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Titolo: Popper, tavole e implicazioni

Riguardando le tavole della verità dell'implicazione logica non si puo'
non pensare a Popper e la teoria della falsicabilità della scienza.
A -> B ha la seguente tavola della verità
A=F B=F (A->B)=X
A=F B=V (A->B)=X
A=V B=F (A->B)=F
A=V B=V (A->B)=X
ove X vale sia VERO che FALSO, infatti indica una compatibilità con la
circostanza che (A->B) sia vera sempre, non una verità, questo perchè
mentre le altre funzioni logiche sono funzioni degli ingressi ed indicano
una circostanza legata solo agli ingressi, A->B indica una verità sulla
circostanza generale, o meglio, in generale quando affeermiamo che A->B
non intendiamo affermare che i valori di A e B sono compatibili con la
circostanza generale che A->B, ma che in generale A->B valga sempre,
affermaiamo una teoria scientifica che in genere puo' essere solo
falsificabile e mai verificabile.
E quando neghiamo che A->B vale non intendiamo dire che i valori di A e B
contraddicano A->B ma che A->B in generale non E' DETTO che valga.
Credo che la complicazione del problema di logica visto sia anche questo,
la confusione tra l'affermazione di una implicazione logica di validità
generale con l'affermazione che la situazione attuale è compatibile con
tale teorema.
Credo sia questa confusione a determinare lo strambo ragionamento fatto
nel problema logico, e tutto si riconduce a mio avviso ad un problema
linguistico.
Quando si afferma se IL FANTE allora il RE la gente comune non intende
dire che le circostanze debbono essere compatibili con la teoria, ma che
la teoria valga sempre.
E quando si nega che se il FANTE allora il RE, non si intende dire che le
circostanze debbano essere NON compatibili con la teoria del se il FANTE
allora il RE, non si intende cioè che la teoria debba essere falsificata
dalla situazione presente.
Ma si intende dire che le circostanze NON devono per forza essere
compatibili con la teoria se il RE allora il RE, si esprime un'assenza di
fatti, non un fatto.
Credo che la tavola della verità dell'implicazione logica parli non
dell'implicazione logica ma della situazione attuale con i fatti attuali
come esperimento che contraddice o non contraddice la teoria data da
quella implicazione logica.
Solo cosi' allora le X si possono sostituire con delle verità V.
Ma credo che nel caso della verità o meno dell'implicazione logica la
gente non pensi in termini di un unico insieme di verità nel contempo
vere, ma in termini di insieme di insiemi di verità nel contempo vere, e
quindi di necessità.
Ossia, pensa già a mondi possibili con vincoli, a sistemi, pensa già a
teorie e non ad un singolo vettore di stati di verità.
Pensa a come si puo' spostare il vettore, a regole, non alla compatibilità
del vettore con la situazione.
Quindi per esprimere in termini di tavole delle verità l'implicazione la
frase andrebbe corretta in (e' vero che la situazione è compatibile con la
teoria che se A->B? e non se vale A->B sempre).
E questa asimmetria tra verità che diventa compatibilità e falsità che
puo' rimanere tale perchè incompatibilità è falsità, è dannatamente
popperiana.
-- 
Emilio? Voil'him!
Ateo ed anarchico per grazia di Dio e volonta' della Nazione.
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 popperiana.
Non so..
Ciao,
Nadja

 Riguardando le tavole della verità dell'implicazione logica ...
Ci dev'essere una pepita in questo post, anche se non l'ho
ancora messa bene a fuoco.
Certo sono sempre stato preso da una certa perplessità
davanti alla tavola della verità di un'implicazione rispetto
a quelle degli altri connettivi, ed ora forse ho capito perché,
forse per assonanza con quello che scrivi.
Dunque confrontiamo le tavole della verità tradizionali
di una implicazione (=>) con quella di una congiunzione (And).
A    B    |    (A=>B)
-------------------------
F    F    |    V
F    V    |    V
V    F    |    F
V    V    |    V
A    B    |    (A And B)
-------------------------
F    F    |    F
F    V    |    F
V    F    |    F
V    V    |    V
Che cosa mi turba? Che esprimono concetti diversi. Io sono
un homo tecnologicus, immagino subito di costruire delle
scatole nere che realizzino le funzioni. Nel caso dell'And, la
scatola ha due input (A, B) e un output U=(A And B) e la
tavola della verità dice *cosa fa* l'output.
Nel primo caso, invece, la scatola nera ha un input (A) e
un output (B) che viene forzato a vero se A è vero e viene
lasciato libero di comportarsi come variabile indipendente
se A è falso. Data l'ermafroditicità :o) di B, non posso far
altro che mettere sia A che B a sinistra della tavola e la
funzione (A=>B) diventa la *verifica* che la scatola nera
funzioni bene o no (!).
E' chiaro che le due tavole fanno due lavori diversi.
Posso inventarmi un modo perché esprimano lo stesso
concetto? Sì, posso costruire la tavola dell'And come ho
costruito la tavola dell'Implicazione:
[U = output della scatola nera *AND*]
U    A    B    |    U=(A And B)
--------------------------------------
0    0    0    |    1
0    0    1    |    1
0    1    0    |    1
0    1    1    |    0
1    0    0    |    0
1    0    1    |    0
1    1    0    |    0
1    1    1    |    1
Oh, ecco: adesso la tavola dell'And è *omologa* con
quella dell'Implicazione. Entrambe *verificano* se la
mia scatola nera funziona o no.
Per la falsificazione stiamo provvedendo. :o)
Ciao!!!  :o)
Livio

 "uahlim":








No, nel primo caso hai due input che sono A e l'output di una scatola nera
che hai costruito che dovrebbe dare B vero se A vero e poi altri esiti se
A è falso.
L'output di questa scatola nera che hai costruito e l'input A sono gli
ingressi della funzione A->B che dice se la tua scatola nera al variare
dell'A realizza l'implicazione logica, ossia, la funzione implicazione
logica dice se i fatti sono compatibili con l'implicazione logica.


  > A=F B=V (A->B)=X
No, innanzitutto togliamo il necessariamente e ragioniamo su cosa
significa la tavola della verità.
Se A implica B, in caso di falsità di A, non si puo' dire nulla della
circostanza che A implichi B, anzi, in un certo senso è vero che A implica
B perchè se A è falso, posso ipotizzare tutto quello che voglio se A è
vero.
In questo senso nella tavola originaria dell'implicazione le X sono
sostituite da verità, perchè sono i fatti che generano l'implicazione
logica che non è altro che una condizione alla quale devono sottostare i
fatti.
Ora, è vero che se mio nonno avesse avuto le ruote io sarei un carretto,
perchè poichè mio nonno non ha mai avuto le ruote, la circostanza che io
non sono un carretto è un fatto previsto da quella implicazione logica che
serve solo ad escludere la circostanza che io fossi un carretto e mio
nonno non avesse le ruote, e questa circostanza in effetti non risulta
contemplata dalla realtà, quindi è certamente vero che se mio nonno avesse
avuto le ruote io sarei un carretto.


 significa la tavola della verità.
io non levo alcunché.
se a implica b, in caso di falsità di b
b non esiste.
se esiste qualcosa non è b.
è non-b
dunque è falsa.

 A è falso.
Obiezione respinta.
Ciao!!!  :o)
Livio

 dunque è falsa.
Ma che c'entra, anche nei casi in cui non vale b vale (a implica b),
quando a è falso.
Se a è falso, vale sempre che a implica b, indipendentemente dal fatto che
b valga oppure no.


 Obiezione respinta.
Allora non hai capito il significato della funzione logica a -> b.
Che è banalmente, è vero che con questi valori di a e b la proposizione se
a è vero allora b è vero non è contraddetta?
E la proposizione a implica b è contraddetta solo se b è vera ed a è falsa.
Ma a e b sono entrambi due variabili indipendenti
In tutti gli altri casi tale proposizione non è contraddetta e quindi
nella tavola della verità vale vero, perchè la funzione descrive insiemi
di stati accettabili, è solo una notazione stenografica di un insieme di
condizioni alle quali obbediscono un insieme di fatti, è banalmente solo
un'equazione.
Sono i fatti primitivi, ossia i valori di a e b che generano
l'implicazione logica, non viceversa, insomma.
Perchè sia a che b sono variabili indipendenti.


 Perchè sia a che b sono variabili indipendenti.
Ti riscrivo la tavola della verità dell'implicazione, omologandola
a quella degli altri connettivi:
A=>B
A    |    B
----------------------
0    |    don't care
1    |    1
Quando A è falsa, B è variabile indipendente
Quando A è vera, B è f(A)
"SE piove ALLORA apro l'ombrello" non significa che
se piove faccio quel che mi pare e poi verifico se mi
sono bagnato.
Nella realtà, nei modelli, nei circuiti, nei linguaggi di
programmazione l'implicazione (IF...THEN...) si
traduce sempre in una forzatura.
Certo che in un'analisi puoi assumere che qualunque
variabile sia una variabile indipendente. Ho fatto l'esempio
prima con la funzione AND. Per *verificare* se la mia
scatola nera funziona, osservo A, B e U come variabili
indipendenti e guardo se rispondono alla funzione
U=A And B. Guardo U come variabile indipendente
per vedere se è davvero funzione di A e B. In un certo
senso popperiano, ne tento una falsificazione.
Per la mia scatola nera, la variabile U non è indipendente
essendo f(A,B). Per l'osservatore che vuole verificare
se la teoria scientifica "quella è una scatola nera che
implementa la funzione AND", allora U è assunta come
variabile indipendente. (Si tenta di falsificarla laddove
sarebbe falsificabile se fosse falsa).
Ciao!!!  :o)
Livio

 ove X vale sia VERO che FALSO...
Ragioniamoci un po' su.
Supponiamo di sapere che A->B. Se ora qualcuno ci viene a dire che A è vera,
allora noi potremo dire che è vera anche B. Dunque se è vero che A, e se è
vero che A->B, allora è vero anche B, cioè:
    (A&(A->B))->B
A questo punto dobbiamo fare molta attenzione a non confondere gli enunciati
con gli argomenti.
Nel nostro esempio A e B sono degli enunciati, i quali possono essere sia
veri che falsi. Quando poi andiamo a dire che (A&(A->B))->B questo è un
argomento, il quale è anch'esso un enunciato, ma è un enunciato che ci parla
dei rapporti fra lo stato di verità di altri enunciati, dunque anch'esso
sarà vero o falso, ma lo sarà in quanto argomento, a prescindere dallo stato
di verità degli argomenti di cui parla, ma solo - come dicevo - in relazione
ai rapporti di verità di quegli enunciati.
Provo a spiegarlo in un altro modo. Supponiamo che uno venga a dirci:
«Se A è vera, e se A implica B, allora anche B è vera». Ora, questa persona
evidentemente ha detto qualcosa che può essere vero o falso. Se è vero che è
sempre come dice lui, allora ha detto qualcosa di vero. E si badi bene che
egli non ha detto che A deve essere vera. Ha detto solo: «Se A è vera,
eccetera».
Allora, ci sta bene quello che ha detto questa persona? Riconosciamo in
quello che ha detto una proprietà del "condizionale"? Siamo d'accordo o non
siamo d'accordo che se A è vera e se A implica B allora anche B è vera?
Se siamo d'accordo, allora stiamo dicendo che quell'argomento (inteso come
enunciato sui rapporti fra lo stato di verità di altri enunciati, e non
sullo stato di verità dei singoli enunciati) è sempre vero. In particolare è
vero quando A è vero, ma è vero anche quando A è falso. Perché, appunto, è
un argomento.
Tenuto conto di ciò, siamo in grado di descrivere le proprietà del
condizionale usando il condizionale stesso, perché comunque esso sia
definito, bisogna che quell'argomento - il quale, come abbiamo visto,
corrisponde all' espressione (A&(A->B))->B - sia sempre vero, cioè sia una
tautologia.
Vediamo ora come possiamo sfruttare questo fatto.
Per cominciare osserviamo che tutti sono d'accordo nell'affermare che se A è
falsa e B è vera allora A->B è falsa. Tu stesso dài questo come unico caso
"noto". Negli altri tre casi non riusciamo, intuitivamente, a dare un valore
di verità ad A->B. E siccome quei tre casi a priori possono essere diversi,
indicheremo il valore di A->B non con tutte X, come hai fatto tu, ma con X,
Y e Z:
1) A=F, B=F, (A->B)=X
2) A=F, B=V, (A->B)=Y
3) A=V, B=F, (A->B)=F
4) A=V, B=V, (A->B)=Z
dove X, Y e Z possono valere F o V.
A partire da questa assegnazione incognita, propriamo a costruire
l'espressione che definisce quell'argomento, la quale - come abbiamo detto -
deve essere sempre vera.
Il primo passo da compiere è quello di costruire A&(A->B). Abbiamo:
1') A=F, B=F, (A->B)=X, A&(A->B)=F
2') A=F, B=V, (A->B)=Y, A&(A->B)=F
3') A=V, B=F, (A->B)=F, A&(A->B)=F
4') A=V, B=V, (A->B)=Z, A&(A->B)=Z
Ora dobbiamo costruire l'espressione completa, cioè (A&(A->B))->B:
1'') A=F, B=F, (A->B)=X, A&(A->B)=F, (A&(A->B))->B=?
2'') A=F, B=V, (A->B)=Y, A&(A->B)=F, (A&(A->B))->B=?
3'') A=V, B=F, (A->B)=F, A&(A->B)=F, (A&(A->B))->B=?
4'') A=V, B=V, (A->B)=Z, A&(A->B)=Z, (A&(A->B))->B=?
A questo proposito consideriamo nel dettaglio i quattro casi:
1'') sia l'antecedente che il conseguente sono falsi,
     dunque siamo nel caso 1), e il risultato deve essere X;
2'') l'antecedente è falso, ma il coseguente è vero,
     dunque siamo nel caso 2), e il risultato deve essere Y;
3'') sia l'antecedente che il conseguente sono falsi, dunque ci siamo
     di nuovo ricondotti al caso 1), e il risultato deve essere X;
4'') l'antecedente non è noto, perché è uguale a Z; dovremo dunque
     considerare le due possibilità: a) se Z è vero allora abbiamo
     antecedente vero e conseguente vero, il che ci riconduce al caso 4'')
     sicché lo stato di verità dell'argomento è Z (che è vero); se invece Z
     è falso allora abbiamo antecedente falso e conseguente vero, che ci
     riconduce al caso 3), per cui l'argomento sarebbe falso, dunque ancora
     uguale a Z.
Abbiamo allora:
1'') A=F, B=F, (A->B)=X, A&(A->B)=F, (A&(A->B))->B=X
2'') A=F, B=V, (A->B)=Y, A&(A->B)=F, (A&(A->B))->B=Y
3'') A=V, B=F, (A->B)=F, A&(A->B)=F, (A&(A->B))->B=X
4'') A=V, B=V, (A->B)=Z, A&(A->B)=Z, (A&(A->B))->B=Z
D'altra parte abbiamo detto che l'argomento (A&(A->B))->B doveva essere
valido a prescindere dallo stato di verità degli enunciati A e B. Dunque
quella espressione deve essere sempre vera: una tautologia.
Ma allora dobbiamo ammettere che:
X = Y = Z = V
Ecco allora la tabella di verità del condizionale:
1) A=F, B=F, (A->B)=V
2) A=F, B=V, (A->B)=V
3) A=V, B=F, (A->B)=F
4) A=V, B=V, (A->B)=V
Se non adottiamo questa tabella, ci precludiamo la possibilità di separare
la validità dell'argomento da quella degli enunciati di cui esso parla,
perché nella tabella di verità dell'argomento, cioè (A&(A->B))->B,
salterebbero fuori dei casi in cui esso è falso.
A questo proposito teniamo presente che tutta la logica formale è fondata
sul fatto che una generica regola di inferenza:
P1, P2... Pn
--------------                   [1]
Q
equivale ad affermare che la seguente espressione è una tautologia:
(P1&P2&...&Pn)->Q                  [2]
Quello che abbiamo considerato noi è un caso particolare di regola di
inferenza:
P, P->Q
---------                    [3]
Q
nota come _regola di separazione_ o _modus ponens_.
Applicando la definizione generale di regola di inferenza al _modus ponens_
si ottiene proprio che l'espressione:
(P&(P->Q))->Q        [4]
deve essere una tautologia.
Prima di proseguire, per onestà intellettuale devo fare presente che questo
modo argomentare a favore di questa versione del condizionale è una mia
elaborazione che stranamente (forse troppo) non ho mai trovato
esattamente in questa forma in dei testi di logica. Ovviamente nei testi di
logica si trova che la [1] è equivalente alla [2], e dunque - come caso
particolare - che la [3] è equivalente alla [4]. Ma poi anziché sfruttare
direttamente questo fatto per dimostrare in modo rigoroso che posta quella
equivalenza il condizionale può avere solo una certa forma, si procede
argomentando in modo "intuitivo", cercando di far vedere che quella è la
scelta più "ragionevole".
Ora, dal momento che la "mia"(?) applicazione della proprietà generale delle
regole di inferenza al caso particolare del condizionale, sfruttando la
possibilità di renderlo "autoreferenziale", non mi sembra un colpo di genio
che possa venire solo a me, il fatto di non averlo trovato nei testi di
logica rende appunto il tutto piuttosto "sospetto".
Direi che i casi più probabili sono due: a) in realtà l'ho letto da qualche
parte, ma poi l'ho "metabolizzato" ed ora mi sembra una mia idea;
b) ho commesso qualche errore grossolano. Quando poco fa, riflettendo sul
tuo post, mi sono reso conto di poter argomentare in questo modo
apparentemente tanto semplice quanto risolutivo, ho subito pensato a queste
due possibilità. Ma, per quanto mi sia sforzato di farmi venire in mente un
testo in cui potrei aver letto questa argomentazione o, in alternativa, di
trovare l'errore, non sono riuscito a fare né l'una né l'altra cosa. Così ho
deciso di esporre la mia idea in questo nobile consesso, nella speranza che
qualcuno sappia opportunamente "ridimensionarmi" prima che io mi monti la
testa.
           -----O-----
Un altro modo per convincersi che il condizionale "giusto" è quello che
abbiamo trovato, è osservare che il "condizionale" non è altro che una
"metafora congelata" di un concetto "temporale". In altri termini, al posto
del "se" dobbiamo pensare che ci stia "orginariamente" un "quando", come
d'altra parte ci viene confermato dal fatto che il conseguente sia espresso
da un "allora".
Dunque se ci fa impressione il fatto che una implicazione come questa sia
valida:
     «Se 2 più 2 fa 5 allora la Luna è di formaggio»,
dobbiamo pensare di sostituirla con questa:
    «Quando 2 più 2 fa 5 allora la Luna è di formaggio».
Ma cosa abbiamo detto? Abbiamo detto che nel momento in cui 2 più 2 facesse
5, allora (cioè in quella circostanza) la Luna sarebbe di formaggio. La cosa
non ci stupisce più di tanto, perché sappiamo che in un linguaggio formale
la presenza di una sola contraddizione rende qualunque enunciato sia vero
che falso, e dunque sarebbe anche vero che la Luna è di formaggio.
           -----O-----
Un terzo modo per arrivare alla medesima conclusione è prettamente
"psicologico", e può essere adottato da chi non si intenda di logica, ma
conosca abbastanza degli uomini.
Si tratta di osservare che nella storia del pensiero occidentale esistono
due scuole di logica: quella aristotelica e la cosiddetta scuola
megarico-stoica.
Ora, Aristotele per aver prodotto quella cosina sui predicati monadici del
prim'ordine che va sotto il nome di "sillogismo" è stato celebrato per quasi
due millenni e mezzo, e si è sfruttato quel risultato come cavallo di Troia
per portare dentro la filosofia tutta una serie di panzane metafisiche,
assieme a quelle del suo degno Maestro. Invece contro l'altra scuola si è
sempre manifestata una ostilità esasperata, tant'è che da una parte c'è
stato il tentativo di far sparire ogni traccia di quegli scritti (che pure
erano straordinariamente abbondanti, roba da far impallidire qualunque
enciclopedia moderna) e dall'altra le poche volte che gli esponenti di
quella scuola sono stati ricordati è stato solo per lanciare delle invettive
contro di essi. Il risultato è che oggi per ricostruire la tradizione logica
megarico-stoica siamo costretti a estrapolarla da scarne informazioni di
seconda mano, le quali per lo più sono pure apertamente ostili.
Eppure, nonostante questa ostilità distruttiva, quel poco che è rimasto di
consente di comprendere che già alcuni secoli prima dell'era volgare quella
scuola aveva raggiunto dei risultati (sia nel campo della logica formale che
in quella della teoria del significato) che dovettero attendere Frege per
essere ritrovati, ed alcuni furono compresi solo nel corso della prima metà
del XX secolo.
Ora, partendo dal presupposto che nella storia sono sempre i migliori che se
ne vanno o - il che è equivalente - che sono sempre sono sempre i peggiori
ad avere i sostenitori più feroci, se scopriamo che il tentativo di
estirpare una certa tradizione filosofica (che, per inciso, era propria
delle menti più illuminate dell'epoca) si protrasse con astio per secoli e
secoli, possiamo ragionevolmente ipotizzare che quella tradizione dicesse
delle cose che molti non volevano assolutamente sentirsi dire. E questo di
solito capita non quando qualcuno dice una stupidaggine, ma quando costui
"coglie nel segno".
A questo proposito mi piace citare quanto scrive l'ottimo Ettore Casari
nelle prime pagine di quel meraviglioso testo che è la sua
_Introduzione alla logica_:
«Questa tradizione [quella iniziata da Euclide di Magara, l'allievo
intelligente di Socrate], distintasi oltre che per l'acume analitico anche
per il vigore dialettico di alcuni suoi esponenti (al punto che in tempi
recenti qualcuno ha pensato di poter raggruppare alcuni dei più tardi fra
essi, come Diodoro Crono e Filone, in una 'scuola dialettica' separata e
distinta da quella megarica), trovò la sua continuazione nella Stoa. Anche
se da un punto di vista astratto parti anche significative di questa seconda
tradizione possono considerarsi, al pari di molti sviluppi della logica
medievale, piuttosto integrazioni che non alternative alla concezione
aristotelica (meno secondarie, comunque, di quanto si ritenesse ai tempi di
Kant), così certo non può dirsi di altre parti e soprattutto dell'impianto
complessivo di questa visione della logica che pure, dopo un momento di
grande fulgore (se gli dei avevano una logica, si diceva, non poteva essere
che quella di Crisippo), sparì. Le ragioni dell'estinzione di questa
tradizione, anzi, a ben vedere, della stessa consapevolezza di essa (Diogene
Laerzio e Sesto Empirico che ancora ne conservano limpida coscienza non
superano il terzo secolo d.C., ma già Galeno, nel secondo secolo, l'aveva in
gran parte perduta; e bisognerà addirittura attendere gli anni trenta di
questo secolo perché essa venga recuperata), costituiscono un problema
tuttora aperto. Il fatto peraltro che il residuo visibile sia costituito da
un parziale assorbimento in un quadro essenzialmente aristotelico di rari e
sparsi elementi stoici anziché da una riassunzione in un quadro stoico delle
teorizzazioni aristoteliche, come le nostre presenti sensibilità e maniere
di guardare alla logica ci farebbero sembrare naturale, indica chiaramente
che le risposte a quel problema coinvolgono considerazioni che vanno ben al
di là delle circoscritte questioni logiche. Sia pur solo di passaggio,
almeno due tratti rappresentativi di quella diversità vanno menzionati. Il
primo si ricollega al fatto che mentre Aristotele aveva soprattutto indagato
quel tipo di legalità logica che è connessa alla compresenza di termini
uguali in due o tre proposizioni e non aveva considerato, se non in maniera
accidentale, tipi di legalità logica connessi alla composizione
proposizionale delle proposizioni, fu proprio quest'altro tipo di legalità
logica a costituire il centro della riflessione nella tradizione
megarico-stoica. Dopo la loro scomparsa, bisognerà attendere Frege per
ritrovare un così definito spostamento del baricentro dell'attenzione
logica. Il secondo si ricollega invece al diverso modo di concepire il
rapporto tra le due grandi vie attraverso cui il soggetto si riferisce
all'oggetto: quella dell'attività verbale, del significare, del [semainein],
e quella dell'attività mentale, del pensare, del [noein]. Alla posizione di
Aristotele e di molti altri che, pur avendo (o che magari in seguito
avrebbero avuto) visioni del tutto diverse da lui delle due vie
singolarmente prese o delle interrelazioni fra esse, condividevano però
l'idea che la questione si sviluppava fra le tre sfere delle entità
'linguistiche', 'mentali' e'reali', dislocate in qualche modo sui vertici di
un triangolo, gli stoici ne contrapposero una che introduceva una nuova
sfera intermedia di entità, i 'detti', i [lekta], ponte comune di passaggio
dell'attività verbale e di quella mentale nel loro movimento verso la
'realtà', ad un tempo significati degli atti linguistici e contenuti degli
atti mentali. Malgrado dopo la scomparsa degli stoici non siano mancati qua
e là accenni più o meno oscuri a un approccio di questo tipo, bisognerà
questa volta attendere Bolzano e, dopo di lui, Frege e Husserl per ritrovare
formulazioni di questa idea altrettanto nitide e chiare.»
Cosa c'entra tutto ciò con il nostro problema?
C'entra, perché - come ci spiega anche Casari - l'impostazione della scuola
megarico-stoica era orientata più che altro alla "composizione delle
proposizioni". Questo fatto a sua volta comporta un approccio ai connettivi
decisamente più "formale" di quello aristotelico, poiché si pone il problema
di decidere della verità di una connessione di enunciati atomici a
prescindere dal loro "significato", ma solo in funzione del loro valore di
verità.
Certo, anche in seno alla tradizione megarico-storica non tutti furono
d'accordo nel formulare il condizionale nel modo in cui abbiamo visto, e che
è dovuto sostanzialmente a Filone di Megara (tant'è che in questa
formulazione il condizionale viene detto "filoniano"), tuttavia nell'ambito
di questa impostazione quei problermi vennero sempre discussi in modo
rigoroso e formale, senza lasciarsi sballottare qua e là dalle "intuizioni"
o dalla necessità "politica" (o magari "psicologica") di salvare il "comune
buon senso", o altre simili amenità.
-- 
Saluti.
D. 

 b valga oppure no.
vale nella misura in cui vale un'implicazione falsa.

 come si fanno gli esami d'obbligo, ma continuerò a pensare come dico io :-).
Cioè in modo illogico? Si può pensare in modo illogico,
o è un non-pensare?
Ciao!!!  :o)
Livio

 1    |    1
No, la tavola della verità della funzione implicazione logica è un'altra,
ed è a due variabili indipendenti, A -> B = f(A,B)!!!
Cosi' come A or B = f(A,B)
A and B = f(A,B)
A xor B =f(A,B)
E' questa funzione:
Esiste un Q tale che B = ( A vel Q)?
Ovviamente per A = vero B deve essere vero perchè l'affermazione sia vera,
ossia non esiste nessun Q che con A vera dia B falsa, mentre per A = falso
Q = vero produce un'espressione vera e Q = falso produce un'espressione
falsa per cui A -> B è sempre vera tranne per A vera e B falso per cui non
esiste nessun Q tale che eccetera eccetera.
La tua funzione invece è la funzione A vel Q in cui se A = 0 vale il don't
care perchè tale funzione vale Q che pûo' essere 1 o 0.


   o meglio è impossibile ricondurre la verità di b ad a: sono svincolati.
L'implicazione logica non è implicazione causale, infatti.
b sempre vero non è vero perchè a è vero, ma è vero che a implica b,
proprio perchè b è sempre vero indipendentemente da a.
Come è vero che non b implica non a, proprio perchè a puo' essere falso lo
stesso indipendentemente da non b che non accade, visto che è vero b.
L'implicazione logica a -> b è semplicemente una notazione stenografica
che afferma che l'insieme delle circostanze è tale che non sussiste che b
sia falso e nel contempo a sia vero.
Questo l'implicazione logica afferma e solo questo.
Se b è vero ovviamente non capita che b sia falso, visto che è vero e
quindi neppure che b sia falso ed a sia vero e quindi si hanno proprio le
condizioni affermate in maniera stenografica dall'affermazione che a
implica logicamente b.


 Livio
Ciao
Chérie

 implica logicamente b.
la seconda rimane problematica.
è inutile negarlo.

 è inutile negarlo.
E' una questione linguistica, non vedo dove sta il problema.
Per definizione a implica b è vero se e solo se ( a è falso oppure (a è
vero e b è vero)).
La definizione se vuoi è ricorsiva perchè utilizza la nozione intuitiva di
implicazione, ma neppure, in realtà utilizza quella di sostituzione o di
definizione.
Ossia, si definiscono i concetti in realtà già conoscendoli ed usandoli
per potersi esprimere in una lingua nella quale definirli, ricorsivamente.
Si definisce la funzione logica e ed o conoscendone già il significato, in
realtà, ad esempio.


Davide Pioggia ha scritto:
Mi ero già chiarito la faccenda nel senso che la poco intuitività del
connettivo logico implicazione era dovuta più che altro, credo,
all'interpretazione che si dà all'espressione a implica b.
Solitamente con tale espressione si intende che esista un rapporto quasi
di causalità tra l'evento a e l'evento b in un insieme di circostanze
possibili dimenticandosi invece che in questo contesto il connettivo
logico esprime una verità non funzione di ipotesi su come debba funzionare
il sistema in generale , ma solo dello stato presente del sistema.
E' un po come se di fronte all'affermazione piove e fa caldo ci
aspettassimo una relazione tra i due eventi, mentre si afferma solo che in
questo momento, è vero che piove ed è vero che fa caldo.
Lo stesso con l'implicazione logica, piove implica che faccia caldo,
significa solo che adesso, se e' vero che piove allora è vero che fa
caldo, ossia che lo stato del sistema non puo' contemplare la possibilità
che faccia caldo senza piovere.
Ossia A -> B significa banalmente Esiste un P tale che B = (A or P)
Ovviamente se e' vero che piove e fa caldo, è anche vero che (se piove fa
caldo), ossia è vero che il sistema di verità non è tale che non piova e
faccia caldo, visto che fa caldo.
Ma dato che noi solitamente siamo avvezzi alla presenza di implicazioni
logiche come fatti non determinati dallo stato del sistema ma come leggi
che vadano oltre e che descrivano dei limiti a cui è sottoposto ogni
possibile stato del sistema anche diverso da quello presente, ecco allora
le obiezioni.
No, ora mi è più chiaro, prima non lo era troppo perchè effettivamente
intuitivamente l'implicazione non la pensiamo mai come un qualcosa legato
allo stato del sistema ma a qualcosa che dipende dalla struttura del
sistema.
Interessante la deduzione della tabella di verità a partire dall'assunto
della verità in ogni caso della funzione ((A -> B) and A)->B) = VERO per
definire A->B.


 realtà, ad esempio.
ma così è solo ovvio.
posso indovinare tutti i giochini logici di questo mondo,
anche se dopo un po' mi annoio:
la due non può essere vera.

 testa.
Ho un dubbio, sempre che non mi sia sfuggito qualcosa, nel qual caso ti 
chiedo di essere magnanimo come Napoleone sul campo di Austerlitz dopo la 
battaglia:-). Da dove esce fuori che A&(A->B))->B è una tautologia? La 
dimostrazione della tautologicità di questa espressione (solo "V" nelle 
tavole di verità) non richiede la conoscenza del comportamento del 
condizionale rispetto ai valori di verità?
Un saluto,
Marco 

 un'altra, ed è a due variabili indipendenti, A -> B = f(A,B)!!!
Non esistono variabili indipendenti in sé.  :o)
Una variante è indipendente se la vuoi guardare come
variabile indipendente, diversamente no.
Es: puoi considerare la temperatura atmosferica come
variabile indipendente per studiare l'effetto che ha sulla
colonnina di mercurio e puoi considerarla dipendente
da tutti quei fattori ambientali che la determinano.
Ciao!!!  :o)
Livio

 Ti consideri un folle?
Oh me dolente! come mi riscossi
quando mi prese dicendomi: "Forse
tu non pensavi ch'io loico fossi!"
Ciao!!!  :o)
Livio

 questo momento, è vero che piove ed è vero che fa caldo.
Aspetta, non mi pare il caso di ribaltare completamente la cosa, arrivando a
negare l'esistenza di un "nesso causale". E' vero che io per primo ho
sostituito il "quando" al "se", trasformando una "implicazione" in una
"circostanza". Ma il fatto che le circostanze abbiano certi *vincoli* già di
per sé comprova l'esistenza di un qualche *nesso* fra A e B.
Ce ne possiamo rendere conto più facilmente se seguiamo il ragionamento
tradizionale di Filone, il quale riflettendo sulla "conseguenza":
    A -> B
cerca di esprimere quel connettivo in funzione di connettivi più noti (e,
sopratutto, più "intuitivi") osservando che il carattere essenziale di
quella relazione è che se A è vera anche B deve essere vera. Questo è come
dire che non può essere vero che A sia vera e B sia falsa, cioè:
    A & ~B = F
ma se A & ~B è falsa allora la sua negazione è vera:
    ~(A & ~B) = V
A questo punto possiamo sfruttare la proprietà distributiva della negazione
rispetto alla congiunzione:
    ~(A & ~B) = ~A V B (dove "V" sta per "vel")
sicché l'espressione
    A -> B
di fatto viene ad essere equivalente alla seguente:
    ~A V B
Ed infatti se andiamo a calcolare la tabella di ~A V B otteniamo proprio la
stessa che avevamo ottenuto in precedenza per A -> B:
1) A=F, B=F, (~A V B)=V
2) A=F, B=V, (~A V B)=V
3) A=V, B=F, (~A V B)=F
4) A=V, B=V, (~A V B)=V
Quindi se diciamo che A -> B è vera, stiamo dicendo che o A è falsa oppure,
se A è vera, deve essere vera B.
Ma allora la relazione fra i due enunciati non è solo una presa d'atto di
come stanno le cose in un certo momento, ma stiamo proprio dicendo che
quando sussiste una conseguenza lo stato di verità di uno dei due enunciati
vincola in qualche modo quello dell'altro, e questo accade "in tutti i
mo(n)di possibili".
-- 
Saluti.
D. 

> falsa e B è vera allora A->B è falsa.
Ovviamente qui Davide intendeva: se A è vera e B è falsa, allora A->B è, 
anche in base al senso comune, falso.
Marco 

 condizionale rispetto ai valori di verità?
Salta fuori sia in modo "intuitivo" che in modo "formale".
1a - Modo intuitivo
In modo "intuitivo" possiamo chederci che cosa "significa" che un certo
argomento possa essere valido o meno indipendentemente dal valore di verità
degli enunciati atomici di cui esso argomenta. Ebbene, a me sembra che non
ci sia altro modo di dire questa cosa se non affermando che l'argomento è
sempre vero, a prescidere dal fatto che A e B siano veri o falsi. Dunque in
tutte le combinazioni possibili dei valori di verità di A e B deve saltare
fuori il valore V per la espressione A&(A->B))->B. Ma questo è come dire che
quella espressione è una tautologia.
1b - Modo formale
A conferma di quella "intuizione", possiamo prendere atto che in ogni
sistema formale una regola di inferenza del tipo:
P1, P2... Pn
--------------
Q
viene definita usando proprio il condizionale, e affemando che essa è valida
sse la seguente espressione:
(P1& P2&...&Pn)->Q
è una tautologia.
2 - "Svolgimento"
Ora, come spiegavi bene anche tu, questa proprietà del condizionale deve
essere vera "a prescidere". Anche quando non sia nota la tabella di verità
del condizionale, esso può coicidere con ciò che intuitivamente chiamiamo
"condizionale" solo se ha quella proprietà rispetto qualuque regola di
inferenza.
Come faccio allora a tirare fuori "magicamente" tutta la tabella del
condizionale senza sapere a priori come essa è fatta? Ci riesco proprio
perché:
1) parto da delle informazioni parziali sulle proprietà del condizionale;
2) utilizzo quelle proprietà parziali per "cortocircuitare" il condizionale
su se stesso, costringedolo a parlare di sé, e dirci di sé ciò che ancora
non sappiamo.
In particolare le nostre informazioni parziali sono tratte da quel poco di
cui possiamo essere certi a partire dalla nostra intuizione di
"condizionale", ovvero che:
1) nel caso A=V e B=F il condizionale A->B è sicuramente falso;
2) vale quella proprietà generale del condizionale rispetto alle regole di
inferenza, dunque essa vale anche nel caso particolare in cui una delle Pn
sia essa stessa un condizionale, ed è qui che, costringo il condizionale a
"parlare di sé", perché a partire dal _modus ponens_:
    P, P->Q
    ---------
    Q
ottengo proprio che
    (P&(P->Q))->Q
deve essere una tautologia.
A questo punto metto delle incognite in tutti i termini della tabella che
non conosco, poi applico due volte la tabella e quello che ottengo deve
essere V. Se al posto di V e F avessi usato una base binaria, questo
"cortocircuito" sarebbe stato una sorta di equazione di secondo grado:
    X^2=1
    Y^2=1
    Z^2=1
da cui, nell'insieme {0,1}l'unica soluzione possibile:
    X=1
    Y=1
    Z=1
Se non ho fatto errori grossolani, mi pare un bel caso in cui si riesce ad
utilizzare l'"autoreferenza" in modo "costruttivo".
-- 
Saluti.
D. 

 veri o falsi.
Esatto, è proprio cosi'.
Ci sono solo un insieme di fatti.
Prendiamone due, per esempio.
A e B
Poniamo che A sia VERO e B sia FALSO.
Di questa situazione di puo' dire che:
A or B
A OR esclusivo B
B implica A
A non implica B
non A implica non B
non B non implica non A
Le implicazioni logiche scaturiscono solo dai rispettivi valori di verità
di A e B, solo da essi.


 Non esistono variabili indipendenti in sé.  :o)
Comunque a implica b è funzione di due ingressi, non di uno solo.


 anche in base al senso comune, falso.
Sì, certo, che pasticcione che sono!
Grazie per il sostegno morale e materiale :-)
-- 
Saluti.
D. 

 di A e B, solo da essi.
Bello, mi piace.
Ciao,
Nadja

 Comunque a implica b è funzione di due ingressi, non di uno solo.
Fammi una scatola nera che *SE è buio ALLORA accende
la luce* e che accenda la luce con un ingresso.
Ciao!!!  :o)
Livio

 "uahlim":


Semplice, la faccio pure senza ingressi, tengo SEMPRE accesa la luce,
infatti se è buio o se non è buio la luce viene accesa una prima volta e
se è buio la luce viene accesa come da specifica, se non è buio nessuno
dice che la luce non andava accesa.


 mo(n)di possibili".
No, perchè se affermi questo, la negazione dell'affermazione A implica B
ossia la negazione del fatto che ci sono vincoli tra i due eventi in tutti
i mondi possibili non è quello che ottieni con la negazione delle tavole
della verità.
La negazione di A implica B infatti, ossia A non implica B, significa che
B è falso e che A è vero, non che non esistono vincoli tra A e B, ma che
lo stato di cose fa concludere che non puoi dire che A implica B, e non lo
puoi dire proprio perchè stai affermando di aver trovato popperianamente
un controesempio alla teoria del vincolo causale.
Se poni più enfasi all'affermazione A implica logicamente B non risolvi il
problema del re e dell'asso, perche' mica puoi affermare che poichè c'è i
re in tavola allora c*'è un vincolo tra la circostanza che ci sia il re e
quella che ci sia il fante o l'asso.


 lui),
L'aggettivo dimostrato, in assenza di altri riferimenti, in se', non vuol
dire nulla.
Occorre capire dimostrato in quale teoria, ossia con quale alfabeto, con
quali regole sintattiche, con quali regole di deduzione, con quali assiomi.
E considerando che tutto questo gioco e queste regole sono descritti
usando la lingua naturale e proprietà della logica che teoricamente
andrebbero dimostrate.
Quindi in fondo una dimostrazione che è un circolo vizioso ed è solo una
dimostrazione di coerenza rispetto a regole e proprietà logiche già usate
per definire concetti e comportamenti, ossia proprietà.
Infatti io posso dimenticarmi della semantica, del vero e del falso ma poi
il concetto di simbolo, di regola, di è permesso o non è permesso implica
la conoscenza del concetto di vero e di falso e della logica intuitiva in
un metalinguaggio naturale.


 per il pensiero comune 
In soldoni mi pare di aver capito che gli argomenti sono i singoli
passaggi delle dimostrazioni formali fatte utilizzando le regole di
inferenza, gli enunciati invece una parte delle premesse od una
conclusione di tali passaggi.
Cosa che non avevo capito prima perchè sembrava che la differenza
risiedesse invece tra verità valida indipendentemente dal contenuto degli
enunciati primitivi introdotti nel discorso, e verità che invece
dipendevano da tali enunciati primitivi introdotti.
E questa circostanza, a partire dalla verità (A e (A->B))->B da rendere in
ogni caso vera e da considerare un argomento perchè sempre vero e non un
enunciato, ossia un'ipotesi, che si è svolta la trattazione.
Ma nell'ambito della dimostrazione con la deduzione, non mi pare esista
proprio la nozione di valore di verità.
Mi pare che esistano solo enunciati senza nessun attributo di verità (e
quindi se enunciati, veri), ed al più negazioni di enunciati, ma senza
alcuna semantica.


[...]
Aspetta, però. Credo che ci troviamo al confine tra i due modi di 
presentazione della logica - che, come mi insegni, nel solito inglese 
tecnico suonano come "model theory" e "proof theory". Parlando in generale, 
è evidente che un ragionamento (argomento) è formalmente corretto solo se da 
premesse vere seguono conclusioni vere. Da ciò si ricava che le tavole di 
verità costituiscono un metodo di verifica della correttezza formale degli 
argomenti, giacchè le tavole di verità sono definite per gli enunciati (qui: 
per le formule del calcolo proposizionale), e sia le premesse sia le 
conclusioni dei ragionamenti sono degli enunciati.
Ora, però, la domanda è: *da dove* salta fuori che se un *argomento* è 
formalmente corretto, allora la tavola di verità di una certa formula, che 
include un condizionale e che "corrisponde" all'argomento, deve comportarsi 
in un certo modo?
La tua idea è di ricavare (o meglio: completare) la tavola di verità del 
condizionale "=>" dalla conoscenza di una (che poi verrà dimostrata l'unica) 
delle condizioni di falsità di un condizionale e dalla assunzione della 
correttezza formale (tu la chiami "validità) dell'argomento che ha come 
forma enunciativa condizionale "se A è vera, e se è vero che A implica B, 
allora B è vera" (l'argomento sarà: "A implica B, ma A è vero, dunque B è 
vero"). Se riesci a far entrare in gioco le tavole di verità, e se dunque 
riesci a gettare un ponte tra correttezza e verità, è, appunto, perché 
sfrutti la corrispondenza esistente tra un argomento e l'enunciato che 
esprime la sua forma condizionale. Sfrutti cioè il fatto che un argomento è 
corretto se e solo se l'enunciato che esprime la sua forma condizionale è 
una tautologia. Ma ora la domanda è: da dove esce fuori questo fatto?. La 
mia perplessità era (*non* l'avevo espressa bene, perché avrei dovuto dire: 
"da dove esce fuori che quella certa formula *deve* essere una 
tautologia?"): è questo fatto indipendente dalla conoscenza completa delle 
tavole di verità del condizionale? Se infatti non lo è, allora il tuo 
tentativo è viziosamente circolare.
Si badi: non sto domandando da dove esce fuori che l'argomento (sia d'ora in 
poi M; dunque abbiamo che M: A, A->B|-B) che esprime il modus ponens deve 
essere corretto. Infatti, noi potremmo assumerne la correttezza 
ipoteticamente, e dimostare che condizione necessaria di questa ipoteticità 
è che la tavola di verità del condizionale sia fatta in un certo modo. 
Potremmo cioè dimostrare noi stessi la verità del seguente condizionale: 
"*se* M è corretto (e se le condizioni di falsità del condizionale sono 
'antecedente vero-conseguente falso'), allora la tavola di verità del 
condizionale deve essere fatta così e così". Sto invece domando: come 
facciamo a gettare quel ponte tra correttezza e verità, che ci consente di 
ridurre la questione della correttezza di un argomento alla questione della 
tautologicità di una formula?
Procedendo per punti:
1. se A|-B, allora |-A->B. Questo ce lo garantisce il "teorema di 
deduzione".
2. Se |-A ("|-A" significa che A è una formula dimostrabile, per la quale, 
cioè, esiste una dimostrazione formale) allora A è una tautologia, ovvero la 
tavola di verità di A contiene solo delle "V". Anche questo ce lo garantisce 
un teorema del calcolo proposizionale.
3. dunque, dalla 1. e dalla 2. otteniamo che se A|-B, allora la formula A->B 
è una tautologia.
Il punto è che la dimostrazione del risulato indicato in 2. (cioè: se A è 
dimostrabile, allora A è una tautologia) sfrutta quell'altro teorema che ci 
garantisce che "se A è una tautologia, e A->B è una tautologia, allora B è 
una tautologia). E questo teorema, visto il significato di "tautologia" 
(avere solo "V" nella tavola di verità) richiede, nella sua dimostrazione, 
la conoscenza completa della tavola di verità del condizionale. Ovviamente, 
il fatto che io abbia utilizzato "A|-B" e non "A1,...An|-B" non lede la 
generalità di quanto ho scritto.
A questo punto potresti ribattere che a te basta dimostrare che la 
tautologicità di A&(A->B))->B esige che la tavola di verità del condizionale 
sia fatta in un certo modo. Ma allora, con ciò sarà venuta meno la 
connessione tra argomento ed enunciato esprimente la sua forma condizionale. 
Ti sarai limitato a prendere in considerazione una certa formula - 
A&(A->B))->B - e avrai mostrato che se tale formula è una tautologia, allora 
la tavola di verità del condizionale deve essere fatta nel modo che sappiamo 
(assumendo come note una condizione della falsità). *Ma* non ti sarà 
possibile dire che questa formula è l'enunciato che esprime la forma 
condizionale dell'argomento noto come "modus ponens". Dire questo 
nell'ambito della tua dimostrazione, significherebbe - in base a ciò che ho 
detto sopra, e sempre che non abbia commesso io un errore grossolano - 
chiudersi in una circolarità viziosa.
*Se* quel che ho detto non è una corbelleria, allora questa circolarità 
viziosa è la ragione per cui i manuali di logica cominciano, in genere, con 
la presentazione della tavola di verità dei connettivi logici, e non 
effettuano quella ingegnosa derivazione formale della tavola di verità del 
condizionale che ci hai presentato. Ragione che, comunque, per quel poco che 
ho frequentato i manuali di logica, non ho mai trovato esplicitato (proprio 
perché mai ho trovato la tua derivazione).
Un saluto,
Marco
 

 dice che la luce non andava accesa.
Eh no, prima mi dici che B è una variabile indipendente e poi
ne fai addirittura una costante? Non ti sembra un salto mortale?
E poi come faccio a verificare la teoria scientifica "questa tua
scatola nera implementa un'implicazione" se non mi lasci
verificare ogni singola possibilità della tavola della verità?
Ciao!!!  :o)
Livio

 Livio


 ne fai addirittura una costante?
Dunque, B è una variabile indipendente nella funzione A -> B.
La funzione A -> B a seconda del valore di A e di B puo' valere VERO
oppure FALSO, in particolare vale sempre VERO, tranne quando A = VERO e B
= FALSO.
Se vale VERO, si dice che A implica B.
Tu mi hai chiesto altro, mi hai chiesto non l'implementazione di A -> B
che banalmente è -(A and -B) ove - indica la negazione.
Tu mi hai chiesto invece una funzione che fornisca, al variare di A, degli
ingressi B  tali che -(A and -B) valga VERO, e questo si ottiene se A and
B vale FALSO, cosa che si ottiene sempre se -B vale FALSO ossia basta che
B valga sempre VERO, cosa che ti ho proposto.


 implementasse l'implicazione.
Il fraintendimento con il linguaggio naturale è più che lecito.
Quindi son qui a richiederti quello che avevo in mente con
altre parole, finché ci capiremo.
Fammi dunque una scatola nera che implementi l'implicazione
*SE è buio ALLORA si accenda la luce*, tale ch'io possa
verificarla sperimentalmente. Quando è buio la luce deve
risultare accesa. Quando non è buio, deve poter assumere
entrambi i valori, se tenta di spegnersi quando è buio, non
ci riesce. Devo poter verificare tutte le righe della tavola
della verità, diversamente non te la compero. :o)
Il mio intento palese non è quello di farti fare l'elettricista,
ma di mostrarti che la non-causalità di A su B è un
presupposto non necessario, anzi è la prassi nel pratico
utilizzo delle implicazioni, che sia un circuito elettrico, che
sia una riga di software o che sia la pioggia che mi fa
aprire l'ombrello.
Ti riconfermo che, quando verificherò la tua scatola nera,
per me osservatore A e B saranno input, variabili indipendenti.
Ma per la scatola nera B sarà un output, almeno quando
A è vera.
Ciao!!!  :o)
Livio

 A è vera.
Genericamente va bene una qualunque funzione del tipo B = A vel Q.
Se Q == VERO si ha la scatola che ti avevo proposto prima.
La funzione di verità di A -> B è la stessa di -(A and -B) perchè è la
negazione dell'unico caso falso che si ha se B è falso e A è vero quindi
per A and -B.
Sostituendo la B che ti dico nella -(A and -B) si ottiene -(A and -(A vel
Q)), ora, applicando un teorema noto (lo ricavi con le tavole della
verità) ottieni -(-A and (-A and -Q)) ossia -(-A and A and -Q) e questo
vale sempre VERO perchè -A and A and Q vale sempre FALSO, per qualunque A
E QUALUNQUE Q, come volevasi dimostrare.


 tecnico suonano come "model theory" e "proof theory".
Se parli di "validità" o "correttezza" sei già immerso fino al collo nella
"semantica", cioè in un "modello" che costituisce una "realizzazione" delle
tue "formule", le quali in esso sono "vere" o "false".
Tutti i termini virgolettati appartengono alla modellistica.
Ricordiamo che dal punto di vista *semantico* se B è vero quando A è vero
diciamo che B è una *conseguenza logica* di A, e scriviamo:
.     A |= B
Invece dal punto di vista puramente *sintattico* non parliamo di "verità"
(la quale è legata allo "stato delle cose nel modello") ma ci limitiamo a
dire che A *implica* B, o che B è *derivabile* da A, e scriviamo:
.    A |- B
In un secondo momento intervengono i teoremi di adeguatezza e correttezza,
i quali ci assicurano che in un sistema formale in cui sono definiti tutti i
lemmi della logica elementare si ha che
.    A |= B sse A |- B       [*]
Lo scopo di tutto il "gioco" è dunque quello di definire la parte
"sintattica" in modo tale da poter ottenere la [*]. In altri termini, la
sintassi formale deve essere definita in modo tale che la enumerazione
estensiva di tutte le possibili realizzazioni di un insieme di formule e la
annotazione per esteso di tutte le formule che sono vere quando è vero un
certo insieme di formule, produca lo stesso risultato che si ottiene
procedendo in modo formale a partire da quell'insieme di formule e
ricavandone altre sulle base di certe regole formali. Sebbene queste due
operazioni siano così diverse, alla fine devono dare gli stessi risultati.
Ora, mentre nel caso della logica dei predicati questa differenza è netta,
quando si mette mano alla logica delle proposizioni i due piani tendono a
confondersi. Infatti di una proposizione si può dire solo che è vera o
falsa, dopodiché ci si mette ad elencare tutte le possibili "realizzazioni"
(in modo "estesivo") usando le famose "tavole". Così ci si ritrova sì a fare
dei "calcoli formali", ma quei calcoli formali sono in realtà dei "calcoli
combinatori" che tendono appunto ad esaurire tutte le possibili
"realizzazioni". Dunque quando nella logica proposizionale ci mettiamo a
ricavare qualcosa usando le tavole di verità, andiamo ad individuare delle
conseguenze logiche, cioè delle "|=", e non delle semplici implicazioni,
cioè delle "|-".
Che il nostro problema della "validità" sia prettamente "semantico" ce lo
possiamo fare confermare da qualunque testo, come ad esempio questo:
http://www.dif.unige.it/epi/hp/pal/ssis04/prop.pdf
dove a pagina 8 troviamo la sezione: «5. Concetti semantici fondamentali».
In questa sezione possiamo anche trovare un teorema che fa al caso nostro:
«Teorema 2. La forma proposizionale X è conseguenza logica della forma
proposizionale Y se e solo se Y -> X è una tautologia».
In alternativa si potrebbe dare una occhiata qui:
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0601/0601709.pdf
dove a pagina 33 si svolge tutto il "programma" che si interessa, fino ad
enunciare il teorema di deduzione "nel modello", come serve a noi.
Tu però dici che non posso ottenere quei teoremi se prima non ho definito il
condizionale.
Qui mi viene in soccorso Casari, che nel testo citato introduce quella
relazione non come teorema, ma come *definizione* di argomento valido,
subito dopo aver definito i connettivi fondamentali. Scrive:
«L'argomento p1, p2... pk/p è valido dal punto di vista classico della
connessione se e solo se l'enunciato p1&p2&...&pk -> p è una tautologia
[...]»
L'impostazione di Casari mi sembra che sia particolarmente favorevole alla
mia proposta.
Infatti nelle pagine precedenti, nelle quali vengono definiti i vari
connettivi, basterebbe limitarsi a dire che del connettivo condizionale
sappiamo solo che quando l'antecedente è vera allora anche la conseguente
deve essere vera. In altri termini, sappiamo solo che se l'antecedente è
vera e la conseguente è falsa allora il condizionale non può essere vero, e
così facendo lasciamo tre "incognite" nella tavola della verità del
condizionale.
Quando poi, nelle pagine successive, arriviamo a definire il concetto di
"argomento", abbiamo due possibilità:
1)
Sulle orme di Casari, introduciamo una semplice definizione, del tipo:
«ancora non sappiamo che cosa sia il connettivo condizionale, ma qualunque
cosa esso sia vogliamo che un "argomento" sia definibile a partire dal
condizionale nel modo seguente, eccetera».
A questo punto per poter "cortocircuitare" il condizionale basta che
qualcuno ci faccia "piovere dal cielo" il primo degli "argomenti", che è poi
il _modus tollens_, ed il gioco è fatto: in un colpo solo ci troviamo
definito sia il condizionale che gli argomenti.
2)
Come dicevo poco fa, il precedente punto 1) è completamente immerso nel
"modello". Di fatto stiamo già lavorando nel modello per poi poter estrarre
la "sintassi", tuttavia queste considerazioni restano implicite, tant'è che
sia la definizione di argomento sia il modus tollens ci vengono fatti
piovere dall'alto.
Se invece abbiamo il coraggio di affrontare fin dalle prime pagine la
questione della sintassi e del modello, dovremo dire esplicitamente che
siamo alle prese con un "|=" dal quale vogliamo ricavare un "|-", e dovremo
anche definire il "|=" come ciò che lega due proposizioni la seconda delle
quali è vera in ogni "realizzazione" in cui è vera anche la prima.
A questo punto potremo osservare che il "|=" ha nel modello le stesse
proprietà che già avevamo attribuito al connettivo condizionale, e che ora
stiamo cercando di attribuire al "|-" nella sintassi, che è poi
quell'"argomento" che stiamo cercando di definire.
Allora, con un po' di ragionamenti, potremo giustificare tutto ciò che nel
caso precedente ci era "piovuto dal cielo", perché per trasferire il "|-"
nel modello dobbiamo scrivere una forma condizionale ed imporre che essa sia
vera indipendentemente da ogni realizzazione, il che è come dire che deve
essere una tautologia.
     -----O-----
Mi rendo conto che tutto ciò è piuttosto confuso, ma ogni testo di logica
deve fare i conti con il "bootstrap", nel quale si deve decidere se recidere
ogni rischio di "circolarità" facendo "piovere le cose dal cielo", oppure se
cercare di sollevarsi per i lacci degli stivali, mostrando al povero lettore
la vertigine dell'abisso nel quale lo si sta trascinando.
Secondo me il "bootstrap" è fattibile con un numero molto limitato di
"piovute dal cielo", tuttavia più vogliamo limitare le "piovute" più
rischiamo di essere catturati dalle spire della circolarità. Credo che per
verificare la tenuta del "mio"(?) argomento dovremmo cercare di capire se è
possibile introdurlo in modo "stupido". Una volta che ciò sia possibile,
potremmo affrontare a parte la questione del "bootstrap", che riguarda ogni
possibile fondazione della logica.
-- 
Saluti.
D. 

 qualunque A E QUALUNQUE Q, come volevasi dimostrare.
Mi sei piaciuto talmente che ne ho fatto un disegnino:
http://www.hostfiles.org/files/20060219110115_scatola.gif
Come si può vedere, dall'implicazione *semantica*
"Se è buio, Allora si accenda la luce", tramite la tavola
della verità blu progettiamo la scatola nera e tramite la
tavola fuxia la verifichiamo.
Da notare che la terza riga della fuxia è in grado di
*falsificare* la scatola nera, cioè darebbe uscita falsa
se il risultato della scatola nera fosse falso, cioè se la
teoria scientifica che ha generato la scatola nera fosse
falsa.
Pertanto la ns. implementazione è popperiana al 100%.
Ciao!!!  :o)
Livio

 
http://www.hostfiles.org/files/20060219110115_scatola.gif
Si, il tuo don't care è il mio Q, Q per Qualunque, in pratica abbiamo
sempre affermato la stessa cosa, la funzione A vel Q l'avevi scritta pure
tu, in forma di tavola della verità anzichè in forma simbolica, ma a parte
la forma era la stessa.
Quindi non avevo tanto capito il senso della tua domanda alla quale avevi
già dato la risposta tu, l'impressione non tanto vaga di una tua presa in
giro nei miei confronti quindi c'era (e permane ;-))


 giro nei miei confronti quindi c'era (e permane ;-))
Ma no, figurati. A me interessa sempre e solo capire qualche
cosa in più e, attraverso i tuoi post, mi son chiarito, ad es.,
perché la tabella della verità dell'implicazione mi ha dato fastidio
per una vita: era una questione di feeling.
E poi è venuto fuori anche Popper. Non avevo mai applicato
Popper ai miei circuiti, almeno non in modo conscio.  :o)
Ciao, alla prossima!!!  :o)
Livio

 Pertanto la ns. implementazione è popperiana al 100%.
Ora mi è chiaro quello che volevi, tu volevi un mondo composto da un
insieme di fatti, ed in questo mondo composto da un insieme di fatti
isolare una teoria che predicesse alcuni fatti a partire da altri.
Pero', mi pare che il mondo che produce i fatti sia l'implementazione,
l'affermazione che il fatto B è sempre tale che la funzione logica A -> B
sia sempre vera è l'assunto teorico, e la verifica che nell'ultima parte
del circuito si ha sempre vero, con tali ingressi, dovrebbe costituire la
verifica.
Il problema è che per Popper il numero di stati e quindi di righe della
tavola della verità è infinito mentre nel nostro caso è finito, e quindi
si ha che è vero che la teoria non è falsificata, ma anche la certezza che
non lo sarà mai.  
E nel fare questa operazione emerge il limite dell'impostazione di Popper,
ossia tralasciare che la teoria da verificare definisce anche quali sono i
fatti, spesso definisce anche come leggere i dati sperimentali che poi
dovranno falsificare la teoria, quindi piu' che di falsificazione io
parlerei di possibilità di porre in contraddizione con la visione del
mondo che si ha una teoria scientifica che comprende solo un pezzo di tale
visione.
Ed evidenzierei comunque che molti aspetti probabilmente non verificabili,
talmente sono insiti in noi, si lasciano per dati.
L'idea che esista una realtà, che esistano gli altri, che esista una
comunità scientifica.
Ad esempio Popper trascura completamente che la scienza è inserita in una
comunità scientifica, e che la cosiddetta falsificazione deve essere a sua
volte non falsificata, che deve essere statisticamente rilevante.
Dimentica del tutto appunto l'aspetto probabilistico e fuzzy non solo
nella conferma di una teoria, ma anche nel momento della sua eventuale
falsificazione.
Non basta UN controesempio per falsificare una teoria, ma occorre un
controesempio ripetibile e ragionevolmente confermato o non falsificato a
sua volta in un circolo a sua volte infinito, perchè l'errore è sempre in
agguato.
 
Per cui, sembrero' rozzo, ma mi pare molto più realistica l'impostazione
di Einstein, dichiaratamente approssimativa, dichiaratamente limitata,
dichiaratamente probabilistica, molto fuzzy e molto per approssimazioni
successive.
Ed in cui si evidenzia in un disegno una retroazione, l'idea che si parta
comunque già da un'idea e da ipotesi che poi vengono semplicemente
confermate non come vere, ma come coerenti con il quadro da cui si è
partiti.
Insomma, io la scienza la vedo confermata o non falsificata come lo
possono essere le visioni della realtà dei protagonisti in una commedia
degli equivoci.
Possono passare anni o tutta l'eternità senza che tali equivoci emergano e
con tante teorie del reale tutte ugualmente coerenti e non falsificate con
le loro assunzioni di base. E' improbabile ma potrebbe accadere.


 per una vita: era una questione di feeling.
Anche a me è successo lo stesso, tant'è che all'inizio la contestavo
persino tale tabella avendo scritto X al posto di V cosi' come contestavo
il ragionamento di Girotti anche ammettendo l'or esclusivo, ma questo
proprio perchè davo un significato quasi causale o riferito all'idea di
una legge che andava oltre l'insieme di fatti veri o falsi che si
esaminavano all'espressione A implica B, un po come faceva Cherie.
Ecco perchè mi dicevo, no, quelle righe affermano solo che i fatti sono
compatibili, non falsificano l'ipotesi che A implichi B ma non la provano
e quindi io non scrivo V anche se in letteratura scrivono V, non
rendendomi conto che A implica B è vero se i fatti non contestano l'idea o
la teoria che ci sia un rapporto causale tra A e B. Ma considerando solo
quella circostanza come totalità degli esperimenti effettuabili e quindi
che popperianamente che A implichi B non è falsificato dalla circostanza
che B sia vero e mai lo sarà in futuro essendo l'universo logico formato
solo da un insieme di fatti e quindi basta che B sia vero in quell'insieme
di fatti per poter affermare, con solo quello stato del mondo in mano, che
A causa B.


 deve fare i conti con il "bootstrap"...
Mi sto convincendo che fa bene Herrmann, il quale molto coraggiosamente
parte proprio da "|=", e solo a pagina 42, dopo aver lavorato per un bel po'
solo con il "modello", introduce il "|-", cioè la _proof theory_, dicendo
chiaramente: «Actually, we are investigating the propositional logic in a
historically reversed order».
Vediamo come potremmo adottare la "mia" proposta nella sua coraggiosa
impostazione.
1 - SEMANTICA
Innanzi tutto si dice, per definizione, che una formula A è valida (oppure:
è una tautologia) se è vera per ogni possibile assegnazione dei valori di
verità ai suoi enunciati atomici, e decidiamo di scrivere questa cosa nel
modo seguente:
.    |=A
Fatto questo, introduciamo il concetto di _conseguenza logica_ (la chiamiamo
così per rispettare una certa tradizione, ma ho sempre pensato che per
eliminare ogni ambiguità la si dovrebbe chiamare "conseguenza semantica"),
asserendo che, per definizione, A è conseguenza logica di  B sse in una
qualunque assegnazione che rende B vera anche A è vera, e scriviamo questa
cosa nel modo seguente:
.    B|=A
A questo punto possiamo anche generalizzare la cosa, introducendo un insieme
M di formule e dicendo che A è conseguenza logica di M se per ogni
assegnazione che rende vere tutte le formule di M anche A è vera, e
scriviamo:
.    M|=A
Osserviamo che avendo introdotto questa definizione generale, la validità
diventa un caso particolare di conseguenza logica, che si ottiene quando M è
l'insieme vuoto.
2 - OPERATORI
A questo punto possiamo cominciare a parlare di operazioni nell'insieme
delle formule del calcolo proposizionale.
Se decidiamo di definire le operazioni in modo semantico, ogni operazione
sarà associata ad una delle possibili "tabelle". Ad esempio se vogliamo
definire un operatore unario "*", avremo solo due tabelle possibili:
A   *A
--------
V    V
F    F
oppure
A   *A
--------
V    F
F    V
Nel primo caso abbiamo semplicemente l'identità, mentre nel secondo caso
abbiamo un operatore unario che inverte i valori di verità, e con una botta
di originalità decidiamo di chiamarlo "negazione", indicandolo con "~".
Dunque la "negazione" è quell'operatore tale che ~A è sempre vera sse A è
sempre falsa, cioè è falsa per ogni assegnazione. Se decidiamo, con un'altra
botta di originalità, di definire una _contraddizione_ una formula che è
falsa
per ogni assegnazione, allora abbiamo che A è una contraddizione sse |=~A.
Poi passiamo agli operatori binari, le cui tabelle sono costituite da tre
colonne e quatrro righe:
A    B    A#B
---------------
V    V
V    F
F    V
F    F
dove "#" è un generico operatore binario.
Un semplice calcolo combinatorio ci dice che le possibili tabelle sono 16,
ed ovviamente non sono indipendenti fra loro, perché combinando la negazione
con alcune di esse si possono ricavare tutte le altre.
Di tutte queste operazioni ce n'è una che ci viene utile subito. Ricordiamo
infatti che quando abbiamo scritto l'insieme M delle formule, abbiamo preso
in considerazione il caso in cui tutti gli elementi di M fossero veri.
Ebbene, c'è un operatore che è vero se e solo se sono veri entrambi i suoi
argomenti, ed è il seguente, che indichiamo con "&":
A    B    A&B
---------------
V    V    V
V    F    F
F    V    F
F    F    F
Dunque se indichiamo con B1, B2... Bk gli elementi di M, abbiamo che
.    M|=A    sse    B1&B2...&Bk|=A
sicché possiamo utilizzare "&" per ricondurci da un insieme di formule ad
una
sola formula.
3 - IL CONDIZIONALE
A questo punto ci chiediamo se fra quelle 16 operazioni binarie ce ne sia
una (della quale ancora non conosciamo la tabella, e che comunque decidiamo
di chiamare _condizionale_ e indicare con ">") che in qualche modo replichi
sul piano formale la conseguenza logica, la quale - come abbiamo visto -
sussiste nel modello.
Abbiamo detto che la relazione
.    B|=A
sussiste se A è vera in ogni assegnazione nella quale B è vera.
Ebbene, se vogliamo che l'operatore ">" replichi in qualche modo le
proprietà della conseguenza logica, possiamo richiedere che se A è vera
quando B è vera allora sia anche vero che B>A. In altri termini:
.    B|=A    sse  |=B>A    [*]
Vediamo ora come possiamo sfruttare questa unica richiesta per ottenere
tutta la tabella di ">".
A questo proposito consideriamo il caso in cui si abbia |=B e B|=A. Questo
equivale ad affermare che B è sempre vera e quando B è vera anche A lo è.
Dunque A è sempre vera, e pertanto abbiamo:
.    Se |=B e B|=A, allora |=A
D'altra parte, per la [*], B|=A equivale a |=B>A, dunque abbiamo:
.    Se |=B e |=B>A, allora |=A
Da questa relazione si possono ricavare due conseguenze:
1)
La prima è che se B è vera e A è falsa, allora B>A non può essere vera. Già
questo ci permette di scrivere la "seconda riga" della tabella:
B    A    B>A
---------------
V    V
V    F    F
F    V
F    F
2)
La seconda si ottiene ponendo:
    M = {B, B>A}
da cui, per la definzione di conseguenza logica, si ha:
.    M|=A
ovvero, per la definizione di "&":
.    B&B>A|=A
da cui, applicando di nuovo la [*] (ed è qui che applichiamo il condizionale
a se stesso!), si ottiene:
.    |=(B&B>A)>A
Dunque (B&B>A)>A deve essere una tautologia. A questo punto basta svolgere
il solito calcolo combinatorio che abbiamo già fatto altrove (quello con X,
Y e Z), e si ottegono le altre tre righe del condizionale.
4 - SINTASSI
Poiché fin dai tempi biblici il nostro obiettivo è la conoscenza del bene
e del male, ed in questo caso vogliamo conoscere tutte le formule che sono
sempre vere, cioè tutte le possibili tautologie, cioè le A tali che | =A
Potremmo allora scrivere tutte le formule e per ognuna di esse enumerare
per esteso ogni possibile assegnazione. Ma questo è un lavoro che
richiederebbe un tempo esorbitante, anzi, diciamo pure infinito.
Ci chiediamo allora se non sia possibile verificare che un certo numero
finito di formule sono delle tautologie, per poi ricavare tutte le altre
tautologie da quelle formule procedendo in modo "formale", cioè ricavando
formule da formule senza dover andare ad esplicitare per ognuna di esse
tutte le assegnazioni possibili, ovvero senza dover andare a "verificarle
nel modello".
Questa operazione, che dovrebbe essere l'equivalente formale della
conseguenza logica, la chiamiamo deduzione (o inferenza, o quel che è) e
supposto che M sia l'insieme delle formule di partenza, decidiamo di
indicarla con "|-":
.    M|-A
Essa dunque deve possedere la seguente proprietà:
.    M|-A    sse    M|=A    [**]
Ora che abbiamo definito quali proprietà deve possedere la "|-", dobbiamo
trovare un modo rendere esplicite quelle regole formali che ci dovrebbero
consentire di ricavare formule valide da formule valide.
E qui ci viene buono il condizionale, il quale può fare da "ponte" fra "|="
e "|-".
Infatti mettendo assieme la [*] e la [**] abbiamo che
.    B1&B2&...&Bk|-A    sse    |=(B1&B2&...&Bk)>A
In questo modo possiamo associare una regola di inferenza ad ogni
espressione del tipo (B1&B2&...&Bk)>A che sia una tautologia.
Ora, di tutte le possibili regole di inferenza una l'abbiamo già ottenuta,
perché dalla definizione semantica del condizionale abbiamo ricavato che
(B&B>A)>A è una tautologia. Dunque quella espressione definisce la seguente
regola di inferenza:
.    B, B>A|-A
che è il famoso _modus ponens_.
Prima di concludere facciamo una piccola nota formale, ricordando che
l'espressione B1&B2&...Bk|-A la possiamo scrivere non solo "in linea", ma
anche "in verticale":
B1, B2,... Bk
---------------
A
nel qual caso il modus ponens assume questa forma:
B, B>A
----------
A
5 - CONCLUSIONI
Se ho fatto tutto bene, dovrei essere riuscito a portare a termine in modo
"radicale" il "ribaltamento" operato da Herrmann. Nello schema che ho
esposto tutti i grandi "teoremi" si sono ridotti a delle semplici
definizioni, le quali consentono di ricavare le proprietà di ">" e di "|-"
da quelle di "|=".
Volendo assumere dei toni profetici, potremmo dire: «Al principio c'era il
Vero», cioè lo "stato di fatto", il modo in cui stanno le cose "là fuori".
Dopodiché si sviluppa tutto il resto tenendo sempre presente dove vogliamo
andare a parare. In questo modo il "bootstrap" è massimo, e massimo è anche
il pericolo (o meglio, la sensazione, perché quel pericolo mi sembra di
averlo evitato, o che comunque sia evitabile) di circolarità. Ma proprio
perché il "bootstrap" è massimo, in questo modo nulla "piove dal cielo".
Ora, dal momento che io ho sempre sostenuto la "superiorità" della
"sintassi" sulla "semantica" questa impostazione potrebbe sembrare una
capitolazione. Ma in realtà non lo è, perché il "modello" a sua volta può
essere definito facendo ricorso alla teoria degli insiemi, la quale può
essere formulata in modo non contraddittorio solo in modo puramente
assiomatico (visto che, come è noto, tutte le nostre "intuizioni" in quel
campo conducono a dei "paradossi"). Dunque ciò che chiamiamo "realtà
esterna" di una certa teoria, e che la teoria dovrebbe in qualche modo
"replicare", non è altro che un "sostrato assiomatico" comune a tutte le
teorie. Si tratta del "nucleo duro" della sintassi pura, che è poi la teoria
degli insiemi.
Ciò che sembra essere "la fuori" in realtà è "là dentro".
-- 
Saluti.
D. 

 .    Se |=B e B|=A, allora |=A
Dunque, sia per ipotesi |=B e B|=A - sia cioè B vera, e sia A una 
conseguenza logica di B. Se ho capito bene, questo tuo "dunque...pertanto" è 
fatto così:
Poiché:
1. ogni volta che B è vera, allora A è vera.
2. ma B è sempre vera.
3. e dunque A è sempre vera.
[In sostanza: visto che A ha il valore "V" ogni volta che B ha il valore 
"V", e visto che B ha sempre il valore "V", allora A ha sempre il valore 
"V". Cioè: A ha sempre il valore "V" quando ce lo ha B, ma B ce lo ha 
sempre, dunque ce lo ha sempre anche A.]
allora si ha che: se |=B e B|=A, allora |=A
Ora, va capito (1) se tu qui sia o meno costretto a trattare "B|=A" alla 
stregua di "se |=B, allora |=A". Ciò sarebbe un errore. Non sussiste, 
infatti, una equivalenza tra l'affermazione "A è una conseguenza logica di 
B, ossia è vero ogni volta che B è vero" e l'affermazione "se B è una 
formula valida, cioè è una tautologia, cioè è vera per ogni possibile 
assegnazione dei valori di verità ai suoi enunciati atomici, allora lo è 
anche la formula A".
Oppure (2) se qui, *proprio* perché *non* stabilisci quella errata 
equivalenza, ti è consentito di non cadere in un circolo vizioso.
Credo che se la tua costruzione è corretta, allora quel tuo 
"dunque...pertanto" deve aver passato questo tipo di esame.
Un saluto,
Marco
P.S.
Una domanda. Ma allora, se la tua costruzione dovesse stare in piedi, quel 
che avresti dimostrato è che il nesso tra "|=" e "|-" (quel nesso che tu 
introduci a partire dalla richiesta di una corrispondenza della nozione di 
"conseguenza logica" sul piano formale) implica la tavola del condizionale 
per come la conosciamo (cioè questa tavola è la condizione necessaria di 
quel nesso esistente tra validità e dimostrabilità)?
 

 che falso, e dunque sarebbe anche vero che la Luna è di formaggio.
Mmmmm.... questo riferimento alla contraddizione nei linguaggi formali 
finisce produrre un ragionamento circolare, infatti nei linguaggi 
formali accade questo proprio perchè lì vale l'implicazione logica che 
stavamo cercando di capire.
Io suggerisco questo modo di vedere le cose:
L'espressione:
     «Se 2 più 2 fa 5 allora la Luna è di formaggio»,
va interpretata
     «In ogni circostanza in cui 2 più 2 fa 5 accade che la Luna è di 
formaggio»
ora le circostanze in cui 2+2=5 non ci sono così come non esistono le 
circostanze in cui la Luna è di formaggio, quindi effettivamente ogni 
volta (nessuna) che accade la prima cosa accade anche la seconda (cioè 
mai)... è come se stessimo usando il quantificatore "per ogni" su un 
insieme vuoto.
Ciao!! 

 insieme vuoto.
Hai ragione.
Avevo cominciato il post inserendo il "quando" al posto del "se" proprio
perché volevo arrivare a dire che quelle circostanze non ci sono. Poi mi
sono fatto prendere la mano, ho cercato di prendere una scorciatoia formale,
e ne è venuto fuori un discorso che tiene un piede di qua ed un piede di là,
sicché alla fine - come osservi tu - non è né formale né intuitivo.
Però ora che mi ci fai pensare mi viene in mente che tempo fa sul ng non
moderato avevo cercato di mostrare in modo accurato come si può ricavare il
condizionale filoniano usando solo il "senso comune" (o meglio: facendo una
certa scelta fra tutto ciò che sembra suggerirci il senso comune, che se
preso per intero produce delle contraddizioni) e allora mi era sembrato che
ad un certo punto per completare la tabella fosse necessario usare il "modus
tollens".
Il post è questo:
http://groups.google.it/group/it.cultura.filosofia/msg/710beab110b78260
dove l'argomento "intuivo" viene sviluppato al punto [1].
Ora, a me sembra di poter dire che il modus tollens fa parte di ciò che
considero "intuibile per evidenza", nel qual caso quel mio ragionamento
dimostrerebbe che c'è almeno un modo per ricavare il condizionale filoniano
basandosi unicamente sul "senso comune", ma mi piacerebbe che tu ci dessi
una occhiata per dirmi se ti sembra che anche in quella circostanza abbia
introdotto qualche elemento "surrettizio".
-- 
Saluti.
D. 

 introdotto qualche elemento "surrettizio".
Tu in quel post dici:
<<Ecco dunque il nostro "modus tollens":
~A => ~B >>
Ma ciò che scrivi *non* è il "modus tollens", ma la formula che risulta
dalla applicazione della "legge della contrapposizione" al condizionale
"A=>B". Di nuovo, vale quella differenza fondamentale tra formule
(enunciati) ed argomenti (ragionamenti). "non-B, A=>B|-B" esprime il modus
tollens. "|=((A=>B)<=>(non-B=>A))" esprime la "legge della contrapposizione"
(tu hai usato l'implicazione uni-direzionale). Ora, la dimostrazione della
validità di questa formula preceduta dal "|=" richiede, in genere, proprio
la conoscenza della tavola di verità del condizionale.
Tu invece vorresti sfruttare la validità di un certo
ragionamento (il modus ponens o tollens che sia), per ottenere la tavola di
verità del condizionale. Ma la relazione tra quel certo ragionamento e il
condizionale da dove esce fuori?
Tutto questo, secondo me, ci riconduce al modo in cui, cercando di
rispondere a questa domanda, hai ottenuto - a partire da una certa
richiesta sulla corrispondenza tra conseguenza logica e operatore - che vale
"Se |=B e B|=A, allora |=A". Osservo che "B|=A" *non* designa una formula, 
ma la sussistenza di una certa connessione tra formule a livello di tavole 
di verità. Se c'è
circolarità viziosa, e dunque introduzione di elementi surrettizi, è secondo
me proprio nel punto in cui derivi questa espressione, come ho cercato di
dire nell'altra risposta.
Un saluto,
Marco

 "A=>B".
Sì, sì, certo, stiamo discutendo dei "massimi sistemi" e nel frattempo non
riusciamo a recitare come si deve la "tabellina del due" :-)
Detto questo, mi sembra che, una volta che si sia eliminato quello che è un
semplice refuso, i conti possano tornare. Infatti in quel post ero già
riuscito a scrivere che:
A = .V.   |   B = .V.   |   A=>B = .V.
Ora, passando dal modus ponens al modus tollens abbiamo che:
A=>B    <=>   ~B=>~A
(spero di essere riuscito finalmente a scriverlo come si deve!)
e dunque:
F=>F = .V.
E' così che riusciamo a scrivere anche la quarta riga della tabella, dopo
aver ricavato le altre tre.
Come dicevo già allora nell'"errata corrige":
«La cosa importante da capire è che se A e B sono entrambe false allora ~A e
~B sono entrambe vere».
-- 
Saluti.
D. 

 contrapposizione"
Acc...!!!
Leggasi: "non-B, A=>B|-non-A" e "|=((A=>B)<=>(non-B=>non-A))"
Marco 

 (spero di essere riuscito finalmente a scriverlo come si deve!)
Davide, qui ci stiamo confondendo in un abbraccio mortale:-). Abbiamo il 
*condizionale* "A=>B". OK, hai scritto male la contrapposta, e anch'io, come 
vedi dalla correzione, mi ero incasinato ben due volte per la fretta;-). Ma 
*non* è questo il problema che volevo segnalarti. Quello che volevo dirti è 
che:
|= (A=>B    <=>   ~B=>~A)
NON è il modus tollens, perchè il modus tollens è un argomento, e non una 
formula di cui può essere asserita la validità logica. Quella che scrivi qui 
sopra è la "legge della contrapposizione" che, come ti dicevo, viene 
generalmente stabilita in base alla tavola di verità del condizionale. Il 
collegamento tra condizionale e modus ponens rimane da stabilire. La legge 
della contrapposizione non consente affatto di passare dalla negazione del 
conseguente del condizionale alla negazione dell'antecedente del 
condizizionale, perché queste due negazioni rimangono unite dal condizionale 
(ed infatti, come sai, il modus ponens è detto "regola di eliminazione di 
'=>'".
Ora la domanda è: tutto ciò, tenuto conto di quello che ti dicevo nella 
risposta di ieri, ti fa problema o no?
Un saluto,
Marco 

 introdotto qualche elemento "surrettizio".
Non mi pare che ci siano elementi surrettizi... però secondo me la 
tavola dell' implicazione può essere capita così com'è (se si coglie il 
giusto modo di interpretarla), senza bisogno di passare alla formula 
contrapposta. 

 ~B sono entrambe vere».
Riassumo il tuo ragionamento in quel post, in cui dobbiamo decidere che cosa 
accade al valore di verità di "A=>B" quando A e B sono entrambe false.
1. Se A è vera e B è vera, allora  A=>B è vera. Questo l'abbiamo già 
stabilito, e lasciamo pure perdere come.
2. In base ad una certa "regola" (lascio, per adesso, indeterminato quale; 
ed anche in che senso essa è una "regola"), sappiamo che 
(A=>B)<=>(non-B=>non-A)
3. Ma allora, visto che A e B sono per ipotesi false, le loro negazioni sono 
vere.
4. Dunque il condizionale non-B=>non-A è, in base al punto 1, vero.
5. Ma, in base al punto 2., il valore di verità di non-B=>non-A e di A=>B è 
il medesimo.
6. Dunque, è dimostrato che quando A e B sono false, il condizionale A=>B è 
vero.
Ora, è ovvio che ti sottrai al circolo vizioso se e solo se il punto 2. non 
richiede, per essere stabilito, la conoscenza completa delle tavole di 
verità del condizionale. Se, cioè, la determinazione della validità logica 
della *formula* (A=>B)<=>(non-B=>non-A) non esige la preventiva 
determinazione della tavola di verità del condizionale.
Ma se tu, per sottrarti a questa esigenza, fai ricorso al modus 
ponens/tollens, *e se la connessione, da te sfruttata, tra modus 
ponens/tollens e condizionale (nonché la validità argomentativa del modus 
ponens/tollens) richiede a sua volta la preventiva determinazione della 
tavola di verità del condizionale*, allora ti sei chiuso in un circolo 
vizioso. Questo è il punto che ho cercato di farti presente, e che avevo 
toccato più in profondità nel post di ieri.
Ora mi tocca di uscire.
Un saluto,
Marco 

 quel nesso esistente tra validità e dimostrabilità)?
Sì, direi prorpio di sì.
E' per questo che dico che il mio approccio ha lo scopo di "non far piovere
le cose dal cielo".
Infatti, dopo aver ammesso che *comunque* un "atto di forza" lo si deve
compiere, bisogna pur sempre stabilire quanto possa/debba essere "violento"
quell'atto.
Io ho sempre ritenuto che la cosa migliore da fare sia quella di partire
dalle cose più "ragionevoli", anche se poi si scopre che storicamente - come
spesso accade - per dimostrare che una certa scelta era "ragionevole" ci
sono voluti un sacco di secoli. Dunque è vero che l'equivalenza fra "|=" e
"|-" è il punto di arrivo di una riflessione millenaria. Ma è anche vero che
se non valesse la regola secondo la quale sono sempre i migliori che se ne
vanno, e se chiedessimo lumi ad un bambino che non ha ancora avuto la
sventura di essere deturpato nella mente da un sistema scolastico che è
"aristotelico" fin nell'analisi gramaticale, quel bambino ci direbbe che
noi, quando nasciamo, non siamo già belli pronti per dimostrare dei teoremi,
e non siamo nemmeno pronti per dire che se mettiamo nel cassetto 5 monete e
poi ne mettiamo altre 3, allora nel cassetto ci sono 8 monete, e questo
senza avere bisogno di contarle.
Dunque, a cosa serve questo sforzo di una vita nel quale impariamo  a
"ragionare"? Serve proprio perché anziché andare in giro per il mondo ad
annotare tutti i fatti che accadono, noi siamo in grado di elaborare certe
regole formali che a partire dai "discorsi che descrivono certi fatti"
(= proposizioni) ci permettono di ricavare dei "discorsi che descrivono
altri fatti", i quali fatti "miracolosamente accadono".
Tutta la vita per poter impare a fare "nell'intelletto" (cioè con "|-"),
certe correlazioni che stanno (o si presume che stiano) "là fuori",
cioè delle correlazioni fra i fatti (che indichiamo con "|=").
(Dopodiché resta il fatto che "|=" è un segno che è presente
nell'intelletto, per cui il confronto in realtà si pone fra due piani del
pensiero, quello dei concetti che si formano a partire dalle percezioni e
quello del linguaggio che viene "generato" dal "coprocessore linquistico",
ma questa è un'altra storia: non è certo studiando la logica che potremo
arrivare a decidere se "hanno ragione" i "realisti" o gli "idealisti".)
Ora, se è vero che - come si dice a Napoli - nessuno nasce imparato, e che
quella fatica di una vita serva a sovrapporre il "lucido |-" alla
"fotografia |=", perché questa cosa non dirla fin dalle prime righe di un
corso di logica?
Se è vero che passiamo la vita ad "imparare a ragionare", perché in un corso
di logica non ci deve essere un momento in cui ci si metta a "cercare"
(sperando che esista) quella certa "operazione" che ci consenta di fare a
meno di andare in giro per il mondo a registrare "stupidamente" tutto ciò
che "accade assieme" ("|=") per limitarci "intelligentemente" a "ragionare"
("|-")?
E perché quando fanno i corsi introduttivi di logica proposizionale non
glielo spiegano che quando si dimostrano le cose scrivendo per esteso tutte
le possibili "righe" (= mondi) delle "tabelle" si sta facendo la cosa
"stupida", e che lo scopo di tutto quel gioco è proprio quello di evitare
quella faticaccia?
-- 
Saluti.
D. 

 NON è il modus tollens, perchè il modus tollens è un argomento...
Ah, avevo sperato che tu volessi fare solo il "correttore di bozze" :-) e 
invece volevi ripetermi la "domandona" che mi avevi fatti nell'altro post, e 
che io - fino a questo punto - avevo sperato di poter evitare facendo finta 
di non aver capito ;-)
Perché quella non è una domanda che tocca solo questo "mio"(?) approccio, ma 
è un problema di fondo di qualunque sistema formale.
Tuttavia, siccome a questo punto mi sono reso conto che quel problema 
generale si è intrecciato con alcune obiezioni specifiche alla mia proposta, 
mi trovo costretto a cercare per lo meno di dipanare la matassa, e a questo 
scopo ho appena postato un bel "mattoncino" che probabilmente non ti aiuterà 
nella digestione della cena :-)
-- 
Saluti.
D. 

 verità del condizionale.
Sì, certo, ma questo avevo già cercato di dirlo, e anzi tutto il mio
ragionamento di questo sotto-thread è legato proprio alla condizione che tu
hai appena posto. Scrivevo infatti:
«Ora, a me sembra di poter dire che il modus tollens fa parte di ciò che
considero "intuibile per evidenza", nel qual caso quel mio ragionamento
dimostrerebbe che c'è almeno un modo per ricavare il condizionale filoniano
basandosi unicamente sul "senso comune" [...]»
E' pur vero che la mia scelta infelice di chiamare "modus tollens" la
"contrapposizione" ha scatenato una reazione a catena di malintesi che avrei
potuto e dovuto evitare, visto che questo thread è dedicato in gran parte
proprio alla distinzione fra l'operatore *condizionale*, le *conseguenze* e
gli *argomenti*, e di questo mi scuso, perché ti ho costretto a fare una
faticaccia per uscire da tutti quei malintesi. E' che, come sai, è usuale
"abbreviare" il passaggio da A=>B a ~B=>~A dicendo che si passa dal ponens
al tollens. Non si dovrebbe dire, ma si dice.
Dunque, sperando di essere finalmente fuori da quel groviglio di malintesi,
direi che la mia argomentazione (quella sulla possibilità di ricavare il
condizionale filoniano dal "senso comune") può essere riepilogata nel modo
seguente:
*SE* per "senso comune" si intende un cosa che ci consente di:
1) mettere il "quando" al posto del "se";
2) dire che se una circostanza non si verifica allora in quella circostanza
    (che non si verifica) si verificano anche le cose false (tanto non si
    verificano);
3) ammettere che, qualunque cosa sia 'sto "condizionale",
    A->B è vera se e solo se è vera ~B->~A
*ALLORA*
possiamo ricavare tutta la tabella del condizionale usando il "senso
comune".
Certo, tutti e tre i punti precedenti sono discutibili:
1) Non è detto che qualcuno sia disposto a mettere il "quando" al posto del
"se", perché per molti è difficile operare quella astrazione che consiste
nel vedere in una ipotesi ed una circostanza "la stessa cosa". Questa cosa
può sembrare una cosa da bambini, infatti di solito sono le persone
"semplici" che usano i tempi passati al posto dei congiuntivi e dei
condizionali, e che - più in generale - tendono a trasformare le ipotetiche
in delle temporali. Poi però si scopre che è proprio questa cosa "semplice"
a costituire un altro punto di arrivo di una riflessione plurisecolare,
tant'è che solo nel XX secolo si è cominciato a comprendere che il famoso
"significato intensionale", che ha fatto impazzire i filosofi per secoli,
può essere inteso come "significato estensionale sui mondi possibili".
2) Il secondo punto è di una delicatezza estrema. Come giustamente faceva
osservare LordB., questo può essere accolto solo se si è disposti a prendere
l'"insieme vuoto" come possibile risposta ad una domanda che ti chieda quali
elementi compongono un certo insieme.
3) Il terzo punto è quello che affronti tu, e  che è forse il più
controverso. Come dicevo più su, tutto questo mio ragionamento si basa
proprio sul fatto che se chiedi ad uno che si affida solo sul "senso
comune", anche quando costui non sia in grado di scrivere tutta la tabella
del condizionale, sia lo stesso in grado di accettare che A=>B sse ~B=>~A.
D'altra parte questa non mi sembra una condizione improbabile, perché se tu
dici ad un bambino che «se nevica è freddo», quello dovrebbe essere in grado
di dirti che «se non è freddo allora non nevica», evitando accuratamente di
affermare che «se non nevica allora non è freddo» (visto che ci sono certi
"chiari di luna" in cui il termometro scende alla grande).
-- 
Saluti.
D. 

>[...]
Qui o sfugge qualcosa a me, oppure la ragione per la quale ponendo M = {B,
B>A}puoi poi scrivere che "si ha: M|=A", consiste non direttamente nella
definizione di conseguenza logica, ma in quella relazione che avevi scritto
al punto 2.: "Se |=B e |=B>A, allora |=A". Ma allora tu in tanto puoi
scrivere che "si ha: M|=A" in quanto assumi, in generale, che "se |=B,
allora |=A" implichi "B|=A". Ebbene, questa implicazione tra queste
due espressioni *non* sussiste affatto, come già avevo detto ieri (in verità
avevo scritto che non sussiste l'equivalenza: infatti vale solo la reciproca
della implicazione di cui sto parlando). E questa è proprio l'implicazione
che ti consente di arrivare a  "|=(B&B>A)>A", e dunque di completare la
deduzione della tavola di verità del condizionale.
Non solo. Ma mi chiedo anche se sia corretta la derivazione, da te
effettuata sempre in 2., di "Se |=B e B|=A, allora |=A". Qui ci sarebbe da
domandarsi *se* è falso per lo meno che stai procedendo a partire da
quell'unica richiesta. Io direi che hai fatto valere implicitamente il modus
ponens.
Ma *la* domanda la cui risposta ci consente di liquidare tutti i dubbi e i
malintesi è: sei d'accordo o no che hai utilizzato implicitamente *quella
implicazione*? Se non l'hai utilizzata, allora ho torto io e mi scuso della
corbelleria che ho scritto. Se invece l'hai utilizzata, allora ci tocca
discutere perché quella implicazione non sussista, ma sussista solo la
reciproca. Ma credo che della non sussistenza in sé di quella implicazione,
tu sia già convinto.
Un saluto,
Marco

 modus ponens.
Eh no, perché - come tu mi insegni scrupolosamente - per parlare di
_modus ponens_ avremmo dovuto tirar fuori degli "argomenti", e per parlare
di "argomenti" dovremmo star usando la relazione "|-". Invece io la
"sintassi" ancora non l'ho nominata, ma son dietro a costruire un "ponte"
fra la "semantica" e le "operazioni". Solo in seguito costruirò un ponte
anche fra ">" e "|-", producendo così un ponte anche fra "|=" e "|-".
Se tu hai avuto quella impressione, è perché hai visto un «Se... allora...»
che ti ha fatto drizzare le orecchie. Ma ti faccio notare che, per
l'appunto, io ho scritto per esteso delle parole del "linguaggio naturale",
e non ho usato un segno come "=>", o come "|-". Non ho scritto così:
.    |=B e B|=A    =>    |=A
ma ho scritto così:
.    Se |=B e B|=A, allora |=A
E d'altra parte nella [*] non ho scritto così:
.    B|=A    <=>  |=B>A
ma ho scritto così:
.    B|=A    s(e e solo )se  |=B>A
E se ho fatto questa scelta "stilistica" era proprio per mettere in evidenza
la distinzione fra il linguaggio formale che stavo definendo ed il
meta-linguaggio che stavo usando per definire quel linguaggio formale.
Ora, lo so che può fare una certa impressione che si usino dei
"ragionamenti" per definire un "linguaggio formale" che dovrebbe servire per
fare "ragionamenti formali". D'altra parte vorrei proprio vedere come
potremmo definire qualcosa senza fare dei "ragionamenti". Non stiamo forse
cercando di "ragionare" da quando abbiamo aperto questo thread? Tutto il
nostro discorso è pieno di ragionamenti, e se ora uno dei nostri discorsi ha
assunto esplicitamente la forma «Se... allora...» quella è solo una goccia
in un mare di ragionamenti.
Quando Tarski definisce la "verità" affermando che:
    «la neve è bianca» se e solo se la neve è bianca
producendo lo "sconcerto" di quanti hanno l'impressione che venticinque
secoli di logica abbiano prodotto come punto di arrivo una semplice
tautologia, è perché nel frattempo egli ha già dimostrato che se all'interno
di un linguaggio formale si cerca di introdurre un predicato che predichi
del nome di un enunciato che quell'enunciato è vero, si produce
inevitabilmente una contraddizione, e allora il sistema formale "esplode".
In altri termini, Tarski ci insegna che è impossibile fare questo lavoro
stando "dentro" al linguaggio formale che vogliamo definire.
Dunque avremo inevitabilmente tutta una gerarchia di "scatole cinesi".
Ebbene, la "scatola cinese" che stiamo definendo ora è quella che sta
"dentro" al "linguaggio naturale", nel quale scriviamo «se» e «allora». Poi,
una volta che avremo isolato questa "scatola", potremo provare a mettere una
scatola dentro la scatola, e così via, e potremo anche cercare di realizzare
il sogno di Quine, che era quello di poter studiare il rapporto fra la
generica scatola (n+1)-ma e la scatola n-ma che la "contiene", per potere
infine mettere le mani sul rapporto fra la scatola 1-ma e la scatola 0-ma.
E la scatola 0-ma è lui, il "linguaggio naturale", questa scatola nella
quale tutti siamo imprigionati da sempre.
Se tutto questo può sembrare una impresa disperata, si ricordi che se noi
siamo riusciti a concepire "da fuori" il mondo 3-dim in cui siamo
"imprigionati" è perché prima ci siamo studiati tutti i possibili mondi
2-dim "immersi" in un mondo 3-dim, e quando alla fine (dopo un paio di
secoli di "geometria differenziale") ci siamo sentiti pronti, abbiamo fatto
il "grande balzo", cioè abbiamo fatto quella "astrazione" che ci ha permesso
di concepire non solo una spazio 3-dim "curvo", ma addirittura la
"curvatura" di uno spazio-tempo 4-dim. Siamo passati di là, oltre le Colonne
d'Ercole.
Adesso siamo alle prese col "linguaggio naturale".
Ma per ora dobbiamo stare buonini, e la nostra 1-ma "scatola formale" la
dobbiamo costruire nella sua "pancia". Dunque dobbiamo scrivere:
«Se... allora...», cercando una forma che renda chiaro il passagio dal
"quoting" al "de-quoting", e viceversa. E' così che farebbe il vecchio
Willard Van Orman, ed è così che si fa in ogni corso "rigoroso".
Se ad esempio prendiamo una pagina a caso del manuale di Casari, leggiamo
espressioni come questa:
.    Se M|=A e M|=A->B allora M|=B
(io non ho fatto altro che prendere in considerazione il caso particolare in
cui M è l'insieme vuoto, sicché quelle sono tutte tautologie).
Non solo, ma quando Casari definisce l'operatore "&", scrive:
.    Se p=1 e q=1 allora p&q=1
e siccome poco prima ha detto che una proposizione vale formalmente "1"
quando è "vera", questa è come dire che:
.    Se p e q allora p&q
Può sembrare una inutile tautologia, ed invece è la definizione
dell'operatore formale "&" usando la congiuzione "e" del "linguaggio
naturale".
E in fondo è la stessa cosa che abbiamo fatto noi quando abbiamo detto che
l'operatore "&" ci serviva per trasformare un insieme di proposizioni in una
sola proposizione. Infatti prima avevamo detto che tutte le proposizioni
dell'insieme erano vere, e dunque doveva essere vera la prima, *e* la
seconda, *e* la terza, *e*ccetera. Perché in quella circostanza mi hai
lasciato usare, senza avanzare obiezioni un, operatore "&" dove il
meta-linguaggio prevedeva un "e"?
Come dicevo, o si contesta questo approccio in generale, alla radice, oppure
si decide di "ingoiare la pillola".
-- 
Saluti.
D. 

 .    Se |=B e B|=A, allora |=A    [#]
Eh, ma purtroppo mi sa che non ci porta molto lontano, perché se
consideriamo il caso il cui B è una tautologia, è vero che poi arriviamo a
dimostrare che anche (B&B>A)>A deve essere una tautologia, ma a quel punto
abbiamo dimostrato che (B&B>A)>A è una tautologia solo quando anche B lo è,
sicché non possiamo completare la righe della tabella di ">" nel caso in cui
a B venga assegnato in valore falso.
A questo punto mi sembra che l'unica strada percorribile sia quella di
prendere il coraggio a due mani e portare avanti fino in fondo il discorso
che facevo sulle relazioni fra linguaggio e metalinguaggio, osservando che
la "conseguenza logica" può essere definita così:
.    Se B|=A e B, allora A
Infatti per definizione la relazione B|=A sussiste se per tutte le
assegnazioni per cui è vera B è vera anche A. Dunque se vale la relazione
.B|=A., e per una certa assegnazione B è vera, allora per quella
assegnazione è vera anche B.
Volendo essere più formali, potremmo indicare con v(B,a) il valore di verità
di B secondo l'assegnazione a. Così avremmo:
.    Per ogni a, se B|=A e v(B,a)=V, allora v(A,a)=V
A questo punto sfruttiamo la [*] e scriviamo:
.    Per ogni a, se |=B>A e v(B,a)=V, allora v(A,a)=V
Ora, dal momento che questo vale per ogni assegnazione a, abbiamo anche che
per ogni assegnazione a tale che B sia vera, se anche B>A è vera allora per
quella assegnazione anche A è vera. Ma allora, per la definizione di
conseguenza logica, abbiamo:
.    {B>A,B}|=A
ovvero:
.    B>A&B|=A
E qui possiamo applicare di nuovo la [*]:
.    |=(B>A&B)>A
cioè (B>A&B)>A deve essere vera per qualunque assegnazione, dunque una
tautologia.
In tutto questo ragionamento non abbiamo mai detto che B non può essere
falso, ma abbiamo solo detto che ogni assegnazione che rende B vera rende
vera anche A, dunque la conclusione dovrebbe valere anche nel caso in cui B
sia falso.
Proviamo a pensarci meglio, e vediamo se ci sono ancora dei punti deboli.
-- 
Saluti.
D. 

 Proviamo a pensarci meglio, e vediamo se ci sono ancora dei punti deboli.
Azzardo timidamente: è stata lunga ma ce l'abbiamo fatta. Mi
scuserai/correggerai refusi, sviste etc., perché non ho il tempo per
rileggere con attenzione il tutto.
Un saluto,
Marco

 Azzardo timidamente: è stata lunga ma ce l'abbiamo fatta.
Ti ringrazio molto per il prezioso aiuto che mi hai dato, ma allo stesso
tempo devo dirti che tutta questa riflessione mi ha spinto ad affrontare in
modo "radicale" un certo problema che mi frullava in testa da tempo, che è
proprio il rapporto fra il "liguaggio naturale" e quel "linguaggio formale"
che noi andiamo a costruire "dentro" di esso.
Infatti anche io di solito provo il tuo senso di smarrimento nell'adottare
certi "teoremi" validi all'interno del linguaggio naturale per dimostrare
certe proprietà degli enti formali che andiamo via via definendo. Per
evitare questo smarrimento, di solito cerco di mettere la cosa in una forma
che appaia, appunto, del tutto "naturale" o "evidente", tuttavia non c'è
niente da dare: di fatto stiamo "ragionando", e se stiamo ragionando stiamo
usando tutta la forza del principio di non contraddizione, e senza quello
non potremmo muovere nemmeno un passo.
Questa cosa - come è accaduto col «Se... allora...» - in alcune circostanze
salta fuori in tutta la sua evidenza, ed è in quelle circostanze che noi ci
rendiamo conto che la costruzione della "prima scatola" consiste alla fine
solo nella formalizzazione di cose che "già sappiamo", e che dobbiamo
sapere, perché altrimenti non potremmo nemmeno formalizzarle.
Mentre appunto riflettevo su tutto ciò, mi sono convinto che una volta che
si sia fatta apertamente questa ammissione, allora dobbiamo liberarci da
qualunque inibizione nell'usare la logica all'interno del meta-linguaggio,
perché esso è "già logico", e se non lo fosse non potremmo nemmeno produrre
quella "scatola formale".
La cosa interessante è che, se alcune considerazioni che fra poco andrò ad
esporti si riveleranno fondate, tutto ciò ci consente di unificare quel
punto 1) che avevo sviluppato inizialmente con te (ovvero il "documento
ufficiale") con il punto 2) che avevo sviluppato inizialmente con LordB.
(ovvero la possibilità di usare il "senso comune" per ricavare il
condizionale filoniano).
Fatte queste premesse, cancelliamo tutto ciò che abbimo detto fin qui, e
ripartiamo dal nostro primo "taglio", che è quello di definire una certa
relazione fra due proposizioni A e B.
Più precisamente, diremo che una proposizione A è "conseguenza
valida", o semplicemente "conseguenza" (ho deciso di raccogliere il
suggerimento di Herrmann, perché su "conseguenza logica" continuo ad
avere le riserve che dicevo) e scriveremo B|=A, sse A è vera per ogni
assegnazione che rende vera anche B:
.    B|=A  sse per ogni a tale che v(B,a)=V, si ha v(A,a)=V
Visto che abbiamo deciso di essere spregiudicati, possiamo usare nel
metalinguaggio "naturale" proprio una bella implicazione per dire la stessa
cosa:
.    B|=A  sse, per ogni a, se v(B,a)=V allora v(A,a)=V
Questa definizione può essere estesa facilmente al caso in cui al posto di B
si abbia un insieme M di proposizioni. Diremo infatti che che A è
conseguenza di M, e scriveremo M|=A, sse per ogni assegnazione a che rende
vere tutte le proposizioni dell'insieme M anche la proposizione A è vera.
Fatta questa generalizzazione, ci troviamo di fronte al primo nodo spinoso
della faccenda, perché è vero che noi abbiamo fatto quella generalizzazione
pensando di passare da una sola proposizione B ad n proposizioni B1, B2...
Bn. Ma è anche vero che se vogliamo usare in modo coerente il concetto di
insieme ci tocca introdurre, anche nel linguaggio naturale, il concetto di
insieme vuoto. Infatti se uno ti chiede qual è l'insieme degli enti che
possiede una certa proprietà, e come proprietà ti enuncia una
contraddizione, tu per rispondere correttamente a quella sua domanda devi
dire che si tratta dell'insieme vuoto.
Che dire allora della conseguenza valida di un insieme di proposizioni
vuoto?
Per rispondere a questa domanda dobbiamo prendere una generica assegnazione
a e chiederci se di essa si possa dire che rende vere tutte le proposizioni
di un insieme vuoto. Si tratta di una domanda che va a sbattere in certe
ambiguità del linguaggio formale. Potremmo anche osservare che a di certo
non rende false le proposizioni dell'insieme vuoto M, visto che non ci sono
delle proposizioni da rendere false, sicché nelle definizioni precedenti ci
basterebbe mettere "non falso" al posto di "vero" per poter considerare
questo come un caso particolare di quello, e dire che affinché A sia
conseguenza logica dell'insieme vuoto deve essere vera per ogni possibile
assegnazione.
D'altro canto non vogliamo complicarci troppo la vita, così decidiamo di
dare un altro "taglio", considerando a parte questo caso e fornendo per esso
una definizione specifica. Dunque, se A è vera per ogni possibile
assegnazione a, diremo semplicemente che è "valida", oppure che è una
"tautologia", e scriveremo |=A. Il caso contrario è quello in cui non c'è
alcuna assegnazione che soddisfa A, nel qual caso diremo che A è una
contraddizione.
Se poi nel frattempo abbiamo già introdotto le due tabelle degli operatori
unari, e abbiamo deciso di chiamare "negazione" quella che inverte V ed F,
e di indicarla con "~", possiamo riferirci ad una contraddizione scrivendo
.|=~A.
Detto questo, consideriamo la relazione B|=A nel caso in cui in cui B è una
tautologia.
In tal caso se anche A è una tautologia allora B|=A sussiste, perché è vero
che tutte le assegnazioni che rendono vera B rendono vera anche A. Dunque:
.    Se |=B e |=A, allora la relazione B|=A sussiste          [1].
Se invece A è una contraddizione, allora B|=A non può sussistere, perché se
sussistesse A dovrebbe essere vera per ogni assegnazione, e dunque dovrebbe
essere una tautologia, mentre invece sappiamo che è una contraddizione.
Dunque:
.    Se |=B e |=~A, allora B|=A non sussiste          [2].
Questo ultimo passaggio può apparire particolarmente "inquietante", perché
si ha proprio l'impressione di aver usato, magari implicitamente, il modus
tollens, o la legge di contrapposizione. E invece no, abbiamo semplicemente
ricavato che B|=A non può sussistere perché se sussistesse produrrebbe una
contraddizione. Forse il "linguaggio naturale" ci vieta in qualche modo
di argomentare da una certa ipotesi che potrebbe essere vera o falsa? E se
argomentando in quel mondo arriviamo ad una contraddizione, dobbiamo forse
contraddirci perché vogliamo essere "naturali"? Direi di no, secondo me
quella cosa lì, che formalmente chiameremo poi "contrapposizione" o
"tollens" a seconda che si usino operatori o argomenti, quella cosa lì -
dicevo - è connaturata al linguaggio naturale, e rinunciare ad essa è come
rinunciare del tutto a ragionare, perché per ottenerla abbiamo usato solo ed
esclusivamente i due cardini di ogni ragionamento: il ragionamento ipotetico
e quello che se dovessimo enunciarlo potremmo definire il principio di non
contraddizione, anche se poi alla fine si può persino fare a meno di
enunciarlo, e limitarsi di concretamente a rigettare tutto ciò che è
contraddittorio, senza dover in qualche "giustificare" quella che è
l'essenza stessa di ogni "ragionamento".
Infine consideriamo il caso in cui B sia una contraddizione, cioè nel caso
in cui B sia falsa per ogni possibile assegnazione. Ora, qual è in questo
caso l'insieme delle assegnazioni che rendono vera la B? Io direi che qua
salta fuori di nuovo l'insieme vuoto. Ebbene, se siamo in queste condizioni,
è vero che tutte le assegnazioni che rendono vera B rendono vera anche A? Io
direi proprio di sì, perché dal momento che stiamo parlando di tutte le
assegnazioni possibili, cioè dei mondi possibili, noi ci siamo posti
impicitamente in condizione di poter parlare di "circostanze" e non di
"ipotesi". E siccome di circostanze in cui B vera non ce ne sono, in quelle
circostanze possiamo avanzare qualunque richiesta su A, visto che poi A non
dovrà comunque soddisfare quella richiesta. Dunque:
.    Se |=~B, allora la relazione B|=A sussiste per ogni A          [3].
Ora che abbiamo fatto tutte queste considerazioni su quella relazione
puramente sematica che è la conseguenza valida, facciamo il passo
successivo, che consiste nel definire un operatore binario nell'insieme
delle proposizioni, che chiameremo "condizionale" ed indicheremo con ">",
il quale abbia la seguente proprietà:
.    B|=A    sse    |=B>A          [*]
Al solito, dobbiamo dimostrare che questo operatore esiste (cioè è uno di
quei 16 che operatori binari "estensivi" che si possono definire
nell'insieme delle proposizioni) ed è unico.
Per dimostrare questa cosa, partiamo dall'ipotesi che esso esista, e vediamo
se questa ipotesi ci consente di costruire ">" in modo univoco (dopodiché se
l'abbiamo costruito a fortiori possiamo anche dire che esiste) e non produce
alcuna contraddizione.
Osserviamo per prima cosa che il nostro operatore ">" sarà definito per una
generica coppia di proposizioni A e B, e non solo nei casi in cui A e B sono
delle tautologie o delle contraddizioni. Dunque avremo normalmente dei casi
in cui al variare delle assegnazioni il valore di verità di A e B si
presenta in tutte le possibili combinazioni:
B    A
-------
V    V
V    F
F    V
F    V
D'altra parte, visto che per ipotesi si tratta di un operatore estensivo, se
noi vogliamo conosce il valore che esso assume, che so, sulla prima riga di
quella tabella, quando B=V e A=V, basterà che andiamo a vedere che valore
esso assume nel caso in cui le due proposizioni A e B siano entrambe sempre
vere, cioè siano due tautologie.
A  questo proposito se scriviamo affiancate la [1] e la [*] abbiamo:
.    Se |=B e |=A, allora la relazione B|=A sussiste
.    B|=A    sse    |=B>A
da cui, sostituendo:
.    Se |=B e |=A, allora la relazione |=B>A sussiste         [1*]
D'altra parte per definizione |=B>A sussiste sse B>A è una tautologia, per
cui abbiamo ottenuto che:
.    V>V=V
la quale può essere sostituita nella nostra tabella:
B    A    B>A
---------------
V    V    V
V    F
F    V
F    V
Procedendo in modo analogo con le relazioni [2] e [3] riusciamo facilmente a
completare la tabella:
B    A    B>A
---------------
V    V    V
V    F    F
F    V    V
F    V    V
Dunque le proprietà di ">" dipendono, tramite la [*], solo dalle proprietà
della relazione "|=", la quale non è definita facendo ricorso all'elenco
estensivo di "tutto ciò che accade", ovvero la "semantica".
Arrivati a questo punto dovrebbe essere chiaro che il "sotto-thread 1)" ed
il "sotto-thread 2)" sono stati riunificati. Inoltre - come ho ribadito nel
corso di tutto questo post - non possiamo nemmeno pensare di poter tenere 1)
separato da 2), perché col senno di poi ci rendiamo conto, ad esempio, che
io ad un certo punto avevo bisogno di scrivere il valore di B>A in quella
riga nella quale esso è falso, e per farlo di fatto avevo usato un
ragionamento "per assurdo" del tutto equivalente a quello che ho sviluppato
qui sopra per ottenere la [2].
Così ci rendiamo conto che la tua critica deve essere prima "radicalizzata",
e solo a quel punto possiamo pensare di "risolverla". Quando dico che la
dobbiamo "radicalizzare", intendo che la "legittima suspicione" di essere di
fronte ad una colossale "petitio principii" deve occupare ogni minuscolo
angolino di tutto il nostro ragionamento. E solo a quel punto dovremo
prendere atto che l'unico senso che può avere il nostro lavoro  è la
costruizione, "dentro il linguaggio naturale", di un sistema formale che si
pone non come "atto fondante della logica", ma appunto solo come
formalizzazione di una logica che già esiste completa (o comunque
completabile attraverso un processo che se fatto con un interlocuore è
"maieutico", e se fatto con se stessi è costituito da "tagli") nel
"contenitore".
Se ci fermiamo qui, dobbiamo dare ragione a Tarski, quando egli escludeva
che tutto questo lavoro dei matematici potesse svolgere la funzione
"fondante" che voleva invece attribuirgli Quine. E' pur vero però che
l'impostazione di Quine può essere in qualche modo recuperata nel senso
della costruzione di una "scala" che - analogamente a quanto è avvenuto per
la geometria e la percezione delle categiorie spaziali (ai confini delle
quali Kant aveva posto delle Colonne d'Ercole "trascendentali") - dovrebbe
consentirici di compiere il famoso "bootstrap".
-- 
Saluti.
D. 

 consentirici di compiere il famoso "bootstrap".
Io continuo a vedere nell'elenchos di Aristotele l'unico "bootstrap"
possibile, e l'unico modo in cui la logica riesca a relazionarsi a
quell'"atto fondante" di cui parlavi. E questa è la ragione per cui, a mio
avviso, è doveroso immaginare che "'l maestro di color che sanno" irradi, in
un ipotetico empireo degli eroi della logica, più luce di Crisippo e Diodoro
Crono:-).
[comunque, in ogni caso, è molto interessante interrogarsi sulla
"liquidazione" storica della scuola logica degli stoici e dei megarici. Ci
sono dei brani dalle lezioni di Hegel molto illuminanti, a riguardo - in
particolare quelli su Eubulide ed i paradossi. Hegel - non ti
sorprenderà;-) - li considera, più o meno, degli inutili rompicapi
intellettualistici; poi però ne riconosce, in un certo senso, l'importanza].
Un saluto,
Marco