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Titolo: Il numero fatale di Platone

Qualcuno gentilmente mi dice qualcosa di questo numero (che dovrebbe
comparire nel libro VIII de "La Repubblica")?! Ad esempio, quanto vale,
che importanza ha, a proposito di che ricorre, ....
Grazie mille
Giuseppe
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 che importanza ha, a proposito di che ricorre, ....
Sì, libro VIII de "La Repubblica". Platone ne parla a proposito del "periodo
storico" della degenerazione della polis ideale. Anche la polis ideale - la
polis, cioè, di cui Platone espone la teoria in quella sua opera - è un ente
storico, e come tale è esposto alla fine:
<<Certo, è difficile che si smuova una città così costituita; ma giacché
ogni cosa che nasce muore, neanche una tale formazione potrà durare in
eterno, ma si dissolverà>>
["La Repubblica", 546; trad. it. F. Gabrieli, ed. Rizzoli 1981]
La polis ideale, in quanto formazione storica, finirà a causa della
corruzione sopraggiunta nel ciclo naturale delle generazioni. Si tratta cioè
di determinare il numero che <<governa le generazioni migliori e peggiori>>.
Ad un certo punto, cioè dopo un certo *numero* di cicli, cominceranno a
nascere figli incapaci di garantire la continuità della polis ideale, e
questa, in quanto esemplificata nella storia, seguirà il destino di ogni
ente storico: cesserà di esistere. Un tale numero è matematicamente, per
quanto riguarda la generazione degli dei, un "numero perfetto" (_arithmos
theleios_, nel greco di Platone): un numero, cioè, che è uguale alla somma
dei suoi divisori.
Per la generazione degli uomini, Platone costruisce un numero attraverso la
moltiplicazione degli elementi di due progressioni di potenze numeriche.
Questo numero è 216 (che è il cubo del numero perfetto 6).
Saluti,
Marco

 Questo numero è 216 (che è il cubo del numero perfetto 6).
Il passo è il seguente, ed è quello - come altri nei quali il pitagorizzante 
Platone si mette a parlare di numeri o di figure geometriche aventi 
particolari proprietà - che ha dato del filo da torcere ai traduttori e agli 
interpreti:
<<[...] per quella [per la prole; nota di Marco V.] umana un'altro [numero; 
nota di Marco V.] in cui per primo progressioni di radici e potenze avendo 
tre intervalli e quattro termini di numeri assomiglianti e differenzianti, 
eccedenti e deficienti, danno un risultato in tutto proporzionale e 
razionale. Di questo il primo rapporto epitrito, triplicato e combinato col 
numero cinque, dà due armonie, l'una rappresentata da un quadrato, cento per 
cento, l'altra uguale per una dimensione alla prima, ma rettangolare, 
formata da cento numeri ricavati (col quadrato) da diametri razionali del 
numero cinque, diminuito ciascuna d'una unità, o irrazionali diminuiti di 
due, e di cento cubi del numero tre>>.
Ora, suddividiamo questo brano - che conterrebbe la determinazione 
matematica completa del numero che governa le generazioni umane migliori e 
peggiori - nelle due proposizioni dalle quali è composto. La prima 
proposizione, ci fa innanzitutto capire che per determinare questo numero, 
occorre scrivere due progressioni di radici e potenze, aventi ciascuna 
quattro termini e, dunque, tre intervalli. Scriviamole così:
p1|p2|p3|p4
q1|q2|q3|q4
Il segno '|' indica appunto l'intervallo. Ora, moltiplicando ciascun termine 
della prima progressione per il corrispondente della seconda, otterremo la 
seguente progressione numerica:
p1*q2|p2*q2|p3*q3|p4*q4
Ebbene, il numero di cui siamo in cerca sarà proprio l'ultimo elemento di 
questa successione: p4*q4.
Si tratta perciò di determinare i valori numerici delle p e delle q. Per 
fare questo il brano platonico ci fornisce le seguenti informazioni:
- le due successioni numeriche che abbiamo scritto in partenza devono essere 
delle "progressioni di radici e potenze" con <<tre intervalli e quattro 
termini di numeri assomiglianti e differenzianti, eccedenti e deficienti>>. 
Si tratta perciò di capire che cosa significa per i numeri la proprietà 
dell'esser "rassomiglianti", "differenzianti" etc.
- di questo numero di cui siamo in cerca, <<il primo rapporto epitrito 
[...]>>. Questo numero, in base a quello che ci dice la seconda proposizione 
del brano platonico, deve avere, se interpretato geometricamente, delle 
proprietà "armoniche". Ovviamente, la parte del brano di più difficile 
interpretazione è proprio la seconda, e per amor di tranquillità:-) la 
lascio perdere.
Alla fine i matematici che si sono applicati per determinare questo numero, 
hanno affermato che le due progressioni di radici e di potenze vanno scritte 
così:
1|2|4|8
1|3|9|27
Perciò, la progressione risultante dalla moltiplicazione dei termini delle 
due di partenze, sarà da scrivere così:
1|6|36|216
e perciò sarà 216 il numero che per Platone regola le generazioni umani 
migliori e peggiori.
Un saluto,
Marco 

 la proprietà dell'esser "rassomiglianti", "differenzianti" etc.
Ma a legger e rifletterci meglio, mi pare di poter dire che - nelle
intenzioni di Platone - la determinazione completa del numero che regola le
generazioni umane migliori e peggiori, si trovi solo nella prima parte del
brano.
Infatti il "rapporto epitrito" (che, secondo quanto dice la seconda parte
del brano, se sottoposto ad un certo trattamento matematico fornisce due
armonie) non è che il rapporto 4/3. E mi pare di poter dire che questo
rapporto possa uscire fuori solo come rapporto tra il numero degli elementi
(4) delle due progressioni, ed il numero degli intervalli (3). Ma di tutto
ciò Platone parla già nella prima parte del brano.
Non è comunque un brano di agile interpretazione.
Marco.

 migliori e peggiori.
Adesso Giuseppe ci dirà che questo numero ha qualcosa a che vedere con la 
congiunzione di Giove e Saturno. 

 congiunzione di Giove e Saturno.
Adesso proprio no! perchè questa è l'ora della pennichella. Poi vedremo..
La curiosità mi è sorta comunque da un articolo in inglese ove si parla
di 'Nuptial Arithmetic' (!) e del commento di Marsilio Ficino all' VIII
libro della Repubblica, dal titolo 'De Numero Fatali'.
Certo .. siccome mi sto rendendo conto ogni giorno di più della potenza
esplicativa/interpretativa di quel fenomeno astronomico, m'era sorta la
curiosità di sapere di cosa si trattava .. A proposito, infinite grazie
a Marco che, così gentilmente, ha dato tutta una serie di informazioni.
a risentirci


 curiosità di sapere di cosa si trattava ..
Beh, facendo i salti mortali semantici non ci sono praticamente limiti alle
interpretazioni, e la classe dei concetti che potranno funzionare come
ipotesi esplicative si amplierà in modo praticamente illimitato.
Allo stesso, facendo i salti mortali semantici è sempre possibile
"dimostrare" che un certo numero svolge un ruolo determinante in un certo
fenomeno naturale o umano che sia. Basta vedere, ad esempio, i salti mortali
(semantici) fatti da Ficino per dimostrare - in quell'opera che hai citato e
che non ricordavo - che il "numero fatale" cui allude Platone nel libro VIII
è 1728 (lo determina come cubo di 12).
Questo dovrebbe farci capire che quel brano platonico non fornisce la
determinazione completa del numero - cioè, non fornisce regole o proprietà
sufficienti alla determinazione di quel numero. D'altra parte il rapporto
stesso tra il numero perfetto che regola le incorruttibili generazioni degli
dei (questo numero è fuori di ogni dubbio 6) ed il "numero fatale" che
regola le generazioni umani, rimane ambiguo, e non si capisce bene come il
numero perfetto debba intervenire nella determinazione del "numero fatale".
Né è chiaro che cosa esattamente intenda Platone con <<risultato in tutto
proporzionale e razionale>>.
Comunque, per dovere di completezza:
- con "numeri assomiglianti" Platone intende una coppia di numeri
esprimibili come prodotto di due fattori che stanno in una stessa
proporzione. Per esempio, 8 e 18. Infatti: 8=2+4; 18=3*6; e 3/2=6/4. Con
"numeri differenzianti", i numeri che non sono esprimibili in questo modo.
Nelle due progressioni che avevo scritto, sono "assomiglianti" 4 e 9;
"differenzianti", 8 e 27.
- con "numeri eccedenti", Platone dovrebbe intendere i numeri (oggi chiamati
"abbondanti") la somma dei cui divisori è maggiore del numero in questione.
Con "numeri deficienti", i numeri (oggi chiamati "difettivi") la somma dei
cui divisori è minore del numero in questione.
Dico "dovrebbe", perché nelle due progressioni che avevo scritto, e che
danno 216 come risultato, non figura alcun numero "eccedente"
("abbondante"), visto che 2, 4, 8, 3, 9, 27 sono tutti numeri "deficienti"
("difettivi"). E tuttavia Platone parla di <<[...] quattro termini di numeri
[...] _eccedenti e deficienti>>. Forse Platone considera i numeri primi 2 e
3 come numeri abbondanti - e cioè, considera 2 come divisore di 2 e 3 come
divisore di 3 (in modo tale che la somma dei divisori di 2 sarebbe 1+2=3>2;
e la somma dei divisori di 3 sarebbe 1+3=4>3)?
Magari potrebbe intervenire qualche altro articolista del ng, sulla base di
altre edizioni de "La Repubblica".
In quella in mio possesso, la nota che parla di 216 come <<numero perfetto
della generazione umana>> (commettendo tra l'altro sicuramente un errore,
visto che 216 non è un numero "perfetto" nel senso matematico del termine, e
visto che la nota della traduzione in mio possesso considera _arithmos
teleios_ come equivalente al concetto matematico odierno di "numero
perfetto") si basa sua volta sulla versione di Giuseppe Fraccaroli.
Un saluto,
Marco

 Marco
ciao


 perfetto/i)
Sì, la polis celeste, ma solo in quanto stiamo parlando della "generazione",
cioè, potremmo dire, del fondamento naturale della polis.
Ovviamente - a scanso di equivoci - questo è il numero che regola la
generazione degli dei, cioè degli *eterni*. Dunque tale eternità dovrà in
qualche modo essere rispecchiata dal numero in questione. Mentre il numero
che regola la generazione degli uomini produce generazioni corruttibili (ad
un certo punto, cioè, i figli dei padri non si attengono più al "modello"
della polis), il numero che regola la generazione degli dei produce
generazioni incorruttibili (cioè, sempre fedeli al "modello").
Quanto alla questione aritmetica vera e propria. Quello che sappiamo è che
nel libro VIII de "La Repubblica" Platone parla del numero che regola la
generazione degli dei come di un _arithmos teleios_. Ora, il punto è: che
cosa significa _teleios_? Letteralmente significa "perfetto", "intero",
"compiuto", "completo" - visto che deriva dalla parola _telos_, che
significa "compimento", "fine". E' stato credo Euclide a istituzionalizzare
l'uso della espressione _arithmos teleios_ per riferisi ai "numeri perfetti"
nel senso *matematico* odierno: un "numero perfetto" è un numero esprimibile
come somma dei suoi divisori (cioè, di tutti e soli i suoi divisori). Ma
Platone?
Platone, che ben conosceva le simbologie numeriche dei pitagorici, usa
l'espressione _arithmos teleios_ anche nel "Timeo" (37D), per
riferirsi al numero dell'"anno perfetto" (quando gli otto cicli celesti
tornano tutti al punto d'inizio). Nel linguaggio dei pitagorici, poi, anche
i numeri (entrambi raffigurati come triangoli, i cui lati sono composti
rispettivamente da due e quattro punti spaziali) 3 e 10 (quest'ultimo veniva
chiamato "tetraktys", in quanto somma dei primi quattro numeri) sono
_teleioi_. Ma né 3 né 10 sono "perfetti" nel senso matematico odierno del
termine, perché non sono esprimibili come somma dei loro divisori.
Per farla breve, sicuramente l'aggettivo "perfetto" si riferisce ad una
proprietà di "perfezione" o "completezza" manifestata dalla relazione tra un
determinato numero e le *parti* in cui esso può essere scomposto.
Specificamente, ad essere "perfetto" è un numero che risulta essere uguale a
tutte le sue parti. Ma "parti" in che senso? Le "parti" di una cosa sono gli
elementi che la compongono, e nei quali dunque essa può essere scomposta.
Alla fine, la nozione di "parte" di un numero è stata riferita al concetto
di divisore. Assunta questa definizione di "parte", riotteniamo la moderna
definizione matematica di "numero perfetto".
I greci hanno conosciuto solo i primi quattro numeri perfetti: 6, 28, 496,
8128 (per ottenere il quinto c'è voluto un bel po' di tempo) - ma, per quel
che ne so, è probabile che al tempo di Platone se ne conoscessero solo i
primi 3. Ancor più probabile è che Platone, in quel passaggio del libro
XIII, si riferisse proprio al numero 6. Il numero 6, oltre ad essere
esprimibile come somma dei suoi divisori, è esprimibile come somma dei primi
tre numeri: 6=1+2+3. Ora, un numero esprimibile come somma di numeri
consecutivi è detto "numero triangolare" (perché può essere raffigurato come
un triangolo: 
http://www.edscuola.it/archivio/ped/numeri_triangolari.htm
).
*Ogni* numero perfetto (esprimibile cioè come somma dei suoi divisori) è
triangolare. Ma il numero 6 è tale che i suoi divisori (1, 2, 3) sono
proprio tutti e soli quei numeri consecutivi che, sommati, danno il numero
6. Per il numero 6, cioè, la rappresentazione numerica come numero perfetto
(cioè, come somma dei suoi divisori) *coincide* con la rappresentazione
numerica come numero triangolare (cioè, come somma di numeri consecutivi).
Questa proprietà - che riguarda sempre la relazione tra il numero e le parti
in cui può essere scomposto - fa sì che 6 sia un ottimo candidato per quel
_arithmos teleios_ di cui parla Platone nel libro VIII. La generazione degli
dei è perfetta perché il numero che la regola manifesta una proprietà di
"perfezione" - matematicamente formulabile - nella relazione tra la parte ed
il tutto. Il candidato migliore per il numero che possiede questa proprietà,
pare essere proprio il 6.
Un saluto,
Marco


Livio (quell'altro :o)) fa notare che 216 e' anche la somma dei cubi
della prima terna pitagorica 3-4-5.
Ciao!!!  :o)
Livio

 Marco
ciao,
GDC
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