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Titolo: Paradosso di Zenone - la dicotomia

Mi baso sulla pagina di Wikipedia inglese 
https://en.wikipedia.org/wiki/Zeno%27s_paradoxes#Dichotomy_paradox
 (a 
casa non ho libri di filosofia).
 
La prima difficolta' che riesco a superare solo parzialmente e' che 
secondo me bisogna distinguere tra i concetti che aveva in mente Zenone 
e quelli che concepiamo adesso noi (dopo 2500 anni di pensiero 
matematico). Ma la distinzione mi pare possibile solo in maniera 
parziale, perche' i concetti che Zenone aveva in mente potrebbero essere 
proprio quelli rilevanti.
 
Riassumo il paradosso. Supponiamo che un oggetto in moto stia viaggiando 
da un punto ad un altro. Per raggiungere il secondo punto, deve prima 
raggiungere il punto a meta' del cammino. Questo ragionamento si puo' 
iterare per il nuovo punto.
 
Ora a partire da questo mi pare che Zenone concluda che il movimento e' 
impossibile. Capisco che il ragionamento e' "una sequenza infinita di 
eventi e' impossibile", ma il ragionamento e' esclusivamente questo o ci 
sono dettagli che mi sfuggono? La mia sensazione e' che la dimostrazione 
dell'impossibilita' sia incompleta ... ma al tempo stesso di confusione 
nella mia testa: troppi concetti, faticoso tenere separati assiomi, 
logica e intuizione.
 
Do per buono che tutti sappiano come sommare una serie convergente 
infinita (nel senso a questo dato dalla matematica di oggi).
 
Idee?


certo
 
Zenone per restare fedele a Parmenide
non tiene abilmente in conto il
rapporto indissolubile
fra spazio e tempo.
Ci parla di spazi ma non di velocità.
Riduciamo ad assurdo la sua conclusione
colmando la lacuna di premessa che
ne fa un sofisma  cioè indicare
nelle ipotesi la velocità.
Achille corre a una velocità di 5 m/s
la tartaruga a 5 cm/s.
Il vantaggio è di 10 metri.
Dopo dieci secondi Achille ha percorso 50 m
e contemporaneamente la tartaruga
ha percorso 10,50 m dallo start.
Achille torna sul podio...
perchè?
Perchè solo il pensiero può scindere
spazio e tempo ma la realtà è
ben diversa, soprattutto fra
prede e predatori.
 
ciao
Massimo

Il 08/02/20 19:22, JTS ha scritto:

Ci sono due fatti da esaminare:
 
(1)
1° fatto: cosa intendiamo con velocità?
 
Se un corpo è nel suo stato di quiete (senza che siano applicate forze 
esterne) viaggia a velocità costante.
 
Per avere tale velocità costante NON serve avere una forza applicata. La 
erronea esperienza che serve applicare una forza per muove un corpo 
anche su ruote, discende dalla nostra esperienza sul nostro pianeta, ,a 
dipende dal fatto che la massa del nostro pianeta applica delle "forze 
esterne" ad un corpo che sia preso in esame.
 
Quindi sebbene non vi sarà MAI la totale assenza di applicazione di 
forze esterne, tuttavia, se ci portiamo a ragionevole distanza dal 
nostro pianeta vedremo che l'azione della gravità possa considerarsi 
circa zero essendo tra due masse:
 
F=GmM/r^2
 
Quindi all'aumentare di r avremo che F -> 0,  quando r aumenta.
 
++
 
(2)
2° fatto cosa intendiamo con continuum?
 
Ora nelle condizioni di osservare un corpo nel suo stato di quiete e 
quindi in movimento, ci dovremmo chiede come fa a percorrere il continuum.
 
Infatti -secondo alcuni modelli matematici- e NON secondo tutta la 
matematica, ha senso descrivere il moto nel continuum, è questa la 
modalità ad esempio di Leibniz, ma non di Newton.
 
NON dobbiamo però saltare il fatto che le forze esterne non saranno MAI 
zero.
 
Siamo noi che abbiamo supposto di poterle trascurare.
 
Se infatti in tutto il cosmo esistessero solo 3 corpi identici di massa m,
 
il corpo centrale equidistante dagli altri due avrebbe 1 solo punto di 
larghezza infinitesima in cui è in equilibrio.
 
Se anche fossero fermi tutti e tre, il moto di quello centrale potrebbe 
misurarsi solo se le masse esterne sono ferme e il centrale è in moto.
 
Ma ciò crea una asimmetria, e quindi l'azione di una forza dei corpi 
esterni ad applicare una forza sul corpo centrale ad "attirarlo" a 
ritornare alla equidistanza.
 
Quindi anche in un caso di assenza di azione di forze esterne in cui 
però esistano altri corpi oltre a quello che viaggia, tale punto sarebbe 
1 solo e da ciò discende che nei casi reali necessita sempre applicare 
una forza anche minima per creare il movimento.
 
++
 
Dimostrazione che Zenone ha torto nel reale:
 
Dimostrerò ora che in queste ipotesi che un corpo non è in grado -in 
base al 3 principio della dinamica- di generare incrementi 
infinitesimali di applicazione di una forza.
 
Siamo giunti infatti alla configurazione che "lasciato a se stesso un 
corpo lontano da sorgenti gravitazionali, l'azione di rallentamento alla 
minima attrazione è scarsa, ma non zero.
 
Ciò significa che con l'aumento del tempo il corpo tenderà a variare di 
velocità ed entrare nell'orbita di un corpo maggiore M che trovasse 
lungo il suo percorso.
 
Come opporsi alla azione gravitazionale di M, dove m < M?
 
Abbiamo detto grazie al principio di azione e reazione, e cioé ai 
cosiddetti motori a reazione, che ad esempio bruciano idrogeno.
 
Ma l'idrogeno non è una quantità infinitesima che si può ridurre a piacere.
 
Dunque una azione infinitesima è impossibile anche in ipotesi di 
manipolare quantità sempre minori di sottoparti dell'idrogeno, poiché 
sotto parti di un quantum di energia non saranno MAI infinitesime, se 
non in un tempo infinito.
 
Dunque in un tempo reale, il quantum di incremento del moto non sarà mai 
zero.
 
Da cui cade l'ipotesi di Zenone che un intervallo del moto possa essere 
sempre diviso per due.
 
Né le successioni convergenti descrivono i moti ordinari, perché gli 
incrementi di applicazione di una forza non sono infinitesimi ma 
quantizzati.
 
cvd.
 
Corollario:
TH:
E' sempre la matematica che si deve "piegare alla fisica" e non il 
viceversa.
 
Altrimenti parliamo di cose astratte, e non del reale.
++
 
Commento al Corollario:
 
Se infatti è vero che non avremo mai una conoscenza perfetta del reale 
per confrontarlo con il modello matematico .. tuttavia .. è pur vero che 
il modello matematico ci darà delle descrizioni che potremo confrontare 
con l'ente o evento fisico per verificare se la "teoria" si discosta dal 
raccontare la realtà e quanto sia il gap.
 
Potrei raccontare che l'uso della matematica è come eseguire una musica.
(sia la matematica che la musica sono solo dei linguaggi).
 
Ma non sono i suoni che danno la emozione, ma solo il rinvio a entrare 
nella mente di chi si esprimeva dicendo quelle cose musicali.
 
Nel contempo:
 
da un lato .. potere seguire con la mente una costruzione (musicale) 
magari di interesse ..
 
dall'altro lato della descrizione .. potere lamentarsi di quanto poco 
sappiamo del perché ogni cosa ci sembra ciò che ci sembra .. del come 
-normalmente- ci basti accontentarci della parte emersa dell'iceberg di 
Kant.


Ciao Lino, penso che sia necessario fermarci gia' a questo punto, se 
vogliamo capire in che cosa consistono i paradossi di Zenone. Tutte le 
considerazioni di fisica che fai seguire ovviamente gli sarebbero 
estranee e incomprensibili; a differenza naturalmente di tutti noi qui 
dentro, che abbiamo capito tutto:-))).
Velocita' e continuum, questi i due concetti chiave e centrale e' la tua 
domanda al punto 1°. Lo e' in particolare per il paradosso di Achille, 
che e' il piu' famoso, il piu' "spettacolare" diciamo, ma non il 
fondamentale. Basta infatti porre che la tartaruga sia ferma e il 
paradosso e' riducibile a quello della freccia, che a sua volta e' 
riducibile a quello della dicotomia (e' questo infatti il fondamentale).
Tuttavia, per quanto riguarda la velocita', il rapporto tra spazio e 
tempo, il nocciolo logico del paradosso e' piu' immediatamente visibile 
in quello della freccia. Lo riporto (come altrove ho gia' fatto) nelle 
parole di Simplicio, in fondo(*).
"Nulla si muove nell'istante", ed essendo fatto di infiniti istanti il 
tempo impiegato dalla freccia per andare da A a B, la freccia F e' 
sempre ferma. Ci sono vari modi per smontare questo paradosso 
utilizzando *gli stessi* strumenti concettuali di Zenone e limitandosi 
esclusivamente ad essi, che sono i 3 concetti di spazio, tempo e 
continuum. Uno e' quello che risponde alla tua domanda al punto 1°: 
cosa intende *Zenone* per velocita'? Vale a dire: se la freccia F e' 
lunga un metro, qual e' il rapporto tra la freccia in movimento nei vari 
istanti (F1, F2,..., Fn) e il tempo in istanti? Puoi rispondere tu 
stesso, vedendo dove sta il paradosso e come possa essere volto in 
sofisma, senza ricorrere ne' a Leibniz, ne' a Newton, ne' a tutte le 
considerazioni della fisica moderna che fai tu e che sono lontane 
millenni  da quelle che erano di Zenone.
Un saluto,
Loris
 
(*) <<Il ragionamento di Zenone, assumendo che tutto ciò che è lungo uno 
spazio uguale a sé o si muove o è in quiete, e che nulla si muove 
nell'istante, e che sempre il mosso è lungo uno spazio uguale a sé in 
ogni istante, pare che proceda così: la freccia che si muove, che è in 
ogni istante lungo uno spazio uguale a sé, non si muove dal momento che 
nulla si muove nell'istante; ma ciò che non si muove è in quiete, dal 
momento che tutto o si muove o è in quiete; allora la freccia che si 
muove finché si muove è in quiete per tutto il tempo della traslazione. 
Ma che c'è di più paradossale di una cosa simile?>> (in "I presocratici" 
a cura di A.Pasquinelli, Einaudi, 1976)


Proprio dal partire in quarta con il concetto di serie infinite convergenti verso una "somma" dobbiamo astenerci, per comprendere il paradosso e tentarne una valida confutazione; al più, dovremo sgombrare *preliminarmente* il terreno per l'applicazione successiva di quel concetto, che dovrà mostrarci come e sotto quali condizione una somma infinita di sotto-intervalli ha un valore metrico finito.
Sia AB l'intervallo di spazio che comincia in A e finisce in B e che il corridore deve coprire. La dicotomia è iterabile all'infinito (perché tra due punti ne cade sempre un altro), per cui il *punto iniziale* A del moto non verrà mai raggiunto dal procedimento. Ciò significa che alla sequenza infinita di sotto-intervalli svelata dalla dicotomia *non appartiene* il punto A: *nessuna* delle progressive divisioni "per metà" darà luogo ad un sotto-intervallo che contiene il punto A come suo estremo. In sostanza il paradosso sfrutta l'irraggiungibilità di A *da parte del procedimento dicotomico* per mostrare che, *dunque*, dietro il raggiungimento del punto finale B da parte del corridore ci sarebbe un *passato infinito*, cioè una infinita quantità di tempo. Le uniche confutazioni valide sono quelle che si preoccupano di confutare quel "dunque". 
 
Un saluto,
 
Marco

 prede e predatori.
 
Beh Massimo, sarebbe un bel *paradosso* se Achille riuscisse a raggiungere la tartaruga in movimento (dunque con una sua velocità, inferiore a quella di Achille), ma non ci riuscisse se la tartaruga fosse ferma, come mostra il paradosso della dicotomia:-). Dunque - vedi anche quanto detto da Loris - è proprio il paradosso della dicotomia che va affrontato di petto.
 
Un saluto,
 
Marco

 Marco
 
ciao
Massimo

 e ottenere risultati migliori.
 
Ricordo sì. Tempo di esposizione dell'otturatore. L'otturatore meccanico della mia macchina scendeva fino a 1/8000:-)

La "sensibilità" della percezione umana è regolata da una soglia temporale minima, e di questo si fanno forte quei filosofi, amici del continuo matematico, che ritengono che la percezione temporale non possa funzionare come base per comprendere la struttura del continuo. In questo video i dominatori del pianeta si divertono a lanciare una slitta, su un binario, a quasi nove volte la velocità del suono: 
https://www.youtube.com/watch?v=UuYIbYVLF4k
 
Se la slitta ipersonica, moderno Achille, concede un vantaggio alla tartaruga, è poi in grado di raggiungerla? Ecco, per fare un dispetto ai più bravi della classe si potrebbe pensare di difendere a oltranza Zenone:-). Se connetti spazio e tempo introducendo esplicitamente nella descrizione della situazione di Achille e la tartaruga la maggiore velocità del primo rispetto a quella della seconda, il ragionamento di Zenone continuerà a dire che per ogni incremento dello spazio percorso da Achille, lo spazio percorso dalla tartaruga continuerà a sporgere oltre e dunque a non appartenere completamente al primo. E sarebbe un ulteriore paradosso, come dicevo, se Achille potesse raggiungere la tartaruga solo se questa rimanesse ferma ai blocchi di partenza, magari perché ha trovato una foglia di insalata.
 
Un saluto,
 
Marco  

 E sarebbe un ulteriore paradosso, come dicevo, se Achille potesse raggiungere la tartaruga solo se questa rimanesse ferma ai blocchi di partenza, magari perché ha trovato una foglia di insalata.
 
già ma il paradosso
parla di una "gara" fra Achille
e la tartaruga.
E ognuno ha una velocità.
Posso fare il calcolo dell'istante
in cui Achille raggiunge la tartaruga
ma con l'istante siamo daccapo.
Invece, dal punto di vista geometrico,
è interessante vedere come due
segmenti diventano consecutivi.
 
<<Si dicono segmenti consecutivi due segmenti che hanno uno e un solo 
estremo in comune, tale da essere l'unico punto in comune tra i due 
segmenti. In alternativa possiamo definire segmenti consecutivi due 
segmenti incidenti il cui punto in comune è un estremo per entrambi>>.
 
Ora mettiamo che questi due segmenti
siano il passato e il futuro...
se li distanzi hanno un punto estremo
in comune? mi sa che sono due punti distinti.
E allora come fanno ad avere un punto
in comune?
Vedi? Senza matematica bastano
le definizioni geometriche
per entrare nel paradosso.


 
 
Ok, quindi il punto chiave e' proprio questo. Al resto dei post (tuoi e 
di Loris de Rosa, thread successivo su Russell e Zenone) rispondo con 
calma nei prossimi giorni.

 piuttosto il punto cruciale e' che ci sono infiniti punti B' (B primo).
 
Ma ce ne sono infiniti *perché* A non può essere raggiunto dal regresso, e questo perché tra due punti qualunque ne cade sempre uno che segna la metà del segmento di cui essi sono estremi. Se infatti il regresso raggiungesse A, il punto iniziale, allora il percorso da A fino alla metà del segmento AB si mostrerebbe *compiuto*. 
 
Il paradosso fa cioè leva sulla irraggiungibilità del punto *iniziale* A *nel regresso*. Questo è un aspetto punto assolutamente decisivo per capire il ragionamento di Zenone, proprio perché l'argomentazione potrebbe lasciare davvero interdetti. Uno infatti potrebbe pensare: "ma come? Zenone vuole mostrare che il corridore non riuscirà mai a raggiungere *B*. E qui si sta invece dicendo che il paradosso fa leva sulla irraggiungibilità del punto *iniziale* del moto??". E invece è proprio così, perché l'argomentazione intende mostrare, come dicevo sopra, l'impossibilità che la distanza *sia stata percorsa* (in un tempo finito, potremmo aggiungere pleonasticamente). Impossibilità che l'argomentazione ricava proprio dalla irraggiungibilità di A *nel regresso*. E cosa significa che A è irraggiungibile nel regresso? Significa che il regresso non incontrerà mai un *ultimo* sotto-intervallo di spazio di cui A sia l'estremo inferiore (se consideri l'ordinamento "crescente").
 
Marco

 infinitesimo. Quant'è in metri un infinitesimo?
 
A è ovviamente l'estremo inferiore del segmento AB. Ma il ragionamento dicotomico ubbidendo alla "legge" del "prima di" procede all'indietro *verso* A, senza poterlo raggiungere. Raggiungerlo significherebbe mostrarne l'inclusione nell'"ultimo" sotto-segmento. La nozione di infinitesimo qui corrisponde alla entificazione della distanza residua da A che il ragionamento dicotomico regressivo non riuscirà mai ad abbattere in saecula saeculorum:-). Entificazione come sai assurda, perché questa distanza, nel suo concetto, *dipende* dal regresso 
 
Un saluto,
 
Marco 

Il 14/02/20 08:20, Omega ha scritto:

Condivido al 100% quello che ha scritto Omega.
 
Ma la questione non è di opinioni.
 
Perché ne nasce un paradosso agganciato -nel senso di conseguente- al 
fatto che "primo paradosso": "con gli infinitesimi il reale non percorre 
distanze".
 
Il nuovo paradosso (2° paradosso) è questo:
"mostrare nella fisica che i corpi -invece- si muovono".
 
Era questa all'epoca la risposta muta nelle parole e mostrata nei fatti 
di chi diceva che la teoria del moto non aveva un modello possibile.
 
I critici della teoria infinitesimale .. camminavano davanti a coloro 
che dicevano che il moto era impossibile.
 
Ora è Newton -nella nostra epoca- che infrange gli infinitesimi.
 
Si potrebbe pensare che Leibniz era come Dio perché non lasciava nessuna 
quantità trascurata, e ciò è durato fino ad Einstein e dura anche oggi.
 
Provate a chiedere ad una persona laureata in fisica se la Relatività 
Generale di Einstein (RG nel seguito) non sia una teoria infinitesimale.
 
Vi risponderà che è vero: "la RG è grazie al calcolo infinitesimale".
 
Questo assunto, prima dell'avvento dei computer era teologia.
 
Se leggete le riviste di fisica, oppure anche solo la rivista "Le 
Scienze" trovate:
 
"Confermata la RG di Einstein per esempio sulla predizione delle onde 
gravitazionali, o sulla impossibilità della luce di uscire dai buchi 
neri" etc.
 
E se si fregiano di scrivere le equazioni di Einstein vi danno equazioni 
che si basano sul calcolo in infinitesimale.
 
Ora chiedete agli stessi fisici (laureati) se hanno mai provato a 
tracciare su un plotter (un disegnatore pilotato da un computer) un 
grafico implementato con le equazioni di Einstein.
 
Quelli che vi hanno detto che le equazioni di Einstein descrivono una 
realtà infinitesimale, vi risponderanno:
 
"No, non personalmente io" .. nel senso che non sono stato io a scrivere 
il software per realizzare il grafico.
 
Quindi negli ultimi 100 anni è successo qualcosa che né Zenone e né 
Russell potevano prevedere: la interazione uomo macchina.
 
Normalmente sono le macchine che imparano dall'uomo, ma è anche 
l'inverso: l'uomo ha cose da imparare dalle macchine.
 
E quindi quando ad un servo si dice di fare qualcosa (si dice alla 
macchina=servo) .. può succedere che il servo si rifiuta non perché non 
vuole obbedire! .. ma perché ti chiede:
 
Come faccio a spostarmi di un infinitesimo?
 
La macchina ti dice che lo farebbe .. ma gli devi spiegare come ci si 
sposta di un infinitesimo.
 
Ecco allora che la estrapolazione non è materia che svolge la macchina, 
ma è un processo.
 
Se il processo di dividere per 2 una distanza NON SI AVVIA, perché una 
macchina non si sposta per infinitesimi .. che gli rispondi?
 
Gli devi rispondere come Newton:
 
Ti dirò io quanto è il delta di percorso minimo!
 
Ora -naturalmente- tale delta potrebbe essere ridotto.
 
Ma non sfuggirà -spero- a nessuno che tale delta NON PUO' essere zero, 
poiché nel dire un delta piccolo a piacere, (che è il concetto di 
infinitesimo) non si può dare alla macchina un delta=0
 
Quindi la teoria quantistica non è una cosa banale, ma una teoria degli 
errori.
 
Tanto forte da avere fatto dire ad Heisenberg che esisterebbe un estremo 
inferiore descritto dalla *indeterminazione_congenita* del reale se il 
quantum minimo fosse
 
energy=h*f quello del fotone.
 
Da cui
 
Dx*Dp > h
 
dove
Dx è l'errore di posizione
 
Dp è l'errore di velocità a meno di una massa considerata costante al 
variare della velocità, con p=m*v
 
h sarebbe una costante che compare in
 
energy=h*f
dove f è la frequenza dell'onda asosociata a una energia di onda 
elettromagentica.
 
Ma provate a chiedere anche questo ai laureati in fisica:
 
Secondo te .. esiste una energia inferiore al quantum minimo fotonico e 
ciò non porta che Heisenberg avesse torto NON sulla quantizzazione, ma 
che esista un quantum "atomico" .. atomico nel senso di etimologicamente 
"indivisibile" ulteriormente anche sul quantum energetico? (come è nel 
significato etimologico -in greco- della parola atomo)?
 
Vi diranno che Heisenberg aveva ragione e sono 100 anni che ha ragione.
 
Quindi la mente umana non sta oltrepassando una finta 
*frontiera_congenita* del quantum energetico .. se supera quello che si 
impara per pura ripetizione come una poesia a memoria .. dicendo che 
Einstein aveva ragione, Heisenberg aveva ragione, Russell aveva ragione 
.. etc ..
 
La mente umana sta inaugurando un nuovo millennio: si è emancipata sia 
dalla teoria infinitesimale e sia dalla teoria quantistica che cercasse 
una quantum minimo eterno, "atomico" nel senso di non ulteriormente 
suddivisibile.
 
E' -questa- una "logica della scoperta scientifica" che non cerca nella 
matematica una soluzione definitiva, ma approssimata.
 
La approssimazione di ogni linguaggio, quindi anche del linguaggio 
matematico, è utile ma è distante da "la strategia della ricerca 
scientifica" esattamente quanto è distante il linguaggio umano dal 
pensiero umano.
 
La matematica ci può far dire quello che abbiamo in mente, ma non può 
spiegarci quello che abbiamo in mente come intuizione, come non detto.
 
C'è una celebre scena del film Matrix:
 
Dice Nio al personaggio dell'Oracolo:
 
"No, non lo posso accettare non farò mai quella scelta".
 
Risponde l'Oracolo a Nio:
 
"Non è questo il problema, tu quella scelta la hai già fatta (nel 
futuro) ora la devi solo comprendere".
 
Nel simbolismo che sto citando .. l'autore del film, secondo me, vuole dire:
 
Il contesto e il come siamo fatti, porta a un futuro deterministico e 
quindi le nostre scelte sembrano ineluttabili.
 
Ma il nostro pensiero che comprende noi stessi pensanti trova il 
multiverso, anzi meglio "i multiversi".
 
E cioé che non è ineluttabile in quale futuro ci andremo ad infilare .. 
poiché quell'io che occuperà quel particolare multiverso tra molti 
multiversi paralleli, sarà un io che ha compreso e scelto cosa voleva 
essere.
 
Quindi il linguaggio, come la matematica, non è lo strumento definitivo 
per comprendere l'ente, ma è il pensiero prima del linguaggio, ed è il 
linguaggio prima dell'atto.
 
Atto atteso (nella programmazione del sofware) da una macchina che vuole 
sapere come può disegnare un grafico fatto di infinitesimi.
 
Grazie del tema.

> [...] 
Mi rifaccio al concetto di 'prima di' cui avevo accennato qui sopra, un
'prima di' che lascia Achille sur place in A, anche se la distanza
residua allude all'infinitesimo. Nemmeno Achille si muove di un
infinitesimo, qualunque cosa significhi.<<
 
In questa faccenda è decisiva la questione dell'ordine, da cui sorge la confusione. Provo a chiarire senza far intervenire concetti della matematica transfinita (i tipi d'ordine etc.). Dunque, se faccio partire il ragionamento dal punto iniziale A, non ci potrà essere un *primo* sotto-intervallo (sia spaziale che temporale, dato il rapporto di corrispondenza biunivoca) del quale A sia l'estremo inferiore, visto che *non* c'è un punto consecutivo, cioè immediato successore, di A. Posso certamente ordinare i sottointervalli, che ottengo nel regresso, secondo l'ordine temporale in cui li dovrebbe effettivamente incontrare il corridore nel coprire la distanza AB. Se la lunghezza è unitaria (A=0 e B=1), allora la successione delle lunghezze dei sottointervalli nel regresso, ordinata secondo l'ordine temporale, è: ..., 1/2^n,... 1/8, 1/4, 1/2. I puntini sospensivi indicano appunto l'inesistenza di un *primo intervallo* del moto: il *punto iniziale* esiste, ma non esiste il *primo intervallo* che lo includa come estremo inferiore. Il ragionamento non può cominciare dai puntini sospensivi, ma deve cominciare da quell'ultimo termine: 1/2. Ciò non toglie, come dicevo nella precedente risposta, che A(=0) sia l'estremo inferiore di ciascuno dei sottointervalli, visto che il procedimento dicotomico li ottiene tutti dividendo progressivamente per metà un segmento di cui A è l'estremo inferiore. Ciascun sottointervallo nel regresso è dunque incluso nel precedente come la sua metà e tutti hanno A come estremo inferiore. Ma *nessuno* dei sottointervalli nel regresso che procede verso A potrà essere quel *primo* intervallo del moto che concluderebbe il regresso: ciò si darebbe solo se il regresso potesse raggiungere, all'interno del procedimento dicotomico, quell'inizio che lo concluderebbe. 
 
Un saluto, 
 
Marco 

 Ciò non toglie, come dicevo nella precedente risposta, che A(=0) sia l'estremo inferiore di ciascuno dei sottointervalli, visto che il procedimento dicotomico li ottiene tutti dividendo progressivamente per metà un segmento di cui A è l'estremo inferiore. Ciascun sottointervallo nel regresso è dunque incluso nel precedente come la sua metà e tutti hanno A come estremo inferiore. Ma *nessuno* dei sottointervalli nel regresso che procede verso A potrà essere quel *primo* intervallo del moto che concluderebbe il regresso: 
 
Infatti entra in gioco l'infinito, dove tutto è privo di senso.
 
ciò si darebbe solo se il regresso potesse raggiungere, all'interno del 
procedimento dicotomico, quell'inizio che lo concluderebbe.
 
E non può per definizione, perché il percorso verso l'infinito è 
in-de-finito-



Non voglio interferire con la risposta che dara' Marco e mi limito a una 
nota, che pero' ritengo fondamentale. Il fatto che Achille (o la freccia 
o chi si voglia) "sta fermo" alla partenza A, questo e' *in conseguenza* 
del ragionamento e non puoi premmetterlo ad esso; altrimenti si ha una 
fallacia logica che si chiama hysteron proteron, cioe' il mettere prima 
cio' che viene dopo. E' vero (assumendo che il ragionamento sia valido) 
che X sta fermo in A e non arrivera' mai in B, cioe' che il tratto AB 
non sara' mai percorso, ma *nel ragionamento*, in *immaginazione*, *per 
ipotesi*, X parte proprio da *B* e il percorso e' *a ritroso* (*). 
Applicando il procedimento dicotomico, X non arrivera' mai in A, e *in 
conseguenza* logica di questo X sta fermo in A. Il fatto che il percorso 
*reale* non possa essere fatto sia conseguenza del farlo *in 
immaginazione* (almeno finche' non si rivela un... "decursus 
interruptus":-)) e' quanto osservavo all'inizio di tutta questa 
millenaria questione.
Un saluto,
Loris
 
(*) Non so se e' chiaro per cui insisto. Prendiamo p.e. la freccia, che 
scagliata da A non arrivera' mai in B. Questa e' l'*ipotesi* da 
dimostrare. Allora ragioniamo cosi': *prima* di arrivare in B deve 
arrivare in 1/2*AB, e cosi' via all'infinito. In questo ragionamento, 
abbiamo *ipotizzato*, *immaginato*, che sia arrivata in B, ma questo non 
e' possibile perche' *prima* deve essere arrivata in 1/2*AB; allora 
ripartiamo *ipotizzando*  che sia arrivata in 1/2*AB... e cosi' via. Il 
procedimento *in immaginazione* e' all'inverso, da B ad A, e la stessa 
freccia del tempo e' invertita.

 infinitesimo descritto qui sopra. Ossia sta fermo.
 
Ma possiamo davvero introdurre, per parlare del *primo* intervallo spazio-temporale, il concetto di "tendenza all'infinito" nell'*esposizione* di quel paradosso? 
Facendo partire il ragionamento da 1/2, invece, il concetto di "infinitesimo" scompare, perché ciò che si mostra è solo quell'*indefinito* avvicinarsi al punto iniziale A (0) da parte della successione regressiva dei sotto-intervalli. Ho più volte detto che quanto sto affermando è compatibile con il fatto che il punto di partenza del corridore sia A. Per capirlo, basta ragionare sull'ordine delle successioni - in particolare sulla posizione dei "puntini sospensivi".
 
Buona giornata,
 
Marco

 cio' che viene dopo. 
 
Sì, è l'errore dovuto allo scambio tra gli ordini; 1/2 è appunto la lunghezza del primo intervallo generato dalla dicotomia regressiva a partire da B. Ciò non toglie che sia concepibile la successione dei sotto-segmenti (generati dal procedimento dicotomico *verso* A) ordinata secondo l'ordine temporale della corsa verso B (e non secondo quello della dicotomia, anch'esso svolgentesi nel tempo). Ma all'inizio di tale successione così ordinata, ci saranno i '...'.
 
Cari saluti,
 
Marco

 Marco
 
Altrettanto a te
Omega

 freccia del tempo e' invertita.
 
Attenzione: il "prima di" che anche io ho ricordato fa parte della 
procedura dicotomica, non riguarda il tempo. Perciò l'ho sempre tenuta 
separata da contesti concreti. Se non ricordo male Zenone è un 
pitagorico e non confonde l'astrazione della geometria con i fatti 
reali, se non per progettare paradossi.
 
Non è invertita la freccia del tempo, e penso anche che il tempo non 
c'entri. Se ci si affida al tempo e se ne stabilisce una direzione il 
processo logico è inquinato da aspetti pratici. Il processo logico è in 
sé simmetrico, non ha un verso se non lo scegliamo noi. Possiamo partire 
da A o da B se il processo è logico e non fisico. Del resto col medesimo 
processo da A non si arriva a B e da B non si arriva ad A.
 
La simmetria logica elimina ogni difficoltà o specificità precisata 
dalla situazione fisica e dalla direzione della freccia del tempo.
La logica di Zenone vale in entrambi i versi, perché è una semplice 
procedura dicotomica. Che è logica e basta.
Infatti c'è una differenza: se si mette in gioco il tempo si impone che 
il procedimento sia da A a B, ma il tal caso non si tratta più di 
geometria, o di logica, e si introducono paradossi: poni che la distanza 
AB sia di anni luce, allora quali salti dovrebbe fare il corridore per 
seguire il procedimento dicotomico e arrivare comunque a non raggiungere B?
Rimanendo al procedimento logico di Zenone invece né il tempo né la 
distanza hanno importanza, e il procedimento, essendo logico, è 
simmetrico per natura, ma partendo da B evita l'affitto di costose 
astronavi anche solo per il primo tratto, perché da A nessuno decolla.
 
Saluti
Omega

 La procedura di Zenone non può non essere simmetrica, perché è logica.
 
Dipende cosa intendi con 'simmetrico', qui. Come detto più volte, la *struttura* dell'ordine della successione che comincia da 1/2 è differente da quella che pretende di cominciare dal punto iniziale. Il paradosso intende mostrare che *B* non può essere raggiunto dal corridore sfruttando il fatto, nella cui esibizione consiste il contenuto autentico del ragionamento, che *A* non verrà mai raggiunto dal procedimento dicotomico. Ovviamente il paradosso presuppone implicitamente una corrispondenza tra i due "movimenti" (quello del corridore e quello del procedimento) ed è questo, ciò che va criticato. Prima di farlo, lasciamo che il paradosso ci faccia vedere ciò per cui Zenone lo escogitò.
 
Un saluto,
 
Marco

 astronavi anche solo per il primo tratto, perché da A nessuno decolla.
 
Se gli argomenti di Zenone vogliono dimostrare l'inesistenza del moto, 
non vedo proprio come si possa fare a meno del tempo. Del resto dei 4 
paradossi lo dimostra chiaramente quello delle masse nello stadio, che 
dimostrerebbe l'assurdo per cui, muovendosi alla stessa velocita' l'una 
in senso opposto dell'altra, da punti di vista diversi si muoverebbero 
l'una a velocita' doppia dell'altra.
Un saluto,
Loris

 Loris

 Prima di farlo, lasciamo che il paradosso ci faccia vedere ciò per cui Zenone lo escogitò.
 


 corregga, perché questa cosa è finita in un capitolo del mio lavoro :)
 
Ti riferisci al libro VI, primo capitolo, dove il geografo, parlando della fondazione di Elea, definisce "ἄνδρες Πυθαγόρειοι" (uomini pitagorici) i suoi due più celebri cittadini. Ma qui Strabone non è una fonte affidabile, anche perché 'pitagorico' era divenuto un aggettivo fuori controllo, riferito quasi indiscriminatamente ai pensatori magno-greci. Una fonte più sicura è Diogene Laerzio, che - riportando una testimonianza di Sozione - scrive che Parmenide ebbe legami con un pitagorico, un certo Aminia figlio di Diochete altrimenti sconosciuto, di condizione economica povera, aggiungendo che Parmenide, che era ricco, gli dedicò un monumento funebre alla sua morte. Questa è una notizia più sicura, perché di pitagorici in quella regione e in quel periodo ne girovagavano parecchi. L'influenza culturale del pitagorismo sulle colonie greche era in quel periodo notevole. Personalmente sono certo che i temi del proemio (che configurano un "viaggio") del poema di Parmenide siano di derivazione, come si dice, orfico-pitagorica, collegati com'erano ad una "dottrina" salvifica.
 
Saluti,
 
Marco

 c'è, nemmeno battezzandolo come "relativo".
 
Il ragionamento di tipo zenoniano sul tempo e' esattamente uguale a 
quello della dicotomia. Ma se non esiste il tempo, allora non esiste 
paradosso, non esistendo piu' neanche Zenone.
Un saluto,
Loris


Pensavo di dover discutere del paradosso in cui i punti del segmento 
devono essere raggiunti successivamente, nel quale mi pare sia piu' 
semplice chiarire le cosa che si danno per vere.
 
Questo del "regresso" alla mia intuizione si presenta piu' affine a 
quello della freccia.
 
Detto questo, come si dimostra che
 
 > Se infatti il regresso raggiungesse A, il punto iniziale, allora il 
percorso da A fino alla metà del segmento AB si mostrerebbe *compiuto*.
 
In altre parole, quali ipotesi facciamo (e quali sono necessarie, che e' 
diverso) per raggiungere questa conclusione? Infatti se enunciamo queste 
ipotesi allora sappiamo cosa e' per Zenone un moto "logicamente 
accettabile".
 
Separatamente dalla domanda di sopra.
 
Per il paradosso nella versione che avevo in mente io ("raggiungere in 
successione i punti della dicotomia e' necessario per raggiungere 
l'ultimo punto dell'intervallo"), ecco alcune ipotesi necessarie (ma non 
so se sono esaurienti, probabilmente non lo sono).
 
1) In un segmento esistono dei punti
2) I punti sono ordinati (e' proprio necessario ipotizzare questo?)
     2a) In particolare, esistono un primo e un ultimo punto
3) Un segmento puo' essere diviso in due, ottenendo due segmenti
     3a) I due segmenti cosi' ottenuti sono ordinati
     3b) I due segmenti cosi' ottenuti hanno un punto in comune, che e' 
il secondo del primo segmento e contemporaneamente il primo del secondo 
(questa e' una questione delicata, forse non e' necessario, infatti e' 
proprio qui forse che si nascondono alcune delle "radici" del paradosso)
4) Nel tempo esistono gli "istanti", e valgono le stesse ipotesi che per 
lo spazio: e' divisibile
5) Nel moto, il corpo che si muove e' in posizioni corrispondenti a 
punti diversi ad istanti diversi.
 
 
Non ho la sensazione di avere elencato le ipotesi necessarie al 
paradosso (secondo Zenone) e solo esse. Una possibile idea e' che sia il 
tempo che lo spazio corrispondano ai numeri razionali, non e' detto che 
questo sia necessario ma forse va bene.

 Loris

 proprio lì finisce il viaggio, la cui destinazione ideale era proprio > Velia.
 
Non riesco a trovare la tua risposta, per cui replico qui. Una versione (un po' antiquata) in italiano della Geografia di Strabone, e che probabilmente è quella che hai consultato, si può trovare qui:
https://it.wikisource.org/wiki/Geografia_(Strabone)_-_Volume_3/Libro_VI
 
Qui puoi invece trovare il testo originale nonché (a destra) la traduzione in inglese citata da Loris:
http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0197%3Abook%3D6%3Achapter%3D1%3Asection%3D1
 
Prima Yele, poi Elea, dice Strabone; il primo toponimo deriva molto probabilmente dalla forma in dialettico ionico, quello dei Focei, con cui venne reso il nome indigeno; il secondo, che sarà poi quello adottato da Platone e Aristotele ed entrerà nella tradizione filosofica, è in dialettico dorico. Erodoto usa la forma 'Yele'.
Circa l'ascendenza orfico-pitagorica, bisogna essere davvero molto cauti perché questo è un tema sul quale i moderni, sulla base dei ritrovamenti archeologici (ad esempio le lamine auree orfiche trovate in numerose tombe di iniziati e recanti vere e proprie istruzioni su come raggiungere l'aldilà dopo la morte, dove le sofferenze sarebbero finite etc.), per diverse ragioni hanno speculato parecchio. La stessa espressione 'orfico-pitagorico' (un costrutto moderno) può essere fortemente fuorviante, se non usata con consapevolezza critica. Sicuramente *non* qualificherei Parmenide e/o Zenone come "pitagorici". L'unica certezza, oltre a quel labile elemento biografico riferitoci da Diogene (il rapporto di amicizia tra Parmenide e quell'altrimenti sconosciuto "pitagorico"), è che orfismo e pitagorismo erano diffusi ed influenti nel mondo coloniale magno-greco. Per la vicina Poseidonia (Paestum) la tradizione (Giamblico) menziona sette "pitagorici". Nel proemio di Parmenide alcune situazioni rimandano alla tematica "orfico-pitagorica" del "viaggio" (dopo la morte), connotata in senso fortemente soteriologico. Anche l'impegno politico di Parmenide (cui viene attribuita addirittura la costituzione della polis, sulla quale giuravano i cittadini eleati) ci ricorda il pitagorismo. Ma avvalersi di questo rimando per ricostruire le "premesse" culturali del proemio non deve significare qualificare Parmenide come "pitagorico", o addirittura come un "iniziato", tout court.  
 
Un saluto,
 
Marco  

 Velia.
 
O magari aggiungere qualche parola, che dica cosa intendi citando 
Strabone; cioe' il significato di quel "condusse vita pitagorica" di cui 
ho riferito sopra, con le precisazioni altrettanto necessarie. Mi fermo 
qui, perche' questo ha la precedenza, riguardando le tue riflessioni che 
metterai sulla carta, dove saranno meno emendabili che in un ng come questo.
Un saluto,
Loris

 questo sia necessario ma forse va bene.
 
Il ragionamento divide all'infinito per metà. Chiaramente questo è reso possibile dai razionali e dal loro ordinamento denso.


e per me psicologicamente
 
 >> In definitiva secondo il tuo consiglio dovrei rivedere (o eliminare) 
solo quattro o cinque righe. Le ultime di tutto il lavoro, perché 
proprio lì finisce il viaggio, la cui destinazione ideale era proprio Velia.
 >
 > O magari aggiungere qualche parola, che dica cosa intendi citando 
Strabone; cioe' il significato di quel "condusse vita pitagorica" di cui 
ho riferito sopra, con le precisazioni altrettanto necessarie. Mi fermo 
qui, perche' questo ha la precedenza, riguardando le tue riflessioni che 
metterai sulla carta, dove saranno meno emendabili che in un ng come questo.
 > Un saluto,
 > Loris
 
Trattandosi di un riferimento nel mio caso geografico di valore 
psicologico non voglio creare bubbi o deviazioni d'attenzione 
nell'eventuale lettore a causa di un attributo; altri sono i problemi 
del mio lavoro per cui mi si si sparerà a zero se mai lo si leggerà.
Quella citazione ha solo, come dicevo,la leggerezza e l'eleganza (non 
mia ma di Strabone)della conclusione di un viaggio difficile, e penso 
semmai di semplificarla, senza commentarla storico-filosoficamente:
...
Per chi oltrepassa l’elevatura, si fa incontro un’altra insenatura, 
nella quale sorge una città, che i Focesi suoi fondatori chiamarono 
«Hyele», mentre altri «Ele», dal nome di una fonte, e che i 
contemporanei chiamano «Elea»...(*)
 
(*) Da Strabone, 'Geografia', libro sesto,primo capitolo
...
Una chiusura che non voglio appesantire con commenti e distinguo.
Non credo in questo modo di violare un copyright o di sollevare 
contestazioni filosofiche.
 
Un saluto
Omega

 sia ciò che Zenone voleva mostrare.
 
Sull'"inquinamento" ho detto sopra. Circa la simmetria, si può far vedere (vedi la mia ultima risposta a JTS) come il paradosso, in carne ed ossa, abbia sia una versione regressiva sia una progressiva. 
 
Un saluto,
 
Marco

 Marco
 
Un saluto
Omega

 Sull'"inquinamento" ho detto sopra. Circa la simmetria, si può far vedere (vedi la mia ultima risposta a JTS) come il paradosso, in carne ed ossa, abbia sia una versione regressiva sia una progressiva.
 
Avevo lasciato senza commento questa nota. La versione regressiva dice, 
come avevo già osservato, che da A non si può uscire, ma soprattutto 
dice che dell'intervallo A-infinitesimo non si può neppure parlare.
 
Il paradosso Zenone lo trova nell'aver scoperto che la procedura 
dicotomica porta a qualcosa che molti secoli dopo sarebbe stato chiamato 
'infinitesimo', dando una grande visibilità a qualche 
filosofo-matematico tedesco.
E magari nessuno ha osservato che a essere dotata di senso è rimasta 
solo quella scoperta di Zenone circa la paradossalità dell'infinitesimo. 
E ovviamente, prima ancora, dell'infinito.
 
Il processo logico - o se preferisci matematico affinché nessuno si 
offenda - ha natura meccanica. Perciò è stato facile tradurlo nel 
linguaggio delle macchine, che è appunto meccanico. Essendo di natura 
meccanica il processo si può ripetere identico anche per millenni, ma 
non per questo acquisisce il senso che non ha. Tipico delle 
superstizioni, o, sempre se preferisci, dei miti.
Il numero ha senso solo nel finito. E ha un senso unicamente tecnico, o 
meglio tecnologico.


 E ovviamente, prima ancora, dell'infinito.
 
La realtà (virtuale) dell'"infinitesimo" implicato dal paradosso regressivo è appunto quella, interamente concettuale, del procedimento dicotomico, nel suo inesauribile avvicinarsi ad A. Quando diciamo che è questa inesauribilità a manifestarsi, nel paradosso, come impossibilità che il movimento abbia avuto inizio, non stiamo più esponendo il discorso *del* paradosso, ma stiamo facendo un discorso (di natura critica) *sul* paradosso. Cosa dica esattamente il procedimento dicotomico, è ciò di cui si stava discutendo sopra.
 
Buona domenica,
 
Marco

 Appunto. Se la conclusione para-dossale è che da A a B non si può *andare*, allora il paradosso verte *testualmente* (per come cioè è stato esposto) sul movimento. Se lo ritieni opportuno, dicci pure parola per parola come secondo te il *paradosso* dovrebbe essere esposto. Al netto di equivoci sempre possibili, è proprio della esposizione del paradosso che si sta parlando e non della sua soluzione, qualunque essa possa essere.
 
Lino:
La congettura:
 
TH1:
"Per portarmi tra due punti distinti (siano A e B) devo andare anche nel 
punto intermedio"
 
è FALSA.
 
Dimostrazione:
 
Non esistono enti senza dimensione estesa: cioé dimensione in metri 
quadrati (o scale superiori o inferiori al metro quadrato).
 
Quindi il concetto di punto matematico non ha corrispondenza fisica, ma 
è utilizzato solo come approssimazione del reale: poiché il punto è di 0 
mq (mq=metri quadrati).
 
DOMANDA (di Marco V.):
"Se lo ritieni opportuno, dicci pure parola per parola come secondo te 
il *paradosso* dovrebbe essere esposto".
 
RISPOSTA:
non va esposto il paradosso, ma la doxa:
 
Il movimento è possibile non grazie agli infinitesimi, ma grazie alla 
quantizzazione degli enti ed ev-enti.
 
Quando un robot o un umano attivano un movimento non passano dagli 
infinitesimi nel dare energia al moto.
 
Quando un robot o un umano attivano un movimento passano "dai quanti" 
nel dare energia al moto.
 
La entità di tali "quanti" non ha necessariamente un minimo o un 
massimo, ma ha una caratteristica sempre vera: *il quantum* utilizzato 
*NON è MAI zero*.
 
Se fosse zero, l'ente che cerca di muoversi da A .. rimarrebbe in A.
 
cvd.
 
Prova del 9:
 
scegliete "un quantum piccolo a piacere", *ma non zero*. Poiché lo zero 
non è una quantità .. ma la assenza di quantità.
 
Calcolate quanti segmenti vi sono tra A e B.
 
verificate che il numero di segmenti è un numero magari grande, ma non 
infinito.
 
 
Ciò dimostra che "un infinitesimo che sia zero" non esiste.
 
Ne consegue che tra due punti fisici, scelta una quantizzazione, esiste 
il moto, ma non la divisibilità della distanza all'infinito tramite 
punti intermedi con iterazione infinita.
 
cvd.

 Buona domenica,


 esistere nel presente) ha bisogno della memoria.
 
Infatti è un errore far comparire la parola "infinitesimo" nell'esposizione del paradosso. Non bisogna nemmeno parlare di "punti". Bisogna solo dire che per coprire la distanza AB si dovrà prima coprire la sua metà, ma allora anche la metà della metà e così via. L'inevitabile astrattezza del "così via" non elimina il riferimento del procedimento dicotomico alla situazione concreta.
 
Un saluto,
 
Marco

 cvd.

 punti intermedi con iterazione infinita.
 
Questa è appunto una soluzione del paradosso, fondata in sostanza, diremmo noi moderni, sulla affermazione che il continuo è costituito dal "discreto" e sulla conseguente disapplicazione del postulato della densità, che ci fa dire che tra due punti ce n'è sempre un altro. Poiché, come dici, i costituenti del segmento AB sono discreti, allora ciascuno ha un proprio consecutivo. D'altra parte il calcolo che proponi di fare è fondato sul postulato di Eudosso-Archimede (riferendoci al quale, non a caso, possiamo tentare di definire il concetto di "infinitesimo"), in base al quale per ciascuna coppia di segmenti x e y, con y>x, c'è sempre un multiplo di x capace di superare y. Ma per riprendere la questione dovremmo rispondere alle domande che provavo a porre sopra.
 
Saluti,
 
Marco


La situazione non può essere concreta perché il "così via" porta 
necessariamente all'infinitesimo. Anche se non compare come termine.
Zenone se ne era reso ben conto. Del resto il paradosso è proprio tutto 
lì: nel procedimento dicotomico, che per definizione non può aver fine. 
Zenone aveva già scoperto la paradossalità dell'analisi infinitesimale.


 Zenone aveva già scoperto la paradossalità dell'analisi infinitesimale.
 
Allora stiamo riscrivendo il paradosso *di Zenone*:-), che non sta nel procedimento dicotomico ma nella impossibilità del movimento, che tale procedimento fa vedere al pensiero.
 
Un saluto,
 
Marco


Si può forse negare che sono strettamente connessi, come due punti di 
vista diversi sulla medesima cosa?



Scusa per averci messo cosi' tanto a rispondere, mi e' stato possibile 
solo oggi.
 
 >
 >> Detto questo, come si dimostra che
 >>
 >>   > Se infatti il regresso raggiungesse A, il punto iniziale, allora il
 >> percorso da A fino alla metà del segmento AB si mostrerebbe *compiuto*.
 >>
 >> In altre parole, quali ipotesi facciamo (e quali sono necessarie, che e'
 >> diverso) per raggiungere questa conclusione? Infatti se enunciamo queste
 >> ipotesi allora sappiamo cosa e' per Zenone un moto "logicamente
 >> accettabile".
 >
 > Spero di aver chiarito sopra.
 
Si', ma non sono soddisfatto Vedi sotto
 
 
 >
 >> Separatamente dalla domanda di sopra.
 >>
 >> Per il paradosso nella versione che avevo in mente io ("raggiungere in
 >> successione i punti della dicotomia e' necessario per raggiungere
 >> l'ultimo punto dell'intervallo"), ecco alcune ipotesi necessarie (ma non
 >> so se sono esaurienti, probabilmente non lo sono).
 >>
 >> 1) In un segmento esistono dei punti
 >> 2) I punti sono ordinati (e' proprio necessario ipotizzare questo?)
 >
 > Ciò che è necessario, se proprio vogliamo provare da bravi moderni 
"analitici" a snocciolare le premesse, è assumere l'*ordinamento denso* 
dei razionali. Come sai, i razionali sono ordinati in modo diverso dai 
naturali: in quel modo che fa sì che mentre i naturali abbiano ciascuno 
un loro *consecutivo* (cioè immediato successore), ciò *non* vale per i 
razionali. Eppure il numero dei razionali è proprio quello dei naturali. 
Magia:-). Proprio l'assenza di un consecutivo *di A* è alla base del 
paradosso regressivo: se vi fosse, il ragionamento dicotomico potrebbe 
raggiungere, muovendosi a ritroso, A.
 
 
Questo mi pare un punto chiave. Avresti la pazienza di descrivere nel 
dettaglio come apparirebbe il movimento se il numero dei 
sotto-intervalli fosse finito?
 
 
 >
 >>       2a) In particolare, esistono un primo e un ultimo punto
 >
 > I due *estremi*, inferiore e superiore, del segmento, che abbiamo 
designato rispettivamente con A e B. Di punti un segmento ne ha una 
nfinità per cui l'ultimo non c'è.
 
Non e' essenziale per i ragionamenti, ma questo non va bene. I segmenti 
fatti da numeri razionali possono o no avere un ultimo punto; e possono 
o no avere un estremo. I segmenti fatti da numeri reali possono o no 
avere un ultimo punto e hanno sempre un estremo.
 
 >
 > Esatto, nel senso che stiamo postulando una corrispondenza biunivoca 
tra grandezze spaziali (le lunghezze dei sotto-intervalli) e grandezze 
temporali (le durate temporali necessarie a percorrere le prime).
 >
 
Questo mi pare un altro punto chiave. Forse possiamo vederlo bene nel 
caso che ti ho chiesto di discutre sopra: cosa succederebbe se il numero 
di divisioni possibili fosse finito e come apparirebbe allora il movimento.

 avere un ultimo punto e hanno sempre un estremo.
 
In realtà questa cosa è strettamente collegata al regresso dicotomico, che infatti è caratterizzato dal non avere un "ultimo" punto. Per capirla dobbiamo sempre tenere presente, sullo sfondo della relazione tra "segmenti" e "insiemi di punti", che 'ultimo' è un concetto *ordinale*, mentre 'estremo' è un concetto *metrico*. Gli estremi *del segmento* possono o meno appartenere all'insieme *di punti* che compongono il segmento (parleremo rispettivamente, per l'*insieme di punti*, di intervallo chiuso e di intervallo aperto). Ma l'appartenenza dell'estremo all'intervallo *non* lo rende l'"ultimo" punto. Altra osservazione fondamentale: per escludere gli estremi dall'intervallo dei punti del segmento (ottenendo un intervallo aperto, che non sarà propriamente un segmento) *non* sono costretto a prendere in considerazione l'"ultimo punto".
 
Ma forse ti interesserà quanto segue, che forse non è solo una curiosità letteraria. Nella loro corrispondenza epistolare (agosto-settembre 1698) Leibniz e Bernoulli finirono in sostanza ad occuparsi, diremmo noi ora, della densità dei razionali. 
Il tedesco scrisse (lettera LXXXII): 
<<Supponiamo che esistono attualmente sulla linea i segmenti designati da 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32...[*]e che *tutti* i termini di questa sequenza esistono attualmente; da ciò concludi che deve esistere anche un membro infinitamente piccolo. Comunque secondo me l'assunzione implica solamente che esiste una *qualunque* frazione finita arbitrariamente piccola>>. 
Bernoulli dopo alcune oscillazioni non accettò questo ragionamento di Leibniz e replicò (lettera LXXXIX): 
<<Se sono presenti 10 termini allora necessariamente ne esiste il 10mo, se 100 allora necessariamente ne esiste il 100esimo; se mille allora deve esistere il millesimo; se dunque i termini sono in numero infinito, deve esistere l'infinitesimo[**]>>.
Ebbene, Bernoulli secondo te ha ragione? 
 
[*] nell'originale latino: <<Ponamus in linea actu dari 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32...>>.
[**]nell'originale latino: <<ergo si numero infinito sunt termini, existit infinitesimus>>.

 [**]nell'originale latino: <<ergo si numero infinito sunt termini, existit infinitesimus>>.
 
Bizzarra la conclusione di Bernoulli, che tratta l'infinitesimo 
esattamente come un numero finito.
Ma anche la conclusione di Leibniz suscita perplessità: "frazione finita 
arbitrariamente piccola" non designa l'infinitesimo.
 
Saluti
Omega

 arbitrariamente piccola" non designa l'infinitesimo.
 
La questione sottostante è quella dell'intreccio tra infinito potenziale (che è sufficiente per respingere il ragionamento di Bernoulli) e infinito attuale ("supponiamo che esistono attualmente...") - intreccio che come sai Leibniz non riuscì mai a sciogliere del tutto. 
Interessante però che alcune idee di Leibniz siano state riprese in tempi recenti dall'analisi non-standard, che reintroduce proprio quell'infinitesimo che d'Alembert, coerente negatore dell'infinito attuale, ebbe a giudicare una chimera: 
«Una quantità o è qualcosa o è niente: se è qualcosa, non si è ancora
annullata; se è niente, si è letteralmente annullata. Supporre che vi sia uno stato intermedio tra qualcosa e niente è pura chimera».
 
Buona giornata,
 
Marco


 
Se con chimera si intende una congettura che non ha una sua parte di 
verità, allora, d'Alembert -> sbaglia.
 
Infatti nella moderna "analisi di una funzione", quando si studia -in 
matematica- una evoluzione asintotica non si sta discutendo di 
congetture senza senso.
 
Un andamento asintotico -in un modello che adotti il continuum- 
garantisce la convergenza al valore detto asintotico.
 
Faccio un esempio:
 
y=e^(-t)
 
Se si campiona la funzione y in t, all'aumentare di t a valori sempre 
più grandi, si vedrà che il valore asintotico tende a zero.
 
Eppure per quanto t sia scelto grande nessun t, comunque grande, darà il 
valore y=0.
 
Tuttavia nella matematica nessuno dubita che "la descrizione astratta" 
(matematica) sia una buona approssimazione di un processo in esaurimento 
fino allo zero.
 
Anzi -normalmente- il processo si esaurisce molto prima -ad esempio in 
un frenata di un veicolo senza spinta a causa della gravitazione 
terrestre, proprio perché il modello non tiene conto di altri fattori di 
esaurimento del moto inerziale, come la asperità del terreno, anche se 
si idealizza una superficie orizzontale e senza fattori di contrasto nel 
moto.
 
E' quindi errato mettere sullo stesso piano il *modello_astratto* & "la 
realtà che non sia astratta dalla realtà", e cioé la _*fisica*_, poiché 
un modello può anche essere fisico, costruendo un carretto a cui si da 
una spinta iniziale e poi se ne osservi la cosiddetta "risposta libera" 
(libera da un ingresso attivo come sarebbe un motore, ma si osservi solo 
l'esaurirsi della "spinta_iniziale" .. sottoposto -il moto- alla forza 
gravitazionale).
 
Quindi nel reale, e su una zona pianeggiante, si osserverà _fisicamente_ 
che un carro che non sia spinto si ferma.
 
E questa non è né una congettura e né una chimera, ma una esperienza 
eseguibile.
 
Come poi costruire un modello matematico che approssimi una situazione 
fisica è cosa difficile e non si esaurisce in modo perfetto con la 
teoria del continuum che opera sugli infinitesimi. Infinitesimi che 
nella matematica possono essere implementati, ma non nel reale dei 
fenomeni _fisici_.
 
Grazie del tema

 fenomeni _fisici_.
 
Come sai, spesso un fisico deve escludere come "prive di significato fisico" particolari soluzioni del calcolo (o valori delle variabili). Tuttavia il problema dell'infinitesimo è stato proprio quello della sua "implementazione" nella matematica come grandezza da far corrispondere ad un certo simbolo usato (con successo) nei calcoli dei valori-limite delle grandezze variabili.
 
Un saluto,
 
Marco

 Ebbene, Bernoulli secondo te ha ragione? 
 
 
 
 
A questa non rispondo :-)
Pero' aggiungo una considerazione mia, della quale non mi sento sicuro 
ma che mi pare rilevante.
In matematica costruiamo "oggetti concettuali" complicati partendo da 
oggetti concettuali (da qui in poi li chiamo "oggetti" e ometto 
l'aggettivo "concettuali") piu' semplici. Gli oggetti semplici li 
scegliamo con questa proprieta': tutti hanno su di essi intuizioni 
concordanti (non preciso ulteriormente cosa vuol dire concordanti ... 
perche' non lo so fare).
 
Nel caso dell'"infinitesimo termine" di Bernoulli mi pare che il 
procedimento della matematica di oggi si basi sulla corrispondenza fra 
numeri ordinali ed insiemi per insiemi finiti, e la estenda ad insiemi 
infiniti (la mia conoscenza sul tema deriva da Wikipedia). 
L'"infinitesimo" e' secondo questo procedimento l'insieme bene-ordinato 
dei segmenti ottenuti dividendo successivamente in due il segmento di 
lunghezza uno.
 
Detto questo, anche qui il disagio rimane :-) forse deriva dall'avere 
espresso il concetto di "infinitesimo termine" (sul quale la mia 
intuizione non mi da' informazioni di cui mi fido) con il concetto di 
"insieme bene-ordinato fatto da infiniti termini". Ma dal punto di vista 
dell'intuizione questa espressione di un concetto attraverso un altro 
"non funziona" perche' definisce in maniera chiara il concetto di 
"infinitesimo termine" *sostituendo* all'intuizione non funzionante una 
costruzione basata su "intuizioni funzionanti", mentre l'intuizione non 
funzionante e' sempre esistente.

  > Il giorno lunedì 2 marzo 2020 00:29:25 UTC+1, JTS ha scritto:
 
La questione è estrememente complessa, al confine fra la realtà 
percepita e la modalità stessa della percezione e della sua 
modellizzazione mediante i numeri e i non-numeri come gli infiniti e 
infinitesimi.
In sostanza Zenone non ha proposto soluzioni - al problema del movimento 
- ma ha posto un problema. Che evidentemente rimane irrisolto dopo millenni.
 
[...]
 
Un saluto a entrambi
Omega

 modellizzazione
 
mi appaiono rilevanti ma non riesco a metterli a fuoco, e questo mi ha 
suggerito un'altra idea probabilmente un po' rozza: la difficolta' di 
mettere a fuoco dei concetti deriva in parte dall'oscurita' dei filosofi 
- infatti Zenone presenta il suo problema "nudo e crudo" mi  pare (non 
so quello che a scritto ne come e' presentato il problema nelle fonti 
primarie e secondarie, ma non ricordo di avere letto spiegazioni chiare; 
ma questa oscurita' puo' avere una sua funzione.
 
La funzione dell'oscurita' nell'esposizione e' stimolare la mente del 
lettore a vedere l'oscurita' dei fatti o l'oscurita' dei concetti - 
forse a rendersi conto che la chiarezza stessa e' limitata. Mi fermo qui 
in questo messaggio perche' senno' divento troppo oscuro ;-) (forse 
posso riuscire a precisare ulteriormente).

 (non so quello che a scritto 
 
che brutto errore ;-)