, è anche il quiz della Vos Savant, quello
delle "tre porte", dietro una delle quali vi è un premio, che penso
conosciate tutti.
L'avrò proposto letteralmente a centinaia di persone, e non vi è stata
*una sola* che l'abbia saputo risolvere correttemente!
(neppure io, quanto a questo...)
Comunque, tornando al tuo esempio, lì c'è, più che altro, un problema
di "analfabetismo matematico di ritorno", in quanto qualsiasi ragazzo
di prima media sa perfettamente districarsi da una equazione di primo
grado!
Vero è che, anche io, che un po' di matematica la ricordo, non ho
certo impostato, sia pure a livello mentale, una equazione, per quanto
banale essa sia, ma ho trovato più semplice visualizzare proprio una
bilancia, con un mattone da una parte, ed un mezzo mattone più un peso
da un chilo, dall'altra.
I problemi grossi, secondo me, sono invece quelli relativi a questioni
logiche, ed ancor più a quelle statistiche, come il caso esemplificato
dal quiz della Vos Savant.
La nostra vita, io credo, è basata su tutta una serie di valutazioni
statistiche che noi compiano quotidianamente, dalle più stupide
(per andare da qui a lì, troverò meno traffico sul raccordo o sulla
tangenziale?) alle più complesse (meglio votare per il partito X o il
partito Y?).
Più la nostra società evolve, divenendo sempre più complessa, più
diviene difficile per noi saperla comprendere, valutare e gestire, onde
non fare errori che, più si procede, e più divengono potenzialmente
gravi. In breve, è il problema "dell'apprendista stregone"...
Il nostro intelletto tende a risolvere i problemi, ma, fatalmente, le
soluzioni creano problemi ulteriori, che vanno a loro volta risolti,
e così via.
La questione è: si uscirà mai da questo circolo vizioso, o alla fine
non può che esservi il "gran botto"?

 partenza?
Se è vero che è sbagliato presumere a priori che il ricorso a questa 
"circolarità" renda impossibile indivisuare una soluzione, è altrettanto 
sbagliato presumere a priori che le definizioni con quetso tipo di 
circolarità siano comuqnue buone.
Consideriamo quetso esempio:
una mattonella quadrata AxA pesa quanto una mattonella Ax1 più una mattonella 
1x1, quanto è lungo il suo lato?
Qui il disegno rivelatore non si può fare (anche perchè la soluzione è troppo 
complicata per poter essere capita "al volo") ed in realtà non c'è una 
risposta univoca alla domanda: le possibili soluzioni sono 2.
Se poi vogliamo provare a mettere su un piatto della bilancia una mattonella 
AxA insieme con una 2x2 e nell'altro piatto una mattonella 1xA avremo che la 
situazione è impossibile.

 una risposta univoca alla domanda: le possibili soluzioni sono 2.
Non è vero.
Il disegno non sarà "esatto" (e non lo era neppure l'altro), ma la 
rappresentazione è possibile, e anche istruttiva.
Non è necessario usare la bilancia. Anzi: sempre meglio la geometria: fa 
sempre vedere cose che nella forma algebrica non si vedrebbero mai.
Per esempio: disegnato un quadrato di lato unitario (arbitrario), lo si 
prolunghi della quantità 1*A (A arbitrario).
Sul prolungamento si sovrapponga un quadrato di lato A (con un lato in 
comune con un lato del prolungamento) fino a quando la quantità che sporge 
dal prolungamento ha area esattamente unitaria. (Magari si scopre che una 
delle soluzioni è la sezione aurea.)
Il procedimento corrisponde a: AA-1A=1 (sullo stesso disegno si può vedere 
l'altrettanto interessante relazione geometrica 1A-1=1/A).
Eccetera. 

 Quanto pesa un mattone?"».
Beh, qui un filosofo avrebbe inizialmente notato che non necessariamente per 
"mezzo mattone" deve intendersi la metà del mattone di cui si dà quella 
determinazione del peso, e poi - per fare bella figura - avrebbe detto agli 
amici: <<non necessariamente questa domanda può avere una risposta 
calcolabile>>. Poi avrebbe osservato che, però, <<l'uso dell'articolo 
indeterminativo nella domanda indica nella direzione contraria, e suggerisce 
che la determinazione del peso si riferisca al mattone in generale, e che 
dunque "mezzo mattone" non possa non significare la metà di un qualsiasi 
mattone>>.
E di fronte a tutto questo ben di Dio di "saggezza", la biondona di turno 
(in genere ce n'è sempre una, nella serate a cena dagli amici), lì, proprio 
lì, sarebbe caduta ai piedi del filosofo. O forse no?;-).
Un saluto,
Marco
 

 fate capire una mazza :-)
A me è capitato recentemente di dover spiegare ad un bambino di 10 anni "che 
cosa è un poligono" (per chi non lo sapesse: la parte di piano delimitata da 
una linea spezzata chiusa non intrecciata). Poi è giunto il momento del 
"perimetro" (inteso come "contorno"). Poi, fatidicamente e come mi 
attendevo, il bambino ha stabilito una (errata) identità intuitiva tra "il 
poligono" ed "il perimetro del poligono". Aveva sì imparato che un poligono 
è per definizione "la parte di _piano_...", ma da questa definizione non 
aveva fatto conseguire l'impossibilità della identificazione di un poligono 
ad un perimetro. E allora c'è voluta mezz'ora per togliergli dalla testa 
quella idea errata, che si ripresentava continuamente.
Il libro di geometria pare nemmeno ce l'abbiano, e, a dire della mamma, la 
classe intera non ha finora capito, di geometria, nulla di nulla. E il 
prossimo anno segnerà per tutti l'ingresso nelle scuole medie inferiori. 
Molti di loro ci arriveranno con dei deficit che, secondo me, non potranno 
essere completamente rimediati.
E allora io ho scritto, per il bambino, alcune dispense per un bel corso di 
geometria elementare, più una bella nota sul concetto di definizione. E se 
entro la fine dell'anno non gli ficco in testa "che cosa è una 
dimostrazione", non sono io. Ovviamente NON gli parlerò di Goedel!:-).
Un saluto,
Marco 

 D.
Vorrei, se l'auditorio lo consente, soffermarmi sul concetto di
"definizione".
Nel gustoso aneddoto, si è bypassato, una specificazione molto
rilevante:
E' il termine "definizione" con lo stesso significato di "espressione
algebrica"?
Detta brutalmente come è scritta nel rigo precedente non penso che
qualcuno ardisca a dire di sì!
: - )
Ma proviamo a scendere nel dettaglio:
Perché una "definizione" è qualcosa di diverso da una "espressione
algebrica", tanto che non è mai consigliabile impostare una spiegazione
su definizioni che -se fosse possibile ripetere a destra ciò che è a
sinistra dei due punti di una spiegazione(e non del segno di uguale, o
di una bilancia, o di un sistema di misura)- si direbbero "definizioni
circolari".
In una definizione si esprime *cosa sia* un mattone, non *quanto* un
mattone pesi.
Se io dicessi a una persona che non abbia mai visto un mattone:
def: mattone
un mattone lo riconosci dal fatto che hai un kilogrammo e mezzo mattone.
La persona -che vuol capire- mi direbbe:
Sì, so cosa sia 1 Kg, ma non so riconoscere un mattone, perché me lo
dovevi spiegare, come riconoscerlo, ed invece mi ha fornito un mezzo per
misurarne il peso, (se lo sapessi identificare), ma non la sua
riconoscibilità.
Quindi la comprensione dell'aneddoto è da cercarsi non già in un
handycap solo di cultura matematica, ma nell'equivoco che si confonde il
concetto *definizione semantica* con quello di *bilanciamento algebrico*
di più enti a sinistra e a destra di una equivalenza (in ipotesi che
_nel modello_ sia possibile il principio di identità tra gli enti ed
anche nel reale, introducendo un errore tollerabile per gli scopi in
uso).
Per completare l'argomento vi vorrei mostrare un altro fatto non banale:
(che mostra come anche nell'algebra booleana sia necessario un ulteriore
specificazione quando ci si riferisca a definizioni a loop,
retroazionate).
Quando nelle grammatiche formali si cercò di esprimere cosa succedesse
in una macchina sequenziale _dopo_ che il loop avesse consentito alle
catene di controreazione di agire dagli output che -propagantesi agli
input- generassero di nuovo output ... la soluzione non era facile.
Non è qui ora di esprime la trattazione completa di come si progetti una
macchina sequenziale nella teoria dei controlli, ma vorrei presentare
solo la soluzione che tuttora è in uso.
La soluzione è *temporizzare le variabili*!
Se tale temporizzazione è omessa si usa il segno "->" detto produttoria
per l'occasione [specificando con ciò che dopo la freccia avremo ciò che
si verifica dopo un tempo di propagazione nella catena diretta (macchine
asicrone) o dopo un ciclo di clock (macchine sincrone)].
Mentre se si temporizzano le variabili è possibile ancora usare il segno
"=" nel senso di equivalente *ammesso di valutare l'espressione in un
_tempo successivo_*!
Un solo esempio per mostrare il formalismo con le variabili
temporizzate:
(da M. Morris Digital Design, Prentice-Hall Internationl Editions,
pagina 208)
Si voglia descrivere un JK flip-flop tramite gli input e lo stato
precedente:
Q(t+1) = J(t)*Q'(t)+K'(t)*Q(t)
Legenda:
* = AND logico
+ = OR logico
dove gli apici (') indicano la funzione NOT.
Q è la variabile (binaria) che indica lo stato del sistema.
Il flip flop è una memoria in grado di memorizzare una tensione bassa (0
logico), o una tensione alta (1 logico).
Inoltre la relativa memorizzazione ha dei controlli per imporre il
contenuto della memoria, settarlo (porlo a 1), resettarlo (portarlo a
zero), complementarizzarlo (scambiarlo da zero a uno, o viceversa).
La tabella seguente riconferma l'espressione:
Q(t) J(t) K(t) | Q(t+1)
0    0    0      0     (stato stabile)
0    0    1      0     (reset da stato nop)
0    1    0      1     (set da stato nop)
0    1    1      1     (complemento stato precedente)
1    0    0      1     (stato stabile)
1    0    1      0     (reset da stato op)
1    1    0      1     (set da stato op)
1    1    1      0     (complemento stato precedente)
se sostituiamo per esempio l'ultima riga troviamo:
J(t)Q'(t)+K'(t)Q(t)=1*0+0*1=0=Q(t+1)
Grazie del tema,
L

 che invece di usare certi simboli ne hai usati altri:
Sì, certo. D'altra parte se è vero che nell'equazione c'è scritto tutto
quello che dobbiamo sapere, sarà difficile aggiungere ad essa delle
ulteriori informazioni.
Però una differenza c'è: mentre l'equazione la devi leggere una parola alla
volta (così: «un... mattone... pesa...»), nel disegno essa ti appare "tutta
assieme", e la puoi cogliere con un unico colpo d'occhio, sincronicamente.
E a quanto pare basta questo per togliere quel senso di vertigine che deriva
dall'esprimere una grandezza per mezzo di parti della grandezza stessa.
Se il "cerchio" lo vedi lì tutto intero sotto i tuoi occhi non è più un
"assurdo". Come un castello di carte in cui la carta A viene sorretta da B,
ma B a sua volta viene sorretta da A, e sembra di aver detto una assurdità,
ma poi il castello di carte può starsene lì davanti ai tuoi occhi e allora -
quando lo vedi lì davanti tutto intero - capisci, mentre prima, quando
dicevamo che A si regge su B e B si regge su A, sembrava assurdo.
-- 
Saluti.
D. 

 che invece di usare certi simboli ne hai usati altri:
E tuttavia c'è un problema, credo implicito nella obiezione "filosofica"
(che vorrebbe fondare l'assurdità della soluzione matematica che Davide
aveva prontamente spiegato ai suoi amici). Essa dice:
«Ma non capisci? Non puoi pretendere di fornire il peso del mattone usando
il peso di mezzo mattone, perché per sapere quanto pesa mezzo mattone tu
dovresti prima sapere quanto pesa il mattone, ma il peso del mattone è
proprio quello che vuoi sapere e che non sai!»
Ora, noi sappiamo benissimo che (assumendo una serie di premesse fisiche
sulla distribuzione spaziale della materia in quell'oggetto etc.; premesse
la cui assunzione, per altro, è intuitiva ed "automatica") il peso di un
mattone è completamente determinato dal peso della sua metà; e viceversa.
Ciò significa: conoscendo il peso di un mattone, si può calcolare, e dunque
venire a conoscere, il peso della sua metà; conoscendo il peso della metà di
un mattone, si può calcolare, e dunque venire a conoscere, il peso del
mattone. Osserviamo, qui, la successione tra gli articoli: prima viene
l'articolo indeterminativo, poi quello determinativo: l'uso dell'articolo
indeterminativo ha implicitamente stabilito un riferimento, che viene poi
espresso mediante l'articolo determinativo.
Dunque, in virtù di quella completa determinazione, è in generale falso che
non si possa fornire il peso di un mattone usando il peso di mezzo mattone.
E allora? E allora sta il fatto che se parliamo di un *determinato* mattone,
la raffigurazione contenuta nel disegnino è assurda. Se il *determinato*
mattone sta, tutto intero, sul piatto di sinistra, è ontologicamente
impossibile che sul piatto di destra ci stia la *sua* metà. Credo che alla
base della obiezione "filosofica" sollevata contro la soluzione matematica
del problema, abbia funzionato questa considerazione ontologica.
E' il disegnino ad essere assurdo, e non l'equazione. Perché è il disegnino
che, dovendo raffigurare una situazione "reale" (e dunque sincronica),
sostituisce alle grandezze gli oggetti. L'autore di quella obiezione
"filosofica" ha dato intuitivamente un contenuto "reale" alla situazione
descritta dalle equazioni matematica, e si è ritrovato tra le mani un'
assurdità. Poi però, proprio il disegnino - in modo solo apparentemente
paradossale - lo ha convinto della correttezza della soluzione matematica. E
allora assume una importanza decisiva la faccenda degli articoli
determinativi-indeterminativi.
Un saluto,
Marco

 assieme",
Sì, ma è la tipologia di simboli a consentirlo.
Anche l'equazione scritta come tale la vedi con un solo colpo d'occhio, ma 
altro è un "=" e altro una bilancia.
Il punto è che la bilancia non è astratta, mentre "=" è astratto.
Poi, con l'esercizio, si impara a vedere anche l'equazione come una sorta di 
bilancia o di "convertitore geometrico", ma per arrivare all'astrazione è 
meglio, a mio parere, passare attraverso simboli "tangibili".
Il problema degli amici che hanno perso esercizio all'astrazione (o non 
l'hanno mai acquisita perché hanno imparato solo formule) è lo stesso che ha 
il ragazzino. La capacità di astrazione si costruisce circa fra i tredici e 
i diciotto anni, a quanto vedo, ma non si deve partire dall'astrazione per 
educare all'astrazione, così come sarebbe poco sensato insegnare la 
grammatica prima di insegnare a parlare (occorre infatti un bel po' di 
capacità linguistica per capirla: e  anche qui siamo in presenza di una 
bella circolarità logica).
Ciao.
qf 

 i diciotto anni
Io sapevo, da Piaget, a partire dai sette anni...

 Io sapevo, da Piaget, a partire dai sette anni...
Lo avevo letto anch'io, ma la mia esperienza diretta dice che solo
eccezionalmente una apprezzabile capacità di astrazione si vede a età sotto
i 13 anni.
Intendiamoci, che un certo animaletto appartiene alla specie dei gatti
anziché dei cani lo si capisce anche sotto i sette anni, ma non è questo che
intendo. Mi riferisco (anzi ci si sta riferendo nel topic) alle questioni di
matematica, dove l'astrazione è a tutt'altro livello. Far capire *davvero*
(operativamente) i concetti di variabile, di costante, di parametro, di
funzione a un ragazzino delle medie inferiori (cioè sotto i 13 anni) credo
fosse dura anche nella Svizzera di Piaget. E questo tipo di astrazione - con
opportuno esercizio - si sviluppa in sostanza nelle medie superiori, a
condizione però che ci siano le capacità per acquisirla, che non sono
uniformemente distribuite nella popolazione.

 ripresentava continuamente.
Un'idea, come dicevo, nata spontaneamente da un modo improprio di 
rappresentazione, e perciò giustamente difficile da sradicare.
Ciò che si è appreso/capito/risolto da se stessi è quanto di più difficile 
da ristrutturare.
Paradossalmente, un buon insegnante di geometria elementare (come di ogni 
scienza elementare) dovrebbe essere capace di calarsi in una mente che, 
necessariamente, vede tale disciplina nel modo più ingenuo e diretto 
possibile - e perciò realmente rigoroso.
Ciao.
qf 

Caro Davide,
ti leggo sempre con piacere perché hai l'abilità di esporre in una forma
avvincente tutti gli argomenti, anche quelli aridi di logica, e quelli, come
questo, che a prima vista sembrano girare attorno a un problema semplice e
quasi stupido.
Questa volta debbo dirti che nel merito do' ragione ai tuoi contraddittori.
Ecco perché.
In logica non si può dare una definizione circolare, cioè che fa riferimento
allo stesso oggetto che viene definito. Il fatto di considerare il termine
definito e la sua definizione come i due membri di un'equazione non è un
superamento di quella difficoltà. L'equazione è un mezzo efficace per
risolvere un altro tipo di problema: quando ci sono grandezze essenzialmente
variabili che interagiscono l'una sull'altra. È un tipo di problema che
sorge spesso in economia; anzi, credo che userò il problema del mattone per
un post che scriverò per it.economia.
Tornando alla tua soluzione che non mi convince, osservo che noi abbiamo
davanti un mattone, una bilancia, alcuni pesi (tra cui quello da un chilo),
e un pezzo di mattone. Come facciamo a sapere che questo è esattamente metà?
L'unico modo è quello di pesare il mattone intero, e poi il pezzo di
mattone. Ma dopo aver pesato il mattone intero è ridicolo ricalcolare lo
stesso peso come somma dell'altro peso + 1.
Concludo. Agli studenti di seconda media che devono imparare le equazioni
può essere utile sottoporre il problema del mattone; nella vita pratica non
serve.
Cari saluti

 lì, sarebbe caduta ai piedi del filosofo. O forse no?;-).
Forse no.
In genere, le biondone di turno, hanno un loro modo di pensare (unico,
come quello di tutti noi).
Potrebbero essere incline al pensiero divergente (logico e piuttosto
sequenziale), oppure privilegiare il pensiero convergente (creativo e
tendente a valorizzare le emozioni), infine potrebbero utilizzare, di
preferenza, il pensiero laterale
(
http://www.memobase.it/pensierolaterale.asp?Id=149
).
Ma potrebbero essere delle oche giulive poco propense ad utilizzare il
pensiero, in qualsiasi modalità. In questo caso, imho, sarebbero
*impermeabili* al fascino della saggezza.
Mica per cattiveria ... non sarebbero in grado di apprezzare.
Però,
pensiero convergente, divergente, laterale o *giulivo* a parte,
imho,
le biondone di turno, presumibilmente, hanno istinti ed emozioni come
le nostre e, come a noi piacciono le biondone,
forse,
a loro piacciono i **biondoni**.
O forse no?
Ciao,
quivis.

 pensiero convergente (creativo e tendente a valorizzare le emozioni),
Rettifico: è il contrario.
Ciao,
quivis.

 serve.
Ma qui siamo sul ng di filosofia, che vuoi che ce ne importi della "vita 
pratica"! :) 

 partenza?
Secondo me, non spetta a te, o a noi, risolvere questo problema.
Almeno, non a te, o a noi, *direttamente*.
Chi trasmette la cognizione, in genere, si preoccupa di trasmetterla
correttamente e nel migliore dei modi, preoccupandosi che venga
*capita*.
Non si può pretendere che oltre alla cognizione venga trasmessa anche
la meta-cognizione, in genere non si ha il tempo per occuparsi anche di
quest'ultima incombenza.
Trasmettere la meta-cognizione dovrebbe essere un compito da svolgere
*a monte*.
Purtroppo "a monte", [diciamo che], la meta-cognizione non viene
trasmessa con efficacia [eufemismo].
Perciò, spesso, chi riceve lo strumento [cognizione] non possiede
l'istruzione [meta-cognizione] per poterlo utilizzare correttamente.
Ho notato che diversi progetti scolastici si occupano di
meta-cognizione,
però,
chi segue i corsi sulla metacognizione, in genere, è gente che
*conosce* l'argomento,
chi *ignora* l'argomento, invece, sembra che sia destinato a rimanere
*ignorante* in questa materia.
Per me, il problema ^_^ va risolto *a monte*.
O forse, no?
Ciao,
quivis.

 O forse no?
Ahimè:-). C'è però una innegabile asimmetria, secondo me, tra la relazione 
tra l'uomo e l'intellettualità della donna, e la relazione tra la donna e 
l'intellettualità dell'uomo.
La giuliva stupidità della donna, comunque e parlando in generale, è molto 
preziosa. Guai se le donne perdessero la capacità di farcene dono.
Certo, poi in genere, con le donne particolarmente giulive, finisce così: 
"cara, oggi vengono quei nostri amici a cena. Ti prego di non aprire bocca, 
mi raccomando, ché se no mi fai fare brutta figura". O, se non si ha il 
coraggio di un simile richiesta, è esattamente ciò che si spera. Giulività 
preziosa contestualmente.
Saluti,
Marco