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Titolo: Sulla questione dell'infinito

Qualcuno afferma tuttora, non solo Zenone nell'antichità, che il 
continuo ha la proprietà di essere divisibile all'infinito, ma ciò 
implica che ogni esito della divisione è divisibile a sua volta 
all'infinito, così che gli infiniti si sprecano, diventando a loro volta 
infiniti, tanto che neppure Cantor riuscirebbe a contarli e 
classificarli, con tutta la sua buona volontà.
 
Naturalmente, come qualcuno ammette,questa operazione di divisione è 
tutta mentale, come i numeri stessi, quindi non rispecchia alcuna 
realtà. In altre parole, è paradossale.
 
Come sembra evidente, dunque, la transcodifica dalla realtà - se la 
realtà è continua, ma c'è da capire come - verso la dimensione mentale - 
continua a sua volta ma solo apparentemente e palesemente paradossale - 
è un processo che, per necessità o per errore, omette qualcosa di 
determinante che rende radicalmente diverso il continuo mentale dal 
continuo reale.
 
Innanzitutto il continuo mentale è del tutto artificioso, essendo 
associato al mondo dei numeri, che è artificioso in essenza. La mente 
concepisce prima di tutto l'unità e come conseguenza il molteplice - 
nozioni biologiche elementari necessarie per la sopravvivenza e non 
ricavate da una qualche accademia dell'aritmetica. Una volta avvenuta 
l'associazione con i numeri il paradosso è servito, perché compare 
subito il paradosso primario dell'infinito. Si può contare all'infinito, 
dunque l'infinito 'esiste'. Solo che è un infinito numerico, cioè 
inesistente. Pura ingenuità, dunque, che proietta poi sulla realtà 
questo paradosso, proiettandolo su achilli, tartarughe, frecce e 
quant'altro, finanche sull'autostrada del Sole :)
 
Non che non possa esistere un infinito reale, ma ovviamente lo si può 
solo affermare e persino intuire, non certo dimostrare. Ma il punto non 
è questo: il punto è il concetto di continuo mentale rispetto al 
continuo reale. Che il primo non sia nulla è evidente. Ma il secondo?
 
Forse non avevamo capito che Zenone con i suoi giochi voleva farci 
capire questo, che cioè la realtà, a dispetto di Pitagora e quant'altri, 
non ha niente a che fare con i numeri della nostra mente. Forse ci ha 
fatto uno sgambetto, che Zenone sapeva che sarebbe durato millenni 
mettendo in moto tutte le vette della filosofia e della matematica.
 
Questo mi sembra abbastanza evidente, ma resta la domanda: in che cosa 
consiste il continuo della realtà, così malamente trasdotto dalla 
percezione e dalla sua elaborzione per buttarlo poi nel crogiolo 
astratto e insignificante dei numeri?
 
Consiste nella sua indivisibilità.
 
Ciò che è continuo nella realtà è indivisibile, se non in termini di 
macelleria, come del resto noi tutti sappiamo bene. Se qualcosa di 
continuo viene "diviso" se ne annulla ben più che l'identità: se ne 
annulla il ciò *che è*, ossia, dopo, non c'è più alcun continuo ma delle 
spoglie prive di senso, su cui applicare l'aritmetica è solo assurdo per 
non dire peggio.
Nella mente si può dividere tutto quello che si vuole quanto si vuole: 
nella realtà non si può dividere nulla che appaia continuo (ossia 
integro), perché perde esistenza. Dunque, diviso una volta non si può 
dividere più. Neppure il cosiddetto vuoto si lascia dividere, perché la 
divisione (reale) lo annulla come vuoto, essendosi introdotto lo 
strumento (reale) di divisione, non il sussiegoso concetto astratto di 
"sezione del campo razionale" di dedekindiana memoria.
Questo è lo sgambetto della percezione che ha consentito il gioco 
ammiccante di Zenone.
 
Ma, come ho già detto, Zenone negando il movimento non ha bisogno di 
questo sgambetto, ma solo di prendere atto che esiste solo il presente, 
che in quanto tale è ovviamente immobile, immutabile, potendo essere 
solo quello *che è*. E Zenone sa anche di sicuro che la percezione di 
movimento è dovuta alla memoria. Nel presente e senza alcun bisogno di 
numeri.
 
C'è in circolazione da millenni una sorta di venerazione per i numeri, 
per certi versi ammirevole e certamente utile, almeno per la tecnologia: 
probabilmente Zenone, benché da alcuni definito pitagorico, ci scherzava 
da altrettanti millenni. Allora guai a toccare il mondo dei numeri che 
appartiene all'Accademia, al mondo delle idee e persino al divino: 
anatema! Una condanna, benché a sua volta virtuale, peggiore di quella 
di Socrate:)
Solo che i coltelli virtuali nulla possono contro ciò che è reale, 
contro ciò che è "ontologicamente" ovvio - non virtualmente ovvio in 
quanto vuoto, come l'aritmetica.
 
Sembrerebbe che Zenone, a modo suo, sia riuscito a dare una sorridente 
definizione del nulla.
 
Omega

 continuo reale.
 
Basta dire che il continuo. mentale o reale che sia, *non è fatto* di punti.
 
L'assunto che il continuo sia costituito di punti porta a degli irrisolvibili paradossi, a cominciare dalla geometria (i più noti sono quelli di Zenone). 
Un segmento, si dice, è un continuo costituito da un numero infinito di punti: tra due punti distinti di un segmento, per quanto vicini tra loro, ce ne sono infiniti altri.   
Ad ogni punto di un segmento, fissato un numero reale per un estremo, diciamo zero, ed un altro per l'altro estremo, diciamo uno, ad ogni punto del segmento si fa corrispondere un numero reale in successione, ed i numeri reali tra zero ed uno sono infiniti. 
Ma se anziché al numero uno avessimo fatto corrispondere il secondo estremo al numero due, associando ad ogni punto un numero reale avremmo numerato una quantità doppia sempre infinita di punti, dovendo aggiungere ai numeri reali compresi tra zero ed uno quelli compresi tra uno e due. 
 
Basterebbe questo per concludere che il continuo non può essere fatto di punti, ma si potrebbe continuare ad argomentare, per esempio con la corrispondenza biunivoca tra tutti i punti di due segnanti di lunghezza diversa, da cui risulterebbe che contengono entrambi lo stesso numero infinito di punti, o semplicemente con la corrispondenza bionica tra i punti di un segmento ed i numeri reali che dà lo stesso numero infinito che risulta considerando il sottoinsieme dei numeri razionali o dei numeri irrazionali, anch'essi entrambi insieme continui nel senso che tra due elementi dell'insieme per quanto vicini ce ne sta sempre un'infinità. 
Questa definizione di continuo fa a pugni con quello di "punto di discontinuità": se io tolgo un  punto da un segmento - e secondo  l'operazione della detta corrispondenza biunivoca ciò ha un senso, perché posso ben non considerare un dato numero, razionale o irrazionale che sia, dell'insieme dei numeri reali - quel punto si chiama "punto di discontinuità". 
Quindi avremo un continuo con un punto di discontinuità: se io considero solo l'insieme dei numeri razionali ed i punti ad essi corrispondenti in segmento, il quale, per la definizione sopra data, è un continuo, tutti i punti corrispondenti ai numeri irrazionali sono punti di discontinuità: evidente contraddizione logica. 
 
Credo che tutti i problemi nascano, come detto, dalla considerazione dello spazio - che abbiamo e/semplificato con quello ad una dimensione - come un insieme di punti, per quanto infiniti. 
Il punto sarebbe comunque "una parte" del tutto, e lo sarebbe nello stesso senso in cui un segmento più corto intercettato in quello dato è una parte di esso, affermazione, questa, che non intacca la continuità reale  del segmento, che noi possiamo benissimo immaginare formato di parti quando diciamo "è lungo dieci centimetri" pensandolo, per l'appunto, diviso in dieci parti: ma lui, è "obiettivamente" composto di dieci parti? No di certo, perché può arrivare uno e dividerlo in venti parti. 
E' come una canna di bambù? 
No di certo. 
E piuttosto come un'asta liscia sulla quale traccio a distanze uguali l'uno dal successivo dei segni col pennarello:  quell'asta, prima continua, diventa discreta? 
Meglio ancora, non traccio dei segni col pennarello:  ci attacco sopra dei piccoli adesivi a distanze uguali, o - costo zero - indico solo col dito, senza contatto, dei punti *sull*'asta. 
Ed è quello che facciamo quando usiamo i numeri, riferendoli - facendoli corrispondere - ai "punti" di un segmento. 
Basti dire che un  "punto" del segmento, qualsiasi punto, *non sa* se corrisponde ad un numero razionale, intero o frazionario, o ad un numero irrazionale,  trascendentale o non. 
 
Io credo che la parola chiave per chiarire la questione sia *luogo*. 
 
Si consideri un piatto deserto di sabbia, senza oasi o piste, o un vasto prato omogeneo. 
Se circoscrivo col penserò, con la vista, o indicandola con un dito - magari in opportuno moto - se voglio comunicare ad altri l'oggetto della mia attenzione, una determinata area, una zona più o meno estesa, avrò indicato un "luogo". 
Ma non si può certo dire, non ha senso, che il deserto ed il prato *sono fatti* di luoghi. 
A meno che io, come Romolo, non recinti, non scavi un quadrato conl'aratro per costruirci dentro una città eterna, non pianti nel deserto delle palme per far diventare quel luogo una concreta e confortante oasi. 
E' la differenza fondamentale tra geografia fisica e geografia politica che, almeno ai miei tempi, insegnavano a scuola, in ispecie quando i confini di uno stato cnon seguono i corsi dei fiumi, l'andamento delle coste o le linee di displuvio dei crinali montuosi. 
La rappresentazione, l'indicazione di un luogo non è la rilevazione di qualcosa di già esistente oggettivamente, nel senso che l'"ente" punto, qualcosa  di realmente differenziato nel continuo (ecco di nuovo la contraddizione), c'era anche prima che fissassi lì la mia attenzione: in un certo senso è una mia creazione, che è un altro modo di dire "astrazione", che è si un"estrazione", ma del tutto ideale. 
Anche Michelangelo "estrasse" la Pietà dal marmo: ma prima che lo facesse, c'era, dentro, la Pietà? 
Di certo no, anche se lui, per modestia evidentemente, o semplicemente per dar l'idea della sua formidabile ispirazione - della quale non si può vantar merito -, diceva di sì. 
A ben guardare, lo conferma il concetto stesso di "luogo geometrico" usato per definire gli oggetti geometrici, le curve sul piano ma non solo. 
Il punto è il più semplice luogo geometrico. 
Un esempio. 
Il centro di una circonferenza è il luogo geometrico dei centri di curvatura della circonferenza (la sua evoluta): non abbiamo usato la parola "punto". 
Nell'espressione "luogo puntiforme" il concetto della dimensione zero viene trasferito nell'aggettivazione "puntiforme"  che significa, per l'appunto, "a dimensione zero". Ma di che si sta parlando? A che cosa si attribuisce tale dimensione nulla? 
A qualcosa che solitamente viene chiamata "punto", come uno può essere chiamato Giuseppe senza con questo aggiungere nulla alle informazioni sostanziali che lo riguardano, età,  statura ecc.. 
Il sostantivo è "luogo", "posto", che sta ad esprimere un concetto diverso, anche se si specifica che è puntiforme, da quello di punto. 
Si pensi, per intendere la differenza tra i due concetti, all'informazione contenuta nell'espressione:"Il punto occupa un posto, è in un luogo: è lì, a meta strada...", che implica che Il luogo può essere anche vuoto, il punto può non esserci. 
 
I punti di una curva occupano un luogo geometrico assegnato dalla regola, che riserva i  posti, non altri luoghi, ma non perderemmo un bit di informazione se non facessimo occupare al punto il luogo - i seggiolino puntiforme - di competenza, se lo considerassimo vuoto. 
Nella fisica delle particelle sono considerate particelle a tutti gli effetti dei vuoti interatomici,  chiamati "lacune", che sono soggetti a forze e "si muovono" nella materia come se fossero realmente delle particelle, ma non facciamoci distrarre. 
Il punto è *concretezza*, il luogo puntiforme è un'astrazione: da notare che ho messo tra virgolette solo "concretezza", trattandosi comunque di astrazioni, ma di diversi ordini. 
Il punto è *concreto* quando è isolato: per esempio il centro di una circonferenza o, in generale, i fuochi delle coniche, anche se non appartengono ai rispettivi luoghi geometrici, che non sono puntiformi, ma linee, curve. Forse anche gli estremi di un segmento, o i vertici di un poligono. 
O forse no. 
Se togliamo gli estremi, i "punti estremi", ad un segmento la sua lunghezza diminuisce? 
Un matematico cui ho posto la domanda mi ha  detto di no,  a confermare, con un nuovo paradosso che il segmento non può essere fatto di punti, non può essere un insieme di punti, se non s'accorge che gliene abbiamo tolti. 
Già non veniva meno la sua continuità togliendogli quantisivolessero punti, ora non viene meno nemmeno la sua lunghezza togliendogli capo e/o coda. 
Se si cerca di definire la continuità facendo uso del concetto di punto  e di numero infinito, con la conseguente affermazione che per quanto vicini siano due punti tra di essi ce ne sarà ancora un'infinità, la freccia di Zenone non raggiungerà mai il bersaglio, ed Achille la tartaruga, come sappiamo, perché per quanto breve sia la distanza che resta da percorrere essa sarà sempre divisibile in parti a loro volta sempre divisibili, all'infinito. 
Perché la freccia raggiunga il bersaglio bisognerebbe che alla fine delle divisioni per due del tratto rimanente ci fossero due punti a contatto tra loro, distanza nulla. 
Cerchiamo allora di costruire un segmento partendo da un  punto che, se ci andrà bene,  sarà uno dei due suoi estremi. 
Gli mettiamo a contatto, a distanza nulla, senza spazio vuoto, un secondo punto: si sovrapporrà perfettamente al primo: due punti a contatto sono un solo punto, e siamo - letteralmente - al punto di partenza, per cui cercando di mettere a contatto un terzo punto, o meglio quello che doveva essere il terzo punto - ci ritroveremmo nuovamente con un solo punto. 
Ripetendo un numero infinito di volte l'operazione avremo sempre e solo un punto. 
Quindi il segmento non può essere fatto di punti, quantomeno di punti a contatto tra loro in successione, ma se non sono a contatto tra loro c'è spazio vuoto, e quindi non sono, nel segmento, infiniti, il che contraddice l'assunto della infinità, oltre a quello della continuità. 
 
In estrema sintesi. 
La linea continua non può essere fatta di infiniti punti perché essi, o sono a contatto, ed in questa ipotesi non avremmo la linea, ma avremmo solo il punto, o non sono a contatto, ed allora non potrebbero essere infiniti e la linea non potrebbe essere continua. 
Tertium non datur. 
 
Così, passando alle due dimensioni, il piano non può essere fatto di linee, parallele se rette, a contatto; si sovrapporrebbero ed avremmo sempre la linea di partenza. 
E così passando alle tre dimensioni con la pretesa di ottenere un volume impilando piani: avremo sempre e solo il piano di partenza. 
Il fatto che il concetto di linea composta di  punti sia solo il risultato di un'operazione mentale è suffragato dalla considerazione, di carattere psicologico, che la medesima operazione condotta partendo dalla linea per ottenere il piano e dal piano per ottenere il solido appare artificiosa; personalmente non l'ho mai sentito dire. 
Il matematico ed il geometra accetteranno il fatto che una linea è fatta di infiniti punti, ma saranno riluttanti di fronte alla pur necessariamente conseguente idea del piano fatto di infinite linee parallele e del solido fatto di infiniti piani paralleli. 
 
Ribadiamo. 
Basta dire che non è vero che una linea continua è fatta di punti, siano essi anche infiniti. 
La linea, il piano, lo spazio non sono  insieme infiniti di punti: questa affermazione è il frutto della fervida immaginazione delle menti studiate di filosofi matematici e geometri. 
Un bambino sa bene cos'è una seri dei punti, che  segna agli incroci delle righe orizzontali e verticali del quaderno a quadretti della prima elementare, prima ancora delle aste, disegnate nella seconda metà della prima pagina di quel quaderno (lo conservo ancora) prima lungo i lati verticali dei quadretti poi in diagonale, senza guida. 
Nell'immaginario e nella percezione del bimbo, nonché nell'esecuzione del compito, la segnatura del punto ed il tracciato della linea sono due cose, due operazioni, completamente diverse: quando fa scorrere sulla carta la punta della matita, per quanto affilata, non pensa assolutamente di mettere in fila, stretti stretti uno accantor (sic) all'altro, a contatto, dei  punti come come quelli, che pure ha sotto gli occhi nella metà in alto della pagina, che ha disegnato prima. 
 
Egli semplicemente, anche se la maestra non gli ha ancora insegnato la parola (nè lo farà mai, è materia del liceo ), mentre traccia quelle aste, e finito il lavoro, magari le osserva compiaciuto, concepisce la *continuità*, e ne capisce *tutto* qualche c'è da capirne. 
Chi, uomo maturo, crede di capirne di più si illude, sbaglia: come per lo spazio, il tempo, il moto ed il luogo, ha imparato quel che c'era da imparare all'asilo, ed anche prima. 
 
Se saltasse fuori qualcuno a dire che se ne può saper di più, e fosse creduto, sarebbe una specie di Dio in terra. 
 
E così è stato con Albert Einstein et al., dell'Olimpo del Novecento. 
 
In conclusione, il continuo è un concetto primo, una categoria  a priori della mente, non riducibile ad altro: così come lo spazio, il tempo, il moto ed il luogo, e come insegnava Newton, non hanno bisogno di definizione. 
Noi qui abbiamo riferito la continuità allo spazio ed alle sue tre dimensioni, ma chiaramente può essere riferita anche al tempo, unidimensionale, ed al moto (che presuppone spazio e tempo, ben separati). 
Il Continuo quindi va aggiunto a questa lista: si tratta per la verità di una precisazione, poiché nei concetti di spazio e di tempo è implicito quello di continuità, che ne è una proprietà: a maggior ragione quindi non ha bisogno di definizione, non essendo definiti i concetti gli "enti" a cui viene attribuita. 
 
Luciano Buggio 
www.buggio.wixsite.com/lucianobuggio
 

 classificarli, con tutta la sua buona volontà.
 
Permetti una correzione? Per come dici qui non ci sono affatto infiniti 
infiniti, ma un unico infinito che ha la cardinalita' dei naturali, 
cioe' Aleph0, per quanti vuoi sottoinsiemi infiniti dei naturali. Per 
avere almeno 2 infiniti devi considerare l'insieme potenza dei naturali, 
cioe' 2^Aleph0. Poi puoi farci tutta l'ironia che vuoi, ma parti col 
piede giusto, altrimenti cosi' mi allunghi all'infinito l'autostrada del 
sole!:-); questo lascialo fare a Zenone:-).
Ciao,
Loris

Il 06/02/20 12:03, Omega ha scritto:

Oltrepassando la teoria della RG (Relatività Generale) di Einstein, ho 
giusto dovuto dare una giustificazione se veramente tale teoria sia nel 
continuum.
 
Come forse qualcuno sa Einstein, grazie all'aiuto prevalentemente di 
Livi Civita in merito al calcolo tensoriale, descrive delle equazioni 
nel continuum secondo gli intendimenti originari degli Autori (Einstein 
per la interpretazione fisica, Levi Civita per avere formulato la RG 
nell'ambito delle trasformazioni tensoriali).
 
Si noti che lo stesso Einstein aveva visto il comportamento di come 
agiva la gravitazione "visivamente" -nella fisica- e non padroneggiava 
la matematica, e quindi la matematica se la è dovuta fare spiegare.
 
Il trucco introdotto dai matematici (Levi Civita ha avuto professore 
Ricci Curbastro, e costui ha avuto a riferimento Eulero nel suo discorso 
epistolare con Lagrange per studiare la novità del calcolo delle 
variazioni dei funzionali a cui da la soluzione Lagrange,dopo i primi 
lavori di Eulero) ..
 
Il trucco introdotto, dicevo, consiste nel separare -guarda un po'- lo 
spazio dal tempo, come se ciò fosse possibile nel moto!
 
:-)
 
Ci sono riusciti?
 
Sì, ma appunto utilizzando un trucco, ed ora spiego quale è, per chi 
avrà la voglia di starmi a sentire.
 
Minkowski, professore di Einstein, diceva che vi era nel nostro 
laboratorio 3 coordinate spaziali, e 1 temporale.
 
Purtroppo nelle misure del tempo di vita media delle particelle che 
arrivano dal cosmo .. come i muoni .. il tempo di vita media cambia a 
secondo della velocità di ingresso tramite la formula seguente:
 
t=tau/sqrt(1-v^2/c^2)
 
dove
t= è il tempo misurato nel laboratorio su ciò che succede al muone (ad 
esempio quanto è lunga la sua vita)
 
tau= è il tempo di vita se viaggiassimo sul muone (o di chi avesse una 
astronave per viaggiare in prossimità della velocità della luce v=c)
 
De facto se v=0.998*c
 
t=15tau
 
da cui se tau=tau0 nel caso dei muoni, dal laboratorio misureremmo che 
il muone sopravvive con una vita tau moltiplicata per 15 volte.
 
Questi i dati sperimentali a cui si voleva dare una interpretazione.
 
La interpretazione, che poi si estrinsecava dopo calcoli molto lunghi 
che non vi rifaccio, diceva che è possibile descrivere matematicamente 
il fenomeno ma in ipotesi
 
1) che la velocità della luce  non fosse superabile.
 
2) che x,y,z,t fossero variabili indipendenti.
 
Almeno questa era la spiegazione dell'epoca e lo è anche oggi .. se 
trascuriamo .. Amadori (fisico) Lussardi (matematico) ed io (e forse 
pochi altri che si interessano di software applicato alla fisica).
 
Infatti, Amadori, Lussardi ed io, abbiamo utilizzato un software che 
porta il continuum alla modalità di Newton,e cioé alle differenze 
finite, e quindi quantizzando, e troviamo la orbita che descrive una 
particella che sotto l'azione di un campo gravitazionale è prossima alla 
velocità della luce (perché a velocità ordinarie il tempo sembra 
scorrere senza variazioni significative).
 
Che cosa trovano -come scoperta innovativa- coloro che provassero a 
simulare a livello di un software le equazioni?
 
A) che se non poni la velocità v=costante tra un campionamento ed il 
successivo, le soluzioni non sono calcolabili.
 
B) Non sono calcolabili perché in
 
t=tau/sqrt(1-v^2/c^2)
 
t dipende da v=spazio/tempo e quindi il tempo dipende dalla velocità che 
però dipende dal tempo e quindi il tempo che dipendesse da se stesso 
sarebbe NON calcolabile.
 
quindi nella formula precedente v=/=v(t)
 
ma è v=vi
dove vi è un valore costante durante l'intervallo di campionamento.
 
Cioé si prende il valore più vicino alla situazione precedente e si 
tiene "fermo" mentre si calcola il valore successivo.
 
E' come se il moto di un corpo si muovesse a scatti, e quindi non compie 
infiniti punti per muoversi tra due dati.
 
La suddivisione dello spazio avrà un intervallo di un numero finito di 
punti e in tali intervalli intermedi la calcolabilità è possibile solo 
se si tengono ferme le condizioni iniziali assunte dal campionamento 
precedente come status originario del sistema a cui applicare la 
dinamica come sosteneva Laplace.
 
Riassumendo nel calcolo effettivo, e non teorico, una orbita di un corpo 
non è calcolabile se non quantizzando il sistema che in astratto era 
nelle equazioni nel continuum, ma non darebbe un valore alla soluzione 
al sistema poiché il sistema alle derivate parziali non ha una soluzione 
esplicita, ma solo iconica, (scrivendo le equazioni nel continuum) di 
cui non sapremmo i punti per cui passa la massa m che orbita attorno 
alla massa M, con m < M .. solo dal guardare le equazioni .. ma tali 
equazioni vanno risolte nel sistema che le mostra .. risolte come ? .. 
ad esempio alle differenze finite.
 
La famosa unificazione tra la teoria quantistica e la teoria del 
continuum di Einstein aveva avuto una unificazione e non lo sapevamo ..
 
:-)
 
Ora ripresici dalla meraviglia possiamo però chiederci ..
 
Perché la matematica astratta ci propone il continuum e la matematica 
concreta eseguita da elaboratori tramite la elaborazione numerica ci 
propone la quantizzazione?
 
1) perché i computer sono digitali, e cioé hanno una base di 
rappresentazione quantizzata.
 
2) la cognizione conoscitiva effettiva non è una quantità di info 
infinita, ma con un numero di cifre limitato.
 
Se il quantum min diminuisce le info aumentano?
 
Sì, contrariamente a quello che pensava Heisenberg che diceva
 
Dx*Dp > h
 
e quindi che esisterebbe un limite alla informazione (che è il limite 
della costante di Planck h)
 
.. la relazione di Heisenberg è vera solo se la quantizzazione è sulla 
energia del fotone (eletto come quantum min) che vede come energia:
 
energy=h*f
 
f=frequenza del fotone.
 
Ma poiché esistono quantità di energia anche inferiore di h*f il quantum 
di materia ed energia:
 
energy=m*c^2=h*f
 
può essere ridotto (io li chiamo sub_fotoni) e quindi il problema non è 
che la esplorazione non può indagare anche il piccolo come il grande .. 
ma che sempre per una quantizzazione o sottoquantizzazione saremo 
costretti a passare.
 
In linea teorica, che riuscissimo ad acquisire una infinità di dati .. 
una orbita sarebbe calcolabile nel continuum.
 
Ma come umani che esaminano macchine, non sappiamo elaborare una 
infinità di dati e quindi dobbiamo partire dalla frase "il primo segno 
di intelligenza è ammettere la propria ignoranza".
 
Ignoriamo i dati di una infinità di dati.
 
Però possiamo spingere la nostra conoscenza in un insieme di quantità di 
dati che ci risulti sufficiente agli scopi che dobbiamo assolvere.
 
:-)
 
 
Dunque il problema delle infinità non è un problema risolvibile al 
finito come sbattono la testa sia Godel che altri .. che si pronunciano 
su tali temi:
 
"esiste un algoritmo al finito in grado di dare la stessa dinamica di 
una base di dati infinita?"
 
Godel conclude "non lo sappiamo", il problema è indecidibile.
 
Perché è indecidibile?
 
Perché per decidere dovremmo mettere a confronto una base di dati 
infinita con una base di dati limitata, ma noi non siamo in grado di 
accedere a una base di dati infinita!
 
Esiste però il concetto di verità "asintotica".
 
E quindi io non ho escluso che un moto possa essere nel continuum, ma ho 
detto che noi se usiamo *il digit* (che in latino è dito della mano), la 
capacità di contare, non siamo in grado di contare la cardinalità del 
concetto di infinito senza generare errori di interpretazione.
 
La nostra interpretazione sulla infinità è illattiva, matematicamente la 
chiamerei interpretazione asintotica, o estrapolativa.
 
Non è propriamente scienza, nel senso di scire e discernere di cose in 
grado di essere esaminate al finito.
 
Dunque arriviamo -a chi interessa- allo studio di come si genera 
l'eureka, e cosa sarebbe la capacità di astrazione e la metafisica.
 
Grazie del tema.


Grazie per la correzione, ma permettimi di non essere d'accordo.
Fra un numero naturale e il successivo si possono contare infiniti 
numeri naturali, perciò all'interno degli infiniti numeri naturali - col 
loro roboante nome di Aleph0 - c'è un numero infinito di infiniti numeri 
(o se preferisci di punti), per cui c'è un numero infinito di infiniti, 
numeri o punti  a piacere - essendo astrazioni di pari valore nullo. Non 
sono più, messi insieme, i numeri naturali, perché fra due naturali 
qualunque ci sono infiniti naturali. E fra due qualunque dei naturali 
contati fra due naturali ce n'è un altro infinito e così via.
È ciò che definisce, in modo evidentemente paradossale, il continuo nel 
mondo numerico. E che porta dal paradosso al paradosso.
 
Dunque non si dovrebbe parlare di 2 elevato ad Aleph0, che significa 
poco o nulla, ma di qualcosa di non affatto rappresentabile, perché per 
ogni coppia dell'insieme Aleph0 si presenta un altro Aleph0, su una 
coppia del quale se ne presenta un altro e così via all'infinito. O 
magari fra una coppia di numeri reali ci puoi mettere tutti i numeri 
reali, che hanno la pretesa a loro volta di rappresentare il continuo, e 
così via: così gli infiniti strabordano nella loro assenza di senso.
Di qui la mancanza totale di senso del concetto di continuo (e di 
infinito) matematico. Poi si possono prendere tutti i nomi dell'alfabeto 
fenicio o ebraico, ma i nomi altisonanti o mitici non cambiano niente.
 
L'autostrada del sole, se tieni conto di questo e dai retta a Zenone, è 
molto più che di lunghezza infinita (chiedilo ad Achille, che vuole 
andare in ferie a Ischia e non ci riesce da millenni). Ma anche solo la 
strada fra Velia e Napoli. O quella da qui alla poltrona su cui dorme la 
mia gatta.
 
Quello che io ho detto e su cui non ho avuto commenti, a parte le 
lezioni di matematica che accetto sempre volentieri, è che fra il 
continuo matematico e il continuo della realtà non c'è alcuna relazione, 
perché il primo non ha alcun senso per quanto ci si ingegni sulla teoria 
matematica degli infiniti (e proprio su questo gioca Zenone). Il secondo 
invece ha senso eccome, concreto e persino filosofico.
 
Un saluto
Omega

 numeri naturali, 
 
Tra un numero *naturale* e il successivo numero *naturale* non c'e' 
alcun numero *naturale*, ma un'infinita' di numeri *razionali*. I numeri 
naturali, N, sono un sottoinsieme dei razionali, Q.
ciao,
Loris

 invece ha senso eccome, concreto e persino filosofico.
 
Questo e' discutibile e lo discuto volentieri. Ci sono parecchie domande 
da fare a proposito di questo continuo reale. Una e' questa: il continuo 
e' uno, o non si puo' dire che sia uno onde evitare di reintodurre un 
concetto matematico? Una seconda e' questa: se non si puo' usare la 
nozione di quantita', dicendo "la realta' e' continua", il predicato "e' 
continua" dice una qualita' della realta'? Quale?
Un saluto,
Loris

 Loris

 Loris
 
Grazie di quest'altra lezione di matematica, che neanche questa volta 
condivido, anche perché evade di nuovo dalla mia osservazione 
sull'incompatibilità fra continuo matematico e continuo fisico (cioè reale).
 
Ciò che dici peraltro non è affatto vero, perché la divisione 
dell'intervallo fra due numeri naturali la puoi numerare come 
preferisci: con naturali, razionali o reali o con le dita (digit :)
La sostanza è che quell'intervallo è divisibile all'infinito, e ogni 
intervallo di quella numerazione, qualunque sia, è di nuovo divisibile 
all'infinito, e così via. E la ragione è che il nulla può essere diviso 
come si preferisce quanto si vuole.
Se conti i punti di una frazione di segmento, con quali numeri li conti? 
Avrebbe senso contarli con numeri razionali? Solo se ti piace, ma non è 
affatto un obbligo. I naturali bastano e avanzano (anche perché per 
contare gli altri tipi di numeri sempre i naturali servono).
Ma comunque ti piaccia contarli il risultato è sempre lo stesso, un 
accumulo di infiniti questa volta sì non numerabile compare sempre, e 
non bastano le lezioncine di matematica (o meglio aritmetica) a smontare 
questo paradosso.
 
E lasciami aggiungere che solo i numeri naturali hanno qualche senso, 
perché i soli direttamente collegati alla nozione biologica di unità.
Del resto, quando scrivi il numero di Eulero o qualunque altro 
irrazionale (magari "trascendente") con i suoi infiniti decimali, quei 
decimali che riesci a scrivere, anche in una settimana o un mese o un 
anno, di che tipo sono? Razionali, irrazionali, reali? No, naturali.
 
Ma a parte queste pignole disquisizioni, resta la mia osservazione, che 
non cambia di una virgola malgrado tutte le lezioni di aritmetica, che 
in definitiva non sono pertinenti, dato che io ho solo descritto l'ovvio.
 
Saluti
Omega

 preferisci: con naturali, razionali o reali o con le dita (digit :)
 
"Dio ha creato i numeri interi. Tutto il resto è opera dell'uomo" (Kronecker). Ma il concetto di numero intero non è quello di numero naturale, sebbene i due concetti siano coestensivi... Il fatto che i razionali possano essere *contatati* con i naturali non significa che essi *sono* numeri naturali, ma che hanno in comune qualcosa (che *non* è nemmeno l'ordine) con essi. Se ciò fosse sufficiente a renderli uguali ai naturali... allora mi viene in mente il pollo di Trilussa:-). Ma a parte queste cose, il problema del rapporto tra continuo matematico e continuo reale, che giustamente hai fatto daccapo presente, l'ho toccato nell'ultima risposta a Loris nell'altro thread.
 
Un saluto,
 
Marco

 in definitiva non sono pertinenti, dato che io ho solo descritto l'ovvio.
 
Mi dispiace Omega, ma ripeto che non impartisco alcuna lezione di 
matematica; ripeto solo quello che mi hanno insegnato. Il vero problema, 
lasciando ai matematici cio' che e' dei matematici e dando ai filosofi 
cio' che e' dei filosofi, consiste, ripeto nuovamente, proprio in quelle 
che chiami "pignole disquisizioni".
Un saluto,
Loris

 accumulo di infiniti questa volta sì non numerabile compare sempre,
 
Quello che scrivo e' da prendere con le pinze perche' sono cose che 
conosco in maniera estremamente superficiale.
Credo che l' "accumulo di infiniti questa volta sì non numerabile" sia 
il cosiddetto omega_1, il primo ordinale non numerabile. Se e' questo, 
non puo' essere definito con costruzioni successive di "infiniti numeri 
dentro infiniti intervalli" (la costruzione che hai indicato tu),e 
neppure ripetendo queste costruzioni infinite volte ... infinite volte 
(qui inserisci infiniti a piacere), ma solo come estremo superiore 
dell'insieme di tutti gli ordinali numerabili.

 dell'insieme di tutti gli ordinali numerabili.
 
Sì. Si tratta del primo ordinale che è oltre la totalità dei numerabili perché non può essere raggiunto nel modo in cui sono raggiungibili gli ordinali finiti: per iterazione dell'addizione di unità. Di qui Cantor costruisce la gerarchia degli ordinali transfiniti, e dagli omega, prendendo in considerazione la classe delle operazioni necessarie per passare da un ordinale ad un altro, si passa agli epsilon. E' un "movimento", quello da cui escono fuori queste gerarchie, tutto interno al contare - ed è questo, l'aspetto filosofico rilevante.
'omega+1' è proprio il tipo di ordinamento che caratterizza i sotto-intervalli generati dalla dicotomia sfruttata da Zenone: *oltre* la totalità dei sotto-intervalli c'è il punto iniziale del movimento, che - a causa della densità - risulta irraggiungibile passando "in rassegna" uno per uno i sotto-intervalli. *Di qui* Zenone conclude la dimostrazione del paradosso della dicotomia, nella versione regressiva.
 
Saluti,
 
Marco

Il 07/02/20 13:35, Loris Dalla Rosa ha scritto:
 
Cari amici, il problema non è nelle etichette che si danno ai numeri, ma 
nel come opera un modello.
 
Se io dico che uno spazio continuo in matematica ha infiniti punti tra 
due dati, ciò è possibile solo se una posizione, detta punto, non ha 
superficie o volume, quindi è inesteso.
 
La inestensione di un punto porta che io posso dire che una persona 
viaggia a 10 metri in 10 secondi
 
Cioé
 
v= spazio/tempo=10 metri/10 secondi= 1 metri/sec.
 
Ma tale esposizione è una approssimazione!
 
Può mai andare una persona solo ad una velocità media?
 
No, poiché campionando il baricentro della persona si vedrà che è 
soggetto a continue accelerazioni e decelerazioni che fanno oscillare la 
velocità media come
 
v= Somma vi/N
 
se vi varia da 1, ad N
 
Quindi non io, ma Prigogine, nel testo "le leggi del Kaos" afferma che 
siamo _noi_ che estrapoliamo che avendo N punti ed una velocità media 
allora conosciamo le curve che passano per quei N Punti in modo 
deterministico.
 
Ma è una congettura teorica e non fisica.
 
Quindi ritorniamo a bomba che la matematica è una descrizione utile in 
quanto semplificata di una realtà fisica che è altro.
 
Ho già detto che il modo migliore di capire che non ci si muove in 
infiniti punti tra 2 dati punti è osservare la programmabilità di un 
braccio robotico.
 
Il braccio non può raggiungere tutti i punti tra due punti dati.
 
Poiché sia la parte attuativa energetica non è infinitesimale, e né la 
misura ci dice che può raggiungere con precisione assoluta tutti i 
punti che sia intermedi ma solo alcuni introducendo un errore.
 
Ciò discende dal fatto che il nostro padroneggiare la materia ed energia 
è quantico.
 
Al mercato se chiedo 1 Kg di mele, il fruttivendolo non mi da 
esattamente 1 kg di mele!
 
Mi dice "è un po' di più .. lascio?"
 
Perché non può mettersi a tagliare le mele, e anche se lo facesse la 
sottoquantizzazione non gli permette d fare combaciare il caso 
teorico/astratto con la realtà fisica.
 
Quindi noi ignoriamo la infinitesimalità, e ci dobbiamo accontentare 
della quantizzazione, almeno se ci riferiamo alla natura fisica del reale.
 
E -anche quantizzando- dovremo confinare l'errore (avremo bisogno di una 
teoria degli errori) perché lo stesso quantum non a una precisione 
"inammissibile" come la etichettava Einstein nel concetto di 
"caso_superpuro" nella discussione con Popper in "Logica della scoperta 
scientifica".
 
Sperando di avere dato un piccolo contributo alla discussione in cui 
sono lecite sia le astrazioni della matematica ma anche le obiezioni 
della non omnipotenza della matematica di descrivere il reale ..
 
Vi ringrazio della occasione ..

 'omega+1' è proprio il tipo di ordinamento che caratterizza i sotto-intervalli generati dalla dicotomia sfruttata da Zenone: *oltre* la totalità dei sotto-intervalli c'è il punto iniziale del movimento, che - a causa della densità - risulta irraggiungibile passando "in rassegna" uno per uno i sotto-intervalli. *Di qui* Zenone conclude la dimostrazione del paradosso della dicotomia, nella versione regressiva.
Come sopra, non ho chiari tutti i concetti ma qui dovrebbe essere 
possibile arrivare proprio al concetto di omega_1. Dovrei riflettere 
molto di piu' sul paradosso della dicotomia di Zenone, ma ho la forte 
impressione lui invece non si riferisse ad omega_1: questi erano 
concetti su cui non si era ancora riflettuto.

 concetti su cui non si era ancora riflettuto.
 
Questo è in fondo il punto filosoficamente più importante. Per formulare, comprendere ed eventualmente confutare Zenone *non si deve* affatto fare riferimento alla matematica transfinita. Tuttavia è assolutamente fuori discussione che ciò che Zenone sfrutta (nella dicotomia regressiva) è l'impossibilità di raggiungere, mettendosi a contare i sotto-segmenti in cui è divisibile per metà un determinato segmento, il punto iniziale del segmento. Dire che il tipo d'ordine di questa successione infinita è "omega+1" è solamente un modo per riportare a sua volta i ragionamenti di Cantor al nocciolo sfruttato dal paradosso:-). D'altronde quello che va capito è se per pensare la continuità del reale bisogna sbarazzarsi del continuo matematico.
 
Un saluto,
 
Marco

 Loris
 
Non posso dunque che reiterare la descrizione (che ritengo ovvia) 
dell'accumulo incessante di infiniti, non numerabile come descritto 
sopra. Ma con un'ulteriore osservazione:
riguardo ai punti di un segmento si penserebbe che si possa fare il 
medesimo discorso, invece c'è una differenza, almeno apparente: che il 
punto geometrico è privo di dimensioni, cioè il punto non esiste, è solo 
un indirizzo in un certo spazio. Quindi pensare di contare i punti è un 
altro paradosso, ed è doppiamente paradossale parlare di infiniti punti. 
Infatti i nulla infiniti restano nulla e basta : non ci sono, non sono 
della categoria del "che è". In sostanza è un parlare semplicemente 
insensato.
 
Ma tornando ai numeri, è diversa la situazione?
Io, che pure la matematica l'ho proprio insegnata, fin dal liceo ho 
considerato insensato parlare di infiniti e infinitesimi (e di zero), 
anche se ne ho parlato negli esami di competenza dovendolo fare per non 
essere cacciato :)
No, ripeto che sono concetti senza senso, comunque definiti, ed è perciò 
che si inciampa negli sgambetti come quelli di Zenone. La mente dice che 
puoi contare per l'eternità, e che puoi dividere per due per l'eternità, 
ma sono sciocchezze mentali che con la realtà non hanno niente a che 
vedere, ma neppure con la ragione.
 
Si dovrebbe studiare la mente al riguardo e capire perché la natura ha 
costruito la mente in modo da causare simili paradossi, ma probabilmente 
ciò dipende da funzioni di estrapolazione che in sé sono utili alla 
sopravvivenza, ma che portate all'estremo - a causa della loro 
formalizzazione - fanno staccare i piedi da terra e generano il 
paradosso, anche se qualcuno lo chiama Iperuranio e magari persino Empireo.
 
Un saluto
Omega

 tutto interno al contare - ed è questo, l'aspetto filosofico rilevante.
 
Qui ho fatto caos col quoting: la prima frase e' mia, la seconda di 
Marco V. .

 Questo è in fondo il punto filosoficamente più importante. Per formulare, comprendere ed eventualmente confutare Zenone *non si deve* affatto fare riferimento alla matematica transfinita. Tuttavia è assolutamente fuori discussione che ciò che Zenone sfrutta (nella dicotomia regressiva) è l'impossibilità di raggiungere, mettendosi a contare i sotto-segmenti in cui è divisibile per metà un determinato segmento, il punto iniziale del segmento. Dire che il tipo d'ordine di questa successione infinita è "omega+1" è solamente un modo per riportare a sua volta i ragionamenti di Cantor al nocciolo sfruttato dal paradosso:-).
 
Sul paradoss di Zenone apro (piu' tardi) un thread a parte: vorrei 
riuscire a capire se capisco la sua posizione e la sua possibile 
confutazione.


Nella costruzione che ho indicato non esiste alcun estremo superiore.
Nulla e nessuno la può fermare o delimitare nella sua totale paradossalità.
 
Omega.

 Marco


Nella costruzione che hai indicato esistono "solo" un'infinita' 
numerabile di "oggetti matematici". Alla non numerabilita' non ci arriva.
 
L'estremo superiore di questa costruzione lo devi "solo" (in un senso 
diverso dal "solo" della prima frase) saper definire ;-)


 
Non e' poi tanto ovvio che contare i passi potenzialmente infiniti del 
paradosso di Zenone sia possibile senza l'aiuto di Galilei o di chi dopo 
di lui si occupa dell'infinito. Ma se vuoi dire alla fin fine che questi 
sono giochi mentali che poco hanno a che fare con la realta'... beh, su 
questo sono anche d'accordo. La matematica appartiene al mondo della 
*rappresentazione* della realta', non a quello della realta'. E' solo un 
utilissimo strumento e le sue "magie" dipendono dal modo di funzionare 
del nostro cervello, della nostra logica: sono le singolarita' come il 
concetto di punto inesteso, l'infinito attuale, il tuo aborrito zero... 
Ma l'alternativa? Abbandonare i concetti intuitivi della geometria 
euclidea, per non parlare di quelli meno intuitivi delle geometrie non 
euclidee? Quale l'alternativa? La realta' continua, la ben rotonda 
verita' di Parmenide? E' una ben strana verita', che nella sua 
problematicita' assomiglia maledettamente alla verita' di un punto 
geometrico indivisibile e inesteso.
Un saluto,
Loris
 
(*) <<Io non veggo che ad altra decisione si possa venire, che a dire, 
inﬁniti essere tutti i numeri, inﬁniti i quadrati, inﬁnite le loro 
radici, né la moltitudine de’ quadrati esser minore di quella di tutti i 
numeri, né questa maggior di quella,...>>

 successione di numeri quadrati 
 
Beh, non "precisamente" quadrati, ma *trasformabile* in una successione 
di quadrati. Comunque la cosa e' secondaria.

 numeri, né questa maggior di quella,...>>
 
Si è imbattuto nella formalizzazione dell'unità.
___

 infinito che non esiste e portare fuori strada la ragione stessa.
 
Quella constatazione non compare nella dimostrazione come esplicito punto di partenza. *Comunque* anch'io credo che l'intenzione di Zenone sia quella di gettare nel paradosso il concetto del continuo matematico. Questo però richiede di modificare in più punti la comprensione tradizionale della dimostrazione, nel suo rapporto con la questione del molteplice e del movimento. 
 
Un saluto,
 
Marco


ricorda che ciò di cui trattano
gli antichi greci non è esattamente
l'infinito, che è un numero, ma
l'illimitato, inteso proprio
come limite del pensiero e mai
come pensiero del limite.
Dunque qualcosa di incommensurabile
e disarmonico.
Un *male* per dirla platonicamente.
Diverso dal bene sacro dei pitagorici
che era la tetrakis
o figura geometrica sacra
 
       o
     o   o
   o   o   o
o   o   o   o
 
che restituisce sempre il numero dieci
dai tre punti di vista diversi e quindi
un vertice di armonia e misura.
 
Dunque sappiamo che il continuo
non deve avere soluzione nello spazio
e nel tempo.
La tecnica del paradosso mette il luce
questa limitatezza del pensiero umano.
Ma anche in fisica sappiamo che
la continuità si esprime matematicamente
in particolare nelle leggi di conservazione.
Questo discorso si riallaccia a quello
di Fabri sulla corrente di quantità
di moto, che è interessante anche filosoficamente,
ma tanto ha deciso di non leggermi, (cavoli suoi)
e quindi non interverrò oltre su questo.
 
ciao
Massimo

 Marco


 
Mi fai venire in mente un episodio, che ho sentito raccontare come 
accaduto realmente. Un vecchio contadino di una valle qui intorno 
all'ufficio postale; c'erano ancora le lire. Per chissa' quale pagamento 
mette sul banco due pezzi da 5000 lire. A un certo punto una collega 
dell'impiegata le chiede se ha da cambiare 10000 per un resto al cliente 
vicino. L'impiegata prende le 10000 mila e da' i 2 pezzi da 5000. A 
questo punto il contadino insorge protestando vivacemente che quelle due 
da 5000 sono sue, e convincerlo che non c'era motivo per protestare...
Ecco, quel contadino era certamente un po' refrattario alle 
formalizzazioni:-)
Un saluto,
Loris

 formalizzazioni:-)
 
Le formalizzazioni infatti sono distorsioni, perché pongono come oggetto 
"in sé" il numero, ossia ciò che oggetto non è. Inevitabile poi tutto il 
bailamme degli infiniti, cui quel contandino - forse bergamasco proprio 
come me - non riconoscerebbe alcun senso.



 
No. A Zenone non passava neanche per l'anticamera del cervello l'idea 
degli infinitesimi. Gli basta "dimostrare" che per ogni salto di 
Achille, piu' arretrato della tartaruga, c'e' un passo avanti della 
tartaruga, e che questo "scarto" tra lui e la tartaruga non puo' essere 
mai colmato. Probabilmente aveva in mente proprio una corrispondenza 
biunivoca tra i salti di Achille e i passi della tartaruga. Stiamo 
almanaccando e forse e' meglio tornare a cio' che e' attestabile, come 
cio' che ne dice Aristotele nella Fisica:
 
<<Il secondo argomento è quello detto di Achille. Eccolo: il più lento 
corridore non sarà mai raggiunto nella sua corsa dal più veloce. Infatti 
sarà necessario che l'inseguitore proceda fin là da dove si è mosso il 
fuggitivo, quindi è necessario che il corridore più lento si trovi 
sempre un po' più avanti>>.
 
Questo e' quanto su cui si puo' ragionare senza almanaccare.
Oppure su questo, visto che sembra che il dossografo Simplicio avesse a 
disposizione il testo originale:
 
<<Il ragionamento di Zenone, assumendo che tutto ciò che è lungo uno 
spazio uguale a sé o si muove o è in quiete, e che nulla si muove 
nell'istante, e che sempre il mosso è lungo uno spazio uguale a sé in 
ogni istante, pare che proceda così: la freccia che si muove, che è in 
ogni istante lungo uno spazio uguale a sé, non si muove dal momento che 
nulla si muove nell'istante; ma ciò che non si muove è in quiete, dal 
momento che tutto o si muove o è in quiete; allora la freccia che si 
muove finché si muove è in quiete per tutto il tempo della traslazione. 
Ma che c'è di più paradossale di una cosa simile?>>
(per pigrizia ho tratto la citazione da Internet, che a sua volta si 
riferisce a "I presocratici" a cura di A.Pasquinelli, Einaudi, 1976)
 
Un saluto,
Loris

 Ma che c'è di più paradossale di una cosa simile?>>
 
No, non ha capito lui stesso quello che sta dicendo. Si contraddice, 
perciò casca nel paradosso. Lui, non Zenone!



Ne ho parlato citando Cantor (nonche' Galilei) perche' con il sistema di 
elencazione di Cantor si dimostra che i numeri *razionali* sono 
numerabili e hanno la stessa cardinalita' dei numeri naturali; 
ricordando, altresi' e a scanso di equivoci, che col procedimento 
diagonale di Cantor si dimostra anche che i numeri *reali* *non* sono 
numerabili, e non hanno nulla a che fare con la successione di Zenone, 
che e' una successione esclusivamente di *razionali*. Ho mostrato anche 
come. Non c'entra poi nulla il fatto che tra 2^3 e 2^4 ci siano piu' 
numeri naturali che tra 2^2 e 2^3; cosa che, tra l'altro, andrebbe 
proprio contro cio' che Zenone vorrebbe dimostrare (e non sto a mostrare 
anche questo). Per Zenone importa solo che quella successione e' un 
regresso *all'infinito*. *Non* dimostra, a rigore, che se vai dal punto 
A al punto B, in realta' non ti sei mai mosso, perche'col suo 
procedimento dicotomico, che si manifesta come infinita' regressiva 
interna ad un segmento, *non* si torna esattamente in A. Un matematico 
moderno direbbe che il regresso "tende" ad A; ma Zenone non era affatto 
un precursore di Leibniz o di Newton. Quello che vuol mostrare Zenone e' 
proprio quel regresso *all'infinito*, di cui tutti i Greci ed affini 
avevano quasi un sacro orrore. Non c'e' alcuna "tendenza a zero" per 
Zenone, ma e' tale regresso all'infinito *come tale* ad essere per lui 
assurdo. E questa e' l'enorme differenza che separa, prima di tutto 
*culturalmente*, Zenone dai matematici moderni.
Ma se questa deve essere una mia "pienirizzazione" di tutta questa 
questione... allora ok, la questione non c'e' piu' e il discorso puo' 
finire qui.
Un saluto,
Loris

 Loris