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Titolo: Alice nel Paese dei Trucchi

In uno dei suoi tanti sogni strampalati, la nostra Alice si ritrova nel
Paese dei Trucchi, anche se lei ancora non lo sa.
Dopo una serie di peripezie che ora non starò a raccontare, viene condotta
al cospetto del Re, il quale prima le fa delle domande per sapere chi sia e
da quale paese venga, poi le dice di avvicinarsi, e quando Alice arriva a
pochi centimetri dal trono, il Re improvvisamente estrae dalla tasca una
bella moneta d'oro luccicante, e la rigira fra le dita, mentre dice:
«Venga, signorina, dia una occhiata a questa moneta. Vede? Da una parte c'è
una Testa, che modestamente è proprio la mia, e dall'altra c'è una Croce.
Vuole giocare a Testa e Croce con me? Lancio la moneta, la lascio cadere su
questo panno verde: se viene Testa vinco io, se viene Croce vince lei.
Accetta?»
Alice, che dalle sue precedenti avventure ha imparato a non contrariare mai
le teste coronate, accetta di giocare, e il Re comincia a lanciare la
moneta.
Ma accade qualcosa che Alice non si sarebbe mai aspettato. Infatti al primo
lancio viene Testa, poi ancora Testa, e sempre Testa per 100 volte di fila!
Arrivato al centesimo lancio (e alla centesima Testa) il Re si ferma, sporge
la faccia verso quella di Alice, e guardandola negli occhi le dice:
«Ah, signorina, come lei certamente sa in questo Regno su cui ho l'onore e
l'onere di regnare la posta per il Gioco Nazionale, che è poi quello che
stiamo facendo Io e lei, è di una moneta d'oro ogni lancio. Immagino che lei
abbia con sé le 100 monete d'oro che mi deve.»
Alice è una cara e ingenua bambina, però - come sappiamo - ha studiato alla
scuola del matematico Charles Lutwidge Dodgson (noto anche con lo pseudonimo
di Lewis Carroll), il quale le ha insegnato i rudimenti del calcolo della
probabilità. Così Alice, facendo due conticini, è in grado di dire che la
probabilità che esca Testa per 100 volte di fila con un moneta non truccata
è 1/2 elevato alla 100, cioè un numero che se volessimo scriverlo in cifre
decimali dovremmo mettere almeno una trentina di zeri dopo la virgola prima
di poter scrivere una cifra decimale non nulla.
Così Alice decide di far notare timidamente la cosa al Re. Costui, sentendo
le osservazioni di Alice, non si scompone affatto, e si dichiara disposto a
cancellare immediatamente l'intero debito di Alice quando costei sia in
grado di dimostrargli che la sua moneta ha qualcosa che non va. E anzi le
dice che da tempo in quel Regno i Matematici di Corte stanno cercando un
modo per distinguere con certezza le monete truccate da quelle che non lo
sono, e nessuno fino ad allora è mai riuscito a trovare quel modo. Così se
Alice saprà trovarlo non solo le verrà cancellato il debito, ma le verranno
pure consegnate 100 monete d'oro.
Alice ci pensa un po', e mentre ci pensa si ricorda di avere in tasca una
monetina che le ha dato la mamma. Così estrae la monetina e dice al Re:
«Sire, mi permette di lanciare questa mia monetina per 100 volte di
fila, e di scrivere i risultati dei lanci su un foglio?»
«Ma certo - risponde il Re - proceda pure.»
Così Alice fa i suoi lanci, segnando una T per ogni testa e una C per ogni
croce, e ottiene un risultato di questo genere:
    TCCTCCCTTCTTTCTTTTCCTCCCCCTTCTTT...
Adesso Alice mostra il foglietto al Re dicendogli:
«Vede Sire? Il risultato che ha ottenuto lei era molto inverosimile,
mentre il risultato che ho ottenuto io è molto più verosimile, perché la mia
moneta è una moneta normale.»
«Aspetti un po' - replica il Re - lei prima quando ha fatto quel suo calcolo
non ha parlato di "verismiglianza", ma di "probabilità": ha detto che c'era
esattamente una probabilità su 2 alla 100 di ottenere quel risultato. Ora
quando lei parla di verosimiglianza sta parlando di qualcosa che è
"probabile"?»
«Sì, sì - risponde Alice - il suo risultato era poco verosimile perché
era molto improbabile.»
E il Re:
«Ah, ma quand'è così, vediamo un po' qual è la probabilità che uno lanciando
una moneta non truccata ottenga esattamente il risultato che ha ottenuto
lei. Dunque, ragioniamo: al primo lancio è venuta una Testa, e la
probabilità che venga Testa è 1/2; poi è venuta una Croce, e la probabilità
che venga prima una Testa e poi un Croce è 1/2 per 1/2, che fa 1/4; poi è
venuta di nuovo Croce, e siamo ad 1/8. Vedo che lei è una signorina sveglia,
ed avrà già capito l'errore che aveva commesso: la probabilità che esca la
sequenza che ha ottenuto lei è 1/2 elevato alla 100, esattamente uguale
alla probabilità della mia!»
Alice per un po' resta sconcertata da questa obiezione del Re. Poi però le
viene in mente che il suo maestro, quel tale Dogson, le aveva parlato di un
tipo vissuto prima di lui, il quale si chiamava Thomas Bayes ed aveva
escogitato un modo per ricavare la probabilità di una certa causa ipotetica
quando di essa fossero noti solo gli effetti.
Il ragionamento di Bayes faceva uso del concetto di "probabilità
condizionata", ovvero la probabilità che accada un certo evento B quando
sappiamo per certo che è accaduto un altro evento A. Se P(A) e P(B) sono le
probabilità che accadano A e B indipendentemente, la probabilità che si
verifichino sia A che B è P(A&B), mentre la probabilità condizionata che si
verifichi B una volta che sia accaduto A la indichiamo con P(B|A). Ebbene,
sappiamo che la probabilità che si verifichino A e B è pari al prodotto
della probabilità che si verifichi A per il prodotto della probabilità che
si verifichi B. La probabilità che si verifichi A è semplicemente P(A), ma
quando poi prendiamo in esame la probabilità che si verifichi B stiamo
ipotizzando che l'evento A sia già accaduto, per cui dobbiamo usare la
probabilità condizionata P(B|A). Dunque:
    1)   P(A&B) = P(B|A) x P(A)
(Chi non è pratico di teoria della probabilità tenga presente che la
successione degli eventi si legge da destra a sinistra: accade A, poi accade
l'evento B condizionato da A, cioè B|A, e il risultato è che accadono sia A
che B, cioè l'evento A&B.)
Ora, l'argomentazione di Bayes sta tutta nell'osservare che al calcolo di
P(A&B) ci possiamo anche arrivare ipotizzando che sia accaduto B e poi
l'evento A condizionato da B, quindi deve anche essere:
    2)    P(A&B) = P(A|B) x P(B)
Dunque i prodotti sulla destra delle equazioni 1) e 2) devono essere uguali:
    3)    P(B|A) x P(A) = P(A|B) x P(B).
Consideriamo allora il caso particolare in cui i nostri eventi A e B siano,
rispettivamente, alcuni dati D raccolti facendo un esperimento, ed una certa
ipotesi H che dovrebbe "spiegare" (anche solo in termini probabilistici) il
risultato D dell'esperimento. Sostituendo D e H ad A e B nella 3) abbiamo:
    4)   P(D|H) x P(H) = P(H|D) x P(D)
Da questa ricaviamo P(H|D), ovvero la probabilità che il risultato D
confermi "induttivamente" l'ipotesi H:
    5)   P(H|D) = [ P(D|H) x P(H) ] / P(D).
Alice ha spiegato tutta questa faccenda al Re. Anzi, a dire la verità, il Re
già dopo il primo passaggio matematico ha fatto una faccia piuttosto
perplessa, e si è fatto raggiungere dal Primo Matematico di Corte, il quale
non aveva mai sentito parlare di questo Bayes (perché non era un suddito di
quel Regno, e nessuno aveva mai pensato che fuori dal Regno ci potesse
essere qualcuno che pensava qualcosa che non era stato già pensato nel
Regno), ma aveva comunque seguito con un sorrisino e numerosi segni di
approvazione il bel ragionamento di Alice.
Così ora Alice propone al Primo Matematico di prendere in esame due diverse
ipotesi H e H°, per verificare quale delle due sia più probabile alla luce
della formula di Bayes e dei dati osservati. Le due ipotesi sono le
seguenti:
    H = la moneta del Re è truccata, e dà sempre Testa;
    H° = la moneta del Re non è truccata.
Queste due ipotesi vanno valutate a partire dal risultato D ottenuto, che
sono poi le cento Teste ottenute dal Re:
   6)   D = TTTTT... (ripetuto 100 volte)
Ebbene, se la moneta del Re è truccata, cioè se è vera H, allora ad ogni
lancio esce certamente Testa, sicché P(T|H) vale esattamente 1.
E siccome ci aspettiamo che esca sempre Testa, vale 1 anche la probabilità
che esca Testa per 100 volte di fila. Dunque:
    7)   P(D|H) = 1
che sostituita nella 5) dà:
    8)   P(H|D) = P(H) / P(D).
Se invece prediamo in esame l'ipotesi H°, allora la probabilità di ottenere
100 volte Testa è quella che avevamo già calcolato all'inizio, cioè:
    9)   P(D|H°) = (1/2)^100
che sostituita nella 5) dà:
    10) P(H°|D) = P(H°) / [ 2^100 x P(D) ].
Dividendo la 8) per la 10) otteniamo infine il rapporto fra la "probabilità
inferita" relativa alle due ipotesi H e H°:
    11) P(H|D) / P(H°|D) = (1/2)^100 x [ P(H) / P(H°) ]
Alice mostra questa equazione al Primo Matematico, facendogli osservare che
se prima del lancio la probabilità P(H) e P(H°) delle due ipotesi erano le
stesse, o comunque erano confrontabili, dopo il lancio della moneta il
rapporto fra la probabilità delle due ipotesi è diventato 2^100 volte più
piccolo, ovvero l'ipotesi H è diventata 2^100 volte più probabile di quanto
lo fosse prima del lancio!
Però il Primo Matematico, che fino a quel momento aveva ascoltato le
argomentazioni di Alice annuendo, ora si fa serio, socchiude gli occhi, alza
una mano per far tacere Alice e dice:
«Innanzi tutto, cara signorina, le devo far presente che noi stavamo
cercando un metodo che ci consentisse di riconoscere con certezza una moneta
truccata da un moneta non truccata, mentre lei non ha fatto altro che
suggerirmi un metodo che dovrebbe consentirci di stabilire con una certa
probabilità probabilità se una moneta è truccata o meno.»
Alice a sentire questa parole già si sente un groppo in gola, ma il
Primo Matematico prosegue:
«Certo, devo riconoscere che il suo ingegnoso sistema ci consente di rendere
questa probabilità tanto maggiore quanto maggiori sono le osservazioni
effettuate, per cui se ora noi lanciassimo la moneta di Sua Maestà per altre
100 volte e - per un caso fortuito - ottenessimo altre 100 teste,
aumenteremmo ulteriormente di 2^100 la probabilità che sia vera l'ipotesi H.
Dunque, sia pure, siccome Sua Maesta è un Re magnanimo e vuole che
altrettali siano i Regi Funzionari, le posso anche concedere che una
probabilità molto grande possa essere considerata con buona approssimazione
una certezza.»
Ora Alice è passata dalla disperazione all'entusiasmo, e se non si mette a
fare salti di gioia è solo per rispetto al Re, perché si sa che i Re non
accettano di non avere sempre ragione.
Ma il Primo Matematico non ha ancora finito:
«Tuttavia, cara signorina, anche dopo averle fatto questa concessione, devo
farle osservare che il nostro scopo non è semplicemente quello di aumentare
la probabilità dell'ipotesi H, ma è quello di dimostrare che H è molto più
probabile di H°. Ciò che ci interessa è dunque il rapporto fra quelle due
probabilità, ed il rapporto dopo la prova, cioè P(H|D)/ P(H°|D), dipende
comunque dal rapporto "a priori", cioè P(H)/P(H°). Se, ad esempio, quel
rapporto a priori fosse di una parte su 2^1000, noi dovremmo osservare una
sequenza di 1000 Teste solo per poter dire che H ed H° sono diventate
equiprobabili! E se poi la probabilità a priori di H fosse  nulla, il
rapporto fra la probabilità di H e H° resterebbe comunque nullo, qualunque
fosse il risultato della nostra prova. Dobbiamo dunque ragionare sulle
probabilità a priori delle due ipotesi, ed in particolare su quella di H.
Dobbiamo, cioè, chiederci quale probabilità dovremmo assegnare all'ipotesi H
prima ancora di  cominciare a lanciare la moneta di Sua Maestà, quando
ancora non disponiamo di alcun dato. Ma cosa dice l'ipotesi H? Dice che la
moneta che Sua Maestà ha in tasca, una moneta d'oro coniata nella Zecca del
Regno, recante l'Effigie di Sua Graziosità, che questa moneta - dicevo - sia
"truccata"! E, glielo ripeto, noi dobbiamo stabilire che credito potremmo
dare a questa ipotesi quando ancora non avessimo effettuato nemmeno un
lancio, e ci trovassimo di fronte al nostro amato Re, che nella sua
magnanimità ci fa l'onore di proporci di giocare con lui a Testa o Croce.
Lei, signorina, quando ancora non avesse fatto alcun lancio, avrebbe una
qualche ragione per dubitare *a priori* della buona fede del Re, o della
affidabilità della Zecca del Regno, o della onestà dei Regi Funzionari?
Prima che lei signorina mi risponda avventatamente, vorrei farle notare che
in questo Regno accusare qualcuno senza averne le prove è un delitto grave
di calunnia, e se poi la persona calunniata è la graziosa persona di Sua
Maestà o quella di uno degli Onorevoli Funzionari che Egli ha generosamente
eletto a rappresentarlo, allora non siamo più di fronte ad un semplice
calunnia, che già di per sé è grave, ma ad un atto odioso e sovversivo di
lesa maestà, che in questo Regno viene giustamente punito con la pena
capitale. Lei, signorina, è in grado di assegnare un valore *a priori* alla
probabilità della ipotesi H, senza commettere un arbitrio razionalmente
ingiustificato o un atto moralmente delittuoso?»
Che farà ora la povera Alice per togliersi dai guai?
-- 
Saluti.
D. 

 D.
Dirą:
"So di non sapere, e non sono neanche l'unica a saperlo".
Alice

 D.
Saluti
Chérie 

 ingiustificato o un atto moralmente delittuoso?»
Mio caro Sire, al giorno d'oggi le verità a priori dovrebbero
interessare soltanto ai metafisici. Voi che siete il Re, e quindi
più realista di ogni altro, dovreste sapere che le verità assolute
sono semplicemente *ipotesi non necessarie*.
Ben lo sanno i bari e i giocatori d'azzardo di ogni regno e,
a maggior ragione, quelli del Regno dei Trucchi. Nessuno di
loro avrebbe accettato di continuare a giocare per 100 lanci
a testa o croce in quelle condizioni. Avrebbero chiesto di
applicare le regole correnti, secondo le quali i giocatori
tirano a turno la moneta e scelgono a turno la testa o la croce.
Non ha importanza quale sia la verità in sé o, addirittura, se
esista una verità in sé, l'importante è costruire un modello
mentale che ci soddisfi. E io, del gioco precedente, non son
soddisfatta.
Ciao!!!  :o)
Livio

 Ma il Primo Matematico non ha ancora finito:

Urka! Temo di essere piu' ingenuo di Alice in matematica! Ma se l'amato Re
minaccia di staccarmi la testa. meglio che provi a cavarmela in qualche
modo.
Caro Re, mi scuserai se nella mia ingenuita' mal digerisco il soggettivismo
di Bayes e cerco di chiamare in mio disperato aiuto la legge dei grandi
numeri di Bernoulli e, in modo alquanto buffo ed improprio, il paradosso di
Goodman.
Vedi, soavissima Maesta', se la tua moneta fosse truccata su un numero
infinito tiri uscirebbe sempre testa (T) e mai croce (C):
TTTTTTTTTT...;
invece la mia monetina non e' truccata, e Bernoulli mi suggerisce che su un
numero tendenzialmente infinito di tiri la probabilita' che esca T eguaglia
quella che esca C.
Ma qui mi si chiede quale sia la probabilita' *a priori*  che la tua moneta
sia truccata, e allora io mi chiedo quale sia la *sequenza teorica* delle
uscite della mia monetina non truccata rispetto a quella della tua
probabilmente truccata.
Tale sequenza, io credo, se deve rispettare la legge di Bernoulli, puo'
essere questa:
TCTCTC...
Infatti se P(T)=1/2 come P(C)=1/2 in un numero tendenzialmente
infinito di lanci, qualsiasi permutazione all'interno della sequenza e' del
tutto indifferente, perche' comunque rispetta le probabilita' teoriche di T 
e
di C.
Allora io posso scrivere la mia sequenza anche cosi':
CCCCCCCCC ...TTTTTTTTTT.
Ma allora, seguimi bene perche' solo qui forse posso salvarmi la testa, la
mia ipotesi che la tua moneta sia truccata ha la stessa probabilita' di
essere *sicuramente* truccata quanto ne ha di non essere truccata la mia,
che *sicuramente* non e' truccata. Lo si vede chiaramente confrontando la
tua sequenza con la prima parte della mia. Dunque la tua moneta e'
sicuramente truccata se sicuramente e' truccata anche la mia. Non ti devi
dunque offendere se ti dico che la tua moneta e' truccata, perche' dobbiamo
dedurre che *tutte* le monete sono truccate, almeno in questo paese dove 
l'infinito si tocca con un dito. Vorrei completare il discorso
con quello che mi suggerisce Goodman, come accennavo. Ma puoi comprendere,
graziosa Maesta', la mia ansia di sapere il tuo responso. Se ho sbagliato
tagliami dunque la testa, ma fallo con docezza, come si addice a una bambina
innocente e desiderosa di tornare in quel paese delle meraviglie che
chiamano Filosofia.
Un deferente saluto,
Alice.

 sono semplicemente *ipotesi non necessarie*.
Ma se il Re deve sapere che le verità assolute in assoluto sono
semplicemente "ipotesi non necessarie", ossia se deve conoscere una verità
assoluta, allora il Re deve essere un metafisico per forza di cose.
Ma andiamo oltre, la stessa logica, con le sue leggi, non sono forse leggi
assolute?
E se lo sono, o se non lo sono, non e' forse, in ogni caso, una verita'
assoluta?
Forse che e' possibile pensare in termini di verita' non assolute?
Io sono convinto che siano necessarie anche solo per fare il primo abbozzo
di pensiero, le verita' assolute.
-- 
Emilio? Voil'him!
Ateo ed anarchico per grazia di Dio e volonta' della Nazione.
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 
http://www.newsland.it/news
 segnala gli abusi ad 
ab...@newsland.it

 In uno dei suoi tanti sogni strampalati, 
In tutto questo bel racconto non hai neppure definito cos'e' un gioco equo
in quel regno e per i regnanti, e quindi non hai definito neppure il
concetto di moneta truccata e non truccata in quel regno.
Un piccolo dettaglio insignificante il tuo, ma che andava chiarito.
Il comportamento della moneta del re e' diverso da quello della moneta di
Alice? Posso sempre definire che avere la probabilita' di 1/2 sia il
comportamento di una moneta truccata e che una moneta non truccata sia
quella con il comportamento probabilistico della moneta del re.
Insomma, si tratta di pesi e di misure.
Sarebbe come se tu ti fossi presentato con un tuo metro a misurare la
lunghezza del metro campione di Parigi per verificarne l'esatta misura,
quando il metro campione era quello e non la lunghezza d'onda di fotoni
prodotti in un fenomeno fisico riproducibile come si fa ora, ipotizzando
che il fenomeno dia luogo sempre alla stessa misura, o meglio, ad una
misura che utilizzata per misurare altri fenomeni fisici porti sempre a
risultati coerenti con le teorie della fisica.


 Che farà ora la povera Alice per togliersi dai guai?
C'è un'altro appioglio matematico: la teoria algoritmica dell'informazione.
Non me ne intendo ma sono convinto che nell'ambito di questa teoria si può 
dimostrare che per una moneta equa la sequenza di teste e croci deve essere 
"algoritmicamente casuale" con una probabilità  molto (ma molto) vicina a 1. 
Una sequenza si dice "algoritmicamente casuale" qualunque algoritmo in grado 
di riprodurla ha una lunghezza "comparabile" con la lunghezza della sequenza 
stessa... detto in altri termini se "zippi" un file di testo che riporta 
tutta la sequenza ottieni un file zippato che ha (approssimativamente) la 
stessa grandezza di quello originale.
E se ciò non fosse sufficiente Alice potrebbe anche tirare in ballo 
l'entropia di Shannon (se non altro per confonderli).
Ciao!! 

 sicuramente truccata se sicuramente e' truccata anche la mia.
Solo una cosa. E' truccata la moneta o l'ipotesi? Cioč, in questa frase: "la 
mia ipotesi che la tua moneta sia truccata ha la stessa probabilita' di 
essere *sicuramente* truccata", la probabilitŕ di essere sicuramente 
truccata viene riferita all'ipotesi. E' un lapsus o č proprio ciň che 
intendevi?
Salutoni,
Marco 

 vicina a 1.
Quello che dico mi pare sia più o meno confermato qui:
http://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_complexity
alla voce "compression". 

 primo abbozzo di pensiero, le verita' assolute.
Comode, non necessarie!
Ciao!!!  :o)
Livio

 Che farà ora la povera Alice per togliersi dai guai?
Non può far nulla, per fortuna!
Pensa che vita sarebbe, la nostra, se, *in casi siffatti*, si potesse
"far qualcosa"... in pratica, una vita "meccanicamente predeterminata".
Questo post mi ha fatto rimembrare il "Re dei Troll", SdC.
Come sai, Egli questo fa: ti "dimostra" che, qualsiasi cosa tu sostenga
(in particolare se orientata "a sinistra"), da un punto di vista *logico*
non è altro che una mera "supposizione", senza alcun "fondamento
reale" nè, tantomeno, *prove*.
Come dice bene Uahlim, noi esseri senzienti viviamo grazie alle
nostre "verità assolute", che però sono di natura *psicologica*
e non *logico-filosofica*...

 intendevi?
Acc! Che pasticcio a dover scrivere in fretta! Va riferita alla moneta! Non
solo: vedo anche il mio italiano un po' bislacco. Riscrivo la proposizione
piu' corretamente e per intero, perche' ne va della testa di Alice:-):
"Ma allora, seguimi bene perche' solo qui forse posso salvarmi la testa, che
la tua moneta sia truccata ha tanta probabilita' di essere *sicuramente*
truccata quanta ne ha di non essere truccata la mia, che *sicuramente* non
e' truccata".
In attesa che Re Davide mi tagli la testa lo stesso:-), ne approfitto per
qualche considerazione di contorno.
Certamente "truccato"  e' il quesito del Re, e la mia risposta sfrutta
questo trucco senza rivelarlo. Infatti la possibilita' *a priori* che la
moneta sia truccata implica che la legge di Bernoulli dei grandi numeri sia 
una legge deterministica (!) e non empirica. (Qui, per i filosofi che vanno 
sempre in cerca del pelo nell'uovo, sarebbe da discutere se una legge 
probabilistica si debba chiamare "legge", o non piuttosto "probabilita' di 
una legge"). Comunque, la probabilita' a priori che con una moneta non 
truccata esca T e' *sicuramente* 0,5, come lo e' *sicuramente* anche a 
posteriori, se la legge di Bernoulli fosse una legge deterministica sui 
grandi numeri.
Di qui il paradosso... di Alice, per cui se la moneta del Re e' 
"determinata" dal suo essere truccata, altrettanto lo e' quella di Alice, 
essendo "determinata" a rispettare la legge di bernoulli. Dunque "truccata" 
e' la moneta del Re come quella di Alice, e "non-truccata" e' moneta di 
Alice quanto quella del Re. perche' allora usare "truccata" invece che 
"non-truccata" (o altro termine equivalente)? Questione, direbbe Goodman, di 
"entrechment", di uso prevalso dei termini. Va infatti notato che il 
"paradosso di Alice" e' facilmente traducibile in quello di Goodman (il 
paradosso del blerde), *indipendentemente* dalla probabilita' che una delle 
due monete sia "truccata" oppure no.
Mi sa che il Re mi taglia la testa lo stesso, ma almeno mi lascia il tempo 
per un ultimo saluto:-)
Loris

 piu' corretamente e per intero, perche' ne va della testa di Alice:-):
        ^^^^^^^^^^^^^
!!:-))). Non era una battuta, questo il dramma!:-)
Loris

 l'entropia di Shannon (se non altro per confonderli).
Bene: parliamone :-)
Il nostro problema è quello di assegnare una certa probabilità "a priori" ad
una certa ipotesi H. Supponiamo ad esempio di non avere mai fatto
osservazioni fisiche, di essere una intelligenza che vive in un altro
universo (o magari dentro un computer) e siamo appena arrivati in questo
universo, quando qualcuno ci viene incontro e ci dice: «due corpi si
attirano sempre con una forza che è direttamente proporzionale al prodotto
delle loro masse e inversamente proporzionale al quadrato della loro
distanza». Per noi, che nemmeno sappiamo che cosa sta dicendo, è come se ci
presentassero il Disco di Festo:
http://www.mcgoodwin.net/pages/images/phdisk.gif
Oppure è un ingegnere elettronico, ed è convinto che tutte le "intelligenze
aliene" ragionano sicuramente in codice binario, per cui ci stringe la mano
sorridendo e ci consegna un bigliettino che dice:
«00011010101011101111111110001010100010111111110».
Qualcuno potrebbe pensare che la condizione di Alice non era poi così
"disperata", che Alice in fondo sapeva per lo meno il "significato" della
ipotesi H. Tuttavia come avrebbe potuto utilizzare questo "significato"? Ad
esempio sapendo che si stava parlando del conio di una moneta avrebbe potuto
prendere in considerazione tutto il processo di produzione della moneta, per
cercare di capire quale fosse la probabilità che una di quelle fasi di
produzione provocasse per qualunque ragione (che poteva essere accidentale,
o voluta, e su questo ovviamente Alice non avrebbe potuto insistere) una
moneta che tendeva a cadere sempre sullo stesso lato. Ma così facendo
avrebbe solo ricondotto la probabilità "a priori" P(H) alla probabilità "a
priori" di altri eventi. In ogni caso, se non vuoi compiere una regressione
infinita, prima o poi ti ritrovi di fronte ad un "messaggio" che devi
considerare *in sé*, svincolato da qualunque altra informazione che tu possa
avere. E anche il fatto di poter assegnare un certo "significato" al
messaggio ti diventa inutile, perché tu a quel punto stai supponendo di non
sapere nulla nemmeno dell'universo in cui ti trovi, per cui il fatto di
poter far corrispondere il messaggio ad uno "stato di cose" non ci serve a
nulla.
Dunque, abbiamo il nostro "messaggio nella bottiglia" x, e dobbiamo riuscire
ad assegnargli una "probabilità a priori" P(x), cioè una probabilità
dell'oggetto "in sé".
La prima cosa che possiamo fare è ragionare sui concetti di "probabilità" e
di "informazione". Infatti noi qui potremmo porci due domande che in qualche
modo ci sembrano correlate:
a) «Qual è la probabilità che x sia "vero", cioè descriva
    uno "stato di cose"?»
b) «Quanta informazione contiene x?»
*L'INFORMAZIONE SECONDO SHANNON*
Supponi che io venga a suonare tutto trafelato alla porta di casa tua alle
quattro di notte, svegliando la tua famiglia e tutto il vicinato, e dopo che
tu mi hai fatto sedere in salotto e mi hai dato un bicchiere d'acqua per
farmi riprendere un po', ti dico: «Ho un messaggio importante da darti. Dopo
mesi e mesi di calcoli sono in grado di dirti con certezza che "domani il
Sole sorgerà"». Di fronte ad una cosa del genere tu probabilmente mi
aizzeresti contro il cane. Perché? Perché non ti ho detto niente di nuovo,
ho svegliato te, la tua famiglia e tutto il vicinato per dire qualcosa di
ampiamente prevedibile, qualcosa che non è una "sorpresa" per nessuno.
E perché non è una sorpresa per nessuno? Perché il sorgere del Sole
domattina è un evento che consideriamo molto "probabile". Dunque, più un
evento è  probabile" e meno è la "sopresa" quando ci dicono che è accaduto o
sta accadendo o accadrà sicuramente. E cosa vuol dire che un certo messaggio
ci sorprende poco? Vuol dire che per noi quel messaggio porta poca
"informazione", non aggiunge molto alla nostra conoscenza dello "stato delle
cose".
Dunque ci deve essere un qualche legame fra la "quantità di informazione" di
un messaggio x e la "probabilità" di un evento, cioè di uno "stato di cose"
che in qualche modo (che ci può anche essere ignoto, come accade quando ci
imbattiamo in antiche iscrizioni di lingue morte che non sappiamo decifrare)
è descritto da quel messaggio. Siano dunque I(x) e P(x) l'informazione e la
probabilità associate a x. Siccome abbiamo capito che l'informazione aumenta
quando la probabilità diminuisce, possiamo prendere l'inverso di P(x), cioè
1/P(x), e imporre il primo requisito al nostro legame:
a) esiste una funzione f monotona crescente tale che I(x) = f(1/P(x));
La seconda cosa che possiamo osservare è che P(x) è compresa fra 0 ed 1, per
cui l'argomento di f, che è 1/P(x) va da 1 ad infinito, ed ha valore minimo
(cioè 1) quando P(x)=1, cioè quando x è certo. Ma se x è certo il messaggio
che ci comunica x non ha per noi alcuna informazione, dunque:
b) f(1) = 0;
In terzo luogo se mi fornisci due messaggi di seguito x e x', ed i messaggi
sono *indipendenti* (cioè il secondo non ci dice qualcosa che che diventa
più o meno prevedibile dopo aver ricevuto il primo), la nostra concezione
intuitiva di "informazione" ci fa dire che l'informazione complessiva che
otteniamo è data dalla somma dell'informazione dei due messaggi, cioè:
    I(x&x') = I(x) + I(x').
Sappiamo invece che le probabilità eventi indipendenti si moltiplicano:
    P(x&x') = P(x)P(x')
e questo vale ovviamente anche per l'inverso della probabilità. Dunque la
nostra funzione f deve strasformare dei prodotti in una somma, e questo è il
nostro terzo requisito:
c) f(ab) = f(a) + f(b)
Siamo in grado di trovare una funzione che abbia tutti questi requisiti,
cioè che sia monotona crescente, valga 0 in 1 e trasformi un prodotto in una
somma? Certo, la conosciamo bene, è il *logaritmo* (in qualunque base).
Dunque:
    I(x) = log(1/P(x)) = - log(P(x))
Questo, come sappiamo, è l'argomento classico di Shannon. Se l'ho ripetuto è
perché mi interessava isolare questa parte del ragionamento di Shannon da
tutto il resto, visto che come dici tu stesso, la "informazione secondo
Shannon" è una cosa diversa dalla "informazione algoritmica" (che, come
vedremo, potremmo anche chiamare "informazione secondo Chaitin, Kolmogorov e
Solomonoff").
*QUANDO SHANNON NON BASTA PIU'*
Quello che abbiamo detto fin qui vale (più o meno) per qualunque teoria
dell'informazione. Ma da qui in poi le strade si separano.
Infatti Shannon ipotizza che x sia uno dei valori possibili di una certa
variabile stocastica X di cui conosciamo *a priori* la distribuzione di
probabilità. Supponiamo, ad esempio, che la nostra X sia il risultato del
lancio di una moneta. Indicheremo con LancioMoneta questa variabile
stocastica. Ogni volta che lanciamo una moneta, la variabile LancioMoneta
assume un certo valore x, cioè si verifica l'evento LancioMoneta=x. Dunque x
è un elemento dell'insieme di tutti i valori che può assumere LancioMoneta.
Nel nostro caso questo insieme è {T, C}, dunque x può assumere solo i due
valori T e C. E qualcuno ci ha detto *a priori*, qual è la probabilità
associata ad ogni elemento di quell'insieme:
    P(LancioMoneta=T) = 1/2
    P(LancioMoneta=C) = 1/2
E siccome ripetere ogni volta la stringa "LancioMoneta=" ci sfinisce, se non
ci sono ambiguità (come invece accade quando abbiamo a che fare con diverse
variabili stocastiche) scriviamo semplicemente:
    P(T) = 1/2
    P(C) = 1/2
Comunque sia, la cosa importante è che ora P(x) è *data a priori*, per cui
possiamo usare la 1) per ricavare I(x). Nel nostro caso, usando un logaritmo
in base 2 (che equivale a misurare l'informazione in bit), si ottiene:
    P(T) = P(C) = -log2(1/2) bit = 1 bit
come era prevedibile.
Noi però nell'affrontare il problema di Alice abbiamo ipotizzato di essere
in una condizione in cui *di x non sappiamo nulla*. Non sappiamo di quale
"insieme di alternative possibili" faccia parte, né ci hanno fornito delle
informazioni a priori sul modo in cui la probabilità è distribuita su
quell'insieme.
E' evidente che siamo "nel vuoto", come un astronauta alla deriva nella sua
navicella. E siccome siamo nel vuoto, e non sappiamo nemmeno dire se siamo
noi a muoverci o è quel piccolo meteorite che ci ha appena sfiorato, per
prima cosa dobbiamo trovare un sistema di riferimento che possa risultare
abbastanza "universale". Perché prima o poi qualche ipotesi la dobbiamo
fare, ma bisogna che sia una ipotesi che possa essere fatta anche "nel
vuoto".
Il nostro astronauta da questo punto di vista è fortunato, perché dopo un
po' si accorge che le stelle "sullo sfondo" appaiono immobili l'una rispetto
all'altra, e dunque con buona approssimazione possono essere usate come
"sistema rigido" (la famosa "Sfera delle Stelle Fosse"). Ma noi, che faremo
noi di fronte ad un messaggio che ci proviene da un universo di cui non
sappiamo ancora nulla? Dove troveremo le nostre "stelle fisse"?
Ed è questo punto che ci vengono in aiuto Turing e Church.
*LE MACCHINE DI TURING E LA "TESI DI CHURCH-TURING"*
Nel 1936 Turing ideò una "macchina virtuale" che a partire da certi dati
eseguiva su di essi una serie di operazioni ricorsive tratte da un insieme
finito di operazioni elementari. Indicando con TM (Turing Machine) una di
queste macchine, se n è il dato fornito alla macchina essa produce un
risultato che possiamo indicare con TM(n), sicché essa si comporta di fatto
come una "funzione".
Ovviamente si potevano definire una infinità di macchine di questo tipo, ma
Turing dimostrò che era possibile definire una certa "macchina virtuale
universale" in grado di simulare tutte le altre macchine. Indicando con UTM
(Universal Turing Machine) questa macchina universale, affinché essa possa
simulare una certa macchina TM alla quale venga fornito un dato di ingresso
n, bisogna fornire ad UTM non solo n, ma anche dei dati p che
descrivono il funzionamento della macchina particolare TM. Avremo dunque:
    UTM(p,n) = TM(n)
dove p  dipende solo dalla modo in cui è stata "programmata" TM.
Oggi diremmo che TM è una "macchina dedicata", cioè uno di quegli apparecchi
che eseguono solo un certo compito, ad esempio la moltiplicazione di numeri,
eccetera. Invece UTM è quello che oggi chiamiamo "computer", ovvero una
macchina che quando gli si passi un certo "programma" p è in grado di
simulare una specifica "macchina dedicata".
Questo "programma" può essere realizzato con uno specifico linguaggio di
programmazione, e matematicamente può essere descritto da un tipo
particolare di funzione matematica, che viene definita "funzione ricorsiva",
perché a sua volta può essere ottenuta componendo in una certa sequenza
alcune funzioni elementari, il che è la versione matematica di ciò che fa
una TM quando applica in modo ricorsivo certe operazioni a dei dati, anche
in funzione dei dati di volta in volta ottenuti durante il processo di
elaborazione.
Turing, assieme a Church, riteneva che questo modo di operare potesse
riprodurre meccanicamente e formalmente ognuno di quei processi mentali che
intuitivamente definiamo "algoritmo". In altri termini, qualunque
"costruzione" possa essere definita usando il linguaggio naturale, deve
essere realizzabile per mezzo di un opportuna TM. E siccome una TM può
essere simulata da una UTM (cioè un "computer") al quale sia fornito un
opportuno programma p, ne viene che un computer "ideale" (cioè non avente
limiti di tempo e di spazio) dovrebbe essere in grado di riprodurre
qualunque algoritmo. Dal momento che non possediamo una definizione formale
di "linguaggio naturale" (ché anzi se ce l'avessimo sarebbe un paradosso!)
non possiamo ottenere una prova formale di questa asserzione, e non possiamo
fare altro che considerarla una sorta di legge empirica che, come tale,
resta in attesa di essere eventualmente falsificata dai fatti, anche se fino
ad oggi non è accaduto, oppure - se è accaduto - non tutti se ne sono
accorti :-) E siccome i matematici non sopportano l'idea di fondare la loro
disciplina su una legge empirica falsificabile, allora quella di Church e
Turing viene di volta in volta definita "congettura" o "tesi", o con qualche
altro eufemismo sufficientemente asettico.
Nel frattempo i computer non sono più macchine virtuali impiegate in
esperimenti concettuali, ma sono stati realizzati in varie "generazioni", e
non si riesce proprio ad immaginare un qualche compito che intuitivamente
definiremmo "algorirmo" e che non possa essere implementato per mezzo di
qualche programma che gira su un computer.
Dunque, ricapitolando, i seguenti oggetti sono tutti equivalenti fra loro:
1) macchina di Turing TM (= "macchina dedicata");
2) programma p che "gira" su una macchina di Turing universale UTM
    (= "computer");
3) funzione ricorsiva;
e, se la congettura di Church-Turing è fondata,
4) ciò che viene definito "algoritmo" nel linguaggio naturale.
Bene, abbiamo congetturato che ogni possibile "algoritmo" possa essere
riprodotto da un computer, ma in che modo possiamo utilizzare questa
congettura per trovare le "stelle fisse" entro le quali collocare il nostro
messaggio x?
*(NEO)PLATONISMO ALGORITMICO*
Arrivati qui di solito i matematici e gli informatici si lanciano in un
putiferio di notazioni, ma tutto questo putiferio serve semplicemente a
celare "come la pensano sul mondo" (anche se magari non lo sanno).
E ciò che  essi pensano è che se ci imbatte in qualche oggetto x di un
universo qualsiasi, se anche di quell'universo non sappiamo nulla una cosa
la sappiamo: che *esiste un certo "algoritmo" che può produrre x*.
Per giustificare questa asserzione possiamo ricorrere al concetto di "Dio"
(che poi, alla fine, verrà lasciato al suo posto o rimosso come una scala
wittgensteiniana, a seconda che uno voglia crederci o meno) inteso come
"creatore dell'Universo".
Sappiamo bene che sotto sotto tutti i matematici sono (neo)platonici.
In altri termini:
1) il Dio dei matematici è sì infinito e onnipotente, ma anche lui non può
    violare le "necessità" della matematica e della logica;
2) questo Dio crea l'Universo "pensandolo", cioè le cose esistono perché
    sono presenti le Idee delle cose nel Logos, nell'Intelletto di Dio.
Leggiamo ad esempio cosa dice Chaitin in _From Philosophy to Program Size_
circa i fondamenti filosofici (ma anche "teologici", o comunque
"metafisici") della _Teoria della Informazione Algoritmica_ (qui di seguito
AIT: _Algorithmic Information Theory_):
http://www.cs.auckland.ac.nz/CDMTCS/chaitin/eesti.html
Il passaggio che ci interessa è questo:
----------[inizio citazione]---------
AIT goes beyond Leibniz by positing that *a theory is a computer program*,
and that *the size in bits of this computer program is the complexity of the
theory*. AIT makes Leibniz more precise! AIT emphasizes the common features
in these four diagrams:
scientific theory   =>   *Calculations*   =>   experimental data
program   =>   *Computer*   =>   output
axioms   =>   *Deduction*   =>   theorems
Ideas   =>   *Mind of God*   =>   The World
*Following Leibniz, in each of these diagrams the input on the left must be
much smaller than the output on the right.*
----------[fine citazione]----------
Lasciamo da parte (per ora, perché poi diventerà il cuore di tutto questo
discorso) la faccenda delle "dimensioni" (cioè i riferimenti alla "size in
bists" o al "much smaller"), e concetriamoci solo su quelle analogie.
Chaitin ci sta dicendo che ci sono delle Idee nella Mente di Dio, e pensando
quelle Idee egli crea il Mondo. Come dicevo poco fa, se uno non crede in Dio
può usare una "come se", affermando che il Mondo ha certe particolari
proprietà che sono quelle che avrebbe se fosse un "l'output di un algortimo
del Logos".
Certo, qui qualcuno potrebbe osservare che noi non possiamo sapere quali
sono le caratteristiche di un possibile output dell'Intelletto di Dio. Ma
questo non dovete dirlo ai matematici ed ai logici, perché per i matematici
se vale la tesi di Church-Turing per l'intelletto umano essa vale anche per
quello divino. Dio rispetto all'uomo ha solo una quantità infinita di
memoria ed una frequenza di clock infinita (o, in alternativa, può
processare in parallelo delle stringhe di lunghezza infinita), ma i principi
sui quali si fondano l'intelletto di Dio e quello dell'Uomo sono gli stessi.
E' in questo senso che i matematici ed i logici interpretano il passo del
Genesi 5:1, che dice: «Nel giorno che Dio creò l'uomo,
lo fece a somiglianza di Dio».
Dunque, l'Universo è l'output di una vera UTM, una Macchina di Turing
Universale senza limiti di memoria e di frequenza: chiamiamola Dio.
Ora siamo quasi pronti per risolvere il nostro problema. Prima però dobbiamo
rispondere a questa domanda: «Quali e quante Idee sono presenti
nell'Intelletto di Dio?»
La risposta a questa domanda per un (neo)platonico è facile: «Tutte!».
Più precisamente, sono presenti tutte le "Idee possibili", cioè qualunque
cosa non sia contraddittoria, qualunque cosa non debba neccessariamente non
esistere.
E siccome il Logos è una UTM, dobbiamo pensare ad una sorta di Biblioteca
Infinita di tutti i possibili programmi. Scriviamo tutte possibili stringhe
costituite da sequenze di "0" e "1" e carichiamole nella memoria di un
computer: tutte le stringhe che "girano" e producono un output fanno parte
della nostra Biblioteca, costituiscono il repertorio di tutte le possibili
Idee, ed ogni cosa che esiste nell'Universo (qualunque Universo) è
l'"output" di una certa Idea.
*PROBABILITA' E INFORMAZIONE ALGORITMICA*
Dunque, se veniamo gettati in un universo di cui non conosciamo nulla, e ci
imbattiamo in un oggetto x, qual è la "probabilità a priori" P(x) di x?
Semplice: decodifichiamo quel x in linguaggio binario, poi prendiamo una
UTM, ci facciamo girare sopra tutti i possibili programmi p, e vediamo quali
programmi p producono un output UTM(p)=x.
Se ora vogliamo sapere qual è la probabilità che in un certo Universo
compaia l'oggetto x, dobbiamo semplicemente calcolare la probabilità che Dio
faccia girare uno dei programmi p che hanno x come output. Più precisamente,
se indichiamo con P(p) la probaiblità che Dio faccia girare p nel Logos,
abbiamo che P(x) è uguale alla somma di tutte le P(p) con p tale che
UTM(p)=x. In forma più concisa:
    P(x) = somma{P(p) ; UTM(p)=x}
Già, ma qual è la probabilità che Dio faccia girare un programma p piuttosto
che un altro?
Qui qualcuno direbbe che non possiamo certo conoscere le intenzioni di Dio
fino a questo punto. Ma il nostro matematico non è tipo da darsi vinto per
così poco. Egli infatti è sempre convinto che Dio possa fare qualcunque cosa
tranne l'assurdo, dunque non ci può essere nessun oggetto x la cui
probabilità risulti maggiore di 1, perché "al massimo" un oggetto può essere
"certo" (ovvero "necessario"), ma non può essere "più che certo" (ovvero
"più che necessario").
Dunque, bisogna trovare una distribuzione P(p) tale che comunque si fissi x
quella somma, che è una sommatoria di infiniti termini, sia convergente e
converga ad un numero minore o uguale di 1.
La ricerca di questa P(p) ha occupato tutta la seconda metà del XX secolo,
ed assomiglia alla ricerca del Sacro Graal.
I lavori di Chaitin, Kolmogorov, Solomonoff, Levin, Gacs e altri dimostrano
che se il programma p è scritto senza "sprecare spazio" (cioè, come si dice,
con un "codice a prefisso"), allora la distribuzione P(p) è quella che si
ottiene dal *principio di indifferenza o equiprobabilità*.
A questo proposito ricordiamo che un programma è una certa sequenza di "0" e
"1". Ora, per produrre a caso un programma p, basterà lanciare un moneta e
scrivere "1" ogni volta che viene Testa e "0" ogni volta che viene Croce (o
viceversa). La probabilità di ottenere un certo programma p sarà dunque pari
a 1/2 elevato al numero di bit che compone p, ovvero la sua lunghezza, che
indicheremo con |p|. Dunque:
    P(p) = (1/2)^|p|
A questo punto siamo pronti calcolare la "probabilità a priori" di un
oggetto x, la quale - come dicevamo - sarà la somma delle probabilità che
venga fatto girare un qualuque programma p che abbia x come output:
    P(x) = somma{(1/2)^|p| ; UTM(p)=x}
Questa somma ha delle proprietà particolari, che ci consentono di effettuare
delle approssimanzioni molto utili. Proviamo infatti a riflettere sui
singoli termini, che hanno tutti la forma (1/2)^|p|.
Supponiamo ad esempio che ci sia un programma di lunghezza 3 bit, ed un
programma di lunghezza 5 bit. Il primo ha probabilità 1/8, mentre il
secondo, che ha solo 2 bit in più, ha probabilità 1/32, cioè 4 volte più
piccola. Dunque i programmi molto lunghi hanno un peso trascurabile in
quella sommatoria. Anzi, si può dimostrare che essa è in gran parte
determinata dal termine corrispondente al programma più breve. Se indichiamo
con p_min(x) il programma più breve che dà x in uscita, il "termine
dominante" è dunque (1/2)^|p_min(x)|.
Ma in che senso è "dominante"? Ebbene, si può dimostrare che l'effetto di
tutti gli altri termini è approssimativamente quello di moltiplicare il
termine dominante per una costante, per cui vale con una certa
approssimazione la seguente equazione:
    P(x) = (1/2)^|p_min(x)| x C
Ora, è vero che finché non calcoliamo esattamente quella costante c non
siamo in grado di dire qual è esattamente la probabilità a priori di un
oggetto x nel quale ci siamo imbattuti appena siamo sbarcati in un certo
universo. Tuttavia già ora siamo in grado di calcolare il rapporto fra due
probabilità a priori, che - come ricorderai - era proprio il problema di
Alice. Per le note proprietà degli esponenti abbiamo infatti,
approssimativanete:
    P(x)/P(x') = (1/2)^|p_min(x) - p_min(x')|
Non solo, ma supponiamo di voler passare dalla probabilità di x alla
informazione contenuta nella stringa x. Dal momento che ora disponiamo di
una "probabilità a priori" (che, per come pensiamo sia fatto il Logos, è una
"probabilità algoritmica") siamo anche in grado di calcolare una
"informazione a priori" (che è dunque una "informazione algoritmica").
In altri termini, se siamo appena sbarcati in un certo universo e ci
imbattiamo in un qualunque "segnale", siamo in grado di dire quanta
informazione contiene quel segnale "a priori", cioè a prescindere dal fatto
che sia stato prodotto da un essere dotato di volontà e linguaggio
simbolico, ed anche a prescindere da quale sia  l'eventuale codifica fra
questo segnale e lo "stato delle cose". Questa informazione a priori, o
informazione algoritmica, è - come sappiamo-:
    I(x) = log(P(x))
Al solito, visto che siamo su una macchina binaria, scegliamo per il
logaritmo la base 2, in modo tale che
l'informazione sia espressa in bit. Dunque:
    I(x) = log2(P(x)) = log2[ (1/2)^|p_min(x)| x C ] = |p_min(x)| + log2(C)
Da cui, posto C'=log2(c), rimane:
    I(x) = |p_min(x)| + C'
Quindi l'infomazione algoritmica contenuta in una stringa x è pari, a meno
di una costante, alla lunghezza del programma più breve che fatto girare su
una UTM fornisce x in output. Si tratta, in sostanza, di "zippare al
massimo" la stringa x. Ora, è evidente che se una stringa x è "semplice",
nel senso che contiene delle regolarità, sarà più "zippabile" di una stringa
"complicata". Quindi il valore |p_min(x)| ci dà anche una misura di quanto
una stringa sia "complicata".
Abbiamo quindi tre diversi problemi che portano tutti, come esito, ad
individuare la quantità |p_min(x)| come quantità cruciale. E questi tre
problemi sono posti dalle seguenti tre domande:
1) «Qual è la "probabilità a priori" di una stringa x?»,
    ovvero: «Quanto è "random" una stringa x "in sé"?»
2) «Qual è l'"informazione" contenuta in una stringa x "in sé"?»
3) «Quanto è "complicata" una stringa x?»
Negli anni '60 del secolo scorso, quasi contemporaneamente (ma - almeno
all'inzio - anche indipendentemente l'uno dall'altro) Solomonoff, Chaitin e
Kolomogorov si posero queste domande e, per le ragioni che ora dovremmo aver
compreso, arrivano più o meno agli stessi risultati, anche se magari quello
che per uno fu il punto di partenza per un altro fu il punto di arrivo.
La differenza principale fra i tre è che Chaitin fin dall'inzio cominciò a
ragionare in termini di programmi e macchine di Turing, perché Chaitin è
sostanzialmente un esperto di algoritmi e informatica (è un ricercatore
della IBM, non un accademico, e solo da poco è diventato dottore, honoris
causa). Invece Solomonoff era un matematico più tradizionale, che si
occupava di induzione bayesiana, e fu avvicinato al problema della
"induzione automatizzata" da Minski, che è uno dei padri nobili della
cosiddetta Intellingenza Artificiale e all'epoca stava appunto cercado di
capire come si potesse insegnare ad una macchina a fare delle induzioni.
Quanto a Kolmogorov, anche lui partì dalla matematica pura, chiedendosi
quanto fosse "casuale in sé" una certa stringa (o un certo numero), e quale
fosse la relazione fra la "casualità in sé", l'"informazione" e la
"complessità".
Il valore |p_min(x)| si indica di solito con K(x) ed è chiamato "complessità
di Kolomogov". Io fino a qui ho usato il termine "complicato", perché in
seguito agli sviluppi della cosiddetta "scienza dei sistemi compessi" ci si
è resi conto che "complesso" non è la stessa cosa di "random". Il "rumore
bianco" che si vede sullo schermo del televisore quando si stacca il cavo
dell'antenna è assolutamente "random" (e come tale "incomprimibile"), ma a
nessuno verrebbe in mente di associarlo all'output di ciò che definiamo un
"sistema complesso", soprattutto se per "sistema complesso" intendiamo un
"sistema complesso adattativo". Dunque, per evitare ambiguità ho preferito
parlare di "complicazione", e coerententemente con questo punto di vista
dovrei dire che K(x) è la "complicazione di Kolomogorov", inventandomi un
termine che non esiste. La cosa migliore da fare è usare il simbolo che
ricorda Kolomogorov, cioè K(x), e poi riferirsi ad esso con il termine di
"informazione algoritmica" o "contenuto di informaizione algoritmica".
*CHAITIN, GOEDEL E DIO*
Ora che abbiamo fatto tutta questa faticaccia, possiamo fermarci e chiederci
se abbiamo davvero risolto del tutto il problema che ci eravamo posti
all'inizio, quello di stabilire la "probabilità in sé".
La risposta è che non lo abbiamo risolto del tutto, per almeno due ragioni.
1)
La prima, alla quale sono maggiormente sensibili i matematici, è che il
valore K(x) sarà anche la soluzione di tutti i nostri problemi, ma ha un
piccolo difetto: non è calcolabile!
Infatti, come ha dimostrato Chaitin, quando noi troviamo un programma p che
dà come output x, non possiamo mai essere sicuri che non esista un altro
programma più piccolo che possa dare lo stesso output. Chaitin ha dimostrato
che non esiste alcun algoritmo che ci possa consentire di ricavare con
certezza p_min(x) con un numero finito di operazioni, né può esistere un
algoritmo che, dato un certo programma p che dà x, ci possa dire se quello è
il più breve dei programmi che danno x. Dunque, come dicevamo, K(x) non è
calcolabile.
Si possono mettere a punto una serie di metodi di approssimazione
probabilistici, ovvero che forniscono K(x) e P(x) con una certa
approssimazione ed una certa probabilità. Dobbiamo dunque scegliere fra
*completezza* e *calcolabilità*. Se definiamo un algoritmo che sia in grado
di cogliere tutte le possibili regolarità presenti in una stringa (ovvero
che sia in grado di "zipparla al massimo") allora quell'algoritmo non
produce un risultato in un tempo finito, dunque non è calcolabile. Se invece
vogliamo la calcolabilità, allora c'è sempre una qualche probabilità che al
nostro algoritmo sia sfuggita una qualche regolarità, e che esista un modo
per "zippare" ulteriormente la stinga x. Non solo, ma non sappiamo nemmeno
stimare di quanto potrebbe essere ulteriormente zippata una stringa. Un
certo algoritmo potrebbe continuare per anni a vedere una grande
"complessità" in una certa stringa x, e poi improvvisamente scovare in essa
una grande "semplicità". E noi non possiamo mai sapere "quanto manca della
notte", né se la notte - con quell'algoritmo che stiamo usando e su quella
particolare stringa x - è destinata a passare.
Ora, il fatto che si debba scegliere fra completezza e calcolabilità,
ricorda un po' il teorema di Goedel, che ci impone di scegliere fra
*coerenza* e *completezza*. E non a caso il teorema di Goedel può essere
dimostrato come corollario del teorema di Chaitin. D'altra parte nelle
analogie di Chaitin che avevo riportato sopra già egli ci aveva spiegato che
"in un certo senso" c'è una equivalenza fra una *teoria scientifica*, un
*programma*, un *sistema di assiomi* e le *Idee* presenti nell'Intelletto di
Dio. Tutti questi possibili "contenuti" contengono una serie di "istruzioni
elementari" che quando vengono applicate ricorsivamente sono in grado di
creare (o riprodurre) un certo "mondo", che nel caso di una teoria
scientifica sono i risultati sperimentali, nel caso di un programma è il suo
output, nel caso di un sistema di assiomi sono i teoremi di quel sistema e
nel caso delle Idee sono l'Universo, il Mondo.
Ebbene, il fatto che a partire da una stringa x non si possa ricavare con
certezza il programma più breve che produce quella stringa come output, ci
dice che non possiamo mai essere certi che a partire da un certo insieme di
osservazioni sperimentali possiamo trovare la teoria più semplice che spiega
tutti i risultati di quelle osservazioni. Diciamo che il nostro rasoio di
Ockham non può mai essere perfettamente affilato, ed è impossibile che
esista il Rasoio Perfetto. Analogamente, a partire da un certo insieme di
enunciati che sappiamo essere veri, non possiamo trovare con certezza un
sistema minimo di assiomi che produca tutti quegli enunciati come teoremi e
solo quelli, e se per assurdo ipotizziamo che ciò sia possibile (cioè se
pretendiamo di avere un numero irriducibile di assiomi che producono come
teoremi tutti gli enunciati veri) allora arriviamo ad una contraddizione. Ed
è proprio quello che ci dice il teorema di Goedel.
Questo limite è il primo grande problema della teoria della informazione
algoritmica. Va detto, tuttavia, che ciò non impedisce ai calcolatori di
trovare dei risultati utili in tempi ragionevoli ed in un gran numero di
casi. Dobbiamo rinunciare al Rasoio Perfetto, cioè al rasoio che possa
tagliare qualunque tipo di barba, ma ciò non significa che non ne possiamo
costruire uno di buon acciaio, e tenerlo bene affilato, quel tanto che basta
da consentirci di mandare avanti con successo un negozio da barbiere, che
sappia soddisfare la maggior parte dei clienti, o - se vogliamo - che dato
un certo cliente abbia ottime probabilità di poterlo soddisfare.
2)
Il secondo problema interessa molto meno i matematici e molto di più i
filosofi, ed è legato a quella ipotesi che sta "sotto" tutto questo
discorso, ovvero che il mondo reale, quello in cui compaiono gli oggetti x,
sia fatto davvero "come se" fosse uscito dalla mente di un Intelletto
Algoritmico. Anzi, per la precisione le ipotesi che abbiamo fatto sono due:
a) la prima è quella che abbiamo appena enunciato, ovvero che il mondo reale
    sia il prodotto di un Intelletto Algoritmico;
b) la seconda è che questo Intelletto Algoritmico usi la stessa
    distribuzione universale P(p) per prudurre tutti gli oggetti x che sono
    nel mondo; se è così, allora - come ho detto - esiste una sola P(p)
    possibile, e noi siamo in grado di dire qual è, cioè sappiamo trovare
    il Sacro Graal.
Ora, è veramente fatto così il mondo? Che ragioni abbiamo per ipotizzare che
sia fatto così?
In particolare, queste ragioni sono "a priori", o "a posteriori"?
Le ragioni "a posteriori" potrebbero essere tratte dalla constatazione che
usando quella certa distribuzione universale per mettere a punto degli
"algoritmi induttivi" i nostri algoritmi dopo un po' riescono a trovare
delle buone "teorie". Ad esempio portiamo il nostro computer al casinò, gli
inseriamo i numeri che escono dalla roulette, e a mano a mano che passa il
tempo il nostro algoritmo è in grado di dirci con sempre maggiore certezza
se quella roulette è truccata o meno. Infatti se l'algoritmo non trova
nessuna regolarità, anche dopo mille numeri, è molto probabile che la
roulette non sia truccata. Ma se dopo un po' l'algoritmo comincia a dirci
che ogni volta che si fa girare la roulette c'è un certo numero (che può
anche non essere sempre lo stesso) che è significativamente più probabile di
altri, e noi decidiamo di giocare il numero che di volta in volta ci dice di
giocare l'algoritmo, e vinciamo, e continuamo a vincere finché non arriva il
direttore a dire che il banco è saltato (oppure ci sparano, perché magari ci
siamo intromessi in un metodo di pagamento della criminalità organizzata),
allora potremmo dire "a posteriori" (o, nell'altro caso, lo potrebbero dire
"i posteri" :-) ) che il nostro metodo "funziona", cioè che anche in quel
caso il mondo reale si è comportato "come se" fosse proprio uscito da un
Intelletto fatto in un certo modo. Se poi il nostro metodo mostrasse di
"funzionare" in molte circostanze diverse, allora potremmo arrivare alla
conclusione che alla fine ci conviene vivere "come se" le cose stessero
effettivamente così, anche se magari non è vero. Infatti in questo modo
vivremo una vita piena di cose che "funzionano", e poi quando non ci saremo
più non avremo più il problema delle cose che funzionano o non funzionano.
Una sorta di "scommessa di Pascal", che però sarebbe una scommessa
sull'Aldiquà anziché sull'Aldilà. O, se vogliamo, l'equivalente deistico (o
immanentista) della scommessa di Pascal.
Quanto alle possibili ragioni "a priori", ho l'impressione che in questo
campo la matematica stia diventando una vera e propria metafisica teologica
di stampo neoplatonico che però, incredibilmente (ma non troppo) riesce
anche a "sublimarsi" ed a diventare un "oggetto di consumo", e come tale
capace di soddisfare sia le esigenze del marketing sia quella di edificare
un nuovo "credo universale". Ma di questo parleremo eventualmente in
un'altra occasione, perché ora sono un po' cotto. (Anzi, sinceramente non ho
nemmeno voglia di rileggere tutto quello che ho scritto, per cui vorrai
scusarmi se in certi passaggi hai dovuto districarti in mezzo ai refusi
tipografici, sviste logico-matematiche, o qualche costruzione sintattica
sgangherata.)
-- 
Saluti.
D. 

 
http://en.wikipedia.org/wiki/Kolmogorov_complexity
Va bene, ti ho appena dato una "rispostina" in proposito. Spero che il
robocoso riesca a digerirla, ché è un po' pesa ;-)
-- 
Saluti.
D. 

 eguaglia quella che esca C.
Certo, su un numero *infinito* di tiri. Ma il Re non ha fatto infiniti tiri.
Ne ha fatti solo 100, che rispetto ad infinito è proprio una inezia.
Pensa ad esempio a 100 granelli di sabbia rispetto a tutta la sabbia
del mare!
E tu, usando un teorema che vale solo quando si prende tutta la sabbia del
mare e non vale altrimenti, vuoi venirmi a muovere una accusa infamante di
truffa su una faccenda che riguarda solo 100 granelli di sabbia? Certo che
hai una bella faccia tosta! Mi sa che ci sono gli estremi per ipotizzare il
reato di lesa Maestà, altroché! :-)
-- 
Saluti.
D. 

 per un ultimo saluto:-)
Solo il pronunciarsi del Re, potrà tagliare la testa...al toro:-).
Cari saluti,
Marco 

> ancora non disponiamo di alcun dato
_prima ancora_.
Un saluto e non sporcatemi la camicia di schizzi di sangue, ché l'ho appena 
lavata!:-),
Marco 

 ha scritto nel messaggio 
news:43a47...@newsgate.x-privat.org...

Gulp!!! La leggerò durante le vacanze di Natale:-))).
(quando ho letto l'incauto LordB. fare riferimento implicito a Chaitin, mi 
son detto: "ahia, questo è un punto forte di Davide!";-)).
Un saluto,
Marco
 

 Algoritmico.
Qualcuno potrebbe pensare che gli esempi, come quelli di Chaitin, nei quali
si tira in ballo Dio servano solo per i testi "divulgativi", e che i
matematici negli articoli che scrivono per le riviste non parlino di Dio.
Ora, è vero che negli articoli che vanno sulle riviste prestigiose di
matematica e informatica non si parla mai del Logos e della Mente di Dio, ma
questo, per chi sia anche solo appena smaliziato, dovrebbe essere una prova
a favore della mia tesi. Anche perché se uno passa trent'anni su una
equazione non mi si venga a dire che in quella equazione trova una forma di
"salvezza".
Ma a prescindere da queste mie valutazioni personali, vorrei fare un esempio
tratto da un ambiente "non divulgativo". Innanzi tutto diciamo che il testo
di riferimento in assoluto per questo settore della matematica è
_An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications_
di Ming Li e Paul Vitanyi. Eccolo:
http://homepages.cwi.nl/~paulv/kolmogorov.html
Lo stesso Solomonoff in un suo articolo esprime il seguente giudizio su
questo testo: «For a history of discoveries in this field, as well as
detailed treatment of the discoveries themselves, the book of Li and Vitanyi
is *unexcelled*».
Questa è la pagina personale di Paul Vitanyi
http://homepages.cwi.nl/~paulv/
dove troviamo i lucidi delle lezioni sui vari corsi che tiene in giro per il
mondo.
Ed ecco uno dei numerosi lucidi che usa per introdurre il problema della
_Hypothesis Selection_:
http://snipurl.com/kvc6
Si osservi che nella _Bayes Rule_ compare proprio quello che aspettavamo,
cioè il «Prior Given By "God"» :-)
Qualche decina di lucidi più avanti arriviamo qui:
http://snipurl.com/kvc9
dove incontriamo una certa "universal probability" m(x) tale che
    -log2(m(x)) = K(x)
da cui
    m(x) = (1/2)^K(x)
Della serie: «Se "God" il "Prior" non ce lo dà, ce lo prendiamo da soli!»
;-)
C'è anche un "tocco poetico": laddove io ho usato una fredda variabile x,
Vitanyi  disegna un fiore stilizzato, e sulla copertina del suo libro c'è
proprio una rosa. Viene da pensare al «stat rosa pristina nomine, nomina
nuda tenemus». Questa volta la domanda però è cambiata, ed è diventata
questa: «Qual è la probabilità a priori di una rosa, di una rosa in sé?»
La risposta è, appunto, nella Mente di Dio. Ovvero: il ritorno dalla
scolastica (aristotelica) alla patristica (neoplatonica).
Siamo sempre lì.
-- 
Saluti.
D. 

 _prima ancora_.
Sì, Alice aveva deciso di giocarsi la carta "bayesiana". A rigore Loris, per
aiutarla, avrebbe dovuto cercare di darle una mano sulla "probabilità a
priori". Invece Loris ha deciso di cambiare completamente strategia, e
cercavo di seguirlo (e di raggiungerlo ;-) ) anche su questa strada.
Cioè, mi sembra di capire che Loris abbia lasciato perdere il P(H), ma forse
non ho capito bene il suo discorso ed il tuo, al quale sto rispondendo.
Nel frattempo provo ad aggiungere un piccolo post sul "Prior" e "God", così
magari ci capiamo meglio.
-- 
Saluti.
D. 

 magari ci capiamo meglio.
Devo ancora leggere il tuo post...one:-) (che si preannuncia 
interessantissimo), né voglio, per una volta, interferire nella discussione 
tra due vecchi amici. Ipotizzavo, sostanzialmente, che proprio perché 
trattavasi di una "probabilità a priori", Loris era autorizzato a prendere 
in considerazione la "legge" di Bernoulli. Ma su questo, credo, potrà 
chiarire Loris.
Un saluto,
Marco 

 cercavo di seguirlo (e di raggiungerlo ;-) ) anche su questa strada.
Infatti, ho proposto ad Alice di adottare l'approccio frequentista di von 
Mises-Reichenbach, che come sai rifiuta il soggettivismo bayesiano. Tuttavia 
non penso di essere "andato fuori tema", come mi rimproveri nel post 
precedente:-). Infatti se abbiamo una sequenza di n lanci di una moneta, P 
la probabilita' "vera" che ad ogni lancio esca testa (T), e F come frequenza 
relativa dell'uscita di T misurata ad ogni lancio, allora per la legge di 
Bernoulli F-->P (dove "-->"="tende a...") per n-->infinito. Dunque la 
"probabilita' a priori" che esca T non e' altro che P della formula di 
Bernoulli, con la sola differenza che la legge di Bernoulli deve 
considerarsi come legge *deterministica*. Detto questo Alice e' 
perfettamente legittimata ad assumere questo approccio e a proseguire nel 
ragionamento, che gia' ho fatto, e che porta al paradosso per cui il Re non 
puo' tagliarle la testa.
Con l'occasione ti ringrazio per il notevole (in tutti i sensi) post di 36 
Kb, che ho appena iniziato a leggere, ma che richiede ancora parecchio tempo 
per essere digerito dal non troppo robusto stomaco di Alice:-).
Ciao carissimo,
Loris

 Marco
Un saluto
Chérie 

 avranno le sue parole.
Eh, lo sai che non ho un debole per la soluzione linguistica elaborata da
quel bastardo di Humpty Dumpty, che vuole traviare la povera Alice:-). 
Ma la metto in un modo che forse ti interesserà. Per sottarti
all'autoritarismo del Re, che con le sue parole vuole poter decidere la
vita e la morte dei suoi sudditi, finisci in un autoritarismo forse anche
peggiore. Quello consistente nell'immaginare un "nostro potere" *sul*
linguaggio.
Io credo che né il Re né i suoi sudditi abbiano potere sul linguaggio,
perché i segni veicolano già, in ciascun contesto, una componente
semantica - un significato - costituito. Possiamo sì dire che non ci sono
nessi necessari e che dunque il nesso significante-significato è il
risultato di una interpretazione. Ma allora sarà su questa
interpretazione, che un "nostro potere" non avrà mai modo di costituirsi.
Un saluto,
Marco
-- 


 Marco
Un saluto
Chérie 

 interpretazione, che un "nostro potere" non avrà mai modo di costituirsi.
Parole sante, Danton!:-). Ma il bello e' che il linguaggio stesso del Re e' 
la rovina del Re. "Il Re e' nudo!", sul palco del paradosso su cui si 
staglia la ghigliottina della contraddizione. Anche se a una fanciulla 
morigerata come Alice conviene arrossire e distogliere lo sguardo:-).
Buona domenica a tutti,
Loris

 morigerata come Alice conviene arrossire e distogliere lo sguardo:-).
Sģ, lo spettacolo del Re nudo č particolarmente disgustoso. Specie se 
ricalcante, anatomicamente, certe vignette "spadoliniane" del buon 
Forattini:-).
Saluti domenicali anche a te,
Marco 

 d'essere.
Teoresi a parte (ad esempio: se il linguaggio è "solo uno strumento 
necessario", lo si impugna alinguisticamente? O forse quella "necessità" è 
tale da ricondurre l'impugnamento del linguaggio entro un territtorio esso 
stesso linguistico?), io credo che la liberazione dell'uomo dalla "rigidità" 
e dalla "fissità", può facilmente consegnarlo nelle mani di una precisa 
volontà di dominio. E' l'ombra proiettata dagli entusiasmi umanistici della 
nostra epoca civilizzatrice. E quest'ombra proiettata è, forse, la nudità 
dell'umanismo? Qui non sono possibili "dimostrazioni", che conducano una 
struttura concettuale a collimare perfettamente con una situazione storica. 
Ci vuole un po' di fiuto, da segugi della filosofia:-).
Un saluto,
Marco
Un saluto,
Marco 

 D. 
salutoni,
  pino
P.S. la cultura ufficiale -- avvallata dal consenso implicito del corpo 
     sociale che, illudendosi con la liberta' di pensiero, rafforza il 
     potere costituito con la forza dell'inerzia, dell'usanza, della 
     tradizione e del cosiddetto "buon senso comune" -- e' sempre fatta 
     di Re che possiedono il potere di assolvere o condannare in nome 
     della "ragione" o del "torto" ... Dalla prosopopea dei faraoni alla 
     menzogna del Cristo, dai sacrifici umani dei Maya sino alla 
     liberta' della democrazia parlamentare moderna e' e continua ad
     essere cosi', anche nel mondo delle "idee"!
--
La <<ragione>> nel linguaggio:
ah, quale vecchia donnacola truffatrice!
Temo che non ci sbarazzeremo di Dio
perche' crediamo ancora nella grammatica...

 Marco
Un saluto,
Chérie 

    P(x) = somma{(1/2)^|p| ; UTM(p)=x}
Mmmmm... Questa definizione di probabilità a priori ha dei problemi: una 
conseguenza spiacevole è che così la "probabilità a priori" di avere una 
sequenza "tipica" di teste e croci è più piccola della probabilità a priori 
di avere una sequenza di sole teste... Non so qual'è il punto di vista con 
cui dovremmo guardare a questo fatto. Certo: in un universo popolato da 
output di programmi generati casualmente la cosa può sembrare più 
ragionevole, però non sembra applicabile al nostro universo "fisico". 

 permittimi dunque di dissentire profondamente.
Intendevo la stessa cosa:-). Ma in questo senso: i segugi "della" (gen
sogg.) filosofia sono i segugi "della" (gen.ogg.) verità. Che però, pare
essere come quell'uccello di cui parla Aristotele, pronto a spiccare il 
volo. Ed è la regola del gioco. (sì che potrebbe spiccare il volo anche la 
verità di questa regola). Il mio padrone ha già rinnovato la licenza di 
caccia, ed il tuo, segugina di icfm?:-).
Un saluto (amichevolmente scherzoso sul finale),
Marco

 Marco
Un saluto à la Chérie
;-) 

 nostro universo "fisico".
Invece mi pare funzioni meglio di quanto potrebbe sembrare. Prova ad
aggirarti casualmente nell'universo, prendi delle sequenze qualunque, e
dimmi quante volte ti capita di incontrare una successione di oggetti tutti
uguali o equivalenti, come "11111111111111111111", oppure una successione
nella quale due tipi di oggetti si intercalano esattamente secondo lo schema
seguente: "00111011110110101110110000100".
-- 
Saluti.
D. 

 a) esiste una funzione f monotona crescente tale che I(x) = f(1/P(x));
Se ho fatto quella (banalissima) premessa di cui sopra, è anche per
chiederti una cosa qui. Parli, inizialmente, di un "messaggio x" - sì che,
mi pare di poter dire che qui la "x" denota il messaggio. I(x), dunque, sarà
la quantità di informazione del messaggio x, che cioè il messaggio x riesce
a veicolare. Poi introduci la probabilità P(x). Ma qui la x denota non più
il messaggio, ma l'evento cui si riferisce il messaggio (nel nostro caso:
"domani il Sole sorgerà") o no? Perché se assumiamo che "x" denota sempre il
messaggio, allora "P(x)" dovrà essere inteso come la probabilità che *il
messaggio* accada, cioè come la probabilità collegata all'evento consistente
nella emissione del messaggio.
[ho letto solo di sfuggita il resto del post, dunque ti prego di scusarmi
casomai questo mio interrogativo trovasse risposta più sotto].
Un saluto,
Marco

 o qualche costruzione sintattica sgangherata.
Beh, il passo sulle "Stelle Fosse" mi e' piaciuto:
pensavo volessi affrontare il problema dei buchi neri!
Ciao
Pinco


Mio amato Sire,
l'accusa è una tesi, non un'ipotesi.
Se però anche l'ipotesi venisse percepita come offensiva o calunniosa,
direi che sia possibile ragionare non con H, ma con 1 - H (che dovrebbe
essere il contrario di un'accusa: più è considerabile offensiva H,
più è "contrario-di-offensivo" 1 - H.
Cordialmente,
Alice

 Livio
-- 
Emilio? Voil'him!
Ateo ed anarchico per grazia di Dio e volonta' della Nazione.


 quella di oggetti personali!) un FURTO!
Sarà, ma prova ad andarlo a dire al Re ;-)
-- 
Saluti.
D. 



il teorema dell'orda di scimmie dattilografe dice, piu' o meno, cosi':
  ----------
  se addestro un'orda enorme di scimmie a pestare -- a caso -- sui tasti 
di altrettante macchine da scrivere la probabilita' di gran lunga piu' 
alta e' che ci escano sequenze assolutamente prive di senso ...
  ... ma se il numero di scimmie dattilografe e' mokto alto ed il tempo 
dedicato alla scrittura molto lungo la probabilita' che tra tanti fogli 
imbrattati senza senso ci esca un sonetto di Sakespeare aumenta di uno 
0.00000000000000000000000000000000000000000x %
  ... ed infine, se miliardi di scimmie dattilografe continuassero a 
pestare sui tasti per miliardi di anni sarebbe praticamente 
"inevitabile" che un foglio contenga qualcosa di sensato e compiuto!
  ----------
  Forse la vastita' (nel tempo e nello spazio) dell'universo cosi' come 
lo ipotizziamo ora e' la risposta al fatto curioso che in un pianeta (o, 
forse, altri ...) di un sistema solare, di una galassia, di un ammasso 
di galassie tra le tante, un'orda di scimmie si sia trasformata sino a 
Dio, alla "cosa in se'", alla superstizione, al gioco enigmistico della 
"logica formale non concreta", raggiungendo cosi' una degenerazione 
rispetto ai fenomeni naturali piu' normalmente probabili ...
  pino


 darti ragione.
Io per pensare uso normalmente la stessa logica che usi tu, solo
che non la penso assoluta, ma la considero una conoscenza
assiomatica come tutte le altre. Supponi di incontrare un extraterrestre
abituato ad usare la logica fuzzy. Egli è molto intelligente e quando
scopre che tu invece usi il *tertium non datur*, si accorda sulla tua
lunghezza d'onda logica e così potete dialogare.
Ciao!!!  :o)
Livio

 che la moneta che genera i programmi non lo sia.
Non ho detto esattamente questo.
Mi sono chiesto: se ipotizziamo che la distribuzione P(p) debba essere
"universale" (=  "Dio" costruisce il suo repertorio di programmi da lanciare
sempre nello stesso modo, indipendentemente dal fatto che l'x da produrre
sia una rosa o un cavallo) qual è la P(p) che non produce risultati assurdi?
Chiaramente P(p) deve essere tale da rendere quella sommatoria sempre 
convergente e minore di 1, per ogni possibile x. E come è fatta una 
distribuzione P(p)
che ci assicura quella convergenza? Ebbene, è proprio una distribuzione del 
tipo:
    P(p) = 2^|p|
(Se vogliamo possiamo anche "raffinarla" un po'. Ad esempio dobbiamo
assicurarci che il programma p non sia scritto in modo "ridondante",
dobbiamo trovare il modo di evitare le eventuali duplicazioni di codice,
eccetera eccetera, però la distribuzione sostanzialmente è quella.)
Poi, una volta che ho dimostrato che la "distribuzione universale" è quella,
posso anche osservare che quella distribuzione è la stessa che si otterrebbe
se "Dio" costruisse tutti i programmi possibili lanciando una moneta non
truccata. Ma questa è una conseguenza, non una premessa. La premessa è che
Dio usa la stessa distribuzione P(p) per costruire ogni cosa.
Se poi questo non è vero, e se per ogni possibile x "Dio" stabilisce
liberamente e indipendentemente quale sia la frequenza con la quale si debba
incontrare x in un certo universo, allora il "prior" non può che essere
«given by "God"». Tuttavia se noi partiamo dall'ipotesi che "Dio" sia
conoscibile facendo uso della sola ragione, otteniamo quella P(p) 
"universale", la usiamo per fare delle induzioni e vediamo che "funziona", 
questo potrebbe confermarci che quella ipotesi di "conoscibilità" ci ha 
messo sulla strada giusta.
-- 
Saluti.
D. 

 moneta non truccata.
Ecco, non ho capito dove sta la dimostrazione che quella
sia la distribuzione universale. A me la mia Q(p) sembra
"bella uguale" rispetto alla tua P(p). No?


 Non occorre che sia assoluta, è sufficiente che sia condivisa.
Ma vedi, la circostanza che la verità x è tra noi condivisa, deve essere
tra noi condivisa, ecco, questa circostanza semplice circostanza deve
essere comunque una verità assoluta.
Mentre tu puoi affermare che basta che sia opinione condivisa tra noi due
il fatto che la verita' x sia condivisa tra noi due.
Ecco, ma che differenza c'e' tra verità assoluta e verità condivisa il
fatto che noi due condividiamo la verità del fatto x.
Ossia, che differenza c'e' tra la verita' condivisa che due giocatori
condividono la convinzione di giocare a scacchi con le regole degli
scacchi e la verita' assoluta che ci sono due persone che giocano a
scacchi condividendone le regole?


 sequenza di sole teste...
Perche' dici cio' ?
La dimensione di una stringa zippata dipende dallo zippatore;
noi abbiamo progettato WinZip in modo che assegni codifiche
brevi alle stringhe ripetute perche' essendo quelle che nella
pratica informatica si incontrano piu' spesso risulta
conveniente che risultino piu' comprimibili a scapito delle
altre; ma lo zippatore "Dio" non siamo noi a costruircelo a
nostro uso e consumo, e non e' tenuto a replicare il
comportamento dei nostri programmi per PC.
Percio' non vedo motivi per cui Dio dovrebbe dare codifiche
brevi alle sequenze ripetitive e lunghe a quelle "tipiche",
potrebbe benissimo fare il viceversa.
Ciao
Pinco
-- 


 moneta non truccata.
Ecco, non ho capito dove sta la dimostrazione che quella
sia la distribuzione universale. A me la mia Q(p) sembra
"bella uguale" rispetto alla tua P(p). No?
Ciao


 probabilità a priori di avere una sequenza di sole teste...
Perche' dici cio' ?
La dimensione di una stringa zippata dipende dallo zippatore;
noi abbiamo progettato WinZip in modo che assegni codifiche
brevi alle stringhe ripetute perche' essendo quelle che nella
pratica informatica si incontrano piu' spesso risulta
conveniente che risultino piu' comprimibili a scapito delle
altre; ma lo zippatore "Dio" non siamo noi a costruircelo a
nostro uso e consumo, e non e' tenuto a replicare il
comportamento dei nostri programmi per PC.
Percio' non vedo motivi per cui Dio dovrebbe dare codifiche
brevi alle sequenze ripetitive e lunghe a quelle "tipiche",
potrebbe benissimo fare il viceversa.
Ciao


 potrebbe benissimo fare il viceversa.
"Dio" in questo contesto è una UTM su cui girano tutti i programmi (=
"Idee", nel senso di Platone) possibili.
Ora, per generare una stringa di un milione di "1" devi semplicemente
scrivere un loop che per un milione di volte scrive "1". Invece se hai una
stringa di un milione di caratteri e la stringa è totalmente incomprimibile,
cioè "random", l'unico programma che la può generare è un programma nel
quale sia scritta per esteso la stringa di un milione di caratteri.
-- 
Saluti.
D. 

 nulla di assurdo; e se non sono distinti... neanche.
No. Tu sei appena arrivato in un universo di cui non sai nulla, e "incontri"
tre stringhe: x1, x2 e x3. Ti chiedi: qual è la "probabilità" di queste tre
stringhe, ovvero: con quale frequenza posso aspettarmi di incontrarle in
questo universo?
E' chiaro che per ogni stringa devi tenere presente *tutti* i possibili
programmi che la possano generare. Se tu conosci un particolare programma p1
che può generare la stringa x1, quello è solo uno dei possibili programmi 
che
possono fare "apparire" x1. Ma se vuoi conoscere la "probabilità a priori"
tu i programmi li devi prendere in considerazione *tutti*.
-- 
Saluti.
D. 

 scacchi condividendone le regole?
Puoi fare tutte le regressioni all'infinito che vuoi, la differenza è
sempre che la condivisione è necessaria e l'assolutezza no.
Anche di ciò che ho appena detto. Anche di ciò che ho appena
detto. Anche di ciò che ho appena detto...
Ma facciamo un esempio più pregnante: invece di giocare a
scacchi, giochiamo a dimostrare il teorema di Pitagora. Ne
han fatte talmente tante di dimostrazioni che si può giocare
per una serata intera senza ripetere mai la stessa. _Ovviamente_
*condivideremo* la verità del quinto postulato di Euclide,
anche perché io e te sappiamo che questo postulato _non_
è verità assoluta. Prima di Lobacevskij lo pensavano, però.
E nota che, nella sua geometria non euclidea, la somma dei
quadrati sui cateti non è più necessariamente uguale al
quadrato sull'ipotenusa. Ne *convieni* ?  :o)
Ciao!!!  :o)
Livio
Ciao!!!  :o)
Livio

 sempre che la condivisione è necessaria e l'assolutezza no.
Ma l'esistenza di questa differenza che asserisci, ed il fatto che la
condivisione e' necessaria mentre l'assolutezza, ad esempio il fatto che
tale condivisione sia necessaria non e' detto che sia necessaria, e' una
verita' assoluta o solo condivisa tra te e te?
Ma anche l'affermazione che tale condivisione non e' detto che sia
necessaria, e' un fatto assoluto oppure no?
Ossia e' per forza vero o per forza falso oppure no?
Capisci che solo per pensare sono costretto a pensare in termini di o
cosi' o pomi'?
Certo, tu puoi dire che pensare io debbo ipotizzare il pomi' od il cosi'
che in realta' non ci sono.
Ma la circostanza che io per pensare o per comunicare debba pensare in
questi termini e' di per se' una verita' assoluta.
Anche se poi di per se' la realta' e' complicata e contraddittoria e non
esistano sempre verita' assolute.


 verita' assoluta o solo condivisa tra te e te?
Come tra me e me?  :o)
Seguimi:
1) Prima ipotesi: x è una verità assoluta.
2) Io e te, esseri razionali, convinti dell'assolutezza di x, non
possiamo non condividerla.
3) Condividendo x, traiamo varie conclusioni che ci soddisfano.
4) Ora che la condividiamo, chiediamoci: la sua assolutezza
è *necessaria*? La risposta è no, tutto avrebbe funzionato
ugualmente. Ciò non toglie che x potrebbe essere verità
assoluta, o che tu od io od entrambi possiamo *credere*
che sia verità assoluta (o credere in dio o nell'unicorno rosa).
Esemplificando:
1) Per un punto passa una e una sola parallela ad una retta data.
2) Pensiamo che sia vero in assoluto e ne facciamo un assioma.
3) Formuliamo il teorema di Pitagora e ci divertiamo a trovare
varie dimostrazioni. La cosa ci soddisfa. La condividiamo.
4) Possiamo fare a meno dell'assolutezza del 5.o postulato
di Euclide? Capperi se possiamo! Eppure continuiamo ad
usare con soddisfazione il teorema di Pitagora.
Ora ti chiedo: tutto ciò che ho detto, lo condividi o pensi
che sia verità assoluta? Se lo condividi, bene. Se pensi che
sia verità assoluta, lo condividi comunque.  :o)
Ciao!!!  :o)
Livio

 tu i programmi li devi prendere in considerazione *tutti*.
E io li sto prendendo in considerazione tutti.
Ma per non complicarmi la vita inutilmente, ho fatto in modo che
il contributo alla probabilita' risultante per x di quasi tutti
i programmi sia nulla, o se preferisci sufficientemente
infinitesima da spostare il risultato in modo irrilevante - quel
che fai anche tu approssimando il risultato della somma al
contributo del programma piu' corto, solo che io lo faccio meglio
e scelgo il programma "dominante" con un criterio che non e'
quello della lunghezza.
Vabbe' che siamo nel paese dei trucchi, ma il tuo illusionismo
mi sembra veramente grossolano - o, se c'e' qualcosa che mi
sfugge, prova a palesarmelo.
Grazie


 scrive "1".
E qui casca l'asino :-)
No che non basta dire "scrivi un milione di uno". Per quanto
detto sopra, l'input che devi dare all'UTM non e' solo "scrivi
un milione di uno", ma anche la descrizione di un agente che
sia in grado di eseguire quel comando, cioe' un intero essere
umano che capisca la lingua italiana! Quanti bit diventano?
Se cosi' non fosse, anziche' dire "scrivi un milione di uno"
sarebbe lecito dire "write 1000000 1", o anche "w 1E6 1",
o anche "w1M1" o anche, una volta accordatisi che anziche'
"chi tace acconsente" vale "chi tale scrive un milione di 1",
potresti legalmente zippare un file da un milione di caratteri
"1" in un file... vuoto!!
In altre parole, quello che si da' in pasto alla UTM non puo'
essere un file zippato .zip e basta: deve essere un .exe
autoestraente, fatto del .zip e delle istruzioni su come
esploderlo, che poi e' una descrizione di "come" e' stata
fatta la compressione, cioe' una descrizione di WinZip stesso,
"rovesciata" in un estrattore.
Noi sappiamo che Winzip e' ottimizzato per riconoscere e
comprimere in pochi bit lunghe sequenze di byte ripetuti,
quindi l'estrattore e' viceversa in grado di produrre
lunghe sequenze di byte uguali a partire da tali manciate di
bit; ma se a Winzip dai in pasto la stringa
"3,1415926535897932384626433832795" lui non e' in grado di
comprimertela in "pi greca con 31 decimali", o semplicemente
con "P31", e ti dice "questa non e' comprimibile e la lascio
intonsa".
A fronte di questa deficienza, io ti posso produrre un
WinZipDue che comprime "3,1415926535897932384626433832795"
come "P31", purche' accetti il prezzo di sacrificare la
codifica ad esempio di "PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP",
per la quale dira' "questa non e' comprimibile e la lascio
intonsa".
Conclusione:
Siccome stiamo ragionando "a priori", non sappiamo se Dio
ragioni come WinZip o come WinZipDue: non ci sono motivi
logici (ma solo teo-logici) per preferire Dio a DioDue,
e che siano "privilegiate" le stringhe ripetitive rispetto
a quelle aperiodiche e' tutto da dimostrare. Con altre
argomentazioni, se volete, ma non certo con quella della
comprimibilita'.


 D. 
salutoni ...........


seb...@tele2.it
 ha scritto:
Hai ragione, quello che hai affermato e' una verita' assoluta!
Ossia che non sia necessaria una verita' assoluta e' una verita' assoluta!
Contento?
-- 
Emilio? Voil'him!
Ateo ed anarchico per grazia di Dio e volonta' della Nazione.
questo articolo e` stato inviato via web dal servizio gratuito 


 persuasivo ... :)
Sì, effettivamente in quel caso il messaggio fu forte e chiaro :-)
Ma spero che ci siano anche soluzioni meno cruente :-/
-- 
Saluti.
D. 

 palesarmelo.
Ho cercato di pensare ad un modo per spiegarmi meglio senza fare un uso
massiccio della matematica, ma sinceramente non ho idea di come fare.
Il problema che stiamo affrontando prende le mosse negli anni '60, quando
il matematico Martin-Lof mise a punto la definizione di "sequenza random" da
un punto di vista "universale", dopodiché negli anni '70 altri matematici
- come Levin, Schnorr, Chaitin, Gacs ed altri - dimostrarono che quella
definizione doveva essere espressa necessariamente usando la complessità di
Chaitin-Kolmogorov o qualche sua variante prossima.
Si tratta di oltre dieci anni di discussioni che si sono svolte alle "alte
sfere" della matematica, e che io per primo riesco a seguire con una certa
fatica, per cui non sono in grado di tenere né un "corso specialistico
completo" (che comunque avrebbe poco senso in un ng di filosofia) né tanto
meno un "corso divulgativo", il quale è solitamente più difficile del primo
perché richiede una acquisizione perfetta di tutti i concetti e tutti i
passaggi.
Se poi ti piacciono i testi specialistici ed hai acesso alla biblioteca di
una facoltà scientifica potresti dare una occhiata a questi articoli:
[1] P. Martin-Lof, "The definition of random sequences",
     _Information and Control_, 9:602-619, 1966
[2] L.A. Levin, "On the notion of a random sequence",
     _Soviet Mathematics Doklady_, 14:1413, 1973
[3] C. P. Schnorr, "Process complexity and effective random tests",
     _Journal of Computer and System Sciences_, 7(4):376-388, 1973
[4] P. Gacs, "On the symmetry of algorithmic information",
     _Soviet Mathematics Doklady_, 15:1477-1480, 1974
[5] G.J. Chaitin, "A theory of program size formally identical
     to information theory",
     _Journal of the Association for Computing Machinery_, 22:329-340, 1975
[6] L.A. Levin, "Laws of information conservation (non-growth)
     and aspects of the foundation of probability theory",
     _Problems in Information Transmission_, 10:206-210, 1974
Oppure, per una rassegna ad ampio respiro (ma sono quasi 700 pagine),
questo:
[7] M. Li and P.M.B. Vitanyi, _An Introduction to Kolmogorov Complexity and
its Applications_, Springer-Verlag, New York, 1993
Se poi ci fosse ancora qualcosa di poco chiaro direi di continuare la
discussione in "it.scienza.matematica", magari con l'aiuto degli utenti di
quel ng, perché - come dicevo - io per primo per approfondire avrei bisogno
dell'"assistenza" di matematici esperti.
-- 
Saluti.
D. 

 Contento?
contento?
  NO, proprio no!
la rinuncia all'assoluto rafforza cio' che e' ormai fuori ed aldisopra 
da dubbi ed evoluzioni. La mancanza di verita' assolute considera, per 
esempio, che la geometria euclidea e' una verita' assoluta ... 
ovviamente nell'ambito di premesse ben precise: su un piano o dove la 
curvatura e' trascurabile!
Quindi, sino ad ora, non mi sono espresso bene e vivevo nell'illusione 
(tutti hanno le loro illusioni ... :) che la cosa fosse ovvia ... :-/
Contento [tu], ora?
ciao.............................. :)


  NO, proprio no!
E hai ragione, Pino. Se "non c'e' verita' assoluta" e' una verita' assoluta, 
allora non puo' essere verita' assoluta, altrimenti sarebbe una falsita' 
assoluta:-). Ma tu prova a chiedere a Uahlim se c'e' falsita' assoluta, e 
dovra' concedere che la tua e' verita' assoluta:-)
Piuttosto, un... gaudente natale a te, a Uahlim e a tutti: senza trucco e 
senza inganno, neppure linguistico:-)
Loris

 Loris
Un saluto
Chérie 

 una personificazione dell'idea del natale :-/
Accidenti e' vero! Siamo nel Paese dei Trucchi. Allora dovro' scrivere in 
maiuscolo: Natale. Ma allora quale natale potro' augurare a Natale?:-)
Ciao,
Loris

 Loris
Ciao
Chérie 

 chi è Natale?
Potrebbe essere il padre di Natalino come Pasquale lo e' di Pasqualino, 
oppure
il S. Natale gesuita, martire nel 1649 in Canada, che non si festeggia a 
Natale ma il 16 marzo..., insomma anche la semantica ha il suo buon grado di 
relativita' rispetto ai parlanti:-). Non e' neppure escluso che il *buon 
natale*, che ti auguro io di cuore, in realta' voglia significare un *buon 
compleanno*!:-)
Loris

 Loris
Un caro saluto,
Chérie 

 è il tuo compleanno?
No, il mio e' il giorno prima; ma la prossimita' di un gesuita mi crea un 
certo malumore:-)
Di nuovo saluti,
Loris

 Loris
Un saluto
Chérie 

 Cosimo.
Un saluto
Chérie 

 Cosimo.
Ciao
Chérie 



ecco:
  ... senza trucco linguistico ...
E' sempre il "trucco delle parole" che ci invischia; io, riguardo a 
verita' o falsita', non mi cimento con teoremi di falsicabilita' e 
simili, ma mi chiedo se funziona ed ho scoperto che (tanto per fare un 
esempio ... :) il "flogisto" e' stata verita' reale per piu' tempo che 
non l'attuale chimica ... Che significa questo?
  forse che dobbiamo tornare al flogisto? ... direi di no, ma non 
possiamo scordare l'unica verita' importante: il concetto di evoluzione 
e relativita' di ogni valore
  auguri a tutta la brigata di segaioli mentali di cui sono parte :)


 D. 
salutoni ed auguri,


 quadrato sull'ipotenusa. Ne *convieni* ?  :o)
C'è solo un problema:
che cos'è un "quadrato" nelle geometrie non-euclidee?
Se la dimostrazione dice di essere geometrica mentre si sposta indebitamente
su un concetto di "quadrato" che è aritmetico e non geometrico (e quello
aritmetico è palesemente euclideo), allora il discorso che hai fatto va
giusto bene come trucco nel paese di Alice :-)

"qf":

Beh, direi che il teorema di Pitagora può non valere in qualunque
geometria non euclidea, sia geometricamente che aritmeticamente.
Certo che nell'astrazione delle geometrie non euclidee è difficile
immaginarsi che cosa siano le cose di cui parliamo, la modellizzazione
mentale 3d che usiamo solitamente non funziona. Possiamo però
per analogia lavorare su una superficie sferica, come quella
terrestre (non è la stessa cosa, ma aiuta). Su essa che cos'è una
retta? Un cerchio massimo. Esiste almeno una parallela ad una
retta data passante per un punto esterno? Manco una: qualunque
altro cerchio massimo la incrocia. La somma degli angoli interni
di un triangolo è pari a 180°? Manco per niente. Etc.
Ciao!!! :o)
Livio
"Non c'è ramo della matematica,
per quanto astratto, che non
possa essere applicato un giorno
a fenomeni del mondo reale."
[Nikolai Ivanovich Lobachevsky]

 di un triangolo è pari a 180°? Manco per niente. Etc.
Sì, ma linee equidistanti per tutta la loro estensione si definiscono anche 
qui. I "paralleli" appunto (e la distanza si misura proprio sui meridiani, 
ossia proprio su "rette" e quindi l'equidistanza è rigorosa). E uno dei 
paralleli è una retta (l'equatore) essendo una circonferenza massima. Col 
che si ha il paradosso secondo cui una linea equidistante in ogni punto da 
una retta non è una retta.
In ogni caso non c'è ragionamento che si possa fare nelle geometrie non 
euclidee che non debba appoggiarsi ai concetti di quella euclidea, e con non 
poche difficoltà logiche (es. la definizione e quindi la misura degli 
angoli), così che si deve concludere che le prime non sono che degenerazioni 
della seconda. Se poi la realtà fisica preferisce essere non euclidea, beh, 
vedremo di cavarcela ugualmente :-)
Ciao.
qf 

 vedremo di cavarcela ugualmente :-)
Sorge spontanea una domanda alla Marzullo:
Ma la geometria euclidea è così com'è perché noi percepiamo
un mondo euclideo (o addirittura perché il mondo è euclideo in
sé) o noi percepiamo un mondo euclideo perché siamo più
capaci a lavorare in un mondo euclideo che in qualunque altro?
[se vuoi: l'evoluzione ci ha dato una mente 3D perchè necessaria
e sufficiente per i nostri scopi di sopravvivenza].
Pensierino in avanti:
Einstein ci ha dimostrato che un mondo quadridimensionale
è più giusto di quello 3D. Altri ipotizzano anche più dimensioni.
Eppure noi continuiamo a ragionare in tre. Di qua sembrerebbe
che noi vediamo il mondo come vogliamo (o possiamo) vederlo.
Pensierino indietro:
Supponiamo che il mondo sia finito (non è poi tanto improbabile).
Supponiamo anche che una particella più piccola di un tot non
esista. E supponiamo anche che la posizione sia quantizzata
come l'orbita di un elettrone. A questo punto tutto l'universo (e
la sua forma) sarebbe numerabile e potrebbe essere descritto
da una sola dimensione come una retta, ma neppure infinita
(una stringa?). Le 3 dimensioni sarebbero solo una comodità
del nostro cervello, un espediente matematico per modellizzare
ciò che circonda in modo efficiente.
Ciao!!!  :o)
Livio

 ciò che circonda in modo efficiente.
Condivido. Tra l'altro sono dell'opinione che la "scomposizione" del
continuum spazio/tempo a quattro dimensioni avvenga *proprio* a livello
celebrale, per una sorta di comodità evoluzionistica (o quantomeno, per
dare senso ad un universo che sarebbe solo un insieme di campi e di onde
elettromagnetiche, per non parlare delle particelle), e che noi percepiamo
"ordinatamente" uno spazio tridimensionale ed una sola dimensione temporale
come una "freccia" unidirezionale entro cui avvengono "eventi" T1, T2,
T3... . Tutte queste considerazioni mi sembrano sorprendetemente
sottovalutate dalla riflessione filosofica contemporanea, almeno a partire
da Einstein in poi. E' uno dei motivi per cui mi sembra semplicistica, ed
ingenua al tempo stesso, ogni descrizione "materialistica" dell'universo
che ci circonda.
Forse in questa concezione rientrano latenti reminescenze bergsoniane.
Ciao. 
-- 
< Nathan > ~ email 
nata...@despammed.com
 ~
«All I ever wanted - All I ever needed
Is here in my arms - Words are very unnecessary
They can only do harm» (Enjoy the silence, Depeche Mode)

 che noi vediamo il mondo come vogliamo (o possiamo) vederlo.
La quarta dimensione di Einstein è il tempo, e dal nostro punto di vista 
umano ci sono seri problemi a considerarlo allo stesso modo di una 
dimensione spaziale perchè noi interagiamo con il tempo in modo 
completamente diverso (non possiamo "tornare indietro" ne fermarci nel 
tempo).

 Forse in questa concezione rientrano latenti reminescenze bergsoniane.
Quale Bergson? Quello di "Durata e simultaneità" ?  :o)
Non l'ho letto, ma mi dicono che è esilarante (suo malgrado)
nel tentativo di confutare la relatività fisica. L'ho sempre sostenuto
che *Bergson* è la traduzione in francese del nostro *Bergonzoni*!
Ciao!!!  :o)
Livio

 tempo).
Interessante. Dal momento che secondo Einstein tu saresti fatto da quello
stesso "continuum/spazio-temporale", non vedo come tu possa interagire con
una parte di cui è fatta la tua stessa coscienza. A meno che tu non abbia
l'intrinseca capacità di estrarre te stesso da *questo* continnum...
"Interagire" non mi sembra l'espressione esatta... semmai "percepire", il
che è sensibilmente diverso.


 che *Bergson* è la traduzione in francese del nostro *Bergonzoni*!
Certo. Ma un cognome di per sé non significa nulla.
Ciao! :-)


 nel tempo).
"Non possiamo non dirci tridimensionali" :o)
Ma per quanto ne sappiamo oggi, non mi sembra che ci siano
ostacoli a *tornare indietro*. Alcune particelle di antimateria lo
fanno sotto i nostri occhi, se non sbaglio. Magari per tornare
indietro bisognerà diventare antimateria, qualunque cosa voglia
dire ciò. Molti dicono che se si potesse *tornare indietro* si
creerebbero situazioni paradossali. Ma mi piace considerare che
anche il paradosso dei gemelli (quelli che viaggiando a velocità
diversa, invecchiano in modo diverso) ci sembrò paradossale
ed ora non più di tanto.
Ciao!!!  :o)
Livio

 Certo. Ma un cognome di per sé non significa nulla.
Certo certo. Anzi, scusa tu la mia insostenibile leggerezza.
L'è che quando mi appresto a scoprire l'universo, poi mi
viene da scherzarci un po' su, per non prendermi troppo
sul serio. Né io potrò aiutarti a conoscere Bergson che
conosco pochissimo.
A me resta il dubbio se queste tre dimensioni siano
davvero soltanto la nostra modellizzazione della realtà
percepita o se siano qualche cosa di granitico là fuori.
Lo spazio stesso ha qualche cosa di profondamente astratto.
Ha senso lo spazio senza materia? La filosofia e la relatività
generale dovrebbero arrivare alla stessa conclusione: non
ne ha. Ma non so citarti filosofi che siano riusciti a trattare
la cosa.
Ciao!!!  :o)
Livio