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Titolo: "La filosofia della matematica nel Novecento"

Non so quanti di voi hanno dato una occhiata al volumetto "La filosofia
della matematica del Novecento" ad opera di Carlo Cellucci [ed. Laterza
2007].
Trattasi di un'agile ricognizione - fin troppo agile, data certa
ripetitività e schematicità del linguaggio, che la fa assomigliare ad una
serie di appunti - delle principali tesi fondazionali che, da Gottlob Frege
fino ai giorni nostri, si sono scontrate nell'ambito del problema dei
fondamenti della matematica. In più, l'autore abbozza una critica a tali
tesi, e ne propone un superamento filosofico in direzione di una concezione
sostanzialmente "pragmatica" della matematica (=la matematica non è un
insieme di verità immutabili e definitivamente acquisite dalla conoscenza,
ma un prodotto, in divenire, dell'attività umana, reso possibile dalle
facoltà intellettive dell'uomo; come tale la filosofia della matematica non
può svilupparsi isolatamente da quelle discipline che studiano il divenire,
e la configurazione, di quelle facoltà: prima di tutte, dunque, le oramai
onnipresenti "scienze cognitive" etc.etc. In più, l'autore fa ossessivamente
funzionare i teoremi di incompletezza di Goedel per corroborare la tesi
della non assoluta certezza delle verità matematiche acquisite con il metodo
assiomatico formale).
Quanto sopra, valga come una rapidissima e doverosa "recensione", qui su
ICFM, ad un'opera che, al di là di una certa fretta e sbrigatività con cui
l'autore (cui preme di mostrare che nessuna delle scuole fondazionali è
riuscita a chiarire il significato della matematica) accantona alcune tesi
fondazionali, svolge abbastanza bene la funzione per la quale è stata
concepita.
Vengo al punto. Il capitolo V, che è l'ultimo, è dedicato
all'esposizione formale dei principali concetti logici utilizzati nei
capitoli precedenti. Il paragrafo V.1.4 introduce, per la logica predicativa
del primo ordine, il concetto di "coerenza", ed espone poi le "Proprietà
della coerenza" nel modo seguente (sostituisco ai simboli le parole del
linguaggio naturale):
<<Siano G un insieme di formule e A una formula di un linguaggio del primo
ordine L.
(i) Se A non è logicamente deducibile da G, allora l'unione tra G e
l'insieme il cui unico membro è non-A è coerente.
(ii) Se non-A non è logicamente deducibile da G, allora l'unione tra G e
l'insieme il cui unico membro è A è coerente>>.
Segue la dimostrazione (per assurdo). Ora, non si sarebbe dovuto dire che
l'insieme G di cui parla l'ipotesi è *coerente*? Come escludere, infatti, se
non attraverso l'ipotesi della coerenza di G, che l'insieme di formule
risultante dalla unione tra G e (A) consente la dimostrazione di B e non-B,
dove B è una certa formula differente da A?
Oppure mi sfugge qualcosa?
Un saluto,
Marco

 Oppure mi sfugge qualcosa?
Non capisco dove sia il problema. L'autore sta dicendo che se non è 
deducibile la formula A dall'inseieme G, allora è coerente non-A in G. Di 
contro, se non è deducibile non-A dall'insieme G, allora è coerente A in G.
Per l'intuizionismo la coerenza di un insieme di assiomi dipende dalla 
consistenza dei teoremi deducibili da essi, quindi non ha senso chiedersi se 
G è coerente, piuttosto se i teoremi derivati da G confermano la coerenza e 
potenza degli assiomi di G.
K. 

 Marco
Ti sfugge il fatto che necessita un metalinguaggio di definizione
coerente.
Mi spiego, non conosco l'opera da te citata, ma conosco i linguaggi
formali e le associate grammatiche (tanto da aver progettato la
microprogrammazione di macchine digitali).
Ora le incongruenze che vedo io sono le seguenti (nella tua
esposizione):
G non è un generico insieme di regole, ma -dovrebbe- essere una
grammatica.
L è un linguaggio, ma non definisci cosa sia in senso formale
A è una formula, ma non definisci cosa sia una formula.
Provo a fare io una introduzione all'argomento:
++
Concetto di alfabeto:
++
Nei sistemi formali alfabeto è rappresentato con una collezione di
simboli.
Se un simbolo non è contenitore di altri simboli si dice "terminale" (o
atomico).
Un alfabeto terminale si indichi con Vt.
La specificazione di quali simboli contengano un alfabeto terminale si
indichi così:
Vt = [a1, a2, ...an]
++
Concetto di linguaggio:
++
Nei sistemi formali un linguaggio (artificiale) è rappresentabile come
una collezione di stringhe costituite da concatenazioni (nota:
concatenazioni = lo scrivere i simboli in modo adiacente) di simboli
appartenenti ad un alfabeto (ed è linguaggio in riferimento a un certo
specifico alfabeto).
Esempio 1:
Sia l'alfabeto
Vt1=[a,b]
allora:
L1=[ab, abb, bab]
è un linguaggio di 3 "frasi" (o di tre stringhe appartenti a Vt1), in
Vt1.
++
Concetto di grammatica:
++
Nei sistemi formali una grammatica (artificiale) è rappresentabile come
una collezione di insiemi:
G = [Vn, Vt, P, S]
Dove
Vn = alfabeto non terminale (i simboli associati si riconoscono perché
scritti in lettere maiuscole)
Vt = alfabeto terminale (i simboli associati si riconoscono perché
scritti minuscoli)
P = insieme di regole sintattiche (anche dette produzioni) che mette in
corrispondenza 
un insieme di simboli sulla sinistra di una "->" con un insieme di
simboli sulla destra
S = stringa appartenente a Vn (detta assioma)
Esempio 2:
Vn = [a, b, c, d, e, f]
P:
p1: ab -> cd
p2: cd -> ef
Nota (1):
Si sottointende che la stringa a destra della "->" sia prodotta in un
tempo successivo (stiamo trattando di macchine a stati) per il semplice
fatto di avere la stringa indicata sulla sinistra della "->".
Nota (2):
Il segno ":" si legge nella scrittura:
"p1: ab -> cd"
così:
 "p1" «è tale che» (dove tale che è ":")
quando abbiamo "ab" come status precedente "allora" lo status successivo
sarà "cd" (oppure ab "produce" cd).
Nota (3):
Le scritture formali si intendono scritte in linguistica di
metalinguaggio, ossia linguaggio formalizzato grazie a spiegazione
naturale.
Nota (4):
Può aversi anche la stringa di lunghezza zero indicata con epsilon
Nota (5):
il simbolo "|" indica "oppure, nel senso di vel, ossia in alternativa".
Quindi potremmo avere anche 
p3: ef -> gh | im
Il che si leggerebbe che ef producono gh oppure im.
Nota (6)
Ho sorvolato sulle ipotesi di cardinalità degli alfabeti, che qui non mi
sembrano essenziali per la nostra discussione.
++
Torniamo ora alla questione di partenza:
Cosa significa il termine 
"formule" nella tua esposizione?
Secondo me dovrebbe significare "stringhe"
Ma -allora- non puoi dire che G (grammatica) è un insieme di stringhe.
Perché oltre che essere un insieme di stringhe trascuri che G è anche
una collezione di regole (di produzione) e di operatori attraverso si
estrinseca la descrizione di tali regole.
(Per esempio "->" ma anche il contesto in cui "->" agisce, poiché "->"
potrebbe agire differentemente a secondo di ciò che ha sulla sua
sinistra nel produrre ciò che accadrà (nel futuro stato successivo, o
clock), in genere indicato alla sua destra, e ciò per la questione
storica di indicare a sinistra lo stato precedente, e a destra lo stato
successivo in una macchina sequenziale).
(E' insomma la vecchia questione che abbiamo un operatore, ma anche la
descrizone di come agisce un operatore, detto anche "regola").
Ed inoltre una grammatica si tipicizza a secondo dell'alfabeto prescelto
e di come si caratterizza nei simboli terminali e non terminali.
Ora tutto ciò introduce agli spazi complementari, che però hanno un
senso non generico, ma rispetto all'operazione di chiusura sulla
cardinalità degli insiemi su cui è tipicizzata la singola grammatica in
esame.
In particolare mi riferisco con la locuzione "spazi complementari" alla
modalità di nomare "non-A" (se questo fosse la tua situazione) una
stringa che sia la collezione di tutte quelle possibili, purché interne
a quelle ammissibili, che non siano la stringa A.
Spero di esserti stato di aiuto,
comunque grazie della chiacchierata,
Ciao,
L

 G.
No. Il concetto di coerenza è definito per *insieme di formule*, e l'autore 
sta dicendo che ad essere coerente (nell'ipotesi che: G sia un insieme di 
formule del primo ordine; A sia una formula del primo ordine; A non sia 
deducibile da G) è l'*insieme di formule* costituito dalla unione tra 
l'insieme G e l'insieme di formule (chiamiamolo G+A) che ha come unico 
membro la formula A.
Probabilmente tu con "non-A è coerente in G" intendi dire che, visto che per 
ipotesi A non è derivabile da G, allora non-A può essere aggiunto a G senza 
che questa aggiunzione produca una contraddizione logica. Vero. Ma non è 
questo il teorema, visto che esso si riferisce - come dicevo sopra - alla 
coerenza di un *insieme di formule*, precisamente dell'insieme di formule 
G+A.
Quello che dicevo, allora, è che alle ipotesi suddette va aggiunta l'ipotesi 
della coerenza dell'insieme di formule G. D'altra parte se G non fosse 
coerente, da esso - in base allo pseudo-scoto - potrebbe essere derivata una 
qualunque formula, dunque anche quella A che, per ipotesi, non è derivabile 
da G.
Un saluto,
Marco 

 Ti sfugge il fatto [...]
Ciao L, sono d'accordo con diversi passaggi della tua esposizione, ma - a 
meno che non mi stia sfuggendo qualcosa - non vi vedo toccata la questione 
delle "proprietą della coerenza" cui mi ero strettamente riferito nel mio 
post.
Un saluto,
Marco 

membro la formula A.
Ovviamente G+A è l'insieme di formule costituito dalla unione etc.
Marco. 

 Oppure mi sfugge qualcosa?
Il fatto è che se G è incoerente allora può dimostrare qualsiasi cosa.
Quindi l'ipotesi "G non dimostra A" implica anche la coerenza di G.
C'è poi una certa ridondanza in quel teorema: il (ii) è inutile scriverlo: è 
solo un altro modo di dire (i).
Ho comprato quel libro anni fa ma non sono riuscito a leggerlo oltre l'inizio 
perchè ero disturbato dal modo superficiale con cui venivano liquidate delle 
tesi che a mio avviso meritavano un certo rispetto :)
Ciao, buona lettura!! :) 

 liquidate delle tesi che a mio avviso meritavano un certo rispetto :)
Il libro è del 2007 (prima edizione). Beh, sì, l'autore non è esattamente un 
platonista:-). Comunque, e come dicevo, nel libro (l'ho letto tutto) c'è un 
frettoloso atteggiamento "liquidatorio" che, a volte, scade nel 
pressappochismo. Io poi non capisco proprio come ci si possa inginocchiare 
in modo così acritico ai piedi delle scienze cognitive (concetti del tipo 
"l'unica matematica possibile è quella resa possibile dal cervello umano" 
secondo me gettano fumo negli occhi).
Un saluto,
Marco 

 resa possibile dal cervello umano" secondo me gettano fumo negli occhi).
La "pars construens" non sono arrivato a leggerla (anche se se ne davano dei 
cenni anche all'inizio) quindi non mi pronuncio. Sulla filosofia della 
matematica ho apprezzato invece i libri di Pieranna Garavaso e Gabriele 
Lolli.
Ciao!! 

> "Signor K." ha scritto:

Avevo capito bene, a te interessa innanzitutto dimostrare la coerenza di G, 
perché se G non è coerente allora può essere derivato sia A sia non-A, 
proprio per la legge pseudo-scoto. Però penso che forse dovresti porre 
l'accento non tanto su G, quanto su ciò che può derivare da G. Non a caso ti 
citavo l'intuizionismo che cozza in pieno con il formalismo di Hilbert, al 
quale tu mi sembra ti stia riferimendo indirettamente. In base 
all'intuizionismo dato un assioma o un insieme di assiomi la loro coerenza è 
dimostrata dalle formule derivate da esse. Pertanto la coerenza di G non può 
che essere dimostrata dai teoremi dedotti dai propri assiomi. Detto ciò, A 
può essere aggiunto nell'insieme G (G+A) se e solo se può può essere 
deducibile la formula non-A da G. Ovvero, A non è in contraddizione con gli 
assiomi di G. Le reductio ad absurdum lavorano proprio così.
Pensa ai tentativi di Saccheri per dimostrare per assurdo (negandolo) il V 
postulato di Euclide. Le possibilità erano due: gli angoli delle due rette 
secate da una retta incidente possono essere ottusi o acuti. Saccheri 
dimostra che se sono ottusi, le due rette si incontrano, proprio come 
dichiarava anche il V postulato Ma dimostrava anche che nel caso degli 
angoli ottusi la somma degli angoli di un triangolo è superiore a 180°, 
contraddicendo il corollario del V postulato che diceva: "la somma degli 
angoli di un triangolo è sempre di 180°". La negazione del V postulato 
(non-A) non è deducibile da G, quindi A è corente in G - legge del terzo 
escluso.
K. 

 Marco
Come penso tu ben sai, caro Marco, molti strumenti della logica formale
con Frege, Godel e compagnia furono dimostrati proprio grazie alle
impostazioni di persone come Turing, il padre degli automi a stati
finiti formali.
Ora per evitare che si parli per 3 o 4 persone, ed in particolare magari
dicendo le stesse cose, ma separati da uno iato basato da un diverso
formalismo, aggiungo un link:
http://209.85.135.104/search?q=cache:uDrtuNK94gsJ:www.associazioneasia.it/cgi-bin/adon.cgi%3Fact%3Ddoc%26doc%3D525%26sid%3D92+coerenza+grammatica+linguaggio+logica+formale&hl=it&ct=clnk&cd=2&gl=it&ie=UTF-8
(è da mettere tutto sua una riga)
In questo articolo si tratta anche la questione di cosa sia la coerenza
e il processo storico in cui è vista nella logica formale.
++
cit on
++
la coerenza: una caratteristica essenziale di un sistema formale è la
coerenza, cioè l’impossibilità di derivare una proposizione e il suo
opposto; anche perché, se un sistema non è coerente, al suo interno si
possono dimostrare tutte le proposizioni, e quindi diventa
sostanzialmente inutile.
++
cit off
++
Io penso che non si debba mai temere di risultare comprensibili.
Naturalmente -se si è comprensibili- si potrebbe platealmente avere la
circostanza di dire cose verificabilmente incoerenti ..
: - )
Ma è il prezzo che bisogna pagare per fare scienza.
Ossia cose che tutti possono capire.
Spero che avrai apprezzato il mio tentativo di "allargare" la platea di
coloro che vogliano seguire il discorso.
Detto ciò non mi hai ancora risposto se G sia una grammatica.
Perché "se lo è" non è semplicemente una collezione di rappresentazioni
dette formule.
Nell'articolo troviamo:
++
cit on
++
Analizziamo più in dettaglio un sistema assiomatico formale; esso ha
bisogno di[4]:
1.    un insieme di simboli, che rappresentano l’alfabeto del linguaggio
formale; 
2.    un insieme di proposizioni realizzate con i suddetti simboli, che
rappresentano le formule ben formate, cioè le formule che sono
correttamente costruite con il linguaggio a disposizione[5];
3.    un insieme di formule ben formate chiamate assiomi;
4.    un insieme finito di regole di deduzione (o di inferenza), che
permettano di dedurre formule ben formate come diretta conseguenza di
altre formule ben formate.
++
cit off
++
Quindi "formule" di Frege in logica formale, equivalgono alle "stringhe"
della linguistica di Chomsky, ad esempio.
Inoltre un altro punto spesso trascurato è che anziché L = linguaggio,
si dovrebbe scrivere L(G), ossia Linguaggio che rispetta la grammatica
G.
Ti riporto la definizione di Crespi su "Linguaggi Formali e Compilatori"
ed ISEDI:
++
cit on
++
Il linguaggio L definito sulla grammatica G è l'insieme di tutte le
forme di frasi di G [ottenibile da stringhe S dette assiomi, costituite
da concatenazioni in Vt (alfabeto simboli terminali), in cui le
implicazioni grazie a regola (implicazioni dette "->") vedono G come
regola]. 
++
cit off
++
La questione della coerenza di G è detta in letteratura anche "carattere
ben formato" di G.
Quindi la buona notizia è che è vero che "G deve essere coerente" (come
anche tu affermavi), altrimenti non staremmo parlando di logica formale.
C'è da aggiungere -peraltro- che il discorso più interessante non si
chiude qui.
Nella teoria degli automi c'è chi affronta anche i concetti di
transizioni stocastiche, per esempio Markov.
Ora ci si potrebbe chiedere:
"Ma una transizione da uno stato ad uno successivo, che non è fissata in
modo assiomatico -ma in modo probabilistico- è ancora interna ad una
rappresentazione scientifica?"
Faccio notare che dire "transizione" nella teoria degli automi equivale
a dire "produttoria" nella teoria dei linguaggi, o generazione di
"formule" nella teoria dei Logici.
Ebbene a me risulta che tale "incorenza" di generazione di
rappresentazioni, ha ancora una sua utilizzabilità sebbene non più
deterministica.
Là dove si ferma -apparentemente- la logica eppure è utilizzabile ancora
una analisi .. sebbene non su singoli frasi "ben formate" ma su più
vaste quantità di dati -stavolta- attese (come "valore atteso"), oppure
devianti dal valore atteso (deviazioni standard), che evolvono verso uno
stato finale probabilisticamente.
Un argomento, insomma, molto interessante, poiché prima della logica vi
è l'intuizione, l'estrapolazione, l'idea, l'eureka.
Saluti,
L

 wrote:

Garavaso e Gabriele Lolli.
Non conosco la Garavaso. Di Lolli, invece, ho apprezzato diversi anni fa 
(ahimé, una quindicina!) una eccellente, e per me illuminante, introduzione 
a Goedel.(mi pare che adesso abbia dato alle stampe un nuovo libro su 
Goedel).
Un saluto,
Marco 

 significa falsificare quel condizionale.
Lino:
Ti vorrei proporre una chiave di lettura, caro Marco:
Se noi trattiamo "i sistemi astratti" = "sistemi fisici" se ne possono
avere dei paradossi.
Ossia un sistema astratto può indicare una molto vasta collezione di
oggetti fisici, ma da un preciso oggetto fisico  non possiamo dedurre le
stesse cose che dedurremmo da un "sistema astratto" se tale sistema
fosse più esteso della/delle implementazioni fisiche.
Perché questo preambolo?
Perché si perdono un po' i connotati di come si "costruisce" o un
oggetto fisico, vel, un modello astratto, se non si fa una distinzione
tra astrazione e rappresentazione sul reale.
Quindi ipotizziamo di "costruire G".
Se G1 che stiamo costruendo (chiamiamo -per specificare meglio- G1, il
modello astratto, G2 l'associato oggetto fisico) è un modello astratto,
allora, fissiamo degli assiomi, nel senso che diciamo cosa sia
ammissibile come stato di fondazione considerato interno a quella
rappresentazione.
Se non lo facessimo (di fissare gli assiomi, e le ipotesi di fondazione)
e volessimo dimostrare la validità di tali assiomi se ne avrebbe che ci
necessiterebbe partire -a ritroso- da qualche altra cosa e quindi il
procedimento non convergerebbe mai.
Per visualizzare come tale fatto non sia una "astrazione", ma una cosa
implementabile su un oggetto fisico, G2, si pensi al concetto di stato
NOP, ossia di stato Not Operational, stato non operativo, o anche detto
stato di riposo, o stato iniziale di un automa (ad esempio di una
memoria).
La memoria, viene inizializzata alla configurazione iniziale in genere
con tutti i bit a zero.
Ebbene -nella programmazione- si usa porre che finché gli inputs sotto
test (le stringhe di ingresso se la macchina è sequenziale)  rimangono a
zero, allora, si rimarrà nello stato NOP.
Che la macchina "in principio" fosse NOP è un assioma nel nostro
modello.
Ci crea ciò un problema di coerenza?
Io penso di no.
Poiché se -per esigenze di altra natura- dovessimo usare un altro stato
NOP (per esempio tutti i bit = 1) basterà specificare ciò come ipotesi
di fondazione dell'associato modello astratto.
Il problema di Godel e soci di automatizzare la "dimostrabilità" di
"frasi" come appartenenti a L(G), se lo guardiamo da un altro punto di
vista, ossia dal punto di vista dei generatori/riconoscitori linguistici
(automi, compilatori, sistemi operativi, etc) è la questione se tramite
un sistema di regole è gestibile sia la produzione che il riconoscimento
di stringhe come appartenenti a quelle che "significhino" qualcosa
nell'oggetto fisico in cui saranno utilizzate.
Per semplificare "l'intuizione" di capire di cosa stiamo parlando si
pensi che "tutte le configurazioni (prodotte & riconosciute) siano
espresse in parallelo anzichè in serie".
Ora si pensi che l'automa sia in un generico stato di partenza al tempo
tx, detto s(tx), e legga lo stato s(tx) ed inoltre l'input i(tx) [tale
input è la formula, o stringa, o ingresso nel generico stato di test].
Se è stato previsto -come programmazione dell'automa- quale sarà lo
stato successivo e l'associato output, che poi sarà l'input nel
successivo clock (grazie al feedback delle macchine sequenziali), allora
la macchina sarà coerente e ben formata.
Se *non* è stato previsto -come programmazione dell'automa- quale sarà
lo stato successivo e l'associato output, allora, avremo un automa
stocastico, ossia incoerente, che produce stringhe o formule non ben
formate.
Siamo in grado di progettare degli automi folli?
In effetti la follia è del progettista:
Se il progettista condiziona lo stato successivo e l'associato output a
eventi che non ha esaminato in modo deterministico, allora,
apparentemente è l'automa che è pazzo, ma -in realtà- è il progettista
che è un criminale.
Infatti laddove si genera una possibile evoluzione stocastica che
_invece_ dovrebbe essere un sistema di controllo di un processo
affidabile e magari pure tollerante il guasto -in generale- ben formato,
si sta dicendo che non possiamo permetterci che il risultato sia
lasciato al caso.
Quindi dalla mia analisi ne viene fuori che effettivamente si devono
esaminare delle ipotesi di fondazione di cosa debba fare l'oggetto
fisico che progettiamo in primis in un modello, ma la difficoltà NON è
nel processo di ricorsione indietro delle ipotesi di fondazione che non
avrebbero a loro volta un carattere bene formato, in quanto non vi
sarebbe un impianto di prefondazione a testarlo.
L'intrinseco carattere di robustezza deterministica è garantito dal
fatto che tutte le configurazioni generabili/riconoscibili siano
nell'insieme di quelle ammissibili, ossia per cui _si è previsto cosa
succeda_ (grazie alla programmazione, attività -la programmazione- che
avviene in sede di progetto) se avvengano.
C'è da dire infine che man mano che i processi divengono sempre più
complessi e debbano fare i conti con il test di processi stocastici
(quanto meno in input agli automi), c'è sempre la più forte tentazione
di non esaminare tutte le configurazioni che potrebbero occorre e
selezionare esplicitamente quelle ammissibili (ossia predeterminare
-grazie al progetto- cosa debba succedere, se si verificano).
In specie nei processi AI e che prevedono una sorta di autoapprendimento
degli automi nel confronto con il reale.
Ma la difficoltà può essere superata prevedendo "i limiti" dentro cui si
può muovere l'automa, ossia fissando un'etica.
Grazie dell'occasione,
L

 Goedel).
Su Godel segnalo oltre al famoso libricino di Nagel e Newman quest'altro 
libricino (credo non tradotto):
http://www.amazon.com/Godels-Theorem-Incomplete-Guide-Abuse/dp/1568812388
Ciao!! 

 deducibile la formula non-A da G.
"_non_ può (essere dedotta)", giusto? Qui si pone però un problema di cui le 
indagini fondazionali, specie l'intuizionismo cui hai fatto giustamente 
riferimento, sono ovviamente consapevoli.
Per sapere che non-A non è deducibile da G, dovremmo conoscere la totalità 
delle conseguenze logiche degli assiomi. Proprio questo problema Hilbert 
cerca di aggirare, attraverso la dimostrazione metamatematica che i 
*procedimenti dimostrativi* disponibili in una determinata teoria non 
consentono, stanti gli *assiomi* della teoria, di derivare contraddizioni.
Un saluto,
Marco 

 teoria, di derivare contraddizioni.
Hilbert era molto ambizioso: non solo voleva dimostrare questo ma voleva 
farlo utilizzando una porzione limitatissima della matematica.
Ciao!! 

 
http://www.amazon.com/Godels-Theorem-Incomplete-Guide-Abuse/dp/1568812388
Ottimo che il titolo faccia riferimento all'*abuso* dei teoremi di Goedel. 
Te ne segnalo un altro, di un filosofo italiano molto rigoroso:
http://www.internetbookshop.it/code/9788842085904/berto-francesco/tutti-pazzi-per.html
Un saluto,
Marco 

 farlo utilizzando una porzione limitatissima della matematica.
Già: la "matematica finitaria" - l'unica porzione della matematica che 
Hilbert considerava contenutisticamente sicura in quanto fondata 
sull'intuizione. Garantire la sicurezza della totalità della matematica, 
utilizzando i metodi della matematica immediatamente sicura.
Un saluto,
Marco 

 
http://www.internetbookshop.it/code/9788842085904/berto-francesco/tutti-pazzi-per.html
Grazie della segnalazione, non lo conoscevo.
Ciao!! 

 pensare.
Beh, sì. Non ho letto quel libro, ma sappiamo che ci sono usi dei teoremi di 
Goedel che non sono altro che abusi. Per come l'ho sempre vista io, il 
fondamento di ogni abuso dei teoremi di Goedel e dei risultati 
logico-matematici in generale, è costituito dalla dimenticanza della 
rigorosa distinzione tra il formalismo logico-matematico in cui un teorema 
consiste, e le sue interpretazioni più o meno "filosofiche". Una 
dimenticanza spesso favorita dalla divulgazione.
Un saluto,
Marco

 è l'intuizione, l'estrapolazione, l'idea, l'eureka.
Per come la vedo io, la logica ha una sola meta-regola, ed è quella della 
identità. E allora l'intuito, l'ideato è prima della sua identità con se 
stesso?
Un saluto,
Marco

 stesso?
Per come la vedo io l'identità è una astrazione di semplificazione e la
logica funziona anche senza il concetto che A=A, cosa che non aggiunge
nulla essendo una tautologia (come dire che "Sanremo è Sanremo!").
Il mio approccio?
A(t0) è circa A(t1).
L'errore medio misurato è stato rivelato secondo il protocollo
depositato in allegato1
La deviazione standard dal valor medio è stata rivelata secondo il
protocollo depositato in allegato2.
etc etc.
Proprio in ciò si contempla che la schematizzazione A=A è solo cercata
ma non posseduta, quindi necessita l'intuito di capire cosa è mutato nel
processo di metamorfé che vorremmo immobile -> perché noi lo si possa
dominare (magari una volta per tutte, ma è volere mentire a se stessi,
nel migliore dei casi -così facendo (pensare che un qualcosa si possa
ripetere esattamente)- mentre è essere fuori di testa nel peggiore, cosa
che non penso sia il tuo caso, visto che mi offri un franco confronto e
il dire non mi sembra un riflesso condizionato).
Ma il dominio sull'esattezza e sulla verità è una utopia (magari un
modello _astratto_), mentre la misura un atto di umiltà e l'eureka molto
vicino alla teofania, poiché un ente potrebbe addirittura plasmarsi
nell'ideazione, anziché nella stereotipazione.
Saluti e alla prossima,
L

 dimenticanza spesso favorita dalla divulgazione.
Anche il modo in cui il teorema viene espresso con parole colloquiali
piuttosto che con termini tecnici tende a indurre false credenze.
Comunque non è tanto la parte sugli abusi che mi ha interessato (anche perchè 
è fin troppo facile criticarli) quanto piuttosto l'approfondimento sulle 
sfaccettature e le sottiglezze che stanno dietro a questi teoremi. Cito a 
titolo di esempio alcuni fatti non noti e presumibilmente degni di 
attenzione:
* La coerenza è una proprietà debolissima. Anche se Hilbert avesse dimostrato 
in modo convincente che una qualche teoria degli insiemi è consistente questo 
non poteva comunque essere considerato un fondamento matematico valido per 
poter dedurre la verità dei teoremi di questa teoria, neppure quando essi 
parlano solo di "numeri naturali".
* Le caratteristiche che deve avere una teoria perchè valga il secondo 
teorema di Godel non sono le stesse necessarie per il primo: si possono 
esibire teorie aritmetiche (molto deboli) in grado di dimostrare la formula 
che esprime la loro coerenza (cioè per cui il primo teor. è vero ed ils 
econdo è falso).
* E' possibile dimostrare il primo teorema di incompletezza anche senza fare 
alcun ricorso a formule "autoreferenziali", sfruttando la teoria della 
calcolabilità.
* Le principali teorie in cui valgono il primo e il secondo teorema - come la 
teoria assiomatica degli insiemi (ZFC) o l'aritmetica dotata del principio di 
induzione (PA) - vanno molto molto vicini a dimostrare la propria coerenza, 
poichè:
(1) dimostrano la coerenza di qualsiasi sottoinsieme finito dei loro assiomi
(2) dimostrano (1)
(3) dimostrano che che se ogni sottoinsieme finito di assiomi è coerente 
allora la teoria è coerente
Ciao!! 

 teoria, neppure quando essi parlano solo di "numeri naturali".
Credo che qui l'autore faccia riferimento alla insufficienza della coerenza
per la verità. Hilbert era invece convinto non solo (anche se ci sarebbe da 
discutere) che la contraddittorietà di un sistema di assiomi garantisse 
l'esistenza matematica degli enti implicitamente definiti dagli assiomi - ma 
anche che la non-contraddittorietà equivalesse alla verità. Assiomi non 
contraddittori sono veri. A questo punto la dimostrazione della coerenza 
degli assiomi sarebbe la dimostrazione della loro verità; le regole logiche 
ci garantiscono il passaggio da verità a verità, per cui le conseguenze 
inferite da assiomi coerenti sarebbero necessariamente vere.
Un saluto,
Marco 

 inferite da assiomi coerenti sarebbero necessariamente vere.
L'autore in realtà allude ad un fatto puramente matematico. Si possono
esibire esempi di teorie coerenti "rivali" che siano in disaccordo sulla
verità di un qualche enunciato aritmetico indimostrato (sfruttado il teorema 
di Godel è facile: si considerano T+Coer(T) e T+non-Coer(T)). Evidentemente 
non possono
essere entrambe ugualmente valide (a meno di non voler ritenere che la 
"verità" è frutto di convenzione). Se ne deduce che la sola coerenza è 
insufficiente per dedurre qualcosa sulla verità dei teoremi della teoria.
Ciao!!