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Titolo: Relativismo nei fondamenti della matematica ..... [...]

Vorrei porre alla vostra attenzione un mio personale punto di vista sui 
fondamenti della matematica.
Vorrei sapere se tale modo di vedere le cose vi piace, lo trovate vicino a 
voi, oppure no.
Tale punto di vista voglio chiamarlo "relativista".
Il succo di tale punto di vista?
Ad esempio, in genere si e` portati a pensare che ad esempio la consistenza 
di una teoria e` qualcosa di o vero o falso in un senso assoluto.
Cioe`, in genere si e` portati a pensare che l'affermazione che una teoria 
e` consistente, e` un'affermazione o vera o falsa indipendentemente da dove 
pensi tale affermazione.
E si e` portati a pensare che se non e` dimostrabile, in una data metateoria 
sintattica, il fatto vero, se e` vero, che una teoria e` consistente, tale 
fatto vero non cessa di essere vero ma e` semplicemente una verita` non 
dimostrabile nella metateoria sintattica che si sta assumendo.
Io invece dico che non si possono separare le affermazioni dalle teorie in 
cui sono fatte, e che il significato dell'affermazione della consistenza di 
una teoria cambia a seconda della metateoria sintattica in cui pensiamo tale 
affermazione.
Non ha senso affermare la consistenza di una teoria senza dire dove la 
affermiamo, perche' il dove lo affermiamo e` parte integrante 
dell'affermazione stessa.
Pertanto, l'affermazione "l'aritmetica di Peano al primo ordine e` 
consistente" non ha senso.
Ha senso soltanto "la ricostruzione, all'interno di ZF, dell'aritmetica di 
Peano al primo ordine, e` consistente". Quest'ultima affermazione e` vera.
Se a ZF togliamo l'assioma dell'infinito, tale affermazione diventa, 
assumendo come a me piace assumere l'equivalenza di verita` e 
dimostrabilita`, ne' vera ne' falsa.
G 

 dell'affermazione stessa.
Ma tu questa affermazione, dov'e' che la fai?
Perche' alla fine poi hai un ulteriore metalivello da cui guardi le tue
metateorie e lo fai usando la logichetta della casalinga di Voghera.
O no?
-- 
genti diverse, venute dall'est
dicevan che in fondo era uguale.
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 Ma tu questa affermazione, dov'e' che la fai?
Da quella teoria fisica-chimica-filosofica-psicologica-eccetera che ciascuno 
di noi si costruisce e che chiama "realta`".
G

 dimostrabilita`, ne' vera ne' falsa.
I processi-metodi-enti logici elementari di cui dicevo più sopra non sono
dimostrabili ma servono a dimostrare in qualunque sede, logico-formale o no.
Allora non sono verità? Tieni presente che ogni verità del tipo di cui tu
parli deve essere costruita - infatti la dimostrazione è una costruzione -
proprio mediante quegli strumenti. In questo senso sono così veri da reggere
qualunque altra verità, ma non sono dimostrabili.
Saluti.
qf

 dell'affermazione stessa.
certo; questo e' fondamentale in quanto noi cogliamo dei rapporti e la 
famosa "causa sui" spinoziana significa -- in sostanza -- che non esiste 
alcuna verita' o realta' in se' degna di indagine concreta ... senza un 
rapporto materiale tra fenomeni (comparazione e, quindi, misurazione) 
non esiste nulla, se non fantasie cervellotiche ...
  Pero' nel momento in cui piazziamo una teoria coerente nel "dove 
giusto", ovvero entro i rapporti materiali e reali della situazione 
storica di una certa epoca e civilta', noi abbiamo la vera realta' che, 
volendo esser cavillosi, avrebbe un solo limite: il grado di sviluppo 
dei mezzi materiali di una certa epoca e civilta'.
... ma questo, a mio vedere, piu' che un limite e' la testimonianza 
concreta della nostra capacita' di progredire ancora, dopo millenni di 
progressi.
... CUT, causa ROBO-mod ...
  pino
--
La <<ragione>> nel linguaggio:
ah, quale vecchia donnacola truffatrice!
Temo che non ci sbarazzeremo di Dio
perche' crediamo ancora nella grammatica...

 dimostrabilita`, ne' vera ne' falsa.
Consideriamo l'algoritmo che calcola meccanicamente tutte le possibili 
dimostrazioni dell'aritmetica e si ferma se e solo se trova una 
contraddizione.
Dire che l'aritmetica è inconsistente equivale a dire che tale algoritmo 
termina in un tempo finito (teoricamente calcolabile).
Ora... Come può il fatto che un algoritmo si ferma in un tempo finito 
(calcolabile) dipendere dalla teoria in cui lo stiamo studiando????

 Ora: che vuol dire 'coerente'?
Si fa riferimento al suo significato tecnico, non a quello che piace 
intendere a te.
Con questo chiudo la conversazione, perche' tempo che una conversazione 
costruttiva non ci possa essere.
G

 di noi si costruisce e che chiama "realta`".
Anch'io credo che sia una teoria costruita la realta'.


 dipendere dalla teoria in cui lo stiamo studiando????
Questa e` esattamente l'obiezione che avevo previsto.
La mia risposta e`: il fatto che l'algoritmo non si fermi mai, ossia la 
consistenza, e` comunque un enunciato ideale, ossia non verificabile 
direttamente (in effetti nessun enunciato lo e`, essendo la misura stessa in 
un certo senso un costrutto teorico) bensi` necessitante di una 
dimostrazione. Quello che usi nella dimostrazione sono appunto gli assiomi 
della teoria minimale in cui tale enunciato e` vero.
Tu mi dirai che tali assiomi sono proprieta` dello spazio fisico, ma io 
posso facilmente risponderti che nemmeno in fisica esiste il concetto di 
verita` al di fuori delle teorie. Quello che esiste e` il concetto di 
plausibilita` di una teoria.
G

 consistente" non ha senso.
Punto di vista interessante. Dopo aver riflettuto a lungo credo di doverti 
dare ragione; dopotutto ho diversi dubbi sul concetto di "vero".
Ragioniamo...
Supponiamo che la consistenza di una teoria T non sia dimostrabile in T. Non 
potremmo dire che T è consistente se esiste una metateoria M in cui la 
consistenza di T è dimostrabile? Effettivamente, c'è un problema: non 
abbiamo specificato da nessuna parte che M stessa dev'essere consistente; ma 
se lo facciamo, la definizione diventa circolare e quindi è mal posta.
Probabilmente se prendiamo il punto di vista puramente sintattico, hai 
ragione tu.
--
Xelloss 

 costruttiva non ci possa essere.
Eh, il tempo è tiranno con tutti :-)
(A parte il fatto che in sostanza ti ho dato ragione, spiegando però di non
condividere il termine "relativismo", che nella fattispecie considero
decisamente improprio: non può esistere "relativismo" nei fondamenti della
matematica; è insensato crederlo. Quando una meta-teoria è responsabile di
stabilire la verità di una certa teoria, allora quest'ultima è una
sotto-teoria della prima, pur emergendo l'ovvio problema sollevato da
Xelloss circa la coerenza della meta-teoria, problema però che si può
arrestare solo al livello dei processi-enti logici a-priori, non
dimostrabili e dunque paradossalmente "non veri" secondo la tua autorevole
opinione.)
Saluti
qf

 plausibilita` di una teoria.
Dunque *è vero* che esiste il concetto di plausibilità di una teoria.
Di quale spazio fa parte questo assioma?
Dove si dimostra che con i soli tecnicismi ci si impapera :-)
qf

 minimale in cui tale enunciato e` vero.
La teoria minimale presumo sia quella che ha solo l'enunciato come assioma.
Non ho capito in che senso quello che dici sarebbe una controobiezione alla 
mia obiezione.