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Titolo: Infinito e indefinito

Nei 'Principia Philosophiae' del 1644, Descartes afferma:
«26. non si deve mai disputare sull'infinito; ma quelle cose in cui non 
avvertiamo nessun limite, quali l'estensione del mondo, la divisibilità 
delle parti della materia, il numero delle stelle, eccetera, devono essere 
tenute soltanto per indefinite.
Così non ci affaticheremo mai in alcuna disputa sull'infinito; infatti 
essendo noi finiti sarebbe assurdo che determinassimo qualcosa riguardo a 
esso, e così cercassimo quasi di definirlo e comprenderlo. Non ci cureremo 
quindi di rispondere a quelli che chiedono se, qualora si desse una linea 
infinita, anche la sua metà sarebbe infinita; o se il numero infinito sia 
pari o dispari, e simili; poiché ci pare che a siffatte questioni non debba 
pensare nessuno, al di fuori di quelli che pensano arbitrariamente che la 
loro mente sia infinita. Ma non affermeremo che tutte quelle cose in cui 
sotto qualche rispetto non potremo trovare alcun confine sono infinite, 
bensì le considereremo come indefinite. Così, poiché non possiamo immaginare 
un'estensione tanto grande, senza intendere che ve ne può essere una ancor 
maggiore, diciamo che la grandezza delle cose possibili è indefinita. E 
poiché non si può dividere un corpo in tante parti, senza che s'intenda che 
queste singole parti sono ancora divisibili, riterremo la quantità 
divisibile indefinitamente. E poiché non ci si può figurare un numero di 
stelle tanto grande, senza credere che dio ne abbia potute creare ancora di 
più, supporremo indefinito anche il loro numero; e così per il resto.
27. Che differenza c'è tra indefinito e infinito
E queste cose le diremo indefinite piuttosto che infinite; sia per riservare 
a Dio solo il nome d'infinito, poiché in lui solo, da qualsiasi lato lo 
consideriamo, non soltanto non arriviamo a conoscere nessun limite, ma anche 
positivamente intendiamo che non ve n'è alcuno; sia perché non intendiamo 
altrettanto positivamente che le altre cose da qualche parte manchino di 
limiti, ma soltanto negativamente confessiamo che i loro limiti, se ne 
hanno, non li possimo trovare.»
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Il traduttore-curatore Cristofolini (L'edizione che ho qui è quella dei 
Classici - Universale Bollati Boringhieri) si precipita a correggere le 
possibili conclusioni del lettore, che egli teme pronto con ciò a vedere in 
Cartesio un negatore dell'infinito matematico, e a riprova porta la 
soluzione di Cartesio al paradosso dell'Achille di Zenone, nella quale egli 
si serve del concetto di convergenza della serie geometrica di ragione 
minore dell'unità (in cui termini sono "infiniti" per definizione, in quanto 
serie = 'somma di una successione infinita'). [Ma è interessante osservare 
anche la logica mediante la quale Cartesio rende immediata ed evidente la 
convergenza.](*)
A parte questa frettolosa preoccupazione del traduttore-curatore, che non mi 
sembra pertinente dato che l'infinito matematico è soggetto al rigore 
meccanico dell'induzione matematica e quindi non ha nulla che fare con 
l'infinito di "tutte quelle cose ecc."; a parte questo, dicevo, in questi 
articoli dei Principia ci sono non pochi spunti interessanti.
"Definire e comprendere" l'infinito è un non-senso, essendo noi finiti. 
(L'infinito matematico, in particolare, non è né definito né "compreso", 
infatti è solo una procedura, e le procedure non definiscono niente: neppure 
la procedura per costruire un muro definisce un muro.)
In realtà non è che Cartesio in questi articoli eviti il problema 
dell'infinito matematico, e non solo con i due esempi, geometrico (la retta 
divisa a metà) e aritmetico (il numero infinito pari o dispari, che sembra 
una battuta di spirito). Non lo evita anche dichiarando -- e con ciò 
togliendo il terreno di sotto i piedi a Cauchy, che non se ne è accorto più 
di un secolo dopo -- «Così, poiché non possiamo immaginare un'estensione 
tanto grande, senza intendere che ve ne può essere una ancor maggiore, 
diciamo che la grandezza delle cose possibili è indefinita.» (e il concetto 
di 'estensione' si applica certamente alle quantità e quindi anche ai numeri 
che le rappresentano.) In altre parole toglie a Cauchy dalle mani il suo 
criterio di definizione dell'infinito -- e come conseguenza 
dell'infinitesimo e quindi il concetto stesso di limite basato su questi due 
concetti.
Cartesio, insomma, ha capito che il grande e il piccolo non hanno alcun 
senso né in matematica né altrove, se non in termini relativi. (Ed è 
difficile farlo capire persino oggi, spesso a dei matematici che scrivono 
tanto di libri.)
Questa medesima relatività la troviamo nelle sue leggi del moto, cioè nella 
sostanziale negazione del moto assoluto -- e quindi del tempo assoluto. 
Newton non per nulla si è scagliato contro Cartesio, che ha -- non per via 
matematica, ma per via puramente logica -- formulato con estrema chiarezza 
il principio d'inerzia basandosi proprio sulla relatività del moto, con ciò 
superando anche Galileo, che sul problema si era impantanato senza mai 
arrivare al dunque.
Cartesio infine anticipa anche le preoccupazioni di Georg Cantor 
sull'attributo di 'infinito' applicato ad altro che a Dio, cui soltanto 
spetta «in termini positivi», come appunto scrive Cartesio nell'articolo 27. 
Alle altre cose di cui semplicemente non si possono trovare i limiti (cioè 
in termini negativi), va applicato l'attributo di 'indefinito'. Punto.
(*) Tuttavia Cartesio -- come molti dopo di lui -- con quel ragionamento non 
scioglie l'intrico del paradosso di Zenone, che non è quantitativo ma 
logico: se un ente è divisibile, allora è contraddittorio dire che è uno (un 
insieme unitario -- definito -- è infatti in tal senso un insieme molteplice 
in(de)finito, il che è contraddittorio); e questo paradosso non lo scioglie 
nessuno con qualche conticino aritmetico e neppure con l'analisi 
Newton-Leibniziana più sofisticata.
Il ragionamento di Cartesio tuttavia -- come sempre -- resta valido come 
metodo, perché non è meramente aritmetico: egli *mostra* senza calcoli di 
alcun genere il suo assunto. (Cartesio, pur matematico di rango che ci ha 
regalato la geometria analitica, non usa mai formule neppure nella sua 
fisica, ma solo il 'bon sens' che porta alle conclusioni senza formulette: 
poi qualunque certosino può formalizzare su qualche pallottoliere ciò che 
ormai è *capito* e *si sa come funziona*. Forse è questo aspetto che ha dato 
fastidio a Pascal, oltre che a Newton, anche se i maggiori meriti di 
Cartesio non sono né nella matematica né nella fisica ma nella... 
psicologia, come si sarebbe dovuto capire dal Discorso sul Metodo prima che 
da ogni altra opera.)
Saluti
qf 

 l'analisi Newton-Leibniziana più sofisticata.
ti inviterei a riflettere sul termine "immortalare"
usato in fotografia e cinema.
in rapporto all'essere ogni istante passato e
futuro è immortalato (congelato?) e quindi eterno
o meglio infinito nella pellicola del tempo.
Non pretenderai mica di conoscere attraverso
la scienza la fine del film, vero?
ciao
Massimo


Un saluto
qf

 qf
cari saluti
Massimo 

 ha scritto nel messaggio
news:VTBJk.83215$Ca.2...@twister2.libero.it...

Fino a prova contraria, il piano cartesiano è finito. E' solo il principio 
di induzione matematica, come ho già detto, a prospettare l'infinito 
matematico, che tuttavia a sua volta a mio parere è indefinito per la 
medesima ragione che ricorda Cartesio: «Non ci cureremo quindi di rispondere 
a quelli che chiedono se, qualora si desse una linea infinita, anche la sua 
metà sarebbe infinita» ("qualora si desse" mi pare esplicito: qualora si 
desse, ma non si dà, nel significato di "non ha senso").
La rappresentazione cartesiana in cui in ascisse c'è l'asse dei tempi non 
dimostra che il tempo esiste, ma dice solo che _nella nostra mente_ esiste 
una dimensione temporale e che siamo in grado di rappresentarla 
graficamente. La dimensione temporale della mente è la memoria, con la sua 
estrapolazione nell'ipotesi di futuro (progetto, speranza ecc., come ci 
ricorda sant'Agostino)
Che il tempo sia un fatto oggettivo -- a parte il fatto che non è 
dimostrabile, dato che nel presente esiste lapalissianamente solo il 
presente -- richiederebbe premesse altrettanto "oggettive" decisamente 
paradossali. Per esempio richiederebbe che fosse il mutamento a generare il 
tempo che in sé non esiste (come sostiene qualche fisico), ma il mutamento 
come lo si valuta, se non nel "tempo" mentale, dato che siamo testimoni solo 
del presente?
Quello del tempo è un problema cruciale davanti al quale la filosofia si è 
fermata attonita, mentre la scienza ha invece glissato fidandosi degli 
orologi svizzeri e delle fotocamere giapponesi :-)
Invece io penso che, se non si risolve in modo logicamente ineccepibile quel 
problema, tutto il resto rimane senza fondamento.
Un saluto
qf 

 qf 

Esistono eventi che si ripetono periodicamente. Se qualcuno si mette a
contare
quante volte uno di questi eventi si è ripetuto allora ottiene una
misura e questa misura
in certi casi è il tempo. Negare che il passato esista vuol dire
negare che gli eventi la cui
ripetizione ci fornisce la misura che denominiamo tempo non sono
esistiti fino ad oggi ma
che per non so quale ragione abbiamo l'evento attuale senza le sue
ripetizioni.
Ciao

 quel problema, tutto il resto rimane senza fondamento.
Che significa "tutto il resto..."? Che la vita non esiste più? Il mondo non 
esiste più? Io non esisto più? Dio non esiste più?
E poi, perché dobbiamo per forza risolverlo in maniera logicamente 
ineccepibile? Perché tutto quello che esiste dovrebbe obbedire alla nostra 
logica, e per giunta in maniera ineccepibile? 

 logica, e per giunta in maniera ineccepibile?
Quando si dice che una cosa è senza fondamento, evidentemente si fa 
riferimento al pensiero riguardante quella cosa. Il che non significa che la 
cosa non esiste (e comunque il dubbio può sempre esserci: potrebbe essere un 
ologramma o un'allucinazione).
Quindi le conclusioni che tu trai qui sopra dall'inconsistenza del tempo 
inteso come nell'attuale credenza sono soltanto tue. Legittime, 
intendiamoci, ma non hanno niente a che vedere con il mio punto di vista.
Circa la logica ineccepibile, di nuovo, perché fare confusione fra le cose e 
ciò che pensiamo delle cose? E' di nuovo un tuo modo personalissimo di --  
scusami -- travisare ciò che dico.
La logica riguarda ciò che pensiamo noi, la quadratura di ciò che la nostra 
mente elabora, senza affatto la pretesa che il mondo debba obbedire alla 
nostra logica. Che conta è che ciò che pensiamo, corrispondendo decentemente 
alla realtà, renda il rapporto con la realtà appunto realistico e cioè non 
dissociato.
E' un fatto che quando abbiamo una logica ineccepibile su qualcosa, noi ne 
abbiamo la gestione (in bene o in male è altra questione).
Allora, dove è andata a finire la "fecondità" se non vogliamo la logica?
Ti pare che qualcosa che non ha alcuna logica possa veramente essere 
"fecondo", e proprio nei termini tuoi, che pretendi dalla "fecondità" delle 
teorie l'aumento delle pensioni?
Saluti
qf

 che mi dice il filosofo?
Forse il filosofo direbbe che bisognerebbe capire che cosa si intende con 
"non esistono".
Nel senso che non si vedono perché è giorno? (ma in tal caso si vede il 
sole, che è una stella; ma forse è nuvolo e non si prende neanche la tivù 
satellitare :-)))
O nel senso che non ci sono proprio?
Qualcuno sostiene, per esempio, che se non c'è un osservatore umano non 
esiste niente.
Insomma la cosa, buttata lì così, non ha un significato preciso su cui si 
possa discutere.
La filosofia ha bisogno di termini ed espressioni non rigidamente 
codificate, come la matematica appunto, ma perlomeno ragionevolmente 
comprensibili.
Se chi ha pronunciato quella proposizione ce ne chiarisce il significato, se 
ne può discutere. E può essere interessante.
Un saluto
qf

 Allora, dove è andata a finire la "fecondità" se non vogliamo la logica?
La fecondità della credenza nell'esistenza del tempo è indubitabile. Se il 
mondo fosse atemporale non esisterebbe movimento, mentre tutto quello che 
facciamo noi è movimento. 

 quello che facciamo noi è movimento.
Conclusione priva di logica, perché -- a parte la sua natura pregiudiziale 
di petizione di principio -- qualunque fisico ti dirà che il tempo dipende 
dal movimento e non viceversa. E ti dirà anche che nel presente -- essendo 
esso cronologicamente inesteso -- non è pensabile alcun movimento. Magari 
poi ti porterà l'analogia del cinema e della sequenza di "fotogrammi", come 
Russell, ma che si tratta di un'arrampicata sugli specchi è fin troppo 
palese: infatti solo la memoria giustifica la percezione del movimento. Ma 
non lo dimostra affatto.
Attenzione alle petizioni di principio e ai ragionamenti circolari basati su 
presunte "evidenze".
E' proprio su questo fronte che Cartesio inizia la sua critica. E --  
guardacaso -- è proprio sulla base di questa critica che è nata la scienza 
come la intendiamo noi oggi, anche se tale critica non è ancora arrivata fin 
dove può arrivare.
Saluti
qf 

 fin dove può arrivare.
Quando ci sarà arrivata, cosa di cui dubito, ne potremo riparlare.

 qf
saluti locali
Massimo 

 il sole.
Appunto il sole (tempo solare) e le stelle (tempo siderale) con il loro 
movimento relativo al meridiano fungono da orologi: ma non c'è un "tempo": 
c'è un mutamento di posizione rispetto alla verticale passante per 
l'osservatore seduto sul meridiano (non sulla meridiana :-))
Saluti atemporali
qf 

 come riferimento temporale.
Infatti il tempo e il mutamento sono due cose che non possono esistere l'una 
senza l'altra, per cui possiamo anche dire che sono due nomi di una cosa 
sola.
Guarda caso, l'unità di misura dello spazio è anche unità di misura del 
tempo: un secondo è uguale a non so quante oscillazioni dell'atomo di cesio 
133 (mi pare qualche miliardo). È un modo pratico di interpretare la 
concezione di Einstein, secondo cui il tempo è una quarta dimensione dello 
spazio.
Il tempo è dunque quella nostra esperienza o costruzione mentale che ci 
permette di paragonare le oscillazioni di un atomo di cesio a un giorno 
solare o al percorso del treno Milano-Napoli.
È un po' come il concetto di valore o prezzo in economia. Io non posso 
paragonare o sommare due cose diverse, come ad esempio le mele e la carta 
igienica. Però un negoziante le può sommare o paragonare, usando i prezzi; 
quindi dirà: oggi ho venduto 50 euro di mele, 40 euro di carta igienica, 30 
euro di non so che altro, ...., e quindi in totale 1000 euro.
Ora forse mi chiederai: ma il valore e il prezzo sono una cosa che esiste? 
Se non esistono, e se diamo validità al paragone, allora anche il tempo non 
esiste.
Secondo me questa domanda è un'astruseria metafisica. Prezzi e valori sono 
concetti utili, derivati dalla nostra esperienza e costruiti dalla nostra 
capacità di astrazione. Perciò li usiamo.
Anche il tempo è un concetto utile, derivato dalla nostra esperienza e 
costruito dalla nostra capacità di astrazione. Perciò lo usiamo; perché è 
fecondo.

 filosofiche). 
Aggiungerei il buon Severino: dire che non esiste il divenire significa 
dire che non esiste il tempo. Il pensiero del bresciano si basa appunto 
sull'assunto parmenideo dell'essere indiveniente.....

 sull'assunto parmenideo dell'essere indiveniente.....
Non significa necessariamente la stessa cosa; perciò ho escluso prima di 
tutto Parmenide -- cui Severino si ispira esplicitamente.
Secondo il modello, per esempio di Russell e di alcuni (pochi) fisici 
moderni, il tempo è "quantizzato", ossia fatto di "istanti" immutabili in 
quanto tali, ma snocciolati su una sorta di cronotopo alla Minkowsky. In tal 
senso, esisterebbero sia ogni passato sia ogni futuro, mentre il presente 
sarebbe solo uno dei possibili punti di vista su di esso, un po' come il 
puntamento su un diagramma cartesiano con il tempo in ascisse.
Questo sarebbe appunto un modo per dire che non esiste il divenire ma esiste 
il tempo.
Io, con Agostino d'Ippona e pochi altri, sostengo invece che il tempo non 
esiste proprio, ma esiste solo la memoria nel presente, presente che è la 
sola realtà esistente.
Ah, per inciso: non esistono teorie sul tempo che siano confutabili, perciò 
nessuna di esse ha il carattere della scientificità, almeno secondo Popper. 
E questo è un fatto grave, perché, se ha ragione Popper (e la scienza ci 
tiene a che abbia ragione, per paura della metafisica), inficia tutte le 
teorie in cui entra il tempo. In fisica, tutte, a cominciare dalla teoria 
del big-bang, dato per "inizio del tempo".
Un saluto
qf 

 qf
Che la fisica nasconda postulati metafisici l'ho sempre sospettato: 
nessuno ha mai saputo spiegarmi non tanto *come* agisce la gravità ma 
*cos'è* la gravità. Non sto scherzando: perchè due corpi si attraggono?
Non voglio sapere con quanta intensità si attraggono, quale relazione ci 
sia tra questa intensità, le masse in gioco e la loro distanza; domando 
proprio perchè avviene questo (ho sentito parlare di 'gravitoni' ma 
sento odor di metafisica....)
'notte.

 odor di metafisica....)
Il gravitone lo stanno cercando da tempo immemorabile, come il bosone di 
Higgs e i transuranici della tavola di Mendeleev.
Il ciclotrone di Ginevra lo hanno costruito apposta per chiarire questi 
aspetti curiosi dell'esistenza: cioè per capire perché le mele cadono dagli 
alberi quando si batte la testa contro il tronco (come è capitato a me la 
settimana scorsa, non solo a Newton: ho ancora un occhio nero :-))
Ciao
qf