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Titolo: Per Lord Beotian su aritmetica e ipotesi del continuo

 Quale sarebbe? Come si costruisce?
Si potrebbe costruire quantomento un enunciato che implichi l'ipotesi del 
continuo.
Immagina un enunciato, tipo enunciato di Goedel, che in soldoni dica: "se io 
sono dimostrabile, allora in ZF e` dimostrabile l'ipotesi del continuo".
Tale enunciato e` esprimibile nell'aritmetica di Peano al primo ordine (in 
quanto nell'aritmetica di Peano e` esprimibile la dimostrabilita` 
nell'aritmetica di Peano stesso, la dimostrabilita` in ZF (come in qualsiasi 
altra teoria) e l'implicazione.
Ora, se tale enunciato fosse falso, allora la premssa sarebbe vera, ma 
allora tale enunciato sarebbe dimostrabile e quindi vero.
Pertanto, essendo assurdo che tale enunciato sia falso, allora tale 
enunciato e` vero.
Quindi, se tale enunciato e` dimostrabile, allora in ZF e` dimostrabile 
l'ipotesi del continuo.
Come vedi, ho risposto a meta` domanda. Ma sono convinto che si possa 
trovare una risposta del tutto soddisfacente.
G

 continuo.
Si`, peccato pero` che in ZF l'ipotesi del continuo sia indimostrabile, e 
quindi tale enunciato e` semplicemente omega-vero e indimostrabile.
Scusatemi per tutto il discorso idiota.
G

In effetti la mia credenza si basa sull'idea che la teoria data dall'insieme 
degli enunciati al primo ordine veri nel modello standard dell'aritmetica 
sia comunque proof-teoreticamente piu` forte di qualsiasi teoria formale 
assiomatica.
Pertanto si avrebbe che la sintassi dell'aritmetica al primo ordine sarebbe 
gia` sufficientemente espressiva da poterci inter-tradurre dentro un modello 
sintattico di qualsiasi teoria.
Per modello sintattico intendo una funzione, che manda gli enunciati di una 
teoria negli enunciati di un'altra, che conservi la proprieta` "essere un 
teorema".
G 

 teoria formale assiomatica.
L'ipotesi del continuo č indecidibile anche nell'estensione di ZF che 
include tutti gli enunciati aritmetici veri per il semplice motivo che i 
modelli alternativi  costruiti per dimostrare l'indipendenza dell'ipotesi 
del continuo verificano tutti tali enunciati. Per maggiori dettagli prova a 
chiedere su sci.logic 

 chiedere su sci.logic
Il consiglio è saggio per un aspetto: se interessano solo le questioni
tecniche, quello (o altro analogo) è il posto per parlarne.
Per un altro aspetto, se Giovanni ha posto il problema qui (seppure
indirizzandolo alla sola persona stimata idonea a parlarne), significa che,
consapevolmente o no, vi intravede una radice filosofica.
In quest'ultima ipotesi, l'interesse può essere molto più ampio delle
questioni strettamente tecniche.
Del resto - parafrasando Aristotele - se un problema-tema è ben chiaro, è
sempre possibile trasmetterne il senso e la portata ben al di fuori
dell'angusto gergo disciplinare (magari scoprendone la banalità una volta
che sia riportato al linguaggio corrente, come spesso o sempre accade in
matematica).
Perciò sarebbe apprezzato credo da molti che l'"ipotesi del continuo" fosse
presentata e discussa per i suoi aspetti filosofici, seppure eventualmente
partendo da un enunciato formale.
Un saluto.
qf

 tali enunciati.
E siamo sicuri che gli enunciati aritmetici veri siano sempre gli stessi sia 
nei modelli di ZF in cui vale l'ipotesi del continuo sia in quelli in cui 
non vale?
G

 cui non vale?
Avranno (ovviamente) interpretazioni diverse ma quello che conta è che sono 
comunque veri. 

Lord, ecco il tuo errore:
*non* verificano *tutti* gli enunciati aritmetici veri,
bensi` *soltanto quelli dimostrabili in ZF*!!!!!!!
Ciao!
Giovanni 

 bensi` *soltanto quelli dimostrabili in ZF*!!!!!!!
Mah, su sci.logic la pensavano diversamente, poi non so... se tu sei in 
grado di dimostrare il contrario prova a farglielo sapere. 

 Mah, su sci.logic la pensavano diversamente
Scusami, ragioniamo io e te.
Come e` ben noto, abbiamo modelli in cui vale l'ipotesi del continuo e 
modelli in cui non vale. Sia i primi che i secondi sono dotati di un loro 
"insieme dei numeri naturali". E quindi sia nei primi che nei secondi sono 
vere tutte le verita` (al primo ordine sui numeri naturali).
Ora, pero`, ripetiamo il discorso sui reali. Ebbene, anche per i reali 
funziona di nuovo tutto. Quindi anche tutte le verita` al primo ordine sui 
reali sono indipendenti dall'ipotesi del continuo?
G

 reali sono indipendenti dall'ipotesi del continuo?
Sono molto perplesso riguardo al "ripetere il discorso sui reali", ma anche 
se fosse come dici non mi stupirei visto che nell'ipotesi del continuo non 
si quantifica su numeri reali ma su insiemi. 

 partendo da un enunciato formale.
Io ho suggerito di chiedere a sci.logic per il semplice fatto che non 
conosco i dettagli e so per certo che lì c'è chi li conosce.
Per quanto riguarda la discussione sull'ipotesi del continuo, perchè questa 
possa coinvolgere da un punto di vista "filosofico" chi non sa molto di 
logica formale (non che io ne sappia chissacchè) bisognerebbe partire da un 
approccio molto "introduttivo" senza dare niente per scontato...
La questione potrebbe essere presentata così:
Quando si fa un ragionamento complesso (in particolar modo in matematica) 
per non incappare in errori e imprecisioni può essere una cosa vantaggiosa 
esplicitare quali sono le assunzioni che si danno per buone e in che modo 
usiamo ciascuna di esse per arrivare alla conclusione. E' quello che ha 
fatto Euclide nel momento in cui ha elencato i suoi famosi assiomi.
Chiunque poi voglia ripercorrere il ragionamento saprà a questo punto quali 
erano le premesse e valuterà quanto queste gli sembrano ragionevoli o 
adeguate al contesto in cui il ragionamento vorrebbe essere applicato.
Poi uno potrebbe essere così ambizioso da voler elencare una quantità di 
assunzioni che siano sufficienti per dedurre "tutto quello che c'è da 
sapere" in un determinato ambito (probabilmente è ciò che pensava di aver 
fatto Euclide nell'ambito della geometria), ma questo - si è scoperto - non 
è sempre possibile. Quando l'ambizione è questa in genere si dice che 
l'elenco delle premesse costituiscono "gli assiomi" di una certa teoria (che 
può essere la geometria, l'aritmetica, la logica classica, la teoria degli 
insiemi...)
Concentriamo ora la nostra attenzione sulla teoria degli insiemi.
Uno dei principali insiemi di assiomi proposti per uan teoria assiomatica 
degli insiemi è quello chiamato ZF (dai nomi di Zermelo e Fraenkel). Ora c'è 
un enunciato un po' speciale della teoria degli insiemi chiamato "ipotesi 
del continuo"(*). Questa veniva ritenuta vera da Cantor (che lo formulò per 
primo) ma non è mai stata dimostrata a partire da nessun insieme di assiomi 
di quelli che sono stati storicamente proposti. C'è anche chi pensava che 
potesse essere falsa, ma nessuno è mai riuscito a dimostrare neppure la sua 
negazione.
Goedel e Cohen hanno lavorato sulla questione della dimostrabilità 
dell'ipotesi del continuo in ZF ed i loro risultati congiunti hanno portato 
a concludere che in ZF non è possibile dimostrare nè l'ipotesi del continuo 
nè la sua negazione. Tali impossibilità sono dovute al fatto che esiste un 
modello in cui gli assiomi di ZF sono veri insieme con l'ipotesi del 
continuo e un altro modello in cui gli assiomi di ZF sono veri e l'ipotesi 
del continuo è falsa.
Ora anche su queste poche parole ci sarebbe da fare un mare di discorsi per 
circostricrivere bene ciò di cui si sta parlando. Bisognerebbe in 
particolare capire che cosa è un "modello" per un enunciato, e per una 
spiegazione rigorosa servirebbe un libro che trattasse la logica dei 
predicati.
Veniamo all'aspetto filosofico:
Ci sono alcuni che di fronte ai fatti sopra esposti si fanno propugnatori di 
una concezione convenzionalistica: visto che - dicono - sia la scelta dell' 
ipotesi del continuo come assioma sia la scelta della sua negazione portano 
a teorie coerenti, visto che non possiamo dire quale delle due alternative 
sia quella "giusta", tanto vale ammettere che non c'è alcuna "verità" 
intorno all'ipotesi del continuo o a qualunque enunciato matematico: tutte 
le scelte che portano a teorie coerenti sono ugualmente buone, fare 
matematica non è che fare delle scelte e poi lavorarci su.
Altri preferiscono conservare una concezione realista e sostengono che per 
quanto ci sia impossibile allo stato attuale stabilire se l'ipotesi del 
continuo è vera o falsa ciò non toglie che essa ha un valore di verità ben 
definito. Può darsi che un giorno ci verrà in mente un nuovo "assioma" che 
ci verrà naturale includere in ogni teoria (ragionevole) degli insiemi e 
grazie al quale sarà possibile dimostrare l'ipotesi del continuo (o 
refutarla).
Ciao,
Marco
(*) Ai fini del discorso in realtà non è rilevante sapere che cosa dica 
effettivamente l'ipotesi del continuo, chi fosse curioso troverà certamente 
l'enunciato in innumerevoli siti ma per capirlo adeguatamente dovrà prima 
aver digerito la nozione di "cardinalità". 

 reali ma su insiemi.
Mi sembra che Goedel abbia fatto vedere che l'ipotesi del continuo (non 
quella generalizzata) e` equivalente ad una asserzione "numerica" su reali 
non in termini di insiemi ma solo di elementi.
G

 predicati.
Sia P la proposizione: "Bruto uccise Giulio Cesare". Come vediamo, in questa
proposizione *non* compare alcuna *variabile*, perchи "Bruto" e "Giulio
Cesare" sono nomi che hanno una ed una sola denotazione (nel nostro caso,
"personaggi storici"). Di questo genere di proposizioni, se ne occupa il
"calcolo proposizionale". Si potrа, ad esempio, dedurre da P e da Q="Giulio
Cesare morм nel 44 a.C." che "Bruto uccise Giulio Cesare nel 44 a.C"=R (in
veritа ci sono una serie di proposizioni "intermedie" che costituiscono,
insieme a P e Q, la premessa della conclusione R). E si dirа che R и una
"conseguenza valida" (o anche: "conseguenza logica") di P e Q. Ciт
significherа che quando P e Q sono vere, allora necessariamente R и vera. Le
proposizioni potranno entrare nella composizione di proposizioni o formule
complesse (del tipo: "P=>Q", dove "=>" и il segno di "implicazione logica").
I connettivi che uniscono i vari componenti elementari di una proposizione o
formula complessa sono chiamati "connettivi logici" (congiunzione,
disgiunzione, negazione, implicazione).
Scriviamo invece, al posto di "Bruto uccise Giulio Cesare", "x uccise Giulio
Cesare", dove x и una *varabile individuale*: puт cioи assumere differenti
valori. P(x)="x uccise Giulio Cesare" и chiamata "funzione proposizionale" o
"predicato". Possiamo fare di piщ: possiamo scrivere "x uccise y", e
designare questa funzione proposizionale ("a due posti", perchи vi compaiono
due variabili) con P(x,y). La logica che si occupa di formule nelle quali
compaiono delle funzioni proposizionali, cioи degli oggetti del tipo
P(x1,...,xn), и chiamata "logica
dei predicati". La sostituzione di un determinato valore ad ogni variabile
individuale - o anche l'assenza di variabili tout court, cioи il caso n=0 -
rende il predicato P(x1,..,xn) una proposizione, che dunque ricade nel campo
del calcolo proposizionale sopra descritto.
Ora, supponiamo di sapere che P ("Bruto uccise Giulio Cesare") sia vera.
Dunque, rispetto a P(x), dovremo cominciare a dire che *esiste* un (ed un
solo) individuo che uccise Giulio Cesare (e proseguire dicendo che x=Bruto).
Ciт che dobbiamo cominciare a dire viene simbolizzato introducendo il
cosiddetto "quantificatore esistenziale", che significa "esiste", e dire:
Esiste (un) x tale che P(x). Proseguiamo dicendo che se sappiamo che
un solo individuo ha ucciso Giulio Cesare, allora dobbiamo dire che *non*
ogni valore di x и in grado di rendere vera P(x). Ovvero, non per ogni x
P(x). Chiamiamo "quantificatore universale" l'espressione "per ogni".
Possiamo dunque dire che la logica dei predicati *del primo ordine* si
occupa di tutte e sole le formule sensate (la sensatezza implicherа dei
criteri che regolano la costruzione delle formule, chiamati in genere
"regole di formazione") costruibili attraverso i predicati di tipo
P(x1,...xn) e l'uso di simboli o costanti logiche rappresentati non solo dai
connettivi logici sopra introdotti ma anche dai quantificatori "esiste" e
"per ogni". E dove la quantificazione - l'applicazione cioи di un
determinato quantificatore ad una variabile - avviene solo ed esclusivamente
per variabili individuali, e *non* per predicati. Per fare un esempio, la
formula che esprime il "principio di indiscernibilitа degli identici" -
secondo il quale due oggetti sono identici se per ogni *proprietа* (o
predicato) и vero che se la proprietа и soddisfatta dal primo oggetto allora
и soddisfatta anche dal secondo - non appartiene al campo della logica dei
predicati del primo ordine (proprio perchи la quantificazione avviene su
predicati: il "per ogni" introduce una proprietа e non una variabile
individuale), ma appartiene alla logica dei predicati *del secondo ordine*.
La logica si occupa in genere della determinazione della veritа ("validitа")
degli enunciati e delle condizioni di questa (cioи, del problema sotto quali
condizioni le formule risultino valide). Nel nostro esempio,
l'*assegnazione* del valore "Bruto" alla variabile x rende il predicato "x
uccise Giulio Cesare" un enunciato vero. Diremo (questa formulazione del
problema delle condizioni di veritа per la logica dei predicati risale
sostanzialmente a Tarski) che la formula P(x) и *soddisfatta* dalla
assegnazione del valore "Bruto" alla variabile x.
Ora, data la nostra formula P(x) del calcolo logico del primo ordine,
consideriamo un certo insieme D composto da un certo numero di individui. E
consideriamo questi individui come i valori che la variabile x puт assumere.
Diremo che D и il *dominio* della funzione proposizionale P(x). Ciт
significa semplicemente: la x puт assumere solo i valori corrispondenti agli
individui contenuti in D. L'assegnazione richiederа una *funzione* (detta da
alcuni "funzione di interpretazione") che, appunto, "colleghi" la funzione
proposizionale P(x) al dominio D, in modo da assegnare alla x i determinati
valori. Il "collegamento" stabilito dalla funzione f tra D e P(x) farа sм
che il dominio D avrа il significato di insieme dei valori possibili per la
variabile individuale x, cioи di insieme dei valori assumbili da parte di x.
Quale и la ragione di questo "collegamento" tra la funzione proposizionale e
il dominio? La coppia <D, f> rende possibile alla formula P(x) di avere una
*interpretazione* nel mondo, e dunque di far sorgere il problema della
veritа e delle condizioni di veritа. Ci si rende immediatamente conto di
ciт, se solo si tiene presente che secondo la definizione classica di
"veritа", una proposizione enunciativa и vera se e solo se lo stato di cose
da essa descritta esiste realmente. E' dunque necessario, perchи sorga il
problema della veritа per la formula P(x), che la formula P(x) descriva un
*determinato* stato di cose, che cioи *si riferisca* a qualcosa.  Si tratta
cioи, in sostanza, di dotare innanzitutto le formule costruibili nel nostro
linguaggio della logica dei predicati, della *possibilitа* di essere vere o
false. Ciт esige l'introduzione di una "ontologia" del linguaggio. Perchи
ciт accada, и appunto necessario che si dia un insieme D di oggetti o
individui, *ed* una funzione f che faccia da tramite tra P(x) e l'insieme D,
e permetta dunque a P(x) di essere interpretata "su" D.
Queste osservazioni ci consentono finalmente di rispondere alla domanda "che
cosa и nella logica dei predicati un *modello*?". Alcuni autori chiamano
*modello* della formula P(x) la coppia <D, f> stessa. Altri autori chiamano
invece *modello* di P(x) *quella* coppia <D, f> all'interno della quale la
formula risulta verificata. Ciт ci permette di dire - a conclusione di
questa introduzione elementare (piщ che elementare:-)) - che sono possibili
solo tre casi:
1. Esiste almeno una interpretazione nella quale la formula P(x) и
soddisfatta (ho introdotto sopra il concetto di "soddisfazione di una
formula") *per almeno una* assegnazione di valori alla variabile individuale
x. In tal caso la formula и detta *soddisfacibile*. Ad esempio, se D и
l'insieme (Bruto, Augusto, Nerone), allora si dirа che la formula "x uccise
Cesare" и soddisfacibile nell'interpretazione che ha D come dominio.
Infatti, per x=Bruto, la formula и soddisfatta.
2. Esiste una interpretazione nella quale la formula P(x) и soddisfatta *per
tutte* le assegnazioni di valori alla variabile individuale x. In questo
caso si dirа che la formula и *vera* in quella certa interpretazione.
Questo, abbiamo visto, non и il caso della formula "x uccise Cesare"
interpretata "sul" dominio D sopra definito. E' invece il caso della formula
"x и maggiore o uguale a zero", se tale formula и interpretata "sul" dominio
costituito dall'insieme N dei numeri naturali. In base alla seconda
accezione del concetto di "modello", diremo che N и un modello della formula
"x и maggiore o uguale a zero".
3. La formula P(x) и soddisfatta *in ogni* interpretazione e *per tutte* le
assegnazioni di valori alle sue variabili. In questo caso diremo che la
formula и *logicamente valida* (altri autori dicono: *valida*; altri ancora:
*tautologica*) Ad esempio, se P(x) и la formula "x и un ente", allora questa
formula и logicamente valida, perchи и soddisfatta in qualunque
interpretazione e per tutte le assegnazione di valori alla x.
A questo punto dovrebbe essere chiaro che:
- il concetto di modello и estendibile a qualunque formula del calcolo dei
predicati - dunque, anche a formule che contengono quantificatori. "Esiste x
tale che Q(x)" sarа vera se e solo se esiste almeno una assegnazione di
valori che soddisfa Q(x). "Per ogni x Q(x)" sarа vera se e solo se Q(x) и
soddisfatta per tutte le assegnazioni di valori alla variabile individuale
x.
- la funzione di interpretazione f che compare nella struttura <D, f> puт
"funzionare" anche sullo stesso predicato P. Dato il predicato ad un posto
P(x), la funzione f puт assegnare a P il significato "essere (l')uccisore di
Giulio Cesare" cosм come il significato "essere un numero primo" etc.
- il concetto di modello и estendibile ad un *insieme* I di formule che
costituiscano una *teoria*. Si porrа allora il problema di quale sia il
modello - o i modelli (sto qui utilizzando la prima accezione del concetto
di "modello") - in cui tali formule vengono verificate. Ovvero, usando la
seconda accezione, si porrа il problema del modello di I. Se ad esempio Q и
la *conseguenza logica* delle formule (P1,..Pn), allora non sarа possibile
che esista un modello (seconda accezione) di (P1,...Pn) che non sia al
contempo un modello di Q. Viceversa se Q non и una conseguenza logica di
(P1,..,Pn) и possibile che esista un modello (prima accezione) in cui
(P1,...Pn) siano verificate e non lo sia Q. Ovvero, se esiste un modello
(prima accezione) in cui (P1,...Pn) sono verificate e Q non lo и, allora Q
non и una conseguenza logica di (P1,...Pn) (in un certo senso potremmo dire:
и una conseguenza logica che Q non sia una conseguenza logica). Nello
specifico si usa dire che una certa interpretazione <D, f> и il *modello
della teoria T*  ("modello" nella seconda accezione, come si vedrа)  se e
solo se tutti gli assiomi della teoria T sono veri nella interpretazione
considerata.
Su queste tre considerazioni qui sopra и in buon sostanza fondata la
generalizzazione del concetto di modello, cosм come la si trova esposta in
un buon manuale di logica formale. Sulla terza in particolare, и fondata -
attraverso due *essenziali* teoremi della logica: il "teorema di deduzione"
ed il "teorema di completezza" (i quali a questo punto andrebbero certamente
esposti) - l'importanza assolutamente decisiva del concetto di modello ai
fini dello studio delle proprietа deduttive delle teorie.
Mi fermo qui. Ribadendo che questa и solo una introduzione "intuitiva". Ho
saltato una miriade di cose. Finanche le "tavole di veritа" e la distinzione
tra "variabili libere" e "variabili quantificate". Abbiate pietа!:-)
Un saluto,
Marco

Che orrore!
Vili divulgatori!!!!!!
G

 formula che esprime il "principio di indiscernibilità degli identici" -
Correggo: identità degli indiscernibili, ovviamente
Quanto all'"orrore", sicuramente. Ho provato a rispondere alla domanda
partendo veramente da zero. E magari sono arrivato a 0,001. Ci sono
sicuramente delle imprecisioni (alcune le riconosco da me). L'esposizione
del nucleo concettuale mi pare comunque tutto sommato accettabile. Ma se si
parte sparati per arrivare a 10, si rischia di arrivare a zero: lo zero
della comprensione che si induce nei lettori che partono più o meno da zero.
Saluti,
Marco

 non in termini di insiemi ma solo di elementi.
Mai sentito. 

,
scusa,
mi indicheresti direttamente in quali post di sci.logic si e` parlato 
dell'indipendenza degli enunciati aritmetici veri dall'ipotesi del continuo?
G

 continuo?
Ad esempio qui:
http://groups.google.it/group/sci.logic/browse_frm/thread/2567ae06e7bc3197/f7cb84f0ae6ff468?lnk=st&q=group:sci.logic+author:lordbeotian+%2Bch&rnum=1&hl=it#f7cb84f0ae6ff468

 
http://groups.google.it/group/sci.logic/browse_frm/thread/2567ae06e7bc3197/f7cb84f0ae6ff468?lnk=st&q=group:sci.logic+author:lordbeotian+%2Bch&rnum=1&hl=it#f7cb84f0ae6ff468
Peccato pero` che non faccia vedere come.
Dice solo che segue dalle dimostrazioni di indipendenza...
Tu hai idea di come si faccia vedere in concreto?
G

 Tu hai idea di come si faccia vedere in concreto?
Che nel modello di Godel siano veri tutti gli enunciati aritmetici veri mi 
sembra quasi scontato (considerando che in quel modello gli enunciati 
aritmetici hanno un'interpretazione molto "naturale"). Per quanto riguarda 
il modello di Cohen non ho la più pallida idea di come funzioni. 

 mi sembra quasi scontato
A me sembra invece un'affermazione priva di senso.
Il tuo esasperato platonismo, come quello della maggior parte dei logici, 
evidentemente fa vedere cose che io personalmente non vedo.
Mi spiego.
Il "modello di Goedel" io lo vedo come qualcosa di puramente sintattico: hai 
una formula, che dice "x e` costruibile", e fai vedere che sono dimostrabili 
in ZF le relativizzazioni, rispetto a tale formula, degli assiomi di ZF. 
Questo comporta, costruttivamente, che l'enunciato "per ogni x, x e` 
costruibile" e` sintatticamente coerente con ZF.
Come vedi, e` un fatto puramente "meccanico", sintattico.
Non vedo "verita`" chiamate in causa.
Ora, mi dici come questa dimostrazione, "meccanica", sintattica, concreta, 
possa servire per l'indipendenza dell'ipotesi del continuo da tutte le 
verita` (e che sono?) artimetiche?
Chi ha i paraocchi ideologici, io o tu (e i logici di sci.logic)?
Fammi sapere.
Ciao!
Giovanni 

 Chi ha i paraocchi ideologici, io o tu (e i logici di sci.logic)?
I logici di sci.logic (almeno alcuni di loro) sicuramente ne sanno molto più 
di me e immagino che non avrebbero difficoltà a citare testi a loro 
supporto. 

Aggiungo al mio ultimo post (non ancora apparso):
In effetti, pero`, uno puo` pensare di essere in una "basic set theory", una 
teoria col linguaggio della teoria degli insiemi ma che non abbia nemmeno 
l'assioma dell'infinito (praticamente un'aritmetica insiemistica), e far 
vedere in questa teoria che ZF e` consistente se e solo se esiste un insieme 
che e` l'insieme (in questo caso conviene parlare di insieme e non di 
classe) degli insiemi costruibili.
In questo modo si vede che i due discorsi sono equivalenti...

 a citare testi a loro supporto.
Vedi allora che serve un ng italiano di logica?
G

 Vedi allora che serve un ng italiano di logica?
Il problema è che tra gli utenti italiani non c'è nessuno a quei livelli. 

Dunque, devo un po' ricredermi.
In effetti il discorso sulla verita` non e` affatto assurdo, dal momento 
che, ad esempio, la verita` diventa qualcosa di perfettamente tangibile se 
ad esempio definiamo in ZF la verita` di un enunciato riguardante i numeri 
naturali.
In effetti, la verita` che andiamo a definire e` proprio la verita` 
nell'insieme dei numeri naturali tout court, che e` in un certo senso 
assoluto rispetto alla teoria entro la quale lo trattiamo (ad esempio Z, ZF 
o teorie piu` potenti).
Questo ovviamente non significa che in Z o in ZF, o in qualche altra teoria, 
noi possiamo dimostrare tutte le verita` sui numeri naturali, pero` possiamo 
definire la verita` nei numeri naturali in maniera definitiva.
Ovviamente, piu` aumenta la forza della teoria con cui trattiamo questo 
assoluto oggetto insieme dei numeri naturali, piu` aumentano le verita` 
anche al primo ordine che possiamo dimostrare su di esso: ad esempio, 
ovviamente, le verita` al primo ordine sui naturali dimostrabili in ZF sono 
di piu` di quelle dimostrabili in Z. Pero`, attenzione, non troveremo mai 
due teorie, in entrambe le quali si possa si abbia l'insieme dei numeri 
naturali, e tali che un enunciato sui numeri naturali sia vero in una e 
falso in un'altra.
Quindi c'e` da dire una cosa: le verita` al primo ordine sui numeri naturali 
sono, indipendentemente dal fatto che siano dimostrabili o meno, 
indipendenti non solo dall'ipotesi del continuo, ma da qualsiasi cosa!
Ciao!
Giovanni 

 vedi l'insieme dei naturali?
Vedo l'insieme dei teoremi di ZF piu` di quanto vedo l'insieme delle verita` 
sui numeri naturali.
G

 verita` sui numeri naturali.
Questa è una scappatoia bella e buona.
Potrei riformulare chiedendoti:
"Vedi" le verità circa tutti i possibili teoremi di ZF piu` di quanto vedi 
le verità sui naturali?
Perchè a ben guardare non c'è nessuna sostanziale differenza tra parlare 
della sintassi di un sistema formale e parlare di enunciati numerici. 
L'enunciato "ZF è consistente" è tanto ontologicamente impegnativo quanto un 
qualunque enunciato aritmetico visto che in realtà parla dell'insieme 
(infinito) dei teoremi di ZF. 

 di ZF piu` di quanto vedi le verita` sui naturali?
No.
G

 aver digerito la nozione di "cardinalità".
Hai usato un verbo secondo me molto giusto: "digerire".
Le cosiddette "contro-intuitività" lasciano infatti sempre il sospetto che,
essendo partiti male, si sia arrivati peggio. Ma poi magari si inghiotte il
rospo, per qualche ragione più o meno ... ragionevole.
Il mio punto di vista è che 'infinito' non abbia un senso se non come
allusione a qualcosa che non sappiamo in alcun modo definire o
rappresentare, né mentalmente né tantomeno formalmente, e lo stesso penso
del concetto di 'continuo' che lo segue a ruota. Perciò non mi stupisce che,
cercando di parlarne formalmente, si incappi in "controintuitività" (che io
considero semplici paradossi) e in questioni come quella che state
discutendo, dove, a seconda del modello che si sceglie, una certa ipotesi
può risultare vera o falsa. Il che mi ricorda un signore a cui sono sempre
più affezionato: Monsieur De La Palisse, per il quale se si premette
qualcosa che rende vera una certa proposizione, allora la proposizione è
vera, mentre se si premette qualcosa che la rende falsa, allora è falsa :-)
Ma io sono molto ingenuo in questo tipo di questioni, e ormai in questi lidi
si sa.
Grazie per il chiarimento.
qf

 'modello', che non vedo come un problema nella circostanza.)
Non preoccuparti (anche se io, come accennerò, il nesso con la questione
dibattuta ce lo vedevo). E' stata un'ottima occasione per un utile
autoripasso generale. D'altra parte la nozione di "modello" è veramente
decisiva per la logica contemporanea. E senza di essa, nulla si potrebbe
capire dei risultati formali conseguiti da Goedel e Cohen sulla famgerata
ipotesi del continuo. La cui introduzione informale non è poi affatto
complicata.
Un saluto al volo,
Marco

 Marco
Ciao.
qf 

 :-)
Va bene, mettiamolo alla prova allora:
L'ipotesi del continuo dice questo:
<<Ogni sottoinsieme infinito dell'insieme dei numeri reali è in 
corrispondenza biunivoca o con l'insieme dei naturali o con l'insieme dei 
reali.>>
Ciao!!
Marco 

 reali.>>
Come si vede, l'ipotesi del continuo in questa sua enunciazione [*(vedi alla
fine per una osservazione] fa riferimento esclusivamente al concetto di
insieme infinito, all'insieme dei numeri naturali e dei numeri reali, e al
concetto di corrispondenza tra insiemi (infiniti). Dubbio a parte, quella
disgiunzione (o...o) va letta nel senso che ciascun sottoinsieme infinito
dell'insieme dei reali è *necessariamente* in corrispondenza biunivoca con
qualche insieme infinito, ovvero ha necessariamente un "numero cardinale";
il problema è se tale insieme infinito possa essere differente dall'insieme
dei naturali *e* dall'insieme dei reali; l'ipotesi del continuo esclude
appunto questa possibilità)
Nella formulazione "tecnica", l'ipotesi del continuo è l'ultimo elemento di
questa sequenza concettuale:
1. Cantor riesce a costruire una _successione ben ordinata_ di _numeri
cardinali (transfiniti)_ da lui chiamati "alef".
2. Cantor riesce a dimostrare che ciascun numero cardinale di un insieme
infinito (il numero cioè che esprime la "potenza numerica" dell'insieme
infinito) è *necessariamente* un alef.
3. Sia alef(0) il numero cardinale dell'insieme dei numeri naturali.
4. Ora, Cantor dimostra che il numero cardinale dell'insieme dei numeri
reali (la cosiddetta "potenza del continuo"; sia C) è uguale a: 2^(alef(0))
5. Ma in base alla dimostrazione di cui al punto 2, C è necessariamente un
alef.
6. Se alef(1) è il numero cardinale *immediatamente successivo* ad alef(0),
C è necessariamente o uguale o maggiore di alef(1).
7. L'"ipotesi del continuo" afferma che C=alef(1). Ovvero:
***2^(alef(0))=alef(1)***
8. Nella versione "generalizzata", tale ipotesi afferma che per ogni _numero
ordinale_ n, vale l'uguaglianza: ***2^(alef(n))=alef(n+1)***
Dunque, la presentazione "tecnica" dell'ipotesi del continuo esige la
definizione delle seguenti _nozioni_ :
a_ successione ben ordinata
b_ numero cardinale transfinito
c_ numero ordinale (tale nozione è già richiesta dalla ipotesi del continuo
nella versione "semplice", perchè gli indici (0) e (1) dei primi due alef
(il primo dei quali è dimostrato essere il numero cardinale dell'insieme dei
numeri naturali) sono essi stessi numeri ordinali.
Altra cosa che richiederebbe approfondimenti:
d_ Il punto 2. La dimostrazione data da Cantor non è esente da problemi. Ed
ha un significato piuttosto profondo dal punto di vista matematico, perchè
fa uso di un assioma decisivo ("assioma del buon ordinamento").
Passo la palla a chi vuole cimentarsi nella definizione - rigorosa o
intuitiva che sia - di tali nozioni, e magari nell'approfondimento del punto
d_. Una cosa è certa: quel qualcuno *non* sarò io:-).
Un saluto di passaggio,
Marco
[*]
Può sorgere il dubbio se la prima enunciazione sia equivalente all'altra.
Per mostrarlo, basta osservare che questa equivalenza c'è se e solo se la
*negazione logica* dell'ipotesi del continuo sia identica alla negazione di
quella prima enunciazione, cioè a: esiste almeno un sottoinsieme infinito S
dell'insieme dei reali tale che Card(S) (=il numero cardinale di S)
differisca sia da alef(0) e sia da C. Ma necessariamente Card (S) è minore o
uguale a C, in quanto C è la "potenza" dell'insieme di cui S è un
sottoinsieme (infinito). Dunque la negazione di quella enunciazione
dell'ipotesi del continuo asserisce che esiste almeno un sottoinsieme S
dell'insieme dei reali tale che alef(0)<Card(S)<C, tale cioè che Card(S) sia
strettamente compreso tra alef(0) e C. La dimostrazione della equivalenza si
conclude osservando che l''insieme il cui numero cardinale sia strettamente
compreso tra alef(0) e C (insieme l'affermazione della cui esistenza
coincide con la negazione logica dell'ipotesi del continuo) è
necessariamente un sottoinsieme dell'insieme dei reali.

 Vi ho chiesto cos'è la materia e nisba.
La materia? Facile. Ciò che non è non-materia:-).
Un saluto,
Marco


Mi fate venire in mente un episodio a cui assistei circa 20 anni fa.
Esame di calcolatori, assistente del prof Paolo Ercoli, in Roma
università la Sapienza.
Prof:
Mi dia la definizione di numero.
Studente:
.... è quando io ho che è ...
Prof:
No, guardi ... "è quanto ... " = "è una situazione" 
Io le ho chiesto cosa è un numero!
Studente:
un insieme che ...
Prof:
No! non è un insieme!
Studente:
Mi arrendo non so cosa è un numero, io so che ... lo so usare, ma non mi
chieda cos'è.
Commento personale:
Da cui dedussi che in genere si intende con "ingegnere colui che sa
ottenere dei risultati senza sapere come ha fatto ..."
: - )
Scena finale:
Studente:
Va bene accetto il 25
Prof:
Ecco fatto aventi un altro da esaminare.
Studente:
.... mi scusi se le chiedo ... ma la definizione di numero?
Prof:
E' una classe di equivalenza! Infatti raccoglie tutti gli elementi a
prescindere dal tipo, ma con la "regola". ... le classi di equivalenza
collezionano tramite una regola!
Commento personale:
Da cui capii che non ero un ingegnere, ma un filosofo.
La spiegazione del prof era errata!
Infatti un qualunque ente è individuabile _dalla scienza_ non dalla sua
etichetta, ma dalla sua epistemé.
Quindi andava detto:
"Il numero, sia X, è un ente individuato dalla proprietà di *generare*
una classe di equivalenza!"
Ossia un numero, sia X,  non è una classe di equivalenza, ma è X tale
che la genera!
E ciò già ci porrebbe a conoscenza che la scienza non studia gli enti,
ma le relative "rappresentazioni" che ne rappresentano, appunto, una
forma di "procedura di entificazione", ma introducono -in tal modo- uno
iato tra l'ente in sè, e come l'ente è mediato dalla sua
rappresentazione.
Idem con patate *non* andrebbe chiesto o risposto (per la scienza) cosa
sia "il continuo", ma quale sia la epistemé attraverso cui "il continuo"
si manifesti! Infatti la scienza ci spiega il "per come"!
O meglio, magari è una provocazione di tipo koan!
Allievo:
Maestro perché ogni cosa muore?
Maestro:
Perché ogni cosa ha un suo tempo, era tempo che dovesse finire.
Ma cosa nascondi dietro la schiena?
Allievo:
Maestro il tuo vaso Ming, è caduto, si vede che era tempo che dovesse
finire!
: - )
Se quindi la domanda sibillina (di qf sul 'continuo') è valsa accorgersi
che bisognava spostarsi sulla epistemé e sul senso della conoscenza ->
la freccia ha colto il bersaglio.
L

 Marco
Ciao.
qf

 Marco
Ciao.
qf

 Grunt! :-)
Ne provo un'altra. E' la differenza che intercorre tra il pensare di
ricevere un cazzotto sul naso ed il riceverlo. O tra il pensare a certe cose
ed il toccarle con mano [cit. Qf versione 20QfwfQ02]:-).
Un saluto,
Marco

 cose ed il toccarle con mano [cit. Qf versione 20QfwfQ02]:-).
Questa era una distinzione fra il pensare una cosa e il viverla, non fra
non-materia e materia. Se mi dici che "viverla" и universo materiale e
pensarla universo non-materiale devi aver premesso che pensare non и un
processo biologico.
Un saluto.
qf (rev. 2005.9)