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Titolo: spira mirabilis

A tutti sarà capitato, di notte, di vedere delle falene volteggiare attorno
ad una luce accesa. Se facessimo una ripresa della traiettoria dell'insetto
e la riportassimo su un grafico troveremmo che essa può essere sovrapposta,
con una buona approssimazione, ad una curva nota come "spirale logaritmica".
E gli insetti non sono gli unici animali ad essere in grado di percorrere
della traiettorie "mirabili". Anche il falco, quando si avvicina da lontano
alla preda, volteggia percorrendo con buona approssimazione una spirale
logaritmica.
Questa curva è stata descritta analiticamente per la prima volta da Cartesio
nel 1638, e successivamente studiata a fondo da Jakob Bernoulli, il quale fu
talmente impressionato dalle notevoli proprietà matematiche e geometriche di
quella curva da definirla _spira mirabilis_.
Come è fatta questa spirale?
Consideriamo un suo generico punto. La posizione di tale punto sarà
completamente determinata, in un piano, da una coppia di coordinate. Fra
tutti i sistemi di coordinate possibili, consideriamo le cosiddette
coordinate "polari", costituite da una coppia di numeri reali di cui il
primo indica la distanza dall'origine degli assi (che supporremo essere
anche l'origine della spirale), mentre il secondo indica l'arco formato dal
segmento radiale passante per il punto ed una retta di riferimento uscente
dall'origine. Ebbene, la spirale logaritmica è quella curva per cui la
distanza espressa in funzione dell'angolo è una funzione esponenziale, il
che implica l'angolo espresso in funzione della distanza è l'inversa di una
funzione esponenziale, che è poi una funzione logaritmica. Ed è questa la
ragione per cui la _spira mirabilis_ è detta spirale logaritmica.
Ma che cosa ha questa curva di tanto "mirabile"?
Come dicevo, essa ha un discreto numero di proprietà assolutamente
singolari, e siccome non le possiamo analizzare tutte, ci limiteremo a
descriverne una per tutte.
Supponiamo di avere un quadrato, di fotografarlo, e di stampare un
ingrandimento dell'oggetto. Ciò che otterremo sarà ovviamente un quadrato
più grande di quello di partenza, e non ci sarà alcun modo di sovrapporlo al
primo, anche quando si provi a ruotarlo in tutte le direzioni, o di
spostarlo in qualunque direzione.
Lo stesso accade con qualunque altra figura geometrica ordinaria:
l'ingrandimento di un triangolo è un triangolo più grande, non
sovrapponibile al primo, e lo stesso capita con una circonferenza, una
ellisse, eccetera. L'unica "curva" che sembra fare eccezione è una retta
infinita, che anche quando venga "allungata" resta sovrapponibile a se
stessa. Ma che dire di tutte le altre curve? Riusciamo ad immaginarci una
figura per la quale le cose non vadano in questo modo, ovvero una figura
della quale si possa dire che anche quando venga ingrandita il risultato è
ancora uguale alla figura di partenza, o comunque sovrapponibile ad essa? In
altri termini, è possibile che esista una figura (a parte il caso banale
della retta) il cui "ingrandimento" non sia "più grande" della figura di
partenza?
La risposta a queste domande - lo si sarà già indovinato - ci viene proprio
dalla spirale logaritmica, la quale è appunto l'unica figura geometrica a
godere di questa mirabile proprietà: un suo ingrandimento è ancora uguale
alla spirale di partenza; più precisamente l'ingrandimento è ruotato di un
certo angolo che dipende dalla "scala", ma basta ruotare la spirale
"ingrandita" per vedere che essa si sovrappone perfettamente alla spirale di
partenza. Dunque la spirale "ingrandita" non è affatto "più grande"!
Bernoulli fu talmente impressionato da questa singolare proprietà da
chiedere che sulla sua tomba venisse incisa questa figura, assieme al motto:
«Eadem mutata resurgo» (benché mutata, risorgo identica). Evidentemente egli
vedeva in quella figura una metafora della resurrezione dei corpi o della
immortalità dell'anima. Peccato che l'ignoto scultore che preparò la sua
pietra tombale non fosse un esperto di geometria, e abbia tracciato sulla
sua tomba non una spirale logaritmica, ma una banale "spirale aristotelica",
già nota al solito stagirita:
http://curvebank.calstatela.edu/log/tomb.jpg
Dicevamo dunque che le falene ed i falchi si muovono su traiettorie che sono
molto prossime ad una spirale logaritmica.
Può trattarsi di un caso? Voglio dire, è ragionevole supporre che i falchi e
le falene di solito si muovano in modo del tutto casuale, e nei casi
osservati abbiano scelto delle traiettorie che casualmente sono risultate
prossime ad una spirale logaritmica? Direi di no, non può essere un caso.
Per fare un esempio famoso, sarebbe come se vedessimo una scimmia scrivere
la _Divina Commedia_, e pretendessimo di dire che la scimmia batte a caso i
tasti sulla tastiera, sicché è vero che in quel caso è saltata fuori la
_Divina Commedia_, ma avrebbe potuto saltar fuori anche "qwertyuiop", con la
stessa probabilità.
Non ci siamo. Se una scimmia scrive tutta la _Divina Commedia_, parola per
parola, dobbiamo per forza ammettere che quella scimmia ne sa molto di più
di quanto avessimo pensato fino a quel momento. Anche ammesso che non
conosca il "significato" di ciò che sta scrivendo, come minimo dobbiamo
ammettere che è in grado di memorizzare con precisione assoluta una sequenza
di molte migliaia di segni, il che non è poco.
Dunque, tornando alle nostre falene, se non può essere un caso che esse
percorrano una spirale logaritmica, non dobbiamo forse ammettere che esse in
qualche modo "conoscono" quella curva? Pare proprio di sì. Ma allora
dobbiamo anche ammettere che le falene conoscono da sempre la spirale
logaritmica e sanno usare i logaritmi o qualche funzione matematica
equivalente? Per quanto possa sembrare strano, sembra proprio di dover
rispondere ancora di sì. Un bello smacco per la nostra specie: le falene
sanno da sempre qualcosa che i nostri migliori ingegni hanno scoperto solo
nel XVII secolo.
Non solo, ma quale dei miei due lettori sarebbe in grado, senza strumenti,
di percorrere esattamente una spirale logaritmica? Dunque dobbiamo anche
ammettere che le falene - come pure i falchi - sappiano calcolare i
logaritmi in tempo reale con grande precisione.
Se i miei lettori non credono a quanto sto affermando, provino loro a
spiegarmi come fa un animale a percorrere "per caso" delle traiettorie che
coincidono sempre, o spesso, con una figura geometrica assolutamente
particolare, dotata di proprietà tanto "mirabili".
Supponiamo infatti che a qualcuno di noi venga impartito l'ordine di
avvicinarsi ad un punto lungo una spirale logaritmica, e che egli disponga
solo di questa definizione della spirale, che la descrive come insieme dei
punti che soddisfano un legame funzionale dato. Che altro potrebbe fare il
nostro sfortunato amico, se non tracciare una retta di riferimento uscente
dal punto dato, e poi darsi da fare con goniometro, metro e tavole
logaritmiche, al fine di tracciare una spirale logaritmica fra il punto in
cui si trova ed il punto da raggiungere?
Chi non fosse disposto ad attribuire alla mente delle falene e dei falchi
una tale abilità matematica e geometrica, dovrà comunque trovare delle
spiegazioni alternative. Chissà, potremmo postulare l'esistenza di un ente
che potremmo definire una Mente Universale (un antico greco direbbe il
_Nous_), che tutto conosce e che si manifesta in ogni singolo organismo
vivente. Le falene e i falchi sarebbero allora in qualche modo "guidati" da
questo Intelletto, dotato di conoscenze matematiche e geometriche perfette.
Questa seconda ipotesi, che a prima vista potrebbe sembrare un poco
azzardata, si fa più verosimile quando ci si renda conto che gli animali non
sono i soli enti a dover "conoscere" la geometria per potersi muovere come
si muovono.
Proviamo infatti a seguire una partita di calcio, registriamo la partita con
il nostro videoregistratore, e con calma osserviamo al rallentatore la
traiettoria della palla ogni volta che un calciatore fa un passaggio o un
tiro in porta. Se riportiamo punto per punto la posizione della palla su un
grafico ci rendiamo conto che tutte quelle traiettorie, pur essendo così
diverse fra di loro, hanno una cosa in comune: sono tutte molto prossime a
delle parabole, ovvero una delle possibili curve che si ottengono
intersecando un piano con un cono.
Spero non sia rimasto nessuno fra i miei lettori a voler affermare che si
tratta di un caso. Se tutte quelle traiettorie sono delle parabole, non può
essere un caso, e se non vogliamo ammettere che una palla di cuoio in
qualche modo "conosca" i coni, i piani e le loro intersezioni, dovremo
ipotizzare  che esiste nell'universo una qualche Entità Geometrica che guida
il moto di ogni singolo oggetto. E non è escluso che questa Entità
Geometrica coincida con quella Mente Universale la cui esistenza avevamo
dovuto postulare osservando le traiettorie delle falene e dei falchi.
Basterà ipotizzare, seguendo Galileo, che: «La filosofia è scritta in questo
grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io
dico l'universo), ma non si può intendere se prima non s'impara a intender
la lingua e conoscer i caratteri, ne' quali è scritto. Egli è scritto in
lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure
geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente
parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto».
Dunque la Natura è un libro geometrico, e le traiettorie del pallone, come
pure quelle delle falene, non sono altro che le "lettere" di quel libro. E
se noi, passeggiando in campagna verso sera, trovassimo sul bordo della
strada un libro pieno di equazioni matematiche e di figure geometriche,
penseremmo che quel libro si è prodotto per caso, in seguito allo
sgocciolamento casuale di inchiostro su pagine bianche, o saremmo certi che
esso deve avere un Autore, un Geometra dotato di volontà ed intelletto?
Ma abbiamo corso troppo.
Infatti tutte queste conclusioni che possono sembrare le più verosimili, o
persino necessarie, appaiono sotto una luce completamente diversa quando si
disponga di uno strumento concettuale messo a punto da Newton e Leibniz nel
XVII secolo, ovvero il calcolo differenziale.
Questo strumento ci consente di descrivere qualunque forma geometrica da un
punto di vista  "locale", ovvero in un intorno infinitesimo di ogni suo
punto.
Per prima cosa osserviamo che tutto ciò che abbiamo detto fino a qui della
spirale logaritmica la descrive da un punto di vista "globale", nel suo
insieme. Ad esempio quando diciamo che la spirale gode della proprietà
"invarianza di scala" stiamo parlando della spirale tutta intera, poiché
tale proprietà non è posseduta dalle sue parti, come ad esempio potrebbe
essere l'arco compreso fra due punti di essa. E d'altra parte anche quando
diamo la dipendenza funzionale della distanza dall'angolo, stiamo
descrivendo la spirale nel suo insieme, appunto come insieme dei punti che
soddisfano quella relazione.
Proviamo però a descrivere la stessa curva da un punto di vista "locale",
facendo uso del calcolo differenziale. Disponendo di questo importantissimo
strumento matematico, bastano un paio di passaggi per dimostrare che la
derivata della distanza rispetto all'angolo è direttamente proporzionale
alla distanza. Dopodiché chi abbia una qualche dimestichezza con la
geometria differenziale può mostrare immediatamente che il significato
geometrico di questa relazione è che l'inclinazione della spirale rispetto
ad un retta uscente dalla sua origine è ovunque la stessa.
Dunque la nostra falena ed il nostro falco per potersi avvicinare ad un
punto percorrendo una spirale logaritmica non devono fare altro che muoversi
in modo tale da vedere quel punto sempre nella stessa direzione rispetto
all'asse del proprio corpo.
Se qualcuno vuol provare il brivido di muoversi come questi animali,
potrebbe fare il seguente esperimento. Per prima cosa disponiamo un oggetto
(ad esempio un attaccapanni, o un portaombrelli) al centro della nostra
sala; poi ci mettiamo ad una certa distanza da questo oggetto; teniamo la
testa diritta, rivolta in avanti, e ci disponiamo in modo tale da vedere
l'oggetto inclinato di un certo angolo rispetto al nostro asse. Per non
complicarci troppo la vita possiamo scegliere un angolo semplice, ad esempio
la metà di un angolo retto, pari a 45 gradi. Oppure si può usare un angolo
di 30 gradi, che coincide con quella inclinazione che i piloti ed i
navigatori chiamano "a ore undici" oppure "a ore tredici", a seconda che si
tratti di un angolo inclinato a sinistra o a destra. Ecco, volendo usare
questo lessico (aero)nautico, possiamo dire che per raggiungere un punto
percorrendo una spirale dobbiamo fare in modo di averlo sempre "alla stessa
ora" rispetto a noi. Mettiamoci dunque in moto, e se saremo abbastanza
concentrati percorreremo con buona approssimazione una spirale logaritmica.
Per ottenere questo risultato non abbiamo avuto bisogno di conoscere la
geometria o la matematica, né di disporre fin dall'inizio del tracciato
"globale" della spirale. Non abbiamo fatto altro che ripetere
"meccanicamente" lo stesso gesto ad ogni passo: tenere sempre la stessa
inclinazione rispetto all'oggetto da raggiungere.
Non abbiamo bisogno di altro, e sopratutto - non abbiamo nemmeno bisogno di
avere un qualche *fine*, cioè di avere intenzione di raggiungere il punto
dato. Se qualcuno ci ordinasse semplicemente di camminare in modo tale da
mantenere un oggetto, che so, "ad ore undici", noi percorreremmo la nostra
bella spirale logaritmica fino a raggiungere il punto di riferimento, a
prescindere dal fatto che qualcuno ci avesse detto che lo scopo della nostra
traiettoria era quello di raggiungere quel punto.
Per comprendere che questo comportamento è "cieco" rispetto ai fini, basterà
tenere presente che la spirale logaritmica viene percorsa sia dal falco, del
quale effettivamente si può dire che "vuole" raggiungere la sua preda, sia
dalla falena, la quale invece segue tragicamente il suo destino di finire
bruciata sulla lampada incandescente. Si tratta in entrambi i casi di un
comportamento "meccanico", che si ripete "localmente" uguale a se stesso, e
che produce una certa traiettoria globale indipendentemente dal fatto che si
tratti di un comportamento finalizzato o meno.
Così ora siamo in grado di comprendere come fanno il falco e la falena a
percorrere una spirale logaritmica pur non sapendo nulla di matematica e
geometria.
Nel caso della falena possiamo supporre che milioni di anni di evoluzione
abbiano selezionato quelle falene (e quelle farfalle) che sono in grado di
muoversi  in linea retta tenendo la luna (o il sole) "alla stessa ora".
Infatti questi astri sono a tale distanza da noi, che un aereo che si
muovesse tenendo, ad esempio, il sole costantemente "a ore undici" si
muoverebbe con buona approssimazione su una retta. Si tratta dunque di un
comportamento "meccanico" che viene utile ai lepidotteri per potersi
spostare in linea retta, ovvero percorrendo il percorso più breve che unisce
due punti. Così la falena, che in passato è stata avvantaggiata dalla
capacità di muoversi "meccanicamente" con una angolazione costante rispetto
agli astri maggiori, da quella stessa "programmazione biologica" viene ora
indotta ad un comportamento suicida in presenza di sorgenti di luce
artificiali, poste a distanza raggiungibile.
Invece nel caso del falco ci basterà ipotizzare che la sua vista abbia la
massima acutezza ad un certo angolo laterale ottimale. Certo, il falco ad un
certo punto cala sulla preda "puntandola" in modo tale da averla esattamente
davanti al becco, ma prima, quando si avvicina da lontano, "gira attorno" ad
essa, probabilmente perché da lontano la vede meglio tenendola un po' di
lato piuttosto che avendola esattamente in mezzo agli occhi.
Cosa abbiamo imparato dunque?
Abbiamo imparato che applicando ripetutamente una "regola locale" molto
"semplice" (come è appunto l'"istruzione" di tenere un oggetto sempre alla
stessa angolazione) possiamo ottenere delle "forme globali" più "complesse",
che mostrano proprietà geometriche e matematiche di cui non sembrava esserci
traccia in quelle regole locali. Tant'è che, come abbiamo visto, per
applicare la regola locale basta ripetere molte volte di seguito ("passo a
passo") lo stesso gesto "stupido" di cui è capace anche un lepidottero,
mentre per avere un "disegno globale" dovremmo aver studiato i logaritmi!
Qualcosa di analogo possiamo dire per il nostro pallone, che avevamo
lasciato alle prese con le parabole e le sezioni coniche. Se noi
"differenziamo" una parabola troviamo che essa ha un comportamento "locale"
che è assolutamente semplice. Si dimostra infatti che per ottenere una
traiettoria parabolica è sufficiente che un oggetto si muova con
accelerazione costante diretta lungo la verticale e orientata verso il
basso. Il pallone non deve fare altro che "cadere con accelerazione
 costante", nello stesso modo in ogni punto della sua traiettoria ed in ogni
singolo istante, dopodiché si dimostra che la "integrazione" di questo
comportamento "locale" (ovvero "differenziale") produce appunto quella
particolare sezione conica detta parabola.
Fermiamoci a ragionare meglio su questo rapporto fra le proprietà "locali" e
quelle "globali".
Abbiamo visto, ad esempio, che la spirale logaritmica possiede a livello
globale alcune proprietà "mirabili", come ad esempio l'invarianza di scala.
Questa proprietà non la ritroviamo in un arco della spirale, e tanto meno la
troviamo in un singolo punto (per il quale non ha nemmeno senso parlare di
"ingrandimento") o in un intorno di esso. Né, a livello differenziale,
saltano fuori funzioni esponenziali o logaritmiche, poiché - come abbiamo
visto - ciò che si trova è che la derivata della distanza rispetto
all'angolo è direttamente proporzionale alla distanza, ovvero è data da una
costante moltiplicata per la distanza.
Dunque quelle proprietà che ci consentono di descrivere la spirale a livello
globale, non ci servono per descrivere la spirale a  livello locale, tant'è
che le proprietà globali non solo non sussistono a livello locale, ma in
alcuni casi non sono nemmeno definite o definibili. Se a livello globale la
spirale ha una serie di proprietà "mirabili", a livello locale essa ha
l'unica proprietà di essere ovunque inclinata di un angolo costante rispetto
alla una retta uscente dall'origine. Così quella descrizione che a livello
globale richiede una mente che conosca la matematica e la geometria più
sofisticate, a livello locale richiede semplicemente un comportamento
puramente "meccanico", reiterato "passo a passo" nel tempo.
E qui si pone un problema filosofico non da poco: come possiamo dire che
quelle proprietà "mirabili" sono presenti solo a livello globale (o potremmo
dire "macroscopico"), quando sappiamo che la spirale la si può ottenere come
"reiterazione" di proprietà locali (diremmo "microscopiche") che sembrano
non avere nulla di "mirabile"? Come è possibile che cento somari possano
fare un professore di matematica? Da dove "emergono" queste proprietà, nel
passaggio dal microscopico al macroscopico? Saltano forse fuori dal nulla?
Non dobbiamo invece ammettere che esse fossero presenti "in potenza" già a
livello microscopico?
Millenni di filosofia ci hanno insegnato a diffidare di domande di questo
genere, poiché conducono facilmente a perdersi in sofismi e filosofemi.
Alla fine si tratta semplicemente di mettersi d'accordo sui termini.
Vogliamo dire che un falena che non sa far altro che tenere una sorgente
luminosa ad una angolazione costante è già, "in potenza", un calcolatore
matematico in grado di calcolare logaritmi ed esponenziali? Bene, diciamolo
pure, purché poi non si pretenda la "meraviglia" (il _thaumazein_ dei greci)
di nessuno nel constatare che una falena possiede la "proprietà del calcolo
logaritmico". Se invece preferiamo dire che quella proprietà presente a
livello globale "emerge" nel passaggio dal locale al globale allora evitiamo
poi di piantare grane circa il fatto che ciò che è presente "in atto" in un
certo fenomeno deve essere presente "in potenza" nelle sue cause. Insomma,
la si racconti come si vuole, purché la si racconti sempre nello stesso
modo, sennò saltano fuori le contraddizioni, e a quel punto si può
dimostrare tutto e il contrario di tutto.
-- 
Saluti.
D. 

 D.
Un saluto,
Chérie 

 Ende, Storia infinita)
Vedi sopra :-)
-- 
Saluti.
D. 

 [...]
Non aggiungo niente alla discussione, solo una suggestione
http://it.wikipedia.org/wiki/Galassia_spirale
(o forse aggiungo qualcosa se si accetta che l'estetica in-formi la
ragione...)
Ciao
Ananke
-- 
Ognuno di noi e' ogni altro, ma da un diverso punto di vista
mailto: mgiovannini chiocciolina racine punto ra punto it

 
http://it.wikipedia.org/wiki/Galassia_spirale
Grazie, bella foto :-)
Pensa un po' cosa avrebbero detto Platone ed Aristotele se avessero saputo
che la Via Lattea aveva una forma "mirabile", della quale si potesse dire
«eadem mutata resurgo».
Per nostra fortuna non ne hanno saputo nulla ;-)
-- 
Saluti.
D. 

 Per nostra fortuna non ne hanno saputo nulla ;-)
Fortuna?...   ^__-


 D.
Un saluto e grazie per la delucidazione, non posso però risponderti da 
fisica,
già lo sai! ;-)
Chérie