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1,889	旧課程(-2012年度)高等学校数学B	太字文 2003〜2012年の数学Bはで構成されていた。 2012〜2021年の数学 B は、によって構成されていた。 2022年〜の数学Bはで構成されている。センター試験では数学 B において「数列」・「ベクトル」・「確率分布と統計的な推測」の 3 分野のうちのいずれか 2 分野を選択し、解答することになっている。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "太字文", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "2003〜2012年の数学Bは", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "で構成されていた。", "title": "" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "2012〜2021年の数学 B は、", "title": "" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "によって構成されていた。", "title": "" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "2022年〜の数学Bは", "title": "" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "で構成されている。", "title": "" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "センター試験では数学 B において「数列」・「ベクトル」・「確率分布と統計的な推測」の 3 分野のうちのいずれか 2 分野を選択し、解答することになっている。", "title": "当時の位置付け" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "", "title": "当時の位置付け" } ]	太字文 2003〜2012年の数学Bは数列ベクトル統計とコンピュータ度数分布・散布図代表値・分散・標準偏差・相関係数数値解析とコンピュータプログラム・アルゴリズム整数計算・近似計算・数値積分で構成されていた。 2012〜2021年の数学 B は、数列ベクトル確率分布と統計的な推測によって構成されていた。 2022年〜の数学Bは数列統計的な推測数学と社会生活で構成されている。	{{pathnav\|frame=1\|高等学校の学習\|高等学校数学}} 2003〜2012年の数学Bは数列ベクトル統計とコンピュータ度数分布・散布図代表値・分散・標準偏差・相関係数数値解析とコンピュータプログラム・アルゴリズム整数計算・近似計算・数値積分で構成されていた。 2012〜2021年の数学 B は、 * [[高等学校数学B/数列\|数列]] * [[高等学校数学B/ベクトル\|ベクトル]] * [[高等学校数学B/確率分布と統計的な推測\|確率分布と統計的な推測]] によって構成されていた。 2022年〜の数学Bは数列統計的な推測 [[高等学校数学B/数学と社会生活\|数学と社会生活]] で構成されている。 == 当時の位置付け == === 数学 B を学ぶ意義 === 数列、ベクトル、統計について理解させ、基礎的な知識の習得と技能の習熟を図る。事象を数学的に考察し、処理する能力を伸ばすとともに、それらを活用する能力を育てる。 === センター試験・二次試験においての数学B === センター試験では数学 B において「数列」・「ベクトル」・「確率分布と統計的な推測」の 3 分野のうちのいずれか 2 分野を選択し、解答することになっている。 {{DEFAULTSORT:旧1 こうとうかつこうすうかくB}} [[Category:数学教育]] [[Category:高等学校数学B\|]]	2005-05-03T05:50:17Z	2024-03-19T15:08:30Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%97%A7%E8%AA%B2%E7%A8%8B(-2012%E5%B9%B4%E5%BA%A6)%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6B
1,892	高等学校数学C/ベクトル	理科において、力は大きさと向きを持つ量であると習っただろう。大きさと向きを持つ量は、力の他にも、速度や風の吹き方などがある。例えば、ある地点ある時刻における風の吹き方は、風速と風向から成り立つ。このように、大きさと向きを持つ量を導入すると、これらを効率よく扱える。このページでは、大きさと向きを持つ量であるベクトルを扱う。また、図形の問題に対して代数的なアプローチを取れるのもベクトルの利点の一つである。平面上の点 S {\displaystyle \mathrm {S} } から点 T {\displaystyle \mathrm {T} } へ向かう矢印を考える。このような矢印のように向きを持つ線分を有向線分という。このとき、点 S {\displaystyle \mathrm {S} } を始点、点 T {\displaystyle \mathrm {T} } を終点という。有効線分で、大きさと方向が同じものはベクトルとして同じものとする。有向線分は位置、長さ(大きさ)、向きという情報を持つ。ベクトルは、有向線分の持つ情報のうち、位置の情報を忘れて、大きさ、向きだけに着目したものと考えることができる。有向線分 S T {\displaystyle \mathrm {ST} } で表されるベクトルを S T → {\displaystyle \mathrm {\vec {ST}} } とかく。ベクトルは一文字で a → {\displaystyle {\vec {a}}} などと表されることがある。ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} の大きさを \| a → \| {\displaystyle \|{\vec {a}}\|} で表す。有向線分 S T {\displaystyle \mathrm {ST} } 、有向線分 S ′ T ′ {\displaystyle \mathrm {S'T'} } に対し、大きさが等しく、向きが等しいなら、位置が違っていても、ベクトルとして等しく、 S T → = S ′ T ′ → {\displaystyle \mathrm {\vec {ST}} =\mathrm {\vec {S'T'}} } である。大きさが 1 であるベクトルを単位ベクトルという。ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} に対し、ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} と方向が逆で、大きさが等しいベクトルを逆ベクトルといい、 − a → {\displaystyle -{\vec {a}}} とかく。始点と終点が等しいベクトルを零ベクトルといい、 0 → {\displaystyle {\vec {0}}} で表す。任意の点 A {\displaystyle \mathrm {A} } に対し、 A A → = 0 → {\displaystyle \mathrm {\vec {AA}} ={\vec {0}}} である。ゼロベクトルの大きさは 0 で、向きは考えないものとする。ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} に対し、 a → = A B → , b → = B C → {\displaystyle {\vec {a}}=\mathrm {\vec {AB}} ,{\vec {b}}=\mathrm {\vec {BC}} } となる点をとる。このときベクトルの加法を a → + b → = A C → {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=\mathrm {\vec {AC}} } で定める。ベクトルの加法について以下が成り立つ。また、 a → + 0 → = a → {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {0}}={\vec {a}}} とする。ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} に対し、 a → − b → = a → + ( − b → ) {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {a}}+(-{\vec {b}})} とかく。ゼロベクトルはないベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} と実数 k {\displaystyle k} に対し、ベクトルの実数倍 k a → {\displaystyle k{\vec {a}}} を以下のように定める。またゼロベクトル 0 → {\displaystyle {\vec {0}}} に対し、実数倍を k 0 → = 0 → {\displaystyle k{\vec {0}}={\vec {0}}} で定める。以下の性質がなりたつ。ゼロベクトルではないベクトル a → , b → ( ≠ 0 → ) {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\,(\neq {\vec {0}})} に対し、 a → = A A ′ → , b → = B B ′ → {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {\mathrm {AA'} }},{\vec {b}}={\vec {\mathrm {BB'} }}} となる点をとる。このとき、直線 A A ′ {\displaystyle \mathrm {AA'} } と直線 B B ′ {\displaystyle \mathrm {BB'} } が平行であるとき、ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} は平行であるといい、 a → ∥ b → {\displaystyle {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}} で表す。また、直線 A A ′ {\displaystyle \mathrm {AA'} } と直線 B B ′ {\displaystyle \mathrm {BB'} } が垂直であるとき、ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} は垂直であるといい、 a → ⊥ b → {\displaystyle {\vec {a}}\perp {\vec {b}}} で表す。ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} が平行のとき、明らかに、片方のベクトルを実数倍すれば大きさと向きが一致するので、 a → ∥ b → ⟺ b → = k a → {\displaystyle {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}\iff {\vec {b}}=k{\vec {a}}} となる実数 k {\displaystyle k} が存在するが成り立つ。ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} がともにゼロベクトルでなく( a → , b → ≠ 0 → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\neq {\vec {0}}} ) 、平行でないとき、任意のベクトル p → {\displaystyle {\vec {p}}} に対して、 p → = s a → + t b → {\displaystyle {\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}} となる実数 s , t {\displaystyle s,t} を取ることができる。証明 a → = O A → , b → = O B → , p → = O P → {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {\mathrm {OA} }},{\vec {b}}={\vec {\mathrm {OB} }},{\vec {p}}={\vec {\mathrm {OP} }}} となる点をとる。点 P {\displaystyle \mathrm {P} } を通り、直線 O B , O A {\displaystyle \mathrm {OB} ,\mathrm {OA} } に平行な直線が、それぞれ直線 O A , O B {\displaystyle \mathrm {OA} ,\mathrm {OB} } と交わる点をそれぞれ S , T {\displaystyle \mathrm {S,T} } と置く。このとき、 O S → = s a → , O T → = t b → {\displaystyle {\vec {\mathrm {OS} }}=s{\vec {a}},{\vec {\mathrm {OT} }}=t{\vec {b}}} となる実数 s , t {\displaystyle s,t} を取ることができる。ここで、四角形 O S P T {\displaystyle \mathrm {OSPT} } は平行四辺形なので、 p → = s a → + t b → {\displaystyle {\vec {p}}=s{\vec {a}}+t{\vec {b}}} が成り立つ。ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} に対して、座標平面上の原点を O {\displaystyle \mathrm {O} } とするとき、 a → = O A → {\displaystyle {\vec {a}}=\mathrm {\vec {OA}} } となる点 A ( a x , a y ) {\displaystyle \mathrm {A} (a_{x},a_{y})} を取ることができる。そこで、 ( a x , a y ) {\displaystyle (a_{x},a_{y})} をベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} の成分表示とし、 a → = ( a x , a y ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y})} 、または、縦に並べて、 a → = ( a x a y ) {\displaystyle {\vec {a}}=\left({\begin{aligned}a_{x}\\a_{y}\end{aligned}}\right)} と書く。ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} に対して、 a → = O A → , b → = O B → {\displaystyle {\vec {a}}=\mathrm {\vec {OA}} ,\,{\vec {b}}=\mathrm {\vec {OB}} } となる点 A , B {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} } をとり、 a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y}),\,{\vec {b}}=(b_{x},b_{y})} とするとき a → = b → ⟺ O A → = O B → ⟺ {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}\iff {\vec {\mathrm {OA} }}={\vec {\mathrm {OB} }}\iff } 点 A , B {\displaystyle \mathrm {A} ,\,\mathrm {B} } が一致する ⟺ a x = b x {\displaystyle \iff a_{x}=b_{x}} かつ a y = b y {\displaystyle a_{y}=b_{y}} また、 a → = ( a x , a y ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y})} に対して、 a → = O A → {\displaystyle {\vec {a}}=\mathrm {\vec {OA}} } とするとき、 \| a → \| {\displaystyle \|{\vec {a}}\|} は線分 O A {\displaystyle \mathrm {OA} } の長さなので、 \| a → \| = a x 2 + a y 2 {\displaystyle \|{\vec {a}}\|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}} である。ベクトル a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{x},a_{y}),{\vec {b}}=(b_{x},b_{y})} に対して、 a → + b → = ( a x + b x , a y + b y ) {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})} a → − b → = ( a x − b x , a y − b y ) {\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y})} k a → = ( k a x , k a y ) {\displaystyle k{\vec {a}}=(ka_{x},ka_{y})} がなりたつ。ある点を基準にして、その点を始点とするベクトルについて考えることにより、ベクトルを用いて点の位置関係について考察することができる。点の位置関係基準となる点 O {\displaystyle {\rm {O}}} をあらかじめ定める。このとき、点 A {\displaystyle {\rm {A}}} に対して、ベクトル O A → {\displaystyle {\vec {\rm {OA}}}} を点 A {\displaystyle {\rm {A}}} の位置ベクトルという。位置ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} で与えられる点 A {\displaystyle {\rm {A}}} を A ( a → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}})} で表す。また、点 A ( a → ) , B ( b → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}}),\,\mathrm {B} ({\vec {b}})} のとき、 A B → = O B → − O A → = b → − a → {\displaystyle {\vec {\rm {AB}}}={\vec {\rm {OB}}}-{\vec {\rm {OA}}}={\vec {b}}-{\vec {a}}} が成り立つ。以下、位置ベクトルの基準点を点 O {\displaystyle {\rm {O}}} とする。点 A ( a → ) , B ( b → ) {\displaystyle {\rm {A({\vec {a}}),\,{\rm {B({\vec {b}})}}}}} を通る線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } を m : n {\displaystyle m:n} に内分する点 P ( p → ) {\displaystyle \mathrm {P} ({\vec {p}})} を求める。 A P → = m m + n A B → {\displaystyle {\vec {\mathrm {AP} }}={\frac {m}{m+n}}{\vec {\mathrm {AB} }}} より、 p → − a → = m m + n ( b → − a → ) {\displaystyle {\vec {p}}-{\vec {a}}={\frac {m}{m+n}}({\vec {b}}-{\vec {a}})} したがって、 p → = n a → + m b → m + n {\displaystyle {\vec {p}}={\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}} である。次に、点 A ( a → ) , B ( b → ) {\displaystyle {\rm {A({\vec {a}}),\,{\rm {B({\vec {b}})}}}}} を通る線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } を m : n {\displaystyle m:n} に外分する点 Q ( q → ) {\displaystyle \mathrm {Q} ({\vec {q}})} を求める。 m > n {\displaystyle m>n} の場合は、 A Q → = m m − n A B → {\displaystyle {\vec {\mathrm {AQ} }}={\frac {m}{m-n}}{\vec {\mathrm {AB} }}} より、 q → − a → = m m − n ( b → − a → ) {\displaystyle {\vec {q}}-{\vec {a}}={\frac {m}{m-n}}({\vec {b}}-{\vec {a}})} したがって、 q → = − n a → + m b → m − n {\displaystyle {\vec {q}}={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}} である。 m < n {\displaystyle m<n} の場合は、 B Q → = n n − m B A → {\displaystyle {\vec {\mathrm {BQ} }}={\frac {n}{n-m}}{\vec {\mathrm {BA} }}} に注意して同様に計算すれば、前と同じ、 q → = − n a → + m b → m − n {\displaystyle {\vec {q}}={\frac {-n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m-n}}} が得られる。三角形 A B C {\displaystyle \mathrm {ABC} } に対し、 A ( a → ) , B ( b → ) , C ( c → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}}),\,\mathrm {B} ({\vec {b}}),\,\mathrm {C} ({\vec {c}})} と置く。この三角形 A B C {\displaystyle \mathrm {ABC} } の重心 G ( g → ) {\displaystyle \mathrm {G} ({\vec {g}})} を求める。線分 B C {\displaystyle \mathrm {BC} } の中点を M ( m → ) {\displaystyle \mathrm {M} ({\vec {m}})} とすると、点 M {\displaystyle \mathrm {M} } は線分 B C {\displaystyle \mathrm {BC} } を 1 : 1 {\displaystyle 1:1} に内分する点なので、 m → = b → + c → 2 {\displaystyle {\vec {m}}={\frac {{\vec {b}}+{\vec {c}}}{2}}} である。点 G {\displaystyle \mathrm {G} } は線分 A M {\displaystyle \mathrm {AM} } を 2 : 1 {\displaystyle 2:1} に内分する点なので、 g → = a → + b → + c → 3 {\displaystyle {\vec {g}}={\frac {{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}}{3}}} である。三角形 A B C {\displaystyle \mathrm {ABC} } に対し、 A ( a → ) , B ( b → ) , C ( c → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}}),\,\mathrm {B} ({\vec {b}}),\,\mathrm {C} ({\vec {c}})} と置く。さらに、 A B = c , B C = a , C A = b {\displaystyle \mathrm {AB} =c,\,\mathrm {BC} =a,\,\mathrm {CA} =b} と置く。三角形 A B C {\displaystyle \mathrm {ABC} } の内心の位置ベクトル I ( i → ) {\displaystyle \mathrm {I} ({\vec {i}})} を求める。 A {\displaystyle {\rm {A}}} の二等分線と線分 B C {\displaystyle {\rm {BC}}} の交点を D ( d → ) {\displaystyle \mathrm {D} ({\vec {d}})} とする。このとき、三角形の二等分線の性質より B D : D C = c : b {\displaystyle \mathrm {BD} :\mathrm {DC} =c:b} したがって、 d → = b b → + c c → b + c {\displaystyle {\vec {d}}={\frac {b{\vec {b}}+c{\vec {c}}}{b+c}}} である。ここで、 A I : I D = B A : B D = c : a c b + c = ( b + c ) : a {\displaystyle \mathrm {AI} :\mathrm {ID} =\mathrm {BA} :\mathrm {BD} =c:{\frac {ac}{b+c}}=(b+c):a} である。したがって、 i → = a a → + ( b + c ) d → a + b + c = a a → + b b → + c c → a + b + c {\displaystyle {\vec {i}}={\frac {a{\vec {a}}+(b+c){\vec {d}}}{a+b+c}}={\frac {a{\vec {a}}+b{\vec {b}}+c{\vec {c}}}{a+b+c}}} である。中学または高校の理科の力学では、力学的な仕事の定義をならったことがあるだろう。この仕事では、移動方向以外の力は、仕事に寄与しなかった。このような力の仕事の計算を、ベクトルの観点からみれば、内積という新しい概念が定義できる。ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} に対し、 a → = O A → , b → = O B → {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {\mathrm {OA} }},{\vec {b}}={\vec {\mathrm {OB} }}} となる点 O , A , B {\displaystyle \mathrm {O,A,B} } をとる。このとき、 ∠ A O B {\displaystyle \angle \mathrm {AOB} } をベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} のなす角という。 (図) ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} のなす角を θ {\displaystyle \theta } とするとき、内積 a → ⋅ b → {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}} をで定める。定義から、ベクトルの内積は一方のベクトルをもう一方のベクトルに射影したときの、大きさの積であると言える。 (図) ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} を a → = ( a 1 , a 2 ) , b → = ( b 1 , b 2 ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2}),{\vec {b}}=(b_{1},b_{2})} と成分表示したときの、内積 a → ⋅ b → {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}} について考えてみよう。ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} に対し、 a → = O A → , b → = O B → {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {\mathrm {OA} }},{\vec {b}}={\vec {\mathrm {OB} }}} となる点 O , A , B {\displaystyle \mathrm {O,A,B} } をとり、ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}} のなす角を θ {\displaystyle \theta } とする。このとき △ O A B {\displaystyle \triangle \mathrm {OAB} } に対し余弦定理を用いて A B 2 = O A 2 + O B 2 − 2 ⋅ O A ⋅ O B cos θ {\displaystyle \mathrm {\mathrm {AB} } ^{2}=\mathrm {\mathrm {OA} } ^{2}+\mathrm {\mathrm {OB} } ^{2}-2\cdot \mathrm {\mathrm {OA} } \cdot \mathrm {\mathrm {OB} } \cos \theta } (図) ここで、 A B = \| b → − a → \| , O A = \| a → \| , O B = \| b → \| {\displaystyle \mathrm {\mathrm {AB} } =\|{\vec {b}}-{\vec {a}}\|,\mathrm {\mathrm {OA} } =\|{\vec {a}}\|,\mathrm {\mathrm {OB} } =\|{\vec {b}}\|} と、 O A ⋅ O B cos θ = \| a → \| \| b → \| cos θ = a → ⋅ b → {\displaystyle \mathrm {\mathrm {OA} } \cdot \mathrm {\mathrm {OB} } \cos \theta =\|{\vec {a}}\|\|{\vec {b}}\|\cos \theta ={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}} より \| b → − a → \| 2 = \| a → \| 2 + \| b → \| 2 − 2 a → ⋅ b → {\displaystyle \|{\vec {b}}-{\vec {a}}\|^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}+\|{\vec {b}}\|^{2}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}} であるので、 a → ⋅ b → = 1 2 ( \| a → \| 2 + \| b → \| 2 − \| b → − a → \| 2 ) {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\frac {1}{2}}(\|{\vec {a}}\|^{2}+\|{\vec {b}}\|^{2}-\|{\vec {b}}-{\vec {a}}\|^{2})} である。ここで、 \| a → \| 2 = a 1 2 + a 2 2 , \| b → \| 2 = b 1 2 + b 2 2 , \| b → − a → \| 2 = \| ( b 1 − a 1 , b 2 − a 2 ) \| 2 = ( b 1 − a 1 ) 2 + ( b 2 − a 2 ) 2 {\displaystyle \|{\vec {a}}\|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2},\|{\vec {b}}\|^{2}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2},\|{\vec {b}}-{\vec {a}}\|^{2}=\|(b_{1}-a_{1},b_{2}-a_{2})\|^{2}=(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}} なので、これを代入すれば a → ⋅ b → = 1 2 ( \| a → \| 2 + \| b → \| 2 − \| b → − a → \| 2 ) {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\frac {1}{2}}(\|{\vec {a}}\|^{2}+\|{\vec {b}}\|^{2}-\|{\vec {b}}-{\vec {a}}\|^{2})} = 1 2 [ ( a 1 2 + a 2 2 ) + ( b 1 2 + b 2 2 ) − ( b 1 − a 1 ) 2 + ( b 2 − a 2 ) 2 ] {\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})-(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}\right]} = a 1 b 1 + a 2 b 2 {\displaystyle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}} である。したがって a → ⋅ b → = a 1 b 1 + a 2 b 2 {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}} が得られた。内積の性質 ― ベクトル a → , b → , c → {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}} と実数 k {\displaystyle k} に対し以下が成り立つ。これらはベクトルを成分表示して計算すれば証明できる。証明 — a → = ( a 1 , a 2 ) , b → = ( b 1 , b 2 ) , c → = ( c 1 , c 2 ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a_{1},a_{2}),{\vec {b}}=(b_{1},b_{2}),{\vec {c}}=(c_{1},c_{2})} とする。演習問題 A ( a → ) , B ( b → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}}),\,\mathrm {B} ({\vec {b}})} とする。このとき、線分OAを1:3に分ける点と、線分OBを5:2に分ける点をそれぞれ、A',B'とする。 (1) ベクトル O A ′ → , O B ′ → {\displaystyle {\vec {OA'}},\,{\vec {OB'}}} をベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},\,{\vec {b}}} を用いてあらわせ。 (2) 線分AB'と、BA'の交点 M の位置ベクトルをベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},\,{\vec {b}}} を用いてあらわせ。ベクトルと、ベクトルは互いに1次独立な2本のベクトルなので、これらを用いてあらゆる図形上の点が表されるはずである。図形上のそれぞれの点は、点Oからの位置ベクトルで表される。例えば、ベクトルは、点Oから見てと平行な方向のベクトルであり、その大きさが、であるので、で表される。同様に、ベクトルは、点Oから見てと平行な方向のベクトルであり、その大きさが、であるので、で表される。次に、点A'を通過し、線分A'Bに平行な直線をベクトルとを用いて記述する方法を考える。ここでは、この直線上の点は、ある定数 s {\displaystyle s} を用いて、で表せることに注目する。例えば、のとき、この式が表す点はに等しく、のとき、に等しく、いずれも直線 A'B上の点である。これらに先ほど求めたと、の値を用いると、が得られる。同様に、線分AB'上の点はある定数 t {\displaystyle t} を用いて、で表される。ここに先ほど得た値を代入すると、となる。このようにそれぞれの直線上の点が s {\displaystyle s} , t {\displaystyle t} を用いて表された。次に、これらの式が同じ点を示すように s {\displaystyle s} , t {\displaystyle t} を定める。そのためには、 , を等しいとおいて、 s {\displaystyle s} , t {\displaystyle t} に関する連立方程式を作り、それを解けばよい。上の式での係数を等しいとおくと、が得られ、の係数を等しいとおくと、が得られる。この式を連立して解くと、 , が得られる。この式を , のどちらかに代入すると、求める位置ベクトルが得られるのである。代入すると、求めるベクトルは、となる。点 A ( a → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}})} を通り、ベクトル d → ( ≠ 0 → ) {\displaystyle {\vec {d}}\,(\neq {\vec {0}})} に平行な直線を g {\displaystyle g} とする。 g {\displaystyle g} 上の点を P ( p → ) {\displaystyle \mathrm {P} ({\vec {p}})} とすると、 A P → = 0 → {\displaystyle {\vec {\mathrm {AP} }}={\vec {0}}} または A P → ∥ d → {\displaystyle {\vec {\mathrm {AP} }}\parallel {\vec {d}}} だからとなる実数 t {\displaystyle t} がある。すなわち、よって、これを、直線 g {\displaystyle g} のベクトル方程式(vector equation)といい、 d → {\displaystyle {\vec {d}}} を g {\displaystyle g} の方向ベクトルという。また、 t {\displaystyle t} を媒介変数という。点Aの座標を ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1}\ ,\ y_{1})} 、 d → = ( a , b ) {\displaystyle {\vec {d}}=(a\ ,\ b)} 、点Pの座標を ( x , y ) {\displaystyle (x\ ,\ y)} とおくと、ベクトル方程式 p → = a → + t d → {\displaystyle {\vec {p}}={\vec {a}}+t{\vec {d}}} はとなる。したがって { x = x 1 + a t y = y 1 + b t {\displaystyle {\begin{cases}x=x_{1}+at\\y=y_{1}+bt\end{cases}}} これを直線 g {\displaystyle g} の媒介変数表示という。演習問題点A ( 1 , 2 ) {\displaystyle (1\ ,\ 2)} を通り、 d → = ( 3 , 5 ) {\displaystyle {\vec {d}}=(3\ ,\ 5)} に平行な直線の方程式を、媒介変数tを用いて表せ。また、tを消去した式で表せ。この直線のベクトル方程式はしたがって tを消去すると、次のようになる。 2点 A ( a → ) , B ( b → ) {\displaystyle \mathrm {A} ({\vec {a}}),\,\mathrm {B} ({\vec {b}})} を通る直線のベクトル方程式を考える。直線ABは、点Aを通り、 A B → = b → − a → {\displaystyle {\vec {AB}}={\vec {b}}-{\vec {a}}} を方向ベクトルとする直線と考えられるから、そのベクトル方程式はとなる。これは次のように書ける。演習問題 2点A ( 2 , 5 ) {\displaystyle (2\ ,\ 5)} ,B ( − 1 , 3 ) {\displaystyle (-1\ ,\ 3)} を通る直線の方程式を、媒介変数tを用いて表せ。この直線のベクトル方程式はしたがって点Aを通って、 0 → {\displaystyle {\vec {0}}} でないベクトル、 n → {\displaystyle {\vec {n}}} に垂直な直線をgとする。g上の点をPとすると、 A P → = 0 → {\displaystyle {\vec {AP}}={\vec {0}}} または A P → ⊥ n → {\displaystyle {\vec {AP}}\perp {\vec {n}}} だからである。点A,Pの位置ベクトルをそれぞれ、 a → , p → {\displaystyle {\vec {a}}\ ,\ {\vec {p}}} とすると、 A P → = p → − a → {\displaystyle {\vec {AP}}={\vec {p}}-{\vec {a}}} だから、(1)はとなる。(2)が点Aを通って、 n → {\displaystyle {\vec {n}}} に垂直な直線gのベクトル方程式であり、 n → {\displaystyle {\vec {n}}} をこの直線の法線ベクトル(ほうせんベクトル、normal vector)という。点Aの座標を ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1}\ ,\ y_{1})} 、 n → = ( a , b ) {\displaystyle {\vec {n}}=(a\ ,\ b)} 、点Pの座標を ( x , y ) {\displaystyle (x\ ,\ y)} とおくと、 p → − a → = ( x − x 1 , y − y 1 ) {\displaystyle {\vec {p}}-{\vec {a}}=(x-x_{1}\ ,\ y-y_{1})} だから、(2)は次のようになる。この方程式は、 − a x 1 − b y 1 = c {\displaystyle -ax_{1}-by_{1}=c} とおくと、 a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} となるから、次のことがいえる。直線 a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} の法線ベクトルは、 n → = ( a , b ) {\displaystyle {\vec {n}}=(a\ ,\ b)} である。演習問題点A ( 2 , 5 ) {\displaystyle (2\ ,\ 5)} を通り、 n → = ( 4 , 3 ) {\displaystyle {\vec {n}}=(4\ ,\ 3)} に垂直な直線の方程式を求めよ。つまりここまでは、平面上のベクトルについて考えてきたが、ここからは3次元空間上のベクトルについて考える。より一般にベクトルはn次元(ユークリッド)空間上で定義することができるが、このようなものは高校では扱わない。今までは、平面上の図形をベクトルや数式を用いて表現する方法を学んで来た。ここでいう2次元とは、平面のことである。平面上の任意の点を指定するには最低でも2以上の実数が必要だからこのように呼ばれている。もちろん容易に分かる通り、2つ以上の次元を持っている図形も存在する。例えば、3次元立体の1つである直方体は縦、横、高さの3つの長さを持っているので、3次元図形と呼ばれる。空間に1つの平面をとり、その上に直交する座標軸 O x , O y {\displaystyle O_{x}\ ,\ O_{y}} をとる。次にOを通りこの平面に垂直な直線 O z {\displaystyle O_{z}} をひき、その直線上で、Oを原点とする座標を考える。この3直線 O x , O y , O z {\displaystyle O_{x}\ ,\ O_{y}\ ,\ O_{z}} は、どの2つも互いに垂直である。これらを座標軸といい、それぞれx軸、y軸、z軸という。また、x軸とy軸とで定まる平面をxy平面といい、y軸とz軸とで定まる平面をyz平面といい、z軸とx軸とで定まる平面をzx平面といい、これらを座標平面という。空間内の点Aに対して、Aを通って各座標平面に平行な3つの平面をつくり、それらがx軸、y軸、z軸と交わる点を A 1 , A 2 , A 3 {\displaystyle A_{1}\ ,\ A_{2}\ ,\ A_{3}} とし、 A 1 , A 2 , A 3 {\displaystyle A_{1}\ ,\ A_{2}\ ,\ A_{3}} のそれぞれの軸上での座標を a 1 , a 2 , a 3 {\displaystyle a_{1}\ ,\ a_{2}\ ,\ a_{3}} とする。このとき、3つの数の組を点Aの座標といい、 a 1 {\displaystyle a_{1}} をx座標といい、 a 2 {\displaystyle a_{2}} をy座標といい、 a 3 {\displaystyle a_{3}} をz座標という。このように座標の定められた空間を座標空間と呼び、点Oを座標空間の原点という。ここでは、特に3次元空間の図形に注目する。まずはベクトルを用いる前に3次元空間の空間図形を、数式によって記述する方法を考察する。 2次元空間において、もっとも簡単な図形は直線であり、その式は一般的にで表わされた。 ( a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} は任意の定数。) ここで x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} は、2次元空間を代表する2つのパラメーターであり、3次元空間を用いたときには、これらは3つの文字で表わされることが期待される。実際このような式で表わされる図形は、3次元空間でも基本的な図形である。つまり、が、上の式の類似物として得られる。 ( a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} は任意の定数。) このような図形はどんな図形に対応するだろうか? 実際にはこの図形を特徴づけるのは、後に学ぶ3次元ベクトルを用いるのがもっとも簡単であるので、これは後にまわすことにする。しかし、ただ1つこの式から分かることは、3次元空間の座標を表わすパラメーターのうちに1つの関係を与えることで、3次元空間上の図形を指定できるということである。この場合は、を用いていた。ベクトルを使わなくても図形的解釈が得られる式として、が挙げられる。 ( a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , r {\displaystyle r} は任意の定数。) この式は、2次元でいうところのの式の類似物である。2次元の場合はこの式は、中心 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 半径 r {\displaystyle r} の円に対応していた。 3次元のこの式は、結論をいうと中心 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 半径 r {\displaystyle r} の円に対応しているのである。上の式を満たすある点 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} を取り、その点と点 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} との距離を考える。空間座標に置ける x {\displaystyle x} 軸、 y {\displaystyle y} 軸、 z {\displaystyle z} 軸はそれぞれ直交しているので、2点の距離は3平方の定理を用いてで与えられる。しかし、上の式からここで選んだ点 ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} は、条件を満たしているので、2点の距離はである。 ( r > 0 {\displaystyle r>0} を用いた。) よって、上の式を満たす点は全て点 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} からの距離が r {\displaystyle r} である点であり、これは中心 ( a , b , c ) {\displaystyle (a,b,c)} 半径 r {\displaystyle r} の円に他ならない。演習問題中心半径の球の式を求めよ。に代入することで、が求められる。演習問題がどのような球に対応するか計算せよ。このような数式が球に対応するとき、の係数は必ず等しくなくてはならない。そうでない場合はこの図形は楕円体に対応するのだが、これは指導要領の範囲外である。ここでは上の式はその条件を満たしている。ここでは、この式をの形に持って行くことが重要である。のそれぞれについてこの式を平方完成すると、が得られる。よって、上の式は、中心、半径の球に対応する。次に3次元空間上におけるベクトルを考察する。 2次元空間上ではベクトルは2つの量の組み合わせで表わされた。これは1つのベクトルはx軸方向に対応する量とy軸方向に対応する量の2つを持っている必要があったからである。このことから、3次元空間のベクトルは3つの量の組み合わせで書けることが予想される。特に x {\displaystyle x} 軸方向の成分 a {\displaystyle a} , y {\displaystyle y} 軸方向の成分 b {\displaystyle b} , z {\displaystyle z} 軸方向の成分 c {\displaystyle c} ( a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} は任意の定数。) で表わされるベクトルを、と書いて表わすことにする。 2次元平面ではあるベクトルは、 ( a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} は任意の定数。) の2本のベクトルを用いて、で表わされた。 3次元空間でもこのような記述法があり、上で用いたベクトルは、を用いてと書かれたベクトルに対応している。 3次元ベクトルに対しても2次元ベクトルで定めた定義や性質がほぼそのまま成立する。 3次元ベクトルの加法は、それぞれのベクトル要素を独立に足し合わせることによって定義する。また、それぞれのベクトルの要素が全て等しいベクトルを"ベクトルとして等しい"と表現する。演習問題ベクトルの和を計算せよ。が得られる。ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} , b → {\displaystyle {\vec {b}}} 間のベクトルの内積も平面の場合と同様に ( θ {\displaystyle \theta } は、ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} , b → {\displaystyle {\vec {b}}} のなす角。) 分配法則や1次独立の性質もそのまま成り立つ。ただし、3次元空間の全てのベクトルを張るには、3つの線形独立なベクトルを持って来る必要がある。このことの証明はおそらく線型代数学などに詳しい。演習問題 2つのベクトルの内積を計算せよ。 2次元の場合と同じようにここでもそれぞれの要素は互いに直交する単位ベクトルによって張られている。そのため以前と同じく要素ごとの計算が可能であり、となる。もうすこし細かく計算を行なうと、が得られる。それぞれのベクトルをに従って展開し、 ( i {\displaystyle i} , j {\displaystyle j} は1,2,3のどれか。) を代入することで上の式が計算できるはずである。しかし、 i {\displaystyle i} と j {\displaystyle j} が等しくないときにはが成り立つことから、上の展開した後の9個の項のうちで、6つはに等しい。また、 i {\displaystyle i} と j {\displaystyle j} が等しいときにはが成り立つことから、上の式の展開はとなって確かに要素ごとの計算と一致する。演習問題 2次元空間のベクトルは2本の1次独立なベクトルがあれば、必ずそれらの線形結合によって計算できるはずである。ここで、とを用いて、を、の形に書いてみよ。 ( c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} は、何らかの定数。) 2次元のベクトルの係数を求める問題である。 c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} の文字をそのまま用いると、 c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} の満たす条件はつまりとなる。これは c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} に関する連立1次方程式で書き換えられる。これを解くと、が得られる。よって、上の式はと書け、確かに2本の線形独立なベクトルによって他のベクトルが書き表されることが分かった。このような計算は3次元ベクトルに対しても可能であるが、計算手法として3元1次連立方程式を扱う必要があり、指導要領の範囲外である。実際の計算手法は、線型代数学,物理数学I 線形代数を参照。この表式を用いて、以前見たの図形的解釈を述べる。この図形上の任意の点を ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} で表わす。この点は原点Oに対する位置ベクトルを用いると ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} で与えられる。便宜のためにこのベクトルを x → {\displaystyle {\vec {x}}} と書くことにする。一方、ベクトル a → = ( a , b , c ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a,b,c)} を用いると、上の式はベクトルの内積を用いて a → ⋅ x → = d {\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {x}}=d} で与えられる。つまり、この式で表わされる図形はあるベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} との内積を一定に保つ図形である。この図形は、実際には a → {\displaystyle {\vec {a}}} に直交する平面で与えられる。なぜならこのような平面上の点は、必ず平面上のある一点の位置ベクトルに加えて、ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} に直交するベクトルを加えたもので書くことが出来る。しかし、ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} に直交するベクトルとベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} の内積は必ず0であるので、このような点の集合はベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} と一定の内積を持つのである。よって元の式は、ベクトル a → = ( a , b , c ) {\displaystyle {\vec {a}}=(a,b,c)} に直交する平面に対応することが分かった。次に d {\displaystyle d} が、図形が表わす平面と、原点との距離に関係があることを示す。特に、ベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} に比例する位置ベクトルを持つ点 x → {\displaystyle {\vec {x}}} を考える。このときこの点と原点との距離は、平面と原点との距離に対応する。なぜなら、位置ベクトル x → {\displaystyle {\vec {x}}} は、原点から平面に垂直に下ろした線に対応するからである。このことから仮に a → {\displaystyle {\vec {a}}} 方向の単位ベクトルを n → {\displaystyle {\vec {n}}} と書き、平面と原点との距離を m {\displaystyle m} と書くと、 x → = m n → {\displaystyle {\vec {x}}=m{\vec {n}}} が得られる。この式をに代入すると、が得られる。よって、 d {\displaystyle d} は、平面と原点の距離 m {\displaystyle m} とベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} の大きさをかけたものである。演習問題特にベクトルを取ると、どのような式が得られて、その式はどのような図形に対応するか。このときは、に対応する。この式は z {\displaystyle z} 座標が d {\displaystyle d} に対応し、それ以外の x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} 座標を任意に動かした平面に対応しているが、これは x y {\displaystyle xy} 平面に平行であり、 x y {\displaystyle xy} 平面からの距離が d {\displaystyle d} である平面である。また、 x y {\displaystyle xy} 平面とベクトルは直交しているので、そのことからもこの式は正しい。外積は高校数学範囲外で入試には出ないが、外積は数学や物理などに応用でき、便利なのでここで扱う。三次元ベクトル a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},\,{\vec {b}}} に対し、外積 a → × b → {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}} を次を満たすものとする。次に外積の成分表示を考えてみよう。この定義から成分表示を直接導くのは面倒なので、天下り的に成分表示を与えてから、それが外積の定義を満たすことを確認する。 a → = ( a 1 a 2 a 3 ) {\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}} 、 b → = ( b 1 b 2 b 3 ) {\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}} としたとき、 a → × b → = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 ) {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}} である。まずは、 a → × b → {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}} は a → , b → {\displaystyle {\vec {a}},\,{\vec {b}}} それぞれと垂直であることを確認する。これは、 ( a → × b → ) ⋅ a → = 0 {\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {a}}=0} と ( a → × b → ) ⋅ b → = 0 {\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {b}}=0} であることを成分表示を代入すれば証明できる。次に、 \| a → × b → \| = \| a → \| \| b → \| sin θ {\displaystyle \|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|=\|{\vec {a}}\|\|{\vec {b}}\|\sin \theta } を証明する。 \| a → × b → \| 2 = \| a → \| 2 \| b → \| 2 sin 2 θ = \| → a \| 2 \| b → \| 2 ( 1 − cos 2 θ ) {\displaystyle \|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}\|{\vec {b}}\|^{2}\sin ^{2}\theta ={\vec {\|}}a\|^{2}\|{\vec {b}}\|^{2}(1-\cos ^{2}\theta )} 。ここで、 cos 2 θ = ( a → ⋅ b → ) 2 \| a → \| 2 \| b → \| 2 {\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}}{\|{\vec {a}}\|^{2}\|{\vec {b}}\|^{2}}}} を代入し、 \| a → × b → \| 2 = \| → a \| 2 \| b → \| 2 − ( a → ⋅ b → ) 2 {\displaystyle \|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|^{2}={\vec {\|}}a\|^{2}\|{\vec {b}}\|^{2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}} を得る。この式に、成分表示を代入すれば、両辺が等しいことが確認できる。最後に、フレミングの左手の法則で a → × b → {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}} は親指の方向であることを確認する。 a → = ( 1 0 0 ) {\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}} 、 b → = ( 0 1 0 ) {\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}} のとき、 a → × b → = ( 0 0 1 ) {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}} である。これより、二番目の性質も確認できた。外積の応用 2つのベクトルに垂直なベクトルを求めたいときなどは、外積の成分表示から計算すれば、面倒な計算をしなくても求められる。四面体 O A B C {\displaystyle \mathrm {OABC} } の体積は 1 6 \| ( O A → × O B → ) ⋅ O C → \| {\displaystyle {\frac {1}{6}}\|({\vec {\mathrm {OA} }}\times {\vec {\mathrm {OB} }})\cdot {\vec {\mathrm {OC} }}\|} である。実際、 1 6 \| ( O A → × O B → ) ⋅ O C → \| = 1 3 \| 1 2 O A → × O B → \| \| h \| {\displaystyle {\frac {1}{6}}\|({\vec {\mathrm {OA} }}\times {\vec {\mathrm {OB} }})\cdot {\vec {\mathrm {OC} }}\|={\frac {1}{3}}\left\|{\frac {1}{2}}{\vec {\mathrm {OA} }}\times {\vec {\mathrm {OB} }}\right\|\|h\|} である。ただし、 h はΔABCを底面としたときの四面体の高さである。また、物理学のローレンツ力は外積を使うと F → = q v → × B → {\displaystyle {\vec {F}}=q{\vec {v}}\times {\vec {B}}} と簡潔に表せる。覚え方図のように要素をかけ合わせる。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "理科において、力は大きさと向きを持つ量であると習っただろう。大きさと向きを持つ量は、力の他にも、速度や風の吹き方などがある。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "例えば、ある地点ある時刻における風の吹き方は、風速と風向から成り立つ。このように、大きさと向きを持つ量を導入すると、これらを効率よく扱える。", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "このページでは、大きさと向きを持つ量であるベクトルを扱う。", "title": "" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "また、図形の問題に対して代数的なアプローチを取れるのもベクトルの利点の一つである。", "title": "" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "平面上の点 S {\\displaystyle \\mathrm {S} } から点 T {\\displaystyle \\mathrm {T} } へ向かう矢印を考える。このような矢印のように向きを持つ線分を有向線分という。", "title": "平面上のベクトル" }, { "paragraph_id": 5, 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"paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "大きさが 1 であるベクトルを単位ベクトルという。", "title": "平面上のベクトル" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "ベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} に対し、ベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} と方向が逆で、大きさが等しいベクトルを逆ベクトルといい、 − a → {\\displaystyle -{\\vec {a}}} とかく。", "title": "平面上のベクトル" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "始点と終点が等しいベクトルを零ベクトルといい、 0 → {\\displaystyle {\\vec {0}}} で表す。任意の点 A {\\displaystyle \\mathrm {A} } に対し、 A A → = 0 → {\\displaystyle \\mathrm {\\vec {AA}} ={\\vec {0}}} である。ゼロベクトルの大きさは 0 で、向きは考えないものとする。", "title": "平面上のベクトル" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "ベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}}} に対し、 a → = A B → , b → = B C → {\\displaystyle {\\vec {a}}=\\mathrm {\\vec {AB}} ,{\\vec {b}}=\\mathrm {\\vec {BC}} } となる点をとる。このときベクトルの加法を a → + b → = A C → {\\displaystyle {\\vec {a}}+{\\vec {b}}=\\mathrm {\\vec {AC}} } で定める。", "title": "平面上のベクトル" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "ベクトルの加法について以下が成り立つ。", "title": "平面上のベクトル" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "また、 a → + 0 → = a → {\\displaystyle {\\vec {a}}+{\\vec {0}}={\\vec {a}}} とする。", "title": "平面上のベクトル" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "ベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}}} に対し、 a → − b → = a → + ( − b → ) {\\displaystyle {\\vec {a}}-{\\vec {b}}={\\vec {a}}+(-{\\vec {b}})} とかく。", "title": "平面上のベクトル" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "ゼロベクトルはないベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} と実数 k {\\displaystyle k} に対し、ベクトルの実数倍 k a → {\\displaystyle k{\\vec {a}}} を以下のように定める。", "title": "平面上のベクトル" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "またゼロベクトル 0 → {\\displaystyle {\\vec {0}}} に対し、実数倍を k 0 → = 0 → {\\displaystyle k{\\vec {0}}={\\vec {0}}} で定める。", "title": "平面上のベクトル" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "以下の性質がなりたつ。", "title": "平面上のベクトル" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "ゼロベクトルではないベクトル a → , b → ( ≠ 0 → ) {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}}\\,(\\neq {\\vec {0}})} に対し、 a → = A A ′ → , b → = B B ′ → {\\displaystyle {\\vec {a}}={\\vec {\\mathrm {AA'} }},{\\vec {b}}={\\vec {\\mathrm {BB'} }}} となる点をとる。", "title": "ベクトルの平行・垂直" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "このとき、直線 A A ′ {\\displaystyle \\mathrm {AA'} } と直線 B B ′ {\\displaystyle \\mathrm {BB'} } が平行であるとき、ベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}}} は平行であるといい、 a → ∥ b → {\\displaystyle {\\vec {a}}\\parallel {\\vec {b}}} で表す。", "title": "ベクトルの平行・垂直" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "また、直線 A A ′ {\\displaystyle \\mathrm {AA'} } と直線 B B ′ {\\displaystyle \\mathrm {BB'} } が垂直であるとき、ベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}}} は垂直であるといい、 a → ⊥ b → {\\displaystyle {\\vec {a}}\\perp {\\vec {b}}} で表す。", "title": "ベクトルの平行・垂直" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "ベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}}} が平行のとき、明らかに、片方のベクトルを実数倍すれば大きさと向きが一致するので、", "title": "ベクトルの平行・垂直" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "a → ∥ b → ⟺ b → = k a → {\\displaystyle {\\vec {a}}\\parallel {\\vec {b}}\\iff {\\vec {b}}=k{\\vec {a}}} となる実数 k {\\displaystyle k} が存在する", "title": "ベクトルの平行・垂直" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "が成り立つ。", "title": "ベクトルの平行・垂直" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "ベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}}} がともにゼロベクトルでなく( a → , b → ≠ 0 → {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}}\\neq {\\vec {0}}} ) 、平行でないとき、任意のベクトル p → {\\displaystyle {\\vec {p}}} に対して、 p → = s a → + t b → {\\displaystyle {\\vec {p}}=s{\\vec {a}}+t{\\vec {b}}} となる実数 s , t {\\displaystyle s,t} を取ることができる。", "title": "ベクトルの分解" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "証明", "title": "ベクトルの分解" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "a → = O A → , b → = O B → , p → = O P → {\\displaystyle {\\vec {a}}={\\vec {\\mathrm {OA} }},{\\vec {b}}={\\vec {\\mathrm {OB} }},{\\vec {p}}={\\vec {\\mathrm {OP} }}} となる点をとる。点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } を通り、直線 O B , O A {\\displaystyle \\mathrm {OB} ,\\mathrm {OA} } に平行な直線が、それぞれ直線 O A , O B {\\displaystyle \\mathrm {OA} ,\\mathrm {OB} } と交わる点をそれぞれ S , T {\\displaystyle \\mathrm {S,T} } と置く。", "title": "ベクトルの分解" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "このとき、 O S → = s a → , O T → = t b → {\\displaystyle {\\vec {\\mathrm {OS} }}=s{\\vec {a}},{\\vec {\\mathrm {OT} }}=t{\\vec {b}}} となる実数 s , t {\\displaystyle s,t} を取ることができる。ここで、四角形 O S P T {\\displaystyle \\mathrm {OSPT} } は平行四辺形なので、 p → = s a → + t b → {\\displaystyle {\\vec {p}}=s{\\vec {a}}+t{\\vec {b}}} が成り立つ。", "title": "ベクトルの分解" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "ベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} に対して、座標平面上の原点を O {\\displaystyle \\mathrm {O} } とするとき、 a → = O A → {\\displaystyle {\\vec {a}}=\\mathrm {\\vec {OA}} } となる点 A ( a x , a y ) {\\displaystyle \\mathrm {A} (a_{x},a_{y})} を取ることができる。そこで、 ( a x , a y ) {\\displaystyle (a_{x},a_{y})} をベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} の成分表示とし、 a → = ( a x , a y ) {\\displaystyle {\\vec {a}}=(a_{x},a_{y})} 、または、縦に並べて、 a → = ( a x a y ) {\\displaystyle {\\vec {a}}=\\left({\\begin{aligned}a_{x}\\\\a_{y}\\end{aligned}}\\right)} と書く。", "title": "ベクトルの成分表示" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "ベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}}} に対して、 a → = O A → , b → = O B → {\\displaystyle {\\vec {a}}=\\mathrm {\\vec {OA}} ,\\,{\\vec {b}}=\\mathrm {\\vec {OB}} } となる点 A , B {\\displaystyle \\mathrm {A} ,\\mathrm {B} } をとり、 a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) {\\displaystyle {\\vec {a}}=(a_{x},a_{y}),\\,{\\vec {b}}=(b_{x},b_{y})} とするとき", "title": "ベクトルの成分表示" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "a → = b → ⟺ O A → = O B → ⟺ {\\displaystyle {\\vec {a}}={\\vec {b}}\\iff {\\vec {\\mathrm {OA} }}={\\vec {\\mathrm {OB} }}\\iff } 点 A , B {\\displaystyle \\mathrm {A} ,\\,\\mathrm {B} } が一致する ⟺ a x = b x {\\displaystyle \\iff a_{x}=b_{x}} かつ a y = b y {\\displaystyle a_{y}=b_{y}}", "title": "ベクトルの成分表示" }, { "paragraph_id": 33, "tag": "p", "text": "また、 a → = ( a x , a y ) {\\displaystyle {\\vec {a}}=(a_{x},a_{y})} に対して、 a → = O A → {\\displaystyle {\\vec {a}}=\\mathrm {\\vec {OA}} } とするとき、 \| a → \| {\\displaystyle \|{\\vec {a}}\|} は線分 O A {\\displaystyle \\mathrm {OA} } の長さなので、", "title": "ベクトルの成分表示" }, { "paragraph_id": 34, "tag": "p", "text": "\| a → \| = a x 2 + a y 2 {\\displaystyle \|{\\vec {a}}\|={\\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}}", "title": "ベクトルの成分表示" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "である。", "title": "ベクトルの成分表示" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "", "title": "ベクトルの成分表示" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "ベクトル a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) {\\displaystyle {\\vec {a}}=(a_{x},a_{y}),{\\vec {b}}=(b_{x},b_{y})} に対して、", "title": "ベクトルの成分表示" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "a → + b → = ( a x + b x , a y + b y ) {\\displaystyle {\\vec {a}}+{\\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y})}", "title": "ベクトルの成分表示" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "a → − b → = ( a x − b x , a y − b y ) {\\displaystyle {\\vec {a}}-{\\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y})}", "title": "ベクトルの成分表示" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "k a → = ( k a x , k a y ) {\\displaystyle k{\\vec {a}}=(ka_{x},ka_{y})}", "title": "ベクトルの成分表示" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "がなりたつ。", "title": "ベクトルの成分表示" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "ある点を基準にして、その点を始点とするベクトルについて考えることにより、ベクトルを用いて点の位置関係について考察することができる。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "点の位置関係基準となる点 O {\\displaystyle {\\rm {O}}} をあらかじめ定める。このとき、点 A {\\displaystyle {\\rm {A}}} に対して、ベクトル O A → {\\displaystyle {\\vec {\\rm {OA}}}} を点 A {\\displaystyle {\\rm {A}}} の位置ベクトルという。位置ベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} で与えられる点 A {\\displaystyle {\\rm {A}}} を A ( a → ) {\\displaystyle \\mathrm {A} ({\\vec {a}})} で表す。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "また、点 A ( a → ) , B ( b → ) {\\displaystyle \\mathrm {A} ({\\vec {a}}),\\,\\mathrm {B} ({\\vec {b}})} のとき、 A B → = O B → − O A → = b → − a → {\\displaystyle {\\vec {\\rm {AB}}}={\\vec {\\rm {OB}}}-{\\vec {\\rm {OA}}}={\\vec {b}}-{\\vec {a}}} が成り立つ。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "以下、位置ベクトルの基準点を点 O {\\displaystyle {\\rm {O}}} とする。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "点 A ( a → ) , B ( b → ) {\\displaystyle {\\rm {A({\\vec {a}}),\\,{\\rm {B({\\vec {b}})}}}}} を通る線分 A B {\\displaystyle \\mathrm {AB} } を m : n {\\displaystyle m:n} に内分する点 P ( p → ) {\\displaystyle \\mathrm {P} ({\\vec {p}})} を求める。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "A P → = m m + n A B → {\\displaystyle {\\vec {\\mathrm {AP} }}={\\frac {m}{m+n}}{\\vec {\\mathrm {AB} }}} より、 p → − a → = m m + n ( b → − a → ) {\\displaystyle {\\vec {p}}-{\\vec {a}}={\\frac {m}{m+n}}({\\vec {b}}-{\\vec {a}})} したがって、 p → = n a → + m b → m + n {\\displaystyle {\\vec {p}}={\\frac {n{\\vec {a}}+m{\\vec {b}}}{m+n}}} である。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "次に、点 A ( a → ) , B ( b → ) {\\displaystyle {\\rm {A({\\vec {a}}),\\,{\\rm {B({\\vec {b}})}}}}} を通る線分 A B {\\displaystyle \\mathrm {AB} } を m : n {\\displaystyle m:n} に外分する点 Q ( q → ) {\\displaystyle \\mathrm {Q} ({\\vec {q}})} を求める。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "m > n {\\displaystyle m>n} の場合は、 A Q → = m m − n A B → {\\displaystyle {\\vec {\\mathrm {AQ} }}={\\frac {m}{m-n}}{\\vec {\\mathrm {AB} }}} より、 q → − a → = m m − n ( b → − a → ) {\\displaystyle {\\vec {q}}-{\\vec {a}}={\\frac {m}{m-n}}({\\vec {b}}-{\\vec {a}})} したがって、 q → = − n a → + m b → m − n {\\displaystyle {\\vec {q}}={\\frac {-n{\\vec {a}}+m{\\vec {b}}}{m-n}}} である。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "m < n {\\displaystyle m<n} の場合は、 B Q → = n n − m B A → {\\displaystyle {\\vec {\\mathrm {BQ} }}={\\frac {n}{n-m}}{\\vec {\\mathrm {BA} }}} に注意して同様に計算すれば、前と同じ、 q → = − n a → + m b → m − n {\\displaystyle {\\vec {q}}={\\frac {-n{\\vec {a}}+m{\\vec {b}}}{m-n}}} が得られる。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "三角形 A B C {\\displaystyle \\mathrm {ABC} } に対し、 A ( a → ) , B ( b → ) , C ( c → ) {\\displaystyle \\mathrm {A} ({\\vec {a}}),\\,\\mathrm {B} ({\\vec {b}}),\\,\\mathrm {C} ({\\vec {c}})} と置く。この三角形 A B C {\\displaystyle \\mathrm {ABC} } の重心 G ( g → ) {\\displaystyle \\mathrm {G} ({\\vec {g}})} を求める。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "線分 B C {\\displaystyle \\mathrm {BC} } の中点を M ( m → ) {\\displaystyle \\mathrm {M} ({\\vec {m}})} とすると、点 M {\\displaystyle \\mathrm {M} } は線分 B C {\\displaystyle \\mathrm {BC} } を 1 : 1 {\\displaystyle 1:1} に内分する点なので、 m → = b → + c → 2 {\\displaystyle {\\vec {m}}={\\frac {{\\vec {b}}+{\\vec {c}}}{2}}} である。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "点 G {\\displaystyle \\mathrm {G} } は線分 A M {\\displaystyle \\mathrm {AM} } を 2 : 1 {\\displaystyle 2:1} に内分する点なので、 g → = a → + b → + c → 3 {\\displaystyle {\\vec {g}}={\\frac {{\\vec {a}}+{\\vec {b}}+{\\vec {c}}}{3}}} である。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "三角形 A B C {\\displaystyle \\mathrm {ABC} } に対し、 A ( a → ) , B ( b → ) , C ( c → ) {\\displaystyle \\mathrm {A} ({\\vec {a}}),\\,\\mathrm {B} ({\\vec {b}}),\\,\\mathrm {C} ({\\vec {c}})} と置く。さらに、 A B = c , B C = a , C A = b {\\displaystyle \\mathrm {AB} =c,\\,\\mathrm {BC} =a,\\,\\mathrm {CA} =b} と置く。三角形 A B C {\\displaystyle \\mathrm {ABC} } の内心の位置ベクトル I ( i → ) {\\displaystyle \\mathrm {I} ({\\vec {i}})} を求める。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "A {\\displaystyle {\\rm {A}}} の二等分線と線分 B C {\\displaystyle {\\rm {BC}}} の交点を D ( d → ) {\\displaystyle \\mathrm {D} ({\\vec {d}})} とする。このとき、三角形の二等分線の性質より B D : D C = c : b {\\displaystyle \\mathrm {BD} :\\mathrm {DC} =c:b} したがって、 d → = b b → + c c → b + c {\\displaystyle {\\vec {d}}={\\frac {b{\\vec {b}}+c{\\vec {c}}}{b+c}}} である。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "ここで、 A I : I D = B A : B D = c : a c b + c = ( b + c ) : a {\\displaystyle \\mathrm {AI} :\\mathrm {ID} =\\mathrm {BA} :\\mathrm {BD} =c:{\\frac {ac}{b+c}}=(b+c):a} である。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "したがって、 i → = a a → + ( b + c ) d → a + b + c = a a → + b b → + c c → a + b + c {\\displaystyle {\\vec {i}}={\\frac {a{\\vec {a}}+(b+c){\\vec {d}}}{a+b+c}}={\\frac {a{\\vec {a}}+b{\\vec {b}}+c{\\vec {c}}}{a+b+c}}} である。", "title": "位置ベクトル" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "中学または高校の理科の力学では、力学的な仕事の定義をならったことがあるだろう。この仕事では、移動方向以外の力は、仕事に寄与しなかった。このような力の仕事の計算を、ベクトルの観点からみれば、内積という新しい概念が定義できる。", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "ベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}}} に対し、 a → = O A → , b → = O B → {\\displaystyle {\\vec {a}}={\\vec {\\mathrm {OA} }},{\\vec {b}}={\\vec {\\mathrm {OB} }}} となる点 O , A , B {\\displaystyle \\mathrm {O,A,B} } をとる。このとき、 ∠ A O B {\\displaystyle \\angle \\mathrm {AOB} } をベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}}} のなす角という。", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "(図)", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "ベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}}} のなす角を θ {\\displaystyle \\theta } とするとき、内積 a → ⋅ b → {\\displaystyle {\\vec {a}}\\cdot {\\vec {b}}} を", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "で定める。", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "定義から、ベクトルの内積は一方のベクトルをもう一方のベクトルに射影したときの、大きさの積であると言える。", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "(図)", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "ベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}}} を a → = ( a 1 , a 2 ) , b → = ( b 1 , b 2 ) {\\displaystyle {\\vec {a}}=(a_{1},a_{2}),{\\vec {b}}=(b_{1},b_{2})} と成分表示したときの、内積 a → ⋅ b → {\\displaystyle {\\vec {a}}\\cdot {\\vec {b}}} について考えてみよう。", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "ベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}}} に対し、 a → = O A → , b → = O B → {\\displaystyle {\\vec {a}}={\\vec {\\mathrm {OA} }},{\\vec {b}}={\\vec {\\mathrm {OB} }}} となる点 O , A , B {\\displaystyle \\mathrm {O,A,B} } をとり、ベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}}} のなす角を θ {\\displaystyle \\theta } とする。このとき △ O A B {\\displaystyle \\triangle \\mathrm {OAB} } に対し余弦定理を用いて", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "A B 2 = O A 2 + O B 2 − 2 ⋅ O A ⋅ O B cos θ {\\displaystyle \\mathrm {\\mathrm {AB} } ^{2}=\\mathrm {\\mathrm {OA} } ^{2}+\\mathrm {\\mathrm {OB} } ^{2}-2\\cdot \\mathrm {\\mathrm {OA} } \\cdot \\mathrm {\\mathrm {OB} } \\cos \\theta }", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "(図)", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "ここで、 A B = \| b → − a → \| , O A = \| a → \| , O B = \| b → \| {\\displaystyle \\mathrm {\\mathrm {AB} } =\|{\\vec {b}}-{\\vec {a}}\|,\\mathrm {\\mathrm {OA} } =\|{\\vec {a}}\|,\\mathrm {\\mathrm {OB} } =\|{\\vec {b}}\|} と、 O A ⋅ O B cos θ = \| a → \| \| b → \| cos θ = a → ⋅ b → {\\displaystyle \\mathrm {\\mathrm {OA} } \\cdot \\mathrm {\\mathrm {OB} } \\cos \\theta =\|{\\vec {a}}\|\|{\\vec {b}}\|\\cos \\theta ={\\vec {a}}\\cdot {\\vec {b}}} より", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "\| b → − a → \| 2 = \| a → \| 2 + \| b → \| 2 − 2 a → ⋅ b → {\\displaystyle \|{\\vec {b}}-{\\vec {a}}\|^{2}=\|{\\vec {a}}\|^{2}+\|{\\vec {b}}\|^{2}-2{\\vec {a}}\\cdot {\\vec {b}}} であるので、 a → ⋅ b → = 1 2 ( \| a → \| 2 + \| b → \| 2 − \| b → − a → \| 2 ) {\\displaystyle {\\vec {a}}\\cdot {\\vec {b}}={\\frac {1}{2}}(\|{\\vec {a}}\|^{2}+\|{\\vec {b}}\|^{2}-\|{\\vec {b}}-{\\vec {a}}\|^{2})} である。", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "ここで、 \| a → \| 2 = a 1 2 + a 2 2 , \| b → \| 2 = b 1 2 + b 2 2 , \| b → − a → \| 2 = \| ( b 1 − a 1 , b 2 − a 2 ) \| 2 = ( b 1 − a 1 ) 2 + ( b 2 − a 2 ) 2 {\\displaystyle \|{\\vec {a}}\|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2},\|{\\vec {b}}\|^{2}=b_{1}^{2}+b_{2}^{2},\|{\\vec {b}}-{\\vec {a}}\|^{2}=\|(b_{1}-a_{1},b_{2}-a_{2})\|^{2}=(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}} なので、これを代入すれば", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "a → ⋅ b → = 1 2 ( \| a → \| 2 + \| b → \| 2 − \| b → − a → \| 2 ) {\\displaystyle {\\vec {a}}\\cdot {\\vec {b}}={\\frac {1}{2}}(\|{\\vec {a}}\|^{2}+\|{\\vec {b}}\|^{2}-\|{\\vec {b}}-{\\vec {a}}\|^{2})} = 1 2 [ ( a 1 2 + a 2 2 ) + ( b 1 2 + b 2 2 ) − ( b 1 − a 1 ) 2 + ( b 2 − a 2 ) 2 ] {\\displaystyle ={\\frac {1}{2}}\\left[(a_{1}^{2}+a_{2}^{2})+(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})-(b_{1}-a_{1})^{2}+(b_{2}-a_{2})^{2}\\right]} = a 1 b 1 + a 2 b 2 {\\displaystyle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}} である。", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "したがって a → ⋅ b → = a 1 b 1 + a 2 b 2 {\\displaystyle {\\vec {a}}\\cdot {\\vec {b}}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}} が得られた。", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "内積の性質 ― ベクトル a → , b → , c → {\\displaystyle {\\vec {a}},{\\vec {b}},{\\vec {c}}} と実数 k {\\displaystyle k} に対し以下が成り立つ。", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "これらはベクトルを成分表示して計算すれば証明できる。", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "証明 — a → = ( a 1 , a 2 ) , b → = ( b 1 , b 2 ) , c → = ( c 1 , c 2 ) {\\displaystyle {\\vec {a}}=(a_{1},a_{2}),{\\vec {b}}=(b_{1},b_{2}),{\\vec {c}}=(c_{1},c_{2})} とする。", "title": "ベクトルの内積" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "A ( a → ) , B ( b → ) {\\displaystyle \\mathrm {A} ({\\vec {a}}),\\,\\mathrm {B} ({\\vec {b}})} とする。このとき、線分OAを1:3に分ける点と、線分OBを5:2に分ける点をそれぞれ、A',B'とする。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "(1) ベクトル O A ′ → , O B ′ → {\\displaystyle {\\vec {OA'}},\\,{\\vec {OB'}}} をベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},\\,{\\vec {b}}} を用いてあらわせ。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "(2) 線分AB'と、BA'の交点 M の位置ベクトルをベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},\\,{\\vec {b}}} を用いてあらわせ。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "ベクトル", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "と、ベクトル", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "は互いに1次独立な2本のベクトルなので、これらを用いてあらゆる図形上の点が表されるはずである。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "図形上のそれぞれの点は、点Oからの位置ベクトルで表される。例えば、ベクトル", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "は、点Oから見て", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "と平行な方向のベクトルであり、その大きさが、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "であるので、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "で表される。同様に、ベクトル", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "は、点Oから見て", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "と平行な方向のベクトルであり、その大きさが、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "であるので、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "で表される。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "次に、点A'を通過し、線分A'Bに平行な直線をベクトル", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "と", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "を用いて記述する方法を考える。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "ここでは、この直線上の点は、ある定数 s {\\displaystyle s} を用いて、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "で表せることに注目する。例えば、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "のとき、この式が表す点は", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "に等しく、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "のとき、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "に等しく、いずれも直線 A'B上の点である。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "これらに先ほど求めた", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "と、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "の値を用いると、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "同様に、線分AB'上の点はある定数 t {\\displaystyle t} を用いて、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "で表される。ここに先ほど得た値を代入すると、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "このようにそれぞれの直線上の点が s {\\displaystyle s} , t {\\displaystyle t} を用いて表された。次に、これらの式が同じ点を示すように s {\\displaystyle s} , t {\\displaystyle t} を定める。そのためには、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": ",", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "を等しいとおいて、 s {\\displaystyle s} , t {\\displaystyle t} に関する連立方程式を作り、それを解けばよい。上の式で", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "の係数を等しいとおくと、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "が得られ、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 114, "tag": "p", "text": "の係数を等しいとおくと、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 115, "tag": "p", "text": "が得られる。この式を連立して解くと、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 116, "tag": "p", "text": ",", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 117, "tag": "p", "text": "が得られる。この式を", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 118, "tag": "p", "text": ",", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 119, "tag": "p", "text": "のどちらかに代入すると、求める位置ベクトルが得られるのである。代入すると、求めるベクトルは、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 120, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 121, "tag": "p", "text": "点 A ( a → ) {\\displaystyle \\mathrm {A} ({\\vec {a}})} を通り、ベクトル d → ( ≠ 0 → ) {\\displaystyle {\\vec {d}}\\,(\\neq {\\vec {0}})} に平行な直線を g {\\displaystyle g} とする。 g {\\displaystyle g} 上の点を P ( p → ) {\\displaystyle \\mathrm {P} ({\\vec {p}})} とすると、 A P → = 0 → {\\displaystyle {\\vec {\\mathrm {AP} }}={\\vec {0}}} または A P → ∥ d → {\\displaystyle {\\vec {\\mathrm {AP} }}\\parallel {\\vec {d}}} だから", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 122, "tag": "p", "text": "となる実数 t {\\displaystyle t} がある。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 123, "tag": "p", "text": "すなわち、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 124, "tag": "p", "text": "よって、", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 125, "tag": "p", "text": "これを、直線 g {\\displaystyle g} のベクトル方程式(vector equation)といい、 d → {\\displaystyle {\\vec {d}}} を g {\\displaystyle g} の方向ベクトルという。また、 t {\\displaystyle t} を媒介変数という。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 126, "tag": "p", "text": "点Aの座標を ( x 1 , y 1 ) {\\displaystyle (x_{1}\\ ,\\ y_{1})} 、 d → = ( a , b ) {\\displaystyle {\\vec {d}}=(a\\ ,\\ b)} 、点Pの座標を ( x , y ) {\\displaystyle (x\\ ,\\ y)} とおくと、ベクトル方程式 p → = a → + t d → {\\displaystyle {\\vec {p}}={\\vec {a}}+t{\\vec {d}}} は", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 127, "tag": "p", "text": "となる。したがって", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 128, "tag": "p", "text": "{ x = x 1 + a t y = y 1 + b t {\\displaystyle {\\begin{cases}x=x_{1}+at\\\\y=y_{1}+bt\\end{cases}}}", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 129, "tag": "p", "text": "これを直線 g {\\displaystyle g} の媒介変数表示という。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 130, "tag": "p", "text": "", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 131, "tag": "p", "text": "", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 132, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 133, "tag": "p", "text": "点A ( 1 , 2 ) {\\displaystyle (1\\ ,\\ 2)} を通り、 d → = ( 3 , 5 ) {\\displaystyle {\\vec {d}}=(3\\ ,\\ 5)} に平行な直線の方程式を、媒介変数tを用いて表せ。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 134, "tag": "p", "text": "また、tを消去した式で表せ。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 135, "tag": "p", "text": "この直線のベクトル方程式は", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 136, "tag": "p", "text": "したがって", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 137, "tag": "p", "text": "tを消去すると、次のようになる。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 138, "tag": "p", "text": "", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 139, "tag": "p", "text": "2点 A ( a → ) , B ( b → ) {\\displaystyle \\mathrm {A} ({\\vec {a}}),\\,\\mathrm {B} ({\\vec {b}})} を通る直線のベクトル方程式を考える。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 140, "tag": "p", "text": "直線ABは、点Aを通り、 A B → = b → − a → {\\displaystyle {\\vec {AB}}={\\vec {b}}-{\\vec {a}}} を方向ベクトルとする直線と考えられるから、そのベクトル方程式は", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 141, "tag": "p", "text": "となる。これは次のように書ける。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 142, "tag": "p", "text": "", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 143, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 144, "tag": "p", "text": "2点A ( 2 , 5 ) {\\displaystyle (2\\ ,\\ 5)} ,B ( − 1 , 3 ) {\\displaystyle (-1\\ ,\\ 3)} を通る直線の方程式を、媒介変数tを用いて表せ。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 145, "tag": "p", "text": "この直線のベクトル方程式は", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 146, "tag": "p", "text": "したがって", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 147, "tag": "p", "text": "", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 148, "tag": "p", "text": "点Aを通って、 0 → {\\displaystyle {\\vec {0}}} でないベクトル、 n → {\\displaystyle {\\vec {n}}} に垂直な直線をgとする。g上の点をPとすると、 A P → = 0 → {\\displaystyle {\\vec {AP}}={\\vec {0}}} または A P → ⊥ n → {\\displaystyle {\\vec {AP}}\\perp {\\vec {n}}} だから", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 149, "tag": "p", "text": "である。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 150, "tag": "p", "text": "点A,Pの位置ベクトルをそれぞれ、 a → , p → {\\displaystyle {\\vec {a}}\\ ,\\ {\\vec {p}}} とすると、 A P → = p → − a → {\\displaystyle {\\vec {AP}}={\\vec {p}}-{\\vec {a}}} だから、(1)は", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 151, "tag": "p", "text": "となる。(2)が点Aを通って、 n → {\\displaystyle {\\vec {n}}} に垂直な直線gのベクトル方程式であり、 n → {\\displaystyle {\\vec {n}}} をこの直線の法線ベクトル(ほうせんベクトル、normal vector)という。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 152, "tag": "p", "text": "点Aの座標を ( x 1 , y 1 ) {\\displaystyle (x_{1}\\ ,\\ y_{1})} 、 n → = ( a , b ) {\\displaystyle {\\vec {n}}=(a\\ ,\\ b)} 、点Pの座標を ( x , y ) {\\displaystyle (x\\ ,\\ y)} とおくと、 p → − a → = ( x − x 1 , y − y 1 ) {\\displaystyle {\\vec {p}}-{\\vec {a}}=(x-x_{1}\\ ,\\ y-y_{1})} だから、(2)は次のようになる。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 153, "tag": "p", "text": "この方程式は、 − a x 1 − b y 1 = c {\\displaystyle -ax_{1}-by_{1}=c} とおくと、 a x + b y + c = 0 {\\displaystyle ax+by+c=0} となるから、次のことがいえる。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 154, "tag": "p", "text": "直線 a x + b y + c = 0 {\\displaystyle ax+by+c=0} の法線ベクトルは、 n → = ( a , b ) {\\displaystyle {\\vec {n}}=(a\\ ,\\ b)} である。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 155, "tag": "p", "text": "", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 156, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 157, "tag": "p", "text": "点A ( 2 , 5 ) {\\displaystyle (2\\ ,\\ 5)} を通り、 n → = ( 4 , 3 ) {\\displaystyle {\\vec {n}}=(4\\ ,\\ 3)} に垂直な直線の方程式を求めよ。", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 158, "tag": "p", "text": "つまり", "title": "ベクトル方程式" }, { "paragraph_id": 159, "tag": "p", "text": "ここまでは、平面上のベクトルについて考えてきたが、ここからは3次元空間上のベクトルについて考える。より一般にベクトルはn次元(ユークリッド)空間上で定義することができるが、このようなものは高校では扱わない。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 160, "tag": "p", "text": "今までは、平面上の図形をベクトルや数式を用いて表現する方法を学んで来た。ここでいう2次元とは、平面のことである。平面上の任意の点を指定するには最低でも2以上の実数が必要だからこのように呼ばれている。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 161, "tag": "p", "text": "もちろん容易に分かる通り、2つ以上の次元を持っている図形も存在する。例えば、3次元立体の1つである直方体は縦、横、高さの3つの長さを持っているので、3次元図形と呼ばれる。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 162, "tag": "p", "text": "空間に1つの平面をとり、その上に直交する座標軸 O x , O y {\\displaystyle O_{x}\\ ,\\ O_{y}} をとる。次にOを通りこの平面に垂直な直線 O z {\\displaystyle O_{z}} をひき、その直線上で、Oを原点とする座標を考える。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 163, "tag": "p", "text": "この3直線 O x , O y , O z {\\displaystyle O_{x}\\ ,\\ O_{y}\\ ,\\ O_{z}} は、どの2つも互いに垂直である。これらを座標軸といい、それぞれx軸、y軸、z軸という。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 164, "tag": "p", "text": "また、x軸とy軸とで定まる平面をxy平面といい、y軸とz軸とで定まる平面をyz平面といい、z軸とx軸とで定まる平面をzx平面といい、これらを座標平面という。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 165, "tag": "p", "text": "空間内の点Aに対して、Aを通って各座標平面に平行な3つの平面をつくり、それらがx軸、y軸、z軸と交わる点を A 1 , A 2 , A 3 {\\displaystyle A_{1}\\ ,\\ A_{2}\\ ,\\ A_{3}} とし、 A 1 , A 2 , A 3 {\\displaystyle A_{1}\\ ,\\ A_{2}\\ ,\\ A_{3}} のそれぞれの軸上での座標を a 1 , a 2 , a 3 {\\displaystyle a_{1}\\ ,\\ a_{2}\\ ,\\ a_{3}} とする。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 166, "tag": "p", "text": "このとき、3つの数の組", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 167, "tag": "p", "text": "を点Aの座標といい、 a 1 {\\displaystyle a_{1}} をx座標といい、 a 2 {\\displaystyle a_{2}} をy座標といい、 a 3 {\\displaystyle a_{3}} をz座標という。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 168, "tag": "p", "text": "このように座標の定められた空間を座標空間と呼び、点Oを座標空間の原点という。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 169, "tag": "p", "text": "ここでは、特に3次元空間の図形に注目する。まずはベクトルを用いる前に3次元空間の空間図形を、数式によって記述する方法を考察する。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 170, "tag": "p", "text": "2次元空間において、もっとも簡単な図形は直線であり、その式は一般的に", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 171, "tag": "p", "text": "で表わされた。 ( a {\\displaystyle a} , b {\\displaystyle b} , c {\\displaystyle c} は任意の定数。) ここで x {\\displaystyle x} , y {\\displaystyle y} は、2次元空間を代表する2つのパラメーターであり、3次元空間を用いたときには、これらは3つの文字で表わされることが期待される。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 172, "tag": "p", "text": "実際このような式で表わされる図形は、3次元空間でも基本的な図形である。つまり、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 173, "tag": "p", "text": "が、上の式の類似物として得られる。 ( a {\\displaystyle a} , b {\\displaystyle b} , c {\\displaystyle c} , d {\\displaystyle d} は任意の定数。)", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 174, "tag": "p", "text": "このような図形はどんな図形に対応するだろうか?", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 175, "tag": "p", "text": "実際にはこの図形を特徴づけるのは、後に学ぶ3次元ベクトルを用いるのがもっとも簡単であるので、これは後にまわすことにする。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 176, "tag": "p", "text": "しかし、ただ1つこの式から分かることは、3次元空間の座標を表わすパラメーター", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 177, "tag": "p", "text": "のうちに1つの関係", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 178, "tag": "p", "text": "を与えることで、3次元空間上の図形を指定できるということである。この場合は、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 179, "tag": "p", "text": "を用いていた。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 180, "tag": "p", "text": "ベクトルを使わなくても図形的解釈が得られる式として、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 181, "tag": "p", "text": "が挙げられる。 ( a {\\displaystyle a} , b {\\displaystyle b} , c {\\displaystyle c} , r {\\displaystyle r} は任意の定数。) この式は、2次元でいうところの", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 182, "tag": "p", "text": "の式の類似物である。2次元の場合はこの式は、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 183, "tag": "p", "text": "中心 ( a , b ) {\\displaystyle (a,b)} 半径 r {\\displaystyle r} の円に対応していた。 3次元のこの式は、結論をいうと中心 ( a , b , c ) {\\displaystyle (a,b,c)} 半径 r {\\displaystyle r} の円に対応しているのである。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 184, "tag": "p", "text": "上の式", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 185, "tag": "p", "text": "を満たすある点 ( x , y , z ) {\\displaystyle (x,y,z)} を取り、その点と点 ( a , b , c ) {\\displaystyle (a,b,c)} との距離を考える。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 186, "tag": "p", "text": "空間座標に置ける x {\\displaystyle x} 軸、 y {\\displaystyle y} 軸、 z {\\displaystyle z} 軸はそれぞれ直交しているので、2点の距離は3平方の定理を用いて", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 187, "tag": "p", "text": "で与えられる。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 188, "tag": "p", "text": "しかし、上の式からここで選んだ点 ( x , y , z ) {\\displaystyle (x,y,z)} は、条件", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 189, "tag": "p", "text": "を満たしているので、2点の距離は", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 190, "tag": "p", "text": "である。 ( r > 0 {\\displaystyle r>0} を用いた。)", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 191, "tag": "p", "text": "よって、上の式を満たす点は全て点 ( a , b , c ) {\\displaystyle (a,b,c)} からの距離が r {\\displaystyle r} である点であり、これは中心 ( a , b , c ) {\\displaystyle (a,b,c)} 半径 r {\\displaystyle r} の円に他ならない。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 192, "tag": "p", "text": "", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 193, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 194, "tag": "p", "text": "中心", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 195, "tag": "p", "text": "半径", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 196, "tag": "p", "text": "の球の式を求めよ。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 197, "tag": "p", "text": "に代入することで、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 198, "tag": "p", "text": "が求められる。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 199, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 200, "tag": "p", "text": "がどのような球に対応するか計算せよ。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 201, "tag": "p", "text": "このような数式が球に対応するとき、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 202, "tag": "p", "text": "の係数は必ず等しくなくてはならない。そうでない場合はこの図形は楕円体に対応するのだが、これは指導要領の範囲外である。ここでは上の式はその条件を満たしている。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 203, "tag": "p", "text": "ここでは、この式を", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 204, "tag": "p", "text": "の形に持って行くことが重要である。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 205, "tag": "p", "text": "のそれぞれについてこの式を平方完成すると、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 206, "tag": "p", "text": "が得られる。よって、上の式", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 207, "tag": "p", "text": "は、中心", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 208, "tag": "p", "text": "、半径", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 209, "tag": "p", "text": "の球に対応する。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 210, "tag": "p", "text": "次に3次元空間上におけるベクトルを考察する。 2次元空間上ではベクトルは2つの量の組み合わせで表わされた。これは1つのベクトルはx軸方向に対応する量とy軸方向に対応する量の2つを持っている必要があったからである。このことから、3次元空間のベクトルは3つの量の組み合わせで書けることが予想される。特に x {\\displaystyle x} 軸方向の成分 a {\\displaystyle a} , y {\\displaystyle y} 軸方向の成分 b {\\displaystyle b} , z {\\displaystyle z} 軸方向の成分 c {\\displaystyle c} ( a {\\displaystyle a} , b {\\displaystyle b} , c {\\displaystyle c} は任意の定数。) で表わされるベクトルを、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 211, "tag": "p", "text": "と書いて表わすことにする。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 212, "tag": "p", "text": "2次元平面ではあるベクトル", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 213, "tag": "p", "text": "は、 ( a {\\displaystyle a} , b {\\displaystyle b} は任意の定数。)", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 214, "tag": "p", "text": "の2本のベクトルを用いて、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 215, "tag": "p", "text": "で表わされた。 3次元空間でもこのような記述法があり、上で用いたベクトル", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 216, "tag": "p", "text": "は、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 217, "tag": "p", "text": "を用いて", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 218, "tag": "p", "text": "と書かれたベクトルに対応している。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 219, "tag": "p", "text": "3次元ベクトルに対しても2次元ベクトルで定めた定義や性質がほぼそのまま成立する。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 220, "tag": "p", "text": "3次元ベクトルの加法は、それぞれのベクトル要素を独立に足し合わせることによって定義する。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 221, "tag": "p", "text": "また、それぞれのベクトルの要素が全て等しいベクトルを\"ベクトルとして等しい\"と表現する。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 222, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 223, "tag": "p", "text": "ベクトルの和", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 224, "tag": "p", "text": "を計算せよ。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 225, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 226, "tag": "p", "text": "", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 227, "tag": "p", "text": "ベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} , b → {\\displaystyle {\\vec {b}}} 間のベクトルの内積も平面の場合と同様に", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 228, "tag": "p", "text": "( θ {\\displaystyle \\theta } は、ベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} , b → {\\displaystyle {\\vec {b}}} のなす角。)", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 229, "tag": "p", "text": "分配法則や1次独立の性質もそのまま成り立つ。ただし、3次元空間の全てのベクトルを張るには、3つの線形独立なベクトルを持って来る必要がある。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 230, "tag": "p", "text": "", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 231, "tag": "p", "text": "このことの証明はおそらく線型代数学などに詳しい。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 232, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 233, "tag": "p", "text": "2つのベクトルの内積", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 234, "tag": "p", "text": "を計算せよ。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 235, "tag": "p", "text": "2次元の場合と同じようにここでもそれぞれの要素は互いに直交する単位ベクトル", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 236, "tag": "p", "text": "によって張られている。そのため以前と同じく要素ごとの計算が可能であり、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 237, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 238, "tag": "p", "text": "もうすこし細かく計算を行なうと、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 239, "tag": "p", "text": "が得られる。それぞれのベクトルを", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 240, "tag": "p", "text": "に従って展開し、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 241, "tag": "p", "text": "( i {\\displaystyle i} , j {\\displaystyle j} は1,2,3のどれか。) を代入することで上の式が計算できるはずである。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 242, "tag": "p", "text": "しかし、 i {\\displaystyle i} と j {\\displaystyle j} が等しくないときには", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 243, "tag": "p", "text": "が成り立つことから、上の展開した後の9個の項のうちで、6つは", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 244, "tag": "p", "text": "に等しい。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 245, "tag": "p", "text": "また、 i {\\displaystyle i} と j {\\displaystyle j} が等しいときには", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 246, "tag": "p", "text": "が成り立つことから、上の式", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 247, "tag": "p", "text": "の展開は", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 248, "tag": "p", "text": "となって確かに要素ごとの計算と一致する。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 249, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 250, "tag": "p", "text": "2次元空間のベクトルは2本の1次独立なベクトルがあれば、必ずそれらの線形結合によって計算できるはずである。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 251, "tag": "p", "text": "ここで、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 252, "tag": "p", "text": "と", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 253, "tag": "p", "text": "を用いて、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 254, "tag": "p", "text": "を、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 255, "tag": "p", "text": "の形に書いてみよ。 ( c {\\displaystyle c} , d {\\displaystyle d} は、何らかの定数。)", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 256, "tag": "p", "text": "2次元のベクトルの係数を求める問題である。 c {\\displaystyle c} , d {\\displaystyle d} の文字をそのまま用いると、 c {\\displaystyle c} , d {\\displaystyle d} の満たす条件は", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 257, "tag": "p", "text": "つまり", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 258, "tag": "p", "text": "となる。これは c {\\displaystyle c} , d {\\displaystyle d} に関する連立1次方程式で書き換えられる。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 259, "tag": "p", "text": "これを解くと、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 260, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 261, "tag": "p", "text": "よって、上の式は", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 262, "tag": "p", "text": "と書け、確かに2本の線形独立なベクトルによって他のベクトルが書き表されることが分かった。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 263, "tag": "p", "text": "", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 264, "tag": "p", "text": "このような計算は3次元ベクトルに対しても可能であるが、計算手法として3元1次連立方程式を扱う必要があり、指導要領の範囲外である。実際の計算手法は、線型代数学,物理数学I 線形代数を参照。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 265, "tag": "p", "text": "", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 266, "tag": "p", "text": "この表式を用いて、以前見た", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 267, "tag": "p", "text": "の図形的解釈を述べる。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 268, "tag": "p", "text": "この図形上の任意の点を ( x , y , z ) {\\displaystyle (x,y,z)} で表わす。この点は原点Oに対する位置ベクトルを用いると ( x , y , z ) {\\displaystyle (x,y,z)} で与えられる。便宜のためにこのベクトルを x → {\\displaystyle {\\vec {x}}} と書くことにする。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 269, "tag": "p", "text": "一方、ベクトル a → = ( a , b , c ) {\\displaystyle {\\vec {a}}=(a,b,c)} を用いると、上の式はベクトルの内積を用いて a → ⋅ x → = d {\\displaystyle {\\vec {a}}\\cdot {\\vec {x}}=d} で与えられる。つまり、この式で表わされる図形はあるベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} との内積を一定に保つ図形である。この図形は、実際には a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} に直交する平面で与えられる。なぜならこのような平面上の点は、必ず平面上のある一点の位置ベクトルに加えて、ベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} に直交するベクトルを加えたもので書くことが出来る。しかし、ベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} に直交するベクトルとベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} の内積は必ず0であるので、このような点の集合はベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} と一定の内積を持つのである。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 270, "tag": "p", "text": "よって元の式", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 271, "tag": "p", "text": "は、ベクトル a → = ( a , b , c ) {\\displaystyle {\\vec {a}}=(a,b,c)} に直交する平面に対応することが分かった。次に d {\\displaystyle d} が、図形が表わす平面と、原点との距離に関係があることを示す。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 272, "tag": "p", "text": "特に、ベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} に比例する位置ベクトルを持つ点 x → {\\displaystyle {\\vec {x}}} を考える。このときこの点と原点との距離は、平面", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 273, "tag": "p", "text": "と原点との距離に対応する。なぜなら、位置ベクトル x → {\\displaystyle {\\vec {x}}} は、原点から平面", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 274, "tag": "p", "text": "に垂直に下ろした線に対応するからである。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 275, "tag": "p", "text": "このことから仮に a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} 方向の単位ベクトルを n → {\\displaystyle {\\vec {n}}} と書き、平面と原点との距離を m {\\displaystyle m} と書くと、 x → = m n → {\\displaystyle {\\vec {x}}=m{\\vec {n}}} が得られる。この式を", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 276, "tag": "p", "text": "に代入すると、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 277, "tag": "p", "text": "が得られる。よって、 d {\\displaystyle d} は、平面と原点の距離 m {\\displaystyle m} とベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} の大きさをかけたものである。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 278, "tag": "p", "text": "", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 279, "tag": "p", "text": "", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 280, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 281, "tag": "p", "text": "特にベクトル", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 282, "tag": "p", "text": "を取ると、どのような式が得られて、その式はどのような図形に対応するか。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 283, "tag": "p", "text": "このとき", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 284, "tag": "p", "text": "は、", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 285, "tag": "p", "text": "に対応する。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 286, "tag": "p", "text": "この式は z {\\displaystyle z} 座標が d {\\displaystyle d} に対応し、それ以外の x {\\displaystyle x} , y {\\displaystyle y} 座標を任意に動かした平面に対応しているが、これは x y {\\displaystyle xy} 平面に平行であり、 x y {\\displaystyle xy} 平面からの距離が d {\\displaystyle d} である平面である。また、 x y {\\displaystyle xy} 平面とベクトル", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 287, "tag": "p", "text": "は直交しているので、そのことからもこの式は正しい。", "title": "空間座標とベクトル" }, { "paragraph_id": 288, "tag": "p", "text": "外積は高校数学範囲外で入試には出ないが、外積は数学や物理などに応用でき、便利なのでここで扱う。", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 289, "tag": "p", "text": "三次元ベクトル a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},\\,{\\vec {b}}} に対し、外積 a → × b → {\\displaystyle {\\vec {a}}\\times {\\vec {b}}} を次を満たすものとする。", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 290, "tag": "p", "text": "次に外積の成分表示を考えてみよう。この定義から成分表示を直接導くのは面倒なので、天下り的に成分表示を与えてから、それが外積の定義を満たすことを確認する。", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 291, "tag": "p", "text": "a → = ( a 1 a 2 a 3 ) {\\displaystyle {\\vec {a}}={\\begin{pmatrix}a_{1}\\\\a_{2}\\\\a_{3}\\end{pmatrix}}} 、 b → = ( b 1 b 2 b 3 ) {\\displaystyle {\\vec {b}}={\\begin{pmatrix}b_{1}\\\\b_{2}\\\\b_{3}\\end{pmatrix}}} としたとき、 a → × b → = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 a 3 b 1 − a 1 b 3 a 1 b 2 − a 2 b 1 ) {\\displaystyle {\\vec {a}}\\times {\\vec {b}}={\\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\\end{pmatrix}}} である。", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 292, "tag": "p", "text": "まずは、 a → × b → {\\displaystyle {\\vec {a}}\\times {\\vec {b}}} は a → , b → {\\displaystyle {\\vec {a}},\\,{\\vec {b}}} それぞれと垂直であることを確認する。これは、 ( a → × b → ) ⋅ a → = 0 {\\displaystyle ({\\vec {a}}\\times {\\vec {b}})\\cdot {\\vec {a}}=0} と ( a → × b → ) ⋅ b → = 0 {\\displaystyle ({\\vec {a}}\\times {\\vec {b}})\\cdot {\\vec {b}}=0} であることを成分表示を代入すれば証明できる。", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 293, "tag": "p", "text": "次に、 \| a → × b → \| = \| a → \| \| b → \| sin θ {\\displaystyle \|{\\vec {a}}\\times {\\vec {b}}\|=\|{\\vec {a}}\|\|{\\vec {b}}\|\\sin \\theta } を証明する。 \| a → × b → \| 2 = \| a → \| 2 \| b → \| 2 sin 2 θ = \| → a \| 2 \| b → \| 2 ( 1 − cos 2 θ ) {\\displaystyle \|{\\vec {a}}\\times {\\vec {b}}\|^{2}=\|{\\vec {a}}\|^{2}\|{\\vec {b}}\|^{2}\\sin ^{2}\\theta ={\\vec {\|}}a\|^{2}\|{\\vec {b}}\|^{2}(1-\\cos ^{2}\\theta )} 。ここで、 cos 2 θ = ( a → ⋅ b → ) 2 \| a → \| 2 \| b → \| 2 {\\displaystyle \\cos ^{2}\\theta ={\\frac {({\\vec {a}}\\cdot {\\vec {b}})^{2}}{\|{\\vec {a}}\|^{2}\|{\\vec {b}}\|^{2}}}} を代入し、 \| a → × b → \| 2 = \| → a \| 2 \| b → \| 2 − ( a → ⋅ b → ) 2 {\\displaystyle \|{\\vec {a}}\\times {\\vec {b}}\|^{2}={\\vec {\|}}a\|^{2}\|{\\vec {b}}\|^{2}-({\\vec {a}}\\cdot {\\vec {b}})^{2}} を得る。この式に、成分表示を代入すれば、両辺が等しいことが確認できる。", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 294, "tag": "p", "text": "最後に、フレミングの左手の法則で a → × b → {\\displaystyle {\\vec {a}}\\times {\\vec {b}}} は親指の方向であることを確認する。", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 295, "tag": "p", "text": "a → = ( 1 0 0 ) {\\displaystyle {\\vec {a}}={\\begin{pmatrix}1\\\\0\\\\0\\end{pmatrix}}} 、 b → = ( 0 1 0 ) {\\displaystyle {\\vec {b}}={\\begin{pmatrix}0\\\\1\\\\0\\end{pmatrix}}} のとき、 a → × b → = ( 0 0 1 ) {\\displaystyle {\\vec {a}}\\times {\\vec {b}}={\\begin{pmatrix}0\\\\0\\\\1\\end{pmatrix}}} である。これより、二番目の性質も確認できた。", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 296, "tag": "p", "text": "外積の応用", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 297, "tag": "p", "text": "2つのベクトルに垂直なベクトルを求めたいときなどは、外積の成分表示から計算すれば、面倒な計算をしなくても求められる。", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 298, "tag": "p", "text": "四面体 O A B C {\\displaystyle \\mathrm {OABC} } の体積は 1 6 \| ( O A → × O B → ) ⋅ O C → \| {\\displaystyle {\\frac {1}{6}}\|({\\vec {\\mathrm {OA} }}\\times {\\vec {\\mathrm {OB} }})\\cdot {\\vec {\\mathrm {OC} }}\|} である。実際、 1 6 \| ( O A → × O B → ) ⋅ O C → \| = 1 3 \| 1 2 O A → × O B → \| \| h \| {\\displaystyle {\\frac {1}{6}}\|({\\vec {\\mathrm {OA} }}\\times {\\vec {\\mathrm {OB} }})\\cdot {\\vec {\\mathrm {OC} }}\|={\\frac {1}{3}}\\left\|{\\frac {1}{2}}{\\vec {\\mathrm {OA} }}\\times {\\vec {\\mathrm {OB} }}\\right\|\|h\|} である。ただし、 h はΔABCを底面としたときの四面体の高さである。", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 299, "tag": "p", "text": "また、物理学のローレンツ力は外積を使うと F → = q v → × B → {\\displaystyle {\\vec {F}}=q{\\vec {v}}\\times {\\vec {B}}} と簡潔に表せる。", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 300, "tag": "p", "text": "", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 301, "tag": "p", "text": "覚え方", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 302, "tag": "p", "text": "図のように要素をかけ合わせる。", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 303, "tag": "p", "text": "", "title": "発展:外積" }, { "paragraph_id": 304, "tag": "p", "text": "", "title": "コラムなど" } ]	理科において、力は大きさと向きを持つ量であると習っただろう。大きさと向きを持つ量は、力の他にも、速度や風の吹き方などがある。例えば、ある地点ある時刻における風の吹き方は、風速と風向から成り立つ。このように、大きさと向きを持つ量を導入すると、これらを効率よく扱える。このページでは、大きさと向きを持つ量であるベクトルを扱う。また、図形の問題に対して代数的なアプローチを取れるのもベクトルの利点の一つである。	{{pathnav\|frame=1\|メインページ\|高等学校の学習\|高等学校数学\|高等学校数学C\|pagename=ベクトル\|small=1}} 理科において、力は大きさと向きを持つ量であると習っただろう。大きさと向きを持つ量は、力の他にも、速度や風の吹き方などがある。例えば、ある地点ある時刻における風の吹き方は、風速と風向から成り立つ。このように、大きさと向きを持つ量を導入すると、これらを効率よく扱える。このページでは、大きさと向きを持つ量である'''ベクトル'''を扱う。また、図形の問題に対して代数的なアプローチを取れるのもベクトルの利点の一つである。 ==平面上のベクトル== [[ファイル:SameVectors.png\|サムネイル]] 平面上の点 <math>\mathrm{S}</math> から点 <math>\mathrm{T}</math> へ向かう矢印を考える。このような矢印のように向きを持つ線分を'''有向線分'''という。このとき、点 <math>\mathrm{S}</math> を'''始点'''、点 <math>\mathrm{T}</math> を'''終点'''という。有向線分で、大きさと方向が同じものはベクトルとして同じものとする。有向線分は位置、長さ（大きさ）、向きという情報を持つ。ベクトルは、有向線分の持つ情報のうち、'''位置'''の情報を忘れて、'''大きさ'''、'''向き'''だけに着目したものと考えることができる。有向線分 <math>\mathrm{ST}</math> で表されるベクトルを <math>\mathrm{\vec{ST}}</math> とかく。ベクトルは一文字で <math>\vec a</math> などと表されることがある<ref>または、太文字で <math>\bold a</math> などと表記されることもある。しかし、日本の高等学校、大学入試では <math>\vec \cdot</math> がほとんどである。</ref>。ベクトル <math>\vec a</math> の大きさを <math>\|\vec a\|</math> で表す。有向線分 <math>\mathrm{ST}</math>、有向線分 <math>\mathrm{S'T'}</math> に対し、大きさが等しく、向きが等しいなら、位置が違っていても、ベクトルとして等しく、<math>\mathrm{\vec{ST}} = \mathrm{\vec{S'T'}}</math> である。<ref>ベクトルとして等しくても、有向線分として等しいとは限らない</ref> 大きさが 1 であるベクトルを'''単位ベクトル'''という。 [[ファイル:Vector-negation.png\|サムネイル\|ベクトル <math>\vec A</math> の逆ベクトル]] ベクトル <math>\vec a</math> に対し、ベクトル <math>\vec a</math> と方向が'''逆'''で、大きさが等しいベクトルを'''逆ベクトル'''といい、<math>-\vec a</math> とかく。始点と終点が等しいベクトルを'''零ベクトル'''といい、<math>\vec 0 </math> で表す。任意の点 <math>\mathrm{A}</math> に対し、<math>\mathrm{\vec{AA}} = \vec 0</math> である。ゼロベクトルの大きさは 0 で、向きは考えないものとする。 === ベクトルの加法 === [[ファイル:Vector addition explain.svg\|サムネイル\|ベクトルの和]] ベクトル <math>\vec a, \vec b</math> に対し、<math>\vec a = \mathrm{\vec{AB}}, \vec b = \mathrm{\vec{BC}}</math> となる点をとる。このときベクトルの加法を <math>\vec a + \vec b = \mathrm{\vec{AC}}</math> で定める。ベクトルの加法について以下が成り立つ。 * <math>\vec a + \vec b = \vec b + \vec a</math> * <math>(\vec a + \vec b) + \vec c = \vec a +(\vec b + \vec c)</math> [[ファイル:Vector commutative.svg\|サムネイル\|ベクトルの加法は可換である]] また、<math>\vec a + \vec 0 = \vec a</math> とする。 === ベクトルの減法 === ベクトル <math>\vec a, \vec b</math> に対し、 <math>\vec a - \vec b = \vec a+ (-\vec b)</math> とかく。 [[ファイル:Vector's subtraction.svg\|サムネイル\|ベクトルの減法]] === ベクトルの実数倍 === ゼロベクトルはないベクトル <math>\vec a</math> と実数 <math>k</math> に対し、ベクトルの実数倍 <math>k\vec a</math> を以下のように定める。 # <math>k > 0</math> のとき、ベクトル <math>\vec a</math> と方向が同じで、大きさが <math>k</math> 倍されたベクトル # <math>k = 0</math> のとき、ゼロベクトル <math>\vec 0</math> # <math>k < 0</math> のとき、逆ベクトル <math>-\vec a</math> と方向が同じで、大きさが <math>k</math> 倍されたベクトルまたゼロベクトル <math>\vec 0</math> に対し、実数倍を <math>k\vec 0 = \vec 0</math> で定める。以下の性質がなりたつ。 * <math>(k+l)\vec a = k\vec a + l\vec a</math> * <math>k(\vec a + \vec b) = k\vec a + k\vec b</math> * <math>(kl)\vec a = k(l\vec a)</math> == ベクトルの平行・垂直 == ゼロベクトルではないベクトル <math>\vec a, \vec b \, (\neq \vec 0)</math> に対し、<math>\vec a = \vec{\mathrm{AA'}}, \vec b = \vec{\mathrm{BB'}}</math> となる点をとる。このとき、直線 <math>\mathrm{AA'}</math> と直線 <math>\mathrm{BB'}</math> が平行であるとき、ベクトル <math>\vec a, \vec b</math> は平行であるといい、 <math>\vec a \parallel \vec b</math> で表す。また、直線 <math>\mathrm{AA'}</math> と直線 <math>\mathrm{BB'}</math> が垂直であるとき、ベクトル <math>\vec a, \vec b</math> は垂直であるといい、<math>\vec a \perp \vec b</math> で表す。ベクトル <math>\vec a, \vec b</math> が平行のとき、明らかに、片方のベクトルを実数倍すれば大きさと向きが一致するので、 <math>\vec a \parallel \vec b \iff \vec b = k\vec a</math> となる実数 <math>k</math> が存在するが成り立つ。[[ファイル:Scalar multiplication of vectors.png\|サムネイル\|337x337ピクセル\|ベクトルの実数倍]] == ベクトルの分解 == ベクトル <math>\vec a, \vec b</math> がともにゼロベクトルでなく(<math>\vec a, \vec b \neq \vec 0</math>) 、平行でないとき、任意のベクトル <math>\vec p</math> に対して、 <math>\vec p = s\vec a + t \vec b</math> となる実数 <math>s,t</math> を取ることができる。 '''証明'''<!-- 図 --> <math>\vec a = \vec{\mathrm{OA}},\vec b = \vec{\mathrm{OB}},\vec p = \vec{\mathrm{OP}}</math> となる点をとる。点 <math>\mathrm{P}</math> を通り、直線 <math>\mathrm{OB},\mathrm{OA}</math> に平行な直線が、それぞれ直線 <math>\mathrm{OA},\mathrm{OB}</math> と交わる点をそれぞれ <math>\mathrm{S,T}</math> と置く。このとき、 <math>\vec \mathrm{OS} = s\vec a,\vec \mathrm{OT} = t\vec b</math> となる実数 <math>s,t</math> を取ることができる。ここで、四角形 <math>\mathrm{OSPT}</math> は平行四辺形なので、 <math>\vec p = s\vec a + t \vec b</math> が成り立つ。 == ベクトルの成分表示 == ベクトル <math>\vec a</math> に対して、座標平面上の原点を <math>\mathrm O</math> とするとき、<math>\vec a = \mathrm{\vec{OA}}</math> となる点 <math>\mathrm A(a_x,a_y)</math> を取ることができる。そこで、 <math>(a_x,a_y)</math> をベクトル <math>\vec a</math> の成分表示とし、 <math>\vec a = (a_x,a_y)</math>、または、縦に並べて、 <math>\vec a = \left(\begin{align}a_x\\a_y\end{align}\right)</math> と書く。ベクトル <math>\vec a , \vec b</math> に対して、<math>\vec a = \mathrm{\vec{OA}},\, \vec b = \mathrm{\vec{OB}}</math> となる点 <math>\mathrm{A},\mathrm{B}</math> をとり、<math>\vec a = (a_x,a_y),\, \vec b = (b_x,b_y)</math> とするとき <math>\vec a = \vec b \iff \vec{\mathrm{OA}} = \vec{\mathrm{OB}} \iff </math>点 <math>\mathrm A ,\, \mathrm B</math> が一致する <math>\iff a_x = b_x </math> かつ <math>a_y = b_y</math> また、 <math>\vec a = (a_x, a_y)</math> に対して、<math>\vec a = \mathrm{\vec{OA}}</math> とするとき、 <math>\|\vec a\|</math> は線分 <math>\mathrm{OA}</math> の長さなので、 <math>\|\vec a\| = \sqrt{a_x^2 + a_y ^2}</math> である。 [[ファイル:Vector in 2D space.png\|サムネイル]] ベクトル <math>\vec a = (a_x, a_y) ,\vec b = (b_x,b_y)</math> に対して、 <math>\vec a + \vec b = (a_x + b_x, a_y + b_y)</math> <math>\vec a - \vec b = (a_x-b_x,a_y-b_y)</math> <math>k\vec a = (ka_x , ka_y)</math> がなりたつ。 ==位置ベクトル== ある点を基準にして、その点を始点とするベクトルについて考えることにより、ベクトルを用いて点の位置関係について考察することができる。点の位置関係基準となる点 <math>\rm O</math> をあらかじめ定める。このとき、点 <math>\rm A</math> に対して、ベクトル <math>\vec{\rm {OA }}</math> を点 <math>\rm A</math> の位置ベクトルという。位置ベクトル <math>\vec{a}</math> で与えられる点 <math>\rm A</math> を <math>\mathrm{A}(\vec a)</math> で表す。また、点 <math>\mathrm A (\vec a),\,\mathrm B(\vec b)</math> のとき、<math>\vec{\rm{AB}} = \vec{\rm{OB}} - \vec{\rm{OA}} = \vec b- \vec a</math> が成り立つ。 === 内分点・外分点の位置ベクトル === 以下、位置ベクトルの基準点を点 <math>\rm O</math> とする。点 <math>\rm A (\vec a),\,\rm B(\vec b)</math> を通る線分 <math>\mathrm{AB}</math> を <math>m:n</math> に内分する点 <math>\mathrm{P}(\vec p)</math> を求める。<!-- 図 --> <math>\vec{\mathrm{AP}} = \frac{m}{m+n}\vec{\mathrm{AB}}</math> より、<math>\vec p - \vec a = \frac{m}{m+n}(\vec b - \vec a)</math> したがって、<math>\vec p = \frac{n\vec a + m\vec b}{m+n}</math> である。<ref><math>\vec p =\frac{m}{m+n}(\vec b - \vec a) + \vec a = \left(1-\frac{m}{m+n}\right)\vec a + \frac{m}{m+n}\vec b = \frac{n\vec a + m\vec b}{m+n} </math></ref> 次に、点 <math>\rm A (\vec a),\,\rm B(\vec b)</math> を通る線分 <math>\mathrm{AB}</math> を <math>m:n</math> に外分する点 <math>\mathrm{Q}(\vec q)</math> を求める。<!-- 図 --> <math>m > n</math> の場合は、 <math>\vec{\mathrm{AQ}} = \frac{m}{m-n}\vec{\mathrm{AB}}</math> より、<math>\vec q - \vec a = \frac{m}{m-n}(\vec b - \vec a) </math> したがって、<math>\vec q = \frac{-n\vec a + m\vec b}{m-n}</math> である。<ref><math>\vec q = \frac{m}{m-n}(\vec b - \vec a) + \vec a = \left(1-\frac{m}{m-n}\right)\vec a + \frac{m}{m-n}\vec b = \frac{-n\vec a + m\vec b}{m-n} </math></ref> <math>m < n</math> の場合は、<math>\vec{\mathrm{BQ}} = \frac{n}{n-m}\vec{\mathrm{BA}}</math> に注意して同様に計算すれば、前と同じ、 <math>\vec q = \frac{-n\vec a + m\vec b}{m-n}</math> が得られる。<ref><math>m = n</math> の場合、つまり線分を <math>1:1</math> に外分する点は存在しない。なぜなら、任意の線分ABに対してAP:BP=1:1となる点Pは線分ABの直角二等分線上にあるが、点Pが線分AB上にある場合、これは内分点であり、点Pが線分AB上にない場合、これは外分点ではありえない。</ref> === 三角形の重心の位置ベクトル === 三角形 <math>\mathrm{ABC}</math> に対し、 <math>\mathrm{A}(\vec a),\, \mathrm{B}(\vec b),\, \mathrm{C}(\vec c)</math> と置く。この三角形 <math>\mathrm{ABC}</math> の重心 <math>\mathrm{G}({\vec g})</math> を求める。<!-- 図 --> 線分 <math>\mathrm{BC}</math> の中点を <math>\mathrm{M}(\vec m)</math> とすると、点 <math>\mathrm M</math> は線分 <math>\mathrm{BC}</math> を <math>1:1</math> に内分する点なので、 <math>\vec m = \frac{\vec b + \vec c}{2}</math> である。点 <math>\mathrm{G}</math> は線分 <math>\mathrm{AM}</math> を <math>2:1</math> に内分する点なので、 <math>\vec g = \frac{\vec a + \vec b + \vec c}{3}</math> である。<ref><math>\vec g = \frac{\vec a + 2\vec m}{2+1} = \frac{\vec a + \vec b + \vec c}{3}</math></ref> === 三角形の内心の位置ベクトル === 三角形 <math>\mathrm{ABC}</math> に対し、 <math>\mathrm{A}(\vec a),\, \mathrm{B}(\vec b),\, \mathrm{C}(\vec c)</math> と置く。さらに、<math>\mathrm{AB} = c,\,\mathrm{BC} = a,\, \mathrm{CA} = b</math> と置く。三角形 <math>\mathrm{ABC}</math> の内心の位置ベクトル <math>\mathrm{I}(\vec i)</math> を求める。<ref>ここで、線分の長さと頂点の位置ベクトルを同じアルファベットで置いているが、記号 <math>\vec \bullet</math> のついているものは、ベクトル。記号 <math>\vec \bullet</math> のついていないものは実数であることに注意せよ。</ref><!-- 図 --> <math>\rm A</math> の二等分線と線分 <math>\rm{BC}</math> の交点を <math>\mathrm{D}(\vec d)</math> とする。このとき、三角形の二等分線の性質より<math>\mathrm{BD}:\mathrm{DC} = c:b</math> したがって、<math>\vec d = \frac{b\vec b + c\vec c}{b+c}</math> である。ここで、<math>\mathrm{AI}:\mathrm{ID} = \mathrm{BA}:\mathrm{BD} = c:\frac{ac}{b+c} = (b+c):a</math><ref><math>\mathrm{BD}:\mathrm{DC} = c:b</math> より <math>\mathrm{BD} = \frac{c}{b+c}a</math></ref> である。したがって、<math>\vec i = \frac{a\vec a + (b+c)\vec d}{a+b+c} = \frac{a\vec a + b\vec b + c\vec c}{a+b+c}</math> である。 == ベクトルの内積 == 中学または高校の理科の力学では、力学的な仕事の定義をならったことがあるだろう。この仕事では、移動方向以外の力は、仕事に寄与しなかった。このような力の仕事の計算を、ベクトルの観点からみれば、内積という新しい概念が定義できる。<ref>[[物理数学I]]などを参照</ref><ref>これは、内”積”という名前がついているが、実数の”積”とは様子が違い、単純に実数の積をベクトルに拡張したものが内積というわけではない。実数の積は実数から実数への演算であるが、ベクトルの内積はベクトルから実数への演算である。</ref> ベクトル <math> \vec a,\vec b </math> に対し、 <math>\vec a = \vec{\mathrm{OA}}, \vec b = \vec{\mathrm{OB}}</math> となる点 <math>\mathrm{O,A,B}</math> をとる。このとき、 <math>\angle \mathrm{AOB}</math> を'''ベクトル <math> \vec a,\vec b </math> のなす角'''という。 (図) ベクトル <math> \vec a,\vec b </math> のなす角を <math>\theta</math> とするとき、内積 <math>\vec a \cdot \vec b</math> を :<math> \vec a \cdot \vec b = \|\vec a\|\|\vec b\| \cos \theta </math> で定める。<ref>内積 <math>\vec a \cdot \vec b</math> を <math>\vec a \vec b</math> や <math>\vec a \times \vec b</math> のように表記してはいけない。<math>\vec a \times \vec b</math> はベクトルの外積（範囲外）を表す。</ref> 定義から、ベクトルの内積は一方のベクトルをもう一方のベクトルに射影したときの、大きさの積であると言える。 (図) === 成分表示された内積 === ベクトル <math> \vec a,\vec b </math> を <math>\vec a = (a_1,a_2),\vec b = (b_1,b_2)</math> と成分表示したときの、内積 <math>\vec a \cdot \vec b</math> について考えてみよう。ベクトル <math> \vec a,\vec b </math> に対し、 <math>\vec a = \vec{\mathrm{OA}}, \vec b = \vec{\mathrm{OB}}</math> となる点 <math>\mathrm{O,A,B}</math> をとり、ベクトル <math> \vec a,\vec b </math> のなす角を <math>\theta </math> とする。このとき <math>\triangle \mathrm{OAB}</math> に対し余弦定理を用いて <math>\mathrm{\mathrm{AB}}^2 = \mathrm{\mathrm{OA}}^2 + \mathrm{\mathrm{OB}}^2 - 2 \cdot \mathrm{\mathrm{OA}} \cdot \mathrm{\mathrm{OB}} \cos \theta </math> (図) ここで、 <math>\mathrm{\mathrm{AB}} = \|\vec b - \vec a\|,\mathrm{\mathrm{OA}} = \|\vec a\|,\mathrm{\mathrm{OB}} = \|\vec b\|</math> と、<math>\mathrm{\mathrm{OA}} \cdot \mathrm{\mathrm{OB}} \cos \theta = \|\vec a\|\|\vec b\|\cos\theta = \vec a \cdot \vec b</math> より <math>\|\vec b - \vec a\|^2 = \|\vec a\|^2 + \|\vec b\|^2 - 2 \vec a \cdot \vec b</math> であるので、 <math>\vec a \cdot \vec b = \frac{1}{2}(\|\vec a\|^2 + \|\vec b\|^2 - \|\vec b - \vec a\|^2)</math> である。ここで、 <math>\|\vec a\|^2 = a_1^2 + a_2^2,\|\vec b\|^2 = b_1^2 + b_2^2,\|\vec b - \vec a\|^2 = \|(b_1 - a_1, b_2 - a_2)\|^2 = (b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2</math> なので、これを代入すれば <math>\vec a \cdot \vec b = \frac{1}{2}(\|\vec a\|^2 + \|\vec b\|^2 - \|\vec b - \vec a\|^2)</math> <math>= \frac{1}{2}\left[(a_1^2 + a_2^2) + (b_1^2 + b_2^2 )- (b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2\right] </math> <math>= a_1b_1 + a_2b_2 </math> である。したがって <math>\vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2</math> が得られた。 === 内積の性質 === {{math_theorem\|内積の性質\|ベクトル <math> {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}</math> と実数 <math> k</math> に対し以下が成り立つ。 #<math> {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {b}}\cdot {\vec {a}}</math> #<math> {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}</math> #<math> (k{\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=k({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})</math> #<math> 0\leq {\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=\|{\vec {a}}\|^{2}</math>}} これらはベクトルを成分表示して計算すれば証明できる。 {{Math proof\| <math>\vec a = (a_1,a_2),\vec b = (b_1,b_2),\vec c = (c_1,c_2)</math> とする。 #<math>\vec a \cdot \vec b = a_1b_1+a_2b_2 = \vec b \cdot \vec a</math> #<math>{\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}+{\vec {c}})=(a_1,a_2)\cdot(b_1+c_1,b_2+c_2) = (a_1b_1+a_1c_1 )+ (a_2b_2+a_2c_2 ) = {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {c}}</math> #<math>(k{\vec {a}})\cdot {\vec {b}}= (ka_1,ka_2)\cdot (b_1,b_2) =k(a_1b_1+a_2b_2) = k({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})</math> #<math>{\vec {a}}\cdot {\vec {a}} = a_1^2 + a_2^2 = \|{\vec {a}}\|^{2} \ge 0</math>}} == ベクトル方程式 == {{演習問題\| <math>\mathrm A (\vec a),\, \mathrm B (\vec b)</math>とする。このとき、線分OAを1:3に分ける点と、線分OBを5:2に分ける点をそれぞれ、A',B'とする。 (1) ベクトル <math>\vec {OA'},\, \vec {OB'}</math> をベクトル<math>\vec a,\, \vec b</math>を用いてあらわせ。 (2) 線分AB'と、BA'の交点 M の位置ベクトルをベクトル<math>\vec a,\, \vec b</math>を用いてあらわせ。\| ベクトル :<math> \vec a </math> と、ベクトル :<math> \vec b </math> は互いに1次独立な2本のベクトルなので、これらを用いてあらゆる図形上の点が表されるはずである。図形上のそれぞれの点は、点Oからの位置ベクトルで表される。例えば、ベクトル :<math> \vec {OA'} </math> は、点Oから見て :<math> \vec a </math> と平行な方向のベクトルであり、その大きさが、 :<math> \frac 1 4 </math> であるので、 :<math> \vec {OA'}= \frac 1 4 \vec a </math> で表される。同様に、ベクトル :<math> \vec {OB'} </math> は、点Oから見て :<math> \vec b </math> と平行な方向のベクトルであり、その大きさが、 :<math> \frac 2 7 </math> であるので、 :<math> \vec {OB'}= \frac 2 7 \vec b </math> で表される。次に、点A'を通過し、線分A'Bに平行な直線をベクトル :<math> \vec a </math> と :<math> \vec b </math> を用いて記述する方法を考える。ここでは、この直線上の点は、ある定数<math>s</math>を用いて、 :<math> \vec{OA'} + s(\vec {A'B}) </math> で表せることに注目する。例えば、 :<math> s=0 </math> のとき、この式が表す点は :<math> \vec{OA'} </math> に等しく、 :<math> s = 1 </math> のとき、 :<math> \vec {OB} </math> に等しく、いずれも直線 A'B上の点である。これらに先ほど求めた :<math> \vec {OA'} </math> と、 :<math> \vec{OB} </math> の値を用いると、 :<math> \vec{OA'} + s(\vec {A'B}) </math> :<math> = \frac 1 4 \vec a + s(\vec b - \frac 1 4 \vec a) </math> :<math> = \frac 1 4 (1 -s ) \vec a + s \vec b </math> が得られる。同様に、線分AB'上の点はある定数 <math>t</math>を用いて、 :<math> \vec {OB'} + t\vec{B' A} </math> で表される。ここに先ほど得た値を代入すると、 :<math> \vec {OB'} + t\vec{B' A} </math> :<math> = \frac 2 7 \vec b + t(\vec a - \frac 2 7 \vec b) </math> :<math> =(1-t) \frac 2 7 \vec b + t \vec a </math> となる。このようにそれぞれの直線上の点が<math>s</math>,<math>t</math>を用いて表された。次に、これらの式が同じ点を示すように <math>s</math>,<math>t</math>を定める。そのためには、 :<math> \vec{OM}= \frac 1 4 (1 -s ) \vec a + s \vec b </math> , :<math> \vec{OM}=(1-t) \frac 2 7 \vec b + t \vec a </math> を等しいとおいて、 <math>s</math>,<math>t</math>に関する連立方程式を作り、それを解けばよい。上の式で :<math> \vec a </math> の係数を等しいとおくと、 :<math> \frac 1 4 (1-s) = t </math> が得られ、 :<math> \vec b </math> の係数を等しいとおくと、 :<math> \frac 2 7 (1-t) = s </math> が得られる。この式を連立して解くと、 :<math> s = \frac 3 {13} </math> , :<math> t = \frac 5 {26} </math> が得られる。この式を :<math> \vec{OM}= \frac 1 4 (1 -s ) \vec a + s \vec b </math> , :<math> \vec{OM} =(1-t) \frac 2 7 \vec b + t \vec a </math> のどちらかに代入すると、求める位置ベクトルが得られるのである。代入すると、求めるベクトルは、 :<math> \vec{OM}= \frac 1 4 (1 -\frac 3 {13} ) \vec a + \frac 3 {13} \vec b </math> :<math> = \frac 5 {26} \vec a + \frac 3 {13} \vec b </math> となる。 :答え :<math> \vec{OA'} = \frac 1 4 \vec a </math> :<math> \vec {OB'}= \frac 2 7 \vec b </math> :<math> \vec {OM} = \frac 5 {26} \vec a + \frac 3 {13} \vec b </math>}} ===== 媒介変数を使った直線のベクトル方程式 ===== 点 <math>\mathrm{A}(\vec a)</math> を通り、ベクトル <math>\vec {d} \, (\neq \vec 0)</math> に平行な直線を <math>g</math> とする。<math>g</math> 上の点を <math>\mathrm{P}(\vec p)</math> とすると、<math>\vec \mathrm{AP} = \vec {0}</math>または<math>\vec \mathrm{AP} \parallel \vec d</math> だから :<math>\vec \mathrm{AP} = t \vec {d}</math><!-- 図 --> となる実数 <math>t</math> がある。すなわち、 :<math>\vec {p} - \vec {a} = t \vec {d}</math> よって、 :<math>\vec {p} = \vec {a} + t \vec {d}</math> これを、直線 <math>g</math> の'''ベクトル方程式'''（vector equation）といい、 <math>\vec{d}</math> を <math>g</math> の'''方向ベクトル'''という。また、<math>t</math> を{{Ruby\|'''媒介変数'''\|ばいかいへんすう}}という。点Aの座標を<math>(x_1\ ,\ y_1)</math>、<math>\vec{d} = (a\ ,\ b)</math>、点Pの座標を<math>(x\ , \ y)</math>とおくと、ベクトル方程式 <math>\vec {p} = \vec {a} + t \vec {d}</math> は :<math>(x\ , \ y) = (x_1\ , \ y_1) + t (a\ , \ b) </math> となる。したがって <math>\begin{cases} x = x_1 +at \\ y = y_1 +bt\end{cases}</math> これを直線 <math>g</math> の'''媒介変数表示'''という。 {{演習問題\| 点A<math>(1\ ,\ 2)</math>を通り、<math>\vec{d} = (3\ ,\ 5)</math>に平行な直線の方程式を、媒介変数tを用いて表せ。また、tを消去した式で表せ。\| この直線のベクトル方程式は :<math>(x\ , \ y) = (1\ , \ 2) + t (3\ , \ 5) = (1+3t\ , \ 2+5t)</math> したがって :<math>x = 1+3t\ ,\ y = 2+5t</math> tを消去すると、次のようになる。 :<math>5x-3y+1=0</math>}} 2点 <math>\mathrm{A}(\vec a),\, \mathrm{B}(\vec b)</math> を通る直線のベクトル方程式を考える。直線ABは、点Aを通り、<math>\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}</math>を方向ベクトルとする直線と考えられるから、そのベクトル方程式は :<math>\vec {p} = \vec {a} + t \left(\vec{b} - \vec{a} \right)</math> となる。これは次のように書ける。 :<math>\vec {p} = (1-t) \vec {a} + t \vec{b}</math> {{演習問題\| 2点A<math>(2\ ,\ 5)</math>，B<math>(-1\ ,\ 3)</math>を通る直線の方程式を、媒介変数tを用いて表せ。\| この直線のベクトル方程式は :<math>(x\ , \ y) = (1-t)(2\ , \ 5) + t (-1\ , \ 3) = (2-3t\ , \ 5-2t)</math> したがって :<math>x = 2-3t\ ,\ y = 5-2t</math>}} ===== 内積を使った直線のベクトル方程式 ===== 点Aを通って、<math>\vec {0}</math>でないベクトル、<math>\vec {n}</math>に垂直な直線をgとする。g上の点をPとすると、<math>\vec {AP} = \vec {0}</math>または<math>\vec {AP} \perp \vec {n}</math>だから :<math>\vec {AP} \cdot \vec {n} =0</math>…(1) である。点A,Pの位置ベクトルをそれぞれ、<math>\vec{a}\ ,\ \vec{p}</math>とすると、<math>\vec {AP} = \vec {p} - \vec {a}</math>だから、(1)は :<math>\vec {n} \cdot (\vec {p} - \vec {a}) = 0</math>…(2) となる。(2)が点Aを通って、<math>\vec {n}</math>に垂直な直線gのベクトル方程式であり、<math>\vec{n}</math>をこの直線の'''法線ベクトル'''（ほうせんベクトル、normal vector）という。点Aの座標を<math>(x_1\ ,\ y_1)</math>、<math>\vec{n} = (a\ ,\ b)</math>、点Pの座標を<math>(x\ , \ y)</math>とおくと、<math>\vec {p} - \vec {a} = (x-x_1\ , \ y-y_1)</math>だから、(2)は次のようになる。 <center><math>a(x-x_1)+b(y-y_1)=0</math></center> この方程式は、<math>-ax_1-by_1=c</math>とおくと、<math>ax+by+c=0</math>となるから、次のことがいえる。 '''直線<math>ax+by+c=0</math>の法線ベクトルは、<math>\vec{n} = (a\ ,\ b)</math>である。''' {{演習問題\| 点A<math>(2\ ,\ 5)</math>を通り、<math>\vec{n} = (4\ ,\ 3)</math>に垂直な直線の方程式を求めよ。\|:<math>4(x-2)+3(y-5)=0</math> つまり :<math>4x+3y-23=0</math>}} ==空間座標とベクトル== ここまでは、平面上のベクトルについて考えてきたが、ここからは３次元空間上のベクトルについて考える。より一般にベクトルはn次元(ユークリッド)空間上で定義することができるが、このようなものは高校では扱わない。 =====空間座標 ===== 今までは、平面上の図形をベクトルや数式を用いて表現する方法を学んで来た。ここでいう2次元とは、平面のことである。平面上の任意の点を指定するには最低でも2以上の実数が必要だからこのように呼ばれている。もちろん容易に分かる通り、2つ以上の次元を持っている図形も存在する。例えば、3次元立体の1つである直方体は縦、横、高さの3つの長さを持っているので、3次元図形と呼ばれる。空間に1つの平面をとり、その上に直交する座標軸<math>O_x\ , \ O_y</math>をとる。次にOを通りこの平面に垂直な直線<math>O_z</math>をひき、その直線上で、Oを原点とする座標を考える。この3直線<math>O_x\ , \ O_y\ , \ O_z</math>は、どの2つも互いに垂直である。これらを'''座標軸'''といい、それぞれ'''x軸、y軸、z軸'''という。また、x軸とy軸とで定まる平面を'''xy平面'''といい、y軸とz軸とで定まる平面を'''yz平面'''といい、z軸とx軸とで定まる平面を'''zx平面'''といい、これらを'''座標平面'''という。空間内の点Aに対して、Aを通って各座標平面に平行な3つの平面をつくり、それらがx軸、y軸、z軸と交わる点を<math>A_1\ , \ A_2\ , \ A_3</math>とし、<math>A_1\ , \ A_2\ , \ A_3</math>のそれぞれの軸上での座標を<math>a_1\ , \ a_2\ , \ a_3</math>とする。このとき、3つの数の組 :<math>(a_1\ , \ a_2\ , \ a_3)</math> を点Aの'''座標'''といい、<math>a_1</math>を'''x座標'''といい、<math>a_2</math>を'''y座標'''といい、<math>a_3</math>を'''z座標'''という。このように座標の定められた空間を'''座標空間'''と呼び、点Oを座標空間の'''原点'''という。 =====球面の方程式 ===== ここでは、特に3次元空間の図形に注目する。まずはベクトルを用いる前に3次元空間の空間図形を、数式によって記述する方法を考察する。 2次元空間において、もっとも簡単な図形は直線であり、その式は一般的に :<math> a x + by = c </math> で表わされた。 (<math>a</math>,<math>b</math>,<math>c</math>は任意の定数。) ここで<math>x</math>,<math>y</math>は、2次元空間を代表する2つのパラメーターであり、3次元空間を用いたときには、これらは3つの文字で表わされることが期待される。実際このような式で表わされる図形は、3次元空間でも基本的な図形である。つまり、 :<math> a x + by + cz = d </math> が、上の式の類似物として得られる。 (<math>a</math>,<math>b</math>,<math>c</math>,<math>d</math>は任意の定数。) このような図形はどんな図形に対応するだろうか? 実際にはこの図形を特徴づけるのは、後に学ぶ3次元ベクトルを用いるのがもっとも簡単であるので、これは後にまわすことにする。しかし、ただ1つこの式から分かることは、3次元空間の座標を表わすパラメーター :<math> x,y,z </math> のうちに1つの関係 :<math> f(x,y,z)=0 </math> を与えることで、3次元空間上の図形を指定できるということである。この場合は、 :<math> f(x,y,z) =a x + by + cz - d </math> を用いていた。ベクトルを使わなくても図形的解釈が得られる式として、 :<math> (x -a)^2 + (y -b)^2 + (z -c)^2 = r^2 </math> が挙げられる。 (<math>a</math>,<math>b</math>,<math>c</math>,<math>r</math>は任意の定数。) この式は、2次元でいうところの :<math> (x -a)^2 + (y -b)^2 + = r^2 </math> の式の類似物である。2次元の場合はこの式は、中心<math> (a,b) </math>半径<math> r </math>の円に対応していた。 3次元のこの式は、結論をいうと中心<math> (a,b,c) </math>半径<math> r </math>の円に対応しているのである。説明上の式 :<math> (x -a)^2 + (y -b)^2 + (z -c)^2 = r^2 </math> を満たすある点<math> (x,y,z) </math>を取り、その点と点<math> (a,b,c) </math>との距離を考える。空間座標に置ける<math>x</math>軸、 <math>y</math>軸、 <math>z</math>軸はそれぞれ直交しているので、2点の距離は3平方の定理を用いて :<math> \sqrt{ (x -a)^2 + (y -b)^2 + (z -c)^2 } </math> で与えられる。しかし、上の式からここで選んだ点<math> (x,y,z) </math>は、条件 :<math> (x -a)^2 + (y -b)^2 + (z -c)^2 = r^2 </math> を満たしているので、2点の距離は :<math> \sqrt{ (x -a)^2 + (y -b)^2 + (z -c)^2 } </math> :<math> = \sqrt{r^2} </math> :<math> = r </math> である。 (<math>r>0</math>を用いた。) よって、上の式を満たす点は全て点<math> (a,b,c) </math>からの距離が<math> r </math>である点であり、これは中心<math> (a,b,c) </math>半径<math> r </math>の円に他ならない。 {{演習問題\| 中心 :<math> (3,7,-2) </math> 半径 :<math> 1 </math> の球の式を求めよ。\|:<math> (x -a)^2 + (y -b)^2 + (z -c)^2 = r^2 </math> に代入することで、 :<math> (x -3)^2 + (y -7)^2 + (z +2)^2 = 1 </math> が求められる。}} {{演習問題\| :<math> x ^ 2 + 2x + y ^ 2 - 8y + z ^ 2 + 6z - 9 = 0 </math> がどのような球に対応するか計算せよ。\|このような数式が球に対応するとき、 :<math> x^2, y^2, z^2 </math> の係数は必ず等しくなくてはならない。そうでない場合はこの図形は楕円体に対応するのだが、これは指導要領の範囲外である。ここでは上の式はその条件を満たしている。ここでは、この式を :<math> (x -a)^2 + (y -b)^2 + (z -c)^2 = r^2 </math> の形に持って行くことが重要である。 :<math> x,y,z </math> のそれぞれについてこの式を平方完成すると、 :<math> x ^ 2 + 2x + y ^ 2 - 8y + z ^ 2 + 6z - 9 = 0 </math> :<math> (x +1 ) ^2 - 1 + (y -4) ^2 -16 +(z +3)^2 -9 -9=0 </math> :<math> (x +1 ) ^2 + (y -4) ^2 +(z +3)^2 = 35 </math> が得られる。よって、上の式 :<math> x ^ 2 + 2x + y ^ 2 - 8y + z ^ 2 + 6z - 9 = 0 </math> は、中心 :<math> (-1,4,-3) </math> 、半径 :<math> \sqrt{35} </math> の球に対応する。}} =====空間におけるベクトル===== 次に3次元空間上におけるベクトルを考察する。 2次元空間上ではベクトルは2つの量の組み合わせで表わされた。これは1つのベクトルはx軸方向に対応する量とy軸方向に対応する量の2つを持っている必要があったからである。このことから、3次元空間のベクトルは3つの量の組み合わせで書けることが予想される。特に<math>x</math>軸方向の成分<math>a</math>, <math>y</math>軸方向の成分<math>b</math>, <math>z</math>軸方向の成分<math>c</math> (<math>a</math>,<math>b</math>,<math>c</math>は任意の定数。) で表わされるベクトルを、 :<math> (a,b,c) </math> と書いて表わすことにする。 2次元平面ではあるベクトル :<math> \vec a =(a,b) </math> は、 (<math>a</math>,<math>b</math>は任意の定数。) :<math> \vec e _1 = (1,0) </math> :<math> \vec e _2 = (0,1) </math> の2本のベクトルを用いて、 :<math> \vec a = a\vec e _1 + b\vec e _2 </math> で表わされた。 3次元空間でもこのような記述法があり、上で用いたベクトル :<math> \vec a = (a,b,c) </math> は、 :<math> \vec e _1 = (1,0,0) </math> :<math> \vec e _2 = (0,1,0) </math> :<math> \vec e _3 = (0,0,1) </math> を用いて :<math> \vec a = a \vec e _1 + b \vec e _2 + c\vec e _3 </math> と書かれたベクトルに対応している。 3次元ベクトルに対しても2次元ベクトルで定めた定義や性質がほぼそのまま成立する。 3次元ベクトルの加法は、それぞれのベクトル要素を独立に足し合わせることによって定義する。 :<math> (x _1,y _1,z _1)+(x _2,y _2,z _2) </math> :<math> = (x _1+x _2,y _1+y _2,z _1+z _2) </math> また、それぞれのベクトルの要素が全て等しいベクトルを"ベクトルとして等しい"と表現する。 {{演習問題\| ベクトルの和 :<math> (1,2,3)+(4,5,6) </math> を計算せよ。\|:<math> (1,2,3)+(4,5,6) </math> :<math> =(1+4,2+5,3+6) </math> :<math> =(5,7,9) </math> が得られる。}} =====空間ベクトルの内積===== ベクトル<math>\vec a</math>,<math>\vec b</math>間のベクトルの内積も平面の場合と同様に :<math> \vec a \cdot\vec b = \|\vec a\|\|\vec b\| \cos \theta </math> (<math>\theta</math>は、ベクトル<math>\vec a</math>,<math>\vec b</math>のなす角。) 分配法則や1次独立の性質もそのまま成り立つ。ただし、3次元空間の全てのベクトルを張るには、3つの線形独立なベクトルを持って来る必要がある。注意このことの証明はおそらく[[線型代数学]]などに詳しい。 {{演習問題\| 2つのベクトルの内積 :<math> (1,2,3) \cdot (4,5,6) </math> を計算せよ。\| 2次元の場合と同じようにここでもそれぞれの要素は互いに直交する単位ベクトル :<math> \vec e _1\ ,\ \vec e _2\ ,\ \vec e _3 </math> によって張られている。そのため以前と同じく要素ごとの計算が可能であり、 :<math> (1,2,3) \cdot (4,5,6) </math> :<math> =1\times 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 </math> :<math> = 32 </math> となる。もうすこし細かく計算を行なうと、 :<math> (1,2,3) \cdot (4,5,6) </math> :<math> =( \vec e _1 +2\vec e _2 +3\vec e _3) \cdot (4\vec e _1 +5\vec e _2 +6\vec e _3) </math> が得られる。それぞれのベクトルを :<math> (a+b+c)(x+y+z) = (ax+ay+az + bx+by+bz+cx+cy+cz) </math> に従って展開し、 :<math> \vec e _ i \cdot \vec e _j </math> (<math>i</math>,<math>j</math>は1,2,3のどれか。) を代入することで上の式が計算できるはずである。しかし、 <math>i</math>と<math>j</math>が等しくないときには :<math> \vec e _ i \cdot \vec e _j </math> :<math> =0 </math> が成り立つことから、上の展開した後の9個の項のうちで、6つは :<math> 0 </math> に等しい。また、 <math>i</math>と<math>j</math>が等しいときには :<math> \vec e _ i \cdot \vec e _j </math> :<math> =1 </math> が成り立つことから、上の式 :<math> =( \vec e _1 +2\vec e _2 +3\vec e _3) \cdot (4\vec e _1 +5\vec e _2 +6\vec e _3) </math> の展開は :<math> = 4 + 2 \times 5 + 3 \times 6 </math> :<math> = 32 </math> となって確かに要素ごとの計算と一致する。}} {{演習問題\| 2次元空間のベクトルは2本の1次独立なベクトルがあれば、必ずそれらの線形結合によって計算できるはずである。ここで、 :<math> \vec a _1= (1,2) </math> と :<math> \vec a _2= (-5,3) </math> を用いて、 :<math> \vec b = (10,7) </math> を、 :<math> \vec b = c \vec a _1 +d \vec a _2 </math> の形に書いてみよ。 (<math>c</math>,<math>d</math>は、何らかの定数。)\|2次元のベクトルの係数を求める問題である。 <math>c</math>,<math>d</math>の文字をそのまま用いると、<math>c</math>,<math>d</math>の満たす条件は :<math> c(1,2) + d(-5,3) = (10,7) </math> つまり :<math> (c-5d , 2c + 3d) =(10,7) </math> となる。これは <math>c</math>,<math>d</math>に関する連立1次方程式で書き換えられる。 :<math>\begin{cases} c -5d = 10\\ 2c + 3d = 7 \end{cases}</math> これを解くと、 :<math> c = 5 </math> :<math> d = -1 </math> が得られる。よって、上の式は :<math> 5(1,2) -(-5,3) = (10,7) </math> と書け、確かに2本の線形独立なベクトルによって他のベクトルが書き表されることが分かった。 *注意このような計算は3次元ベクトルに対しても可能であるが、計算手法として3元1次連立方程式を扱う必要があり、指導要領の範囲外である。実際の計算手法は、[[線型代数学]],[[物理数学I 線形代数]]を参照。}} この表式を用いて、以前見た :<math> a x + by + cz = d </math> の図形的解釈を述べる。この図形上の任意の点を<math> (x,y,z) </math>で表わす。この点は原点Oに対する位置ベクトルを用いると<math> (x,y,z) </math>で与えられる。便宜のためにこのベクトルを<math> \vec x </math>と書くことにする。一方、ベクトル<math> \vec a = (a,b,c) </math>を用いると、上の式はベクトルの内積を用いて<math> \vec a \cdot \vec x = d </math>で与えられる。つまり、この式で表わされる図形はあるベクトル <math> \vec a </math> との内積を一定に保つ図形である。この図形は、実際には <math> \vec a </math> に直交する平面で与えられる。なぜならこのような平面上の点は、必ず平面上のある一点の位置ベクトルに加えて、ベクトル <math> \vec a </math> に直交するベクトルを加えたもので書くことが出来る。しかし、ベクトル <math> \vec a </math> に直交するベクトルとベクトル <math> \vec a </math> の内積は必ず0であるので、このような点の集合はベクトル <math> \vec a </math> と一定の内積を持つのである。よって元の式 :<math> a x + by + cz = d </math> は、ベクトル<math> \vec a =(a,b,c) </math>に直交する平面に対応することが分かった。次に<math>d</math>が、図形が表わす平面と、原点との距離に関係があることを示す。特に、ベクトル<math> \vec a </math>に比例する位置ベクトルを持つ点<math> \vec x </math>を考える。このときこの点と原点との距離は、平面 :<math> a x + by + cz = d </math> と原点との距離に対応する。なぜなら、位置ベクトル<math> \vec x </math>は、原点から平面 :<math> a x + by + cz = d </math> に垂直に下ろした線に対応するからである。このことから仮に<math> \vec a </math>方向の単位ベクトルを<math> \vec n </math>と書き、平面と原点との距離を<math> m </math>と書くと、<math> \vec x = m \vec n </math>が得られる。この式を :<math> \vec a \cdot \vec x = d </math> に代入すると、 :<math> \vec a \cdot m\vec n = d </math> :<math> m\|\vec a\| = d </math> が得られる。よって、<math> d </math>は、平面と原点の距離<math> m </math>とベクトル<math> \vec a </math>の大きさをかけたものである。 <!-- 上では割合一般的に3次元の平面を扱ったがこれは --> <!-- 少し難しい内容であった。実際の指導要領ではもう少し --> <!-- 簡単な内容を --> {{演習問題\| 特にベクトル :<math> \vec a = (0,0,1) </math> を取ると、どのような式が得られて、その式はどのような図形に対応するか。\|このとき :<math> \vec a \cdot \vec x = d </math> は、 :<math> (0,0,1)\cdot (x,y,z) = d </math> :<math> z =d </math> に対応する。この式は<math>z</math>座標が<math>d</math>に対応し、それ以外の<math>x</math>,<math>y</math>座標を任意に動かした平面に対応しているが、これは <math>xy</math>平面に平行であり、 <math>xy</math>平面からの距離が<math>d</math>である平面である。また、<math>xy</math>平面とベクトル :<math> \vec a = (0,0,1) </math> は直交しているので、そのことからもこの式は正しい。}} :答 :: <math>xy</math>平面に平行であり、<math>xy</math>平面からの距離が<math>d</math>である平面。 == 発展:外積 == 外積は高校数学範囲外で入試には出ないが、外積は数学や物理などに応用でき、便利なのでここで扱う。三次元ベクトル <math>\vec a ,\, \vec b</math> に対し、外積 <math>\vec a \times \vec b</math> を次を満たすものとする。 # <math>\vec a \times \vec b</math> は <math>\vec a ,\, \vec b</math> それぞれと垂直<ref>数式で表すと <math>\vec a \times \vec b \perp \vec a </math> かつ <math>\vec a \times \vec b \perp \vec b </math></ref> # フレミングの左手の法則の格好をする。このとき、中指を <math>\vec a</math> 、人差し指を <math>\vec b</math> 、としたとき、<math>\vec a \times \vec b</math> は親指の方向である。 # ベクトル <math>\vec a ,\, \vec b</math> のなす角を <math>\theta</math> とする。<math>\|\vec a \times \vec b\| = \|\vec a \|\|\vec b\| \sin\theta</math><ref><math>\|\vec a \|\|\vec b\| \sin\theta</math> はベクトル <math>\vec a ,\, \vec b</math> の作る平行四辺形の面積に等しい。</ref> [[ファイル:Cross product parallelogram.svg\|サムネイル\|外積の方向を表した図。上の→記号がないが、これはベクトルである。]] 次に外積の成分表示を考えてみよう。この定義から成分表示を直接導くのは面倒なので、天下り的に成分表示を与えてから、それが外積の定義を満たすことを確認する。 <math>\vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}</math> 、<math>\vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}</math> としたとき、<math>\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}</math> である。まずは、<math>\vec a \times \vec b</math> は <math>\vec a ,\, \vec b</math> それぞれと垂直であることを確認する。これは、<math>(\vec a \times \vec b) \cdot \vec a = 0</math> と <math>(\vec a \times \vec b) \cdot \vec b = 0</math> であることを成分表示を代入すれば証明できる。次に、 <math>\|\vec a \times \vec b\| = \|\vec a \|\|\vec b\| \sin\theta</math> を証明する。<math>\|\vec a \times \vec b\|^2 = \|\vec a \|^2\|\vec b\|^2 \sin^2\theta = \vec \| a \|^2\|\vec b\|^2 (1-\cos^2\theta)</math> 。ここで、 <math>\cos^2 \theta = \frac{(\vec a \cdot \vec b)^2}{\|\vec a\|^2\|\vec b\|^2}</math> を代入し、<math>\|\vec a \times \vec b\|^2 = \vec \|a \|^2\|\vec b\|^2 -(\vec a \cdot \vec b)^2</math> を得る。この式に、成分表示を代入すれば、両辺が等しいことが確認できる。最後に、フレミングの左手の法則で <math>\vec a \times \vec b</math> は親指の方向であることを確認する。 <math>\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}</math>、 <math>\vec b = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}</math> のとき、<math>\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}</math> である。これより、二番目の性質も確認できた。 '''外積の応用''' 2つのベクトルに垂直なベクトルを求めたいときなどは、外積の成分表示から計算すれば、面倒な計算をしなくても求められる。四面体 <math> \mathrm{OABC}</math> の体積は <math> \frac 1 6 \|(\vec \mathrm{OA} \times \vec \mathrm{OB})\cdot \vec \mathrm{OC} \| </math> である。実際、 <math> \frac 1 6 \|(\vec \mathrm{OA} \times \vec \mathrm{OB})\cdot \vec \mathrm{OC} \| = \frac 1 3 \left\|\frac 1 2 \vec \mathrm{OA} \times \vec \mathrm{OB}\right\|\|h\|</math>である。ただし、 h はΔABCを底面としたときの四面体の高さである。また、物理学のローレンツ力は外積を使うと <math>\vec F = q\vec v \times \vec B</math> と簡潔に表せる。 '''覚え方''' 図のように要素をかけ合わせる。 [[ファイル:Cross product mnemonic a b.svg\|フレームなし]] == コラムなど == {{コラム\|ベクトルの理論の歴史\|2=[[File:WilliamRowanHamilton.jpeg\|thumb\|ハミルトン]] 複素数とベクトルの理論はそれぞれ独立した理論として教えられているが、歴史的にはハミルトンによって複素数を拡張した四元数が発見され、四元数を元にギブスなどによってベクトルが発見された。 [[w:四元数\|四元数]]は、 :a ＋ bi ＋ cj ＋ dk (a,b,c,dは実数) のように、実数と3つの虚数単位i,j,kをもちいて表される数である。ここで、i,j,k は i^2=-1, j^2=-1, k^2=-1 を満たす数で、i,j,k は互いに異なる。実数の単位1個に加えて、さらに3つの単位 i, 　j,　 k をもっているので、合計で4個の単位があるので四元数といわれるわけである。さて、ハミルトンによる四元数の発見後、さらに研究が進むと、図形や物理学などの問題を解くさいには 2乗して-1になる性質はほとんどの空間・立体（3次元の図形）の問題を解く応用の場合には不要であることが分かり、学校教育の場ではベクトルと複素数を別々に教えるようになったわけである。そして、四元数の公式のうち、ベクトルでも類似の公式が成り立つ場合には、その四元数の公式がベクトル用に改良されてベクトルの公式として輸入されたので、結果的にハミルトンはベクトルの公式の発見者としても紹介されることになった。また、四元数は現代では3DCGなどの分野で応用されている。}} == 脚注 == <references/> {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくC へくとる}} [[Category:高等学校数学C\|へくとる]]	2005-05-03T07:08:24Z	2023-10-31T10:22:04Z	[ "テンプレート:演習問題", "テンプレート:Ruby", "テンプレート:コラム", "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:Math theorem", "テンプレート:Math proof" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6C/%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB
1,893	旧課程(2013年度-2021年度)高等学校数学C	数学Cはから構成される。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "数学Cは", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "から構成される。", "title": "" } ]	数学Cはベクトル平面上の曲線複素数平面数学的な表現の工夫から構成される。	{{pathnav\|高等学校の学習\|高等学校数学\|frame=1}} 数学Cは [[高等学校数学B/ベクトル\|ベクトル]] [[高等学校数学III/平面上の曲線\|平面上の曲線]] [[高等学校数学III/複素数平面\|複素数平面]] [[高等学校数学C/数学的な表現の工夫\|数学的な表現の工夫]] から構成される。 {{DEFAULTSORT:旧2 こうとうかつこうすうかくC}} [[Category:高等学校教育]] [[Category:高等学校数学C\|*]] [[Category:数学教育]]	2005-05-03T07:35:52Z	2023-12-09T21:37:53Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%97%A7%E8%AA%B2%E7%A8%8B(2013%E5%B9%B4%E5%BA%A6-2021%E5%B9%B4%E5%BA%A6)%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6C
1,894	旧課程(-2012年度)高等学校数学C/行列	高等学校数学C > 行列本項は高等学校数学Cの行列の解説である。 1次方程式を、次のような記法で表してみる。これから勉強するのは、連立方程式とベクトルとの関係であり、それを考察しやすくするために、あらたに行列(ぎょうれつ)という量を導入する。ベクトル ( x y ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}} に、演算 ( 1 2 2 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}} を施して(この演算の内容こそが、これから説明する「行列」である)、答えのベクトル ( 1 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}} を得た、という表現に書き換える。まず、このような記法をするため、次に説明する行列(ぎょうれつ、英:matrix)という量を新たに定義する。まず、行列どうしの積の定義を、は、と等しい、と定める。何故このように定めるのか、考えよう。 2つの連立方程式において、中間的変数p,qを消去して、変数x,yに関する一つの連立方程式と書き直すととなる。実際、下2式のp,qに、上2式を代入して整頓すればよい。読者は代入して確認せよ。これを行列表現すると他方、2つの連立方程式を行列を用いて書き直すと上の式を下の式に、形式的に代入すると 2つの行列表現式を比較すれば、行列の積の定め方の合理性が分かるだろう。積の定義式は、一見すると複雑そうに見えるが、かりに補助線をのように引いてみれば分かるように、たとえば合成後の2行1列め ( c e + d g ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}&\\ce+dg&\qquad \end{pmatrix}}} は、合成前の2行めのそれぞれの成分 ( c d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}&\\c&d\end{pmatrix}}} と、合成前の1列目 ( e g ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}e&\\g&\end{pmatrix}}} の成分とを、掛けて足したものになっている。一般に、積の合成後のx行y列めは、合成前のx行めのそれぞれの成分と、合成前のy列目のそれぞれの成分とを、掛けて足した結果になっている。行列どうしの積は、順序によって結果が異なる。たとえば行列A,Bをとするとき、それぞれ、となる。このように、一般の行列Aと行列Bの積は、一般にとなる。上述の例は、2元連立一次方程式が式2個の場合に相当する行列だったが、一般に連立方程式の元の数は2個とは限らないし、方程式の数も2個とは限らないので、他の場合にも行列が定義できるように、行列の定義を拡張する。つぎのように、数値を縦横に並べて、それぞれの段の文字の個数が等しいものを行列(ぎょうれつ、英:matrix) と呼ぶ。例えば、は行列である。いっぽう、は、文字の個数が一致しないので、行列ではない。行列の一部の、横に並んだ数値のかたまりを行(ぎょう、英:row) といい、縦に並んだ数値のかたまりを列(れつ、英:column) といい、それぞれの数値を成分(せいぶん、英:element) と呼ぶ。例えば、は2行、3列からなる行列である。行数がmで、列数がnの行列を m×n行列のように呼び、特に行数と列数が等しくnである行列ならば n次正方行列と呼ぶ。例えば、は 2×3行列である。第 i 行第 j 列の成分を (i, j) 成分という。例えば、の (2, 1) 成分は4である。「2つの行列が等しい」とは、行数と列数が等しく、かつ対応する (i, j) 成分がすべて等しいことと定める。つまり、 ( a b c d ) = ( e f g h ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&&b\\c&&d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e&&f\\g&&h\\\end{pmatrix}}} とは、 a = e , b = f , c = g , d = h {\displaystyle a=e,b=f,c=g,d=h} である。ただ1行からなる行列を行ベクトル(ぎょうベクトル、英:row vector)といい、ただ1列からなる列ベクトル(れつベクトル、英:column vector )という。この行列の定義は、ベクトルの定義を拡張したものになっている。たとえばベクトル(a、b)と(c、d)の内積 ac+bdは、行列の記法を使うと、と書ける。右辺の ( a c + b d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}ac+bd\end{pmatrix}}} は、1行1列の行列である。このように、行列では、1行1列の行列も認める。行列の積の (i, j) 成分の値は、左側の行列の i 行のベクトルと、右側の行列の第 j 列のベクトルの内積である。たとえば、行列 A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} と B = ( e f g h ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}} の積 A B = ( a e + b g a f + b h c e + d g c f + d h ) {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}}} の(1, 2) 成分である a f + b h {\displaystyle af+bh} は、ベクトル ( a b ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\end{pmatrix}}} とベクトル ( f h ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}f\\h\end{pmatrix}}} との内積になっている。このように考えると、「行列」とは「ベクトルを並べたもの」とも言える。(ただし並べるベクトルの次元は同じ次元でなければならない。) こうすれば、連立1次方程式をは、行列を用いてと表せる。例題次のw, x, y, zの値を求めよ。それぞれ、行列の和・差・実数倍の定義は、次のように、ベクトルの和・差・実数倍と似たような性質を持つ。行列の和の定義は、各要素ごとに足し合わせる、と定義される。行列の差の定義は、各要素ごとに引くと定義する。実数倍の定義は、各要素に実数を掛けることによって定義する。 (-1)A は -A と書く。例題行列A,B,Cをで定義するとき、を計算せよ。それぞれ、となる。零行列すべての成分が0である行列をゼロ行列(ぜろぎょうれつ、英:zero matrix) という。 ( 0 0 0 0 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}} はゼロ行列である。 Aを行列、OをAと行数・列数が等しい零行列とすると、を満たす。例題上で用いた行列 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} について、を計算せよ。それぞれ、である。この結果から分かる通り、一般に行列の積はとなる。となる場合、行列Aと行列Bは交換可能(可換)であるという。単位行列 E = ( 1 0 0 1 ) {\displaystyle E={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}} を、2×2の単位行列(2次単位行列)と呼ぶ。対角成分だけが1であり、その他の成分がすべて0に等しい行列である。任意の2×2行列Aに対して、Eはを満たす。行列Aに対してその行列との積が単位行列 A A − 1 = A − 1 A = E {\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E} となる行列 A − 1 {\displaystyle A^{-1}} を、その行列の逆行列と呼ぶ。そのような行列はもし存在すれば各Aに対してただひとつに定まる。もちろん一般にはAに対して右側からかけるか左側からかけるかによって積は異なるのだが、この場合はAに対して右からかけて単位行列になるのならば左からかけても単位行列になるし、逆もまたしかりであることに注意しておく。逆行列の逆行列はもとの行列に等しい。 2行2列の行列 A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} については、 a d − b c ≠ 0 {\displaystyle ad-bc\neq 0} のとき A − 1 = 1 ( a d − b c ) ( d − b − c a ) {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{(ad-bc)}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}} となる。 ad - bc = 0 のとき、逆行列は存在しない。実際に行列の積を取ることで、これが正しいことが容易にわかる。例題上で定めた行列 A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} の逆行列を計算せよ。行列A,B,Cは、それぞれであった。それぞれ、である。 1次方程式は、と書ける。両辺に左辺の行列の逆行列を掛けると、 x = 1, y = 0 が得られ、始めの連立1次方程式が解けたことになる。一般に、連立1次方程式がただ一組の解をもつとき、連立1次方程式を解くことは逆行列を求めることと同じである。特に、2×2行列の逆行列は既に公式が得られているので、2元1次方程式は簡単に解くことができる。 A = ( a b c d ) , x = ( x y ) , b = ( p q ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&&b\\c&&d\end{pmatrix}},\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}}} とおくとと書ける。ここでAをこの連立1次方程式の係数行列という。この方程式の解は、Aが逆行列を持つとき一意に定まり、 x = A − 1 b {\displaystyle \mathbf {x} =A^{-1}\mathbf {b} } である。平面上のベクトル a → {\displaystyle {\vec {a}}} に対して回転行列 R = ( cos c − sin c sin c cos c ) {\displaystyle R={\begin{pmatrix}\cos c&-\sin c\\\sin c&\cos c\end{pmatrix}}} をかけた積 R a → {\displaystyle R{\vec {a}}} は、 a → {\displaystyle {\vec {a}}} を原点を中心にして角度cだけ回転させたベクトルになっている。座標値(x,y)の点Pを行列をかけることで移動したものを考える。は、 x ( a c ) + y ( b d ) {\displaystyle x{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}+y{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}} とも書ける。これは、新たな直線座標を用意し(新座標の各座標軸の単位ベクトルは前の座標を基準に測ると、それぞれ方向ベクトル ( a c ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}} および方向ベクトル ( b d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}} である。)、この座標に座標値(x,y)を代入することで点Pを移動したものを、前の座標系で測った場合の座標値になっている。通常の直交座標(原点で90°で交わる座標)の上の点の座標(x,y)について、点の位置は同じまま、新たな別の直線座標(直交とは限らない)で見た場合の座標(z,w)を考える。新たな別座標(直線座標)は、計算の都合上、原点だけは元の座標と同じとする。すると、次のように、前の座標と新たな座標との関係を、行列で表記できる。というふうな関係式で記述できる。実際に、たとえば (x,y)=(0,0) のとき ( z,w=0,0) となっている。さて、左辺は z ( a c ) + w ( b d ) {\displaystyle z{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}+w{\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}} とも書ける。この式を、座標の変換の幾何学として考えた場合、次のような理論になる。まず、新たな直線座標の座標軸の単位ベクトルの方向は、もとの座標系を基準に見ると、それぞれ方向ベクトル ( a c ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}} および方向ベクトル ( b d ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}} である。さて、この問題では点Pの位置(x、y)は何も変換しておらず、よって、前の座標を基準にして点Pの位置を見ても、何も変化しない。この問題で変更したのは座標軸のほうであるから、新たな座標系で見た点Pの値(z,w)に興味があるのである。平面図形上の線分は、2行2列の行列で変換できる。 A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} で変換した場合については、 a d − b c ≠ 0 {\displaystyle ad-bc\neq 0} のとき、線は線に変換され、四角形は四角形に変換され、三角形は三角形に変換される。 2行2列の行列 A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} については、図形の面積は、 a d − b c {\displaystyle ad-bc} 倍される。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "高等学校数学C > 行列", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "本項は高等学校数学Cの行列の解説である。", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "1次方程式", "title": "連立一次方程式と行列" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "を、次のような記法で表してみる。", "title": "連立一次方程式と行列" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "これから勉強するのは、連立方程式とベクトルとの関係であり、それを考察しやすくするために、あらたに行列(ぎょうれつ)という量を導入する。", "title": "連立一次方程式と行列" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "ベクトル ( x y ) {\\displaystyle 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といい、縦に並んだ数値のかたまりを列(れつ、英:column) といい、それぞれの数値を成分(せいぶん、英:element) と呼ぶ。", "title": "連立一次方程式と行列" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "例えば、", "title": "連立一次方程式と行列" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "は2行、3列からなる行列である。", "title": "連立一次方程式と行列" }, { "paragraph_id": 33, "tag": "p", "text": "行数がmで、列数がnの行列を m×n行列のように呼び、特に行数と列数が等しくnである行列ならば n次正方行列と呼ぶ。", "title": "連立一次方程式と行列" }, { "paragraph_id": 34, "tag": "p", "text": "例えば、", "title": "連立一次方程式と行列" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "は 2×3行列である。", "title": "連立一次方程式と行列" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "第 i 行第 j 列の成分を (i, j) 成分という。", "title": "連立一次方程式と行列" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "例えば、", "title": "連立一次方程式と行列" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "の (2, 1) 成分は4である。", "title": "連立一次方程式と行列" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "「2つの行列が等しい」とは、行数と列数が等しく、かつ対応する (i, j) 成分がすべて等しいことと定める。", "title": "連立一次方程式と行列" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "つまり、 ( a b c d ) = ( e f g 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"text": "たとえば、行列 A = ( a b c d ) {\\displaystyle A={\\begin{pmatrix}a&b\\\\c&d\\end{pmatrix}}} と B = ( e f g h ) {\\displaystyle B={\\begin{pmatrix}e&f\\\\g&h\\end{pmatrix}}} の積 A B = ( a e + b g a f + b h c e + d g c f + d h ) {\\displaystyle AB={\\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\\\ce+dg&cf+dh\\end{pmatrix}}} の(1, 2) 成分である a f + b h {\\displaystyle af+bh} は、", "title": "ベクトル内積と行列" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "ベクトル ( a b ) {\\displaystyle {\\begin{pmatrix}a&b\\end{pmatrix}}} とベクトル ( f h ) {\\displaystyle {\\begin{pmatrix}f\\\\h\\end{pmatrix}}} との内積になっている。", "title": "ベクトル内積と行列" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "このように考えると、「行列」とは「ベクトルを並べたもの」とも言える。(ただし並べるベクトルの次元は同じ次元でなければならない。)", "title": "ベクトル内積と行列" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "こうすれば、連立1次方程式を", "title": "ベクトル内積と行列" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "は、行列を用いて", "title": "ベクトル内積と行列" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "と表せる。", "title": "ベクトル内積と行列" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "例題", "title": "ベクトル内積と行列" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "次のw, x, y, zの値を求めよ。", "title": "ベクトル内積と行列" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "それぞれ、", "title": "ベクトル内積と行列" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "行列の和・差・実数倍の定義は、次のように、ベクトルの和・差・実数倍と似たような性質を持つ。", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "行列の和の定義は、各要素ごとに足し合わせる、と定義される。", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "行列の差の定義は、各要素ごとに引くと定義する。", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "実数倍の定義は、各要素に実数を掛けることによって定義する。", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "(-1)A は -A と書く。", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "例題", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "行列A,B,Cを", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "で定義するとき、", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "を計算せよ。", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "それぞれ、", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "零行列", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "すべての成分が0である行列をゼロ行列(ぜろぎょうれつ、英:zero matrix) という。", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "( 0 0 0 0 0 0 ) {\\displaystyle {\\begin{pmatrix}0&0&0\\\\0&0&0\\\\\\end{pmatrix}}} はゼロ行列である。", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "Aを行列、OをAと行数・列数が等しい零行列とすると、", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "を満たす。", "title": "行列の和，差，実数倍" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "例題", "title": "行列の積" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "上で用いた行列 A {\\displaystyle A} , B {\\displaystyle B} , C {\\displaystyle C} について、", "title": "行列の積" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "を計算せよ。", "title": "行列の積" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "それぞれ、", "title": "行列の積" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "である。", "title": "行列の積" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "この結果から分かる通り、一般に行列の積は", "title": "行列の積" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "行列の積" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "となる場合、行列Aと行列Bは交換可能(可換)であるという。", "title": "行列の積" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "単位行列", "title": "行列の積" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "E = ( 1 0 0 1 ) {\\displaystyle E={\\begin{pmatrix}1&0\\\\0&1\\end{pmatrix}}}", "title": "行列の積" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "を、2×2の単位行列(2次単位行列)と呼ぶ。対角成分だけが1であり、その他の成分がすべて0に等しい行列である。任意の2×2行列Aに対して、Eは", "title": "行列の積" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "を満たす。", "title": "行列の積" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "行列Aに対してその行列との積が単位行列 A A − 1 = A − 1 A = E {\\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A=E} となる行列 A − 1 {\\displaystyle A^{-1}} を、その行列の逆行列と呼ぶ。そのような行列はもし存在すれば各Aに対してただひとつに定まる。もちろん一般にはAに対して右側からかけるか左側からかけるかによって積は異なるのだが、この場合はAに対して右からかけて単位行列になるのならば左からかけても単位行列になるし、逆もまたしかりであることに注意しておく。逆行列の逆行列はもとの行列に等しい。", "title": "逆行列" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "2行2列の行列 A = ( a b c d ) {\\displaystyle A={\\begin{pmatrix}a&b\\\\c&d\\end{pmatrix}}} については、 a d − b c ≠ 0 {\\displaystyle ad-bc\\neq 0} のとき A − 1 = 1 ( a d − b c ) ( d − b − c a ) {\\displaystyle A^{-1}={\\frac {1}{(ad-bc)}}{\\begin{pmatrix}d&-b\\\\-c&a\\end{pmatrix}}} となる。 ad - bc = 0 のとき、逆行列は存在しない。", "title": "逆行列" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "実際に行列の積を取ることで、これが正しいことが容易にわかる。", "title": "逆行列" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "例題", "title": "逆行列" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "上で定めた行列 A {\\displaystyle A} , B {\\displaystyle B} , C {\\displaystyle C} の逆行列を計算せよ。", "title": "逆行列" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "行列A,B,Cは、それぞれ", "title": "逆行列" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "であった。", "title": "逆行列" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "", "title": "逆行列" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "それぞれ、", "title": "逆行列" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "である。", "title": "逆行列" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "1次方程式", "title": "逆行列を用いた連立一次方程式の解法" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "は、", "title": "逆行列を用いた連立一次方程式の解法" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "と書ける。両辺に左辺の行列の逆行列を掛けると、", "title": "逆行列を用いた連立一次方程式の解法" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "x = 1, y = 0 が得られ、始めの連立1次方程式が解けたことになる。一般に、連立1次方程式がただ一組の解をもつとき、連立1次方程式を解くことは逆行列を求めることと同じである。特に、2×2行列の逆行列は既に公式が得られているので、2元1次方程式は簡単に解くことができる。", "title": "逆行列を用いた連立一次方程式の解法" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "A = ( a b c d ) , x = ( x y ) , b = ( p q ) {\\displaystyle A={\\begin{pmatrix}a&&b\\\\c&&d\\end{pmatrix}},\\mathbf {x} ={\\begin{pmatrix}x\\\\y\\end{pmatrix}},\\mathbf {b} ={\\begin{pmatrix}p\\\\q\\end{pmatrix}}} とおくと", "title": "逆行列を用いた連立一次方程式の解法" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "と書ける。ここでAをこの連立1次方程式の係数行列という。この方程式の解は、Aが逆行列を持つとき一意に定まり、 x = A − 1 b {\\displaystyle \\mathbf {x} =A^{-1}\\mathbf {b} } である。", "title": "逆行列を用いた連立一次方程式の解法" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "平面上のベクトル a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} に対して回転行列 R = ( cos c − sin c sin c cos c ) {\\displaystyle R={\\begin{pmatrix}\\cos c&-\\sin c\\\\\\sin c&\\cos c\\end{pmatrix}}} をかけた積 R a → {\\displaystyle R{\\vec {a}}} は、 a → {\\displaystyle {\\vec {a}}} を原点を中心にして角度cだけ回転させたベクトルになっている。", "title": "行列の応用" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "座標値(x,y)の点Pを行列をかけることで移動したものを考える。", "title": "行列の応用" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "は、", "title": "行列の応用" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "x ( a c ) + y ( b d ) {\\displaystyle x{\\begin{pmatrix}a\\\\c\\end{pmatrix}}+y{\\begin{pmatrix}b\\\\d\\end{pmatrix}}} とも書ける。", "title": "行列の応用" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "これは、新たな直線座標を用意し(新座標の各座標軸の単位ベクトルは前の座標を基準に測ると、それぞれ方向ベクトル ( a c ) {\\displaystyle {\\begin{pmatrix}a\\\\c\\end{pmatrix}}} および方向ベクトル ( b d ) {\\displaystyle {\\begin{pmatrix}b\\\\d\\end{pmatrix}}} である。)、この座標に座標値(x,y)を代入することで点Pを移動したものを、前の座標系で測った場合の座標値になっている。", "title": "行列の応用" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "通常の直交座標(原点で90°で交わる座標)の上の点の座標(x,y)について、点の位置は同じまま、新たな別の直線座標(直交とは限らない)で見た場合の座標(z,w)を考える。新たな別座標(直線座標)は、計算の都合上、原点だけは元の座標と同じとする。すると、次のように、前の座標と新たな座標との関係を、行列で表記できる。", "title": "行列の応用" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "というふうな関係式で記述できる。実際に、たとえば (x,y)=(0,0) のとき ( z,w=0,0) となっている。", "title": "行列の応用" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "さて、左辺は z ( a c ) + w ( b d ) {\\displaystyle z{\\begin{pmatrix}a\\\\c\\end{pmatrix}}+w{\\begin{pmatrix}b\\\\d\\end{pmatrix}}} とも書ける。", "title": "行列の応用" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "この式を、座標の変換の幾何学として考えた場合、次のような理論になる。", "title": "行列の応用" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "まず、新たな直線座標の座標軸の単位ベクトルの方向は、もとの座標系を基準に見ると、それぞれ方向ベクトル ( a c ) {\\displaystyle {\\begin{pmatrix}a\\\\c\\end{pmatrix}}} および方向ベクトル ( b d ) {\\displaystyle {\\begin{pmatrix}b\\\\d\\end{pmatrix}}} である。", "title": "行列の応用" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": "さて、この問題では点Pの位置(x、y)は何も変換しておらず、よって、前の座標を基準にして点Pの位置を見ても、何も変化しない。この問題で変更したのは座標軸のほうであるから、新たな座標系で見た点Pの値(z,w)に興味があるのである。", "title": "行列の応用" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "平面図形上の線分は、2行2列の行列で変換できる。", "title": "行列の応用" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "A = ( a b c d ) {\\displaystyle A={\\begin{pmatrix}a&b\\\\c&d\\end{pmatrix}}} で変換した場合については、 a d − b c ≠ 0 {\\displaystyle ad-bc\\neq 0} のとき、線は線に変換され、四角形は四角形に変換され、三角形は三角形に変換される。", "title": "行列の応用" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "2行2列の行列 A = ( a b c d ) {\\displaystyle A={\\begin{pmatrix}a&b\\\\c&d\\end{pmatrix}}} については、図形の面積は、 a d − b c {\\displaystyle ad-bc} 倍される。", "title": "行列の応用" } ]	高等学校数学C > 行列本項は高等学校数学Cの行列の解説である。	<small>[[高等学校数学C]] > 行列</small> ---- 本項は[[高等学校数学C]]の行列の解説である。 == 連立一次方程式と行列== 1次方程式 :<math> \begin{cases} x + 2y = 1\\ 2x + 3y = 2 \end{cases} </math> を、次のような記法で表してみる。 :<math> \begin{pmatrix} 1 &2\\ 2 &3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} </math> これから勉強するのは、連立方程式とベクトルとの関係であり、それを考察しやすくするために、あらたに'''行列'''（ぎょうれつ）という量を導入する。ベクトル <math> \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} </math> に、演算 <math> \begin{pmatrix} 1 &2\\ 2 &3 \end{pmatrix} </math> を施して（この演算の内容こそが、これから説明する「行列」である）、答えのベクトル <math> \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} </math> を得た、という表現に書き換える。まず、このような記法をするため、次に説明する'''行列'''（ぎょうれつ、英：matrix）という量を新たに定義する。行列どうしの積まず、行列どうしの積の定義を、 :積　<math> \begin{pmatrix} a& b \\ c& d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e& f\\ g& h \end{pmatrix} </math> は、 :行列　<math> \begin{pmatrix} ae + bg &af + bh\\ ce + dg &cf + dh \end{pmatrix} </math> と等しい、と定める。<br/>　何故このように定めるのか、考えよう。<br/> ２つの連立方程式 :<math> \begin{cases} ex + fy = p\\ gx + hy = q \end{cases} </math> :<math> \begin{cases} ap + bq = u\\ cp + dq = v \end{cases} </math> において、中間的変数p,qを消去して、変数x,yに関する一つの連立方程式と書き直すと :<math> \begin{cases} (ae + bg)x +(af + bh)y = u\\ (ce + dg)x + (cf + dh)y = v \end{cases} </math> となる。<br/>　実際、下2式のp,qに、上2式を代入して整頓すればよい。読者は代入して確認せよ。<br/> これを行列表現すると :<math> \begin{pmatrix} ae + bg &af + bh\\ ce + dg &cf + dh \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix} </math> 他方、2つの連立方程式を行列を用いて書き直すと :<math> \begin{pmatrix} e &f\\ g &h \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix} </math> :<math> \begin{pmatrix} a &b\\ c &d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix} </math> 上の式を下の式に、形式的に代入すると :<math> \begin{pmatrix} a &b\\ c &d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e &f\\ g &h \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u\\ v \end{pmatrix} </math> ２つの行列表現式を比較すれば、行列の積の定め方の合理性が分かるだろう。<br/>　 [[File:行列の定義の説明図.svg\|thumb\|行列の定義の説明図]] 積の定義式は、一見すると複雑そうに見えるが、かりに補助線を :[[File:行列の積の計算法.svg\|500px\|行列の積の計算法]] のように引いてみれば分かるように、たとえば合成後の2行1列め <math> \begin{pmatrix} & \\ ce + dg & \qquad \end{pmatrix} </math> は、合成前の2行めのそれぞれの成分 <math> \begin{pmatrix} & \\ c& d \end{pmatrix} </math> と、合成前の1列目 <math> \begin{pmatrix} e& \\ g& \end{pmatrix} </math>の成分とを、掛けて足したものになっている。一般に、積の合成後のx行y列めは、合成前のx行めのそれぞれの成分と、合成前のy列目のそれぞれの成分とを、掛けて足した結果になっている。行列どうしの積は、順序によって結果が異なる。たとえば行列A,Bを :<math> A= \begin{pmatrix}2&4\\ 3&3 \end{pmatrix} </math> :<math> B= \begin{pmatrix}7&9\\ 11&5 \end{pmatrix} </math> とするとき、それぞれ、 :<math> AB =\begin{pmatrix}58&38\\ 54&42 \end{pmatrix} </math> :<math> BA= \begin{pmatrix}41&55\\ 37&59 \end{pmatrix} </math> となる。このように、一般の行列Aと行列Bの積は、一般に :<math> AB \ne BA </math> となる。上述の例は、2元連立一次方程式が式2個の場合に相当する行列だったが、一般に連立方程式の元の数は2個とは限らないし、方程式の数も2個とは限らないので、他の場合にも行列が定義できるように、行列の定義を拡張する。つぎのように、数値を縦横に並べて、それぞれの段の文字の個数が等しいものを '''行列'''（ぎょうれつ、英：matrix）と呼ぶ。例えば、 :<math> \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ \end{pmatrix} </math> は行列である。いっぽう、 :<math> \begin{pmatrix} 1&2&3\\ &5& \\ \end{pmatrix} </math> は、文字の個数が一致しないので、行列ではない。 [[File:行列の定義の説明図.svg\|thumb\|行列の定義の説明図]] 行列の一部の、横に並んだ数値のかたまりを '''行'''（ぎょう、英：row）といい、縦に並んだ数値のかたまりを '''列'''（れつ、英：column）といい、それぞれの数値を '''成分'''（せいぶん、英：element）と呼ぶ。例えば、 :<math> \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ \end{pmatrix} </math> は2行、3列からなる行列である。行数が''m''で、列数が''n''の行列を ''m''×''n''行列のように呼び、特に行数と列数が等しくnである行列ならば ''n''次正方行列と呼ぶ。例えば、 :<math> \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ \end{pmatrix} </math> は 2×3行列である。第 ''i'' 行第 ''j'' 列の成分を (''i'', ''j'') 成分という。例えば、 :<math> \begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ \end{pmatrix} </math> の (2, 1) 成分は4である。「行列が等しい」とは「2つの行列が等しい」とは、行数と列数が等しく、かつ対応する (''i'', ''j'') 成分がすべて等しいことと定める。つまり、 <math> \begin{pmatrix} a&&b\\ c&&d\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e&&f\\ g&&h\\ \end{pmatrix} </math> 　とは、　<math>a = e , b = f , c = g , d = h</math>　である。 == ベクトル内積と行列 == ただ1行からなる行列を'''行ベクトル'''（ぎょうベクトル、英：row vector）といい、ただ1列からなる'''列ベクトル'''（れつベクトル、英：column vector ）という。この行列の定義は、ベクトルの定義を拡張したものになっている。たとえばベクトル（a、b）と(c、d)の内積 ac+bdは、行列の記法を使うと、 :<math> \begin{pmatrix} a&&b\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c\\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac+bd \end{pmatrix} </math> と書ける。右辺の <math> \begin{pmatrix} ac+bd \end{pmatrix} </math> は、1行1列の行列である。このように、行列では、1行1列の行列も認める。行列の積の (''i'', ''j'') 成分の値は、左側の行列の ''i'' 行のベクトルと、右側の行列の第 ''j'' 列のベクトルの内積である。たとえば、行列<math>A= \begin{pmatrix} a& b \\ c& d \end{pmatrix} </math> と <math>B= \begin{pmatrix} e& f\\ g& h \end{pmatrix} </math> の積 <math>AB= \begin{pmatrix} ae + bg &af + bh\\ ce + dg &cf + dh \end{pmatrix} </math> の(1, 2) 成分である <math>af+bh</math> は、ベクトル <math> \begin{pmatrix} a& b \end{pmatrix} </math> とベクトル <math> \begin{pmatrix} f\\ h \end{pmatrix} </math> との内積になっている。このように考えると、「行列」とは「ベクトルを並べたもの」とも言える。（ただし並べるベクトルの次元は同じ次元でなければならない。） ---- こうすれば、連立1次方程式を :<math> \begin{cases} ax + by = p\\ cx + dy = q \end{cases} </math> は、行列を用いて :<math> \begin{pmatrix} a&&b\\ c&&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p\\ q \end{pmatrix} </math> と表せる。 '''例題''' 問次の''w'', ''x'', ''y'', ''z''の値を求めよ。 :<math> \begin{pmatrix} 1&2 \\ 3&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2w&3x \\ 4y&5z \end{pmatrix} </math> 解答それぞれ、 :<math> w = {1 \over 2}, x = {2 \over 3}, y = {3 \over 4}, z = {4 \over 5} </math> == 行列の和，差，実数倍 == 行列の和・差・実数倍の定義は、次のように、ベクトルの和・差・実数倍と似たような性質を持つ。行列の'''和'''の定義は、各要素ごとに足し合わせる、と定義される。 :<math> \begin{pmatrix} a&&b \\ c&&d \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} e&&f\\ g&&h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+e&&b+f\\ c+g&&d+h \end{pmatrix} </math> 行列の'''差'''の定義は、各要素ごとに引くと定義する。 :<math> \begin{pmatrix} a&&b \\ c&&d \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} e&&f\\ g&&h \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a-e&&b-f\\ c-g&&d-h \end{pmatrix} </math> 実数倍の定義は、各要素に実数を掛けることによって定義する。 :<math> k \begin{pmatrix} a&&b \\ c&&d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ka&&kb\\ kc&&kd \end{pmatrix} </math> (-1)A は -A と書く。 '''例題''' 問行列A,B,Cを :<math> A= \begin{pmatrix}2&4\\ 3&3 \end{pmatrix} </math> :<math> B= \begin{pmatrix}7&9\\ 11&5 \end{pmatrix} </math> :<math> C= \begin{pmatrix}8&2\\ 13&15 \end{pmatrix} </math> で定義するとき、 :<math> A + B </math> :<math> C + B </math> :<math> C + A </math> を計算せよ。解答それぞれ、 :<math> A+B =\begin{pmatrix}9&13\\ 14&8 \end{pmatrix} </math> :<math> C+B= \begin{pmatrix}15&11\\ 24&20 \end{pmatrix} </math> :<math> C+A= \begin{pmatrix}10&6\\ 16&18 \end{pmatrix} </math> となる。 '''零行列''' すべての成分が0である行列を '''ゼロ行列'''（ぜろぎょうれつ、英：zero matrix）という。 <math> \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{pmatrix} </math> 　はゼロ行列である。 Aを行列、OをAと行数・列数が等しい零行列とすると、 :<math> A + (-A) = (-A) + A = O </math> を満たす。 == 行列の積== '''例題''' 問上で用いた行列<math>A</math>,<math>B</math>,<math>C</math>について、 :<math> AB </math> :<math> BA </math> :<math> BC </math> :<math> AC </math> :<math> CA </math> を計算せよ。解答それぞれ、 :<math> AB =\begin{pmatrix}58&38\\ 54&42 \end{pmatrix} </math> :<math> BA= \begin{pmatrix}41&55\\ 37&59 \end{pmatrix} </math> :<math> BC=\begin{pmatrix}173&149\\ 153&97 \end{pmatrix} </math> :<math> AC=\begin{pmatrix}68&64\\ 63&51 \end{pmatrix} </math> :<math> CA=\begin{pmatrix}22&38\\ 71&97 \end{pmatrix} </math> である。この結果から分かる通り、一般に行列の積は :<math> AB \ne BA </math> となる。 :<math> AB = BA </math> となる場合、行列Aと行列Bは交換可能（可換）であるという。 '''単位行列''' <math> E = \begin{pmatrix} 1 &0\\ 0 &1 \end{pmatrix} </math> を、2×2の単位行列（2次単位行列）と呼ぶ。対角成分だけが1であり、その他の成分がすべて0に等しい行列である。任意の2×2行列Aに対して、Eは :EA = AE = A を満たす。 == 逆行列 == 行列Aに対してその行列との積が単位行列 <math>AA^{-1} = A^{-1}A = E</math> となる行列 <math>A^{-1}</math> を、その行列の'''逆行列'''と呼ぶ。そのような行列はもし存在すれば各Aに対してただひとつに定まる。もちろん一般にはAに対して右側からかけるか左側からかけるかによって積は異なるのだが、この場合はAに対して右からかけて単位行列になるのならば左からかけても単位行列になるし、逆もまたしかりであることに注意しておく。逆行列の逆行列はもとの行列に等しい。 2行2列の行列 <math> A = \begin{pmatrix} a &b\\ c &d \end{pmatrix} </math> については、<math>ad-bc \ne 0</math>のとき <math> A ^{-1} = \frac 1 {( ad - bc ) } \begin{pmatrix} d&-b\\ -c&a \end{pmatrix} </math> となる。 ad - bc = 0 のとき、逆行列は存在しない。実際に行列の積を取ることで、これが正しいことが容易にわかる。 '''例題''' 問題上で定めた行列<math>A</math>,<math>B</math>,<math>C</math>の逆行列を計算せよ。行列A,B,Cは、それぞれ :<math> A= \begin{pmatrix}2&4\\ 3&3 \end{pmatrix} </math> :<math> B= \begin{pmatrix}7&9\\ 11&5 \end{pmatrix} </math> :<math> C= \begin{pmatrix}8&2\\ 13&15 \end{pmatrix} </math> であった。 <br /><br /><br /> 解答それぞれ、 :<math> A^{-1}=\begin{pmatrix}-{{1}\over{2}}&{{2}\over{3}}\\ {{1}\over{2}}&-{{1}\over{3 }} \end{pmatrix} </math> :<math> B^{-1}=\begin{pmatrix}-{{5}\over{64}}&{{9}\over{64}}\\ {{11}\over{64}}&-{{7 }\over{64}} \end{pmatrix} </math> :<math> C^{-1}=\begin{pmatrix}{{15}\over{94}}&-{{1}\over{47}}\\ -{{13}\over{94}}&{{4 }\over{47}} \end{pmatrix} </math> である。 == 逆行列を用いた連立一次方程式の解法 == 1次方程式 :<math> \begin{cases} x + 2y = 1\\ 2x + 3y = 2 \end{cases} </math> は、 :<math> \begin{pmatrix} 1 &2\\ 2 &3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} </math> と書ける。両辺に左辺の行列の逆行列を掛けると、 :<math> \begin{pmatrix} 1& 0\\ 0&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 &-2\\ -2 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2 \end{pmatrix} \times (-1) </math> <!-- %(0 1)(y) = (-2 1)(2)--> :<math> \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} </math> x = 1, y = 0 が得られ、始めの連立1次方程式が解けたことになる。一般に、連立1次方程式がただ一組の解をもつとき、連立1次方程式を解くことは逆行列を求めることと同じである。特に、2×2行列の逆行列は既に公式が得られているので、2元1次方程式は簡単に解くことができる。 <math>A = \begin{pmatrix}a&&b\\c&&d\end{pmatrix}, \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, \mathbf{b} = \begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}</math>とおくと :<math> A\mathbf{x} = \mathbf{b} </math> と書ける。ここで''A''をこの連立1次方程式の係数行列という。この方程式の解は、''A''が逆行列を持つとき一意に定まり、 <math>\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}</math> である。 == 行列の応用== === 図形への応用 === ==== 点の移動 ==== ===== 回転行列 ===== 平面上のベクトル<math>\vec a</math>に対して回転行列 <math> R = \begin{pmatrix} \cos c& -\sin c\\ \sin c & \cos c \end{pmatrix} </math> をかけた積<math>R \vec a </math>は、<math>\vec a</math>を原点を中心にして角度cだけ回転させたベクトルになっている。 :（証明） :ベクトルaを極座標を用いて<math>a=(r \cos \theta,r \sin \theta)</math>と書く。すると積<math>R \vec a</math>は ::<math>R \vec a = \begin{pmatrix} \cos c& -\sin c\\ \sin c & \cos c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r \cos \theta \\ r \sin \theta \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} r (\cos c \cos \theta - \sin c \sin \theta) \\ r (\sin c \cos \theta + \cos c \sin \theta) \end{pmatrix}=r \begin{pmatrix} \cos (c+\theta) \\ \sin (c+\theta) \end{pmatrix}</math> :であり、これは確かに<math>\vec a</math>を角度cだけ回転させたベクトルである。 ===== 一般の行列による点の移動 ===== 座標値（x,y）の点Pを行列をかけることで移動したものを考える。 :<math> \begin{pmatrix} a&&b\\ c&&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z\\ w \end{pmatrix} </math> は、 <math>x\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}</math> とも書ける。これは、新たな直線座標を用意し（新座標の各座標軸の単位ベクトルは前の座標を基準に測ると、それぞれ方向ベクトル <math>\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}</math> および方向ベクトル <math>\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}</math> である。）、この座標に座標値（x,y）を代入することで点Pを移動したものを、前の座標系で測った場合の座標値になっている。 ==== 座標の変換 ==== 通常の直交座標（原点で90°で交わる座標）の上の点の座標（x,y）について、点の位置は同じまま、新たな別の直線座標（直交とは限らない）で見た場合の座標（z,w）を考える。新たな別座標（直線座標）は、計算の都合上、原点だけは元の座標と同じとする。すると、次のように、前の座標と新たな座標との関係を、行列で表記できる。 :<math> \begin{pmatrix} a&&b\\ c&&d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} z\\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} </math> というふうな関係式で記述できる。実際に、たとえば (x,y)=(0,0) のとき（ z,w=0,0）となっている。さて、左辺は <math>z\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix} + w\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}</math> とも書ける。この式を、座標の変換の幾何学として考えた場合、次のような理論になる。まず、新たな直線座標の座標軸の単位ベクトルの方向は、もとの座標系を基準に見ると、それぞれ方向ベクトル <math>\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}</math> および方向ベクトル <math>\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}</math> である。 :ここで、もし新たな座標系を基準にして、新たな座標軸の単位ベクトルの数値を見ても、結果の単位ベクトルの数値は（0,1）および (1,0) になるだけであり、何も計算した事にならない。なぜなら自己の座標系で自己の単位ベクトルを見ても、（0,1）および (1,0) でしかないから、である。 :計算すべきは、新たな座標軸を基準にして前の座標軸を見た場合の数値、もしくは、前の座標軸を基準にして新たな座標軸を見た場合の数値である。さて、この問題では点Ｐの位置（x、y）は何も変換しておらず、よって、前の座標を基準にして点Pの位置を見ても、何も変化しない。この問題で変更したのは座標軸のほうであるから、新たな座標系で見た点Ｐの値（z,w）に興味があるのである。 ==== 線の移動 ==== 平面図形上の線分は、2行2列の行列で変換できる。 <math> A = \begin{pmatrix} a &b\\ c &d \end{pmatrix} </math> で変換した場合については、<math>ad-bc \ne 0</math>のとき、線は線に変換され、四角形は四角形に変換され、三角形は三角形に変換される。 ==== 面の移動 ==== 2行2列の行列 <math> A = \begin{pmatrix} a &b\\ c &d \end{pmatrix} </math> については、図形の面積は、<math>ad-bc </math>倍される。 == 線形写像 == == 不動直線 == == 外部リンク == [https://www.mext.go.jp/content/20210525-mxt_kyoiku01-000009442_1_1.pdf 『高等学校数学科教材（行列入門）』文部科学省] [[category:高等学校数学\|きようれつ]] [[カテゴリ:行列]]	2005-05-03T08:02:28Z	2024-03-05T12:45:31Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%97%A7%E8%AA%B2%E7%A8%8B(-2012%E5%B9%B4%E5%BA%A6)%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6C/%E8%A1%8C%E5%88%97
1,895	高等学校数学C/平面上の曲線	放物線(parabola)、楕円(ellipse)、双曲線(hyperbola)をまとめて、2次曲線や円錐曲線という。これらが、2次曲線と呼ばれる理由は、放物線、楕円、双曲線は x , y {\displaystyle x,y} の2次式 F ( x , y ) {\displaystyle F(x,y)} によって F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} で表すことができ、また x , y {\displaystyle x,y} の2次式 F ( x , y ) {\displaystyle F(x,y)} によって F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} と表される曲線は放物線、楕円、双曲線、2直線のいずれかになるからである。円錐曲線と呼ばれる理由は、円錐面を「全ての母線と交わり、底面に平行な平面で切断」したときの断面が円。「全ての母線と交わり、底面に平行でない平面で切断」したときの断面が楕円。「母線に平行な面で切断」したときの断面が放物線。「母線に平行でない平面で切断」したときの断面が双曲線となるからである。 2次曲線は直線や円についで重要な曲線である。平面上に点 F {\displaystyle \mathrm {F} } と、点 F {\displaystyle \mathrm {F} } を通らない直線 l {\displaystyle l} をとる。このとき、直線 l {\displaystyle l} からの距離と点 F {\displaystyle \mathrm {F} } からの距離が等しい点の軌跡を放物線という。このとき、点 F {\displaystyle \mathrm {F} } を放物線の焦点、直線 l {\displaystyle l} を放物線の準線という。焦点を F ( p , 0 ) {\displaystyle \mathrm {F} (p,0)} 準線を l : x = − p {\displaystyle l:x=-p} とする放物線の方程式を求める。 P ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {P} (x,y)} がこの放物線の点とすると、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } と直線 l {\displaystyle l} の距離は x + p {\displaystyle x+p} であり、 P F = ( x − p ) 2 + y 2 {\displaystyle \mathrm {PF} ={\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}} である。なので、 ( x + p ) 2 = ( x − p ) 2 + y 2 {\displaystyle (x+p)^{2}=(x-p)^{2}+y^{2}} である。これを整理して、 y 2 = 4 p x {\displaystyle y^{2}=4px} を得る。ここで、放物線 y 2 = 4 p x {\displaystyle y^{2}=4px} において、 x {\displaystyle x} と y {\displaystyle y} を入れ替えれば y = x 2 4 p {\displaystyle y={\frac {x^{2}}{4p}}} である。ここから中学から学んできた放物線の定義と一致することがわかる。演習問題放物線 y = a x 2 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle y=ax^{2}\quad (a\neq 0)} の焦点と準線を求めよ。解答焦点 ( 0 , 1 4 a ) {\displaystyle \left(0,{\frac {1}{4a}}\right)} 準線 y = − 1 4 a {\displaystyle y=-{\frac {1}{4a}}} 平面上に異なる2点 F , F ′ {\displaystyle \mathrm {F} ,\mathrm {F'} } をとる。 F {\displaystyle \mathrm {F} } との距離と、 F ′ {\displaystyle \mathrm {F'} } との距離の和が一定である点の軌跡を楕円という。このとき、点 F , F ′ {\displaystyle \mathrm {F} ,\mathrm {F'} } を楕円の焦点という。焦点を F ( c , 0 ) , F ′ ( − c , 0 ) {\displaystyle \mathrm {F} (c,0),\mathrm {F'} (-c,0)} とする。点 P ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {P} (x,y)} が楕円上の点であるとき、 P F + P F ′ = 2 a {\displaystyle \mathrm {PF} +\mathrm {PF'} =2a} である。 P F = 2 a − P F ′ {\displaystyle \mathrm {PF} =2a-\mathrm {PF'} } より ( x − c ) 2 + y 2 = 2 a − ( x + c ) 2 + y 2 {\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a-{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}} 両辺を2乗して整理すると a ( x + c ) 2 + y 2 = a 2 + c x {\displaystyle a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=a^{2}+cx} 再度、両辺を2乗して整理すると ( a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 − c 2 ) {\displaystyle (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})} ここで a 2 − c 2 = b 2 ( b > 0 ) {\displaystyle a^{2}-c^{2}=b^{2}\quad (b>0)} と置き換えると b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 {\displaystyle b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}} 両辺を a 2 b 2 {\displaystyle a^{2}b^{2}} で割ると x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\quad (a>b>0)} が導かれる。 x軸との交点は ( a , 0 ) {\displaystyle (a,0)} 、 ( − a , 0 ) {\displaystyle (-a,0)} 、y軸との交点は ( 0 , b ) {\displaystyle (0,b)} 、 ( 0 , − b ) {\displaystyle (0,-b)} となる。 a > b > 0 {\displaystyle a>b>0} のとき、 2 a {\displaystyle 2a} は長軸の長さ(長径)、 2 b {\displaystyle 2b} は短軸の長さ(短径)となり、xy平面上にグラフを書くと横長の楕円になる。また焦点は長径であるx軸上にありその座標は ( − a 2 − b 2 , 0 ) , ( a 2 − b 2 , 0 ) {\displaystyle (-{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0),({\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0)} となる。逆に、 b > a > 0 {\displaystyle b>a>0} のとき、 2 b {\displaystyle 2b} は長軸の長さ(長径)、 2 a {\displaystyle 2a} は短軸の長さ(短径)となり、xy平面上にグラフを書くと縦長の楕円になる。また焦点は長径であるy軸上にありその座標は ( 0 , b 2 − a 2 ) , ( 0 , − b 2 − a 2 ) {\displaystyle (0,{\sqrt {b^{2}-a^{2}}}),(0,-{\sqrt {b^{2}-a^{2}}})} となる。 2つの焦点が近いほど楕円は円に近づき、2つの焦点が重なったとき a = b {\displaystyle a=b} となり、楕円は円になる。ちなみに、恒星の周りを公転する惑星の軌道は、恒星を焦点とする楕円になる。平面上に異なる2点 F , F ′ {\displaystyle \mathrm {F} ,\mathrm {F'} } をとる。 F {\displaystyle \mathrm {F} } との距離と、 F ′ {\displaystyle \mathrm {F'} } との距離の差が一定である点の軌跡を双曲線といい、2点 F , F ′ {\displaystyle \mathrm {F} ,\mathrm {F'} } を双曲線の焦点という。焦点を F ( c , 0 ) , F ′ ( − c , 0 ) {\displaystyle \mathrm {F} (c,0),\mathrm {F'} (-c,0)} とする。点 P ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {P} (x,y)} が双曲線上の点であるとき、 \| P F − P F ′ \| = 2 a {\displaystyle \|\mathrm {PF} -\mathrm {PF'} \|=2a} である。 P F = ± 2 a + P F ′ {\displaystyle \mathrm {PF} =\pm 2a+\mathrm {PF'} } より ( x − c ) 2 + y 2 = ± 2 a + ( x + c ) 2 + y 2 {\displaystyle {\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=\pm 2a+{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}} 両辺を2乗して整理すると ± a ( x + c ) 2 + y 2 = − a 2 − c x {\displaystyle \pm a{\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=-a^{2}-cx} 再度両辺を2乗して整理すると ( c 2 − a 2 ) x 2 − a 2 y 2 = a 2 ( c 2 − a 2 ) {\displaystyle (c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2})} ここで、 b 2 = c 2 − a 2 ( b > 0 ) {\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}\quad (b>0)} とおき、両辺を a 2 b 2 {\displaystyle a^{2}b^{2}} で割れば x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} である。双曲線が x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} で表されるとき、焦点の座標は ( a 2 + b 2 , 0 ) , ( − a 2 + b 2 , 0 ) {\displaystyle ({\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)} となる。逆に、双曲線が x 2 a 2 − y 2 b 2 = − 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1} で表されるとき、焦点の座標は ( 0 , a 2 + b 2 ) , ( 0 , − a 2 + b 2 ) {\displaystyle (0,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}),(0,-{\sqrt {a^{2}+b^{2}}})} となる。 x = f ( t ) , y = g ( t ) {\displaystyle x=f(t),y=g(t)} で表される点 P ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {P} (x,y)} の集合はある曲線を描く。このような曲線の表示を媒介変数表示という。媒介変数表示では F ( x , y ) = 0 {\displaystyle F(x,y)=0} の形では表しにくい曲線も簡潔に表すことができる。例えば、 x = t - sin t, y = 1 - cos t である。これはサイクロイドと呼ばれる。 x = f ( t ) , y = g ( t ) {\displaystyle x=f(t),y=g(t)} と媒介変数表示されている曲線を x {\displaystyle x} 方向に p {\displaystyle p} 、 y {\displaystyle y} 方向に q {\displaystyle q} だけだけ平行移動した曲線は x = f ( t ) + p , y = g ( t ) + q {\displaystyle x=f(t)+p,y=g(t)+q} と表せる。 x = p t 2 , y = 2 p t p ≠ 0 {\displaystyle x=pt^{2},y=2pt\quad p\neq 0} で表される曲線は t {\displaystyle t} を消去すると y 2 = 4 p x {\displaystyle y^{2}=4px} となるので放物線である。円 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} を媒介変数表示すると x = r cos θ , y = r sin θ {\displaystyle x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta } となる。これまでの学習では、 x {\displaystyle x} 軸と y {\displaystyle y} 軸を使った座標平面(直交座標という) ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} 使うことで、座標平面上の1点を定めた。ここで学ぶ極座標では、 ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} の文字で与えられる式を使って曲線を表すことを考える。ある一点Oと半直線OXを定めると、平面上の点Pは、点Oからの距離rと、 ∠ {\displaystyle \angle } XOPの角 θ ( 0 ≤ θ < 2 π ) {\displaystyle \theta \,(0\leq \theta <2\pi )} の大きさで一意に定まる。極座標の定義原点Oと軸OXを定める。平面上の点Pについて、OP間の距離をr、 ∠ {\displaystyle \angle } XOPの大きさをθで表した座標 ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} を極座標という。このとき、Oを極、OXを始線という。また、 θ {\displaystyle \theta } を偏角という。また、直交座標と極座標の関係は次のようになる。直交座標と極座標の関係 { r = x 2 + y 2 cos θ = x r sin θ = y r { x = r cos θ y = r sin θ {\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\cos \theta =\displaystyle {\frac {x}{r}}\\\sin \theta =\displaystyle {\frac {y}{r}}\end{cases}}\,\,{\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \end{cases}}} これは直感的には複素数平面上の点の絶対値と偏角を定めたときに似ている。 r = f ( θ ) {\displaystyle r=f(\theta )} の形で与えられる式を極方程式(きょくほうていしき)という。極方程式はrとθについての関数であるが、これらはxとyへの変換が可能であり、よってxy平面上に曲線をかいてもよいことになる。さまざまな極方程式 (1)中心O,半径aの円 r = a {\displaystyle r=a} (2)中心 ( r 0 , θ 0 ) {\displaystyle (r_{0},{\theta }_{0})} ,半径aの円 r 2 − 2 r r 0 cos θ 0 + r 0 2 = a 2 {\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos {\theta }_{0}+{r_{0}}^{2}=a^{2}} (3)極Oを通り、始線とαの角をなす直線 θ = α {\displaystyle \theta =\alpha } (4)点 ( a , α ) {\displaystyle (a,\alpha )} を通り、OAに垂直な直線 r cos ( θ − α ) = a {\displaystyle r\cos(\theta -\alpha )=a} (例)円 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 {\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1} を極方程式で表す. x = r cos θ , y = r sin θ {\displaystyle x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta } を代入して整理すると r ( r − 2 cos θ ) = 0 {\displaystyle r(r-2\cos \theta )=0} r = 0 {\displaystyle r=0} は極を表すから r = 2 cos θ {\displaystyle r=2\cos \theta } これまでに、2次曲線、媒介変数表示、極方程式などの曲線とその性質について述べてきた。以下では、これらを利用してさまざまな曲線の式を示す。一般に概形をつかむのは困難なため、コンピュータを使用する。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "放物線(parabola)、楕円(ellipse)、双曲線(hyperbola)をまとめて、2次曲線や円錐曲線という。これらが、2次曲線と呼ばれる理由は、放物線、楕円、双曲線は x , y {\\displaystyle x,y} の2次式 F ( x , y ) {\\displaystyle F(x,y)} によって F ( x , y ) = 0 {\\displaystyle F(x,y)=0} で表すことができ、また x , y {\\displaystyle x,y} の2次式 F ( x , y ) {\\displaystyle F(x,y)} によって F ( x , y ) = 0 {\\displaystyle F(x,y)=0} と表される曲線は放物線、楕円、双曲線、2直線のいずれかになるからである。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "円錐曲線と呼ばれる理由は、円錐面を「全ての母線と交わり、底面に平行な平面で切断」したときの断面が円。「全ての母線と交わり、底面に平行でない平面で切断」したときの断面が楕円。「母線に平行な面で切断」したときの断面が放物線。「母線に平行でない平面で切断」したときの断面が双曲線となるからである。", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "2次曲線は直線や円についで重要な曲線である。", "title": "" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "平面上に点 F {\\displaystyle \\mathrm {F} } と、点 F {\\displaystyle \\mathrm {F} } を通らない直線 l {\\displaystyle l} をとる。このとき、直線 l {\\displaystyle l} からの距離と点 F {\\displaystyle \\mathrm {F} } からの距離が等しい点の軌跡を放物線という。このとき、点 F {\\displaystyle \\mathrm {F} } を放物線の焦点、直線 l {\\displaystyle l} を放物線の準線という。", "title": "放物線" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "焦点を F ( p , 0 ) {\\displaystyle \\mathrm {F} (p,0)} 準線を l : x = − p {\\displaystyle l:x=-p} とする放物線の方程式を求める。 P ( x , y ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (x,y)} がこの放物線の点とすると、点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } と直線 l {\\displaystyle l} の距離は x + p {\\displaystyle x+p} であり、 P F = ( x − p ) 2 + y 2 {\\displaystyle \\mathrm {PF} ={\\sqrt {(x-p)^{2}+y^{2}}}} である。なので、 ( x + p ) 2 = ( x − p ) 2 + y 2 {\\displaystyle (x+p)^{2}=(x-p)^{2}+y^{2}} である。これを整理して、", "title": "放物線" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "y 2 = 4 p x {\\displaystyle y^{2}=4px}", "title": "放物線" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "を得る。", "title": "放物線" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "ここで、放物線 y 2 = 4 p x {\\displaystyle y^{2}=4px} において、 x {\\displaystyle x} と y {\\displaystyle y} を入れ替えれば y = x 2 4 p {\\displaystyle y={\\frac {x^{2}}{4p}}} である。ここから中学から学んできた放物線の定義と一致することがわかる。", "title": "放物線" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "放物線" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "放物線 y = a x 2 ( a ≠ 0 ) {\\displaystyle y=ax^{2}\\quad (a\\neq 0)} の焦点と準線を求めよ。", "title": "放物線" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "解答", "title": "放物線" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "焦点 ( 0 , 1 4 a ) {\\displaystyle \\left(0,{\\frac {1}{4a}}\\right)} 準線 y = − 1 4 a {\\displaystyle y=-{\\frac {1}{4a}}}", "title": "放物線" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "平面上に異なる2点 F , F ′ {\\displaystyle \\mathrm {F} ,\\mathrm {F'} } をとる。 F {\\displaystyle \\mathrm {F} } との距離と、 F ′ {\\displaystyle \\mathrm {F'} } との距離の和が一定である点の軌跡を楕円という。このとき、点 F , F ′ {\\displaystyle \\mathrm {F} ,\\mathrm {F'} } を楕円の焦点という。", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "焦点を F ( c , 0 ) , F ′ ( − c , 0 ) {\\displaystyle \\mathrm {F} (c,0),\\mathrm {F'} (-c,0)} とする。点 P ( x , y ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (x,y)} が楕円上の点であるとき、 P F + P F ′ = 2 a {\\displaystyle \\mathrm {PF} +\\mathrm {PF'} =2a} である。 P F = 2 a − P F ′ {\\displaystyle \\mathrm {PF} =2a-\\mathrm {PF'} } より", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "( x − c ) 2 + y 2 = 2 a − ( x + c ) 2 + y 2 {\\displaystyle {\\sqrt {(x-c)^{2}+y^{2}}}=2a-{\\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}}", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "両辺を2乗して整理すると", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "a ( x + c ) 2 + y 2 = a 2 + c x {\\displaystyle a{\\sqrt {(x+c)^{2}+y^{2}}}=a^{2}+cx}", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "再度、両辺を2乗して整理すると", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "( a 2 − c 2 ) x 2 + a 2 y 2 = a 2 ( a 2 − c 2 ) {\\displaystyle (a^{2}-c^{2})x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})}", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "ここで a 2 − c 2 = b 2 ( b > 0 ) {\\displaystyle a^{2}-c^{2}=b^{2}\\quad (b>0)} と置き換えると", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 {\\displaystyle b^{2}x^{2}+a^{2}y^{2}=a^{2}b^{2}}", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "両辺を a 2 b 2 {\\displaystyle a^{2}b^{2}} で割ると", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) {\\displaystyle {\\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\\quad (a>b>0)}", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "が導かれる。", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "x軸との交点は ( a , 0 ) {\\displaystyle (a,0)} 、 ( − a , 0 ) {\\displaystyle (-a,0)} 、y軸との交点は ( 0 , b ) {\\displaystyle (0,b)} 、 ( 0 , − b ) {\\displaystyle (0,-b)} となる。", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "a > b > 0 {\\displaystyle a>b>0} のとき、 2 a {\\displaystyle 2a} は長軸の長さ(長径)、 2 b {\\displaystyle 2b} は短軸の長さ(短径)となり、xy平面上にグラフを書くと横長の楕円になる。また焦点は長径であるx軸上にありその座標は ( − a 2 − b 2 , 0 ) , ( a 2 − b 2 , 0 ) {\\displaystyle (-{\\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0),({\\sqrt {a^{2}-b^{2}}},0)} となる。", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "逆に、 b > a > 0 {\\displaystyle b>a>0} のとき、 2 b {\\displaystyle 2b} は長軸の長さ(長径)、 2 a {\\displaystyle 2a} は短軸の長さ(短径)となり、xy平面上にグラフを書くと縦長の楕円になる。また焦点は長径であるy軸上にありその座標は ( 0 , b 2 − a 2 ) , ( 0 , − b 2 − a 2 ) {\\displaystyle (0,{\\sqrt {b^{2}-a^{2}}}),(0,-{\\sqrt {b^{2}-a^{2}}})} となる。", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "2つの焦点が近いほど楕円は円に近づき、2つの焦点が重なったとき a = b {\\displaystyle a=b} となり、楕円は円になる。", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "ちなみに、恒星の周りを公転する惑星の軌道は、恒星を焦点とする楕円になる。", "title": "楕円" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "平面上に異なる2点 F , F ′ {\\displaystyle \\mathrm {F} ,\\mathrm {F'} } をとる。 F {\\displaystyle \\mathrm {F} } との距離と、 F ′ {\\displaystyle \\mathrm {F'} } との距離の差が一定である点の軌跡を双曲線といい、2点 F , F ′ {\\displaystyle \\mathrm {F} ,\\mathrm {F'} } を双曲線の焦点という。", "title": "双曲線" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "", "title": "双曲線" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "焦点を F ( c , 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"双曲線" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "ここで、 b 2 = c 2 − a 2 ( b > 0 ) {\\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}\\quad (b>0)} とおき、両辺を a 2 b 2 {\\displaystyle a^{2}b^{2}} で割れば", "title": "双曲線" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\\displaystyle {\\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}", "title": "双曲線" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "である。", "title": "双曲線" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "双曲線が x 2 a 2 − y 2 b 2 = 1 {\\displaystyle {\\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} で表されるとき、焦点の座標は ( a 2 + b 2 , 0 ) , ( − a 2 + b 2 , 0 ) {\\displaystyle ({\\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0),(-{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}},0)} となる。", "title": "双曲線" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "逆に、双曲線が x 2 a 2 − y 2 b 2 = − 1 {\\displaystyle {\\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1} で表されるとき、焦点の座標は ( 0 , a 2 + b 2 ) , ( 0 , − a 2 + b 2 ) {\\displaystyle (0,{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}),(0,-{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}})} となる。", "title": "双曲線" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "x = f ( t ) , y = g ( t ) {\\displaystyle x=f(t),y=g(t)} で表される点 P ( x , y ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (x,y)} の集合はある曲線を描く。このような曲線の表示を媒介変数表示という。", "title": "媒介変数表示" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "媒介変数表示では F ( x , y ) = 0 {\\displaystyle F(x,y)=0} の形では表しにくい曲線も簡潔に表すことができる。例えば、 x = t - sin t, y = 1 - cos t である。これはサイクロイドと呼ばれる。", "title": "媒介変数表示" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "x = f ( t ) , y = g ( t ) {\\displaystyle x=f(t),y=g(t)} と媒介変数表示されている曲線を x {\\displaystyle x} 方向に p {\\displaystyle p} 、 y {\\displaystyle y} 方向に q {\\displaystyle q} だけだけ平行移動した曲線は x = f ( t ) + p , y = g ( t ) + q {\\displaystyle x=f(t)+p,y=g(t)+q} と表せる。", "title": "媒介変数表示" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "x = p t 2 , y = 2 p t p ≠ 0 {\\displaystyle x=pt^{2},y=2pt\\quad p\\neq 0} で表される曲線は t {\\displaystyle t} を消去すると y 2 = 4 p x {\\displaystyle y^{2}=4px} となるので放物線である。", "title": "媒介変数表示" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", 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{\\displaystyle r=a}", "title": "極座標と極方程式" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "(2)中心 ( r 0 , θ 0 ) {\\displaystyle (r_{0},{\\theta }_{0})} ,半径aの円 r 2 − 2 r r 0 cos θ 0 + r 0 2 = a 2 {\\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\\cos {\\theta }_{0}+{r_{0}}^{2}=a^{2}}", "title": "極座標と極方程式" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "(3)極Oを通り、始線とαの角をなす直線 θ = α {\\displaystyle \\theta =\\alpha }", "title": "極座標と極方程式" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "(4)点 ( a , α ) {\\displaystyle (a,\\alpha )} を通り、OAに垂直な直線 r cos ( θ − α ) = a {\\displaystyle r\\cos(\\theta -\\alpha )=a}", "title": "極座標と極方程式" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "(例)円 ( x − 1 ) 2 + y 2 = 1 {\\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1} を極方程式で表す. x = r cos θ , y = r sin θ {\\displaystyle x=r\\cos \\theta ,y=r\\sin \\theta } を代入して整理すると r ( r − 2 cos θ ) = 0 {\\displaystyle r(r-2\\cos \\theta )=0}", "title": "極座標と極方程式" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "r = 0 {\\displaystyle r=0} は極を表すから r = 2 cos θ 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円錐曲線と呼ばれる理由は、円錐面を「全ての母線と交わり、底面に平行な平面で切断」したときの断面が円。「全ての母線と交わり、底面に平行でない平面で切断」したときの断面が楕円。「母線に平行な面で切断」したときの断面が放物線。「母線に平行でない平面で切断」したときの断面が双曲線となるからである。 2次曲線は直線や円についで重要な曲線である。 ==放物線== 平面上に点 <math>\mathrm{F}</math> と、点 <math>\mathrm{F}</math> を通らない直線 <math>l</math> をとる。このとき、直線 <math>l</math> からの距離と点 <math>\mathrm{F}</math> からの距離が等しい点の軌跡を放物線という。このとき、点 <math>\mathrm{F}</math> を放物線の焦点、直線 <math>l</math> を放物線の準線という。 [[ファイル:Parabola with focus and directrix.svg\|サムネイル]] 焦点を <math>\mathrm{F}(p,0)</math> 準線を <math>l:x=-p</math> とする放物線の方程式を求める。<math>\mathrm{P}(x,y)</math> がこの放物線の点とすると、点 <math>\mathrm{P}</math> と直線 <math>l</math> の距離は <math>x+p</math> であり、<math>\mathrm{PF} =\sqrt{ (x-p)^2 + y^2}</math> である。なので、 <math>(x+p)^2 = (x-p)^2 + y^2</math> である。これを整理して、 <math>y^2 = 4px</math> を得る。ここで、放物線 <math>y^2 = 4px</math> において、 <math>x</math> と <math>y</math> を入れ替えれば <math>y = \frac{x^2}{4p}</math> である。ここから中学から学んできた放物線の定義と一致することがわかる。 '''演習問題''' 放物線 <math>y = ax^2 \quad (a\neq 0)</math> の焦点と準線を求めよ。 '''解答''' 焦点 <math>\left(0,\frac{1}{4a}\right)</math> 準線 <math>y = -\frac{1}{4a}</math> ==楕円== 平面上に異なる2点 <math>\mathrm{F},\mathrm{F'}</math> をとる。<math>\mathrm{F}</math> との距離と、 <math>\mathrm{F'}</math> との距離の和が一定である点の軌跡を楕円という。このとき、点 <math>\mathrm{F},\mathrm{F'}</math> を楕円の焦点という。焦点を <math>\mathrm{F}(c,0),\mathrm{F'}(-c,0)</math> とする。点 <math>\mathrm{P}(x,y)</math> が楕円上の点であるとき、 <math>\mathrm{PF} + \mathrm{PF'} = 2a</math> である。<math>\mathrm{PF} = 2a-\mathrm{PF'}</math> より <math>\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}</math> 両辺を2乗して整理すると <math>a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=a^2+cx</math> 再度、両辺を2乗して整理すると <math>(a^2-c^2)x^2+a^2y^2=a^2(a^2-c^2)</math> ここで <math>a^2-c^2=b^2 \quad(b >0)</math> と置き換えると <math>b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2</math> 両辺を <math>a^2b^2</math> で割ると <math>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a>b>0)</math> が導かれる。 ''x''軸との交点は<math>(a,0)</math>、<math>(-a,0)</math>、''y''軸との交点は<math>(0,b)</math>、<math>(0,-b)</math>となる。 <math>a>b>0</math>のとき、<math>2a</math>は長軸の長さ（長径）、<math>2b</math>は短軸の長さ（短径）となり、''xy''平面上にグラフを書くと横長の楕円になる。また焦点は長径である''x''軸上にありその座標は<math>(-\sqrt{a^2-b^2},0),(\sqrt{a^2-b^2},0)</math>となる。逆に、<math>b>a>0</math>のとき、<math>2b</math>は長軸の長さ（長径）、<math>2a</math>は短軸の長さ（短径）となり、''xy''平面上にグラフを書くと縦長の楕円になる。また焦点は長径である''y''軸上にありその座標は<math>(0,\sqrt{b^2-a^2}),(0,-\sqrt{b^2-a^2})</math>となる。 2つの焦点が近いほど楕円は円に近づき、2つの焦点が重なったとき <math>a=b</math> となり、楕円は円になる。ちなみに、恒星の周りを公転する惑星の軌道は、恒星を焦点とする楕円になる。 ==双曲線== 平面上に異なる2点 <math>\mathrm{F},\mathrm{F'}</math> をとる。<math>\mathrm{F}</math> との距離と、 <math>\mathrm{F'}</math> との距離の差が一定である点の軌跡を双曲線といい、2点 <math>\mathrm{F},\mathrm{F'}</math> を双曲線の焦点という。焦点を <math>\mathrm{F}(c,0),\mathrm{F'}(-c,0)</math> とする。点 <math>\mathrm{P}(x,y)</math> が双曲線上の点であるとき、 <math>\|\mathrm{PF}-\mathrm{PF'}\|=2a</math> である。<math>\mathrm{PF} = \pm 2a + \mathrm{PF'}</math> より <math>\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm 2a+\sqrt{(x+c)^2+y^2}</math> 両辺を2乗して整理すると <math>\pm a \sqrt{(x+c)^2+y^2} = -a^2 -cx</math> 再度両辺を2乗して整理すると <math>(c^2-a^2)x^2 - a^2y^2 = a^2(c^2-a^2)</math> ここで、 <math>b^2 = c^2 - a^2 \quad (b > 0)</math> とおき、両辺を <math>a^2b^2</math> で割れば <math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1</math> である。双曲線が<math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1</math>で表されるとき、焦点の座標は<math>(\sqrt{a^2+b^2},0),(-\sqrt{a^2+b^2},0)</math>となる。逆に、双曲線が<math>\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1</math>で表されるとき、焦点の座標は<math>(0,\sqrt{a^2+b^2}),(0,-\sqrt{a^2+b^2})</math>となる。 == 媒介変数表示== <math>x=f(t),y=g(t)</math> で表される点 <math>\mathrm{P}(x,y)</math> の集合はある曲線を描く。このような曲線の表示を媒介変数表示という。媒介変数表示では <math>F(x,y)=0</math> の形では表しにくい曲線も簡潔に表すことができる。例えば、 x = t - sin t, y = 1 - cos t である。これはサイクロイドと呼ばれる。 [[画像:Cycloid_function.png\|thumb\|left\|500px\|サイクロイド]] <math>x=f(t),y=g(t)</math> と媒介変数表示されている曲線を <math>x</math> 方向に <math>p</math>、 <math>y</math> 方向に <math>q</math> だけだけ平行移動した曲線は <math>x=f(t)+p,y=g(t)+q</math> と表せる。 === 二次曲線の媒介変数表示 === <math>x=pt^2,y=2pt \quad p \neq 0</math> で表される曲線は <math>t</math> を消去すると <math>y^2=4px</math> となるので放物線である。円 <math>x^2+y^2=r^2</math> を媒介変数表示すると <math>x=r\cos \theta,y=r\sin \theta</math> となる。このことから、三角関数のことを'''円関数'''と呼ぶ場合もある。楕円<Math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</Math>を媒介変数表示すると<Math>x=b\cos \theta. y=a\sin \theta</Math>となる。双曲線<Math>\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1</Math>の媒介変数表示は<Math>x=\frac{a}{\cos \theta}, y=b\tan \theta</Math>となる。 '''双曲線関数（参考）''' ネイピア数<Math>e</Math>を用いて<Math>\sinh \theta=\frac{e^\theta - e^{-\theta}}{2}, \cosh \theta=\frac{e^\theta + e^{-\theta}}{2}</Math>と定義すると<Math>\sinh^2 \theta-\cosh^2 \theta=1</Math>が成り立つので、上記の双曲線の式は<Math>x=a\sinh \theta, y=b\cosh \theta</Math>と書ける。 <Math>\tanh \theta=\frac{e^\theta - e^{-\theta}}{e^\theta + e^{-\theta}}</Math>と定めると、<Math>\sinh \theta, \cosh \theta, \tanh \theta</Math>（'''シャイン'''、'''コッシュ'''、'''タンチ'''もしくは'''ハイパボリックサイン'''、'''ハイパボリックコサイン'''、'''ハイパボリックタンジェント'''と読む）は三角関数と似た公式（相互関係、加法定理、微積分公式など）が幾つも成り立つ。そこで、この3つの関数とその逆数を纏めて'''双曲線関数'''と呼ぶことにする。逆三角関数と並び、双曲線関数とその逆関数は大学入試においてある種の定積分の問題を解く際に役立つことで有名である。その問題はこれらの関数の微積分公式を背景としているため、これらの関数で置換すると簡単に解けるようになっている。 <Math>y=\cosh x</Math>のグラフは'''懸垂線（カテナリー）'''と呼ばれる有名な曲線を描くことで知られている。三角関数（円関数）と双曲線関数は非常に似た性質を持つが、これは'''双曲線関数の定義式が三角関数の複素指数関数表示を実数範囲で書き換えたもの'''であり、更には'''両者とも第一種不完全楕円積分の逆関数で定義される（ヤコビの）楕円関数の特別な場合'''を指しているからである。曲線<Math>x=f(t), y=g(t)</Math>を<Math>x</Math>軸方向に<Math>p</Math>、<Math>y</Math>軸方向に<Math>q</Math>だけ並行移動した曲線は<Math>x=f(t) +p, y=g(t) +q</Math>と書き表される。なお、（複素数<Math>Z</Math>の方程式）<Math>=x+yi</Math>の形で表された式を<Math>Z</Math>の極形式を用いて解くと二次曲線の媒介変数表示が現れる場合がある。 == 極座標と極方程式 == === 極座標 === これまでの学習では、<math>x</math>軸と<math>y</math>軸を使った座標平面（'''直交座標'''という）<math>(x,y)</math>使うことで、座標平面上の1点を定めた。ここで学ぶ極座標では、<math>(r, \theta )</math> の文字で与えられる式を使って曲線を表すことを考える。ある一点Oと半直線OXを定めると、平面上の点Pは、点Oからの距離rと、<math>\angle </math>XOPの角<math>\theta \,(0 \le \theta < 2 \pi)</math>の大きさで一意に定まる。極座標の定義原点Oと軸OXを定める。平面上の点Pについて、OP間の距離をr、<math>\angle </math>XOPの大きさをθで表した座標<math>(r, \theta)</math>を'''極座標'''という。このとき、Oを'''極'''、OXを'''始線'''という。また、<math>\theta</math>を'''偏角'''という。また、直交座標と極座標の関係は次のようになる。直交座標と極座標の関係 <math>\begin{cases}r = \sqrt{x^2 + y^2} \\ \cos \theta =\displaystyle{\frac{x}{r}} \\ \sin \theta =\displaystyle{ \frac{y}{r}} \end{cases} \,\, \begin{cases} x = r\cos \theta \\ y = r\sin \theta \end{cases}</math> これは直感的には複素数平面上の点の絶対値と偏角を定めたときに似ている。 === 極方程式 === <math>r = f( \theta )</math>の形で与えられる式を'''極方程式'''（きょくほうていしき）という。極方程式はrとθについての関数であるが、これらはxとyへの変換が可能であり、よってxy平面上に曲線をかいてもよいことになる。さまざまな極方程式 (1)中心O,半径aの円 <math>r=a</math> (2)中心<math>(r_0,{\theta}_0)</math>,半径aの円 <math>r^2-2rr_0\cos {\theta}_0+{r_0}^2=a^2</math> (3)極Oを通り、始線とαの角をなす直線　<math>\theta=\alpha</math> (4)点<math>(a,\alpha)</math>を通り、OAに垂直な直線　<math>r\cos(\theta-\alpha)=a</math> (例）円<math>(x-1)^2+y^2=1</math>を極方程式で表す. <math>x = r\cos \theta, y = r\sin \theta</math>を代入して整理すると <math>r(r-2\cos\theta)=0</math> <math>r=0</math>は極を表すから　<math>r=2\cos\theta</math> ==さまざまな曲線== これまでに、2次曲線、媒介変数表示、極方程式などの曲線とその性質について述べてきた。以下では、これらを利用してさまざまな曲線の式を示す。一般に概形をつかむのは困難なため、コンピュータを使用する。サイクロイドカージオイドアステロイドリマソンバラ曲線レムニスケート *リサージュ {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくIII へいめんしようのきよくせん}} [[Category:高等学校数学III\|へいめんしようのきよくせん]]	2005-05-03T08:21:38Z	2024-02-21T02:30:00Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6C/%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E4%B8%8A%E3%81%AE%E6%9B%B2%E7%B7%9A
1,901	旧課程(-2012年度)高等学校数学II	数学 II は、から成っている。高等学校指導要綱の数学IIの目標には、「式と証明・高次方程式,図形と方程式,いろいろな関数及び微分・積分の考えについて理解させ,基礎的な知識の習得と技能の習熟を図り,事象を数学的に考察し処理する能力を伸ばすとともに,それらを活用する態度を育てる。」とあり、数学Iで学んだ計算技術をもとに、より高度な数学を身につけることを目標としている。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "数学 II は、", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "から成っている。", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "", "title": "" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "高等学校指導要綱の数学IIの目標には、", "title": "" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "「式と証明・高次方程式,図形と方程式,いろいろな関数及び微分・積分の考えについて理解させ,基礎的な知識の習得と技能の習熟を図り,事象を数学的に考察し処理する能力を伸ばすとともに,それらを活用する態度を育てる。」", "title": "" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "とあり、数学Iで学んだ計算技術をもとに、より高度な数学を身につけることを目標としている。", "title": "" } ]	数学 II は、式と証明・高次方程式図形と方程式指数関数・対数関数三角関数微分・積分の考えから成っている。	{{pathnav\|高等学校の学習\|高等学校数学\|frame=1}} 数学 II は、 * [[高等学校数学II/式と証明・高次方程式\|式と証明・高次方程式]] * [[高等学校数学II/図形と方程式\|図形と方程式]] * [[高等学校数学II/指数関数・対数関数\|指数関数・対数関数]] [[高等学校数学II/三角関数\|三角関数]] [[高等学校数学II/微分・積分の考え\|微分・積分の考え]] から成っている。 === 数学 II を学ぶ意義 === 高等学校指導要綱の数学IIの目標には、 <blockquote>「　式と証明・高次方程式，図形と方程式，いろいろな関数及び微分・積分の考えについて理解させ，基礎的な知識の習得と技能の習熟を図り，事象を数学的に考察し処理する能力を伸ばすとともに，それらを活用する態度を育てる。」</blockquote> とあり、数学Ⅰで学んだ計算技術をもとに、より高度な数学を身につけることを目標としている。 [[Category:数学教育\|旧1 こうとうかっこうすうかく2]]	2005-05-04T09:04:50Z	2023-12-09T21:31:17Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%97%A7%E8%AA%B2%E7%A8%8B(-2012%E5%B9%B4%E5%BA%A6)%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6II
1,902	高等学校数学II/式と証明・高次方程式	本項は高等学校数学IIの式と証明・高次方程式の解説である。 ( a + b ) 5 = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) {\displaystyle (a+b)^{5}=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)} について考えよう。この式を展開するとき、 a 2 b 3 {\displaystyle a^{2}b^{3}} の係数は、右辺の5個の ( a + b ) {\displaystyle (a+b)} から a {\displaystyle a} を3回取る組み合わせに等しいから 5 C 2 = 10 {\displaystyle _{5}\mathrm {C} _{2}=10} である。この考えを拡張してを展開する。 a r b n − r {\displaystyle a^{r}b^{n-r}} の項の係数は、右辺の n {\displaystyle n} 個の ( a + b ) {\displaystyle (a+b)} から a {\displaystyle a} を r {\displaystyle r} 回取る組み合わせに等しいから n C r {\displaystyle _{n}\mathrm {C} _{r}} である。よって、次の式が得られる: 最後の式は数Bの数列で学ぶ総和記号 Σ {\displaystyle \Sigma } である。知らないのなら無視しても良い。この式を二項定理(binomial theorem) という。また、それぞれの項にかかる係数を二項係数(binomial coefficient) と呼ぶことがある。 (I) (II) (II) をそれぞれ計算せよ。二項定理を用いて計算すればよい。実際に計算を行なうと、 (I) (II) (III) となる。すべての自然数nに対して (I) (II) (III) が成り立つことを示せ。二項定理についてa,bに適当な値を代入すればよい。 (I) a = 1,b=1を代入すると、となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。 (II) a=2,b=1を代入すると、となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。 (III) a=1,b=-1を代入すると、となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。二項定理を拡張して ( a + b + c ) n {\displaystyle (a+b+c)^{n}} を展開することを考えよう。 a p b q c r {\displaystyle a^{p}b^{q}c^{r}} ( p + q + r = n ) {\displaystyle (p+q+r=n)} の項の係数は n {\displaystyle n} 個の ( a + b + c ) {\displaystyle (a+b+c)} から p {\displaystyle p} 個の a {\displaystyle a} 、 q {\displaystyle q} 個の b {\displaystyle b} 、 r {\displaystyle r} 個の c {\displaystyle c} を選ぶ組合せに等しいから n ! p ! q ! r ! {\displaystyle {\frac {n!}{p!q!r!}}} である。ここでは、整式の除法と分数式について扱う。整式の除法は、整式を整数のように扱い除法を行なう計算手法のことである。実際に整数の除法と整式の除法には深いつながりがある。整式の因数分解を考えるとそれ以上因数分解できない整式が存在する。この整式を整数でいう素因数のように扱うことで整式の素因数分解が可能になる。上では、整式が整数に対応する性質を持つことを述べた。整数についてはたがいに素な2つの整数を取ることで有理数を定義することが出来る。整式に対しても同じ事が成立ち、そのような式を分数式と呼ぶ。分数を用いないときには、整数の除法は商と余りを用いて定義された。この時、割られる数Bは商Dと割る数A、余りRを用いての性質を満たすことが知られている。整式に対しても似た性質が成立ち、割られる式B(x)が商D(x)と割る式A(x)、余りR(x)を用いて、の右辺でxについて2次の項が現われ左辺と一致しなくなる。よって商は実数である。商をa、余りをrとすると上の式は、となるが、これはa=1,r=1で成立する。よって商1,余り1である。より高次の式に対しても同じ様に答えを定めていけばよい。例として、のような式を考える。この場合、で、B(x)が3次、A(x)が2次であることから、D(x)は1次であり、また、R(x)は2次より小さいことから1次以下の式になる。ここで、D(x)=ax+b,R(x)=cx+dとおくと、が得られる。右辺を展開すると、が得られるが、xにどんな値を入れてもこの等式が成り立たなければならないので、a = 1, b = 0, -a +c = 0, -b +d = 0が得られ、結局a=c=1, b=d=0が得られる。この方法はどの除法に対しても用いることが出来るが、次数が高くなると計算が難しくなる。整数の場合と同様、整式の除法でも筆算を用いることが出来る。上の例を用いて結果だけを書くと、のようになる。)右に書かれた式が割られる式であり、)左に書かれた式が割る式である。--の一番上に書かれた式は商であり、整数の割り算同様左に書かれた数から順に割っていく。ここでは次数が大きい項がより先に計算される項である。割られる式の下にある式は商の第1項を割る式にかけて得る式である。ここでは、 x ( x 2 − 1 ) {\displaystyle x(x^{2}-1)} で、 x 3 − x {\displaystyle x^{3}-x} となる。ただし、整数の除法と同様、位をそろえなくてはならない。その後、割られる式から x 3 − x {\displaystyle x^{3}-x} を引き、残った式を新しい割られる式として扱う。ここでは、得た式が割る式よりも低次であることから、これで計算は終了である。 x 3 + 2 x 2 + 1 {\displaystyle x^{3}+2x^{2}+1} 、 x 4 + 4 x 2 + 3 x + 2 {\displaystyle x^{4}+4x^{2}+3x+2} を、 x 2 + 2 x + 6 {\displaystyle x^{2}+2x+6} で割った商と余りを求めよ。この計算はアニメーションを使って詳しく表示されている。計算手法は、整数の場合の筆算と同じような手法が使える。が得られるので、商 x {\displaystyle x} 、余り − 6 x + 1 {\displaystyle -6x+1} である。 2つ目の式については、が得られる。よって、答は商 x 2 − 2 x + 2 {\displaystyle x^{2}-2x+2} 、余り 11 x − 10 {\displaystyle 11x-10} である。ここまでで整式を整数のように扱い、整式の除法を行なう方法について述べた。ここでは、整式に対して分数式を定義する方法について述べる。分数式とは、整数に対する分数のように、除法によって生じる式である。ここで、除法を行なう式はどのようなものでも差し支えない。分数式では、分子に割られる式を書き、分母に割る式を書く。例えば、は、分子x+1、分母 x 2 + 4 {\displaystyle x^{2}+4} の分数式である。分数式に対しても約分や通分が存在する。約分は共通因数を持った分子分母をもつ分数式で用いられる。この時には分子分母を共通因数で割り、式を簡単にすることが出来る。通分は、分数式の加法の時によく用いられるが、分子分母に同じ整式をかけても分数式が変化しない性質を用いる。を簡単にせよ。また、を計算せよ。について分子と分母を因数分解すると、双方ともにを因数として含んでいることが分かる。このとき、共通の因数は約分することが必要である。計算された値は、となる。次の問題では、を計算する。このとき、両辺の分母をそろえる必要があるが、今回については、単純にそれぞれの分数式の分子と分母に各々の分母をかけて分母を統一すればよい。計算すると、となる。分数式の乗法は、分子分母を別々にかければよい。次の計算をせよ。 (I) (II) (I) (II) 分母が積の形である分数式を二つの分数式の和や差で表された式に変形する操作を部分分数分解という。 1 x ( x + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}}} と 1 ( x + 1 ) ( x + 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{(x+1)(x+3)}}} を分数式の和または差の形で表せ。と変形できるので、となり、約分するととなる。次の問題では、と変形することによって、となり、と求まる。部分分数分解の操作を逆に辿ると、分数式の通分の操作と一致する。つまり、部分分数分解は通分の逆の操作である。分子が定数の場合には、上と同様の方法で部分分数分解することができる。 1. 3 ( x − 9 ) ( x − 4 ) {\displaystyle {\frac {3}{(x-9)(x-4)}}} 2. 7 ( 3 x − 1 ) ( 5 − 2 x ) {\displaystyle {\frac {7}{(3x-1)(5-2x)}}} 部分分数分解は数列の和の計算、積分計算、微分を利用した不等式の証明等に役立つ、重要な変形である。等式 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}} は、文字 a , b {\displaystyle a,b} にどのような値を代入しても成り立つ。このような等式を恒等式(こうとうしき)という。等式 1 x − 1 + 1 x + 1 = 2 x x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}={\frac {2x}{x^{2}-1}}} は、両辺とも x = 1 , − 1 {\displaystyle x=1,-1} を代入することはできないが、その他の値であれば代入することができ、またどのような値を代入しても等式が成り立っている。これも恒等式と呼ぶ。いっぽう、 x 2 − x − 2 = 0 {\displaystyle x^{2}-x-2=0} は、x=2 または x=ー1 を代入したときだけ成り立つが、このように文字に特定の値を代入したときにだけ成り立つ式のことを方程式と呼び、恒等式とは区別する。等式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} が x {\displaystyle x} についての恒等式であるのはどのような場合か、考えてみよう。ある式が「 x {\displaystyle x} についての恒等式である」とは、この式の x {\displaystyle x} にどのような値を代入しても、この等式は成り立つという意味である。なので、例えば x {\displaystyle x} に − 1 , 0 , 1 {\displaystyle -1\ ,\ 0\ ,\ 1} を代入した式はすべて成り立つ必要がある。これを解くとなので、等式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} が x {\displaystyle x} についての恒等式になるならば、 a = b = c = 0 {\displaystyle a=b=c=0} でなければならないことがわかる。一般に、等式 a x 2 + b x + c = a ′ x 2 + b ′ x + c ′ {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a'x^{2}+b'x+c'} が恒等式であることと、 ( a − a ′ ) x 2 + ( b − b ′ ) x + ( c − c ′ ) = 0 {\displaystyle (a-a')x^{2}+(b-b')x+(c-c')=0} が恒等式であることと同じである。よってまとめると次のようになる。次の等式が x {\displaystyle x} についての恒等式となるように、 a , b , c {\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c} の値を求めよ。等式の右辺を x {\displaystyle x} について整理するとこの等式が x {\displaystyle x} についての恒等式となるのは、両辺の同じ次数の項の係数が等しいときである。よってこれを解くと恒等式を利用することで、複雑な分数式の部分分数分解ができる。とおく。分母を払ってすなわちこれが x {\displaystyle x} の恒等式なので、係数を比較してすなわち最初の等式に代入して、次の問題は、とおくことにより、上の問題と同様にしてと求まるので、 a~fを定数とする。 a x 2 + b y 2 + c x y + d x + e y + f = 0 {\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f=0} がx, yについての恒等式だとする。左辺をxについて整理すると、 a x 2 + ( c y + d ) x + ( b y 2 + e y + f ) = 0 {\displaystyle ax^{2}+(cy+d)x+(by^{2}+ey+f)=0} である。これがxについての恒等式なので、 a = 0 , c y + d = 0 , b y 2 + e y + f = 0 {\displaystyle a=0,cy+d=0,by^{2}+ey+f=0} が成り立つ。これらは更にyについての恒等式なので、以下の等式が得られる。逆に、これが成り立てば元の式は明らかにx, yについての恒等式である x 2 + a x y + 6 y 2 − x + 5 y + b = ( x − 2 y + c ) ( x − 3 y + d ) {\displaystyle x^{2}+axy+6y^{2}-x+5y+b=(x-2y+c)(x-3y+d)} がx,yについての恒等式となるようにa,b,c,dを定めよ。さきほど紹介した「恒等式」という言葉を使って「証明」の意味を説明するなら、「等式を証明する」とは、その式が恒等式であることを示すことである。一般に、等式 A=B を証明するためには、次のような手順のいずれかを実行すればよい。このとき、変形は同値変形でなければならないことに注意。 ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 = 4 a b {\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab} が成り立つことを証明せよ。 (証明) 左辺を展開すると、となり、これは右辺に等しい。よって、等式 ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 = 4 a b {\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab} は証明された。(終) ( x + y ) 2 + ( x − y ) 2 = 2 ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle (x+y)^{2}+(x-y)^{2}=2(x^{2}+y^{2})} が成り立つことを証明せよ。左辺を計算すると、これは右辺に等しい。よって等式が成り立つことが証明された。(終) 次の等式が成り立つことを証明せよ。 (I) (I) (左辺) = ( 36 a 2 + 84 a b + 49 b 2 ) + ( 49 a 2 − 84 a b + 36 a 2 ) = 85 a 2 + 85 b 2 {\displaystyle =(36a^{2}+84ab+49b^{2})+(49a^{2}-84ab+36a^{2})=85a^{2}+85b^{2}} (右辺) = ( 81 a 2 + 36 a b + 4 b 2 ) + ( 4 a 2 − 36 a b + 81 b 2 ) = 85 a 2 + 85 b 2 {\displaystyle =(81a^{2}+36ab+4b^{2})+(4a^{2}-36ab+81b^{2})=85a^{2}+85b^{2}} 両辺とも同じ式になるから恒等式でないときも、与えられた条件から等式を証明することができる。より、よって、 a 3 + b 3 + c 3 = 3 a b c {\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc} である。また、より、上式の右辺をkとおくと、なので、よって、 a + c b + d = a − c b − d {\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a-c}{b-d}}} である。なお、比 a : b {\displaystyle a:b} について a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} を比の値という。また、 a : b = c : d ⟺ a b = c d {\displaystyle a:b=c:d\iff {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} を比例式という。 a x = b y = c z {\displaystyle {\frac {a}{x}}={\frac {b}{y}}={\frac {c}{z}}} が成り立つとき、 a : b : c = x : y : z {\displaystyle a:b:c=x:y:z} と表す。これを連比という。不等式のさまざまな公式については、次の4つの式を基本的な式として導出できる場合がよくある。高校数学では、次の4つの性質が不等式の「基本性質」などとして紹介されている。 (3)と(4)については、ひとつの性質としてまとめている検定教科書もある(※ 啓林館など)。数学IAで習った「ならば」の意味の記号 ⟹ {\displaystyle \Longrightarrow } を使うと、とも書ける。上述の4つの基本性質から、を証明してみよう。 (証明) まず a>0 なので、基本性質(2)よりである。よって、なので、基本性質(1)より a + b > 0 {\displaystyle a+b>0} が成り立つ。(終) 同様にして、を証明できる。ここまでに示したことから、不等式 A ≧ B {\displaystyle A\geqq B} を証明したい場合には、を証明すればよいことがわかった。こちらの方が証明しやすい場合がよくある。不等式を証明する際に根拠とする基本的な不等式として、次の性質がある。この定理(「実数を2乗すると、かならずゼロ以上である」)を、基本性質(3),(4)を使って証明してみよう。 (証明) aが正の場合と負の場合と0の場合の3通りに場合わけする。 [aが正の場合] このとき、基本性質(3)より、である。すなわち、である。 [aが負の場合] このとき、基本性質(4)より 0 a < a a {\displaystyle 0a<aa} である。すなわち、である。 [aがゼロの場合] このとき、 a 2 = 0 {\displaystyle a^{2}=0} である。よって、すべての場合について a 2 ≧ 0 {\displaystyle a^{2}\geqq 0} (終) このことと基本性質(1)(2)より、次が成り立つこともわかる。次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (証明) を証明すればよい。左辺を展開してまとめると、となる。上式の最後の式の項について、だから、である。よってである。(終) 2つの正の数 a, b が a>b または a≧b ならば、両辺を2乗しても大小関係は同じままである。つまり、である。 a>bとする。仮定より、a,b は正の数なので、 ( a + b ) > 0 {\displaystyle (a+b)>0} であり、別の仮定より、 a > b なので、 ( a − b ) > 0 {\displaystyle (a-b)>0} でもある。よって、 a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) > 0 {\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)>0} 逆に、 a 2 − b 2 > 0 {\displaystyle a^{2}-b^{2}>0} のとき、 ( a + b ) ( a − b ) > 0 {\displaystyle (a+b)(a-b)>0} であり、 a > 0 , b > 0 {\displaystyle a>0,b>0} なので a + b > 0 {\displaystyle a+b>0} である。よって、 a − b > 0 {\displaystyle a-b>0} なので、 a > b {\displaystyle a>b} である。よって、 a > b ⟺ a 2 > b 2 {\displaystyle a>b\quad \Longleftrightarrow \quad a^{2}>b^{2}} である。 a≧bの場合も同様に証明できる。練習として、次の問題を問いてみよう。 a > 0 {\displaystyle a>0} , b > 0 {\displaystyle b>0} のとき、次の不等式を証明せよ。 (証明) 不等式の両辺は正であるので、両辺の平方の差を考えればよい。両辺の平方の差はである。ここで、a,b はともに正の実数なので、であることを用いた。であるので、となる。よって、である。(終) 実数 a の絶対値 \|a\| について、であるから、次のことが成り立つ。 \|a\|≧a , \|a\|≧ ーa , \|a\|=a また、2つの実数 a, b の絶対値 \|ab\| については、が成り立つので、これにさらに \|ab\|≧0 , \|a\|\|b\|≧0 を組み合わせて、 \|ab\| = \|a\| \|b\| が成り立つ。 (例題) 次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合かを調べよ。両辺の平方の差を考えると、これがもし正なら、与えられた不等式 \|a\|+\|b\| ≧ \|a+b\| が正しい。ここで、 \|a\| \|b\| ≧ ab であるので、である。したがって、 \|a\|+\|b\| ≧ \|a+b\| である。等号が成り立つのは \|a\| \|b\| = ab の場合、すなわち ab ≧ 0 の場合である。(証明おわり) 2つの数 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} に対し、 a + b 2 {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}} を相加平均(そうかへいきん)と言い、 a b {\displaystyle {\sqrt {ab}}} を相乗平均(そうじょうへいきん)という。本ページでは、2個の数の平均について考察する。相加平均と相乗平均について、次の関係式が成り立つ。 (証明) a ≧ 0 , b ≧ 0 {\displaystyle a\geqq 0,b\geqq 0} のとき ( a − b ) 2 ≧ 0 {\displaystyle \left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}\geqq 0} であるから、 ( a − b ) 2 2 ≧ 0 {\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}}{2}}\geqq 0} したがって a + b 2 ≧ a b {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqq {\sqrt {ab}}} 等号が成り立つのは、 ( a − b ) 2 = 0 {\displaystyle \left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}=0} のとき、すなわち a = b {\displaystyle a=b} のときである。(証明おわり) 公式の利用では、上の式 a + b 2 ≧ a b {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqq {\sqrt {ab}}} の両辺に2をかけた a + b ≧ 2 a b {\displaystyle a+b\geqq 2{\sqrt {ab}}} の形の式を使う場合もある。 a > 0 {\displaystyle a>0} , b > 0 {\displaystyle b>0} のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (I) (II) (I) a > 0 {\displaystyle a>0} であるから、 1 a > 0 {\displaystyle {\frac {1}{a}}>0} よって a + 1 a ≧ 2 a × 1 a = 2 {\displaystyle a+{\frac {1}{a}}\geqq 2{\sqrt {a\times {\frac {1}{a}}}}=2} したがって (II) a > 0 {\displaystyle a>0} , b > 0 {\displaystyle b>0} であるから、 b a > 0 {\displaystyle {\frac {b}{a}}>0} , a b > 0 {\displaystyle {\frac {a}{b}}>0} よって b a + a b + 2 ≧ 2 b a × a b + 2 = 2 + 2 = 4 {\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {a}{b}}+2\geqq 2{\sqrt {{\frac {b}{a}}\times {\frac {a}{b}}}}+2=2+2=4} したがって 2乗して負になる数、というものを考える。このような数は、中学で習った実数の中にはないことがわかる。なぜならば、正の数でも負の数でも2乗すると符号が打ち消して正の数になってしまうからである。そこで高校では、2乗して負になるという性質を持つ数の概念を新しく導入することにする。という方程式を考える。この方程式の解は実数にはない。そこで、この方程式の解となる数を新しく作り、その単位を文字 i {\displaystyle i} であらわす。この i {\displaystyle i} のことを虚数単位(きょすうたんい)と呼ぶ。(虚数単位の記号 i 、英語のアルファベットのアイの小文字で、 imaginary unit に由来すると考えられている。) 1 + i {\displaystyle 1+i} や 2 + 5 i {\displaystyle 2+5i} のように、虚数単位 i {\displaystyle i} と実数 a , b {\displaystyle a,b} を用いてと表すことができる数を複素数(ふくそすう)という。このとき、aをこの複素数の実部(じつぶ)といい、bを虚部(きょぶ)という。例えば、 1 + i , 2 + 5 i , 9 2 + 7 2 i , 4 i , 3 {\displaystyle 1+i,\quad 2+5i,\quad {\frac {9}{2}}+{\frac {7}{2}}i,\quad 4i,\quad 3} は、いずれも複素数である。複素数 a+bi は(ただし aとbは実数)、bが0の場合に、これを実数と見ることができる。言い方をかえると、複素数を基準に考えると、実数とは、 a+0i のような、虚部の係数がゼロになる複素数のことであるとも言える。 4iのような、虚部が0以外で実部がゼロの複素数を純虚数(じゅんきょすう)と呼ぶ。純虚数は、2乗すると負になる数である。実数も虚部が0の複素数と考えられる。実数でない複素数のことを「虚数」(きょすう)という。 2つの複素数 a+bi と c+di とが等しいとは、であることである。つまり、とくに、複素数a+bi が 0であるとは、a=0 かつ b=0 であることである。複素数 z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} に対して、虚部の符号を反転させた複素数 a − b i {\displaystyle a-bi} のことを「共役(きょうやく)な複素数」または「複素数 z {\displaystyle z} の共役」のように呼び、 z ̄ {\displaystyle {\bar {z}}} であらわす。なお、「共役」は「共軛」の常用漢字による書き換えである。実数aと共役な複素数は、その実数 a 自身である。複素数 z=a+bi について複素数にも四則演算(加減乗除)が定義される。複素数の演算では、虚数単位 i {\displaystyle i} を、通常の文字のように扱って計算する。一般に複素数 z , w {\displaystyle z\ ,\ w} が、 z = a + b i , w = c + d i {\displaystyle z=a+bi\ ,\ w=c+di} で与えられるとき(ただし a , b , c , d {\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c\ ,\ d} は実数とする)、というふうに複素数の加減乗除の計算法が定められている。乗法の定義は、一見すると難しそうにみえるが、実数の分配法則と同様に展開していき最後に iにマイナス1を代入していっただけである。除法の定義は、分子と分母に、分母と共役な形の式を掛け算しただけである。乗法や除法の定義式を暗記する必要は無く、計算の際には、必要に応じて分配法則や共役などの、必要な式変形を行えばいい。例題 2つの複素数について、 a + b {\displaystyle a+b} と a b {\displaystyle ab} と a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} を、それぞれ計算せよ。解答である。を、さらに簡単にできないだろうか。実は、ちょっとしたテクニックを用いればより見やすい形にできる。分数は分母と分子に同じ数をかけてよかったので、分母と分子に分母の共役をかけてみる。すると、が得られる。この形のほうが元の式よりもずっと見やすい形である。このような操作を分母の実数化ということもある。数学Iで学習した展開・因数分解公式 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 {\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}} の簡単な応用である。数の範囲を複素数にまで拡張すると、負の数の平方根も考えることができる。例として、 -5 の平方根について考えてみよう。であるから、 -5 の平方根は 5 i {\displaystyle {\sqrt {5}}\ i} と − 5 i {\displaystyle -{\sqrt {5}}\ i} である。 − 5 {\displaystyle {\sqrt {-5}}} とは、 5 i {\displaystyle {\sqrt {5}}\ i} のこととする。 − − 5 {\displaystyle -{\sqrt {-5}}} とは、 − 5 i {\displaystyle -{\sqrt {5}}\ i} のことである。とくに − 1 = i {\displaystyle {\sqrt {-1}}\ =\ i} である。さて、-5 の平方根は、方程式 x 2 = − 5 {\displaystyle x^{2}=-5} の解でもある。この方程式を移項することにより、-5 の平方根は、の解であるともいえる。さらに因数分解をすることにより、-5 の平方根は方程式の解でもあるともいえる。 (I) − 2 − 6 {\displaystyle {\sqrt {-2}}\ {\sqrt {-6}}} を計算せよ。 (I) このように、まず、マイナスの数の平方根が出てきたら、まず虚数単位 i を用いた式に書き換える。そのあと、かけ算をしていく。 (II) 2 − 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {-3}}}} を計算せよ。 (III) 2次方程式 x 2 = − 7 {\displaystyle x^{2}=-7} を解け。 (II) (III) 複素数の応用として、ここでは2次方程式の性質について述べる。任意の2次方程式は、解の公式によって解かれることを高等学校数学Iで述べた。しかし、解の公式に含まれる根号の中身が負の数の場合には実数解が存在しないことに注意する必要がある。2次方程式の解の公式は、である。判別式 D {\displaystyle D} はによって定義される。判別式は、解の公式の根号(ルート記号のこと)の中身に等しく、判別式の正負によって2次方程式が実数解を持つかどうかが決まる。 D {\displaystyle D} が負のときにはこの2次方程式は実数の範囲には解を持たない。判別式 D {\displaystyle D} が負の数であったとき、xの解は異なる2つの虚数になり、その2つの解は共役の関係になっている。複素数を用いて、2次方程式 (1) (2) (3) を解け。解の公式を用いて解けばよい。(1)だけを計算すると、となる。他も同じように扱うことが出来る。以降の解答は、 (2) (3) となる。方程式の解で、実数であるものを実数解という。方程式の解で、虚数であるものを虚数解という。 2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の解は x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} である。 2次方程式の解の種類は、解の公式の中の根号の中の式 b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} の符号を見れば判別することができる。この式 b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} を、2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の判別式(はんべつしき)といい、記号 D {\displaystyle D} で表す。また、重解も実数解であるので、といえる。次の2次方程式の解を判別せよ。 (I) (II) (III) (I) だから、異なる2つの実数解をもつ。 (II) だから、異なる2つの虚数解をもつ。 (III) だから、重解をもつ。また、2次方程式 a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0} のとき、 D = 4 ( b ′ 2 − a c ) {\displaystyle D=4(b'^{2}-ac)} となるので、 2次方程式 a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0} の判別式にはをもちいてもよい。これを用いて、前の問題の解を判別しよう。 a = 4 , b ′ = − 10 , c = 25 {\displaystyle a=4\,,\,b'=-10\,,\,c=25} であるからだから、重解をもつ。 2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の2つの解を α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } とする。この方程式は、 a ( x − α ) ( x − β ) = 0 {\displaystyle a(x-\alpha )(x-\beta )=0} と変形できる。これを展開すると、 a x 2 − a ( α + β ) x + a α β = 0 {\displaystyle ax^{2}-a(\alpha +\beta )x+a\alpha \beta =0} 係数を比較して、 c = a α β , b = − a ( α + β ) {\displaystyle c=a\alpha \beta ,b=-a(\alpha +\beta )} を得る。これを変形すれば、 α + β = − b a , α β = c a {\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}},\alpha \beta ={\frac {c}{a}}} となる。 2次方程式 2 x 2 + 4 x + 3 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+4x+3=0} の2つの解を α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } とするとき、 α 2 + β 2 {\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}} の値を求めよ。解と係数の関係より、 α + β = − 4 2 = − 2 {\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {4}{2}}=-2} , α β = 3 2 {\displaystyle \alpha \beta ={\frac {3}{2}}} α 2 + β 2 = ( α + β ) 2 − 2 α β = ( − 2 ) 2 − 2 × 3 2 = 1 {\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta =(-2)^{2}-2\times {\frac {3}{2}}=1} 2つの数 α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } を解とする2次方程式はと表される。左辺を展開して整理すると次のようになる。次の2数を解とする2次方程式を作れ。 (I) (II) (I) 和 ( 3 + 5 ) + ( 3 − 5 ) = 6 {\displaystyle (3+{\sqrt {5}})+(3-{\sqrt {5}})=6} 積 ( 3 + 5 ) ( 3 − 5 ) = 4 {\displaystyle (3+{\sqrt {5}})(3-{\sqrt {5}})=4} であるから (II) 和 ( 2 + 3 i ) + ( 2 − 3 i ) = 4 {\displaystyle (2+3i)+(2-3i)=4} 積 ( 2 + 3 i ) ( 2 − 3 i ) = 13 {\displaystyle (2+3i)(2-3i)=13} であるから 2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の2つの解 α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } がわかると、2次式を因数分解することができる。解と係数の関係 α + β = − b a {\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}} , α β = c a {\displaystyle \alpha \beta ={\frac {c}{a}}} から、 2次方程式は、複素数の範囲で考えるとつねに解をもつから、複素数まで使ってよいとすると、2次式は必ず1次式の積に因数分解することができる。複素数の範囲で考えて、次の2次式を因数分解せよ。 (I) (II) (I) 2次方程式 x 2 + 4 x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+4x-1=0} の解はよって (II) 2次方程式 2 x 2 − 3 x + 2 = 0 {\displaystyle 2x^{2}-3x+2=0} の解はよって 3次以上の整式による方程式を考える。一般に方程式を P ( x ) = 0 {\displaystyle P(x)=0} ととる。ただし、 P ( x ) {\displaystyle P(x)} は、任意の次数の整式とする。 P ( x ) {\displaystyle P(x)} を1次式 x − a {\displaystyle x-a} で割ったときの商を Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} 、余りを R {\displaystyle R} とすると、この両辺の x {\displaystyle x} に a {\displaystyle a} を代入すると、つまり、 P ( x ) {\displaystyle P(x)} を x − a {\displaystyle x-a} で割ったときの余りは P ( a ) {\displaystyle P(a)} である。整式 P ( x ) = x 3 − 2 x + 3 {\displaystyle P(x)=x^{3}-2x+3} を次の式で割った余りを求めよ。 (I) (II) (III) (I) P ( 2 ) = 2 3 − 2 × 2 + 3 = 7 {\displaystyle P(2)=2^{3}-2\times 2+3=7} (II) P ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 − 2 × ( − 1 ) + 3 = 4 {\displaystyle P(-1)=(-1)^{3}-2\times (-1)+3=4} (III) P ( 1 2 ) = ( 1 2 ) 3 − 2 × ( 1 2 ) + 3 = 17 8 {\displaystyle P\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}-2\times \left({\frac {1}{2}}\right)+3={\frac {17}{8}}} ある実数 a {\displaystyle a} に対して、が成り立ったとする。このとき、整式 P ( x ) {\displaystyle P(x)} は、 ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} を因数に持つことが分る。このことを因数定理(いんすうていり)と呼ぶ。整式 P ( x ) {\displaystyle P(x)} に対して、商 Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} 、割る式 ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} とする整式の除法を用いる。このとき、商 Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} 、 ( Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} は、 P ( x ) {\displaystyle P(x)} よりも1だけ次数が低い整式である。) 余り c {\displaystyle c} ( c {\displaystyle c} は、実数。)とすると、整式 P ( x ) {\displaystyle P(x)} は、と書ける。ここで、 c = 0 {\displaystyle c=0} でないと、 P ( a ) = 0 {\displaystyle P(a)=0} は満たされないが、このとき、 P ( x ) {\displaystyle P(x)} は、 ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} によって割り切れる。よって、因数定理は成立する。因数定理を用いることで、より次数の高い整式を因数分解することが出来るようになる。例えば、3次の整式について、 x = 1 {\displaystyle x=1} を代入すると、は0となる。よって、因数定理よりこの式はを因数として持つ。ここで、実際整式の除法を使って計算すると、が得られる。因数定理を用いて (I) (II) を因数分解せよ。 (I) 因数分解の結果が(x+整数)の積の形なら、整数は6の因数でなければならない。そのため、 ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 {\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6} が候補となる。これらについては実際に代入して確かめるしかない。x=1を代入すると、となるので、(x-1)が因数となる。実際に整式の除法を行なうと、商として x 2 − 5 x + 6 {\displaystyle x^{2}-5x+6} が得られるが、これは ( x − 2 ) ( x − 3 ) {\displaystyle (x-2)(x-3)} に因数分解できる。よって答えは、となる。 (II) ここでも地道に24の因数を当てはめていくしかない。24の因数は数が多いのでかなりの計算が必要となる。ここでは、-2を代入すると、となり、(x+2)が因数だとわかる。除法を行なうと、 x 2 − x − 12 {\displaystyle x^{2}-x-12} が得られるが、(x-4)(x+3)に因数分解できる。答えは、となる。因数分解や因数定理を利用して高次方程式を解いてみよう。高次方程式 (I) (II) (III) を解け。 (I) 左辺を a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) {\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})} を用いて因数分解するとしたがって x − 2 = 0 {\displaystyle \ x-2=0} または x 2 + 2 x + 4 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+2x+4=0} よって (II) x 2 = X {\displaystyle \ x^{2}=X\ } とおくと、左辺を因数分解するとよって X = 4 , X = − 2 {\displaystyle X=4\ ,\ X=-2} ゆえに x 2 = 4 , x 2 = − 2 {\displaystyle x^{2}=4\ ,\ x^{2}=-2} したがって (III) P ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 7 x − 2 {\displaystyle \ P(x)=x^{3}-5x^{2}+7x-2\ } とおく。したがって、 x − 2 {\displaystyle \ x-2\ } は P ( x ) {\displaystyle \ P(x)\ } の因数である。よって ( x − 2 ) ( x 2 − 3 x + 1 ) = 0 {\displaystyle (x-2)(x^{2}-3x+1)=0} x − 2 = 0 {\displaystyle \ x-2=0} または x 2 − 3 x + 1 = 0 {\displaystyle \ x^{2}-3x+1=0} したがって 3次方程式 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} の3つの解を、 α , β , γ {\displaystyle \alpha \ ,\ \beta \ ,\ \gamma } とするとが成り立つ。右辺を展開するとよってゆえにしたがって、次のことが成り立つ。しばしば虚数は「現実には存在しない数」であると言われることがあり、歴史的にも虚数を扱った数学を考えるべきではないと考えられた時代は長かった。その時代の先進的な数学者の中には、虚数を有効に活用して研究を進める一方で、成果を発表する際には虚数を表に出さずに記述する努力をすることで、無用な抵抗を受けないように工夫した者もいたと言われるほどである。だが、よく考えてみれば、数が「現実に存在する」とはどういう意味なのだろうか。現実に鉛筆を使って紙に円を描くならば、円周の長さを「正確に円周率そのものにする」ことは不可能であるように思われるが、その割に円周率という実数は「存在する」と感じられるのはなぜだろうか。数直線が実数の「実在」を信じさせるならば、複素数は複素数平面(数学Cで習う)の上に存在するのだから、同じではないだろうか。このように考えると、そもそも数とはすべてある意味で想像上の存在であり、それに対して「存在する」「存在しない」という問いを立てることがナンセンスであるように思われる。「存在しない」ように思われがちな虚数であるが、たとえば物理学の一分野である量子力学のシュレディンガー方程式に表れるなど、応用上のさまざまな場面においても、虚数を使って記述することが自然な対象は多いのだ。複素数どうしについて、その大小関係は定義しない。その理由は、どのように大小関係を定義しても、便利な性質を満たすことができないからである。具体的に言えば、既に述べた実数の大小関係についての「不等式の基本性質(1)(2)(3)(4)」にあたる式を成り立たせることができないのだ。たとえば、 a + b i < a ′ + b ′ i {\displaystyle a+bi<a'+b'i} であることを、 a 2 + b 2 < a ′ 2 + b ′ 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}<a'^{2}+b'^{2}} であることとして定義してみよう。このように定義すると、たとえば1+2i<2-3iであり、また2+3i<3+4iである。ところが、(1+2i)+(2+3i)=3+5i,(2-3i)+(3+4i)=5+iであり、3+5i>5+iとなってしまう。これは基本性質(2)が成り立たないことを意味する。もちろんこれは適当に考えた定義がたまたま不適切だったというだけのことだが、実は、他にどのように定義してもこのような困難からは逃れられないことが知られている。それゆえに、複素数には大小関係を定義しないのである。今度は、複素数の平方根について考えてみよう。正の数 a {\displaystyle a} を考えたとき、では、虚数単位 i {\displaystyle i} の平方根を考えると、これはzについての方程式 z 2 = i {\displaystyle z^{2}=i} の解 z の値であるから、これを解けばよい。どのような複素数zならこの式を満たすことができるだろうか。 zを複素数とすると、 z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} (x,yは実数)と表される。 ( x + y i ) 2 = i ⇔ x 2 + 2 x y i − y 2 = i ⇔ ( x 2 − y 2 ) + ( 2 x y − 1 ) i = 0 {\displaystyle (x+yi)^{2}=i\Leftrightarrow x^{2}+2xyi-y^{2}=i\Leftrightarrow (x^{2}-y^{2})+(2xy-1)i=0} x 2 − y 2 , 2 x y − 1 {\displaystyle x^{2}-y^{2},2xy-1} は実数であるから、実部と虚部が共に0にならねばならないから、 { x 2 − y 2 = 0 ( ⇔ x = ± y ) 2 x y − 1 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0(\Leftrightarrow x=\pm y)\\2xy-1=0\end{cases}}} x = y {\displaystyle x=y} のとき、 2 x 2 = 1 ⇔ x = ± 1 2 , y = ± 1 2 {\displaystyle 2x^{2}=1\Leftrightarrow x=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},y=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}} (複号同順。x,yは共に実数であるから、条件を満たす。) x = − y {\displaystyle x=-y} のとき、 − 2 y 2 = 1 ⇔ y 2 = − 1 2 {\displaystyle -2y^{2}=1\Leftrightarrow y^{2}=-{\frac {1}{2}}} ここで、これを満たす実数yは存在しないから不適。よって、 z = ± ( 1 2 + 1 2 i ) {\displaystyle z=\pm \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i\right)} ■ 実部がゼロを考慮して x = 0 {\displaystyle x=0} か x = ± 3 y {\displaystyle x=\pm {\sqrt {3}}y} だが、虚部もゼロなので、xの値が前者のとき y = − 1 {\displaystyle y=-1} 、後者のとき y = 1 / 2 {\displaystyle y=1/2} となることがすぐにわかる。 2次方程式には解の公式があり、日本の中学や高校でも習う。2次方程式の解の公式を用いれば、どんな係数の2次方程式であっても解を求められる。3次方程式と4次方程式にも、解の公式は存在し、係数がどんな係数であっても解を求められる。これらの解の公式は、代数方程式論で述べているように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができる。 5次方程式では、4次以下の方程式とは状況が異なる。一般の5次方程式の解は、2次方程式や4次方程式のように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができないのである。ただし、「できない」ことの証明は容易ではない。このことを証明するには、ガロア理論を理解する必要がある(日本の大学の標準的なカリキュラムでは、理学部数学科の学生のみが大学3年生で学ぶのが一般的な程度の理論である)。なお、ここで言う「表すことができない」とは一般の方程式についてのことであり、特別な5次方程式の場合は簡単に解が求められる。たとえば、 x 5 − 32 = 0 {\displaystyle x^{5}-32=0} は解のひとつとして x = 2 {\displaystyle x=2} をもつことはすぐわかる。この方程式は他の解についても三角関数を用いて簡単に表せることを高等学校数学C/複素数平面において学ぶ。「係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせ」に拘らなければ、一般の5次方程式の解を求める方法も存在するが、やや高度な数学を用いる必要がある。w:五次方程式に記述があるので興味のある読者は参照するとよい。高等学校で複素数が出てくる分野はこの分野と数学C「平面上の曲線と複素数平面」のみであり、複素数の基本計算や方程式を複素数範囲で解くこと、複素数の幾何学的意味について扱っている。しかし、大学数学においては、関数の定義域・値域を複素数範囲に広げて考える「複素関数論」というものを扱う。実数範囲での関数はx, yともに一次元の実数軸を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには二次元の座標平面で十分であった。しかし、複素数範囲での関数はx, yともに二次元の複素数平面を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには四次元の座標空間が必要であり、三次元空間に住む我々には描画することができない。そのため、複素関数論では関数のグラフを考えることは基本的にない。(ただし、出力された複素数の絶対値を考えることによって三次元グラフに落とし込むことは可能) では何を考えるのかというと、複素関数の微分積分である。複素関数の微分に関連して「正則関数」という用語が出てくるが、複素関数論はこの正則関数というものの性質を調べる学問だと言って良い。複素関数論は物理学の特に波動に関する分野(音・電磁気など)において活躍している。「波動方程式」や「インピーダンス」という言葉は有名だろう。ちなみに、複素数をさらに拡張した数として「w:四元数」というものがある。この四元数はベクトルや行列と深い関わりが存在しており、深掘ると面白いのだが、いささか冗長になるため割愛する。なお、四元数をさらに拡張した八元数や十六元数という数も研究されている。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "本項は高等学校数学IIの式と証明・高次方程式の解説である。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "( a + b ) 5 = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) {\\displaystyle (a+b)^{5}=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)} について考えよう。この式を展開するとき、 a 2 b 3 {\\displaystyle a^{2}b^{3}} の係数は、右辺の5個の ( a + b ) {\\displaystyle (a+b)} から a {\\displaystyle a} を3回取る組み合わせに等しいから 5 C 2 = 10 {\\displaystyle _{5}\\mathrm {C} _{2}=10} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "この考えを拡張して", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "を展開する。 a r b n − r {\\displaystyle a^{r}b^{n-r}} の項の係数は、右辺の n {\\displaystyle n} 個の ( a + b ) {\\displaystyle (a+b)} から a {\\displaystyle a} を r {\\displaystyle r} 回取る組み合わせに等しいから n C r {\\displaystyle _{n}\\mathrm {C} _{r}} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "よって、次の式が得られる:", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "最後の式は数Bの数列で学ぶ総和記号 Σ {\\displaystyle \\Sigma } である。知らないのなら無視しても良い。この式を二項定理(binomial theorem) という。また、それぞれの項にかかる係数を二項係数(binomial 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"tag": "p", "text": "が成り立つことを示せ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "二項定理", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "についてa,bに適当な値を代入すればよい。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "(I) a = 1,b=1を代入すると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "(II) a=2,b=1を代入すると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "(III) a=1,b=-1を代入すると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "二項定理を拡張して ( a + b + c ) n {\\displaystyle (a+b+c)^{n}} を展開することを考えよう。 a p b q c r {\\displaystyle a^{p}b^{q}c^{r}} ( p + q + r = n ) {\\displaystyle (p+q+r=n)} の項の係数は n {\\displaystyle n} 個の ( a + b + c ) {\\displaystyle (a+b+c)} から p {\\displaystyle p} 個の a {\\displaystyle a} 、 q {\\displaystyle q} 個の b {\\displaystyle b} 、 r {\\displaystyle r} 個の c {\\displaystyle c} を選ぶ組合せに等しいから n ! p ! q ! r ! {\\displaystyle {\\frac {n!}{p!q!r!}}} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "ここでは、整式の除法と分数式について扱う。整式の除法は、整式を整数のように扱い除法を行なう計算手法のことである。実際に整数の除法と整式の除法には深いつながりがある。整式の因数分解を考えるとそれ以上因数分解できない整式が存在する。この整式を整数でいう素因数のように扱うことで整式の素因数分解が可能になる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "上では、整式が整数に対応する性質を持つことを述べた。整数についてはたがいに素な2つの整数を取ることで有理数を定義することが出来る。整式に対しても同じ事が成立ち、そのような式を分数式と呼ぶ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "分数を用いないときには、整数の除法は商と余りを用いて定義された。この時、割られる数Bは商Dと割る数A、余りRを用いて", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "の性質を満たすことが知られている。整式に対しても似た性質が成立ち、割られる式B(x)が商D(x)と割る式A(x)、余りR(x)を用いて、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 33, "tag": "p", "text": "の右辺でxについて2次の項が現われ左辺と一致しなくなる。よって商は実数である。商をa、余りをrとすると上の式は、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 34, "tag": "p", "text": "となるが、これはa=1,r=1で成立する。よって商1,余り1である。より高次の式に対しても同じ様に答えを定めていけばよい。例として、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "のような式を考える。この場合、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "で、B(x)が3次、A(x)が2次であることから、D(x)は1次であり、また、R(x)は2次より小さいことから1次以下の式になる。ここで、D(x)=ax+b,R(x)=cx+dとおくと、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "が得られる。右辺を展開すると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "が得られるが、xにどんな値を入れてもこの等式が成り立たなければならないので、a = 1, b = 0, -a +c = 0, -b +d = 0が得られ、結局a=c=1, b=d=0が得られる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "この方法はどの除法に対しても用いることが出来るが、次数が高くなると計算が難しくなる。整数の場合と同様、整式の除法でも筆算を用いることが出来る。上の例を用いて結果だけを書くと、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "のようになる。)右に書かれた式が割られる式であり、)左に書かれた式が割る式である。--の一番上に書かれた式は商であり、整数の割り算同様左に書かれた数から順に割っていく。ここでは次数が大きい項がより先に計算される項である。割られる式の下にある式は商の第1項を割る式にかけて得る式である。ここでは、 x ( x 2 − 1 ) {\\displaystyle x(x^{2}-1)} で、 x 3 − x {\\displaystyle x^{3}-x} となる。ただし、整数の除法と同様、位をそろえなくてはならない。その後、割られる式から x 3 − x {\\displaystyle x^{3}-x} を引き、残った式を新しい割られる式として扱う。ここでは、得た式が割る式よりも低次であることから、これで計算は終了である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "x 3 + 2 x 2 + 1 {\\displaystyle x^{3}+2x^{2}+1} 、 x 4 + 4 x 2 + 3 x + 2 {\\displaystyle x^{4}+4x^{2}+3x+2} を、 x 2 + 2 x + 6 {\\displaystyle x^{2}+2x+6} で割った商と余りを求めよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "この計算はアニメーションを使って詳しく表示されている。計算手法は、整数の場合の筆算と同じような手法が使える。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "が得られるので、商 x {\\displaystyle x} 、余り − 6 x + 1 {\\displaystyle -6x+1} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "2つ目の式については、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "が得られる。よって、答は商 x 2 − 2 x + 2 {\\displaystyle x^{2}-2x+2} 、余り 11 x − 10 {\\displaystyle 11x-10} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "ここまでで整式を整数のように扱い、整式の除法を行なう方法について述べた。ここでは、整式に対して分数式を定義する方法について述べる。分数式とは、整数に対する分数のように、除法によって生じる式である。ここで、除法を行なう式はどのようなものでも差し支えない。分数式では、分子に割られる式を書き、分母に割る式を書く。例えば、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "は、分子x+1、分母 x 2 + 4 {\\displaystyle x^{2}+4} の分数式である。分数式に対しても約分や通分が存在する。約分は共通因数を持った分子分母をもつ分数式で用いられる。この時には分子分母を共通因数で割り、式を簡単にすることが出来る。通分は、分数式の加法の時によく用いられるが、分子分母に同じ整式をかけても分数式が変化しない性質を用いる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "を簡単にせよ。また、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "を計算せよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "について分子と分母を因数分解すると、双方ともに", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "を因数として含んでいることが分かる。このとき、共通の因数は約分することが必要である。計算された値は、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "次の問題では、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "を計算する。このとき、両辺の分母をそろえる必要があるが、今回については、単純にそれぞれの分数式の分子と分母に各々の分母をかけて分母を統一すればよい。計算すると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "となる。分数式の乗法は、分子分母を別々にかければよい。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "次の計算をせよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "分母が積の形である分数式を二つの分数式の和や差で表された式に変形する操作を部分分数分解という。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "1 x ( x + 1 ) {\\displaystyle {\\frac {1}{x(x+1)}}} と 1 ( x + 1 ) ( x + 3 ) {\\displaystyle {\\frac {1}{(x+1)(x+3)}}} を分数式の和または差の形で表せ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "と変形できるので、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "となり、約分すると", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "次の問題では、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "と変形することによって、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "となり、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "と求まる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "部分分数分解の操作を逆に辿ると、分数式の通分の操作と一致する。つまり、部分分数分解は通分の逆の操作である。分子が定数の場合には、上と同様の方法で部分分数分解することができる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "1. 3 ( x − 9 ) ( x − 4 ) {\\displaystyle {\\frac {3}{(x-9)(x-4)}}}", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "2. 7 ( 3 x − 1 ) ( 5 − 2 x ) {\\displaystyle {\\frac {7}{(3x-1)(5-2x)}}}", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "部分分数分解は数列の和の計算、積分計算、微分を利用した不等式の証明等に役立つ、重要な変形である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "等式 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}} は、文字 a , b {\\displaystyle a,b} にどのような値を代入しても成り立つ。このような等式を恒等式(こうとうしき)という。等式 1 x − 1 + 1 x + 1 = 2 x x 2 − 1 {\\displaystyle {\\frac {1}{x-1}}+{\\frac {1}{x+1}}={\\frac {2x}{x^{2}-1}}} は、両辺とも x = 1 , − 1 {\\displaystyle x=1,-1} を代入することはできないが、その他の値であれば代入することができ、またどのような値を代入しても等式が成り立っている。これも恒等式と呼ぶ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "いっぽう、 x 2 − x − 2 = 0 {\\displaystyle x^{2}-x-2=0} は、x=2 または x=ー1 を代入したときだけ成り立つが、このように文字に特定の値を代入したときにだけ成り立つ式のことを方程式と呼び、恒等式とは区別する。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "等式 a x 2 + b x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} が x {\\displaystyle x} についての恒等式であるのはどのような場合か、考えてみよう。ある式が「 x {\\displaystyle x} についての恒等式である」とは、この式の x {\\displaystyle x} にどのような値を代入しても、この等式は成り立つという意味である。なので、例えば x {\\displaystyle x} に − 1 , 0 , 1 {\\displaystyle -1\\ ,\\ 0\\ ,\\ 1} を代入した式", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "はすべて成り立つ必要がある。これを解くと", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "なので、等式 a x 2 + b x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} が x {\\displaystyle x} についての恒等式になるならば、 a = b = c = 0 {\\displaystyle a=b=c=0} でなければならないことがわかる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "一般に、等式 a x 2 + b x + c = a ′ x 2 + b ′ x + c ′ {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=a'x^{2}+b'x+c'} が恒等式であることと、 ( a − a ′ ) x 2 + ( b − b ′ ) x + ( c − c ′ ) = 0 {\\displaystyle (a-a')x^{2}+(b-b')x+(c-c')=0} が恒等式であることと同じである。よって", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "まとめると次のようになる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "次の等式が x {\\displaystyle x} についての恒等式となるように、 a , b , c {\\displaystyle a\\ ,\\ b\\ ,\\ c} の値を求めよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "等式の右辺を x {\\displaystyle x} について整理すると", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "この等式が x {\\displaystyle x} についての恒等式となるのは、両辺の同じ次数の項の係数が等しいときである。よって", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "これを解くと", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "恒等式を利用することで、複雑な分数式の部分分数分解ができる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "とおく。分母を払って", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "すなわち", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "これが x {\\displaystyle x} の恒等式なので、係数を比較して", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "すなわち", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "最初の等式に代入して、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "次の問題は、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "とおくことにより、上の問題と同様にして", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "と求まるので、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "a~fを定数とする。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "a x 2 + b y 2 + c x y + d x + e y + f = 0 {\\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f=0} がx, yについての恒等式だとする。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "左辺をxについて整理すると、 a x 2 + ( c y + d ) x + ( b y 2 + e y + f ) = 0 {\\displaystyle ax^{2}+(cy+d)x+(by^{2}+ey+f)=0} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "これがxについての恒等式なので、 a = 0 , c y + d = 0 , b y 2 + e y + f = 0 {\\displaystyle a=0,cy+d=0,by^{2}+ey+f=0} が成り立つ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "これらは更にyについての恒等式なので、以下の等式が得られる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "逆に、これが成り立てば元の式は明らかにx, yについての恒等式である", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "x 2 + a x y + 6 y 2 − x + 5 y + b = ( x − 2 y + c ) ( x − 3 y + d ) {\\displaystyle x^{2}+axy+6y^{2}-x+5y+b=(x-2y+c)(x-3y+d)} がx,yについての恒等式となるようにa,b,c,dを定めよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "さきほど紹介した「恒等式」という言葉を使って「証明」の意味を説明するなら、「等式を証明する」とは、その式が恒等式であることを示すことである。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "一般に、等式 A=B を証明するためには、次のような手順のいずれかを実行すればよい。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "このとき、変形は同値変形でなければならないことに注意。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 114, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 115, "tag": "p", "text": "( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 = 4 a b {\\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab} が成り立つことを証明せよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 116, "tag": "p", "text": "(証明) 左辺を展開すると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 117, "tag": "p", "text": "となり、これは右辺に等しい。よって、等式 ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 = 4 a b {\\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab} は証明された。(終)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 118, "tag": "p", "text": "( x + y ) 2 + ( x − y ) 2 = 2 ( x 2 + y 2 ) {\\displaystyle (x+y)^{2}+(x-y)^{2}=2(x^{2}+y^{2})} が成り立つことを証明せよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 119, "tag": "p", "text": "左辺を計算すると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 120, "tag": "p", "text": "これは右辺に等しい。よって等式が成り立つことが証明された。(終)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 121, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 122, "tag": "p", "text": "次の等式が成り立つことを証明せよ。 (I)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 123, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 124, "tag": "p", "text": "(I) (左辺) = ( 36 a 2 + 84 a b + 49 b 2 ) + ( 49 a 2 − 84 a b + 36 a 2 ) = 85 a 2 + 85 b 2 {\\displaystyle =(36a^{2}+84ab+49b^{2})+(49a^{2}-84ab+36a^{2})=85a^{2}+85b^{2}} (右辺) = ( 81 a 2 + 36 a b + 4 b 2 ) + ( 4 a 2 − 36 a b + 81 b 2 ) = 85 a 2 + 85 b 2 {\\displaystyle =(81a^{2}+36ab+4b^{2})+(4a^{2}-36ab+81b^{2})=85a^{2}+85b^{2}} 両辺とも同じ式になるから", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 125, "tag": "p", "text": "恒等式でないときも、与えられた条件から等式を証明することができる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 126, "tag": "p", "text": "より、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 127, "tag": "p", "text": "よって、 a 3 + b 3 + c 3 = 3 a b c {\\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 128, "tag": "p", "text": "また、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 129, "tag": "p", "text": "より、上式の右辺をkとおくと、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 130, "tag": "p", "text": "なので、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 131, "tag": "p", "text": "よって、 a + c b + d = a − c b − d {\\displaystyle {\\frac {a+c}{b+d}}={\\frac {a-c}{b-d}}} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 132, "tag": "p", "text": "なお、比 a : b {\\displaystyle a:b} について a b {\\displaystyle {\\frac {a}{b}}} を比の値という。また、 a : b = c : d ⟺ a b = c d {\\displaystyle a:b=c:d\\iff {\\frac {a}{b}}={\\frac {c}{d}}} を比例式という。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 133, "tag": "p", "text": "a x = b y = c z {\\displaystyle {\\frac {a}{x}}={\\frac {b}{y}}={\\frac {c}{z}}} が成り立つとき、 a : b : c = x : y : z {\\displaystyle a:b:c=x:y:z} と表す。これを連比という。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 134, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 135, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 136, "tag": "p", "text": "不等式のさまざまな公式については、次の4つの式を基本的な式として導出できる場合がよくある。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 137, "tag": "p", "text": "高校数学では、次の4つの性質が不等式の「基本性質」などとして紹介されている。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 138, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 139, "tag": "p", "text": "(3)と(4)については、ひとつの性質としてまとめている検定教科書もある(※ 啓林館など)。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 140, "tag": "p", "text": "数学IAで習った「ならば」の意味の記号 ⟹ {\\displaystyle \\Longrightarrow } を使うと、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 141, "tag": "p", "text": "とも書ける。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 142, "tag": "p", "text": "上述の4つの基本性質から、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 143, "tag": "p", "text": "を証明してみよう。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 144, "tag": "p", "text": "(証明) まず a>0 なので、基本性質(2)より", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 145, "tag": "p", "text": "である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 146, "tag": "p", "text": "よって、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 147, "tag": "p", "text": "なので、基本性質(1)より a + b > 0 {\\displaystyle a+b>0} が成り立つ。(終)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 148, "tag": "p", "text": "同様にして、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 149, "tag": "p", "text": "を証明できる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 150, "tag": "p", "text": "ここまでに示したことから、不等式 A ≧ B {\\displaystyle A\\geqq B} を証明したい場合には、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 151, "tag": "p", "text": "を証明すればよいことがわかった。こちらの方が証明しやすい場合がよくある。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 152, "tag": "p", "text": "不等式を証明する際に根拠とする基本的な不等式として、次の性質がある。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 153, "tag": "p", "text": "この定理(「実数を2乗すると、かならずゼロ以上である」)を、基本性質(3),(4)を使って証明してみよう。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 154, "tag": "p", "text": "(証明)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 155, "tag": "p", "text": "aが正の場合と負の場合と0の場合の3通りに場合わけする。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 156, "tag": "p", "text": "[aが正の場合] このとき、基本性質(3)より、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 157, "tag": "p", "text": "である。すなわち、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 158, "tag": "p", "text": "である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 159, "tag": "p", "text": "[aが負の場合] このとき、基本性質(4)より 0 a < a a {\\displaystyle 0a<aa} である。すなわち、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 160, "tag": "p", "text": "である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 161, "tag": "p", "text": "[aがゼロの場合] このとき、 a 2 = 0 {\\displaystyle a^{2}=0} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 162, "tag": "p", "text": "よって、すべての場合について a 2 ≧ 0 {\\displaystyle a^{2}\\geqq 0} (終)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 163, "tag": "p", "text": "このことと基本性質(1)(2)より、次が成り立つこともわかる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 164, "tag": "p", "text": "次の不等式が成り立つことを証明せよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 165, "tag": "p", "text": "(証明)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 166, "tag": "p", "text": "を証明すればよい。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 167, "tag": "p", "text": "左辺を展開してまとめると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 168, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 169, "tag": "p", "text": "上式の最後の式の項について、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 170, "tag": "p", "text": "だから、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 171, "tag": "p", "text": "である。よって", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 172, "tag": "p", "text": "である。(終)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 173, "tag": "p", "text": "2つの正の数 a, b が a>b または a≧b ならば、両辺を2乗しても大小関係は同じままである。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 174, "tag": "p", "text": "つまり、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 175, "tag": "p", "text": "である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 176, "tag": "p", "text": "a>bとする。仮定より、a,b は正の数なので、 ( a + b ) > 0 {\\displaystyle (a+b)>0} であり、別の仮定より、 a > b なので、 ( a − b ) > 0 {\\displaystyle (a-b)>0} でもある。よって、 a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) > 0 {\\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)>0}", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 177, "tag": "p", "text": "逆に、 a 2 − b 2 > 0 {\\displaystyle a^{2}-b^{2}>0} のとき、 ( a + b ) ( a − b ) > 0 {\\displaystyle (a+b)(a-b)>0} であり、 a > 0 , b > 0 {\\displaystyle a>0,b>0} なので a + b > 0 {\\displaystyle a+b>0} である。よって、 a − b > 0 {\\displaystyle a-b>0} なので、 a > b {\\displaystyle a>b} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 178, "tag": "p", "text": "よって、 a > b ⟺ a 2 > b 2 {\\displaystyle a>b\\quad \\Longleftrightarrow \\quad a^{2}>b^{2}} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 179, "tag": "p", "text": "a≧bの場合も同様に証明できる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 180, "tag": "p", "text": "練習として、次の問題を問いてみよう。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 181, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 182, "tag": "p", "text": "a > 0 {\\displaystyle a>0} , b > 0 {\\displaystyle b>0} のとき、次の不等式を証明せよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 183, "tag": "p", "text": "(証明) 不等式の両辺は正であるので、両辺の平方の差を考えればよい。両辺の平方の差は", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 184, "tag": "p", "text": "である。ここで、a,b はともに正の実数なので、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 185, "tag": "p", "text": "であることを用いた。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 186, "tag": "p", "text": "であるので、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 187, "tag": "p", "text": "となる。よって、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 188, "tag": "p", "text": "である。(終)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 189, "tag": "p", "text": "実数 a の絶対値 \|a\| について、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 190, "tag": "p", "text": "であるから、次のことが成り立つ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 191, "tag": "p", "text": "\|a\|≧a , \|a\|≧ ーa , \|a\|=a", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 192, "tag": "p", "text": "また、2つの実数 a, b の絶対値 \|ab\| については、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 193, "tag": "p", "text": "が成り立つので、これにさらに \|ab\|≧0 , \|a\|\|b\|≧0 を組み合わせて、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 194, "tag": "p", "text": "\|ab\| = \|a\| \|b\| が成り立つ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 195, "tag": "p", "text": "(例題)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 196, "tag": "p", "text": "次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合かを調べよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 197, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 198, "tag": "p", "text": "両辺の平方の差を考えると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 199, "tag": "p", "text": "これがもし正なら、与えられた不等式 \|a\|+\|b\| ≧ \|a+b\| が正しい。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 200, "tag": "p", "text": "ここで、 \|a\| \|b\| ≧ ab であるので、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 201, "tag": "p", "text": "である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 202, "tag": "p", "text": "したがって、 \|a\|+\|b\| ≧ \|a+b\| である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 203, "tag": "p", "text": "等号が成り立つのは \|a\| \|b\| = ab の場合、すなわち ab ≧ 0 の場合である。(証明おわり)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 204, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 205, "tag": "p", "text": "2つの数 a {\\displaystyle a} , b {\\displaystyle b} に対し、 a + b 2 {\\displaystyle {\\frac {a+b}{2}}} を相加平均(そうかへいきん)と言い、 a b {\\displaystyle {\\sqrt {ab}}} を相乗平均(そうじょうへいきん)という。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 206, "tag": "p", "text": "本ページでは、2個の数の平均について考察する。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 207, "tag": "p", "text": "相加平均と相乗平均について、次の関係式が成り立つ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 208, "tag": "p", "text": "(証明)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 209, "tag": "p", "text": "a ≧ 0 , b ≧ 0 {\\displaystyle a\\geqq 0,b\\geqq 0} のとき", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 210, "tag": "p", "text": "( a − b ) 2 ≧ 0 {\\displaystyle \\left({\\sqrt {a}}-{\\sqrt {b}}\\right)^{2}\\geqq 0} であるから、 ( a − b ) 2 2 ≧ 0 {\\displaystyle {\\frac {\\left({\\sqrt {a}}-{\\sqrt {b}}\\right)^{2}}{2}}\\geqq 0} したがって a + b 2 ≧ a b {\\displaystyle {\\frac {a+b}{2}}\\geqq {\\sqrt {ab}}} 等号が成り立つのは、 ( a − b ) 2 = 0 {\\displaystyle \\left({\\sqrt {a}}-{\\sqrt {b}}\\right)^{2}=0} のとき、すなわち a = b {\\displaystyle a=b} のときである。(証明おわり)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 211, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 212, "tag": "p", "text": "公式の利用では、上の式 a + b 2 ≧ a b {\\displaystyle {\\frac {a+b}{2}}\\geqq {\\sqrt {ab}}} の両辺に2をかけた a + b ≧ 2 a b {\\displaystyle a+b\\geqq 2{\\sqrt {ab}}} の形の式を使う場合もある。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 213, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 214, "tag": "p", "text": "a > 0 {\\displaystyle a>0} , b > 0 {\\displaystyle b>0} のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (I)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 215, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 216, "tag": "p", "text": "(I) a > 0 {\\displaystyle a>0} であるから、 1 a > 0 {\\displaystyle {\\frac {1}{a}}>0} よって a + 1 a ≧ 2 a × 1 a = 2 {\\displaystyle a+{\\frac {1}{a}}\\geqq 2{\\sqrt {a\\times {\\frac {1}{a}}}}=2} したがって", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 217, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 218, "tag": "p", "text": "a > 0 {\\displaystyle a>0} , b > 0 {\\displaystyle b>0} であるから、 b a > 0 {\\displaystyle {\\frac {b}{a}}>0} , a b > 0 {\\displaystyle {\\frac {a}{b}}>0} よって b a + a b + 2 ≧ 2 b a × a b + 2 = 2 + 2 = 4 {\\displaystyle {\\frac {b}{a}}+{\\frac {a}{b}}+2\\geqq 2{\\sqrt {{\\frac {b}{a}}\\times {\\frac {a}{b}}}}+2=2+2=4} したがって", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 219, "tag": "p", "text": "2乗して負になる数、というものを考える。このような数は、中学で習った実数の中にはないことがわかる。なぜならば、正の数でも負の数でも2乗すると符号が打ち消して正の数になってしまうからである。そこで高校では、2乗して負になるという性質を持つ数の概念を新しく導入することにする。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 220, "tag": "p", "text": "という方程式を考える。この方程式の解は実数にはない。そこで、この方程式の解となる数を新しく作り、その単位を文字 i {\\displaystyle i} であらわす。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 221, "tag": "p", "text": "この i {\\displaystyle i} のことを虚数単位(きょすうたんい)と呼ぶ。(虚数単位の記号 i 、英語のアルファベットのアイの小文字で、 imaginary unit に由来すると考えられている。)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 222, "tag": "p", "text": "1 + i {\\displaystyle 1+i} や 2 + 5 i {\\displaystyle 2+5i} のように、虚数単位 i {\\displaystyle i} と実数 a , b {\\displaystyle a,b} を用いて", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 223, "tag": "p", "text": "と表すことができる数を複素数(ふくそすう)という。このとき、aをこの複素数の実部(じつぶ)といい、bを虚部(きょぶ)という。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 224, "tag": "p", "text": "例えば、 1 + i , 2 + 5 i , 9 2 + 7 2 i , 4 i , 3 {\\displaystyle 1+i,\\quad 2+5i,\\quad {\\frac {9}{2}}+{\\frac {7}{2}}i,\\quad 4i,\\quad 3} は、いずれも複素数である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 225, "tag": "p", "text": "複素数 a+bi は(ただし aとbは実数)、bが0の場合に、これを実数と見ることができる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 226, "tag": "p", "text": "言い方をかえると、複素数を基準に考えると、実数とは、 a+0i のような、虚部の係数がゼロになる複素数のことであるとも言える。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 227, "tag": "p", "text": "4iのような、虚部が0以外で実部がゼロの複素数を純虚数(じゅんきょすう)と呼ぶ。純虚数は、2乗すると負になる数である。実数も虚部が0の複素数と考えられる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 228, "tag": "p", "text": "実数でない複素数のことを「虚数」(きょすう)という。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 229, "tag": "p", "text": "2つの複素数 a+bi と c+di とが等しいとは、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 230, "tag": "p", "text": "であることである。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 231, "tag": "p", "text": "つまり、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 232, "tag": "p", "text": "とくに、複素数a+bi が 0であるとは、a=0 かつ b=0 であることである。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 233, "tag": "p", "text": "複素数 z = a + b i {\\displaystyle z=a+bi} に対して、虚部の符号を反転させた複素数 a − b i {\\displaystyle a-bi} のことを「共役(きょうやく)な複素数」または「複素数 z {\\displaystyle z} の共役」のように呼び、 z ̄ {\\displaystyle {\\bar {z}}} であらわす。なお、「共役」は「共軛」の常用漢字による書き換えである。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 234, "tag": "p", "text": "実数aと共役な複素数は、その実数 a 自身である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 235, "tag": "p", "text": "複素数 z=a+bi について", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 236, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 237, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 238, "tag": "p", "text": "複素数にも四則演算(加減乗除)が定義される。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 239, "tag": "p", "text": "複素数の演算では、虚数単位 i {\\displaystyle i} を、通常の文字のように扱って計算する。一般に複素数 z , w {\\displaystyle z\\ ,\\ w} が、 z = a + b i , w = c + d i {\\displaystyle z=a+bi\\ ,\\ w=c+di} で与えられるとき(ただし a , b , c , d {\\displaystyle a\\ ,\\ b\\ ,\\ c\\ ,\\ d} は実数とする)、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 240, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 241, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 242, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 243, "tag": "p", "text": "というふうに複素数の加減乗除の計算法が定められている。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 244, "tag": "p", "text": "乗法の定義は、一見すると難しそうにみえるが、実数の分配法則と同様に展開していき最後に iにマイナス1を代入していっただけである。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 245, "tag": "p", "text": "除法の定義は、分子と分母に、分母と共役な形の式を掛け算しただけである。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 246, "tag": "p", "text": "乗法や除法の定義式を暗記する必要は無く、計算の際には、必要に応じて分配法則や共役などの、必要な式変形を行えばいい。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 247, "tag": "p", "text": "例題", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 248, "tag": "p", "text": "2つの複素数", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 249, "tag": "p", "text": "について、 a + b {\\displaystyle a+b} と a b {\\displaystyle ab} と a b {\\displaystyle {\\frac {a}{b}}} を、それぞれ計算せよ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 250, "tag": "p", "text": "解答", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 251, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 252, "tag": "p", "text": "である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 253, "tag": "p", "text": "を、さらに簡単にできないだろうか。実は、ちょっとしたテクニックを用いればより見やすい形にできる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 254, "tag": "p", "text": "分数は分母と分子に同じ数をかけてよかったので、分母と分子に分母の共役をかけてみる。すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 255, "tag": "p", "text": "が得られる。この形のほうが元の式よりもずっと見やすい形である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 256, "tag": "p", "text": "このような操作を分母の実数化ということもある。数学Iで学習した展開・因数分解公式 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 {\\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}} の簡単な応用である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 257, "tag": "p", "text": "数の範囲を複素数にまで拡張すると、負の数の平方根も考えることができる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 258, "tag": "p", "text": "例として、 -5 の平方根について考えてみよう。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 259, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 260, "tag": "p", "text": "であるから、 -5 の平方根は 5 i {\\displaystyle {\\sqrt {5}}\\ i} と − 5 i {\\displaystyle -{\\sqrt {5}}\\ i} である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 261, "tag": "p", "text": "− 5 {\\displaystyle {\\sqrt {-5}}} とは、 5 i {\\displaystyle {\\sqrt {5}}\\ i} のこととする。 − − 5 {\\displaystyle -{\\sqrt {-5}}} とは、 − 5 i {\\displaystyle -{\\sqrt {5}}\\ i} のことである。とくに − 1 = i {\\displaystyle {\\sqrt {-1}}\\ =\\ i} である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 262, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 263, "tag": "p", "text": "さて、-5 の平方根は、方程式 x 2 = − 5 {\\displaystyle x^{2}=-5} の解でもある。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 264, "tag": "p", "text": "この方程式を移項することにより、-5 の平方根は、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 265, "tag": "p", "text": "の解であるともいえる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 266, "tag": "p", "text": "さらに因数分解をすることにより、-5 の平方根は方程式", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 267, "tag": "p", "text": "の解でもあるともいえる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 268, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 269, "tag": "p", "text": "(I) − 2 − 6 {\\displaystyle {\\sqrt {-2}}\\ {\\sqrt {-6}}} を計算せよ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 270, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 271, "tag": "p", "text": "このように、まず、マイナスの数の平方根が出てきたら、まず虚数単位 i を用いた式に書き換える。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 272, "tag": "p", "text": "そのあと、かけ算をしていく。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 273, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 274, "tag": "p", "text": "(II) 2 − 3 {\\displaystyle {\\frac {\\sqrt {2}}{\\sqrt {-3}}}} を計算せよ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 275, "tag": "p", "text": "(III) 2次方程式 x 2 = − 7 {\\displaystyle x^{2}=-7} を解け。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 276, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 277, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 278, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 279, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 280, "tag": "p", "text": "複素数の応用として、ここでは2次方程式の性質について述べる。任意の2次方程式は、解の公式によって解かれることを高等学校数学Iで述べた。しかし、解の公式に含まれる根号の中身が負の数の場合には実数解が存在しないことに注意する必要がある。2次方程式", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 281, "tag": "p", "text": "の解の公式は、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 282, "tag": "p", "text": "である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 283, "tag": "p", "text": "判別式 D {\\displaystyle D} は", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 284, "tag": "p", "text": "によって定義される。判別式は、解の公式の根号(ルート記号のこと)の中身に等しく、判別式の正負によって2次方程式が実数解を持つかどうかが決まる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 285, "tag": "p", "text": "D {\\displaystyle D} が負のときにはこの2次方程式は実数の範囲には解を持たない。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 286, "tag": "p", "text": "判別式 D {\\displaystyle D} が負の数であったとき、xの解は異なる2つの虚数になり、その2つの解は共役の関係になっている。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 287, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 288, "tag": "p", "text": "複素数を用いて、2次方程式 (1)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 289, "tag": "p", "text": "(2)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 290, "tag": "p", "text": "(3)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 291, "tag": "p", "text": "を解け。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 292, "tag": "p", "text": "解の公式を用いて解けばよい。(1)だけを計算すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 293, "tag": "p", "text": "となる。他も同じように扱うことが出来る。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 294, "tag": "p", "text": "以降の解答は、 (2)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 295, "tag": "p", "text": "(3)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 296, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 297, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 298, "tag": "p", "text": "方程式の解で、実数であるものを実数解という。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 299, "tag": "p", "text": "方程式の解で、虚数であるものを虚数解という。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 300, "tag": "p", "text": "2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の解は x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\\displaystyle x={\\frac {-b\\pm {\\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 301, "tag": "p", "text": "2次方程式の解の種類は、解の公式の中の根号の中の式 b 2 − 4 a c {\\displaystyle b^{2}-4ac} の符号を見れば判別することができる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 302, "tag": "p", "text": "この式 b 2 − 4 a c {\\displaystyle b^{2}-4ac} を、2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の判別式(はんべつしき)といい、記号 D {\\displaystyle D} で表す。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 303, "tag": "p", "text": "また、重解も実数解であるので、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 304, "tag": "p", "text": "といえる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 305, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 306, "tag": "p", "text": "次の2次方程式の解を判別せよ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 307, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 308, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 309, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 310, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 311, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 312, "tag": "p", "text": "だから、異なる2つの実数解をもつ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 313, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 314, "tag": "p", "text": "だから、異なる2つの虚数解をもつ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 315, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 316, "tag": "p", "text": "だから、重解をもつ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 317, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 318, "tag": "p", "text": "また、2次方程式 a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0} のとき、 D = 4 ( b ′ 2 − a c ) {\\displaystyle D=4(b'^{2}-ac)} となるので、 2次方程式 a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0} の判別式には", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 319, "tag": "p", "text": "をもちいてもよい。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 320, "tag": "p", "text": "これを用いて、前の問題", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 321, "tag": "p", "text": "の解を判別しよう。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 322, "tag": "p", "text": "a = 4 , b ′ = − 10 , c = 25 {\\displaystyle a=4\\,,\\,b'=-10\\,,\\,c=25} であるから", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 323, "tag": "p", "text": "だから、重解をもつ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 324, "tag": "p", "text": "2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の2つの解を α {\\displaystyle \\alpha } , β {\\displaystyle \\beta } とする。この方程式は、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 325, "tag": "p", "text": "a ( x − α ) ( x − β ) = 0 {\\displaystyle a(x-\\alpha )(x-\\beta )=0}", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 326, "tag": "p", "text": "と変形できる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 327, "tag": "p", "text": "これを展開すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 328, "tag": "p", "text": "a x 2 − a ( α + β ) x + a α β = 0 {\\displaystyle ax^{2}-a(\\alpha +\\beta )x+a\\alpha \\beta =0}", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 329, "tag": "p", "text": "係数を比較して、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 330, "tag": "p", "text": "c = a α β , b = − a ( α + β ) {\\displaystyle c=a\\alpha \\beta ,b=-a(\\alpha +\\beta )}", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 331, "tag": "p", "text": "を得る。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 332, "tag": "p", "text": "これを変形すれば、 α + β = − b a , α β = c a {\\displaystyle \\alpha +\\beta =-{\\frac {b}{a}},\\alpha \\beta ={\\frac {c}{a}}} となる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 333, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 334, "tag": "p", "text": "2次方程式 2 x 2 + 4 x + 3 = 0 {\\displaystyle 2x^{2}+4x+3=0} の2つの解を α {\\displaystyle \\alpha } , β {\\displaystyle \\beta } とするとき、 α 2 + β 2 {\\displaystyle \\alpha ^{2}+\\beta ^{2}} の値を求めよ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 335, "tag": "p", "text": "解と係数の関係より、 α + β = − 4 2 = − 2 {\\displaystyle \\alpha +\\beta =-{\\frac {4}{2}}=-2} , α β = 3 2 {\\displaystyle \\alpha \\beta ={\\frac {3}{2}}} α 2 + β 2 = ( α + β ) 2 − 2 α β = ( − 2 ) 2 − 2 × 3 2 = 1 {\\displaystyle \\alpha ^{2}+\\beta ^{2}=(\\alpha +\\beta )^{2}-2\\alpha \\beta =(-2)^{2}-2\\times {\\frac {3}{2}}=1}", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 336, "tag": "p", "text": "2つの数 α {\\displaystyle \\alpha } , β {\\displaystyle \\beta } を解とする2次方程式は", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 337, "tag": "p", "text": "と表される。左辺を展開して整理すると次のようになる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 338, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 339, "tag": "p", "text": "次の2数を解とする2次方程式を作れ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 340, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 341, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 342, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 343, "tag": "p", "text": "(I) 和 ( 3 + 5 ) + ( 3 − 5 ) = 6 {\\displaystyle (3+{\\sqrt {5}})+(3-{\\sqrt {5}})=6} 積 ( 3 + 5 ) ( 3 − 5 ) = 4 {\\displaystyle (3+{\\sqrt {5}})(3-{\\sqrt {5}})=4} であるから", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 344, "tag": "p", "text": "(II) 和 ( 2 + 3 i ) + ( 2 − 3 i ) = 4 {\\displaystyle (2+3i)+(2-3i)=4} 積 ( 2 + 3 i ) ( 2 − 3 i ) = 13 {\\displaystyle (2+3i)(2-3i)=13} であるから", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 345, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 346, "tag": "p", "text": "2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の2つの解 α {\\displaystyle \\alpha } , β {\\displaystyle \\beta } がわかると、2次式", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 347, "tag": "p", "text": "を因数分解することができる。解と係数の関係 α + β = − b a {\\displaystyle \\alpha +\\beta =-{\\frac {b}{a}}} , α β = c a {\\displaystyle \\alpha \\beta ={\\frac {c}{a}}} から、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 348, "tag": "p", "text": "2次方程式は、複素数の範囲で考えるとつねに解をもつから、複素数まで使ってよいとすると、2次式は必ず1次式の積に因数分解することができる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 349, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 350, "tag": "p", "text": "複素数の範囲で考えて、次の2次式を因数分解せよ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 351, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 352, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 353, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 354, "tag": "p", "text": "(I) 2次方程式 x 2 + 4 x − 1 = 0 {\\displaystyle x^{2}+4x-1=0} の解は", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 355, "tag": "p", "text": "よって", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 356, "tag": "p", "text": "(II) 2次方程式 2 x 2 − 3 x + 2 = 0 {\\displaystyle 2x^{2}-3x+2=0} の解は", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 357, "tag": "p", "text": "よって", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 358, "tag": "p", "text": "3次以上の整式による方程式を考える。一般に方程式を P ( x ) = 0 {\\displaystyle P(x)=0} ととる。ただし、 P ( x ) {\\displaystyle P(x)} は、任意の次数の整式とする。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 359, "tag": "p", "text": "P ( x ) {\\displaystyle P(x)} を1次式 x − a {\\displaystyle x-a} で割ったときの商を Q ( x ) {\\displaystyle Q(x)} 、余りを R {\\displaystyle R} とすると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 360, "tag": "p", "text": "この両辺の x {\\displaystyle x} に a {\\displaystyle a} を代入すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 361, "tag": "p", "text": "つまり、 P ( x ) {\\displaystyle P(x)} を x − a {\\displaystyle x-a} で割ったときの余りは P ( a ) {\\displaystyle P(a)} である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 362, "tag": "p", "text": "整式 P ( x ) = x 3 − 2 x + 3 {\\displaystyle P(x)=x^{3}-2x+3} を次の式で割った余りを求めよ。 (I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 363, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 364, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 365, "tag": "p", "text": "(I) P ( 2 ) = 2 3 − 2 × 2 + 3 = 7 {\\displaystyle P(2)=2^{3}-2\\times 2+3=7} (II) P ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 − 2 × ( − 1 ) + 3 = 4 {\\displaystyle P(-1)=(-1)^{3}-2\\times (-1)+3=4} (III) P ( 1 2 ) = ( 1 2 ) 3 − 2 × ( 1 2 ) + 3 = 17 8 {\\displaystyle P\\left({\\frac {1}{2}}\\right)=\\left({\\frac {1}{2}}\\right)^{3}-2\\times \\left({\\frac {1}{2}}\\right)+3={\\frac {17}{8}}}", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 366, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 367, "tag": "p", "text": "ある実数 a {\\displaystyle a} に対して、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 368, "tag": "p", "text": "が成り立ったとする。このとき、整式 P ( x ) {\\displaystyle P(x)} は、 ( x − a ) {\\displaystyle (x-a)} を因数に持つことが分る。このことを因数定理(いんすうていり)と呼ぶ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 369, "tag": "p", "text": "整式 P ( x ) {\\displaystyle P(x)} に対して、商 Q ( x ) {\\displaystyle Q(x)} 、割る式 ( x − a ) {\\displaystyle (x-a)} とする整式の除法を用いる。このとき、商 Q ( x ) {\\displaystyle Q(x)} 、 ( Q ( x ) {\\displaystyle Q(x)} は、 P ( x ) {\\displaystyle P(x)} よりも1だけ次数が低い整式である。) 余り c {\\displaystyle c} ( c {\\displaystyle c} は、実数。)とすると、整式 P ( x ) {\\displaystyle P(x)} は、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 370, "tag": "p", "text": "と書ける。ここで、 c = 0 {\\displaystyle c=0} でないと、 P ( a ) = 0 {\\displaystyle P(a)=0} は満たされないが、このとき、 P ( x ) {\\displaystyle P(x)} は、 ( x − a ) {\\displaystyle (x-a)} によって割り切れる。よって、因数定理は成立する。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 371, "tag": "p", "text": "因数定理を用いることで、より次数の高い整式を因数分解することが出来るようになる。例えば、3次の整式", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 372, "tag": "p", "text": "について、 x = 1 {\\displaystyle x=1} を代入すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 373, "tag": "p", "text": "は0となる。よって、因数定理よりこの式は", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 374, "tag": "p", "text": "を因数として持つ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 375, "tag": "p", "text": "ここで、実際整式の除法を使って計算すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 376, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 377, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 378, "tag": "p", "text": "因数定理を用いて (I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 379, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 380, "tag": "p", "text": "を因数分解せよ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 381, "tag": "p", "text": "(I) 因数分解の結果が(x+整数)の積の形なら、整数は6の因数でなければならない。そのため、 ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 {\\displaystyle \\pm 1,\\pm 2,\\pm 3,\\pm 6} が候補となる。これらについては実際に代入して確かめるしかない。x=1を代入すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 382, "tag": "p", "text": "となるので、(x-1)が因数となる。実際に整式の除法を行なうと、商として x 2 − 5 x + 6 {\\displaystyle x^{2}-5x+6} が得られるが、これは ( x − 2 ) ( x − 3 ) {\\displaystyle (x-2)(x-3)} に因数分解できる。よって答えは、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 383, "tag": "p", "text": "となる。 (II) ここでも地道に24の因数を当てはめていくしかない。24の因数は数が多いのでかなりの計算が必要となる。ここでは、-2を代入すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 384, "tag": "p", "text": "となり、(x+2)が因数だとわかる。除法を行なうと、 x 2 − x − 12 {\\displaystyle x^{2}-x-12} が得られるが、(x-4)(x+3)に因数分解できる。答えは、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 385, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 386, "tag": "p", "text": "因数分解や因数定理を利用して高次方程式を解いてみよう。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 387, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 388, "tag": "p", "text": "高次方程式 (I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 389, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 390, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 391, "tag": "p", "text": "を解け。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 392, "tag": "p", "text": "(I) 左辺を a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) {\\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})} を用いて因数分解すると", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 393, "tag": "p", "text": "したがって x − 2 = 0 {\\displaystyle \\ x-2=0} または x 2 + 2 x + 4 = 0 {\\displaystyle \\ x^{2}+2x+4=0} よって", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 394, "tag": "p", "text": "(II) x 2 = X {\\displaystyle \\ x^{2}=X\\ } とおくと、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 395, "tag": "p", "text": "左辺を因数分解すると", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 396, "tag": "p", "text": "よって X = 4 , X = − 2 {\\displaystyle X=4\\ ,\\ X=-2} ゆえに x 2 = 4 , x 2 = − 2 {\\displaystyle x^{2}=4\\ ,\\ x^{2}=-2} したがって", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 397, "tag": "p", "text": "(III) P ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 7 x − 2 {\\displaystyle \\ P(x)=x^{3}-5x^{2}+7x-2\\ } とおく。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 398, "tag": "p", "text": "したがって、 x − 2 {\\displaystyle \\ x-2\\ } は P ( x ) {\\displaystyle \\ P(x)\\ } の因数である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 399, "tag": "p", "text": "よって ( x − 2 ) ( x 2 − 3 x + 1 ) = 0 {\\displaystyle (x-2)(x^{2}-3x+1)=0} x − 2 = 0 {\\displaystyle \\ x-2=0} または x 2 − 3 x + 1 = 0 {\\displaystyle \\ x^{2}-3x+1=0} したがって", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 400, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 401, "tag": "p", "text": "3次方程式 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} の3つの解を、 α , β , γ {\\displaystyle \\alpha \\ ,\\ \\beta \\ ,\\ \\gamma } とすると", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 402, "tag": "p", "text": "が成り立つ。右辺を展開すると", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 403, "tag": "p", "text": "よって", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 404, "tag": "p", "text": "ゆえに", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 405, "tag": "p", "text": "したがって、次のことが成り立つ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 406, "tag": "p", "text": "しばしば虚数は「現実には存在しない数」であると言われることがあり、歴史的にも虚数を扱った数学を考えるべきではないと考えられた時代は長かった。その時代の先進的な数学者の中には、虚数を有効に活用して研究を進める一方で、成果を発表する際には虚数を表に出さずに記述する努力をすることで、無用な抵抗を受けないように工夫した者もいたと言われるほどである。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 407, "tag": "p", "text": "だが、よく考えてみれば、数が「現実に存在する」とはどういう意味なのだろうか。現実に鉛筆を使って紙に円を描くならば、円周の長さを「正確に円周率そのものにする」ことは不可能であるように思われるが、その割に円周率という実数は「存在する」と感じられるのはなぜだろうか。数直線が実数の「実在」を信じさせるならば、複素数は複素数平面(数学Cで習う)の上に存在するのだから、同じではないだろうか。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 408, "tag": "p", "text": "このように考えると、そもそも数とはすべてある意味で想像上の存在であり、それに対して「存在する」「存在しない」という問いを立てることがナンセンスであるように思われる。「存在しない」ように思われがちな虚数であるが、たとえば物理学の一分野である量子力学のシュレディンガー方程式に表れるなど、応用上のさまざまな場面においても、虚数を使って記述することが自然な対象は多いのだ。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 409, "tag": "p", "text": "複素数どうしについて、その大小関係は定義しない。その理由は、どのように大小関係を定義しても、便利な性質を満たすことができないからである。具体的に言えば、既に述べた実数の大小関係についての「不等式の基本性質(1)(2)(3)(4)」にあたる式を成り立たせることができないのだ。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 410, "tag": "p", "text": "たとえば、 a + b i < a ′ + b ′ i {\\displaystyle a+bi<a'+b'i} であることを、 a 2 + b 2 < a ′ 2 + b ′ 2 {\\displaystyle a^{2}+b^{2}<a'^{2}+b'^{2}} であることとして定義してみよう。このように定義すると、たとえば1+2i<2-3iであり、また2+3i<3+4iである。ところが、(1+2i)+(2+3i)=3+5i,(2-3i)+(3+4i)=5+iであり、3+5i>5+iとなってしまう。これは基本性質(2)が成り立たないことを意味する。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 411, "tag": "p", "text": "もちろんこれは適当に考えた定義がたまたま不適切だったというだけのことだが、実は、他にどのように定義してもこのような困難からは逃れられないことが知られている。それゆえに、複素数には大小関係を定義しないのである。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 412, "tag": "p", "text": "今度は、複素数の平方根について考えてみよう。正の数 a {\\displaystyle a} を考えたとき、", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 413, "tag": "p", "text": "では、", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 414, "tag": "p", "text": "虚数単位 i {\\displaystyle i} の平方根を考えると、これはzについての方程式 z 2 = i {\\displaystyle z^{2}=i} の解 z の値であるから、これを解けばよい。どのような複素数zならこの式を満たすことができるだろうか。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 415, "tag": "p", "text": "zを複素数とすると、 z = x + y i {\\displaystyle z=x+yi} (x,yは実数)と表される。 ( x + y i ) 2 = i ⇔ x 2 + 2 x y i − y 2 = i ⇔ ( x 2 − y 2 ) + ( 2 x y − 1 ) i = 0 {\\displaystyle (x+yi)^{2}=i\\Leftrightarrow x^{2}+2xyi-y^{2}=i\\Leftrightarrow (x^{2}-y^{2})+(2xy-1)i=0}", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 416, "tag": "p", "text": "x 2 − y 2 , 2 x y − 1 {\\displaystyle x^{2}-y^{2},2xy-1} は実数であるから、実部と虚部が共に0にならねばならないから、 { x 2 − y 2 = 0 ( ⇔ x = ± y ) 2 x y − 1 = 0 {\\displaystyle {\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0(\\Leftrightarrow x=\\pm y)\\\\2xy-1=0\\end{cases}}}", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 417, "tag": "p", "text": "x = y {\\displaystyle x=y} のとき、 2 x 2 = 1 ⇔ x = ± 1 2 , y = ± 1 2 {\\displaystyle 2x^{2}=1\\Leftrightarrow x=\\pm {\\frac {1}{\\sqrt {2}}},y=\\pm {\\frac {1}{\\sqrt {2}}}} (複号同順。x,yは共に実数であるから、条件を満たす。)", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 418, "tag": "p", "text": "x = − y {\\displaystyle x=-y} のとき、 − 2 y 2 = 1 ⇔ y 2 = − 1 2 {\\displaystyle -2y^{2}=1\\Leftrightarrow y^{2}=-{\\frac {1}{2}}} ここで、これを満たす実数yは存在しないから不適。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 419, "tag": "p", "text": "よって、 z = ± ( 1 2 + 1 2 i ) {\\displaystyle z=\\pm \\left({\\frac {1}{\\sqrt {2}}}+{\\frac {1}{\\sqrt {2}}}i\\right)} ■", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 420, "tag": "p", "text": "", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 421, "tag": "p", "text": "実部がゼロを考慮して x = 0 {\\displaystyle x=0} か x = ± 3 y {\\displaystyle x=\\pm {\\sqrt {3}}y} だが、虚部もゼロなので、xの値が前者のとき y = − 1 {\\displaystyle y=-1} 、後者のとき y = 1 / 2 {\\displaystyle y=1/2} となることがすぐにわかる。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 422, "tag": "p", "text": "2次方程式には解の公式があり、日本の中学や高校でも習う。2次方程式の解の公式を用いれば、どんな係数の2次方程式であっても解を求められる。3次方程式と4次方程式にも、解の公式は存在し、係数がどんな係数であっても解を求められる。これらの解の公式は、代数方程式論で述べているように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができる。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 423, "tag": "p", "text": "5次方程式では、4次以下の方程式とは状況が異なる。一般の5次方程式の解は、2次方程式や4次方程式のように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができないのである。ただし、「できない」ことの証明は容易ではない。このことを証明するには、ガロア理論を理解する必要がある(日本の大学の標準的なカリキュラムでは、理学部数学科の学生のみが大学3年生で学ぶのが一般的な程度の理論である)。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 424, "tag": "p", "text": "なお、ここで言う「表すことができない」とは一般の方程式についてのことであり、特別な5次方程式の場合は簡単に解が求められる。たとえば、 x 5 − 32 = 0 {\\displaystyle x^{5}-32=0} は解のひとつとして x = 2 {\\displaystyle x=2} をもつことはすぐわかる。この方程式は他の解についても三角関数を用いて簡単に表せることを高等学校数学C/複素数平面において学ぶ。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 425, "tag": "p", "text": "「係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせ」に拘らなければ、一般の5次方程式の解を求める方法も存在するが、やや高度な数学を用いる必要がある。w:五次方程式に記述があるので興味のある読者は参照するとよい。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 426, "tag": "p", "text": "高等学校で複素数が出てくる分野はこの分野と数学C「平面上の曲線と複素数平面」のみであり、複素数の基本計算や方程式を複素数範囲で解くこと、複素数の幾何学的意味について扱っている。しかし、大学数学においては、関数の定義域・値域を複素数範囲に広げて考える「複素関数論」というものを扱う。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 427, "tag": "p", "text": "実数範囲での関数はx, yともに一次元の実数軸を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには二次元の座標平面で十分であった。しかし、複素数範囲での関数はx, yともに二次元の複素数平面を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには四次元の座標空間が必要であり、三次元空間に住む我々には描画することができない。そのため、複素関数論では関数のグラフを考えることは基本的にない。(ただし、出力された複素数の絶対値を考えることによって三次元グラフに落とし込むことは可能)", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 428, "tag": "p", "text": "では何を考えるのかというと、複素関数の微分積分である。複素関数の微分に関連して「正則関数」という用語が出てくるが、複素関数論はこの正則関数というものの性質を調べる学問だと言って良い。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 429, "tag": "p", "text": "複素関数論は物理学の特に波動に関する分野(音・電磁気など)において活躍している。「波動方程式」や「インピーダンス」という言葉は有名だろう。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 430, "tag": "p", "text": "ちなみに、複素数をさらに拡張した数として「w:四元数」というものがある。この四元数はベクトルや行列と深い関わりが存在しており、深掘ると面白いのだが、いささか冗長になるため割愛する。なお、四元数をさらに拡張した八元数や十六元数という数も研究されている。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 431, "tag": "p", "text": "", "title": "コラム" } ]	本項は高等学校数学IIの式と証明・高次方程式の解説である。	{{pathnav\|高等学校の学習\|高等学校数学\|高等学校数学II\|pagename=式と証明・高次方程式\|frame=1\|small=1}} 本項は[[高等学校数学II]]の式と証明・高次方程式の解説である。 == 式と証明 == === 二項定理 === <math>(a+b)^5 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)</math> について考えよう。この式を展開するとき、<math>a^2b^3</math> の係数は、右辺の5個の <math>(a+b)</math> から <math>a</math> を3回取る組み合わせに等しいから <math>_5\mathrm{C}_2 = 10</math> である。この考えを拡張して :<math>(a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_n</math> を展開する。<math>a^rb^{n-r}</math>の項の係数は、右辺の <math>n</math> 個の <math>(a+b)</math> から <math>a</math> を <math>r</math> 回取る組み合わせに等しいから <math>_n\mathrm{C}_r</math> である。よって、次の式が得られる： :<math>\begin{align}(a+b)^n &= {}_n\mathrm{C}_0 a^n + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + {}_n\mathrm{C}_2 a^{n-2}b^2 + \cdots \\ &+ {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r + \cdots + {}_n\mathrm{C}_n b^n \\ &= \sum _{r = 0}^n {}_n\operatorname{C}_r a^r b^{n-r}. \\ \end{align}</math> 最後の式は[[高等学校数学B/数列\|数Bの数列]]で学ぶ総和記号 <math>\Sigma</math> である。知らないのなら無視しても良い。この式を '''二項定理'''（binomial theorem）という。また、それぞれの項にかかる係数を二項係数（binomial coefficient）と呼ぶことがある。 * 問題例問題 (I) :<math>(x+1) ^4</math> (II) :<math>(a + 3) ^ 5</math> (II) :<math>(a + b) ^ 5</math> をそれぞれ計算せよ。解答二項定理を用いて計算すればよい。実際に計算を行なうと、 (I) :<math>x^4+4\,x^3+6\,x^2+4\,x+1</math> (II) :<math>a^5+15\,a^4+90\,a^3+270\,a^2+405\,a+243</math> (III) :<math>b^5+5\,a\,b^4+10\,a^2\,b^3+10\,a^3\,b^2+5\,a^4\,b+a^5</math> となる。問題すべての自然数nに対して (I) :<math>2^n = \sum _{k=0} ^n n\operatorname{C} _k </math> (II) :<math>3^n = \sum _{k=0} ^n 2^k n\operatorname{C} _k </math> (III) :<math>0 = \sum _{k=0} ^n (-1)^k n\operatorname{C} _k </math> が成り立つことを示せ。解答二項定理 :<math>(a+b)^n = \sum _{k = 0}^n {} _n\operatorname{C} _k a^k b^{n-k}</math> についてa,bに適当な値を代入すればよい。 (I) a = 1,b=1を代入すると、 :<math>(1+1)^n = \sum _{k = 0}^n {} _n\operatorname{C} _k </math> :<math>2^n = \sum _{k = 0}^n {} _n\operatorname{C} _k </math> となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。 (II) a=2,b=1を代入すると、 :<math>(1+2)^n = \sum _{k = 0}^n {} _n\operatorname{C} _k 2^k</math> :<math>3^n = \sum _{k = 0}^n {} _n\operatorname{C} _k 2^k</math> となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。 (III) a=1,b=-1を代入すると、 :<math>(1-1)^n = \sum _{k = 0}^n {} _n\operatorname{C} _k (-1)^k</math> :<math>0 = \sum _{k = 0}^n {} _n\operatorname{C} _k (-1)^k</math> となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。 ==== 多項定理 ==== 二項定理を拡張して <math>(a+b+c)^n</math> を展開することを考えよう。<math>a^pb^qc^r</math> <math>(p+q+r = n)</math> の項の係数は <math>n</math> 個の <math>(a+b+c)</math> から <math>p</math> 個の <math>a</math>、<math>q</math> 個の <math>b</math> 、 <math>r</math> 個の <math>c</math> を選ぶ[[高等学校数学A/場合の数と確率#組み合わせ\|組合せ]]に等しいから <math>\frac{n!}{p!q!r!}</math> である。 === 整式の除法、分数式 === ここでは、整式の除法と分数式について扱う。整式の除法は、整式を整数のように扱い除法を行なう計算手法のことである。実際に整数の除法と整式の除法には深いつながりがある。整式の因数分解を考えるとそれ以上因数分解できない整式が存在する。この整式を整数でいう素因数のように扱うことで整式の素因数分解が可能になる。上では、整式が整数に対応する性質を持つことを述べた。整数についてはたがいに素な2つの整数を取ることで有理数を定義することが出来る。整式に対しても同じ事が成立ち、そのような式を分数式と呼ぶ。 ==== 整式の除法 ==== 分数を用いないときには、整数の除法は商と余りを用いて定義された。この時、割られる数Bは商Dと割る数A、余りRを用いて :<math> B = AD + R </math> の性質を満たすことが知られている。整式に対しても似た性質が成立ち、割られる式B(x)が商D(x)と割る式A(x)、余りR(x)を用いて、 :<math> B(x) = A(x)D(x) + R(x) </math>と書かれるとき、B(x)が、A(x)に割られたという。この時、整数の除法の性質R<Aに対応して、R(x)の次数<A(x)の次数が成立する。具体例として、x +1を、xで割ることを考える。割る式の次数が1であることから余りの次数は0となり余りは実数である必要がある。また、商がxの関数であると :<math> B(x) = A(x)D(x) + R(x) </math> の右辺でxについて2次の項が現われ左辺と一致しなくなる。よって商は実数である。商をa、余りをrとすると上の式は、 :<math> x+1 = ax + r </math> となるが、これはa=1,r=1で成立する。よって商1,余り1である。より高次の式に対しても同じ様に答えを定めていけばよい。例として、 :<math> x^3 \div (x^2 -1) </math> のような式を考える。この場合、 :<math> B(x) = A(x)D(x) + R(x) </math> で、B(x)が3次、A(x)が2次であることから、D(x)は1次であり、また、R(x)は2次より小さいことから1次以下の式になる。ここで、D(x)=ax+b,R(x)=cx+dとおくと、 :<math> x^3 = (x^2-1) (ax+b) + (cx +d) </math> が得られる。右辺を展開すると、 :<math> x^3 = ax^3 + b x^2 + (-a +c )x + (-b +d) </math> が得られるが、xにどんな値を入れてもこの等式が成り立たなければならないので、a = 1, b = 0, -a +c = 0, -b +d = 0が得られ、結局a=c=1, b=d=0が得られる。 <!-- <math> x^3 \div (x^2 -1) </math> のような式を考える。この式について、 <math> x^3 = x(x^2 - 1) +x </math> と書くことが出来るが、これは <math>x^3</math> を <math>x^2-1</math> で割った結果、商<math>x</math> ,余り <math>x</math> がでたものと解釈できる。このように、整式どうしで割り算をすることが出来る。このとき、割る式は割られる式より低次か同じ次数でなくてはならない。また、余りは必ず割る式よりも低次の式になる。 --> この方法はどの除法に対しても用いることが出来るが、次数が高くなると計算が難しくなる。整数の場合と同様、整式の除法でも筆算を用いることが出来る。上の例を用いて結果だけを書くと、図のようになる。)右に書かれた式が割られる式であり、)左に書かれた式が割る式である。--の一番上に書かれた式は商であり、整数の割り算同様左に書かれた数から順に割っていく。ここでは次数が大きい項がより先に計算される項である。割られる式の下にある式は商の第1項を割る式にかけて得る式である。ここでは、<math>x(x^2-1)</math>で、<math>x^3-x</math>となる。ただし、整数の除法と同様、位をそろえなくてはならない。その後、割られる式から<math>x^3-x</math>を引き、残った式を新しい割られる式として扱う。ここでは、得た式が割る式よりも低次であることから、これで計算は終了である。問題例問題 : <math>x^3 + 2x ^2 +1</math>、<math>x ^4 + 4x^2 +3x +2</math>を、<math>x^2 +2x +6 </math>で割った商と余りを求めよ。 <!-- 更に、 (I) :<math> (x ^4 + 2x^3 - 5x^2 +6x -1) \div (x^2 -5x -1 ) </math> (II) :<math> (3 x ^4 - 7x^3 + x^2 +2x -1) \div (x^2 -3x -4 ) </math> (III) :<math> (2x^5 +3 x ^4 - 7x^3 + x^2 +2x -1) \div (x^2 +7x -4 ) </math> (IV) :<math> (2x^5 +3 x ^4 - 7x^3 + x^2 +2x -1) \div (x^3 +4x^2 +7x -4 ) </math> を計算せよ。問題が多いので、とりあえずコメントアウト。 --> 解答この計算はアニメーションを使って詳しく表示されている。計算手法は、整数の場合の筆算と同じような手法が使える。 [[画像:Fract.gif\|frame\|right\|計算のアニメーション]] :<math> x^3 + 2x ^2 +1 = (x^2 +2x +6) x +(1-6x) </math> が得られるので、商<math> x</math>、余り<math>-6x +1</math>である。 2つ目の式については、 :<math> x ^4 + 4x^2 +3x +2 = (x^2 - 2x+2)* (x^2 +2x +6) + 11x -10 </math> が得られる。よって、答は商<math>x^2 - 2x+2</math>、余り<math>11x -10</math>である。 <!-- 更に、残りの計算結果は、 (I) :<math> \left[ x^2+7\,x+31,168\,x+30 \right] </math> (II) :<math> \left[ 3\,x^2+2\,x+19,67\,x+75 \right] </math> (III) :<math> \left[ 2\,x^3-11\,x^2+78\,x-589,4437\,x-2357 \right] </math> (IV) :<math> \left[ 2\,x^2-5\,x-1,48\,x^2-11\,x-5 \right] </math> が得られる。ただし、左が商、右が余りとなっている。 --> ==== 分数式 ==== ここまでで整式を整数のように扱い、整式の除法を行なう方法について述べた。ここでは、整式に対して分数式を定義する方法について述べる。分数式とは、整数に対する分数のように、除法によって生じる式である。ここで、除法を行なう式はどのようなものでも差し支えない。分数式では、分子に割られる式を書き、分母に割る式を書く。例えば、 :<math> \frac {x+1}{x^2+4} </math> は、分子x+1、分母<math>x^2+4</math>の分数式である。分数式に対しても約分や通分が存在する。約分は共通因数を持った分子分母をもつ分数式で用いられる。この時には分子分母を共通因数で割り、式を簡単にすることが出来る。通分は、分数式の加法の時によく用いられるが、分子分母に同じ整式をかけても分数式が変化しない性質を用いる。 * 問題例問題 :<math> \frac {x^2 -1} {x^3 -1} </math> を簡単にせよ。また、 :<math> \frac {x+1}{x^2 +2x + 3} + \frac {2x + 5} {x^2 +1} </math> を計算せよ。解答 :<math> \frac {x^2 -1} {x^3 -1} </math> について分子と分母を因数分解すると、双方ともに :<math> x-1 </math> を因数として含んでいることが分かる。このとき、共通の因数は約分することが必要である。計算された値は、 :<math> \frac {x^2 -1} {x^3 -1} </math> :<math> = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)} </math> :<math> = \frac{x+1} { x^2+x+1} </math> となる。次の問題では、 :<math> \frac {x+1}{x^2 +2x + 3} + \frac {2x + 5} {x^2 +1} </math> を計算する。このとき、両辺の分母をそろえる必要があるが、今回については、単純にそれぞれの分数式の分子と分母に各々の分母をかけて分母を統一すればよい。計算すると、 :<math> \frac {x+1}{x^2 +2x + 3} + \frac {2x + 5} {x^2 +1} </math> :<math> = \frac{(x+1)(x^2+1)}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)} +\frac{(x^2 +2x + 3)(2x + 5)}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)} </math> :<math> = \frac{(x+1)(x^2+1)+(x^2 +2x + 3)(2x + 5)} {(x^2 +2x + 3)(x^2+1)} </math> :<math> = \frac {3x^3 +10x^2 + 17 x + 16} {(x^2 +2x + 3)(x^2+1)} </math> となる。分数式の乗法は、分子分母を別々にかければよい。 * 問題例問題次の計算をせよ。 (I) :<math> \frac {x^2 - y^2} {x^2 - 2xy + y^2} \times \frac {x-y} {x^2 + xy} </math> (II) :<math> \frac {x^2 + 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \div \frac {x^2 - 3x - 4} {x^2 - x - 6} </math> 解答 (I) :<math> \frac {x^2 - y^2} {x^2 - 2xy + y^2} \times \frac {x-y} {x^2 + xy} </math> :<math> = \frac {(x+y)(x-y)} {(x-y)^2} \times \frac {x-y} {x(x+y)} </math> :<math> = \frac {(x+y)(x-y)(x-y)} {(x-y)^2\ x(x+y)} </math> :<math> = \frac {1} {x} </math> (II) :<math> \frac {x^2 + 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \div \frac {x^2 - 3x - 4} {x^2 - x - 6} </math> :<math> = \frac {x^2 + 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \times \frac {x^2 - x - 6} {x^2 - 3x - 4} </math> :<math> = \frac {(x+1)(x+3)} {(x-3)^2} \times \frac {(x+2)(x-3)} {(x+1)(x-4)} </math> :<math> = \frac {(x+1)(x+3)(x+2)(x-3)} {(x-3)^2\ (x+1)(x-4)} </math> :<math> = \frac {(x+3)(x+2)} {(x-3)(x-4)} </math> ===== 部分分数分解 ===== 分母が積の形である分数式を二つの分数式の和や差で表された式に変形する操作を'''部分分数分解'''という。問題例 <Math> \frac{1}{x (x+1)} </Math>と<Math>\frac{1}{(x+1)(x+3)}</Math>を分数式の和または差の形で表せ。解答 :<Math>\frac{1}{x(x+1)} = \frac{(x+1)-x}{x(x+1)}</Math> と変形できるので、 :<Math>\frac{x+1}{x(x+1)} - \frac{x}{x(x+1)}</Math> となり、約分すると :<Math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}</Math> となる。次の問題では、 :<Math>\frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{(x+3) - (x+1)} \cdot \frac{(x+3) - (x+1)}{(x+1)(x+3)}</Math> と変形することによって、 :<Math>\frac{1}{2} \{ \frac{x+3}{(x+1)(x+3)} - \frac{x+1}{(x+1)(x+3)} \}</Math> となり、 :<Math>\frac{1}{2} (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3}) </Math> と求まる。部分分数分解の操作を逆に辿ると、分数式の通分の操作と一致する。つまり、'''部分分数分解は通分の逆の操作'''である。分子が定数の場合には、上と同様の方法で部分分数分解することができる。問題以下の分数式を部分分数分解せよ #<Math>\frac{3}{(x-9)(x-4)}</Math> #<Math>\frac{7}{(3x-1)(5-2x)}</Math> 解答 1. <Math>\frac{3}{(x-9) (x-4)} </Math> :<Math>= \frac{3}{(x-4) - (x-9)} \cdot \frac{(x-4) - (x-9)}{(x-9)(x-4)}</Math> :<Math>= \frac{3}{5}\{ \frac{x-4}{(x-9)(x-4)} - \frac{x-9}{(x-9)(x-4)} \}</Math> :<Math>= \frac{3}{5} ( \frac{1}{x-9} - \frac{1}{x-4} )</Math> 2. <Math>\frac{7}{(3x-1)(5-2x)}</Math> :<Math>= \frac{-7}{(3x-1)(2x-5)} </Math> :<Math>= \frac{-7}{(3x-1) - (2x-5)} \cdot \frac{(3x-1) - (2x-5)}{(3x-1)(2x-5)} </Math> :<Math>= \frac{-7}{2(3x-1) - 3(2x-5)} \cdot \frac{2(3x-1) - 3(2x-5)}{(3x-1)(2x-5)} </Math> :<Math>= \frac{-7}{(6x-2) - (6x-15)} \{ \frac{2(3x-1)}{(3x-1)(2x-5)} - \frac{3(2x-5)}{(3x-1)(2x-5)} \}</Math> :<Math>= - \frac{7}{13} (\frac{2}{2x-5} - \frac{3}{3x-1})</Math> :<Math>= \frac{7}{13} (\frac{3}{3x-1} - \frac{2}{2x-5})</Math> 部分分数分解は数列の和の計算、積分計算、微分を利用した不等式の証明等に役立つ、重要な変形である。 === 式の証明 === ==== 恒等式 ==== 等式 <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>は、文字<math>a,b</math>にどのような値を代入しても成り立つ。このような等式を'''恒等式'''（こうとうしき）という。等式<math>\frac {1}{x-1} + \frac {1}{x+1} = \frac {2x}{x^2-1}</math>は、両辺とも<math>x=1,-1</math>を代入することはできないが、その他の値であれば代入することができ、またどのような値を代入しても等式が成り立っている。これも恒等式と呼ぶ。いっぽう、<math>x^2 - x - 2 = 0</math> は、x＝2 または x＝ー1 を代入したときだけ成り立つが、このように文字に特定の値を代入したときにだけ成り立つ式のことを方程式と呼び、恒等式とは区別する。等式 <math>ax^2+bx+c=0</math> が <math>x</math> についての恒等式であるのはどのような場合か、考えてみよう。ある式が「 <math>x</math> についての恒等式である」とは、この式の<math>x</math> にどのような値を代入しても、この等式は成り立つという意味である。なので、例えば <math>x</math> に<math>-1\ ,\ 0\ ,\ 1</math> を代入した式 :<math>a-b+c=0</math> :<math>c=0</math> :<math>a+b+c=0</math> はすべて成り立つ必要がある。これを解くと :<math>a=b=c=0</math> なので、等式 <math>ax^2+bx+c=0</math> が <math>x</math> についての恒等式になるならば、<math>a=b=c=0</math>でなければならないことがわかる。一般に、等式 <math>ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'</math> が恒等式であることと、<math>(a-a')x^2+(b-b')x+(c-c')=0</math> が恒等式であることと同じである。<br> よって :<math>ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'</math> が<math>x</math>についての恒等式　<math>\Leftrightarrow </math>　 <math>a=a'</math> かつ <math>b=b'</math> かつ <math>c=c'</math> まとめると次のようになる。 {\| style="border:2px solid yellow;width:fit-content" cellspacing=0 \|style="background:yellow"\|'''恒等式の性質''' \|- \|style="padding:5px"\| <math>P\ ,\ Q</math> を <math>x</math> についての多項式または単項式とする。 ::<math>P=0</math> が恒等式　<math>\Leftrightarrow </math> 　 <math>P</math>の各項の係数はすべて<math>0</math>である。 ::<math>P=Q</math> が恒等式　<math>\Leftrightarrow </math> 　 <math>P</math>と <math>Q</math> の次数は等しく、両辺の同じ次数の項の係数は、それぞれ等しい。 \|} * 問題例問題次の等式が <math>x</math> についての恒等式となるように、<math>a\ ,\ b\ ,\ c</math> の値を求めよ。 :<math>x^2-3=a(x-1)^2+b(x-1)+c</math> 解答等式の右辺を <math>x</math> について整理すると :<math>a(x-1)^2+b(x-1)+c=ax^2-2ax+a+bx-b+c=ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)</math> :<math>x^2-3=ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)</math> この等式が <math>x</math> についての恒等式となるのは、両辺の同じ次数の項の係数が等しいときである。よって :<math>a=1</math> :<math>-2a+b=0</math> :<math>a-b+c=-3</math> これを解くと :<math>a=1\ ,\ b=2\ ,\ c=-2</math> ; '''複雑な部分分数分解'''（発展）恒等式を利用することで、複雑な分数式の部分分数分解ができる。問題例以下の分数式を部分分数分解せよ #<Math>\frac{3x-5}{(x+2)(2x-1)}</Math> #<Math>\frac{1}{(x-1)^2 (x-2)}</Math> 解答 :<Math>\frac{3x-5}{(x+3)(2x-1)} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}</Math> とおく。分母を払って :<Math>3x-5 = a(x+3) + b(2x-1)</Math> すなわち :<Math>3x-5 =(a+2b)x + (3a-b) </Math> これが<Math>x</Math>の恒等式なので、係数を比較して :<Math>a+2b=3</Math>かつ<Math>3b-a=-5</Math> すなわち :<Math>a=-1, b=2</Math> 最初の等式に代入して、 :<Math>\frac{3x-5}{(x+3)(2x-1)} = \frac{-1}{2x-1} + \frac{2}{x+3}</Math> :<Math>= \frac{2}{x+3} - \frac{1}{2x-1}</Math> 次の問題は、 :<Math>\frac{1}{(x-1)^2 (x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{c}{x-2}</Math> とおくことにより、上の問題と同様にして :<Math>a=-1, b=-1, c=1</Math> と求まるので、 :<Math>\frac{1}{(x-1)^2 (x-2)} = - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-2}</Math> :<Math>= \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2}</Math> '''恒等式を利用した部分分数分解''' 求めたい数字を<Math>a,b,c</Math>とおく。 1. <Math>\frac{px+q}{(x+m)(x+n)} = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{x+n}</Math> 2. <Math>\frac{px+q}{(x+m)^2} = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{(x+m)^2}</Math> 3. <Math>\frac{px^2 + qx + r}{(x+m)^2 (x+n)} = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{(x+m)^2 } + \frac{c}{x+n}</Math> 4. <Math>\frac{px^2 + qx + r}{(x+m)(x^2 + nx + l)} = \frac{a}{x+m} + \frac{bx+c}{x^2 + nx + l}</Math> このようにおいた式を<Math>x</Math>の恒等式と見ることによって、<Math>a,b,c</Math>を求められ、部分分数分解ができる。 ; '''2つの文字についての恒等式'''（発展）例 a~fを定数とする。 <Math>ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0</Math>がx, yについての恒等式だとする。左辺をxについて整理すると、<Math>ax^2+(cy+d)x+(by^2+ey+f)=0</Math>である。これがxについての恒等式なので、<Math>a=0, cy+d=0, by^2+ey+f=0</Math>が成り立つ。これらは更にyについての恒等式なので、以下の等式が得られる。 :<Math>a=b=c=d=e=f=0</Math> 逆に、これが成り立てば元の式は明らかにx, yについての恒等式である問題 <Math>x^2+axy+6y^2-x+5y+b = (x-2y+c)(x-3y+d)</Math>がx,yについての恒等式となるようにa,b,c,dを定めよ。 ==== 等式の証明 ==== さきほど紹介した「恒等式」という言葉を使って「証明」の意味を説明するなら、「等式を証明する」とは、その式が恒等式であることを示すことである。一般に、等式 A＝B を証明するためには、次のような手順のいずれかを実行すればよい。 :(1)　　Aを式変形してBを導くか、または Bを変形してAを導く。 :(2)　　A,Bをそれぞれ変形して、同じ式Cを導く。 :(3)　　A-B＝0 を示す。このとき、変形は同値変形でなければならないことに注意。例題 1 <math> (a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab </math> が成り立つことを証明せよ。（証明）<br> 左辺を展開すると、 :(左辺)＝<math> (a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2) = a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab-b^2=4ab </math> となり、これは右辺に等しい。よって、等式 <math> (a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab </math> は証明された。（終） ---- * 例題 2 <math> (x+y)^2+(x-y)^2 = 2(x^2+y^2) </math> が成り立つことを証明せよ。 :（証明）左辺を計算すると、 :（左辺）＝ <math> (x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2) = x^2+2xy+y^2 + x^2-2xy+y^2 = 2x^2+2y^2 =2(x^2+y^2) </math> これは右辺に等しい。よって等式が成り立つことが証明された。（終） ---- * 問題例問題次の等式が成り立つことを証明せよ。<br> (I) :<math> (6 a + 7 b )^2 + (7 a - 6 b )^2 = (9 a + 2 b )^2 + (2 a - 9 b )^2 </math> 解答 (I)<br> (左辺)<math> = (36 a^2 + 84 a b + 49 b^2) + (49 a^2 - 84 a b + 36 a^2) = 85 a^2 + 85 b^2 </math><br> (右辺)<math> = (81 a^2 + 36 a b + 4 b^2) + (4 a^2 - 36 a b + 81 b^2) = 85 a^2 + 85 b^2 </math><br> 両辺とも同じ式になるから :<math> (6 a + 7 b )^2 + (7 a - 6 b )^2 = (9 a + 2 b )^2 + (2 a - 9 b )^2 </math> 恒等式でないときも、与えられた条件から等式を証明することができる。問題例 <Math>a=b=c=0</Math>のとき、<Math>a^3+b^3+c^3=3abc</Math>であることを証明せよ。また、<Math>a:b=c:d</Math>のとき、<Math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}</Math>を証明せよ。解答 :<Math>a+b+c=0 \iff c=-(a+B)</Math> より、 :<Math>a^3+b^3+c^3-3abc = a^3+b^3-(a+b)^3+3ab(a+b)</Math> :<Math>= a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+3a^2b+3ab^2</Math> :<Math>=0</Math> よって、<Math>a^3+b^3+c^3=3abc</Math>である。また、 :<Math>a:b=c:d \iff \frac{a}{b} = \frac{c}{d}</Math> より、上式の右辺をkとおくと、 :<Math>a=bk, c=dk</Math> なので、 :<Math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d} = \frac{k(b+d)}{b+d} = k</Math> :<Math>\frac{a-c}{b-d} = \frac{bk-dk}{b-d} = \frac{k(b-d)}{b-d} = k</Math> よって、<Math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}</Math>である。なお、比<Math>a:b</Math>について<Math>\frac{a}{b}</Math>を'''比の値'''という。また、<Math>a:b=c:d \iff \frac{a}{b} = \frac{c}{d}</Math>を'''比例式'''という。 <Math>\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}</Math>が成り立つとき、<Math>a:b:c=x:y:z</Math>と表す。これを'''連比'''という。問題 <Math>a:b:c=1:2:3</Math>のとき、<Math>a+b+c=24</Math>を満たす<Math>a,b,c</Math>を求めよ。 ==== 不等式の証明 ==== 不等式のさまざまな公式については、次の4つの式を基本的な式として導出できる場合がよくある。高校数学では、次の4つの性質が不等式の「基本性質」などとして紹介されている。 {\| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''不等式の基本性質''' \|- \|style="padding:5px"\| :(1)　　<math> a>b </math> かつ <math> b>c </math> ならば <math> a>c </math> :(2)　　<math> a>b </math> ならば <math> a+c>b+c </math> かつ <math> a-c>b-c </math> :(3)　　<math> a>b </math> かつ <math> c>0 </math> ならば <math> ac>bc </math> であり、<math> \frac{a}{c} > \frac{b}{c} </math>でもある :(4)　　<math> a>b </math> かつ <math> c<0 </math> ならば <math> ac<bc </math> であり、<math> \frac{a}{c} < \frac{b}{c} </math>でもある \|} (3)と(4)については、ひとつの性質としてまとめている検定教科書もある（※ 啓林館など）。数学IAで習った「ならば」の意味の記号 <math>\Longrightarrow </math> を使うと、 {\| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''不等式の基本性質''' \|- \|style="padding:5px"\| :(1)　　<math> a>b </math> かつ <math> b>c </math> 　<math>\Longrightarrow </math>　 <math> a>c </math> :(2)　　<math> a>b </math> <math>\Longrightarrow </math> <math> a+c>b+c </math> 　かつ　<math> a-c>b-c </math> :(3)　　<math> a>b </math> かつ <math> c>0 </math> 　<math>\Longrightarrow</math>　 <math> ac>bc </math> であり、<math> \frac{a}{c} > \frac{b}{c} </math>でもある :(4)　　<math> a>b </math> かつ <math> c<0 </math> 　<math>\Longrightarrow</math>　 <math> ac<bc </math> であり、<math> \frac{a}{c} < \frac{b}{c} </math>でもある \|} とも書ける。上述の4つの基本性質から、 :a>0, 　b>0 ならば a＋b ＞ 0 を証明してみよう。（証明）まず a>0 なので、基本性質(2)より :a＋b > b である。よって、 :<math> a+b>b </math> かつ <math> b>0 </math> なので、基本性質(1)より<math> a+b>0 </math> が成り立つ。（終）同様にして、 :a＜0, 　b＜0 ならば a＋b ＜ 0 を証明できる。 ::（※ 読者は自分でこれを証明してみよ。検定教科書にも、この式の証明は省略されている。）ここまでに示したことから、不等式 <math> A \geqq B </math> を証明したい場合には、 : <math> A-B \geqq 0 </math> を証明すればよいことがわかった。こちらの方が証明しやすい場合がよくある。不等式を証明する際に根拠とする基本的な不等式として、次の性質がある。 {\| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''実数の2乗の性質''' \|- \|style="padding:5px"\| 実数 a について、かならず :<math>a^2 \geqq 0</math> が成り立つ。この式で等号が成り立つ場合とは、 <math>a = 0</math> の場合だけである。 \|} この定理（「実数を2乗すると、かならずゼロ以上である」）を、基本性質(3),(4)を使って証明してみよう。 '''（証明）''' aが正の場合と負の場合と0の場合の3通りに場合わけする。 '''<nowiki>[aが正の場合]</nowiki>''' <br> このとき、基本性質(3)より、 :<math> aa>0a </math> である。すなわち、 :<math> a^2 > 0 </math> である。 '''<nowiki>[aが負の場合]</nowiki>'''<br> このとき、基本性質(4)より <math>0a < aa </math> である。すなわち、 : <math> a^2 > 0 </math> である。 '''<nowiki>[aがゼロの場合]</nowiki>''' <br> このとき、 <math>a^2=0</math> である。よって、すべての場合について<math>a^2 \geqq 0</math> (終) このことと基本性質(1)(2)より、次が成り立つこともわかる。 {\| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''実数の2乗どうしの和の性質''' \|- \|style="padding:5px"\| 2つの実数a,b について <math>a^2 \geqq 0</math>, 　<math>b^2 \geqq 0</math> であるから、かならず :<math>a^2+b^2 \geqq 0</math> が成り立つ。上式で等号が成り立つ場合とは、 <math>a^2 = 0</math> かつ <math>b^2 = 0</math> の場合だけであり、つまり <math>a = 0</math> かつ <math>b = 0</math> の場合だけである。 \|} 問題次の不等式が成り立つことを証明せよ。<br> :<math> x^2 + 10 y^2 \geqq 6 x y </math> (証明)<br> :<math> (x^2 + 10 y^2) -(6 x y) \geqq 0 </math> を証明すればよい。左辺を展開してまとめると、 :<math> (x^2 + 10 y^2) - 6xy = x^2 - 6 x y + 9 y^2 + y^2 = (x - 3 y)^2 + y^2 </math> となる。上式の最後の式の項について、 :<math> (x - 3 y)^2 \geqq 0 , \quad y^2 \geqq 0 </math> だから、 :<math> (x - 3 y)^2 + y^2 \geqq 0 </math> である。よって :<math> x^2 + 10 y^2 \geqq 6 x y </math> である。（終） ===== 根号を含む不等式 ===== 2つの正の数 a,　b が a＞b または a≧b ならば、両辺を2乗しても大小関係は同じままである。つまり、 : <math> a>0 </math>,　<math> b>0 </math> のとき、 : : <math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math> : <math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math> : : これを証明するには、<math> a^2 - b^2 </math> を調べればよい。 :<math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) </math> である。 a>bとする。仮定より、a,b は正の数なので、<math> (a+b)>0 </math> であり、別の仮定より、 a > b なので、<math> (a-b)>0 </math> でもある。よって、<math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) >0 </math> 逆に、<math>a^2-b^2>0</math>のとき、<math>(a+b)(a-b)>0</math>であり、<math>a>0,b>0</math>なので<math>a+b>0</math>である。よって、<math>a-b>0</math>なので、<math>a>b</math>である。よって、<math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math> である。 a≧bの場合も同様に証明できる。 ---- 練習として、次の問題を問いてみよう。 ;例題 <math> a>0 </math>,　<math> b>0 </math> のとき、次の不等式を証明せよ。 ::<math> \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b} </math> （証明）不等式の両辺は正であるので、両辺の平方の差を考えればよい。両辺の平方の差は :<math>( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^2 - ( \sqrt{a+b} )^2 = a + 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + b - (a+b) 2 \sqrt{ab} </math> である。ここで、a,b はともに正の実数なので、 ::<math> \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} </math> であることを用いた。 :<math> \sqrt{ab} > 0</math> であるので、 :<math>( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^2 - ( \sqrt{a+b} )^2 > 0 </math> となる。よって、 :<math> \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b} </math> である。（終） ===== 絶対値を含む不等式 ===== 実数 a の絶対値 \|a\| について、 : a ≧ 0 のとき \|a\|＝a , 　 : a＜0 のとき \|a\|＝ーa であるから、次のことが成り立つ。 ''' \|a\|≧a , \|a\|≧ ーa ,　\|a\|<sup>2</sup>＝a<sup>2</sup> ''' また、2つの実数 a, b の絶対値 \|ab\| については、 : \|ab\| <sup>2</sup> ＝ (ab)<sup>2</sup> ＝ a<sup>2</sup> b<sup>2</sup> ＝ \|a\|<sup>2</sup> \|b\|<sup>2</sup> ＝ (\|a\| \|b\|)<sup>2</sup> が成り立つので、これにさらに \|ab\|≧0 ,　\|a\|\|b\|≧0 を組み合わせて、 ''' \|ab\| ＝ \|a\| \|b\| ''' が成り立つ。 (例題) 次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合かを調べよ。 ::\|a\|＋\|b\| ≧ \|a＋b\| :(証明) 両辺の平方の差を考えると、 :: (\|a\|＋\|b\|)<sup>2</sup> ー \|a＋b\|<sup>2</sup> ＝ \|a\|<sup>2</sup> ＋ 2\|a\| \|b\| ＋ \|b\|<sup>2</sup> ー(a<sup>2</sup> ＋ 2ab ＋ b<sup>2</sup> ) :::::::: ＝ a<sup>2</sup> ＋ 2\|a\| \|b\| ＋ b<sup>2</sup> ーa<sup>2</sup> ー 2ab ー b<sup>2</sup> :::::::: ＝ 2\|a\| \|b\| ー 2ab :::::::: ＝ 2 ( \|a\| \|b\| ー ab ) これがもし正なら、与えられた不等式 \|a\|＋\|b\| ≧ \|a＋b\| が正しい。ここで、 \|a\| \|b\| ≧ ab であるので、 :: ( \|a\| \|b\| ー ab ) ≧ 0 である。したがって、 \|a\|＋\|b\| ≧ \|a＋b\| である。等号が成り立つのは \|a\| \|b\| ＝ ab の場合、すなわち ab ≧ 0 の場合である。（証明おわり） {{コラム\|三角不等式\| なお ::<nowiki>\|a\|ー\|b\| ≦ \|a＋b\| ≦ \|a\|＋\|b\| </nowiki> の関係式のことを「三角不等式」という。 }} ==== 相加平均と相乗平均 ==== 2つの数<math>a</math>,<math>b</math>に対し、<math>\frac{a+b}{2}</math>を'''相加平均'''（そうかへいきん）と言い、<math>\sqrt{ab}</math>を'''相乗平均'''（そうじょうへいきん）という。 {{コラム\|相乗平均の例と3つ以上のものの平均\| 平均は、3つ以上のものにも定義される。3つ以上のn個のものの相加平均は <math>\frac{a_1 + a_2 + \cdots +a_n }{n}</math> で定義される。 :平均を考える際、つい相加平均ばかりを考えがちだが、以下のような状況では相乗平均の方が適切である。 ::「ある企業では、2015年度の売上を基準にすると、2016年度では前年（2015年）の1.5倍の売上になりました。2017年度では、前年（2016年）の2倍の売上になりました。平均として、一年ごとに何倍の売り上げになっていったでしょうか？」 :（答）<math>\sqrt{1.5 \times 2} = \sqrt{3} \fallingdotseq 1.73</math> より、約 1.73倍。 :また、この応用例は、項が3つ以上の場合の相乗平均の定義の仕方も、示唆している。もし読者が[[高等学校数学II/指数関数・対数関数\|指数関数]]を知っているなら、項が3つ（ここでは a, b, c とする）の場合の相乗平均は、 ::（3つの項の相乗平均）＝<math> (abc)^{ \frac{1}{3} } </math> :になる。 }} 本ページでは、2個の数の平均について考察する。相加平均と相乗平均について、次の関係式が成り立つ。 {\| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:yellow"\|'''相加平均と相乗平均''' \|- \|style="padding:5px"\| <math>a \geqq 0</math> ，<math>b \geqq 0</math>のとき、<br> <center><math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math></center><br> 等号が成り立つのは、<math>a = b</math>のときである。 \|} （証明） <math>a \geqq 0 , b \geqq 0</math>のとき :<math> \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a+b-2 \sqrt{ab}}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} \right) ^2 - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + \left( \sqrt{b} \right) ^2}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 }{2} </math> <math> \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 \geqq 0</math>であるから、<math> \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 }{2} \geqq 0</math><br> したがって　<math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math><br> 等号が成り立つのは、<math>\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 = 0 </math> のとき、すなわち <math>a = b</math> のときである。(証明おわり) 公式の利用では、上の式 <math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math> の両辺に2をかけた <math>a+b \geqq 2 \sqrt{ab}</math> の形の式を使う場合もある。 * 問題例問題 <math>a>0</math> ，<math>b>0</math>のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。<br> (I) :<math> a + \frac{1}{a} \geqq 2 </math> (II) :<math> (a+b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geqq 4 </math> 解答 (I)<math>a>0</math>であるから、<math>\frac{1}{a} >0</math><br> よって　<math>a + \frac{1}{a} \geqq 2 \sqrt{a \times \frac{1}{a}} = 2</math><br> したがって :<math> a + \frac{1}{a} \geqq 2 </math> (II) :<math> (a+b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = 1+ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} +1 = \frac{b}{a} + \frac{a}{b} +2 </math> <math>a>0</math>，<math>b>0</math>であるから、<math>\frac{b}{a} >0</math>，<math>\frac{a}{b} >0</math><br> よって　<math> \frac{b}{a} + \frac{a}{b} +2 \geqq 2 \sqrt{\frac{b}{a} \times \frac{a}{b}} + 2 = 2+2 =4</math><br> したがって :<math> (a+b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geqq 4 </math> {{コラム\|3つ以上の相乗平均と調和平均\| もし読者が指数関数などを知っていれば、 n個のものの相乗平均は、 ::<math>\sqrt[n] {a_1 a_2 \cdots a_n }</math> と書ける。数学的な「平均」には、相加平均と相乗平均のほかにも調和平均がある。調和平均は、電気回路の並列計算で使われる考え方である。 n個のものの調和平均は、 ::<math>\frac{ n}{ \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} }</math> で定義される。一般に数学的には、調和平均、相乗平均、相加平均のあいだに次のような大小関係 :（調和平均） ≦ （相乗平均） ≦ （相加平均）という関係が成り立つことが証明されている。すなわち、数式で書けば ::<math>\frac{ n}{ \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} } \leqq \sqrt[n] {a_1 a_2 \cdots a_n } \leqq \frac{a_1 + a_2 + \cdots +a_n }{n} </math> の関係式である。簡潔に書くと、 ::<Math>\frac{ n}{ \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k}} \leqq (\prod_{k=1}^{n}a_k)^{\frac{1}{n}} \leqq \frac{\sum_{k=1}^{n} a_n}{n}</Math> となる。 }} == 高次方程式 == === 複素数 === 2乗して負になる数、というものを考える。このような数は、中学で習った実数の中にはないことがわかる。なぜならば、正の数でも負の数でも2乗すると符号が打ち消して正の数になってしまうからである。そこで高校では、2乗して負になるという性質を持つ数の概念を新しく導入することにする。 :<math>x^2 = -1</math> という方程式を考える。この方程式の解は実数にはない。そこで、この方程式の解となる数を新しく作り、その単位を文字 <math>i</math> であらわす。この <math>i</math> のことを'''虚数単位'''（きょすうたんい）と呼ぶ。（虚数単位の記号 i 、英語のアルファベットのアイの小文字で、 imaginary unit に由来すると考えられている。） <math>1+i</math> や <math>2+5i</math> のように、虚数単位<math>i</math>と実数<math>a,b</math>を用いて :<math>a+bi</math> と表すことができる数を'''複素数'''（ふくそすう）という。このとき、''a''をこの複素数の'''実部'''（じつぶ）といい、''b''を'''虚部'''（きょぶ）という。例えば、<math>1+i,\quad 2+5i,\quad \frac{9}{2} + \frac{7}{2} i,\quad 4i,\quad 3</math> は、いずれも複素数である。複素数 a＋bi は（ただし aとbは実数）、bが0の場合に、これを実数と見ることができる。言い方をかえると、複素数を基準に考えると、実数とは、 a＋0i のような、虚部の係数がゼロになる複素数のことであるとも言える。 4''i''のような、虚部が0以外で実部がゼロの複素数を'''純虚数'''（じゅんきょすう）と呼ぶ。純虚数は、2乗すると負になる数である。実数も虚部が0の複素数と考えられる。実数でない複素数のことを「虚数」（きょすう）という。 === 複素数の性質 === 2つの複素数 a+bi と c+di とが等しいとは、 : a＝c かつ b＝d であることである。つまり、 : a+bi ＝ c+di 　<math>\Longleftrightarrow</math>　 a=c かつ b＝d とくに、複素数a＋bi が 0であるとは、a＝0 かつ b＝0 であることである。 : a+bi ＝ 0 　<math>\Longleftrightarrow</math>　 a=0 かつ b＝0 {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''複素数の相等''' \|- \|style="padding:5px"\| : a+bi ＝ c+di 　<math>\Longleftrightarrow</math>　 a=c かつ b＝d : a+bi ＝ 0 　<math>\Longleftrightarrow</math>　 a=0 かつ b＝0 \|} ;共役複素数<math>z=a+bi</math>に対して、虚部の符号を反転させた複素数<math>a-bi</math>のことを「'''共役'''（きょうやく）な複素数」または「複素数<math>z</math>の共役」のように呼び、 <math> \bar z </math> であらわす。なお、「共役」は「共'''軛'''」の常用漢字による書き換えである。実数aと共役な複素数は、その実数 a 自身である。複素数 z＝a+bi について :<math>z+ \bar z =(a+bi)+(a-bi)=2a</math> :<math>z \bar z =(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2 i^2 = a^2-b^2i^2=a^2+b^2</math> ;四則演算複素数にも四則演算（加減乗除）が定義される。複素数の演算では、虚数単位<math>i</math>を、通常の文字のように扱って計算する。一般に複素数<math>z\ ,\ w</math>が、<math>z=a+bi\ ,\ w=c+di</math>で与えられるとき(ただし <math>a\ ,\ b\ ,\ c\ ,\ d</math>は実数とする)、 :加法　　<math> (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i </math> :減法　　<math> (a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i </math> :乗法　　<math> (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i </math> :除法　　<math> \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i </math>　　（ただし <math>c+di \ne 0</math> とする。）というふうに複素数の加減乗除の計算法が定められている。乗法の定義は、一見すると難しそうにみえるが、実数の分配法則と同様に展開していき最後に i<sup>2</sup>にマイナス1を代入していっただけである。除法の定義は、分子と分母に、分母と共役な形の式を掛け算しただけである。乗法や除法の定義式を暗記する必要は無く、計算の際には、必要に応じて分配法則や共役などの、必要な式変形を行えばいい。 '''例題''' 2つの複素数 :<math>a=3+i</math> :<math>b=4 +7i</math> について、<math>a+b</math> と <math>ab</math> と <math>\frac a b</math> を、それぞれ計算せよ。 '''解答''' :<math>\begin{align} a+b&=(3+i)+(4+7i)\\ &=(3+4)+i(1+7)\\ &=7+8i\\ \end{align}</math> :<math>\begin{align} ab&=(3+i)(4+7i) \\ &=12+21i+4i+7i^2 \\ &=12+21i+4i+(-7) \\ &=5+25i \\ \end{align}</math> である。 :<math>\frac{a}{b}=\frac{3+i}{4+7i}</math> を、さらに簡単にできないだろうか。実は、ちょっとしたテクニックを用いればより見やすい形にできる。分数は分母と分子に同じ数をかけてよかったので、分母と分子に分母の共役をかけてみる。すると、 :<math>\begin{align} \frac{a}{b}&=\frac{3+i}{4+7i} \\ &=\frac{(3+i)(4-7i)}{(4+7i)(4-7i)} \\ &=\frac{12-21i+4i-(-7)}{16-28i+28i-(-49)} \\ &=\frac{19-17i}{65} \\ &=\frac{19}{65}-\frac{17}{65}i \\ \end{align}</math> が得られる。この形のほうが元の式よりもずっと見やすい形である。このような操作を分母の実数化ということもある。数学Iで学習した展開・因数分解公式 <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>の簡単な応用である。 === 負の数の平方根 === 数の範囲を複素数にまで拡張すると、負の数の平方根も考えることができる。例として、 -5 の平方根について考えてみよう。<br> :<math> (\sqrt{5}\ i)^2 = (\sqrt{5})^2\ i^2 = 5 \times (-1) =-5 </math> :<math> (- \sqrt{5}\ i)^2 = (-1)^2 \times (\sqrt{5})^2\ i^2 = (+1) \times 5 \times (-1) = -5 </math> であるから、 -5 の平方根は <math> \sqrt{5}\ i </math> と <math> - \sqrt{5}\ i </math> である。 {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''負の数の平方根''' \|- \|style="padding:5px"\| <math>a>0</math>とするとき、負の数<math>-a</math>の平方根は、<math>\sqrt{a}\ i</math>と<math>- \sqrt{a}\ i</math>である。 \|} <math> \sqrt{-5} </math>とは、<math> \sqrt{5}\ i </math> のこととする。<math> - \sqrt{-5} </math>とは、<math> - \sqrt{5}\ i </math> のことである。とくに <math> \sqrt{-1}\ = \ i </math> である。さて、-5 の平方根は、方程式<math>x^2=-5</math> の解でもある。この方程式を移項することにより、-5 の平方根は、 :<math> x^2+5=0 </math> の解であるともいえる。さらに因数分解をすることにより、-5 の平方根は方程式 :<math> (x + \sqrt{5}\ i)(x - \sqrt{5}\ i) =0 </math> の解でもあるともいえる。 * 例題 (I) 　　<math>\sqrt{-2}\ \sqrt{-6}</math>　を計算せよ。 * 解答 (I) :<math>\sqrt{-2}\ \sqrt{-6} = \sqrt{2}\ i \times \sqrt{6} \ i = \sqrt{12}\ i^2 = -2 \sqrt{3}</math> このように、まず、マイナスの数の平方根が出てきたら、まず虚数単位 i を用いた式に書き換える。そのあと、かけ算をしていく。 * 問題 (II) 　　<math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}}</math>　を計算せよ。 (III) 　　2次方程式　<math>x^2=-7</math>　を解け。 ** 解答 (II) :<math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}\ i} = \frac{\sqrt{2}\ \sqrt{3}\ i}{\sqrt{3}\ i\ \sqrt{3}\ i} = \frac{\sqrt{6}\ i}{3\ i^2} = - \frac{\sqrt{6}}{3} \ i</math> (III) :<math>x^2=-7</math> :<math>x= \pm \sqrt{-7}</math> :<math>x= \pm \sqrt{7}\ i</math> === 2次方程式の判別式 === ==== 2次方程式の解と複素数 ==== 複素数の応用として、ここでは2次方程式の性質について述べる。任意の2次方程式は、解の公式によって解かれることを[[高等学校数学I 方程式と不等式#二次方程式\|高等学校数学I]]で述べた。しかし、解の公式に含まれる根号の中身が負の数の場合には実数解が存在しないことに注意する必要がある。2次方程式 :<math> ax^2+bx+c = 0 </math> の解の公式は、 :<math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{a} </math> である。判別式<math>D</math>は :<math> D = b^2-4ac </math> によって定義される。判別式は、解の公式の根号(ルート記号のこと)の中身に等しく、判別式の正負によって2次方程式が実数解を持つかどうかが決まる。 <math>D</math>が負のときにはこの2次方程式は実数の範囲には解を持たない。判別式<math>D</math>が負の数であったとき、xの解は異なる2つの虚数になり、その2つの解は共役の関係になっている。 * 問題例問題複素数を用いて、2次方程式<br> (1) :<math>x ^2 + 5x + 9 =0</math> (2) :<math>2x ^2 + 5x + 8 =0</math> (3) :<math>2x ^2 - 2x + 8 =0</math> を解け。解答解の公式を用いて解けばよい。(1)だけを計算すると、 :<math> x = \frac {- 5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \times 1 \times 9}}{2} </math> :<math> = \frac {-5 \pm \sqrt {11} i}{2} </math> となる。他も同じように扱うことが出来る。以降の解答は、<br> (2) :<math> x = \frac {-5 \pm \sqrt {39} i}{4} </math> (3) :<math> x = \frac {1 \pm \sqrt {15} i}{2} </math> となる。 <!-- ( 執筆者に対する注意計算には[[w:maxima]]を用いた。 tex(solve( x ^2 + 5x + 9 =0,x )); tex(solve( 2x ^2 + 5x + 8 =0,x )); tex( solve( 2x ^2 - 2x + 8 =0,x )); ) --> ==== 2次方程式の判別式 ==== 方程式の解で、実数であるものを '''実数解''' という。方程式の解で、虚数であるものを '''虚数解''' という。 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の解は <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math> である。 2次方程式の解の種類は、解の公式の中の根号の中の式 <math>b^2-4ac</math> の符号を見れば判別することができる。この式 <math>b^2-4ac</math> を、2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の'''判別式'''（はんべつしき）といい、記号 '''<math>D</math>''' で表す。 {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''判別式と解の判別''' \|- \|style="padding:5px"\| 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の判別式 <math>D=b^2-4ac</math> について ::<math>D>0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 異なる2つの実数解をもつ ::<math>D=0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 重解をもつ ::<math>D<0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 異なる2つの虚数解をもつ \|} また、重解も実数解であるので、 ::<math>D \geqq 0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 実数解をもつといえる。 * 問題例問題次の2次方程式の解を判別せよ。 (I) :<math> x^2+3\,x-1=0 </math> (II) :<math> 2\,x^2-3\,x+2=0 </math> (III) :<math> 4\,x^2-20\,x+25=0 </math> 解答 (I) :<math> D=3^2-4 \times 1 \times (-1) =13>0 </math> だから、異なる2つの実数解をもつ。 (II) :<math> D=(-3)^2-4 \times 2 \times 2 =-7<0 </math> だから、異なる2つの虚数解をもつ。 (III) :<math> D=(-20)^2-4 \times 4 \times 25 =0 </math> だから、重解をもつ。また、2次方程式 <math>ax^2 + 2b'x + c = 0</math> のとき、<math>D=4(b'^2-ac)</math>となるので、 2次方程式 <math>ax^2 + 2b'x + c = 0</math> の判別式には :<math> \frac{D}{4} = b'^2-ac </math> をもちいてもよい。これを用いて、前の問題 :(III) 　<math>4\,x^2-20\,x+25=0</math> の解を判別しよう。 <math>a=4 \, , \, b'=-10 \, , \, c=25</math>　であるから :<math> \frac{D}{4} = (-10)^2- 4 \times 25 =0 </math> だから、重解をもつ。 ==== 2次方程式の解と係数の関係 ==== 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> とする。この方程式は、 <math>a(x-\alpha)(x-\beta) = 0</math> と変形できる。これを展開すると、 <math>ax^2 -a(\alpha + \beta )x+a\alpha \beta = 0</math> 係数を比較して、 <math>c = a \alpha \beta, b = -a(\alpha + \beta)</math> を得る。これを変形すれば、<math>\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \alpha \beta = \frac{c}{a}</math>となる。<br> {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing="0" \| style="background:skyblue" \|'''解と係数の関係''' \|- \| style="padding:5px" \| 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> とすれば<br> <center><math>\alpha + \beta = - \frac{b}{a}</math> ，<math>\alpha \beta = \frac{c}{a}</math><br></center> \|} * 問題例問題 2次方程式 <math>2x^2 + 4x + 3 = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> とするとき、<math>\alpha ^2 + \beta ^2</math> の値を求めよ。解答解と係数の関係より、 <math>\alpha + \beta = - \frac{4}{2} = - 2 </math>，<math>\alpha \beta = \frac{3}{2}</math><br> <math>\alpha ^2 + \beta ^2 = (\alpha + \beta )^2 - 2 \alpha \beta = (-2)^2 - 2 \times \frac{3}{2} = 1</math> ==== 2数を解とする2次方程式 ==== 2つの数 <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> を解とする2次方程式は :<math> (x - \alpha) (x - \beta) = 0 </math> と表される。左辺を展開して整理すると次のようになる。 {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''与えられた2つの数を解とする2次方程式''' \|- \|style="padding:5px"\| 2数 <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> を解とする2次方程式は<br> <center><math>x^2 - (\alpha + \beta ) x + \alpha \beta = 0</math><br></center> \|} * 問題例問題次の2数を解とする2次方程式を作れ。 (I) :<math> 3 + \sqrt{5} \ , 3 - \sqrt{5} </math> (II) :<math> 2 + 3 i \ , 2 - 3 i </math> 解答 (I)<br> 和　<math>(3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 6</math><br> 積　<math>(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}) = 4</math>　であるから<br> :<math> x^2 - 6 x + 4 =0 </math> (II)<br> 和　<math>(2 + 3 i) + (2 - 3 i) = 4</math><br> 積　<math>(2 + 3 i) (2 - 3 i) = 13</math>　であるから<br> :<math> x^2 - 4 x + 13 =0 </math> ==== 2次式の因数分解 ==== 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解 <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> がわかると、2次式 :<math>ax^2 + bx + c </math> を因数分解することができる。<br> 解と係数の関係 <math>\alpha + \beta = - \frac{b}{a}</math>，<math>\alpha \beta = \frac{c}{a}</math> から、 :<math> ax^2 + bx + c = a \left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right) = a \left\{x^2 - (\alpha + \beta )x + \alpha \beta \right\} = a (x - \alpha)(x - \beta) </math> {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing="0" \| style="background:skyblue" \|'''解と因数分解''' \|- \| style="padding:5px" \| 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> とすると<br> <center><math>ax^2 + bx + c = a (x - \alpha)(x - \beta)</math><br></center> \|} 2次方程式は、複素数の範囲で考えるとつねに解をもつから、複素数まで使ってよいとすると、2次式は必ず1次式の積に因数分解することができる。 * 問題例問題複素数の範囲で考えて、次の2次式を因数分解せよ。 (I) :<math> x^2 + 4 x - 1 </math> (II) :<math> 2 x^2 - 3 x + 2 </math> 解答 (I)<br> 2次方程式　<math>x^2 + 4 x - 1 = 0</math>　の解は<br> :<math> x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \times 1 \times (-1)}}{2 \times 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2 \sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5} </math> よって :<math> x^2 + 4 x - 1 = \left\{ x - (-2 + \sqrt{5}) \right\} \left\{ x - (-2 - \sqrt{5}) \right\} = (x + 2 - \sqrt{5}) (x + 2 + \sqrt{5}) </math> (II)<br> 2次方程式　<math>2 x^2 - 3 x + 2 = 0</math>　の解は<br> :<math> x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \times 2 \times 2}}{2 \times 2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{7} i}{4} </math> よって :<math> 2 x^2 - 3 x + 2 = 2 \left(x- \frac{3 + \sqrt{7}\; i}{4} \right) \left(x- \frac{3 - \sqrt{7}\; i}{4} \right) </math> === 高次方程式 === 3次以上の整式による方程式を考える。一般に方程式を <math>P(x)=0</math>ととる。ただし、<math>P(x)</math>は、任意の次数の整式とする。 ==== 剰余の定理 ==== <math>P(x)</math>を1次式<math>x-a</math>で割ったときの商を<math>Q(x)</math>、余りを<math>R</math>とすると、 :<math> P(x) = (x-a)Q(x)+R </math> この両辺の<math>x</math>に<math>a</math>を代入すると、 :<math> P(a) = (a-a)Q(a)+R = 0 \times Q(a) + R =R </math> つまり、<math>P(x)</math>を<math>x-a</math>で割ったときの余りは<math>P(a)</math>である。 {\| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing="0" \| style="background:pink" \|'''剰余の定理''' \|- \| style="padding:5px" \| 整式<math>P(x)</math>を<math>x-a</math>で割ったときの余りは、<math>P(a)</math>に等しい。 \|} * 問題例問題整式 <math>P(x) = x^3 -2x + 3</math> を次の式で割った余りを求めよ。<br> (I) :<math> x-2 </math> (II) :<math> x+1 </math> (III) :<math> 2x-1 </math> 解答 (I)　<math>P(2) = 2^3 - 2 \times 2 + 3 = 7</math><br> (II)　<math>P(-1) = (-1)^3 - 2 \times (-1) + 3 = 4</math><br> (III)　<math>P\left( \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^3 - 2 \times \left( \frac{1}{2} \right) + 3 = \frac{17}{8}</math> ===== 因数定理 ===== ある実数<math>a</math>に対して、 :<math> P(a) = 0 </math> が成り立ったとする。このとき、整式<math>P(x)</math> は、 <math>(x-a)</math> を因数に持つことが分る。このことを因数定理（いんすうていり）と呼ぶ。 * 導出整式<math>P(x)</math>に対して、商<math>Q(x)</math>、割る式<math>(x-a)</math>とする整式の除法を用いる。このとき、商<math>Q(x)</math>、 (<math>Q(x)</math>は、<math>P(x)</math>よりも1だけ次数が低い整式である。) 余り<math>c</math>(<math>c</math>は、実数。)とすると、整式<math>P(x)</math> は、 :<math> P(x) = (x-a)Q(x) + c </math> と書ける。ここで、 <math>c=0</math> でないと、 <math>P(a)=0</math> は満たされないが、このとき、<math>P(x)</math>は、<math>(x-a)</math>によって割り切れる。よって、因数定理は成立する。 {\| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:pink"\|'''因数定理''' \|- \|style="padding:5px"\| 整式<math>P(x)</math>について<br> <center><math>P(a)=0 \Leftrightarrow </math> <math>P(x)</math>は<math>x-a</math>で割りきれる。</center> \|} 因数定理を用いることで、より次数の高い整式を因数分解することが出来るようになる。例えば、3次の整式 :<math> x^3 - 1 </math> について、<math>x=1</math>を代入すると、 :<math> x^3 - 1 </math> は0となる。よって、因数定理よりこの式は :<math> (x-1) </math> を因数として持つ。ここで、実際整式の除法を使って計算すると、 :<math> x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) </math> が得られる。 * 問題例問題因数定理を用いて<br> (I) :<math> x^3-6\,x^2+11\,x-6 </math> (II) :<math> x^3+x^2-14\,x-24 </math> <!-- (III) :<math> x^3+5\,x^2-34\,x-80 </math> --> を因数分解せよ。解答 (I) 因数分解の結果が(x+整数)の積の形なら、整数は6の因数でなければならない。そのため、<math>\pm 1, \pm 2,\pm 3,\pm 6</math>が候補となる。これらについては実際に代入して確かめるしかない。x=1を代入すると、 :<math> 1-6+11-6=0 </math> となるので、(x-1)が因数となる。実際に整式の除法を行なうと、商として<math>x^2-5x+6</math>が得られるが、これは<math>(x-2)(x-3)</math>に因数分解できる。よって答えは、 :<math> \left(x-3\right)\,\left(x-2\right)\,\left(x-1\right) </math> となる。<br> (II) ここでも地道に24の因数を当てはめていくしかない。24の因数は数が多いのでかなりの計算が必要となる。ここでは、-2を代入すると、 :<math> -8 +4 -14 \cdot (-2) -24 = 0 </math> となり、(x+2)が因数だとわかる。除法を行なうと、<math>x^2 -x -12</math>が得られるが、(x-4)(x+3)に因数分解できる。答えは、 :<math> \left(x-4\right)\,\left(x+2\right)\,\left(x+3\right) </math> となる。 ===== 高次方程式 ===== 因数分解や因数定理を利用して高次方程式を解いてみよう。 * 問題例問題高次方程式<br> (I) :<math> x^3-8=0 </math> (II) :<math> x^4-2x^2-8=0 </math> (III) :<math> x^3-5x^2+7x-2=0 </math> を解け。解答 (I) 左辺を<math> a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) </math>を用いて因数分解すると :<math> (x-2)(x^2+2x+4)=0 </math> したがって<math>\ x-2=0</math>　または<math>\ x^2+2x+4=0</math><br> よって :<math> x=2\ , \ -1 \pm \sqrt{3} i </math> (II) 　<math>\ x^2=X\ </math>とおくと、 :<math> X^2-2X-8=0 </math> 左辺を因数分解すると :<math> (X-4)(X+2)=0 </math> よって　<math>X=4\ ,\ X=-2</math><br> ゆえに　<math>x^2=4\ ,\ x^2=-2</math><br> したがって :<math> x= \pm 2\ ,\ \pm \sqrt{2} i </math> (III) 　<math>\ P(x)=x^3-5x^2+7x-2\ </math>とおく。 :<math> P(2)=2^3-5 \times 2^2+7 \times 2-2=0 </math> したがって、<math>\ x-2\ </math>は<math>\ P(x)\ </math>の因数である。<br> :<math> P(x)=(x-2)(x^2-3x+1) </math> よって　<math>(x-2)(x^2-3x+1)=0</math><br> <math>\ x-2=0</math>　または<math>\ x^2-3x+1=0</math><br> したがって :<math> x= 2\ ,\ \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} </math> =====（発展）3次方程式の解と係数の関係===== 3次方程式 <math>ax^3+ bx^2+ cx+d=0</math> の3つの解を、<math>\alpha\ ,\ \beta\ ,\ \gamma</math> とすると :<math>ax^3+ bx^2+ cx+d=a(x- \alpha)(x- \beta)(x- \gamma)</math> が成り立つ。<br> 右辺を展開すると :<math>a(x- \alpha)(x- \beta)(x- \gamma)</math> :<math>=a(x- \alpha)\left\{x^2-(\beta + \gamma)x+ \beta \gamma \right\}</math> :<math>=a \left\{x^3-(\alpha + \beta + \gamma)x^2+ (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma \right\}</math> よって :<math>ax^3+ bx^2+ cx+d=a \left\{x^3-(\alpha + \beta + \gamma)x^2+ (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma \right\}</math> ゆえに :<math>b=-a(\alpha + \beta + \gamma)\ ,\ c= a(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)\ ,\ d= -a \alpha \beta \gamma</math> したがって、次のことが成り立つ。 {\| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:pink"\|'''3次方程式の解と係数の関係''' \|- \|style="padding:5px"\| 3次方程式 <math>ax^3+ bx^2+ cx+d=0</math> の3つの解を、<math>\alpha\ ,\ \beta\ ,\ \gamma</math> とすると <center><math>\alpha + \beta + \gamma =- \frac{b}{a}\ ,\ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha= \frac{c}{a}\ ,\ \alpha \beta \gamma =- \frac{d}{a}</math></center> \|} == コラム == === 複素数は「存在する」か？ === しばしば虚数は「現実には存在しない数」であると言われることがあり、歴史的にも虚数を扱った数学を考えるべきではないと考えられた時代は長かった。その時代の先進的な数学者の中には、虚数を有効に活用して研究を進める一方で、成果を発表する際には虚数を表に出さずに記述する努力をすることで、無用な抵抗を受けないように工夫した者もいたと言われるほどである。だが、よく考えてみれば、数が「現実に存在する」とはどういう意味なのだろうか。現実に鉛筆を使って紙に円を描くならば、円周の長さを「正確に円周率そのものにする」ことは不可能であるように思われるが、その割に円周率という実数は「存在する」と感じられるのはなぜだろうか。数直線が実数の「実在」を信じさせるならば、複素数は複素数平面（数学Cで習う）の上に存在するのだから、同じではないだろうか。このように考えると、そもそも数とはすべてある意味で想像上の存在であり、それに対して「存在する」「存在しない」という問いを立てることがナンセンスであるように思われる。「存在しない」ように思われがちな虚数であるが、たとえば物理学の一分野である量子力学のシュレディンガー方程式に表れるなど、応用上のさまざまな場面においても、虚数を使って記述することが自然な対象は多いのだ。 === 複素数には「大小関係がない」 === 複素数どうしについて、その大小関係は定義しない。その理由は、どのように大小関係を定義しても、便利な性質を満たすことができないからである。具体的に言えば、既に述べた実数の大小関係についての「不等式の基本性質(1)(2)(3)(4)」にあたる式を成り立たせることができないのだ。たとえば、<math>a+bi<a'+b'i</math>であることを、<math>a^2+b^2<a'^2+b'^2</math>であることとして定義してみよう。このように定義すると、たとえば1+2i<2-3iであり、また2+3i<3+4iである。ところが、(1+2i)+(2+3i)=3+5i,(2-3i)+(3+4i)=5+iであり、3+5i>5+iとなってしまう。これは基本性質(2)が成り立たないことを意味する。もちろんこれは適当に考えた定義がたまたま不適切だったというだけのことだが、実は、他にどのように定義してもこのような困難からは逃れられないことが知られている。それゆえに、複素数には大小関係を定義しないのである。 === 複素数の平方根 (※発展) === 今度は、複素数の平方根について考えてみよう。正の数<math>a</math>を考えたとき、 :<math>a</math>の平方根は<math>\pm \sqrt{a}</math> :<math>-a</math>の平方根は<math>\pm \sqrt{a} i</math> では、 :<math>\pm a i</math>の平方根はどのように表せるだろうか。虚数単位<math>i</math>の平方根を考えると、これはzについての方程式 <math>z^2 = i</math> の解 z の値であるから、これを解けばよい。どのような複素数zならこの式を満たすことができるだろうか。 zを複素数とすると、<math>z = x + yi</math>(x,yは実数)と表される。 <math>(x + yi)^2 = i \Leftrightarrow x^2 + 2xyi - y^2 = i \Leftrightarrow (x^2-y^2)+(2xy-1)i = 0</math> <math>x^2-y^2,2xy-1</math>は実数であるから、実部と虚部が共に０にならねばならないから、 <math>\begin{cases} x^2-y^2=0 (\Leftrightarrow x= \pm y ) \\ 2xy-1=0 \end{cases}</math> <math>x=y</math>のとき、<math>2x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}},y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}</math> (複号同順。x,yは共に実数であるから、条件を満たす。) <math>x=-y</math>のとき、<math>-2y^2=1 \Leftrightarrow y^2=-\frac{1}{2}</math> ここで、これを満たす実数yは存在しないから不適。よって、<math>z=\pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)</math><sub>■</sub> 問題例 * 問題 :<math>i \,\!</math>を虚数単位とするとき、次の問いに答えよ。 :(I) <math>-i,30i \,\!</math>の平方根を求めよ。 :(II) 2次方程式 <math>z^2 - 30i - 16 = 0 \,\!</math> を解け。 :(III) 3次方程式 <math>z^3 = i \,\!</math> を解け。 ** 解答 :(I) ::<math>\pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i\right) , \pm\left(\sqrt{15}+\sqrt{15}i\right)</math> :(II) ::<math>z=5+3i , -5-3i \,\!</math> :(III) ::<math>z=-i,\frac{i\pm\sqrt{3}}{2}</math> :今回挙げた問題は、全て<math>z=x+yi</math>(x,yは実数)と置くことで求められる。(III)は、<math>(x+yi)^3-i=x(x^2-3y^2)+(3x^2y-y^3-1)i=0</math>より、実部がゼロを考慮して<math>x=0</math>か<math>x=\pm\sqrt{3}y</math>だが、虚部もゼロなので、xの値が前者のとき<math>y=-1</math>、後者のとき<math>y=1/2</math>となることがすぐにわかる。 === 高次方程式の「解の公式」 === 2次方程式には解の公式があり、日本の中学や高校でも習う。2次方程式の解の公式を用いれば、どんな係数の2次方程式であっても解を求められる。3次方程式と4次方程式にも、解の公式は存在し、係数がどんな係数であっても解を求められる。これらの解の公式は、[[代数方程式論]]で述べているように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができる。 5次方程式では、4次以下の方程式とは状況が異なる。一般の5次方程式の解は、2次方程式や4次方程式のように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができないのである。ただし、「できない」ことの証明は容易ではない。このことを証明するには、[[ガロア理論]]を理解する必要がある（日本の大学の標準的なカリキュラムでは、理学部数学科の学生のみが大学3年生で学ぶのが一般的な程度の理論である）。なお、ここで言う「表すことができない」とは一般の方程式についてのことであり、特別な5次方程式の場合は簡単に解が求められる。たとえば、<math> x^5 -32 = 0 </math> は解のひとつとして <math> x=2 </math> をもつことはすぐわかる。この方程式は他の解についても三角関数を用いて簡単に表せることを[[高等学校数学C/複素数平面]]において学ぶ。「係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせ」に拘らなければ、一般の5次方程式の解を求める方法も存在するが、やや高度な数学を用いる必要がある。[[w:五次方程式]]に記述があるので興味のある読者は参照するとよい。 === 複素数と関数 === 高等学校で複素数が出てくる分野はこの分野と数学C「[[高等学校数学C/平面上の曲線\|平面上の曲線]]と複素数平面」のみであり、複素数の基本計算や方程式を複素数範囲で解くこと、複素数の幾何学的意味について扱っている。しかし、大学数学においては、関数の定義域・値域を複素数範囲に広げて考える「[[複素解析学\|複素関数論]]」というものを扱う。実数範囲での関数はx, yともに一次元の実数軸を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには二次元の座標平面で十分であった。しかし、複素数範囲での関数はx, yともに二次元の複素数平面を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには四次元の座標空間が必要であり、三次元空間に住む我々には描画することができない。そのため、複素関数論では関数のグラフを考えることは基本的にない。（ただし、出力された複素数の絶対値を考えることによって三次元グラフに落とし込むことは可能）では何を考えるのかというと、複素関数の微分積分である。複素関数の微分に関連して「正則関数」という用語が出てくるが、複素関数論はこの正則関数というものの性質を調べる学問だと言って良い。複素関数論は物理学の特に波動に関する分野（音・電磁気など）において活躍している。「波動方程式」や「インピーダンス」という言葉は有名だろう。ちなみに、複素数をさらに拡張した数として「[[w:四元数]]」というものがある。この四元数は[[高等学校数学C/ベクトル\|ベクトル]]や[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫#行列を用いた表現とその演算\|行列]]と深い関わりが存在しており、深掘ると面白いのだが、いささか冗長になるため割愛する。なお、四元数をさらに拡張した八元数や十六元数という数も研究されている。 == 演習問題 == {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくII しきとしようめい}} [[Category:高等学校数学II\|しきとしようめい]]	2005-05-04T09:17:55Z	2024-03-29T05:50:31Z	[ "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:コラム" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6II/%E5%BC%8F%E3%81%A8%E8%A8%BC%E6%98%8E%E3%83%BB%E9%AB%98%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
1,902	高等学校数学II/式と証明・高次方程式	本項は高等学校数学IIの式と証明・高次方程式の解説である。 ( a + b ) 5 = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) {\displaystyle (a+b)^{5}=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)} について考えよう。この式を展開するとき、 a 2 b 3 {\displaystyle a^{2}b^{3}} の係数は、右辺の5個の ( a + b ) {\displaystyle (a+b)} から a {\displaystyle a} を3回取る組み合わせに等しいから 5 C 2 = 10 {\displaystyle _{5}\mathrm {C} _{2}=10} である。この考えを拡張してを展開する。 a r b n − r {\displaystyle a^{r}b^{n-r}} の項の係数は、右辺の n {\displaystyle n} 個の ( a + b ) {\displaystyle (a+b)} から a {\displaystyle a} を r {\displaystyle r} 回取る組み合わせに等しいから n C r {\displaystyle _{n}\mathrm {C} _{r}} である。よって、次の式が得られる: 最後の式は数Bの数列で学ぶ総和記号 Σ {\displaystyle \Sigma } である。知らないのなら無視しても良い。この式を二項定理(binomial theorem) という。また、それぞれの項にかかる係数を二項係数(binomial coefficient) と呼ぶことがある。 (I) (II) (II) をそれぞれ計算せよ。二項定理を用いて計算すればよい。実際に計算を行なうと、 (I) (II) (III) となる。すべての自然数nに対して (I) (II) (III) が成り立つことを示せ。二項定理についてa,bに適当な値を代入すればよい。 (I) a = 1,b=1を代入すると、となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。 (II) a=2,b=1を代入すると、となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。 (III) a=1,b=-1を代入すると、となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。二項定理を拡張して ( a + b + c ) n {\displaystyle (a+b+c)^{n}} を展開することを考えよう。 a p b q c r {\displaystyle a^{p}b^{q}c^{r}} ( p + q + r = n ) {\displaystyle (p+q+r=n)} の項の係数は n {\displaystyle n} 個の ( a + b + c ) {\displaystyle (a+b+c)} から p {\displaystyle p} 個の a {\displaystyle a} 、 q {\displaystyle q} 個の b {\displaystyle b} 、 r {\displaystyle r} 個の c {\displaystyle c} を選ぶ組合せに等しいから n ! p ! q ! r ! {\displaystyle {\frac {n!}{p!q!r!}}} である。ここでは、整式の除法と分数式について扱う。整式の除法は、整式を整数のように扱い除法を行なう計算手法のことである。実際に整数の除法と整式の除法には深いつながりがある。整式の因数分解を考えるとそれ以上因数分解できない整式が存在する。この整式を整数でいう素因数のように扱うことで整式の素因数分解が可能になる。上では、整式が整数に対応する性質を持つことを述べた。整数についてはたがいに素な2つの整数を取ることで有理数を定義することが出来る。整式に対しても同じ事が成立ち、そのような式を分数式と呼ぶ。分数を用いないときには、整数の除法は商と余りを用いて定義された。この時、割られる数Bは商Dと割る数A、余りRを用いての性質を満たすことが知られている。整式に対しても似た性質が成立ち、割られる式B(x)が商D(x)と割る式A(x)、余りR(x)を用いて、の右辺でxについて2次の項が現われ左辺と一致しなくなる。よって商は実数である。商をa、余りをrとすると上の式は、となるが、これはa=1,r=1で成立する。よって商1,余り1である。より高次の式に対しても同じ様に答えを定めていけばよい。例として、のような式を考える。この場合、で、B(x)が3次、A(x)が2次であることから、D(x)は1次であり、また、R(x)は2次より小さいことから1次以下の式になる。ここで、D(x)=ax+b,R(x)=cx+dとおくと、が得られる。右辺を展開すると、が得られるが、xにどんな値を入れてもこの等式が成り立たなければならないので、a = 1, b = 0, -a +c = 0, -b +d = 0が得られ、結局a=c=1, b=d=0が得られる。この方法はどの除法に対しても用いることが出来るが、次数が高くなると計算が難しくなる。整数の場合と同様、整式の除法でも筆算を用いることが出来る。上の例を用いて結果だけを書くと、のようになる。)右に書かれた式が割られる式であり、)左に書かれた式が割る式である。--の一番上に書かれた式は商であり、整数の割り算同様左に書かれた数から順に割っていく。ここでは次数が大きい項がより先に計算される項である。割られる式の下にある式は商の第1項を割る式にかけて得る式である。ここでは、 x ( x 2 − 1 ) {\displaystyle x(x^{2}-1)} で、 x 3 − x {\displaystyle x^{3}-x} となる。ただし、整数の除法と同様、位をそろえなくてはならない。その後、割られる式から x 3 − x {\displaystyle x^{3}-x} を引き、残った式を新しい割られる式として扱う。ここでは、得た式が割る式よりも低次であることから、これで計算は終了である。 x 3 + 2 x 2 + 1 {\displaystyle x^{3}+2x^{2}+1} 、 x 4 + 4 x 2 + 3 x + 2 {\displaystyle x^{4}+4x^{2}+3x+2} を、 x 2 + 2 x + 6 {\displaystyle x^{2}+2x+6} で割った商と余りを求めよ。この計算はアニメーションを使って詳しく表示されている。計算手法は、整数の場合の筆算と同じような手法が使える。が得られるので、商 x {\displaystyle x} 、余り − 6 x + 1 {\displaystyle -6x+1} である。 2つ目の式については、が得られる。よって、答は商 x 2 − 2 x + 2 {\displaystyle x^{2}-2x+2} 、余り 11 x − 10 {\displaystyle 11x-10} である。ここまでで整式を整数のように扱い、整式の除法を行なう方法について述べた。ここでは、整式に対して分数式を定義する方法について述べる。分数式とは、整数に対する分数のように、除法によって生じる式である。ここで、除法を行なう式はどのようなものでも差し支えない。分数式では、分子に割られる式を書き、分母に割る式を書く。例えば、は、分子x+1、分母 x 2 + 4 {\displaystyle x^{2}+4} の分数式である。分数式に対しても約分や通分が存在する。約分は共通因数を持った分子分母をもつ分数式で用いられる。この時には分子分母を共通因数で割り、式を簡単にすることが出来る。通分は、分数式の加法の時によく用いられるが、分子分母に同じ整式をかけても分数式が変化しない性質を用いる。を簡単にせよ。また、を計算せよ。について分子と分母を因数分解すると、双方ともにを因数として含んでいることが分かる。このとき、共通の因数は約分することが必要である。計算された値は、となる。次の問題では、を計算する。このとき、両辺の分母をそろえる必要があるが、今回については、単純にそれぞれの分数式の分子と分母に各々の分母をかけて分母を統一すればよい。計算すると、となる。分数式の乗法は、分子分母を別々にかければよい。次の計算をせよ。 (I) (II) (I) (II) 分母が積の形である分数式を二つの分数式の和や差で表された式に変形する操作を部分分数分解という。 1 x ( x + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}}} と 1 ( x + 1 ) ( x + 3 ) {\displaystyle {\frac {1}{(x+1)(x+3)}}} を分数式の和または差の形で表せ。と変形できるので、となり、約分するととなる。次の問題では、と変形することによって、となり、と求まる。部分分数分解の操作を逆に辿ると、分数式の通分の操作と一致する。つまり、部分分数分解は通分の逆の操作である。分子が定数の場合には、上と同様の方法で部分分数分解することができる。 1. 3 ( x − 9 ) ( x − 4 ) {\displaystyle {\frac {3}{(x-9)(x-4)}}} 2. 7 ( 3 x − 1 ) ( 5 − 2 x ) {\displaystyle {\frac {7}{(3x-1)(5-2x)}}} 部分分数分解は数列の和の計算、積分計算、微分を利用した不等式の証明等に役立つ、重要な変形である。等式 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}} は、文字 a , b {\displaystyle a,b} にどのような値を代入しても成り立つ。このような等式を恒等式(こうとうしき)という。等式 1 x − 1 + 1 x + 1 = 2 x x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}={\frac {2x}{x^{2}-1}}} は、両辺とも x = 1 , − 1 {\displaystyle x=1,-1} を代入することはできないが、その他の値であれば代入することができ、またどのような値を代入しても等式が成り立っている。これも恒等式と呼ぶ。いっぽう、 x 2 − x − 2 = 0 {\displaystyle x^{2}-x-2=0} は、x=2 または x=ー1 を代入したときだけ成り立つが、このように文字に特定の値を代入したときにだけ成り立つ式のことを方程式と呼び、恒等式とは区別する。等式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} が x {\displaystyle x} についての恒等式であるのはどのような場合か、考えてみよう。ある式が「 x {\displaystyle x} についての恒等式である」とは、この式の x {\displaystyle x} にどのような値を代入しても、この等式は成り立つという意味である。なので、例えば x {\displaystyle x} に − 1 , 0 , 1 {\displaystyle -1\ ,\ 0\ ,\ 1} を代入した式はすべて成り立つ必要がある。これを解くとなので、等式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} が x {\displaystyle x} についての恒等式になるならば、 a = b = c = 0 {\displaystyle a=b=c=0} でなければならないことがわかる。一般に、等式 a x 2 + b x + c = a ′ x 2 + b ′ x + c ′ {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a'x^{2}+b'x+c'} が恒等式であることと、 ( a − a ′ ) x 2 + ( b − b ′ ) x + ( c − c ′ ) = 0 {\displaystyle (a-a')x^{2}+(b-b')x+(c-c')=0} が恒等式であることと同じである。よってまとめると次のようになる。次の等式が x {\displaystyle x} についての恒等式となるように、 a , b , c {\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c} の値を求めよ。等式の右辺を x {\displaystyle x} について整理するとこの等式が x {\displaystyle x} についての恒等式となるのは、両辺の同じ次数の項の係数が等しいときである。よってこれを解くと恒等式を利用することで、複雑な分数式の部分分数分解ができる。とおく。分母を払ってすなわちこれが x {\displaystyle x} の恒等式なので、係数を比較してすなわち最初の等式に代入して、次の問題は、とおくことにより、上の問題と同様にしてと求まるので、 a~fを定数とする。 a x 2 + b y 2 + c x y + d x + e y + f = 0 {\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f=0} がx, yについての恒等式だとする。左辺をxについて整理すると、 a x 2 + ( c y + d ) x + ( b y 2 + e y + f ) = 0 {\displaystyle ax^{2}+(cy+d)x+(by^{2}+ey+f)=0} である。これがxについての恒等式なので、 a = 0 , c y + d = 0 , b y 2 + e y + f = 0 {\displaystyle a=0,cy+d=0,by^{2}+ey+f=0} が成り立つ。これらは更にyについての恒等式なので、以下の等式が得られる。逆に、これが成り立てば元の式は明らかにx, yについての恒等式である x 2 + a x y + 6 y 2 − x + 5 y + b = ( x − 2 y + c ) ( x − 3 y + d ) {\displaystyle x^{2}+axy+6y^{2}-x+5y+b=(x-2y+c)(x-3y+d)} がx,yについての恒等式となるようにa,b,c,dを定めよ。さきほど紹介した「恒等式」という言葉を使って「証明」の意味を説明するなら、「等式を証明する」とは、その式が恒等式であることを示すことである。一般に、等式 A=B を証明するためには、次のような手順のいずれかを実行すればよい。このとき、変形は同値変形でなければならないことに注意。 ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 = 4 a b {\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab} が成り立つことを証明せよ。 (証明) 左辺を展開すると、となり、これは右辺に等しい。よって、等式 ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 = 4 a b {\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab} は証明された。(終) ( x + y ) 2 + ( x − y ) 2 = 2 ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle (x+y)^{2}+(x-y)^{2}=2(x^{2}+y^{2})} が成り立つことを証明せよ。左辺を計算すると、これは右辺に等しい。よって等式が成り立つことが証明された。(終) 次の等式が成り立つことを証明せよ。 (I) (I) (左辺) = ( 36 a 2 + 84 a b + 49 b 2 ) + ( 49 a 2 − 84 a b + 36 a 2 ) = 85 a 2 + 85 b 2 {\displaystyle =(36a^{2}+84ab+49b^{2})+(49a^{2}-84ab+36a^{2})=85a^{2}+85b^{2}} (右辺) = ( 81 a 2 + 36 a b + 4 b 2 ) + ( 4 a 2 − 36 a b + 81 b 2 ) = 85 a 2 + 85 b 2 {\displaystyle =(81a^{2}+36ab+4b^{2})+(4a^{2}-36ab+81b^{2})=85a^{2}+85b^{2}} 両辺とも同じ式になるから恒等式でないときも、与えられた条件から等式を証明することができる。より、よって、 a 3 + b 3 + c 3 = 3 a b c {\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc} である。また、より、上式の右辺をkとおくと、なので、よって、 a + c b + d = a − c b − d {\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a-c}{b-d}}} である。なお、比 a : b {\displaystyle a:b} について a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} を比の値という。また、 a : b = c : d ⟺ a b = c d {\displaystyle a:b=c:d\iff {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}} を比例式という。 a x = b y = c z {\displaystyle {\frac {a}{x}}={\frac {b}{y}}={\frac {c}{z}}} が成り立つとき、 a : b : c = x : y : z {\displaystyle a:b:c=x:y:z} と表す。これを連比という。不等式のさまざまな公式については、次の4つの式を基本的な式として導出できる場合がよくある。高校数学では、次の4つの性質が不等式の「基本性質」などとして紹介されている。 (3)と(4)については、ひとつの性質としてまとめている検定教科書もある(※ 啓林館など)。数学IAで習った「ならば」の意味の記号 ⟹ {\displaystyle \Longrightarrow } を使うと、とも書ける。上述の4つの基本性質から、を証明してみよう。 (証明) まず a>0 なので、基本性質(2)よりである。よって、なので、基本性質(1)より a + b > 0 {\displaystyle a+b>0} が成り立つ。(終) 同様にして、を証明できる。ここまでに示したことから、不等式 A ≧ B {\displaystyle A\geqq B} を証明したい場合には、を証明すればよいことがわかった。こちらの方が証明しやすい場合がよくある。不等式を証明する際に根拠とする基本的な不等式として、次の性質がある。この定理(「実数を2乗すると、かならずゼロ以上である」)を、基本性質(3),(4)を使って証明してみよう。 (証明) aが正の場合と負の場合と0の場合の3通りに場合わけする。 [aが正の場合] このとき、基本性質(3)より、である。すなわち、である。 [aが負の場合] このとき、基本性質(4)より 0 a < a a {\displaystyle 0a<aa} である。すなわち、である。 [aがゼロの場合] このとき、 a 2 = 0 {\displaystyle a^{2}=0} である。よって、すべての場合について a 2 ≧ 0 {\displaystyle a^{2}\geqq 0} (終) このことと基本性質(1)(2)より、次が成り立つこともわかる。次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (証明) を証明すればよい。左辺を展開してまとめると、となる。上式の最後の式の項について、だから、である。よってである。(終) 2つの正の数 a, b が a>b または a≧b ならば、両辺を2乗しても大小関係は同じままである。つまり、である。 a>bとする。仮定より、a,b は正の数なので、 ( a + b ) > 0 {\displaystyle (a+b)>0} であり、別の仮定より、 a > b なので、 ( a − b ) > 0 {\displaystyle (a-b)>0} でもある。よって、 a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) > 0 {\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)>0} 逆に、 a 2 − b 2 > 0 {\displaystyle a^{2}-b^{2}>0} のとき、 ( a + b ) ( a − b ) > 0 {\displaystyle (a+b)(a-b)>0} であり、 a > 0 , b > 0 {\displaystyle a>0,b>0} なので a + b > 0 {\displaystyle a+b>0} である。よって、 a − b > 0 {\displaystyle a-b>0} なので、 a > b {\displaystyle a>b} である。よって、 a > b ⟺ a 2 > b 2 {\displaystyle a>b\quad \Longleftrightarrow \quad a^{2}>b^{2}} である。 a≧bの場合も同様に証明できる。練習として、次の問題を問いてみよう。 a > 0 {\displaystyle a>0} , b > 0 {\displaystyle b>0} のとき、次の不等式を証明せよ。 (証明) 不等式の両辺は正であるので、両辺の平方の差を考えればよい。両辺の平方の差はである。ここで、a,b はともに正の実数なので、であることを用いた。であるので、となる。よって、である。(終) 実数 a の絶対値 \|a\| について、であるから、次のことが成り立つ。 \|a\|≧a , \|a\|≧ ーa , \|a\|=a また、2つの実数 a, b の絶対値 \|ab\| については、が成り立つので、これにさらに \|ab\|≧0 , \|a\|\|b\|≧0 を組み合わせて、 \|ab\| = \|a\| \|b\| が成り立つ。 (例題) 次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合かを調べよ。両辺の平方の差を考えると、これがもし正なら、与えられた不等式 \|a\|+\|b\| ≧ \|a+b\| が正しい。ここで、 \|a\| \|b\| ≧ ab であるので、である。したがって、 \|a\|+\|b\| ≧ \|a+b\| である。等号が成り立つのは \|a\| \|b\| = ab の場合、すなわち ab ≧ 0 の場合である。(証明おわり) 2つの数 a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} に対し、 a + b 2 {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}} を相加平均(そうかへいきん)と言い、 a b {\displaystyle {\sqrt {ab}}} を相乗平均(そうじょうへいきん)という。本ページでは、2個の数の平均について考察する。相加平均と相乗平均について、次の関係式が成り立つ。 (証明) a ≧ 0 , b ≧ 0 {\displaystyle a\geqq 0,b\geqq 0} のとき ( a − b ) 2 ≧ 0 {\displaystyle \left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}\geqq 0} であるから、 ( a − b ) 2 2 ≧ 0 {\displaystyle {\frac {\left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}}{2}}\geqq 0} したがって a + b 2 ≧ a b {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqq {\sqrt {ab}}} 等号が成り立つのは、 ( a − b ) 2 = 0 {\displaystyle \left({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}\right)^{2}=0} のとき、すなわち a = b {\displaystyle a=b} のときである。(証明おわり) 公式の利用では、上の式 a + b 2 ≧ a b {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\geqq {\sqrt {ab}}} の両辺に2をかけた a + b ≧ 2 a b {\displaystyle a+b\geqq 2{\sqrt {ab}}} の形の式を使う場合もある。 a > 0 {\displaystyle a>0} , b > 0 {\displaystyle b>0} のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (I) (II) (I) a > 0 {\displaystyle a>0} であるから、 1 a > 0 {\displaystyle {\frac {1}{a}}>0} よって a + 1 a ≧ 2 a × 1 a = 2 {\displaystyle a+{\frac {1}{a}}\geqq 2{\sqrt {a\times {\frac {1}{a}}}}=2} したがって (II) a > 0 {\displaystyle a>0} , b > 0 {\displaystyle b>0} であるから、 b a > 0 {\displaystyle {\frac {b}{a}}>0} , a b > 0 {\displaystyle {\frac {a}{b}}>0} よって b a + a b + 2 ≧ 2 b a × a b + 2 = 2 + 2 = 4 {\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {a}{b}}+2\geqq 2{\sqrt {{\frac {b}{a}}\times {\frac {a}{b}}}}+2=2+2=4} したがって 2乗して負になる数、というものを考える。このような数は、中学で習った実数の中にはないことがわかる。なぜならば、正の数でも負の数でも2乗すると符号が打ち消して正の数になってしまうからである。そこで高校では、2乗して負になるという性質を持つ数の概念を新しく導入することにする。という方程式を考える。この方程式の解は実数にはない。そこで、この方程式の解となる数を新しく作り、その単位を文字 i {\displaystyle i} であらわす。この i {\displaystyle i} のことを虚数単位(きょすうたんい)と呼ぶ。(虚数単位の記号 i 、英語のアルファベットのアイの小文字で、 imaginary unit に由来すると考えられている。) 1 + i {\displaystyle 1+i} や 2 + 5 i {\displaystyle 2+5i} のように、虚数単位 i {\displaystyle i} と実数 a , b {\displaystyle a,b} を用いてと表すことができる数を複素数(ふくそすう)という。このとき、aをこの複素数の実部(じつぶ)といい、bを虚部(きょぶ)という。例えば、 1 + i , 2 + 5 i , 9 2 + 7 2 i , 4 i , 3 {\displaystyle 1+i,\quad 2+5i,\quad {\frac {9}{2}}+{\frac {7}{2}}i,\quad 4i,\quad 3} は、いずれも複素数である。複素数 a+bi は(ただし aとbは実数)、bが0の場合に、これを実数と見ることができる。言い方をかえると、複素数を基準に考えると、実数とは、 a+0i のような、虚部の係数がゼロになる複素数のことであるとも言える。 4iのような、虚部が0以外で実部がゼロの複素数を純虚数(じゅんきょすう)と呼ぶ。純虚数は、2乗すると負になる数である。実数も虚部が0の複素数と考えられる。実数でない複素数のことを「虚数」(きょすう)という。 2つの複素数 a+bi と c+di とが等しいとは、であることである。つまり、とくに、複素数a+bi が 0であるとは、a=0 かつ b=0 であることである。複素数 z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} に対して、虚部の符号を反転させた複素数 a − b i {\displaystyle a-bi} のことを「共役(きょうやく)な複素数」または「複素数 z {\displaystyle z} の共役」のように呼び、 z ̄ {\displaystyle {\bar {z}}} であらわす。なお、「共役」は「共軛」の常用漢字による書き換えである。実数aと共役な複素数は、その実数 a 自身である。複素数 z=a+bi について複素数にも四則演算(加減乗除)が定義される。複素数の演算では、虚数単位 i {\displaystyle i} を、通常の文字のように扱って計算する。一般に複素数 z , w {\displaystyle z\ ,\ w} が、 z = a + b i , w = c + d i {\displaystyle z=a+bi\ ,\ w=c+di} で与えられるとき(ただし a , b , c , d {\displaystyle a\ ,\ b\ ,\ c\ ,\ d} は実数とする)、というふうに複素数の加減乗除の計算法が定められている。乗法の定義は、一見すると難しそうにみえるが、実数の分配法則と同様に展開していき最後に iにマイナス1を代入していっただけである。除法の定義は、分子と分母に、分母と共役な形の式を掛け算しただけである。乗法や除法の定義式を暗記する必要は無く、計算の際には、必要に応じて分配法則や共役などの、必要な式変形を行えばいい。例題 2つの複素数について、 a + b {\displaystyle a+b} と a b {\displaystyle ab} と a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}} を、それぞれ計算せよ。解答である。を、さらに簡単にできないだろうか。実は、ちょっとしたテクニックを用いればより見やすい形にできる。分数は分母と分子に同じ数をかけてよかったので、分母と分子に分母の共役をかけてみる。すると、が得られる。この形のほうが元の式よりもずっと見やすい形である。このような操作を分母の実数化ということもある。数学Iで学習した展開・因数分解公式 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 {\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}} の簡単な応用である。数の範囲を複素数にまで拡張すると、負の数の平方根も考えることができる。例として、 -5 の平方根について考えてみよう。であるから、 -5 の平方根は 5 i {\displaystyle {\sqrt {5}}\ i} と − 5 i {\displaystyle -{\sqrt {5}}\ i} である。 − 5 {\displaystyle {\sqrt {-5}}} とは、 5 i {\displaystyle {\sqrt {5}}\ i} のこととする。 − − 5 {\displaystyle -{\sqrt {-5}}} とは、 − 5 i {\displaystyle -{\sqrt {5}}\ i} のことである。とくに − 1 = i {\displaystyle {\sqrt {-1}}\ =\ i} である。さて、-5 の平方根は、方程式 x 2 = − 5 {\displaystyle x^{2}=-5} の解でもある。この方程式を移項することにより、-5 の平方根は、の解であるともいえる。さらに因数分解をすることにより、-5 の平方根は方程式の解でもあるともいえる。 (I) − 2 − 6 {\displaystyle {\sqrt {-2}}\ {\sqrt {-6}}} を計算せよ。 (I) このように、まず、マイナスの数の平方根が出てきたら、まず虚数単位 i を用いた式に書き換える。そのあと、かけ算をしていく。 (II) 2 − 3 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {-3}}}} を計算せよ。 (III) 2次方程式 x 2 = − 7 {\displaystyle x^{2}=-7} を解け。 (II) (III) 複素数の応用として、ここでは2次方程式の性質について述べる。任意の2次方程式は、解の公式によって解かれることを高等学校数学Iで述べた。しかし、解の公式に含まれる根号の中身が負の数の場合には実数解が存在しないことに注意する必要がある。2次方程式の解の公式は、である。判別式 D {\displaystyle D} はによって定義される。判別式は、解の公式の根号(ルート記号のこと)の中身に等しく、判別式の正負によって2次方程式が実数解を持つかどうかが決まる。 D {\displaystyle D} が負のときにはこの2次方程式は実数の範囲には解を持たない。判別式 D {\displaystyle D} が負の数であったとき、xの解は異なる2つの虚数になり、その2つの解は共役の関係になっている。複素数を用いて、2次方程式 (1) (2) (3) を解け。解の公式を用いて解けばよい。(1)だけを計算すると、となる。他も同じように扱うことが出来る。以降の解答は、 (2) (3) となる。方程式の解で、実数であるものを実数解という。方程式の解で、虚数であるものを虚数解という。 2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の解は x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} である。 2次方程式の解の種類は、解の公式の中の根号の中の式 b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} の符号を見れば判別することができる。この式 b 2 − 4 a c {\displaystyle b^{2}-4ac} を、2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の判別式(はんべつしき)といい、記号 D {\displaystyle D} で表す。また、重解も実数解であるので、といえる。次の2次方程式の解を判別せよ。 (I) (II) (III) (I) だから、異なる2つの実数解をもつ。 (II) だから、異なる2つの虚数解をもつ。 (III) だから、重解をもつ。また、2次方程式 a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0} のとき、 D = 4 ( b ′ 2 − a c ) {\displaystyle D=4(b'^{2}-ac)} となるので、 2次方程式 a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0} の判別式にはをもちいてもよい。これを用いて、前の問題の解を判別しよう。 a = 4 , b ′ = − 10 , c = 25 {\displaystyle a=4\,,\,b'=-10\,,\,c=25} であるからだから、重解をもつ。 2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の2つの解を α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } とする。この方程式は、 a ( x − α ) ( x − β ) = 0 {\displaystyle a(x-\alpha )(x-\beta )=0} と変形できる。これを展開すると、 a x 2 − a ( α + β ) x + a α β = 0 {\displaystyle ax^{2}-a(\alpha +\beta )x+a\alpha \beta =0} 係数を比較して、 c = a α β , b = − a ( α + β ) {\displaystyle c=a\alpha \beta ,b=-a(\alpha +\beta )} を得る。これを変形すれば、 α + β = − b a , α β = c a {\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}},\alpha \beta ={\frac {c}{a}}} となる。 2次方程式 2 x 2 + 4 x + 3 = 0 {\displaystyle 2x^{2}+4x+3=0} の2つの解を α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } とするとき、 α 2 + β 2 {\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}} の値を求めよ。解と係数の関係より、 α + β = − 4 2 = − 2 {\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {4}{2}}=-2} , α β = 3 2 {\displaystyle \alpha \beta ={\frac {3}{2}}} α 2 + β 2 = ( α + β ) 2 − 2 α β = ( − 2 ) 2 − 2 × 3 2 = 1 {\displaystyle \alpha ^{2}+\beta ^{2}=(\alpha +\beta )^{2}-2\alpha \beta =(-2)^{2}-2\times {\frac {3}{2}}=1} 2つの数 α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } を解とする2次方程式はと表される。左辺を展開して整理すると次のようになる。次の2数を解とする2次方程式を作れ。 (I) (II) (I) 和 ( 3 + 5 ) + ( 3 − 5 ) = 6 {\displaystyle (3+{\sqrt {5}})+(3-{\sqrt {5}})=6} 積 ( 3 + 5 ) ( 3 − 5 ) = 4 {\displaystyle (3+{\sqrt {5}})(3-{\sqrt {5}})=4} であるから (II) 和 ( 2 + 3 i ) + ( 2 − 3 i ) = 4 {\displaystyle (2+3i)+(2-3i)=4} 積 ( 2 + 3 i ) ( 2 − 3 i ) = 13 {\displaystyle (2+3i)(2-3i)=13} であるから 2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の2つの解 α {\displaystyle \alpha } , β {\displaystyle \beta } がわかると、2次式を因数分解することができる。解と係数の関係 α + β = − b a {\displaystyle \alpha +\beta =-{\frac {b}{a}}} , α β = c a {\displaystyle \alpha \beta ={\frac {c}{a}}} から、 2次方程式は、複素数の範囲で考えるとつねに解をもつから、複素数まで使ってよいとすると、2次式は必ず1次式の積に因数分解することができる。複素数の範囲で考えて、次の2次式を因数分解せよ。 (I) (II) (I) 2次方程式 x 2 + 4 x − 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+4x-1=0} の解はよって (II) 2次方程式 2 x 2 − 3 x + 2 = 0 {\displaystyle 2x^{2}-3x+2=0} の解はよって 3次以上の整式による方程式を考える。一般に方程式を P ( x ) = 0 {\displaystyle P(x)=0} ととる。ただし、 P ( x ) {\displaystyle P(x)} は、任意の次数の整式とする。 P ( x ) {\displaystyle P(x)} を1次式 x − a {\displaystyle x-a} で割ったときの商を Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} 、余りを R {\displaystyle R} とすると、この両辺の x {\displaystyle x} に a {\displaystyle a} を代入すると、つまり、 P ( x ) {\displaystyle P(x)} を x − a {\displaystyle x-a} で割ったときの余りは P ( a ) {\displaystyle P(a)} である。整式 P ( x ) = x 3 − 2 x + 3 {\displaystyle P(x)=x^{3}-2x+3} を次の式で割った余りを求めよ。 (I) (II) (III) (I) P ( 2 ) = 2 3 − 2 × 2 + 3 = 7 {\displaystyle P(2)=2^{3}-2\times 2+3=7} (II) P ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 − 2 × ( − 1 ) + 3 = 4 {\displaystyle P(-1)=(-1)^{3}-2\times (-1)+3=4} (III) P ( 1 2 ) = ( 1 2 ) 3 − 2 × ( 1 2 ) + 3 = 17 8 {\displaystyle P\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{3}-2\times \left({\frac {1}{2}}\right)+3={\frac {17}{8}}} ある実数 a {\displaystyle a} に対して、が成り立ったとする。このとき、整式 P ( x ) {\displaystyle P(x)} は、 ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} を因数に持つことが分る。このことを因数定理(いんすうていり)と呼ぶ。整式 P ( x ) {\displaystyle P(x)} に対して、商 Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} 、割る式 ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} とする整式の除法を用いる。このとき、商 Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} 、 ( Q ( x ) {\displaystyle Q(x)} は、 P ( x ) {\displaystyle P(x)} よりも1だけ次数が低い整式である。) 余り c {\displaystyle c} ( c {\displaystyle c} は、実数。)とすると、整式 P ( x ) {\displaystyle P(x)} は、と書ける。ここで、 c = 0 {\displaystyle c=0} でないと、 P ( a ) = 0 {\displaystyle P(a)=0} は満たされないが、このとき、 P ( x ) {\displaystyle P(x)} は、 ( x − a ) {\displaystyle (x-a)} によって割り切れる。よって、因数定理は成立する。因数定理を用いることで、より次数の高い整式を因数分解することが出来るようになる。例えば、3次の整式について、 x = 1 {\displaystyle x=1} を代入すると、は0となる。よって、因数定理よりこの式はを因数として持つ。ここで、実際整式の除法を使って計算すると、が得られる。因数定理を用いて (I) (II) を因数分解せよ。 (I) 因数分解の結果が(x+整数)の積の形なら、整数は6の因数でなければならない。そのため、 ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 {\displaystyle \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6} が候補となる。これらについては実際に代入して確かめるしかない。x=1を代入すると、となるので、(x-1)が因数となる。実際に整式の除法を行なうと、商として x 2 − 5 x + 6 {\displaystyle x^{2}-5x+6} が得られるが、これは ( x − 2 ) ( x − 3 ) {\displaystyle (x-2)(x-3)} に因数分解できる。よって答えは、となる。 (II) ここでも地道に24の因数を当てはめていくしかない。24の因数は数が多いのでかなりの計算が必要となる。ここでは、-2を代入すると、となり、(x+2)が因数だとわかる。除法を行なうと、 x 2 − x − 12 {\displaystyle x^{2}-x-12} が得られるが、(x-4)(x+3)に因数分解できる。答えは、となる。因数分解や因数定理を利用して高次方程式を解いてみよう。高次方程式 (I) (II) (III) を解け。 (I) 左辺を a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) {\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})} を用いて因数分解するとしたがって x − 2 = 0 {\displaystyle \ x-2=0} または x 2 + 2 x + 4 = 0 {\displaystyle \ x^{2}+2x+4=0} よって (II) x 2 = X {\displaystyle \ x^{2}=X\ } とおくと、左辺を因数分解するとよって X = 4 , X = − 2 {\displaystyle X=4\ ,\ X=-2} ゆえに x 2 = 4 , x 2 = − 2 {\displaystyle x^{2}=4\ ,\ x^{2}=-2} したがって (III) P ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 7 x − 2 {\displaystyle \ P(x)=x^{3}-5x^{2}+7x-2\ } とおく。したがって、 x − 2 {\displaystyle \ x-2\ } は P ( x ) {\displaystyle \ P(x)\ } の因数である。よって ( x − 2 ) ( x 2 − 3 x + 1 ) = 0 {\displaystyle (x-2)(x^{2}-3x+1)=0} x − 2 = 0 {\displaystyle \ x-2=0} または x 2 − 3 x + 1 = 0 {\displaystyle \ x^{2}-3x+1=0} したがって 3次方程式 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} の3つの解を、 α , β , γ {\displaystyle \alpha \ ,\ \beta \ ,\ \gamma } とするとが成り立つ。右辺を展開するとよってゆえにしたがって、次のことが成り立つ。しばしば虚数は「現実には存在しない数」であると言われることがあり、歴史的にも虚数を扱った数学を考えるべきではないと考えられた時代は長かった。その時代の先進的な数学者の中には、虚数を有効に活用して研究を進める一方で、成果を発表する際には虚数を表に出さずに記述する努力をすることで、無用な抵抗を受けないように工夫した者もいたと言われるほどである。だが、よく考えてみれば、数が「現実に存在する」とはどういう意味なのだろうか。現実に鉛筆を使って紙に円を描くならば、円周の長さを「正確に円周率そのものにする」ことは不可能であるように思われるが、その割に円周率という実数は「存在する」と感じられるのはなぜだろうか。数直線が実数の「実在」を信じさせるならば、複素数は複素数平面(数学Cで習う)の上に存在するのだから、同じではないだろうか。このように考えると、そもそも数とはすべてある意味で想像上の存在であり、それに対して「存在する」「存在しない」という問いを立てることがナンセンスであるように思われる。「存在しない」ように思われがちな虚数であるが、たとえば物理学の一分野である量子力学のシュレディンガー方程式に表れるなど、応用上のさまざまな場面においても、虚数を使って記述することが自然な対象は多いのだ。複素数どうしについて、その大小関係は定義しない。その理由は、どのように大小関係を定義しても、便利な性質を満たすことができないからである。具体的に言えば、既に述べた実数の大小関係についての「不等式の基本性質(1)(2)(3)(4)」にあたる式を成り立たせることができないのだ。たとえば、 a + b i < a ′ + b ′ i {\displaystyle a+bi<a'+b'i} であることを、 a 2 + b 2 < a ′ 2 + b ′ 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}<a'^{2}+b'^{2}} であることとして定義してみよう。このように定義すると、たとえば1+2i<2-3iであり、また2+3i<3+4iである。ところが、(1+2i)+(2+3i)=3+5i,(2-3i)+(3+4i)=5+iであり、3+5i>5+iとなってしまう。これは基本性質(2)が成り立たないことを意味する。もちろんこれは適当に考えた定義がたまたま不適切だったというだけのことだが、実は、他にどのように定義してもこのような困難からは逃れられないことが知られている。それゆえに、複素数には大小関係を定義しないのである。今度は、複素数の平方根について考えてみよう。正の数 a {\displaystyle a} を考えたとき、では、虚数単位 i {\displaystyle i} の平方根を考えると、これはzについての方程式 z 2 = i {\displaystyle z^{2}=i} の解 z の値であるから、これを解けばよい。どのような複素数zならこの式を満たすことができるだろうか。 zを複素数とすると、 z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} (x,yは実数)と表される。 ( x + y i ) 2 = i ⇔ x 2 + 2 x y i − y 2 = i ⇔ ( x 2 − y 2 ) + ( 2 x y − 1 ) i = 0 {\displaystyle (x+yi)^{2}=i\Leftrightarrow x^{2}+2xyi-y^{2}=i\Leftrightarrow (x^{2}-y^{2})+(2xy-1)i=0} x 2 − y 2 , 2 x y − 1 {\displaystyle x^{2}-y^{2},2xy-1} は実数であるから、実部と虚部が共に0にならねばならないから、 { x 2 − y 2 = 0 ( ⇔ x = ± y ) 2 x y − 1 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0(\Leftrightarrow x=\pm y)\\2xy-1=0\end{cases}}} x = y {\displaystyle x=y} のとき、 2 x 2 = 1 ⇔ x = ± 1 2 , y = ± 1 2 {\displaystyle 2x^{2}=1\Leftrightarrow x=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},y=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}} (複号同順。x,yは共に実数であるから、条件を満たす。) x = − y {\displaystyle x=-y} のとき、 − 2 y 2 = 1 ⇔ y 2 = − 1 2 {\displaystyle -2y^{2}=1\Leftrightarrow y^{2}=-{\frac {1}{2}}} ここで、これを満たす実数yは存在しないから不適。よって、 z = ± ( 1 2 + 1 2 i ) {\displaystyle z=\pm \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i\right)} ■ 実部がゼロを考慮して x = 0 {\displaystyle x=0} か x = ± 3 y {\displaystyle x=\pm {\sqrt {3}}y} だが、虚部もゼロなので、xの値が前者のとき y = − 1 {\displaystyle y=-1} 、後者のとき y = 1 / 2 {\displaystyle y=1/2} となることがすぐにわかる。 2次方程式には解の公式があり、日本の中学や高校でも習う。2次方程式の解の公式を用いれば、どんな係数の2次方程式であっても解を求められる。3次方程式と4次方程式にも、解の公式は存在し、係数がどんな係数であっても解を求められる。これらの解の公式は、代数方程式論で述べているように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができる。 5次方程式では、4次以下の方程式とは状況が異なる。一般の5次方程式の解は、2次方程式や4次方程式のように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができないのである。ただし、「できない」ことの証明は容易ではない。このことを証明するには、ガロア理論を理解する必要がある(日本の大学の標準的なカリキュラムでは、理学部数学科の学生のみが大学3年生で学ぶのが一般的な程度の理論である)。なお、ここで言う「表すことができない」とは一般の方程式についてのことであり、特別な5次方程式の場合は簡単に解が求められる。たとえば、 x 5 − 32 = 0 {\displaystyle x^{5}-32=0} は解のひとつとして x = 2 {\displaystyle x=2} をもつことはすぐわかる。この方程式は他の解についても三角関数を用いて簡単に表せることを高等学校数学C/複素数平面において学ぶ。「係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせ」に拘らなければ、一般の5次方程式の解を求める方法も存在するが、やや高度な数学を用いる必要がある。w:五次方程式に記述があるので興味のある読者は参照するとよい。高等学校で複素数が出てくる分野はこの分野と数学C「平面上の曲線と複素数平面」のみであり、複素数の基本計算や方程式を複素数範囲で解くこと、複素数の幾何学的意味について扱っている。しかし、大学数学においては、関数の定義域・値域を複素数範囲に広げて考える「複素関数論」というものを扱う。実数範囲での関数はx, yともに一次元の実数軸を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには二次元の座標平面で十分であった。しかし、複素数範囲での関数はx, yともに二次元の複素数平面を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには四次元の座標空間が必要であり、三次元空間に住む我々には描画することができない。そのため、複素関数論では関数のグラフを考えることは基本的にない。(ただし、出力された複素数の絶対値を考えることによって三次元グラフに落とし込むことは可能) では何を考えるのかというと、複素関数の微分積分である。複素関数の微分に関連して「正則関数」という用語が出てくるが、複素関数論はこの正則関数というものの性質を調べる学問だと言って良い。複素関数論は物理学の特に波動に関する分野(音・電磁気など)において活躍している。「波動方程式」や「インピーダンス」という言葉は有名だろう。ちなみに、複素数をさらに拡張した数として「w:四元数」というものがある。この四元数はベクトルや行列と深い関わりが存在しており、深掘ると面白いのだが、いささか冗長になるため割愛する。なお、四元数をさらに拡張した八元数や十六元数という数も研究されている。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "本項は高等学校数学IIの式と証明・高次方程式の解説である。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "( a + b ) 5 = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) {\\displaystyle (a+b)^{5}=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)} について考えよう。この式を展開するとき、 a 2 b 3 {\\displaystyle a^{2}b^{3}} の係数は、右辺の5個の ( a + b ) {\\displaystyle (a+b)} から a {\\displaystyle a} を3回取る組み合わせに等しいから 5 C 2 = 10 {\\displaystyle _{5}\\mathrm {C} _{2}=10} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "この考えを拡張して", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "を展開する。 a r b n − r {\\displaystyle a^{r}b^{n-r}} の項の係数は、右辺の n {\\displaystyle n} 個の ( a + b ) {\\displaystyle (a+b)} から a {\\displaystyle a} を r {\\displaystyle r} 回取る組み合わせに等しいから n C r {\\displaystyle _{n}\\mathrm {C} _{r}} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "よって、次の式が得られる:", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "最後の式は数Bの数列で学ぶ総和記号 Σ {\\displaystyle \\Sigma } である。知らないのなら無視しても良い。この式を二項定理(binomial theorem) という。また、それぞれの項にかかる係数を二項係数(binomial coefficient) と呼ぶことがある。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "をそれぞれ計算せよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "二項定理を用いて計算すればよい。実際に計算を行なうと、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "すべての自然数nに対して", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "が成り立つことを示せ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "二項定理", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "についてa,bに適当な値を代入すればよい。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "(I) a = 1,b=1を代入すると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "(II) a=2,b=1を代入すると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "(III) a=1,b=-1を代入すると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "二項定理を拡張して ( a + b + c ) n {\\displaystyle (a+b+c)^{n}} を展開することを考えよう。 a p b q c r {\\displaystyle a^{p}b^{q}c^{r}} ( p + q + r = n ) {\\displaystyle (p+q+r=n)} の項の係数は n {\\displaystyle n} 個の ( a + b + c ) {\\displaystyle (a+b+c)} から p {\\displaystyle p} 個の a {\\displaystyle a} 、 q {\\displaystyle q} 個の b {\\displaystyle b} 、 r {\\displaystyle r} 個の c {\\displaystyle c} を選ぶ組合せに等しいから n ! p ! q ! r ! {\\displaystyle {\\frac {n!}{p!q!r!}}} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "ここでは、整式の除法と分数式について扱う。整式の除法は、整式を整数のように扱い除法を行なう計算手法のことである。実際に整数の除法と整式の除法には深いつながりがある。整式の因数分解を考えるとそれ以上因数分解できない整式が存在する。この整式を整数でいう素因数のように扱うことで整式の素因数分解が可能になる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "上では、整式が整数に対応する性質を持つことを述べた。整数についてはたがいに素な2つの整数を取ることで有理数を定義することが出来る。整式に対しても同じ事が成立ち、そのような式を分数式と呼ぶ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "分数を用いないときには、整数の除法は商と余りを用いて定義された。この時、割られる数Bは商Dと割る数A、余りRを用いて", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "の性質を満たすことが知られている。整式に対しても似た性質が成立ち、割られる式B(x)が商D(x)と割る式A(x)、余りR(x)を用いて、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 33, "tag": "p", "text": "の右辺でxについて2次の項が現われ左辺と一致しなくなる。よって商は実数である。商をa、余りをrとすると上の式は、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 34, "tag": "p", "text": "となるが、これはa=1,r=1で成立する。よって商1,余り1である。より高次の式に対しても同じ様に答えを定めていけばよい。例として、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "のような式を考える。この場合、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "で、B(x)が3次、A(x)が2次であることから、D(x)は1次であり、また、R(x)は2次より小さいことから1次以下の式になる。ここで、D(x)=ax+b,R(x)=cx+dとおくと、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "が得られる。右辺を展開すると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "が得られるが、xにどんな値を入れてもこの等式が成り立たなければならないので、a = 1, b = 0, -a +c = 0, -b +d = 0が得られ、結局a=c=1, b=d=0が得られる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "この方法はどの除法に対しても用いることが出来るが、次数が高くなると計算が難しくなる。整数の場合と同様、整式の除法でも筆算を用いることが出来る。上の例を用いて結果だけを書くと、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "のようになる。)右に書かれた式が割られる式であり、)左に書かれた式が割る式である。--の一番上に書かれた式は商であり、整数の割り算同様左に書かれた数から順に割っていく。ここでは次数が大きい項がより先に計算される項である。割られる式の下にある式は商の第1項を割る式にかけて得る式である。ここでは、 x ( x 2 − 1 ) {\\displaystyle x(x^{2}-1)} で、 x 3 − x {\\displaystyle x^{3}-x} となる。ただし、整数の除法と同様、位をそろえなくてはならない。その後、割られる式から x 3 − x {\\displaystyle x^{3}-x} を引き、残った式を新しい割られる式として扱う。ここでは、得た式が割る式よりも低次であることから、これで計算は終了である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "x 3 + 2 x 2 + 1 {\\displaystyle x^{3}+2x^{2}+1} 、 x 4 + 4 x 2 + 3 x + 2 {\\displaystyle x^{4}+4x^{2}+3x+2} を、 x 2 + 2 x + 6 {\\displaystyle x^{2}+2x+6} で割った商と余りを求めよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "この計算はアニメーションを使って詳しく表示されている。計算手法は、整数の場合の筆算と同じような手法が使える。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "が得られるので、商 x {\\displaystyle x} 、余り − 6 x + 1 {\\displaystyle -6x+1} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "2つ目の式については、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "が得られる。よって、答は商 x 2 − 2 x + 2 {\\displaystyle x^{2}-2x+2} 、余り 11 x − 10 {\\displaystyle 11x-10} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "ここまでで整式を整数のように扱い、整式の除法を行なう方法について述べた。ここでは、整式に対して分数式を定義する方法について述べる。分数式とは、整数に対する分数のように、除法によって生じる式である。ここで、除法を行なう式はどのようなものでも差し支えない。分数式では、分子に割られる式を書き、分母に割る式を書く。例えば、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "は、分子x+1、分母 x 2 + 4 {\\displaystyle x^{2}+4} の分数式である。分数式に対しても約分や通分が存在する。約分は共通因数を持った分子分母をもつ分数式で用いられる。この時には分子分母を共通因数で割り、式を簡単にすることが出来る。通分は、分数式の加法の時によく用いられるが、分子分母に同じ整式をかけても分数式が変化しない性質を用いる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "を簡単にせよ。また、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "を計算せよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "について分子と分母を因数分解すると、双方ともに", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "を因数として含んでいることが分かる。このとき、共通の因数は約分することが必要である。計算された値は、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "次の問題では、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "を計算する。このとき、両辺の分母をそろえる必要があるが、今回については、単純にそれぞれの分数式の分子と分母に各々の分母をかけて分母を統一すればよい。計算すると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "となる。分数式の乗法は、分子分母を別々にかければよい。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "次の計算をせよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "分母が積の形である分数式を二つの分数式の和や差で表された式に変形する操作を部分分数分解という。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "1 x ( x + 1 ) {\\displaystyle {\\frac {1}{x(x+1)}}} と 1 ( x + 1 ) ( x + 3 ) {\\displaystyle {\\frac {1}{(x+1)(x+3)}}} を分数式の和または差の形で表せ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "と変形できるので、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "となり、約分すると", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "次の問題では、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "と変形することによって、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "となり、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "と求まる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "部分分数分解の操作を逆に辿ると、分数式の通分の操作と一致する。つまり、部分分数分解は通分の逆の操作である。分子が定数の場合には、上と同様の方法で部分分数分解することができる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "1. 3 ( x − 9 ) ( x − 4 ) {\\displaystyle {\\frac {3}{(x-9)(x-4)}}}", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "2. 7 ( 3 x − 1 ) ( 5 − 2 x ) {\\displaystyle {\\frac {7}{(3x-1)(5-2x)}}}", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "部分分数分解は数列の和の計算、積分計算、微分を利用した不等式の証明等に役立つ、重要な変形である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "等式 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 {\\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}} は、文字 a , b {\\displaystyle a,b} にどのような値を代入しても成り立つ。このような等式を恒等式(こうとうしき)という。等式 1 x − 1 + 1 x + 1 = 2 x x 2 − 1 {\\displaystyle {\\frac {1}{x-1}}+{\\frac {1}{x+1}}={\\frac {2x}{x^{2}-1}}} は、両辺とも x = 1 , − 1 {\\displaystyle x=1,-1} を代入することはできないが、その他の値であれば代入することができ、またどのような値を代入しても等式が成り立っている。これも恒等式と呼ぶ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "いっぽう、 x 2 − x − 2 = 0 {\\displaystyle x^{2}-x-2=0} は、x=2 または x=ー1 を代入したときだけ成り立つが、このように文字に特定の値を代入したときにだけ成り立つ式のことを方程式と呼び、恒等式とは区別する。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "等式 a x 2 + b x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} が x {\\displaystyle x} についての恒等式であるのはどのような場合か、考えてみよう。ある式が「 x {\\displaystyle x} についての恒等式である」とは、この式の x {\\displaystyle x} にどのような値を代入しても、この等式は成り立つという意味である。なので、例えば x {\\displaystyle x} に − 1 , 0 , 1 {\\displaystyle -1\\ ,\\ 0\\ ,\\ 1} を代入した式", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "はすべて成り立つ必要がある。これを解くと", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "なので、等式 a x 2 + b x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} が x {\\displaystyle x} についての恒等式になるならば、 a = b = c = 0 {\\displaystyle a=b=c=0} でなければならないことがわかる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "一般に、等式 a x 2 + b x + c = a ′ x 2 + b ′ x + c ′ {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=a'x^{2}+b'x+c'} が恒等式であることと、 ( a − a ′ ) x 2 + ( b − b ′ ) x + ( c − c ′ ) = 0 {\\displaystyle (a-a')x^{2}+(b-b')x+(c-c')=0} が恒等式であることと同じである。よって", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "まとめると次のようになる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "次の等式が x {\\displaystyle x} についての恒等式となるように、 a , b , c {\\displaystyle a\\ ,\\ b\\ ,\\ c} の値を求めよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "等式の右辺を x {\\displaystyle x} について整理すると", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "この等式が x {\\displaystyle x} についての恒等式となるのは、両辺の同じ次数の項の係数が等しいときである。よって", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "これを解くと", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "恒等式を利用することで、複雑な分数式の部分分数分解ができる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "とおく。分母を払って", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "すなわち", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "これが x {\\displaystyle x} の恒等式なので、係数を比較して", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "すなわち", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "最初の等式に代入して、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "次の問題は、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "とおくことにより、上の問題と同様にして", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "と求まるので、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "a~fを定数とする。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "a x 2 + b y 2 + c x y + d x + e y + f = 0 {\\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f=0} がx, yについての恒等式だとする。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "左辺をxについて整理すると、 a x 2 + ( c y + d ) x + ( b y 2 + e y + f ) = 0 {\\displaystyle ax^{2}+(cy+d)x+(by^{2}+ey+f)=0} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "これがxについての恒等式なので、 a = 0 , c y + d = 0 , b y 2 + e y + f = 0 {\\displaystyle a=0,cy+d=0,by^{2}+ey+f=0} が成り立つ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "これらは更にyについての恒等式なので、以下の等式が得られる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "逆に、これが成り立てば元の式は明らかにx, yについての恒等式である", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "x 2 + a x y + 6 y 2 − x + 5 y + b = ( x − 2 y + c ) ( x − 3 y + d ) {\\displaystyle x^{2}+axy+6y^{2}-x+5y+b=(x-2y+c)(x-3y+d)} がx,yについての恒等式となるようにa,b,c,dを定めよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "さきほど紹介した「恒等式」という言葉を使って「証明」の意味を説明するなら、「等式を証明する」とは、その式が恒等式であることを示すことである。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "一般に、等式 A=B を証明するためには、次のような手順のいずれかを実行すればよい。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "このとき、変形は同値変形でなければならないことに注意。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 114, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 115, "tag": "p", "text": "( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 = 4 a b {\\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab} が成り立つことを証明せよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 116, "tag": "p", "text": "(証明) 左辺を展開すると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 117, "tag": "p", "text": "となり、これは右辺に等しい。よって、等式 ( a + b ) 2 − ( a − b ) 2 = 4 a b {\\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab} は証明された。(終)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 118, "tag": "p", "text": "( x + y ) 2 + ( x − y ) 2 = 2 ( x 2 + y 2 ) {\\displaystyle (x+y)^{2}+(x-y)^{2}=2(x^{2}+y^{2})} が成り立つことを証明せよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 119, "tag": "p", "text": "左辺を計算すると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 120, "tag": "p", "text": "これは右辺に等しい。よって等式が成り立つことが証明された。(終)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 121, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 122, "tag": "p", "text": "次の等式が成り立つことを証明せよ。 (I)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 123, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 124, "tag": "p", "text": "(I) (左辺) = ( 36 a 2 + 84 a b + 49 b 2 ) + ( 49 a 2 − 84 a b + 36 a 2 ) = 85 a 2 + 85 b 2 {\\displaystyle =(36a^{2}+84ab+49b^{2})+(49a^{2}-84ab+36a^{2})=85a^{2}+85b^{2}} (右辺) = ( 81 a 2 + 36 a b + 4 b 2 ) + ( 4 a 2 − 36 a b + 81 b 2 ) = 85 a 2 + 85 b 2 {\\displaystyle =(81a^{2}+36ab+4b^{2})+(4a^{2}-36ab+81b^{2})=85a^{2}+85b^{2}} 両辺とも同じ式になるから", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 125, "tag": "p", "text": "恒等式でないときも、与えられた条件から等式を証明することができる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 126, "tag": "p", "text": "より、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 127, "tag": "p", "text": "よって、 a 3 + b 3 + c 3 = 3 a b c {\\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 128, "tag": "p", "text": "また、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 129, "tag": "p", "text": "より、上式の右辺をkとおくと、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 130, "tag": "p", "text": "なので、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 131, "tag": "p", "text": "よって、 a + c b + d = a − c b − d {\\displaystyle {\\frac {a+c}{b+d}}={\\frac {a-c}{b-d}}} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 132, "tag": "p", "text": "なお、比 a : b {\\displaystyle a:b} について a b {\\displaystyle {\\frac {a}{b}}} を比の値という。また、 a : b = c : d ⟺ a b = c d {\\displaystyle a:b=c:d\\iff {\\frac {a}{b}}={\\frac {c}{d}}} を比例式という。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 133, "tag": "p", "text": "a x = b y = c z {\\displaystyle {\\frac {a}{x}}={\\frac {b}{y}}={\\frac {c}{z}}} が成り立つとき、 a : b : c = x : y : z {\\displaystyle a:b:c=x:y:z} と表す。これを連比という。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 134, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 135, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 136, "tag": "p", "text": "不等式のさまざまな公式については、次の4つの式を基本的な式として導出できる場合がよくある。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 137, "tag": "p", "text": "高校数学では、次の4つの性質が不等式の「基本性質」などとして紹介されている。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 138, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 139, "tag": "p", "text": "(3)と(4)については、ひとつの性質としてまとめている検定教科書もある(※ 啓林館など)。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 140, "tag": "p", "text": "数学IAで習った「ならば」の意味の記号 ⟹ {\\displaystyle \\Longrightarrow } を使うと、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 141, "tag": "p", "text": "とも書ける。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 142, "tag": "p", "text": "上述の4つの基本性質から、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 143, "tag": "p", "text": "を証明してみよう。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 144, "tag": "p", "text": "(証明) まず a>0 なので、基本性質(2)より", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 145, "tag": "p", "text": "である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 146, "tag": "p", "text": "よって、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 147, "tag": "p", "text": "なので、基本性質(1)より a + b > 0 {\\displaystyle a+b>0} が成り立つ。(終)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 148, "tag": "p", "text": "同様にして、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 149, "tag": "p", "text": "を証明できる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 150, "tag": "p", "text": "ここまでに示したことから、不等式 A ≧ B {\\displaystyle A\\geqq B} を証明したい場合には、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 151, "tag": "p", "text": "を証明すればよいことがわかった。こちらの方が証明しやすい場合がよくある。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 152, "tag": "p", "text": "不等式を証明する際に根拠とする基本的な不等式として、次の性質がある。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 153, "tag": "p", "text": "この定理(「実数を2乗すると、かならずゼロ以上である」)を、基本性質(3),(4)を使って証明してみよう。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 154, "tag": "p", "text": "(証明)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 155, "tag": "p", "text": "aが正の場合と負の場合と0の場合の3通りに場合わけする。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 156, "tag": "p", "text": "[aが正の場合] このとき、基本性質(3)より、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 157, "tag": "p", "text": "である。すなわち、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 158, "tag": "p", "text": "である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 159, "tag": "p", "text": "[aが負の場合] このとき、基本性質(4)より 0 a < a a {\\displaystyle 0a<aa} である。すなわち、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 160, "tag": "p", "text": "である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 161, "tag": "p", "text": "[aがゼロの場合] このとき、 a 2 = 0 {\\displaystyle a^{2}=0} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 162, "tag": "p", "text": "よって、すべての場合について a 2 ≧ 0 {\\displaystyle a^{2}\\geqq 0} (終)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 163, "tag": "p", "text": "このことと基本性質(1)(2)より、次が成り立つこともわかる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 164, "tag": "p", "text": "次の不等式が成り立つことを証明せよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 165, "tag": "p", "text": "(証明)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 166, "tag": "p", "text": "を証明すればよい。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 167, "tag": "p", "text": "左辺を展開してまとめると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 168, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 169, "tag": "p", "text": "上式の最後の式の項について、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 170, "tag": "p", "text": "だから、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 171, "tag": "p", "text": "である。よって", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 172, "tag": "p", "text": "である。(終)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 173, "tag": "p", "text": "2つの正の数 a, b が a>b または a≧b ならば、両辺を2乗しても大小関係は同じままである。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 174, "tag": "p", "text": "つまり、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 175, "tag": "p", "text": "である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 176, "tag": "p", "text": "a>bとする。仮定より、a,b は正の数なので、 ( a + b ) > 0 {\\displaystyle (a+b)>0} であり、別の仮定より、 a > b なので、 ( a − b ) > 0 {\\displaystyle (a-b)>0} でもある。よって、 a 2 − b 2 = ( a + b ) ( a − b ) > 0 {\\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)>0}", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 177, "tag": "p", "text": "逆に、 a 2 − b 2 > 0 {\\displaystyle a^{2}-b^{2}>0} のとき、 ( a + b ) ( a − b ) > 0 {\\displaystyle (a+b)(a-b)>0} であり、 a > 0 , b > 0 {\\displaystyle a>0,b>0} なので a + b > 0 {\\displaystyle a+b>0} である。よって、 a − b > 0 {\\displaystyle a-b>0} なので、 a > b {\\displaystyle a>b} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 178, "tag": "p", "text": "よって、 a > b ⟺ a 2 > b 2 {\\displaystyle a>b\\quad \\Longleftrightarrow \\quad a^{2}>b^{2}} である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 179, "tag": "p", "text": "a≧bの場合も同様に証明できる。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 180, "tag": "p", "text": "練習として、次の問題を問いてみよう。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 181, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 182, "tag": "p", "text": "a > 0 {\\displaystyle a>0} , b > 0 {\\displaystyle b>0} のとき、次の不等式を証明せよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 183, "tag": "p", "text": "(証明) 不等式の両辺は正であるので、両辺の平方の差を考えればよい。両辺の平方の差は", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 184, "tag": "p", "text": "である。ここで、a,b はともに正の実数なので、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 185, "tag": "p", "text": "であることを用いた。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 186, "tag": "p", "text": "であるので、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 187, "tag": "p", "text": "となる。よって、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 188, "tag": "p", "text": "である。(終)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 189, "tag": "p", "text": "実数 a の絶対値 \|a\| について、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 190, "tag": "p", "text": "であるから、次のことが成り立つ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 191, "tag": "p", "text": "\|a\|≧a , \|a\|≧ ーa , \|a\|=a", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 192, "tag": "p", "text": "また、2つの実数 a, b の絶対値 \|ab\| については、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 193, "tag": "p", "text": "が成り立つので、これにさらに \|ab\|≧0 , \|a\|\|b\|≧0 を組み合わせて、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 194, "tag": "p", "text": "\|ab\| = \|a\| \|b\| が成り立つ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 195, "tag": "p", "text": "(例題)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 196, "tag": "p", "text": "次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合かを調べよ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 197, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 198, "tag": "p", "text": "両辺の平方の差を考えると、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 199, "tag": "p", "text": "これがもし正なら、与えられた不等式 \|a\|+\|b\| ≧ \|a+b\| が正しい。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 200, "tag": "p", "text": "ここで、 \|a\| \|b\| ≧ ab であるので、", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 201, "tag": "p", "text": "である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 202, "tag": "p", "text": "したがって、 \|a\|+\|b\| ≧ \|a+b\| である。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 203, "tag": "p", "text": "等号が成り立つのは \|a\| \|b\| = ab の場合、すなわち ab ≧ 0 の場合である。(証明おわり)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 204, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 205, "tag": "p", "text": "2つの数 a {\\displaystyle a} , b {\\displaystyle b} に対し、 a + b 2 {\\displaystyle {\\frac {a+b}{2}}} を相加平均(そうかへいきん)と言い、 a b {\\displaystyle {\\sqrt {ab}}} を相乗平均(そうじょうへいきん)という。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 206, "tag": "p", "text": "本ページでは、2個の数の平均について考察する。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 207, "tag": "p", "text": "相加平均と相乗平均について、次の関係式が成り立つ。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 208, "tag": "p", "text": "(証明)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 209, "tag": "p", "text": "a ≧ 0 , b ≧ 0 {\\displaystyle a\\geqq 0,b\\geqq 0} のとき", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 210, "tag": "p", "text": "( a − b ) 2 ≧ 0 {\\displaystyle \\left({\\sqrt {a}}-{\\sqrt {b}}\\right)^{2}\\geqq 0} であるから、 ( a − b ) 2 2 ≧ 0 {\\displaystyle {\\frac {\\left({\\sqrt {a}}-{\\sqrt {b}}\\right)^{2}}{2}}\\geqq 0} したがって a + b 2 ≧ a b {\\displaystyle {\\frac {a+b}{2}}\\geqq {\\sqrt {ab}}} 等号が成り立つのは、 ( a − b ) 2 = 0 {\\displaystyle \\left({\\sqrt {a}}-{\\sqrt {b}}\\right)^{2}=0} のとき、すなわち a = b {\\displaystyle a=b} のときである。(証明おわり)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 211, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 212, "tag": "p", "text": "公式の利用では、上の式 a + b 2 ≧ a b {\\displaystyle {\\frac {a+b}{2}}\\geqq {\\sqrt {ab}}} の両辺に2をかけた a + b ≧ 2 a b {\\displaystyle a+b\\geqq 2{\\sqrt {ab}}} の形の式を使う場合もある。", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 213, "tag": "p", "text": "", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 214, "tag": "p", "text": "a > 0 {\\displaystyle a>0} , b > 0 {\\displaystyle b>0} のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。 (I)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 215, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 216, "tag": "p", "text": "(I) a > 0 {\\displaystyle a>0} であるから、 1 a > 0 {\\displaystyle {\\frac {1}{a}}>0} よって a + 1 a ≧ 2 a × 1 a = 2 {\\displaystyle a+{\\frac {1}{a}}\\geqq 2{\\sqrt {a\\times {\\frac {1}{a}}}}=2} したがって", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 217, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 218, "tag": "p", "text": "a > 0 {\\displaystyle a>0} , b > 0 {\\displaystyle b>0} であるから、 b a > 0 {\\displaystyle {\\frac {b}{a}}>0} , a b > 0 {\\displaystyle {\\frac {a}{b}}>0} よって b a + a b + 2 ≧ 2 b a × a b + 2 = 2 + 2 = 4 {\\displaystyle {\\frac {b}{a}}+{\\frac {a}{b}}+2\\geqq 2{\\sqrt {{\\frac {b}{a}}\\times {\\frac {a}{b}}}}+2=2+2=4} したがって", "title": "式と証明" }, { "paragraph_id": 219, "tag": "p", "text": "2乗して負になる数、というものを考える。このような数は、中学で習った実数の中にはないことがわかる。なぜならば、正の数でも負の数でも2乗すると符号が打ち消して正の数になってしまうからである。そこで高校では、2乗して負になるという性質を持つ数の概念を新しく導入することにする。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 220, "tag": "p", "text": "という方程式を考える。この方程式の解は実数にはない。そこで、この方程式の解となる数を新しく作り、その単位を文字 i {\\displaystyle i} であらわす。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 221, "tag": "p", "text": "この i {\\displaystyle i} のことを虚数単位(きょすうたんい)と呼ぶ。(虚数単位の記号 i 、英語のアルファベットのアイの小文字で、 imaginary unit に由来すると考えられている。)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 222, "tag": "p", "text": "1 + i {\\displaystyle 1+i} や 2 + 5 i {\\displaystyle 2+5i} のように、虚数単位 i {\\displaystyle i} と実数 a , b {\\displaystyle a,b} を用いて", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 223, "tag": "p", "text": "と表すことができる数を複素数(ふくそすう)という。このとき、aをこの複素数の実部(じつぶ)といい、bを虚部(きょぶ)という。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 224, "tag": "p", "text": "例えば、 1 + i , 2 + 5 i , 9 2 + 7 2 i , 4 i , 3 {\\displaystyle 1+i,\\quad 2+5i,\\quad {\\frac {9}{2}}+{\\frac {7}{2}}i,\\quad 4i,\\quad 3} は、いずれも複素数である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 225, "tag": "p", "text": "複素数 a+bi は(ただし aとbは実数)、bが0の場合に、これを実数と見ることができる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 226, "tag": "p", "text": "言い方をかえると、複素数を基準に考えると、実数とは、 a+0i のような、虚部の係数がゼロになる複素数のことであるとも言える。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 227, "tag": "p", "text": "4iのような、虚部が0以外で実部がゼロの複素数を純虚数(じゅんきょすう)と呼ぶ。純虚数は、2乗すると負になる数である。実数も虚部が0の複素数と考えられる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 228, "tag": "p", "text": "実数でない複素数のことを「虚数」(きょすう)という。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 229, "tag": "p", "text": "2つの複素数 a+bi と c+di とが等しいとは、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 230, "tag": "p", "text": "であることである。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 231, "tag": "p", "text": "つまり、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 232, "tag": "p", "text": "とくに、複素数a+bi が 0であるとは、a=0 かつ b=0 であることである。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 233, "tag": "p", "text": "複素数 z = a + b i {\\displaystyle z=a+bi} に対して、虚部の符号を反転させた複素数 a − b i {\\displaystyle a-bi} のことを「共役(きょうやく)な複素数」または「複素数 z {\\displaystyle z} の共役」のように呼び、 z ̄ {\\displaystyle {\\bar {z}}} であらわす。なお、「共役」は「共軛」の常用漢字による書き換えである。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 234, "tag": "p", "text": "実数aと共役な複素数は、その実数 a 自身である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 235, "tag": "p", "text": "複素数 z=a+bi について", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 236, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 237, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 238, "tag": "p", "text": "複素数にも四則演算(加減乗除)が定義される。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 239, "tag": "p", "text": "複素数の演算では、虚数単位 i {\\displaystyle i} を、通常の文字のように扱って計算する。一般に複素数 z , w {\\displaystyle z\\ ,\\ w} が、 z = a + b i , w = c + d i {\\displaystyle z=a+bi\\ ,\\ w=c+di} で与えられるとき(ただし a , b , c , d {\\displaystyle a\\ ,\\ b\\ ,\\ c\\ ,\\ d} は実数とする)、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 240, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 241, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 242, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 243, "tag": "p", "text": "というふうに複素数の加減乗除の計算法が定められている。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 244, "tag": "p", "text": "乗法の定義は、一見すると難しそうにみえるが、実数の分配法則と同様に展開していき最後に iにマイナス1を代入していっただけである。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 245, "tag": "p", "text": "除法の定義は、分子と分母に、分母と共役な形の式を掛け算しただけである。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 246, "tag": "p", "text": "乗法や除法の定義式を暗記する必要は無く、計算の際には、必要に応じて分配法則や共役などの、必要な式変形を行えばいい。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 247, "tag": "p", "text": "例題", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 248, "tag": "p", "text": "2つの複素数", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 249, "tag": "p", "text": "について、 a + b {\\displaystyle a+b} と a b {\\displaystyle ab} と a b {\\displaystyle {\\frac {a}{b}}} を、それぞれ計算せよ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 250, "tag": "p", "text": "解答", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 251, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 252, "tag": "p", "text": "である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 253, "tag": "p", "text": "を、さらに簡単にできないだろうか。実は、ちょっとしたテクニックを用いればより見やすい形にできる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 254, "tag": "p", "text": "分数は分母と分子に同じ数をかけてよかったので、分母と分子に分母の共役をかけてみる。すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 255, "tag": "p", "text": "が得られる。この形のほうが元の式よりもずっと見やすい形である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 256, "tag": "p", "text": "このような操作を分母の実数化ということもある。数学Iで学習した展開・因数分解公式 ( a + b ) ( a − b ) = a 2 − b 2 {\\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}} の簡単な応用である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 257, "tag": "p", "text": "数の範囲を複素数にまで拡張すると、負の数の平方根も考えることができる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 258, "tag": "p", "text": "例として、 -5 の平方根について考えてみよう。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 259, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 260, "tag": "p", "text": "であるから、 -5 の平方根は 5 i {\\displaystyle {\\sqrt {5}}\\ i} と − 5 i {\\displaystyle -{\\sqrt {5}}\\ i} である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 261, "tag": "p", "text": "− 5 {\\displaystyle {\\sqrt {-5}}} とは、 5 i {\\displaystyle {\\sqrt {5}}\\ i} のこととする。 − − 5 {\\displaystyle -{\\sqrt {-5}}} とは、 − 5 i {\\displaystyle -{\\sqrt {5}}\\ i} のことである。とくに − 1 = i {\\displaystyle {\\sqrt {-1}}\\ =\\ i} である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 262, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 263, "tag": "p", "text": "さて、-5 の平方根は、方程式 x 2 = − 5 {\\displaystyle x^{2}=-5} の解でもある。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 264, "tag": "p", "text": "この方程式を移項することにより、-5 の平方根は、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 265, "tag": "p", "text": "の解であるともいえる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 266, "tag": "p", "text": "さらに因数分解をすることにより、-5 の平方根は方程式", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 267, "tag": "p", "text": "の解でもあるともいえる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 268, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 269, "tag": "p", "text": "(I) − 2 − 6 {\\displaystyle {\\sqrt {-2}}\\ {\\sqrt {-6}}} を計算せよ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 270, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 271, "tag": "p", "text": "このように、まず、マイナスの数の平方根が出てきたら、まず虚数単位 i を用いた式に書き換える。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 272, "tag": "p", "text": "そのあと、かけ算をしていく。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 273, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 274, "tag": "p", "text": "(II) 2 − 3 {\\displaystyle {\\frac {\\sqrt {2}}{\\sqrt {-3}}}} を計算せよ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 275, "tag": "p", "text": "(III) 2次方程式 x 2 = − 7 {\\displaystyle x^{2}=-7} を解け。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 276, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 277, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 278, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 279, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 280, "tag": "p", "text": "複素数の応用として、ここでは2次方程式の性質について述べる。任意の2次方程式は、解の公式によって解かれることを高等学校数学Iで述べた。しかし、解の公式に含まれる根号の中身が負の数の場合には実数解が存在しないことに注意する必要がある。2次方程式", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 281, "tag": "p", "text": "の解の公式は、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 282, "tag": "p", "text": "である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 283, "tag": "p", "text": "判別式 D {\\displaystyle D} は", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 284, "tag": "p", "text": "によって定義される。判別式は、解の公式の根号(ルート記号のこと)の中身に等しく、判別式の正負によって2次方程式が実数解を持つかどうかが決まる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 285, "tag": "p", "text": "D {\\displaystyle D} が負のときにはこの2次方程式は実数の範囲には解を持たない。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 286, "tag": "p", "text": "判別式 D {\\displaystyle D} が負の数であったとき、xの解は異なる2つの虚数になり、その2つの解は共役の関係になっている。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 287, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 288, "tag": "p", "text": "複素数を用いて、2次方程式 (1)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 289, "tag": "p", "text": "(2)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 290, "tag": "p", "text": "(3)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 291, "tag": "p", "text": "を解け。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 292, "tag": "p", "text": "解の公式を用いて解けばよい。(1)だけを計算すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 293, "tag": "p", "text": "となる。他も同じように扱うことが出来る。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 294, "tag": "p", "text": "以降の解答は、 (2)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 295, "tag": "p", "text": "(3)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 296, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 297, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 298, "tag": "p", "text": "方程式の解で、実数であるものを実数解という。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 299, "tag": "p", "text": "方程式の解で、虚数であるものを虚数解という。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 300, "tag": "p", "text": "2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の解は x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\\displaystyle x={\\frac {-b\\pm {\\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 301, "tag": "p", "text": "2次方程式の解の種類は、解の公式の中の根号の中の式 b 2 − 4 a c {\\displaystyle b^{2}-4ac} の符号を見れば判別することができる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 302, "tag": "p", "text": "この式 b 2 − 4 a c {\\displaystyle b^{2}-4ac} を、2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の判別式(はんべつしき)といい、記号 D {\\displaystyle D} で表す。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 303, "tag": "p", "text": "また、重解も実数解であるので、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 304, "tag": "p", "text": "といえる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 305, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 306, "tag": "p", "text": "次の2次方程式の解を判別せよ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 307, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 308, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 309, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 310, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 311, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 312, "tag": "p", "text": "だから、異なる2つの実数解をもつ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 313, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 314, "tag": "p", "text": "だから、異なる2つの虚数解をもつ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 315, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 316, "tag": "p", "text": "だから、重解をもつ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 317, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 318, "tag": "p", "text": "また、2次方程式 a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0} のとき、 D = 4 ( b ′ 2 − a c ) {\\displaystyle D=4(b'^{2}-ac)} となるので、 2次方程式 a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0} の判別式には", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 319, "tag": "p", "text": "をもちいてもよい。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 320, "tag": "p", "text": "これを用いて、前の問題", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 321, "tag": "p", "text": "の解を判別しよう。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 322, "tag": "p", "text": "a = 4 , b ′ = − 10 , c = 25 {\\displaystyle a=4\\,,\\,b'=-10\\,,\\,c=25} であるから", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 323, "tag": "p", "text": "だから、重解をもつ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 324, "tag": "p", "text": "2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の2つの解を α {\\displaystyle \\alpha } , β {\\displaystyle \\beta } とする。この方程式は、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 325, "tag": "p", "text": "a ( x − α ) ( x − β ) = 0 {\\displaystyle a(x-\\alpha )(x-\\beta )=0}", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 326, "tag": "p", "text": "と変形できる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 327, "tag": "p", "text": "これを展開すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 328, "tag": "p", "text": "a x 2 − a ( α + β ) x + a α β = 0 {\\displaystyle ax^{2}-a(\\alpha +\\beta )x+a\\alpha \\beta =0}", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 329, "tag": "p", "text": "係数を比較して、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 330, "tag": "p", "text": "c = a α β , b = − a ( α + β ) {\\displaystyle c=a\\alpha \\beta ,b=-a(\\alpha +\\beta )}", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 331, "tag": "p", "text": "を得る。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 332, "tag": "p", "text": "これを変形すれば、 α + β = − b a , α β = c a {\\displaystyle \\alpha +\\beta =-{\\frac {b}{a}},\\alpha \\beta ={\\frac {c}{a}}} となる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 333, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 334, "tag": "p", "text": "2次方程式 2 x 2 + 4 x + 3 = 0 {\\displaystyle 2x^{2}+4x+3=0} の2つの解を α {\\displaystyle \\alpha } , β {\\displaystyle \\beta } とするとき、 α 2 + β 2 {\\displaystyle \\alpha ^{2}+\\beta ^{2}} の値を求めよ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 335, "tag": "p", "text": "解と係数の関係より、 α + β = − 4 2 = − 2 {\\displaystyle \\alpha +\\beta =-{\\frac {4}{2}}=-2} , α β = 3 2 {\\displaystyle \\alpha \\beta ={\\frac {3}{2}}} α 2 + β 2 = ( α + β ) 2 − 2 α β = ( − 2 ) 2 − 2 × 3 2 = 1 {\\displaystyle \\alpha ^{2}+\\beta ^{2}=(\\alpha +\\beta )^{2}-2\\alpha \\beta =(-2)^{2}-2\\times {\\frac {3}{2}}=1}", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 336, "tag": "p", "text": "2つの数 α {\\displaystyle \\alpha } , β {\\displaystyle \\beta } を解とする2次方程式は", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 337, "tag": "p", "text": "と表される。左辺を展開して整理すると次のようになる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 338, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 339, "tag": "p", "text": "次の2数を解とする2次方程式を作れ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 340, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 341, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 342, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 343, "tag": "p", "text": "(I) 和 ( 3 + 5 ) + ( 3 − 5 ) = 6 {\\displaystyle (3+{\\sqrt {5}})+(3-{\\sqrt {5}})=6} 積 ( 3 + 5 ) ( 3 − 5 ) = 4 {\\displaystyle (3+{\\sqrt {5}})(3-{\\sqrt {5}})=4} であるから", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 344, "tag": "p", "text": "(II) 和 ( 2 + 3 i ) + ( 2 − 3 i ) = 4 {\\displaystyle (2+3i)+(2-3i)=4} 積 ( 2 + 3 i ) ( 2 − 3 i ) = 13 {\\displaystyle (2+3i)(2-3i)=13} であるから", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 345, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 346, "tag": "p", "text": "2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の2つの解 α {\\displaystyle \\alpha } , β {\\displaystyle \\beta } がわかると、2次式", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 347, "tag": "p", "text": "を因数分解することができる。解と係数の関係 α + β = − b a {\\displaystyle \\alpha +\\beta =-{\\frac {b}{a}}} , α β = c a {\\displaystyle \\alpha \\beta ={\\frac {c}{a}}} から、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 348, "tag": "p", "text": "2次方程式は、複素数の範囲で考えるとつねに解をもつから、複素数まで使ってよいとすると、2次式は必ず1次式の積に因数分解することができる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 349, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 350, "tag": "p", "text": "複素数の範囲で考えて、次の2次式を因数分解せよ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 351, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 352, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 353, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 354, "tag": "p", "text": "(I) 2次方程式 x 2 + 4 x − 1 = 0 {\\displaystyle x^{2}+4x-1=0} の解は", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 355, "tag": "p", "text": "よって", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 356, "tag": "p", "text": "(II) 2次方程式 2 x 2 − 3 x + 2 = 0 {\\displaystyle 2x^{2}-3x+2=0} の解は", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 357, "tag": "p", "text": "よって", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 358, "tag": "p", "text": "3次以上の整式による方程式を考える。一般に方程式を P ( x ) = 0 {\\displaystyle P(x)=0} ととる。ただし、 P ( x ) {\\displaystyle P(x)} は、任意の次数の整式とする。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 359, "tag": "p", "text": "P ( x ) {\\displaystyle P(x)} を1次式 x − a {\\displaystyle x-a} で割ったときの商を Q ( x ) {\\displaystyle Q(x)} 、余りを R {\\displaystyle R} とすると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 360, "tag": "p", "text": "この両辺の x {\\displaystyle x} に a {\\displaystyle a} を代入すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 361, "tag": "p", "text": "つまり、 P ( x ) {\\displaystyle P(x)} を x − a {\\displaystyle x-a} で割ったときの余りは P ( a ) {\\displaystyle P(a)} である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 362, "tag": "p", "text": "整式 P ( x ) = x 3 − 2 x + 3 {\\displaystyle P(x)=x^{3}-2x+3} を次の式で割った余りを求めよ。 (I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 363, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 364, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 365, "tag": "p", "text": "(I) P ( 2 ) = 2 3 − 2 × 2 + 3 = 7 {\\displaystyle P(2)=2^{3}-2\\times 2+3=7} (II) P ( − 1 ) = ( − 1 ) 3 − 2 × ( − 1 ) + 3 = 4 {\\displaystyle P(-1)=(-1)^{3}-2\\times (-1)+3=4} (III) P ( 1 2 ) = ( 1 2 ) 3 − 2 × ( 1 2 ) + 3 = 17 8 {\\displaystyle P\\left({\\frac {1}{2}}\\right)=\\left({\\frac {1}{2}}\\right)^{3}-2\\times \\left({\\frac {1}{2}}\\right)+3={\\frac {17}{8}}}", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 366, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 367, "tag": "p", "text": "ある実数 a {\\displaystyle a} に対して、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 368, "tag": "p", "text": "が成り立ったとする。このとき、整式 P ( x ) {\\displaystyle P(x)} は、 ( x − a ) {\\displaystyle (x-a)} を因数に持つことが分る。このことを因数定理(いんすうていり)と呼ぶ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 369, "tag": "p", "text": "整式 P ( x ) {\\displaystyle P(x)} に対して、商 Q ( x ) {\\displaystyle Q(x)} 、割る式 ( x − a ) {\\displaystyle (x-a)} とする整式の除法を用いる。このとき、商 Q ( x ) {\\displaystyle Q(x)} 、 ( Q ( x ) {\\displaystyle Q(x)} は、 P ( x ) {\\displaystyle P(x)} よりも1だけ次数が低い整式である。) 余り c {\\displaystyle c} ( c {\\displaystyle c} は、実数。)とすると、整式 P ( x ) {\\displaystyle P(x)} は、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 370, "tag": "p", "text": "と書ける。ここで、 c = 0 {\\displaystyle c=0} でないと、 P ( a ) = 0 {\\displaystyle P(a)=0} は満たされないが、このとき、 P ( x ) {\\displaystyle P(x)} は、 ( x − a ) {\\displaystyle (x-a)} によって割り切れる。よって、因数定理は成立する。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 371, "tag": "p", "text": "因数定理を用いることで、より次数の高い整式を因数分解することが出来るようになる。例えば、3次の整式", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 372, "tag": "p", "text": "について、 x = 1 {\\displaystyle x=1} を代入すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 373, "tag": "p", "text": "は0となる。よって、因数定理よりこの式は", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 374, "tag": "p", "text": "を因数として持つ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 375, "tag": "p", "text": "ここで、実際整式の除法を使って計算すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 376, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 377, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 378, "tag": "p", "text": "因数定理を用いて (I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 379, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 380, "tag": "p", "text": "を因数分解せよ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 381, "tag": "p", "text": "(I) 因数分解の結果が(x+整数)の積の形なら、整数は6の因数でなければならない。そのため、 ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 {\\displaystyle \\pm 1,\\pm 2,\\pm 3,\\pm 6} が候補となる。これらについては実際に代入して確かめるしかない。x=1を代入すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 382, "tag": "p", "text": "となるので、(x-1)が因数となる。実際に整式の除法を行なうと、商として x 2 − 5 x + 6 {\\displaystyle x^{2}-5x+6} が得られるが、これは ( x − 2 ) ( x − 3 ) {\\displaystyle (x-2)(x-3)} に因数分解できる。よって答えは、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 383, "tag": "p", "text": "となる。 (II) ここでも地道に24の因数を当てはめていくしかない。24の因数は数が多いのでかなりの計算が必要となる。ここでは、-2を代入すると、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 384, "tag": "p", "text": "となり、(x+2)が因数だとわかる。除法を行なうと、 x 2 − x − 12 {\\displaystyle x^{2}-x-12} が得られるが、(x-4)(x+3)に因数分解できる。答えは、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 385, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 386, "tag": "p", "text": "因数分解や因数定理を利用して高次方程式を解いてみよう。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 387, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 388, "tag": "p", "text": "高次方程式 (I)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 389, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 390, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 391, "tag": "p", "text": "を解け。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 392, "tag": "p", "text": "(I) 左辺を a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 ) {\\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})} を用いて因数分解すると", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 393, "tag": "p", "text": "したがって x − 2 = 0 {\\displaystyle \\ x-2=0} または x 2 + 2 x + 4 = 0 {\\displaystyle \\ x^{2}+2x+4=0} よって", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 394, "tag": "p", "text": "(II) x 2 = X {\\displaystyle \\ x^{2}=X\\ } とおくと、", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 395, "tag": "p", "text": "左辺を因数分解すると", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 396, "tag": "p", "text": "よって X = 4 , X = − 2 {\\displaystyle X=4\\ ,\\ X=-2} ゆえに x 2 = 4 , x 2 = − 2 {\\displaystyle x^{2}=4\\ ,\\ x^{2}=-2} したがって", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 397, "tag": "p", "text": "(III) P ( x ) = x 3 − 5 x 2 + 7 x − 2 {\\displaystyle \\ P(x)=x^{3}-5x^{2}+7x-2\\ } とおく。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 398, "tag": "p", "text": "したがって、 x − 2 {\\displaystyle \\ x-2\\ } は P ( x ) {\\displaystyle \\ P(x)\\ } の因数である。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 399, "tag": "p", "text": "よって ( x − 2 ) ( x 2 − 3 x + 1 ) = 0 {\\displaystyle (x-2)(x^{2}-3x+1)=0} x − 2 = 0 {\\displaystyle \\ x-2=0} または x 2 − 3 x + 1 = 0 {\\displaystyle \\ x^{2}-3x+1=0} したがって", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 400, "tag": "p", "text": "", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 401, "tag": "p", "text": "3次方程式 a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 {\\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} の3つの解を、 α , β , γ {\\displaystyle \\alpha \\ ,\\ \\beta \\ ,\\ \\gamma } とすると", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 402, "tag": "p", "text": "が成り立つ。右辺を展開すると", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 403, "tag": "p", "text": "よって", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 404, "tag": "p", "text": "ゆえに", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 405, "tag": "p", "text": "したがって、次のことが成り立つ。", "title": "高次方程式" }, { "paragraph_id": 406, "tag": "p", "text": "しばしば虚数は「現実には存在しない数」であると言われることがあり、歴史的にも虚数を扱った数学を考えるべきではないと考えられた時代は長かった。その時代の先進的な数学者の中には、虚数を有効に活用して研究を進める一方で、成果を発表する際には虚数を表に出さずに記述する努力をすることで、無用な抵抗を受けないように工夫した者もいたと言われるほどである。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 407, "tag": "p", "text": "だが、よく考えてみれば、数が「現実に存在する」とはどういう意味なのだろうか。現実に鉛筆を使って紙に円を描くならば、円周の長さを「正確に円周率そのものにする」ことは不可能であるように思われるが、その割に円周率という実数は「存在する」と感じられるのはなぜだろうか。数直線が実数の「実在」を信じさせるならば、複素数は複素数平面(数学Cで習う)の上に存在するのだから、同じではないだろうか。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 408, "tag": "p", "text": "このように考えると、そもそも数とはすべてある意味で想像上の存在であり、それに対して「存在する」「存在しない」という問いを立てることがナンセンスであるように思われる。「存在しない」ように思われがちな虚数であるが、たとえば物理学の一分野である量子力学のシュレディンガー方程式に表れるなど、応用上のさまざまな場面においても、虚数を使って記述することが自然な対象は多いのだ。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 409, "tag": "p", "text": "複素数どうしについて、その大小関係は定義しない。その理由は、どのように大小関係を定義しても、便利な性質を満たすことができないからである。具体的に言えば、既に述べた実数の大小関係についての「不等式の基本性質(1)(2)(3)(4)」にあたる式を成り立たせることができないのだ。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 410, "tag": "p", "text": "たとえば、 a + b i < a ′ + b ′ i {\\displaystyle a+bi<a'+b'i} であることを、 a 2 + b 2 < a ′ 2 + b ′ 2 {\\displaystyle a^{2}+b^{2}<a'^{2}+b'^{2}} であることとして定義してみよう。このように定義すると、たとえば1+2i<2-3iであり、また2+3i<3+4iである。ところが、(1+2i)+(2+3i)=3+5i,(2-3i)+(3+4i)=5+iであり、3+5i>5+iとなってしまう。これは基本性質(2)が成り立たないことを意味する。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 411, "tag": "p", "text": "もちろんこれは適当に考えた定義がたまたま不適切だったというだけのことだが、実は、他にどのように定義してもこのような困難からは逃れられないことが知られている。それゆえに、複素数には大小関係を定義しないのである。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 412, "tag": "p", "text": "今度は、複素数の平方根について考えてみよう。正の数 a {\\displaystyle a} を考えたとき、", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 413, "tag": "p", "text": "では、", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 414, "tag": "p", "text": "虚数単位 i {\\displaystyle i} の平方根を考えると、これはzについての方程式 z 2 = i {\\displaystyle z^{2}=i} の解 z の値であるから、これを解けばよい。どのような複素数zならこの式を満たすことができるだろうか。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 415, "tag": "p", "text": "zを複素数とすると、 z = x + y i {\\displaystyle z=x+yi} (x,yは実数)と表される。 ( x + y i ) 2 = i ⇔ x 2 + 2 x y i − y 2 = i ⇔ ( x 2 − y 2 ) + ( 2 x y − 1 ) i = 0 {\\displaystyle (x+yi)^{2}=i\\Leftrightarrow x^{2}+2xyi-y^{2}=i\\Leftrightarrow (x^{2}-y^{2})+(2xy-1)i=0}", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 416, "tag": "p", "text": "x 2 − y 2 , 2 x y − 1 {\\displaystyle x^{2}-y^{2},2xy-1} は実数であるから、実部と虚部が共に0にならねばならないから、 { x 2 − y 2 = 0 ( ⇔ x = ± y ) 2 x y − 1 = 0 {\\displaystyle {\\begin{cases}x^{2}-y^{2}=0(\\Leftrightarrow x=\\pm y)\\\\2xy-1=0\\end{cases}}}", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 417, "tag": "p", "text": "x = y {\\displaystyle x=y} のとき、 2 x 2 = 1 ⇔ x = ± 1 2 , y = ± 1 2 {\\displaystyle 2x^{2}=1\\Leftrightarrow x=\\pm {\\frac {1}{\\sqrt {2}}},y=\\pm {\\frac {1}{\\sqrt {2}}}} (複号同順。x,yは共に実数であるから、条件を満たす。)", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 418, "tag": "p", "text": "x = − y {\\displaystyle x=-y} のとき、 − 2 y 2 = 1 ⇔ y 2 = − 1 2 {\\displaystyle -2y^{2}=1\\Leftrightarrow y^{2}=-{\\frac {1}{2}}} ここで、これを満たす実数yは存在しないから不適。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 419, "tag": "p", "text": "よって、 z = ± ( 1 2 + 1 2 i ) {\\displaystyle z=\\pm \\left({\\frac {1}{\\sqrt {2}}}+{\\frac {1}{\\sqrt {2}}}i\\right)} ■", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 420, "tag": "p", "text": "", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 421, "tag": "p", "text": "実部がゼロを考慮して x = 0 {\\displaystyle x=0} か x = ± 3 y {\\displaystyle x=\\pm {\\sqrt {3}}y} だが、虚部もゼロなので、xの値が前者のとき y = − 1 {\\displaystyle y=-1} 、後者のとき y = 1 / 2 {\\displaystyle y=1/2} となることがすぐにわかる。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 422, "tag": "p", "text": "2次方程式には解の公式があり、日本の中学や高校でも習う。2次方程式の解の公式を用いれば、どんな係数の2次方程式であっても解を求められる。3次方程式と4次方程式にも、解の公式は存在し、係数がどんな係数であっても解を求められる。これらの解の公式は、代数方程式論で述べているように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができる。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 423, "tag": "p", "text": "5次方程式では、4次以下の方程式とは状況が異なる。一般の5次方程式の解は、2次方程式や4次方程式のように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができないのである。ただし、「できない」ことの証明は容易ではない。このことを証明するには、ガロア理論を理解する必要がある(日本の大学の標準的なカリキュラムでは、理学部数学科の学生のみが大学3年生で学ぶのが一般的な程度の理論である)。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 424, "tag": "p", "text": "なお、ここで言う「表すことができない」とは一般の方程式についてのことであり、特別な5次方程式の場合は簡単に解が求められる。たとえば、 x 5 − 32 = 0 {\\displaystyle x^{5}-32=0} は解のひとつとして x = 2 {\\displaystyle x=2} をもつことはすぐわかる。この方程式は他の解についても三角関数を用いて簡単に表せることを高等学校数学C/複素数平面において学ぶ。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 425, "tag": "p", "text": "「係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせ」に拘らなければ、一般の5次方程式の解を求める方法も存在するが、やや高度な数学を用いる必要がある。w:五次方程式に記述があるので興味のある読者は参照するとよい。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 426, "tag": "p", "text": "高等学校で複素数が出てくる分野はこの分野と数学C「平面上の曲線と複素数平面」のみであり、複素数の基本計算や方程式を複素数範囲で解くこと、複素数の幾何学的意味について扱っている。しかし、大学数学においては、関数の定義域・値域を複素数範囲に広げて考える「複素関数論」というものを扱う。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 427, "tag": "p", "text": "実数範囲での関数はx, yともに一次元の実数軸を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには二次元の座標平面で十分であった。しかし、複素数範囲での関数はx, yともに二次元の複素数平面を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには四次元の座標空間が必要であり、三次元空間に住む我々には描画することができない。そのため、複素関数論では関数のグラフを考えることは基本的にない。(ただし、出力された複素数の絶対値を考えることによって三次元グラフに落とし込むことは可能)", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 428, "tag": "p", "text": "では何を考えるのかというと、複素関数の微分積分である。複素関数の微分に関連して「正則関数」という用語が出てくるが、複素関数論はこの正則関数というものの性質を調べる学問だと言って良い。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 429, "tag": "p", "text": "複素関数論は物理学の特に波動に関する分野(音・電磁気など)において活躍している。「波動方程式」や「インピーダンス」という言葉は有名だろう。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 430, "tag": "p", "text": "ちなみに、複素数をさらに拡張した数として「w:四元数」というものがある。この四元数はベクトルや行列と深い関わりが存在しており、深掘ると面白いのだが、いささか冗長になるため割愛する。なお、四元数をさらに拡張した八元数や十六元数という数も研究されている。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 431, "tag": "p", "text": "", "title": "コラム" } ]	本項は高等学校数学IIの式と証明・高次方程式の解説である。	{{pathnav\|高等学校の学習\|高等学校数学\|高等学校数学II\|pagename=式と証明・高次方程式\|frame=1\|small=1}} 本項は[[高等学校数学II]]の式と証明・高次方程式の解説である。 == 式と証明 == === 二項定理 === <math>(a+b)^5 = (a+b)(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)</math> について考えよう。この式を展開するとき、<math>a^2b^3</math> の係数は、右辺の5個の <math>(a+b)</math> から <math>a</math> を3回取る組み合わせに等しいから <math>_5\mathrm{C}_2 = 10</math> である。この考えを拡張して :<math>(a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_n</math> を展開する。<math>a^rb^{n-r}</math>の項の係数は、右辺の <math>n</math> 個の <math>(a+b)</math> から <math>a</math> を <math>r</math> 回取る組み合わせに等しいから <math>_n\mathrm{C}_r</math> である。よって、次の式が得られる： :<math>\begin{align}(a+b)^n &= {}_n\mathrm{C}_0 a^n + {}_n\mathrm{C}_1 a^{n-1}b + {}_n\mathrm{C}_2 a^{n-2}b^2 + \cdots \\ &+ {}_n\mathrm{C}_r a^{n-r}b^r + \cdots + {}_n\mathrm{C}_n b^n \\ &= \sum _{r = 0}^n {}_n\operatorname{C}_r a^r b^{n-r}. \\ \end{align}</math> 最後の式は[[高等学校数学B/数列\|数Bの数列]]で学ぶ総和記号 <math>\Sigma</math> である。知らないのなら無視しても良い。この式を '''二項定理'''（binomial theorem）という。また、それぞれの項にかかる係数を二項係数（binomial coefficient）と呼ぶことがある。 * 問題例問題 (I) :<math>(x+1) ^4</math> (II) :<math>(a + 3) ^ 5</math> (II) :<math>(a + b) ^ 5</math> をそれぞれ計算せよ。解答二項定理を用いて計算すればよい。実際に計算を行なうと、 (I) :<math>x^4+4\,x^3+6\,x^2+4\,x+1</math> (II) :<math>a^5+15\,a^4+90\,a^3+270\,a^2+405\,a+243</math> (III) :<math>b^5+5\,a\,b^4+10\,a^2\,b^3+10\,a^3\,b^2+5\,a^4\,b+a^5</math> となる。問題すべての自然数nに対して (I) :<math>2^n = \sum _{k=0} ^n n\operatorname{C} _k </math> (II) :<math>3^n = \sum _{k=0} ^n 2^k n\operatorname{C} _k </math> (III) :<math>0 = \sum _{k=0} ^n (-1)^k n\operatorname{C} _k </math> が成り立つことを示せ。解答二項定理 :<math>(a+b)^n = \sum _{k = 0}^n {} _n\operatorname{C} _k a^k b^{n-k}</math> についてa,bに適当な値を代入すればよい。 (I) a = 1,b=1を代入すると、 :<math>(1+1)^n = \sum _{k = 0}^n {} _n\operatorname{C} _k </math> :<math>2^n = \sum _{k = 0}^n {} _n\operatorname{C} _k </math> となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。 (II) a=2,b=1を代入すると、 :<math>(1+2)^n = \sum _{k = 0}^n {} _n\operatorname{C} _k 2^k</math> :<math>3^n = \sum _{k = 0}^n {} _n\operatorname{C} _k 2^k</math> となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。 (III) a=1,b=-1を代入すると、 :<math>(1-1)^n = \sum _{k = 0}^n {} _n\operatorname{C} _k (-1)^k</math> :<math>0 = \sum _{k = 0}^n {} _n\operatorname{C} _k (-1)^k</math> となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。 ==== 多項定理 ==== 二項定理を拡張して <math>(a+b+c)^n</math> を展開することを考えよう。<math>a^pb^qc^r</math> <math>(p+q+r = n)</math> の項の係数は <math>n</math> 個の <math>(a+b+c)</math> から <math>p</math> 個の <math>a</math>、<math>q</math> 個の <math>b</math> 、 <math>r</math> 個の <math>c</math> を選ぶ[[高等学校数学A/場合の数と確率#組み合わせ\|組合せ]]に等しいから <math>\frac{n!}{p!q!r!}</math> である。 === 整式の除法、分数式 === ここでは、整式の除法と分数式について扱う。整式の除法は、整式を整数のように扱い除法を行なう計算手法のことである。実際に整数の除法と整式の除法には深いつながりがある。整式の因数分解を考えるとそれ以上因数分解できない整式が存在する。この整式を整数でいう素因数のように扱うことで整式の素因数分解が可能になる。上では、整式が整数に対応する性質を持つことを述べた。整数についてはたがいに素な2つの整数を取ることで有理数を定義することが出来る。整式に対しても同じ事が成立ち、そのような式を分数式と呼ぶ。 ==== 整式の除法 ==== 分数を用いないときには、整数の除法は商と余りを用いて定義された。この時、割られる数Bは商Dと割る数A、余りRを用いて :<math> B = AD + R </math> の性質を満たすことが知られている。整式に対しても似た性質が成立ち、割られる式B(x)が商D(x)と割る式A(x)、余りR(x)を用いて、 :<math> B(x) = A(x)D(x) + R(x) </math>と書かれるとき、B(x)が、A(x)に割られたという。この時、整数の除法の性質R<Aに対応して、R(x)の次数<A(x)の次数が成立する。具体例として、x +1を、xで割ることを考える。割る式の次数が1であることから余りの次数は0となり余りは実数である必要がある。また、商がxの関数であると :<math> B(x) = A(x)D(x) + R(x) </math> の右辺でxについて2次の項が現われ左辺と一致しなくなる。よって商は実数である。商をa、余りをrとすると上の式は、 :<math> x+1 = ax + r </math> となるが、これはa=1,r=1で成立する。よって商1,余り1である。より高次の式に対しても同じ様に答えを定めていけばよい。例として、 :<math> x^3 \div (x^2 -1) </math> のような式を考える。この場合、 :<math> B(x) = A(x)D(x) + R(x) </math> で、B(x)が3次、A(x)が2次であることから、D(x)は1次であり、また、R(x)は2次より小さいことから1次以下の式になる。ここで、D(x)=ax+b,R(x)=cx+dとおくと、 :<math> x^3 = (x^2-1) (ax+b) + (cx +d) </math> が得られる。右辺を展開すると、 :<math> x^3 = ax^3 + b x^2 + (-a +c )x + (-b +d) </math> が得られるが、xにどんな値を入れてもこの等式が成り立たなければならないので、a = 1, b = 0, -a +c = 0, -b +d = 0が得られ、結局a=c=1, b=d=0が得られる。 <!-- <math> x^3 \div (x^2 -1) </math> のような式を考える。この式について、 <math> x^3 = x(x^2 - 1) +x </math> と書くことが出来るが、これは <math>x^3</math> を <math>x^2-1</math> で割った結果、商<math>x</math> ,余り <math>x</math> がでたものと解釈できる。このように、整式どうしで割り算をすることが出来る。このとき、割る式は割られる式より低次か同じ次数でなくてはならない。また、余りは必ず割る式よりも低次の式になる。 --> この方法はどの除法に対しても用いることが出来るが、次数が高くなると計算が難しくなる。整数の場合と同様、整式の除法でも筆算を用いることが出来る。上の例を用いて結果だけを書くと、図のようになる。)右に書かれた式が割られる式であり、)左に書かれた式が割る式である。--の一番上に書かれた式は商であり、整数の割り算同様左に書かれた数から順に割っていく。ここでは次数が大きい項がより先に計算される項である。割られる式の下にある式は商の第1項を割る式にかけて得る式である。ここでは、<math>x(x^2-1)</math>で、<math>x^3-x</math>となる。ただし、整数の除法と同様、位をそろえなくてはならない。その後、割られる式から<math>x^3-x</math>を引き、残った式を新しい割られる式として扱う。ここでは、得た式が割る式よりも低次であることから、これで計算は終了である。問題例問題 : <math>x^3 + 2x ^2 +1</math>、<math>x ^4 + 4x^2 +3x +2</math>を、<math>x^2 +2x +6 </math>で割った商と余りを求めよ。 <!-- 更に、 (I) :<math> (x ^4 + 2x^3 - 5x^2 +6x -1) \div (x^2 -5x -1 ) </math> (II) :<math> (3 x ^4 - 7x^3 + x^2 +2x -1) \div (x^2 -3x -4 ) </math> (III) :<math> (2x^5 +3 x ^4 - 7x^3 + x^2 +2x -1) \div (x^2 +7x -4 ) </math> (IV) :<math> (2x^5 +3 x ^4 - 7x^3 + x^2 +2x -1) \div (x^3 +4x^2 +7x -4 ) </math> を計算せよ。問題が多いので、とりあえずコメントアウト。 --> 解答この計算はアニメーションを使って詳しく表示されている。計算手法は、整数の場合の筆算と同じような手法が使える。 [[画像:Fract.gif\|frame\|right\|計算のアニメーション]] :<math> x^3 + 2x ^2 +1 = (x^2 +2x +6) x +(1-6x) </math> が得られるので、商<math> x</math>、余り<math>-6x +1</math>である。 2つ目の式については、 :<math> x ^4 + 4x^2 +3x +2 = (x^2 - 2x+2)* (x^2 +2x +6) + 11x -10 </math> が得られる。よって、答は商<math>x^2 - 2x+2</math>、余り<math>11x -10</math>である。 <!-- 更に、残りの計算結果は、 (I) :<math> \left[ x^2+7\,x+31,168\,x+30 \right] </math> (II) :<math> \left[ 3\,x^2+2\,x+19,67\,x+75 \right] </math> (III) :<math> \left[ 2\,x^3-11\,x^2+78\,x-589,4437\,x-2357 \right] </math> (IV) :<math> \left[ 2\,x^2-5\,x-1,48\,x^2-11\,x-5 \right] </math> が得られる。ただし、左が商、右が余りとなっている。 --> ==== 分数式 ==== ここまでで整式を整数のように扱い、整式の除法を行なう方法について述べた。ここでは、整式に対して分数式を定義する方法について述べる。分数式とは、整数に対する分数のように、除法によって生じる式である。ここで、除法を行なう式はどのようなものでも差し支えない。分数式では、分子に割られる式を書き、分母に割る式を書く。例えば、 :<math> \frac {x+1}{x^2+4} </math> は、分子x+1、分母<math>x^2+4</math>の分数式である。分数式に対しても約分や通分が存在する。約分は共通因数を持った分子分母をもつ分数式で用いられる。この時には分子分母を共通因数で割り、式を簡単にすることが出来る。通分は、分数式の加法の時によく用いられるが、分子分母に同じ整式をかけても分数式が変化しない性質を用いる。 * 問題例問題 :<math> \frac {x^2 -1} {x^3 -1} </math> を簡単にせよ。また、 :<math> \frac {x+1}{x^2 +2x + 3} + \frac {2x + 5} {x^2 +1} </math> を計算せよ。解答 :<math> \frac {x^2 -1} {x^3 -1} </math> について分子と分母を因数分解すると、双方ともに :<math> x-1 </math> を因数として含んでいることが分かる。このとき、共通の因数は約分することが必要である。計算された値は、 :<math> \frac {x^2 -1} {x^3 -1} </math> :<math> = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)} </math> :<math> = \frac{x+1} { x^2+x+1} </math> となる。次の問題では、 :<math> \frac {x+1}{x^2 +2x + 3} + \frac {2x + 5} {x^2 +1} </math> を計算する。このとき、両辺の分母をそろえる必要があるが、今回については、単純にそれぞれの分数式の分子と分母に各々の分母をかけて分母を統一すればよい。計算すると、 :<math> \frac {x+1}{x^2 +2x + 3} + \frac {2x + 5} {x^2 +1} </math> :<math> = \frac{(x+1)(x^2+1)}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)} +\frac{(x^2 +2x + 3)(2x + 5)}{(x^2 +2x + 3)(x^2+1)} </math> :<math> = \frac{(x+1)(x^2+1)+(x^2 +2x + 3)(2x + 5)} {(x^2 +2x + 3)(x^2+1)} </math> :<math> = \frac {3x^3 +10x^2 + 17 x + 16} {(x^2 +2x + 3)(x^2+1)} </math> となる。分数式の乗法は、分子分母を別々にかければよい。 * 問題例問題次の計算をせよ。 (I) :<math> \frac {x^2 - y^2} {x^2 - 2xy + y^2} \times \frac {x-y} {x^2 + xy} </math> (II) :<math> \frac {x^2 + 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \div \frac {x^2 - 3x - 4} {x^2 - x - 6} </math> 解答 (I) :<math> \frac {x^2 - y^2} {x^2 - 2xy + y^2} \times \frac {x-y} {x^2 + xy} </math> :<math> = \frac {(x+y)(x-y)} {(x-y)^2} \times \frac {x-y} {x(x+y)} </math> :<math> = \frac {(x+y)(x-y)(x-y)} {(x-y)^2\ x(x+y)} </math> :<math> = \frac {1} {x} </math> (II) :<math> \frac {x^2 + 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \div \frac {x^2 - 3x - 4} {x^2 - x - 6} </math> :<math> = \frac {x^2 + 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \times \frac {x^2 - x - 6} {x^2 - 3x - 4} </math> :<math> = \frac {(x+1)(x+3)} {(x-3)^2} \times \frac {(x+2)(x-3)} {(x+1)(x-4)} </math> :<math> = \frac {(x+1)(x+3)(x+2)(x-3)} {(x-3)^2\ (x+1)(x-4)} </math> :<math> = \frac {(x+3)(x+2)} {(x-3)(x-4)} </math> ===== 部分分数分解 ===== 分母が積の形である分数式を二つの分数式の和や差で表された式に変形する操作を'''部分分数分解'''という。問題例 <Math> \frac{1}{x (x+1)} </Math>と<Math>\frac{1}{(x+1)(x+3)}</Math>を分数式の和または差の形で表せ。解答 :<Math>\frac{1}{x(x+1)} = \frac{(x+1)-x}{x(x+1)}</Math> と変形できるので、 :<Math>\frac{x+1}{x(x+1)} - \frac{x}{x(x+1)}</Math> となり、約分すると :<Math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}</Math> となる。次の問題では、 :<Math>\frac{1}{(x+1)(x+3)} = \frac{1}{(x+3) - (x+1)} \cdot \frac{(x+3) - (x+1)}{(x+1)(x+3)}</Math> と変形することによって、 :<Math>\frac{1}{2} \{ \frac{x+3}{(x+1)(x+3)} - \frac{x+1}{(x+1)(x+3)} \}</Math> となり、 :<Math>\frac{1}{2} (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3}) </Math> と求まる。部分分数分解の操作を逆に辿ると、分数式の通分の操作と一致する。つまり、'''部分分数分解は通分の逆の操作'''である。分子が定数の場合には、上と同様の方法で部分分数分解することができる。問題以下の分数式を部分分数分解せよ #<Math>\frac{3}{(x-9)(x-4)}</Math> #<Math>\frac{7}{(3x-1)(5-2x)}</Math> 解答 1. <Math>\frac{3}{(x-9) (x-4)} </Math> :<Math>= \frac{3}{(x-4) - (x-9)} \cdot \frac{(x-4) - (x-9)}{(x-9)(x-4)}</Math> :<Math>= \frac{3}{5}\{ \frac{x-4}{(x-9)(x-4)} - \frac{x-9}{(x-9)(x-4)} \}</Math> :<Math>= \frac{3}{5} ( \frac{1}{x-9} - \frac{1}{x-4} )</Math> 2. <Math>\frac{7}{(3x-1)(5-2x)}</Math> :<Math>= \frac{-7}{(3x-1)(2x-5)} </Math> :<Math>= \frac{-7}{(3x-1) - (2x-5)} \cdot \frac{(3x-1) - (2x-5)}{(3x-1)(2x-5)} </Math> :<Math>= \frac{-7}{2(3x-1) - 3(2x-5)} \cdot \frac{2(3x-1) - 3(2x-5)}{(3x-1)(2x-5)} </Math> :<Math>= \frac{-7}{(6x-2) - (6x-15)} \{ \frac{2(3x-1)}{(3x-1)(2x-5)} - \frac{3(2x-5)}{(3x-1)(2x-5)} \}</Math> :<Math>= - \frac{7}{13} (\frac{2}{2x-5} - \frac{3}{3x-1})</Math> :<Math>= \frac{7}{13} (\frac{3}{3x-1} - \frac{2}{2x-5})</Math> 部分分数分解は数列の和の計算、積分計算、微分を利用した不等式の証明等に役立つ、重要な変形である。 === 式の証明 === ==== 恒等式 ==== 等式 <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>は、文字<math>a,b</math>にどのような値を代入しても成り立つ。このような等式を'''恒等式'''（こうとうしき）という。等式<math>\frac {1}{x-1} + \frac {1}{x+1} = \frac {2x}{x^2-1}</math>は、両辺とも<math>x=1,-1</math>を代入することはできないが、その他の値であれば代入することができ、またどのような値を代入しても等式が成り立っている。これも恒等式と呼ぶ。いっぽう、<math>x^2 - x - 2 = 0</math> は、x＝2 または x＝ー1 を代入したときだけ成り立つが、このように文字に特定の値を代入したときにだけ成り立つ式のことを方程式と呼び、恒等式とは区別する。等式 <math>ax^2+bx+c=0</math> が <math>x</math> についての恒等式であるのはどのような場合か、考えてみよう。ある式が「 <math>x</math> についての恒等式である」とは、この式の<math>x</math> にどのような値を代入しても、この等式は成り立つという意味である。なので、例えば <math>x</math> に<math>-1\ ,\ 0\ ,\ 1</math> を代入した式 :<math>a-b+c=0</math> :<math>c=0</math> :<math>a+b+c=0</math> はすべて成り立つ必要がある。これを解くと :<math>a=b=c=0</math> なので、等式 <math>ax^2+bx+c=0</math> が <math>x</math> についての恒等式になるならば、<math>a=b=c=0</math>でなければならないことがわかる。一般に、等式 <math>ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'</math> が恒等式であることと、<math>(a-a')x^2+(b-b')x+(c-c')=0</math> が恒等式であることと同じである。<br> よって :<math>ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c'</math> が<math>x</math>についての恒等式　<math>\Leftrightarrow </math>　 <math>a=a'</math> かつ <math>b=b'</math> かつ <math>c=c'</math> まとめると次のようになる。 {\| style="border:2px solid yellow;width:fit-content" cellspacing=0 \|style="background:yellow"\|'''恒等式の性質''' \|- \|style="padding:5px"\| <math>P\ ,\ Q</math> を <math>x</math> についての多項式または単項式とする。 ::<math>P=0</math> が恒等式　<math>\Leftrightarrow </math> 　 <math>P</math>の各項の係数はすべて<math>0</math>である。 ::<math>P=Q</math> が恒等式　<math>\Leftrightarrow </math> 　 <math>P</math>と <math>Q</math> の次数は等しく、両辺の同じ次数の項の係数は、それぞれ等しい。 \|} * 問題例問題次の等式が <math>x</math> についての恒等式となるように、<math>a\ ,\ b\ ,\ c</math> の値を求めよ。 :<math>x^2-3=a(x-1)^2+b(x-1)+c</math> 解答等式の右辺を <math>x</math> について整理すると :<math>a(x-1)^2+b(x-1)+c=ax^2-2ax+a+bx-b+c=ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)</math> :<math>x^2-3=ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)</math> この等式が <math>x</math> についての恒等式となるのは、両辺の同じ次数の項の係数が等しいときである。よって :<math>a=1</math> :<math>-2a+b=0</math> :<math>a-b+c=-3</math> これを解くと :<math>a=1\ ,\ b=2\ ,\ c=-2</math> ; '''複雑な部分分数分解'''（発展）恒等式を利用することで、複雑な分数式の部分分数分解ができる。問題例以下の分数式を部分分数分解せよ #<Math>\frac{3x-5}{(x+2)(2x-1)}</Math> #<Math>\frac{1}{(x-1)^2 (x-2)}</Math> 解答 :<Math>\frac{3x-5}{(x+3)(2x-1)} = \frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+3}</Math> とおく。分母を払って :<Math>3x-5 = a(x+3) + b(2x-1)</Math> すなわち :<Math>3x-5 =(a+2b)x + (3a-b) </Math> これが<Math>x</Math>の恒等式なので、係数を比較して :<Math>a+2b=3</Math>かつ<Math>3b-a=-5</Math> すなわち :<Math>a=-1, b=2</Math> 最初の等式に代入して、 :<Math>\frac{3x-5}{(x+3)(2x-1)} = \frac{-1}{2x-1} + \frac{2}{x+3}</Math> :<Math>= \frac{2}{x+3} - \frac{1}{2x-1}</Math> 次の問題は、 :<Math>\frac{1}{(x-1)^2 (x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{c}{x-2}</Math> とおくことにより、上の問題と同様にして :<Math>a=-1, b=-1, c=1</Math> と求まるので、 :<Math>\frac{1}{(x-1)^2 (x-2)} = - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2} + \frac{1}{x-2}</Math> :<Math>= \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{(x-1)^2}</Math> '''恒等式を利用した部分分数分解''' 求めたい数字を<Math>a,b,c</Math>とおく。 1. <Math>\frac{px+q}{(x+m)(x+n)} = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{x+n}</Math> 2. <Math>\frac{px+q}{(x+m)^2} = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{(x+m)^2}</Math> 3. <Math>\frac{px^2 + qx + r}{(x+m)^2 (x+n)} = \frac{a}{x+m} + \frac{b}{(x+m)^2 } + \frac{c}{x+n}</Math> 4. <Math>\frac{px^2 + qx + r}{(x+m)(x^2 + nx + l)} = \frac{a}{x+m} + \frac{bx+c}{x^2 + nx + l}</Math> このようにおいた式を<Math>x</Math>の恒等式と見ることによって、<Math>a,b,c</Math>を求められ、部分分数分解ができる。 ; '''2つの文字についての恒等式'''（発展）例 a~fを定数とする。 <Math>ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0</Math>がx, yについての恒等式だとする。左辺をxについて整理すると、<Math>ax^2+(cy+d)x+(by^2+ey+f)=0</Math>である。これがxについての恒等式なので、<Math>a=0, cy+d=0, by^2+ey+f=0</Math>が成り立つ。これらは更にyについての恒等式なので、以下の等式が得られる。 :<Math>a=b=c=d=e=f=0</Math> 逆に、これが成り立てば元の式は明らかにx, yについての恒等式である問題 <Math>x^2+axy+6y^2-x+5y+b = (x-2y+c)(x-3y+d)</Math>がx,yについての恒等式となるようにa,b,c,dを定めよ。 ==== 等式の証明 ==== さきほど紹介した「恒等式」という言葉を使って「証明」の意味を説明するなら、「等式を証明する」とは、その式が恒等式であることを示すことである。一般に、等式 A＝B を証明するためには、次のような手順のいずれかを実行すればよい。 :(1)　　Aを式変形してBを導くか、または Bを変形してAを導く。 :(2)　　A,Bをそれぞれ変形して、同じ式Cを導く。 :(3)　　A-B＝0 を示す。このとき、変形は同値変形でなければならないことに注意。例題 1 <math> (a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab </math> が成り立つことを証明せよ。（証明）<br> 左辺を展開すると、 :(左辺)＝<math> (a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2) = a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab-b^2=4ab </math> となり、これは右辺に等しい。よって、等式 <math> (a+b)^2-(a-b)^2 = 4ab </math> は証明された。（終） ---- * 例題 2 <math> (x+y)^2+(x-y)^2 = 2(x^2+y^2) </math> が成り立つことを証明せよ。 :（証明）左辺を計算すると、 :（左辺）＝ <math> (x^2+2xy+y^2)+(x^2-2xy+y^2) = x^2+2xy+y^2 + x^2-2xy+y^2 = 2x^2+2y^2 =2(x^2+y^2) </math> これは右辺に等しい。よって等式が成り立つことが証明された。（終） ---- * 問題例問題次の等式が成り立つことを証明せよ。<br> (I) :<math> (6 a + 7 b )^2 + (7 a - 6 b )^2 = (9 a + 2 b )^2 + (2 a - 9 b )^2 </math> 解答 (I)<br> (左辺)<math> = (36 a^2 + 84 a b + 49 b^2) + (49 a^2 - 84 a b + 36 a^2) = 85 a^2 + 85 b^2 </math><br> (右辺)<math> = (81 a^2 + 36 a b + 4 b^2) + (4 a^2 - 36 a b + 81 b^2) = 85 a^2 + 85 b^2 </math><br> 両辺とも同じ式になるから :<math> (6 a + 7 b )^2 + (7 a - 6 b )^2 = (9 a + 2 b )^2 + (2 a - 9 b )^2 </math> 恒等式でないときも、与えられた条件から等式を証明することができる。問題例 <Math>a+b+c=0</Math>のとき、<Math>a^3+b^3+c^3=3abc</Math>であることを証明せよ。また、<Math>a:b=c:d</Math>のとき、<Math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}</Math>を証明せよ。解答 :<Math>a+b+c=0 \iff c=-(a+b)</Math> より、 :<Math>a^3+b^3+c^3-3abc = a^3+b^3-(a+b)^3+3ab(a+b)</Math> :<Math>= a^3+b^3-(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)+3a^2b+3ab^2</Math> :<Math>=0</Math> よって、<Math>a^3+b^3+c^3=3abc</Math>である。また、 :<Math>a:b=c:d \iff \frac{a}{b} = \frac{c}{d}</Math> より、上式の右辺をkとおくと、 :<Math>a=bk, c=dk</Math> なので、 :<Math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{bk+dk}{b+d} = \frac{k(b+d)}{b+d} = k</Math> :<Math>\frac{a-c}{b-d} = \frac{bk-dk}{b-d} = \frac{k(b-d)}{b-d} = k</Math> よって、<Math>\frac{a+c}{b+d} = \frac{a-c}{b-d}</Math>である。なお、比<Math>a:b</Math>について<Math>\frac{a}{b}</Math>を'''比の値'''という。また、<Math>a:b=c:d \iff \frac{a}{b} = \frac{c}{d}</Math>を'''比例式'''という。 <Math>\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = \frac{c}{z}</Math>が成り立つとき、<Math>a:b:c=x:y:z</Math>と表す。これを'''連比'''という。問題 <Math>a:b:c=1:2:3</Math>のとき、<Math>a+b+c=24</Math>を満たす<Math>a,b,c</Math>を求めよ。 ==== 不等式の証明 ==== 不等式のさまざまな公式については、次の4つの式を基本的な式として導出できる場合がよくある。高校数学では、次の4つの性質が不等式の「基本性質」などとして紹介されている。 {\| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''不等式の基本性質''' \|- \|style="padding:5px"\| :(1)　　<math> a>b </math> かつ <math> b>c </math> ならば <math> a>c </math> :(2)　　<math> a>b </math> ならば <math> a+c>b+c </math> かつ <math> a-c>b-c </math> :(3)　　<math> a>b </math> かつ <math> c>0 </math> ならば <math> ac>bc </math> であり、<math> \frac{a}{c} > \frac{b}{c} </math>でもある :(4)　　<math> a>b </math> かつ <math> c<0 </math> ならば <math> ac<bc </math> であり、<math> \frac{a}{c} < \frac{b}{c} </math>でもある \|} (3)と(4)については、ひとつの性質としてまとめている検定教科書もある（※ 啓林館など）。数学IAで習った「ならば」の意味の記号 <math>\Longrightarrow </math> を使うと、 {\| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''不等式の基本性質''' \|- \|style="padding:5px"\| :(1)　　<math> a>b </math> かつ <math> b>c </math> 　<math>\Longrightarrow </math>　 <math> a>c </math> :(2)　　<math> a>b </math> <math>\Longrightarrow </math> <math> a+c>b+c </math> 　かつ　<math> a-c>b-c </math> :(3)　　<math> a>b </math> かつ <math> c>0 </math> 　<math>\Longrightarrow</math>　 <math> ac>bc </math> であり、<math> \frac{a}{c} > \frac{b}{c} </math>でもある :(4)　　<math> a>b </math> かつ <math> c<0 </math> 　<math>\Longrightarrow</math>　 <math> ac<bc </math> であり、<math> \frac{a}{c} < \frac{b}{c} </math>でもある \|} とも書ける。上述の4つの基本性質から、 :a>0, 　b>0 ならば a＋b ＞ 0 を証明してみよう。（証明）まず a>0 なので、基本性質(2)より :a＋b > b である。よって、 :<math> a+b>b </math> かつ <math> b>0 </math> なので、基本性質(1)より<math> a+b>0 </math> が成り立つ。（終）同様にして、 :a＜0, 　b＜0 ならば a＋b ＜ 0 を証明できる。 ::（※ 読者は自分でこれを証明してみよ。検定教科書にも、この式の証明は省略されている。）ここまでに示したことから、不等式 <math> A \geqq B </math> を証明したい場合には、 : <math> A-B \geqq 0 </math> を証明すればよいことがわかった。こちらの方が証明しやすい場合がよくある。不等式を証明する際に根拠とする基本的な不等式として、次の性質がある。 {\| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''実数の2乗の性質''' \|- \|style="padding:5px"\| 実数 a について、かならず :<math>a^2 \geqq 0</math> が成り立つ。この式で等号が成り立つ場合とは、 <math>a = 0</math> の場合だけである。 \|} この定理（「実数を2乗すると、かならずゼロ以上である」）を、基本性質(3),(4)を使って証明してみよう。 '''（証明）''' aが正の場合と負の場合と0の場合の3通りに場合わけする。 '''<nowiki>[aが正の場合]</nowiki>''' <br> このとき、基本性質(3)より、 :<math> aa>0a </math> である。すなわち、 :<math> a^2 > 0 </math> である。 '''<nowiki>[aが負の場合]</nowiki>'''<br> このとき、基本性質(4)より <math>0a < aa </math> である。すなわち、 : <math> a^2 > 0 </math> である。 '''<nowiki>[aがゼロの場合]</nowiki>''' <br> このとき、 <math>a^2=0</math> である。よって、すべての場合について<math>a^2 \geqq 0</math> (終) このことと基本性質(1)(2)より、次が成り立つこともわかる。 {\| style="border:2px solid skyblue; width:fit-content" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''実数の2乗どうしの和の性質''' \|- \|style="padding:5px"\| 2つの実数a,b について <math>a^2 \geqq 0</math>, 　<math>b^2 \geqq 0</math> であるから、かならず :<math>a^2+b^2 \geqq 0</math> が成り立つ。上式で等号が成り立つ場合とは、 <math>a^2 = 0</math> かつ <math>b^2 = 0</math> の場合だけであり、つまり <math>a = 0</math> かつ <math>b = 0</math> の場合だけである。 \|} 問題次の不等式が成り立つことを証明せよ。<br> :<math> x^2 + 10 y^2 \geqq 6 x y </math> (証明)<br> :<math> (x^2 + 10 y^2) -(6 x y) \geqq 0 </math> を証明すればよい。左辺を展開してまとめると、 :<math> (x^2 + 10 y^2) - 6xy = x^2 - 6 x y + 9 y^2 + y^2 = (x - 3 y)^2 + y^2 </math> となる。上式の最後の式の項について、 :<math> (x - 3 y)^2 \geqq 0 , \quad y^2 \geqq 0 </math> だから、 :<math> (x - 3 y)^2 + y^2 \geqq 0 </math> である。よって :<math> x^2 + 10 y^2 \geqq 6 x y </math> である。（終） ===== 根号を含む不等式 ===== 2つの正の数 a,　b が a＞b または a≧b ならば、両辺を2乗しても大小関係は同じままである。つまり、 : <math> a>0 </math>,　<math> b>0 </math> のとき、 : : <math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math> : <math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math> : : これを証明するには、<math> a^2 - b^2 </math> を調べればよい。 :<math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) </math> である。 a>bとする。仮定より、a,b は正の数なので、<math> (a+b)>0 </math> であり、別の仮定より、 a > b なので、<math> (a-b)>0 </math> でもある。よって、<math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) >0 </math> 逆に、<math>a^2-b^2>0</math>のとき、<math>(a+b)(a-b)>0</math>であり、<math>a>0,b>0</math>なので<math>a+b>0</math>である。よって、<math>a-b>0</math>なので、<math>a>b</math>である。よって、<math> a > b \quad \Longleftrightarrow \quad a^2 > b^2 </math> である。 a≧bの場合も同様に証明できる。 ---- 練習として、次の問題を問いてみよう。 ;例題 <math> a>0 </math>,　<math> b>0 </math> のとき、次の不等式を証明せよ。 ::<math> \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b} </math> （証明）不等式の両辺は正であるので、両辺の平方の差を考えればよい。両辺の平方の差は :<math>( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^2 - ( \sqrt{a+b} )^2 = a + 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + b - (a+b) 2 \sqrt{ab} </math> である。ここで、a,b はともに正の実数なので、 ::<math> \sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab} </math> であることを用いた。 :<math> \sqrt{ab} > 0</math> であるので、 :<math>( \sqrt{a} + \sqrt{b} )^2 - ( \sqrt{a+b} )^2 > 0 </math> となる。よって、 :<math> \sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b} </math> である。（終） ===== 絶対値を含む不等式 ===== 実数 a の絶対値 \|a\| について、 : a ≧ 0 のとき \|a\|＝a , 　 : a＜0 のとき \|a\|＝ーa であるから、次のことが成り立つ。 ''' \|a\|≧a , \|a\|≧ ーa ,　\|a\|<sup>2</sup>＝a<sup>2</sup> ''' また、2つの実数 a, b の絶対値 \|ab\| については、 : \|ab\| <sup>2</sup> ＝ (ab)<sup>2</sup> ＝ a<sup>2</sup> b<sup>2</sup> ＝ \|a\|<sup>2</sup> \|b\|<sup>2</sup> ＝ (\|a\| \|b\|)<sup>2</sup> が成り立つので、これにさらに \|ab\|≧0 ,　\|a\|\|b\|≧0 を組み合わせて、 ''' \|ab\| ＝ \|a\| \|b\| ''' が成り立つ。 (例題) 次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのはどのような場合かを調べよ。 ::\|a\|＋\|b\| ≧ \|a＋b\| :(証明) 両辺の平方の差を考えると、 :: (\|a\|＋\|b\|)<sup>2</sup> ー \|a＋b\|<sup>2</sup> ＝ \|a\|<sup>2</sup> ＋ 2\|a\| \|b\| ＋ \|b\|<sup>2</sup> ー(a<sup>2</sup> ＋ 2ab ＋ b<sup>2</sup> ) :::::::: ＝ a<sup>2</sup> ＋ 2\|a\| \|b\| ＋ b<sup>2</sup> ーa<sup>2</sup> ー 2ab ー b<sup>2</sup> :::::::: ＝ 2\|a\| \|b\| ー 2ab :::::::: ＝ 2 ( \|a\| \|b\| ー ab ) これがもし正なら、与えられた不等式 \|a\|＋\|b\| ≧ \|a＋b\| が正しい。ここで、 \|a\| \|b\| ≧ ab であるので、 :: ( \|a\| \|b\| ー ab ) ≧ 0 である。したがって、 \|a\|＋\|b\| ≧ \|a＋b\| である。等号が成り立つのは \|a\| \|b\| ＝ ab の場合、すなわち ab ≧ 0 の場合である。（証明おわり） {{コラム\|三角不等式\| なお ::<nowiki>\|a\|ー\|b\| ≦ \|a＋b\| ≦ \|a\|＋\|b\| </nowiki> の関係式のことを「三角不等式」という。 }} ==== 相加平均と相乗平均 ==== 2つの数<math>a</math>,<math>b</math>に対し、<math>\frac{a+b}{2}</math>を'''相加平均'''（そうかへいきん）と言い、<math>\sqrt{ab}</math>を'''相乗平均'''（そうじょうへいきん）という。 {{コラム\|相乗平均の例と3つ以上のものの平均\| 平均は、3つ以上のものにも定義される。3つ以上のn個のものの相加平均は <math>\frac{a_1 + a_2 + \cdots +a_n }{n}</math> で定義される。 :平均を考える際、つい相加平均ばかりを考えがちだが、以下のような状況では相乗平均の方が適切である。 ::「ある企業では、2015年度の売上を基準にすると、2016年度では前年（2015年）の1.5倍の売上になりました。2017年度では、前年（2016年）の2倍の売上になりました。平均として、一年ごとに何倍の売り上げになっていったでしょうか？」 :（答）<math>\sqrt{1.5 \times 2} = \sqrt{3} \fallingdotseq 1.73</math> より、約 1.73倍。 :また、この応用例は、項が3つ以上の場合の相乗平均の定義の仕方も、示唆している。もし読者が[[高等学校数学II/指数関数・対数関数\|指数関数]]を知っているなら、項が3つ（ここでは a, b, c とする）の場合の相乗平均は、 ::（3つの項の相乗平均）＝<math> (abc)^{ \frac{1}{3} } </math> :になる。 }} 本ページでは、2個の数の平均について考察する。相加平均と相乗平均について、次の関係式が成り立つ。 {\| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:yellow"\|'''相加平均と相乗平均''' \|- \|style="padding:5px"\| <math>a \geqq 0</math> ，<math>b \geqq 0</math>のとき、<br> <center><math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math></center><br> 等号が成り立つのは、<math>a = b</math>のときである。 \|} （証明） <math>a \geqq 0 , b \geqq 0</math>のとき :<math> \frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a+b-2 \sqrt{ab}}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} \right) ^2 - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + \left( \sqrt{b} \right) ^2}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 }{2} </math> <math> \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 \geqq 0</math>であるから、<math> \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 }{2} \geqq 0</math><br> したがって　<math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math><br> 等号が成り立つのは、<math>\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 = 0 </math> のとき、すなわち <math>a = b</math> のときである。(証明おわり) 公式の利用では、上の式 <math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math> の両辺に2をかけた <math>a+b \geqq 2 \sqrt{ab}</math> の形の式を使う場合もある。 * 問題例問題 <math>a>0</math> ，<math>b>0</math>のとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ。<br> (I) :<math> a + \frac{1}{a} \geqq 2 </math> (II) :<math> (a+b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geqq 4 </math> 解答 (I)<math>a>0</math>であるから、<math>\frac{1}{a} >0</math><br> よって　<math>a + \frac{1}{a} \geqq 2 \sqrt{a \times \frac{1}{a}} = 2</math><br> したがって :<math> a + \frac{1}{a} \geqq 2 </math> (II) :<math> (a+b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) = 1+ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} +1 = \frac{b}{a} + \frac{a}{b} +2 </math> <math>a>0</math>，<math>b>0</math>であるから、<math>\frac{b}{a} >0</math>，<math>\frac{a}{b} >0</math><br> よって　<math> \frac{b}{a} + \frac{a}{b} +2 \geqq 2 \sqrt{\frac{b}{a} \times \frac{a}{b}} + 2 = 2+2 =4</math><br> したがって :<math> (a+b)\left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \geqq 4 </math> {{コラム\|3つ以上の相乗平均と調和平均\| もし読者が指数関数などを知っていれば、 n個のものの相乗平均は、 ::<math>\sqrt[n] {a_1 a_2 \cdots a_n }</math> と書ける。数学的な「平均」には、相加平均と相乗平均のほかにも調和平均がある。調和平均は、電気回路の並列計算で使われる考え方である。 n個のものの調和平均は、 ::<math>\frac{ n}{ \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} }</math> で定義される。一般に数学的には、調和平均、相乗平均、相加平均のあいだに次のような大小関係 :（調和平均） ≦ （相乗平均） ≦ （相加平均）という関係が成り立つことが証明されている。すなわち、数式で書けば ::<math>\frac{ n}{ \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} } \leqq \sqrt[n] {a_1 a_2 \cdots a_n } \leqq \frac{a_1 + a_2 + \cdots +a_n }{n} </math> の関係式である。簡潔に書くと、 ::<Math>\frac{ n}{ \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k}} \leqq (\prod_{k=1}^{n}a_k)^{\frac{1}{n}} \leqq \frac{\sum_{k=1}^{n} a_n}{n}</Math> となる。 }} == 高次方程式 == === 複素数 === 2乗して負になる数、というものを考える。このような数は、中学で習った実数の中にはないことがわかる。なぜならば、正の数でも負の数でも2乗すると符号が打ち消して正の数になってしまうからである。そこで高校では、2乗して負になるという性質を持つ数の概念を新しく導入することにする。 :<math>x^2 = -1</math> という方程式を考える。この方程式の解は実数にはない。そこで、この方程式の解となる数を新しく作り、その単位を文字 <math>i</math> であらわす。この <math>i</math> のことを'''虚数単位'''（きょすうたんい）と呼ぶ。（虚数単位の記号 i 、英語のアルファベットのアイの小文字で、 imaginary unit に由来すると考えられている。） <math>1+i</math> や <math>2+5i</math> のように、虚数単位<math>i</math>と実数<math>a,b</math>を用いて :<math>a+bi</math> と表すことができる数を'''複素数'''（ふくそすう）という。このとき、''a''をこの複素数の'''実部'''（じつぶ）といい、''b''を'''虚部'''（きょぶ）という。例えば、<math>1+i,\quad 2+5i,\quad \frac{9}{2} + \frac{7}{2} i,\quad 4i,\quad 3</math> は、いずれも複素数である。複素数 a＋bi は（ただし aとbは実数）、bが0の場合に、これを実数と見ることができる。言い方をかえると、複素数を基準に考えると、実数とは、 a＋0i のような、虚部の係数がゼロになる複素数のことであるとも言える。 4''i''のような、虚部が0以外で実部がゼロの複素数を'''純虚数'''（じゅんきょすう）と呼ぶ。純虚数は、2乗すると負になる数である。実数も虚部が0の複素数と考えられる。実数でない複素数のことを「虚数」（きょすう）という。 === 複素数の性質 === 2つの複素数 a+bi と c+di とが等しいとは、 : a＝c かつ b＝d であることである。つまり、 : a+bi ＝ c+di 　<math>\Longleftrightarrow</math>　 a=c かつ b＝d とくに、複素数a＋bi が 0であるとは、a＝0 かつ b＝0 であることである。 : a+bi ＝ 0 　<math>\Longleftrightarrow</math>　 a=0 かつ b＝0 {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''複素数の相等''' \|- \|style="padding:5px"\| : a+bi ＝ c+di 　<math>\Longleftrightarrow</math>　 a=c かつ b＝d : a+bi ＝ 0 　<math>\Longleftrightarrow</math>　 a=0 かつ b＝0 \|} ;共役複素数<math>z=a+bi</math>に対して、虚部の符号を反転させた複素数<math>a-bi</math>のことを「'''共役'''（きょうやく）な複素数」または「複素数<math>z</math>の共役」のように呼び、 <math> \bar z </math> であらわす。なお、「共役」は「共'''軛'''」の常用漢字による書き換えである。実数aと共役な複素数は、その実数 a 自身である。複素数 z＝a+bi について :<math>z+ \bar z =(a+bi)+(a-bi)=2a</math> :<math>z \bar z =(a+bi)(a-bi)=a^2-abi+abi-b^2 i^2 = a^2-b^2i^2=a^2+b^2</math> ;四則演算複素数にも四則演算（加減乗除）が定義される。複素数の演算では、虚数単位<math>i</math>を、通常の文字のように扱って計算する。一般に複素数<math>z\ ,\ w</math>が、<math>z=a+bi\ ,\ w=c+di</math>で与えられるとき(ただし <math>a\ ,\ b\ ,\ c\ ,\ d</math>は実数とする)、 :加法　　<math> (a+bi)+(c+di) = (a+c) + (b+d)i </math> :減法　　<math> (a+bi)-(c+di) = (a-c) + (b-d)i </math> :乗法　　<math> (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i </math> :除法　　<math> \frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i </math>　　（ただし <math>c+di \ne 0</math> とする。）というふうに複素数の加減乗除の計算法が定められている。乗法の定義は、一見すると難しそうにみえるが、実数の分配法則と同様に展開していき最後に i<sup>2</sup>にマイナス1を代入していっただけである。除法の定義は、分子と分母に、分母と共役な形の式を掛け算しただけである。乗法や除法の定義式を暗記する必要は無く、計算の際には、必要に応じて分配法則や共役などの、必要な式変形を行えばいい。 '''例題''' 2つの複素数 :<math>a=3+i</math> :<math>b=4 +7i</math> について、<math>a+b</math> と <math>ab</math> と <math>\frac a b</math> を、それぞれ計算せよ。 '''解答''' :<math>\begin{align} a+b&=(3+i)+(4+7i)\\ &=(3+4)+i(1+7)\\ &=7+8i\\ \end{align}</math> :<math>\begin{align} ab&=(3+i)(4+7i) \\ &=12+21i+4i+7i^2 \\ &=12+21i+4i+(-7) \\ &=5+25i \\ \end{align}</math> である。 :<math>\frac{a}{b}=\frac{3+i}{4+7i}</math> を、さらに簡単にできないだろうか。実は、ちょっとしたテクニックを用いればより見やすい形にできる。分数は分母と分子に同じ数をかけてよかったので、分母と分子に分母の共役をかけてみる。すると、 :<math>\begin{align} \frac{a}{b}&=\frac{3+i}{4+7i} \\ &=\frac{(3+i)(4-7i)}{(4+7i)(4-7i)} \\ &=\frac{12-21i+4i-(-7)}{16-28i+28i-(-49)} \\ &=\frac{19-17i}{65} \\ &=\frac{19}{65}-\frac{17}{65}i \\ \end{align}</math> が得られる。この形のほうが元の式よりもずっと見やすい形である。このような操作を分母の実数化ということもある。数学Iで学習した展開・因数分解公式 <math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>の簡単な応用である。 === 負の数の平方根 === 数の範囲を複素数にまで拡張すると、負の数の平方根も考えることができる。例として、 -5 の平方根について考えてみよう。<br> :<math> (\sqrt{5}\ i)^2 = (\sqrt{5})^2\ i^2 = 5 \times (-1) =-5 </math> :<math> (- \sqrt{5}\ i)^2 = (-1)^2 \times (\sqrt{5})^2\ i^2 = (+1) \times 5 \times (-1) = -5 </math> であるから、 -5 の平方根は <math> \sqrt{5}\ i </math> と <math> - \sqrt{5}\ i </math> である。 {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''負の数の平方根''' \|- \|style="padding:5px"\| <math>a>0</math>とするとき、負の数<math>-a</math>の平方根は、<math>\sqrt{a}\ i</math>と<math>- \sqrt{a}\ i</math>である。 \|} <math> \sqrt{-5} </math>とは、<math> \sqrt{5}\ i </math> のこととする。<math> - \sqrt{-5} </math>とは、<math> - \sqrt{5}\ i </math> のことである。とくに <math> \sqrt{-1}\ = \ i </math> である。さて、-5 の平方根は、方程式<math>x^2=-5</math> の解でもある。この方程式を移項することにより、-5 の平方根は、 :<math> x^2+5=0 </math> の解であるともいえる。さらに因数分解をすることにより、-5 の平方根は方程式 :<math> (x + \sqrt{5}\ i)(x - \sqrt{5}\ i) =0 </math> の解でもあるともいえる。 * 例題 (I) 　　<math>\sqrt{-2}\ \sqrt{-6}</math>　を計算せよ。 * 解答 (I) :<math>\sqrt{-2}\ \sqrt{-6} = \sqrt{2}\ i \times \sqrt{6} \ i = \sqrt{12}\ i^2 = -2 \sqrt{3}</math> このように、まず、マイナスの数の平方根が出てきたら、まず虚数単位 i を用いた式に書き換える。そのあと、かけ算をしていく。 * 問題 (II) 　　<math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}}</math>　を計算せよ。 (III) 　　2次方程式　<math>x^2=-7</math>　を解け。 ** 解答 (II) :<math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}\ i} = \frac{\sqrt{2}\ \sqrt{3}\ i}{\sqrt{3}\ i\ \sqrt{3}\ i} = \frac{\sqrt{6}\ i}{3\ i^2} = - \frac{\sqrt{6}}{3} \ i</math> (III) :<math>x^2=-7</math> :<math>x= \pm \sqrt{-7}</math> :<math>x= \pm \sqrt{7}\ i</math> === 2次方程式の判別式 === ==== 2次方程式の解と複素数 ==== 複素数の応用として、ここでは2次方程式の性質について述べる。任意の2次方程式は、解の公式によって解かれることを[[高等学校数学I 方程式と不等式#二次方程式\|高等学校数学I]]で述べた。しかし、解の公式に含まれる根号の中身が負の数の場合には実数解が存在しないことに注意する必要がある。2次方程式 :<math> ax^2+bx+c = 0 </math> の解の公式は、 :<math> x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{a} </math> である。判別式<math>D</math>は :<math> D = b^2-4ac </math> によって定義される。判別式は、解の公式の根号(ルート記号のこと)の中身に等しく、判別式の正負によって2次方程式が実数解を持つかどうかが決まる。 <math>D</math>が負のときにはこの2次方程式は実数の範囲には解を持たない。判別式<math>D</math>が負の数であったとき、xの解は異なる2つの虚数になり、その2つの解は共役の関係になっている。 * 問題例問題複素数を用いて、2次方程式<br> (1) :<math>x ^2 + 5x + 9 =0</math> (2) :<math>2x ^2 + 5x + 8 =0</math> (3) :<math>2x ^2 - 2x + 8 =0</math> を解け。解答解の公式を用いて解けばよい。(1)だけを計算すると、 :<math> x = \frac {- 5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \times 1 \times 9}}{2} </math> :<math> = \frac {-5 \pm \sqrt {11} i}{2} </math> となる。他も同じように扱うことが出来る。以降の解答は、<br> (2) :<math> x = \frac {-5 \pm \sqrt {39} i}{4} </math> (3) :<math> x = \frac {1 \pm \sqrt {15} i}{2} </math> となる。 <!-- ( 執筆者に対する注意計算には[[w:maxima]]を用いた。 tex(solve( x ^2 + 5x + 9 =0,x )); tex(solve( 2x ^2 + 5x + 8 =0,x )); tex( solve( 2x ^2 - 2x + 8 =0,x )); ) --> ==== 2次方程式の判別式 ==== 方程式の解で、実数であるものを '''実数解''' という。方程式の解で、虚数であるものを '''虚数解''' という。 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の解は <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math> である。 2次方程式の解の種類は、解の公式の中の根号の中の式 <math>b^2-4ac</math> の符号を見れば判別することができる。この式 <math>b^2-4ac</math> を、2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の'''判別式'''（はんべつしき）といい、記号 '''<math>D</math>''' で表す。 {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''判別式と解の判別''' \|- \|style="padding:5px"\| 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の判別式 <math>D=b^2-4ac</math> について ::<math>D>0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 異なる2つの実数解をもつ ::<math>D=0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 重解をもつ ::<math>D<0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 異なる2つの虚数解をもつ \|} また、重解も実数解であるので、 ::<math>D \geqq 0 \quad \Leftrightarrow \quad </math> 実数解をもつといえる。 * 問題例問題次の2次方程式の解を判別せよ。 (I) :<math> x^2+3\,x-1=0 </math> (II) :<math> 2\,x^2-3\,x+2=0 </math> (III) :<math> 4\,x^2-20\,x+25=0 </math> 解答 (I) :<math> D=3^2-4 \times 1 \times (-1) =13>0 </math> だから、異なる2つの実数解をもつ。 (II) :<math> D=(-3)^2-4 \times 2 \times 2 =-7<0 </math> だから、異なる2つの虚数解をもつ。 (III) :<math> D=(-20)^2-4 \times 4 \times 25 =0 </math> だから、重解をもつ。また、2次方程式 <math>ax^2 + 2b'x + c = 0</math> のとき、<math>D=4(b'^2-ac)</math>となるので、 2次方程式 <math>ax^2 + 2b'x + c = 0</math> の判別式には :<math> \frac{D}{4} = b'^2-ac </math> をもちいてもよい。これを用いて、前の問題 :(III) 　<math>4\,x^2-20\,x+25=0</math> の解を判別しよう。 <math>a=4 \, , \, b'=-10 \, , \, c=25</math>　であるから :<math> \frac{D}{4} = (-10)^2- 4 \times 25 =0 </math> だから、重解をもつ。 ==== 2次方程式の解と係数の関係 ==== 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> とする。この方程式は、 <math>a(x-\alpha)(x-\beta) = 0</math> と変形できる。これを展開すると、 <math>ax^2 -a(\alpha + \beta )x+a\alpha \beta = 0</math> 係数を比較して、 <math>c = a \alpha \beta, b = -a(\alpha + \beta)</math> を得る。これを変形すれば、<math>\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \alpha \beta = \frac{c}{a}</math>となる。<br> {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing="0" \| style="background:skyblue" \|'''解と係数の関係''' \|- \| style="padding:5px" \| 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> とすれば<br> <center><math>\alpha + \beta = - \frac{b}{a}</math> ，<math>\alpha \beta = \frac{c}{a}</math><br></center> \|} * 問題例問題 2次方程式 <math>2x^2 + 4x + 3 = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> とするとき、<math>\alpha ^2 + \beta ^2</math> の値を求めよ。解答解と係数の関係より、 <math>\alpha + \beta = - \frac{4}{2} = - 2 </math>，<math>\alpha \beta = \frac{3}{2}</math><br> <math>\alpha ^2 + \beta ^2 = (\alpha + \beta )^2 - 2 \alpha \beta = (-2)^2 - 2 \times \frac{3}{2} = 1</math> ==== 2数を解とする2次方程式 ==== 2つの数 <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> を解とする2次方程式は :<math> (x - \alpha) (x - \beta) = 0 </math> と表される。左辺を展開して整理すると次のようになる。 {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''与えられた2つの数を解とする2次方程式''' \|- \|style="padding:5px"\| 2数 <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> を解とする2次方程式は<br> <center><math>x^2 - (\alpha + \beta ) x + \alpha \beta = 0</math><br></center> \|} * 問題例問題次の2数を解とする2次方程式を作れ。 (I) :<math> 3 + \sqrt{5} \ , 3 - \sqrt{5} </math> (II) :<math> 2 + 3 i \ , 2 - 3 i </math> 解答 (I)<br> 和　<math>(3 + \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 6</math><br> 積　<math>(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5}) = 4</math>　であるから<br> :<math> x^2 - 6 x + 4 =0 </math> (II)<br> 和　<math>(2 + 3 i) + (2 - 3 i) = 4</math><br> 積　<math>(2 + 3 i) (2 - 3 i) = 13</math>　であるから<br> :<math> x^2 - 4 x + 13 =0 </math> ==== 2次式の因数分解 ==== 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解 <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> がわかると、2次式 :<math>ax^2 + bx + c </math> を因数分解することができる。<br> 解と係数の関係 <math>\alpha + \beta = - \frac{b}{a}</math>，<math>\alpha \beta = \frac{c}{a}</math> から、 :<math> ax^2 + bx + c = a \left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} \right) = a \left\{x^2 - (\alpha + \beta )x + \alpha \beta \right\} = a (x - \alpha)(x - \beta) </math> {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing="0" \| style="background:skyblue" \|'''解と因数分解''' \|- \| style="padding:5px" \| 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> とすると<br> <center><math>ax^2 + bx + c = a (x - \alpha)(x - \beta)</math><br></center> \|} 2次方程式は、複素数の範囲で考えるとつねに解をもつから、複素数まで使ってよいとすると、2次式は必ず1次式の積に因数分解することができる。 * 問題例問題複素数の範囲で考えて、次の2次式を因数分解せよ。 (I) :<math> x^2 + 4 x - 1 </math> (II) :<math> 2 x^2 - 3 x + 2 </math> 解答 (I)<br> 2次方程式　<math>x^2 + 4 x - 1 = 0</math>　の解は<br> :<math> x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \times 1 \times (-1)}}{2 \times 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{-4 \pm 2 \sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5} </math> よって :<math> x^2 + 4 x - 1 = \left\{ x - (-2 + \sqrt{5}) \right\} \left\{ x - (-2 - \sqrt{5}) \right\} = (x + 2 - \sqrt{5}) (x + 2 + \sqrt{5}) </math> (II)<br> 2次方程式　<math>2 x^2 - 3 x + 2 = 0</math>　の解は<br> :<math> x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4 \times 2 \times 2}}{2 \times 2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{7} i}{4} </math> よって :<math> 2 x^2 - 3 x + 2 = 2 \left(x- \frac{3 + \sqrt{7}\; i}{4} \right) \left(x- \frac{3 - \sqrt{7}\; i}{4} \right) </math> === 高次方程式 === 3次以上の整式による方程式を考える。一般に方程式を <math>P(x)=0</math>ととる。ただし、<math>P(x)</math>は、任意の次数の整式とする。 ==== 剰余の定理 ==== <math>P(x)</math>を1次式<math>x-a</math>で割ったときの商を<math>Q(x)</math>、余りを<math>R</math>とすると、 :<math> P(x) = (x-a)Q(x)+R </math> この両辺の<math>x</math>に<math>a</math>を代入すると、 :<math> P(a) = (a-a)Q(a)+R = 0 \times Q(a) + R =R </math> つまり、<math>P(x)</math>を<math>x-a</math>で割ったときの余りは<math>P(a)</math>である。 {\| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing="0" \| style="background:pink" \|'''剰余の定理''' \|- \| style="padding:5px" \| 整式<math>P(x)</math>を<math>x-a</math>で割ったときの余りは、<math>P(a)</math>に等しい。 \|} * 問題例問題整式 <math>P(x) = x^3 -2x + 3</math> を次の式で割った余りを求めよ。<br> (I) :<math> x-2 </math> (II) :<math> x+1 </math> (III) :<math> 2x-1 </math> 解答 (I)　<math>P(2) = 2^3 - 2 \times 2 + 3 = 7</math><br> (II)　<math>P(-1) = (-1)^3 - 2 \times (-1) + 3 = 4</math><br> (III)　<math>P\left( \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1}{2} \right)^3 - 2 \times \left( \frac{1}{2} \right) + 3 = \frac{17}{8}</math> ===== 因数定理 ===== ある実数<math>a</math>に対して、 :<math> P(a) = 0 </math> が成り立ったとする。このとき、整式<math>P(x)</math> は、 <math>(x-a)</math> を因数に持つことが分る。このことを因数定理（いんすうていり）と呼ぶ。 * 導出整式<math>P(x)</math>に対して、商<math>Q(x)</math>、割る式<math>(x-a)</math>とする整式の除法を用いる。このとき、商<math>Q(x)</math>、 (<math>Q(x)</math>は、<math>P(x)</math>よりも1だけ次数が低い整式である。) 余り<math>c</math>(<math>c</math>は、実数。)とすると、整式<math>P(x)</math> は、 :<math> P(x) = (x-a)Q(x) + c </math> と書ける。ここで、 <math>c=0</math> でないと、 <math>P(a)=0</math> は満たされないが、このとき、<math>P(x)</math>は、<math>(x-a)</math>によって割り切れる。よって、因数定理は成立する。 {\| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:pink"\|'''因数定理''' \|- \|style="padding:5px"\| 整式<math>P(x)</math>について<br> <center><math>P(a)=0 \Leftrightarrow </math> <math>P(x)</math>は<math>x-a</math>で割りきれる。</center> \|} 因数定理を用いることで、より次数の高い整式を因数分解することが出来るようになる。例えば、3次の整式 :<math> x^3 - 1 </math> について、<math>x=1</math>を代入すると、 :<math> x^3 - 1 </math> は0となる。よって、因数定理よりこの式は :<math> (x-1) </math> を因数として持つ。ここで、実際整式の除法を使って計算すると、 :<math> x^3 - 1 = (x-1)(x^2+x+1) </math> が得られる。 * 問題例問題因数定理を用いて<br> (I) :<math> x^3-6\,x^2+11\,x-6 </math> (II) :<math> x^3+x^2-14\,x-24 </math> <!-- (III) :<math> x^3+5\,x^2-34\,x-80 </math> --> を因数分解せよ。解答 (I) 因数分解の結果が(x+整数)の積の形なら、整数は6の因数でなければならない。そのため、<math>\pm 1, \pm 2,\pm 3,\pm 6</math>が候補となる。これらについては実際に代入して確かめるしかない。x=1を代入すると、 :<math> 1-6+11-6=0 </math> となるので、(x-1)が因数となる。実際に整式の除法を行なうと、商として<math>x^2-5x+6</math>が得られるが、これは<math>(x-2)(x-3)</math>に因数分解できる。よって答えは、 :<math> \left(x-3\right)\,\left(x-2\right)\,\left(x-1\right) </math> となる。<br> (II) ここでも地道に24の因数を当てはめていくしかない。24の因数は数が多いのでかなりの計算が必要となる。ここでは、-2を代入すると、 :<math> -8 +4 -14 \cdot (-2) -24 = 0 </math> となり、(x+2)が因数だとわかる。除法を行なうと、<math>x^2 -x -12</math>が得られるが、(x-4)(x+3)に因数分解できる。答えは、 :<math> \left(x-4\right)\,\left(x+2\right)\,\left(x+3\right) </math> となる。 ===== 高次方程式 ===== 因数分解や因数定理を利用して高次方程式を解いてみよう。 * 問題例問題高次方程式<br> (I) :<math> x^3-8=0 </math> (II) :<math> x^4-2x^2-8=0 </math> (III) :<math> x^3-5x^2+7x-2=0 </math> を解け。解答 (I) 左辺を<math> a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) </math>を用いて因数分解すると :<math> (x-2)(x^2+2x+4)=0 </math> したがって<math>\ x-2=0</math>　または<math>\ x^2+2x+4=0</math><br> よって :<math> x=2\ , \ -1 \pm \sqrt{3} i </math> (II) 　<math>\ x^2=X\ </math>とおくと、 :<math> X^2-2X-8=0 </math> 左辺を因数分解すると :<math> (X-4)(X+2)=0 </math> よって　<math>X=4\ ,\ X=-2</math><br> ゆえに　<math>x^2=4\ ,\ x^2=-2</math><br> したがって :<math> x= \pm 2\ ,\ \pm \sqrt{2} i </math> (III) 　<math>\ P(x)=x^3-5x^2+7x-2\ </math>とおく。 :<math> P(2)=2^3-5 \times 2^2+7 \times 2-2=0 </math> したがって、<math>\ x-2\ </math>は<math>\ P(x)\ </math>の因数である。<br> :<math> P(x)=(x-2)(x^2-3x+1) </math> よって　<math>(x-2)(x^2-3x+1)=0</math><br> <math>\ x-2=0</math>　または<math>\ x^2-3x+1=0</math><br> したがって :<math> x= 2\ ,\ \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} </math> =====（発展）3次方程式の解と係数の関係===== 3次方程式 <math>ax^3+ bx^2+ cx+d=0</math> の3つの解を、<math>\alpha\ ,\ \beta\ ,\ \gamma</math> とすると :<math>ax^3+ bx^2+ cx+d=a(x- \alpha)(x- \beta)(x- \gamma)</math> が成り立つ。<br> 右辺を展開すると :<math>a(x- \alpha)(x- \beta)(x- \gamma)</math> :<math>=a(x- \alpha)\left\{x^2-(\beta + \gamma)x+ \beta \gamma \right\}</math> :<math>=a \left\{x^3-(\alpha + \beta + \gamma)x^2+ (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma \right\}</math> よって :<math>ax^3+ bx^2+ cx+d=a \left\{x^3-(\alpha + \beta + \gamma)x^2+ (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)x - \alpha \beta \gamma \right\}</math> ゆえに :<math>b=-a(\alpha + \beta + \gamma)\ ,\ c= a(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)\ ,\ d= -a \alpha \beta \gamma</math> したがって、次のことが成り立つ。 {\| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:pink"\|'''3次方程式の解と係数の関係''' \|- \|style="padding:5px"\| 3次方程式 <math>ax^3+ bx^2+ cx+d=0</math> の3つの解を、<math>\alpha\ ,\ \beta\ ,\ \gamma</math> とすると <center><math>\alpha + \beta + \gamma =- \frac{b}{a}\ ,\ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha= \frac{c}{a}\ ,\ \alpha \beta \gamma =- \frac{d}{a}</math></center> \|} == コラム == === 複素数は「存在する」か？ === しばしば虚数は「現実には存在しない数」であると言われることがあり、歴史的にも虚数を扱った数学を考えるべきではないと考えられた時代は長かった。その時代の先進的な数学者の中には、虚数を有効に活用して研究を進める一方で、成果を発表する際には虚数を表に出さずに記述する努力をすることで、無用な抵抗を受けないように工夫した者もいたと言われるほどである。だが、よく考えてみれば、数が「現実に存在する」とはどういう意味なのだろうか。現実に鉛筆を使って紙に円を描くならば、円周の長さを「正確に円周率そのものにする」ことは不可能であるように思われるが、その割に円周率という実数は「存在する」と感じられるのはなぜだろうか。数直線が実数の「実在」を信じさせるならば、複素数は複素数平面（数学Cで習う）の上に存在するのだから、同じではないだろうか。このように考えると、そもそも数とはすべてある意味で想像上の存在であり、それに対して「存在する」「存在しない」という問いを立てることがナンセンスであるように思われる。「存在しない」ように思われがちな虚数であるが、たとえば物理学の一分野である量子力学のシュレディンガー方程式に表れるなど、応用上のさまざまな場面においても、虚数を使って記述することが自然な対象は多いのだ。 === 複素数には「大小関係がない」 === 複素数どうしについて、その大小関係は定義しない。その理由は、どのように大小関係を定義しても、便利な性質を満たすことができないからである。具体的に言えば、既に述べた実数の大小関係についての「不等式の基本性質(1)(2)(3)(4)」にあたる式を成り立たせることができないのだ。たとえば、<math>a+bi<a'+b'i</math>であることを、<math>a^2+b^2<a'^2+b'^2</math>であることとして定義してみよう。このように定義すると、たとえば1+2i<2-3iであり、また2+3i<3+4iである。ところが、(1+2i)+(2+3i)=3+5i,(2-3i)+(3+4i)=5+iであり、3+5i>5+iとなってしまう。これは基本性質(2)が成り立たないことを意味する。もちろんこれは適当に考えた定義がたまたま不適切だったというだけのことだが、実は、他にどのように定義してもこのような困難からは逃れられないことが知られている。それゆえに、複素数には大小関係を定義しないのである。 === 複素数の平方根 (※発展) === 今度は、複素数の平方根について考えてみよう。正の数<math>a</math>を考えたとき、 :<math>a</math>の平方根は<math>\pm \sqrt{a}</math> :<math>-a</math>の平方根は<math>\pm \sqrt{a} i</math> では、 :<math>\pm a i</math>の平方根はどのように表せるだろうか。虚数単位<math>i</math>の平方根を考えると、これはzについての方程式 <math>z^2 = i</math> の解 z の値であるから、これを解けばよい。どのような複素数zならこの式を満たすことができるだろうか。 zを複素数とすると、<math>z = x + yi</math>(x,yは実数)と表される。 <math>(x + yi)^2 = i \Leftrightarrow x^2 + 2xyi - y^2 = i \Leftrightarrow (x^2-y^2)+(2xy-1)i = 0</math> <math>x^2-y^2,2xy-1</math>は実数であるから、実部と虚部が共に０にならねばならないから、 <math>\begin{cases} x^2-y^2=0 (\Leftrightarrow x= \pm y ) \\ 2xy-1=0 \end{cases}</math> <math>x=y</math>のとき、<math>2x^2=1 \Leftrightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}},y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}</math> (複号同順。x,yは共に実数であるから、条件を満たす。) <math>x=-y</math>のとき、<math>-2y^2=1 \Leftrightarrow y^2=-\frac{1}{2}</math> ここで、これを満たす実数yは存在しないから不適。よって、<math>z=\pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)</math><sub>■</sub> 問題例 * 問題 :<math>i \,\!</math>を虚数単位とするとき、次の問いに答えよ。 :(I) <math>-i,30i \,\!</math>の平方根を求めよ。 :(II) 2次方程式 <math>z^2 - 30i - 16 = 0 \,\!</math> を解け。 :(III) 3次方程式 <math>z^3 = i \,\!</math> を解け。 ** 解答 :(I) ::<math>\pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i\right) , \pm\left(\sqrt{15}+\sqrt{15}i\right)</math> :(II) ::<math>z=5+3i , -5-3i \,\!</math> :(III) ::<math>z=-i,\frac{i\pm\sqrt{3}}{2}</math> :今回挙げた問題は、全て<math>z=x+yi</math>(x,yは実数)と置くことで求められる。(III)は、<math>(x+yi)^3-i=x(x^2-3y^2)+(3x^2y-y^3-1)i=0</math>より、実部がゼロを考慮して<math>x=0</math>か<math>x=\pm\sqrt{3}y</math>だが、虚部もゼロなので、xの値が前者のとき<math>y=-1</math>、後者のとき<math>y=1/2</math>となることがすぐにわかる。 === 高次方程式の「解の公式」 === 2次方程式には解の公式があり、日本の中学や高校でも習う。2次方程式の解の公式を用いれば、どんな係数の2次方程式であっても解を求められる。3次方程式と4次方程式にも、解の公式は存在し、係数がどんな係数であっても解を求められる。これらの解の公式は、[[代数方程式論]]で述べているように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができる。 5次方程式では、4次以下の方程式とは状況が異なる。一般の5次方程式の解は、2次方程式や4次方程式のように、係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせで表すことができないのである。ただし、「できない」ことの証明は容易ではない。このことを証明するには、[[ガロア理論]]を理解する必要がある（日本の大学の標準的なカリキュラムでは、理学部数学科の学生のみが大学3年生で学ぶのが一般的な程度の理論である）。なお、ここで言う「表すことができない」とは一般の方程式についてのことであり、特別な5次方程式の場合は簡単に解が求められる。たとえば、<math> x^5 -32 = 0 </math> は解のひとつとして <math> x=2 </math> をもつことはすぐわかる。この方程式は他の解についても三角関数を用いて簡単に表せることを[[高等学校数学C/複素数平面]]において学ぶ。「係数に有限回の四則演算と根号をとる操作の組み合わせ」に拘らなければ、一般の5次方程式の解を求める方法も存在するが、やや高度な数学を用いる必要がある。[[w:五次方程式]]に記述があるので興味のある読者は参照するとよい。 === 複素数と関数 === 高等学校で複素数が出てくる分野はこの分野と数学C「[[高等学校数学C/平面上の曲線\|平面上の曲線]]と複素数平面」のみであり、複素数の基本計算や方程式を複素数範囲で解くこと、複素数の幾何学的意味について扱っている。しかし、大学数学においては、関数の定義域・値域を複素数範囲に広げて考える「[[複素解析学\|複素関数論]]」というものを扱う。実数範囲での関数はx, yともに一次元の実数軸を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには二次元の座標平面で十分であった。しかし、複素数範囲での関数はx, yともに二次元の複素数平面を持つため、入力値と出力値の成すグラフを考えるには四次元の座標空間が必要であり、三次元空間に住む我々には描画することができない。そのため、複素関数論では関数のグラフを考えることは基本的にない。（ただし、出力された複素数の絶対値を考えることによって三次元グラフに落とし込むことは可能）では何を考えるのかというと、複素関数の微分積分である。複素関数の微分に関連して「正則関数」という用語が出てくるが、複素関数論はこの正則関数というものの性質を調べる学問だと言って良い。複素関数論は物理学の特に波動に関する分野（音・電磁気など）において活躍している。「波動方程式」や「インピーダンス」という言葉は有名だろう。ちなみに、複素数をさらに拡張した数として「[[w:四元数]]」というものがある。この四元数は[[高等学校数学C/ベクトル\|ベクトル]]や[[高等学校数学C/数学的な表現の工夫#行列を用いた表現とその演算\|行列]]と深い関わりが存在しており、深掘ると面白いのだが、いささか冗長になるため割愛する。なお、四元数をさらに拡張した八元数や十六元数という数も研究されている。 == 演習問題 == {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくII しきとしようめい}} [[Category:高等学校数学II\|しきとしようめい]]	2005-05-04T09:17:55Z	2024-03-30T03:12:47Z	[ "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:コラム" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6II/%E5%BC%8F%E3%81%A8%E8%A8%BC%E6%98%8E%E3%83%BB%E9%AB%98%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
1,903	高等学校数学II/図形と方程式	ここでは直線と円などの性質を座標を用いて考察する。座標平面上の2点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle \mathrm {A} \left(x_{1}\ ,\ y_{1}\right)\ ,\ \mathrm {B} \left(x_{2}\ ,\ y_{2}\right)} 間の距離 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } を求めてみよう。直線 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } が座標軸に平行でないとき、点 C ( x 2 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {C} \left(x_{2}\ ,\ y_{1}\right)} をとると △ A B C {\displaystyle \triangle \mathrm {A} \mathrm {B} \mathrm {C} } は直角三角形であるから、三平方の定理よりこの式は、直線 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } がx軸、y軸に平行なときにも成り立つ。特に、原点 O {\displaystyle \mathrm {O} } と点 A ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {A} \left(x_{1}\ ,\ y_{1}\right)} 間の距離は点 A ( x 0 , y 0 ) , B ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {A} (x_{0},y_{0}),\mathrm {B} (x_{1},y_{1})} と実数 m , n > 0 {\displaystyle m,n>0} に対して、線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } 上の点 P ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {P} (x,y)} が存在して、 A P : P B = m : n {\displaystyle \mathrm {AP} :\mathrm {PB} =m:n} となるとき、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } を A , B {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} } を m : n {\displaystyle m:n} に内分する点という。また、線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } 上でない点 P ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {P} (x,y)} が存在して、 A P : P B = m : n {\displaystyle \mathrm {AP} :\mathrm {PB} =m:n} となるとき、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } を A , B {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} } を m : n {\displaystyle m:n} に外分する点という。数直線上の点 A ( a ) , B ( b ) {\displaystyle \mathrm {A} (a),\mathrm {B} (b)} を m : n {\displaystyle m:n} に内分する点と外分する点を求める。内分点を P ( x ) {\displaystyle \mathrm {P} (x)} とする。 a < b {\displaystyle a<b} のとき、 A P = x − a , P B = b − x {\displaystyle \mathrm {AP} =x-a,\mathrm {PB} =b-x} なので、 m : n = ( x − a ) : ( b − x ) {\displaystyle m:n=(x-a):(b-x)} なので、 n ( x − a ) = m ( b − x ) ⟺ x = n a + m b m + n {\displaystyle n(x-a)=m(b-x)\iff x={\frac {na+mb}{m+n}}} である。 a > b {\displaystyle a>b} のときも同様。次に外分点を求める。外分点を P ( x ) {\displaystyle \mathrm {P} (x)} とする。 a < b {\displaystyle a<b} で m > n {\displaystyle m>n} のとき、 x > b {\displaystyle x>b} となるので、 A P = x − a , B P = x − b {\displaystyle \mathrm {AP} =x-a,\mathrm {BP} =x-b} なので、 m : n = ( x − a ) : ( x − b ) {\displaystyle m:n=(x-a):(x-b)} なので、 x = − n a + m b m − n {\displaystyle x={\frac {-na+mb}{m-n}}} これは、 a > b {\displaystyle a>b} または m < n {\displaystyle m<n} のときも同様。 2次元の場合には、一般に点と点との位置関係は、座標軸に平行でなく、それらの距離の内分は複雑になるように思える。しかし、実際には、内分点や外分点を計算するには、上の公式をx,y の両方向に対して用いればよい。これは、2点をつなぐ線が直線であるので、その直線上である点からの距離が一定の割合となる点をいくつか取ったとき、その点と元の点のx軸方向の座標の変化の割合とy軸方向の座標の変化の割合と直線自身の長さの変化の割合はそれぞれ等しくなるからである。よって、一般に点 A ( x 0 , y 0 ) , B ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle A(x_{0},y_{0}),B(x_{1},y_{1})} を、a:bに内分する点と外分する点は、で与えられる。演習問題点 A ( 1 , 0 ) , B ( − 4 , 7 ) {\displaystyle \mathrm {A} (1,0),\mathrm {B} (-4,7)} を3:1にそれぞれ内分、外分する点を求めよ。解答内分点は ( − 11 4 , 21 4 ) {\displaystyle \left({\frac {-11}{4}},{\frac {21}{4}}\right)} 外分点は ( − 13 2 , 21 2 ) {\displaystyle \left({\frac {-13}{2}},{\frac {21}{2}}\right)} 3点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , C ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle \mathrm {A} \left(x_{1},y_{1}\right),\mathrm {B} \left(x_{2},y_{2}\right),\mathrm {C} \left(x_{3},y_{3}\right)} を頂点とする三角形の重心 G {\displaystyle \mathrm {G} } の座標を求めてみよう。線分 B C {\displaystyle \mathrm {B} \mathrm {C} } の中点 M {\displaystyle \mathrm {M} } の座標は重心 G {\displaystyle \mathrm {G} } は線分 A M {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {M} } を2:1に内分する点であるから、 G {\displaystyle \mathrm {G} } の座標を ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} とすると同様によって、重心 G {\displaystyle \mathrm {G} } の座標はある点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} を通って傾きaの直線の式は、 y − y 0 = a ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}=a(x-x_{0})} で与えられる。これは、傾きがyの変化分 / {\displaystyle /} xの変化分で表わされ、 y − y 0 {\displaystyle y-y_{0}} , x − x 0 {\displaystyle x-x_{0}} はまさに、y,xそれぞれの変化分そのものであることによる。 2点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} , ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} を通る直線は傾きが y 0 − y 1 x 0 − x 1 {\displaystyle {\frac {y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}}} で与えられることを用いると、 y − y 0 = y 0 − y 1 x 0 − x 1 ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}={\frac {y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}}(x-x_{0})} で与えられる。演習問題それぞれの直線を表わす式を計算せよ。 (i) 傾き-2で、点(-3,1)を通る直線 (ii) 2点(4,3) ,(5,7)を通る直線解答を用いればよい。 (i) (ii) また直線の方程式は一般に a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} で表される。点 ( 1 , 4 ) {\displaystyle (1,4)} を通り、直線 y = − 2 x + 3 {\displaystyle y=-2x+3} に平行な直線、垂直な直線の方程式を求めよ。直線 y = − 2 x + 3 {\displaystyle y=-2x+3} の傾きは − 2 {\displaystyle -2} である。平行な直線の方程式は垂直な直線の傾きを m {\displaystyle m} とするとよって、垂直な直線の方程式は点 P {\displaystyle \mathrm {P} } と直線 l {\displaystyle l} に対し、直線 l {\displaystyle l} 上の点と点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の距離の最小値を点と直線の距離という。これは点 P {\displaystyle \mathrm {P} } から直線 l {\displaystyle l} に下ろした垂線 P H {\displaystyle \mathrm {PH} } の長さに等しい。直線 a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} と点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} の距離はと表される。証明点 P ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle \mathrm {P} (x_{0},y_{0})} と直線 l : a x + b y + c = 0 a , b ≠ 0 {\displaystyle l:ax+by+c=0\quad a,b\neq 0} とする。点 P {\displaystyle \mathrm {P} } から直線 l {\displaystyle l} に垂線を下ろし、垂線の足を点 R {\displaystyle R} とする。また、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } から y {\displaystyle y} 軸に平行な直線を引き、直線 l {\displaystyle l} との交点を点 S {\displaystyle \mathrm {S} } とする。次に、図のように、直線 l {\displaystyle l} 上の点 T {\displaystyle \mathrm {T} } に対して、直線 T V {\displaystyle \mathrm {TV} } が x {\displaystyle x} 軸と平行となり、 T V = \| b \| {\displaystyle \mathrm {TV} =\|b\|} となるように点 V {\displaystyle \mathrm {V} } をとり、直線 V U {\displaystyle \mathrm {VU} } が y {\displaystyle y} 軸に平行になる点 U {\displaystyle \mathrm {U} } を直線 l {\displaystyle l} 上に取る。直線 l {\displaystyle l} の傾きは − a b {\displaystyle -{\frac {a}{b}}} となるので V U = \| a \| {\displaystyle \mathrm {VU} =\|a\|} である。ここで、 △ P R S , △ T V U {\displaystyle \bigtriangleup \mathrm {PRS} ,\bigtriangleup \mathrm {TVU} } は直角三角形であり、 ∠ P S R = ∠ T U V {\displaystyle \angle \mathrm {PSR} =\angle \mathrm {TUV} } なので、 △ P R S ∼△ T V U {\displaystyle \bigtriangleup \mathrm {PRS} \sim \bigtriangleup \mathrm {TVU} } である。したがってまた点 S {\displaystyle \mathrm {S} } の座標を ( x 0 , m ) {\displaystyle (x_{0},m)} とすると、 P S = \| y 0 − m \| {\displaystyle \mathrm {PS} =\|y_{0}-m\|} で、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } と直線 l {\displaystyle l} の距離 P R {\displaystyle \mathrm {PR} } は、 P R = P S ⋅ T V T U = \| y 0 − m \| \| b \| a 2 + b 2 {\displaystyle \mathrm {PR} ={\mathrm {PS} }\cdot {\frac {\mathrm {TV} }{\mathrm {TU} }}={\frac {\|y_{0}-m\|\|b\|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} ところで、点 S {\displaystyle \mathrm {S} } は直線 l {\displaystyle l} 上の点なので、である。これを代入すればベクトルを使った証明すでにベクトルを知っているならばこちらの方が簡潔である。点 P ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle \mathrm {P} (x_{0},y_{0})} と直線 l : a x + b y + c = 0 {\displaystyle l:ax+by+c=0} とし、点 Q ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {Q} (x_{1},y_{1})} を直線 l {\displaystyle l} 上の点とする。直線 l {\displaystyle l} の法線は n → := ( a , b ) {\displaystyle {\vec {n}}:=(a,b)} で、 Q P → = ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) {\displaystyle {\vec {\mathrm {QP} }}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})} であるので、直線 l {\displaystyle l} 上の点と点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の距離 d {\displaystyle d} は d = \| Q P → ⋅ n → \| \| n → \| \| \| = \| ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) ⋅ ( a , b ) a 2 + b 2 \| = \| a x 0 + b y 0 − ( a x 1 + b y 1 ) \| a 2 + b 2 = \| a x 0 + b y 0 + c \| a 2 + b 2 {\displaystyle d=\left\|{\vec {\mathrm {QP} }}\cdot {\frac {\vec {n}}{\|\|{\vec {n}}\|\|}}\right\|=\left\|(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})\cdot {\frac {(a,b)}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right\|={\frac {\|ax_{0}+by_{0}-(ax_{1}+by_{1})\|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}={\frac {\|ax_{0}+by_{0}+c\|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} である。演習問題直線 x − 2 y − 3 = 0 {\displaystyle x-2y-3=0} と点 ( 1 , 2 ) {\displaystyle (1,2)} の距離を求めよ解答 6 5 {\displaystyle {\frac {6}{\sqrt {5}}}} 中心 C ( a , b ) {\displaystyle \mathrm {C} (a,b)} 半径 r {\displaystyle r} の円は、 C P = r {\displaystyle \mathrm {CP} =r} となる点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の集合である。つまり、 r = ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 {\displaystyle r={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}} となる点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} の集合である。この方程式の両辺は正なので2乗して ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} を得る。これが円の方程式である。特に原点が中心で半径 r {\displaystyle r} の円の方程式は x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} で与えられる。演習問題解答方程式 x 2 + y 2 + l x + m y + n = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+lx+my+n=0} はいつも円であるとは限らない。方程式を変形して ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = k {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=k} となるとき円 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} 上のある点 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} で接する接線の方程式はで表される。同様に、円 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} 上のある点 ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})} で接する接線の方程式はで表される。円と直線の位置関係について大きく次の3つに分類することができる。一般の円と直線についてそれらの位置関係を分類してみよう。円 C : ( x − p ) 2 + ( y − q ) 2 = r 2 {\displaystyle C:(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}} と直線 l : a x + b y + c = 0 {\displaystyle l:ax+by+c=0} について、円 C {\displaystyle C} の中心 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} と直線 l {\displaystyle l} の距離 d := \| a q + b q + c \| a 2 + b 2 {\displaystyle d:={\frac {\|aq+bq+c\|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} とすると、他にも、円の方程式と直線の方程式を連立してその実数解の個数で分類する方法もあるが、位置関係を求めるだけなら上の方法のほうが計算量が少ない。演習問題直線 3 x + 4 y = 1 {\displaystyle 3x+4y=1} と円 ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 14 {\displaystyle (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=14} の交点の座標を求めよ解答直線の方程式を x {\displaystyle x} について解き、それを円の方程式に代入すればよい。答えは ( 2 , − 1 ) , ( − 14 5 , 7 5 ) {\displaystyle (2,-1),\left(-{\frac {14}{5}},{\frac {7}{5}}\right)} ある条件を満たす点全体がつくる図形を、その条件を満たす点の軌跡という。 2点 A ( 1 , 0 ) , B ( 3 , 2 ) {\displaystyle \mathrm {A} (1\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm {B} (3\ ,\ 2)} から等距離にある点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の軌跡を求めよ。条件 A P = B P {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {P} =\mathrm {B} \mathrm {P} } より、 A P 2 = B P 2 {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {P} ^{2}=\mathrm {B} \mathrm {P} ^{2}} P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( x , y ) {\displaystyle (x\ ,\ y)} とするとだから整理して、したがって、求める軌跡は、直線 y = − x + 3 {\displaystyle y=-x+3} である。 2点 A ( 0 , 0 ) , B ( 3 , 0 ) {\displaystyle \mathrm {A} (0\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm {B} (3\ ,\ 0)} からの距離の比が 2 : 1 {\displaystyle 2:1} である点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の軌跡を求めよ。 P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( x , y ) {\displaystyle (x\ ,\ y)} とする。 P {\displaystyle \mathrm {P} } を満たす条件はすなわちこれを座標で表すと両辺を2乗して、整理するとすなわちしたがって、求める軌跡は、中心が ( 4 , 0 ) {\displaystyle (4\ ,\ 0)} 、半径が 2 {\displaystyle 2} の円である。 m , n {\displaystyle m\ ,\ n} を異なる正の数とするとき、2点 A , B {\displaystyle \mathrm {A} \ ,\ \mathrm {B} } からの距離の比が m : n {\displaystyle m:n} である点の軌跡は、線分 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } を m : n {\displaystyle m:n} に内分する点と、外分する点を直径の両端とする円である。この円をアポロニウスの円という。 m = n {\displaystyle m=n} のときは、線分 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } の垂直二等分線である。このページの分野のように、数式をつかって座標の位置をあらわして、幾何学の問題を解く手法のことを解析幾何学という。なお、幾何学という言葉自体は、図形の学問というような意味であり、小学校や中学校で習った図形の理論も幾何学である。中世ヨーロッパの数学者デカルトが、解析幾何学の研究を進めた。なお、デカルトは、哲学の格言「われ思う、ゆえに我あり」でも有名である。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "ここでは直線と円などの性質を座標を用いて考察する。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "座標平面上の2点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) {\\displaystyle \\mathrm {A} \\left(x_{1}\\ ,\\ y_{1}\\right)\\ ,\\ \\mathrm {B} \\left(x_{2}\\ ,\\ y_{2}\\right)} 間の距離 A B {\\displaystyle \\mathrm {A} \\mathrm {B} } を求めてみよう。直線 A B {\\displaystyle \\mathrm {A} \\mathrm {B} } が座標軸に平行でないとき、点 C ( x 2 , y 1 ) {\\displaystyle \\mathrm {C} \\left(x_{2}\\ ,\\ y_{1}\\right)} をとると", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "△ A B C {\\displaystyle \\triangle \\mathrm {A} \\mathrm {B} \\mathrm {C} } は直角三角形であるから、三平方の定理より", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "この式は、直線 A B {\\displaystyle \\mathrm {A} \\mathrm {B} } がx軸、y軸に平行なときにも成り立つ。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "特に、原点 O {\\displaystyle \\mathrm {O} } と点 A ( x 1 , y 1 ) {\\displaystyle \\mathrm {A} \\left(x_{1}\\ ,\\ y_{1}\\right)} 間の距離は", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "点 A ( x 0 , y 0 ) , B ( x 1 , y 1 ) {\\displaystyle \\mathrm {A} (x_{0},y_{0}),\\mathrm {B} (x_{1},y_{1})} と実数 m , n > 0 {\\displaystyle m,n>0} に対して、線分 A B {\\displaystyle \\mathrm {AB} } 上の点 P ( x , y ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (x,y)} が存在して、 A P : P B = m : n {\\displaystyle \\mathrm {AP} :\\mathrm {PB} =m:n} となるとき、点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } を A , B {\\displaystyle \\mathrm {A} ,\\mathrm {B} } を m : n {\\displaystyle m:n} に内分する点という。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "また、線分 A B {\\displaystyle \\mathrm {AB} } 上でない点 P ( x , y ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (x,y)} が存在して、 A P : P B = m : n {\\displaystyle \\mathrm {AP} :\\mathrm {PB} =m:n} となるとき、点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } を A , B {\\displaystyle \\mathrm {A} ,\\mathrm {B} } を m : n {\\displaystyle m:n} に外分する点という。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "数直線上の点 A ( a ) , B ( b ) {\\displaystyle \\mathrm {A} (a),\\mathrm {B} (b)} を m : n {\\displaystyle m:n} に内分する点と外分する点を求める。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "内分点を P ( x ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (x)} とする。 a < b {\\displaystyle a<b} のとき、 A P 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"外分点は ( − 13 2 , 21 2 ) {\\displaystyle \\left({\\frac {-13}{2}},{\\frac {21}{2}}\\right)}", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "3点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , C ( x 3 , y 3 ) {\\displaystyle \\mathrm {A} \\left(x_{1},y_{1}\\right),\\mathrm {B} \\left(x_{2},y_{2}\\right),\\mathrm {C} \\left(x_{3},y_{3}\\right)} を頂点とする三角形の重心 G {\\displaystyle \\mathrm {G} } の座標を求めてみよう。線分 B C {\\displaystyle \\mathrm {B} \\mathrm {C} } の中点 M {\\displaystyle \\mathrm {M} } の座標は", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "重心 G {\\displaystyle \\mathrm {G} } は線分 A M {\\displaystyle \\mathrm {A} \\mathrm {M} } を2:1に内分する点であるから、 G {\\displaystyle \\mathrm {G} } の座標を ( x , y ) {\\displaystyle (x,y)} とすると", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "同様に", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "よって、重心 G {\\displaystyle \\mathrm {G} } の座標は", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "ある点 ( x 0 , y 0 ) {\\displaystyle (x_{0},y_{0})} を通って傾きaの直線の式は、 y − y 0 = a ( x − x 0 ) {\\displaystyle y-y_{0}=a(x-x_{0})} で与えられる。これは、傾きがyの変化分 / {\\displaystyle /} xの変化分で表わされ、 y − y 0 {\\displaystyle y-y_{0}} , x − x 0 {\\displaystyle x-x_{0}} はまさに、y,xそれぞれの変化分そのものであることによる。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "2点 ( x 0 , y 0 ) {\\displaystyle (x_{0},y_{0})} , ( x 1 , y 1 ) {\\displaystyle (x_{1},y_{1})} を通る直線は傾きが y 0 − y 1 x 0 − x 1 {\\displaystyle {\\frac {y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}}} で与えられることを用いると、 y − y 0 = y 0 − y 1 x 0 − x 1 ( x − x 0 ) {\\displaystyle y-y_{0}={\\frac {y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}}(x-x_{0})} で与えられる。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "それぞれの直線を表わす式を計算せよ。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "(i) 傾き-2で、点(-3,1)を通る直線", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "(ii) 2点(4,3) ,(5,7)を通る直線", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "解答", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "を用いればよい。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "(i)", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 33, "tag": "p", "text": "(ii)", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 34, "tag": "p", "text": "また直線の方程式は一般に a x + b y + c = 0 {\\displaystyle ax+by+c=0} で表される。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "点 ( 1 , 4 ) {\\displaystyle (1,4)} を通り、直線 y = − 2 x + 3 {\\displaystyle y=-2x+3} に平行な直線、垂直な直線の方程式を求めよ。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "直線 y = − 2 x + 3 {\\displaystyle y=-2x+3} の傾きは − 2 {\\displaystyle -2} である。平行な直線の方程式は", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "垂直な直線の傾きを m {\\displaystyle m} とすると", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "よって、垂直な直線の方程式は", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } と直線 l {\\displaystyle l} に対し、直線 l {\\displaystyle l} 上の点と点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } の距離の最小値を点と直線の距離という。これは点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } から直線 l {\\displaystyle l} に下ろした垂線 P H {\\displaystyle \\mathrm {PH} } の長さに等しい。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "直線 a x + b y + c = 0 {\\displaystyle ax+by+c=0} と点 ( x 0 , y 0 ) {\\displaystyle (x_{0},y_{0})} の距離は", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "と表される。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "証明", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "点 P ( x 0 , y 0 ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (x_{0},y_{0})} と直線 l : a x + b y + c = 0 a , b ≠ 0 {\\displaystyle l:ax+by+c=0\\quad a,b\\neq 0} とする。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } から直線 l {\\displaystyle l} に垂線を下ろし、垂線の足を点 R {\\displaystyle R} とする。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "また、点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } から y {\\displaystyle y} 軸に平行な直線を引き、直線 l {\\displaystyle l} との交点を点 S {\\displaystyle \\mathrm {S} } とする。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "次に、図のように、直線 l {\\displaystyle l} 上の点 T {\\displaystyle \\mathrm {T} } に対して、直線 T V {\\displaystyle \\mathrm {TV} } が x {\\displaystyle x} 軸と平行となり、 T V = \| b \| {\\displaystyle \\mathrm {TV} =\|b\|} となるように点 V {\\displaystyle \\mathrm {V} } をとり、直線 V U {\\displaystyle \\mathrm {VU} } が y {\\displaystyle y} 軸に平行になる点 U {\\displaystyle \\mathrm {U} } を直線 l {\\displaystyle l} 上に取る。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "直線 l {\\displaystyle l} の傾きは − a b {\\displaystyle -{\\frac {a}{b}}} となるので V U = \| a \| {\\displaystyle \\mathrm {VU} =\|a\|} である。ここで、 △ P R S , △ T V U {\\displaystyle \\bigtriangleup \\mathrm {PRS} ,\\bigtriangleup \\mathrm {TVU} } は直角三角形であり、 ∠ P S R = ∠ T U V {\\displaystyle \\angle \\mathrm {PSR} =\\angle \\mathrm {TUV} } なので、 △ P R S ∼△ T V U {\\displaystyle \\bigtriangleup \\mathrm {PRS} \\sim \\bigtriangleup \\mathrm {TVU} } である。したがって", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "また点 S {\\displaystyle \\mathrm {S} } の座標を ( x 0 , m ) {\\displaystyle (x_{0},m)} とすると、 P S = \| y 0 − m \| {\\displaystyle \\mathrm {PS} =\|y_{0}-m\|} で、点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } と直線 l {\\displaystyle l} の距離 P R {\\displaystyle \\mathrm {PR} } は、", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "P R = P S ⋅ T V T U = \| y 0 − m \| \| b \| a 2 + b 2 {\\displaystyle \\mathrm {PR} ={\\mathrm {PS} }\\cdot {\\frac {\\mathrm {TV} }{\\mathrm {TU} }}={\\frac {\|y_{0}-m\|\|b\|}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "ところで、点 S {\\displaystyle \\mathrm {S} } は直線 l {\\displaystyle l} 上の点なので、", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "である。これを代入すれば", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "ベクトルを使った証明", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "すでにベクトルを知っているならばこちらの方が簡潔である。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "点 P ( x 0 , y 0 ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (x_{0},y_{0})} と直線 l : a x + b y + c = 0 {\\displaystyle l:ax+by+c=0} とし、点 Q ( x 1 , y 1 ) {\\displaystyle \\mathrm {Q} (x_{1},y_{1})} を直線 l {\\displaystyle l} 上の点とする。直線 l {\\displaystyle l} の法線は n → := ( a , b ) {\\displaystyle {\\vec {n}}:=(a,b)} で、 Q P → = ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) {\\displaystyle {\\vec {\\mathrm {QP} }}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})} であるので、直線 l {\\displaystyle l} 上の点と点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } の距離 d {\\displaystyle d} は d = \| Q P → ⋅ n → \| \| n → \| \| \| = \| ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) ⋅ ( a , b ) a 2 + b 2 \| = \| a x 0 + b y 0 − ( a x 1 + b y 1 ) \| a 2 + b 2 = \| a x 0 + b y 0 + c \| a 2 + b 2 {\\displaystyle d=\\left\|{\\vec {\\mathrm {QP} }}\\cdot {\\frac {\\vec {n}}{\|\|{\\vec {n}}\|\|}}\\right\|=\\left\|(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})\\cdot {\\frac {(a,b)}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\right\|={\\frac {\|ax_{0}+by_{0}-(ax_{1}+by_{1})\|}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}={\\frac {\|ax_{0}+by_{0}+c\|}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} である。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "直線 x − 2 y − 3 = 0 {\\displaystyle x-2y-3=0} と点 ( 1 , 2 ) {\\displaystyle (1,2)} の距離を求めよ", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "解答", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "6 5 {\\displaystyle {\\frac {6}{\\sqrt {5}}}}", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "中心 C ( a , b ) {\\displaystyle \\mathrm {C} (a,b)} 半径 r {\\displaystyle r} の円は、 C P = r {\\displaystyle \\mathrm {CP} =r} となる点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } の集合である。つまり、 r = ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 {\\displaystyle r={\\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}} となる点 ( x , y ) {\\displaystyle (x,y)} の集合である。この方程式の両辺は正なので2乗して", "title": "円" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}", "title": "円" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "を得る。これが円の方程式である。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "特に原点が中心で半径 r {\\displaystyle r} の円の方程式は x 2 + y 2 = r 2 {\\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} で与えられる。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "円" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "解答", "title": "円" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "", "title": "円" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "方程式 x 2 + y 2 + l x + m y + n = 0 {\\displaystyle x^{2}+y^{2}+lx+my+n=0} はいつも円であるとは限らない。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "方程式を変形して ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = k {\\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=k} となるとき", "title": "円" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "円 x 2 + y 2 = r 2 {\\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} 上のある点 ( x 1 , y 1 ) {\\displaystyle (x_{1},y_{1})} で接する接線の方程式は", "title": "円" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "で表される。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "同様に、円 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} 上のある点 ( x 2 , y 2 ) {\\displaystyle (x_{2},y_{2})} で接する接線の方程式は", "title": "円" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "で表される。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "円と直線の位置関係について大きく次の3つに分類することができる。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "一般の円と直線についてそれらの位置関係を分類してみよう。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "円 C : ( x − p ) 2 + ( y − q ) 2 = r 2 {\\displaystyle C:(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}} と直線 l : a x + b y + c = 0 {\\displaystyle l:ax+by+c=0} について、円 C {\\displaystyle C} の中心 ( p , q ) {\\displaystyle (p,q)} と直線 l {\\displaystyle l} の距離 d := \| a q + b q + c \| a 2 + b 2 {\\displaystyle d:={\\frac {\|aq+bq+c\|}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} とすると、", "title": "円" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "他にも、円の方程式と直線の方程式を連立してその実数解の個数で分類する方法もあるが、位置関係を求めるだけなら上の方法のほうが計算量が少ない。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "円" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "直線 3 x + 4 y = 1 {\\displaystyle 3x+4y=1} と円 ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 14 {\\displaystyle (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=14} の交点の座標を求めよ", "title": "円" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "解答", "title": "円" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "直線の方程式を x {\\displaystyle x} について解き、それを円の方程式に代入すればよい。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "答えは ( 2 , − 1 ) , ( − 14 5 , 7 5 ) {\\displaystyle (2,-1),\\left(-{\\frac {14}{5}},{\\frac {7}{5}}\\right)}", "title": "円" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "ある条件を満たす点全体がつくる図形を、その条件を満たす点の軌跡という。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "", "title": "円" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "2点 A ( 1 , 0 ) , B ( 3 , 2 ) {\\displaystyle \\mathrm {A} (1\\ ,\\ 0)\\ ,\\ \\mathrm {B} (3\\ ,\\ 2)} から等距離にある点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } の軌跡を求めよ。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "条件 A P = B P {\\displaystyle \\mathrm {A} \\mathrm {P} =\\mathrm {B} \\mathrm {P} } より、 A P 2 = B P 2 {\\displaystyle \\mathrm {A} \\mathrm {P} ^{2}=\\mathrm {B} \\mathrm {P} ^{2}} P {\\displaystyle \\mathrm {P} } の座標を ( x , y ) {\\displaystyle (x\\ ,\\ y)} とすると", "title": "円" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "だから", "title": "円" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "整理して、", "title": "円" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "したがって、求める軌跡は、直線 y = − x + 3 {\\displaystyle y=-x+3} である。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "", "title": "円" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "", "title": "円" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "2点 A ( 0 , 0 ) , B ( 3 , 0 ) {\\displaystyle \\mathrm {A} (0\\ ,\\ 0)\\ ,\\ \\mathrm {B} (3\\ ,\\ 0)} からの距離の比が 2 : 1 {\\displaystyle 2:1} である点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } の軌跡を求めよ。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "P {\\displaystyle \\mathrm {P} } の座標を ( x , y ) {\\displaystyle (x\\ ,\\ y)} とする。 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } を満たす条件は", "title": "円" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "すなわち", "title": "円" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "これを座標で表すと", "title": "円" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "両辺を2乗して、整理すると", "title": "円" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "すなわち", "title": "円" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "したがって、求める軌跡は、中心が ( 4 , 0 ) {\\displaystyle (4\\ ,\\ 0)} 、半径が 2 {\\displaystyle 2} の円である。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "m , n {\\displaystyle m\\ ,\\ n} を異なる正の数とするとき、2点 A , B {\\displaystyle \\mathrm {A} \\ ,\\ \\mathrm {B} } からの距離の比が m : n {\\displaystyle m:n} である点の軌跡は、線分 A B {\\displaystyle \\mathrm {A} \\mathrm {B} } を m : n {\\displaystyle m:n} に内分する点と、外分する点を直径の両端とする円である。この円をアポロニウスの円という。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "m = n {\\displaystyle m=n} のときは、線分 A B {\\displaystyle \\mathrm {A} \\mathrm {B} } の垂直二等分線である。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "", "title": "円" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "このページの分野のように、数式をつかって座標の位置をあらわして、幾何学の問題を解く手法のことを解析幾何学という。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "なお、幾何学という言葉自体は、図形の学問というような意味であり、小学校や中学校で習った図形の理論も幾何学である。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "中世ヨーロッパの数学者デカルトが、解析幾何学の研究を進めた。なお、デカルトは、哲学の格言「われ思う、ゆえに我あり」でも有名である。", "title": "コラム" } ]	ここでは直線と円などの性質を座標を用いて考察する。	{{pathnav\|高等学校の学習\|高等学校数学\|高等学校数学II\|pagename=図形と方程式\|frame=1\|small=1}} ここでは直線と円などの性質を座標を用いて考察する。 ==点と直線== ===2点間の距離=== [[ファイル:Distance_Formula.svg\|右\|200x200ピクセル]] 座標平面上の2点 <math>\mathrm{A} \left(x _1\ ,\ y _1 \right)\ ,\ \mathrm{B} \left(x _2\ ,\ y _2 \right)</math> 間の距離 <math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math> を求めてみよう。<br>直線 <math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math> が座標軸に平行でないとき<ref>つまり、直線 <math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math> が <math>x</math> 軸、 <math>y</math> 軸のどちらとも平行でないとき</ref>、点 <math>\mathrm{C} \left(x _2\ ,\ y _1 \right)</math> をとると :<math> \mathrm{A} \mathrm{C} = \|x _2 - x _1\|\ ,\ \mathrm{B} \mathrm{C} = \|y _2 - y _1\| </math> <math>\triangle \mathrm{A} \mathrm{B} \mathrm{C}</math> は直角三角形であるから、三平方の定理より :<math> \mathrm{A} \mathrm{B} = \sqrt{\mathrm{A} \mathrm{C} ^2+ \mathrm{B} \mathrm{C} ^2} = \sqrt{\|x _2 - x _1\|^2+\|y _2 - y _1\|^2} = \sqrt{(x _2 - x _1)^2+(y _2 - y _1)^2} </math> この式は、直線 <math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math> がx軸、y軸に平行なときにも成り立つ<ref>直線 <math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math> が <math>x</math> 軸に平行なときは <math>\mathrm{BC} = 0</math> であり、 <math>\mathrm{AC} = \mathrm{AB}</math> となる。よって <math>\mathrm{AB} = \sqrt{\mathrm{AC}^2+\mathrm{BC}^2} </math> は成り立つ。直線 <math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math> が <math>y</math> 軸に平行なときも同様</ref>。特に、原点 <math>\mathrm{O}</math> と点 <math>\mathrm{A} \left(x _1\ ,\ y _1 \right)</math> 間の距離は :<math> \mathrm{O} \mathrm{A} = \sqrt{x _1^2 + y _1^2} </math> === 内分点と外分点=== 点 <math> \mathrm{A}(x _0,y _0),\mathrm{B}(x _1,y _1) </math> と実数 <math>m,n>0</math> に対して、線分 <math>\mathrm{AB}</math> 上の点 <math>\mathrm{P}(x,y)</math> が存在して、<math>\mathrm{AP}:\mathrm{PB} = m:n</math> となるとき、点 <math>\mathrm{P}</math> を <math>\mathrm{A},\mathrm{B}</math> を <math>m:n</math> に内分する点という。また、線分 <math>\mathrm{AB}</math> 上でない点 <math>\mathrm{P}(x,y)</math> が存在して、<math>\mathrm{AP}:\mathrm{PB} = m:n</math> となるとき、点 <math>\mathrm{P}</math> を <math>\mathrm{A},\mathrm{B}</math> を <math>m:n</math> に外分する点という。数直線上の点 <math>\mathrm{A}(a),\mathrm{B}(b)</math> を <math>m:n</math> に内分する点と外分する点を求める。内分点を <math>\mathrm{P}(x)</math> とする。<math>a<b</math> のとき、 <math>\mathrm{AP} = x-a,\mathrm{PB}=b-x</math> なので、 <math>m:n=(x-a):(b-x)</math> なので、 <math>n(x-a)=m(b-x) \iff x = \frac{na+mb}{m+n}</math> である。 <math>a>b</math> のときも同様。次に外分点を求める。外分点を <math>\mathrm{P}(x)</math> とする。<math>a<b</math> で <math>m>n</math> のとき、<math>x>b</math> となるので、 <math>\mathrm{AP}=x-a,\mathrm{BP}=x-b</math> なので、<math>m:n=(x-a):(x-b)</math> なので、<math>x=\frac{-na+mb}{m-n}</math> これは、<math>a>b</math> または <math>m<n</math> のときも同様。<ref>外分点の座標は内分点の座標の <math>n</math> を <math>-n</math> にしたものに等しい</ref> 2次元の場合には、一般に点と点との位置関係は、座標軸に平行でなく、それらの距離の内分は複雑になるように思える。しかし、実際には、内分点や外分点を計算するには、上の公式をx,y の両方向に対して用いればよい。これは、2点をつなぐ線が直線であるので、その直線上である点からの距離が一定の割合となる点をいくつか取ったとき、その点と元の点のx軸方向の座標の変化の割合とy軸方向の座標の変化の割合と直線自身の長さの変化の割合はそれぞれ等しくなるからである。よって、一般に点<math>A(x _0,y _0),B(x _1,y _1)</math>を、a:bに内分する点と外分する点は、 :内分点 :<math> (\frac {b x _0 + a x _1} {a +b}, \frac {b y _0 + a y _1} {a +b}) </math> :外分点 :<math> (\frac {-b x _0 + a x _1} {a -b}, \frac {-b y _0 + a y _1} {a -b}) </math> :<math> = ( \frac {b x _0 - a x _1} {-a +b}, \frac {b y _0 - a y _1} {-a +b} ) </math> で与えられる。 '''演習問題''' 点 <math> \mathrm{A}(1,0),\mathrm{B}(-4,7) </math> を3:1にそれぞれ内分、外分する点を求めよ。 '''解答''' 内分点は <math> \left(\frac {-11}4,\frac{21}4\right) </math> 外分点は <math> \left(\frac {-13}2,\frac{21}2\right) </math> ===三角形の重心=== 3点<math>\mathrm{A} \left(x _1 , y _1 \right) , \mathrm{B} \left(x _2 , y _2 \right) , \mathrm{C} \left(x _3 , y _3 \right) </math>を頂点とする三角形の重心 <math>\mathrm{G}</math> の座標を求めてみよう。<br> 線分<math>\mathrm{B} \mathrm{C}</math>の中点<math>\mathrm{M}</math>の座標は :<math> \left(\frac {x _2 + x _3}{2} , \frac {y _2 + y _3}{2} \right) </math> 重心<math>\mathrm{G}</math>は線分<math>\mathrm{A} \mathrm{M}</math>を2:1に内分する点であるから、<math>\mathrm{G}</math>の座標を<math>(x , y)</math>とすると :<math> x= \cfrac { 1 \times x _1 + 2 \times \cfrac { x _2 + x _3 } { 2 } } { 2+1 } = \frac { x _1 + x _2 + x _3 } { 3 }</math> 同様に :<math> y = \frac { y _1 + y _2 + y _3 } { 3 } </math> よって、重心<math>\mathrm{G}</math>の座標は :<math> \left(\frac { x _1 + x _2 + x _3 } { 3 } , \frac { y _1 + y _2 + y _3 } { 3 } \right) </math> ===直線の方程式=== ある点 <math>(x_0,y_0)</math> を通って傾きaの直線の式は、 <math> y- y_0 = a(x- x_0) </math> で与えられる。これは、傾きがyの変化分<math>/</math>xの変化分で表わされ、<math> y-y_0 </math>,<math> x-x_0 </math>はまさに、y,xそれぞれの変化分そのものであることによる。 2点 <math>(x_0,y_0)</math> , <math>(x_1,y_1)</math> を通る直線は傾きが <math>\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}</math> で与えられることを用いると、 <math> y-y_0 = \frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}(x-x_0) </math> で与えられる。 '''演習問題''' それぞれの直線を表わす式を計算せよ。 (i) 傾き-2で、点(-3,1)を通る直線 (ii) 2点(4,3) ,(5,7)を通る直線 '''解答''' :<math> y-y _0 = a(x-x _0) </math> :<math> y-y _0 = \frac{y _0-y _1}{x _0-x _1}(x-x _0) </math> を用いればよい。 (i) :<math> \left[ y=-2\,x-5 \right] </math> (ii) :<math> \left[ y=4\,x-13 \right] </math> また直線の方程式は一般に <math>ax+by+c=0</math> で表される。 ====2直線の平行と垂直==== {\| style="border:2px solid orange;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:orange"\|'''2直線の平行、垂直''' \|- \|style="padding:5px"\| 2直線<math>y=m_1 x+n_1\ ,\ y=m_2 x+n_2</math>について <center>2直線が平行<math>\Leftrightarrow m_1=m_2</math></center> <center>2直線が垂直<math>\Leftrightarrow m_1 m_2=-1</math></center> \|} 問題例問題点<math>(1,4)</math>を通り、直線<math>y=-2x+3</math>に平行な直線、垂直な直線の方程式を求めよ。解答直線<math>y=-2x+3</math>の傾きは<math>-2</math>である。<br> 平行な直線の方程式は :<math>y-4=-2(x-1)</math> :<math>y=-2x+6</math> 垂直な直線の傾きを<math>m</math>とすると :<math>-2m=-1</math> :<math>m= \frac{1}{2}</math> よって、垂直な直線の方程式は :<math>y-4= \frac{1}{2} (x-1)</math> :<math>y= \frac{1}{2} x+ \frac{7}{2}</math> ===点と直線の距離=== 点 <math>\mathrm{P}</math> と直線 <math>l</math> に対し、直線 <math>l</math> 上の点と点 <math>\mathrm{P}</math> の距離の最小値を'''点と直線の距離'''という。これは点 <math>\mathrm{P}</math> から直線 <math>l</math> に下ろした垂線 <math>\mathrm{PH}</math> の長さに等しい。直線 <math>ax+by+c=0</math> と点 <math>(x_0,y_0)</math> の距離は :<math>\frac{\|ax_0+by_0+c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math> と表される。 '''証明''' [[ファイル:Point-to-line2.svg\|サムネイル]]点 <math>\mathrm{P}(x_0,y_0)</math> と直線 <math>l:ax+by+c=0 \quad a,b\neq 0</math> とする。点 <math>\mathrm{P}</math> から直線 <math>l</math> に垂線を下ろし、垂線の足を点 <math>R</math> とする。また、点 <math>\mathrm{P}</math> から <math>y</math> 軸に平行な直線を引き、直線 <math>l</math> との交点を点 <math>\mathrm S</math> とする。次に、図のように、直線 <math>l</math> 上の点 <math>\mathrm T</math> に対して、直線 <math>\mathrm{TV}</math> が <math>x</math> 軸と平行となり、<math>\mathrm{TV} = \|b\|</math> となるように点 <math>\mathrm V</math> をとり、直線 <math>\mathrm{VU}</math> が <math>y</math> 軸に平行になる点 <math>\mathrm U</math> を直線 <math>l</math> 上に取る。直線 <math>l</math> の傾きは <math>-\frac{a}{b}</math> となるので <math>\mathrm{VU} = \|a\|</math> である。ここで、<math>\bigtriangleup \mathrm{PRS},\bigtriangleup \mathrm{TVU}</math> は直角三角形であり、<math>\angle \mathrm{PSR} = \angle \mathrm{TUV}</math><ref>直線 <math>\mathrm{PS}</math> と直線 <math>\mathrm{VU}</math> は平行なので</ref> なので、<math>\bigtriangleup \mathrm{PRS} \sim \bigtriangleup \mathrm{TVU}</math><ref><math>\sim</math> は相似を意味する</ref> である。したがって :<math>\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{PS}} = \frac{\mathrm{TV}}{\mathrm{TU}}</math> また点 <math>\mathrm S</math> の座標を<math>(x_0,m)</math> とすると、<math>\mathrm{PS} = \|y_0-m\| </math> で、点 <math>\mathrm{P}</math> と直線 <math>l</math> の距離 <math> \mathrm{PR}</math> は、 <math> \mathrm{PR} ={\mathrm{PS}}\cdot \frac{\mathrm{TV}}{\mathrm{TU}} = \frac{\|y_0 - m\|\|b\|}{\sqrt{a^2 + b^2}} </math> ところで、点 <math>\mathrm S</math> は直線 <math>l</math> 上の点なので、 :<math>m = \frac{-ax_0 - c}{b}</math> である。これを代入すれば :<math> \mathrm{PR} = \frac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math> :を得る。 : '''ベクトルを使った証明''' すでにベクトルを知っているならばこちらの方が簡潔である。点 <math>\mathrm{P}(x_0,y_0)</math> と直線 <math>l:ax+by+c=0</math> とし、点 <math>\mathrm{Q}(x_1,y_1)</math> を直線 <math>l</math> 上の点とする。直線 <math>l</math> の法線は <math>\vec n := (a,b)</math> で、<math>\vec{\mathrm{QP}} = (x_0-x_1,y_0-y_1) </math> であるので、直線 <math>l</math> 上の点と点 <math>\mathrm{P}</math> の距離 <math>d</math> は <math>d = \left\| \vec{ \mathrm{QP} } \cdot \frac{\vec n}{\|\|\vec n\|\|}\right\| = \left\|(x_0-x_1,y_0-y_1)\cdot \frac{(a,b)}{\sqrt{a^2+b^2}}\right\| = \frac{\|ax_0 + by_0 - (ax_1 + by_1)\|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{\|ax_0 + by_0 +c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math><ref>点 <math>\mathrm{Q}(x_1,y_1)</math> は直線 <math>l</math> 上の点なので <math>ax_1+by_1=-c</math> である。</ref> である。 '''演習問題''' 直線 <math>x-2y-3=0</math> と点 <math>(1,2)</math> の距離を求めよ '''解答''' <math>\frac{6}{\sqrt 5}</math> ==円== ====円の方程式==== 中心 <math>\mathrm{C}(a,b)</math> 半径 <math>r</math> の円は、<math>\mathrm{CP} =r</math> となる点 <math>\mathrm{P}</math> の集合である。つまり、 <math>r = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}</math> となる点 <math>(x,y)</math> の集合である。この方程式の両辺は正なので2乗して <math> (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 </math> を得る。これが円の方程式である。特に原点が中心で半径 <math>r</math> の円の方程式は <math> x^2+y^2 = r^2 </math> で与えられる。 '''演習問題''' # 中心 <math>(2,4)</math> 半径 <math>3</math> の円の方程式を求めよ # 円 <math> y^2+2\,y+x^2-6\,x+5=0 </math> の中心と半径を求めよ '''解答''' # <math> (x-2)^2+(y-4)^2 = 9 </math> # <math> y^2+2\,y+x^2-6\,x+5=0 \iff (x-3)^2 + (y +1)^2 = 5 </math> なので中心 <math> (3,-1) </math> 半径 <math> \sqrt 5 </math> 方程式 <math>x^2+y^2+lx+my+n = 0</math> はいつも円であるとは限らない。方程式を変形して <math>(x-a)^2+(y-b)^2 = k</math> となるとき # <math>k>0</math> のとき方程式は円を表す # <math>k=0</math> のとき方程式は1点 <math>(a,b)</math> を表す # <math>k<0</math> のとき方程式の左辺は常に正なので、方程式の表す図形はない ==== 円の接線 ==== 円<math>x^2+y^2=r^2</math>上のある点<math>(x_1,y_1)</math>で接する接線の方程式は :<math>x_1x+y_1y=r^2</math> で表される。同様に、円<math>(x-a)^2+(y-b)^2=r^2</math>上のある点<math>(x_2,y_2)</math>で接する接線の方程式は :<math>(x_2-a)(x-a)+(y_2-b)(y-b)=r^2</math> で表される。 ====円と直線==== 円と直線の位置関係について大きく次の3つに分類することができる。 # 円と直線が2点で交わる(直線が円の内部を通る) # 円と直線が1点で交わる(直線が円の接線となる) # 円と直線は交わらない <!-- これぞれの位置関係の図 --> 一般の円と直線についてそれらの位置関係を分類してみよう。円 <math>C:(x-p)^2+(y-q)^2 = r^2</math> と直線 <math>l:ax+by+c=0</math> について、円 <math>C</math> の中心 <math>(p,q)</math> と直線 <math>l</math> の距離 <math>d := \frac{\|aq+bq+c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math> とすると、 # <math>r>d</math> のとき、円 <math>C</math> と直線 <math>l</math> は2点で交わる # <math>r=d</math> のとき、円 <math>C</math> と直線 <math>l</math> は1点で交わる # <math>r<d</math> のとき、円 <math>C</math> と直線 <math>l</math> は交わらない他にも、円の方程式と直線の方程式を連立してその実数解の個数で分類する方法もあるが、位置関係を求めるだけなら上の方法のほうが計算量が少ない。 '''演習問題''' 直線 <math> 3x + 4y =1 </math> と円 <math> (x-3)^2 + (y+2)^2 = 14 </math> の交点の座標を求めよ '''解答''' 直線の方程式を <math>x</math> について解き、それを円の方程式に代入すればよい。答えは <math>(2,-1),\left(-\frac{14}{5},\frac{7}{5}\right)</math> ===軌跡と領域=== ====軌跡と方程式==== ある条件を満たす点全体がつくる図形を、その条件を満たす点の'''軌跡'''という。問題例問題 2点<math>\mathrm{A}(1\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm{B}(3\ ,\ 2)</math>から等距離にある点<math>\mathrm{P}</math>の軌跡を求めよ。解答条件<math>\mathrm{A} \mathrm{P} = \mathrm{B} \mathrm{P}</math>より、<math>\mathrm{A} \mathrm{P} ^2 = \mathrm{B} \mathrm{P} ^2</math><br> <math>\mathrm{P}</math>の座標を<math>(x\ ,\ y)</math>とすると :<math> \mathrm{A} \mathrm{P} ^2 =(x-1)^2+y^2 </math> :<math> \mathrm{B} \mathrm{P} ^2 =(x-3)^2+(y-2)^2 </math> だから :<math> (x-1)^2+y^2=(x-3)^2+(y-2)^2 </math> 整理して、 :<math> y=-x+3 </math> したがって、求める軌跡は、直線<math>y=-x+3</math>である。 {\| style="border:2px solid orange;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:orange"\|'''軌跡を求める手順''' \|- \|style="padding:5px"\| 1.求める軌跡上の任意の点の座標を<math>(x\ ,\ y)</math>などで表し、与えられた条件を座標の間の関係式で表す。 2.軌跡の方程式を導き、その方程式の表す図形を求める。 3.その図形上の点が条件を満たしていることを確かめる。 \|} 問題例問題 2点<math>\mathrm{A}(0\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm{B}(3\ ,\ 0)</math>からの距離の比が<math>2:1</math>である点<math>\mathrm{P}</math>の軌跡を求めよ。 *解答 <math>\mathrm{P}</math>の座標を<math>(x\ ,\ y)</math>とする。<br> <math>\mathrm{P}</math>を満たす条件は :<math> \mathrm{A} \mathrm{P} : \mathrm{B} \mathrm{P} =2:1 </math> すなわち :<math> \mathrm{A} \mathrm{P} =2 \mathrm{B} \mathrm{P} </math> これを座標で表すと :<math> \sqrt{x^2+y^2} =2 \sqrt{(x-3)^2+y^2} </math> 両辺を2乗して、整理すると :<math> x^2+y^2-8x+12=0 </math> すなわち :<math> (x-4)^2+y^2=2^2 </math> したがって、求める軌跡は、中心が<math>(4\ ,\ 0)</math>、半径が<math>2</math>の円である。 <math>m\ ,\ n</math>を異なる正の数とするとき、2点<math>\mathrm{A}\ ,\ \mathrm{B}</math>からの距離の比が<math>m:n</math>である点の軌跡は、線分<math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math>を<math>m:n</math>に内分する点と、外分する点を直径の両端とする円である。この円を'''アポロニウスの円'''という。 <math>m=n</math>のときは、線分<math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math>の垂直二等分線である。 == コラム == [[File:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg\|thumb\|デカルト]] このページの分野のように、数式をつかって座標の位置をあらわして、幾何学の問題を解く手法のことを解析幾何学という。なお、幾何学という言葉自体は、図形の学問というような意味であり、小学校や中学校で習った図形の理論も幾何学である。中世ヨーロッパの数学者デカルトが、解析幾何学の研究を進めた。なお、デカルトは、哲学の格言「われ思う、ゆえに我あり」でも有名である。 == 演習問題 == == 脚注 == <references/> {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくII すけいとほうていしき}} [[Category:高等学校数学II\|すけいとほうていしき]] [[カテゴリ:図形]]	2005-05-04T09:25:38Z	2023-08-31T10:18:10Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6II/%E5%9B%B3%E5%BD%A2%E3%81%A8%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
1,903	高等学校数学II/図形と方程式	ここでは直線と円などの性質を座標を用いて考察する。座標平面上の2点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle \mathrm {A} \left(x_{1}\ ,\ y_{1}\right)\ ,\ \mathrm {B} \left(x_{2}\ ,\ y_{2}\right)} 間の距離 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } を求めてみよう。直線 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } が座標軸に平行でないとき、点 C ( x 2 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {C} \left(x_{2}\ ,\ y_{1}\right)} をとると △ A B C {\displaystyle \triangle \mathrm {A} \mathrm {B} \mathrm {C} } は直角三角形であるから、三平方の定理よりこの式は、直線 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } がx軸、y軸に平行なときにも成り立つ。特に、原点 O {\displaystyle \mathrm {O} } と点 A ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {A} \left(x_{1}\ ,\ y_{1}\right)} 間の距離は点 A ( x 0 , y 0 ) , B ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {A} (x_{0},y_{0}),\mathrm {B} (x_{1},y_{1})} と実数 m , n > 0 {\displaystyle m,n>0} に対して、線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } 上の点 P ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {P} (x,y)} が存在して、 A P : P B = m : n {\displaystyle \mathrm {AP} :\mathrm {PB} =m:n} となるとき、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } を A , B {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} } を m : n {\displaystyle m:n} に内分する点という。また、線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } 上でない点 P ( x , y ) {\displaystyle \mathrm {P} (x,y)} が存在して、 A P : P B = m : n {\displaystyle \mathrm {AP} :\mathrm {PB} =m:n} となるとき、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } を A , B {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} } を m : n {\displaystyle m:n} に外分する点という。数直線上の点 A ( a ) , B ( b ) {\displaystyle \mathrm {A} (a),\mathrm {B} (b)} を m : n {\displaystyle m:n} に内分する点と外分する点を求める。内分点を P ( x ) {\displaystyle \mathrm {P} (x)} とする。 a < b {\displaystyle a<b} のとき、 A P = x − a , P B = b − x {\displaystyle \mathrm {AP} =x-a,\mathrm {PB} =b-x} なので、 m : n = ( x − a ) : ( b − x ) {\displaystyle m:n=(x-a):(b-x)} なので、 n ( x − a ) = m ( b − x ) ⟺ x = n a + m b m + n {\displaystyle n(x-a)=m(b-x)\iff x={\frac {na+mb}{m+n}}} である。 a > b {\displaystyle a>b} のときも同様。次に外分点を求める。外分点を P ( x ) {\displaystyle \mathrm {P} (x)} とする。 a < b {\displaystyle a<b} で m > n {\displaystyle m>n} のとき、 x > b {\displaystyle x>b} となるので、 A P = x − a , B P = x − b {\displaystyle \mathrm {AP} =x-a,\mathrm {BP} =x-b} なので、 m : n = ( x − a ) : ( x − b ) {\displaystyle m:n=(x-a):(x-b)} なので、 x = − n a + m b m − n {\displaystyle x={\frac {-na+mb}{m-n}}} これは、 a > b {\displaystyle a>b} または m < n {\displaystyle m<n} のときも同様。 2次元の場合には、一般に点と点との位置関係は、座標軸に平行でなく、それらの距離の内分は複雑になるように思える。しかし、実際には、内分点や外分点を計算するには、上の公式をx,y の両方向に対して用いればよい。これは、2点をつなぐ線が直線であるので、その直線上である点からの距離が一定の割合となる点をいくつか取ったとき、その点と元の点のx軸方向の座標の変化の割合とy軸方向の座標の変化の割合と直線自身の長さの変化の割合はそれぞれ等しくなるからである。よって、一般に点 A ( x 0 , y 0 ) , B ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle A(x_{0},y_{0}),B(x_{1},y_{1})} を、a:bに内分する点と外分する点は、で与えられる。演習問題点 A ( 1 , 0 ) , B ( − 4 , 7 ) {\displaystyle \mathrm {A} (1,0),\mathrm {B} (-4,7)} を3:1にそれぞれ内分、外分する点を求めよ。解答内分点は ( − 11 4 , 21 4 ) {\displaystyle \left({\frac {-11}{4}},{\frac {21}{4}}\right)} 外分点は ( − 13 2 , 21 2 ) {\displaystyle \left({\frac {-13}{2}},{\frac {21}{2}}\right)} 3点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , C ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle \mathrm {A} \left(x_{1},y_{1}\right),\mathrm {B} \left(x_{2},y_{2}\right),\mathrm {C} \left(x_{3},y_{3}\right)} を頂点とする三角形の重心 G {\displaystyle \mathrm {G} } の座標を求めてみよう。線分 B C {\displaystyle \mathrm {B} \mathrm {C} } の中点 M {\displaystyle \mathrm {M} } の座標は重心 G {\displaystyle \mathrm {G} } は線分 A M {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {M} } を2:1に内分する点であるから、 G {\displaystyle \mathrm {G} } の座標を ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} とすると同様によって、重心 G {\displaystyle \mathrm {G} } の座標はある点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} を通って傾きaの直線の式は、 y − y 0 = a ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}=a(x-x_{0})} で与えられる。これは、傾きがyの変化分 / {\displaystyle /} xの変化分で表わされ、 y − y 0 {\displaystyle y-y_{0}} , x − x 0 {\displaystyle x-x_{0}} はまさに、y,xそれぞれの変化分そのものであることによる。 2点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} , ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} を通る直線は傾きが y 0 − y 1 x 0 − x 1 {\displaystyle {\frac {y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}}} で与えられることを用いると、 y − y 0 = y 0 − y 1 x 0 − x 1 ( x − x 0 ) {\displaystyle y-y_{0}={\frac {y_{0}-y_{1}}{x_{0}-x_{1}}}(x-x_{0})} で与えられる。演習問題それぞれの直線を表わす式を計算せよ。 (i) 傾き-2で、点(-3,1)を通る直線 (ii) 2点(4,3) ,(5,7)を通る直線解答を用いればよい。 (i) (ii) また直線の方程式は一般に a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} で表される。点 ( 1 , 4 ) {\displaystyle (1,4)} を通り、直線 y = − 2 x + 3 {\displaystyle y=-2x+3} に平行な直線、垂直な直線の方程式を求めよ。直線 y = − 2 x + 3 {\displaystyle y=-2x+3} の傾きは − 2 {\displaystyle -2} である。平行な直線の方程式は垂直な直線の傾きを m {\displaystyle m} とするとよって、垂直な直線の方程式は点 P {\displaystyle \mathrm {P} } と直線 l {\displaystyle l} に対し、直線 l {\displaystyle l} 上の点と点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の距離の最小値を点と直線の距離という。これは点 P {\displaystyle \mathrm {P} } から直線 l {\displaystyle l} に下ろした垂線 P H {\displaystyle \mathrm {PH} } の長さに等しい。直線 a x + b y + c = 0 {\displaystyle ax+by+c=0} と点 ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle (x_{0},y_{0})} の距離はと表される。証明点 P ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle \mathrm {P} (x_{0},y_{0})} と直線 l : a x + b y + c = 0 a , b ≠ 0 {\displaystyle l:ax+by+c=0\quad a,b\neq 0} とする。点 P {\displaystyle \mathrm {P} } から直線 l {\displaystyle l} に垂線を下ろし、垂線の足を点 R {\displaystyle R} とする。また、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } から y {\displaystyle y} 軸に平行な直線を引き、直線 l {\displaystyle l} との交点を点 S {\displaystyle \mathrm {S} } とする。次に、図のように、直線 l {\displaystyle l} 上の点 T {\displaystyle \mathrm {T} } に対して、直線 T V {\displaystyle \mathrm {TV} } が x {\displaystyle x} 軸と平行となり、 T V = \| b \| {\displaystyle \mathrm {TV} =\|b\|} となるように点 V {\displaystyle \mathrm {V} } をとり、直線 V U {\displaystyle \mathrm {VU} } が y {\displaystyle y} 軸に平行になる点 U {\displaystyle \mathrm {U} } を直線 l {\displaystyle l} 上に取る。直線 l {\displaystyle l} の傾きは − a b {\displaystyle -{\frac {a}{b}}} となるので V U = \| a \| {\displaystyle \mathrm {VU} =\|a\|} である。ここで、 △ P R S , △ T V U {\displaystyle \bigtriangleup \mathrm {PRS} ,\bigtriangleup \mathrm {TVU} } は直角三角形であり、 ∠ P S R = ∠ T U V {\displaystyle \angle \mathrm {PSR} =\angle \mathrm {TUV} } なので、 △ P R S ∼△ T V U {\displaystyle \bigtriangleup \mathrm {PRS} \sim \bigtriangleup \mathrm {TVU} } である。したがってまた点 S {\displaystyle \mathrm {S} } の座標を ( x 0 , m ) {\displaystyle (x_{0},m)} とすると、 P S = \| y 0 − m \| {\displaystyle \mathrm {PS} =\|y_{0}-m\|} で、点 P {\displaystyle \mathrm {P} } と直線 l {\displaystyle l} の距離 P R {\displaystyle \mathrm {PR} } は、 P R = P S ⋅ T V T U = \| y 0 − m \| \| b \| a 2 + b 2 {\displaystyle \mathrm {PR} ={\mathrm {PS} }\cdot {\frac {\mathrm {TV} }{\mathrm {TU} }}={\frac {\|y_{0}-m\|\|b\|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} ところで、点 S {\displaystyle \mathrm {S} } は直線 l {\displaystyle l} 上の点なので、である。これを代入すればベクトルを使った証明すでにベクトルを知っているならばこちらの方が簡潔である。点 P ( x 0 , y 0 ) {\displaystyle \mathrm {P} (x_{0},y_{0})} と直線 l : a x + b y + c = 0 {\displaystyle l:ax+by+c=0} とし、点 Q ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle \mathrm {Q} (x_{1},y_{1})} を直線 l {\displaystyle l} 上の点とする。直線 l {\displaystyle l} の法線は n → := ( a , b ) {\displaystyle {\vec {n}}:=(a,b)} で、 Q P → = ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) {\displaystyle {\vec {\mathrm {QP} }}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})} であるので、直線 l {\displaystyle l} 上の点と点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の距離 d {\displaystyle d} は d = \| Q P → ⋅ n → \| \| n → \| \| \| = \| ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) ⋅ ( a , b ) a 2 + b 2 \| = \| a x 0 + b y 0 − ( a x 1 + b y 1 ) \| a 2 + b 2 = \| a x 0 + b y 0 + c \| a 2 + b 2 {\displaystyle d=\left\|{\vec {\mathrm {QP} }}\cdot {\frac {\vec {n}}{\|\|{\vec {n}}\|\|}}\right\|=\left\|(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})\cdot {\frac {(a,b)}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right\|={\frac {\|ax_{0}+by_{0}-(ax_{1}+by_{1})\|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}={\frac {\|ax_{0}+by_{0}+c\|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} である。演習問題直線 x − 2 y − 3 = 0 {\displaystyle x-2y-3=0} と点 ( 1 , 2 ) {\displaystyle (1,2)} の距離を求めよ解答 6 5 {\displaystyle {\frac {6}{\sqrt {5}}}} 中心 C ( a , b ) {\displaystyle \mathrm {C} (a,b)} 半径 r {\displaystyle r} の円は、 C P = r {\displaystyle \mathrm {CP} =r} となる点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の集合である。つまり、 r = ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 {\displaystyle r={\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}} となる点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} の集合である。この方程式の両辺は正なので2乗して ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} を得る。これが円の方程式である。特に原点が中心で半径 r {\displaystyle r} の円の方程式は x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} で与えられる。演習問題解答方程式 x 2 + y 2 + l x + m y + n = 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}+lx+my+n=0} はいつも円であるとは限らない。方程式を変形して ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = k {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=k} となるとき円 x 2 + y 2 = r 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} 上のある点 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1})} で接する接線の方程式はで表される。同様に、円 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} 上のある点 ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle (x_{2},y_{2})} で接する接線の方程式はで表される。円と直線の位置関係について大きく次の3つに分類することができる。一般の円と直線についてそれらの位置関係を分類してみよう。円 C : ( x − p ) 2 + ( y − q ) 2 = r 2 {\displaystyle C:(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}} と直線 l : a x + b y + c = 0 {\displaystyle l:ax+by+c=0} について、円 C {\displaystyle C} の中心 ( p , q ) {\displaystyle (p,q)} と直線 l {\displaystyle l} の距離 d := \| a q + b q + c \| a 2 + b 2 {\displaystyle d:={\frac {\|aq+bq+c\|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} とすると、他にも、円の方程式と直線の方程式を連立してその実数解の個数で分類する方法もあるが、位置関係を求めるだけなら上の方法のほうが計算量が少ない。演習問題直線 3 x + 4 y = 1 {\displaystyle 3x+4y=1} と円 ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 14 {\displaystyle (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=14} の交点の座標を求めよ解答直線の方程式を x {\displaystyle x} について解き、それを円の方程式に代入すればよい。答えは ( 2 , − 1 ) , ( − 14 5 , 7 5 ) {\displaystyle (2,-1),\left(-{\frac {14}{5}},{\frac {7}{5}}\right)} ある条件を満たす点全体がつくる図形を、その条件を満たす点の軌跡という。 2点 A ( 1 , 0 ) , B ( 3 , 2 ) {\displaystyle \mathrm {A} (1\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm {B} (3\ ,\ 2)} から等距離にある点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の軌跡を求めよ。条件 A P = B P {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {P} =\mathrm {B} \mathrm {P} } より、 A P 2 = B P 2 {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {P} ^{2}=\mathrm {B} \mathrm {P} ^{2}} P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( x , y ) {\displaystyle (x\ ,\ y)} とするとだから整理して、したがって、求める軌跡は、直線 y = − x + 3 {\displaystyle y=-x+3} である。 2点 A ( 0 , 0 ) , B ( 3 , 0 ) {\displaystyle \mathrm {A} (0\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm {B} (3\ ,\ 0)} からの距離の比が 2 : 1 {\displaystyle 2:1} である点 P {\displaystyle \mathrm {P} } の軌跡を求めよ。 P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( x , y ) {\displaystyle (x\ ,\ y)} とする。 P {\displaystyle \mathrm {P} } を満たす条件はすなわちこれを座標で表すと両辺を2乗して、整理するとすなわちしたがって、求める軌跡は、中心が ( 4 , 0 ) {\displaystyle (4\ ,\ 0)} 、半径が 2 {\displaystyle 2} の円である。 m , n {\displaystyle m\ ,\ n} を異なる正の数とするとき、2点 A , B {\displaystyle \mathrm {A} \ ,\ \mathrm {B} } からの距離の比が m : n {\displaystyle m:n} である点の軌跡は、線分 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } を m : n {\displaystyle m:n} に内分する点と、外分する点を直径の両端とする円である。この円をアポロニウスの円という。 m = n {\displaystyle m=n} のときは、線分 A B {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} } の垂直二等分線である。このページの分野のように、数式をつかって座標の位置をあらわして、幾何学の問題を解く手法のことを解析幾何学という。なお、幾何学という言葉自体は、図形の学問というような意味であり、小学校や中学校で習った図形の理論も幾何学である。中世ヨーロッパの数学者デカルトが、解析幾何学の研究を進めた。なお、デカルトは、哲学の格言「われ思う、ゆえに我あり」でも有名である。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "ここでは直線と円などの性質を座標を用いて考察する。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "座標平面上の2点 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) {\\displaystyle \\mathrm {A} \\left(x_{1}\\ ,\\ y_{1}\\right)\\ ,\\ \\mathrm {B} \\left(x_{2}\\ ,\\ y_{2}\\right)} 間の距離 A B {\\displaystyle \\mathrm {A} \\mathrm {B} } を求めてみよう。直線 A B {\\displaystyle \\mathrm {A} \\mathrm {B} } が座標軸に平行でないとき、点 C ( x 2 , y 1 ) {\\displaystyle \\mathrm {C} \\left(x_{2}\\ ,\\ y_{1}\\right)} をとると", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "△ A B C {\\displaystyle \\triangle \\mathrm {A} \\mathrm {B} \\mathrm {C} } は直角三角形であるから、三平方の定理より", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "この式は、直線 A B {\\displaystyle \\mathrm {A} \\mathrm {B} } がx軸、y軸に平行なときにも成り立つ。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "特に、原点 O {\\displaystyle \\mathrm {O} } と点 A ( x 1 , y 1 ) {\\displaystyle \\mathrm {A} \\left(x_{1}\\ ,\\ y_{1}\\right)} 間の距離は", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "点 A ( x 0 , y 0 ) , B ( x 1 , y 1 ) {\\displaystyle \\mathrm {A} (x_{0},y_{0}),\\mathrm {B} (x_{1},y_{1})} と実数 m , n > 0 {\\displaystyle m,n>0} に対して、線分 A B {\\displaystyle \\mathrm {AB} } 上の点 P ( x , y ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (x,y)} が存在して、 A P : P B = m : n {\\displaystyle \\mathrm {AP} :\\mathrm {PB} =m:n} となるとき、点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } を A , B {\\displaystyle \\mathrm {A} ,\\mathrm {B} } を m : n {\\displaystyle m:n} に内分する点という。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "また、線分 A B {\\displaystyle \\mathrm {AB} } 上でない点 P ( x , y ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (x,y)} が存在して、 A P : P B = m : n {\\displaystyle \\mathrm {AP} :\\mathrm {PB} =m:n} となるとき、点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } を A , B {\\displaystyle \\mathrm {A} ,\\mathrm {B} } を m : n {\\displaystyle m:n} に外分する点という。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "数直線上の点 A ( a ) , B ( b ) {\\displaystyle \\mathrm {A} (a),\\mathrm {B} (b)} を m : n {\\displaystyle m:n} に内分する点と外分する点を求める。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "内分点を P ( x ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (x)} とする。 a < b {\\displaystyle a<b} のとき、 A P = x − a , P B = b − x {\\displaystyle \\mathrm {AP} =x-a,\\mathrm {PB} =b-x} なので、 m : n = ( x − a ) : ( b − x ) {\\displaystyle m:n=(x-a):(b-x)} なので、 n ( x − a ) = m ( b − x ) ⟺ x = n a + m b m + n {\\displaystyle n(x-a)=m(b-x)\\iff x={\\frac {na+mb}{m+n}}} である。 a > b {\\displaystyle a>b} のときも同様。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "次に外分点を求める。外分点を P ( x ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (x)} とする。 a < b {\\displaystyle a<b} で m > n {\\displaystyle m>n} のとき、 x > b {\\displaystyle x>b} となるので、 A P = x − a , B P = x − b {\\displaystyle \\mathrm {AP} =x-a,\\mathrm {BP} =x-b} なので、 m : n = ( x − a ) : ( x − b ) {\\displaystyle m:n=(x-a):(x-b)} なので、 x = − n a + m b m − n {\\displaystyle x={\\frac {-na+mb}{m-n}}}", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "これは、 a > b {\\displaystyle a>b} または m < n {\\displaystyle m<n} のときも同様。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "2次元の場合には、一般に点と点との位置関係は、座標軸に平行でなく、それらの距離の内分は複雑になるように思える。しかし、実際には、内分点や外分点を計算するには、上の公式をx,y の両方向に対して用いればよい。これは、2点をつなぐ線が直線であるので、その直線上である点からの距離が一定の割合となる点をいくつか取ったとき、その点と元の点のx軸方向の座標の変化の割合とy軸方向の座標の変化の割合と直線自身の長さの変化の割合はそれぞれ等しくなるからである。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "よって、一般に点 A ( x 0 , y 0 ) , B ( x 1 , y 1 ) {\\displaystyle A(x_{0},y_{0}),B(x_{1},y_{1})} を、a:bに内分する点と外分する点は、", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "で与えられる。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "点 A ( 1 , 0 ) , B ( − 4 , 7 ) {\\displaystyle \\mathrm {A} (1,0),\\mathrm {B} (-4,7)} を3:1にそれぞれ内分、外分する点を求めよ。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "解答", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "内分点は ( − 11 4 , 21 4 ) {\\displaystyle \\left({\\frac {-11}{4}},{\\frac {21}{4}}\\right)}", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": 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"title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } と直線 l {\\displaystyle l} に対し、直線 l {\\displaystyle l} 上の点と点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } の距離の最小値を点と直線の距離という。これは点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } から直線 l {\\displaystyle l} に下ろした垂線 P H {\\displaystyle \\mathrm {PH} } の長さに等しい。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "直線 a x + b y + c = 0 {\\displaystyle ax+by+c=0} と点 ( x 0 , y 0 ) {\\displaystyle (x_{0},y_{0})} の距離は", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "と表される。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "証明", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "点 P ( x 0 , y 0 ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (x_{0},y_{0})} と直線 l : a x + b y + c = 0 a , b ≠ 0 {\\displaystyle l:ax+by+c=0\\quad a,b\\neq 0} とする。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } から直線 l {\\displaystyle l} に垂線を下ろし、垂線の足を点 R {\\displaystyle R} とする。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "また、点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } から y {\\displaystyle y} 軸に平行な直線を引き、直線 l {\\displaystyle l} との交点を点 S {\\displaystyle \\mathrm {S} } とする。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "次に、図のように、直線 l {\\displaystyle l} 上の点 T {\\displaystyle \\mathrm {T} } に対して、直線 T V {\\displaystyle \\mathrm {TV} } が x {\\displaystyle x} 軸と平行となり、 T V = \| b \| {\\displaystyle \\mathrm {TV} =\|b\|} となるように点 V {\\displaystyle \\mathrm {V} } をとり、直線 V U {\\displaystyle \\mathrm {VU} } が y {\\displaystyle y} 軸に平行になる点 U {\\displaystyle \\mathrm {U} } を直線 l {\\displaystyle l} 上に取る。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "直線 l {\\displaystyle l} の傾きは − a b {\\displaystyle -{\\frac {a}{b}}} となるので V U = \| a \| {\\displaystyle \\mathrm {VU} =\|a\|} である。ここで、 △ P R S , △ T V U {\\displaystyle \\bigtriangleup \\mathrm {PRS} ,\\bigtriangleup \\mathrm {TVU} } は直角三角形であり、 ∠ P S R = ∠ T U V {\\displaystyle \\angle \\mathrm {PSR} =\\angle \\mathrm {TUV} } なので、 △ P R S ∼△ T V U {\\displaystyle \\bigtriangleup \\mathrm {PRS} \\sim \\bigtriangleup \\mathrm {TVU} } である。したがって", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "また点 S {\\displaystyle \\mathrm {S} } の座標を ( x 0 , m ) {\\displaystyle (x_{0},m)} とすると、 P S = \| y 0 − m \| {\\displaystyle \\mathrm {PS} =\|y_{0}-m\|} で、点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } と直線 l {\\displaystyle l} の距離 P R {\\displaystyle \\mathrm {PR} } は、", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "P R = P S ⋅ T V T U = \| y 0 − m \| \| b \| a 2 + b 2 {\\displaystyle \\mathrm {PR} ={\\mathrm {PS} }\\cdot {\\frac {\\mathrm {TV} }{\\mathrm {TU} }}={\\frac {\|y_{0}-m\|\|b\|}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "ところで、点 S {\\displaystyle \\mathrm {S} } は直線 l {\\displaystyle l} 上の点なので、", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "である。これを代入すれば", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "ベクトルを使った証明", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "すでにベクトルを知っているならばこちらの方が簡潔である。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "点 P ( x 0 , y 0 ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (x_{0},y_{0})} と直線 l : a x + b y + c = 0 {\\displaystyle l:ax+by+c=0} とし、点 Q ( x 1 , y 1 ) {\\displaystyle \\mathrm {Q} (x_{1},y_{1})} を直線 l {\\displaystyle l} 上の点とする。直線 l {\\displaystyle l} の法線は n → := ( a , b ) {\\displaystyle {\\vec {n}}:=(a,b)} で、 Q P → = ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) {\\displaystyle {\\vec {\\mathrm {QP} }}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})} であるので、直線 l {\\displaystyle l} 上の点と点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } の距離 d {\\displaystyle d} は d = \| Q P → ⋅ n → \| \| n → \| \| \| = \| ( x 0 − x 1 , y 0 − y 1 ) ⋅ ( a , b ) a 2 + b 2 \| = \| a x 0 + b y 0 − ( a x 1 + b y 1 ) \| a 2 + b 2 = \| a x 0 + b y 0 + c \| a 2 + b 2 {\\displaystyle d=\\left\|{\\vec {\\mathrm {QP} }}\\cdot {\\frac {\\vec {n}}{\|\|{\\vec {n}}\|\|}}\\right\|=\\left\|(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1})\\cdot {\\frac {(a,b)}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\right\|={\\frac {\|ax_{0}+by_{0}-(ax_{1}+by_{1})\|}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}={\\frac {\|ax_{0}+by_{0}+c\|}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} である。", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "直線 x − 2 y − 3 = 0 {\\displaystyle x-2y-3=0} と点 ( 1 , 2 ) {\\displaystyle (1,2)} の距離を求めよ", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "解答", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "6 5 {\\displaystyle {\\frac {6}{\\sqrt {5}}}}", "title": "点と直線" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "中心 C ( a , b ) {\\displaystyle \\mathrm {C} (a,b)} 半径 r {\\displaystyle r} の円は、 C P = r {\\displaystyle \\mathrm {CP} =r} となる点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } の集合である。つまり、 r = ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 {\\displaystyle r={\\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}} となる点 ( x , y ) {\\displaystyle (x,y)} の集合である。この方程式の両辺は正なので2乗して", "title": "円" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}", "title": "円" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "を得る。これが円の方程式である。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "特に原点が中心で半径 r {\\displaystyle r} の円の方程式は x 2 + y 2 = r 2 {\\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} で与えられる。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "円" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "解答", "title": "円" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "", "title": "円" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "方程式 x 2 + y 2 + l x + m y + n = 0 {\\displaystyle x^{2}+y^{2}+lx+my+n=0} はいつも円であるとは限らない。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "方程式を変形して ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = k {\\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=k} となるとき", "title": "円" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "円 x 2 + y 2 = r 2 {\\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} 上のある点 ( x 1 , y 1 ) {\\displaystyle (x_{1},y_{1})} で接する接線の方程式は", "title": "円" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "で表される。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "同様に、円 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 {\\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}} 上のある点 ( x 2 , y 2 ) {\\displaystyle (x_{2},y_{2})} で接する接線の方程式は", "title": "円" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "で表される。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "円と直線の位置関係について大きく次の3つに分類することができる。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "一般の円と直線についてそれらの位置関係を分類してみよう。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "円 C : ( x − p ) 2 + ( y − q ) 2 = r 2 {\\displaystyle C:(x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}} と直線 l : a x + b y + c = 0 {\\displaystyle l:ax+by+c=0} について、円 C {\\displaystyle C} の中心 ( p , q ) {\\displaystyle (p,q)} と直線 l {\\displaystyle l} の距離 d := \| a q + b q + c \| a 2 + b 2 {\\displaystyle d:={\\frac {\|aq+bq+c\|}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}} とすると、", "title": "円" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "他にも、円の方程式と直線の方程式を連立してその実数解の個数で分類する方法もあるが、位置関係を求めるだけなら上の方法のほうが計算量が少ない。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "円" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "直線 3 x + 4 y = 1 {\\displaystyle 3x+4y=1} と円 ( x − 3 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 14 {\\displaystyle (x-3)^{2}+(y+2)^{2}=14} の交点の座標を求めよ", "title": "円" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "解答", "title": "円" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "直線の方程式を x {\\displaystyle x} について解き、それを円の方程式に代入すればよい。", "title": "円" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "答えは ( 2 , − 1 ) , ( − 14 5 , 7 5 ) {\\displaystyle (2,-1),\\left(-{\\frac {14}{5}},{\\frac {7}{5}}\\right)}", "title": "円" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "ある条件を満たす点全体がつくる図形を、その条件を満たす点の軌跡という。", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "2点 A ( 1 , 0 ) , B ( 3 , 2 ) {\\displaystyle \\mathrm {A} (1\\ ,\\ 0)\\ ,\\ \\mathrm {B} (3\\ ,\\ 2)} から等距離にある点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } の軌跡を求めよ。", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "条件 A P = B P {\\displaystyle \\mathrm {A} \\mathrm {P} =\\mathrm {B} \\mathrm {P} } より、 A P 2 = B P 2 {\\displaystyle \\mathrm {A} \\mathrm {P} ^{2}=\\mathrm {B} \\mathrm {P} ^{2}} P {\\displaystyle \\mathrm {P} } の座標を ( x , y ) {\\displaystyle (x\\ ,\\ y)} とすると", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "だから", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "整理して、", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "したがって、求める軌跡は、直線 y = − x + 3 {\\displaystyle y=-x+3} である。", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "2点 A ( 0 , 0 ) , B ( 3 , 0 ) {\\displaystyle \\mathrm {A} (0\\ ,\\ 0)\\ ,\\ \\mathrm {B} (3\\ ,\\ 0)} からの距離の比が 2 : 1 {\\displaystyle 2:1} である点 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } の軌跡を求めよ。", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "P {\\displaystyle \\mathrm {P} } の座標を ( x , y ) {\\displaystyle (x\\ ,\\ y)} とする。 P {\\displaystyle \\mathrm {P} } を満たす条件は", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "すなわち", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "これを座標で表すと", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "両辺を2乗して、整理すると", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "すなわち", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "したがって、求める軌跡は、中心が ( 4 , 0 ) {\\displaystyle (4\\ ,\\ 0)} 、半径が 2 {\\displaystyle 2} の円である。", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "m , n {\\displaystyle m\\ ,\\ n} を異なる正の数とするとき、2点 A , B {\\displaystyle \\mathrm {A} \\ ,\\ \\mathrm {B} } からの距離の比が m : n {\\displaystyle m:n} である点の軌跡は、線分 A B {\\displaystyle \\mathrm {A} \\mathrm {B} } を m : n {\\displaystyle m:n} に内分する点と、外分する点を直径の両端とする円である。この円をアポロニウスの円という。", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "m = n {\\displaystyle m=n} のときは、線分 A B {\\displaystyle \\mathrm {A} \\mathrm {B} } の垂直二等分線である。", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "", "title": "軌跡と領域" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "このページの分野のように、数式をつかって座標の位置をあらわして、幾何学の問題を解く手法のことを解析幾何学という。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "なお、幾何学という言葉自体は、図形の学問というような意味であり、小学校や中学校で習った図形の理論も幾何学である。", "title": "コラム" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "中世ヨーロッパの数学者デカルトが、解析幾何学の研究を進めた。なお、デカルトは、哲学の格言「われ思う、ゆえに我あり」でも有名である。", "title": "コラム" } ]	ここでは直線と円などの性質を座標を用いて考察する。	{{pathnav\|高等学校の学習\|高等学校数学\|高等学校数学II\|pagename=図形と方程式\|frame=1\|small=1}} ここでは直線と円などの性質を座標を用いて考察する。 ==点と直線== ===2点間の距離=== [[ファイル:Distance_Formula.svg\|右\|200x200ピクセル]] 座標平面上の2点 <math>\mathrm{A} \left(x _1\ ,\ y _1 \right)\ ,\ \mathrm{B} \left(x _2\ ,\ y _2 \right)</math> 間の距離 <math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math> を求めてみよう。<br>直線 <math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math> が座標軸に平行でないとき<ref>つまり、直線 <math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math> が <math>x</math> 軸、 <math>y</math> 軸のどちらとも平行でないとき</ref>、点 <math>\mathrm{C} \left(x _2\ ,\ y _1 \right)</math> をとると :<math> \mathrm{A} \mathrm{C} = \|x _2 - x _1\|\ ,\ \mathrm{B} \mathrm{C} = \|y _2 - y _1\| </math> <math>\triangle \mathrm{A} \mathrm{B} \mathrm{C}</math> は直角三角形であるから、三平方の定理より :<math> \mathrm{A} \mathrm{B} = \sqrt{\mathrm{A} \mathrm{C} ^2+ \mathrm{B} \mathrm{C} ^2} = \sqrt{\|x _2 - x _1\|^2+\|y _2 - y _1\|^2} = \sqrt{(x _2 - x _1)^2+(y _2 - y _1)^2} </math> この式は、直線 <math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math> がx軸、y軸に平行なときにも成り立つ<ref>直線 <math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math> が <math>x</math> 軸に平行なときは <math>\mathrm{BC} = 0</math> であり、 <math>\mathrm{AC} = \mathrm{AB}</math> となる。よって <math>\mathrm{AB} = \sqrt{\mathrm{AC}^2+\mathrm{BC}^2} </math> は成り立つ。直線 <math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math> が <math>y</math> 軸に平行なときも同様</ref>。特に、原点 <math>\mathrm{O}</math> と点 <math>\mathrm{A} \left(x _1\ ,\ y _1 \right)</math> 間の距離は :<math> \mathrm{O} \mathrm{A} = \sqrt{x _1^2 + y _1^2} </math> === 内分点と外分点=== 点 <math> \mathrm{A}(x _0,y _0),\mathrm{B}(x _1,y _1) </math> と実数 <math>m,n>0</math> に対して、線分 <math>\mathrm{AB}</math> 上の点 <math>\mathrm{P}(x,y)</math> が存在して、<math>\mathrm{AP}:\mathrm{PB} = m:n</math> となるとき、点 <math>\mathrm{P}</math> を <math>\mathrm{A},\mathrm{B}</math> を <math>m:n</math> に内分する点という。また、線分 <math>\mathrm{AB}</math> 上でない点 <math>\mathrm{P}(x,y)</math> が存在して、<math>\mathrm{AP}:\mathrm{PB} = m:n</math> となるとき、点 <math>\mathrm{P}</math> を <math>\mathrm{A},\mathrm{B}</math> を <math>m:n</math> に外分する点という。数直線上の点 <math>\mathrm{A}(a),\mathrm{B}(b)</math> を <math>m:n</math> に内分する点と外分する点を求める。内分点を <math>\mathrm{P}(x)</math> とする。<math>a<b</math> のとき、 <math>\mathrm{AP} = x-a,\mathrm{PB}=b-x</math> なので、 <math>m:n=(x-a):(b-x)</math> なので、 <math>n(x-a)=m(b-x) \iff x = \frac{na+mb}{m+n}</math> である。 <math>a>b</math> のときも同様。次に外分点を求める。外分点を <math>\mathrm{P}(x)</math> とする。<math>a<b</math> で <math>m>n</math> のとき、<math>x>b</math> となるので、 <math>\mathrm{AP}=x-a,\mathrm{BP}=x-b</math> なので、<math>m:n=(x-a):(x-b)</math> なので、<math>x=\frac{-na+mb}{m-n}</math> これは、<math>a>b</math> または <math>m<n</math> のときも同様。<ref>外分点の座標は内分点の座標の <math>n</math> を <math>-n</math> にしたものに等しい</ref> 2次元の場合には、一般に点と点との位置関係は、座標軸に平行でなく、それらの距離の内分は複雑になるように思える。しかし、実際には、内分点や外分点を計算するには、上の公式をx,y の両方向に対して用いればよい。これは、2点をつなぐ線が直線であるので、その直線上である点からの距離が一定の割合となる点をいくつか取ったとき、その点と元の点のx軸方向の座標の変化の割合とy軸方向の座標の変化の割合と直線自身の長さの変化の割合はそれぞれ等しくなるからである。よって、一般に点<math>A(x _0,y _0),B(x _1,y _1)</math>を、a:bに内分する点と外分する点は、 :内分点 :<math> (\frac {b x _0 + a x _1} {a +b}, \frac {b y _0 + a y _1} {a +b}) </math> :外分点 :<math> (\frac {-b x _0 + a x _1} {a -b}, \frac {-b y _0 + a y _1} {a -b}) </math> :<math> = ( \frac {b x _0 - a x _1} {-a +b}, \frac {b y _0 - a y _1} {-a +b} ) </math> で与えられる。 '''演習問題''' 点 <math> \mathrm{A}(1,0),\mathrm{B}(-4,7) </math> を3:1にそれぞれ内分、外分する点を求めよ。 '''解答''' 内分点は <math> \left(\frac {-11}4,\frac{21}4\right) </math> 外分点は <math> \left(\frac {-13}2,\frac{21}2\right) </math> ===三角形の重心=== 3点<math>\mathrm{A} \left(x _1 , y _1 \right) , \mathrm{B} \left(x _2 , y _2 \right) , \mathrm{C} \left(x _3 , y _3 \right) </math>を頂点とする三角形の重心 <math>\mathrm{G}</math> の座標を求めてみよう。<br> 線分<math>\mathrm{B} \mathrm{C}</math>の中点<math>\mathrm{M}</math>の座標は :<math> \left(\frac {x _2 + x _3}{2} , \frac {y _2 + y _3}{2} \right) </math> 重心<math>\mathrm{G}</math>は線分<math>\mathrm{A} \mathrm{M}</math>を2:1に内分する点であるから、<math>\mathrm{G}</math>の座標を<math>(x , y)</math>とすると :<math> x= \cfrac { 1 \times x _1 + 2 \times \cfrac { x _2 + x _3 } { 2 } } { 2+1 } = \frac { x _1 + x _2 + x _3 } { 3 }</math> 同様に :<math> y = \frac { y _1 + y _2 + y _3 } { 3 } </math> よって、重心<math>\mathrm{G}</math>の座標は :<math> \left(\frac { x _1 + x _2 + x _3 } { 3 } , \frac { y _1 + y _2 + y _3 } { 3 } \right) </math> ===直線の方程式=== ある点 <math>(x_0,y_0)</math> を通って傾きaの直線の式は、 <math> y- y_0 = a(x- x_0) </math> で与えられる。これは、傾きがyの変化分<math>/</math>xの変化分で表わされ、<math> y-y_0 </math>,<math> x-x_0 </math>はまさに、y,xそれぞれの変化分そのものであることによる。 2点 <math>(x_0,y_0)</math> , <math>(x_1,y_1)</math> を通る直線は傾きが <math>\frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}</math> で与えられることを用いると、 <math> y-y_0 = \frac{y_0-y_1}{x_0-x_1}(x-x_0) </math> で与えられる。 '''演習問題''' それぞれの直線を表わす式を計算せよ。 (i) 傾き-2で、点(-3,1)を通る直線 (ii) 2点(4,3) ,(5,7)を通る直線 '''解答''' :<math> y-y _0 = a(x-x _0) </math> :<math> y-y _0 = \frac{y _0-y _1}{x _0-x _1}(x-x _0) </math> を用いればよい。 (i) :<math> \left[ y=-2\,x-5 \right] </math> (ii) :<math> \left[ y=4\,x-13 \right] </math> また直線の方程式は一般に <math>ax+by+c=0</math> で表される。 ====2直線の平行と垂直==== {\| style="border:2px solid orange;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:orange"\|'''2直線の平行、垂直''' \|- \|style="padding:5px"\| 2直線<math>y=m_1 x+n_1\ ,\ y=m_2 x+n_2</math>について <center>2直線が平行<math>\Leftrightarrow m_1=m_2</math></center> <center>2直線が垂直<math>\Leftrightarrow m_1 m_2=-1</math></center> \|} 問題例問題点<math>(1,4)</math>を通り、直線<math>y=-2x+3</math>に平行な直線、垂直な直線の方程式を求めよ。解答直線<math>y=-2x+3</math>の傾きは<math>-2</math>である。<br> 平行な直線の方程式は :<math>y-4=-2(x-1)</math> :<math>y=-2x+6</math> 垂直な直線の傾きを<math>m</math>とすると :<math>-2m=-1</math> :<math>m= \frac{1}{2}</math> よって、垂直な直線の方程式は :<math>y-4= \frac{1}{2} (x-1)</math> :<math>y= \frac{1}{2} x+ \frac{7}{2}</math> ===点と直線の距離=== 点 <math>\mathrm{P}</math> と直線 <math>l</math> に対し、直線 <math>l</math> 上の点と点 <math>\mathrm{P}</math> の距離の最小値を'''点と直線の距離'''という。これは点 <math>\mathrm{P}</math> から直線 <math>l</math> に下ろした垂線 <math>\mathrm{PH}</math> の長さに等しい。直線 <math>ax+by+c=0</math> と点 <math>(x_0,y_0)</math> の距離は :<math>\frac{\|ax_0+by_0+c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math> と表される。 '''証明''' [[ファイル:Point-to-line2.svg\|サムネイル]]点 <math>\mathrm{P}(x_0,y_0)</math> と直線 <math>l:ax+by+c=0 \quad a,b\neq 0</math> とする。点 <math>\mathrm{P}</math> から直線 <math>l</math> に垂線を下ろし、垂線の足を点 <math>R</math> とする。また、点 <math>\mathrm{P}</math> から <math>y</math> 軸に平行な直線を引き、直線 <math>l</math> との交点を点 <math>\mathrm S</math> とする。次に、図のように、直線 <math>l</math> 上の点 <math>\mathrm T</math> に対して、直線 <math>\mathrm{TV}</math> が <math>x</math> 軸と平行となり、<math>\mathrm{TV} = \|b\|</math> となるように点 <math>\mathrm V</math> をとり、直線 <math>\mathrm{VU}</math> が <math>y</math> 軸に平行になる点 <math>\mathrm U</math> を直線 <math>l</math> 上に取る。直線 <math>l</math> の傾きは <math>-\frac{a}{b}</math> となるので <math>\mathrm{VU} = \|a\|</math> である。ここで、<math>\bigtriangleup \mathrm{PRS},\bigtriangleup \mathrm{TVU}</math> は直角三角形であり、<math>\angle \mathrm{PSR} = \angle \mathrm{TUV}</math><ref>直線 <math>\mathrm{PS}</math> と直線 <math>\mathrm{VU}</math> は平行なので</ref> なので、<math>\bigtriangleup \mathrm{PRS} \sim \bigtriangleup \mathrm{TVU}</math><ref><math>\sim</math> は相似を意味する</ref> である。したがって :<math>\frac{\mathrm{PR}}{\mathrm{PS}} = \frac{\mathrm{TV}}{\mathrm{TU}}</math> また点 <math>\mathrm S</math> の座標を<math>(x_0,m)</math> とすると、<math>\mathrm{PS} = \|y_0-m\| </math> で、点 <math>\mathrm{P}</math> と直線 <math>l</math> の距離 <math> \mathrm{PR}</math> は、 <math> \mathrm{PR} ={\mathrm{PS}}\cdot \frac{\mathrm{TV}}{\mathrm{TU}} = \frac{\|y_0 - m\|\|b\|}{\sqrt{a^2 + b^2}} </math> ところで、点 <math>\mathrm S</math> は直線 <math>l</math> 上の点なので、 :<math>m = \frac{-ax_0 - c}{b}</math> である。これを代入すれば :<math> \mathrm{PR} = \frac{\|ax_0 + by_0 + c\|}{\sqrt{a^2 + b^2}}</math> :を得る。 : '''ベクトルを使った証明''' すでにベクトルを知っているならばこちらの方が簡潔である。点 <math>\mathrm{P}(x_0,y_0)</math> と直線 <math>l:ax+by+c=0</math> とし、点 <math>\mathrm{Q}(x_1,y_1)</math> を直線 <math>l</math> 上の点とする。直線 <math>l</math> の法線は <math>\vec n := (a,b)</math> で、<math>\vec{\mathrm{QP}} = (x_0-x_1,y_0-y_1) </math> であるので、直線 <math>l</math> 上の点と点 <math>\mathrm{P}</math> の距離 <math>d</math> は <math>d = \left\| \vec{ \mathrm{QP} } \cdot \frac{\vec n}{\|\|\vec n\|\|}\right\| = \left\|(x_0-x_1,y_0-y_1)\cdot \frac{(a,b)}{\sqrt{a^2+b^2}}\right\| = \frac{\|ax_0 + by_0 - (ax_1 + by_1)\|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{\|ax_0 + by_0 +c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math><ref>点 <math>\mathrm{Q}(x_1,y_1)</math> は直線 <math>l</math> 上の点なので <math>ax_1+by_1=-c</math> である。</ref> である。 '''演習問題''' 直線 <math>x-2y-3=0</math> と点 <math>(1,2)</math> の距離を求めよ '''解答''' <math>\frac{6}{\sqrt 5}</math> ==円== ====円の方程式==== 中心 <math>\mathrm{C}(a,b)</math> 半径 <math>r</math> の円は、<math>\mathrm{CP} =r</math> となる点 <math>\mathrm{P}</math> の集合である。つまり、 <math>r = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}</math> となる点 <math>(x,y)</math> の集合である。この方程式の両辺は正なので2乗して <math> (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 </math> を得る。これが円の方程式である。特に原点が中心で半径 <math>r</math> の円の方程式は <math> x^2+y^2 = r^2 </math> で与えられる。 '''演習問題''' # 中心 <math>(2,4)</math> 半径 <math>3</math> の円の方程式を求めよ # 円 <math> y^2+2\,y+x^2-6\,x+5=0 </math> の中心と半径を求めよ '''解答''' # <math> (x-2)^2+(y-4)^2 = 9 </math> # <math> y^2+2\,y+x^2-6\,x+5=0 \iff (x-3)^2 + (y +1)^2 = 5 </math> なので中心 <math> (3,-1) </math> 半径 <math> \sqrt 5 </math> 方程式 <math>x^2+y^2+lx+my+n = 0</math> はいつも円であるとは限らない。方程式を変形して <math>(x-a)^2+(y-b)^2 = k</math> となるとき # <math>k>0</math> のとき方程式は円を表す # <math>k=0</math> のとき方程式は1点 <math>(a,b)</math> を表す # <math>k<0</math> のとき方程式の左辺は常に正なので、方程式の表す図形はない ==== 円の接線 ==== 円<math>x^2+y^2=r^2</math>上のある点<math>(x_1,y_1)</math>で接する接線の方程式は :<math>x_1x+y_1y=r^2</math> で表される。同様に、円<math>(x-a)^2+(y-b)^2=r^2</math>上のある点<math>(x_2,y_2)</math>で接する接線の方程式は :<math>(x_2-a)(x-a)+(y_2-b)(y-b)=r^2</math> で表される。 ====円と直線==== 円と直線の位置関係について大きく次の3つに分類することができる。 # 円と直線が2点で交わる(直線が円の内部を通る) # 円と直線が1点で交わる(直線が円の接線となる) # 円と直線は交わらない <!-- これぞれの位置関係の図 --> 一般の円と直線についてそれらの位置関係を分類してみよう。円 <math>C:(x-p)^2+(y-q)^2 = r^2</math> と直線 <math>l:ax+by+c=0</math> について、円 <math>C</math> の中心 <math>(p,q)</math> と直線 <math>l</math> の距離 <math>d := \frac{\|aq+bq+c\|}{\sqrt{a^2+b^2}}</math> とすると、 # <math>r>d</math> のとき、円 <math>C</math> と直線 <math>l</math> は2点で交わる # <math>r=d</math> のとき、円 <math>C</math> と直線 <math>l</math> は1点で交わる # <math>r<d</math> のとき、円 <math>C</math> と直線 <math>l</math> は交わらない他にも、円の方程式と直線の方程式を連立してその実数解の個数で分類する方法もあるが、位置関係を求めるだけなら上の方法のほうが計算量が少ない。 '''演習問題''' 直線 <math> 3x + 4y =1 </math> と円 <math> (x-3)^2 + (y+2)^2 = 14 </math> の交点の座標を求めよ '''解答''' 直線の方程式を <math>x</math> について解き、それを円の方程式に代入すればよい。答えは <math>(2,-1),\left(-\frac{14}{5},\frac{7}{5}\right)</math> ==軌跡と領域== ===軌跡と方程式=== ある条件を満たす点全体がつくる図形を、その条件を満たす点の'''軌跡'''という。問題例問題 2点<math>\mathrm{A}(1\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm{B}(3\ ,\ 2)</math>から等距離にある点<math>\mathrm{P}</math>の軌跡を求めよ。解答条件<math>\mathrm{A} \mathrm{P} = \mathrm{B} \mathrm{P}</math>より、<math>\mathrm{A} \mathrm{P} ^2 = \mathrm{B} \mathrm{P} ^2</math><br> <math>\mathrm{P}</math>の座標を<math>(x\ ,\ y)</math>とすると :<math> \mathrm{A} \mathrm{P} ^2 =(x-1)^2+y^2 </math> :<math> \mathrm{B} \mathrm{P} ^2 =(x-3)^2+(y-2)^2 </math> だから :<math> (x-1)^2+y^2=(x-3)^2+(y-2)^2 </math> 整理して、 :<math> y=-x+3 </math> したがって、求める軌跡は、直線<math>y=-x+3</math>である。 {\| style="border:2px solid orange;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:orange"\|'''軌跡を求める手順''' \|- \|style="padding:5px"\| 1.求める軌跡上の任意の点の座標を<math>(x\ ,\ y)</math>などで表し、与えられた条件を座標の間の関係式で表す。 2.軌跡の方程式を導き、その方程式の表す図形を求める。 3.その図形上の点が条件を満たしていることを確かめる。 \|} 問題例問題 2点<math>\mathrm{A}(0\ ,\ 0)\ ,\ \mathrm{B}(3\ ,\ 0)</math>からの距離の比が<math>2:1</math>である点<math>\mathrm{P}</math>の軌跡を求めよ。 *解答 <math>\mathrm{P}</math>の座標を<math>(x\ ,\ y)</math>とする。<br> <math>\mathrm{P}</math>を満たす条件は :<math> \mathrm{A} \mathrm{P} : \mathrm{B} \mathrm{P} =2:1 </math> すなわち :<math> \mathrm{A} \mathrm{P} =2 \mathrm{B} \mathrm{P} </math> これを座標で表すと :<math> \sqrt{x^2+y^2} =2 \sqrt{(x-3)^2+y^2} </math> 両辺を2乗して、整理すると :<math> x^2+y^2-8x+12=0 </math> すなわち :<math> (x-4)^2+y^2=2^2 </math> したがって、求める軌跡は、中心が<math>(4\ ,\ 0)</math>、半径が<math>2</math>の円である。 <math>m\ ,\ n</math>を異なる正の数とするとき、2点<math>\mathrm{A}\ ,\ \mathrm{B}</math>からの距離の比が<math>m:n</math>である点の軌跡は、線分<math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math>を<math>m:n</math>に内分する点と、外分する点を直径の両端とする円である。この円を'''アポロニウスの円'''という。 <math>m=n</math>のときは、線分<math>\mathrm{A} \mathrm{B}</math>の垂直二等分線である。 === 不等式の表す領域 === == コラム == [[File:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg\|thumb\|デカルト]] このページの分野のように、数式をつかって座標の位置をあらわして、幾何学の問題を解く手法のことを解析幾何学という。なお、幾何学という言葉自体は、図形の学問というような意味であり、小学校や中学校で習った図形の理論も幾何学である。中世ヨーロッパの数学者デカルトが、解析幾何学の研究を進めた。なお、デカルトは、哲学の格言「われ思う、ゆえに我あり」でも有名である。 == 演習問題 == == 脚注 == <references/> {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくII すけいとほうていしき}} [[Category:高等学校数学II\|すけいとほうていしき]] [[カテゴリ:図形]]	2005-05-04T09:25:38Z	2024-03-29T02:06:20Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6II/%E5%9B%B3%E5%BD%A2%E3%81%A8%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
1,904	料理本/日本料理	W:日本料理	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "W:日本料理", "title": "" } ]	W:日本料理	{{進捗状況}} [[W:日本料理]] ==分類== [[料理本/精進料理]] [[料理本/懐石料理]] [[料理本/会席料理]] ==ジャンル別== ===[[料理本/米料理\|米料理]]=== [[料理本/米飯\|ご飯]]{{進捗\|50%\|2019-08-26}} [[料理本/赤飯\|赤飯]] [[料理本/粥\|粥]] [[料理本/卵かけご飯\|卵かけご飯]]{{進捗\|75%\|2016-01-06}} [[料理本/おにぎり\|おにぎり]]{{進捗\|75%\|2019-08-26}} ===[[料理本/すし\|すし]]=== [[料理本/握り寿司\|握り寿司]] [[料理本/太巻き寿司\|太巻き寿司]] [[料理本/細巻き寿司\|細巻き寿司]] [[料理本/手巻き寿司\|手巻き寿司]] [[料理本/押し寿司\|押し寿司]] [[料理本/江戸前散らし寿司\|江戸前散らし寿司]] [[料理本/五目ばら寿司\|五目ばら寿司]] [[料理本/稲荷寿司\|稲荷寿司]] [[料理本/手まり寿司\|手まり寿司]] [[料理本/なれ寿司\|なれ寿司]] ===[[料理本/刺身\|刺身]]=== ===[[料理本/鍋料理\|鍋料理]]=== [[料理本/おでん\|おでん]]{{進捗\|50%\|2007-10-18}} [[料理本/寄せ鍋\|寄せ鍋]] [[料理本/ちゃんこ鍋\|ちゃんこ鍋]] [[料理本/すき焼き\|すき焼き]] [[料理本/しゃぶ鍋\|しゃぶ鍋]] [[料理本/ちり鍋\|ちり鍋]] ===[[料理本/麺料理\|麺料理]]=== [[料理本/そば\|そば]] [[料理本/うどん\|うどん]] [[料理本/ラーメン\|ラーメン]] [[料理本/そうめん\|そうめん]] [[料理本/冷や麦\|冷や麦]] ===汁物=== [[料理本/味噌汁\|味噌汁]]{{進捗\|75%\|2019-08-28}} [[料理本/吸い物\|吸い物]]{{進捗\|75%\|2019-08-28}} ===[[料理本/揚げ物\|揚げ物]]=== [[料理本/天麩羅\|天麩羅]]{{進捗\|75%\|2019-08-29}} ===[[料理本/焼き物\|焼き物]]=== [[料理本/照り焼き\|照り焼き]] ===[[料理本/煮物\|煮物]]=== ===[[料理本/和え物・おひたし\|和え物・おひたし]]=== ===その他=== [[料理本/漬け物\|漬け物]]{{進捗\|00%\|2019-08-28}} *[[梅干し]]{{進捗\|75%\|2019-08-28}} [[料理本/豆腐\|豆腐]]{{進捗\|00%\|2019-08-28}} [[料理本/餃子\|餃子]] ==地域別== === 北海道・東北地方 === [[料理本/北海道の郷土料理\|北海道の郷土料理]] [[料理本/青森県の郷土料理\|青森県の郷土料理]] [[料理本/岩手県の郷土料理\|岩手県の郷土料理]] [[料理本/宮城県の郷土料理\|宮城県の郷土料理]] [[料理本/秋田県の郷土料理\|秋田県の郷土料理]] [[料理本/山形県の郷土料理\|山形県の郷土料理]] [[料理本/福島県の郷土料理\|福島県の郷土料理]] === 関東地方=== [[料理本/茨城県の郷土料理\|茨城県の郷土料理]] [[料理本/栃木県の郷土料理\|栃木県の郷土料理]] [[料理本/群馬県の郷土料理\|群馬県の郷土料理]] [[料理本/埼玉県の郷土料理\|埼玉県の郷土料理]] [[料理本/千葉県の郷土料理\|千葉県の郷土料理]] [[料理本/東京都の郷土料理\|東京都の郷土料理]] [[料理本/神奈川県の郷土料理\|神奈川県の郷土料理]] ===中部地方=== [[料理本/新潟県の郷土料理\|新潟県の郷土料理]] [[料理本/長野県の郷土料理\|長野県の郷土料理]] [[料理本/山梨県の郷土料理\|山梨県の郷土料理]] [[料理本/富山県の郷土料理\|富山県の郷土料理]] [[料理本/石川県の郷土料理\|石川県の郷土料理]] [[料理本/福井県の郷土料理\|福井県の郷土料理]] [[料理本/静岡県の郷土料理\|静岡県の郷土料理]] [[料理本/愛知県の郷土料理\|愛知県の郷土料理]] [[料理本/岐阜県の郷土料理\|岐阜県の郷土料理]] ===近畿地方=== [[料理本/三重県の郷土料理\|三重県の郷土料理]] [[料理本/滋賀県の郷土料理\|滋賀県の郷土料理]] [[料理本/京都府の郷土料理\|京都府の郷土料理]] [[料理本/大阪府の郷土料理\|大阪府の郷土料理]] [[料理本/兵庫県の郷土料理\|兵庫県の郷土料理]] [[料理本/奈良県の郷土料理\|奈良県の郷土料理]] [[料理本/和歌山県の郷土料理\|和歌山県の郷土料理]] ===中国地方=== [[料理本/鳥取県の郷土料理\|鳥取県の郷土料理]] [[料理本/島根県の郷土料理\|島根県の郷土料理]] [[料理本/岡山県の郷土料理\|岡山県の郷土料理]] [[料理本/広島県の郷土料理\|広島県の郷土料理]] [[料理本/山口県の郷土料理\|山口県の郷土料理]] ===四国地方=== [[料理本/徳島県の郷土料理\|徳島県の郷土料理]] [[料理本/香川県の郷土料理\|香川県の郷土料理]] [[料理本/愛媛県の郷土料理\|愛媛県の郷土料理]] [[料理本/高知県の郷土料理\|高知県の郷土料理]] ===九州・沖縄地方=== [[料理本/福岡県の郷土料理\|福岡県の郷土料理]] [[料理本/佐賀県の郷土料理\|佐賀県の郷土料理]] [[料理本/長崎県の郷土料理\|長崎県の郷土料理]] [[料理本/大分県の郷土料理\|大分県の郷土料理]] [[料理本/熊本県の郷土料理\|熊本県の郷土料理]] [[料理本/宮崎県の郷土料理\|宮崎県の郷土料理]] [[料理本/鹿児島県の郷土料理\|鹿児島県の郷土料理]] [[料理本/沖縄県の郷土料理\|沖縄県の郷土料理]] [[Category:日本料理\|*]] [[Category:日本\|りようり]] [[en:Cookbook:Cuisine of Japan]]	2005-05-05T00:31:48Z	2023-09-26T12:37:11Z	[ "テンプレート:進捗状況", "テンプレート:進捗" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%96%99%E7%90%86%E6%9C%AC/%E6%97%A5%E6%9C%AC%E6%96%99%E7%90%86
1,913	高等学校数学II/三角関数	ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。右図のように、定点Oを中心として回転する半直線 OP を考える。このときの回転する半直線 OP のことを動径という。半直線 OX を角度の基準とする。この基準となる半直線 OX のことを始線という。動径が時計回りに回転した場合、回転した角度は負であるとし、動径が反時計回りをした場合、回転した角度は正であるとする。負の角度や360°以上回転する角度も考えに入れた角のことを一般角という。いままでは角度の単位として一周を 360° とする度数法を使ってきたことだろう。ここで、弧度法による角度の表し方を学ぶ。半径1 の扇形において弧の長さが 1 のときの中心角を 1 rad、同様に弧の長さがθのときの中心角をθ radと定義する。この定義より 180° =π rad、360° = 2π rad 、さらにとなる。また弧度法の単位(rad)はしばしば省略される。弧度法を用いると、三角関数の微積分を考える際に便利である。(このことは数学IIIで学ぶ) 扇形の半径をr 、弧度法で定義された角度をθとするとき、弧の長さl と面積S はと表せる。一般角が θ {\displaystyle \theta } の半直線と単位円が交わる円を P {\displaystyle \mathrm {P} } とする。このときの P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( cos θ , sin θ ) {\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )} とすることで、関数 sin , cos {\displaystyle \sin ,\cos } を定める。また、 tan θ = sin θ cos θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}} とすることで関数 tan θ {\displaystyle \tan \theta } を定める。 tan θ {\displaystyle \tan \theta } は一般角が θ {\displaystyle \theta } の動径の傾きに等しい。また、三角関数の累乗は ( sin θ ) n = sin n θ {\displaystyle (\sin \theta )^{n}=\sin ^{n}\theta } と表記される。 cos θ のグラフは sin θ のグラフを θ軸方向に − π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}} だけ平行移動したものである。 y = sin θ {\displaystyle y=\sin \theta } や y = cos θ {\displaystyle y=\cos \theta } の形をした曲線のことを正弦曲線 (せいげんきょくせん)という。関数 sin , cos {\displaystyle \sin ,\cos } の値域はどちらも、 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} である。右図のように、角 θ の動径と単位円との交点をPとして、直線OPと直線x=1 との交点を T とすると、 Tの座標はになる。このことを利用して、 y=tan θ のグラフをかくことができる。 y=tan θ のグラフは、下図のようになる。 y=tan θ のグラフでは、θの値が π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} に近づいていくと、直線 θ = π 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}} に限りなく近づいていく。このように、曲線がある直線に限り無く近づいていくとき、近づかれる直線のほうを漸近線 (ぜんきんせん)という。同様に考え、次の直線も y=tanθ の漸近線である。は y=tanθ の漸近線である。一般に、はy=tanθのグラフの漸近線である。一般角が θ {\displaystyle \theta } の動径は一回転しても等しいので、一般角が θ + 2 π {\displaystyle \theta +2\pi } の動径と等しい。これより三角関数の周期性 sin ( θ + 2 π n ) = sin θ cos ( θ + 2 π n ) = cos θ tan ( θ + 2 π n ) = tan θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi n)&=\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi n)&=\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi n)&=\tan \theta \end{aligned}}} を得る。点 ( cos θ , sin θ ) {\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )} を π {\displaystyle \pi } 回転した点 ( cos ( θ + π ) , sin ( θ + π ) ) {\displaystyle (\cos(\theta +\pi ),\sin(\theta +\pi ))} は原点を中心に点対称移動した点 ( − cos θ , − sin θ ) {\displaystyle (-\cos \theta ,-\sin \theta )} であることから sin ( θ + π ) = − sin θ cos ( θ + π ) = − cos θ tan ( θ + π ) = tan θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=\tan \theta \end{aligned}}} を得る。点 ( cos θ , sin θ ) {\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )} を x {\displaystyle x} 軸で線対称移動移動した点が ( cos ( − θ ) , sin ( − θ ) ) = ( cos θ , − sin θ ) {\displaystyle (\cos(-\theta ),\sin(-\theta ))=(\cos \theta ,-\sin \theta )} であることから sin ( − θ ) = − sin θ cos ( − θ ) = cos θ tan ( − θ ) = − tan θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \end{aligned}}} を得る。単位円周上の点 ( cos θ , sin θ ) {\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )} から原点までの距離は 1 なので、 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1} が成り立つ。また、この式に、 tan θ = sin θ cos θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}} つまり、 sin θ = tan θ cos θ {\displaystyle \sin \theta =\tan \theta \cos \theta } を代入すれば、 1 + tan 2 θ = 1 cos 2 θ {\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta ={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}} が成り立つことがわかる。関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} に対して、0 でない実数 p {\displaystyle p} が存在して、 f ( x + p ) = f ( x ) {\displaystyle f(x+p)=f(x)} となるとき関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は周期関数という。実数 p {\displaystyle p} が上の性質を満たすとき、 − p , 2 p {\displaystyle -p,2p} など、実数 p {\displaystyle p} を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数 p {\displaystyle p} の内、正でかつ最小のものを選び、これを周期と呼ぶ。 sin x , cos x {\displaystyle \sin x,\cos x} は周期を 2 π {\displaystyle 2\pi } とする周期関数であり、 tan x {\displaystyle \tan x} は周期を π {\displaystyle \pi } とする周期関数である。演習問題 k {\displaystyle k} を0でない実数とする。関数 sin k x {\displaystyle \sin kx} の周期を言え解答 sin k ( x + 2 π k ) = sin k x {\displaystyle \sin k\left(x+{\frac {2\pi }{k}}\right)=\sin kx} なので答えは 2 π k {\displaystyle {\frac {2\pi }{k}}} 。これは正であり、周期の最小性の条件を満たしている。関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が f ( − x ) = f ( x ) {\displaystyle f(-x)=f(x)} を満たすとき、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は偶関数という。偶関数は y {\displaystyle y} 軸に関して対称なグラフになる。また、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が f ( − x ) = − f ( x ) {\displaystyle f(-x)=-f(x)} を満たすとき、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。関数 cos θ , x 2 n {\displaystyle \cos \theta ,x^{2n}} ( n {\displaystyle n} は整数)は偶関数となる。関数 sin x , x 2 n + 1 {\displaystyle \sin x,x^{2n+1}} ( n {\displaystyle n} は整数)は奇関数となる。 tan θ {\displaystyle \tan \theta } は偶関数かそれとも奇関数か調べよ。解答なので、 tan θ {\displaystyle \tan \theta } は奇関数である。関数 y = sin ( θ − π 3 ) {\displaystyle y=\sin \left(\theta -{\frac {\pi }{3}}\right)} のグラフは、 y = sin θ {\displaystyle y=\sin \theta } のグラフを θ軸方向に π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} だけ平行移動させたものになり、周期は 2 π {\displaystyle 2\pi } である。(平行移動しても、周期は変わらず、sinθと同じく周期は 2 π {\displaystyle 2\pi } のままである。) 関数 y=2sin θ のグラフの形は y=sin θ をy軸方向に2倍に拡大したもので、周期は y=sin θ と同じく 2π である。ー1 ≦ sin θ ≦ 1 なので、値域はー2 ≦ 2sin θ ≦ 2 である。関数 y=sin2θ のグラフはy軸を基準にθ軸方向に 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 倍に縮小したものになっている。したがって、周期も 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 倍になっており、y=sinθ の周期は 2 π {\displaystyle 2\pi } だから、y=sin2θ の周期は π {\displaystyle \pi } である。三角関数の加法定理が成り立つ。証明任意の実数 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } に対し、単位円周上の点 A ( cos α , sin α ) , B ( cos β , sin β ) {\displaystyle \mathrm {A} (\cos \alpha ,\sin \alpha ),\mathrm {B} (\cos \beta ,\sin \beta )} をとる。このとき、線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } の長さの2乗 A B 2 {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}} は余弦定理を使うことにより A B 2 = 2 − 2 cos ( α − β ) {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=2-2\cos(\alpha -\beta )} である。次に三平方の定理を使って A B 2 = ( cos α − cos α ) 2 + ( sin α − sin β ) 2 = 2 − 2 ( cos α cos β + sin α sin β ) {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=(\cos \alpha -\cos \alpha )^{2}+(\sin \alpha -\sin \beta )^{2}=2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )} これを整理して cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β {\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta } を得る。 cos ( α + β ) = cos ( α − ( − β ) ) = cos α cos ( − β ) + sin α sin ( − β ) = cos α cos β − sin α sin β {\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha -(-\beta ))=\cos \alpha \cos(-\beta )+\sin \alpha \sin(-\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta } である。以上をまとめて cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β {\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta } を得る。ここで、 sin ( α ± β ) = − cos ( α + π 2 ± β ) = − { cos ( α + π 2 ) cos ( β ) ∓ sin ( α + π 2 ) sin β } = sin α cos β ± cos α sin β {\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=-\cos(\alpha +{\frac {\pi }{2}}\pm \beta )=-\{\cos(\alpha +{\frac {\pi }{2}})\cos(\beta )\mp \sin(\alpha +{\frac {\pi }{2}})\sin \beta \}=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta } さらに、 tan x {\displaystyle \tan x} についても tan ( α ± β ) = sin ( α ± β ) cos ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos α cos β ∓ sin α sin β = sin α cos β cos α cos β ± cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β ∓ sin α sin β cos α cos β = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β {\textstyle {\begin{aligned}\tan(\alpha \pm \beta )&={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos(\alpha \pm \beta )}}\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }}\\&={\cfrac {{\cfrac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\pm {\cfrac {\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}{{\cfrac {\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\mp {\cfrac {\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}}\\&={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}\end{aligned}}} が成り立つ。加法定理を用いて以下が証明できる。 sin 2 α = sin ( α + α ) = 2 sin α cos α {\displaystyle \sin 2\alpha =\sin(\alpha +\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha } cos 2 α = cos ( α + α ) = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos(\alpha +\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha } tan 2 α = 2 tan α 1 − tan 2 α {\displaystyle \tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}} 次に、 cos {\displaystyle \cos } の倍角の公式を変形すると sin 2 α = 1 − cos 2 α 2 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}} cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 {\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}} である。演習問題解答 sin 15 ∘ = sin ( 45 ∘ − 30 ∘ ) = 6 − 2 4 {\displaystyle \sin 15^{\circ }=\sin(45^{\circ }-30^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}} cos 15 ∘ = cos ( 45 ∘ − 30 ∘ ) = 6 + 2 4 {\displaystyle \cos 15^{\circ }=\cos(45^{\circ }-30^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}} tan 2 α = sin 2 α cos 2 α = 1 − cos 2 α 1 + cos 2 α {\displaystyle \tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}} 今までの定理をまとめると、次のようになる。覚え方加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。 cos {\displaystyle \cos } の倍角の公式 cos 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 sin 2 θ {\displaystyle \cos 2\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta } は ± 1 ∓ 2 a a a 2 θ {\displaystyle \pm 1\mp 2\mathrm {aaa} ^{2}\theta } という形を覚えて sin {\displaystyle \sin } は符号が − {\displaystyle -} 、1 の符号はその逆と覚えます。 2乗の三角関数 sin 2 θ = 1 − cos 2 θ 2 , cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 {\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}},\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}} は、 1 ± cos 2 θ 2 {\displaystyle {\frac {1\pm \cos 2\theta }{2}}} という形を覚えて、 sin {\displaystyle \sin } は符号が − {\displaystyle -} と考えます。三角関数の和において、 a , b ≠ 0 {\displaystyle a,b\neq 0} のとき { a a 2 + b 2 } 2 + { b a 2 + b 2 } 2 = 1 {\displaystyle \left\{{\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right\}^{2}+\left\{{\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right\}^{2}=1} であるので、点 ( a a 2 + b 2 , b a 2 + b 2 ) {\displaystyle \left({\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},{\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)} は単位円周上の点なので、となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。演習問題 r , α {\displaystyle r,\alpha } は r > 0 , − π ≤ α < π {\displaystyle r>0,-\pi \leq \alpha <\pi } を満たすとする。解答 sin θ − 3 cos θ = 2 ( 1 2 sin θ − 3 2 cos θ ) = 2 ( sin θ cos π 3 − cos θ sin π 3 ) = 2 sin ( θ − π 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta -{\sqrt {3}}\cos \theta &=2\left({\frac {1}{2}}\sin \theta -{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta \right)\\&=2\left(\sin \theta \cos {\frac {\pi }{3}}-\cos \theta \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\\&=2\sin \left(\theta -{\frac {\pi }{3}}\right)\\\end{aligned}}} 三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和→積の公式、および積→和の公式が得られる。それぞれとなる。加法定理から、 (1) + (2) より (1) - (2) より (3) + (4) より (3) - (4) よりが得られる。 A = α + β , B = α − β {\displaystyle A=\alpha +\beta ,\,B=\alpha -\beta } とおくと、 α = A + B 2 , β = A − B 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {A+B}{2}},\,\beta ={\frac {A-B}{2}}} である。これを積→和の公式に代入すれば、それぞれが得られる。覚え方積→和の公式は、上2つは α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } を入れ替えれば同じ式なので、覚えるのは3式でいい。 sin sin {\displaystyle \sin \sin } の公式は cos cos {\displaystyle \cos \cos } の公式の符号を2つ − {\displaystyle -} にしたものになっている。和→積の公式は、 a a a − a a a {\displaystyle {\rm {{aaa}-{\rm {aaa}}}}} の式は a a a + a a a {\displaystyle {\rm {{aaa}+{\rm {aaa}}}}} の公式の cos {\displaystyle \cos } と sin {\displaystyle \sin } を逆にした形になっている。 (1)下の度数法で表された値を弧度法て表せ 1) 150 {\displaystyle 150} 2) 720 {\displaystyle 720} (2) sin π / 2 {\displaystyle \sin \pi /2} の値を求めよ	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "右図のように、定点Oを中心として回転する半直線 OP を考える。このときの回転する半直線 OP のことを動径という。", "title": "一般角" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "半直線 OX を角度の基準とする。この基準となる半直線 OX のことを始線という。", "title": "一般角" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "動径が時計回りに回転した場合、回転した角度は負であるとし、動径が反時計回りをした場合、回転した角度は正であるとする。", 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{\\displaystyle p} を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数 p {\\displaystyle p} の内、正でかつ最小のものを選び、これを周期と呼ぶ。", "title": "周期関数" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "sin x , cos x {\\displaystyle \\sin x,\\cos x} は周期を 2 π {\\displaystyle 2\\pi } とする周期関数であり、 tan x {\\displaystyle \\tan x} は周期を π {\\displaystyle \\pi } とする周期関数である。", "title": "周期関数" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "周期関数" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "k {\\displaystyle k} を0でない実数とする。関数 sin k x {\\displaystyle \\sin kx} の周期を言え", "title": "周期関数" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "解答", "title": "周期関数" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "sin k ( x + 2 π k ) = sin k x {\\displaystyle \\sin k\\left(x+{\\frac {2\\pi }{k}}\\right)=\\sin kx} なので答えは 2 π k {\\displaystyle {\\frac {2\\pi }{k}}} 。これは正であり、周期の最小性の条件を満たしている。", "title": "周期関数" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} が f ( − x ) = f ( x ) {\\displaystyle f(-x)=f(x)} を満たすとき、関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} は偶関数という。偶関数は y {\\displaystyle y} 軸に関して対称なグラフになる。", "title": "偶関数と奇関数" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "また、関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} が f ( − x ) = − f ( x ) {\\displaystyle f(-x)=-f(x)} を満たすとき、関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。", "title": "偶関数と奇関数" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "関数 cos θ , x 2 n {\\displaystyle \\cos \\theta ,x^{2n}} ( n {\\displaystyle n} は整数)は偶関数となる。", "title": "偶関数と奇関数" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "関数 sin x , x 2 n + 1 {\\displaystyle \\sin x,x^{2n+1}} ( n {\\displaystyle n} は整数)は奇関数となる。", "title": "偶関数と奇関数" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "tan θ {\\displaystyle \\tan \\theta } は偶関数かそれとも奇関数か調べよ。", "title": "偶関数と奇関数" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "解答", "title": "偶関数と奇関数" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "なので、 tan θ {\\displaystyle \\tan \\theta } は奇関数である。", "title": "偶関数と奇関数" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "関数 y = sin ( θ − π 3 ) {\\displaystyle y=\\sin \\left(\\theta -{\\frac {\\pi }{3}}\\right)} のグラフは、 y = sin θ {\\displaystyle y=\\sin \\theta } のグラフを θ軸方向に π 3 {\\displaystyle {\\frac {\\pi }{3}}} だけ平行移動させたものになり、周期は 2 π {\\displaystyle 2\\pi } である。(平行移動しても、周期は変わらず、sinθと同じく周期は 2 π {\\displaystyle 2\\pi } のままである。)", "title": "いろいろな三角関数" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "", "title": "いろいろな三角関数" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "関数 y=2sin θ のグラフの形は y=sin θ をy軸方向に2倍に拡大したもので、周期は y=sin θ と同じく 2π である。", "title": "いろいろな三角関数" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "ー1 ≦ sin θ ≦ 1 なので、", "title": "いろいろな三角関数" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "値域はー2 ≦ 2sin θ ≦ 2 である。", "title": "いろいろな三角関数" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "関数 y=sin2θ のグラフはy軸を基準にθ軸方向に 1 2 {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}} 倍に縮小したものになっている。", "title": "いろいろな三角関数" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "したがって、周期も 1 2 {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}} 倍になっており、y=sinθ の周期は 2 π {\\displaystyle 2\\pi } だから、y=sin2θ の周期は π {\\displaystyle \\pi } である。", "title": "いろいろな三角関数" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "三角関数の加法定理", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "が成り立つ。", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "証明", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "任意の実数 α , β {\\displaystyle \\alpha ,\\beta } に対し、単位円周上の点 A ( cos α , sin α ) , B ( cos β , sin β ) {\\displaystyle \\mathrm {A} (\\cos \\alpha ,\\sin \\alpha ),\\mathrm {B} (\\cos \\beta ,\\sin \\beta )} をとる。このとき、線分 A B {\\displaystyle \\mathrm {AB} } の長さの2乗 A B 2 {\\displaystyle \\mathrm {AB} ^{2}} は余弦定理を使うことにより", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "A B 2 = 2 − 2 cos ( α − β ) {\\displaystyle \\mathrm {AB} ^{2}=2-2\\cos(\\alpha -\\beta )}", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "である。次に三平方の定理を使って", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "A B 2 = ( cos α − cos α ) 2 + ( sin α − sin β ) 2 = 2 − 2 ( cos α cos β + sin α sin β ) {\\displaystyle \\mathrm {AB} ^{2}=(\\cos \\alpha -\\cos \\alpha )^{2}+(\\sin \\alpha -\\sin \\beta )^{2}=2-2(\\cos \\alpha \\cos \\beta +\\sin \\alpha \\sin \\beta )}", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "これを整理して", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β {\\displaystyle \\cos(\\alpha -\\beta )=\\cos \\alpha \\cos \\beta +\\sin \\alpha \\sin \\beta }", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "を得る。", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "cos ( α + β ) = cos ( α − ( − β ) ) = cos α cos ( − β ) + sin α sin ( − β ) = cos α cos β − sin α sin β {\\displaystyle \\cos(\\alpha +\\beta )=\\cos(\\alpha -(-\\beta ))=\\cos \\alpha \\cos(-\\beta )+\\sin \\alpha \\sin(-\\beta )=\\cos \\alpha \\cos \\beta -\\sin \\alpha \\sin \\beta }", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "である。", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "以上をまとめて", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β {\\displaystyle \\cos(\\alpha \\pm \\beta )=\\cos \\alpha \\cos \\beta \\mp \\sin \\alpha \\sin \\beta }", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "を得る。", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "ここで、", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "sin ( α ± β ) = − cos ( α + π 2 ± β ) = − { cos ( α + π 2 ) cos ( β ) ∓ sin ( α + π 2 ) sin β } = sin α cos β ± cos α sin β {\\displaystyle \\sin(\\alpha \\pm \\beta )=-\\cos(\\alpha +{\\frac {\\pi }{2}}\\pm \\beta )=-\\{\\cos(\\alpha +{\\frac {\\pi }{2}})\\cos(\\beta )\\mp \\sin(\\alpha +{\\frac {\\pi }{2}})\\sin \\beta \\}=\\sin \\alpha \\cos \\beta \\pm \\cos \\alpha \\sin \\beta }", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "さらに、 tan x {\\displaystyle \\tan x} についても", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "tan ( α ± β ) = sin ( α ± β ) cos ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos α cos β ∓ sin α sin β = sin α cos β cos α cos β ± cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β ∓ sin α sin β cos α cos β = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β {\\textstyle {\\begin{aligned}\\tan(\\alpha \\pm \\beta )&={\\frac {\\sin(\\alpha \\pm \\beta )}{\\cos(\\alpha \\pm \\beta )}}\\\\&={\\frac {\\sin \\alpha \\cos \\beta \\pm \\cos \\alpha \\sin \\beta }{\\cos \\alpha \\cos \\beta \\mp \\sin \\alpha \\sin \\beta }}\\\\&={\\cfrac {{\\cfrac {\\sin \\alpha \\cos \\beta }{\\cos \\alpha \\cos \\beta }}\\pm {\\cfrac {\\cos \\alpha \\sin \\beta }{\\cos \\alpha \\cos \\beta }}}{{\\cfrac {\\cos \\alpha \\cos \\beta }{\\cos \\alpha \\cos \\beta }}\\mp {\\cfrac {\\sin \\alpha \\sin \\beta }{\\cos \\alpha \\cos \\beta }}}}\\\\&={\\frac {\\tan \\alpha \\pm \\tan \\beta }{1\\mp \\tan \\alpha \\tan \\beta }}\\end{aligned}}}", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "が成り立つ。", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "加法定理を用いて以下が証明できる。", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "sin 2 α = sin ( α + α ) = 2 sin α cos α {\\displaystyle \\sin 2\\alpha =\\sin(\\alpha +\\alpha )=2\\sin \\alpha \\cos \\alpha }", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "cos 2 α = cos ( α + α ) = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α {\\displaystyle \\cos 2\\alpha =\\cos(\\alpha +\\alpha )=\\cos ^{2}\\alpha -\\sin ^{2}\\alpha =2\\cos ^{2}\\alpha -1=1-2\\sin ^{2}\\alpha }", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "tan 2 α = 2 tan α 1 − tan 2 α {\\displaystyle \\tan 2\\alpha ={\\frac {2\\tan \\alpha }{1-\\tan ^{2}\\alpha }}}", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "次に、 cos {\\displaystyle \\cos } の倍角の公式を変形すると", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "sin 2 α = 1 − cos 2 α 2 {\\displaystyle \\sin ^{2}\\alpha ={\\frac {1-\\cos 2\\alpha }{2}}}", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 {\\displaystyle \\cos ^{2}\\alpha ={\\frac {1+\\cos 2\\alpha }{2}}}", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "である。", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "解答", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "sin 15 ∘ = sin ( 45 ∘ − 30 ∘ ) = 6 − 2 4 {\\displaystyle \\sin 15^{\\circ }=\\sin(45^{\\circ }-30^{\\circ })={\\frac {{\\sqrt {6}}-{\\sqrt {2}}}{4}}}", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "cos 15 ∘ = cos ( 45 ∘ − 30 ∘ ) = 6 + 2 4 {\\displaystyle \\cos 15^{\\circ }=\\cos(45^{\\circ }-30^{\\circ })={\\frac {{\\sqrt {6}}+{\\sqrt {2}}}{4}}}", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "tan 2 α = sin 2 α cos 2 α = 1 − cos 2 α 1 + cos 2 α {\\displaystyle \\tan ^{2}\\alpha ={\\frac {\\sin ^{2}\\alpha }{\\cos ^{2}\\alpha }}={\\frac {1-\\cos 2\\alpha }{1+\\cos 2\\alpha }}}", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "今までの定理をまとめると、次のようになる。", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "覚え方", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "cos {\\displaystyle \\cos } の倍角の公式 cos 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 sin 2 θ {\\displaystyle \\cos 2\\theta =2\\cos ^{2}\\theta -1=1-2\\sin ^{2}\\theta } は ± 1 ∓ 2 a a a 2 θ {\\displaystyle \\pm 1\\mp 2\\mathrm {aaa} ^{2}\\theta } という形を覚えて sin {\\displaystyle \\sin } は符号が − {\\displaystyle -} 、1 の符号はその逆と覚えます。", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "2乗の三角関数 sin 2 θ = 1 − cos 2 θ 2 , cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 {\\displaystyle \\sin ^{2}\\theta ={\\frac {1-\\cos 2\\theta }{2}},\\cos ^{2}\\theta ={\\frac {1+\\cos 2\\theta }{2}}} は、 1 ± cos 2 θ 2 {\\displaystyle {\\frac {1\\pm \\cos 2\\theta }{2}}} という形を覚えて、 sin {\\displaystyle \\sin } は符号が − {\\displaystyle -} と考えます。", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "三角関数の和", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "において、 a , b ≠ 0 {\\displaystyle a,b\\neq 0} のとき", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "{ a a 2 + b 2 } 2 + { b a 2 + b 2 } 2 = 1 {\\displaystyle \\left\\{{\\dfrac {a}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\right\\}^{2}+\\left\\{{\\dfrac {b}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\right\\}^{2}=1} であるので、点 ( a a 2 + b 2 , b a 2 + b 2 ) {\\displaystyle \\left({\\dfrac {a}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},{\\dfrac {b}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\right)} は単位円周上の点なので、", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "r , α {\\displaystyle r,\\alpha } は r > 0 , − π ≤ α < π {\\displaystyle r>0,-\\pi \\leq \\alpha <\\pi } を満たすとする。", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "解答", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "sin θ − 3 cos θ = 2 ( 1 2 sin θ − 3 2 cos θ ) = 2 ( sin θ cos π 3 − cos θ sin π 3 ) = 2 sin ( θ − π 3 ) {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\sin \\theta -{\\sqrt {3}}\\cos \\theta &=2\\left({\\frac {1}{2}}\\sin \\theta -{\\frac {\\sqrt {3}}{2}}\\cos \\theta \\right)\\\\&=2\\left(\\sin \\theta \\cos {\\frac {\\pi }{3}}-\\cos \\theta \\sin {\\frac {\\pi }{3}}\\right)\\\\&=2\\sin \\left(\\theta -{\\frac {\\pi }{3}}\\right)\\\\\\end{aligned}}}", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和→積の公式、および積→和の公式が得られる。それぞれ", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "加法定理", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "から、 (1) + (2) より", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "(1) - (2) より", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "(3) + (4) より", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": "(3) - (4) より", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "A = α + β , B = α − β {\\displaystyle A=\\alpha +\\beta ,\\,B=\\alpha -\\beta } とおくと、 α = A + B 2 , β = A − B 2 {\\displaystyle \\alpha ={\\frac {A+B}{2}},\\,\\beta ={\\frac {A-B}{2}}} である。これを積→和の公式に代入すれば、それぞれ", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 114, "tag": "p", "text": "覚え方", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 115, "tag": "p", "text": "積→和の公式は、上2つは α {\\displaystyle \\alpha } と β {\\displaystyle \\beta } を入れ替えれば同じ式なので、覚えるのは3式でいい。 sin sin {\\displaystyle \\sin \\sin } の公式は cos cos {\\displaystyle \\cos \\cos } の公式の符号を2つ − {\\displaystyle -} にしたものになっている。", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 116, "tag": "p", "text": "和→積の公式は、 a a a − a a a {\\displaystyle {\\rm {{aaa}-{\\rm {aaa}}}}} の式は a a a + a a a {\\displaystyle {\\rm {{aaa}+{\\rm {aaa}}}}} の公式の cos {\\displaystyle \\cos } と sin {\\displaystyle \\sin } を逆にした形になっている。", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 117, "tag": "p", "text": "", "title": "三角関数の基本公式" }, { "paragraph_id": 118, "tag": "p", "text": "", "title": "三角関数の基本公式" }, { "paragraph_id": 119, "tag": "p", "text": "(1)下の度数法で表された値を弧度法て表せ", "title": "演習問題" }, { "paragraph_id": 120, "tag": "p", "text": "1) 150 {\\displaystyle 150} 2) 720 {\\displaystyle 720}", "title": "演習問題" }, { "paragraph_id": 121, "tag": "p", "text": "(2) sin π / 2 {\\displaystyle \\sin \\pi /2} の値を求めよ", "title": "演習問題" } ]	ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。	{{Pathnav\|高等学校の学習\|高等学校数学\|高等学校数学II\|frame=1}} ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。 == 一般角 == [[File:General angle of trigonometric functions japanese.svg\|thumb\|300px\|]] [[File:Negative general angle.svg\|thumb\|300px]] 右図のように、定点Oを中心として回転する半直線 OP を考える。このときの回転する半直線 OP のことを'''動径'''という。半直線 OX を角度の基準とする。この基準となる半直線 OX のことを'''始線'''という。動径が時計回りに回転した場合、回転した角度は負であるとし、動径が反時計回りをした場合、回転した角度は正であるとする。負の角度や360°以上回転する角度も考えに入れた角のことを'''一般角'''という。 {{-}} == 弧度法 == ==== ラジアン ==== いままでは角度の単位として一周を 360° とする度数法を使ってきたことだろう。ここで、弧度法による角度の表し方を学ぶ。 [[File:1radian japanese.svg\|thumb\|300px]] 半径1 の扇形において弧の長さが 1 のときの中心角を 1 rad、同様に弧の長さがθのときの中心角をθ radと定義する。この定義より 180° =π rad、360° = 2π rad 、さらに :<math>\begin{align}1 ^{\circ} &=\frac{\pi}{180}\, \mathrm{rad} \\ \\ 1\, \mathrm{rad} &= \frac {180}{\pi} ^{\circ} \approx 57.3^{\circ}\end{align}</math> となる。また弧度法の単位（rad）はしばしば省略される。弧度法を用いると、三角関数の微積分を考える際に便利である。（このことは数学IIIで学ぶ） ==== 扇形の弧の長さと面積 ==== 扇形の半径を''r'' 、弧度法で定義された角度をθとするとき、弧の長さ''l'' と面積''S'' は :<math>\begin{align}l&=r\theta, \\ \\ S&=\frac{1}{2}r^{2}\theta=\frac{1}{2}rl\end{align}</math> と表せる。 == 三角関数 == ==== sin と cos のグラフ ==== [[File:Sin and cos general angle introduction.svg\|thumb\|300px\|]] 一般角が <math>\theta</math> の半直線と単位円が交わる円を <math>\mathrm P</math> とする。このときの <math>\mathrm P</math> の座標を<math>(\cos\theta,\sin\theta)</math> とすることで、関数 <math>\sin,\cos</math> を定める。また、<math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math> とすることで関数 <math>\tan\theta</math> を定める。<math>\tan\theta</math> は一般角が <math>\theta</math> の動径の傾きに等しい。 * <math>\sin</math> はサイン(sine) と発音され、正弦とも呼ばれる。 * <math>\cos</math> コサイン(cosine) と発音され、余弦とも呼ばれる。 * <math>\tan</math> はタンジェント(tangent) と発音され、正接とも呼ばれる。また、三角関数の累乗は <math>(\sin\theta)^n = \sin^n\theta</math> と表記される。[[ファイル:Circle cos sin.gif\|サムネイル\|中央\|300x300ピクセル]] [[File:Y=sin(theta).svg\|thumb\|500px\|left]] [[File:Y=cos(theta).svg\|thumb\|500px\|left]] {{-}} cos θ のグラフは sin θ のグラフを θ軸方向に <math> - \frac{ \pi }{2} </math>だけ平行移動したものである。 <math>y = \sin\theta</math> や <math>y = \cos\theta</math> の形をした曲線のことを '''正弦曲線''' （せいげんきょくせん）という。関数 <math>\sin,\cos</math> の値域はどちらも、<math>[-1,1]</math> である。 {{-}} ==== tan のグラフ ==== [[File:Tangent function introduction.svg\|thumb\|300px\|]] 右図のように、角 θ の動径と単位円との交点をPとして、直線OPと直線x＝1 との交点を T とすると、 Tの座標は : T (1, tan θ) になる。このことを利用して、 y＝tan θ のグラフをかくことができる。 {{-}} y=tan θ のグラフは、下図のようになる。<br> [[File:Y=tan(x).svg\|500px\|]] y=tan θ のグラフでは、θの値が <math> \frac{ \pi }{2} </math> に近づいていくと、直線 <math> \theta = \frac{ \pi }{2} </math> に限りなく近づいていく。このように、曲線がある直線に限り無く近づいていくとき、近づかれる直線のほうを '''漸近線''' （ぜんきんせん）という。同様に考え、次の直線も y＝tanθ の漸近線である。 :<math> \cdots , \quad \theta = - \frac{ 3}{2} \pi , \quad \theta = - \frac{ 1}{2} \pi , \quad \theta = \frac{ 1}{2} \pi , \quad \frac{ 3}{2} \pi , \cdots </math> は y＝tanθ の漸近線である。一般に、 :直線 <math> \quad \theta = \frac{ \pi }{2} + n \pi </math> 　　（nは整数）はy=tanθのグラフの漸近線である。<ref>高校・大学入試では使われないが、<math>\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}(=\frac{\cos\theta}{\sin\theta})</math> として定義される三角関数を使うところもある。これらの関数はそれぞれ、セカント、コセカント、コタンジェントと呼ばれる。</ref> == 三角関数の性質 == 一般角が <math>\theta</math> の動径は一回転しても等しいので、一般角が <math>\theta+2\pi</math> の動径と等しい。これより三角関数の周期性 <math>\begin{align} \sin(\theta+2\pi n)&=\sin \theta \\ \cos(\theta+2\pi n)&=\cos \theta \\ \tan(\theta+2\pi n)&=\tan \theta \end{align}</math> を得る。点 <math>(\cos\theta,\sin\theta)</math> を <math>\pi</math> 回転した点 <math>(\cos(\theta+\pi),\sin(\theta+\pi))</math> は原点を中心に点対称移動した点　<math>(-\cos\theta,-\sin\theta)</math> であることから <math>\begin{align} \sin(\theta + \pi) &= - \sin \theta \\ \cos(\theta + \pi) &= - \cos \theta \\ \tan(\theta + \pi) &= \tan \theta \end{align}</math> を得る。点 <math>(\cos\theta,\sin\theta)</math> を <math>x</math> 軸で線対称移動移動した点が <math>(\cos (-\theta),\sin(-\theta)) = (\cos\theta,-\sin\theta)</math> であることから <math>\begin{align}\sin(-\theta) &= -\sin\theta \\ \cos(-\theta) &= \cos\theta \\ \tan(- \theta) &= -\tan\theta\end{align}</math> を得る。 * 問題例 ** 問題 * ::<math>\begin{align} & \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) \\ & \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) \\ & \sin(\frac{\pi}{2} -\theta) \\ & \cos(\frac{\pi}{2}- \theta ) \end{align}</math> : を計算せよ。 * 解答 : 角θに対応する点を P(x, y) とする。このとき、角 θ + 90°に対応する点を P'(x', y') とすると、この点の座標は、P'(-y, x) に対応する。このことから、P'について sin, cos を計算すると、 :: <math>\begin{align} x' &= -y \\ &= \cos (\theta + \frac{\pi}{2} )\\ &= -\sin\theta \\ y' &= x \\ &= \sin (\theta + \frac{\pi}{2} ) \\ &= \cos\theta \end{align}</math> : が得られる。 : 同様にして、90°- θ に対応する点を P' '(x' ', y' ') とすると、 :: <math>\begin{align} x'' &= y \\ y'' &= x \end{align}</math> : となる。よって、 :: <math>\begin{align} \sin (\frac{\pi}{2} - \theta) &= \cos\theta \\ \cos (\frac{\pi}{2} - \theta) &= \sin\theta \end{align}</math> : が得られる。単位円周上の点 <math>(\cos\theta,\sin\theta)</math> から原点までの距離は 1 なので、 <math>\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1</math> が成り立つ。また、この式に、 <math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math> つまり、 <math>\sin\theta = \tan\theta \cos\theta</math> を代入すれば、<math>1+\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}</math> が成り立つことがわかる。 == 周期関数 == 関数 <math>f(x)</math> に対して、0 でない実数 <math>p</math> が存在して、<math>f(x+p) =f(x)</math> となるとき関数 <math>f(x)</math> は周期関数という。実数 <math>p</math> が上の性質を満たすとき、<math>-p,2p</math> など、実数 <math>p</math> を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数 <math>p</math> の内、正でかつ最小のものを選び、これを'''周期'''と呼ぶ。 <math>\sin x, \cos x</math> は周期を <math>2\pi</math> とする周期関数であり、<math>\tan x</math> は周期を <math>\pi</math> とする周期関数である。 '''演習問題''' <math>k</math> を0でない実数とする。関数 <math>\sin kx</math> の周期を言え '''解答''' <math>\sin k\left(x+\frac{2\pi}{k}\right) = \sin kx</math> なので答えは <math>\frac{2\pi}{k}</math> 。これは正であり、周期の最小性の条件を満たしている。 == 偶関数と奇関数 == 関数 <math>f(x)</math> が <math>f(-x)=f(x)</math> を満たすとき、関数 <math>f(x)</math> は偶関数という。偶関数は <math>y</math> 軸に関して対称なグラフになる。また、関数 <math>f(x)</math> が <math>f(-x)=-f(x)</math> を満たすとき、関数 <math>f(x)</math> は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。関数 <math>\cos\theta,x^{2n}</math> (<math>n</math> は整数)は偶関数となる。関数 <math>\sin x , x^{2n+1}</math> (<math>n</math> は整数)は奇関数となる。 ;演習問題 <math>\tan\theta</math> は偶関数かそれとも奇関数か調べよ。 '''解答''' :<math> \tan( - \theta ) = \frac{\sin(- \theta)} {\cos(-\theta)} = \frac{- \sin(\theta)} {\cos(\theta)} = - \frac{\sin(\theta)} {\cos(\theta)} = - \tan \theta</math> なので、 <math>\tan\theta</math> は奇関数である。<ref>一般に、関数 <math>f(x) </math> に対し、<math>f(x) </math> が偶関数か奇関数か調べるには <math>f(-x)</math> が <math>f(x)</math> または <math>-f(x)</math> のどちらに等しいか調べればよい。また、どちらとも等しくない場合、関数 <math>f(x) </math> は偶関数でも奇関数でもない。</ref> == いろいろな三角関数 == [[File:Y=sin(theta-pi div 3).svg\|thumb\|550px\|]] 関数 <math> y=\sin \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right)</math> のグラフは、<math> y=\sin \theta </math>のグラフを θ軸方向に <math> \frac{\pi}{3} </math> だけ平行移動させたものになり、周期は <math> 2 \pi </math> である。（平行移動しても、周期は変わらず、sinθと同じく周期は <math> 2 \pi </math> のままである。） {{-}} [[File:Y=2sin(theta).svg\|thumb\|550px]] 関数 y＝2sin θ のグラフの形は y＝sin θ をy軸方向に2倍に拡大したもので、周期は y＝sin θ と同じく 2π である。ー1 ≦ sin θ ≦ 1　　なので、値域は　　ー2 ≦ 2sin θ ≦ 2　　である。 {{-}} {{-}} [[File:Y=sin(2 theta) and y=sin(theta).svg\|thumb\|750px]] {{-}} 関数 y＝sin2θ のグラフはy軸を基準にθ軸方向に <math> \frac{1}{2}</math> 倍に縮小したものになっている。したがって、周期も <math> \frac{1}{2}</math> 倍になっており、y=sinθ の周期は <math> 2 \pi </math> だから、y=sin2θ の周期は <math> \pi </math> である。 == 加法定理 == 三角関数の加法定理 :<math>\begin{align} \sin (\alpha \pm \beta) &= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha \pm \beta) &= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \end{align}</math> が成り立つ。 '''証明''' 任意の実数 <math>\alpha,\beta</math> に対し、単位円周上の点 <math>\mathrm{A}(\cos\alpha,\sin\alpha),\mathrm{B}(\cos\beta,\sin\beta)</math> をとる。このとき、線分 <math>\mathrm{AB}</math> の長さの2乗 <math>\mathrm{AB}^2</math> は余弦定理を使うことにより <math>\mathrm{AB}^2 = 2-2\cos(\alpha-\beta)</math> である。次に三平方の定理を使って <math>\mathrm{AB}^2 = (\cos\alpha -\cos\alpha)^2 + (\sin\alpha-\sin\beta)^2 = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)</math> これを整理して <math>\cos(\alpha - \beta)= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta</math> を得る。 <math>\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha-(-\beta)) = \cos\alpha\cos(-\beta) + \sin\alpha\sin(-\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta</math> である。以上をまとめて <math>\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta</math> を得る。ここで、 <math>\sin(\alpha \pm \beta) = -\cos(\alpha +\frac{\pi}{2} \pm \beta) = -\{\cos(\alpha + \frac{\pi}{2})\cos(\beta) \mp \sin(\alpha+\frac{\pi}{2})\sin\beta \} = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta</math><ref>「咲いた(sin)コスモス(cos)コスモス(cos)咲いた(sin)」「コスモス(cos)コスモス(cos)咲いた(sin)咲いた(sin)」という覚えかたがある</ref> さらに、<math>\tan x</math> についても <math display="inline">\begin{align} \tan (\alpha\pm\beta) &= \frac {\sin (\alpha\pm\beta) } {\cos (\alpha\pm\beta) } \\ &= \frac { \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta } \\ &= \cfrac { \cfrac { \sin \alpha \cos \beta } { \cos \alpha \cos \beta } \pm \cfrac { \cos \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta } } { \cfrac { \cos \alpha \cos \beta } { \cos \alpha \cos \beta } \mp \cfrac { \sin \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta } } \\ &= \frac { \tan \alpha \pm \tan \beta } { 1 \mp \tan \alpha \tan \beta } \end{align}</math> が成り立つ。 == 倍角の公式 == 加法定理を用いて以下が証明できる。 <math>\sin 2\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha</math> <math>\cos 2\alpha = \cos(\alpha+\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha</math> <math>\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}</math> 次に、 <math>\cos</math> の倍角の公式を変形すると <math>\sin^2\alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2}</math> <math>\cos^2\alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}</math> である。 '''演習問題''' # <math>\sin 15^\circ,\cos 15^\circ</math> を求めよ # <math>\tan^2 \alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}</math> を示せ '''解答''' <math>\sin 15^\circ = \sin(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}</math> <math>\cos 15^\circ = \cos(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}</math> <math>\tan ^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}</math> 今までの定理をまとめると、次のようになる。 {\| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:yellow"\|'''三角関数の加法定理''' \|- \|style="padding:5px"\| :<math>\begin{align} \sin (\alpha \pm \beta) &= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha \pm \beta) &= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\\ \tan (\alpha \pm \beta) &= \frac { \tan \alpha \pm \tan \beta } { 1 \mp \tan \alpha \tan \beta } \\ \end{align}</math> \|} {\| style="border:2px solid　greenyellow;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:greenyellow"\|'''2倍角の公式''' \|- \|style="padding:5px"\| :<math>\begin{align} \sin 2 \alpha &= 2 \sin \alpha \cos \alpha \\ \cos 2 \alpha &= \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha = 1 - 2 \sin ^2 \alpha = 2 \cos ^2 \alpha - 1 \\ \tan 2 \alpha &= \frac { 2 \tan \alpha } { 1 - \tan ^2 \alpha } \end{align}</math> \|} {\| style="border:2px solid　skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|三角関数の2乗 \|- \|style="padding:5px"\| :<math>\begin{align} \sin ^2 \alpha &= \frac {1 - \cos 2\alpha }2 \\ \cos ^2 \alpha &= \frac {1 + \cos 2\alpha }2 \\ \tan ^2 \alpha &= \frac {1 - \cos 2\alpha } {1 + \cos 2\alpha } \end{align}</math> \|} '''覚え方''' 加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。 <math>\cos</math> の倍角の公式 <math>\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta</math> は <math>\pm 1 \mp 2\mathrm{aaa}^2\theta</math> という形を覚えて <math>\sin</math> は符号が <math>-</math>、1 の符号はその逆と覚えます。 2乗の三角関数 <math>\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2},\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}</math> は、<math>\frac{1\pm \cos 2\theta}{2}</math> という形を覚えて、 <math>\sin</math> は符号が<math>-</math> と考えます。 ==三角関数の合成== 三角関数の和 :<math> a \sin \theta + b \cos \theta </math> において、<math>a,b\neq 0</math> のとき <math>\left\{\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right\}^2 + \left\{\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right\}^2 = 1</math> であるので、点 <math>\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)</math> は単位円周上の点なので、 :<math> \begin{cases} \cos \alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin \alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{cases} </math> となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。 :<math>\begin{align} a \sin \theta + b \cos \theta & = \sqrt{a^2+b^2}\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin \theta + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos \theta \right) \\ & = \sqrt{a^2+b^2} \left( \sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha \right)\\ & = \sqrt{a^2+b^2} \sin \left( \theta + \alpha \right)\\ \end{align} </math> '''演習問題''' <math>r,\alpha</math> は <math>r>0,-\pi\le \alpha< \pi</math> を満たすとする。 # <math>\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta</math> を <math>r \sin \left( \theta + \alpha \right)</math> の形に変形せよ。 # <math>2\cos\theta-2\sin\theta</math> を <math>r\cos(\theta+\alpha)</math> の形に変形せよ。 '''解答''' # <math>r = \sqrt{1^2 + \left( - \sqrt{3} \right)^2} = 2</math> より <math>\begin{align} \sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta & = 2 \left( \frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right) \\ & = 2 \left( \sin \theta \cos \frac{\pi}{3} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{3} \right)\\ & = 2 \sin \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right)\\ \end{align} </math> # <math>2\cos\theta-2\sin\theta=2\sqrt 2\left(\frac{1}{\sqrt 2}\cos\theta-\frac{1}{\sqrt 2}\sin\theta\right)</math> <ref>こう変形することで、点 <math>\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right)</math> が単位円周上の点になる</ref>ここで、<math>r\cos(\theta+\alpha) = r(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha)</math> である。 <math>\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt 2},\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt 2}</math> となる <math>\alpha</math> として <math>\alpha = \frac{\pi}{4}</math> がある。<ref>ここで、 <math>\alpha</math> は問題文の制約を満たすように選ぶ。 <math>\alpha</math> に <math>2\pi</math> の整数倍を足した <math>\alpha + 2\pi n</math> を選んでも三角関数の合成はできるが、実用的にも <math>\alpha</math> は簡単なものを選んだ方がいいだろう。</ref>したがって、<math>2\cos\theta-2\sin\theta=2\sqrt 2\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)</math> == 和から積への公式と積から和への公式 == 三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和→積の公式、および積→和の公式が得られる。それぞれ ;積→和の公式 :<math>\begin{align} \sin \alpha \cos \beta &= \frac 1 2 \{\sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta)\}\\ \cos \alpha \sin \beta &= \frac 1 2 \{\sin (\alpha+\beta) - \sin (\alpha-\beta) \}\\ \cos \alpha \cos \beta &= \frac 1 2 \{\cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) \}\\ \sin \alpha \sin \beta &= -\frac 1 2 \{\cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) \} \end{align}</math> ;和→積の公式 :<math>\begin{align} \sin A + \sin B &= 2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\ \sin A - \sin B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right)\\ \cos A + \cos B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\ \cos A - \cos B &= -2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right) \end{align}</math> となる。 ;導出加法定理 :{{式番号\|<math>\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta</math>\|1}} :{{式番号\|<math>\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta</math>\|2}} :{{式番号\|<math>\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta </math>\|3}} :{{式番号\|<math>\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta </math>\|4}} から、 [[高等学校数学II/三角関数#expr1\|(1)]] + [[高等学校数学II/三角関数#expr2\|(2)]] より :<math>\sin \alpha \cos \beta = \frac 1 2 (\sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta))</math> [[高等学校数学II/三角関数#expr1\|(1)]] - [[高等学校数学II/三角関数#expr2\|(2)]] より :<math>\cos \alpha \sin \beta = \frac 1 2 (\sin (\alpha+\beta) - \sin (\alpha-\beta) </math> [[高等学校数学II/三角関数#expr3\|(3)]] + [[高等学校数学II/三角関数#expr4\|(4)]] より :<math>\cos \alpha \cos \beta = \frac 1 2 (\cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) )</math> [[高等学校数学II/三角関数#expr3\|(3)]] - [[高等学校数学II/三角関数#expr4\|(4)]] より :<math>\sin \alpha \sin \beta = -\frac 1 2 (\cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) )</math> が得られる。 <math>A = \alpha + \beta,\, B = \alpha-\beta</math> とおくと、 <math>\alpha = \frac{A+B}{2},\, \beta = \frac{A-B}{2}</math> である。これを積→和の公式に代入すれば、それぞれ :<math>\begin{align} \sin A + \sin B &= 2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\ \sin A - \sin B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right)\\ \cos A + \cos B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\ \cos A - \cos B &= -2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right) \end{align}</math> が得られる。 '''覚え方''' 積→和の公式は、上2つは <math>\alpha</math> と <math>\beta</math> を入れ替えれば同じ式なので、覚えるのは3式でいい。<math>\sin\sin</math> の公式は <math>\cos\cos</math> の公式の符号を2つ <math>-</math> にしたものになっている。和→積の公式は、<math>\rm{aaa}-\rm{aaa}</math> の式は <math>\rm{aaa}+\rm{aaa}</math> の公式の <math>\cos</math> と <math>\sin</math> を逆にした形になっている。 == 三角関数の基本公式 == * 周期性（''n''　は整数） :<math>\begin{align} \sin(\theta+2\pi n)&=\sin \theta \\ \cos(\theta+2\pi n)&=\cos \theta \\ \tan(\theta+2\pi n)&=\tan \theta \end{align}</math> * 偶関数、奇関数 :<math>\begin{align} \sin(-\theta)&=-\sin \theta \\ \cos(-\theta)&=\cos \theta \\ \tan(-\theta)&=-\tan \theta \end{align}</math> * <math>\theta+\pi</math> :<math>\begin{align} \sin(\theta+\pi)&=-\sin \theta \\ \cos(\theta+\pi)&=-\cos \theta \\ \tan(\theta+\pi)&=\tan \theta \end{align}</math> * <math>\pi-\theta</math> :<math>\begin{align} \sin(\pi-\theta)&=\sin \theta \\ \cos(\pi-\theta)&=-\cos \theta \\ \tan(\pi-\theta)&=-\tan \theta \end{align}</math> * <math>\theta+\frac{1}{2}\pi</math> :<math>\begin{align} \sin \left(\theta+\frac{1}{2}\pi \right)&=\cos \theta \\ \cos \left(\theta+\frac{1}{2}\pi \right)&=-\sin \theta \\ \tan \left(\theta+\frac{1}{2}\pi \right)&=-\frac{1}{\tan \theta} \end{align}</math> * <math>\frac{\pi}{2}-\theta</math> :<math>\begin{align} \sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)&=\cos \theta \\ \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)&=\sin \theta \\ \tan \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)&=\frac{1}{\tan \theta} \end{align}</math> * 問題例 ** 問題 :(i) <math>\sin \frac{10}{3} \pi</math> :(ii) <math>\cos \left(- \frac{11}{4} \pi \right)</math> :(iii) <math>\tan \frac{31}{6} \pi</math> :の値を求めよ。 ** 解答 :(i) ::<math> \begin{align} \sin \frac{10}{3} \pi & = \sin \left(\frac{4}{3}\pi + 2 \pi \right) = \sin \frac{4}{3} \pi \\ & = \sin \left(\frac{\pi}{3} + \pi \right) = - \sin \frac{\pi}{3} \\ & = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align} </math> :(ii) ::<math> \begin{align} \cos \left(- \frac{11}{4} \pi \right) & = \cos \frac{11}{4} \pi = \cos \left(\frac{3}{4}\pi + 2 \pi \right)\\ & = \cos \frac{3}{4} \pi = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right)\\ & = - \cos \frac{\pi}{4} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align} </math> :(iii) ::<math> \begin{align} \tan \frac{31}{6} \pi & = \tan \left(\frac{7}{6}\pi + 2 \pi \times 2 \right) = \tan \frac{7}{6} \pi \\ & = \tan \left(\frac{\pi}{6} + \pi \right) = \tan \frac{\pi}{6} \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align} </math> {{コラム\|楽器の音と三角関数\|音も波の一種なので、三角関数で表現できる。オシロスコープでおんさの音を測定すると、正弦波に近い波形が観測される。しかし、実際の楽器の音は、正弦波とは違う。オシロスコープでギターやバイオリンなどの楽器の音を測定すると、正弦波でない波形が繰り返されている。これら実際の楽器の音の波形は、周期の異なる複数個の正弦波を重ね合わせた波形になっている。 :大学などで習うフーリエ解析で、このような正弦波でない波形の解析について詳しく習う。三角関数以外の周期的な関数を、三角関数を介して表現する手法が知られている。 }} {{コラム\|数学者レオンハルト・オイラー\| [[File:Leonhard_Euler_2.jpg\|thumb\| レオンハルト・オイラー(Leonhard Euler 1707年4月15日 - 1783年9月18日)]] ここでは、指数関数、三角関数の定義域を実数としていたが、これらの関数の定義域を複素数まで拡張することができる。(興味のある意欲的な読者は複素関数論の書籍を読んでみるといい) 複素数に拡張した指数関数、三角関数では <math>e^{i\theta} =\cos\theta+i\sin\theta</math> という関係式が成り立つ。ただし、<math>e</math> はネイピア数で <math>e \approx 2.7</math> である。ここで、 <math>\theta</math> に <math>\pi</math> を代入すると <math>e^{i\pi}+1=0</math>となる。この等式は「世界一美しい等式」とも呼ばれ、小説にもなっているので知っている人もいるだろう。 }} == 演習問題 == (1)下の度数法で表された値を弧度法て表せ 1)<math>150</math> 2)<math>720</math> (2)<math>\sin \pi/2</math>の値を求めよ == 脚注 == <references /> {{Wikiversity\|Topic:三角関数\|三角関数}} {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくII さんかくかんすう}} [[Category:高等学校数学II\|さんかくかんすう]] [[カテゴリ:三角関数]]	2005-05-06T11:30:25Z	2023-10-01T14:59:30Z	[ "テンプレート:コラム", "テンプレート:Wikiversity", "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:-", "テンプレート:式番号" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6II/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0
1,913	高等学校数学II/三角関数	ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。右図のように、定点Oを中心として回転する半直線 OP を考える。このときの回転する半直線 OP のことを動径という。半直線 OX を角度の基準とする。この基準となる半直線 OX のことを始線という。動径が時計回りに回転した場合、回転した角度は負であるとし、動径が反時計回りをした場合、回転した角度は正であるとする。負の角度や360°以上回転する角度も考えに入れた角のことを一般角という。いままでは角度の単位として一周を 360° とする度数法を使ってきたことだろう。ここで、弧度法による角度の表し方を学ぶ。半径1 の扇形において弧の長さが 1 のときの中心角を 1 rad、同様に弧の長さがθのときの中心角をθ radと定義する。この定義より 180° =π rad、360° = 2π rad 、さらにとなる。また弧度法の単位(rad)はしばしば省略される。弧度法を用いると、三角関数の微積分を考える際に便利である。(このことは数学IIIで学ぶ) 扇形の半径をr 、弧度法で定義された角度をθとするとき、弧の長さl と面積S はと表せる。一般角が θ {\displaystyle \theta } の半直線と単位円が交わる円を P {\displaystyle \mathrm {P} } とする。このときの P {\displaystyle \mathrm {P} } の座標を ( cos θ , sin θ ) {\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )} とすることで、関数 sin , cos {\displaystyle \sin ,\cos } を定める。また、 tan θ = sin θ cos θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}} とすることで関数 tan θ {\displaystyle \tan \theta } を定める。 tan θ {\displaystyle \tan \theta } は一般角が θ {\displaystyle \theta } の動径の傾きに等しい。また、三角関数の累乗は ( sin θ ) n = sin n θ {\displaystyle (\sin \theta )^{n}=\sin ^{n}\theta } と表記される。 cos θ のグラフは sin θ のグラフを θ軸方向に − π 2 {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}} だけ平行移動したものである。 y = sin θ {\displaystyle y=\sin \theta } や y = cos θ {\displaystyle y=\cos \theta } の形をした曲線のことを正弦曲線 (せいげんきょくせん)という。関数 sin , cos {\displaystyle \sin ,\cos } の値域はどちらも、 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} である。右図のように、角 θ の動径と単位円との交点をPとして、直線OPと直線x=1 との交点を T とすると、 Tの座標はになる。このことを利用して、 y=tan θ のグラフをかくことができる。 y=tan θ のグラフは、下図のようになる。 y=tan θ のグラフでは、θの値が π 2 {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} に近づいていくと、直線 θ = π 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}} に限りなく近づいていく。このように、曲線がある直線に限り無く近づいていくとき、近づかれる直線のほうを漸近線 (ぜんきんせん)という。同様に考え、次の直線も y=tanθ の漸近線である。は y=tanθ の漸近線である。一般に、はy=tanθのグラフの漸近線である。一般角が θ {\displaystyle \theta } の動径は一回転しても等しいので、一般角が θ + 2 π {\displaystyle \theta +2\pi } の動径と等しい。これより三角関数の周期性 sin ( θ + 2 π n ) = sin θ cos ( θ + 2 π n ) = cos θ tan ( θ + 2 π n ) = tan θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi n)&=\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi n)&=\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi n)&=\tan \theta \end{aligned}}} を得る。点 ( cos θ , sin θ ) {\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )} を π {\displaystyle \pi } 回転した点 ( cos ( θ + π ) , sin ( θ + π ) ) {\displaystyle (\cos(\theta +\pi ),\sin(\theta +\pi ))} は原点を中心に点対称移動した点 ( − cos θ , − sin θ ) {\displaystyle (-\cos \theta ,-\sin \theta )} であることから sin ( θ + π ) = − sin θ cos ( θ + π ) = − cos θ tan ( θ + π ) = tan θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=\tan \theta \end{aligned}}} を得る。点 ( cos θ , sin θ ) {\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )} を x {\displaystyle x} 軸で線対称移動移動した点が ( cos ( − θ ) , sin ( − θ ) ) = ( cos θ , − sin θ ) {\displaystyle (\cos(-\theta ),\sin(-\theta ))=(\cos \theta ,-\sin \theta )} であることから sin ( − θ ) = − sin θ cos ( − θ ) = cos θ tan ( − θ ) = − tan θ {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \end{aligned}}} を得る。単位円周上の点 ( cos θ , sin θ ) {\displaystyle (\cos \theta ,\sin \theta )} から原点までの距離は 1 なので、 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1} が成り立つ。また、この式に、 tan θ = sin θ cos θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}} つまり、 sin θ = tan θ cos θ {\displaystyle \sin \theta =\tan \theta \cos \theta } を代入すれば、 1 + tan 2 θ = 1 cos 2 θ {\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta ={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}} が成り立つことがわかる。関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} に対して、0 でない実数 p {\displaystyle p} が存在して、 f ( x + p ) = f ( x ) {\displaystyle f(x+p)=f(x)} となるとき関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は周期関数という。実数 p {\displaystyle p} が上の性質を満たすとき、 − p , 2 p {\displaystyle -p,2p} など、実数 p {\displaystyle p} を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数 p {\displaystyle p} の内、正でかつ最小のものを選び、これを周期と呼ぶ。 sin x , cos x {\displaystyle \sin x,\cos x} は周期を 2 π {\displaystyle 2\pi } とする周期関数であり、 tan x {\displaystyle \tan x} は周期を π {\displaystyle \pi } とする周期関数である。演習問題 k {\displaystyle k} を0でない実数とする。関数 sin k x {\displaystyle \sin kx} の周期を言え解答 sin k ( x + 2 π k ) = sin k x {\displaystyle \sin k\left(x+{\frac {2\pi }{k}}\right)=\sin kx} なので答えは 2 π k {\displaystyle {\frac {2\pi }{k}}} 。これは正であり、周期の最小性の条件を満たしている。関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が f ( − x ) = f ( x ) {\displaystyle f(-x)=f(x)} を満たすとき、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は偶関数という。偶関数は y {\displaystyle y} 軸に関して対称なグラフになる。また、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が f ( − x ) = − f ( x ) {\displaystyle f(-x)=-f(x)} を満たすとき、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。関数 cos θ , x 2 n {\displaystyle \cos \theta ,x^{2n}} ( n {\displaystyle n} は整数)は偶関数となる。関数 sin x , x 2 n + 1 {\displaystyle \sin x,x^{2n+1}} ( n {\displaystyle n} は整数)は奇関数となる。 tan θ {\displaystyle \tan \theta } は偶関数かそれとも奇関数か調べよ。解答なので、 tan θ {\displaystyle \tan \theta } は奇関数である。関数 y = sin ( θ − π 3 ) {\displaystyle y=\sin \left(\theta -{\frac {\pi }{3}}\right)} のグラフは、 y = sin θ {\displaystyle y=\sin \theta } のグラフを θ軸方向に π 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} だけ平行移動させたものになり、周期は 2 π {\displaystyle 2\pi } である。(平行移動しても、周期は変わらず、sinθと同じく周期は 2 π {\displaystyle 2\pi } のままである。) 関数 y=2sin θ のグラフの形は y=sin θ をy軸方向に2倍に拡大したもので、周期は y=sin θ と同じく 2π である。ー1 ≦ sin θ ≦ 1 なので、値域はー2 ≦ 2sin θ ≦ 2 である。関数 y=sin2θ のグラフはy軸を基準にθ軸方向に 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 倍に縮小したものになっている。したがって、周期も 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} 倍になっており、y=sinθ の周期は 2 π {\displaystyle 2\pi } だから、y=sin2θ の周期は π {\displaystyle \pi } である。三角関数の加法定理が成り立つ。証明任意の実数 α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } に対し、単位円周上の点 A ( cos α , sin α ) , B ( cos β , sin β ) {\displaystyle \mathrm {A} (\cos \alpha ,\sin \alpha ),\mathrm {B} (\cos \beta ,\sin \beta )} をとる。このとき、線分 A B {\displaystyle \mathrm {AB} } の長さの2乗 A B 2 {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}} は余弦定理を使うことにより A B 2 = 2 − 2 cos ( α − β ) {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=2-2\cos(\alpha -\beta )} である。次に三平方の定理を使って A B 2 = ( cos α − cos α ) 2 + ( sin α − sin β ) 2 = 2 − 2 ( cos α cos β + sin α sin β ) {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=(\cos \alpha -\cos \alpha )^{2}+(\sin \alpha -\sin \beta )^{2}=2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )} これを整理して cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β {\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta } を得る。 cos ( α + β ) = cos ( α − ( − β ) ) = cos α cos ( − β ) + sin α sin ( − β ) = cos α cos β − sin α sin β {\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha -(-\beta ))=\cos \alpha \cos(-\beta )+\sin \alpha \sin(-\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta } である。以上をまとめて cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β {\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta } を得る。ここで、 sin ( α ± β ) = − cos ( α + π 2 ± β ) = − { cos ( α + π 2 ) cos ( β ) ∓ sin ( α + π 2 ) sin β } = sin α cos β ± cos α sin β {\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=-\cos(\alpha +{\frac {\pi }{2}}\pm \beta )=-\{\cos(\alpha +{\frac {\pi }{2}})\cos(\beta )\mp \sin(\alpha +{\frac {\pi }{2}})\sin \beta \}=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta } さらに、 tan x {\displaystyle \tan x} についても tan ( α ± β ) = sin ( α ± β ) cos ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos α cos β ∓ sin α sin β = sin α cos β cos α cos β ± cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β ∓ sin α sin β cos α cos β = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β {\textstyle {\begin{aligned}\tan(\alpha \pm \beta )&={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos(\alpha \pm \beta )}}\\&={\frac {\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }}\\&={\cfrac {{\cfrac {\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\pm {\cfrac {\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}{{\cfrac {\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}\mp {\cfrac {\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}}\\&={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}\end{aligned}}} が成り立つ。加法定理を用いて以下が証明できる。 sin 2 α = sin ( α + α ) = 2 sin α cos α {\displaystyle \sin 2\alpha =\sin(\alpha +\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha } cos 2 α = cos ( α + α ) = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α {\displaystyle \cos 2\alpha =\cos(\alpha +\alpha )=\cos ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha -1=1-2\sin ^{2}\alpha } tan 2 α = 2 tan α 1 − tan 2 α {\displaystyle \tan 2\alpha ={\frac {2\tan \alpha }{1-\tan ^{2}\alpha }}} 次に、 cos {\displaystyle \cos } の倍角の公式を変形すると sin 2 α = 1 − cos 2 α 2 {\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}} cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 {\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}} である。演習問題解答 sin 15 ∘ = sin ( 45 ∘ − 30 ∘ ) = 6 − 2 4 {\displaystyle \sin 15^{\circ }=\sin(45^{\circ }-30^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}} cos 15 ∘ = cos ( 45 ∘ − 30 ∘ ) = 6 + 2 4 {\displaystyle \cos 15^{\circ }=\cos(45^{\circ }-30^{\circ })={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}}} tan 2 α = sin 2 α cos 2 α = 1 − cos 2 α 1 + cos 2 α {\displaystyle \tan ^{2}\alpha ={\frac {\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }}={\frac {1-\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }}} 今までの定理をまとめると、次のようになる。覚え方加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。 cos {\displaystyle \cos } の倍角の公式 cos 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 sin 2 θ {\displaystyle \cos 2\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta } は ± 1 ∓ 2 a a a 2 θ {\displaystyle \pm 1\mp 2\mathrm {aaa} ^{2}\theta } という形を覚えて sin {\displaystyle \sin } は符号が − {\displaystyle -} 、1 の符号はその逆と覚えます。 2乗の三角関数 sin 2 θ = 1 − cos 2 θ 2 , cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 {\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}},\cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}} は、 1 ± cos 2 θ 2 {\displaystyle {\frac {1\pm \cos 2\theta }{2}}} という形を覚えて、 sin {\displaystyle \sin } は符号が − {\displaystyle -} と考えます。三角関数の和において、 a , b ≠ 0 {\displaystyle a,b\neq 0} のとき { a a 2 + b 2 } 2 + { b a 2 + b 2 } 2 = 1 {\displaystyle \left\{{\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right\}^{2}+\left\{{\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right\}^{2}=1} であるので、点 ( a a 2 + b 2 , b a 2 + b 2 ) {\displaystyle \left({\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},{\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)} は単位円周上の点なので、となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。演習問題 r , α {\displaystyle r,\alpha } は r > 0 , − π ≤ α < π {\displaystyle r>0,-\pi \leq \alpha <\pi } を満たすとする。解答 sin θ − 3 cos θ = 2 ( 1 2 sin θ − 3 2 cos θ ) = 2 ( sin θ cos π 3 − cos θ sin π 3 ) = 2 sin ( θ − π 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin \theta -{\sqrt {3}}\cos \theta &=2\left({\frac {1}{2}}\sin \theta -{\frac {\sqrt {3}}{2}}\cos \theta \right)\\&=2\left(\sin \theta \cos {\frac {\pi }{3}}-\cos \theta \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\\&=2\sin \left(\theta -{\frac {\pi }{3}}\right)\\\end{aligned}}} 三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和→積の公式、および積→和の公式が得られる。それぞれとなる。加法定理から、 (1) + (2) より (1) - (2) より (3) + (4) より (3) - (4) よりが得られる。 A = α + β , B = α − β {\displaystyle A=\alpha +\beta ,\,B=\alpha -\beta } とおくと、 α = A + B 2 , β = A − B 2 {\displaystyle \alpha ={\frac {A+B}{2}},\,\beta ={\frac {A-B}{2}}} である。これを積→和の公式に代入すれば、それぞれが得られる。覚え方積→和の公式は、上2つは α {\displaystyle \alpha } と β {\displaystyle \beta } を入れ替えれば同じ式なので、覚えるのは3式でいい。 sin sin {\displaystyle \sin \sin } の公式は cos cos {\displaystyle \cos \cos } の公式の符号を2つ − {\displaystyle -} にしたものになっている。和→積の公式は、 a a a − a a a {\displaystyle {\rm {{aaa}-{\rm {aaa}}}}} の式は a a a + a a a {\displaystyle {\rm {{aaa}+{\rm {aaa}}}}} の公式の cos {\displaystyle \cos } と sin {\displaystyle \sin } を逆にした形になっている。 (1)下の度数法で表された値を弧度法て表せ 1) 150 {\displaystyle 150} 2) 720 {\displaystyle 720} (2) sin π / 2 {\displaystyle \sin \pi /2} の値を求めよ	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "右図のように、定点Oを中心として回転する半直線 OP を考える。このときの回転する半直線 OP のことを動径という。", "title": "一般角" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "半直線 OX を角度の基準とする。この基準となる半直線 OX のことを始線という。", "title": "一般角" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "動径が時計回りに回転した場合、回転した角度は負であるとし、動径が反時計回りをした場合、回転した角度は正であるとする。", 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"paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "はy=tanθのグラフの漸近線である。", "title": "三角関数" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "一般角が θ {\\displaystyle \\theta } の動径は一回転しても等しいので、一般角が θ + 2 π {\\displaystyle \\theta +2\\pi } の動径と等しい。これより三角関数の周期性", "title": "三角関数の性質" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "sin ( θ + 2 π n ) = sin θ cos ( θ + 2 π n ) = cos θ tan ( θ + 2 π n ) = tan θ {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\sin(\\theta +2\\pi n)&=\\sin \\theta \\\\\\cos(\\theta +2\\pi n)&=\\cos \\theta \\\\\\tan(\\theta +2\\pi n)&=\\tan \\theta \\end{aligned}}}", "title": "三角関数の性質" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "を得る。", "title": "三角関数の性質" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "点 ( cos θ , sin θ ) {\\displaystyle (\\cos \\theta ,\\sin \\theta )} を π {\\displaystyle \\pi } 回転した点 ( cos ( θ + π ) , sin ( θ + π ) ) {\\displaystyle (\\cos(\\theta +\\pi ),\\sin(\\theta +\\pi ))} は原点を中心に点対称移動した点 ( − cos θ , − sin θ ) {\\displaystyle (-\\cos \\theta ,-\\sin \\theta )} であることから", 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"三角関数の性質" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "を得る。", "title": "三角関数の性質" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "単位円周上の点 ( cos θ , sin θ ) {\\displaystyle (\\cos \\theta ,\\sin \\theta )} から原点までの距離は 1 なので、 sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\\displaystyle \\sin ^{2}\\theta +\\cos ^{2}\\theta =1} が成り立つ。", "title": "三角関数の性質" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "また、この式に、 tan θ = sin θ cos θ {\\displaystyle \\tan \\theta ={\\frac {\\sin \\theta }{\\cos \\theta }}} つまり、 sin θ = tan θ cos θ {\\displaystyle \\sin \\theta =\\tan \\theta \\cos \\theta } を代入すれば、 1 + tan 2 θ = 1 cos 2 θ {\\displaystyle 1+\\tan ^{2}\\theta ={\\frac {1}{\\cos ^{2}\\theta }}} が成り立つことがわかる。", "title": "三角関数の性質" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} に対して、0 でない実数 p {\\displaystyle p} が存在して、 f ( x + p ) = f ( x ) {\\displaystyle f(x+p)=f(x)} となるとき関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} は周期関数という。実数 p {\\displaystyle p} が上の性質を満たすとき、 − p , 2 p {\\displaystyle -p,2p} など、実数 p {\\displaystyle p} を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数 p {\\displaystyle p} の内、正でかつ最小のものを選び、これを周期と呼ぶ。", "title": "周期関数" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "sin x , cos x {\\displaystyle \\sin x,\\cos x} は周期を 2 π {\\displaystyle 2\\pi } とする周期関数であり、 tan x {\\displaystyle \\tan x} は周期を π {\\displaystyle \\pi } とする周期関数である。", "title": "周期関数" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "周期関数" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "k {\\displaystyle k} を0でない実数とする。関数 sin k x {\\displaystyle \\sin kx} の周期を言え", "title": "周期関数" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "解答", "title": "周期関数" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "sin k ( x + 2 π k ) = sin k x {\\displaystyle \\sin k\\left(x+{\\frac {2\\pi }{k}}\\right)=\\sin kx} なので答えは 2 π k {\\displaystyle {\\frac {2\\pi }{k}}} 。これは正であり、周期の最小性の条件を満たしている。", "title": "周期関数" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} が f ( − x ) = f ( x ) {\\displaystyle f(-x)=f(x)} を満たすとき、関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} は偶関数という。偶関数は y {\\displaystyle y} 軸に関して対称なグラフになる。", "title": "偶関数と奇関数" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "また、関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} が f ( − x ) = − f ( x ) {\\displaystyle f(-x)=-f(x)} を満たすとき、関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。", "title": "偶関数と奇関数" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "関数 cos θ , x 2 n {\\displaystyle \\cos \\theta ,x^{2n}} ( n {\\displaystyle n} は整数)は偶関数となる。", "title": "偶関数と奇関数" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "関数 sin x , x 2 n + 1 {\\displaystyle \\sin x,x^{2n+1}} ( n {\\displaystyle n} は整数)は奇関数となる。", "title": "偶関数と奇関数" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "tan θ {\\displaystyle \\tan \\theta } は偶関数かそれとも奇関数か調べよ。", "title": "偶関数と奇関数" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "解答", "title": "偶関数と奇関数" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "なので、 tan θ {\\displaystyle \\tan \\theta } は奇関数である。", "title": "偶関数と奇関数" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "関数 y = sin ( θ − π 3 ) {\\displaystyle y=\\sin \\left(\\theta -{\\frac {\\pi }{3}}\\right)} のグラフは、 y = sin θ {\\displaystyle y=\\sin \\theta } のグラフを θ軸方向に π 3 {\\displaystyle {\\frac {\\pi }{3}}} だけ平行移動させたものになり、周期は 2 π {\\displaystyle 2\\pi } である。(平行移動しても、周期は変わらず、sinθと同じく周期は 2 π {\\displaystyle 2\\pi } のままである。)", "title": "いろいろな三角関数" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "", "title": "いろいろな三角関数" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "関数 y=2sin θ のグラフの形は y=sin θ をy軸方向に2倍に拡大したもので、周期は y=sin θ と同じく 2π である。", "title": "いろいろな三角関数" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "ー1 ≦ sin θ ≦ 1 なので、", "title": "いろいろな三角関数" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "値域はー2 ≦ 2sin θ ≦ 2 である。", "title": "いろいろな三角関数" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "関数 y=sin2θ のグラフはy軸を基準にθ軸方向に 1 2 {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}} 倍に縮小したものになっている。", "title": "いろいろな三角関数" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "したがって、周期も 1 2 {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}} 倍になっており、y=sinθ の周期は 2 π {\\displaystyle 2\\pi } だから、y=sin2θ の周期は π {\\displaystyle \\pi } である。", "title": "いろいろな三角関数" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "三角関数の加法定理", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "が成り立つ。", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "証明", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "任意の実数 α , β {\\displaystyle \\alpha ,\\beta } に対し、単位円周上の点 A ( cos α , sin α ) , B ( cos β , sin β ) {\\displaystyle \\mathrm {A} (\\cos \\alpha ,\\sin \\alpha ),\\mathrm {B} (\\cos \\beta ,\\sin \\beta )} をとる。このとき、線分 A B {\\displaystyle \\mathrm {AB} } の長さの2乗 A B 2 {\\displaystyle \\mathrm {AB} ^{2}} は余弦定理を使うことにより", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "A B 2 = 2 − 2 cos ( α − β ) {\\displaystyle \\mathrm {AB} ^{2}=2-2\\cos(\\alpha -\\beta )}", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "である。次に三平方の定理を使って", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "A B 2 = ( cos α − cos α ) 2 + ( sin α − sin β ) 2 = 2 − 2 ( cos α cos β + sin α sin β ) {\\displaystyle \\mathrm {AB} ^{2}=(\\cos \\alpha -\\cos \\alpha )^{2}+(\\sin \\alpha -\\sin \\beta )^{2}=2-2(\\cos \\alpha \\cos \\beta +\\sin \\alpha \\sin \\beta )}", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "これを整理して", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β {\\displaystyle \\cos(\\alpha -\\beta )=\\cos \\alpha \\cos \\beta +\\sin \\alpha \\sin \\beta }", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "を得る。", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "cos ( α + β ) = cos ( α − ( − β ) ) = cos α cos ( − β ) + sin α sin ( − β ) = cos α cos β − sin α sin β {\\displaystyle \\cos(\\alpha +\\beta )=\\cos(\\alpha -(-\\beta ))=\\cos \\alpha \\cos(-\\beta )+\\sin \\alpha \\sin(-\\beta )=\\cos \\alpha \\cos \\beta -\\sin \\alpha \\sin \\beta }", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "である。", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "以上をまとめて", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "cos ( α ± β ) = cos α cos β ∓ sin α sin β {\\displaystyle \\cos(\\alpha \\pm \\beta )=\\cos \\alpha \\cos \\beta \\mp \\sin \\alpha \\sin \\beta }", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "を得る。", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "ここで、", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "sin ( α ± β ) = − cos ( α + π 2 ± β ) = − { cos ( α + π 2 ) cos ( β ) ∓ sin ( α + π 2 ) sin β } = sin α cos β ± cos α sin β {\\displaystyle \\sin(\\alpha \\pm \\beta )=-\\cos(\\alpha +{\\frac {\\pi }{2}}\\pm \\beta )=-\\{\\cos(\\alpha +{\\frac {\\pi }{2}})\\cos(\\beta )\\mp \\sin(\\alpha +{\\frac {\\pi }{2}})\\sin \\beta \\}=\\sin \\alpha \\cos \\beta \\pm \\cos \\alpha \\sin \\beta }", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "さらに、 tan x {\\displaystyle \\tan x} についても", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "tan ( α ± β ) = sin ( α ± β ) cos ( α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos α cos β ∓ sin α sin β = sin α cos β cos α cos β ± cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β ∓ sin α sin β cos α cos β = tan α ± tan β 1 ∓ tan α tan β {\\textstyle {\\begin{aligned}\\tan(\\alpha \\pm \\beta )&={\\frac {\\sin(\\alpha \\pm \\beta )}{\\cos(\\alpha \\pm \\beta )}}\\\\&={\\frac {\\sin \\alpha \\cos \\beta \\pm \\cos \\alpha \\sin \\beta }{\\cos \\alpha \\cos \\beta \\mp \\sin \\alpha \\sin \\beta }}\\\\&={\\cfrac {{\\cfrac {\\sin \\alpha \\cos \\beta }{\\cos \\alpha \\cos \\beta }}\\pm {\\cfrac {\\cos \\alpha \\sin \\beta }{\\cos \\alpha \\cos \\beta }}}{{\\cfrac {\\cos \\alpha \\cos \\beta }{\\cos \\alpha \\cos \\beta }}\\mp {\\cfrac {\\sin \\alpha \\sin \\beta }{\\cos \\alpha \\cos \\beta }}}}\\\\&={\\frac {\\tan \\alpha \\pm \\tan \\beta }{1\\mp \\tan \\alpha \\tan \\beta }}\\end{aligned}}}", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "が成り立つ。", "title": "加法定理" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "加法定理を用いて以下が証明できる。", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "sin 2 α = sin ( α + α ) = 2 sin α cos α {\\displaystyle \\sin 2\\alpha =\\sin(\\alpha +\\alpha )=2\\sin \\alpha \\cos \\alpha }", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "cos 2 α = cos ( α + α ) = cos 2 α − sin 2 α = 2 cos 2 α − 1 = 1 − 2 sin 2 α {\\displaystyle \\cos 2\\alpha =\\cos(\\alpha +\\alpha )=\\cos ^{2}\\alpha -\\sin ^{2}\\alpha =2\\cos ^{2}\\alpha -1=1-2\\sin ^{2}\\alpha }", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "tan 2 α = 2 tan α 1 − tan 2 α {\\displaystyle \\tan 2\\alpha ={\\frac {2\\tan \\alpha }{1-\\tan ^{2}\\alpha }}}", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "次に、 cos {\\displaystyle \\cos } の倍角の公式を変形すると", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "sin 2 α = 1 − cos 2 α 2 {\\displaystyle \\sin ^{2}\\alpha ={\\frac {1-\\cos 2\\alpha }{2}}}", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 {\\displaystyle \\cos ^{2}\\alpha ={\\frac {1+\\cos 2\\alpha }{2}}}", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "である。", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "解答", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "sin 15 ∘ = sin ( 45 ∘ − 30 ∘ ) = 6 − 2 4 {\\displaystyle \\sin 15^{\\circ }=\\sin(45^{\\circ }-30^{\\circ })={\\frac {{\\sqrt {6}}-{\\sqrt {2}}}{4}}}", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "cos 15 ∘ = cos ( 45 ∘ − 30 ∘ ) = 6 + 2 4 {\\displaystyle \\cos 15^{\\circ }=\\cos(45^{\\circ }-30^{\\circ })={\\frac {{\\sqrt {6}}+{\\sqrt {2}}}{4}}}", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "tan 2 α = sin 2 α cos 2 α = 1 − cos 2 α 1 + cos 2 α {\\displaystyle \\tan ^{2}\\alpha ={\\frac {\\sin ^{2}\\alpha }{\\cos ^{2}\\alpha }}={\\frac {1-\\cos 2\\alpha }{1+\\cos 2\\alpha }}}", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "今までの定理をまとめると、次のようになる。", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "覚え方", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "cos {\\displaystyle \\cos } の倍角の公式 cos 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 = 1 − 2 sin 2 θ {\\displaystyle \\cos 2\\theta =2\\cos ^{2}\\theta -1=1-2\\sin ^{2}\\theta } は ± 1 ∓ 2 a a a 2 θ {\\displaystyle \\pm 1\\mp 2\\mathrm {aaa} ^{2}\\theta } という形を覚えて sin {\\displaystyle \\sin } は符号が − {\\displaystyle -} 、1 の符号はその逆と覚えます。", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "2乗の三角関数 sin 2 θ = 1 − cos 2 θ 2 , cos 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 {\\displaystyle \\sin ^{2}\\theta ={\\frac {1-\\cos 2\\theta }{2}},\\cos ^{2}\\theta ={\\frac {1+\\cos 2\\theta }{2}}} は、 1 ± cos 2 θ 2 {\\displaystyle {\\frac {1\\pm \\cos 2\\theta }{2}}} という形を覚えて、 sin {\\displaystyle \\sin } は符号が − {\\displaystyle -} と考えます。", "title": "倍角の公式" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "三角関数の和", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "において、 a , b ≠ 0 {\\displaystyle a,b\\neq 0} のとき", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "{ a a 2 + b 2 } 2 + { b a 2 + b 2 } 2 = 1 {\\displaystyle \\left\\{{\\dfrac {a}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\right\\}^{2}+\\left\\{{\\dfrac {b}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\right\\}^{2}=1} であるので、点 ( a a 2 + b 2 , b a 2 + b 2 ) {\\displaystyle \\left({\\dfrac {a}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},{\\dfrac {b}{\\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\\right)} は単位円周上の点なので、", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "r , α {\\displaystyle r,\\alpha } は r > 0 , − π ≤ α < π {\\displaystyle r>0,-\\pi \\leq \\alpha <\\pi } を満たすとする。", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "解答", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "sin θ − 3 cos θ = 2 ( 1 2 sin θ − 3 2 cos θ ) = 2 ( sin θ cos π 3 − cos θ sin π 3 ) = 2 sin ( θ − π 3 ) {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\sin \\theta -{\\sqrt {3}}\\cos \\theta &=2\\left({\\frac {1}{2}}\\sin \\theta -{\\frac {\\sqrt {3}}{2}}\\cos \\theta \\right)\\\\&=2\\left(\\sin \\theta \\cos {\\frac {\\pi }{3}}-\\cos \\theta \\sin {\\frac {\\pi }{3}}\\right)\\\\&=2\\sin \\left(\\theta -{\\frac {\\pi }{3}}\\right)\\\\\\end{aligned}}}", "title": "三角関数の合成" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和→積の公式、および積→和の公式が得られる。それぞれ", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "加法定理", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "から、 (1) + (2) より", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "(1) - (2) より", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "(3) + (4) より", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": "(3) - (4) より", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "A = α + β , B = α − β {\\displaystyle A=\\alpha +\\beta ,\\,B=\\alpha -\\beta } とおくと、 α = A + B 2 , β = A − B 2 {\\displaystyle \\alpha ={\\frac {A+B}{2}},\\,\\beta ={\\frac {A-B}{2}}} である。これを積→和の公式に代入すれば、それぞれ", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 114, "tag": "p", "text": "覚え方", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 115, "tag": "p", "text": "積→和の公式は、上2つは α {\\displaystyle \\alpha } と β {\\displaystyle \\beta } を入れ替えれば同じ式なので、覚えるのは3式でいい。 sin sin {\\displaystyle \\sin \\sin } の公式は cos cos {\\displaystyle \\cos \\cos } の公式の符号を2つ − {\\displaystyle -} にしたものになっている。", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 116, "tag": "p", "text": "和→積の公式は、 a a a − a a a {\\displaystyle {\\rm {{aaa}-{\\rm {aaa}}}}} の式は a a a + a a a {\\displaystyle {\\rm {{aaa}+{\\rm {aaa}}}}} の公式の cos {\\displaystyle \\cos } と sin {\\displaystyle \\sin } を逆にした形になっている。", "title": "和から積への公式と積から和への公式" }, { "paragraph_id": 117, "tag": "p", "text": "", "title": "三角関数の基本公式" }, { "paragraph_id": 118, "tag": "p", "text": "", "title": "三角関数の基本公式" }, { "paragraph_id": 119, "tag": "p", "text": "(1)下の度数法で表された値を弧度法て表せ", "title": "演習問題" }, { "paragraph_id": 120, "tag": "p", "text": "1) 150 {\\displaystyle 150} 2) 720 {\\displaystyle 720}", "title": "演習問題" }, { "paragraph_id": 121, "tag": "p", "text": "(2) sin π / 2 {\\displaystyle \\sin \\pi /2} の値を求めよ", "title": "演習問題" } ]	ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。	{{Pathnav\|高等学校の学習\|高等学校数学\|高等学校数学II\|frame=1}} ここでは三角関数の定義をしたあと、三角関数の基本的な性質、加法定理、三角関数の応用について学ぶ。三角関数は波やベクトルの内積、フーリエ変換などさまざまな分野で応用されている。 == 一般角 == [[File:General angle of trigonometric functions japanese.svg\|thumb\|300px\|]] [[File:Negative general angle.svg\|thumb\|300px]] 右図のように、定点Oを中心として回転する半直線 OP を考える。このときの回転する半直線 OP のことを'''動径'''という。半直線 OX を角度の基準とする。この基準となる半直線 OX のことを'''始線'''という。動径が時計回りに回転した場合、回転した角度は負であるとし、動径が反時計回りをした場合、回転した角度は正であるとする。負の角度や360°以上回転する角度も考えに入れた角のことを'''一般角'''という。 {{-}} == 弧度法 == ==== ラジアン ==== いままでは角度の単位として一周を 360° とする度数法を使ってきたことだろう。ここで、弧度法による角度の表し方を学ぶ。 [[File:1radian japanese.svg\|thumb\|300px]] 半径1 の扇形において弧の長さが 1 のときの中心角を 1 rad、同様に弧の長さがθのときの中心角をθ radと定義する。この定義より 180° =π rad、360° = 2π rad 、さらに :<math>\begin{align}1 ^{\circ} &=\frac{\pi}{180}\, \mathrm{rad} \\ \\ 1\, \mathrm{rad} &= \frac {180}{\pi} ^{\circ} \approx 57.3^{\circ}\end{align}</math> となる。また弧度法の単位（rad）はしばしば省略される。弧度法を用いると、三角関数の微積分を考える際に便利である。（このことは数学IIIで学ぶ） ==== 扇形の弧の長さと面積 ==== 扇形の半径を''r'' 、弧度法で定義された角度をθとするとき、弧の長さ''l'' と面積''S'' は :<math>\begin{align}l&=r\theta, \\ \\ S&=\frac{1}{2}r^{2}\theta=\frac{1}{2}rl\end{align}</math> と表せる。 == 三角関数 == ==== sin と cos のグラフ ==== [[File:Sin and cos general angle introduction.svg\|thumb\|300px\|]] 一般角が <math>\theta</math> の半直線と単位円が交わる円を <math>\mathrm P</math> とする。このときの <math>\mathrm P</math> の座標を<math>(\cos\theta,\sin\theta)</math> とすることで、関数 <math>\sin,\cos</math> を定める。また、<math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math> とすることで関数 <math>\tan\theta</math> を定める。<math>\tan\theta</math> は一般角が <math>\theta</math> の動径の傾きに等しい。 * <math>\sin</math> はサイン(sine) と発音され、正弦とも呼ばれる。 * <math>\cos</math> コサイン(cosine) と発音され、余弦とも呼ばれる。 * <math>\tan</math> はタンジェント(tangent) と発音され、正接とも呼ばれる。また、三角関数の累乗は <math>(\sin\theta)^n = \sin^n\theta</math> と表記される。[[ファイル:Circle cos sin.gif\|サムネイル\|中央\|300x300ピクセル]] [[File:Y=sin(theta).svg\|thumb\|500px\|left]] [[File:Y=cos(theta).svg\|thumb\|500px\|left]] {{-}} cos θ のグラフは sin θ のグラフを θ軸方向に <math> - \frac{ \pi }{2} </math>だけ平行移動したものである。 <math>y = \sin\theta</math> や <math>y = \cos\theta</math> の形をした曲線のことを '''正弦曲線''' （せいげんきょくせん）という。関数 <math>\sin,\cos</math> の値域はどちらも、<math>[-1,1]</math> である。 {{-}} ==== tan のグラフ ==== [[File:Tangent function introduction.svg\|thumb\|300px\|]] 右図のように、角 θ の動径と単位円との交点をPとして、直線OPと直線x＝1 との交点を T とすると、 Tの座標は : T (1, tan θ) になる。このことを利用して、 y＝tan θ のグラフをかくことができる。 {{-}} y=tan θ のグラフは、下図のようになる。<br> [[File:Y=tan(x).svg\|500px\|]] y=tan θ のグラフでは、θの値が <math> \frac{ \pi }{2} </math> に近づいていくと、直線 <math> \theta = \frac{ \pi }{2} </math> に限りなく近づいていく。このように、曲線がある直線に限り無く近づいていくとき、近づかれる直線のほうを '''漸近線''' （ぜんきんせん）という。同様に考え、次の直線も y＝tanθ の漸近線である。 :<math> \cdots , \quad \theta = - \frac{ 3}{2} \pi , \quad \theta = - \frac{ 1}{2} \pi , \quad \theta = \frac{ 1}{2} \pi , \quad \frac{ 3}{2} \pi , \cdots </math> は y＝tanθ の漸近線である。一般に、 :直線 <math> \quad \theta = \frac{ \pi }{2} + n \pi </math> 　　（nは整数）はy=tanθのグラフの漸近線である。<ref>高校・大学入試では使われないが、<math>\sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta},\cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}(=\frac{\cos\theta}{\sin\theta})</math> として定義される三角関数を使うところもある。これらの関数はそれぞれ、セカント、コセカント、コタンジェントと呼ばれる。</ref> == 三角関数の性質 == 一般角が <math>\theta</math> の動径は一回転しても等しいので、一般角が <math>\theta+2\pi</math> の動径と等しい。これより三角関数の周期性 <math>\begin{align} \sin(\theta+2\pi n)&=\sin \theta \\ \cos(\theta+2\pi n)&=\cos \theta \\ \tan(\theta+2\pi n)&=\tan \theta \end{align}</math> を得る。点 <math>(\cos\theta,\sin\theta)</math> を <math>\pi</math> 回転した点 <math>(\cos(\theta+\pi),\sin(\theta+\pi))</math> は原点を中心に点対称移動した点　<math>(-\cos\theta,-\sin\theta)</math> であることから <math>\begin{align} \sin(\theta + \pi) &= - \sin \theta \\ \cos(\theta + \pi) &= - \cos \theta \\ \tan(\theta + \pi) &= \tan \theta \end{align}</math> を得る。点 <math>(\cos\theta,\sin\theta)</math> を <math>x</math> 軸で線対称移動移動した点が <math>(\cos (-\theta),\sin(-\theta)) = (\cos\theta,-\sin\theta)</math> であることから <math>\begin{align}\sin(-\theta) &= -\sin\theta \\ \cos(-\theta) &= \cos\theta \\ \tan(- \theta) &= -\tan\theta\end{align}</math> を得る。 * 問題例 ** 問題 * ::<math>\begin{align} & \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) \\ & \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) \\ & \sin(\frac{\pi}{2} -\theta) \\ & \cos(\frac{\pi}{2}- \theta ) \end{align}</math> : を計算せよ。 * 解答 : 角θに対応する点を P(x, y) とする。このとき、角 θ + 90°に対応する点を P'(x', y') とすると、この点の座標は、P'(-y, x) に対応する。このことから、P'について sin, cos を計算すると、 :: <math>\begin{align} x' &= -y \\ &= \cos (\theta + \frac{\pi}{2} )\\ &= -\sin\theta \\ y' &= x \\ &= \sin (\theta + \frac{\pi}{2} ) \\ &= \cos\theta \end{align}</math> : が得られる。 : 同様にして、90°- θ に対応する点を P' '(x' ', y' ') とすると、 :: <math>\begin{align} x'' &= y \\ y'' &= x \end{align}</math> : となる。よって、 :: <math>\begin{align} \sin (\frac{\pi}{2} - \theta) &= \cos\theta \\ \cos (\frac{\pi}{2} - \theta) &= \sin\theta \end{align}</math> : が得られる。単位円周上の点 <math>(\cos\theta,\sin\theta)</math> から原点までの距離は 1 なので、 <math>\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1</math> が成り立つ。また、この式に、 <math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math> つまり、 <math>\sin\theta = \tan\theta \cos\theta</math> を代入すれば、<math>1+\tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}</math> が成り立つことがわかる。 == 周期関数 == 関数 <math>f(x)</math> に対して、0 でない実数 <math>p</math> が存在して、<math>f(x+p) =f(x)</math> となるとき関数 <math>f(x)</math> は周期関数という。実数 <math>p</math> が上の性質を満たすとき、<math>-p,2p</math> など、実数 <math>p</math> を0を除く整数倍した数も上の性質を満たす。そこで、周期関数を特徴づける量として、上の性質を満たす実数 <math>p</math> の内、正でかつ最小のものを選び、これを'''周期'''と呼ぶ。 <math>\sin x, \cos x</math> は周期を <math>2\pi</math> とする周期関数であり、<math>\tan x</math> は周期を <math>\pi</math> とする周期関数である。 '''演習問題''' <math>k</math> を0でない実数とする。関数 <math>\sin kx</math> の周期を言え '''解答''' <math>\sin k\left(x+\frac{2\pi}{k}\right) = \sin kx</math> なので答えは <math>\frac{2\pi}{k}</math> 。これは正であり、周期の最小性の条件を満たしている。 == 偶関数と奇関数 == 関数 <math>f(x)</math> が <math>f(-x)=f(x)</math> を満たすとき、関数 <math>f(x)</math> は偶関数という。偶関数は <math>y</math> 軸に関して対称なグラフになる。また、関数 <math>f(x)</math> が <math>f(-x)=-f(x)</math> を満たすとき、関数 <math>f(x)</math> は奇関数という。偶関数は原点に関して対象なグラフになる。関数 <math>\cos\theta,x^{2n}</math> (<math>n</math> は整数)は偶関数となる。関数 <math>\sin x , x^{2n+1}</math> (<math>n</math> は整数)は奇関数となる。 ;演習問題 <math>\tan\theta</math> は偶関数かそれとも奇関数か調べよ。 '''解答''' :<math> \tan( - \theta ) = \frac{\sin(- \theta)} {\cos(-\theta)} = \frac{- \sin(\theta)} {\cos(\theta)} = - \frac{\sin(\theta)} {\cos(\theta)} = - \tan \theta</math> なので、 <math>\tan\theta</math> は奇関数である。<ref>一般に、関数 <math>f(x) </math> に対し、<math>f(x) </math> が偶関数か奇関数か調べるには <math>f(-x)</math> が <math>f(x)</math> または <math>-f(x)</math> のどちらに等しいか調べればよい。また、どちらとも等しくない場合、関数 <math>f(x) </math> は偶関数でも奇関数でもない。</ref> == いろいろな三角関数 == [[File:Y=sin(theta-pi div 3).svg\|thumb\|550px\|]] 関数 <math> y=\sin \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right)</math> のグラフは、<math> y=\sin \theta </math>のグラフを θ軸方向に <math> \frac{\pi}{3} </math> だけ平行移動させたものになり、周期は <math> 2 \pi </math> である。（平行移動しても、周期は変わらず、sinθと同じく周期は <math> 2 \pi </math> のままである。） {{-}} [[File:Y=2sin(theta).svg\|thumb\|550px]] 関数 y＝2sin θ のグラフの形は y＝sin θ をy軸方向に2倍に拡大したもので、周期は y＝sin θ と同じく 2π である。ー1 ≦ sin θ ≦ 1　　なので、値域は　　ー2 ≦ 2sin θ ≦ 2　　である。 {{-}} {{-}} [[File:Y=sin(2 theta) and y=sin(theta).svg\|thumb\|750px]] {{-}} 関数 y＝sin2θ のグラフはy軸を基準にθ軸方向に <math> \frac{1}{2}</math> 倍に縮小したものになっている。したがって、周期も <math> \frac{1}{2}</math> 倍になっており、y=sinθ の周期は <math> 2 \pi </math> だから、y=sin2θ の周期は <math> \pi </math> である。 == 加法定理 == 三角関数の加法定理 :<math>\begin{align} \sin (\alpha \pm \beta) &= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha \pm \beta) &= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \end{align}</math> が成り立つ。 '''証明''' 任意の実数 <math>\alpha,\beta</math> に対し、単位円周上の点 <math>\mathrm{A}(\cos\alpha,\sin\alpha),\mathrm{B}(\cos\beta,\sin\beta)</math> をとる。このとき、線分 <math>\mathrm{AB}</math> の長さの2乗 <math>\mathrm{AB}^2</math> は余弦定理を使うことにより <math>\mathrm{AB}^2 = 2-2\cos(\alpha-\beta)</math> である。次に三平方の定理を使って <math>\mathrm{AB}^2 = (\cos\alpha -\cos\alpha)^2 + (\sin\alpha-\sin\beta)^2 = 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta)</math> これを整理して <math>\cos(\alpha - \beta)= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta</math> を得る。 <math>\cos(\alpha+\beta) = \cos(\alpha-(-\beta)) = \cos\alpha\cos(-\beta) + \sin\alpha\sin(-\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta</math> である。以上をまとめて <math>\cos (\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta</math> を得る。ここで、 <math>\sin(\alpha \pm \beta) = -\cos(\alpha +\frac{\pi}{2} \pm \beta) = -\{\cos(\alpha + \frac{\pi}{2})\cos(\beta) \mp \sin(\alpha+\frac{\pi}{2})\sin\beta \} = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta</math><ref>「咲いた(sin)コスモス(cos)コスモス(cos)咲いた(sin)」「コスモス(cos)コスモス(cos)咲いた(sin)咲いた(sin)」という覚えかたがある</ref> さらに、<math>\tan x</math> についても <math display="inline">\begin{align} \tan (\alpha\pm\beta) &= \frac {\sin (\alpha\pm\beta) } {\cos (\alpha\pm\beta) } \\ &= \frac { \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta } \\ &= \cfrac { \cfrac { \sin \alpha \cos \beta } { \cos \alpha \cos \beta } \pm \cfrac { \cos \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta } } { \cfrac { \cos \alpha \cos \beta } { \cos \alpha \cos \beta } \mp \cfrac { \sin \alpha \sin \beta } { \cos \alpha \cos \beta } } \\ &= \frac { \tan \alpha \pm \tan \beta } { 1 \mp \tan \alpha \tan \beta } \end{align}</math> が成り立つ。 == 倍角の公式 == 加法定理を用いて以下が証明できる。 <math>\sin 2\alpha = \sin(\alpha + \alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha</math> <math>\cos 2\alpha = \cos(\alpha+\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha</math> <math>\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1-\tan^2\alpha}</math> 次に、 <math>\cos</math> の倍角の公式を変形すると <math>\sin^2\alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2}</math> <math>\cos^2\alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}</math> である。 '''演習問題''' # <math>\sin 15^\circ,\cos 15^\circ</math> を求めよ # <math>\tan^2 \alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}</math> を示せ '''解答''' <math>\sin 15^\circ = \sin(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt 6 - \sqrt 2}{4}</math> <math>\cos 15^\circ = \cos(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt 6 + \sqrt 2}{4}</math> <math>\tan ^2\alpha = \frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} = \frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}</math> 今までの定理をまとめると、次のようになる。 {\| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:yellow"\|'''三角関数の加法定理''' \|- \|style="padding:5px"\| :<math>\begin{align} \sin (\alpha \pm \beta) &= \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha \pm \beta) &= \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta\\ \tan (\alpha \pm \beta) &= \frac { \tan \alpha \pm \tan \beta } { 1 \mp \tan \alpha \tan \beta } \\ \end{align}</math> \|} {\| style="border:2px solid　greenyellow;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:greenyellow"\|'''2倍角の公式''' \|- \|style="padding:5px"\| :<math>\begin{align} \sin 2 \alpha &= 2 \sin \alpha \cos \alpha \\ \cos 2 \alpha &= \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha = 1 - 2 \sin ^2 \alpha = 2 \cos ^2 \alpha - 1 \\ \tan 2 \alpha &= \frac { 2 \tan \alpha } { 1 - \tan ^2 \alpha } \end{align}</math> \|} {\| style="border:2px solid　skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|三角関数の2乗 \|- \|style="padding:5px"\| :<math>\begin{align} \sin ^2 \alpha &= \frac {1 - \cos 2\alpha }2 \\ \cos ^2 \alpha &= \frac {1 + \cos 2\alpha }2 \\ \tan ^2 \alpha &= \frac {1 - \cos 2\alpha } {1 + \cos 2\alpha } \end{align}</math> \|} '''覚え方''' 加法定理は「咲いたコスモスコスモス咲いた」、「コスモスコスモス咲いた咲いた」という語呂合せがあります。 <math>\cos</math> の倍角の公式 <math>\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta</math> は <math>\pm 1 \mp 2\mathrm{aaa}^2\theta</math> という形を覚えて <math>\sin</math> は符号が <math>-</math>、1 の符号はその逆と覚えます。 2乗の三角関数 <math>\sin^2\theta = \frac{1-\cos 2\theta}{2},\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}</math> は、<math>\frac{1\pm \cos 2\theta}{2}</math> という形を覚えて、 <math>\sin</math> は符号が<math>-</math> と考えます。 ==三角関数の合成== 三角関数の和 :<math> a \sin \theta + b \cos \theta </math> において、<math>a,b\neq 0</math> のとき <math>\left\{\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right\}^2 + \left\{\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right\}^2 = 1</math> であるので、点 <math>\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}},\dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)</math> は単位円周上の点なので、 :<math> \begin{cases} \cos \alpha = \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin \alpha = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \end{cases} </math> となるようなαをとることができ、このαを用いて次のような変形ができる。 :<math>\begin{align} a \sin \theta + b \cos \theta & = \sqrt{a^2+b^2}\left( \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin \theta + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos \theta \right) \\ & = \sqrt{a^2+b^2} \left( \sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha \right)\\ & = \sqrt{a^2+b^2} \sin \left( \theta + \alpha \right)\\ \end{align} </math> '''演習問題''' <math>r,\alpha</math> は <math>r>0,-\pi\le \alpha< \pi</math> を満たすとする。 # <math>\sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta</math> を <math>r \sin \left( \theta + \alpha \right)</math> の形に変形せよ。 # <math>2\cos\theta-2\sin\theta</math> を <math>r\cos(\theta+\alpha)</math> の形に変形せよ。 '''解答''' # <math>r = \sqrt{1^2 + \left( - \sqrt{3} \right)^2} = 2</math> より <math>\begin{align} \sin \theta - \sqrt{3} \cos \theta & = 2 \left( \frac{1}{2} \sin \theta - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta \right) \\ & = 2 \left( \sin \theta \cos \frac{\pi}{3} - \cos \theta \sin \frac{\pi}{3} \right)\\ & = 2 \sin \left( \theta - \frac{\pi}{3} \right)\\ \end{align} </math> # <math>2\cos\theta-2\sin\theta=2\sqrt 2\left(\frac{1}{\sqrt 2}\cos\theta-\frac{1}{\sqrt 2}\sin\theta\right)</math> <ref>こう変形することで、点 <math>\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right)</math> が単位円周上の点になる</ref>ここで、<math>r\cos(\theta+\alpha) = r(\cos\theta\cos\alpha-\sin\theta\sin\alpha)</math> である。 <math>\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt 2},\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt 2}</math> となる <math>\alpha</math> として <math>\alpha = \frac{\pi}{4}</math> がある。<ref>ここで、 <math>\alpha</math> は問題文の制約を満たすように選ぶ。 <math>\alpha</math> に <math>2\pi</math> の整数倍を足した <math>\alpha + 2\pi n</math> を選んでも三角関数の合成はできるが、実用的にも <math>\alpha</math> は簡単なものを選んだ方がいいだろう。</ref>したがって、<math>2\cos\theta-2\sin\theta=2\sqrt 2\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)</math> == 和から積への公式と積から和への公式 == 三角関数の加法定理を用いると、三角関数の和→積の公式、および積→和の公式が得られる。それぞれ ;積→和の公式 :<math>\begin{align} \sin \alpha \cos \beta &= \frac 1 2 \{\sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta)\}\\ \cos \alpha \sin \beta &= \frac 1 2 \{\sin (\alpha+\beta) - \sin (\alpha-\beta) \}\\ \cos \alpha \cos \beta &= \frac 1 2 \{\cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) \}\\ \sin \alpha \sin \beta &= -\frac 1 2 \{\cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) \} \end{align}</math> ;和→積の公式 :<math>\begin{align} \sin A + \sin B &= 2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\ \sin A - \sin B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right)\\ \cos A + \cos B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\ \cos A - \cos B &= -2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right) \end{align}</math> となる。 ;導出加法定理 :{{式番号\|<math>\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta</math>\|1}} :{{式番号\|<math>\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta</math>\|2}} :{{式番号\|<math>\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta </math>\|3}} :{{式番号\|<math>\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta </math>\|4}} から、 [[高等学校数学II/三角関数#expr1\|(1)]] + [[高等学校数学II/三角関数#expr2\|(2)]] より :<math>\sin \alpha \cos \beta = \frac 1 2 (\sin (\alpha+\beta) + \sin (\alpha-\beta))</math> [[高等学校数学II/三角関数#expr1\|(1)]] - [[高等学校数学II/三角関数#expr2\|(2)]] より :<math>\cos \alpha \sin \beta = \frac 1 2 (\sin (\alpha+\beta) - \sin (\alpha-\beta) </math> [[高等学校数学II/三角関数#expr3\|(3)]] + [[高等学校数学II/三角関数#expr4\|(4)]] より :<math>\cos \alpha \cos \beta = \frac 1 2 (\cos (\alpha+\beta) + \cos (\alpha-\beta) )</math> [[高等学校数学II/三角関数#expr3\|(3)]] - [[高等学校数学II/三角関数#expr4\|(4)]] より :<math>\sin \alpha \sin \beta = -\frac 1 2 (\cos (\alpha+\beta) - \cos (\alpha-\beta) )</math> が得られる。 <math>A = \alpha + \beta,\, B = \alpha-\beta</math> とおくと、 <math>\alpha = \frac{A+B}{2},\, \beta = \frac{A-B}{2}</math> である。これを積→和の公式に代入すれば、それぞれ :<math>\begin{align} \sin A + \sin B &= 2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\ \sin A - \sin B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right)\\ \cos A + \cos B &= 2 \cos \left(\frac {A+B}2 \right) \cos \left(\frac {A-B}2 \right)\\ \cos A - \cos B &= -2 \sin \left(\frac {A+B}2 \right) \sin \left(\frac {A-B}2 \right) \end{align}</math> が得られる。 '''覚え方''' 積→和の公式は、上2つは <math>\alpha</math> と <math>\beta</math> を入れ替えれば同じ式なので、覚えるのは3式でいい。<math>\sin\sin</math> の公式は <math>\cos\cos</math> の公式の符号を2つ <math>-</math> にしたものになっている。和→積の公式は、<math>\rm{aaa}-\rm{aaa}</math> の式は <math>\rm{aaa}+\rm{aaa}</math> の公式の <math>\cos</math> と <math>\sin</math> を逆にした形になっている。 == 三角関数の基本公式 == * 周期性（''n''　は整数） :<math>\begin{align} \sin(\theta+2\pi n)&=\sin \theta \\ \cos(\theta+2\pi n)&=\cos \theta \\ \tan(\theta+2\pi n)&=\tan \theta \end{align}</math> * 偶関数、奇関数 :<math>\begin{align} \sin(-\theta)&=-\sin \theta \\ \cos(-\theta)&=\cos \theta \\ \tan(-\theta)&=-\tan \theta \end{align}</math> * <math>\theta+\pi</math> :<math>\begin{align} \sin(\theta+\pi)&=-\sin \theta \\ \cos(\theta+\pi)&=-\cos \theta \\ \tan(\theta+\pi)&=\tan \theta \end{align}</math> * <math>\pi-\theta</math> :<math>\begin{align} \sin(\pi-\theta)&=\sin \theta \\ \cos(\pi-\theta)&=-\cos \theta \\ \tan(\pi-\theta)&=-\tan \theta \end{align}</math> * <math>\theta+\frac{1}{2}\pi</math> :<math>\begin{align} \sin \left(\theta+\frac{1}{2}\pi \right)&=\cos \theta \\ \cos \left(\theta+\frac{1}{2}\pi \right)&=-\sin \theta \\ \tan \left(\theta+\frac{1}{2}\pi \right)&=-\frac{1}{\tan \theta} \end{align}</math> * <math>\frac{\pi}{2}-\theta</math> :<math>\begin{align} \sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)&=\cos \theta \\ \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)&=\sin \theta \\ \tan \left(\frac{\pi}{2}-\theta \right)&=\frac{1}{\tan \theta} \end{align}</math> * 問題例 ** 問題 :(i) <math>\sin \frac{10}{3} \pi</math> :(ii) <math>\cos \left(- \frac{11}{4} \pi \right)</math> :(iii) <math>\tan \frac{31}{6} \pi</math> :の値を求めよ。 ** 解答 :(i) ::<math> \begin{align} \sin \frac{10}{3} \pi & = \sin \left(\frac{4}{3}\pi + 2 \pi \right) = \sin \frac{4}{3} \pi \\ & = \sin \left(\frac{\pi}{3} + \pi \right) = - \sin \frac{\pi}{3} \\ & = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align} </math> :(ii) ::<math> \begin{align} \cos \left(- \frac{11}{4} \pi \right) & = \cos \frac{11}{4} \pi = \cos \left(\frac{3}{4}\pi + 2 \pi \right)\\ & = \cos \frac{3}{4} \pi = \cos \left(\pi - \frac{\pi}{4}\right)\\ & = - \cos \frac{\pi}{4} = - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align} </math> :(iii) ::<math> \begin{align} \tan \frac{31}{6} \pi & = \tan \left(\frac{7}{6}\pi + 2 \pi \times 2 \right) = \tan \frac{7}{6} \pi \\ & = \tan \left(\frac{\pi}{6} + \pi \right) = \tan \frac{\pi}{6} \\ & = \frac{1}{\sqrt{3}} \end{align} </math> {{コラム\|楽器の音と三角関数\|音も波の一種なので、三角関数で表現できる。オシロスコープで音叉の音を測定すると、正弦波に近い波形が観測される。しかし、実際の楽器の音は、正弦波とは違う。オシロスコープでギターやバイオリンなどの楽器の音を測定すると、正弦波でない波形が繰り返されている。これら実際の楽器の音の波形は、周期の異なる複数個の正弦波を重ね合わせた波形になっている。 :大学などで習うフーリエ解析で、このような正弦波でない波形の解析について詳しく習う。三角関数以外の周期的な関数を、三角関数を介して表現する手法が知られている。 }} {{コラム\|数学者レオンハルト・オイラー\| [[File:Leonhard_Euler_2.jpg\|thumb\| レオンハルト・オイラー(Leonhard Euler 1707年4月15日 - 1783年9月18日)]] ここでは、指数関数、三角関数の定義域を実数としていたが、これらの関数の定義域を複素数まで拡張することができる。(興味のある意欲的な読者は複素関数論の書籍を読んでみるといい) 複素数に拡張した指数関数、三角関数では <math>e^{i\theta} =\cos\theta+i\sin\theta</math> という関係式が成り立つ。ただし、<math>e</math> はネイピア数で <math>e \approx 2.7</math> である。ここで、 <math>\theta</math> に <math>\pi</math> を代入すると <math>e^{i\pi}+1=0</math>となる。この等式は「世界一美しい等式」とも呼ばれ、小説にもなっているので知っている人もいるだろう。 }} {{コラム\|円周率の値\| 円周率は<Math>\pi \fallingdotseq 3.14</Math>が広く用いられているが、実は<Math>\tau \fallingdotseq 6.28</Math>を用いた方が良い、とする意見がある。円の定義が「任意の点からの距離（半径）が等しい点の集合」であることから、数学で円を議論する際は半径を基本にすることが多く、直径は（工学などを除けば）円周率を決めるときぐらいしか出てこない。そのため、円が絡む数学公式には多くの場合係数2がついてしまう。そこで、<Math>\tau = 2 \pi</Math>を用いれば、多くの公式が簡単に(そして主張者によれば「本質的に」)書ける。以下に例を挙げる。弧度法では、一周が<Math>\tau</Math>ラジアンとなり、円と扇形の比が<Math>\tau</Math>の係数に一致する。そのため、一周以下の範囲において<Math>\tau</Math>の係数が仮分数になる事がない。扇形について、弧長の公式は<Math>\theta r</Math>、面積の公式は<Math>\frac{1}{2} \theta r^2</Math>。円について、円周の公式は<Math>\tau r</Math>、面積の公式は<Math>\frac{1}{2} \tau r^2</Math>。このことからわかるように、円周・円の面積を求めたい時、扇形の公式に<Math>\theta = \tau</Math>を代入するだけであり、公式の統一化が図れる。なお、面積公式に係数<Math>\frac{1}{2}</Math>がついてしまっているが、これは「係数が1の一次式（弧長・円周の公式）を[[高等学校数学II/微分・積分の考え#不定積分\|積分]]している」と解釈すれば自然なことである。三角関数について、sinとcosの周期は<Math>\tau</Math>、tanの周期は<Math>\frac{\tau}{2}</Math>となり、sinとcosは円を1周、tanは円を半周すると元に戻ることが端的に示される。オイラーの公式<math>e^{i\theta} =\cos\theta+i\sin\theta</math> について、<Math>\theta = \tau</Math>とすると<Math>e^{i\tau} = 1</Math>である。この式は座標平面上で点（1, 0）から単位円を一周すると元の点に戻ることを示す。また、<Math>\theta</Math>に一周（<Math>\tau</Math>ラジアン）を代入しているのでsinが0、cosが1であることが直感的に理解できる。他にも、[[高等学校数学B/確率分布と統計的な推測#正規分布\|正規分布]]の確率密度関数やディラック定数など、<Math>2 \pi</Math>が登場する式は非常に多い。それらを<Math>\tau</Math>に置き換えることによって、式を簡潔に書くことができる。ただし、<Math>2 \pi</Math>にさらに係数がかかっているものについてはあまり変わらない。ここまで円周率<Math>\tau</Math>について紹介してきたが、現在の数学界で<Math>\tau</Math>が使われることはあまり多くない。これは、工学に応用する際には<Math>\pi</Math>の方が都合が良いこと、過去に<Math>\pi</Math>が広く使われてきたため今更変えるのは困難であることが理由である。使いたいときは最初に「<Math>2 \pi = \tau</Math>とする」と断ってから使えば良いだろう。 }} == 演習問題 == (1)下の度数法で表された値を弧度法て表せ 1)<math>150</math> 2)<math>720</math> (2)<math>\sin \pi/2</math>の値を求めよ == 脚注 == <references /> {{Wikiversity\|Topic:三角関数\|三角関数}} {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくII さんかくかんすう}} [[Category:高等学校数学II\|さんかくかんすう]] [[カテゴリ:三角関数]]	2005-05-06T11:30:25Z	2024-03-29T02:57:06Z	[ "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:-", "テンプレート:式番号", "テンプレート:コラム", "テンプレート:Wikiversity" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6II/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0
1,914	高等学校数学II/微分・積分の考え	ここでは微分積分の概念について理解し、多項式関数の微分積分を学ぶ。また、微分の応用を応用して接線の方程式やグラフの概形などを求めたり、積分を応用してグラフの面積を求める。微分積分は物理学や工学などさまざまな分野で応用されている。中学校では、一次関数と y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}} の変化の割合を求めただろう。ここでは、同じものを平均変化率と呼ぶことにする。一般の関数 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} の平均変化率を考えてみたい。中学校で学習したことと同様に考えると、 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} において、 x {\displaystyle x} が a {\displaystyle a} から b {\displaystyle b} まで変化したときの平均変化率は、「 y {\displaystyle y} の変化量/ x {\displaystyle x} の変化量」で求められる。つまり、構文解析失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「http://localhost:6011/ja.wikibooks.org/v1/」から無効な応答 ("Math extension cannot connect to Restbase."):): {\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}} である。例 y = x 2 + 2 x + 1 {\displaystyle y=x^{2}+2x+1} において、 x {\displaystyle x} が-1から3まで変化したときの平均変化率を求める。 ( 3 2 + 2 ⋅ 3 + 1 ) − ( ( − 1 ) 2 + 2 ⋅ ( − 1 ) + 1 ) 3 − ( − 1 ) {\displaystyle {\frac {(3^{2}+2\cdot 3+1)-((-1)^{2}+2\cdot (-1)+1)}{3-(-1)}}} = 4 {\displaystyle =4} 関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} において、 x {\displaystyle x} が a {\displaystyle a} とは異なる値をとりながら限りなく a {\displaystyle a} に近づくとき、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が限りなく A {\displaystyle A} に近づくことを、 lim x → a f ( x ) = A {\displaystyle \lim _{x\rightarrow a}f(x)=A} とかく。 lim x → 0 3 x {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}3x} を求める。 x {\displaystyle x} を、 1 , 0.1 , 0.01 , 0.001 , ⋯ {\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\cdots } と限りなく0に近づけてみる。すると、 3 x {\displaystyle 3x} は、 3 , 0.3 , 0.03 , 0.003 , ⋯ {\displaystyle 3,0.3,0.03,0.003,\cdots } と、限りなく0に近づくことがわかる。よって、 x {\displaystyle x} を限りなく0に近づけると、 3 x {\displaystyle 3x} は限りなく0に近づくので、 lim x → 0 3 x = 0 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}3x=0} である。次に、 lim x → 1 x 2 − 1 x − 1 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}} を求める。 x {\displaystyle x} を、 1.1 , 1.01 , 1.001 , 0.0001 , 1.00001 , ⋯ {\displaystyle 1.1,1.01,1.001,0.0001,1.00001,\cdots } と、限りなく1に近づけてみると、 x 2 − 1 x − 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}} は、 2.1 , 2.01 , 2.001 , 2.0001 , 2.00001 , ⋯ {\displaystyle 2.1,2.01,2.001,2.0001,2.00001,\cdots } と、限りなく2に近づく。なので、 lim x → 1 x 2 − 1 x − 1 = 2 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2} である。これは、式に値を代入する前に、式自体を約分してしまった方が簡単に計算できる。すなわち、 x 2 − 1 x − 1 = ( x + 1 ) ( x − 1 ) x − 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}} であり、 x {\displaystyle x} を1とは異なる値を取りながら限りなく1に近づけるとき x ≠ 1 {\displaystyle x\neq 1} なので、これは約分でき、 x 2 − 1 x − 1 = ( x + 1 ) ( x − 1 ) x − 1 = x + 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1} である。なので、 lim x → 1 x 2 − 1 x − 1 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}} を求めるには、 lim x → 1 ( x + 1 ) {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}(x+1)} を求めれば良い。 lim x → 1 ( x + 1 ) = 2 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}(x+1)=2} であるので、 lim x → 1 x 2 − 1 x − 1 = 2 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2} と求めることができる。 ※発展最初の例では、 x {\displaystyle x} を、 1 , 0.1 , 0.01 , 0.001 , ⋯ {\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\cdots } と、限りなく0に近づけたが、 2 , 0.2 , 0.02 , 0.002 , ⋯ {\displaystyle 2,0.2,0.02,0.002,\cdots } や、 − 1 , − 0.1 , − 0.01 , − 0.001 , ⋯ {\displaystyle -1,-0.1,-0.01,-0.001,\cdots } のように近づけてみても x {\displaystyle x} は限りなく0に近づく。他にも、 1 , − 0.1 , 0.01 , − 0.001 , ⋯ {\displaystyle 1,-0.1,0.01,-0.001,\cdots } や 0.1 , 0.5 , 0.01 , 0.05 , ⋯ {\displaystyle 0.1,0.5,0.01,0.05,\cdots } など x {\displaystyle x} を0に近づかせる方法はいくらでも考えられる。もちろん、この例では、 x {\displaystyle x} をどのように近づけたとしても極限の値は変わらない。しかし、 x {\displaystyle x} を、 1 , 0.1 , 0.01 , 0.001 , ⋯ {\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\cdots } と近づけたとき、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は α {\displaystyle \alpha } に近づくが、 x {\displaystyle x} を、 2 , 0.2 , 0.02 , 0.002 , ⋯ {\displaystyle 2,0.2,0.02,0.002,\cdots } と近づけたら、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は α {\displaystyle \alpha } に近づかない。そんな関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} だってあるだろう。なぜ x {\displaystyle x} を 1 , 0.1 , 0.01 , 0.001 , ⋯ {\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\cdots } と、近づけただけで、極限の値を求めることが出来るのか?と疑問に思う人もいるかも知れない。極限を厳密に定義するには、イプシロンデルタ論法を使う必要がある。しかし、高校生には少し難しいと考える人が多いので高校ではあまり教えられていない。なので、この本では、イプシロンデルタ論法を使わず、曖昧な方法で極限を定義した。なので、上のような疑問を持った人は、その疑問について深く考えずに先に進むか、イプシロンデルタ論法を学ぶかしてほしい。関数 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} の傾きについて考えてみよう。 x {\displaystyle x} が a {\displaystyle a} から a + h {\displaystyle a+h} まで変化したときの平均変化率は f ( a + h ) − f ( a ) h {\displaystyle {\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}} である。このとき、 h {\displaystyle h} を限りなく0に近づければ a {\displaystyle a} での傾きを求めることができる。つまり、関数 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} の a {\displaystyle a} での傾きは lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h {\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}} で与えられる。これを x = a {\displaystyle x=a} における微分係数という。また f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} で与えられる関数 f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)} を関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の導関数という。関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の導関数は d f d x {\displaystyle {\frac {df}{dx}}} と表されることもある。ここで、いくつかの関数の導関数を求めてみよう。である。 n {\displaystyle n} を自然数とする。関数 f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} の導関数は二項定理を応用しと求められる関数 f ( x ) , g ( x ) {\displaystyle f(x),g(x)} に対し次が成り立つ。証明演習問題次の関数を微分せよ 1. f ( x ) = 2 x 3 + 4 x 2 − 5 x − 1 {\displaystyle f(x)=2x^{3}+4x^{2}-5x-1} 2. f ( x ) = ( 2 x + 3 ) ( 3 x − 5 ) {\displaystyle f(x)=(2x+3)(3x-5)} 解答 1. 2. f ( x ) = 6 x 2 − x − 15 {\displaystyle f(x)=6x^{2}-x-15} であるから曲線 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 上の点 ( t , f ( t ) ) {\displaystyle (t,f(t))} における接線の方程式を求める。この接線の傾きは f ′ ( t ) {\displaystyle f'(t)} であり、点 ( t , f ( t ) ) {\displaystyle (t,f(t))} を通るので、方程式は y = f ′ ( t ) ( x − t ) + f ( t ) {\displaystyle y=f'(t)(x-t)+f(t)} で与えられる。実際、 x = t {\displaystyle x=t} とすると y = f ( t ) {\displaystyle y=f(t)} となるのでこの方程式は点 ( t , f ( t ) ) {\displaystyle (t,f(t))} を通ることがわかり、 x {\displaystyle x} の係数は f ′ ( t ) {\displaystyle f'(t)} なので傾きは f ′ ( t ) {\displaystyle f'(t)} である。曲線 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} 上の点 ( t , f ( t ) ) {\displaystyle (t,f(t))} における法線の方程式は、 y = − 1 f ′ ( t ) ( x − t ) + f ( t ) {\displaystyle y=-{\frac {1}{f'(t)}}(x-t)+f(t)} で与えられる。 f'(x)は、fの傾きを表わすので、 f ′ ( x ) > 0 {\displaystyle f'(x)>0} の点では、fは増大し、 f ′ ( x ) < 0 {\displaystyle f'(x)<0} の点では、fは減少することがわかる。これをもとに関数の概形を描くことができる。例 y = x 3 {\displaystyle y=x^{3}} の増減を調べる両辺をxで微分すると f ( x ) = x 3 − 3 x {\displaystyle f(x)=x^{3}-3x} を微分すると増減表は次のようになる。この関数のグラフは、 x = − 1 {\displaystyle x=-1} を境にして増加から減少の状態に変わり、 x = 1 {\displaystyle x=1} を境にして減少から増加の状態に変わる。このとき、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} は x = − 1 {\displaystyle x=-1} において極大(きょくだい)になるといい、そのときの f ( x ) {\displaystyle f(x)} の値 f ( − 1 ) = 2 {\displaystyle f(-1)=2} を極大値(きょくだいち)という。また、 x = 1 {\displaystyle x=1} において極小(きょくしょう)になるといい、そのときの f ( x ) {\displaystyle f(x)} の値 f ( 1 ) = − 2 {\displaystyle f(1)=-2} を極小値(きょくしょうち)という。極大値と極小値を合わせて極値(きょくち)という。不定積分(indefinite integral)とは、微分したらその関数になる関数を求める操作である。つまり、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} に対して、 F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle F'(x)=f(x)} となる、関数 F ( x ) {\displaystyle F(x)} を求める操作である。このとき F ( x ) {\displaystyle F(x)} を、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数(primitive function)と呼ぶ。例えば、 1 2 x 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}} は微分すると、 x {\displaystyle x} になるので、 1 2 x 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}} は x {\displaystyle x} の原始関数である。しかし、 1 2 x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+1} や、 1 2 x 2 + 3 {\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+3} なども微分すると x {\displaystyle x} になるので、 1 2 x 2 + 1 {\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+1} や、 1 2 x 2 + 3 {\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+3} も x {\displaystyle x} の原始関数である。一般に、 1 2 x 2 + C {\displaystyle {\frac {1}{2}}x^{2}+C} (Cは任意の定数)で表される関数は、 x {\displaystyle x} の原始関数である。 x {\displaystyle x} の原始関数は一つだけではなく、無数にあるのだ。一般に、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数の一つを F ( x ) {\displaystyle F(x)} とするとき、原始関数に任意の定数を足した関数 F ( x ) + C {\displaystyle F(x)+C} も f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数になる。なぜなら、 F ( x ) {\displaystyle F(x)} が f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数である、つまり、 F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle F'(x)=f(x)} のとき、 ( F ( x ) + C ) ′ = F ′ ( x ) + ( C ) ′ = F ′ ( x ) = f ( x ) {\displaystyle {(F(x)+C)}'=F'(x)+{(C)}'=F'(x)=f(x)} となるからだ。また、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数の一つが F ( x ) {\displaystyle F(x)} であるとき、すべての関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数は F ( x ) + C {\displaystyle F(x)+C} の形に書ける。 F ( x ) + C {\displaystyle F(x)+C} の形に書けない関数 G ( x ) {\displaystyle G(x)} が関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数であると仮定する。このとき、 h ( x ) = F ( x ) − G ( x ) {\displaystyle h(x)=F(x)-G(x)} とすると、関数 h ( x ) {\displaystyle h(x)} は定数ではない。このとき、 h ′ ( x ) = { F ( x ) − G ( x ) } ′ = F ′ ( x ) − G ′ ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 {\displaystyle h'(x)=\{F(x)-G(x)\}'=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0} であるはずだが、関数 h ( x ) {\displaystyle h(x)} は定数ではないので h ′ ( x ) = 0 {\displaystyle h'(x)=0} とならない。これは矛盾なので、すべての関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数は F ( x ) + C {\displaystyle F(x)+C} の形に書けることが証明できる。関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数の全体を、 ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)dx} と表す。この表記法は最初は奇妙に思うだろうが、このように表記する理由は後に説明するので、今は、そのまま覚えて欲しい。まとめると、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数の全体 ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)dx} は、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数の一つを F ( x ) {\displaystyle F(x)} として、その関数に任意の定数を足した関数 F ( x ) + C {\displaystyle F(x)+C} で表される。つまり、 C {\displaystyle C} は任意の定数としたが、この任意の定数 C {\displaystyle C} を積分定数(constant of integration)と呼ぶ。 ※注意 ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)dx} は定義にもあるように、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数の全体を表している。つまり、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数の一つを F ( x ) {\displaystyle F(x)} とするとき、 ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C {\displaystyle \int f(x)dx=F(x)+C} の右辺 F ( x ) + C {\displaystyle F(x)+C} は、 F ( x ) {\displaystyle F(x)} に定数を足した関数の全体を表している。つまり、 F ( x ) + C {\displaystyle F(x)+C} は、 F ( x ) + 1 {\displaystyle F(x)+1} や、 F ( x ) − 23 {\displaystyle F(x)-23} や、 F ( x ) − 5 π {\displaystyle F(x)-5\pi } などの、 F ( x ) {\displaystyle F(x)} に定数を足した関数すべてをまとめて F ( x ) + C {\displaystyle F(x)+C} と表している。このことがあやふやになっていると、重大な間違いを起こす可能性があるので、注意が必要である。関数 f ( x ) = x n {\displaystyle f(x)=x^{n}} (ただし n {\displaystyle n} は自然数)の不定積分を求めてみる。やや天下り的だが、 F ( x ) = 1 n + 1 x n + 1 + C {\displaystyle F(x)={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C} ( C {\displaystyle C} は任意の定数)とおくと、 F ′ ( x ) = x n {\displaystyle F'(x)=x^{n}} となるので、 1 n + 1 x n + 1 + C {\displaystyle {\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C} は原始関数であることがわかる。したがって ∫ x n d x = 1 n + 1 x n + 1 + C {\displaystyle \int x^{n}dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C} 関数 f ( x ) , g ( x ) {\displaystyle f(x),g(x)} の原始関数をそれぞれ、 F ( x ) , G ( x ) {\displaystyle F(x),G(x)} とする。 a {\displaystyle a} を任意の実数定数とすると { F ( x ) + G ( x ) } ′ = F ′ ( x ) + G ′ ( x ) = f ( x ) + g ( x ) {\displaystyle \{F(x)+G(x)\}'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x)} { a F ( x ) } ′ = a F ′ ( x ) = a f ( x ) {\displaystyle \{aF(x)\}'=aF'(x)=af(x)} となるので、 ∫ { f ( x ) + g ( x ) } d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx} ∫ a f ( x ) d x = a ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int af(x)dx=a\int f(x)dx} が成り立つことが分かる。演習問題不定積分 ∫ ( x 8 + 2 x 2 − 6 x + 9 ) d x {\displaystyle \int (x^{8}+2x^{2}-6x+9)dx} を求めよ解答 ∫ ( x 8 + 2 x 2 − 6 x + 9 ) d x = ∫ x 8 d x + 2 ∫ x 2 d x − 6 ∫ x d x + 9 ∫ d x = x 9 9 + 2 x 3 3 − 3 x 2 + 9 x + C {\displaystyle \int (x^{8}+2x^{2}-6x+9)dx=\int x^{8}\,dx+2\int x^{2}\,dx-6\int x\,dx+9\int dx={\frac {x^{9}}{9}}+{\frac {2x^{3}}{3}}-3x^{2}+9x+C} ( C {\displaystyle C} は積分定数) 関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数の一つを F ( x ) {\displaystyle F(x)} とする。この原始関数に値を代入して、その値の差を求める操作を、定積分と呼び、 ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx} と書く。つまり、である。 [ f ( x ) ] a b = f ( b ) − f ( a ) {\displaystyle [f(x)]_{a}^{b}=f(b)-f(a)} とする。このようにすると、 ∫ a b f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)} と計算できる。定積分の値は原始関数の選択によらない。実際、原始関数として、 F ( x ) + C {\displaystyle F(x)+C} を選び、定積分を計算すると、 ∫ a b f ( x ) d x = ( F ( b ) + C ) − ( F ( a ) + C ) = F ( b ) − F ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)} となり、原始関数としてどれを選んでも定積分の値は一定であることがわかる。関数 f ( x ) , g ( x ) {\displaystyle f(x),g(x)} に対して、原始関数をそれぞれ F ( x ) , G ( x ) {\displaystyle F(x),G(x)} とする。 k {\displaystyle k} を実数として、 ∫ a b k f ( x ) d x = k F ( b ) − k F ( a ) = k ( F ( b ) − F ( a ) ) = k ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}kf(x)\,dx=kF(b)-kF(a)=k(F(b)-F(a))=k\int _{a}^{b}f(x)\,dx} ∫ a b { f ( x ) + g ( x ) } d x = [ F ( x ) + G ( x ) ] a b = F ( b ) + G ( b ) − ( F ( a ) + G ( a ) ) = F ( b ) − F ( a ) + G ( b ) − G ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}\{f(x)+g(x)\}dx=[F(x)+G(x)]_{a}^{b}=F(b)+G(b)-(F(a)+G(a))=F(b)-F(a)+G(b)-G(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{a}^{b}g(x)\,dx} ∫ a a f ( x ) d x = F ( a ) − F ( a ) = 0 {\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx=F(a)-F(a)=0} ∫ b a f ( x ) d x = F ( a ) − F ( b ) = − ( F ( b ) − F ( a ) ) = − ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{b}^{a}f(x)\,dx=F(a)-F(b)=-(F(b)-F(a))=-\int _{a}^{b}f(x)\,dx} ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) = ( F ( b ) − F ( c ) ) + ( F ( c ) − F ( a ) ) = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)=(F(b)-F(c))+(F(c)-F(a))=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx} が成り立つ。 ∫ 2 5 x 3 d x {\displaystyle \int _{2}^{5}x^{3}dx} を求める。 1 4 x 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}x^{4}} は、微分すると、 x 3 {\displaystyle x^{3}} なので、 1 4 x 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}x^{4}} は x 3 {\displaystyle x^{3}} の原始関数の一つである。よって ∫ 2 5 x 3 d x = [ 1 4 x 4 ] 2 5 = 1 4 5 4 − 1 4 2 4 = 609 4 {\displaystyle \int _{2}^{5}x^{3}dx=\left[{\frac {1}{4}}x^{4}\right]_{2}^{5}={\frac {1}{4}}5^{4}-{\frac {1}{4}}2^{4}={\frac {609}{4}}} である。 1 4 x 4 + 1 {\displaystyle {\frac {1}{4}}x^{4}+1} も、微分すると、 x 3 {\displaystyle x^{3}} なので、 1 4 x 4 + 1 {\displaystyle {\frac {1}{4}}x^{4}+1} は x 3 {\displaystyle x^{3}} の原始関数の一つである。よって、 ∫ 2 5 x 3 d x = [ 1 4 x 4 + 1 ] 2 5 = ( 1 4 5 4 + 1 ) − ( 1 4 2 4 + 1 ) = 609 4 {\displaystyle \int _{2}^{5}x^{3}dx=\left[{\frac {1}{4}}x^{4}+1\right]_{2}^{5}=\left({\frac {1}{4}}5^{4}+1\right)-\left({\frac {1}{4}}2^{4}+1\right)={\frac {609}{4}}} と求めることもできる。 aを定数とするとき、定積分 ∫ a x f ( t ) d t {\displaystyle \int _{a}^{x}f(t)\,dt} はxの関数になる。関数 f ( t ) {\displaystyle f(t)} の原始関数の一つを F ( t ) {\displaystyle F(t)} とするとこの両辺をxで微分すると、 F ( a ) {\displaystyle F(a)} は定数であるから関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が a ≦ x ≦ b {\displaystyle a\leqq x\leqq b} の範囲で常に正であるとする。このとき、定積分 ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx} によって、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} のグラフと、直線 x = a {\displaystyle x=a} 、直線 x = b {\displaystyle x=b} 、 x {\displaystyle x} 軸で囲まれた部分の面積を求めることができる。関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} のグラフと、直線 x = a {\displaystyle x=a} 、直線 x = c {\displaystyle x=c} と、 x {\displaystyle x} 軸で囲まれた部分の面積を S ( c ) {\displaystyle S(c)} とすることによって、関数 S ( x ) {\displaystyle S(x)} を定める。( a ≦ x ≦ b {\displaystyle a\leqq x\leqq b} とする) 関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} のグラフと、直線 x = c {\displaystyle x=c} 、直線 x = c + h {\displaystyle x=c+h} と、 x {\displaystyle x} 軸で囲まれた部分の面積を考える( a ≦ c + h ≦ b {\displaystyle a\leqq c+h\leqq b} とする)。これは、 S ( c + h ) − S ( c ) {\displaystyle S(c+h)-S(c)} である。ここで、 c < t < c + h {\displaystyle c<t<c+h} なる t {\displaystyle t} をとってきて、その点における f ( x ) {\displaystyle f(x)} の値 f ( t ) {\displaystyle f(t)} を高さとする長方形の面積を考えることで、 t {\displaystyle t} を上手にとれば、 S ( c + h ) − S ( c ) = h ⋅ f ( t ) {\displaystyle S(c+h)-S(c)=h\cdot f(t)} とできる。両辺を h {\displaystyle h} で割り、 h → 0 {\displaystyle h\to 0} の極限を考えると、であるが、左辺は微分の定義より S ′ ( c ) {\displaystyle S'(c)} であり、 lim h → 0 t = c {\displaystyle \lim _{h\to 0}t=c} であることに注意すると右辺は f ( c ) {\displaystyle f(c)} である。文字を c {\displaystyle c} から x {\displaystyle x} に取り換えると、結局が得られる。つまり、 S ( x ) {\displaystyle S(x)} は f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数の一つであることが分かる。よって、 ∫ a b f ( x ) d x = S ( b ) − S ( a ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=S(b)-S(a)} であるが、この式の右辺は、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} のグラフと、直線 x = a {\displaystyle x=a} 、直線 x = b {\displaystyle x=b} と、 x {\displaystyle x} 軸で囲まれた面積である。よって、左辺 ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx} は、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} のグラフと、直線 x = a {\displaystyle x=a} 、直線 x = b {\displaystyle x=b} と、 x {\displaystyle x} 軸で囲まれた面積を表している。歴史的には、積分は、関数のグラフで囲まれた部分の面積を求めるために考え出された。この節で述べたような微分との関連は積分自体の発明よりずっと後になって発見されたことである。例として、 0 ≦ x ≦ 1 {\displaystyle 0\leqq x\leqq 1} の範囲で、y = xのグラフとx軸ではさまれた部分の面積を、積分を用いて計算する。 ( 実際にはこれは三角形なので、積分を用いなくても面積を計算することが出来る。答は 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{2}}} となる。 ) 定積分を行なうと、 ∫ 0 1 x d x {\displaystyle \int _{0}^{1}xdx} = 1 2 [ x 2 ] 0 1 {\displaystyle ={\frac {1}{2}}[x^{2}]_{0}^{1}} = 1 2 [ 1 2 − 0 2 ] {\displaystyle ={\frac {1}{2}}[1^{2}-0^{2}]} = 1 2 [ 1 − 0 ] {\displaystyle ={\frac {1}{2}}[1-0]} = 1 2 {\displaystyle ={\frac {1}{2}}} となり確かに一致する。演習問題放物線 y = 5 − x 2 {\displaystyle y=5-x^{2}} とx軸および2直線 x = − 1 , x = 2 {\displaystyle x=-1\ ,\ x=2} で囲まれた部分の面積Sを求めよ。解答この放物線は − 1 ≤ x ≤ 2 {\displaystyle -1\leq x\leq 2} でx軸の上側にあるから、 a ≤ x ≤ b {\displaystyle a\leq x\leq b} において、常に f ( x ) ≥ g ( x ) {\displaystyle f(x)\geq g(x)} であるとき、2つの曲線 y = f ( x ) , y = g ( x ) {\displaystyle y=f(x)\ ,\ y=g(x)} に挟まれる部分の面積Sは、次の式で表される。放物線 y = x 2 − 1 {\displaystyle y=x^{2}-1} と直線 y = x + 1 {\displaystyle y=x+1} によって囲まれた部分の面積Sを求めよ。放物線と直線の交点のx座標は − 1 ≤ x ≤ 2 {\displaystyle -1\leq x\leq 2} の範囲で x 2 − 1 ≤ x + 1 {\displaystyle x^{2}-1\leq x+1} より a ≤ x ≤ b {\displaystyle a\leq x\leq b} で、 f ( x ) ≤ 0 {\displaystyle f(x)\leq 0} のとき、x軸 y = 0 {\displaystyle y=0} と曲線 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} によって挟まれていると考えられるので、となる。放物線 y = x 2 − 2 x {\displaystyle y=x^{2}-2x} とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。放物線とx軸の交点のx座標はこの放物線は 0 ≤ x ≤ 2 {\displaystyle 0\leq x\leq 2} でx軸の下側にあるから、高校数学をしていると「将来微分とか積分とか何に使う?」と思う人の方が多いと思う。確かに日常生活では、積分などの高度な数学は使わない。だがその一方裏では積分や微分、高校数学では収まらないような数学が使われている。例えば台風の進路予想。これは積分を使い台風の進路を予測している他にもセキュリティの強化などにも数学は使われている。日常生活では数学は使わないが数学に親しみを持ってみてはどうだろうか。 (1) F ( x ) = 2 x 2 {\displaystyle F(x)=2x^{2}} のとき f ( x ) {\displaystyle f(x)} を求めよ。ただし F ′ ( x ) {\displaystyle F'(x)} (3)原始関数、定積分を求めよ 3) lim x → 0 ∫ x 5 2 x d x {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}\int _{x}^{5}2xdx} 4) ∫ − 60 60 sin x + cos 2 x d x {\displaystyle \int _{-60}^{60}\sin x+\cos ^{2}xdx} (1) f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}} 冪乗の微分は y ′ = n x n − 1 {\displaystyle y'=nx^{n}-1} であるため不定積分の定義より f ( x ) = x 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}} である。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "ここでは微分積分の概念について理解し、多項式関数の微分積分を学ぶ。また、微分の応用を応用して接線の方程式やグラフの概形などを求めたり、積分を応用してグラフの面積を求める。微分積分は物理学や工学などさまざまな分野で応用されている。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "中学校では、一次関数と y = a x 2 {\\displaystyle y=ax^{2}} の変化の割合を求めただろう。ここでは、同じものを平均変化率と呼ぶことにする。一般の関数 y = f ( x ) {\\displaystyle y=f(x)} の平均変化率を考えてみたい。中学校で学習したことと同様に考えると、 y = f ( x ) {\\displaystyle y=f(x)} において、 x {\\displaystyle x} が a {\\displaystyle a} から b {\\displaystyle b} まで変化したときの平均変化率は、「 y {\\displaystyle y} の変化量/ x {\\displaystyle x} の変化量」で求められる。つまり、構文解析失敗 (SVG(ブラウザのプラグインで MathML を有効にすることができます): サーバー「http://localhost:6011/ja.wikibooks.org/v1/」から無効な応答 (\"Math extension cannot connect to Restbase.\"):): {\\displaystyle \\frac{f(b)-f(a)}{b-a}} である。", "title": "平均変化率" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "例", "title": "平均変化率" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "y = x 2 + 2 x + 1 {\\displaystyle y=x^{2}+2x+1} において、 x {\\displaystyle x} が-1から3まで変化したときの平均変化率を求める。", "title": "平均変化率" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "( 3 2 + 2 ⋅ 3 + 1 ) − ( ( − 1 ) 2 + 2 ⋅ ( − 1 ) + 1 ) 3 − ( − 1 ) {\\displaystyle {\\frac {(3^{2}+2\\cdot 3+1)-((-1)^{2}+2\\cdot (-1)+1)}{3-(-1)}}} = 4 {\\displaystyle =4}", "title": "平均変化率" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} において、 x {\\displaystyle x} が a {\\displaystyle a} とは異なる値をとりながら限りなく a {\\displaystyle a} に近づくとき、 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} が限りなく A {\\displaystyle A} に近づくことを、 lim x → a f ( x ) = A {\\displaystyle \\lim _{x\\rightarrow a}f(x)=A} とかく。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "lim x → 0 3 x {\\displaystyle \\lim _{x\\rightarrow 0}3x} を求める。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "x {\\displaystyle x} を、 1 , 0.1 , 0.01 , 0.001 , ⋯ {\\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\\cdots } と限りなく0に近づけてみる。すると、 3 x {\\displaystyle 3x} は、 3 , 0.3 , 0.03 , 0.003 , ⋯ {\\displaystyle 3,0.3,0.03,0.003,\\cdots } と、限りなく0に近づくことがわかる。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "よって、 x {\\displaystyle x} を限りなく0に近づけると、 3 x {\\displaystyle 3x} は限りなく0に近づくので、 lim x → 0 3 x = 0 {\\displaystyle \\lim _{x\\rightarrow 0}3x=0} である。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "次に、 lim x → 1 x 2 − 1 x − 1 {\\displaystyle \\lim _{x\\rightarrow 1}{\\frac {x^{2}-1}{x-1}}} を求める。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "x {\\displaystyle x} を、 1.1 , 1.01 , 1.001 , 0.0001 , 1.00001 , ⋯ {\\displaystyle 1.1,1.01,1.001,0.0001,1.00001,\\cdots } と、限りなく1に近づけてみると、 x 2 − 1 x − 1 {\\displaystyle {\\frac {x^{2}-1}{x-1}}} は、 2.1 , 2.01 , 2.001 , 2.0001 , 2.00001 , ⋯ {\\displaystyle 2.1,2.01,2.001,2.0001,2.00001,\\cdots } と、限りなく2に近づく。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "なので、 lim x → 1 x 2 − 1 x − 1 = 2 {\\displaystyle \\lim _{x\\rightarrow 1}{\\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2} である。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "これは、式に値を代入する前に、式自体を約分してしまった方が簡単に計算できる。すなわち、 x 2 − 1 x − 1 = ( x + 1 ) ( x − 1 ) x − 1 {\\displaystyle {\\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}} であり、 x {\\displaystyle x} を1とは異なる値を取りながら限りなく1に近づけるとき x ≠ 1 {\\displaystyle x\\neq 1} なので、これは約分でき、 x 2 − 1 x − 1 = ( x + 1 ) ( x − 1 ) x − 1 = x + 1 {\\displaystyle {\\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\\frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1} である。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "なので、 lim x → 1 x 2 − 1 x − 1 {\\displaystyle \\lim _{x\\rightarrow 1}{\\frac {x^{2}-1}{x-1}}} を求めるには、 lim x → 1 ( x + 1 ) {\\displaystyle \\lim _{x\\rightarrow 1}(x+1)} を求めれば良い。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "lim x → 1 ( x + 1 ) = 2 {\\displaystyle \\lim _{x\\rightarrow 1}(x+1)=2} であるので、 lim x → 1 x 2 − 1 x − 1 = 2 {\\displaystyle \\lim _{x\\rightarrow 1}{\\frac {x^{2}-1}{x-1}}=2} と求めることができる。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "※発展最初の例では、 x {\\displaystyle x} を、 1 , 0.1 , 0.01 , 0.001 , ⋯ {\\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\\cdots } と、限りなく0に近づけたが、 2 , 0.2 , 0.02 , 0.002 , ⋯ {\\displaystyle 2,0.2,0.02,0.002,\\cdots } や、 − 1 , − 0.1 , − 0.01 , − 0.001 , ⋯ {\\displaystyle -1,-0.1,-0.01,-0.001,\\cdots } のように近づけてみても x {\\displaystyle x} は限りなく0に近づく。他にも、 1 , − 0.1 , 0.01 , − 0.001 , ⋯ {\\displaystyle 1,-0.1,0.01,-0.001,\\cdots } や 0.1 , 0.5 , 0.01 , 0.05 , ⋯ {\\displaystyle 0.1,0.5,0.01,0.05,\\cdots } など x {\\displaystyle x} を0に近づかせる方法はいくらでも考えられる。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "もちろん、この例では、 x {\\displaystyle x} をどのように近づけたとしても極限の値は変わらない。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "しかし、 x {\\displaystyle x} を、 1 , 0.1 , 0.01 , 0.001 , ⋯ {\\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\\cdots } と近づけたとき、 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} は α {\\displaystyle \\alpha } に近づくが、 x {\\displaystyle x} を、 2 , 0.2 , 0.02 , 0.002 , ⋯ {\\displaystyle 2,0.2,0.02,0.002,\\cdots } と近づけたら、 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} は α {\\displaystyle \\alpha } に近づかない。そんな関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} だってあるだろう。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "なぜ x {\\displaystyle x} を 1 , 0.1 , 0.01 , 0.001 , ⋯ {\\displaystyle 1,0.1,0.01,0.001,\\cdots } と、近づけただけで、極限の値を求めることが出来るのか?と疑問に思う人もいるかも知れない。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "極限を厳密に定義するには、イプシロンデルタ論法を使う必要がある。しかし、高校生には少し難しいと考える人が多いので高校ではあまり教えられていない。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "なので、この本では、イプシロンデルタ論法を使わず、曖昧な方法で極限を定義した。なので、上のような疑問を持った人は、その疑問について深く考えずに先に進むか、イプシロンデルタ論法を学ぶかしてほしい。", "title": "極限" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "関数 y = f ( x ) {\\displaystyle y=f(x)} の傾きについて考えてみよう。", "title": "微分係数と導関数" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "x {\\displaystyle x} が a {\\displaystyle a} から a + h {\\displaystyle a+h} まで変化したときの平均変化率は", "title": "微分係数と導関数" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "f ( a + h ) − f ( a ) h {\\displaystyle {\\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}", "title": "微分係数と導関数" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "である。このとき、 h {\\displaystyle h} を限りなく0に近づければ a {\\displaystyle a} での傾きを求めることができる。つまり、関数 y = f ( x ) {\\displaystyle y=f(x)} の a {\\displaystyle a} での傾きは", "title": "微分係数と導関数" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "lim h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h {\\displaystyle \\lim _{h\\to 0}{\\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}}", "title": "微分係数と導関数" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "で与えられる。これを x = a {\\displaystyle x=a} における微分係数という。", "title": "微分係数と導関数" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "また", "title": "微分係数と導関数" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "f ′ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h {\\displaystyle f'(x)=\\lim _{h\\to 0}{\\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}", "title": "微分係数と導関数" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "で与えられる関数 f ′ ( x ) {\\displaystyle f'(x)} を関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の導関数という。", "title": "微分係数と導関数" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の導関数は d f d x {\\displaystyle {\\frac {df}{dx}}} と表されることもある。", "title": "微分係数と導関数" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "ここで、いくつかの関数の導関数を求めてみよう。", "title": "微分係数と導関数" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "である。", "title": "微分係数と導関数" }, { "paragraph_id": 33, "tag": "p", "text": "n {\\displaystyle n} を自然数とする。関数 f ( x ) = x n {\\displaystyle f(x)=x^{n}} の導関数は二項定理を応用し", "title": "微分係数と導関数" }, { "paragraph_id": 34, "tag": "p", "text": "と求められる", "title": "微分係数と導関数" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "関数 f ( x ) , g ( x ) {\\displaystyle f(x),g(x)} に対し次が成り立つ。", "title": "和・差及び定数倍の導関数" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "証明", "title": "和・差及び定数倍の導関数" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "和・差及び定数倍の導関数" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "次の関数を微分せよ", "title": "和・差及び定数倍の導関数" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "1. f ( x ) = 2 x 3 + 4 x 2 − 5 x − 1 {\\displaystyle f(x)=2x^{3}+4x^{2}-5x-1} 2. f ( x ) = ( 2 x + 3 ) ( 3 x − 5 ) {\\displaystyle f(x)=(2x+3)(3x-5)}", "title": "和・差及び定数倍の導関数" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "解答", "title": "和・差及び定数倍の導関数" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "1.", "title": "和・差及び定数倍の導関数" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "2. f ( x ) = 6 x 2 − x − 15 {\\displaystyle f(x)=6x^{2}-x-15} であるから", "title": "和・差及び定数倍の導関数" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "曲線 y = f ( x ) {\\displaystyle y=f(x)} 上の点 ( t , f ( t ) ) {\\displaystyle (t,f(t))} における接線の方程式を求める。この接線の傾きは f ′ ( t ) {\\displaystyle f'(t)} であり、点 ( t , f ( t ) ) {\\displaystyle (t,f(t))} を通るので、方程式は y = f ′ ( t ) ( x − t ) + f ( t ) {\\displaystyle y=f'(t)(x-t)+f(t)} で与えられる。実際、 x = t {\\displaystyle x=t} とすると y = f ( t ) {\\displaystyle y=f(t)} となるのでこの方程式は点 ( t , f ( t ) ) {\\displaystyle (t,f(t))} を通ることがわかり、 x {\\displaystyle x} の係数は f ′ ( t ) {\\displaystyle f'(t)} なので傾きは f ′ ( t ) {\\displaystyle f'(t)} である。", "title": "導関数の応用" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "曲線 y = f ( x ) {\\displaystyle y=f(x)} 上の点 ( t , f ( t ) ) {\\displaystyle (t,f(t))} における法線の方程式は、 y = − 1 f ′ ( t ) ( x − t ) + f ( t ) {\\displaystyle y=-{\\frac {1}{f'(t)}}(x-t)+f(t)} で与えられる。", "title": "導関数の応用" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "f'(x)は、fの傾きを表わすので、 f ′ ( x ) > 0 {\\displaystyle f'(x)>0} の点では、fは増大し、 f ′ ( x ) < 0 {\\displaystyle f'(x)<0} の点では、fは減少することがわかる。", "title": "導関数の応用" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "これをもとに関数の概形を描くことができる。", "title": "導関数の応用" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "", "title": "導関数の応用" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "例", "title": "導関数の応用" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "y = x 3 {\\displaystyle y=x^{3}} の増減を調べる", "title": "導関数の応用" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "両辺をxで微分すると", "title": "導関数の応用" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "f ( x ) = x 3 − 3 x {\\displaystyle f(x)=x^{3}-3x} を微分すると", "title": "導関数の応用" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "増減表は次のようになる。", "title": "導関数の応用" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "この関数のグラフは、 x = − 1 {\\displaystyle x=-1} を境にして増加から減少の状態に変わり、 x = 1 {\\displaystyle x=1} を境にして減少から増加の状態に変わる。このとき、 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} は x = − 1 {\\displaystyle x=-1} において極大(きょくだい)になるといい、そのときの f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の値 f ( − 1 ) = 2 {\\displaystyle f(-1)=2} を極大値(きょくだいち)という。また、 x = 1 {\\displaystyle x=1} において極小(きょくしょう)になるといい、そのときの f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の値 f ( 1 ) = − 2 {\\displaystyle f(1)=-2} を極小値(きょくしょうち)という。極大値と極小値を合わせて極値(きょくち)という。", "title": "導関数の応用" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "不定積分(indefinite integral)とは、微分したらその関数になる関数を求める操作である。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "つまり、関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} に対して、 F ′ ( x ) = f ( x ) {\\displaystyle F'(x)=f(x)} となる、関数 F ( x ) {\\displaystyle F(x)} を求める操作である。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "このとき F ( x ) {\\displaystyle F(x)} を、 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数(primitive function)と呼ぶ。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "例えば、 1 2 x 2 {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}x^{2}} は微分すると、 x {\\displaystyle x} になるので、 1 2 x 2 {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}x^{2}} は x {\\displaystyle x} の原始関数である。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "しかし、 1 2 x 2 + 1 {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}x^{2}+1} や、 1 2 x 2 + 3 {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}x^{2}+3} なども微分すると x {\\displaystyle x} になるので、 1 2 x 2 + 1 {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}x^{2}+1} や、 1 2 x 2 + 3 {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}x^{2}+3} も x {\\displaystyle x} の原始関数である。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "一般に、 1 2 x 2 + C {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}x^{2}+C} (Cは任意の定数)で表される関数は、 x {\\displaystyle x} の原始関数である。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "x {\\displaystyle x} の原始関数は一つだけではなく、無数にあるのだ。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "一般に、関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数の一つを F ( x ) {\\displaystyle F(x)} とするとき、原始関数に任意の定数を足した関数 F ( x ) + C {\\displaystyle F(x)+C} も f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数になる。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "なぜなら、 F ( x ) {\\displaystyle F(x)} が f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数である、つまり、 F ′ ( x ) = f ( x ) {\\displaystyle F'(x)=f(x)} のとき、 ( F ( x ) + C ) ′ = F ′ ( x ) + ( C ) ′ = F ′ ( x ) = f ( x ) {\\displaystyle {(F(x)+C)}'=F'(x)+{(C)}'=F'(x)=f(x)} となるからだ。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "また、関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数の一つが F ( x ) {\\displaystyle F(x)} であるとき、すべての関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数は F ( x ) + C {\\displaystyle F(x)+C} の形に書ける。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "F ( x ) + C {\\displaystyle F(x)+C} の形に書けない関数 G ( x ) {\\displaystyle G(x)} が関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数であると仮定する。このとき、 h ( x ) = F ( x ) − G ( x ) {\\displaystyle h(x)=F(x)-G(x)} とすると、関数 h ( x ) {\\displaystyle h(x)} は定数ではない。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "このとき、 h ′ ( x ) = { F ( x ) − G ( x ) } ′ = F ′ ( x ) − G ′ ( x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 {\\displaystyle h'(x)=\\{F(x)-G(x)\\}'=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0} であるはずだが、関数 h ( x ) {\\displaystyle h(x)} は定数ではないので h ′ ( x ) = 0 {\\displaystyle h'(x)=0} とならない。これは矛盾なので、すべての関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数は F ( x ) + C {\\displaystyle F(x)+C} の形に書けることが証明できる。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数の全体を、 ∫ f ( x ) d x {\\displaystyle \\int f(x)dx} と表す。この表記法は最初は奇妙に思うだろうが、このように表記する理由は後に説明するので、今は、そのまま覚えて欲しい。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "まとめると、関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数の全体 ∫ f ( x ) d x {\\displaystyle \\int f(x)dx} は、 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数の一つを F ( x ) {\\displaystyle F(x)} として、その関数に任意の定数を足した関数 F ( x ) + C {\\displaystyle F(x)+C} で表される。つまり、", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "C {\\displaystyle C} は任意の定数としたが、この任意の定数 C {\\displaystyle C} を積分定数(constant of integration)と呼ぶ。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "※注意 ∫ f ( x ) d x {\\displaystyle \\int f(x)dx} は定義にもあるように、 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数の全体を表している。つまり、 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数の一つを F ( x ) {\\displaystyle F(x)} とするとき、 ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C {\\displaystyle \\int f(x)dx=F(x)+C} の右辺 F ( x ) + C {\\displaystyle F(x)+C} は、 F ( x ) {\\displaystyle F(x)} に定数を足した関数の全体を表している。つまり、 F ( x ) + C {\\displaystyle F(x)+C} は、 F ( x ) + 1 {\\displaystyle F(x)+1} や、 F ( x ) − 23 {\\displaystyle F(x)-23} や、 F ( x ) − 5 π {\\displaystyle F(x)-5\\pi } などの、 F ( x ) {\\displaystyle F(x)} に定数を足した関数すべてをまとめて F ( x ) + C {\\displaystyle F(x)+C} と表している。このことがあやふやになっていると、重大な間違いを起こす可能性があるので、注意が必要である。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "関数 f ( x ) = x n {\\displaystyle f(x)=x^{n}} (ただし n {\\displaystyle n} は自然数)の不定積分を求めてみる。やや天下り的だが、 F ( x ) = 1 n + 1 x n + 1 + C {\\displaystyle F(x)={\\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C} ( C {\\displaystyle C} は任意の定数)とおくと、 F ′ ( x ) = x n {\\displaystyle F'(x)=x^{n}} となるので、 1 n + 1 x n + 1 + C {\\displaystyle {\\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C} は原始関数であることがわかる。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "したがって ∫ x n d x = 1 n + 1 x n + 1 + C {\\displaystyle \\int x^{n}dx={\\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C}", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "関数 f ( x ) , g ( x ) {\\displaystyle f(x),g(x)} の原始関数をそれぞれ、 F ( x ) , G ( x ) {\\displaystyle F(x),G(x)} とする。 a {\\displaystyle a} を任意の実数定数とすると", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "{ F ( x ) + G ( x ) } ′ = F ′ ( x ) + G ′ ( x ) = f ( x ) + g ( x ) {\\displaystyle \\{F(x)+G(x)\\}'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x)}", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "{ a F ( x ) } ′ = a F ′ ( x ) = a f ( x ) {\\displaystyle \\{aF(x)\\}'=aF'(x)=af(x)}", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "となるので、", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "∫ { f ( x ) + g ( x ) } d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x {\\displaystyle \\int \\{f(x)+g(x)\\}dx=\\int f(x)dx+\\int g(x)dx}", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "∫ a f ( x ) d x = a ∫ f ( x ) d x {\\displaystyle \\int af(x)dx=a\\int f(x)dx}", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "が成り立つことが分かる。", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "不定積分 ∫ ( x 8 + 2 x 2 − 6 x + 9 ) d x {\\displaystyle \\int (x^{8}+2x^{2}-6x+9)dx} を求めよ", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "解答", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "∫ ( x 8 + 2 x 2 − 6 x + 9 ) d x = ∫ x 8 d x + 2 ∫ x 2 d x − 6 ∫ x d x + 9 ∫ d x = x 9 9 + 2 x 3 3 − 3 x 2 + 9 x + C {\\displaystyle \\int (x^{8}+2x^{2}-6x+9)dx=\\int x^{8}\\,dx+2\\int x^{2}\\,dx-6\\int x\\,dx+9\\int dx={\\frac {x^{9}}{9}}+{\\frac {2x^{3}}{3}}-3x^{2}+9x+C} ( C {\\displaystyle C} は積分定数)", "title": "不定積分" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数の一つを F ( x ) {\\displaystyle F(x)} とする。この原始関数に値を代入して、その値の差を求める操作を、定積分と呼び、 ∫ a b f ( x ) d x {\\displaystyle \\int _{a}^{b}f(x)dx} と書く。つまり、", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "である。", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "[ f ( x ) ] a b = f ( b ) − f ( a ) {\\displaystyle [f(x)]_{a}^{b}=f(b)-f(a)} とする。", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "このようにすると、 ∫ a b f ( x ) d x = [ F ( x ) ] a b = F ( b ) − F ( a ) {\\displaystyle \\int _{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)} と計算できる。", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "定積分の値は原始関数の選択によらない。実際、原始関数として、 F ( x ) + C {\\displaystyle F(x)+C} を選び、定積分を計算すると、 ∫ a b f ( x ) d x = ( F ( b ) + C ) − ( F ( a ) + C ) = F ( b ) − F ( a ) {\\displaystyle \\int _{a}^{b}f(x)dx=(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)}", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "となり、原始関数としてどれを選んでも定積分の値は一定であることがわかる。", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "関数 f ( x ) , g ( x ) {\\displaystyle f(x),g(x)} に対して、原始関数をそれぞれ F ( x ) , G ( x ) {\\displaystyle F(x),G(x)} とする。 k {\\displaystyle k} を実数として、", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "∫ a b k f ( x ) d x = k F ( b ) − k F ( a ) = k ( F ( b ) − F ( a ) ) = k ∫ a b f ( x ) d x {\\displaystyle \\int _{a}^{b}kf(x)\\,dx=kF(b)-kF(a)=k(F(b)-F(a))=k\\int _{a}^{b}f(x)\\,dx}", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "∫ a b { f ( x ) + g ( x ) } d x = [ F ( x ) + G ( x ) ] a b = F ( b ) + G ( b ) − ( F ( a ) + G ( a ) ) = F ( b ) − F ( a ) + G ( b ) − G ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x + ∫ a b g ( x ) d x {\\displaystyle \\int _{a}^{b}\\{f(x)+g(x)\\}dx=[F(x)+G(x)]_{a}^{b}=F(b)+G(b)-(F(a)+G(a))=F(b)-F(a)+G(b)-G(a)=\\int _{a}^{b}f(x)\\,dx+\\int _{a}^{b}g(x)\\,dx}", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "∫ a a f ( x ) d x = F ( a ) − F ( a ) = 0 {\\displaystyle \\int _{a}^{a}f(x)\\,dx=F(a)-F(a)=0}", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "∫ b a f ( x ) d x = F ( a ) − F ( b ) = − ( F ( b ) − F ( a ) ) = − ∫ a b f ( x ) d x {\\displaystyle \\int _{b}^{a}f(x)\\,dx=F(a)-F(b)=-(F(b)-F(a))=-\\int _{a}^{b}f(x)\\,dx}", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) = ( F ( b ) − F ( c ) ) + ( F ( c ) − F ( a ) ) = ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x {\\displaystyle \\int _{a}^{b}f(x)\\,dx=F(b)-F(a)=(F(b)-F(c))+(F(c)-F(a))=\\int _{a}^{c}f(x)\\,dx+\\int _{c}^{b}f(x)\\,dx}", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "が成り立つ。", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "∫ 2 5 x 3 d x {\\displaystyle \\int _{2}^{5}x^{3}dx} を求める。", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "1 4 x 4 {\\displaystyle {\\frac {1}{4}}x^{4}} は、微分すると、 x 3 {\\displaystyle x^{3}} なので、 1 4 x 4 {\\displaystyle {\\frac {1}{4}}x^{4}} は x 3 {\\displaystyle x^{3}} の原始関数の一つである。よって ∫ 2 5 x 3 d x = [ 1 4 x 4 ] 2 5 = 1 4 5 4 − 1 4 2 4 = 609 4 {\\displaystyle \\int _{2}^{5}x^{3}dx=\\left[{\\frac {1}{4}}x^{4}\\right]_{2}^{5}={\\frac {1}{4}}5^{4}-{\\frac {1}{4}}2^{4}={\\frac {609}{4}}} である。", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "1 4 x 4 + 1 {\\displaystyle {\\frac {1}{4}}x^{4}+1} も、微分すると、 x 3 {\\displaystyle x^{3}} なので、 1 4 x 4 + 1 {\\displaystyle {\\frac {1}{4}}x^{4}+1} は x 3 {\\displaystyle x^{3}} の原始関数の一つである。よって、 ∫ 2 5 x 3 d x = [ 1 4 x 4 + 1 ] 2 5 = ( 1 4 5 4 + 1 ) − ( 1 4 2 4 + 1 ) = 609 4 {\\displaystyle \\int _{2}^{5}x^{3}dx=\\left[{\\frac {1}{4}}x^{4}+1\\right]_{2}^{5}=\\left({\\frac {1}{4}}5^{4}+1\\right)-\\left({\\frac {1}{4}}2^{4}+1\\right)={\\frac {609}{4}}} と求めることもできる。", "title": "定積分" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "aを定数とするとき、定積分 ∫ a x f ( t ) d t {\\displaystyle \\int _{a}^{x}f(t)\\,dt} はxの関数になる。関数 f ( t ) {\\displaystyle f(t)} の原始関数の一つを F ( t ) {\\displaystyle F(t)} とすると", "title": "微分積分学の基本定理" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "この両辺をxで微分すると、 F ( a ) {\\displaystyle F(a)} は定数であるから", "title": "微分積分学の基本定理" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} が a ≦ x ≦ b {\\displaystyle a\\leqq x\\leqq b} の範囲で常に正であるとする。このとき、定積分 ∫ a b f ( x ) d x {\\displaystyle \\int _{a}^{b}f(x)dx} によって、関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} のグラフと、直線 x = a {\\displaystyle x=a} 、直線 x = b {\\displaystyle x=b} 、 x {\\displaystyle x} 軸で囲まれた部分の面積を求めることができる。", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} のグラフと、直線 x = a {\\displaystyle x=a} 、直線 x = c {\\displaystyle x=c} と、 x {\\displaystyle x} 軸で囲まれた部分の面積を S ( c ) {\\displaystyle S(c)} とすることによって、関数 S ( x ) {\\displaystyle S(x)} を定める。( a ≦ x ≦ b {\\displaystyle a\\leqq x\\leqq b} とする)", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} のグラフと、直線 x = c {\\displaystyle x=c} 、直線 x = c + h {\\displaystyle x=c+h} と、 x {\\displaystyle x} 軸で囲まれた部分の面積を考える( a ≦ c + h ≦ b {\\displaystyle a\\leqq c+h\\leqq b} とする)。これは、 S ( c + h ) − S ( c ) {\\displaystyle S(c+h)-S(c)} である。ここで、 c < t < c + h {\\displaystyle c<t<c+h} なる t {\\displaystyle t} をとってきて、その点における f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の値 f ( t ) {\\displaystyle f(t)} を高さとする長方形の面積を考えることで、 t {\\displaystyle t} を上手にとれば、 S ( c + h ) − S ( c ) = h ⋅ f ( t ) {\\displaystyle S(c+h)-S(c)=h\\cdot f(t)} とできる。両辺を h {\\displaystyle h} で割り、 h → 0 {\\displaystyle h\\to 0} の極限を考えると、", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "であるが、左辺は微分の定義より S ′ ( c ) {\\displaystyle S'(c)} であり、 lim h → 0 t = c {\\displaystyle \\lim _{h\\to 0}t=c} であることに注意すると右辺は f ( c ) {\\displaystyle f(c)} である。文字を c {\\displaystyle c} から x {\\displaystyle x} に取り換えると、結局", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "が得られる。つまり、 S ( x ) {\\displaystyle S(x)} は f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数の一つであることが分かる。", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "よって、 ∫ a b f ( x ) d x = S ( b ) − S ( a ) {\\displaystyle \\int _{a}^{b}f(x)dx=S(b)-S(a)} であるが、この式の右辺は、関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} のグラフと、直線 x = a {\\displaystyle x=a} 、直線 x = b {\\displaystyle x=b} と、 x {\\displaystyle x} 軸で囲まれた面積である。よって、左辺 ∫ a b f ( x ) d x {\\displaystyle \\int _{a}^{b}f(x)dx} は、関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} のグラフと、直線 x = a {\\displaystyle x=a} 、直線 x = b {\\displaystyle x=b} と、 x {\\displaystyle x} 軸で囲まれた面積を表している。", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "歴史的には、積分は、関数のグラフで囲まれた部分の面積を求めるために考え出された。この節で述べたような微分との関連は積分自体の発明よりずっと後になって発見されたことである。", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": "例として、 0 ≦ x ≦ 1 {\\displaystyle 0\\leqq x\\leqq 1} の範囲で、y = xのグラフとx軸ではさまれた部分の面積を、積分を用いて計算する。 ( 実際にはこれは三角形なので、積分を用いなくても面積を計算することが出来る。答は 1 2 {\\displaystyle {\\frac {1}{2}}} となる。 ) 定積分を行なうと、 ∫ 0 1 x d x {\\displaystyle \\int _{0}^{1}xdx} = 1 2 [ x 2 ] 0 1 {\\displaystyle ={\\frac {1}{2}}[x^{2}]_{0}^{1}} = 1 2 [ 1 2 − 0 2 ] {\\displaystyle ={\\frac {1}{2}}[1^{2}-0^{2}]} = 1 2 [ 1 − 0 ] {\\displaystyle ={\\frac {1}{2}}[1-0]}", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "= 1 2 {\\displaystyle ={\\frac {1}{2}}} となり確かに一致する。", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "放物線 y = 5 − x 2 {\\displaystyle y=5-x^{2}} とx軸および2直線 x = − 1 , x = 2 {\\displaystyle x=-1\\ ,\\ x=2} で囲まれた部分の面積Sを求めよ。", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 114, "tag": "p", "text": "解答", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 115, "tag": "p", "text": "この放物線は − 1 ≤ x ≤ 2 {\\displaystyle -1\\leq x\\leq 2} でx軸の上側にあるから、", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 116, "tag": "p", "text": "a ≤ x ≤ b {\\displaystyle a\\leq x\\leq b} において、常に f ( x ) ≥ g ( x ) {\\displaystyle f(x)\\geq g(x)} であるとき、2つの曲線 y = f ( x ) , y = g ( x ) {\\displaystyle y=f(x)\\ ,\\ y=g(x)} に挟まれる部分の面積Sは、次の式で表される。", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 117, "tag": "p", "text": "放物線 y = x 2 − 1 {\\displaystyle y=x^{2}-1} と直線 y = x + 1 {\\displaystyle y=x+1} によって囲まれた部分の面積Sを求めよ。", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 118, "tag": "p", "text": "放物線と直線の交点のx座標は", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 119, "tag": "p", "text": "− 1 ≤ x ≤ 2 {\\displaystyle -1\\leq x\\leq 2} の範囲で x 2 − 1 ≤ x + 1 {\\displaystyle x^{2}-1\\leq x+1} より", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 120, "tag": "p", "text": "a ≤ x ≤ b {\\displaystyle a\\leq x\\leq b} で、 f ( x ) ≤ 0 {\\displaystyle f(x)\\leq 0} のとき、x軸 y = 0 {\\displaystyle y=0} と曲線 y = f ( x ) {\\displaystyle y=f(x)} によって挟まれていると考えられるので、", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 121, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 122, "tag": "p", "text": "放物線 y = x 2 − 2 x {\\displaystyle y=x^{2}-2x} とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 123, "tag": "p", "text": "放物線とx軸の交点のx座標は", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 124, "tag": "p", "text": "この放物線は 0 ≤ x ≤ 2 {\\displaystyle 0\\leq x\\leq 2} でx軸の下側にあるから、", "title": "定積分と面積" }, { "paragraph_id": 125, "tag": "p", "text": "高校数学をしていると「将来微分とか積分とか何に使う?」と思う人の方が多いと思う。確かに日常生活では、積分などの高度な数学は使わない。だがその一方裏では積分や微分、高校数学では収まらないような数学が使われている。例えば台風の進路予想。これは積分を使い台風の進路を予測している他にもセキュリティの強化などにも数学は使われている。日常生活では数学は使わないが数学に親しみを持ってみてはどうだろうか。", "title": "本当にちょっとした余談" }, { "paragraph_id": 126, "tag": "p", "text": "(1) F ( x ) = 2 x 2 {\\displaystyle F(x)=2x^{2}} のとき f ( x ) {\\displaystyle f(x)} を求めよ。ただし F ′ ( x ) {\\displaystyle F'(x)}", "title": "演習問題" }, { "paragraph_id": 127, "tag": "p", "text": "(3)原始関数、定積分を求めよ", "title": "演習問題" }, { "paragraph_id": 128, "tag": "p", "text": "3) lim x → 0 ∫ x 5 2 x d x {\\displaystyle \\lim _{x\\rightarrow 0}\\int _{x}^{5}2xdx}", "title": "演習問題" }, { "paragraph_id": 129, "tag": "p", "text": "4) ∫ − 60 60 sin x + cos 2 x d x {\\displaystyle \\int _{-60}^{60}\\sin x+\\cos ^{2}xdx}", "title": "演習問題" }, { "paragraph_id": 130, "tag": "p", "text": "(1) f ( x ) = x 3 {\\displaystyle f(x)=x^{3}} 冪乗の微分は y ′ = n x n − 1 {\\displaystyle y'=nx^{n}-1} であるため不定積分の定義より f ( x ) = x 3 {\\displaystyle f(x)=x^{3}} である。", "title": "演習問題の解答とその手引き" } ]	ここでは微分積分の概念について理解し、多項式関数の微分積分を学ぶ。また、微分の応用を応用して接線の方程式やグラフの概形などを求めたり、積分を応用してグラフの面積を求める。微分積分は物理学や工学などさまざまな分野で応用されている。	{{Pathnav\|高等学校の学習\|高等学校数学\|高等学校数学II\|pagename=微分・積分の考え\|frame=1\|small=1}} ここでは微分積分の概念について理解し、多項式関数の微分積分を学ぶ。また、微分の応用を応用して接線の方程式やグラフの概形などを求めたり、積分を応用してグラフの面積を求める。微分積分は物理学や工学などさまざまな分野で応用されている。 == 平均変化率 == [[ファイル:微分.svg\|サムネイル\|平均変化率の図]] 中学校では、一次関数と<math>y=ax^2</math>の'''変化の割合'''を求めただろう。ここでは、同じものを'''平均変化率'''と呼ぶことにする。一般の関数 <math>y=f(x)</math> の平均変化率を考えてみたい。中学校で学習したことと同様に考えると、 <math>y=f(x)</math> において、 <math>x</math> が <math>a</math> から <math>b</math> まで変化したときの平均変化率は、「 <math>y</math> の変化量/ <math>x</math> の変化量」で求められる。つまり、 <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> である。 '''例''' <math>y=x^2 + 2x + 1</math> において、 <math>x</math> が-1から3まで変化したときの平均変化率を求める。 <math>\frac{(3^2 + 2\cdot 3+1)-((-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 1)}{3-(-1)} </math><math>=4</math> == 極限 == 関数 <math>f(x)</math> において、 <math>x</math> が <math>a</math> とは異なる値をとりながら限りなく <math>a</math> に近づくとき、 <math>f(x)</math> が限りなく <math>A</math> に近づくことを、 <math> \lim_{x\rightarrow a} f(x) = A </math> とかく。 ==== 例 ==== <math> \lim_{x\rightarrow 0} 3x </math>を求める。 <math>x</math>を、<math>1,0.1,0.01,0.001,\cdots</math>と限りなく0に近づけてみる。すると、<math>3x</math>は、<math>3,0.3,0.03,0.003,\cdots</math>と、限りなく0に近づくことがわかる。よって、<math>x</math>を限りなく0に近づけると、<math>3x</math>は限りなく0に近づくので、<math> \lim_{x\rightarrow 0} 3x = 0 </math>である。次に、 <math> \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^2 -1 }{x-1} </math>を求める。 <math>x</math>を、<math>1.1,1.01,1.001,0.0001,1.00001,\cdots</math>と、限りなく1に近づけてみると、<math>\frac{x^2 -1 }{x-1} </math>は、<math>2.1,2.01,2.001,2.0001,2.00001,\cdots</math>と、限りなく2に近づく。なので、<math> \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^2 -1 }{x-1} = 2 </math>である。これは、式に値を代入する前に、式自体を約分してしまった方が簡単に計算できる。すなわち、 <math>\frac{x^2 -1 }{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1}</math>であり、<math>x</math>を1とは異なる値を取りながら限りなく1に近づけるとき<math>x \neq 1</math>なので、これは約分でき、<math>\frac{x^2 -1 }{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} = x+1</math>である。なので、<math> \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^2 -1 }{x-1} </math>を求めるには、<math> \lim_{x\rightarrow 1} (x+1) </math>を求めれば良い。 <math> \lim_{x\rightarrow 1} (x+1) = 2 </math>であるので、<math> \lim_{x\rightarrow 1} \frac{x^2 -1 }{x-1} = 2 </math>と求めることができる。 ※発展　最初の例では、<math>x</math>を、<math>1,0.1,0.01,0.001,\cdots</math>と、限りなく0に近づけたが、<math>2,0.2,0.02,0.002,\cdots</math>や、<math>-1,-0.1,-0.01,-0.001,\cdots</math>のように近づけてみても<math>x</math>は限りなく0に近づく。他にも、<math>1,-0.1,0.01,-0.001,\cdots</math>や<math>0.1,0.5,0.01,0.05,\cdots</math>など<math>x</math>を0に近づかせる方法はいくらでも考えられる。もちろん、この例では、<math>x</math>をどのように近づけたとしても極限の値は変わらない。しかし、<math>x</math>を、<math>1,0.1,0.01,0.001,\cdots</math>と近づけたとき、<math>f(x)</math>は<math>\alpha</math>に近づくが、<math>x</math>を、<math>2,0.2,0.02,0.002,\cdots</math>と近づけたら、<math>f(x)</math>は<math>\alpha</math>に近づかない。そんな関数<math>f(x)</math>だってあるだろう。なぜ<math>x</math>を<math>1,0.1,0.01,0.001,\cdots</math>と、近づけただけで、極限の値を求めることが出来るのか?と疑問に思う人もいるかも知れない。極限を厳密に定義するには、[[解析学基礎/極限#極限の形式的な定義\|イプシロンデルタ論法]]を使う必要がある。しかし、高校生には少し難しいと考える人が多いので高校ではあまり教えられていない。なので、この本では、イプシロンデルタ論法を使わず、曖昧な方法で極限を定義した。なので、上のような疑問を持った人は、その疑問について深く考えずに先に進むか、[[解析学基礎/極限#極限の形式的な定義\|イプシロンデルタ論法]]を学ぶかしてほしい。 [[ファイル:平均変化率.svg\|サムネイル\|平均変化率]] == 微分係数と導関数 == [[ファイル:Derivative GIF.gif\|220x220px\|hを0に近づけたときのアニメーション\|サムネイル]] 関数 <math>y = f(x)</math> の傾きについて考えてみよう。 <math>x</math> が <math>a</math> から <math>a + h</math> まで変化したときの平均変化率は <math>\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math> である。このとき、 <math>h</math> を限りなく0に近づければ <math>a</math> での傾きを求めることができる。つまり、関数 <math>y = f(x)</math> の <math>a</math> での傾きは <math>\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math> で与えられる。これを <math>x = a</math> における'''微分係数'''という。また <math>f'(x) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}</math> で与えられる関数 <math>f'(x)</math> を関数 <math>f(x)</math> の'''導関数'''という。関数 <math>f(x)</math> の導関数は<math>\frac{df}{dx}</math>と表されることもある。ここで、いくつかの関数の導関数を求めてみよう。 <math>f(x) = 1</math> {\| \|- \|<math>f'(x)</math> \|<math>= \lim _{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x)} h</math> \|- \| \|<math>= \lim _{h\rightarrow 0} \frac {1 - 1} h</math> \|- \| \|<math>= \lim _{h\rightarrow 0} 0</math> \|- \| \|<math>= 0</math> \|} <math>f(x) = x</math> {\| \|- \|<math>f'(x)</math> \|<math>= \lim _{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x)} h</math> \|- \| \|<math>= \lim _{h\rightarrow 0} \frac {x+h - x} h</math> \|- \| \|<math>= \lim _{h\rightarrow 0} 1</math> \|- \| \|<math>= 1</math> \|} <math>f(x) = x^2</math> {\| \|- \|<math>f'(x)</math> \|<math>= \lim _{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x)} h</math> \|- \| \|<math>= \lim _{h\rightarrow 0} \frac {(x+h)^2 - x^2} h</math> \|- \| \|<math>= \lim _{h\rightarrow 0} \frac{2hx + h^2} h</math> \|- \| \|<math>= \lim _{h\rightarrow 0} (2x + h)</math> \|- \| \|<math>= 2x </math> \|} である。 <math>n</math> を自然数とする。関数 <math>f(x) = x^n</math> の導関数は二項定理を応用し {\| \|- \|<math>f'(x)</math> \|<math>= \lim _{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x)} h</math> \|- \| \|<math>= \lim _{h\rightarrow 0} \frac {(x+h)^n - x^n} h</math> \|- \| \|<math>= \lim _{h\rightarrow 0} \frac{(x^n + _nC_1x^{n-1}h + _nC_2x^{n-2}h^2\cdots + h^n) - x^n} h</math> \|- \| \|<math>= \lim _{h\rightarrow 0} (_nC_1x^{n-1} + _nC_2x^{n-2}h + \cdots + h^{n-1})</math> \|- \| \|<math>= nx^{n-1} </math> \|} と求められる == 和・差及び定数倍の導関数 == 関数 <math>f(x), g(x)</math> に対し次が成り立つ。 # <math>\{f(x) \pm g(x)\}' = f'(x) \pm g'(x)</math> (複号同順) # <math>\{ kf(x) \}' = kf'(x)</math> '''証明''' # <math>\{f(x) \pm g(x)\}' = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) \pm g(x+h)-\{f(x) \pm g(x)\}}{h} = \lim_{h\to 0}\{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \pm \frac{g(x+h) - g(x)}{h}\} = f'(x) \pm g'(x)</math> # <math>\{ kf(x) \}' = \lim_{h\to 0}\frac{kf(x+h) - kf(x)}{h} = \lim_{h\to 0}k\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = kf'(x)</math> '''演習問題''' 次の関数を微分せよ 1. <math>f(x)=2x^3+4x^2-5x-1</math><br>2. <math>f(x)=(2x+3)(3x-5)</math> '''解答''' 1. :<math>\begin{align} f'(x) & = (2x^3+4x^2-5x-1)' \\ & = 2(x^3)'+4(x^2)'-5(x)'-(1)' \\ & = 2 \times 3x^2 + 4 \times 2x -5 \times 1 - 0 \\ & = 6x^2+8x-5 \end{align} </math> 2. <math>f(x)=6x^2-x-15</math> であるから :<math>\begin{align} f'(x) & = (6x^2-x-15)' \\ & = 6(x^2)'-(x)'-(15)' \\ & = 6 \times 2x - 1 - 0 \\ & = 12x-1 \end{align} </math> == 導関数の応用 == === 接線の方程式 === 曲線 <math>y = f(x)</math> 上の点 <math>(t, f(t))</math> における接線の方程式を求める。この接線の傾きは <math>f'(t)</math>であり、点 <math>(t, f(t))</math> を通るので、方程式は <math>y = f'(t)(x-t) + f(t)</math> で与えられる。実際、<math>x = t </math> とすると <math>y = f(t)</math> となるのでこの方程式は点 <math>(t, f(t))</math> を通ることがわかり、 <math>x</math> の係数は <math>f'(t)</math> なので傾きは <math>f'(t)</math> である。 === 法線の方程式 === 曲線 <math>y = f(x)</math> 上の点 <math>(t, f(t))</math> における法線の方程式は、<math> y = -\frac{1}{f'(t)}(x-t)+f(t) </math> で与えられる。 === 関数値の増減 === f'(x)は、fの傾きを表わすので、 <math>f'(x)>0</math> の点では、fは増大し、 <math>f'(x)<0</math> の点では、fは減少することがわかる。これをもとに関数の概形を描くことができる。 '''例''' <math>y=x^3</math> の増減を調べる両辺を''x''で微分すると :<math>y'=3x^2</math> :となる。これは0を除き常に正なので、 <math>y=x^3</math> は常に増加することがわかる。 === 関数の極大・極小 === <math>f(x)=x^3 - 3x</math>を微分すると :<math>f'(x)=3x^2 -3 =3(x+1)(x-1)</math> 増減表は次のようになる。 <table border="1" cellpadding="2"> <tr><th><center><math>x</math></center></th><th><center><math>\cdots</math></center> </th><th><center> <math>-1</math></center> </th><th><center><math>\cdots</math></center></th><th><center><math>1</math></center> </th><th><center><math>\cdots</math></center></th></tr> <tr><th><center><math>f'(x)</math></center></th><td><center><math>+</math></center></td><td><center> <math>0</math> </center></td><th><center><math>-</math></center></th><td><center><math>0</math></center> </td><td><center>+</center></td></tr> <tr><th><center><math>f(x)</math></center></th><td><center><math>\nearrow</math></center></td><td><center> <math>2</math> </center></td><th><center><math>\searrow </math></center></th><td><center><math>-2</math></center> </td><td><center><math>\nearrow</math></center></td></tr> </table> この関数のグラフは、<math>x=-1</math>を境にして増加から減少の状態に変わり、<math>x=1</math>を境にして減少から増加の状態に変わる。<br> このとき、<math>f(x)</math>は<math>x=-1</math>において'''極大'''（きょくだい）になるといい、そのときの<math>f(x)</math>の値<math>f(-1)=2</math>を'''極大値'''（きょくだいち）という。また、<math>x=1</math>において'''極小'''（きょくしょう）になるといい、そのときの<math>f(x)</math>の値<math>f(1)=-2</math>を'''極小値'''（きょくしょうち）という。極大値と極小値を合わせて'''極値'''（きょくち）という。 == 不定積分 == '''不定積分'''(indefinite integral)とは、微分したらその関数になる関数を求める操作である。つまり、関数<math>f(x)</math>に対して、<math>F'(x)=f(x)</math>となる、関数<math>F(x)</math>を求める操作である。このとき<math>F(x)</math>を、<math>f(x)</math>の'''原始関数'''(primitive function)と呼ぶ。例えば、<math>\frac{1}{2}x^2</math>は微分すると、<math>x</math>になるので、<math>\frac{1}{2}x^2</math>は<math>x</math>の原始関数である。しかし、<math>\frac{1}{2}x^2+1</math>や、<math>\frac{1}{2}x^2+3</math>なども微分すると<math>x</math>になるので、<math>\frac{1}{2}x^2+1</math>や、<math>\frac{1}{2}x^2+3</math>も<math>x</math>の原始関数である。一般に、<math>\frac{1}{2}x^2 + C</math>(Cは任意の定数)で表される関数は、<math>x</math>の原始関数である。 <math>x</math>の原始関数は一つだけではなく、無数にあるのだ。一般に、関数 <math>f(x)</math> の原始関数の'''一つ'''を <math>F(x)</math> とするとき、原始関数に任意の定数を足した関数 <math>F(x) + C</math> も <math>f(x)</math> の原始関数になる。なぜなら、<math>F(x)</math>が<math>f(x)</math>の原始関数である、つまり、<math>F'(x)=f(x)</math>のとき、<math>{(F(x) + C)}' = F'(x) + {(C)}' = F'(x) = f(x)</math>となるからだ。また、関数 <math>f(x)</math> の原始関数の一つが <math>F(x)</math> であるとき、すべての関数 <math>f(x)</math> の原始関数は <math>F(x) + C</math> の形に書ける。 <math>F(x) + C</math> の形に書けない関数 <math>G(x)</math>が関数 <math>f(x)</math> の原始関数であると仮定する。このとき、<math>h(x)=F(x)-G(x)</math>とすると、関数 <math>h(x)</math> は定数ではない。このとき、 <math>h'(x)=\{F(x)-G(x)\}'=F'(x)-G'(x)=f(x)-f(x)=0</math> であるはずだが、関数 <math>h(x)</math> は定数ではないので <math>h'(x) = 0</math> とならない。これは矛盾なので、すべての関数 <math>f(x)</math> の原始関数は <math>F(x) + C</math>の形に書けることが証明できる。関数<math>f(x)</math>の原始関数の'''全体'''を、<math>\int f(x)dx </math> と表す。この表記法は最初は奇妙に思うだろうが、このように表記する理由は後に説明するので、今は、そのまま覚えて欲しい。まとめると、関数 <math>f(x)</math> の原始関数の全体<math>\int f(x)dx </math>は、<math>f(x)</math>の原始関数の一つを <math>F(x)</math> として、その関数に任意の定数を足した関数<math>F(x) + C</math>で表される。つまり、 :<math> \int f(x)dx = F(x)+ C </math> <math>C</math>は任意の定数としたが、この任意の定数 <math>C</math> を'''積分定数'''(constant of integration)と呼ぶ。 ※注意　<math>\int f(x)dx </math>は定義にもあるように、<math>f(x)</math>の原始関数の'''全体'''を表している。つまり、<math>f(x)</math>の原始関数の一つを<math>F(x)</math>とするとき、<math> \int f(x)dx = F(x)+ C </math>の右辺<math>F(x) + C</math>は、<math>F(x)</math>に定数を足した関数の全体を表している。つまり、<math>F(x) + C</math>は、<math>F(x)+1</math>や、<math>F(x)-23</math>や、<math>F(x)-5\pi</math>などの、<math>F(x)</math>に定数を足した関数すべてをまとめて<math>F(x)+C</math>と表している。このことがあやふやになっていると、'''重大な間違い'''を起こす可能性があるので、注意が必要である。関数 <math>f(x)=x^n</math> (ただし <math>n</math> は自然数)の不定積分を求めてみる。やや天下り的だが、<math>F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+C</math> (<math>C</math> は任意の定数)とおくと、 <math>F'(x) = x^n</math> となるので、 <math>\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C</math> は原始関数であることがわかる。したがって <math>\int x^n dx =\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C </math> 関数 <math>f(x),g(x)</math> の原始関数をそれぞれ、 <math>F(x),G(x)</math> とする。<math>a</math> を任意の実数定数とすると <math>\{F(x)+G(x)\}'=F'(x)+G'(x)=f(x)+g(x)</math> <math>\{aF(x)\}' = aF'(x)=af(x)</math> となるので、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math> が成り立つことが分かる。 '''演習問題''' 不定積分 <math>\int (x^8+2x^2-6x+9)dx</math> を求めよ '''解答''' <math>\int (x^8+2x^2-6x+9)dx = \int x^8 \,dx + 2\int x^2\,dx -6\int x \,dx +9\int dx = \frac{x^9}{9}+\frac{2x^3}{3}-3x^2 + 9x + C</math> (<math>C</math> は積分定数) == 定積分 == 関数<math>f(x)</math>の原始関数の一つを<math>F(x)</math>とする。この原始関数に値を代入して、その値の差を求める操作を、'''定積分'''と呼び、<math>\int ^b_a f(x) dx</math>と書く。つまり、 :<math> \int ^b_a f(x) dx = F(b) - F(a) </math> である。 <math>[f(x)]_a^b = f(b)-f(a)</math><ref><math>f(x)\|_a^b</math> で表される時もある</ref>とする。このようにすると、<math>\int ^b_a f(x) dx =[F(x)]_a^b = F(b) - F(a)</math>と計算できる。定積分の値は原始関数の選択によらない。実際、原始関数として、 <math>F(x)+C</math> を選び、定積分を計算すると、<math> \int ^b_a f(x) dx = (F(b)+C) - (F(a)+C) = F(b)-F(a) </math> となり、原始関数としてどれを選んでも定積分の値は一定であることがわかる。<ref>なので、実際に定積分の計算をする場合、原始関数として定数項が0となる関数を選んだ方が計算がしやすくなる。</ref> 関数 <math>f(x),g(x)</math> に対して、原始関数をそれぞれ <math>F(x),G(x)</math> とする。 <math>k</math> を実数として、 <math>\int_a^b kf(x)\,dx = kF(b)-kF(a)=k(F(b)-F(a)) = k\int_a^b f(x)\,dx </math> <math>\int_a^b \{f(x)+g(x)\}dx=[F(x)+G(x)]_a^b = F(b)+G(b)-(F(a)+G(a))=F(b)-F(a)+G(b)-G(a) = \int_a^bf(x)\,dx+\int_a^bg(x)\,dx</math> <math>\int_a^af(x)\,dx = F(a)-F(a)=0 </math> <math>\int_b^a f(x)\,dx=F(a)-F(b)=-(F(b)-F(a))=-\int_a^bf(x)\,dx</math> <math>\int_a^b f(x)\,dx =F(b)-F(a)=(F(b)-F(c))+(F(c)-F(a)) = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x) \, dx </math> が成り立つ。 ===== 例 ===== <math>\int_2^5x^3dx</math>を求める。 <math>\frac{1}{4}x^4</math>は、微分すると、<math>x^3</math>なので、<math>\frac{1}{4}x^4</math>は<math>x^3</math>の原始関数の一つである。よって<math>\int_2^5x^3dx = \left[\frac{1}{4}x^4\right]_2^5 = \frac{1}{4}5^4 - \frac{1}{4}2^4 = \frac{609}{4}</math>である。 <math>\frac{1}{4}x^4+1</math>も、微分すると、<math>x^3</math>なので、<math>\frac{1}{4}x^4+1 </math>は<math>x^3</math>の原始関数の一つである。よって、<math>\int_2^5x^3dx = \left[\frac{1}{4}x^4+1\right]_2^5 = \left(\frac{1}{4}5^4 + 1\right) - \left(\frac{1}{4}2^4 + 1\right) = \frac{609}{4}</math>と求めることもできる。 == 微分積分学の基本定理 == aを定数とするとき、定積分<math> \int_a^x f(t)\,dt</math>はxの関数になる。<br> 関数<math>f(t)</math>の原始関数の一つを<math>F(t)</math>とすると :<math>\int_a^x f(t)\,dt=F(x)-F(a)</math> この両辺をxで微分すると、<math>F(a)</math>は定数であるから :<math>\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt=\frac{d}{dx} F(x) = f(x)</math><!-- この微分積分学の基本定理は「積分した関数を微分すると元の関数に戻る」ということを主張している。つまり、微分と積分は逆の演算であるということである。そもそも我々は不定積分を「微分したら元の関数になる関数」と定義していたのであった。定義からこの定理が成り立つのは当然のように思え、基本定理なんて仰々しいが名前つけられることに疑問を感じる人もいるかも知れない。後述するが、積分は面積を求めることと密接な --> {\| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing="0" \| style="background:pink" \|'''<math>\int_a^x f(t)\,dt</math>の導関数''' \|- \| style="padding:5px" \| <center><math>\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt= f(x)</math></center> \|} == 定積分と面積 == 関数<math>f(x)</math>が<math>a \leqq x \leqq b</math>の範囲で常に正であるとする。このとき、定積分<math>\int _a^b f(x) dx</math>によって、関数<math>f(x)</math>のグラフと、直線<math>x=a</math>、直線<math>x=b</math>、<math>x</math>軸で囲まれた部分の面積を求めることができる。<!-- 図 --> 関数<math>f(x)</math>のグラフと、直線<math>x=a</math>、直線<math>x=c</math>と、<math>x</math>軸で囲まれた部分の面積を<math>S(c)</math>とすることによって、関数<math>S(x)</math>を定める。(<math>a \leqq x \leqq b</math>とする) 関数<math>f(x)</math>のグラフと、直線<math>x=c</math>、直線<math>x=c+h</math>と、<math>x</math>軸で囲まれた部分の面積を考える(<math>a \leqq c+h \leqq b</math>とする)。これは、<math>S(c+h)-S(c)</math>である。ここで、<math>c<t<c+h</math>なる<math>t</math>をとってきて、その点における<math>f(x)</math>の値<math>f(t)</math>を高さとする長方形の面積を考えることで、<math>t</math>を上手にとれば、<math> S(c+h) - S(c)=h \cdot f(t) </math>とできる。両辺を<math>h</math>で割り、<math>h \to 0</math>の極限を考えると、 :<math>\lim_{h \to 0} \frac{S(c+h) - S(c)}{h} =\lim_{h \to 0} f(t)</math> であるが、左辺は微分の定義より<math>S'(c)</math>であり、<math>\lim_{h \to 0} t=c</math>であることに注意すると右辺は<math>f(c)</math>である。文字を<math>c</math>から<math>x</math>に取り換えると、結局 :<math>S'(x)=f(x)</math> が得られる。つまり、<math>S(x)</math>は<math>f(x)</math>の原始関数の一つであることが分かる。よって、<math>\int _a^b f(x) dx = S(b) - S(a)</math>であるが、この式の右辺は、関数<math>f(x)</math>のグラフと、直線<math>x=a</math>、直線<math>x=b</math>と、<math>x</math>軸で囲まれた面積である。よって、左辺<math>\int _a^b f(x) dx</math>は、関数<math>f(x)</math>のグラフと、直線<math>x=a</math>、直線<math>x=b</math>と、<math>x</math>軸で囲まれた面積を表している。 {\| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing="0" \| style="background:pink" \|'''定積分と面積の関係''' \|- \| style="padding:5px" \| <math>a \le x \le b</math>　で、　<math>f(x) \ge 0</math>　のとき、直線 <math>x=a,x=b</math> と <math>x</math> 軸、 <math>f(x)</math> で囲まれる面積 <math>S</math> は <center><math>S= \int_a^b f(x)\,dx</math></center> \|} 歴史的には、積分は、関数のグラフで囲まれた部分の面積を求めるために考え出された。この節で述べたような微分との関連は積分自体の発明よりずっと後になって発見されたことである。例として、 <math>0 \leqq x \leqq 1</math>の範囲で、y = xのグラフとx軸ではさまれた部分の面積を、積分を用いて計算する。 ( 実際にはこれは三角形なので、積分を用いなくても面積を計算することが出来る。答は<math> \frac 1 2</math> となる。 ) 定積分を行なうと、 <math> \int_0^1 x dx </math> <math> = \frac 1 2 [x^2]^1_0 </math> <math> = \frac 1 2 [1^2 - 0^2] </math> <math> = \frac 1 2 [1 - 0] </math> <math> = \frac 1 2 </math> となり確かに一致する。 '''演習問題''' 放物線<math>y=5-x^2</math>とx軸および2直線<math>x=-1\ ,\ x=2</math>で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 '''解答''' この放物線は<math>-1 \le x \le 2</math>でx軸の上側にあるから、 :<math>S= \int_{-1}^{2} (5-x^2)\,dx=\left[5x - \frac{x^3}{3} \right]^{2}_{-1} =12</math><br> <br> <math>a \le x \le b</math>　において、常に　<math>f(x) \ge g(x)</math>　であるとき、2つの曲線　<math>y=f(x)\ ,\ y=g(x)</math>　に挟まれる部分の面積Sは、次の式で表される。 {\| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing="0" \| style="background:pink" \|曲線 <math>y=f(x),y=g(x)</math> の間の面積 \|- \| style="padding:5px" \| <math>a \le x \le b</math>　で、　<math>f(x) \ge g(x)</math>　のとき、 <center><math>S= \int_a^b \left\{ f(x)-g(x) \right\}\,dx</math></center> \|} 問題例問題放物線<math>y=x^2 -1</math>と直線<math>y=x+1</math>によって囲まれた部分の面積Sを求めよ。解答放物線と直線の交点のx座標は :<math>x^2 -1=x+1</math> :<math>x^2 -x-2=0</math> :<math>x=-1\ ,\ x=2</math> <math>-1 \le x \le 2</math>の範囲で<math>x^2 -1 \le x+1</math>より :<math>S= \int_{-1}^{2} \left\{ (x+1)-(x^2 -1) \right\}\,dx= \int_{-1}^{2} (-x^2+x+2)\,dx=\left[- \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} +2x \right]^{2}_{-1} = \frac{9}{2}</math><br> <br> <br> <math>a \le x \le b</math>　で、　<math>f(x) \le 0</math>　のとき、x軸<math>y=0</math>と曲線<math>y=f(x)</math>によって挟まれていると考えられるので、 :<math>S= \int_a^b \left\{ 0-f(x) \right\}\,dx = - \int_a^b f(x)\,dx</math> となる。 {\| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:pink"\|'''面積(3)''' \|- \|style="padding:5px"\| <math>a \le x \le b</math>　で、　<math>f(x) \le 0</math>　のとき、 <center><math>S=- \int_a^b f(x)\,dx</math></center> \|} * 問題例問題放物線<math>y=x^2 -2x</math>とx軸で囲まれた部分の面積Sを求めよ。解答放物線とx軸の交点のx座標は :<math>x^2 -2x=0</math> :<math>x=0\ ,\ x=2</math> この放物線は<math>0 \le x \le 2</math>でx軸の下側にあるから、 :<math>S=- \int_0^2 (x^2 -2x)\,dx=- \left[\frac{x^3}{3} -x^2 \right]^{2}_{0} = \frac{4}{3}</math> {{コラム\|物理学と微分積分\| [[File:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg\|thumb\|ニュートン]] 微分積分は、物理学でも運動方程式の計算などに応用されている。 1600年代、ニュートンなどの研究により、運動の法則を微分積分を使った式で表現できることが解明された。なお、ニュートンは著書として『プリンピキア』をあわらし、その著書でニュートンは運動の法則が微分積分で表されることを述べ、力学（りきがく）の理論を進歩させた。なお、微分積分を研究した同時代の数学者には、ニュートンの他にもライプニッツがいる。 }} ==本当にちょっとした余談== 高校数学をしていると「将来微分とか積分とか何に使う？」と思う人の方が多いと思う。確かに日常生活では、積分などの高度な数学は使わない。だがその一方裏では積分や微分、高校数学では収まらないような数学が使われている。例えば台風の進路予想。これは積分を使い台風の進路を予測している。他にもセキュリティの強化などにも数学は使われている。日常生活では数学は使わないが、数学に親しみを持ってみてはどうだろうか。 == 演習問題 == (1)<math>F(x)=2x^2</math>のとき <math>f(x)</math>を求めよ。ただし<math>F'(x)</math> (2)<math>\lim_{x\rightarrow c}x^2+x=11</math>となる<math>c</math>を求めよ (3)原始関数、定積分を求めよ 1)<math>\int ^5_3 2x^9+(6x-2x^3)dx</math> 2)<math>\int \sin x+\tan xdx</math> 3)<math>\lim_{x\rightarrow0}\int ^5_x 2xdx</math> 4)<math>\int ^{60}_{-60} \sin x+\cos^2xdx</math> ==演習問題の解答とその手引き== (1)<math>f(x)=x^3</math> 冪乗の微分は<math>y'=nx^n-1</math> であるため不定積分の定義より<math>f(x)=x^3</math>である。 == 脚注 == <references/> {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくII ひふんせきふん}} [[Category:高等学校数学II\|ひふんせきふん]] [[カテゴリ:微分積分学]]	2005-05-06T11:56:28Z	2023-11-09T05:59:48Z	[ "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:コラム" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6II/%E5%BE%AE%E5%88%86%E3%83%BB%E7%A9%8D%E5%88%86%E3%81%AE%E8%80%83%E3%81%88
1,925	蛋白質	蛋白質生物は細胞内や細胞間の様々な機能に支えられており,その機能は蛋白質なくしてはなしえない. ここでは,蛋白質の構造とその機能について基本的な事項を解説する. 蛋白質とは,アミノ酸をモノマーとするポリマー(ポリペプチド)のうち,機能を持つもののことである.	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "蛋白質", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "生物は細胞内や細胞間の様々な機能に支えられており,その機能は蛋白質なくしてはなしえない. ここでは,蛋白質の構造とその機能について基本的な事項を解説する.", "title": "序論" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "蛋白質とは,アミノ酸をモノマーとするポリマー(ポリペプチド)のうち,機能を持つもののことである.", "title": "蛋白質とは" } ]	蛋白質	'''蛋白質''' ==序論== 生物は細胞内や細胞間の様々な機能に支えられており，その機能は蛋白質なくしてはなしえない．ここでは，蛋白質の構造とその機能について基本的な事項を解説する． ==蛋白質とは== 蛋白質とは，アミノ酸をモノマーとするポリマー（ポリペプチド）のうち，機能を持つもののことである． [[Category:高等学校教育\|生たんはくしつ]] [[Category:生物学\|高たんはくしつ]]	null	2007-01-20T16:23:15Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%9B%8B%E7%99%BD%E8%B3%AA
1,927	HTML/リスト	箇条書きを書きたい場合など、下記の節のようにリスト(List)を定義します。リストには「順不同リスト」「序列リスト」と「定義リスト」があります。このうち「順不同リスト」と「序列リスト」のマークアップは共通していますが「定義リスト」のマークアップは2つとは異なります。「順不同リスト」と「序列リスト」ではのように、内部をLI要素を用いて各要素を指定し外側のリスト要素(UL要素など)で表示方法を指定します。なお、内部のLI要素の冒頭の「l」は、小文字のLですので注意してください。内部のLI要素によって記述された部分は、ウェブブラウザのユーザーエージェント・スタイルシートでは行頭にインデントがとられ各項目は強制的に改行されます。また、行頭には黒丸や数字が表示されるものもありますがウェブブラウザの種類やウェブページ側の設定によって黒丸や数字以外のものが表示される場合もあります。 UL要素はアイテムのリストを表しますが、アイテムの順序は重要ではありません。 UL要素の内容にはLI要素しか許されません。リストの中にリストを入れることもできます。この際、内側のリストはインデントされる事に注意してください。表示結果の例普通の実効環境では、インデントが適用されるのはリスト項目だけでなく、内側のulタグで囲まれた部分全体になります。たとえば、ソース例とすると、リスト中でリスト項目外にテキストを書いても、特に追加のインデントなどは無いので、項目の備考などを書きたい場合には、そのままでは不便です。そこで、下記のように div タグによるスタイル指定などを用いて、インデントが出来ます。(リストに限らず、一般的にHTMLでインデントをする場合の手法です。) ソース例 CSSのlist-style-typeプロパティをUL要素に適用すると、リスト全体のリストマークの種類を変更することが出来ます。 CSSのlist-style-typeプロパティをUL要素の子要素のLI要素に適用すると、個々のリスト要素のリストマークの種類を変更することが出来ます。リストマークのデザインや使えるリストマークの種類はウェブブラウザによって異なる場合があります。 OL要素は、アイテムのリストを表し、アイテムが意図的に順序付けられており順序を変更するとドキュメントの意味が変わるようなケースに用いられます。一般的なウェブブラウザでは1, 2, 3, ... や A, B, C, ... とレンダリングされる事が多く、個々の項目はUL要素の時と同様LI要素を用います。 CSSのlist-style-typeプロパティをOL要素に適用するとリスト全体の列挙表現を変更することが出来ます。 CSSのlist-style-typeプロパティをOL要素の子要素のLI要素に適用すると、個々のリスト要素の列挙表現を変更することが出来ます。列挙表現のデザインや使える列挙表現はウェブブラウザによって異なる場合があります。 OL要素にvalue属性を指定すると開始番号を変更可能である。例えばvalue属性に5を指定するとLI要素には上から順番に5, 6, 7, ...という番号が振られる。また、個別のli属性にstart属性を変更することでリストの途中から開始番号を変更することが出来る。例えばリスト中の3番目にあるリストに9というvalue属性値を付与した場合、そのリストは三番目の項目から9, 10, 11, ...という番号が振られるようになる。用語の定義のような名前と説明が対になったリストにはDL要素を用います。 DT要素は、UL要素やOL要素と違い、LI要素ではなくDT要素とDD要素とDIV要素から構成されます。 DT要素は定義される用語(名前)を示し、DD要素は用語の説明を示します。 DT要素にはDT要素とDD要素とDIV要素のみを含むことが出来ます。 DT要素はインライン要素を含むことができます。 DD要素はブロックレベル要素を含むことが出来ます。次の例は、ウィキブックスの姉妹プロジェクトを説明しています。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "箇条書きを書きたい場合など、下記の節のようにリスト(List)を定義します。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "リストには「順不同リスト」「序列リスト」と「定義リスト」があります。このうち「順不同リスト」と「序列リスト」のマークアップは共通していますが「定義リスト」のマークアップは2つとは異なります。", "title": "概要" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "「順不同リスト」と「序列リスト」では", "title": "概要" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "のように、内部をLI要素を用いて各要素を指定し外側のリスト要素(UL要素など)で表示方法を指定します。なお、内部のLI要素の冒頭の「l」は、小文字のLですので注意してください。内部のLI要素によって記述された部分は、ウェブブラウザのユーザーエージェント・スタイルシートでは行頭にインデントがとられ各項目は強制的に改行されます。また、行頭には黒丸や数字が表示されるものもありますがウェブブラウザの種類やウェブページ側の設定によって黒丸や数字以外のものが表示される場合もあります。", "title": "概要" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "UL要素はアイテムのリストを表しますが、アイテムの順序は重要ではありません。 UL要素の内容にはLI要素しか許されません。", "title": "順不同リスト" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "リストの中にリストを入れることもできます。", "title": "順不同リスト" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "この際、内側のリストはインデントされる事に注意してください。", "title": "順不同リスト" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "表示結果の例", "title": "順不同リスト" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "普通の実効環境では、インデントが適用されるのはリスト項目だけでなく、内側のulタグで囲まれた部分全体になります。たとえば、", "title": "順不同リスト" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "ソース例", "title": "順不同リスト" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "とすると、", "title": "順不同リスト" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "リスト中でリスト項目外にテキストを書いても、特に追加のインデントなどは無いので、項目の備考などを書きたい場合には、そのままでは不便です。", "title": "順不同リスト" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "そこで、下記のように div タグによるスタイル指定などを用いて、インデントが出来ます。(リストに限らず、一般的にHTMLでインデントをする場合の手法です。)", "title": "順不同リスト" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "ソース例", "title": "順不同リスト" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "", "title": "順不同リスト" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "CSSのlist-style-typeプロパティをUL要素に適用すると、リスト全体のリストマークの種類を変更することが出来ます。 CSSのlist-style-typeプロパティをUL要素の子要素のLI要素に適用すると、個々のリスト要素のリストマークの種類を変更することが出来ます。リストマークのデザインや使えるリストマークの種類はウェブブラウザによって異なる場合があります。", "title": "順不同リスト" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "OL要素は、アイテムのリストを表し、アイテムが意図的に順序付けられており順序を変更するとドキュメントの意味が変わるようなケースに用いられます。一般的なウェブブラウザでは1, 2, 3, ... や A, B, C, ... とレンダリングされる事が多く、個々の項目はUL要素の時と同様LI要素を用います。", "title": "序列リスト" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "CSSのlist-style-typeプロパティをOL要素に適用するとリスト全体の列挙表現を変更することが出来ます。 CSSのlist-style-typeプロパティをOL要素の子要素のLI要素に適用すると、個々のリスト要素の列挙表現を変更することが出来ます。列挙表現のデザインや使える列挙表現はウェブブラウザによって異なる場合があります。", "title": "序列リスト" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "OL要素にvalue属性を指定すると開始番号を変更可能である。例えばvalue属性に5を指定するとLI要素には上から順番に5, 6, 7, ...という番号が振られる。また、個別のli属性にstart属性を変更することでリストの途中から開始番号を変更することが出来る。例えばリスト中の3番目にあるリストに9というvalue属性値を付与した場合、そのリストは三番目の項目から9, 10, 11, ...という番号が振られるようになる。", "title": "序列リスト" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "用語の定義のような名前と説明が対になったリストにはDL要素を用います。 DT要素は、UL要素やOL要素と違い、LI要素ではなくDT要素とDD要素とDIV要素から構成されます。 DT要素は定義される用語(名前)を示し、DD要素は用語の説明を示します。 DT要素にはDT要素とDD要素とDIV要素のみを含むことが出来ます。 DT要素はインライン要素を含むことができます。 DD要素はブロックレベル要素を含むことが出来ます。", "title": "定義リスト" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "次の例は、ウィキブックスの姉妹プロジェクトを説明しています。", "title": "定義リスト" } ]	箇条書きを書きたい場合など、下記の節のようにリスト(List)を定義します。	{{Pathnav\|HTML\|frame=1\|small=1}} 箇条書きを書きたい場合など、下記の節のようにリスト(List)を定義します<ref>HTML5には List という分類はなくHTML4まで List とされた要素は、P要素やMAIN要素などとともに [https://html.spec.whatwg.org/multipage/grouping-content.html#grouping-content §4.4 Grouping content]に分類されました。</ref>。 == 概要 == リストには「順不同リスト」「序列リスト」と「定義リスト」があります。このうち「順不同リスト」と「序列リスト」のマークアップは共通していますが「定義リスト」のマークアップは2つとは異なります。「順不同リスト」と「序列リスト」では <pre> <リスト要素> <li>ごはん</li> <li>味噌汁</li> <li>焼き魚</li> </リスト要素> </pre> のように、内部をLI要素を用いて各要素を指定し外側のリスト要素(UL要素など)で表示方法を指定します。なお、内部のLI要素の冒頭の「l」は、小文字のLですので注意してください<ref>先頭が数字で始まる要素はありません。</ref>。内部のLI要素によって記述された部分は、ウェブブラウザのユーザーエージェント・スタイルシートでは行頭にインデントがとられ各項目は強制的に改行されます。また、行頭には黒丸や数字が表示されるものもありますがウェブブラウザの種類やウェブページ側の設定によって黒丸や数字以外のものが表示される場合もあります。 == 順不同リスト == UL要素はアイテムのリストを表しますが、アイテムの順序は重要ではありません。 UL要素の内容にはLI要素しか許されません。 === 入力例 === <syntaxhighlight lang="html5"> <ul> <li>ごはん</li> <li>味噌汁</li> <li>焼き魚</li> </ul> </syntaxhighlight> === 表示例 === <ul> <li>ごはん</li> <li>味噌汁</li> <li>焼き魚</li> </ul> === リストの入れ子 === リストの中にリストを入れることもできます。この際、内側のリストはインデントされる事に注意してください。 <syntaxhighlight lang="html5"> <ul> <li>ごはん</li> <li>味噌汁</li> <ul> <li>赤味噌</li> <li>白味噌</li> </ul> <li>焼き魚</li> </ul> </syntaxhighlight> 表示結果の例 <ul> <li>ごはん</li> <li>味噌汁</li> <ul> <li>赤味噌</li> <li>白味噌</li> </ul> <li>焼き魚</li> </ul> 普通の実効環境では、インデントが適用されるのはリスト項目だけでなく、内側のulタグで囲まれた部分全体になります。たとえば、ソース例 <syntaxhighlight lang="html5"> <ul> <li>ごはん</li> <li>味噌汁</li> <ul> <li>赤味噌</li>あああ<br>あああああ<br>ああ<br>ああああ <li>白味噌</li> </ul> <li>焼き魚</li> </ul> </syntaxhighlight> とすると、 ;実行結果 <ul> <li>ごはん</li> <li>味噌汁</li> <ul> <li>赤味噌</li>あああ<br>あああああ<br>ああ<br>ああああ <li>白味噌</li> </ul> <li>焼き魚</li> </ul> === リスト中での追記などのインデント === リスト中でリスト項目外にテキストを書いても、特に追加のインデントなどは無いので、項目の備考などを書きたい場合には、そのままでは不便です。そこで、下記のように div タグによるスタイル指定などを用いて、インデントが出来ます。（リストに限らず、一般的にHTMLでインデントをする場合の手法です。）ソース例 <syntaxhighlight lang="html5"> <ul> <li>ごはん</li> <li>味噌汁</li> <ul> <li>赤味噌</li><div style="margin-left: 1em;">大豆が多め</div> <li>白味噌</li><div style="margin-left: 1em;">米が多め</div> </ul> <li>焼き魚</li> </ul> </syntaxhighlight> ;実行結果 <ul> <li>ごはん</li> <li>味噌汁</li> <ul> <li>赤味噌</li><div style="margin-left: 1em;">大豆が多め</div> <li>白味噌</li><div style="margin-left: 1em;">米が多め</div> </ul> <li>焼き魚</li> </ul> === 詳細設定 === ==== リストマークの種類を変える ==== [[CSS]]のlist-style-typeプロパティをUL要素に適用すると、リスト全体のリストマークの種類を変更することが出来ます。 CSSのlist-style-typeプロパティをUL要素の子要素のLI要素に適用すると、個々のリスト要素のリストマークの種類を変更することが出来ます。リストマークのデザインや使えるリストマークの種類はウェブブラウザによって異なる場合があります。 ; list-style-type: disc : 黒丸 ; list-style-type: circle : 白丸 ; list-style-type: square : 四角型 == 序列リスト == OL要素は、アイテムのリストを表し、アイテムが意図的に順序付けられており順序を変更するとドキュメントの意味が変わるようなケースに用いられます。一般的なウェブブラウザでは1, 2, 3, ... や A, B, C, ... とレンダリングされる事が多く、個々の項目はUL要素の時と同様LI要素を用います。 === 入力例 === <syntaxhighlight lang="html5"> <ol> <li>○○駅で電車に乗る</li> <li>××駅で乗り換える</li> <li>△△駅で降りる</li> </ol> </syntaxhighlight> === 表示例 === <ol> <li>○○駅で電車に乗る</li> <li>××駅で乗り換える</li> <li>△△駅で降りる</li> </ol> === 詳細設定 === ==== 番号の種類を変える ==== [[CSS]]のlist-style-typeプロパティをOL要素に適用するとリスト全体の列挙表現を変更することが出来ます。 CSSのlist-style-typeプロパティをOL要素の子要素のLI要素に適用すると、個々のリスト要素の列挙表現を変更することが出来ます。列挙表現のデザインや使える列挙表現はウェブブラウザによって異なる場合があります。 ; list-style-type<nowiki>:</nowiki> decimal : <ol style="list-style-type:decimal"><li>算用数字<li>算用数字<li>算用数字</ol> ; list-style-type<nowiki>:</nowiki> lower-latin : <ol style="list-style-type:lower-latin"><li>アルファベット小文字<li>アルファベット小文字<li>アルファベット小文字</ol> ; list-style-type<nowiki>:</nowiki> upper-latin : <ol style="list-style-type:upper-latin"><li>アルファベット大文字<li>アルファベット大文字<li>アルファベット大文字</ol> ; list-style-type<nowiki>:</nowiki> lower-roman : <ol style="list-style-type:lower-roman"><li>ローマ数字小文字<li>ローマ数字小文字<li>ローマ数字小文字</ol> ; list-style-type<nowiki>:</nowiki> upper-roman : <ol style="list-style-type:upper-roman"><li>ローマ数字大文字<li>ローマ数字大文字<li>ローマ数字大文字</ol> ; list-style-type<nowiki>:</nowiki> lower-greek : <ol style="list-style-type:lower-greek"><li>ギリシャ文字小文字<li>ギリシャ文字小文字<li>ギリシャ文字小文字</ol> ; list-style-type<nowiki>:</nowiki> upper-greek : <ol style="list-style-type:upper-greek"><li>ギリシャ文字大文字<li>ギリシャ文字大文字<li>ギリシャ文字大文字</ol> ; list-style-type<nowiki>:</nowiki> cjk-decimal : <ol style="list-style-type:cjk-decimal"><li>漢数字<li>漢数字<li>漢数字</ol> ; list-style-type<nowiki>:</nowiki> katakana-iroha : <ol style="list-style-type:katakana-iroha"><li>片仮名イロハ<li>片仮名イロハ<li>片仮名イロハ</ol> ; list-style-type<nowiki>:</nowiki> cjk-earthly-branch : <ol style="list-style-type:cjk-earthly-branch"><li>十二支<li>十二支<li>十二支</ol> ; list-style-type<nowiki>:</nowiki> cjk-heavenly-stem : <ol style="list-style-type:cjk-heavenly-stem"><li>十干<li>十干<li>十干</ol> ; list-style-type<nowiki>:</nowiki> thai : <ol style="list-style-type:thai"><li>タイ文字<li>タイ文字<li>タイ文字</ol> ==== 数字の順番を変える ==== OL要素にvalue属性を指定すると開始番号を変更可能である。例えばvalue属性に5を指定するとLI要素には上から順番に5, 6, 7, ...という番号が振られる。また、個別のli属性にstart属性を変更することでリストの途中から開始番号を変更することが出来る。例えばリスト中の3番目にあるリストに9というvalue属性値を付与した場合、そのリストは三番目の項目から9, 10, 11, ...という番号が振られるようになる。 === 入力例 === <syntaxhighlight lang="html5"> <ol> <li>○○駅で電車に乗る</li> <li value="5">××駅で乗り換える</li> <li>△△駅で降りる</li> </ol> </syntaxhighlight> === 表示例 === <ol> <li>○○駅で電車に乗る</li> <li value="5">××駅で乗り換える</li> <li>△△駅で降りる</li> </ol> == 定義リスト == 用語の定義のような名前と説明が対になったリストにはDL要素を用います。 DT要素は、UL要素やOL要素と違い、LI要素ではなくDT要素とDD要素と<ins>DIV要素</ins><ref name="dl_w_div" />から構成されます。 DT要素は定義される用語（名前）を示し、DD要素は用語の説明を示します。 DT要素にはDT要素とDD要素<ins>とDIV要素</ins><ref name="dl_w_div">HTML5ではDL要素の直下の子要素にDIV要素が許されるようになりました。</ref>のみを含むことが出来ます。 DT要素はインライン要素を含むことができます。 DD要素はブロックレベル要素を含むことが出来ます。次の例は、ウィキブックスの姉妹プロジェクトを説明しています。 === 記述例 === <syntaxhighlight lang="html5"> <dl> <dt>メタウィキ</dt> <dd>全プロジェクトの補助的プロジェクトです。</dd> <dt>ウィキペディア</dt> <dd>百科事典を作成するプロジェクトです。</dd> <dt>ウィクショナリー</dt> <dd>辞書・シソーラス作成プロジェクトです。</dd> </dl> </syntaxhighlight> === 表示例 === <dl> <dt>メタウィキ</dt> <dd>全プロジェクトの補助的プロジェクトです。</dd> <dt>ウィキペディア</dt> <dd>百科事典を作成するプロジェクトです。</dd> <dt>ウィクショナリー</dt> <dd>辞書・シソーラス作成プロジェクトです。</dd> </dl> == 脚注 == <references /> == 外部リンク == * [https://html.spec.whatwg.org/multipage/grouping-content.html#the-ol-element HTML Living Standard::§4.4.5 The ol element] * [https://html.spec.whatwg.org/multipage/grouping-content.html#the-ul-element HTML Living Standard::§4.4.6 The ul element] * [https://html.spec.whatwg.org/multipage/grouping-content.html#the-li-element HTML Living Standard::§4.4.8 The ul element] * [https://html.spec.whatwg.org/multipage/grouping-content.html#the-dl-element HTML Living Standard::§4.4.9 The dl element] * [https://html.spec.whatwg.org/multipage/grouping-content.html#the-dt-element HTML Living Standard::§4.4.10 The dt element] * [https://html.spec.whatwg.org/multipage/grouping-content.html#the-dd-element HTML Living Standard::§4.4.11 The dd element] * [https://drafts.csswg.org/css-lists-3/#text-markers CSS Lists and Counters Module Level 3::§3.4. Text-based Markers: the list-style-type property] [[Category:HTML\|HTML りすと]]	2005-05-07T10:39:22Z	2023-07-25T11:40:40Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/HTML/%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%83%88
1,928	旧課程(-2012年度)高等学校数学A	平成15年(2003年)から平成23年(2011年)までの間に高等学校に入学した人の履修する科目「数学A」は以下の単元からなっています。平成24年(2012年)から令和3年(2021年)までの間に高等学校に入学する人の履修する科目「数学A」は、以下の単元からなっています。令和4年(2022年)以降に高等学校に入学する人は、以下の単元からなる「数学A」を履修します。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "平成15年(2003年)から平成23年(2011年)までの間に高等学校に入学した人の履修する科目「数学A」は以下の単元からなっています。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "平成24年(2012年)から令和3年(2021年)までの間に高等学校に入学する人の履修する科目「数学A」は、以下の単元からなっています。", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "令和4年(2022年)以降に高等学校に入学する人は、以下の単元からなる「数学A」を履修します。", "title": "" } ]	平成15年(2003年)から平成23年(2011年)までの間に高等学校に入学した人の履修する科目「数学A」は以下の単元からなっています。個数の処理確率命題と証明平面図形平成24年(2012年)から令和3年(2021年）までの間に高等学校に入学する人の履修する科目「数学A」は、以下の単元からなっています。場合の数と確率整数の性質図形の性質令和4年(2022年)以降に高等学校に入学する人は、以下の単元からなる「数学A」を履修します。図形の性質場合の数と確率数学と人間の活動	{{pathnav\|高等学校の学習\|高等学校数学\|frame=1}} 平成15年(2003年)から平成23年(2011年)までの間に高等学校に入学した人の履修する科目「数学A」は以下の単元からなっています。個数の処理確率 [[高等学校数学A/集合と論理\|命題と証明]] 平面図形平成24年(2012年)から令和3年(2021年）までの間に高等学校に入学する人の履修する科目「数学A」は、以下の単元からなっています。 * [[高等学校数学A/場合の数と確率\|場合の数と確率]] * [[高等学校数学A/整数の性質\|整数の性質]] * [[高等学校数学A/図形の性質\|図形の性質]] 令和4年(2022年)以降に高等学校に入学する人は、以下の単元からなる「数学A」を履修します。 * [[高等学校数学A/図形の性質\|図形の性質]] * [[高等学校数学A/場合の数と確率\|場合の数と確率]] * [[高等学校数学A/数学と人間の活動\|数学と人間の活動]] {{DEFAULTSORT:旧1 こうとうかつこうすうかくA}} [[Category:数学]] [[Category:数学教育]] [[Category:学校教育]] [[Category:普通教育]] [[Category:後期中等教育]] [[Category:高等学校教育]] [[Category:高等学校数学A\|*]]	2005-05-08T02:33:21Z	2024-03-19T14:00:46Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%97%A7%E8%AA%B2%E7%A8%8B(-2012%E5%B9%B4%E5%BA%A6)%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6A
1,929	旧課程(-2012年度)高等学校数学A/集合と論理	中学では、たとえば「自然数のあつまり」とか「9以下の自然数のあつまり」とか「負の整数のあつまり」のようなものを、集合(しゅうごう)と読んできた。では、数学でいう「集合」とは何か、これから考えていこう。数学では、ある集まりのうち、さらに、それに属しているか属してないかを明確に区別できる条件のある物のあつまりを集合(しゅうごう、英:set)という。例えば、「自然数」は「n > 0となる整数n の全体」という区別可能な条件があるので集合といえる。しかし「大きな数」というあつまりは、どこからが「大きな」数といえるのかがはっきりしないため、数学の「集合」ではない。ただし、「大きな数」を例えば「1億以上の整数」と区別できるように定義すれば集合になりえる。さて、数学的な「集合」を構成するもの一つ一つのことを、その集合の要素( ようそ、英:element)という。たとえば、「自然数の集合」の要素なら、自然数1や自然数2や自然数3、・・・などのひとつひとつの自然数がそれぞれ要素である。「 1 は自然数の集合の要素である」といえる。「 27 は自然数の集合の要素である」といえる。 (※ 範囲外? )なお、数学的には、区別がはっきりしさえすれば、例えば「△△高校の今の3年B組の生徒全員」等も集合として考えることができる。かならずしも「集合」とは「自然数」や「整数」などの数でなくてもいい。 (範囲外)数と数との対応関係である「関数」を、集合の各要素と集合の各要素との対応関係へと拡張することができる。(この集合は数の集合でなくても良い。)このような対応関係を写像と呼ぶ。詳しくは大学の「集合論」で扱うが、「全射」や「単射」など、知っておくと証明に便利な知識がある。 (範囲外ここまで) aが集合Aの要素であるとする。このとき、aは集合Aに属する(ぞくする)といい、記号で、と表す。 bがAの要素でないときは、と表す。集合をあらわすとき、主に2種類の方法がある。(例は「10以下の自然数のうち偶数であるもの」の集合を表す。) であるたとえば、「10以下の自然数のうち偶数であるもの」の集合を表す場合、(1) の方法(要素を書き並べる方法)では、となる。一方、(2)の方法(要素の満たす条件を述べる方法)では、などのようになる(何通りかある)。 100以下の自然数の集合 A を、さきほどの(1)「要素を書き並べる方法」の方法で書く場合、となる。また、この記法の「・・・」のように、要素の個数がとても多い場合や無数にある場合には、{ }記号内の要素の途中を「・・・」または「......」、「...」などの点々で省略してよい。 100以下の偶数の集合 B は、この記法(要素を書き並べる方法)では、のようになる。正の偶数全体の集合の要素は(1)「要素を書き並べる方法」の方法で書く場合、のようにも書ける。 2つの集合A,Bがあり、x∈A ならば x∈Bが成り立つとき、AはBの部分集合 (ぶぶんしゅうごう、英:subset)であるといい、「BはAを含む」か「AはBに含まれる」という。この状態を記号でまたはで表す。補足 Aの部分集合にはA自身もある。(つまり A ⊂ A である)。また、A,B の集合の要素が同じとき、で表す。集合 A = {1, 2, 3} と集合 B = {1, 2 , 3 , 4, 5} があるとき、A は Bの部分集合である。 2つの集合A,Bがあるときそれらの両方の要素であるものの集合を AとBの共通部分(きょうつうぶぶん)と呼び、と書く。また、集合A,Bの少なくともどちらか一方には属している要素からなる集合のことを、AとBの和集合(わしゅうごう、英:union)と呼び、と書く。 3つの集合 A, B, C については、3つのどれにも属する要素全体の集合を A,B,C の共通部分と呼び、 A ∩ B ∩ C で表す。また、集合 A, B, C の少なくとも1つに属する要素の集合を A,B,C の和集合と呼び、 A ∪ B ∪ C で表す。たとえば、「10以下の自然数のうちの偶数」の集合Aと、「10以下の自然数のうちの奇数」の集合Bについて、集合Aと集合Bの共通部分には、何も要素が無い。この例のように、「要素がなにもない」という場合もあるので、数学では「要素がなにもない」場合もひとつの集合として考える。要素をもたない集合のことを空集合(くうしゅうごう、英:empty set あるいは null set)といい、記号はであらわす。ギリシャ文字のファイ(φ, φ {\displaystyle \phi \ } )で表されることが多くあるが、厳密にはそれは誤りである。上の記号の他に ∅ {\displaystyle \emptyset } 等も用いられるが、この教科書では、 ∅ {\displaystyle \varnothing } を用いる。どのような集合Aにも、空集合は部分集合として含まれる。つまり、空集合でないある集合をAとすると、である。集合 { 1, 2 } の部分集合をすべて列挙すると、次の4つの集合になる。集合 U を1つ設定し、その集合の要素や部分集合のみを考える場合を考える。このようなとき、集合Uを全体集合(ぜんたいしゅうごう、英:universal set) という。全体集合Uの要素のうち、集合Aに属さないもの全体からなる集合のことをAの補集合 (ほしゅうごう、英:complement)といい、記号で補集合は A ̄ {\displaystyle {\overline {A}}} と表す。すなわちである。補集合について、次のことが成り立つ。下の図を用いて上の法則が正しい事を確かめよう。 A={x\|xは1以上20以下の2の倍数}・B={y\|yは1以上20以下の3の倍数}とする時、以下に適する集合の要素を列挙せよ。ただし、全体集合U={z\|zは1以上20以下の整数}とする。集合の要素のことを、ふるい呼び方ですが「元」(げん)とも言います。念のため例を示すと、たとえば「1以上かつ12以下の偶数の集合」と言えばたとえば、「10以下の自然数のうち偶数であるもの」の集合を集合Aとした場合、『「4」は集合Aの要素である』と言えますが、同様に「4」は集合Aぼ元であるとも言えます。例として「4」をあげましたが、別に「6」でも「10」でも構いません。「2」も「6」も「8」も「10」も、それぞれ上述した集合Aの要素(元)です。 (数学的に)正しいかどうかを明確に判断できる主張を命題(めいだい、英: proposition)と呼ぶ。例えば、「7は素数である」は命題の例である。 (一方、「5000は大きい数である」などは命題とはならない。なぜなら「大きい」という言葉の判断が主観的なものであり、判断に明確な基準が設定できないからである。) ある命題が明確に正しい(と証明される)とき、その命題は真(しん、英:truth)であると呼ぶ。(たとえば、命題「7は素数である」は真である。) 命題が真でないとき、命題は偽(ぎ、英:false)であると言う。たとえば、命題「もし x 2 = 4 {\displaystyle x^{2}=4} であれば x = 2 {\displaystyle x=2} である。」は、偽の命題である。この方程式は x = − 2 {\displaystyle x=-2} も解に持つ。上の命題「" x 2 = 4 {\displaystyle x^{2}=4} ならば x = 2 {\displaystyle x=2} である"」は x = − 2 {\displaystyle x=-2} もあてはまるので偽になった。命題 p ⇒ q {\displaystyle {\rm {p\Rightarrow q}}} が偽であるときは、 p {\displaystyle p} は満たすが q {\displaystyle q} を満たさない例が存在する。そのような例を反例(はんれい)という。命題が偽であることを示すには、反例を1つあげればよい。命題は、「pならばqである」の形式で書かれる場合が多い。「 pならばqである」という命題を、記号「 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow } 」を用いてと書く。また、この条件pをこの命題の仮定(かてい、英:assumption)といい、条件qをこの命題の結論(けつろん)と呼ぶ。次の命題の真偽を判定し、偽の場合は反例も挙げよ。条件や条件を含む命題を考えることは、集合を考えることと同じである。たとえば、実数 x について「x>3 ならば x>1 である」という命題は真である。ここで「x>3 である」という条件を p とし、また、x>3 である数の集合を P としよう。つまり P={x\| x>3 }である。同様に、「x>1である」という条件を q とし、x>1である数の集合を Q としよう。つまり Q={x\| x>1 }である。このとき、命題 p ⟹ q {\displaystyle {\rm {p\Longrightarrow q}}} は真であるが、これは集合の包含関係 P⊂Q が成り立つことに対応している。 2つの条件 p,q について、命題「p⇒q」が真であるとき、という。 2つの条件 p.q について、命題「p⇒q」と命題「q⇒p」の両方とも真であるとき、これをと書き、という。このとき、pとqを入れ替えることで、ともいえることがわかる。 p ⟺ q {\displaystyle {\rm {p\Longleftrightarrow q}}} であるとき、pとqは「同値(どうち)である」という。条件 p,q を満たすものの集合をそれぞれ P,Q とする。このとき、条件「pかつq」および「pまたはq」をあらわす図は、それぞれ右図のようになる。条件pに対し「pでない」の形の条件を pの否定 (ひてい、英:negation)といい、記号は p ̄ {\displaystyle {\overline {p}}} で表す。 (※ 高校では習わないが、否定の意味として、 ¬ p {\displaystyle \lnot {p}} という記号「¬」もある。) 条件を考えることは集合を考えることと同じなので、集合におけるド・モルガンの法則と同様に、条件においても、ド・モルガンの法則がなり立つ。命題「 p ⟹ q {\displaystyle {\rm {p\Longrightarrow q}}} 」に対してと呼ぶ。これらは、たがいに右図のような関係にある。たとえば、もとの命題をだとすると、この命題の場合、もとの命題と対偶は、ともに真である。いっぽう逆については x = -3 という反例があるので、この命題の場合、逆は正しくない。また、裏も同様に、正しくない。このような例から、次のことが分かる。では、もとの命題と対偶との関係は、どうなるだろうか。この考察をするため、条件pを満たすものを集合Pに対応させ、同様に条件qを満たすものを集合Qに対応させてみよう。右の集合の図は、p⇒qが真であることを表す図である。この図では、Pに属している要素は、Qにも属している。(つまり P ⊂ Q {\displaystyle {\rm {P\subset Q}}} である。)一方、Qに属していいない要素は、Pにも属していない。(つまり Q ̄ ⊂ P ̄ {\displaystyle {\rm {{\overline {Q}}\subset {\overline {P}}}}} である。) このことからから分かるように、つまり、一般の命題において、もとの命題と対偶との真偽は一致する。ある命題の結論を否定して、その否定のもとで矛盾が起こることを述べることで、その命題が真であることを導出する仕方を背理法(はいりほう、英: proof by contradiction など)と呼ぶ。たとえば、「Aではないことを証明せよ」という問題を解く時は「Aであると仮定する」と書き出して、仮定したことと矛盾する部分を作って「矛盾するのでAではない。」と証明を終える。素数は無限に存在する。素数が有限個であったと仮定する。すべての素数の積を a {\displaystyle a} とすると、 a + 1 {\displaystyle a+1} はどの素数で割っても1余ることになり、1以外の自然数であって、素数の積に分解できないものが存在することになる。 a + 1 {\displaystyle a+1} の約数のうち1以外で最も小さいものを b {\displaystyle b} とすると、 b {\displaystyle b} は1と b {\displaystyle b} 以外の約数を持たない。したがって b {\displaystyle b} が素数であることになるが、 a + 1 {\displaystyle a+1} がどの素数でも割り切れないことと矛盾する。したがって、素数は有限個ではない。■	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "中学では、たとえば「自然数のあつまり」とか「9以下の自然数のあつまり」とか「負の整数のあつまり」のようなものを、集合(しゅうごう)と読んできた。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "では、数学でいう「集合」とは何か、これから考えていこう。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "数学では、ある集まりのうち、さらに、それに属しているか属してないかを明確に区別できる条件のある物のあつまりを集合(しゅうごう、英:set)という。例えば、「自然数」は「n > 0となる整数n 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も解に持つ。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "上の命題「\" x 2 = 4 {\\displaystyle x^{2}=4} ならば x = 2 {\\displaystyle x=2} である\"」は x = − 2 {\\displaystyle x=-2} もあてはまるので偽になった。命題 p ⇒ q {\\displaystyle {\\rm {p\\Rightarrow q}}} が偽であるときは、 p {\\displaystyle p} は満たすが q {\\displaystyle q} を満たさない例が存在する。そのような例を反例(はんれい)という。命題が偽であることを示すには、反例を1つあげればよい。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "命題は、「pならばqである」の形式で書かれる場合が多い。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "「 pならばqである」という命題を、記号「 ⇒ {\\displaystyle \\Rightarrow } 」を用いて", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "と書く。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "また、この条件pをこの命題の仮定(かてい、英:assumption)といい、条件qをこの命題の結論(けつろん)と呼ぶ。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "次の命題の真偽を判定し、偽の場合は反例も挙げよ。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "条件や条件を含む命題を考えることは、集合を考えることと同じである。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "たとえば、実数 x について「x>3 ならば x>1 である」という命題は真である。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "ここで「x>3 である」という条件を p とし、また、x>3 である数の集合を P としよう。つまり P={x\| x>3 }である。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "同様に、「x>1である」という条件を q とし、x>1である数の集合を Q としよう。つまり Q={x\| x>1 }である。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "このとき、命題 p ⟹ q {\\displaystyle {\\rm {p\\Longrightarrow q}}} は真であるが、これは集合の包含関係 P⊂Q が成り立つことに対応している。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "2つの条件 p,q について、命題「p⇒q」が真であるとき、", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "という。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "2つの条件 p.q について、", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "命題「p⇒q」と命題「q⇒p」の両方とも真であるとき、これを", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "と書き、", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "という。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "このとき、pとqを入れ替えることで、", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "ともいえることがわかる。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "p ⟺ q {\\displaystyle {\\rm {p\\Longleftrightarrow q}}} であるとき、pとqは「同値(どうち)である」という。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "条件 p,q を満たすものの集合をそれぞれ P,Q とする。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "このとき、条件「pかつq」および「pまたはq」をあらわす図は、それぞれ右図のようになる。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "条件pに対し「pでない」の形の条件を pの否定 (ひてい、英:negation)といい、記号は p ̄ {\\displaystyle {\\overline {p}}} で表す。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "(※ 高校では習わないが、否定の意味として、 ¬ p {\\displaystyle \\lnot {p}} という記号「¬」もある。)", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "条件を考えることは集合を考えることと同じなので、集合におけるド・モルガンの法則と同様に、条件においても、ド・モルガンの法則がなり立つ。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "命題「 p ⟹ q {\\displaystyle {\\rm {p\\Longrightarrow q}}} 」に対して", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "と呼ぶ。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "これらは、たがいに右図のような関係にある。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": "たとえば、もとの命題を", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "だとすると、", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "この命題の場合、もとの命題と対偶は、ともに真である。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "いっぽう逆については x = -3 という反例があるので、この命題の場合、逆は正しくない。また、裏も同様に、正しくない。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 114, "tag": "p", "text": "このような例から、次のことが分かる。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 115, "tag": "p", "text": "では、もとの命題と対偶との関係は、どうなるだろうか。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 116, "tag": "p", "text": "この考察をするため、条件pを満たすものを集合Pに対応させ、同様に条件qを満たすものを集合Qに対応させてみよう。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 117, "tag": "p", "text": "右の集合の図は、p⇒qが真であることを表す図である。この図では、Pに属している要素は、Qにも属している。(つまり P ⊂ Q {\\displaystyle {\\rm {P\\subset Q}}} である。)一方、Qに属していいない要素は、Pにも属していない。(つまり Q ̄ ⊂ P ̄ {\\displaystyle {\\rm {{\\overline {Q}}\\subset {\\overline {P}}}}} である。) このことからから分かるように、", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 118, "tag": "p", "text": "つまり、一般の命題において、もとの命題と対偶との真偽は一致する。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 119, "tag": "p", "text": "ある命題の結論を否定して、その否定のもとで矛盾が起こることを述べることで、その命題が真であることを導出する仕方を背理法(はいりほう、英: proof by contradiction など)と呼ぶ。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 120, "tag": "p", "text": "たとえば、「Aではないことを証明せよ」という問題を解く時は「Aであると仮定する」と書き出して、仮定したことと矛盾する部分を作って「矛盾するのでAではない。」と証明を終える。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 121, "tag": "p", "text": "素数は無限に存在する。", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 122, "tag": "p", "text": "素数が有限個であったと仮定する。すべての素数の積を a {\\displaystyle a} とすると、 a + 1 {\\displaystyle a+1} はどの素数で割っても1余ることになり、1以外の自然数であって、素数の積に分解できないものが存在することになる。 a + 1 {\\displaystyle a+1} の約数のうち1以外で最も小さいものを b {\\displaystyle b} とすると、 b {\\displaystyle b} は1と b {\\displaystyle b} 以外の約数を持たない。したがって b {\\displaystyle b} が素数であることになるが、 a + 1 {\\displaystyle a+1} がどの素数でも割り切れないことと矛盾する。したがって、素数は有限個ではない。■", "title": "集合と論理" } ]	null	== 集合と論理 == === 集合とは === 中学では、たとえば「自然数のあつまり」とか「9以下の自然数のあつまり」とか「負の整数のあつまり」のようなものを、集合（しゅうごう）と読んできた。では、数学でいう「集合」とは何か、これから考えていこう。数学では、ある集まりのうち、さらに、それに属しているか属してないかを明確に区別できる条件のある物のあつまりを'''集合'''（しゅうごう、英：set）という。例えば、「自然数」は「''n'' > 0となる整数''n'' の全体」という区別可能な条件があるので集合といえる。しかし「大きな数」というあつまりは、どこからが「大きな」数といえるのかがはっきりしないため、数学の「集合」ではない。ただし、「大きな数」を例えば「1億以上の整数」と区別できるように定義すれば集合になりえる。さて、数学的な「集合」を構成するもの一つ一つのことを、その集合の '''要素'''（ようそ、英：element）という。例 7以下の自然数の集合の要素は、1と2と3と4と5と6と7 である。なお、「要素」という言葉を使う場合、べつに集合のなかみを全部を並べる必要は無く、たとえば、「2は、7以下の自然数の集合のうちの要素である」と言っても大丈夫です。前の文の「2」を1以上から7以下の別の整数に置き換えても大丈夫です。上述したように、要素とは集合を構成するものの一つ一つのことです。例「自然数の集合」の要素なら、自然数1や自然数2や自然数3、・・・などのひとつひとつの自然数がそれぞれ要素である。「 1 は自然数の集合の要素である」といえる。「 27 は自然数の集合の要素である」といえる。自然数の集合のように、集合は必ずしも要素が有限でなくても構いません（集合の要素は無限でも良い）。（※ 範囲外？）なお、数学的には、区別がはっきりしさえすれば、例えば「△△高校の今の3年B組の生徒全員」等も集合として考えることができる。かならずしも「集合」とは「自然数」や「整数」などの数でなくてもいい。（範囲外）数と数との対応関係である「関数」を、集合の各要素と集合の各要素との対応関係へと拡張することができる。（この集合は数の集合でなくても良い。）このような対応関係を'''写像'''と呼ぶ。詳しくは大学の「集合論」で扱うが、「全射」や「単射」など、知っておくと証明に便利な知識がある。（範囲外ここまで） === 集合や要素の関係の表し方 === ==== 集合と要素 ==== [[File:Mathematical set A with element a with no element b.svg\|thumb\|]] aが集合Aの要素であるとする。このとき、aは集合Aに'''属する'''(ぞくする)といい、記号で、 :a ∈ A ::または逆向きに :A <math> \ni </math> a と表す。 bがAの要素でないときは、 :b <math>\notin</math> A ::または逆向きに :A [[File:Set symbol of not-element.svg\|20px]] b と表す。集合をあらわすとき、主に2種類の方法がある。（例は「10以下の自然数のうち偶数であるもの」の集合を表す。） :（1）　要素を書き並べる方法 :（2）　要素の満たす条件を述べる方法である [[File:Set of natural numbers less than 10.svg\|thumb\|]] たとえば、「10以下の自然数のうち偶数であるもの」の集合を表す場合、（1）　の方法（要素を書き並べる方法）では、 : {2, 　4, 　6, 　8, 　10} となる。一方、（2）の方法（要素の満たす条件を述べる方法）では、 :{ x \| x=2n (nは自然数), 2 ≤ x≤ 10 } :{ x \| xは2以上10以下の偶数 } :{ 2n \| 1 ≤ n≤ 5 (nは自然数) } :{ 2n \| nは1以上5以下の自然数 } などのようになる（何通りかある）。 ;備考 100以下の自然数の集合 A を、さきほどの（1）「要素を書き並べる方法」の方法で書く場合、 :A ＝ {1, 　2, 　3, 　4, ・・・ , 99, 　100} となる。また、この記法の「・・・」のように、要素の個数がとても多い場合や無数にある場合には、｛｝記号内の要素の途中を「・・・」または「……」、「…」などの点々で省略してよい。 :（※ なお、ワープロで「……」などの短い点々を出したい場合、「三点リーダー」で変換すると出る。点が6つあっても「三点リーダー」で出る。 :東京書籍の検定教科書で、短いほうの三点リーダーを使っている。啓林館などは、6つの点の長い三点リーダーを使っている。） 100以下の偶数の集合 B は、この記法（要素を書き並べる方法）では、 :B ＝ {2,　 4, 　6, ・・・ , 98, 　100} のようになる。正の偶数全体の集合の要素は（1）「要素を書き並べる方法」の方法で書く場合、 :{2, 　4, 　6, 　・・・} のようにも書ける。 ==== 集合どうし ==== ===== 部分集合 ===== [[File:Venn A subset B 2.svg\|thumb\|集合Aが集合Bの部分集合である場合]] 2つの集合A,Bがあり、x∈A ならば x∈Bが成り立つとき、AはBの '''部分集合''' (ぶぶんしゅうごう、英：subset)であるといい、「BはAを含む」か「AはBに含まれる」という。この状態を記号で :A ⊂ B または :B ⊃ A で表す。 '''補足'''　　 Aの部分集合にはA自身もある。（つまり　A ⊂ A　である）。また、A,B の集合の要素が同じとき、 :A ＝ B で表す。 {{-}} ;例集合 A ＝ {1, 2, 3} と集合 B ＝ {1, 2 , 3 , 4, 5} があるとき、A は Bの部分集合である。 ---- ===== 共通部分と和集合 ===== [[File:Subset intersection A and B.svg\|thumb\|色の部分は<br>共通部分 A ∩ B ]] 2つの集合A,Bがあるときそれらの両方の要素であるものの集合を AとBの '''共通部分'''（きょうつうぶぶん）と呼び、 :A ∩ B と書く。 {{-}} [[File:Subset union A or B.svg\|thumb\|色の部分は<br>和集合 A ∪ B]] また、集合A,Bの少なくともどちらか一方には属している要素からなる集合のことを、AとBの'''和集合'''（わしゅうごう、英：union）と呼び、 :A ∪ B と書く。 {{-}} ===== 3つの集合の共通部分と和集合 ===== [[File:Intersection A and B and C.svg\|thumb\|A ∩ B ∩ C ]] 3つの集合 A, B, C については、3つのどれにも属する要素全体の集合を A,B,C の共通部分と呼び、<br> '''A ∩ B ∩ C''' で表す。 {{-}} [[File:Venn union A or B or C.svg\|thumb\|A ∪ B ∪ C]] また、集合 A, B, C の少なくとも1つに属する要素の集合を A,B,C の和集合と呼び、<br> '''A ∪ B ∪ C''' で表す。 {{-}} ---- ===== 空集合 ===== たとえば、「10以下の自然数のうちの偶数」の集合Aと、「10以下の自然数のうちの奇数」の集合Bについて、集合Aと集合Bの共通部分には、何も要素が無い。この例のように、「要素がなにもない」という場合もあるので、数学では「要素がなにもない」場合もひとつの集合として考える。要素をもたない集合のことを '''空集合'''(くうしゅうごう、英：empty set あるいは null set)といい、記号は :<math>\varnothing</math> であらわす。ギリシャ文字のファイ（φ,<math>\phi\ </math>）で表されることが多くあるが、厳密にはそれは誤りである。上の記号の他に<math>\empty</math>等も用いられるが、この教科書では、<math>\varnothing</math>を用いる。 ;補足どのような集合Aにも、空集合は部分集合として含まれる。つまり、空集合でないある集合をAとすると、 :<math>\varnothing</math> ⊂ A である。 ;例集合 { 1, 2 } の部分集合をすべて列挙すると、次の4つの集合になる。 :∅ ,　{1} ,　{2} ,　{1,2} ---- {{-}} ===== 全体集合・補集合 ===== [[File:Universal set and complement.svg\|thumb\|色つきの部分が補集合 <math>\overline{A}</math> ]] 集合 U を1つ設定し、その集合の要素や部分集合のみを考える場合を考える。このようなとき、集合Uを '''全体集合'''（ぜんたいしゅうごう、英：universal set）という。全体集合Uの要素のうち、集合Aに属さないもの全体からなる集合のことをAの '''補集合''' （ほしゅうごう、英：complement）といい、記号で補集合は <math>\overline{A}</math>と表す。すなわち :<math>\overline{A}</math> ＝ {x \| x∈U かつ x <math>\notin</math> A} である。 ::<math>\overline{ (\overline{ A }) }</math> は <math>\overline{A}</math> の補集合を表す。　　<math>\overline{ (\overline{ A }) }</math> </span> は <math>\overline{ \overline{ A } }</math> と書く場合もある。補集合について、次のことが成り立つ。 A∩<span style="text-decoration: overline">A</span>＝∅ , 　　A∪<span style="text-decoration: overline">A</span>＝U , 　　<math>\overline{ (\overline{ A }) }</math> ＝A　 ;ド・モルガンの法則<ref> [[File:AugustusDeMorgan.png\|thumb\|ド・モルガン]] [[w:オーガスタス・ド・モルガン]]は19世紀イギリスの数学者。</ref> :<math>\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}</math> : 　 :<math>\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}</math> 下の図を用いて上の法則が正しい事を確かめよう。 <gallery> Image:Venn-diagram-AB.png\|2つの集合の一部に重なっている部分がある場合 Image:Venn-diagram-ABC.png\|片方がもう片方の部分集合である場合（AとB）と、集合同士が独立している場合（AとC） </gallery> <gallery widths=300px heights=300px> Image:Venn_diagram_ABC_RGB.png\|3つある場合（AとB、BとC、CとA） Image:Venn diagram ABCD RGB.png\|4つある場合（AとB、AとC、AとD、BとC、BとD、CとD） </gallery> * 問題 A={x\|xは1以上20以下の2の倍数}・B={y\|yは1以上20以下の3の倍数}とする時、以下に適する集合の要素を列挙せよ。ただし、全体集合U={z\|zは1以上20以下の整数}とする。 # <math>\overline{A}</math> # <math>\overline{B}</math> # <math>A \cap B</math> # <math>A \cup B</math> # <math>A \cup \overline{B}</math> # <math>\overline{A \cap B}</math> # <math>\overline{A} \cup \overline{B}</math> # <math>A \cap \overline{A}</math> # <math>B \cup \overline{B}</math> # <math>A \cap \varnothing</math> # <math>B \cup \varnothing</math> # <math>A \setminus B</math> # <math>B \setminus A</math> # <math>(A \setminus B) \cap (B \setminus A)</math> * 解答 # <math>\overline{A}</math>={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19} # <math>\overline{B}</math>={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20} # <math>A \cap B</math>={6,12,18} # <math>A \cup B</math>={2,3,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20} # <math>A \cup \overline{B}</math>={1,2,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16,17,18,19,20} # <math>\overline{A \cap B}</math>={1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,19,20} # <math>\overline{A} \cup \overline{B}</math>={1,2,3,4,5,7,8,9,10,11,13,14,15,16,17,19,20} # <math>A \cap \overline{A} = \varnothing</math> # <math>B \cup \overline{B} = U</math>={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20} # <math>A \cap \varnothing = \varnothing</math> # <math>B \cup \varnothing</math>= {3,6,9,12,15,18} # <math>A \setminus B</math>={2,4,8,10,14,16,20} # <math>B \setminus A</math>={3,9,15} # <math>(A \setminus B) \cap (B \setminus A) = \varnothing</math> {{-}} ===== （※ 範囲外）集合の「要素」は「元」ともいう ===== :（※ 編集者へ）コラム化しようと思いましたが、記号が干渉して表示が上手く出来ないので、独立した節とします。 :※ 図書館などで数学書を調べるさいに「元」という表記も出てくると思いますので、紹介しておきます。 <!-- 現役高校生には当面は不要な情報なので、章末に置こうと思います。 --> 集合の要素のことを、ふるい呼び方ですが「'''元'''」（げん）とも言います。念のため例を示すと、たとえば「1以上かつ12以下の偶数の集合」と言えばたとえば、「10以下の自然数のうち偶数であるもの」の集合 : {2, 　4, 　6, 　8, 　10} を集合Aとした場合、『「4」は集合Aの要素である』と言えますが、同様に『「4」は集合Aの元である』とも言えます。例として「4」をあげましたが、別に「6」でも「10」でも構いません。「2」も「6」も「8」も「10」も、それぞれ上述した集合Aの要素（元）です。 === 命題と証明 === ==== 命題と条件 ==== （数学的に）正しいかどうかを明確に判断できる主張を'''命題'''（めいだい、英: proposition）と呼ぶ。例えば、「7は素数である」は命題の例である。（一方、「5000は大きい数である」などは命題とはならない。なぜなら「大きい」という言葉の判断が主観的なものであり、判断に明確な基準が設定できないからである。）ある命題が明確に正しい（と証明される）とき、その命題は'''真'''（しん、英：truth）であると呼ぶ。(たとえば、命題「7は素数である」は真である。) 命題が真でないとき、命題は'''偽'''（ぎ、英：false）であると言う。たとえば、命題「もし <math>x^2 = 4</math> であれば <math>x = 2</math> である。」は、偽の命題である。この方程式は<math>x = -2</math>も解に持つ。上の命題「"<math>x^2 = 4</math>ならば<math>x = 2</math>である"」は<math>x = -2</math>もあてはまるので偽になった。命題<math>\rm p \Rightarrow q</math>が偽であるときは、<math>p</math>は満たすが<math>q</math>を満たさない例が存在する。そのような例を'''反例'''（はんれい）という。'''命題が偽であることを示すには、反例を1つあげればよい。''' 命題は、「pならばqである」の形式で書かれる場合が多い。「 pならばqである」という命題を、記号「<math>\Rightarrow</math>」を用いて :<math> \rm p \Rightarrow q </math> と書く。また、この条件pをこの命題の'''仮定'''（かてい、英：assumption）といい、条件qをこの命題の'''結論'''（けつろん）と呼ぶ。 * 問題次の命題の真偽を判定し、偽の場合は反例も挙げよ。 # 　<math>ab>0</math>ならば<math>a>0</math>かつ<math>b>0</math>である。 # 　<math>a \ge b</math>かつ<math>b \ge a</math>ならば<math>a=b</math>である。 # 　正三角形を2つ用意すればそれらは相似である。 # 　素数ならば奇数である。 * 解答 # 　偽(反例：<math>a=-1 , b=-2</math>など) # 　真 # 　真 # 　偽(反例：2) ==== 命題と集合 ==== [[File:Sets contraposition diagram.svg\|thumb\|]] 条件や条件を含む命題を考えることは、集合を考えることと同じである。たとえば、実数 x について「x＞3 ならば x＞1 である」という命題は真である。ここで「x＞3 である」という条件を p とし、また、x＞3 である数の集合を P としよう。つまり P＝｛x\| x>3 ｝である。同様に、「x＞1である」という条件を q とし、x＞1である数の集合を Q としよう。つまり Q＝｛x\| x>1 ｝である。このとき、命題 <math>\rm p \Longrightarrow q</math> は真であるが、これは集合の包含関係 P⊂Q が成り立つことに対応している。 ==== 必要条件と十分条件 ==== [[File:必要条件と十分条件.svg\|thumb\|]] 2つの条件 p,q について、命題「p⇒q」が真であるとき、 :pはqであるための '''十分条件''' （じゅうぶんじょうけん）である :qはpであるための '''必要条件''' （ひつようじょうけん）であるという。 2つの条件 p.q について、命題「p⇒q」と命題「q⇒p」の両方とも真であるとき、これを :<math>\rm p \Longleftrightarrow q</math> と書き、 :pはqであるための'''必要十分条件'''であるという。このとき、pとqを入れ替えることで、 :qはpであるための必要十分条件であるともいえることがわかる。 <math>\rm p \Longleftrightarrow q</math> であるとき、pとqは「'''同値'''（どうち）である」という。 ==== 「かつ」「または」と否定 ==== [[File:Logic intersection P and Q.svg\|thumb\|「pかつq」に対応する<br> P∩Q]] [[File:Logic union P or Q.svg\|thumb\|「pまたはq」に対応する<br> P∪Q]] 条件 p,q を満たすものの集合をそれぞれ P,Q とする。このとき、条件「pかつq」および「pまたはq」をあらわす図は、それぞれ右図のようになる。 :※ 数学における「または」の使い方では、「pまたはq」は、条件pと条件qの少なくともどちらか一方でも成り立っていればいい。条件pに対し「pでない」の形の条件を pの '''否定''' （ひてい、英：negation）といい、記号は <math>\overline{p}</math>で表す。（※ 高校では習わないが、否定の意味として、 <math>\lnot{p}</math>という記号「¬」もある。）条件を考えることは集合を考えることと同じなので、集合におけるド・モルガンの法則と同様に、条件においても、ド・モルガンの法則がなり立つ。 '''ド・モルガンの法則''' <span style="text-decoration: overline">p かつ q</span> <math> \Longleftrightarrow </math> <span style="text-decoration: overline"> p </span> または <span style="text-decoration: overline"> q </span> <span style="text-decoration: overline">p または q</span> <math> \Longleftrightarrow </math> <span style="text-decoration: overline"> p </span> かつ <span style="text-decoration: overline"> q </span> ==== 逆・裏・対偶 ==== [[File:Contraposition etc japanese.svg\|thumb\|400px]] 命題「 <math>\rm p \Longrightarrow q</math> 」に対して :命題「<math>\rm q \Longrightarrow p</math>」を命題「 <math>\rm p \Longrightarrow q</math> 」の '''逆''' （ぎゃく、英：converse） :命題「<math>\rm \overline{p} \Longrightarrow \overline{q}</math>」を命題「 <math>\rm p \Longrightarrow q</math> 」の '''裏''' （うら、英：inverse） :命題「<math>\rm \overline{q} \Longrightarrow \overline{p}</math>」を命題「 <math>\rm p \Longrightarrow q</math> 」の '''対偶''' （たいぐう、英：contraposition）と呼ぶ。これらは、たがいに右図のような関係にある。 {{-}} ---- たとえば、もとの命題を :「<math>x=3 \Longrightarrow x^2=9 </math>」だとすると、 :裏は「<math>x\ne 3 \Longrightarrow x^2 \ne 9 </math>」であり :逆は「<math>x^2=9 \Longrightarrow x=3 </math>」であり :対偶は「<math>x^2 \ne 9 \Longrightarrow x\ne 3 </math>」である。この命題の場合、もとの命題と対偶は、ともに真である。いっぽう逆については x ＝ -3 という反例があるので、この命題の場合、逆は正しくない。また、裏も同様に、正しくない。このような例から、次のことが分かる。ある命題が真であっても、その命題の逆は、かならずしも真とは限らない。また、ある命題が真であっても、その命題の裏は、かならずしも真とは限らない。では、もとの命題と対偶との関係は、どうなるだろうか。 [[File:Sets contraposition diagram.svg\|thumb\|]] この考察をするため、条件pを満たすものを集合Pに対応させ、同様に条件qを満たすものを集合Qに対応させてみよう。右の集合の図は、p⇒qが真であることを表す図である。この図では、Pに属している要素は、Qにも属している。（つまり <math>\rm P \subset Q</math>である。）一方、Qに属していいない要素は、Pにも属していない。（つまり <math>\rm \overline{Q} \subset \overline{P}</math> である。）このことからから分かるように、ある命題が真であるとき、その命題の対偶も真となる。ある命題が偽であるとき、その対偶も偽である。つまり、一般の命題において、もとの命題と対偶との真偽は一致する。 ==== 背理法 ==== ある命題の結論を否定して、その否定のもとで矛盾が起こることを述べることで、その命題が真であることを導出する仕方を'''背理法'''（はいりほう、英: proof by contradiction など）と呼ぶ。たとえば、「Aではないことを証明せよ」という問題を解く時は「Aであると仮定する」と書き出して、仮定したことと矛盾する部分を作って「矛盾するのでAではない。」と証明を終える。 * 例題素数は無限に存在する。 * 証明素数が有限個であったと仮定する。すべての素数の積を<math>a</math>とすると、<math>a+1</math>はどの素数で割っても1余ることになり、1以外の自然数であって、素数の積に分解できないものが存在することになる。<math>a+1</math>の約数のうち1以外で最も小さいものを<math>b</math>とすると、<math>b</math>は1と<math>b</math>以外の約数を持たない。したがって<math>b</math>が素数であることになるが、<math>a+1</math>がどの素数でも割り切れないことと矛盾する。したがって、素数は有限個ではない。■ {{コラム\|背理法と日常的な思考\| 背理法は多くの高校生が苦手としています。「Aである」ことを証明するために、わざわざ「Aでない」と仮定して矛盾を導くという論理の展開が不自然に感じられ、それが苦手意識につながっているようです。しかし、背理法の発想は私たちの日常的な思考でもよく使われています。ここでは、その例をいくつか紹介しましょう。一つ目はアリバイ証明です。もしあなたが事件の犯人であると疑われたとします。そのとき、「自分が犯人ではない」ということをどのように証明しますか。ただ「自分は犯人ではない」と言うだけでは説得力がありません。この場合、犯行現場がA駅であったが、「自分は事件が起きたときにはB駅にいた」ことを証明できる、つまりアリバイが成り立つならば自分が犯人ではないという有力な証拠となります。この仕組みを簡単な文にすると以下のようになります。 :私が犯人だと仮定すると、A駅にいたことになる。 :しかし私はB駅にいた（＝A駅にいなかった）。 :私が同じ時間にA駅とB駅の両方にいることはできないので、当初の仮定と矛盾する。 :ゆえに私が犯人だという仮定がまちがっていたので、私は犯人ではない。アリバイを示すことで自分の無実を証明するというのは、実はこういう仕組みになっているのです。なお、アリバイを示して無実を証明する方法には、やはり高校生の多くが苦手とする対偶証明法を使う方法もあります。そちらはみなさんで考えてみてください。二つ目は消去法での選択肢の選び方です。たとえば、平成30年度「倫理」のセンター試験の大問1問7（マークシート番号7）の問題を見てみましょう。（バグと思わしき現象が起きたためリンクは貼りません。お手数ですが、各自確認して下さい。）　この正解を導き出すのに背理法の文章を利用してみましょう。 :1が正解だと仮定すると、1の選択肢はグラフを正しく説明している。 :しかし、2015年のトップ3（日伊独）と2050年のトップ3（日伊韓）は異なるので、正しい説明になっておらず、仮定と矛盾する。 :ゆえに1を正解とした仮定は誤っていた。 :だから、1の選択肢は正しくないので消す。これを繰り返すと、誤った選択肢を消去して正解を導くことができますね（「倫理」の知識は全くいらないので、皆さんも挑戦してみてください）。もちろん、アリバイ証明にしても消去法にしても、いつもこうした操作で解いているわけではありません。むしろ、背理法のことは意識しないで解くのが当たり前でしょう。実は背理法の考え方は本来、何気なく実行できるくらい自然な発想なのです。ほかにも、皆さんの日常的な考え方の中に背理法の形にそうものがあるはずです。逆に一見正しい背理法に見えても、実はインチキな論理展開のものもあるでしょう。そうしたことを探していくのも論理的に考えるためのトレーニングになります。ぜひ、挑戦してみてください。【参考文献】『論理的に考えること』（山下正男著, 岩波書店（岩波ジュニア新書））『論理的に考え、書く力』（吉沢光雄著, 光文社（光文社新書）） }} == 脚注 == <references/> [[category:高等学校数学A\|しゆうこうとろんり]]	2005-05-08T02:54:42Z	2024-03-04T17:41:53Z	[ "テンプレート:-", "テンプレート:コラム" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%97%A7%E8%AA%B2%E7%A8%8B(-2012%E5%B9%B4%E5%BA%A6)%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6A/%E9%9B%86%E5%90%88%E3%81%A8%E8%AB%96%E7%90%86
1,931	高等学校数学A/場合の数と確率	たとえば、おはじきを一列に並べる場合、並べ方の数には、いくつもの方法がある。じっさいに全ての並び方を試すことも、時間さえあれば実験可能である。このように、「全部で何通りがあるか」という、その「何通り」の「何」にあたる数字を、場合の数(ばあいのかず) と呼ぶ。このように事柄には、それらのやり方が全部で何通りあるかを数えることが出来る事柄がある。ある事柄について(そのことが起こりうる)場合の数を正確に数えることが理解の基礎であり、その事柄について、どのことが起こりやすくどのことが起こりづらいかを見分けるための基礎となる。つまり、場合の数は事柄が起こりうる確率と密接な関係にある。例えば、ポーカーなどのカードゲームでは集めることが難しい役は高いランクが与えられているが、これは起こりにくい役が出来るトランプの組み合わせの現われる確率が小さいことによる。このことは、52枚のカードから5枚を引いて来たときに全てのカードを引く確率が同じであるとしたとき、ある役に対応するカードの組み合わせを引く場合の数がより少ないことに対応する。このように、場合の数は事柄が起こりうる確率と密接な関係にある。カードゲームのように確率が具体的に計算できる場合の他にも、確率の考え方を用いて計算される事柄は多くある。たとえば、保険(ほけん)と呼ばれるものはある事柄に値段をつけるものであるが、保険を下ろさなくてはならない事柄が起こりにくいと客観的に思われるものほど、そのものの値段が下がるという特徴がある。例えば、自動車保険に加入するのに必要な代金は若者では高く、年令を重ねるごとに低くなっていく。これは、若者は自動車の免許を取得して時間が短い場合が多く、保険金の支払を必要とする自動車事故をおこす可能性が高いことによる。いっぽう、年令を重ねたものについては運転の技量が時とともに上達すると一般に考えられるので保険をかけるための代金は少なくなるのである。また、同じ若者でも既に何度か事故を重ねたものは同じ年代の他の若者よりも保険料が高くなる傾向がある。これは、何度か事故を重ねたものは運転の仕方に何らかの問題がある傾向があり、それによってふたたび事故をおこす可能性が通常のものと比べてより高いと考えられることによる。銀行の融資(ゆうし)でもやはり確率の考えを用いて高い利益を出すことが実践されている。融資でもやはり保険業とおなじく、より貸倒れになる可能性が高い相手に対しては高い金利で資金を貸し付け、より安定した資金を持っている相手に対してはより低い金利で資金を貸し付けることを実行して来た。利益を安定的に稼ぐ方法として、いくつかの会社が発行する互いに性質の異なった株などを合わせて購入先を分散することで株の値段が下がったときでも値段があまり減ることが無いようにする方法が考案されている。 (ただし、値段が減りづらいのと同様に、値段は上がりづらい。) これは、性質の異なった商品を合わせて扱うことで、値段が急変する確率を下げることが出来ることを表わしている。しかし、確率では、必ずしも予測した通りに事が進むわけでは無いことに注意する必要がある。この章では場合の数と確率の計算法を紹介する。まず先に様々な事柄の場合の数の計算法を扱い、その結果を用いてある事柄が起こる確率を計算する方法を紹介する。ここでは、有限集合 A の要素の個数を n(A) で表す。たとえば、10以下の自然数の集合を U として、そのうち偶数の集合を A とする場合、なので、Aの要素の個数は5個なのでである。なお、 U={1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, 10} で要素の個数は10個なのでである。次のような問題を考えてみよう。 100までの自然数のうち、2または3の倍数は何個あるか? このような問題の解法を考えるため、準備の問題として、まず10までの自然数で考えてみよう。先程の例題で2の倍数については考えたので、次の問題として10までの3の倍数の個数について考えよう。 10以下の自然数の集合を U として、そのうち 3の倍数の集合を B とする場合、 B={3, 6 , 9} なので、Bの要素の個数は3個なのでである。さて、には共通して 6 という要素が含まれている。自然数10までにある2または3の倍数にあたる要素は、であり、要素の個数をかぞえると 7個である。一方、であり、1個多い。このように1個多くなってしまった原因は、集合Aと集合Bに共通して含まれている要素 6 を二重に数えてしまっているからである。一般に、2つの集合A,Bの要素の個数 n(A) と n(B) を用いて、AまたはBの条件を満たす要素の個数をかぞえたい場合には、AとBに共通して含まれている要素の個数を差し引かなければならない。このことを式で表すとになる。ただし、「∪」とは和集合の記号で、 A∪B とは集合Aと集合Bの和集合のことである。「∩」とは共通部分の記号で、「A∩B」とは集合Aと集合Bの共通部分のことである。では、この公式を参考にして 100までの自然数のうち、2または3の倍数は何個あるか? の答えを求めよう。 100までの自然数のうちの、2の倍数の集合をAとして、3の倍数の集合をBとするとさらに、2の倍数でもあり3の倍数でもある数の集合 A∩B とは、つまり6の倍数の集合のことであり(なぜなら 2 と 3 の最小公倍数が 6 なので)、 96÷6=16 なので、A∩B の要素の個数は 16 個、つまり n(A∩B)= 16 である。そして、公式を適用すると、である。よって、100までの自然数のうちの2または3の倍数の個数は 67個である。 3つの有限集合の和集合の要素の個数については、次の公式が成り立つ n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) −n(A∩B) −n(B∩C) −n(C∩A) + n(A∩B∩C) 右の図を参考に、上の公式を証明せよ。 100以下の自然数のうち、2の倍数または3の倍数または5の倍数であるものの個数を求めよ。 (解法) まず、100以下の自然数のうち、とする。 100÷2=50なので、100は50番目の2の倍数であり、よって100以下の2の倍数は50個である。同様に考えて要素の個数を求めると、である。一方、100以下の自然数のうちとなる。よって、先ほどと同様に考えるとまた、100以下の自然数のうち、 A∩B∩C の要素の個数はである。よって、なので、100以下の自然数のうちの2の倍数または3の倍数または5の倍数であるものの個数は 74個である。たとえば大中小3個のサイコロをふって、目の和が5になる目の組は、何通りあるだろうか。このような問題を解く方法のひとつとして、図のように、組み合わせを総当たりで書く方法がある。大中小の合計3個のサイコロをそれぞれ A,B,C として表し、それらの文字に、どの目が出れば合計5になるかを考えると、結果は図のようになる。このような図を樹形図(じゅけいず) という。 3個のサイコロをふるとき、目の和が6になる場合は何通りあるか。最初に、n個の異なったものを並べ換える場合の数を数える。まず最初に並べるものはn個、次に並べるものは(n-1)個、その次に並べるものは(n-2)個 ... とだんだんと選べるものの数が減って行き、最後には1個しか残らなくなることに注目すると、この事柄に関する場合の数はとなり、1からnまでの自然数の積になる。この数を階乗 (かいじょう、factorial)と呼び、階乗nの記号は n ! {\displaystyle n!} で表す。すなわち、階乗は n ! = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 {\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1} と定義される。この階乗の記号を使えば、この問題のときの場合の数は n!であると言うことが出来る。をそれぞれ計算せよ。を用いて計算すればよい。答えは、となる。それぞれに1から5までの数字が書かれた5枚のカードが置いてある。このカードを並べ換えたとき、 (I)カードの並べ方の数、 (II)偶数が得られるカードの並べ方の数、 (III)奇数が出るカードの並べ方の数を、それぞれ計算せよ。 (I) カードの数が5枚でそれぞれが区別できることから、カードの並べ方の数はとなり、120となる。 (II) 偶数を得るためには一の位である最も右に出るカードが、偶数となればよい。このようなカードは2と4であり、それぞれに対して後の4枚は自由に選んでよい。このため、このようなカードの並べ方は、となる。 (III) 奇数を得るためには一の位である最も右に出るカードが、奇数となればよい。このようなカードは1,3,5であり、それぞれに対して後の4枚は自由に選んでよい。このため、このようなカードの並べ方は、となる。一方、5枚のカードを並べ換えて得られる数は必ず偶数か奇数のどちらかであるので、(I)の結果から(II)の結果を引くことによっても (III)の結果は得られるはずだが、実際にそれを計算するととなり、確かにそのようになっている。 0,1,2,3,5が書かれた5枚のカードがある。これを並び換えたとき、をそれぞれ求めよ。 (I) 先頭が0になったときには5桁の数にならないことに注意すればよい。求める場合の数はとなる。 (II) 最初が0でなく最後が0か2である数を数えればよい。まず、最後が0であるときには、残りの4枚は任意であるので通りの組み合わせがある。次に、最後が2であるときには最初は0であってはいけないので、通りある。 2つを合わせた数が5桁の偶数が得られる場合の数である。答えは、となる。 (III) (I)の結果から(II)の結果を引けばよいが、ここではその結果が正しいかどうか確かめるためにも5桁の奇数が得られる組み合わせを数え上げてみる。 5桁の奇数を得るためには最後の数は1,3,5のいずれかでなくてはならない。このうちのどの場合についても5桁の数を得るためには最初の数が0で合ってはならないのでそれぞれの場合の数は、となりこれが5桁の奇数を得る場合の数である。 (II)の結果と足し合わせると確かに(I)の結果と等しい96を得る。 (IV) 5の倍数を得るためには最後の数が0か5であればよい。このとき最後が0になる場合の数は他の4つが任意であるため存在する。次に、最後が5になる場合の数は最初の数が0であってはならないためだけ存在する。よって答えはとなる。 n個の異なったものからr個を選んで、順番をつけて並べる仕方の数を、 n P r {\displaystyle {}_{n}\mathrm {P} _{r}} と書く。また、このような計算の仕方を順列 (じゅんれつ、英:permutation) という。 n個の異なったものからr個を選んで順番をつけて並べる仕方の数のことを、のように言う。最初に並べるものはn通り、次に並べるものは (n−1)通り、その次に並べるものは (n−2)通り ,... 最後には (n−(r−1))通りというように、だんだん選べるものの数が減って行くことに注目すると、順列の総数としてが得られる。一般に n P r {\displaystyle {}_{n}\mathrm {P} _{r}} では n ≧ r である。 (I) (II) (III) (IV) (V) (VI) をそれぞれ計算せよ。それぞれを用いて計算すればよい。結果は、 (I) (II) (III) (IV) (V) (VI) となる。 (V)と(VI)については一般的に整数nに対してが得られる。このときは元々の順列の定義からすると"n個のものの中から1つも選ばない場合の数"に対応しており、少々不自然なように思えるが、このように値を置いておくと便利であるため通常このように置くのである。あまり、実際の場合の数の計算でこのような値を扱うことは多くはないといえる。 A, B, C, D, E の5人が円形に手をつないで輪をつくるとき、その並び方は何通りあるか。このような問題の場合、図のように、回転すると重なる並びは同じ並びであると考える。解き方の考え方は数種類ある。どちらにせよ、結果はである。一般に異なる n個のものを円形に並べたものを円順列という。円順列の総数として、次のことが成り立つ。異なる n個の円順列の総数は ( n − 1 ) ! {\displaystyle (n-1)!} である。 n個の異なったものからr個を選んで、順番をつけずに並べる仕方の数を、 n C r {\displaystyle {}_{n}\mathrm {C} _{r}} と書き、このような計算を組み合わせ(combination) という。例えば、いくつもあるボールに番号がふってあるなどの方法で、それぞれのボールが区別できるn個のボールが入った箱の中からr個のボールを取りだす時、取りだしたボールを取りだした順に並べるとすると、この場合の数は順列 n P r {\displaystyle {}_{n}\mathrm {P} _{r}} に対応する。一方、取りだしたボールの種類が重要であり取りだした順番が特に必要でないときには、この場合の数は組み合わせ n C r {\displaystyle {}_{n}\mathrm {C} _{r}} に対応する。これらの数はお互いに異なった場合の数であり、互いに異なった計算法が必要となる。 n C r {\displaystyle {}_{n}\mathrm {C} _{r}} は、 n P r {\displaystyle {}_{n}\mathrm {P} _{r}} 通りの並べ方を作った後にそれらの並びを無視したものに等しい。ここで、r個を取りだして作った並びについて、並べ方を無視するとr!個の並びが同一視されることがわかる。なぜなら、r個のお互いに区別できる数を自由に並び換える場合の数はr!であり、それらが全て同一視されるとすれば全体の場合の数は r!の分だけ減ることになるからである。よって、が得られる。演習問題次の値を計算せよ (I) (II) (III) (VI) それぞれについてを用いて計算すればよい。 (I) (II) (III) (VI) となる。(IV)については一般に整数nに対してを定義する。これはもともとの組み合わせの計算としてはn個の物体のなかから0個の物体を選ぶ場合の数に対応しており、実際にはこのような場合の数を計算しようと考えることはあまり無いと思われるが、計算の便宜上のため定義を上のようにする。また、上の計算ではの式をそのまま用いると、つまり、となっている。実際には階乗の計算は整数nについてはnから1までを下がりながらかけ算していくという仕方で計算されていたので、上の結果は妙に思える。しかし実際には、より進んだ理論によってこの結果は正当化されるのであり、この場合も便宜上を0の階乗の定義として受けいれるのである。演習問題 5個のボールが入ったボール入れから2つのボールを取りだすとき(ボールはそれぞれ区別できるものとする。)2つのボールの選び方は、何通りあるか計算せよ。ボールの取りだし方は組み合わせの数を用いて計算できる。 5つのボールの中から2つを取りだすのであるからその場合の数は、となる。よって、ボールの取りだし方は10通りであることがわかる。演習問題 6個の互いに区別できるボールが入った箱がある。この中から (I)3つのボールと2つのボールを取りだす方法の場合の数、(II)2つのボールを取り出すことを2回くり返し、それぞれを別の互いに区別できる袋にいれる場合の数、(III)2つのボールを取り出すことを2回くり返し、それぞれを別の互いに区別できない袋にいれる場合の数、をそれぞれ計算せよ。 (I) 最初にボールを取りだすときには、6つのボールの中から3つのボールを取りだすことからその場合の数はだけある。また、次にそれを取り除いた中から2つのボールを取り除くときにはその取りだし方は、だけある。よって、このときの場合の数はだけになる。実際この値を計算すると、となり、60通りであることが分かる。 (II) (I)の場合と同様に6つのボールの中から2つのボールを取りだすことからその場合の数はだけある。また、次にそれを取り除いた中から2つのボールを取り除くときにはその取りだし方は、だけある。よって、このときの場合の数はだけになる。実際この値を計算すると、となり、90通りであることが分かる。 (III) (II)と同じ計算で値を求めることが出来るが、今回はボールをいれた袋が互いに区別できないことに注意しなくてはならない。このことによって、起こりうる場合の数は(II)の場合の半分になるので求める場合の数は45通りとなる。 n C r {\displaystyle {}_{n}\mathrm {C} _{r}} について以下の式が成り立つ。導出を用いると、が得られ、示された。同様にを用いると、となり示された。最初の式は、異なるn個のもののうちr個にXというラベルをつけ、残りのn-r個にYというラベルをつける場合の数から求めることができる。異なるn個のもののうちからr個を選びラベルXをつけ、残りにラベルYをつける場合の数は n C r {\displaystyle _{n}\mathrm {C} _{r}} であり、異なるn個のもののうちからn-r個を選び、ラベルYをつけ、残りにラベルXをつける場合の数は n C n − r {\displaystyle _{n}\mathrm {C} _{n-r}} である。当然、前者と後者の場合の数は等しいので、ここから、 n C r = n C n − r {\displaystyle _{n}\mathrm {C} _{r}=_{n}\mathrm {C} _{n-r}} が求められる。 2つ目の式は、 "n個のものからr個を選ぶ仕方の数は、次の数の和である。最初の1つを選ばずに他のn-1個からr個を選ぶ仕方の数と、最初の1つを選んで他のn-1個からr-1個を選ぶ仕方の数との和である。" ということを表わしている。を用いて (I) (II) (III) (VI) をそれぞれ計算せよ。上の式を用いて計算することが出来る。もちろん直接に計算しても答えを得ることが出来るが、通常は簡単化してから計算した方が楽である。 (I) (II) (III) (VI) となる。図のようなルートを左下の点から右上の点まで歩いて行く人がいる。ただし、この人は右か上にしか進めないとする。このとき、を計算せよ。ただしa点はと書かれている点のすぐ下の通路のことをさしている。それぞれのルートは途切れていない縦4つ、横5つの碁盤目上のルートになっていることに注意せよ。 ___________ \|_\|_\|_\|_\|_\| \|_\|_\|\|_\|_\| \|_\|_\|_\|_\|_\| \|_\|_\|_\|_\|_\| (I) 左下にいる人は9回進むことで右上の点に辿り着ける。そのため、左下にいる人が選びうるルートの数は9回のうちのどの回で右ではなく上を選ぶかの場合の数に等しい。このような場合の数は、9回のうちから自由に4つの場所を選ぶ方法に等しく、組み合わせを用いて書くことが出来る。実際に9回のうちから自由に4つの場所を選ぶ方法は、で書かれる。この量を計算すると、が得られる。 (II) a点を通過して進むルートの数はa点の左の点までいってからa点を通過し、a点の右の点を通って右上の点までいく仕方の数に等しい。それぞれのルートの数は(I)の方法を用いて計算することができる。この数を実際に計算すると、となり、36通りであることが分かる。演習問題 r n C r = n n − 1 C r − 1 {\displaystyle r_{n}\mathrm {C} _{r}=n_{n-1}\mathrm {C} _{r-1}} を示せ r n C r = r n ! r ! ( n − r ) ! = n ( n − 1 ) ! ( r − 1 ) ( ( n − 1 ) − ( r − 1 ) ) ! = n n − 1 C r − 1 {\displaystyle r_{n}\mathrm {C} _{r}=r{\frac {n!}{r!(n-r)!}}=n{\frac {(n-1)!}{(r-1)((n-1)-(r-1))!}}=n_{n-1}\mathrm {C} _{r-1}} 異なるn個の空箱にr個のものを入れる場合の数を重複組み合わせといい、 n H r {\displaystyle _{n}\mathrm {H} _{r}} で表す。重複組合せについて次のように考察する。 x 1 , x 2 , ⋯ , x n , r {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},r} を非負整数とし、方程式 x 1 + x 2 + ⋯ + x n = r {\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=r} の解の個数について考える。この解の個数は x 1 , x 2 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}} に r {\displaystyle r} 個の1を分配する場合の数と考えることができるので、重複組み合わせの定義から、 n H r {\displaystyle _{n}\mathrm {H} _{r}} である。また、この方程式の非負整数解の個数は、r個の○にn-1個の区切りを置く場合の数とも考えられる。つまり、○○○...○○(r個)にn-1個の区切り\|を並べると○\|○○\|...○\|○のようになる。ここで、左から順に区切りで区切られた○の個数をそれぞれ、 x 1 , x 2 , ⋯ , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}} とすると、これは方程式の解となる。この場合の数は、r個の○とn-1個の区切り\|を並べえる場合の数なので、 n + r − 1 C r {\displaystyle _{n+r-1}\mathrm {C} _{r}} である。方程式の非負整数解の個数について2通りの方法で求まったのでこれらは等しく、 n H r = n + r − 1 C r {\displaystyle _{n}\mathrm {H} _{r}=_{n+r-1}\mathrm {C} _{r}} が成り立つ。ある場合の数が、実際に現われる割合のことを確率(かくりつ、英:probability)と呼ぶ。ある場合の数が実際に現われる割合は、その場合の数を割り算で、その事柄において起こり得る全ての事柄の場合の数で割ったものに等しい。たとえば、全く等しい割合で全ての面が出るさいころをふったときに1が出る確率は 1 6 {\displaystyle {\frac {1}{6}}} である。これは1が出る場合の数1を、1,2,3,4,5,6のいずれかが出る場合の数6で割ったものに等しい。赤玉2個と白玉3個が入った袋から、玉を2個同時に取り出す。このとき、2個とも白玉が出る確率を求めよ。赤白あわせて5個の玉から2個を取り出す方法はこのうち、2個とも白玉になる場合はよって求める確率は 3 10 {\displaystyle {\frac {3}{10}}} 確率の定義から、次の性質が得られる。 2つの事象A,Bが同時に起こらないとき、事象AとBは互いに排反(はいはん、英:exclusive)である、またはAとBは排反事象であるという。男子7人、女子5人の中から、くじ引きで3人の委員を選ぶとき、3人とも同性である確率を求めよ。 12人の中から3人の委員を選ぶ場合の数はここで、「3人とも男子である」事象をA、「3人とも女子である」事象をBとすると、「3人とも同性である」事象は、和事象A ∪ Bであり、しかも、AとBは排反事象である。よって求める確率は P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) = 35 220 + 10 220 = 45 220 = 9 44 {\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)={\frac {35}{220}}+{\frac {10}{220}}={\frac {45}{220}}={\frac {9}{44}}} 事象Aに対して、「Aでない」事象を A ̄ {\displaystyle {\overline {A}}} で表し、Aの余事象(よじしょう)という。赤玉5個、白玉3個の計8個入っている袋から3個の玉を取り出すとき、少なくとも1個は白玉である確率を求めよ。 8個の玉から3個の玉を取り出す場合の数はいま、「少なくとも1個は白玉である」事象をAとすると、 A ̄ {\displaystyle {\overline {A}}} は「3個とも赤玉である」という事象だからよって求める確率はたがいに他の結果に対して影響をおよぼさない操作を繰りかえすとき、それぞれの試行は独立(どくりつ、英:independent)であると言う。独立な試行については、ある試行の起こる確率が定められていて、それをn回繰りかえしたとき、それらが起こる確率は、それぞれの試行が起こる確率の積となる。赤玉3個、白玉2個の計5個入っている袋がある。この中から1個の玉を取り出して色を確かめてから袋に戻し、再び1個を取り出すとき、1回目は赤玉、2回目は白玉を取り出す確率を求めよ。 1回目に取り出した玉を袋に戻すので、「1回目に取り出す」試行と「2回目に取り出す」試行とは互いに独立である。 1回目に取り出した1個が赤玉である確率は 3 5 {\displaystyle {\frac {3}{5}}} 2回目に取り出した1個が白玉である確率は 2 5 {\displaystyle {\frac {2}{5}}} したがって求める確率は同じ試行を何回か繰り返して行うとき、各回の試行は独立である。この一連の独立な試行をまとめて考えるとき、それを反復試行(はんぷくしこう)という。 1個のさいころを5回投げるとき、3の倍数の目が4回出る確率を求めよ。 1個のさいころを1回投げるとき、3の倍数の目が出る確率はよって、1個のさいころを5回投げるとき、3の倍数の目が4回出る確率は記号「Σ」についてはこちらを参照。ある試行があったとき、その試行で得られると期待される値のことを期待値(きたいち、英:expected value)という。期待値は、n個の事象 r k ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\displaystyle r_{k}\ (k=1,2,\cdots ,n)} に対して、各々 v k {\displaystyle v_{k}} という値が得られ、事象 r k {\displaystyle r_{k}} が起こる確率が p k {\displaystyle p_{k}} で与えられているとき、によって与えられる。例えば、さいころをふったとき出る目の期待値は、となる。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "たとえば、おはじきを一列に並べる場合、並べ方の数には、いくつもの方法がある。じっさいに全ての並び方を試すことも、時間さえあれば実験可能である。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "このように、「全部で何通りがあるか」という、その「何通り」の「何」にあたる数字を、場合の数(ばあいのかず) と呼ぶ。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "このように事柄には、それらのやり方が全部で何通りあるかを数えることが出来る事柄がある。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "ある事柄について(そのことが起こりうる)場合の数を正確に数えることが理解の基礎であり、その事柄について、どのことが起こりやすくどのことが起こりづらいかを見分けるための基礎となる。つまり、場合の数は事柄が起こりうる確率と密接な関係にある。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "例えば、ポーカーなどのカードゲームでは集めることが難しい役は高いランクが与えられているが、これは起こりにくい役が出来るトランプの組み合わせの現われる確率が小さいことによる。このことは、52枚のカードから5枚を引いて来たときに全てのカードを引く確率が同じであるとしたとき、ある役に対応するカードの組み合わせを引く場合の数がより少ないことに対応する。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "このように、場合の数は事柄が起こりうる確率と密接な関係にある。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "カードゲームのように確率が具体的に計算できる場合の他にも、確率の考え方を用いて計算される事柄は多くある。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "たとえば、保険(ほけん)と呼ばれるものはある事柄に値段をつけるものであるが、保険を下ろさなくてはならない事柄が起こりにくいと客観的に思われるものほど、そのものの値段が下がるという特徴がある。例えば、自動車保険に加入するのに必要な代金は若者では高く、年令を重ねるごとに低くなっていく。これは、若者は自動車の免許を取得して時間が短い場合が多く、保険金の支払を必要とする自動車事故をおこす可能性が高いことによる。いっぽう、年令を重ねたものについては運転の技量が時とともに上達すると一般に考えられるので保険をかけるための代金は少なくなるのである。また、同じ若者でも既に何度か事故を重ねたものは同じ年代の他の若者よりも保険料が高くなる傾向がある。これは、何度か事故を重ねたものは運転の仕方に何らかの問題がある傾向があり、それによってふたたび事故をおこす可能性が通常のものと比べてより高いと考えられることによる。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "銀行の融資(ゆうし)でもやはり確率の考えを用いて高い利益を出すことが実践されている。融資でもやはり保険業とおなじく、より貸倒れになる可能性が高い相手に対しては高い金利で資金を貸し付け、より安定した資金を持っている相手に対してはより低い金利で資金を貸し付けることを実行して来た。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "利益を安定的に稼ぐ方法として、いくつかの会社が発行する互いに性質の異なった株などを合わせて購入先を分散することで株の値段が下がったときでも値段があまり減ることが無いようにする方法が考案されている。 (ただし、値段が減りづらいのと同様に、値段は上がりづらい。) これは、性質の異なった商品を合わせて扱うことで、値段が急変する確率を下げることが出来ることを表わしている。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "しかし、確率では、必ずしも予測した通りに事が進むわけでは無いことに注意する必要がある。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "この章では場合の数と確率の計算法を紹介する。まず先に様々な事柄の場合の数の計算法を扱い、その結果を用いてある事柄が起こる確率を計算する方法を紹介する。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "ここでは、有限集合 A の要素の個数を n(A) で表す。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "たとえば、10以下の自然数の集合を U として、そのうち偶数の集合を A とする場合、", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "なので、Aの要素の個数は5個なので", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "である。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "なお、 U={1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, 10} で要素の個数は10個なので", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "である。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "次のような問題を考えてみよう。 100までの自然数のうち、2または3の倍数は何個あるか?", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "このような問題の解法を考えるため、準備の問題として、まず10までの自然数で考えてみよう。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "先程の例題で2の倍数については考えたので、次の問題として10までの3の倍数の個数について考えよう。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "10以下の自然数の集合を U として、そのうち 3の倍数の集合を B とする場合、", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "B={3, 6 , 9} なので、Bの要素の個数は3個なので", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "である。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "さて、", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "には共通して 6 という要素が含まれている。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "自然数10までにある2または3の倍数にあたる要素は、", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "であり、要素の個数をかぞえると 7個である。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "一方、", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "であり、1個多い。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "このように1個多くなってしまった原因は、集合Aと集合Bに共通して含まれている要素 6 を二重に数えてしまっているからである。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "一般に、2つの集合A,Bの要素の個数 n(A) と n(B) を用いて、AまたはBの条件を満たす要素の個数をかぞえたい場合には、AとBに共通して含まれている要素の個数を差し引かなければならない。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "このことを式で表すと", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 33, "tag": "p", "text": "になる。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 34, "tag": "p", "text": "ただし、「∪」とは和集合の記号で、 A∪B とは集合Aと集合Bの和集合のことである。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "「∩」とは共通部分の記号で、「A∩B」とは集合Aと集合Bの共通部分のことである。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "では、この公式を参考にして 100までの自然数のうち、2または3の倍数は何個あるか? の答えを求めよう。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "100までの自然数のうちの、2の倍数の集合をAとして、3の倍数の集合をBとすると", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "さらに、2の倍数でもあり3の倍数でもある数の集合 A∩B とは、つまり6の倍数の集合のことであり(なぜなら 2 と 3 の最小公倍数が 6 なので)、 96÷6=16 なので、A∩B の要素の個数は 16 個、つまり n(A∩B)= 16 である。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "そして、公式", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "を適用すると、", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "である。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "よって、100までの自然数のうちの2または3の倍数の個数は 67個である。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "3つの有限集合の和集合の要素の個数については、次の公式が成り立つ", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) −n(A∩B) −n(B∩C) −n(C∩A) + n(A∩B∩C)", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "右の図を参考に、上の公式を証明せよ。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "100以下の自然数のうち、2の倍数または3の倍数または5の倍数であるものの個数を求めよ。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "(解法)", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "まず、100以下の自然数のうち、", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "とする。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "100÷2=50なので、100は50番目の2の倍数であり、よって100以下の2の倍数は50個である。同様に考えて要素の個数を求めると、", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "である。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "一方、100以下の自然数のうち", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "よって、先ほどと同様に考えると", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "また、100以下の自然数のうち、", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "A∩B∩C の要素の個数は", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "である。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "よって、", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "なので、100以下の自然数のうちの2の倍数または3の倍数または5の倍数であるものの個数は 74個である。", "title": "集合の要素の個数" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "たとえば大中小3個のサイコロをふって、目の和が5になる目の組は、何通りあるだろうか。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "このような問題を解く方法のひとつとして、図のように、組み合わせを総当たりで書く方法がある。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "大中小の合計3個のサイコロをそれぞれ A,B,C として表し、それらの文字に、どの目が出れば合計5になるかを考えると、結果は図のようになる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "このような図を樹形図(じゅけいず) という。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "3個のサイコロをふるとき、目の和が6になる場合は何通りあるか。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "最初に、n個の異なったものを並べ換える場合の数を数える。まず最初に並べるものはn個、次に並べるものは(n-1)個、その次に並べるものは(n-2)個 ... とだんだんと選べるものの数が減って行き、最後には1個しか残らなくなることに注目すると、この事柄に関する場合の数は", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "となり、1からnまでの自然数の積になる。この数を階乗 (かいじょう、factorial)と呼び、階乗nの記号は n ! {\\displaystyle n!} で表す。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "すなわち、階乗は", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "n ! = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) ⋯ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 {\\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\\cdots 3\\cdot 2\\cdot 1}", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "と定義される。この階乗の記号を使えば、この問題のときの場合の数は n!であると言うことが出来る。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "をそれぞれ計算せよ。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "を用いて計算すればよい。答えは、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "それぞれに1から5までの数字が書かれた5枚のカードが置いてある。このカードを並べ換えたとき、 (I)カードの並べ方の数、 (II)偶数が得られるカードの並べ方の数、 (III)奇数が出るカードの並べ方の数を、それぞれ計算せよ。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "(I) カードの数が5枚でそれぞれが区別できることから、カードの並べ方の数は", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "となり、120となる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "(II) 偶数を得るためには一の位である最も右に出るカードが、偶数となればよい。このようなカードは2と4であり、それぞれに対して後の4枚は自由に選んでよい。このため、このようなカードの並べ方は、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "(III) 奇数を得るためには一の位である最も右に出るカードが、奇数となればよい。このようなカードは1,3,5であり、それぞれに対して後の4枚は自由に選んでよい。このため、このようなカードの並べ方は、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "となる。一方、5枚のカードを並べ換えて得られる数は必ず偶数か奇数のどちらかであるので、(I)の結果から(II)の結果を引くことによっても (III)の結果は得られるはずだが、実際にそれを計算すると", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "となり、確かにそのようになっている。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "0,1,2,3,5が書かれた5枚のカードがある。これを並び換えたとき、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "をそれぞれ求めよ。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "(I) 先頭が0になったときには5桁の数にならないことに注意すればよい。求める場合の数は", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "(II) 最初が0でなく最後が0か2である数を数えればよい。まず、最後が0であるときには、残りの4枚は任意であるので", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "通りの組み合わせがある。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "次に、最後が2であるときには最初は0であってはいけないので、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "通りある。 2つを合わせた数が5桁の偶数が得られる場合の数である。答えは、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "(III) (I)の結果から(II)の結果を引けばよいが、ここではその結果が正しいかどうか確かめるためにも5桁の奇数が得られる組み合わせを数え上げてみる。 5桁の奇数を得るためには最後の数は1,3,5のいずれかでなくてはならない。このうちのどの場合についても5桁の数を得るためには最初の数が0で合ってはならないのでそれぞれの場合の数は、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "となりこれが5桁の奇数を得る場合の数である。 (II)の結果と足し合わせると確かに(I)の結果と等しい96を得る。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "(IV) 5の倍数を得るためには最後の数が0か5であればよい。このとき最後が0になる場合の数は他の4つが任意であるため", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "存在する。次に、最後が5になる場合の数は最初の数が0であってはならないため", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "だけ存在する。よって答えは", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "n個の異なったものからr個を選んで、順番をつけて並べる仕方の数を、 n P r {\\displaystyle {}_{n}\\mathrm {P} _{r}} と書く。また、このような計算の仕方を順列 (じゅんれつ、英:permutation) という。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "n個の異なったものからr個を選んで順番をつけて並べる仕方の数のことを、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "のように言う。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "最初に並べるものはn通り、次に並べるものは (n−1)通り、その次に並べるものは (n−2)通り ,... 最後には (n−(r−1))通りというように、だんだん選べるものの数が減って行くことに注目すると、順列の総数として", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "一般に n P r {\\displaystyle {}_{n}\\mathrm {P} _{r}} では n ≧ r である。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 114, "tag": "p", "text": "(IV)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 115, "tag": "p", "text": "(V)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 116, "tag": "p", "text": "(VI)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 117, "tag": "p", "text": "をそれぞれ計算せよ。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 118, "tag": "p", "text": "それぞれ", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 119, "tag": "p", "text": "を用いて計算すればよい。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 120, "tag": "p", "text": "結果は、 (I)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 121, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 122, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 123, "tag": "p", "text": "(IV)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 124, "tag": "p", "text": "(V)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 125, "tag": "p", "text": "(VI)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 126, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 127, "tag": "p", "text": "(V)と(VI)については一般的に整数nに対して", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 128, "tag": "p", "text": "が得られる。このとき", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 129, "tag": "p", "text": "は元々の順列の定義からすると\"n個のものの中から1つも選ばない場合の数\"に対応しており、少々不自然なように思えるが、このように値を置いておくと便利であるため通常このように置くのである。あまり、実際の場合の数の計算でこのような値を扱うことは多くはないといえる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 130, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 131, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 132, "tag": "p", "text": "A, B, C, D, E の5人が円形に手をつないで輪をつくるとき、その並び方は何通りあるか。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 133, "tag": "p", "text": "このような問題の場合、図のように、回転すると重なる並びは同じ並びであると考える。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 134, "tag": "p", "text": "解き方の考え方は数種類ある。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 135, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 136, "tag": "p", "text": "どちらにせよ、結果は", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 137, "tag": "p", "text": "である。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 138, "tag": "p", "text": "一般に異なる n個のものを円形に並べたものを円順列という。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 139, "tag": "p", "text": "円順列の総数として、次のことが成り立つ。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 140, "tag": "p", "text": "異なる n個の円順列の総数は ( n − 1 ) ! {\\displaystyle (n-1)!} である。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 141, "tag": "p", "text": "n個の異なったものからr個を選んで、順番をつけずに並べる仕方の数を、 n C r {\\displaystyle {}_{n}\\mathrm {C} _{r}} と書き、このような計算を組み合わせ(combination) という。例えば、いくつもあるボールに番号がふってあるなどの方法で、それぞれのボールが区別できるn個のボールが入った箱の中からr個のボールを取りだす時、取りだしたボールを取りだした順に並べるとすると、この場合の数は順列 n P r {\\displaystyle {}_{n}\\mathrm {P} _{r}} に対応する。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 142, "tag": "p", "text": "一方、取りだしたボールの種類が重要であり取りだした順番が特に必要でないときには、この場合の数は組み合わせ n C r {\\displaystyle {}_{n}\\mathrm {C} _{r}} に対応する。これらの数はお互いに異なった場合の数であり、互いに異なった計算法が必要となる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 143, "tag": "p", "text": "n C r {\\displaystyle {}_{n}\\mathrm {C} _{r}} は、 n P r {\\displaystyle {}_{n}\\mathrm {P} _{r}} 通りの並べ方を作った後にそれらの並びを無視したものに等しい。ここで、r個を取りだして作った並びについて、並べ方を無視するとr!個の並びが同一視されることがわかる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 144, "tag": "p", "text": "なぜなら、r個のお互いに区別できる数を自由に並び換える場合の数はr!であり、それらが全て同一視されるとすれば全体の場合の数は r!の分だけ減ることになるからである。よって、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 145, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 146, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 147, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 148, "tag": "p", "text": "次の値を計算せよ", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 149, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 150, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 151, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 152, "tag": "p", "text": "(VI)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 153, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 154, "tag": "p", "text": "それぞれについて", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 155, "tag": "p", "text": "を用いて計算すればよい。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 156, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 157, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 158, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 159, "tag": "p", "text": "(VI)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 160, "tag": "p", "text": "となる。(IV)については一般に整数nに対して", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 161, "tag": "p", "text": "を定義する。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 162, "tag": "p", "text": "これはもともとの組み合わせの計算としてはn個の物体のなかから0個の物体を選ぶ場合の数に対応しており、実際にはこのような場合の数を計算しようと考えることはあまり無いと思われるが、計算の便宜上のため定義を上のようにする。また、上の計算では", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 163, "tag": "p", "text": "の式をそのまま用いると、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 164, "tag": "p", "text": "つまり、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 165, "tag": "p", "text": "となっている。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 166, "tag": "p", "text": "実際には階乗の計算は整数nについてはnから1までを下がりながらかけ算していくという仕方で計算されていたので、上の結果は妙に思える。しかし実際には、より進んだ理論によってこの結果は正当化されるのであり、この場合も便宜上", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 167, "tag": "p", "text": "を0の階乗の定義として受けいれるのである。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 168, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 169, "tag": "p", "text": "5個のボールが入ったボール入れから2つのボールを取りだすとき(ボールはそれぞれ区別できるものとする。)2つのボールの選び方は、何通りあるか計算せよ。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 170, "tag": "p", "text": "ボールの取りだし方は組み合わせの数を用いて計算できる。 5つのボールの中から2つを取りだすのであるからその場合の数は、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 171, "tag": "p", "text": "となる。よって、ボールの取りだし方は10通りであることがわかる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 172, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 173, "tag": "p", "text": "演習問題", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 174, "tag": "p", "text": "6個の互いに区別できるボールが入った箱がある。この中から (I)3つのボールと2つのボールを取りだす方法の場合の数、(II)2つのボールを取り出すことを2回くり返し、それぞれを別の互いに区別できる袋にいれる場合の数、(III)2つのボールを取り出すことを2回くり返し、それぞれを別の互いに区別できない袋にいれる場合の数、をそれぞれ計算せよ。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 175, "tag": "p", "text": "(I) 最初にボールを取りだすときには、6つのボールの中から3つのボールを取りだすことからその場合の数は", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 176, "tag": "p", "text": "だけある。また、次にそれを取り除いた中から2つのボールを取り除くときにはその取りだし方は、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 177, "tag": "p", "text": "だけある。よって、このときの場合の数は", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 178, "tag": "p", "text": "だけになる。実際この値を計算すると、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 179, "tag": "p", "text": "となり、60通りであることが分かる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 180, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 181, "tag": "p", "text": "(I)の場合と同様に6つのボールの中から2つのボールを取りだすことからその場合の数は", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 182, "tag": "p", "text": "だけある。また、次にそれを取り除いた中から2つのボールを取り除くときにはその取りだし方は、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 183, "tag": "p", "text": "だけある。よって、このときの場合の数は", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 184, "tag": "p", "text": "だけになる。実際この値を計算すると、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 185, "tag": "p", "text": "となり、90通りであることが分かる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 186, "tag": "p", "text": "(III) (II)と同じ計算で値を求めることが出来るが、今回はボールをいれた袋が互いに区別できないことに注意しなくてはならない。このことによって、起こりうる場合の数は(II)の場合の半分になるので求める場合の数は45通りとなる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 187, "tag": "p", "text": "n C r {\\displaystyle {}_{n}\\mathrm {C} _{r}} について以下の式が成り立つ。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 188, "tag": "p", "text": "導出", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 189, "tag": "p", "text": "を用いると、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 190, "tag": "p", "text": "が得られ、示された。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 191, "tag": "p", "text": "同様に", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 192, "tag": "p", "text": "を用いると、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 193, "tag": "p", "text": "となり示された。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 194, "tag": "p", "text": "最初の式は、異なるn個のもののうちr個にXというラベルをつけ、残りのn-r個にYというラベルをつける場合の数から求めることができる。異なるn個のもののうちからr個を選びラベルXをつけ、残りにラベルYをつける場合の数は n C r {\\displaystyle _{n}\\mathrm {C} _{r}} であり、異なるn個のもののうちからn-r個を選び、ラベルYをつけ、残りにラベルXをつける場合の数は n C n − r {\\displaystyle _{n}\\mathrm {C} _{n-r}} である。当然、前者と後者の場合の数は等しいので、ここから、 n C r = n C n − r {\\displaystyle _{n}\\mathrm {C} _{r}=_{n}\\mathrm {C} _{n-r}} が求められる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 195, "tag": "p", "text": "2つ目の式は、 \"n個のものからr個を選ぶ仕方の数は、次の数の和である。最初の1つを選ばずに他のn-1個からr個を選ぶ仕方の数と、最初の1つを選んで他のn-1個からr-1個を選ぶ仕方の数との和である。\" ということを表わしている。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 196, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 197, "tag": "p", "text": "を用いて (I)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 198, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 199, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 200, "tag": "p", "text": "(VI)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 201, "tag": "p", "text": "をそれぞれ計算せよ。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 202, "tag": "p", "text": "上の式を用いて計算することが出来る。もちろん直接に計算しても答えを得ることが出来るが、通常は簡単化してから計算した方が楽である。 (I)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 203, "tag": "p", "text": "(II)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 204, "tag": "p", "text": "(III)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 205, "tag": "p", "text": "(VI)", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 206, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 207, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 208, "tag": "p", "text": "図のようなルートを左下の点から右上の点まで歩いて行く人がいる。ただし、この人は右か上にしか進めないとする。このとき、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 209, "tag": "p", "text": "を計算せよ。ただしa点はと書かれている点のすぐ下の通路のことをさしている。それぞれのルートは途切れていない縦4つ、横5つの碁盤目上のルートになっていることに注意せよ。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 210, "tag": "p", "text": "___________", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 211, "tag": "p", "text": "\|_\|_\|_\|_\|_\|", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 212, "tag": "p", "text": "\|_\|_\|\|_\|_\|", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 213, "tag": "p", "text": "\|_\|_\|_\|_\|_\|", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 214, "tag": "p", "text": "\|_\|_\|_\|_\|_\|", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 215, "tag": "p", "text": "", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 216, "tag": "p", "text": "(I) 左下にいる人は9回進むことで右上の点に辿り着ける。そのため、左下にいる人が選びうるルートの数は9回のうちのどの回で右ではなく上を選ぶかの場合の数に等しい。このような場合の数は、9回のうちから自由に4つの場所を選ぶ方法に等しく、組み合わせを用いて書くことが出来る。実際に9回のうちから自由に4つの場所を選ぶ方法は、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 217, "tag": "p", "text": "で書かれる。この量を計算すると、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 218, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 219, "tag": "p", "text": "(II) a点を通過して進むルートの数はa点の左の点までいってからa点を通過し、a点の右の点を通って右上の点までいく仕方の数に等しい。それぞれのルートの数は(I)の方法を用いて計算することができる。この数を実際に計算すると、", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 220, "tag": "p", "text": "となり、36通りであることが分かる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 221, "tag": "p", "text": "演習問題 r n C r = n n − 1 C r − 1 {\\displaystyle r_{n}\\mathrm {C} _{r}=n_{n-1}\\mathrm {C} _{r-1}} を示せ", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 222, "tag": "p", "text": "r n C r = r n ! r ! ( n − r ) ! = n ( n − 1 ) ! ( r − 1 ) ( ( n − 1 ) − ( r − 1 ) ) ! = n n − 1 C r − 1 {\\displaystyle r_{n}\\mathrm {C} _{r}=r{\\frac {n!}{r!(n-r)!}}=n{\\frac {(n-1)!}{(r-1)((n-1)-(r-1))!}}=n_{n-1}\\mathrm {C} _{r-1}}", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 223, "tag": "p", "text": "異なるn個の空箱にr個のものを入れる場合の数を重複組み合わせといい、 n H r {\\displaystyle _{n}\\mathrm {H} _{r}} で表す。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 224, "tag": "p", "text": "重複組合せについて次のように考察する。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 225, "tag": "p", "text": "x 1 , x 2 , ⋯ , x n , r {\\displaystyle x_{1},x_{2},\\cdots ,x_{n},r} を非負整数とし、方程式 x 1 + x 2 + ⋯ + x n = r {\\displaystyle x_{1}+x_{2}+\\cdots +x_{n}=r} の解の個数について考える。この解の個数は x 1 , x 2 , ⋯ , x n {\\displaystyle x_{1},x_{2},\\cdots ,x_{n}} に r {\\displaystyle r} 個の1を分配する場合の数と考えることができるので、重複組み合わせの定義から、 n H r {\\displaystyle _{n}\\mathrm {H} _{r}} である。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 226, "tag": "p", "text": "また、この方程式の非負整数解の個数は、r個の○にn-1個の区切りを置く場合の数とも考えられる。つまり、○○○...○○(r個)にn-1個の区切り\|を並べると○\|○○\|...○\|○のようになる。ここで、左から順に区切りで区切られた○の個数をそれぞれ、 x 1 , x 2 , ⋯ , x n {\\displaystyle x_{1},x_{2},\\cdots ,x_{n}} とすると、これは方程式の解となる。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 227, "tag": "p", "text": "この場合の数は、r個の○とn-1個の区切り\|を並べえる場合の数なので、 n + r − 1 C r {\\displaystyle _{n+r-1}\\mathrm {C} _{r}} である。方程式の非負整数解の個数について2通りの方法で求まったのでこれらは等しく、 n H r = n + r − 1 C r {\\displaystyle _{n}\\mathrm {H} _{r}=_{n+r-1}\\mathrm {C} _{r}} が成り立つ。", "title": "場合の数" }, { "paragraph_id": 228, "tag": "p", "text": "ある場合の数が、実際に現われる割合のことを確率(かくりつ、英:probability)と呼ぶ。", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 229, "tag": "p", "text": "ある場合の数が実際に現われる割合は、その場合の数を割り算で、その事柄において起こり得る全ての事柄の場合の数で割ったものに等しい。", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 230, "tag": "p", "text": "たとえば、全く等しい割合で全ての面が出るさいころをふったときに1が出る確率は 1 6 {\\displaystyle {\\frac {1}{6}}} である。これは1が出る場合の数1を、1,2,3,4,5,6のいずれかが出る場合の数6で割ったものに等しい。", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 231, "tag": "p", "text": "赤玉2個と白玉3個が入った袋から、玉を2個同時に取り出す。このとき、2個とも白玉が出る確率を求めよ。", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 232, "tag": "p", "text": "赤白あわせて5個の玉から2個を取り出す方法は", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 233, "tag": "p", "text": "このうち、2個とも白玉になる場合は", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 234, "tag": "p", "text": "よって求める確率は 3 10 {\\displaystyle {\\frac {3}{10}}}", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 235, "tag": "p", "text": "確率の定義から、次の性質が得られる。", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 236, "tag": "p", "text": "2つの事象A,Bが同時に起こらないとき、事象AとBは互いに排反(はいはん、英:exclusive)である、またはAとBは排反事象であるという。", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 237, "tag": "p", "text": "", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 238, "tag": "p", "text": "男子7人、女子5人の中から、くじ引きで3人の委員を選ぶとき、3人とも同性である確率を求めよ。", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 239, "tag": "p", "text": "12人の中から3人の委員を選ぶ場合の数は", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 240, "tag": "p", "text": "ここで、「3人とも男子である」事象をA、「3人とも女子である」事象をBとすると、「3人とも同性である」事象は、和事象A ∪ Bであり、しかも、AとBは排反事象である。", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 241, "tag": "p", "text": "よって求める確率は P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) = 35 220 + 10 220 = 45 220 = 9 44 {\\displaystyle P(A\\cup B)=P(A)+P(B)={\\frac {35}{220}}+{\\frac {10}{220}}={\\frac {45}{220}}={\\frac {9}{44}}}", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 242, "tag": "p", "text": "事象Aに対して、「Aでない」事象を A ̄ {\\displaystyle {\\overline {A}}} で表し、Aの余事象(よじしょう)という。", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 243, "tag": "p", "text": "赤玉5個、白玉3個の計8個入っている袋から3個の玉を取り出すとき、少なくとも1個は白玉である確率を求めよ。", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 244, "tag": "p", "text": "8個の玉から3個の玉を取り出す場合の数は", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 245, "tag": "p", "text": "いま、「少なくとも1個は白玉である」事象をAとすると、 A ̄ {\\displaystyle {\\overline {A}}} は「3個とも赤玉である」という事象だから", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 246, "tag": "p", "text": "よって求める確率は", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 247, "tag": "p", "text": "たがいに他の結果に対して影響をおよぼさない操作を繰りかえすとき、それぞれの試行は独立(どくりつ、英:independent)であると言う。独立な試行については、ある試行の起こる確率が定められていて、それをn回繰りかえしたとき、それらが起こる確率は、それぞれの試行が起こる確率の積となる。", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 248, "tag": "p", "text": "", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 249, "tag": "p", "text": "赤玉3個、白玉2個の計5個入っている袋がある。この中から1個の玉を取り出して色を確かめてから袋に戻し、再び1個を取り出すとき、1回目は赤玉、2回目は白玉を取り出す確率を求めよ。", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 250, "tag": "p", "text": "1回目に取り出した玉を袋に戻すので、「1回目に取り出す」試行と「2回目に取り出す」試行とは互いに独立である。 1回目に取り出した1個が赤玉である確率は 3 5 {\\displaystyle {\\frac {3}{5}}}", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 251, "tag": "p", "text": "2回目に取り出した1個が白玉である確率は 2 5 {\\displaystyle {\\frac {2}{5}}} したがって求める確率は", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 252, "tag": "p", "text": "同じ試行を何回か繰り返して行うとき、各回の試行は独立である。この一連の独立な試行をまとめて考えるとき、それを反復試行(はんぷくしこう)という。", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 253, "tag": "p", "text": "1個のさいころを5回投げるとき、3の倍数の目が4回出る確率を求めよ。", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 254, "tag": "p", "text": "1個のさいころを1回投げるとき、3の倍数の目が出る確率は", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 255, "tag": "p", "text": "よって、1個のさいころを5回投げるとき、3の倍数の目が4回出る確率は", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 256, "tag": "p", "text": "記号「Σ」についてはこちらを参照。", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 257, "tag": "p", "text": "ある試行があったとき、その試行で得られると期待される値のことを期待値(きたいち、英:expected value)という。期待値は、n個の事象 r k ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\\displaystyle r_{k}\\ (k=1,2,\\cdots ,n)} に対して、各々 v k {\\displaystyle v_{k}} という値が得られ、事象 r k {\\displaystyle r_{k}} が起こる確率が p k {\\displaystyle p_{k}} で与えられているとき、", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 258, "tag": "p", "text": "によって与えられる。例えば、さいころをふったとき出る目の期待値は、", "title": "確率" }, { "paragraph_id": 259, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "確率" } ]	null	{{pathnav\|高等学校の学習\|高等学校数学\|高等学校数学A\|pagename=場合の数と確率\|frame=1\|small=1}} == はじめに == たとえば、おはじきを一列に並べる場合、並べ方の数には、いくつもの方法がある。じっさいに全ての並び方を試すことも、時間さえあれば実験可能である。このように、「全部で何通りがあるか」という、その「何通り」の「何」にあたる数字を、場合の数（ばあいのかず）と呼ぶ。このように事柄には、それらのやり方が全部で何通りあるかを数えることが出来る事柄がある。ある事柄について（そのことが起こりうる）場合の数を正確に数えることが理解の基礎であり、その事柄について、どのことが起こりやすくどのことが起こりづらいかを見分けるための基礎となる。つまり、場合の数は事柄が起こりうる確率と密接な関係にある。例えば、ポーカーなどのカードゲームでは集めることが難しい役は高いランクが与えられているが、これは起こりにくい役が出来るトランプの組み合わせの現われる確率が小さいことによる。このことは、52枚のカードから5枚を引いて来たときに全てのカードを引く確率が同じであるとしたとき、ある役に対応するカードの組み合わせを引く場合の数がより少ないことに対応する。このように、場合の数は事柄が起こりうる確率と密接な関係にある。カードゲームのように確率が具体的に計算できる場合の他にも、確率の考え方を用いて計算される事柄は多くある。 * 例：保険たとえば、保険（ほけん）と呼ばれるものはある事柄に値段をつけるものであるが、保険を下ろさなくてはならない事柄が起こりにくいと客観的に思われるものほど、そのものの値段が下がるという特徴がある。例えば、自動車保険に加入するのに必要な代金は若者では高く、年令を重ねるごとに低くなっていく。これは、若者は自動車の免許を取得して時間が短い場合が多く、保険金の支払を必要とする自動車事故をおこす可能性が高いことによる。いっぽう、年令を重ねたものについては運転の技量が時とともに上達すると一般に考えられるので保険をかけるための代金は少なくなるのである。また、同じ若者でも既に何度か事故を重ねたものは同じ年代の他の若者よりも保険料が高くなる傾向がある。これは、何度か事故を重ねたものは運転の仕方に何らかの問題がある傾向があり、それによってふたたび事故をおこす可能性が通常のものと比べてより高いと考えられることによる。 * 例：銀行の融資（ゆうし）銀行の融資（ゆうし）でもやはり確率の考えを用いて高い利益を出すことが実践されている。融資でもやはり保険業とおなじく、より貸倒れになる可能性が高い相手に対しては高い金利で資金を貸し付け、より安定した資金を持っている相手に対してはより低い金利で資金を貸し付けることを実行して来た。 * 例：株式市場の分散投資利益を安定的に稼ぐ方法として、いくつかの会社が発行する互いに性質の異なった株などを合わせて購入先を分散することで株の値段が下がったときでも値段があまり減ることが無いようにする方法が考案されている。（ただし、値段が減りづらいのと同様に、値段は上がりづらい。）これは、性質の異なった商品を合わせて扱うことで、値段が急変する確率を下げることが出来ることを表わしている。しかし、確率では、必ずしも予測した通りに事が進むわけでは無いことに注意する必要がある。この章では場合の数と確率の計算法を紹介する。まず先に様々な事柄の場合の数の計算法を扱い、その結果を用いてある事柄が起こる確率を計算する方法を紹介する。 == 集合の要素の個数 == ==== 2つの集合の和集合の要素の個数 ==== :※ この単元では、単元『[[高等学校数学A/集合と論理]]』で習う集合の記号を使う。分からなければ、そちらのページも参照せよ。ここでは、有限集合 A の要素の個数を n(A) で表す。たとえば、10以下の自然数の集合を U として、そのうち偶数の集合を A とする場合、 :A=｛2, 4, 6 , 8, 10｝なので、Aの要素の個数は5個なので :n(A)＝5 である。なお、 U=｛1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9, 10｝で要素の個数は10個なので :n(U)＝10 である。次のような問題を考えてみよう。 100までの自然数のうち、2または3の倍数は何個あるか？このような問題の解法を考えるため、準備の問題として、まず10までの自然数で考えてみよう。先程の例題で2の倍数については考えたので、次の問題として10までの3の倍数の個数について考えよう。 10以下の自然数の集合を U として、そのうち 3の倍数の集合を B とする場合、 B=｛3, 6 , 9｝なので、Bの要素の個数は3個なので :n(B)＝3 である。さて、 :A=｛2, 4, 6 , 8, 10｝ :B=｛3, 6 , 9｝には共通して 6 という要素が含まれている。自然数10までにある2または3の倍数にあたる要素は、 :{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10} であり、要素の個数をかぞえると 7個である。一方、 :n(A)＋n(B)＝ 5＋3 ＝8 であり、1個多い。このように1個多くなってしまった原因は、集合Aと集合Bに共通して含まれている要素 6 を二重に数えてしまっているからである。一般に、2つの集合A,Bの要素の個数 n(A) と n(B) を用いて、AまたはBの条件を満たす要素の個数をかぞえたい場合には、AとBに共通して含まれている要素の個数を差し引かなければならない。このことを式で表すと :n（A∪B）＝ n(A)＋n(B)−n(A∩B) になる。ただし、「∪」とは和集合の記号で、 A∪B とは集合Aと集合Bの和集合のことである。「∩」とは共通部分の記号で、「A∩B」とは集合Aと集合Bの共通部分のことである。では、この公式を参考にして 100までの自然数のうち、2または3の倍数は何個あるか？の答えを求めよう。 100までの自然数のうちの、2の倍数の集合をAとして、3の倍数の集合をBとすると :n(A)＝ 100/2 ＝50 なので、集合Aの要素の個数（2の倍数の個数）は 50個、つまり n(A)＝ 50 である。 :n(B)については［99÷3］＝33 なので集合Bの要素の個数（3の倍数の個数）は33個、つまり n(B)＝ 33 である。さらに、2の倍数でもあり3の倍数でもある数の集合 A∩B とは、つまり6の倍数の集合のことであり（なぜなら 2 と 3 の最小公倍数が 6 なので）、 96÷6＝16 なので、A∩B の要素の個数は 16 個、つまり n(A∩B)＝ 16 である。そして、公式 :n（A∪B）＝ n(A)＋n(B)−n(A∩B) を適用すると、 :n（A∪B）＝ 50 ＋ 33 − 16 ＝ 67 である。よって、100までの自然数のうちの2または3の倍数の個数は 67個である。 ==== 発展: 3つの集合の和集合の要素の個数 ==== [[File:Venn diagram of 3 sets.svg\|thumb\|]] 3つの有限集合の和集合の要素の個数については、次の公式が成り立つ n(A∪B∪C) ＝ n(A) ＋ n(B) ＋ n(C) −n(A∩B) −n(B∩C) −n(C∩A) ＋ n(A∩B∩C) ;問題右の図を参考に、上の公式を証明せよ。 ;例題 100以下の自然数のうち、2の倍数または3の倍数または5の倍数であるものの個数を求めよ。 (解法) まず、100以下の自然数のうち、 :2の倍数の集合をA、 :3の倍数の集合をB、 :5の倍数の集合をC、とする。 100÷2=50なので、100は50番目の2の倍数であり、よって100以下の2の倍数は50個である。同様に考えて要素の個数を求めると、 :n(A) ＝ 50 :n(B) ＝ 33 :n(C) ＝ 20 である。一方、100以下の自然数のうち :A∩B は 6の倍数の集合、 :B∩C は 15の倍数の集合、 :C∩A は 10の倍数の集合、となる。よって、先ほどと同様に考えると :n(A∩B) ＝ 16 :n(B∩C) ＝ 6 :n(C∩A) ＝ 10 また、100以下の自然数のうち、 :A∩B∩C は 30の倍数の集合となる。 A∩B∩C の要素の個数は :n(A∩B∩C) ＝ 3 である。よって、 :n(A∪B∪C) ＝ n(A) ＋ n(B) ＋ n(C) −n(A∩B) −n(B∩C) −n(C∩A) ＋ n(A∩B∩C) ＝ 50 ＋ 33 ＋ 20 − 16 − 6 − 10 ＋ 3 ＝ 74 なので、100以下の自然数のうちの2の倍数または3の倍数または5の倍数であるものの個数は 74個である。 == 場合の数 == ==== 樹形図 ==== [[File:Tree diagram sum 5 by three numbers.svg\|thumb\|]] たとえば大中小3個のサイコロをふって、目の和が5になる目の組は、何通りあるだろうか。このような問題を解く方法のひとつとして、図のように、組み合わせを総当たりで書く方法がある。大中小の合計3個のサイコロをそれぞれ A,B,C として表し、それらの文字に、どの目が出れば合計5になるかを考えると、結果は図のようになる。このような図を '''樹形図'''（じゅけいず）という。 ;問題 3個のサイコロをふるとき、目の和が6になる場合は何通りあるか。 ==== 階乗 ==== 最初に、n個の異なったものを並べ換える場合の数を数える。まず最初に並べるものはn個、次に並べるものは(n-1)個、その次に並べるものは(n-2)個 ... とだんだんと選べるものの数が減って行き、最後には1個しか残らなくなることに注目すると、この事柄に関する場合の数は :<math> n (n-1) (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1 </math> となり、1からnまでの自然数の積になる。この数を '''階乗''' （かいじょう、factorial）と呼び、階乗nの記号は <math> n! </math> で表す。すなわち、階乗は {{テキストボックス\|<math>n! = n (n-1) (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1</math>}} と定義される。この階乗の記号を使えば、この問題のときの場合の数は n!であると言うことが出来る。 * 問題例問題 :<math> 3! , \quad 4! , \quad 5! , \quad 6! </math> をそれぞれ計算せよ。解答 :<math> n! = 1 \cdot 2 \cdot \cdots n </math> を用いて計算すればよい。答えは、 :<math>3! = 6</math> :<math>4! = 24</math> :<math>5! = 120</math> :<math>6! = 720</math> となる。問題それぞれに1から5までの数字が書かれた5枚のカードが置いてある。このカードを並べ換えたとき、 (I)カードの並べ方の数、 (II)偶数が得られるカードの並べ方の数、 (III)奇数が出るカードの並べ方の数を、それぞれ計算せよ。解答 (I) カードの数が5枚でそれぞれが区別できることから、カードの並べ方の数は :<math>5!</math> となり、120となる。 (II) 偶数を得るためには一の位である最も右に出るカードが、偶数となればよい。このようなカードは2と4であり、それぞれに対して後の4枚は自由に選んでよい。このため、このようなカードの並べ方は、 :<math>2 \times 4! = 48</math> となる。 (III) 奇数を得るためには一の位である最も右に出るカードが、奇数となればよい。このようなカードは1,3,5であり、それぞれに対して後の4枚は自由に選んでよい。このため、このようなカードの並べ方は、 :<math>3 \times 4! = 72</math> となる。一方、5枚のカードを並べ換えて得られる数は必ず偶数か奇数のどちらかであるので、(I)の結果から(II)の結果を引くことによっても (III)の結果は得られるはずだが、実際にそれを計算すると :<math>120 - 48 = 72</math> となり、確かにそのようになっている。問題 0,1,2,3,5が書かれた5枚のカードがある。これを並び換えたとき、 :(I)5桁の数が得られる数、 (II) 5桁の偶数が得られる数、(III) 5桁の奇数が得られる数、(IV) 5桁の5の倍数が得られる数をそれぞれ求めよ。解答 (I) 先頭が0になったときには5桁の数にならないことに注意すればよい。求める場合の数は :<math>4 \times 4! = 96</math> となる。 (II) 最初が0でなく最後が0か2である数を数えればよい。まず、最後が0であるときには、残りの4枚は任意であるので :<math>4! = 24</math> 通りの組み合わせがある。次に、最後が2であるときには最初は0であってはいけないので、 :<math>3 \times 3! = 18</math> 通りある。 2つを合わせた数が5桁の偶数が得られる場合の数である。答えは、 :<math>24 + 18 = 42</math> となる。 (III) (I)の結果から(II)の結果を引けばよいが、ここではその結果が正しいかどうか確かめるためにも5桁の奇数が得られる組み合わせを数え上げてみる。 5桁の奇数を得るためには最後の数は1,3,5のいずれかでなくてはならない。このうちのどの場合についても5桁の数を得るためには最初の数が0で合ってはならないのでそれぞれの場合の数は、 :<math>3 \times 3 \times 3! = 54</math> となりこれが5桁の奇数を得る場合の数である。 (II)の結果と足し合わせると確かに(I)の結果と等しい96を得る。 (IV) 5の倍数を得るためには最後の数が0か5であればよい。このとき最後が0になる場合の数は他の4つが任意であるため :<math>4! = 24</math> 存在する。次に、最後が5になる場合の数は最初の数が0であってはならないため :<math>3 \times 3! = 18</math> だけ存在する。よって答えは :<math>24 + 18=42</math> となる。 ===== 順列 ===== n個の異なったものからr個を選んで、順番をつけて並べる仕方の数を、<math> {}_n \mathrm{P}_r </math>と書く。また、このような計算の仕方を '''順列''' （じゅんれつ、英：permutation）という。 n個の異なったものからr個を選んで順番をつけて並べる仕方の数のことを、 :'''n個からr個とる順列''' のように言う。最初に並べるものはn通り、次に並べるものは (n−1)通り、その次に並べるものは (n−2)通り ,... 最後には (n−(r−1))通りというように、だんだん選べるものの数が減って行くことに注目すると、順列の総数として :<math> {}_n \mathrm{P}_r = n (n-1) (n-2) \cdots (n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}</math> が得られる。 :※ なお <math> {}_n \mathrm{P}_r </math> のP とは、順列を意味する英語 permutation の頭文字である。一般に <math> {}_n \mathrm{P}_r </math> では n ≧ r である。 * 問題例問題 (I) :<math>{} _5 \mathrm{P} _3</math> (II) :<math>{} _4 \mathrm{P} _2</math> (III) :<math>{} _7 \mathrm{P} _3</math> (IV) :<math>{} _{10} \mathrm{P} _5</math> (V) :<math>{} _{10} \mathrm{P} _1</math> (VI) :<math>{} _7 \mathrm{P} _0</math> をそれぞれ計算せよ。解答それぞれ :<math>{} _n \mathrm{P} _r = n (n-1) (n-2) \cdots (n-r+1) = \frac{n!}{(n-r)!}</math> を用いて計算すればよい。結果は、 (I) :<math>{} _5 \mathrm{P} _3 = 5 \times 4 \times 3 = 60</math> (II) :<math>{} _4 \mathrm{P} _2 = 4 \times 3 = 12</math> (III) :<math>{} _7 \mathrm{P} _3 = 7\times 6\times 5 = 210</math> (IV) :<math>{} _{10} \mathrm{P} _5 = 10\times 9\times 8\times 7\times 6 = 30240</math> (V) :<math>{} _{10} \mathrm{P} _1 = 10 </math> (VI) :<math>{} _7 \mathrm{P} _0 = \frac {7!}{7!} = 1</math> となる。 (V)と(VI)については一般的に整数nに対して :<math>{} _n \mathrm{P} _1 = n</math> :<math>{} _n \mathrm{P} _0 = 1</math> が得られる。このとき :<math>{} _n \mathrm{P} _0 = 1</math> は元々の順列の定義からすると"n個のものの中から1つも選ばない場合の数"に対応しており、少々不自然なように思えるが、このように値を置いておくと便利であるため通常このように置くのである。あまり、実際の場合の数の計算でこのような値を扱うことは多くはないといえる。 ===== 円順列 ===== [[File:Circular Permutation 5 elements.svg\|thumb\|800px]] {{-}} A, B, C, D, E の5人が円形に手をつないで輪をつくるとき、その並び方は何通りあるか。このような問題の場合、図のように、回転すると重なる並びは同じ並びであると考える。解き方の考え方は数種類ある。 :1つの考え方として、5人が円形に並ぶとき、図のように回転すると同じになる並びは、5通りずつあるという考え方により、 <math> \frac{ 5! }{ 5 } </math> とする考え方である。 :もう一つの考え方として、Aを固定して、残りの4人の並びを考えれば、別々の並びが作れるという考え方で、 <math> (5-1)! </math> とする考え方である。どちらにせよ、結果は :<math> 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot = 24 </math> （通り）である。一般に異なる n個のものを円形に並べたものを円順列という。円順列の総数として、次のことが成り立つ。異なる n個の円順列の総数は <math> (n-1)! </math> である。 ==== 組み合わせ ==== n個の異なったものからr個を選んで、順番をつけずに並べる仕方の数を、<math> {}_n \mathrm{C}_r </math>と書き、このような計算を組み合わせ（combination）という。例えば、いくつもあるボールに番号がふってあるなどの方法で、それぞれのボールが区別できるn個のボールが入った箱の中からr個のボールを取りだす時、取りだしたボールを取りだした順に並べるとすると、この場合の数は順列<math>{} _n \mathrm{P} _r</math>に対応する。一方、取りだしたボールの種類が重要であり取りだした順番が特に必要でないときには、この場合の数は組み合わせ<math>{} _n \mathrm{C} _r</math>に対応する。これらの数はお互いに異なった場合の数であり、互いに異なった計算法が必要となる。 <math>{} _n \mathrm{C} _r</math>は、<math>{} _n \mathrm{P} _r</math>通りの並べ方を作った後にそれらの並びを無視したものに等しい。ここで、r個を取りだして作った並びについて、並べ方を無視するとr!個の並びが同一視されることがわかる。なぜなら、r個のお互いに区別できる数を自由に並び換える場合の数はr!であり、それらが全て同一視されるとすれば全体の場合の数は r!の分だけ減ることになるからである。よって、 :<math> {}_n \mathrm{C}_r =\frac { {}_n \mathrm{P}_r }{r!} = \frac{n!}{(n-r)!r!}</math> が得られる。 {{演習問題\| 次の値を計算せよ (I) :<math>{} _5 \mathrm{C} _2</math> (II) :<math>{} _7 \mathrm{C} _3</math> (III) :<math>{} _{10} \mathrm{C} _1</math> (VI) :<math>{} _8 \mathrm{C} _0</math> \| それぞれについて :<math>{}_n \mathrm{C} _r =\frac { {}_n \mathrm{P} _r }{r!} = \frac{n!}{(n-r)!r!}</math> を用いて計算すればよい。 (I) :<math>{} _5 \mathrm{C} _2 = \frac {5\times 4}{2\times 1} = 10</math> (II) :<math>{} _7 \mathrm{C} _3 = \frac { 7\times 6\times 5} { 3\times 2\times 1} = 35</math> (III) :<math>{} _{10} \mathrm{C} _1 = \frac {10} {1} = 10</math> (VI) :<math>{} _8 \mathrm{C} _0 = 1 </math> となる。(IV)については一般に整数nに対して :<math>{} _n \mathrm{C} _0 = 1</math> を定義する。これはもともとの組み合わせの計算としてはn個の物体のなかから0個の物体を選ぶ場合の数に対応しており、実際にはこのような場合の数を計算しようと考えることはあまり無いと思われるが、計算の便宜上のため定義を上のようにする。また、上の計算では :<math>{} _n \mathrm{C} _r =\frac { {}_n \mathrm{P} _r }{r!}</math> の式をそのまま用いると、 :<math>{} _n \mathrm{C} _0 = \frac {{} _n \mathrm{P} _0} {0!} = \frac 1 {0!} = 1</math> つまり、 :<math>0! = 1</math> となっている。実際には階乗の計算は整数nについてはnから1までを下がりながらかけ算していくという仕方で計算されていたので、上の結果は妙に思える。しかし実際には、より進んだ理論によってこの結果は正当化されるのであり、この場合も便宜上 :<math>0! = 1</math> を0の階乗の定義として受けいれるのである。 }} {{演習問題\| 5個のボールが入ったボール入れから2つのボールを取りだすとき(ボールはそれぞれ区別できるものとする。)2つのボールの選び方は、何通りあるか計算せよ。\|ボールの取りだし方は組み合わせの数を用いて計算できる。 5つのボールの中から2つを取りだすのであるからその場合の数は、 :<math>{} _5 \mathrm{C} _2 = \frac {5!}{2!3!} = \frac { 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2\cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1)( \cdot 2 \cdot 1)}</math> :<math>= 10</math> となる。よって、ボールの取りだし方は10通りであることがわかる。}} {{演習問題\| 6個の互いに区別できるボールが入った箱がある。この中から (I)3つのボールと2つのボールを取りだす方法の場合の数、(II)2つのボールを取り出すことを2回くり返し、それぞれを別の互いに区別できる袋にいれる場合の数、(III)2つのボールを取り出すことを2回くり返し、それぞれを別の互いに区別できない袋にいれる場合の数、をそれぞれ計算せよ。\| (I) 最初にボールを取りだすときには、6つのボールの中から3つのボールを取りだすことからその場合の数は :<math>{} _6 \mathrm{C} _3</math> だけある。また、次にそれを取り除いた中から2つのボールを取り除くときにはその取りだし方は、 :<math>{} _3 \mathrm{C} _2</math> だけある。よって、このときの場合の数は :<math>{} _6 \mathrm C _3 \times {} _3 \mathrm{C} _2 </math> だけになる。実際この値を計算すると、 :<math>{} _6 \mathrm C _3 \times {} _3 \mathrm{C} _2 = 20 \times 3 = 60</math> となり、60通りであることが分かる。 (II) (I)の場合と同様に6つのボールの中から2つのボールを取りだすことからその場合の数は :<math>{} _6 \mathrm{C} _2</math> だけある。また、次にそれを取り除いた中から2つのボールを取り除くときにはその取りだし方は、 :<math>{} _4 \mathrm{C} _2</math> だけある。よって、このときの場合の数は :<math>{} _6 \mathrm C _2 \times {} _4 \mathrm{C} _2 </math> だけになる。実際この値を計算すると、 :<math>{} _6 \mathrm C _2 \times {} _4 \mathrm{C} _2 = 15 \times 6 = 90</math> となり、90通りであることが分かる。 (III) (II)と同じ計算で値を求めることが出来るが、今回はボールをいれた袋が互いに区別できないことに注意しなくてはならない。このことによって、起こりうる場合の数は(II)の場合の半分になるので求める場合の数は45通りとなる。}} <math> {}_n \mathrm{C}_r </math>について以下の式が成り立つ。 :<math> {}_n \mathrm C_r = _n \mathrm{C} _{n-r}</math> :<math> {}_n \mathrm C _r = _{n-1} \mathrm C_r + _{n-1} \mathrm{C} _{r-1}</math> 導出 :<math> {}_n \mathrm{C}_r = \frac{n!}{(n-r)!r!}</math> を用いると、 :<math> {}_n \mathrm{C}_{n-r} = \frac{n!}{(n-(n-r))!(n-r)!}</math> :<math> = \frac{n!}{r!(n-r)!}</math> :<math> = {}_n \mathrm{C}_r </math> が得られ、示された。同様に :<math> {}_n \mathrm{C}_r = \frac{n!}{(n-r)!r!}</math> を用いると、 :<math> {}_{n-1} \mathrm C_r + _{n-1} \mathrm{C} _{r-1}</math> :<math>= \frac {(n-1)!}{(n-1-r)!r!} +\frac {(n-1)!}{(n-r)!(r-1)!} </math> :<math>= \frac {(n-r)}n {}_n \mathrm{C}_r +\frac r n {}_n \mathrm{C}_r</math> :<math>= {}_n \mathrm{C}_r</math> となり示された。最初の式は、異なるn個のもののうちr個にXというラベルをつけ、残りのn-r個にYというラベルをつける場合の数から求めることができる。異なるn個のもののうちからr個を選びラベルXをつけ、残りにラベルYをつける場合の数は<math>_n \mathrm C _r</math> であり、異なるn個のもののうちからn-r個を選び、ラベルYをつけ、残りにラベルXをつける場合の数は<math>_n \mathrm C _{n-r}</math> である。当然、前者と後者の場合の数は等しいので、ここから、<math>_n \mathrm C _r = _n \mathrm C_{n-r}</math> が求められる。 2つ目の式は、 "n個のものからr個を選ぶ仕方の数は、次の数の和である。最初の1つを選ばずに他のn-1個からr個を選ぶ仕方の数と、最初の1つを選んで他のn-1個からr-1個を選ぶ仕方の数との和である。" ということを表わしている。 * 問題例 :<math>{} _n \mathrm{C} _r = _n \mathrm{ \mathrm{C}} _{n-r}</math> を用いて (I) :<math>{} _5 \mathrm{C} _3</math> (II) :<math>{} _7 \mathrm{C} _4</math> (III) :<math>{} _{10} \mathrm{C} _9</math> (VI) :<math>{} _8 \mathrm{C} _5</math> をそれぞれ計算せよ。解答上の式を用いて計算することが出来る。もちろん直接に計算しても答えを得ることが出来るが、通常は簡単化してから計算した方が楽である。 (I) :<math>{} _5 \mathrm{C} _3 = {} _5 \mathrm{C} _{5-3} = {} _5 \mathrm{C} _2 = 10</math> (II) :<math>{} _7 \mathrm{C} _4= {} _7 \mathrm{C} _{7-4}={} _7 \mathrm{C} _3 = 35</math> (III) :<math>{} _{10} \mathrm{C} _9= {} _{10} \mathrm{C} _{10-9}= {} _{10} \mathrm{C} _1 = 10</math> (VI) :<math>{} _8 \mathrm{C} _5= {} _8 \mathrm{C} _{8-5}= {} _8 \mathrm{C} _3= 56</math> となる。問題図のようなルートを左下の点から右上の点まで歩いて行く人がいる。ただし、この人は右か上にしか進めないとする。このとき、 :(I) 左下から右上まで進む仕方の数 :(II) a点を通過して右上まで進む仕方の数を計算せよ。ただしa点はと書かれている点のすぐ下の通路のことをさしている。それぞれのルートは途切れていない縦4つ、横5つの碁盤目上のルートになっていることに注意せよ。 ___________ \|_\|_\|_\|_\|_\| \|_\|_\|\|_\|_\| \|_\|_\|_\|_\|_\| \|_\|_\|_\|_\|_\| ** 解答 (I) 左下にいる人は9回進むことで右上の点に辿り着ける。そのため、左下にいる人が選びうるルートの数は9回のうちのどの回で右ではなく上を選ぶかの場合の数に等しい。このような場合の数は、9回のうちから自由に4つの場所を選ぶ方法に等しく、組み合わせを用いて書くことが出来る。実際に9回のうちから自由に4つの場所を選ぶ方法は、 :<math>{} _9 \mathrm{C} _4</math> で書かれる。この量を計算すると、 :<math>{} _9 \mathrm{C} _4 = 126</math> が得られる。 (II) a点を通過して進むルートの数はa点の左の点までいってからa点を通過し、a点の右の点を通って右上の点までいく仕方の数に等しい。それぞれのルートの数は(I)の方法を用いて計算することができる。この数を実際に計算すると、 :<math>{} _4 \mathrm{C} _2 \times {} _4 \mathrm{C} _2 = 6 \times 6 = 36 </math> となり、36通りであることが分かる。 {{演習問題\|<math>r_n \mathrm C _r = n_{n-1} \mathrm C_{r-1}</math>を示せ\|<math>r_n \mathrm C _r = r\frac{n!}{r!(n-r)!} = n\frac{(n-1)!}{(r-1)((n-1)-(r-1))!} = n_{n-1} \mathrm C_{r-1}</math>}} ==== 重複組み合わせ ==== 異なるn個の空箱にr個のものを入れる場合の数を重複組み合わせといい、 <math>_n \mathrm H_r</math> で表す。重複組合せについて次のように考察する。 <math>x_1,x_2,\cdots,x_n,r</math> を非負整数とし、方程式 <math>x_1+x_2 + \cdots +x_n = r</math> の解の個数について考える。この解の個数は <math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math> に <math>r</math> 個の1を分配する場合の数と考えることができるので、重複組み合わせの定義から、<math>_n \mathrm H_r</math> である。また、この方程式の非負整数解の個数は、r個の○にn-1個の区切りを置く場合の数とも考えられる。つまり、○○○...○○(r個)にn-1個の区切り｜を並べると○｜○○｜...○｜○のようになる。ここで、左から順に区切りで区切られた○の個数をそれぞれ、<math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math> とすると、これは方程式の解となる。この場合の数は、r個の○とn-1個の区切り｜を並べえる場合の数なので、<math>_{n+r-1} \mathrm C _r</math> である。方程式の非負整数解の個数について2通りの方法で求まったのでこれらは等しく、 <math>_n \mathrm H_r = _{n+r-1} \mathrm C_r</math> が成り立つ。 == 確率 == ==== 確率の計算 ==== ある場合の数が、実際に現われる割合のことを確率（かくりつ、英：probability）と呼ぶ。ある場合の数が実際に現われる割合は、その場合の数を割り算で、その事柄において起こり得る全ての事柄の場合の数で割ったものに等しい。たとえば、全く等しい割合で全ての面が出るさいころをふったときに1が出る確率は<math>\frac 1 6</math>である。これは1が出る場合の数1を、1,2,3,4,5,6のいずれかが出る場合の数6で割ったものに等しい。 {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''事象Aの確率''' \|- \|style="padding:5px"\| 起こりうるすべての場合の数をN、事象Aの起こる場合の数をaとするとき、事象Aの起こる確率P(A)は以下の式で求められる。 :<math> P(A) = \frac{a}{N} </math> \|} * 問題例問題赤玉2個と白玉3個が入った袋から、玉を2個同時に取り出す。このとき、2個とも白玉が出る確率を求めよ。解答赤白あわせて5個の玉から2個を取り出す方法は :<math>{} _5 \mathrm{C} _2 = \frac {5\times 4}{2\times 1} = 10</math>（通り）このうち、2個とも白玉になる場合は :<math>{} _3 \mathrm{C} _2 = \frac {3\times 2}{2\times 1} = 3</math>（通り）よって求める確率は <math> \frac {3}{10} </math> ==== 確率の性質 ==== 確率の定義から、次の性質が得られる。 {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''確率の性質''' \|- \|style="padding:5px"\| （1）どんな事象Aについても、 <math>0 \leqq P(A) \leqq 1</math><br> （2）決して起こらない事象の確率は 0<br> （3）必ず起こる事象の確率は 1 \|} ==== 排反事象の確率 ==== 2つの事象A,Bが同時に起こらないとき、事象AとBは互いに'''排反'''（はいはん、英：exclusive）である、またはAとBは'''排反事象'''であるという。 {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''排反事象の確率''' \|- \|style="padding:5px"\| AとBが排反事象のとき、AまたはBが起こる確率は :'''<math>P(A \cup B) = P(A)+P(B)</math>''' \|} * 問題例問題男子7人、女子5人の中から、くじ引きで3人の委員を選ぶとき、3人とも同性である確率を求めよ。解答 12人の中から3人の委員を選ぶ場合の数は :<math>{} _{12} \mathrm{C} _3 = \frac {12\times 11\times 10}{3\times 2\times 1} = 220</math>（通り）ここで、「3人とも男子である」事象をA、「3人とも女子である」事象をBとすると、「3人とも同性である」事象は、和事象A ∪ Bであり、しかも、AとBは排反事象である。 :<math>P(A) = \frac {{} _7 \mathrm{C} _3 }{220}= \frac {35}{220}</math> :<math>P(B) = \frac {{} _5 \mathrm{C} _3 }{220}= \frac {10}{220}</math> よって求める確率は <math>P(A \cup B) = P(A)+P(B) = \frac {35}{220} + \frac {10}{220} = \frac {45}{220} = \frac {9}{44}</math> ==== 余事象の確率 ==== 事象Aに対して、「Aでない」事象を<math>\overline{A}</math>で表し、Aの'''余事象'''（よじしょう）という。 {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''余事象の確率''' \|- \|style="padding:5px"\| Aの余事象を<math>\overline{A}</math>とすると<br> :'''<math>P(A) = 1 - P(\overline{A})</math>''' \|} * 問題例問題赤玉5個、白玉3個の計8個入っている袋から3個の玉を取り出すとき、少なくとも1個は白玉である確率を求めよ。解答 8個の玉から3個の玉を取り出す場合の数は :<math>{} _8 \mathrm{C} _3 = \frac {8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1} = 56</math>（通り）いま、「少なくとも1個は白玉である」事象をAとすると、<math>\overline{A}</math>は「3個とも赤玉である」という事象だから :<math>P(\overline{A}) = \frac {{} _5 \mathrm{C} _3 }{56} = \frac {10}{56} = \frac {5}{28}</math> よって求める確率は :<math>P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - \frac {5}{28} = \frac {23}{28}</math> === 独立な試行と確率 === ==== 独立な試行と確率 ==== たがいに他の結果に対して影響をおよぼさない操作を繰りかえすとき、それぞれの試行は'''独立'''（どくりつ、英：independent）であると言う。独立な試行については、ある試行の起こる確率が定められていて、それをn回繰りかえしたとき、それらが起こる確率は、それぞれの試行が起こる確率の積となる。 {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''独立な試行と確率''' \|- \|style="padding:5px"\| 2つの独立な試行S,Tについて、Sでは事象Aが、Tでは事象Bが起こる確率は<br> :'''<math>P(A) \times P(B)</math>''' \|} <br> * 問題例問題赤玉3個、白玉2個の計5個入っている袋がある。この中から1個の玉を取り出して色を確かめてから袋に戻し、再び1個を取り出すとき、1回目は赤玉、2回目は白玉を取り出す確率を求めよ。解答 1回目に取り出した玉を袋に戻すので、「1回目に取り出す」試行と「2回目に取り出す」試行とは互いに独立である。<br> 1回目に取り出した1個が赤玉である確率は <math>\frac {3}{5}</math><br> 2回目に取り出した1個が白玉である確率は <math>\frac {2}{5}</math><br> したがって求める確率は :<math>\frac {3}{5} \times \frac {2}{5} = \frac {6}{25}</math> ==== 反復試行の確率 ==== 同じ試行を何回か繰り返して行うとき、各回の試行は独立である。この一連の独立な試行をまとめて考えるとき、それを'''反復試行'''（はんぷくしこう）という。 {\| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:skyblue"\|'''反復試行の確率''' \|- \|style="padding:5px"\| ある試行で、事象Eの起こる確率がpであるとする。この試行をn回繰り返すとき、事象Eがそのうちr回だけ起こる確率は<br> :'''<math>{} _n \mathrm{C} _r \; p^r \; (1-p)^{n-r}</math>''' \|} * 問題例問題 1個のさいころを5回投げるとき、3の倍数の目が4回出る確率を求めよ。解答 1個のさいころを1回投げるとき、3の倍数の目が出る確率は :<math>\frac {2}{6} = \frac {1}{3}</math>である。よって、1個のさいころを5回投げるとき、3の倍数の目が4回出る確率は :<math>{} _5 \mathrm{C} _4 \; \left( \frac{1}{3} \right)^4 \; \left(1 - \frac{1}{3} \right)^{5-4} = \frac {10}{243}</math> ==== 期待値 ==== 記号「Σ」については[[高等学校数学B/数列#総和記号Σ\|こちら]]を参照。ある試行があったとき、その試行で得られると期待される値のことを期待値（きたいち、英：expected value）という。期待値は、''n''個の事象<math>r_k \ (k=1,2,\cdots,n)</math>に対して、各々<math>v_k</math>という値が得られ、事象<math>r_k</math>が起こる確率が<math>p_k</math>で与えられているとき、 :<math>E = \sum_{k=1}^n v_k p_k</math> によって与えられる。例えば、さいころをふったとき出る目の期待値は、 :<math>\frac 1 6 \times 1 +\frac 1 6 \times 2+\frac 1 6 \times 3+\frac 1 6 \times 4+\frac 1 6 \times 5+\frac 1 6 \times 6</math> :<math>=\frac 1 6 (1 + 2+3+4+5+6)</math> :<math>= \frac 7 2</math> となる。 {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくA はあいのかすとかくりつ}} [[Category:高等学校数学A\|はあいのかすとかくりつ]] [[カテゴリ:確率]]	2005-05-08T03:13:16Z	2024-02-23T05:38:59Z	[ "テンプレート:-", "テンプレート:演習問題", "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:テキストボックス" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6A/%E5%A0%B4%E5%90%88%E3%81%AE%E6%95%B0%E3%81%A8%E7%A2%BA%E7%8E%87
1,933	高等学校数学III/積分法	ここでは、数学IIの微分・積分の考えで学んだ積分の性質についてより詳しく扱う。また、三角関数や指数・対数関数などの関数の積分についても学習する。積分法について ∫ { f ( x ) + g ( x ) } d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x , {\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx,} ∫ a f ( x ) d x = a ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int af(x)dx=a\int f(x)dx} (aは定数) が成り立つ。導出 ∫ { f ( x ) + g ( x ) } d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx} の両辺を微分すると、左辺 =右辺 = f + g {\displaystyle f+g} が従う。よって、 ∫ { f ( x ) + g ( x ) } d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx} の両辺は一致する。 (実際には2つの関数の導関数が一致するとき、それらの関数には定数だけのちがいがある。仮に、F(x)とG(x)が共通の導関数h(x)を持ったとする。このとき、 ( F ( x ) − G ( x ) ) ′ = h ( x ) − h ( x ) = 0 {\displaystyle (F(x)-G(x))'=h(x)-h(x)=0} となるが、0の原始関数は定数Cであることが分かる。よって、両辺を積分すると、 F ( x ) − G ( x ) = C {\displaystyle F(x)-G(x)=C} となり、F(x)とG(x)には定数だけの差しかないことが確かめられた。よって、 ∫ { f ( x ) + g ( x ) } d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x {\displaystyle \int \{f(x)+g(x)\}dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx} は定数だけのちがいを含んで成り立つ式である。より一般に、不定積分が絡む等式は定数分の差を含めて成り立つというのが通例である。) ∫ a f ( x ) d x = a ∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int af(x)dx=a\int f(x)dx} についても両辺を微分すると、左辺=右辺= a f(x) が従う。よって、 ∫ a f d x = a ∫ f d x {\displaystyle \int afdx=a\int fdx} が成り立つことが分る。関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の原始関数を F ( x ) {\displaystyle F(x)} とすると ∫ a b f ( x ) = F ( b ) − F ( a ) = − ( F ( a ) − F ( b ) ) = − ∫ b a f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,=F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx} である。 ∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x = ( F ( c ) − F ( a ) ) + ( F ( b ) − F ( c ) ) = F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx=(F(c)-F(a))+(F(b)-F(c))=F(b)-F(a)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx} 関数の原始関数を求める手段として、積分変数を別の変数で置き換えて積分を行なう手段が知られている。これを置換積分と呼ぶ。 ∫ f ( g ( x ) ) d g ( x ) = ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x {\displaystyle \int f(g(x))dg(x)=\int f(g(x))g'(x)dx} 導出 ∫ f ( g ( x ) ) d g ( x ) = F ( g ( x ) ) {\displaystyle \int f(g(x))dg(x)=F(g(x))} を x {\displaystyle x} について微分すると、 F ′ ( g ( x ) ) = f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) {\displaystyle F'(g(x))=f(g(x))g'(x)} 再び x {\displaystyle x} について積分すると、 ∫ f ( g ( x ) ) d g ( x ) = ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x {\displaystyle \int f(g(x))dg(x)=\int f(g(x))g'(x)dx} また、特に例えば、 ∫ ( a x + b ) 2 d x {\displaystyle \int (ax+b)^{2}dx} を考える。 t = a x + b {\displaystyle t=ax+b} と置く。この両辺を微分すると d t = a d x {\displaystyle dt=adx} が成り立つことを考慮すると、となることがわかる。実際この式をxで微分すると ( a x + b ) 2 {\displaystyle (ax+b)^{2}} と一致することが分る。置換積分を使わずに計算することも出来る。 ( C ′ = b 3 3 a + C {\displaystyle C'={\frac {b^{3}}{3a}}+C} と置き換えた。) = ( a x + b ) 3 3 a + C {\displaystyle ={\frac {(ax+b)^{3}}{3a}}+C} となり確かに一致する。関数の積の積分を行なうときある関数の微分だけを取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。関数 g ( x ) {\displaystyle g(x)} の原始関数を G ( x ) {\displaystyle G(x)} とすると ∫ f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) G ( x ) − ∫ f ′ ( x ) G ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)\,dx} 導出積の微分法より { f ( x ) G ( x ) } ′ = f ′ ( x ) G ( x ) + f ( x ) g ( x ) {\displaystyle \{f(x)G(x)\}'=f'(x)G(x)+f(x)g(x)} である。これを移項して f ( x ) g ( x ) = { f ( x ) G ( x ) } ′ − f ′ ( x ) G ( x ) {\displaystyle f(x)g(x)=\{f(x)G(x)\}'-f'(x)G(x)} である。両辺をxで積分して ∫ f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) G ( x ) − ∫ f ′ ( x ) G ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)g(x)\,dx=f(x)G(x)-\int f'(x)G(x)\,dx} が得られる。例えば、 n ≠ − 1 {\displaystyle n\neq -1} のとき、 ( 1 n + 1 x n + 1 ) ′ = x n {\displaystyle \left({\frac {1}{n+1}}x^{n+1}\right)'=x^{n}} なので、 ∫ x n d x = 1 n + 1 x n + 1 + C {\displaystyle \int x^{n}dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C} n = − 1 {\displaystyle n=-1} のとき、 ( log \| x \| ) ′ = 1 x = x − 1 {\displaystyle (\log \|x\|)'={\frac {1}{x}}=x^{-1}} なので、 ∫ x − 1 d x = ∫ 1 x d x = log \| x \| + C {\displaystyle \int x^{-1}dx=\int {\frac {1}{x}}dx=\log \|x\|+C} が成り立つ。が成り立つことを考慮すると、となることが分る。 ∫ tan x d x {\displaystyle \int \tan xdx} は、置換積分法を使ってより一般に有理関数 R ( x , y ) {\displaystyle R(x,y)} に対して、 ∫ R ( sin θ , cos θ ) d θ {\displaystyle \int R(\sin \theta ,\cos \theta )\,d\theta } について考える。 t = tan θ 2 {\displaystyle t=\tan {\frac {\theta }{2}}} とおく。 tan 2 θ 2 + 1 = 1 cos 2 θ 2 {\displaystyle \tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}+1={\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}} よって cos 2 θ 2 = 1 1 + t 2 {\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{1+t^{2}}}} である。 d t d θ = d d θ tan θ 2 = 1 2 cos 2 θ 2 = 1 2 ( t 2 + 1 ) {\displaystyle {\frac {dt}{d\theta }}={\frac {d}{d\theta }}\tan {\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}={\frac {1}{2}}(t^{2}+1)} であり、 cos θ = 2 cos 2 θ 2 − 1 = 1 − t 2 1 + t 2 {\displaystyle \cos \theta =2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}-1={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}} かつ sin θ = tan θ cos θ = 2 tan θ 2 1 − tan 2 θ 2 cos θ = 2 t 1 + t 2 {\displaystyle \sin \theta =\tan \theta \cos \theta ={\frac {2\tan {\frac {\theta }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}\cos \theta ={\frac {2t}{1+t^{2}}}} である。よって ∫ R ( sin θ , cos θ ) d θ = ∫ R ( 2 t 1 + t 2 , 1 − t 2 1 + t 2 ) 2 d t 1 + t 2 {\displaystyle \int R(\sin \theta ,\cos \theta )\,d\theta =\int R\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)\,{\frac {2dt}{1+t^{2}}}} と有理関数の積分にもち込める。幾何学的は、この変換は単位円上の点 P ( cos θ , sin θ ) {\displaystyle P(\cos \theta ,\sin \theta )} と点 A ( − 1 , 0 ) {\displaystyle A(-1,0)} を結ぶ直線の勾配 t {\displaystyle t} で変換したものである。実際円周角の定理より ∠ x A P = 1 2 ∠ x O P = θ 2 {\displaystyle \angle xAP={\frac {1}{2}}\angle xOP={\frac {\theta }{2}}} より t = tan θ 2 . {\displaystyle t=\tan {\frac {\theta }{2}}.} 被積分関数の周期が π {\displaystyle \pi } の場合は、被積分関数は sin 2 θ , cos 2 θ {\displaystyle \sin 2\theta ,\cos 2\theta } の有理関数なので、 t = tan θ {\displaystyle t=\tan \theta } と置換すると計算が楽だ。被積分関数が sin 2 θ , cos 2 θ , sin θ cos θ {\displaystyle \sin ^{2}\theta ,\cos ^{2}\theta ,\sin \theta \cos \theta } の有理関数となるときもこの範疇に属する。 t = tan θ {\displaystyle t=\tan \theta } と置換したとき、 cos 2 θ = 1 1 + tan 2 θ = 1 1 + t 2 {\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1}{1+\tan ^{2}\theta }}={\frac {1}{1+t^{2}}}} , sin 2 θ = tan 2 θ cos 2 θ = t 2 1 + t 2 {\displaystyle \sin ^{2}\theta =\tan ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {t^{2}}{1+t^{2}}}} , sin θ cos θ = ± sin 2 θ cos 2 θ = t 1 + t 2 {\displaystyle \sin \theta \cos \theta =\pm {\sqrt {\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta }}={\frac {t}{1+t^{2}}}} ( sin θ cos θ {\displaystyle \sin \theta \cos \theta } と tan θ = sin θ cos θ {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}} の正負は一致するため), d θ = d t 1 + t 2 {\displaystyle d\theta ={\frac {dt}{1+t^{2}}}} となる。例 ∫ 1 sin x cos x d x {\displaystyle \int {\frac {1}{\sin x\cos x}}dx} は t = tan x {\displaystyle t=\tan x} と置換すると、 ∫ 1 sin x cos x d x = ∫ 1 + t 2 t d t 1 + t 2 = ln \| tan x \| + C . {\displaystyle \int {\frac {1}{\sin x\cos x}}dx=\int {\frac {1+t^{2}}{t}}{\frac {dt}{1+t^{2}}}=\ln \|\tan x\|+C.} t = tan θ 2 {\displaystyle t=\tan {\frac {\theta }{2}}} と置換してしまうと、 ∫ 1 sin x cos x d x = ∫ 1 + t 2 t ( 1 − t 2 ) d t = ln \| t 1 − t 2 \| + C ′ = ln \| tan x \| + C {\displaystyle \int {\frac {1}{\sin x\cos x}}\,dx=\int {\frac {1+t^{2}}{t(1-t^{2})}}\,dt=\ln \left\|{\frac {t}{1-t^{2}}}\right\|+C'=\ln \|\tan x\|+C} と計算量が少し増える。指数関数について ( e x ) ′ = e x {\displaystyle (e^{x})'=e^{x}} が成り立つことを用いると、 ∫ e x d x = e x + C {\displaystyle \int e^{x}dx=e^{x}+C} が得られる。また、 ( a x ln a ) ′ = a x {\displaystyle \left({\frac {a^{x}}{\ln a}}\right)'=a^{x}} なので、 ∫ a x d x = a x ln a {\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}} である。また、 log \| x \| {\displaystyle \log \|x\|} の原始関数も求めることが出来る。となる。有理関数 R ( x ) {\displaystyle R(x)} に対して、積分 ∫ R ( e x ) d x {\displaystyle \int R(e^{x})\,dx} は t = e x {\displaystyle t=e^{x}} すると d t d x = e x = t {\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=e^{x}=t} より ∫ R ( e x ) d x = ∫ R ( t ) d t t . {\displaystyle \int R(e^{x})\,dx=\int R(t){\frac {dt}{t}}.} 有理関数 R ( x , y ) {\displaystyle R(x,y)} に対して、積分 ∫ R ( x , a x 2 + b x + c ) d x {\displaystyle \int R(x,{\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\,dx} について考えよう。平方根の中身は平方完成することによって、 p 2 − x 2 , x 2 + p 2 , x 2 − p 2 {\displaystyle {\sqrt {p^{2}-x^{2}}},{\sqrt {x^{2}+p^{2}}},{\sqrt {x^{2}-p^{2}}}} のいずれかの形になる。それぞれの場合について、 x = p sin θ , x = p tan θ , x = p cos θ {\displaystyle x=p\sin \theta ,x=p\tan \theta ,x={\frac {p}{\cos \theta }}} と変数変換すると三角関数の積分に帰着する。また、 y 2 = a x 2 + b x + c {\displaystyle y^{2}=ax^{2}+bx+c} は二次曲線で、特に a > 0 {\displaystyle a>0} のときは双曲線となる( y 2 − a ( x + b 2 a ) 2 = − b 2 + 4 a c 4 a {\displaystyle y^{2}-a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}} より)。このとき、 y = ± a x + t {\displaystyle y=\pm {\sqrt {a}}x+t} すなわち t = ∓ a x + a x 2 + b x + c {\displaystyle t=\mp {\sqrt {a}}x+{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}} と変換するとうまく計算できる(符号はどちらを選択しても良い)。幾何学的には、双曲線の漸近線に平行で切片が t {\displaystyle t} の直線 y = ± a x + t {\displaystyle y=\pm {\sqrt {a}}x+t} と双曲線のただ一つの交点 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} を変数 t {\displaystyle t} で表したものである。例 ∫ d x x 2 − 1 {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}} は t = x + x 2 − 1 {\displaystyle t=x+{\sqrt {x^{2}-1}}} と置換すると、 1 t = x − x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {1}{t}}=x-{\sqrt {x^{2}-1}}} なので、 t + 1 t = 2 x {\displaystyle t+{\frac {1}{t}}=2x} すなわち 2 d x = ( 1 − 1 t 2 ) d t {\displaystyle 2dx=\left(1-{\frac {1}{t^{2}}}\right)dt} また、 t − 1 t = 2 x 2 − 1 {\displaystyle t-{\frac {1}{t}}=2{\sqrt {x^{2}-1}}} .なので、 ∫ d x x 2 − 1 = ∫ 1 − 1 t 2 t − 1 t d t = ∫ d t t = ln \| x + x 2 − 1 \| + C {\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}=\int {\frac {1-{\frac {1}{t^{2}}}}{t-{\frac {1}{t}}}}dt=\int {\frac {dt}{t}}=\ln \|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\|+C} である。ところで、この変換は双曲線 y 2 = x 2 − 1 {\displaystyle y^{2}=x^{2}-1} と直線 y = − x + t {\displaystyle y=-x+t} のただ一つの交点による変換であった。その交点を方程式を解いて t {\displaystyle t} で表すと、 x = 1 2 ( t + 1 t ) , y = 1 2 ( t − 1 t ) {\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(t+{\frac {1}{t}}\right),\,y={\frac {1}{2}}\left(t-{\frac {1}{t}}\right)} を得る。これは双曲線の媒介変数表示の一つである。また、 t → e t {\displaystyle t\rightarrow e^{t}} とすると、 x = e t + e − t 2 = cosh t , y = e t − e − t 2 = sinh t . {\displaystyle x={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}=\cosh t,\,y={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}=\sinh t.} これは x > 0 {\displaystyle x>0} の部分の双曲線の媒介変数表示である。最右辺は双曲線関数と呼ばれ、三角関数と似た性質を持つ。関数名の h {\displaystyle \mathrm {h} } はhyperbolaに由来する。例えば、双曲線の方程式より得られる cosh 2 t − sinh 2 t = 1 {\displaystyle \cosh ^{2}t-\sinh ^{2}t=1} は sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1} とよく似ている。例示の不定積分は x = cosh t {\displaystyle x=\cosh t} と置換しても解くことが出来るが、ほとんど同じことなので省略する。 a < b {\displaystyle a<b} とする。積分 ∫ a b ( x − a ) ( b − x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {(x-a)(b-x)}}\,dx} は y = ( x − a ) ( b − x ) {\displaystyle y={\sqrt {(x-a)(b-x)}}} とすると、 ( x − a + b 2 ) + y 2 = ( a − b 2 ) 2 {\displaystyle \left(x-{\frac {a+b}{2}}\right)+y^{2}=\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}} より、被積分関数 y {\displaystyle y} は中心 a + b 2 {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}} で半径 b − a 2 {\displaystyle {\frac {b-a}{2}}} の円周の上半分であり、積分区間もその両端なので、積分の値は半円の面積に等しく、 ∫ a b ( x − a ) ( b − x ) d x = π 2 ( b − a 2 ) 2 {\displaystyle \int _{a}^{b}{\sqrt {(x-a)(b-x)}}\,dx={\frac {\pi }{2}}\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{2}} である。一般に、関数 f ( a − x ) {\displaystyle f(a-x)} のグラフは関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} のグラフを直線 x = a 2 {\displaystyle x={\frac {a}{2}}} で対称移動したものである。従って、連続関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} を区間 [ a + b 2 , b ] {\displaystyle \left[{\frac {a+b}{2}},b\right]} で積分した値 ∫ a + b 2 b f ( x ) d x {\displaystyle \int _{\frac {a+b}{2}}^{b}f(x)\,dx} と、連続関数 f ( a + b − x ) {\displaystyle f(a+b-x)} を区間 [ a , a + b 2 ] {\displaystyle \left[a,{\frac {a+b}{2}}\right]} で積分した値 ∫ a a + b 2 f ( a + b − x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{\frac {a+b}{2}}f(a+b-x)\,dx} は等しい: この等式は単に、 x → a + b − x {\displaystyle x\to a+b-x} の変数変換によっても導出できる。この等式より、 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a a + b 2 f ( x ) d x + ∫ a + b 2 b f ( x ) d x = ∫ a a + b 2 [ f ( x ) + f ( a + b − x ) ] d x {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{\frac {a+b}{2}}f(x)\,dx+\int _{\frac {a+b}{2}}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{\frac {a+b}{2}}[f(x)+f(a+b-x)]\,dx} が導かれる。この公式は、 f ( x ) + f ( a + b − x ) {\displaystyle f(x)+f(a+b-x)} が簡単な形になる定積分で役に立つ。例えば、 ∫ 0 π 2 sin x sin x + cos x d x = ∫ 0 π 4 [ sin x sin x + cos x + sin ( π 2 − x ) sin ( π 2 − x ) + cos ( π 2 − x ) ] d x = ∫ 0 π 4 [ sin x sin x + cos x + cos x cos x + sin x ] d x = ∫ 0 π 4 d x = π 4 . {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\sin x}{\sin x+\cos x}}\,dx&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\left[{\frac {\sin x}{\sin x+\cos x}}+{\frac {\sin({\frac {\pi }{2}}-x)}{\sin({\frac {\pi }{2}}-x)+\cos({\frac {\pi }{2}}-x)}}\right]\,dx\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\left[{\frac {\sin x}{\sin x+\cos x}}+{\frac {\cos x}{\cos x+\sin x}}\right]\,dx\\&=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}dx={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}} King Property の応用例は ∫ − 1 1 x 2 1 + e x d x = 1 3 {\displaystyle \int _{-1}^{1}{\frac {x^{2}}{1+e^{x}}}\,dx={\frac {1}{3}}} , ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x = π 8 ln 2 {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln(1+\tan x)\,dx={\frac {\pi }{8}}\ln 2} , ∫ 0 π 2 ln sin x d x = − π 2 ln 2 {\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \sin x\,dx=-{\frac {\pi }{2}}\ln 2} などがある。計算してみよ。演習問題1 次の不定積分を求めよ。演習問題2 第一問第二問ある関数f(x)の原始関数を求める演算は f(x)とx軸にはさまれた領域の面積を求める演算に等しい。このことを用いてある関数によって作られた領域の面積を求めることが出来る。例えば、 ∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 {\displaystyle \int _{0}^{1}x^{2}dx={\frac {1}{3}}} は、放物線 y = x 2 {\displaystyle y=x^{2}} について 0 < x < 1 {\displaystyle 0<x<1} の範囲でかこまれる面積に等しい。楕円 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} の面積 S = π a b {\displaystyle S=\pi ab} の導出楕円 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} を y {\displaystyle y} について解くととなる。そのうち y = b a a 2 − x 2 {\displaystyle y={\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}} は半楕円(楕円の上半分)を示している。その半楕円の面積を2倍したものが楕円の面積Sとなるのでとなる。ある立体 V 0 {\displaystyle V_{0}} の x = t {\displaystyle x=t} における断面積が有限な値で、その値が t {\displaystyle t} の関数 S ( t ) {\displaystyle S(t)} となるとき、この立体を平面 x = a {\displaystyle x=a} , x = b {\displaystyle x=b} (ただし、 a < b {\displaystyle a<b} )で切り取った領域の体積は、底面積 S ( t ) {\displaystyle S(t)} に極めて小さい高さ d t {\displaystyle dt} の積 S ( t ) d t {\displaystyle S(t)\,dt} の区間 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} における累積であるので、以下の式で表すことができる。 (例1) (例2) y = f ( x ) ( a ≤ x ≤ b ) {\displaystyle y=f(x)(a\leq x\leq b)} で与えられる曲線をx軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 V = ∫ a b π ( f ( x ) ) 2 d x {\displaystyle V=\int _{a}^{b}\pi (f(x))^{2}dx} で与えられる。導出立体をx軸に垂直であり、x=cを満たす面とx=c+hを満たす面で切ると(hは小さな定数)、その切断面で挟まれた立体は半径 f(c)の円と半径 f(c+h)の円ではさまれた立体となる。しかし、hが極めて小さいとき、この図形は半径f(c),高さhの円柱で近似できる。よってこの2つの面に関して、得られた図形の体積は h × π ( f ( c ) ) 2 {\displaystyle h\times \pi (f(c))^{2}} となる。これを a < c < b {\displaystyle a<c<b} 満たす全てのcについて足し合わせると、 S = ∫ a b π ( f ( x ) ) 2 d x {\displaystyle S=\int _{a}^{b}\pi (f(x))^{2}dx} が得られる。例えば、 y = x 2 ( 0 < x < 1 ) {\displaystyle y=x^{2}~(0<x<1)} をx軸の回りに回転させて得られる図形の体積は、 S = ∫ 0 1 π ( x 2 ) 2 d x {\displaystyle S=\int _{0}^{1}\pi (x^{2})^{2}dx} = π ∫ 0 1 x 4 d x {\displaystyle =\pi \int _{0}^{1}x^{4}dx} = π 5 {\displaystyle ={\frac {\pi }{5}}} となる。球の体積 V = 4 3 π r 3 {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}} の導出半径rの球は半円 y = r 2 − x 2 {\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} をx軸の周りに回転させてつくることができる。また体積をrで微分すると球の表面積 S = 4 π r 2 {\displaystyle S=4\pi r^{2}} が得られる。これまでに学んだように、積分は微分の逆演算であると同時に、座標平面上での面積計算でもある。この項では、座標平面上の面積計算の方法の一つである区分求積法、および積分法との関連について学ぶ。右図のようなある曲線 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} がある。単純のため、ここではつねに f ( x ) > 0 {\displaystyle f(x)>0} であるものとして考える。この曲線と、x軸、および直線 x = a , x = b ( a < b ) {\displaystyle x=a,x=b(a<b)} によって囲まれる領域の面積Sを求める。この面積は#面積の項で学んだように、と積分法を用いて計算することができた。では、これをもう少し原始的な方法で近似的に求めることを考えてみよう。曲線を含む図形の面積を求めることは簡単ではないが、例えば三角形や長方形、台形などの直線で囲まれた図形の面積を求めることは難しくない。そこで、下図のようにy=f(x)を棒グラフで近似し、長方形の面積の和を計算することで、求めたい面積Sに近い値を求めることができる。左下のように棒グラフの幅が大きいと誤差も大きいが、棒グラフの幅を狭くすればするほど、すなわち分割数を多くするほど、徐々に求めたい面積の値に近づけることができる。そこで、この区間[a,b]をn等分し、その時の長方形の面積の総和を求め、その後で n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } の極限を考えることにする。このようにして、区間を細かく等分割し、長方形の面積の総和を求めることにより図形の面積を求める方法を、区分求積法と呼ぶ。 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} を棒グラフで近似するとき、右図のように、長方形の左上の頂点を曲線上に取る方法と、右上の頂点を曲線上に取る方法がある。どちらの方法でも、分割数を大きくすればいずれ求めたい面積に近づくが、まずは左上の頂点を曲線上に取る方法で考えることにする。ここでは面積を求めたい区間を、単純のため[0, 1]とする。区間[0, 1]をn等分するとき、それぞれの長方形の左端のx座標は、となる。ここで、一般に第k番目の長方形について考えることにする。ただし、いちばん左側の長方形を第0番目とし、いちばん右側の長方形を第n-1番目とする。第k番目の長方形の左端のx座標は k n {\displaystyle {\frac {k}{n}}} であるから、この長方形の高さは f ( k n ) {\displaystyle f\left({\frac {k}{n}}\right)} となり、また長方形の幅は 1 n {\displaystyle {\frac {1}{n}}} である。そのため、この長方形の面積 s k {\displaystyle s_{k}} は、となる。したがって、これらの長方形の面積の総和 S n {\displaystyle S_{n}} は、この S n {\displaystyle S_{n}} は、区間[0, 1]をn等分した時の長方形の面積の総和であるが、nを大きくすればするほど、次第にもとの面積に近づいていく。したがって、 n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } の極限を考え、となる。このようにして、求めたい面積を計算することができる。さらに、ここでこの区間の面積が積分法により計算できたことから、が成り立つ。また、長方形の右上の頂点を曲線上に取る場合は、同様にしてとなる。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "ここでは、数学IIの微分・積分の考えで学んだ積分の性質についてより詳しく扱う。また、三角関数や指数・対数関数などの関数の積分についても学習する。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "積分法について", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "∫ { f ( x ) + g ( x ) } d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x , {\\displaystyle \\int \\{f(x)+g(x)\\}dx=\\int f(x)dx+\\int g(x)dx,} ∫ a f ( x ) d x = a ∫ f ( x ) d x {\\displaystyle \\int af(x)dx=a\\int f(x)dx} (aは定数)", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "が成り立つ。", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "導出", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "∫ { f ( x ) + g ( x ) } d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x {\\displaystyle \\int \\{f(x)+g(x)\\}dx=\\int f(x)dx+\\int g(x)dx}", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "の両辺を微分すると、", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "左辺 =右辺 = f + g {\\displaystyle f+g}", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "が従う。", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "よって、", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "∫ { f ( x ) + g ( x ) } d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x {\\displaystyle \\int \\{f(x)+g(x)\\}dx=\\int f(x)dx+\\int g(x)dx}", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "の両辺は一致する。", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "(実際には2つの関数の導関数が一致するとき、それらの関数には定数だけのちがいがある。", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "仮に、F(x)とG(x)が共通の導関数h(x)を持ったとする。", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "このとき、", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "( F ( x ) − G ( x ) ) ′ = h ( x ) − h ( x ) = 0 {\\displaystyle (F(x)-G(x))'=h(x)-h(x)=0}", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "となるが、0の原始関数は定数Cであることが分かる。", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "よって、両辺を積分すると、", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "F ( x ) − G ( x ) = C {\\displaystyle F(x)-G(x)=C}", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "となり、F(x)とG(x)には定数だけの差しかないことが確かめられた。", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "よって、", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "∫ { f ( x ) + g ( x ) } d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x {\\displaystyle \\int \\{f(x)+g(x)\\}dx=\\int f(x)dx+\\int g(x)dx}", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "は定数だけのちがいを含んで成り立つ式である。より一般に、不定積分が絡む等式は定数分の差を含めて成り立つというのが通例である。)", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "∫ a f ( x ) d x = a ∫ f ( x ) d x {\\displaystyle \\int af(x)dx=a\\int f(x)dx}", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "についても両辺を微分すると、", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "左辺=右辺= a f(x)", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "が従う。", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "よって、", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "∫ a f d x = a ∫ f d x {\\displaystyle \\int afdx=a\\int fdx}", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "が成り立つことが分る。", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の原始関数を F ( x ) {\\displaystyle F(x)} とすると", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "∫ a b f ( x ) = F ( b ) − F ( a ) = − ( F ( a ) − F ( b ) ) = − ∫ b a f ( x ) d x {\\displaystyle \\int _{a}^{b}f(x)\\,=F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))=-\\int _{b}^{a}f(x)\\,dx} である。", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "∫ a c f ( x ) d x + ∫ c b f ( x ) d x = ( F ( c ) − F ( a ) ) + ( F ( b ) − F ( c ) ) = F ( b ) − F ( a ) = ∫ a b f ( x ) d x {\\displaystyle \\int _{a}^{c}f(x)\\,dx+\\int _{c}^{b}f(x)\\,dx=(F(c)-F(a))+(F(b)-F(c))=F(b)-F(a)=\\int _{a}^{b}f(x)\\,dx}", "title": "積分の基本的な性質" }, { "paragraph_id": 33, "tag": "p", "text": "関数の原始関数を求める手段として、積分変数を別の変数で置き換えて積分を行なう手段が知られている。これを置換積分と呼ぶ。", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 34, "tag": "p", "text": "∫ f ( g ( x ) ) d g ( x ) = ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x {\\displaystyle \\int f(g(x))dg(x)=\\int f(g(x))g'(x)dx}", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "導出", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "∫ f ( g ( x ) ) d g ( x ) = F ( g ( x ) ) {\\displaystyle \\int f(g(x))dg(x)=F(g(x))} を x {\\displaystyle x} について微分すると、", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "F ′ ( g ( x ) ) = f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) {\\displaystyle F'(g(x))=f(g(x))g'(x)}", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "再び x {\\displaystyle x} について積分すると、", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "∫ f ( g ( x ) ) d g ( x ) = ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x {\\displaystyle \\int f(g(x))dg(x)=\\int f(g(x))g'(x)dx}", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "また、特に", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "例えば、 ∫ ( a x + b ) 2 d x {\\displaystyle \\int (ax+b)^{2}dx} を考える。", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "t = a x + b {\\displaystyle t=ax+b} と置く。", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "この両辺を微分すると d t = a d x {\\displaystyle dt=adx} が成り立つことを考慮すると、", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "となることがわかる。", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "実際この式をxで微分すると ( a x + b ) 2 {\\displaystyle (ax+b)^{2}} と一致することが分る。", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "置換積分を使わずに計算することも出来る。", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "( C ′ = b 3 3 a + C {\\displaystyle C'={\\frac {b^{3}}{3a}}+C} と置き換えた。)", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "= ( a x + b ) 3 3 a + C {\\displaystyle ={\\frac {(ax+b)^{3}}{3a}}+C} となり確かに一致する。", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "", "title": "置換積分法" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "関数の積の積分を行なうときある関数の微分だけを取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。関数 g ( x ) {\\displaystyle g(x)} の原始関数を G ( x ) {\\displaystyle G(x)} とすると", "title": "部分積分法" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "∫ f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) G ( x ) − ∫ f ′ ( x ) G ( x ) d x {\\displaystyle \\int f(x)g(x)\\,dx=f(x)G(x)-\\int f'(x)G(x)\\,dx}", "title": "部分積分法" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "", "title": "部分積分法" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "導出", "title": "部分積分法" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "積の微分法より { f ( x ) G ( x ) } ′ = f ′ ( x ) G ( x ) + f ( x ) g ( x ) {\\displaystyle \\{f(x)G(x)\\}'=f'(x)G(x)+f(x)g(x)} である。これを移項して", "title": "部分積分法" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "f ( x ) g ( x ) = { f ( x ) G ( x ) } ′ − f ′ ( x ) G ( x ) {\\displaystyle f(x)g(x)=\\{f(x)G(x)\\}'-f'(x)G(x)}", "title": "部分積分法" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "である。両辺をxで積分して", "title": "部分積分法" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "∫ f ( x ) g ( x ) d x = f ( x ) G ( x ) − ∫ f ′ ( x ) G ( x ) d x {\\displaystyle \\int f(x)g(x)\\,dx=f(x)G(x)-\\int f'(x)G(x)\\,dx}", "title": "部分積分法" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "部分積分法" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "", "title": "部分積分法" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "例えば、", "title": "部分積分法" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "", "title": "部分積分法" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "n ≠ − 1 {\\displaystyle n\\neq -1} のとき、 ( 1 n + 1 x n + 1 ) ′ = x n {\\displaystyle \\left({\\frac {1}{n+1}}x^{n+1}\\right)'=x^{n}} なので、", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "∫ x n d x = 1 n + 1 x n + 1 + C {\\displaystyle \\int x^{n}dx={\\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C}", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "n = − 1 {\\displaystyle n=-1} のとき、 ( log \| x \| ) ′ = 1 x = x − 1 {\\displaystyle (\\log \|x\|)'={\\frac {1}{x}}=x^{-1}} なので、", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "∫ x − 1 d x = ∫ 1 x d x = log \| x \| + C {\\displaystyle \\int x^{-1}dx=\\int {\\frac {1}{x}}dx=\\log \|x\|+C}", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "が成り立つ。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "が成り立つことを考慮すると、", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "となることが分る。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "∫ tan x d x {\\displaystyle \\int \\tan xdx} は、置換積分法を使って", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "より一般に有理関数 R ( x , y ) {\\displaystyle R(x,y)} に対して、 ∫ R ( sin θ , cos θ ) d θ {\\displaystyle \\int R(\\sin \\theta ,\\cos \\theta )\\,d\\theta } について考える。 t = tan θ 2 {\\displaystyle t=\\tan {\\frac {\\theta }{2}}} とおく。 tan 2 θ 2 + 1 = 1 cos 2 θ 2 {\\displaystyle \\tan ^{2}{\\frac {\\theta }{2}}+1={\\frac {1}{\\cos ^{2}{\\frac {\\theta }{2}}}}} よって cos 2 θ 2 = 1 1 + t 2 {\\displaystyle \\cos ^{2}{\\frac {\\theta }{2}}={\\frac {1}{1+t^{2}}}} である。 d t d θ = d d θ tan θ 2 = 1 2 cos 2 θ 2 = 1 2 ( t 2 + 1 ) {\\displaystyle {\\frac {dt}{d\\theta }}={\\frac {d}{d\\theta }}\\tan {\\frac {\\theta }{2}}={\\frac {1}{2\\cos ^{2}{\\frac {\\theta }{2}}}}={\\frac {1}{2}}(t^{2}+1)} であり、 cos θ = 2 cos 2 θ 2 − 1 = 1 − t 2 1 + t 2 {\\displaystyle \\cos \\theta =2\\cos ^{2}{\\frac {\\theta }{2}}-1={\\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}} かつ sin θ = tan θ cos θ = 2 tan θ 2 1 − tan 2 θ 2 cos θ = 2 t 1 + t 2 {\\displaystyle \\sin \\theta =\\tan \\theta \\cos \\theta ={\\frac {2\\tan {\\frac {\\theta }{2}}}{1-\\tan ^{2}{\\frac {\\theta }{2}}}}\\cos \\theta ={\\frac {2t}{1+t^{2}}}}", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "である。よって", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "∫ R ( sin θ , cos θ ) d θ = ∫ R ( 2 t 1 + t 2 , 1 − t 2 1 + t 2 ) 2 d t 1 + t 2 {\\displaystyle \\int R(\\sin \\theta ,\\cos \\theta )\\,d\\theta =\\int R\\left({\\frac {2t}{1+t^{2}}},{\\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\right)\\,{\\frac {2dt}{1+t^{2}}}}", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "と有理関数の積分にもち込める。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "幾何学的は、この変換は単位円上の点 P ( cos θ , sin θ ) {\\displaystyle P(\\cos \\theta ,\\sin \\theta )} と点 A ( − 1 , 0 ) {\\displaystyle A(-1,0)} を結ぶ直線の勾配 t {\\displaystyle t} で変換したものである。実際円周角の定理より ∠ x A P = 1 2 ∠ x O P = θ 2 {\\displaystyle \\angle xAP={\\frac {1}{2}}\\angle xOP={\\frac {\\theta }{2}}} より t = tan θ 2 . {\\displaystyle t=\\tan {\\frac {\\theta }{2}}.}", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "被積分関数の周期が π {\\displaystyle \\pi } の場合は、被積分関数は sin 2 θ , cos 2 θ {\\displaystyle \\sin 2\\theta ,\\cos 2\\theta } の有理関数なので、 t = tan θ {\\displaystyle t=\\tan \\theta } と置換すると計算が楽だ。被積分関数が sin 2 θ , cos 2 θ , sin θ cos θ {\\displaystyle \\sin ^{2}\\theta ,\\cos ^{2}\\theta ,\\sin \\theta \\cos \\theta } の有理関数となるときもこの範疇に属する。 t = tan θ {\\displaystyle t=\\tan \\theta } と置換したとき、 cos 2 θ = 1 1 + tan 2 θ = 1 1 + t 2 {\\displaystyle \\cos ^{2}\\theta ={\\frac {1}{1+\\tan ^{2}\\theta }}={\\frac {1}{1+t^{2}}}} , sin 2 θ = tan 2 θ cos 2 θ = t 2 1 + t 2 {\\displaystyle \\sin ^{2}\\theta =\\tan ^{2}\\theta \\cos ^{2}\\theta ={\\frac {t^{2}}{1+t^{2}}}} , sin θ cos θ = ± sin 2 θ cos 2 θ = t 1 + t 2 {\\displaystyle \\sin \\theta \\cos \\theta =\\pm {\\sqrt {\\sin ^{2}\\theta \\cos ^{2}\\theta }}={\\frac {t}{1+t^{2}}}} ( sin θ cos θ {\\displaystyle \\sin \\theta \\cos \\theta } と tan θ = sin θ cos θ {\\displaystyle \\tan \\theta ={\\frac {\\sin \\theta }{\\cos \\theta }}} の正負は一致するため), d θ = d t 1 + t 2 {\\displaystyle d\\theta ={\\frac {dt}{1+t^{2}}}} となる。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "例 ∫ 1 sin x cos x d x {\\displaystyle \\int {\\frac {1}{\\sin x\\cos x}}dx} は t = tan x {\\displaystyle t=\\tan x} と置換すると、 ∫ 1 sin x cos x d x = ∫ 1 + t 2 t d t 1 + t 2 = ln \| tan x \| + C . {\\displaystyle \\int {\\frac {1}{\\sin x\\cos x}}dx=\\int {\\frac {1+t^{2}}{t}}{\\frac {dt}{1+t^{2}}}=\\ln \|\\tan x\|+C.} t = tan θ 2 {\\displaystyle t=\\tan {\\frac {\\theta }{2}}} と置換してしまうと、 ∫ 1 sin x cos x d x = ∫ 1 + t 2 t ( 1 − t 2 ) d t = ln \| t 1 − t 2 \| + C ′ = ln \| tan x \| + C {\\displaystyle \\int {\\frac {1}{\\sin x\\cos x}}\\,dx=\\int {\\frac {1+t^{2}}{t(1-t^{2})}}\\,dt=\\ln \\left\|{\\frac {t}{1-t^{2}}}\\right\|+C'=\\ln \|\\tan x\|+C} と計算量が少し増える。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "指数関数について ( e x ) ′ = e x {\\displaystyle (e^{x})'=e^{x}} が成り立つことを用いると、 ∫ e x d x = e x + C {\\displaystyle \\int e^{x}dx=e^{x}+C} が得られる。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "また、 ( a x ln a ) ′ = a x {\\displaystyle \\left({\\frac {a^{x}}{\\ln a}}\\right)'=a^{x}} なので、 ∫ a x d x = a x ln a {\\displaystyle \\int a^{x}\\,dx={\\frac {a^{x}}{\\ln a}}} である。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "また、 log \| x \| {\\displaystyle \\log \|x\|} の原始関数も求めることが出来る。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "有理関数 R ( x ) {\\displaystyle R(x)} に対して、積分 ∫ R ( e x ) d x {\\displaystyle \\int R(e^{x})\\,dx} は t = e x {\\displaystyle t=e^{x}} すると d t d x = e x = t {\\displaystyle {\\frac {dt}{dx}}=e^{x}=t} より", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "∫ R ( e x ) d x = ∫ R ( t ) d t t . {\\displaystyle \\int R(e^{x})\\,dx=\\int R(t){\\frac {dt}{t}}.}", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "有理関数 R ( x , y ) {\\displaystyle R(x,y)} に対して、積分 ∫ R ( x , a x 2 + b x + c ) d x {\\displaystyle \\int R(x,{\\sqrt {ax^{2}+bx+c}})\\,dx} について考えよう。平方根の中身は平方完成することによって、 p 2 − x 2 , x 2 + p 2 , x 2 − p 2 {\\displaystyle {\\sqrt {p^{2}-x^{2}}},{\\sqrt {x^{2}+p^{2}}},{\\sqrt {x^{2}-p^{2}}}} のいずれかの形になる。それぞれの場合について、 x = p sin θ , x = p tan θ , x = p cos θ {\\displaystyle x=p\\sin \\theta ,x=p\\tan \\theta ,x={\\frac {p}{\\cos \\theta }}} と変数変換すると三角関数の積分に帰着する。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "また、 y 2 = a x 2 + b x + c {\\displaystyle y^{2}=ax^{2}+bx+c} は二次曲線で、特に a > 0 {\\displaystyle a>0} のときは双曲線となる( y 2 − a ( x + b 2 a ) 2 = − b 2 + 4 a c 4 a {\\displaystyle y^{2}-a\\left(x+{\\frac {b}{2a}}\\right)^{2}={\\frac {-b^{2}+4ac}{4a}}} より)。このとき、 y = ± a x + t {\\displaystyle y=\\pm {\\sqrt {a}}x+t} すなわち t = ∓ a x + a x 2 + b x + c {\\displaystyle t=\\mp {\\sqrt {a}}x+{\\sqrt {ax^{2}+bx+c}}} と変換するとうまく計算できる(符号はどちらを選択しても良い)。幾何学的には、双曲線の漸近線に平行で切片が t {\\displaystyle t} の直線 y = ± a x + t {\\displaystyle y=\\pm {\\sqrt {a}}x+t} と双曲線のただ一つの交点 ( x , y ) {\\displaystyle (x,y)} を変数 t {\\displaystyle t} で表したものである。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "例 ∫ d x x 2 − 1 {\\displaystyle \\int {\\frac {dx}{\\sqrt {x^{2}-1}}}} は t = x + x 2 − 1 {\\displaystyle t=x+{\\sqrt {x^{2}-1}}} と置換すると、 1 t = x − x 2 − 1 {\\displaystyle {\\frac {1}{t}}=x-{\\sqrt {x^{2}-1}}} なので、 t + 1 t = 2 x {\\displaystyle t+{\\frac {1}{t}}=2x} すなわち 2 d x = ( 1 − 1 t 2 ) d t {\\displaystyle 2dx=\\left(1-{\\frac {1}{t^{2}}}\\right)dt} また、 t − 1 t = 2 x 2 − 1 {\\displaystyle t-{\\frac {1}{t}}=2{\\sqrt {x^{2}-1}}} .なので、 ∫ d x x 2 − 1 = ∫ 1 − 1 t 2 t − 1 t d t = ∫ d t t = ln \| x + x 2 − 1 \| + C {\\displaystyle \\int {\\frac {dx}{\\sqrt {x^{2}-1}}}=\\int {\\frac {1-{\\frac {1}{t^{2}}}}{t-{\\frac {1}{t}}}}dt=\\int {\\frac {dt}{t}}=\\ln \|x+{\\sqrt {x^{2}-1}}\|+C} である。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "ところで、この変換は双曲線 y 2 = x 2 − 1 {\\displaystyle y^{2}=x^{2}-1} と直線 y = − x + t {\\displaystyle y=-x+t} のただ一つの交点による変換であった。その交点を方程式を解いて t {\\displaystyle t} で表すと、 x = 1 2 ( t + 1 t ) , y = 1 2 ( t − 1 t ) {\\displaystyle x={\\frac {1}{2}}\\left(t+{\\frac {1}{t}}\\right),\\,y={\\frac {1}{2}}\\left(t-{\\frac {1}{t}}\\right)} を得る。これは双曲線の媒介変数表示の一つである。また、 t → e t {\\displaystyle t\\rightarrow e^{t}} とすると、 x = e t + e − t 2 = cosh t , y = e t − e − t 2 = sinh t . {\\displaystyle x={\\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}=\\cosh t,\\,y={\\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}=\\sinh t.} これは x > 0 {\\displaystyle x>0} の部分の双曲線の媒介変数表示である。最右辺は双曲線関数と呼ばれ、三角関数と似た性質を持つ。関数名の h {\\displaystyle \\mathrm {h} } はhyperbolaに由来する。例えば、双曲線の方程式より得られる cosh 2 t − sinh 2 t = 1 {\\displaystyle \\cosh ^{2}t-\\sinh ^{2}t=1} は sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\\displaystyle \\sin ^{2}\\theta +\\cos ^{2}\\theta =1} とよく似ている。例示の不定積分は x = cosh t {\\displaystyle x=\\cosh t} と置換しても解くことが出来るが、ほとんど同じことなので省略する。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "a < b {\\displaystyle a<b} とする。積分 ∫ a b ( x − a ) ( b − x ) d x {\\displaystyle \\int _{a}^{b}{\\sqrt {(x-a)(b-x)}}\\,dx} は y = ( x − a ) ( b − x ) {\\displaystyle y={\\sqrt {(x-a)(b-x)}}} とすると、 ( x − a + b 2 ) + y 2 = ( a − b 2 ) 2 {\\displaystyle \\left(x-{\\frac {a+b}{2}}\\right)+y^{2}=\\left({\\frac {a-b}{2}}\\right)^{2}} より、被積分関数 y {\\displaystyle y} は中心 a + b 2 {\\displaystyle {\\frac {a+b}{2}}} で半径 b − a 2 {\\displaystyle {\\frac {b-a}{2}}} の円周の上半分であり、積分区間もその両端なので、積分の値は半円の面積に等しく、 ∫ a b ( x − a ) ( b − x ) d x = π 2 ( b − a 2 ) 2 {\\displaystyle \\int _{a}^{b}{\\sqrt {(x-a)(b-x)}}\\,dx={\\frac {\\pi }{2}}\\left({\\frac {b-a}{2}}\\right)^{2}} である。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "一般に、関数 f ( a − x ) {\\displaystyle f(a-x)} のグラフは関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} のグラフを直線 x = a 2 {\\displaystyle x={\\frac {a}{2}}} で対称移動したものである。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "従って、連続関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} を区間 [ a + b 2 , b ] {\\displaystyle \\left[{\\frac {a+b}{2}},b\\right]} で積分した値 ∫ a + b 2 b f ( x ) d x {\\displaystyle \\int _{\\frac {a+b}{2}}^{b}f(x)\\,dx} と、連続関数 f ( a + b − x ) {\\displaystyle f(a+b-x)} を区間 [ a , a + b 2 ] {\\displaystyle \\left[a,{\\frac {a+b}{2}}\\right]} で積分した値 ∫ a a + b 2 f ( a + b − x ) d x {\\displaystyle \\int _{a}^{\\frac {a+b}{2}}f(a+b-x)\\,dx} は等しい:", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "この等式は単に、 x → a + b − x {\\displaystyle x\\to a+b-x} の変数変換によっても導出できる。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "この等式より、 ∫ a b f ( x ) d x = ∫ a a + b 2 f ( x ) d x + ∫ a + b 2 b f ( x ) d x = ∫ a a + b 2 [ f ( x ) + f ( a + b − x ) ] d x {\\displaystyle \\int _{a}^{b}f(x)\\,dx=\\int _{a}^{\\frac {a+b}{2}}f(x)\\,dx+\\int _{\\frac {a+b}{2}}^{b}f(x)\\,dx=\\int _{a}^{\\frac {a+b}{2}}[f(x)+f(a+b-x)]\\,dx} が導かれる。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "この公式は、 f ( x ) + f ( a + b − x ) {\\displaystyle f(x)+f(a+b-x)} が簡単な形になる定積分で役に立つ。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "例えば、 ∫ 0 π 2 sin x sin x + cos x d x = ∫ 0 π 4 [ sin x sin x + cos x + sin ( π 2 − x ) sin ( π 2 − x ) + cos ( π 2 − x ) ] d x = ∫ 0 π 4 [ sin x sin x + cos x + cos x cos x + sin x ] d x = ∫ 0 π 4 d x = π 4 . {\\displaystyle {\\begin{aligned}\\int _{0}^{\\frac {\\pi }{2}}{\\frac {\\sin x}{\\sin x+\\cos x}}\\,dx&=\\int _{0}^{\\frac {\\pi }{4}}\\left[{\\frac {\\sin x}{\\sin x+\\cos x}}+{\\frac {\\sin({\\frac {\\pi }{2}}-x)}{\\sin({\\frac {\\pi }{2}}-x)+\\cos({\\frac {\\pi }{2}}-x)}}\\right]\\,dx\\\\&=\\int _{0}^{\\frac {\\pi }{4}}\\left[{\\frac {\\sin x}{\\sin x+\\cos x}}+{\\frac {\\cos x}{\\cos x+\\sin x}}\\right]\\,dx\\\\&=\\int _{0}^{\\frac {\\pi }{4}}dx={\\frac {\\pi }{4}}.\\end{aligned}}}", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "King Property の応用例は ∫ − 1 1 x 2 1 + e x d x = 1 3 {\\displaystyle \\int _{-1}^{1}{\\frac {x^{2}}{1+e^{x}}}\\,dx={\\frac {1}{3}}} , ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x = π 8 ln 2 {\\displaystyle \\int _{0}^{\\frac {\\pi }{4}}\\ln(1+\\tan x)\\,dx={\\frac {\\pi }{8}}\\ln 2} , ∫ 0 π 2 ln sin x d x = − π 2 ln 2 {\\displaystyle \\int _{0}^{\\frac {\\pi }{2}}\\ln \\sin x\\,dx=-{\\frac {\\pi }{2}}\\ln 2} などがある。計算してみよ。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "演習問題1", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "次の不定積分を求めよ。", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "演習問題2", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "第一問", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "第二問", "title": "いろいろな関数の積分" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "ある関数f(x)の原始関数を求める演算は f(x)とx軸にはさまれた領域の面積を求める演算に等しい。このことを用いてある関数によって作られた領域の面積を求めることが出来る。", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "例えば、 ∫ 0 1 x 2 d x = 1 3 {\\displaystyle \\int _{0}^{1}x^{2}dx={\\frac {1}{3}}} は、放物線 y = x 2 {\\displaystyle y=x^{2}} について 0 < x < 1 {\\displaystyle 0<x<1} の範囲でかこまれる面積に等しい。", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "楕円 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\\displaystyle {\\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} の面積 S = π a b {\\displaystyle S=\\pi ab} の導出", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "楕円 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 {\\displaystyle {\\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1} を y {\\displaystyle y} について解くと", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "となる。そのうち y = b a a 2 − x 2 {\\displaystyle y={\\frac {b}{a}}{\\sqrt {a^{2}-x^{2}}}} は半楕円(楕円の上半分)を示している。その半楕円の面積を2倍したものが楕円の面積Sとなるので", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": "ある立体 V 0 {\\displaystyle V_{0}} の x = t {\\displaystyle x=t} における断面積が有限な値で、その値が t {\\displaystyle t} の関数 S ( t ) {\\displaystyle S(t)} となるとき、この立体を平面 x = a {\\displaystyle x=a} , x = b {\\displaystyle x=b} (ただし、 a < b {\\displaystyle a<b} )で切り取った領域の体積は、底面積 S ( t ) {\\displaystyle S(t)} に極めて小さい高さ d t {\\displaystyle dt} の積 S ( t ) d t {\\displaystyle S(t)\\,dt} の区間 [ a , b ] {\\displaystyle [a,b]} における累積であるので、以下の式で表すことができる。", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "(例1)", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "(例2)", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "y = f ( x ) ( a ≤ x ≤ b ) {\\displaystyle y=f(x)(a\\leq x\\leq b)} で与えられる曲線をx軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 V = ∫ a b π ( f ( x ) ) 2 d x {\\displaystyle V=\\int _{a}^{b}\\pi (f(x))^{2}dx} で与えられる。", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 114, "tag": "p", "text": "導出", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 115, "tag": "p", "text": "立体をx軸に垂直であり、x=cを満たす面とx=c+hを満たす面で切ると(hは小さな定数)、その切断面で挟まれた立体は半径 f(c)の円と半径 f(c+h)の円ではさまれた立体となる。しかし、hが極めて小さいとき、この図形は半径f(c),高さhの円柱で近似できる。よってこの2つの面に関して、得られた図形の体積は h × π ( f ( c ) ) 2 {\\displaystyle h\\times \\pi (f(c))^{2}} となる。これを a < c < b {\\displaystyle a<c<b} 満たす全てのcについて足し合わせると、 S = ∫ a b π ( f ( x ) ) 2 d x {\\displaystyle S=\\int _{a}^{b}\\pi (f(x))^{2}dx} が得られる。", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 116, "tag": "p", "text": "例えば、 y = x 2 ( 0 < x < 1 ) {\\displaystyle y=x^{2}~(0<x<1)} をx軸の回りに回転させて得られる図形の体積は、", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 117, "tag": "p", "text": "S = ∫ 0 1 π ( x 2 ) 2 d x {\\displaystyle S=\\int _{0}^{1}\\pi (x^{2})^{2}dx} = π ∫ 0 1 x 4 d x {\\displaystyle =\\pi \\int _{0}^{1}x^{4}dx} = π 5 {\\displaystyle ={\\frac {\\pi }{5}}} となる。", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 118, "tag": "p", "text": "球の体積 V = 4 3 π r 3 {\\displaystyle V={\\frac {4}{3}}\\pi r^{3}} の導出", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 119, "tag": "p", "text": "半径rの球は半円 y = r 2 − x 2 {\\displaystyle y={\\sqrt {r^{2}-x^{2}}}} をx軸の周りに回転させてつくることができる。", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 120, "tag": "p", "text": "また体積をrで微分すると球の表面積 S = 4 π r 2 {\\displaystyle S=4\\pi r^{2}} が得られる。", "title": "積分の応用" }, { "paragraph_id": 121, "tag": "p", "text": "これまでに学んだように、積分は微分の逆演算であると同時に、座標平面上での面積計算でもある。この項では、座標平面上の面積計算の方法の一つである区分求積法、および積分法との関連について学ぶ。", "title": "区分求積法" }, { "paragraph_id": 122, "tag": "p", "text": "右図のようなある曲線 y = f ( x ) {\\displaystyle y=f(x)} がある。単純のため、ここではつねに f ( x ) > 0 {\\displaystyle f(x)>0} であるものとして考える。この曲線と、x軸、および直線 x = a , x = b ( a < b ) {\\displaystyle x=a,x=b(a<b)} によって囲まれる領域の面積Sを求める。この面積は#面積の項で学んだように、", "title": "区分求積法" }, { "paragraph_id": 123, "tag": "p", "text": "と積分法を用いて計算することができた。では、これをもう少し原始的な方法で近似的に求めることを考えてみよう。", "title": "区分求積法" }, { "paragraph_id": 124, "tag": "p", "text": "曲線を含む図形の面積を求めることは簡単ではないが、例えば三角形や長方形、台形などの直線で囲まれた図形の面積を求めることは難しくない。そこで、下図のようにy=f(x)を棒グラフで近似し、長方形の面積の和を計算することで、求めたい面積Sに近い値を求めることができる。左下のように棒グラフの幅が大きいと誤差も大きいが、棒グラフの幅を狭くすればするほど、すなわち分割数を多くするほど、徐々に求めたい面積の値に近づけることができる。そこで、この区間[a,b]をn等分し、その時の長方形の面積の総和を求め、その後で n → ∞ {\\displaystyle n\\to \\infty } の極限を考えることにする。このようにして、区間を細かく等分割し、長方形の面積の総和を求めることにより図形の面積を求める方法を、区分求積法と呼ぶ。", "title": "区分求積法" }, { "paragraph_id": 125, "tag": "p", "text": "y = f ( x ) {\\displaystyle y=f(x)} を棒グラフで近似するとき、右図のように、長方形の左上の頂点を曲線上に取る方法と、右上の頂点を曲線上に取る方法がある。どちらの方法でも、分割数を大きくすればいずれ求めたい面積に近づくが、まずは左上の頂点を曲線上に取る方法で考えることにする。", "title": "区分求積法" }, { "paragraph_id": 126, "tag": "p", "text": "ここでは面積を求めたい区間を、単純のため[0, 1]とする。区間[0, 1]をn等分するとき、それぞれの長方形の左端のx座標は、", "title": "区分求積法" }, { "paragraph_id": 127, "tag": "p", "text": "となる。ここで、一般に第k番目の長方形について考えることにする。ただし、いちばん左側の長方形を第0番目とし、いちばん右側の長方形を第n-1番目とする。第k番目の長方形の左端のx座標は k n {\\displaystyle {\\frac {k}{n}}} であるから、この長方形の高さは f ( k n ) {\\displaystyle f\\left({\\frac {k}{n}}\\right)} となり、また長方形の幅は 1 n {\\displaystyle {\\frac {1}{n}}} である。そのため、この長方形の面積 s k {\\displaystyle s_{k}} は、", "title": "区分求積法" }, { "paragraph_id": 128, "tag": "p", "text": "となる。したがって、これらの長方形の面積の総和 S n {\\displaystyle S_{n}} は、", "title": "区分求積法" }, { "paragraph_id": 129, "tag": "p", "text": "この S n {\\displaystyle S_{n}} は、区間[0, 1]をn等分した時の長方形の面積の総和であるが、nを大きくすればするほど、次第にもとの面積に近づいていく。したがって、 n → ∞ {\\displaystyle n\\to \\infty } の極限を考え、", "title": "区分求積法" }, { "paragraph_id": 130, "tag": "p", "text": "となる。このようにして、求めたい面積を計算することができる。さらに、ここでこの区間の面積が積分法により計算できたことから、", "title": "区分求積法" }, { "paragraph_id": 131, "tag": "p", "text": "が成り立つ。また、長方形の右上の頂点を曲線上に取る場合は、同様にして", "title": "区分求積法" }, { "paragraph_id": 132, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "区分求積法" } ]	ここでは、数学IIの微分・積分の考えで学んだ積分の性質についてより詳しく扱う。また、三角関数や指数・対数関数などの関数の積分についても学習する。	{{pathnav\|高等学校の学習\|高等学校数学\|高等学校数学III\|pagename=積分法\|frame=1\|small=1}} ここでは、数学IIの[[高等学校数学II/微分・積分の考え\|微分・積分の考え]]で学んだ積分の性質についてより詳しく扱う。また、三角関数や指数・対数関数などの関数の積分についても学習する。 == 積分の基本的な性質 == 積分法について <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx ,</math> <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math>(aは定数) が成り立つ。導出 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> の両辺を微分すると、左辺 =右辺 = <math> f + g</math> が従う。よって、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> の両辺は一致する。 (実際には2つの関数の導関数が一致するとき、それらの関数には定数だけのちがいがある。仮に、F(x)とG(x)が共通の導関数h(x)を持ったとする。このとき、 <math>(F(x)-G(x) )' = h(x)- h(x) = 0</math> となるが、0の原始関数は定数Cであることが分かる。よって、両辺を積分すると、 <math>F(x)-G(x) = C</math> となり、F(x)とG(x)には定数だけの差しかないことが確かめられた。よって、 <math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math> は定数だけのちがいを含んで成り立つ式である。より一般に、不定積分が絡む等式は定数分の差を含めて成り立つというのが通例である。) <math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math> についても両辺を微分すると、左辺=右辺= a f(x) が従う。よって、 <math>\int af dx = a\int f dx</math> が成り立つことが分る。関数 <math>f(x)</math> の原始関数を <math>F(x)</math> とすると <math>\int_a^b f(x) \, = F(b)-F(a) = -(F(a)-F(b)) = -\int_b^af(x)\, dx</math> である。 <math>\int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx = (F(c) - F(a)) + (F(b) - F(c)) = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx</math> ==置換積分法== 関数の原始関数を求める手段として、積分変数を別の変数で置き換えて積分を行なう手段が知られている。これを置換積分と呼ぶ。 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> 導出 <math>\int f(g(x)) dg(x) =F(g(x))</math>を<math>x</math>について微分すると、 <math>F'(g(x)) = f(g(x))g'(x)</math> 再び<math>x</math>について積分すると、 <math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math> また、特に <math>\int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax+b) d(ax+b)</math> <math>\int \{f(x)\}^n f'(x) dx = \frac{1}{n+1} \{f(x)\}^{n+1} + C (n \ne -1)</math> <math>\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log \| f(x) \| + C</math> 例えば、<math>\int (ax+b)^2 dx</math>を考える。 <math>t = ax+b</math>と置く。この両辺を微分すると <math>dt = adx</math> が成り立つことを考慮すると、 {\| \|- \|<math>\int t^2 \frac {dt} a</math> \|<math>=\frac{ t^3} {3a} + C</math> \|- \| \|<math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> \|} となることがわかる。実際この式をxで微分すると <math> (ax+b)^2 </math> と一致することが分る。置換積分を使わずに計算することも出来る。 {\| \|- \|<math>\int (ax+b)^2 dx</math> \|<math>=\int (a^2x^2+2abx +b^2) dx</math> \|- \| \|<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + C'</math> \|- \| \|<math>= \frac {a^2} 3 x^3 +abx^2 +b^2x + \frac {b^3} {3a} +C</math> \|} (<math>C'=\frac {b^3} {3a} +C</math>と置き換えた。) <math>=\frac{ (ax+b)^3} {3a} + C</math> となり確かに一致する。 ==部分積分法== 関数の積の積分を行なうときある関数の微分だけを取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。関数 <math>g(x)</math> の原始関数を <math>G(x)</math> とすると <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> 導出積の微分法より <math>\{f(x)G(x)\}' = f'(x)G(x) + f(x)g(x)</math> である。これを移項して <math>f(x)g(x) = \{f(x)G(x)\}' - f'(x)G(x)</math> である。両辺をxで積分して <math>\int f(x) g(x) \, dx = f(x) G(x) - \int f'(x) G(x) \, dx</math> が得られる。例えば、 {\| \|- \|<math>\int x (ax+b)^3 dx</math> \|<math>=\int x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)' dx</math> \|- \| \|<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> \|- \| \|<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int (x)' \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> \|- \| \|<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \int \frac {(ax+b)^4} {4a} dx</math> \|- \| \|<math>=x \left(\frac {(ax+b)^4} {4a} \right)- \frac {(ax+b)^5} {20a^2} </math> \|} == いろいろな関数の積分== === 多項式関数の積分 === <math>n \ne -1</math>のとき、<math>\left(\frac{1}{n+1} x^{n+1}\right)'=x^n</math>なので、 <math>\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C</math> <math>n = -1</math>のとき、<math>(\log \|x\| )' = \frac{1}{x} = x^{-1}</math>なので、 <math>\int x^{-1} dx = \int \frac {1}{x} dx = \log \|x\| + C</math> が成り立つ。 === 三角関数の積分 === <math>(\sin x )' = \cos x</math> <math>(\cos x )' = -\sin x</math> <math>(\tan x )' = \frac{1}{\cos^2 x}</math> が成り立つことを考慮すると、 <math>\int \cos x dx= \sin x + C</math> <math>\int \sin x dx = - \cos x + C</math> <math>\int \frac{1}{\cos^2 x } dx = \tan x + C</math> となることが分る。 <math>\int \tan x dx</math>は、置換積分法を使って {\| \|- \|<math>\int \tan x dx</math> \|<math>=\int \frac{\sin x}{\cos x} dx</math> \|- \| \|<math>=\int \frac{-(\cos x)'}{\cos x} dx</math> \|- \| \|<math>= - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx</math> \|- \| \|<math>= - \log \| \cos x \| + C</math> \|} :　 :なお同様に、<math>\frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}</math>　であるので、<math>\int \frac{1}{\tan x} dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx =\int \frac{(\sin x)'}{\sin x} dx = \log \left\|\sin x\right\| + C</math> :　より一般に有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、<math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta</math> について考える。 <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> とおく。 <math>\tan^2\frac{\theta}{2} + 1 = \frac{1}{\cos^2\frac{\theta}{2}}</math> よって <math>\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1}{1+t^2}</math>である。<math>\frac{dt}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2\cos^2\frac{\theta}{2}} = \frac{1}{2}(t^2+1)</math> であり、<math>\cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} - 1 = \frac{1-t^2}{1+t^2}</math> かつ <math>\sin\theta = \tan\theta\cos\theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}\cos\theta = \frac{2t}{1+t^2}</math> である。よって <math>\int R(\sin\theta,\cos\theta) \,d\theta = \int R\left(\frac{2t}{1+t^2}, \frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \, \frac{2dt}{1+t^2}</math> と有理関数の積分にもち込める。幾何学的は、この変換は単位円上の点 <math>P(\cos \theta, \sin \theta)</math>と点 <math>A(-1,0)</math> を結ぶ直線の勾配 <math>t</math> で変換したものである。実際円周角の定理より <math>\angle xAP = \frac 1 2 \angle xOP = \frac \theta 2</math>より <math>t = \tan \frac{\theta} 2.</math> 被積分関数の周期が <math>\pi</math> の場合は、被積分関数は <math>\sin 2\theta,\cos 2 \theta</math> の有理関数なので、 <math>t = \tan\theta</math> と置換すると計算が楽だ。被積分関数が <math>\sin^2\theta,\cos^2\theta,\sin\theta\cos\theta</math> の有理関数となるときもこの範疇に属する。<math>t = \tan\theta</math> と置換したとき、<math>\cos^2\theta = \frac{1}{1+\tan^2\theta}=\frac{1}{1+t^2}</math>, <math>\sin^2\theta = \tan^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{t^2}{1+t^2}</math> , <math>\sin\theta \cos\theta = \pm\sqrt{\sin^2\theta \cos^2\theta} = \frac{t}{1+t^2}</math> (<math>\sin\theta \cos\theta</math> と <math>\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}</math> の正負は一致するため), <math>d \theta = \frac {dt}{1 + t^2}</math> となる。例　<math>\int\frac{1}{\sin x \cos x}dx</math> は <math>t = \tan x</math> と置換すると、<math>\int \frac {1}{\sin x \cos x}dx = \int \frac {1+t^2}{t} \frac { dt}{1+t^2} = \ln\|\tan x\| + C. </math> <math>t = \tan \frac{\theta}{2}</math> と置換してしまうと、<math>\int \frac{1}{\sin x \cos x}\,dx = \int \frac {1+t^2}{t(1-t^2)}\,dt = \ln \left\|\frac{t}{1-t^2}\right\| + C' = \ln\|\tan x\| + C </math> と計算量が少し増える。 === 指数・対数関数の積分 === 指数関数について <math>(e^x )' = e^x</math> が成り立つことを用いると、 <math>\int e^x dx = e^x + C</math> が得られる。また、 <math>\left(\frac{a^x}{\ln a}\right)' = a^x</math> なので、 <math>\int a^x \, dx=\frac{a^x}{\ln a}</math> である。また、<math>\log \|x\|</math>の原始関数も求めることが出来る。 {\| \|<math>\int \log \|x\| dx </math> \|<math>=\int (x)' \log \|x\| dx </math> \|- \| \|<math>=x \log \|x\| -\int x (\log \|x\|)' dx </math> \|- \| \|<math>=x \log \|x\| -\int x \frac 1 x dx </math> \|- \| \|<math>=x \log \|x\| -\int dx </math> \|- \| \|<math>=x \log \|x\| -x + C</math> \|} となる。有理関数 <math>R(x)</math> に対して、積分 <math>\int R(e^x) \, dx</math> は <math>t = e^x</math> すると <math>\frac{dt}{dx} = e^x = t</math> より <math>\int R(e^x) \, dx = \int R(t) \frac{dt}{t}.</math> === 二次無理関数の積分（発展） === 有理関数 <math>R(x,y)</math> に対して、積分 <math>\int R(x,\sqrt{ax^2 + bx + c}) \, dx</math> について考えよう。平方根の中身は平方完成することによって、<math>\sqrt{p^2-x^2},\sqrt{x^2+p^2},\sqrt{x^2-p^2}</math>のいずれかの形になる。それぞれの場合について、<math>x = p\sin \theta,x = p\tan\theta,x = \frac{p}{\cos \theta}</math> と変数変換すると三角関数の積分に帰着する。また、<math>y^2 = ax^2 +bx + c</math> は二次曲線で、特に <math>a>0</math> のときは双曲線となる（<math>y^2 -a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{-b^2 + 4ac}{4a}</math>より<ref>右辺が0のとき双曲線とはならないが、このときは簡単に平方根を外すことが出来るので考える必要はない。</ref>）。このとき、<math>y=\pm \sqrt a x + t</math> すなわち <math>t = \mp \sqrt a x + \sqrt{ax^2 + bx + c}</math> と変換するとうまく計算できる（符号はどちらを選択しても良い）。幾何学的には、双曲線の漸近線に平行で切片が <math>t</math> の直線 <math>y=\pm \sqrt a x + t</math> と双曲線のただ一つの交点 <math>(x,y)</math> を変数 <math>t</math> で表したものである。例 <math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} </math> は <math>t = x + \sqrt{ x^2-1}</math> と置換すると、<math>\frac 1 t = x - \sqrt{x^2-1}</math> なので、<math>t + \frac 1 t = 2x</math> すなわち <math>2dx = \left(1 - \frac 1 {t^2}\right)dt</math> また、 <math>t - \frac 1 t = 2\sqrt{x^2-1}</math>.なので、<math>\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} = \int \frac{1-\frac{1}{t^2}}{t-\frac 1 t}dt = \int \frac{dt}{t} = \ln \|x + \sqrt{x^2-1}\| + C </math> である。ところで、この変換は双曲線 <math>y^2 = x^2 - 1</math> と直線 <math>y = -x + t</math> のただ一つの交点による変換であった。その交点を方程式を解いて <math>t</math> で表すと、<math>x = \frac 1 2 \left(t + \frac 1 t\right), \, y =\frac 1 2 \left(t - \frac 1 t\right)</math> を得る。これは双曲線の媒介変数表示の一つである。また、 <math>t \rightarrow e^t</math> とすると、<math>x = \frac{e^t + e^{ -t} }{2} = \cosh t, \, y = \frac{e^t - e^{-t}}{2} = \sinh t.</math> これは <math>x > 0</math> の部分の双曲線の媒介変数表示である。最右辺は双曲線関数と呼ばれ、三角関数と似た性質を持つ。関数名の <math>\mathrm{h}</math> はhyperbolaに由来する。例えば、双曲線の方程式より得られる <math>\cosh^2 t - \sinh^2 t = 1</math> は <math>\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1</math> とよく似ている。例示の不定積分は <math>x = \cosh t</math> と置換しても解くことが出来るが、ほとんど同じことなので省略する。 === 特殊な定積分 === ==== 円 ==== <math>a < b</math> とする。積分 <math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)}\, dx</math> は <math>y = \sqrt{(x-a)(b-x)}</math> とすると、<math>\left(x-\frac{a+b}{2} \right) + y^2 = \left(\frac{a-b}{2} \right)^2</math> より、被積分関数 <math>y</math> は中心 <math>\frac{a+b}{2}</math> で半径 <math>\frac{b-a}{2}</math>の円周の上半分であり、積分区間もその両端なので、積分の値は半円の面積に等しく、<math>\int_a ^b \sqrt{(x-a)(b-x)} \, dx = \frac{\pi}{2}\left(\frac{b-a}{2}\right)^2</math> である。 ==== King Property ==== 一般に、関数 <math>f(a-x)</math> のグラフは関数 <math>f(x)</math> のグラフを直線 <math>x = \frac a 2</math> で対称移動したものである。従って、連続関数 <math>f(x)</math> を区間 <math>\left[\frac{a+b}{2},b\right]</math> で積分した値 <math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx</math> と、連続関数 <math>f(a+b-x)</math> を区間 <math>\left[a,\frac{a+b}{2}\right]</math> で積分した値 <math>\int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x)\, dx</math> は等しい： :<math>\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(a+b-x) \, dx.</math> この等式は単に、 <math>x \to a+b-x</math> の変数変換によっても導出できる。この等式より、 <math>\int_a^b f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} f(x)\, dx +\int_{\frac{a+b}{2}}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{\frac{a+b}{2}} [f(x) + f(a+b-x)] \, dx </math> が導かれる。この公式は、<math>f(x) + f(a+b-x)</math> が簡単な形になる定積分で役に立つ。例えば、<math>\begin{align}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x + \cos x} \, dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\sin (\frac{\pi}{2}-x)}{\sin (\frac{\pi}{2}-x) + \cos (\frac{\pi}{2}-x)}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \left[\frac{\sin x}{\sin x + \cos x} +\frac{\cos x}{\cos x + \sin x}\right]\, dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}dx = \frac{\pi}{4}.\end{align} </math> King Property の応用例は <math>\int_{-1}^{1} \frac{x^2}{1+e^x} \, dx = \frac 1 3</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 4} \ln(1+\tan x)\, dx = \frac \pi 8 \ln 2</math> , <math>\int_0^{\frac \pi 2} \ln \sin x \, dx = -\frac{\pi}{2}\ln 2</math> などがある。計算してみよ。 '''演習問題1''' 次の不定積分を求めよ。 :(1)<math>\int \tan xdx</math> :(2)<math>\int \frac{1}{\cos ^2x}dx</math> :(3)<math>\int \log xdx</math> :(4)<math>\int x\log xdx</math> :(5)<math>\int x^2\log xdx</math> :(6)<math>\int x^3\log xdx</math> :(7)<math>\int x\sin xdx</math> :(8)<math>\int x^2\sin xdx</math> :(9)<math>\int x^2e^xdx</math> 解答 :(1)<math>-\log (\cos x)+C</math> :(2)<math>\tan x+C</math> :(3)<math>x\log x-x+C</math> :(4)<math>\frac{x^2\log x}{2}-\frac{x^2}{4}+C</math> :(5)<math>\frac{x^3\log x}{3}-\frac{x^3}{9}+C</math> :(6)<math>\frac{x^4\log x}{4}-\frac{x^4}{16}+C</math> :(7)<math>\sin x-x\cos x+C</math> :(8)<math>2x\sin x+(2-x^2)\cos x+C</math> :(9)<math>(x^2-2x+2)e^x+C</math> : '''演習問題2''' '''第一問''' :<math>n</math> は非負整数とし、<math>I_n = \int_{0}^{\frac \pi 2}\sin^n x \, dx</math> とする。 :(1) <math>\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x \, dx</math> を示せ。 :(2) <math>I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}\quad (n \ge 2)</math> を示せ。 :(3) <math>I_n</math> を求めよ。 '''第二問''' :<math>m,n</math> は非負整数、<math>\alpha,\beta</math> は <math>\beta > \alpha</math> なる実数とし、<math>I_{m,n} = \int_\alpha^\beta (x-\alpha)^m(\beta - x)^n \, dx</math> とする。 :(1) <math>I_{m,n} = \frac{n}{m+1} I_{m+1,n-1} \quad (n\ge 1) </math> を示せ。 :(2) <math>I_{m,n}</math> を求めよ。 ==積分の応用== ==== 面積，体積==== =====面積===== ある関数f(x)の原始関数を求める演算は f(x)とx軸にはさまれた領域の面積を求める演算に等しい。このことを用いてある関数によって作られた領域の面積を求めることが出来る。 [[画像:Integral_x%5E2_0-1.png\|right\|x^2の0から1までの積分]] 例えば、 <math> \int _0 ^1 x^2 dx = \frac 1 3 </math> は、放物線<math> y = x^2</math>について <math>0 < x < 1</math>の範囲でかこまれる面積に等しい。 ;楕円の面積楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>の面積<math>S=\pi ab</math>の導出楕円<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math>を<math>y</math>について解くと :<math>y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math> となる。そのうち<math>y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}</math>は半楕円（楕円の上半分）を示している。その半楕円の面積を2倍したものが楕円の面積''S''となるので :<math>S=2\int _{-a} ^a \frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a}\int _{-a} ^a \sqrt{a^2-x^2} = \frac{2b}{a} \times \frac{\pi a^2}{2} = \pi ab</math> となる。 =====体積===== ある立体<math>V_0</math>の<math>x = t</math>における断面積が有限な値で、その値が <math>t</math>の関数<math>S(t)</math>となるとき、この立体を平面<math>x = a</math>，<math>x = b</math>（ただし、<math>a < b</math>）で切り取った領域の体積は、底面積<math>S(t)</math>に極めて小さい高さ<math>dt</math><ref>なお、この時、<math>dt</math>が<math>S(t)</math>に対して積分区間で常に鉛直方向の関係にあることが保証されていなければならない。</ref>の積<math>S(t) \, dt</math>の区間<math>[a,b]</math>における累積であるので、以下の式で表すことができる。 :<math> V = \int_a^{b} S(t) \, dt</math> （例1） :<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(1,0,2)</math>である三角錐を考える。 :この三角錐を平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断すると、断面の三角形の各座標は<math>A_t(t,0,0), B_t(t,t,0), C_t(t,0,2t)</math>となる。この時、<math>\triangle{A_t B_t C_t}</math>の面積<math>S(t)=t^2</math>となる。 :これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} t^2 \, dt = \left[ \frac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}</math>となる<ref>三角錐<math>O-ABC</math>は、<math>\triangle{ABC}</math>を底面（<math>S=1</math>）とし、<math>OA</math>を高さ（<math>1</math>）とする三角錐なので、体積は、<math>\frac{1}{3}</math>となり、正しい。</ref>。（例2） :設問 :#<math>O(0,0,0), A(1,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0), D(0,0,1), E(1,0,1), F(0,1,1), G(1,1,1)</math>である立方体を想定。 :#平面<math>x=t (0\leqq t \leqq 1)</math>で切断し、<math>\square{O_t A_t B_t C_t}</math>を得る。 :#線分<math>O_t A_t , A_t B_t , B_t C_t , C_t O_t </math>に、各々点<math>O_t, A_t, B_t, C_t</math>から、長さ<math>t</math>である点<math>H_t, I_t, J_t, K_t</math>をとり、<math>\square{H_t I_t J_t K_t}</math>を<math>S_t</math>とする。 :#<math>t</math>を区間<math>[0,1]</math>で変化させた時、<math>S_t</math>が通過する部分の体積<math>V</math>を求めよ。なお、<math>S_t</math>が正方形である証明は省略してよい。 :解答 :#<math>S_t</math>の1辺の長さを<math>l</math>とおくと、<math>l^2 = t^2 + (1-t)^2 = 2t^2 - 2t + 1</math> :#<math>S_t</math>の面積<math>S(t)</math>は<math>l^2</math>であるから、<math>S(t) = 2t^2 - 2t + 1</math> :#これを、区間<math>[0,1]</math>で積分すると、 :#<math> V = \int_0^{1} S(t) \, dt = \int_0^{1} (2t^2 - 2t + 1) \, dt = \left[ \frac{2t^3}{3} - t^2 +t \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3}</math>となる。 ====== 回転体の体積 ====== <math>y= f(x) (a \le x \le b )</math> で与えられる曲線をx軸の回りに回転させて作られる立体の体積Vは、 <math> V = \int _a ^b \pi ( f(x))^2 dx </math> で与えられる。導出立体をx軸に垂直であり、x=cを満たす面とx=c+hを満たす面で切ると（hは小さな定数）、その切断面で挟まれた立体は半径 f(c)の円と半径 f(c+h)の円ではさまれた立体となる。しかし、hが極めて小さいとき、この図形は半径f(c),高さhの円柱で近似できる。よってこの2つの面に関して、得られた図形の体積は <math> h \times \pi (f(c) )^2 </math> となる。これを<math>a<c<b</math>満たす全てのcについて足し合わせると、 <math> S = \int _a ^b \pi ( f(x))^2 dx </math> が得られる。例えば、 <math> y= x^2 ~(0<x<1) </math> をx軸の回りに回転させて得られる図形の体積は、 :図形の絵? <math> S = \int_0^1 \pi (x^2)^2 dx </math> <math> =\pi \int_0^1 x^4 dx </math> <math> =\frac {\pi} 5 </math> となる。 ;球の体積球の体積<math>V=\frac{4}{3}\pi r^3</math>の導出半径''r''の球は半円<math>y=\sqrt{r^2-x^2}</math>を''x''軸の周りに回転させてつくることができる。 :<math>V=\pi \int_{-r}^r \sqrt{r^2-x^2}^2 dx=\pi \int_{-r}^r (r^2-x^2) dx= \frac{4}{3}\pi r^3</math> また体積を''r''で微分すると球の表面積<math>S=4\pi r^2</math>が得られる。 == 区分求積法 == これまでに学んだように、積分は微分の逆演算であると同時に、座標平面上での面積計算でもある。この項では、座標平面上の面積計算の方法の一つである区分求積法、および積分法との関連について学ぶ。 [[File:Riemann Integration 1.png\|thumb\|300px\|面積計算]] 右図のようなある曲線<math>y=f(x)</math>がある。単純のため、ここではつねに<math>f(x)>0</math>であるものとして考える。この曲線と、''x''軸、および直線<math>x = a, x = b (a < b)</math>によって囲まれる領域の面積''S''を求める。この面積は[[#面積]]の項で学んだように、 : <math>S = \int_a^b f(x)dx</math> と積分法を用いて計算することができた。では、これをもう少し原始的な方法で近似的に求めることを考えてみよう。曲線を含む図形の面積を求めることは簡単ではないが、例えば三角形や長方形、台形などの直線で囲まれた図形の面積を求めることは難しくない。そこで、下図のようにy=f(x)を棒グラフで近似し、長方形の面積の和を計算することで、求めたい面積''S''に近い値を求めることができる。左下のように棒グラフの幅が大きいと誤差も大きいが、棒グラフの幅を狭くすればするほど、すなわち分割数を多くするほど、徐々に求めたい面積の値に近づけることができる。そこで、この区間[''a'',''b'']を''n''等分し、その時の長方形の面積の総和を求め、その後で<math>n \to \infty</math>の極限を考えることにする。このようにして、区間を細かく等分割し、長方形の面積の総和を求めることにより図形の面積を求める方法を、区分求積法と呼ぶ。 :[[File:Riemann Integration 4.png\|350px\|棒グラフによる近似]][[File:Riemann Integration 5.png\|350px\|さらに細かな棒グラフによる近似]] [[File:Integral numericky obd.svg\|thumb\|左側で近似]][[File:Somme-superiori.png\|thumb\|右側で近似]] <math>y=f(x)</math>を棒グラフで近似するとき、右図のように、長方形の左上の頂点を曲線上に取る方法と、右上の頂点を曲線上に取る方法がある。どちらの方法でも、分割数を大きくすればいずれ求めたい面積に近づくが、まずは左上の頂点を曲線上に取る方法で考えることにする。ここでは面積を求めたい区間を、単純のため[0, 1]とする。区間[0, 1]を''n''等分するとき、それぞれの長方形の左端のx座標は、 :<math>0, \frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n}</math> となる。ここで、一般に第''k''番目の長方形について考えることにする。ただし、いちばん左側の長方形を第0番目とし、いちばん右側の長方形を第''n''-1番目とする。第''k''番目の長方形の左端のx座標は<math>\frac{k}{n}</math>であるから、この長方形の高さは<math>f\left(\frac{k}{n}\right)</math>となり、また長方形の幅は<math>\frac{1}{n}</math>である。そのため、この長方形の面積<math>s_k</math>は、 :<math>s_k = \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。したがって、これらの長方形の面積の総和<math>S_n</math>は、 :<math>S_n = \sum_{k = 0}^{n-1} s_k = \frac{1}{n}\sum_{k = 0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> この<math>S_n</math>は、区間[0, 1]を''n''等分した時の長方形の面積の総和であるが、''n''を大きくすればするほど、次第にもとの面積に近づいていく。したがって、<math>n\to\infty</math>の極限を考え、 :<math>S = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)</math> となる。このようにして、求めたい面積を計算することができる。さらに、ここでこの区間の面積が積分法により計算できたことから、 :<math>\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> が成り立つ。また、長方形の右上の頂点を曲線上に取る場合は、同様にして :<math>S = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1f(x)dx</math> となる。 == 演習問題 == * [[高等学校数学III 積分法/演習問題\|不定積分44題]] * [[/演習問題]] == 脚注 == <references/> {{DEFAULTSORT:こうとうかつこうすうかくIII せきふんほう}} [[Category:高等学校数学III\|せきふんほう]] [[カテゴリ:積分法]]	2005-05-08T05:07:14Z	2024-03-20T20:55:26Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6III/%E7%A9%8D%E5%88%86%E6%B3%95
1,936	物理学	物理学に関する文書・資料・教科書が収められる書庫です。収録内容は以下をご覧ください。 (note:1単位は35時間の学習によって修了できる項目を表わしています。例えば、古典力学を修得するには70時間の学習を行なうことが求められています。)	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "物理学に関する文書・資料・教科書が収められる書庫です。収録内容は以下をご覧ください。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "(note:1単位は35時間の学習によって修了できる項目を表わしています。例えば、古典力学を修得するには70時間の学習を行なうことが求められています。)", "title": "初等教育用教科書" } ]	物理学に関する文書・資料・教科書が収められる書庫です。収録内容は以下をご覧ください。	{{Pathnav\|メインページ\|自然科学\|frame=1\|small=1}} {\| style="float:right" \|- \|{{Wikipedia\|物理学\|物理学}} \|- \|{{Wikiversity\|School:物理学\|物理学}} \|- \|{{Wikiquote\|Category:物理学者\|物理学者}} \|- \|{{Wiktionary\|Category:物理学\|物理学}} \|- \|{{Commons\|Category:Physics}} \|- \|{{蔵書一覧}} \|- \|{{進捗状況}} \|} [[w:物理学\|物理学]]に関する文書・資料・教科書が収められる書庫です。収録内容は以下をご覧ください。 == 初等教育用教科書 == （note:1単位は35時間の学習によって修了できる項目を表わしています。例えば、[[古典力学]]を修得するには70時間の学習を行なうことが求められています。） * [[小学校理科]] ?単位（特に物理、化学等の区分けが無いため。）{{進捗\|25%\|2015-03-13}} * [[中学校理科]] ?単位（特に物理、化学等の区分けが無いため。）{{進捗\|25%\|2015-03-13}} * [[高等学校物理]] 6単位 {{進捗\|25%\|2015-03-13}} * [[大学受験物理]] ?単位 {{進捗\|00%\|2015-03-13}} === 付録 === * [[初等物理学公式集]] {{進捗\|25%\|2015-03-13}} == 一般教科書 == [[物理学入門]] [[物理学概説]] === 一般教養課目 === * [[物理数学I]] 5単位{{進捗\|100%\|2023-11-05}} : 線形代数と解析を既に学んだ人にとっては2単位です。 * [[古典力学]] 2単位{{進捗\|50%\|2023-11-05}} * [[電磁気学]] 2単位{{進捗\|50%\|2023-11-05}} * [[熱力学]] 2単位{{進捗\|25%\|2023-11-05}} * [[振動と波動]] 2単位{{進捗\|50%\|2023-11-05}} * [[特殊相対論]] 2単位{{進捗\|75%\|2023-11-05}} * [[量子力学]] 2単位{{進捗\|50%\|2023-11-05}} [[相対論的量子力学]] [[場の量子論]]{{進捗\|75%\|2023-11-05}} === 専門科目 === * [[解析力学]] 2単位 {{進捗\|25%\|2015-03-13}} * [[電磁気学II]] 2単位 {{進捗\|25%\|2015-03-13}} * [[量子力学II]] 2単位 * [[物理数学II]] 2単位 * [[統計力学I]] 2単位 * [[統計力学II]] 2単位 [[量子統計力学]] [[非平衡統計力学]] * [[音響学]]{{進捗\|25%\|2023-11-05}} * [[一般力学]] * [[/流体力学/]]{{進捗\|00%\|2023-11-05}} * [[/連続体の力学/]]{{進捗\|00%\|2023-11-05}} * [[/一般相対性理論入門/]] <!-- [[原子物理学]] [[分子物理学]] [[高分子物理学]] [[物性物理学]] [[固体物理学]] [[磁性物理学]] [[金属物理学]] [[半導体物理学]] [[低温物理学]] [[表面物理学]] *[[非線形物理学]] [[プラズマ物理学]] *[[電磁流体力学]] --> === 大学院科目=== [[場の量子論]] 2単位 * [[一般相対性理論]] 2単位 * [[超対称性]] ?単位 <!--:[http://arxiv.org/abs/hep-ph/9709356 レビュー論文:Supersymmetry Primerへのリンク]--> * [[弦理論]] ?単位 <!--:[http://arxiv.org/abs/hep-th/9709062 レビュー論文:Introduction to Superstring Theoryへのリンク]--> * [[物理学のための計算機とオープンソース]] 1単位 === 未分類 === * [[光学]] ** [[光の偏極]] * [[デコヒーレンスの本]] === 関連分野 === [[数学]] [[数値解析]] [[天文学]] [[化学]] [[生物学]] [[工学]] [[地球科学]] [[医学]] [[哲学]] [[心理学]] [[経済学]] {{NDC\|420\|*}} [[Category:自然科学\|ふつりかく]] [[Category:物理学\|! ふつりかく]] [[Category:物理学教育\|! ふつりかく]] [[Category:書庫\|ふつりかく]]	2005-05-08T05:54:33Z	2024-03-17T09:11:12Z	[ "テンプレート:NDC", "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:Wikiversity", "テンプレート:Wikiquote", "テンプレート:進捗状況", "テンプレート:進捗", "テンプレート:Wikipedia", "テンプレート:Wiktionary", "テンプレート:Commons", "テンプレート:蔵書一覧" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E5%AD%A6
1,937	高等学校物理	一般の教科書とは内容が若干違う部分もありますが、勉強の参考になれば幸いです。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "一般の教科書とは内容が若干違う部分もありますが、勉強の参考になれば幸いです。", "title": "" } ]	一般の教科書とは内容が若干違う部分もありますが、勉強の参考になれば幸いです。	[[小学校・中学校・高等学校の学習]]>[[高等学校の学習]]>[[高等学校理科]]>高等学校物理 {{進捗状況}} 一般の教科書とは内容が若干違う部分もありますが、勉強の参考になれば幸いです。 == 現課程（2012年度以降入学者用） == [[高等学校理科物理基礎\|物理基礎]] [[高等学校物理\|物理]] == 参考 == === 勉強法 === * [[学習方法/高校物理]] {{進捗\|50%\|2015-12-06}} === 関連テキスト === * [[初等物理学公式集]] {{進捗\|50%\|2015-12-06}} * [[大学受験物理]] {{進捗\|00%\|2015-12-06}} == 旧課程（2003年度～2011年度入学者用） == * [[高等学校物理/物理I\|物理I]] {{進捗\|50%\|2015-07-24}} 3単位 * [[高等学校物理/物理II\|物理II]] {{進捗\|50%\|2017-08-09}} 3単位 * [[高等学校理科基礎\|理科基礎]]{{進捗\|25%\|2013-09-16}} * [[高等学校理科総合A\|理科総合A]]{{進捗\|25%\|2013-09-16}} [[Category:高等学校教育\|ふつり]] [[Category:理科教育\|高ふつり]] [[Category:物理学教育\|高ふつり]] [[category:高校理科\|ふつり]]	null	2022-09-17T16:59:31Z	[ "テンプレート:進捗状況", "テンプレート:進捗" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E7%89%A9%E7%90%86
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1,939	高等学校物理/電気	高等学校理科物理I > 電気本項は高等学校理科物理Iの電気の解説である。現在私たちが使っている多くの製品が電気を用いて動いている。これには様々な理由が考えられるが、まず第一に電気は様々な別のエネルギーに変換できること。例えば電熱線を使って熱に、電球や発光ダイオードを使って光に、モーターを使って運動に変換することが出来る。次に、電池やコンデンサを使ってエネルギーを維持したまま持ち運ぶことが出来ることや、電線を使って長距離を送電できること。また、電子製品の計算能力や信号の伝達能力が優れていること、また比較的に安全に少量のエネルギーが取り出せること、等が考えられる。電気を運動に変えるものとしてモーターがある。これの逆のものとして、運動を電気に変えることも出来る。これを行なうのは発電機と呼ばれる。例えば、発電所は何らかの運動のエネルギーを利用して電気をおこしている。例えば、水力発電所では、水の落下する力を利用している。大量の水が落下するときには人間が何千人もかかってようやく出来ることがなされることがある。たとえば、切り立った海岸線などは主に水の流れによって作られている。このように、水の力は強大であるので、それを上手く利用する方法があると都合がよい。実際現代では電気を媒介として、その力を取りだすことに成功している。電池のように電極の+と-が定まった電流を直流電流と呼ぶ。一方、発電所から得られる電流のように +と-が速い速度で入れ換わる電流を交流電流と呼ぶ。実際にはダイオードを用いて交流を直流に変えて使うこともよく行なわれる。何もない空間を光が直進しているように見えることがある。実際にはこれは電波と同じものである。電波とは例えば、携帯電話の通信に使われるものであり、電荷を持った物体を動かすと、必然的に生じるものである。プラスチックの下敷きなどで髪をこすると帯電する現象などのように、物質が電気を帯びることを帯電(たいでん)という。物体をこすって発生させる静電気を摩擦電気という。ガラス棒を絹の布でこすると、ガラス棒は正の電気に帯電し、絹は負の電気に帯電する。電気の量を電荷(でんか、charge)という。あるいは電気量という。電荷の単位はクーロンである。クーロンの記号はCである。静電気による電荷どうしに働く力を静電気力という。なお、帯電していない状態を電気的に中性である、という。金属のように、電気を通せる物体を導体(どうたい、conductor)という。プラスチックやガラスやゴムのように電気を通さない物質を絶縁体(ぜつえんたい、insulator)あるいは不導体(ふどうたい)という。金属は導体である。電気の正体は電子(electron)という粒子である。この電子は負電荷を帯びている。(電子の電荷が負に定義されているのは、人類が電子を発見する前に電荷の正負の定義が行われ、あとから電子が見つかった際に電子の電荷を調べたら負電荷だったからである。) 金属が導体なのは、金属中の電子は、もとの原子を離れて、その金属全体の中を自由に動けるからである。金属中の電子のように、物質中を自由に動ける状態の電子を、自由電子(じゆうでんし)という。電流とは、自由電子が移動することである。いっぽう、絶縁体は、自由電子をもたない。絶縁体の電子は、すべて、もとの原子に束縛(そくばく)されて閉じ込められていて、自由には動けない。正電荷とは、物質に電子が欠乏している状態である。負電荷とは、物質が電子を多く持っている状態である。帯電していない絶縁体の物質をこすりあわせて、両方を摩擦電気に帯電させた場合、片方は正電荷を生じ、もう片方の物質は負電荷を生じる。このとき、発生した正電荷の大きさと負電荷の大きさは同じである。これは、電子が移動して、片方の物質は電子が不足し、もう片方は等量の電子が過剰になっているからである。このように、電子は生成も消滅もしない。これを電荷保存の法則と言う。あるいは電気量保存の法則と言う。電気的に中性であった導体の物質(仮に物質Aとする)に帯電した別の物質(仮に物質Bとする)を接触させずに近づけると、物質Aには、帯電物質Bの電荷に引き寄せられて、物体Aの内部で反対符号の電荷が帯電物体Bに近い側の表面に生じる。また、帯電物体Bと同じ電荷は反発するので、物体A内部の帯電物体Bとは遠い側の表面に生じる。このような現象を静電誘導(せいでんゆうどう;Electrostatic induction)という。静電誘導で生じた電荷の正電荷の量と負電荷の量は等量である。(電気量保存の法則) 導体の内部に静電気力は無い。もしあったとすると、自由電子などの電荷が動き、電流が流れ続けることになるが、そのような現象は実在しないので不合理になる。したがって、導体の内部に静電気力は無い。表面に電荷が集まるのは、導体の内部に静電気力を作らせないためである。したがって静電誘導で引き寄せられる電荷の大きさは、外部から導体内部への静電気力を打ち消すだけの大きさである。この導体内部の電荷がゼロになる性質を応用すると、中空の導体で出来た物体を用いて、静電気力を遮蔽することができる。これを静電遮蔽(せいでんしゃへい、electric shilding)という。絶縁体(仮にAとする)に電荷を近づけた場合は、導体とは違い、物体Aの内部の電子は自由に表面には集まれないが、物体内部の原子の正負の電荷の極性を持った部分が、外部の静電気力に引き寄せられるように、近づけた電荷に近い側には異種の電荷が生じ、遠い側には、同種の電荷が生じる。原子や分子が外部の静電気力によって、正負の電荷の部分が生じることを分極(ぶんきょく)といいい、外部の電化によって起こる、このような分極のしかたを誘電分極(ゆうでんぶんきょく、dielectric polarization)という。絶縁体は、静電気力にさらされると誘電分極を行うので、絶縁体のことを誘電体(ゆうでんたい、dielectric)ともいう。導体に静電誘導された正負の電荷は、導体を切断などをすれば正電荷と負電荷を別個に取り出すことができる。しかし誘電体の正負の電荷は、原子や分子と密接に結びついているため、正負の電荷を分かれて取り出すことは出来ない。ある物質が電気を帯びている(帯電している)とき、その帯電の大小の程度を電荷(でんか、electric charge)という。さまざまな物質をいろいろな方法で帯電させた結果、電荷には、帯電した2個のものどうしを近づけた時に引っ張り合うもの(引力が働く)と反発しあうもの(斥力がはたらく)の2種類があることが分かった。このような、帯電している物体に働く力を静電気力という。べつの帯電したものを、他にもいくつか用意して、近づけて実験する2個の物体の組み合わせを変えると、組み合わせによって、2個の物体どうしに引力が働く場合もあれば、斥力が働く場合もあることが分かった。この引力と斥力の関係は、帯電した電荷の種類に応じることがわかった。結論を言うと、電荷には正負の2種類がある。正の電荷どうしの物体を近づけたときは反発しあう。負の電荷どうしを近づけたときも反発しあう。正と負の電荷を近づけた時には引力が働く。つまり、同符号の電荷を近づけた場合は、反発力が生じる。異符号の電荷を近づけた場合は、引力が生じる。静電気どうしの力の強さは、実験的には、電荷の間に働く力は、重力の場合と同様に力を及ぼし合う2物体の間の距離の2乗に反比例することが知られている。更に、電荷の大きさが大きいほど電荷間に働く力が大きいことも考慮すると、距離rだけ離れてそれぞれが電荷 q 1 {\displaystyle q_{1}} 、 q 2 {\displaystyle q_{2}} を持っている2物体の間に働く力Fは、で与えられる。これをクーロンの法則( Coulomb's law)という。ここで、 k {\displaystyle k} は比例定数であり、両電荷の周囲にある物体の種類により変化する定数である。真空中での電場を考えた場合のkの値は、である。また、 ε {\displaystyle \epsilon } は後ほど登場する誘電率(ゆうでんりつ)と呼ばれる物理定数である。誘電率は、両電荷の周囲にある物体の種類により変化する定数である。誘電率については、この文を初めて読んだ段階では、まだ知らなくても良い。のちに物理IIで誘電率を詳しく解説する。誘電率 ε {\displaystyle \epsilon } とクーロンの比例定数kには上式の関係がある。物体のまわりに蓄積されるものを電荷と呼ぶ。電気力によって反発しあったり、引きつけあったりする物体を電荷を持つ物体と呼ぶ。また、ここで観察される静電気力を、クーロン力と呼ぶことがある。 2個の電荷どうしがおよぼす力は同じであり、したがって作用・反作用の法則に従っている。ここで、電荷の単位は[C]で与えられる。記号のCは「クーロン」と読む。図のように、2本の糸に、それぞれ同じ質量m[kg]で、同じ符号と大きさの電荷q[C]の球が、ぶらさがってる。これは、クーロン力で反発するので、図のように、糸が角度θをなす。このとき、質量mによる重力と、電荷qによるクーロン力との関係について、式を立てよ。なお、必要ならば、糸の張力はT[N]とすること。解法図のような位置関係になるので、図のように式を立てればよい。 ※ 上記の2本の糸にぶらさがった球のクーロン力の例題は、電気磁気学のどの入門書にもあるような典型的な問題であるので、読者はきちんと理解すること。電荷 q 1 {\displaystyle q_{1}} , q 2 {\displaystyle q_{2}} の間の距離がrの場合と2rの場合では、間に働く力の大きさはどちらがどれだけ大きいか答えよ。また、距離が2rの時の2点間の力の大きさを答えよ。クーロン力は、物体間の距離の逆2乗に比例するので、距離が2rの時は、rの時の大きさの 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} となる。また、働く力の大きさは、クーロン力の式を用いて、となる。既に、ある電荷Aのまわりの別の電荷Bには、その電荷からの距離の逆2乗に比例した力がかかることを述べた。ここで、電荷Bが受ける力は、その電荷Bの大きさに比例することを合わせて考えると、その電荷Bの大きさにかかわらず、電荷Aの大きさだけで決まる量を導入しておくと都合がよい。ここで、そのような量として電場(でんば)を導入する。このとき、電場 E → {\displaystyle {\vec {E}}} の中にある電荷 q {\displaystyle q} に働く力 F → {\displaystyle {\vec {F}}} は、で与えられる。電場は単位電荷に働く力と考えることもでき、電場の単位は[N/C]である。「電場」は、「電界」(でんかい)とも呼ばれる。 (日本の物理学では「電場」と呼ぶことが多く、また、日本の電気工学では「電界」と呼ばれることが多い。明治期の翻訳の際の、日本国内の業界ごとの違いに過ぎず、たんなる日本ローカルな都合であり、呼び方は物理の本質とは関係ないので、ここでは、どちらの表現を用いるかは、本書では特にこだわらない。英語では物理学・電気工学とも“electric field”で共通している。) 上のクーロン力の結果と合わせると、電荷Aのまわりに別の電荷が存在しないとき、電荷 q {\displaystyle q} [C]の電荷がまとう電場 E → {\displaystyle {\vec {E}}} は、で与えられる。ただし、rは電荷からの距離であり、 e → r {\displaystyle {\vec {e}}_{r}} は、電荷とある点を結んだ直線上で、電荷と反対方向を向いた単位ベクトルである。電荷の回りの電場は、平面上で放射状のベクトルとなることに注意。電場はベクトルである。電荷が2個あるときは、それぞれの電荷がつくる電場を、重ね合わせればよい。である。電荷が3個以上のときも、同様に重ね合わせれば良い。図のように、電荷から出る電場の方向を図示したものを電気力線(でんきりきせん、electric line of force)という。電荷が複数ある場合には、実際に新たに置かれた電荷が受ける力は、それらを足し合わせたものとなる。したがって、複数の電荷がある場合の周囲の電界は、それぞれの電荷が作る電界ベクトルの和となる(重ね合わせの原理)。電気力線を図示する場合は、正電荷から力線が出て、負電荷で力線が吸収されるように書く。力線は、電場を図示したものなので、電荷以外の場所では、力線が分岐することはない。力線が生成するのは正電荷の場所のみである。力線が消滅するのは、負電荷の場所のみである。言い換えれば、力線が電荷以外の場所で消滅することはないし、電荷以外の場所で力線が生成することはない。導体の内部の電場はゼロであった。言い換えれば、電気力線は、導体の内部には進入できない。点電荷からは、図のように、放射状に電気力線が出る。クーロンの法則の係数にあるのうちの、分母の 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} は、球の表面積の公式に等しいので、電気力線の密度に比例して、電場の強さあるいは静電気力の強さが決まると考えられる。静電誘導では、導体内部には静電気力が働いていないのであった。これは、電場という概念を用いて言い換えれば、導体内部の電場はゼロである、と言える。クーロン力は力(ちから)であるから、それに逆らって別の電荷を近づけた場合は、近づけた別の電荷は仕事をしたことになる。また、近づけた電荷を手放せば、クーロン力によって力を受け、仕事をすることになるから、近づいた状態にある別電荷は位置エネルギーを蓄えていることになる。したがって、クーロン力に対しても位置エネルギーを定義することができる。(なお、衛星軌道上の物体のような、地表から大きく離れた場所の重力も、クーロン力と同様に逆2乗力なので、ここで考えた計算手法は重力による位置エネルギーにも応用できる。重力加速度gを用いた力mgというのは地表近くでの近似にすぎない。) クーロン力による電場の定義では、単位電荷に対して電場を定義したのと同様、位置エネルギーに対しても、単位電荷に応じて定義できる量を導入すると都合がよい。このような量を電位(でんい、electric potential)と呼ぶ。電位の単位はボルトという。電位を例えると、地表近くでの重力の位置エネルギーを考えた際の「gh」などに相当する量である。クーロン力の結果と、 q {\displaystyle q} [C]の電荷から距離rだけ離れた点の電位Vは、電場の積分計算で得られる。(積分をまだ習ってない学年の読者は、分からなくても気にせず、次の結果へと進んでください。)結果のみを記すと、となる。電位Vの点にq[C]の電荷を置いたとき、この電荷のクーロン力による位置エネルギーU[J]は、電位Vを用いれば、となる。したがって、電位 V 1 {\displaystyle V_{1}} ボルトの点から電位 V 2 {\displaystyle V_{2}} ボルトの位置へと電荷q[C]が静電気力を受けて移動するとき、静電気力のする仕事W[J]はとなる。いっぽう、一様な電場においては、電位の式を、電場を用いて簡単に表すことができる。距離dだけ離れた平行平板電極の間に一様な電場 E → {\displaystyle {\vec {E}}} が生じているとき、この電界の中に置いた電荷qは静電気力 q E → {\displaystyle q{\vec {E}}} を受ける。この電荷が電界の向きに沿って一方の電極から他方の電極まで移動するとき、電界のする仕事Wは W = q E d {\displaystyle W=qEd} となる。これより、2極板の電位差Vは、で表すことができることがわかる。式を変形してとすることもできる。ここで、単位を考えると、右辺は電圧を距離で割ったものであるから、電界の単位として[N/C]のほか[V/m]を用いることもできることがわかる。電位の単位はボルトであり、この量は既に中学校理科などで扱った電圧(でんあつ、voltage)の単位と同じ単位である。実際に電気回路に電圧をかけることは、回路中の電子に電場をかけて動かすことと等しい。静電誘導によって、導体内部の電場はゼロであった。このことから、導体の表面は、電位が等しい。導体表面は互いに等電位である。電位の基準は、実用上は、地面の電位をゼロに置くことが多い。電気回路の一部を大地につなぐことを接地(せっち)またはアース(earth)という。回路をアースして、そのつないだ部分の電位をゼロと見なすことが多い。直線上で距離0, b[m]の点に、電荷q, q'を持つ物体が置いてある。この時、位置a[m](a<b)の点の電位を求めよ。電位の式を用いればよい。電荷が複数あるときには、電位はそれぞれの電荷がつくり出す電荷の和になることに注意。答えは、となる。導体表面は等電位なので、よって、電気力線は導体表面に垂直である。このことから、電気力線と電場は垂直である。電場が重ね合わせられるように、電位も重ね合わせられる。なぜなら電位とは、電場を考えてる経路にて積分したものであるから。学校のテストなどでは、電位の計算のさい、クーロン力の方向の勘違いなどによる計算ミスなどをふせぐため、電場を求めてから、それを積分して、電位を求めるのが、計算上は安全である。コンデンサー(英:capacitor ,「キャパシタ」と読む)は、図のように、2枚の電極が向かいあい、回路中に電荷を蓄積できる部分を与える素子である。コンデンサーに電荷を蓄えることを充電(じゅうでん)という。コンデンサーから電荷を放出させることを放電という。コンデンサの両端にある電位Vが与えられたとき、コンデンサには、電位に比例する電荷Qが蓄積される。このとき、コンデンサの蓄積能力を記号で C とおいて、としてCを取る。Cは静電容量(せいでんようりょう、electric capacitance)と呼ばれ、単位はF(ファラド、farad)で与えられる。 1ファラドは実用上は大きすぎるので、10ファラドを単位にした1pF(ピコファラド)や、10ファラドを単位にした1μF(マイクロファラド)が使われることが多い。極板が平行なコンデンサーを平行板コンデンサーという。平行板コンデンサーの、極板どうしの電場は、一様な電場である。この平行板コンデンサーの静電容量Cの式は、後述する理由により、で与えられる。ここで、Sは導体平面の面積であり、dは導体間の距離である。実験的にも、この静電容量の公式は、正しいことが確かめられている。ここで与えた静電容量は、平面上に電荷が一様に分布するとの仮定で導かれる。このとき、導体間に生じる電界Eは、導体が持つ電荷をQ, -Qとした時、まず、極板の電荷密度が、極板のどこでも一定だと仮定して(そのためには、コンデンサーの広さ(つまり面積)が、じゅうぶんに広いと仮定する必要がある。ともかく、このような仮定により、電荷密度は)、である。電気力線の性質として、プラスの電荷から生じてマイナスの電荷で吸収されるので、よって平行板コンデンサー間の電気力線の分布は、図のように、電気力線が、プラス極板から垂直に、マイナス極板へ向かって電気力線が出て、そしてマイナス極板に電気力線が吸収される。電場は、導体間の各点で、で与えられる。電場が求められたので、ここから電位を計算できる。導体間の各点で電場の大きさが均一なので、電位の大きさは電場の大きさに2点間の距離をかけたものになる。ここで、電位Vは、となるが、この式と静電容量Cの定義を見比べると、が得られる。電池の化学反応については、別科目の化学Iなどで詳しく扱われる。この章では、電圧や電流の理解に関わる点を重点的に説明したい。金属元素の単体を水または水溶液に入れたときの、陽イオンのなりやすさをイオン化傾向(ionization tendency)という。例として、亜鉛Znを希塩酸HClの水溶液に入れると、亜鉛Znは溶け、また亜鉛は電子を失ってZnになる。一方、銀Agを希塩酸に入れても反応は起こらない。このように金属のイオン化傾向の大きさは、物質ごとに大きさが異なる。二種類の金属単体を電解質水溶液に入れると電池ができる。これはイオン化傾向(単体の金属の原子が水または水溶液中で電子を放出して陽イオンになる性質)が大きい金属が電子を放出して陽イオンとなって溶け、イオン化傾向の小さい金属が析出するためである。イオン化傾向の大きい方の金属を負極(ふきょく)という。イオン化傾向の小さい方の金属を正極(せいきょく)という。イオン化傾向の大きい金属のほうが、陽イオンになって溶け出す結果、金属板には電子が多く蓄積するので、両方の金属板を銅線でつなげば、イオン化傾向の大きい方から小さい方に電子は流れる。「電流」では無く、「電子」といってることに注意。電子は負電荷であるので、電流の流れと電子の流れは、逆向きになる。さまざまな溶液や金属の組み合わせで、イオン化傾向の比較の実験を行った結果、イオン化傾向の大きさが決定された。左から順に、イオン化傾向の大きい金属を並べると、以下のようになる。金属を、イオン化傾向の大きさの順に並べたものを金属のイオン化列という。水素は金属では無いが比較のため、イオン化傾列に加えられる。金属原子は、上記の他にもあるが、高校化学では上記の金属のみのイオン化列を用いることが多い。イオン化列の記憶のための語呂合わせとして、「貸そうかな、まあ、あてにすな、ひどすぎる借金。」などのような語呂合わせがある。ちなみにこの語呂合わせの場合、「KかそうかCa なNa、まMg あAl、あZn てFe にNi すなPb、ひH2 どCu すHg ぎAg る借金Pt,Au。」と対応している。負極(亜鉛板)での反応正極(銅板)での反応ボルタの電池では、得られる両極間の電位差(「電圧」ともいう。)は、1.1ボルトである。(ボルトの単位はVなので、1.1Vとも書く。)この両極板の電位差を起電力という。起電力は、両電極の金属の組み合わせによって決まり物質固有である。起電力の単位のボルトは、静電気力の電位の単位のボルトと同じ単位である。電気回路の電圧のボルトとも、起電力の単位のボルトは同じ単位である。ボルタ電池の構造を以下のような文字列に表した場合、このような表示を電池図あるいは電池式という。 aqは水のことである。H2SO4aqと書いて、硫酸水溶液を表している。物理学の電気回路の研究では、このような電池などの現象の発見と発明によって、安定な直流電源を実験的に得られるようになり、直流電気回路の正確な実験が可能になった。電池の発明以前にも、フランス人の物理学者クーロンなどによる静電気による電気力学の研究などによって、電位差の概念や電荷の概念はあった。だが、この時代の電源は、主に静電気によるものだったので、安定電源では無かった。そして、電池による安定な電源の発明は、同時に安定な電流の発明でもあった。このような電池の発明などによる、直流電気回路の研究などから、ドイツ人の物理学者オームが、さまざまな導体に電流を流す実験と理論研究を行うことにより、電気回路の理論のオームの法則(オームのほうそく、Ohm's law)が発見された。じつはオームは電池ではなく熱電対(ねつでんつい)というものを使って、電気回路に安定した電流をながす研究をした。当時の電池では、起電力がしだいに減ってしまい、オームは当初は電池で実験したが、うまく安定電流を得られなかった。熱電対とは、まず異なる金属材料の2本の金属線を接続して1つの回路をつくり、2つの接点に温度差を与えると、回路に電圧が発生するため電流が流れる(この現象を、ゼーベック効果という)。この現象じたいは、1821年にゼーベックが発見した。このような回路が、熱電対である。なお、同じ2本の金属線では、温度差を与えても電圧は発生せず、電流は流れない。オームは、ベルリン大学教授ポッケンドルフの助言によって、この熱電対を実験に利用した。温度を安定させるのは、当時の技術でも比較的簡単であったので、こうしてオームは安定電流をもちいる実験ができたのである。オームの法則(Ohm's law)とは、「ほとんどの導体では、電流 I が流れている導体中の2点の点 P 1 {\displaystyle P_{1}} と点 P 2 {\displaystyle P_{2}} 間の電位差 E = E 1 − E 2 {\displaystyle E=E_{1}-E_{2}} は、電流 I に比例する。」という実験法則である。誤解されやすいが、オームの法則は、このような実験法則であって、べつに抵抗の定義式では無い。同様に、オームの法則は、べつに電圧の定義式では無いし、電流の定義式でも無い。中学校の理科での電気回路の教育では、金属の電気分解の起電力の教育まではしないので、ともすれば、電圧を誤解して、「電圧は、単なる電流の比例量で、抵抗はその比例係数」のような誤解する場合が有りうるが、その解釈は明らかに誤解である。また、半導体などの一部の材料では、電流が増え材料の温度が上昇すると抵抗が下がる現象が知られているので、半導体ではオームの法則が成り立たない場合がある。なので、オームの法則を定義式と考えるのは不合理である。導線などの導体内の電気の流れを電流(でんりゅう、electric current)という。電流の強さはアンペアという単位で表す。1アンペアの定義は次の通りである。 1秒間に1クーロン(記号C)の電流が通過することを1アンペアという。アンペアの記号はAである。また、電流は、単位時間あたりの電荷の通過量でもあるので、電流の単位を[C/s]と書く場合もある。一般的には、電流の単位は、なるべく[A]で表記することが多い。電流I[A]と時間t[S]で導線断面を通過する電荷Q[C]の関係を式で表すと、である。電流の向きの取り方については、自由電子は負電荷を持っているから、自由電子の向きとは反対向きに電流の向きをとることに注意せよ。次に電流と自由電子の速度との関係を考える。自由電子の電荷の絶対値をeとすると、自由電子は負電荷であるから、自由電子の電荷はマイナス符号がつき-eである。ドイツ人の物理学者オームは次のような法則を発見した。「ほとんどの導体では、電流 I が流れている導体中の2点の点 P 1 {\displaystyle P_{1}} と点 P 2 {\displaystyle P_{2}} 間の電位差 E = E 1 − E 2 {\displaystyle E=E_{1}-E_{2}} は、電流 I に比例する。」この実験法則をオームの法則(Ohm's law)という。式で表すと、電位差をVとして、電流をIとした場合に、比例係数をRとして、である。ここで、電位と電流の比例係数Rを電気抵抗あるいは単に抵抗(resistance、レジスタンス)という。電気抵抗の単位はオームと言い、記号はΩで表す。慣習的に、抵抗の記号はRであらわす場合が多い。電気回路へエネルギーを供給する電源として定電圧の直流電源を考える。回路の2地点間にある一定の電圧を供給し続けるものである。電圧源の回路図記号としてはが用いられる。記号の長い側が正極であり、プラスの電位である。記号の短い側は負極である。乾電池は、直流電源として取り扱って良い。なお、これらは直流電源である。交流の場合は一般化した電圧源としての記号を用いる。また特に正弦波交流電圧源であればの記号を用いる。抵抗器(resistor)は、通常は単に抵抗と呼ばれる回路素子であり、与えられた電気エネルギーを単純に消費する素子である。回路図記号はあるいはであるが、本書では、両者とも抵抗の回路図記号として用いることにする。(画像素材の確保の都合のため、両方の記号が本書では混在します。ご容赦ください。) 日本では、抵抗器の図記号は、従来はJIS C 0301(1952年4月制定)に基づき、ギザギザの線状の図記号で図示されていたが、現在の、国際規格のIEC 60617を元に作成されたJIS C 0617(1997-1999年制定)ではギザギザ型の図記号は示されなくなり、長方形の箱状の図記号で図示することになっている。旧規格であるJIS C 0301は、新規格JIS C 0617の制定に伴って廃止されたため、旧記号で抵抗器を図示した図面は、現在ではJIS非準拠な図面になってしまう。しかし、拘束力は無いため、現在も従来の図記号が多用されている。複数の回路素子が1つの線上に配置されているような接続を直列接続といい、複数の回路素子が二股に分かれるように配置されている接続を並列接続という。直列接続においては、それぞれの回路素子に流れる電流は全て等しい。一方、並列接続においてはそれぞれの回路素子の両端にかかる電圧が全て等しい。また、直列接続においてはそれぞれの回路素子にかかる電圧の和が全電圧となり、並列接続においてはそれぞれの回路素子を流れる電流の和が全電流となる。抵抗が複数接続されている場合、その複数の抵抗をまとめてあたかも1つの抵抗が接続されているかのような等価的な回路を考えることができる。複数の抵抗と等価な1つの抵抗を合成抵抗という。抵抗がn個直列に接続されている場合を考える。抵抗 R 1 , R 2 , ⋯ , R n {\displaystyle R_{1},R_{2},\cdots ,R_{n}} が直列に接続されている場合、各抵抗を流れる電流は等しく、これをiとする。各抵抗 R k ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\displaystyle R_{k}(k=1,2,\cdots ,n)} にかかる電圧を v k {\displaystyle v_{k}} とすると、オームの法則よりが成り立つ。このとき直列抵抗の両端の電圧vは、である。これと等価な抵抗Rが1つだけ接続されているような等価回路を考えるとき、が成り立つから、したがってこれらのn個の直列抵抗の合成抵抗Rとしてを得る。すなわち、直列合成抵抗は各抵抗の総和となる。同様に、抵抗がn個並列に接続されている場合を考える。抵抗 R 1 , R 2 , ⋯ , R n {\displaystyle R_{1},R_{2},\cdots ,R_{n}} が並列に接続されている場合、各抵抗の両端の電圧は等しく、これをvとする。各抵抗 R k ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\displaystyle R_{k}(k=1,2,\cdots ,n)} を流れる電流を i k {\displaystyle i_{k}} とすると、オームの法則よりが成り立つ。このとき並列抵抗へ流れ込む電流iは、である。これと等価な抵抗Rが1つだけ接続されているような等価回路を考えるとき、が成り立つから、したがってこれらのn個の並列抵抗の合成抵抗Rとしてを得る。すなわち、並列合成抵抗の逆数は各抵抗の逆数の総和となる。抵抗Rを電流Iが流れるとき、その部分の発熱のエネルギーは、1秒あたりにRI[J/s]である。これをジュール熱という。名前の由来は物理学者のジュールが調べたからである。オームの法則より、V=RIでもあるので、ジュール熱はVIとも書ける。そこで、ひとまず、熱の考察には離れて、次の量を定義する。電気回路のある2点間を流れる電流Iと、その2点間の電圧Vとの積VIを電力(power)と定義する。電力の記号はPで表わされることが多い。電力の単位のジュール毎秒[J/s]を[W]という単位で表し、この単位Wはワット(Watt)と読む。つまり電力は記号でである。導線の太さや長さによって抵抗の大きさは変わる。直感的に太いほうが流れやすいのは分かるだろう。それに並列接続と対応させても、導線が太いほうが流れやすいのは分かるだろう。実際に電気抵抗は、導線が太いに反比例して小さくなることが実験的に確認されている。そこで、つぎのような式においてみよう。抵抗をR[Ω]とした場合、導線の太さを面積で表しA[m]とすれば、比例定数にkを用いれば、である。( ∝は、比例関係を表す数学記号。) さらに、導線は材質や太さが同じならば、導線が長いほど抵抗が、長さに比例して抵抗が大きくなることが、確認されている。そこで、さらに、抵抗体の長さを考慮した式に表してみれば、次のようになる。抵抗帯の長さをl[m]とすればである。さらに、導線の材質によって、抵抗の大きさは変わる。同じ長さで同じ太さの抵抗でも、材質によって抵抗の大きさは異なる。そこで、材質ごとの比例定数をρとおけば、抵抗の式は以下の式で記述される。 ρは抵抗率(ていこうりつ、resistivity)と呼ばれる。抵抗率の単位は[Ωm]である。磁石のまわりには別の磁石を動かす力のもととなるものが生じている。これを磁場(じば、magnetic field)あるいは磁界(じかい)と呼ぶ。(日本の物理学では磁場と呼ぶことが多く、また、日本の電気工学では磁界と呼ばれることが多い。明治期の訳語の際の、日本国内の業界ごとの違いに過ぎず、地域社会的な事象であり、呼び方は物理の本質とは関係ないので、ここでは、どちらの表現を用いるかは、本書では特にこだわらない。英語では物理学・電気工学とも“magnetic field”で共通している。) 鉄やコバルトやニッケルに磁石を近づけると、磁石に吸い付けられる。また、鉄やコバルトやニッケルに強い磁化を与えると、鉄やコバルトやニッケルそのものが磁場を周囲に及ぼすようになる。このような、もともとは磁場を持たなかった物体が、強い磁場を受けたことによって磁場を及ぼすようになる現象を磁化(じか、magnetization)という。あるいは電荷の静電誘導と対応させて、磁化のことを磁気誘導(じきゆうどう、magnetic induction)ともいう。そして、鉄やコバルトやニッケルのように、磁石に引き付けられ、さらに磁化をする能力がある物体を強磁性体(きょうじせいたい、ferromagnet)という。鉄とコバルトとニッケルは強磁性体である。銅は磁化しないし、銅は磁石に引きつけられないので、銅は強磁性体ではない。静電誘導を利用した、静電遮蔽(せいでんしゃへい)と言われる、中空の導体をつかって物質を囲むことで外部電場を遮蔽する方法があったのと同様の、磁気の遮蔽が、強磁性体でも出来る。中空の強磁性体を用いて、強磁性体の内部は磁場を遮蔽できる。これを磁気遮蔽(じきしゃへい、magnetic shielding)という。磁気シールドともいう。磁場の向きが分かるように図示しよう。磁石の作る磁場の方向は、砂に含まれる砂鉄の粉末を磁石に、ちりばめて、ふりかけることで観察できる。これを図示すると、下図のようになる。(画像素材の確保の都合上、写真と図示とでは、N極とS極が逆になっています。ご容赦ください。) このような磁場の図を磁力線(じりょくせん、magnetic line of force)という。磁力線の向きは、磁石のN極から磁力線が出て、S極に磁力線が吸収されると定義される。棒磁石では、磁力の発生源となる場所が、棒磁石の両端の先端付近に集中する。そこで、棒磁石の両端の先端付近を磁極(じきょく、magnetic pole)という。このような磁石のつくる磁力線の形は、電気力線での、異符号の電荷どうしがつくる電気力線に似ている。 1つの棒磁石ではN極(north pole)の磁気の強さと、S極(south pole)の磁気の強さは等しい。また、磁石には、必ずN極とS極とが存在する。N極とS極の、どちらか片方だけを取り出すことは出来ない。たとえ棒磁石を切断しても、切断面に磁極が出現する。このような現象のおこる理由は、そもそも棒磁石を構成する強磁性体の原子の1個ずつが小さな磁石であり、それら小さな原子の磁石が、いくつも整列して、大きな棒磁石になっているからである。仮想的に、磁極がS極またはN極の片方だけ現れた現象を理論計算のために考えることがあるが、このような片側だけの磁極を単磁極(モノポールという。)というが、単磁極は実在しない。棒磁石などからの、片側の磁極あたりの、磁極からの磁場の強さのことを、そのまま「磁極の強さ」(Magnetic charge)と呼ぶ。あるいは磁荷(じか、magnetization)や磁気量という。これから、この磁化と磁場の関係を式で表すことを考える。まず、棒磁石には磁極が両側に2個あるので、計算を簡単にするために、棒磁石の両端の距離が大きく、反対側の磁極の大きさを無視できる磁石を考えよう。このような磁石を用いて、実験したところ、次の法則が分かった。磁力の強さは2個の物体の磁気量m1およびm2に比例し、2個の物体間の距離rの2乗に反比例する。式で表すと、で表される。(kmは比例定数) これを発見者のクーロンの名にちなんで、磁気に関するクーロンの法則という。磁気量mの単位はウェーバといい、記号は[Wb]で表す。比例定数kmと1ウェーバの大きさとの関係は、1メートル離れた1wbどうしの磁極にはたらく力を約6.33×10として、比例係数kmは、である。つまり、である。静電気力に対して、電場が定義されたように、磁気力に対しても、場が定義されると都合が良い。磁気量m1[Wb]が作る、次の量を磁場の強さあるいは磁場の大きさと言い、記号はHで表す。磁場の強さHの単位は[N/Wb]である。Hを用いると、磁気量m2[Wb]にはたらく磁気力f[N]は、と表せる。物理学者のエルステッドは、電流の実験をしている際に、たまたま近くにおいてあった方位磁石が動くのを確認した。彼が詳しく調べた結果、以下のことが分かった。電流が流れているときには、そのまわりには、磁場が生じる。向きは、電流の方向に右ねじが進むように、右ねじを回す向きと同じなので、これを右ねじの法則という。アンペールが、磁場の大きさを調べた結果、磁場の大きさHは、電流I[A]が直線的に流れているとき、直線電流の周りの磁場の大きさは、導線からの距離をa[m]とすると、磁場の大きさH[N/Wb]は、であることが知られている。これをアンペールの法則(Ampere's law) という。磁場の大きさHの単位は、[N/Wb]であるが、いっぽうアンペールの法則の式をみればアンペア毎メートル[A/m]でもある。導線をコイル状に巻けば、アンペールの法則で導線の周囲に発生する磁場が重なりあう。このようにした磁場を強めたコイルを電磁石(でんじしゃく、electromagnet)という。導線に電流を流しているときにのみ、電磁石は磁場を発生する。導線に電流を流すのを止めると、電磁石の磁場は消える。磁場の大きさHに、次の節で扱うローレンツ力の現象のため、比例係数μ(単位はニュートン毎アンペアで[N/A])を掛けて、記号Bで表し、とすることがある。この量Bを磁束密度(magnetic flux density)という。磁場の大きさHの向きと磁束密度Bの向きは同じ向きである。また、磁場の大きさHと磁束密度Bの比例係数を透磁率(とうじりつ、magnetic permeability)という。 (ローレンツ力に関しては、詳しくは物理IIで扱う。読者が物理Iを学ぶ学年ならば、読者は「ローレンツ力という力があるのだな・・・」とでも思っておけばいい。) まず、導線を用意したとしよう。この導線は、静止しているとして、静止しているが、固定はせずに、もし導線に力が加われば、導線が動けるようにしてるとしよう。この導線に電流を流しただけでは、べつに導線は動かない。しかし、この導線に、外部の磁石による磁場が加わると、導線が動く。このような、磁場と電流の相互作用によって、導線に生じる力をローレンツ力(ローレンツりょく、英: Lorentz force)という。ローレンツ力の向きは、導線の電流の向きと磁場の向きに垂直である。電流Iの向きから磁束密度Bの向きに右ねじを回す向きと同じである。また、ローレンツ力の大きさは、導線の長さlと、磁場の導線との垂直方向成分に比例する。ローレンツ力の大きさF[N]を式で表せば、電流と磁場とが垂直だとして、磁場を受けている導線の形状が直線形だとして、電流をI[A]として、導線の長さをl[m]として、導線にかかっている外部磁場の磁束密度をB[N/(A・m)]とすれば、で表せる。ローレンツ力の公式に、クーロンの法則などでは見られたような比例係数(係数Kなど。)が含まれないのは、そもそも、このローレンツ力の現象を元に、磁気量ウェーバWbの単位および磁束密度Bの単位が、決定されているからである。また、「磁束密度」の名称が、「磁束」・「密度」というのは、実は磁束密度の単位の[N/(A・m)]は、単位を式変形すると[Wb/m]でもあることが由来である。この単位[Wb/m]を、電気工学者のテスラの名にちなみ、単位[Wb/m] をテスラと言い、記号Tで表す。このローレンツ力の現象が、電気機器のモータ(電動機)の原理である。なお、「フレミングの法則」というローレンツ力に関する法則があるが、ローレンツ力の計算には実用的では無いし、フレミングの名を関した異なる法則が幾つもあって紛らわしく間違いの原因になりやすいので、本書では教えない。実際に、専門的な物理計算では、フレミングの法則は、計算には用いない。しかも、フレミングの法則には「フレミングの右手の法則」と、これとは異なる「フレミングの左手の法則」があり、どちらが、どの磁気の現象に用いる法則だったのかを間違えやすい。だから、本書では教えない。 (電磁誘導に関しては、詳しくは物理IIで扱う。) アンペールの法則では、電流の周りに磁場ができるのであった。実は、磁石を動かすなどして、磁場を伴う物体が運動すると、そのまわりには電場が生じる。仮に、コイルの近くでそれを行なったとすると、生じた電場によってコイルの中には電流が流れる。生じる電場の大きさは、となる。(半径aの円形のコイルの場合。) Eの単位は[V/m]であり、Bの単位は[T]である。この現象を電磁誘導(でんじゆうどう、electromagnetic induction)といい、電磁誘導によって発生した電流を誘導電流という。また、誘導電流の向きは、磁石の動きによる、コイルの中を通る磁束の変化を妨げる向きに、電流が流れる。(誘導電流もアンペールの法則に従い、周囲に磁場を作る。) この誘導電流が、コイルの中を通る磁束の変化を妨げる向きに誘導電流が流れる現象をレンツの法則(Lenz's law)という。同じ領域にN回巻かれたコイルが置かれた場合、ファラデーの電磁誘導の法則は、次のようになる。ここで、 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} は起電力(ボルト、記号はV)、ΦB は磁束(ウェーバ、記号はWb)とする。Nは電線の巻数とする。この電磁誘導の現象が、火力発電や水力発電などの発電機の原理である。これ等の発電では、永久磁石を回転させることで、発電をしている。火力や水力というのは、機器の回転を得る手段にすぎない。また、発電所の発電には、永久磁石の回転を利用しているため、発生する電圧や電流は周期的な波形になり、次に説明する交流波形になる。回路への入力電圧が周期的に時間変化する回路の電圧および電流を交流(alternating current)という。これに対し、乾電池などによって発生する電圧や電流のように、時間によらず一定な電圧や電流は直流(direct Current)という。交流波形が何秒で1周するかという時間を周期(wave period)という。周期の記号は T {\displaystyle T} で表し単位は秒[s]である。 1秒間に波形が何周するかという回数を周波数あるいは振動数(英語は、ともにfrequency)という。電気の業界では周波数という用語を用いることが多い。物理の波の理論では振動数という表現を用いることが多い。周波数の単位は[1/s]であるが、これをヘルツ(hertz)という単位で表し、単位記号Hzを用いて周波数fを、f[Hz]というふうに表す。交流電流や交流電圧が正弦波の場合は、これらのパラメータを用いてと書くことができる。 sinとは三角関数である。知らなければ数学IIなどを参考にせよ。このときのsinの係数 I 0 {\displaystyle I_{0}} や V 0 {\displaystyle V_{0}} を振幅(しんぷく、amplitude)といい、また時刻t=0における電流や電圧の値を示し、時間波形を決定する θ i {\displaystyle \theta _{i}} や θ v {\displaystyle \theta _{v}} を初期位相という。普通科高校の高校物理では、交流波形の計算には、正弦波の場合を主に扱う。方形波や三角波の計算は、普通は扱われない。ただし、工業高校の授業や、工場の実務では扱うことがあるので、読者は波形を学んでおくこと。発電所から一般家庭に送られてくる電圧は交流電圧である。東日本では50Hzであり、西日本では60Hzである。これは明治時代の発電機の輸入時に、東日本の事業者はヨーロッパから50Hz用の発電機を輸入し、西日本の事業者はアメリカから60Hzの発電機を輸入したことによる。発電所から一般の家庭などに送られる電流の周波数を商用周波数という。商用電源の電圧振幅は約140Vである。これは 100 × 2 {\displaystyle 100\times {\sqrt {2}}} [V]である。キロヘルツとは1000Hzのことである。キロヘルツはkHzと書く。交流電流に対しては、電流と同じ振動数で、アンペールの法則で発生する磁場も振動する。導線でつくられたコイルは、直流電流では、ただの導線としてはたらく。しかし、交流電流に対しては、電磁誘導により自己の発生させた磁場を妨げるような電流および起電力が発生する。これを自己誘導(self induction)という。自己誘導による起電力の大きさは、電流の時間変化率に比例する。自己誘導の起電力を式で書けば、比例係数をLとして、である。この比例係数 L {\displaystyle L} を自己インダクタンス(self inductance)という。自己インダクタンスの次元は[V・S/m]だが、これをヘンリーという単位で表し、単位にHという記号を用いる。鉄心に二つのコイルを巻き、コイルの片方の電流を変化させると、アンペールの法則によって生じていた磁束も変化するから、反対側のコイルには、この磁束密度の変化を打ち消すような向きに起電力が発生する。この現象を相互誘導(mutual induction)と言う。電圧を入力させた側のコイルを1次コイル(primaly coil)と言い、誘導起電力を発生させる側のコイルを2次コイル(secondary coil)という。相互誘導による起電力の大きさは、電流の時間変化率に比例する。相互誘導の起電力を式で書けば、比例係数をMとして、(相互誘導の比例係数はLでは無い。)式は、である。この比例係数 M {\displaystyle M} を相互インダクタンス(self inductance)という。相互インダクタンスの次元は、自己インダクタンスの単位と同じでヘンリー(H)である。この相互インダクタンスの大きさは、両方のコイルの巻き数どうしの積に比例する。磁場の動きによって電場が引き起こされることを電磁誘導のセクションで見た。実際には電場の変化によって磁場が引き起こされることも知られている。これによって何もない空間中を電場と磁場が伝播していくことが予想される。電磁波の速度を物理学者のマクスウェルが計算で求めたところ、電磁波の速度は、真空中では常に一定で、かつ波の速度cを計算で求めたところ、となり、既に知られていた光速に一致した。このことから、光は電磁波の一種であることが分かった。物理IIで、電磁波の速度を求める計算は、詳しくは扱う。読者が光速の測定実験について調べるなら、物理Iの波動に関するページなどでフィゾーの実験について、参照のこと。波は波長λが長いほど、振動数fが小さくなる。波の波長λと振動数fの積fλは一定で、これは波の速度vに等しい。つまりである。電磁波の場合は、速度が光速のcなのでである。放送用のテレビやラジオの電波(でんぱ、radio wave)は、電磁波(electromagnetic wave)の一種である。波長が0.1mm以上の電磁波が電波に分類される。なお、電波のうち、波長が1mm~1cmのミリメートルの電波をミリ波という。同様に、波長が1cm~10cmの電波をセンチ波という。波長10cm~100cm(=1m)の電波はUHFと言われ、テレビ放送などに使われるUHF放送は、この電波である。波長1m~10mの電波はVHFと言われる。テレビ放送のVHF放送は、この電波である。波長が0.1mm以下で、可視光線(可視光の最大波長は780ナノメートル程度)よりかは波長が長い電磁波は赤外線(せきがいせん、infrared rays、インフラレードレイズ)という。「赤」の「外」という理由は、可視光の最大波長の色が赤色だからである。赤外線そのものには色はついていない。市販の赤外線ヒーターなどが赤色に発光する製品があるのは、使用者が動作確認をできるようにするために、製品に赤色のランプを併置しているからである。赤外線は、物体に吸収されやすく、吸収の際、熱を発生するので、ヒーターなどに応用される。なお、太陽光にも赤外線は含まれる。そもそも赤外線が発見された経緯は、イギリスの天文学者のハーシェルが太陽光をプリズムで分光した際に、赤色の光線のとなりの、目には色が見えない部分が温度上昇していることが発見されたという経緯がある。我々、人間の目に見える可視光線(かしこうせん、visible light)の波長は、約780ナノメートルから約380ナノメートルの程度である。可視光の中で波長が最も長い領域の色は赤色である。可視光の中で波長が最も短い領域の色は紫色である。光そのものには、色はついていない。我々、人間の脳が、目に入った可視光を、色として感じるのである。太陽光をプリズムなどで分光(ぶんこう)すると、波長ごとに軌跡(きせき)がわかれる。この分光した光線は、他の波長を含まず、ただ一種の波長なので、このような光線および光を単色光(monochromatic light)という。また、白色は単色光ではない。白色光(white light)とは、全ての色の光が混ざった状態である。同様に、黒色という単色光もない。黒色とは、可視光が無い状態である。紫外線(しがいせん、ultraviolet rays)は化学反応に影響を与える作用が強い。殺菌消毒などに応用される。太陽光にも紫外線は含まれる。人間の肌の日焼けの原因は、紫外線がメラニン色素を酸化させるからである。赤外線は太陽光のプリズムによる分光で発見された。「では、分光された紫色の光線のとなりにも、なにか目には見えない線があるのでは?」というふうなことが学者たちによって考えられ、ドイツの物理学者リッターにより化学的な実験方法を用いて、紫外線の存在も実証された。医療用のレントゲンなどの透過写真で用いられるX線(X-ray)も電磁波の一種である。生物の細胞を分子レベルで傷つけ、発がん性が有る。ガンマ線(gamma‐ray、γ ray)も同様に、透過写真にも応用されるが、生物の細胞を分子レベルで傷つけ、発がん性が有る。 ??	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "高等学校理科物理I > 電気", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "本項は高等学校理科物理Iの電気の解説である。", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "", "title": "" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "現在私たちが使っている多くの製品が電気を用いて動いている。これには様々な理由が考えられるが、まず第一に電気は様々な別のエネルギーに変換できること。例えば電熱線を使って熱に、電球や発光ダイオードを使って光に、モーターを使って運動に変換することが出来る。次に、電池やコンデンサを使ってエネルギーを維持したまま持ち運ぶことが出来ることや、電線を使って長距離を送電できること。また、電子製品の計算能力や信号の伝達能力が優れていること、また比較的に安全に少量のエネルギーが取り出せること、等が考えられる。", "title": "電気" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "", "title": "電気" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "電気を運動に変えるものとしてモーターがある。これの逆のものとして、運動を電気に変えることも出来る。これを行なうのは発電機と呼ばれる。例えば、発電所は何らかの運動のエネルギーを利用して電気をおこしている。例えば、水力発電所では、水の落下する力を利用している。大量の水が落下するときには人間が何千人もかかってようやく出来ることがなされることがある。たとえば、切り立った海岸線などは主に水の流れによって作られている。このように、水の力は強大であるので、それを上手く利用する方法があると都合がよい。実際現代では電気を媒介として、その力を取りだすことに成功している。", "title": "電気" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "電池のように電極の+と-が定まった電流を直流電流と呼ぶ。一方、発電所から得られる電流のように +と-が速い速度で入れ換わる電流を交流電流と呼ぶ。", "title": "電気" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "実際にはダイオードを用いて交流を直流に変えて使うこともよく行なわれる。", "title": "電気" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "何もない空間を光が直進しているように見えることがある。実際にはこれは電波と同じものである。電波とは例えば、携帯電話の通信に使われるものであり、電荷を持った物体を動かすと、必然的に生じるものである。", "title": "電気" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "プラスチックの下敷きなどで髪をこすると帯電する現象などのように、物質が電気を帯びることを帯電(たいでん)という。物体をこすって発生させる静電気を摩擦電気という。ガラス棒を絹の布でこすると、ガラス棒は正の電気に帯電し、絹は負の電気に帯電する。電気の量を電荷(でんか、charge)という。あるいは電気量という。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "電荷の単位はクーロンである。クーロンの記号はCである。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "静電気による電荷どうしに働く力を静電気力という。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "なお、帯電していない状態を電気的に中性である、という。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "金属のように、電気を通せる物体を導体(どうたい、conductor)という。プラスチックやガラスやゴムのように電気を通さない物質を絶縁体(ぜつえんたい、insulator)あるいは不導体(ふどうたい)という。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "金属は導体である。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "電気の正体は電子(electron)という粒子である。この電子は負電荷を帯びている。(電子の電荷が負に定義されているのは、人類が電子を発見する前に電荷の正負の定義が行われ、あとから電子が見つかった際に電子の電荷を調べたら負電荷だったからである。)", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "金属が導体なのは、金属中の電子は、もとの原子を離れて、その金属全体の中を自由に動けるからである。金属中の電子のように、物質中を自由に動ける状態の電子を、自由電子(じゆうでんし)という。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "電流とは、自由電子が移動することである。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "いっぽう、絶縁体は、自由電子をもたない。絶縁体の電子は、すべて、もとの原子に束縛(そくばく)されて閉じ込められていて、自由には動けない。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "正電荷とは、物質に電子が欠乏している状態である。負電荷とは、物質が電子を多く持っている状態である。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "帯電していない絶縁体の物質をこすりあわせて、両方を摩擦電気に帯電させた場合、片方は正電荷を生じ、もう片方の物質は負電荷を生じる。このとき、発生した正電荷の大きさと負電荷の大きさは同じである。これは、電子が移動して、片方の物質は電子が不足し、もう片方は等量の電子が過剰になっているからである。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "このように、電子は生成も消滅もしない。これを電荷保存の法則と言う。あるいは電気量保存の法則と言う。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "電気的に中性であった導体の物質(仮に物質Aとする)に帯電した別の物質(仮に物質Bとする)を接触させずに近づけると、物質Aには、帯電物質Bの電荷に引き寄せられて、物体Aの内部で反対符号の電荷が帯電物体Bに近い側の表面に生じる。また、帯電物体Bと同じ電荷は反発するので、物体A内部の帯電物体Bとは遠い側の表面に生じる。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "このような現象を静電誘導(せいでんゆうどう;Electrostatic induction)という。静電誘導で生じた電荷の正電荷の量と負電荷の量は等量である。(電気量保存の法則)", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "導体の内部に静電気力は無い。もしあったとすると、自由電子などの電荷が動き、電流が流れ続けることになるが、そのような現象は実在しないので不合理になる。したがって、導体の内部に静電気力は無い。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "表面に電荷が集まるのは、導体の内部に静電気力を作らせないためである。したがって静電誘導で引き寄せられる電荷の大きさは、外部から導体内部への静電気力を打ち消すだけの大きさである。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "この導体内部の電荷がゼロになる性質を応用すると、中空の導体で出来た物体を用いて、静電気力を遮蔽することができる。これを静電遮蔽(せいでんしゃへい、electric shilding)という。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "絶縁体(仮にAとする)に電荷を近づけた場合は、導体とは違い、物体Aの内部の電子は自由に表面には集まれないが、物体内部の原子の正負の電荷の極性を持った部分が、外部の静電気力に引き寄せられるように、近づけた電荷に近い側には異種の電荷が生じ、遠い側には、同種の電荷が生じる。原子や分子が外部の静電気力によって、正負の電荷の部分が生じることを分極(ぶんきょく)といいい、外部の電化によって起こる、このような分極のしかたを誘電分極(ゆうでんぶんきょく、dielectric polarization)という。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "絶縁体は、静電気力にさらされると誘電分極を行うので、絶縁体のことを誘電体(ゆうでんたい、dielectric)ともいう。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "導体に静電誘導された正負の電荷は、導体を切断などをすれば正電荷と負電荷を別個に取り出すことができる。しかし誘電体の正負の電荷は、原子や分子と密接に結びついているため、正負の電荷を分かれて取り出すことは出来ない。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "ある物質が電気を帯びている(帯電している)とき、その帯電の大小の程度を電荷(でんか、electric charge)という。さまざまな物質をいろいろな方法で帯電させた結果、電荷には、帯電した2個のものどうしを近づけた時に引っ張り合うもの(引力が働く)と反発しあうもの(斥力がはたらく)の2種類があることが分かった。このような、帯電している物体に働く力を静電気力という。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "べつの帯電したものを、他にもいくつか用意して、近づけて実験する2個の物体の組み合わせを変えると、組み合わせによって、2個の物体どうしに引力が働く場合もあれば、斥力が働く場合もあることが分かった。この引力と斥力の関係は、帯電した電荷の種類に応じることがわかった。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 33, "tag": "p", "text": "結論を言うと、電荷には正負の2種類がある。正の電荷どうしの物体を近づけたときは反発しあう。負の電荷どうしを近づけたときも反発しあう。正と負の電荷を近づけた時には引力が働く。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 34, "tag": "p", "text": "つまり、同符号の電荷を近づけた場合は、反発力が生じる。異符号の電荷を近づけた場合は、引力が生じる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "静電気どうしの力の強さは、実験的には、電荷の間に働く力は、重力の場合と同様に力を及ぼし合う2物体の間の距離の2乗に反比例することが知られている。更に、電荷の大きさが大きいほど電荷間に働く力が大きいことも考慮すると、距離rだけ離れてそれぞれが電荷 q 1 {\\displaystyle q_{1}} 、 q 2 {\\displaystyle q_{2}} を持っている2物体の間に働く力Fは、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "で与えられる。これをクーロンの法則( Coulomb's law)という。ここで、 k {\\displaystyle k} は比例定数であり、両電荷の周囲にある物体の種類により変化する定数である。真空中での電場を考えた場合のkの値は、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "である。また、 ε {\\displaystyle \\epsilon } は後ほど登場する誘電率(ゆうでんりつ)と呼ばれる物理定数である。誘電率は、両電荷の周囲にある物体の種類により変化する定数である。誘電率については、この文を初めて読んだ段階では、まだ知らなくても良い。のちに物理IIで誘電率を詳しく解説する。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "誘電率 ε {\\displaystyle \\epsilon } とクーロンの比例定数kには上式の関係", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "がある。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "物体のまわりに蓄積されるものを電荷と呼ぶ。電気力によって反発しあったり、引きつけあったりする物体を電荷を持つ物体と呼ぶ。また、ここで観察される静電気力を、クーロン力と呼ぶことがある。 2個の電荷どうしがおよぼす力は同じであり、したがって作用・反作用の法則に従っている。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "ここで、電荷の単位は[C]で与えられる。記号のCは「クーロン」と読む。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "図のように、2本の糸に、それぞれ同じ質量m[kg]で、同じ符号と大きさの電荷q[C]の球が、ぶらさがってる。これは、クーロン力で反発するので、図のように、糸が角度θをなす。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "このとき、質量mによる重力と、電荷qによるクーロン力との関係について、式を立てよ。なお、必要ならば、糸の張力はT[N]とすること。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "解法", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "図のような位置関係になるので、図のように式を立てればよい。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "※ 上記の2本の糸にぶらさがった球のクーロン力の例題は、電気磁気学のどの入門書にもあるような典型的な問題であるので、読者はきちんと理解すること。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "電荷 q 1 {\\displaystyle q_{1}} , q 2 {\\displaystyle q_{2}} の間の距離がrの場合と2rの場合では、間に働く力の大きさはどちらがどれだけ大きいか答えよ。また、距離が2rの時の2点間の力の大きさを答えよ。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "クーロン力は、物体間の距離の逆2乗に比例するので、距離が2rの時は、rの時の大きさの 1 4 {\\displaystyle {\\frac {1}{4}}} となる。また、働く力の大きさは、クーロン力の式を用いて、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "既に、ある電荷Aのまわりの別の電荷Bには、その電荷からの距離の逆2乗に比例した力がかかることを述べた。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "ここで、電荷Bが受ける力は、その電荷Bの大きさに比例することを合わせて考えると、その電荷Bの大きさにかかわらず、電荷Aの大きさだけで決まる量を導入しておくと都合がよい。ここで、そのような量として電場(でんば)を導入する。このとき、電場 E → {\\displaystyle {\\vec {E}}} の中にある電荷 q {\\displaystyle q} に働く力 F → {\\displaystyle {\\vec {F}}} は、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "で与えられる。電場は単位電荷に働く力と考えることもでき、電場の単位は[N/C]である。「電場」は、「電界」(でんかい)とも呼ばれる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "(日本の物理学では「電場」と呼ぶことが多く、また、日本の電気工学では「電界」と呼ばれることが多い。明治期の翻訳の際の、日本国内の業界ごとの違いに過ぎず、たんなる日本ローカルな都合であり、呼び方は物理の本質とは関係ないので、ここでは、どちらの表現を用いるかは、本書では特にこだわらない。英語では物理学・電気工学とも“electric field”で共通している。)", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "上のクーロン力の結果と合わせると、電荷Aのまわりに別の電荷が存在しないとき、電荷 q {\\displaystyle q} [C]の電荷がまとう電場 E → {\\displaystyle {\\vec {E}}} は、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "で与えられる。ただし、rは電荷からの距離であり、 e → r {\\displaystyle {\\vec {e}}_{r}} は、電荷とある点を結んだ直線上で、電荷と反対方向を向いた単位ベクトルである。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "電荷の回りの電場は、平面上で放射状のベクトルとなることに注意。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "電場はベクトルである。電荷が2個あるときは、それぞれの電荷がつくる電場を、重ね合わせればよい。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "である。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "電荷が3個以上のときも、同様に重ね合わせれば良い。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "図のように、電荷から出る電場の方向を図示したものを電気力線(でんきりきせん、electric line of force)という。電荷が複数ある場合には、実際に新たに置かれた電荷が受ける力は、それらを足し合わせたものとなる。したがって、複数の電荷がある場合の周囲の電界は、それぞれの電荷が作る電界ベクトルの和となる(重ね合わせの原理)。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "電気力線を図示する場合は、正電荷から力線が出て、負電荷で力線が吸収されるように書く。力線は、電場を図示したものなので、電荷以外の場所では、力線が分岐することはない。力線が生成するのは正電荷の場所のみである。力線が消滅するのは、負電荷の場所のみである。言い換えれば、力線が電荷以外の場所で消滅することはないし、電荷以外の場所で力線が生成することはない。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "導体の内部の電場はゼロであった。言い換えれば、電気力線は、導体の内部には進入できない。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "点電荷からは、図のように、放射状に電気力線が出る。クーロンの法則の係数にある", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "のうちの、分母の 4 π r 2 {\\displaystyle 4\\pi r^{2}} は、球の表面積の公式に等しいので、電気力線の密度に比例して、電場の強さあるいは静電気力の強さが決まると考えられる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "静電誘導では、導体内部には静電気力が働いていないのであった。これは、電場という概念を用いて言い換えれば、導体内部の電場はゼロである、と言える。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "クーロン力は力(ちから)であるから、それに逆らって別の電荷を近づけた場合は、近づけた別の電荷は仕事をしたことになる。また、近づけた電荷を手放せば、クーロン力によって力を受け、仕事をすることになるから、近づいた状態にある別電荷は位置エネルギーを蓄えていることになる。したがって、クーロン力に対しても位置エネルギーを定義することができる。(なお、衛星軌道上の物体のような、地表から大きく離れた場所の重力も、クーロン力と同様に逆2乗力なので、ここで考えた計算手法は重力による位置エネルギーにも応用できる。重力加速度gを用いた力mgというのは地表近くでの近似にすぎない。)", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "クーロン力による電場の定義では、単位電荷に対して電場を定義したのと同様、位置エネルギーに対しても、単位電荷に応じて定義できる量を導入すると都合がよい。このような量を電位(でんい、electric potential)と呼ぶ。電位の単位はボルトという。電位を例えると、地表近くでの重力の位置エネルギーを考えた際の「gh」などに相当する量である。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "クーロン力の結果と、 q {\\displaystyle q} [C]の電荷から距離rだけ離れた点の電位Vは、電場の積分計算で得られる。(積分をまだ習ってない学年の読者は、分からなくても気にせず、次の結果へと進んでください。)結果のみを記すと、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "電位Vの点にq[C]の電荷を置いたとき、この電荷のクーロン力による位置エネルギーU[J]は、電位Vを用いれば、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "となる。したがって、電位 V 1 {\\displaystyle V_{1}} ボルトの点から電位 V 2 {\\displaystyle V_{2}} ボルトの位置へと電荷q[C]が静電気力を受けて移動するとき、静電気力のする仕事W[J]は", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "いっぽう、一様な電場においては、電位の式を、電場を用いて簡単に表すことができる。距離dだけ離れた平行平板電極の間に一様な電場 E → {\\displaystyle {\\vec {E}}} が生じているとき、この電界の中に置いた電荷qは静電気力 q E → {\\displaystyle q{\\vec {E}}} を受ける。この電荷が電界の向きに沿って一方の電極から他方の電極まで移動するとき、電界のする仕事Wは W = q E d {\\displaystyle W=qEd} となる。これより、2極板の電位差Vは、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "で表すことができることがわかる。式を変形して", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "とすることもできる。ここで、単位を考えると、右辺は電圧を距離で割ったものであるから、電界の単位として[N/C]のほか[V/m]を用いることもできることがわかる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "電位の単位はボルトであり、この量は既に中学校理科などで扱った電圧(でんあつ、voltage)の単位と同じ単位である。実際に電気回路に電圧をかけることは、回路中の電子に電場をかけて動かすことと等しい。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "静電誘導によって、導体内部の電場はゼロであった。このことから、導体の表面は、電位が等しい。導体表面は互いに等電位である。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "電位の基準は、実用上は、地面の電位をゼロに置くことが多い。電気回路の一部を大地につなぐことを接地(せっち)またはアース(earth)という。回路をアースして、そのつないだ部分の電位をゼロと見なすことが多い。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "直線上で距離0, b[m]の点に、電荷q, q'を持つ物体が置いてある。この時、位置a[m](a<b)の点の電位を求めよ。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "電位の式を用いればよい。電荷が複数あるときには、電位はそれぞれの電荷がつくり出す電荷の和になることに注意。答えは、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "導体表面は等電位なので、よって、電気力線は導体表面に垂直である。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "このことから、電気力線と電場は垂直である。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "電場が重ね合わせられるように、電位も重ね合わせられる。なぜなら電位とは、電場を考えてる経路にて積分したものであるから。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "学校のテストなどでは、電位の計算のさい、クーロン力の方向の勘違いなどによる計算ミスなどをふせぐため、電場を求めてから、それを積分して、電位を求めるのが、計算上は安全である。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "コンデンサー(英:capacitor ,「キャパシタ」と読む)は、図のように、2枚の電極が向かいあい、回路中に電荷を蓄積できる部分を与える素子である。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "コンデンサーに電荷を蓄えることを充電(じゅうでん)という。コンデンサーから電荷を放出させることを放電という。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "コンデンサの両端にある電位Vが与えられたとき、コンデンサには、電位に比例する電荷Qが蓄積される。このとき、コンデンサの蓄積能力を記号で C とおいて、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "としてCを取る。Cは静電容量(せいでんようりょう、electric capacitance)と呼ばれ、単位はF(ファラド、farad)で与えられる。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "1ファラドは実用上は大きすぎるので、10ファラドを単位にした1pF(ピコファラド)や、10ファラドを単位にした1μF(マイクロファラド)が使われることが多い。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "極板が平行なコンデンサーを平行板コンデンサーという。平行板コンデンサーの、極板どうしの電場は、一様な電場である。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "この平行板コンデンサーの静電容量Cの式は、後述する理由により、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "で与えられる。ここで、Sは導体平面の面積であり、dは導体間の距離である。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "実験的にも、この静電容量の公式は、正しいことが確かめられている。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "ここで与えた静電容量は、平面上に電荷が一様に分布するとの仮定で導かれる。このとき、導体間に生じる電界Eは、導体が持つ電荷をQ, -Qとした時、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "まず、極板の電荷密度が、極板のどこでも一定だと仮定して(そのためには、コンデンサーの広さ(つまり面積)が、じゅうぶんに広いと仮定する必要がある。ともかく、このような仮定により、電荷密度は)、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "である。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "電気力線の性質として、プラスの電荷から生じてマイナスの電荷で吸収されるので、よって平行板コンデンサー間の電気力線の分布は、図のように、電気力線が、プラス極板から垂直に、マイナス極板へ向かって電気力線が出て、そしてマイナス極板に電気力線が吸収される。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "電場は、導体間の各点で、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "で与えられる。電場が求められたので、ここから電位を計算できる。導体間の各点で電場の大きさが均一なので、電位の大きさは電場の大きさに2点間の距離をかけたものになる。ここで、電位Vは、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": "となるが、この式と静電容量Cの定義を見比べると、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "電池の化学反応については、別科目の化学Iなどで詳しく扱われる。この章では、電圧や電流の理解に関わる点を重点的に説明したい。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 114, "tag": "p", "text": "金属元素の単体を水または水溶液に入れたときの、陽イオンのなりやすさをイオン化傾向(ionization tendency)という。例として、亜鉛Znを希塩酸HClの水溶液に入れると、亜鉛Znは溶け、また亜鉛は電子を失ってZnになる。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 115, "tag": "p", "text": "一方、銀Agを希塩酸に入れても反応は起こらない。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 116, "tag": "p", "text": "このように金属のイオン化傾向の大きさは、物質ごとに大きさが異なる。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 117, "tag": "p", "text": "二種類の金属単体を電解質水溶液に入れると電池ができる。これはイオン化傾向(単体の金属の原子が水または水溶液中で電子を放出して陽イオンになる性質)が大きい金属が電子を放出して陽イオンとなって溶け、イオン化傾向の小さい金属が析出するためである。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 118, "tag": "p", "text": "イオン化傾向の大きい方の金属を負極(ふきょく)という。イオン化傾向の小さい方の金属を正極(せいきょく)という。イオン化傾向の大きい金属のほうが、陽イオンになって溶け出す結果、金属板には電子が多く蓄積するので、両方の金属板を銅線でつなげば、イオン化傾向の大きい方から小さい方に電子は流れる。「電流」では無く、「電子」といってることに注意。電子は負電荷であるので、電流の流れと電子の流れは、逆向きになる。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 119, "tag": "p", "text": "さまざまな溶液や金属の組み合わせで、イオン化傾向の比較の実験を行った結果、イオン化傾向の大きさが決定された。左から順に、イオン化傾向の大きい金属を並べると、以下のようになる。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 120, "tag": "p", "text": "金属を、イオン化傾向の大きさの順に並べたものを金属のイオン化列という。水素は金属では無いが比較のため、イオン化傾列に加えられる。金属原子は、上記の他にもあるが、高校化学では上記の金属のみのイオン化列を用いることが多い。イオン化列の記憶のための語呂合わせとして、", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 121, "tag": "p", "text": "「貸そうかな、まあ、あてにすな、ひどすぎる借金。」", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 122, "tag": "p", "text": "などのような語呂合わせがある。ちなみにこの語呂合わせの場合、", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 123, "tag": "p", "text": "「KかそうかCa なNa、まMg あAl、あZn てFe にNi すなPb、ひH2 どCu すHg ぎAg る借金Pt,Au。」", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 124, "tag": "p", "text": "と対応している。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 125, "tag": "p", "text": "負極(亜鉛板)での反応", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 126, "tag": "p", "text": "正極(銅板)での反応", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 127, "tag": "p", "text": "ボルタの電池では、得られる両極間の電位差(「電圧」ともいう。)は、1.1ボルトである。(ボルトの単位はVなので、1.1Vとも書く。)この両極板の電位差を起電力という。起電力は、両電極の金属の組み合わせによって決まり物質固有である。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 128, "tag": "p", "text": "起電力の単位のボルトは、静電気力の電位の単位のボルトと同じ単位である。電気回路の電圧のボルトとも、起電力の単位のボルトは同じ単位である。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 129, "tag": "p", "text": "ボルタ電池の構造を以下のような文字列に表した場合、このような表示を電池図あるいは電池式という。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 130, "tag": "p", "text": "aqは水のことである。H2SO4aqと書いて、硫酸水溶液を表している。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 131, "tag": "p", "text": "物理学の電気回路の研究では、このような電池などの現象の発見と発明によって、安定な直流電源を実験的に得られるようになり、直流電気回路の正確な実験が可能になった。電池の発明以前にも、フランス人の物理学者クーロンなどによる静電気による電気力学の研究などによって、電位差の概念や電荷の概念はあった。だが、この時代の電源は、主に静電気によるものだったので、安定電源では無かった。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 132, "tag": "p", "text": "そして、電池による安定な電源の発明は、同時に安定な電流の発明でもあった。このような電池の発明などによる、直流電気回路の研究などから、ドイツ人の物理学者オームが、さまざまな導体に電流を流す実験と理論研究を行うことにより、電気回路の理論のオームの法則(オームのほうそく、Ohm's law)が発見された。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 133, "tag": "p", "text": "じつはオームは電池ではなく熱電対(ねつでんつい)というものを使って、電気回路に安定した電流をながす研究をした。当時の電池では、起電力がしだいに減ってしまい、オームは当初は電池で実験したが、うまく安定電流を得られなかった。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 134, "tag": "p", "text": "熱電対とは、まず異なる金属材料の2本の金属線を接続して1つの回路をつくり、2つの接点に温度差を与えると、回路に電圧が発生するため電流が流れる(この現象を、ゼーベック効果という)。この現象じたいは、1821年にゼーベックが発見した。このような回路が、熱電対である。なお、同じ2本の金属線では、温度差を与えても電圧は発生せず、電流は流れない。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 135, "tag": "p", "text": "オームは、ベルリン大学教授ポッケンドルフの助言によって、この熱電対を実験に利用した。温度を安定させるのは、当時の技術でも比較的簡単であったので、こうしてオームは安定電流をもちいる実験ができたのである。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 136, "tag": "p", "text": "", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 137, "tag": "p", "text": "オームの法則(Ohm's law)とは、", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 138, "tag": "p", "text": "「ほとんどの導体では、電流 I が流れている導体中の2点の点 P 1 {\\displaystyle P_{1}} と点 P 2 {\\displaystyle P_{2}} 間の電位差 E = E 1 − E 2 {\\displaystyle E=E_{1}-E_{2}} は、電流 I に比例する。」", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 139, "tag": "p", "text": "という実験法則である。誤解されやすいが、オームの法則は、このような実験法則であって、べつに抵抗の定義式では無い。同様に、オームの法則は、べつに電圧の定義式では無いし、電流の定義式でも無い。中学校の理科での電気回路の教育では、金属の電気分解の起電力の教育まではしないので、ともすれば、電圧を誤解して、「電圧は、単なる電流の比例量で、抵抗はその比例係数」のような誤解する場合が有りうるが、その解釈は明らかに誤解である。また、半導体などの一部の材料では、電流が増え材料の温度が上昇すると抵抗が下がる現象が知られているので、半導体ではオームの法則が成り立たない場合がある。なので、オームの法則を定義式と考えるのは不合理である。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 140, "tag": "p", "text": "導線などの導体内の電気の流れを電流(でんりゅう、electric current)という。電流の強さはアンペアという単位で表す。1アンペアの定義は次の通りである。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 141, "tag": "p", "text": "1秒間に1クーロン(記号C)の電流が通過することを1アンペアという。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 142, "tag": "p", "text": "アンペアの記号はAである。また、電流は、単位時間あたりの電荷の通過量でもあるので、電流の単位を[C/s]と書く場合もある。一般的には、電流の単位は、なるべく[A]で表記することが多い。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 143, "tag": "p", "text": "電流I[A]と時間t[S]で導線断面を通過する電荷Q[C]の関係を式で表すと、", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 144, "tag": "p", "text": "である。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 145, "tag": "p", "text": "電流の向きの取り方については、自由電子は負電荷を持っているから、自由電子の向きとは反対向きに電流の向きをとることに注意せよ。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 146, "tag": "p", "text": "次に電流と自由電子の速度との関係を考える。自由電子の電荷の絶対値をeとすると、自由電子は負電荷であるから、自由電子の電荷はマイナス符号がつき-eである。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 147, "tag": "p", "text": "ドイツ人の物理学者オームは次のような法則を発見した。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 148, "tag": "p", "text": "「ほとんどの導体では、電流 I が流れている導体中の2点の点 P 1 {\\displaystyle P_{1}} と点 P 2 {\\displaystyle P_{2}} 間の電位差 E = E 1 − E 2 {\\displaystyle E=E_{1}-E_{2}} は、電流 I に比例する。」", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 149, "tag": "p", "text": "この実験法則をオームの法則(Ohm's law)という。式で表すと、電位差をVとして、電流をIとした場合に、比例係数をRとして、", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 150, "tag": "p", "text": "である。ここで、電位と電流の比例係数Rを電気抵抗あるいは単に抵抗(resistance、レジスタンス)という。電気抵抗の単位はオームと言い、記号はΩで表す。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 151, "tag": "p", "text": "慣習的に、抵抗の記号はRであらわす場合が多い。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 152, "tag": "p", "text": "電気回路へエネルギーを供給する電源として定電圧の直流電源を考える。回路の2地点間にある一定の電圧を供給し続けるものである。電圧源の回路図記号としてはが用いられる。記号の長い側が正極であり、プラスの電位である。記号の短い側は負極である。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 153, "tag": "p", "text": "乾電池は、直流電源として取り扱って良い。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 154, "tag": "p", "text": "なお、これらは直流電源である。交流の場合は一般化した電圧源としての記号を用いる。また特に正弦波交流電圧源であればの記号を用いる。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 155, "tag": "p", "text": "抵抗器(resistor)は、通常は単に抵抗と呼ばれる回路素子であり、与えられた電気エネルギーを単純に消費する素子である。回路図記号はあるいはであるが、本書では、両者とも抵抗の回路図記号として用いることにする。(画像素材の確保の都合のため、両方の記号が本書では混在します。ご容赦ください。)", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 156, "tag": "p", "text": "日本では、抵抗器の図記号は、従来はJIS C 0301(1952年4月制定)に基づき、ギザギザの線状の図記号で図示されていたが、現在の、国際規格のIEC 60617を元に作成されたJIS C 0617(1997-1999年制定)ではギザギザ型の図記号は示されなくなり、長方形の箱状の図記号で図示することになっている。旧規格であるJIS C 0301は、新規格JIS C 0617の制定に伴って廃止されたため、旧記号で抵抗器を図示した図面は、現在ではJIS非準拠な図面になってしまう。しかし、拘束力は無いため、現在も従来の図記号が多用されている。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 157, "tag": "p", "text": "", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 158, "tag": "p", "text": "複数の回路素子が1つの線上に配置されているような接続を直列接続といい、複数の回路素子が二股に分かれるように配置されている接続を並列接続という。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 159, "tag": "p", "text": "直列接続においては、それぞれの回路素子に流れる電流は全て等しい。一方、並列接続においてはそれぞれの回路素子の両端にかかる電圧が全て等しい。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 160, "tag": "p", "text": "また、直列接続においてはそれぞれの回路素子にかかる電圧の和が全電圧となり、並列接続においてはそれぞれの回路素子を流れる電流の和が全電流となる。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 161, "tag": "p", "text": "抵抗が複数接続されている場合、その複数の抵抗をまとめてあたかも1つの抵抗が接続されているかのような等価的な回路を考えることができる。複数の抵抗と等価な1つの抵抗を合成抵抗という。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 162, "tag": "p", "text": "抵抗がn個直列に接続されている場合を考える。抵抗 R 1 , R 2 , ⋯ , R n {\\displaystyle R_{1},R_{2},\\cdots ,R_{n}} が直列に接続されている場合、各抵抗を流れる電流は等しく、これをiとする。各抵抗 R k ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\\displaystyle R_{k}(k=1,2,\\cdots ,n)} にかかる電圧を v k {\\displaystyle v_{k}} とすると、オームの法則より", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 163, "tag": "p", "text": "が成り立つ。このとき直列抵抗の両端の電圧vは、", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 164, "tag": "p", "text": "である。これと等価な抵抗Rが1つだけ接続されているような等価回路を考えるとき、", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 165, "tag": "p", "text": "が成り立つから、したがってこれらのn個の直列抵抗の合成抵抗Rとして", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 166, "tag": "p", "text": "を得る。すなわち、直列合成抵抗は各抵抗の総和となる。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 167, "tag": "p", "text": "同様に、抵抗がn個並列に接続されている場合を考える。抵抗 R 1 , R 2 , ⋯ , R n {\\displaystyle R_{1},R_{2},\\cdots ,R_{n}} が並列に接続されている場合、各抵抗の両端の電圧は等しく、これをvとする。各抵抗 R k ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\\displaystyle R_{k}(k=1,2,\\cdots ,n)} を流れる電流を i k {\\displaystyle i_{k}} とすると、オームの法則より", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 168, "tag": "p", "text": "が成り立つ。このとき並列抵抗へ流れ込む電流iは、", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 169, "tag": "p", "text": "である。これと等価な抵抗Rが1つだけ接続されているような等価回路を考えるとき、", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 170, "tag": "p", "text": "が成り立つから、したがってこれらのn個の並列抵抗の合成抵抗Rとして", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 171, "tag": "p", "text": "を得る。すなわち、並列合成抵抗の逆数は各抵抗の逆数の総和となる。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 172, "tag": "p", "text": "抵抗Rを電流Iが流れるとき、その部分の発熱のエネルギーは、1秒あたりにRI[J/s]である。これをジュール熱という。名前の由来は物理学者のジュールが調べたからである。オームの法則より、V=RIでもあるので、ジュール熱はVIとも書ける。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 173, "tag": "p", "text": "そこで、ひとまず、熱の考察には離れて、次の量を定義する。電気回路のある2点間を流れる電流Iと、その2点間の電圧Vとの積VIを電力(power)と定義する。電力の記号はPで表わされることが多い。電力の単位のジュール毎秒[J/s]を[W]という単位で表し、この単位Wはワット(Watt)と読む。つまり電力は記号で", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 174, "tag": "p", "text": "である。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 175, "tag": "p", "text": "導線の太さや長さによって抵抗の大きさは変わる。直感的に太いほうが流れやすいのは分かるだろう。それに並列接続と対応させても、導線が太いほうが流れやすいのは分かるだろう。実際に電気抵抗は、導線が太いに反比例して小さくなることが実験的に確認されている。そこで、つぎのような式においてみよう。抵抗をR[Ω]とした場合、導線の太さを面積で表しA[m]とすれば、比例定数にkを用いれば、", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 176, "tag": "p", "text": "である。( ∝は、比例関係を表す数学記号。)", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 177, "tag": "p", "text": "さらに、導線は材質や太さが同じならば、導線が長いほど抵抗が、長さに比例して抵抗が大きくなることが、確認されている。そこで、さらに、抵抗体の長さを考慮した式に表してみれば、次のようになる。抵抗帯の長さをl[m]とすれば", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 178, "tag": "p", "text": "である。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 179, "tag": "p", "text": "さらに、導線の材質によって、抵抗の大きさは変わる。同じ長さで同じ太さの抵抗でも、材質によって抵抗の大きさは異なる。そこで、材質ごとの比例定数をρとおけば、抵抗の式は以下の式で記述される。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 180, "tag": "p", "text": "ρは抵抗率(ていこうりつ、resistivity)と呼ばれる。抵抗率の単位は[Ωm]である。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 181, "tag": "p", "text": "", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 182, "tag": "p", "text": "磁石のまわりには別の磁石を動かす力のもととなるものが生じている。これを磁場(じば、magnetic field)あるいは磁界(じかい)と呼ぶ。(日本の物理学では磁場と呼ぶことが多く、また、日本の電気工学では磁界と呼ばれることが多い。明治期の訳語の際の、日本国内の業界ごとの違いに過ぎず、地域社会的な事象であり、呼び方は物理の本質とは関係ないので、ここでは、どちらの表現を用いるかは、本書では特にこだわらない。英語では物理学・電気工学とも“magnetic field”で共通している。)", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 183, "tag": "p", "text": "鉄やコバルトやニッケルに磁石を近づけると、磁石に吸い付けられる。また、鉄やコバルトやニッケルに強い磁化を与えると、鉄やコバルトやニッケルそのものが磁場を周囲に及ぼすようになる。このような、もともとは磁場を持たなかった物体が、強い磁場を受けたことによって磁場を及ぼすようになる現象を磁化(じか、magnetization)という。あるいは電荷の静電誘導と対応させて、磁化のことを磁気誘導(じきゆうどう、magnetic induction)ともいう。そして、鉄やコバルトやニッケルのように、磁石に引き付けられ、さらに磁化をする能力がある物体を強磁性体(きょうじせいたい、ferromagnet)という。鉄とコバルトとニッケルは強磁性体である。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 184, "tag": "p", "text": "銅は磁化しないし、銅は磁石に引きつけられないので、銅は強磁性体ではない。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 185, "tag": "p", "text": "静電誘導を利用した、静電遮蔽(せいでんしゃへい)と言われる、中空の導体をつかって物質を囲むことで外部電場を遮蔽する方法があったのと同様の、磁気の遮蔽が、強磁性体でも出来る。中空の強磁性体を用いて、強磁性体の内部は磁場を遮蔽できる。これを磁気遮蔽(じきしゃへい、magnetic shielding)という。磁気シールドともいう。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 186, "tag": "p", "text": "磁場の向きが分かるように図示しよう。磁石の作る磁場の方向は、砂に含まれる砂鉄の粉末を磁石に、ちりばめて、ふりかけることで観察できる。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 187, "tag": "p", "text": "これを図示すると、下図のようになる。(画像素材の確保の都合上、写真と図示とでは、N極とS極が逆になっています。ご容赦ください。)", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 188, "tag": "p", "text": "このような磁場の図を磁力線(じりょくせん、magnetic line of force)という。磁力線の向きは、磁石のN極から磁力線が出て、S極に磁力線が吸収されると定義される。棒磁石では、磁力の発生源となる場所が、棒磁石の両端の先端付近に集中する。そこで、棒磁石の両端の先端付近を磁極(じきょく、magnetic pole)という。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 189, "tag": "p", "text": "このような磁石のつくる磁力線の形は、電気力線での、異符号の電荷どうしがつくる電気力線に似ている。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 190, "tag": "p", "text": "1つの棒磁石ではN極(north pole)の磁気の強さと、S極(south pole)の磁気の強さは等しい。また、磁石には、必ずN極とS極とが存在する。N極とS極の、どちらか片方だけを取り出すことは出来ない。たとえ棒磁石を切断しても、切断面に磁極が出現する。このような現象のおこる理由は、そもそも棒磁石を構成する強磁性体の原子の1個ずつが小さな磁石であり、それら小さな原子の磁石が、いくつも整列して、大きな棒磁石になっているからである。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 191, "tag": "p", "text": "仮想的に、磁極がS極またはN極の片方だけ現れた現象を理論計算のために考えることがあるが、このような片側だけの磁極を単磁極(モノポールという。)というが、単磁極は実在しない。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 192, "tag": "p", "text": "棒磁石などからの、片側の磁極あたりの、磁極からの磁場の強さのことを、そのまま「磁極の強さ」(Magnetic charge)と呼ぶ。あるいは磁荷(じか、magnetization)や磁気量という。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 193, "tag": "p", "text": "これから、この磁化と磁場の関係を式で表すことを考える。まず、棒磁石には磁極が両側に2個あるので、計算を簡単にするために、棒磁石の両端の距離が大きく、反対側の磁極の大きさを無視できる磁石を考えよう。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 194, "tag": "p", "text": "このような磁石を用いて、実験したところ、次の法則が分かった。磁力の強さは2個の物体の磁気量m1およびm2に比例し、2個の物体間の距離rの2乗に反比例する。式で表すと、", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 195, "tag": "p", "text": "で表される。(kmは比例定数) これを発見者のクーロンの名にちなんで、磁気に関するクーロンの法則という。磁気量mの単位はウェーバといい、記号は[Wb]で表す。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 196, "tag": "p", "text": "比例定数kmと1ウェーバの大きさとの関係は、1メートル離れた1wbどうしの磁極にはたらく力を約6.33×10として、比例係数kmは、", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 197, "tag": "p", "text": "である。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 198, "tag": "p", "text": "つまり、", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 199, "tag": "p", "text": "である。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 200, "tag": "p", "text": "静電気力に対して、電場が定義されたように、磁気力に対しても、場が定義されると都合が良い。磁気量m1[Wb]が作る、次の量を磁場の強さあるいは磁場の大きさと言い、記号はHで表す。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 201, "tag": "p", "text": "磁場の強さHの単位は[N/Wb]である。Hを用いると、磁気量m2[Wb]にはたらく磁気力f[N]は、", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 202, "tag": "p", "text": "と表せる。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 203, "tag": "p", "text": "物理学者のエルステッドは、電流の実験をしている際に、たまたま近くにおいてあった方位磁石が動くのを確認した。彼が詳しく調べた結果、以下のことが分かった。", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 204, "tag": "p", "text": "電流が流れているときには、そのまわりには、磁場が生じる。向きは、電流の方向に右ねじが進むように、右ねじを回す向きと同じなので、これを右ねじの法則という。", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 205, "tag": "p", "text": "アンペールが、磁場の大きさを調べた結果、磁場の大きさHは、電流I[A]が直線的に流れているとき、直線電流の周りの磁場の大きさは、導線からの距離をa[m]とすると、磁場の大きさH[N/Wb]は、", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 206, "tag": "p", "text": "であることが知られている。", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 207, "tag": "p", "text": "これをアンペールの法則(Ampere's law) という。磁場の大きさHの単位は、[N/Wb]であるが、いっぽうアンペールの法則の式をみればアンペア毎メートル[A/m]でもある。", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 208, "tag": "p", "text": "導線をコイル状に巻けば、アンペールの法則で導線の周囲に発生する磁場が重なりあう。このようにした磁場を強めたコイルを電磁石(でんじしゃく、electromagnet)という。導線に電流を流しているときにのみ、電磁石は磁場を発生する。導線に電流を流すのを止めると、電磁石の磁場は消える。", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 209, "tag": "p", "text": "磁場の大きさHに、次の節で扱うローレンツ力の現象のため、比例係数μ(単位はニュートン毎アンペアで[N/A])を掛けて、記号Bで表し、", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 210, "tag": "p", "text": "とすることがある。この量Bを磁束密度(magnetic flux density)という。磁場の大きさHの向きと磁束密度Bの向きは同じ向きである。また、磁場の大きさHと磁束密度Bの比例係数を透磁率(とうじりつ、magnetic permeability)という。 (ローレンツ力に関しては、詳しくは物理IIで扱う。読者が物理Iを学ぶ学年ならば、読者は「ローレンツ力という力があるのだな・・・」とでも思っておけばいい。)", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 211, "tag": "p", "text": "まず、導線を用意したとしよう。この導線は、静止しているとして、静止しているが、固定はせずに、もし導線に力が加われば、導線が動けるようにしてるとしよう。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 212, "tag": "p", "text": "この導線に電流を流しただけでは、べつに導線は動かない。しかし、この導線に、外部の磁石による磁場が加わると、導線が動く。このような、磁場と電流の相互作用によって、導線に生じる力をローレンツ力(ローレンツりょく、英: Lorentz force)という。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 213, "tag": "p", "text": "ローレンツ力の向きは、導線の電流の向きと磁場の向きに垂直である。電流Iの向きから磁束密度Bの向きに右ねじを回す向きと同じである。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 214, "tag": "p", "text": "また、ローレンツ力の大きさは、導線の長さlと、磁場の導線との垂直方向成分に比例する。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 215, "tag": "p", "text": "ローレンツ力の大きさF[N]を式で表せば、電流と磁場とが垂直だとして、磁場を受けている導線の形状が直線形だとして、電流をI[A]として、導線の長さをl[m]として、導線にかかっている外部磁場の磁束密度をB[N/(A・m)]とすれば、", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 216, "tag": "p", "text": "で表せる。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 217, "tag": "p", "text": "ローレンツ力の公式に、クーロンの法則などでは見られたような比例係数(係数Kなど。)が含まれないのは、そもそも、このローレンツ力の現象を元に、磁気量ウェーバWbの単位および磁束密度Bの単位が、決定されているからである。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 218, "tag": "p", "text": "また、「磁束密度」の名称が、「磁束」・「密度」というのは、実は磁束密度の単位の[N/(A・m)]は、単位を式変形すると[Wb/m]でもあることが由来である。この単位[Wb/m]を、電気工学者のテスラの名にちなみ、単位[Wb/m] をテスラと言い、記号Tで表す。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 219, "tag": "p", "text": "このローレンツ力の現象が、電気機器のモータ(電動機)の原理である。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 220, "tag": "p", "text": "", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 221, "tag": "p", "text": "なお、「フレミングの法則」というローレンツ力に関する法則があるが、ローレンツ力の計算には実用的では無いし、フレミングの名を関した異なる法則が幾つもあって紛らわしく間違いの原因になりやすいので、本書では教えない。実際に、専門的な物理計算では、フレミングの法則は、計算には用いない。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 222, "tag": "p", "text": "しかも、フレミングの法則には「フレミングの右手の法則」と、これとは異なる「フレミングの左手の法則」があり、どちらが、どの磁気の現象に用いる法則だったのかを間違えやすい。だから、本書では教えない。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 223, "tag": "p", "text": "(電磁誘導に関しては、詳しくは物理IIで扱う。)", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 224, "tag": "p", "text": "アンペールの法則では、電流の周りに磁場ができるのであった。", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 225, "tag": "p", "text": "実は、磁石を動かすなどして、磁場を伴う物体が運動すると、そのまわりには電場が生じる。仮に、コイルの近くでそれを行なったとすると、生じた電場によってコイルの中には電流が流れる。生じる電場の大きさは、", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 226, "tag": "p", "text": "となる。(半径aの円形のコイルの場合。) Eの単位は[V/m]であり、Bの単位は[T]である。", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 227, "tag": "p", "text": "この現象を電磁誘導(でんじゆうどう、electromagnetic induction)といい、電磁誘導によって発生した電流を誘導電流という。", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 228, "tag": "p", "text": "また、誘導電流の向きは、磁石の動きによる、コイルの中を通る磁束の変化を妨げる向きに、電流が流れる。(誘導電流もアンペールの法則に従い、周囲に磁場を作る。) この誘導電流が、コイルの中を通る磁束の変化を妨げる向きに誘導電流が流れる現象をレンツの法則(Lenz's law)という。", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 229, "tag": "p", "text": "", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 230, "tag": "p", "text": "同じ領域にN回巻かれたコイルが置かれた場合、ファラデーの電磁誘導の法則は、次のようになる。", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 231, "tag": "p", "text": "ここで、 E {\\displaystyle {\\mathcal {E}}} は起電力(ボルト、記号はV)、ΦB は磁束(ウェーバ、記号はWb)とする。Nは電線の巻数とする。", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 232, "tag": "p", "text": "この電磁誘導の現象が、火力発電や水力発電などの発電機の原理である。これ等の発電では、永久磁石を回転させることで、発電をしている。火力や水力というのは、機器の回転を得る手段にすぎない。また、発電所の発電には、永久磁石の回転を利用しているため、発生する電圧や電流は周期的な波形になり、次に説明する交流波形になる。", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 233, "tag": "p", "text": "回路への入力電圧が周期的に時間変化する回路の電圧および電流を交流(alternating current)という。これに対し、乾電池などによって発生する電圧や電流のように、時間によらず一定な電圧や電流は直流(direct Current)という。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 234, "tag": "p", "text": "交流波形が何秒で1周するかという時間を周期(wave period)という。周期の記号は T {\\displaystyle T} で表し単位は秒[s]である。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 235, "tag": "p", "text": "1秒間に波形が何周するかという回数を周波数あるいは振動数(英語は、ともにfrequency)という。電気の業界では周波数という用語を用いることが多い。物理の波の理論では振動数という表現を用いることが多い。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 236, "tag": "p", "text": "周波数の単位は[1/s]であるが、これをヘルツ(hertz)という単位で表し、単位記号Hzを用いて周波数fを、f[Hz]というふうに表す。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 237, "tag": "p", "text": "交流電流や交流電圧が正弦波の場合は、これらのパラメータを用いて", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 238, "tag": "p", "text": "と書くことができる。 sinとは三角関数である。知らなければ数学IIなどを参考にせよ。このときのsinの係数 I 0 {\\displaystyle I_{0}} や V 0 {\\displaystyle V_{0}} を振幅(しんぷく、amplitude)といい、また時刻t=0における電流や電圧の値を示し、時間波形を決定する θ i {\\displaystyle \\theta _{i}} や θ v {\\displaystyle \\theta _{v}} を初期位相という。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 239, "tag": "p", "text": "普通科高校の高校物理では、交流波形の計算には、正弦波の場合を主に扱う。方形波や三角波の計算は、普通は扱われない。ただし、工業高校の授業や、工場の実務では扱うことがあるので、読者は波形を学んでおくこと。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 240, "tag": "p", "text": "発電所から一般家庭に送られてくる電圧は交流電圧である。東日本では50Hzであり、西日本では60Hzである。これは明治時代の発電機の輸入時に、東日本の事業者はヨーロッパから50Hz用の発電機を輸入し、西日本の事業者はアメリカから60Hzの発電機を輸入したことによる。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 241, "tag": "p", "text": "発電所から一般の家庭などに送られる電流の周波数を商用周波数という。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 242, "tag": "p", "text": "商用電源の電圧振幅は約140Vである。これは 100 × 2 {\\displaystyle 100\\times {\\sqrt {2}}} [V]である。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 243, "tag": "p", "text": "キロヘルツとは1000Hzのことである。キロヘルツはkHzと書く。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 244, "tag": "p", "text": "交流電流に対しては、電流と同じ振動数で、アンペールの法則で発生する磁場も振動する。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 245, "tag": "p", "text": "導線でつくられたコイルは、直流電流では、ただの導線としてはたらく。しかし、交流電流に対しては、電磁誘導により自己の発生させた磁場を妨げるような電流および起電力が発生する。これを自己誘導(self induction)という。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 246, "tag": "p", "text": "自己誘導による起電力の大きさは、電流の時間変化率に比例する。自己誘導の起電力を式で書けば、比例係数をLとして、", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 247, "tag": "p", "text": "である。この比例係数 L {\\displaystyle L} を自己インダクタンス(self inductance)という。自己インダクタンスの次元は[V・S/m]だが、これをヘンリーという単位で表し、単位にHという記号を用いる。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 248, "tag": "p", "text": "鉄心に二つのコイルを巻き、コイルの片方の電流を変化させると、アンペールの法則によって生じていた磁束も変化するから、反対側のコイルには、この磁束密度の変化を打ち消すような向きに起電力が発生する。この現象を相互誘導(mutual induction)と言う。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 249, "tag": "p", "text": "電圧を入力させた側のコイルを1次コイル(primaly coil)と言い、誘導起電力を発生させる側のコイルを2次コイル(secondary coil)という。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 250, "tag": "p", "text": "相互誘導による起電力の大きさは、電流の時間変化率に比例する。相互誘導の起電力を式で書けば、比例係数をMとして、(相互誘導の比例係数はLでは無い。)式は、", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 251, "tag": "p", "text": "である。この比例係数 M {\\displaystyle M} を相互インダクタンス(self inductance)という。相互インダクタンスの次元は、自己インダクタンスの単位と同じでヘンリー(H)である。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 252, "tag": "p", "text": "この相互インダクタンスの大きさは、両方のコイルの巻き数どうしの積に比例する。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 253, "tag": "p", "text": "", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 254, "tag": "p", "text": "磁場の動きによって電場が引き起こされることを電磁誘導のセクションで見た。実際には電場の変化によって磁場が引き起こされることも知られている。これによって何もない空間中を電場と磁場が伝播していくことが予想される。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 255, "tag": "p", "text": "電磁波の速度を物理学者のマクスウェルが計算で求めたところ、電磁波の速度は、真空中では常に一定で、かつ波の速度cを計算で求めたところ、", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 256, "tag": "p", "text": "となり、既に知られていた光速に一致した。このことから、光は電磁波の一種であることが分かった。物理IIで、電磁波の速度を求める計算は、詳しくは扱う。読者が光速の測定実験について調べるなら、物理Iの波動に関するページなどでフィゾーの実験について、参照のこと。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 257, "tag": "p", "text": "波は波長λが長いほど、振動数fが小さくなる。波の波長λと振動数fの積fλは一定で、これは波の速度vに等しい。つまり", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 258, "tag": "p", "text": "である。電磁波の場合は、速度が光速のcなので", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 259, "tag": "p", "text": "である。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 260, "tag": "p", "text": "放送用のテレビやラジオの電波(でんぱ、radio wave)は、電磁波(electromagnetic wave)の一種である。波長が0.1mm以上の電磁波が電波に分類される。なお、電波のうち、波長が1mm~1cmのミリメートルの電波をミリ波という。同様に、波長が1cm~10cmの電波をセンチ波という。波長10cm~100cm(=1m)の電波はUHFと言われ、テレビ放送などに使われるUHF放送は、この電波である。波長1m~10mの電波はVHFと言われる。テレビ放送のVHF放送は、この電波である。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 261, "tag": "p", "text": "波長が0.1mm以下で、可視光線(可視光の最大波長は780ナノメートル程度)よりかは波長が長い電磁波は赤外線(せきがいせん、infrared rays、インフラレードレイズ)という。「赤」の「外」という理由は、可視光の最大波長の色が赤色だからである。赤外線そのものには色はついていない。市販の赤外線ヒーターなどが赤色に発光する製品があるのは、使用者が動作確認をできるようにするために、製品に赤色のランプを併置しているからである。赤外線は、物体に吸収されやすく、吸収の際、熱を発生するので、ヒーターなどに応用される。なお、太陽光にも赤外線は含まれる。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 262, "tag": "p", "text": "そもそも赤外線が発見された経緯は、イギリスの天文学者のハーシェルが太陽光をプリズムで分光した際に、赤色の光線のとなりの、目には色が見えない部分が温度上昇していることが発見されたという経緯がある。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 263, "tag": "p", "text": "", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 264, "tag": "p", "text": "我々、人間の目に見える可視光線(かしこうせん、visible light)の波長は、約780ナノメートルから約380ナノメートルの程度である。可視光の中で波長が最も長い領域の色は赤色である。可視光の中で波長が最も短い領域の色は紫色である。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 265, "tag": "p", "text": "光そのものには、色はついていない。我々、人間の脳が、目に入った可視光を、色として感じるのである。太陽光をプリズムなどで分光(ぶんこう)すると、波長ごとに軌跡(きせき)がわかれる。この分光した光線は、他の波長を含まず、ただ一種の波長なので、このような光線および光を単色光(monochromatic light)という。また、白色は単色光ではない。白色光(white light)とは、全ての色の光が混ざった状態である。同様に、黒色という単色光もない。黒色とは、可視光が無い状態である。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 266, "tag": "p", "text": "紫外線(しがいせん、ultraviolet rays)は化学反応に影響を与える作用が強い。殺菌消毒などに応用される。太陽光にも紫外線は含まれる。人間の肌の日焼けの原因は、紫外線がメラニン色素を酸化させるからである。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 267, "tag": "p", "text": "赤外線は太陽光のプリズムによる分光で発見された。「では、分光された紫色の光線のとなりにも、なにか目には見えない線があるのでは?」というふうなことが学者たちによって考えられ、ドイツの物理学者リッターにより化学的な実験方法を用いて、紫外線の存在も実証された。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 268, "tag": "p", "text": "医療用のレントゲンなどの透過写真で用いられるX線(X-ray)も電磁波の一種である。生物の細胞を分子レベルで傷つけ、発がん性が有る。ガンマ線(gamma‐ray、γ ray)も同様に、透過写真にも応用されるが、生物の細胞を分子レベルで傷つけ、発がん性が有る。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 269, "tag": "p", "text": "??", "title": "電磁波" } ]	高等学校理科物理I > 電気本項は高等学校理科物理Iの電気の解説である。	<small>[[高等学校物理]] > 電気</small> ---- 本項は[[高等学校物理]]の電気の解説である。 ==電気== ===生活の中の電気=== ====電気と生活==== 現在私たちが使っている多くの製品が電気を用いて動いている。これには様々な理由が考えられるが、まず第一に電気は様々な別のエネルギーに変換できること。例えば電熱線を使って熱に、電球や発光ダイオードを使って光に、モーターを使って運動に変換することが出来る。次に、電池やコンデンサを使ってエネルギーを維持したまま持ち運ぶことが出来ることや、電線を使って長距離を送電できること。また、電子製品の計算能力や信号の伝達能力が優れていること、また比較的に安全に少量のエネルギーが取り出せること、等が考えられる。 <!-- %(例えば、原子力を使ってお湯を沸かす人は % いないと思われる。) --> ====モーターと発電機==== 電気を運動に変えるものとしてモーターがある。これの逆のものとして、運動を電気に変えることも出来る。これを行なうのは発電機と呼ばれる。例えば、発電所は何らかの運動のエネルギーを利用して電気をおこしている。例えば、水力発電所では、水の落下する力を利用している。大量の水が落下するときには人間が何千人もかかってようやく出来ることがなされることがある。たとえば、切り立った海岸線などは主に水の流れによって作られている。このように、水の力は強大であるので、それを上手く利用する方法があると都合がよい。実際現代では電気を媒介として、その力を取りだすことに成功している。 <!-- %もっと工学的なことを書いた方がいいかも...。 % --> ====交流と電波==== 電池のように電極の+と-が定まった電流を直流電流と呼ぶ。一方、発電所から得られる電流のように +と-が速い速度で入れ換わる電流を交流電流と呼ぶ。実際にはダイオードを用いて交流を直流に変えて使うこともよく行なわれる。何もない空間を光が直進しているように見えることがある。実際にはこれは電波と同じものである。電波とは例えば、携帯電話の通信に使われるものであり、電荷を持った物体を動かすと、必然的に生じるものである。 == 静電気 == プラスチックの下敷きなどで髪をこすると帯電する現象などのように、物質が電気を帯びることを'''帯電'''（たいでん）という。物体をこすって発生させる静電気を'''摩擦電気'''という。ガラス棒を絹の布でこすると、ガラス棒は正の電気に帯電し、絹は負の電気に帯電する。電気の量を'''電荷'''（でんか、charge）という。あるいは'''電気量'''という。電荷の単位は'''クーロン'''である。クーロンの記号はCである。静電気による電荷どうしに働く力を'''静電気力'''という。なお、帯電していない状態を電気的に中性である、という。金属のように、電気を通せる物体を'''導体'''（どうたい、conductor）という。プラスチックやガラスやゴムのように電気を通さない物質を'''絶縁体'''（ぜつえんたい、insulator）あるいは'''不導体'''（ふどうたい）という。金属は導体である。電気の正体は'''電子'''（electron）という粒子である。この電子は負電荷を帯びている。（電子の電荷が負に定義されているのは、人類が電子を発見する前に電荷の正負の定義が行われ、あとから電子が見つかった際に電子の電荷を調べたら負電荷だったからである。） [[File:Metalic bond model.svg\|thumb\|400px\|金属中での自由電子の模式図]] 金属が導体なのは、金属中の電子は、もとの原子を離れて、その金属全体の中を自由に動けるからである。金属中の電子のように、物質中を自由に動ける状態の電子を、'''自由電子'''（じゆうでんし）という。電流とは、自由電子が移動することである。いっぽう、絶縁体は、自由電子をもたない。絶縁体の電子は、すべて、もとの原子に束縛（そくばく）されて閉じ込められていて、自由には動けない。正電荷とは、物質に電子が欠乏している状態である。負電荷とは、物質が電子を多く持っている状態である。帯電していない絶縁体の物質をこすりあわせて、両方を摩擦電気に帯電させた場合、片方は正電荷を生じ、もう片方の物質は負電荷を生じる。このとき、発生した正電荷の大きさと負電荷の大きさは同じである。これは、電子が移動して、片方の物質は電子が不足し、もう片方は等量の電子が過剰になっているからである。このように、電子は生成も消滅もしない。これを'''電荷保存則'''あるいは'''電気量保存則'''と言う。 === 静電誘導 === [[Image:Electrostatic induction.svg\|thumb\|upright=1.5\|導体は、近くの電荷によって表面に電荷が誘導される。物体内部の静電気力の大きさはゼロである。]] 電気的に中性であった導体の物質（仮に物質Aとする）に帯電した別の物質（仮に物質Bとする）を接触させずに近づけると、物質Aには、帯電物質Bの電荷に引き寄せられて、物体Aの内部で反対符号の電荷が帯電物体Bに近い側の表面に生じる。また、帯電物体Bと同じ電荷は反発するので、物体A内部の帯電物体Bとは遠い側の表面に生じる。このような現象を'''静電誘導'''（せいでんゆうどう;Electrostatic induction）という。静電誘導で生じた電荷の正電荷の量と負電荷の量は等量である。（電気量保存の法則）導体の内部に静電気力は無い。もしあったとすると、自由電子などの電荷が動き、電流が流れ続けることになるが、そのような現象は実在しないので不合理になる。したがって、導体の内部に静電気力は無い。表面に電荷が集まるのは、導体の内部に静電気力を作らせないためである。したがって静電誘導で引き寄せられる電荷の大きさは、外部から導体内部への静電気力を打ち消すだけの大きさである。この導体内部の電荷がゼロになる性質を応用すると、中空の導体で出来た物体を用いて、静電気力を遮蔽することができる。これを静電遮蔽（せいでんしゃへい、electric shilding）という。 === 誘電分極 === [[File:Pith ball electroscope operating principle.svg\|thumb\|300px\|誘電分極の概念図]] 絶縁体（仮にAとする）に電荷を近づけた場合は、導体とは違い、物体Aの内部の電子は自由に表面には集まれないが、物体内部の原子の正負の電荷の極性を持った部分が、外部の静電気力に引き寄せられるように、近づけた電荷に近い側には異種の電荷が生じ、遠い側には、同種の電荷が生じる。原子や分子が外部の静電気力によって、正負の電荷の部分が生じることを'''分極'''（ぶんきょく）といいい、外部の電化によって起こる、このような分極のしかたを'''誘電分極'''（ゆうでんぶんきょく、dielectric polarization）という。絶縁体は、静電気力にさらされると誘電分極を行うので、絶縁体のことを'''誘電体'''（ゆうでんたい、dielectric）ともいう。導体に静電誘導された正負の電荷は、導体を切断などをすれば正電荷と負電荷を別個に取り出すことができる。しかし誘電体の正負の電荷は、原子や分子と密接に結びついているため、正負の電荷を分かれて取り出すことは出来ない。 {{clear}} ==電場と磁場== ===電荷と電場=== ====電荷==== [[Image:Static repulsion.jpg\|thumb\|セロテープの同じ電荷による反発]] [[Image:Static attraction.jpg\|thumb\|セロテープの異電荷よる引き寄せ]] ある物質が電気を帯びている（帯電している）とき、その帯電の大小の程度を'''電荷'''（でんか、electric charge）という。さまざまな物質をいろいろな方法で帯電させた結果、電荷には、帯電した2個のものどうしを近づけた時に引っ張り合うもの（引力が働く）と反発しあうもの（斥力がはたらく）の2種類があることが分かった。このような、帯電している物体に働く力を'''静電気力'''という。べつの帯電したものを、他にもいくつか用意して、近づけて実験する2個の物体の組み合わせを変えると、組み合わせによって、2個の物体どうしに引力が働く場合もあれば、斥力が働く場合もあることが分かった。この引力と斥力の関係は、帯電した電荷の種類に応じることがわかった。 ==== 正電荷と負電荷 ==== 結論を言うと、電荷には正負の2種類がある。正の電荷どうしの物体を近づけたときは反発しあう。負の電荷どうしを近づけたときも反発しあう。正と負の電荷を近づけた時には引力が働く。つまり、同符号の電荷を近づけた場合は、反発力が生じる。異符号の電荷を近づけた場合は、引力が生じる。 {{clear}} ==== 静電気力 ==== [[File:Coulomb.jpg\|thumb\|150px\|クーロンの肖像。Charles Augustin de Coulomb]] [[Image:Bcoulomb.png\|thumb\|left\|300px\|クーロンが静電気力の測定に用いた、ねじり計り]] [[File:Coulomb torsion.svg\|thumb\|300px\|]] 静電気どうしの力の強さは、実験的には、電荷の間に働く力は、重力の場合と同様に力を及ぼし合う2物体の間の距離の2乗に反比例することが知られている。更に、電荷の大きさが大きいほど電荷間に働く力が大きいことも考慮すると、距離''r''だけ離れてそれぞれが電荷<math>q _1</math>、<math>q _2</math>を持っている2物体の間に働く力''F''は、 :<math> F = k\frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac 1 {4\pi\epsilon} \frac {q _1 q _2}{r^2} </math> で与えられる。これを'''クーロンの法則'''（ Coulomb's law）という。ここで、<math>k</math>は比例定数であり、両電荷の周囲にある物体の種類により変化する定数である。真空中での電場を考えた場合のkの値は、 :<math>k_0 = 9.0 \times 10^9 </math>[N・m<sup>2</sup>/C<sup>2</sup>]（クーロンの比例定数）である。また、<math>\epsilon</math>は後ほど登場する誘電率（ゆうでんりつ）と呼ばれる物理定数である。誘電率は、両電荷の周囲にある物体の種類により変化する定数である。誘電率については、この文を初めて読んだ段階では、まだ知らなくても良い。のちに物理IIで誘電率を詳しく解説する。誘電率<math>\epsilon</math>とクーロンの比例定数kには上式の関係 :<math>k= \frac 1 {4\pi\epsilon}</math> がある。物体のまわりに蓄積されるものを'''電荷'''と呼ぶ。電気力によって反発しあったり、引きつけあったりする物体を'''電荷を持つ'''物体と呼ぶ。また、ここで観察される静電気力を、'''クーロン力'''と呼ぶことがある。 2個の電荷どうしがおよぼす力は同じであり、したがって'''作用・反作用の法則'''に従っている。 [[Image:Coulombslawgraph.svg\|thumb\|center\|300px\|2個の点電荷の間に働く力の関係。<br>クーロンの法則によるとF1=F2となる。]] ここで、電荷の単位は<nowiki>[C]</nowiki>で与えられる。記号のCは「クーロン」と読む。 {{-}} ---- 例題 [[File:クーロンの法則例題1.svg\|thumb\|クーロンの法則例題1]] 図のように、2本の糸に、それぞれ同じ質量m［kg］で、同じ符号と大きさの電荷q［C］の球が、ぶらさがってる。これは、クーロン力で反発するので、図のように、糸が角度θをなす。このとき、質量mによる重力と、電荷qによるクーロン力との関係について、式を立てよ。なお、必要ならば、糸の張力はT［N］とすること。 {{-}} 解法 :[[File:クーロンの法則例題1 解法.svg\|thumb\|left\|400px\|クーロンの法則例題1 解法]] 図のような位置関係になるので、図のように式を立てればよい。 :※ このように、電気磁気学の問題では、図をきちんと書いて、解法を考える必要がある。数式だけで計算すると、立式ミスなどの原因になる。 {{-}} ---- ※ 上記の2本の糸にぶらさがった球のクーロン力の例題は、電気磁気学のどの入門書にもあるような典型的な問題であるので、読者はきちんと理解すること。 {{-}} ---- 問題例問題電荷<math>q _1</math>, <math>q _2</math>の間の距離がrの場合と2rの場合では、間に働く力の大きさはどちらがどれだけ大きいか答えよ。また、距離が2rの時の2点間の力の大きさを答えよ。解答クーロン力は、物体間の距離の逆2乗に比例するので、距離が2rの時は、rの時の大きさの<math>\frac 1 4</math>となる。また、働く力の大きさは、クーロン力の式を用いて、 :<math> f = \frac 1 {4\pi\epsilon _0} \frac {q _1 q _2}{4r^2} </math> となる。 ---- ====電場 ==== 既に、ある電荷Aのまわりの別の電荷Bには、その電荷からの距離の逆2乗に比例した力がかかることを述べた。 [[File:電場の重ね合わせ.svg\|thumb\|400px\|電場の重ね合わせ]] ここで、電荷Bが受ける力は、その電荷Bの大きさに比例することを合わせて考えると、その電荷Bの大きさにかかわらず、電荷Aの大きさだけで決まる量を導入しておくと都合がよい。ここで、そのような量として'''電場'''（でんば）を導入する。このとき、電場<math>\vec E</math>の中にある電荷<math>q</math>に働く力<math>\vec F</math>は、 :<math>\vec F = q \vec E</math> で与えられる。電場は単位電荷に働く力と考えることもでき、電場の単位は[N/C]である。「電場」は、「電界」（でんかい）とも呼ばれる。（日本の物理学では「電場」と呼ぶことが多く、また、日本の電気工学では「電界」と呼ばれることが多い。明治期の翻訳の際の、日本国内の業界ごとの違いに過ぎず、たんなる日本ローカルな都合であり、呼び方は物理の本質とは関係ないので、ここでは、どちらの表現を用いるかは、本書では特にこだわらない。英語では物理学・電気工学とも“electric field”で共通している。）上のクーロン力の結果と合わせると、電荷Aのまわりに別の電荷が存在しないとき、電荷<math>q</math>[C]の電荷がまとう電場<math>\vec E</math>は、 :<math>\vec E = \frac 1 {4\pi\epsilon _0} \frac {q}{r^2} \vec e _r</math> で与えられる。ただし、rは電荷からの距離であり、<math>\vec e _r</math>は、電荷とある点を結んだ直線上で、電荷と反対方向を向いた単位ベクトルである。電荷の回りの電場は、平面上で放射状のベクトルとなることに注意。 {\| \| [[File:VFPt minus thumb.svg\|150px\|thumb\|負電荷の周りの電場の向き]] \| [[File:VFPt plus thumb.svg\|150px\|thumb\|正電荷の周りの電荷の向き]] \|} 電場はベクトルである。電荷が2個あるときは、それぞれの電荷がつくる電場を、重ね合わせればよい。 :<math> \vec E = \vec {E_1} + \vec {E_2} </math> である。電荷が3個以上のときも、同様に重ね合わせれば良い。図のように、電荷から出る電場の方向を図示したものを'''電気力線'''（でんきりきせん、electric line of force）という。電荷が複数ある場合には、実際に新たに置かれた電荷が受ける力は、それらを足し合わせたものとなる。したがって、複数の電荷がある場合の周囲の電界は、それぞれの電荷が作る電界ベクトルの和となる（重ね合わせの原理）。 <!-- 電気力線 --> [[File:Camposcargas.PNG\|thumb\|left\|300px\|同符号の電荷どうし（左）を近づけた場合は反発しあう。異なる符号の電荷どうし（右）を近づけた場合は引き付け合う。]] [[File:VFPt dipole electric manylines.svg\|thumb\|center\|200px\|異符号の電荷どうしの場合の電気力線]] {{clear}} 電気力線を図示する場合は、正電荷から力線が出て、負電荷で力線が吸収されるように書く。力線は、電場を図示したものなので、電荷以外の場所では、力線が分岐することはない。力線が生成するのは正電荷の場所のみである。力線が消滅するのは、負電荷の場所のみである。言い換えれば、力線が電荷以外の場所で消滅することはないし、電荷以外の場所で力線が生成することはない。導体の内部の電場はゼロであった。言い換えれば、電気力線は、導体の内部には進入できない。 [[File:VFPt image charge plane horizontal.svg\|200px\|thumb\|電気力線は、導体の内部には進入できない。]] <!-- ガウスの法則 --> [[File:E FieldOnePointCharge.svg\|電気力線の分布]] 点電荷からは、図のように、放射状に電気力線が出る。クーロンの法則の係数にある :<math>\frac{1}{4 \pi \epsilon _0} \frac{q_1 q_2}{r^2}</math> のうちの、分母の <math>4 \pi r^2</math> は、球の表面積の公式に等しいので、電気力線の密度に比例して、電場の強さあるいは静電気力の強さが決まると考えられる。静電誘導では、導体内部には静電気力が働いていないのであった。これは、電場という概念を用いて言い換えれば、導体内部の電場はゼロである、と言える。 ====電位==== クーロン力は力（ちから）であるから、それに逆らって別の電荷を近づけた場合は、近づけた別の電荷は仕事をしたことになる。また、近づけた電荷を手放せば、クーロン力によって力を受け、仕事をすることになるから、近づいた状態にある別電荷は位置エネルギーを蓄えていることになる。したがって、クーロン力に対しても位置エネルギーを定義することができる。（なお、衛星軌道上の物体のような、地表から大きく離れた場所の重力も、クーロン力と同様に逆2乗力なので、ここで考えた計算手法は重力による位置エネルギーにも応用できる。重力加速度gを用いた力mgというのは地表近くでの近似にすぎない。）クーロン力による電場の定義では、単位電荷に対して電場を定義したのと同様、位置エネルギーに対しても、単位電荷に応じて定義できる量を導入すると都合がよい。このような量を'''電位'''（でんい、electric potential）と呼ぶ。電位の単位は'''ボルト'''という。電位を例えると、地表近くでの重力の位置エネルギーを考えた際の「gh」などに相当する量である。クーロン力の結果と、<math>q</math>[C]の電荷から距離''r''だけ離れた点の電位Vは、電場の積分計算で得られる。（積分をまだ習ってない学年の読者は、分からなくても気にせず、次の結果へと進んでください。）結果のみを記すと、 :<math>V=\frac{1}{4\pi\epsilon _0} \frac{q}{r}</math> となる。電位Vの点に''q''[C]の電荷を置いたとき、この電荷のクーロン力による位置エネルギー''U''[J]は、電位Vを用いれば、 :<math>U = qV</math> となる。したがって、電位<math>V_1</math>ボルトの点から電位<math>V_2</math>ボルトの位置へと電荷''q''[C]が静電気力を受けて移動するとき、静電気力のする仕事''W''[J]は :<math>W = q(V_2 - V_1)</math> となる。 {{-}} [[File:一様な電場.svg\|thumb\|500px\|一様な電場]] いっぽう、一様な電場においては、電位の式を、電場を用いて簡単に表すことができる。距離''d''だけ離れた平行平板電極の間に一様な電場<math>\vec E</math>が生じているとき、この電界の中に置いた電荷''q''は静電気力<math>q\vec E</math>を受ける。この電荷が電界の向きに沿って一方の電極から他方の電極まで移動するとき、電界のする仕事''W''は <math>W = qEd</math> となる。これより、2極板の電位差''V''は、 :<math>V=Ed</math> で表すことができることがわかる。式を変形して :<math>E= \frac{V}{d}</math> とすることもできる。ここで、単位を考えると、右辺は電圧を距離で割ったものであるから、電界の単位として[N/C]のほか[V/m]を用いることもできることがわかる。電位の単位は'''ボルト'''であり、この量は既に[[中学校理科]]などで扱った[[w:電圧\|電圧]]（でんあつ、voltage）の単位と'''同じ'''単位である。実際に電気回路に電圧をかけることは、回路中の電子に電場をかけて動かすことと'''等しい'''。静電誘導によって、導体内部の電場はゼロであった。このことから、導体の表面は、電位が等しい。導体表面は互いに等電位である。電位の基準は、実用上は、地面の電位をゼロに置くことが多い。電気回路の一部を大地につなぐことを接地（せっち）または'''アース'''（earth）という。回路をアースして、そのつないだ部分の電位をゼロと見なすことが多い。問題例問題直線上で距離0, b[m]の点に、電荷q, q'を持つ物体が置いてある。この時、位置a[m](a<b)の点の電位を求めよ。解答電位の式を用いればよい。電荷が複数あるときには、電位はそれぞれの電荷がつくり出す電荷の和になることに注意。答えは、 :<math>V = \frac{1}{4\pi\epsilon _0} (\frac{q}{a} + \frac{q'}{b-a})</math> となる。 ---- 導体表面は等電位なので、よって、電気力線は導体表面に垂直である。このことから、電気力線と電場は垂直である。電場が重ね合わせられるように、電位も重ね合わせられる。なぜなら電位とは、電場を考えてる経路にて積分したものであるから。学校のテストなどでは、電位の計算のさい、クーロン力の方向の勘違いなどによる計算ミスなどをふせぐため、電場を求めてから、それを積分して、電位を求めるのが、計算上は安全である。 == 静電誘導と誘電分極 == === コンデンサー === [[File:コンデンサー構造と原理.svg\|thumb\|400px\|コンデンサー]] '''コンデンサー'''（英:capacitor ,「キャパシタ」と読む）は、図のように、2枚の電極が向かいあい、回路中に電荷を蓄積できる部分を与える素子である。 [[File:コンデンサー充電の仕組み.svg\|thumb\|500px\|コンデンサーの充電の仕組み]] コンデンサーに電荷を蓄えることを'''充電'''（じゅうでん）という。コンデンサーから電荷を放出させることを'''放電'''という。コンデンサの両端にある電位Vが与えられたとき、コンデンサには、電位に比例する電荷Qが蓄積される。このとき、コンデンサの蓄積能力を記号で C とおいて、 :<math>Q=CV</math> としてCを取る。Cは'''静電容量'''（せいでんようりょう、electric capacitance）と呼ばれ、単位はF('''ファラド'''、farad)で与えられる。 1ファラドは実用上は大きすぎるので、10<sup>-12</sup>ファラドを単位にした1pF(ピコファラド)や、10<sup>-6</sup>ファラドを単位にした1μF(マイクロファラド)が使われることが多い。 {{-}} === 平行板コンデンサー === [[File:平行板コンデンサー電場.svg\|thumb\|400px\|平行板コンデンサーの電場]] 極板が平行なコンデンサーを平行板コンデンサーという。平行板コンデンサーの、極板どうしの電場は、一様な電場である。この平行板コンデンサーの静電容量Cの式は、後述する理由により、 :<math>C=\epsilon_0 \frac{S}{d}</math> で与えられる。ここで、Sは導体平面の面積であり、dは導体間の距離である。実験的にも、この静電容量の公式は、正しいことが確かめられている。平行板コンデンサーの静電容量の公式の導出ここで与えた静電容量は、'''平面上に電荷が一様に分布する'''との仮定で導かれる。このとき、導体間に生じる電界Eは、導体が持つ電荷をQ, -Qとした時、まず、極板の電荷密度が、極板のどこでも一定だと仮定して（そのためには、コンデンサーの広さ（つまり面積）が、じゅうぶんに広いと仮定する必要がある。ともかく、このような仮定により、電荷密度は）、 :電荷密度＝<math>Q/S</math>［C/m<sup>2</sup>］である。電気力線の性質として、プラスの電荷から生じてマイナスの電荷で吸収されるので、よって平行板コンデンサー間の電気力線の分布は、図のように、電気力線が、プラス極板から垂直に、マイナス極板へ向かって電気力線が出て、そしてマイナス極板に電気力線が吸収される。電場は、導体間の各点で、 :<math>E = \frac{Q/S}{\epsilon _0} =\frac{Q}{\epsilon _0 S}</math> で与えられる。電場が求められたので、ここから電位を計算できる。導体間の各点で電場の大きさが均一なので、電位の大きさは電場の大きさに2点間の距離をかけたものになる。ここで、電位Vは、 :<math>V=Ed=\frac{d}{\epsilon_0S}Q</math> となるが、この式と静電容量Cの定義を見比べると、 :<math>C=\epsilon_0\frac{S}{d}</math> が得られる。 == 電池の仕組み == 電池の化学反応については、別科目の化学Iなどで詳しく扱われる。この章では、電圧や電流の理解に関わる点を重点的に説明したい。 === イオン化傾向 === 金属元素の単体を水または水溶液に入れたときの、陽イオンのなりやすさを'''イオン化傾向'''（ionization tendency）という。例として、亜鉛Znを希塩酸HClの水溶液に入れると、亜鉛Znは溶け、また亜鉛は電子を失ってZn<sup>2+</sup>になる。 :Zn + 2H<sup>+</sup> → Zn<sup>2+</sup> + H<sub>2</sub> 一方、銀Agを希塩酸に入れても反応は起こらない。このように金属のイオン化傾向の大きさは、物質ごとに大きさが異なる。 === 電池 === 二種類の金属単体を電解質水溶液に入れると電池ができる。これは[[イオン化傾向]]（単体の金属の原子が水または水溶液中で電子を放出して陽イオンになる性質）が大きい金属が電子を放出して陽イオンとなって溶け、イオン化傾向の小さい金属が析出するためである。イオン化傾向の大きい方の金属を'''負極'''（ふきょく）という。イオン化傾向の小さい方の金属を'''正極'''（せいきょく）という。イオン化傾向の大きい金属のほうが、陽イオンになって溶け出す結果、金属板には電子が多く蓄積するので、両方の金属板を銅線でつなげば、イオン化傾向の大きい方から小さい方に電子は流れる。「電流」では無く、「電子」といってることに注意。電子は負電荷であるので、電流の流れと電子の流れは、逆向きになる。 === イオン化列 === さまざまな溶液や金属の組み合わせで、イオン化傾向の比較の実験を行った結果、イオン化傾向の大きさが決定された。左から順に、イオン化傾向の大きい金属を並べると、以下のようになる。 : K > Ca > Na > Mg > Al > Zn > Fe > Ni > Sn > Pb > (H<sub>2</sub>) > Cu > Hg > Ag > Pt > Au 金属を、イオン化傾向の大きさの順に並べたものを金属の'''イオン化列'''という。水素は金属では無いが比較のため、イオン化傾列に加えられる。金属原子は、上記の他にもあるが、高校化学では上記の金属のみのイオン化列を用いることが多い。イオン化列の記憶のための語呂合わせとして、「貸そうかな、まあ、あてにすな、ひどすぎる借金。」などのような語呂合わせがある。ちなみにこの語呂合わせの場合、「KかそうかCa なNa、まMg あAl、あZn てFe にNi すなPb、ひH2 どCu すHg ぎAg る借金Pt,Au。」と対応している。 === ボルタ電池 === :希硫酸H<sub>2</sub>SO<sub>4</sub>の中に亜鉛板Znと銅板Cuを入れたもの。負極（亜鉛板）での反応 :Zn → Zn<sup>2+</sup> + 2e<sup>-</sup> 正極（銅板）での反応 :2H<sup> + </sup> + 2e<sup>-</sup> → H<sub>2</sub>↑ ==== 起電力 ==== ボルタの電池では、得られる両極間の電位差（「電圧」ともいう。）は、1.1ボルトである。(ボルトの単位はVなので、1.1Vとも書く。)この両極板の電位差を'''起電力'''という。起電力は、両電極の金属の組み合わせによって決まり物質固有である。起電力の単位のボルトは、静電気力の電位の単位のボルトと'''同じ'''単位である。電気回路の電圧のボルトとも、起電力の単位のボルトは同じ単位である。 === 電池図 === ボルタ電池の構造を以下のような文字列に表した場合、このような表示を'''電池図'''あるいは'''電池式'''という。 :(-) Zn \| H<sub>2</sub>SO<sub>4</sub>aq \|Cu (+) aqは水のことである。H<sub>2</sub>SO<sub>4</sub>aqと書いて、硫酸水溶液を表している。 ;電気回路との関連事項物理学の電気回路の研究では、このような電池などの現象の発見と発明によって、安定な直流電源を実験的に得られるようになり、直流電気回路の正確な実験が可能になった。電池の発明以前にも、フランス人の物理学者クーロンなどによる静電気による電気力学の研究などによって、電位差の概念や電荷の概念はあった。だが、この時代の電源は、主に静電気によるものだったので、安定電源では無かった。そして、電池による安定な電源の発明は、同時に安定な電流の発明でもあった。このような電池の発明などによる、直流電気回路の研究などから、ドイツ人の物理学者オームが、さまざまな導体に電流を流す実験と理論研究を行うことにより、電気回路の理論の'''オームの法則'''（オームのほうそく、Ohm's law）が発見された。 [[File:Thermocouples diagram.svg\|thumb\|熱電対の原理。ある組み合わせの金属AとBで、図のように2つの接点に異なる温度を与えると、電流が流れる。]] じつはオームは電池ではなく熱電対（ねつでんつい）というものを使って、電気回路に安定した電流をながす研究をした。当時の電池では、起電力がしだいに減ってしまい、オームは当初は電池で実験したが、うまく安定電流を得られなかった。熱電対とは、まず異なる金属材料の2本の金属線を接続して１つの回路をつくり、2つの接点に温度差を与えると、回路に電圧が発生するため電流が流れる（この現象を、ゼーベック効果という）。この現象じたいは、1821年にゼーベックが発見した。このような回路が、熱電対である。なお、同じ2本の金属線では、温度差を与えても電圧は発生せず、電流は流れない。オームは、ベルリン大学教授ポッケンドルフの助言によって、この熱電対を実験に利用した。温度を安定させるのは、当時の技術でも比較的簡単であったので、こうしてオームは安定電流をもちいる実験ができたのである。 :※ 熱電対については、高校の範囲を超えるし、大学入試にも出題されないだろうし、大学の授業でもあまり深入りしないので、分からなければ、気にしなくてよい。 :※ 実は啓林館の『科学と人間生活』で熱電対（啓林館の教科書では「熱電素子」と記述）について、熱の物理の単元で説明している。ただし、さすがにオームの法則の実験との関連までは説明してないが・・・。 ;オームの法則との関係オームの法則（Ohm's law）とは、「ほとんどの導体では、電流 I が流れている導体中の2点の点 <math>P_1</math>と点 <math>P_2</math> 間の電位差 <math>E = E_1 - E_2</math> は、電流 I に比例する。」という実験法則である。誤解されやすいが、オームの法則は、このような実験法則であって、べつに抵抗の定義式では無い。同様に、オームの法則は、べつに電圧の定義式では無いし、電流の定義式でも無い。中学校の理科での電気回路の教育では、金属の電気分解の起電力の教育まではしないので、ともすれば、電圧を誤解して、「電圧は、単なる電流の比例量で、抵抗はその比例係数」のような誤解する場合が有りうるが、その解釈は明らかに誤解である。また、半導体などの一部の材料では、電流が増え材料の温度が上昇すると抵抗が下がる現象が知られているので、半導体ではオームの法則が成り立たない場合がある。なので、オームの法則を定義式と考えるのは不合理である。 == 電流と電気回路 == [[Image:Wheatstonebridge.svg\|right\|thumb\|300px\|alt=A Wheatstone bridge has four resistors forming the sides of a diamond shape. A battery is connected across one pair of opposite corners, and a galvanometer across the other pair. \|電気回路の例。読者が、この図の意味が分かるようになるのが、本節の目標の一つである。ちなみに「ホイットストン・ブリッジ」（Wheatstone bridge）という回路である。<br>R1やR2、R3、Rxは抵抗。V<sub>G</sub>を丸で囲っている記号は電圧計。<br>A、B、C、Dは単なる回路の合流している接点。]] 導線などの導体内の電気の流れを'''電流'''（でんりゅう、electric current）という。電流の強さは'''アンペア'''という単位で表す。1アンペアの定義は次の通りである。 1秒間に1クーロン（記号C）の電流が通過することを1'''アンペア'''という。アンペアの記号はAである。また、電流は、単位時間あたりの電荷の通過量でもあるので、電流の単位を[C/s]と書く場合もある。一般的には、電流の単位は、なるべく[A]で表記することが多い。電流I[A]と時間t[S]で導線断面を通過する電荷Q[C]の関係を式で表すと、 :<math>I=\frac{Q}{t}</math> である。電流の向きの取り方については、自由電子は負電荷を持っているから、自由電子の向きとは反対向きに電流の向きをとることに注意せよ。次に電流と自由電子の速度との関係を考える。自由電子の電荷の絶対値をeとすると、自由電子は負電荷であるから、自由電子の電荷はマイナス符号がつき-eである。 === オームの法則 === ドイツ人の物理学者オームは次のような法則を発見した。「ほとんどの導体では、電流 I が流れている導体中の2点の点 <math>P_1</math>と点 <math>P_2</math> 間の電位差 <math>E = E_1 - E_2</math> は、電流 I に比例する。」この実験法則を'''オームの法則'''（Ohm's law）という。式で表すと、電位差をVとして、電流をIとした場合に、比例係数をRとして、 :V=RI である。ここで、電位と電流の比例係数Rを'''電気抵抗'''あるいは単に'''抵抗'''（resistance、'''レジスタンス'''）という。電気抵抗の単位はオームと言い、記号はΩで表す。慣習的に、抵抗の記号はRであらわす場合が多い。 === 電気回路 === [[File:Ohm's Law with Voltage source TeX.svg\|right\|thumb\|電気回路図の例。電源は交流電源。vが電圧。Rが抵抗。iは電流。]] 電気回路へエネルギーを供給する電源として定電圧の直流電源を考える。回路の2地点間にある一定の電圧を供給し続けるものである。電圧源の回路図記号としては[[File:Cell.svg\|30px\|電圧源]]が用いられる。記号の長い側が正極であり、プラスの電位である。記号の短い側は負極である。乾電池は、直流電源として取り扱って良い。なお、これらは直流電源である。交流の場合は一般化した電圧源として[[File:Voltage Source.svg\|30px\|交流電圧源]]の記号を用いる。また特に正弦波交流電圧源であれば[[File:Voltage Source (AC).svg\|30px\|正弦波交流電圧源]]の記号を用いる。 ==== 抵抗器 ==== [[File:3 Resistors.jpg\|thumb\|抵抗]] '''抵抗器'''(resistor)は、通常は単に'''抵抗'''と呼ばれる回路素子であり、与えられた電気エネルギーを単純に消費する素子である。回路図記号は[[File:Resistor symbol America.svg\|60px\|抵抗]]あるいは[[File:Resistor symbol IEC.svg\|60px\|負荷]]であるが、本書では、両者とも抵抗の回路図記号として用いることにする。（画像素材の確保の都合のため、両方の記号が本書では混在します。ご容赦ください。） {{clear}} ===== 抵抗器の図記号 ===== 日本では、抵抗器の図記号は、従来はJIS C 0301（1952年4月制定）に基づき、ギザギザの線状の図記号で図示されていたが、現在の、国際規格のIEC 60617を元に作成されたJIS C 0617（1997-1999年制定）ではギザギザ型の図記号は示されなくなり、長方形の箱状の図記号で図示することになっている。旧規格であるJIS C 0301は、新規格JIS C 0617の制定に伴って廃止されたため、旧記号で抵抗器を図示した図面は、現在ではJIS非準拠な図面になってしまう。しかし、拘束力は無いため、現在も従来の図記号が多用されている。 <gallery> ファイル:Resistor_symbol_America.svg\|従来規格の図記号ファイル:Resistor_symbol_IEC.svg\|新規格の図記号 </gallery> ==== 電気回路図記号の例 ==== <gallery> ファイル:固定抵抗器.svg\|固定抵抗器 File:Variable resistor as rheostat symbol GOST.svg\|可変抵抗器ファイル:電池.svg\|電池、直流電源（長い方が正極） File:Voltage Source (AC).svg\|交流電源ファイル:SPST-Switch.svg\|スイッチファイル:コンデンサ.svg\|コンデンサ File:Inductor h wikisch.svg\|コイル File:Symbole amperemetre.png\|電流計 File:Symbole voltmetre.png\|電圧計 File:Earth Ground.svg\|接地ファイル:Fuse.svg\|ヒューズ </gallery> ==== 直列と並列 ==== 複数の回路素子が1つの線上に配置されているような接続を'''直列接続'''といい、複数の回路素子が二股に分かれるように配置されている接続を'''並列接続'''という。直列接続においては、それぞれの回路素子に流れる電流は全て等しい。一方、並列接続においてはそれぞれの回路素子の両端にかかる電圧が全て等しい。また、直列接続においてはそれぞれの回路素子にかかる電圧の和が全電圧となり、並列接続においてはそれぞれの回路素子を流れる電流の和が全電流となる。 ==== 直列での合成抵抗 ==== 抵抗が複数接続されている場合、その複数の抵抗をまとめてあたかも1つの抵抗が接続されているかのような等価的な回路を考えることができる。複数の抵抗と等価な1つの抵抗を'''合成抵抗'''という。 [[ファイル:Resistors in series.svg\|thumb\|直列抵抗]] 抵抗が''n''個直列に接続されている場合を考える。抵抗<math>R_1, R_2, \cdots, R_n</math>が直列に接続されている場合、各抵抗を流れる電流は等しく、これを''i''とする。各抵抗<math>R_k (k = 1, 2, \cdots, n)</math>にかかる電圧を<math>v_k</math>とすると、オームの法則より :<math>v_k = R_ki (k = 1, 2, \cdots, n)</math> が成り立つ。このとき直列抵抗の両端の電圧''v''は、 :<math>v = \sum_{k=1}^n v_k = \sum_{k=1}^n R_k i = i\sum_{k=1}^n R_k</math> である。これと等価な抵抗''R''が1つだけ接続されているような等価回路を考えるとき、 :<math>v = Ri</math> が成り立つから、したがってこれらの''n''個の直列抵抗の合成抵抗''R''として :<math>R = \sum_{k=1}^n R_k</math> を得る。すなわち、直列合成抵抗は各抵抗の総和となる。 ==== 並列での合成抵抗 ==== [[ファイル:Resistors in parallel.svg\|thumb\|並列抵抗]] 同様に、抵抗が''n''個並列に接続されている場合を考える。抵抗<math>R_1, R_2, \cdots, R_n</math>が並列に接続されている場合、各抵抗の両端の電圧は等しく、これを''v''とする。各抵抗<math>R_k (k = 1, 2, \cdots, n)</math>を流れる電流を<math>i_k</math>とすると、オームの法則より :<math>v = R_ki_k (k = 1, 2, \cdots, n)</math> が成り立つ。このとき並列抵抗へ流れ込む電流''i''は、 :<math>i = \sum_{k=1}^n i_k = \sum_{k=1}^n \frac{v}{R_k} = v\sum_{k=1}^n \frac{1}{R_k}</math> である。これと等価な抵抗''R''が1つだけ接続されているような等価回路を考えるとき、 :<math>v = Ri</math> が成り立つから、したがってこれらの''n''個の並列抵抗の合成抵抗''R''として :<math>\frac{1}{R} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{R_k}</math> を得る。すなわち、並列合成抵抗の逆数は各抵抗の逆数の総和となる。 ==== 電力 ==== 抵抗Rを電流Iが流れるとき、その部分の発熱のエネルギーは、1秒あたりにRI<sup>2</sup>[J/s]である。これを'''ジュール熱'''という。名前の由来は物理学者のジュールが調べたからである。オームの法則より、V=RIでもあるので、ジュール熱はVIとも書ける。そこで、ひとまず、熱の考察には離れて、次の量を定義する。電気回路のある2点間を流れる電流Iと、その２点間の電圧Vとの積VIを'''電力'''（power）と定義する。電力の記号はPで表わされることが多い。電力の単位のジュール毎秒[J/s]を[W]という単位で表し、この単位Wはワット（Watt）と読む。つまり電力は記号で :P[W]=VI である。 ==== 抵抗率 ==== 導線の太さや長さによって抵抗の大きさは変わる。直感的に太いほうが流れやすいのは分かるだろう。それに並列接続と対応させても、導線が太いほうが流れやすいのは分かるだろう。実際に電気抵抗は、導線が太いに反比例して小さくなることが実験的に確認されている。そこで、つぎのような式においてみよう。抵抗をR[Ω]とした場合、導線の太さを面積で表しA[m<sup>2</sup>]とすれば、比例定数にkを用いれば、 :R ∝ 1/A である。（ ∝は、比例関係を表す数学記号。）さらに、導線は材質や太さが同じならば、導線が長いほど抵抗が、長さに比例して抵抗が大きくなることが、確認されている。そこで、さらに、抵抗体の長さを考慮した式に表してみれば、次のようになる。抵抗帯の長さを''l''[m]とすれば :R ∝ L/A である。さらに、導線の材質によって、抵抗の大きさは変わる。同じ長さで同じ太さの抵抗でも、材質によって抵抗の大きさは異なる。そこで、材質ごとの比例定数をρとおけば、抵抗の式は以下の式で記述される。 :<math>R=\rho \frac{l}{A}</math> ρは'''抵抗率'''（ていこうりつ、resistivity）と呼ばれる。抵抗率の単位は[Ωm]である。 == 磁力 == === 磁場 === [[File:Magnetic field near pole.svg\|thumb\|right\|200px\|棒磁石の周りに方位磁針を置いて磁場の向きを調べる。]] 磁石のまわりには別の磁石を動かす力のもととなるものが生じている。これを'''磁場'''（じば、magnetic field）あるいは'''磁界'''（じかい）と呼ぶ。（日本の物理学では磁場と呼ぶことが多く、また、日本の電気工学では磁界と呼ばれることが多い。明治期の訳語の際の、日本国内の業界ごとの違いに過ぎず、地域社会的な事象であり、呼び方は物理の本質とは関係ないので、ここでは、どちらの表現を用いるかは、本書では特にこだわらない。英語では物理学・電気工学とも“magnetic field”で共通している。）鉄やコバルトやニッケルに磁石を近づけると、磁石に吸い付けられる。また、鉄やコバルトやニッケルに強い磁化を与えると、鉄やコバルトやニッケルそのものが磁場を周囲に及ぼすようになる。このような、もともとは磁場を持たなかった物体が、強い磁場を受けたことによって磁場を及ぼすようになる現象を'''磁化'''（じか、magnetization）という。あるいは電荷の静電誘導と対応させて、磁化のことを'''磁気誘導'''（じきゆうどう、magnetic induction）ともいう。そして、鉄やコバルトやニッケルのように、磁石に引き付けられ、さらに磁化をする能力がある物体を'''強磁性体'''（きょうじせいたい、ferromagnet）という。鉄とコバルトとニッケルは強磁性体である。銅は磁化しないし、銅は磁石に引きつけられないので、銅は強磁性体ではない。 ;磁気遮蔽静電誘導を利用した、静電遮蔽（せいでんしゃへい）と言われる、中空の導体をつかって物質を囲むことで外部電場を遮蔽する方法があったのと同様の、磁気の遮蔽が、強磁性体でも出来る。中空の強磁性体を用いて、強磁性体の内部は磁場を遮蔽できる。これを'''磁気遮蔽'''（じきしゃへい、magnetic shielding）という。磁気シールドともいう。 ==== 磁力線 ==== 磁場の向きが分かるように図示しよう。磁石の作る磁場の方向は、砂に含まれる砂鉄の粉末を磁石に、ちりばめて、ふりかけることで観察できる。 [[File:Magnet0873.png\|left\|300px\|砂鉄による磁力線の観察]] {{clear}} これを図示すると、下図のようになる。（画像素材の確保の都合上、写真と図示とでは、N極とS極が逆になっています。ご容赦ください。） [[File:VFPt cylindrical magnet.svg\|thumb\|left\|300px\|磁力線の図示]] このような磁場の図を'''磁力線'''（じりょくせん、magnetic line of force）という。磁力線の向きは、磁石のN極から磁力線が出て、S極に磁力線が吸収されると定義される。棒磁石では、磁力の発生源となる場所が、棒磁石の両端の先端付近に集中する。そこで、棒磁石の両端の先端付近を'''磁極'''（じきょく、magnetic pole）という。このような磁石のつくる磁力線の形は、電気力線での、異符号の電荷どうしがつくる電気力線に似ている。 [[File:VFPt dipole electric manylines.svg\|thumb\|center\|200px\|異符号の電荷どうしの場合の電気力線]] 1つの棒磁石ではN極（north pole）の磁気の強さと、S極（south pole）の磁気の強さは等しい。また、磁石には、必ずN極とS極とが存在する。N極とS極の、どちらか片方だけを取り出すことは出来ない。たとえ棒磁石を切断しても、切断面に磁極が出現する。このような現象のおこる理由は、そもそも棒磁石を構成する強磁性体の原子の1個ずつが小さな磁石であり、それら小さな原子の磁石が、いくつも整列して、大きな棒磁石になっているからである。仮想的に、磁極がS極またはN極の片方だけ現れた現象を理論計算のために考えることがあるが、このような片側だけの磁極を'''単磁極'''（'''モノポール'''という。）というが、'''単磁極は実在しない'''。 {{clear}} 棒磁石などからの、片側の磁極あたりの、磁極からの磁場の強さのことを、そのまま「磁極の強さ」（Magnetic charge）と呼ぶ。あるいは'''磁荷'''（じか、magnetization）や'''磁気量'''という。これから、この磁化と磁場の関係を式で表すことを考える。まず、棒磁石には磁極が両側に2個あるので、計算を簡単にするために、棒磁石の両端の距離が大きく、反対側の磁極の大きさを無視できる磁石を考えよう。このような磁石を用いて、実験したところ、次の法則が分かった。磁力の強さは2個の物体の磁気量m<sub>1</sub>およびm<sub>2</sub>に比例し、2個の物体間の距離rの2乗に反比例する。式で表すと、 :<math>f = k_m \frac{q_1 q_2}{r^2}</math> で表される。（k<sub>m</sub>は比例定数）これを発見者のクーロンの名にちなんで、'''磁気に関するクーロンの法則'''という。磁気量mの単位は'''ウェーバ'''といい、記号は[Wb]で表す。比例定数k<sub>m</sub>と1ウェーバの大きさとの関係は、1メートル離れた1wbどうしの磁極にはたらく力を約6.33×10<sup>4</sup>として、比例係数k<sub>m</sub>は、 :k<sub>m</sub>≒6.33×10<sup>4</sup>　[N・m<sup>2</sup>/Wb<sup>2</sup>] である。つまり、 :<math>f = k_m \frac{m_1 m_2}{r^2} = 6.33\times10^4 \frac {m_1 m_2}{r^2}</math> である。 ==== 磁場の式 ==== 静電気力に対して、電場が定義されたように、磁気力に対しても、場が定義されると都合が良い。磁気量m<sub>1</sub>[Wb]が作る、次の量を'''磁場の強さ'''あるいは'''磁場の大きさ'''と言い、記号はHで表す。 :<math>H = k_m \frac{m_1}{r^2} = 6.33\times10^4 \frac {m_1}{r^2}</math> 磁場の強さHの単位は[N/Wb]である。Hを用いると、磁気量m<sub>2</sub>[Wb]にはたらく磁気力f[N]は、 :<math>f = m_2H</math> と表せる。 == 電流がつくる磁場 == ===アンペールの法則=== [[Image:Electromagnetism.svg\|thumb\|right\|電流の方向と磁束密度の方向の関係.<br>磁束の向きは、右ねじの法則の向きである。.]] 物理学者のエルステッドは、電流の実験をしている際に、たまたま近くにおいてあった方位磁石が動くのを確認した。彼が詳しく調べた結果、以下のことが分かった。電流が流れているときには、そのまわりには、磁場が生じる。向きは、電流の方向に右ねじが進むように、右ねじを回す向きと同じなので、これを'''右ねじの法則'''という。アンペールが、磁場の大きさを調べた結果、磁場の大きさHは、電流I[A]が直線的に流れているとき、直線電流の周りの磁場の大きさは、導線からの距離をa[m]とすると、磁場の大きさH[N/Wb]は、 :<math>H=\frac{1}{2\pi a}I</math> であることが知られている。これを'''アンペールの法則'''(Ampere's law) という。磁場の大きさHの単位は、[N/Wb]であるが、いっぽうアンペールの法則の式をみればアンペア毎メートル[A/m]でもある。 ;電磁石 [[File:Simple electromagnet2.gif\|thumb\|電磁石の例.]] [[画像:VFPt Solenoid correct.svg\|thumb\|right\|電磁石コイルにより発生した磁界（断面図）]] 導線をコイル状に巻けば、アンペールの法則で導線の周囲に発生する磁場が重なりあう。このようにした磁場を強めたコイルを'''電磁石'''（でんじしゃく、electromagnet）という。導線に電流を流しているときにのみ、電磁石は磁場を発生する。導線に電流を流すのを止めると、電磁石の磁場は消える。 === 磁束密度 === 磁場の大きさHに、次の節で扱うローレンツ力の現象のため、比例係数μ（単位はニュートン毎アンペアで[N/A<sup>2</sup>]）を掛けて、記号Bで表し、 :B=μH とすることがある。この量Bを'''磁束密度'''（magnetic flux density）という。磁場の大きさHの向きと磁束密度Bの向きは'''同じ向き'''である。また、磁場の大きさHと磁束密度Bの比例係数を'''透磁率'''（とうじりつ、magnetic permeability）という。（ローレンツ力に関しては、詳しくは物理IIで扱う。読者が物理Iを学ぶ学年ならば、読者は「ローレンツ力という力があるのだな・・・」とでも思っておけばいい。） == ローレンツ力 == [[File:Lorentzkraft-graphic-part1.PNG\|thumb\|ローレンツ力の向き。電荷で考えた場合。<br>速度vから磁束密度Bに右ねじを回した向きがローレンツ力Fの向き。]] [[File:Lorentzkraft-graphic-part2.PNG\|thumb\|ローレンツ力の向き。<br>電流Iから磁束密度Bに右ねじを回した向きがローレンツ力Fの向き。]] まず、導線を用意したとしよう。この導線は、静止しているとして、静止しているが、固定はせずに、もし導線に力が加われば、導線が動けるようにしてるとしよう。この導線に電流を流しただけでは、べつに導線は動かない。しかし、この導線に、外部の磁石による磁場が加わると、導線が動く。このような、磁場と電流の相互作用によって、導線に生じる力を'''ローレンツ力'''（ローレンツりょく、英: Lorentz force）という。ローレンツ力の向きは、導線の電流の向きと磁場の向きに垂直である。電流Iの向きから磁束密度Bの向きに右ねじを回す向きと同じである。また、ローレンツ力の大きさは、導線の長さ''l''と、磁場の導線との垂直方向成分に比例する。ローレンツ力の大きさF[N]を式で表せば、電流と磁場とが垂直だとして、磁場を受けている導線の形状が直線形だとして、電流をI[A]として、導線の長さを''l''[m]として、導線にかかっている外部磁場の磁束密度をB[N/(A・m)]とすれば、 :<math>F=IBl</math> で表せる。ローレンツ力の公式に、クーロンの法則などでは見られたような比例係数（係数Kなど。）が含まれないのは、そもそも、このローレンツ力の現象を元に、磁気量ウェーバWbの単位および磁束密度Bの単位が、決定されているからである。また、「磁束密度」の名称が、「磁束」・「密度」というのは、実は磁束密度の単位の[N/(A・m)]は、単位を式変形すると[Wb/m<sup>2</sup>]でもあることが由来である。この単位[Wb/m<sup>2</sup>]を、電気工学者のテスラの名にちなみ、単位[Wb/m<sup>2</sup>] を'''テスラ'''と言い、記号Tで表す。 :[T]=[Wb/m<sup>2</sup>] このローレンツ力の現象が、電気機器のモータ（電動機）の原理である。 ;フレミングの法則は電磁気計算では用いないなお、「フレミングの法則」というローレンツ力に関する法則があるが、ローレンツ力の計算には実用的では無いし、フレミングの名を関した異なる法則が幾つもあって紛らわしく間違いの原因になりやすいので、本書では教えない。実際に、専門的な物理計算では、フレミングの法則は、計算には用いない。しかも、フレミングの法則には「フレミングの右手の法則」と、これとは異なる「フレミングの左手の法則」があり、どちらが、どの磁気の現象に用いる法則だったのかを間違えやすい。だから、本書では教えない。 {{clear}} ==電磁誘導== （電磁誘導に関しては、詳しくは物理IIで扱う。）アンペールの法則では、電流の周りに磁場ができるのであった。 :では逆に、磁場を用いて電流を起こすような現象はあるだろうか？実は、磁石を動かすなどして、磁場を伴う物体が運動すると、そのまわりには電場が生じる。仮に、コイルの近くでそれを行なったとすると、生じた電場によってコイルの中には電流が流れる。生じる電場の大きさは、 :<math>\vec E = \frac 1 {2\pi a} \frac {\Delta \vec B}{\Delta t}</math> となる。(半径aの円形のコイルの場合。) Eの単位は[V/m]であり、Bの単位は[T]である。この現象を'''電磁誘導'''（でんじゆうどう、electromagnetic induction）といい、電磁誘導によって発生した電流を'''誘導電流'''という。また、誘導電流の向きは、磁石の動きによる、コイルの中を通る磁束の変化を妨げる向きに、電流が流れる。（誘導電流もアンペールの法則に従い、周囲に磁場を作る。）この誘導電流が、コイルの中を通る磁束の変化を妨げる向きに誘導電流が流れる現象を'''レンツの法則'''（Lenz's law）という。同じ領域に''N''回巻かれたコイルが置かれた場合、ファラデーの電磁誘導の法則は、次のようになる。 : <math>\mathcal{E} = - N{{d\Phi_B} \over dt}</math> ここで、<math>\mathcal{E}</math>は起電力（ボルト、記号はV）、Φ<sub>B</sub> は磁束（ウェーバ、記号はWb）とする。''N''は電線の巻数とする。この電磁誘導の現象が、火力発電や水力発電などの発電機の原理である。これ等の発電では、永久磁石を回転させることで、発電をしている。火力や水力というのは、機器の回転を得る手段にすぎない。また、発電所の発電には、永久磁石の回転を利用しているため、発生する電圧や電流は周期的な波形になり、次に説明する交流波形になる。 == 交流回路 == [[File:Waveforms.svg\|thumb\|400px\|交流波形の例。<br>上から順に、<br>正弦波、<br>方形波、<br>三角波、<br>のこぎり波。]] 回路への入力電圧が周期的に時間変化する回路の電圧および電流を'''交流'''（alternating current）という。これに対し、乾電池などによって発生する電圧や電流のように、時間によらず一定な電圧や電流は'''直流'''（direct Current）という。交流波形が何秒で1周するかという時間を'''周期'''(wave period)という。周期の記号は<math>T</math>で表し単位は秒[s]である。 :<math>f = \frac{1}{T}</math> 1秒間に波形が何周するかという回数を'''周波数'''あるいは'''振動数'''(英語は、ともにfrequency)という。電気の業界では周波数という用語を用いることが多い。物理の波の理論では振動数という表現を用いることが多い。周波数の単位は[1/s]であるが、これを'''ヘルツ'''（hertz）という単位で表し、単位記号'''Hz'''を用いて周波数fを、f[Hz]というふうに表す。交流電流や交流電圧が正弦波の場合は、これらのパラメータを用いて :<math>i(t) = I_0\sin(2\pi ft + \theta_i) = I_0\sin\left(\frac{2\pi}{T}t + \theta_i\right)</math> :<math>v(t) = V_0\sin(2\pi ft + \theta_v) = V_0\sin\left(\frac{2\pi}{T}t + \theta_v\right)</math> と書くことができる。 sinとは三角関数である。知らなければ数学IIなどを参考にせよ。このときのsinの係数<math>I_0</math>や<math>V_0</math>を'''振幅'''(しんぷく、amplitude)といい、また時刻''t''=0における電流や電圧の値を示し、時間波形を決定する<math>\theta_i</math>や<math>\theta_v</math>を'''初期位相'''という。普通科高校の高校物理では、交流波形の計算には、正弦波の場合を主に扱う。方形波や三角波の計算は、普通は扱われない。ただし、工業高校の授業や、工場の実務では扱うことがあるので、読者は波形を学んでおくこと。発電所から一般家庭に送られてくる電圧は交流電圧である。東日本では50Hzであり、西日本では60Hzである。これは明治時代の発電機の輸入時に、東日本の事業者はヨーロッパから50Hz用の発電機を輸入し、西日本の事業者はアメリカから60Hzの発電機を輸入したことによる。発電所から一般の家庭などに送られる電流の周波数を'''商用周波数'''という。商用電源の電圧振幅は約140Vである。これは<math>100\times\sqrt{2}</math>[V]である。キロヘルツとは1000Hzのことである。キロヘルツはkHzと書く。 ;コイルの自己誘導交流電流に対しては、電流と同じ振動数で、アンペールの法則で発生する磁場も振動する。導線でつくられたコイルは、直流電流では、ただの導線としてはたらく。しかし、交流電流に対しては、電磁誘導により自己の発生させた磁場を妨げるような電流および起電力が発生する。これを'''自己誘導'''（self induction）という。自己誘導による起電力の大きさは、電流の時間変化率に比例する。自己誘導の起電力を式で書けば、比例係数をLとして、 :<math>e=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}</math> である。この比例係数<math>L</math>を'''自己インダクタンス'''（self inductance）という。自己インダクタンスの次元は[V・S/m]だが、これを'''ヘンリー'''という単位で表し、単位にHという記号を用いる。 ;相互誘導 [[ファイル:Transformer Flux.svg\|thumb\|相互誘導を利用した変圧器（transformer）]] 鉄心に二つのコイルを巻き、コイルの片方の電流を変化させると、アンペールの法則によって生じていた磁束も変化するから、反対側のコイルには、この磁束密度の変化を打ち消すような向きに起電力が発生する。この現象を'''相互誘導'''（mutual induction）と言う。電圧を入力させた側のコイルを'''1次コイル'''（primaly coil）と言い、誘導起電力を発生させる側のコイルを'''2次コイル'''（secondary coil）という。相互誘導による起電力の大きさは、電流の時間変化率に比例する。相互誘導の起電力を式で書けば、比例係数をMとして、（相互誘導の比例係数はLでは無い。）式は、 :<math>e=-M\frac{\Delta I}{\Delta t}</math> である。この比例係数<math>M</math>を'''相互インダクタンス'''（self inductance）という。相互インダクタンスの次元は、自己インダクタンスの単位と同じで'''ヘンリー'''（H）である。この相互インダクタンスの大きさは、両方のコイルの巻き数どうしの積に比例する。 {{コラム\|微分積分や複素数の回路計算の話題\| 交流回路の計算を、高校の数学にある微分積分（びぶんせきぶん）や複素数（ふくそすう）の理論をつかって計算することができる。（※ 数学教科でも、数学3で章末コラムなどで説明したりする場合もある（啓林館の数学3教科書など）。）だが高校生は、物理の学習では、まずは電気力線や磁束線などの特性といった力線の特性のイメージを習得したり、計算式の練習でも高校物理の教科書にある差分（さぶん）記号Δとかをつかった初等的な説明を理解するようにしたほうがいい。じつは大人の事情だが、交流回路の計算法は、分野によって異なっており、あまり統一されてない。（※ 高校物理の記法のほかにも、たとえば「フェーザー表示」とか「複素表示」とか異なる計算法・記法もある。さらに「ラプラス変換」という計算法もある。）しかも複素数の記号が i （アイ）とはかぎらず j （ジェイ）だったりとか、分野によって違っている。なので、とりあえず高校生は、高校物理の教科書にあるような、実数や差分記法Δなどの記法で計算しておけば、大学受験などでは安全である。これら記法・計算法の違いは、あまり物理法則的には本質的でないので、あまり微分積分による回路の計算法には深入りしないほうがいい。まずは力線イメージと、デルタ記号「Δ」方式の初等物理の計算を習得しよう。 :※ 大学や専門学校の電気系の学校に進学すると、上述のいろんな回路計算法（主に複素数表示とラプラス変換）を習うので、それぞれの計算法を重視する専門分野の人が、それぞれ自分の専門分野の計算法の意義を主張したりするが、高校生には大学教員たちのタコツボ的な事情はどうでもいいので、無視しよう。 :米国の20世紀のノーベル物理学者ファインマンも、だいぶ電気工学者を嫌ってる（参考文献: ファインマン物理学にある電気工学への皮肉っぽい文句。） }} == 電磁波 == [[File:Onde electromagnetique.svg\|thumb\|400px\|電磁波の概略図。電場と磁場とは直交している。]] 磁場の動きによって電場が引き起こされることを電磁誘導のセクションで見た。実際には電場の変化によって磁場が引き起こされることも知られている。これによって何もない空間中を電場と磁場が伝播していくことが予想される。電磁波の速度を物理学者のマクスウェルが計算で求めたところ、電磁波の速度は、真空中では常に一定で、かつ波の速度cを計算で求めたところ、 :c=3.0×10<sup>8</sup> となり、既に知られていた光速に一致した。このことから、光は電磁波の一種であることが分かった。物理IIで、電磁波の速度を求める計算は、詳しくは扱う。読者が光速の測定実験について調べるなら、物理Iの波動に関するページなどでフィゾーの実験について、参照のこと。波は波長λが長いほど、振動数fが小さくなる。波の波長λと振動数fの積fλは一定で、これは波の速度vに等しい。つまり :v=fλ である。電磁波の場合は、速度が光速のcなので :c=fλ である。 === 電磁波の分類 === * 電波放送用のテレビやラジオの電波（でんぱ、radio wave）は、電磁波（electromagnetic wave）の一種である。波長が0.1mm以上の電磁波が電波に分類される。なお、電波のうち、波長が1mm～1cmのミリメートルの電波をミリ波という。同様に、波長が1cm～10cmの電波をセンチ波という。波長10cm～100cm(=1m)の電波はUHFと言われ、テレビ放送などに使われるUHF放送は、この電波である。波長1m～10mの電波はVHFと言われる。テレビ放送のVHF放送は、この電波である。 * 赤外線波長が0.1mm以下で、可視光線（可視光の最大波長は780ナノメートル程度）よりかは波長が長い電磁波は赤外線（せきがいせん、infrared rays、インフラレードレイズ）という。「赤」の「外」という理由は、可視光の最大波長の色が赤色だからである。赤外線そのものには色はついていない。市販の赤外線ヒーターなどが赤色に発光する製品があるのは、使用者が動作確認をできるようにするために、製品に赤色のランプを併置しているからである。赤外線は、物体に吸収されやすく、吸収の際、熱を発生するので、ヒーターなどに応用される。なお、太陽光にも赤外線は含まれる。 :発見の経緯そもそも赤外線が発見された経緯は、イギリスの天文学者のハーシェルが太陽光をプリズムで分光した際に、赤色の光線のとなりの、目には色が見えない部分が温度上昇していることが発見されたという経緯がある。 * 可視光線 [[Image:Linear visible spectrum.svg]] {\| class="wikitable" style="float:right; text-align:right; margin:0px 0px 7px 7px;" \|- !色 !波長 !エネルギー \|- \| style="background-color:#CEB0F4; text-align:center;" \|紫 \|380-450 nm \|2.755-3.26 eV \|- \| style="background-color:#B0CCF4; text-align:center;" \|青 \|450-495 nm \|2.50-2.755 eV \|- \| style="background-color:#B4F4B0; text-align:center;" \|緑 \|495-570 nm \|2.175-2.50 eV \|- \| style="background-color:#F4F4B0; text-align:center;" \|黄色 \|570-590 nm \|2.10-2.175 eV \|- \| style="background-color:#F4DDB0; text-align:center;" \|橙色 \|590-620 nm \|1.99-2.10 eV \|- \| style="background-color:#F4B0B0; text-align:center;" \|赤 \|620-750 nm \|1.65-1.99 eV \|} 我々、人間の目に見える可視光線（かしこうせん、visible light）の波長は、約780ナノメートルから約380ナノメートルの程度である。可視光の中で波長が最も長い領域の色は赤色である。可視光の中で波長が最も短い領域の色は紫色である。光そのものには、色はついていない。我々、人間の脳が、目に入った可視光を、色として感じるのである。太陽光をプリズムなどで分光（ぶんこう）すると、波長ごとに軌跡（きせき）がわかれる。この分光した光線は、他の波長を含まず、ただ一種の波長なので、このような光線および光を'''単色光'''（monochromatic light）という。また、白色は単色光ではない。'''白色光'''(white light)とは、全ての色の光が混ざった状態である。同様に、黒色という単色光もない。黒色とは、可視光が無い状態である。 {{clear}} * 紫外線紫外線（しがいせん、ultraviolet rays）は化学反応に影響を与える作用が強い。殺菌消毒などに応用される。太陽光にも紫外線は含まれる。人間の肌の日焼けの原因は、紫外線がメラニン色素を酸化させるからである。 :発見の経緯赤外線は太陽光のプリズムによる分光で発見された。「では、分光された紫色の光線のとなりにも、なにか目には見えない線があるのでは？」というふうなことが学者たちによって考えられ、ドイツの物理学者リッターにより化学的な実験方法を用いて、紫外線の存在も実証された。 * X線およびガンマ線医療用のレントゲンなどの透過写真で用いられるX線（X-ray）も電磁波の一種である。生物の細胞を分子レベルで傷つけ、発がん性が有る。ガンマ線（gamma‐ray、γ ray）も同様に、透過写真にも応用されるが、生物の細胞を分子レベルで傷つけ、発がん性が有る。 {{clear}} ---- ===電気に関する探求活動=== ?? [[Category:高等学校教育\|物ふつり1てんき]] [[カテゴリ:電気\|高ふつり1てんき]] [[Category:物理学教育\|高ふつり1てんき]]	2005-05-08T07:17:05Z	2023-07-30T16:15:57Z	[ "テンプレート:Clear", "テンプレート:-", "テンプレート:コラム" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E7%89%A9%E7%90%86/%E9%9B%BB%E6%B0%97
1,939	高等学校物理基礎/電気と磁気	高等学校物理基礎 > 電気本項は高等学校物理基礎の電気と磁気の解説である。現在私たちが使っている多くの製品が電気を用いて動いている。これには様々な理由が考えられるが、まず第一に電気は様々な別のエネルギーに変換できること。例えば電熱線を使って熱に、電球や発光ダイオードを使って光に、電動機を使って運動に変換することが出来る。次に、電池やコンデンサを使ってエネルギーを維持したまま持ち運ぶことが出来ることや、電線を使って長距離を送電できること。また、電子製品の計算能力や信号の伝達能力が優れていること、また比較的に安全に少量のエネルギーが取り出せること、等が考えられる。電気を運動に変えるものとして電動機(英: electric motor)がある。これの逆のものとして運動を電気に変えることも出来る。これを行なうのは発電機英: generatorと呼ばれる。発電所は何らかの運動のエネルギーを利用して電気をおこしている。例えば、水力発電所では、水の落下する力を利用している。大量の水が落下するときには人間が何千人もかかってようやく出来ることがなされることがある。例えば、切り立った海岸線などは主に水の流れによって作られている。このように、水の力は強大であるので、それを上手く利用する方法があると都合がよい。実際現代では電気を媒介として、その力を取りだすことに成功している。電池のように電極の+と-が定まった電流を直流電流或いは直流(英: direct current)と呼ぶ。一方、発電所から得られる電流のように+と-が速い速度で入換わる電流を交流電流或いは交流(英: alternating current)と呼ぶ。実際にはダイオードを用いて交流を直流に変えて使うこともよく行なわれる。何もない空間を光が直進しているように見えることがある。実際にはこれは電波と同じものである。電波とは例えば、携帯電話の通信に使われるものであり、電荷を持った物体を動かすと、必然的に生じるものである。プラスチックの下敷きなどで髪をこすると帯電する現象などのように、物質が電気を帯びることを帯電(たいでん)という。物体をこすって発生させる静電気を摩擦電気という。ガラス棒を絹の布でこすると、ガラス棒は正の電気に帯電し、絹は負の電気に帯電する。電気の量を電荷(でんか、charge)という。あるいは電気量という。電荷の単位はクーロンである。クーロンの記号はCである。静電気による電荷どうしに働く力を静電気力という。なお、帯電していない状態を電気的に中性である、という。金属のように、電気を通せる物体を導体(どうたい、conductor)という。プラスチックやガラスやゴムのように電気を通さない物質を絶縁体(ぜつえんたい、insulator)あるいは不導体(ふどうたい)という。金属は導体である。電気の正体は電子(electron)という粒子である。この電子は負電荷を帯びている。(電子の電荷が負に定義されているのは、人類が電子を発見する前に電荷の正負の定義が行われ、あとから電子が見つかった際に電子の電荷を調べたら負電荷だったからである。) 金属が導体なのは、金属中の電子は、もとの原子を離れて、その金属全体の中を自由に動けるからである。金属中の電子のように、物質中を自由に動ける状態の電子を、自由電子(じゆうでんし)という。電流とは、自由電子が移動することである。いっぽう、絶縁体は、自由電子をもたない。絶縁体の電子は、すべて、もとの原子に束縛(そくばく)されて閉じ込められていて、自由には動けない。正電荷とは、物質に電子が欠乏している状態である。負電荷とは、物質が電子を多く持っている状態である。帯電していない絶縁体の物質をこすりあわせて、両方を摩擦電気に帯電させた場合、片方は正電荷を生じ、もう片方の物質は負電荷を生じる。このとき、発生した正電荷の大きさと負電荷の大きさは同じである。これは、電子が移動して、片方の物質は電子が不足し、もう片方は等量の電子が過剰になっているからである。このように、電子は生成も消滅もしない。これを電荷保存則あるいは電気量保存則と言う。電気的に中性であった導体の物質(仮に物質Aとする)に帯電した別の物質(仮に物質Bとする)を接触させずに近づけると、物質Aには、帯電物質Bの電荷に引き寄せられて、物体Aの内部で反対符号の電荷が帯電物体Bに近い側の表面に生じる。また、帯電物体Bと同じ電荷は反発するので、物体A内部の帯電物体Bとは遠い側の表面に生じる。このような現象を静電誘導(せいでんゆうどう;Electrostatic induction)という。静電誘導で生じた電荷の正電荷の量と負電荷の量は等量である。(電気量保存の法則) 導体の内部に静電気力は無い。もしあったとすると、自由電子などの電荷が動き、電流が流れ続けることになるが、そのような現象は実在しないので不合理になる。したがって、導体の内部に静電気力は無い。表面に電荷が集まるのは、導体の内部に静電気力を作らせないためである。したがって静電誘導で引き寄せられる電荷の大きさは、外部から導体内部への静電気力を打ち消すだけの大きさである。この導体内部の電荷がゼロになる性質を応用すると、中空の導体で出来た物体を用いて、静電気力を遮蔽することができる。これを静電遮蔽(せいでんしゃへい、electric shilding)という。絶縁体(仮にAとする)に電荷を近づけた場合は、導体とは違い、物体Aの内部の電子は自由に表面には集まれないが、物体内部の原子の正負の電荷の極性を持った部分が、外部の静電気力に引き寄せられるように、近づけた電荷に近い側には異種の電荷が生じ、遠い側には、同種の電荷が生じる。原子や分子が外部の静電気力によって、正負の電荷の部分が生じることを分極(ぶんきょく)といいい、外部の電化によって起こる、このような分極のしかたを誘電分極(ゆうでんぶんきょく、dielectric polarization)という。絶縁体は、静電気力にさらされると誘電分極を行うので、絶縁体のことを誘電体(ゆうでんたい、dielectric)ともいう。導体に静電誘導された正負の電荷は、導体を切断などをすれば正電荷と負電荷を別個に取り出すことができる。しかし誘電体の正負の電荷は、原子や分子と密接に結びついているため、正負の電荷を分かれて取り出すことは出来ない。ある物質が電気を帯びている(帯電している)とき、その帯電の大小の程度を電荷(でんか、electric charge)という。さまざまな物質をいろいろな方法で帯電させた結果、電荷には、帯電した2個のものどうしを近づけた時に引っ張り合うもの(引力が働く)と反発しあうもの(斥力がはたらく)の2種類があることが分かった。このような、帯電している物体に働く力を静電気力という。べつの帯電したものを、他にもいくつか用意して、近づけて実験する2個の物体の組み合わせを変えると、組み合わせによって、2個の物体どうしに引力が働く場合もあれば、斥力が働く場合もあることが分かった。この引力と斥力の関係は、帯電した電荷の種類に応じることがわかった。結論を言うと、電荷には正負の2種類がある。正の電荷どうしの物体を近づけたときは反発しあう。負の電荷どうしを近づけたときも反発しあう。正と負の電荷を近づけた時には引力が働く。つまり、同符号の電荷を近づけた場合は、反発力が生じる。異符号の電荷を近づけた場合は、引力が生じる。静電気どうしの力の強さは、実験的には、電荷の間に働く力は、重力の場合と同様に力を及ぼし合う2物体の間の距離の2乗に反比例することが知られている。更に、電荷の大きさが大きいほど電荷間に働く力が大きいことも考慮すると、距離rだけ離れてそれぞれが電荷 q 1 {\displaystyle q_{1}} 、 q 2 {\displaystyle q_{2}} を持っている2物体の間に働く力Fは、で与えられる。これをクーロンの法則( Coulomb's law)という。ここで、 k {\displaystyle k} は比例定数であり、両電荷の周囲にある物体の種類により変化する定数である。真空中での電場を考えた場合のkの値は、である。また、 ε {\displaystyle \epsilon } は後ほど登場する誘電率(ゆうでんりつ)と呼ばれる物理定数である。誘電率は、両電荷の周囲にある物体の種類により変化する定数である。誘電率については、この文を初めて読んだ段階では、まだ知らなくても良い。のちに物理IIで誘電率を詳しく解説する。誘電率 ε {\displaystyle \epsilon } とクーロンの比例定数kには上式の関係がある。物体のまわりに蓄積されるものを電荷と呼ぶ。電気力によって反発しあったり、引きつけあったりする物体を電荷を持つ物体と呼ぶ。また、ここで観察される静電気力を、クーロン力と呼ぶことがある。 2個の電荷どうしがおよぼす力は同じであり、したがって作用・反作用の法則に従っている。ここで、電荷の単位は[C]で与えられる。記号のCは「クーロン」と読む。図のように、2本の糸に、それぞれ同じ質量m[kg]で、同じ符号と大きさの電荷q[C]の球が、ぶらさがってる。これは、クーロン力で反発するので、図のように、糸が角度θをなす。このとき、質量mによる重力と、電荷qによるクーロン力との関係について、式を立てよ。なお、必要ならば、糸の張力はT[N]とすること。解法図のような位置関係になるので、図のように式を立てればよい。 ※ 上記の2本の糸にぶらさがった球のクーロン力の例題は、電気磁気学のどの入門書にもあるような典型的な問題であるので、読者はきちんと理解すること。電荷 q 1 {\displaystyle q_{1}} , q 2 {\displaystyle q_{2}} の間の距離がrの場合と2rの場合では、間に働く力の大きさはどちらがどれだけ大きいか答えよ。また、距離が2rの時の2点間の力の大きさを答えよ。クーロン力は、物体間の距離の逆2乗に比例するので、距離が2rの時は、rの時の大きさの 1 4 {\displaystyle {\frac {1}{4}}} となる。また、働く力の大きさは、クーロン力の式を用いて、となる。既に、ある電荷Aのまわりの別の電荷Bには、その電荷からの距離の逆2乗に比例した力がかかることを述べた。ここで、電荷Bが受ける力は、その電荷Bの大きさに比例することを合わせて考えると、その電荷Bの大きさにかかわらず、電荷Aの大きさだけで決まる量を導入しておくと都合がよい。ここで、そのような量として電場(でんば)を導入する。このとき、電場 E → {\displaystyle {\vec {E}}} の中にある電荷 q {\displaystyle q} に働く力 F → {\displaystyle {\vec {F}}} は、で与えられる。電場は単位電荷に働く力と考えることもでき、電場の単位は[N/C]である。「電場」は、「電界」(でんかい)とも呼ばれる。 (日本の物理学では「電場」と呼ぶことが多く、また、日本の電気工学では「電界」と呼ばれることが多い。明治期の翻訳の際の、日本国内の業界ごとの違いに過ぎず、たんなる日本ローカルな都合であり、呼び方は物理の本質とは関係ないので、ここでは、どちらの表現を用いるかは、本書では特にこだわらない。英語では物理学・電気工学とも“electric field”で共通している。) 上のクーロン力の結果と合わせると、電荷Aのまわりに別の電荷が存在しないとき、電荷 q {\displaystyle q} [C]の電荷がまとう電場 E → {\displaystyle {\vec {E}}} は、で与えられる。ただし、rは電荷からの距離であり、 e → r {\displaystyle {\vec {e}}_{r}} は、電荷とある点を結んだ直線上で、電荷と反対方向を向いた単位ベクトルである。電荷の回りの電場は、平面上で放射状のベクトルとなることに注意。電場はベクトルである。電荷が2個あるときは、それぞれの電荷がつくる電場を、重ね合わせればよい。である。電荷が3個以上のときも、同様に重ね合わせれば良い。図のように、電荷から出る電場の方向を図示したものを電気力線(でんきりきせん、electric line of force)という。電荷が複数ある場合には、実際に新たに置かれた電荷が受ける力は、それらを足し合わせたものとなる。したがって、複数の電荷がある場合の周囲の電界は、それぞれの電荷が作る電界ベクトルの和となる(重ね合わせの原理)。電気力線を図示する場合は、正電荷から力線が出て、負電荷で力線が吸収されるように書く。力線は、電場を図示したものなので、電荷以外の場所では、力線が分岐することはない。力線が生成するのは正電荷の場所のみである。力線が消滅するのは、負電荷の場所のみである。言い換えれば、力線が電荷以外の場所で消滅することはないし、電荷以外の場所で力線が生成することはない。導体の内部の電場はゼロであった。言い換えれば、電気力線は、導体の内部には進入できない。点電荷からは、図のように、放射状に電気力線が出る。クーロンの法則の係数にあるのうちの、分母の 4 π r 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}} は、球の表面積の公式に等しいので、電気力線の密度に比例して、電場の強さあるいは静電気力の強さが決まると考えられる。静電誘導では、導体内部には静電気力が働いていないのであった。これは、電場という概念を用いて言い換えれば、導体内部の電場はゼロである、と言える。クーロン力は力(ちから)であるから、それに逆らって別の電荷を近づけた場合は、近づけた別の電荷は仕事をしたことになる。また、近づけた電荷を手放せば、クーロン力によって力を受け、仕事をすることになるから、近づいた状態にある別電荷は位置エネルギーを蓄えていることになる。したがって、クーロン力に対しても位置エネルギーを定義することができる。(なお、衛星軌道上の物体のような、地表から大きく離れた場所の重力も、クーロン力と同様に逆2乗力なので、ここで考えた計算手法は重力による位置エネルギーにも応用できる。重力加速度gを用いた力mgというのは地表近くでの近似にすぎない。) クーロン力による電場の定義では、単位電荷に対して電場を定義したのと同様、位置エネルギーに対しても、単位電荷に応じて定義できる量を導入すると都合がよい。このような量を電位(でんい、electric potential)と呼ぶ。電位の単位はボルトという。電位を例えると、地表近くでの重力の位置エネルギーを考えた際の「gh」などに相当する量である。クーロン力の結果と、 q {\displaystyle q} [C]の電荷から距離rだけ離れた点の電位Vは、電場の積分計算で得られる。(積分をまだ習ってない学年の読者は、分からなくても気にせず、次の結果へと進んでください。)結果のみを記すと、となる。電位Vの点にq[C]の電荷を置いたとき、この電荷のクーロン力による位置エネルギーU[J]は、電位Vを用いれば、となる。したがって、電位 V 1 {\displaystyle V_{1}} ボルトの点から電位 V 2 {\displaystyle V_{2}} ボルトの位置へと電荷q[C]が静電気力を受けて移動するとき、静電気力のする仕事W[J]はとなる。いっぽう、一様な電場においては、電位の式を、電場を用いて簡単に表すことができる。距離dだけ離れた平行平板電極の間に一様な電場 E → {\displaystyle {\vec {E}}} が生じているとき、この電界の中に置いた電荷qは静電気力 q E → {\displaystyle q{\vec {E}}} を受ける。この電荷が電界の向きに沿って一方の電極から他方の電極まで移動するとき、電界のする仕事Wは W = q E d {\displaystyle W=qEd} となる。これより、2極板の電位差Vは、で表すことができることがわかる。式を変形してとすることもできる。ここで、単位を考えると、右辺は電圧を距離で割ったものであるから、電界の単位として[N/C]のほか[V/m]を用いることもできることがわかる。電位の単位はボルトであり、この量は既に中学校理科などで扱った電圧(でんあつ、voltage)の単位と同じ単位である。実際に電気回路に電圧をかけることは、回路中の電子に電場をかけて動かすことと等しい。静電誘導によって、導体内部の電場はゼロであった。このことから、導体の表面は、電位が等しい。導体表面は互いに等電位である。電位の基準は、実用上は、地面の電位をゼロに置くことが多い。電気回路の一部を大地につなぐことを接地(せっち)またはアース(earth)という。回路をアースして、そのつないだ部分の電位をゼロと見なすことが多い。直線上で距離0, b[m]の点に、電荷q, q'を持つ物体が置いてある。この時、位置a[m](a<b)の点の電位を求めよ。電位の式を用いればよい。電荷が複数あるときには、電位はそれぞれの電荷がつくり出す電荷の和になることに注意。答えは、となる。導体表面は等電位なので、よって、電気力線は導体表面に垂直である。このことから、電気力線と電場は垂直である。電場が重ね合わせられるように、電位も重ね合わせられる。なぜなら電位とは、電場を考えてる経路にて積分したものであるから。学校のテストなどでは、電位の計算のさい、クーロン力の方向の勘違いなどによる計算ミスなどをふせぐため、電場を求めてから、それを積分して、電位を求めるのが、計算上は安全である。コンデンサー(英:capacitor ,「キャパシタ」と読む)は、図のように、2枚の電極が向かいあい、回路中に電荷を蓄積できる部分を与える素子である。コンデンサーに電荷を蓄えることを充電(じゅうでん)という。コンデンサーから電荷を放出させることを放電という。コンデンサの両端にある電位Vが与えられたとき、コンデンサには、電位に比例する電荷Qが蓄積される。このとき、コンデンサの蓄積能力を記号で C とおいて、としてCを取る。Cは静電容量(せいでんようりょう、electric capacitance)と呼ばれ、単位はF(ファラド、farad)で与えられる。 1ファラドは実用上は大きすぎるので、10ファラドを単位にした1pF(ピコファラド)や、10ファラドを単位にした1μF(マイクロファラド)が使われることが多い。極板が平行なコンデンサーを平行板コンデンサーという。平行板コンデンサーの、極板どうしの電場は、一様な電場である。この平行板コンデンサーの静電容量Cの式は、後述する理由により、で与えられる。ここで、Sは導体平面の面積であり、dは導体間の距離である。実験的にも、この静電容量の公式は、正しいことが確かめられている。ここで与えた静電容量は、平面上に電荷が一様に分布するとの仮定で導かれる。このとき、導体間に生じる電界Eは、導体が持つ電荷をQ, -Qとした時、まず、極板の電荷密度が、極板のどこでも一定だと仮定して(そのためには、コンデンサーの広さ(つまり面積)が、じゅうぶんに広いと仮定する必要がある。ともかく、このような仮定により、電荷密度は)、である。電気力線の性質として、プラスの電荷から生じてマイナスの電荷で吸収されるので、よって平行板コンデンサー間の電気力線の分布は、図のように、電気力線が、プラス極板から垂直に、マイナス極板へ向かって電気力線が出て、そしてマイナス極板に電気力線が吸収される。電場は、導体間の各点で、で与えられる。電場が求められたので、ここから電位を計算できる。導体間の各点で電場の大きさが均一なので、電位の大きさは電場の大きさに2点間の距離をかけたものになる。ここで、電位Vは、となるが、この式と静電容量Cの定義を見比べると、が得られる。電池の化学反応については、別科目の化学Iなどで詳しく扱われる。この章では、電圧や電流の理解に関わる点を重点的に説明したい。金属元素の単体を水または水溶液に入れたときの、陽イオンのなりやすさをイオン化傾向(ionization tendency)という。例として、亜鉛Znを希塩酸HClの水溶液に入れると、亜鉛Znは溶け、また亜鉛は電子を失ってZnになる。一方、銀Agを希塩酸に入れても反応は起こらない。このように金属のイオン化傾向の大きさは、物質ごとに大きさが異なる。二種類の金属単体を電解質水溶液に入れると電池ができる。これはイオン化傾向(単体の金属の原子が水または水溶液中で電子を放出して陽イオンになる性質)が大きい金属が電子を放出して陽イオンとなって溶け、イオン化傾向の小さい金属が析出するためである。イオン化傾向の大きい方の金属を負極(ふきょく)という。イオン化傾向の小さい方の金属を正極(せいきょく)という。イオン化傾向の大きい金属のほうが、陽イオンになって溶け出す結果、金属板には電子が多く蓄積するので、両方の金属板を銅線でつなげば、イオン化傾向の大きい方から小さい方に電子は流れる。「電流」では無く、「電子」といってることに注意。電子は負電荷であるので、電流の流れと電子の流れは、逆向きになる。さまざまな溶液や金属の組み合わせで、イオン化傾向の比較の実験を行った結果、イオン化傾向の大きさが決定された。左から順に、イオン化傾向の大きい金属を並べると、以下のようになる。金属を、イオン化傾向の大きさの順に並べたものを金属のイオン化列という。水素は金属では無いが比較のため、イオン化傾列に加えられる。金属原子は、上記の他にもあるが、高校化学では上記の金属のみのイオン化列を用いることが多い。イオン化列の記憶のための語呂合わせとして、「貸そうかな、まあ、あてにすな、ひどすぎる借金。」などのような語呂合わせがある。ちなみにこの語呂合わせの場合、「KかそうかCa なNa、まMg あAl、あZn てFe にNi すなPb、ひH2 どCu すHg ぎAg る借金Pt,Au。」と対応している。負極(亜鉛板)での反応正極(銅板)での反応ボルタの電池では、得られる両極間の電位差(「電圧」ともいう。)は、1.1ボルトである。(ボルトの単位はVなので、1.1Vとも書く。)この両極板の電位差を起電力という。起電力は、両電極の金属の組み合わせによって決まり物質固有である。起電力の単位のボルトは、静電気力の電位の単位のボルトと同じ単位である。電気回路の電圧のボルトとも、起電力の単位のボルトは同じ単位である。ボルタ電池の構造を以下のような文字列に表した場合、このような表示を電池図あるいは電池式という。 aqは水のことである。H2SO4aqと書いて、硫酸水溶液を表している。物理学の電気回路の研究では、このような電池などの現象の発見と発明によって、安定な直流電源を実験的に得られるようになり、直流電気回路の正確な実験が可能になった。電池の発明以前にも、フランス人の物理学者クーロンなどによる静電気による電気力学の研究などによって、電位差の概念や電荷の概念はあった。だが、この時代の電源は、主に静電気によるものだったので、安定電源では無かった。そして、電池による安定な電源の発明は、同時に安定な電流の発明でもあった。このような電池の発明などによる、直流電気回路の研究などから、ドイツ人の物理学者オームが、さまざまな導体に電流を流す実験と理論研究を行うことにより、電気回路の理論のオームの法則(オームのほうそく、Ohm's law)が発見された。じつはオームは電池ではなく熱電対(ねつでんつい)というものを使って、電気回路に安定した電流をながす研究をした。当時の電池では、起電力がしだいに減ってしまい、オームは当初は電池で実験したが、うまく安定電流を得られなかった。熱電対とは、まず異なる金属材料の2本の金属線を接続して1つの回路をつくり、2つの接点に温度差を与えると、回路に電圧が発生するため電流が流れる(この現象を、ゼーベック効果という)。この現象じたいは、1821年にゼーベックが発見した。このような回路が、熱電対である。なお、同じ2本の金属線では、温度差を与えても電圧は発生せず、電流は流れない。オームは、ベルリン大学教授ポッケンドルフの助言によって、この熱電対を実験に利用した。温度を安定させるのは、当時の技術でも比較的簡単であったので、こうしてオームは安定電流をもちいる実験ができたのである。オームの法則(Ohm's law)とは、「ほとんどの導体では、電流 I が流れている導体中の2点の点 P 1 {\displaystyle P_{1}} と点 P 2 {\displaystyle P_{2}} 間の電位差 E = E 1 − E 2 {\displaystyle E=E_{1}-E_{2}} は、電流 I に比例する。」という実験法則である。誤解されやすいが、オームの法則は、このような実験法則であって、べつに抵抗の定義式では無い。同様に、オームの法則は、べつに電圧の定義式では無いし、電流の定義式でも無い。中学校の理科での電気回路の教育では、金属の電気分解の起電力の教育まではしないので、ともすれば、電圧を誤解して、「電圧は、単なる電流の比例量で、抵抗はその比例係数」のような誤解する場合が有りうるが、その解釈は明らかに誤解である。また、半導体などの一部の材料では、電流が増え材料の温度が上昇すると抵抗が下がる現象が知られているので、半導体ではオームの法則が成り立たない場合がある。なので、オームの法則を定義式と考えるのは不合理である。導線などの導体内の電気の流れを電流(でんりゅう、electric current)という。電流の強さはアンペアという単位で表す。1アンペアの定義は次の通りである。 1秒間に1クーロン(記号C)の電流が通過することを1アンペアという。アンペアの記号はAである。また、電流は、単位時間あたりの電荷の通過量でもあるので、電流の単位を[C/s]と書く場合もある。一般的には、電流の単位は、なるべく[A]で表記することが多い。電流I[A]と時間t[S]で導線断面を通過する電荷Q[C]の関係を式で表すと、である。電流の向きの取り方については、自由電子は負電荷を持っているから、自由電子の向きとは反対向きに電流の向きをとることに注意せよ。次に電流と自由電子の速度との関係を考える。自由電子の電荷の絶対値をeとすると、自由電子は負電荷であるから、自由電子の電荷はマイナス符号がつき-eである。ドイツ人の物理学者オームは次のような法則を発見した。「ほとんどの導体では、電流 I が流れている導体中の2点の点 P 1 {\displaystyle P_{1}} と点 P 2 {\displaystyle P_{2}} 間の電位差 E = E 1 − E 2 {\displaystyle E=E_{1}-E_{2}} は、電流 I に比例する。」この実験法則をオームの法則(Ohm's law)という。式で表すと、電位差をVとして、電流をIとした場合に、比例係数をRとして、である。ここで、電位と電流の比例係数Rを電気抵抗あるいは単に抵抗(resistance、レジスタンス)という。電気抵抗の単位はオームと言い、記号はΩで表す。慣習的に、抵抗の記号はRであらわす場合が多い。電気回路へエネルギーを供給する電源として定電圧の直流電源を考える。回路の2地点間にある一定の電圧を供給し続けるものである。電圧源の回路図記号としてはが用いられる。記号の長い側が正極であり、プラスの電位である。記号の短い側は負極である。乾電池は、直流電源として取り扱って良い。なお、これらは直流電源である。交流の場合は一般化した電圧源としての記号を用いる。また特に正弦波交流電圧源であればの記号を用いる。抵抗器(resistor)は、通常は単に抵抗と呼ばれる回路素子であり、与えられた電気エネルギーを単純に消費する素子である。回路図記号はあるいはであるが、本書では、両者とも抵抗の回路図記号として用いることにする。(画像素材の確保の都合のため、両方の記号が本書では混在します。ご容赦ください。) 日本では、抵抗器の図記号は、従来はJIS C 0301(1952年4月制定)に基づき、ギザギザの線状の図記号で図示されていたが、現在の、国際規格のIEC 60617を元に作成されたJIS C 0617(1997-1999年制定)ではギザギザ型の図記号は示されなくなり、長方形の箱状の図記号で図示することになっている。旧規格であるJIS C 0301は、新規格JIS C 0617の制定に伴って廃止されたため、旧記号で抵抗器を図示した図面は、現在ではJIS非準拠な図面になってしまう。しかし、拘束力は無いため、現在も従来の図記号が多用されている。複数の回路素子が1つの線上に配置されているような接続を直列接続といい、複数の回路素子が二股に分かれるように配置されている接続を並列接続という。直列接続においては、それぞれの回路素子に流れる電流は全て等しい。一方、並列接続においてはそれぞれの回路素子の両端にかかる電圧が全て等しい。また、直列接続においてはそれぞれの回路素子にかかる電圧の和が全電圧となり、並列接続においてはそれぞれの回路素子を流れる電流の和が全電流となる。抵抗が複数接続されている場合、その複数の抵抗をまとめてあたかも1つの抵抗が接続されているかのような等価的な回路を考えることができる。複数の抵抗と等価な1つの抵抗を合成抵抗という。抵抗がn個直列に接続されている場合を考える。抵抗 R 1 , R 2 , ⋯ , R n {\displaystyle R_{1},R_{2},\cdots ,R_{n}} が直列に接続されている場合、各抵抗を流れる電流は等しく、これをiとする。各抵抗 R k ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\displaystyle R_{k}(k=1,2,\cdots ,n)} にかかる電圧を v k {\displaystyle v_{k}} とすると、オームの法則よりが成り立つ。このとき直列抵抗の両端の電圧vは、である。これと等価な抵抗Rが1つだけ接続されているような等価回路を考えるとき、が成り立つから、したがってこれらのn個の直列抵抗の合成抵抗Rとしてを得る。すなわち、直列合成抵抗は各抵抗の総和となる。同様に、抵抗がn個並列に接続されている場合を考える。抵抗 R 1 , R 2 , ⋯ , R n {\displaystyle R_{1},R_{2},\cdots ,R_{n}} が並列に接続されている場合、各抵抗の両端の電圧は等しく、これをvとする。各抵抗 R k ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\displaystyle R_{k}(k=1,2,\cdots ,n)} を流れる電流を i k {\displaystyle i_{k}} とすると、オームの法則よりが成り立つ。このとき並列抵抗へ流れ込む電流iは、である。これと等価な抵抗Rが1つだけ接続されているような等価回路を考えるとき、が成り立つから、したがってこれらのn個の並列抵抗の合成抵抗Rとしてを得る。すなわち、並列合成抵抗の逆数は各抵抗の逆数の総和となる。抵抗Rを電流Iが流れるとき、その部分の発熱のエネルギーは、1秒あたりにRI[J/s]である。これをジュール熱という。名前の由来は物理学者のジュールが調べたからである。オームの法則より、V=RIでもあるので、ジュール熱はVIとも書ける。そこで、ひとまず、熱の考察には離れて、次の量を定義する。電気回路のある2点間を流れる電流Iと、その2点間の電圧Vとの積VIを電力(power)と定義する。電力の記号はPで表わされることが多い。電力の単位のジュール毎秒[J/s]を[W]という単位で表し、この単位Wはワット(Watt)と読む。つまり電力は記号でである。導線の太さや長さによって抵抗の大きさは変わる。直感的に太いほうが流れやすいのは分かるだろう。それに並列接続と対応させても、導線が太いほうが流れやすいのは分かるだろう。実際に電気抵抗は、導線が太いに反比例して小さくなることが実験的に確認されている。そこで、つぎのような式においてみよう。抵抗をR[Ω]とした場合、導線の太さを面積で表しA[m]とすれば、比例定数にkを用いれば、である。( ∝は、比例関係を表す数学記号。) さらに、導線は材質や太さが同じならば、導線が長いほど抵抗が、長さに比例して抵抗が大きくなることが、確認されている。そこで、さらに、抵抗体の長さを考慮した式に表してみれば、次のようになる。抵抗帯の長さをl[m]とすればである。さらに、導線の材質によって、抵抗の大きさは変わる。同じ長さで同じ太さの抵抗でも、材質によって抵抗の大きさは異なる。そこで、材質ごとの比例定数をρとおけば、抵抗の式は以下の式で記述される。 ρは抵抗率(ていこうりつ、resistivity)と呼ばれる。抵抗率の単位は[Ωm]である。磁石のまわりには別の磁石を動かす力のもととなるものが生じている。これを磁場(じば、magnetic field)あるいは磁界(じかい)と呼ぶ。(日本の物理学では磁場と呼ぶことが多く、また、日本の電気工学では磁界と呼ばれることが多い。明治期の訳語の際の、日本国内の業界ごとの違いに過ぎず、地域社会的な事象であり、呼び方は物理の本質とは関係ないので、ここでは、どちらの表現を用いるかは、本書では特にこだわらない。英語では物理学・電気工学とも“magnetic field”で共通している。) 鉄やコバルトやニッケルに磁石を近づけると、磁石に吸い付けられる。また、鉄やコバルトやニッケルに強い磁化を与えると、鉄やコバルトやニッケルそのものが磁場を周囲に及ぼすようになる。このような、もともとは磁場を持たなかった物体が、強い磁場を受けたことによって磁場を及ぼすようになる現象を磁化(じか、magnetization)という。あるいは電荷の静電誘導と対応させて、磁化のことを磁気誘導(じきゆうどう、magnetic induction)ともいう。そして、鉄やコバルトやニッケルのように、磁石に引き付けられ、さらに磁化をする能力がある物体を強磁性体(きょうじせいたい、ferromagnet)という。鉄とコバルトとニッケルは強磁性体である。銅は磁化しないし、銅は磁石に引きつけられないので、銅は強磁性体ではない。静電誘導を利用した、静電遮蔽(せいでんしゃへい)と言われる、中空の導体をつかって物質を囲むことで外部電場を遮蔽する方法があったのと同様の、磁気の遮蔽が、強磁性体でも出来る。中空の強磁性体を用いて、強磁性体の内部は磁場を遮蔽できる。これを磁気遮蔽(じきしゃへい、magnetic shielding)という。磁気シールドともいう。磁場の向きが分かるように図示しよう。磁石の作る磁場の方向は、砂に含まれる砂鉄の粉末を磁石に、ちりばめて、ふりかけることで観察できる。これを図示すると、下図のようになる。(画像素材の確保の都合上、写真と図示とでは、N極とS極が逆になっています。ご容赦ください。) このような磁場の図を磁力線(じりょくせん、magnetic line of force)という。磁力線の向きは、磁石のN極から磁力線が出て、S極に磁力線が吸収されると定義される。棒磁石では、磁力の発生源となる場所が、棒磁石の両端の先端付近に集中する。そこで、棒磁石の両端の先端付近を磁極(じきょく、magnetic pole)という。このような磁石のつくる磁力線の形は、電気力線での、異符号の電荷どうしがつくる電気力線に似ている。 1つの棒磁石ではN極(north pole)の磁気の強さと、S極(south pole)の磁気の強さは等しい。また、磁石には、必ずN極とS極とが存在する。N極とS極の、どちらか片方だけを取り出すことは出来ない。たとえ棒磁石を切断しても、切断面に磁極が出現する。このような現象のおこる理由は、そもそも棒磁石を構成する強磁性体の原子の1個ずつが小さな磁石であり、それら小さな原子の磁石が、いくつも整列して、大きな棒磁石になっているからである。仮想的に、磁極がS極またはN極の片方だけ現れた現象を理論計算のために考えることがあるが、このような片側だけの磁極を単磁極(モノポールという。)というが、単磁極は実在しない。棒磁石などからの、片側の磁極あたりの、磁極からの磁場の強さのことを、そのまま「磁極の強さ」(Magnetic charge)と呼ぶ。あるいは磁荷(じか、magnetization)や磁気量という。これから、この磁化と磁場の関係を式で表すことを考える。まず、棒磁石には磁極が両側に2個あるので、計算を簡単にするために、棒磁石の両端の距離が大きく、反対側の磁極の大きさを無視できる磁石を考えよう。このような磁石を用いて、実験したところ、次の法則が分かった。磁力の強さは2個の物体の磁気量m1およびm2に比例し、2個の物体間の距離rの2乗に反比例する。式で表すと、で表される。(kmは比例定数) これを発見者のクーロンの名にちなんで、磁気に関するクーロンの法則という。磁気量mの単位はウェーバといい、記号は[Wb]で表す。比例定数kmと1ウェーバの大きさとの関係は、1メートル離れた1wbどうしの磁極にはたらく力を約6.33×10として、比例係数kmは、である。つまり、である。静電気力に対して、電場が定義されたように、磁気力に対しても、場が定義されると都合が良い。磁気量m1[Wb]が作る、次の量を磁場の強さあるいは磁場の大きさと言い、記号はHで表す。磁場の強さHの単位は[N/Wb]である。Hを用いると、磁気量m2[Wb]にはたらく磁気力f[N]は、と表せる。物理学者のエルステッドは、電流の実験をしている際に、たまたま近くにおいてあった方位磁石が動くのを確認した。彼が詳しく調べた結果、以下のことが分かった。電流が流れているときには、そのまわりには、磁場が生じる。向きは、電流の方向に右ねじが進むように、右ねじを回す向きと同じなので、これを右ねじの法則という。アンペールが、磁場の大きさを調べた結果、磁場の大きさHは、電流I[A]が直線的に流れているとき、直線電流の周りの磁場の大きさは、導線からの距離をa[m]とすると、磁場の大きさH[N/Wb]は、であることが知られている。これをアンペールの法則(Ampere's law) という。磁場の大きさHの単位は、[N/Wb]であるが、いっぽうアンペールの法則の式をみればアンペア毎メートル[A/m]でもある。導線をコイル状に巻けば、アンペールの法則で導線の周囲に発生する磁場が重なりあう。このようにした磁場を強めたコイルを電磁石(でんじしゃく、electromagnet)という。導線に電流を流しているときにのみ、電磁石は磁場を発生する。導線に電流を流すのを止めると、電磁石の磁場は消える。磁場の大きさHに、次の節で扱うローレンツ力の現象のため、比例係数μ(単位はニュートン毎アンペアで[N/A])を掛けて、記号Bで表し、とすることがある。この量Bを磁束密度(magnetic flux density)という。磁場の大きさHの向きと磁束密度Bの向きは同じ向きである。また、磁場の大きさHと磁束密度Bの比例係数を透磁率(とうじりつ、magnetic permeability)という。 (ローレンツ力に関しては、詳しくは物理IIで扱う。読者が物理Iを学ぶ学年ならば、読者は「ローレンツ力という力があるのだな・・・」とでも思っておけばいい。) まず、導線を用意したとしよう。この導線は、静止しているとして、静止しているが、固定はせずに、もし導線に力が加われば、導線が動けるようにしてるとしよう。この導線に電流を流しただけでは、べつに導線は動かない。しかし、この導線に、外部の磁石による磁場が加わると、導線が動く。このような、磁場と電流の相互作用によって、導線に生じる力をローレンツ力(ローレンツりょく、英: Lorentz force)という。ローレンツ力の向きは、導線の電流の向きと磁場の向きに垂直である。電流Iの向きから磁束密度Bの向きに右ねじを回す向きと同じである。また、ローレンツ力の大きさは、導線の長さlと、磁場の導線との垂直方向成分に比例する。ローレンツ力の大きさF[N]を式で表せば、電流と磁場とが垂直だとして、磁場を受けている導線の形状が直線形だとして、電流をI[A]として、導線の長さをl[m]として、導線にかかっている外部磁場の磁束密度をB[N/(A・m)]とすれば、で表せる。ローレンツ力の公式に、クーロンの法則などでは見られたような比例係数(係数Kなど。)が含まれないのは、そもそも、このローレンツ力の現象を元に、磁気量ウェーバWbの単位および磁束密度Bの単位が、決定されているからである。また、「磁束密度」の名称が、「磁束」・「密度」というのは、実は磁束密度の単位の[N/(A・m)]は、単位を式変形すると[Wb/m]でもあることが由来である。この単位[Wb/m]を、電気工学者のテスラの名にちなみ、単位[Wb/m] をテスラと言い、記号Tで表す。このローレンツ力の現象が、電気機器のモータ(電動機)の原理である。なお、「フレミングの法則」というローレンツ力に関する法則があるが、ローレンツ力の計算には実用的では無いし、フレミングの名を関した異なる法則が幾つもあって紛らわしく間違いの原因になりやすいので、本書では教えない。実際に、専門的な物理計算では、フレミングの法則は、計算には用いない。しかも、フレミングの法則には「フレミングの右手の法則」と、これとは異なる「フレミングの左手の法則」があり、どちらが、どの磁気の現象に用いる法則だったのかを間違えやすい。だから、本書では教えない。 (電磁誘導に関しては、詳しくは物理IIで扱う。) アンペールの法則では、電流の周りに磁場ができるのであった。実は、磁石を動かすなどして、磁場を伴う物体が運動すると、そのまわりには電場が生じる。仮に、コイルの近くでそれを行なったとすると、生じた電場によってコイルの中には電流が流れる。生じる電場の大きさは、となる。(半径aの円形のコイルの場合。) Eの単位は[V/m]であり、Bの単位は[T]である。この現象を電磁誘導(でんじゆうどう、electromagnetic induction)といい、電磁誘導によって発生した電流を誘導電流という。また、誘導電流の向きは、磁石の動きによる、コイルの中を通る磁束の変化を妨げる向きに、電流が流れる。(誘導電流もアンペールの法則に従い、周囲に磁場を作る。) この誘導電流が、コイルの中を通る磁束の変化を妨げる向きに誘導電流が流れる現象をレンツの法則(Lenz's law)という。同じ領域にN回巻かれたコイルが置かれた場合、ファラデーの電磁誘導の法則は、次のようになる。ここで、 E {\displaystyle {\mathcal {E}}} は起電力(ボルト、記号はV)、ΦB は磁束(ウェーバ、記号はWb)とする。Nは電線の巻数とする。この電磁誘導の現象が、火力発電や水力発電などの発電機の原理である。これ等の発電では、永久磁石を回転させることで、発電をしている。火力や水力というのは、機器の回転を得る手段にすぎない。また、発電所の発電には、永久磁石の回転を利用しているため、発生する電圧や電流は周期的な波形になり、次に説明する交流波形になる。回路への入力電圧が周期的に時間変化する回路の電圧および電流を交流(alternating current)という。これに対し、乾電池などによって発生する電圧や電流のように、時間によらず一定な電圧や電流は直流(direct Current)という。交流波形が何秒で1周するかという時間を周期(wave period)という。周期の記号は T {\displaystyle T} で表し単位は秒[s]である。 1秒間に波形が何周するかという回数を周波数あるいは振動数(英語は、ともにfrequency)という。電気の業界では周波数という用語を用いることが多い。物理の波の理論では振動数という表現を用いることが多い。周波数の単位は[1/s]であるが、これをヘルツ(hertz)という単位で表し、単位記号Hzを用いて周波数fを、f[Hz]というふうに表す。交流電流や交流電圧が正弦波の場合は、これらのパラメータを用いてと書くことができる。 sinとは三角関数である。知らなければ数学IIなどを参考にせよ。このときのsinの係数 I 0 {\displaystyle I_{0}} や V 0 {\displaystyle V_{0}} を振幅(しんぷく、amplitude)といい、また時刻t=0における電流や電圧の値を示し、時間波形を決定する θ i {\displaystyle \theta _{i}} や θ v {\displaystyle \theta _{v}} を初期位相という。普通科高校の高校物理では、交流波形の計算には、正弦波の場合を主に扱う。方形波や三角波の計算は、普通は扱われない。ただし、工業高校の授業や、工場の実務では扱うことがあるので、読者は波形を学んでおくこと。発電所から一般家庭に送られてくる電圧は交流電圧である。東日本では50Hzであり、西日本では60Hzである。これは明治時代の発電機の輸入時に、東日本の事業者はヨーロッパから50Hz用の発電機を輸入し、西日本の事業者はアメリカから60Hzの発電機を輸入したことによる。発電所から一般の家庭などに送られる電流の周波数を商用周波数という。商用電源の電圧振幅は約140Vである。これは 100 × 2 {\displaystyle 100\times {\sqrt {2}}} [V]である。キロヘルツとは1000Hzのことである。キロヘルツはkHzと書く。交流電流に対しては、電流と同じ振動数で、アンペールの法則で発生する磁場も振動する。導線でつくられたコイルは、直流電流では、ただの導線としてはたらく。しかし、交流電流に対しては、電磁誘導により自己の発生させた磁場を妨げるような電流および起電力が発生する。これを自己誘導(self induction)という。自己誘導による起電力の大きさは、電流の時間変化率に比例する。自己誘導の起電力を式で書けば、比例係数をLとして、である。この比例係数 L {\displaystyle L} を自己インダクタンス(self inductance)という。自己インダクタンスの次元は[V・S/m]だが、これをヘンリーという単位で表し、単位にHという記号を用いる。鉄心に二つのコイルを巻き、コイルの片方の電流を変化させると、アンペールの法則によって生じていた磁束も変化するから、反対側のコイルには、この磁束密度の変化を打ち消すような向きに起電力が発生する。この現象を相互誘導(mutual induction)と言う。電圧を入力させた側のコイルを1次コイル(primaly coil)と言い、誘導起電力を発生させる側のコイルを2次コイル(secondary coil)という。相互誘導による起電力の大きさは、電流の時間変化率に比例する。相互誘導の起電力を式で書けば、比例係数をMとして、(相互誘導の比例係数はLでは無い。)式は、である。この比例係数 M {\displaystyle M} を相互インダクタンス(self inductance)という。相互インダクタンスの次元は、自己インダクタンスの単位と同じでヘンリー(H)である。この相互インダクタンスの大きさは、両方のコイルの巻き数どうしの積に比例する。磁場の動きによって電場が引き起こされることを電磁誘導のセクションで見た。実際には電場の変化によって磁場が引き起こされることも知られている。これによって何もない空間中を電場と磁場が伝播していくことが予想される。電磁波の速度を物理学者のマクスウェルが計算で求めたところ、電磁波の速度は、真空中では常に一定で、かつ波の速度cを計算で求めたところ、となり、既に知られていた光速に一致した。このことから、光は電磁波の一種であることが分かった。物理IIで、電磁波の速度を求める計算は、詳しくは扱う。読者が光速の測定実験について調べるなら、物理Iの波動に関するページなどでフィゾーの実験について、参照のこと。波は波長λが長いほど、振動数fが小さくなる。波の波長λと振動数fの積fλは一定で、これは波の速度vに等しい。つまりである。電磁波の場合は、速度が光速のcなのでである。放送用のテレビやラジオの電波(でんぱ、radio wave)は、電磁波(electromagnetic wave)の一種である。波長が0.1mm以上の電磁波が電波に分類される。なお、電波のうち、波長が1mm~1cmのミリメートルの電波をミリ波という。同様に、波長が1cm~10cmの電波をセンチ波という。波長10cm~100cm(=1m)の電波はUHFと言われ、テレビ放送などに使われるUHF放送は、この電波である。波長1m~10mの電波はVHFと言われる。テレビ放送のVHF放送は、この電波である。波長が0.1mm以下で、可視光線(可視光の最大波長は780ナノメートル程度)よりかは波長が長い電磁波は赤外線(せきがいせん、infrared rays、インフラレードレイズ)という。「赤」の「外」という理由は、可視光の最大波長の色が赤色だからである。赤外線そのものには色はついていない。市販の赤外線ヒーターなどが赤色に発光する製品があるのは、使用者が動作確認をできるようにするために、製品に赤色のランプを併置しているからである。赤外線は、物体に吸収されやすく、吸収の際、熱を発生するので、ヒーターなどに応用される。なお、太陽光にも赤外線は含まれる。そもそも赤外線が発見された経緯は、イギリスの天文学者のハーシェルが太陽光をプリズムで分光した際に、赤色の光線のとなりの、目には色が見えない部分が温度上昇していることが発見されたという経緯がある。我々、人間の目に見える可視光線(かしこうせん、visible light)の波長は、約780ナノメートルから約380ナノメートルの程度である。可視光の中で波長が最も長い領域の色は赤色である。可視光の中で波長が最も短い領域の色は紫色である。光そのものには、色はついていない。我々、人間の脳が、目に入った可視光を、色として感じるのである。太陽光をプリズムなどで分光(ぶんこう)すると、波長ごとに軌跡(きせき)がわかれる。この分光した光線は、他の波長を含まず、ただ一種の波長なので、このような光線および光を単色光(monochromatic light)という。また、白色は単色光ではない。白色光(white light)とは、全ての色の光が混ざった状態である。同様に、黒色という単色光もない。黒色とは、可視光が無い状態である。紫外線(しがいせん、ultraviolet rays)は化学反応に影響を与える作用が強い。殺菌消毒などに応用される。太陽光にも紫外線は含まれる。人間の肌の日焼けの原因は、紫外線がメラニン色素を酸化させるからである。赤外線は太陽光のプリズムによる分光で発見された。「では、分光された紫色の光線のとなりにも、なにか目には見えない線があるのでは?」というふうなことが学者たちによって考えられ、ドイツの物理学者リッターにより化学的な実験方法を用いて、紫外線の存在も実証された。医療用のレントゲンなどの透過写真で用いられるX線(X-ray)も電磁波の一種である。生物の細胞を分子レベルで傷つけ、発がん性が有る。ガンマ線(gamma‐ray、γ ray)も同様に、透過写真にも応用されるが、生物の細胞を分子レベルで傷つけ、発がん性が有る。 ??	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "高等学校物理基礎 > 電気", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "本項は高等学校物理基礎の電気と磁気の解説である。", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "現在私たちが使っている多くの製品が電気を用いて動いている。これには様々な理由が考えられるが、まず第一に電気は様々な別のエネルギーに変換できること。例えば電熱線を使って熱に、電球や発光ダイオードを使って光に、電動機を使って運動に変換することが出来る。次に、電池やコンデンサを使ってエネルギーを維持したまま持ち運ぶことが出来ることや、電線を使って長距離を送電できること。また、電子製品の計算能力や信号の伝達能力が優れていること、また比較的に安全に少量のエネルギーが取り出せること、等が考えられる。", "title": "電気" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "", "title": "電気" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "電気を運動に変えるものとして電動機(英: electric motor)がある。これの逆のものとして運動を電気に変えることも出来る。これを行なうのは発電機英: generatorと呼ばれる。発電所は何らかの運動のエネルギーを利用して電気をおこしている。例えば、水力発電所では、水の落下する力を利用している。大量の水が落下するときには人間が何千人もかかってようやく出来ることがなされることがある。例えば、切り立った海岸線などは主に水の流れによって作られている。このように、水の力は強大であるので、それを上手く利用する方法があると都合がよい。実際現代では電気を媒介として、その力を取りだすことに成功している。", "title": "電気" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "電池のように電極の+と-が定まった電流を直流電流或いは直流(英: direct current)と呼ぶ。一方、発電所から得られる電流のように+と-が速い速度で入換わる電流を交流電流或いは交流(英: alternating current)と呼ぶ。", "title": "電気" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "実際にはダイオードを用いて交流を直流に変えて使うこともよく行なわれる。", "title": "電気" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "何もない空間を光が直進しているように見えることがある。実際にはこれは電波と同じものである。電波とは例えば、携帯電話の通信に使われるものであり、電荷を持った物体を動かすと、必然的に生じるものである。", "title": "電気" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "プラスチックの下敷きなどで髪をこすると帯電する現象などのように、物質が電気を帯びることを帯電(たいでん)という。物体をこすって発生させる静電気を摩擦電気という。ガラス棒を絹の布でこすると、ガラス棒は正の電気に帯電し、絹は負の電気に帯電する。電気の量を電荷(でんか、charge)という。あるいは電気量という。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "電荷の単位はクーロンである。クーロンの記号はCである。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "静電気による電荷どうしに働く力を静電気力という。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "なお、帯電していない状態を電気的に中性である、という。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "金属のように、電気を通せる物体を導体(どうたい、conductor)という。プラスチックやガラスやゴムのように電気を通さない物質を絶縁体(ぜつえんたい、insulator)あるいは不導体(ふどうたい)という。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "金属は導体である。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "電気の正体は電子(electron)という粒子である。この電子は負電荷を帯びている。(電子の電荷が負に定義されているのは、人類が電子を発見する前に電荷の正負の定義が行われ、あとから電子が見つかった際に電子の電荷を調べたら負電荷だったからである。)", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "金属が導体なのは、金属中の電子は、もとの原子を離れて、その金属全体の中を自由に動けるからである。金属中の電子のように、物質中を自由に動ける状態の電子を、自由電子(じゆうでんし)という。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "電流とは、自由電子が移動することである。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "いっぽう、絶縁体は、自由電子をもたない。絶縁体の電子は、すべて、もとの原子に束縛(そくばく)されて閉じ込められていて、自由には動けない。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "正電荷とは、物質に電子が欠乏している状態である。負電荷とは、物質が電子を多く持っている状態である。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "帯電していない絶縁体の物質をこすりあわせて、両方を摩擦電気に帯電させた場合、片方は正電荷を生じ、もう片方の物質は負電荷を生じる。このとき、発生した正電荷の大きさと負電荷の大きさは同じである。これは、電子が移動して、片方の物質は電子が不足し、もう片方は等量の電子が過剰になっているからである。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "このように、電子は生成も消滅もしない。これを電荷保存則あるいは電気量保存則と言う。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "電気的に中性であった導体の物質(仮に物質Aとする)に帯電した別の物質(仮に物質Bとする)を接触させずに近づけると、物質Aには、帯電物質Bの電荷に引き寄せられて、物体Aの内部で反対符号の電荷が帯電物体Bに近い側の表面に生じる。また、帯電物体Bと同じ電荷は反発するので、物体A内部の帯電物体Bとは遠い側の表面に生じる。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "このような現象を静電誘導(せいでんゆうどう;Electrostatic induction)という。静電誘導で生じた電荷の正電荷の量と負電荷の量は等量である。(電気量保存の法則)", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "導体の内部に静電気力は無い。もしあったとすると、自由電子などの電荷が動き、電流が流れ続けることになるが、そのような現象は実在しないので不合理になる。したがって、導体の内部に静電気力は無い。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "表面に電荷が集まるのは、導体の内部に静電気力を作らせないためである。したがって静電誘導で引き寄せられる電荷の大きさは、外部から導体内部への静電気力を打ち消すだけの大きさである。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "この導体内部の電荷がゼロになる性質を応用すると、中空の導体で出来た物体を用いて、静電気力を遮蔽することができる。これを静電遮蔽(せいでんしゃへい、electric shilding)という。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "絶縁体(仮にAとする)に電荷を近づけた場合は、導体とは違い、物体Aの内部の電子は自由に表面には集まれないが、物体内部の原子の正負の電荷の極性を持った部分が、外部の静電気力に引き寄せられるように、近づけた電荷に近い側には異種の電荷が生じ、遠い側には、同種の電荷が生じる。原子や分子が外部の静電気力によって、正負の電荷の部分が生じることを分極(ぶんきょく)といいい、外部の電化によって起こる、このような分極のしかたを誘電分極(ゆうでんぶんきょく、dielectric polarization)という。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "絶縁体は、静電気力にさらされると誘電分極を行うので、絶縁体のことを誘電体(ゆうでんたい、dielectric)ともいう。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "導体に静電誘導された正負の電荷は、導体を切断などをすれば正電荷と負電荷を別個に取り出すことができる。しかし誘電体の正負の電荷は、原子や分子と密接に結びついているため、正負の電荷を分かれて取り出すことは出来ない。", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "", "title": "静電気" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "ある物質が電気を帯びている(帯電している)とき、その帯電の大小の程度を電荷(でんか、electric charge)という。さまざまな物質をいろいろな方法で帯電させた結果、電荷には、帯電した2個のものどうしを近づけた時に引っ張り合うもの(引力が働く)と反発しあうもの(斥力がはたらく)の2種類があることが分かった。このような、帯電している物体に働く力を静電気力という。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "べつの帯電したものを、他にもいくつか用意して、近づけて実験する2個の物体の組み合わせを変えると、組み合わせによって、2個の物体どうしに引力が働く場合もあれば、斥力が働く場合もあることが分かった。この引力と斥力の関係は、帯電した電荷の種類に応じることがわかった。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "結論を言うと、電荷には正負の2種類がある。正の電荷どうしの物体を近づけたときは反発しあう。負の電荷どうしを近づけたときも反発しあう。正と負の電荷を近づけた時には引力が働く。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 33, "tag": "p", "text": "つまり、同符号の電荷を近づけた場合は、反発力が生じる。異符号の電荷を近づけた場合は、引力が生じる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 34, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "静電気どうしの力の強さは、実験的には、電荷の間に働く力は、重力の場合と同様に力を及ぼし合う2物体の間の距離の2乗に反比例することが知られている。更に、電荷の大きさが大きいほど電荷間に働く力が大きいことも考慮すると、距離rだけ離れてそれぞれが電荷 q 1 {\\displaystyle q_{1}} 、 q 2 {\\displaystyle q_{2}} を持っている2物体の間に働く力Fは、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "で与えられる。これをクーロンの法則( Coulomb's law)という。ここで、 k {\\displaystyle k} は比例定数であり、両電荷の周囲にある物体の種類により変化する定数である。真空中での電場を考えた場合のkの値は、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "である。また、 ε {\\displaystyle \\epsilon } は後ほど登場する誘電率(ゆうでんりつ)と呼ばれる物理定数である。誘電率は、両電荷の周囲にある物体の種類により変化する定数である。誘電率については、この文を初めて読んだ段階では、まだ知らなくても良い。のちに物理IIで誘電率を詳しく解説する。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "誘電率 ε {\\displaystyle \\epsilon } とクーロンの比例定数kには上式の関係", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "がある。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "物体のまわりに蓄積されるものを電荷と呼ぶ。電気力によって反発しあったり、引きつけあったりする物体を電荷を持つ物体と呼ぶ。また、ここで観察される静電気力を、クーロン力と呼ぶことがある。 2個の電荷どうしがおよぼす力は同じであり、したがって作用・反作用の法則に従っている。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "ここで、電荷の単位は[C]で与えられる。記号のCは「クーロン」と読む。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "図のように、2本の糸に、それぞれ同じ質量m[kg]で、同じ符号と大きさの電荷q[C]の球が、ぶらさがってる。これは、クーロン力で反発するので、図のように、糸が角度θをなす。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "このとき、質量mによる重力と、電荷qによるクーロン力との関係について、式を立てよ。なお、必要ならば、糸の張力はT[N]とすること。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "解法", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "図のような位置関係になるので、図のように式を立てればよい。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "※ 上記の2本の糸にぶらさがった球のクーロン力の例題は、電気磁気学のどの入門書にもあるような典型的な問題であるので、読者はきちんと理解すること。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "電荷 q 1 {\\displaystyle q_{1}} , q 2 {\\displaystyle q_{2}} の間の距離がrの場合と2rの場合では、間に働く力の大きさはどちらがどれだけ大きいか答えよ。また、距離が2rの時の2点間の力の大きさを答えよ。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "クーロン力は、物体間の距離の逆2乗に比例するので、距離が2rの時は、rの時の大きさの 1 4 {\\displaystyle {\\frac {1}{4}}} となる。また、働く力の大きさは、クーロン力の式を用いて、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "既に、ある電荷Aのまわりの別の電荷Bには、その電荷からの距離の逆2乗に比例した力がかかることを述べた。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "ここで、電荷Bが受ける力は、その電荷Bの大きさに比例することを合わせて考えると、その電荷Bの大きさにかかわらず、電荷Aの大きさだけで決まる量を導入しておくと都合がよい。ここで、そのような量として電場(でんば)を導入する。このとき、電場 E → {\\displaystyle {\\vec {E}}} の中にある電荷 q {\\displaystyle q} に働く力 F → {\\displaystyle {\\vec {F}}} は、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "で与えられる。電場は単位電荷に働く力と考えることもでき、電場の単位は[N/C]である。「電場」は、「電界」(でんかい)とも呼ばれる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "(日本の物理学では「電場」と呼ぶことが多く、また、日本の電気工学では「電界」と呼ばれることが多い。明治期の翻訳の際の、日本国内の業界ごとの違いに過ぎず、たんなる日本ローカルな都合であり、呼び方は物理の本質とは関係ないので、ここでは、どちらの表現を用いるかは、本書では特にこだわらない。英語では物理学・電気工学とも“electric field”で共通している。)", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "上のクーロン力の結果と合わせると、電荷Aのまわりに別の電荷が存在しないとき、電荷 q {\\displaystyle q} [C]の電荷がまとう電場 E → {\\displaystyle {\\vec {E}}} は、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "で与えられる。ただし、rは電荷からの距離であり、 e → r {\\displaystyle {\\vec {e}}_{r}} は、電荷とある点を結んだ直線上で、電荷と反対方向を向いた単位ベクトルである。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "電荷の回りの電場は、平面上で放射状のベクトルとなることに注意。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "電場はベクトルである。電荷が2個あるときは、それぞれの電荷がつくる電場を、重ね合わせればよい。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "である。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "電荷が3個以上のときも、同様に重ね合わせれば良い。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "図のように、電荷から出る電場の方向を図示したものを電気力線(でんきりきせん、electric line of force)という。電荷が複数ある場合には、実際に新たに置かれた電荷が受ける力は、それらを足し合わせたものとなる。したがって、複数の電荷がある場合の周囲の電界は、それぞれの電荷が作る電界ベクトルの和となる(重ね合わせの原理)。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "電気力線を図示する場合は、正電荷から力線が出て、負電荷で力線が吸収されるように書く。力線は、電場を図示したものなので、電荷以外の場所では、力線が分岐することはない。力線が生成するのは正電荷の場所のみである。力線が消滅するのは、負電荷の場所のみである。言い換えれば、力線が電荷以外の場所で消滅することはないし、電荷以外の場所で力線が生成することはない。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "導体の内部の電場はゼロであった。言い換えれば、電気力線は、導体の内部には進入できない。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "点電荷からは、図のように、放射状に電気力線が出る。クーロンの法則の係数にある", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "のうちの、分母の 4 π r 2 {\\displaystyle 4\\pi r^{2}} は、球の表面積の公式に等しいので、電気力線の密度に比例して、電場の強さあるいは静電気力の強さが決まると考えられる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "静電誘導では、導体内部には静電気力が働いていないのであった。これは、電場という概念を用いて言い換えれば、導体内部の電場はゼロである、と言える。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "クーロン力は力(ちから)であるから、それに逆らって別の電荷を近づけた場合は、近づけた別の電荷は仕事をしたことになる。また、近づけた電荷を手放せば、クーロン力によって力を受け、仕事をすることになるから、近づいた状態にある別電荷は位置エネルギーを蓄えていることになる。したがって、クーロン力に対しても位置エネルギーを定義することができる。(なお、衛星軌道上の物体のような、地表から大きく離れた場所の重力も、クーロン力と同様に逆2乗力なので、ここで考えた計算手法は重力による位置エネルギーにも応用できる。重力加速度gを用いた力mgというのは地表近くでの近似にすぎない。)", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "クーロン力による電場の定義では、単位電荷に対して電場を定義したのと同様、位置エネルギーに対しても、単位電荷に応じて定義できる量を導入すると都合がよい。このような量を電位(でんい、electric potential)と呼ぶ。電位の単位はボルトという。電位を例えると、地表近くでの重力の位置エネルギーを考えた際の「gh」などに相当する量である。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "クーロン力の結果と、 q {\\displaystyle q} [C]の電荷から距離rだけ離れた点の電位Vは、電場の積分計算で得られる。(積分をまだ習ってない学年の読者は、分からなくても気にせず、次の結果へと進んでください。)結果のみを記すと、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "電位Vの点にq[C]の電荷を置いたとき、この電荷のクーロン力による位置エネルギーU[J]は、電位Vを用いれば、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "となる。したがって、電位 V 1 {\\displaystyle V_{1}} ボルトの点から電位 V 2 {\\displaystyle V_{2}} ボルトの位置へと電荷q[C]が静電気力を受けて移動するとき、静電気力のする仕事W[J]は", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "いっぽう、一様な電場においては、電位の式を、電場を用いて簡単に表すことができる。距離dだけ離れた平行平板電極の間に一様な電場 E → {\\displaystyle {\\vec {E}}} が生じているとき、この電界の中に置いた電荷qは静電気力 q E → {\\displaystyle q{\\vec {E}}} を受ける。この電荷が電界の向きに沿って一方の電極から他方の電極まで移動するとき、電界のする仕事Wは W = q E d {\\displaystyle W=qEd} となる。これより、2極板の電位差Vは、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "で表すことができることがわかる。式を変形して", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "とすることもできる。ここで、単位を考えると、右辺は電圧を距離で割ったものであるから、電界の単位として[N/C]のほか[V/m]を用いることもできることがわかる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "電位の単位はボルトであり、この量は既に中学校理科などで扱った電圧(でんあつ、voltage)の単位と同じ単位である。実際に電気回路に電圧をかけることは、回路中の電子に電場をかけて動かすことと等しい。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "静電誘導によって、導体内部の電場はゼロであった。このことから、導体の表面は、電位が等しい。導体表面は互いに等電位である。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "電位の基準は、実用上は、地面の電位をゼロに置くことが多い。電気回路の一部を大地につなぐことを接地(せっち)またはアース(earth)という。回路をアースして、そのつないだ部分の電位をゼロと見なすことが多い。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "直線上で距離0, b[m]の点に、電荷q, q'を持つ物体が置いてある。この時、位置a[m](a<b)の点の電位を求めよ。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "電位の式を用いればよい。電荷が複数あるときには、電位はそれぞれの電荷がつくり出す電荷の和になることに注意。答えは、", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "導体表面は等電位なので、よって、電気力線は導体表面に垂直である。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "このことから、電気力線と電場は垂直である。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "電場が重ね合わせられるように、電位も重ね合わせられる。なぜなら電位とは、電場を考えてる経路にて積分したものであるから。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "学校のテストなどでは、電位の計算のさい、クーロン力の方向の勘違いなどによる計算ミスなどをふせぐため、電場を求めてから、それを積分して、電位を求めるのが、計算上は安全である。", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "", "title": "電場と磁場" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "コンデンサー(英:capacitor ,「キャパシタ」と読む)は、図のように、2枚の電極が向かいあい、回路中に電荷を蓄積できる部分を与える素子である。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "コンデンサーに電荷を蓄えることを充電(じゅうでん)という。コンデンサーから電荷を放出させることを放電という。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "コンデンサの両端にある電位Vが与えられたとき、コンデンサには、電位に比例する電荷Qが蓄積される。このとき、コンデンサの蓄積能力を記号で C とおいて、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "としてCを取る。Cは静電容量(せいでんようりょう、electric capacitance)と呼ばれ、単位はF(ファラド、farad)で与えられる。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "1ファラドは実用上は大きすぎるので、10ファラドを単位にした1pF(ピコファラド)や、10ファラドを単位にした1μF(マイクロファラド)が使われることが多い。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "極板が平行なコンデンサーを平行板コンデンサーという。平行板コンデンサーの、極板どうしの電場は、一様な電場である。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "この平行板コンデンサーの静電容量Cの式は、後述する理由により、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "で与えられる。ここで、Sは導体平面の面積であり、dは導体間の距離である。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "実験的にも、この静電容量の公式は、正しいことが確かめられている。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "ここで与えた静電容量は、平面上に電荷が一様に分布するとの仮定で導かれる。このとき、導体間に生じる電界Eは、導体が持つ電荷をQ, -Qとした時、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "まず、極板の電荷密度が、極板のどこでも一定だと仮定して(そのためには、コンデンサーの広さ(つまり面積)が、じゅうぶんに広いと仮定する必要がある。ともかく、このような仮定により、電荷密度は)、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "である。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "電気力線の性質として、プラスの電荷から生じてマイナスの電荷で吸収されるので、よって平行板コンデンサー間の電気力線の分布は、図のように、電気力線が、プラス極板から垂直に、マイナス極板へ向かって電気力線が出て、そしてマイナス極板に電気力線が吸収される。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "電場は、導体間の各点で、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "で与えられる。電場が求められたので、ここから電位を計算できる。導体間の各点で電場の大きさが均一なので、電位の大きさは電場の大きさに2点間の距離をかけたものになる。ここで、電位Vは、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "となるが、この式と静電容量Cの定義を見比べると、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "電池の化学反応については、別科目の化学Iなどで詳しく扱われる。この章では、電圧や電流の理解に関わる点を重点的に説明したい。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "金属元素の単体を水または水溶液に入れたときの、陽イオンのなりやすさをイオン化傾向(ionization tendency)という。例として、亜鉛Znを希塩酸HClの水溶液に入れると、亜鉛Znは溶け、また亜鉛は電子を失ってZnになる。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 114, "tag": "p", "text": "一方、銀Agを希塩酸に入れても反応は起こらない。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 115, "tag": "p", "text": "このように金属のイオン化傾向の大きさは、物質ごとに大きさが異なる。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 116, "tag": "p", "text": "二種類の金属単体を電解質水溶液に入れると電池ができる。これはイオン化傾向(単体の金属の原子が水または水溶液中で電子を放出して陽イオンになる性質)が大きい金属が電子を放出して陽イオンとなって溶け、イオン化傾向の小さい金属が析出するためである。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 117, "tag": "p", "text": "イオン化傾向の大きい方の金属を負極(ふきょく)という。イオン化傾向の小さい方の金属を正極(せいきょく)という。イオン化傾向の大きい金属のほうが、陽イオンになって溶け出す結果、金属板には電子が多く蓄積するので、両方の金属板を銅線でつなげば、イオン化傾向の大きい方から小さい方に電子は流れる。「電流」では無く、「電子」といってることに注意。電子は負電荷であるので、電流の流れと電子の流れは、逆向きになる。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 118, "tag": "p", "text": "さまざまな溶液や金属の組み合わせで、イオン化傾向の比較の実験を行った結果、イオン化傾向の大きさが決定された。左から順に、イオン化傾向の大きい金属を並べると、以下のようになる。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 119, "tag": "p", "text": "金属を、イオン化傾向の大きさの順に並べたものを金属のイオン化列という。水素は金属では無いが比較のため、イオン化傾列に加えられる。金属原子は、上記の他にもあるが、高校化学では上記の金属のみのイオン化列を用いることが多い。イオン化列の記憶のための語呂合わせとして、", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 120, "tag": "p", "text": "「貸そうかな、まあ、あてにすな、ひどすぎる借金。」", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 121, "tag": "p", "text": "などのような語呂合わせがある。ちなみにこの語呂合わせの場合、", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 122, "tag": "p", "text": "「KかそうかCa なNa、まMg あAl、あZn てFe にNi すなPb、ひH2 どCu すHg ぎAg る借金Pt,Au。」", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 123, "tag": "p", "text": "と対応している。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 124, "tag": "p", "text": "負極(亜鉛板)での反応", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 125, "tag": "p", "text": "正極(銅板)での反応", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 126, "tag": "p", "text": "ボルタの電池では、得られる両極間の電位差(「電圧」ともいう。)は、1.1ボルトである。(ボルトの単位はVなので、1.1Vとも書く。)この両極板の電位差を起電力という。起電力は、両電極の金属の組み合わせによって決まり物質固有である。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 127, "tag": "p", "text": "起電力の単位のボルトは、静電気力の電位の単位のボルトと同じ単位である。電気回路の電圧のボルトとも、起電力の単位のボルトは同じ単位である。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 128, "tag": "p", "text": "ボルタ電池の構造を以下のような文字列に表した場合、このような表示を電池図あるいは電池式という。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 129, "tag": "p", "text": "aqは水のことである。H2SO4aqと書いて、硫酸水溶液を表している。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 130, "tag": "p", "text": "物理学の電気回路の研究では、このような電池などの現象の発見と発明によって、安定な直流電源を実験的に得られるようになり、直流電気回路の正確な実験が可能になった。電池の発明以前にも、フランス人の物理学者クーロンなどによる静電気による電気力学の研究などによって、電位差の概念や電荷の概念はあった。だが、この時代の電源は、主に静電気によるものだったので、安定電源では無かった。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 131, "tag": "p", "text": "そして、電池による安定な電源の発明は、同時に安定な電流の発明でもあった。このような電池の発明などによる、直流電気回路の研究などから、ドイツ人の物理学者オームが、さまざまな導体に電流を流す実験と理論研究を行うことにより、電気回路の理論のオームの法則(オームのほうそく、Ohm's law)が発見された。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 132, "tag": "p", "text": "じつはオームは電池ではなく熱電対(ねつでんつい)というものを使って、電気回路に安定した電流をながす研究をした。当時の電池では、起電力がしだいに減ってしまい、オームは当初は電池で実験したが、うまく安定電流を得られなかった。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 133, "tag": "p", "text": "熱電対とは、まず異なる金属材料の2本の金属線を接続して1つの回路をつくり、2つの接点に温度差を与えると、回路に電圧が発生するため電流が流れる(この現象を、ゼーベック効果という)。この現象じたいは、1821年にゼーベックが発見した。このような回路が、熱電対である。なお、同じ2本の金属線では、温度差を与えても電圧は発生せず、電流は流れない。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 134, "tag": "p", "text": "オームは、ベルリン大学教授ポッケンドルフの助言によって、この熱電対を実験に利用した。温度を安定させるのは、当時の技術でも比較的簡単であったので、こうしてオームは安定電流をもちいる実験ができたのである。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 135, "tag": "p", "text": "", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 136, "tag": "p", "text": "オームの法則(Ohm's law)とは、", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 137, "tag": "p", "text": "「ほとんどの導体では、電流 I が流れている導体中の2点の点 P 1 {\\displaystyle P_{1}} と点 P 2 {\\displaystyle P_{2}} 間の電位差 E = E 1 − E 2 {\\displaystyle E=E_{1}-E_{2}} は、電流 I に比例する。」", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 138, "tag": "p", "text": "という実験法則である。誤解されやすいが、オームの法則は、このような実験法則であって、べつに抵抗の定義式では無い。同様に、オームの法則は、べつに電圧の定義式では無いし、電流の定義式でも無い。中学校の理科での電気回路の教育では、金属の電気分解の起電力の教育まではしないので、ともすれば、電圧を誤解して、「電圧は、単なる電流の比例量で、抵抗はその比例係数」のような誤解する場合が有りうるが、その解釈は明らかに誤解である。また、半導体などの一部の材料では、電流が増え材料の温度が上昇すると抵抗が下がる現象が知られているので、半導体ではオームの法則が成り立たない場合がある。なので、オームの法則を定義式と考えるのは不合理である。", "title": "電池の仕組み" }, { "paragraph_id": 139, "tag": "p", "text": "導線などの導体内の電気の流れを電流(でんりゅう、electric current)という。電流の強さはアンペアという単位で表す。1アンペアの定義は次の通りである。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 140, "tag": "p", "text": "1秒間に1クーロン(記号C)の電流が通過することを1アンペアという。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 141, "tag": "p", "text": "アンペアの記号はAである。また、電流は、単位時間あたりの電荷の通過量でもあるので、電流の単位を[C/s]と書く場合もある。一般的には、電流の単位は、なるべく[A]で表記することが多い。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 142, "tag": "p", "text": "電流I[A]と時間t[S]で導線断面を通過する電荷Q[C]の関係を式で表すと、", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 143, "tag": "p", "text": "である。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 144, "tag": "p", "text": "電流の向きの取り方については、自由電子は負電荷を持っているから、自由電子の向きとは反対向きに電流の向きをとることに注意せよ。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 145, "tag": "p", "text": "次に電流と自由電子の速度との関係を考える。自由電子の電荷の絶対値をeとすると、自由電子は負電荷であるから、自由電子の電荷はマイナス符号がつき-eである。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 146, "tag": "p", "text": "ドイツ人の物理学者オームは次のような法則を発見した。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 147, "tag": "p", "text": "「ほとんどの導体では、電流 I が流れている導体中の2点の点 P 1 {\\displaystyle P_{1}} と点 P 2 {\\displaystyle P_{2}} 間の電位差 E = E 1 − E 2 {\\displaystyle E=E_{1}-E_{2}} は、電流 I に比例する。」", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 148, "tag": "p", "text": "この実験法則をオームの法則(Ohm's law)という。式で表すと、電位差をVとして、電流をIとした場合に、比例係数をRとして、", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 149, "tag": "p", "text": "である。ここで、電位と電流の比例係数Rを電気抵抗あるいは単に抵抗(resistance、レジスタンス)という。電気抵抗の単位はオームと言い、記号はΩで表す。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 150, "tag": "p", "text": "慣習的に、抵抗の記号はRであらわす場合が多い。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 151, "tag": "p", "text": "電気回路へエネルギーを供給する電源として定電圧の直流電源を考える。回路の2地点間にある一定の電圧を供給し続けるものである。電圧源の回路図記号としてはが用いられる。記号の長い側が正極であり、プラスの電位である。記号の短い側は負極である。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 152, "tag": "p", "text": "乾電池は、直流電源として取り扱って良い。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 153, "tag": "p", "text": "なお、これらは直流電源である。交流の場合は一般化した電圧源としての記号を用いる。また特に正弦波交流電圧源であればの記号を用いる。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 154, "tag": "p", "text": "抵抗器(resistor)は、通常は単に抵抗と呼ばれる回路素子であり、与えられた電気エネルギーを単純に消費する素子である。回路図記号はあるいはであるが、本書では、両者とも抵抗の回路図記号として用いることにする。(画像素材の確保の都合のため、両方の記号が本書では混在します。ご容赦ください。)", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 155, "tag": "p", "text": "日本では、抵抗器の図記号は、従来はJIS C 0301(1952年4月制定)に基づき、ギザギザの線状の図記号で図示されていたが、現在の、国際規格のIEC 60617を元に作成されたJIS C 0617(1997-1999年制定)ではギザギザ型の図記号は示されなくなり、長方形の箱状の図記号で図示することになっている。旧規格であるJIS C 0301は、新規格JIS C 0617の制定に伴って廃止されたため、旧記号で抵抗器を図示した図面は、現在ではJIS非準拠な図面になってしまう。しかし、拘束力は無いため、現在も従来の図記号が多用されている。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 156, "tag": "p", "text": "", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 157, "tag": "p", "text": "複数の回路素子が1つの線上に配置されているような接続を直列接続といい、複数の回路素子が二股に分かれるように配置されている接続を並列接続という。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 158, "tag": "p", "text": "直列接続においては、それぞれの回路素子に流れる電流は全て等しい。一方、並列接続においてはそれぞれの回路素子の両端にかかる電圧が全て等しい。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 159, "tag": "p", "text": "また、直列接続においてはそれぞれの回路素子にかかる電圧の和が全電圧となり、並列接続においてはそれぞれの回路素子を流れる電流の和が全電流となる。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 160, "tag": "p", "text": "抵抗が複数接続されている場合、その複数の抵抗をまとめてあたかも1つの抵抗が接続されているかのような等価的な回路を考えることができる。複数の抵抗と等価な1つの抵抗を合成抵抗という。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 161, "tag": "p", "text": "抵抗がn個直列に接続されている場合を考える。抵抗 R 1 , R 2 , ⋯ , R n {\\displaystyle R_{1},R_{2},\\cdots ,R_{n}} が直列に接続されている場合、各抵抗を流れる電流は等しく、これをiとする。各抵抗 R k ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\\displaystyle R_{k}(k=1,2,\\cdots ,n)} にかかる電圧を v k {\\displaystyle v_{k}} とすると、オームの法則より", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 162, "tag": "p", "text": "が成り立つ。このとき直列抵抗の両端の電圧vは、", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 163, "tag": "p", "text": "である。これと等価な抵抗Rが1つだけ接続されているような等価回路を考えるとき、", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 164, "tag": "p", "text": "が成り立つから、したがってこれらのn個の直列抵抗の合成抵抗Rとして", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 165, "tag": "p", "text": "を得る。すなわち、直列合成抵抗は各抵抗の総和となる。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 166, "tag": "p", "text": "同様に、抵抗がn個並列に接続されている場合を考える。抵抗 R 1 , R 2 , ⋯ , R n {\\displaystyle R_{1},R_{2},\\cdots ,R_{n}} が並列に接続されている場合、各抵抗の両端の電圧は等しく、これをvとする。各抵抗 R k ( k = 1 , 2 , ⋯ , n ) {\\displaystyle R_{k}(k=1,2,\\cdots ,n)} を流れる電流を i k {\\displaystyle i_{k}} とすると、オームの法則より", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 167, "tag": "p", "text": "が成り立つ。このとき並列抵抗へ流れ込む電流iは、", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 168, "tag": "p", "text": "である。これと等価な抵抗Rが1つだけ接続されているような等価回路を考えるとき、", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 169, "tag": "p", "text": "が成り立つから、したがってこれらのn個の並列抵抗の合成抵抗Rとして", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 170, "tag": "p", "text": "を得る。すなわち、並列合成抵抗の逆数は各抵抗の逆数の総和となる。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 171, "tag": "p", "text": "抵抗Rを電流Iが流れるとき、その部分の発熱のエネルギーは、1秒あたりにRI[J/s]である。これをジュール熱という。名前の由来は物理学者のジュールが調べたからである。オームの法則より、V=RIでもあるので、ジュール熱はVIとも書ける。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 172, "tag": "p", "text": "そこで、ひとまず、熱の考察には離れて、次の量を定義する。電気回路のある2点間を流れる電流Iと、その2点間の電圧Vとの積VIを電力(power)と定義する。電力の記号はPで表わされることが多い。電力の単位のジュール毎秒[J/s]を[W]という単位で表し、この単位Wはワット(Watt)と読む。つまり電力は記号で", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 173, "tag": "p", "text": "である。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 174, "tag": "p", "text": "導線の太さや長さによって抵抗の大きさは変わる。直感的に太いほうが流れやすいのは分かるだろう。それに並列接続と対応させても、導線が太いほうが流れやすいのは分かるだろう。実際に電気抵抗は、導線が太いに反比例して小さくなることが実験的に確認されている。そこで、つぎのような式においてみよう。抵抗をR[Ω]とした場合、導線の太さを面積で表しA[m]とすれば、比例定数にkを用いれば、", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 175, "tag": "p", "text": "である。( ∝は、比例関係を表す数学記号。)", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 176, "tag": "p", "text": "さらに、導線は材質や太さが同じならば、導線が長いほど抵抗が、長さに比例して抵抗が大きくなることが、確認されている。そこで、さらに、抵抗体の長さを考慮した式に表してみれば、次のようになる。抵抗帯の長さをl[m]とすれば", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 177, "tag": "p", "text": "である。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 178, "tag": "p", "text": "さらに、導線の材質によって、抵抗の大きさは変わる。同じ長さで同じ太さの抵抗でも、材質によって抵抗の大きさは異なる。そこで、材質ごとの比例定数をρとおけば、抵抗の式は以下の式で記述される。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 179, "tag": "p", "text": "ρは抵抗率(ていこうりつ、resistivity)と呼ばれる。抵抗率の単位は[Ωm]である。", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 180, "tag": "p", "text": "", "title": "電流と電気回路" }, { "paragraph_id": 181, "tag": "p", "text": "磁石のまわりには別の磁石を動かす力のもととなるものが生じている。これを磁場(じば、magnetic field)あるいは磁界(じかい)と呼ぶ。(日本の物理学では磁場と呼ぶことが多く、また、日本の電気工学では磁界と呼ばれることが多い。明治期の訳語の際の、日本国内の業界ごとの違いに過ぎず、地域社会的な事象であり、呼び方は物理の本質とは関係ないので、ここでは、どちらの表現を用いるかは、本書では特にこだわらない。英語では物理学・電気工学とも“magnetic field”で共通している。)", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 182, "tag": "p", "text": "鉄やコバルトやニッケルに磁石を近づけると、磁石に吸い付けられる。また、鉄やコバルトやニッケルに強い磁化を与えると、鉄やコバルトやニッケルそのものが磁場を周囲に及ぼすようになる。このような、もともとは磁場を持たなかった物体が、強い磁場を受けたことによって磁場を及ぼすようになる現象を磁化(じか、magnetization)という。あるいは電荷の静電誘導と対応させて、磁化のことを磁気誘導(じきゆうどう、magnetic induction)ともいう。そして、鉄やコバルトやニッケルのように、磁石に引き付けられ、さらに磁化をする能力がある物体を強磁性体(きょうじせいたい、ferromagnet)という。鉄とコバルトとニッケルは強磁性体である。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 183, "tag": "p", "text": "銅は磁化しないし、銅は磁石に引きつけられないので、銅は強磁性体ではない。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 184, "tag": "p", "text": "静電誘導を利用した、静電遮蔽(せいでんしゃへい)と言われる、中空の導体をつかって物質を囲むことで外部電場を遮蔽する方法があったのと同様の、磁気の遮蔽が、強磁性体でも出来る。中空の強磁性体を用いて、強磁性体の内部は磁場を遮蔽できる。これを磁気遮蔽(じきしゃへい、magnetic shielding)という。磁気シールドともいう。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 185, "tag": "p", "text": "磁場の向きが分かるように図示しよう。磁石の作る磁場の方向は、砂に含まれる砂鉄の粉末を磁石に、ちりばめて、ふりかけることで観察できる。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 186, "tag": "p", "text": "これを図示すると、下図のようになる。(画像素材の確保の都合上、写真と図示とでは、N極とS極が逆になっています。ご容赦ください。)", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 187, "tag": "p", "text": "このような磁場の図を磁力線(じりょくせん、magnetic line of force)という。磁力線の向きは、磁石のN極から磁力線が出て、S極に磁力線が吸収されると定義される。棒磁石では、磁力の発生源となる場所が、棒磁石の両端の先端付近に集中する。そこで、棒磁石の両端の先端付近を磁極(じきょく、magnetic pole)という。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 188, "tag": "p", "text": "このような磁石のつくる磁力線の形は、電気力線での、異符号の電荷どうしがつくる電気力線に似ている。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 189, "tag": "p", "text": "1つの棒磁石ではN極(north pole)の磁気の強さと、S極(south pole)の磁気の強さは等しい。また、磁石には、必ずN極とS極とが存在する。N極とS極の、どちらか片方だけを取り出すことは出来ない。たとえ棒磁石を切断しても、切断面に磁極が出現する。このような現象のおこる理由は、そもそも棒磁石を構成する強磁性体の原子の1個ずつが小さな磁石であり、それら小さな原子の磁石が、いくつも整列して、大きな棒磁石になっているからである。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 190, "tag": "p", "text": "仮想的に、磁極がS極またはN極の片方だけ現れた現象を理論計算のために考えることがあるが、このような片側だけの磁極を単磁極(モノポールという。)というが、単磁極は実在しない。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 191, "tag": "p", "text": "棒磁石などからの、片側の磁極あたりの、磁極からの磁場の強さのことを、そのまま「磁極の強さ」(Magnetic charge)と呼ぶ。あるいは磁荷(じか、magnetization)や磁気量という。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 192, "tag": "p", "text": "これから、この磁化と磁場の関係を式で表すことを考える。まず、棒磁石には磁極が両側に2個あるので、計算を簡単にするために、棒磁石の両端の距離が大きく、反対側の磁極の大きさを無視できる磁石を考えよう。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 193, "tag": "p", "text": "このような磁石を用いて、実験したところ、次の法則が分かった。磁力の強さは2個の物体の磁気量m1およびm2に比例し、2個の物体間の距離rの2乗に反比例する。式で表すと、", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 194, "tag": "p", "text": "で表される。(kmは比例定数) これを発見者のクーロンの名にちなんで、磁気に関するクーロンの法則という。磁気量mの単位はウェーバといい、記号は[Wb]で表す。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 195, "tag": "p", "text": "比例定数kmと1ウェーバの大きさとの関係は、1メートル離れた1wbどうしの磁極にはたらく力を約6.33×10として、比例係数kmは、", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 196, "tag": "p", "text": "である。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 197, "tag": "p", "text": "つまり、", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 198, "tag": "p", "text": "である。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 199, "tag": "p", "text": "静電気力に対して、電場が定義されたように、磁気力に対しても、場が定義されると都合が良い。磁気量m1[Wb]が作る、次の量を磁場の強さあるいは磁場の大きさと言い、記号はHで表す。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 200, "tag": "p", "text": "磁場の強さHの単位は[N/Wb]である。Hを用いると、磁気量m2[Wb]にはたらく磁気力f[N]は、", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 201, "tag": "p", "text": "と表せる。", "title": "磁力" }, { "paragraph_id": 202, "tag": "p", "text": "物理学者のエルステッドは、電流の実験をしている際に、たまたま近くにおいてあった方位磁石が動くのを確認した。彼が詳しく調べた結果、以下のことが分かった。", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 203, "tag": "p", "text": "電流が流れているときには、そのまわりには、磁場が生じる。向きは、電流の方向に右ねじが進むように、右ねじを回す向きと同じなので、これを右ねじの法則という。", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 204, "tag": "p", "text": "アンペールが、磁場の大きさを調べた結果、磁場の大きさHは、電流I[A]が直線的に流れているとき、直線電流の周りの磁場の大きさは、導線からの距離をa[m]とすると、磁場の大きさH[N/Wb]は、", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 205, "tag": "p", "text": "であることが知られている。", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 206, "tag": "p", "text": "これをアンペールの法則(Ampere's law) という。磁場の大きさHの単位は、[N/Wb]であるが、いっぽうアンペールの法則の式をみればアンペア毎メートル[A/m]でもある。", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 207, "tag": "p", "text": "導線をコイル状に巻けば、アンペールの法則で導線の周囲に発生する磁場が重なりあう。このようにした磁場を強めたコイルを電磁石(でんじしゃく、electromagnet)という。導線に電流を流しているときにのみ、電磁石は磁場を発生する。導線に電流を流すのを止めると、電磁石の磁場は消える。", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 208, "tag": "p", "text": "磁場の大きさHに、次の節で扱うローレンツ力の現象のため、比例係数μ(単位はニュートン毎アンペアで[N/A])を掛けて、記号Bで表し、", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 209, "tag": "p", "text": "とすることがある。この量Bを磁束密度(magnetic flux density)という。磁場の大きさHの向きと磁束密度Bの向きは同じ向きである。また、磁場の大きさHと磁束密度Bの比例係数を透磁率(とうじりつ、magnetic permeability)という。 (ローレンツ力に関しては、詳しくは物理IIで扱う。読者が物理Iを学ぶ学年ならば、読者は「ローレンツ力という力があるのだな・・・」とでも思っておけばいい。)", "title": "電流がつくる磁場" }, { "paragraph_id": 210, "tag": "p", "text": "まず、導線を用意したとしよう。この導線は、静止しているとして、静止しているが、固定はせずに、もし導線に力が加われば、導線が動けるようにしてるとしよう。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 211, "tag": "p", "text": "この導線に電流を流しただけでは、べつに導線は動かない。しかし、この導線に、外部の磁石による磁場が加わると、導線が動く。このような、磁場と電流の相互作用によって、導線に生じる力をローレンツ力(ローレンツりょく、英: Lorentz force)という。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 212, "tag": "p", "text": "ローレンツ力の向きは、導線の電流の向きと磁場の向きに垂直である。電流Iの向きから磁束密度Bの向きに右ねじを回す向きと同じである。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 213, "tag": "p", "text": "また、ローレンツ力の大きさは、導線の長さlと、磁場の導線との垂直方向成分に比例する。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 214, "tag": "p", "text": "ローレンツ力の大きさF[N]を式で表せば、電流と磁場とが垂直だとして、磁場を受けている導線の形状が直線形だとして、電流をI[A]として、導線の長さをl[m]として、導線にかかっている外部磁場の磁束密度をB[N/(A・m)]とすれば、", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 215, "tag": "p", "text": "で表せる。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 216, "tag": "p", "text": "ローレンツ力の公式に、クーロンの法則などでは見られたような比例係数(係数Kなど。)が含まれないのは、そもそも、このローレンツ力の現象を元に、磁気量ウェーバWbの単位および磁束密度Bの単位が、決定されているからである。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 217, "tag": "p", "text": "また、「磁束密度」の名称が、「磁束」・「密度」というのは、実は磁束密度の単位の[N/(A・m)]は、単位を式変形すると[Wb/m]でもあることが由来である。この単位[Wb/m]を、電気工学者のテスラの名にちなみ、単位[Wb/m] をテスラと言い、記号Tで表す。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 218, "tag": "p", "text": "このローレンツ力の現象が、電気機器のモータ(電動機)の原理である。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 219, "tag": "p", "text": "", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 220, "tag": "p", "text": "なお、「フレミングの法則」というローレンツ力に関する法則があるが、ローレンツ力の計算には実用的では無いし、フレミングの名を関した異なる法則が幾つもあって紛らわしく間違いの原因になりやすいので、本書では教えない。実際に、専門的な物理計算では、フレミングの法則は、計算には用いない。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 221, "tag": "p", "text": "しかも、フレミングの法則には「フレミングの右手の法則」と、これとは異なる「フレミングの左手の法則」があり、どちらが、どの磁気の現象に用いる法則だったのかを間違えやすい。だから、本書では教えない。", "title": "ローレンツ力" }, { "paragraph_id": 222, "tag": "p", "text": "(電磁誘導に関しては、詳しくは物理IIで扱う。)", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 223, "tag": "p", "text": "アンペールの法則では、電流の周りに磁場ができるのであった。", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 224, "tag": "p", "text": "実は、磁石を動かすなどして、磁場を伴う物体が運動すると、そのまわりには電場が生じる。仮に、コイルの近くでそれを行なったとすると、生じた電場によってコイルの中には電流が流れる。生じる電場の大きさは、", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 225, "tag": "p", "text": "となる。(半径aの円形のコイルの場合。) Eの単位は[V/m]であり、Bの単位は[T]である。", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 226, "tag": "p", "text": "この現象を電磁誘導(でんじゆうどう、electromagnetic induction)といい、電磁誘導によって発生した電流を誘導電流という。", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 227, "tag": "p", "text": "また、誘導電流の向きは、磁石の動きによる、コイルの中を通る磁束の変化を妨げる向きに、電流が流れる。(誘導電流もアンペールの法則に従い、周囲に磁場を作る。) この誘導電流が、コイルの中を通る磁束の変化を妨げる向きに誘導電流が流れる現象をレンツの法則(Lenz's law)という。", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 228, "tag": "p", "text": "", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 229, "tag": "p", "text": "同じ領域にN回巻かれたコイルが置かれた場合、ファラデーの電磁誘導の法則は、次のようになる。", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 230, "tag": "p", "text": "ここで、 E {\\displaystyle {\\mathcal {E}}} は起電力(ボルト、記号はV)、ΦB は磁束(ウェーバ、記号はWb)とする。Nは電線の巻数とする。", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 231, "tag": "p", "text": "この電磁誘導の現象が、火力発電や水力発電などの発電機の原理である。これ等の発電では、永久磁石を回転させることで、発電をしている。火力や水力というのは、機器の回転を得る手段にすぎない。また、発電所の発電には、永久磁石の回転を利用しているため、発生する電圧や電流は周期的な波形になり、次に説明する交流波形になる。", "title": "電磁誘導" }, { "paragraph_id": 232, "tag": "p", "text": "回路への入力電圧が周期的に時間変化する回路の電圧および電流を交流(alternating current)という。これに対し、乾電池などによって発生する電圧や電流のように、時間によらず一定な電圧や電流は直流(direct Current)という。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 233, "tag": "p", "text": "交流波形が何秒で1周するかという時間を周期(wave period)という。周期の記号は T {\\displaystyle T} で表し単位は秒[s]である。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 234, "tag": "p", "text": "1秒間に波形が何周するかという回数を周波数あるいは振動数(英語は、ともにfrequency)という。電気の業界では周波数という用語を用いることが多い。物理の波の理論では振動数という表現を用いることが多い。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 235, "tag": "p", "text": "周波数の単位は[1/s]であるが、これをヘルツ(hertz)という単位で表し、単位記号Hzを用いて周波数fを、f[Hz]というふうに表す。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 236, "tag": "p", "text": "交流電流や交流電圧が正弦波の場合は、これらのパラメータを用いて", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 237, "tag": "p", "text": "と書くことができる。 sinとは三角関数である。知らなければ数学IIなどを参考にせよ。このときのsinの係数 I 0 {\\displaystyle I_{0}} や V 0 {\\displaystyle V_{0}} を振幅(しんぷく、amplitude)といい、また時刻t=0における電流や電圧の値を示し、時間波形を決定する θ i {\\displaystyle \\theta _{i}} や θ v {\\displaystyle \\theta _{v}} を初期位相という。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 238, "tag": "p", "text": "普通科高校の高校物理では、交流波形の計算には、正弦波の場合を主に扱う。方形波や三角波の計算は、普通は扱われない。ただし、工業高校の授業や、工場の実務では扱うことがあるので、読者は波形を学んでおくこと。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 239, "tag": "p", "text": "発電所から一般家庭に送られてくる電圧は交流電圧である。東日本では50Hzであり、西日本では60Hzである。これは明治時代の発電機の輸入時に、東日本の事業者はヨーロッパから50Hz用の発電機を輸入し、西日本の事業者はアメリカから60Hzの発電機を輸入したことによる。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 240, "tag": "p", "text": "発電所から一般の家庭などに送られる電流の周波数を商用周波数という。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 241, "tag": "p", "text": "商用電源の電圧振幅は約140Vである。これは 100 × 2 {\\displaystyle 100\\times {\\sqrt {2}}} [V]である。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 242, "tag": "p", "text": "キロヘルツとは1000Hzのことである。キロヘルツはkHzと書く。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 243, "tag": "p", "text": "交流電流に対しては、電流と同じ振動数で、アンペールの法則で発生する磁場も振動する。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 244, "tag": "p", "text": "導線でつくられたコイルは、直流電流では、ただの導線としてはたらく。しかし、交流電流に対しては、電磁誘導により自己の発生させた磁場を妨げるような電流および起電力が発生する。これを自己誘導(self induction)という。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 245, "tag": "p", "text": "自己誘導による起電力の大きさは、電流の時間変化率に比例する。自己誘導の起電力を式で書けば、比例係数をLとして、", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 246, "tag": "p", "text": "である。この比例係数 L {\\displaystyle L} を自己インダクタンス(self inductance)という。自己インダクタンスの次元は[V・S/m]だが、これをヘンリーという単位で表し、単位にHという記号を用いる。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 247, "tag": "p", "text": "鉄心に二つのコイルを巻き、コイルの片方の電流を変化させると、アンペールの法則によって生じていた磁束も変化するから、反対側のコイルには、この磁束密度の変化を打ち消すような向きに起電力が発生する。この現象を相互誘導(mutual induction)と言う。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 248, "tag": "p", "text": "電圧を入力させた側のコイルを1次コイル(primaly coil)と言い、誘導起電力を発生させる側のコイルを2次コイル(secondary coil)という。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 249, "tag": "p", "text": "相互誘導による起電力の大きさは、電流の時間変化率に比例する。相互誘導の起電力を式で書けば、比例係数をMとして、(相互誘導の比例係数はLでは無い。)式は、", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 250, "tag": "p", "text": "である。この比例係数 M {\\displaystyle M} を相互インダクタンス(self inductance)という。相互インダクタンスの次元は、自己インダクタンスの単位と同じでヘンリー(H)である。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 251, "tag": "p", "text": "この相互インダクタンスの大きさは、両方のコイルの巻き数どうしの積に比例する。", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 252, "tag": "p", "text": "", "title": "交流回路" }, { "paragraph_id": 253, "tag": "p", "text": "磁場の動きによって電場が引き起こされることを電磁誘導のセクションで見た。実際には電場の変化によって磁場が引き起こされることも知られている。これによって何もない空間中を電場と磁場が伝播していくことが予想される。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 254, "tag": "p", "text": "電磁波の速度を物理学者のマクスウェルが計算で求めたところ、電磁波の速度は、真空中では常に一定で、かつ波の速度cを計算で求めたところ、", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 255, "tag": "p", "text": "となり、既に知られていた光速に一致した。このことから、光は電磁波の一種であることが分かった。物理IIで、電磁波の速度を求める計算は、詳しくは扱う。読者が光速の測定実験について調べるなら、物理Iの波動に関するページなどでフィゾーの実験について、参照のこと。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 256, "tag": "p", "text": "波は波長λが長いほど、振動数fが小さくなる。波の波長λと振動数fの積fλは一定で、これは波の速度vに等しい。つまり", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 257, "tag": "p", "text": "である。電磁波の場合は、速度が光速のcなので", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 258, "tag": "p", "text": "である。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 259, "tag": "p", "text": "放送用のテレビやラジオの電波(でんぱ、radio wave)は、電磁波(electromagnetic wave)の一種である。波長が0.1mm以上の電磁波が電波に分類される。なお、電波のうち、波長が1mm~1cmのミリメートルの電波をミリ波という。同様に、波長が1cm~10cmの電波をセンチ波という。波長10cm~100cm(=1m)の電波はUHFと言われ、テレビ放送などに使われるUHF放送は、この電波である。波長1m~10mの電波はVHFと言われる。テレビ放送のVHF放送は、この電波である。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 260, "tag": "p", "text": "波長が0.1mm以下で、可視光線(可視光の最大波長は780ナノメートル程度)よりかは波長が長い電磁波は赤外線(せきがいせん、infrared rays、インフラレードレイズ)という。「赤」の「外」という理由は、可視光の最大波長の色が赤色だからである。赤外線そのものには色はついていない。市販の赤外線ヒーターなどが赤色に発光する製品があるのは、使用者が動作確認をできるようにするために、製品に赤色のランプを併置しているからである。赤外線は、物体に吸収されやすく、吸収の際、熱を発生するので、ヒーターなどに応用される。なお、太陽光にも赤外線は含まれる。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 261, "tag": "p", "text": "そもそも赤外線が発見された経緯は、イギリスの天文学者のハーシェルが太陽光をプリズムで分光した際に、赤色の光線のとなりの、目には色が見えない部分が温度上昇していることが発見されたという経緯がある。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 262, "tag": "p", "text": "", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 263, "tag": "p", "text": "我々、人間の目に見える可視光線(かしこうせん、visible light)の波長は、約780ナノメートルから約380ナノメートルの程度である。可視光の中で波長が最も長い領域の色は赤色である。可視光の中で波長が最も短い領域の色は紫色である。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 264, "tag": "p", "text": "光そのものには、色はついていない。我々、人間の脳が、目に入った可視光を、色として感じるのである。太陽光をプリズムなどで分光(ぶんこう)すると、波長ごとに軌跡(きせき)がわかれる。この分光した光線は、他の波長を含まず、ただ一種の波長なので、このような光線および光を単色光(monochromatic light)という。また、白色は単色光ではない。白色光(white light)とは、全ての色の光が混ざった状態である。同様に、黒色という単色光もない。黒色とは、可視光が無い状態である。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 265, "tag": "p", "text": "紫外線(しがいせん、ultraviolet rays)は化学反応に影響を与える作用が強い。殺菌消毒などに応用される。太陽光にも紫外線は含まれる。人間の肌の日焼けの原因は、紫外線がメラニン色素を酸化させるからである。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 266, "tag": "p", "text": "赤外線は太陽光のプリズムによる分光で発見された。「では、分光された紫色の光線のとなりにも、なにか目には見えない線があるのでは?」というふうなことが学者たちによって考えられ、ドイツの物理学者リッターにより化学的な実験方法を用いて、紫外線の存在も実証された。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 267, "tag": "p", "text": "医療用のレントゲンなどの透過写真で用いられるX線(X-ray)も電磁波の一種である。生物の細胞を分子レベルで傷つけ、発がん性が有る。ガンマ線(gamma‐ray、γ ray)も同様に、透過写真にも応用されるが、生物の細胞を分子レベルで傷つけ、発がん性が有る。", "title": "電磁波" }, { "paragraph_id": 268, "tag": "p", "text": "??", "title": "電磁波" } ]	高等学校物理基礎 > 電気本項は高等学校物理基礎の電気と磁気の解説である。	<small>[[高等学校物理基礎]] > 電気</small> ---- 本項は[[高等学校物理基礎]]の電気と磁気の解説である。 ==電気== ===生活の中の電気=== ====電気と生活==== 現代社会において、私たちの日常生活には電気が欠かせない。多くの製品が電気を用いて動作しており、その理由はさまざまだが、主な要因は以下の通りだ。まず第一に、電気は様々な別のエネルギー形態に変換できることが挙げられる。例えば、電熱線を使用すれば電気エネルギーを熱エネルギーに変換し、暖房や調理などに利用することができる。また、電球や発光ダイオード（LED）を使用すれば、電気エネルギーを光エネルギーに変換して照明を行うことができる。さらに、電動機を使用すれば、電気エネルギーを機械的な運動エネルギーに変換して様々な機器や輸送手段を動かすことができる。次に、電池やコンデンサを使用してエネルギーを貯蔵し、持ち運ぶことができる点も重要だ。これにより、モバイルデバイスや携帯電話など、電源に接続されていない場所でも電気を利用することが可能となる。また、電線を使用して長距離を送電することができるため、発電所から家庭や工場まで電気を供給することが可能だ。さらに、電子製品は計算能力や信号の伝達能力が優れており、情報技術や通信分野で広く利用されている。また、電気は比較的に安全に取り扱うことができ、少量のエネルギーでも効率的に利用することができる点も大きな利点だ。このように、電気は私たちの生活において欠かせないエネルギー源となっており、様々な面で便利さや効率性を提供している。 ====電動機と発電機==== 電動機と発電機は、現代の電気工学において重要な役割を果たしている。これらの装置は、電気エネルギーと機械的な運動エネルギーの相互変換を可能にし、さまざまな産業や日常生活において使用されている。 ;電動機: :電動機({{Lang-en-short\|electric motor}})は電気エネルギーを機械的な運動に変換する装置だ。一般的な電動機は、導線が磁場内で動くことによって発生する力（[[#ローレンツ力\|ローレンツ力]]）を利用して動作する。この原理に基づき、電動機は直流電動機と交流電動機の二種類に分けられる。直流電動機は直流電源からの電力を使用し、交流電動機は交流電源からの電力を使用する。電動機は、工場の機械や産業用機器、家庭用家電製品など、さまざまな用途に広く使用されている。 ;発電機: :発電機({{Lang-en-short\|generator}})は、運動エネルギーを電気エネルギーに変換する装置だ。一般的な発電機は、導線が磁場内で動くことによって電気を発生させる。主に回転運動を利用して電気を生成するため、発電機は機械的なエネルギーを電気エネルギーに変換する発電所で広く使用されている。発電所では、さまざまなエネルギー源（水力、風力、火力、原子力など）が利用され、それらの運動エネルギーが発電機によって電気エネルギーに変換される。両者は相互に関連しており、電動機は発電機と同様の原理で動作しますが、逆のプロセスを行いる。つまり、電動機は電気エネルギーを機械的な運動に変換し、発電機は機械的な運動を電気エネルギーに変換する。このように、電動機と発電機は現代の産業や生活において欠かせない装置であり、エネルギーの効率的な利用に貢献している。 ====直流・交流と電波==== 直流と交流は電気の流れ方を表す用語であり、また電波は電磁波の一種である。以下にそれぞれの概要を示す。 ; 直流 (Direct Current, DC): 電池などの電源から供給される電流のうち、電極の正極から負極へ一方向に流れる電流を指す。直流は一定の電圧と極性を持ち、一定の方向に流れる特性を持つ。直流の利点は安定性と制御の容易さであり、電池式機器や一部の電子機器で使用される。 ; 交流 (Alternating Current, AC): 発電所などの電源から供給される電流のうち、定期的に正負が逆転する電流を指す。交流は定期的に波形を変化させるため、電力の送電や変圧、変換が容易であり、長距離送電に適している。また、家庭や工業用電気回路で広く使用されている。実際には、直流と交流は機器や回路によって相互変換されることがある。例えば、ダイオードを使用して交流を直流に変換する整流が行われる。 ; 電波 (Electromagnetic Waves) : 電波は、電磁波の一種であり、電場と磁場が周期的に振動する波動だ。電波は様々な周波数を持ち、それによって異なる特性や用途がある。電波は主に放送、通信、無線通信、レーダーなどの分野で広く利用されている。 : 電波の振動は空間を伝播し、電磁波として進行する。電波は真空中や空気中を伝播するため、導体を必要としない。これは、電波が電子の移動に依存せず、電場と磁場の振動によって生じるためだ。 : 電波は周波数によって分類される。低周波数の電波は、主にAMラジオや地上波テレビなどの放送に使用される。一方、高周波数の電波は、FMラジオや携帯電話、Wi-Fi、衛星通信などの通信に使用される。また、極超短波の電波は、レーダーやミクロ波オーブンなどに利用される。 : 電波はその特性から、情報の送受信や物体の探知、測定などに幅広く応用されている。そして、現代の通信技術や無線技術の発展において重要な役割を果たしている。 == 静電気 == プラスチックの下敷きなどで髪をこすると帯電する現象などのように、物質が電気を帯びることを'''帯電'''（たいでん）という。物体をこすって発生させる静電気を'''摩擦電気'''という。ガラス棒を絹の布でこすると、ガラス棒は正の電気に帯電し、絹は負の電気に帯電する。電気の量を'''電荷'''（でんか、charge）という。あるいは'''電気量'''という。電荷の単位は'''クーロン'''である。クーロンの記号はCである。静電気による電荷どうしに働く力を'''静電気力'''という。なお、帯電していない状態を電気的に中性である、という。金属のように、電気を通せる物体を'''導体'''（どうたい、conductor）という。プラスチックやガラスやゴムのように電気を通さない物質を'''絶縁体'''（ぜつえんたい、insulator）あるいは'''不導体'''（ふどうたい）という。金属は導体である。電気の正体は'''電子'''（electron）という粒子である。この電子は負電荷を帯びている。（電子の電荷が負に定義されているのは、人類が電子を発見する前に電荷の正負の定義が行われ、あとから電子が見つかった際に電子の電荷を調べたら負電荷だったからである。） [[File:Metalic bond model.svg\|thumb\|400px\|金属中での自由電子の模式図]] 金属が導体なのは、金属中の電子は、もとの原子を離れて、その金属全体の中を自由に動けるからである。金属中の電子のように、物質中を自由に動ける状態の電子を、'''自由電子'''（じゆうでんし）という。電流とは、自由電子が移動することである。いっぽう、絶縁体は、自由電子をもたない。絶縁体の電子は、すべて、もとの原子に束縛（そくばく）されて閉じ込められていて、自由には動けない。正電荷とは、物質に電子が欠乏している状態である。負電荷とは、物質が電子を多く持っている状態である。帯電していない絶縁体の物質をこすりあわせて、両方を摩擦電気に帯電させた場合、片方は正電荷を生じ、もう片方の物質は負電荷を生じる。このとき、発生した正電荷の大きさと負電荷の大きさは同じである。これは、電子が移動して、片方の物質は電子が不足し、もう片方は等量の電子が過剰になっているからである。このように、電子は生成も消滅もしない。これを'''電荷保存則'''あるいは'''電気量保存則'''と言う。 === 静電誘導 === [[Image:Electrostatic induction.svg\|thumb\|upright=1.5\|導体は、近くの電荷によって表面に電荷が誘導される。物体内部の静電気力の大きさはゼロである。]] 電気的に中性であった導体の物質（仮に物質Aとする）に帯電した別の物質（仮に物質Bとする）を接触させずに近づけると、物質Aには、帯電物質Bの電荷に引き寄せられて、物体Aの内部で反対符号の電荷が帯電物体Bに近い側の表面に生じる。また、帯電物体Bと同じ電荷は反発するので、物体A内部の帯電物体Bとは遠い側の表面に生じる。このような現象を'''静電誘導'''（せいでんゆうどう;Electrostatic induction）という。静電誘導で生じた電荷の正電荷の量と負電荷の量は等量である。（電気量保存の法則）導体の内部に静電気力は無い。もしあったとすると、自由電子などの電荷が動き、電流が流れ続けることになるが、そのような現象は実在しないので不合理になる。したがって、導体の内部に静電気力は無い。表面に電荷が集まるのは、導体の内部に静電気力を作らせないためである。したがって静電誘導で引き寄せられる電荷の大きさは、外部から導体内部への静電気力を打ち消すだけの大きさである。この導体内部の電荷がゼロになる性質を応用すると、中空の導体で出来た物体を用いて、静電気力を遮蔽することができる。これを静電遮蔽（せいでんしゃへい、electric shilding）という。 === 誘電分極 === [[File:Pith ball electroscope operating principle.svg\|thumb\|300px\|誘電分極の概念図]] 絶縁体（仮にAとする）に電荷を近づけた場合は、導体とは違い、物体Aの内部の電子は自由に表面には集まれないが、物体内部の原子の正負の電荷の極性を持った部分が、外部の静電気力に引き寄せられるように、近づけた電荷に近い側には異種の電荷が生じ、遠い側には、同種の電荷が生じる。原子や分子が外部の静電気力によって、正負の電荷の部分が生じることを'''分極'''（ぶんきょく）といいい、外部の電化によって起こる、このような分極のしかたを'''誘電分極'''（ゆうでんぶんきょく、dielectric polarization）という。絶縁体は、静電気力にさらされると誘電分極を行うので、絶縁体のことを'''誘電体'''（ゆうでんたい、dielectric）ともいう。導体に静電誘導された正負の電荷は、導体を切断などをすれば正電荷と負電荷を別個に取り出すことができる。しかし誘電体の正負の電荷は、原子や分子と密接に結びついているため、正負の電荷を分かれて取り出すことは出来ない。 {{clear}} ==電場と磁場== ===電荷と電場=== ====電荷==== [[Image:Static repulsion.jpg\|thumb\|セロテープの同じ電荷による反発]] [[Image:Static attraction.jpg\|thumb\|セロテープの異電荷よる引き寄せ]] ある物質が電気を帯びている（帯電している）とき、その帯電の大小の程度を'''電荷'''（でんか、electric charge）という。さまざまな物質をいろいろな方法で帯電させた結果、電荷には、帯電した2個のものどうしを近づけた時に引っ張り合うもの（引力が働く）と反発しあうもの（斥力がはたらく）の2種類があることが分かった。このような、帯電している物体に働く力を'''静電気力'''という。べつの帯電したものを、他にもいくつか用意して、近づけて実験する2個の物体の組み合わせを変えると、組み合わせによって、2個の物体どうしに引力が働く場合もあれば、斥力が働く場合もあることが分かった。この引力と斥力の関係は、帯電した電荷の種類に応じることがわかった。 ==== 正電荷と負電荷 ==== 結論を言うと、電荷には正負の2種類がある。正の電荷どうしの物体を近づけたときは反発しあう。負の電荷どうしを近づけたときも反発しあう。正と負の電荷を近づけた時には引力が働く。つまり、同符号の電荷を近づけた場合は、反発力が生じる。異符号の電荷を近づけた場合は、引力が生じる。 {{clear}} ==== 静電気力 ==== [[File:Coulomb.jpg\|thumb\|150px\|クーロンの肖像。Charles Augustin de Coulomb]] [[Image:Bcoulomb.png\|thumb\|left\|300px\|クーロンが静電気力の測定に用いた、ねじり計り]] [[File:Coulomb torsion.svg\|thumb\|300px\|]] 静電気どうしの力の強さは、実験的には、電荷の間に働く力は、重力の場合と同様に力を及ぼし合う2物体の間の距離の2乗に反比例することが知られている。更に、電荷の大きさが大きいほど電荷間に働く力が大きいことも考慮すると、距離''r''だけ離れてそれぞれが電荷<math>q _1</math>、<math>q _2</math>を持っている2物体の間に働く力''F''は、 :<math> F = k\frac{q_1 q_2}{r^2} = \frac 1 {4\pi\epsilon} \frac {q _1 q _2}{r^2} </math> で与えられる。これを'''クーロンの法則'''（ Coulomb's law）という。ここで、<math>k</math>は比例定数であり、両電荷の周囲にある物体の種類により変化する定数である。真空中での電場を考えた場合のkの値は、 :<math>k_0 = 9.0 \times 10^9 </math>[N・m<sup>2</sup>/C<sup>2</sup>]（クーロンの比例定数）である。また、<math>\epsilon</math>は後ほど登場する誘電率（ゆうでんりつ）と呼ばれる物理定数である。誘電率は、両電荷の周囲にある物体の種類により変化する定数である。誘電率については、この文を初めて読んだ段階では、まだ知らなくても良い。のちに物理IIで誘電率を詳しく解説する。誘電率<math>\epsilon</math>とクーロンの比例定数kには上式の関係 :<math>k= \frac 1 {4\pi\epsilon}</math> がある。物体のまわりに蓄積されるものを'''電荷'''と呼ぶ。電気力によって反発しあったり、引きつけあったりする物体を'''電荷を持つ'''物体と呼ぶ。また、ここで観察される静電気力を、'''クーロン力'''と呼ぶことがある。 2個の電荷どうしがおよぼす力は同じであり、したがって'''作用・反作用の法則'''に従っている。 [[Image:Coulombslawgraph.svg\|thumb\|center\|300px\|2個の点電荷の間に働く力の関係。<br>クーロンの法則によるとF1=F2となる。]] ここで、電荷の単位は<nowiki>[C]</nowiki>で与えられる。記号のCは「クーロン」と読む。 {{-}} ---- 例題 [[File:クーロンの法則例題1.svg\|thumb\|クーロンの法則例題1]] 図のように、2本の糸に、それぞれ同じ質量m［kg］で、同じ符号と大きさの電荷q［C］の球が、ぶらさがってる。これは、クーロン力で反発するので、図のように、糸が角度θをなす。このとき、質量mによる重力と、電荷qによるクーロン力との関係について、式を立てよ。なお、必要ならば、糸の張力はT［N］とすること。 {{-}} 解法 :[[File:クーロンの法則例題1 解法.svg\|thumb\|left\|400px\|クーロンの法則例題1 解法]] 図のような位置関係になるので、図のように式を立てればよい。 :※ このように、電気磁気学の問題では、図をきちんと書いて、解法を考える必要がある。数式だけで計算すると、立式ミスなどの原因になる。 {{-}} ---- ※ 上記の2本の糸にぶらさがった球のクーロン力の例題は、電気磁気学のどの入門書にもあるような典型的な問題であるので、読者はきちんと理解すること。 {{-}} ---- 問題例問題電荷<math>q _1</math>, <math>q _2</math>の間の距離がrの場合と2rの場合では、間に働く力の大きさはどちらがどれだけ大きいか答えよ。また、距離が2rの時の2点間の力の大きさを答えよ。解答クーロン力は、物体間の距離の逆2乗に比例するので、距離が2rの時は、rの時の大きさの<math>\frac 1 4</math>となる。また、働く力の大きさは、クーロン力の式を用いて、 :<math> f = \frac 1 {4\pi\epsilon _0} \frac {q _1 q _2}{4r^2} </math> となる。 ---- ====電場 ==== 既に、ある電荷Aのまわりの別の電荷Bには、その電荷からの距離の逆2乗に比例した力がかかることを述べた。 [[File:電場の重ね合わせ.svg\|thumb\|400px\|電場の重ね合わせ]] ここで、電荷Bが受ける力は、その電荷Bの大きさに比例することを合わせて考えると、その電荷Bの大きさにかかわらず、電荷Aの大きさだけで決まる量を導入しておくと都合がよい。ここで、そのような量として'''電場'''（でんば）を導入する。このとき、電場<math>\vec E</math>の中にある電荷<math>q</math>に働く力<math>\vec F</math>は、 :<math>\vec F = q \vec E</math> で与えられる。電場は単位電荷に働く力と考えることもでき、電場の単位は[N/C]である。「電場」は、「電界」（でんかい）とも呼ばれる。（日本の物理学では「電場」と呼ぶことが多く、また、日本の電気工学では「電界」と呼ばれることが多い。明治期の翻訳の際の、日本国内の業界ごとの違いに過ぎず、たんなる日本ローカルな都合であり、呼び方は物理の本質とは関係ないので、ここでは、どちらの表現を用いるかは、本書では特にこだわらない。英語では物理学・電気工学とも“electric field”で共通している。）上のクーロン力の結果と合わせると、電荷Aのまわりに別の電荷が存在しないとき、電荷<math>q</math>[C]の電荷がまとう電場<math>\vec E</math>は、 :<math>\vec E = \frac 1 {4\pi\epsilon _0} \frac {q}{r^2} \vec e _r</math> で与えられる。ただし、rは電荷からの距離であり、<math>\vec e _r</math>は、電荷とある点を結んだ直線上で、電荷と反対方向を向いた単位ベクトルである。電荷の回りの電場は、平面上で放射状のベクトルとなることに注意。 {\| \| [[File:VFPt minus thumb.svg\|150px\|thumb\|負電荷の周りの電場の向き]] \| [[File:VFPt plus thumb.svg\|150px\|thumb\|正電荷の周りの電荷の向き]] \|} 電場はベクトルである。電荷が2個あるときは、それぞれの電荷がつくる電場を、重ね合わせればよい。 :<math> \vec E = \vec {E_1} + \vec {E_2} </math> である。電荷が3個以上のときも、同様に重ね合わせれば良い。図のように、電荷から出る電場の方向を図示したものを'''電気力線'''（でんきりきせん、electric line of force）という。電荷が複数ある場合には、実際に新たに置かれた電荷が受ける力は、それらを足し合わせたものとなる。したがって、複数の電荷がある場合の周囲の電界は、それぞれの電荷が作る電界ベクトルの和となる（重ね合わせの原理）。 <!-- 電気力線 --> [[File:Camposcargas.PNG\|thumb\|left\|300px\|同符号の電荷どうし（左）を近づけた場合は反発しあう。異なる符号の電荷どうし（右）を近づけた場合は引き付け合う。]] [[File:VFPt dipole electric manylines.svg\|thumb\|center\|200px\|異符号の電荷どうしの場合の電気力線]] {{clear}} 電気力線を図示する場合は、正電荷から力線が出て、負電荷で力線が吸収されるように書く。力線は、電場を図示したものなので、電荷以外の場所では、力線が分岐することはない。力線が生成するのは正電荷の場所のみである。力線が消滅するのは、負電荷の場所のみである。言い換えれば、力線が電荷以外の場所で消滅することはないし、電荷以外の場所で力線が生成することはない。導体の内部の電場はゼロであった。言い換えれば、電気力線は、導体の内部には進入できない。 [[File:VFPt image charge plane horizontal.svg\|200px\|thumb\|電気力線は、導体の内部には進入できない。]] <!-- ガウスの法則 --> [[File:E FieldOnePointCharge.svg\|電気力線の分布]] 点電荷からは、図のように、放射状に電気力線が出る。クーロンの法則の係数にある :<math>\frac{1}{4 \pi \epsilon _0} \frac{q_1 q_2}{r^2}</math> のうちの、分母の <math>4 \pi r^2</math> は、球の表面積の公式に等しいので、電気力線の密度に比例して、電場の強さあるいは静電気力の強さが決まると考えられる。静電誘導では、導体内部には静電気力が働いていないのであった。これは、電場という概念を用いて言い換えれば、導体内部の電場はゼロである、と言える。 ====電位==== クーロン力は力（ちから）であるから、それに逆らって別の電荷を近づけた場合は、近づけた別の電荷は仕事をしたことになる。また、近づけた電荷を手放せば、クーロン力によって力を受け、仕事をすることになるから、近づいた状態にある別電荷は位置エネルギーを蓄えていることになる。したがって、クーロン力に対しても位置エネルギーを定義することができる。（なお、衛星軌道上の物体のような、地表から大きく離れた場所の重力も、クーロン力と同様に逆2乗力なので、ここで考えた計算手法は重力による位置エネルギーにも応用できる。重力加速度gを用いた力mgというのは地表近くでの近似にすぎない。）クーロン力による電場の定義では、単位電荷に対して電場を定義したのと同様、位置エネルギーに対しても、単位電荷に応じて定義できる量を導入すると都合がよい。このような量を'''電位'''（でんい、electric potential）と呼ぶ。電位の単位は'''ボルト'''という。電位を例えると、地表近くでの重力の位置エネルギーを考えた際の「gh」などに相当する量である。クーロン力の結果と、<math>q</math>[C]の電荷から距離''r''だけ離れた点の電位Vは、電場の積分計算で得られる。（積分をまだ習ってない学年の読者は、分からなくても気にせず、次の結果へと進んでください。）結果のみを記すと、 :<math>V=\frac{1}{4\pi\epsilon _0} \frac{q}{r}</math> となる。電位Vの点に''q''[C]の電荷を置いたとき、この電荷のクーロン力による位置エネルギー''U''[J]は、電位Vを用いれば、 :<math>U = qV</math> となる。したがって、電位<math>V_1</math>ボルトの点から電位<math>V_2</math>ボルトの位置へと電荷''q''[C]が静電気力を受けて移動するとき、静電気力のする仕事''W''[J]は :<math>W = q(V_2 - V_1)</math> となる。 {{-}} [[File:一様な電場.svg\|thumb\|500px\|一様な電場]] いっぽう、一様な電場においては、電位の式を、電場を用いて簡単に表すことができる。距離''d''だけ離れた平行平板電極の間に一様な電場<math>\vec E</math>が生じているとき、この電界の中に置いた電荷''q''は静電気力<math>q\vec E</math>を受ける。この電荷が電界の向きに沿って一方の電極から他方の電極まで移動するとき、電界のする仕事''W''は <math>W = qEd</math> となる。これより、2極板の電位差''V''は、 :<math>V=Ed</math> で表すことができることがわかる。式を変形して :<math>E= \frac{V}{d}</math> とすることもできる。ここで、単位を考えると、右辺は電圧を距離で割ったものであるから、電界の単位として[N/C]のほか[V/m]を用いることもできることがわかる。電位の単位は'''ボルト'''であり、この量は既に[[中学校理科]]などで扱った[[w:電圧\|電圧]]（でんあつ、voltage）の単位と'''同じ'''単位である。実際に電気回路に電圧をかけることは、回路中の電子に電場をかけて動かすことと'''等しい'''。静電誘導によって、導体内部の電場はゼロであった。このことから、導体の表面は、電位が等しい。導体表面は互いに等電位である。電位の基準は、実用上は、地面の電位をゼロに置くことが多い。電気回路の一部を大地につなぐことを接地（せっち）または'''アース'''（earth）という。回路をアースして、そのつないだ部分の電位をゼロと見なすことが多い。問題例問題直線上で距離0, b[m]の点に、電荷q, q'を持つ物体が置いてある。この時、位置a[m](a<b)の点の電位を求めよ。解答電位の式を用いればよい。電荷が複数あるときには、電位はそれぞれの電荷がつくり出す電荷の和になることに注意。答えは、 :<math>V = \frac{1}{4\pi\epsilon _0} (\frac{q}{a} + \frac{q'}{b-a})</math> となる。 ---- 導体表面は等電位なので、よって、電気力線は導体表面に垂直である。このことから、電気力線と電場は垂直である。電場が重ね合わせられるように、電位も重ね合わせられる。なぜなら電位とは、電場を考えてる経路にて積分したものであるから。学校のテストなどでは、電位の計算のさい、クーロン力の方向の勘違いなどによる計算ミスなどをふせぐため、電場を求めてから、それを積分して、電位を求めるのが、計算上は安全である。 == 静電誘導と誘電分極 == === コンデンサー === [[File:コンデンサー構造と原理.svg\|thumb\|400px\|コンデンサー]] '''コンデンサー'''（英:capacitor ,「キャパシタ」と読む）は、図のように、2枚の電極が向かいあい、回路中に電荷を蓄積できる部分を与える素子である。 [[File:コンデンサー充電の仕組み.svg\|thumb\|500px\|コンデンサーの充電の仕組み]] コンデンサーに電荷を蓄えることを'''充電'''（じゅうでん）という。コンデンサーから電荷を放出させることを'''放電'''という。コンデンサの両端にある電位Vが与えられたとき、コンデンサには、電位に比例する電荷Qが蓄積される。このとき、コンデンサの蓄積能力を記号で C とおいて、 :<math>Q=CV</math> としてCを取る。Cは'''静電容量'''（せいでんようりょう、electric capacitance）と呼ばれ、単位はF('''ファラド'''、farad)で与えられる。 1ファラドは実用上は大きすぎるので、10<sup>-12</sup>ファラドを単位にした1pF(ピコファラド)や、10<sup>-6</sup>ファラドを単位にした1μF(マイクロファラド)が使われることが多い。 {{-}} === 平行板コンデンサー === [[File:平行板コンデンサー電場.svg\|thumb\|400px\|平行板コンデンサーの電場]] 極板が平行なコンデンサーを平行板コンデンサーという。平行板コンデンサーの、極板どうしの電場は、一様な電場である。この平行板コンデンサーの静電容量Cの式は、後述する理由により、 :<math>C=\epsilon_0 \frac{S}{d}</math> で与えられる。ここで、Sは導体平面の面積であり、dは導体間の距離である。実験的にも、この静電容量の公式は、正しいことが確かめられている。平行板コンデンサーの静電容量の公式の導出ここで与えた静電容量は、'''平面上に電荷が一様に分布する'''との仮定で導かれる。このとき、導体間に生じる電界Eは、導体が持つ電荷をQ, -Qとした時、まず、極板の電荷密度が、極板のどこでも一定だと仮定して（そのためには、コンデンサーの広さ（つまり面積）が、じゅうぶんに広いと仮定する必要がある。ともかく、このような仮定により、電荷密度は）、 :電荷密度＝<math>Q/S</math>［C/m<sup>2</sup>］である。電気力線の性質として、プラスの電荷から生じてマイナスの電荷で吸収されるので、よって平行板コンデンサー間の電気力線の分布は、図のように、電気力線が、プラス極板から垂直に、マイナス極板へ向かって電気力線が出て、そしてマイナス極板に電気力線が吸収される。電場は、導体間の各点で、 :<math>E = \frac{Q/S}{\epsilon _0} =\frac{Q}{\epsilon _0 S}</math> で与えられる。電場が求められたので、ここから電位を計算できる。導体間の各点で電場の大きさが均一なので、電位の大きさは電場の大きさに2点間の距離をかけたものになる。ここで、電位Vは、 :<math>V=Ed=\frac{d}{\epsilon_0S}Q</math> となるが、この式と静電容量Cの定義を見比べると、 :<math>C=\epsilon_0\frac{S}{d}</math> が得られる。 == 電池の仕組み == 電池の化学反応については、別科目の化学Iなどで詳しく扱われる。この章では、電圧や電流の理解に関わる点を重点的に説明したい。 === イオン化傾向 === 金属元素の単体を水または水溶液に入れたときの、陽イオンのなりやすさを'''イオン化傾向'''（ionization tendency）という。例として、亜鉛Znを希塩酸HClの水溶液に入れると、亜鉛Znは溶け、また亜鉛は電子を失ってZn<sup>2+</sup>になる。 :Zn + 2H<sup>+</sup> → Zn<sup>2+</sup> + H<sub>2</sub> 一方、銀Agを希塩酸に入れても反応は起こらない。このように金属のイオン化傾向の大きさは、物質ごとに大きさが異なる。 === 電池 === 二種類の金属単体を電解質水溶液に入れると電池ができる。これは[[イオン化傾向]]（単体の金属の原子が水または水溶液中で電子を放出して陽イオンになる性質）が大きい金属が電子を放出して陽イオンとなって溶け、イオン化傾向の小さい金属が析出するためである。イオン化傾向の大きい方の金属を'''負極'''（ふきょく）という。イオン化傾向の小さい方の金属を'''正極'''（せいきょく）という。イオン化傾向の大きい金属のほうが、陽イオンになって溶け出す結果、金属板には電子が多く蓄積するので、両方の金属板を銅線でつなげば、イオン化傾向の大きい方から小さい方に電子は流れる。「電流」では無く、「電子」といってることに注意。電子は負電荷であるので、電流の流れと電子の流れは、逆向きになる。 === イオン化列 === さまざまな溶液や金属の組み合わせで、イオン化傾向の比較の実験を行った結果、イオン化傾向の大きさが決定された。左から順に、イオン化傾向の大きい金属を並べると、以下のようになる。 : K > Ca > Na > Mg > Al > Zn > Fe > Ni > Sn > Pb > (H<sub>2</sub>) > Cu > Hg > Ag > Pt > Au 金属を、イオン化傾向の大きさの順に並べたものを金属の'''イオン化列'''という。水素は金属では無いが比較のため、イオン化傾列に加えられる。金属原子は、上記の他にもあるが、高校化学では上記の金属のみのイオン化列を用いることが多い。イオン化列の記憶のための語呂合わせとして、「貸そうかな、まあ、あてにすな、ひどすぎる借金。」などのような語呂合わせがある。ちなみにこの語呂合わせの場合、「KかそうかCa なNa、まMg あAl、あZn てFe にNi すなPb、ひH2 どCu すHg ぎAg る借金Pt,Au。」と対応している。 === ボルタ電池 === :希硫酸H<sub>2</sub>SO<sub>4</sub>の中に亜鉛板Znと銅板Cuを入れたもの。負極（亜鉛板）での反応 :Zn → Zn<sup>2+</sup> + 2e<sup>-</sup> 正極（銅板）での反応 :2H<sup> + </sup> + 2e<sup>-</sup> → H<sub>2</sub>↑ ==== 起電力 ==== ボルタの電池では、得られる両極間の電位差（「電圧」ともいう。）は、1.1ボルトである。(ボルトの単位はVなので、1.1Vとも書く。)この両極板の電位差を'''起電力'''という。起電力は、両電極の金属の組み合わせによって決まり物質固有である。起電力の単位のボルトは、静電気力の電位の単位のボルトと'''同じ'''単位である。電気回路の電圧のボルトとも、起電力の単位のボルトは同じ単位である。 === 電池図 === ボルタ電池の構造を以下のような文字列に表した場合、このような表示を'''電池図'''あるいは'''電池式'''という。 :(-) Zn \| H<sub>2</sub>SO<sub>4</sub>aq \|Cu (+) aqは水のことである。H<sub>2</sub>SO<sub>4</sub>aqと書いて、硫酸水溶液を表している。 ;電気回路との関連事項物理学の電気回路の研究では、このような電池などの現象の発見と発明によって、安定な直流電源を実験的に得られるようになり、直流電気回路の正確な実験が可能になった。電池の発明以前にも、フランス人の物理学者クーロンなどによる静電気による電気力学の研究などによって、電位差の概念や電荷の概念はあった。だが、この時代の電源は、主に静電気によるものだったので、安定電源では無かった。そして、電池による安定な電源の発明は、同時に安定な電流の発明でもあった。このような電池の発明などによる、直流電気回路の研究などから、ドイツ人の物理学者オームが、さまざまな導体に電流を流す実験と理論研究を行うことにより、電気回路の理論の'''オームの法則'''（オームのほうそく、Ohm's law）が発見された。 [[File:Thermocouples diagram.svg\|thumb\|熱電対の原理。ある組み合わせの金属AとBで、図のように2つの接点に異なる温度を与えると、電流が流れる。]] じつはオームは電池ではなく熱電対（ねつでんつい）というものを使って、電気回路に安定した電流をながす研究をした。当時の電池では、起電力がしだいに減ってしまい、オームは当初は電池で実験したが、うまく安定電流を得られなかった。熱電対とは、まず異なる金属材料の2本の金属線を接続して１つの回路をつくり、2つの接点に温度差を与えると、回路に電圧が発生するため電流が流れる（この現象を、ゼーベック効果という）。この現象じたいは、1821年にゼーベックが発見した。このような回路が、熱電対である。なお、同じ2本の金属線では、温度差を与えても電圧は発生せず、電流は流れない。オームは、ベルリン大学教授ポッケンドルフの助言によって、この熱電対を実験に利用した。温度を安定させるのは、当時の技術でも比較的簡単であったので、こうしてオームは安定電流をもちいる実験ができたのである。 :※ 熱電対については、高校の範囲を超えるし、大学入試にも出題されないだろうし、大学の授業でもあまり深入りしないので、分からなければ、気にしなくてよい。 :※ 実は啓林館の『科学と人間生活』で熱電対（啓林館の教科書では「熱電素子」と記述）について、熱の物理の単元で説明している。ただし、さすがにオームの法則の実験との関連までは説明してないが・・・。 ;オームの法則との関係オームの法則（Ohm's law）とは、「ほとんどの導体では、電流 I が流れている導体中の2点の点 <math>P_1</math>と点 <math>P_2</math> 間の電位差 <math>E = E_1 - E_2</math> は、電流 I に比例する。」という実験法則である。誤解されやすいが、オームの法則は、このような実験法則であって、べつに抵抗の定義式では無い。同様に、オームの法則は、べつに電圧の定義式では無いし、電流の定義式でも無い。中学校の理科での電気回路の教育では、金属の電気分解の起電力の教育まではしないので、ともすれば、電圧を誤解して、「電圧は、単なる電流の比例量で、抵抗はその比例係数」のような誤解する場合が有りうるが、その解釈は明らかに誤解である。また、半導体などの一部の材料では、電流が増え材料の温度が上昇すると抵抗が下がる現象が知られているので、半導体ではオームの法則が成り立たない場合がある。なので、オームの法則を定義式と考えるのは不合理である。 == 電流と電気回路 == [[Image:Wheatstonebridge.svg\|right\|thumb\|300px\|alt=A Wheatstone bridge has four resistors forming the sides of a diamond shape. A battery is connected across one pair of opposite corners, and a galvanometer across the other pair. \|電気回路の例。読者が、この図の意味が分かるようになるのが、本節の目標の一つである。ちなみに「ホイットストン・ブリッジ」（Wheatstone bridge）という回路である。<br>R1やR2、R3、Rxは抵抗。V<sub>G</sub>を丸で囲っている記号は電圧計。<br>A、B、C、Dは単なる回路の合流している接点。]] 導線などの導体内の電気の流れを'''電流'''（でんりゅう、electric current）という。電流の強さは'''アンペア'''という単位で表す。1アンペアの定義は次の通りである。 1秒間に1クーロン（記号C）の電流が通過することを1'''アンペア'''という。アンペアの記号はAである。また、電流は、単位時間あたりの電荷の通過量でもあるので、電流の単位を[C/s]と書く場合もある。一般的には、電流の単位は、なるべく[A]で表記することが多い。電流I[A]と時間t[S]で導線断面を通過する電荷Q[C]の関係を式で表すと、 :<math>I=\frac{Q}{t}</math> である。電流の向きの取り方については、自由電子は負電荷を持っているから、自由電子の向きとは反対向きに電流の向きをとることに注意せよ。次に電流と自由電子の速度との関係を考える。自由電子の電荷の絶対値をeとすると、自由電子は負電荷であるから、自由電子の電荷はマイナス符号がつき-eである。 === オームの法則 === ドイツ人の物理学者オームは次のような法則を発見した。「ほとんどの導体では、電流 I が流れている導体中の2点の点 <math>P_1</math>と点 <math>P_2</math> 間の電位差 <math>E = E_1 - E_2</math> は、電流 I に比例する。」この実験法則を'''オームの法則'''（Ohm's law）という。式で表すと、電位差をVとして、電流をIとした場合に、比例係数をRとして、 :V=RI である。ここで、電位と電流の比例係数Rを'''電気抵抗'''あるいは単に'''抵抗'''（resistance、'''レジスタンス'''）という。電気抵抗の単位はオームと言い、記号はΩで表す。慣習的に、抵抗の記号はRであらわす場合が多い。 === 電気回路 === [[File:Ohm's Law with Voltage source TeX.svg\|right\|thumb\|電気回路図の例。電源は交流電源。vが電圧。Rが抵抗。iは電流。]] 電気回路へエネルギーを供給する電源として定電圧の直流電源を考える。回路の2地点間にある一定の電圧を供給し続けるものである。電圧源の回路図記号としては[[File:Cell.svg\|30px\|電圧源]]が用いられる。記号の長い側が正極であり、プラスの電位である。記号の短い側は負極である。乾電池は、直流電源として取り扱って良い。なお、これらは直流電源である。交流の場合は一般化した電圧源として[[File:Voltage Source.svg\|30px\|交流電圧源]]の記号を用いる。また特に正弦波交流電圧源であれば[[File:Voltage Source (AC).svg\|30px\|正弦波交流電圧源]]の記号を用いる。 ==== 抵抗器 ==== [[File:3 Resistors.jpg\|thumb\|抵抗]] '''抵抗器'''(resistor)は、通常は単に'''抵抗'''と呼ばれる回路素子であり、与えられた電気エネルギーを単純に消費する素子である。回路図記号は[[File:Resistor symbol America.svg\|60px\|抵抗]]あるいは[[File:Resistor symbol IEC.svg\|60px\|負荷]]であるが、本書では、両者とも抵抗の回路図記号として用いることにする。（画像素材の確保の都合のため、両方の記号が本書では混在します。ご容赦ください。） {{clear}} ===== 抵抗器の図記号 ===== 日本では、抵抗器の図記号は、従来はJIS C 0301（1952年4月制定）に基づき、ギザギザの線状の図記号で図示されていたが、現在の、国際規格のIEC 60617を元に作成されたJIS C 0617（1997-1999年制定）ではギザギザ型の図記号は示されなくなり、長方形の箱状の図記号で図示することになっている。旧規格であるJIS C 0301は、新規格JIS C 0617の制定に伴って廃止されたため、旧記号で抵抗器を図示した図面は、現在ではJIS非準拠な図面になってしまう。しかし、拘束力は無いため、現在も従来の図記号が多用されている。 <gallery> ファイル:Resistor_symbol_America.svg\|従来規格の図記号ファイル:Resistor_symbol_IEC.svg\|新規格の図記号 </gallery> ==== 電気回路図記号の例 ==== <gallery> ファイル:固定抵抗器.svg\|固定抵抗器 File:Variable resistor as rheostat symbol GOST.svg\|可変抵抗器ファイル:電池.svg\|電池、直流電源（長い方が正極） File:Voltage Source (AC).svg\|交流電源ファイル:SPST-Switch.svg\|スイッチファイル:コンデンサ.svg\|コンデンサ File:Inductor h wikisch.svg\|コイル File:Symbole amperemetre.png\|電流計 File:Symbole voltmetre.png\|電圧計 File:Earth Ground.svg\|接地ファイル:Fuse.svg\|ヒューズ </gallery> ==== 直列と並列 ==== 複数の回路素子が1つの線上に配置されているような接続を'''直列接続'''といい、複数の回路素子が二股に分かれるように配置されている接続を'''並列接続'''という。直列接続においては、それぞれの回路素子に流れる電流は全て等しい。一方、並列接続においてはそれぞれの回路素子の両端にかかる電圧が全て等しい。また、直列接続においてはそれぞれの回路素子にかかる電圧の和が全電圧となり、並列接続においてはそれぞれの回路素子を流れる電流の和が全電流となる。 ==== 直列での合成抵抗 ==== 抵抗が複数接続されている場合、その複数の抵抗をまとめてあたかも1つの抵抗が接続されているかのような等価的な回路を考えることができる。複数の抵抗と等価な1つの抵抗を'''合成抵抗'''という。 [[ファイル:Resistors in series.svg\|thumb\|直列抵抗]] 抵抗が''n''個直列に接続されている場合を考える。抵抗<math>R_1, R_2, \cdots, R_n</math>が直列に接続されている場合、各抵抗を流れる電流は等しく、これを''i''とする。各抵抗<math>R_k (k = 1, 2, \cdots, n)</math>にかかる電圧を<math>v_k</math>とすると、オームの法則より :<math>v_k = R_ki (k = 1, 2, \cdots, n)</math> が成り立つ。このとき直列抵抗の両端の電圧''v''は、 :<math>v = \sum_{k=1}^n v_k = \sum_{k=1}^n R_k i = i\sum_{k=1}^n R_k</math> である。これと等価な抵抗''R''が1つだけ接続されているような等価回路を考えるとき、 :<math>v = Ri</math> が成り立つから、したがってこれらの''n''個の直列抵抗の合成抵抗''R''として :<math>R = \sum_{k=1}^n R_k</math> を得る。すなわち、直列合成抵抗は各抵抗の総和となる。 ==== 並列での合成抵抗 ==== [[ファイル:Resistors in parallel.svg\|thumb\|並列抵抗]] 同様に、抵抗が''n''個並列に接続されている場合を考える。抵抗<math>R_1, R_2, \cdots, R_n</math>が並列に接続されている場合、各抵抗の両端の電圧は等しく、これを''v''とする。各抵抗<math>R_k (k = 1, 2, \cdots, n)</math>を流れる電流を<math>i_k</math>とすると、オームの法則より :<math>v = R_ki_k (k = 1, 2, \cdots, n)</math> が成り立つ。このとき並列抵抗へ流れ込む電流''i''は、 :<math>i = \sum_{k=1}^n i_k = \sum_{k=1}^n \frac{v}{R_k} = v\sum_{k=1}^n \frac{1}{R_k}</math> である。これと等価な抵抗''R''が1つだけ接続されているような等価回路を考えるとき、 :<math>v = Ri</math> が成り立つから、したがってこれらの''n''個の並列抵抗の合成抵抗''R''として :<math>\frac{1}{R} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{R_k}</math> を得る。すなわち、並列合成抵抗の逆数は各抵抗の逆数の総和となる。 ==== 電力 ==== 抵抗Rを電流Iが流れるとき、その部分の発熱のエネルギーは、1秒あたりにRI<sup>2</sup>[J/s]である。これを'''ジュール熱'''という。名前の由来は物理学者のジュールが調べたからである。オームの法則より、V=RIでもあるので、ジュール熱はVIとも書ける。そこで、ひとまず、熱の考察には離れて、次の量を定義する。電気回路のある2点間を流れる電流Iと、その２点間の電圧Vとの積VIを'''電力'''（power）と定義する。電力の記号はPで表わされることが多い。電力の単位のジュール毎秒[J/s]を[W]という単位で表し、この単位Wはワット（Watt）と読む。つまり電力は記号で :P[W]=VI である。 ==== 抵抗率 ==== 導線の太さや長さによって抵抗の大きさは変わる。直感的に太いほうが流れやすいのは分かるだろう。また、並列接続と対応させることでも導線が太いほうが流れやすいことは言える。実際に電気抵抗は、導線の太さに反比例して小さくなることが実験的に確認されている。そこで、つぎのような式においてみよう。抵抗をR[Ω]とした場合、導線の太さを面積で表しA[m<sup>2</sup>]とすれば、比例定数にkを用いれば、 :R ∝ 1/A である。（ ∝は、比例関係を表す数学記号。）さらに、導線は材質や太さが同じならば、導線が長いほど抵抗が、長さに比例して抵抗が大きくなることが、確認されている。そこで、さらに、抵抗体の長さを考慮した式に表してみれば、次のようになる。抵抗帯の長さを''l''[m]とすれば :R ∝ L/A である。さらに、導線の材質によって、抵抗の大きさは変わる。同じ長さで同じ太さの抵抗でも、材質によって抵抗の大きさは異なる。そこで、材質ごとの比例定数をρとおけば、抵抗の式は以下の式で記述される。 :<math>R=\rho \frac{l}{A}</math> ρは'''抵抗率'''（ていこうりつ、resistivity）と呼ばれる。抵抗率の単位は[Ωm]である。 == 磁力 == === 磁場 === [[File:Magnetic field near pole.svg\|thumb\|right\|200px\|棒磁石の周りに方位磁針を置いて磁場の向きを調べる。]] 磁石のまわりには別の磁石を動かす力のもととなるものが生じている。これを'''磁場'''（じば、magnetic field）あるいは'''磁界'''（じかい）と呼ぶ。（日本の物理学では磁場と呼ぶことが多く、また、日本の電気工学では磁界と呼ばれることが多い。明治期の訳語の際の、日本国内の業界ごとの違いに過ぎず、地域社会的な事象であり、呼び方は物理の本質とは関係ないので、ここでは、どちらの表現を用いるかは、本書では特にこだわらない。英語では物理学・電気工学とも“magnetic field”で共通している。）鉄やコバルトやニッケルに磁石を近づけると、磁石に吸い付けられる。また、鉄やコバルトやニッケルに強い磁化を与えると、鉄やコバルトやニッケルそのものが磁場を周囲に及ぼすようになる。このような、もともとは磁場を持たなかった物体が、強い磁場を受けたことによって磁場を及ぼすようになる現象を'''磁化'''（じか、magnetization）という。あるいは電荷の静電誘導と対応させて、磁化のことを'''磁気誘導'''（じきゆうどう、magnetic induction）ともいう。そして、鉄やコバルトやニッケルのように、磁石に引き付けられ、さらに磁化をする能力がある物体を'''強磁性体'''（きょうじせいたい、ferromagnet）という。鉄とコバルトとニッケルは強磁性体である。銅は磁化しないし、銅は磁石に引きつけられないので、銅は強磁性体ではない。 ;磁気遮蔽静電誘導を利用した、静電遮蔽（せいでんしゃへい）と言われる、中空の導体をつかって物質を囲むことで外部電場を遮蔽する方法があったのと同様の、磁気の遮蔽が、強磁性体でも出来る。中空の強磁性体を用いて、強磁性体の内部は磁場を遮蔽できる。これを'''磁気遮蔽'''（じきしゃへい、magnetic shielding）という。磁気シールドともいう。 ==== 磁力線 ==== 磁場の向きが分かるように図示しよう。磁石の作る磁場の方向は、砂に含まれる砂鉄の粉末を磁石に、ちりばめて、ふりかけることで観察できる。 [[File:Magnet0873.png\|left\|300px\|砂鉄による磁力線の観察]] {{clear}} これを図示すると、下図のようになる。（画像素材の確保の都合上、写真と図示とでは、N極とS極が逆になっています。ご容赦ください。） [[File:VFPt cylindrical magnet.svg\|thumb\|left\|300px\|磁力線の図示]] このような磁場の図を'''磁力線'''（じりょくせん、magnetic line of force）という。磁力線の向きは、磁石のN極から磁力線が出て、S極に磁力線が吸収されると定義される。棒磁石では、磁力の発生源となる場所が、棒磁石の両端の先端付近に集中する。そこで、棒磁石の両端の先端付近を'''磁極'''（じきょく、magnetic pole）という。このような磁石のつくる磁力線の形は、電気力線での、異符号の電荷どうしがつくる電気力線に似ている。 [[File:VFPt dipole electric manylines.svg\|thumb\|center\|200px\|異符号の電荷どうしの場合の電気力線]] 1つの棒磁石ではN極（north pole）の磁気の強さと、S極（south pole）の磁気の強さは等しい。また、磁石には、必ずN極とS極とが存在する。N極とS極の、どちらか片方だけを取り出すことは出来ない。たとえ棒磁石を切断しても、切断面に磁極が出現する。このような現象のおこる理由は、そもそも棒磁石を構成する強磁性体の原子の1個ずつが小さな磁石であり、それら小さな原子の磁石が、いくつも整列して、大きな棒磁石になっているからである。仮想的に、磁極がS極またはN極の片方だけ現れた現象を理論計算のために考えることがあるが、このような片側だけの磁極を'''単磁極'''（'''モノポール'''という。）というが、'''単磁極は実在しない'''。 {{clear}} 棒磁石などからの、片側の磁極あたりの、磁極からの磁場の強さのことを、そのまま「磁極の強さ」（Magnetic charge）と呼ぶ。あるいは'''磁荷'''（じか、magnetization）や'''磁気量'''という。これから、この磁化と磁場の関係を式で表すことを考える。まず、棒磁石には磁極が両側に2個あるので、計算を簡単にするために、棒磁石の両端の距離が大きく、反対側の磁極の大きさを無視できる磁石を考えよう。このような磁石を用いて、実験したところ、次の法則が分かった。磁力の強さは2個の物体の磁気量m<sub>1</sub>およびm<sub>2</sub>に比例し、2個の物体間の距離rの2乗に反比例する。式で表すと、 :<math>f = k_m \frac{q_1 q_2}{r^2}</math> で表される。（k<sub>m</sub>は比例定数）これを発見者のクーロンの名にちなんで、'''磁気に関するクーロンの法則'''という。磁気量mの単位は'''ウェーバ'''といい、記号は[Wb]で表す。比例定数k<sub>m</sub>と1ウェーバの大きさとの関係は、1メートル離れた1wbどうしの磁極にはたらく力を約6.33×10<sup>4</sup>として、比例係数k<sub>m</sub>は、 :k<sub>m</sub>≒6.33×10<sup>4</sup>　[N・m<sup>2</sup>/Wb<sup>2</sup>] である。つまり、 :<math>f = k_m \frac{m_1 m_2}{r^2} = 6.33\times10^4 \frac {m_1 m_2}{r^2}</math> である。 ==== 磁場の式 ==== 静電気力に対して、電場が定義されたように、磁気力に対しても、場が定義されると都合が良い。磁気量m<sub>1</sub>[Wb]が作る、次の量を'''磁場の強さ'''あるいは'''磁場の大きさ'''と言い、記号はHで表す。 :<math>H = k_m \frac{m_1}{r^2} = 6.33\times10^4 \frac {m_1}{r^2}</math> 磁場の強さHの単位は[N/Wb]である。Hを用いると、磁気量m<sub>2</sub>[Wb]にはたらく磁気力f[N]は、 :<math>f = m_2H</math> と表せる。 == 電流がつくる磁場 == ===アンペールの法則=== [[Image:Electromagnetism.svg\|thumb\|right\|電流の方向と磁束密度の方向の関係.<br>磁束の向きは、右ねじの法則の向きである。.]] 物理学者のエルステッドは、電流の実験をしている際に、たまたま近くにおいてあった方位磁石が動くのを確認した。彼が詳しく調べた結果、以下のことが分かった。電流が流れているときには、そのまわりには、磁場が生じる。向きは、電流の方向に右ねじが進むように、右ねじを回す向きと同じなので、これを'''右ねじの法則'''という。アンペールが、磁場の大きさを調べた結果、磁場の大きさHは、電流I[A]が直線的に流れているとき、直線電流の周りの磁場の大きさは、導線からの距離をa[m]とすると、磁場の大きさH[N/Wb]は、 :<math>H=\frac{1}{2\pi a}I</math> であることが知られている。これを'''アンペールの法則'''(Ampere's law) という。磁場の大きさHの単位は、[N/Wb]であるが、いっぽうアンペールの法則の式をみればアンペア毎メートル[A/m]でもある。 ;電磁石 [[File:Simple electromagnet2.gif\|thumb\|電磁石の例.]] [[画像:VFPt Solenoid correct.svg\|thumb\|right\|電磁石コイルにより発生した磁界（断面図）]] 導線をコイル状に巻けば、アンペールの法則で導線の周囲に発生する磁場が重なりあう。このようにした磁場を強めたコイルを'''電磁石'''（でんじしゃく、electromagnet）という。導線に電流を流しているときにのみ、電磁石は磁場を発生する。導線に電流を流すのを止めると、電磁石の磁場は消える。 === 磁束密度 === 磁場の大きさHに、次の節で扱うローレンツ力の現象のため、比例係数μ（単位はニュートン毎アンペアで[N/A<sup>2</sup>]）を掛けて、記号Bで表し、 :B=μH とすることがある。この量Bを'''磁束密度'''（magnetic flux density）という。磁場の大きさHの向きと磁束密度Bの向きは'''同じ向き'''である。また、磁場の大きさHと磁束密度Bの比例係数を'''透磁率'''（とうじりつ、magnetic permeability）という。（ローレンツ力に関しては、詳しくは物理IIで扱う。読者が物理Iを学ぶ学年ならば、読者は「ローレンツ力という力があるのだな・・・」とでも思っておけばいい。） == ローレンツ力 == [[File:Lorentzkraft-graphic-part1.PNG\|thumb\|ローレンツ力の向き。電荷で考えた場合。<br>速度vから磁束密度Bに右ねじを回した向きがローレンツ力Fの向き。]] [[File:Lorentzkraft-graphic-part2.PNG\|thumb\|ローレンツ力の向き。<br>電流Iから磁束密度Bに右ねじを回した向きがローレンツ力Fの向き。]] まず、導線を用意したとしよう。この導線は固定されずに静止しているとして、もし導線に力が加われば、導線が動けるようにしてるとしよう。この導線に電流を流しただけでは、べつに導線は動かない。しかし、この導線に、外部の磁石による磁場が加わると、導線が動く。このような、磁場と電流の相互作用によって、導線に生じる力を'''ローレンツ力'''（ローレンツりょく、英: Lorentz force）という。ローレンツ力の向きは、導線の電流の向きと磁場の向きに垂直である。電流Iの向きから磁束密度Bの向きに右ねじを回す向きと同じである。また、ローレンツ力の大きさは、導線の長さ''l''と、磁場の導線との垂直方向成分に比例する。ローレンツ力の大きさF[N]を式で表せば、電流と磁場とが垂直だとして、磁場を受けている導線の形状が直線形だとして、電流をI[A]として、導線の長さを''l''[m]として、導線にかかっている外部磁場の磁束密度をB[N/(A・m)]とすれば、 :<math>F=IBl</math> で表せる。ローレンツ力の公式に、クーロンの法則などでは見られたような比例係数（係数Kなど。）が含まれないのは、そもそも、このローレンツ力の現象を元に、磁気量ウェーバWbの単位および磁束密度Bの単位が、決定されているからである。また、「磁束密度」の名称が、「磁束」・「密度」というのは、実は磁束密度の単位の[N/(A・m)]は、単位を式変形すると[Wb/m<sup>2</sup>]でもあることが由来である。この単位[Wb/m<sup>2</sup>]を、電気工学者のテスラの名にちなみ、単位[Wb/m<sup>2</sup>] を'''テスラ'''と言い、記号Tで表す。 :[T]=[Wb/m<sup>2</sup>] このローレンツ力の現象が、電気機器のモータ（電動機）の原理である。 ;フレミングの法則は電磁気計算では用いないなお、「フレミングの法則」というローレンツ力に関する法則があるが、ローレンツ力の計算には実用的では無いし、フレミングの名を関した異なる法則が幾つもあって紛らわしく間違いの原因になりやすいので、本書では教えない。実際に、専門的な物理計算では、フレミングの法則は、計算には用いない。しかも、フレミングの法則には「フレミングの右手の法則」と、これとは異なる「フレミングの左手の法則」があり、どちらが、どの磁気の現象に用いる法則だったのかを間違えやすい。だから、本書では教えない。 {{clear}} ==電磁誘導== （電磁誘導に関しては、詳しくは物理IIで扱う。）アンペールの法則では、電流の周りに磁場ができるのであった。 :では逆に、磁場を用いて電流を起こすような現象はあるだろうか？実は、磁石を動かすなどして、磁場を伴う物体が運動すると、そのまわりには電場が生じる。仮に、コイルの近くでそれを行なったとすると、生じた電場によってコイルの中には電流が流れる。生じる電場の大きさは、 :<math>\vec E = \frac 1 {2\pi a} \frac {\Delta \vec B}{\Delta t}</math> となる。(半径aの円形のコイルの場合。) Eの単位は[V/m]であり、Bの単位は[T]である。この現象を'''電磁誘導'''（でんじゆうどう、electromagnetic induction）といい、電磁誘導によって発生した電流を'''誘導電流'''という。また、誘導電流の向きは、磁石の動きによる、コイルの中を通る磁束の変化を妨げる向きに、電流が流れる。（誘導電流もアンペールの法則に従い、周囲に磁場を作る。）この誘導電流が、コイルの中を通る磁束の変化を妨げる向きに誘導電流が流れる現象を'''レンツの法則'''（Lenz's law）という。同じ領域に''N''回巻かれたコイルが置かれた場合、ファラデーの電磁誘導の法則は、次のようになる。 : <math>\mathcal{E} = - N{{d\Phi_B} \over dt}</math> ここで、<math>\mathcal{E}</math>は起電力（ボルト、記号はV）、Φ<sub>B</sub> は磁束（ウェーバ、記号はWb）とする。''N''は電線の巻数とする。この電磁誘導の現象が、火力発電や水力発電などの発電機の原理である。これ等の発電では、永久磁石を回転させることで、発電をしている。火力や水力というのは、機器の回転を得る手段にすぎない。また、発電所の発電には、永久磁石の回転を利用しているため、発生する電圧や電流は周期的な波形になり、次に説明する交流波形になる。 == 交流回路 == [[File:Waveforms.svg\|thumb\|400px\|交流波形の例。<br>上から順に、<br>正弦波、<br>方形波、<br>三角波、<br>のこぎり波。]] 回路への入力電圧が周期的に時間変化する回路の電圧および電流を'''交流'''（alternating current）という。これに対し、乾電池などによって発生する電圧や電流のように、時間によらず一定な電圧や電流は'''直流'''（direct Current）という。交流波形が何秒で1周するかという時間を'''周期'''(wave period)という。周期の記号は<math>T</math>で表し単位は秒[s]である。 :<math>f = \frac{1}{T}</math> 1秒間に波形が何周するかという回数を'''周波数'''あるいは'''振動数'''(英語は、ともにfrequency)という。電気の業界では周波数という用語を用いることが多い。物理の波の理論では振動数という表現を用いることが多い。周波数の単位は[1/s]であるが、これを'''ヘルツ'''（hertz）という単位で表し、単位記号'''Hz'''を用いて周波数fを、f[Hz]というふうに表す。交流電流や交流電圧が正弦波の場合は、これらのパラメータを用いて :<math>i(t) = I_0\sin(2\pi ft + \theta_i) = I_0\sin\left(\frac{2\pi}{T}t + \theta_i\right)</math> :<math>v(t) = V_0\sin(2\pi ft + \theta_v) = V_0\sin\left(\frac{2\pi}{T}t + \theta_v\right)</math> と書くことができる。 sinとは三角関数である。知らなければ数学IIなどを参考にせよ。このときのsinの係数<math>I_0</math>や<math>V_0</math>を'''振幅'''(しんぷく、amplitude)といい、また時刻''t''=0における電流や電圧の値を示し、時間波形を決定する<math>\theta_i</math>や<math>\theta_v</math>を'''初期位相'''という。普通科高校の高校物理では、交流波形の計算には、正弦波の場合を主に扱う。方形波や三角波の計算は、普通は扱われない。ただし、工業高校の授業や、工場の実務では扱うことがあるので、読者は波形を学んでおくこと。発電所から一般家庭に送られてくる電圧は交流電圧である。東日本では50Hzであり、西日本では60Hzである。これは明治時代の発電機の輸入時に、東日本の事業者はヨーロッパから50Hz用の発電機を輸入し、西日本の事業者はアメリカから60Hzの発電機を輸入したことによる。発電所から一般の家庭などに送られる電流の周波数を'''商用周波数'''という。商用電源の電圧振幅は約140Vである。これは<math>100\times\sqrt{2}</math>[V]である。キロヘルツとは1000Hzのことである。キロヘルツはkHzと書く。 ;コイルの自己誘導交流電流に対しては、電流と同じ振動数で、アンペールの法則で発生する磁場も振動する。導線でつくられたコイルは、直流電流では、ただの導線としてはたらく。しかし、交流電流に対しては、電磁誘導により自己の発生させた磁場を妨げるような電流および起電力が発生する。これを'''自己誘導'''（self induction）という。自己誘導による起電力の大きさは、電流の時間変化率に比例する。自己誘導の起電力を式で書けば、比例係数をLとして、 :<math>e=-L\frac{\Delta I}{\Delta t}</math> である。この比例係数<math>L</math>を'''自己インダクタンス'''（self inductance）という。自己インダクタンスの次元は[V・S/m]だが、これを'''ヘンリー'''という単位で表し、単位にHという記号を用いる。 ;相互誘導 [[ファイル:Transformer Flux.svg\|thumb\|相互誘導を利用した変圧器（transformer）]] 鉄心に二つのコイルを巻き、コイルの片方の電流を変化させると、アンペールの法則によって生じていた磁束も変化するから、反対側のコイルには、この磁束密度の変化を打ち消すような向きに起電力が発生する。この現象を'''相互誘導'''（mutual induction）と言う。電圧を入力させた側のコイルを'''1次コイル'''（primaly coil）と言い、誘導起電力を発生させる側のコイルを'''2次コイル'''（secondary coil）という。相互誘導による起電力の大きさは、電流の時間変化率に比例する。相互誘導の起電力を式で書けば、比例係数をMとして、（相互誘導の比例係数はLでは無い。）式は、 :<math>e=-M\frac{\Delta I}{\Delta t}</math> である。この比例係数<math>M</math>を'''相互インダクタンス'''（self inductance）という。相互インダクタンスの次元は、自己インダクタンスの単位と同じで'''ヘンリー'''（H）である。この相互インダクタンスの大きさは、両方のコイルの巻き数どうしの積に比例する。 {{コラム\|微分積分や複素数の回路計算の話題\| 交流回路の計算を、高校の数学にある微分積分（びぶんせきぶん）や複素数（ふくそすう）の理論をつかって計算することができる。（※ 数学教科でも、数学3で章末コラムなどで説明したりする場合もある（啓林館の数学3教科書など）。）だが高校生は、物理の学習では、まずは電気力線や磁束線などの特性といった力線の特性のイメージを習得したり、計算式の練習でも高校物理の教科書にある差分（さぶん）記号Δとかをつかった初等的な説明を理解するようにしたほうがいい。じつは大人の事情だが、交流回路の計算法は、分野によって異なっており、あまり統一されてない。（※ 高校物理の記法のほかにも、たとえば「フェーザー表示」とか「複素表示」とか異なる計算法・記法もある。さらに「ラプラス変換」という計算法もある。）しかも複素数の記号が i （アイ）とはかぎらず j （ジェイ）だったりとか、分野によって違っている。なので、とりあえず高校生は、高校物理の教科書にあるような、実数や差分記法Δなどの記法で計算しておけば、大学受験などでは安全である。これら記法・計算法の違いは、あまり物理法則的には本質的でないので、あまり微分積分による回路の計算法には深入りしないほうがいい。まずは力線イメージと、デルタ記号「Δ」方式の初等物理の計算を習得しよう。 :※ 大学や専門学校の電気系の学校に進学すると、上述のいろんな回路計算法（主に複素数表示とラプラス変換）を習うので、それぞれの計算法を重視する専門分野の人が、それぞれ自分の専門分野の計算法の意義を主張したりするが、高校生には大学教員たちのタコツボ的な事情はどうでもいいので、無視しよう。 :米国の20世紀のノーベル物理学者ファインマンも、だいぶ電気工学者を嫌ってる（参考文献: ファインマン物理学にある電気工学への皮肉っぽい文句。） }} == 電磁波 == [[File:Onde electromagnetique.svg\|thumb\|400px\|電磁波の概略図。電場と磁場とは直交している。]] 磁場の動きによって電場が引き起こされることを電磁誘導のセクションで見た。実際には電場の変化によって磁場が引き起こされることも知られている。これによって何もない空間中を電場と磁場が伝播していくことが予想される。電磁波の速度を物理学者のマクスウェルが計算で求めたところ、電磁波の速度は、真空中では常に一定で、かつ波の速度cを計算で求めたところ、 :c=3.0×10<sup>8</sup> となり、既に知られていた光速に一致した。このことから、光は電磁波の一種であることが分かった。物理IIで、電磁波の速度を求める計算は、詳しくは扱う。読者が光速の測定実験について調べるなら、物理Iの波動に関するページなどでフィゾーの実験について、参照のこと。波は波長λが長いほど、振動数fが小さくなる。波の波長λと振動数fの積fλは一定で、これは波の速度vに等しい。つまり :v=fλ である。電磁波の場合は、速度が光速のcなので :c=fλ である。 === 電磁波の分類 === * 電波放送用のテレビやラジオの電波（でんぱ、radio wave）は、電磁波（electromagnetic wave）の一種である。波長が0.1mm以上の電磁波が電波に分類される。なお、電波のうち、波長が1mm～1cmのミリメートルの電波をミリ波という。同様に、波長が1cm～10cmの電波をセンチ波という。波長10cm～100cm(=1m)の電波はUHFと言われ、テレビ放送などに使われるUHF放送は、この電波である。波長1m～10mの電波はVHFと言われる。テレビ放送のVHF放送は、この電波である。 * 赤外線波長が0.1mm以下で、可視光線（可視光の最大波長は780ナノメートル程度）よりかは波長が長い電磁波は赤外線（せきがいせん、infrared rays、インフラレードレイズ）という。「赤」の「外」という理由は、可視光の最大波長の色が赤色だからである。赤外線そのものには色はついていない。市販の赤外線ヒーターなどが赤色に発光する製品があるのは、使用者が動作確認をできるようにするために、製品に赤色のランプを併置しているからである。赤外線は、物体に吸収されやすく、吸収の際、熱を発生するので、ヒーターなどに応用される。なお、太陽光にも赤外線は含まれる。 :発見の経緯そもそも赤外線が発見された経緯は、イギリスの天文学者のハーシェルが太陽光をプリズムで分光した際に、赤色の光線のとなりの、目には色が見えない部分が温度上昇していることが発見されたという経緯がある。 * 可視光線 [[Image:Linear visible spectrum.svg]] {\| class="wikitable" style="float:right; text-align:right; margin:0px 0px 7px 7px;" \|- !色 !波長 !エネルギー \|- \| style="background-color:#CEB0F4; text-align:center;" \|紫 \|380-450 nm \|2.755-3.26 eV \|- \| style="background-color:#B0CCF4; text-align:center;" \|青 \|450-495 nm \|2.50-2.755 eV \|- \| style="background-color:#B4F4B0; text-align:center;" \|緑 \|495-570 nm \|2.175-2.50 eV \|- \| style="background-color:#F4F4B0; text-align:center;" \|黄色 \|570-590 nm \|2.10-2.175 eV \|- \| style="background-color:#F4DDB0; text-align:center;" \|橙色 \|590-620 nm \|1.99-2.10 eV \|- \| style="background-color:#F4B0B0; text-align:center;" \|赤 \|620-750 nm \|1.65-1.99 eV \|} 我々、人間の目に見える可視光線（かしこうせん、visible light）の波長は、約780ナノメートルから約380ナノメートルの程度である。可視光の中で波長が最も長い領域の色は赤色である。可視光の中で波長が最も短い領域の色は紫色である。光そのものには、色はついていない。我々、人間の脳が、目に入った可視光を、色として感じるのである。太陽光をプリズムなどで分光（ぶんこう）すると、波長ごとに軌跡（きせき）がわかれる。この分光した光線は、他の波長を含まず、ただ一種の波長なので、このような光線および光を'''単色光'''（monochromatic light）という。また、白色は単色光ではない。'''白色光'''(white light)とは、全ての色の光が混ざった状態である。同様に、黒色という単色光もない。黒色とは、可視光が無い状態である。 {{clear}} * 紫外線紫外線（しがいせん、ultraviolet rays）は化学反応に影響を与える作用が強い。殺菌消毒などに応用される。太陽光にも紫外線は含まれる。人間の肌の日焼けの原因は、紫外線がメラニン色素を酸化させるからである。 :発見の経緯赤外線は太陽光のプリズムによる分光で発見された。「では、分光された紫色の光線のとなりにも、なにか目には見えない線があるのでは？」というふうなことが学者たちによって考えられ、ドイツの物理学者リッターにより化学的な実験方法を用いて、紫外線の存在も実証された。 * X線およびガンマ線医療用のレントゲンなどの透過写真で用いられるX線（X-ray）も電磁波の一種である。生物の細胞を分子レベルで傷つけ、発がん性が有る。ガンマ線（gamma‐ray、γ ray）も同様に、透過写真にも応用されるが、生物の細胞を分子レベルで傷つけ、発がん性が有る。 {{clear}} ---- ===電気に関する探求活動=== ?? [[Category:高等学校教育\|物ふつり1てんき]] [[カテゴリ:電気\|高ふつり1てんき]] [[Category:物理学教育\|高ふつり1てんき]]	2005-05-08T07:17:05Z	2024-02-05T02:40:56Z	[ "テンプレート:Clear", "テンプレート:-", "テンプレート:コラム", "テンプレート:Lang-en-short" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E7%89%A9%E7%90%86%E5%9F%BA%E7%A4%8E/%E9%9B%BB%E6%B0%97%E3%81%A8%E7%A3%81%E6%B0%97
1,940	高等学校物理/物理I/波	高等学校理科物理I > 波	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "高等学校理科物理I > 波", "title": "" } ]	高等学校理科物理I > 波	<small>[[高等学校理科物理I]] > 波</small> ---- == 波の性質 == :[[高等学校理科物理I 波/波の性質]] {{進捗\|50%\|2015-07-24}} == 音 == :[[高等学校理科物理I 波/音波と振動\|波/音波と振動]] {{進捗\|50%\|2016-01-23}} == 光 == :[[高等学校理科物理I 波/光波\|波/光波]] {{進捗\|00%\|2015-07-24}} [[Category:高等学校教育\|物ふつり1なみ]] [[カテゴリ:振動と波動\|高ふつり1なみ]] [[Category:物理学教育\|高ふつり1なみ]]	null	2023-02-01T08:42:34Z	[ "テンプレート:進捗" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E7%89%A9%E7%90%86/%E7%89%A9%E7%90%86I/%E6%B3%A2
1,941	高等学校物理/物理I/運動とエネルギー	高等学校理科物理I > 運動とエネルギー本項は高等学校理科物理Iの運動とエネルギーの解説である。 (2015-07-10) 力を加えても伸び縮みをせず、大きさを物体を剛体(ごうたい、rigid body)という。これに対して、バネなどの伸び縮みをする物体は弾性体(elastic body)という。以下の記述では、おもに、剛体について考える。剛体に力が掛かっている箇所を、作用点(さようてん、point of action)と言い、作用線から力の方向へ延長した直線を作用線(line of action)という。剛体は力を加えた位置によって、動き方が異なる。力の加え方によって、並進運動の他に回転運動をする場合もある。また、てこの原理を考えれば、同じ大きさの力を加えても、作用点の位置によって、剛体に与える影響は異なる。このことからてこの支点と作用点との距離Lと、力Fの垂直方向成分F sinθとの積を考えると好都合である。この積FL sinθを、力のモーメント(moment of force)と言う。あるいは単にモーメント(moment)という。てこ以外の剛体に対しても、任意の点Oからの距離を考え、これを支点として、この点Oからの距離Lと力の垂直方向成分F sinθ都の積でモーメントを定義する。モーメントの単位は[N・m]である。モーメントをMと表した場合、である。剛体に掛かる力が複数個、有る場合については、その力による回転方向が基準にした回転方向と逆の場合は、マイナス符号に取る。力のモーメントが釣り合っている場合は、モーメントの合計がゼロになり、この場合は、剛体は回転しない。剛体に同じ大きさの力が反対方向に掛かっている場合、その力の対を、偶力(ぐうりょく、couple of force)という。剛体には大きさがあったが、この大きさを無視して、物体を質量を持った点として扱う場合は、これを質点という。質点は、力のモーメントを持たない。 (Center of Gravity) (2015-07-10) 運動している物体Aが静止している物体Bに衝突して、その静止物体Bを動かしたとしよう。このとき、静止している物体が動き出す速度の大きさは、物体Aの質量mAが大きいほど、衝突された物体Bの速度も大きな速度で動き出すだろう。また、物体Aの速度vAが大きいほど、衝突された物体Bの速度も大きくなるだろう。このことから、速度vで運動している質量mの物体に関して、物体の速度vと質量mの積で定められる量mvを定義すると都合がよさそうである。物体が動いているとき、物体の速度と質量の積mvを物体の運動量(うんどうりょう、momentum)と呼び、記号は一般にpで表しと定義する。物体に対して力fを Δ t {\displaystyle \Delta t} の間だけ働かせたとき、として、Pを力積(りきせき、impulse)と呼ぶ。ここで、力積が運動量の変化率であることを示す。実際ある物体に短い時間 Δ t {\displaystyle \Delta t} の間力がかかったとすると、となるが、これは運動量の時間変化率に時間 Δ t {\displaystyle \Delta t} をかけたもので、運動量の時間変化に等しいことが分かる。よって、物体にかかる力積は、物体の運動量の変化量に等しいことが分かった。ここでは、短時間の運動量の変化率として、 Δ p Δ t {\displaystyle {\frac {\Delta p}{\Delta t}}} という記述を用いているが、本来この量はw:微分を用いて定義される。ただし、指導要領の都合のため、ここではそのような記述はしていない。微分を用いた導出については、古典力学を参照。静止していた物体に時間 Δ t {\displaystyle \Delta t} の間ある方向に一様な力fをかけた。物体が得た運動量はどれだけか。更に、物体の質量をmとすると、物体がその方向に得た速度はどれだけか。運動量の変化分は物体が受けた力積に等しいので、物体が受けた力積を計算すればよい。物体が受けた力積はに等しいので、物体が得た運動量もに等しい。更に、運動量がを満たすことを考えると、物体の速度はとなる。運動量は、物体が全く力を受けないとき保存する。これは物体に力が働かないときには、物体の受ける力積は0であり物体の運動量変化も0であることから当然である。さらに、複数の物体の運動量については、別の重要な性質が見られる。それは、複数の物体のもつ運動量の総和はそれらの物体の間の衝突に際して保存するということである。これはつまり、例えばある2つの物体が衝突したとき、始めに2物体がそれぞれ持っていた運動量の和は衝突が終わった後に2物体が持っている運動量の和に等しいということである。ここで、いくつかの物体があるときそれらの持つ運動量の総和を、対応する物体系の全運動量という。物体の衝突について、運動量は常に保存する。しかし、物体系の全エネルギーは常に保存するとは限らない。一般に物体の衝突についてエネルギーは常に失われていく。もっとも物体系に限らない全エネルギーは常に一定であるので、物体が持っていたエネルギーは音や熱の形で物体系の外に逃げて行くのである。物体が衝突について失うエネルギーは衝突に関わる物体が持っている物性定数によって決まる。この係数をw:反発係数eと呼ぶ。反発係数は、物体が衝突したする前後の物体間の相対速度の比によって定められる。特に物体1と物体2が衝突前に速度 v 1 {\displaystyle v_{1}} , v 2 {\displaystyle v_{2}} を持っており、衝突後に速度 v 1 ′ {\displaystyle v_{1}'} , v 2 ′ {\displaystyle v_{2}'} を持ったとすると、反発係数eは、で定められる。ここで、右辺の始めの − {\displaystyle -} 符合は、衝突の前後で物体の速度がより大きい物体は、衝突前により小さい速度を持っていた物体よりも衝突後にはより小さい速度を持つことになるからである。そのため、反発係数は一般に正の数である。また反発係数は1より小さい数であり、物体間の相対速度は衝突前より衝突後の方が小さくなる。特にe=1のときを完全弾性衝突と呼び 0 < e < 1 {\displaystyle 0<e<1} のときを非弾性衝突と呼ぶ。完全弾性衝突のときは、エネルギーは失われないことが知られている。一方、非弾性衝突のときは物体系の全エネルギーは失われる。ある静止している物体2に運動量pで運動している物体が衝突した。このとき、衝突した後の物体2が運動量 p 2 {\displaystyle p_{2}} を得たとすると、衝突後の物体1の運動量はどれだけとなったか。運動量の保存則を考えると、衝突の前後で物体1と物体2で構成される物体系の全運動量は保存する。ここで、衝突前の物体系の全運動量はpであるので、衝突後の物体系の全運動量もpとなる。更に、物体2の衝突後の運動量が p 2 {\displaystyle p_{2}} なので、物体1の運動量はとなる。ここで、物体系の全運動量が保存されることは、運動に関するw:作用反作用の法則から従う。作用反作用の法則を用いると、物体系の間の衝突に際して、衝突に関わるそれぞれの物体が受ける力は、大きさが等しく向きは反対となる。このとき、それぞれの力に対して、衝突の時間 Δ t {\displaystyle \Delta t} をかけたものは衝突に際してそれぞれの物体が受け取る力積に等しい。ここで、衝突に関して働く力の力積を全ての物体について足し合わせると、それらの和は上のことから0となる。しかし、全運動量の計算ではまさにそのような全物体についての運動量の総和を計算しているので、衝突によって得られるような力積の総和は0に等しい。よって、衝突に際して物体系の持つ全運動量は保存される。質量mの2つの物体が速度 v 1 {\displaystyle v_{1}} , v 2 {\displaystyle v_{2}} で移動している。これらの物体が衝突したとき、衝突後のそれぞれの物体の速度を、エネルギー保存則と運動量保存則を用いて計算せよ。ただし、物体の衝突に関してエネルギーは保存するとする。この問題は2つの同じ大きさの物体を異なった速度でぶつけたときその結果がどうなるかを計算する問題である。実験の結果によると、一方が静止しており一方が動いているとき、動いていた物体は静止し、静止していた物体は動いていた物体が持っていた速度と同じ速度で動きだすことが知られている。ここでは、それらの結果が計算によって確かめられることを見ることが出来る。衝突後の物体の速度をそれぞれ物体1については v 1 ′ {\displaystyle v_{1}'} ,物体2については v 2 ′ {\displaystyle v_{2}'} とする。このとき、物体の衝突について全エネルギーが保存されることを用いると、が得られる。更に、物体の衝突について物体系の全運動量が保存されることを用いると、これらは、 v 1 ′ {\displaystyle v'_{1}} , v 2 ′ {\displaystyle v'_{2}} についての2次方程式であり、解くことが出来る。実際計算すると、解としてが得られる。前者の解は衝突に際して物体の速度が変化しないことを示しているが、これは実際の情况として考え難いので、後者の解が現実の解となる。この結果を見ると、物体が持つ速度が入れ替わることが分かる。このことは実際に同じ大きさの球を用いて実験を行うと、確かめることができる。現実の物体の運動においては、ただ1つの力だけで表わされるような運動は数少なく、いくつかの物体から受ける力がからみ合って物体の運動のようすが決まっていることが多い。例えば、空気中に存在する物体に力をかけて運動させることを考えてみる。ここでは、物体はそれに力をかけている人間や道具から力を受ける。しかし、一方で物体は空気と衝突することで空気の分子から力を受けることになる。このため、一般に空気中で物体が行なう運動は、力をかけている人間が意図したものとずれる傾向がある。実際にこのような対応する力によって物体の運動の様子が大きく影響を受けるかどうかは、扱う現象の様子によって大きく変わってくる。分銅程度の大きさの物体を用いた短時間の測定なら、空気抵抗の影響は無視しても差し支えないと思われる。しかし、例えばロケットが大気圏に突入するときのロケットの運動は、空気抵抗によって大きく影響され空気抵抗の影響を無視して運動の様子を解析することは適切ではない。このように、対象とする物体の運動の様子に伴って、どの力が重要になるかを正しく見抜くことが必要となる。 ??	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"例えば、空気中に存在する物体に力をかけて運動させることを考えてみる。ここでは、物体はそれに力をかけている人間や道具から力を受ける。しかし、一方で物体は空気と衝突することで空気の分子から力を受けることになる。このため、一般に空気中で物体が行なう運動は、力をかけている人間が意図したものとずれる傾向がある。実際にこのような対応する力によって物体の運動の様子が大きく影響を受けるかどうかは、扱う現象の様子によって大きく変わってくる。分銅程度の大きさの物体を用いた短時間の測定なら、空気抵抗の影響は無視しても差し支えないと思われる。しかし、例えばロケットが大気圏に突入するときのロケットの運動は、空気抵抗によって大きく影響され空気抵抗の影響を無視して運動の様子を解析することは適切ではない。", "title": "発展: 運動量と力積" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "このように、対象とする物体の運動の様子に伴って、どの力が重要になるかを正しく見抜くことが必要となる。", "title": "発展: 運動量と力積" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "", "title": "発展: 運動量と力積" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "??", "title": "運動とエネルギーに関する探求活動" } ]	高等学校理科物理I > 運動とエネルギー本項は高等学校理科物理Iの運動とエネルギーの解説である。	<small>[[高等学校理科物理I]] > 運動とエネルギー</small> ---- 本項は[[高等学校理科物理I]]の運動とエネルギーの解説である。 == 物体の運動 == :[[高等学校理科物理I 運動とエネルギー/物体の運動\|運動とエネルギー/物体の運動]] で記載。 {{進捗\|75%\|2015-07-10}} == 運動の法則 == :[[高等学校理科物理I 運動とエネルギー/運動の法則\|運動とエネルギー/運動の法則]] で記載。 {{進捗\|50%\|2015-07-10}} == 仕事とエネルギー == :[[高等学校理科物理I 運動とエネルギー/仕事とエネルギー\|運動とエネルギー/仕事とエネルギー]] で記載。 {{進捗\|50%\|2015-07-18}} == 剛体に働く力の釣り合い == {{進捗\|25%\|2015-07-10}} [[File:basculer.jpg\|thumb\|left\|剛体に、力は、どう働く ?]] [[File:Palanca-ejemplo.jpg\|thumb\|300px\|'''てこ''' を使えば、100 kg の物体を 5kg の物体で持ち上げることができる。]] [[File:Torque, position, and force.svg\|thumb\|right\|]] 力を加えても伸び縮みをせず、大きさを物体を'''剛体'''(ごうたい、rigid body)という。これに対して、バネなどの伸び縮みをする物体は弾性体(elastic body)という。以下の記述では、おもに、剛体について考える。剛体に力が掛かっている箇所を、'''作用点'''(さようてん、point of action)と言い、作用線から力の方向へ延長した直線を'''作用線'''(line of action)という。剛体は力を加えた位置によって、動き方が異なる。力の加え方によって、並進運動の他に回転運動をする場合もある。また、てこの原理を考えれば、同じ大きさの力を加えても、作用点の位置によって、剛体に与える影響は異なる。このことからてこの支点と作用点との距離Lと、力Fの垂直方向成分F sinθとの積を考えると好都合である。この積FL sinθを、'''力のモーメント'''(moment of force)と言う。あるいは単にモーメント(moment)という。てこ以外の剛体に対しても、任意の点Oからの距離を考え、これを支点として、この点Oからの距離Lと力の垂直方向成分F sinθ都の積でモーメントを定義する。モーメントの単位は[N・m]である。モーメントをMと表した場合、 :M=FL sinθ である。剛体に掛かる力が複数個、有る場合については、その力による回転方向が基準にした回転方向と逆の場合は、マイナス符号に取る。力のモーメントが釣り合っている場合は、モーメントの合計がゼロになり、この場合は、剛体は回転しない。 {{clear}} ;偶力 [[File:Koppel van krachten.png\|thumb\|left\|偶力のイメージ図]] [[Image:couple_phys.jpg\|thumb\|right\|300px\|偶力]] 剛体に同じ大きさの力が反対方向に掛かっている場合、その力の対を、'''偶力'''（ぐうりょく、couple of force）という。 ;質点剛体には大きさがあったが、この大きさを無視して、物体を質量を持った点として扱う場合は、これを'''質点'''という。質点は、力のモーメントを持たない。 {{clear}} === 重心 === [[File:Caisse plan incline basculement.svg\|thumb\|200px\|重心について]] (Center of Gravity) {{clear}} ==発展: 運動量と力積== {{進捗\|25%\|2015-07-10}} [[File:Billard.JPG\|300px\|right\|]] === 運動量 === 運動している物体Aが静止している物体Bに衝突して、その静止物体Bを動かしたとしよう。このとき、静止している物体が動き出す速度の大きさは、物体Aの質量m<sub>A</sub>が大きいほど、衝突された物体Bの速度も大きな速度で動き出すだろう。また、物体Aの速度vAが大きいほど、衝突された物体Bの速度も大きくなるだろう。このことから、速度vで運動している質量mの物体に関して、物体の速度vと質量mの積で定められる量mvを定義すると都合がよさそうである。物体が動いているとき、物体の速度と質量の積mvを物体の'''運動量'''(うんどうりょう、momentum)と呼び、記号は一般にpで表し :<math> \vec p = m \vec v </math> と定義する。 === 運動量保存の法則 === 物体に対して力fを<math>\Delta t</math>の間だけ働かせたとき、 :<math> P = f \Delta t </math> として、Pを'''力積'''(りきせき、impulse)と呼ぶ。ここで、力積が運動量の変化率であることを示す。実際ある物体に短い時間<math>\Delta t</math>の間力 :<math> \vec f </math> がかかったとすると、 :<math> \vec P = \vec f \Delta t </math> :<math> = m\vec a \Delta t </math> :<math> = m \frac {\Delta } {\Delta t}\vec v \Delta t </math> :<math> = \frac {\Delta } {\Delta t} \vec p\Delta t </math> となるが、これは運動量の時間変化率 :<math> \frac {\Delta } {\Delta t} \vec p </math> に時間<math>\Delta t</math>をかけたもので、運動量の時間変化に等しいことが分かる。よって、物体にかかる力積は、物体の運動量の変化量に等しいことが分かった。発展微分と変化量ここでは、短時間の運動量の変化率として、<math>\frac {\Delta p}{\Delta t}</math>という記述を用いているが、本来この量は[[w:微分]]を用いて定義される。ただし、指導要領の都合のため、ここではそのような記述はしていない。微分を用いた導出については、[[古典力学]]を参照。問題例問題静止していた物体に時間<math>\Delta t</math>の間ある方向に一様な力fをかけた。物体が得た運動量はどれだけか。更に、物体の質量をmとすると、物体がその方向に得た速度はどれだけか。解答運動量の変化分は物体が受けた力積に等しいので、物体が受けた力積を計算すればよい。物体が受けた力積は :<math> f \Delta t </math> に等しいので、物体が得た運動量も :<math> f \Delta t </math> に等しい。更に、運動量が :<math> p = m v </math> を満たすことを考えると、物体の速度は :<math> \frac 1 m f \Delta t </math> となる。運動量は、物体が全く力を受けないとき保存する。これは物体に力が働かないときには、物体の受ける力積は0であり物体の運動量変化も0であることから当然である。さらに、複数の物体の運動量については、別の重要な性質が見られる。それは、複数の物体のもつ運動量の総和はそれらの物体の間の衝突に際して保存するということである。これはつまり、例えばある2つの物体が衝突したとき、始めに2物体がそれぞれ持っていた運動量の和は衝突が終わった後に2物体が持っている運動量の和に等しいということである。ここで、いくつかの物体があるときそれらの持つ運動量の総和を、対応する物体系の全運動量という。物体の衝突について、運動量は常に保存する。しかし、物体系の全エネルギーは常に保存するとは限らない。一般に物体の衝突についてエネルギーは常に失われていく。もっとも物体系に限らない全エネルギーは常に一定であるので、物体が持っていたエネルギーは音や熱の形で物体系の外に逃げて行くのである。物体が衝突について失うエネルギーは衝突に関わる物体が持っている物性定数によって決まる。この係数を[[w:反発係数]]eと呼ぶ。反発係数は、物体が衝突したする前後の物体間の相対速度の比によって定められる。特に物体1と物体2が衝突前に速度 <math>v _1</math>,<math>v _2</math>を持っており、衝突後に速度<math>v _1'</math>,<math>v _2'</math>を持ったとすると、反発係数eは、 :<math> e = - \frac {v _1 - v _2} {v _1' - v _2'} </math> で定められる。ここで、右辺の始めの<math>-</math>符合は、衝突の前後で物体の速度がより大きい物体は、衝突前により小さい速度を持っていた物体よりも衝突後にはより小さい速度を持つことになるからである。そのため、反発係数は一般に正の数である。また反発係数は1より小さい数であり、物体間の相対速度は衝突前より衝突後の方が小さくなる。特にe=1のときを完全弾性衝突と呼び <math>0<e<1</math>のときを非弾性衝突と呼ぶ。完全弾性衝突のときは、エネルギーは失われないことが知られている。一方、非弾性衝突のときは物体系の全エネルギーは失われる。問題例問題ある静止している物体2に運動量pで運動している物体が衝突した。このとき、衝突した後の物体2が運動量<math>p _2</math>を得たとすると、衝突後の物体1の運動量はどれだけとなったか。解答運動量の保存則を考えると、衝突の前後で物体1と物体2で構成される物体系の全運動量は保存する。ここで、衝突前の物体系の全運動量はpであるので、衝突後の物体系の全運動量もpとなる。更に、物体2の衝突後の運動量が <math>p _2</math>なので、物体1の運動量は :<math> p - p _2 </math> となる。ここで、物体系の全運動量が保存されることは、運動に関する[[w:作用反作用の法則]]から従う。作用反作用の法則を用いると、物体系の間の衝突に際して、衝突に関わるそれぞれの物体が受ける力は、大きさが等しく向きは反対となる。このとき、それぞれの力に対して、衝突の時間<math>\Delta t</math>をかけたものは衝突に際してそれぞれの物体が受け取る力積に等しい。ここで、衝突に関して働く力の力積を全ての物体について足し合わせると、それらの和は上のことから0となる。しかし、全運動量の計算ではまさにそのような全物体についての運動量の総和を計算しているので、衝突によって得られるような力積の総和は0に等しい。よって、衝突に際して物体系の持つ全運動量は保存される。問題例問題質量mの2つの物体が速度<math>v _1</math>,<math>v _2</math> で移動している。これらの物体が衝突したとき、衝突後のそれぞれの物体の速度を、エネルギー保存則と運動量保存則を用いて計算せよ。ただし、物体の衝突に関してエネルギーは保存するとする。解答この問題は2つの同じ大きさの物体を異なった速度でぶつけたときその結果がどうなるかを計算する問題である。実験の結果によると、一方が静止しており一方が動いているとき、動いていた物体は静止し、静止していた物体は動いていた物体が持っていた速度と同じ速度で動きだすことが知られている。ここでは、それらの結果が計算によって確かめられることを見ることが出来る。衝突後の物体の速度をそれぞれ物体1については<math>v _1'</math>,物体2については <math>v _2'</math>とする。このとき、物体の衝突について全エネルギーが保存されることを用いると、 :<math> 1/2 m v _1^2 + 1/2 m v _2^2 = 1/2 m v _1'{}^2 + 1/2 m v'{} _2^2 </math> が得られる。更に、物体の衝突について物体系の全運動量が保存されることを用いると、 :<math> m v _1 + m v _2 = m v _1' + m v _2' </math> これらは、<math>v' _1</math>,<math>v '_2</math>についての2次方程式であり、解くことが出来る。実際計算すると、解として :<math> (v '_1 ,v' _2 )=(v _1,v _2),(v _2,v _1) </math> が得られる。前者の解は衝突に際して物体の速度が変化しないことを示しているが、これは実際の情况として考え難いので、後者の解が現実の解となる。この結果を見ると、物体が持つ速度が入れ替わることが分かる。このことは実際に同じ大きさの球を用いて実験を行うと、確かめることができる。 ===日常に起こる物体の運動=== 現実の物体の運動においては、ただ1つの力だけで表わされるような運動は数少なく、いくつかの物体から受ける力がからみ合って物体の運動のようすが決まっていることが多い。例えば、空気中に存在する物体に力をかけて運動させることを考えてみる。ここでは、物体はそれに力をかけている人間や道具から力を受ける。しかし、一方で物体は空気と衝突することで空気の分子から力を受けることになる。このため、一般に空気中で物体が行なう運動は、力をかけている人間が意図したものとずれる傾向がある。実際にこのような対応する力によって物体の運動の様子が大きく影響を受けるかどうかは、扱う現象の様子によって大きく変わってくる。分銅程度の大きさの物体を用いた短時間の測定なら、空気抵抗の影響は無視しても差し支えないと思われる。しかし、例えばロケットが大気圏に突入するときのロケットの運動は、空気抵抗によって大きく影響され空気抵抗の影響を無視して運動の様子を解析することは適切ではない。このように、対象とする物体の運動の様子に伴って、どの力が重要になるかを正しく見抜くことが必要となる。 ==運動とエネルギーに関する探求活動== ?? [[カテゴリ:力学]] [[カテゴリ:エネルギー]]	2005-05-08T07:20:33Z	2024-02-06T05:19:41Z	[ "テンプレート:進捗", "テンプレート:Clear" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E7%89%A9%E7%90%86/%E7%89%A9%E7%90%86I/%E9%81%8B%E5%8B%95%E3%81%A8%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC
1,942	高等学校物理/物理II	本項は高等学校理科の科目である「物理 II」の解説である。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "本項は高等学校理科の科目である「物理 II」の解説である。", "title": "" } ]	本項は高等学校理科の科目である「物理 II」の解説である。	:* [[高等学校物理]] > 物理II<br /> ---- 本項は高等学校理科の科目である「物理 II」の解説である。 {{進捗状況}} == 教科書 == * [[高等学校物理/物理II/力と運動\|力と運動]] {{進捗\|100%\|2013-09-16}} * [[高等学校物理/物理II/熱力学\|熱力学]] {{進捗\|75%\|2017-08-09}} * [[高等学校物理/物理II/電気と磁気\|電気と磁気]] {{進捗\|50%\|2013-09-16}} :* [[高等学校物理/物理II/物質と原子\|物質と原子]] {{進捗\|25%\|2013-09-16}}(『電気と磁気』に内容を統合中) * [[高等学校物理/物理II/原子と原子核\|原子と原子核]] {{進捗\|50%\|2017-08-09}} :* 参考 [[高等学校物理/物理II/バンドギャップ\|バンドギャップ]] {{進捗\|25%\|2017-08-02}}（2015年では範囲外？） * [[高等学校物理/物理II/素粒子\|素粒子]] {{進捗\|75%\|2017-08-08}}（入試には出ないのが普通） * [[高等学校物理/物理II/課題研究\|課題研究]] == 関連リンク == * [[高等学校数学II/微分・積分の考え]] * [[高等学校数学III/極限]] * [[高等学校数学III/微分法]] * [[高等学校数学III/積分法]] * 物理Iの教科書へのリンク → [[高等学校物理/物理I\|高等学校理科物理I]]<br /> [[Category:高等学校教育\|物ふつり2]] [[Category:物理学\|高ふつり2]] [[Category:物理学教育\|高ふつり2]] [[Category:高等学校理科物理II\|*]]	null	2017-08-09T01:40:12Z	[ "テンプレート:進捗状況", "テンプレート:進捗" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E7%89%A9%E7%90%86/%E7%89%A9%E7%90%86II
1,943	高等学校物理/力学	高等学校理科物理基礎では、物体の運動を直線上の運動を中心に扱った。物理では、より複雑な平面上の運動を扱う。平面上の運動では、直線上の運動とは違って、物体の位置を表わすのに必要な量が2つになる。これらは通常 x , y {\displaystyle x,\ y} とされ、どちらも時刻 t {\displaystyle t} の一意の関数となる。これらの関数はどんなものでもよいが、ここでは主に、実際の物体の運動としてよくあらわれるものを扱う。平面上,すなわち2次元において,時刻 t {\displaystyle t} における位置は r → ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) {\displaystyle {\overrightarrow {r}}(t)=(x(t),\ y(t))} ,微小時間 Δ t {\displaystyle {\mathit {\Delta }}t} 間の変位は Δ r → = r → ( t + Δ t ) − r → ( t ) = ( Δ x , Δ y ) {\displaystyle {\mathit {\Delta }}{\overrightarrow {r}}={\overrightarrow {r}}(t+{\mathit {\Delta }}t)-{\overrightarrow {r}}(t)=({\mathit {\Delta }}x,\ {\mathit {\Delta }}y)} と定義される。このときを Δ t {\displaystyle {\mathit {\Delta }}t} 間の平均速度, Δ t → 0 {\displaystyle {\mathit {\Delta }}t\to 0} の極限を時刻 t {\displaystyle t} での(瞬間)速度という。なお,時刻 t {\displaystyle t} での速さ(速度の大きさ)はこの場合も,速度から位置が求まり,各成分毎にが成り立ち,これらをベクトルを用いてひとまとめにして任意の時刻 t {\displaystyle t} における位置が求められる。また, を Δ t {\displaystyle {\mathit {\Delta }}t} 間の平均加速度, Δ t → 0 {\displaystyle {\mathit {\Delta }}t\to 0} の極限を時刻 t {\displaystyle t} での(瞬間)加速度という。この場合も,加速度から速度が求まり,各成分毎にが成り立ち,これらをベクトルを用いてひとまとめにして任意の時刻 t {\displaystyle t} における速度が求められる。なお,これら r → ( 0 ) , v → ( 0 ) {\displaystyle {\overrightarrow {r}}(0),{\overrightarrow {v}}(0)} の値を初期値という。特に,加速度一定のときの運動は等加速度運動といわれ,上記の公式(1.2, 1)はそれぞれとなる。運動方程式は、力が物体が受ける加速度に比例するという点はかわらない。しかし、今回は力と加速度はどちらもベクトル量である。よって、外力 f → = ( f x , f y ) {\displaystyle {\overrightarrow {f}}=(f_{x},\ f_{y})} が働き,加速度 a → = ( a x , a y ) {\displaystyle {\overrightarrow {a}}=(a_{x},\ a_{y})} で運動する物体の運動方程式はとかかれる。通常は、この方程式を解く場合は要素ごとにわけ、とかかれる。時刻t = 0に、をで通過した物体の時刻tでの位置を求めよ。物体のx方向とy方向は互いに独立に等速直線運動をする。ここではx方向もy方向も速度なので、等速直線運動の式のベクトル量とした量に代入すると、となる。要素ごとにかくと、となる。時刻t=0に原点(0,\ 0)をy方向に速度 v 0 {\displaystyle v_{0}} で等速直線運動していた質量mの物体に、 x方向の一様な力fがかかり始めた。この場合、時刻tにおける物体の位置と速度を求めよ。 x軸方向には等加速度運動となる。物体が受ける加速度は、運動方程式によりとなる。さらにx方向の初速度0,初期位置0であることを等加速度直線運動の式に代入すると、となる。さらに、y軸方向の運動は等速運動であり、その初速度は、 v 0 {\displaystyle v_{0}} ,初期位置は0であるので、この値を等速運動の式に代入すると、が得られる。この章では運動量(うんどうりょう、momentum)を扱う。運動量は、物体の衝突に置いてエネルギーと並び、保存量となる重要な量である。また、この章では力積(りきせき、impulse)という量も導入する。力積は運動量の時間変化を表わす量であり、その導出は運動方程式を用いて成される。物体が動いている場合、物体の速度と質量の積を物体の運動量と定義する。運動方程式の両辺を時刻 t = t 1 {\displaystyle t=t_{1}} から t = t 2 {\displaystyle t=t_{2}} まで積分するととなる。 v → ( t 1 ) = v 1 → , v → ( t 2 ) = v 2 → {\displaystyle {\overrightarrow {v}}(t_{1})={\vec {v_{1}}},{\overrightarrow {v}}(t_{2})={\vec {v_{2}}}} とするとこの式の左辺は運動量変化,右辺は力積(りきせき、impulse)である。よって,運動量変化は力積に等しいことが分かる。運動量変化を Δ p → {\displaystyle {\mathit {\Delta }}{\overrightarrow {p}}} ,力積を I → {\displaystyle {\overrightarrow {I}}} とすると特に, f → = {\displaystyle {\overrightarrow {f}}=} 一定のとき, t 2 − t 1 = Δ t {\displaystyle t_{2}-t_{1}={\mathit {\Delta }}t} とおくと微分を用いた導出については、古典力学も参照。静止していた物体に時間 Δ t {\displaystyle {\mathit {\Delta }}t} の間ある方向に一様な力fをかけた。物体が得た運動量はどれだけか。さらに、物体の質量をmとすると、物体がその方向に得た速度はどれだけか。運動量の変化分は物体が受けた力積に等しいので、物体が受けた力積を計算すればよい。物体が受けた力積はに等しいので、物体が得た運動量もに等しい。さらに、運動量がを満たすことを考えると、物体の速度はとなる。運動量は、物体が全く力を受けない場合には保存される。これは物体に力が働かない場合には、物体の受ける力積は0であり物体の運動量変化も0であることから当然である。さらに、複数の物体の運動量については、別の重要な性質が見られる。それは、複数の物体のもつ運動量の総和はそれらの物体の間の衝突に際して保存するということである。これはつまり、例えばある2つの物体が衝突した場合、始めに2物体がそれぞれ持っていた運動量の和は衝突が終わった後に2物体が持っている運動量の和に等しいということである。ここで、いくつかの物体がある場合それらの持つ運動量の総和を、対応する物体系の全運動量という。物体の衝突について、運動量は常に保存する。しかし、物体系の全エネルギーは常に保存するとは限らない。一般に物体の衝突についてエネルギーは常に失われていく。もっとも物体系に限らない全エネルギーは常に一定であるので、物体が持っていたエネルギーは音や熱の形で物体系の外に逃げて行くのである。物体が衝突について失うエネルギーは衝突に関わる物体が持っている物性定数によって決まる。この係数を反発係数(はんぱつけいすう、coefficient of restitution)と呼び、eなどの記号で書く。反発係数は、物体が衝突したする前後での物体間の相対速度の比によって定められる。特に物体1と物体2が衝突前に速度 v 1 , v 2 {\displaystyle v_{1},\ v_{2}} を持っており、衝突後に速度 v 1 ′ , v 2 ′ {\displaystyle v_{1}',\ v_{2}'} を持ったとすると、反発係数eはで定められる。ここで、右辺の始めの − {\displaystyle -} 符合は、衝突の前後で物体の速度がより大きい物体は、衝突前により小さい速度を持っていた物体よりも衝突後にはより小さい速度を持つことになるからである。そのため、反発係数は一般に正の数である。また反発係数は1より小さい数であり、物体間の相対速度は衝突前より衝突後の方が小さくなる。特に e = 1 {\displaystyle e=1} の場合を(完全)弾性衝突(elastic collision)と呼び、いっぽう 0 < e < 1 {\displaystyle 0<e<1} の場合を非弾性衝突(inelastic collision)と呼ぶ。弾性衝突の場合は、力学的エネルギーは保存することが知られている。一方、非弾性衝突の場合は物体系の全エネルギーは失われる。ある静止している物体2に運動量pで運動している物体が衝突した。この場合、衝突した後の物体2が運動量 p 2 {\displaystyle p_{2}} を得たとすると、衝突後の物体1の運動量はどれだけとなったか。運動量保存則を考えると、衝突の前後で物体1と物体2で構成される物体系の全運動量は保存する。ここで、衝突前の物体系の全運動量はpであるので、衝突後の物体系の全運動量もpとなる。さらに、物体2の衝突後の運動量が p 2 {\displaystyle p_{2}} なので、物体1の運動量はとなる。ここで、物体系の全運動量が保存されることは、運動に関する作用・反作用の法則から従う。作用反作用の法則を用いると、物体系の間の衝突に際して、衝突に関わるそれぞれの物体が受ける力は、大きさが等しく向きは反対となる。この場合、それぞれの力に対して、衝突の時間 Δ t {\displaystyle \Delta t} をかけたものは衝突に際してそれぞれの物体が受け取る力積に等しい。ここで、衝突に関して働く力の力積を全ての物体について足し合わせると、それらの和は、上のことから0となる。しかし、全運動量の計算ではまさにそのような全物体についての運動量の総和を計算しているので、衝突によって得られるような力積の総和は、0に等しい。よって、衝突に際して物体系の持つ全運動量は保存される。これを運動量保存則(うんどうりょうほぞんそく、momentum conservation law)という。質量mの2つの物体が速度 v 1 {\displaystyle v_{1}} , v 2 {\displaystyle v_{2}} で移動している。これらの物体が衝突した場合、衝突後のそれぞれの物体の速度を、エネルギー保存則と運動量保存則を用いて計算せよ。ただし、物体の衝突に関してエネルギーは保存するとする。この問題は2つの同じ大きさの物体を異なった速度でぶつけた場合その結果がどうなるかを計算する問題である。実験の結果によると、一方が静止しており一方が動いている場合、動いていた物体は静止し、静止していた物体は動いていた物体が持っていた速度と同じ速度で動きだすことが知られている。ここでは、それらの結果が計算によって確かめられることを見ることが出来る。衝突後の物体の速度をそれぞれ物体1については v 1 ′ {\displaystyle v_{1}'} ,物体2については v 2 ′ {\displaystyle v_{2}'} とする。この場合、物体の衝突について全エネルギーが保存されることを用いると、が得られる。さらに、物体の衝突について物体系の全運動量が保存されることを用いると、これらは、 v 1 ′ {\displaystyle v'_{1}} , v 2 ′ {\displaystyle v'_{2}} についての2次方程式であり、解くことが出来る。実際計算すると、解としてが得られる。前者の解は衝突に際して物体の速度が変化せぬことを示しているが、これは実際の情况として考え難いので、後者の解が現実の解となる。この結果を見ると、物体が持つ速度が入れ替わることが分かる。このことは実際に同じ大きさの球を用いて実験を行うと、確かめることができる。位置のみをもち,大きさがないのが質点である。剛体とは,大きさがあるが形も大きさも変わらぬ物体のことである。剛体の運動を考える前に一定平面上の運動について次のような一般的考察を行う。時刻 t {\displaystyle t} において x y {\displaystyle xy} 平面内の位置 r → = ( x , y ) {\displaystyle {\overrightarrow {r}}=(x,\ y)} を速度 v → = ( v x , v y ) {\displaystyle {\overrightarrow {v}}=(v_{x},\ v_{y})} で運動し,力 F → = ( F x , F y ) {\displaystyle {\overrightarrow {F}}=(F_{x},\ F_{y})} が働いている質量 m {\displaystyle m} の物体の運動方程式を成分に分けて表せば 2 × x − {\displaystyle \times x-} 1 × y {\displaystyle \times y} よりこの左辺のを原点Oまわりの角運動量という。ここで v → {\displaystyle {\overrightarrow {v}}} と r → {\displaystyle {\overrightarrow {r}}} のなす角を θ , x {\displaystyle \theta ,\ x} 軸と r → {\displaystyle {\overrightarrow {r}}} のなす角を φ {\displaystyle \phi } とするとこれらを(3.1)に代入するとが得られる。物体を回転させる力の効果の大きさを表す量を力のモーメントという。更に F → {\displaystyle {\overrightarrow {F}}} と r → {\displaystyle {\overrightarrow {r}}} のなす角を Θ {\displaystyle {\mathit {\Theta }}} とするとよって原点Oまわりの力のモーメントを N {\displaystyle N} で表すとここに r sin Θ {\displaystyle r\sin {\mathit {\Theta }}} は原点から力 F → {\displaystyle {\overrightarrow {F}}} の作用線に下した垂線の長さであり,これを力 F → {\displaystyle {\overrightarrow {F}}} の原点に対する腕の長さという。ただし力のモーメントは力 F → {\displaystyle {\overrightarrow {F}}} が位置ベクトル r → {\displaystyle {\overrightarrow {r}}} を反時計回りに回す向きを正としている(時計回りの際は Θ < 0 {\displaystyle {\mathit {\Theta }}<0} で r sin Θ < 0 {\displaystyle r\sin {\mathit {\Theta }}<0} と考える)。以上より,3(角運動量の方程式)はこれは力のモーメントが加えられた結果として角運動量が変化するという因果関係を表す。特に N = 0 {\displaystyle N=0} ならばとなり,角運動量が保存する。物体の各部分に働く重力の作用点を重心(英: centre of gravity)或いは質量中心(英: centre of mass)という。 n {\displaystyle n} 物体(質量: m 1 , m 2 , ⋯ ⋯ , m n {\displaystyle m_{1},\ m_{2},\ \cdots \cdots ,\ m_{n}} ,位置 r 1 → , r 2 → , ⋯ ⋯ , r n → {\displaystyle {\vec {r_{1}}},\ {\vec {r_{2}}},\ \cdots \cdots ,\ {\vec {r_{n}}}} ( n {\displaystyle n} は自然数)の重心の位置 r G → {\displaystyle {\vec {r_{\mathrm {G} }}}} は以下のように定義される。また重心速度 v G → {\displaystyle {\vec {v_{\mathrm {G} }}}} は d r k → d t = v k → ( k = 1 , 2 , ⋯ ⋯ , n ) {\displaystyle {\frac {d{\vec {r_{k}}}}{dt}}={\vec {v_{k}}}\ (k=1,\ 2,\ \cdots \cdots ,\ n)} とするとここでは、初等的な平面上の運動の1つとして、円運動(英: circular motion)と単振動(英: simple harmonic motion)をあつかう。円運動は、単振り子(たんふりこ、simple pendlum)の運動の類似物としても重要である。それとともに、このページでは万有引力による運動も扱う。万有引力はいわゆる重力と同じ力であり、物体と物体の間に必ず生じる力である。一方これらの力は非常に弱いため、惑星のように大きな質量を持った物体の運動にしか関わらない。ここでは、太陽のまわりを回転する惑星のような大きなスケールの運動もあつかう。このような運動は円に近い軌道となることがある。このため、惑星の運動を理解する上で、円運動を理解することが重要である。物体が円を描くように運動することを円運動と呼ぶ。円を描くような運動は、例えば、円形のグラウンドのまわりを走る人間のように人間が意思を持って行なう場合も指すが、自然現象として起こる場合も多い。例えば、太陽のまわりを回る地球の運動や、地球の回りを回る月の運動は、いずれも円運動で記述される。また、一定の長さをもったひもと一定の質量を持った物体で作られた振り子の運動は、ひもを固定した点から一定の距離をおいて運動しているため、物体は円軌道上を運動しており、広い意味での円軌道ととらえることも出来る。ここでは、このような場合のうちで代表的なものとして、完全な円軌道上を運動する物体の運動をあつかう。円軌道上を運動する物体の座標も一般の場合と同様で表わされる。特に円軌道を表わす関数は高等学校数学II いろいろな関数で扱った三角関数に対応している。ここで、円運動が三角関数を用いて表されることを述べたが、このことは高等学校数学Cの媒介変数表示を用いている。媒介変数表示について詳しくは、対応する項を参照してほしい。半径r[m]の円上を等しい速度で、円運動する物体の運動を記述することを考える。さらに、座標を取る場合原点の位置は円運動の中心の位置とする。この場合の物体の運動は、x, y座標を用いて、によって書かれる。ただし、この場合 ω {\displaystyle \omega } は角速度と呼ばれ単位は[rad/s]で与えられる。ただし、ここで[rad]はw:ラジアンであり、w:弧度法によって角度を表わした場合の単位である。弧度法については高等学校数学II いろいろな関数を参照。角速度は円運動をしている物体がどの程度の時間で円を一周するかに対応している。なお,高等学校の物理において角速度はスカラーとして扱う。また、この量は下で分かるのだが、円運動している物体の速度に比例する。また、角速度に対応して、で与えられる量をw:周期といい、周期の単位は[s]である。周期は物体が何秒間ごとに円状を1周するかを表わす量である。この場合には物体はT[s]ごとに円状を1周する。さらに、をw:振動数と呼ぶ。振動数は周期とは逆に、単位時間当たりに物体が円状を何周するかを数える量である。振動数の単位には通常[Hz]を用いる。これは、[1/s]に等しい単位である。また、周期Tと、振動数fは、関係式を満たす。この式はある円運動をしている物体について、その物体の円運動の周期に対応する時間の間には、物体は円状を1周だけするということに対応する。また、の式で δ {\displaystyle \delta } は物体の位置のw:位相と呼ばれ、物体が円状のどの点にいるかを示す値である。また、この場合の物体の速度のx, y要素はで与えられる。この式と、後の円運動の加速度の導出については、後の発展を参照。ここで、物体の速さをvとすると、となり、物体の速度は r ω {\displaystyle r\omega } で与えられることが分かる。さらに、を計算すると、となり、円運動をしている物体の速度と円運動の中心を原点とした場合の座標は直交していることが分かる。さらに、円運動をしている物体の加速度は、となる。これはに対応しており、円運動をおこなう物体の加速度は、円運動をする物体の座標とちょうど反対向きになることが分かる。ここでは、円運動の速度と加速度を与えたが、この値は物体の運動が決まれば決まる値なので、円運動の式から計算できる。ただ、実際にこれらの式を得るためには、円運動の式の微分を行う必要があるため、ここでは詳しく扱わない。導出については、古典力学を参照。半径r[m]の円上を角速度 ω {\displaystyle \omega } で運動する物体の加速度の大きさを計算せよ。に注目するとよい。右辺について円運動をしている物体の座標が常にを満たすことに注目すると、となる。 50Hzで円運動している物体の円運動の周期を計算せよ。を用いると、となる。以上より,円運動の加速度の成分はよって,円運動する物体の質量を m {\displaystyle m} ,向心方向に働く力,すなわち向心力(英: centripetal force)を F C {\displaystyle F_{\mathrm {C} }} ,接線方向に働く力を F T {\displaystyle F_{\mathrm {T} }} とおくと運動方程式は w:向心力、w:遠心力(centrifugal force) 円運動と関係の深い物体の運動として、単振動(英: simple harmonic oscillation)があげられる。単振動はあらゆる振動現象の基本になっており、応用範囲が広い運動である。円運動と同様、単振動も三角関数を用いて運動が記述される。また、周期や位相がある点も円運動と同じである。また、単振動は波動に関わる現象とも関係が深く、位相、振幅などの量を共有している。ここからは、単振動をする物体の性質をより詳しく見て行く。単振動は様々な情况であらわれるが、単純な例としてはフックの法則で支配されるばねに接続された物体の運動がある。ここでは、ばね定数 k {\displaystyle k} のばねに質量 m {\displaystyle m} の物体を接続するとする。ばねの自然長の位置を原点として時刻 t {\displaystyle t} における原点からの物体の位置を x ( t ) {\displaystyle x(t)} とおく場合、この物体に関する運動方程式はで与えられる。この方程式の両辺を m {\displaystyle m} で割ると、加速度は d 2 x ( t ) d t 2 = − k m x ( t ) {\displaystyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=-{\frac {k}{m}}x(t)} で与えられることが分かる。このように、加速度と物体の座標が負の比例係数を持って比例関係にある式が、単振動の運動方程式である。この場合、単振動の振動中心を x = x C {\displaystyle x=x_{\mathrm {C} }} (単振動では振動中心は定数),時刻 t {\displaystyle t} における物体の運動を位置 x ( t ) {\displaystyle x(t)} ,速度 v ( t ) {\displaystyle v(t)} ,加速度 a ( t ) {\displaystyle a(t)} で表すととなる。 ω {\displaystyle \omega } は角振動数, δ {\displaystyle \delta } は初期位相である。ここで、単振動の運動方程式と、単振動の運動の式を与えたが、実際には単振動の運動の式は運動方程式から導出できるがこれについてはw:微分方程式を扱う必要があるので詳しい導出については、古典力学を参照。 sin {\displaystyle \sin } 関数は関数の値の増加に伴って周期的な振動を行なう関数なので、物体は、 x = 0 {\displaystyle x=0} のまわりで周期的な振動をすることが分かる。ただし、上の式の中でAはw:振幅と呼ばれ、物体の振動の範囲を表す量である。ただし、この場合においてはこれらの量は物体の円運動ではなく、物体の振動についての量であり、それぞれ単位時間当たりに何[rad]だけ位相が進むかの量と振動の周期の中で、どの位置に物体がいるかを表す量に対応している。また、周期と振動数も円運動の場合と同じ定義で与えられる。また、この場合については運動方程式から角振動数が決まりで与えられる。 (4.3)をと書直し, A cos δ = a , A sin δ = b {\displaystyle A\cos \delta =a,\ A\sin \delta =b} とおくととなり,振幅は質量mを持つある物体について、ばね定数 k 1 {\displaystyle k_{1}} のばねとばね定数 k 2 {\displaystyle k_{2}} のばねにつながれた場合では、どちらの場合の方が物体の角速度が大きくなるか。ただし、 k 1 > k 2 {\displaystyle k_{1}>k_{2}} が成り立つとする。また、周期と振動数についてはどうなるか。この場合にはこの単振動の角振動数は、で与えられる。この量はばね定数kが大きいほど大きいので、角振動数はばね定数 k 1 {\displaystyle k_{1}} を持つばねの角振動数の方がばね定数 k 2 {\displaystyle k_{2}} を持つばねの角振動数より大きくなる。また、単振動の振動数は単振動の角振動数に比例するので、振動数についても、ばね定数 k 1 {\displaystyle k_{1}} を持つばねの振動数の方がばね定数 k 2 {\displaystyle k_{2}} を持つばねの振動数より大きくなる。一方、この場合の周期については、が成り立つため、ばね定数kが小さいほど大きくなる。よって、周期についてはばね定数 k 2 {\displaystyle k_{2}} を持つばねの周期の方がばね定数 k 1 {\displaystyle k_{1}} を持つばねの周期より大きくなる。重力のある中に長さl[m]のひもでつるされた物体によって作られた物体の鉛直下向きに垂直な方向の運動が単振動となることを求めよ。ただし、振り子の動く範囲は小さいものとする。このように単振動をする振り子を単振り子(たんふりこ、simple pendlum) と呼ぶことがある。ひもが固定されている位置から鉛直に下ろした直線と、物体がつながれているひもがなす角度を θ {\displaystyle \theta } とする。この場合、図形的に考えるとこの場合の水平方向の運動方程式はとなる。ここで、 θ {\displaystyle \theta } が小さい場合、となることに注意すると、運動方程式はとなり先ほどのばねにつながれた物体の運動方程式と等しくなる。よって、この物体の運動も単振動で記述されることが分かった。さらに、先ほどの角振動数と比較すると、この場合の角振動数 ω {\displaystyle \omega } はとなることが分かる。これらの結果から小学校理科の結果であるの実験事実が運動方程式の結果と一致することが確かめられる。この章では、万有引力による運動を扱う。万有引力は全ての物体の間に存在しているが、その力が媒介する運動として有名なものは太陽の回りを回転する地球の運動や、地球自身の回りを回転する月の運動である。実際にはこのような何かの回りを回転する構造は宇宙全体に広く見られる。例えば、空に見られる星はw:恒星と呼ばれるが、これらの星の回りにも太陽に対する地球と同じように、惑星が回りを回っていると考えられ、実際にそのような惑星が確認された恒星もある。(w:系外惑星参照。) このように宇宙の中で万有引力による回転運動は広く観測される。ここではこのような運動は物体間に働くどのような力によって記述されるかを見ていく。歴史的には、逆にこのような物体の間の運動を説明するような力を考えることで物体間に働く力が発見された。歴史について詳しくはw:ニュートンなどを参照。まずは、物体間に働く万有引力(glavitational constant)の法則を述べる。種々の観測の結果によると、質量 m 1 {\displaystyle m_{1}} を持つ物体と質量 m 2 {\displaystyle m_{2}} を持つ物体の間にはで表わされる力が働く。ここでGは物体によらない定数で、万有引力定数という。値は G = 6.67 × 10 − 11 [ N ⋅ m 2 / k g 2 ] {\displaystyle G=6.67\times 10^{-11}[{\mathrm {N} \cdot \mathrm {m} ^{2}/\mathrm {kg} ^{2}}]} である。万有引力の法則万有引力は物体間の距離の2乗に逆比例する力である。物体の少なくとも片方が惑星のように巨大な場合、物体間の距離rは、重心間の距離である。地球の万有引力を考える。地球の質量をM、地球の半径をR、測定する物体の質量をmとした場合、重力Fはとなる。これが地表近くでは大きさが mg と等しいので、変形してとなる。計算問題のさい、この変形が用いられる場合がある。地球は自転をしており、重力の計算では、厳密には自転による遠心力も考える必要があるが、しかし、自転の遠心力の大きさは、万有引力の 1 300 {\displaystyle {\frac {1}{300}}} 倍ていどしかないので、通常は自転による遠心力を無視する場合が多い。なお、地球の自転の遠心力は、赤道上でもっとも大きくなる。人工衛星が、地球の自転と同じ周期で、自転と同じ向きに等速円運動をすれば、その人工衛星は地上から見て、つねに地面の上空にあるので、地上の観測者からは静止して見える。このような人工衛星のことを静止衛星という。質量mの物体が質量Mの大きな物体の回りを、万有引力の力を向心力として、半径rの円運動をしている。この場合の円運動の角速度を求めよ。半径r、角速度 ω {\displaystyle \omega } の円運動をする場合の物体の向心力はである。一方、質量mと質量Mの物体の間の距離がrである場合、2つの物体間に働く重力は、重力の変数をfとすると、で与えられる。よって、これらの力が等しくなる場合に、質量mの物体は質量Mの物体のまわりを円運動で回転(公転)することができる。よって、 ω {\displaystyle \omega } を求める式は、となる。地球表面での重力による位置エネルギーを考えられるのと同様に、万有引力による位置エネルギーも考えることができる。万有引力による位置エネルギーを求めるには、万有引力を積分すればいい。質量Mの物体からrの距離に質量mの物体が存在するとする。ただし、Mはmよりはるかに大きいとする。無限遠点を基準にすると(つまり無限遠では位置エネルギーがゼロ)、この場合、質量mの物体の位置エネルギーはで与えられる。符号にマイナスがつくことの物理的な解釈は、重力をつくりだす物体に近づくほど、その物体のつくりだす重力圏を脱出するには、エネルギーが追加的に必要になるからであると解釈できる。無限遠では r=+∞ とすればよく、結果、 U=0 になる。なお、万有引力は保存力であるので、位置エネルギーは、無限遠点からの経路によらず、現在の位置だけで決まる。のように与えられる。また、このグラフは直観的な意味を持っている。実は、このグラフの傾きはグラフが表わす位置エネルギーを持つ点に物体を置いた場合、その物体が力を受ける方向とその大きさを表わしている。ここでは、位置エネルギーの傾きが常にr=0に落ち込む方向に生じているため物体Mから距離r (rは任意の実数。)の点に静止している物体は必ずMの方向に吸い込まれて行くことを表わしている。(詳しくは古典力学参照。) ある惑星上にある物体を宇宙の無限遠まで到達させるために宇宙船に惑星上で与えなくてはいけない速度はどのように表わされるか。ただし、計算については最初に宇宙船が出発した惑星以外の天体からの影響は無視するとする。また、惑星の半径はR、惑星の質量はMとする。惑星の引力による位置エネルギーは惑星表面でであり、無限円点では0である。ただし、mは宇宙船の質量とした。一方、宇宙船が無限円点に達するには、宇宙船の速度が無限円点でちょうど0に等しくなればよい。ここで、惑星上での宇宙船の速度をvとすると、エネルギー保存則より、となる。よってこの式からvを求めればよい。答は、上記の計算から分かるように、一般に、万有引力だけを受けて運動する物体の力学的エネルギーは、である。仮に高い山から物体を水平に発射したとき(空気抵抗は無視する)、地球のまわりを回り続けるために必要な最小の初速度のことを第一宇宙速度という。(※ 名前は暗記しなくていい。覚えるべきは、計算方法である。) 第一宇宙速度は、要するに、遠心力と向心力がつりあうために必要な初速度である。第一宇宙速度は、秒速では約7.91km/sである。 v1について觧き、なお、およそ R = 6400 × 10 m である。 g = 9.8 m/s である。さらに初速度が大きくなると、物体は楕円軌道になる。初速度が約11.2km/sになると、軌道は放物線になり、物体は無限の彼方に飛んでゆく。この約11.2km/sのことを第二宇宙速度という。これは、無限遠の点で、速度が0を超える値になるために必要な初速度である。なので、計算で第二宇宙速度を求めるにはエネルギー保存則を計算には使う。の式からvを求め、にさらに G M = g R 2 {\displaystyle GM=gR^{2}} を代入して、これに関係する定数を代入すればいい。なお、およそ R = 6400 × 10 m である。 g = 9.8 m/s である。初速度 11.2km/s以上では、軌道は双曲線になり、物体は無限の彼方に飛んでゆく。 ※ 検定教科書では、脚注などに書いてあったりする。地球から射出して、太陽系の外に出るために必要な最小の初速度のことを第三宇宙速度(約 16.7 km/s) である。ギリシャ時代から中世まで信じられてきた天動説(英: geocentric theory)に対し,16世紀半ばにコペルニクスは全ての惑星(英: planet)が太陽を中心とした円運動をしている地動説を提唱した。その後ティコ・ブラーエは長年にわたり惑星の観測を行い,その観測結果を引継いだケプラーはこれらの結果をもとに計算を行い,惑星の運行に関する法則,ケプラーの法則(英: Kepler's laws)を発見した。なお,教科書は太陽と惑星の関係で論じているが,他にも惑星と衛星(自然衛星,人工衛星)でも成り立つ。惑星(衛星)は太陽(惑星)を1つの焦点とする楕円運動をする(楕円軌道の法則)。惑星(衛星)と太陽(惑星)を結ぶ動径が単位時間に描く面積(面積速度)は一定である(面積速度一定)。惑星(衛星)の公転周期 T {\displaystyle T} の2乗は楕円軌道の長半径(半長軸) a {\displaystyle a} の3乗に比例する。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "高等学校理科物理基礎では、物体の運動を直線上の運動を中心に扱った。物理では、より複雑な平面上の運動を扱う。平面上の運動では、直線上の運動とは違って、物体の位置を表わすのに必要な量が2つになる。これらは通常 x , y {\\displaystyle x,\\ y} とされ、どちらも時刻 t {\\displaystyle t} の一意の関数となる。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "これらの関数はどんなものでもよいが、ここでは主に、実際の物体の運動としてよくあらわれるものを扱う。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "平面上,すなわち2次元において,時刻 t {\\displaystyle t} における位置は r → ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) {\\displaystyle {\\overrightarrow {r}}(t)=(x(t),\\ y(t))} ,微小時間 Δ t {\\displaystyle {\\mathit {\\Delta }}t} 間の変位は Δ r → = r → ( t + Δ t ) − r → ( t ) = ( Δ x , Δ y ) {\\displaystyle {\\mathit {\\Delta }}{\\overrightarrow {r}}={\\overrightarrow {r}}(t+{\\mathit {\\Delta }}t)-{\\overrightarrow {r}}(t)=({\\mathit {\\Delta }}x,\\ {\\mathit {\\Delta }}y)} と定義される。このとき", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "を Δ t {\\displaystyle {\\mathit {\\Delta }}t} 間の平均速度, Δ t → 0 {\\displaystyle {\\mathit {\\Delta }}t\\to 0} の極限", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "を時刻 t {\\displaystyle t} での(瞬間)速度という。なお,時刻 t {\\displaystyle t} での速さ(速度の大きさ)は", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "この場合も,速度から位置が求まり,各成分毎に", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "が成り立ち,これらをベクトルを用いてひとまとめにして任意の時刻 t {\\displaystyle t} における位置", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "が求められる。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "また,", "title": "平面上の運動" }, { 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で運動する物体の運動方程式は", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "とかかれる。通常は、この方程式を解く場合は要素ごとにわけ、", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "とかかれる。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "時刻t = 0に、", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "を", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "で通過した物体の時刻tでの位置を求めよ。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "物体のx方向とy方向は互いに独立に等速直線運動をする。ここではx方向もy方向も速度", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "なので、等速直線運動の式のベクトル量とした量", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "に代入すると、", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "となる。要素ごとにかくと、", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "時刻t=0に原点(0,\\ 0)をy方向に速度 v 0 {\\displaystyle v_{0}} で等速直線運動していた質量mの物体に、 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"の両辺を時刻 t = t 1 {\\displaystyle t=t_{1}} から t = t 2 {\\displaystyle t=t_{2}} まで積分すると", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "となる。 v → ( t 1 ) = v 1 → , v → ( t 2 ) = v 2 → {\\displaystyle {\\overrightarrow {v}}(t_{1})={\\vec {v_{1}}},{\\overrightarrow {v}}(t_{2})={\\vec {v_{2}}}} とすると", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "この式の左辺は運動量変化,右辺は力積(りきせき、impulse)である。よって,運動量変化は力積に等しいことが分かる。運動量変化を Δ p → {\\displaystyle {\\mathit {\\Delta }}{\\overrightarrow {p}}} ,力積を I → {\\displaystyle {\\overrightarrow {I}}} とすると", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "特に, f → = {\\displaystyle {\\overrightarrow {f}}=} 一定のとき, t 2 − t 1 = Δ t {\\displaystyle t_{2}-t_{1}={\\mathit {\\Delta }}t} とおくと", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "微分を用いた導出については、古典力学も参照。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "静止していた物体に時間 Δ t {\\displaystyle {\\mathit {\\Delta }}t} の間ある方向に一様な力fをかけた。物体が得た運動量はどれだけか。さらに、物体の質量をmとすると、物体がその方向に得た速度はどれだけか。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "運動量の変化分は物体が受けた力積に等しいので、物体が受けた力積を計算すればよい。物体が受けた力積は", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "に等しいので、物体が得た運動量も", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "に等しい。さらに、運動量が", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "を満たすことを考えると、物体の速度は", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "運動量は、物体が全く力を受けない場合には保存される。これは物体に力が働かない場合には、物体の受ける力積は0であり物体の運動量変化も0であることから当然である。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "さらに、複数の物体の運動量については、別の重要な性質が見られる。それは、複数の物体のもつ運動量の総和はそれらの物体の間の衝突に際して保存するということである。これはつまり、例えばある2つの物体が衝突した場合、始めに2物体がそれぞれ持っていた運動量の和は衝突が終わった後に2物体が持っている運動量の和に等しいということである。ここで、いくつかの物体がある場合それらの持つ運動量の総和を、対応する物体系の全運動量という。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "物体の衝突について、運動量は常に保存する。しかし、物体系の全エネルギーは常に保存するとは限らない。一般に物体の衝突についてエネルギーは常に失われていく。もっとも物体系に限らない全エネルギーは常に一定であるので、物体が持っていたエネルギーは音や熱の形で物体系の外に逃げて行くのである。物体が衝突について失うエネルギーは衝突に関わる物体が持っている物性定数によって決まる。この係数を反発係数(はんぱつけいすう、coefficient of restitution)と呼び、eなどの記号で書く。反発係数は、物体が衝突したする前後での物体間の相対速度の比によって定められる。特に物体1と物体2が衝突前に速度 v 1 , v 2 {\\displaystyle v_{1},\\ v_{2}} を持っており、衝突後に速度 v 1 ′ , v 2 ′ {\\displaystyle v_{1}',\\ v_{2}'} を持ったとすると、反発係数eは", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "で定められる。ここで、右辺の始めの − {\\displaystyle -} 符合は、衝突の前後で物体の速度がより大きい物体は、衝突前により小さい速度を持っていた物体よりも衝突後にはより小さい速度を持つことになるからである。そのため、反発係数は一般に正の数である。また反発係数は1より小さい数であり、物体間の相対速度は衝突前より衝突後の方が小さくなる。特に e = 1 {\\displaystyle e=1} の場合を(完全)弾性衝突(elastic collision)と呼び、いっぽう 0 < e < 1 {\\displaystyle 0<e<1} の場合を非弾性衝突(inelastic collision)と呼ぶ。弾性衝突の場合は、力学的エネルギーは保存することが知られている。一方、非弾性衝突の場合は物体系の全エネルギーは失われる。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "ある静止している物体2に運動量pで運動している物体が衝突した。この場合、衝突した後の物体2が運動量 p 2 {\\displaystyle p_{2}} を得たとすると、衝突後の物体1の運動量はどれだけとなったか。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "運動量保存則を考えると、衝突の前後で物体1と物体2で構成される物体系の全運動量は保存する。ここで、衝突前の物体系の全運動量はpであるので、衝突後の物体系の全運動量もpとなる。さらに、物体2の衝突後の運動量が p 2 {\\displaystyle p_{2}} なので、物体1の運動量は", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "ここで、物体系の全運動量が保存されることは、運動に関する作用・反作用の法則から従う。作用反作用の法則を用いると、物体系の間の衝突に際して、衝突に関わるそれぞれの物体が受ける力は、大きさが等しく向きは反対となる。この場合、それぞれの力に対して、衝突の時間 Δ t {\\displaystyle \\Delta t} をかけたものは衝突に際してそれぞれの物体が受け取る力積に等しい。ここで、衝突に関して働く力の力積を全ての物体について足し合わせると、それらの和は、上のことから0となる。しかし、全運動量の計算ではまさにそのような全物体についての運動量の総和を計算しているので、衝突によって得られるような力積の総和は、0に等しい。よって、衝突に際して物体系の持つ全運動量は保存される。これを運動量保存則(うんどうりょうほぞんそく、momentum conservation law)という。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "質量mの2つの物体が速度 v 1 {\\displaystyle v_{1}} , v 2 {\\displaystyle v_{2}} で移動している。これらの物体が衝突した場合、衝突後のそれぞれの物体の速度を、エネルギー保存則と運動量保存則を用いて計算せよ。ただし、物体の衝突に関してエネルギーは保存するとする。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "この問題は2つの同じ大きさの物体を異なった速度でぶつけた場合その結果がどうなるかを計算する問題である。実験の結果によると、一方が静止しており一方が動いている場合、動いていた物体は静止し、静止していた物体は動いていた物体が持っていた速度と同じ速度で動きだすことが知られている。ここでは、それらの結果が計算によって確かめられることを見ることが出来る。衝突後の物体の速度をそれぞれ物体1については v 1 ′ {\\displaystyle v_{1}'} ,物体2については v 2 ′ {\\displaystyle v_{2}'} とする。この場合、物体の衝突について全エネルギーが保存されることを用いると、", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "が得られる。さらに、物体の衝突について物体系の全運動量が保存されることを用いると、", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "これらは、 v 1 ′ {\\displaystyle v'_{1}} , v 2 ′ {\\displaystyle v'_{2}} についての2次方程式であり、解くことが出来る。実際計算すると、解として", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "が得られる。前者の解は衝突に際して物体の速度が変化せぬことを示しているが、これは実際の情况として考え難いので、後者の解が現実の解となる。この結果を見ると、物体が持つ速度が入れ替わることが分かる。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "このことは実際に同じ大きさの球を用いて実験を行うと、確かめることができる。", "title": "平面上の運動" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "位置のみをもち,大きさがないのが質点である。剛体とは,大きさがあるが形も大きさも変わらぬ物体のことである。", "title": "角運動量と力のモーメント" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "剛体の運動を考える前に一定平面上の運動について次のような一般的考察を行う。", "title": "角運動量と力のモーメント" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "時刻 t {\\displaystyle t} において x y {\\displaystyle xy} 平面内の位置 r → = ( x , y ) {\\displaystyle {\\overrightarrow {r}}=(x,\\ y)} を速度 v → = ( v x , v y ) {\\displaystyle {\\overrightarrow {v}}=(v_{x},\\ v_{y})} で運動し,力 F → = ( F x , F y ) {\\displaystyle {\\overrightarrow {F}}=(F_{x},\\ F_{y})} が働いている質量 m {\\displaystyle m} の物体の運動方程式を成分に分けて表せば", "title": "角運動量と力のモーメント" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "2 × x − {\\displaystyle \\times x-} 1 × y {\\displaystyle \\times y} より", "title": "角運動量と力のモーメント" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "この左辺の", "title": "角運動量と力のモーメント" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "を原点Oまわりの角運動量という。ここで v → {\\displaystyle {\\overrightarrow {v}}} と r → {\\displaystyle {\\overrightarrow {r}}} のなす角を θ , x {\\displaystyle \\theta ,\\ x} 軸と r → {\\displaystyle {\\overrightarrow {r}}} のなす角を φ {\\displaystyle \\phi } とすると", "title": "角運動量と力のモーメント" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "これらを(3.1)に代入すると", "title": "角運動量と力のモーメント" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "角運動量と力のモーメント" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "物体を回転させる力の効果の大きさを表す量を力のモーメントという。更に F → {\\displaystyle {\\overrightarrow {F}}} と r → {\\displaystyle {\\overrightarrow {r}}} のなす角を Θ {\\displaystyle {\\mathit {\\Theta }}} とすると", "title": "角運動量と力のモーメント" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "よって原点Oまわりの力のモーメントを N {\\displaystyle N} で表すと", "title": "角運動量と力のモーメント" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "ここに r sin Θ {\\displaystyle r\\sin {\\mathit {\\Theta }}} は原点から力 F → {\\displaystyle {\\overrightarrow {F}}} の作用線に下した垂線の長さであり,これを力 F → {\\displaystyle {\\overrightarrow {F}}} の原点に対する腕の長さという。ただし力のモーメントは力 F → {\\displaystyle {\\overrightarrow {F}}} が位置ベクトル r → {\\displaystyle {\\overrightarrow {r}}} を反時計回りに回す向きを正としている(時計回りの際は Θ < 0 {\\displaystyle {\\mathit {\\Theta }}<0} で r sin Θ < 0 {\\displaystyle r\\sin {\\mathit {\\Theta }}<0} と考える)。以上より,3(角運動量の方程式)は", "title": "角運動量と力のモーメント" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "これは力のモーメントが加えられた結果として角運動量が変化するという因果関係を表す。特に N = 0 {\\displaystyle N=0} ならば", "title": "角運動量と力のモーメント" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "となり,角運動量が保存する。", "title": "角運動量と力のモーメント" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "物体の各部分に働く重力の作用点を重心(英: centre of gravity)或いは質量中心(英: centre of mass)という。 n {\\displaystyle n} 物体(質量: m 1 , m 2 , ⋯ ⋯ , m n {\\displaystyle m_{1},\\ m_{2},\\ \\cdots \\cdots ,\\ m_{n}} ,位置 r 1 → , r 2 → , ⋯ ⋯ , r n → {\\displaystyle {\\vec {r_{1}}},\\ {\\vec {r_{2}}},\\ \\cdots \\cdots ,\\ {\\vec {r_{n}}}} ( n {\\displaystyle n} は自然数)の重心の位置 r G → {\\displaystyle {\\vec {r_{\\mathrm {G} }}}} は以下のように定義される。", "title": "角運動量と力のモーメント" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "また重心速度 v G → {\\displaystyle {\\vec {v_{\\mathrm {G} }}}} は d r k → d t = v k → ( k = 1 , 2 , ⋯ ⋯ , n ) {\\displaystyle {\\frac {d{\\vec {r_{k}}}}{dt}}={\\vec {v_{k}}}\\ (k=1,\\ 2,\\ \\cdots \\cdots ,\\ n)} とすると", "title": "角運動量と力のモーメント" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "ここでは、初等的な平面上の運動の1つとして、円運動(英: circular motion)と単振動(英: simple harmonic motion)をあつかう。円運動は、単振り子(たんふりこ、simple pendlum)の運動の類似物としても重要である。それとともに、このページでは万有引力による運動も扱う。万有引力はいわゆる重力と同じ力であり、物体と物体の間に必ず生じる力である。一方これらの力は非常に弱いため、惑星のように大きな質量を持った物体の運動にしか関わらない。ここでは、太陽のまわりを回転する惑星のような大きなスケールの運動もあつかう。このような運動は円に近い軌道となることがある。このため、惑星の運動を理解する上で、円運動を理解することが重要である。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "物体が円を描くように運動することを円運動と呼ぶ。円を描くような運動は、例えば、円形のグラウンドのまわりを走る人間のように人間が意思を持って行なう場合も指すが、自然現象として起こる場合も多い。例えば、太陽のまわりを回る地球の運動や、地球の回りを回る月の運動は、いずれも円運動で記述される。また、一定の長さをもったひもと一定の質量を持った物体で作られた振り子の運動は、ひもを固定した点から一定の距離をおいて運動しているため、物体は円軌道上を運動しており、広い意味での円軌道ととらえることも出来る。ここでは、このような場合のうちで代表的なものとして、完全な円軌道上を運動する物体の運動をあつかう。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "円軌道上を運動する物体の座標も一般の場合と同様", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "で表わされる。特に円軌道を表わす関数は高等学校数学II いろいろな関数で扱った三角関数に対応している。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "ここで、円運動が三角関数を用いて表されることを述べたが、このことは高等学校数学Cの媒介変数表示を用いている。媒介変数表示について詳しくは、対応する項を参照してほしい。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "半径r[m]の円上を等しい速度で、円運動する物体の運動を記述することを考える。さらに、座標を取る場合原点の位置は円運動の中心の位置とする。この場合の物体の運動は、x, y座標を用いて、", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "によって書かれる。ただし、この場合 ω {\\displaystyle \\omega } は角速度と呼ばれ単位は[rad/s]で与えられる。ただし、ここで[rad]はw:ラジアンであり、w:弧度法によって角度を表わした場合の単位である。弧度法については高等学校数学II いろいろな関数を参照。角速度は円運動をしている物体がどの程度の時間で円を一周するかに対応している。なお,高等学校の物理において角速度はスカラーとして扱う。また、この量は下で分かるのだが、円運動している物体の速度に比例する。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "また、角速度に対応して、", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "で与えられる量をw:周期といい、周期の単位は[s]である。周期は物体が何秒間ごとに円状を1周するかを表わす量である。この場合には物体はT[s]ごとに円状を1周する。さらに、", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "をw:振動数と呼ぶ。振動数は周期とは逆に、単位時間当たりに物体が円状を何周するかを数える量である。振動数の単位には通常[Hz]を用いる。これは、[1/s]に等しい単位である。また、周期Tと、振動数fは、関係式", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "を満たす。この式はある円運動をしている物体について、その物体の円運動の周期に対応する時間の間には、物体は円状を1周だけするということに対応する。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "また、", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "の式で δ {\\displaystyle \\delta } は物体の位置のw:位相と呼ばれ、物体が円状のどの点にいるかを示す値である。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "また、この場合の物体の速度のx, y要素は", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "で与えられる。この式と、後の円運動の加速度の導出については、後の発展を参照。ここで、物体の速さをvとすると、", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "となり、物体の速度は r ω {\\displaystyle r\\omega } で与えられることが分かる。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "さらに、", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "を計算すると、", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "となり、円運動をしている物体の速度と円運動の中心を原点とした場合の座標は直交していることが分かる。さらに、円運動をしている物体の加速度は、", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "となる。これは", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "に対応しており、円運動をおこなう物体の加速度は、円運動をする物体の座標とちょうど反対向きになることが分かる。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "ここでは、円運動の速度と加速度を与えたが、この値は物体の運動が決まれば決まる値なので、円運動の式から計算できる。ただ、実際にこれらの式を得るためには、円運動の式の微分を行う必要があるため、ここでは詳しく扱わない。導出については、古典力学を参照。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "半径r[m]の円上を角速度 ω {\\displaystyle \\omega } で運動する物体の加速度の大きさを計算せよ。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "に注目するとよい。右辺について円運動をしている物体の座標が常に", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "を満たすことに注目すると、", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "50Hzで円運動している物体の円運動の周期を計算せよ。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "を用いると、", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "以上より,円運動の加速度の成分は", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "よって,円運動する物体の質量を m {\\displaystyle m} ,向心方向に働く力,すなわち向心力(英: centripetal force)を F C {\\displaystyle F_{\\mathrm {C} }} ,接線方向に働く力を F T {\\displaystyle F_{\\mathrm {T} }} とおくと運動方程式は", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "w:向心力、w:遠心力(centrifugal force)", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "円運動と関係の深い物体の運動として、単振動(英: simple harmonic oscillation)があげられる。単振動はあらゆる振動現象の基本になっており、応用範囲が広い運動である。円運動と同様、単振動も三角関数を用いて運動が記述される。また、周期や位相がある点も円運動と同じである。また、単振動は波動に関わる現象とも関係が深く、位相、振幅などの量を共有している。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "ここからは、単振動をする物体の性質をより詳しく見て行く。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "単振動は様々な情况であらわれるが、単純な例としてはフックの法則で支配されるばねに接続された物体の運動がある。ここでは、ばね定数 k {\\displaystyle k} のばねに質量 m {\\displaystyle m} の物体を接続するとする。ばねの自然長の位置を原点として時刻 t {\\displaystyle t} における原点からの物体の位置を x ( t ) {\\displaystyle x(t)} とおく場合、この物体に関する運動方程式は", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": "で与えられる。この方程式の両辺を m {\\displaystyle m} で割ると、加速度は d 2 x ( t ) d t 2 = − k m x ( t ) {\\displaystyle {\\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=-{\\frac {k}{m}}x(t)} で与えられることが分かる。このように、加速度と物体の座標が負の比例係数を持って比例関係にある式が、単振動の運動方程式である。この場合、単振動の振動中心を x = x C {\\displaystyle x=x_{\\mathrm {C} }} (単振動では振動中心は定数),時刻 t {\\displaystyle t} における物体の運動を位置 x ( t ) {\\displaystyle x(t)} ,速度 v ( t ) {\\displaystyle v(t)} ,加速度 a ( t ) {\\displaystyle a(t)} で表すと", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "となる。 ω {\\displaystyle \\omega } は角振動数, δ {\\displaystyle \\delta } は初期位相である。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "ここで、単振動の運動方程式と、単振動の運動の式を与えたが、実際には単振動の運動の式は運動方程式から導出できるがこれについてはw:微分方程式を扱う必要があるので詳しい導出については、古典力学を参照。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "sin {\\displaystyle \\sin } 関数は関数の値の増加に伴って周期的な振動を行なう関数なので、物体は、 x = 0 {\\displaystyle x=0} のまわりで周期的な振動をすることが分かる。ただし、上の式の中でAはw:振幅と呼ばれ、物体の振動の範囲を表す量である。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 114, "tag": "p", "text": "ただし、この場合においてはこれらの量は物体の円運動ではなく、物体の振動についての量であり、それぞれ単位時間当たりに何[rad]だけ位相が進むかの量と振動の周期の中で、どの位置に物体がいるかを表す量に対応している。また、周期と振動数も円運動の場合と同じ定義で与えられる。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 115, "tag": "p", "text": "また、この場合については運動方程式から角振動数が決まり", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 116, "tag": "p", "text": "で与えられる。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 117, "tag": "p", "text": "(4.3)を", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 118, "tag": "p", "text": "と書直し, A cos δ = a , A sin δ = b {\\displaystyle A\\cos \\delta =a,\\ A\\sin \\delta =b} とおくと", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 119, "tag": "p", "text": "となり,振幅は", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 120, "tag": "p", "text": "質量mを持つある物体について、ばね定数 k 1 {\\displaystyle k_{1}} のばねとばね定数 k 2 {\\displaystyle k_{2}} のばねにつながれた場合では、どちらの場合の方が物体の角速度が大きくなるか。ただし、 k 1 > k 2 {\\displaystyle k_{1}>k_{2}} が成り立つとする。また、周期と振動数についてはどうなるか。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 121, "tag": "p", "text": "この場合にはこの単振動の角振動数は、", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 122, "tag": "p", "text": "で与えられる。この量はばね定数kが大きいほど大きいので、角振動数はばね定数 k 1 {\\displaystyle k_{1}} を持つばねの角振動数の方がばね定数 k 2 {\\displaystyle k_{2}} を持つばねの角振動数より大きくなる。また、単振動の振動数は単振動の角振動数に比例するので、振動数についても、ばね定数 k 1 {\\displaystyle k_{1}} を持つばねの振動数の方がばね定数 k 2 {\\displaystyle k_{2}} を持つばねの振動数より大きくなる。一方、この場合の周期については、", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 123, "tag": "p", "text": "が成り立つため、ばね定数kが小さいほど大きくなる。よって、周期についてはばね定数 k 2 {\\displaystyle k_{2}} を持つばねの周期の方がばね定数 k 1 {\\displaystyle k_{1}} を持つばねの周期より大きくなる。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 124, "tag": "p", "text": "重力のある中に長さl[m]のひもでつるされた物体によって作られた物体の鉛直下向きに垂直な方向の運動が単振動となることを求めよ。ただし、振り子の動く範囲は小さいものとする。このように単振動をする振り子を単振り子(たんふりこ、simple pendlum) と呼ぶことがある。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 125, "tag": "p", "text": "ひもが固定されている位置から鉛直に下ろした直線と、物体がつながれているひもがなす角度を θ {\\displaystyle \\theta } とする。この場合、図形的に考えるとこの場合の水平方向の運動方程式は", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 126, "tag": "p", "text": "となる。ここで、 θ {\\displaystyle \\theta } が小さい場合、", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 127, "tag": "p", "text": "となることに注意すると、運動方程式は", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 128, "tag": "p", "text": "となり先ほどのばねにつながれた物体の運動方程式と等しくなる。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 129, "tag": "p", "text": "よって、この物体の運動も単振動で記述されることが分かった。さらに、先ほどの角振動数と比較すると、この場合の角振動数 ω {\\displaystyle \\omega } は", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 130, "tag": "p", "text": "となることが分かる。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 131, "tag": "p", "text": "これらの結果から小学校理科の結果である", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 132, "tag": "p", "text": "の実験事実が運動方程式の結果と一致することが確かめられる。", "title": "円運動" }, { "paragraph_id": 133, "tag": "p", "text": "この章では、万有引力による運動を扱う。万有引力は全ての物体の間に存在しているが、その力が媒介する運動として有名なものは太陽の回りを回転する地球の運動や、地球自身の回りを回転する月の運動である。実際にはこのような何かの回りを回転する構造は宇宙全体に広く見られる。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 134, "tag": "p", "text": "例えば、空に見られる星はw:恒星と呼ばれるが、これらの星の回りにも太陽に対する地球と同じように、惑星が回りを回っていると考えられ、実際にそのような惑星が確認された恒星もある。(w:系外惑星参照。)", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 135, "tag": "p", "text": "このように宇宙の中で万有引力による回転運動は広く観測される。ここではこのような運動は物体間に働くどのような力によって記述されるかを見ていく。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 136, "tag": "p", "text": "歴史的には、逆にこのような物体の間の運動を説明するような力を考えることで物体間に働く力が発見された。歴史について詳しくはw:ニュートンなどを参照。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 137, "tag": "p", "text": "まずは、物体間に働く万有引力(glavitational constant)の法則を述べる。種々の観測の結果によると、質量 m 1 {\\displaystyle m_{1}} を持つ物体と質量 m 2 {\\displaystyle m_{2}} を持つ物体の間には", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 138, "tag": "p", "text": "で表わされる力が働く。ここでGは物体によらない定数で、万有引力定数という。値は G = 6.67 × 10 − 11 [ N ⋅ m 2 / k g 2 ] {\\displaystyle G=6.67\\times 10^{-11}[{\\mathrm {N} \\cdot \\mathrm {m} ^{2}/\\mathrm {kg} ^{2}}]} である。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 139, "tag": "p", "text": "万有引力の法則", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 140, "tag": "p", "text": "万有引力は物体間の距離の2乗に逆比例する力である。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 141, "tag": "p", "text": "物体の少なくとも片方が惑星のように巨大な場合、物体間の距離rは、重心間の距離である。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 142, "tag": "p", "text": "地球の万有引力を考える。地球の質量をM、地球の半径をR、測定する物体の質量をmとした場合、重力Fは", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 143, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 144, "tag": "p", "text": "これが地表近くでは大きさが mg と等しいので、", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 145, "tag": "p", "text": "変形して", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 146, "tag": "p", "text": "となる。計算問題のさい、この変形が用いられる場合がある。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 147, "tag": "p", "text": "地球は自転をしており、重力の計算では、厳密には自転による遠心力も考える必要があるが、しかし、自転の遠心力の大きさは、万有引力の 1 300 {\\displaystyle {\\frac {1}{300}}} 倍ていどしかないので、通常は自転による遠心力を無視する場合が多い。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 148, "tag": "p", "text": "なお、地球の自転の遠心力は、赤道上でもっとも大きくなる。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 149, "tag": "p", "text": "", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 150, "tag": "p", "text": "人工衛星が、地球の自転と同じ周期で、自転と同じ向きに等速円運動をすれば、その人工衛星は地上から見て、つねに地面の上空にあるので、地上の観測者からは静止して見える。このような人工衛星のことを静止衛星という。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 151, "tag": "p", "text": "", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 152, "tag": "p", "text": "質量mの物体が質量Mの大きな物体の回りを、万有引力の力を向心力として、半径rの円運動をしている。この場合の円運動の角速度を求めよ。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 153, "tag": "p", "text": "半径r、角速度 ω {\\displaystyle \\omega } の円運動をする場合の物体の向心力は", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 154, "tag": "p", "text": "である。一方、質量mと質量Mの物体の間の距離がrである場合、2つの物体間に働く重力は、重力の変数をfとすると、", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 155, "tag": "p", "text": "で与えられる。よって、これらの力が等しくなる場合に、質量mの物体は質量Mの物体のまわりを円運動で回転(公転)することができる。よって、 ω {\\displaystyle \\omega } を求める式は、", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 156, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 157, "tag": "p", "text": "地球表面での重力による位置エネルギーを考えられるのと同様に、万有引力による位置エネルギーも考えることができる。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 158, "tag": "p", "text": "万有引力による位置エネルギーを求めるには、万有引力を積分すればいい。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 159, "tag": "p", "text": "質量Mの物体からrの距離に質量mの物体が存在するとする。ただし、Mはmよりはるかに大きいとする。無限遠点を基準にすると(つまり無限遠では位置エネルギーがゼロ)、この場合、質量mの物体の位置エネルギーは", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 160, "tag": "p", "text": "で与えられる。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 161, "tag": "p", "text": "符号にマイナスがつくことの物理的な解釈は、重力をつくりだす物体に近づくほど、その物体のつくりだす重力圏を脱出するには、エネルギーが追加的に必要になるからであると解釈できる。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 162, "tag": "p", "text": "無限遠では r=+∞ とすればよく、結果、 U=0 になる。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 163, "tag": "p", "text": "なお、万有引力は保存力であるので、位置エネルギーは、無限遠点からの経路によらず、現在の位置だけで決まる。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 164, "tag": "p", "text": "", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 165, "tag": "p", "text": "のように与えられる。また、このグラフは直観的な意味を持っている。実は、このグラフの傾きはグラフが表わす位置エネルギーを持つ点に物体を置いた場合、その物体が力を受ける方向とその大きさを表わしている。ここでは、位置エネルギーの傾きが常にr=0に落ち込む方向に生じているため物体Mから距離r (rは任意の実数。)の点に静止している物体は必ずMの方向に吸い込まれて行くことを表わしている。(詳しくは古典力学参照。)", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 166, "tag": "p", "text": "", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 167, "tag": "p", "text": "ある惑星上にある物体を宇宙の無限遠まで到達させるために宇宙船に惑星上で与えなくてはいけない速度はどのように表わされるか。ただし、計算については最初に宇宙船が出発した惑星以外の天体からの影響は無視するとする。また、惑星の半径はR、惑星の質量はMとする。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 168, "tag": "p", "text": "惑星の引力による位置エネルギーは惑星表面で", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 169, "tag": "p", "text": "であり、無限円点では0である。ただし、mは宇宙船の質量とした。一方、宇宙船が無限円点に達するには、宇宙船の速度が無限円点でちょうど0に等しくなればよい。ここで、惑星上での宇宙船の速度をvとすると、エネルギー保存則より、", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 170, "tag": "p", "text": "となる。よってこの式からvを求めればよい。答は、", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 171, "tag": "p", "text": "上記の計算から分かるように、一般に、万有引力だけを受けて運動する物体の力学的エネルギーは、", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 172, "tag": "p", "text": "である。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 173, "tag": "p", "text": "仮に高い山から物体を水平に発射したとき(空気抵抗は無視する)、地球のまわりを回り続けるために必要な最小の初速度のことを第一宇宙速度という。(※ 名前は暗記しなくていい。覚えるべきは、計算方法である。) 第一宇宙速度は、要するに、遠心力と向心力がつりあうために必要な初速度である。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 174, "tag": "p", "text": "第一宇宙速度は、秒速では約7.91km/sである。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 175, "tag": "p", "text": "v1について觧き、", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 176, "tag": "p", "text": "なお、およそ R = 6400 × 10 m である。 g = 9.8 m/s である。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 177, "tag": "p", "text": "さらに初速度が大きくなると、物体は楕円軌道になる。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 178, "tag": "p", "text": "初速度が約11.2km/sになると、軌道は放物線になり、物体は無限の彼方に飛んでゆく。この約11.2km/sのことを第二宇宙速度という。これは、無限遠の点で、速度が0を超える値になるために必要な初速度である。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 179, "tag": "p", "text": "なので、計算で第二宇宙速度を求めるにはエネルギー保存則を計算には使う。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 180, "tag": "p", "text": "の式からvを求め、", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 181, "tag": "p", "text": "にさらに G M = g R 2 {\\displaystyle GM=gR^{2}} を代入して、", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 182, "tag": "p", "text": "これに関係する定数を代入すればいい。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 183, "tag": "p", "text": "なお、およそ R = 6400 × 10 m である。 g = 9.8 m/s である。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 184, "tag": "p", "text": "初速度 11.2km/s以上では、軌道は双曲線になり、物体は無限の彼方に飛んでゆく。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 185, "tag": "p", "text": "", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 186, "tag": "p", "text": "※ 検定教科書では、脚注などに書いてあったりする。地球から射出して、太陽系の外に出るために必要な最小の初速度のことを第三宇宙速度(約 16.7 km/s) である。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 187, "tag": "p", "text": "ギリシャ時代から中世まで信じられてきた天動説(英: geocentric theory)に対し,16世紀半ばにコペルニクスは全ての惑星(英: planet)が太陽を中心とした円運動をしている地動説を提唱した。その後ティコ・ブラーエは長年にわたり惑星の観測を行い,その観測結果を引継いだケプラーはこれらの結果をもとに計算を行い,惑星の運行に関する法則,ケプラーの法則(英: Kepler's laws)を発見した。なお,教科書は太陽と惑星の関係で論じているが,他にも惑星と衛星(自然衛星,人工衛星)でも成り立つ。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 188, "tag": "p", "text": "惑星(衛星)は太陽(惑星)を1つの焦点とする楕円運動をする(楕円軌道の法則)。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 189, "tag": "p", "text": "惑星(衛星)と太陽(惑星)を結ぶ動径が単位時間に描く面積(面積速度)は一定である(面積速度一定)。", "title": "万有引力の法則" }, { "paragraph_id": 190, "tag": "p", "text": "惑星(衛星)の公転周期 T {\\displaystyle T} の2乗は楕円軌道の長半径(半長軸) a {\\displaystyle a} の3乗に比例する。", "title": "万有引力の法則" } ]	null	= 物体の運動 = [[高等学校理科物理基礎]]では、物体の運動を直線上の運動を中心に扱った。物理では、より複雑な平面上の運動を扱う。平面上の運動では、直線上の運動とは違って、物体の位置を表わすのに必要な量が2つになる。これらは通常<math>x,\ y</math>とされ、どちらも時刻<math>t</math>の一意の関数となる。これらの関数はどんなものでもよいが、ここでは主に、実際の物体の運動としてよくあらわれるものを扱う。 == 平面上の運動 == {{See also\|[[高等学校物理基礎/力学#２次元・３次元における位置・速度・加速度\|高等学校物理基礎/力学]]}} 平面上，すなわち２次元において，時刻<math>t</math>における位置は<math>\overrightarrow r(t)=(x(t),\ y(t))</math>，微小時間<math>\mathit{\Delta}t</math>間の変位は<math>\mathit{\Delta}\overrightarrow r =\overrightarrow r(t +\mathit{\Delta}t)-\overrightarrow r(t)=(\mathit{\Delta}x,\ \mathit{\Delta}y)</math>と定義される。このとき :<math>\bar \overrightarrow v =\frac{\overrightarrow r(t +\mathit{\Delta}t)-\overrightarrow r(t)}{\mathit{\Delta}t}=\frac{\mathit{\Delta}\overrightarrow r}{\mathit{\Delta}t}</math> を<math>\mathit{\Delta}t</math>間の平均速度，<math>\mathit{\Delta}t\to 0</math>の極限 :<math>\overrightarrow v(t)=\lim_{\mathit{\Delta}t\to 0}\frac{\overrightarrow r(t +\mathit{\Delta}t)-\overrightarrow r(t)}{\mathit{\Delta}t}=\frac{d\overrightarrow r(t)}{dt}=\left(\frac{dx(t)}{dt},\ \frac{dy(t)}{dt}\right)=(\dot x(t),\ \dot y(t))=(v_x(t),\ v_y(t))</math> を時刻<math>t</math>での(瞬間)速度という。なお，時刻<math>t</math>での速さ(速度の大きさ)は :<math>v =\|\overrightarrow v\|=\sqrt{{v_x}^2 +{v_y}^2}</math>. この場合も，速度から位置が求まり，各成分毎に :<math>x(t)= x(0)+\int _0 ^t v_x(t)dt</math> :<math>y(t)= y(0)+\int _0 ^t v_y(t)dt</math> が成り立ち，これらをベクトルを用いてひとまとめにして任意の時刻<math>t</math>における位置 :<math>\overrightarrow r(t)=\overrightarrow r(0)+\int _0 ^t\overrightarrow v(t)dt</math> (1.1) が求められる。また， :<math>\bar \overrightarrow a =\frac{\overrightarrow v(t +\mathit{\Delta}t)-\overrightarrow v(t)}{\mathit{\Delta}t}=\frac{\mathit{\Delta}\overrightarrow v}{\mathit{\Delta}t}</math> (<math>\mathit{\Delta}\overrightarrow v</math>は微小時間<math>\mathit{\Delta}t</math>間の速度変化) を<math>\mathit{\Delta}t</math>間の平均加速度，<math>\mathit{\Delta}t\to 0</math>の極限 :<math>\begin{align}\overrightarrow a(t)=\lim_{\mathit{\Delta}t\to 0}\frac{\overrightarrow v(t +\mathit{\Delta}t)-\overrightarrow v(t)}{\mathit{\Delta}t}& =\frac{d\overrightarrow v(t)}{dt}=\left(\frac{dv_x(t)}{dt},\ \frac{dv_y(t)}{dt}\right)=(\dot v_x(t),\ \dot v_y(t))\\ & =\frac{d^2\overrightarrow r(t)}{dt^2}=\left(\frac{d^2x(t)}{dt^2},\ \frac{d^2y(t)}{dt^2}\right)=(\ddot x(t),\ \ddot y(t))\end{align}</math> を時刻<math>t</math>での(瞬間)加速度という。この場合も，加速度から速度が求まり，各成分毎に :<math>v_x(t)=v_x(0)+\int _0 ^t\frac{dv_x(t)}{dt}dt</math> :<math>v_y(t)=v_y(0)+\int _0 ^t\frac{dv_y(t)}{dt}dt</math> が成り立ち，これらをベクトルを用いてひとまとめにして任意の時刻<math>t</math>における速度 :<math>\overrightarrow v(t)=\overrightarrow v(0)+\int _0 ^t\overrightarrow a(t)dt</math> (1.2) が求められる。なお，これら<math>\overrightarrow r(0), \overrightarrow v(0)</math>の値を初期値という。特に，加速度一定のときの運動は'''等加速度運動'''といわれ，上記の公式(1.2, 1)はそれぞれ :{\| \|- \|<math>\overrightarrow v(t)</math> \|<math>=\overrightarrow v(0)+\int _0 ^t\overrightarrow adt</math> (1.3) \|- \| \|<math>=\overrightarrow v(0)+\overrightarrow at</math> \|} :<math>\overrightarrow r(t)=\overrightarrow r(0)+\int _0 ^t(\overrightarrow v(0)+\overrightarrow at)dt =\overrightarrow r(0)+\overrightarrow v(0)t +\frac{1}{2}\overrightarrow at^2</math> となる。運動方程式は、力が物体が受ける加速度に比例するという点はかわらない。しかし、今回は力と加速度はどちらもベクトル量である。よって、外力<math>\overrightarrow f=(f_x,\ f_y)</math>が働き，加速度<math>\overrightarrow a=(a_x,\ a_y)</math>で運動する物体の運動方程式は :<math> m\overrightarrow a =\overrightarrow f </math> とかかれる。通常は、この方程式を解く場合は要素ごとにわけ、 :<math> ma_x = f_x </math> :<math> ma_y = f_y </math> とかかれる。問題例問題時刻t = 0に、 :<math> \overrightarrow x = (0,\ 0) </math> を :<math> v = \frac 1 {\sqrt 2} (1,\ 1)v _0 </math> で通過した物体の時刻tでの位置を求めよ。解答物体のx方向とy方向は互いに独立に等速直線運動をする。ここではx方向もy方向も速度 :<math> v = \frac 1 {\sqrt 2} v _0 </math> なので、等速直線運動の式のベクトル量とした量 :<math> \overrightarrow x = \overrightarrow v ( t - t _0) + \overrightarrow x _0 </math> に代入すると、 :<math> \overrightarrow x = \frac 1 {\sqrt 2} (1,\ 1)v _0 t </math> となる。要素ごとにかくと、 :<math> x = \frac 1 {\sqrt 2} v _0 t </math> :<math> y= \frac 1 {\sqrt 2} v _0 t </math> となる。 * 問題時刻t=0に原点(0,\ 0)をy方向に速度<math>v _0</math>で等速直線運動していた質量mの物体に、 x方向の一様な力fがかかり始めた。この場合、時刻tにおける物体の位置と速度を求めよ。 ** 解答 x軸方向には等加速度運動となる。物体が受ける加速度は、運動方程式により :<math> a = \frac f m </math> となる。さらにx方向の初速度0，初期位置0であることを等加速度直線運動の式に代入すると、 :<math> x = \frac 1 2 a t^2 </math> :<math> = \frac 1 2 \frac f m t^2 </math> :<math> v = a t </math> :<math> = \frac f m t </math> となる。さらに、y軸方向の運動は等速運動であり、その初速度は、<math>v _0</math>，初期位置は0であるので、この値を等速運動の式に代入すると、 :<math> y = v _0 t </math> :<math> v _y = v _0 </math> が得られる。 = 運動量と力積 = この章では運動量（うんどうりょう、momentum）を扱う。運動量は、物体の衝突に置いてエネルギーと並び、保存量となる重要な量である。また、この章では力積（りきせき、impulse）という量も導入する。力積は運動量の時間変化を表わす量であり、その導出は運動方程式を用いて成される。物体が動いている場合、物体の速度と質量の積を物体の運動量 :<math>\overrightarrow p = m\overrightarrow v</math> (2.1) と定義する。運動方程式 :<math>m\frac{d\overrightarrow v(t)}{dt}=\overrightarrow f</math> (<math>\overrightarrow v(t)</math>は時刻<math>t</math>における速度，<math>\overrightarrow f</math>は合力) の両辺を時刻<math>t = t_1</math>から<math>t = t_2</math>まで積分すると :<math>\int _{t_1}^{t_2}m\frac{d\overrightarrow v(t)}{dt}dt =\int _{t_1}^{t_2}\overrightarrow fdt</math> :<math>\therefore\int _{t_1}^{t_2}md\overrightarrow v(t)=\int _{t_1}^{t_2}\overrightarrow fdt</math> :<math>\therefore[m\overrightarrow v(t)]_{t_1}^{t_2}=\int _{t_1}^{t_2}\overrightarrow fdt</math> (注：<math>\overrightarrow f</math>は一定とは限らぬので右辺は積分実行できない) :<math>\therefore m\overrightarrow v(t_2)- m\overrightarrow v(t_1)=\int _{t_1}^{t_2}\overrightarrow fdt</math> となる。<math>\overrightarrow v(t_1)=\vec{v_1}, \overrightarrow v(t_2)=\vec{v_2}</math>とすると :<math>m\vec{v_2}- m\vec{v_1}=\int _{t_1}^{t_2}\overrightarrow fdt</math>. (2.2) この式の左辺は運動量変化，右辺は力積（りきせき、impulse）である。よって，'''運動量変化は力積に等しい'''ことが分かる。運動量変化を<math>\mathit{\Delta}\overrightarrow p</math>，力積を<math>\overrightarrow I</math>とすると :<math>\mathit{\Delta}\overrightarrow p = m(\vec{v_2}-\vec{v_1}), \overrightarrow I =\int _{t_1}^{t_2}\overrightarrow fdt,\ \mathit{\Delta}\overrightarrow p =\overrightarrow I</math>. 特に，<math>\overrightarrow f =</math>一定のとき，<math>t_2 - t_1 =\mathit{\Delta}t</math>とおくと :<math>\overrightarrow I =\overrightarrow f(t_2 - t_1)=\overrightarrow f\mathit{\Delta}t</math>. * 発展: 微分と変化量微分を用いた導出については、[[古典力学]]も参照。 * 問題例問題静止していた物体に時間<math>\mathit{\Delta}t</math>の間ある方向に一様な力fをかけた。物体が得た運動量はどれだけか。さらに、物体の質量をmとすると、物体がその方向に得た速度はどれだけか。解答運動量の変化分は物体が受けた力積に等しいので、物体が受けた力積を計算すればよい。物体が受けた力積は :<math> f\mathit{\Delta}t </math> に等しいので、物体が得た運動量も :<math> f\mathit{\Delta}t </math> に等しい。さらに、運動量が :<math> p = m v </math> を満たすことを考えると、物体の速度は :<math> \frac 1 m f\mathit{\Delta}t </math> となる。運動量は、物体が全く力を受けない場合には保存される。これは物体に力が働かない場合には、物体の受ける力積は0であり物体の運動量変化も0であることから当然である。さらに、複数の物体の運動量については、別の重要な性質が見られる。それは、複数の物体のもつ運動量の総和はそれらの物体の間の衝突に際して保存するということである。これはつまり、例えばある2つの物体が衝突した場合、始めに2物体がそれぞれ持っていた運動量の和は衝突が終わった後に2物体が持っている運動量の和に等しいということである。ここで、いくつかの物体がある場合それらの持つ運動量の総和を、対応する物体系の全運動量という。物体の衝突について、運動量は常に保存する。しかし、物体系の全エネルギーは常に保存するとは限らない。一般に物体の衝突についてエネルギーは常に失われていく。もっとも物体系に限らない全エネルギーは常に一定であるので、物体が持っていたエネルギーは音や熱の形で物体系の外に逃げて行くのである。物体が衝突について失うエネルギーは衝突に関わる物体が持っている物性定数によって決まる。この係数を反発係数（はんぱつけいすう、coefficient of restitution）と呼び、eなどの記号で書く。反発係数は、物体が衝突したする前後での物体間の相対速度の比によって定められる。特に物体1と物体2が衝突前に速度 <math>v_1,\ v_2</math>を持っており、衝突後に速度<math>v_1',\ v_2'</math>を持ったとすると、反発係数eは :<math>v_1' - v_2' = -e(v_1 - v_2)\quad\therefore e = - \frac {v_1' - v_2'} {v_1 - v_2} </math> で定められる。ここで、右辺の始めの<math>-</math>符合は、衝突の前後で物体の速度がより大きい物体は、衝突前により小さい速度を持っていた物体よりも衝突後にはより小さい速度を持つことになるからである。そのため、反発係数は一般に正の数である。また反発係数は1より小さい数であり、物体間の相対速度は衝突前より衝突後の方が小さくなる。特に<math>e = 1</math>の場合を(完全)弾性衝突（elastic collision）と呼び、いっぽう<math>0<e<1</math>の場合を非弾性衝突（inelastic collision）と呼ぶ。弾性衝突の場合は、力学的エネルギーは保存することが知られている。一方、非弾性衝突の場合は物体系の全エネルギーは失われる。 * 問題例問題ある静止している物体2に運動量pで運動している物体が衝突した。この場合、衝突した後の物体2が運動量<math>p _2</math>を得たとすると、衝突後の物体1の運動量はどれだけとなったか。解答運動量保存則を考えると、衝突の前後で物体1と物体2で構成される物体系の全運動量は保存する。ここで、衝突前の物体系の全運動量はpであるので、衝突後の物体系の全運動量もpとなる。さらに、物体2の衝突後の運動量が <math>p _2</math>なので、物体1の運動量は :<math> p - p _2 </math> となる。ここで、物体系の全運動量が保存されることは、運動に関する作用・反作用の法則から従う。作用反作用の法則を用いると、物体系の間の衝突に際して、衝突に関わるそれぞれの物体が受ける力は、大きさが等しく向きは反対となる。この場合、それぞれの力に対して、衝突の時間<math>\Delta t</math>をかけたものは衝突に際してそれぞれの物体が受け取る力積に等しい。ここで、衝突に関して働く力の力積を全ての物体について足し合わせると、それらの和は、上のことから0となる。しかし、全運動量の計算ではまさにそのような全物体についての運動量の総和を計算しているので、衝突によって得られるような力積の総和は、0に等しい。よって、衝突に際して物体系の持つ全運動量は保存される。これを'''運動量保存則'''（うんどうりょうほぞんそく、momentum conservation law）という。 * 問題例問題質量mの2つの物体が速度<math>v _1</math>, <math>v _2</math> で移動している。これらの物体が衝突した場合、衝突後のそれぞれの物体の速度を、エネルギー保存則と運動量保存則を用いて計算せよ。ただし、物体の衝突に関してエネルギーは保存するとする。解答この問題は2つの同じ大きさの物体を異なった速度でぶつけた場合その結果がどうなるかを計算する問題である。実験の結果によると、一方が静止しており一方が動いている場合、動いていた物体は静止し、静止していた物体は動いていた物体が持っていた速度と同じ速度で動きだすことが知られている。ここでは、それらの結果が計算によって確かめられることを見ることが出来る。衝突後の物体の速度をそれぞれ物体1については<math>v _1'</math>，物体2については <math>v _2'</math>とする。この場合、物体の衝突について全エネルギーが保存されることを用いると、 :<math> 1/2 m v _1^2 + 1/2 m v _2^2 = 1/2 m v _1'{}^2 + 1/2 m v'{} _2^2 </math> が得られる。さらに、物体の衝突について物体系の全運動量が保存されることを用いると、 :<math> m v _1 + m v _2 = m v _1' + m v _2' </math> これらは、<math>v' _1</math>, <math>v '_2</math>についての2次方程式であり、解くことが出来る。実際計算すると、解として :<math> (v '_1,\ v' _2 )=(v _1,\ v _2),\ (v _2,\ v _1) </math> が得られる。前者の解は衝突に際して物体の速度が変化せぬことを示しているが、これは実際の情况として考え難いので、後者の解が現実の解となる。この結果を見ると、物体が持つ速度が入れ替わることが分かる。このことは実際に同じ大きさの球を用いて実験を行うと、確かめることができる。 <!-- これは例えば、 <math>v _1=v,\ v _2=0</math>の時を考えると、衝突後の結果は <math>v _1=0,\ v _2=v</math>となり、実験の結果を再現することになる。 --> =剛体のつり合い= 位置のみをもち，大きさがないのが質点である。'''剛体'''とは，大きさがあるが形も大きさも変わらぬ物体のことである。 ==角運動量と力のモーメント== 剛体の運動を考える前に一定平面上の運動について次のような一般的考察を行う。時刻<math>t</math>において<math>xy</math>平面内の位置<math>\overrightarrow r=(x,\ y)</math>を速度<math>\overrightarrow v=(v_x,\ v_y)</math>で運動し，力<math>\overrightarrow F=(F_x,\ F_y)</math>が働いている質量<math>m</math>の物体の運動方程式を成分に分けて表せば :<math>m\frac{dv_x}{dt}=F_x,\qquad\qquad\qquad\qquad\;\cdots\cdots</math>① :<math>m\frac{dv_y}{dt}=F_y.\qquad\qquad\qquad\qquad\;\cdots\cdots</math>② ②<math>\times x -</math>①<math>\times y</math>より :<math>m\left(x\frac{dv_y}{dt}-y\frac{dv_x}{dt}\right)=xF_y -yF_x</math> :<math>\therefore \frac{d}{dt}\{m(xv_y -yv_x)\}=xF_y -yF_x.\cdots</math>③ この左辺の :<math>l=m(xv_y -yv_x)</math> (3.1) を原点Oまわりの角運動量という。ここで<math>\overrightarrow v</math>と<math>\overrightarrow r</math>のなす角を<math>\theta,\ x</math>軸と<math>\overrightarrow r</math>のなす角を<math>\phi</math>とすると :<math>x=r\cos\phi,\ v_x=v\cos(\theta +\phi),\ y=r\sin\phi,\ v_y=v\sin(\theta +\phi)</math>. これらを(3.1)に代入すると :<math>l=m(r\cos\phi\cdot v\sin(\theta +\phi)-r\sin\phi\cdot v\cos(\theta +\phi))=mrv\sin\theta</math> (3.1a) が得られる。物体を回転させる力の効果の大きさを表す量を'''力のモーメント'''という。更に<math>\overrightarrow F</math>と<math>\overrightarrow r</math>のなす角を<math>\mathit{\Theta}</math>とすると :<math>F_x=F\cos(\mathit{\Theta}+\phi),\ F_y=F\sin(\mathit{\Theta}+\phi)</math>. よって'''原点Oまわりの力のモーメント'''を<math>N</math>で表すと :<math>N=xF_y -yF_x=r\cos\phi\cdot F\sin(\mathit{\Theta}+\phi)-r\sin\phi\cdot F\cos(\mathit{\Theta}+\phi)=Fr\sin\mathit{\Theta}</math>. (3.2) ここに<math>r\sin\mathit{\Theta}</math>は原点から力<math>\overrightarrow F</math>の作用線に下した垂線の長さであり，これを力<math>\overrightarrow F</math>の'''原点に対する腕の長さ'''という。ただし力のモーメントは力<math>\overrightarrow F</math>が位置ベクトル<math>\overrightarrow r</math>を反時計回りに回す向きを正としている(時計回りの際は<math>\mathit{\Theta}<0</math>で<math>r\sin\mathit{\Theta}<0</math>と考える)。以上より，③(角運動量の方程式)は :<math>\frac{dl}{dt}=N</math>. (3.3) これは力のモーメントが加えられた結果として角運動量が変化するという因果関係を表す。特に<math>N=0</math>ならば :<math>\frac{dl}{dt}=0\quad\therefore l=</math>一定となり，角運動量が保存する。 ==剛体に働く力のモーメント== ==重心== 物体の各部分に働く重力の作用点を'''重心'''({{Lang-en-short\|centre of gravity}})或いは質量中心({{Lang-en-short\|centre of mass}})という。<math>n</math>物体(質量：<math>m_1,\ m_2,\ \cdots\cdots,\ m_n</math>，位置<math>\vec{r_1},\ \vec{r_2},\ \cdots\cdots,\ \vec{r_n}</math> (<math>n</math>は自然数)の重心の位置<math>\vec{r_\mathrm{G}}</math>は以下のように定義される。 :<math>\vec{r_\mathrm{G}}=\frac{m_1\vec{r_1}+m_2\vec{r_2}+\cdots\cdots +m_n\vec{r_n}}{m_1+m_2+\cdots\cdots +m_n}</math>. また重心速度<math>\vec{v_\mathrm{G}}</math>は<math>\frac{d\vec{r_k}}{dt}=\vec{v_k}\ (k=1,\ 2,\ \cdots\cdots,\ n)</math>とすると :<math>\vec{v_\mathrm{G}}=\frac{d\vec{r_\mathrm{G}}}{dt}=\frac{m_1\vec{v_1}+m_2\vec{v_2}+\cdots\cdots +m_n\vec{v_n}}{m_1+m_2+\cdots\cdots +m_n}</math>. = 円運動と単振動 = ここでは、初等的な平面上の運動の1つとして、円運動({{Lang-en-short\|circular motion}})と単振動({{Lang-en-short\|simple harmonic motion}})をあつかう。円運動は、単振り子（たんふりこ、simple pendlum）の運動の類似物としても重要である。それとともに、このページでは万有引力による運動も扱う。万有引力はいわゆる重力と同じ力であり、物体と物体の間に必ず生じる力である。一方これらの力は非常に弱いため、惑星のように大きな質量を持った物体の運動にしか関わらない。ここでは、太陽のまわりを回転する惑星のような大きなスケールの運動もあつかう。このような運動は円に近い軌道となることがある。このため、惑星の運動を理解する上で、円運動を理解することが重要である。 == 円運動 == 物体が円を描くように運動することを円運動と呼ぶ。円を描くような運動は、例えば、円形のグラウンドのまわりを走る人間のように人間が意思を持って行なう場合も指すが、自然現象として起こる場合も多い。例えば、太陽のまわりを回る地球の運動や、地球の回りを回る月の運動は、いずれも円運動で記述される。また、一定の長さをもったひもと一定の質量を持った物体で作られた振り子の運動は、ひもを固定した点から一定の距離をおいて運動しているため、物体は円軌道上を運動しており、広い意味での円軌道ととらえることも出来る。ここでは、このような場合のうちで代表的なものとして、完全な円軌道上を運動する物体の運動をあつかう。円軌道上を運動する物体の座標も一般の場合と同様 :<math>\overrightarrow r(t)=(x(t),\ y(t))</math> で表わされる。特に円軌道を表わす関数は[[高等学校数学II いろいろな関数]]で扱った三角関数に対応している。 * 発展: 三角関数を用いた円の表示ここで、円運動が三角関数を用いて表されることを述べたが、このことは[[高等学校数学C]]の'''媒介変数表示'''を用いている。媒介変数表示について詳しくは、対応する項を参照してほしい。半径r[m]の円上を等しい速度で、円運動する物体の運動を記述することを考える。さらに、座標を取る場合原点の位置は円運動の中心の位置とする。この場合の物体の運動は、x, y座標を用いて、 :<math> x = r \cos (\omega t +\delta) </math> :<math> y = r \sin (\omega t +\delta) </math> によって書かれる。ただし、この場合<math>\omega</math>は角速度と呼ばれ単位は[rad/s]で与えられる。ただし、ここで[rad]は[[w:ラジアン]]であり、[[w:弧度法]]によって角度を表わした場合の単位である。弧度法については[[高等学校数学II いろいろな関数]]を参照。角速度は円運動をしている物体がどの程度の時間で円を一周するかに対応している。なお，高等学校の物理において角速度はスカラーとして扱う。また、この量は下で分かるのだが、円運動している物体の速度に比例する。また、角速度に対応して、 :<math> T = \frac {2\pi} \omega </math> で与えられる量を[[w:周期]]といい、周期の単位は[s]である。周期は物体が何秒間ごとに円状を1周するかを表わす量である。この場合には物体はT[s]ごとに円状を1周する。さらに、 :<math> f = \frac \omega {2\pi} </math> を[[w:振動数]]と呼ぶ。振動数は周期とは逆に、単位時間当たりに物体が円状を何周するかを数える量である。振動数の単位には通常[Hz]を用いる。これは、[1/s]に等しい単位である。また、周期Tと、振動数fは、関係式 :<math> Tf = 1 </math> を満たす。この式はある円運動をしている物体について、その物体の円運動の周期に対応する時間の間には、物体は円状を1周だけするということに対応する。また、 :<math> x = r \cos (\omega t +\delta) </math> :<math> y = r \sin (\omega t +\delta) </math> の式で<math>\delta</math>は物体の位置の[[w:位相]]と呼ばれ、物体が円状のどの点にいるかを示す値である。また、この場合の物体の速度のx, y要素は :<math>v_x =\frac{dx}{dt}= -r \omega \sin \omega t</math> :<math>v_y =\frac{dy}{dt}= r \omega \cos \omega t</math> で与えられる。この式と、後の円運動の加速度の導出については、後の発展を参照。ここで、物体の速さをvとすると、 :<math> v = \sqrt {v _x ^2 +v _x ^2} = \sqrt {r^2 \omega^2 (\sin^2 \omega t +\cos^2 \omega t) } = r \omega </math> となり、物体の速度は<math>r\omega</math>で与えられることが分かる。さらに、 :<math> \overrightarrow r \cdot \overrightarrow v </math> を計算すると、 :<math> \overrightarrow r \cdot \overrightarrow v </math> :<math> =( r \cos \omega t,\ r \sin \omega t) \cdot (-r \omega \sin \omega t,\ r \omega \cos \omega t) </math> :<math> = r^2 \omega (\cos \omega t \sin \omega t - \cos \omega t \sin \omega t) </math> :<math> = 0 </math> となり、円運動をしている物体の速度と円運動の中心を原点とした場合の座標は直交していることが分かる。さらに、円運動をしている物体の加速度は、 :<math>\frac{dv_x}{dt^2}= -r \omega^2 \cos \omega t</math> :<math>\frac{dv_y}{dt^2}= -r \omega^2 \sin \omega t</math> となる。これは :<math>\overrightarrow a = -\omega ^2 \overrightarrow r</math> に対応しており、円運動をおこなう物体の加速度は、円運動をする物体の座標とちょうど反対向きになることが分かる。 * 発展: 円運動の速度と加速度ここでは、円運動の速度と加速度を与えたが、この値は物体の運動が決まれば決まる値なので、円運動の式から計算できる。ただ、実際にこれらの式を得るためには、円運動の式の'''微分'''を行う必要があるため、ここでは詳しく扱わない。導出については、[[古典力学]]を参照。 * 問題例問題半径r[m]の円上を角速度<math>\omega</math>で運動する物体の加速度の大きさを計算せよ。解答 :<math> \overrightarrow a = -\omega^2 \overrightarrow r </math> に注目するとよい。右辺について円運動をしている物体の座標が常に :<math> \overrightarrow r ^2 = r^2 </math> を満たすことに注目すると、 :<math> \|\overrightarrow a\| = \sqrt {\overrightarrow a^2} </math> :<math> = \sqrt {r^2 \omega^4} = r \omega^2 </math> となる。問題 50Hzで円運動している物体の円運動の周期を計算せよ。解答 :<math> T = \frac 1 f </math> を用いると、 :<math> T [\textrm s] = \frac 1 {50}[\textrm s] </math> :<math> = 0.020 [\textrm s] </math> となる。 ===円運動の方程式=== 以上より，円運動の加速度の成分は :向心成分：<math>a_\mathrm{C}=r{\omega}^2=\frac{v^2}{r},</math> :接線成分：<math>a_\mathrm{T}=\frac{dv}{dt}</math>. よって，円運動する物体の質量を<math>m</math>，向心方向に働く力，すなわち'''向心力'''({{Lang-en-short\|centripetal force}})を<math>F_\mathrm{C}</math>，接線方向に働く力を<math>F_\mathrm{T}</math>とおくと運動方程式は :<math>mr{\omega}^2=F_\mathrm{C}\Longleftrightarrow m\frac{v^2}{r}=F_\mathrm{C},</math> (4.1) :<math>m\frac{dv}{dt}=F_\mathrm{T}</math>. (4.2) * ※ 執筆中（読者に協力をお願いします。） [[w:向心力]]、[[w:遠心力]]（centrifugal force） == 単振動 == 円運動と関係の深い物体の運動として、単振動（{{Lang-en-short\|simple harmonic oscillation}}）があげられる。単振動はあらゆる振動現象の基本になっており、応用範囲が広い運動である。円運動と同様、単振動も三角関数を用いて運動が記述される。また、周期や位相がある点も円運動と同じである。また、単振動は波動に関わる現象とも関係が深く、位相、振幅などの量を共有している。ここからは、単振動をする物体の性質をより詳しく見て行く。単振動は様々な情况であらわれるが、単純な例としては'''フックの法則'''で支配されるばねに接続された物体の運動がある。ここでは、ばね定数<math>k</math>のばねに質量<math>m</math>の物体を接続するとする。ばねの自然長の位置を原点として時刻<math>t</math>における原点からの物体の位置を<math>x(t)</math>とおく場合、この物体に関する運動方程式は :<math>m\frac{d^2x(t)}{dt^2}= - kx(t)</math> で与えられる。この方程式の両辺を<math>m</math>で割ると、加速度は<math>\frac{d^2x(t)}{dt^2}= -\frac{k}{m}x(t)</math>で与えられることが分かる。このように、加速度と物体の座標が負の比例係数を持って比例関係にある式が、単振動の運動方程式である。この場合、単振動の振動中心を<math>x = x_\mathrm{C}</math>(単振動では振動中心は定数)，時刻<math>t</math>における物体の運動を位置<math>x(t)</math>，速度<math>v(t)</math>，加速度<math>a(t)</math>で表すと :<math>x(t)= x_\mathrm{C}+ A \sin (\omega t +\delta),</math> (4.3) :<math>v(t)= \frac{dx(t)}{dt} = A\omega\cos (\omega t +\delta),</math> (4.4) :<math>\begin{align}a(t)=\frac{d^2 x(t)}{dt^2}& = -A\omega ^2 \sin (\omega t +\delta)\\ & =-\omega^2(x(t)- x_\mathrm{C})\end{align}</math> (4.5) となる。<math>\omega</math>は角振動数，<math>\delta</math>は初期位相である。発展: 単振動の運動方程式ここで、単振動の運動方程式と、単振動の運動の式を与えたが、実際には単振動の運動の式は運動方程式から導出できるがこれについては[[w:微分方程式]]を扱う必要があるので詳しい導出については、[[古典力学]]を参照。 <math>\sin</math>関数は関数の値の増加に伴って周期的な振動を行なう関数なので、物体は、<math>x=0</math>のまわりで周期的な振動をすることが分かる。ただし、上の式の中でAは[[w:振幅]]と呼ばれ、物体の振動の範囲を表す量である。ただし、この場合においてはこれらの量は物体の円運動ではなく、物体の振動についての量であり、それぞれ単位時間当たりに何[rad]だけ位相が進むかの量と振動の周期の中で、どの位置に物体がいるかを表す量に対応している。また、周期と振動数も円運動の場合と同じ定義で与えられる。 :<math>T = \frac {2\pi}\omega</math> :<math>f =\frac \omega {2\pi}</math> また、この場合については運動方程式から角振動数が決まり :<math>m\frac{d^2 x(t)}{dt^2}=-kx(t)</math> :<math>\begin{align}\therefore\frac{d^2 x(t)}{dt^2}& =-\frac{k}{m}x(t)\\ & =-\omega^2(x(t)- 0)\end{align}</math> :<math>\therefore\omega^2=\frac{k}{m}\quad\therefore\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\ (\because\omega >0)</math> で与えられる。 (4.3)を :<math>x(t)= x_\mathrm{C}+ A\sin\omega t\cos\delta +A\cos\omega t\sin\delta</math> と書直し，<math>A\cos\delta=a,\ A\sin\delta=b</math>とおくと :<math>x(t)= x_\mathrm{C}+ a\sin\omega t +b\cos\omega t,</math> (4.3a) :<math>v(t)= \dot x(t)=\omega(a\cos\omega t -b\sin\omega t),</math> (4.4a) :<math>a(t)= \ddot x(t)=-\omega^2(a\sin\omega t +b\cos\omega t)</math> (4.5a) となり，振幅は :<math>A=\sqrt{a^2+b^2}</math>. (4.6) 問題例問題質量mを持つある物体について、ばね定数<math>k _1</math>のばねとばね定数<math>k _2</math>のばねにつながれた場合では、どちらの場合の方が物体の角速度が大きくなるか。ただし、<math>k _1>k _2</math>が成り立つとする。また、周期と振動数についてはどうなるか。解答この場合にはこの単振動の角振動数は、 :<math> \omega = \sqrt {\frac k m} </math> で与えられる。この量はばね定数kが大きいほど大きいので、角振動数はばね定数<math>k _1</math>を持つばねの角振動数の方がばね定数<math>k _2</math>を持つばねの角振動数より大きくなる。また、単振動の振動数は単振動の角振動数に比例するので、振動数についても、ばね定数<math>k _1</math>を持つばねの振動数の方がばね定数<math>k _2</math>を持つばねの振動数より大きくなる。一方、この場合の周期については、 :<math> T = \frac {2\pi} \omega = 2\pi \sqrt {\frac m k} </math> が成り立つため、ばね定数kが小さいほど大きくなる。よって、周期についてはばね定数<math>k _2</math>を持つばねの周期の方がばね定数<math>k _1</math>を持つばねの周期より大きくなる。問題重力のある中に長さl[m]のひもでつるされた物体によって作られた物体の鉛直下向きに垂直な方向の運動が単振動となることを求めよ。ただし、振り子の動く範囲は小さいものとする。このように単振動をする振り子を単振り子（たんふりこ、simple pendlum）と呼ぶことがある。解答ひもが固定されている位置から鉛直に下ろした直線と、物体がつながれているひもがなす角度を <math>\theta</math> とする。この場合、図形的に考えるとこの場合の水平方向の運動方程式は :<math>m a _x =- mg \sin \theta </math> となる。ここで、<math>\theta</math> が小さい場合、 :<math>\theta \sim \frac x l</math> となることに注意すると、運動方程式は :<math>a _x = -g \frac x l</math> :<math>a _x = - \frac g l x</math> となり先ほどのばねにつながれた物体の運動方程式と等しくなる。よって、この物体の運動も単振動で記述されることが分かった。さらに、先ほどの角振動数と比較すると、この場合の角振動数<math>\omega</math>は :<math>\omega = \sqrt{\frac g l}</math> となることが分かる。これらの結果から[[小学校理科]]の結果である :単振り子について ::物体の重さは振り子の周期と関係しない。 ::振り子のひもの長さが長くなるにつれて、振り子の周期は長くなる。の実験事実が運動方程式の結果と一致することが確かめられる。 = 万有引力 = この章では、万有引力による運動を扱う。万有引力は全ての物体の間に存在しているが、その力が媒介する運動として有名なものは太陽の回りを回転する地球の運動や、地球自身の回りを回転する月の運動である。実際にはこのような何かの回りを回転する構造は宇宙全体に広く見られる。例えば、空に見られる星は[[w:恒星]]と呼ばれるが、これらの星の回りにも太陽に対する地球と同じように、惑星が回りを回っていると考えられ、実際にそのような惑星が確認された恒星もある。([[w:系外惑星]]参照。) このように宇宙の中で万有引力による回転運動は広く観測される。ここではこのような運動は物体間に働くどのような力によって記述されるかを見ていく。 * 発展: 万有引力発見の歴史歴史的には、逆にこのような物体の間の運動を説明するような力を考えることで物体間に働く力が発見された。歴史について詳しくは[[w:ニュートン]]などを参照。 == 万有引力の法則 == まずは、物体間に働く万有引力（glavitational constant）の法則を述べる。種々の観測の結果によると、質量<math>m_1</math>を持つ物体と質量<math>m_2</math>を持つ物体の間には :<math>F = -G \frac{m _1 m _2}{r^2}</math> で表わされる力が働く。ここでGは物体によらない定数で、'''万有引力定数'''という。値は<math> G = 6.67 \times 10^{-11} [ {\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{kg}^2}] </math> である。万有引力の法則 :<math>F = -G \frac{m _1 m _2}{r^2}</math> ::F: 万有引力 ::G: 万有引力定数 ::r: 物体間の距離万有引力は物体間の距離の2乗に逆比例する力である。物体の少なくとも片方が惑星のように巨大な場合、物体間の距離rは、重心間の距離である。地球の万有引力を考える。地球の質量をM、地球の半径をR、測定する物体の質量をmとした場合、重力Fは :<math>F = -G \frac{M m}{R^2}</math> となる。これが地表近くでは大きさが mg と等しいので、 :<math>G \frac{M m}{R^2} = mg </math> 変形して :<math>G M = gR^2 </math> となる。計算問題のさい、この変形が用いられる場合がある。 ;地球の自転の影響地球は自転をしており、重力の計算では、厳密には自転による遠心力も考える必要があるが、しかし、自転の遠心力の大きさは、万有引力の<math>\frac{1}{300}</math>倍ていどしかないので、通常は自転による遠心力を無視する場合が多い。なお、地球の自転の遠心力は、赤道上でもっとも大きくなる。 == 静止衛星 == 人工衛星が、地球の自転と同じ周期で、自転と同じ向きに等速円運動をすれば、その人工衛星は地上から見て、つねに地面の上空にあるので、地上の観測者からは静止して見える。このような人工衛星のことを'''静止衛星'''という。問題質量mの物体が質量Mの大きな物体の回りを、万有引力の力を向心力として、半径rの円運動をしている。この場合の円運動の角速度を求めよ。解答半径r、角速度<math>\omega</math>の円運動をする場合の物体の向心力は :<math>- mr \omega ^2</math> である。一方、質量mと質量Mの物体の間の距離がrである場合、2つの物体間に働く重力は、重力の変数をfとすると、 :<math>f = - G\frac{mM}{r^2}</math> で与えられる。よって、これらの力が等しくなる場合に、質量mの物体は質量Mの物体のまわりを円運動で回転（公転）することができる。よって、<math>\omega</math>を求める式は、 :<math>- mr \omega^2 = - G\frac{mM}{r^2}</math> :<math>\omega = \sqrt { G\frac M{r^3} }</math> となる。 == 万有引力による位置エネルギー == 地球表面での重力による位置エネルギーを考えられるのと同様に、万有引力による位置エネルギーも考えることができる。 :※ 読者が積分を知ってることを前提に説明する。数学3の積分をまなんだほうが理解は早い。進学校などでは、積分で位置エネルギーを求めるのが実態である。万有引力による位置エネルギーを求めるには、万有引力を積分すればいい。質量Mの物体からrの距離に質量mの物体が存在するとする。ただし、Mはmよりはるかに大きいとする。無限遠点を基準にすると（つまり無限遠では位置エネルギーがゼロ）、この場合、質量mの物体の位置エネルギーは :<math>U = -G \frac {mM} r</math> で与えられる。符号にマイナスがつくことの物理的な解釈は、重力をつくりだす物体に近づくほど、その物体のつくりだす重力圏を脱出するには、エネルギーが追加的に必要になるからであると解釈できる。無限遠では r＝＋∞ とすればよく、結果、 U＝0 になる。なお、万有引力は保存力であるので、位置エネルギーは、無限遠点からの経路によらず、現在の位置だけで決まる。 * 図参照のように与えられる。また、このグラフは直観的な意味を持っている。実は、このグラフの傾きはグラフが表わす位置エネルギーを持つ点に物体を置いた場合、その物体が力を受ける方向とその大きさを表わしている。ここでは、位置エネルギーの傾きが常にr=0に落ち込む方向に生じているため物体Mから距離r (rは任意の実数。)の点に静止している物体は必ずMの方向に吸い込まれて行くことを表わしている。(詳しくは[[古典力学]]参照。) * 問題例問題ある惑星上にある物体を宇宙の無限遠まで到達させるために宇宙船に惑星上で与えなくてはいけない速度はどのように表わされるか。ただし、計算については最初に宇宙船が出発した惑星以外の天体からの影響は無視するとする。また、惑星の半径はR、惑星の質量はMとする。解答惑星の引力による位置エネルギーは惑星表面で :<math>- G\frac {mM} R</math> であり、無限円点では0である。ただし、mは宇宙船の質量とした。一方、宇宙船が無限円点に達するには、宇宙船の速度が無限円点でちょうど0に等しくなればよい。ここで、惑星上での宇宙船の速度をvとすると、エネルギー保存則より、 :<math>\frac 1 2 m v^2 - G\frac {mM} R = 0 - 0</math> となる。よってこの式からvを求めればよい。答は、 :<math>v = \sqrt {2G\frac {M} R }</math> (答) 上記の計算から分かるように、一般に、万有引力だけを受けて運動する物体の力学的エネルギーは、 :<math>E = \frac 1 2 m v^2 - G\frac {mM} R = </math> 　'''一定''' である。 == 人工衛星の軌道 == === 宇宙速度 === [[画像:Newton Cannon.svg\|thumb\|300px\|Cが第一宇宙速度の軌道。]] 仮に高い山から物体を水平に発射したとき（空気抵抗は無視する）、地球のまわりを回り続けるために必要な最小の初速度のことを'''第一宇宙速度'''という。（※ 名前は暗記しなくていい。覚えるべきは、計算方法である。）第一宇宙速度は、要するに、遠心力と向心力がつりあうために必要な初速度である。第一宇宙速度は、秒速では約7.91km/sである。 ;第一宇宙速度の計算 :<math> m\frac{ {v_1}^2 }{r} = G \frac{mM}{R^2}</math> v<sub>1</sub>について觧き、 :<math> v_1 = \sqrt {gR} </math> なお、およそ R = 6400 × 10<sup>3</sup> m である。 g = 9.8 m/s<sup>2</sup> である。 :<math> v_1 = \sqrt {9.8 \times 6400 \times 10^3 } = 7.9 \times 10^3 \textrm {m/s} = 7.9 \textrm {km/s} </math> （答） ---- さらに初速度が大きくなると、物体は楕円軌道になる。初速度が約11.2km/sになると、軌道は放物線になり、物体は無限の彼方に飛んでゆく。この約11.2km/sのことを'''第二宇宙速度'''という。これは、無限遠の点で、速度が0を超える値になるために必要な初速度である。なので、計算で第二宇宙速度を求めるにはエネルギー保存則を計算には使う。 ;第二宇宙速度の計算 :<math>\frac 1 2 m {v_2}^2 - G\frac {mM} R = 0 - 0</math> の式からvを求め、 :<math>v_2 = \sqrt {\frac {2GM} R }</math> にさらに <math> GM = gR^2 </math> を代入して、 :<math> v_2 = \sqrt { 2gR }</math> これに関係する定数を代入すればいい。なお、およそ R = 6400 × 10<sup>3</sup> m である。 g = 9.8 m/s<sup>2</sup> である。 :<math> v_2 = \sqrt { 2 \times 9.8 \times 6400 \times 10^3 } = 1.1 \times 10^4 \textrm {m/s}</math> （答） ---- 初速度 11.2km/s以上では、軌道は双曲線になり、物体は無限の彼方に飛んでゆく。 {{コラム\|無重量状態\| （上述の単元からもわかるように、）地球の周囲をまわっている人工衛星のなかで、物の重量がなくなり浮かべる理由は、重力と遠心力がつりあってるから、である。このような状態のことを'''無重量状態'''という。世間では国際宇宙ステーションのなかで物が浮かぶ映像などが有名であるが、これも無重量状態である。けっして、「（地表から離れて）重力が弱まったから人工衛星の中が無重力になった」のではない（世間には、勘違いしている人も多い。とくに児童むけの科学番組などでは、説明が不十分になりがちで、視聴者の子供はこういう勘違いをしている場合が多い。読者は、高校生になったら、理解しなおす必要がある。）そもそも、もし向心力としての重力が無いのなら、衛星の軌道は円軌道ではなく、まっすぐに直線軌道になってしまい、宇宙のかなたに飛んでいっていってしまうだろう。ただし、慣習的に、人工衛星のなかで重量がなくなる状態（無重量状態）のことも（誤解のおそれがある呼び方だが）「無重力状態」という場合も多い。厳密には「無重量状態」である。 }} ;（※ 備考）第三宇宙速度 ※ 検定教科書では、脚注などに書いてあったりする。地球から射出して、太陽系の外に出るために必要な最小の初速度のことを'''第三宇宙速度'''（約 16.7 km/s）である。 == ケプラーの法則 == ギリシャ時代から中世まで信じられてきた[[w:天動説\|天動説]]({{Lang-en-short\|geocentric theory}})に対し，16世紀半ばに[[w:ニコラウス・コペルニクス\|コペルニクス]]は全ての[[w:惑星\|惑星]]({{Lang-en-short\|planet}})が太陽を中心とした円運動をしている[[w:地動説\|地動説]]を提唱した。その後[[w:ティコ・ブラーエ\|ティコ・ブラーエ]]は長年にわたり惑星の観測を行い，その観測結果を引継いだ[[w:ヨハネス・ケプラー\|ケプラー]]はこれらの結果をもとに計算を行い，惑星の運行に関する法則，'''ケプラーの法則'''({{Lang-en-short\|Kepler's laws}})を発見した。なお，教科書は太陽と惑星の関係で論じているが，他にも惑星と衛星(自然衛星，人工衛星)でも成り立つ。 ===ケプラーの第１法則=== 惑星(衛星)は太陽(惑星)を１つの焦点とする楕円運動をする(楕円軌道の法則)。 ===ケプラーの第２法則=== [[File:Elliptical motion of man-made satellight.png\|thumb\|right\|640px\|図人工衛星の楕円運動]] 惑星(衛星)と太陽(惑星)を結ぶ動径が単位時間に描く面積('''面積速度''')は一定である(面積速度一定)。 * 証明 :地球の周りを運動する人工衛星について考える。右図のように地球の中心を原点として<math>xy</math>平面をとり，地球の質量を<math>M</math>，人工衛星の質量を<math>m</math>，万有引力定数を<math>G</math>，時刻<math>t</math>における人工衛星の位置を<math>\overrightarrow r(t)=(x(t),\ y(t))</math>とおく。人工衛星の角運動量を<math>l</math>とおくと ::<math>l=m\left(x(t)\frac{dy(t)}{dt}-y(t)\frac{dx(t)}{dt}\right)</math>. ((3.1)を参照) :両辺を時間微分して ::<math>\begin{align}\frac{dl}{dt} & =m\left(\frac{dx(t)}{dt}\frac{dy(t)}{dt}+x(t)\frac{d^2y(t)}{dt^2}-\frac{dy(t)}{dt}\frac{dx(t)}{dt}-y(t)\frac{d^2x(t)}{dt^2}\right) \\ & =m\left(x(t)\frac{d^2y(t)}{dt^2}-y(t)\frac{d^2x(t)}{dt^2}\right).\cdots\cdots()\end{align}</math> :ここで，時刻<math>t</math>における人工衛星の運動方程式は ::<math>m\frac{d^2\overrightarrow r(t)}{dt^2}=-G\frac{Mm}{x(t)^2+y(t)^2}\Longleftrightarrow\begin{cases}m\frac{d^2x(t)}{dt^2}=-G\frac{Mm\cdot x(t)}{(x(t)^2+y(t)^2)^\frac{3}{2}} \\ m\frac{d^2y(t)}{dt^2}=-G\frac{Mm\cdot y(t)}{(x(t)^2+y(t)^2)^\frac{3}{2}}\end{cases}</math> ::<math>\therefore \frac{d^2x(t)}{dt^2}=-G\frac{M\cdot x(t)}{(x(t)^2+y(t)^2)^\frac{3}{2}},\ \frac{d^2y(t)}{dt^2}=-G\frac{M\cdot y(t)}{(x(t)^2+y(t)^2)^\frac{3}{2}}</math>. :これらを<math>()</math>に代入して ::<math>\frac{dl}{dt}=m\left\{x(t)\cdot\left(-G\frac{M\cdot y(t)}{(x(t)^2+y(t)^2)^\frac{3}{2}}\right)-y(t)\cdot\left(-G\frac{M\cdot x(t)}{(x(t)^2+y(t)^2)^\frac{3}{2}}\right)\right\}=0</math>. :ゆえに角運動量<math>l</math>は一定である(角運動量は保存する)。 :ここで，時刻<math>t</math>における人工衛星の速度<math>\frac{d\overrightarrow r(t)}{dt}=\overrightarrow v(t)</math>とし，図のように人工衛星の位置ベクトル<math>\overrightarrow r(t)</math>と速度ベクトル<math>\overrightarrow v(t)</math>のなす角を<math>\theta</math>，位置ベクトル<math>\overrightarrow r(t)</math>と<math>x</math>軸とのなす角を<math>\phi</math>とする。以上より ::<math>\begin{align}\frac{l}{2m}&=\frac{1}{2}\left(x(t)\frac{dy(t)}{dt}-y(t)\frac{dx(t)}{dt}\right) \\ &=\frac{1}{2}(\|\overrightarrow r(t)\|\cos\phi\cdot \|\overrightarrow v(t)\|\sin(\theta+\phi)-\|\overrightarrow r(t)\|\sin\phi\cdot \|\overrightarrow v(t)\|\cos(\theta+\phi)) \\ & =\frac{1}{2}(\|\overrightarrow r(t)\|\|\overrightarrow v(t)\|\{\sin\theta(\cos^2\phi+\sin^2\phi)+\cos\phi\cos\theta\sin\phi-\sin\phi\cos\theta\cos\phi\} \\ & =\frac{1}{2}\|\overrightarrow r(t)\|\|\overrightarrow v(t)\|\sin\theta=\mathrm{const}.\end{align}</math> (<math>\mathrm{const}.</math>は一定の意味) ===ケプラーの第３法則=== 惑星(衛星)の公転周期<math>T</math>の２乗は楕円軌道の長半径(半長軸)<math>a</math>の３乗に比例する。 :<math>\frac{T^2}{a^3}=</math>一定． [[Category:高等学校教育\|物ふつり2ちからとうんとう]] [[Category:物理学\|高ふつり2ちからとうんとう]] [[Category:物理学教育\|高ふつり2ちからとうんとう]] [[Category:高等学校理科物理II\|ちからとうんとう]]	2005-05-08T07:30:55Z	2024-03-02T15:54:32Z	[ "テンプレート:コラム", "テンプレート:See also", "テンプレート:Lang-en-short" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E7%89%A9%E7%90%86/%E5%8A%9B%E5%AD%A6
1,944	高等学校物理/物理II/電気と磁気	まず、高校物理でいう「誘電体」(ゆうでんたい)とは、通常のセラミック、雲母(マイカ)など電気を通さない物質のうち高い誘電率を示すものです。金属は導体なので誘電体ではありません。では、誘電体の物理について、説明します。コンデンサーに誘電体を入れると、誘電体が誘電分極を起こすため、コンデンサのプラス極板で発生した電気力線のいくつかが打ち消されます。その結果、誘電体の入ったコンデンサーの極板間の電場は、極板の電荷密度で発生する電荷が真空中でつくる電場よりも弱くなります。この結果、静電容量が変わます。さて、真空中の静電容量の公式は、でした。誘電体のある場合の静電容量は、となります。ここで、 ε {\displaystyle \varepsilon } を誘電率(ゆうでんりつ)といいます。 ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} を、真空中の誘電率といいます。ここで、比を、比誘電率(ひゆうでんりつ)といいます。つまり、 ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}} は比誘電率です。いっぽう、 ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}} および ε {\displaystyle \varepsilon } は、比誘電率ではありません。比誘電率 ε r {\displaystyle \varepsilon _{r}} をもちいれば、静電容量 C の式は、と書けます。 U=2−1CV2 磁石のまわりには物体を動かす力のあるものが生じています。これを磁場(じば)と呼ぶ。磁界(じかい)ともいう。電流が流れているときにも、そのまわりには、右ねじの法則(right-handed screw rule)に従う向きに磁界が生じます。電流I[A]が直線的に流れているとき、磁界の大きさは B = μ 0 2 π a I {\displaystyle B={\frac {\mu _{0}}{2\pi a}}I} であることが知られています。ここで、aは磁束密度を測る点と、電線の距離。また、 μ 0 {\displaystyle \mu _{0}} は真空の透磁率(とうじりつ、permeability)を表し、値は 4 π × 10 − 7 {\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}} [H/m] です。磁場を伴う物体が運動すると、そのまわりには電場が生じることを電磁誘導(でんじゆうどう、electromagnetic induction)といいます。仮に、ソレノイド(solenoid、コイルのこと)の近くでそれを行なったとすると、生じた電場によってソレノイドの中には電流が流れます。生じる電場の大きさは、 E → = 1 2 π a d B → d t {\displaystyle {\vec {E}}={\frac {1}{2\pi a}}{\frac {d{\vec {B}}}{dt}}} となります。(半径aの円形のコイルの場合。) Eの単位は[V/m]であり、Bの単位は[T]です。磁場の動きによって電場が引き起こされることを電磁誘導のセクションで見た。また、実際には電場の変化によって磁場が引き起こされることも実験によって知られています。これによって何もない空間中を電場と磁場が伝播していくことが予想されます。 (:電磁波の伝播のschematicな絵) まず、物理実験家ヘルツは放電実験により、受信機を回路中にギャップのある回路として、送信側の放電による電場が遠隔的に離れた位置にある受信側の回路に伝わることを確認した。この実験の際、ヘルツは受信回路の向きをいろいろと変えて実験したことにより、送信機の向きに対しての受信機の向きによって電場の伝わり方が異なることから、電場の遠隔作用に偏光性がある事が分かった。電場のこの作用には偏光性があるので、波であるとみなすことは妥当でしょう。ヘルツの実験から、実験的にわかることとしてが実験的にわかります。物理学では、ヘルツの実験の以前から、理論物理学者のマクスウェルにより、電磁波という、電場と磁場の相互作用によって真空中を伝達する予測されていた。なので、ヘルツの実験は、マクスウェルの予測した電磁波だとみなされた。現代でも物理学者は、そうみなしています。なお、マクスウェルが理論計算で求めた電磁波の速度を求めたところ、すでに知られていた光速の大きさ(およそ 3×10 m/s )に精度よく一致した。このことからも、光は電磁波の一種であることが分かります。ヘルツの実験では、厳密には少なくとも放電の電場が伝わることしか観測できてませんが、しかし磁場もこの実験で伝わると考えても支障が生じて無いし、実際に人類には支障は生じてないので、今でもヘルツの実験がマクスウェルの予測した電磁波の証明の実験として伝えられています。なお、光には、反射や屈折や回折や、ヤングスリットの回折などがあるが、ヘルツの放電実験のような電磁波の火花放電の実験でも、光の実験と同様の配置で、金属板を配置して確認することで、電磁波も反射や屈折や回折や、ヤングスリットの回折などの現象も起こすことが、実験的にも確認されています(※ 参考文献 :実教出版の専門『物理』の検定教科書)(※ ヤングのスリットの電磁波実験に関しては啓林館の教科書『物理』にあります)。これらのことからも、光は電磁波の一種であるとみなすのが妥当であることが分かります。磁石のまわりには別の磁石を動かす力のもととなるものが生じています。これを磁場(じば、magnetic field)あるいは磁界(じかい)と呼ぶ。(日本の物理学では磁場と呼ぶことが多く、また、日本の電気工学では磁界と呼ばれることが多い。明治期の訳語の際の、日本国内の業界ごとの違いに過ぎず、地域社会的な事象であり、呼び方は物理の本質とは関係ないので、ここでは、どちらの表現を用いるかは、本書では特にこだわりません。英語では物理学・電気工学とも“magnetic field”で共通しています。) 鉄やコバルトやニッケルに磁石を近づけると、磁石に吸い付けられます。また、鉄やコバルトやニッケルに強い磁化を与えると、鉄やコバルトやニッケルそのものが磁場を周囲に及ぼすようになります。このような、もともとは磁場を持たなかった物体が、強い磁場を受けたことによって磁場を及ぼすようになる現象を磁化(じか、magnetization)といいます。あるいは電荷の静電誘導と対応させて、磁化のことを磁気誘導(じきゆうどう、magnetic induction)ともいう。そして、鉄やコバルトやニッケルのように、磁石に引き付けられ、さらに磁化をする能力がある物体を強磁性体(きょうじせいたい、ferromagnet)といいます。鉄とコバルトとニッケルは強磁性体です。銅は磁化しないし、銅は磁石に引きつけられないので、銅は強磁性体ではありません。静電誘導を利用した、静電遮蔽(せいでんしゃへい)と言われます、中空の導体をつかって物質を囲むことで外部電場を遮蔽する方法があったのと同様の、磁気の遮蔽が、強磁性体でも出来ます。中空の強磁性体を用いて、強磁性体の内部は磁場を遮蔽できます。これを磁気遮蔽(じきしゃへい、magnetic shielding)といいます。磁気シールドともいう。反磁性体が分かりづらいかもしれませんが、単に、その材料に加えられた磁場を打ち消す方向に、磁化をするだけの材料です。そもそも、磁力線とあまり相互作用しない物質も多い。たとえば、ガラスや水によます、磁気への影響は、真空の場合とほとんど変わりません。ガラスや水の比透磁率(ひとうじりつ) μ (ミュー)は、ほぼ1です。なお、鉄の比透磁率は、状態によって透磁率に数百〜数千の違いがあるが、wikipedia日本語版で調べた場合の鉄の透磁率は約5000です。では、透磁率がほぼ1の物質は、磁場の方向は、外部磁場を基準として、どちら向きだろうか? 外部磁場を打ち消す方向に磁化しているのだろうか? それとも、外部磁場と同じ方向に磁化しているのだろうか? その違いこそが、常磁性(じょうじせい)と反磁性(はんじせい)のちがい、です。ある物質が、外部磁場にほとんど反応しませんが、しかし少しだけ外部磁場と同じ方向に、磁化をしている現象のことを常磁性といいです、そのような物質を常磁性体といいます。常磁性体をあらわす物質として、アルミニウムや空気などあります。いっぽう、ある物質が、外部磁場にほとんど反応しませんが、しかし少しだけ外部磁場を打ち消す方向に、磁化をしている現象のことを反磁性といいです、そのような物質を反磁性体といいます。反磁性体をあらわす物質として、銅や水や水素などなどあります。元素や分子の種類によって、磁性のちがいがある理由として、化学結合での電子軌道に原因があると考えられてます。化学の教科書の発展事項に、「s軌道」や「p軌道」などの理論があるが、この理論で、その理由を説明できるとされています。なお、答えを先にいうと、「d軌道」の特徴が、磁性の原因です。(証明は省略します。) もともと、(化学結合で電子殻(でんしかく)に発生することのあります)孤立電子には磁性があり、その磁性が電子が2個そろって(孤立でなくなり)電子対になる事で、磁性が打ち消しあっていると考えられます。なお、孤立電子がもともと持っている磁性のことをスピンといいます。よく化学の理論では、スピンを上矢印「↑」と下矢印「↓」の2種類であらわす事が多いのですが、その理由は、もとをたどれば、そもそも磁石の向きが2種類(たとえばN極とS極という2種類の極があります)だからです。電子殻とは、化学Iの始めのほうでも習う、「K殻は8個の電子が入る」などの、アレのことです。まとめると、「磁性体に『強磁性体』があるのなら、誘電体にも『強誘電体』があるのか?」のような疑問は、とうぜん、思うでしょう。チタン酸鉛 PbTiO 3 {\displaystyle {\ce {PbTiO3}}} や、ニオブ酸リチウム LiNbO 3 {\displaystyle {\ce {LiNbO3}}} が、「強誘電体」に分類される場合もあります。しかし、強磁性体が磁気テープや磁気ハードディスクなどの記録メディアに用いられている状況とは異なり、「強誘電体」は記録メディアには用いられていません。過去には、そのような「強誘電体メモリー」を目指す研究開発もあったが、しかし2017年の時点では、まだ「強誘電体メモリー」のようなデバイスは実用化していません。しかし、他の用途で、これらの物質は産業に実用化されています。チタン酸鉛やニオブ酸リチウムは、この物質に圧力をくわえると電圧が発生する事から、圧電体(あつでんたい)という素子として活用されています。(※ 『高等学校化学I/セラミックス』で「圧電性セラミックス」として圧電体を紹介。高校化学の範囲内です。2017年の現在では高校3年の選択化学(専門化学)の範囲内でしょう。) なお、これらの圧電体に、電圧をくわえると、物質がひずむ。このため、圧電体に交流電圧を加えることで、圧電体が短時間で何回も周期的に振動することにより、圧電体の周囲にある空気も振動させる事ができるので、超音波を発生するための素子として、すでに実用化されています。なお、ある種類の物質が、圧力をくわえると電圧が発生する現象が起きる物質の場合、そのような性質のことを圧電性(あつでんせい)といいます。ケイ素 Si やゲルマニウム Ge は、導体と絶縁体の中間の抵抗率をもつことから、ケイ素(シリコン)やゲルマニウムなどは半導体と言われます。この半導体の結晶に、わずかに、リンPなどの不純物を入れることで、抵抗率を大きく下げられます。シリコン原子は価電子が4個であり、シリコンの結晶は、4つの価電子が共有結合をしています。これにリンPが加わると、リンは価電子が5個なので、1個の価電子が余り、この余った価電子が自由電子として、結晶を動き回れるようになります。このような仕組みで、シリコンにリンを加えることで、抵抗率が大きく低下する、というのが定説です。このように、負の電子が余ることで、導電率が上がってる半導体を n型半導体といいます。(「n」は negative の略。) シリコンの結晶に、不純物として、ホウ素BやアルミニウムAlなど、価電子が3個の元素が加わると、電子が1個、足りなくなります。この、電子の不足したぶんの空席をホール(postive hole、正孔)といいます。ホールは正電荷をもちます。電圧が掛かると、このホールを埋めるように近くの結合にあった電子が移動しますが、もとの電子があった場所に新たなホールができるので、見かけ上はホールが電子と逆方向に動いたように見えます。よって、ホールが動くことで、電流が流れると見なせます。また、このように、正の電荷をもつ粒子によって導電率が上がってる半導体を p型半導体といいます。(「p」は positive の略。) n型半導体では、自由電子が電流を運ぶ。 p型半導体では、ホールが電流を運ぶ。このように、半導体中で電荷電動の担い手を、キャリア(carrier)といいます。つまり、n型半導体のキャリアは電子で、p型半導体のキャリアはホールです。 p型半導体とn型半導体を接合し(pn接合)た物体が、一方向のみに電流を流す。このような部品をダイオード(diode)といいます。 p側に正電圧を掛け、n側に負電圧を掛けた時、電流が流れます。いっぽう、p側に負電圧を描け、n側に正電圧を掛けても、電流が流れません。回路において、ダイオードが電流を流す向きを順方向(じゅんほうきましょう)といいます。順方向とは反対向きを逆方向といいます。ダイオードの逆方向には、電流は流れません。このように一方向に流れる仕組みは、ダイオードでは、つぎのような仕組みで、電流が流れるからです。このように一方向にだけ電流を流すことを整流(せいりゅう)といいます。なお、半導体を使わなくても、真空管でも整流だけなら可能です。(ただし真空管の場合、熱の発生が膨大であったり、耐久性が劣るので、電子部品としての実用性は、空管は低いので、現代は真空管は電子部品としては使われていません。) パソコンで、デジタル波形やデジタル信号のように四角の電流波形を作っている方法は、おおむね、このダイオードと、後述するトランジスタとを、うまく組み合わせることで、デジタル波形をつくるという仕組みです。(※ 数研出版の検定教科書も、そういう見解です。) ダイオードのp側に正電圧をかけ、いっぽうn側に負電圧をかけると、p側では正電極の正電圧からホールが反発して接合面へと向かい、いっぽうn側では自由電子が負電極から反発して接合面へと向かう。そして、接合面で、ホールと自由電子がであい、消滅します。この結果、見掛け上、正電荷が、正電極から負電極に移動したのと、同等の結果になります。そして、正電極から、つぎつぎとホールが供給されるので、電流が流れ続けます。いっぽう、p側に負電圧を描け、n側に正電圧を掛けた時、p側ではホールは電極(電極には負電圧が掛かってます)に引き寄せられ、接合面からは遠ざかります。同様にn側では自由電子が電極(正電圧が掛かってます)に引き寄せられ、接合面からは遠ざかります。この結果、接合面には、余分なホールも余分な自由電子もない状態となり、よって接合面の付近にはキャリアがなく、この接合面付近のキャリアの無い部分は空乏層(くうぼうそう、depletion layer)と呼ばれます。そして、それ以降は、ホールも自由電子も、もうどこにも移動の余地がないので、よって電流が流れません。半導体を3つnpnまたはpnpのように組み合わせると、電流を増幅(ぞうふく)することができます。増幅作用(ぞうふくさよう)といいます。 NPNとは、片端から順に見てN型・P型・N型の順に並んでるという事です。同様に、PNPとは、片端から順に見てN型・P型・N型の順に並んでるという事です。増幅といっても、けっして無からエネルギーが発生するわけではないので、混同しないように。説明の簡略化のため、外部電源が省略される事があるが、実際は外部電源も必要です。半導体素子は小さな電流しか流せないので、電流を減らすための抵抗素子としての保護抵抗(ほごていきましょう)も必要です。なお、図のように長方形状に並んでいる方式のトランジスタをバイポーラトランジスタといいます。(※ 検定教科書の数研出版の教科書で、「バイポーラトランジスタ」をコラムで習う。) バイポーラトランジスタには、端子が主に3つあり、「エミッタ」や「ベース」や「コレクタ」という合計3つの端子があります。バイポーラトランジスタでの電流の増幅とは、ベース電流を増幅してコレクタに集めるです(PNPの場合)。電流の向きはPNP型のばあいと NPP型のばあいとでは異なるが、どちらの場合でもベース電流が増幅されるという仕組みは共通です。さて、模式図では模式的に真ん中の半導体はうすめ、小さめに書かれるが、実際のトランジスタは真ん中の半導体はそうではないので、参考程度に。教育では、半導体の高校生や専門外(電子専攻以外)の人むけには、よくバイポーラトランジスタが単純なので紹介されるが、実際に市販のコンピュータ部品などでよく使われるトランジスタの方式は、これとは形状がけっこう異なります。市販のコンピュータ部品のトランジスタには、電界効果トランジスタといわれる方式のものが、よく用いられます。(もちろん、電界効果トランジスタにも、「増幅」の機能があります。) (※ 詳しくは大学の電気工学または工業高校の電子回路などの科目で習う。) トランジスタは、回路図では、模式的に下図のように書かれます。ダイオードやトランジスタの他にも半導体を組み合わせた電子部品はあるのですが(他にも「サイリスタ」など色々とあります)、高校物理の範囲を超えるので、説明は省略します。(※ もし仕事で専門的な情報が必要になれば、工業高校むけの『電子回路』の教科書にけっこう詳しく書いてあるので、それを読めばいいです。なお、書店の資格コーナー本にある電気工事士や電気主任技術者試験などの対策品には、ほぼ電子回路が範囲外なので、あまり電子回路の説明は書いてません。なので、工業高校『電子回路』の教科書、または工業高専などの同等の科目の教科書を参照のこと。) パソコンのCPUなどの部品も、中身の多くは半導体であり、ダイオードやトランジスタなどの素子がCPUなどの内部にたくさんあります、と言われています。(※ 他にも「水晶振動子」など色々とCPU内にはあるが、物理2の範囲外なので説明を省略。) 集積回路やLSI(Large Scale Integrated、大規模集積回路)などと言われる電子部品も、なにを集積(「集積」を英語で integrate インテグレートという)したのかというと、半導体素子を集積したと言う意味です。なお、「IC」(アイシー)とは Integrated Circuit の略称であり、これを和訳したものが「集積回路」です。つまり、集積回路やLSIの中身は、半導体であり、トランジスタなどの素子が高密度で、その回路中に詰まっています。電子部品の半導体の材料としては、通常はシリコン結晶が使われます。(※ 啓林館、数研など、結晶であることも言及。) 研究開発ではシリコン以外の材料も研究されており一部の特殊用途ではGaAsやInGaPなどが利用されているが(※ 数研の検定教科書はGaAsやInGaPなどにコラムで言及)、しかし現状では、シリコンが市販のコンピュータ部品中の半導体素子の材料では主流です。なお、シリコン半導体の材料内部はシリコン結晶であるが、表面は保護膜および絶縁のために酸化させられており、シリコン半導体表面は酸化シリコンの保護膜になっています。シリコンが酸化すると、絶縁物になるので、保護膜になるわけです(※ 数研出版の教科書もそう言っています。) 半導体の内部に、添加物などで特性を変えることにより、抵抗やコンデンサも半導体内部に製造できます。(※ 数研が、抵抗やコンデンサも半導体内部で作っている事に言及。) (※ 範囲外: )しかし、コイルは半導体内部に作ることが出来無いです。磁場Bの中を、電荷qの荷電粒子が速度vで運動すると、ローレンツ力はベクトル外積を用いて f=q・v×B の力が粒子に働くが、ここで観測者の座標系を変えたとして、同じ粒子を、粒子と同じ方向に速度vで動く座標形Kの中の観測者から見たらどうなるか? 座標系Kでは、粒子の速度は v(K)=0 であり、磁束の速度を Vb とすると、前の座標系の粒子とは反対方向に動くので、新しい座標系Kから観測しても、粒子が f=q・v×B の大きさの力を受けて加速されることには変わらませんが、座標系kでは、荷電粒子は静止していたのに、ローレンツ力を受けたと考えるのは不合理です。磁束は、Vb=-v で運動していたので、磁束の運動によって f=q・(-Vb)×B = -q・Vb×B の力を受けたと考えるべきです。粒子を質量0の質点とみなせば、静止している荷電粒子に力を及ぼせるのは、電場だけだから、つまり速度 Vb で運動する磁束が、 E=-Vb×B の誘導電場を誘起することになります。このとき、磁場と誘導された電場は垂直です。もし、「運動する電場は磁界を作る」とすれば、アンペールの法則「直線状に無限に長い導線を流れる電流I は距離R だけ離れた場所に B・2πr=μI の磁場を作ます。」という現象は、じつは「導線の中で荷電粒子が運動することによって、荷電粒子といっしょにその粒子が作る電場も動き、その電場の運動が、磁場を誘起しています。」という可能性があります。電流が流れている無限長の、まっすぐな導線を考えます。線密度 q[C/m] で分布した電荷は、図のように円筒対称な電荷を作ます。 (※ ここに図を。) 直線から距離rのときの電気力線の密度Dはよって電流 I は電荷分布 q が速度 Ve で運動しているとしてと定義すれば、電流 qVe が距離 r のところに作る磁場Bはアンペールの法則から、となります。このとき、磁場の向きは、Ve から半径r方向にねじを回す向きです。向きまでふくめてベクトル積で表せば、つまりという、重要な結論が得られます。あるいは、 μH=B をもちいて B=μH=εμ Ve ×E よりです。まとめ速度 Vbで運動する磁束Bはの誘導電場を誘起します。・・□1 速度 Ve で運動する電場 E はの誘導磁場を作ます。 E,Bのかわりに、D,Hを使って表記すれば、かつさて、電磁波が速度Cで真空中を伝わるとすれば、 Vb = Ve = C とします。 □1式と□2式の外積をとると、よってです。よって、電磁波の速度は c = 1 ε μ {\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}} と予測できます。このεとμに実測値を入れると、光速の測定値 c = 299792458 m / s {\displaystyle c=299792458m/s} と、高い精度で一致します。この事から、光は、電磁波である事が分かります。また、電磁波は、光速度Cで真空中を伝わます。また、これより、運動電場の誘導する磁場はとも変形できます。 3式を、ガウスの法則(1式) と組み合わせると、アンペールの法則(2式)が得られます。よって、「速度 Ve で運動する電場 E は、 B=εμ Ve ×E の誘導磁場を作ます。」という過程が妥当だったことがわかります。電磁波では電場 E と磁場 B が光速 C で運動しているので磁束の運動速度 Vb は Vb = C であり、誘導電場 E は E =-Vb×B であるので、両式より E = -c×B です。(電磁波の電場と磁場の関係式)なおであるので、電磁波はの方向に進んでいるはずです、ということを注目しましょう。この E × H {\displaystyle \mathbb {E} \times \mathbb {H} } で定義される量をポインティングベクトルとよぶ。これは単位面積をとおって流れ出る電磁場のエネルギーの流れの量をあらわす。さて、電磁場のエネルギー密度は u = 1 2 ε E 2 + 1 2 μ H 2 {\displaystyle u={\frac {1}{2}}\varepsilon E^{2}+{\frac {1}{2}}\mu H^{2}} なので、これに電磁波の電場と磁場の関係式 E = − C × B {\displaystyle \mathbb {E} =-\mathbb {C} \times \mathbb {B} } を代入して、の関係を用いると、(エネルギーでは、2乗によりマイナス符号がなくなるので、絶対値を取って\|E\|=\|c×B\| としておくと、計算が簡単になる場合があります。) 結果としてとなります。電磁波が、壁にあたって吸収されるとき、単位時間に単位面積あたり光速C の大きさの体積のなかの電磁波が壁に衝突するので、のエネルギーが、単位時間に単位面積に流れ込むはずです。 s= c・u に u= ε・E^2 を代入して、 ε μ ⋅ c 2 = 1 {\displaystyle \epsilon \mu \cdot c^{2}=1} と \|E\|=\|c×B\|を利用すると、結果的にです。よってポインティングベクトル E×H は単位面積を通って流れ出る電磁場のエネルギーの流れをあらわす。ポインティングベクトル S = E×H = εμ(C)E×H はです。天下り的な説明ですが、この G=D×B という量は、運動量の密度です。この量 G=D×B を、電磁波の「運動量密度」(うんどうりょうみつど)といいます。実際に、D×B の単位はとなります。たしかに、運動量の密度の単位と等しい。ところで、のちの単元で習うが、光電効果ではエネルギーuと運動量pの関係は、光速度Cをもちいて、 u=cp と書けます。これより向きまで含めてとなって、確かに G = D×B は運動量密度となります。長さLのまっすぐな針金が、速度vで磁場Bの中を横切るとします。簡単のため、針金の軸と速度vの方向と磁場Bは垂直とします。このとき、針金の中の電荷にかかる力および電場はローレンツ力により、電場Eにそって長さLだけ、電荷qが上げられたら、エネルギーは qEL 変化します。電位は V=EL です。これより、誘導電圧 V は、磁束の1秒あたりの時間変化になります。では、仮に固定された回路の中にソレノイドを通して、このソレノイドに交流電流を流した場合も、回路に誘導電圧が発生するのだろうか。答えは「する」。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "まず、高校物理でいう「誘電体」(ゆうでんたい)とは、通常のセラミック、雲母(マイカ)など電気を通さない物質のうち高い誘電率を示すものです。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "金属は導体なので誘電体ではありません。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "では、誘電体の物理について、説明します。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "コンデンサーに誘電体を入れると、誘電体が誘電分極を起こすため、コンデンサのプラス極板で発生した電気力線のいくつかが打ち消されます。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "その結果、誘電体の入ったコンデンサーの極板間の電場は、極板の電荷密度で発生する電荷が真空中でつくる電場よりも弱くなります。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "この結果、静電容量が変わます。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "さて、真空中の静電容量の公式は、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "でした。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "誘電体のある場合の静電容量は、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "となります。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "ここで、 ε {\\displaystyle \\varepsilon } を誘電率(ゆうでんりつ)といいます。 ε 0 {\\displaystyle \\varepsilon _{0}} を、真空中の誘電率といいます。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "ここで、比", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "を、比誘電率(ひゆうでんりつ)といいます。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "つまり、 ε r {\\displaystyle \\varepsilon _{r}} は比誘電率です。いっぽう、 ε 0 {\\displaystyle \\varepsilon _{0}} および ε {\\displaystyle \\varepsilon } は、比誘電率ではありません。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "比誘電率 ε r {\\displaystyle \\varepsilon _{r}} をもちいれば、静電容量 C の式は、", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "と書けます。", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "U=2−1CV2", "title": "静電誘導と誘電分極" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "磁石のまわりには物体を動かす力のあるものが生じています。これを磁場(じば)と呼ぶ。磁界(じかい)ともいう。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "電流が流れているときにも、そのまわりには、右ねじの法則(right-handed screw rule)に従う向きに磁界が生じます。電流I[A]が直線的に流れているとき、磁界の大きさは B = μ 0 2 π a I {\\displaystyle B={\\frac {\\mu _{0}}{2\\pi a}}I} であることが知られています。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "ここで、aは磁束密度を測る点と、電線の距離。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "また、 μ 0 {\\displaystyle \\mu _{0}} は真空の透磁率(とうじりつ、permeability)を表し、値は 4 π × 10 − 7 {\\displaystyle 4\\pi \\times 10^{-7}} [H/m] です。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "磁場を伴う物体が運動すると、そのまわりには電場が生じることを電磁誘導(でんじゆうどう、electromagnetic induction)といいます。仮に、ソレノイド(solenoid、コイルのこと)の近くでそれを行なったとすると、生じた電場によってソレノイドの中には電流が流れます。生じる電場の大きさは、 E → = 1 2 π a d B → d t {\\displaystyle {\\vec {E}}={\\frac {1}{2\\pi a}}{\\frac {d{\\vec {B}}}{dt}}} となります。(半径aの円形のコイルの場合。) Eの単位は[V/m]であり、Bの単位は[T]です。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "磁場の動きによって電場が引き起こされることを電磁誘導のセクションで見た。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "また、実際には電場の変化によって磁場が引き起こされることも実験によって知られています。これによって何もない空間中を電場と磁場が伝播していくことが予想されます。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "(:電磁波の伝播のschematicな絵)", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "まず、物理実験家ヘルツは放電実験により、受信機を回路中にギャップのある回路として、送信側の放電による電場が遠隔的に離れた位置にある受信側の回路に伝わることを確認した。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "この実験の際、ヘルツは受信回路の向きをいろいろと変えて実験したことにより、送信機の向きに対しての受信機の向きによって電場の伝わり方が異なることから、電場の遠隔作用に偏光性がある事が分かった。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "電場のこの作用には偏光性があるので、波であるとみなすことは妥当でしょう。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "ヘルツの実験から、実験的にわかることとして", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "が実験的にわかります。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "物理学では、ヘルツの実験の以前から、理論物理学者のマクスウェルにより、", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 33, "tag": "p", "text": "電磁波という、電場と磁場の相互作用によって真空中を伝達する予測されていた。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 34, "tag": "p", "text": "なので、ヘルツの実験は、マクスウェルの予測した電磁波だとみなされた。現代でも物理学者は、そうみなしています。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "なお、マクスウェルが理論計算で求めた電磁波の速度を求めたところ、すでに知られていた光速の大きさ(およそ 3×10 m/s )に精度よく一致した。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "このことからも、光は電磁波の一種であることが分かります。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "ヘルツの実験では、厳密には少なくとも放電の電場が伝わることしか観測できてませんが、しかし磁場もこの実験で伝わると考えても支障が生じて無いし、実際に人類には支障は生じてないので、今でもヘルツの実験がマクスウェルの予測した電磁波の証明の実験として伝えられています。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "なお、光には、反射や屈折や回折や、ヤングスリットの回折などがあるが、", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "ヘルツの放電実験のような電磁波の火花放電の実験でも、光の実験と同様の配置で、金属板を配置して確認することで、電磁波も反射や屈折や回折や、ヤングスリットの回折などの現象も起こすことが、実験的にも確認されています(※ 参考文献 :実教出版の専門『物理』の検定教科書)(※ ヤングのスリットの電磁波実験に関しては啓林館の教科書『物理』にあります)。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "これらのことからも、光は電磁波の一種であるとみなすのが妥当であることが分かります。", "title": "電流による磁界" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "磁石のまわりには別の磁石を動かす力のもととなるものが生じています。これを磁場(じば、magnetic field)あるいは磁界(じかい)と呼ぶ。(日本の物理学では磁場と呼ぶことが多く、また、日本の電気工学では磁界と呼ばれることが多い。明治期の訳語の際の、日本国内の業界ごとの違いに過ぎず、地域社会的な事象であり、呼び方は物理の本質とは関係ないので、ここでは、どちらの表現を用いるかは、本書では特にこだわりません。英語では物理学・電気工学とも“magnetic field”で共通しています。)", "title": "磁性体" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "鉄やコバルトやニッケルに磁石を近づけると、磁石に吸い付けられます。また、鉄やコバルトやニッケルに強い磁化を与えると、鉄やコバルトやニッケルそのものが磁場を周囲に及ぼすようになります。このような、もともとは磁場を持たなかった物体が、強い磁場を受けたことによって磁場を及ぼすようになる現象を磁化(じか、magnetization)といいます。", "title": "磁性体" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "あるいは電荷の静電誘導と対応させて、磁化のことを磁気誘導(じきゆうどう、magnetic induction)ともいう。そして、鉄やコバルトやニッケルのように、磁石に引き付けられ、さらに磁化をする能力がある物体を強磁性体(きょうじせいたい、ferromagnet)といいます。鉄とコバルトとニッケルは強磁性体です。", "title": "磁性体" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "銅は磁化しないし、銅は磁石に引きつけられないので、銅は強磁性体ではありません。", "title": "磁性体" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "静電誘導を利用した、静電遮蔽(せいでんしゃへい)と言われます、中空の導体をつかって物質を囲むことで外部電場を遮蔽する方法があったのと同様の、磁気の遮蔽が、強磁性体でも出来ます。中空の強磁性体を用いて、強磁性体の内部は磁場を遮蔽できます。これを磁気遮蔽(じきしゃへい、magnetic shielding)といいます。磁気シールドともいう。", "title": "磁性体" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "反磁性体が分かりづらいかもしれませんが、単に、その材料に加えられた磁場を打ち消す方向に、磁化をするだけの材料です。", "title": "磁性体" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "そもそも、磁力線とあまり相互作用しない物質も多い。たとえば、ガラスや水によます、磁気への影響は、真空の場合とほとんど変わりません。ガラスや水の比透磁率(ひとうじりつ) μ (ミュー)は、ほぼ1です。", "title": "磁性体" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "なお、鉄の比透磁率は、状態によって透磁率に数百〜数千の違いがあるが、wikipedia日本語版で調べた場合の鉄の透磁率は約5000です。", "title": "磁性体" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "では、透磁率がほぼ1の物質は、磁場の方向は、外部磁場を基準として、どちら向きだろうか? 外部磁場を打ち消す方向に磁化しているのだろうか? それとも、外部磁場と同じ方向に磁化しているのだろうか?", "title": "磁性体" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "その違いこそが、常磁性(じょうじせい)と反磁性(はんじせい)のちがい、です。", "title": "磁性体" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "ある物質が、外部磁場にほとんど反応しませんが、しかし少しだけ外部磁場と同じ方向に、磁化をしている現象のことを常磁性といいです、そのような物質を常磁性体といいます。常磁性体をあらわす物質として、アルミニウムや空気などあります。", "title": "磁性体" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "いっぽう、ある物質が、外部磁場にほとんど反応しませんが、しかし少しだけ外部磁場を打ち消す方向に、磁化をしている現象のことを反磁性といいです、そのような物質を反磁性体といいます。反磁性体をあらわす物質として、銅や水や水素などなどあります。", "title": "磁性体" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "元素や分子の種類によって、磁性のちがいがある理由として、化学結合での電子軌道に原因があると考えられてます。", "title": "※ 範囲外: スピンと磁性体" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "化学の教科書の発展事項に、「s軌道」や「p軌道」などの理論があるが、この理論で、その理由を説明できるとされています。なお、答えを先にいうと、「d軌道」の特徴が、磁性の原因です。(証明は省略します。)", "title": "※ 範囲外: スピンと磁性体" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "もともと、(化学結合で電子殻(でんしかく)に発生することのあります)孤立電子には磁性があり、その磁性が電子が2個そろって(孤立でなくなり)電子対になる事で、磁性が打ち消しあっていると考えられます。なお、孤立電子がもともと持っている磁性のことをスピンといいます。よく化学の理論では、スピンを上矢印「↑」と下矢印「↓」の2種類であらわす事が多いのですが、その理由は、もとをたどれば、そもそも磁石の向きが2種類(たとえばN極とS極という2種類の極があります)だからです。", "title": "※ 範囲外: スピンと磁性体" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "電子殻とは、化学Iの始めのほうでも習う、「K殻は8個の電子が入る」などの、アレのことです。", "title": "※ 範囲外: スピンと磁性体" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "まとめると、", "title": "※ 範囲外: スピンと磁性体" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "「磁性体に『強磁性体』があるのなら、誘電体にも『強誘電体』があるのか?」のような疑問は、とうぜん、思うでしょう。", "title": "※ 範囲外: 「強誘電体」と圧電体" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "チタン酸鉛 PbTiO 3 {\\displaystyle {\\ce {PbTiO3}}} や、ニオブ酸リチウム LiNbO 3 {\\displaystyle {\\ce {LiNbO3}}} が、「強誘電体」に分類される場合もあります。", "title": "※ 範囲外: 「強誘電体」と圧電体" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "しかし、強磁性体が磁気テープや磁気ハードディスクなどの記録メディアに用いられている状況とは異なり、「強誘電体」は記録メディアには用いられていません。過去には、そのような「強誘電体メモリー」を目指す研究開発もあったが、しかし2017年の時点では、まだ「強誘電体メモリー」のようなデバイスは実用化していません。", "title": "※ 範囲外: 「強誘電体」と圧電体" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "しかし、他の用途で、これらの物質は産業に実用化されています。", "title": "※ 範囲外: 「強誘電体」と圧電体" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "チタン酸鉛やニオブ酸リチウムは、この物質に圧力をくわえると電圧が発生する事から、圧電体(あつでんたい)という素子として活用されています。(※ 『高等学校化学I/セラミックス』で「圧電性セラミックス」として圧電体を紹介。高校化学の範囲内です。2017年の現在では高校3年の選択化学(専門化学)の範囲内でしょう。)", "title": "※ 範囲外: 「強誘電体」と圧電体" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "なお、これらの圧電体に、電圧をくわえると、物質がひずむ。", "title": "※ 範囲外: 「強誘電体」と圧電体" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "このため、圧電体に交流電圧を加えることで、圧電体が短時間で何回も周期的に振動することにより、圧電体の周囲にある空気も振動させる事ができるので、超音波を発生するための素子として、すでに実用化されています。", "title": "※ 範囲外: 「強誘電体」と圧電体" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "なお、ある種類の物質が、圧力をくわえると電圧が発生する現象が起きる物質の場合、そのような性質のことを圧電性(あつでんせい)といいます。", "title": "※ 範囲外: 「強誘電体」と圧電体" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "ケイ素 Si やゲルマニウム Ge は、導体と絶縁体の中間の抵抗率をもつことから、ケイ素(シリコン)やゲルマニウムなどは半導体と言われます。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "この半導体の結晶に、わずかに、リンPなどの不純物を入れることで、抵抗率を大きく下げられます。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "シリコン原子は価電子が4個であり、シリコンの結晶は、4つの価電子が共有結合をしています。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "これにリンPが加わると、リンは価電子が5個なので、1個の価電子が余り、この余った価電子が自由電子として、結晶を動き回れるようになります。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "このような仕組みで、シリコンにリンを加えることで、抵抗率が大きく低下する、というのが定説です。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "このように、負の電子が余ることで、導電率が上がってる半導体を n型半導体といいます。(「n」は negative の略。)", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "シリコンの結晶に、不純物として、ホウ素BやアルミニウムAlなど、価電子が3個の元素が加わると、電子が1個、足りなくなります。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "この、電子の不足したぶんの空席をホール(postive hole、正孔)といいます。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "ホールは正電荷をもちます。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "電圧が掛かると、このホールを埋めるように近くの結合にあった電子が移動しますが、もとの電子があった場所に新たなホールができるので、見かけ上はホールが電子と逆方向に動いたように見えます。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "よって、ホールが動くことで、電流が流れると見なせます。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "また、このように、正の電荷をもつ粒子によって導電率が上がってる半導体を p型半導体といいます。(「p」は positive の略。)", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "n型半導体では、自由電子が電流を運ぶ。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "p型半導体では、ホールが電流を運ぶ。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "このように、半導体中で電荷電動の担い手を、キャリア(carrier)といいます。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "つまり、n型半導体のキャリアは電子で、p型半導体のキャリアはホールです。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "p型半導体とn型半導体を接合し(pn接合)た物体が、一方向のみに電流を流す。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "このような部品をダイオード(diode)といいます。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "p側に正電圧を掛け、n側に負電圧を掛けた時、電流が流れます。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "いっぽう、p側に負電圧を描け、n側に正電圧を掛けても、電流が流れません。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "回路において、ダイオードが電流を流す向きを順方向(じゅんほうきましょう)といいます。順方向とは反対向きを逆方向といいます。ダイオードの逆方向には、電流は流れません。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "このように一方向に流れる仕組みは、ダイオードでは、つぎのような仕組みで、電流が流れるからです。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "このように一方向にだけ電流を流すことを整流(せいりゅう)といいます。なお、半導体を使わなくても、真空管でも整流だけなら可能です。(ただし真空管の場合、熱の発生が膨大であったり、耐久性が劣るので、電子部品としての実用性は、空管は低いので、現代は真空管は電子部品としては使われていません。)", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "パソコンで、デジタル波形やデジタル信号のように四角の電流波形を作っている方法は、おおむね、このダイオードと、後述するトランジスタとを、うまく組み合わせることで、デジタル波形をつくるという仕組みです。(※ 数研出版の検定教科書も、そういう見解です。)", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "ダイオードのp側に正電圧をかけ、いっぽうn側に負電圧をかけると、p側では正電極の正電圧からホールが反発して接合面へと向かい、いっぽうn側では自由電子が負電極から反発して接合面へと向かう。そして、接合面で、ホールと自由電子がであい、消滅します。この結果、見掛け上、正電荷が、正電極から負電極に移動したのと、同等の結果になります。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "そして、正電極から、つぎつぎとホールが供給されるので、電流が流れ続けます。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "いっぽう、p側に負電圧を描け、n側に正電圧を掛けた時、p側ではホールは電極(電極には負電圧が掛かってます)に引き寄せられ、接合面からは遠ざかります。同様にn側では自由電子が電極(正電圧が掛かってます)に引き寄せられ、接合面からは遠ざかります。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "この結果、接合面には、余分なホールも余分な自由電子もない状態となり、よって接合面の付近にはキャリアがなく、この接合面付近のキャリアの無い部分は空乏層(くうぼうそう、depletion layer)と呼ばれます。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "そして、それ以降は、ホールも自由電子も、もうどこにも移動の余地がないので、よって電流が流れません。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "半導体を3つnpnまたはpnpのように組み合わせると、電流を増幅(ぞうふく)することができます。増幅作用(ぞうふくさよう)といいます。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "NPNとは、片端から順に見てN型・P型・N型の順に並んでるという事です。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "同様に、PNPとは、片端から順に見てN型・P型・N型の順に並んでるという事です。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "増幅といっても、けっして無からエネルギーが発生するわけではないので、混同しないように。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "説明の簡略化のため、外部電源が省略される事があるが、実際は外部電源も必要です。半導体素子は小さな電流しか流せないので、電流を減らすための抵抗素子としての保護抵抗(ほごていきましょう)も必要です。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "なお、図のように長方形状に並んでいる方式のトランジスタをバイポーラトランジスタといいます。(※ 検定教科書の数研出版の教科書で、「バイポーラトランジスタ」をコラムで習う。)", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "バイポーラトランジスタには、端子が主に3つあり、「エミッタ」や「ベース」や「コレクタ」という合計3つの端子があります。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "バイポーラトランジスタでの電流の増幅とは、ベース電流を増幅してコレクタに集めるです(PNPの場合)。電流の向きはPNP型のばあいと NPP型のばあいとでは異なるが、どちらの場合でもベース電流が増幅されるという仕組みは共通です。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": "さて、模式図では模式的に真ん中の半導体はうすめ、小さめに書かれるが、実際のトランジスタは真ん中の半導体はそうではないので、参考程度に。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "教育では、半導体の高校生や専門外(電子専攻以外)の人むけには、よくバイポーラトランジスタが単純なので紹介されるが、実際に市販のコンピュータ部品などでよく使われるトランジスタの方式は、これとは形状がけっこう異なります。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "市販のコンピュータ部品のトランジスタには、電界効果トランジスタといわれる方式のものが、よく用いられます。(もちろん、電界効果トランジスタにも、「増幅」の機能があります。)", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 114, "tag": "p", "text": "(※ 詳しくは大学の電気工学または工業高校の電子回路などの科目で習う。)", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 115, "tag": "p", "text": "トランジスタは、回路図では、模式的に下図のように書かれます。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 116, "tag": "p", "text": "", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 117, "tag": "p", "text": "ダイオードやトランジスタの他にも半導体を組み合わせた電子部品はあるのですが(他にも「サイリスタ」など色々とあります)、高校物理の範囲を超えるので、説明は省略します。(※ もし仕事で専門的な情報が必要になれば、工業高校むけの『電子回路』の教科書にけっこう詳しく書いてあるので、それを読めばいいです。なお、書店の資格コーナー本にある電気工事士や電気主任技術者試験などの対策品には、ほぼ電子回路が範囲外なので、あまり電子回路の説明は書いてません。なので、工業高校『電子回路』の教科書、または工業高専などの同等の科目の教科書を参照のこと。)", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 118, "tag": "p", "text": "", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 119, "tag": "p", "text": "パソコンのCPUなどの部品も、中身の多くは半導体であり、ダイオードやトランジスタなどの素子がCPUなどの内部にたくさんあります、と言われています。(※ 他にも「水晶振動子」など色々とCPU内にはあるが、物理2の範囲外なので説明を省略。)", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 120, "tag": "p", "text": "集積回路やLSI(Large Scale Integrated、大規模集積回路)などと言われる電子部品も、なにを集積(「集積」を英語で integrate インテグレートという)したのかというと、半導体素子を集積したと言う意味です。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 121, "tag": "p", "text": "なお、「IC」(アイシー)とは Integrated Circuit の略称であり、これを和訳したものが「集積回路」です。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 122, "tag": "p", "text": "つまり、集積回路やLSIの中身は、半導体であり、トランジスタなどの素子が高密度で、その回路中に詰まっています。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 123, "tag": "p", "text": "電子部品の半導体の材料としては、通常はシリコン結晶が使われます。(※ 啓林館、数研など、結晶であることも言及。)", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 124, "tag": "p", "text": "研究開発ではシリコン以外の材料も研究されており一部の特殊用途ではGaAsやInGaPなどが利用されているが(※ 数研の検定教科書はGaAsやInGaPなどにコラムで言及)、しかし現状では、シリコンが市販のコンピュータ部品中の半導体素子の材料では主流です。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 125, "tag": "p", "text": "なお、シリコン半導体の材料内部はシリコン結晶であるが、表面は保護膜および絶縁のために酸化させられており、シリコン半導体表面は酸化シリコンの保護膜になっています。シリコンが酸化すると、絶縁物になるので、保護膜になるわけです(※ 数研出版の教科書もそう言っています。)", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 126, "tag": "p", "text": "半導体の内部に、添加物などで特性を変えることにより、抵抗やコンデンサも半導体内部に製造できます。(※ 数研が、抵抗やコンデンサも半導体内部で作っている事に言及。)", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 127, "tag": "p", "text": "(※ 範囲外: )しかし、コイルは半導体内部に作ることが出来無いです。", "title": "半導体" }, { "paragraph_id": 128, "tag": "p", "text": "磁場Bの中を、電荷qの荷電粒子が速度vで運動すると、ローレンツ力はベクトル外積を用いて f=q・v×B の力が粒子に働くが、ここで観測者の座標系を変えたとして、同じ粒子を、粒子と同じ方向に速度vで動く座標形Kの中の観測者から見たらどうなるか? 座標系Kでは、粒子の速度は v(K)=0 であり、磁束の速度を Vb とすると、前の座標系の粒子とは反対方向に動くので、", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 129, "tag": "p", "text": "新しい座標系Kから観測しても、粒子が f=q・v×B の大きさの力を受けて加速されることには変わらませんが、座標系kでは、荷電粒子は静止していたのに、ローレンツ力を受けたと考えるのは不合理です。磁束は、Vb=-v で運動していたので、磁束の運動によって f=q・(-Vb)×B = -q・Vb×B の力を受けたと考えるべきです。粒子を質量0の質点とみなせば、静止している荷電粒子に力を及ぼせるのは、電場だけだから、つまり速度 Vb で運動する磁束が、 E=-Vb×B の誘導電場を誘起することになります。このとき、磁場と誘導された電場は垂直です。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 130, "tag": "p", "text": "もし、「運動する電場は磁界を作る」とすれば、アンペールの法則「直線状に無限に長い導線を流れる電流I は距離R だけ離れた場所に B・2πr=μI の磁場を作ます。」という現象は、じつは「導線の中で荷電粒子が運動することによって、荷電粒子といっしょにその粒子が作る電場も動き、その電場の運動が、磁場を誘起しています。」という可能性があります。電流が流れている無限長の、まっすぐな導線を考えます。線密度 q[C/m] で分布した電荷は、図のように円筒対称な電荷を作ます。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 131, "tag": "p", "text": "(※ ここに図を。)", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 132, "tag": "p", "text": "直線から距離rのときの電気力線の密度Dは", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 133, "tag": "p", "text": "よって", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 134, "tag": "p", "text": "電流 I は電荷分布 q が速度 Ve で運動しているとして", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 135, "tag": "p", "text": "と定義すれば、", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 136, "tag": "p", "text": "電流 qVe が距離 r のところに作る磁場Bはアンペールの法則から、", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 137, "tag": "p", "text": "となります。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 138, "tag": "p", "text": "このとき、磁場の向きは、Ve から半径r方向にねじを回す向きです。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 139, "tag": "p", "text": "向きまでふくめてベクトル積で表せば、", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 140, "tag": "p", "text": "つまり", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 141, "tag": "p", "text": "という、重要な結論が得られます。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 142, "tag": "p", "text": "あるいは、 μH=B をもちいて B=μH=εμ Ve ×E より", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 143, "tag": "p", "text": "です。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 144, "tag": "p", "text": "まとめ", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 145, "tag": "p", "text": "速度 Vbで運動する磁束Bは", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 146, "tag": "p", "text": "の誘導電場を誘起します。・・□1", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 147, "tag": "p", "text": "速度 Ve で運動する電場 E は", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 148, "tag": "p", "text": "の誘導磁場を作ます。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 149, "tag": "p", "text": "E,Bのかわりに、D,Hを使って表記すれば、", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 150, "tag": "p", "text": "かつ", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 151, "tag": "p", "text": "さて、電磁波が速度Cで真空中を伝わるとすれば、 Vb = Ve = C とします。 □1式と□2式の外積をとると、", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 152, "tag": "p", "text": "よって", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 153, "tag": "p", "text": "です。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 154, "tag": "p", "text": "よって、電磁波の速度は c = 1 ε μ {\\displaystyle c={\\frac {1}{\\sqrt {\\varepsilon \\mu }}}} と予測できます。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 155, "tag": "p", "text": "このεとμに実測値を入れると、光速の測定値 c = 299792458 m / s {\\displaystyle c=299792458m/s} と、高い精度で一致します。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 156, "tag": "p", "text": "この事から、光は、電磁波である事が分かります。また、電磁波は、光速度Cで真空中を伝わます。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 157, "tag": "p", "text": "また、これより、運動電場の誘導する磁場は", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 158, "tag": "p", "text": "とも変形できます。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 159, "tag": "p", "text": "3式を、ガウスの法則(1式) と組み合わせると、アンペールの法則(2式)が得られます。よって、「速度 Ve で運動する電場 E は、 B=εμ Ve ×E の誘導磁場を作ます。」という過程が妥当だったことがわかります。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 160, "tag": "p", "text": "電磁波では電場 E と磁場 B が光速 C で運動しているので磁束の運動速度 Vb は Vb = C であり、誘導電場 E は E =-Vb×B であるので、両式より E = -c×B です。(電磁波の電場と磁場の関係式)なお", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 161, "tag": "p", "text": "であるので、電磁波は", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 162, "tag": "p", "text": "の方向に進んでいるはずです、ということを注目しましょう。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 163, "tag": "p", "text": "この E × H {\\displaystyle \\mathbb {E} \\times \\mathbb {H} } で定義される量をポインティングベクトルとよぶ。これは単位面積をとおって流れ出る電磁場のエネルギーの流れの量をあらわす。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 164, "tag": "p", "text": "さて、電磁場のエネルギー密度は u = 1 2 ε E 2 + 1 2 μ H 2 {\\displaystyle u={\\frac {1}{2}}\\varepsilon E^{2}+{\\frac {1}{2}}\\mu H^{2}} なので、これに電磁波の電場と磁場の関係式 E = − C × B {\\displaystyle \\mathbb {E} =-\\mathbb {C} \\times \\mathbb {B} } を代入して、", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 165, "tag": "p", "text": "の関係を用いると、(エネルギーでは、2乗によりマイナス符号がなくなるので、絶対値を取って\|E\|=\|c×B\| としておくと、計算が簡単になる場合があります。)", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 166, "tag": "p", "text": "結果として", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 167, "tag": "p", "text": "となります。電磁波が、壁にあたって吸収されるとき、単位時間に単位面積あたり光速C の大きさの体積のなかの電磁波が壁に衝突するので、", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 168, "tag": "p", "text": "のエネルギーが、単位時間に単位面積に流れ込むはずです。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 169, "tag": "p", "text": "s= c・u に u= ε・E^2 を代入して、 ε μ ⋅ c 2 = 1 {\\displaystyle \\epsilon \\mu \\cdot c^{2}=1} と \|E\|=\|c×B\|を利用すると、結果的に", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 170, "tag": "p", "text": "です。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 171, "tag": "p", "text": "よってポインティングベクトル E×H は単位面積を通って流れ出る電磁場のエネルギーの流れをあらわす。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 172, "tag": "p", "text": "ポインティングベクトル S = E×H = εμ(C)E×H は", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 173, "tag": "p", "text": "です。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 174, "tag": "p", "text": "天下り的な説明ですが、この G=D×B という量は、運動量の密度です。この量 G=D×B を、電磁波の「運動量密度」(うんどうりょうみつど)といいます。実際に、D×B の単位は", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 175, "tag": "p", "text": "となります。たしかに、運動量の密度の単位と等しい。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 176, "tag": "p", "text": "ところで、のちの単元で習うが、光電効果ではエネルギーuと運動量pの関係は、光速度Cをもちいて、 u=cp と書けます。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 177, "tag": "p", "text": "これより", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 178, "tag": "p", "text": "向きまで含めて", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 179, "tag": "p", "text": "となって、確かに G = D×B は運動量密度となります。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 180, "tag": "p", "text": "長さLのまっすぐな針金が、速度vで磁場Bの中を横切るとします。簡単のため、針金の軸と速度vの方向と磁場Bは垂直とします。このとき、針金の中の電荷にかかる力および電場はローレンツ力により、", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 181, "tag": "p", "text": "電場Eにそって長さLだけ、電荷qが上げられたら、エネルギーは qEL 変化します。電位は V=EL です。", "title": "発展：相対論の一次近似" }, { "paragraph_id": 182, "tag": "p", "text": "これより、誘導電圧 V は、磁束の1秒あたりの時間変化になります。では、仮に固定された回路の中にソレノイドを通して、このソレノイドに交流電流を流した場合も、回路に誘導電圧が発生するのだろうか。答えは「する」。", "title": "発展：相対論の一次近似" } ]	null	{{substub}} == 静電誘導と誘電分極 == === コンデンサー === {{Main\|高等学校物理/物理I/電気#コンデンサー}} === 誘電体 === まず、高校物理でいう「誘電体」（ゆうでんたい）とは、通常のセラミック、雲母（マイカ）、あるいは通常のプラスチックなどのように、電気を通さない物質である。セラミックやマイカのように、石のような性質をもつ物質が、誘電体である場合が多い。つまり、金属は、誘電体ではない。金属は、誘電体ではなく、（金属は）導体である。では、誘電体の物理について、説明する。 [[File:誘電体コンデンサー.svg\|thumb\|400px\|誘電体を入れたコンデンサー]] コンデンサーに誘電体を入れると、誘電体が誘電分極を起こすため、コンデンサのプラス極板で発生した電気力線のいくつかが打ち消される。その結果、誘電体の入ったコンデンサーの極板間の電場は、極板の電荷密度で発生する電荷が真空中でつくる電場よりも弱くなる。この結果、静電容量が変わる。さて、真空中の静電容量の公式は、 :<math>C=\varepsilon_0 \frac{S}{d}</math> であった。誘電体のある場合の静電容量は、 :<math>C=\varepsilon \frac{S}{d}</math> となる。ここで、 <math>\varepsilon </math>を'''誘電率'''（ゆうでんりつ）という。 <math>\varepsilon_0 </math>を、'''真空中の誘電率'''という。 {\| class="wikitable" style="float:right" \|+ 物質の比誘電率 \|- style="background:silver" ! 物質 !! 比誘電率 \|- \| 空気 (20℃) \|\| 1.0005 \|- \| パラフィン (20℃) \|\| 2.2 \|- \| ボール紙 (20℃) \|\| 3.2 \|- \| 雲母 \|\| 7.0 \|- \| 水 (20℃) \|\| 約80 \|- \| チタン酸バリウム \|\| 約5000 \|- \|} ここで、比 :<math> \varepsilon _r = \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}</math> を、'''比誘電率'''（ひゆうでんりつ）という。つまり、<math> \varepsilon _r </math> は比誘電率である。いっぽう、 <math> \varepsilon _0 </math> および <math> \varepsilon </math> は、比誘電率ではない。比誘電率 <math> \varepsilon _r </math> をもちいれば、静電容量 C の式は、 :<math> C = \varepsilon \frac{S}{d} = \varepsilon _r \varepsilon _0 \frac{S}{d} </math> と書ける。 === コンデンサの静電エネルギー === : U=2⁻¹CV² =2⁻¹QV =(2C)⁻¹Q² == 電流による磁界 == 磁石のまわりには物体を動かす力のあるものが生じている。これを'''磁場'''（じば）と呼ぶ。'''磁界'''（じかい）ともいう。電流が流れているときにも、そのまわりには、右ねじの法則（right-handed screw rule）に従う向きに磁界が生ずる。電流I[A]が直線的に流れているとき、磁界の大きさは <math> B = \frac {\mu_0} {2\pi a} I </math> であることが知られている。ここで、aは磁束密度を測る点と、電線の距離。また、<math>\mu_0</math>は真空の透磁率（とうじりつ、permeability）を表し、値は <math>4\pi \times 10^{-7}</math>[H/m] である。 <!-- アンペールの法則? --> === 電磁誘導と電磁波 === ==== 電磁誘導 ==== 磁場を伴う物体が運動すると、そのまわりには電場が生ずることを'''電磁誘導'''（でんじゆうどう、electromagnetic induction）という。仮に、ソレノイド（solenoid、コイルのこと）の近くでそれを行なったとすると、生じた電場によってソレノイドの中には電流が流れる。生ずる電場の大きさは、 <math> \vec E = \frac 1 {2\pi a} \frac {d\vec B}{d t} </math> となる。(半径aの円形のコイルの場合。) Eの単位は[V/m]であり、Bの単位は[T]である。 ==== 電磁波 ==== 磁場の動きによって電場が引き起こされることを電磁誘導の節で見た。また、実際には電場の変化によって磁場が引き起こされることも実験によって知られている。これによって何もない空間中を電場と磁場が伝播していくことが予想される。 (:電磁波の伝播のschematicな絵) :※ 市販の大学生むけ教科書を読んでも、ロクにヘルツの実験を説明してないので、高校側で説明する。 :※ なお、高校では専門『物理』で習う内容。まず、物理実験家ヘルツは放電実験により、受信機を回路中にギャップのある回路として、送信側の放電による電場が遠隔的に離れた位置にある受信側の回路に伝わることを確認した。この実験の際、ヘルツは受信回路の向きをいろいろと変えて実験したことにより、送信機の向きに対しての受信機の向きによって電場の伝わり方が異なることから、電場の遠隔作用に偏光性がある事が分かった。 :（※ 範囲外）なお、方解石などに偏光作用のあることは、すでにこの時代に分かっていたと思われる。電場のこの作用には偏光性があるので、波であるとみなすことは妥当であろう。ヘルツの実験から、実験的にわかることとして :電場は遠隔作用で伝わること :放電は電場の遠隔作用を生じさせること :その電場の遠隔作用には、偏光作用のあることが実験的にわかる。物理学では、ヘルツの実験の以前から、理論物理学者のマクスウェルにより、電磁波という、電場と磁場の相互作用によって真空中を伝達する予測されていた。なので、ヘルツの実験は、マクスウェルの予測した電磁波だとみなされた。現代でも物理学者は、そうみなしている。なお、マクスウェルが理論計算で求めた電磁波の速度を求めたところ、すでに知られていた光速の大きさ（およそ 3×10<sup>8</sup> m/s ）に精度よく一致した。このことからも、光は電磁波の一種であることが分かる。 :（啓林館の教科書にある余談: ）余談であるが、人類初の無線通信に成功した人物はマルコーニである（ヘルツではないので、誤解しないように）。ヘルツの実験では、厳密には少なくとも放電の電場が伝わることしか観測できてないが、しかし磁場もこの実験で伝わると考えても支障が生じて無いし、実際に人類には支障は生じてないので、今でもヘルツの実験がマクスウェルの予測した電磁波の証明の実験として伝えられている。なお、光には、反射や屈折や回折や、ヤングスリットの回折などがあるが、ヘルツの放電実験のような電磁波の火花放電の実験でも、光の実験と同様の配置で、金属板を配置して確認することで、電磁波も反射や屈折や回折や、ヤングスリットの回折などの現象も起こすことが、実験的にも確認されている（※ 参考文献 :実教出版の専門『物理』の検定教科書）（※ ヤングのスリットの電磁波実験に関しては啓林館の教科書『物理』にある）。これらのことからも、光は電磁波の一種であるとみなすのが妥当であることが分かる。 :（※ 範囲外 :）また、電磁波の反射を利用して、電磁波の波長を測定することにヘルツは成功した<ref>西條敏美『測り方の科学史 II 原子から素粒子へ』、恒星社、2012年3月15日初版発行、45ページ<br> 北海道大学出版『近代科学の源流～物理学編』1974～1977年、を参考にしたようであるが、北海道大のこの文献は絶版</ref>。電磁波を反射させれば、やってくる波と干渉して定常波ができるはずである。ヘルツの実験例では受信機を送信機から離すと33cmごとに顕著な反応が出たという。この実験では半波長が33cmだったのだと思われる。つまり波長66cmの電磁波を実験で生じさせたと思われる。 :ただし、ヘルツのような方法で測定できる波長は、人間が肉眼で確認できて手で動かせるような程度の波長の大きさの場合だけであろう。つまり、センチメートル単位や1メートル以上とかのような波長である。いっぽう、もし波長がナノメートル単位やマイクロメートル単位などの場合は、回折格子などを使って波長を測定することになる。詳しくは『[[高等学校物理/物理II/原子と原子核]]』のコラムを参照せよ。フラウンホーファーやラザフォオードなどの物理学者がスペキュラム合金などの素材を用いて回折格子を作成している。 {{コラム\|（※ 範囲外: ）医療MRIの磁気の波も、物理学的には電磁波\| マクスウェルの方程式では、上述のように電場の変化が生じると、磁場の変化も生じて、さらにその磁場の変化によりまた電場も変化していく・・・という現象を微分方程式で記述している。マクスウェル方程式の意義として科学面では、放射線（X線）もテレビ電波やラジオ電波も可視光（太陽光や電気照明など）も、すべて電磁波であるとして統一的に式計算をできるようになるという科学的な意義がある。X線と可視光との違いは、単に波長（および、波長によって決まる量子エネルギー）の差である、と現代（21世紀）では考えられている。ここで産業への応用として気になるのは、20世紀後半以降の医療では、X線によるレントゲン撮影の代わりに磁場を使って人体などの内部を観察するMRIなどの技術がある、という事。 MRIは、磁場ばかりが取り上げられて、X線と違って安全性があると主張されるが、しかしマクスウェルの方程式からでは、磁場を使った以上、たといMRI磁場であっても電場が派生的に発生するハズで、なんらかの電磁波が発生する事になる（波長はともかく）。しかし、大学の物理学の教科書や大学の電気電子工学の電磁波工学の教科書を読んでも、あまりこういった実用面の疑問は答えていない。（MRIの専門書はどうか知らないが、少なくとも、『物理学』や『電磁波工学』などの科目では、まったく検証されていない。） : ※ MRI は高校でも習うし、電磁波も（微分を使わない範囲で）仕組みだけ文章で高校で習うが、しかしMRIの電磁波がどうなってるか、大学でもマトモに扱われていない。なお、MRIは、体内の水素原子と共鳴する波長だけを選択的に人体に照射して、その反応の電磁波を観察する、という仕組みである。核磁気共鳴法（かくじききょうめいほう）という仕組みの一種。（なお、電子レンジも、これと似たような仕組み。）読者は「体内を電磁波が通っても平気なのか？」という疑問もあるかもしれないが、なんと赤外線も体内を通過しているので、その点は読者は安心していい。銀行ATMなどにある「静脈認証」システムも、赤外線による観察システムである。病院や銀行では、（科学リテラシーのとぼしい）利用者を安心させるために、ことさらにX線とMRIと赤外線との共通点（すべて電磁波である）を挙げない。しかし物理学では、X線も磁場の波も赤外線も、すべて電磁波である、あるいは電磁波を発生させるモノである、となっているのが物理学的な本当の見解である。現実として、MRIや銀行ATM静脈認証の利用で、けっして（X線の被爆みたいに）「MRIで（あるいは銀行ATMで）ガン患者が発生した」だとか、「電子レンジみたいに加熱して熱傷（ねっしょう）した」だとか、そういう事件は、寡聞（かぶん）にして、科学の界隈では聞かない。なお、X線とMRIは元になる電磁エネルギーの発生の機構が違う。たとえばX線は主に、放電によって発生させる。X線管も、比較的に大電圧での放電管の一種である。（一般の電気照明などではX線は発生していないので、安心していい。） MRIの電磁波発生装置は、基本的には電磁石による電磁エネルギーの発生である。静脈認証システムなどの赤外線発生装置は、基本的に赤外線LEDなどの半導体（LEDは半導体の一種）である。学校教育では、式の計算がテストに出しやすいので、学生はつい、あかたも式だけで何でも計算できるかのように錯覚しがちであるが、現実には式には含まれていない、装置などの機構の情報も科学的な検証には必要である。 }} == 磁性体 == [[File:Magnetic field near pole.svg\|thumb\|right\|200px\|棒磁石の周りに方位磁針を置いて磁場の向きを調べる。]] 磁石のまわりには別の磁石を動かす力のもととなるものが生じている。これを'''磁場'''（じば、magnetic field）あるいは'''磁界'''（じかい）と呼ぶ。（日本の物理学では磁場と呼ぶことが多く、また、日本の電気工学では磁界と呼ばれることが多い。明治期の訳語の際の、日本国内の業界ごとの違いに過ぎず、地域社会的な事象であり、呼び方は物理の本質とは関係ないので、ここでは、どちらの表現を用いるかは、本書では特にこだわらない。英語では物理学・電気工学とも“magnetic field”で共通している。）鉄やコバルトやニッケルに磁石を近づけると、磁石に吸い付けられる。また、鉄やコバルトやニッケルに強い磁化を与えると、鉄やコバルトやニッケルそのものが磁場を周囲に及ぼすようになる。このような、もともとは磁場を持たなかった物体が、強い磁場を受けたことによって磁場を及ぼすようになる現象を'''磁化'''（じか、magnetization）という。あるいは電荷の静電誘導と対応させて、磁化のことを'''磁気誘導'''（じきゆうどう、magnetic induction）ともいう。そして、鉄やコバルトやニッケルのように、磁石に引き付けられ、さらに磁化をする能力がある物体を'''強磁性体'''（きょうじせいたい、ferromagnet）という。鉄とコバルトとニッケルは強磁性体である。銅は磁化しないし、銅は磁石に引きつけられないので、銅は強磁性体ではない。 ;磁気遮蔽静電誘導を利用した、静電遮蔽（せいでんしゃへい）と言われる、中空の導体をつかって物質を囲むことで外部電場を遮蔽する方法があったのと同様の、磁気の遮蔽が、強磁性体でも出来る。中空の強磁性体を用いて、強磁性体の内部は磁場を遮蔽できる。これを'''磁気遮蔽'''（じきしゃへい、magnetic shielding）という。磁気シールドともいう。 :磁性体：magnetic substance :強磁性体：ferromagnet :常磁性体：paramagnetic substance :反磁性体：diamagnetic snbstance 反磁性体が分かりづらいかもしれないが、単に、その材料に加えられた磁場を打ち消す方向に、磁化をするだけの材料である。そもそも、磁力線とあまり相互作用しない物質も多い。たとえば、ガラスや水による、磁気への影響は、真空の場合とほとんど変わらない。ガラスや水の比透磁率（ひとうじりつ） μ （ミュー）は、ほぼ1である。なお、鉄の比透磁率は、状態によって透磁率に数百〜数千の違いがあるが、wikipedia日本語版で調べた場合の鉄の透磁率は約5000である。では、透磁率がほぼ1の物質は、磁場の方向は、外部磁場を基準として、どちら向きだろうか？外部磁場を打ち消す方向に磁化しているのだろうか？それとも、外部磁場と同じ方向に磁化しているのだろうか？その違いこそが、常磁性（じょうじせい）と反磁性（はんじせい）のちがい、である。ある物質が、外部磁場にほとんど反応しないが、しかし少しだけ外部磁場と同じ方向に、磁化をしている現象のことを常磁性といい、そのような物質を常磁性体という。常磁性体をあらわす物質として、アルミニウムや空気などある。一方、ある物質が、外部磁場にほとんど反応しないが、しかし少しだけ外部磁場を打ち消す方向に、磁化をしている現象のことを反磁性といい、そのような物質を反磁性体という。反磁性体をあらわす物質として、銅や水や水素などがある。 == ※ 範囲外: スピンと磁性体 == 元素や分子の種類によって、磁性のちがいがある理由として、化学結合での電子軌道に原因があると考えられている。化学の教科書の発展事項に、「s軌道」や「p軌道」などの理論があるが、この理論で、その理由を説明できるとされている。なお、答を先にいうと、「d軌道」の特徴が、磁性の原因である。（証明は省略）元々、（化学結合で電子殻（でんしかく）に発生することのある）孤立電子には磁性があり、その磁性が電子が2個そろって（孤立でなくなり）電子対になる事で、磁性が打ち消しあっていると考えられる。なお、孤立電子がもともと持っている磁性のことを'''スピン'''という。よく化学の理論では、スピンを上矢印「↑」と下矢印「↓」の2種類であらわす事が多いのであるが、その理由はもとをたどれば、そもそも磁石の向きが2種類（たとえばN極とS極という2種類の極がある）であるからである。電子殻とは、化学Iの始めのほうでも習う、「K殻は8個の電子が入る」などの、アレのことである。まとめると、 :* そもそも単独の1個の電子には、じつは磁性がある。そのため、孤立電子には磁性がある（スピン）。そしてこの磁性こそが（電子の「スピン」と言われる磁性こそが）、おそらく孤立電子が電子対になろうとする理由のひとつであり、つまりそもそも共有結合が起きる理由のひとつであろう。 :* しかし、化学反応によって孤立電子は、化学結合として、すぐに周囲の分子や原子と結合してしまうので、孤立電子ではなく電子対になってしまい、2個の反対方向の磁性をもった電子対が、磁性を打ち消しあう。おそらく、このような理由により、多くの（化学結合の結果である）物質は、外部磁場との相互作用が弱い物質が多く、強磁性となる元素や分子の物質は少なく、多くの元素や分子の物質は常磁性または反磁性になってしまうであろう。 {{コラム\|※ 範囲外: ハードディスクの「スピンヘッド」とは？\| すでにパソコンなどのハードディスクの読みとりヘッドのセンサーで「スピンヘッド」という技術が実用化されてるが、しかし、これは、けっして、各電子のスピンに情報を記録しているわけではない。そもそも、ハードディスクのディスク側の技術ではなく、ディスクの情報を読み取るセンサーであるヘッド側の技術である。このスピンヘッドは、「巨大磁気抵抗効果」（きょだいじきていこうこうか）と言われる現象を利用しており、このような物理現象の起きる原理として仮説としてスピンが想像されているので「スピンヘッド」というのである。「巨大磁気抵抗効果」とは、厚さがうすめ（厚さ数ナノメートルほど）の非磁性体の導体金属を、上下に磁性体の層で挟むと、その上下の磁性体が同じ向きに磁化している場合と、いっぽう反対方向に磁化している場合とで、挟まれた非磁性の導体金属の電気抵抗の値が、違っている、という現象である。ハードディスクの応用のほかにも、高精度の磁気センサーとして、「スピンヘッド」技術は実用化している。いっぽう、この「スピンヘッド」技術とは別に、磁気抵抗効果を、パソコンのメモリー内にある個々のメモリー素子に応用する事で大容量かつ電力消費のすくない「磁気メモリ」をつくろうとする研究開発がされており、エレクトロニクスならぬ「スピントロニクス」として期待されている。しかし、「上下の磁性体の磁化の向きを変えるための電気コイル回路を、どうやって微小化して、素子として大量に配置すればいいのか？」という未解決の難題があり、よって2017年の時点では、まだ、高容量の磁気メモリーは実用化していない。 }} == ※ 範囲外: 「強誘電体」と圧電体 == 「磁性体に『強磁性体』があるのなら、誘電体にも『強誘電体』があるのか？」のような疑問は、とうぜん、思うであろう。チタン酸鉛 <chem>PbTiO3</chem> や、ニオブ酸リチウム <chem>LiNbO3</chem> が、「強誘電体」に分類される場合もある。しかし、強磁性体が磁気テープや磁気ハードディスクなどの記録メディアに用いられている状況とは異なり、「強誘電体」は記録メディアには用いられていない。過去には、そのような「強誘電体メモリ」を目指す研究開発もあったが、しかし2017年の時点では、まだ「強誘電体メモリ」のようなデバイスは実用化していない。ただし、他の用途で、これらの物質は産業に実用化されている。チタン酸鉛やニオブ酸リチウムは、この物質に圧力をくわえると電圧が発生する事から、圧電体（あつでんたい）という素子として活用されている。（※ 『[[高等学校化学I/セラミックス]]』で「圧電性セラミックス」として圧電体を紹介。高校化学の範囲内である。2017年の現在では高校3年の選択化学（専門化学）の範囲内だろう。）なお、これらの圧電体に、電圧をくわえると、物質がひずむ。このため、圧電体に交流電圧を加えることで、圧電体が短時間で何回も周期的に振動することにより、圧電体の周囲にある空気も振動させる事ができるので、超音波を発生するための素子として、すでに実用化されている。なお、ある種類の物質が、圧力をくわえると電圧が発生する現象が起きる物質の場合、そのような性質のことを圧電性（あつでんせい）という。 == 半導体 == ケイ素 Si やゲルマニウム Ge は、導体と絶縁体の中間の抵抗率をもつことから、ケイ素({{Lang-en-short\|silicon}})やゲルマニウム({{Lang-en-short\|germanium}})などは半導体と言われる。この半導体の結晶に、わずかに、リンPなどの不純物を入れることで、抵抗率を大きく下げられる。 :（※ 範囲外、注釈: ）暗黙の前提すぎるので、検定教科書ではいちいち説明されないかもしれないが、いわゆる「パソコン」や「コンピュータ」などのハードウェアの内部は、主に半導体からなる部品である。 :パソコン部品のうち、いわゆる「メモリ」や、なんとか「チップ」とか言われる部分の材料は、たいてい、下記のような意味でのシリコン半導体からなる部品である、 === n型半導体 === ケイ素原子は価電子が4個であり、ケイ素の結晶は、4つの価電子が共有結合をしている。これにリンPが加わると、リンは価電子が5個なので、1個の価電子が余り、この余った価電子が自由電子として、結晶を動き回れるようになる。このような仕組みで、ケイ素にリンを加えることで、抵抗率が大きく下がる、というのが定説である。このように、負の電子が余ることで、導電率が上がってる半導体を '''n型半導体''' という。(「n」は negative の略。) === p型半導体 === シリコンの結晶に、不純物として、ホウ素BやアルミニウムAlなど、価電子が3個の元素が加わると、電子が1個、足りなくなる。この、電子の不足したぶんの空席を'''正孔'''(postive hole、ホール)という。正孔は正電荷をもつ。電圧が掛かると、この正孔を埋めるように近くの結合にあった電子が移動するが、もとの電子があった場所に新たな正孔ができるので、見かけ上は正孔が電子と逆方向に動いたように見える。よって、正孔が動くことで、電流を流している、と見なせる。また、このように、正の電荷をもつ粒子によって導電率が上がってる半導体を '''p型半導体''' という。(「p」は positive の略。) === キャリア === n型半導体では電子が電流を運ぶ。 p型半導体では正孔が電流を運ぶ。このように、半導体中での電流の担い手を、'''キャリア'''（carrier）という。つまり、n型半導体のキャリアは電子で、p型半導体のキャリアは正孔である。 === pn接合 === [[File:ダイオードの順方向.svg\|thumb\|300px\|ダイオードの順方向。電流は流れる。]] [[File:ダイオードの逆方向.svg\|thumb\|300px\|ダイオードの逆方向。電流は流れない。]] p型半導体とn型半導体を接合し(pn接合)た物体が、一方向のみに電流を流す。このような部品を'''ダイオード'''（diode）という。 p側に正電圧を掛け、n側に負電圧を掛けた時、電流が流れる。一方、p側に負電圧を描け、n側に正電圧を掛けても、電流が流れない。回路において、ダイオードが電流を流す向きを'''順方向'''（じゅんほうこう）という。順方向とは反対向きを'''逆方向'''という。ダイオードの逆方向には、電流は流れない。このように一方向に流れる仕組みは、ダイオードでは、つぎのような仕組みで、電流が流れるからである。このように一方向にだけ電流を流すことを'''整流'''（せいりゅう）という。なお、半導体を使わなくても、真空管でも整流だけなら可能である。（ただし真空管の場合、熱の発生が膨大であったり、耐久性が劣るので、電子部品としての実用性は、空管は低いので、現代は真空管は電子部品としては使われていない。）パソコンで、デジタル波形やデジタル信号のように四角の電流波形を作っている方法は、おおむね、このダイオードと、後述するトランジスタとを、うまく組合せることで、デジタル波形をつくるという仕組みである。（※ 数研出版の検定教科書も、そういう見解である。） * p側に正電圧を掛け、n側に負電圧を掛けた時ダイオードのp側に正電圧をかけ、n側に負電圧をかけると、p側では正電極の正電圧から正孔が反発して接合面へと向かい、n側では電子が負電極から反発して接合面へと向かう。そして、接合面で正孔と電子がであい、消滅する。この結果、見掛け上、正電荷が、正電極から負電極に移動したのと、同等の結果になる。そして、正電極から、つぎつぎと正孔が供給されるので、電流が流れ続ける。 * p側に負電圧を描け、n側に正電圧を掛けた時いっぽう、p側に負電圧を描け、n側に正電圧を掛けた時、p側では正孔は電極（電極には負電圧が掛かっている）に引き寄せられ、接合面からは遠ざかる。同様にn側では電子が電極（正電圧が掛かってる）に引き寄せられ、接合面からは遠ざかる。この結果、接合面には、余分な正孔も余分な電子もない状態となり、よって接合面の付近にはキャリアがなく、この接合面付近のキャリアの無い部分は'''空乏層'''（くうぼうそう、depletion layer）と呼ばれる。そして、それ以降は、正孔も電子も、もうどこにも移動の余地がないので、よって電流が流れない。 {{コラム\|※ 範囲外: 「半導体」とは？\| 物理学や化学でいう半導体とは、上述のように、シリコンなどの結晶および、それらの結晶に、不純物を加えることで電気特性を調整した物質の事である。いっぽう、磁性体は、半導体ではない。しかし、世間一般では、大企業の「半導体メーカー」とされる企業が生産した電子部品が、まとめて「半導体」と言われることもあり、このため、たとえ磁性体を活用した製品であり、半導体をあまり活用していない製品であっても、半導体と言われることも多い。よくある例としては、磁気ハードディスクですら「半導体」と言われる場合もある。しかし、物理学では、磁性体は、けっして半導体ではない。化学でも同様に、「磁性体は、けっして半導体ではない」として扱う。磁性体だけでなく、液晶も同様である。同様に、液晶ディスプレイも、液晶のぶぶんは、半導体ではない。大学の物理や化学でも、磁性体は、半導体ではない、として扱う。液晶も同様であり、大学では、液晶は半導体ではない、として扱う。本wikibooks高校教科書でも、磁性体や液晶は、半導体ではない、として扱う。なお、中学高校の社会科の地理科目の工業統計では、きちんと「電子部品」という表現で、半導体や液晶、ハードディスクなどを、まとめて表現している。 }} === トランジスタ === [[ファイル:Transistor description ja.svg\|right\|frame\|NPN型トランジスタの模式図（バイポーラトランジスタ）]] 半導体を3つnpnまたはpnpのように組み合わせると、電流を増幅（ぞうふく）することができる。'''増幅作用'''（ぞうふくさよう）という。 NPNとは、片端から順に見てN型・P型・N型の順に並んでるという事である。同様に、PNPとは、片端から順に見てN型・P型・N型の順に並んでるという事である。増幅といっても、けっして無からエネルギーが発生するわけではないので、混同しないように。説明の簡略化のため、外部電源が省略される事があるが、実際は外部電源も必要である。半導体素子は小さな電流しか流せぬから、電流を減らすための抵抗素子としての保護抵抗（ほごていこう）も必要である。なお、図のように長方形状に並んでいる方式のトランジスタを'''バイポーラトランジスタ'''という。（※ 検定教科書の数研出版の教科書で、「バイポーラトランジスタ」をコラムで習う。）バイポーラトランジスタには、端子が主に3つあり、「エミッタ」や「ベース」や「コレクタ」という合計3つの端子がある。バイポーラトランジスタでの電流の増幅とは、ベース電流を増幅してコレクタに集めるである（PNPの場合）。電流の向きはPNP型のばあいと NPP型のばあいとでは異なるが、どちらの場合でもベース電流が増幅されるという仕組みは共通である。さて、模式図では模式的に真ん中の半導体はうすめ、小さめに書かれるが、実際のトランジスタは真ん中の半導体はそうではないので、参考程度に。教育では、半導体の高校生や専門外（電子専攻以外）の人むけには、よくバイポーラトランジスタが単純なので紹介されるが、実際に市販のコンピュータ部品などでよく使われるトランジスタの方式は、これとは形状がけっこう異なる。市販のコンピュータ部品のトランジスタには、電界効果トランジスタといわれる方式のものが、よく用いられる。（もちろん、電界効果トランジスタにも、「増幅」の機能がある。） :（※ 啓林館の検定教科書で、「電界効果トランジスタ」がコラム欄で紹介されている。） :※ 電界効果型の場合は、「ソース」や「ゲート」や「ドレイン」などの端子がある。原理は異なるので、対応はしない。（※ 詳しくは大学の電気工学または工業高校の電子回路などの科目で習う。） {{-}} トランジスタは、回路図では、模式的に下図のように書かれる。 [[File:NPN transistor symbol jp.svg\|thumb\|300px\|left\|NPNトランジスタの図記号。]] [[File:PNP transitor symbol.svg\|thumb\|center\|PNPトランジスタの図記号。]] {{-}} {{コラム\|半導体の範囲外の話題のあれこれ\| ;「真空管トランジスタ」とは別物実は、電流増幅回路をつくるだけなら、真空管でも作れるが現代では真空管には経済的な実用性が無いので、真空管の増幅回路は、一般の製品にある電子部品としては、使われていない。なお、真空管の電流増幅回路のことも「トランジスタ」というので、混同しないように注意のこと。 ;露光機なしでも手作業でトランジスタを作れるという報告あり学術書の出典は無いので、やや不確かさな情報であるが、実はダイオードやトランジスタは、作るだけなら、材料を融かす「るつぼ」などの高温用設備さえあれば、あとは材料のシリコンや添加物のリンなどだけで、作れてしまうと言われている。（つまり、露光機（ろこうき）などの微細加工の設備は、無くてもダイオードなどを作れる、という。）そもそも、半導体トランジスタの発明者が試作品として点接触トランジスタを製造した時代には、まだ露光機などの設備は無かったのだから、考えてみれば露光機なしでもトランジスタ自作が可能なのは当然といえば当然ではある。歴史的な経緯で、理科教育では半導体工学を説明する際に、トランジスタなどの発明当時の先端理論である「量子力学」（りょうしりきがく）という原子スケールの世界の物理法則の理論をまとめて説明するので、あたかも半導体の製造にも原子スケールの微細加工のための設備が不可欠のように想像しがちであるが、実は露光機などの設備はなくてもトランジスタは作れてしまうらしい。露光機などを使わないで材料とルツボなどの比較的に単純な設備だけで手作業的に自作した半導体は、集積度が低いので実用には無らない事もあり、工学書などでは紹介はされないのであろう。（別件かもしれないが、）そもそも、半導体の発明当時は、女性工員とかに細かい配線作業などをさせていた時代もあった（「トランジスタ・ガール」と言われていた）、と言われるくらい。 }} ダイオードやトランジスタの他にも半導体を組み合わせた電子部品はあるが（他にも「サイリスタ」とか色々とある）、高校物理の範囲を超えるので、説明は省略する。（※ もし仕事で専門的な情報が必要になれば、工業高校むけの『電子回路』の教科書にけっこう詳しく書いてあるので、それを読めばいい。なお、書店の資格コーナー本にある電気工事士や電気主任技術者試験とかの対策品には、ほぼ電子回路が範囲外なので、あまり電子回路の説明は書いてない。なので、工業高校『電子回路』の教科書、または工業高専などの同等の科目の教科書を参照のこと。） :※ 集積回路について、1990年代くらいの参考書の数研出版チャート式の物理2に、後述のような集積回路などの説明があった。 :2010年以降の現在、『情報』教科が2000年代に加わったので、CPUなどの説明の一部が『情報』教科に移動している。パソコンのCPUなどの部品も、中身の多くは半導体であり、ダイオードやトランジスタなどの素子がCPUなどの内部にたくさんある、と言われている。（※ 他にも「水晶振動子」とか色々とCPU内にはあるが、物理2の範囲外なので説明を省略。）集積回路やLSI(Large Scale Integrated、大規模集積回路)などと言われる組織も、なにを集積（「集積」を英語で integrate インテグレートという）したのかというと、半導体素子を集積したと言う意味である。なお、「IC」（アイシー）とは Integrated Circuit の略称であり、これを和訳したものが「集積回路」である。つまり、集積回路やLSIの中身は、半導体であり、トランジスタなどの素子が高密度で、その回路中に詰まっている。電子部品の半導体の材料としては、通常はシリコン結晶が使われる。（※ 啓林館、数研など、結晶であることも言及。）研究開発ではシリコン以外の材料も研究されており一部の特殊用途ではGaAsやInGaPなどが利用されているが（※ 数研の検定教科書はGaAsやInGaPなどにコラムで言及）、しかし現状では、シリコンが市販のコンピュータ部品中の半導体素子の材料では主流である。なお、シリコン半導体の材料内部はシリコン結晶であるが、表面は保護膜および絶縁のために酸化させられており、シリコン半導体表面は酸化シリコンの保護膜になっている。シリコンが酸化すると、絶縁物になるので、保護膜になるわけである（※ 数研出版の教科書もそう言っている。）半導体の内部に、添加物などで特性を変えることにより、抵抗やコンデンサも半導体内部に製造できる。（※ 数研が、抵抗やコンデンサも半導体内部で作っている事に言及。）（※ 範囲外: ）しかし、コイルは半導体内部に作ることが出来無い。 == 発展：相対論の一次近似 == === 運動する磁束は電場を誘起する === 磁場Bの中を、電荷qの荷電粒子が速度vで運動すると、ローレンツ力はベクトル外積を用いて　f＝q・v×B　の力が粒子に働くが、ここで観測者の座標系を変えたとして、同じ粒子を、粒子と同じ方向に速度ｖで動く座標形Ｋの中の観測者から見たらどうなるか？　座標系Kでは、粒子の速度は v(K)＝0 であり、磁束の速度を V<sub>b</sub> とすると、前の座標系の粒子とは反対方向に動くので、 :V<sub>b</sub> ＝－v である。新しい座標系Kから観測しても、粒子が f＝q・v×B　の大きさの力を受けて加速されることには変わらないが、座標系ｋでは、荷電粒子は静止していたのに、ローレンツ力を受けたと考えるのは不合理である。磁束は、V<sub>b</sub>＝－v で運動していたので、磁束の運動によって　f＝q・（－V<sub>b</sub>）×B ＝－q・V<sub>b</sub>×B　の力を受けたと考えるべきである。粒子を質量0の質点とみなせば、静止している荷電粒子に力を及ぼせるのは、電場だけだから、つまり速度 V<sub>b</sub> で運動する磁束が、 E＝－V<sub>b</sub>×B の誘導電場を誘起することになる。このとき、磁場と誘導された電場は垂直である。 === 運動する電場は磁界を作る === もし、「運動する電場は磁界を作る」とすれば、アンペールの法則　「直線状に無限に長い導線を流れる　電流Ｉ　は距離Ｒ　だけ離れた場所に　B・2πr＝μI　の磁場を作る。」という現象は、じつは「導線の中で荷電粒子が運動することによって、荷電粒子といっしょにその粒子が作る電場も動き、その電場の運動が、磁場を誘起している。」という可能性がある。電流が流れている無限長の、まっすぐな導線を考える。線密度 q[C/m] で分布した電荷は、図のように円筒対称な電荷を作る。（※ ここに図を。）直線から距離ｒのときの電気力線の密度Dは :D＝εE＝ <math> \frac{q}{2\pi r}</math> よって :εE・2πr ＝q　　　① 電流 I は電荷分布 q が速度 V<sub>e</sub> で運動しているとして　 :I ＝ qV<sub>e</sub> :[A]＝[c/m]・[m/s]＝[c/m] と定義すれば、電流 qV<sub>e</sub> が距離 r のところに作る磁場Bはアンペールの法則から、 :B・2πr（＝μI）＝ μqV<sub>e</sub>　　　② となる。このとき、磁場の向きは、V<sub>e</sub> から半径r方向にねじを回す向きである。 :②÷①から B/εE ＝ μ V<sub>e</sub> B＝εμ V<sub>e</sub>・E 向きまでふくめてベクトル積で表せば、 :<math>\vec {B} </math>＝εμ <math>\vec {V_e} \times \vec E</math> となる。つまり :速度 V<sub>e</sub> で運動する電場 E は、誘導磁場 B＝εμV<sub>e</sub>×E を作る。という、重要な結論が得られる。あるいは、　μH＝B　をもちいて　B＝μH＝εμ V<sub>e</sub> ×E　より :H＝εμV<sub>e</sub>×E　となって、さらに　D＝εE　より　 :H＝μV<sub>e</sub>×D　である。まとめ速度 V<sub>b</sub>で運動する磁束Bは　 :E＝－V<sub>b</sub>×B の誘導電場を誘起する。　　　・・□1 速度 V<sub>e</sub> で運動する電場 E は :B ＝ εμ V<sub>e</sub>　× E　の誘導磁場を作る。 E,Bのかわりに、D,Hを使って表記すれば、 :D ＝－ε V<sub>b</sub> × B かつ :H ＝ V<sub>e</sub> × D　　　（・・・□2）　さて、電磁波が速度Cで真空中を伝わるとすれば、 Vb ＝ Ve ＝ C　とする。 □1式と□2式の外積をとると、 : E×H ＝(－V<sub>b</sub>×B)× (V<sub>e</sub>×D) ＝ (－C×μH) × (C×εE)　 :＝　εμ ( C<sup>2</sup>) E×H よって :εμ・c<sup>2</sup> ＝1 である。よって、電磁波の速度は <math> c = \frac{1}{ \sqrt{ \varepsilon \mu} }</math> と予測できる。このεとμに実測値を入れると、光速の測定値 <math> c = 299792458 m/s</math> と、高い精度で一致する。この事から、光は、電磁波である事が分かる。また、電磁波は、光速度Cで真空中を伝わる。また、これより、運動電場の誘導する磁場は :B ＝ (１/ C<sup>2</sup> )V<sub>e</sub>×E　　　③ とも変形できる。 ③式を、ガウスの法則（①式）　と組み合わせると、アンペールの法則（②式）が得られる。よって、「速度 V<sub>e</sub> で運動する電場 E は、　B＝εμ V<sub>e</sub> ×E　の誘導磁場を作る。」という過程が妥当だったことがわかる。 === ポインティングベクトル === 電磁波では電場 E と磁場 B が光速 C で運動しているので　磁束の運動速度 V<sub>b</sub> は V<sub>b</sub> ＝ C であり、誘導電場 E は E ＝－V<sub>b</sub>×B であるので、両式より E ＝－c×B　である。（電磁波の電場と磁場の関係式）なお :<math> \mathbb{B} = \mu \mathbb{H} </math> であるので、電磁波は :<math> \mathbb{E} \times \mathbb{H} </math> の方向に進んでいるはずだ、ということを注目しよう。この <math> \mathbb{E} \times \mathbb{H} </math> で定義される量を '''ポインティング　ベクトル''' とよぶ。これは単位面積をとおって流れ出る電磁場のエネルギーの流れの量をあらわす。さて、電磁場のエネルギー密度は <math> u = \frac{1}{2}\varepsilon E^2 + \frac{1}{2}\mu H^2 </math> なので、これに電磁波の電場と磁場の関係式 <math> \mathbb{E} = - \mathbb{C} \times \mathbb{B} </math> を代入して、 :<math> \varepsilon \mu \cdot c^2 = 1 </math> の関係を用いると、（エネルギーでは、2乗によりマイナス符号がなくなるので、絶対値を取って｜Ｅ｜＝｜ｃ×Ｂ｜　としておくと、計算が簡単になる場合がある。）結果として　 :<math> u = \varepsilon E^2 </math>　　　（電磁波のエネルギー密度）となる。電磁波が、壁にあたって吸収されるとき、単位時間に単位面積あたり光速C の大きさの体積のなかの電磁波が壁に衝突するので、　 :c・u　のエネルギーが、単位時間に単位面積に流れ込むはずである。ｓ＝ c・u　に u＝ ε・E^2 を代入して、 <math> \epsilon \mu \cdot c^2 = 1 </math> と｜E｜＝｜c×B｜を利用すると、結果的に :　s ＝ <math> \frac{1}{ \sqrt{ \varepsilon \mu} } \epsilon E^2 </math> ＝<math> \frac{1}{ \sqrt{ \varepsilon \mu} } \epsilon \|E\|\|cB\| </math> ＝｜E｜・｜H｜である。よってポインティング　ベクトル E×H は単位面積を通って流れ出る電磁場のエネルギーの流れをあらわす。 :E×Hの単位は　[V/m]・[A/m]＝[V・A／m<sup>2</sup>]＝[W／m<sup>2</sup>] === ポインティングベクトルと運動量密度 === ポインティングベクトル　S ＝ E×H ＝ εμ（C<sup>2</sup>）E×H は :D＝εE と B＝μH をもちいて S ＝ E×H ＝（C<sup>2</sup>）D×B とも書ける。 :<math> \mathbb{D} \times \mathbb{B} = \frac{1}{c^2} \mathbb{E} \times \mathbb{H} </math> である。天下り的な説明であるが、この G＝D×B という量は、運動量の密度である。この量 G＝D×B を、電磁波の「運動量密度」（うんどうりょうみつど）という。実際に、D×B の単位は :[D×B] ＝ [｛1 / (C<sup>2</sup>)｝]　[E×H] ＝ [1 / (ｍ/s)<sup>2</sup>] [W/m<sup>2</sup>] :＝ [N・s／m<sup>3</sup>] となる。たしかに、運動量の密度の単位と等しい。 * 発展: 光電効果との関係ところで、のちの単元で習うが、光電効果ではエネルギーuと運動量pの関係は、光速度Cをもちいて、 u＝cp と書ける。 :s＝c・u は s＝ cu ＝｜E×H｜であり、 u＝cp とあわせて、 :s＝c (cp) ＝ (c<sup>2</sup>) p ＝｜E×H｜これより :p ＝ (1/c<sup>2</sup>) ｜E×H｜＝ εμ ｜E×H｜　 : ＝｜εE×μH｜＝｜D×B｜向きまで含めて :p ＝ D×B となって、確かに G ＝ D×B　は運動量密度となる。 === 電磁誘導の再検討 === 長さＬのまっすぐな針金が、速度ｖで磁場Ｂの中を横切るとする。簡単のため、針金の軸と速度ｖの方向と磁場Ｂは垂直とする。このとき、針金の中の電荷にかかる力および電場はローレンツ力により、 :F ＝ q v×B :F/q ＝ E ＝ v×B の電位が、針金の長さ方向に派生する。電場Ｅにそって長さＬだけ、電荷ｑが上げられたら、エネルギーはｑＥＬ変化する。電位はＶ＝ＥＬである。 :V ＝ LvB ＝ ⊿Φ／⊿t　これより、誘導電圧 V は、磁束の1秒あたりの時間変化になる。では、仮に固定された回路の中にソレノイドを通して、このソレノイドに交流電流を流した場合も、回路に誘導電圧が発生するのであろうか。答えは「する」。 {{コラム\|電機設備などの「半導体」\| コンピュータ以外の用途でも、比較的に大き目の電流や電圧などをつかう電機設備や強電（きょうでん）設備などで、整流などの目的で、電機設備のための専用の半導体ダイオードを使うことがある。パソコン用の半導体と、電機設備用の半導体とは、（物理学的な原理はほぼ同じであるが）製品としては、まったく定格（ていかく）電流・定格電圧などの仕様の異なる別製品なので、混同しないように。使用可能な電流の定格値がまったくケタ違いに（パソコン用と電気設備用とでは）違うので、絶対に混同してはいけない。もし仮に、本来なら電気設備用の半導体で整流すべき場所を、パソコン用の半導体で整流すると、きっと事故などにつながり危険なので、絶対に混用せぬこと。 }} [[Category:高等学校教育\|物ふつり2てんきとしき]] [[Category:電気\|高ふつり2てんきとしき]] [[Category:物理学教育\|高ふつり2てんきとしき]] [[Category:高等学校理科物理II\|てんきとしき]]	2005-05-08T08:12:24Z	2023-11-23T07:30:47Z	[ "テンプレート:Main", "テンプレート:コラム", "テンプレート:-", "テンプレート:Substub" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E7%89%A9%E7%90%86/%E7%89%A9%E7%90%86II/%E9%9B%BB%E6%B0%97%E3%81%A8%E7%A3%81%E6%B0%97
1,945	高等学校物理/物理II/物質と原子	高等学校理科物理II > 物質と原子本項は高等学校理科物理IIの物質と原子の解説である。物質には固体、液体、気体の3つの相がある。これを物質の三態と呼ぶ。これらはおおよそ温度の高い順から気体、液体、固体となっているが、実際には圧力の変化によって相が変わることもある。ピストンの中に空気をつめておしていくと何かが押し返しているように感じられることが分る。これは、ピストンの中の空気が押し返しているのである。空気は実際には様々な種類の気体によってできており、それらの気体はそれぞれの分子によってできている。それぞれの分子はいくらかの速度を持って運動しており、それらのランダムな衝突が、ピストンを押し返しているのである。理想気体を考えると、圧力と温度の間には P V = n R T {\displaystyle PV=nRT} の関係があることが知られている。 (理想気体の状態方程式) ここで、nはモル濃度(mol/m 3 {\displaystyle {}^{3}} )であり、 Tは温度[K]である。物質を作る形態の1つを原子と呼ぶ。原子は原子核と電子によって構成されている。これらは古典的には安定な状態として存在し得ないことが知られている。これらが安定でいられるのは実際には極微の世界ではおおきなスケールでの世界と物理法則が変わって来ることによる。この場合は電子は波であるかのように振舞い、その性質によって決まるある配置にあるときのみ安定でいられることが知られている。電子の状態によって固体の電気的性質が決まる。電子を励起するのにエネルギーが僅かしか必要でないとき、これを導体と呼ぶ。一方多くのエネルギーを必要とするとき、これを絶縁体(不導体)と呼ぶ。また、その中間に位置するようなものを半導体と呼ぶ。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "高等学校理科物理II > 物質と原子", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "本項は高等学校理科物理IIの物質と原子の解説である。", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "", "title": "" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "物質には固体、液体、気体の3つの相がある。これを物質の三態と呼ぶ。これらはおおよそ温度の高い順から気体、液体、固体となっているが、実際には圧力の変化によって相が変わることもある。", "title": "物質と原子" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "ピストンの中に空気をつめておしていくと何かが押し返しているように感じられることが分る。これは、ピストンの中の空気が押し返しているのである。空気は実際には様々な種類の気体によってできており、それらの気体はそれぞれの分子によってできている。それぞれの分子はいくらかの速度を持って運動しており、それらのランダムな衝突が、ピストンを押し返しているのである。", "title": "物質と原子" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "理想気体を考えると、圧力と温度の間には P V = n R T {\\displaystyle PV=nRT} の関係があることが知られている。 (理想気体の状態方程式) ここで、nはモル濃度(mol/m 3 {\\displaystyle {}^{3}} )であり、 Tは温度[K]である。", "title": "物質と原子" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "", "title": "物質と原子" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "物質を作る形態の1つを原子と呼ぶ。原子は原子核と電子によって構成されている。これらは古典的には安定な状態として存在し得ないことが知られている。これらが安定でいられるのは実際には極微の世界ではおおきなスケールでの世界と物理法則が変わって来ることによる。この場合は電子は波であるかのように振舞い、その性質によって決まるある配置にあるときのみ安定でいられることが知られている。", "title": "物質と原子" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "", "title": "物質と原子" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "電子の状態によって固体の電気的性質が決まる。電子を励起するのにエネルギーが僅かしか必要でないとき、これを導体と呼ぶ。一方多くのエネルギーを必要とするとき、これを絶縁体(不導体)と呼ぶ。", "title": "物質と原子" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "また、その中間に位置するようなものを半導体と呼ぶ。", "title": "物質と原子" } ]	高等学校理科物理II > 物質と原子本項は高等学校理科物理IIの物質と原子の解説である。	<small>[[高等学校理科物理II]] > 物質と原子</small> ---- 本項は[[高等学校理科物理II]]の物質と原子の解説である。 ==物質と原子== ===原子、分子の運動=== ====物質の三態==== 物質には固体、液体、気体の3つの相がある。これを物質の三態と呼ぶ。これらはおおよそ温度の高い順から気体、液体、固体となっているが、実際には圧力の変化によって相が変わることもある。 {{See also\|高等学校物理/物理I/熱\|高校化学物質の三態}} ====分子の運動と圧力==== ピストンの中に空気をつめておしていくと何かが押し返しているように感じられることが分る。これは、ピストンの中の空気が押し返しているのである。空気は実際には様々な種類の気体によってできており、それらの気体はそれぞれの分子によってできている。それぞれの分子はいくらかの速度を持って運動しており、それらのランダムな衝突が、ピストンを押し返しているのである。 <!-- 気体運動論を使った圧力の計算と --> <!-- 実験値との比較? --> 理想気体を考えると、圧力と温度の間には <math> PV = nRT </math> の関係があることが知られている。 (理想気体の状態方程式) ここで、nはモル濃度(mol/m<math>{}^3</math>)であり、 Tは温度[K]である。 ===原子、電子と物質の性質=== ====原子と電子==== 物質を作る形態の1つを原子と呼ぶ。原子は原子核と電子によって構成されている。これらは古典的には安定な状態として存在し得ないことが知られている。これらが安定でいられるのは実際には極微の世界ではおおきなスケールでの世界と物理法則が変わって来ることによる。この場合は電子は波であるかのように振舞い、その性質によって決まるある配置にあるときのみ安定でいられることが知られている。 ====固体の性質と電子==== 電子の状態によって固体の電気的性質が決まる。電子を励起するのにエネルギーが僅かしか必要でないとき、これを導体と呼ぶ。一方多くのエネルギーを必要とするとき、これを絶縁体(不導体)と呼ぶ。また、その中間に位置するようなものを半導体と呼ぶ。 [[Category:高等学校教育\|物ふつり2ふつしつとけんし]] [[Category:物理学\|高ふつり2ふつしつとけんし]] [[Category:物理学教育\|高ふつり2ふつしつとけんし]] [[Category:高等学校理科物理II\|ふつしつとけんし]]	null	2022-10-20T01:24:20Z	[ "テンプレート:See also" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E7%89%A9%E7%90%86/%E7%89%A9%E7%90%86II/%E7%89%A9%E8%B3%AA%E3%81%A8%E5%8E%9F%E5%AD%90
1,946	高等学校物理/原子物理	ミリカンの実験とは、霧吹きなどで作成した油滴の微小な飛沫に、X線やラジウムなどで帯電させる。そして、外部から電場を引火する。すると、油滴の重力(下向き)のほかに、電場による静電気力(上向きになるように電極板を設置する)が働くので、釣り合って静止する状態になった時の電場から、電荷の値を確かめる実験である。この実験で算出・測定される電荷の値が 1.6×10 [C]の整数倍になったので、電子1個の電荷が 1.6×10 [C]だと分かった。なお、この 1.6×10 [C]のことを電気素量(でんきそりょう)という。負の電荷に帯電させてある金属板に、紫外線を当てると、電子が飛び出してくることがある。また、放電実験用の負極に電子を当てると、電子が飛び出してくることがある。この現象を、光電効果(こうでんこうか、photoelectric effect)という。1887年、ヘルツによって、光電効果が発見された。レーナルトによって、光電効果の特徴が明らかになった。当てる光の振動数が、一定の高さ以上だと、光電効果が起きる。この振動数を限界振動数(げんかいしんどうすう)といい、限界振動数より低い光では、光電効果が起こらない。また、限界振動数のときの波長を、限界波長(げんかいはちょう)という。物質によって、限界振動数は異なる。亜鉛版では紫外線でないと光電効果が起きないが、セシウムでは可視光でも光電効果が起きる。光電効果とは、物質中(主に金属)の電子が光のエネルギーを受け取って外部に飛び出す現象のことである。この飛び出した電子を「光電子」(こうでんし、photoelectron)という。光電効果には,次のような特徴的な性質がある。これらの性質のうち、1番めと2番めの性質は、古典物理学では説明できない。つまり、光を、電磁波という波動の性質だけを捉えていては、つじつまが合わないのである。なぜなら、仮に、電磁波の電界(電場)によって金属から電子が放出すると考えた場合、もし光の強さが大きくなれば、振幅が大きくなるので、電界(電場)も大きくなるはずである。しかし、実験結果では、光電子の運動エネルギーは、光の強さには依存しない。よって、古典力学では説明できない。上述の矛盾(古典的な電磁波理論では、光電効果を説明できないこと)を解決するために、次のような光量子仮説がアインシュタインによって提唱された。この2つめの条件を定式化すると、となる。この式における比例定数hはプランク定数とよばれる定数で、 [J・s] という値をとる。仕事関数(しごとかんすう、work function)とは、光電効果を起こすのに必要な最小のエネルギーのことである。金属の種類ごとに、決まった値である。仕事関数の値を W[J] とすると、光子の得る運動エネルギーの最大値 K0 [J] について、次式が得られる。この式より、光電効果が起こる条件は hν≧W となる。これは K0≧0 に相当する。これより、光電効果が起こる限界振動数 ν0 について、hν0=W が成り立つ。この光量子仮説により、光電効果の1番めと2番めの性質は、容易に、矛盾なく説明できるようになった。波動は粒子のように振舞うのである。なお、光電効果の3番めの性質から、ある場所の光の強さは、その場所の単位面積に単位時間、飛来する光子の数に比例することが分かる。そもそも、光の波長は、どうやって測定されたのだろうか。現在では、たとえば原子の発光スペクトルの波長測定なら、回折格子をプリズムとして使うことによって、波長ごとに分け、波長が測定されている。(※ 参考文献: 培風館(ばいふうかん)『step-up 基礎化学』、梶本興亜編集、石川春樹ほか著、2015年初版、25ページ) おおまかな原理を述べると、可視光ていどの光の波長の測定は、回折格子によって測定するわけだが、ではその回折格子の細かい数百ナノメートル〜数千ナノメートルていどの間隔の格子ミゾをどうやって作るのか、という問題に行き着いてしまう。歴史的には、下記のように、可視光の波長が測定されていった。まず、1805年ごろの「ヤングの実験」で有名なヤングらの研究により、可視光の波長は、おおむね 100nm(10m) 〜 1000nm の程度であることは、この頃から、すでに予想されていた。その後、ドイツのレンズの研磨工だったフラウンホーファーが、すぐれた回折格子を開発し、可視光の波長を精密に測定する事に成功した。フラウンホーファーは回折格子を作るために細い針金を用いた加工装置を製作し、その加工機で製作された回折格子を用いて、光の波長の測定をし始めたのが、研究の始まりである。1821年にフラウンホーファーは、1cmあたり格子を130本も並べた回折格子を製作した。また、1870年にはアメリカのラザフォードがスペキュラムという合金を用いた反射型の回折格子を製作し(このスペキュラム合金は光の反射性が高い)、これによって1mmあたり700本もの格子のある回折格子を製作した。(要出典) さらにこのころの時代、送りねじの潤滑のために水銀を使う水銀浮遊法が、研究開発で行われた。より高精度な波長測定が、のちの時代の物理学者マイケルソンによって、干渉計(かんしょうけい)というものを用いて(相対性理論の入門書によく出てくる装置である。高校生は、まだ相対性理論を習ってないので、気にしなくてよい。)、干渉計の反射鏡を精密ネジで細かく動かすことにより、高精度な波長測定器をつくり、この測定器によってカドミウムの赤色スペクトル線を測定し、結果の波長は643.84696nmだった。マイケルソンの測定方法は、赤色スペクトル光の波長を、当時のメートル原器と比較することで測定した。マイケルソンの制作した干渉計にも、水銀浮遊法の技術が取り入れられている、という。さらに、ネジの技術革新で、マートン・ナット(「メルトン・ナット」とも訳す)という、弾力性のある材質でネジをつくることによって誤差がならされて平均化されるので、超絶的に高精度の送りねじを作る技術が、イギリスの物理学者トーマス・ラルフ・マートン(英:en:w:Thomas Ralph Merton )などによって開発された。なお、現代でも、研究用として干渉計を用いた波長測定器が用いられている。(要出典) メートル原器は、マイケルソンの実験の当時は長さのおおもとの標準だったが、1983年以降はメートル原器は長さの標準には用いられていない。現在のメートル定義は以下の通り。太陽電池も、光電効果のような現象である、と考えられている。(※ 実教出版の教科書などで、扱っている話題。) なお、太陽電池は一般的に半導体であり、ダイオード化したPN接合の部分に光を当てる必要がある。 (PN接合部分以外の場所に、光があたっても、生じた電力を、電流として取り出せない。電流として取り出せるようにするには、PN接合の部分に、光を当てる必要がある。このため、PN接合の片方の材質を、透明か、それに近い光透過率の材料にする必要があり、「透明電極」という。) (※ 範囲外?: ) なお、発光ダイオード半導体は、この逆パターンとして考えられており、光電効果でいう「仕事関数」にあたるエネルギーをもった電流を流すことにより、その半導体物質の「仕事関数」にあたるエネルギーの光が、PN接合の接合面から放出される、という仕組みである。なお、CCDカメラなどに使われるCCDは、太陽電池のような機能をもつ半導体を、電力源としてではなく、光のセンサーとして活用するという仕組みの半導体である。(※ 実教出版の教科書などで、扱っている話題。) (※ 普通科高校の『物理』系科目では習わないが、) 物理現象の量子化として、光電効果や物質波のほかにも原子スケールの物理現象の量子化はあり、ある種類の超伝導物質では、それに通した磁束が量子化する現象が知られている。(※ 工業高校の科目『工業材料』下巻(または科目の後半)で習う。) 科学者レントゲンは、1895年、放電管をもちいて陰極線の実験をしていたとき、放電管のちかくに置いてあった写真乾板が感光している事に気付いた。彼(レントゲン)は、陰極線がガラスに当たったとき、なにか未知のものが放射されてると考え、X線と名づけた。やがて、さまざまな実験によって、X線は次の性質をもつことが明らかになった。この事から、X線は、荷電粒子ではない事が分かる。(結論をいうと、X線の正体は、波長の短い電磁波である。) また、などの性質がある。なお現代では、医療用のX線を「レントゲン」ともいう。 1912年、物理学者ラウエは、X線を単結晶に当てると、写真フィルムに図のような斑点の模様にあることを発見した。これをラウエ斑点(はんてん)といい、結晶中の原子が回折格子の役割をしたことで発生した干渉現象である。 1912年、物理学者ブラッグは、反射が強めあう条件式を発見した。 2d sinθ = n λ これをブラッグの条件という。上式のdは格子面の間隔の幅である。 X線を炭素塊などの(金属とは限らない)物質に当て、その散乱されたあとのX線を調べると、もとのX線の波長よりも長いものが、散乱したX線に含まれる。このように散乱X線の波長が伸びる現象は物理学者コンプトンによって解明されたので、コンプトン効果(またはコンプトン散乱)という。この現象は、X線を波と考えたのでは説明がつかない。(もし仮に波と考えた場合、散乱光の波長は、入射X線と同じ波長になるはず。なぜなら、水面の波に例えるなら、もし水面を棒で4秒間に1回のペースで揺らしたら、水面の波も、4秒間に1回のペースで周期を迎えるのと、同じ理屈。) さて、波動の理論でコンプトン効果を説明できないなら、粒子の理論で説明をすれば良いだろう。この当時、アインシュタインは光量子仮説にもとづき、光子はエネルギーhνをもつだけでなく、さらに次の式で表される運動量pをもつことを発見している。 p = h ν c ( = h ν ν λ = h λ ) {\displaystyle p={\frac {h\nu }{c}}(={\frac {h\nu }{\nu \lambda }}={\frac {h}{\lambda }})} 物理学者コンプトンは、この発見を利用し、波長λのX線を、運動量 h λ {\displaystyle {\frac {h}{\lambda }}} とエネルギー h c λ {\displaystyle {\frac {hc}{\lambda }}} を持つ粒子(光子)の流れと考え、 X線の散乱を、この光子が物質中のある電子と完全弾性衝突をした結果と考えた。解法は、下記のとおり。エネルギー保存の式運動量保存の式上記の3つの式を連立し、この連立方程式を解くためにvとφを連立計算で消去させていき、 λ ≒ λ ′ {\displaystyle \lambda \fallingdotseq \lambda '} のときに λ ′ ≒ λ + h m c ( 1 − cos θ ) {\displaystyle \lambda '\fallingdotseq \lambda +{\frac {h}{mc}}(1-\cos \theta )} が得られる。この式が実験式とよく一致するので、コンプトンの説の正しさは実証された。 (編集者へ: 記述してください。)(Gimyamma より。解法を書いてみました。) 式(1),(2),(3)から、 v {\displaystyle v} と φ {\displaystyle \phi } を消去して、 λ , λ ′ , θ {\displaystyle \lambda ,\lambda ',\theta } の関係式を求めればよい。 ( m v sin φ ) 2 = ( − h λ ′ sin θ ) 2 {\displaystyle (mv\sin \phi )^{2}=(-{\frac {h}{\lambda '}}\sin \theta )^{2}} m 2 v 2 = ( h λ − h λ ′ cos θ ) 2 + ( − h λ ′ sin θ ) 2 + h 2 λ ′ 2 {\displaystyle m^{2}v^{2}=({\frac {h}{\lambda }}-{\frac {h}{\lambda '}}\cos \theta )^{2}+(-{\frac {h}{\lambda '}}\sin \theta )^{2}+{\frac {h^{2}}{\lambda '^{2}}}} を得る。式(1)の右辺の第2項を変形して式(4)を代入する。これを式(1)の右辺に代入するとを得る。この式を式(5)の右辺第2項に代入すると、この式の右辺の第1項を移行し、式を変形すると両辺に λ λ ′ {\displaystyle \lambda \lambda '} を掛けると X線の散乱では、 λ ′ ≒ λ {\displaystyle \lambda '\fallingdotseq \lambda } なので故に式(6)からこれで、所望の式が導出された。光の運動量 P[kg・m/s]=hν/c について、まず cP=hν[J] と変形してみると、「速度に運動量をかけたものがエネルギーである」という内容の公式になっている。これを理解するため、ひとまず、光を粒子であると同時に流体であると考えて、その電磁波が単位体積あたりの運動量pを持っているとして、その流体の運動量の密度(運動量密度)を p [(kg・m/s)/m]としよう。この場合の電磁波は流体なので、運動量は、その密度で考える必要がある。電磁波を物体に照射して、光が物体に吸収されたとしよう。反射はないとして、光のエネルギーはすべて物体に吸収されたとする。簡単のため、物体壁に垂直に光を照射したとする。物体への光の照射面積をA[m]とする。電磁波は光速 c[m/s] で進むのだから、壁からcの距離の間にあるすべての光子は、すべて単位時間後に吸収される事になる。単位時間に壁に吸収される光子の量は、その単位時間のあいだに壁に流れ込んだ光子の量であるので、図のように、仮に底面をA[m]として、高さhを c ( hの大きさはcに等しい。単位時間t=1をかけたとすれば h=c・1 である)[m]とする柱の体積 A×c[m]中に含まれる光子の量の総和に等しい。いっぽう、運動量密度は p[(kg・m/s)/m]だったので、この柱 A×h に含まれる運動量の総和は、 A×h×p[kg・m/s]である。光を吸収した物体の運動量は、単位時間にAhpの運動量が増加することになるが、h=cであったので、つまり、運動量が単位時間あたりに Acp[kg・m/s] だけ壁に流れこむことになる。いっぽう、高校物理の力学の理論により、「運動量の時間あたりの変化は、力である」であったので、つまり物体は、Acp[N]の力を受ける。力を受けるのは照射された面だから、力[N]を面積で割れば圧力の次元[N/m]=[Pa]になる。実際に面積で割る計算をすれば、圧力として cp[N/m]=[Pa]=[J/m] を受ける事が計算的に分かる。さらに、圧力の次元は[N/m]=[Pa]=[J/m]と変形できるので、「圧力は、単位体積あたりのエネルギーの密度(「エネルギー密度」という)である」と考えよう。とすれば cp の次元は、[圧力]=[エネルギー密度] となる。このエネルギー密度に、hνが対応していると考えれば、合理的である。要するに、光のような、事実上は無限に圧縮できる波・流体では、公式として、速度をv、運動量密度をp、エネルギー密度をεとして考えれば、という関係がなりたつ。 (なお、水や空気のような普通の流体では、無限には圧縮できないので、上記の公式は成り立たない。) われわれがコンプトン効果の学習で分かった運動量の公式 p = h ν c {\displaystyle p={\frac {h\nu }{c}}} は、運動量密度とエネルギー密度の関係式に、光速cと光電効果のエネルギーhνを代入したものになっている。上記の考察は、光を流体として考えた電磁波の運動量だが、粒子として解釈された光子の運動量にも、 cP=hν という関係が成り立つと考えよう。もし読者が、圧力をエネルギー密度と考えるのが分かりづらければ、たとえば熱力学の仕事の公式 W=P⊿V の類推をしてはどうか? なお、上記の運動量とエネルギーの関係式の導出は大まかな説明であり、正確な導出法は、(大学で習う)マクスウェルの方程式によらなければならない。おそらく、「光は、電子に作用するときに、光が粒子として振舞う(ふるまう)」というのが正しいだろう。いっぽう、やみくもに「光は粒子! 光は波動ではない!!」(×)とかいうのは、単なる馬鹿のひとつ覚えである。マクスウェルの方程式では、光(電磁波)は波動として、あつかうのである。しかし、光電効果で起きる現象では、放出電子のもつ運動エネルギーは、光の強度とは無関係である。単純な流体として考えるなら、(たとえば集光させたり光を重ねたりして、)光の強度が上がれば、運動量密度も上がるハズだし、その帰結の放出電子のエネルギー密度も上がるハズだろいうという予測が成り立ちそうだが、しかし実験結果はその予測とは異なり、光電効果は光の強度とは無関係に光の周波数によって放出電子のエネルギーが決まる、・・・というのが、実験事実である。このような実験結果から、20世紀初頭の当時、勃興していた量子力学などと関連づけて、「光も波であると同時に粒子である」と断定したのがノーベル財団などであり、光電効果を光の粒子説の根拠のひとつとしたのがアインシュタインの仮説であり、アインシュタインのその仮説を定説として認定したのがノーベル財団であり、現在の物理学では、光電効果が光子説の根拠として通説になっている。光電効果の実験結果そのものは、単に、光電効果における「光」を、単純な流体・波動としては考えられないだろう・・・というだけの事である。結局、物理学は実験科学であり、実験結果にもとづき実験法則を覚えるしかない。「光子」というアイデアは、「光電効果の放出電子1個あたりのエネルギーは、入射光の強度に寄らず、光の波長(周波数)による」という事を覚えやすくするための手段にすぎず、アインシュタインとその支持者にとっては、「光の粒子説」というのが、覚えやすくするためのモデルだっただけである(粒子なのに波長(周波数)とは、意味不明だが)。そして運動量密度とエネルギー密度の関係 vp=ε という知識もまた、光電効果の公式 cP=hν を覚えやすくするための手段にすぎない。じっさいの光は、単純な波でもなく、単純な粒子でもなく、ただ単に、光は光であり、光でしかない。「光の粒子説」というのは、真空中で媒質(ばいしつ)がなくても光が伝わる、という程度の意味合いでしかないだろう。アインシュタインが特殊相対性理論を発表する前までは、(20中盤以降から現代では否定されているが、)かつて「エーテル」という光を伝える媒質の存在が信じられていた。しかしアインシュタインは相対性理論により、エーテルの存在を否定した。「光の粒子説」を発表していた者も同じくアインシュタインだったので、ノーベル財団は、本来なら特相対性理論でノーベル賞を授けるかわりに、光子説でノーベル賞をアインシュタインに授けただけだろう物理学者ド・ブロイは、波と考えられてた光が粒子の性質をもつならば、きっと電子も粒子としての性質だけでなく、電子も波動のように振舞うだろうと考えた。そして、電子だけでなく、一般の粒子に対しても、その考えを適用し、次の公式を提唱した。これはド・ブロイによる仮説であったが、現在では正しいと認められている。この波は、物質波(material wave)と呼ばれる。ド・ブロイ波(de Broglie wave length)ともいう。すなわち、光子や電子に限らず、あらゆる物質は粒子性と波動性をあわせ持つといえる。この物質波という説によると、もしも電子線を物質に当てれば、回折などの現象が起きるはずである。 1927年〜1928年にかけて、デビッソンとガーマーは、ニッケルなどの物質に電子線を当てる実験を行い、X線回折と同様に電子線でも回折が起きることを実証した。日本でも1928年に菊池正士(きくちせいし)が雲母片に電子線を当てる実験により回折が起きることを確認した。電子線の波長は、高電圧をかけて電子を加速して速度を高めれば、物質波の波長はかなり小さくできるので、可視光の波長よりも小さくなる。そのため、可視光では観測できなかたった結晶構造が、電子波やX線などで観測できるようになった。生物学でウイルスが電子顕微鏡で観測できるようになったのも、電子の物質波が可視光よりも大幅に小さいからである。上述のような、さまざまな実験の結果から、すべての物質には、原子ていどの大きさの世界(以降、単に「原子スケール」などと略記する)では、波動性と粒子性の両方の性質をもつと考えられている。このことを粒子と波動の二重性という。そして、原子スケールでは、ある一つの物質(主に電子のような粒子)について、その位置と運動量の両方を同時に決定する事はできない。このことを不確定性原理(ふかくていせいげんり)という。物理学者ガイガーと物理学者マースデンは、(ラジウムから出した)α粒子をうすい金ぱくに当てる実験を行い、α粒子の散乱の様子を調べた。(なお、α粒子の正体はヘリウムの原子核。)その結果、ほとんどのα粒子は金ぱくを素通りするが、金ぱく中の一部の場所の近くを通ったα粒子だけが大幅に散乱する現象を発見した。この実験結果からラザフォードは、原子核の存在をつきとめた。原子は、中心に原子核があり、そのまわりを電子が運動するというラザフォードモデルとよばれるモデルによって説明される。原子(atom)は、全体としては電気的に中性であり、負の電荷を有する電子を電子殻に持つ。ここで、ミリカンの実験による結果などから、電子の質量は水素イオンの質量の約1/1840程度しかないことが分かっている。すなわち、原子は電子と陽イオンとが含まれるが、質量の大部分は陽イオンがもつことが分かる。原子核の大きさは原子全体の1/10000程度であるため、原子の大部分は真空である。原子核は、正の電荷をもつZ個の陽子(proton)と、電気的に中性な(A−Z)個の中性子(neutron)からなる。陽子と中性子の個数の合計を質量数(mass number)という。陽子と中性子の質量はほぼ等しいため、原子核の質量は、質量数Aにほぼ比例する。高温の物体から発光される光には、どの(可視光の)色の波長(周波数)もあり、このような連続的な波長の光を連続スペクトルという。いっぽう、ナトリウムや水素などの、特定の物質に電圧がかけられ放電したときに発光する波長は、特定の数本の波長しか含まれておらず、このようなスペクトルを輝線(きせん)という。パルマーは、水素原子の数本ある輝線の波長が、次の公式で表現できることに気づいた。 λ = 3.65 × 10 − 7 m × ( n 2 n 2 − 4 ) {\displaystyle \lambda =3.65\times 10^{-7}\mathrm {m} \times \left({n^{2} \over n^{2}-4}\right)} (ただし、n=3, 4 , 5 ,6 ,・・・) 上式中の「m」はメートル単位という意味。(上式のmは代数ではないので、間違えないように。) その後、水素以外の原子や、可視光以外の領域についても、物理学者たちによって調べられ、次の公式へと、物理学者リュードベリによって、まとめられた。上式のRはリュードベリ定数といい、 R = 1.097 × 10 7 / m {\displaystyle R=1.097\times 10^{7}/m} である。ラザフォードの原子模型に従えば、電子は、まるで惑星の公転のように原子核を中心とする円軌道の上を一定の速度で運動する。原子核を中心とする半径r[m]の円軌道を速さv[m/s]で回転する電子の角運動量 r p = r m v {\displaystyle rp=rmv} は、 h 2 π {\displaystyle {\frac {h}{2\pi }}} の正整数倍にならなければならない(角運動量の量子化)。を満たさねばならない。後年(1924年)、ド・ブロイは「物質粒子は波動性を持ち、これに従えば、ボーアの量子条件の仮定は、「電子軌道の長さは、電子の物質波の波長の正整数倍である」と表現できる。電子はあるきまったとびとびのエネルギーしか持たない。このとびとびのエネルギー値をエネルギー順位という。水素原子において、電子軌道上にある電子のエネルギーを求める計算をするが、まず、そのためには、原子の半径を求める必要がある。水素の電子が原子核 H + {\displaystyle H^{+}} を中心とする半径rの円軌道上を一定の速度vで運動しているとすれば、運動方程式はで表される。一方、電子が定常波の条件を満たす必要があるので、前項の式(1)から、である。このvをさきほどの円運動の式に代入して整頓すれば、 (ただし、n=1, 2 , 3 ,・・・) になる。こうして、水素原子の電子の軌道半径が求まる。さきほどの軌道半径の式でn=1のとき半径r1を「ボーア半径」という。原子の世界でも、運動エネルギーKと位置エネルギーUの和が、エネルギーである。位置エネルギーUは、この水素の電子の場合なら、静電気エネルギーを求めれば充分であり、電位の式によって求められて、となる。運動エネルギーKは、 K = 1 2 m v 2 {\displaystyle K={\frac {1}{2}}mv^{2}} なので上式の右辺第一項に、 m v 2 = k 0 e 2 r {\displaystyle mv^{2}=k_{0}{\frac {e^{2}}{r}}} を代入すれば、となる。さらに、これに電子の軌道半径 r = r n {\displaystyle r=r_{n}} の式(3)を代入すれば、となる。これが水素原子のエネルギー準位である。エネルギー準位の公式をよく見ると、まず、エネルギーが、とびとびの値になることが分かる。また、エネルギーが負になる事がわかる。 n=1のときが、もっともエネルギーの低い状態であり、そのため、n=1のときが安定な状態である。よって、電子は通常、n=1の状態になる。なお、水素原子の発する光のスペクトルの実測値を表すリュードベリの経験式については、既に「水素原子のスペクトル」の項でで説明した。電子がエネルギー順位 E n {\displaystyle E_{n}} から、低いエネルギー順位 E m {\displaystyle E_{m}} に遷移するときに、振動数 ν = E n − E m h {\displaystyle \nu ={\frac {E_{n}-E_{m}}{h}}} の光子を一個放出する。 1 λ = E n − E m c h {\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}={\frac {E_{n}-E_{m}}{ch}}} で与えられるので、右辺のエネルギー順位に式(4)を代入するとが得られる。 R ≜ 2 π 2 k 0 2 m e 4 c h 3 {\displaystyle {\bf {R}}\triangleq {\frac {2\pi ^{2}k_{0}{}^{2}me^{4}}{ch^{3}}}} で、リュードベリ定数Rを定義すると、式(5)は Rの定義式中の諸定数に値をいれて計算すると驚くべきことに、リュードベリの経験式が、見事に導出できたのである。これは、ボーアの仮説の妥当性を示すものと言えよう。 (※ 未記述) 原子核は、陽子と中性子からできている。陽子は正電荷をもち、中性子は電荷をもたない。では、なぜプラスの電荷をもつ陽子どうしが、なぜクーロン力で反発してしまわないのだろうか? この理由として、つまり陽子どうしがクーロン力で反発しないための理由として、次のような理由が考えられている。まず、陽子に中性子が近づいて混合すると、「核力」という非常に強い結合力が発生し、この核力が陽子同士のクーロン力による強い斥力に打ち勝つので、陽子と中性子は結合していると考えられている。(必ずしも、陽子と中性子の個数は同一でなくてもいい。実際に、周期表にあるいくつもの元素でも、陽子と中性子の個数は異なる。) 比喩的に言い換えば、中性子は、陽子と陽子を結びつける、ノリのような役割をしていると、考えられている。なお、名称として、陽子と中性子をまとめて「核子」と呼ばれる。ある元素の原子核の陽子の数は、周期表の原子番号と一致する。また、陽子と中性子の数の和は質量数とよばれる。質量数Aの原子核は非常に強い核力のために、小さな球体状の空間の中に固まっており、その半径rは、 1.2 {\displaystyle 1.2} ~ 1.4 × 10 − 15 × A 1 3 {\displaystyle 1.4\times 10^{-15}\times A^{\frac {1}{3}}} であることが知られている。任意の原子核は、それを構成する核子である陽子と中性子が自由であるときの質量(単体質量という)の和より、小さい質量をもつ。この減った質量を、質量欠損と呼ぶ。質量数A、原子番号Zの原子核の質量欠損 Δ m {\displaystyle \Delta m} を、式で書けば, 原子核の質量をm、陽子と中性子の単体質量をそれぞれ m p , m n {\displaystyle m_{p},\ m_{n}} としたとき、測定実験の事実として、陽子単独や中性子単独の質量の倍数や和よりも、それらの結合した原子核のほうが質量が低いので、陽子や中性子が結合すると質量の一部が欠損するというのが、測定結果の事実である。なので、質量欠損のとりあえずの原因として考えられているのは、陽子や中性子どうしの結合であると考えられている。だが、では、なぜ陽子や中性子が原子核として結合すると質量が欠損するかの理由としては、けっして「結合だから」という理由では説明がつかない。なので、物理学者たちは、質量欠損の起きる根本的な原因となる物理法則して、アインシュタインの相対性理論を適用している。(検定教科書でも、相対性理論の結果であるとして説明する立場) (アインシュタインの特殊)相対性理論から導かれる結果として(※ 備考: 相対論には一般相対論と特殊相対論の2種類がある)、質量mとエネルギーEには、という関係式があるとされる。なお、C とは光速の値である。あるいは別の書式として、変化を表すデルタ記号Δを使て、などと書く場合もある。つまり、もし何らかの理由で、真空から質量が発生または消失すれば、そのぶんの莫大なエネルギーが発生するというのが、相対性理論でのアインシュタインなどの主張である。さて、自由な陽子と中性子は、核力により結合するとき、その結合エネルギーに相当するw:ガンマ線を放射することが知られている。そして、ガンマ線にもエネルギーがある。なので、陽子と中性子の結合したときのガンマ線のエネルギーは、質量欠損によって生じたと考えると、測定結果とツジツマが合う。(測定結果は、あくまで質量が欠損することまで。) 核子の結合において、質量欠損 Δ m {\displaystyle \Delta m} が、ガンマ線などのエネルギーに転化した、と物理学者たちは考えている。元素の中には、放射線(radiation)を出す性質をもつものがあり、この性質を放射能(radioactivity)という。また、放射能をもつ物質は放射性物質といわれる。放射線には3種類存在し、それぞれα線、β線、γ線という。 α崩壊は、親原子核からヘリウム原子核が放射される現象である。このヘリウム原子核はα粒子とよばれる。 α崩壊後、親原子核の質量数は4小さくなり、原子番号は2小さくなる。 β崩壊は、親原子核の中性子が陽子と電子に変化することで、電子が放射される現象である。 (備考: このとき、反ニュートリノとよばれる微小な粒子も同時に放出されると、近年の学説では考えられている。) なお、この電子(ベータ崩壊として放出された電子のこと)は「β粒子」ともよばれる。 β崩壊後、親原子核の質量数は変化しないが、原子番号は1増加する。 γ線は、α崩壊またはβ崩壊直後の高エネルギーの原子核が、低エネルギーの安定な状態に遷移するときに放射される。 γ線の正体は光子で、X線より波長の短い電磁波である。 α崩壊やβ崩壊によってもとの原子核の数は徐々に減っていくが、これらの崩壊は原子核の種類ごとに決まった一定の確率で起きるので、崩壊によってもとの原子核の数が減る速度は原子核の個数に比例して変化する。しかし、崩壊によってもとの原子核の数が半減するのにかかる時間は、原子核の種類だけによってきまる。そこで、この時間のことをその原子核の半減期(はんげんき、half life ) と呼ぶ。崩壊によって原子核の個数がどれだけになるかは、この半減期を用いて記述することができる。原子核の半減期をT、時刻tでの原子核の個数をN(t)とすると、が成り立つ。原子核の崩壊速度は、原子核の個数に比例すると述べた。実は、上に述べた公式はこの情報だけから純粋に数学的に導き出すことができるものである。高等学校では扱わない数学を用いるが、興味のある読者のためにその概要を記しておく。原子核の個数と崩壊速度の間の比例定数は原子核の種類によって決まる。この定数をその原子核の崩壊定数という。崩壊定数がλの原子核の時刻tでの個数をN(t)とすると、その変化速度、すなわちN(t)の微分は、で表される。このような、ある関数とその微分との関係を表した式を微分方程式といい、微分方程式を満たすような関数を求めることを、微分方程式を解くという。(詳しい解法は解析学基礎/常微分方程式で説明するが、)この微分方程式を解くとが得られる。(この式が確かに先ほどの微分方程式を満たしていることを確かめてみよ) 半減期Tとは、 N ( t ) = 1 2 N ( 0 ) {\displaystyle N(t)={\frac {1}{2}}N(0)} となるtのことなので、先ほどの式からが得られる。よって、が得られる。ラザフォードは、窒素ガスを密閉した箱にα線源があると、正電荷をもった粒子が発生することを発見した。この正電荷の粒子が、陽子である。つまり、ラザフォードは陽子を発見した。同時に、酸素も発生することを発見し、その理由は窒素が酸素に変換されたからであり、つまり、原子核が変わる反応も発見した。これらのことを式にまとめると、である。このように、ある元素の原子が、別の元素の原子に変わる反応のことを原子核反応という。または、「核反応」という。まず、宇宙線の観測により、μ粒子というのが、発見されている。そもそも、どうやって素粒子を観測するかというと、いくつかの方法があるが、などが使われた。 (※ 高校で習う範囲内。X線や原子核の単元で、霧箱(きりばこ)を習う。) 霧箱(きりばこ)という、蒸気のつまった装置をつかうと、なんらの粒子が通過すると、その粒子の軌跡で、気体から液体から凝着が起きるので、軌跡が、目に見えるのである。(※ 検定教科書では、原子核の分野で、霧箱について習う。)(イメージ的には、飛行機雲のようなのを、イメージしてください。) で、磁場を加えた場合の、軌跡の曲りぐあい等などから、比電荷までも予想できる。このように、霧箱をつかった実験により、20世紀前半〜中盤ごろには、いろいろな粒子が発見された。 μ粒子以外にも、陽電子(ようでんし)が、霧箱によって発見されている。 (※ 範囲外:)世界初で陽電子を実験的に観測したアンダーソンは、霧箱に鉛板を入れることで陽電子を発見した。というか、(μ粒子の発見よりも)陽電子のほうが発見は早い。 (※ 範囲外:)また、陽電子は、量子力学のシュレーディンガー方程式に、特殊相対性理論とを組み合わせた、「ディラックの方程式」から、理論的に予想されていた。まず、「陽電子」という物質が1932年に鉛板を入れた霧箱(きりばこ)の実験でアンダーソン(人名)によって発見されており、陽電子は質量が電子と同じだが、電荷が電子の反対である(つまり陽電子の電荷はプラスeクーロンである)。(※ 鉛板については高校の範囲外。) そして、電子と陽電子が衝突すると、2mcのエネルギーを放出して、消滅する。(この現象(電子と陽電子が衝突すると2mcのエネルギーを放出して消滅する現象)のことを、「対消滅」(ついしょうめつ)という。) 陽子に対しても、「反陽子」がある。反陽子は、電荷が陽子と反対だが、質量が陽子と同じであり、陽子と衝突すると対消滅をする。中性子に対しても、「反中性子」がある。反中性子は、電荷はゼロだが(ゼロの電荷の±を反対にしてもゼロのまま)、質量が同じで、中性子と対消滅をする。陽電子や反陽子や反中性子のような物質をまとめて、反物質という。 (※ 範囲外: )放射性同位体のなかには、崩壊のときに陽電子を放出するものがある。最先端の病院で使われるPET(陽電子断層撮像法)技術は、これを応用したものである。フッ素をふくむフルオロデオキシグルコースという物質はガン細胞によく取り込まれる。PET診断では、これに(フルオロデオキシグルコースに)放射性のフッ素 F をとりこんだ放射性フルオロデオキシグルコースを用いている。(※ 啓林館の『化学基礎』の教科書に、発展事項としてフルオロデオキシグルコースがPET診断で使われてることが紹介されている。) 反物質とは別に、μ粒子が、宇宙線の観測から、1937年に見つかった。このμ粒子は、電荷は、電子と同じだが、質量が電子とは違い、μ粒子の質量は、なんと電子の約200倍の質量である。 μ粒子は、べつに陽子や電子の反物質ではないので、べつに陽子とも対消滅を起こさないし、電子とも対消滅を起こさない。なお、μ粒子にも、反μ粒子という、反物質が存在することが分かっている。このような物質が、われわれの住んでいる地上で見つからないのは、単に地上の大気などと衝突して消滅してしまうからである。なので、高山の頂上付近などで観測実験をすると、μ粒子の発見の可能性が高まる。なお21世紀の現在、μ粒子を活用した技術として、現在、火山などの内部を観察するのに、活用されている。μ粒子は、透過力が高いが、地上の物質と反応して、わずかに消滅してしまうので、そのような性質を利用して、火山内部のように人間が入り込めない場所を観察するという技術が、すでにある。このような観測に使われるμ粒子をどうやって発生させるのか? 宇宙線から飛んでくるμ粒子をそのまま使うという方法もありそれを実行している研究者もいるが、それとは別の手法として、加速器などで人工的にμ粒子などを発生させるという方法もある。加速器を使った方法は、下記の通り。まず、シクロトロンやサイクロトロンを使って、電子などを超高速に加速させ、それを一般の物質(グラファイトなど)に当てる。すると、当然、いろんな粒子が発生する。そのうち、π中間子が、磁気に反応する(と考えられている)ので、大きな電磁石コイルで、π中間子を捕獲する。このπ中間子が崩壊して、μ粒子が発生する。そもそも宇宙線が何によって発生しているかの発生原因は、現時点の人類には不明である。(※ 参考文献: 数研出版の資料集の『図説物理』) 超新星(ちょうしんせい)爆発によって宇宙線が発生するのでは、という説もあるが、とにかく宇宙線の発生原因については未解明である。電子や陽子や中性子などは、「スピン」という磁石のような性質をもっている。磁石にN極とS極があるように、スピンにも、2種類の向きがある。スピンのこの2種類の向きは、「上向き」と「下向き」に、よく例えられる。磁石の磁力の発生原因は、磁石中の分子の最外殻電子のスピンの向きが同一方向にそろっているから、であると考えられている。全分子は、電子や陽子や中性子を含むのに、なのに多くの物質が、あまり磁性を発生しないのは、反対符号のスピンをもつ電子が結合しあうことで、打ち消しあうからである。 (てっきり、電子と陽子のような電荷をもつ粒子にしかスピンがないと誤解している人もいるが、中性子にもスピンはある。) 中学高校で観測するような普通の方法では、スピンが観測できないが、分子などの物質に磁気を加えつつ高周波を加えるなどすると、スピンの影響によって、その分子の振動しやすい周波数が違うなどの現象をもちいて、間接的に(電子などの)スピンを観測できる。(なお、核磁気共鳴法(NMR、nuclear magnetic resonance)の原理である。 ※ 理論的な解析は、大学レベルの力学の知識が必要になるので省略する。) 分子中の水素原子や、ある種の放射性同位体(中性子がたった1個ふえただけの同位体)など、高周波の影響を受けやすく、その理由のひとつが、スピンによるものだと考えられてる。(※ なお、医療で用いられるMRI(magnetic resonance imaging)は、この核磁気共鳴法(NMR)を利用して人体内部などを観測しようとする機器である。) さて、実は素粒子も、スピンをもつのが普通である。 μ粒子はスピンをもつ。 μ粒子の「スピン」という性質による磁気と、μ粒子の透過性の高さを利用して、物質内部の磁場の観測方法として既に研究されており、このような観測技術を「μオンスピン回転」という。超伝導体の内部の観測などにも、すでに「μオンスピン回転」による観測が研究されている。ウィキペディア記事『w:ミュオンスピン回転』によると、μオンの崩壊時に陽電子を放出するので、陽電子の観測技術も必要である。(高校の範囲外であるが、)これからの学生は、いろいろと勉強する事が多い。陽子と中性子は、質量はほとんど同じである。電荷が違うだけである。そして、電子と比べると、陽子も中性子も、質量がかなり大きい。この事から、「陽子や中性子にも、さらに中身があり、別の粒子が詰まっているのでは?」という疑問が生まれてきて、陽子や中性子の内部の探索が始まった。しかし、現在でも、陽子や中性子の内部の構造は、実験的には取り出せてはいない。(※ 陽子や中性子の内部構造として説明されている「クォーク」は、単独では発見されていない。クォークは単に、内部の説明のための、概念である。) 歴史的には、まず、陽子と中性子の内部構造として、架空の素粒子を考えられ、陽子と中性子は、それらの素粒子の状態が違うだけ、と考えられた。いっぽう、電子には、内部構造がない、と考えらている。され、20世紀なかば、量子力学では、そのころ、すでに、電子の状態として「スピン」という概念が、みつかっていた。量子力学では、化学結合で価電子が2個まで結合して電子対になる理由は、このスピンが2種類しかなくて、反対向きのスピンの電子2個だけが結合するからである、とされている。スピンの2種類の状態は、「上向き」「下向き」というふうに、よく例えられる。(実際の方向ではないので、あまり深入りしないように。) このような量子力学を参考にして、陽子と中性子でも「アイソスピン」という概念が考えられた。(※ 「アイソスピン」は高校範囲外。) 陽子と中性子は、アイソスピンの状態が違うだけ、と考えられた。その後、20世紀半ば頃から、「アイソスピン」を発展させた「クォーク」という理論が提唱された。架空の「クォーク」という3個の素粒子を仮定すると、実在の陽子や中性子の成り立つモデルが、実験結果をうまく説明できる事が分かった。電荷( + 2 3 e {\displaystyle +{\frac {2}{3}}e} )をもつ素粒子「アップクォーク」と、±( − 1 3 e {\displaystyle -{\frac {1}{3}}e} )をもつ素粒子「ダウンクォーク」があって、と考えると、いろいろな素粒子実験の結果をうまく説明できる事が分かった。なお、電子には、このような内部構造はない、と考えられいる。アップクォークは「u」と略記され、ダウンクォークは「d」と略記される。陽子のクォーク構造はuudと略記される(アップ、アップ、ダウン)。中性子のクォーク構造はuddと略記される(アップ、ダウン、ダウン)。なお、上記の説明では省略したが、おおよそ1950〜60年代ごろまでに、高山での宇宙線の観測や、あるいは放射線の観測や、またあるいはサイクロトロンなどによる粒子の加速器衝突実験により、陽子や中性子のほかにも、同程度の質量のさまざまな粒子が発見されており、それら新種の粒子は「中間子」に分類された。そもそも、「クォーク」の理論は、このような20世紀半ばごろまでの実験や観測から何百個もの新種の粒子が発見されてしまい、そのような経緯があったので、クォークの理論が提唱されたのである。さて、「中間子」(ちゅうかんし、mason メソン)とは、もともと理論物理学者の湯川秀樹が1930年代に提唱した、陽子と中性子とを引き付けているとされる架空の粒子であったが、20世紀なかばに新種の粒子が発見された際、「中間子」の名前が使われることになった。さて、実験的に比較的早い時期から発見された「中間子」では、「π中間子」がある。ある種類のπ中間子は、アップクォークと反ダウンクォークからなり、πと略記される。(ダウンクォークの反物質が、反ダウンクォーク。) π= u d ̄ {\displaystyle u{\overline {d}}} 別のある種類のπ中間子は、ダウンクォークと反アップクォークからなり、πと略記される。π= u ̄ d {\displaystyle {\overline {u}}d} このように、ある粒子内のクォークは合計2個のであっても良い場合もある。(かならずしも、陽子のようにクォーク3個でなくてもかまわない場合もある。) (※ このような実験例から、粒子内に合計5個のクォークや7個のクォークを考える理論もあるが、しかし高校物理の範囲を大幅に超えるので、説明を省略。) また、中間子は、自然界では短時間のあいだだけ、存在できる粒子だという事も、観測実験によって、分かってきた。(中間子の存在できる時間(「寿命」)は短い。すぐに、他の安定な粒子に変換してしまう。) しかし、アップとダウンだけでは、説明しきれない粒子が、どんどんと発見されていく。クォークの提唱時の当初は、おそらく、「クォークのアップとダウンで、きっと、ほとんどの中間子の構造を説明できるだろう」と期待されていたのだろうが、しかし、宇宙線から1940年代に発見された「K中間子」の構造ですら、アップとダウンでは説明できなかった。このほか、加速器の発達などにより、アップとダウンの組み合わせだけで説明できる数を超えて、どんどんと新種の「中間子」が発見されてしまい、もはやアップとダウンだけでは、中間子の構造を説明しづらくなってきた上、μ粒子が、説明できない。また、加速器実験により、1970年代に「D中間子」など、さまざまな中間子が、実験的に実在が確認された。このように、アップとダウンだけでは説明のできない、いろいろな粒子が存在することが分かり、そのため、素粒子理論では、「アップ」(u)と「ダウン」(d)という2種類の状態の他にも、さらに状態を考える必要に、せまられた。そして、新しい状態として、まず「チャーム」(記号c)と「ストレンジ」(記号s)が考えられた。加速器実験の技術が発展し、加速器実験の衝突のエネルギーが上がってくると、さらに「トップ」(記号t)と「ボトム」(記号b)というのが考えられた。なお、μ粒子には内部構造はないが、陽子や中性子に電子を対応させるのと同様に(第1世代)、チャームやストレンジからなる陽子的・中性子的な粒子とμ粒子を対応させた(第2世代)。同様に、トップやボトムからなる粒子にμ粒子を対応させた(第3世代)。電子やμ粒子は内部構造をもたないと考えられており、「レプトン」という、内部構造をもたないとされるグループに分類される。「K中間子」は、第1世代のクォークと第2世代のクォークから成り立っている事が、分かっている。(※ 検定教科書の範囲内。) そして、2017年の現在までずっと、クォークの理論が、素粒子の正しい理論とされている。素粒子の観点から分類した場合の、陽子と中性子のように、クォーク3個からなる粒子のことを、まとめて「バリオン」(重粒子)という。π中間子(π= u d ̄ {\displaystyle u{\overline {d}}} )など、クォークが2個の粒子は、バリオンに含まない。しかし、中間子のなかにも、ラムダ粒子(uds、アップダウンストレンジの組み合わせ)のように、クォーク3個からなる粒子もある。ラムダ粒子なども、バリオンに含める。陽子と中性子やラムダ粒子などといったバリオンに、さらに中間子(中間子は何種類もある)を加えたグループをまとめて、「ハドロン」という。なお、普通の物質の原子核では、陽子と中性子が原子核に集まっているが、このように陽子と中性子を原子核に引き合わせる力のことを核力という。核力の正体は、まだ、あまり解明されていない(少なくとも高校で教えるほどには、まだ充分には解明されていない)。ともかく、バリオンには、核力が働く。通説では、中間子にも、核力は働くとされている。つまり、ハドロンに、核力が働く。ハドロンは、そもそもクォークから構成されている事から、「そもそもクォークに核力が働くのだろう」的な事が、考えられている。理論では、クォークとクォークどうしを引き付けあう架空の粒子として「グルーオン」が考えられており、物理学者から理論が提唱されているが、その正体は、まだ、あまり解明されてないが、しかし物理学者たちは「グルーオンを発見した」と主張している。現在の物理学では、クォークが単独では取り出せていないのと同様に、グルーオンも単独では取り出せてはいない。さて、物理学では、20世紀から「量子力学」という理論があって、この理論により、物理法則の根源では、波と粒子を区別するのが無意味だと言われている。そのため、かつては波だと考えられていた電磁波も、場合によっては「光子」という粒子として扱われるようになった。このように、ある波や力場(りきば)などを、理論面では粒子に置き換えて解釈して扱う作業のことを、物理学では一般に「量子化」という。グルーオンも、クォークとクォークを引き付ける力を、量子化したものであろう。電荷との類推で、クォークにも色荷(カラー荷)というのが考えているが、その性質は、あまり解明されてない(少なくとも高校で教えるほどには、まだ充分には解明されていない)。グルーオンのように、力を媒介する粒子のことをゲージ粒子という。重力を媒介する架空の粒子のことを重力子(グラビトン)というが、まだ発見されていない。物理学者たちも「グラビトンは、まだ未発見である」と主張している。電磁気力を媒介する粒子は光子(フォトン)というが、これは単に、電磁場を仮想的な粒子として置き換えて扱っただけである。フォトンは、高校物理の電磁気分野で習うような古典的な電磁気計算では、まったく役立たない。なお、光子もゲージ粒子に含める。つまり、光子やグルーオンは、ゲージ粒子である。ベータ崩壊をつかさどる力のことを「弱い力」といい、この力を媒介する粒子を「ウィークボソン」というが、性質は、よく分かっていない。しかし物理学者たちは「ウィークボソンを発見した」と主張している。そもそも「ボソン」とは何か? 量子力学のほうでは、電子のような、一箇所にたかだか数個までしか存在できない粒子をまとめてフェルミオンという。フェルミオン的でない別種の粒子としてボソンがある。光子も、ボソンとして扱われる。「ウィークボソン」とは、おそらく、弱い力を媒介するボソンだからウィークボソンと呼んでいるのだろう。さて、電荷との類推で、「弱い力」に関する「弱荷」(じゃくか)というのも提唱されているが、しかし、その性質は、あまり解明されてない(少なくとも高校で教えるほどには、まだ充分には解明されていない)。さて、「弱い力」のある一方、グルーオンの媒介する力のことを「強い力」ともいう。 1956年に、電子のスピンの方向と、ベータ崩壊粒子の出て来る方向との関係を見るための実験として、コバルトの放射性同位体であるコバルト60をもちいて次のような実験が、アメリカで行われた。コバルト元素(元素記号: Co )の放射性同位体であるコバルト60を極低温に冷却し、磁場をかけて多数のコバルト原子の電子殻の孤立電子スピンの方向をそろえた状態で、コバルト60がベータ崩壊して発生するベータ粒子の出る方向を調べる実験が、1956年にアメリカで行われた。鉄とニッケルとコバルトは、それぞれ金属単体で磁性体になる元素である。元素単体で磁性体になる元素は、この3つ(鉄、ニッケル、コバルト)しかない。(なお、放射性同位体でない通常のコバルトの原子量は59である。) この3つ(鉄、ニッケル、コバルト)のなかで、コバルトが一番、磁気に寄与する電子の数が多いことが量子力学の理論により既に知られたいたので(コバルトがもっとも、d軌道の電子の数が多い )、ベータ崩壊とスピンとの関係をみるための実験に、コバルトの放射性同位体であるコバルト60が使われたのである。実験の結果、コバルト60がベータ崩壊してベータ粒子の出てくる方向は、コバルト60のスピンの磁気の方向と(同じ方向よりも)逆の方向に多く放出されているのが観測された。これは、2種類(スピンと同方向にベータ粒子の出る場合と、スピンと反対方向にベータ粒子の出る場合)の崩壊の確率が異なっており、ベータ崩壊の確率の(スピン方向を基準とした場合の)方向対称性が敗れていることになる。このような実験事実により、「弱い力」は非対称である、というのが定説。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "ミリカンの実験とは、霧吹きなどで作成した油滴の微小な飛沫に、X線やラジウムなどで帯電させる。そして、外部から電場を引火する。すると、油滴の重力(下向き)のほかに、電場による静電気力(上向きになるように電極板を設置する)が働くので、釣り合って静止する状態になった時の電場から、電荷の値を確かめる実験である。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "この実験で算出・測定される電荷の値が 1.6×10 [C]の整数倍になったので、電子1個の電荷が 1.6×10 [C]だと分かった。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "なお、この 1.6×10 [C]のことを電気素量(でんきそりょう)という。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "負の電荷に帯電させてある金属板に、紫外線を当てると、電子が飛び出してくることがある。また、放電実験用の負極に電子を当てると、電子が飛び出してくることがある。この現象を、光電効果(こうでんこうか、photoelectric effect)という。1887年、ヘルツによって、光電効果が発見された。レーナルトによって、光電効果の特徴が明らかになった。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "当てる光の振動数が、一定の高さ以上だと、光電効果が起きる。この振動数を限界振動数(げんかいしんどうすう)といい、限界振動数より低い光では、光電効果が起こらない。また、限界振動数のときの波長を、限界波長(げんかいはちょう)という。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "物質によって、限界振動数は異なる。亜鉛版では紫外線でないと光電効果が起きないが、セシウムでは可視光でも光電効果が起きる。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "光電効果とは、物質中(主に金属)の電子が光のエネルギーを受け取って外部に飛び出す現象のことである。この飛び出した電子を「光電子」(こうでんし、photoelectron)という。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "光電効果には,次のような特徴的な性質がある。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "これらの性質のうち、1番めと2番めの性質は、古典物理学では説明できない。つまり、光を、電磁波という波動の性質だけを捉えていては、つじつまが合わないのである。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "なぜなら、仮に、電磁波の電界(電場)によって金属から電子が放出すると考えた場合、もし光の強さが大きくなれば、振幅が大きくなるので、電界(電場)も大きくなるはずである。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "しかし、実験結果では、光電子の運動エネルギーは、光の強さには依存しない。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "よって、古典力学では説明できない。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "上述の矛盾(古典的な電磁波理論では、光電効果を説明できないこと)を解決するために、次のような光量子仮説がアインシュタインによって提唱された。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "この2つめの条件を定式化すると、", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "この式における比例定数hはプランク定数とよばれる定数で、", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "[J・s] という値をとる。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "仕事関数(しごとかんすう、work function)とは、光電効果を起こすのに必要な最小のエネルギーのことである。金属の種類ごとに、決まった値である。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "仕事関数の値を W[J] とすると、光子の得る運動エネルギーの最大値 K0 [J] について、次式が得られる。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "この式より、光電効果が起こる条件は hν≧W となる。これは K0≧0 に相当する。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "これより、光電効果が起こる限界振動数 ν0 について、hν0=W が成り立つ。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "この光量子仮説により、光電効果の1番めと2番めの性質は、容易に、矛盾なく説明できるようになった。波動は粒子のように振舞うのである。なお、光電効果の3番めの性質から、ある場所の光の強さは、その場所の単位面積に単位時間、飛来する光子の数に比例することが分かる。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "そもそも、光の波長は、どうやって測定されたのだろうか。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "現在では、たとえば原子の発光スペクトルの波長測定なら、回折格子をプリズムとして使うことによって、波長ごとに分け、波長が測定されている。(※ 参考文献: 培風館(ばいふうかん)『step-up 基礎化学』、梶本興亜編集、石川春樹ほか著、2015年初版、25ページ)", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "おおまかな原理を述べると、可視光ていどの光の波長の測定は、回折格子によって測定するわけだが、ではその回折格子の細かい数百ナノメートル〜数千ナノメートルていどの間隔の格子ミゾをどうやって作るのか、という問題に行き着いてしまう。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "歴史的には、下記のように、可視光の波長が測定されていった。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "まず、1805年ごろの「ヤングの実験」で有名なヤングらの研究により、可視光の波長は、おおむね 100nm(10m) 〜 1000nm の程度であることは、この頃から、すでに予想されていた。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "その後、ドイツのレンズの研磨工だったフラウンホーファーが、すぐれた回折格子を開発し、可視光の波長を精密に測定する事に成功した。フラウンホーファーは回折格子を作るために細い針金を用いた加工装置を製作し、その加工機で製作された回折格子を用いて、光の波長の測定をし始めたのが、研究の始まりである。1821年にフラウンホーファーは、1cmあたり格子を130本も並べた回折格子を製作した。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "また、1870年にはアメリカのラザフォードがスペキュラムという合金を用いた反射型の回折格子を製作し(このスペキュラム合金は光の反射性が高い)、これによって1mmあたり700本もの格子のある回折格子を製作した。(要出典)", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "さらにこのころの時代、送りねじの潤滑のために水銀を使う水銀浮遊法が、研究開発で行われた。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 33, "tag": "p", "text": "より高精度な波長測定が、のちの時代の物理学者マイケルソンによって、干渉計(かんしょうけい)というものを用いて(相対性理論の入門書によく出てくる装置である。高校生は、まだ相対性理論を習ってないので、気にしなくてよい。)、干渉計の反射鏡を精密ネジで細かく動かすことにより、高精度な波長測定器をつくり、この測定器によってカドミウムの赤色スペクトル線を測定し、結果の波長は643.84696nmだった。マイケルソンの測定方法は、赤色スペクトル光の波長を、当時のメートル原器と比較することで測定した。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 34, "tag": "p", "text": "マイケルソンの制作した干渉計にも、水銀浮遊法の技術が取り入れられている、という。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "さらに、ネジの技術革新で、マートン・ナット(「メルトン・ナット」とも訳す)という、弾力性のある材質でネジをつくることによって誤差がならされて平均化されるので、超絶的に高精度の送りねじを作る技術が、イギリスの物理学者トーマス・ラルフ・マートン(英:en:w:Thomas Ralph Merton )などによって開発された。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "なお、現代でも、研究用として干渉計を用いた波長測定器が用いられている。(要出典) メートル原器は、マイケルソンの実験の当時は長さのおおもとの標準だったが、1983年以降はメートル原器は長さの標準には用いられていない。現在のメートル定義は以下の通り。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "太陽電池も、光電効果のような現象である、と考えられている。(※ 実教出版の教科書などで、扱っている話題。)", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "なお、太陽電池は一般的に半導体であり、ダイオード化したPN接合の部分に光を当てる必要がある。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "(PN接合部分以外の場所に、光があたっても、生じた電力を、電流として取り出せない。電流として取り出せるようにするには、PN接合の部分に、光を当てる必要がある。このため、PN接合の片方の材質を、透明か、それに近い光透過率の材料にする必要があり、「透明電極」という。)", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "(※ 範囲外?: ) なお、発光ダイオード半導体は、この逆パターンとして考えられており、光電効果でいう「仕事関数」にあたるエネルギーをもった電流を流すことにより、その半導体物質の「仕事関数」にあたるエネルギーの光が、PN接合の接合面から放出される、という仕組みである。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "なお、CCDカメラなどに使われるCCDは、太陽電池のような機能をもつ半導体を、電力源としてではなく、光のセンサーとして活用するという仕組みの半導体である。(※ 実教出版の教科書などで、扱っている話題。)", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "(※ 普通科高校の『物理』系科目では習わないが、)", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "物理現象の量子化として、光電効果や物質波のほかにも原子スケールの物理現象の量子化はあり、ある種類の超伝導物質では、それに通した磁束が量子化する現象が知られている。(※ 工業高校の科目『工業材料』下巻(または科目の後半)で習う。)", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "科学者レントゲンは、1895年、放電管をもちいて陰極線の実験をしていたとき、放電管のちかくに置いてあった写真乾板が感光している事に気付いた。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "彼(レントゲン)は、陰極線がガラスに当たったとき、なにか未知のものが放射されてると考え、X線と名づけた。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "やがて、さまざまな実験によって、X線は次の性質をもつことが明らかになった。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "この事から、X線は、荷電粒子ではない事が分かる。(結論をいうと、X線の正体は、波長の短い電磁波である。)", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "また、", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "などの性質がある。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "なお現代では、医療用のX線を「レントゲン」ともいう。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "1912年、物理学者ラウエは、X線を単結晶に当てると、写真フィルムに図のような斑点の模様にあることを発見した。これをラウエ斑点(はんてん)といい、結晶中の原子が回折格子の役割をしたことで発生した干渉現象である。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "1912年、物理学者ブラッグは、反射が強めあう条件式を発見した。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "2d sinθ = n λ", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "これをブラッグの条件という。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "上式のdは格子面の間隔の幅である。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "X線を炭素塊などの(金属とは限らない)物質に当て、その散乱されたあとのX線を調べると、もとのX線の波長よりも長いものが、散乱したX線に含まれる。このように散乱X線の波長が伸びる現象は物理学者コンプトンによって解明されたので、コンプトン効果(またはコンプトン散乱)という。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "この現象は、X線を波と考えたのでは説明がつかない。(もし仮に波と考えた場合、散乱光の波長は、入射X線と同じ波長になるはず。なぜなら、水面の波に例えるなら、もし水面を棒で4秒間に1回のペースで揺らしたら、水面の波も、4秒間に1回のペースで周期を迎えるのと、同じ理屈。) さて、波動の理論でコンプトン効果を説明できないなら、粒子の理論で説明をすれば良いだろう。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "この当時、アインシュタインは光量子仮説にもとづき、光子はエネルギーhνをもつだけでなく、さらに次の式で表される運動量pをもつことを発見している。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "p = h ν c ( = h ν ν λ = h λ ) {\\displaystyle p={\\frac {h\\nu }{c}}(={\\frac {h\\nu }{\\nu \\lambda }}={\\frac {h}{\\lambda }})}", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "物理学者コンプトンは、この発見を利用し、波長λのX線を、運動量 h λ {\\displaystyle {\\frac {h}{\\lambda }}} とエネルギー h c λ {\\displaystyle {\\frac {hc}{\\lambda }}} を持つ粒子(光子)の流れと考え、 X線の散乱を、この光子が物質中のある電子と完全弾性衝突をした結果と考えた。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "解法は、下記のとおり。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "エネルギー保存の式", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "運動量保存の式", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "上記の3つの式を連立し、この連立方程式を解くためにvとφを連立計算で消去させていき、 λ ≒ λ ′ {\\displaystyle \\lambda \\fallingdotseq \\lambda '} のときに λ ′ ≒ λ + h m c ( 1 − cos θ ) {\\displaystyle \\lambda '\\fallingdotseq \\lambda +{\\frac {h}{mc}}(1-\\cos \\theta )} が得られる。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "この式が実験式とよく一致するので、コンプトンの説の正しさは実証された。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "(編集者へ: 記述してください。)(Gimyamma より。解法を書いてみました。)", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "式(1),(2),(3)から、 v {\\displaystyle v} と φ {\\displaystyle \\phi } を消去して、 λ , λ ′ , θ {\\displaystyle \\lambda ,\\lambda ',\\theta } の関係式を求めればよい。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "( m v sin φ ) 2 = ( − h λ ′ sin θ ) 2 {\\displaystyle (mv\\sin \\phi )^{2}=(-{\\frac {h}{\\lambda '}}\\sin \\theta )^{2}}", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "m 2 v 2 = ( h λ − h λ ′ cos θ ) 2 + ( − h λ ′ sin θ ) 2 + h 2 λ ′ 2 {\\displaystyle m^{2}v^{2}=({\\frac {h}{\\lambda }}-{\\frac {h}{\\lambda '}}\\cos \\theta )^{2}+(-{\\frac {h}{\\lambda '}}\\sin \\theta )^{2}+{\\frac {h^{2}}{\\lambda '^{2}}}}", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "を得る。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "式(1)の右辺の第2項を変形して式(4)を代入する。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "これを式(1)の右辺に代入すると", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "を得る。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "この式を式(5)の右辺第2項に代入すると、", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "この式の右辺の第1項を移行し、式を変形すると", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "両辺に λ λ ′ {\\displaystyle \\lambda \\lambda '} を掛けると", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "X線の散乱では、 λ ′ ≒ λ {\\displaystyle \\lambda '\\fallingdotseq \\lambda } なので", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "故に式(6)から", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "これで、所望の式が導出された。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "光の運動量 P[kg・m/s]=hν/c について、", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "まず cP=hν[J] と変形してみると、「速度に運動量をかけたものがエネルギーである」という内容の公式になっている。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "これを理解するため、ひとまず、光を粒子であると同時に流体であると考えて、その電磁波が単位体積あたりの運動量pを持っているとして、その流体の運動量の密度(運動量密度)を p [(kg・m/s)/m]としよう。この場合の電磁波は流体なので、運動量は、その密度で考える必要がある。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "電磁波を物体に照射して、光が物体に吸収されたとしよう。反射はないとして、光のエネルギーはすべて物体に吸収されたとする。簡単のため、物体壁に垂直に光を照射したとする。物体への光の照射面積をA[m]とする。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "電磁波は光速 c[m/s] で進むのだから、壁からcの距離の間にあるすべての光子は、すべて単位時間後に吸収される事になる。単位時間に壁に吸収される光子の量は、その単位時間のあいだに壁に流れ込んだ光子の量であるので、", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "図のように、仮に底面をA[m]として、高さhを c ( hの大きさはcに等しい。単位時間t=1をかけたとすれば h=c・1 である)[m]とする柱の体積 A×c[m]中に含まれる光子の量の総和に等しい。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "いっぽう、運動量密度は p[(kg・m/s)/m]だったので、この柱 A×h に含まれる運動量の総和は、 A×h×p[kg・m/s]である。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "光を吸収した物体の運動量は、単位時間にAhpの運動量が増加することになるが、h=cであったので、つまり、運動量が単位時間あたりに Acp[kg・m/s] だけ壁に流れこむことになる。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "いっぽう、高校物理の力学の理論により、「運動量の時間あたりの変化は、力である」であったので、つまり物体は、Acp[N]の力を受ける。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "力を受けるのは照射された面だから、力[N]を面積で割れば圧力の次元[N/m]=[Pa]になる。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "実際に面積で割る計算をすれば、圧力として cp[N/m]=[Pa]=[J/m] を受ける事が計算的に分かる。さらに、圧力の次元は[N/m]=[Pa]=[J/m]と変形できるので、「圧力は、単位体積あたりのエネルギーの密度(「エネルギー密度」という)である」と考えよう。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "とすれば cp の次元は、[圧力]=[エネルギー密度] となる。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "このエネルギー密度に、hνが対応していると考えれば、合理的である。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "要するに、光のような、事実上は無限に圧縮できる波・流体では、", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "公式として、速度をv、運動量密度をp、エネルギー密度をεとして考えれば、", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "という関係がなりたつ。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "(なお、水や空気のような普通の流体では、無限には圧縮できないので、上記の公式は成り立たない。)", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "われわれがコンプトン効果の学習で分かった運動量の公式 p = h ν c {\\displaystyle p={\\frac {h\\nu }{c}}} は、運動量密度とエネルギー密度の関係式に、光速cと光電効果のエネルギーhνを代入したものになっている。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "上記の考察は、光を流体として考えた電磁波の運動量だが、粒子として解釈された光子の運動量にも、 cP=hν という関係が成り立つと考えよう。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "もし読者が、圧力をエネルギー密度と考えるのが分かりづらければ、たとえば熱力学の仕事の公式 W=P⊿V の類推をしてはどうか? なお、上記の運動量とエネルギーの関係式の導出は大まかな説明であり、正確な導出法は、(大学で習う)マクスウェルの方程式によらなければならない。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "おそらく、「光は、電子に作用するときに、光が粒子として振舞う(ふるまう)」というのが正しいだろう。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "いっぽう、やみくもに「光は粒子! 光は波動ではない!!」(×)とかいうのは、単なる馬鹿のひとつ覚えである。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": "マクスウェルの方程式では、光(電磁波)は波動として、あつかうのである。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "しかし、光電効果で起きる現象では、放出電子のもつ運動エネルギーは、光の強度とは無関係である。単純な流体として考えるなら、(たとえば集光させたり光を重ねたりして、)光の強度が上がれば、運動量密度も上がるハズだし、その帰結の放出電子のエネルギー密度も上がるハズだろいうという予測が成り立ちそうだが、しかし実験結果はその予測とは異なり、光電効果は光の強度とは無関係に光の周波数によって放出電子のエネルギーが決まる、・・・というのが、実験事実である。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "このような実験結果から、20世紀初頭の当時、勃興していた量子力学などと関連づけて、「光も波であると同時に粒子である」と断定したのがノーベル財団などであり、光電効果を光の粒子説の根拠のひとつとしたのがアインシュタインの仮説であり、アインシュタインのその仮説を定説として認定したのがノーベル財団であり、現在の物理学では、光電効果が光子説の根拠として通説になっている。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "光電効果の実験結果そのものは、単に、光電効果における「光」を、単純な流体・波動としては考えられないだろう・・・というだけの事である。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 114, "tag": "p", "text": "結局、物理学は実験科学であり、実験結果にもとづき実験法則を覚えるしかない。「光子」というアイデアは、「光電効果の放出電子1個あたりのエネルギーは、入射光の強度に寄らず、光の波長(周波数)による」という事を覚えやすくするための手段にすぎず、アインシュタインとその支持者にとっては、「光の粒子説」というのが、覚えやすくするためのモデルだっただけである(粒子なのに波長(周波数)とは、意味不明だが)。そして運動量密度とエネルギー密度の関係 vp=ε という知識もまた、光電効果の公式 cP=hν を覚えやすくするための手段にすぎない。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 115, "tag": "p", "text": "じっさいの光は、単純な波でもなく、単純な粒子でもなく、ただ単に、光は光であり、光でしかない。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 116, "tag": "p", "text": "「光の粒子説」というのは、真空中で媒質(ばいしつ)がなくても光が伝わる、という程度の意味合いでしかないだろう。アインシュタインが特殊相対性理論を発表する前までは、(20中盤以降から現代では否定されているが、)かつて「エーテル」という光を伝える媒質の存在が信じられていた。しかしアインシュタインは相対性理論により、エーテルの存在を否定した。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 117, "tag": "p", "text": "「光の粒子説」を発表していた者も同じくアインシュタインだったので、ノーベル財団は、本来なら特相対性理論でノーベル賞を授けるかわりに、光子説でノーベル賞をアインシュタインに授けただけだろう", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 118, "tag": "p", "text": "物理学者ド・ブロイは、波と考えられてた光が粒子の性質をもつならば、きっと電子も粒子としての性質だけでなく、電子も波動のように振舞うだろうと考えた。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 119, "tag": "p", "text": "そして、電子だけでなく、一般の粒子に対しても、その考えを適用し、次の公式を提唱した。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 120, "tag": "p", "text": "これはド・ブロイによる仮説であったが、現在では正しいと認められている。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 121, "tag": "p", "text": "この波は、物質波(material wave)と呼ばれる。ド・ブロイ波(de Broglie wave length)ともいう。すなわち、光子や電子に限らず、あらゆる物質は粒子性と波動性をあわせ持つといえる。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 122, "tag": "p", "text": "この物質波という説によると、もしも電子線を物質に当てれば、回折などの現象が起きるはずである。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 123, "tag": "p", "text": "1927年〜1928年にかけて、デビッソンとガーマーは、ニッケルなどの物質に電子線を当てる実験を行い、X線回折と同様に電子線でも回折が起きることを実証した。日本でも1928年に菊池正士(きくちせいし)が雲母片に電子線を当てる実験により回折が起きることを確認した。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 124, "tag": "p", "text": "電子線の波長は、高電圧をかけて電子を加速して速度を高めれば、物質波の波長はかなり小さくできるので、可視光の波長よりも小さくなる。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 125, "tag": "p", "text": "そのため、可視光では観測できなかたった結晶構造が、電子波やX線などで観測できるようになった。生物学でウイルスが電子顕微鏡で観測できるようになったのも、電子の物質波が可視光よりも大幅に小さいからである。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 126, "tag": "p", "text": "上述のような、さまざまな実験の結果から、すべての物質には、原子ていどの大きさの世界(以降、単に「原子スケール」などと略記する)では、波動性と粒子性の両方の性質をもつと考えられている。このことを粒子と波動の二重性という。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 127, "tag": "p", "text": "そして、原子スケールでは、ある一つの物質(主に電子のような粒子)について、その位置と運動量の両方を同時に決定する事はできない。このことを不確定性原理(ふかくていせいげんり)という。", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 128, "tag": "p", "text": "", "title": "電子と光" }, { "paragraph_id": 129, "tag": "p", "text": "物理学者ガイガーと物理学者マースデンは、(ラジウムから出した)α粒子をうすい金ぱくに当てる実験を行い、α粒子の散乱の様子を調べた。(なお、α粒子の正体はヘリウムの原子核。)その結果、ほとんどのα粒子は金ぱくを素通りするが、金ぱく中の一部の場所の近くを通ったα粒子だけが大幅に散乱する現象を発見した。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 130, "tag": "p", "text": "この実験結果からラザフォードは、原子核の存在をつきとめた。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 131, "tag": "p", "text": "原子は、中心に原子核があり、そのまわりを電子が運動するというラザフォードモデルとよばれるモデルによって説明される。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 132, "tag": "p", "text": "原子(atom)は、全体としては電気的に中性であり、負の電荷を有する電子を電子殻に持つ。ここで、ミリカンの実験による結果などから、電子の質量は水素イオンの質量の約1/1840程度しかないことが分かっている。すなわち、原子は電子と陽イオンとが含まれるが、質量の大部分は陽イオンがもつことが分かる。原子核の大きさは原子全体の1/10000程度であるため、原子の大部分は真空である。原子核は、正の電荷をもつZ個の陽子(proton)と、電気的に中性な(A−Z)個の中性子(neutron)からなる。陽子と中性子の個数の合計を質量数(mass number)という。陽子と中性子の質量はほぼ等しいため、原子核の質量は、質量数Aにほぼ比例する。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 133, "tag": "p", "text": "高温の物体から発光される光には、どの(可視光の)色の波長(周波数)もあり、このような連続的な波長の光を連続スペクトルという。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 134, "tag": "p", "text": "いっぽう、ナトリウムや水素などの、特定の物質に電圧がかけられ放電したときに発光する波長は、特定の数本の波長しか含まれておらず、このようなスペクトルを輝線(きせん)という。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 135, "tag": "p", "text": "パルマーは、水素原子の数本ある輝線の波長が、次の公式で表現できることに気づいた。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 136, "tag": "p", "text": "λ = 3.65 × 10 − 7 m × ( n 2 n 2 − 4 ) {\\displaystyle \\lambda =3.65\\times 10^{-7}\\mathrm {m} \\times \\left({n^{2} \\over n^{2}-4}\\right)} (ただし、n=3, 4 , 5 ,6 ,・・・)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 137, "tag": "p", "text": "上式中の「m」はメートル単位という意味。(上式のmは代数ではないので、間違えないように。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 138, "tag": "p", "text": "その後、水素以外の原子や、可視光以外の領域についても、物理学者たちによって調べられ、次の公式へと、物理学者リュードベリによって、まとめられた。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 139, "tag": "p", "text": "上式のRはリュードベリ定数といい、 R = 1.097 × 10 7 / m {\\displaystyle R=1.097\\times 10^{7}/m} である。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 140, "tag": "p", "text": "ラザフォードの原子模型に従えば、電子は、まるで惑星の公転のように原子核を中心とする円軌道の上を一定の速度で運動する。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 141, "tag": "p", "text": "原子核を中心とする半径r[m]の円軌道を速さv[m/s]で回転する電子の角運動量 r p = r m v {\\displaystyle rp=rmv} は、 h 2 π {\\displaystyle {\\frac {h}{2\\pi }}} の正整数倍にならなければならない(角運動量の量子化)。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 142, "tag": "p", "text": "を満たさねばならない。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 143, "tag": "p", "text": "後年(1924年)、ド・ブロイは「物質粒子は波動性を持ち、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 144, "tag": "p", "text": "これに従えば、ボーアの量子条件の仮定は、「電子軌道の長さは、電子の物質波の波長の正整数倍である」と表現できる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 145, "tag": "p", "text": "電子はあるきまったとびとびのエネルギーしか持たない。このとびとびのエネルギー値をエネルギー順位という。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 146, "tag": "p", "text": "水素原子において、電子軌道上にある電子のエネルギーを求める計算をするが、まず、そのためには、原子の半径を求める必要がある。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 147, "tag": "p", "text": "水素の電子が原子核 H + {\\displaystyle H^{+}} を中心とする半径rの円軌道上を一定の速度vで運動しているとすれば、運動方程式は", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 148, "tag": "p", "text": "で表される。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 149, "tag": "p", "text": "一方、電子が定常波の条件を満たす必要があるので、前項の式(1)から、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 150, "tag": "p", "text": "である。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 151, "tag": "p", "text": "このvをさきほどの円運動の式に代入して整頓すれば、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 152, "tag": "p", "text": "(ただし、n=1, 2 , 3 ,・・・)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 153, "tag": "p", "text": "になる。こうして、水素原子の電子の軌道半径が求まる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 154, "tag": "p", "text": "さきほどの軌道半径の式でn=1のとき半径r1を「ボーア半径」という。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 155, "tag": "p", "text": "", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 156, "tag": "p", "text": "原子の世界でも、運動エネルギーKと位置エネルギーUの和が、エネルギーである。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 157, "tag": "p", "text": "位置エネルギーUは、この水素の電子の場合なら、静電気エネルギーを求めれば充分であり、電位の式によって求められて、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 158, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 159, "tag": "p", "text": "運動エネルギーKは、 K = 1 2 m v 2 {\\displaystyle K={\\frac {1}{2}}mv^{2}} なので", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 160, "tag": "p", "text": "上式の右辺第一項に、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 161, "tag": "p", "text": "m v 2 = k 0 e 2 r {\\displaystyle mv^{2}=k_{0}{\\frac {e^{2}}{r}}} を代入すれば、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 162, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 163, "tag": "p", "text": "さらに、これに電子の軌道半径 r = r n {\\displaystyle r=r_{n}} の式(3)を代入すれば、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 164, "tag": "p", "text": "となる。これが水素原子のエネルギー準位である。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 165, "tag": "p", "text": "エネルギー準位の公式をよく見ると、まず、エネルギーが、とびとびの値になることが分かる。また、エネルギーが負になる事がわかる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 166, "tag": "p", "text": "n=1のときが、もっともエネルギーの低い状態であり、そのため、n=1のときが安定な状態である。よって、電子は通常、n=1の状態になる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 167, "tag": "p", "text": "なお、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 168, "tag": "p", "text": "水素原子の発する光のスペクトルの実測値を表すリュードベリの経験式については、既に「水素原子のスペクトル」の項でで説明した。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 169, "tag": "p", "text": "電子がエネルギー順位 E n {\\displaystyle E_{n}} から、低いエネルギー順位 E m {\\displaystyle E_{m}} に遷移するときに、振動数 ν = E n − E m h {\\displaystyle \\nu ={\\frac {E_{n}-E_{m}}{h}}} の光子を一個放出する。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 170, "tag": "p", "text": "1 λ = E n − E m c h {\\displaystyle {\\frac {1}{\\lambda }}={\\frac {E_{n}-E_{m}}{ch}}} で与えられるので、右辺のエネルギー順位に式(4)を代入すると", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 171, "tag": "p", "text": "が得られる。 R ≜ 2 π 2 k 0 2 m e 4 c h 3 {\\displaystyle {\\bf {R}}\\triangleq {\\frac {2\\pi ^{2}k_{0}{}^{2}me^{4}}{ch^{3}}}} で、リュードベリ定数Rを定義すると、式(5)は", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 172, "tag": "p", "text": "Rの定義式中の諸定数に値をいれて計算すると", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 173, "tag": "p", "text": "驚くべきことに、リュードベリの経験式が、見事に導出できたのである。これは、ボーアの仮説の妥当性を示すものと言えよう。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 174, "tag": "p", "text": "", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 175, "tag": "p", "text": "(※ 未記述)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 176, "tag": "p", "text": "原子核は、陽子と中性子からできている。陽子は正電荷をもち、中性子は電荷をもたない。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 177, "tag": "p", "text": "では、なぜプラスの電荷をもつ陽子どうしが、なぜクーロン力で反発してしまわないのだろうか?", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 178, "tag": "p", "text": "この理由として、つまり陽子どうしがクーロン力で反発しないための理由として、次のような理由が考えられている。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 179, "tag": "p", "text": "まず、陽子に中性子が近づいて混合すると、「核力」という非常に強い結合力が発生し、この核力が陽子同士のクーロン力による強い斥力に打ち勝つので、陽子と中性子は結合していると考えられている。(必ずしも、陽子と中性子の個数は同一でなくてもいい。実際に、周期表にあるいくつもの元素でも、陽子と中性子の個数は異なる。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 180, "tag": "p", "text": "比喩的に言い換えば、中性子は、陽子と陽子を結びつける、ノリのような役割をしていると、考えられている。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 181, "tag": "p", "text": "なお、名称として、陽子と中性子をまとめて「核子」と呼ばれる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 182, "tag": "p", "text": "ある元素の原子核の陽子の数は、周期表の原子番号と一致する。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 183, "tag": "p", "text": "また、陽子と中性子の数の和は質量数とよばれる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 184, "tag": "p", "text": "質量数Aの原子核は非常に強い核力のために、小さな球体状の空間の中に固まっており、その半径rは、 1.2 {\\displaystyle 1.2} ~ 1.4 × 10 − 15 × A 1 3 {\\displaystyle 1.4\\times 10^{-15}\\times A^{\\frac {1}{3}}} であることが知られている。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 185, "tag": "p", "text": "任意の原子核は、それを構成する核子である陽子と中性子が自由であるときの質量(単体質量という)の和より、小さい質量をもつ。この減った質量を、質量欠損と呼ぶ。質量数A、原子番号Zの原子核の質量欠損 Δ m {\\displaystyle \\Delta m} を、式で書けば, 原子核の質量をm、陽子と中性子の単体質量をそれぞれ m p , m n {\\displaystyle m_{p},\\ m_{n}} としたとき、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 186, "tag": "p", "text": "", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 187, "tag": "p", "text": "", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 188, "tag": "p", "text": "", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 189, "tag": "p", "text": "測定実験の事実として、陽子単独や中性子単独の質量の倍数や和よりも、それらの結合した原子核のほうが質量が低いので、陽子や中性子が結合すると質量の一部が欠損するというのが、測定結果の事実である。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 190, "tag": "p", "text": "なので、質量欠損のとりあえずの原因として考えられているのは、陽子や中性子どうしの結合であると考えられている。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 191, "tag": "p", "text": "だが、では、なぜ陽子や中性子が原子核として結合すると質量が欠損するかの理由としては、けっして「結合だから」という理由では説明がつかない。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 192, "tag": "p", "text": "なので、物理学者たちは、質量欠損の起きる根本的な原因となる物理法則して、アインシュタインの相対性理論を適用している。(検定教科書でも、相対性理論の結果であるとして説明する立場)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 193, "tag": "p", "text": "(アインシュタインの特殊)相対性理論から導かれる結果として(※ 備考: 相対論には一般相対論と特殊相対論の2種類がある)、質量mとエネルギーEには、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 194, "tag": "p", "text": "という関係式があるとされる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 195, "tag": "p", "text": "なお、C とは光速の値である。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 196, "tag": "p", "text": "あるいは別の書式として、変化を表すデルタ記号Δを使て、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 197, "tag": "p", "text": "などと書く場合もある。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 198, "tag": "p", "text": "つまり、もし何らかの理由で、真空から質量が発生または消失すれば、そのぶんの莫大なエネルギーが発生するというのが、相対性理論でのアインシュタインなどの主張である。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 199, "tag": "p", "text": "さて、自由な陽子と中性子は、核力により結合するとき、その結合エネルギーに相当するw:ガンマ線を放射することが知られている。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 200, "tag": "p", "text": "そして、ガンマ線にもエネルギーがある。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 201, "tag": "p", "text": "なので、陽子と中性子の結合したときのガンマ線のエネルギーは、質量欠損によって生じたと考えると、測定結果とツジツマが合う。(測定結果は、あくまで質量が欠損することまで。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 202, "tag": "p", "text": "核子の結合において、質量欠損 Δ m {\\displaystyle \\Delta m} が、ガンマ線などのエネルギーに転化した、と物理学者たちは考えている。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 203, "tag": "p", "text": "元素の中には、放射線(radiation)を出す性質をもつものがあり、この性質を放射能(radioactivity)という。また、放射能をもつ物質は放射性物質といわれる。放射線には3種類存在し、それぞれα線、β線、γ線という。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 204, "tag": "p", "text": "α崩壊は、親原子核からヘリウム原子核が放射される現象である。このヘリウム原子核はα粒子とよばれる。 α崩壊後、親原子核の質量数は4小さくなり、原子番号は2小さくなる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 205, "tag": "p", "text": "β崩壊は、親原子核の中性子が陽子と電子に変化することで、電子が放射される現象である。 (備考: このとき、反ニュートリノとよばれる微小な粒子も同時に放出されると、近年の学説では考えられている。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 206, "tag": "p", "text": "なお、この電子(ベータ崩壊として放出された電子のこと)は「β粒子」ともよばれる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 207, "tag": "p", "text": "β崩壊後、親原子核の質量数は変化しないが、原子番号は1増加する。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 208, "tag": "p", "text": "γ線は、α崩壊またはβ崩壊直後の高エネルギーの原子核が、低エネルギーの安定な状態に遷移するときに放射される。 γ線の正体は光子で、X線より波長の短い電磁波である。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 209, "tag": "p", "text": "α崩壊やβ崩壊によってもとの原子核の数は徐々に減っていくが、これらの崩壊は原子核の種類ごとに決まった一定の確率で起きるので、崩壊によってもとの原子核の数が減る速度は原子核の個数に比例して変化する。しかし、崩壊によってもとの原子核の数が半減するのにかかる時間は、原子核の種類だけによってきまる。そこで、この時間のことをその原子核の半減期(はんげんき、half life ) と呼ぶ。崩壊によって原子核の個数がどれだけになるかは、この半減期を用いて記述することができる。原子核の半減期をT、時刻tでの原子核の個数をN(t)とすると、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 210, "tag": "p", "text": "が成り立つ。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 211, "tag": "p", "text": "原子核の崩壊速度は、原子核の個数に比例すると述べた。実は、上に述べた公式はこの情報だけから純粋に数学的に導き出すことができるものである。高等学校では扱わない数学を用いるが、興味のある読者のためにその概要を記しておく。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 212, "tag": "p", "text": "原子核の個数と崩壊速度の間の比例定数は原子核の種類によって決まる。この定数をその原子核の崩壊定数という。崩壊定数がλの原子核の時刻tでの個数をN(t)とすると、その変化速度、すなわちN(t)の微分は、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 213, "tag": "p", "text": "で表される。このような、ある関数とその微分との関係を表した式を微分方程式といい、微分方程式を満たすような関数を求めることを、微分方程式を解くという。(詳しい解法は解析学基礎/常微分方程式で説明するが、)この微分方程式を解くと", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 214, "tag": "p", "text": "が得られる。(この式が確かに先ほどの微分方程式を満たしていることを確かめてみよ)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 215, "tag": "p", "text": "半減期Tとは、 N ( t ) = 1 2 N ( 0 ) {\\displaystyle N(t)={\\frac {1}{2}}N(0)} となるtのことなので、先ほどの式から", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 216, "tag": "p", "text": "が得られる。よって、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 217, "tag": "p", "text": "が得られる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 218, "tag": "p", "text": "ラザフォードは、窒素ガスを密閉した箱にα線源があると、正電荷をもった粒子が発生することを発見した。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 219, "tag": "p", "text": "この正電荷の粒子が、陽子である。つまり、ラザフォードは陽子を発見した。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 220, "tag": "p", "text": "同時に、酸素も発生することを発見し、その理由は窒素が酸素に変換されたからであり、つまり、原子核が変わる反応も発見した。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 221, "tag": "p", "text": "これらのことを式にまとめると、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 222, "tag": "p", "text": "である。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 223, "tag": "p", "text": "このように、ある元素の原子が、別の元素の原子に変わる反応のことを原子核反応という。または、「核反応」という。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 224, "tag": "p", "text": "", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 225, "tag": "p", "text": "", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 226, "tag": "p", "text": "まず、宇宙線の観測により、μ粒子というのが、発見されている。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 227, "tag": "p", "text": "そもそも、どうやって素粒子を観測するかというと、いくつかの方法があるが、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 228, "tag": "p", "text": "などが使われた。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 229, "tag": "p", "text": "(※ 高校で習う範囲内。X線や原子核の単元で、霧箱(きりばこ)を習う。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 230, "tag": "p", "text": "霧箱(きりばこ)という、蒸気のつまった装置をつかうと、なんらの粒子が通過すると、その粒子の軌跡で、気体から液体から凝着が起きるので、軌跡が、目に見えるのである。(※ 検定教科書では、原子核の分野で、霧箱について習う。)(イメージ的には、飛行機雲のようなのを、イメージしてください。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 231, "tag": "p", "text": "で、磁場を加えた場合の、軌跡の曲りぐあい等などから、比電荷までも予想できる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 232, "tag": "p", "text": "このように、霧箱をつかった実験により、20世紀前半〜中盤ごろには、いろいろな粒子が発見された。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 233, "tag": "p", "text": "μ粒子以外にも、陽電子(ようでんし)が、霧箱によって発見されている。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 234, "tag": "p", "text": "(※ 範囲外:)世界初で陽電子を実験的に観測したアンダーソンは、霧箱に鉛板を入れることで陽電子を発見した。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 235, "tag": "p", "text": "というか、(μ粒子の発見よりも)陽電子のほうが発見は早い。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 236, "tag": "p", "text": "(※ 範囲外:)また、陽電子は、量子力学のシュレーディンガー方程式に、特殊相対性理論とを組み合わせた、「ディラックの方程式」から、理論的に予想されていた。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 237, "tag": "p", "text": "まず、「陽電子」という物質が1932年に鉛板を入れた霧箱(きりばこ)の実験でアンダーソン(人名)によって発見されており、陽電子は質量が電子と同じだが、電荷が電子の反対である(つまり陽電子の電荷はプラスeクーロンである)。(※ 鉛板については高校の範囲外。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 238, "tag": "p", "text": "そして、電子と陽電子が衝突すると、2mcのエネルギーを放出して、消滅する。(この現象(電子と陽電子が衝突すると2mcのエネルギーを放出して消滅する現象)のことを、「対消滅」(ついしょうめつ)という。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 239, "tag": "p", "text": "陽子に対しても、「反陽子」がある。反陽子は、電荷が陽子と反対だが、質量が陽子と同じであり、陽子と衝突すると対消滅をする。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 240, "tag": "p", "text": "中性子に対しても、「反中性子」がある。反中性子は、電荷はゼロだが(ゼロの電荷の±を反対にしてもゼロのまま)、質量が同じで、中性子と対消滅をする。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 241, "tag": "p", "text": "陽電子や反陽子や反中性子のような物質をまとめて、反物質という。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 242, "tag": "p", "text": "(※ 範囲外: )放射性同位体のなかには、崩壊のときに陽電子を放出するものがある。最先端の病院で使われるPET(陽電子断層撮像法)技術は、これを応用したものである。フッ素をふくむフルオロデオキシグルコースという物質はガン細胞によく取り込まれる。PET診断では、これに(フルオロデオキシグルコースに)放射性のフッ素 F をとりこんだ放射性フルオロデオキシグルコースを用いている。(※ 啓林館の『化学基礎』の教科書に、発展事項としてフルオロデオキシグルコースがPET診断で使われてることが紹介されている。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 243, "tag": "p", "text": "反物質とは別に、μ粒子が、宇宙線の観測から、1937年に見つかった。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 244, "tag": "p", "text": "このμ粒子は、電荷は、電子と同じだが、質量が電子とは違い、μ粒子の質量は、なんと電子の約200倍の質量である。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 245, "tag": "p", "text": "μ粒子は、べつに陽子や電子の反物質ではないので、べつに陽子とも対消滅を起こさないし、電子とも対消滅を起こさない。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 246, "tag": "p", "text": "なお、μ粒子にも、反μ粒子という、反物質が存在することが分かっている。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 247, "tag": "p", "text": "このような物質が、われわれの住んでいる地上で見つからないのは、単に地上の大気などと衝突して消滅してしまうからである。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 248, "tag": "p", "text": "なので、高山の頂上付近などで観測実験をすると、μ粒子の発見の可能性が高まる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 249, "tag": "p", "text": "なお21世紀の現在、μ粒子を活用した技術として、現在、火山などの内部を観察するのに、活用されている。μ粒子は、透過力が高いが、地上の物質と反応して、わずかに消滅してしまうので、そのような性質を利用して、火山内部のように人間が入り込めない場所を観察するという技術が、すでにある。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 250, "tag": "p", "text": "", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 251, "tag": "p", "text": "このような観測に使われるμ粒子をどうやって発生させるのか?", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 252, "tag": "p", "text": "宇宙線から飛んでくるμ粒子をそのまま使うという方法もありそれを実行している研究者もいるが、それとは別の手法として、加速器などで人工的にμ粒子などを発生させるという方法もある。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 253, "tag": "p", "text": "加速器を使った方法は、下記の通り。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 254, "tag": "p", "text": "まず、シクロトロンやサイクロトロンを使って、電子などを超高速に加速させ、それを一般の物質(グラファイトなど)に当てる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 255, "tag": "p", "text": "すると、当然、いろんな粒子が発生する。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 256, "tag": "p", "text": "そのうち、π中間子が、磁気に反応する(と考えられている)ので、大きな電磁石コイルで、π中間子を捕獲する。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 257, "tag": "p", "text": "このπ中間子が崩壊して、μ粒子が発生する。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 258, "tag": "p", "text": "そもそも宇宙線が何によって発生しているかの発生原因は、現時点の人類には不明である。(※ 参考文献: 数研出版の資料集の『図説物理』)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 259, "tag": "p", "text": "超新星(ちょうしんせい)爆発によって宇宙線が発生するのでは、という説もあるが、とにかく宇宙線の発生原因については未解明である。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 260, "tag": "p", "text": "電子や陽子や中性子などは、「スピン」という磁石のような性質をもっている。磁石にN極とS極があるように、スピンにも、2種類の向きがある。スピンのこの2種類の向きは、「上向き」と「下向き」に、よく例えられる。磁石の磁力の発生原因は、磁石中の分子の最外殻電子のスピンの向きが同一方向にそろっているから、であると考えられている。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 261, "tag": "p", "text": "全分子は、電子や陽子や中性子を含むのに、なのに多くの物質が、あまり磁性を発生しないのは、反対符号のスピンをもつ電子が結合しあうことで、打ち消しあうからである。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 262, "tag": "p", "text": "(てっきり、電子と陽子のような電荷をもつ粒子にしかスピンがないと誤解している人もいるが、中性子にもスピンはある。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 263, "tag": "p", "text": "中学高校で観測するような普通の方法では、スピンが観測できないが、分子などの物質に磁気を加えつつ高周波を加えるなどすると、スピンの影響によって、その分子の振動しやすい周波数が違うなどの現象をもちいて、間接的に(電子などの)スピンを観測できる。(なお、核磁気共鳴法(NMR、nuclear magnetic resonance)の原理である。 ※ 理論的な解析は、大学レベルの力学の知識が必要になるので省略する。) 分子中の水素原子や、ある種の放射性同位体(中性子がたった1個ふえただけの同位体)など、高周波の影響を受けやすく、その理由のひとつが、スピンによるものだと考えられてる。(※ なお、医療で用いられるMRI(magnetic resonance imaging)は、この核磁気共鳴法(NMR)を利用して人体内部などを観測しようとする機器である。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 264, "tag": "p", "text": "さて、実は素粒子も、スピンをもつのが普通である。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 265, "tag": "p", "text": "μ粒子はスピンをもつ。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 266, "tag": "p", "text": "μ粒子の「スピン」という性質による磁気と、μ粒子の透過性の高さを利用して、物質内部の磁場の観測方法として既に研究されており、このような観測技術を「μオンスピン回転」という。超伝導体の内部の観測などにも、すでに「μオンスピン回転」による観測が研究されている。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 267, "tag": "p", "text": "ウィキペディア記事『w:ミュオンスピン回転』によると、μオンの崩壊時に陽電子を放出するので、陽電子の観測技術も必要である。(高校の範囲外であるが、)これからの学生は、いろいろと勉強する事が多い。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 268, "tag": "p", "text": "陽子と中性子は、質量はほとんど同じである。電荷が違うだけである。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 269, "tag": "p", "text": "そして、電子と比べると、陽子も中性子も、質量がかなり大きい。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 270, "tag": "p", "text": "この事から、「陽子や中性子にも、さらに中身があり、別の粒子が詰まっているのでは?」という疑問が生まれてきて、陽子や中性子の内部の探索が始まった。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 271, "tag": "p", "text": "しかし、現在でも、陽子や中性子の内部の構造は、実験的には取り出せてはいない。(※ 陽子や中性子の内部構造として説明されている「クォーク」は、単独では発見されていない。クォークは単に、内部の説明のための、概念である。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 272, "tag": "p", "text": "歴史的には、まず、陽子と中性子の内部構造として、架空の素粒子を考えられ、陽子と中性子は、それらの素粒子の状態が違うだけ、と考えられた。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 273, "tag": "p", "text": "いっぽう、電子には、内部構造がない、と考えらている。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 274, "tag": "p", "text": "され、20世紀なかば、量子力学では、そのころ、すでに、電子の状態として「スピン」という概念が、みつかっていた。量子力学では、化学結合で価電子が2個まで結合して電子対になる理由は、このスピンが2種類しかなくて、反対向きのスピンの電子2個だけが結合するからである、とされている。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 275, "tag": "p", "text": "スピンの2種類の状態は、「上向き」「下向き」というふうに、よく例えられる。(実際の方向ではないので、あまり深入りしないように。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 276, "tag": "p", "text": "このような量子力学を参考にして、陽子と中性子でも「アイソスピン」という概念が考えられた。(※ 「アイソスピン」は高校範囲外。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 277, "tag": "p", "text": "陽子と中性子は、アイソスピンの状態が違うだけ、と考えられた。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 278, "tag": "p", "text": "その後、20世紀半ば頃から、「アイソスピン」を発展させた「クォーク」という理論が提唱された。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 279, "tag": "p", "text": "架空の「クォーク」という3個の素粒子を仮定すると、実在の陽子や中性子の成り立つモデルが、実験結果をうまく説明できる事が分かった。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 280, "tag": "p", "text": "電荷( + 2 3 e {\\displaystyle +{\\frac {2}{3}}e} )をもつ素粒子「アップクォーク」と、±( − 1 3 e {\\displaystyle -{\\frac {1}{3}}e} )をもつ素粒子「ダウンクォーク」があって、", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 281, "tag": "p", "text": "と考えると、いろいろな素粒子実験の結果をうまく説明できる事が分かった。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 282, "tag": "p", "text": "なお、電子には、このような内部構造はない、と考えられいる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 283, "tag": "p", "text": "アップクォークは「u」と略記され、ダウンクォークは「d」と略記される。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 284, "tag": "p", "text": "陽子のクォーク構造はuudと略記される(アップ、アップ、ダウン)。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 285, "tag": "p", "text": "中性子のクォーク構造はuddと略記される(アップ、ダウン、ダウン)。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 286, "tag": "p", "text": "なお、上記の説明では省略したが、おおよそ1950〜60年代ごろまでに、高山での宇宙線の観測や、あるいは放射線の観測や、またあるいはサイクロトロンなどによる粒子の加速器衝突実験により、陽子や中性子のほかにも、同程度の質量のさまざまな粒子が発見されており、それら新種の粒子は「中間子」に分類された。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 287, "tag": "p", "text": "そもそも、「クォーク」の理論は、このような20世紀半ばごろまでの実験や観測から何百個もの新種の粒子が発見されてしまい、そのような経緯があったので、クォークの理論が提唱されたのである。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 288, "tag": "p", "text": "さて、「中間子」(ちゅうかんし、mason メソン)とは、もともと理論物理学者の湯川秀樹が1930年代に提唱した、陽子と中性子とを引き付けているとされる架空の粒子であったが、20世紀なかばに新種の粒子が発見された際、「中間子」の名前が使われることになった。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 289, "tag": "p", "text": "さて、実験的に比較的早い時期から発見された「中間子」では、「π中間子」がある。ある種類のπ中間子は、アップクォークと反ダウンクォークからなり、πと略記される。(ダウンクォークの反物質が、反ダウンクォーク。) π= u d ̄ {\\displaystyle u{\\overline {d}}}", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 290, "tag": "p", "text": "別のある種類のπ中間子は、ダウンクォークと反アップクォークからなり、πと略記される。π= u ̄ d {\\displaystyle {\\overline {u}}d}", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 291, "tag": "p", "text": "このように、ある粒子内のクォークは合計2個のであっても良い場合もある。(かならずしも、陽子のようにクォーク3個でなくてもかまわない場合もある。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 292, "tag": "p", "text": "(※ このような実験例から、粒子内に合計5個のクォークや7個のクォークを考える理論もあるが、しかし高校物理の範囲を大幅に超えるので、説明を省略。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 293, "tag": "p", "text": "また、中間子は、自然界では短時間のあいだだけ、存在できる粒子だという事も、観測実験によって、分かってきた。(中間子の存在できる時間(「寿命」)は短い。すぐに、他の安定な粒子に変換してしまう。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 294, "tag": "p", "text": "しかし、アップとダウンだけでは、説明しきれない粒子が、どんどんと発見されていく。クォークの提唱時の当初は、おそらく、「クォークのアップとダウンで、きっと、ほとんどの中間子の構造を説明できるだろう」と期待されていたのだろうが、しかし、宇宙線から1940年代に発見された「K中間子」の構造ですら、アップとダウンでは説明できなかった。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 295, "tag": "p", "text": "このほか、加速器の発達などにより、アップとダウンの組み合わせだけで説明できる数を超えて、どんどんと新種の「中間子」が発見されてしまい、もはやアップとダウンだけでは、中間子の構造を説明しづらくなってきた上、μ粒子が、説明できない。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 296, "tag": "p", "text": "また、加速器実験により、1970年代に「D中間子」など、さまざまな中間子が、実験的に実在が確認された。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 297, "tag": "p", "text": "このように、アップとダウンだけでは説明のできない、いろいろな粒子が存在することが分かり、そのため、素粒子理論では、「アップ」(u)と「ダウン」(d)という2種類の状態の他にも、さらに状態を考える必要に、せまられた。そして、新しい状態として、まず「チャーム」(記号c)と「ストレンジ」(記号s)が考えられた。加速器実験の技術が発展し、加速器実験の衝突のエネルギーが上がってくると、さらに「トップ」(記号t)と「ボトム」(記号b)というのが考えられた。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 298, "tag": "p", "text": "なお、μ粒子には内部構造はないが、陽子や中性子に電子を対応させるのと同様に(第1世代)、チャームやストレンジからなる陽子的・中性子的な粒子とμ粒子を対応させた(第2世代)。同様に、トップやボトムからなる粒子にμ粒子を対応させた(第3世代)。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 299, "tag": "p", "text": "電子やμ粒子は内部構造をもたないと考えられており、「レプトン」という、内部構造をもたないとされるグループに分類される。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 300, "tag": "p", "text": "「K中間子」は、第1世代のクォークと第2世代のクォークから成り立っている事が、分かっている。(※ 検定教科書の範囲内。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 301, "tag": "p", "text": "そして、2017年の現在までずっと、クォークの理論が、素粒子の正しい理論とされている。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 302, "tag": "p", "text": "素粒子の観点から分類した場合の、陽子と中性子のように、クォーク3個からなる粒子のことを、まとめて「バリオン」(重粒子)という。π中間子(π= u d ̄ {\\displaystyle u{\\overline {d}}} )など、クォークが2個の粒子は、バリオンに含まない。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 303, "tag": "p", "text": "しかし、中間子のなかにも、ラムダ粒子(uds、アップダウンストレンジの組み合わせ)のように、クォーク3個からなる粒子もある。ラムダ粒子なども、バリオンに含める。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 304, "tag": "p", "text": "陽子と中性子やラムダ粒子などといったバリオンに、さらに中間子(中間子は何種類もある)を加えたグループをまとめて、「ハドロン」という。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 305, "tag": "p", "text": "なお、普通の物質の原子核では、陽子と中性子が原子核に集まっているが、このように陽子と中性子を原子核に引き合わせる力のことを核力という。核力の正体は、まだ、あまり解明されていない(少なくとも高校で教えるほどには、まだ充分には解明されていない)。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 306, "tag": "p", "text": "ともかく、バリオンには、核力が働く。通説では、中間子にも、核力は働くとされている。つまり、ハドロンに、核力が働く。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 307, "tag": "p", "text": "ハドロンは、そもそもクォークから構成されている事から、「そもそもクォークに核力が働くのだろう」的な事が、考えられている。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 308, "tag": "p", "text": "理論では、クォークとクォークどうしを引き付けあう架空の粒子として「グルーオン」が考えられており、物理学者から理論が提唱されているが、その正体は、まだ、あまり解明されてないが、しかし物理学者たちは「グルーオンを発見した」と主張している。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 309, "tag": "p", "text": "現在の物理学では、クォークが単独では取り出せていないのと同様に、グルーオンも単独では取り出せてはいない。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 310, "tag": "p", "text": "さて、物理学では、20世紀から「量子力学」という理論があって、この理論により、物理法則の根源では、波と粒子を区別するのが無意味だと言われている。そのため、かつては波だと考えられていた電磁波も、場合によっては「光子」という粒子として扱われるようになった。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 311, "tag": "p", "text": "このように、ある波や力場(りきば)などを、理論面では粒子に置き換えて解釈して扱う作業のことを、物理学では一般に「量子化」という。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 312, "tag": "p", "text": "グルーオンも、クォークとクォークを引き付ける力を、量子化したものであろう。電荷との類推で、クォークにも色荷(カラー荷)というのが考えているが、その性質は、あまり解明されてない(少なくとも高校で教えるほどには、まだ充分には解明されていない)。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 313, "tag": "p", "text": "グルーオンのように、力を媒介する粒子のことをゲージ粒子という。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 314, "tag": "p", "text": "重力を媒介する架空の粒子のことを重力子(グラビトン)というが、まだ発見されていない。物理学者たちも「グラビトンは、まだ未発見である」と主張している。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 315, "tag": "p", "text": "電磁気力を媒介する粒子は光子(フォトン)というが、これは単に、電磁場を仮想的な粒子として置き換えて扱っただけである。フォトンは、高校物理の電磁気分野で習うような古典的な電磁気計算では、まったく役立たない。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 316, "tag": "p", "text": "なお、光子もゲージ粒子に含める。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 317, "tag": "p", "text": "つまり、光子やグルーオンは、ゲージ粒子である。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 318, "tag": "p", "text": "ベータ崩壊をつかさどる力のことを「弱い力」といい、この力を媒介する粒子を「ウィークボソン」というが、性質は、よく分かっていない。しかし物理学者たちは「ウィークボソンを発見した」と主張している。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 319, "tag": "p", "text": "そもそも「ボソン」とは何か?", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 320, "tag": "p", "text": "量子力学のほうでは、電子のような、一箇所にたかだか数個までしか存在できない粒子をまとめてフェルミオンという。フェルミオン的でない別種の粒子としてボソンがある。光子も、ボソンとして扱われる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 321, "tag": "p", "text": "「ウィークボソン」とは、おそらく、弱い力を媒介するボソンだからウィークボソンと呼んでいるのだろう。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 322, "tag": "p", "text": "さて、電荷との類推で、「弱い力」に関する「弱荷」(じゃくか)というのも提唱されているが、しかし、その性質は、あまり解明されてない(少なくとも高校で教えるほどには、まだ充分には解明されていない)。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 323, "tag": "p", "text": "さて、「弱い力」のある一方、グルーオンの媒介する力のことを「強い力」ともいう。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 324, "tag": "p", "text": "1956年に、電子のスピンの方向と、ベータ崩壊粒子の出て来る方向との関係を見るための実験として、コバルトの放射性同位体であるコバルト60をもちいて次のような実験が、アメリカで行われた。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 325, "tag": "p", "text": "コバルト元素(元素記号: Co )の放射性同位体であるコバルト60を極低温に冷却し、磁場をかけて多数のコバルト原子の電子殻の孤立電子スピンの方向をそろえた状態で、コバルト60がベータ崩壊して発生するベータ粒子の出る方向を調べる実験が、1956年にアメリカで行われた。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 326, "tag": "p", "text": "鉄とニッケルとコバルトは、それぞれ金属単体で磁性体になる元素である。元素単体で磁性体になる元素は、この3つ(鉄、ニッケル、コバルト)しかない。(なお、放射性同位体でない通常のコバルトの原子量は59である。)", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 327, "tag": "p", "text": "この3つ(鉄、ニッケル、コバルト)のなかで、コバルトが一番、磁気に寄与する電子の数が多いことが量子力学の理論により既に知られたいたので(コバルトがもっとも、d軌道の電子の数が多い )、ベータ崩壊とスピンとの関係をみるための実験に、コバルトの放射性同位体であるコバルト60が使われたのである。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 328, "tag": "p", "text": "実験の結果、コバルト60がベータ崩壊してベータ粒子の出てくる方向は、コバルト60のスピンの磁気の方向と(同じ方向よりも)逆の方向に多く放出されているのが観測された。これは、2種類(スピンと同方向にベータ粒子の出る場合と、スピンと反対方向にベータ粒子の出る場合)の崩壊の確率が異なっており、ベータ崩壊の確率の(スピン方向を基準とした場合の)方向対称性が敗れていることになる。", "title": "原子・原子核・素粒子" }, { "paragraph_id": 329, "tag": "p", "text": "このような実験事実により、「弱い力」は非対称である、というのが定説。", "title": "原子・原子核・素粒子" } ]	null	== 電子と光 == === ミリカンの実験 === ミリカンの実験とは、霧吹きなどで作成した油滴の微小な飛沫に、X線やラジウムなどで帯電させる。そして、外部から電場を引火する。すると、油滴の重力（下向き）のほかに、電場による静電気力（上向きになるように電極板を設置する）が働くので、釣り合って静止する状態になった時の電場から、電荷の値を確かめる実験である。この実験で算出・測定される電荷の値が 1.6×10<sup>-6</sup> ［C］の整数倍になったので、電子1個の電荷が 1.6×10<sup>-19</sup> ［C］だと分かった。なお、この 1.6×10<sup>-19</sup> ［C］のことを'''電気素量'''（でんきそりょう）という。 {{コラム\|（※ 範囲外:）ミリカン以前からも電子の電荷は測定されている\| 化学の電気分解の実験で、金属の電気分解の実験の時に発生する気体が帯電していることは、ラボアジエなどによって古くから知られていた。実験物理学者タウンゼントは、発生した気体のモル数と、静電誘導などによって発生した電荷の合計を測定することにより、電子1個あたりの電荷を概算した。精度は、現代の電子の電荷とケタが同じくらいの精度で、タウンゼントは電子の電荷の測定値を得た。 }} {{コラム\|（※ 範囲外:）ミリカンに不正の疑いあり\| 世界各国の物理学の教育では、20世紀前半のミリカンの実験が、電子の質量を求める実験として、長らく紹介されてきた。しかし20世紀後半ごろから、ミリカンの実験に対する疑念が科学界から提出されている。その疑惑の内容は、ミリカンは、自身の提唱する仮説に適合しない測定値を、測定誤差だとして断定してしまい、仮説にあわない測定値を排除してしまっているのかもしれない、という疑惑である。この疑惑に反する反論もまた、科学界から提出されている。どちらが正しいかについては、高校教科書では語るようなことではないので、それについては説明を省略する。どちらにせよ、現代では、論文の投稿では、もし仮説にあわない測定値を読者にだまって排除してしまい、なのに、もとの実験データそのままのように論文発表してしまったら、データ改竄（かいざん）による不正行為とみなされるのが原則である。もし例外的に、どうしても論文などで複数ある測定値のいくつかを抜粋せざるを得ないような事情のある場合には :（たとえば実験データが大量にありすぎて、すべてを紹介しきれない場合。 :あるいは、仮説の内容を説明するために、複数回の実験をして、そのうち最も仮説に適合した回の実験データを公表する場合、など）、そのような場合には、まず論文に、抜粋した部分的なデータであることを明記しなければならないだろうし、どういう基準で抜粋を行ったかも明記しなければならないだろう。現代の科学論文では、実験結果のデータを書く際には、原則的に、実際の実験で得られたデータをそのまま記述するように努めて、論文を書かなかければならない。 :※ 現代でも、しばしば学生実験などで、悪気がなくても、仮説にあわない実験データを、「実験ミス」と断定してしまい、測定値を書き換えてしまったり、あるいは、仮説にあわない測定値を隠してしまう不正行為が起きることもある。このような不正行為をしないよう、気をつけなければならない。このように、ミリカンの実験については、いろいろと問題点があるので、大学入試には、ミリカンの実験について、あまり瑣末（さまつ）なことは出題されないだろう。もし、ミリカンの実験の結果を暗記するような入試問題が出題されたとしたら、出題者の見識が疑われる。また、そもそもミリカンの実験の方法は、あまり精度が良くない。精度が悪い実験方法だからこそ、上記のような疑惑が残ってしまうのであろう。 }} === 光の粒子性 === ==== 光電効果 ==== :（※ 実験結果グラフを追加すること。） [[File:Photoelectric effect diagram no label.svg\|thumb\|300px\|電子の運動エネルギーの最大値と、光の振動数との関係]] 負の電荷に帯電させてある金属板に、紫外線を当てると、電子が飛び出してくることがある。また、放電実験用の負極に電子を当てると、電子が飛び出してくることがある。この現象を、'''光電効果'''（こうでんこうか、photoelectric effect）という。1887年、ヘルツによって、光電効果が発見された。レーナルトによって、光電効果の特徴が明らかになった。当てる光の振動数が、一定の高さ以上だと、光電効果が起きる。この振動数を'''限界振動数'''（げんかいしんどうすう）といい、限界振動数より低い光では、光電効果が起こらない。また、限界振動数のときの波長を、'''限界波長'''（げんかいはちょう）という。物質によって、限界振動数は異なる。亜鉛版では紫外線でないと光電効果が起きないが、セシウムでは可視光でも光電効果が起きる。光電効果とは、物質中（主に金属）の電子が光のエネルギーを受け取って外部に飛び出す現象のことである。この飛び出した電子を「光電子」（こうでんし、photoelectron）という。光電効果には，次のような特徴的な性質がある。 :* 光電効果は、光の振動数がある振動数（限界振動数）以上でないと起こらない。 :* 光電子の運動エネルギーの最大値は、当てた光の振動数のみに依存し、光の強さには依存しない。 :* 単位時間あたりに飛び出す光電子数は、光の強さに比例する。これらの性質のうち、1番めと2番めの性質は、古典物理学では説明できない。つまり、光を、電磁波という波動の性質だけを捉えていては、つじつまが合わないのである。なぜなら、仮に、電磁波の電界（電場）によって金属から電子が放出すると考えた場合、もし光の強さが大きくなれば、振幅が大きくなるので、電界（電場）も大きくなるはずである。しかし、実験結果では、光電子の運動エネルギーは、光の強さには依存しない。よって、古典力学では説明できない。 ===== アインシュタインの光量子仮説 ===== 上述の矛盾（古典的な電磁波理論では、光電効果を説明できないこと）を解決するために、次のような'''光量子仮説'''がアインシュタインによって提唱された。 * 光は、光子（こうし、photon）の流れである。光子を、光量子（こうりょうし）ともいう。 * 光子1個のエネルギーEは、光の振動数 <math>\nu </math>［Hz］に比例する。この2つめの条件を定式化すると、 :<math>E = h \nu </math> となる。この式における比例定数hは'''プランク定数'''とよばれる定数で、 :<math> h = 6.626 \times 10 ^{-34} </math> [J・s] という値をとる。 '''仕事関数'''（しごとかんすう、work function）とは、光電効果を起こすのに必要な最小のエネルギーのことである。金属の種類ごとに、決まった値である。仕事関数の値を W［J］とすると、光子の得る運動エネルギーの最大値 K<sub>0</sub> ［J］について、次式が得られる。 :<math> K _0 = h \nu - W </math> (1.1) この式より、光電効果が起こる条件は hν≧W となる。これは K<sub>0</sub>≧0 に相当する。これより、光電効果が起こる限界振動数 ν<sub>0</sub> について、hν<sub>0</sub>＝W が成り立つ。この光量子仮説により、光電効果の1番めと2番めの性質は、容易に、矛盾なく説明できるようになった。波動は粒子のように振舞うのである。なお、光電効果の3番めの性質から、ある場所の光の強さは、その場所の単位面積に単位時間、飛来する光子の数に比例することが分かる。 {{コラム\|（※ 範囲外）じつは、説明の順序が逆\| 高校で先に光電効果を習い、大学であとから、プランクの理論を習う。しかし、実は、物理学者プランクが先に（アインシュタインよりも早く）、エネルギーのやりとりの単位が hν であることを発見した<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日第1刷、94ページ</ref>。そもそも、だからこそ定数 h をプランク定数というのである。つまり、ある種の物理現象においてエネルギーのやりとりの単位がhνであることは、けっしてアインシュタインが提唱したのではない（プランクの提唱である）。プランクは、高温物体における光の放射（「熱放射」や「熱輻射」などという）の研究から、そのような発見をした。では、アインシュタインが何を発見したのかというと、熱輻射だけでなく光電効果にもプランク定数が適用できるという学説、光の粒子説の提唱、である。なお、光電効果の比例係数を測定する実験は、アインシュタインの提唱後に物理学者ミリカンが調べており、たしかにプランク定数とほぼ同じ数値である事を確認している<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日第1刷、95ページ</ref>。さて、プランクの実験を振り返ると、プランクはアインシュタインの研究とは別に、いろいろなことを調べていた。じつは、20世紀前半の物理学者のウィーン（人名）やプランク（人名）などが高温の物体から出てくる光の波長と周波数を分析したところ、次のような周波数fと周波数νの関係式が分かっている。 :<math>f(\lambda) = \frac{8\pi hc}{\lambda^5}~\frac{1}{e^\frac{h \nu}{kT}-1}</math> 右辺の指数関数の分母にあるkがボルツマン定数である。そして、右辺の指数関数の分母にあるh がプランク定数と言われる定数である。これは、高校『物理II』の原子物理の単元でのちに習う「光電効果」（こうでんこうか）に出てくるプランク定数 h と同じ定数である。この式（および、この式のアイデアの元になったウィーンの公式）は、実験的に測定して確認できる式である。（ボロメーターと言われる測定器や、熱電対（ねつでんつい）とよばれる合金材料や、ホイットストーンブリッジと言われる電気回路を使う。）そして、右辺の分母にある :<math>~\frac{1}{e^\frac{h \nu}{kT}-1}</math> に注目する。さらに高校数学で習う等比数列の和の公式 :<math>a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots = \frac{a}{1-r}</math> （ただし｜r｜＜1）を思い出して、これを参考に無限級数 :<math>S= 1+e^{- \frac{ 1 h \nu}{kT} } + e^{- \frac{ 2 h \nu}{kT} } + e^{- \frac{ 3 h \nu}{kT} } \cdots + e^{- \frac{n h \nu}{kT} }+ </math> の和を求めてみると（指数部にマイナスがついているので、必ず収束する）、 :<math>e^{- \frac{ 1 h \nu}{kT} } S= e^{- \frac{ 1 h \nu}{kT} } + e^{- \frac{ 2 h \nu}{kT} } + e^{- \frac{ 3 h \nu}{kT} } \cdots + e^{- \frac{n h \nu}{kT} }+ </math> となるので、（右辺どうし、左辺どうしを）辺々、引き算して :<math>(1 - e^{- \frac{ 1 h \nu}{kT} }) S= 1 </math> 左辺の係数を移項して :<math> S= \frac{1}{1 - e^{- \frac{ h \nu}{kT} } } </math> という、似た式が出てくる。ここで終わらせてしまうと、プランクの式の分母の指数の式とは、似て非なる式で終わってしまう。（ネットををググっても、ここで終わらせてしまっている、不勉強な人が多い。物理学ファンを名乗るなら、もっと勉強してほしい。）（なお、この数列Sは、量子統計力学における「分配関数」という。）ところで、何かのエネルギーの値をEとしたとき、<math> e^{-\frac{E}{k T}} </math> のことを、'''ボルツマン因子'''という。いきなり天下り的に名前を出したが、ボルツマン因子はたとえるなら確率みたいなものである。また、上記の数列 S の物理的な意味は、確率計算をするための、全確率を1とするための規格化のための係数である。また、計算しやすいようにボルツマン因子を次のように <math> \beta = \frac{1}{kT} </math>を使って変形しよう。すると、ボルツマン因子は、 <math> e^{-\beta E} </math> となる。また、分配係数 S の和を求める前の形の式を、βを使ったボルツマン因子の式で置き換えよう。 <math>S= 1+e^{- \beta h \nu} + e^{- 2 \beta h \nu} + e^{- 3 \beta h \nu} \cdots + e^{- n \beta h \nu} + </math> となる。さて、次の数列 P を求めよう。 :<math> P = (0 h \nu) \cdot 1 + (1 h \nu) \cdot e^{- \frac{ 1 h \nu}{kT} } + (2 h \nu) \cdot e^{- \frac{ 2 h \nu}{kT} } + (3 h \nu) \cdot e^{- \frac{ 3 h \nu}{kT} } \cdots + (n h \nu) \cdot e^{- \frac{n h \nu}{kT} }+ </math> この数列Pの物理的な意味は、飛び飛びなエネルギー n hν （ただし n＝1,2,3,4・・・・）があるとした場合の確率的な平均エネルギー値 <E> に比例する数である。なお、エネルギーの平均値<E>の式は、PをSで割った値である。 :<math> \left \langle E \right \rangle = \frac{P}{S} </math> 計算しやすいように β で書き換えよう。 :<math> P = (0 h \nu) \cdot 1 + (1 h \nu) \cdot e^{- \beta h \nu } + (2 h \nu) \cdot e^{- 2 \beta h \nu } + (3 h \nu) \cdot e^{-3 \beta h \nu } \cdots + (n h \nu) \cdot e^{- n \beta h \nu }+ </math> さて、数列PをよくよくSと比べてみよう。比べ安いように再掲しておく。読者は何か気づくことはないかな？（ヒント: 微分） :<math>S= 1+e^{- \beta h \nu} + e^{- 2 \beta h \nu} + e^{- 3 \beta h \nu} \cdots + e^{- n \beta h \nu} + </math> 比べてみると、なんと数列Pの各項は数列Sの各項をβで微分したものにマイナスを掛けた値になっている！！つまり :<math> -\frac{\partial}{\partial \beta} S = P </math> :※ <math> \partial </math> とは、多変数関数の微分（偏微分）の記号。大学で習う。「ラウンドディー」などと読む。ところで、数列Sは高校レベルの等比級数の和の公式により :<math> S= \frac{1}{1 - e^{- \frac{ h \nu}{kT} } } </math> とも書けるのであった。計算しやすいようにβで置換して、 :<math> S= \frac{1}{1 - e^{- \frac{ h \nu}{kT} } } = \frac{1}{1 - e^{- \beta h \nu } } </math> となる。さらに微分しやすいように :<math> S= \frac{1}{1 - e^{- \frac{ h \nu}{kT} } } = \frac{1}{1 - e^{- \beta h \nu } } = (1 - e^{- \beta h \nu } ) ^{-1} </math> と書き換えよう。この数列Sの和の公式と、先ほどのマイナス微分の式 <math> -\frac{\partial}{\partial \beta} S = P </math> とを連立させてみよう。すると、 <math> P = -\frac{\partial}{\partial \beta} S = -\frac{\partial}{\partial \beta} (1 - e^{- \beta h \nu } ) ^{-1} = (-1) (1 - e^{- \beta h \nu } ) ^{-2} (-1) (-1)(-h \nu) = \frac{h \nu}{ (1 - e^{- \beta h \nu } ) ^{-2}} e^{- \beta h \nu } </math> とPが求められる。しかし、私たちが最終的に求めたいのは、Pでなくて、エネルギーの平均値＜E＞であった。＜E＞の式を再掲すると、 :<math> \left \langle E \right \rangle = \frac{P}{S} </math> であった。そして、PもSも級数和の式が求められているので、それを代入すると、 :<math> \left \langle E \right \rangle = \frac{P}{S} = \frac{h \nu}{ (1 - e^{- \beta h \nu } ) ^{2}} \frac{1}{ \frac{1} { \frac{1} { 1 - e^{- \beta h \nu } } } } e^{- \beta h \nu } = \frac{h \nu}{ (1 - e^{- \beta h \nu } ) } e^{- \beta h \nu } = \frac{h \nu}{1- e^{- \beta h \nu } } e^{- \beta h \nu } </math> となる。分子の指数関数を消すために、分母と分子にともに <math> e^{- \beta h \nu } </math> を掛け算して約分しよう。すると、 : :<math> \left \langle E \right \rangle = \frac{P}{S} = \frac{h \nu}{1- e^{- \beta h \nu } } e^{- \beta h \nu } = \frac{h \nu}{e^{ \beta h \nu }- 1 } </math> となるので、だいぶプランクの式に似てくる。プランクの式を再掲すると、 :<math>f(\lambda) = \frac{8\pi hc}{\lambda^5}~\frac{1}{e^\frac{h \nu}{kT}-1}</math> であった。ところで、高校物理で習う光の波長λと速度Cと周波数νの関係式 C＝νλ を使えば、プランクの式は、 :<math>f(\lambda) = \frac{8\pi hc}{\lambda^5}~\frac{1}{e^\frac{h \nu}{kT}-1} = \frac{8\pi h \nu \lambda}{\lambda^5}~\frac{1}{e^\frac{h \nu}{kT}-1} = \frac{8\pi }{\lambda^4}~\frac{h \nu}{e^\frac{h \nu}{kT}-1} </math> である。プランクは、この式を、式変形で、 :<math>f(\lambda) = \frac{8\pi hc}{\lambda^5}~\frac{1}{e^\frac{h \nu}{kT}-1} = \frac{8\pi h \nu \lambda}{\lambda^5}~\frac{1}{e^\frac{h \nu}{kT}-1} = \frac{8\pi }{\lambda^4}~\frac{h \nu}{e^\frac{h \nu}{kT}-1} = \frac{8\pi }{\lambda^4}~ \sum_{n=0}^\infty (n h \nu )e^{- \beta n h \nu} </math> というふうに、級数の和の形に書き換えられることに気づいた。このことは、つまり、高温物体からの放射エネルギーを出す光のエネルギーが、放射現象のどこかで <math> h \nu </math> の整数倍だけに限られる機構のあることを意味する。このような感じのプランクのひらめきにより、現代に「量子力学」と言われる分野が19世紀に花開いた。アインシュタインの光電効果の光粒子説は、単に、プランクのこのような研究をもとに、光電効果にも当てはめて連想しただけである。その後、アメリカ人の物理学者の測定などにより、光電効果の係数が、プランクが放射の研究で用いた定数 h と同じことが確認された。プランク自身は、あくまで量子化されているのは、実験的に確認されているのは高温物体の放射における現象だと慎重だったようであり、光が波か粒子かの発言にはプランクはあまり関わらなかった。だが、その後、アインシュタインの光粒子説がノーベル賞をとってしまったことなどもあり、それが世界的に光の粒子性の学説が広まっていった。なお、アインシュタインの光電効果のノーベル賞は、本当は相対性理論にノーベル賞をあげようとノーベル賞の審査員は考えたが、しかし当時の学会には相対性理論への反対意見も多かったので、当たり障りのなさそうな光電効果の研究でノーベル賞をアインシュタインに授与しただけである。さて、光電効果の式 E＝hν－W と、プランクの放射式を比べれば分かるが、どちらが簡単な式かというと、明らかに光電効果の式のほうが係数の種類も少なく単純な形である。なので、「きっと、光電効果のほうが、より基本的な物理法則に近い現象なのだろう」と考えるのも妥当であろう。教育で先に光電効果を教えてから、あとからプランクの研究成果を教えるのも、合理的かもしれない。ただし、その基本的な物理現象とやらが、はたして光の粒子説かどうかは、実験は何も保証してくれてない。単に、人間たちが、ノーベル賞などの人間社会の権威の都合にもとづいて勝手に「光の粒子説こそが、光電効果の式の形が簡単になっている理由だ」と思い込んでいるだけである。 }} ==== 参考: 光の波長の測定 ==== :(※ 範囲外) そもそも、光の波長は、どうやって測定されたのだろうか。現在では、たとえば原子の発光スペクトルの波長測定なら、回折格子をプリズムとして使うことによって、波長ごとに分け、波長が測定されている。（※ 参考文献: 培風館（ばいふうかん）『step-up 基礎化学』、梶本興亜編集、石川春樹ほか著、2015年初版、25ページ）おおまかな原理を述べると、可視光ていどの光の波長の測定は、回折格子によって測定するわけだが、ではその回折格子の細かい数百ナノメートル〜数千ナノメートルていどの間隔の格子ミゾをどうやって作るのか、という問題に行き着いてしまう。歴史的には、下記のように、可視光の波長が測定されていった。まず、1805年ごろの「ヤングの実験」で有名なヤングらの研究により、可視光の波長は、おおむね 100nm（10<sup>-7</sup>m）〜 1000nm の程度であることは、この頃から、すでに予想されていた。その後、ドイツのレンズの研磨工だったフラウンホーファーが、すぐれた回折格子を開発し、可視光の波長を精密に測定する事に成功した。フラウンホーファーは回折格子を作るために細い針金を用いた加工装置を製作し、その加工機で製作された回折格子を用いて、光の波長の測定をし始めたのが、研究の始まりである。1821年にフラウンホーファーは、1cmあたり格子を130本も並べた回折格子を製作した。<ref>『現代総合科学教育大系　SOPHIA21　第7巻　運動とエネルギー』、講談社、発行：昭和59年4月21日第一刷発行発行</ref> また、1870年にはアメリカのラザフォードがスペキュラムという合金を用いた反射型の回折格子を製作し（このスペキュラム合金は光の反射性が高い）、これによって1mmあたり700本もの格子のある回折格子を製作した。（要出典）さらにこのころの時代、送りねじの潤滑のために水銀を使う水銀浮遊法が、研究開発で行われた。より高精度な波長測定が、のちの時代の物理学者マイケルソンによって、干渉計（かんしょうけい）というものを用いて（相対性理論の入門書によく出てくる装置である。高校生は、まだ相対性理論を習ってないので、気にしなくてよい。）、干渉計の反射鏡を精密ネジで細かく動かすことにより、高精度な波長測定器をつくり、この測定器によってカドミウムの赤色スペクトル線を測定し、結果の波長は643.84696nmだった。マイケルソンの測定方法は、赤色スペクトル光の波長を、当時のメートル原器と比較することで測定した。<ref>川上親考ほか『新図詳エリア教科辞典　物理』、学研、発行：1994年3月10日新改訂版第一刷、P.244 および P.233</ref> マイケルソンの制作した干渉計にも、水銀浮遊法の技術が取り入れられている、という<ref>クリス・エヴァンス著、橋本洋・上野滋共訳『精密の歴史』、大河出版、2001年11月28日再版、185ページ</ref>。さらに、ネジの技術革新で、マートン・ナット（「メルトン・ナット」とも訳す）という、弾力性のある材質でネジをつくることによって誤差がならされて平均化されるので、超絶的に高精度の送りねじを作る技術が、イギリスの物理学者トーマス・ラルフ・マートン（英:[[:en:w:Thomas Ralph Merton]] ）などによって開発された。なお、現代でも、研究用として干渉計を用いた波長測定器が用いられている。（要出典）メートル原器は、マイケルソンの実験の当時は長さのおおもとの標準だったが、1983年以降はメートル原器は長さの標準には用いられていない。現在のメートル定義は以下の通り。 ;メートルの定義 :真空中の光の速さ ''c'' を単位 [[W:メートル\|m]] [[W:秒\|s]]<sup>−1</sup> で表したときに、その数値を {{val\|299792458}} と定めることによって定義される。 :ここで、秒はセシウム周波数 ''∆ν''<sub>Cs</sub> によって定義される。 ==== 光電効果の測定 ==== :（※ 未記述） :（※ 回路図を追加すること。） :（※ 実験結果グラフを追加すること。） [[File:Cellule photoelectriqie.JPG\|thumb\|300px\|光電効果の実験]] [[File:Caracteristique courant tension (frequence fixe).JPG\|thumb\|300px\|電位と光電流の関係]] {{-}} ==== 備考 ==== 太陽電池も、光電効果のような現象である、と考えられている。（※ 実教出版の教科書などで、扱っている話題。）なお、太陽電池は一般的に半導体であり、ダイオード化したPN接合の部分に光を当てる必要がある。（PN接合部分以外の場所に、光があたっても、生じた電力を、電流として取り出せない。電流として取り出せるようにするには、PN接合の部分に、光を当てる必要がある。このため、PN接合の片方の材質を、透明か、それに近い光透過率の材料にする必要があり、「透明電極」という。）（※ 範囲外？: ）なお、発光ダイオード半導体は、この逆パターンとして考えられており、光電効果でいう「仕事関数」にあたるエネルギーをもった電流を流すことにより、その半導体物質の「仕事関数」にあたるエネルギーの光が、PN接合の接合面から放出される、という仕組みである。なお、CCDカメラなどに使われるCCDは、太陽電池のような機能をもつ半導体を、電力源としてではなく、光のセンサーとして活用するという仕組みの半導体である。（※ 実教出版の教科書などで、扱っている話題。） === ※ 普通科の範囲外: 超伝導の磁束の量子化 === （※ 普通科高校の『物理』系科目では習わないが、）物理現象の量子化として、光電効果や物質波のほかにも原子スケールの物理現象の量子化はあり、ある種類の超伝導物質では、それに通した磁束が量子化する現象が知られている。（※ 工業高校の科目『工業材料』下巻（または科目の後半）で習う。） :※ 『工業材料』の教科書には書かれてない話題だが、磁束の量子化はジョセフソン素子などとして、電圧計測などの国家標準器として、日本をふくむ世界の工業国の各国で採用されている。 :※ アインシュタインの「光量子仮説」が呼び名のとおり、あくまで仮説な一方で、超伝導における磁束の量子化は（説ではなく）観測事実・実験事実である。実際に超伝導に通した磁束が誘導現象でつくる電圧を精密に測定すると、電圧カーブが階段状にギザギザになったりする。（厳密に言うと、観測されるのは磁束のつくる誘導電圧の量子化だが・・・） :※ 工業高校では、教育の順序として、もしかしたら「光電効果」よりも「超伝導での磁束の量子化」を先に教えている可能性がある。（普通科の専門『物理』が3年生で教える一方、『工業材料』は1～2年生で教える場合もあるので）　ひょっとしたら将来的に普通科高校でも「磁束の量子化」を先に教える可能性がありうる。 === X線 === ==== X線の発見 ==== [[File:Rotating anode x-ray tube (labeled).jpg\|thumb\|250px\|X線管<br>陰極から出た陰極線を陽極にぶつけると、ぶつかった時にX線が出る。]] [[File:Tube RX a fenetre laterale.png\|thumb\|X線管の原理]] 科学者レントゲンは、1895年、放電管をもちいて陰極線の実験をしていたとき、放電管のちかくに置いてあった写真乾板が感光している事に気付いた。彼（レントゲン）は、陰極線がガラスに当たったとき、なにか未知のものが放射されてると考え、X線と名づけた。やがて、さまざまな実験によって、X線は次の性質をもつことが明らかになった。 :性質: 磁場や電場で曲がらない。この事から、X線は、荷電粒子ではない事が分かる。（結論をいうと、X線の正体は、波長の短い電磁波である。）また、 :性質: X線を照射された物質はイオンに電離される。 :性質: 可視光線を通さない物質でも、X線なら透過できる場合がある。などの性質がある。なお現代では、医療用のX線を「レントゲン」ともいう。 ==== X線のスペクトル ==== [[File:TubeSpectrum.jpg\|thumb\|240px\|特性X線（K線）]] :特性X線 :連続X線 {{-}} ==== X線の波動性 ==== 1912年、物理学者ラウエは、X線を単結晶に当てると、写真フィルムに図のような斑点の模様にあることを発見した。これを'''ラウエ斑点'''（はんてん）といい、結晶中の原子が回折格子の役割をしたことで発生した干渉現象である。 [[File:Bragg diffraction 2.svg\|thumb\|400px\|ブラッグの条件]] 1912年、物理学者ブラッグは、反射が強めあう条件式を発見した。 :<math>2d\sin\theta = n\lambda</math> を'''ブラッグの条件'''という。上式のdは格子面の間隔の幅である。 {{-}} :（※ 範囲外:）いっぽう、ガラスなど非晶質の材料の場合、ブラッグ反射のような明確な回折は起きない。（※ 参考文献: 東京化学同人『無機化学その現代的アプローチ第2版』、平尾一之など著、2013年第2版、2014年第2刷） ==== X線の粒子性 ==== * コンプトン効果 X線を炭素塊などの（金属とは限らない）物質に当て、その散乱されたあとのX線を調べると、もとのX線の波長よりも長いものが、散乱したX線に含まれる。このように散乱X線の波長が伸びる現象は物理学者コンプトンによって解明されたので、'''コンプトン効果'''（またはコンプトン散乱）という。 [[File:Compton ex1.jpg\|\|400px\|thumb\|right\|コンプトンによる実験略図。なお、図中の「単結晶」は波長の測定用であり <ref>原島鮮『初等量子力学』（裳華房、2014年第40版、初版は1972年）</ref> 、「単結晶」の材質は方解石の結晶であり、散乱波長はブラッグ反射などを活用して測定する。（コンプトン本人の論文“The Spectrum of Scattered X-Rays”(May 9, 1923).に、方解石（calcite）を使っていることと、ブラッグ反射（Bragg ?）させている事が書かれている。）]] この現象は、X線を波と考えたのでは説明がつかない。（もし仮に波と考えた場合、散乱光の波長は、入射X線と同じ波長になるはず。なぜなら、水面の波に例えるなら、もし水面を棒で4秒間に1回のペースで揺らしたら、水面の波も、4秒間に1回のペースで周期を迎えるのと、同じ理屈。）さて、波動の理論でコンプトン効果を説明できないなら、粒子の理論で説明をすれば良いだろう。この当時、アインシュタインは光量子仮説にもとづき、光子はエネルギーhνをもつだけでなく、さらに次の式で表される運動量pをもつことを発見している。 <math>p=\frac{h\nu}{c}(=\frac{h\nu}{\nu \lambda}=\frac{h}{\lambda})</math> 物理学者コンプトンは、この発見を利用し、波長λのX線を、運動量<math>\frac{h}{\lambda}</math> とエネルギー<math>\frac{hc}{\lambda}</math>を持つ粒子（光子）の流れと考え、 X線の散乱を、この光子が物質中のある電子と完全弾性衝突をした結果と考えた。 :コンプトンはこの考えに基づき、光子と電子の衝突前の運動量和とエネルギー和が衝突後も保存されると仮定して計算して、実験結果と良く合うあう結果が得られることを発見した。 [[File:Compton effect illust.svg\|thumb\|400px\|コンプトン効果<br>この図を見ると、あたかも真空中をただよう電子に電磁波を照射したように見えるが、そうではない。コンプトン効果の発見された1920年代の当時には、まだ、空中に電子をただよわせて精度よく電磁波を照射する技術など、無い。実際にコンプトンが行った実験は、石墨の炭素などの物質にX線を照射する実験である。図中の電子は、炭素などの分子が提供する電子である。<br>コンプトン本人の論文に、このような感じの図が書かれており、それでこのような図が普及したものと思われる。]] 解法は、下記のとおり。 :エネルギー保存の式を立てる。 :そして、運動量の保存の式を立てる。具体的には、x軸方向の運動量の保存の式と、y軸方向の運動量の保存の式を立てる。 ---- エネルギー保存の式 :<math>\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda '} + \frac{1}{2}mv^2 \qquad \qquad</math> (1.2a) 運動量保存の式 :x軸: <math> \frac{h}{\lambda} =\frac{h}{\lambda '} \cos \theta + mv \cos \phi \quad</math> (1.2b) :y軸: <math> 0 =\frac{h}{\lambda '} \sin \theta - mv \sin \phi \qquad</math>(1.2c) ---- 上記の3つの式を連立し、この連立方程式を解くためにvとφを連立計算で消去させていき、<math>\lambda \fallingdotseq \lambda '</math>のときに <math>\lambda ' \fallingdotseq \lambda + \frac{h}{mc} (1 -\cos \theta )</math> が得られる。この式が実験式とよく一致するので、コンプトンの説の正しさは実証された。 ---- * コンプトン効果の連立方程式の具体的な解法（編集者へ: 記述してください。）（Gimyamma より。解法を書いてみました。） ---- 式(1.2a),(1.2b),(1.2c)から、<math>v</math>と<math>\phi</math>を消去して、 <math>\lambda,\lambda ',\theta</math>の関係式を求めればよい。 :ⅰ）まず、式(1.2b),(1.2c)から<math>\phi</math>を消去する。 :式(1.2b)から :<math>(mv \cos \phi)^2 = (\frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda '} \cos \theta)^2 </math> :式(1.2c)から :<math>(mv \sin \phi)^2 = (-\frac{h}{\lambda '} \sin \theta)^2</math> :この両式を加えると :<math>m^2 v^2 = (\frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda '} \cos \theta)^2+(-\frac{h}{\lambda '} \sin \theta)^2+\frac{h^2}{\lambda '^2}</math> :この右辺を整頓すると、所望の :<math>m^2 v^2 =\frac{h^2}{\lambda^2}-2\frac{h^2}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{h^2}{\lambda '^2}\quad</math> (1.2d) を得る。 :ⅱ）式(1.2d)を式(1.2e)に代入してvを消去する: 式(1.2a)の右辺の第2項を変形して式(1.2d)を代入する。 :<math>\frac{1}{2}mv^2 =\frac{1}{2m}m^2v^2 = \frac{1}{2m}\bigl(\frac{h^2}{\lambda^2}-2\frac{h^2}{\lambda \lambda '}\cos \theta\bigr)+\frac{h^2}{\lambda '^2}</math> これを式(1.2a)の右辺に代入すると :<math>\frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{\lambda '} + \frac{1}{2m}\Bigl(\frac{h^2}{\lambda^2}-2\frac{h^2}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{h^2}{\lambda '^2}\Bigr)</math> 両辺を<math>hc</math>で割ると :<math>\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda '} + \frac{h}{2mc}\Bigl(\frac{1}{\lambda^2}-2\frac{1}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{1}{\lambda '^2}\Bigr)</math> (1.2e) を得る。この式の右辺の第2項の括弧内を次のように変形する。 :<math>\frac{1}{\lambda^2}-2\frac{1}{\lambda \lambda '}\cos \theta +\frac{1}{\lambda '^2}=\bigl(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\bigr)^2+\frac{2}{\lambda \lambda'}(1-\cos \theta)</math> この式を式(1.2e)の右辺第2項に代入すると :<math>\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda '} + \frac{h}{2mc}\Bigl( \bigl(\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}\bigr)^2+\frac{2}{\lambda \lambda'}(1-\cos \theta) \Bigr)</math> この式の右辺の第１項を移行し、式を変形すると :<math>\frac{\lambda'-\lambda}{\lambda\lambda '}= \frac{h}{2mc}\Bigl( \bigl(\frac{\lambda'-\lambda}{\lambda \lambda'}\bigr)^2+\frac{2}{\lambda \lambda'}(1-\cos \theta) \Bigr)</math> 両辺に<math>\lambda \lambda'</math>を掛けると :<math>\lambda'-\lambda= \frac{h}{2mc}\Bigl( \frac{(\lambda'-\lambda)^2}{\lambda \lambda'}+2(1-\cos \theta) \Bigr)</math> (1.2f) X線の散乱では、<math>\lambda'\fallingdotseq \lambda</math>なので :<math>\frac{(\lambda'-\lambda)^2}{\lambda \lambda'}</math>は、波長に比べて非常に小さい値になり無視できる。故に式(1.2f)から :<math>\lambda'-\lambda \fallingdotseq \frac{h}{mc} (1-\cos \theta) \qquad</math> (1.2g) これで、所望の式が導出された。 ---- ==== 範囲外: 光子の流体力学的解釈と運動量密度 ==== [[File:Photon-fluid-understanding jp.svg\|thumb\|400px\|光子の流体力学的解釈]] 光の運動量 P［kg・m/s］=hν/ｃについて、まず cP＝hν［J］と変形してみると、「速度に運動量をかけたものがエネルギーである」という内容の公式になっている。これを理解するため、ひとまず、光を粒子であると同時に流体であると考えて、その電磁波が単位体積あたりの運動量pを持っているとして、その流体の運動量の密度（運動量密度）を p ［（kg・m/s）/m<sup>3</sup>］としよう。この場合の電磁波は流体なので、運動量は、その密度で考える必要がある。電磁波を物体に照射して、光が物体に吸収されたとしよう。反射はないとして、光のエネルギーはすべて物体に吸収されたとする。簡単のため、物体壁に垂直に光を照射したとする。物体への光の照射面積をA［m<sup>2</sup>］とする。電磁波は光速 c［m/s］で進むのだから、壁からcの距離の間にあるすべての光子は、すべて単位時間後に吸収される事になる。単位時間に壁に吸収される光子の量は、その単位時間のあいだに壁に流れ込んだ光子の量であるので、図のように、仮に底面をA［ｍ<sup>2</sup>］として、高さhを c （ hの大きさはcに等しい。単位時間t＝1をかけたとすれば h＝c・1 である）［m］とする柱の体積　A×c［m<sup>3</sup>］中に含まれる光子の量の総和に等しい。いっぽう、運動量密度は p［（kg・m/s）/m<sup>3</sup>］だったので、この柱 A×h に含まれる運動量の総和は、 A×h×p［kg・m/s］である。光を吸収した物体の運動量は、単位時間にAhpの運動量が増加することになるが、h＝cであったので、つまり、運動量が単位時間あたりに Acp［kg・m/s］だけ壁に流れこむことになる。いっぽう、高校物理の力学の理論により、「運動量の時間あたりの変化は、力である」であったので、つまり物体は、Aｃp［N］の力を受ける。力を受けるのは照射された面だから、力［N］を面積で割れば圧力の次元［N/m<sup>2</sup>］＝［Pa］になる。実際に面積で割る計算をすれば、圧力として cp［N/ｍ<sup>2</sup>］＝[Pa]＝[J/ｍ<sup>3</sup>] を受ける事が計算的に分かる。さらに、圧力の次元は［N/ｍ<sup>2</sup>］＝[Pa]＝[J/ｍ<sup>3</sup>]と変形できるので、「圧力は、単位体積あたりのエネルギーの密度(「エネルギー密度」という)である」と考えよう。とすれば cp の次元は、［圧力］＝［エネルギー密度］となる。このエネルギー密度に、hνが対応していると考えれば、合理的である。要するに、光のような、事実上は無限に圧縮できる波・流体では、公式として、速度をv、運動量密度をp、エネルギー密度をεとして考えれば、 :vp＝ε という関係がなりたつ。（なお、水や空気のような普通の流体では、無限には圧縮できないので、上記の公式は成り立たない。）われわれがコンプトン効果の学習で分かった運動量の公式 <math>p=\frac{h\nu}{c}</math> は、運動量密度とエネルギー密度の関係式に、光速cと光電効果のエネルギーhνを代入したものになっている。上記の考察は、光を流体として考えた電磁波の運動量だが、粒子として解釈された光子の運動量にも、ｃP＝hν という関係が成り立つと考えよう。もし読者が、圧力をエネルギー密度と考えるのが分かりづらければ、たとえば熱力学の仕事の公式 W=P⊿V の類推をしてはどうか？なお、上記の運動量とエネルギーの関係式の導出は大まかな説明であり、正確な導出法は、（大学で習う）マクスウェルの方程式によらなければならない。おそらく、「光は、電子に作用するときに、光が粒子として振舞う（ふるまう）」というのが正しいだろう。いっぽう、やみくもに「光は粒子！　光は波動ではない！！」（×）とかいうのは、単なる馬鹿のひとつ覚えである。マクスウェルの方程式では、光（電磁波）は波動として、あつかうのである。しかし、光電効果で起きる現象では、放出電子のもつ運動エネルギーは、光の強度とは無関係である。単純な流体として考えるなら、（たとえば集光させたり光を重ねたりして、）光の強度が上がれば、運動量密度も上がるハズだし、その帰結の放出電子のエネルギー密度も上がるハズだろいうという予測が成り立ちそうだが、しかし実験結果はその予測とは異なり、光電効果は光の強度とは無関係に光の周波数によって放出電子のエネルギーが決まる、・・・というのが、実験事実である。このような実験結果から、20世紀初頭の当時、勃興していた量子力学などと関連づけて、「光も波であると同時に粒子である」と断定したのがノーベル財団などであり、光電効果を光の粒子説の根拠のひとつとしたのがアインシュタインの仮説であり、アインシュタインのその仮説を定説として認定したのがノーベル財団であり、現在の物理学では、光電効果が光子説の根拠として通説になっている。光電効果の実験結果そのものは、単に、光電効果における「光」を、単純な流体・波動としては考えられないだろう・・・というだけの事である。結局、物理学は実験科学であり、実験結果にもとづき実験法則を覚えるしかない。「光子」というアイデアは、「光電効果の放出電子1個あたりのエネルギーは、入射光の強度に寄らず、光の波長（周波数）による」という事を覚えやすくするための手段にすぎず、アインシュタインとその支持者にとっては、「光の粒子説」というのが、覚えやすくするためのモデルだっただけである（粒子なのに波長（周波数）とは、意味不明だが）。そして運動量密度とエネルギー密度の関係 vp＝ε という知識もまた、光電効果の公式 cP＝hν を覚えやすくするための手段にすぎない。じっさいの光は、単純な波でもなく、単純な粒子でもなく、ただ単に、光は光であり、光でしかない。「光の粒子説」というのは、真空中で媒質（ばいしつ）がなくても光が伝わる、という程度の意味合いでしかないだろう。アインシュタインが特殊相対性理論を発表する前までは、（20中盤以降から現代では否定されているが、）かつて「エーテル」という光を伝える媒質の存在が信じられていた。しかしアインシュタインは相対性理論により、エーテルの存在を否定した。「光の粒子説」を発表していた者も同じくアインシュタインだったので、ノーベル財団は、本来なら特相対性理論でノーベル賞を授けるかわりに、光子説でノーベル賞をアインシュタインに授けただけだろう === 粒子の波動性 === ==== 物質波 ==== 物理学者ド・ブロイは、波と考えられてた光が粒子の性質をもつならば、きっと電子も粒子としての性質だけでなく、電子も波動のように振舞うだろうと考えた。そして、電子だけでなく、一般の粒子に対しても、その考えを適用し、次の公式を提唱した。 :質量m、速さvの粒子は波動性をもち、その波長は次式で与えられる。 :<math>\lambda = \frac h {mv} </math> これはド・ブロイによる仮説であったが、現在では正しいと認められている。この波は、'''物質波'''（material wave）と呼ばれる。'''ド・ブロイ波'''（de Broglie wave length）ともいう。すなわち、光子や電子に限らず、あらゆる物質は粒子性と波動性をあわせ持つといえる。この物質波という説によると、もしも電子線を物質に当てれば、回折などの現象が起きるはずである。 1927年〜1928年にかけて、デビッソンとガーマーは、ニッケルなどの物質に電子線を当てる実験を行い、X線回折と同様に電子線でも回折が起きることを実証した。日本でも1928年に菊池正士（きくちせいし）が雲母片に電子線を当てる実験により回折が起きることを確認した。電子線の波長は、高電圧をかけて電子を加速して速度を高めれば、物質波の波長はかなり小さくできるので、可視光の波長よりも小さくなる。そのため、可視光では観測できなかたった結晶構造が、電子波やX線などで観測できるようになった。生物学でウイルスが電子顕微鏡で観測できるようになったのも、電子の物質波が可視光よりも大幅に小さいからである。 === 粒子と波動の二重性 === {{コラム\|参考: 電子ビームによる波動性の干渉実験\| [[Image:Egun.jpg\|thumb\|250px\|right\|ブラウン管の電子銃]] [[ファイル:double-slit.svg\|thumb\|right\|350px\|電子の二重スリットの干渉実験]] [[ファイル:Doubleslitexperiment_results_Tanamura_1.gif\|thumb\|left\|250px\|二重スリット実験の結果]] :（※ 検定教科書で習う範囲内です。）電子銃（でんしじゅう）という実験装置がある。銃といっても、べつにSFのような兵器ではなく、電子銃とは単に電子を放出するだけの装置である。さて、この電子銃をもちいて、1個づつ電子を当てる実験を、二重スリットを使って実験すると、図のように、波動のように、電子の多く当たった場所と電子の少なく当たる場所との縞模様ができる。 {{-}} このように、電子にも粒子性と波動性があり、電子は粒子でありつつ、二重スリットに向かって電子を撃ち込むと干渉を起こすという波動性も持っている。 }} 上述のような、さまざまな実験の結果から、すべての物質には、原子ていどの大きさの世界（以降、単に「原子スケール」などと略記する）では、波動性と粒子性の両方の性質をもつと考えられている。このことを'''粒子と波動の二重性'''という。 * 参考: 不確定性原理 [[File:Bundesarchiv Bild183-R57262, Werner Heisenberg.jpg\|thumb\|物理学者ハイゼンベルグ <br>不確定性原理の主要な提唱者である。]] そして、原子スケールでは、ある一つの物質（主に電子のような粒子）について、その位置と運動量の両方を同時に決定する事はできない。このことを'''不確定性原理'''（ふかくていせいげんり）という。 {{-}} == 原子・原子核・素粒子 == ===原子=== [[File:Geiger-Marsden experiment expectation and result (Japanese).svg\|right\|400px\|thumb\|]] 物理学者ガイガーと物理学者マースデンは、（ラジウムから出した）α粒子をうすい金ぱくに当てる実験を行い、α粒子の散乱の様子を調べた。（なお、α粒子の正体はヘリウムの原子核。）その結果、ほとんどのα粒子は金ぱくを素通りするが、金ぱく中の一部の場所の近くを通ったα粒子だけが大幅に散乱する現象を発見した。この実験結果からラザフォードは、原子核の存在をつきとめた。原子は、中心に原子核があり、そのまわりを電子が運動するというラザフォードモデルとよばれるモデルによって説明される。原子（atom）は、全体としては電気的に中性であり、負の電荷を有する電子を電子殻に持つ。ここで、ミリカンの実験による結果などから、電子の質量は水素イオンの質量の約1/1840程度しかないことが分かっている。すなわち、原子は電子と陽イオンとが含まれるが、質量の大部分は陽イオンがもつことが分かる。原子核の大きさは原子全体の1/10000程度であるため、原子の大部分は真空である。原子核は、正の電荷をもつZ個の陽子（proton）と、電気的に中性な(A−Z)個の中性子（neutron）からなる。陽子と中性子の個数の合計を質量数（mass number）という。陽子と中性子の質量はほぼ等しいため、原子核の質量は、質量数Aにほぼ比例する。 ==== 水素原子のスペクトル ==== 高温の物体から発光される光には、どの（可視光の）色の波長（周波数）もあり、このような連続的な波長の光を連続スペクトルという。いっぽう、ナトリウムや水素などの、特定の物質に電圧がかけられ放電したときに発光する波長は、特定の数本の波長しか含まれておらず、このようなスペクトルを輝線（きせん）という。パルマーは、水素原子の数本ある輝線の波長が、次の公式で表現できることに気づいた。 :<math>\lambda = 3.65 \times 10^{-7} \mathrm{m} \times \left( {n^2 \over n^2 - 4} \right).\quad(n=3,\ 4,\ 5,\ 6,\cdots\cdots)</math> (2.1) 上式中の「m」はメートル単位という意味。（上式のmは代数ではないので、間違えないように。）その後、水素以外の原子や、可視光以外の領域についても、物理学者たちによって調べられ、次の公式へと、物理学者リュードベリによって、まとめられた。 :<math>\frac{1}{\lambda} =R \left( \frac{1}{m^2} -\frac{1}{n^2} \right).\ \left(\begin{array}{lcl}m =1,\ 2,\ 3,\cdots\cdots, \\ n = m+1,\ m+2,\ m+3,\cdots\cdots \end{array}\right)</math> (2.2) 上式のRはリュードベリ定数といい、<math>R=1.097 \times 10^7</math>/mである。 ==== 量子論と原子の構造 ==== [[File:Stationary wave Quantum rule in atom.svg\|thumb\|300px\|原子内の定常波]] ラザフォードの原子模型に従えば、電子は、まるで惑星の公転のように原子核を中心とする円軌道の上を一定の速度で運動する。 :円運動する質点は加速度をもつので、このモデルの電子は加速度運動を続けることになる。 :ところが古典電磁気学の分野で、加速度運動をおこなう電荷は電磁波を放出して、エネルギーを失うという法則が既に発見されていた。 :この法則によれば、原子核の周りをまわる電子は電磁波を放出し続け、エネルギーを絶えず減らしていく。それにつれて電子は原子核に向けて落下していくため、原子核との距離を小さくしながら原子核の周りを回転し、やがて原子核に衝突してしまう。円軌道の上を安定的に運動することは不可能なのである。 :物理学者ボーアはラザフォードの原子模型の深刻な矛盾を克服し、さらに水素原子の放出する線スペクトルについても説明できる原子模型を作るため、 :プランクの提唱したエネルギー量子化の考えとアインシュタインの光量子論を取り入れた大胆な仮説を立てた(1913年）。仮説1；量子条件原子核を中心とする半径ｒ[m]の円軌道を速さｖ[m/s]で回転する電子の軌道角運動量<math>rp=mrv</math>は<math>\frac{h}{2\pi}</math>の正整数倍しかとりえない，すなわち :<math>mrv=n\frac{h}{2\pi} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\cdots\cdots)</math> (2.3) を満たさねばならない（角運動量の量子化）。この状態を'''定常状態'''，この条件を'''量子条件'''という。 :ここで、m[kg]は電子の質量を、hは [[w:プランク定数 \|プランク定数]]である。 :このボーアの式の正整数nを'''量子数'''（りょうしすう）という。後年(1924年）、ド・ブロイは「物質粒子は波動性を持ち、その波（物質波）は、波長 :<math>\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}</math> をもつ」と提唱した。また，(2.3)を変形すると :<math>2\pi r=n\frac{h}{mv}=n\lambda</math>. これらは電子の軌道一周の長さが電子の物質波の波長の正整数倍のとき，電子波は定常波になることを示している。 :これは、円軌道上に定常波ができるための条件と同じである。 :※ 検定教科書でも、ボーアの式の表記は、速度vをつかって表される表記である。仮説2；振動数条件電子はあるきまったとびとびのエネルギーしか持たない。このとびとびのエネルギー値をエネルギー順位という。 :電子がエネルギー順位を<math>E'</math>から<math>E(<E')</math>に遷移する（エネルギーを失う)ときには、<math>E'-E=h\nu</math>できまる振動数<math>\nu</math>の一個の光子を放出し、 :逆にエネルギー順位Eの電子が外部からエネルギー<math>h\nu = E'-E</math>を得ると、エネルギー順位E'に遷移する。 ==== エネルギー準位 ==== [[File:Circular-motion-electron-in-atom jp.svg\|thumb\|400px\|水素原子内での電子の円運動]] 水素原子において、電子軌道上にある電子のエネルギーを求める計算をするが、まず、そのためには、原子の半径を求める必要がある。 * 半径水素の電子が原子核<math>H^+</math>を中心とする半径ｒの円軌道上を一定の速度ｖで運動しているとすれば、運動方程式は :<math> m \frac{v^2}{r} = k_0 \frac {e^2}{r^2} </math> で表される。一方、電子が定常波の条件を満たす必要があるので、前項の式（１）から、 :<math> v (= v_n) = \frac {nh}{2 \pi m r } \qquad \qquad (2)</math> である。このvをさきほどの円運動の式に代入して整頓すれば、 :<math> r(=r_n) = \frac {h^2}{4 \pi ^2 k_0 me^2} n^2\qquad \qquad (3)</math> （ただし、n＝1, 2 , 3 ,・・・）になる。こうして、水素原子の電子の軌道半径が求まる。さきほどの軌道半径の式でn＝1のとき半径r<sub>1</sub>を「ボーア半径」という。 * エネルギー準位原子の世界でも、運動エネルギーKと位置エネルギーUの和が、エネルギーである。位置エネルギーUは、この水素の電子の場合なら、静電気エネルギーを求めれば充分であり、電位の式によって求められて、 :<math> U = - k_0 \frac {e^2}{r}</math> となる。運動エネルギーKは、<math> K = \frac{1}{2}mv^2</math>なので :<math> E = K+U = \frac{1}{2}mv{}^2 - k_0 \frac {e^2}{r}</math> 上式の右辺第一項に、 :円運動の方程式<math> m \frac{v^2}{r} = k_0 \frac {e^2}{r^2} </math>の両辺にｒを掛けた <math> m v^2 = k_0 \frac {e^2}{r} </math>を代入すれば、 :<math>E(= E_n )= K+U = \frac{1}{2} k_0 \frac {e^2}{r}- k_0 \frac {e^2}{r} = - \frac{k_0e^2}{2r} </math> となる。さらに、これに電子の軌道半径<math>r=r_n</math>の式(3)を代入すれば、 :<math>E(=E_n) = -\frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {h^2} \frac{1}{n^2} \quad (n=1,2,3,,,) \qquad \qquad (4)</math> となる。これが水素原子のエネルギー準位である。エネルギー準位の公式をよく見ると、まず、エネルギーが、とびとびの値になることが分かる。また、エネルギーが負になる事がわかる。 n＝1のときが、もっともエネルギーの低い状態であり、そのため、n＝1のときが安定な状態である。よって、電子は通常、n＝1の状態になる。なお、 :<math> -\frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {h^2}</math>に諸定数の値を入れて計算すると :<math> - \frac{13.6}{n^2} \ \ \mathrm{eV}</math>となるので、 :水素原子のエネルギー順位は :<math>E(=E_n) = - \frac{13.6}{n^2} \ \ \mathrm{eV}</math>と書ける。 :<math>E_1</math>は、約 13.6 eV になるが、これは水素のイオン化エネルギーの値である。これは、実験値にも、よく一致する。 =====　水素原子のスペクトルの経験式の理論的導出 ===== 水素原子の発する光のスペクトルの実測値を表すリュードベリの経験式については、既に「水素原子のスペクトル」の項でで説明した。 :ボーアの水素原子モデルに基づいて得られたエネルギー順位と振動数条件の仮説を用いれば、この式が以下のように理論的に導出できる。 :任意の正整数ｍ、ｎ（＞ｍ）を考える。 :すると、振動数条件の仮説により電子がエネルギー順位<math>E_n</math>から、低いエネルギー順位<math>E_m</math>に遷移するときに、振動数 <math>\nu=\frac{E_n-E_m}{h}</math> の光子を一個放出する。 :この光子の波長λは <math>\frac{1}{\lambda} = \frac{E_n-E_m}{ch}</math> で与えられるので、右辺のエネルギー順位に式（４）を代入すると :<math>\frac{1}{\lambda} = \frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {ch^3}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}) \qquad \qquad (5)</math> が得られる。 <math>{\bf R}\triangleq \frac{2\pi ^2 k_0{}^2 me^4} {ch^3}</math> で、リュードベリ定数Rを定義すると、式(5)は :<math>\frac{1}{\lambda} = {\bf R}(\frac{1}{m^2}-\frac{1}{n^2}) \qquad \qquad (5')</math> Rの定義式中の諸定数に値をいれて計算すると :<math>{\bf R}=1.097\times 10^7 \ [1/m] \qquad \qquad \qquad (6)</math> 驚くべきことに、リュードベリの経験式が、見事に導出できたのである。これは、ボーアの仮説の妥当性を示すものと言えよう。 {{コラム\|通俗的な「光は粒子であり波である」という説明（※ 範囲外）\| 粒子と波動の二重性についての「光は粒子であり波である」という説明は、分かりやすいが意味を勘違いしやすい。より正しくは、「原子スケールていどの物理現象を扱うときは、古典物理のような（人間の肉眼でも観察できる程度の大きさの）巨視的な分野の「粒子」と「波」では、区別できない現象にも遭遇する。」とでも言うほうが、より正確である。実験事実としての「光」は、巨視的な分野では基本的には「光」は波の性質をもつが、しかし巨視的でない原子などの微細な粒子への「光」の作用などを考える場合には、光電効果のように一定のエネルギーのかたまり毎に不連続に作用する現象もあるわけであるから、連続量である（古典的な）波とは性質が違う。かといって、原子に当たる波は微視的だからといって、原子に当たった「波」がけっして質量をもつようになるわけでない。質量にはついては古典的な波と同様に、原子スケールの微視的な波でも、質量は持たない。このように原子スケールの微視的な「波」でも、質量については、古典的な波と共通し、「波」そのものは質量をもたない。このように、原子スケールの波においても、質量などいくつかの性質では、巨視スケールとひきつづき同様の性質をもっている要素もある。同様に、電磁放射の問題のように「電子が波の性質をもつ」現象もあるが、しかし電子は質量をもつ。また、化学結合のさいには（化学1の授業でも習うように）「価電子」という電子の粒子1個ずつの単位を考えるのであるから、このように原子スケールであっても、電子は古典的な粒子と共通する性質もいくつか持っている。そもそも原子からの電磁放射のないことから論理的に言えることは、単に、巨視的な分野と、原子のような微視的な分野では、「法則が違う」という事だけであり、その事だけでは、必ずしも「電子は波である」とは断定できないハズであるのだが、しかし人類は、物質波などその他の実験結果をもとに、人類は「電子は波である」と仮定して、20世紀初頭ごろに物理学の新理論（当時）を理論構築し、それが現代でも続いている。 }} :(※ 範囲外: 大学の範囲) 実際の特性スペクトルの波長は、原子内部の電子の影響により、若干、ズレる。そういった内部電子の補正を考慮した、より精度の高い式として「モーズリーの公式」というのが知られている。なお歴史的な順序は、上述の説明の順序とは逆である。じつは先にモーズリーの式が発見され、あとから、モーズリーとは別に独立に研究されていた上述のようなボーアやラザフォードの理論を用いると、モーズリーの公式もうまく説明できるという事が物理学者コッセルによって発見された<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日第1刷、140ページ</ref>。なおモーズリーの公式について調べたいなら、大学科学の量子化学などの科目名の教科書に記載があるだろう。 ==== 基底状態と励起状態 ==== （※ 未記述） === 原子核 === ==== 原子核の構造 ==== 原子核は、陽子と中性子からできている。陽子は正電荷をもち、中性子は電荷をもたない。では、なぜプラスの電荷をもつ陽子どうしが、なぜクーロン力で反発してしまわないのだろうか？この理由として、つまり陽子どうしがクーロン力で反発しないための理由として、次のような理由が考えられている。まず、陽子に中性子が近づいて混合すると、「核力」という非常に強い結合力が発生し、この核力が陽子同士のクーロン力による強い斥力に打ち勝つので、陽子と中性子は結合していると考えられている。（必ずしも、陽子と中性子の個数は同一でなくてもいい。実際に、周期表にあるいくつもの元素でも、陽子と中性子の個数は異なる。）比喩的に言い換えば、中性子は、陽子と陽子を結びつける、ノリのような役割をしていると、考えられている。 :（※ 範囲外:）原子番号の低い元素において、陽子と中性子の個数は、ほぼ同数である場合が多い。たとえば、酸素や窒素では、陽子と中性子は同数である。一方、元素番号の高い元素ほど（つまり周期表で下のほうの元素）、陽子よりも中性子が多く、たとえばウラン235は中性子数が陽子数の1.5倍である。このような、周期表における陽子数と中性子数の観測事実がある（周期表を調べれば、すぐに分かる）。これには核力の性質が関係していると考えられている<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日第1刷、190ページ</ref>。 :（発展: ）なお、20世紀後半以降の素粒子論では、陽子と中性子はさらに小さな物質から成り立っているとされる。だが、高校生はこの単元の学習では、原子核の構成要素としては、とりあえず陽子と中性子までを考えれば十分である。なお、名称として、陽子と中性子をまとめて「核子」と呼ばれる。ある元素の原子核の陽子の数は、周期表の'''原子番号'''と一致する。また、陽子と中性子の数の和は'''質量数'''とよばれる。質量数Aの原子核は非常に強い核力のために、小さな球体状の空間の中に固まっており、その半径ｒは、 <math>1.2</math>～<math>1.4\times 10^{-15}\times A^{\frac{1}{3}}</math> であることが知られている。 ==== 原子核の結合エネルギーと質量欠損 ==== 任意の原子核は、それを構成する核子である陽子と中性子が自由であるときの質量（単体質量という）の和より、小さい質量をもつ。この減った質量を、質量欠損と呼ぶ。質量数A、原子番号Zの原子核の質量欠損<math>\Delta m</math>を、式で書けば, 原子核の質量をｍ、陽子と中性子の単体質量をそれぞれ<math>m_p,\ m_n</math>としたとき、 :<math>\Delta m = m_{p}Z+m_{n}(A-Z)- m</math>である。 :（※ 範囲外: ）原子にもよるが、一般に質量欠損の大きさは、もし欠損のない状態として仮定した場合の理論値の1%ていど<ref>[https://kotobank.jp/word/%E8%B3%AA%E9%87%8F%E6%AC%A0%E6%90%8D-74242 コトバンク『日本大百科全書(ニッポニカ)の解説』（坂東弘治、元場俊雄）など ]</ref>である。精密測定で1%というのは、けっこう大きい割合である。 :（※ 範囲外: ）質量欠損の後でも、質量数（核子における陽子と中性子の個数の合計）は通常は保存されている<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日第1刷、222ページ</ref>。つまり、質量数が保存されているのにもかかわらず、質量（キログラム）を測定すれば、その核子の質量（キログラム）がわずかに欠損しているのである。 {{コラム\|原子レベルの質量の測定法\| [[File:Mass spectrometer schematics.png\|thumb\|right\|質量分析器の模式図。試料導入部およびイオン源（左下）、分析部（左上、磁場偏向型）、イオン検出部（右上）、データ処理部（右中）からなる。]] そもそも、どうやって原子や分子の質量を精度よく測定するか？これは、「質量測定法」と言われる技術分野になり、高校レベルでは説明できない。（アインシュタインが果たして、そういった測定技術を知っていたかどうかも疑わしそうである。）参考文献が未入手なので、断言はできないが、一般に原子レベルの質量測定法として精密科学でよく知られるものとして、右図のような、磁場によって荷電粒子を曲げる方式のものがある（※ 高校物理のローレンツ力の計算でも、似たような実験装置での円軌道の計算を習う）。このような磁場とローレンツ力を用いた方式による質量測定は一般に、「磁場偏向型」といわれる。このような装置により、磁場や電化の大きさは実験的に決定できるので、曲率が質量の関数になるので、つまり半径から質量が逆算できる。測定対象の元素材料が中性の原子であっても、その原子が固体なら、それに電子ビームを当てて、電子によって弾き飛ばされた材料が帯電してイオン化しているので、それから、上記のような磁場による質量測定が可能になる。 :（※ しかし、参考文献が未入手なので、はたしてこの方法で質量欠損が測定できるかどうかは未確認。）文献、 :西條敏美『測り方の科学史 II 原子から素粒子へ』、恒星社、2012年3月15日初版発行、77ページ、　によると、1919年に科学者アストン（人名）によって質量分析器が発明されたので、質量欠損もそれを用いて測定された、とその文献では主張されている。重要なこととして、こらら原子の質量は測定的に決定できる数値である。けっして、何らかの仮定にもとづく理論計算ではない。また、古典物理以上の知識（相対性理論や量子力学など）を必要としない、古典的な電磁気学などの古典物理学にもとづく実験装置で測定できる実験事実である。なお、化学の同位体の存在やその質量も、このころ、このような装置で発見された。なお（高校では習わないが）、原子質量がいくつもの元素で測定できるので、派生的に、まず化学の理論で分かる原子番号Zと原子量Aと、測定された原子の質量の測定値Mをもとに、 Z,AからMを求める公式が作成された（ワイツゼッカーの公式。1935年）。また、原子半径の予想値なども算出されていった（レインウォーター（人名）。1953年）。 }} =====　質量欠損の原因　===== 測定実験の事実として、陽子単独や中性子単独の質量の倍数や和よりも、それらの結合した原子核のほうが質量が低いので、陽子や中性子が結合すると質量の一部が欠損するというのが、測定結果の事実である。なので、質量欠損のとりあえずの原因として考えられているのは、陽子や中性子どうしの結合である<ref>[https://kotobank.jp/word/%E8%B3%AA%E9%87%8F%E6%AC%A0%E6%90%8D-74242 コトバンク『世界大百科事典第２版の解説』など ]</ref>と考えられている。だが、では、なぜ陽子や中性子が原子核として結合すると質量が欠損するかの理由としては、けっして「結合だから」という理由では説明がつかない。なので、物理学者たちは、質量欠損の起きる根本的な原因となる物理法則して、アインシュタインの相対性理論を適用している。（検定教科書でも、相対性理論の結果であるとして説明する立場）（アインシュタインの特殊）相対性理論から導かれる結果として（※ 備考: 相対論には一般相対論と特殊相対論の2種類がある）、質量mとエネルギーEには、 :<math>E=m c^2</math> という関係式があるとされる。なお、C とは光速の値である。あるいは別の書式として、変化を表すデルタ記号Δを使て、 :<math>E= c^2 \cdot \Delta m </math> などと書く場合もある。つまり、もし何らかの理由で、真空から質量が発生または消失すれば、そのぶんの莫大なエネルギーが発生するというのが、相対性理論でのアインシュタインなどの主張である。さて、自由な陽子と中性子は、核力により結合するとき、その結合エネルギーに相当する[[w:ガンマ線]]を放射することが知られている。そして、ガンマ線にもエネルギーがある。なので、陽子と中性子の結合したときのガンマ線のエネルギーは、質量欠損によって生じたと考えると、測定結果とツジツマが合う。（測定結果は、あくまで質量が欠損することまで。）核子の結合において、質量欠損<math>\Delta m </math>が、ガンマ線などのエネルギーに転化した、と物理学者たちは考えている。 ==== 放射能と放射線 ==== 元素の中には、放射線（radiation）を出す性質をもつものがあり、この性質を放射能（radioactivity）という。また、放射能をもつ物質は放射性物質といわれる。放射線には3種類存在し、それぞれα線、β線、γ線という。 α崩壊は、親原子核からヘリウム原子核が放射される現象である。このヘリウム原子核はα粒子とよばれる。 α崩壊後、親原子核の質量数は4小さくなり、原子番号は2小さくなる。 β崩壊は、親原子核の中性子が陽子と電子に変化することで、電子が放射される現象である。（備考: このとき、反ニュートリノとよばれる微小な粒子も同時に放出されると、近年の学説では考えられている。）なお、この電子(ベータ崩壊として放出された電子のこと)は「β粒子」ともよばれる。 β崩壊後、親原子核の質量数は変化しないが、原子番号は1増加する。 γ線は、α崩壊またはβ崩壊直後の高エネルギーの原子核が、低エネルギーの安定な状態に遷移するときに放射される。 γ線の正体は光子で、X線より波長の短い電磁波である。 α崩壊やβ崩壊によってもとの原子核の数は徐々に減っていくが、これらの崩壊は原子核の種類ごとに決まった一定の確率で起きるので、崩壊によってもとの原子核の数が減る速度は原子核の個数に比例して変化する。しかし、崩壊によってもとの原子核の数が半減するのにかかる時間は、原子核の種類だけによってきまる。そこで、この時間のことをその原子核の '''半減期'''（はんげんき、half life ）と呼ぶ。崩壊によって原子核の個数がどれだけになるかは、この半減期を用いて記述することができる。原子核の半減期をT、時刻tでの原子核の個数をN(t)とすると、 :<math>N(t)=N(0)(\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}</math> が成り立つ。 ===== 発展・公式の導出 ===== 原子核の崩壊速度は、原子核の個数に比例すると述べた。実は、上に述べた公式はこの情報だけから純粋に数学的に導き出すことができるものである。高等学校では扱わない数学を用いるが、興味のある読者のためにその概要を記しておく。原子核の個数と崩壊速度の間の比例定数は原子核の種類によって決まる。この定数をその原子核の崩壊定数という。崩壊定数がλの原子核の時刻tでの個数をN(t)とすると、その変化速度、すなわちN(t)の微分は、 :<math>\frac{d}{dt} N(t) = -\lambda N(t)</math> で表される。このような、ある関数とその微分との関係を表した式を微分方程式といい、微分方程式を満たすような関数を求めることを、微分方程式を解くという。（詳しい解法は[[解析学基礎/常微分方程式]]で説明するが、）この微分方程式を解くと :<math>N(t)= N(0) e^{-\lambda t}</math> が得られる。（この式が確かに先ほどの微分方程式を満たしていることを確かめてみよ）半減期Tとは、<math>N(t)=\frac{1}{2}N(0)</math>となるtのことなので、先ほどの式から :<math>T=\frac{\log 2}{\lambda}</math> が得られる。よって、 :<math>N(t)=N(0) e^{-\lambda t}=N(0) 2^{\frac{-\lambda t}{\log 2}}=N(0) (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}</math> が得られる。 {{コラム\|\| :（※ 範囲外: 科学思想における影響.）　上述の「半減期は原子核の種類によって決まる」という事は、言い換えれば「半減期は原子核の種類によって'''しか'''決まらない」という事でもある。これの意味する事は、やや天下り（あまくだり）的な説明だが、上述のような放射性壊変などの現象は「放射壊変は、確率論的に発生している物理現象である、という可能性が高い」という意味である。 :たとえば、ウラン鉱石から（発見当時の技術では無理だが）原子1個ぶんを取り出したあと、半減期の時間が経ったからって、そのウラン原子が、けっして「確実に放射壊変して別原子に変化している」とは'''言えない'''、のである。確率論的・統計数学的に「半減期の時間が経過したら、だいたいこのくらいの量や確率で放射壊変している」としか言えない、という意味である。 :（その他、分子数などでは決まらない事から、けっして古典的な熱力学のような、複数の分子間（あるいは複数の原子間）における相互作用の現象でもない、という事も意味する。また、温度によって半減期や放射壊変の結果が変化しない事から、化学反応ではないことも言える<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日第1刷、154ページ</ref>。） :「確率論」という用語に対して一方、「決定論」（けっていろん）という別の哲学的な用語がある。古典力学、いわゆるニュートン力学などのような初期値や初速度さえ決まれば原理的には、未来の現象を精度よく計算できるような現象あるいは世界観のことを、「決定論」という。 :かつて、ガリレオやニュートンなどの古い時代の物理学は、決定論的な世界観を前提としていた（ガリレオなどが『決定論』という用語を知っているかは、ともかく）。 :しかし、放射壊変などの現象が「確率論的である」という事の意味はつまり、とする「決定論」に対して、放射壊変などが反例のような現象になっているという意味である。これはつまり、それ以前の決定論的な世界観に対する、大変革を意味する。 :読者の高校生も、物理1（物理基礎）などの科目で、確率の方程式などを見たことが無いだろう。少なくとも高校物理の（物理1、物理基礎のような）力学の範囲では、少なくとも法則を記述する式としては、指数や対数の式も、読者は質点の学では見たことが無いハズだ。（熱力学の公式では、発展的（やや範囲外）な分野の法則に、指数を使う公式が若干ある。） :なお、熱力学では統計的な考え方を用いるが、これは決定論的な世界観の時代の古い物理学者にとっては、「もし気体原子が1個だけなら、その運動は決定論的に記述できるが、しかし原子の個数が膨大すぎるので、人間が計算できないから、しかたなく統計的な考え方を使っているだけである」という風に、便宜的に統計を用いているだけであるという世界観であり、古典熱力学は決定論の破綻とは思われていなかった。 :実際、高校物理2の熱力学で習うような気体分子運動論も、理論の創始者であるマクスウェルやボルツマンなどは、決定論的な前提で、気体分子の運動を解析していた<ref>[http://www.ivis.co.jp/text/201205230606.pdf 科学哲学入門2 「理系人に役立つ科学哲学」を読む]、25ページ</ref>。 :しかし、原子物理における放射壊変はそうではなく、そもそも扱う物質（たとえばウラン鉱石など）が気体である必要は無いし、（ウラン鉱石などは固体なので静止しており）そもそも運動してないし、また、多数の原子の集団である必要すらもなく、つまり原理的には1個の原子または数個程度からなる結晶であっても良い。つまり気体熱力学のような多数の粒子からなる内部構造をもたないにも関わらず、放射改変はその法則を表す基本公式のそのもの自体4に、統計的な式が含まれている。 :しかも放射壊変は、物質を構成する原子そのものの現象である。 :だから、熱力学の場合とは違い、放射壊変は、（のちの物理学からの後知恵であるが）決定論的な世界観だけでは説明できない事であり、のちの量子力学（りょうしりきがく）などにつながる、いわゆる『現代物理学』といわれる、(放射壊変の分野が、後知恵だが)物理学の新しい世界観につながる分野の先駆けとなったという意義がある。 ::（※ ・・・というような感じのことがよく、科学史などで語られるのだが、しかしネットで確認した範囲では裏づけになりそうな資料・論文などが得られなかった。） ::（たしか高校物理では、上述のような感じのことを物理科の教師が授業中に口頭で説明したりする場合がある。しかし科学思想などは高校物理の範囲外なので、検定教科書には記載されない。また、必然的に大学入試にも出題されないので、上述の科学史の歴史観については丸暗記は不要。高校物理では、放射能の分野とは別に、原子の「物質波」とか、電子の「波動性」とかの現代物理的な波動の概念を、物理2（専門物理）科目で習い、そういった波動性に関する事も、ニュートン力学的な決定論の破綻になる。だが、その「波動性」うんぬんの理論を前提としなくても、放射壊変という実験事実だけでも、（質点や剛体の運動のような）ニュートン力学的な決定論的な世界観が、くつがえされるされるのである。実際、コラム外の上記の本文の話題では、一切、電子や原子などに波動性があるかどうかの話題はしていない。なお、高校物理の教育では、よく、放射破変の単元で、上述のようにニュートン力学の決定論が破綻している事を教えることにより、高校の頭を現代物理的な世界観にならしすことで、のちの単元の物質波や電子の波動性などの単元に導入しやすいようにするく・・・というような教育手法が行われたりする。 }} ==== 原子核反応 ==== [[File:Cloud chamber ani bionerd.gif\|thumb\|right\|300px\|霧箱（きりばこ）の実験。陽子は電荷（正電荷）をもっているため、霧箱でも観測することができる。（※ この画像は、陽子の観測実験ではない。霧箱の原理説明のための画像である。）<br>霧箱（きりばこ）という、蒸気のつまった装置をつかうと、なんらの粒子が通過すると、その粒子の軌跡で、気体から液体から凝着が起きるので、軌跡が、目に見えるのである。（イメージ的には、飛行機雲のようなのを、イメージしてください。）で、磁場を加えた場合の、軌跡の曲りぐあい等などから、比電荷までも予想できる。]] * 陽子の発見ラザフォードは、窒素ガスを密閉した箱にα線源があると、正電荷をもった粒子が発生することを発見した。この正電荷の粒子が、陽子である。つまり、ラザフォードは陽子を発見した。同時に、酸素も発生することを発見し、その理由は窒素が酸素に変換されたからであり、つまり、原子核が変わる反応も発見した。これらのことを式にまとめると、 :<math>_{\ 7}^{14} \mathrm{N} + {}_{2}^{4} \mathrm{He} \rightarrow {}_{\ 8}^{17} \mathrm{O} + {}_{1}^{1} \mathrm{H} </math> である。このように、ある元素の原子が、別の元素の原子に変わる反応のことを '''原子核反応''' という。または、「核反応」という。 :（※ 範囲外: ）霧箱は、種類にもよるが、普通、エタノールまたはアルゴンの気体が封入される<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日第1刷発行、P80</ref>。 :霧箱のような実験装置の用途として、陽子の実験の用途のほか、原子核反応の回数を観測する目的でも使うことが出来る。放射線の測定器のいわゆる「ガイガーカウンター」の原理も、霧箱と類似している。原理的な放射線測定器であるガイガー・ミュラー管には気体（アルゴンやエチレンガスなどの不活性な気体）が封入されている。霧箱のように気気体を封入した測定管に、高電圧をかけた電気極板を追加することで、放射線をとらえるようにしたものがガイガー管である[http://www.agc.a.u-tokyo.ac.jp/radioecology/pdf/190930_radioecology_supplement2.pdf ]。物理学者ガイガーは、このような測定器を開発し、さらに原子核反応によって生成されるヘリウム分子を集めて気体として封入し、（※ wiki補足: そのヘリウムに気体の状態方程式などを適用する事により、）当時としては最高水準の精度でアボガドロ定数を測定する事に成功した<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日第1刷発行、P81</ref>。当時知られていた、プランクの熱輻射の理論から算出されるアボガドロ定数の値や（ボルツマン定数 Na k と気体定数 k の比からアボガドロ定数 Na が求められる）物理学者ベランがブラウン運動から求めたアボガドロ定数に、ガイガーのアボガドロ定数の精度は匹敵する精度であった<ref>山本義隆『原子・原子核・原子力』、岩波書店、2015年3月24日第1刷発行、P82</ref>。 * 中性子の発見 ===素粒子=== [[File:Cloud chamber ani bionerd.gif\|thumb\|right\|300px\|霧箱実験。サッと現れる白い軌跡が、荷電粒子や放射線が通過した跡。]] [[File:Physicist Studying Alpha Rays GPN-2000-000381.jpg\|thumb\|right\|300px\|霧箱を覗き込む物理学者（1957年）。中心にポロニウムが置かれており、そこから放射される放射線（アルファ粒子）が、花びらのような形で可視化されている。]] まず、宇宙線の観測により、μ粒子というのが、発見されている。 ==== 範囲外: どうやって素粒子を観測するか ==== そもそも、どうやって素粒子を観測するかというと、いくつかの方法があるが、 :写真乾板。（素粒子観測用の乾板を「原子核乾板」という） :霧箱などが使われた。 ==== 霧箱（きりばこ） ==== (※ 高校で習う範囲内。X線や原子核の単元で、霧箱（きりばこ）を習う。) 霧箱（きりばこ）という、蒸気のつまった装置をつかうと、なんらの粒子が通過すると、その粒子の軌跡で、気体から液体から凝着が起きるので、軌跡が、目に見えるのである。（※ 検定教科書では、原子核の分野で、霧箱について習う。）（イメージ的には、飛行機雲のようなのを、イメージしてください。）で、磁場を加えた場合の、軌跡の曲りぐあい等などから、比電荷までも予想できる。このように、霧箱をつかった実験により、20世紀前半〜中盤ごろには、いろいろな粒子が発見された。 μ粒子以外にも、陽電子（ようでんし）が、霧箱によって発見されている。（※ 範囲外:）世界初で陽電子を実験的に観測したアンダーソンは、霧箱に鉛板を入れることで陽電子を発見した。というか、（μ粒子の発見よりも）陽電子のほうが発見は早い。（※ 範囲外:）また、陽電子は、量子力学のシュレーディンガー方程式に、特殊相対性理論とを組み合わせた、「ディラックの方程式」から、理論的に予想されていた。 ==== 反物質 ==== まず、「陽電子」という物質が1932年に鉛板を入れた霧箱（きりばこ）の実験でアンダーソン（人名）によって発見されており、陽電子は質量が電子と同じだが、電荷が電子の反対である（つまり陽電子の電荷はプラスeクーロンである）。（※ 鉛板については高校の範囲外。）そして、電子と陽電子が衝突すると、2mc<sup>2</sup>のエネルギーを放出して、消滅する。（この現象（電子と陽電子が衝突すると2mc<sup>2</sup>のエネルギーを放出して消滅する現象）のことを、「対消滅」（ついしょうめつ）という。）陽子に対しても、「反陽子」がある。反陽子は、電荷が陽子と反対だが、質量が陽子と同じであり、陽子と衝突すると対消滅をする。中性子に対しても、「反中性子」がある。反中性子は、電荷はゼロだが（ゼロの電荷の±を反対にしてもゼロのまま）、質量が同じで、中性子と対消滅をする。陽電子や反陽子や反中性子のような物質をまとめて、反物質という。（※ 範囲外: ）放射性同位体のなかには、崩壊のときに陽電子を放出するものがある。最先端の病院で使われるPET（陽電子断層撮像法）技術は、これを応用したものである。フッ素をふくむフルオロデオキシグルコースという物質はガン細胞によく取り込まれる。PET診断では、これに（フルオロデオキシグルコースに）放射性のフッ素 <sup>18</sup>F をとりこんだ放射性フルオロデオキシグルコースを用いている。（※ 啓林館の『化学基礎』の教科書に、発展事項としてフルオロデオキシグルコースがPET診断で使われてることが紹介されている。） ==== μ粒子 ==== [[File:Cosmic-radiation-Shower detection--fr.png\|thumb\|400px\|宇宙線は、図のように、地球の大気圏などに含まれる原子核に衝突することにより、いくつもの二次的な宇宙線を発生する。地球の高山で観測できる宇宙線は、二次的な宇宙線のほうである。いっぽう、宇宙空間を飛んでいる宇宙線は、一次宇宙線という。（※ 高校の範囲内）宇宙線として観測されるμ粒子や陽電子やπ中間子は、このような現象によって発生したと考えられている。]] 反物質とは別に、μ粒子が、宇宙線の観測から、1937年に見つかった。このμ粒子は、電荷は、電子と同じだが、質量が電子とは違い、μ粒子の質量は、なんと電子の約200倍の質量である。 μ粒子は、べつに陽子や電子の反物質ではないので、べつに陽子とも対消滅を起こさないし、電子とも対消滅を起こさない。なお、μ粒子にも、反μ粒子という、反物質が存在することが分かっている。このような物質が、われわれの住んでいる地上で見つからないのは、単に地上の大気などと衝突して消滅してしまうからである。なので、高山の頂上付近などで観測実験をすると、μ粒子の発見の可能性が高まる。なお21世紀の現在、μ粒子を活用した技術として、現在、火山などの内部を観察するのに、活用されている。μ粒子は、透過力が高いが、地上の物質と反応して、わずかに消滅してしまうので、そのような性質を利用して、火山内部のように人間が入り込めない場所を観察するという技術が、すでにある。 :μ粒子などの素粒子を検出するために、写真乾板を使う。通常の写真乾板とは違い、粒子線のような細かいものを捕らえられるように調整されており、「原子核乾板」という。（「原子核乾板」については範囲外。） :乾板中の成分にμ粒子が当たることで、電気化学的な反応が起こり、乾板が反応する。 :早い話、X線とX線乾板の原理と同じような原理で、μ粒子を使った（火山などの）内部研究が行われてた。近年は、原子核乾板の代わりに、半導体センサーを使って、検出している（要するに、デジカメの光センサーなどと同じ原理）。 * μ粒子の発生方法このような観測に使われるμ粒子をどうやって発生させるのか？宇宙線から飛んでくるμ粒子をそのまま使うという方法もありそれを実行している研究者もいるが、それとは別の手法として、加速器などで人工的にμ粒子などを発生させるという方法もある。加速器を使った方法は、下記の通り。まず、シクロトロンやサイクロトロンを使って、電子などを超高速に加速させ、それを一般の物質（グラファイトなど）に当てる。すると、当然、いろんな粒子が発生する。そのうち、π中間子が、磁気に反応する（と考えられている）ので、大きな電磁石コイルで、π中間子を捕獲する。このπ中間子が崩壊して、μ粒子が発生する。 ==== ※ 範囲外: 宇宙線の発生原因は不明 ==== そもそも宇宙線が何によって発生しているかの発生原因は、現時点の人類には不明である。（※ 参考文献: 数研出版の資料集の『図説物理』）超新星（ちょうしんせい）爆発によって宇宙線が発生するのでは、という説もあるが、とにかく宇宙線の発生原因については未解明である。 ==== 範囲外？: スピン ==== 電子や陽子や中性子などは、「スピン」という磁石のような性質をもっている。磁石にN極とS極があるように、スピンにも、2種類の向きがある。スピンのこの2種類の向きは、「上向き」と「下向き」に、よく例えられる。磁石の磁力の発生原因は、磁石中の分子の最外殻電子のスピンの向きが同一方向にそろっているから、であると考えられている。全分子は、電子や陽子や中性子を含むのに、なのに多くの物質が、あまり磁性を発生しないのは、反対符号のスピンをもつ電子が結合しあうことで、打ち消しあうからである。（てっきり、電子と陽子のような電荷をもつ粒子にしかスピンがないと誤解している人もいるが、中性子にもスピンはある。）中学高校で観測するような普通の方法では、スピンが観測できないが、分子などの物質に磁気を加えつつ高周波を加えるなどすると、スピンの影響によって、その分子の振動しやすい周波数が違うなどの現象をもちいて、間接的に（電子などの）スピンを観測できる。（なお、核磁気共鳴法（NMR、nuclear magnetic resonance）の原理である。 ※ 理論的な解析は、大学レベルの力学の知識が必要になるので省略する。）分子中の水素原子や、ある種の放射性同位体（中性子がたった1個ふえただけの同位体）など、高周波の影響を受けやすく、その理由のひとつが、スピンによるものだと考えられてる。（※ なお、医療で用いられるMRI（magnetic resonance imaging）は、この核磁気共鳴法（NMR）を利用して人体内部などを観測しようとする機器である。）さて、実は素粒子も、スピンをもつのが普通である。 μ粒子はスピンをもつ。 μ粒子の「スピン」という性質による磁気と、μ粒子の透過性の高さを利用して、物質内部の磁場の観測方法として既に研究されており、このような観測技術を「μオンスピン回転」という。超伝導体の内部の観測などにも、すでに「μオンスピン回転」による観測が研究されている。ウィキペディア記事『[[w:ミュオンスピン回転]]』によると、μオンの崩壊時に陽電子を放出するので、陽電子の観測技術も必要である。（高校の範囲外であるが、）これからの学生は、いろいろと勉強する事が多い。 ==== 陽子と中性子のアイソスピン ==== 陽子と中性子は、質量はほとんど同じである。電荷が違うだけである。そして、電子と比べると、陽子も中性子も、質量がかなり大きい。この事から、「陽子や中性子にも、さらに中身があり、別の粒子が詰まっているのでは？」という疑問が生まれてきて、陽子や中性子の内部の探索が始まった。しかし、現在でも、陽子や中性子の内部の構造は、実験的には取り出せてはいない。（※ 陽子や中性子の内部構造として説明されている「クォーク」は、単独では発見されていない。クォークは単に、内部の説明のための、概念である。）歴史的には、まず、陽子と中性子の内部構造として、架空の素粒子を考えられ、陽子と中性子は、それらの素粒子の状態が違うだけ、と考えられた。いっぽう、電子には、内部構造がない、と考えらている。され、20世紀なかば、量子力学では、そのころ、すでに、電子の状態として「スピン」という概念が、みつかっていた。量子力学では、化学結合で価電子が2個まで結合して電子対になる理由は、このスピンが2種類しかなくて、反対向きのスピンの電子2個だけが結合するからである、とされている。スピンの2種類の状態は、「上向き」「下向き」というふうに、よく例えられる。（実際の方向ではないので、あまり深入りしないように。）このような量子力学を参考にして、陽子と中性子でも「アイソスピン」という概念が考えられた。（※ 「アイソスピン」は高校範囲外。）陽子と中性子は、アイソスピンの状態が違うだけ、と考えられた。 ==== クォーク ==== その後、20世紀半ば頃から、「アイソスピン」を発展させた「クォーク」という理論が提唱された。架空の「クォーク」という3個の素粒子を仮定すると、実在の陽子や中性子の成り立つモデルが、実験結果をうまく説明できる事が分かった。電荷(<math>+\frac{2}{3}e</math>)をもつ素粒子「アップクォーク」と、±(<math>-\frac{1}{3}e</math>)をもつ素粒子「ダウンクォーク」があって、 :<math>\frac{2}{3}e - \frac{1}{3}e - \frac{1}{3}e=0e</math>で陽子、 :<math>\frac{2}{3}e + \frac{2}{3}e - \frac{1}{3}e=1e</math>で陽子、と考えると、いろいろな素粒子実験の結果をうまく説明できる事が分かった。なお、電子には、このような内部構造はない、と考えられいる。アップクォークは「u」と略記され、ダウンクォークは「d」と略記される。陽子のクォーク構造はuudと略記される（アップ、アップ、ダウン）。中性子のクォーク構造はuddと略記される（アップ、ダウン、ダウン）。 ==== 加速器実験と中間子 ==== なお、上記の説明では省略したが、おおよそ1950〜60年代ごろまでに、高山での宇宙線の観測や、あるいは放射線の観測や、またあるいはサイクロトロンなどによる粒子の加速器衝突実験により、陽子や中性子のほかにも、同程度の質量のさまざまな粒子が発見されており、それら新種の粒子は「中間子」に分類された。そもそも、「クォーク」の理論は、このような20世紀半ばごろまでの実験や観測から何百個もの新種の粒子が発見されてしまい、そのような経緯があったので、クォークの理論が提唱されたのである。さて、「中間子」（ちゅうかんし、mason メソン）とは、もともと理論物理学者の湯川秀樹が1930年代に提唱した、陽子と中性子とを引き付けているとされる架空の粒子であったが、20世紀なかばに新種の粒子が発見された際、「中間子」の名前が使われることになった。さて、実験的に比較的早い時期から発見された「中間子」では、「π中間子」がある。ある種類のπ中間子は、アップクォークと反ダウンクォークからなり、π<sup>+</sup>と略記される。（ダウンクォークの反物質が、反ダウンクォーク。） π<sup>＋</sup>＝<math>u\overline{d}</math> 別のある種類のπ中間子は、ダウンクォークと反アップクォークからなり、π<sup>ー</sup>と略記される。π<sup>-</sup>＝<math>\overline{u}d</math> このように、ある粒子内のクォークは合計2個のであっても良い場合もある。（かならずしも、陽子のようにクォーク3個でなくてもかまわない場合もある。）（※ このような実験例から、粒子内に合計5個のクォークや7個のクォークを考える理論もあるが、しかし高校物理の範囲を大幅に超えるので、説明を省略。）また、中間子は、自然界では短時間のあいだだけ、存在できる粒子だという事も、観測実験によって、分かってきた。（中間子の存在できる時間（「寿命」）は短い。すぐに、他の安定な粒子に変換してしまう。） ==== 第2世代以降の素粒子 ==== しかし、アップとダウンだけでは、説明しきれない粒子が、どんどんと発見されていく。クォークの提唱時の当初は、おそらく、「クォークのアップとダウンで、きっと、ほとんどの中間子の構造を説明できるだろう」と期待されていたのだろうが、しかし、宇宙線から1940年代に発見された「K中間子」の構造ですら、アップとダウンでは説明できなかった。このほか、加速器の発達などにより、アップとダウンの組み合わせだけで説明できる数を超えて、どんどんと新種の「中間子」が発見されてしまい、もはやアップとダウンだけでは、中間子の構造を説明しづらくなってきた上、μ粒子が、説明できない。また、加速器実験により、1970年代に「D中間子」など、さまざまな中間子が、実験的に実在が確認された。このように、アップとダウンだけでは説明のできない、いろいろな粒子が存在することが分かり、そのため、素粒子理論では、「アップ」（u）と「ダウン」（d）という2種類の状態の他にも、さらに状態を考える必要に、せまられた。そして、新しい状態として、まず「チャーム」（記号c）と「ストレンジ」（記号s）が考えられた。加速器実験の技術が発展し、加速器実験の衝突のエネルギーが上がってくると、さらに「トップ」（記号t）と「ボトム」（記号b）というのが考えられた。なお、μ粒子には内部構造はないが、陽子や中性子に電子を対応させるのと同様に（第1世代）、チャームやストレンジからなる陽子的・中性子的な粒子とμ粒子を対応させた（第2世代）。同様に、トップやボトムからなる粒子にμ粒子を対応させた（第3世代）。 {\| class="wikitable" \|+ クォークとレプトン \|- ! 種類 !! 電荷 !! 第1世代 !! 第2世代 !! 第3世代 \|- ! rowspan="2"\| クォーク ! <math>\frac{2}{3}e</math> \| アップ (u) \| チャーム (c) \| トップ (t) \|- ! <math>-\frac{1}{3}e</math> \| ダウン (d) \| ストレンジ (s) \| ボトム (b) \|- ! rowspan="2"\| レプトン ! rowspan="2"\| <math>-e</math> \| 電子 (e<sup>ー</sup> ) \| μ粒子 (''μ''<sup>ー</sup> ) \| τ粒子 (''τ''<sup>ー</sup> ) \|- \| 電子ニュートリノ（''ν''<sub>e</sub> ） \| μニュートリノ（''ν''<sub>''μ''</sub> ） \| τニュートリノ（''ν''<sub>''τ''</sub> ） \|- \|} 電子やμ粒子は内部構造をもたないと考えられており、「レプトン」という、内部構造をもたないとされるグループに分類される。「K中間子」は、第1世代のクォークと第2世代のクォークから成り立っている事が、分かっている。（※ 検定教科書の範囲内。）そして、2017年の現在までずっと、クォークの理論が、素粒子の正しい理論とされている。 ==== 用語 ==== 素粒子の観点から分類した場合の、陽子と中性子のように、クォーク3個からなる粒子のことを、まとめて「バリオン」（重粒子）という。π中間子（π<sup>＋</sup>＝<math>u\overline{d}</math>）など、クォークが2個の粒子は、バリオンに含まない。しかし、中間子のなかにも、ラムダ粒子（uds、アップダウンストレンジの組み合わせ）のように、クォーク3個からなる粒子もある。ラムダ粒子なども、バリオンに含める。陽子と中性子やラムダ粒子などといったバリオンに、さらに中間子（中間子は何種類もある）を加えたグループをまとめて、「ハドロン」という。なお、普通の物質の原子核では、陽子と中性子が原子核に集まっているが、このように陽子と中性子を原子核に引き合わせる力のことを'''核力'''という。核力の正体は、まだ、あまり解明されていない（少なくとも高校で教えるほどには、まだ充分には解明されていない）。ともかく、バリオンには、核力が働く。通説では、中間子にも、核力は働くとされている。つまり、ハドロンに、核力が働く。ハドロンは、そもそもクォークから構成されている事から、「そもそもクォークに核力が働くのだろう」的な事が、考えられている。理論では、クォークとクォークどうしを引き付けあう架空の粒子として「グルーオン」が考えられており、物理学者から理論が提唱されているが、その正体は、まだ、あまり解明されてないが、しかし物理学者たちは「グルーオンを発見した」と主張している。現在の物理学では、クォークが単独では取り出せていないのと同様に、グルーオンも単独では取り出せてはいない。さて、物理学では、20世紀から「量子力学」という理論があって、この理論により、物理法則の根源では、波と粒子を区別するのが無意味だと言われている。そのため、かつては波だと考えられていた電磁波も、場合によっては「光子」という粒子として扱われるようになった。このように、ある波や力場（りきば）などを、理論面では粒子に置き換えて解釈して扱う作業のことを、物理学では一般に「量子化」という。グルーオンも、クォークとクォークを引き付ける力を、量子化したものであろう。電荷との類推で、クォークにも色荷（カラー荷）というのが考えているが、その性質は、あまり解明されてない（少なくとも高校で教えるほどには、まだ充分には解明されていない）。グルーオンのように、力を媒介する粒子のことをゲージ粒子という。 {\| class="wikitable" style="float: right; text-align: center; margin: 2pt;" \|+ 4つの力とゲージ粒子 \|- ! 力の種類 ! ゲージ粒子 \|- ! 電磁気力 \| 「光子」<br>（電磁場を量子化したもの） \|- ! 「強い力」<br>（クォークを引き付けあう力のこと） \| グルーオン \|- ! 「弱い力」<br>（β崩壊をつかさどる「力」のこと） \| ウィークボソン \|- ! 万有引力（「重力」）<br> \| グラビトン<br>（未発見） \|- \|} 重力を媒介する架空の粒子のことを重力子（グラビトン）というが、まだ発見されていない。物理学者たちも「グラビトンは、まだ未発見である」と主張している。電磁気力を媒介する粒子は光子（フォトン）というが、これは単に、電磁場を仮想的な粒子として置き換えて扱っただけである。フォトンは、高校物理の電磁気分野で習うような古典的な電磁気計算では、まったく役立たない。なお、光子もゲージ粒子に含める。つまり、光子やグルーオンは、ゲージ粒子である。ベータ崩壊をつかさどる力のことを「弱い力」といい、この力を媒介する粒子を「ウィークボソン」というが、性質は、よく分かっていない。しかし物理学者たちは「ウィークボソンを発見した」と主張している。そもそも「ボソン」とは何か？量子力学のほうでは、電子のような、一箇所にたかだか数個までしか存在できない粒子をまとめてフェルミオンという。フェルミオン的でない別種の粒子としてボソンがある。光子も、ボソンとして扱われる。「ウィークボソン」とは、おそらく、弱い力を媒介するボソンだからウィークボソンと呼んでいるのだろう。さて、電荷との類推で、「弱い力」に関する「弱荷」（じゃくか）というのも提唱されているが、しかし、その性質は、あまり解明されてない（少なくとも高校で教えるほどには、まだ充分には解明されていない）。さて、「弱い力」のある一方、グルーオンの媒介する力のことを「強い力」ともいう。 ==== ※ 範囲外: コバルト60のベータ崩壊と「弱い力」 ==== 1956年に、電子のスピンの方向と、ベータ崩壊粒子の出て来る方向との関係を見るための実験として、コバルトの放射性同位体であるコバルト60をもちいて次のような実験が、アメリカで行われた。コバルト元素（元素記号: Co ）の放射性同位体であるコバルト60を極低温に冷却し、磁場をかけて多数のコバルト原子の電子殻の孤立電子スピンの方向をそろえた状態で、コバルト60がベータ崩壊して発生するベータ粒子の出る方向を調べる実験が、1956年にアメリカで行われた。鉄とニッケルとコバルトは、それぞれ金属単体で磁性体になる元素である。元素単体で磁性体になる元素は、この3つ（鉄、ニッケル、コバルト）しかない。（なお、放射性同位体でない通常のコバルトの原子量は59である。）この3つ（鉄、ニッケル、コバルト）のなかで、コバルトが一番、磁気に寄与する電子の数が多いことが量子力学の理論により既に知られたいたので（コバルトがもっとも、d軌道の電子の数が多い）、ベータ崩壊とスピンとの関係をみるための実験に、コバルトの放射性同位体であるコバルト60が使われたのである。実験の結果、コバルト60がベータ崩壊してベータ粒子の出てくる方向は、コバルト60のスピンの磁気の方向と（同じ方向よりも）逆の方向に多く放出されているのが観測された。これは、2種類（スピンと同方向にベータ粒子の出る場合と、スピンと反対方向にベータ粒子の出る場合）の崩壊の確率が異なっており、ベータ崩壊の確率の（スピン方向を基準とした場合の）方向対称性が敗れていることになる。このような実験事実により、「弱い力」は非対称である、というのが定説。 {{-}} == 脚注・参考文献など == [[Category:高等学校教育\|物ふつり2けんしとけんしかく]] [[Category:物理学\|高ふつり2けんしとけんしかく]] [[Category:物理学教育\|高ふつり2けんしとけんしかく]] [[Category:高等学校理科物理II\|けんしとけんしかく]]	2005-05-08T08:19:59Z	2024-03-04T16:10:52Z	[ "テンプレート:コラム", "テンプレート:Val", "テンプレート:-" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E7%89%A9%E7%90%86/%E5%8E%9F%E5%AD%90%E7%89%A9%E7%90%86
1,971	周期律と元素の諸特性/典型元素/アルカリ土類金属元素	アルカリ土類金属とは第2族元素のこと、かつては、周期表の2族のうち、Ca(カルシウム)、Sr(ストロンチウム)、Ba(バリウム)、Ra(ラジウム)の4つの元素を指していたが、現在ではこれに加え、Be(ベリリウム)、Mg(マグネシウム)もアルカリ土類金属に含める。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "アルカリ土類金属とは第2族元素のこと、かつては、周期表の2族のうち、Ca(カルシウム)、Sr(ストロンチウム)、Ba(バリウム)、Ra(ラジウム)の4つの元素を指していたが、現在ではこれに加え、Be(ベリリウム)、Mg(マグネシウム)もアルカリ土類金属に含める。", "title": "" } ]	アルカリ土類金属とは第2族元素のこと、かつては、周期表の2族のうち、Ca（カルシウム）、Sr（ストロンチウム）、Ba（バリウム）、Ra（ラジウム）の4つの元素を指していたが、現在ではこれに加え、Be（ベリリウム）、Mg（マグネシウム）もアルカリ土類金属に含める。	'''アルカリ土類金属'''とは'''第2族元素'''のこと、かつては、周期表の2族のうち、Ca（カルシウム）、Sr（ストロンチウム）、Ba（バリウム）、Ra（ラジウム）の4つの元素を指していたが、現在ではこれに加え、Be（ベリリウム）、Mg（マグネシウム）もアルカリ土類金属に含める。 {{stub}} [[カテゴリ:元素]]	2005-05-09T13:58:57Z	2023-08-19T09:40:29Z	[ "テンプレート:Stub" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%BE%8B%E3%81%A8%E5%85%83%E7%B4%A0%E3%81%AE%E8%AB%B8%E7%89%B9%E6%80%A7/%E5%85%B8%E5%9E%8B%E5%85%83%E7%B4%A0/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%AB%E3%83%AA%E5%9C%9F%E9%A1%9E%E9%87%91%E5%B1%9E%E5%85%83%E7%B4%A0
1,972	周期律と元素の諸特性/典型元素/アルカリ金属元素	アルカリ金属とは、水素を除く、周期表第1族の6つの元素、Li(リチウム)、Na(ナトリウム)、K(カリウム)、Rb(ルビジウム)、Cs(セシウム)、Fr(フランシウム)を指す。基底状態の最外殻電子配置は(ns)(n=2,3,・・・,7)であり、s電子を1つ失って、1価の陽イオンになりやすく、自然界に存在するアルカリ金属はすべて酸化数+1の状態である。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "アルカリ金属とは、水素を除く、周期表第1族の6つの元素、Li(リチウム)、Na(ナトリウム)、K(カリウム)、Rb(ルビジウム)、Cs(セシウム)、Fr(フランシウム)を指す。基底状態の最外殻電子配置は(ns)(n=2,3,・・・,7)であり、s電子を1つ失って、1価の陽イオンになりやすく、自然界に存在するアルカリ金属はすべて酸化数+1の状態である。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "", "title": "" } ]	アルカリ金属とは、水素を除く、周期表第1族の6つの元素、Li（リチウム）、Na（ナトリウム）、K（カリウム）、Rb（ルビジウム）、Cs（セシウム）、Fr（フランシウム）を指す。　基底状態の最外殻電子配置は(ns)1（n=2,3,・・・,7）であり、s電子を1つ失って、1価の陽イオンになりやすく、自然界に存在するアルカリ金属はすべて酸化数＋1の状態である。	'''アルカリ金属'''とは、水素を除く、周期表第1族の6つの元素、Li（リチウム）、Na（ナトリウム）、K（カリウム）、Rb（ルビジウム）、Cs（セシウム）、Fr（フランシウム）を指す。　基底状態の最外殻電子配置は(ns)<sup>1</sup>（n=2,3,・・・,7）であり、s電子を1つ失って、1価の陽イオンになりやすく、自然界に存在するアルカリ金属はすべて酸化数＋1の状態である。 == 炎色反応 == {{stub}} [[カテゴリ:元素]]	null	2023-01-25T13:27:42Z	[ "テンプレート:Stub" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%BE%8B%E3%81%A8%E5%85%83%E7%B4%A0%E3%81%AE%E8%AB%B8%E7%89%B9%E6%80%A7/%E5%85%B8%E5%9E%8B%E5%85%83%E7%B4%A0/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%AB%E3%83%AA%E9%87%91%E5%B1%9E%E5%85%83%E7%B4%A0
1,975	旧課程(-2012年度)高等学校数学B/数値計算とコンピューター	初等的な算法を扱い、計算機を用いてそれを計算する方法を学ぶ。プログラム例としては、PythonとSchemeという言語を扱うが言語の詳細に立ち入らず、考え方を学ぶことが重要となる。ユークリッドの互除法は2つの整数の最大公約数を求める算法である。ある整数m, n (m > n > 0) をとる。このときユークリッドの互除法はで与えられる。 (導出) m,nが互いに素であるときを考える。mをnで割った商をa、余りをrとするとき、が成り立つ。ここで、仮にn、rが共通因数を持つならその因数はmの因数でもあるがこれはm、nが互いに素であることに矛盾する。よって、n、rは互いに素である。ここから上の1、2を行なうと互いに素でありより小さい2つの整数n,rが得られる。これを繰りかえすと小さい側の整数は1となる。実際余りが2以上になるときは2数が互いに素であることから、次の計算で更に小さい数が得られ、余りが0になることは小さい方の数が1である場合を除いて、2数が互いに素であることに反する。よって、確かに小さい側の整数は1となる。よって、m,nが互いに素であるときユークリッドの互除法は確かめられた。次にm,nが最大公約数Mを持つときを考える。このときもmをnで割った商をa、余りをrとするとき、が成り立つが、を考えると、rもm、nと同じ最大公約数Mを持つ。r,m,nをMで割ったものをそれぞれr',m',n'とおくと、これらは互いに素であるが(最大公約数の定義)、このとき上の2数が互いに素であるときのユークリッド互除法の導出から小さい方の整数は1が得られる。よって元の整数に戻るためにMをかけることで、この方法が2数の最大公約数Mを与えることが分かる。よって、m、nが共通因数を持つ場合にもユークリッド互除法は示された。実際の計算には計算機を用いると(特に2数が大きいときには)便利である。ある関数f(x)とx軸との接点を求める方法の1つに、2分法がある。特にf(x)が求める点で正の傾きを持っているものとして考える。この方法は、この方法は元々の範囲[a,b]の中点を取り、解が中点から見てどちらにあるかを判断し、範囲を狭めていく方法である。台形公式は、あるグラフf(x)とx軸とx=a,x=bに囲まれた面積を近似的に求める公式である。この公式では、[a,b]の範囲をN個の小さい範囲に分け、i個目の範囲を、 [ x i , x i + 1 ] {\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} と書く。このときその範囲においては求める面積を台形で近似しても面積のずれは小さい。ここで、台形の面積 s i {\displaystyle s_{i}} はで書かれることを考慮すると、求める面積Sは、で近似できることが分かる。 Pythonによるプログラム例では、半径1の円の面積を近似的に求め、それによって π {\displaystyle \pi } の値を計算する。実際の π {\displaystyle \pi } の値と近い値が得られていることが分かる。 Schemeによるプログラム例こちらも実際の π {\displaystyle \pi } の値と近い値が得られていることが分かる。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "初等的な算法を扱い、計算機を用いてそれを計算する方法を学ぶ。プログラム例としては、PythonとSchemeという言語を扱うが言語の詳細に立ち入らず、考え方を学ぶことが重要となる。", "title": "数値計算とコンピューター" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "ユークリッドの互除法は2つの整数の最大公約数を求める算法である。ある整数m, n (m > n > 0) をとる。このときユークリッドの互除法は", "title": "数値計算とコンピューター" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "で与えられる。", "title": "数値計算とコンピューター" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "(導出)", "title": "数値計算とコンピューター" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "m,nが互いに素であるときを考える。mをnで割った商をa、余りをrとするとき、", "title": "数値計算とコンピューター" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "が成り立つ。ここで、仮にn、rが共通因数を持つならその因数はmの因数でもあるがこれはm、nが互いに素であることに矛盾する。よって、n、rは互いに素である。ここから上の1、2を行なうと互いに素でありより小さい2つの整数n,rが得られる。これを繰りかえすと小さい側の整数は1となる。", "title": "数値計算とコンピューター" }, { "paragraph_id": 6, "tag": 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"tag": "p", "text": "台形公式は、あるグラフf(x)とx軸とx=a,x=bに囲まれた面積を近似的に求める公式である。この公式では、[a,b]の範囲をN個の小さい範囲に分け、i個目の範囲を、 [ x i , x i + 1 ] {\\displaystyle [x_{i},x_{i+1}]} と書く。このときその範囲においては求める面積を台形で近似しても面積のずれは小さい。", "title": "数値計算とコンピューター" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "ここで、台形の面積 s i {\\displaystyle s_{i}} は", "title": "数値計算とコンピューター" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "で書かれることを考慮すると、求める面積Sは、", "title": "数値計算とコンピューター" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "で近似できることが分かる。", "title": "数値計算とコンピューター" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "Pythonによるプログラム例では、半径1の円の面積を近似的に求め、それによって π {\\displaystyle \\pi } の値を計算する。", "title": "数値計算とコンピューター" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "実際の π {\\displaystyle \\pi } の値と近い値が得られていることが分かる。", "title": "数値計算とコンピューター" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "Schemeによるプログラム例", "title": "数値計算とコンピューター" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "こちらも実際の π {\\displaystyle \\pi } の値と近い値が得られていることが分かる。", "title": "数値計算とコンピューター" } ]	null	{{pathnav\|frame=1\|高等学校数学\|高等学校数学B}} ==数値計算とコンピューター== 初等的な算法を扱い、計算機を用いてそれを計算する方法を学ぶ。プログラム例としては、[[Python]]と[[Scheme]]という言語を扱うが言語の詳細に立ち入らず、考え方を学ぶことが重要となる。 ===整数の算法=== ====ユークリッドの互除法==== ユークリッドの互除法は2つの整数の最大公約数を求める算法である。ある整数m, n (m > n > 0) をとる。このときユークリッドの互除法は #mをnで割った余りを計算し、それをrとおく。このときr=0なら3に進み、<math>r \ne 0</math>なら、2に進む。 #mを以前のnの値で置き換え、nをrの値で置き換え、1に戻る。 #nの値が最大公約数となっている。で与えられる。 (導出) m,nが互いに素であるときを考える。mをnで割った商をa、余りをrとするとき、 :<math>m=na+r</math> ただし <math>(r<n<m)</math> が成り立つ。ここで、仮にn、rが共通因数を持つならその因数はmの因数でもあるがこれはm、nが互いに素であることに矛盾する。よって、n、rは互いに素である。ここから上の1、2を行なうと互いに素でありより小さい2つの整数n,rが得られる。これを繰りかえすと小さい側の整数は1となる。実際余りが2以上になるときは2数が互いに素であることから、次の計算で更に小さい数が得られ、余りが0になることは小さい方の数が1である場合を除いて、2数が互いに素であることに反する。よって、確かに小さい側の整数は1となる。よって、m,nが互いに素であるときユークリッドの互除法は確かめられた。次にm,nが最大公約数Mを持つときを考える。このときもmをnで割った商をa、余りをrとするとき、 :<math>m=na+r</math> ただし <math>(r<n<m)</math> が成り立つが、 :<math>r = m - na</math> を考えると、rもm、nと同じ最大公約数Mを持つ。r,m,nをMで割ったものをそれぞれr',m',n'とおくと、これらは互いに素であるが（最大公約数の定義）、このとき上の2数が互いに素であるときのユークリッド互除法の導出から小さい方の整数は1が得られる。よって元の整数に戻るためにMをかけることで、この方法が2数の最大公約数Mを与えることが分かる。よって、m、nが共通因数を持つ場合にもユークリッド互除法は示された。実際の計算には計算機を用いると（特に2数が大きいときには）便利である。 ;[https://paiza.io/projects/mArZ05TFJbs_RlcxXzbJPw?language=python3 Pythonによるプログラム例]:<syntaxhighlight lang=python3> def euclid(m, n): print(f"euclid({m}, {n})") if (n == 0): return m return euclid(n, m % n) print(euclid(45,30)) print(euclid(45,28)) print(euclid(30,28)) </syntaxhighlight> ;実行結果:<syntaxhighlight lang=text> euclid(45, 30) euclid(30, 15) euclid(15, 0) 15 euclid(45, 28) euclid(28, 17) euclid(17, 11) euclid(11, 6) euclid(6, 5) euclid(5, 1) euclid(1, 0) 1 euclid(30, 28) euclid(28, 2) euclid(2, 0) 2 </syntaxhighlight> ;[[Scheme]]によるプログラム例:<syntaxhighlight lang="Scheme"> (define (euclid m n) (let ((r (modulo m n))) (if (zero? r) ;ここまでが導出過程の1 n ;ここが導出過程の3 (euclid n r)))) ;ここが導出過程の2 ;;;実行例 ;;> (euclid 45 30) ;;15 ;;> (euclid 45 28) ;;1 ;;> (euclid 30 28) ;;2 </syntaxhighlight> ===実数の算法=== ==== 2分法==== ある関数f(x)とx軸との接点を求める方法の1つに、2分法がある。特にf(x)が求める点で正の傾きを持っているものとして考える。この方法は、 # 範囲[a,b]内にx軸と求める関数f(x)の接点が含まれるように、2数a,bを定める。 # mid_point = (a+b)/2 を計算する。もしf(mid_point)が十分に0に近ければ4に進む。 # もしf(mid_point)<math>></math>0なら、mid_pointの値をbの値に代入し、2に戻る。もし、f(mid_point)<math><</math>0なら、mid_pointの値をaの値に代入し、2に戻る。 # mid_pointの値が求める接点のx座標である。この方法は元々の範囲[a,b]の中点を取り、解が中点から見てどちらにあるかを判断し、範囲を狭めていく方法である。 ;[[Python]]による[https://paiza.io/projects/mslsT2vksLfwnt8HqWmn-A?language=python3 コード例]:<syntaxhighlight lang=python3> from math import isfinite def bisection(func, left: float, right: float) -> float: # acceptance inspection assert (callable(func)),"func is not callable." assert (isfinite(left)),f"The left({left}) is not a finite number." assert (isfinite(right)),f"The right({right}) side is not a finite number." assert (left <= right),f"The left({left}) is bigger than the right({right})." # Implementation of core algorithms def core(f, low: float, high: float) -> float: x = (low + high) / 2 fx = f(x) if (abs(fx) < +1.0e-10): return x if fx < 0.0: low = x else: high = x return core(f, low, high) return core(func, left, right) print(bisection(lambda x: x-1, 0.0, 3.0)) print(bisection(lambda x: xx-1, 0, 3)) </syntaxhighlight> ;実行結果:<syntaxhighlight lang=text> 0.9999999999417923 1.0000000000291038 </syntaxhighlight> :このコードは<math>\lambda(x)=x-1</math>、または、<math>\lambda(x)=x^2-1</math>のときに試された。結果は 0.9999999999417923 および 1.0000000000291038 であり、充分1.0に近い値を返している。 :   ;[[Scheme]]による[https://paiza.io/projects/4Du9cGTR0Q3-UWWN24JEqw コード例]:<syntaxhighlight lang="Scheme"> (define (bisection f a b) ;手順1。 (let ((e (expt 10 -10)) (mid_point (/ (+ a b) 2))) ;手順2。中点の計算。 (cond ((or (zero? (f mid_point)) (< (- e) (f mid_point) e)) (exact->inexact mid_point)) ;ここまでが手順4。 ((> (f mid_point) 0) (bisection f a mid_point)) (else (bisection f mid_point b))))) ;ここまでが手順3 (print (bisection (lambda (x) (- x 1)) 0 3)) ;x-1の解を0〜3間で探す。 (print (bisection (lambda (x) (- (expt x 2) 1)) 0 3)) ;x^2-1の解を0〜3間で探す。 </syntaxhighlight> ;実行結果:<syntaxhighlight lang=text> 0.9999999999417923 1.0000000000291038 </syntaxhighlight> :このコードも<math>\lambda(x)=x-1</math>、または、<math>\lambda(x)=x^2-1</math>のときに試された。[[Python]]版の結果と一致している。 ==== 台形公式==== 台形公式は、あるグラフf(x)とx軸とx=a,x=bに囲まれた面積を近似的に求める公式である。この公式では、[a,b]の範囲をN個の小さい範囲に分け、i個目の範囲を、<math>[x _i,x _{i+1}]</math>と書く。このときその範囲においては求める面積を台形で近似しても面積のずれは小さい。 :正確な面積と台形の面積のずれの絵ここで、台形の面積<math>s _i</math>は :<math> s _i = \frac12 \{ f(x _i)+f(x _{i+1}) \} \cdot (x _{i+1}-x _i ) </math> で書かれることを考慮すると、求める面積Sは、 :<math> S=\sum _{i=0} ^N s _i </math> で近似できることが分かる。 [[Python]]によるプログラム例では、半径1の円の四分の１の面積を近似的に求め、それによって<math>\pi/4</math>の値を計算する。 ;[https://paiza.io/projects/MCQYVUDrCC7EFyh3OFg1bg?language=python3 trapezoid.py]:<syntaxhighlight lang=python3> from math import sqrt,pi from numbers import Number def trapezoid_formula(f, a, b): assert callable(f), "f must be a callable" assert isinstance(a, Number), "a must be a number" assert isinstance(b, Number), "b must be a number" n = 20 dx = (b - a) / n sum = 0 for i in range(n): sum += (f(a + dx i) + f(a + dx * (i + 1))) * dx / 2 return sum print(trapezoid_formula(lambda x: sqrt(1 - x ** 2), 0, 1)) print(pi/4) </syntaxhighlight> ;実行結果:<syntaxhighlight lang=text> 0.7821162199387454 0.7853981633974483 </syntaxhighlight> 実際の<math>\pi/4</math>の値と近い値が得られていることが分かる。 [[Scheme]]によるプログラム例 ;[https://paiza.io/projects/YAGiEEO9bJtET0tSvA9_2A?language=scheme trapezoid.scm]:<syntaxhighlight lang="Scheme"> (define (trapezoid_formula f a b) (let ((n 20)) (let ((dx (/ (- b a) n))) (let loop ((i 0) (sum 0)) (if (= i n) (exact->inexact sum) (loop (+ i 1) (+ sum (* (+ (f (+ a (* dx i))) (f (+ a (* dx (+ i 1))))) (/ dx 2))))))))) (print (trapezoid_formula (lambda (x) (sqrt (- 1 (expt x 2)))) 0 1) ) (print (atan 1.0)) </syntaxhighlight> ;実行結果:<syntaxhighlight lang=text> 0.7821162199387455 0.7853981633974483 </syntaxhighlight> こちらも実際の<math>\pi/4</math>の値と近い値が得られていることが分かる。 [[Category:高等学校数学B\|すうちけいさんとこんひゆた]] [[カテゴリ:コンピュータ]]	2005-05-11T12:03:16Z	2024-02-28T22:35:57Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%97%A7%E8%AA%B2%E7%A8%8B(-2012%E5%B9%B4%E5%BA%A6)%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6B/%E6%95%B0%E5%80%A4%E8%A8%88%E7%AE%97%E3%81%A8%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%94%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%83%BC
1,979	電磁気学	本項は物理学電磁気学 (Electromagnetism) の解説である。ここでは電気・磁気が関連する現象を扱う。歴史的には電場と磁場による相互作用は早くから知られており、現代の技術の多くはこれらの力によっている。また、それだけではなく、世の中に存在する力のうちのほとんどは電磁気力で書かれることが知られている。これは、電磁気力が他の相互作用と比べて、巨視的に見た場合に相対的に強い力によるものであるからである。例外的に、天体と天体の間の相互作用は重力によって記述されるが、これは星が全体として電気的に中性であり、他の天体と比較的小さい電磁的な相互作用しか持たないことによる。ここでは、特に電磁気による力のうちの初等的な記述法を見て行く。この部分は、化学、生物、電気などあらゆる分野に応用があるため、理系分野に進む全ての学生がよく習熟しておかねばならない。また、この分野は高等教育の電気と磁気に当たる。初学者は該当教科書が理解の助けとなるため学習に行き詰まったら参照をお願いしたい。物理学科に進む学生は、この後電磁気学II以降で相対論的な記述法と整合的な記述による電磁気学を学ぶことになる。電磁気学ではそのような視点は用いず、古典的な3次元的記述法にとどめる。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "本項は物理学電磁気学 (Electromagnetism) の解説である。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "ここでは電気・磁気が関連する現象を扱う。歴史的には電場と磁場による相互作用は早くから知られており、現代の技術の多くはこれらの力によっている。また、それだけではなく、世の中に存在する力のうちのほとんどは電磁気力で書かれることが知られている。これは、電磁気力が他の相互作用と比べて、巨視的に見た場合に相対的に強い力によるものであるからである。例外的に、天体と天体の間の相互作用は重力によって記述されるが、これは星が全体として電気的に中性であり、他の天体と比較的小さい電磁的な相互作用しか持たないことによる。", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "ここでは、特に電磁気による力のうちの初等的な記述法を見て行く。この部分は、化学、生物、電気などあらゆる分野に応用があるため、理系分野に進む全ての学生がよく習熟しておかねばならない。", "title": "" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "また、この分野は高等教育の電気と磁気に当たる。初学者は該当教科書が理解の助けとなるため学習に行き詰まったら参照をお願いしたい。", "title": "" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "物理学科に進む学生は、この後電磁気学II以降で相対論的な記述法と整合的な記述による電磁気学を学ぶことになる。電磁気学ではそのような視点は用いず、古典的な3次元的記述法にとどめる。", "title": "" } ]	本項は物理学電磁気学 (Electromagnetism) の解説である。ここでは電気・磁気が関連する現象を扱う。歴史的には電場と磁場による相互作用は早くから知られており、現代の技術の多くはこれらの力によっている。また、それだけではなく、世の中に存在する力のうちのほとんどは電磁気力で書かれることが知られている。これは、電磁気力が他の相互作用と比べて、巨視的に見た場合に相対的に強い力によるものであるからである。例外的に、天体と天体の間の相互作用は重力によって記述されるが、これは星が全体として電気的に中性であり、他の天体と比較的小さい電磁的な相互作用しか持たないことによる。ここでは、特に電磁気による力のうちの初等的な記述法を見て行く。この部分は、化学、生物、電気などあらゆる分野に応用があるため、理系分野に進む全ての学生がよく習熟しておかねばならない。また、この分野は高等教育の電気と磁気に当たる。初学者は該当教科書が理解の助けとなるため学習に行き詰まったら参照をお願いしたい。物理学科に進む学生は、この後電磁気学II以降で相対論的な記述法と整合的な記述による電磁気学を学ぶことになる。電磁気学ではそのような視点は用いず、古典的な3次元的記述法にとどめる。	{{半保護S}} {{Pathnav\|メインページ\|自然科学\|物理学\|frame=1\|small=1}} {{Wikiversity\|Topic:電磁気学\|電磁気学\|}} 本項は物理学電磁気学 (Electromagnetism) の解説である。ここでは電気・磁気が関連する現象を扱う。歴史的には電場と磁場による相互作用は早くから知られており、現代の技術の多くはこれらの力によっている。また、それだけではなく、世の中に存在する力のうちのほとんどは電磁気力で書かれることが知られている。これは、電磁気力が他の相互作用と比べて、巨視的に見た場合に相対的に強い力によるものであるからである。例外的に、天体と天体の間の相互作用は重力によって記述されるが、これは星が全体として電気的に中性であり、他の天体と比較的小さい電磁的な相互作用しか持たないことによる。ここでは、特に電磁気による力のうちの初等的な記述法を見て行く。この部分は、化学、生物、電気などあらゆる分野に応用があるため、理系分野に進む全ての学生がよく習熟しておかねばならない。また、この分野は高等教育の[[高等学校_物理#電気と磁気\|電気と磁気]]に当たる。初学者は該当教科書が理解の助けとなるため学習に行き詰まったら参照をお願いしたい。物理学科に進む学生は、この後[[電磁気学II]]以降で相対論的な記述法と整合的な記述による電磁気学を学ぶことになる。[[電磁気学]]ではそのような視点は用いず、古典的な3次元的記述法にとどめる。 == 目次 == # [[電磁気学/静電場\|静電場]]{{進捗\|75%\|2023-11-05}} ## [[電磁気学/静電場#電荷の間に働く力\|電荷の間に働く力]] ## [[電磁気学/静電場#電界\|電界]] ## [[電磁気学/静電場#電位\|電位]] ## [[電磁気学/静電場#誘電体\|誘電体]] # [[電磁気学/静磁場\|静磁場]]{{進捗\|75%\|2023-11-05}} ## [[電磁気学/静磁場#磁気的な力の導入\|磁気的な力の導入]] ## [[電磁気学/静磁場#磁界\|磁界]] ## [[電磁気学/静磁場#ビオ-サバールの法則\|ビオ-サバールの法則]] # [[電磁気学/電磁誘導\|電磁誘導]]{{進捗\|25%\|2023-11-05}} # [[電磁気学/マクスウェルの方程式\|マクスウェルの方程式]] # [[電磁気学/電磁波の式の導出\|電磁波の式の導出]]{{進捗\|100%\|2023-11-05}} # [[電磁気学/電磁場\|電磁場]]{{進捗\|25%\|2023-11-05}} {{DEFAULTSORT:てんしきかく}} [[Category:電磁気学\|*]] {{NDC\|427}}	2005-05-12T11:11:37Z	2023-11-05T01:48:05Z	[ "テンプレート:Wikiversity", "テンプレート:進捗", "テンプレート:NDC", "テンプレート:半保護S", "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%9B%BB%E7%A3%81%E6%B0%97%E5%AD%A6
1,980	特殊相対論	大学の教科書自然科学: 数学 - 物理学; 古典力学量子力学 - 化学; 無機化学有機化学 - 生物学; 植物学研究技術 - 地球科学 - 医学; 解剖学語学: 日本語英語エスペラント朝鮮語デンマーク語ドイツ語フランス語ラテン語ルーマニア語人文科学: 歴史学; 日本史中国史世界史歴史観 - 心理学 - 哲学 - 芸術; 音楽美術 - 文学; 古典文学漢詩社会科学: 法学 - 経済学 - 地理学 - 教育学; 学校教育教育史情報技術: 情報工学; MS-DOS/PC DOS UNIX/Linux TeX/LaTeX CGI - プログラミング; BASIC C言語 C++ D言語 HTML Java JavaScript Lisp Mizar Perl PHP Python Ruby Scheme SVG 小・中・高校の教科書小学: 国語社会算数理科英語中学: 国語社会数学理科英語高校: 国語 - 地歴 - 公民 - 数学; 公式集 - 理科; 物理化学地学生物 - 外国語 - 情報解説書・実用書・参考書趣味: 料理本 - スポーツ - ゲーム試験: 資格試験 - 入学試験その他の本: 防災 - 生活と進路 - ウィキペディアの書き方 - ジョーク集本項は特殊相対論の解説です。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "大学の教科書自然科学: 数学 - 物理学; 古典力学量子力学 - 化学; 無機化学有機化学 - 生物学; 植物学研究技術 - 地球科学 - 医学; 解剖学語学: 日本語英語エスペラント朝鮮語デンマーク語ドイツ語フランス語ラテン語ルーマニア語人文科学: 歴史学; 日本史中国史世界史歴史観 - 心理学 - 哲学 - 芸術; 音楽美術 - 文学; 古典文学漢詩社会科学: 法学 - 経済学 - 地理学 - 教育学; 学校教育教育史情報技術: 情報工学; MS-DOS/PC DOS UNIX/Linux TeX/LaTeX CGI - プログラミング; BASIC C言語 C++ D言語 HTML Java JavaScript Lisp Mizar Perl PHP Python Ruby Scheme SVG 小・中・高校の教科書小学: 国語社会算数理科英語中学: 国語社会数学理科英語高校: 国語 - 地歴 - 公民 - 数学; 公式集 - 理科; 物理化学地学生物 - 外国語 - 情報解説書・実用書・参考書趣味: 料理本 - スポーツ - ゲーム試験: 資格試験 - 入学試験その他の本: 防災 - 生活と進路 - ウィキペディアの書き方 - ジョーク集", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "本項は特殊相対論の解説です。", "title": "" } ]	本項は特殊相対論の解説です。はじめに歴史的導入入門テンソル計算例時間の遅れローレンツ収縮速度の合成則 4元運動量運動方程式電磁気学への導入	{{Pathnav\|メインページ\|自然科学\|物理学\|frame=1\|small=1}} {{進捗状況}} {{蔵書一覧}} 本項は特殊相対論の解説です。 * [[特殊相対論はじめに\|はじめに]] * [[特殊相対論歴史的導入\|歴史的導入]] * [[特殊相対論入門\|入門]] * [[特殊相対論テンソル\|テンソル]] * 計算例 [[特殊相対論時間の遅れ\|時間の遅れ]] [[特殊相対論ローレンツ収縮\|ローレンツ収縮]] ** [[特殊相対論速度の合成則\|速度の合成則]] * [[特殊相対論 4元運動量\|4元運動量]] <!-- E = mc^2 !!! --> * [[特殊相対論運動方程式\|運動方程式]] * [[特殊相対論電磁気学への導入\|電磁気学への導入]] {{DEFAULTSORT:とくしゆそうたいろん}} [[Category:特殊相対論\|*]] {{NDC\|421.2}}	2005-05-13T11:01:46Z	2024-03-16T03:14:04Z	[ "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:進捗状況", "テンプレート:蔵書一覧", "テンプレート:NDC" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96
1,981	特殊相対論はじめに	距離というのは例えば、 d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 {\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}} というようにこの世が3次元であるから、3つの変数x,y,zを用いて書かれる。しかし、世界にはもうひとつ時間方向の自由度もあるように思える。つまり、あるものとその隣のものというものを考えることが出来るように、ある時間のあるものと、少し時間が経ってからのあるものというものも考えることが出来る。このとき、時間も上の式のような表式で表わされると都合がよい。実際実験的に、 d s 2 = c 2 d t 2 − d x 2 − d y 2 − d z 2 {\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}} であることが知られている。重要なのは、この式がどんな速度であっても、等速直線運動する観測者から見た場合には、常に成り立っていることである。このように等速直線運動する観測者から見た場合に変化しない量をローレンツ不変量とよぶ。このことは違った運動をしている物体から見た場合の、運動の違いを計算する方法を与えている。このような場合に関する物体の運動を見て行くことがこの文書の目的となる。数学的にはこのような対称性を扱う良い方法が知られているので、まずはそれを導入する。それを用いると、 d s 2 = c 2 d t 2 − d x 2 − d y 2 − d z 2 {\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}} = η μ ν d x μ d x ν {\displaystyle =\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }} と書くことが出来る。この記法はテンソルのセクションで導入する。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "距離というのは例えば、 d s 2 = d x 2 + d y 2 + d z 2 {\\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}} というようにこの世が3次元であるから、3つの変数x,y,zを用いて書かれる。しかし、世界にはもうひとつ時間方向の自由度もあるように思える。つまり、あるものとその隣のものというものを考えることが出来るように、ある時間のあるものと、少し時間が経ってからのあるものというものも考えることが出来る。このとき、時間も上の式のような表式で表わされると都合がよい。実際実験的に、 d s 2 = c 2 d t 2 − d x 2 − d y 2 − d z 2 {\\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}} であることが知られている。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "重要なのは、この式がどんな速度であっても、等速直線運動する観測者から見た場合には、常に成り立っていることである。このように等速直線運動する観測者から見た場合に変化しない量をローレンツ不変量とよぶ。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "このことは違った運動をしている物体から見た場合の、運動の違いを計算する方法を与えている。このような場合に関する物体の運動を見て行くことがこの文書の目的となる。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "数学的にはこのような対称性を扱う良い方法が知られているので、まずはそれを導入する。それを用いると、 d s 2 = c 2 d t 2 − d x 2 − d y 2 − d z 2 {\\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}} = η μ ν d x μ d x ν {\\displaystyle =\\eta _{\\mu \\nu }dx^{\\mu }dx^{\\nu }} と書くことが出来る。この記法はテンソルのセクションで導入する。", "title": "はじめに" } ]	null	==はじめに== 距離というのは例えば、 <math> ds^2 = dx^2+dy^2+dz^2 </math> というようにこの世が3次元であるから、3つの変数x,y,zを用いて書かれる。しかし、世界にはもうひとつ時間方向の自由度もあるように思える。つまり、あるものとその隣のものというものを考えることが出来るように、ある時間のあるものと、少し時間が経ってからのあるものというものも考えることが出来る。このとき、時間も上の式のような表式で表わされると都合がよい。実際実験的に、 <math> ds^2 = c^2 dt^2 -dx^2-dy^2-dz^2 </math> であることが知られている。重要なのは、この式がどんな速度であっても、等速直線運動する観測者から見た場合には、常に成り立っていることである。このように等速直線運動する観測者から見た場合に変化しない量をローレンツ不変量とよぶ。このことは違った運動をしている物体から見た場合の、運動の違いを計算する方法を与えている。このような場合に関する物体の運動を見て行くことがこの文書の目的となる。数学的にはこのような対称性を扱う良い方法が知られているので、まずはそれを導入する。それを用いると、 <math> ds^2 = c^2 dt^2 -dx^2-dy^2-dz^2 </math> <math> = \eta _{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu </math> と書くことが出来る。この記法はテンソルのセクションで導入する。 <!-- 次のセクションが"テンソル"であると仮定してはならない...。 --> [[Category:特殊相対論\|はしめに]]	2005-05-14T04:32:23Z	2024-03-16T03:15:09Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96_%E3%81%AF%E3%81%98%E3%82%81%E3%81%AB
1,982	特殊相対論テンソル	特殊相対論 > テンソルここからはテンソルという量を用いる。数学的には、通常物理で扱う 3次元のベクトルは、 SO(3)群という群の表現の1つとなっている。ここでいうローレンツ不変性は、ローレンツ群SO(3,1)に対応しており、これも群の表現が良く知られている。まず、ローレンツ変換で変化しない量をスカラーと呼ぶ。次に、ローレンツ変換に対して、 A ′ μ = Λ ν μ A ν {\displaystyle {A'}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }A^{\nu }} となる量をベクトルと呼ぶ。 Λ ν μ {\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }} は、6つの4*4の行列で与えられ、ベクトルに対しては Λ ν μ {\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu }} は、 B 1 = γ ( 1 β 0 0 β 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle B_{1}=\gamma {\begin{pmatrix}1&\beta &0&0\\\beta &1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}} , B 2 = γ ( 1 0 0 0 0 1 β 0 0 β 1 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle B_{2}=\gamma {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&\beta &0\\0&\beta &1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}} , B 3 = γ ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 β 0 0 β 1 ) {\displaystyle B_{3}=\gamma {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&\beta \\0&0&\beta &1\end{pmatrix}}} , R 1 = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos a − sin a 0 0 sin a cos a ) {\displaystyle R_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos a&-\sin a\\0&0&\sin a&\cos a\end{pmatrix}}} , R 2 = ( 1 0 0 0 0 cos a 0 sin a 0 0 1 0 0 − sin a 0 cos a ) {\displaystyle R_{2}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos a&0&\sin a\\0&0&1&0\\0&-\sin a&0&\cos a\end{pmatrix}}} , R 3 = ( 1 0 0 0 0 cos a − sin a 0 0 sin a cos a 0 0 0 0 1 ) {\displaystyle R_{3}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos a&-\sin a&0\\0&\sin a&\cos a&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}} で与えられる。ただし、ここで β = v c {\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}} γ = 1 1 − v 2 / c 2 {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} を用いた。 (ローレンツ群の表現の正確な定義は、おそらく物理数学、もしくは数学の"リー群"で与えられる。) 特にx軸方向に速度vですすむ観測者の観察する物理量を得るには p ′ μ = γ ( 1 β 0 0 β 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) p μ {\displaystyle p'^{\mu }=\gamma {\begin{pmatrix}1&\beta &0&0\\\beta &1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}p^{\mu }} となる。特にx方向だけに注目するときには変化が起こらないy、z方向を無視して変換行列を γ ( 1 β β 1 ) {\displaystyle \gamma {\begin{pmatrix}1&\beta \\\beta &1\end{pmatrix}}} と短く書くことがある。ここから、例えば、 A ′ μ A ′ ν {\displaystyle {A'}^{\mu }{A'}^{\nu }} というような量を作ると、この量は A ′ μ A ′ ν = Λ ρ μ A ρ Λ σ ν A σ {\displaystyle {A'}^{\mu }{A'}^{\nu }=\Lambda _{\rho }^{\mu }A^{\rho }\Lambda _{\sigma }^{\nu }A^{\sigma }} というように変換することが分る。ここで、 T μ ν = Λ ρ μ Λ σ ν T ρ σ {\displaystyle T^{\mu \nu }=\Lambda _{\rho }^{\mu }\Lambda _{\sigma }^{\nu }T^{\rho \sigma }} というように振舞う量を 2階のテンソルと呼ぶ。これは添字が2つあることによる。また、ベクトルは1階のテンソル、スカラーは0階のテンソルということもできる。 (特に添字が上にあるものを反変テンソルと呼ぶことがある。) ここで、計量テンソルという特別な2階のテンソルを定義する。 η μ ν = η μ ν = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}} ここで、この量を用いてベクトルの2乗 ( A μ ) 2 = η μ ν A μ A ν = ( A 0 ) 2 − ( A 1 ) 2 − ( A 2 ) 2 − ( A 3 ) 2 {\displaystyle {\begin{matrix}(A^{\mu })^{2}=\eta _{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu }\\=(A^{0})^{2}-(A^{1})^{2}-(A^{2})^{2}-(A^{3})^{2}\end{matrix}}} を取る。それぞれの添字は同じ添字が上下にきたときに、0-3までの和を取って、打ち消すことが出来る。例えば、 A μ A μ = ∑ m = 0 3 ( A m ) 2 {\displaystyle A^{\mu }A_{\mu }=\sum _{m=0}^{3}(A^{m})^{2}} 下付き添字の量を共変ベクトルと呼び、対応する反変ベクトルと計量テンソルを用いて定義することが出来る。これらの添字は、計量テンソル η μ ν = η μ ν = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}} によって、上下に移動させることが出来る。例えば、 x μ = η μ ν x ν {\displaystyle x_{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\nu }} となり、これによって下付き添字の量を定義することが出来る。特に、下付き添字だけを持つテンソルを共変テンソルと呼ぶことがある。また、上付きと下付きの添字を両方持つテンソルを混合テンソルと呼ぶことがある。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "特殊相対論 > テンソル", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "ここからはテンソルという量を用いる。数学的には、通常物理で扱う 3次元のベクトルは、 SO(3)群という群の表現の1つとなっている。ここでいうローレンツ不変性は、ローレンツ群SO(3,1)に対応しており、これも群の表現が良く知られている。", "title": "テンソル" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "まず、ローレンツ変換で変化しない量をスカラーと呼ぶ。次に、ローレンツ変換に対して、 A ′ μ = Λ ν μ A ν {\\displaystyle {A'}^{\\mu }=\\Lambda _{\\nu }^{\\mu }A^{\\nu }} となる量をベクトルと呼ぶ。", "title": "テンソル" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "Λ ν μ {\\displaystyle \\Lambda _{\\nu }^{\\mu }} は、6つの4*4の行列で与えられ、ベクトルに対しては Λ ν μ {\\displaystyle \\Lambda _{\\nu }^{\\mu }} は、 B 1 = γ ( 1 β 0 0 β 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) {\\displaystyle B_{1}=\\gamma {\\begin{pmatrix}1&\\beta &0&0\\\\\\beta &1&0&0\\\\0&0&1&0\\\\0&0&0&1\\end{pmatrix}}} , B 2 = γ ( 1 0 0 0 0 1 β 0 0 β 1 0 0 0 0 1 ) {\\displaystyle B_{2}=\\gamma {\\begin{pmatrix}1&0&0&0\\\\0&1&\\beta &0\\\\0&\\beta &1&0\\\\0&0&0&1\\end{pmatrix}}} , B 3 = γ ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 β 0 0 β 1 ) {\\displaystyle B_{3}=\\gamma {\\begin{pmatrix}1&0&0&0\\\\0&1&0&0\\\\0&0&1&\\beta \\\\0&0&\\beta &1\\end{pmatrix}}} , R 1 = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos a − sin a 0 0 sin a cos a ) {\\displaystyle R_{1}={\\begin{pmatrix}1&0&0&0\\\\0&1&0&0\\\\0&0&\\cos a&-\\sin a\\\\0&0&\\sin a&\\cos a\\end{pmatrix}}} , R 2 = ( 1 0 0 0 0 cos a 0 sin a 0 0 1 0 0 − sin a 0 cos a ) {\\displaystyle R_{2}={\\begin{pmatrix}1&0&0&0\\\\0&\\cos a&0&\\sin a\\\\0&0&1&0\\\\0&-\\sin a&0&\\cos a\\end{pmatrix}}} , R 3 = ( 1 0 0 0 0 cos a − sin a 0 0 sin a cos a 0 0 0 0 1 ) {\\displaystyle R_{3}={\\begin{pmatrix}1&0&0&0\\\\0&\\cos a&-\\sin a&0\\\\0&\\sin a&\\cos a&0\\\\0&0&0&1\\\\\\end{pmatrix}}} で与えられる。ただし、ここで β = v c {\\displaystyle \\beta ={\\frac {v}{c}}} γ = 1 1 − v 2 / c 2 {\\displaystyle \\gamma ={\\frac {1}{\\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}} を用いた。 (ローレンツ群の表現の正確な定義は、おそらく物理数学、もしくは数学の\"リー群\"で与えられる。) 特にx軸方向に速度vですすむ観測者の観察する物理量を得るには p ′ μ = γ ( 1 β 0 0 β 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) p μ {\\displaystyle p'^{\\mu }=\\gamma {\\begin{pmatrix}1&\\beta &0&0\\\\\\beta &1&0&0\\\\0&0&1&0\\\\0&0&0&1\\end{pmatrix}}p^{\\mu }} となる。特にx方向だけに注目するときには変化が起こらないy、z方向を無視して変換行列を γ ( 1 β β 1 ) {\\displaystyle \\gamma {\\begin{pmatrix}1&\\beta \\\\\\beta &1\\end{pmatrix}}} と短く書くことがある。", "title": "テンソル" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "ここから、例えば、 A ′ μ A ′ ν {\\displaystyle {A'}^{\\mu }{A'}^{\\nu }} というような量を作ると、この量は A ′ μ A ′ ν = Λ ρ μ A ρ Λ σ ν A σ {\\displaystyle {A'}^{\\mu }{A'}^{\\nu }=\\Lambda _{\\rho }^{\\mu }A^{\\rho }\\Lambda _{\\sigma }^{\\nu }A^{\\sigma }} というように変換することが分る。ここで、 T μ ν = Λ ρ μ Λ σ ν T ρ σ {\\displaystyle T^{\\mu \\nu }=\\Lambda _{\\rho }^{\\mu }\\Lambda _{\\sigma }^{\\nu }T^{\\rho \\sigma }} というように振舞う量を 2階のテンソルと呼ぶ。これは添字が2つあることによる。また、ベクトルは1階のテンソル、スカラーは0階のテンソルということもできる。 (特に添字が上にあるものを反変テンソルと呼ぶことがある。)", "title": "テンソル" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "ここで、計量テンソルという特別な2階のテンソルを定義する。 η μ ν = η μ ν = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {\\displaystyle \\eta ^{\\mu \\nu }=\\eta _{\\mu \\nu }={\\begin{pmatrix}1&0&0&0\\\\0&-1&0&0\\\\0&0&-1&0\\\\0&0&0&-1\\end{pmatrix}}} ここで、この量を用いてベクトルの2乗 ( A μ ) 2 = η μ ν A μ A ν = ( A 0 ) 2 − ( A 1 ) 2 − ( A 2 ) 2 − ( A 3 ) 2 {\\displaystyle {\\begin{matrix}(A^{\\mu })^{2}=\\eta _{\\mu \\nu }A^{\\mu }A^{\\nu }\\\\=(A^{0})^{2}-(A^{1})^{2}-(A^{2})^{2}-(A^{3})^{2}\\end{matrix}}} を取る。", "title": "テンソル" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "それぞれの添字は同じ添字が上下にきたときに、0-3までの和を取って、打ち消すことが出来る。例えば、 A μ A μ = ∑ m = 0 3 ( A m ) 2 {\\displaystyle A^{\\mu }A_{\\mu }=\\sum _{m=0}^{3}(A^{m})^{2}}", "title": "テンソル" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "下付き添字の量を共変ベクトルと呼び、対応する反変ベクトルと計量テンソルを用いて定義することが出来る。", "title": "テンソル" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "これらの添字は、計量テンソル η μ ν = η μ ν = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {\\displaystyle \\eta ^{\\mu \\nu }=\\eta _{\\mu \\nu }={\\begin{pmatrix}1&0&0&0\\\\0&-1&0&0\\\\0&0&-1&0\\\\0&0&0&-1\\end{pmatrix}}} によって、上下に移動させることが出来る。例えば、 x μ = η μ ν x ν {\\displaystyle x_{\\mu }=\\eta _{\\mu \\nu }x^{\\nu }} となり、これによって下付き添字の量を定義することが出来る。特に、下付き添字だけを持つテンソルを共変テンソルと呼ぶことがある。また、上付きと下付きの添字を両方持つテンソルを混合テンソルと呼ぶことがある。", "title": "テンソル" } ]	特殊相対論 > テンソル	<small>[[ 特殊相対論 ]]> テンソル </small> ---- ==テンソル== ここからはテンソルという量を用いる。数学的には、通常物理で扱う 3次元のベクトルは、 SO(3)群という群の表現の1つとなっている。ここでいうローレンツ不変性は、ローレンツ群SO(3,1)に対応しており、これも群の表現が良く知られている。まず、ローレンツ変換で変化しない量をスカラーと呼ぶ。次に、ローレンツ変換に対して、 <math> {A'} ^\mu = \Lambda ^\mu _\nu A^\nu </math> となる量をベクトルと呼ぶ。 <math> \Lambda ^\mu _\nu </math> は、6つの4*4の行列で与えられ、ベクトルに対しては <math> \Lambda ^\mu _\nu </math> は、 <math> B _1 =\gamma \begin{pmatrix} 1 &\beta &0&0\\ \beta &1 & 0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} </math> , <math> B _2 = \gamma \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1 &\beta &0\\ 0&\beta &1 & 0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} </math> , <math> B _3 =\gamma \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&1&0&0\\ 0 &0&1 &\beta \\ 0 &0&\beta &1 \end{pmatrix} </math> , <math> R _1 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0&0\\ 0 &1 & 0&0\\ 0&0&\cos a & -\sin a\\ 0&0&\sin a &\cos a \end{pmatrix} </math> , <math> R _2 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0&0\\ 0&\cos a &0& \sin a\\ 0 &0 & 1&0\\ 0&-\sin a &0&\cos a \end{pmatrix} </math> , <math> R _3 = \begin{pmatrix} 1 &0 &0&0\\ 0&\cos a & -\sin a&0\\ 0&\sin a &\cos a&0\\ 0 &0 &0&1\\ \end{pmatrix} </math> で与えられる。ただし、ここで <math> \beta = \frac v c </math> <math> \gamma = \frac 1 {\sqrt { 1 - v^2/c^2}} </math> を用いた。 <!-- 安易なコピーアンドペーストは...。 --> (ローレンツ群の表現の正確な定義は、おそらく物理数学、もしくは数学の"リー群"で与えられる。) <!-- (ローレンツ群は古典リー群に含まれないことに注意。 --> <!-- そのため数学の(少なくともリー群の)教科書には、含まれないかも知れない。 --> 特にx軸方向に速度vですすむ観測者の観察する物理量を得るには <math> p'^\mu = \gamma \begin{pmatrix} 1&\beta&0&0\\ \beta&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} p^\mu </math> となる。特にx方向だけに注目するときには変化が起こらないy、z方向を無視して変換行列を <math> \gamma \begin{pmatrix} 1&\beta\\ \beta&1 \end{pmatrix} </math> と短く書くことがある。ここから、例えば、 <math> {A'} ^\mu {A'} ^\nu </math> というような量を作ると、この量は <math> {A'} ^\mu {A'} ^\nu =\Lambda ^\mu _\rho A^\rho \Lambda ^\nu _\sigma A^\sigma </math> というように変換することが分る。 <!-- ?? --> ここで、 <math> T^{\mu\nu} = \Lambda ^\mu _\rho \Lambda ^\nu _ \sigma T ^{\rho \sigma} </math> というように振舞う量を 2階のテンソルと呼ぶ。これは添字が2つあることによる。また、ベクトルは1階のテンソル、スカラーは0階のテンソルということもできる。 (特に添字が上にあるものを反変テンソルと呼ぶことがある。) ここで、計量テンソルという特別な2階のテンソルを定義する。 <math> \eta^{\mu\nu} = \eta _{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix} </math> ここで、この量を用いてベクトルの2乗 <math> \begin{matrix} (A^\mu) ^2 = \eta _{\mu\nu} A^\mu A^\nu\\ = (A^0)^2-(A^1)^2 -(A^2)^2 -(A^3)^2 \end{matrix} </math> を取る。それぞれの添字は同じ添字が上下にきたときに、0-3までの和を取って、打ち消すことが出来る。例えば、 <math> A^\mu A _\mu = \sum _ {m =0} ^3 (A^m )^2 </math> 下付き添字の量を共変ベクトルと呼び、対応する反変ベクトルと計量テンソルを用いて定義することが出来る。これらの添字は、計量テンソル <math> \eta^{\mu\nu} = \eta _{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0\\ 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1 \end{pmatrix} </math> によって、上下に移動させることが出来る。例えば、 <math> x _\mu = \eta _{\mu\nu} x^\nu </math> となり、これによって下付き添字の量を定義することが出来る。特に、下付き添字だけを持つテンソルを共変テンソルと呼ぶことがある。また、上付きと下付きの添字を両方持つテンソルを混合テンソルと呼ぶことがある。 [[Category:特殊相対論\|てんそる]]	2005-05-14T04:40:32Z	2024-03-16T03:15:52Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96_%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB
1,983	特殊相対論時間の遅れ	特殊相対論 > 時間の遅れある点(0,0)から速度vで動きだした粒子は静止している観測者から見て (ct,vt)となる時刻において、自分自身から見た座標系では、 γ ( 1 − β − β 1 ) ( c t v t ) {\displaystyle \gamma {\begin{pmatrix}1&-\beta \\-\beta &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\vt\end{pmatrix}}} = γ t ( c − β v − c β + v ) {\displaystyle =\gamma t{\begin{pmatrix}c-\beta v\\-c\beta +v\end{pmatrix}}} = γ t ( c − β v 0 ) {\displaystyle =\gamma t{\begin{pmatrix}c-\beta v\\0\end{pmatrix}}} となる。最後の計算でを用いた。ここで、粒子と一緒に動いている観測者から見て粒子の位置座標が0であることは、粒子と一緒に動く観測者に取って粒子は動いていないように見えることに対応している。粒子と共に運動する観測者に取っての時間経過はとなる。よって、粒子と一緒に動く観測者に取って出発してから経過した時間が、静止している観測者に取っての時間よりもゆっくりと経過していることを示している。これは直観的には、粒子がある速度で動いている分だけ、時間の方向に運動していく速度が遅くなったものとみなすことが出来る。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "特殊相対論 > 時間の遅れ", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "", "title": "時間の遅れ" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "ある点(0,0)から速度vで動きだした粒子は静止している観測者から見て (ct,vt)となる時刻において、自分自身から見た座標系では、 γ ( 1 − β − β 1 ) ( c t v t ) {\\displaystyle \\gamma {\\begin{pmatrix}1&-\\beta \\\\-\\beta &1\\end{pmatrix}}{\\begin{pmatrix}ct\\\\vt\\end{pmatrix}}} = γ t ( c − β v − c β + v ) {\\displaystyle =\\gamma t{\\begin{pmatrix}c-\\beta v\\\\-c\\beta +v\\end{pmatrix}}} = γ t ( c − β v 0 ) {\\displaystyle =\\gamma t{\\begin{pmatrix}c-\\beta v\\\\0\\end{pmatrix}}} となる。最後の計算で", "title": "時間の遅れ" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "を用いた。ここで、粒子と一緒に動いている観測者から見て粒子の位置座標が0であることは、粒子と一緒に動く観測者に取って粒子は動いていないように見えることに対応している。粒子と共に運動する観測者に取っての時間経過は", "title": "時間の遅れ" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "となる。よって、粒子と一緒に動く観測者に取って出発してから経過した時間が、静止している観測者に取っての時間よりもゆっくりと経過していることを示している。これは直観的には、粒子がある速度で動いている分だけ、時間の方向に運動していく速度が遅くなったものとみなすことが出来る。", "title": "時間の遅れ" } ]	特殊相対論 > 時間の遅れ	<small> [[特殊相対論]] > 時間の遅れ ---- ==時間の遅れ== ある点(0,0)から速度vで動きだした粒子は静止している観測者から見て (ct,vt)となる時刻において、自分自身から見た座標系では、 <math> \gamma \begin{pmatrix} 1 & -\beta \\ -\beta & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} ct\\ vt \end{pmatrix} </math> <math> = \gamma t \begin{pmatrix} c -\beta v \\ -c \beta + v \end{pmatrix} </math> <math> = \gamma t \begin{pmatrix} c -\beta v \\ 0 \end{pmatrix} </math> となる。最後の計算で :<math> \beta = v / c </math> を用いた。ここで、粒子と一緒に動いている観測者から見て粒子の位置座標が0であることは、粒子と一緒に動く観測者に取って粒子は動いていないように見えることに対応している。粒子と共に運動する観測者に取っての時間経過は :<math> \gamma t (c - \beta v ) = \gamma t(c - v^2 /c) </math> :<math> = \gamma c t(1 - v^2 /c^2) </math> :<math> = ct \sqrt{1-\beta^2} </math> :<math> < ct </math> := (静止している観測者から見た場合の粒子の時間) となる。よって、粒子と一緒に動く観測者に取って出発してから経過した時間が、静止している観測者に取っての時間よりもゆっくりと経過していることを示している。これは直観的には、粒子がある速度で動いている分だけ、時間の方向に運動していく速度が遅くなったものとみなすことが出来る。 [[Category:特殊相対論\|しかんのおくれ]]	2005-05-14T04:46:35Z	2024-03-16T03:16:44Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96_%E6%99%82%E9%96%93%E3%81%AE%E9%81%85%E3%82%8C
1,992	特殊相対論ローレンツ収縮	特殊相対論 > ローレンツ収縮ある観測者にとって時刻0で、x=0に左端があり、 x=lに右端がある棒を考える。このときx方向に速度vで移動している観測者にとって (0,0)はそのままであるけれども (0,l)は、 γ ( 1 − β − β 1 ) ( 0 l ) {\displaystyle \gamma {\begin{pmatrix}1&-\beta \\-\beta &1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\l\end{pmatrix}}} = γ ( − β l l ) {\displaystyle =\gamma {\begin{pmatrix}-\beta l\\l\end{pmatrix}}} が得られ、右端と左端は異なった時間にあるように見えることが分る。右端は速度vで動いている観測者から見て速度vで動いているように見えることから右端の動いている観測者に対する運動は ( x − x 0 = v ( t − t 0 ) {\displaystyle x-x_{0}=v(t-t_{0})} に適切な値を代入すると、) x − γ l = v ( t − 1 c γ β l ) {\displaystyle x-\gamma l=v(t-{\frac {1}{c}}\gamma \beta l)} と書かれる。 t = 0 とおくと、 x = γ l − 1 c γ β v l {\displaystyle x=\gamma l-{\frac {1}{c}}\gamma \beta vl} , x = γ l ( 1 − β 2 ) {\displaystyle x=\gamma l(1-\beta ^{2})} , x = l 1 − β 2 {\displaystyle x=l{\sqrt {1-\beta ^{2}}}} が得られ、 x < l {\displaystyle x<l} つまり、棒が縮んでいるように見えることが分かる。このことをローレンツ収縮と呼ぶ。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "特殊相対論 > ローレンツ収縮", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "ある観測者にとって時刻0で、x=0に左端があり、 x=lに右端がある棒を考える。このときx方向に速度vで移動している観測者にとって (0,0)はそのままであるけれども (0,l)は、 γ ( 1 − β − β 1 ) ( 0 l ) {\\displaystyle \\gamma {\\begin{pmatrix}1&-\\beta \\\\-\\beta &1\\end{pmatrix}}{\\begin{pmatrix}0\\\\l\\end{pmatrix}}} = γ ( − β l l ) {\\displaystyle =\\gamma {\\begin{pmatrix}-\\beta l\\\\l\\end{pmatrix}}} が得られ、右端と左端は異なった時間にあるように見えることが分る。", "title": "ローレンツ収縮" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "右端は速度vで動いている観測者から見て速度vで動いているように見えることから右端の動いている観測者に対する運動は ( x − x 0 = v ( t − t 0 ) {\\displaystyle x-x_{0}=v(t-t_{0})} に適切な値を代入すると、) x − γ l = v ( t − 1 c γ β l ) {\\displaystyle x-\\gamma l=v(t-{\\frac {1}{c}}\\gamma \\beta l)} と書かれる。 t = 0 とおくと、 x = γ l − 1 c γ β v l {\\displaystyle x=\\gamma l-{\\frac {1}{c}}\\gamma \\beta vl} , x = γ l ( 1 − β 2 ) {\\displaystyle x=\\gamma l(1-\\beta ^{2})} , x = l 1 − β 2 {\\displaystyle x=l{\\sqrt {1-\\beta ^{2}}}} が得られ、 x < l {\\displaystyle x<l} つまり、棒が縮んでいるように見えることが分かる。このことをローレンツ収縮と呼ぶ。", "title": "ローレンツ収縮" } ]	特殊相対論 > ローレンツ収縮	<small> [[特殊相対論]] > ローレンツ収縮 ---- ==ローレンツ収縮== ある観測者にとって時刻0で、x=0に左端があり、 x=lに右端がある棒を考える。このときx方向に速度vで移動している観測者にとって (0,0)はそのままであるけれども (0,l)は、 <math> \gamma \begin{pmatrix} 1 & -\beta \\ -\beta & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ l \end{pmatrix} </math> <math> =\gamma \begin{pmatrix} -\beta l \\ l \end{pmatrix} </math> が得られ、右端と左端は異なった時間にあるように見えることが分る。 <!-- 時間の次元を --> <!-- 時間で測ると --> <!-- \frac 1 c ( -\beta l , l) になる...。さて、どうするか、 --> <!-- 時間を長さで測ることにするかローレンツ変換にcをつけるか...。 --> <!-- 同じ時間に現われるようにすると、 --> 右端は速度vで動いている観測者から見て速度vで動いているように見えることから右端の動いている観測者に対する運動は (<math>x-x _0 = v (t - t _0 )</math> に適切な値を代入すると、) <math> x - \gamma l = v (t - \frac 1 c \gamma \beta l) </math> と書かれる。 t = 0 とおくと、 <math> x = \gamma l - \frac 1 c \gamma \beta v l </math>, <math> x= \gamma l ( 1 - \beta^2) </math>, <math> x= l \sqrt{ 1 - \beta^2} </math> が得られ、 <math> x < l </math> つまり、棒が縮んでいるように見えることが分かる。このことをローレンツ収縮と呼ぶ。 [[Category:特殊相対論\|ろうれんつしゆうしゆく]]	2005-05-14T09:27:48Z	2024-03-16T03:17:05Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96_%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E5%8F%8E%E7%B8%AE
1,993	特殊相対論電磁気学への導入	特殊相対論 > 電磁気学への導入ローレンツ変換に対してよい変換をするという要請は非常に多岐にわたって当てはまることが知られているが、その例として特に有名なものは電磁気学である。詳細は電磁気学で述べられるが、電磁気学の基礎方程式は ∂ μ F μ ν = 4 π J ν {\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=4\pi J^{\nu }} , ∂ ρ F μ ν + ∂ ν F ρ μ + ∂ μ F ν ρ = 0 {\displaystyle \partial _{\rho }F_{\mu \nu }+\partial _{\nu }F_{\rho \mu }+\partial _{\mu }F_{\nu \rho }=0} となることが知られている。 (Maxwell方程式)	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "特殊相対論 > 電磁気学への導入", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "ローレンツ変換に対してよい変換をするという要請は非常に多岐にわたって当てはまることが知られているが、その例として特に有名なものは電磁気学である。詳細は電磁気学で述べられるが、電磁気学の基礎方程式は ∂ μ F μ ν = 4 π J ν {\\displaystyle \\partial _{\\mu }F^{\\mu \\nu }=4\\pi J^{\\nu }} , ∂ ρ F μ ν + ∂ ν F ρ μ + ∂ μ F ν ρ = 0 {\\displaystyle \\partial _{\\rho }F_{\\mu \\nu }+\\partial _{\\nu }F_{\\rho \\mu }+\\partial _{\\mu }F_{\\nu \\rho }=0} となることが知られている。 (Maxwell方程式)", "title": "電磁気学への導入" } ]	特殊相対論 > 電磁気学への導入	<small> [[特殊相対論]] > 電磁気学への導入 </small> ---- ==[[電磁気学]]への導入== ローレンツ変換に対してよい変換をするという要請は非常に多岐にわたって当てはまることが知られているが、その例として特に有名なものは電磁気学である。詳細は[[電磁気学]]で述べられるが、電磁気学の基礎方程式は <math> \partial _\mu F^{\mu\nu} = 4\pi J^\nu </math>, <math> \partial_\rho F_{\mu\nu}+ \partial_\nu F_{\rho\mu}+ \partial_\mu F_{\nu\rho} = 0 </math> となることが知られている。 (Maxwell方程式) [[カテゴリ:電磁気学\|とくしゆそうたいろんてんしきかくへのとうにゆう]] [[Category:特殊相対論\|てんしきかくへのとうにゆう]]	null	2022-12-01T04:16:55Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96_%E9%9B%BB%E7%A3%81%E6%B0%97%E5%AD%A6%E3%81%B8%E3%81%AE%E5%B0%8E%E5%85%A5
1,994	特殊相対論運動方程式	特殊相対論 > 運動方程式 SO(3,1)のうちで、最初の3はSO(3)の3と同一である。そのため、ある3次元のベクトルを取ったときそれと適当な量を組み合わせて4次元のベクトルを作ることが出来る。 d s 2 {\displaystyle ds^{2}} がスカラーであることから x μ = ( c t x y z ) {\displaystyle x^{\mu }={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}} のように、tと、x,y,zを組み合わせられるように思える。さらに、固有時間 d s 2 = d t 2 1 − ( v / c ) 2 {\displaystyle ds^{2}=dt^{2}{\sqrt {1-(v/c)^{2}}}} を導入すると、この量はスカラーになる。このとき、運動方程式は、ある力 f μ {\displaystyle f^{\mu }} を想定すると、 (note: 多くの場合電磁気力を想定している。) d p μ d s = f μ {\displaystyle {\frac {d{p^{\mu }}}{d{s}}}=f^{\mu }} と書かれる。これは、運動方程式がローレンツ変換に対してよい性質をもっていなくてはいけないという要請から来ている。ニュートンの方程式 d p → d t = f → {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {f}}} も、両辺が3次元のベクトルであることから SO(3)の変換について良い性質をもっており、上の式はそれの拡張と考えることが出来る。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "特殊相対論 > 運動方程式", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "SO(3,1)のうちで、最初の3はSO(3)の3と同一である。そのため、ある3次元のベクトルを取ったときそれと適当な量を組み合わせて4次元のベクトルを作ることが出来る。 d s 2 {\\displaystyle ds^{2}} がスカラーであることから x μ = ( c t x y z ) {\\displaystyle x^{\\mu }={\\begin{pmatrix}ct\\\\x\\\\y\\\\z\\end{pmatrix}}} のように、tと、x,y,zを組み合わせられるように思える。さらに、固有時間 d s 2 = d t 2 1 − ( v / c ) 2 {\\displaystyle ds^{2}=dt^{2}{\\sqrt {1-(v/c)^{2}}}} を導入すると、この量はスカラーになる。", "title": "運動方程式" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "このとき、運動方程式は、ある力 f μ {\\displaystyle f^{\\mu }} を想定すると、 (note: 多くの場合電磁気力を想定している。) d p μ d s = f μ {\\displaystyle {\\frac {d{p^{\\mu }}}{d{s}}}=f^{\\mu }} と書かれる。これは、運動方程式がローレンツ変換に対してよい性質をもっていなくてはいけないという要請から来ている。ニュートンの方程式 d p → d t = f → {\\displaystyle {\\frac {d{\\vec {p}}}{dt}}={\\vec {f}}} も、両辺が3次元のベクトルであることから SO(3)の変換について良い性質をもっており、上の式はそれの拡張と考えることが出来る。", "title": "運動方程式" } ]	特殊相対論 > 運動方程式	<small> [[特殊相対論]] > 運動方程式 </small> ---- ==運動方程式== SO(3,1)のうちで、最初の3はSO(3)の3と同一である。そのため、ある3次元のベクトルを取ったときそれと適当な量を組み合わせて4次元のベクトルを作ることが出来る。 <math>ds^2</math>がスカラーであることから <math> x^\mu = \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} </math> のように、tと、x,y,zを組み合わせられるように思える。さらに、固有時間 <math> ds^2 = dt ^2 \sqrt{1-(v/c)^2} </math> を導入すると、この量はスカラーになる。このとき、運動方程式は、ある力<math>f^{\mu}</math>を想定すると、 (note: <!-- %これは手で押した場合の力でもあるが、(?) --> 多くの場合電磁気力を想定している。) <math> \frac {d {p^\mu }}{d { s} } = f^\mu </math> と書かれる。これは、運動方程式がローレンツ変換に対してよい性質をもっていなくてはいけないという要請から来ている。ニュートンの方程式 <math> \frac {d {\vec p }}{d t } = \vec f </math> も、両辺が3次元のベクトルであることから SO(3)の変換について良い性質をもっており、上の式はそれの拡張と考えることが出来る。 [[Category:特殊相対論\|うんとうほうていしき]]	2005-05-14T09:33:30Z	2024-03-16T03:17:50Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96_%E9%81%8B%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
1,996	経済学現代経済の仕組み財政	経済学>現代経済の仕組み>財政払ってください。あなたが払わなければならない税金の額はあなたの収入によって決まっているはずです。なぜなら,税金は高所得者から低所得者に移すお金だからです。高所得であればあるほど払わなければならない税金は増えるわけです。ただし,消費税やたばこ税などの間接税はこの決まりに反しています。政府がする経済活動のことを財政といいます。リチャード・マスグレイブ(Richard Abel Musgrave)は著書『財政理論(The Theory of Public Finance 1959)』で財政の機能を資源の分配,所得再分配,経済の安定化という3つに分類しました。どれも市場の失敗を補う機能です。19世紀までは財政は必要最低限度にされてきましたが,現代では財政規模は大きくなり,問題化しやすくなっています。租税や予算などの原則は,日本国憲法第7章財政で定められています。資本主義経済では市場を通じて資源を再配分しますが,公共財は市場を通じて取引されるのではありません。したがって,公共財は政府を介して配分されなければなりません。市場が所得を公平に分配することはできません。政府が,高所得者には所得税などの累進課税を,低所得者には社会保障などの租税の振替支出をすることで所得を均衡にしようとする財政の機能のことです。市場経済では景気の変動に波があり,非常に不安定です。経済の安定化機能または景気調節機能といいます。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "経済学>現代経済の仕組み>財政", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "払ってください。あなたが払わなければならない税金の額はあなたの収入によって決まっているはずです。なぜなら,税金は高所得者から低所得者に移すお金だからです。高所得であればあるほど払わなければならない税金は増えるわけです。ただし,消費税やたばこ税などの間接税はこの決まりに反しています。", "title": "税金，払わなきゃ駄目？" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "政府がする経済活動のことを財政といいます。リチャード・マスグレイブ(Richard Abel Musgrave)は著書『財政理論(The Theory of Public Finance 1959)』で財政の機能を資源の分配,所得再分配,経済の安定化という3つに分類しました。どれも市場の失敗を補う機能です。19世紀までは財政は必要最低限度にされてきましたが,現代では財政規模は大きくなり,問題化しやすくなっています。", "title": "財政とは" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "租税や予算などの原則は,日本国憲法第7章財政で定められています。", "title": "財政の仕組み" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "資本主義経済では市場を通じて資源を再配分しますが,公共財は市場を通じて取引されるのではありません。したがって,公共財は政府を介して配分されなければなりません。", "title": "財政政策" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "市場が所得を公平に分配することはできません。政府が,高所得者には所得税などの累進課税を,低所得者には社会保障などの租税の振替支出をすることで所得を均衡にしようとする財政の機能のことです。", "title": "財政政策" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "市場経済では景気の変動に波があり,非常に不安定です。経済の安定化機能または景気調節機能といいます。", "title": "財政政策" } ]	経済学＞現代経済の仕組み＞財政	[[経済学]]＞[[経済学_現代経済の仕組み\|現代経済の仕組み]]＞財政 ---- __TOC__ <div style="margin:0px; padding:0px; background-color:#CCFF99; border:solid #00CC00 1px; width:100%;"> == 税金，払わなきゃ駄目？ == 払ってください。あなたが払わなければならない税金の額はあなたの収入によって決まっているはずです。なぜなら，税金は高所得者から低所得者に移すお金だからです。高所得であればあるほど払わなければならない税金は増えるわけです。ただし，消費税やたばこ税などの間接税はこの決まりに反しています。 </div> == 財政とは == [[経済学_現代経済の仕組み_経済主体とその活動#政府\|政府]]がする経済活動のことを'''財政'''といいます。[[w:リチャード・マスグレイブ\|リチャード・マスグレイブ(Richard Abel Musgrave)]]は著書『財政理論(The Theory of Public Finance 1959)』で財政の機能を資源の分配，所得再分配，経済の安定化という３つに分類しました。どれも[[経済学_現代経済の変容_経済の変容_世界経済の変容_資本主義経済#市場の失敗\|市場の失敗]]を補う機能です。19世紀までは財政は必要最低限度にされてきましたが，現代では財政規模は大きくなり，問題化しやすくなっています。 == 財政の仕組み == 租税や予算などの原則は，[[Wikisource:日本國憲法#第七章財政\|日本国憲法第７章財政]]で定められています。 === 租税 === == 財政政策 == === 資源の分配機能 === [[経済学_現代経済の変容_経済の変容_世界経済の変容_資本主義経済\|資本主義経済]]では市場を通じて資源を再配分しますが，[[経済学_現代経済の変容_経済の変容_経済とは何か#財物\|公共財]]は市場を通じて取引されるのではありません。したがって，公共財は政府を介して配分されなければなりません。 === 所得再分配機能 === 市場が所得を公平に分配することはできません。政府が，高所得者には所得税などの累進課税を，低所得者には[[経済学_社会保障制度\|社会保障]]などの租税の振替支出をすることで所得を均衡にしようとする財政の機能のことです。 === 経済の安定化機能 === 市場経済では景気の変動に波があり，非常に不安定です。経済の安定化機能または景気調節機能といいます。 == 財政の課題 == {{stub}} [[Category:経済学\|*]]	null	2009-11-26T04:07:28Z	[ "テンプレート:Stub" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%B5%8C%E6%B8%88%E5%AD%A6_%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E7%B5%8C%E6%B8%88%E3%81%AE%E4%BB%95%E7%B5%84%E3%81%BF_%E8%B2%A1%E6%94%BF
1,999	古典文学	文学 > 古典文学 > 目次大学の教科書自然科学: 数学 - 物理学; 古典力学量子力学 - 化学; 無機化学有機化学 - 生物学; 植物学研究技術 - 地球科学 - 医学; 解剖学語学: 日本語英語エスペラント朝鮮語デンマーク語ドイツ語フランス語ラテン語ルーマニア語人文科学: 歴史学; 日本史中国史世界史歴史観 - 心理学 - 哲学 - 芸術; 音楽美術 - 文学; 古典文学漢詩社会科学: 法学 - 経済学 - 地理学 - 教育学; 学校教育教育史情報技術: 情報工学; MS-DOS/PC DOS UNIX/Linux TeX/LaTeX CGI - プログラミング; BASIC C言語 C++ D言語 HTML Java JavaScript Lisp Mizar Perl PHP Python Ruby Scheme SVG 小・中・高校の教科書小学: 国語社会算数理科英語中学: 国語社会数学理科英語高校: 国語 - 地歴 - 公民 - 数学; 公式集 - 理科; 物理化学地学生物 - 外国語 - 情報解説書・実用書・参考書趣味: 料理本 - スポーツ - ゲーム試験: 資格試験 - 入学試験その他の本: 防災 - 生活と進路 - ウィキペディアの書き方 - ジョーク集	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "文学 > 古典文学 > 目次", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "大学の教科書自然科学: 数学 - 物理学; 古典力学量子力学 - 化学; 無機化学有機化学 - 生物学; 植物学研究技術 - 地球科学 - 医学; 解剖学語学: 日本語英語エスペラント朝鮮語デンマーク語ドイツ語フランス語ラテン語ルーマニア語人文科学: 歴史学; 日本史中国史世界史歴史観 - 心理学 - 哲学 - 芸術; 音楽美術 - 文学; 古典文学漢詩社会科学: 法学 - 経済学 - 地理学 - 教育学; 学校教育教育史情報技術: 情報工学; MS-DOS/PC DOS UNIX/Linux TeX/LaTeX CGI - プログラミング; BASIC C言語 C++ D言語 HTML Java JavaScript Lisp Mizar Perl PHP Python Ruby Scheme SVG 小・中・高校の教科書小学: 国語社会算数理科英語中学: 国語社会数学理科英語高校: 国語 - 地歴 - 公民 - 数学; 公式集 - 理科; 物理化学地学生物 - 外国語 - 情報解説書・実用書・参考書趣味: 料理本 - スポーツ - ゲーム試験: 資格試験 - 入学試験その他の本: 防災 - 生活と進路 - ウィキペディアの書き方 - ジョーク集", "title": "" } ]	文学 > 古典文学 > 目次	[[文学]] > [[古典文学]] > 目次 ---- [[画像:古典文学_扉絵.jpg\|480px\|center]] {{蔵書一覧}} == 日本の古典 == === 対訳・解説 === [[日本の古典]] [[/いろは歌\|いろは歌]]{{進捗\|50%\|2005-06-11}} === 古典文法 === * [[古典文学/古典文法\|古典文法]] * [[古典文学/古典文法/歴史的仮名遣い\|歴史的仮名遣い]]{{進捗\|75%\|2005-05-15}} * [[古典文学/古典文法/動詞\|動詞]] * [[古典文学/古典文法/形容詞\|形容詞]] * [[古典文学/古典文法/形容動詞\|形容動詞]] * [[古典文学/古典文法/名詞\|名詞]] * [[古典文学/古典文法/連体詞\|連体詞]] * [[古典文学/古典文法/副詞\|副詞]] * [[古典文学/古典文法/接続詞\|接続詞]] * [[古典文学/古典文法/感動詞\|感動詞]] * [[古典文学/古典文法/助動詞\|助動詞]] * [[古典文学/古典文法/助詞\|助詞]] * [[古典文学/古典文法/敬語\|敬語]] * [[古典文学/古典文法/係り結びの法則\|係り結びの法則]] * [[古典文学/古典文法/文・連文\|文・連文]] * [[古典文学/古典文法/修辞\|修辞]] [[古典文学/古典文法/古典用語・単語\|古典用語・単語]] {{進捗状況}} == 中国の古典 == ===対話・解説=== [[中国の古典]] ===漢文　文法=== * [[漢詩]] [[Category:古典文学\|*]] [[Category:書庫\|こてんふんかく]]	2005-05-14T14:28:41Z	2024-01-22T09:26:08Z	[ "テンプレート:蔵書一覧", "テンプレート:進捗", "テンプレート:進捗状況" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E6%96%87%E5%AD%A6
2,003	HTML/オブジェクト	画像の挿入にはimg要素を使用する。主に使用される画像形式はJPEG、GIF、PNGである。テキストブラウザのような画像表示が出来ないブラウザではimg要素内のalt属性で指定した文字列が表示される。テキストブラウザや画像表示をしないように設定しているクライアントへの配慮として、alt属性は代替となりうる表現を記載することとなっている。単に装飾的な意味で用いている画像等のように代替すべき文字表現がない場合は空文字列を指定 (alt="") すること(省略は出来ない)。 HTMLの本文内に記載する。あらかじめ、表示したい画像(下記コードでは sample.png )を手元のコンピュータに準備しておいて、HTMLファイルと同じフォルダに入れておく。なお width は画像の横幅、height は画像の縦幅である。 img要素には終了タグがないため、</img>は記載しない。src属性には、表示したい画像ファイルのURI(アドレス)を記載する。相対URI() で指定することも可能であり、同一サイト内での画像を参照する場合は相対URIを用いることが多い。width属性とheight属性で画像の横幅と縦幅を指定できる。 ()そのHTMLファイルが存在する地点(一般的にはディレクトリ)からの画像ファイルの位置により示されるURI。HTML/ハイパーリンク#相対パスと絶対パスも参照。上のコードでは、画像の一部、特定領域にリンクを設定し、その領域をクリックした場合指定したリンク先へ飛べるようにしている。決して、画像に円や四角形などを描画するわけではないので、混同しないように。なお、リンクある領域の位置は、上記コードの場合、モニターの設定や大きさなどにも寄るが、普通のノートパソコンで見た場合ならリンク領域は横に並んでいる(画像に円や四角形が表示されるわけではないので、実行しても見えない)。(なお、HTMLで円や四角などの基本図形を描画したい場合、HTML5以降なら『HTML/HTML5#canvas要素』で解説した方法で円などを描画できる。) リンク領域の位置にマウスカーソルを動かせば、画面左下などをよく見れば、リンク先の名称が表示されている。 img要素にusemap属性であらかじめ設定されたイメージマップの名前を「#マップ名」と指定することにより利用可能となる。イメージマップを設定するときはmap属性でマップ名の定義を行い、area要素のspace属性で領域の形状を、coords属性で座標を指定する。座標指定の際、座標はコンマで区切る。なおイメージマップの場合、テキストブラウザや画像非表示となっているブラウザのためにリンク先が何であるかを示すalt属性を指定すべきであり、この場合空文字列を指定すべきではない。 embed要素はプラグインを埋め込み、ブラウザが直接再生できないファイルをページコンテンツの一部として利用するものである。プラグインは予めブラウザ側にインストールしておく必要があり、該当のプラグインがないとコンテンツを利用できない場合がある。ただし全ての環境でプラグインが利用できるわけではないため、<noembed>〜</noembed>内で利用できない環境で表示させる内容を書くべきである。この際「プラグインを有効にしてください」や「プラグインがインストールされている必要があります」などとかかれるケースがあるが、このような記述は好ましくない。代替的な内容(例えばFlashによるメニューを埋め込んでいた場合はHTMLでのメニュー)を記述しておくか、必要がなければ何も書かないほうが良い。 objectはウェブページに様々なデータを埋め込むためのものである。ブラウザが直接処理できるファイルであればブラウザが直接処理を行い、直接処理を行えない場合はプラグインを利用してファイルを利用する。ただし利用できないブラウザが多いため、例えばプラグインを埋め込みたい場合はembed要素など他の要素を埋め込む必要がある。object要素に囲まれた部分は、そのオブジェクトが利用できる場合ブラウザはparam要素とmap要素を除いた全ての要素を無視し、オブジェクトが利用できない場合はobject, param, map要素を無視してそこにある他の要素の記述を適用する。 Windows Media Playerのプラグインを埋め込んだ例。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "画像の挿入にはimg要素を使用する。主に使用される画像形式はJPEG、GIF、PNGである。", "title": "画像の挿入" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "テキストブラウザのような画像表示が出来ないブラウザではimg要素内のalt属性で指定した文字列が表示される。", "title": "画像の挿入" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "テキストブラウザや画像表示をしないように設定しているクライアントへの配慮として、alt属性は代替となりうる表現を記載することとなっている。単に装飾的な意味で用いている画像等のように代替すべき文字表現がない場合は空文字列を指定 (alt=\"\") すること(省略は出来ない)。", "title": "画像の挿入" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "HTMLの本文内に記載する。あらかじめ、表示したい画像(下記コードでは sample.png )を手元のコンピュータに準備しておいて、HTMLファイルと同じフォルダに入れておく。", "title": "画像の挿入" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "なお width は画像の横幅、height は画像の縦幅である。", "title": "画像の挿入" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "img要素には終了タグがないため、</img>は記載しない。src属性には、表示したい画像ファイルのURI(アドレス)を記載する。相対URI() で指定することも可能であり、同一サイト内での画像を参照する場合は相対URIを用いることが多い。width属性とheight属性で画像の横幅と縦幅を指定できる。", "title": "画像の挿入" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "()そのHTMLファイルが存在する地点(一般的にはディレクトリ)からの画像ファイルの位置により示されるURI。HTML/ハイパーリンク#相対パスと絶対パスも参照。", "title": "画像の挿入" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "上のコードでは、画像の一部、特定領域にリンクを設定し、その領域をクリックした場合指定したリンク先へ飛べるようにしている。", "title": "イメージマップ" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "決して、画像に円や四角形などを描画するわけではないので、混同しないように。なお、リンクある領域の位置は、上記コードの場合、モニターの設定や大きさなどにも寄るが、普通のノートパソコンで見た場合ならリンク領域は横に並んでいる(画像に円や四角形が表示されるわけではないので、実行しても見えない)。(なお、HTMLで円や四角などの基本図形を描画したい場合、HTML5以降なら『HTML/HTML5#canvas要素』で解説した方法で円などを描画できる。)", "title": "イメージマップ" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "リンク領域の位置にマウスカーソルを動かせば、画面左下などをよく見れば、リンク先の名称が表示されている。", "title": "イメージマップ" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "img要素にusemap属性であらかじめ設定されたイメージマップの名前を「#マップ名」と指定することにより利用可能となる。イメージマップを設定するときはmap属性でマップ名の定義を行い、area要素のspace属性で領域の形状を、coords属性で座標を指定する。座標指定の際、座標はコンマで区切る。", "title": "イメージマップ" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "なおイメージマップの場合、テキストブラウザや画像非表示となっているブラウザのためにリンク先が何であるかを示すalt属性を指定すべきであり、この場合空文字列を指定すべきではない。", "title": "イメージマップ" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "embed要素はプラグインを埋め込み、ブラウザが直接再生できないファイルをページコンテンツの一部として利用するものである。プラグインは予めブラウザ側にインストールしておく必要があり、該当のプラグインがないとコンテンツを利用できない場合がある。ただし全ての環境でプラグインが利用できるわけではないため、<noembed>〜</noembed>内で利用できない環境で表示させる内容を書くべきである。この際「プラグインを有効にしてください」や「プラグインがインストールされている必要があります」などとかかれるケースがあるが、このような記述は好ましくない。代替的な内容(例えばFlashによるメニューを埋め込んでいた場合はHTMLでのメニュー)を記述しておくか、必要がなければ何も書かないほうが良い。", "title": "マルチメディアの挿入" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "objectはウェブページに様々なデータを埋め込むためのものである。ブラウザが直接処理できるファイルであればブラウザが直接処理を行い、直接処理を行えない場合はプラグインを利用してファイルを利用する。ただし利用できないブラウザが多いため、例えばプラグインを埋め込みたい場合はembed要素など他の要素を埋め込む必要がある。object要素に囲まれた部分は、そのオブジェクトが利用できる場合ブラウザはparam要素とmap要素を除いた全ての要素を無視し、オブジェクトが利用できない場合はobject, param, map要素を無視してそこにある他の要素の記述を適用する。", "title": "マルチメディアの挿入" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "Windows Media Playerのプラグインを埋め込んだ例。", "title": "マルチメディアの挿入" } ]	null	{{Pathnav\|HTML\|frame=1\|small=1}} == 画像の挿入 == 画像の挿入にはimg要素を使用する。主に使用される画像形式は[[w:JPEG\|JPEG]]、[[w:Graphics Interchange Format\|GIF]]、[[w:Portable Network Graphics\|PNG]]である。テキストブラウザのような画像表示が出来ないブラウザではimg要素内のalt属性で指定した文字列が表示される。テキストブラウザや画像表示をしないように設定しているクライアントへの配慮として、alt属性は代替となりうる表現を記載することとなっている。単に装飾的な意味で用いている画像等のように代替すべき文字表現がない場合は空文字列を指定 (<code>alt=""</code>) すること（省略は出来ない）。 === 作成例 === HTMLの本文内に記載する。あらかじめ、表示したい画像（下記コードでは sample.png ）を手元のコンピュータに準備しておいて、HTMLファイルと同じフォルダに入れておく。 <syntaxhighlight lang="html4strict"> <img src="sample.png" width="200" height="100" alt="Wikibooks"> </syntaxhighlight> なお width は画像の横幅、height は画像の縦幅である。 img要素には終了タグがないため、<code></img></code>は記載しない。src属性には、表示したい画像ファイルのURI（アドレス）を記載する。相対URI() で指定することも可能であり、同一サイト内での画像を参照する場合は相対URIを用いることが多い。width属性とheight属性で画像の横幅と縦幅を指定できる。 ()<small>そのHTMLファイルが存在する地点（一般的にはディレクトリ）からの画像ファイルの位置により示されるURI。[[HTML/ハイパーリンク#相対パスと絶対パス]]も参照。</small> == イメージマップ == <div class="preoverflow"> <syntaxhighlight lang="html4strict"><img border="0" src="sample.png" usemap="#sample" alt="サンプル" width="500" height="200"> <map name="sample"> <area href="http://ja.wikipedia.org/" shape="circle" alt="ウィキペディア" coords="100,100,50"> <area href="http://ja.wikinews.org/" shape="square" alt="ウィクショナリー" coords="250,10,300,190"> <area href="http://ja.wikiquote.org/" shape="poly" alt="ウィキクオート" coords="350,250,450,190,450,10,350,250"> </map> </syntaxhighlight> </div> 上のコードでは、画像の一部、特定領域にリンクを設定し、その領域をクリックした場合指定したリンク先へ飛べるようにしている。決して、画像に円や四角形などを描画するわけではないので、混同しないように。なお、リンクある領域の位置は、上記コードの場合、モニターの設定や大きさなどにも寄るが、普通のノートパソコンで見た場合ならリンク領域は横に並んでいる（画像に円や四角形が表示されるわけではないので、実行しても見えない）。（なお、HTMLで円や四角などの基本図形を描画したい場合、HTML5以降なら『[[HTML/HTML5#canvas要素]]』で解説した方法で円などを描画できる。）リンク領域の位置にマウスカーソルを動かせば、画面左下などをよく見れば、リンク先の名称が表示されている。 img要素にusemap属性であらかじめ設定されたイメージマップの名前を「#マップ名」と指定することにより利用可能となる。イメージマップを設定するときはmap属性でマップ名の定義を行い、area要素のspace属性で領域の形状を、coords属性で座標を指定する。座標指定の際、座標はコンマで区切る。なおイメージマップの場合、テキストブラウザや画像非表示となっているブラウザのためにリンク先が何であるかを示すalt属性を指定すべきであり、この場合空文字列を指定すべきではない。 {\| class="wikitable" \|- ! style="width:3em;" \| 形状 !! space属性の値 !! coords属性の値 \|- \| 円形 \|\| circle \|\| 中心の座標 (x,y) と半径の値を順番に指定。 \|- \| 長方形 \|\| square \|\| 左上の座標 (x1,y1) と右下の座標 (x2,y2) を順番に指定。 \|- \| 多角形 \|\| poly \|\| 全ての角のxとyの座標を順番に指定。指定数に限りはないが、始点と終点は必ず同じ座標を指定しなければならない。 \|} == マルチメディアの挿入 == === embed要素 === embed要素はプラグインを埋め込み、ブラウザが直接再生できないファイルをページコンテンツの一部として利用するものである。プラグインは予めブラウザ側にインストールしておく必要があり、該当のプラグインがないとコンテンツを利用できない場合がある。ただし全ての環境でプラグインが利用できるわけではないため、<code><noembed></code>〜<code></noembed></code>内で利用できない環境で表示させる内容を書くべきである。この際「プラグインを有効にしてください」や「プラグインがインストールされている必要があります」などとかかれるケースがあるが、このような記述は好ましくない。代替的な内容（例えばFlashによるメニューを埋め込んでいた場合はHTMLでのメニュー）を記述しておくか、必要がなければ何も書かないほうが良い。 ;src :対象となるファイルの指定。 ;type :[[w:Multipurpose Internet Mail Extensions\|MIME]]タイプの指定。ファイルタイプを正しく指定することでブラウザ側が適切なプラグインを割り当ててオブジェクトを再生する。指定しなかった場合はブラウザ依存となり自動的にプラグインが割り当てられるが、自動割り当てのプラグインが再生するファイルに対応していない場合もあるので指定することが望ましいだろう。 :ただし特定環境でしか利用できないプラグインを指定するとユーザーの利便性を損なうことになるため、このような場合は何らかの配慮を行うべきである。 ;width,height :オブジェクトの大きさをpx単位で指定する。指定しなかった場合プラグイン依存になるが、この方法だとプラグインが適切なサイズを認識するのに時間を掛けてしまい、ページの読み込み途中で突然埋め込み領域の大きさが変化してしまう場合もある。埋め込み領域の大きさが突然変化することでそこよりも下にあるコンテンツの（画面上に）表示位置がずれてしまうため可能であれば指定することが望ましい。 ;autostart/autoplay :指定された音楽や動画の再生設定。trueまたは1で自動再生を実行し、falseまたは0で自動再生を行わない。プラグインの種類によってどちらが使えるか異なるため、適切に使い分ける必要がある。 ;loop :ループ再生の設定。loop属性値に具体的な数字を指定した場合その回数だけループ再生が行われるようになり、trueや-1などを指定した場合には無限ループ再生となる。また、falseや0を指定することで自動再生を行わない。ただし自動再生や無限ループ再生は嫌がられることが多く、人によっては自動で音楽がなった瞬間にページを閉じる人もいる。必要がなければなるべく自動的な再生を行うべきではないだろう。 ;hidden :埋め込みオブジェクトを隠す設定。1でオブジェクトを隠し、0でオブジェクトを表示する（デフォルト）。ただし、これは再生や停止の切り替えをユーザーに行わせないことにもなるのでloop属性同様使用には注意が必要である。 ;volume :埋め込みオブジェクトの再生音量。Windows Media Playerの場合-1000が最小で0が最大、QuickTimeの場合0が最小で100が最大と言った具合にプラグインの種類で値の設定方法が異なるため、プラグインの種類を指定しなかった場合とんでもないことになってしまう。 ;pluginpage :オブジェクトを再生するプラグインの入手元URLを示す。指定されなかった場合の処理はブラウザ依存。 === object要素 === objectはウェブページに様々なデータを埋め込むためのものである。ブラウザが直接処理できるファイルであればブラウザが直接処理を行い、直接処理を行えない場合はプラグインを利用してファイルを利用する。ただし利用できないブラウザが多いため、例えばプラグインを埋め込みたい場合はembed要素など他の要素を埋め込む必要がある。object要素に囲まれた部分は、そのオブジェクトが利用できる場合ブラウザはparam要素とmap要素を除いた全ての要素を無視し、オブジェクトが利用できない場合はobject, param, map要素を無視してそこにある他の要素の記述を適用する。 ;data :ファイルのある場所 ;type :MIMEタイプの設定 ;width,height :オブジェクトの大きさ ;classid :プラグインの種類を識別するためのコード。プラグインの種類ごとに決まった値が定められている。 ;codebase :ユーザーのコンピュータにインストールされているActiveXのバージョンを検出するために使用される。URLの末尾にある<code>#Version=</code>は最低動作環境を示すもので、バージョンが古い場合プラグインとして使用されているアプリケーションがアップデートを実行する場合もある。 ;param要素 :埋め込むオブジェクトに関する詳細設定を行う要素。EMBED要素にて詳細設定を行う各属性の多くがparam要素のname属性値とvalue属性値に割り当てられるが、全ての要素がparam要素に割り当てられるわけではない。割り当て形式や設定可能なオプションはプラグインの種類によって異なる。 === ファイルタイプの指定例 === {\|class="wikitable" !colspan="2"\|[[w:Windows Media Player\|Windows Media Player]] \|- !クラスID \|\|CLSID:22d6f312-b0f6-11d0-94ab-0080c74c7e95 \|- !Codebase \|\|<nowiki>http://activex.microsoft.com/activex/controls/mplayer/en/nsmp2inf.cab#Version=6,4,5,715</nowiki> \|- !MIMEタイプ \|\|application/x-mplayer2 \|- !colspan="2"\|[[w:Quick Time Player\|Quick Time]] \|- !クラスID \|\|clsid:02BF25D5-8C17-4B23-BC80-D3488ABDDC6B \|- !Codebase \|\|<nowiki>http://www.apple.com/qtactivex/qtplugin.cab</nowiki> \|- !MIMEタイプ \|\|audio/quicktime（オーディオの場合）,video/quicktime（動画の場合） \|- !colspan="2"\|[[w:Adobe Flash\|Adobe Flash]] \|- !クラスID \|\|clsid:D27CDB6E-AE6D-11cf-96B8-444553540000 \|- !Codebase \|\|<nowiki>http://download.macromedia.com/pub/shockwave/cabs/flash/swflash.cab#version=8,0,22,0</nowiki> \|- !MIMEタイプ \|\|application/x-shockwave-flash \|} === 記述例 === Windows Media Playerのプラグインを埋め込んだ例。 <div class="preoverflow"> <syntaxhighlight lang="html4strict"> <object classid="CLSID:22d6f312-b0f6-11d0-94ab-0080c74c7e95" codebase="http://activex.microsoft.com/activex/controls/mplayer/en/nsmp2inf.cab#Version=6,4,5,715" standby="Loading Microsoft Windows Media Player components..." type="application/x-oleobject" height="69" width="300"> <param name="filename" value="http://www.dummyurl.com/file/music/example.mp3"> <param name="autostart" value="true"> <param name="showcontrols" value="true"> <param name="showstatusbar" value="true"> <param name="showpositioncontrols" value="false"> <param name="showtracker" value="true"> <param name="allowchangedisplaysize" value="false"> <param name="autosize" value="False"> <param name="volume" value="-500"> <param name="enablecontextmenu" value="false"> <embed type="application/x-mplayer2" src="http://www.dummyurl.com/file/music/example.mp3" autostart="1" showcontrols="1" showpositioncontrols="0" showtracker="1" showstatusbar="1" volume="-500" enablecontextmenu="0" nojava="true" height="69" width="300"> <noembed> </object> </syntaxhighlight> </div> [[en:HyperText Markup Language/Images]] [[it:HTML/Immagini]] [[Category:HTML\|おふしえくと]]	null	2021-11-01T03:49:56Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/HTML/%E3%82%AA%E3%83%96%E3%82%B8%E3%82%A7%E3%82%AF%E3%83%88
2,004	HTML/本文	段落である事を表すにはp要素(Paragraphの略)を使う。多くのウェブサイトでは段落を示すためにbr要素を用いているが、この用法はHTMLの正しい書き方でなく、連続したbr要素は一部のブラウザではまとめて一つの改行として表示されてしまう。 Strictではbody要素直下にブロック要素を置いてその中に本文を書く必要があり、body要素直下に本文テキストを書いてはならない。とくにP要素について、使い方を、 https://ja.wikiversity.org/wiki/Topic:HTML に書いています。使い方について参加して欲しいです家に帰ると、楽しみにしていたおやつが食べられていた。仕方が無いのでPCを起動し、このウェブ日記を更新している。今日は先日買った資料も参考にしつつ、ウィキペディアに項目を一つ投稿しようと思う。さて何時間掛かるだろうか。見出しである事を表すにはh1~h6要素(hはHeadingの略)を使う。より下位の見出しほど、hの後に続く数字が大きくなる。一般的なブラウザでは文字サイズや文字の太さが変化するが、この要素を大文字や太字目的で使用してはならない。日本国(にほんこく、にっぽんこく)は、アジア(ユーラシア大陸)の東方にある島国である。四つの大きな島、北海道、本州、四国、九州と、千島列島、小笠原諸島、琉球列島など周辺の小島からなる列島(島弧)が領土の中心をなす。大半の地域は温帯に属する。南方の諸島は亜熱帯、北方は亜寒帯的気候を示す。海洋性気候だが、モンスーンの影響を受け、寒暖の差は大きい。上記事例の文章はWikipediaにある日本の項目の記述を利用している。引用である事を表すには、blockquote要素あるいはq要素(Quotationの略)を使う。blockquote要素はブロックレベルの引用に使用し、q要素はインラインでの引用に使用する。両要素について、出典のURIを表すものとしてcite属性が、そのタイトルを表すものとしてtitle属性が利用できる。また、出典あるいは参照元を示すものとしてcite要素がある。その要素で囲った部分が出典であることを示すために使用する。一般的なブラウザでは、blockquote要素は左右にインデントがある状態で、q要素は引用符に括られた状態(一部環境未対応)で、cite要素は斜体で表示される。なお、左右に空白を取るためにblockquote要素を使用するケースがあるが、これは不適切であり環境によってはその内容が引用であると認識されかねない。スタイルシートを使って空白を取ることが望ましい。ウィキメディア財団について、ウィキペディアでは、以下の様に説明している。ウィキメディア財団 (Wikimedia Foundation Inc.) はウィキペディアを運営し、その母体となる団体である。米国フロリダ州法による非営利組織であり、ウィキペディアの創立者の一人でもあるジミー・ウェールズによって設立された。財団名称のウィキメディアは英語版ウィキペディアの参加者シェルドン・ランプトンの命名により、ウィキとマルチメディアから造語された。同財団の目的は、ウィキを用いたオープンコンテントの知的資源を開発するプロジェクトの促進、およびその資源を無料、広告なしで広く公衆に提供することにある。同項目にある若年層向けの教育コンテンツ「ウィキジュニア」の作成には興味を引くところである。強調を表すにはem要素(EMphasisの略)、strong要素を使う。strong要素の方がより強い強調を表す。一般的なブラウザではem要素は斜体字で、strong要素は太字で表示される。一部の音声ブラウザはこの要素を認識し、強調音声でテキストを読み上げる場合がある。又は暑い。いや寧ろ熱い。テキストファイルでの改行は表示にはほぼ影響しない(ブラウザによってはスペースが開くことがある)。強制的に改行させたいときには<br>を使う。なお、XHTMLにおいては、<br />(XHTML 1.0ではbrと/の間に半角スペースを入れることが推奨されているが、必須ではない)とするように定められている。HTMLでも<br />を使うことは出来るが、文法上正しい書き方ではないので規格に沿ったHTMLを書きたいときは注意しよう。改行します。はい。あれ? こうしないと。ね! XHTMLのときは、こっちで。ね! div要素はブロックレベル要素、span要素はインライン要素であるが、それ以外の意味はなく単体で指定しても、ブラウザが特別な扱いを行ったり、表示が特別変化したりすることはない(ただしdiv要素はブロックレベル要素であり、前後に改行が入る)。id属性やclass属性を使ってスタイルシートを適用したり、lang属性などを指定したり主に他の要素では代用できない(他の要素を用いると範囲内に不必要な情報を定義してしまう)ことを行う汎用要素として用いられる。 HTMLで半角英数の < や > といった制御用の文字そのものを表示したい場合には、 < と表示したいなら < と入力する。 > と表示したいなら > と入力する。 ltやgtの直後の記号はセミコロン(;)である。(コロン(:)ではない。) HTMLに限らず、プログラミングや類似のコーディングにおいて、このように制御文字そのものを入力するための入力方法のことを「エスケープシーケンス」という。 HTMLのエスケープシーケンスについては、種類が多いので、詳しくはネットなどで検索してもらいたい。なお、派生的な話題だが、 < とwebページで表示したい場合、 &lt;とHTMLに入力する。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "段落である事を表すにはp要素(Paragraphの略)を使う。多くのウェブサイトでは段落を示すためにbr要素を用いているが、この用法はHTMLの正しい書き方でなく、連続したbr要素は一部のブラウザではまとめて一つの改行として表示されてしまう。", "title": "段落" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "Strictではbody要素直下にブロック要素を置いてその中に本文を書く必要があり、body要素直下に本文テキストを書いてはならない。", "title": "段落" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "とくにP要素について、使い方を、 https://ja.wikiversity.org/wiki/Topic:HTML に書いています。使い方について参加して欲しいです", "title": "段落" }, { 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"引用である事を表すには、blockquote要素あるいはq要素(Quotationの略)を使う。blockquote要素はブロックレベルの引用に使用し、q要素はインラインでの引用に使用する。両要素について、出典のURIを表すものとしてcite属性が、そのタイトルを表すものとしてtitle属性が利用できる。また、出典あるいは参照元を示すものとしてcite要素がある。その要素で囲った部分が出典であることを示すために使用する。", "title": "引用と出典" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "一般的なブラウザでは、blockquote要素は左右にインデントがある状態で、q要素は引用符に括られた状態(一部環境未対応)で、cite要素は斜体で表示される。なお、左右に空白を取るためにblockquote要素を使用するケースがあるが、これは不適切であり環境によってはその内容が引用であると認識されかねない。スタイルシートを使って空白を取ることが望ましい。", "title": "引用と出典" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "ウィキメディア財団について、ウィキペディアでは、以下の様に説明している。", "title": "強調" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "ウィキメディア財団 (Wikimedia Foundation Inc.) はウィキペディアを運営し、その母体となる団体である。米国フロリダ州法による非営利組織であり、ウィキペディアの創立者の一人でもあるジミー・ウェールズによって設立された。財団名称のウィキメディアは英語版ウィキペディアの参加者シェルドン・ランプトンの命名により、ウィキとマルチメディアから造語された。", "title": "強調" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "同財団の目的は、ウィキを用いたオープンコンテントの知的資源を開発するプロジェクトの促進、およびその資源を無料、広告なしで広く公衆に提供することにある。", "title": "強調" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", 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"div要素はブロックレベル要素、span要素はインライン要素であるが、それ以外の意味はなく単体で指定しても、ブラウザが特別な扱いを行ったり、表示が特別変化したりすることはない(ただしdiv要素はブロックレベル要素であり、前後に改行が入る)。id属性やclass属性を使ってスタイルシートを適用したり、lang属性などを指定したり主に他の要素では代用できない(他の要素を用いると範囲内に不必要な情報を定義してしまう)ことを行う汎用要素として用いられる。", "title": "強調" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "", "title": "強調" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "HTMLで半角英数の < や > といった制御用の文字そのものを表示したい場合には、", "title": "強調" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "< と表示したいなら < と入力する。", "title": "強調" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "> と表示したいなら > と入力する。", "title": "強調" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "ltやgtの直後の記号はセミコロン(;)である。(コロン(:)ではない。)", "title": "強調" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "HTMLに限らず、プログラミングや類似のコーディングにおいて、このように制御文字そのものを入力するための入力方法のことを「エスケープシーケンス」という。", "title": "強調" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "HTMLのエスケープシーケンスについては、種類が多いので、詳しくはネットなどで検索してもらいたい。", "title": "強調" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "なお、派生的な話題だが、 < とwebページで表示したい場合、 &lt;とHTMLに入力する。", "title": "強調" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "", "title": "強調" } ]	null	<div class="toclimit-2">__TOC__</div> == 段落 == 段落である事を表すにはp要素（Paragraphの略）を使う。多くのウェブサイトでは段落を示すためにbr要素を用いているが、この用法はHTMLの正しい書き方でなく、連続したbr要素は一部のブラウザではまとめて一つの改行として表示されてしまう。 Strictではbody要素直下にブロック要素を置いてその中に本文を書く必要があり、body要素直下に本文テキストを書いてはならない。 === 記述例 === <syntaxhighlight lang="html4strict"> <p>家に帰ると、楽しみにしていたおやつが食べられていた。仕方が無いのでPCを起動し、このウェブ日記を更新している。</p> <p>今日は先日買った資料も参考にしつつ、ウィキペディアに項目を一つ投稿しようと思う。さて何時間掛かるだろうか。</p> </syntaxhighlight> とくにP要素について、使い方を、 https://ja.wikiversity.org/wiki/Topic:HTML に書いています。使い方について参加して欲しいです === 表示例 === <div style="border:#000 1px dashed;padding:1em"> <p>家に帰ると、楽しみにしていたおやつが食べられていた。仕方が無いのでPCを起動し、このウェブ日記を更新している。</p> <p>今日は先日買った資料も参考にしつつ、ウィキペディアに項目を一つ投稿しようと思う。さて何時間掛かるだろうか。</p> </div> == 見出し == 見出しである事を表すにはh1～h6要素（hはHeadingの略）を使う。より下位の見出しほど、hの後に続く数字が大きくなる。一般的なブラウザでは文字サイズや文字の太さが変化するが、この要素を大文字や太字目的で使用してはならない。 === 記述例 === <div class="preoverflow"> <syntaxhighlight lang="html4strict"> <h1>日本</h1> <p>日本国（にほんこく、にっぽんこく）は、アジア（ユーラシア大陸）の東方にある島国である。</p> <h2>地理</h2> <p>四つの大きな島、北海道、本州、四国、九州と、千島列島、小笠原諸島、琉球列島など周辺の小島からなる列島（島弧）が領土の中心をなす。</p> <h3>気候</h3> <p>大半の地域は温帯に属する。南方の諸島は亜熱帯、北方は亜寒帯的気候を示す。海洋性気候だが、モンスーンの影響を受け、寒暖の差は大きい。</p> </syntaxhighlight> </div> === 表示例 === <div style="border:#000 1px dashed;padding:1em"> <div style="color: black;background: none;font-weight: normal;margin: 0 0 1em 0;padding-top: .5em;padding-bottom: .17em;font-size:188%;">日本</div> 日本国（にほんこく、にっぽんこく）は、アジア（ユーラシア大陸）の東方にある島国である。 <div style="color: black; background: none; font-weight: bold; margin: 0 0 1em 0; padding-top: .5em; padding-bottom: .17em; font-size: 150%;">地理</div> 四つの大きな島、北海道、本州、四国、九州と、千島列島、小笠原諸島、琉球列島など周辺の小島からなる列島（島弧）が領土の中心をなす。 <div style="color: black; background: none; font-weight: bold; margin: 0 0 1em 0; padding-top: .5em; padding-bottom: .17em; font-size: 120%;">気候</div> 大半の地域は温帯に属する。南方の諸島は亜熱帯、北方は亜寒帯的気候を示す。海洋性気候だが、モンスーンの影響を受け、寒暖の差は大きい。 </div> 上記事例の文章はWikipediaにある[[w:日本\|日本]]の項目の記述を利用している。 == 引用と出典 == 引用である事を表すには、blockquote要素あるいはq要素（Quotationの略）を使う。blockquote要素はブロックレベルの引用に使用し、q要素はインラインでの引用に使用する。両要素について、出典のURIを表すものとしてcite属性が、そのタイトルを表すものとしてtitle属性が利用できる。また、出典あるいは参照元を示すものとしてcite要素がある。その要素で囲った部分が出典であることを示すために使用する。一般的なブラウザでは、blockquote要素は左右にインデントがある状態で、q要素は引用符に括られた状態（一部環境未対応）で、cite要素は斜体で表示される。なお、左右に空白を取るためにblockquote要素を使用するケースがあるが、これは不適切であり環境によってはその内容が引用であると認識されかねない。スタイルシートを使って空白を取ることが望ましい。 === 記述例 === <div class="preoverflow"> <syntaxhighlight lang="html4strict"> <p>ウィキメディア財団について、<cite>ウィキペディア</cite>では、以下の様に説明している。</p> <blockquote cite="http://ja.wikipedia.org/wiki/ウィキメディア" title="ウィキメディア - Wikipedia"> <p>ウィキメディア財団 (Wikimedia Foundation Inc.) はウィキペディアを運営し、その母体となる団体である。米国フロリダ州法による非営利組織であり、ウィキペディアの創立者の一人でもあるジミー・ウェールズによって設立された。財団名称のウィキメディアは英語版ウィキペディアの参加者シェルドン・ランプトンの命名により、ウィキとマルチメディアから造語された。</p> <p>同財団の目的は、ウィキを用いたオープンコンテントの知的資源を開発するプロジェクトの促進、およびその資源を無料、広告なしで広く公衆に提供することにある。</p> </blockquote> <p>同項目にある若年層向けの教育コンテンツ「ウィキジュニア」の作成には興味を引くところである。</p> </syntaxhighlight> </pre> === 表示例 === <div style="border:#000 1px dashed;padding:1em"> <p>ウィキメディア財団について、<cite>ウィキペディア</cite>では、以下の様に説明している。</p> <blockquote cite="http://ja.wikipedia.org/wiki/ウィキメディア" title="ウィキメディア - Wikipedia"> <p>ウィキメディア財団 (Wikimedia Foundation Inc.) はウィキペディアを運営し、その母体となる団体である。米国フロリダ州法による非営利組織であり、ウィキペディアの創立者の一人でもあるジミー・ウェールズによって設立された。財団名称のウィキメディアは英語版ウィキペディアの参加者シェルドン・ランプトンの命名により、ウィキとマルチメディアから造語された。</p> <p>同財団の目的は、ウィキを用いたオープンコンテントの知的資源を開発するプロジェクトの促進、およびその資源を無料、広告なしで広く公衆に提供することにある。</p> </blockquote> <p>同項目にある若年層向けの教育コンテンツ「ウィキジュニア」の作成には興味を引くところである。</p> </div> == 強調 == 強調を表すにはem要素（EMphasisの略）、strong要素を使う。strong要素の方がより強い強調を表す。一般的なブラウザではem要素は斜体字で、strong要素は太字で表示される。一部の音声ブラウザはこの要素を認識し、強調音声でテキストを読み上げる場合がある。 === 記述例 === <syntaxhighlight lang="html4strict"> <p><em>暑い</em>。いや寧ろ<strong>熱い</strong>。</p> </syntaxhighlight> 又は <syntaxhighlight lang="html4strict"> <p><em>暑い</em>。いや寧ろ<b>熱い</b>。</p> </syntaxhighlight> === 表示例 === <div style="border:#000 1px dashed;padding:1em"> <p><em>暑い</em>。いや寧ろ<strong>熱い</strong>。</p> </div> == 汎用属性 == ;lang :その要素内でどの言語が使用されているかを示す。 ;id :その要素の名前を指定する。これが指定された要素には、CSSで設定されたスタイルを割り当てたりすることが可能である。1つのドキュメント内で1回しか使用することができない。 ;class :その要素とCSSなどで指定されたクラスを関係づける。id属性と同様、CSSで設定されたスタイルを割り当てることが可能であるが、1つのドキュメント内で何回も使用することができる。 ;title :指定された要素に対するタイトルを示し、簡単な説明を記述することが多い。一部のブラウザでは、その要素をマウスオーバーするとその内容をツールチップとして表示する。 ;style :CSSなどのスタイルシートを記述する。あらかじめ割り当てなどが設定されていないスタイルを直接その要素に対して指定できる。 ;dir :文字の方向を指定する。属性値にltr(left to right)を指定すると文字が左から右へ、rtl(right to left)を指定すると文字が右から左へ表示される。 == その他テキスト関係の要素 == ;dfn :その語が定義対象の用語であることを示す。文章中でその語が始めて出てきた場合などに使用する。一般的なブラウザでは、イタリック表示となる。 ;abbr,acronym :abbrはその語が略語であることを、acronymはその語が頭字語であることを示す。title属性を指定し、その語の省略しない形を書くことが必須とされている。ブラウザによっては、この要素が指定された語は点線表示されるが、Internet Explorerは対応していない。 ;sup,sub :supは文字を上付きに、subは文字を下付きにする。 ;pre :指定されたテキストを等幅<!-- ・無改行 -->で表示する。ソースコードなどを表示するときに使用する。HTMLは有効だが、改行やスペースはそのまま表示される。 ;kbd :操作法説明などにおいて、キーボードから入力する文字を示す。一般的なブラウザでは等幅で表示される。 ;code :その部分がソースコードであることを明示する。一般的なブラウザでは等幅で表示される。 ;samp :そこにある内容が、プログラムなどにより出力される内容のサンプルであることを示す。一般的なブラウザでは等幅で表示される。 ;var :変数や引数を示すときに使用する。一般的な環境ではイタリック表示となる。 ;ins,del :ins要素はその部分が後から挿入した内容であることを、del要素はその部分が後から削除した内容であることを示す。datetime属性（ISO 8601形式）を用いて挿入・削除日時を記述したり、cite属性を用いて情報の典拠を示したり、title属性を用いて簡単な説明を記述したりすることが出来る。 :datetime属性は、年（四桁）-月（二桁）-日（二桁）T時:分:秒+9:00の形式（日本時間の場合）で記述する。例えば2010年1月1日9時ちょうどであれば<code>2010-01-01T09:00:00+9:00</code>という書式になる。 :指定位置に応じてブロック要素としてもインライン要素としても使用することが出来るが、ブロック要素として扱ってもCSSでのスタイル指定はインライン要素と同じ扱いになる。 ;bdo :指定されたテキストの表示方向を、dir属性で設定する。 == 強制改行 == テキストファイルでの改行は表示にはほぼ影響しない（ブラウザによってはスペースが開くことがある）。強制的に改行させたいときには<br>を使う。なお、[[w:Extensible HyperText Markup Language\|XHTML]]においては、<br />（XHTML 1.0ではbrと/の間に半角スペースを入れることが推奨されているが、必須ではない）とするように定められている。HTMLでも<br />を使うことは出来るが、文法上正しい書き方ではないので規格に沿ったHTMLを書きたいときは注意しよう。<!-- 古いアプリのサポートでXHTMLの情報も使うので、HTML5時代ですがXHTMLの話題も残そうかと思います。 --> === 記述例 === <syntaxhighlight lang="html4strict"> <p>改行します。はい。あれ?</p> <p>こうしないと。<br> ね!</p> <p>XHTMLのときは、こっちで。<br /> ね!</p> </syntaxhighlight> === 表示例 === <div style="border:#000 1px dashed;padding:1em"> <p>改行します。はい。あれ?</p> <p>こうしないと。<br /> ね!</p> <p>XHTMLのときは、こっちで。<br /> ね!</p> </div> == div, span要素 == div要素はブロックレベル要素、span要素はインライン要素であるが、それ以外の意味はなく単体で指定しても、ブラウザが特別な扱いを行ったり、表示が特別変化したりすることはない（ただしdiv要素はブロックレベル要素であり、前後に改行が入る）。id属性やclass属性を使ってスタイルシートを適用したり、lang属性などを指定したり主に他の要素では代用できない（他の要素を用いると範囲内に不必要な情報を定義してしまう）ことを行う汎用要素として用いられる。 == エスケープシーケンス == HTMLで半角英数の <nowiki> < </nowiki> や <nowiki> > </nowiki>といった制御用の文字そのものを表示したい場合には、 <nowiki> < </nowiki> と表示したいなら <code>&lt;</code> と入力する。 <nowiki> > </nowiki> と表示したいなら <code>&gt;</code> と入力する。 ltやgtの直後の記号はセミコロン(;)である。(コロン(:)ではない。) HTMLに限らず、プログラミングや類似のコーディングにおいて、このように制御文字そのものを入力するための入力方法のことを「エスケープシーケンス」という。 HTMLのエスケープシーケンスについては、種類が多いので、詳しくはネットなどで検索してもらいたい。なお、派生的な話題だが、 <code>&lt;</code> とwebページで表示したい場合、 <code>&amp;lt;</code>とHTMLに入力する。 <!-- 以下は[[HTML/装飾]]向け一旦コメントアウト == body要素 == === 画面背景の設定 === 画面の背景は #背景色を設定 #背景に画像を設定の2つに分類できる。一般的に視覚的な効果の調整は[[CSS]]を用いて行うべきとされているが、ここではCSSを使わず、より簡便なHTMLで背景を設定する方法を紹介する。背景色、背景画像とも要素に属性を指定することで設定する。 ==== 背景色 ==== <syntaxhighlight lang="html4strict"><body bgcolor="#FFFFFF"></syntaxhighlight> bgcolor属性には設定したい色を指定する。色の指定は色の名称（white、blackなど）、もしくは16進数で指定する。16進数で指定する場合は、最初に<nowiki>#</nowiki>をつけ、R（赤要素）G（緑要素）B（青要素）の順番にそれぞれ00～FFの数値を指定する。 ==== 背景画像 ==== <syntaxhighlight lang="html4strict"><body background="wiki.png"></syntaxhighlight> background属性には背景画像のファイルのアドレスを指定する。アドレスの指定は絶対パス（<nowiki>http://～～/wiki.png</nowiki>）か相対パス（./wiki.png）を使用する。画像形式は一般的にJPEG、GIF、PNGのいずれかを使用する。[[w:Windows bitmap\|BMP]]形式の画像を使う人もいるが、BMPはWindows用のファイル形式であることに加えファイルサイズそのものも大きいので使わないようにしよう。 --> [[Category:HTML\|HTML ほんふん]]	null	2022-10-22T01:50:12Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/HTML/%E6%9C%AC%E6%96%87
2,007	線型代数学	【MV】#超絶かわいい/mona(CV:夏川椎菜)【HoneyWorks】 ◆歌:mona(CV:夏川椎菜) ◆作詞・作曲・編曲:HoneyWorks ◆歌詞翻譯:Fir(@Fir3k0) ※以AI輔助翻譯,所以算半機翻吧w 自己校正意思「#超絶かわいい」君の3分私にください動画はそのままで請你給我3分鐘時間吧影片這樣放着就好私のかわいいとこ伝われば嬉しいです要是能向你傳達到我的可愛之處我會很高興呢画面越しで触れないけど私はいるんだよ雖然隔着畫面沒辦法觸碰到但我就在這裡喔コメントも残して君を認知させて也請留下留言讓我認識到你かわいい子なんてたくさんいるけど雖然可愛的孩子多不勝數かわいすぎる子は私しかいない但過於可愛的孩子非我莫屬あざとすぎたってこれが私だって就算過分地裝可愛這也是我的一面呢君の一番になるまでやめない直到成為你的第一之前都不會罷休君の大好きな人はだーれ? 你最喜歡的人是誰~呢? 超絶かわいい mona 超絕可愛的 mona 君が愛してる人はだーれ? 你最喜愛的人是誰~呢? 超絶かわいい mona 超絕可愛的 mona 私も大好きだから恋人同士だね我也最喜歡你了所以是兩情相悅的戀人呢花嫁修業頑張るね新娘修行我會努力以赴呢もうしばらくこのアピールにお付き合いください這展現自身的機會請再多奉陪我一會兒吧私のかわいいとこ伝われば嬉しいです要是能向你傳達到我的可愛之處我會很高興呢身長も足のサイズも隠れてるホクロも身高也好雙腳尺寸也好隱藏的痣也好推しなら当然知ってるはずだよね? 如果是主推的話你當然會知道吧? ファンが大切って当たり前だけど雖然粉絲很重要這是理然當然的こんなに好きとか私しかいない但喜歡到這種地步非我莫屬クサすぎる言葉? だって本当だもん這些話都聽到膩了? 因為這是真心話啦君の一番になるまでやめない直到成為你的第一之前都不會罷休君を虜にしたのはだーれ? 讓你成為俘虜的是誰~呢? 超絶かわいい mona 超絕可愛的 mona 君を幸せにするのだーれ? 讓你變得幸福的是誰~呢? 超絶かわいい mona 超絕可愛的 mona もっと恋してもいいよ責任取るからね即便愛得更深也可以喔我會負起責任呢浮気なんてさせないから我不會讓你三心兩意的啦君の大好きな人はだーれ? 你最喜歡的人是誰~呢? 超絶かわいい mona 超絕可愛的 mona 君が愛してる人はだーれ? 你最喜愛的人是誰~呢? 超絶かわいい mona 超絕可愛的 mona 私も大好きだから恋人同士だね我也最喜歡你了所以是兩情相悅的戀人呢花嫁修業頑張るね新娘修行我會努力以赴呢	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "", "title": "一緒に歌いましょう！" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "【MV】#超絶かわいい/mona(CV:夏川椎菜)【HoneyWorks】 ◆歌:mona(CV:夏川椎菜) ◆作詞・作曲・編曲:HoneyWorks ◆歌詞翻譯:Fir(@Fir3k0) ※以AI輔助翻譯,所以算半機翻吧w 自己校正意思", "title": "一緒に歌いましょう！" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "「#超絶かわいい」", "title": "一緒に歌いましょう！" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "君の3分私にください動画はそのままで請你給我3分鐘時間吧影片這樣放着就好", "title": "一緒に歌いましょう！" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "私のかわいいとこ伝われば嬉しいです要是能向你傳達到我的可愛之處我會很高興呢", "title": "一緒に歌いましょう！" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "画面越しで触れないけど私はいるんだよ雖然隔着畫面沒辦法觸碰到但我就在這裡喔", "title": "一緒に歌いましょう！" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "コメントも残して君を認知させて也請留下留言讓我認識到你", "title": "一緒に歌いましょう！" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "かわいい子なんてたくさんいるけど雖然可愛的孩子多不勝數", "title": "一緒に歌いましょう！" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "かわいすぎる子は私しかいない但過於可愛的孩子非我莫屬", "title": "一緒に歌いましょう！" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "あざとすぎたってこれが私だって就算過分地裝可愛這也是我的一面呢", "title": "一緒に歌いましょう！" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "君の一番になるまでやめない直到成為你的第一之前都不會罷休", "title": "一緒に歌いましょう！" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "君の大好きな人はだーれ? 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2,008	線型代数学/線型方程式	線型代数学 > 線型方程式線型方程式(連立1次方程式)とは、 a i , j , b i ∈ K ( 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n ) {\displaystyle a_{i,j},b_{i}\in \mathbf {K} (1\leq i\leq m,1\leq j\leq n)} を用いてで表わされる方程式である。上の連立方程式は、とおけば A x = b {\displaystyle \ Ax=b} と行列を用いて書ける。仮に、Aが正方行列で逆行列を持つなら、この式の一般解は、 x = A − 1 b {\displaystyle \ x=A^{-1}b} となる。しかし、これは非常に特殊な場合であり、一般には解が存在しないこともあれば、いくつかの解の重ね合わせ(正しくは線形結合)として表わされることもある。この章では、逆行列の再定義から始め、行列の基本変形、階数等を導入し、最終的には上の線型方程式の一般解を導く。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "線型代数学 > 線型方程式", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "線型方程式(連立1次方程式)とは、 a i , j , b i ∈ K ( 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n ) {\\displaystyle a_{i,j},b_{i}\\in \\mathbf {K} (1\\leq i\\leq m,1\\leq j\\leq n)} を用いて", "title": "線型方程式" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "で表わされる方程式である。", "title": "線型方程式" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "上の連立方程式は、", "title": "線型方程式" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "とおけば A x = b {\\displaystyle \\ Ax=b} と行列を用いて書ける。", "title": "線型方程式" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "仮に、Aが正方行列で逆行列を持つなら、この式の一般解は、 x = A − 1 b {\\displaystyle \\ x=A^{-1}b} となる。", "title": "線型方程式" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "しかし、これは非常に特殊な場合であり、一般には解が存在しないこともあれば、いくつかの解の重ね合わせ(正しくは線形結合)として表わされることもある。", "title": "線型方程式" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "この章では、逆行列の再定義から始め、行列の基本変形、階数等を導入し、最終的には上の線型方程式の一般解を導く。", "title": "線型方程式" } ]	線型代数学 > 線型方程式	<small> [[線型代数学]] > 線型方程式 </small> == 線型方程式 == 線型方程式（連立1次方程式）とは、<math> a_{i,j},b_i \in \mathbf K (1 \leq i \leq m,1 \leq j \leq n) </math> を用いて :<math>\begin{cases} a _{1,1}x _1 + \cdots + a _{1,n}x _n = b _1 \\ \vdots \\ a _{m,1}x _1 + \cdots + a _{m,n}x _n = b _m \end{cases}</math> で表わされる方程式である。上の連立方程式は、 :<math> A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & \cdots & a_{m,n}\\ \end{pmatrix} , x = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} , b = \begin{pmatrix} b_1\\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}</math> とおけば <math> \ Ax = b </math> と行列を用いて書ける。仮に、Aが正方行列で逆行列を持つなら、この式の一般解は、 <math> \ x = A^{-1} b </math> となる。しかし、これは非常に特殊な場合であり、一般には解が存在しないこともあれば、いくつかの解の重ね合わせ（正しくは線形結合）として表わされることもある。この章では、逆行列の再定義から始め、行列の基本変形、階数等を導入し、最終的には上の線型方程式の一般解を導く。 [[Category:線形代数学\|せんけいほうていしき]]	null	2022-08-31T07:55:07Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
2,010	線形代数学/行列式	1 , 2 , ⋯ , n {\displaystyle {1,2,\cdots ,n}} を互いに重複しないように、 1 , 2 , ⋯ , n {\displaystyle {1,2,\cdots ,n}} にうつす操作をn次の置換という。置換 σ {\displaystyle \sigma } によってiがうつされる行き先を σ ( i ) {\displaystyle \sigma (i)} と表す。置換 σ {\displaystyle \sigma } は、次のように、上にもとの元を、下の行き先を並べて表現される。これは、行列と同じ表現だが、行列ではないことに注意する。例えば、 1を2に、2を3に、3を1にうつす置換 σ {\displaystyle \sigma } は、3次の置換であり、 σ ( 1 ) = 2 , σ ( 2 ) = 3 , σ ( 3 ) = 1 {\displaystyle \sigma (1)=2,\sigma (2)=3,\sigma (3)=1} となり、この置換は、 σ = ( 1 2 3 2 3 1 ) {\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}} と表せる。 e = ( 1 2 ⋯ n 1 2 ⋯ n ) {\displaystyle e={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\1&2&\cdots &n\end{pmatrix}}} のように、すべての整数が変化しない置換のことを単位置換という。ある置換 σ {\displaystyle \sigma } に対し、 σ − 1 = ( σ ( 1 ) σ ( 2 ) ⋯ σ ( n ) 1 2 ⋯ n ) {\displaystyle \sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}\sigma (1)&\sigma (2)&\cdots &\sigma (n)\\1&2&\cdots &n\end{pmatrix}}} を逆置換という。 n次の置換全体の集合を S n {\displaystyle S_{n}} と表す。例えば、 S 3 = { ( 1 2 3 1 2 3 ) , ( 1 2 3 1 3 2 ) , ( 1 2 3 3 2 1 ) , ( 1 2 3 2 1 3 ) , ( 1 2 3 3 1 2 ) , ( 1 2 3 2 3 1 ) } {\displaystyle S_{3}=\left\{{\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}\right\}} である。 n次の置換全体の集合の個数が n ! {\displaystyle n!} であることは自明であろう。置換 σ , τ ∈ S n {\displaystyle \sigma ,\tau \in S_{n}} に対し、置換の合成を σ τ = ( 1 2 ⋯ n σ ( 1 ) σ ( 2 ) ⋯ σ ( n ) ) ( 1 2 ⋯ n τ ( 1 ) τ ( 2 ) ⋯ τ ( n ) ) = ( 1 2 ⋯ n σ ( τ ( 1 ) ) σ ( τ ( 2 ) ) ⋯ σ ( τ ( n ) ) ) {\displaystyle \sigma \tau ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\\sigma (1)&\sigma (2)&\cdots &\sigma (n)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\\tau (1)&\tau (2)&\cdots &\tau (n)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &n\\\sigma (\tau (1))&\sigma (\tau (2))&\cdots &\sigma (\tau (n))\end{pmatrix}}} と定める。これは、 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} に対し、 σ τ ( i ) = σ ( τ ( i ) ) {\displaystyle \sigma \tau (i)=\sigma (\tau (i))} と表記することもできる。こうすると、記述量が少なくなり、便利だろう。置換について、以下の性質が成り立つ。 σ = ( 1 2 ⋯ i ⋯ j ⋯ n 1 2 ⋯ j ⋯ i ⋯ n ) {\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&\cdots &i&\cdots &j&\cdots n\\1&2&\cdots &j&\cdots &i&\cdots n\end{pmatrix}}} のように、iとjだけを交換する置換を互換という。任意の置換は互換の積で表すことができ、互換の個数の偶奇は互換のとり方によらず、同じであるという性質がある。置換を互換の積で表したとき、互換の個数が偶数個の置換を偶置換、奇数個の置換を奇置換という。 sgn ( σ ) = { 1 σ が偶置換のとき − 1 σ が奇置換のとき {\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )={\begin{cases}1&\sigma {\text{が偶置換のとき}}\\-1&\sigma {\mbox{が奇置換のとき}}\end{cases}}\ } を σ {\displaystyle \sigma } の符号という。行列 A = ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}} に対して、 \| A \| = det A = ∑ σ ∈ S n sgn ( σ ) a 1 , σ ( 1 ) ⋯ a n , σ ( n ) {\displaystyle \|A\|=\det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n,\sigma (n)}} をAの行列式という。 ※ ∑ σ ∈ S n {\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}} とは、 σ {\displaystyle \sigma } に S n {\displaystyle S_{n}} の元をすべて代入して足し合わせろという意味である。たとえば、 A = { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle A=\{1,2,3\}} のとき、 ∑ i ∈ A {\displaystyle \sum _{i\in A}} と ∑ i = 1 3 {\displaystyle \sum _{i=1}^{3}} は同じ意味である。 2次正方行列 A = ( a b c d ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} の行列式を求めてみよう。行列式の定義に当てはめると、 \| A \| = ∑ σ ∈ S 2 sgn ( σ ) a 1 , σ ( 1 ) a n , σ ( 2 ) {\displaystyle \|A\|=\sum _{\sigma \in S_{2}}\operatorname {sgn}(\sigma )a_{1,\sigma (1)}a_{n,\sigma (2)}} である。 S 2 = { ( 1 2 1 2 ) , ( 1 2 2 1 ) } , sgn ( 1 2 1 2 ) = 1 , sgn ( 1 2 2 1 ) = − 1 {\displaystyle S_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}\right\},\ \operatorname {sgn} {\begin{pmatrix}1&2\\1&2\end{pmatrix}}=1,\ \operatorname {sgn} {\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}=-1} であるから行列式は a d − b c {\displaystyle ad-bc} である。 3次の行列式では、 det A = \| a b c d e f g h i \| = a e i + b f g + c d h − a f h − b d i − c e g {\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg} となる。これは、「Sarrus(サラス)の展開」または「Sarrusの方法」、「たすきがけの法」と呼ぶもので、右図のように斜めに数を乗じたものの和と考えることができる。例えば、第1項 a e i {\displaystyle aei} は、1行1列の a {\displaystyle a} から、3行3列の i {\displaystyle i} までを右下に向かって順に乗じたものに等しい。また、次の b f g {\displaystyle bfg} は、1行2列の b {\displaystyle b} から始めて、右下に向かって順に乗じたものに等しい。2行3列の f {\displaystyle f} の次は端を突き抜けて、3行1列の g {\displaystyle g} に至る。第3項も同様である。 4から6番目の項は、右下に向かってではなく左下(右図では右上)に向かって乗じて、符号を反転したものである。 4 × 4 {\displaystyle 4\times 4} 以降の行列ではこのような簡単な計算法は得られない。項の数は n × n {\displaystyle n\times n} 行列で n ! {\displaystyle n!} 個であるため、大きな行列について計算機を使わずに行列式を計算するのは困難である。行列式について成り立つ性質のうち、以下の4つは基本的である。 1. と 2. の性質を合わせて「列についての多重線型性」という。3. の性質は「列についての交代性」という。一般に任意の正方行列 A {\displaystyle A} について \| A \| = \| t A \| {\displaystyle \|A\|=\|{}^{t}\!A\|} であるから、これらの性質は行についても成り立つ。任意の正方行列に対してある実数を対応付ける作用のうち、この4つの性質を全て満たすのは行列式だけであり、この性質を定義として行列式を導出できる。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "1 , 2 , 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n}</math>を互いに重複しないように、<math>{1,2, \cdots, n}</math>にうつす操作を'''n次の置換'''という。置換<math>\sigma</math>によってiがうつされる行き先を<math>\sigma (i)</math>と表す。置換<math>\sigma</math>は、次のように、上にもとの元を、下の行き先を並べて表現される。 :<math>\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma (1) & \sigma (2) & \cdots & \sigma (n) \end{pmatrix}</math> これは、行列と同じ表現だが、行列ではないことに注意する。例えば、 1を2に、2を3に、3を1にうつす置換<math>\sigma</math>は、3次の置換であり、<math>\sigma (1) = 2, \sigma (2) = 3, \sigma (3) = 1</math>となり、この置換は、 <math>\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}</math>と表せる。 ===単位置換=== <math>e = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots &n \end{pmatrix}</math>のように、すべての整数が変化しない置換のことを'''単位置換'''という。 ===逆置換=== ある置換<math>\sigma</math>に対し、<math>\sigma ^{-1} = \begin{pmatrix} \sigma (1) & \sigma (2) & \cdots & \sigma (n) \\ 1 & 2 & \cdots & n \end{pmatrix}</math>を'''逆置換'''という。 ===置換全体の集合=== n次の置換全体の集合を<math>S_n</math>と表す。例えば、<math>S_3 = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix} \right\}</math>である。 n次の置換全体の集合の個数が<math>n!</math>であることは自明であろう。 ===置換の合成=== 置換<math>\sigma, \tau \in S_n</math>に対し、置換の合成を<math>\sigma \tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma (1) & \sigma (2) & \cdots & \sigma (n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \tau (1) & \tau (2) & \cdots & \tau (n) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ \sigma (\tau (1)) & \sigma (\tau (2)) & \cdots & \sigma (\tau (n)) \end{pmatrix}</math>と定める。<br> これは、<math>1 \le i \le n</math>に対し、<math>\sigma \tau (i) = \sigma (\tau(i))</math>と表記することもできる。こうすると、記述量が少なくなり、便利だろう。 ===置換の性質=== 置換について、以下の性質が成り立つ。 #<math>(\sigma \tau) \rho = \sigma (\tau \rho) </math> #<math> \sigma e = e \sigma = \sigma </math> #<math>\sigma \sigma^{-1} = \sigma^{-1} \sigma = e</math> ; 証明 #<math>1 \le i \le n</math>に対し、<br><math>((\sigma \tau) \rho)(i) = (\sigma \tau) (\rho (i)) = \sigma (\tau (\rho (i)))</math><br><br><math>(\sigma (\tau \rho))(i) = (\sigma)(\tau \rho (i)) = \sigma (\tau (\rho (i)))</math><br><br>よって、<math>(\sigma \tau) \rho = \sigma (\tau \rho) </math>である。<br><br><br> #<math>1 \le i \le n</math>に対し、<br><math> (\sigma e)(i) = (\sigma (e(i))) = \sigma (i)</math><br><br><math> e \sigma = (e (\sigma(i))) = \sigma (i)</math><br><br>よって<math> \sigma e = e \sigma = \sigma </math>である。<br><br><br> #<math>1 \le i \le n</math>に対し、<br><math>(\sigma \sigma^{-1})(i) = (\sigma (\sigma^{-1} (i) )) = i</math><br><br><math>(\sigma^{-1} \sigma)(i) = (\sigma^{-1} (\sigma (i) )) = i</math><br><br>よって<math>\sigma \sigma^{-1} = \sigma^{-1} \sigma = e</math>である。 ===互換=== <math>\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & i & \cdots & j & \cdots n \\ 1 & 2 & \cdots & j & \cdots & i & \cdots n \end{pmatrix}</math>のように、iとjだけを交換する置換を'''互換'''という。任意の置換は互換の積で表すことができ、互換の個数の偶奇は互換のとり方によらず、同じであるという性質がある。置換を互換の積で表したとき、互換の個数が偶数個の置換を'''偶置換'''、奇数個の置換を'''奇置換'''という。 ; 証明 === 符号=== <math> \sgn(\sigma) = \begin{cases} 1 & \sigma \text{が偶置換のとき} \\ -1 & \sigma \mbox{が奇置換のとき} \end{cases}\ </math> を <math>\sigma</math> の'''符号'''という。 ==行列式== 行列 <math> A = \begin{pmatrix} a _{11} & \cdots & a _{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a _{n1} & \cdots & a _{nn} \end{pmatrix} </math> に対して、 <math> \|A\| = \det A = \sum _{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a _{1, \sigma (1)} \cdots a _{n, \sigma (n)} </math> をAの行列式という。 ※ <math>\sum _{\sigma \in S_n}</math> とは、<math>\sigma</math> に <math>S_n</math> の元をすべて代入して足し合わせろという意味である。<br> たとえば、<math>A=\{1,2,3\}</math> のとき、<math>\sum_{i \in A}</math> と <math>\sum_{i=1}^{3}</math> は同じ意味である。 2次正方行列<math> A = \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} </math>の行列式を求めてみよう。<br> 行列式の定義に当てはめると、<math>\|A\| = \sum _{\sigma \in S_2} \sgn(\sigma) a _{1, \sigma (1)} a _{n, \sigma (2)}</math> である。<br> <math>S_2 = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \right\},\ \sgn \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = 1,\ \sgn \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = -1</math><br> であるから行列式は <math>ad-bc</math> である。 3次の行列式では、 <math> \det A = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - afh - bdi -ceg </math> となる。 [[File:Schema sarrus-regel.png\|alt=\|thumb\|サラスの方法: 左三列の行列式は、赤線で結んだ斜め三項の積の和から青線で結んだ逆斜め三項の積の和を引いたものになる。]] これは、「Sarrus(サラス)の展開」または「Sarrusの方法」、「たすきがけの法」と呼ぶもので、右図のように斜めに数を乗じたものの和と考えることができる。例えば、第1項 <math>aei</math> は、1行1列の <math>a</math> から、3行3列の <math>i</math> までを右下に向かって順に乗じたものに等しい。また、次の <math>bfg</math> は、1行2列の <math>b</math> から始めて、右下に向かって順に乗じたものに等しい。2行3列の <math>f</math> の次は端を突き抜けて、3行1列の <math>g</math> に至る。第3項も同様である。 4から6番目の項は、右下に向かってではなく左下（右図では右上）に向かって乗じて、符号を反転したものである。 <math>4 \times 4</math> 以降の行列ではこのような簡単な計算法は得られない。項の数は <math>n \times n</math> 行列で <math>n!</math> 個であるため、大きな行列について計算機を使わずに行列式を計算するのは困難である。 ===行列式の基本性質=== 行列式について成り立つ性質のうち、以下の4つは基本的である。 #<math>\begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i} + a_{1,i}' & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i} + a_{n,i}' & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i}' & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i}' & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} </math> #<math>\begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & c a_{1,i} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & c a_{n,i} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} = c \begin{vmatrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,i} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} </math> #<math>\begin{vmatrix}a_{1,1} & \cdots & a_{1,i} & \cdots & a_{1,j} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots& \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,i} & \cdots & a_{n,j} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix}a_{1,1} & \cdots & a_{1,j} & \cdots & a_{1,i} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots& \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,j} & \cdots & a_{n,i} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{vmatrix}</math> #単位行列の行列式は1。 1. と 2. の性質を合わせて「列についての'''多重線型性'''」という。3. の性質は「列についての'''交代性'''」という。一般に任意の正方行列 <math>A</math> について<math>\|A\|=\|{}^t\!A\|</math> であるから、これらの性質は行についても成り立つ。 ; 証明 #<math>\sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots (a_{i,\sigma(i)} + a_{i,\sigma(i)}') \cdots a_{n,\sigma(n)} = \sum_{\sigma \in S_n} (\sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{i,\sigma(i)} \cdots a_{n,\sigma(n)} + \sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{i,\sigma(i)}' \cdots a_{n,\sigma(n)})</math><br><math> = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{i,\sigma(i)} \cdots a_{n,\sigma(n)} + \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{i,\sigma(i)}' \cdots a_{n,\sigma(n)}.</math> よって証明された。 #<math>\sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots c a_{i,\sigma(i)} \cdots a_{n,\sigma(n)} = c \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{i,\sigma(i)} \cdots a_{n,\sigma(n)}.</math> よって証明された。 # n次の置換 <math>\sigma</math> に <math>i,j</math> の互換を合成した置換を <math>\tau</math> とする。このとき <math>\sigma(i)=\tau(j),\ \sigma(j)=\tau(i),\ \sigma(k)=\tau(k)\ (k\neq i,j)</math> である。もし <math>\sigma</math> が奇置換であれば <math>\tau</math> は偶置換、<math>\sigma</math> が偶置換であれば <math>\tau</math> は奇置換であるから <math>\sgn(\tau) = - \sgn(\sigma)</math> である。ゆえに<br><math> \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a_{1,\sigma(1)} \cdots a_{i,\sigma(i)} \cdots a_{j,\sigma(j)} \cdots a_{n,\sigma(n)} = \sum_{\tau \in S_n} (- \sgn(\tau)) a_{1,\tau(1)} \cdots a_{i,\tau(j)} \cdots a_{j,\tau(i)} \cdots a_{n,\tau(n)}</math><br><math> = - \sum_{\tau \in S_n} \sgn(\tau) a_{1,\tau(1)} \cdots a_{i,\tau(i)} \cdots a_{j,\tau(j)} \cdots a_{n,\tau(n)}.</math> よって証明された。 # 行列式を計算すると、対角成分の積の項が1、それ以外の項は0になることから直ちに得られる。 : (転置についての不変性)　任意の置換とその逆置換について符号は等しいから、<math>\tau = \sigma^{-1}</math> として以下のように示される。 :: <math>\|{}^t\!A\| = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma) a_{\sigma(1),1} \cdots a_{\sigma(n),n} = \sum_{\sigma \in S_n} \sgn(\sigma^{-1}) a_{1,\sigma^{-1}(1)} \cdots a_{n,\sigma^{-1}(n)} = \sum_{\tau \in S_n} \sgn(\tau) a_{1,\tau(1)} \cdots a_{n,\tau(n)} = \|A\|.</math> 任意の正方行列に対してある実数を対応付ける作用のうち、この4つの性質を全て満たすのは行列式だけであり、この性質を定義として行列式を導出できる。 {{ナビゲーション\|本=[[線型代数学]]\|前ページ=[[線型代数学/線型方程式の解\|線型方程式の解]]\|ページ名=行列式\|次ページ=[[線形代数学/余因子行列\|余因子行列]]}} [[Category:線形代数学\|きようれつしき]]	null	2021-03-09T12:38:08Z	[ "テンプレート:ナビゲーション" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F
2,013	線形代数学/余因子行列	正方行列 A {\displaystyle A} に対して、行列の i {\displaystyle i} 行目と j {\displaystyle j} 列目を取り除いて得られる行列を A i j {\displaystyle A_{ij}} と表す。このとき、 a ~ i j = ( − 1 ) i + j \| A i j \| {\displaystyle {\tilde {a}}_{ij}=(-1)^{i+j}\|A_{ij}\|} を A {\displaystyle A} の ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 余因子という。 ( 5 0 8 1 9 3 7 5 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}5&0&8\\1&9&3\\7&5&2\end{pmatrix}}} の ( 2 , 2 ) {\displaystyle (2,2)} 余因子は、 ( − 1 ) 2 + 2 \| 5 8 7 2 \| = − 46 {\displaystyle (-1)^{2+2}{\begin{vmatrix}5&8\\7&2\end{vmatrix}}=-46} である。次のように、余因子を利用することで、行列式を求めることができる。 \| A \| = a j 1 a ~ j 1 + a j 2 a ~ j 2 + ⋯ + a j n a ~ j n ( 1 ≤ j ≤ n ) {\displaystyle \|A\|=a_{j1}{\tilde {a}}_{j1}+a_{j2}{\tilde {a}}_{j2}+\cdots +a_{jn}{\tilde {a}}_{jn}(1\leq j\leq n)} \| A \| = a 1 i a ~ 1 i + a 2 i a ~ 2 i + ⋯ + a n i a ~ n i ( 1 ≤ i ≤ n ) {\displaystyle \|A\|=a_{1i}{\tilde {a}}_{1i}+a_{2i}{\tilde {a}}_{2i}+\cdots +a_{ni}{\tilde {a}}_{ni}(1\leq i\leq n)} ただし、 A {\displaystyle A} は n {\displaystyle n} 次正方行列である。これを、余因子展開という。証明 A = ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}} とする、このとき、である、ここで、行列 A {\displaystyle A} の j {\displaystyle j} 列目 ( a 1 j a 2 j ⋮ a n j ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1j}\\a_{2j}\\\vdots \\a_{nj}\end{pmatrix}}} は、 a 1 j ( 1 0 ⋮ 0 ) + a 2 j ( 0 1 ⋮ 0 ) + ⋯ + a n j ( 0 0 ⋮ 1 ) {\displaystyle a_{1j}{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+a_{2j}{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +a_{nj}{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}} と表すことができ、 (1)式は、 \| ( a 11 a 21 ⋮ a n 1 ) , ⋯ , a 1 j ( 1 0 ⋮ 0 ) + a 2 j ( 0 1 ⋮ 0 ) + ⋯ + a n j ( 0 0 ⋮ 1 ) , ⋯ , ( a n 1 a n 2 ⋮ a n n ) \| {\displaystyle \left\|{\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots \\a_{n1}\end{pmatrix}},\cdots ,a_{1j}{\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+a_{2j}{\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}}+\cdots +a_{nj}{\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}a_{n1}\\a_{n2}\\\vdots \\a_{nn}\end{pmatrix}}\right\|} と、表すことができる。これに、行列式の性質を使えば、 a 1 j \| a 11 ⋯ 1 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ 0 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 0 ⋯ a n n \| + a 2 j \| a 11 ⋯ 0 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ 1 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 0 ⋯ a n n \| + ⋯ + a n j \| a 11 ⋯ 0 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ 0 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 1 ⋯ a n n \| ⋯ ( 2 ) {\displaystyle a_{1j}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &1&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &0&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}+a_{2j}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &0&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &1&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &0&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}+\cdots +a_{nj}{\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &0&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &1&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}\cdots (2)} である。ここで、 \| a 11 ⋯ 0 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ 0 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a i 1 ⋯ 1 ⋯ a i n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 0 ⋯ a n n \| {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots &0&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}&\cdots &1&\cdots &a_{in}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &0&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}} について考える。この行列の i {\displaystyle i} 行目と、 i − 1 {\displaystyle i-1} 行目を入れ替る。 i − 1 {\displaystyle i-1} 行目と、 i − 2 {\displaystyle i-2} 行目を入れ替える。・・・ 2 {\displaystyle 2} 行目と、 1 {\displaystyle 1} 行目を入れ替える。という操作をすると、次のような行列になる。 ( − 1 ) i − 1 \| a i 1 ⋯ 1 ⋯ a i n a 11 ⋯ 0 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ 0 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a i − 1 , 1 ⋯ 0 ⋯ a i − 1 , n a i + 1 , 1 ⋯ 0 ⋯ a i + 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 0 ⋯ a n n \| {\displaystyle (-1)^{i-1}{\begin{vmatrix}a_{i1}&\cdots &1&\cdots &a_{in}\\a_{11}&\cdots &0&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&\cdots &0&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i-1,1}&\cdots &0&\cdots &a_{i-1,n}\\a_{i+1,1}&\cdots &0&\cdots &a_{i+1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &0&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}} 行列の行または列を入れ替えると、行列式の値は − 1 {\displaystyle -1} 倍されるのだった。この操作では、 i − 1 {\displaystyle i-1} 回の入れ替えを行うので、この式は、 ( − 1 ) i − 1 {\displaystyle (-1)^{i-1}} 倍されている。次に、同じように、 j {\displaystyle j} 列目と、 j − 1 {\displaystyle j-1} 列目を入れ替える。 j − 1 {\displaystyle j-1} 列目と、 j − 2 {\displaystyle j-2} 列目を入れ替える。・・・ 2 {\displaystyle 2} 列目と、 1 {\displaystyle 1} 列目を入れ替える。という操作をする。すると、次のような行列になる。 ( − 1 ) i + j \| 1 a i 1 ⋯ a i , j − 1 a i , j + 1 ⋯ a i n 0 a 11 ⋯ a 1 , j − 1 a 1 , j + 1 ⋯ a 1 n 0 a 12 ⋯ a 2 , j − 1 a 2 , j + 1 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 a i − 1 , 1 ⋯ a i − 1 , j − 1 a i − 1 , j + 1 ⋯ a i − 1 , n 0 a i + 1 , 1 ⋯ a i + 1 , j − 1 a i + 1 , j + 1 ⋯ a i + 1 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 a n 1 ⋯ a n , j − 1 a n , j + 1 ⋯ a n n \| {\displaystyle (-1)^{i+j}{\begin{vmatrix}1&a_{i1}&\cdots &a_{i,j-1}&a_{i,j+1}&\cdots &a_{in}\\0&a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\0&a_{12}&\cdots &a_{2,j-1}&a_{2,j+1}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{i-1,1}&\cdots &a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots &a_{i-1,n}\\0&a_{i+1,1}&\cdots &a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots &a_{i+1,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}}} ( − 1 ) i + j − 2 = ( − 1 ) i + j {\displaystyle (-1)^{i+j-2}=(-1)^{i+j}} であることについての説明は不要であろう。これを、行列式の定義に従って展開する。一行目で、(1,1)要素を選ばない項は、いずれ、一列目の0を選ぶので、0となる。なので、一行目で、(1,1)要素を選ぶ項だけを考えれば良いが、これは、 \| A i , j \| {\displaystyle \|A_{i,j}\|} と一致する。よって、この行列式は、 ( − 1 ) i + j \| A i j \| = a ~ i j {\displaystyle (-1)^{i+j}\|A_{ij}\|={\tilde {a}}_{ij}} である。これを、(2)式に代入すれば、 \| A \| = a j 1 a ~ j 1 + a j 2 a ~ j 2 + ⋯ + a j n a ~ j n {\displaystyle \|A\|=a_{j1}{\tilde {a}}_{j1}+a_{j2}{\tilde {a}}_{j2}+\cdots +a_{jn}{\tilde {a}}_{jn}} となり、証明された。これと同様の議論を行にも行えば、もう一方の式も導くことができる。 A ~ = ( a ~ j , i ) {\displaystyle {\tilde {A}}=({\tilde {a}}_{j,i})} をAの余因子行列という。余因子行列には、以下の性質がある。証明 A ~ A = ( a ~ 11 ⋯ a ~ m 1 ⋮ ⋱ ⋮ a ~ 1 n ⋯ a ~ m n ) ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a m n ) {\displaystyle {\tilde {A}}A={\begin{pmatrix}{\tilde {a}}_{11}&\cdots &{\tilde {a}}_{m1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\tilde {a}}_{1n}&\cdots &{\tilde {a}}_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}} なので、行列 A ~ A {\displaystyle {\tilde {A}}A} の ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 成分は、 a 1 i a ~ 1 j + a 2 i a ~ 2 j + ⋯ + a n i a ~ n j ⋯ ( 1 ) {\displaystyle a_{1i}{\tilde {a}}_{1j}+a_{2i}{\tilde {a}}_{2j}+\cdots +a_{ni}{\tilde {a}}_{nj}\cdots (1)} である。 (i) i = j {\displaystyle i=j} のとき (ii) i ≠ j {\displaystyle i\neq j} のときまとめると、 a 1 i a ~ 1 j + a 2 i a ~ 2 j + ⋯ + a n i a ~ n j = { \| A \| ( i = j ) 0 ( i ≠ j ) {\displaystyle a_{1i}{\tilde {a}}_{1j}+a_{2i}{\tilde {a}}_{2j}+\cdots +a_{ni}{\tilde {a}}_{nj}={\begin{cases}\|A\|(i=j)\\0(i\neq j)\\\end{cases}}} である。よって A ~ A = \| A \| E {\displaystyle {\tilde {A}}A=\|A\|E} である。同様の議論を行えば、 A A ~ = \| A \| E {\displaystyle A{\tilde {A}}=\|A\|E} も導くことができる。 \| A \| ≠ 0 {\displaystyle \|A\|\neq 0} のとき A − 1 {\displaystyle A^{-1}} が存在するので、 A ~ A = \| A \| E {\displaystyle {\tilde {A}}A=\|A\|E} に A − 1 {\displaystyle A^{-1}} を右からかけ \| A \| {\displaystyle \|A\|} で割れば、 A − 1 = A ~ \| A \| {\displaystyle A^{-1}={\frac {\tilde {A}}{\|A\|}}} である事がわかる。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "正方行列 A {\\displaystyle A} に対して、行列の i {\\displaystyle i} 行目と j {\\displaystyle j} 列目を取り除いて得られる行列を A i j {\\displaystyle A_{ij}} と表す。このとき、", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "a ~ i j = ( − 1 ) i + j \| A i j \| {\\displaystyle {\\tilde {a}}_{ij}=(-1)^{i+j}\|A_{ij}\|} を A {\\displaystyle A} の ( i , j ) {\\displaystyle (i,j)} 余因子という。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "( 5 0 8 1 9 3 7 5 2 ) {\\displaystyle {\\begin{pmatrix}5&0&8\\\\1&9&3\\\\7&5&2\\end{pmatrix}}} の ( 2 , 2 ) {\\displaystyle (2,2)} 余因子は、 ( − 1 ) 2 + 2 \| 5 8 7 2 \| = − 46 {\\displaystyle (-1)^{2+2}{\\begin{vmatrix}5&8\\\\7&2\\end{vmatrix}}=-46} である。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "次のように、余因子を利用することで、行列式を求めることができる。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "\| A \| = a j 1 a ~ j 1 + a j 2 a ~ j 2 + ⋯ + a j n a ~ j n ( 1 ≤ j ≤ n ) {\\displaystyle \|A\|=a_{j1}{\\tilde {a}}_{j1}+a_{j2}{\\tilde {a}}_{j2}+\\cdots +a_{jn}{\\tilde {a}}_{jn}(1\\leq j\\leq n)}", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "\| A \| = a 1 i a ~ 1 i + a 2 i a ~ 2 i + ⋯ + a n i a ~ n i ( 1 ≤ i ≤ n ) {\\displaystyle \|A\|=a_{1i}{\\tilde {a}}_{1i}+a_{2i}{\\tilde {a}}_{2i}+\\cdots +a_{ni}{\\tilde {a}}_{ni}(1\\leq i\\leq n)}", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "ただし、 A {\\displaystyle A} は n {\\displaystyle n} 次正方行列である。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "これを、余因子展開という。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "証明", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "A = ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ) 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,a_{1j}{\\begin{pmatrix}1\\\\0\\\\\\vdots \\\\0\\end{pmatrix}}+a_{2j}{\\begin{pmatrix}0\\\\1\\\\\\vdots \\\\0\\end{pmatrix}}+\\cdots +a_{nj}{\\begin{pmatrix}0\\\\0\\\\\\vdots \\\\1\\end{pmatrix}},\\cdots ,{\\begin{pmatrix}a_{n1}\\\\a_{n2}\\\\\\vdots \\\\a_{nn}\\end{pmatrix}}\\right\|} と、表すことができる。これに、行列式の性質を使えば、 a 1 j \| a 11 ⋯ 1 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ 0 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 0 ⋯ a n n \| + a 2 j \| a 11 ⋯ 0 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ 1 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 0 ⋯ a n n \| + ⋯ + a n j \| a 11 ⋯ 0 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ 0 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 1 ⋯ a n n \| ⋯ ( 2 ) {\\displaystyle a_{1j}{\\begin{vmatrix}a_{11}&\\cdots &1&\\cdots &a_{1n}\\\\a_{21}&\\cdots &0&\\cdots &a_{2n}\\\\\\vdots &\\ddots &\\vdots &\\ddots &\\vdots \\\\a_{n1}&\\cdots &0&\\cdots &a_{nn}\\end{vmatrix}}+a_{2j}{\\begin{vmatrix}a_{11}&\\cdots &0&\\cdots &a_{1n}\\\\a_{21}&\\cdots &1&\\cdots &a_{2n}\\\\\\vdots &\\ddots &\\vdots &\\ddots &\\vdots \\\\a_{n1}&\\cdots &0&\\cdots &a_{nn}\\end{vmatrix}}+\\cdots +a_{nj}{\\begin{vmatrix}a_{11}&\\cdots &0&\\cdots &a_{1n}\\\\a_{21}&\\cdots &0&\\cdots &a_{2n}\\\\\\vdots &\\ddots &\\vdots &\\ddots &\\vdots \\\\a_{n1}&\\cdots &1&\\cdots &a_{nn}\\end{vmatrix}}\\cdots (2)} である。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "ここで、 \| a 11 ⋯ 0 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ 0 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a i 1 ⋯ 1 ⋯ a i n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 0 ⋯ a n n \| {\\displaystyle {\\begin{vmatrix}a_{11}&\\cdots &0&\\cdots &a_{1n}\\\\a_{21}&\\cdots &0&\\cdots &a_{2n}\\\\\\vdots &\\ddots &\\vdots &\\ddots &\\vdots \\\\a_{i1}&\\cdots &1&\\cdots &a_{in}\\\\\\vdots &\\ddots &\\vdots &\\ddots &\\vdots \\\\a_{n1}&\\cdots &0&\\cdots &a_{nn}\\end{vmatrix}}} について考える。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "この行列の i {\\displaystyle i} 行目と、 i − 1 {\\displaystyle i-1} 行目を入れ替る。 i − 1 {\\displaystyle i-1} 行目と、 i − 2 {\\displaystyle i-2} 行目を入れ替える。・・・ 2 {\\displaystyle 2} 行目と、 1 {\\displaystyle 1} 行目を入れ替える。という操作をすると、次のような行列になる。 ( − 1 ) i − 1 \| a i 1 ⋯ 1 ⋯ a i n a 11 ⋯ 0 ⋯ a 1 n a 21 ⋯ 0 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a i − 1 , 1 ⋯ 0 ⋯ a i − 1 , n a i + 1 , 1 ⋯ 0 ⋯ a i + 1 , n ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ 0 ⋯ a n n \| {\\displaystyle (-1)^{i-1}{\\begin{vmatrix}a_{i1}&\\cdots &1&\\cdots &a_{in}\\\\a_{11}&\\cdots &0&\\cdots &a_{1n}\\\\a_{21}&\\cdots &0&\\cdots &a_{2n}\\\\\\vdots &\\ddots &\\vdots &\\ddots &\\vdots \\\\a_{i-1,1}&\\cdots &0&\\cdots &a_{i-1,n}\\\\a_{i+1,1}&\\cdots &0&\\cdots &a_{i+1,n}\\\\\\vdots &\\ddots &\\vdots &\\ddots &\\vdots \\\\a_{n1}&\\cdots &0&\\cdots &a_{nn}\\end{vmatrix}}}", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "行列の行または列を入れ替えると、行列式の値は − 1 {\\displaystyle -1} 倍されるのだった。この操作では、 i − 1 {\\displaystyle i-1} 回の入れ替えを行うので、この式は、 ( − 1 ) i − 1 {\\displaystyle (-1)^{i-1}} 倍されている。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "次に、同じように、 j {\\displaystyle j} 列目と、 j − 1 {\\displaystyle j-1} 列目を入れ替える。 j − 1 {\\displaystyle j-1} 列目と、 j − 2 {\\displaystyle j-2} 列目を入れ替える。・・・ 2 {\\displaystyle 2} 列目と、 1 {\\displaystyle 1} 列目を入れ替える。という操作をする。すると、次のような行列になる。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "( − 1 ) i + j \| 1 a i 1 ⋯ a i , j − 1 a i , j + 1 ⋯ a i n 0 a 11 ⋯ a 1 , j − 1 a 1 , j + 1 ⋯ a 1 n 0 a 12 ⋯ a 2 , j − 1 a 2 , j + 1 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 a i − 1 , 1 ⋯ a i − 1 , j − 1 a i − 1 , j + 1 ⋯ a i − 1 , n 0 a i + 1 , 1 ⋯ a i + 1 , j − 1 a i + 1 , j + 1 ⋯ a i + 1 , n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 a n 1 ⋯ a n , j − 1 a n , j + 1 ⋯ a n n \| {\\displaystyle (-1)^{i+j}{\\begin{vmatrix}1&a_{i1}&\\cdots &a_{i,j-1}&a_{i,j+1}&\\cdots &a_{in}\\\\0&a_{11}&\\cdots &a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\\cdots &a_{1n}\\\\0&a_{12}&\\cdots &a_{2,j-1}&a_{2,j+1}&\\cdots &a_{2n}\\\\\\vdots &\\vdots &\\ddots &\\vdots &\\vdots &\\ddots &\\vdots \\\\0&a_{i-1,1}&\\cdots &a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\\cdots &a_{i-1,n}\\\\0&a_{i+1,1}&\\cdots &a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\\cdots &a_{i+1,n}\\\\\\vdots &\\vdots &\\ddots &\\vdots &\\vdots &\\ddots &\\vdots \\\\0&a_{n1}&\\cdots &a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\\cdots &a_{nn}\\end{vmatrix}}}", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "( − 1 ) i + j − 2 = ( − 1 ) i + j {\\displaystyle (-1)^{i+j-2}=(-1)^{i+j}} であることについての説明は不要であろう。これを、行列式の定義に従って展開する。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "一行目で、(1,1)要素を選ばない項は、いずれ、一列目の0を選ぶので、0となる。なので、一行目で、(1,1)要素を選ぶ項だけを考えれば良いが、これは、 \| A i , j \| {\\displaystyle \|A_{i,j}\|} と一致する。よって、この行列式は、 ( − 1 ) i + j \| A i j \| = a ~ i j {\\displaystyle (-1)^{i+j}\|A_{ij}\|={\\tilde {a}}_{ij}} である。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "これを、(2)式に代入すれば、 \| A \| = a j 1 a ~ j 1 + a j 2 a ~ j 2 + ⋯ + a j n a ~ j n {\\displaystyle \|A\|=a_{j1}{\\tilde {a}}_{j1}+a_{j2}{\\tilde {a}}_{j2}+\\cdots +a_{jn}{\\tilde {a}}_{jn}} となり、証明された。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "これと同様の議論を行にも行えば、もう一方の式も導くことができる。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "A ~ = ( a ~ j , i ) {\\displaystyle {\\tilde {A}}=({\\tilde {a}}_{j,i})} をAの余因子行列という。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "余因子行列には、以下の性質がある。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "証明", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "A ~ A = ( a ~ 11 ⋯ a ~ m 1 ⋮ ⋱ ⋮ a ~ 1 n ⋯ a ~ m n ) ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a m n ) {\\displaystyle {\\tilde {A}}A={\\begin{pmatrix}{\\tilde {a}}_{11}&\\cdots &{\\tilde {a}}_{m1}\\\\\\vdots &\\ddots &\\vdots \\\\{\\tilde {a}}_{1n}&\\cdots &{\\tilde {a}}_{mn}\\end{pmatrix}}{\\begin{pmatrix}a_{11}&\\cdots &a_{1n}\\\\\\vdots &\\ddots &\\vdots \\\\a_{n1}&\\cdots &a_{mn}\\end{pmatrix}}} なので、行列 A ~ A {\\displaystyle {\\tilde {A}}A} の ( i , j ) {\\displaystyle (i,j)} 成分は、", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "a 1 i a ~ 1 j + a 2 i a ~ 2 j + ⋯ + a n i a ~ n j ⋯ ( 1 ) {\\displaystyle a_{1i}{\\tilde {a}}_{1j}+a_{2i}{\\tilde {a}}_{2j}+\\cdots +a_{ni}{\\tilde {a}}_{nj}\\cdots (1)} である。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "(i) i = j {\\displaystyle i=j} のとき", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "(ii) i ≠ j {\\displaystyle i\\neq j} のとき", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "まとめると、 a 1 i a ~ 1 j + a 2 i a ~ 2 j + ⋯ + a n i a ~ n j = { \| A \| ( i = j ) 0 ( i ≠ j ) {\\displaystyle a_{1i}{\\tilde {a}}_{1j}+a_{2i}{\\tilde {a}}_{2j}+\\cdots +a_{ni}{\\tilde {a}}_{nj}={\\begin{cases}\|A\|(i=j)\\\\0(i\\neq j)\\\\\\end{cases}}} である。よって A ~ A = \| A \| E {\\displaystyle {\\tilde {A}}A=\|A\|E} である。同様の議論を行えば、 A A ~ = \| A \| E {\\displaystyle A{\\tilde {A}}=\|A\|E} も導くことができる。", "title": "余因子行列" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "\| A \| ≠ 0 {\\displaystyle \|A\|\\neq 0} のとき A − 1 {\\displaystyle A^{-1}} が存在するので、 A ~ A = \| A \| E {\\displaystyle {\\tilde {A}}A=\|A\|E} に A − 1 {\\displaystyle A^{-1}} を右からかけ \| A \| {\\displaystyle \|A\|} で割れば、 A − 1 = A ~ \| A \| {\\displaystyle A^{-1}={\\frac {\\tilde {A}}{\|A\|}}} である事がわかる。", "title": "余因子行列" } ]	null	{{ナビゲーション\|本=[[線型代数学]]\|前ページ=[[線形代数学/行列式\|行列式]]\|ページ名=余因子行列\|次ページ=[[線型代数学/クラメルの公式\|クラメルの公式]]}} ==余因子行列== ===余因子=== 正方行列<math>A</math>に対して、行列の<math>i</math>行目と<math>j</math>列目を取り除いて得られる行列を<math>A_{ij}</math>と表す。このとき、 <math>\tilde a_{ij} = (-1)^{i+j} \| A_{ij} \|</math> を<math>A</math>の<math>(i,j)</math>'''余因子'''という。 ;例 <math>\begin{pmatrix} 5 & 0 & 8 \\ 1 & 9 & 3 \\ 7 & 5 & 2 \end{pmatrix}</math> の<math>(2,2)</math>余因子は、<math>(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 5 & 8 \\ 7 & 2 \end{vmatrix} = -46</math>である。 ===余因子展開=== 次のように、余因子を利用することで、行列式を求めることができる。 <math>\|A\| = a_{j1} \tilde a_{j1} + a_{j2} \tilde a_{j2} + \cdots + a_{jn} \tilde a_{jn} (1 \le j \le n)</math> <math>\|A\| = a_{1i} \tilde a_{1i} + a_{2i} \tilde a_{2i} + \cdots + a_{ni} \tilde a_{ni} (1\le i \le n)</math> ただし、<math>A</math>は<math>n</math>次正方行列である。これを、'''余因子展開'''という。 '''証明''' <math>A = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}</math> とする、このとき、 :<math>\|A\| = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}</math> である、ここで、行列<math>A</math>の<math>j</math>列目<math>\begin{pmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{nj} \end{pmatrix}</math>は、 <math>a_{1j} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + a_{2j} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + a_{nj} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix} </math>と表すことができ、 (1)式は、 <math> \left\| \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{n1} \end{pmatrix}, \cdots, a_{1j} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + a_{2j} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} + \cdots + a_{nj} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}, \cdots, \begin{pmatrix}a_{n1} \\ a_{n2} \\ \vdots \\ a_{nn} \end{pmatrix} \right\| </math>と、表すことができる。これに、行列式の性質を使えば、 <math> a_{1j} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & 1 &\cdots& a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{nn} \end{vmatrix} + a_{2j} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & 1 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{nn} \end{vmatrix} + \cdots + a_{nj} \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 1 &\cdots& a_{nn} \end{vmatrix} \cdots (2) </math> である。ここで、<math>\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{i1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{nn} \end{vmatrix}</math>について考える。この行列の<math>i</math>行目と、<math>i-1</math>行目を入れ替る。<math>i-1</math>行目と、<math>i-2</math>行目を入れ替える。・・・<math>2</math>行目と、<math>1</math>行目を入れ替える。という操作をすると、次のような行列になる。 <math> (-1)^{i-1} \begin{vmatrix} a_{i1} & \cdots & 1 & \cdots & a_{in} \\ a_{11} & \cdots & 0 &\cdots& a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & 0 & \cdots& a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{i-1,1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{i-1,n} \\ a_{i+1,1} & \cdots & 0 & \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & 0 &\cdots& a_{nn} \end{vmatrix} </math> 行列の行または列を入れ替えると、行列式の値は<math>-1</math>倍されるのだった。この操作では、<math>i-1</math>回の入れ替えを行うので、この式は、<math>(-1)^{i-1}</math>倍されている。次に、同じように、<math>j</math>列目と、<math>j-1</math>列目を入れ替える。<math>j-1</math>列目と、<math>j-2</math>列目を入れ替える。・・・<math>2</math>列目と、<math>1</math>列目を入れ替える。という操作をする。すると、次のような行列になる。<br> <math> (-1)^{i+j} \begin{vmatrix} 1 & a_{i1} & \cdots & a_{i,j-1}& a_{i,j+1}& \cdots & a_{in} \\ 0 & a_{11} & \cdots & a_{1,j-1}&a_{1,j+1}& \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{12} & \cdots & a_{2,j-1}&a_{2,j+1}& \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots& \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & a_{i-1,1} & \cdots & a_{i-1,j-1} & a_{i-1,j+1}& \cdots & a_{i-1,n} \\ 0 & a_{i+1,1} & \cdots & a_{i+1,j-1} & a_{i+1,j+1}& \cdots & a_{i+1,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & a_{n1} & \cdots & a_{n,j-1} & a_{n,j+1} & \cdots& a_{nn} \end{vmatrix} </math> <math>(-1)^{i+j-2}=(-1)^{i+j}</math>であることについての説明は不要であろう。これを、行列式の定義に従って展開する。一行目で、(1,1)要素を選ばない項は、いずれ、一列目の0を選ぶので、0となる。なので、一行目で、(1,1)要素を選ぶ項だけを考えれば良いが、これは、<math>\|A_{i,j}\|</math>と一致する。よって、この行列式は、<math>(-1)^{i+j} \|A_{ij}\| = \tilde a_{ij}</math>である。これを、(2)式に代入すれば、<math>\|A\| = a_{j1} \tilde a_{j1} + a_{j2} \tilde a_{j2} + \cdots + a_{jn} \tilde a_{jn}</math>となり、証明された。これと同様の議論を行にも行えば、もう一方の式も導くことができる。 ===余因子行列=== <math>\tilde A = (\tilde a_{j,i})</math>をAの余因子行列という。余因子行列には、以下の性質がある。 :<math>A \tilde A = \tilde A A = \|A\|E</math> '''証明''' <math>\tilde A A = \begin{pmatrix} \tilde a_{11} & \cdots & \tilde a_{m1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \tilde a_{1n} & \cdots & \tilde a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}</math>なので、行列<math>\tilde A A</math>の<math>(i,j)</math>成分は、 <math>a_{1i} \tilde a_{1j} + a_{2i} \tilde a_{2j} + \cdots + a_{ni} \tilde a_{nj} \cdots (1)</math>である。 (i)<math>i=j</math>のとき :(1)式は、行列<math>A</math>の<math>i</math>列目に関して余因子展開をした式と一致するので、(1)式は<math>i=j</math>のとき、<math>\|A\|</math>である。<br> (ii)<math>i\neq j</math>のとき :行列<math>A</math>の<math>i</math>列目が行列<math>A</math>の<math>j</math>列目になっている行列の行列式について考える。この行列式は以下のようになる。<br> :<math> \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,i-1} & a_{1j} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2,i-1} & a_{2j} & a_{2,i+1} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,i-1} & a_{nj} & a_{n,i+1} & \cdots & a_{nj} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} </math> :この行列のi列目について、余因子展開を行うと、(1)式と一致する。 :同じ列がある行列の行列式は0になるのだった。なので、(1)式は、<math>i\neq j</math>のとき、0である。 <br> まとめると、<math>a_{1i} \tilde a_{1j} + a_{2i} \tilde a_{2j} + \cdots + a_{ni} \tilde a_{nj} = \begin{cases} \|A\| (i=j) \\ 0 (i \neq j) \\ \end{cases} </math>である。よって<math>\tilde A A = \|A\|E</math>である。同様の議論を行えば、<math>A \tilde A = \|A\|E</math>も導くことができる。 ===逆行列の計算=== <math>\|A\| \neq 0</math>のとき<math>A^{-1}</math>が存在するので、<math>\tilde A A = \|A\|E</math>に<math>A^{-1}</math>を右からかけ<math>\|A\|</math>で割れば、 <math>A^{-1} = \frac{\tilde A}{\|A\|}</math>である事がわかる。 {{ナビゲーション\|本=[[線型代数学]]\|前ページ=[[線形代数学/行列式\|行列式]]\|ページ名=余因子行列\|次ページ=[[線型代数学/クラメルの公式\|クラメルの公式]]}} [[Category:線形代数学\|せんけいたいすうかくよいんしきようれつ]]	null	2021-01-29T11:11:46Z	[ "テンプレート:ナビゲーション" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E4%BD%99%E5%9B%A0%E5%AD%90%E8%A1%8C%E5%88%97
2,014	線形代数学/逆行列の一般型	線型代数学 > 逆行列の一般型逆行列は、 A − 1 = 1 det A C {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}C} で書かれる。ここでCは、Aの余因子行列である。導出第l行について考える。(l = 1 , ... , n) このとき、l行l列について ACを考えると、 ∑ m = 1 n a l m c m l {\displaystyle \sum _{m=1}^{n}a_{lm}c_{ml}} = ∑ m = 1 n a l m ( − 1 ) m + l b l m {\displaystyle =\sum _{m=1}^{n}a_{lm}(-1)^{m+l}b_{lm}} , ( b l m {\displaystyle b_{lm}} は、行列Aの行l、列mに関する小行列式。) = det A {\displaystyle =\det A} (式の展開の逆) また、l行で、i列(i = 1, ... , n : l 以外) について ACを考えると、 ∑ m = 1 n a l m c m i {\displaystyle \sum _{m=1}^{n}a_{lm}c_{mi}} ∑ m = 1 n a l m ( − 1 ) m + i b i m {\displaystyle \sum _{m=1}^{n}a_{lm}(-1)^{m+i}b_{im}} これは、行列Aで、i行目をl行目で置き換えた行列の行列式に等しい。行列式で行列のうちのある行か、ある列が他の行か他の列と一致する場合、その2つの行または列からの寄与は必ず打ち消しあう。 (導出?) よってi列からの寄与は0に等しい。よって求める行列 ACは、 det ( A ) E {\displaystyle \det(A)E} となり、 1 det A C {\displaystyle {\frac {1}{\det A}}C} は、(CはAの余因子行列) Aの逆行列に等しいことが分る。実際にはこの計算は多くの計算量を必要とするので実用的な計算には用いられない。実用的な計算にはガウスの消去法が用いられることが多い。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "線型代数学 > 逆行列の一般型", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "逆行列は、", "title": "逆行列の一般型" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "A − 1 = 1 det A C {\\displaystyle A^{-1}={\\frac {1}{\\det A}}C} で書かれる。ここでCは、Aの余因子行列である。", "title": "逆行列の一般型" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "導出", "title": "逆行列の一般型" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "第l行について考える。(l = 1 , ... , n) このとき、l行l列について ACを考えると、 ∑ m = 1 n a l m c m l {\\displaystyle \\sum _{m=1}^{n}a_{lm}c_{ml}} = ∑ m = 1 n a l m ( − 1 ) m + l b l m {\\displaystyle =\\sum _{m=1}^{n}a_{lm}(-1)^{m+l}b_{lm}} , ( b l m {\\displaystyle b_{lm}} は、行列Aの行l、列mに関する小行列式。) = det A {\\displaystyle =\\det A} (式の展開の逆) また、l行で、i列(i = 1, ... , n : l 以外) について ACを考えると、 ∑ m = 1 n a l m c m i {\\displaystyle \\sum _{m=1}^{n}a_{lm}c_{mi}} ∑ m = 1 n a l m ( − 1 ) m + i b i m {\\displaystyle \\sum _{m=1}^{n}a_{lm}(-1)^{m+i}b_{im}} これは、行列Aで、i行目をl行目で置き換えた行列の行列式に等しい。行列式で行列のうちのある行か、ある列が他の行か他の列と一致する場合、その2つの行または列からの寄与は必ず打ち消しあう。 (導出?) よってi列からの寄与は0に等しい。よって求める行列 ACは、 det ( A ) E {\\displaystyle \\det(A)E} となり、 1 det A C {\\displaystyle {\\frac {1}{\\det A}}C} は、(CはAの余因子行列) Aの逆行列に等しいことが分る。", "title": "逆行列の一般型" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "実際にはこの計算は多くの計算量を必要とするので実用的な計算には用いられない。実用的な計算にはガウスの消去法が用いられることが多い。", "title": "逆行列の一般型" } ]	線型代数学 > 逆行列の一般型	<small> [[線型代数学]] > 逆行列の一般型 </small> ---- ==逆行列の一般型== 逆行列は、 <math> A^{-1} = \frac 1 {\det A} C </math> で書かれる。ここでCは、Aの余因子行列である。 '''導出''' 第''l''行について考える。(l = 1 , ... , n) このとき、l行l列について ACを考えると、 <math> \sum _{m=1} ^ n a _{lm} c _{ml} </math> <math> =\sum _{m=1} ^ n a _{lm} (-1)^{m+ l} b _{lm} </math>, (<math>b _{lm}</math>は、行列Aの行l、列mに関する小行列式。) <math> =\det A </math> (式の展開の逆) また、l行で、i列(i = 1, ... , n : l 以外) について ACを考えると、 <math> \sum _{m=1} ^ n a _{lm} c _{mi} </math> <math> \sum _{m=1} ^ n a _{lm} (-1)^{m+ i} b _{im} </math> これは、行列Aで、i行目をl行目で置き換えた行列の行列式に等しい。行列式で行列のうちのある行か、ある列が他の行か他の列と一致する場合、その2つの行または列からの寄与は必ず打ち消しあう。 (導出?) よってi列からの寄与は0に等しい。よって求める行列 ACは、 <math> \det (A ) E </math> となり、 <math> \frac 1 {\det A} C </math> は、(CはAの余因子行列) Aの逆行列に等しいことが分る。実際にはこの計算は多くの計算量を必要とするので実用的な計算には用いられない。実用的な計算にはガウスの消去法が用いられることが多い。 <!-- ガウスの消去法は計算機科学か線形代数か... --> <!-- 線形代数だろうな、やっぱり...。 --> [[Category:線形代数学\|きやくきようれつのいつはんけい]]	null	2015-09-13T05:59:54Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%BD%A2%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6/%E9%80%86%E8%A1%8C%E5%88%97%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%9E%8B
2,019	有機化学/アルカン	有機化学>アルカン炭素間に単結合のみを含む炭化水素をアルカン (alkane) という。などはすべてアルカンである。炭素原子が1個のアルカンの分子式は C H 4 {\displaystyle CH_{4}} である。同じように、炭素原子が2個のアルカンは C 2 H 6 {\displaystyle C_{2}H_{6}} 、3個なら C 3 H 8 {\displaystyle C_{3}H_{8}} 、4個で C 4 H 10 {\displaystyle C_{4}H_{10}} 、である。このようにアルカンは一般的に C n H 2 n + 2 {\displaystyle C_{n}H_{2n+2}} で表される。この式をアルカンの一般式という。この表から分かるとおり、アルカンの名前は「数」を表す部分と「アルカン」を表す「-ane」から成っている。分子式は同じであるが、構造や性質の異なる化合物を、互いに異性体と呼ぶ。異性体には、構造式の違う構造異性体と、構造式は同じだが立体構造の異なる立体異性体がある。構造異性体を単に異性体と呼ぶこともある。アルカンは、炭素原子が4個以上のとき構造異性体を持つ。そのため、同じ分子式を持つアルカンでも構造異性体同士で区別する必要がある。例えば、というアルカンを考える。まずこの中で一番長い炭素の鎖を探す。一番長いのは真ん中の列の炭素10個では無い。真ん中の列の左から9個と、9個目から上に3個の、合わせて12個が一番長い炭素の鎖である。これを主鎖という。このように主鎖は構造式のどこに書いてあるかは関係ない。主鎖が12個と決まったのでこのアルカンは「~ドデカン」で終わる。これ以外の炭素と水素の塊は、すべて置換基として扱われる。アルカンの置換基は、別の小さいアルカンから水素原子を一つ取り除いたものとして表せる。これをアルキル基(alkyl group)という。アルキル基の名称は、アルカンのaneをylに置き換えることで作る。左から2個目の炭素から出ている置換基はメタン(methane)から水素原子を一つ取り除いたものに等しいので、メチル(methyl)基ということになる。同様に、左から3個目の炭素から出ているのがエチル(ethyl)基、左から4個目の炭素から出ているのがプロピル(propyl)基、左から9番目の炭素から右に出ているのがメチル基である。これらをまずアルファベット順に並べる。すると、ethyl、methyl、propylの順になる。次に、エチル基から順に、主鎖の何番目の炭素に付いているかを示す。ここで、左から数えたので3番目という考え方と、右から数えたので10番目という考え方があるが、なるべく番号が少なくなるようにつける。よって、「3-エチル~」となる。次に、メチル基はふたつ付いているので、「ジ(di)メチル」という風にする。位置番号は、一度決めた番号は変えないので、「2,9-ジメチル」となる。文字と数字の間をハイフンでつなぐと、「3-エチル-2,9-ジメチル~」となる。最後にプロピル基は「4-プロピル」となるので、すべてをつないでこのアルカンの名前は「3-エチル-2,9-ジメチル-4-プロピルドデカン」となる。基が何個あるかはギリシャ語の数詞を使って表す。 1から10まで、順に、モノ (mono)・ジ (di)・トリ (tri)・テトラ (tetra)・ペンタ (penta)・ヘキサ (hexa)・ヘプタ (hepta)・オクタ (octa)・ノナ (nona)・デカ (deca)である。5から10まではアルカンの名称とも関係する。置換反応とは、原子(団)が他の原子(団)と置き換わる反応である。アルカンは、紫外線(日光)の存在下でハロゲンと連続的に置換反応を起こす。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "有機化学>アルカン", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "炭素間に単結合のみを含む炭化水素をアルカン (alkane) という。", "title": "アルカンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "などはすべてアルカンである。", "title": "アルカンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "炭素原子が1個のアルカンの分子式は C H 4 {\\displaystyle CH_{4}} である。同じように、炭素原子が2個のアルカンは C 2 H 6 {\\displaystyle C_{2}H_{6}} 、3個なら C 3 H 8 {\\displaystyle C_{3}H_{8}} 、4個で C 4 H 10 {\\displaystyle C_{4}H_{10}} 、である。このようにアルカンは一般的に C n H 2 n + 2 {\\displaystyle C_{n}H_{2n+2}} で表される。この式をアルカンの一般式という。", "title": "アルカンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "この表から分かるとおり、アルカンの名前は「数」を表す部分と「アルカン」を表す「-ane」から成っている。", "title": "アルカンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "分子式は同じであるが、構造や性質の異なる化合物を、互いに異性体と呼ぶ。異性体には、構造式の違う構造異性体と、構造式は同じだが立体構造の異なる立体異性体がある。構造異性体を単に異性体と呼ぶこともある。", "title": "アルカンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "アルカンは、炭素原子が4個以上のとき構造異性体を持つ。そのため、同じ分子式を持つアルカンでも構造異性体同士で区別する必要がある。", "title": "アルカンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "例えば、", "title": "アルカンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "というアルカンを考える。", "title": "アルカンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "まずこの中で一番長い炭素の鎖を探す。一番長いのは真ん中の列の炭素10個では無い。真ん中の列の左から9個と、9個目から上に3個の、合わせて12個が一番長い炭素の鎖である。これを主鎖という。このように主鎖は構造式のどこに書いてあるかは関係ない。", "title": "アルカンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "主鎖が12個と決まったのでこのアルカンは「~ドデカン」で終わる。これ以外の炭素と水素の塊は、すべて置換基として扱われる。アルカンの置換基は、別の小さいアルカンから水素原子を一つ取り除いたものとして表せる。これをアルキル基(alkyl group)という。アルキル基の名称は、アルカンのaneをylに置き換えることで作る。左から2個目の炭素から出ている置換基はメタン(methane)から水素原子を一つ取り除いたものに等しいので、メチル(methyl)基ということになる。同様に、左から3個目の炭素から出ているのがエチル(ethyl)基、左から4個目の炭素から出ているのがプロピル(propyl)基、左から9番目の炭素から右に出ているのがメチル基である。", "title": "アルカンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "これらをまずアルファベット順に並べる。すると、ethyl、methyl、propylの順になる。次に、エチル基から順に、主鎖の何番目の炭素に付いているかを示す。ここで、左から数えたので3番目という考え方と、右から数えたので10番目という考え方があるが、なるべく番号が少なくなるようにつける。よって、「3-エチル~」となる。", "title": "アルカンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "次に、メチル基はふたつ付いているので、「ジ(di)メチル」という風にする。位置番号は、一度決めた番号は変えないので、「2,9-ジメチル」となる。文字と数字の間をハイフンでつなぐと、「3-エチル-2,9-ジメチル~」となる。", "title": "アルカンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "最後にプロピル基は「4-プロピル」となるので、すべてをつないでこのアルカンの名前は「3-エチル-2,9-ジメチル-4-プロピルドデカン」となる。", "title": "アルカンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "基が何個あるかはギリシャ語の数詞を使って表す。 1から10まで、順に、モノ (mono)・ジ (di)・トリ (tri)・テトラ (tetra)・ペンタ (penta)・ヘキサ (hexa)・ヘプタ (hepta)・オクタ (octa)・ノナ (nona)・デカ (deca)である。5から10まではアルカンの名称とも関係する。", "title": "アルカンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "置換反応とは、原子(団)が他の原子(団)と置き換わる反応である。アルカンは、紫外線(日光)の存在下でハロゲンと連続的に置換反応を起こす。", "title": "置換反応" } ]	有機化学＞アルカン	[[有機化学]]＞アルカン == アルカンの定義と命名法 == === アルカンの定義 === 炭素間に単結合のみを含む炭化水素をアルカン (alkane) という。 H \| H-C-H \| H H H H \| \| \| H-C-C-C-H \| \| \| H H H H H H H \| \| \| \| H-C-C-C-C-H \| \| \| \| H \| H H H-C-H \| H などはすべてアルカンである。 === アルカンの一般式 === 炭素原子が1個のアルカンの分子式は<math>CH _4</math>である。<br> 同じように、炭素原子が2個のアルカンは<math>C _2 H _6</math>、3個なら<math>C _3 H _8</math>、4個で<math>C _4 H _{10}</math>、である。<br> このようにアルカンは一般的に<math>C _n H _{2n+2}</math>で表される。この式をアルカンの'''一般式'''という。 === 直鎖アルカンの命名法 === {\| class="wikitable" \|+ 直鎖アルカンの命名法 \|- ! 炭素数 !! 分子式 !! 綴り !! 読み \|- \| 1 \|\| <math>CH _4</math> \|\| methane \|\| メタン \|- \|- \| 2 \|\| <math>C _2 H _6</math> \|\| ethane \|\| エタン \|- \| 3 \|\| <math>C _3 H _8</math> \|\| propane \|\| プロパン \|- \| 4 \|\| <math>C _4 H _{10}</math> \|\| butane \|\| ブタン \|- \| 5 \|\| <math>C _5 H _{12}</math> \|\| pentane \|\| ペンタン \|- \| 6 \|\| <math>C _6 H _{14}</math> \|\| hexane \|\| ヘキサン \|- \| 7 \|\| <math>C _7 H _{16}</math> \|\| heptane \|\| ヘプタン \|- \| 8 \|\| <math>C _8 H _{18}</math> \|\| octane \|\| オクタン \|- \| 9 \|\| <math>C _9 H _{20}</math> \|\| nonane \|\| ノナン \|- \| 10 \|\| <math>C _{10} H _{22}</math> \|\| decane \|\| デカン \|- \| 11 \|\| <math>C _{11} H _{24}</math> \|\| undecane \|\| ウンデカン \|- \| 12 \|\| <math>C _{12} H _{26}</math> \|\| dodecane \|\| ドデカン \|} この表から分かるとおり、アルカンの名前は「数」を表す部分と「アルカン」を表す「-ane」から成っている。 === 異性体 === 分子式は同じであるが、構造や性質の異なる化合物を、互いに'''異性体'''と呼ぶ。異性体には、[[w:化学式\|構造式]]の違う'''構造異性体'''と、構造式は同じだが立体構造の異なる'''立体異性体'''がある。構造異性体を単に異性体と呼ぶこともある。 === アルカンの異性体 === アルカンは、炭素原子が4個以上のとき構造異性体を持つ。そのため、同じ分子式を持つアルカンでも構造異性体同士で区別する必要がある。 === 分岐のあるアルカンの命名法 === 例えば、 CH2-CH3 CH3-CH2-CH2 \| \| CH3-CH-CH-CH-CH2-CH2-CH2-CH2-CH-CH3 \| \| CH3 CH2-CH2-CH3 というアルカンを考える。まずこの中で一番長い炭素の鎖を探す。一番長いのは真ん中の列の炭素10個'''では無い'''。真ん中の列の左から9個と、9個目から上に3個の、合わせて12個が一番長い炭素の鎖である。これを主鎖という。このように'''主鎖は構造式のどこに書いてあるかは関係ない'''。主鎖が12個と決まったのでこのアルカンは「～ドデカン」で終わる。これ以外の炭素と水素の塊は、すべて[[有機化学基\|置換基]]として扱われる。アルカンの置換基は、別の小さいアルカンから水素原子を一つ取り除いたものとして表せる。これを'''アルキル基'''(alkyl group)という。アルキル基の名称は、アルカンのaneをylに置き換えることで作る。左から2個目の炭素から出ている置換基はメタン(methane)から水素原子を一つ取り除いたものに等しいので、メチル(methyl)基ということになる。同様に、左から3個目の炭素から出ているのがエチル(ethyl)基、左から4個目の炭素から出ているのがプロピル(propyl)基、左から9番目の炭素から右に出ているのがメチル基である。これらをまず'''アルファベット順'''に並べる。すると、ethyl、methyl、propylの順になる。次に、エチル基から順に、主鎖の何番目の炭素に付いているかを示す。ここで、左から数えたので3番目という考え方と、右から数えたので10番目という考え方があるが、'''なるべく番号が少なくなるように'''つける。よって、「3-エチル～」となる。次に、メチル基はふたつ付いているので、「ジ(di)メチル」という風にする。位置番号は、'''一度決めた番号は変えない'''ので、「2,9-ジメチル」となる。'''文字と数字の間をハイフンでつなぐ'''と、「3-エチル-2,9-ジメチル～」となる。最後にプロピル基は「4-プロピル」となるので、すべてをつないでこのアルカンの名前は「3-エチル-2,9-ジメチル-4-プロピルドデカン」となる。基が何個あるかはギリシャ語の数詞を使って表す。 1から10まで、順に、モノ (mono)・ジ (di)・トリ (tri)・テトラ (tetra)・ペンタ (penta)・ヘキサ (hexa)・ヘプタ (hepta)・オクタ (octa)・ノナ (nona)・デカ (deca)である。5から10まではアルカンの名称とも関係する。 == アルカンの性質 == 水には溶けにくいが、有機溶媒にはよく溶ける。常温では反応性に乏しい。酸塩基とは反応せず、酸化性・還元性もない。燃焼しやすく発熱量も大きい。 CH<sub>4</sub>＋2O<sub>2</sub>＝CO<sub>2</sub>＋2H<sub>2</sub>O＋890kJ == 置換反応 == 置換反応とは、原子(団)が他の原子(団)と置き換わる反応である。アルカンは、紫外線（日光）の存在下でハロゲンと連続的に置換反応を起こす。 CH<sub>4</sub>＋Cl<sub>2</sub>→CH<sub>3</sub>Cl＋HCl CH<sub>3</sub>Cl＋Cl<sub>2</sub>→CH<sub>2</sub>Cl<sub>2</sub>＋HCl CH<sub>2</sub>Cl<sub>2</sub>＋Cl<sub>2</sub>→CHCl<sub>3</sub>＋HCl *CHCl<sub>3</sub>＋Cl<sub>2</sub>→CCl<sub>4</sub>＋HCl == 外部リンク == {{Wikipedia\|アルカン}} [[カテゴリ:有機化学]] [[en:Organic Chemistry/Alkanes]]	null	2022-11-23T05:32:44Z	[ "テンプレート:Wikipedia" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%9C%89%E6%A9%9F%E5%8C%96%E5%AD%A6/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%AB%E3%83%B3
2,021	有機化学/基	有機化学>基基とは官能基や炭化水素基などひとまとまりの原子団を指す。アルカンからH原子を1個とりのぞいたものをアルキル基といい、アルカンの名前のaneをylに変えて命名する。エチレンからH原子を1個とりのぞいたものをビニル基という。芳香族炭化水素からH原子を1個とりのぞいたものをアリール基という。炭化水素基は一般に「R-」と表されることもある。ハロゲン原子も基として働く。ハロゲン原子が基として働く場合、ハロゲノ基といい、各々原子名と違う名前が与えられる。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "有機化学>基", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "基とは官能基や炭化水素基などひとまとまりの原子団を指す。", "title": "基とは何か" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "アルカンからH原子を1個とりのぞいたものをアルキル基といい、アルカンの名前のaneをylに変えて命名する。エチレンからH原子を1個とりのぞいたものをビニル基という。芳香族炭化水素からH原子を1個とりのぞいたものをアリール基という。", "title": "炭化水素基の種類" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "炭化水素基は一般に「R-」と表されることもある。", "title": "炭化水素基の種類" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "ハロゲン原子も基として働く。ハロゲン原子が基として働く場合、ハロゲノ基といい、各々原子名と違う名前が与えられる。", "title": "ハロゲノ基" } ]	有機化学＞基	[[有機化学]]＞基 ==基とは何か== 基とは[[有機化学#官能基と炭化水素基\|官能基や炭化水素基]]などひとまとまりの原子団を指す。 ==官能基の種類== ===酸素を含む化合物=== <table border="1" class="wikitable"> <tr><th colspan="2">官能基</th><th>化合物の一般名</th><th colspan="2">化合物の例</th></tr> <tr><td rowspan="2">ヒドロキシ基</td><td rowspan="2">－OH</td><td>[[有機化学_アルコール\|アルコール]]</td><td>メタノール</td><td>CH<sub>3</sub>－OH</td></tr> <tr><td>フェノール類</td><td>フェノール</td><td>C<sub>6</sub>H<sub>5</sub>－OH</td></tr> <tr><td>アルデヒド基</td><td>－CHO</td><td>[[有機化学_アルデヒド\|アルデヒド]]</td><td>アセトアルデヒド</td><td>CH<sub>3</sub>－CHO</td></tr> <tr><td>カルボニル基</td><td>＞CO</td><td>[[有機化学_ケトン\|ケトン]]</td><td>アセトン</td><td>CH<sub>3</sub>－CO－CH<sub>3</sub></td></tr> <tr><td>カルボキシ基</td><td>－COOH</td><td>[[有機化学_カルボン酸\|カルボン酸]]</td><td>酢酸</<td>CH<sub>3</sub>－COOH</td></tr> <tr><td>ニトロ基</td><td>－NO<sub>2</sub></td><td>ニトロ化合物</td><td>ニトロベンゼン</td><td>C<sub>6</sub>H<sub>5</sub>－NO<sub>2</sub></td></tr> <tr><td>アミノ基</td><td>－NH<sub>2</sub></td><td>アミン</td><td>アニリン</td><td>C<sub>6</sub>H<sub>5</sub>－NH<sub>2</sub></td></tr> <tr><td>スルホ基</td><td>－SO<sub>3</sub>H</td><td>スルホン酸</td><td>ベンゼンスルホン酸</td><td>C<sub>6</sub>H<sub>5</sub>－SO<sub>3</sub>H</td></tr> <tr><td>エーテル結合</td><td>－O－</td><td>[[有機化学_エーテル\|エーテル]]</td><td>ジメチルエーテル</td><td>CH<sub>3</sub>－O－CH<sub>3</sub></td></tr> <tr><td>エステル結合</td><td>－COO－</td><td>[[有機化学_エステル\|エステル]]</td><td>酢酸メチル</td><td>CH<sub>3</sub>－COO－CH<sub>3</sub></td></tr> </table> ==炭化水素基の種類== <table border="1" class="wikitable"> <tr><th>炭化水素基のグループ</th><th colspan="2">炭化水素基</th></tr> <tr><td rowspan="4">アルキル基</td><td>メチル基</td><td>CH<sub>3</sub>－</td></tr> <tr><td>エチル基</td><td>C<sub>2</sub>H<sub>5</sub>－</td></tr> <tr><td>(ノルマル)プロピル基</td><td>CH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>CH<sub>2</sub>－</td></tr> <tr><td>イソプロピル基</td><td>(CH<sub>3</sub>)<sub>2</sub>CH－</td></tr> <tr><td colspan="2">ビニル基</td><td>CH<sub>2</sub>＝CH－</td></tr> <tr><td rowspan="2">アリール基</td><td>フェニル基</td><td>C<sub>6</sub>H<sub>5</sub>－</td></tr> <tr><td>ナフチル基</td><td>C<sub>10</sub>H<sub>7</sub>－</td></tr> </table> [[有機化学_アルカン\|アルカン]]からH原子を1個とりのぞいたものをアルキル基といい、アルカンの名前のaneをylに変えて命名する。 [[有機化学_アルケン\|エチレン]]からH原子を1個とりのぞいたものをビニル基という。芳香族炭化水素からH原子を1個とりのぞいたものをアリール基という。炭化水素基は一般に「R－」と表されることもある。 ==ハロゲノ基== ハロゲン原子も基として働く。ハロゲン原子が基として働く場合、ハロゲノ基といい、各々原子名と違う名前が与えられる。 <table border="1" class="wikitable"> <tr><th>ハロゲノ基</th><th>名称</th><th>原子の英名</th></tr> <tr><td>F－</td><td>フルオロ基(Fluoro)</td><td>フルオリン(Fluorine)</td></tr> <tr><td>Cl－</td><td>クロロ基(Chloro)</td><td>クロリン(Chlorine)</td></tr> <tr><td>Br－</td><td>ブロモ基(Bromo)</td><td>ブロミン(Bromine)</td></tr> <tr><td>I－</td><td>ヨード基(Iodo)</td><td>ヨーディン(Iodine)</td></tr> <tr><td>At－</td><td>アスタト基(Astato)</td><td>アスタティン(Astatine)</td></tr> </table> [[カテゴリ:有機化学]]	null	2022-11-23T05:33:30Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%9C%89%E6%A9%9F%E5%8C%96%E5%AD%A6/%E5%9F%BA
2,022	有機化学/アルケン	有機化学>アルケン炭素間にπ結合を1つだけ含む脂肪族炭化水素をアルケン (alkene) という。アルケンは一般式CnH2nで表される。定義より、炭素原子が1つのアルケンは存在しない。アルカンの語尾aneをeneに変える。エテン (ethen)、プロペン (propene)、ブテン (buthene)、ペンテン (pentene)・・・但し、エテンは正式な名称(体系名)より、慣用名エチレン(ethylene)の方が良く使われる。プロペンも慣用名プロピレン(propylene)が体系名と同程度使われる。ブテン以上の長さのアルケンには、二重結合の位置による構造異性体が存在する。この場合と、二重結合が主鎖のどこにあるかを出来るだけ小さい番号によって表す。 CH2=CHCH2CH3「1-ブテン」 CH3CH=CHCH3「2-ブテン」ちなみにブテンの異性体にはCH2=C(CH3)2(2-メチルプロペン)も存在する。二重結合を持つ2つの炭素原子とそれに結合する4つの原子は同一平面上にあり、二重結合を軸にひねるように回転させることはできない。このため、二重結合を持つ両方の炭素原子にそれぞれ違う原子(団)が接続しているとき、2つの立体異性体が存在する。これをシス・トランス異性体という。例えば2-ブテンはCH3>C=C<CH3とCH3>C=C<Hの2つが存在する。このとき、主鎖(炭素数最多の鎖)となる炭素骨格が二重結合の同じ側にある方をシス (cis) 型、反対側にある方をトランス (trans) 型というので、前者は「シス-2-ブテン」、後者は「トランス-2-ブテン」である。よってブテンには構造異性体の1-ブテン, 2-メチルプロペンを含め、4種の立体異性体が存在する。注意すべきは、同種の原子団が同じ側にあるか反対側にあるかによってcis/transを区別するのではなく、あくまで主鎖が同じ側にあるか反対側にあるかによって区別する点である。例えば、CH3>C=C<CH3とCH3>C=C<C2H5では、前者がtrans、後者がcisである。二重結合のうち片方はσ結合と呼ばれる堅い結合。もう片方はπ結合と呼ばれる弱い結合で、水素やハロゲンなどが近づくとπ結合が切れ反応する。これを付加反応という。アルケン同士が付加反応を起こすと、多数のアルケンがつながった大きな分子が出来る。この反応を付加重合という。付加重合はビニル基を持つものが起こす。一般的に書くととなる。二重結合は酸化されやすく、酸化剤を与えると二重結合が開裂し、ケトンやアルデヒド、カルボン酸などになる。過マンガン酸塩や四酸化オスミウムによる酸化では、2価アルコール(1,2-ジオール)を生じる。過酸-OOHによる酸化では、-C-O-C-で構成される三員環化合物、エポキシドを生じる。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "有機化学>アルケン", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "炭素間にπ結合を1つだけ含む脂肪族炭化水素をアルケン (alkene) という。アルケンは一般式CnH2nで表される。定義より、炭素原子が1つのアルケンは存在しない。", "title": "アルケンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "アルカンの語尾aneをeneに変える。エテン (ethen)、プロペン (propene)、ブテン (buthene)、ペンテン (pentene)・・・", "title": "アルケンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "但し、エテンは正式な名称(体系名)より、慣用名エチレン(ethylene)の方が良く使われる。プロペンも慣用名プロピレン(propylene)が体系名と同程度使われる。", "title": "アルケンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "ブテン以上の長さのアルケンには、二重結合の位置による構造異性体が存在する。この場合と、二重結合が主鎖のどこにあるかを出来るだけ小さい番号によって表す。", "title": "アルケンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "CH2=CHCH2CH3「1-ブテン」", "title": "アルケンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "CH3CH=CHCH3「2-ブテン」", "title": "アルケンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "ちなみにブテンの異性体にはCH2=C(CH3)2(2-メチルプロペン)も存在する。", "title": "アルケンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "二重結合を持つ2つの炭素原子とそれに結合する4つの原子は同一平面上にあり、二重結合を軸にひねるように回転させることはできない。このため、二重結合を持つ両方の炭素原子にそれぞれ違う原子(団)が接続しているとき、2つの立体異性体が存在する。これをシス・トランス異性体という。", "title": "アルケンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "例えば2-ブテンはCH3>C=C<CH3とCH3>C=C<Hの2つが存在する。このとき、主鎖(炭素数最多の鎖)となる炭素骨格が二重結合の同じ側にある方をシス (cis) 型、反対側にある方をトランス (trans) 型というので、前者は「シス-2-ブテン」、後者は「トランス-2-ブテン」である。よってブテンには構造異性体の1-ブテン, 2-メチルプロペンを含め、4種の立体異性体が存在する。注意すべきは、同種の原子団が同じ側にあるか反対側にあるかによってcis/transを区別するのではなく、あくまで主鎖が同じ側にあるか反対側にあるかによって区別する点である。例えば、CH3>C=C<CH3とCH3>C=C<C2H5では、前者がtrans、後者がcisである。", "title": "アルケンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "二重結合のうち片方はσ結合と呼ばれる堅い結合。もう片方はπ結合と呼ばれる弱い結合で、水素やハロゲンなどが近づくとπ結合が切れ反応する。これを付加反応という。", "title": "アルケンの性質" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "アルケン同士が付加反応を起こすと、多数のアルケンがつながった大きな分子が出来る。この反応を付加重合という。", "title": "アルケンの性質" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "付加重合はビニル基を持つものが起こす。一般的に書くと", "title": "アルケンの性質" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "アルケンの性質" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "二重結合は酸化されやすく、酸化剤を与えると二重結合が開裂し、ケトンやアルデヒド、カルボン酸などになる。", "title": "アルケンの性質" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "過マンガン酸塩や四酸化オスミウムによる酸化では、2価アルコール(1,2-ジオール)を生じる。", "title": "アルケンの性質" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "過酸-OOHによる酸化では、-C-O-C-で構成される三員環化合物、エポキシドを生じる。", "title": "アルケンの性質" } ]	有機化学＞アルケン	[[有機化学]]＞アルケン == アルケンの定義と命名法 == === アルケンの定義 === 炭素間にπ結合を1つだけ含む脂肪族炭化水素をアルケン (alkene) という。アルケンは[[有機化学_アルカン#アルカンの一般式\|一般式]]C<sub>n</sub>H<sub>2n</sub>で表される。定義より、炭素原子が1つのアルケンは存在しない。 === 命名法 === [[有機化学_アルカン#命名法\|アルカン]]の語尾aneをeneに変える。エテン (ethen)、プロペン (propene)、ブテン (buthene)、ペンテン (pentene)・・・但し、エテンは正式な名称（体系名）より、慣用名エチレン(ethylene)の方が良く使われる。プロペンも慣用名プロピレン(propylene)が体系名と同程度使われる。 <gallery> File:Ethene structural.svg\|エテン File:Propene-2D-flat.png\|プロペン </gallery> ブテン以上の長さのアルケンには、二重結合の位置による[[有機化学_アルカン#異性体\|構造異性体]]が存在する。この場合と、二重結合が[[有機化学_アルカン#アルカンの詳しい命名法\|主鎖]]のどこにあるかを出来るだけ小さい番号によって表す。 CH<sub>2</sub>=CHCH<sub>2</sub>CH<sub>3</sub>「1-ブテン」 CH<sub>3</sub>CH=CHCH<sub>3</sub>「2-ブテン」ちなみにブテンの異性体にはCH<sub>2</sub>=C(CH<sub>3</sub>)<sub>2</sub>(2－メチルプロペン)も存在する。 <gallery> File:1-butene.svg\|1－ブテン File:Cis-2-butene.svg\|2－ブテン（シス型） File:Methylpropene.PNG\|2－メチルプロペン </gallery> === シス・トランス異性体 === 二重結合を持つ2つの炭素原子とそれに結合する4つの原子は同一平面上にあり、二重結合を軸にひねるように回転させることはできない。このため、二重結合を持つ両方の炭素原子にそれぞれ違う原子(団)が接続しているとき、2つの[[有機化学_アルカン#異性体\|立体異性体]]が存在する。これを'''シス・トランス異性体'''という。例えば2－ブテンは<sub>CH3</sub><sup>H</sup>＞C＝C＜<sup>H</sup><sub>CH3</sub>と<sub>CH3</sub><sup>H</sup>＞C＝C＜<sub>H</sub><sup>CH3</sup>の2つが存在する。このとき、主鎖（炭素数最多の鎖）となる炭素骨格が二重結合の同じ側にある方を'''シス''' (cis) 型、反対側にある方を'''トランス''' (trans) 型というので、前者は「シス－2－ブテン」、後者は「トランス－2－ブテン」である。よってブテンには構造異性体の1-ブテン, 2-メチルプロペンを含め、4種の立体異性体が存在する。注意すべきは、同種の原子団が同じ側にあるか反対側にあるかによってcis/transを区別するのではなく、あくまで主鎖が同じ側にあるか反対側にあるかによって区別する点である。例えば、<sub>CH3</sub><sup>H</sup>＞C＝C＜<sup>C2H5</sup><sub>CH3</sub>と<sub>CH3</sub><sup>H</sup>＞C＝C＜<sub>C2H5</sub><sup>CH3</sup>では、前者がtrans、後者がcisである。 <gallery> File:Cis-2-butene.svg\|2－ブテン（シス型） File:Trans-2-butene.svg\|2－ブテン（トランス型） </gallery> == アルケンの性質 == === 付加反応 === 二重結合のうち片方はσ結合と呼ばれる堅い結合。もう片方はπ結合と呼ばれる弱い結合で、水素やハロゲンなどが近づくとπ結合が切れ反応する。これを'''付加反応'''という。 CH<sub>2</sub>＝CH<sub>2</sub> ＋ H<sub>2</sub> → CH<sub>3</sub>－CH<sub>3</sub> CH<sub>2</sub>＝CH<sub>2</sub> ＋ Br<sub>2</sub> → CH<sub>2</sub>Br－CH<sub>2</sub>Br *アルケンは1molにつき1molの臭素水を脱色する。[[有機化学_アルカン#アルカンの性質\|アルカン]]は臭素水を脱色しないし、[[有機化学_アルキン#付加反応\|アルキン]]は1molにつき2molの臭素水を脱色するので区別できる。 CH<sub>2</sub>＝CH<sub>2</sub> ＋ H<sub>2</sub>O → CH<sub>3</sub>－CH<sub>2</sub>OH *一般にアルケンに水が付加するとアルコールになる。 CH<sub>2</sub>＝CH－CH<sub>3</sub> ＋ HCl → CH<sub>3</sub>－CHCl－CH<sub>3</sub> HClやH<sub>2</sub>O等、HX型の化合物が付加するとき、H原子はC原子に直接結合するH原子の多い方に結合する。これをマルコフニコフ則という。ただし、ボラン類(BH<sub>3</sub>, BHR<sub>2</sub>など)の付加においては、H原子がC原子に直接結合するH原子の少ない方に結合する、逆マルコフニコフ則が適用される。 === 付加重合 === アルケン同士が付加反応を起こすと、多数のアルケンがつながった大きな分子が出来る。この反応を'''付加重合'''という。付加重合は[[有機化学_基#炭化水素基の種類\|ビニル基]]を持つものが起こす。一般的に書くと n CH<sub>2</sub>＝CHX → (－CH<sub>2</sub>－CHX－)<sub>n</sub> となる。 === 還元性 === 二重結合は酸化されやすく、酸化剤を与えると二重結合が開裂し、ケトンやアルデヒド、カルボン酸などになる。 CH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>CH＝CHCH<sub>3</sub> ＋ 4(O) → (CH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>CHO ＋CH<sub>3</sub>CHO ＋ 2(O)) → CH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>COOH ＋ CH<sub>3</sub>COOH 過マンガン酸塩や四酸化オスミウムによる酸化では、2価アルコール(1,2-ジオール)を生じる。 *CH<sub>2</sub>＝CH<sub>2</sub> ＋ (O) ＋ H<sub>2</sub>O → CH<sub>2</sub>OH－CH<sub>2</sub>OH 過酸-OOHによる酸化では、-C-O-C-で構成される三員環化合物、エポキシドを生じる。 [[カテゴリ:有機化学]] [[en:Organic Chemistry/Alkenes]]	null	2022-11-23T05:32:51Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%9C%89%E6%A9%9F%E5%8C%96%E5%AD%A6/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B1%E3%83%B3
2,024	有機化学/アルキン	有機化学>アルキン炭素間に三重結合を1つだけ含む脂肪族炭化水素をアルキン (alkyne) という。アルキンは一般式CnH2n-2で表される。定義より、炭素原子が1つのアルキンは存在しない。アルカンの語尾aneをyneに変える。エチン (ethyn)、プロピン (propyne)、ブチン (buthyne)、ペンチン (pentyne)・・・但し、エチン、プロピンは正式な名称(国際名)より、慣用名アセチレン、メチルアセチレンの方が良く使われる。構造異性体の命名についてはアルケンと同じである。 C≡Cに直接結合したH原子は弱いイオン性を示すので、アンモニア性硝酸銀水溶液([Ag(NH3)2]を含んだ溶液)にアセチレンを通じると銀アセチリド(白色沈殿)を生じる。アセチリドは不安定で、特に乾燥したものは爆発性がある。末端三重結合の検出に用いられる。 H-C≡C-H + 2Ag → Ag-C≡C-Ag + 2H H-C≡C-CH2-CH3 + Ag → Ag-C≡C-CH2-CH3 三重結合のうち1本はσ結合、残りの2本はπ結合である。よって、アルキンは付加反応する。アセチレン分子は少数で付加重合する。アセチレン三分子が重合するとベンゼンを生じる。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "有機化学>アルキン", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "炭素間に三重結合を1つだけ含む脂肪族炭化水素をアルキン (alkyne) という。アルキンは一般式CnH2n-2で表される。定義より、炭素原子が1つのアルキンは存在しない。", "title": "アルキンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "アルカンの語尾aneをyneに変える。エチン (ethyn)、プロピン (propyne)、ブチン (buthyne)、ペンチン (pentyne)・・・", "title": "アルキンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "但し、エチン、プロピンは正式な名称(国際名)より、慣用名アセチレン、メチルアセチレンの方が良く使われる。", "title": "アルキンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "構造異性体の命名についてはアルケンと同じである。", "title": "アルキンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "C≡Cに直接結合したH原子は弱いイオン性を示すので、アンモニア性硝酸銀水溶液([Ag(NH3)2]を含んだ溶液)にアセチレンを通じると銀アセチリド(白色沈殿)を生じる。アセチリドは不安定で、特に乾燥したものは爆発性がある。末端三重結合の検出に用いられる。", "title": "アルキンの性質" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "H-C≡C-H + 2Ag → Ag-C≡C-Ag + 2H", "title": "アルキンの性質" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "H-C≡C-CH2-CH3 + Ag → Ag-C≡C-CH2-CH3", "title": "アルキンの性質" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "三重結合のうち1本はσ結合、残りの2本はπ結合である。よって、アルキンは付加反応する。", "title": "アルキンの性質" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "アセチレン分子は少数で付加重合する。", "title": "アルキンの性質" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "アセチレン三分子が重合するとベンゼンを生じる。", "title": "アルキンの性質" } ]	有機化学＞アルキン	[[有機化学]]＞アルキン == アルキンの定義と命名法 == === アルキンの定義 === 炭素間に三重結合を1つだけ含む脂肪族炭化水素をアルキン (alkyne) という。アルキンは一般式C<sub>n</sub>H<sub>2n－2</sub>で表される。定義より、炭素原子が1つのアルキンは存在しない。 === 命名法 === [[有機化学_アルカン#命名法\|アルカン]]の語尾aneをyneに変える。エチン (ethyn)、プロピン (propyne)、ブチン (buthyne)、ペンチン (pentyne)・・・但し、エチン、プロピンは正式な名称（国際名）より、慣用名アセチレン、メチルアセチレンの方が良く使われる。 [[有機化学_アルカン#異性体\|構造異性体]]の命名については[[有機化学_アルケン#命名法\|アルケン]]と同じである。 == アルキンの性質 == アセチレンCH&equiv;CHは直線構造をとる。 [[有機化学_アルカン#アルカンの性質\|置換反応]]、[[有機化学_アルケン#付加反応\|付加反応]]のどちらも起こす。 === 置換反応 === C≡Cに直接結合したH原子は弱いイオン性を示すので、アンモニア性硝酸銀水溶液（［Ag(NH<sub>3</sub>)<sub>2</sub>］<sup>＋</sup>を含んだ溶液）にアセチレンを通じると銀アセチリド（白色沈殿）を生じる。アセチリドは不安定で、特に乾燥したものは爆発性がある。末端三重結合の検出に用いられる。 H－C≡C－H ＋ 2Ag<sup>＋</sup> → Ag－C≡C－Ag ＋ 2H<sup>＋</sup> H－C≡C－CH<sub>2</sub>－CH<sub>3</sub>　+ Ag<sup>＋</sup> → Ag－C≡C－CH<sub>2</sub>－CH<sub>3</sub> === 付加反応 === 三重結合のうち1本は[[有機化学_アルケン#付加反応\|σ結合]]、残りの2本は[[有機化学_アルケン#付加反応\|π結合]]である。よって、アルキンは付加反応する。 H－C≡C－H ＋ 2H<sub>2</sub> → CH<sub>2</sub>＝CH<sub>2</sub> ＋ H<sub>2</sub> → CH<sub>3</sub>－CH<sub>3</sub> H－C≡C－H ＋ 2Cl<sub>2</sub> → (CHCl＝CHCl ＋ Cl<sub>2</sub>) → CHCl<sub>2</sub>－CHCl<sub>2</sub> *水素付加はアルキンからアルケン、アルケンからアルカンへと連続的に変化するが、ハロゲン付加はアルキンから一気にアルカンになる。 H－C≡C－H ＋ 2Br<sub>2</sub> → CHBr<sub>2</sub>－CHBr<sub>2</sub> *1molにつき2molの臭素を脱色するので、[[有機化学_アルカン#アルカンの性質\|アルカン]]や[[有機化学_アルケン#付加反応\|アルケン]]と区別できる。 H－C≡C－H ＋ H<sub>2</sub>O → (CH<sub>2</sub>＝CHOH) → CH<sub>3</sub>－CHO *ビニルアルコールCH<sub>2</sub>＝CHOHは不安定なので、[[有機化学_基#官能基の種類\|ヒドロキシル基]]のH原子が二重結合の反対側に飛んで互変異性を起こし、アセトアルデヒドとなる。 === 付加重合 === アセチレン分子は少数で付加重合する。 2 H－C≡C－H → CH<sub>2</sub>＝CH－C≡CH *片方の原子の三重結合が1本開き、もう片方の原子はCH間の結合が切れてそれぞれ結合する。アセチレン三分子が重合するとベンゼンを生じる。 3 H－C≡C－H → C<sub>6</sub>H<sub>6</sub> **ベンゼンC<sub>6</sub>H<sub>6</sub>は芳香族化合物の最小単位である。 CH=CH / \ CH CH \\ // CH-CH ベンゼンC6H6 [[カテゴリ:有機化学]] [[en:Organic Chemistry/Alkynes]]	null	2022-11-23T05:32:47Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%9C%89%E6%A9%9F%E5%8C%96%E5%AD%A6/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%AD%E3%83%B3
2,027	HTML/外部リンク	HTMLの作成に役立つ情報源を紹介する。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "HTMLの作成に役立つ情報源を紹介する。", "title": "" } ]	HTMLの作成に役立つ情報源を紹介する。	{{Pathnav\|HTML\|frame=1\|small=1}} {{Wikipedia\|HTML\|HTML}} HTMLの作成に役立つ情報源を紹介する。 == リンク == * [https://whatwg.org/ Web Hypertext Application Technology Working Group(WHATWG)]：W3Cに代わってHTML/DOM等の標準策定を行う団体 [https://html.spec.whatwg.org/ HTML Living Standard]（[https://momdo.github.io/html/ 日本語訳]）：最新のHTML標準 [https://dom.spec.whatwg.org/ DOM Living Standard]（[https://triple-underscore.github.io/DOM4-ja.html 日本語訳]）：最新のDOM標準 * [https://www.w3.org/ World Wide Web Consortium (W3C)]：HTML4.01までの標準を提唱していた機関W3Cのサイト [https://www.w3.org/TR/html5/ https://www.w3.org/TR/html5/]は[https://html.spec.whatwg.org/ https://html.spec.whatwg.org/]へのリダイレクト [https://www.w3.org/TR/ All Standards and Drafts - W3C]：W3Cの標準とその草案を一覧・検索できる [https://www.w3.org/MarkUp/ W3C HTML Home Page] -- 2010-12-17: The XHTML2 Working Group is closed. [http://validator.w3.org/ The W3C Markup Validation Service]：HTML文法チェッカー；制作したHTMLに誤り等が無いかをチェック出来る [https://www.w3.org/Style/CSS/ W3C Cascading Style Sheets] [https://jigsaw.w3.org/css-validator/ W3C CSS 検証サービス]：CSS文法チェッカー * [http://www.asahi-net.or.jp/%7Esd5a-ucd/rec-html40j/ HTML 4仕様書邦訳計画]：非公式の日本語訳 == リンク切れ == * <del> <!-- http://htmllint.itc.keio.ac.jp/htmllint/htmllint.html --> Another HTML-lint gateway：HTML文法チェッカー（日本語）</del> ※ 以下、リンク切れ * <del> <!-- [http://www.mozilla.gr.jp/standards/ Web標準普及プロジェクト]-->Web標準普及プロジェクト：[[w:もじら組\|もじら組]]によるWeb標準化Tips</del> * <del> <!-- [http://operawiki.info/WebDevToolbar Web Developer Toolbar & Menu for Opera] --> "Web Developer Toolbar & Menu for Opera" - Operaで使える開発ツール（英語版）</del> [[Category:World Wide Web\|HTML かいふりんく]] [[en:HyperText Markup Language/Links]]	null	2021-06-06T02:35:48Z	[ "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:Wikipedia" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/HTML/%E5%A4%96%E9%83%A8%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%AF
2,035	特殊相対論 4元運動量	特殊相対論 > 4元運動量解析力学を考えると、空間の等方性から運動量保存が示されるのと同様に、時間に対する一様性からエネルギーの保存則が導き出される。そのため、 x μ = ( c t x y z ) {\displaystyle x^{\mu }={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}} のように組み合わせて4元ベクトルを作ったことに対応して、 p μ = ( ε / c p x p y p z ) {\displaystyle p^{\mu }={\begin{pmatrix}\epsilon /c\\p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\end{pmatrix}}} によって、4元ベクトルを作ることが出来る。ここで、 ε {\displaystyle \epsilon } はエネルギーである。この4元ベクトルを4元運動量と呼ぶ。ある静止した物体については p → = 0 {\displaystyle {\vec {p}}=0} が成り立つので、 p μ = ( ε / c 0 0 0 ) {\displaystyle p^{\mu }={\begin{pmatrix}\epsilon /c\\0\\0\\0\end{pmatrix}}} となる。このときの ε {\displaystyle \epsilon } の値を、ある質量mをもつ物体に対して、 mc と置く。 ε / c = m c {\displaystyle \epsilon /c=mc} つまり, ε = m c 2 {\displaystyle \epsilon =mc^{2}} に注意。 (エネルギーの定数値はどのようにでも取れるが、特にこのように選ぶのは実験的に質量とエネルギーの同値性が知られていることによっているものと思われる。) このとき、 ε {\displaystyle \epsilon } と \| p → \| {\displaystyle \|{\vec {p}}\|} の関係は、4元運動量の2乗がローレンツスカラーであることから p μ p μ = ε 2 / c 2 − p → 2 = m 2 c 2 {\displaystyle p^{\mu }p_{\mu }=\epsilon ^{2}/c^{2}-{\vec {p}}^{2}=m^{2}c^{2}} となる。よって、 ε = c \| p → \| 2 + m 2 c 2 {\displaystyle \epsilon =c{\sqrt {\|{\vec {p}}\|^{2}+m^{2}c^{2}}}} が得られる。 p → 2 {\displaystyle {\vec {p}}^{2}} が小さいとしてテイラー展開を行なうと、 ε = m c 2 + p → 2 2 m + O ( p → 4 ) {\displaystyle \epsilon =mc^{2}+{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+O({\vec {p}}^{4})} が得られ、通常のエネルギーと運動量の関係式 ε = p → 2 2 m {\displaystyle \epsilon ={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}} と、定数 m c 2 {\displaystyle mc^{2}} を除いて一致する。定数 m c 2 {\displaystyle mc^{2}} を静止エネルギーと呼ぶことがある。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "特殊相対論 > 4元運動量", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "解析力学を考えると、空間の等方性から運動量保存が示されるのと同様に、時間に対する一様性からエネルギーの保存則が導き出される。そのため、 x μ = ( c t x y z ) {\\displaystyle x^{\\mu }={\\begin{pmatrix}ct\\\\x\\\\y\\\\z\\end{pmatrix}}} のように組み合わせて4元ベクトルを作ったことに対応して、 p μ = ( ε / c p x p y p z ) {\\displaystyle p^{\\mu }={\\begin{pmatrix}\\epsilon /c\\\\p_{x}\\\\p_{y}\\\\p_{z}\\end{pmatrix}}} によって、4元ベクトルを作ることが出来る。ここで、 ε {\\displaystyle \\epsilon } はエネルギーである。この4元ベクトルを4元運動量と呼ぶ。ある静止した物体については p → = 0 {\\displaystyle {\\vec {p}}=0} が成り立つので、 p μ = ( ε / c 0 0 0 ) {\\displaystyle p^{\\mu }={\\begin{pmatrix}\\epsilon /c\\\\0\\\\0\\\\0\\end{pmatrix}}} となる。このときの ε {\\displaystyle \\epsilon } の値を、ある質量mをもつ物体に対して、 mc と置く。 ε / c = m c {\\displaystyle \\epsilon /c=mc} つまり, ε = m c 2 {\\displaystyle \\epsilon =mc^{2}} に注意。 (エネルギーの定数値はどのようにでも取れるが、特にこのように選ぶのは実験的に質量とエネルギーの同値性が知られていることによっているものと思われる。) このとき、 ε {\\displaystyle \\epsilon } と \| p → \| {\\displaystyle \|{\\vec {p}}\|} の関係は、4元運動量の2乗がローレンツスカラーであることから p μ p μ = ε 2 / c 2 − p → 2 = m 2 c 2 {\\displaystyle p^{\\mu }p_{\\mu }=\\epsilon ^{2}/c^{2}-{\\vec {p}}^{2}=m^{2}c^{2}} となる。よって、 ε = c \| p → \| 2 + m 2 c 2 {\\displaystyle \\epsilon =c{\\sqrt {\|{\\vec {p}}\|^{2}+m^{2}c^{2}}}} が得られる。 p → 2 {\\displaystyle {\\vec {p}}^{2}} が小さいとしてテイラー展開を行なうと、 ε = m c 2 + p → 2 2 m + O ( p → 4 ) {\\displaystyle \\epsilon =mc^{2}+{\\frac {{\\vec {p}}^{2}}{2m}}+O({\\vec {p}}^{4})} が得られ、通常のエネルギーと運動量の関係式 ε = p → 2 2 m {\\displaystyle \\epsilon ={\\frac {{\\vec {p}}^{2}}{2m}}} と、定数 m c 2 {\\displaystyle mc^{2}} を除いて一致する。定数 m c 2 {\\displaystyle mc^{2}} を静止エネルギーと呼ぶことがある。", "title": "4元運動量" } ]	特殊相対論 > 4元運動量	<small> [[特殊相対論]] > 4元運動量</small> ---- ==4元運動量== 解析力学を考えると、空間の等方性から運動量保存が示されるのと同様に、時間に対する一様性からエネルギーの保存則が導き出される。そのため、 <math> x^\mu = \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} </math> のように組み合わせて4元ベクトルを作ったことに対応して、 <math> p^\mu = \begin{pmatrix} \epsilon / c \\ p _x \\ p _y \\ p _z \end{pmatrix} </math> によって、4元ベクトルを作ることが出来る。ここで、 <math> \epsilon </math> はエネルギーである。この4元ベクトルを4元運動量と呼ぶ。ある静止した物体については <math> \vec p = 0 </math> が成り立つので、 <math> p^\mu = \begin{pmatrix} \epsilon / c \\ 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} </math> となる。このときの <math>\epsilon</math> の値を、ある質量mをもつ物体に対して、 mc と置く。 <math> \epsilon / c = mc </math> つまり, <math> \epsilon = mc^2 </math> に注意。 (エネルギーの定数値はどのようにでも取れるが、特にこのように選ぶのは実験的に質量とエネルギーの同値性が知られていることによっているものと思われる。) <!-- ? --> このとき、 <math>\epsilon</math>と <math> \| \vec p \| </math> の関係は、4元運動量の2乗がローレンツスカラーであることから <math> p^\mu p _\mu =\epsilon ^2 /c^2 - \vec p^2 = m^2 c^2 </math> となる。よって、 <math> \epsilon =c \sqrt {\|\vec p \|^2 + m^2 c^2 } </math> が得られる。 <math> \vec p ^2 </math> が小さいとしてテイラー展開を行なうと、 <math> \epsilon = mc^2 + \frac {\vec p^2} {2m} + O (\vec p^4) </math> が得られ、通常のエネルギーと運動量の関係式 <math> \epsilon = \frac {\vec p^2} {2m} </math> と、定数<math>mc^2</math>を除いて一致する。定数<math>mc^2</math>を静止エネルギーと呼ぶことがある。 [[Category:特殊相対論\|よけんうんとうりよう]]	2005-05-24T08:24:12Z	2024-03-16T03:17:34Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96_4%E5%85%83%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F
2,036	熱力学	本項は物理学熱力学の解説です。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "本項は物理学熱力学の解説です。", "title": "" } ]	本項は物理学熱力学の解説です。はじめに (2017-05-25) 温度(熱力学の第0法則) (2020-10-21) 熱と仕事(熱力学の第1法則) (2017-05-25) 第二法則および可逆過程およびエントロピーについて『高等学校物理/物理II/熱力学』 (2017-05-25) 熱力学的なエネルギー (2017-05-25) （「ギブスの自由エネルギー」の定義）	{{Pathnav\|メインページ\|自然科学\|物理学\|frame=1\|small=1}} {{wikiversity\|Topic:熱学\|熱学}} 本項は物理学熱力学の解説です。 * [[熱力学/はじめに\|はじめに]] {{進捗\|25%\|2017-05-25}} * [[熱力学/温度\|温度(熱力学の第0法則)]] {{進捗\|00%\|2020-10-21}} * [[熱力学/熱と仕事\|熱と仕事(熱力学の第1法則)]] {{進捗\|00%\|2017-05-25}} * 第二法則および可逆過程およびエントロピーについて『[[高等学校物理/物理II/熱力学]]』{{進捗\|50%\|2017-05-25}} （※ 高校範囲外だが、第二法則、可逆過程およびエントロピーについて書いてある。） :* [[熱力学/熱力学の第2法則\|熱力学の第2法則]] {{進捗\|25%\|2017-05-25}}（※ 現時点では、ほぼ高校物理のコピー。加筆修正をお願いします。） :* [[熱力学/可逆過程\|可逆過程]] {{進捗\|25%\|2017-05-25}} （※ 現時点では、ほぼ高校物理のコピー。加筆修正をお願いします。） :* [[熱力学/エントロピー\|エントロピー]] {{進捗\|25%\|2017-05-25}}（※ 現時点では、ほぼ高校物理のコピー。加筆修正をお願いします。） * [[熱力学/熱力学的なエネルギー\|熱力学的なエネルギー]] {{進捗\|25%\|2017-05-25}} （「ギブスの自由エネルギー」の定義） {{stub}} {{DEFAULTSORT:ねつりきかく}} [[Category:熱力学\|*]] {{NDC\|426}}	2005-05-24T09:01:01Z	2024-03-17T10:31:29Z	[ "テンプレート:NDC", "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:Wikiversity", "テンプレート:進捗", "テンプレート:Stub" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%86%B1%E5%8A%9B%E5%AD%A6
2,037	熱力学/はじめに	熱力学 > はじめにこの分野は高等教育の熱力学に当たります。初学者は該当教科書が理解の助けとなりますので学習に行き詰まったら参照してください。現在では熱を100% の効率で、仕事に変えることは出来ないことが知られている。このことは熱が微視的な物体の乱雑な動きから構成されており、確かにそれらはエネルギーを持ってはいるのだが、それらを秩序だった仕方で取り出し、何らかのことに役立てることが困難であることによっている。この項では、微視的な物体の動きから得られる巨視的な量を用いて、熱と仕事の関係を見ていく。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "熱力学 > はじめに", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "この分野は高等教育の熱力学に当たります。初学者は該当教科書が理解の助けとなりますので学習に行き詰まったら参照してください。", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "現在では熱を100% の効率で、仕事に変えることは出来ないことが知られている。このことは熱が微視的な物体の乱雑な動きから構成されており、確かにそれらはエネルギーを持ってはいるのだが、それらを秩序だった仕方で取り出し、何らかのことに役立てることが困難であることによっている。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "この項では、微視的な物体の動きから得られる巨視的な量を用いて、熱と仕事の関係を見ていく。", "title": "はじめに" } ]	熱力学 > はじめにこの分野は高等教育の熱力学に当たります。初学者は該当教科書が理解の助けとなりますので学習に行き詰まったら参照してください。	<small> [[熱力学]] > はじめに</small> ---- この分野は高等教育の[[高等学校_物理#熱力学\|熱力学]]に当たります。初学者は該当教科書が理解の助けとなりますので学習に行き詰まったら参照してください。 ==はじめに== 現在では熱を100% の効率で、仕事に変えることは出来ないことが知られている。このことは熱が微視的な物体の乱雑な動きから構成されており、確かにそれらはエネルギーを持ってはいるのだが、それらを秩序だった仕方で取り出し、何らかのことに役立てることが困難であることによっている。この項では、微視的な物体の動きから得られる巨視的な量を用いて、熱と仕事の関係を見ていく。 [[Category:熱力学\|はしめに]]	2005-05-24T09:02:01Z	2023-10-24T16:30:30Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%86%B1%E5%8A%9B%E5%AD%A6/%E3%81%AF%E3%81%98%E3%82%81%E3%81%AB
2,038	熱力学/熱と仕事	熱力学 > 熱と仕事ある物体について、エネルギーの収支を考える。 d Q {\displaystyle dQ} を物体が受け取った熱、 d U {\displaystyle dU} を物体の内部エネルギーの変化、 d W {\displaystyle dW} を物体がされる仕事(外に仕事をするとき、 d W {\displaystyle dW} は負になる。)とするとき、実験的にが知られている。この式を熱力学の第1法則と呼ぶ。 (実際には物体が受け取った熱のうちから、物体以外の外界に対して行なう仕事を引き去ったものを、物体の持つ内部エネルギーと呼んでいる。そのため、この式は内部エネルギーの定義の式としてみることも出来る。) この式は、物体に熱を与えることはまるで物体に仕事をすることであるかのように思われることがある、ということを示している。例えば、水の中に電熱線をいれて電気を流すことを考える。このとき、電気はそのエネルギーを熱として放出するがそれによって水の温度が上がる。これは電気エネルギーが電熱線によって熱エネルギーに変換されそれが水に与えられたものと解釈することが出来る。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "熱力学 > 熱と仕事", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "ある物体について、エネルギーの収支を考える。 d Q {\\displaystyle dQ} を物体が受け取った熱、 d U {\\displaystyle dU} を物体の内部エネルギーの変化、 d W {\\displaystyle dW} を物体がされる仕事(外に仕事をするとき、 d W {\\displaystyle dW} は負になる。)とするとき、実験的に", "title": "熱と仕事(熱力学の第1法則)" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "が知られている。この式を熱力学の第1法則と呼ぶ。 (実際には物体が受け取った熱のうちから、物体以外の外界に対して行なう仕事を引き去ったものを、物体の持つ内部エネルギーと呼んでいる。そのため、この式は内部エネルギーの定義の式としてみることも出来る。) この式は、物体に熱を与えることはまるで物体に仕事をすることであるかのように思われることがある、ということを示している。例えば、水の中に電熱線をいれて電気を流すことを考える。このとき、電気はそのエネルギーを熱として放出するがそれによって水の温度が上がる。これは電気エネルギーが電熱線によって熱エネルギーに変換されそれが水に与えられたものと解釈することが出来る。", "title": "熱と仕事(熱力学の第1法則)" } ]	熱力学 > 熱と仕事	<small> [[熱力学]] > 熱と仕事</small> ---- ==熱と仕事(熱力学の第1法則)== ある物体について、エネルギーの収支を考える。 <math>dQ</math> を物体が受け取った熱、<math>dU</math> を物体の内部エネルギーの変化、 <math>dW</math> を物体がされる仕事(外に仕事をするとき、<math>dW</math> は負になる。)とするとき、実験的に : <math>dQ = dU - dW</math> が知られている。この式を熱力学の第1法則と呼ぶ。 (実際には物体が受け取った熱のうちから、物体以外の外界に対して行なう仕事を引き去ったものを、物体の持つ内部エネルギーと呼んでいる。そのため、この式は内部エネルギーの定義の式としてみることも出来る。) <!-- ? --> この式は、物体に熱を与えることはまるで物体に仕事をすることであるかのように思われることがある、ということを示している。例えば、水の中に電熱線をいれて電気を流すことを考える。このとき、電気はそのエネルギーを熱として放出するがそれによって水の温度が上がる。これは電気エネルギーが電熱線によって熱エネルギーに変換されそれが水に与えられたものと解釈することが出来る。 [[Category:熱力学\|ねつとしこと]]	null	2022-12-01T04:09:27Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%86%B1%E5%8A%9B%E5%AD%A6/%E7%86%B1%E3%81%A8%E4%BB%95%E4%BA%8B
2,039	熱力学/熱力学の第2法則	熱力学 > 熱力学の第2法則熱の巨視的な性質として、 "温度の低いものから温度の高いものに対して他の物体に影響を与える事無しに熱を与えさせることはできない。" ことが知られている。これを熱力学の第2法則という。例えば、仮にこのことが可能だったとしたとき冷たい水と熱い湯を混ぜたとき冷たい水はより冷たく、湯はより熱くということが起こり得ることが予想される。実際には経験的にこれらのことが起こらないことが知られている。気体の変数の変数p,V,Tは、理想気体であれ、ファンデルワールス気体であれ、状態方程式(理想気体かファンデルワールス気体かは、ここでは問わない)があるならば、変数p,V,Tのうちの、どれか二つが決まれば、気体の状態方程式から残りの変数も決まる。こうして3変数p,V,Tが決まる。内部エネルギーは、理想気体であれ、ファンデルワールス気体であれ、どちらにしても、変数p,V,Tのうち、どれか二つが決まれば、気体の方程式から残りの方程式も決まる。決まった3変数のp,V,Tによって、内部エネルギーも決まってしまう。このような、状態変数によってのみ決まる物理量を状態量(じょうたいりょう)という。 3変数のp,V,Tが決まれば内部エネルギーも決定されるので、内部エネルイギーは状態量である。内部エネルギーを決める3変数のうち、真に独立変数なのは、そのうちの2個のみである。変数p,V,Tのどれを2個まで独立変数に選んでもいいが、残りの1個は既に選んだ変数の従属変数になる。どの変数を独立変数に選ぶと、知りたい答えが求めやすいかは、問題による。 (多変数の関数の微分積分については、大学理科系で教育される。多変数関数の微分を偏微分という。解説は高校レベルを超えるので省略。) 前節で言及された3つの変数(圧力p、体積V、温度T)のほか、エントロピーSや内部エネルギーUなども熱力学系の平衡状態を特徴付ける状態量である。前節と同様、5つの状態量p,V,T,U,Sのうち任意の2つを独立変数に選ぶ場合にも、残る3つの変数はこれら2つの独立変数で表される従属変数として扱える。この5つの変数の任意の組み合わせを独立変数にもつ状態量は、一般に熱力学関数と呼ばれる。内部エネルギーU(S,V)のほか、後の章にて言及されるエントロピーS(U,V)、エンタルピーH(S,p)、ヘルムホルツの自由エネルギーF(V,T)、ギブスの自由エネルギーG(T,p)なども熱力学関数である。 (この節では、高校数学の数学III相当の微分積分を用いる。分からなければ数学IIIを参照のこと。) 圧力をpと書くとする。体積をV、モル数をn、普遍気体定数をn、温度を絶対温度でTとする。仕事Wの、瞬間的な仕事の大きさは微分を用いてdWと表せる。体積Vの、その瞬間の体積変化は微分を用いてdVと表せる。これらを用いれば、 d W = p d V {\displaystyle dW=pdV} と微分方程式で表せる。(定圧変化では無いから、この式のpは変数である。) 体積をV1からV2まで変化させた時の仕事は、積分を用いて以下のように書き表せる。 W = ∫ V 1 V 2 p d V {\displaystyle W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}pdV} これに、状態方程式の p V = n R T {\displaystyle pV=nRT} を、組み合わせる。積分変数のVに合わせて、pを書き換えよう。 p = n R T V {\displaystyle p={\frac {nRT}{V}}} である。これより、仕事の式は、 W = ∫ V 1 V 2 p d V = ∫ V 1 V 2 n R T V d V = n R T ∫ V 1 V 2 d V V = n R T log V 2 V 1 {\displaystyle W=\int _{V_{1}}^{V_{2}}pdV=\int _{V_{1}}^{V_{2}}{\frac {nRT}{V}}dV=nRT\int _{V_{1}}^{V_{2}}{\frac {dV}{V}}=nRT\log {\frac {V_{2}}{V_{1}}}} となる。(なお、logは自然対数である。) 結論をまとめると、である。内部エネルギーUは、理想気体では温度のみの関数で、等温変化では温度が変化しないから、である。したがって、等温変化ではである。まず、熱と内部エネルギーと仕事の関係式を、次のように微分方程式に書き換える。内部エネルギーの変化を微小変化としてdUと表したとすると、熱量Qや仕事Wも微小変化になるので、以下の様な式になる。 QやWの微分演算記号dの上に点「 ′ {\displaystyle '} 」が付いているのは、厳密に言うと、熱量Qや仕事Wは状態量で無いから、区別するために用いている。断熱変化ではなので、つまり、となる。仕事に関してはである。内部エネルギーの微小変化は、定積モル比熱を用いて、と書ける。なので、これ等を式 0 = d U + d ′ W {\displaystyle 0=dU+d'W} に代入し、と書ける。両辺をpVで割ると、であるが、pV=nRTを利用すると、となる。この微分方程式を解く。まず移項して、となる。積分して、ここで、 C o n s t {\displaystyle Const} は積分定数とする。(積分定数を C {\displaystyle C} と書かなかったのは、比熱の記号との混同を避けるため。) 対数の性質より、係数R/Cvを対数log()の中の変数の指数に持ってこれる(数学II相当)ので、計算すると、さらに移項して、変数を左辺にまとめると、対数の性質より、対数同士の和は、中の変数の積に変えられるので、である。対数の定義より、自然対数の底をeとすればである。 e C o n s t {\displaystyle e^{Const}} を新しく、別の定数として、定数“constant”と置き直せば、である。これで断熱変化の温度と体積の関係式の公式が求まった。仕事Wとの関係を見たいので、先ほど求めた上の公式をpとTの式に書き換える事を考える。状態方程式 p V = n R T {\displaystyle pV=nRT} を用いてTを、PとVを用いた式に書き換えると、まず代入しやすいように状態方程式をと書き換えて、これを公式に代入すれば、 1 n R {\displaystyle {\frac {1}{nR}}} は定数なので、これを定数部にまとめてしまえば、別の定数をConst2とでも置いて、と書ける。ここで、指数部の式は、マイヤーの式 C p = C v + R {\displaystyle Cp=Cv+R} より、定圧モル比熱で書き換えが可能である。である。ここで、: C p C V {\displaystyle {\frac {C_{p}}{C_{V}}}} を比熱比(heat capacity ratio)と言う。比熱比の記号は一般に γ {\displaystyle \gamma } で表す。これを用いると、である。また、温度と体積の関係式に比熱比を代入すると、になる。これらの、圧力と体積の公式、および温度と体積の公式の二式をポアソンの式という。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "熱力学 > 熱力学の第2法則", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "熱の巨視的な性質として、 \"温度の低いものから温度の高いものに対して他の物体に影響を与える事無しに熱を与えさせることはできない。\" ことが知られている。これを熱力学の第2法則という。例えば、仮にこのことが可能だったとしたとき冷たい水と熱い湯を混ぜたとき冷たい水はより冷たく、湯はより熱くということが起こり得ることが予想される。実際には経験的にこれらのことが起こらないことが知られている。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "気体の変数の変数p,V,Tは、理想気体であれ、ファンデルワールス気体であれ、状態方程式(理想気体かファンデルワールス気体かは、ここでは問わない)があるならば、変数p,V,Tのうちの、どれか二つが決まれば、気体の状態方程式から残りの変数も決まる。こうして3変数p,V,Tが決まる。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "内部エネルギーは、理想気体であれ、ファンデルワールス気体であれ、どちらにしても、変数p,V,Tのうち、どれか二つが決まれば、気体の方程式から残りの方程式も決まる。決まった3変数のp,V,Tによって、内部エネルギーも決まってしまう。このような、状態変数によってのみ決まる物理量を状態量(じょうたいりょう)という。 3変数のp,V,Tが決まれば内部エネルギーも決定されるので、内部エネルイギーは状態量である。内部エネルギーを決める3変数のうち、真に独立変数なのは、そのうちの2個のみである。変数p,V,Tのどれを2個まで独立変数に選んでもいいが、残りの1個は既に選んだ変数の従属変数になる。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "どの変数を独立変数に選ぶと、知りたい答えが求めやすいかは、問題による。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "(多変数の関数の微分積分については、大学理科系で教育される。多変数関数の微分を偏微分という。解説は高校レベルを超えるので省略。)", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "前節で言及された3つの変数(圧力p、体積V、温度T)のほか、エントロピーSや内部エネルギーUなども熱力学系の平衡状態を特徴付ける状態量である。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "前節と同様、5つの状態量p,V,T,U,Sのうち任意の2つを独立変数に選ぶ場合にも、残る3つの変数はこれら2つの独立変数で表される従属変数として扱える。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "この5つの変数の任意の組み合わせを独立変数にもつ状態量は、一般に熱力学関数と呼ばれる。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "内部エネルギーU(S,V)のほか、後の章にて言及されるエントロピーS(U,V)、エンタルピーH(S,p)、ヘルムホルツの自由エネルギーF(V,T)、ギブスの自由エネルギーG(T,p)なども熱力学関数である。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "(この節では、高校数学の数学III相当の微分積分を用いる。分からなければ数学IIIを参照のこと。)", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "圧力をpと書くとする。体積をV、モル数をn、普遍気体定数をn、温度を絶対温度でTとする。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "仕事Wの、瞬間的な仕事の大きさは微分を用いてdWと表せる。体積Vの、その瞬間の体積変化は微分を用いてdVと表せる。これらを用いれば、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "d W = p d V {\\displaystyle dW=pdV}", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "と微分方程式で表せる。(定圧変化では無いから、この式のpは変数である。)", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "体積をV1からV2まで変化させた時の仕事は、積分を用いて以下のように書き表せる。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "W = ∫ V 1 V 2 p d V {\\displaystyle W=\\int _{V_{1}}^{V_{2}}pdV}", "title": "熱力学の第2法則" 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"title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "である。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "したがって、等温変化では", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "である。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "まず、熱と内部エネルギーと仕事の関係式", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "を、次のように微分方程式に書き換える。内部エネルギーの変化を微小変化としてdUと表したとすると、熱量Qや仕事Wも微小変化になるので、以下の様な式になる。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "QやWの微分演算記号dの上に点「 ′ {\\displaystyle '} 」が付いているのは、厳密に言うと、熱量Qや仕事Wは状態量で無いから、区別するために用いている。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 33, "tag": "p", "text": "断熱変化では", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 34, "tag": "p", "text": "なので、つまり、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "仕事に関しては", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "である。内部エネルギーの微小変化は、定積モル比熱を用いて、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "と書ける。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "なので、これ等を式 0 = d U + d ′ W {\\displaystyle 0=dU+d'W} に代入し、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "と書ける。両辺をpVで割ると、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "であるが、pV=nRTを利用すると、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "この微分方程式を解く。まず移項して、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "となる。積分して、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "ここで、 C o n s t {\\displaystyle Const} は積分定数とする。(積分定数を C {\\displaystyle C} と書かなかったのは、比熱の記号との混同を避けるため。) 対数の性質より、係数R/Cvを対数log()の中の変数の指数に持ってこれる(数学II相当)ので、計算すると、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "さらに移項して、変数を左辺にまとめると、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "対数の性質より、対数同士の和は、中の変数の積に変えられるので、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "である。対数の定義より、自然対数の底をeとすれば", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "である。 e C o n s t {\\displaystyle e^{Const}} を新しく、別の定数として、定数“constant”と置き直せば、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "である。これで断熱変化の温度と体積の関係式の公式が求まった。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "仕事Wとの関係を見たいので、先ほど求めた上の公式をpとTの式に書き換える事を考える。状態方程式 p V = n R T {\\displaystyle pV=nRT} を用いてTを、PとVを用いた式に書き換えると、まず代入しやすいように状態方程式を", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "と書き換えて、これを公式に代入すれば、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "1 n R {\\displaystyle {\\frac {1}{nR}}} は定数なので、これを定数部にまとめてしまえば、別の定数をConst2とでも置いて、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "と書ける。ここで、指数部の式は、マイヤーの式 C p = C v + R {\\displaystyle Cp=Cv+R} より、定圧モル比熱で書き換えが可能である。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "である。ここで、: C p C V {\\displaystyle {\\frac {C_{p}}{C_{V}}}} を比熱比(heat capacity ratio)と言う。比熱比の記号は一般に γ {\\displaystyle \\gamma } で表す。これを用いると、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "である。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "また、温度と体積の関係式", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "に比熱比を代入すると、", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "になる。", "title": "熱力学の第2法則" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "これらの、圧力と体積の公式、および温度と体積の公式の二式をポアソンの式という。", "title": "熱力学の第2法則" } ]	熱力学 > 熱力学の第2法則	<small> [[熱力学]] > 熱力学の第2法則</small> ---- ==熱力学の第2法則== 熱の巨視的な性質として、 "温度の低いものから温度の高いものに対して他の物体に影響を与える事無しに熱を与えさせることはできない。" ことが知られている。これを熱力学の第2法則という。例えば、仮にこのことが可能だったとしたとき冷たい水と熱い湯を混ぜたとき冷たい水はより冷たく、湯はより熱くということが起こり得ることが予想される。実際には経験的にこれらのことが起こらないことが知られている。 [[Category:熱力学\|ねつりきかくのたいにほうそく]] === 状態量 === 気体の変数の変数p,V,Tは、理想気体であれ、ファンデルワールス気体であれ、状態方程式（理想気体かファンデルワールス気体かは、ここでは問わない）があるならば、変数p,V,Tのうちの、どれか二つが決まれば、気体の状態方程式から残りの変数も決まる。こうして3変数p,V,Tが決まる。内部エネルギーは、理想気体であれ、ファンデルワールス気体であれ、どちらにしても、変数p,V,Tのうち、どれか二つが決まれば、気体の方程式から残りの方程式も決まる。決まった3変数のp,V,Tによって、内部エネルギーも決まってしまう。このような、状態変数によってのみ決まる物理量を'''状態量'''（じょうたいりょう）という。 3変数のp,V,Tが決まれば内部エネルギーも決定されるので、内部エネルイギーは状態量である。内部エネルギーを決める3変数のうち、真に独立変数なのは、そのうちの2個のみである。変数p,V,Tのどれを2個まで独立変数に選んでもいいが、残りの1個は既に選んだ変数の従属変数になる。どの変数を独立変数に選ぶと、知りたい答えが求めやすいかは、問題による。（多変数の関数の微分積分については、大学理科系で教育される。多変数関数の微分を偏微分という。解説は高校レベルを超えるので省略。） === 熱力学関数 === 前節で言及された３つの変数（圧力p、体積V、温度T）のほか、エントロピーSや内部エネルギーUなども熱力学系の平衡状態を特徴付ける状態量である。前節と同様、5つの状態量p,V,T,U,Sのうち任意の2つを独立変数に選ぶ場合にも、残る3つの変数はこれら2つの独立変数で表される従属変数として扱える。この5つの変数の任意の組み合わせを独立変数にもつ状態量は、一般に熱力学関数と呼ばれる。内部エネルギーU(S,V)のほか、後の章にて言及されるエントロピーS(U,V)、エンタルピーH(S,p)、ヘルムホルツの自由エネルギーF(V,T)、ギブスの自由エネルギーG(T,p)なども熱力学関数である。 === 等温変化 === （この節では、高校数学の数学III相当の微分積分を用いる。分からなければ数学IIIを参照のこと。）圧力をpと書くとする。体積をV、モル数をn、普遍気体定数をn、温度を絶対温度でTとする。仕事Wの、瞬間的な仕事の大きさは微分を用いてdWと表せる。体積Vの、その瞬間の体積変化は微分を用いてdVと表せる。これらを用いれば、 <math> dW=pdV </math> と微分方程式で表せる。（定圧変化では無いから、この式のpは変数である。）体積をV<sub>1</sub>からV<sub>2</sub>まで変化させた時の仕事は、積分を用いて以下のように書き表せる。 <math> W=\int_{V_1}^{V_2} p dV </math> これに、状態方程式の <math> pV = nRT </math> を、組み合わせる。積分変数のVに合わせて、pを書き換えよう。 <math>p=\frac{nRT}{V}</math> である。これより、仕事の式は、 <math> W=\int_{V_1}^{V_2} p dV= \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V} dV = nRT\int_{V_1}^{V_2}\frac{dV}{V} = nRT\log \frac{V_2}{V_1 }</math> となる。（なお、logは自然対数である。）結論をまとめると、 :<math> W = nRT \log{\frac{V_2}{V_1}} </math> である。内部エネルギーUは、理想気体では温度のみの関数で、等温変化では温度が変化しないから、 :<math>\Delta U=0</math> である。したがって、等温変化では :<math>Q=W</math> である。 === 断熱変化 === まず、熱と内部エネルギーと仕事の関係式 :<math>Q=U+W</math> を、次のように微分方程式に書き換える。内部エネルギーの変化を微小変化としてdUと表したとすると、熱量Qや仕事Wも微小変化になるので、以下の様な式になる。 :<math>d'Q=dU+d'W</math> QやWの微分演算記号dの上に点「<math>'</math>」が付いているのは、厳密に言うと、熱量Qや仕事Wは状態量で無いから、区別するために用いている。断熱変化では :<math>d'Q=0</math> なので、つまり、 :<math>0=dU+d'W</math> となる。仕事に関しては :<math>d'W=pdV</math> である。内部エネルギーの微小変化は、定積モル比熱を用いて、 :<math>dU=nC_{V}dT</math> と書ける。なので、これ等を式 <math>0=dU+d'W</math> に代入し、 :<math>0=nC_{V}dT+pdV</math> と書ける。両辺をpVで割ると、 :<math>0=\frac{nC_VdT}{pV}+{pdV}{pV}=\frac{nC_VdT}{pV}+\frac{dV}{V}</math> であるが、pV=nRTを利用すると、 :<math>0=\frac{nC_VdT}{nRT}+\frac{dV}{V}=\frac{C_V}{R}\frac{dT}{T}+\frac{dV}{V}</math> となる。この微分方程式を解く。まず移項して、 :<math>\frac{dT}{T}=-\frac{R}{C_V}\frac{dV}{V}</math> となる。積分して、 :<math>\log T=- \frac{R}{C_V} \log{V}+Const</math> ここで、<math>Const</math>は積分定数とする。（積分定数を <math>C</math> と書かなかったのは、比熱の記号との混同を避けるため。）対数の性質より、係数R/Cvを対数log()の中の変数の指数に持ってこれる（数学II相当）ので、計算すると、 :<math>\log T=-\log{V^{\frac{R}{C_V}}}+Const</math> さらに移項して、変数を左辺にまとめると、 :<math>\log T+\log V^{\frac{R}{C_V}}=Const</math> 対数の性質より、対数同士の和は、中の変数の積に変えられるので、 :<math>\log TV^{\frac{R}{C_V}}=Const</math> である。対数の定義より、自然対数の底をeとすれば :<math>TV^{\frac{R}{C_V}}=e^{Const}</math> である。 <math>e^{Const}</math>を新しく、別の定数として、定数“constant”と置き直せば、 :<math>TV^{\frac{R}{C_V}}=constant</math> である。これで断熱変化の温度と体積の関係式の公式が求まった。 ;温度と体積の関係式仕事Wとの関係を見たいので、先ほど求めた上の公式をpとTの式に書き換える事を考える。状態方程式<math>pV=nRT</math>を用いてTを、PとVを用いた式に書き換えると、まず代入しやすいように状態方程式を :<math>T=\frac{pV}{nR}</math> と書き換えて、これを公式に代入すれば、 :<math>TV^{\frac{R}{C_V}}=\frac{pV}{nR}V^{\frac{R}{C_V}}=\frac{1}{nR}pVV^{\frac{R}{C_V}}=\frac{1}{nR}pV^{1+\frac{R}{C_V}}=constant</math> ;圧力と体積の関係式 <math>\frac{1}{nR}</math>は定数なので、これを定数部にまとめてしまえば、別の定数をConst<sub>2</sub>とでも置いて、 :<math>pV^{1+\frac{R}{C_V}}=Const_2</math> と書ける。ここで、指数部の式は、マイヤーの式<math>Cp=Cv+R</math>より、定圧モル比熱で書き換えが可能である。 :<math>pV^{\frac{C_p}{C_V}}=Const_2</math> である。ここで、:<math>\frac{C_p}{C_V}</math>を{{ruby\|'''比熱比'''\|ひねつひ}}（heat capacity ratio）と言う。比熱比の記号は一般に<math>\gamma</math>で表す。これを用いると、 :<math>pV^{\gamma}=Const_2</math> である。また、温度と体積の関係式 :<math>TV^{\frac{R}{C_V}}=constant</math> に比熱比を代入すると、 :<math>TV^{\gamma -1}=constant</math> になる。これらの、圧力と体積の公式、および温度と体積の公式の二式を'''ポアソンの式'''という。	null	2022-12-01T04:09:28Z	[ "テンプレート:Ruby" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%86%B1%E5%8A%9B%E5%AD%A6/%E7%86%B1%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AE%E7%AC%AC2%E6%B3%95%E5%89%87
2,040	熱力学/エントロピー	熱力学 > エントロピーある温度Tの物体に対して準静的に熱dQが与えられたときその物体は d S = d Q T {\displaystyle dS={\frac {dQ}{T}}} のエントロピーを得たという。この値を用いて第2法則を書き換えることが出来る。ある温度 T 1 {\displaystyle T_{1}} と T 2 {\displaystyle T_{2}} ( T 1 > T 2 {\displaystyle T_{1}>T_{2}} )の物体を(物体1,物体2とする。) 接触させたとき、第2法則はある量の熱が T 1 {\displaystyle T_{1}} の物体から T 2 {\displaystyle T_{2}} の物体に移されることを予言する。このとき、それぞれの物体が得たエントロピーの量を計算すると物体1については、 d S 1 = − d Q T 1 {\displaystyle dS_{1}=-{\frac {dQ}{T_{1}}}} が得られ、物体2については d S 2 = d Q T 2 {\displaystyle dS_{2}={\frac {dQ}{T_{2}}}} が得られる。2つを合わせた場合を全系と呼び、全系のエントロピーを d S tot {\displaystyle dS_{\textrm {tot}}} と書くと、 d S tot = d Q ( 1 T 2 − 1 T 1 ) > 0 {\displaystyle dS_{\textrm {tot}}=dQ({\frac {1}{T_{2}}}-{\frac {1}{T_{1}}})>0} が得られる。このことから、第2法則は "全系のエントロピーが増大する方向に熱の移動が起こる。" と書き直すことが出来る。また、 d Q = T d S {\displaystyle dQ=TdS} の関係を用いて、第1法則を書き換えることが出来る。 d Q = d U − d W {\displaystyle dQ=dU-dW} を書き換えて、 d U = T d S + d W {\displaystyle dU=TdS+dW} が得られる。特に気体について d W = − P d V {\displaystyle dW=-PdV} となるものとして、圧力を定義すると d U = T d S − P d V {\displaystyle dU=TdS-PdV} が得られる。 (注意:これは可逆過程を考えたときの記述です。不可逆過程を考えたときは ...) 熱効率の定義式と、カルノーサイクルの熱効率の温度の関係式を連立させてみよう。まず、高温熱源の温度をThと書くとして、高温熱源から熱機関に渡す熱量をQhと書くとしよう。低温熱源の温度はTcとして、熱機関から低温熱源に放熱される熱量をQcと書くとしよう。熱効率eの定義式は、であった。いっぽう、カルノーサイクルの熱効率は、である。これらより、である。これは、とも書けて、両辺の1を引いて消去して、となる。マイナスがあるので、移項すれば、である。添字が同じ量どうしをまとめれば、となる。ここで、 Q T {\displaystyle {\frac {Q}{T}}} を新しい物理量として定義して、この量はエントロピー(entropy)と呼ばれる。エントロピーの記号はSと置くとする。また、エントロピーの単位は[J/K]である。つまり、 S = Q T {\displaystyle S={\frac {Q}{T}}} である。そうすると、式(1)はと書ける。熱機関の動作の順序は、まず機関が高温熱源から熱を貰ってから、低温熱源に熱を渡すのであった。(逆に先に低音熱源に放熱してから高温熱源で吸熱するのは不可能である。熱機関は、もらってない熱は渡せない。熱力学の第二法則より当然である。)だから、時間的には、熱機関のエントロピーSは、まず先にS=Shになってから、時間が経って、あとからS=Scになったのである。そして式(2)より、 S h {\displaystyle S_{h}} ≦ S c {\displaystyle S_{c}} であるから、熱機関のエントロピーは、時間が経って、増大したことが分かる。以上の論証より、熱機関のエントロピーは、かならず増大する。これをエントロピー増大の法則という。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "熱力学 > エントロピー", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "ある温度Tの物体に対して準静的に熱dQが与えられたときその物体は d S = d Q T {\\displaystyle dS={\\frac {dQ}{T}}} のエントロピーを得たという。この値を用いて第2法則を書き換えることが出来る。ある温度 T 1 {\\displaystyle T_{1}} と T 2 {\\displaystyle T_{2}} ( T 1 > T 2 {\\displaystyle T_{1}>T_{2}} )の物体を(物体1,物体2とする。) 接触させたとき、第2法則はある量の熱が T 1 {\\displaystyle T_{1}} の物体から T 2 {\\displaystyle T_{2}} の物体に移されることを予言する。このとき、それぞれの物体が得たエントロピーの量を計算すると物体1については、 d S 1 = − d Q T 1 {\\displaystyle dS_{1}=-{\\frac {dQ}{T_{1}}}} が得られ、物体2については d S 2 = d Q T 2 {\\displaystyle dS_{2}={\\frac {dQ}{T_{2}}}} が得られる。2つを合わせた場合を全系と呼び、全系のエントロピーを d S tot {\\displaystyle dS_{\\textrm {tot}}} と書くと、 d S tot = d Q ( 1 T 2 − 1 T 1 ) > 0 {\\displaystyle dS_{\\textrm {tot}}=dQ({\\frac {1}{T_{2}}}-{\\frac {1}{T_{1}}})>0} が得られる。このことから、第2法則は \"全系のエントロピーが増大する方向に熱の移動が起こる。\" と書き直すことが出来る。", "title": "エントロピー" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "また、 d Q = T d S {\\displaystyle dQ=TdS} の関係を用いて、第1法則を書き換えることが出来る。 d Q = d U − d W {\\displaystyle dQ=dU-dW} を書き換えて、 d U = T d S + d W {\\displaystyle 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"である。添字が同じ量どうしをまとめれば、", "title": "エントロピー" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "となる。ここで、 Q T {\\displaystyle {\\frac {Q}{T}}} を新しい物理量として定義して、この量はエントロピー(entropy)と呼ばれる。エントロピーの記号はSと置くとする。また、エントロピーの単位は[J/K]である。つまり、 S = Q T {\\displaystyle S={\\frac {Q}{T}}} である。そうすると、式(1)は", "title": "エントロピー" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "と書ける。", "title": "エントロピー" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "熱機関の動作の順序は、まず機関が高温熱源から熱を貰ってから、低温熱源に熱を渡すのであった。(逆に先に低音熱源に放熱してから高温熱源で吸熱するのは不可能である。熱機関は、もらってない熱は渡せない。熱力学の第二法則より当然である。)だから、時間的には、熱機関のエントロピーSは、まず先にS=Shになってから、時間が経って、あとからS=Scになったのである。そして式(2)より、 S h {\\displaystyle S_{h}} ≦ S c {\\displaystyle S_{c}} であるから、熱機関のエントロピーは、時間が経って、増大したことが分かる。", "title": "エントロピー" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "以上の論証より、熱機関のエントロピーは、かならず増大する。これをエントロピー増大の法則という。", "title": "エントロピー" } ]	熱力学 > エントロピー	<small> [[熱力学]] > エントロピー</small> ---- ==エントロピー== ある温度Tの物体に対して準静的に熱dQが与えられたときその物体は <math> dS = \frac {dQ} T </math> のエントロピーを得たという。この値を用いて第2法則を書き換えることが出来る。ある温度<math>T _1</math>と<math>T _2</math>(<math>T _1>T _2</math>)の物体を(物体1,物体2とする。) 接触させたとき、第2法則はある量の熱が<math>T _1</math>の物体から<math>T _2</math>の物体に移されることを予言する。このとき、それぞれの物体が得たエントロピーの量を計算すると物体1については、 <math> d S _1 = -\frac {d Q} {T _1} </math> が得られ、物体2については <math> d S _2 = \frac {d Q} {T _2} </math> が得られる。2つを合わせた場合を全系と呼び、全系のエントロピーを <math> d S _{\textrm{tot}} </math> と書くと、 <math> d S _{\textrm{tot}} = dQ (\frac 1 {T _2} -\frac 1 {T _1}) >0 </math> が得られる。このことから、第2法則は "全系のエントロピーが増大する方向に熱の移動が起こる。" と書き直すことが出来る。また、 <math> dQ = TdS </math> の関係を用いて、第1法則を書き換えることが出来る。 <math> dQ = dU - dW </math> を書き換えて、 <math> dU = TdS + dW </math> が得られる。特に気体について <math> dW = -P dV </math> となるものとして、圧力を定義すると <math> dU = TdS - PdV </math> が得られる。 (注意:これは可逆過程を考えたときの記述です。不可逆過程を考えたときは ...) {{stub}} === エントロピー === 熱効率の定義式と、カルノーサイクルの熱効率の温度の関係式を連立させてみよう。まず、高温熱源の温度をT<sub>h</sub>と書くとして、高温熱源から熱機関に渡す熱量をQ<sub>h</sub>と書くとしよう。低温熱源の温度はT<sub>c</sub>として、熱機関から低温熱源に放熱される熱量をQ<sub>c</sub>と書くとしよう。熱効率eの定義式は、 :<math>e=\frac{Q_h-Q_c}{Q_h}</math> であった。いっぽう、カルノーサイクルの熱効率は、 :<math>e</math>'''≦'''<math>\frac{T_h-T_c}{T_h}</math> である。これらより、 :<math>\frac{Q_h-Q_c}{Q_h}</math>'''≦'''<math>\frac{T_h-T_c}{T_h}</math> である。これは、 :<math>1-\frac{Q_c}{Q_h}</math>'''≦'''<math>1-\frac{T_c}{T_h}</math> とも書けて、両辺の1を引いて消去して、 :<math>-\frac{Q_c}{Q_h}</math>'''≦'''<math>-\frac{T_c}{T_h}</math> となる。マイナスがあるので、移項すれば、 :<math>\frac{T_c}{T_h}</math>'''≦'''<math>\frac{Q_c}{Q_h}</math> である。添字が同じ量どうしをまとめれば、 :<math>\frac{Q_h}{T_h}</math>'''≦'''<math>\frac{Q_c}{T_c}</math>　　　　　　（1）となる。ここで、<math>\frac{Q}{T}</math>を新しい物理量として定義して、この量は'''エントロピー'''（entropy）と呼ばれる。エントロピーの記号はSと置くとする。また、エントロピーの単位は[J/K]である。つまり、 <math>S=\frac{Q}{T}</math> である。そうすると、式(1)は :<math>S_h</math>'''≦'''<math>S_c</math>　　　　　　（2）と書ける。熱機関の動作の順序は、まず機関が高温熱源から熱を貰ってから、低温熱源に熱を渡すのであった。（逆に先に低音熱源に放熱してから高温熱源で吸熱するのは不可能である。熱機関は、もらってない熱は渡せない。熱力学の第二法則より当然である。）だから、時間的には、熱機関のエントロピーSは、まず先にS=S<sub>h</sub>になってから、時間が経って、あとからS=S<sub>c</sub>になったのである。そして式(2)より、<math>S_h</math>'''≦'''<math>S_c</math>　であるから、熱機関のエントロピーは、時間が経って、増大したことが分かる。以上の論証より、熱機関のエントロピーは、かならず増大する。これを'''エントロピー増大の法則'''という。 [[Category:熱力学\|えんとろひい]]	null	2022-12-01T04:09:28Z	[ "テンプレート:Stub" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%86%B1%E5%8A%9B%E5%AD%A6/%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%AD%E3%83%94%E3%83%BC
2,041	熱力学/熱力学的なエネルギー	熱力学 > 熱力学的なエネルギーある系について4つのパラメータ T,S,V,Pを考えるときこのうちの2つを定めると、他の2つは自動的に決定される。 (導出?) ここで d U = T d S − P d V {\displaystyle dU=TdS-PdV} の式から、内部エネルギーUにとって自然な変数は SとVであることがわかる。 (T,PはS,Vの関数である。) このときそれ以外の2つの量を自然な変数として持つ量を定義する。例えば、S,Pを自然な変数を持つ量として H = U + P V {\displaystyle H=U+PV} を定義する。Hをエンタルピーと呼ぶ。 (導出) d H = d U + d ( P V ) {\displaystyle dH=dU+d(PV)} = T d S − P d V + V d P + P d V {\displaystyle =TdS-PdV+VdP+PdV} = T d S + V d P {\displaystyle =TdS+VdP} となり、確かにSとPが変数となっている。同様にして F = U − T S {\displaystyle F=U-TS} (ヘルムホルツの自由エネルギー) , G = U − T S + P V = H − T S {\displaystyle G=U-TS+PV=H-TS} (ギブスの自由エネルギー) を定義する。ギブスの自由エネルギーは等温等圧の条件で行なわれる実験においてよく用いられる。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "熱力学 > 熱力学的なエネルギー", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "ある系について4つのパラメータ T,S,V,Pを考えるときこのうちの2つを定めると、他の2つは自動的に決定される。 (導出?)", "title": "熱力学的なエネルギー" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "ここで d U = T d S − P d V {\\displaystyle dU=TdS-PdV} の式から、内部エネルギーUにとって自然な変数は SとVであることがわかる。 (T,PはS,Vの関数である。) このときそれ以外の2つの量を自然な変数として持つ量を定義する。", "title": "熱力学的なエネルギー" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "例えば、S,Pを自然な変数を持つ量として H = U + P V {\\displaystyle H=U+PV} を定義する。Hをエンタルピーと呼ぶ。", "title": "熱力学的なエネルギー" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "(導出) d H = d U + d ( P V ) {\\displaystyle dH=dU+d(PV)} = T d S − P d V + V d P + P d V {\\displaystyle =TdS-PdV+VdP+PdV} = T d S + V d P {\\displaystyle =TdS+VdP} となり、確かにSとPが変数となっている。", "title": "熱力学的なエネルギー" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "同様にして F = U − T S {\\displaystyle F=U-TS} (ヘルムホルツの自由エネルギー) ,", "title": "熱力学的なエネルギー" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "G = U − T S + P V = H − T S {\\displaystyle G=U-TS+PV=H-TS} (ギブスの自由エネルギー) を定義する。ギブスの自由エネルギーは等温等圧の条件で行なわれる実験においてよく用いられる。", "title": "熱力学的なエネルギー" } ]	熱力学 > 熱力学的なエネルギー	<small> [[熱力学]] > 熱力学的なエネルギー</small> ---- ==熱力学的なエネルギー== ある系について4つのパラメータ T,S,V,Pを考えるときこのうちの2つを定めると、他の2つは自動的に決定される。 (導出?) <!-- (導出? (状態方程式でP,V,Tは互いに移り変わることが出来る。エントロピーは T = 0のときをエントロピーの0として取り、何らかの過程をつうじて熱を与えていけば ... (しかし、それぞれの状態に対するエントロピーの値が一意的に決まらない???) )) (統計力学を流用するなら系の分配関数から T,Vの関数として自由エネルギーFが求められ <math> P = -\frac {\partial F}{\partial V } ,S = - \frac {\partial F}{\partial T } </math> としてS,Pが求められるので、2つを決めることで系の状態が指定されることは当然となる。しかし上の議論の欠点はどこだろうか...?) (熱力学では自然な変数の熱力学関数を復元できた時、すべての熱力学的状態を記述できる。熱力学的状態を記述するには <math> dS = \frac {1}{T} dU - \frac {P}{T} dV </math> を用意し、この一次形式に対して積分を施すことで定数の任意性を除いて <math> S = S(U ,V) </math> として再現できる(ポアンカレの補題) --> ここで <math> dU = TdS - PdV </math> の式から、内部エネルギーUにとって自然な変数は SとVであることがわかる。 (T,PはS,Vの関数である。) このときそれ以外の2つの量を自然な変数として持つ量を定義する。例えば、S,Pを自然な変数を持つ量として <math> H = U + PV </math> を定義する。Hをエンタルピーと呼ぶ。 (導出) <math> dH = dU + d(PV) </math> <math> = TdS - PdV+ VdP + PdV </math> <math> = TdS + VdP </math> となり、確かにSとPが変数となっている。同様にして <math> F = U-TS </math> (ヘルムホルツの自由エネルギー) , <math> G = U-TS + PV = H -TS </math> (ギブスの自由エネルギー) を定義する。ギブスの自由エネルギーは等温等圧の条件で行なわれる実験においてよく用いられる。 [[Category:熱力学\|ねつりきかくてきなえねるき]] [[カテゴリ:エネルギー]]	2005-05-24T09:12:28Z	2024-02-06T05:19:38Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%86%B1%E5%8A%9B%E5%AD%A6/%E7%86%B1%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E7%9A%84%E3%81%AA%E3%82%A8%E3%83%8D%E3%83%AB%E3%82%AE%E3%83%BC
2,047	特殊相対論速度の合成則	特殊相対論 > 速度の合成則ある速度 v 1 {\displaystyle v_{1}} を持つ物体1から見たときにある速度 v 2 {\displaystyle v_{2}} を持つ物体2を、静止している観測者から見たときの速度を計算する。 (Newton力学では v 1 + v 2 {\displaystyle v_{1}+v_{2}} となることに注意。) ローレンツ群の性質から v 1 {\displaystyle v_{1}} を使った変換と v 1 {\displaystyle v_{1}} を使った変換を合わせて使うことで、静止した観測者から見た場合の物体2の速度が求まることを用いると、 γ 1 ( 1 β 1 β 1 1 ) × γ 2 ( 1 β 2 β 2 1 ) = γ 3 ( 1 β 3 β 3 1 ) {\displaystyle \gamma _{1}{\begin{pmatrix}1&\beta _{1}\\\beta _{1}&1\end{pmatrix}}\times \gamma _{2}{\begin{pmatrix}1&\beta _{2}\\\beta _{2}&1\end{pmatrix}}=\gamma _{3}{\begin{pmatrix}1&\beta _{3}\\\beta _{3}&1\end{pmatrix}}} となることが分かる。左辺の1行1列成分を計算すると、 = γ 1 γ 2 ( 1 + β 1 β 2 ) {\displaystyle =\gamma _{1}\gamma _{2}(1+\beta _{1}\beta _{2})} となることがわかる。右辺の1行1列成分と見くらべると、 γ 1 γ 2 ( 1 + β 1 β 2 ) = γ 3 {\displaystyle \gamma _{1}\gamma _{2}(1+\beta _{1}\beta _{2})=\gamma _{3}} が得られる。両辺を2乗すると、 1 1 − v 3 2 / c 2 = 1 1 − v 1 2 / c 2 1 1 − v 2 2 / c 2 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 {\displaystyle {\frac {1}{1-v_{3}^{2}/c^{2}}}={\frac {1}{1-v_{1}^{2}/c^{2}}}{\frac {1}{1-v_{2}^{2}/c^{2}}}(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}} 両辺の逆数を取ると、 1 − v 3 2 / c 2 = ( 1 − v 1 2 / c 2 ) ( 1 − v 2 2 / c 2 ) 1 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 {\displaystyle 1-v_{3}^{2}/c^{2}=(1-v_{1}^{2}/c^{2})(1-v_{2}^{2}/c^{2}){\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}} よって、 ( v 3 / c ) 2 = 1 − 1 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 ( 1 − v 1 2 / c 2 ) ( 1 − v 2 2 / c 2 ) = 1 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 ( ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 − ( 1 − v 1 2 / c 2 ) ( 1 − v 2 2 / c 2 ) ) = 1 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 ( 2 v 1 v 2 / c 2 − ( − v 1 2 / c 2 − v 2 2 / c 2 ) ) = 1 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 ( v 1 / c + v 2 / c ) 2 {\displaystyle {\begin{matrix}(v_{3}/c)^{2}=1-{\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}(1-v_{1}^{2}/c^{2})(1-v_{2}^{2}/c^{2})\\={\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}((1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}-(1-v_{1}^{2}/c^{2})(1-v_{2}^{2}/c^{2}))\\={\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}(2v_{1}v_{2}/c^{2}-(-v_{1}^{2}/c^{2}-v_{2}^{2}/c^{2}))\\={\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}(v_{1}/c+v_{2}/c)^{2}\end{matrix}}} これらから v 3 / c = ( v 1 / c + v 2 / c ) 1 + v 1 v 2 / c 2 {\displaystyle v_{3}/c={\frac {(v_{1}/c+v_{2}/c)}{1+v_{1}v_{2}/c^{2}}}} が得られる。ここで v 2 = c {\displaystyle v_{2}=c} とおくと、 v 3 / c = ( v 1 / c + 1 ) 1 + v 1 / c {\displaystyle v_{3}/c={\frac {(v_{1}/c+1)}{1+v_{1}/c}}} つまり、 v 3 = c {\displaystyle v_{3}=c} が得られる。これは、ある速さ v 1 {\displaystyle v_{1}} を持った観測者1が、観測者1から見て光速に近い速さで動く物体2を見たとしても、静止した観測者から見た物体2の速さは光速cより速くなることは無いということを示している。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "特殊相対論 > 速度の合成則", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "ある速度 v 1 {\\displaystyle v_{1}} を持つ物体1から見たときにある速度 v 2 {\\displaystyle v_{2}} を持つ物体2を、静止している観測者から見たときの速度を計算する。 (Newton力学では v 1 + v 2 {\\displaystyle v_{1}+v_{2}} となることに注意。)", "title": "速度の合成則" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "ローレンツ群の性質から v 1 {\\displaystyle v_{1}} を使った変換と v 1 {\\displaystyle v_{1}} を使った変換を合わせて使うことで、静止した観測者から見た場合の物体2の速度が求まることを用いると、", "title": "速度の合成則" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "γ 1 ( 1 β 1 β 1 1 ) × γ 2 ( 1 β 2 β 2 1 ) = γ 3 ( 1 β 3 β 3 1 ) {\\displaystyle \\gamma _{1}{\\begin{pmatrix}1&\\beta _{1}\\\\\\beta _{1}&1\\end{pmatrix}}\\times \\gamma _{2}{\\begin{pmatrix}1&\\beta _{2}\\\\\\beta _{2}&1\\end{pmatrix}}=\\gamma _{3}{\\begin{pmatrix}1&\\beta _{3}\\\\\\beta _{3}&1\\end{pmatrix}}} となることが分かる。左辺の1行1列成分を計算すると、 = γ 1 γ 2 ( 1 + β 1 β 2 ) {\\displaystyle =\\gamma _{1}\\gamma _{2}(1+\\beta _{1}\\beta _{2})} となることがわかる。右辺の1行1列成分と見くらべると、 γ 1 γ 2 ( 1 + β 1 β 2 ) = γ 3 {\\displaystyle \\gamma _{1}\\gamma _{2}(1+\\beta _{1}\\beta _{2})=\\gamma _{3}} が得られる。両辺を2乗すると、 1 1 − v 3 2 / c 2 = 1 1 − v 1 2 / c 2 1 1 − v 2 2 / c 2 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 {\\displaystyle {\\frac {1}{1-v_{3}^{2}/c^{2}}}={\\frac {1}{1-v_{1}^{2}/c^{2}}}{\\frac {1}{1-v_{2}^{2}/c^{2}}}(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}} 両辺の逆数を取ると、 1 − v 3 2 / c 2 = ( 1 − v 1 2 / c 2 ) ( 1 − v 2 2 / c 2 ) 1 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 {\\displaystyle 1-v_{3}^{2}/c^{2}=(1-v_{1}^{2}/c^{2})(1-v_{2}^{2}/c^{2}){\\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}} よって、 ( v 3 / c ) 2 = 1 − 1 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 ( 1 − v 1 2 / c 2 ) ( 1 − v 2 2 / c 2 ) = 1 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 ( ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 − ( 1 − v 1 2 / c 2 ) ( 1 − v 2 2 / c 2 ) ) = 1 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 ( 2 v 1 v 2 / c 2 − ( − v 1 2 / c 2 − v 2 2 / c 2 ) ) = 1 ( 1 + v 1 v 2 / c 2 ) 2 ( v 1 / c + v 2 / c ) 2 {\\displaystyle {\\begin{matrix}(v_{3}/c)^{2}=1-{\\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}(1-v_{1}^{2}/c^{2})(1-v_{2}^{2}/c^{2})\\\\={\\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}((1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}-(1-v_{1}^{2}/c^{2})(1-v_{2}^{2}/c^{2}))\\\\={\\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}(2v_{1}v_{2}/c^{2}-(-v_{1}^{2}/c^{2}-v_{2}^{2}/c^{2}))\\\\={\\frac {1}{(1+v_{1}v_{2}/c^{2})^{2}}}(v_{1}/c+v_{2}/c)^{2}\\end{matrix}}}", "title": "速度の合成則" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "これらから v 3 / c = ( v 1 / c + v 2 / c ) 1 + v 1 v 2 / c 2 {\\displaystyle v_{3}/c={\\frac {(v_{1}/c+v_{2}/c)}{1+v_{1}v_{2}/c^{2}}}} が得られる。ここで v 2 = c {\\displaystyle v_{2}=c} とおくと、 v 3 / c = ( v 1 / c + 1 ) 1 + v 1 / c {\\displaystyle v_{3}/c={\\frac {(v_{1}/c+1)}{1+v_{1}/c}}} つまり、 v 3 = c {\\displaystyle v_{3}=c} が得られる。これは、ある速さ v 1 {\\displaystyle v_{1}} を持った観測者1が、観測者1から見て光速に近い速さで動く物体2を見たとしても、静止した観測者から見た物体2の速さは光速cより速くなることは無いということを示している。", "title": "速度の合成則" } ]	特殊相対論 > 速度の合成則	<small> [[特殊相対論]] > 速度の合成則</small> ---- ==速度の合成則== ある速度<math>v _1</math>を持つ物体1から見たときにある速度<math>v _2</math>を持つ物体2を、静止している観測者から見たときの速度を計算する。 (Newton力学では <math>v _1 +v _2</math>となることに注意。) ローレンツ群の性質から <math>v _1</math>を使った変換と <math>v _1</math>を使った変換を合わせて使うことで、静止した観測者から見た場合の物体2の速度が求まることを用いると、 <math> \gamma _1 \begin{pmatrix} 1&\beta _1\\ \beta _1&1 \end{pmatrix} \times \gamma _2 \begin{pmatrix} 1&\beta _2\\ \beta _2&1 \end{pmatrix} = \gamma _3 \begin{pmatrix} 1&\beta _3\\ \beta _3&1 \end{pmatrix} </math> となることが分かる。左辺の1行1列成分を計算すると、 <math> = \gamma _1 \gamma _2 (1+\beta _1\beta _2) </math> となることがわかる。右辺の1行1列成分と見くらべると、 <math> \gamma _1 \gamma _2 (1+\beta _1\beta _2) = \gamma _3 </math> が得られる。両辺を2乗すると、 <math> \frac 1 {1 - v _3^2/c^2} = \frac 1 {1 - v _1^2/c^2}\frac 1 {1 - v _2^2/c^2} (1+ v _1 v _2 /c^2)^2 </math> 両辺の逆数を取ると、 <math> 1 - v _3^2/c^2 = (1 - v _1^2/c^2)(1 - v _2^2/c^2) \frac 1 {(1+ v _1 v _2 /c^2)^2} </math> よって、 <math> \begin{matrix} (v _3/c )^2 = 1 - \frac 1 {(1+ v _1 v _2 /c^2)^2} (1 - v _1^2/c^2)(1 - v _2^2/c^2)\\ = \frac 1 {(1+ v _1 v _2 /c^2)^2} ((1+ v _1 v _2 /c^2)^2- (1 - v _1^2/c^2)(1 - v _2^2/c^2))\\ =\frac 1 {(1+ v _1 v _2 /c^2)^2}(2 v _1 v _2 /c^2 -(- v _1^2 /c^2 - v _2^2 /c^2 ))\\ =\frac 1 {(1+ v _1 v _2 /c^2)^2}(v _1/c + v _2/c ) ^2 \end{matrix} </math> これらから <math> v _3 /c = \frac {( v _1/c + v _2/c )} {1+ v _1 v _2 /c^2} </math> が得られる。ここで<math>v _2=c</math>とおくと、 <math> v _3 /c = \frac {( v _1/c + 1 )} {1+ v _1 /c} </math> つまり、 <math> v _3 = c </math> が得られる。これは、ある速さ<math>v _1</math>を持った観測者1が、観測者1から見て光速に近い速さで動く物体2を見たとしても、静止した観測者から見た物体2の速さは光速cより速くなることは無いということを示している。 [[Category:特殊相対論\|そくとのこうせいそく]]	2005-05-24T13:10:27Z	2024-03-16T03:17:21Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E8%AB%96_%E9%80%9F%E5%BA%A6%E3%81%AE%E5%90%88%E6%88%90%E5%89%87
2,048	有機化学/シクロアルカン	有機化学>シクロアルカンシクロアルカン(cycloalkanes)は一般式CnH2nで表される環式不飽和炭化水素の総称である。シクロアルカンはC-C結合がすべて単結合であることから、一般にアルカンに似た性質を示す。一般式が同じアルケンとは異なり、シクロアルカンは付加反応しない。命名には同じ炭素数のアルカンの前に「シクロ(cyclo-)」をつける。シクロアルカンが有するようなn個の原子で構成される環は一般にn員環(三員環、四員環、...)と呼ばれる。例えば、シクロプロパン(n=3)は三員環である。原子軌道の混成理論によると、炭素原子に4個の原子(群)が結合する有機化合物において、炭素原子上の4個の結合はsp混成軌道と呼ばれる4つの混成軌道として表現される。それにより、メタン(CH4)などにみられる最も対称性が高いsp混成軌道では、炭素原子を重心として正四面体の各頂点へ伸びた「正四面体形」の原子価状態が現れる。このときの理想的なsp混成軌道の結合角はcos(1/3)≒109.5°と計算される。シクロアルカン上の炭素原子はすべてsp混成であり、109.5°を大きく離れる結合角を有するシクロアルカンは大きな環ひずみにより不安定になる。シクロプロパン以外のシクロアルカンは同一平面上に全ての炭素原子が存在する構造をとらないため、立体配座が考慮されることが多い。シクロペンタン(n=5)とシクロヘキサン(n=6)を比較すると、正五角形の内角は108°、正六角形の内角は120°であり、平面分子であるならばシクロペンタンがより安定であると予想される。しかし、実際にはシクロヘキサンがほぼ理想的な形状のsp混成軌道を有しており、シクロペンタンよりも安定となる。n=3–10程度のシクロアルカンを比較するとn=6に近いものほど安定である。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "有機化学>シクロアルカン", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "シクロアルカン(cycloalkanes)は一般式CnH2nで表される環式不飽和炭化水素の総称である。シクロアルカンはC-C結合がすべて単結合であることから、一般にアルカンに似た性質を示す。一般式が同じアルケンとは異なり、シクロアルカンは付加反応しない。命名には同じ炭素数のアルカンの前に「シクロ(cyclo-)」をつける。シクロアルカンが有するようなn個の原子で構成される環は一般にn員環(三員環、四員環、...)と呼ばれる。例えば、シクロプロパン(n=3)は三員環である。", "title": "シクロアルカンの定義" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "原子軌道の混成理論によると、炭素原子に4個の原子(群)が結合する有機化合物において、炭素原子上の4個の結合はsp混成軌道と呼ばれる4つの混成軌道として表現される。それにより、メタン(CH4)などにみられる最も対称性が高いsp混成軌道では、炭素原子を重心として正四面体の各頂点へ伸びた「正四面体形」の原子価状態が現れる。このときの理想的なsp混成軌道の結合角はcos(1/3)≒109.5°と計算される。シクロアルカン上の炭素原子はすべてsp混成であり、109.5°を大きく離れる結合角を有するシクロアルカンは大きな環ひずみにより不安定になる。", "title": "安定性と立体配座" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "シクロプロパン以外のシクロアルカンは同一平面上に全ての炭素原子が存在する構造をとらないため、立体配座が考慮されることが多い。シクロペンタン(n=5)とシクロヘキサン(n=6)を比較すると、正五角形の内角は108°、正六角形の内角は120°であり、平面分子であるならばシクロペンタンがより安定であると予想される。しかし、実際にはシクロヘキサンがほぼ理想的な形状のsp混成軌道を有しており、シクロペンタンよりも安定となる。n=3–10程度のシクロアルカンを比較するとn=6に近いものほど安定である。", "title": "安定性と立体配座" } ]	有機化学＞シクロアルカン	[[有機化学]]＞シクロアルカン == シクロアルカンの定義 == シクロアルカン(cycloalkanes)は[[有機化学_アルカン#アルカンの一般式\|一般式]]C<sub>n</sub>H<sub>2n</sub>で表される[[有機化学#有機化合物の分類\|環式不飽和炭化水素]]の総称である。シクロアルカンはC-C結合がすべて単結合であることから、一般に[[有機化学_アルカン#アルカンの性質\|アルカン]]に似た性質を示す。一般式が同じ[[有機化学_アルケン#アルケンの定義\|アルケン]]とは異なり、シクロアルカンは[[有機化学_アルケン#付加反応\|付加反応]]しない。命名には同じ炭素数の[[有機化学_アルカン#命名法\|アルカン]]の前に「シクロ(cyclo-)」をつける。シクロアルカンが有するようなn個の原子で構成される環は一般にn員環(三員環、四員環、…)と呼ばれる。例えば、シクロプロパン(n=3)は三員環である。 CH2 CH2-CH2 / \ \| \| CH2-CH2 CH2-CH2 シクロプロパンシクロブタン CH2 CH2-CH2 / \ / \ CH2 CH2 CH2 CH2 \ / \ / CH2-CH2 CH2-CH2 シクロペンタンシクロヘキサン == 安定性と立体配座 == 原子軌道の混成理論によると、炭素原子に4個の原子（群）が結合する有機化合物において、炭素原子上の4個の結合はsp<sup>3</sup>混成軌道と呼ばれる4つの混成軌道として表現される。それにより、メタン(CH<sub>4</sub>)などにみられる最も対称性が高いsp<sup>3</sup>混成軌道では、炭素原子を[[w:重心\|重心]]として[[w:正四面体\|正四面体]]の各頂点へ伸びた「正四面体形」の原子価状態が現れる。このときの理想的なsp<sup>3</sup>混成軌道の結合角はcos<sup>−1</sup>(1/3)≒109.5°と計算される。シクロアルカン上の炭素原子はすべてsp<sup>3</sup>混成であり、109.5°を大きく離れる結合角を有するシクロアルカンは大きな[[環ひずみ\|環ひずみ]]により不安定になる。シクロプロパン以外のシクロアルカンは同一平面上に全ての炭素原子が存在する構造をとらないため、[[立体配座]]が考慮されることが多い。シクロペンタン(n=5)とシクロヘキサン(n=6)を比較すると、正五角形の内角は108°、正六角形の内角は120°であり、平面分子であるならばシクロペンタンがより安定であると予想される。しかし、実際にはシクロヘキサンがほぼ理想的な形状のsp<sup>3</sup>混成軌道を有しており、シクロペンタンよりも安定となる。n=3–10程度のシクロアルカンを比較するとn=6に近いものほど安定である。 [[カテゴリ:有機化学]] [[en:Organic Chemistry/Cycloalkanes]]	null	2022-11-23T05:33:17Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%9C%89%E6%A9%9F%E5%8C%96%E5%AD%A6/%E3%82%B7%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%AB%E3%83%B3
2,049	有機化学/シクロアルケン	有機化学>シクロアルケン二重結合をひとつだけ持つ脂環式炭化水素である。性質はアルケンに似ている。一般式はCnH2n-2であり、アルキンと同じである。しかし、シクロアルケンは置換反応しないので区別できる。命名はアルケンの前に「シクロ(cyclo)」をつける。シクロアルカンと同じく、シクロペンテンとシクロヘキセンが安定である。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "有機化学>シクロアルケン", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "二重結合をひとつだけ持つ脂環式炭化水素である。性質はアルケンに似ている。一般式はCnH2n-2であり、アルキンと同じである。しかし、シクロアルケンは置換反応しないので区別できる。命名はアルケンの前に「シクロ(cyclo)」をつける。シクロアルカンと同じく、シクロペンテンとシクロヘキセンが安定である。", "title": "シクロアルケンの定義と性質" } ]	有機化学＞シクロアルケン	[[有機化学]]＞シクロアルケン ==シクロアルケンの定義と性質== 二重結合をひとつだけ持つ脂環式炭化水素である。性質は[[有機化学_アルケン#アルケンの性質\|アルケン]]に似ている。 [[有機化学_アルカン#アルカンの一般式\|一般式]]はC<sub>n</sub>H<sub>2n-2</sub>であり、[[有機化学_アルキン#アルキンの定義\|アルキン]]と同じである。しかし、シクロアルケンは[[有機化学_アルカン#置換反応\|置換反応]]しないので区別できる。命名は[[有機化学_アルケン#命名法\|アルケン]]の前に「シクロ(cyclo)」をつける。 [[有機化学_シクロアルカン#安定性\|シクロアルカン]]と同じく、シクロペンテンとシクロヘキセンが安定である。 [[カテゴリ:有機化学]]	null	2022-11-23T05:33:20Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%9C%89%E6%A9%9F%E5%8C%96%E5%AD%A6/%E3%82%B7%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B1%E3%83%B3
2,054	初等数学公式集/初等幾何/体積	このページでは体積の公式の解説をします。 V = abh V = a V = Sh V = 1 3 S h {\displaystyle V={\frac {1}{3}}Sh} 錐体の頂点から底面 S {\displaystyle S} (右図では A b {\displaystyle A_{b}} )に垂線を下して、頂点から x ( 0 ≤ x ≤ h ) {\displaystyle x(0\leq x\leq h)} の距離で底面と平行に錐体を切り取ったことで得られる図形を A x {\displaystyle A_{x}} とする。この時、錐体の定義から、 S {\displaystyle S} と A x {\displaystyle A_{x}} は相似である。相似な図形の面積比は、相似比の2乗に等しいことから、 S : A x = h 2 : x 2 {\displaystyle S:A_{x}=h^{2}:x^{2}} 従って、 A x = x 2 S h 2 {\displaystyle A_{x}={\frac {x^{2}S}{h^{2}}}} 錐体の体積は、平面図形 A x {\displaystyle A_{x}} に関して、 0 ≤ x ≤ h {\displaystyle 0\leq x\leq h} の区間で変化させ累積したものであるから、 A x {\displaystyle A_{x}} を区間 [ 0 , h ] {\displaystyle [0,h]} で積分することにより得られる。 V = ∫ 0 h A x d x {\displaystyle V=\int _{0}^{h}A_{x}\,dx} = ∫ 0 h x 2 S h 2 d x {\displaystyle =\int _{0}^{h}{\frac {x^{2}S}{h^{2}}}\,dx} = S h 2 ∫ 0 h x 2 d x {\displaystyle ={\frac {S}{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}\,dx} = S h 2 [ x 3 3 ] 0 h {\displaystyle ={\frac {S}{h^{2}}}\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{0}^{h}} = S h 2 ( h 3 3 ) {\displaystyle ={\frac {S}{h^{2}}}\left({\frac {h^{3}}{3}}\right)} = 1 3 S h {\displaystyle ={\frac {1}{3}}Sh} 上底の面積 s {\displaystyle s} (右図では A 2 {\displaystyle A_{2}} )、下底の面積 S {\displaystyle S} (右図では A 1 {\displaystyle A_{1}} )、高さ h {\displaystyle h} の錐台の体積 V {\displaystyle V} 錐台は、別名「切頭錐体」のとおり、 S {\displaystyle S} を底とする錐体: P 1 {\displaystyle P_{1}} から、 s {\displaystyle s} を底とする相似な錐体: P 2 {\displaystyle P_{2}} を除いたものとされる。錐体: P 1 {\displaystyle P_{1}} の高さを H {\displaystyle H} とすると、錐体: P 2 {\displaystyle P_{2}} の高さは H − h {\displaystyle H-h} となり、各々の体積は、相似比と面積比の関係から、従って、これを、※に代入すると、以下の式を得る。くさび形の上辺から底面に垂線を下して、頂点から x ( 0 ≤ x ≤ h ) {\displaystyle x(0\leq x\leq h)} の距離で底面と平行にくさび形を切り取ったことで得られる図形(長方形)を S x {\displaystyle S_{x}} とする。この長方形の縦横は比例の関係から以下のとおりとなる。くさび形の体積は、平面図形 S x {\displaystyle S_{x}} に関して、 0 ≤ x ≤ h {\displaystyle 0\leq x\leq h} の区間で変化させ累積したものであるから、 S x {\displaystyle S_{x}} を区間 [ 0 , h ] {\displaystyle [0,h]} で積分することにより得られる。 V = ∫ 0 h S x d x {\displaystyle V=\int _{0}^{h}S_{x}\,dx} = ∫ 0 h ( ( a − c ) b x 2 h 2 + b c x h ) d x {\displaystyle =\int _{0}^{h}\left({\frac {(a-c)bx^{2}}{h^{2}}}+{\frac {bcx}{h}}\right)dx} = b h 2 ∫ 0 h ( ( a − c ) x 2 + c h x ) d x {\displaystyle ={\frac {b}{h^{2}}}\int _{0}^{h}((a-c)x^{2}+chx)dx} = b h 2 [ ( a − c ) x 3 3 + c h x 2 2 ] 0 h {\displaystyle ={\frac {b}{h^{2}}}\left[{\frac {(a-c)x^{3}}{3}}+{\frac {chx^{2}}{2}}\right]_{0}^{h}} = b h 2 ( ( a − c ) h 3 3 + c h 3 2 ) {\displaystyle ={\frac {b}{h^{2}}}\left({\frac {(a-c)h^{3}}{3}}+{\frac {ch^{3}}{2}}\right)} = b h ( a 3 + c 6 ) {\displaystyle =bh\left({\frac {a}{3}}+{\frac {c}{6}}\right)} V = 2 12 a 3 {\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{12}}a^{3}} 正四面体の体積は、立方体との関係からも導出することができます。立方体と頂点を共有した正四面体は、全ての辺が立方体の面の対角線になっています。よって、立方体から余った体積を引けば、正四面体の体積を導き出すことができます。正四面体の1辺の長さをaとします。余った部分は全部で4つありますが、辺の長さは全てそれぞれ等しいので、これらは合同になります。立方体の1辺の長さは、正方形の辺と対角線の長さの比「 1 : 2 {\displaystyle 1:{\sqrt {2}}} 」から、余った部分は三角錐とみなすことができるので、角錐の体積から、最後に立方体から角錐4つを引きます。 V = 2 3 a 3 {\displaystyle V={\frac {\sqrt {2}}{3}}a^{3}} 正八面体は、体積の等しい正四角錐が2つあると見ることができます。それらの角錐の高さは、角錐の底面の対角線の交点から求めることができます。底面に対し、頂上の頂点と底面の対角線の交点を結ぶ直線は垂直になるので、高さは、角錐の母線と対角線から、三平方の定理で導出できます。対角線の長さは、対角線は互いの中点で交わるので、高さは、母線と対角線の半分から、実は、正八面体はどこで正四角錐2つに分離しても、高さは同一であるため、対角線の半分が既に高さになっています。最後に、錐体の体積の公式から、 V = 15 + 7 5 4 a 3 {\displaystyle V={\frac {15+7{\sqrt {5}}}{4}}a^{3}} V = 5 ( 3 + 5 ) 12 a 3 {\displaystyle V={\frac {5(3+{\sqrt {5}})}{12}}a^{3}} V = 4 3 π r 3 {\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}} 半径 r {\displaystyle r} の円; C {\displaystyle C} を、円の中心からの距離 R {\displaystyle R} (但し、 r {\displaystyle r} ≦ R {\displaystyle R} とする)の直線を軸として回転させた円環体(トーラス、ドーナツ型) (解法)	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "このページでは体積の公式の解説をします。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "V = abh", "title": "直方体の体積" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "V = a", "title": "立方体の体積" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "V = Sh", "title": "柱体の体積" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "V = 1 3 S h {\\displaystyle V={\\frac {1}{3}}Sh}", "title": "錐体の体積" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "錐体の頂点から底面 S {\\displaystyle S} (右図では A b {\\displaystyle A_{b}} )に垂線を下して、頂点から x ( 0 ≤ x ≤ h ) {\\displaystyle x(0\\leq x\\leq h)} の距離で底面と平行に錐体を切り取ったことで得られる図形を A x {\\displaystyle A_{x}} とする。", "title": "錐体の体積" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "この時、錐体の定義から、 S {\\displaystyle S} と A x {\\displaystyle A_{x}} は相似である。", "title": "錐体の体積" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "相似な図形の面積比は、相似比の2乗に等しいことから、", "title": "錐体の体積" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "S : A x = h 2 : x 2 {\\displaystyle S:A_{x}=h^{2}:x^{2}}", "title": "錐体の体積" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "従って、", "title": "錐体の体積" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "A x = x 2 S h 2 {\\displaystyle A_{x}={\\frac {x^{2}S}{h^{2}}}}", "title": "錐体の体積" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "錐体の体積は、平面図形 A x 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"p", "text": "錐台は、別名「切頭錐体」のとおり、 S {\\displaystyle S} を底とする錐体: P 1 {\\displaystyle P_{1}} から、 s {\\displaystyle s} を底とする相似な錐体: P 2 {\\displaystyle P_{2}} を除いたものとされる。", "title": "錐台の体積" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "錐体: P 1 {\\displaystyle P_{1}} の高さを H {\\displaystyle H} とすると、錐体: P 2 {\\displaystyle P_{2}} の高さは H − h {\\displaystyle H-h} となり、各々の体積は、", "title": "錐台の体積" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "相似比と面積比の関係から、", "title": "錐台の体積" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "従って、", "title": "錐台の体積" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "これを、※に代入すると、以下の式を得る。", "title": "錐台の体積" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "くさび形の上辺から底面に垂線を下して、頂点から x ( 0 ≤ x ≤ h ) {\\displaystyle x(0\\leq x\\leq h)} の距離で底面と平行にくさび形を切り取ったことで得られる図形(長方形)を S x {\\displaystyle S_{x}} とする。", "title": "くさび形の体積" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "この長方形の縦横は比例の関係から以下のとおりとなる。", "title": "くさび形の体積" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "くさび形の体積は、平面図形 S x {\\displaystyle S_{x}} に関して、 0 ≤ x ≤ h {\\displaystyle 0\\leq x\\leq h} の区間で変化させ累積したものであるから、 S x {\\displaystyle S_{x}} を区間 [ 0 , h ] {\\displaystyle [0,h]} で積分することにより得られる。", "title": "くさび形の体積" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "V = ∫ 0 h S x d x {\\displaystyle V=\\int _{0}^{h}S_{x}\\,dx} = ∫ 0 h ( ( a − c ) b x 2 h 2 + b c x h ) d x {\\displaystyle =\\int _{0}^{h}\\left({\\frac {(a-c)bx^{2}}{h^{2}}}+{\\frac {bcx}{h}}\\right)dx} = b h 2 ∫ 0 h ( ( a − c ) x 2 + c h x ) d x {\\displaystyle ={\\frac {b}{h^{2}}}\\int _{0}^{h}((a-c)x^{2}+chx)dx} = b h 2 [ ( a − c ) x 3 3 + c h x 2 2 ] 0 h {\\displaystyle ={\\frac {b}{h^{2}}}\\left[{\\frac {(a-c)x^{3}}{3}}+{\\frac {chx^{2}}{2}}\\right]_{0}^{h}} = b h 2 ( ( a − c ) h 3 3 + c h 3 2 ) {\\displaystyle ={\\frac {b}{h^{2}}}\\left({\\frac {(a-c)h^{3}}{3}}+{\\frac {ch^{3}}{2}}\\right)} = b h ( a 3 + c 6 ) {\\displaystyle =bh\\left({\\frac {a}{3}}+{\\frac {c}{6}}\\right)}", "title": "くさび形の体積" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "V = 2 12 a 3 {\\displaystyle V={\\frac {\\sqrt {2}}{12}}a^{3}}", "title": "正多面体の体積" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "正四面体の体積は、立方体との関係からも導出することができます。立方体と頂点を共有した正四面体は、全ての辺が立方体の面の対角線になっています。よって、立方体から余った体積を引けば、正四面体の体積を導き出すことができます。", "title": "正多面体の体積" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "正四面体の1辺の長さをaとします。余った部分は全部で4つありますが、辺の長さは全てそれぞれ等しいので、これらは合同になります。", "title": "正多面体の体積" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "立方体の1辺の長さは、正方形の辺と対角線の長さの比「 1 : 2 {\\displaystyle 1:{\\sqrt {2}}} 」から、", "title": "正多面体の体積" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "余った部分は三角錐とみなすことができるので、角錐の体積から、", "title": "正多面体の体積" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "最後に立方体から角錐4つを引きます。", "title": "正多面体の体積" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "", "title": "正多面体の体積" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "V = 2 3 a 3 {\\displaystyle V={\\frac {\\sqrt {2}}{3}}a^{3}}", "title": "正多面体の体積" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "正八面体は、体積の等しい正四角錐が2つあると見ることができます。それらの角錐の高さは、角錐の底面の対角線の交点から求めることができます。底面に対し、頂上の頂点と底面の対角線の交点を結ぶ直線は垂直になるので、高さは、角錐の母線と対角線から、三平方の定理で導出できます。", "title": "正多面体の体積" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "対角線の長さは、", "title": "正多面体の体積" }, { "paragraph_id": 33, "tag": "p", "text": "対角線は互いの中点で交わるので、", "title": "正多面体の体積" }, { "paragraph_id": 34, "tag": "p", "text": "高さは、母線と対角線の半分から、", "title": "正多面体の体積" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "実は、正八面体はどこで正四角錐2つに分離しても、高さは同一であるため、対角線の半分が既に高さになっています。最後に、錐体の体積の公式から、", "title": "正多面体の体積" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "V = 15 + 7 5 4 a 3 {\\displaystyle V={\\frac {15+7{\\sqrt {5}}}{4}}a^{3}}", "title": "正多面体の体積" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "V = 5 ( 3 + 5 ) 12 a 3 {\\displaystyle V={\\frac {5(3+{\\sqrt {5}})}{12}}a^{3}}", "title": "正多面体の体積" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "V = 4 3 π r 3 {\\displaystyle V={\\frac {4}{3}}\\pi r^{3}}", "title": "球の体積" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "半径 r {\\displaystyle r} の円; C {\\displaystyle C} を、円の中心からの距離 R {\\displaystyle R} (但し、 r {\\displaystyle r} ≦ R {\\displaystyle R} とする)の直線を軸として回転させた円環体(トーラス、ドーナツ型)", "title": "円環体（トーラス）の体積" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "(解法)", "title": "円環体（トーラス）の体積" } ]	このページでは体積の公式の解説をします。	このページでは体積の公式の解説をします。 ==直方体の体積== ''V'' = ''abh'' ==立方体の体積== ''V'' = ''a''<sup>3</sup> ==柱体の体積== ''V'' = ''Sh'' ==錐体の体積== <math>V = \frac{1}{3} Sh</math> [[File:Right circular cone (parameters r,h,x,Ab,Ax).svg\|thumb\|200px\|right\|錐体]] 錐体の頂点から底面<math>S</math>（右図では<math>A_b</math>）に垂線を下して、頂点から<math>x (0 \leq x \leq h)</math>の距離で底面と平行に錐体を切り取ったことで得られる図形を<math>A_x</math>とする。この時、錐体の定義から、<math>S</math>と<math>A_x</math>は相似である。相似な図形の面積比は、相似比の２乗に等しいことから、 <math>S : A_x = h^2 : x^2</math> 従って、 <math>A_x = \frac{x^2 S}{h^2} </math> 錐体の体積は、平面図形<math>A_x</math>に関して、<math>0 \leq x \leq h</math>の区間で変化させ累積したものであるから、<math>A_x</math>を区間<math>[0,h]</math>で積分することにより得られる。 <math>V = \int_0^h A_x\,dx </math> <math> = \int_0^h \frac{x^2 S}{h^2}\,dx </math> <math> = \frac{S}{h^2} \int_0^h x^2 \,dx </math> <math> = \frac{S}{h^2} \left[ \frac{x^3}{3}\right]_0^h </math> <math> = \frac{S}{h^2} \left(\frac{h^3}{3}\right) </math><math> = \frac{1}{3} Sh</math> ==錐台の体積== [[File:Pyramidenstumpf.svg\|thumb\|200px\|right\|錐台]] 上底の面積 <math>s</math>（右図では<math>A_2</math>）、下底の面積 <math>S</math>（右図では<math>A_1</math>）、高さ <math>h</math> の錐台の体積 <math>V</math> 錐台は、別名「切頭錐体」のとおり、<math>S</math>を底とする錐体:<math>P_1</math>から、<math>s</math>を底とする相似な錐体:<math>P_2</math>を除いたものとされる。錐体:<math>P_1</math>の高さを <math>H</math>とすると、錐体:<math>P_2</math>の高さは <math>H-h</math>となり、各々の体積は、 :<math>V_1 = \frac{1}{3} SH</math>, <math>V_2 = \frac{1}{3} s(H-h)</math> となるので、求める体積<math>V = \frac{1}{3} ( SH - s(H-h) ) = \frac{1}{3} ( H(S - s) +hs) )</math>(※)となる。相似比と面積比の関係から、 :<math>S : s = H^2 : (H-h)^2</math> 従って、 :<math>\sqrt{S} : \sqrt{s} = H : (H-h)</math> :<math>H\sqrt{s} = (H-h)\sqrt{S}</math> :<math>H(\sqrt{S}-\sqrt{s}) = h\sqrt{S}</math> :<math>H = \frac{ h\sqrt{S}}{\sqrt{S}-\sqrt{s}}</math><math>= \frac{ h\sqrt{S}(\sqrt{S}+\sqrt{s})}{S-s}</math><math>= \frac{ h(S+\sqrt{sS})}{S-s}</math> これを、※に代入すると、以下の式を得る。 :<math>V = \frac h 3 (s + \sqrt{s S} + S) </math> ==くさび形の体積== [[File:Geometric_wedge.png\|right\|200px\|thumb\|くさび形]] * 下底が縦のながさ ''a''、横のながさ ''b''の長方形、縦と平行である上辺のながさ ''c''、高さ ''h'' の'''くさび形'''の体積 ''V''： :<math>V = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right) </math> くさび形の上辺から底面に垂線を下して、頂点から<math>x (0 \leq x \leq h)</math>の距離で底面と平行にくさび形を切り取ったことで得られる図形（長方形）を<math>S_x</math>とする。この長方形の縦横は比例の関係から以下のとおりとなる。縦:<math>\frac{(a-c)x}{h}+c</math>, 横:<math>\frac{bx}{h}</math> <math>S_x = \left(\frac{(a-c)x}{h}+c\right)\left(\frac{bx}{h}\right)</math><math> = \frac{(a-c)bx^2}{h^2}+\frac{bcx}{h}</math> くさび形の体積は、平面図形<math>S_x</math>に関して、<math>0 \leq x \leq h</math>の区間で変化させ累積したものであるから、<math>S_x</math>を区間<math>[0,h]</math>で積分することにより得られる。 <math>V = \int_0^h S_x\,dx </math> <math> = \int_0^h \left( \frac{(a-c)bx^2}{h^2}+\frac{bcx}{h}\right)dx </math> <math> = \frac{b}{h^2} \int_0^h ((a-c)x^2+chx)dx </math> <math> = \frac{b}{h^2} \left[ \frac{(a-c)x^3}{3}+\frac{chx^2}{2} \right]_0^h </math> <math> = \frac{b}{h^2} \left(\frac{(a-c)h^3}{3}+\frac{ch^3}{2} \right) </math><math> = bh\left(\frac{a}{3}+\frac{c}{6}\right)</math> ==正多面体の体積== ===正四面体の体積=== <math>V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^3</math> [[画像:正四面体の体積.png\|right\|]] :まず底面から計算します。 :正四面体の頂上の頂点は、底面を形成する3点から等しい位置にあるので、 :そこから真下へ線を伸ばしたとき、その線と底面との交点は、3点から等しい位置、即ち中心(外心、内心、重心、垂心)に位置することになります。 :さらに底面の図形は正三角形なので、それぞれの点から中心をとおり、対辺に繋がる線分を引くと、3線全てが、対辺を垂直に2等分します。 :このとき、この線分の長さ(右図上の赤線の長さ)は、三平方の定理によって、 :<math> \begin{matrix} \sqrt{{\color{Green}a}^2 - \left({1 \over 2}a \right)^2} &=& \sqrt{{\color{Green}a}^2 - {1 \over 4}a^2} \\ \\ & = & \sqrt{{3 \over 4}a^2} \\ \\ & = & {\color{Red}{\sqrt{3} \over 2}a} \end{matrix}</math> :次に青線2本と緑線1本で形成される二等辺三角形に、緑線を対象の軸とした線対称な二等辺三角形を作図します。 :この二等辺三角形は、底角が30ﾟ(正三角形の角の2等分線であるため)なので、2つ繋げると60ﾟになります。 :2辺が等しく、その間の角が60ﾟである二等辺三角形は正三角形なので、 :右図上の黒線全体の長さは、青線の長さに等しく、二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に2等分するため、 :この黒線のうち正三角形の内側に入る黒線の長さは、青線の長さの半分、つまり、赤線の長さの<math>{1 \over 3}</math>となります。 :逆に青線の長さは赤線の長さの<math>{2 \over 3}</math>なので、 :<math> \begin{matrix} {\color{Red} {\sqrt{3} \over 2}a} \times {2 \over 3} &=& {\sqrt{3} \times 2\!\!\!/ \over 2\!\!\!/ \times 3}a \\ \\ &=& {\color{Blue}{\sqrt{3} \over 3}a} \end{matrix} </math> :続いて高さ。高さはこれまでに調べた長さと三平方の定理を利用すれば、 :<math> \begin{matrix} \sqrt{{\color{Green}a}^2 - \left({\color{Blue}{\sqrt{3} \over 3}a} \right)^2} &=& \sqrt{{\color{Green}a}^2 - {1 \over 3}a^2} \\ \\ &=& \sqrt{{2 \over 3}a^2} \\ \\ &=& {\color{Brown} a \sqrt{{2 \over 3}}} \end{matrix} </math> :底面積、高さが出たので、 :<math> \begin{matrix} V &=& {\color{Green}a} \times {\color{Red}{\sqrt{3} \over 2}a} \times {1 \over 2} \times {\color{Brown}a \sqrt{{2 \over 3}}} \times {1 \over 3} \\ \\ &=& {{\color{Green}a} \times {\color{Red}a \sqrt{3}\!\!\!/} \times {\color{Brown}a \sqrt{2}} \over 2 \times {\color{Red} 2} \times 3 \times {\color{Brown}\sqrt{3}\!\!\!/}} \\ \\ &=& {\sqrt{2} \over 12} a^3 \end{matrix}</math> ====立方体から考える==== [[画像:正四面体の体積2.png]] 正四面体の体積は、立方体との関係からも導出することができます。<br> 立方体と頂点を共有した正四面体は、全ての辺が立方体の面の対角線になっています。<br> よって、立方体から余った体積を引けば、正四面体の体積を導き出すことができます。正四面体の1辺の長さを''a''とします。<br> 余った部分は全部で4つありますが、辺の長さは全てそれぞれ等しいので、これらは合同になります。立方体の1辺の長さは、正方形の辺と対角線の長さの比「<math>1 : \sqrt{2}</math>」から、 :<math> a \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}a </math> 余った部分は三角錐とみなすことができるので、角錐の体積から、 ::<math> \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}a \times \frac{\sqrt{2}}{2}a \times \frac{\sqrt{2}}{2}a </math><br> :<math> = \frac{1}{6} \times \left( \frac{\sqrt{2}}{2}a \right)^3 </math><br> :<math> = \frac{1}{6} \times \frac{\sqrt{2}}{4}a^3 </math><br> :<math> = \frac{\sqrt{2}}{24}a^3 </math> 最後に立方体から角錐4つを引きます。 ::<math> \left( \frac{\sqrt{2}}{2}a \right)^3 - 4 \left( \frac{\sqrt{2}}{24}a^3 \right) </math><br> :<math> = \frac{\sqrt{2}}{4}a^3 - \frac{\sqrt{2}}{6}a^3 </math><br> :<math> = \frac{3 \sqrt{2}}{12}a^3 - \frac{2 \sqrt{2}}{12}a^3 </math><br> :<math> = \frac{\sqrt{2}}{12}a^3 </math> <!--===正六面体の体積===--> ===正八面体の体積=== <math>V = \frac{\sqrt{2}}{3}a^3</math> [[画像:正八面体の体積.png\|thumb\|right\|高さは底面の対角線の交点から求めることができます。]] 正八面体は、体積の等しい正四角錐が2つあると見ることができます。<br> それらの角錐の高さは、角錐の底面の対角線の交点から求めることができます。<br> 底面に対し、頂上の頂点と底面の対角線の交点を結ぶ直線は垂直になるので、<br> 高さは、角錐の母線と対角線から、三平方の定理で導出できます。対角線の長さは、 :<math>\sqrt{a^2 + a^2} = a \sqrt{2}</math> 対角線は互いの中点で交わるので、 :<math>\frac{a \sqrt{2}}{2}</math> 高さは、母線と対角線の半分から、 ::<math>\sqrt{a^2 - \left( \frac{a\sqrt{2}}{2} \right)^2}</math> :<math>= \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{2}}</math> :<math>= \sqrt{\frac{a^2}{2}}</math> :<math>= {\color{red}\frac{a \sqrt{2}}{2}}</math> 実は、正八面体はどこで正四角錐2つに分離しても、高さは同一であるため、対角線の半分が既に高さになっています。<br> 最後に、錐体の体積の公式から、 :<math>V = 2 \times \frac{1}{3} \times a^2 \times {\color{red}\frac{a \sqrt{2}}{2}}</math> ::<math>= \frac{1}{3} \times \sqrt{2}a^3</math> ::<math>= \frac{\sqrt{2}}{3}a^3</math> ===正十二面体の体積=== <math>V = \frac{15+7\sqrt{5}}{4}a^3</math> ===正二十面体の体積=== <math>V = \frac{5(3+\sqrt{5})}{12}a^3</math> ==球の体積== <math>V = \frac{4}{3}\pi r^3</math> :<math>x^2 + y^2 + z^2 = r^2</math>である球を考える。 :<math>x = t</math>でこの球を切断すると、半径<math>\sqrt{r^2-t^2}</math>である円;<math>C</math>を得るが、この円;<math>C</math>の面積は<math>\pi (r^2-t^2)</math>である。 :球の体積は、この円;<math>C</math>に関して、<math>-r \leq t \leq r</math>の区間で変化させ累積したものであるから、<math>\pi (r^2-t^2)</math>を区間<math>[-r,r]</math>で積分することにより得られる。 :<math>V = \int_{-r}^{r} \pi (r^2-t^2)\,dt </math> = <math>\pi \int_{-r}^{r} (r^2-t^2)\,dt </math> = <math>\pi \int_{-r}^{r} (r^2-t^2)\,dt </math> = <math>\pi \left[ tr^2 - \frac{t^3}{3}\right]_{-r}^{r} </math> = <math>\pi \left\{ \left( r^3 - \frac{r^3}{3}\right) - \left( -r^3 + \frac{r^3}{3}\right) \right\}</math> = <math>\frac{4}{3}\pi r^3</math> ==円環体（トーラス）の体積== {{wikipedia\|トーラス}} [[File:Torus-rotations-flaeche-r.svg\|right\|250px\|thumb\|円環体・トーラス]] 半径<math>r</math>の円;<math>C</math>を、円の中心からの距離<math>R</math>（但し、<math>r</math>　≦　<math>R</math>とする）の直線を軸として回転させた円環体（[[w:トーラス\|トーラス]]、ドーナツ型） :（参考） :この時、半径<math>r</math>を「小半径」、半径<math>R</math>を「大半径」と呼ぶこともある。 :円環体の内縁部の円の半径<math>a</math>と外縁部の円の半径<math>b</math>が与えられることもある。この時は、以下の関係を利用し考察。 ::<math>r = \frac{-a+b}{2}</math>, <math>R = \frac{a+b}{2}</math> [[File:Superficie tórica.svg\|right\|250px\|thumb\|円環体の切断図形]] (解法) :円;<math>C</math>の中心から距離<math>t</math>（0≦<math>t</math>≦<math>r</math>）の位置で、円環体の回転軸に垂直に切り取ると、半径;<math>R-\sqrt{r^2-t^2}</math>の円を内側の円;<math>C_1</math>とし、半径;<math>R+\sqrt{r^2-t^2}</math>の円;<math>C_2</math>を外側の円とする図形が得られる。 :この図形の面積を<math>S</math>とすると、 ::<math>S = \pi \left( R+\sqrt{r^2-t^2} \right)^2 - \pi \left( R-\sqrt{r^2-t^2} \right)^2 = 4\pi R\sqrt{r^2-t^2}</math> :これを、<math>0 \leq t \leq r</math>の区間で変化させ累積すると、円環体の1/2の体積;<math>V_h</math>が得られる。 :::<math>V_h = \int_{0}^{r} 4\pi R\sqrt{r^2-t^2}dt = 4\pi R \int_{0}^{r} \sqrt{r^2-t^2}dt </math> :::::<math>\int_{0}^{r} \sqrt{r^2-t^2}dt </math> を解く。（置換積分法を利用） :::::<math>t = r\sin{\theta}</math>と置く。 ::::::<math>t</math>を<math>\theta</math>で微分すると、<math>\frac{dt}{d\theta} = r\cos{\theta}</math>、<math>\therefore</math>　<math>dt = r\cos{\theta} d\theta</math> ::::::<math>t = 0</math>の時、<math>\theta = 0</math> ::::::*<math>t = r</math>の時、<math>\theta = \frac{\pi}{2}</math> :::::<math>\int_{0}^{r} \sqrt{r^2-t^2}dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{r^2-r^2 \sin ^2 \theta}\cdot(r\cos{\theta}) d\theta = r^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin ^2 \theta}\cdot (\cos{\theta}) d\theta</math> :::::<math>= r^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2\theta d\theta</math> (<math>\because</math> <math>\sqrt{1-\sin ^2 \theta} = \sqrt{\cos ^2 \theta} = \|cos \theta\|</math>、<math>0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}</math>であるので、<math> = cos\theta</math>) :::::<math>= r^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+\cos 2\theta}{2} d\theta</math> (<math>\because</math> <math>\cos ^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}</math>) :::::<math>= r^2 \left[ \frac{\theta}{2}+\frac{\sin 2\theta}{4} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{r^2 \pi}{4}</math> :::<math>V_h = 4\pi R \cdot \frac{r^2 \pi}{4} = \pi^2 r^2 R</math> :<math>\therefore</math>　 <math>V = 2 \pi^2 r^2 R = (\pi r^2) (2 \pi R)</math> :::後式は、「平面上にある図形<math>F</math>の面積を<math>S</math>とし、<math>F</math>と同じ平面上にあり<math>F</math>を通らない軸<math>l</math>の周りで<math>F</math>を一回転させた回転体の体積を<math>V</math>とする。回転させる図形<math>F</math>の重心<math>G</math>から回転軸<math>l</math>までの距離を<math>R</math>としたとき、 ::::<math>V=2\pi RS</math> :::が成り立つ」という[[w:パップス＝ギュルダンの定理\|パップス＝ギュルダンの定理]]第二定理と一致している。 [[Category:数学教育\|しよとうすうかくこうしきしゆう]] [[Category:初等数学公式集\|たいせき]]	null	2021-09-03T22:35:09Z	[ "テンプレート:Wikipedia" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%AC%E5%BC%8F%E9%9B%86/%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%B9%BE%E4%BD%95/%E4%BD%93%E7%A9%8D
2,056	初等数学公式集/初等代数/展開公式	ここでは展開公式の解説をします。演習問題以下の式を展開せよ。解答証明演習問題以下の式を展開せよ。解答証明演習問題以下の式を展開せよ。解答演習問題以下の式を展開せよ。解答証明演習問題以下の式を展開せよ。解答	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "ここでは展開公式の解説をします。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "演習問題以下の式を展開せよ。", "title": "基本的な形" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "解答", "title": "基本的な形" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "証明", "title": "2数の和・差の2乗" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "演習問題以下の式を展開せよ。", "title": "2数の和・差の2乗" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "解答", "title": "2数の和・差の2乗" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "証明", "title": "和と差の積" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "演習問題以下の式を展開せよ。", "title": "和と差の積" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "解答", "title": "和と差の積" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "演習問題以下の式を展開せよ。", "title": "一般的な2次の展開公式" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "解答", "title": "一般的な2次の展開公式" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "", "title": "一般的な2次の展開公式" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "証明", "title": "2数の和・差の3乗" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "演習問題以下の式を展開せよ。", "title": "2数の和・差の3乗" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "解答", "title": "2数の和・差の3乗" } ]	ここでは展開公式の解説をします。	{{Pathnav\|メインページ\|数学\|frame=1}} ここでは展開公式の解説をします。 == 基本的な形 == * <math>(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd</math> ; 証明 : <math>A = (a+b)</math>と置くと、この式は、<math>A(c+d)</math>となる。 : 分配法則を適用すると、<math>Ac+Ad</math>。 : <math>A</math>を戻すと<math>(a+b)c+(a+b)d</math>。 : それぞれに分配法則を適用すると、<math>ac + ad + bc + bd</math>となり証明された。 '''演習問題''' 以下の式を展開せよ。 # <math>(x-2)(2x+5)</math> # <math>(2a-4b)(5c+d)</math> '''解答''' # <math>2x^2 + x - 10</math> # <math>10ac + 2ad - 20bc -4bd</math> == 2数の和・差の2乗 == * <math>(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2</math> * <math>(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2</math> '''証明''' <math>(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2</math> <math>(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 -ab -ba + b^2 = a^2 -2ab + b^2</math> '''演習問題''' 以下の式を展開せよ。 # <math>(x+1)^2</math> # <math>(2a+4b)^2</math> # <math>(5a-3b)^2</math> '''解答''' # <math>x^2 + 2x + 1</math> # <math>4a^2 + 16ab + 16b^2</math> # <math>25a^2 -30ab + 9b^2</math> == 和と差の積 == * <math>(a+b)(a-b) = a^2- b^2</math> '''証明''' :<math>(a+b)(a-b) = a^2 -ab + ba - b^2 = a^2 - b^2</math> '''演習問題'''　以下の式を展開せよ。 # <math>(5x+1)(5x-1)</math> # <math>(2a-3b)(2a+3b)</math> '''解答''' # <math>25x^2 - 1</math> # <math>4a^2 - 9b^2</math> == 一般的な2次の展開公式 == * <math>(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab</math> * <math>(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd</math> ; 証明 : <math>(x+a)(x+b) = x^2 + bx + ax + ab = x^2 + (a+b)x+ab</math> : <math>(ax+b)(cx+d) = acx^2 + adx + bcx + bd = acx^2 + (ad + bc)x + bd</math> '''演習問題'''　以下の式を展開せよ。 # <math>(x+1)(x+3)</math> # <math>(2x - 3)( 5x + 5)</math> # <math>(7ab +9)(-2ab + 10)</math> '''解答''' # <math>x^2 + 4x + 3</math> # <math>10x^2 -5x -15</math> # <math>-14a^2b^2 +52ab + 90</math> == 2数の和・差の3乗 == * <math>(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3</math> * <math>(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3</math> '''証明''' <math>(a+b)^3 = (a+b)^2(a+b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a+b) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^ 2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3</math> <math>(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3</math>の<math>b</math>に<math>-b</math>を代入すると、<math>(a-b)^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3</math> '''演習問題'''　以下の式を展開せよ。 # <math>(2a + b)^3</math> # <math>(4x^2 - 7)^3</math> '''解答''' # <math>8a^3 + 12a^2b + 6ab^2 + b^3</math> # <math>64x^6 - 336x^4 + 588x^2 - 343</math> == 2数の3乗の和・差 == * <math>(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3</math> * <math>(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3</math> == 3数の和のn乗 == * <math>(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca</math> * <math>(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 3c^2a + 3a^2c+ 6abc</math> * <math>(a+b+c)^4 = a^4 + b^4 + c^4 + 4a^3b + 4ab^3 + 4b^3c + 4ca^3 + 4bc^3 + 4c^3a + 6a^2b^2 + 6b^2c^2 + 6c^2a^2 + 12a^2bc + 12ab^2c + 12abc^2</math> == その他の展開公式 == * <math>(a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc</math> * <math>(x+a)(x+b)(x+c) = x^3 + (a+b+c)x^2 + (ab + bc + ca)x +abc</math> * <math>(a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + b^{n-1}) = a^n - b^n</math> [[Category:数学教育\|しよとうすうかくこうしきしゆうてんかいこうしき]] [[Category:数学\|しよとうすうかくこうしきしゆうてんかいこうしき]] [[Category:初等数学公式集\|てんかいこうしき]]	null	2021-07-09T22:41:26Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%85%AC%E5%BC%8F%E9%9B%86/%E5%88%9D%E7%AD%89%E4%BB%A3%E6%95%B0/%E5%B1%95%E9%96%8B%E5%85%AC%E5%BC%8F
2,058	有機化学/アルコール	有機化学>アルコール脂肪族炭化水素のCH間にOが入ったもの、つまり、脂肪族炭化水素基にヒドロキシ基が結合したもの。一般式はR-OHで表される。ちなみに、芳香族炭化水素基のベンゼン環にヒドロキシ基が直接結合したものはフェノール類と呼ばれる。命名はアルカン、アルケン、アルキン、シクロアルカンもしくはシクロアルケンの-eを-olに変える。慣用名は炭化水素基の名前の後ろに「アルコール」をつける。 CH3CH2CH2CH2OHは1-ブタノール、CH3CH2CH(OH)CH3は2-ブタノールである。ヒドロキシ基が1分子中にn個ついているものをn価アルコールといい、2価以上を多価アルコールという。多価アルコールの名前は-olの前にギリシャ語の数詞をつける。 -OHのついているC原子がn個のC原子と結合、(3-n)個のH原子と結合しているとき、これを第n級アルコールという。ただしメタノールCH3OHは第零級アルコールではなく第一級アルコールとして扱われる。第一級アルコールは酸化されるとアルデヒドを経てカルボン酸になる。第二級アルコールは酸化されるとケトンになる。第三級アルコールは酸化されにくい。アルコールは定義にも示されているが、ヒドロキシ基を有している。そのため、分子内に極性が存在する。従って、極性を有する物質と混ざりやすい傾向がある。たとえば、水やアンモニアである。この性質は炭化水素基の大きさとヒドロキシ基の数が関連している。炭化水素基の小さいメタノールやエタノール、プロパノールは完全に水と混じりあうが、ブタノールは20°Cの状態では1リットルにつき、77gまでしか溶けない。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "有機化学>アルコール", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "脂肪族炭化水素のCH間にOが入ったもの、つまり、脂肪族炭化水素基にヒドロキシ基が結合したもの。一般式はR-OHで表される。ちなみに、芳香族炭化水素基のベンゼン環にヒドロキシ基が直接結合したものはフェノール類と呼ばれる。", "title": "アルコールの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "命名はアルカン、アルケン、アルキン、シクロアルカンもしくはシクロアルケンの-eを-olに変える。慣用名は炭化水素基の名前の後ろに「アルコール」をつける。 CH3CH2CH2CH2OHは1-ブタノール、CH3CH2CH(OH)CH3は2-ブタノールである。", "title": "アルコールの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "ヒドロキシ基が1分子中にn個ついているものをn価アルコールといい、2価以上を多価アルコールという。多価アルコールの名前は-olの前にギリシャ語の数詞をつける。", "title": "アルコールの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "-OHのついているC原子がn個のC原子と結合、(3-n)個のH原子と結合しているとき、これを第n級アルコールという。ただしメタノールCH3OHは第零級アルコールではなく第一級アルコールとして扱われる。", "title": "アルコールの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "第一級アルコールは酸化されるとアルデヒドを経てカルボン酸になる。第二級アルコールは酸化されるとケトンになる。第三級アルコールは酸化されにくい。", "title": "アルコールの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "アルコールは定義にも示されているが、ヒドロキシ基を有している。そのため、分子内に極性が存在する。従って、極性を有する物質と混ざりやすい傾向がある。たとえば、水やアンモニアである。この性質は炭化水素基の大きさとヒドロキシ基の数が関連している。炭化水素基の小さいメタノールやエタノール、プロパノールは完全に水と混じりあうが、ブタノールは20°Cの状態では1リットルにつき、77gまでしか溶けない。", "title": "アルコールの性質" } ]	有機化学＞アルコール	[[有機化学]]＞アルコール ==アルコールの定義と命名法== 脂肪族炭化水素のCH間にOが入ったもの、つまり、[[有機化学_基#炭化水素基の種類\|脂肪族炭化水素基]]に[[有機化学_基#官能基の種類\|ヒドロキシ基]]が結合したもの。[[有機化学_アルカン#一般式\|一般式]]はR－OHで表される。ちなみに、芳香族炭化水素基のベンゼン環にヒドロキシ基が直接結合したものはフェノール類と呼ばれる。命名は[[有機化学_アルカン#命名法\|アルカン]]、[[有機化学_アルケン#命名法\|アルケン]]、[[有機化学_アルキン#命名法\|アルキン]]、[[有機化学_シクロアルカン\|シクロアルカン]]もしくは[[有機化学_シクロアルケン\|シクロアルケン]]の－eを－olに変える。慣用名は炭化水素基の名前の後ろに「アルコール」をつける。 CH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>CH<sub>2</sub>CH<sub>2</sub>OHは1－ブタノール、CH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>CH(OH)CH<sub>3</sub>は2－ブタノールである。ヒドロキシ基が1分子中にn個ついているものをn価アルコールといい、2価以上を多価アルコールという。多価アルコールの名前は－olの前にギリシャ語の数詞をつける。－OHのついているC原子がn個のC原子と結合、(3-n)個のH原子と結合しているとき、これを第n級アルコールという。ただしメタノールCH<sub>3</sub>OHは第零級アルコールではなく第一級アルコールとして扱われる。 C C C \| \| \| H-C-OH C-C-OH C-C-OH \| \| \| H H C 第一級第二級第三級第一級アルコールは酸化されると[[有機化学_アルデヒド\|アルデヒド]]を経て[[有機化学_カルボン酸\|カルボン酸]]になる。第二級アルコールは酸化されると[[有機化学_ケトン\|ケトン]]になる。第三級アルコールは酸化されにくい。 == アルコールの性質 == アルコールは定義にも示されているが、ヒドロキシ基を有している。そのため、分子内に極性が存在する。従って、極性を有する物質と混ざりやすい傾向がある。たとえば、水やアンモニアである。この性質は炭化水素基の大きさとヒドロキシ基の数が関連している。炭化水素基の小さいメタノールやエタノール、プロパノールは完全に水と混じりあうが、ブタノールは20℃の状態では1リットルにつき、77gまでしか溶けない。 [[カテゴリ:有機化学]] [[en:Organic Chemistry/Alcohols]]	null	2022-11-23T05:32:54Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%9C%89%E6%A9%9F%E5%8C%96%E5%AD%A6/%E3%82%A2%E3%83%AB%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AB
2,060	ウィキペディアの書き方/入門編/資料の探し方	<先頭に戻るインターネット上での情報収集は、ウィキペディアンたちにとってはもっとも身近な手段の一つといえるでしょう。検索窓に単語を入れるだけで欲しい情報が手に入るインターネットは、とても便利なツールです。ただ、便利な反面、気をつけなければいけないこともあります。検索エンジンには、ディレクトリ型とロボット型の2種類の検索エンジンがあります。ディレクトリ型は人の手でサイト情報を入力する検索エンジンで、ロボット型は、クローラーといわれるプログラムが自動的にサイト情報を分類するものです。それぞれに長所・短所があるのでうまく使い分ける必要がありますが、現在では大手の検索エンジンはどちらも併用しているものが多くなっています。インターネット上で何かを質問する。「ぐぐれ」(Googleで検索しろ)と一言で返事が返ってくる。Googleはインターネット上で検索をするときに非常に強力なツールになります。基本の使い方は、http://www.google.co.jp/にアクセスして、そこにある検索窓に調べたい単語を入れるだけですが、ここではそれより少し便利なテクニックを覚えていってください。「夏の思い出」など、本のタイトルや決まり文句、固有名詞などを検索したいときに活用できるテクニックです。普通の検索では、「夏」「思い出」という二つの単語が両方出てくるページを探してくれますが、"夏の思い出"とすれば、夏の思い出と続けて出て来る場合のみを検索することができます。上に書いたような検索エンジンは、一つ一つの検索エンジンで順番に調べて行かなくてはなりません。しかしながら、それを一発で検索してしまうサイトもあります。例えば、JWordを使って検索をしてみましょう。JWordは、いろいろな検索サイト(Yahoo・Excite・BIGLOBE・Fresheye・MSN・Infoseek・goo)を比較しながら検索することができます。JWordプラグインを使うと、インターネットエクスプローラーから、アドレスバーに検索したい文字列を入力して、エンターキーを押すと、比較検索ができます。また、登録されている企業・サイトは、サイト名を入力すると、自動的にそのサイトへジャンプします。図書館には、本を貸し出すのとは別に、資料や情報を収集するという重要な役割があります。地域の歴史や文化、特定の企業や学校の歴史、あるいはリクエストの少ない古典文学全集などは、閉架書庫や調査研究室など、一般の利用者からは少し手の届きにくいところにおいてあるのが普通です。図書館はもちろん、皆にオープンにしてある資料を読むだけでも沢山の情報を集めることができますが、閉架書庫や調査研究室を利用すれば、百科事典を書くのに相応しい沢山の情報を得ることができます。初めは少し、敷居が高いと感じるかもしれませんが、ぜひもうワンランク上の図書館活用法を覚えましょう。貴重な本の損傷を防ぐために、本棚ではなく奥の本棚に置いてある事があります。こういった本を閉架図書といいます。閉架図書は本棚を見てもわからないので、インターネットや、図書館の中において、図書蔵書検索などの調べる端末等がある場合、それを使って調べてみるのも良いでしょう。「ジャンル別」「出版年検索」も利用してみると良いでしょう。中央図書館や大学図書館など、大きな図書館に行けば、オープンにしてある空間とは別に、百科事典や専門辞書、年鑑などが固めておいてある空間があります。一般に、そこには専任の「司書」と呼ばれる職員がいて、資料を探す手助けをしてもらうことができます。入りにくい雰囲気のところが多く、最初は緊張するかもしれませんが、勇気を出して入ってみましょう。図書館司書は、資料を探す専門家ではありますが、ありとあらゆる分野に精通しているわけではありません。ですので、調べたい事柄についていかにうまくヒントを出すかが重要となります。調べたいことを明確にするのはもちろんですがなどを明白にしておく必要があります。外国の人名や地名などについては、カタカナでの音だけではなくアルファベットや原語での綴りも調べておくと調査が楽になります。大抵の図書館では、資料のリクエストという制度があります。どういうサービスかというと、その図書館にはない資料を近隣の市の図書館などから取り寄せてくれたり、新しく購入してくれたりするサービスです。少し時間はかかりますが、貴重な資料も読むことができますので、ぜひ利用してみましょう。ある本がこの世に存在するのかどうか、あるいはまだ流通している本なのかどうかなどをネット上で調べる方法があるのでご紹介しておきます。ネット上には書籍や雑誌、学術論文などの情報をまとめたデータベースが存在します。中には有料のものもありますが、使用するだけなら無料のものもあります。ネット上で参照できる資料も多く、こうした資料を用いれば手軽に記事のグレードを上げる事ができます。様々なものがありますが、ここでは知名度もあり、無料で利用できるCiNiiと国立国会図書館のサービスを紹介します。国立情報学研究所が運営する学術情報データベースです。「CiNii Articles」、「CiNii Books」、「CiNii Dissertations」の3つのデータベースがあり、それぞれ学術論文、大学図書館の書籍、博士論文を検索できます。一部閲覧が有料の論文もありますが、利用自体は無料です。国立国会図書館のサイト(こちら)では、同図書館に収蔵されている様々な資料を検索できます。多くのサービスがありますが、以下によく使われる機能を挙げておきます。また、国立図書館にいけばいくつかの有料データベースが無料で利用可能です。こちらも覚えておきましょう。メインページから利用できる検索機能です。キーワードに関係する書籍や記事・論文などを検索できます。古典籍や古い新聞、政府刊行物、科学映像などのデジタル資料を検索できるサービスです。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "<先頭に戻る", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "インターネット上での情報収集は、ウィキペディアンたちにとってはもっとも身近な手段の一つといえるでしょう。検索窓に単語を入れるだけで欲しい情報が手に入るインターネットは、とても便利なツールです。", "title": "検索エンジンを利用する" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "ただ、便利な反面、気をつけなければいけないこともあります。", "title": "検索エンジンを利用する" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "検索エンジンには、ディレクトリ型とロボット型の2種類の検索エンジンがあります。ディレクトリ型は人の手でサイト情報を入力する検索エンジンで、ロボット型は、クローラーといわれるプログラムが自動的にサイト情報を分類するものです。それぞれに長所・短所があるのでうまく使い分ける必要がありますが、現在では大手の検索エンジンはどちらも併用しているものが多くなっています。", "title": "検索エンジンを利用する" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": 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"図書館には、本を貸し出すのとは別に、資料や情報を収集するという重要な役割があります。地域の歴史や文化、特定の企業や学校の歴史、あるいはリクエストの少ない古典文学全集などは、閉架書庫や調査研究室など、一般の利用者からは少し手の届きにくいところにおいてあるのが普通です。", "title": "図書館を利用する" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "図書館はもちろん、皆にオープンにしてある資料を読むだけでも沢山の情報を集めることができますが、閉架書庫や調査研究室を利用すれば、百科事典を書くのに相応しい沢山の情報を得ることができます。初めは少し、敷居が高いと感じるかもしれませんが、ぜひもうワンランク上の図書館活用法を覚えましょう。", "title": "図書館を利用する" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "貴重な本の損傷を防ぐために、本棚ではなく奥の本棚に置いてある事があります。こういった本を閉架図書といいます。閉架図書は本棚を見てもわからないので、インターネットや、図書館の中において、図書蔵書検索などの調べる端末等がある場合、それを使って調べてみるのも良いでしょう。「ジャンル別」「出版年検索」も利用してみると良いでしょう。", "title": "図書館を利用する" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "中央図書館や大学図書館など、大きな図書館に行けば、オープンにしてある空間とは別に、百科事典や専門辞書、年鑑などが固めておいてある空間があります。一般に、そこには専任の「司書」と呼ばれる職員がいて、資料を探す手助けをしてもらうことができます。", "title": "図書館を利用する" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "入りにくい雰囲気のところが多く、最初は緊張するかもしれませんが、勇気を出して入ってみましょう。", "title": "図書館を利用する" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": 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Dissertations」の3つのデータベースがあり、それぞれ学術論文、大学図書館の書籍、博士論文を検索できます。一部閲覧が有料の論文もありますが、利用自体は無料です。", "title": "データベースを利用する" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "国立国会図書館のサイト(こちら)では、同図書館に収蔵されている様々な資料を検索できます。多くのサービスがありますが、以下によく使われる機能を挙げておきます。また、国立図書館にいけばいくつかの有料データベースが無料で利用可能です。こちらも覚えておきましょう。", "title": "データベースを利用する" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "メインページから利用できる検索機能です。キーワードに関係する書籍や記事・論文などを検索できます。", "title": "データベースを利用する" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "古典籍や古い新聞、政府刊行物、科学映像などのデジタル資料を検索できるサービスです。", "title": "データベースを利用する" } ]	＜先頭に戻る	[[Image:Libri books2.jpg\|right\|500px]] {{書き方入門編Nav}} ==検索エンジンを利用する== インターネット上での情報収集は、ウィキペディアンたちにとってはもっとも身近な手段の一つといえるでしょう。検索窓に単語を入れるだけで欲しい情報が手に入るインターネットは、とても便利なツールです。ただ、便利な反面、気をつけなければいけないこともあります。よい面：オンラインには沢山のサイトがあります。本屋で選んだ書籍を読むよりもよほど面白い知識が詰まったサイトも多いでしょう。あまりメジャーではないものや最新情報を探すのには、格好のツールであるともいえます。悪い面：オンラインでは誰もが情報の発信者となれることが魅力です。けれども、これは裏を返せば、校正や査読を経ていない、いわば正確性の怪しい情報が飛び交っていると言うことにもなります。 ===ディレクトリ型とロボット型エンジン=== [[w:検索エンジン\|検索エンジン]]には、ディレクトリ型とロボット型の2種類の検索エンジンがあります。ディレクトリ型は人の手でサイト情報を入力する検索エンジンで、ロボット型は、クローラーといわれるプログラムが自動的にサイト情報を分類するものです。それぞれに長所・短所があるのでうまく使い分ける必要がありますが、現在では大手の検索エンジンはどちらも併用しているものが多くなっています。ディレクトリ型 :人の手で更新するので、情報量の少なさはありますが、公式サイトなど確実な情報にたどり着ける確率は高くなります。大手の検索エンジンではなく、特定のジャンルについて調べごとをするときに使う機会が多いかもしれません。たとえば、歴史であったりファッションであったりといった特定のジャンルに特化した検索エンジンがあります。ロボット型 :検索数の多さが、なんといってもロボット型エンジンの長所です。ただ、その反面で、ロボットが情報を収集するために、あまり情報のないサイトや、全く関係ないサイトが多く引っかかるという短所もあります。 ====Google==== インターネット上で何かを質問する。「ぐぐれ」（Googleで検索しろ）と一言で返事が返ってくる。Googleはインターネット上で検索をするときに非常に強力なツールになります。基本の使い方は、[http://www.google.co.jp/ http://www.google.co.jp/]にアクセスして、そこにある検索窓に調べたい単語を入れるだけですが、ここではそれより少し便利なテクニックを覚えていってください。 ====引用符==== 「夏の思い出」など、本のタイトルや決まり文句、固有名詞などを検索したいときに活用できるテクニックです。普通の検索では、「夏」「思い出」という二つの単語が両方出てくるページを探してくれますが、'''"夏の思い出"'''とすれば、夏の思い出　と続けて出て来る場合のみを検索することができます。 ===JWORD=== 上に書いたような検索エンジンは、一つ一つの検索エンジンで順番に調べて行かなくてはなりません。しかしながら、それを一発で検索してしまうサイトもあります。例えば、[http://www.jword.jp/ JWord]を使って検索をしてみましょう。JWordは、いろいろな検索サイト（Yahoo・Excite・BIGLOBE・Fresheye・MSN・Infoseek・goo）を比較しながら検索することができます。JWordプラグインを使うと、インターネットエクスプローラーから、アドレスバーに検索したい文字列を入力して、エンターキーを押すと、比較検索ができます。また、登録されている企業・サイトは、サイト名を入力すると、自動的にそのサイトへジャンプします。 [http://search.jword.jp/cns.dll?type=sb&fm=11&agent=&partner=AP&lang=euc&name=%A5%A6%A5%A3%A5%AD%A5%E1%A5%C7%A5%A3%A5%A2%BA%E2%C3%C4&sbox11_5=%B8%A1%BA%F7 JWord検索結果「ウィキメディア財団」] [http://search.jword.jp/cns.dll?type=sb&fm=2&agent=&partner=AP&lang=euc&name=%A5%A6%A5%A3%A5%AD%A5%DA%A5%C7%A5%A3%A5%A2&bypass=&selsecategory=&service=jwd&style=1 JWord検索結果「ウィキペディア」] ==図書館を利用する== 図書館には、本を貸し出すのとは別に、''資料や情報を収集する''という重要な役割があります。地域の歴史や文化、特定の企業や学校の歴史、あるいはリクエストの少ない古典文学全集などは、閉架書庫や調査研究室など、一般の利用者からは少し手の届きにくいところにおいてあるのが普通です。図書館はもちろん、皆にオープンにしてある資料を読むだけでも沢山の情報を集めることができますが、閉架書庫や調査研究室を利用すれば、百科事典を書くのに相応しい沢山の情報を得ることができます。初めは少し、敷居が高いと感じるかもしれませんが、ぜひもうワンランク上の図書館活用法を覚えましょう。 ===閉架書庫にある本の探し方=== 貴重な本の損傷を防ぐために、本棚ではなく奥の本棚に置いてある事があります。こういった本を閉架図書といいます。閉架図書は本棚を見てもわからないので、インターネットや、図書館の中において、図書蔵書検索などの調べる端末等がある場合、それを使って調べてみるのも良いでしょう。「ジャンル別」「出版年検索」も利用してみると良いでしょう。 ===調査研究室=== 中央図書館や大学図書館など、大きな図書館に行けば、オープンにしてある空間とは別に、百科事典や専門辞書、年鑑などが固めておいてある空間があります。一般に、そこには専任の「司書」と呼ばれる職員がいて、資料を探す手助けをしてもらうことができます。入りにくい雰囲気のところが多く、最初は緊張するかもしれませんが、勇気を出して入ってみましょう。 ===リファレンスサービスの上手な使い方=== 図書館司書は、資料を探す専門家ではありますが、ありとあらゆる分野に精通しているわけではありません。ですので、調べたい事柄についていかにうまくヒントを出すかが重要となります。調べたいことを明確にするのはもちろんですが何のために何のジャンルについてなどを明白にしておく必要があります。外国の人名や地名などについては、カタカナでの音だけではなくアルファベットや原語での綴りも調べておくと調査が楽になります。 === その場にない本を読む === 大抵の図書館では、資料のリクエストという制度があります。どういうサービスかというと、その図書館にはない資料を近隣の市の図書館などから取り寄せてくれたり、新しく購入してくれたりするサービスです。少し時間はかかりますが、貴重な資料も読むことができますので、ぜひ利用してみましょう。 ==組み合わせ== ある本がこの世に存在するのかどうか、あるいはまだ流通している本なのかどうかなどをネット上で調べる方法があるのでご紹介しておきます。 [http://www.books.or.jp/ Books.or.jp] - 日本国内で出版され、かつ流通している本かどうかを調べるためのサービスです。つまり、絶版本を本屋で探すという時間の無駄を省くことが出来ます。 <!--[http://webcat.nii.ac.jp/ NACSIS Webcat] - 大学図書館の所蔵資料のデータベースを横断的に検索できるシステム。--><!--リンク切れのため--> == データベースを利用する == ネット上には書籍や雑誌、学術論文などの情報をまとめたデータベースが存在します。中には有料のものもありますが、使用するだけなら無料のものもあります。ネット上で参照できる資料も多く、こうした資料を用いれば手軽に記事のグレードを上げる事ができます。様々なものがありますが、ここでは知名度もあり、無料で利用できるCiNiiと国立国会図書館のサービスを紹介します。 === CiNii === 国立情報学研究所が運営する学術情報データベースです。「'''CiNii Articles'''」、「'''CiNii Books'''」、「'''CiNii Dissertations'''」の3つのデータベースがあり、それぞれ学術論文、大学図書館の書籍、博士論文を検索できます。一部閲覧が有料の論文もありますが、利用自体は無料です。 * [http://ci.nii.ac.jp/ CiNii Articles - 日本の論文をさがす] * [http://ci.nii.ac.jp/books/ CiNii Books - 大学図書館の本をさがす] * [http://ci.nii.ac.jp/d/ CiNii Dissertations - 日本の博士論文をさがす] === 国立国会図書館 === 国立国会図書館のサイト（[http://www.ndl.go.jp/index.html こちら]）では、同図書館に収蔵されている様々な資料を検索できます。多くのサービスがありますが、以下によく使われる機能を挙げておきます。また、国立図書館にいけばいくつかの有料データベースが無料で利用可能です。こちらも覚えておきましょう。国立国会図書館サーチメインページから利用できる検索機能です。キーワードに関係する書籍や記事・論文などを検索できます。国立国会図書館デジタルコレクション古典籍や古い新聞、政府刊行物、科学映像などのデジタル資料を検索できるサービスです。<!--それらの中からインターネットで閲覧可能な近代の資料を集めた「近代デジタルライブラリー」というサービスもあります。--><!--統合のため--> ==参考文献== 前島重方他監修『図書館概論』（樹村房）ISBN 4-88367-001-5 長澤雅男　著『情報と文献の探索第3版』（丸善）ISBN 4-621-03943 == 外部リンク == *[http://www.ndl.go.jp/jp/data/theme.html 国立国会図書館テーマ別調べ方案内] [[Category:ウィキペディアの書き方\|にゅうもん04]]	null	2020-05-06T04:21:02Z	[ "テンプレート:書き方入門編Nav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%82%AD%E3%83%9A%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%A2%E3%81%AE%E6%9B%B8%E3%81%8D%E6%96%B9/%E5%85%A5%E9%96%80%E7%B7%A8/%E8%B3%87%E6%96%99%E3%81%AE%E6%8E%A2%E3%81%97%E6%96%B9
2,061	有機化学/エーテル	有機化学>エーテル C-O-Cの形の結合をエーテル結合といい、これをもつ化合物をエーテルという。命名法は炭化水素基の名称の後に「エーテル」をつける。例えばCH3CH2-O-CH3は「エチルメチルエーテル」である。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "有機化学>エーテル", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "C-O-Cの形の結合をエーテル結合といい、これをもつ化合物をエーテルという。命名法は炭化水素基の名称の後に「エーテル」をつける。例えばCH3CH2-O-CH3は「エチルメチルエーテル」である。", "title": "エーテルの定義と命名法" } ]	有機化学＞エーテル	[[有機化学]]＞エーテル ==エーテルの定義と命名法== C－O－Cの形の結合をエーテル結合といい、これをもつ化合物をエーテルという。命名法は[[有機化学_基#炭化水素基の種類\|炭化水素基]]の名称の後に「エーテル」をつける。例えばCH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>－O－CH<sub>3</sub>は「エチルメチルエーテル」である。 [[カテゴリ:有機化学]] [[en:Organic Chemistry/Ethers]]	null	2022-11-23T05:33:06Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%9C%89%E6%A9%9F%E5%8C%96%E5%AD%A6/%E3%82%A8%E3%83%BC%E3%83%86%E3%83%AB
2,063	有機化学/ケトン	有機化学>ケトンケトンはケトン基-CO-を持つ化合物である。国際名はアルカンの語尾neをnoneに変えるが、あまり使われない。第二級アルコールを酸化すると、ヒドロキシル基が2個のアルコールができる。ただし、ひとつのC元素にヒドロキシ基が2個付くと、すぐに脱水反応を起こす。よってこの物質は一瞬存在しただけですぐに別の物質に変わる。このときこの>C=Oの部分をケトン基といい、簡単に>COと書く。 >C=Oは実は一般的にはカルボニル基といわれる。ただし、厳密にはカルボニル基=ケトン基ではない。なぜなら、>C=Oをもつ基は他に、アルデヒド基-CHO、カルボキシル基-COOHがあるからである。カルボニル基はこれらの総称として存在する。ケトン基は、カルボニル基のうち>COの価標の両側に炭化水素基が付いたものであり、カルボニル基の一種である。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "有機化学>ケトン", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "ケトンはケトン基-CO-を持つ化合物である。国際名はアルカンの語尾neをnoneに変えるが、あまり使われない。", "title": "ケトンの定義と命名法" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "第二級アルコールを酸化すると、ヒドロキシル基が2個のアルコールができる。", "title": "ケトンの生成" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "ただし、ひとつのC元素にヒドロキシ基が2個付くと、すぐに脱水反応を起こす。よってこの物質は一瞬存在しただけですぐに別の物質に変わる。", "title": "ケトンの生成" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "このときこの>C=Oの部分をケトン基といい、簡単に>COと書く。", "title": "ケトンの生成" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": ">C=Oは実は一般的にはカルボニル基といわれる。ただし、厳密にはカルボニル基=ケトン基ではない。なぜなら、>C=Oをもつ基は他に、アルデヒド基-CHO、カルボキシル基-COOHがあるからである。カルボニル基はこれらの総称として存在する。ケトン基は、カルボニル基のうち>COの価標の両側に炭化水素基が付いたものであり、カルボニル基の一種である。", "title": "カルボニル基" } ]	有機化学＞ケトン	[[有機化学]]＞ケトン ==ケトンの定義と命名法== ケトンはケトン基－CO－を持つ化合物である。国際名はアルカンの語尾neをnoneに変えるが、あまり使われない。 CH<sub>3</sub>COCH<sub>3</sub> 2-プロパノン→'''アセトン''' CH<sub>3</sub>CH<sub>2</sub>COCH<sub>3</sub> 2－ブタノン→'''エチルメチルケトン''' ==ケトンの生成== [[有機化学_アルコール\|第二級アルコール]]を酸化すると、ヒドロキシル基が2個のアルコールができる。 *R－CH(OH)－R ＋ (O) → R－C(OH)2－R ただし、ひとつのC元素にヒドロキシ基が2個付くと、すぐに脱水反応を起こす。よってこの物質は一瞬存在しただけですぐに別の物質に変わる。 R R \| \| R-C-OH ---> R-C=O \| -H2O OH このときこの＞C＝Oの部分をケトン基といい、簡単に＞COと書く。 ==カルボニル基== ＞C＝Oは実は一般的にはカルボニル基といわれる。ただし、厳密にはカルボニル基＝ケトン基ではない。なぜなら、＞C＝Oをもつ基は他に、アルデヒド基－CHO、カルボキシル基－COOHがあるからである。カルボニル基はこれらの総称として存在する。ケトン基は、カルボニル基のうち＞COの価標の両側に炭化水素基が付いたものであり、カルボニル基の一種である。 [[カテゴリ:有機化学]]	null	2022-11-23T05:33:13Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%9C%89%E6%A9%9F%E5%8C%96%E5%AD%A6/%E3%82%B1%E3%83%88%E3%83%B3
2,064	有機化学/カルボン酸	有機化学>カルボン酸カルボキシル基-COOHをもつ化合物をカルボン酸という。国際名はアルカンの名前の後に「酸」をつけるがあまり使われない。 HCOOHを蟻(ギ)酸、CH3COOHを酢酸という。カルボン酸はカルボキシ基を持っており酸性である。カルボン酸は最も小さな炭素一つのギ酸から、炭素16個のパルミチン酸など大きさが様々であるが、置換基を持たないカルボン酸は分子量が大きくなるにつれ、水素イオンの解離が減ってくる。つまり、酸としての強さが減るのである。これがどういった理由によるのかというと、カルボキシ基の電子密度が高いか低いかによって決まる。アルキル基は電子供与性基であり、これが結合している原子や置換基は電子がアルキル基から押し付けられるので(押し付けられるというのは比喩表現であって、原子を周回する電子の個数が増えるというわけではない。)、電子の密度が高くなる。そうすると、カルボキシ基の酸素の電子密度が高くなるため、水素との間の結合が堅牢になる。結果、水素はカルボキシ基から離れにくくなり、酸性度が低下する。アルキル基を構成する炭素の数が多いほどこの傾向は顕著である。逆に、カルボン酸のカルボキシ基に隣接する炭素に電子求引性基が結合していた場合、酸性度は強くなる。例えば、クロロ酢酸(CH2Cl-COOH)は酢酸よりも強い。電子求引性基の数が増えればさらに酸性度は強くなる。カルボン酸は以下の反応によって生成する。アルデヒドを酸化すると、このR以外の部分をカルボキシ基といい、簡単に-COOHと表す。カルボン酸の反応はその酸としての側面とカルボニル化合物としての側面によって起きる。カルボニル化合物としての反応はケトンの章が詳しいが、アルデヒド等とアルドール縮合なども起こしうるということを付け加えておこう。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "有機化学>カルボン酸", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "カルボキシル基-COOHをもつ化合物をカルボン酸という。国際名はアルカンの名前の後に「酸」をつけるがあまり使われない。 HCOOHを蟻(ギ)酸、CH3COOHを酢酸という。", "title": "カルボン酸の定義と命名法" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "カルボン酸はカルボキシ基を持っており酸性である。カルボン酸は最も小さな炭素一つのギ酸から、炭素16個のパルミチン酸など大きさが様々であるが、置換基を持たないカルボン酸は分子量が大きくなるにつれ、水素イオンの解離が減ってくる。つまり、酸としての強さが減るのである。これがどういった理由によるのかというと、カルボキシ基の電子密度が高いか低いかによって決まる。アルキル基は電子供与性基であり、これが結合している原子や置換基は電子がアルキル基から押し付けられるので(押し付けられるというのは比喩表現であって、原子を周回する電子の個数が増えるというわけではない。)、電子の密度が高くなる。そうすると、カルボキシ基の酸素の電子密度が高くなるため、水素との間の結合が堅牢になる。結果、水素はカルボキシ基から離れにくくなり、酸性度が低下する。アルキル基を構成する炭素の数が多いほどこの傾向は顕著である。", "title": "カルボン酸の性質" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "逆に、カルボン酸のカルボキシ基に隣接する炭素に電子求引性基が結合していた場合、酸性度は強くなる。例えば、クロロ酢酸(CH2Cl-COOH)は酢酸よりも強い。電子求引性基の数が増えればさらに酸性度は強くなる。", "title": "カルボン酸の性質" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "カルボン酸は以下の反応によって生成する。", "title": "カルボン酸の生成" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "アルデヒドを酸化すると、", "title": "カルボン酸の生成" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "このR以外の部分をカルボキシ基といい、簡単に-COOHと表す。", "title": "カルボン酸の生成" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "カルボン酸の反応はその酸としての側面とカルボニル化合物としての側面によって起きる。カルボニル化合物としての反応はケトンの章が詳しいが、アルデヒド等とアルドール縮合なども起こしうるということを付け加えておこう。", "title": "カルボン酸の反応" } ]	有機化学＞カルボン酸	[[有機化学]]＞カルボン酸 ==カルボン酸の定義と命名法== カルボキシル基－COOHをもつ化合物をカルボン酸という。国際名はアルカンの名前の後に「酸」をつけるがあまり使われない。 HCOOHを蟻(ギ)酸、CH<sub>3</sub>COOHを酢酸という。 ==カルボン酸の性質== カルボン酸はカルボキシ基を持っており酸性である。カルボン酸は最も小さな炭素一つのギ酸から、炭素16個のパルミチン酸など大きさが様々であるが、置換基を持たないカルボン酸は分子量が大きくなるにつれ、水素イオンの解離が減ってくる。つまり、酸としての強さが減るのである。これがどういった理由によるのかというと、カルボキシ基の電子密度が高いか低いかによって決まる。アルキル基は電子供与性基であり、これが結合している原子や置換基は電子がアルキル基から押し付けられるので(押し付けられるというのは比喩表現であって、原子を周回する電子の個数が増えるというわけではない。)、電子の密度が高くなる。そうすると、カルボキシ基の酸素の電子密度が高くなるため、水素との間の結合が堅牢になる。結果、水素はカルボキシ基から離れにくくなり、酸性度が低下する。アルキル基を構成する炭素の数が多いほどこの傾向は顕著である。逆に、カルボン酸のカルボキシ基に隣接する炭素に電子求引性基が結合していた場合、酸性度は強くなる。例えば、クロロ酢酸(CH<sub>2</sub>Cl-COOH)は酢酸よりも強い。電子求引性基の数が増えればさらに酸性度は強くなる。 ==カルボン酸の生成== カルボン酸は以下の反応によって生成する。アルコールの酸化(過マンガン酸カリウムKMnO<sub>4</sub>などの強い酸化剤を用いる。) アルデヒドの酸化アミドの分解エステルの分解グリニャール試薬と二酸化炭素の反応 ===アルデヒドの酸化=== アルデヒドを酸化すると、 H O-H \| ---> \| R-C=O +(O) R-C=O このR以外の部分をカルボキシ基といい、簡単に－COOHと表す。 ==カルボン酸の反応== 三ハロゲン化リンと反応してハロゲン化アシルとなる。強力な還元剤(水素化リチウムアルミニウム等)と反応してアルコールになる。アルコールと酸触媒下で反応してエステルを作る。アンモニアないしアミンと反応してアミドとなる。アルカリ金属と反応してカルボン酸塩を作る。苛性ソーダとカルボン酸の塩はせっけんとしてよく知られる。 *硫酸によって脱水し、カルボン酸無水物となる。カルボン酸の反応はその酸としての側面とカルボニル化合物としての側面によって起きる。カルボニル化合物としての反応はケトンの章が詳しいが、アルデヒド等とアルドール縮合なども起こしうるということを付け加えておこう。 [[カテゴリ:有機化学]]	null	2022-11-23T05:33:09Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%9C%89%E6%A9%9F%E5%8C%96%E5%AD%A6/%E3%82%AB%E3%83%AB%E3%83%9C%E3%83%B3%E9%85%B8
2,067	高等学校数学I/数と式	こちらを参照 3や12などの数(定数)や、 x {\displaystyle x} や y {\displaystyle y} などの文字(変数)を掛けあわせてできる式を項(こう、term)という。次のようなものが項である。このように一つの項だけからできている式を単項式(たんこうしき、monomial)という。 ※ あらためて「整式」を定義すると、次のような定義になる。 1つ以上の単項式を足しあわせてできる式を整式(せいしき)という。以下は整式の例である。単項式でも、項が1つしかない整式の一つであると考えることができるので、「整式」という概念を使うことにより、多項式と単項式との区別の必要がなくなる。 x − y {\displaystyle x-y} のように減法を含む式は、 x − y = x + ( − y ) = − y + x {\displaystyle x-y=x+(-y)=-y+x} と減法を加法に直すことができるので、 x , − y {\displaystyle x,-y} を項にもつ整式であると考えられる。すなわち、多項式の項とは、多項式を足し算の形に直したときの、一つ一つの足しあわさっている式のことである。たとえば 5 + a − 13 x 2 y = 5 + a + ( − 13 x 2 y ) {\displaystyle 5+a-13x^{2}y=5+a+(-13x^{2}y)} の項は 5 , a , − 13 x 2 y {\displaystyle 5,a,-13x^{2}y} の3つである。次の式のうち単項式であるものを答えよ。 (1), (2) が単項式。 (3) は項が6つあるため単項式ではない。上の全ての式は整式でもある。 3 x 2 {\displaystyle 3x^{2}} + 5 x 2 + 8 x {\displaystyle 5x^{2}+8x} の 3 x 2 {\displaystyle 3x^{2}} と 5 x 2 {\displaystyle 5x^{2}} のように、多項式の文字と指数がまったく同じである項を総称して同類項(どうるいこう、like terms)という。同類項は分配法則 a b + a c = a ( b + c ) {\displaystyle ab+ac=a(b+c)} を使ってまとめることができる。たとえば 3 x 2 + 5 x 2 + 8 x = ( 3 + 5 ) x 2 + 8 x = 8 x 2 + 8 x {\displaystyle 3x^{2}+5x^{2}+8x=(3+5)x^{2}+8x=8x^{2}+8x} である。 8 x 2 {\displaystyle 8x^{2}} と 8 x {\displaystyle 8x} は文字は同じであるが指数が異なるので、同類項ではない。次の多項式の同類項を整理せよ。 3 x {\displaystyle 3x} という単項式は、3という数と x {\displaystyle x} という文字に分けて考えることができる。数の部分を単項式の係数(けいすう、coefficient)という。たとえば − x = ( − 1 ) x {\displaystyle -x=(-1)x} という単項式の係数は -1 である。 256 x y 2 {\displaystyle 256xy^{2}} という単項式は、256という数と x , y , y {\displaystyle x,y,y} という文字に分けて考えることができるので、この単項式の係数は256である。一方、掛けあわせた文字の数を単項式の次数(じすう、degree)という。 256 x y 2 {\displaystyle 256xy^{2}} は x , y , y {\displaystyle x,y,y} という3つの文字を掛けあわせてできているので、この単項式の次数は3である。0という単項式の次数は 0 = 0 x = 0 x 2 = 0 x 3 = ⋯ {\displaystyle 0=0x=0x^{2}=0x^{3}=\cdots } と一つに定まらないので、ここでは考えない。単項式の係数と次数は、単に数と文字に分けて考えるのではなく、ある文字を変数として見たときに、残りの文字を定数として数と同じように扱うことがある。たとえば − 5 a b c x 3 {\displaystyle -5abcx^{3}} という単項式を、 x 3 {\displaystyle x^{3}} だけが変数で、残りの文字 a , b , c {\displaystyle a,b,c} は定数と考えることもできる。このとき ( − 5 a b c ) x 3 {\displaystyle (-5abc)x^{3}} と分けられるので、この単項式の係数は − 5 a b c {\displaystyle -5abc} 、変数は x 3 {\displaystyle x^{3}} で、次数は3であるといえる。このことを − 5 a b c x 3 {\displaystyle -5abcx^{3}} という単項式は、「 x {\displaystyle x} に着目すると、係数は − 5 a b c {\displaystyle -5abc} 、次数は3である」などという場合がある。あるいは − 5 a b c x 3 {\displaystyle -5abcx^{3}} の a {\displaystyle a} と b {\displaystyle b} に着目すれば、 ( − 5 c x 3 ) a b {\displaystyle (-5cx^{3})ab} と分けられ、 a {\displaystyle a} と b {\displaystyle b} に着目したときのこの単項式の係数は − 5 c x 3 {\displaystyle -5cx^{3}} 、変数は a b {\displaystyle ab} で、次数は2であるといえる。慣習的には a , b , c , ⋯ {\displaystyle a,b,c,\cdots } などのアルファベットの最初の方の文字を定数を表すのに使い、 ⋯ , x , y , z {\displaystyle \cdots ,x,y,z} などのアルファベットの最後の方の文字を変数を表すのに用いるが、一般的にはこの限りでない。多項式の次数とは、多項式の同類項をまとめたときに、もっとも次数の高い項の次数をいう。たとえば x 3 + 3 x 2 y + 2 y {\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+2y} では、もっとも次数の高い項は x 3 {\displaystyle x^{3}} であるので、この多項式の次数は3である。もし x 3 + 3 x 2 y + 2 y {\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+2y} ( x {\displaystyle x} は定数)であれば、すなわち多項式の y {\displaystyle y} について着目すると、もっとも次数の高い項は 3 x 2 y {\displaystyle 3x^{2}y} と 2 y {\displaystyle 2y} であるので、この多項式の次数は1である。このとき着目した文字を含まない項 x 3 {\displaystyle x^{3}} は定数項(ていすうこう、constant term)として数と同じように扱われる。次の多項式の x {\displaystyle x} または y {\displaystyle y} に着目したときの次数と定数項をそれぞれいえ。たとえば、のように、次数の高い項から先に項をならべることを「降べき」(こうべき)という。さて、式を使う目的によっては、次数のひくい項から先に書いたほうが便利な場合もある。たとえば、 x {\displaystyle x} が約0.01 のような1未満の小さい数の場合、式 x 2 + 6 x + 7 {\displaystyle x^{2}+6x+7} の値を求めたいなら、文字 x {\displaystyle x} の次数の小さい項のほうが影響が高い。なので、目的によってはのように、次数のひくい項から先に書く場合もある。 7 + 6 x + x 2 {\displaystyle 7+6x+x^{2}} のように、次数の低い項から先に項をならべることを「昇べき」(しょうべき)という。多項式に2つ以上の文字があるとき、特定の1つの文字に注目して並び変えると、使いやすくなることがある。たとえば、の項を、xの次数が多い項から先に並びかえ、同類項をまとめるととなる。この(例2)のように、特定の文字だけに着目して、その文字の次数の高い順に並びかえると便利なこともしばしばある。例2は、 x {\displaystyle x} について降べきの順に並び変えた整式である。着目してない文字については、並び換えのときは定数のように扱う。いっぽう、 x {\displaystyle x} について、次数のひくい項から順に並べると、次のような式になる。このように、特定の文字の次数が低いものから順に並びかえると便利なこともしばしばある。例3は、xについて昇べきの順に並び変えた整式である。たとえば、式という式の右辺の次数は、いくらであろうか。 aとxを等しく文字として扱うのであれば、 a x {\displaystyle ax} の次数はより 1+1 =2 なので、この式の次数は2である。(項bは次数1なので、 a x {\displaystyle ax} の次数2よりも低いので無視する。) しかし、もしこの式を、定数 a {\displaystyle a} を係数とする変数 x {\displaystyle x} についての一次関数とみるのであれば、一次式と思うのが合理的だろう。このような場合、特定の文字だけに注目したその式の次数を考えるとよい。たとえば、文字xだけに注目して、式 a x + b {\displaystyle ax+b} の次数を決めてみよう。すると、文字xに注目した場合の式 a x + b {\displaystyle ax+b} の次数は1になる。なぜならよって、文字 x {\displaystyle x} に注目した場合の項 a x {\displaystyle ax} の次数は、 0+1 なので、1である。このように考える場合、必要に応じてどの文字に注目したかを明記して「文字◯◯に注目した次数」のように述べるとよい。多項式の積は分配法則を使って計算することができる。このように多項式の積で表された式を一つの多項式に繰り広げることを、多項式を展開(てんかい、expand)するという。 a {\displaystyle a} を n {\displaystyle n} 回掛けたものを a n {\displaystyle a^{n}} と書き、aのn乗(-じょう、a to the n-th power)という。ただし a 1 = a {\displaystyle a^{1}=a} と定義する。たとえば、である。 a , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , ⋯ , a n {\displaystyle a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},\cdots ,a^{n}} を総称して a {\displaystyle a} の累乗(るいじょう、exponentiation、冪乗、べきじょう、冪、べき)という。 a n {\displaystyle a^{n}} の n を指数(しすう、exponent)という(a は底(てい、base)という)。ここでは自然数、すなわち正の整数の指数を考える。累乗は次のように考えることもできる。累乗どうしを掛けあわせた積は、次のように計算することができる。累乗どうしを割った商は、次のように計算することができる。累乗の累乗は、次のように計算することができる。積の累乗は、次のように計算することができる。これらをあわせて指数法則(しすうほうそく、exponential law)という。累乗の定義より明らか。次の式を計算しなさい。次の式を展開せよ。まとめると、次のようになる。次の式を展開しなさい。複雑な式の展開は、式の一部分を一つの文字において公式を使うとよい。次の式を展開しなさい。次の式を因数分解しなさい。次の式を因数分解しなさい。次の式を因数分解しなさい。 a=b^2が成り立つとき、a=2となるようなb、すなわち 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} の具体的な値がどのようなものか、調べてみよう。このように、bを様々に決めても、aはなかなか2にならない。実は 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は、分母分子共に整数の分数で表すことはできない。このように整数を分母分子に持つ分数で表せないような数を無理数という。例えば、円周率πは無理数である。それに対して、整数や循環小数など、分母分子共に整数の分数で表すことのできる数を有理数という。有理数と無理数を合わせて実数という。どんな実数でも数直線上の点として表せる。また、どんな実数も、有限小数あるいは無限小数として表せる。 (下記の「無限小数」の節を参照) 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} が有理数であると仮定すると、互いに素な(1以外に公約数をもたない)整数 m, n を用いて、と表わすことができる。このとき、両辺を2乗して分母を払うと、よって m は2の倍数であり、整数 l を用いて m = 2 l {\displaystyle m=2l} と表すことができる。これを (1) の式に代入して整理すると、よって n も2の倍数であるが、これは m, n が2を公約数にもつことになり、互いに素と仮定したことに矛盾する。したがって 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} は無理数である(背理法)。 0.1 や 0.123456789 のように、ある位で終わる小数を有限小数という。一方、 0.1234512345 ⋯ {\displaystyle 0.1234512345\cdots } や 3.1415926535 ⋯ {\displaystyle 3.1415926535\cdots } のように無限に続く小数を無限小数(むげんしょうすう)という。無限小数のうち、ある位より下から、ある配列の数字の繰り返しになっているものを循環小数(じゅんかんしょうすう)という。例えば 0.3333333333 ⋯ {\displaystyle 0.3333333333\cdots } や 0.1428571428 ⋯ {\displaystyle 0.1428571428\cdots } や 0.1232323232 ⋯ {\displaystyle 0.1232323232\cdots } などである。繰り返しの最小単位を循環節という。循環小数は循環節1つを用いて 0. 3 ̇ {\displaystyle 0.{\dot {3}}} 、 0. 1 ̇ 4285 7 ̇ {\displaystyle 0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}} 、 0.1 2 ̇ 3 ̇ {\displaystyle 0.1{\dot {2}}{\dot {3}}} のように循環節の最初と最後(循環節が一桁の場合はひとつだけ)の上に点をつけて表す。全ての循環小数は分数に直せる。と置くと、である。(2)ー(1) より 9 a = 3 {\displaystyle 9a=3} 、よって a = 3 9 = 1 3 {\displaystyle a={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}} である。 a = 0. 1 ̇ 4285 7 ̇ 1000000 a = 142857. 1 ̇ 4285 7 ̇ 999999 a = 142857 a = 142857 999999 = 1 7 {\displaystyle {\begin{aligned}a&=0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}\\1000000a&=142857.{\dot {1}}4285{\dot {7}}\\999999a&=142857\\a&={\frac {142857}{999999}}\ ={\frac {1}{7}}\end{aligned}}} a = 0.1 2 ̇ 3 ̇ 100 a = 12.3 2 ̇ 3 ̇ 99 a = 12.2 a = 12.2 99 = 61 495 {\displaystyle {\begin{aligned}a&=0.1{\dot {2}}{\dot {3}}\\100a&=12.3{\dot {2}}{\dot {3}}\\99a&=12.2\\a&={\frac {12.2}{99}}\ ={\frac {61}{495}}\end{aligned}}} 実数 a について、a の数直線上での原点との距離を a の絶対値といい、 \| a \| {\displaystyle \|a\|} で表す。たとえばである。定義より \| a \| = \| − a \| {\displaystyle \|a\|=\|-a\|} がいえる。また、 a , b {\displaystyle a,b} を任意の実数とするとき、それぞれに対応する数直線上の任意の2点 P ( a ) , Q ( b ) {\displaystyle \mathrm {P} (a),\mathrm {Q} (b)} 間の距離については、次のことがいえる。今、2乗してaになる数bを考える。 a = 1 {\displaystyle a=1} のとき、 b = 1 {\displaystyle b=1} として終わりにしてはいけない。確かに b = 1 {\displaystyle b=1} も条件を満たすが b = − 1 {\displaystyle b=-1} も条件を満たす。よって b = 1 {\displaystyle b=1} または b = − 1 {\displaystyle b=-1} である。一般に正の数aについてa=b^2となるbは二つあり、その二つは絶対値が等しい。この二つのbをaの平方根という。aの平方根のうち、正であるものを a {\displaystyle {\sqrt {a}}} 、負であるものを − a {\displaystyle -{\sqrt {a}}} と書く。 a {\displaystyle {\sqrt {a}}} は『ルートa』と読む。一方、負の数aについて考えてみても上手くbを見つけることはできない。実際のところ、負の数の平方根は実数で表すことはできない。 2 , 4 , 9 , 12 {\displaystyle 2\ ,\ 4\ ,\ 9\ ,\ 12} の平方根を求めよ。 ± 2 , ± 2 , ± 3 , ± 2 3 {\displaystyle \pm {\sqrt {2}}\ ,\ \pm 2\ ,\ \pm 3\ ,\ \pm 2{\sqrt {3}}} それぞれのルートを計算し、 ± {\displaystyle \pm } をつければよい。ただし、平方根のルールに従って、簡単化できるものは簡単化することが要求される。例えば、 2 {\displaystyle 2} に対しては、 ± 2 {\displaystyle \pm {\sqrt {2}}} となる。一般に、 A 2 = \| A \| {\displaystyle {\sqrt {A^{2}}}=\|A\|} である。根号について、次の公式が成り立つ。まず、 a b {\displaystyle {\sqrt {ab}}} とは、定義にもとづいて考えると、2乗すると ab になる数のうち、正のほうの数という意味である。なので、公式「 a b = a b {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}} 」を証明するには、そのことを証明すればいい。なので、まず、 a b {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}} を2乗すると、となる。ゆえに a b {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}} は、まず条件「2乗するとabになる」を満たす。そして、正の数の平方根は正なので、 a b {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}} も正である。よって a b {\displaystyle {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}} は、「2乗するとabになる」数のうちの正のほうである。 (証明おわり) さらに、上の公式(1)により、次の公式が導かれる。計算せよ。分母に根号を含まない式にすることを、分母を有理化するという。有理化は、分母と分子に同じ数をかけてもよいことを利用して行う。たとえば、 1 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} を有理化すると、 1 2 = 1 2 2 2 = 2 2 {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\ =\ {\frac {1{\sqrt {2}}}{{\sqrt {2}}{\sqrt {2}}}}\ =\ {\frac {\sqrt {2}}{2}}} となる。また、とくに a b + c {\displaystyle {\frac {a}{b+c}}} について、 b 2 − c 2 = 1 {\displaystyle b^{2}-c^{2}=1} のとき、 a b + c = a ( b − c ) ( b + c ) ( b − c ) = a ( b − c ) b 2 − c 2 = a ( b − c ) 1 = a ( b − c ) {\displaystyle {\frac {a}{b+c}}\ =\ {\frac {a(b-c)}{(b+c)(b-c)}}\ =\ {\frac {a(b-c)}{b^{2}-c^{2}}}\ =\ {\frac {a(b-c)}{1}}\ =\ a(b-c)} である。たとえば、 a = 1 , b = 2 , c = 1 {\displaystyle a=1,b={\sqrt {2}},c=1} とすると、 1 2 + 1 = 2 − 1 {\displaystyle {\frac {1}{{\sqrt {2}}+1}}={\sqrt {2}}-1} である。分母を有理化せよ。二重根号とは、根号が2重になっている式のことである。二重根号は常に外せるわけではなく、根号の中に含まれる式によって簡単にできるかどうかが決まる。一般に、根号内の式が、 x 2 {\displaystyle x^{2}} の形に変形できる場合には、外側の根号を外すことができる。 3 + 2 2 {\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}} を簡単にせよ。 3 + 2 2 {\displaystyle 3+2{\sqrt {2}}} が ( ⋯ ) 2 {\displaystyle (\cdots )^{2}} の形にできるかを考える。仮に、 ( a + b ) 2 {\displaystyle ({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})^{2}} (a,bは正の整数)の形にできるとすると、 3 + 2 2 = a + b + 2 a b {\displaystyle 3+2{\sqrt {2}}=a+b+2{\sqrt {ab}}} となり、を満たす整数a,bを探せばよい。この関係は、a=1,b=2(a,bを入れ換えても可。)によって満たされるので、 3 + 2 2 = ( 2 + 1 ) 2 {\displaystyle 3+2{\sqrt {2}}\ =\ ({\sqrt {2}}+1)^{2}} が成り立つ。よって、 3 + 2 2 = ( 2 + 1 ) 2 = 2 + 1 {\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}\ =\ {\sqrt {({\sqrt {2}}+1)^{2}}}\ =\ {\sqrt {2}}+1} となる。次の式を計算せよ。同じ大きさの量を=で結んだ式を方程式と呼ぶことを既に学習した。ここでは、異なった量の大きさの違いを表す記号を導入し、その性質についてまとめる。ある数A,Bがあるとき、AがBより大きいことを A > B {\displaystyle A>B} と表し、AがBより小さいことを A < B {\displaystyle A<B} と表す。ここで、<と>のことを不等号と呼び、このような式を不等式と呼ぶ。また、 ≤ , ≥ {\displaystyle \leq ,\geq } も似た意味の不等式であるが、それぞれAとBが等しい値である場合を含むものである。なお、日本の教育においては、 ≤ , ≥ {\displaystyle \leq ,\geq } の代わりに、不等号の下に等号を記した ≦ , ≧ {\displaystyle \leqq ,\geqq } を使うことが多い。 x > 7 {\displaystyle x>7} という不等式があるとき、xは7より大きい実数である。また、 x ≥ 7 {\displaystyle x\geq 7} の時には、xは7以上の実数である。不等式では等式と同じように、両辺に演算をしても不等号の関係が変わらないことがある。例えば、両辺に同じ数を足しても、両辺の大小関係は変化しない。ただし、両辺に負の数をかけたときには、不等号の向きが変化することに注意が必要である。これは、負の数をかけると両辺の値は、0を中心に数直線を折り返した地点に移されることによる。 x > y {\displaystyle x>y} が成り立つときには、 x + 3 > y + 3 {\displaystyle x+3>y+3} 、 4 x > 4 y {\displaystyle 4x>4y} も成り立つ。また、 − x < − y {\displaystyle -x<-y} が成り立つ。不等式の性質を使っての両辺から3を引くとよってとなる。このように、不等式でも移項することができる。グラフを用いて考えるとき、不等式はグラフ中の領域を表す。領域の境界は不等号を等号に置き換えた部分が対応する。これは、不等号が成立するかどうかがその線上で入れ替わることによっている。(詳しくは数学II 図形と方程式で学習する。) y > x + 1 {\displaystyle y>x+1} , y < 2 x + 1 {\displaystyle y<2x+1} , x < 3 {\displaystyle x<3} のグラフ(正しくは「領域」)を描け。 y > x + 1 {\displaystyle y>x+1} のグラフ(領域)は次のようになる。ただし、境界は含まない。 y < 2 x + 1 {\displaystyle y<2x+1} のグラフ(領域)は次のようになる。ただし、境界は含まない。 x < 3 {\displaystyle x<3} のグラフ(領域)は次のようになる。ただし、境界は含まない。次の不等式を解け。いくつかの不等式を組み合わせたものを連立不等式といい、これらの不等式を同時に満たす x {\displaystyle x} の値の範囲を求めることを、連立不等式を解くという。次の連立不等式を解け。 (i) (ii) (i) x + 2 < 2 x + 4 {\displaystyle x+2<2x+4} から − x < 2 {\displaystyle -x<2} 10 − x ≥ 3 x − 6 {\displaystyle 10-x\geq 3x-6} から − 4 x ≥ − 16 {\displaystyle -4x\geq -16} (1),(2)を同時に満たす x {\displaystyle x} の値の範囲は (ii) x ≥ 1 − x {\displaystyle x\geq 1-x} から 2 x ≥ 1 {\displaystyle 2x\geq 1} 2 ( x + 1 ) > x − 2 {\displaystyle 2(x+1)>x-2} から 2 x + 2 > x − 2 {\displaystyle 2x+2>x-2} (1),(2)を同時に満たす x {\displaystyle x} の値の範囲は絶対値を含む不等式について考えよう。絶対値 \| x \| {\displaystyle \|x\|} は、数直線上で、原点 O {\displaystyle \mathrm {O} } と点 P ( x ) {\displaystyle \mathrm {P} (x)} の間の距離を表している。したがって、 a > 0 {\displaystyle a>0} のとき次の不等式を解け。 (i) (ii) (iii) (iv) (i) (ii) (iii) (iv) 一般の二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} ( a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} は定数、 a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} )の解 x {\displaystyle x} を求める公式について考える。ここで恒等式 x 2 + 2 y x = ( x + y ) 2 − y 2 {\displaystyle x^{2}+2yx=(x+y)^{2}-y^{2}} と (1) の左辺を係数比較すると、であるから、(1) の式は次のように変形できる(平方完成)。 b 2 − 4 a c ≥ 0 {\displaystyle b^{2}-4ac\geq 0} のとき両辺の平方根をとると、これが二次方程式の解の公式(にじほうていしきのかいのこうしき、quadratic formula; 二次公式)である。解の公式を二次方程式の一般形に代入すると、右辺は0になるはずである。であることを用いると、となり、確かに正しいことがわかる。をそれぞれ解の公式か因数分解を用いて解きなさい。結果の式に根号が現れない場合には、何らかの仕方で因数分解ができる。しかし、いずれの方法を使うにせよ、根号はできる限りの仕方で簡単化することが重要である。 (i)は簡単に因数分解できるので、解の公式を用いる必要はない。より、が答えとなる。(ii)では、因数分解が出来ないので、解の公式を用いる。因数分解ができるかどうかは実際に試行錯誤して見分けるしかない。に、解の公式を用いると、a=5, b= 2, c=-1より、となる。(iii),(iv)でも、因数分解は出来ないので、解の公式を用いる。答えは、 (iii) (iv) (v) と因数分解できるので、答えはとなる。全問を通じて、因数分解が可能な方程式に対しても、解の公式を使用しても構わない。二次方程式 a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0(a\neq 0)} について考える。解の公式に b= 2b' を代入するとよって、二次方程式 a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0} の解はとなる。を上の解の公式を用いて解きなさい。上の解の公式を用いると、a=3, b'= 3, c=-2より、となる。 2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の解は x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} である。この式の根号の中身だけ取り出したものを判別式と呼び、2次方程式の解の個数を簡単に判別できる。 D = b 2 − 4 a c {\displaystyle D=b^{2}-4ac} の値によって次のようになる。 (1) D > 0 {\displaystyle D>0} のとき、異なる2つの解 x = − b + b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} と x = − b − b 2 − 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} を持つ。 (2) D = 0 {\displaystyle D=0} のとき、 ± b 2 − 4 a c = ± 0 {\displaystyle \pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}=\pm 0} であるので、2つの解は一致して、ただ1つの解 x = − b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} を持つ。これは2つの解が重なったものと考えて、重解という。 (3) D < 0 {\displaystyle D<0} のとき、実数の範囲では解はない。 2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の解の個数は D = b 2 − 4 a c {\displaystyle D=b^{2}-4ac} の値で判定できる。次の2次方程式の解の個数を求めよ。 (I) だから、実数解はない。 (II) だから、重解をもつ。 (III) だから、異なる2つの実数の解をもつ。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "こちらを参照", "title": "集合と論理" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "3や12などの数(定数)や、 x {\\displaystyle x} や y {\\displaystyle y} などの文字(変数)を掛けあわせてできる式を項(こう、term)という。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "次のようなものが項である。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "このように一つの項だけからできている式を単項式(たんこうしき、monomial)という。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "※ あらためて「整式」を定義すると、次のような定義になる。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "1つ以上の単項式を足しあわせてできる式を整式(せいしき)という。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "以下は整式の例である。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "単項式でも、項が1つしかない整式の一つであると考えることができるので、「整式」という概念を使うことにより、多項式と単項式との区別の必要がなくなる。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "x − y {\\displaystyle x-y} のように減法を含む式は、 x − y = x + ( − y ) = − y + x {\\displaystyle x-y=x+(-y)=-y+x} と減法を加法に直すことができるので、 x , − y {\\displaystyle x,-y} を項にもつ整式であると考えられる。すなわち、多項式の項とは、多項式を足し算の形に直したときの、一つ一つの足しあわさっている式のことである。たとえば 5 + a − 13 x 2 y = 5 + a + ( − 13 x 2 y ) {\\displaystyle 5+a-13x^{2}y=5+a+(-13x^{2}y)} の項は 5 , a , − 13 x 2 y {\\displaystyle 5,a,-13x^{2}y} の3つである。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "次の式のうち単項式であるものを答えよ。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "(1), (2) が単項式。 (3) は項が6つあるため単項式ではない。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "上の全ての式は整式でもある。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "3 x 2 {\\displaystyle 3x^{2}} + 5 x 2 + 8 x {\\displaystyle 5x^{2}+8x} の 3 x 2 {\\displaystyle 3x^{2}} と 5 x 2 {\\displaystyle 5x^{2}} のように、多項式の文字と指数がまったく同じである項を総称して同類項(どうるいこう、like terms)という。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "同類項は分配法則 a b + a c = a ( b + c ) {\\displaystyle ab+ac=a(b+c)} を使ってまとめることができる。たとえば 3 x 2 + 5 x 2 + 8 x = ( 3 + 5 ) x 2 + 8 x = 8 x 2 + 8 x {\\displaystyle 3x^{2}+5x^{2}+8x=(3+5)x^{2}+8x=8x^{2}+8x} である。 8 x 2 {\\displaystyle 8x^{2}} と 8 x {\\displaystyle 8x} は文字は同じであるが指数が異なるので、同類項ではない。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "次の多項式の同類項を整理せよ。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "3 x {\\displaystyle 3x} という単項式は、3という数と x {\\displaystyle x} という文字に分けて考えることができる。数の部分を単項式の係数(けいすう、coefficient)という。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "たとえば − x = ( − 1 ) x {\\displaystyle -x=(-1)x} という単項式の係数は -1 である。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "256 x y 2 {\\displaystyle 256xy^{2}} という単項式は、256という数と x , y , y {\\displaystyle x,y,y} という文字に分けて考えることができるので、この単項式の係数は256である。一方、掛けあわせた文字の数を単項式の次数(じすう、degree)という。 256 x y 2 {\\displaystyle 256xy^{2}} は x , y , y {\\displaystyle x,y,y} という3つの文字を掛けあわせてできているので、この単項式の次数は3である。0という単項式の次数は 0 = 0 x = 0 x 2 = 0 x 3 = ⋯ {\\displaystyle 0=0x=0x^{2}=0x^{3}=\\cdots } と一つに定まらないので、ここでは考えない。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "単項式の係数と次数は、単に数と文字に分けて考えるのではなく、ある文字を変数として見たときに、残りの文字を定数として数と同じように扱うことがある。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "たとえば − 5 a b c x 3 {\\displaystyle -5abcx^{3}} という単項式を、 x 3 {\\displaystyle x^{3}} だけが変数で、残りの文字 a , b , c {\\displaystyle a,b,c} は定数と考えることもできる。このとき ( − 5 a b c ) x 3 {\\displaystyle (-5abc)x^{3}} と分けられるので、この単項式の係数は − 5 a b c {\\displaystyle -5abc} 、変数は x 3 {\\displaystyle x^{3}} で、次数は3であるといえる。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "このことを − 5 a b c x 3 {\\displaystyle -5abcx^{3}} という単項式は、「 x {\\displaystyle x} に着目すると、係数は − 5 a b c {\\displaystyle -5abc} 、次数は3である」などという場合がある。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "あるいは − 5 a b c x 3 {\\displaystyle -5abcx^{3}} の a {\\displaystyle a} と b {\\displaystyle b} に着目すれば、 ( − 5 c x 3 ) a b {\\displaystyle (-5cx^{3})ab} と分けられ、 a {\\displaystyle a} と b {\\displaystyle b} に着目したときのこの単項式の係数は − 5 c x 3 {\\displaystyle -5cx^{3}} 、変数は a b {\\displaystyle ab} で、次数は2であるといえる。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "慣習的には a , b , c , ⋯ {\\displaystyle a,b,c,\\cdots } などのアルファベットの最初の方の文字を定数を表すのに使い、 ⋯ , x , y , z {\\displaystyle \\cdots ,x,y,z} などのアルファベットの最後の方の文字を変数を表すのに用いるが、一般的にはこの限りでない。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "多項式の次数とは、多項式の同類項をまとめたときに、もっとも次数の高い項の次数をいう。たとえば x 3 + 3 x 2 y + 2 y {\\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+2y} では、もっとも次数の高い項は x 3 {\\displaystyle x^{3}} であるので、この多項式の次数は3である。もし x 3 + 3 x 2 y + 2 y {\\displaystyle x^{3}+3x^{2}y+2y} ( x {\\displaystyle x} は定数)であれば、すなわち多項式の y {\\displaystyle y} について着目すると、もっとも次数の高い項は 3 x 2 y {\\displaystyle 3x^{2}y} と 2 y {\\displaystyle 2y} であるので、この多項式の次数は1である。このとき着目した文字を含まない項 x 3 {\\displaystyle x^{3}} は定数項(ていすうこう、constant term)として数と同じように扱われる。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "次の多項式の x {\\displaystyle x} または y {\\displaystyle y} に着目したときの次数と定数項をそれぞれいえ。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "たとえば、", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "のように、次数の高い項から先に項をならべることを「降べき」(こうべき)という。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 31, "tag": "p", "text": "さて、式を使う目的によっては、次数のひくい項から先に書いたほうが便利な場合もある。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 32, "tag": "p", "text": "たとえば、 x {\\displaystyle x} が約0.01 のような1未満の小さい数の場合、式 x 2 + 6 x + 7 {\\displaystyle x^{2}+6x+7} の値を求めたいなら、文字 x {\\displaystyle x} の次数の小さい項のほうが影響が高い。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 33, "tag": "p", "text": "なので、目的によっては", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 34, "tag": "p", "text": "のように、次数のひくい項から先に書く場合もある。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 35, "tag": "p", "text": "7 + 6 x + x 2 {\\displaystyle 7+6x+x^{2}} のように、次数の低い項から先に項をならべることを「昇べき」(しょうべき)という。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 36, "tag": "p", "text": "", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 37, "tag": "p", "text": "多項式に2つ以上の文字があるとき、特定の1つの文字に注目して並び変えると、使いやすくなることがある。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 38, "tag": "p", "text": "たとえば、", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 39, "tag": "p", "text": "の項を、xの次数が多い項から先に並びかえ、同類項をまとめると", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 40, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "この(例2)のように、特定の文字だけに着目して、その文字の次数の高い順に並びかえると便利なこともしばしばある。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "例2は、 x {\\displaystyle x} について降べきの順に並び変えた整式である。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "着目してない文字については、並び換えのときは定数のように扱う。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "いっぽう、 x {\\displaystyle x} について、次数のひくい項から順に並べると、次のような式になる。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "このように、特定の文字の次数が低いものから順に並びかえると便利なこともしばしばある。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "例3は、xについて昇べきの順に並び変えた整式である。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "たとえば、式", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 49, "tag": "p", "text": "という式の右辺", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 50, "tag": "p", "text": "の次数は、いくらであろうか。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 51, "tag": "p", "text": "aとxを等しく文字として扱うのであれば、 a x {\\displaystyle ax} の次数は", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 52, "tag": "p", "text": "より 1+1 =2 なので、この式の次数は2である。(項bは次数1なので、 a x {\\displaystyle ax} の次数2よりも低いので無視する。)", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 53, "tag": "p", "text": "しかし、もしこの式を、定数 a {\\displaystyle a} を係数とする変数 x {\\displaystyle x} についての一次関数とみるのであれば、一次式と思うのが合理的だろう。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 54, "tag": "p", "text": "このような場合、特定の文字だけに注目したその式の次数を考えるとよい。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 55, "tag": "p", "text": "たとえば、文字xだけに注目して、式 a x + b {\\displaystyle ax+b} の次数を決めてみよう。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 56, "tag": "p", "text": "すると、文字xに注目した場合の式 a x + b {\\displaystyle ax+b} の次数は1になる。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 57, "tag": "p", "text": "なぜなら", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 58, "tag": "p", "text": "よって、文字 x {\\displaystyle x} に注目した場合の項 a x {\\displaystyle ax} の次数は、 0+1 なので、1である。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 59, "tag": "p", "text": "このように考える場合、必要に応じてどの文字に注目したかを明記して「文字◯◯に注目した次数」のように述べるとよい。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 60, "tag": "p", "text": "多項式の積は分配法則を使って計算することができる。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 61, "tag": "p", "text": "このように多項式の積で表された式を一つの多項式に繰り広げることを、多項式を展開(てんかい、expand)するという。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 62, "tag": "p", "text": "a {\\displaystyle a} を n {\\displaystyle n} 回掛けたものを a n {\\displaystyle a^{n}} と書き、aのn乗(-じょう、a to the n-th power)という。ただし a 1 = a {\\displaystyle a^{1}=a} と定義する。たとえば、", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 63, "tag": "p", "text": "である。 a , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , ⋯ , a n {\\displaystyle a,a^{2},a^{3},a^{4},a^{5},\\cdots ,a^{n}} を総称して a {\\displaystyle a} の累乗(るいじょう、exponentiation、冪乗、べきじょう、冪、べき)という。 a n {\\displaystyle a^{n}} の n を指数(しすう、exponent)という(a は底(てい、base)という)。ここでは自然数、すなわち正の整数の指数を考える。累乗は次のように考えることもできる。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 64, "tag": "p", "text": "累乗どうしを掛けあわせた積は、次のように計算することができる。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 65, "tag": "p", "text": "累乗どうしを割った商は、次のように計算することができる。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 66, "tag": "p", "text": "累乗の累乗は、次のように計算することができる。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 67, "tag": "p", "text": "積の累乗は、次のように計算することができる。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 68, "tag": "p", "text": "これらをあわせて指数法則(しすうほうそく、exponential law)という。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 69, "tag": "p", "text": "累乗の定義より明らか。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 70, "tag": "p", "text": "次の式を計算しなさい。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 71, "tag": "p", "text": "次の式を展開せよ。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 72, "tag": "p", "text": "まとめると、次のようになる。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 73, "tag": "p", "text": "次の式を展開しなさい。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 74, "tag": "p", "text": "複雑な式の展開は、式の一部分を一つの文字において公式を使うとよい。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 75, "tag": "p", "text": "次の式を展開しなさい。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 76, "tag": "p", "text": "次の式を因数分解しなさい。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 77, "tag": "p", "text": "", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 78, "tag": "p", "text": "", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 79, "tag": "p", "text": "次の式を因数分解しなさい。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 80, "tag": "p", "text": "次の式を因数分解しなさい。", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 81, "tag": "p", "text": "", "title": "式の展開と因数分解" }, { "paragraph_id": 82, "tag": "p", "text": "a=b^2が成り立つとき、a=2となるようなb、すなわち 2 {\\displaystyle {\\sqrt {2}}} の具体的な値がどのようなものか、調べてみよう。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 83, "tag": "p", "text": "このように、bを様々に決めても、aはなかなか2にならない。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 84, "tag": "p", "text": "実は 2 {\\displaystyle {\\sqrt {2}}} は、分母分子共に整数の分数で表すことはできない。このように整数を分母分子に持つ分数で表せないような数を無理数という。例えば、円周率πは無理数である。それに対して、整数や循環小数など、分母分子共に整数の分数で表すことのできる数を有理数という。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 85, "tag": "p", "text": "有理数と無理数を合わせて実数という。どんな実数でも数直線上の点として表せる。また、どんな実数も、有限小数あるいは無限小数として表せる。 (下記の「無限小数」の節を参照)", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 86, "tag": "p", "text": "2 {\\displaystyle {\\sqrt {2}}} が有理数であると仮定すると、互いに素な(1以外に公約数をもたない)整数 m, n を用いて、", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 87, "tag": "p", "text": "と表わすことができる。このとき、両辺を2乗して分母を払うと、", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 88, "tag": "p", "text": "よって m は2の倍数であり、整数 l を用いて m = 2 l {\\displaystyle m=2l} と表すことができる。これを (1) の式に代入して整理すると、", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 89, "tag": "p", "text": "よって n も2の倍数であるが、これは m, n が2を公約数にもつことになり、互いに素と仮定したことに矛盾する。したがって 2 {\\displaystyle {\\sqrt {2}}} は無理数である(背理法)。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 90, "tag": "p", "text": "0.1 や 0.123456789 のように、ある位で終わる小数を有限小数という。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 91, "tag": "p", "text": "一方、 0.1234512345 ⋯ {\\displaystyle 0.1234512345\\cdots } や 3.1415926535 ⋯ {\\displaystyle 3.1415926535\\cdots } のように無限に続く小数を無限小数(むげんしょうすう)という。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 92, "tag": "p", "text": "無限小数のうち、ある位より下から、ある配列の数字の繰り返しになっているものを循環小数(じゅんかんしょうすう)という。例えば 0.3333333333 ⋯ {\\displaystyle 0.3333333333\\cdots } や 0.1428571428 ⋯ {\\displaystyle 0.1428571428\\cdots } や 0.1232323232 ⋯ {\\displaystyle 0.1232323232\\cdots } などである。繰り返しの最小単位を循環節という。循環小数は循環節1つを用いて 0. 3 ̇ {\\displaystyle 0.{\\dot {3}}} 、 0. 1 ̇ 4285 7 ̇ {\\displaystyle 0.{\\dot {1}}4285{\\dot {7}}} 、 0.1 2 ̇ 3 ̇ {\\displaystyle 0.1{\\dot {2}}{\\dot {3}}} のように循環節の最初と最後(循環節が一桁の場合はひとつだけ)の上に点をつけて表す。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 93, "tag": "p", "text": "全ての循環小数は分数に直せる。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 94, "tag": "p", "text": "と置くと、", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 95, "tag": "p", "text": "である。(2)ー(1) より 9 a = 3 {\\displaystyle 9a=3} 、よって a = 3 9 = 1 3 {\\displaystyle a={\\frac {3}{9}}={\\frac {1}{3}}} である。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 96, "tag": "p", "text": "a = 0. 1 ̇ 4285 7 ̇ 1000000 a = 142857. 1 ̇ 4285 7 ̇ 999999 a = 142857 a = 142857 999999 = 1 7 {\\displaystyle {\\begin{aligned}a&=0.{\\dot {1}}4285{\\dot {7}}\\\\1000000a&=142857.{\\dot {1}}4285{\\dot {7}}\\\\999999a&=142857\\\\a&={\\frac {142857}{999999}}\\ ={\\frac {1}{7}}\\end{aligned}}}", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 97, "tag": "p", "text": "a = 0.1 2 ̇ 3 ̇ 100 a = 12.3 2 ̇ 3 ̇ 99 a = 12.2 a = 12.2 99 = 61 495 {\\displaystyle {\\begin{aligned}a&=0.1{\\dot {2}}{\\dot {3}}\\\\100a&=12.3{\\dot {2}}{\\dot {3}}\\\\99a&=12.2\\\\a&={\\frac {12.2}{99}}\\ ={\\frac {61}{495}}\\end{aligned}}}", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 98, "tag": "p", "text": "実数 a について、a の数直線上での原点との距離を a の絶対値といい、 \| a \| {\\displaystyle \|a\|} で表す。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 99, "tag": "p", "text": "たとえば", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 100, "tag": "p", "text": "である。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 101, "tag": "p", "text": "定義より \| a \| = \| − a \| {\\displaystyle \|a\|=\|-a\|} がいえる。また、 a , b {\\displaystyle a,b} を任意の実数とするとき、それぞれに対応する数直線上の任意の2点 P ( a ) , Q ( b ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (a),\\mathrm {Q} (b)} 間の距離については、次のことがいえる。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 102, "tag": "p", "text": "", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 103, "tag": "p", "text": "", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 104, "tag": "p", "text": "今、2乗してaになる数bを考える。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 105, "tag": "p", "text": "a = 1 {\\displaystyle a=1} のとき、 b = 1 {\\displaystyle b=1} として終わりにしてはいけない。確かに b = 1 {\\displaystyle b=1} も条件を満たすが b = − 1 {\\displaystyle b=-1} も条件を満たす。よって b = 1 {\\displaystyle b=1} または b = − 1 {\\displaystyle b=-1} である。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 106, "tag": "p", "text": "一般に正の数aについてa=b^2となるbは二つあり、その二つは絶対値が等しい。この二つのbをaの平方根という。aの平方根のうち、正であるものを a {\\displaystyle {\\sqrt {a}}} 、負であるものを − a {\\displaystyle -{\\sqrt {a}}} と書く。 a {\\displaystyle {\\sqrt {a}}} は『ルートa』と読む。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 107, "tag": "p", "text": "一方、負の数aについて考えてみても上手くbを見つけることはできない。実際のところ、負の数の平方根は実数で表すことはできない。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 108, "tag": "p", "text": "2 , 4 , 9 , 12 {\\displaystyle 2\\ ,\\ 4\\ ,\\ 9\\ ,\\ 12} の平方根を求めよ。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 109, "tag": "p", "text": "± 2 , ± 2 , ± 3 , ± 2 3 {\\displaystyle \\pm {\\sqrt {2}}\\ ,\\ \\pm 2\\ ,\\ \\pm 3\\ ,\\ \\pm 2{\\sqrt {3}}}", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 110, "tag": "p", "text": "それぞれのルートを計算し、 ± {\\displaystyle \\pm } をつければよい。ただし、平方根のルールに従って、簡単化できるものは簡単化することが要求される。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 111, "tag": "p", "text": "例えば、 2 {\\displaystyle 2} に対しては、 ± 2 {\\displaystyle \\pm {\\sqrt {2}}} となる。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 112, "tag": "p", "text": "一般に、 A 2 = \| A \| {\\displaystyle {\\sqrt {A^{2}}}=\|A\|} である。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 113, "tag": "p", "text": "根号について、次の公式が成り立つ。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 114, "tag": "p", "text": "まず、 a b {\\displaystyle {\\sqrt {ab}}} とは、定義にもとづいて考えると、2乗すると ab になる数のうち、正のほうの数という意味である。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 115, "tag": "p", "text": "なので、公式「 a b = a b {\\displaystyle {\\sqrt {a}}{\\sqrt {b}}={\\sqrt {ab}}} 」を証明するには、そのことを証明すればいい。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 116, "tag": "p", "text": "なので、まず、 a b {\\displaystyle {\\sqrt {a}}{\\sqrt {b}}} を2乗すると、", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 117, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 118, "tag": "p", "text": "ゆえに a b {\\displaystyle {\\sqrt {a}}{\\sqrt {b}}} は、まず条件「2乗するとabになる」を満たす。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 119, "tag": "p", "text": "そして、正の数の平方根は正なので、 a b {\\displaystyle {\\sqrt {a}}{\\sqrt {b}}} も正である。よって a b {\\displaystyle {\\sqrt {a}}{\\sqrt {b}}} は、「2乗するとabになる」数のうちの正のほうである。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 120, "tag": "p", "text": "(証明おわり)", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 121, "tag": "p", "text": "さらに、上の公式(1)により、次の公式が導かれる。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 122, "tag": "p", "text": "", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 123, "tag": "p", "text": "計算せよ。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 124, "tag": "p", "text": "分母に根号を含まない式にすることを、分母を有理化するという。有理化は、分母と分子に同じ数をかけてもよいことを利用して行う。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 125, "tag": "p", "text": "たとえば、 1 2 {\\displaystyle {\\frac {1}{\\sqrt {2}}}} を有理化すると、 1 2 = 1 2 2 2 = 2 2 {\\displaystyle {\\frac {1}{\\sqrt {2}}}\\ =\\ {\\frac {1{\\sqrt {2}}}{{\\sqrt {2}}{\\sqrt {2}}}}\\ =\\ {\\frac {\\sqrt {2}}{2}}} となる。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 126, "tag": "p", "text": "また、とくに a b + c {\\displaystyle {\\frac {a}{b+c}}} について、 b 2 − c 2 = 1 {\\displaystyle b^{2}-c^{2}=1} のとき、 a b + c = a ( b − c ) ( b + c ) ( b − c ) = a ( b − c ) b 2 − c 2 = a ( b − c ) 1 = a ( b − c ) {\\displaystyle {\\frac {a}{b+c}}\\ =\\ {\\frac {a(b-c)}{(b+c)(b-c)}}\\ =\\ {\\frac {a(b-c)}{b^{2}-c^{2}}}\\ =\\ {\\frac {a(b-c)}{1}}\\ =\\ a(b-c)} である。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 127, "tag": "p", "text": "たとえば、 a = 1 , b = 2 , c = 1 {\\displaystyle a=1,b={\\sqrt {2}},c=1} とすると、 1 2 + 1 = 2 − 1 {\\displaystyle {\\frac {1}{{\\sqrt {2}}+1}}={\\sqrt {2}}-1} である。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 128, "tag": "p", "text": "分母を有理化せよ。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 129, "tag": "p", "text": "二重根号とは、根号が2重になっている式のことである。二重根号は常に外せるわけではなく、根号の中に含まれる式によって簡単にできるかどうかが決まる。一般に、根号内の式が、 x 2 {\\displaystyle x^{2}} の形に変形できる場合には、外側の根号を外すことができる。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 130, "tag": "p", "text": "3 + 2 2 {\\displaystyle {\\sqrt {3+2{\\sqrt {2}}}}} を簡単にせよ。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 131, "tag": "p", "text": "3 + 2 2 {\\displaystyle 3+2{\\sqrt {2}}} が ( ⋯ ) 2 {\\displaystyle (\\cdots )^{2}} の形にできるかを考える。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 132, "tag": "p", "text": "仮に、 ( a + b ) 2 {\\displaystyle ({\\sqrt {a}}+{\\sqrt {b}})^{2}} (a,bは正の整数)の形にできるとすると、 3 + 2 2 = a + b + 2 a b {\\displaystyle 3+2{\\sqrt {2}}=a+b+2{\\sqrt {ab}}} となり、", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 133, "tag": "p", "text": "を満たす整数a,bを探せばよい。この関係は、a=1,b=2(a,bを入れ換えても可。)によって満たされるので、 3 + 2 2 = ( 2 + 1 ) 2 {\\displaystyle 3+2{\\sqrt {2}}\\ =\\ ({\\sqrt {2}}+1)^{2}} が成り立つ。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 134, "tag": "p", "text": "よって、 3 + 2 2 = ( 2 + 1 ) 2 = 2 + 1 {\\displaystyle {\\sqrt {3+2{\\sqrt {2}}}}\\ =\\ {\\sqrt {({\\sqrt {2}}+1)^{2}}}\\ =\\ {\\sqrt {2}}+1} となる。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 135, "tag": "p", "text": "次の式を計算せよ。", "title": "実数" }, { "paragraph_id": 136, "tag": "p", "text": "同じ大きさの量を=で結んだ式を方程式と呼ぶことを既に学習した。ここでは、異なった量の大きさの違いを表す記号を導入し、その性質についてまとめる。", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 137, "tag": "p", "text": "ある数A,Bがあるとき、AがBより大きいことを A > B {\\displaystyle A>B} と表し、AがBより小さいことを A < B {\\displaystyle A<B} と表す。ここで、<と>のことを不等号と呼び、このような式を不等式と呼ぶ。また、 ≤ , ≥ {\\displaystyle \\leq ,\\geq } も似た意味の不等式であるが、それぞれAとBが等しい値である場合を含むものである。", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 138, "tag": "p", "text": "なお、日本の教育においては、 ≤ , ≥ {\\displaystyle \\leq ,\\geq } の代わりに、不等号の下に等号を記した ≦ , ≧ {\\displaystyle \\leqq ,\\geqq } を使うことが多い。", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 139, "tag": "p", "text": "x > 7 {\\displaystyle x>7} という不等式があるとき、xは7より大きい実数である。また、 x ≥ 7 {\\displaystyle x\\geq 7} の時には、xは7以上の実数である。", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 140, "tag": "p", "text": "不等式では等式と同じように、両辺に演算をしても不等号の関係が変わらないことがある。例えば、両辺に同じ数を足しても、両辺の大小関係は変化しない。ただし、両辺に負の数をかけたときには、不等号の向きが変化することに注意が必要である。これは、負の数をかけると両辺の値は、0を中心に数直線を折り返した地点に移されることによる。", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 141, "tag": "p", "text": "x > y {\\displaystyle x>y} が成り立つときには、 x + 3 > y + 3 {\\displaystyle x+3>y+3} 、 4 x > 4 y {\\displaystyle 4x>4y} も成り立つ。また、 − x < − y {\\displaystyle -x<-y} が成り立つ。", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 142, "tag": "p", "text": "不等式の性質を使って", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 143, "tag": "p", "text": "の両辺から3を引くと", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 144, "tag": "p", "text": "よって", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 145, "tag": "p", "text": "となる。このように、不等式でも移項することができる。", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 146, "tag": "p", "text": "グラフを用いて考えるとき、不等式はグラフ中の領域を表す。領域の境界は不等号を等号に置き換えた部分が対応する。これは、不等号が成立するかどうかがその線上で入れ替わることによっている。(詳しくは数学II 図形と方程式で学習する。)", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 147, "tag": "p", "text": "y > x + 1 {\\displaystyle y>x+1} , y < 2 x + 1 {\\displaystyle y<2x+1} , x < 3 {\\displaystyle x<3} のグラフ(正しくは「領域」)を描け。", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 148, "tag": "p", "text": "y > x + 1 {\\displaystyle y>x+1} のグラフ(領域)は次のようになる。ただし、境界は含まない。", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 149, "tag": "p", "text": "y < 2 x + 1 {\\displaystyle y<2x+1} のグラフ(領域)は次のようになる。ただし、境界は含まない。", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 150, "tag": "p", "text": "x < 3 {\\displaystyle x<3} のグラフ(領域)は次のようになる。ただし、境界は含まない。", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 151, "tag": "p", "text": "", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 152, "tag": "p", "text": "次の不等式を解け。", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 153, "tag": "p", "text": "いくつかの不等式を組み合わせたものを連立不等式といい、これらの不等式を同時に満たす x {\\displaystyle x} の値の範囲を求めることを、連立不等式を解くという。", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 154, "tag": "p", "text": "次の連立不等式を解け。 (i)", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 155, "tag": "p", "text": "(ii)", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 156, "tag": "p", "text": "(i) x + 2 < 2 x + 4 {\\displaystyle x+2<2x+4} から − x < 2 {\\displaystyle -x<2}", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 157, "tag": "p", "text": "10 − x ≥ 3 x − 6 {\\displaystyle 10-x\\geq 3x-6} から − 4 x ≥ − 16 {\\displaystyle -4x\\geq -16}", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 158, "tag": "p", "text": "(1),(2)を同時に満たす x {\\displaystyle x} の値の範囲は", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 159, "tag": "p", "text": "(ii) x ≥ 1 − x {\\displaystyle x\\geq 1-x} から 2 x ≥ 1 {\\displaystyle 2x\\geq 1}", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 160, "tag": "p", "text": "2 ( x + 1 ) > x − 2 {\\displaystyle 2(x+1)>x-2} から 2 x + 2 > x − 2 {\\displaystyle 2x+2>x-2}", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 161, "tag": "p", "text": "(1),(2)を同時に満たす x {\\displaystyle x} の値の範囲は", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 162, "tag": "p", "text": "", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 163, "tag": "p", "text": "絶対値を含む不等式について考えよう。絶対値 \| x \| {\\displaystyle \|x\|} は、数直線上で、原点 O {\\displaystyle \\mathrm {O} } と点 P ( x ) {\\displaystyle \\mathrm {P} (x)} の間の距離を表している。したがって、 a > 0 {\\displaystyle a>0} のとき", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 164, "tag": "p", "text": "", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 165, "tag": "p", "text": "次の不等式を解け。 (i)", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 166, "tag": "p", "text": "(ii)", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 167, "tag": "p", "text": "(iii)", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 168, "tag": "p", "text": "(iv)", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 169, "tag": "p", "text": "(i)", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 170, "tag": "p", "text": "(ii)", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 171, "tag": "p", "text": "(iii)", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 172, "tag": "p", "text": "(iv)", "title": "一次不等式" }, { "paragraph_id": 173, "tag": "p", "text": "一般の二次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} ( a {\\displaystyle a} , b {\\displaystyle b} , c {\\displaystyle c} は定数、 a ≠ 0 {\\displaystyle a\\neq 0} )の解 x {\\displaystyle x} を求める公式について考える。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 174, "tag": "p", "text": "ここで恒等式 x 2 + 2 y x = ( x + y ) 2 − y 2 {\\displaystyle x^{2}+2yx=(x+y)^{2}-y^{2}} と (1) の左辺を係数比較すると、", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 175, "tag": "p", "text": "であるから、(1) の式は次のように変形できる(平方完成)。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 176, "tag": "p", "text": "b 2 − 4 a c ≥ 0 {\\displaystyle b^{2}-4ac\\geq 0} のとき両辺の平方根をとると、", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 177, "tag": "p", "text": "これが二次方程式の解の公式(にじほうていしきのかいのこうしき、quadratic formula; 二次公式)である。解の公式を二次方程式の一般形に代入すると、右辺は0になるはずである。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 178, "tag": "p", "text": "であることを用いると、", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 179, "tag": "p", "text": "となり、確かに正しいことがわかる。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 180, "tag": "p", "text": "をそれぞれ解の公式か因数分解を用いて解きなさい。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 181, "tag": "p", "text": "結果の式に根号が現れない場合には、何らかの仕方で因数分解ができる。しかし、いずれの方法を使うにせよ、根号はできる限りの仕方で簡単化することが重要である。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 182, "tag": "p", "text": "(i)は簡単に因数分解できるので、解の公式を用いる必要はない。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 183, "tag": "p", "text": "より、", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 184, "tag": "p", "text": "が答えとなる。(ii)では、因数分解が出来ないので、解の公式を用いる。因数分解ができるかどうかは実際に試行錯誤して見分けるしかない。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 185, "tag": "p", "text": "に、解の公式を用いると、a=5, b= 2, c=-1より、", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 186, "tag": "p", "text": "となる。(iii),(iv)でも、因数分解は出来ないので、解の公式を用いる。答えは、 (iii)", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 187, "tag": "p", "text": "(iv)", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 188, "tag": "p", "text": "(v)", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 189, "tag": "p", "text": "と因数分解できるので、答えは", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 190, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 191, "tag": "p", "text": "全問を通じて、因数分解が可能な方程式に対しても、解の公式を使用しても構わない。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 192, "tag": "p", "text": "", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 193, "tag": "p", "text": "二次方程式 a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 ( a ≠ 0 ) {\\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0(a\\neq 0)} について考える。解の公式に b= 2b' を代入すると", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 194, "tag": "p", "text": "よって、二次方程式 a x 2 + 2 b ′ x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+2b'x+c=0} の解は", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 195, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 196, "tag": "p", "text": "を上の解の公式を用いて解きなさい。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 197, "tag": "p", "text": "上の解の公式を用いると、a=3, b'= 3, c=-2より、", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 198, "tag": "p", "text": "となる。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 199, "tag": "p", "text": "", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 200, "tag": "p", "text": "2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の解は x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a {\\displaystyle x={\\frac {-b\\pm {\\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} である。この式の根号の中身だけ取り出したものを判別式と呼び、2次方程式の解の個数を簡単に判別できる。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 201, "tag": "p", "text": "D = b 2 − 4 a c {\\displaystyle D=b^{2}-4ac} の値によって次のようになる。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 202, "tag": "p", "text": "(1) D > 0 {\\displaystyle D>0} のとき、異なる2つの解 x = − b + b 2 − 4 a c 2 a {\\displaystyle x={\\frac {-b+{\\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} と x = − b − b 2 − 4 a c 2 a {\\displaystyle x={\\frac {-b-{\\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} を持つ。 (2) D = 0 {\\displaystyle D=0} のとき、 ± b 2 − 4 a c = ± 0 {\\displaystyle \\pm {\\sqrt {b^{2}-4ac}}=\\pm 0} であるので、2つの解は一致して、ただ1つの解 x = − b 2 a {\\displaystyle x=-{\\frac {b}{2a}}} を持つ。これは2つの解が重なったものと考えて、重解という。 (3) D < 0 {\\displaystyle D<0} のとき、実数の範囲では解はない。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 203, "tag": "p", "text": "2次方程式 a x 2 + b x + c = 0 {\\displaystyle ax^{2}+bx+c=0} の解の個数は D = b 2 − 4 a c {\\displaystyle D=b^{2}-4ac} の値で判定できる。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 204, "tag": "p", "text": "次の2次方程式の解の個数を求めよ。", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 205, "tag": "p", "text": "", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 206, "tag": "p", "text": "(I)", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 207, "tag": "p", "text": "だから、実数解はない。 (II)", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 208, "tag": "p", "text": "だから、重解をもつ。 (III)", "title": "二次方程式" }, { "paragraph_id": 209, "tag": "p", "text": "だから、異なる2つの実数の解をもつ。", "title": "二次方程式" } ]	null	== 集合と論理 == [[旧課程(-2012年度)高等学校数学A/集合と論理\|こちら]]を参照 == 式の展開と因数分解 == ==== 整式 ==== 3や12などの数（定数）や、<math>x</math> や <math>y</math> などの文字（変数）を掛けあわせてできる式を'''項'''（こう、term）という。次のようなものが項である。 * <math>3x</math> * <math>12y</math> * <math>0</math> * <math>-x</math> * <math>256xy^2</math> このように一つの項だけからできている式を'''単項式'''（たんこうしき、monomial）という。 :（※ 補足: 「多項式」とは？）　ここでは「'''多項式'''」（たこうしき、polynomial）とは、項が2つ以上の式だと定義する。しかし実は、項が1つのものと複数のものを区別するより、まとめて扱った方が、様々な定理を記述する際に便利になる。そのため、高校数学以外では、項が1つのものも含めて「多項式」と定義する場合も多い。ところが、「多項式」とは文字をみれば、「項の多い式」という意味なので、項が1つでもよいと定義すると、定義と名前が一致しておらず、混乱の原因にもなる。そこで日本の高校教育では、「項が1つ以上の式」という概念については整式（せいしき）という用語を使っている。ここでいう「整」式とは、整理された式というような意味である。けっして、整数の式という意味ではない。なので、係数などは小数や分数でもよい。 ※ あらためて「整式」を定義すると、次のような定義になる。 1つ以上の単項式を足しあわせてできる式を'''整式'''（せいしき）という。以下は整式の例である。 * <math>3x + 12y</math> * <math>5 + a - 13x^2y</math> * <math>a^2 + 2ab + b^2</math> * <math>x - y</math> * <math>2</math> 単項式でも、項が1つしかない整式の一つであると考えることができるので、「整式」という概念を使うことにより、多項式と単項式との区別の必要がなくなる。 <math>x - y</math> のように減法を含む式は、 <math>x - y = x + (-y) = -y + x</math> と減法を加法に直すことができるので、<math>x, -y</math> を項にもつ整式であると考えられる。すなわち、多項式の項とは、多項式を足し算の形に直したときの、一つ一つの足しあわさっている式のことである。たとえば <math>5 + a - 13x^2y = 5 + a + (-13x^2y)</math> の項は <math>5, a, -13x^2y</math> の3つである。 * 問題次の式のうち単項式であるものを答えよ。 :(1) 　<math>ax^2 \times bx \times c</math> :(2)　<math>-(x^3y^4)(z^5)</math> :(3) 　<math>a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca</math> * 解答 (1), (2) が単項式。 (3) は項が6つあるため単項式ではない。 * 備考上の全ての式は整式でもある。 ==== 整式の整理 ==== <math>3x^2</math> + <math>5x^2+ 8x</math> の <math>3x^2</math> と <math>5x^2</math> のように、多項式の文字と指数がまったく同じである項を総称して'''同類項'''（どうるいこう、like terms）という。同類項は分配法則 <math>ab + ac = a(b + c)</math> を使ってまとめることができる。たとえば <math>3x^2 + 5x^2 + 8x = (3 + 5)x^2 + 8x = 8x^2 + 8x </math>である。<math>8x^2</math> と <math>8x</math> は文字は同じであるが指数が異なるので、同類項ではない。 * 問題次の多項式の同類項を整理せよ。 # 　<math>4x^3 - 3xy - 2 + 1 - 3x^3 + 4xy</math> # 　<math>2a^2 - 4ab + 2a - 4ab^2 - 4a^2b</math> # 　<math>9 x^2 y^3 z^4 - 8 z^2 y^3 x^4 + 7zyx - 6xyz + 5 x^2 yz - 4 y^2 x z + 3 z x^2 y - 2 x^4 y^3 z^2</math> * 解答 # 　<math>x^3 + xy - 1</math> # 　<math>2a^2 - 4ab + 2a - 4ab^2 - 4a^2b</math> # 　<math>-10 x^4 y^3 z^2 + 9 x^2 y^3 z^4 + 8 x^2 yz - 4 x y^2 z + xyz</math> ==== 次数 ==== <math>3x</math> という単項式は、3という数と <math>x</math> という文字に分けて考えることができる。数の部分を単項式の'''係数'''（けいすう、coefficient）という。たとえば <math>-x = (-1)x</math> という単項式の係数は -1 である。 <math>256xy^2</math> という単項式は、256という数と <math>x, y, y</math> という文字に分けて考えることができるので、この単項式の係数は256である。一方、掛けあわせた文字の数を単項式の'''次数'''（じすう、degree）という。<math>256xy^2</math> は <math>x, y, y</math> という3つの文字を掛けあわせてできているので、この単項式の次数は3である。0という単項式の次数は <math>0 = 0x = 0x^2 = 0x^3 = \cdots </math>と一つに定まらないので、ここでは考えない。単項式の係数と次数は、単に数と文字に分けて考えるのではなく、ある文字を変数として見たときに、残りの文字を定数として数と同じように扱うことがある。たとえば <math>-5abcx^3</math>という単項式を、<math>x^3</math> だけが変数で、残りの文字 <math>a, b, c</math> は定数と考えることもできる。このとき<math>(-5abc)x^3</math> と分けられるので、この単項式の係数は <math>-5abc</math>、変数は <math>x^3</math> で、次数は3であるといえる。このことを <math>-5abcx^3</math> という単項式は、「<math>x</math> に''着目''すると、係数は <math>-5abc</math>、次数は3である」などという場合がある。あるいは <math>-5abcx^3</math> の <math>a</math> と <math>b</math>に着目すれば、<math>(-5cx^3)ab</math> と分けられ、<math>a</math> と <math>b</math> に着目したときのこの単項式の係数は <math>-5cx^3</math>、変数は <math>ab</math> で、次数は2であるといえる。慣習的には <math>a, b, c, \cdots</math> などのアルファベットの最初の方の文字を定数を表すのに使い、<math>\cdots , x, y, z</math> などのアルファベットの最後の方の文字を変数を表すのに用いるが、一般的にはこの限りでない。多項式の'''次数'''とは、多項式の同類項をまとめたときに、もっとも次数の高い項の次数をいう。たとえば <math>x^3 + 3 x^2 y + 2y</math> では、もっとも次数の高い項は <math>x^3</math> であるので、この多項式の次数は3である。もし <math>x^3 + 3 x^2 y + 2y</math>（<math>x</math> は定数）であれば、すなわち多項式の <math>y</math> について着目すると、もっとも次数の高い項は <math>3 x^2 y</math> と <math>2y</math> であるので、この多項式の次数は1である。このとき着目した文字を含まない項 <math>x^3</math> は'''定数項'''（ていすうこう、constant term）として数と同じように扱われる。 * 問題次の多項式の <math>x</math> または <math>y</math> に着目したときの次数と定数項をそれぞれいえ。 # <math>x^6 + 10xy^2 + 8x^4y + y^5 - 1</math> # <math>-ad - bcx^2 - bc + 2 x^3 y^2 + y^{100}</math> # <math>pxy + q^9 y^2 + pqxy - p^8 q^3 x^2 y + p x^4 y^3 + p q^2 x^3 y^4</math> * 解答 # <math>x</math> に着目すると6次式、定数項は <math>y^5 - 1</math>。<math>y</math> に着目すると5次式、定数項は <math>x^6 - 1</math>。 # <math>x</math> に着目すると3次式、定数項は <math>-ad - bc + y^{100}</math>。<math>y</math> に着目すると100次式、定数項は <math>-ad - bcx^2 - bc</math>。 # <math>x</math> に着目すると4次式、定数項は <math>q^9 y^2</math>。<math>y</math> に着目すると4次式。定数項は存在しない。 ==== 降べきと昇べき ==== たとえば、 :<math>x^2 + 6x +7 </math> のように、次数の高い項から先に項をならべることを「'''降べき'''」（こうべき）という。 :※ なお、次数の大小については、次数が大きいことを「次数が高い」と言ったりしてもよい。つまり、次数の大小については、高低で言い換えてもよい。さて、式を使う目的によっては、次数のひくい項から先に書いたほうが便利な場合もある。たとえば、<math>x</math>が約0.01 のような1未満の小さい数の場合、式 <math>x^2 + 6x +7 </math> の値を求めたいなら、文字<math>x</math>の次数の小さい項のほうが影響が高い。なので、目的によっては :<math>7 + 6x + x^2 </math> のように、次数のひくい項から先に書く場合もある。 <math>7 + 6x + x^2 </math> のように、次数の低い項から先に項をならべることを「'''昇べき'''」（しょうべき）という。 ==== 特定の文字への着目 ==== 多項式に2つ以上の文字があるとき、特定の1つの文字に注目して並び変えると、使いやすくなることがある。たとえば、 :<math>x^3 - 5 + 2xy^3+ 7y^2 + 6x^2y </math>　　（例1）の項を、xの次数が多い項から先に並びかえ、同類項をまとめると :<math>x^3 + (6y)x^2 + (2 y^3 )x + (7y^2 - 5 ) </math>　　（例2）となる。この（例2）のように、特定の文字だけに着目して、その文字の次数の高い順に並びかえると便利なこともしばしばある。例2は、<math>x</math>について降べきの順に並び変えた整式である。着目してない文字については、並び換えのときは定数のように扱う。いっぽう、<math>x</math>について、次数のひくい項から順に並べると、次のような式になる。 :<math>(7y^2 - 5 ) + (2 y^3 )x + (6y)x^2 + x^3 </math>　　（例3）このように、特定の文字の次数が低いものから順に並びかえると便利なこともしばしばある。例3は、xについて昇べきの順に並び変えた整式である。 ==== 特定の文字に注目した次数 ==== たとえば、式 :<math>y = ax + b </math> という式の右辺 :<math>ax+b </math> の次数は、いくらであろうか。 aとxを等しく文字として扱うのであれば、<math>ax</math>の次数は :<math>a^1 x^1 </math> より 1＋1 ＝2 なので、この式の次数は2である。（項bは次数1なので、<math>ax</math>の次数2よりも低いので無視する。）しかし、もしこの式を、定数<math>a</math>を係数とする変数<math>x</math>についての一次関数とみるのであれば、一次式と思うのが合理的だろう。このような場合、特定の文字だけに注目したその式の次数を考えるとよい。たとえば、文字xだけに注目して、式 <math>ax + b </math> の次数を決めてみよう。すると、文字xに注目した場合の式 <math>ax + b </math> の次数は1になる。なぜなら :文字<math>x</math>に注目した場合の式 <math>a </math> の次数は0である。 :文字<math>x</math>に注目した場合の式 <math>b </math> の次数は0である。 :文字<math>x</math>に注目した場合の式 <math>x </math> の次数は1である。よって、文字<math>x</math>に注目した場合の項 <math>ax</math> の次数は、 0＋1 なので、1である。このように考える場合、必要に応じてどの文字に注目したかを明記して「文字◯◯に注目した次数」のように述べるとよい。 ==== 多項式の計算 ==== 多項式の積は分配法則を使って計算することができる。 :<math> \begin{align} (a + b)(c + d) &= (a + b)c + (a + b)d \\ &= (ac + bc) + (ad + bd) \\ &= ac + bc + ad + bd \end{align} </math> このように多項式の積で表された式を一つの多項式に繰り広げることを、多項式を'''展開'''（てんかい、expand）するという。 ====指数法則==== <math>a</math> を <math>n</math> 回掛けたものを <math>a^n</math> と書き、'''aのn乗'''（-じょう、''a'' to the ''n''-th power）という。ただし <math>a^1 = a</math> と定義する。たとえば、 :<math>2^1 = 2</math> :<math>2^2 = 2 \times 2 = 4</math> :<math>2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8</math> :<math>2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16</math> :<math>2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32</math> :... である。<math>a, a^2, a^3, a^4, a^5, \cdots, a^n</math> を総称して <math>a</math> の'''累乗'''（るいじょう、exponentiation、冪乗、べきじょう、冪、べき）という。<math>a^n</math> の ''n'' を'''指数'''（しすう、exponent）という（''a'' は'''底'''（てい、base）という）。ここでは自然数、すなわち正の整数の指数を考える。累乗は次のように考えることもできる。 :<math>2^1 = 2</math> :<math>2^2 = 2^1 \times 2 = 2 \times 2 = 4</math> :<math>2^3 = 2^2 \times 2 = 4 \times 2 = 8</math> :<math>2^4 = 2^3 \times 2 = 8 \times 2 = 16</math> :<math>2^5 = 2^4 \times 2 = 16 \times 2 = 32</math> :<math>\cdots</math> 累乗どうしを掛けあわせた積は、次のように計算することができる。 :<math> \begin{align} a^2 \times a^3 &= (a \times a) \times (a \times a \times a) \\ &= a^{2 + 3} \\ &= a^5 \end{align} </math> 累乗どうしを割った商は、次のように計算することができる。 :<math> \begin{align} a^3 \div a^2 &= \frac{ a \times a \times a }{ a \times a } \\ &= \frac{a}{1} \\ &= a \end{align} </math> 累乗の累乗は、次のように計算することができる。 :<math> \begin{align} (a^2)^3 &= a^2 \times a^2 \times a^2 \\ &= a^{2 + 2 + 2} \\ &= a^{2 \times 3} \\ &= a^6 \end{align} </math> 積の累乗は、次のように計算することができる。 :<math> \begin{align} (ab)^2 &= a \times b \times a \times b \\ &= a \times a \times b \times b \\ &= a^2 b^2 \end{align} </math> これらをあわせて'''指数法則'''（しすうほうそく、exponential law）という。 {\| style="border: 2px solid skyblue; width: 80%; " cellspacing=0 \| style="background: skyblue;" \| '''指数法則''' \|- \| style="padding: 5px;" \| ''m'', ''n'' を正の整数とすると、 <math>a^m \times a^n = a^{m + n}</math> <math>a^m \div a^n = a^{m - n}, m > n</math> <math>(a^m)^n = a^{mn}</math> <math>(ab)^n = a^n b^n</math> \|} {{証明\|指数法則の証明}} 累乗の定義より明らか。 :<math> \begin{align} a^m \times a^n &= \overbrace{ \underbrace{ (a \times a \times \cdots \times a) }_m \times \underbrace{ (a \times a \times \cdots \times a) }_n }^{m + n} \\ &= a^{m + n} \end{align} </math> :<math> \begin{align} a^m \div a^n &= \frac{ \overbrace{ a \times a \times \cdots \times a }^m }{ \underbrace{ a \times a \times \cdots \times a }_n } \\ &= \frac{ \overbrace{ a \times a \times \cdots \times a }^n \times \overbrace{ a \times a \times \cdots \times a }^{m - n} }{ \underbrace{ a \times a \times \cdots \times a }_n } \\ &= \frac{ \overbrace{ a \times a \times \cdots \times a }^{m - n} }{1} \\ &= \underbrace{ a \times a \times \cdots \times a }_{m - n} \\ &= a^{m - n} \end{align} </math> :<math> \begin{align} (a^m)^n &= \underbrace{ a^m \times a^m \times \cdots \times a^m }_n \\ &= a^{ \overbrace{ m + m + \cdots + m }^n } \\ &= a^{mn} \end{align} </math> :<math> \begin{align} (ab)^n &= \underbrace{ (a \times b) \times (a \times b) \times \cdots \times (a \times b) }_n \\ &= \underbrace{ (a \times a \times \cdots \times a) }_n \times \underbrace{ (b \times b \times \cdots \times b) }_n \\ &= a^n b^n \end{align} </math> {{証明終わり}} 問題次の式を計算しなさい。 # <math>x^4 \times x^3</math> # <math>(a^3)^4</math> # <math>(-a^2b)^3</math> 解答 # <math>x^4 \times x^3 = x^{4+3} = x^7</math> # <math>(a^3)^4 = a^{3 \times 4} = a^{12}</math> # <math> (-a^2b)^3 = (-1)^3 (a^2)^3 b^3 = -a^{2 \times 3}b^3 = -a^6b^3 </math> ==== 乗法公式 ==== * 問題次の式を展開せよ。 # <math>(a + b)^2</math> # <math>(a - b)^2</math> # <math>(a + b)^3</math> # <math>(a - b)^3</math> # <math>(a + b + c)^2</math> # <math>(a - b - c)^2</math> * 解答 # <br> <math style="vertical-align: top;">\begin{align} (a + b)^2 &= (a + b)(a + b) \\ &= a(a + b) + b(a + b) \\ &= (aa + ab) + (ba + bb) \\ &= aa + ab + ba + bb \\ &= a^2 + 2ab + b^2 \end{align}</math> # <br> <math style="vertical-align: top;">\begin{align} (a - b)^2 &= \{ a + (-b) \}^2 \\ &= a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 \\ &= a^2 - 2ab + b^2 \end{align}</math> # <br> <math style="vertical-align: top;">\begin{align} (a + b)^3 &= (a + b)(a + b)^2 \\ &= (a + b)(a^2 + 2ab + b^2) \\ &= a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) \\ &= (a^3 + 2a^2b + ab^2) + (a^2b + 2ab^2 + b^3) \\ &= a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 \\ &= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{align}</math> # <br> <math style="vertical-align: top;">\begin{align} (a - b)^3 &= \{ a + (-b) \}^3 \\ &= a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 \\ &= a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 \end{align}</math> # <br> <math style="vertical-align: top;">\begin{align} (a + b + c)^2 &= \{ (a + b) + c \}^2 \\ &= (a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2 \\ &= (a^2 + 2ab + b^2) + (2ac + 2bc) + c^2 \\ &= a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2 \\ &= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \end{align}</math> # <br> <math style="vertical-align: top;">\begin{align} (a - b - c)^2 &= a^2 + (-b)^2 + (-c)^2 + 2a(-b) + 2(-b)(-c) + 2(-c)a \\ &= a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc - 2ca \end{align}</math> まとめると、次のようになる。 {\| style="border: 2px solid skyblue; width: 80%;" cellspacing=0 \| style="background: skyblue;"\| '''展開の公式''' \|- \| style="padding: 5px;" \| * <math>(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2</math> * <math>(a + b)(a - b) = a^2 - b^2</math> * <math>(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab</math> * <math>(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd</math> * <math>(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3</math> * <math>(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca</math> * <math>(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3</math> * <math>(a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc</math> \|} * 問題次の式を展開しなさい。 # <math>(a + 2b)^2</math> # <math>(3x - 5y)^2</math> # <math>(4x - 3y)(4x + 3y)</math> # <math>(x + 1)(x - 5)</math> # <math>(3x + 2y)(2x - y)</math> # <math>(x + 3)(x^2 - 3x + 9)</math> # <math>(a - 5)(a^2 + 5a + 25)</math> # <math>(x + 4)^3</math> # <math>(3a - 2b)^3</math> 解答 # <math>a^2+2 \times a \times 2b+(2 b)^2 = a^2+4ab+4 b^2 </math> # <math> (3x)^2-2 \times 3x \times 5y+(5y)^2 = 9x^2-30xy+25y^2 </math> # <math> (4x)^2-(3y)^2 = 16x^2-9y ^2 </math> # <math> x^2+\{ 1+(-5) \}x+1 \times (-5) = x^2-4x-5 </math> # <math> (3 \times 2)x^2+\{ 3 \times (-y) +2y \times 2 \}x+2y \times (-y) = 6x^2+xy-2y^2 </math> # <math> \left(x+3\right)\,\left(x^2-x \times 3 +3^2 \right) = x^3+3^3 = x^3+27 </math> # <math> \left(a-5\right)\,\left(a^2+a \times 5 +5^2 \right) = a^3-5^3 =a ^3-125 </math> # <math> x^3+3 \times x^2 \times 4 +3 \times x \times 4^2 +4^3 = x^3+12x^2+48x+64 </math> # <math> (3a)^3-3 \times (3a)^2 \times 2b +3 \times 3a \times (2b)^2 -(2b)^3 = 27a^3-54a^2b+36ab^2-8b^3 </math> ==== 乗法公式の利用 ==== 複雑な式の展開は、式の一部分を一つの文字において公式を使うとよい。問題次の式を展開しなさい。 # <math> (a+3b-2c)^2 </math> # <math> (x+y+4)(x-3y+4) </math> # <math> \left(x^2-2x+3\right)\,\left(x^2+2x-3\right) </math> * 解答 # <br> <math>a+3b=A</math>とおくと<br/><math>\begin{align} (a+3b-2c)^2 & = (A-2c)^2 \\ & = A^2-4cA+4c^2\\ & = (a+3b)^2-4c(a+3b)+4c^2\\ & = a^2+6ab+9b^2-4ca-12bc+4c^2\\ & = a^2+9b^2+4c^2+6ab-12bc-4ca\\ \end{align} </math> # <br> <math>x+4=A</math>とおくと<br/><math>\begin{align} (x+y+4)(x-3y+4) & = (A+y)(A-3y) \\ & = A^2-2yA-3y^2\\ & = (x+4)^2-2y(x+4)-3y^2\\ & = x^2+8x+16-2xy-8y-3y^2\\ & = x^2-3y^2-2xy+8x-8y+16\\ \end{align} </math> # <br> <math>2x-3=A</math>とおくと<br/><math>\begin{align} \left(x^2-2x+3\right)\,\left(x^2+2x-3\right) & = \left\{x^2-(2x-3) \right\} \left\{x^2+(2x-3) \right\}\\ & = \left(x^2-A\right)\,\left(x^2+A\right)\\ & = x^4-A^2\\ & = x^4-(2x-3)^2\\ & = x^4-(4x^2-12x+9)\\ & = x^4-4x^2+12x-9\\ \end{align} </math> ==== 因数分解 ==== {\| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:pink"\|'''因数分解の公式''' 1 \|- \|style="padding:5px"\| * <math>a^2+2ab+b^2=(a+b)^2</math> * <math>a^2-2ab+b^2=(a-b)^2</math> * <math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)</math> * <math>x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)</math> * <math>acx^2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)</math> \|} * 問題次の式を因数分解しなさい。 # 　<math> 2abc-4ab^2 </math> # 　<math> x^2+6x+9 </math> # 　<math> 4a^2-4ab+b^2 </math> # 　<math> 64x^2-9y^2 </math> # 　<math> x^2-x-6 </math> # 　<math> 3x^2+2x-5 </math> # 　<math> 6x^2+xy-y^2 </math> * 解答 # 　<math> {\color{red}2ab} \times c - {\color{red}2ab} \times 2b = {\color{red}2ab}(c-2b) </math> # 　<math> x^2+2 \times x \times 3+3^2 = (x+3)^2 </math> # 　<math> (2a)^2-2 \times 2a \times b+b^2 = (2a-b)^2 </math> # 　<math> (8x)^2-(3y)^2 = (8x+3y)(8x-3y) </math> # 　<math> x^2+\{ 2+(-3) \}x+2 \times (-3) = (x+2)(x-3) </math> # 　<math> (1 \times 3)x^2+\{ 1 \times 5 + (-1) \times 3 \}x+(-1) \times 5 = (x-1)(3x+5) </math> # 　<math> (2 \times 3)x^2+\{ 2 \times (-y) + y \times 3 \}x+y \times (-y) = (2x+y)(3x-y) </math> ==== 発展： 3次式の因数分解 ==== {\| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:pink"\|'''因数分解の公式''' 2 \|- \|style="padding:5px"\| * <math>a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)</math> * <math>a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)</math> * <math>a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)</math> （備考） * <math>a^n - b^n = (a - b)(a^{n - 1} + a^{n - 2}b + a^{n - 3}b^2 + \cdots + a^2b^{n - 3} + ab^{n - 2} + b^{n - 1})</math> \|} * 問題次の式を因数分解しなさい。 # 　<math> x^3+8 </math> # 　<math> 27a^3-64b^3 </math> * 解答 # 　<math> x^3+2^3= \left(x+2\right)\,\left(x^2-x \times 2 +2^2 \right) = \left(x+2\right)\,\left(x^2-2x+4 \right) </math> # 　<math> (3a)^3-(4b)^3= \left(3a-4b\right)\,\{(3a)^2+3a \times 4b +(4b)^2 \} = \left(3a-4b\right)\,\left(9a^2+12ab+16b^2 \right) </math> ==== いろいろな因数分解 ==== 問題次の式を因数分解しなさい。 # 　　<math> 3xy^3+81x </math> # 　　<math> (x-5)^2-9y^2 </math> # 　　<math> x^2+xy+y-1 </math> # 　　<math> x^2+xy-2y^2+2x+7y-3 </math> 解答 # <br> <math>\begin{align} 3xy^3+81x & = 3x(y^3+27) \\ & = 3x(y^3+3^3)\\ & = 3x \left(y+3\right)\,\left(y^2-y \times 3 +3^2 \right)\\ & = 3x \left(y+3\right)\,\left(y^2-3y+9 \right)\\ \end{align} </math> # 　　<math>x-5=A</math>とおくと<br/><math>\begin{align} (x-5)^2-9y^2 & = A^2-9y^2\\ & = (A+3y)(A-3y)\\ & = \left\{(x-5)+3y \right\} \left\{(x-5)-3y \right\}\\ & = (x+3y-5)(x-3y-5)\\ \end{align} </math> # 　　最も次数の低い <math>y</math> に着目して整理すると<br/><math>\begin{align} x^2+xy+y-1 & = (x+1)y+ \left(x^2-1\right)\\ & = (x+1)y+(x+1)(x-1)\\ & = (x+1)\left\{y+(x-1) \right\}\\ & = (x+1)(x+y-1)\\ \end{align} </math> # 　　<math>x</math> に着目して整理すると<br/><math>\begin{align} x^2+xy-2y^2+2x+7y-3 & = x^2+(y+2)x-(2y^2-7y+3)\\ & = x^2+(y+2)x-(y-3)(2y-1)\\ & = \left\{x-(y-3) \right\} \left\{x+(2y-1) \right\}\\ & = (x-y+3)(x+2y-1)\\ \end{align} </math> {{コラム\| 対称式と交代式 \| ;対称式　<math> a^2 + b^2</math> は、<math>a</math> と <math>b</math> を入れ替えて <math> b^2 + a^2</math> にしても、値はもとの式と同じままである。このように、文字を入れ替えても同じままになる式のことを '''対称式'''（たいしょうしき）という。 <math>a</math>,<math>b</math> の対称式のうち、式 <math> a + b</math> と式 <math> ab</math> の2つを '''基本対称式''' という。基本対称式いがいの対称式は、基本対称式の加減乗除で表すことができる。たとえば、 :<math> a^2 + b^2 = (a+b)^2 -2ab</math> である。 ;交代式　<math> a^2 - b^2</math> は、文字を入れ替えると、<math> b^2 - a^2</math> になるが、これはもとの式をー1 倍したものである。このように、文字を入れ替えることで、もとの式をー1 倍したものになる式のことを '''交代式''' （こうたいしき）という。 }} == 実数 == ==== 無理数と有理数 ==== a=b^2が成り立つとき、a=2となるようなb、すなわち<math>\sqrt{2}</math>の具体的な値がどのようなものか、調べてみよう。 {\| \|- \|b=1 \|a=1 \|b=2 \|a=4 \|- \|b=1.4 \|a=1.96 \|b=1.5 \|a=2.25　 \|- \|b=1.41 \|a=1.9881 \|b=1.42 \|a=2.0164　 \|- \|b=1.414 \|a=1.999396 \|b=1.415 \|a=2.002225　 \|- \|b=1.4142　 \|a=1.99996164　 \|b=1.4143　 \|a=2.00024449　 \|} このように、bを様々に決めても、aはなかなか2にならない。実は<math>\sqrt{2}</math>は、分母分子共に整数の分数で表すことはできない。このように整数を分母分子に持つ分数で表せないような数を'''無理数'''という。例えば、円周率πは無理数である。それに対して、整数や循環小数など、分母分子共に整数の分数で表すことのできる数を'''有理数'''という。有理数と無理数を合わせて'''実数'''という。どんな実数でも数直線上の点として表せる。また、どんな実数も、有限小数あるいは無限小数として表せる。 (下記の「無限小数」の節を参照) ;<math>\sqrt{2}</math>が無理数であることの証明（発展） <math>\sqrt{2}</math> が有理数であると仮定すると、[[w:互いに素\|互いに素]]な（1以外に公約数をもたない）整数 ''m'', ''n'' を用いて、 :<math>\sqrt{2} = \frac{m}{n}</math> と表わすことができる。このとき、両辺を2乗して分母を払うと、 :<math>2n^2 = m^2</math> … (1) よって ''m'' は2の倍数であり、整数 ''l'' を用いて <math>m = 2l</math> と表すことができる。これを (1) の式に代入して整理すると、 :<math>2l^2 = n^2</math> よって ''n'' も2の倍数であるが、これは ''m'', ''n'' が2を公約数にもつことになり、互いに素と仮定したことに矛盾する。したがって <math>\sqrt{2}</math> は無理数である（[[高等学校数学A 集合と論理#背理法\|背理法]]）。 ==== 無限小数 ==== [[File:Real number category japanese.svg\|thumb\|400px]] 0.1 や 0.123456789 のように、ある位で終わる小数を'''有限小数'''という。一方、<math>0.1234512345 \cdots</math> や <math>3.1415926535 \cdots</math> のように無限に続く小数を '''無限小数'''（むげんしょうすう）という。無限小数のうち、ある位より下から、ある配列の数字の繰り返しになっているものを '''循環小数'''（じゅんかんしょうすう）という。例えば <math>0.3333333333 \cdots</math> や <math>0.1428571428 \cdots</math>や<math>0.1232323232 \cdots</math> などである。繰り返しの最小単位を'''循環節'''という。循環小数は循環節1つを用いて<math>0. \dot{3}</math>、<math>0. \dot{1} 4285 \dot{7}</math>、<math>0.1 \dot{2} \dot{3}</math>のように循環節の最初と最後(循環節が一桁の場合はひとつだけ)の上に点をつけて表す。全ての循環小数は分数に直せる。 :<math>a = 0. \dot{3}</math>　　(1) と置くと、 :<math>10a = 3. \dot{3}</math>　　(2) である。(2)ー(1) より <math>9a = 3</math>、よって <math>a = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}</math> である。 ;例題 * (例題1) <br/> <math>\begin{align} a &= 0. \dot{1} 4285 \dot{7}\\ 1000000a &= 142857. \dot{1} 4285 \dot{7}\\ 999999a &= 142857\\ a &= \frac{142857}{999999} \ = \frac{1}{7} \end{align} </math> * (例題2)<br/> <math>\begin{align} a &= 0.1 \dot{2} \dot{3}\\ 100a &= 12.3 \dot{2} \dot{3}\\ 99a &= 12.2\\ a &= \frac{12.2}{99} \ = \frac{61}{495} \end{align} </math> ==== 絶対値 ==== 実数 ''a'' について、''a'' の数直線上での原点との距離を ''a'' の絶対値といい、<math>\|a\|</math> で表す。 {\| style="border:2px solid green;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:lightgreen"\| '''絶対値''' \|- \|style="padding:5px"\| :<math>a \geqq 0</math> のとき　　<math>\|a\|=a</math><br><br> :<math>a < 0</math> のとき　　<math>\|a\|=-a</math> \|} たとえば :<math>\|2\|=2</math> :<math>\| -3 \| \ = \ -(-3) \ = \ 3</math> である。定義より <math>\|a\|=\|-a\|</math> がいえる。また、<math>a,b</math>を任意の実数とするとき、それぞれに対応する数直線上の任意の2点 <math>\mathrm{P} (a) , \mathrm{Q} (b)</math> 間の距離については、次のことがいえる。 {\| style="border:2px solid green;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:lightgreen"\| '''2点間の距離''' \|- \|style="padding:5px"\| 数直線上の2点 <math>\mathrm{P} (a)</math> と <math>\mathrm{Q} (b)</math> の間の距離 <math>\mathrm{P} \mathrm{Q}</math> は <math>\|b-a\|</math> で表される。 \|} * 例題 :2点 <math>\mathrm{P} (5)</math> と <math>\mathrm{Q} (-1)</math> の間の距離を求めよ。 * 解答 :<math>\mathrm{P} \mathrm{Q} = \|5- (-1) \| = 6</math> なので、よってPQ間の距離は 6 である。 <br> ==== 平方根 ==== 今、2乗してaになる数bを考える。 <math>a=1</math>のとき、<math>b=1</math>として終わりにしてはいけない。確かに<math>b=1</math>も条件を満たすが<math>b=-1</math>も条件を満たす。よって<math>b= 1</math> または <math>b= -1</math>である。 :※ 略式の記法で、 <math>b= 1</math> と <math>b= -1</math> をまとめて <math>b = \pm 1</math> と書くこともある。一般に正の数aについてa=b^2となるbは二つあり、その二つは絶対値が等しい。この二つのbをaの平方根という。aの平方根のうち、正であるものを<math>\sqrt{a}</math>、負であるものを<math>-\sqrt{a}</math>と書く。<math>\sqrt{a}</math>は『ルートa』と読む。一方、負の数aについて考えてみても上手くbを見つけることはできない。実際のところ、負の数の平方根は実数で表すことはできない。 {\| style="border:2px solid green;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:lightgreen"\|'''平方根''' \|- \|style="padding:5px"\| '''正の数aの平方根は <math> \sqrt{a}</math> と<math>- \sqrt{a}</math> である。''' '''負の数aの平方根は'''実数の範囲では'''存在しない。''' \|} :<math> \sqrt{a}</math> と<math>- \sqrt{a}</math> をまとめて <math>\pm \sqrt{a}</math> と書くこともある。 * 問題 <math>2\ ,\ 4\ ,\ 9\ ,\ 12</math>の平方根を求めよ。解答 <math>\pm \sqrt 2\ ,\ \pm 2\ ,\ \pm 3\ ,\ \pm 2\sqrt 3</math> 解説それぞれのルートを計算し、<math>\pm</math>をつければよい。ただし、平方根のルールに従って、簡単化できるものは簡単化することが要求される。例えば、<math>2</math>に対しては、<math>\pm\sqrt 2 </math>となる。一般に、<math>\sqrt{A^2} = \|A\|</math>である。 ====平方根を含む式の計算==== 根号について、次の公式が成り立つ。 {\| style="border:2px solid green;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:lightgreen"\|'''平方根の公式''' \|- \|style="padding:5px"\| <math> a>0, b>0 </math> のとき ::<math>\sqrt{a} \sqrt{b}= \sqrt{ab}</math> 　　　（1） :: 　 ::<math>\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}</math> 　　　（2） \|} ;公式（1）の証明まず、 <math> \sqrt{ab}</math> とは、定義にもとづいて考えると、2乗すると ab になる数のうち、正のほうの数という意味である。なので、公式「 <math>\sqrt{a} \sqrt{b}= \sqrt{ab}</math> 　」を証明するには、そのことを証明すればいい。なので、まず、<math>\sqrt{a} \sqrt{b} </math> を2乗すると、 ::<math> (\sqrt{a} \sqrt{b} )^2 = (\sqrt{a})^2 (\sqrt{b})^2 = ab </math> となる。ゆえに<math>\sqrt{a} \sqrt{b}</math>は、まず条件「2乗するとabになる」を満たす。そして、正の数の平方根は正なので、<math>\sqrt{a} \sqrt{b} </math> も正である。よって <math>\sqrt{a} \sqrt{b} </math> は、「2乗するとabになる」数のうちの正のほうである。（証明おわり）さらに、上の公式(1)により、次の公式が導かれる。 {\| style="border:2px solid green;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:lightgreen"\|'''公式''' \|- \|style="padding:5px"\| <math> a>0, k>0 </math> のとき ::<math>\sqrt{k^2a} = k \sqrt{a}</math> \|} * 問題計算せよ。 # 　<math>\sqrt{8} \sqrt{14}</math> # 　<math>2 \sqrt{18} + \sqrt{50}</math> # 　<math>\left(\sqrt{3} - 2 \sqrt{6}\right)^2</math> * 解答 # 　<math>\sqrt{8} \sqrt{14} \ = \ \sqrt{8 \times 14} \ = \ \sqrt{2^4 \times 7} \ = \ 2^2 \sqrt{7} \ = \ 4 \sqrt{7}</math> # 　<math>2 \sqrt{18} + \sqrt{50} \ = \ 2 \times 3 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} \ = \ (6+5) \sqrt{2} \ = \ 11 \sqrt{2}</math> # 　まず、乗法公式 <math>(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2</math>を利用して展開する。詳細は「乗法公式」のセクションを参照のこと。<br/><math>\begin{align} \left(\sqrt{3} - 2 \sqrt{6}\right)^2 \ = \ \left(\sqrt{3}\right)^2 -2 \times \sqrt{3} \times 2 \sqrt{6} + \left(2 \sqrt{6}\right)^2 \ = \ 3-4 \sqrt{18} + 24 \ = \ 27-4 \times 3 \sqrt{2} \ = \ 27-12 \sqrt{2} \end{align}</math> 分母に根号を含まない式にすることを、分母を'''有理化'''するという。有理化は、分母と分子に同じ数をかけてもよいことを利用して行う。たとえば、<math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math>を有理化すると、<math>\frac{1}{\sqrt{2}} \ = \ \frac{1 \sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} \ = \ \frac{\sqrt{2}}{2}</math>となる。また、とくに<math>\frac{a}{b+c}</math>について、<math>b^2-c^2=1</math>のとき、<br/> <math>\frac{a}{b+c} \ = \ \frac{a(b-c)}{(b+c)(b-c)} \ = \ \frac{a(b-c)}{b^2-c^2} \ = \ \frac{a(b-c)}{1} \ = \ a(b-c)</math>である。たとえば、<math>a=1, b=\sqrt{2}, c=1</math>とすると、<math>\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1</math>である。 * 問題分母を有理化せよ。 # 　<math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} </math> <br><br> # 　<math>\frac{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{3}} </math> * 解答 # 　<math>\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{12}} \ = \ \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} \ = \ \frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} \ = \ \frac{\sqrt{6}}{6}</math> <br><br> # 　<math>\frac{\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2} - \sqrt{3}} \ = \ \frac{(\sqrt{2} + 2 \sqrt{3})(3 \sqrt{2} + \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2} - \sqrt{3})(3 \sqrt{2} + \sqrt{3})} \ = \ \frac{6+ \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} +6}{(3 \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2} \ = \ \frac{12 + 7 \sqrt{6}}{18-3} \ = \ \frac{12 + 7 \sqrt{6}}{15}</math> ====二重根号（発展）==== [[w:二重根号\|二重根号]]とは、根号が2重になっている式のことである。二重根号は常に外せるわけではなく、根号の中に含まれる式によって簡単にできるかどうかが決まる。一般に、根号内の式が、<math>x^2</math>の形に変形できる場合には、外側の根号を外すことができる。問題 <math>\sqrt{3+2\sqrt 2}</math>を簡単にせよ。解答 <math>3+2\sqrt 2</math>が<math>( \cdots )^2</math>の形にできるかを考える。仮に、<math>( \sqrt a + \sqrt b )^2</math>(a,bは正の整数)の形にできるとすると、<math>3+2\sqrt 2 = a + b + 2\sqrt{ab}</math>となり、<br/> :<math>\begin{cases} a+b &= 3\\ ab &= 2\\ \end{cases}</math><br/> を満たす整数a,bを探せばよい。この関係は、a=1,b=2(a,bを入れ換えても可。)によって満たされるので、<math>3+2\sqrt 2 \ = \ (\sqrt 2 + 1)^2</math>が成り立つ。よって、<math>\sqrt{3+2\sqrt 2} \ = \ \sqrt{(\sqrt 2 + 1)^2} \ = \ \sqrt 2 + 1</math>となる。 {\| style="border:2px solid green;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:lightgreen"\|'''2重根号''' \|- \|style="padding:5px"\| <math>a>0\ ,\ b>0</math> のとき :<math>\sqrt{(a+b) +2 \sqrt {ab}}= \sqrt {a} + \sqrt {b}</math> <math>a>b>0</math> のとき :<math>\sqrt{(a+b) -2 \sqrt {ab}}= \sqrt {a} - \sqrt {b}</math> \|} * 問題次の式を計算せよ。 # <math>\sqrt{12-6 \sqrt {3}}</math> # <math>\sqrt{3+ \sqrt {5}}</math> * 解答 # <math>\sqrt{12-6 \sqrt {3}} \ = \ \sqrt{12-2 \sqrt {27}} \ = \ \sqrt{(9+3) -2 \sqrt {9 \times 3}} \ = \ \sqrt {9} - \sqrt {3} \ = \ 3- \sqrt {3}</math> #<math>\sqrt{3+ \sqrt {5}} \ = \ \sqrt{\frac{6+ 2 \sqrt {5}}{2}} \ = \ \frac{\sqrt{(5+1) +2 \sqrt {5 \times 1}}}{\sqrt{2}} \ = \ \frac{\sqrt {5} + \sqrt {1}}{\sqrt {2}} \ = \ \frac{\sqrt {10} + \sqrt {2}}{2}</math> ==一次不等式== ===一次不等式=== 同じ大きさの量を=で結んだ式を方程式と呼ぶことを既に学習した。ここでは、異なった量の大きさの違いを表す記号を導入し、その性質についてまとめる。ある数A,Bがあるとき、AがBより大きいことを<math>A > B</math>と表し、AがBより小さいことを<math>A < B</math>と表す。ここで、<と>のことを[[w:不等号\|不等号]]と呼び、このような式を不等式と呼ぶ。また、<math>\le,\ge</math>も似た意味の不等式であるが、それぞれAとBが等しい値である場合を含むものである。なお、日本の教育においては、<math>\le,\ge</math>の代わりに、不等号の下に等号を記した<math>\leqq,\geqq</math>を使うことが多い。例 <math>x>7</math>という不等式があるとき、xは7より大きい実数である。また、<math>x \ge 7</math>の時には、xは7以上の実数である。不等式では等式と同じように、両辺に演算をしても不等号の関係が変わらないことがある。例えば、両辺に同じ数を足しても、両辺の大小関係は変化しない。ただし、両辺に負の数をかけたときには、不等号の向きが変化することに注意が必要である。これは、負の数をかけると両辺の値は、0を中心に数直線を折り返した地点に移されることによる。 {\| style="border:2px solid greenyellow;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:greenyellow"\|'''不等式の性質''' \|- \|style="padding:5px"\|1. 　　<math> a<b </math> ならば、<math> a+c<b+c </math>，<math> a-c<b-c </math> \|- \|style="padding:5px"\|2. 　　<math> a<b </math>，<math> c>0 </math> ならば、<math> ac<bc </math>，<math> \frac {a} {c} < \frac {b} {c}</math> \|- \|style="padding:5px"\|3. 　　<math> a<b </math>，<math> c<0 </math> ならば、<math> ac>bc</math>，<math> \frac {a} {c} > \frac {b} {c}</math> \|} 例 <math>x > y</math>が成り立つときには、<math>x+3>y+3</math>、<math>4x > 4y</math>も成り立つ。また、<math> -x < -y</math>が成り立つ。不等式の性質を使って :<math> a {\color{red}+3}<b\; </math> の両辺から3を引くと :<math> a+3-3<b-3\; </math> よって :<math> a<b {\color{red}-3}\; </math> となる。<br> このように、'''不等式でも移項することができる'''。グラフを用いて考えるとき、不等式はグラフ中の領域を表す。領域の境界は不等号を等号に置き換えた部分が対応する。これは、不等号が成立するかどうかがその線上で入れ替わることによっている。（詳しくは[[高等学校数学I 図形と方程式\|数学II 図形と方程式]]で学習する。） * 問題 <math>y>x+1</math>,<math>y < 2x+1</math>,<math>x <3</math>のグラフ(正しくは「領域」)を描け。 * 解答 <math> y>x+1 </math> のグラフ(領域)は次のようになる。ただし、境界は含まない。 [[File:Linear Inequality Y GT Xplus1.png\|thumb\|none\|360px\|1次不等式 y>x+1 が表すグラフ。]] <math> y<2x+1 </math>のグラフ(領域)は次のようになる。ただし、境界は含まない。 [[File:Linear Inequality Y LT 2Xplus1.png\|thumb\|none\|360px\|1次不等式 y<2x+1 が表すグラフ。]] <math>x<3</math>のグラフ(領域)は次のようになる。ただし、境界は含まない。 [[File:Linear Inequality X LT 3.png\|thumb\|none\|360px\|1次不等式 x<3 が表すグラフ。]] * 問題次の不等式を解け。 # 　　<math>3x-1 \le 9x-7</math> # 　　<math>3(x-2)>2(5x-3)</math> # 　　<math>x+1 < \frac {x-1} {3}</math> * 解答 # <br> <math>\begin{align} \quad 3x-1 & \le 9x-7\\ 3x-9x & \le -7+1\\ -6x & \le -6\\ x & \ge 1 \end{align} </math> # <br> <math>\begin{align} \quad 3(x-2) & > 2(5x-3)\\ 3x-6 & > 10x-6\\ 3x-10x & > -6+6\\ -7x & > 0\\ x & < 0 \end{align} </math> # <br> <math>\begin{align} \quad x+1 & < \frac {x-1} {3}\\ 3x+3 & < x-1\\ 3x-x & < -1-3\\ 2x & < -4\\ x & < -2 \end{align} </math> ===連立不等式=== いくつかの不等式を組み合わせたものを'''連立不等式'''といい、これらの不等式を同時に満たす<math>x</math>の値の範囲を求めることを、連立不等式を'''解く'''という。 <br> <br> 問題例問題次の連立不等式を解け。<br> (i) :<math>\left\{ \begin{matrix} x+2<2x+4 \\ 10-x \ge 3x-6 \end{matrix}\right.</math> (ii) :<math>\begin{cases} x \ge 1-x\\ 2(x+1)>x-2 \end{cases}</math> 解答 (i)<br> <math>x+2<2x+4</math>から　<math>-x<2</math><br> :<math>x>-2</math>……(1) <math>10-x \ge 3x-6</math>から　<math>-4x \ge -16</math><br> :<math>x \le 4</math>……(2) (1),(2)を同時に満たす<math>x</math>の値の範囲は :<math>-2<x \le 4</math> (ii)<br> <math>x \ge 1-x</math>から　<math>2x \ge 1</math><br> :<math>x \ge \frac {1} {2}</math>……(1) <math>2(x+1)>x-2</math>から　<math>2x+2>x-2</math><br> :<math>x>-4</math>……(2) (1),(2)を同時に満たす<math>x</math>の値の範囲は :<math>x \ge \frac {1} {2}</math> ===絶対値を含む不等式=== 絶対値を含む不等式について考えよう。<br> 絶対値<math>\|x\|</math>は、数直線上で、原点<math>\mathrm{O}</math>と点<math>\mathrm{P} (x)</math>の間の距離を表している。 <br>したがって、<math>a>0</math>のとき :<math>\|x\|<a \Leftrightarrow -a<x<a</math> :<math>\|x\|>a \Leftrightarrow x<-a\ ,\ a<x</math> <br> <br> 問題例問題次の不等式を解け。<br> (i) :<math>\|x\|<5</math> (ii) :<math>\|x\| \ge 4</math> (iii) :<math>\|x-2\| \le 3</math> (iv) :<math>\|x+3\|>1</math> 解答 (i) :<math>\|x\|<5</math> :<math>-5<x<5</math> (ii) :<math>\|x\| \ge 4</math> :<math>x \le -4\ ,\ 4 \le x</math> (iii) :<math>\|x-2\| \le 3</math> :<math>-3 \le x-2 \le 3</math> :<math>-1 \le x \le 5</math> (iv) :<math>\|x+3\|>1</math> :<math>x+3<-1\ ,\ 1<x+3</math> :<math>x<-4\ ,\ -2<x</math> ==二次方程式== ===解の公式=== 一般の二次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math>（<math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> は定数、<math>a\ne0</math>）の解 <math>x</math> を求める公式について考える。 :<math>ax^2 + bx + c = 0</math> :<math>ax^2 + bx = -c</math> :<math>x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}</math> … (1) ここで恒等式 <math>x^2 + 2yx = (x + y)^2 - y^2</math> と (1) の左辺を係数比較すると、 :<math>\begin{cases} 2y &= \frac{b}{a} \\ y &= \frac{b}{2a} \end{cases}</math> であるから、(1) の式は次のように変形できる（平方完成）。 :<math>\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a}</math> :<math>\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{c}{a}</math> :<math>\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}</math> <math>b^2 - 4ac \ge 0</math> のとき両辺の平方根をとると、 :<math>\sqrt{ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 } = \sqrt{ \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} }</math> :<math>\left\| x + \frac{b}{2a} \right\| = \frac{ \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}</math> :<math>x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{ \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}</math> :<math>x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a}</math> これが'''二次方程式の解の公式'''（にじほうていしきのかいのこうしき、quadratic formula; 二次公式）である。解の公式を二次方程式の一般形に代入すると、右辺は0になるはずである。 :<math> x^2 = \frac 1 {4a^2} (b^2 \mp 2b\sqrt{b^2-4ac} + b^2 -4ac) </math> であることを用いると、 :<math> ax^2+bx+c= \frac 1 {4a} (b^2 \mp 2b\sqrt{b^2-4ac} + b^2 -4ac) + \frac b {2a}(-b \pm \sqrt{b^2-4ac}) + c </math> :<math> = \frac 1 {4a} (2b^2 \mp 2b\sqrt{b^2-4ac}) + \frac 1 {2a}(-b^2 \pm b\sqrt{b^2-4ac}) = 0 </math> となり、確かに正しいことがわかる。問題 :(i)<math> x^2-1=0 </math> :(ii)<math> 5\,x^2+2\,x-1=0 </math> :(iii)<math> x^2+3\,x-1=0 </math> :(iv)<math> 2\,x^2+3\,x-1=0 </math> :(v)<math> 2\,x^2+3\,x+1=0 </math> <!-- :(vi)<math> 7\,x^2+16\,x+4=0 </math> :(vii)<math> 12\,x^2-29\,x-8=0 </math> :(viii)<math> 12\,x^2-27\,x-8=0 </math> --> をそれぞれ解の公式か因数分解を用いて解きなさい。解答結果の式に根号が現れない場合には、何らかの仕方で因数分解ができる。しかし、いずれの方法を使うにせよ、根号はできる限りの仕方で簡単化することが重要である。 (i)は簡単に因数分解できるので、解の公式を用いる必要はない。 :<math> x^2-1 = (x+1)(x-1) = 0 </math> より、 :<math> x = \pm 1 </math> が答えとなる。(ii)では、因数分解が出来ないので、解の公式を用いる。因数分解ができるかどうかは実際に試行錯誤して見分けるしかない。 :<math> 5\,x^2+2\,x-1=0 </math> に、解の公式を用いると、a=5, b= 2, c=-1より、 :<math> x = \frac 1 {2 \cdot 5} (-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1)}) </math> :<math> = \frac 1 {10} (-2 \pm \sqrt {24} ) </math> :<math> = \frac 1 {10} (-2 \pm 2 \sqrt 6 ) = \frac 1 5 (-1 \pm \sqrt 6) </math> となる。(iii),(iv)でも、因数分解は出来ないので、解の公式を用いる。答えは、 (iii) :<math> x = \frac 1 2 (-3 \pm \sqrt{13} ) </math> (iv) :<math> x = \frac 1 4 (-3 \pm \sqrt{17} ) </math> (v) :<math> (2x+1)(x+1) = 2\,x^2+3\,x+1 </math> と因数分解できるので、答えは :<math> x=-{{1}\over{2}},x=-1 </math> となる。全問を通じて、因数分解が可能な方程式に対しても、解の公式を使用しても構わない。 <!-- それぞれの解答は、 :(i)<math> \left[ x=-1,x=1 \right] </math> :(ii)<math> \left[ x=-{{\sqrt{6}+1}\over{5}},x={{\sqrt{6}-1}\over{5}} \right] </math> :(iii)<math> \left[ x=-{{\sqrt{13}+3}\over{2}},x={{\sqrt{13}-3}\over{2}} \right] </math> :(iv)<math> \left[ x=-{{\sqrt{17}+3}\over{4}},x={{\sqrt{17}-3}\over{4}} \right] </math> :(v)<math> \left[ x=-{{1}\over{2}},x=-1 \right] </math> :(vi)<math> \left[ x=-2,x=-{{2}\over{7}} \right] </math> :(vii)<math> \left[ x=-{{1}\over{4}},x={{8}\over{3}} \right] </math> :(viii)<math> \left[ x=-{{\sqrt{1113}-27}\over{24}},x={{\sqrt{1113}+27}\over{24}} \right] </math> となる。最後の結果で :<math> 1113 </math> は、 :<math> 1113 = 3 \times 7 \times 53 </math> と素因数分解されるため、これ以上簡単にならない。 --> ===<math>ax^2 + 2b'x + c = 0</math> の解の公式=== 二次方程式<math>ax^2 + 2b'x + c = 0(a\ne0)</math>について考える。解の公式に b= 2b' を代入すると :<math> x = \frac{-2b' \pm \sqrt{(2b')^2-4ac}}{2a} = \frac{-2b' \pm \sqrt{4(b'^2-ac)}}{2a} = \frac{-2b' \pm 2\sqrt{b'^2-ac}}{2a} </math> よって、二次方程式 <math>ax^2 + 2b'x + c = 0</math> の解は :<math> x = \frac{-b' \pm \sqrt{b'^2-ac}}{a} </math> となる。問題例問題 :<math> 3\,x^2+6\,x-2=0 </math> を上の解の公式を用いて解きなさい。解答上の解の公式を用いると、a=3, b'= 3, c=-2より、 :<math> x = \frac {-3 \pm \sqrt{3^2 - 3 \cdot (-2)}} {3} </math> :<math> = \frac {-3 \pm \sqrt {15}} {3} </math> となる。 ===2次方程式の解の個数=== 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の解は <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math> である。<br> この式の根号の中身だけ取り出したものを判別式と呼び、2次方程式の解の個数を簡単に判別できる。 <math>D=b^2-4ac</math>の値によって次のようになる。<br> (1)　<math>D>0 </math>のとき、異なる2つの解　<math>x = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>と<math>x = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math>を持つ。<br> (2)　<math>D=0 </math>のとき、<math> \pm \sqrt{b^2-4ac} = \pm 0 </math> であるので、2つの解は一致して、ただ1つの解<math>x = - \frac{b}{2a} </math>を持つ。これは2つの解が重なったものと考えて、'''重解'''という。<br> (3)　<math>D<0 </math>のとき、実数の範囲では解はない。<br> 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の解の個数は<math>D=b^2-4ac</math>の値で判定できる。 {\| style="border:2px solid red;width:80%" cellspacing=0 \|style="background:lightred"\|'''2次方程式の解の個数''' \|- \|style="padding:5px"\| 2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の解は　<math>D=b^2-4ac</math>とするとき ::<math>D>0 \Longleftrightarrow </math> 異なる2つの実数の解をもつ ::<math>D=0 \Longleftrightarrow </math> 重解をもつ ::<math>D<0 \Longleftrightarrow </math> 実数解はない \|} 問題次の2次方程式の解の個数を求めよ。 :(I) 　<math> 3\,x^2-4\,x+2=0 </math> :(II) 　<math> 25\,x^2+20\,x+4=0 </math> :(III)　<math> x^2+7\,x+1=0 </math> * 解答 (I) :<math> D=(-4)^2-4 \times 3 \times 2 =-8<0 </math> だから、実数解はない。<br> (II) :<math> D=20^2-4 \times 25 \times 4 =0 </math> だから、重解をもつ。<br> (III) :<math> D=7^2-4 \times 1 \times 1 =45>0 </math> だから、異なる2つの実数の解をもつ。 == 演習問題 == {{DEFAULTSORT:かすとしき}} [[Category:高等学校数学I]]	2005-05-28T11:17:39Z	2024-03-04T17:54:39Z	[ "テンプレート:証明", "テンプレート:証明終わり", "テンプレート:コラム" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6I/%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%BC%8F
2,072	中学校国語	中学校の国語は主に現代文と古文(日本古文・漢文)と文法の3つに分かれます。一般の教科書とは内容が若干違う部分もありますが、勉強の参考になれば幸いです。現代文 - 表現現代文(著作権の都合上、明治時代~大正時代の作品のみとなります) 古文故事成語文法現代文 - 表現現代文文法漢文漢文 (2014-10-17) 古文現代の敬語現代文その他文法漢文古文現代文 :近代文学など現代文 :読解文法古典常識リンク	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "中学校の国語は主に現代文と古文(日本古文・漢文)と文法の3つに分かれます。一般の教科書とは内容が若干違う部分もありますが、勉強の参考になれば幸いです。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "現代文 - 表現", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "現代文(著作権の都合上、明治時代~大正時代の作品のみとなります)", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "古文", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "故事成語", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "文法", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "現代文 - 表現", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "現代文", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "文法", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "漢文漢文 (2014-10-17)", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "古文", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "現代の敬語", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "現代文", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "その他", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "文法", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "漢文", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "古文", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "現代文 :近代文学など", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "現代文 :読解", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "文法", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "古典常識", "title": "単元" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "リンク", "title": "その他" } ]	中学校の国語は主に現代文と古文(日本古文・漢文)と文法の3つに分かれます。一般の教科書とは内容が若干違う部分もありますが、勉強の参考になれば幸いです。	{{Pathnav\|メインページ\|小学校・中学校・高等学校の学習\|中学校の学習\|中学校国語\|frame=1\|hide=1}}{{進捗状況}}中学校の国語は主に現代文と古文(日本古文・漢文)と文法の3つに分かれます。一般の教科書とは内容が若干違う部分もありますが、勉強の参考になれば幸いです。 == 単元 == === 1年 === * [[中学校国語/現代文\|現代文]] 現代文 - 表現 :[[中学校国語/現代文/作文]] :[[中学校国語/現代文/感想文]] :[[中学校国語/現代文/説明のしかた]] 現代文(著作権の都合上、明治時代～大正時代の作品のみとなります) :[[中学校国語/現代文/坊っちゃん]]　 (原作:{{ruby\|夏目漱石\|なつめそうせき}}) {{進捗\|25%\|2022-12-25}} :[[中学校国語/現代文/蜘蛛の糸]]　 (原作:{{ruby\|芥川龍之介\|あくたがわりゅうのすけ}}) {{進捗\|100%\|2022-1-5}} * [[中学校国語古文\|古文]] {{進捗\|25%\|2014-10-17}} 古文 :[[中学校国語古文/竹取物語]] {{進捗\|50%\|2014-10-17}} 故事成語 :[[中学校国語/故事成語 1年\|故事成語 1年]] {{進捗\|25%\|2014-10-17}} :[[中学校国語漢文/矛盾\|{{ruby\|矛盾\|むじゅん}}]] {{進捗\|25%\|2014-10-17}} :[[中学校国語漢文/青は藍より出でて藍よりも青し\|青は{{ruby\|藍\|あい}}より出でて藍よりも青し]] {{進捗\|25%\|2014-10-17}} :[[中学校国語漢文/温故知新\|温故知新]] {{進捗\|25%\|2014-10-17}} :[[中学校国語漢文/五十歩百歩\|五十歩百歩]] {{進捗\|25%\|2014-10-17}} 文法 :[[中学校国語文法\|文法]] * 資料編(古文) :[[中学校国語古文/伊曾保物語\|{{ruby\|伊曾保\|いそほ}}物語]] :[[中学校国語古文/土佐日記\|{{ruby\|土佐\|とさ}}日記]] ※やや重要？ :[[中学校国語古文/伊勢物語\|{{ruby\|伊勢\|いせ}}物語]] :[[中学校国語古文/十訓抄\|{{ruby\|十訓抄\|じっきんしょう}}]] ※やや重要？、{{ruby\|小式部内侍\|こしきぶのないし}} === 2年 === 現代文 - 表現 :[[中学校国語/現代文/議論のための意見や提案のしかた]] :[[中学校国語/現代文/報告書の書き方]] :[[中学校国語/現代文/手紙の書き方]] 現代文 :[[中学校国語/現代文/走れメロス]]　 (原作:{{ruby\|太宰治\|だざいおさむ}})　{{進捗\|100%\|2014-10-17}} 文法 :[[中学校国語文法\|文法]] {{進捗\|50%\|2014-10-17}} 漢文<br /> [[中学校国語漢文\|漢文]] {{進捗\|25%\|2014-10-17}} :[[中学校国語漢文/春望\|春望]] ({{ruby\|杜甫\|とほ}}) {{進捗\|25%\|2014-10-17}} :[[中学校国語漢文/黄鶴楼にて孟浩然の広陵に之くを送る\|{{ruby\|黄鶴楼\|こうかくろう}}にて{{ruby\|孟浩然\|もうこうねん}}の {{ruby\|広陵\|こうりょう}}に{{ruby\|之\|ゆ}}くを送る]] ({{ruby\|李白\|りはく}}) {{進捗\|25%\|2014-10-17}} :[[中学校国語漢文/絶句\|絶句]] (杜甫) {{進捗\|25%\|2014-10-17}} :[[中学校国語漢文/春暁\|{{ruby\|春暁\|しゅんぎょう}}]] ({{ruby\|孟浩然\|もうこうねん}}) {{進捗\|25%\|2014-10-17}} :[[中学校国語漢文/論語\|論語]] ({{ruby\|孔子\|こうし}}) 古文 :[[中学校国語古文/平家物語\|{{ruby\|平家\|へいけ}}物語]] {{進捗\|50%\|2014-10-17}} :[[中学校国語古文/徒然草\|{{ruby\|徒然草\|つれづれぐさ}}]] {{進捗\|25%\|2014-10-17}} :[[中学校国語古文/枕草子\|{{ruby\|枕草子\|まくらのそうし}}]] {{進捗\|25%\|2014-10-17}} 現代の敬語 :[[中学校国語/敬語]] 現代文 :[[中学校国語/現代文/走れメロス]] (原作：{{Ruby\|[[d:Q317685\|太宰治]]\|だざいおさむ}}) {{進捗\|25%\|2014-10-17}} その他 :[[中学校国語/絵コンテの読み方\|絵コンテの読み方]] 文法 :[[中学校国語文法\|文法]] ---- === 3年 === 漢文 :[[中学校国語漢文/元二の安西に使ひするを送る\|元二の安西に使ひするを送る]] ({{ruby\|王維\|おうい}}) {{進捗\|00%\|2014-10-17}} :[[中学校国語漢文/静夜思\|静夜思]] ({{ruby\|李白\|りはく}}) {{進捗\|25%\|2014-10-17}} 古文 :[[中学校国語古文/万葉集・古今和歌集・新古今和歌集]] :[[中学校国語古文/おくのほそ道]] {{進捗\|50%\|2014-10-17}} 現代文 :近代文学など :[[中学校国語/現代文/魯迅\|中学校国語/現代文/故郷]] (原作：{{Ruby\|[[d:Q23114\|魯迅]]\|ろじん}}・訳：{{ruby\|井上紅梅\|いのうえこうばい}}) (竹内好訳は著作権保護期間中) {{進捗\|25%\|2014-10-17}} :[[中学校国語/現代文/高瀬舟]] (原作：{{Ruby\|[[d:Q356960\|森鴎外]]\|もりおうがい}}) {{進捗\|25%\|2014-10-17}} :[[中学校国語/現代文/初恋]] (原作：{{ruby\|島崎藤村\|しまざきとうそん}}) {{進捗\|25%\|2014-10-17}} :[[中学校国語/現代文/最後の一句]] (原作：森鴎外) 現代文 :読解 :[[中学校国語/現代文/説明文・評論文]] 文法 :[[中学校国語文法\|文法]] 古典常識 :[[中学校国語/古典常識]] == その他 == * [[中学校国語文法\|文法]] * {{ruby\|語彙\|ごい}} * 故事成語 * [[中学校国語/表現技法\|表現技法]] * 語彙 ::[[中学校国語/故事成語 1年\|故事成語 1年]] ::[[中学校国語/故事成語 2年\|故事成語 2年]] ::[[中学校国語/故事成語 3年\|故事成語 3年]] :[[中学校国語/慣用句\|慣用句]] :[[中学校国語/類義語\|類義語]] :[[中学校国語/対義語\|対義語]] :[[中学校国語/熟語\|熟語]] :[[中学校国語/ことわざ\|ことわざ]] * 漢字 :[[中学校国語/漢字 1年\|漢字 1年]] :[[中学校国語/漢字 2年\|漢字 2年]] :[[中学校国語/漢字 3年\|漢字 3年]] :[[中学校国語/中学校で学習する漢字\|中学校で学習する漢字]] ---- * 学習方法 :[[学習方法/高校受験/国語]] :[[学習方法/中学校国語]] ---- * [[中等教育前期の国語]] {{進捗\|00%\|2018-12-08}} ---- * 高校受験リンク : (2014年9月時点での記事内容はおもに出題傾向) :[[高校受験現代文]] {{進捗\|00%\|2013-12-05}} :[[高校受験古文]] {{進捗\|00%\|2010-03-28}} :[[高校受験漢文]] {{進捗\|00%\|2014-01-05}} :[[入試対策問題/中学校国語]] [[Category:中学校国語\|]] [[Category:中学校教育\|こくこ]] [[Category:日本の国語科教育\|]] [[Category:日本語\|ちゆうかつこうこくこ]]	2005-05-29T11:22:17Z	2023-07-12T04:49:58Z	[ "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:進捗状況", "テンプレート:Ruby", "テンプレート:進捗" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E5%9B%BD%E8%AA%9E
2,074	解析力学	本項は物理学解析力学の解説です。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "本項は物理学解析力学の解説です。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "", "title": "" } ]	本項は物理学解析力学の解説です。はじめに運動方程式の一般化ラグランジアン最小作用の原理運動量、ハミルトニアンの定義保存則の導出エネルギー保存則の導出運動量保存則の導出	{{Pathnav\|メインページ\|自然科学\|物理学\|frame=1\|small=1}} 本項は物理学解析力学の解説です。 * [[解析力学はじめに\|はじめに]] * [[解析力学運動方程式の一般化\|運動方程式の一般化]] [[解析力学運動方程式の一般化#ラグランジアン\|ラグランジアン]] [[解析力学運動方程式の一般化#最小作用の原理\|最小作用の原理]] ** [[解析力学運動方程式の一般化#運動量、ハミルトニアンの定義\|運動量、ハミルトニアンの定義]] * [[解析力学保存則の導出\|保存則の導出]] [[解析力学保存則の導出#エネルギー保存則の導出\|エネルギー保存則の導出]] [[解析力学保存則の導出#運動量保存則の導出\|運動量保存則の導出]] {{stub}} {{DEFAULTSORT:かいせきりきかく}} [[Category:解析力学\|*]] {{NDC\|423\|かいせきりきかく}}	2005-05-30T03:53:31Z	2023-09-28T17:12:06Z	[ "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:Stub", "テンプレート:NDC" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6
2,075	解析力学はじめに	解析力学はニュートン力学の内容をより汎用的に使える形に定式化し直したものである。例えばデカルト座標でのニュートンの運動方程式を極座標系へ書き直すととても煩雑になる。この困難をさけるため、解析力学では任意の座標系で、より一般的な形でのニュートンの運動方程式を得ることができる。特に物理系の対称性を見る場合にこれが用いられることが多い。また、多くの物体が関わる問題に対しても使われることがある。また、この部分で定義される用語は量子力学や、電磁気学など他の分野でも多く使われるため、カリキュラムの中では、重要な位置を占める。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "解析力学はニュートン力学の内容をより汎用的に使える形に定式化し直したものである。例えばデカルト座標でのニュートンの運動方程式を極座標系へ書き直すととても煩雑になる。この困難をさけるため、解析力学では任意の座標系で、より一般的な形でのニュートンの運動方程式を得ることができる。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "特に物理系の対称性を見る場合にこれが用いられることが多い。また、多くの物体が関わる問題に対しても使われることがある。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "また、この部分で定義される用語は量子力学や、電磁気学など他の分野でも多く使われるため、カリキュラムの中では、重要な位置を占める。", "title": "はじめに" } ]	null	{{pathnav\|メインページ\|自然科学\|物理学\|解析力学\|frame=1}} ==はじめに== 解析力学はニュートン力学の内容をより汎用的に使える形に定式化し直したものである。例えばデカルト座標でのニュートンの運動方程式を極座標系へ書き直すととても煩雑になる。この困難をさけるため、解析力学では任意の座標系で、より一般的な形でのニュートンの運動方程式を得ることができる。特に物理系の対称性を見る場合にこれが用いられることが多い。また、多くの物体が関わる問題に対しても使われることがある。また、この部分で定義される用語は量子力学や、電磁気学など他の分野でも多く使われるため、カリキュラムの中では、重要な位置を占める。 {{DEFAULTSORT:かいせきりきかくはしめに}} [[Category:解析力学\|* はしめに]]	null	2015-04-17T15:27:40Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6_%E3%81%AF%E3%81%98%E3%82%81%E3%81%AB
2,076	解析力学運動方程式の一般化	ある関数 L ( q 1 , q 2 , ⋯ , q K , q ̇ 1 , q ̇ 2 , ⋯ , q ̇ K ) {\displaystyle L(q_{1},q_{2},\cdots ,q_{K},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2},\cdots ,{\dot {q}}_{K})} があるときに、 S = ∫ t 0 t 1 d t L ( q 1 ( t ) , q 2 ( t ) , ⋯ , q K ( t ) , q ̇ 1 ( t ) , q ̇ 2 ( t ) , ⋯ , q ̇ K ( t ) ) {\displaystyle S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,L(q_{1}(t),q_{2}(t),\cdots ,q_{K}(t),{\dot {q}}_{1}(t),{\dot {q}}_{2}(t),\cdots ,{\dot {q}}_{K}(t))} を最小にする q i ( t ) {\displaystyle q_{i}(t)} はどのようなものだろうか。まずは簡単な例として、関数 f ( x ) {\displaystyle f(x)} を最小にする x {\displaystyle x} について考えよう。 f ( x ) {\displaystyle f(x)} が最小値を取るとき、 f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} となるのだった。 f ′ ( x ) = 0 {\displaystyle f'(x)=0} となることは、 x {\displaystyle x} を微小量 δ x {\displaystyle \delta x} だけ変化させたとき、 f ( x ) {\displaystyle f(x)} の変化量 δ f := f ( x + δ x ) − f ( x ) {\displaystyle \delta f:=f(x+\delta x)-f(x)} は δ f = 0 {\displaystyle \delta f=0} になるということである。ここからの類推で、 S ( { q i } , { q ̇ i } ) {\displaystyle S(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\})} を最小にする { q i ( t ) } {\displaystyle \{q_{i}(t)\}} について、 { q i ( t ) } {\displaystyle \{q_{i}(t)\}} を少しだけ変化させて { q i ( t ) + δ q i ( t ) } {\displaystyle \{q_{i}(t)+\delta q_{i}(t)\}} (ただし、境界条件 δ q i ( t 0 ) = δ q i ( t 1 ) = 0 {\displaystyle \delta q_{i}(t_{0})=\delta q_{i}(t_{1})=0} を課す)としたときの S {\displaystyle S} の変化量 δ S = S ( { q i ( t ) + δ q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) + δ q ̇ i ( t ) } ) − S ( { q i } , { q ̇ i } ) {\displaystyle \delta S=S(\{q_{i}(t)+\delta q_{i}(t)\},\{{\dot {q}}_{i}(t)+\delta {\dot {q}}_{i}(t)\})-S(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\})} は δ S = 0 {\displaystyle \delta S=0} となると考えることが出来る。 δ S = S ( { q i ( t ) + δ q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) + δ q ̇ i ( t ) } ) − S ( { q i } , { q ̇ i } ) = ∫ t 0 t 1 d t L ( { q i ( t ) + δ q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) + δ q ̇ i ( t ) } ) − ∫ t 0 t 1 d t L ( { q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) } ) = ∫ t 0 t 1 d t [ L ( { q i ( t ) + δ q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) + δ q ̇ i ( t ) } ) − L ( { q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) } ) ] = ∫ t 0 t 1 d t ∑ k = 1 K ( ∂ L ∂ q k δ q k + ∂ L ∂ q ̇ k δ q ̇ k ( t ) ) = ∑ k = 1 K ∫ t 0 t 1 d t ( ∂ L ∂ q k δ q k + ∂ L ∂ q ̇ k δ q ̇ k ( t ) ) = ∑ k = 1 K [ ∂ L ∂ q ̇ k q k ( t ) \| t 0 t 1 + ∫ t 0 t 1 d t δ q k ( t ) ( ∂ L ∂ q k − d d t ∂ L ∂ q ̇ k ) ] = ∑ k = 1 K ∫ t 0 t 1 d t δ q k ( t ) ( ∂ L ∂ q k − d d t ∂ L ∂ q ̇ k ) = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}\delta S&=S(\{q_{i}(t)+\delta q_{i}(t)\},\{{\dot {q}}_{i}(t)+\delta {\dot {q}}_{i}(t)\})-S(\{q_{i}\},\{{\dot {q}}_{i}\})\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,L(\{q_{i}(t)+\delta q_{i}(t)\},\{{\dot {q}}_{i}(t)+\delta {\dot {q}}_{i}(t)\})-\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,L(\{q_{i}(t)\},\{{\dot {q}}_{i}(t)\})\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\,[L(\{q_{i}(t)+\delta q_{i}(t)\},\{{\dot {q}}_{i}(t)+\delta {\dot {q}}_{i}(t)\})-L(\{q_{i}(t)\},\{{\dot {q}}_{i}(t)\})]\\&=\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\sum _{k=1}^{K}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}\delta q_{k}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\delta {\dot {q}}_{k}(t)\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\left({\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}\delta q_{k}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\delta {\dot {q}}_{k}(t)\right)\\&=\sum _{k=1}^{K}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}q_{k}(t)\|_{t_{0}}^{t_{1}}+\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\delta q_{k}(t)\left({\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)\right]\\&=\sum _{k=1}^{K}\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\delta q_{k}(t)\left({\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}\right)\\&=0\end{aligned}}} ここで、 δ q k ( t ) {\displaystyle \delta q_{k}(t)} は任意であるので、オイラー=ラグランジュ方程式 d d t ∂ L ∂ q ̇ k − ∂ L ∂ q k = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0} を得る。さて、変分法を利用したいくつかの簡単な例を紹介しよう。水平な2点を、その2点間距離をややこえる長さのヒモで結んだ場合、当然、ロープは、たれる。このように、ロープなどを垂らした時にできる曲線のことを懸垂線(けんすいせん)という。計算例のように、導関数y’で偏微分するという操作が必要になる。「変分」という考えを用いて、運動方程式の定義を数式で書く事を、この記事では考える。以下、力学における変分の計算方法を説明していく。では、変分を用いてニュートン方程式を書き換えることを考える。まず古典力学でのニュートン方程式はの形で書かれる。変分をするためにラグランジアンという量を導入する。まだ、ラグランジアンの具体的な形は分からないけど、ある質点などの座標位置を q {\displaystyle q} として、その位置の時間微分(つまり速度)を q ̇ {\displaystyle {\dot {q}}} とすれば。という形になる事が分かっており、加速度 q ̈ {\displaystyle {\ddot {q}}} は考えなくて良い事が分かっている。やや天下り的だが、 q ̇ {\displaystyle {\dot {q}}} が運動量というの係数倍に相当するからである。運動量は、運動している質点などの保存量である。いっぽう、加速度は、運動している質点の保存量ではないからである。(なお、ラグランジアンLはスカラー量(ベクトルでない数)である。) ラグランジアンをある時間の範囲で積分したものを、と書き、作用と呼ぶ。ここで運動方程式を得るための原理として、"運動方程式は、少しだけ q , q ̇ {\displaystyle q,{\dot {q}}} を変化させたとしても、作用が変化しないような値を出す q , q ̇ {\displaystyle q,{\dot {q}}} の関係によって与えられる。"ということを要求する。このとき、 q , q ̇ {\displaystyle q,{\dot {q}}} を変化させたときの実際の作用の変化 δS を計算すると(δはデルタと読む)、常微分関数 q ̇ {\displaystyle {\dot {q}}} で偏微分することの数学的正当性が理解しづらいかもしれないが、ひとまず、こう計算してもらいたい。詳細は後述する。ここで、2行目から3行目では、部分積分によってとした。右辺で部分積分で出てくる項を消すために、" q , q ̇ {\displaystyle q,{\dot {q}}} は積分範囲の両端である t = ti , tf では変化しない"という要請を加えた。最小作用の原理によると、このときにδS = 0 でなくてはならない。δq の値に関わらずδS = 0 が成り立つためには、が成り立つ必要がある。よって、この式が運動方程式となる。特にq が通常の座標x である時のことを考える。ここで、とおくと、式(1)は、となり、通常の自由な粒子の運動方程式に一致する。ここで、は粒子の運動エネルギーである。また、保存力の中で、特に物体の速度によらない力を受けて運動している粒子に対しては、その力によって得られる位置エネルギーをV (q ) 、物体の運動エネルギーをT と表すとき、とすると、式(1)は、となるが、右辺は保存力に対する力を表わすのでこのときのラグランジアンはで与えられることが分かる。また、自由な角運動量に対するラグランジアンはによって与えられ、これは剛体の角運動量が持つ(慣性モーメントは剛体以外持つことが出来ないことに注意)エネルギーを表わす。ラグランジアンは、単に、高校物理でも習うような運動方程式の定義を、変分という数学的手法にもとづいて、言い換えたものである。ラグランジアンは、物理学において公式を導くための、物理の(ほぼ全ての分野での)共通の指針である。ところで、角運動量に関する方程式はと書かれる(I は慣性モーメント、 ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} は角速度、 N → {\displaystyle {\vec {N}}} は物体に働く力のモーメント)。角運動量の式は、ニュートン方程式に似ている。ニュートン方程式ラグランジアンは、このような運動法則を統一的に記述できる。統一的に記述できると、ある場合には都合が良い。このような座標の記述方法の統一化の目的で、よくラグランジアンや後述のハミルトニアンが利用される事もある。ラグランジアンを用いるとき、運動量p はと定義される。実際、自由な粒子に対しては、が得られ、正しいことが分かる。速度に依存した力を考える場合、p は必ずしも一般的な運動量と一致しない。このとき、ここで定義した運動量を一般化された運動量と呼んで通常の運動量と区別する。次に、エネルギーの記述を一般化することを考えよう。これから説明するハミルトニアン H が、エネルギーを一般化したものに相当する。 L は q , q ̇ {\displaystyle q,{\dot {q}}} を変数として用いる量である。しかし、それよりもq , p を変数として用いた方が便利なことがある。このような量を p , q ̇ {\displaystyle p,{\dot {q}}} の間のルジャンドル変換によって作ることが出来る。これをハミルトニアンH と呼び、で定義する。特に L = T ( q ̇ ) − V ( q ) {\displaystyle L=T({\dot {q}})-V(q)} を満たす場合、が得られ、H は系の全エネルギーと一致する。この結果はエネルギー保存則の導出に用いられる。ハミルトニアン H ( { q i } , { p i } ) = T + V {\displaystyle H(\{q_{i}\},\{p_{i}\})\,=T+V} においてが成り立つ。これを正準方程式という。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "ある関数 L ( q 1 , q 2 , ⋯ , q K , q ̇ 1 , q ̇ 2 , ⋯ , q ̇ K ) {\\displaystyle L(q_{1},q_{2},\\cdots ,q_{K},{\\dot {q}}_{1},{\\dot {q}}_{2},\\cdots ,{\\dot {q}}_{K})} があるときに、", "title": "変分法" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "S = ∫ t 0 t 1 d t L ( q 1 ( t ) , q 2 ( t ) , ⋯ , q K ( t ) , q ̇ 1 ( t ) , q ̇ 2 ( t ) , ⋯ , q ̇ K ( t ) ) {\\displaystyle S=\\int _{t_{0}}^{t_{1}}dt\\,L(q_{1}(t),q_{2}(t),\\cdots ,q_{K}(t),{\\dot {q}}_{1}(t),{\\dot {q}}_{2}(t),\\cdots ,{\\dot {q}}_{K}(t))}", "title": "変分法" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "を最小にする q i ( t ) {\\displaystyle q_{i}(t)} はどのようなものだろうか。", "title": "変分法" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "まずは簡単な例として、関数 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} を最小にする x {\\displaystyle x} について考えよう。 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} が最小値を取るとき、 f ′ ( x ) = 0 {\\displaystyle f'(x)=0} となるのだった。 f ′ ( x ) = 0 {\\displaystyle f'(x)=0} となることは、 x {\\displaystyle x} を微小量 δ x {\\displaystyle \\delta x} だけ変化させたとき、 f ( x ) {\\displaystyle f(x)} の変化量 δ f := f ( x + δ x ) − f ( x ) {\\displaystyle \\delta f:=f(x+\\delta x)-f(x)} は δ f = 0 {\\displaystyle \\delta f=0} になるということである。", "title": "変分法" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "ここからの類推で、 S ( { q i } , { q ̇ i } ) {\\displaystyle S(\\{q_{i}\\},\\{{\\dot {q}}_{i}\\})} を最小にする { q i ( t ) } {\\displaystyle \\{q_{i}(t)\\}} について、 { q i ( t ) } {\\displaystyle \\{q_{i}(t)\\}} を少しだけ変化させて { q i ( t ) + δ q i ( t ) } {\\displaystyle \\{q_{i}(t)+\\delta q_{i}(t)\\}} (ただし、境界条件 δ q i ( t 0 ) = δ q i ( t 1 ) = 0 {\\displaystyle \\delta q_{i}(t_{0})=\\delta q_{i}(t_{1})=0} を課す)としたときの S {\\displaystyle S} の変化量 δ S = S ( { q i ( t ) + δ q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) + δ q ̇ i ( t ) } ) − S ( { q i } , { q ̇ i } ) {\\displaystyle \\delta S=S(\\{q_{i}(t)+\\delta q_{i}(t)\\},\\{{\\dot {q}}_{i}(t)+\\delta {\\dot {q}}_{i}(t)\\})-S(\\{q_{i}\\},\\{{\\dot {q}}_{i}\\})} は δ S = 0 {\\displaystyle \\delta S=0} となると考えることが出来る。", "title": "変分法" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "δ S = S ( { q i ( t ) + δ q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) + δ q ̇ i ( t ) } ) − S ( { q i } , { q ̇ i } ) = ∫ t 0 t 1 d t L ( { q i ( t ) + δ q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) + δ q ̇ i ( t ) } ) − ∫ t 0 t 1 d t L ( { q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) } ) = ∫ t 0 t 1 d t [ L ( { q i ( t ) + δ q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) + δ q ̇ i ( t ) } ) − L ( { q i ( t ) } , { q ̇ i ( t ) } ) ] = ∫ t 0 t 1 d t ∑ 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は <math>\delta S = 0 </math> となると考えることが出来る。 <math>\begin{align} \delta S &= S(\{q_i(t) + \delta q_i(t) \},\{\dot q_i(t) + \delta \dot q_i(t)\} ) - S(\{q_i\},\{\dot q_i\})\\ &= \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(\{q_i(t) + \delta q_i(t) \},\{\dot q_i(t) + \delta \dot q_i(t)\}) - \int_{t_0}^{t_1} dt \, L(\{q_i(t)\},\{\dot q_i(t)\}) \\ &= \int_{t_0}^{t_1} dt \, [L(\{q_i(t) + \delta q_i(t) \},\{\dot q_i(t) + \delta \dot q_i(t)\}) - L(\{q_i(t)\},\{\dot q_i(t)\})] \\ &= \int_{t_0}^{t_1} dt \sum_{k=1}^{K} \left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\delta \dot q_k(t)\right) \\ &= \sum_{k=1}^{K} \int_{t_0}^{t_1} dt \left(\frac{\partial L}{\partial q_k}\delta q_k + \frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\delta \dot q_k(t)\right) \\ &= \sum_{k=1}^{K}\left[ \frac{\partial L}{\partial \dot q_k} q_k(t)\|_{t_0}^{t_1} + \int_{t_0}^{t_1} dt \delta q_k(t)\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right)\right] \\ &= \sum_{k=1}^{K}\int_{t_0}^{t_1} dt \delta q_k(t)\left(\frac{\partial L}{\partial q_k}- \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) \\ &= 0 \end{align} </math> ここで、 <math>\delta q_k(t) </math> は任意であるので、オイラー＝ラグランジュ方程式 <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_k} - \frac{\partial L}{\partial q_k} = 0 </math> を得る。さて、変分法を利用したいくつかの簡単な例を紹介しよう。 === 等周問題 === === 懸垂線 === 水平な2点を、その2点間距離をややこえる長さのヒモで結んだ場合、当然、ロープは、たれる。このように、ロープなどを垂らした時にできる曲線のことを懸垂線（けんすいせん）という。 :（※　図を追加してください。） :（※　計算例を記述してください）計算例のように、導関数y’で偏微分するという操作が必要になる。 === 最速降下線 === == ラグランジアンと最小作用の原理 == 「変分」という考えを用いて、運動方程式の定義を数式で書く事を、この記事では考える。以下、力学における変分の計算方法を説明していく。 ===ラグランジアン=== では、変分を用いてニュートン方程式を書き換えることを考える。まず古典力学でのニュートン方程式は :<math> m \ddot {\vec x} = \vec f </math> の形で書かれる。変分をするために'''ラグランジアン'''という量を導入する。まだ、ラグランジアンの具体的な形は分からないけど、ある質点などの座標位置を<math>q</math>として、その位置の時間微分（つまり速度）を<math>\dot q</math>とすれば。 :<math> L = L (q,\dot q) </math> という形になる事が分かっており、加速度<math>\ddot q</math>は考えなくて良い事が分かっている。やや天下り的だが、<math>\dot q</math>が運動量というの係数倍に相当するからである。運動量は、運動している質点などの保存量である。いっぽう、加速度は、運動している質点の保存量ではないからである。（なお、ラグランジアンLはスカラー量（ベクトルでない数）である。） ===最小作用の原理=== ラグランジアンをある時間の範囲で積分したものを、 :<math> S= \int dt L </math> と書き、'''作用'''と呼ぶ。ここで運動方程式を得るための原理として、"運動方程式は、少しだけ <math>q,\dot q</math> を変化させたとしても、作用が変化しないような値を出す <math>q,\dot q</math> の関係によって与えられる。"ということを要求する。このとき、<math>q, \dot q</math> を変化させたときの実際の作用の変化 δS を計算すると（δはデルタと読む）、 :<math> \begin{align} \delta S &= \int dt \delta L\\ &= \int dt \frac {\partial L}{\partial q } \delta q+ \frac {\partial L}{\partial {\dot q} } \delta \dot q\\ &= \int dt \frac {\partial L}{\partial q } \delta q- \frac {\partial {}}{\partial t }\frac {\partial L}{\partial {\dot q} } \delta q\\ &= \int dt (\frac {\partial L}{\partial q } - \frac {\partial {}}{\partial t }\frac {\partial L}{\partial {\dot q} }) \delta q\\ \end{align} </math> 常微分関数<math>\dot q</math>で偏微分することの数学的正当性が理解しづらいかもしれないが、ひとまず、こう計算してもらいたい。詳細は後述する。ここで、2行目から3行目では、<!-- magic variables !! -->部分積分によって :<math> \begin{align} \int \delta\dot q f(q) &= [\delta q f(q) ] _{t _i}^{t _f}- \int \delta q \frac {\partial {}}{\partial t } f(q)\\ &= - \int \delta q \frac {\partial {}}{\partial t } f(q) \end{align} </math> とした。右辺で部分積分で出てくる項を消すために、"<math>q,\dot q</math> は積分範囲の両端である ''t'' = ''t<sub>i</sub>'' , ''t<sub>f</sub>'' では変化しない"という要請を加えた<ref group="注">この要請を外すと別の値が出て来て、ある場合には便利になるようである。<!-- 詳しく知っている人でwikibooksに書こうという人はいるだろうか。 --><!-- 難しい問題だ...。 --></ref>。最小作用の原理によると、このときにδ''S'' = 0 でなくてはならない。δ''q'' の値に関わらずδ''S'' = 0 が成り立つためには、 :<math> \frac {\partial L}{\partial q } - \frac {\partial {}}{\partial t }\frac {\partial L}{\partial {\dot q} }= 0 \qquad (1) </math> が成り立つ必要がある。よって、この式が運動方程式となる。特に''q'' が通常の座標''x'' である時のことを考える。ここで、 :<math> L = \frac 1 2 m \dot x^2 </math> とおくと、式(1)は、 :<math> m \ddot x = 0 </math> となり、通常の自由な粒子の運動方程式に一致する。ここで、 :<math> \frac 1 2 m \dot x^2 </math> は粒子の運動エネルギーである。また、保存力の中で、特に物体の速度によらない力を受けて運動している粒子に対しては、その力によって得られる位置エネルギーを''V'' (''q'' ) 、物体の運動エネルギーを''T'' と表すとき、 :<math> L = T(\dot q) - V(q) </math> とすると、式(1)は、 :<math> m \ddot q = - \frac {\partial V}{\partial q } </math> となるが、右辺は保存力に対する力を表わすのでこのときのラグランジアンは :<math> L = T(\dot q) - V(q) </math> で与えられることが分かる。また、自由な角運動量に対するラグランジアンは :<math> L = \frac 1 2 I \omega^2 </math> によって与えられ、これは剛体の角運動量が持つ（慣性モーメントは剛体以外持つことが出来ないことに注意）エネルギーを表わす。 <!-- 電磁気力は物体の速度に依存する力であるけれども、 --> <!-- �e --> <!-- L = T(\dot q) - V(q,\dot q) --> <!-- \ee --> <!-- となることの説明。どうだったか... --> ラグランジアンは、単に、高校物理でも習うような運動方程式の定義を、変分という数学的手法にもとづいて、言い換えたものである。ラグランジアンは、物理学において公式を導くための、物理の（ほぼ全ての分野での）共通の指針である。 == 一般化座標 == ところで、角運動量に関する方程式は :<math> I \vec \omega = \vec N </math> と書かれる（''I'' は慣性モーメント、<math>\vec \omega </math> は角速度、<math>\vec N </math> は物体に働く力のモーメント）。角運動量の式は、ニュートン方程式に似ている。ニュートン方程式 :<math> m \ddot {\vec x} = \vec f </math>と良く似た形である。ラグランジアンは、このような運動法則を統一的に記述できる。統一的に記述できると、ある場合には都合が良い。このような座標の記述方法の統一化の目的で、よくラグランジアンや後述のハミルトニアンが利用される事もある。 ==運動量、ハミルトニアンの定義== ラグランジアンを用いるとき、運動量''p'' は :<math> p \equiv \frac {\partial L}{\partial {\dot q} } </math> と定義される。実際、自由な粒子に対しては、 :<math> p = m \dot q </math> が得られ、正しいことが分かる。速度に依存した力を考える場合、''p'' は必ずしも一般的な運動量と一致しない。このとき、ここで定義した運動量を一般化された運動量と呼んで通常の運動量と区別する。次に、エネルギーの記述を一般化することを考えよう。これから説明するハミルトニアン H が、エネルギーを一般化したものに相当する。 <!-- また、運動量を用いて<math>\dot q</math>を消し去った量を -->''L'' は<math>q,\dot q</math> を変数として用いる量である。しかし、それよりも''q'' , ''p'' を変数として用いた方が便利なことがある。このような量を<math>p,\dot q</math> の間のルジャンドル変換によって作ることが出来る。これを'''ハミルトニアン'''''H'' と呼び、 :<math> H \equiv \dot q p -L </math> で定義する。特に<math>L=T(\dot q) - V(q)</math>を満たす場合、 :<math> H = T +V </math> が得られ、''H'' は系の全エネルギーと一致する。この結果はエネルギー保存則の導出に用いられる。 ==正準方程式== ハミルトニアン<math> H(\{q_i\},\{p_i\}) \,= T + V</math>において :<math> \dot{p}_i=-\frac{\partial{}H}{\partial{}q_i} </math> :<math> \dot{q}_i=\frac{\partial{}H}{\partial{}p_i} </math> が成り立つ。これを'''正準方程式'''という。 ==ポアソン括弧== {{stub}} ==脚注== <references group="注" /> {{DEFAULTSORT:かいせきりきかくうんとうほうていしきのいつはんか}} [[Category:解析力学\|* うんとうほうていしきのいつはんか]]	2005-05-30T04:02:47Z	2024-03-15T21:42:12Z	[ "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:Stub" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6_%E9%81%8B%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%88%AC%E5%8C%96
2,077	解析力学保存則の導出	ラグランジアンは物理系の全ての情報を担っているので、これを用いて様々な保存則を示すことが出来る。例えば、エネルギー保存則と運動量保存則が例として挙げられる。エネルギーをで定義する。この表式とハミルトニアンを見比べると、ハミルトニアンは系の全エネルギーに対応することが分かる。運動量の保存則はこのとき、となり、エネルギーが時間的に保存することが分かる。ここで、4から5行目に移るとき運動方程式を用いた。実際には、エネルギーの保存則は時間の原点を動かすことに対して物理系が変化しないことによる。運動量保存則は物理系全体を平行移動することによって、物理系の運動が変化しないことによる。このことを空間的一様性と呼ぶ。このときラグランジアンに含まれる全てのあるq についてとなる変換をほどこしてもラグランジアンは不変でなくてはならない。このとき、が得られる。このときδL = 0 となることと見くらべると、となり、運動量が時間的に保存することが分かる。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "ラグランジアンは物理系の全ての情報を担っているので、これを用いて様々な保存則を示すことが出来る。例えば、エネルギー保存則と運動量保存則が例として挙げられる。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "エネルギーを", "title": "エネルギー保存則の導出" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "で定義する。この表式とハミルトニアン", "title": "エネルギー保存則の導出" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "を見比べると、ハミルトニアンは系の全エネルギーに対応することが分かる。運動量の保存則はこのとき、", "title": "エネルギー保存則の導出" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "となり、エネルギーが時間的に保存することが分かる。ここで、4から5行目に移るとき運動方程式", "title": "エネルギー保存則の導出" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "を用いた。実際には、エネルギーの保存則は時間の原点を動かすことに対して物理系が変化しないことによる。", "title": "エネルギー保存則の導出" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "運動量保存則は物理系全体を平行移動することによって、物理系の運動が変化しないことによる。このことを空間的一様性と呼ぶ。このときラグランジアンに含まれる全てのあるq について", "title": "運動量保存則の導出" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "となる変換をほどこしてもラグランジアンは不変でなくてはならない。このとき、", "title": "運動量保存則の導出" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "が得られる。このときδL = 0 となることと見くらべると、", "title": "運動量保存則の導出" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "となり、運動量が時間的に保存することが分かる。", "title": "運動量保存則の導出" } ]	ラグランジアンは物理系の全ての情報を担っているので、これを用いて様々な保存則を示すことが出来る。例えば、エネルギー保存則と運動量保存則が例として挙げられる。	{{pathnav\|メインページ\|自然科学\|物理学\|解析力学\|frame=1}} ラグランジアンは物理系の全ての情報を担っているので、これを用いて様々な保存則を示すことが出来る。例えば、エネルギー保存則と運動量保存則が例として挙げられる。 ==エネルギー保存則の導出== エネルギーを :<math> E \equiv p \dot q - L </math> で定義する。この表式とハミルトニアン :<math> H = p \dot q - L </math> を見比べると、ハミルトニアンは系の全エネルギーに対応することが分かる。運動量の保存則はこのとき、 :<math> \begin{align} \frac {\partial E}{\partial t } &= \frac {\partial {}}{\partial t }(p\dot q - L )\\ &=\frac {\partial {}}{\partial t } \left(\frac {\partial {L}}{\partial {\dot q} } \dot q\right) - \frac {\partial L}{\partial t }\\ &=\frac {\partial p}{\partial t } \dot q + p \frac {\partial {\dot q}}{\partial t } - \frac {\partial L}{\partial t }\\ &=\left(\frac {\partial {}}{\partial t } \frac {\partial {L}}{\partial {\dot q} } \right)\dot q +\frac {\partial {L}}{\partial {\dot q} } \ddot q - \frac {\partial L}{\partial t }\\ &= \left(\frac {\partial {L}}{\partial {q} } \dot q\right) +\frac {\partial {L}}{\partial {\dot q} } \ddot q - \frac {\partial L}{\partial t }\\ &= \frac {\partial L}{\partial t }- \frac {\partial L}{\partial t }\\ &= 0 \end{align} </math> となり、エネルギーが時間的に保存することが分かる。ここで、4から5行目に移るとき運動方程式 :<math> \frac {\partial L}{\partial q } - \frac {\partial {}}{\partial t }\frac {\partial L}{\partial {\dot q} }= 0 </math> を用いた。実際には、エネルギーの保存則は時間の原点を動かすことに対して物理系が変化しないことによる<!-- ことの導出 (?) --> 。 ==運動量保存則の導出== 運動量保存則は物理系全体を平行移動することによって、物理系の運動が変化しないことによる。このことを空間的一様性と呼ぶ。このときラグランジアンに含まれる全てのある''q'' について :<math> q\rightarrow q+a ,\; \dot q \rightarrow \dot q </math> となる変換をほどこしてもラグランジアンは不変でなくてはならない。このとき、 :<math> \begin{align} \delta L &= \delta q \frac {\partial L}{\partial q } + \delta \dot q \frac {\partial L}{\partial {\dot q} }\\ &= a \frac {\partial L}{\partial q }\\ &= a \frac {\partial {}}{\partial t } \frac {\partial {L }}{\partial {\dot q} } \\ &= a \frac {\partial p}{\partial t } \end{align} </math> が得られる。このときδ''L'' = 0 となることと見くらべると、 :<math> \frac {\partial p}{\partial t } = 0 </math> となり、運動量が時間的に保存することが分かる。 {{DEFAULTSORT:かいせきりきかくほそんそく}} [[Category:解析力学\|* ほそんそく]]	null	2015-04-17T15:27:49Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6_%E4%BF%9D%E5%AD%98%E5%89%87%E3%81%AE%E5%B0%8E%E5%87%BA
2,079	高等学校地学	新課程旧課程我々の周りには実に多くの自然が存在している。下を見れば地面があるし、上を見れば空や宇宙がある。このような自然は、どのように構成されているか? どのようにしてできたのか? 地学はこのような自然を化学、物理、生物の分野から総合的に研究する学問である。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "新課程", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "旧課程", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "我々の周りには実に多くの自然が存在している。下を見れば地面があるし、上を見れば空や宇宙がある。このような自然は、どのように構成されているか? どのようにしてできたのか? 地学はこのような自然を化学、物理、生物の分野から総合的に研究する学問である。", "title": "地学とは" } ]	新課程旧課程	{{Pathnav\|高等学校の学習\|高等学校理科\|frame=1}} {{Pathnav\|自然科学\|地球科学\|frame=1}} {{進捗状況}} 新課程 :[[高等学校　地学基礎\|地学基礎]] {{進捗\|00%\|2015-06-05}} :[[高等学校地学\|地学]] {{進捗\|25%\|2022-10-26}} 旧課程 :[[高等学校理科基礎地学分野\|理科基礎地学分野]] {{進捗\|25%\|2015-06-05}} :[[理科総合B 地学分野]] {{進捗\|25%\|2015-06-05}} :[[地学I\|地学I]] 3単位 {{進捗\|25%\|2015-06-05}} :[[地学II]] 3単位 {{進捗\|25%\|2015-06-05}} ==地学とは== 我々の周りには実に多くの自然が存在している。下を見れば地面があるし、上を見れば空や宇宙がある。このような自然は、どのように構成されているか？　どのようにしてできたのか？　地学はこのような自然を化学、物理、生物の分野から総合的に研究する学問である。 == 参考 == [[学習方法/高校地学]] [[小学校・中学校・高等学校の学習/検定教科書の購入方法\|検定教科書の購入方法]] [[en:High School Earth Science]] [[Category:高等学校教育\|地ちかく]] [[Category:理科教育\|高ちかく]] [[Category:地球科学\|高ちかく]] [[category:高校理科\|ちかく]]	null	2022-10-29T01:43:51Z	[ "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:進捗状況", "テンプレート:進捗" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E5%9C%B0%E5%AD%A6
2,080	有機化学/エステル	-CO-O-(エステル結合)を持つ化合物をエステルという(ただしR2は水素原子Hを除く)。ヒドロキシ基及びカルボキシ基の間での脱水縮合。 R1 -COOH + R2 -OH → R1-COO-R2 + H2O	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "-CO-O-(エステル結合)を持つ化合物をエステルという(ただしR2は水素原子Hを除く)。", "title": "エステルの定義" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "", "title": "エステルの定義" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "ヒドロキシ基及びカルボキシ基の間での脱水縮合。", "title": "合成方法" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "R1 -COOH + R2 -OH → R1-COO-R2 + H2O", "title": "合成方法" } ]	null	==エステルの定義== -CO-O-（エステル結合）を持つ化合物をエステルという（ただしR2は水素原子Hを除く）。 O-R2 / R1-C \\ O ==合成方法== ヒドロキシ基及びカルボキシ基の間での脱水縮合。 R<sub>1</sub> -CO'''OH''' + R<sub>2</sub> -O'''H''' → R<sub>1</sub>-COO-R<sub>2</sub> + H<sub>2</sub>O [[カテゴリ:有機化学]]	null	2022-11-23T05:33:00Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%9C%89%E6%A9%9F%E5%8C%96%E5%AD%A6/%E3%82%A8%E3%82%B9%E3%83%86%E3%83%AB
2,081	高等学校理科	このページは、高校理科の教科書の本棚です。教科「理科」は以下の科目から構成されています。高等学校では「科学と人間生活」と基礎系科目1科目もしくは、基礎系科目3科目が必修となっています。ただし、「科学と人間生活」は大学入学共通テストでは出題されないため注意が必要です。高等学校では「理科基礎」、「理科総合A」、「理科総合B」のうち1科目を含む2科目が必修になっています。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "このページは、高校理科の教科書の本棚です。教科「理科」は以下の科目から構成されています。", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "高等学校では「科学と人間生活」と基礎系科目1科目もしくは、基礎系科目3科目が必修となっています。ただし、「科学と人間生活」は大学入学共通テストでは出題されないため注意が必要です。", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "高等学校では「理科基礎」、「理科総合A」、「理科総合B」のうち1科目を含む2科目が必修になっています。", "title": "旧課程" } ]	このページは、高校理科の教科書の本棚です。教科「理科」は以下の科目から構成されています。高等学校では「科学と人間生活」と基礎系科目1科目もしくは、基礎系科目3科目が必修となっています。ただし、「科学と人間生活」は大学入学共通テストでは出題されないため注意が必要です。	{{pathnav\|高等学校の学習\|frame=1\|small=1}} このページは、高校理科の教科書の本棚です。教科「理科」は以下の科目から構成されています。高等学校では「科学と人間生活」と基礎系科目1科目もしくは、基礎系科目3科目が必修となっています。ただし、「科学と人間生活」は大学入学共通テストでは出題されないため注意が必要です。 == 物理 == [[高等学校物理]] :[[高等学校物理基礎\|物理基礎]] 2単位 :[[高等学校物理\|物理]] 4単位 == 化学 == [[高等学校化学]] :[[高等学校理科化学基礎\|化学基礎]] 2単位 {{進捗\|25%\|2015-08-14}} :[[高等学校化学\|化学]] 4単位 == 生物 == [[高等学校生物]] :[[高等学校生物基礎\|生物基礎]] 2単位 :[[高等学校生物\|生物]] 4単位 == 地学 == [[高等学校地学]] :[[高等学校地学基礎\|地学基礎]] 2単位 :[[高等学校地学\|地学]] 4単位 == その他の科目 == [[高等学校科学と人間生活\|科学と人間生活]] [[高等学校理数探究基礎\|理数探究基礎]] 1単位{{進捗\|00%\|2023-02-04}}<br /> == 旧課程 == 高等学校では「理科基礎」、「理科総合A」、「理科総合B」のうち1科目を含む2科目が必修になっています。 * [[高等学校理科基礎\|理科基礎]] 2単位 {{進捗\|00%\|2015-08-14}} * [[高等学校理科総合A\|理科総合A]] 2単位 {{進捗\|00%\|2015-08-14}} * [[高等学校理科総合B\|理科総合B]] 2単位 {{進捗\|25%\|2015-08-14}} * [[高等学校物理]] 3単位 {{進捗\|25%\|2015-08-14}} :* [[高等学校物理/物理I\|物理I]] 3単位 {{進捗\|25%\|2015-08-14}} :* [[高等学校物理/物理II\|物理II]] 3単位 {{進捗\|25%\|2015-08-14}} * [[高等学校化学]] {{進捗\|25%\|2015-08-14}} :* [[高等学校化学I\|化学I]] 3単位 {{進捗\|25%\|2015-08-14}} :* [[高等学校化学II\|化学II]] 3単位 {{進捗\|25%\|2015-08-14}} * [[高等学校生物]] {{進捗\|50%\|2015-08-14}} :* [[高等学校生物/生物I\|生物I]] 3単位 {{進捗\|50%\|2015-08-14}} :* [[高等学校生物/生物II\|生物II]] 3単位 {{進捗\|50%\|2015-08-14}} * [[高等学校地学]] {{進捗\|25%\|2015-08-14}} :* [[地学I]] 3単位 {{進捗\|25%\|2015-08-14}} :* [[地学II]] 3単位 {{進捗\|25%\|2015-08-14}} [[Category:高等学校教育\|理]] [[Category:理科教育\|高]] [[category:高校理科\|*]]	2005-06-01T07:25:16Z	2023-10-29T06:12:51Z	[ "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:進捗" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E7%90%86%E7%A7%91
2,082	珠算	数学>珠算大学の教科書自然科学: 数学 - 物理学; 古典力学量子力学 - 化学; 無機化学有機化学 - 生物学; 植物学研究技術 - 地球科学 - 医学; 解剖学語学: 日本語英語エスペラント朝鮮語デンマーク語ドイツ語フランス語ラテン語ルーマニア語人文科学: 歴史学; 日本史中国史世界史歴史観 - 心理学 - 哲学 - 芸術; 音楽美術 - 文学; 古典文学漢詩社会科学: 法学 - 経済学 - 地理学 - 教育学; 学校教育教育史情報技術: 情報工学; MS-DOS/PC DOS UNIX/Linux TeX/LaTeX CGI - プログラミング; BASIC C言語 C++ D言語 HTML Java JavaScript Lisp Mizar Perl PHP Python Ruby Scheme SVG 小・中・高校の教科書小学: 国語社会算数理科英語中学: 国語社会数学理科英語高校: 国語 - 地歴 - 公民 - 数学; 公式集 - 理科; 物理化学地学生物 - 外国語 - 情報解説書・実用書・参考書趣味: 料理本 - スポーツ - ゲーム試験: 資格試験 - 入学試験その他の本: 防災 - 生活と進路 - ウィキペディアの書き方 - ジョーク集昔、電卓がなかった時代、計算にはそろばんが用いられていました。この教科書では、そろばんを用いた計算法「珠算」について解説します。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "数学>珠算", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "大学の教科書自然科学: 数学 - 物理学; 古典力学量子力学 - 化学; 無機化学有機化学 - 生物学; 植物学研究技術 - 地球科学 - 医学; 解剖学語学: 日本語英語エスペラント朝鮮語デンマーク語ドイツ語フランス語ラテン語ルーマニア語人文科学: 歴史学; 日本史中国史世界史歴史観 - 心理学 - 哲学 - 芸術; 音楽美術 - 文学; 古典文学漢詩社会科学: 法学 - 経済学 - 地理学 - 教育学; 学校教育教育史情報技術: 情報工学; MS-DOS/PC DOS UNIX/Linux TeX/LaTeX CGI - プログラミング; BASIC C言語 C++ D言語 HTML Java JavaScript Lisp Mizar Perl PHP Python Ruby Scheme SVG 小・中・高校の教科書小学: 国語社会算数理科英語中学: 国語社会数学理科英語高校: 国語 - 地歴 - 公民 - 数学; 公式集 - 理科; 物理化学地学生物 - 外国語 - 情報解説書・実用書・参考書趣味: 料理本 - スポーツ - ゲーム試験: 資格試験 - 入学試験その他の本: 防災 - 生活と進路 - ウィキペディアの書き方 - ジョーク集", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "昔、電卓がなかった時代、計算にはそろばんが用いられていました。この教科書では、そろばんを用いた計算法「珠算」について解説します。", "title": "" } ]	数学＞珠算昔、電卓がなかった時代、計算にはそろばんが用いられていました。この教科書では、そろばんを用いた計算法「珠算」について解説します。珠算_基礎知識 (2005-06-01) 珠算_加減算 (2005-06-02) 珠算_乗算 (2005-06-05) 珠算_除算 (2005-06-05) 珠算_見取算・読上算・伝票算 (2005-06-05) 珠算_開平・開立珠算_演習	[[数学]]＞珠算 {{進捗状況}} {{蔵書一覧}} 昔、電卓がなかった時代、計算にはそろばんが用いられていました。この教科書では、そろばんを用いた計算法「珠算」について解説します。 [[珠算_基礎知識]]{{進捗\|75%\|2005-06-01}} [[珠算_加減算]]{{進捗\|75%\|2005-06-02}} [[珠算_乗算]]{{進捗\|75%\|2005-06-05}} [[珠算_除算]]{{進捗\|75%\|2005-06-05}} [[珠算_見取算・読上算・伝票算]]{{進捗\|25%\|2005-06-05}} [[珠算_開平・開立]] [[珠算_演習]] ==関係先リンク== [http://www.syuzan.net/ 日本珠算連盟] [http://www.soroban.or.jp/ 全国珠算教育連盟] [http://shuzan-gakko.com/ 全国珠算学校連盟] [[Category:書庫\|しゆさん]] [[Category:珠算\|*]]	null	2006-12-12T15:30:26Z	[ "テンプレート:進捗状況", "テンプレート:蔵書一覧" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%8F%A0%E7%AE%97
2,083	珠算基礎知識	数学>珠算>基礎知識算盤(そろばん)には、1つの軸に玉が5(=1+4)個ある4玉算盤と、6(=1+5)個ある5玉算盤がある。一般的には4玉算盤が使われる。5玉算盤は60進法の計算(例えば時間など)をするのに便利である。以下全て、4玉算盤で説明する。玉が1個の方が上である。算盤には、3桁ごとに点が振ってある。普通、点の真下に一の位をとり、そこから左に十の位、百の位...と続く。点は自分の使いやすいところでかまわないが、あまりに左すぎると計算できなくなることがあるので注意しよう。算盤を使う前に、全ての桁を0にリセットする作業が必要である。電卓で言えば「C」である。これで上の図のような状態になっているはずである。さて、1から9までの数を入れてみよう。左手で算盤を持ち、右手の親指で上の玉を、人差し指で下の全ての玉を扱う。上下に何桁になっても同じである。例えば、1013.25ならである。次は足し算や引き算をやってみよう。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "数学>珠算>基礎知識", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "算盤(そろばん)には、1つの軸に玉が5(=1+4)個ある4玉算盤と、6(=1+5)個ある5玉算盤がある。一般的には4玉算盤が使われる。5玉算盤は60進法の計算(例えば時間など)をするのに便利である。以下全て、4玉算盤で説明する。", "title": "算盤の基礎知識" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "玉が1個の方が上である。", "title": "数の入れ方" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "算盤には、3桁ごとに点が振ってある。普通、点の真下に一の位をとり、そこから左に十の位、百の位...と続く。点は自分の使いやすいところでかまわないが、あまりに左すぎると計算できなくなることがあるので注意しよう。", "title": "数の入れ方" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "算盤を使う前に、全ての桁を0にリセットする作業が必要である。電卓で言えば「C」である。", "title": "数の入れ方" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "これで上の図のような状態になっているはずである。", "title": "数の入れ方" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "さて、1から9までの数を入れてみよう。左手で算盤を持ち、右手の親指で上の玉を、人差し指で下の全ての玉を扱う。", "title": "数の入れ方" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "上下に何桁になっても同じである。例えば、1013.25なら", "title": "数の入れ方" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "である。", "title": "数の入れ方" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "次は足し算や引き算をやってみよう。", "title": "数の入れ方" } ]	数学＞珠算＞基礎知識	[[数学]]＞[[珠算]]＞基礎知識 ==算盤の基礎知識== 算盤(そろばん)には、1つの軸に玉が5(＝1+4)個ある4玉算盤と、6(＝1+5)個ある5玉算盤がある。一般的には4玉算盤が使われる。5玉算盤は60進法の計算(例えば時間など)をするのに便利である。以下全て、4玉算盤で説明する。 ==数の入れ方== 玉が1個の方が上である。 < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > ================================================ < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > 算盤には、3桁ごとに点が振ってある。普通、点の真下に一の位をとり、そこから左に十の位、百の位...と続く。点は自分の使いやすいところでかまわないが、あまりに左すぎると計算できなくなることがあるので注意しよう。算盤を使う前に、全ての桁を0にリセットする作業が必要である。電卓で言えば「C」である。 #左手で算盤の左隅のほうを持ち、上の方を手前に傾ける。 #机の上に静かに戻す。 #右手の人差し指を、左端から順番に、上の玉が上端に行くように横にスライドさせる。これで上の図のような状態になっているはずである。さて、1から9までの数を入れてみよう。左手で算盤を持ち、右手の親指で上の玉を、人差し指で下の全ての玉を扱う。 < > < > < > < > < > === === === === === < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > 0 1 2 3 4 < > < > < > < > < > === === === === === < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > < > 5 6 7 8 9 上下に何桁になっても同じである。例えば、1013.25なら < >< >< >< >< > < > ================ < > < >< >< > < > < >< >< > < >< >< >< > < > < >< >< > < >< > < >< >< >< >< >< > 1 0 1 3 .2 5 である。次は[[珠算_加減算\|足し算や引き算]]をやってみよう。 [[Category:珠算\|きそちしき]]	null	2006-12-12T15:28:41Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%8F%A0%E7%AE%97_%E5%9F%BA%E7%A4%8E%E7%9F%A5%E8%AD%98
2,084	珠算加減算	数学>珠算>加減算 1+3や2+6などの計算は元の数を入れ、さらに加える数の玉を入れる。以下、加える数をnとする。 3+4や9+2はそのままでは出来ない。そこでまず5(10)-nを引く。そしてその後5(10)を足すという方法をとる。確かにn足したことになる。 6+8などは今までの方法では出来ない。これらの計算をするにはまずn-5を足す。その後、5を引き10を加える。で、確かにn足したことになる。一桁の足し算のすべてのやり方をまとめておく。引き算は足し算の逆をすれば良いだけである。具体的には、算盤は筆算と違って上の位から計算する。繰り上がりや桁間違いにさえ注意すれば、何桁になっても基本は同じである。次の計算をしてみよう加減算の基本が出来たら、見取算などにも挑戦しよう。もしくは更に掛け算も学ぼう。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "数学>珠算>加減算", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "1+3や2+6などの計算は元の数を入れ、さらに加える数の玉を入れる。", "title": "一桁の足し算" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "以下、加える数をnとする。", "title": "一桁の足し算" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "3+4や9+2はそのままでは出来ない。そこでまず5(10)-nを引く。そしてその後5(10)を足すという方法をとる。", "title": "一桁の足し算" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "確かにn足したことになる。", "title": "一桁の足し算" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "6+8などは今までの方法では出来ない。これらの計算をするにはまずn-5を足す。その後、5を引き10を加える。", "title": "一桁の足し算" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "で、確かにn足したことになる。", "title": "一桁の足し算" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "一桁の足し算のすべてのやり方をまとめておく。", "title": "一桁の足し算" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "引き算は足し算の逆をすれば良いだけである。", "title": "一桁の引き算" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "具体的には、", "title": "一桁の引き算" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "算盤は筆算と違って上の位から計算する。繰り上がりや桁間違いにさえ注意すれば、何桁になっても基本は同じである。", "title": "複数桁の加減算" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "次の計算をしてみよう", "title": "複数桁の加減算" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "加減算の基本が出来たら、見取算などにも挑戦しよう。もしくは更に掛け算も学ぼう。", "title": "複数桁の加減算" } ]	数学＞珠算＞加減算	[[数学]]＞[[珠算]]＞加減算 ==一桁の足し算== ===そのまま加える=== 1+3や2+6などの計算は元の数を入れ、さらに加える数の玉を入れる。 < > < > < > < > \|-< > \| < > === === === === \| === === < > < > < > < > 6 < > < > < > < > \| < > < > < > \|-< > < > \| < > < > 3-< > < > < > \|-< > < > \|-< > < > < > < > 1 + 3 = 4 2 + 6 = 8 ===引いてから加える=== 以下、加える数をnとする。 3+4や9+2はそのままでは出来ない。そこでまず5(10)-nを引く。そしてその後5(10)を足すという方法をとる。 <math>-(5-n)+5 = +n</math> <math>-(10-n)+10 = +n</math> 確かにn足したことになる。 < > < > 5-< > < > < > < >< > < >< > < > < > < >-\| === === === === ===== ===== \| ===== ===== < > < > < > < > < > < > \| < > < >< > < > < > < > < > < >< > < >-8 1-< > < > 1-< > < >< > < >< >-\| < >< > < >< > < > < > < >< > < >< >-\| < >< > < >< > < > < > < > < > < > < > < >< > < >< > 3 (- 1 + 5) = 7 0 9 (- 0 8 + 1 0) = 1 1 \| \| \| \| ---- +4 ---- 　------- +2 -------- ===足して引いて足す=== 6+8などは今までの方法では出来ない。これらの計算をするにはまずn-5を足す。その後、5を引き10を加える。 <math>+(n-5)-5+10 = +n</math> で、確かにn足したことになる。 < > < > < > < >< > < >< > < > < > < >-5 ===== ===== ===== ===== ===== < > < >< > < > < > < >< > < > < > < >< > 1-< >< > < > < >< > < >-\| < >< > < >< > < >< > < >< > < >< >-3 < >< > < >< > < >< > < >< > < >< >-\| < > < > < > 0 6 (+ 0 3 - 0 5 + 1 0) = 1 4 \| \| ----------- +8 ------------ ===一桁の足し算のまとめ=== 一桁の足し算のすべてのやり方をまとめておく。 A:そのまま足す B:5-n引いて5足す C:10-n引いて10足す D:n-5足して5引いて10足す +\| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 --------------------- 1\| A A A B A A A A C 2\| A A B B A A A C C 3\| A B B B A A C C C 4\| B B B B A C C C C 5\| A A A A C D D D D 6\| A A A C C D D D C 7\| A A C C C D D C C 8\| A C C C C D C C C 9\| C C C C C C C C C ==一桁の引き算== 引き算は足し算の逆をすれば良いだけである。具体的には、そのまま引く 5引いて5-n足す 10引いて10-n足す 10引いて5足してn-5引く ==複数桁の加減算== 算盤は筆算と違って上の位から計算する。繰り上がりや桁間違いにさえ注意すれば、何桁になっても基本は同じである。次の計算をしてみよう Q1.13579+8642= Q2.31415-27182= A1. < >< > < >< > < >< >< > < >< >< > < >< >< > < >< > ============= ============= ============= < >< > < >< > < >< > < >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< > < > < >< >< > < >< > < >< > < >< >< > < > < >< > < > < > < > < > < >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< > 1 3 5 7 9 + 0 8 0 0 0 + 0 0 6 0 0 < >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < > ============= ============= ============= < >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< > < > < >< >< >< > < >< >< >< > < >< > < > < > < >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< >< > +0 0 0 4 0 + 0 0 0 0 2 = 2 2 2 2 1 A2. < >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< > < > < > < > ============= ============= ============= < >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< > < > < > < > < > < > < >< >< > < > < >< >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< > < >< > < >< > < >< > < > < >< > 3 1 4 1 5 - 2 0 0 0 0 - 0 7 0 0 0 < >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< >< > < > < > ============= ============= ============= < >< >< > < >< >< > < >< >< >< > < >< >< > < > < >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< > < >< > < >< > < >< > < >< > < >< > < >< >< > < > < >< >< > < > < >< >< > < > < >< >< > < > < >< >< > -0 0 1 0 0 - 0 0 0 8 0 - 0 0 0 0 2 < >< >< >< >< > ============= < >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< > < >< > < >< >< > < > < >< >< > -0 4 2 3 3 加減算の基本が出来たら、[[珠算_見取算・読上算・伝票算\|見取算など]]にも挑戦しよう。もしくは更に[[珠算_乗算\|掛け算]]も学ぼう。 [[Category:珠算\|かけんさん]]	null	2016-07-10T14:08:48Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%8F%A0%E7%AE%97_%E5%8A%A0%E6%B8%9B%E7%AE%97
2,090	無機化学の基礎/原子の構造	無機化学>無機化学の基礎>原子の構造原子は原子核と電子から成り立っており、原子核はさらに陽子と中性子が固まってできている。電子は原子核の周りを、クーロン力(静電気力)を向心力として、衛星のように回っていると古典力学的には解釈される。なお、電子は陽子や中性子のおよそ1800分の1の質量しかもたないため、このモデルでは、太陽と地球の関係のように、原子核を中心に電子が公転していて原子核は不動であるものとみなす。陽子は + e {\displaystyle +e} 、電子は − e {\displaystyle -e} の電荷を帯びている。ここで e {\displaystyle e} は電気素量( e = 1.6 × 10 − 19 {\displaystyle e=1.6\times 10^{-19}} C)である。そのため、安定になるように(原子全体として電気的に中性となるように)原子内の陽子数と電子数は等しい。陽子数を原子番号とも言う。すなわち原子は陽子の数によって特徴づけられ、周期表は陽子の数の順に並んでいる。例えば、陽子数が1なら水素、2ならヘリウム、3ならリチウムといった具合である。中性子には電気的に中性であり、電荷は無い。陽子が複数ある場合、すなわち原子番号が2以上の場合、陽子同士が電気的に大きな反発力を持つが、中性子が糊の役割を果たしている。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "無機化学>無機化学の基礎>原子の構造", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "原子は原子核と電子から成り立っており、原子核はさらに陽子と中性子が固まってできている。電子は原子核の周りを、クーロン力(静電気力)を向心力として、衛星のように回っていると古典力学的には解釈される。なお、電子は陽子や中性子のおよそ1800分の1の質量しかもたないため、このモデルでは、太陽と地球の関係のように、原子核を中心に電子が公転していて原子核は不動であるものとみなす。", "title": "" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "陽子は + e {\\displaystyle +e} 、電子は − e {\\displaystyle -e} の電荷を帯びている。ここで e {\\displaystyle e} は電気素量( e = 1.6 × 10 − 19 {\\displaystyle e=1.6\\times 10^{-19}} C)である。そのため、安定になるように(原子全体として電気的に中性となるように)原子内の陽子数と電子数は等しい。陽子数を原子番号とも言う。すなわち原子は陽子の数によって特徴づけられ、周期表は陽子の数の順に並んでいる。例えば、陽子数が1なら水素、2ならヘリウム、3ならリチウムといった具合である。中性子には電気的に中性であり、電荷は無い。陽子が複数ある場合、すなわち原子番号が2以上の場合、陽子同士が電気的に大きな反発力を持つが、中性子が糊の役割を果たしている。", "title": "" } ]	無機化学＞無機化学の基礎＞原子の構造原子は原子核と電子から成り立っており、原子核はさらに陽子と中性子が固まってできている。電子は原子核の周りを、クーロン力（静電気力）を向心力として、衛星のように回っていると古典力学的には解釈される。なお、電子は陽子や中性子のおよそ1800分の1の質量しかもたないため、このモデルでは、太陽と地球の関係のように、原子核を中心に電子が公転していて原子核は不動であるものとみなす。陽子は + e 、電子は − e の電荷を帯びている。ここで e は電気素量である。そのため、安定になるように（原子全体として電気的に中性となるように）原子内の陽子数と電子数は等しい。陽子数を原子番号とも言う。すなわち原子は陽子の数によって特徴づけられ、周期表は陽子の数の順に並んでいる。例えば、陽子数が1なら水素、2ならヘリウム、3ならリチウムといった具合である。中性子には電気的に中性であり、電荷は無い。陽子が複数ある場合、すなわち原子番号が2以上の場合、陽子同士が電気的に大きな反発力を持つが、中性子が糊の役割を果たしている。	[[無機化学]]＞[[無機化学の基礎]]＞原子の構造原子は'''原子核'''と'''電子'''から成り立っており、原子核はさらに'''陽子'''と'''中性子'''が固まってできている。電子は原子核の周りを、クーロン力（静電気力）を向心力として、衛星のように回っていると古典力学的には解釈される。なお、電子は陽子や中性子のおよそ1800分の1の質量しかもたないため、このモデルでは、太陽と地球の関係のように、原子核を中心に電子が公転していて原子核は不動であるものとみなす。陽子は<math>+e</math>、電子は<math>-e</math>の'''電荷'''を帯びている。ここで<math>e</math>は電気素量（<math>e=1.6 \times 10^{-19}</math>C）である。そのため、安定になるように（原子全体として電気的に中性となるように）原子内の陽子数と電子数は等しい。陽子数を'''原子番号'''とも言う。すなわち原子は陽子の数によって特徴づけられ、周期表は陽子の数の順に並んでいる。例えば、陽子数が1なら水素、2ならヘリウム、3ならリチウムといった具合である。中性子には電気的に中性であり、電荷は無い。陽子が複数ある場合、すなわち原子番号が2以上の場合、陽子同士が電気的に大きな反発力を持つが、中性子が糊の役割を果たしている。 [[カテゴリ:無機化学\|むきかかくのきそけんしのこうそう]]	null	2022-11-23T12:40:16Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%84%A1%E6%A9%9F%E5%8C%96%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%9F%BA%E7%A4%8E/%E5%8E%9F%E5%AD%90%E3%81%AE%E6%A7%8B%E9%80%A0
2,095	Maxima	本項は数式処理ソフトウェアーMaximaの入門書です。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "本項は数式処理ソフトウェアーMaximaの入門書です。", "title": "" } ]	本項は数式処理ソフトウェアーMaximaの入門書です。	{{Pathnav\|メインページ\|情報技術\|frame=1}} 本項は数式処理ソフトウェアーMaximaの入門書です。 == 目次 == {\| border="0" align=right width=250px cellpadding="4" cellspacing=0 class="noprint" style="clear: right; border: solid #aaa 1px; margin: 0 0 1em 1em; font-size: 90%; background: #f9f9f9" \|- \|[[画像:Wikipedia.png\|50px\|none\|Wikipedia]] \|'''[[w:メインページ\|ウィキペディア]]'''に'''[[w:{{{1\|{{PAGENAME}}}}}\|{{{2\|{{{1\|{{PAGENAME}}}}}}}}]]'''の記事があります。 \|} <noinclude> * [[Maxima はじめに\|はじめに]] [[Maxima はじめに#Maximaとは\|Maximaとは]] [[Maxima はじめに#Lispとは\|Lispとは]] * Maximaのインストール [[/Common Lisp処理系の選択\|Common Lisp処理系の選択]] [[/Maximaのフロントエンド\|Maximaのフロントエンド]] [[Maxima/リナックスにおけるインストールの仕方\| リナックスにおけるインストールの仕方]] * [[Maxima/リナックスにおけるインストールの仕方# rpmの使い方\| rpmの使い方]] * [[Maxima/リナックスにおけるインストールの仕方# 実際のインストール\| 実際のインストール]] [[/FreeBSDにおけるインストールの仕方\|FreeBSDにおけるインストールの仕方]] [[/Windowsにおけるインストールの仕方\|Windowsにおけるインストールの仕方]] [[/MacOS Xにおけるインストールの仕方\|MacOS Xにおけるインストールの仕方]] * [[Maxima/具体的な使い方\| 具体的な使い方]] [[Maxima/具体的な使い方#ソフトの使い方\|ソフトの使い方]] [[Maxima/具体的な使い方#初等的な数学に対する使用例\|初等的な数学に対する使用例]] 文法・記号・数学定数 [[/変数と定数\|変数と定数]] 約数・最小公倍数 [[/複素数\|複素数]] ベクトル操作 [[/行列操作\|行列操作]] 数値計算法 [[/多項式・有理式\|多項式・有理式]] [[/文脈と事実\|文脈と事実]] 等式・不等式操作 [[/関数を定義する\|関数を定義する]] グラフを書く [[/ファイル操作・出力形式変換\|ファイル操作・出力形式変換]] 極限 [[/微分・積分\|微分・積分]] [[/総和・総積・テイラー展開\|総和・総積・テイラー展開]] 微分方程式操作フーリエ変換・ラプラス変換 [[/三角関数・双曲線関数\|三角関数・双曲線関数]] 指数関数・対数関数ベッセル関数ルジャンドル多項式・ルジャンドル培関数・球面調和関数その他の直交系多項式超幾何関数楕円積分・楕円関数 [[交点計算直線と直線直線と円円と円\|交点計算直線と直線直線と円円と円]] [[垂線計算点と直線点と円\|垂線計算点と直線点と円]] [[面積計算座標法倍横距法]] [[/観測方程式正規方程式\|観測方程式正規方程式]] [[/シンプレックス法\|シンプレックス法]] ** [[/演習問題解答\|演習問題解答]] * 外部リンク ** [http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima.html#SEC_Top\|Maxima Manual] (英文の公式マニュアル) * [[/索引\|索引]] {{DEFAULTSORT:Maxima}} [[Category:Maxima\|*]] [[Category:数式処理システム]] [[Category:ソフトウェアのマニュアル]] {{NDC\|007.63}} {{stub}}	null	2015-08-08T11:31:31Z	[ "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:NDC", "テンプレート:Stub" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/Maxima
2,096	Maxima はじめに	Maxima > はじめに Maximaは、Gnu Public License の元で配布されている数式処理システムである。この文書は、Maxima を使い始めようとする人達のために、Maximaのインストールから基本的な使い方までを説明するために書かれた。 Maxima は、無料で配布されており、誰でも入手することができる。しかし、無料であることは必ずしも品質が悪いことを意味するわけではなく、市販の数式処理システムと比較して機能が劣るわけでもない。また、一般的な市販の数式処理システムが大変高価であることを考えると、特に個人で数式処理システムを使いたい場合には、有力な選択肢と言えるだろう。なお、Maxima のインストールは、利用する環境によってはやや難しいかもしれない。それは、Maxima が LISP の一方言である Common Lisp という比較的知名度の低い言語によって書かれているためである。そのため、Maxima をインストールするためには、まず Common Lisp の処理系をインストールすることから始めなければならない。 Maxima は1968年に MIT における Mac プロジェクトの一つとして開発され始めて、1982年に DOE Maxima として MIT のエネルギー学部でテキサス大学の William F Schelter 教授がメンテナンスをしていた。1998年に Schelter 教授が MIT のエネルギー学部から Gnu Public License の元で配布する事を許可され、2000年から sourceforge.net にて Maxima として配布とメンテナンスがされている。なお、Schelter 教授は2001年に死去された。Maxima を起動した直後に表示される「Dedicated to the memory of William Schelter.」の一文は Schelter 教授の功績を称えるものである。 LISP とはラムダ計算を実現する関数型プログラミング言語で、CLOSのような埋め込み型のオブジェクト指向言語も利用出来る事からもわかるようにマルチパラダイム言語へと進化している。1958年に開発された世界で2番目に古い高級言語としても知られている。現在スクリプト言語で有名な Perl や Python、Ruby などの源流になっているものである。源流だからといってスクリプト言語ではなくて、処理系の中にコンパイル機能とインタプリタ機能を混在させており、処理速度はネイティブコンパイラを持っている処理系ならば一般的に C++ より少し遅く Java よりは速いというくらいになっている。使い方によっては C より速くなる場合もある事は知られている。また、Maximaで用いられているCommon Lispは言語仕様(ANSI)にコンパイラに関する記述がある唯一の言語である(インタプリタに関する記述はない)。 LISP の特徴として、以下のものが挙げられる。前置記法とは、例えば、の演算に相当する記法をのように演算子(ここでは +)を前に、被演算子(ここでは 1 と 2)を後に記す記法である。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "Maxima > はじめに", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "Maximaは、Gnu Public License の元で配布されている数式処理システムである。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "この文書は、Maxima を使い始めようとする人達のために、Maximaのインストールから基本的な使い方までを説明するために書かれた。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "Maxima は、無料で配布されており、誰でも入手することができる。しかし、無料であることは必ずしも品質が悪いことを意味するわけではなく、市販の数式処理システムと比較して機能が劣るわけでもない。また、一般的な市販の数式処理システムが大変高価であることを考えると、特に個人で数式処理システムを使いたい場合には、有力な選択肢と言えるだろう。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "なお、Maxima のインストールは、利用する環境によってはやや難しいかもしれない。それは、Maxima が LISP の一方言である Common Lisp という比較的知名度の低い言語によって書かれているためである。そのため、Maxima をインストールするためには、まず Common Lisp の処理系をインストールすることから始めなければならない。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "Maxima は1968年に MIT における Mac プロジェクトの一つとして開発され始めて、1982年に DOE Maxima として MIT のエネルギー学部でテキサス大学の William F Schelter 教授がメンテナンスをしていた。1998年に Schelter 教授が MIT のエネルギー学部から Gnu Public License の元で配布する事を許可され、2000年から sourceforge.net にて Maxima として配布とメンテナンスがされている。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "なお、Schelter 教授は2001年に死去された。Maxima を起動した直後に表示される「Dedicated to the memory of William Schelter.」の一文は Schelter 教授の功績を称えるものである。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "LISP とはラムダ計算を実現する関数型プログラミング言語で、CLOSのような埋め込み型のオブジェクト指向言語も利用出来る事からもわかるようにマルチパラダイム言語へと進化している。1958年に開発された世界で2番目に古い高級言語としても知られている。現在スクリプト言語で有名な Perl や Python、Ruby などの源流になっているものである。源流だからといってスクリプト言語ではなくて、処理系の中にコンパイル機能とインタプリタ機能を混在させており、処理速度はネイティブコンパイラを持っている処理系ならば一般的に C++ より少し遅く Java よりは速いというくらいになっている。使い方によっては C より速くなる場合もある事は知られている。また、Maximaで用いられているCommon Lispは言語仕様(ANSI)にコンパイラに関する記述がある唯一の言語である(インタプリタに関する記述はない)。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "LISP の特徴として、以下のものが挙げられる。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "前置記法とは、例えば、", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "の演算に相当する記法を", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "のように演算子(ここでは +)を前に、被演算子(ここでは 1 と 2)を後に記す記法である。", "title": "はじめに" } ]	Maxima > はじめに	<small> [[Maxima]] > はじめに</small> ---- == はじめに == === Maxima とは === [[w:Maxima\|Maxima]]は、Gnu Public License の元で配布されている[[w:数式処理システム\|数式処理システム]]である。この文書は、Maxima を使い始めようとする人達のために、Maximaのインストールから基本的な使い方までを説明するために書かれた。 Maxima は、無料で配布されており、誰でも入手することができる。しかし、無料であることは必ずしも品質が悪いことを意味するわけではなく、市販の数式処理システムと比較して機能が劣るわけでもない。また、一般的な市販の数式処理システムが大変高価であることを考えると、特に個人で数式処理システムを使いたい場合には、有力な選択肢と言えるだろう。なお、Maxima のインストールは、利用する環境によってはやや難しいかもしれない。それは、Maxima が [[Lisp\|LISP]] の一方言である [[w:Common Lisp\|Common Lisp]] という比較的知名度の低い言語によって書かれているためである。そのため、Maxima をインストールするためには、まず Common Lisp の処理系をインストールすることから始めなければならない。 === Maxima の歴史 === Maxima は1968年に MIT における Mac プロジェクト[http://ja.wikipedia.org/wiki/Project_MAC]の一つとして開発され始めて、1982年に DOE Maxima として MIT のエネルギー学部でテキサス大学の William F Schelter 教授がメンテナンスをしていた。1998年に Schelter 教授が MIT のエネルギー学部から Gnu Public License の元で配布する事を許可され、2000年から sourceforge.net にて Maxima として配布とメンテナンスがされている。なお、Schelter 教授は2001年に死去された。Maxima を起動した直後に表示される「Dedicated to the memory of William Schelter.」の一文は Schelter 教授の功績を称えるものである。 === LISPとは === [[Lisp\|LISP]] とは[[ラムダ計算]]を実現する[[w:関数型言語\|関数型プログラミング言語]]で、<abbr title="Common Lisp Object System">CLOS</abbr>のような埋め込み型のオブジェクト指向言語も利用出来る事からもわかるようにマルチパラダイム言語へと進化している。1958年に開発された世界で2番目に古い高級言語としても知られている。現在スクリプト言語で有名な [[Perl]] や [[Python]]、[[Ruby]] などの源流になっているものである。源流だからといってスクリプト言語ではなくて、処理系の中にコンパイル機能とインタプリタ機能を混在させており、処理速度はネイティブコンパイラを持っている処理系ならば一般的に [[C++]] より少し遅く [[Java]] よりは速いというくらいになっている。使い方によっては [[C言語\|C]] より速くなる場合もある事は知られている。また、Maximaで用いられている[[Common Lisp]]は言語仕様(ANSI)にコンパイラに関する記述がある唯一の言語である(インタプリタに関する記述はない)。 LISP の特徴として、以下のものが挙げられる。 * [[w:ポーランド記法\|前置記法]] * S式 * 言語仕様を自由に拡張出来る柔軟さ * 動的な言語 * 強力なマクロ機能前置記法とは、例えば、 1 + 2 の演算に相当する記法を (+ 1 2) のように演算子（ここでは +）を前に、被演算子（ここでは 1 と 2）を後に記す記法である。 ==外部リンク== * [http://maxima.sourceforge.net/ 公式ホームページ] (英文) * [http://maxima.sourceforge.net/docs/manual/en/maxima.html#SEC_Top マニュアルMaxima 5.9.1] (英文) * [http://www.bekkoame.ne.jp/~ponpoko/Math/maxima/maxima.html 日本語に翻訳中のマニュアル] 日本語の解説 * [http://phe.phyas.aichi-edu.ac.jp/~cyamauch/maxima/ 数式処理システム Maxima] - 入門的な解説。 * [http://www.bekkoame.ne.jp/~ponpoko/Math/maxima/MaximaMAIN.html Maximaで遊ぼう] - マニュアルの日本語翻訳者による解説。 [[Category:Maxima\|はしめに]]	null	2021-10-19T00:19:55Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/Maxima_%E3%81%AF%E3%81%98%E3%82%81%E3%81%AB
2,097	Maxima/リナックスにおけるインストールの仕方	Maxima > リナックスにおけるインストールの仕方 LinuxにMaximaをインストールする方法は、通常、パッケージマネージャーを使用して行います。以下は、一般的なLinuxディストリビューションへのインストール手順の概要です。これらの手順に従うと、LinuxディストリビューションにMaximaをインストールできます。 Maximaをインストールする際の注意点はいくつかあります。以下にいくつか挙げてみます: これらの注意点を考慮することで、Maximaのスムーズなインストールと使用が可能になります。数値演算などの速さを期待するならば、演算速度を追求したCMUCLかCMUCLから枝分かれして活発にメンテナンスが行われているSBCLの利用を御勧めする。 CLISPは「中間コード」にコンパイルされることに対して、CMUCLやSBCLは「ネイティブコード」にコンパイルされるため、数倍速くなる。 Maximaの以前のバージョンはGCLとCLISPを前提として作られていたのだが、Maxima 5.9.*以後主流がCMUCLやSBCLに移ったようである。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "Maxima > リナックスにおけるインストールの仕方", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "LinuxにMaximaをインストールする方法は、通常、パッケージマネージャーを使用して行います。", "title": "MaximaのLinuxディストリビューションへのインストール" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "以下は、一般的なLinuxディストリビューションへのインストール手順の概要です。", "title": "MaximaのLinuxディストリビューションへのインストール" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "これらの手順に従うと、LinuxディストリビューションにMaximaをインストールできます。", "title": "MaximaのLinuxディストリビューションへのインストール" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "Maximaをインストールする際の注意点はいくつかあります。以下にいくつか挙げてみます:", "title": "MaximaのLinuxディストリビューションへのインストール" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "これらの注意点を考慮することで、Maximaのスムーズなインストールと使用が可能になります。", "title": "MaximaのLinuxディストリビューションへのインストール" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "数値演算などの速さを期待するならば、演算速度を追求したCMUCLかCMUCLから枝分かれして活発にメンテナンスが行われているSBCLの利用を御勧めする。 CLISPは「中間コード」にコンパイルされることに対して、CMUCLやSBCLは「ネイティブコード」にコンパイルされるため、数倍速くなる。 Maximaの以前のバージョンはGCLとCLISPを前提として作られていたのだが、Maxima 5.9.*以後主流がCMUCLやSBCLに移ったようである。", "title": "MaximaのLinuxディストリビューションへのインストール" } ]	Maxima > リナックスにおけるインストールの仕方	<small> [[Maxima]] > リナックスにおけるインストールの仕方</small> ---- == MaximaのLinuxディストリビューションへのインストール== LinuxにMaximaをインストールする方法は、通常、パッケージマネージャーを使用して行います。以下は、一般的なLinuxディストリビューションへのインストール手順の概要です。 ;Debian/Ubuntuベースのディストリビューション :パッケージリストを更新し、Maximaをインストールします： :<syntaxhighlight lang=shell> sudo apt update sudo apt install maxima </syntaxhighlight> ;Fedoraベースのディストリビューション :パッケージリストを更新し、Maximaをインストールします： :<syntaxhighlight lang=shell> sudo dnf update sudo dnf install maxima </syntaxhighlight> ;Arch Linux :パッケージリストを更新し、Maximaをインストールします： :<syntaxhighlight lang=shell> sudo pacman -Syu sudo pacman -S maxima </syntaxhighlight> ;CentOS/RHEL :CentOSやRHELでは、EPELリポジトリを有効にし、その後、Maximaをインストールします： :<syntaxhighlight lang=shell> sudo yum install epel-release sudo yum install maxima </syntaxhighlight> これらの手順に従うと、LinuxディストリビューションにMaximaをインストールできます。 === Maximaインストールの注意点 === Maximaをインストールする際の注意点はいくつかあります。以下にいくつか挙げてみます： ;パッケージ依存関係の確認: インストールする前に、Maximaが依存するパッケージがシステムにインストールされていることを確認してください。特にLinuxシステムでは、必要なライブラリやランタイムが不足している場合があります。 ;バージョンの選択: 最新バージョンを常に利用することが望ましいわけではありません。安定したバージョンや、特定の機能や互換性が必要な場合は、適切なバージョンを選択する必要があります。 ;システム要件: Maximaを実行するために必要なハードウェア要件や、サポートされているオペレーティングシステムを確認してください。特に古いハードウェアや古いバージョンのオペレーティングシステムでは、正常に動作しない場合があります。 ;セキュリティ: インストール元の信頼性が重要です。公式のソースや信頼できるパッケージマネージャーからのインストールを推奨します。また、不正なソースからのダウンロードや、信頼できないリポジトリからのパッケージのインストールは避けるべきです。 ;アンインストール手順の理解: インストール後にMaximaをアンインストールする場合、システムに影響を与えないように、正しい手順を理解しておくことが重要です。特に、手動でインストールした場合は、ファイルや設定が残る可能性があるため、それらを適切にクリーンアップする必要があります。これらの注意点を考慮することで、Maximaのスムーズなインストールと使用が可能になります。 ==== Common Lisp処理系についての補足==== 数値演算などの速さを期待するならば、演算速度を追求したCMUCLかCMUCLから枝分かれして活発にメンテナンスが行われているSBCLの利用を御勧めする。 CLISPは「中間コード」にコンパイルされることに対して、CMUCLやSBCLは「ネイティブコード」にコンパイルされるため、数倍速くなる。 Maximaの以前のバージョンはGCLとCLISPを前提として作られていたのだが、Maxima 5.9.*以後主流がCMUCLやSBCLに移ったようである。 [[Category:Maxima\|りなつくすにおけるいんすとおるのしかた]]	2005-06-02T12:24:00Z	2024-01-30T05:23:18Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/Maxima/%E3%83%AA%E3%83%8A%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9%E3%81%AB%E3%81%8A%E3%81%91%E3%82%8B%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E4%BB%95%E6%96%B9
2,098	Maxima/具体的な使い方	Maxima > 具体的な使い方数式処理システムなので、計算させる数式がないと使い道もない。例えば、数学の教科書があれば、計算させたい式がみつかるだろう。もちろん夏休みの宿題も簡単だ。:-) 文章題や、読書感想文は無理だが...。例えば、分数の足し算 1/2 + 1/3 を計算させたいとしよう。 maximaは、command lineモードと batchモードで使うことが出来る。長い式を書くときなどは式の書き変えができないと書くのが大変だが、 command lineモードのmaximaでは、実際に式の書き変えができない。そのため多くの場合にbatchモードを使うことになると思う。まずcommand lineモードでは、と打つ。すると、maximaが起動しと表示されるので、(iはinputの略) とかく。 (最後の;を忘れるとあまりおもしろくないことが起こるので注意すること!) 上手く書きこめば、と表示される。(oはoutputの略) よって、答は5/6だと分る。 batchモードでは、まず計算させたい内容をファイルに書き出す。例えば、aaaというファイルを使うとする。 (Linuxは拡張子をつけないファイルを使うことがある。実際問題として maximaは拡張子を使ってファイルを判定するのでは無いようなので、ここでは何とつけても差し支えない。) つまり、好きなエディタを使ってaaaを編集するのである。しかし、もちろんこのように書くのが好きな人間もいるだろう。何にせよaaaの用意が出来たなら、と打てばよい。結果は標準出力に表示されるだろう。結果が長くなった場合にはとすると、結果の式が bbbに書きこまれるので、後からゆっくり読むことが出来る。 maximaは分数の足し算を行うことができる。 maximaは異なる分母の計算を正しく行なうことが出来る。 maximaは分数のかけ算を行なうことが出来る。 maximaは分数の割り算を行なうことが出来る。 (かっこは省略できない。) Maximaは正負の数が混じった四則演算を行なうことが出来る。 Maximaは文字式の四則演算を行なうことが出来る。 maximaは方程式も扱える。 maximaは2元方程式も扱える。 maximaは平方根の値を任意の桁まで求めることが出来る。 Maximaは式の展開と因数分解を行なうことが出来る。 maximaは二次方程式も扱うことができる。 maximaは複素数をサポートしている。 Note:maximaは指数eの値を知っている。 (実際には通常のコンピューターはこの値を計算できるようになっているはずである。 ) maximaは、微積分をサポートする。 note: maxima は微分法をサポートする。 maximaは行列の演算をサポートする。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "Maxima > 具体的な使い方", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "数式処理システムなので、計算させる数式がないと使い道もない。例えば、数学の教科書があれば、計算させたい式がみつかるだろう。もちろん夏休みの宿題も簡単だ。:-) 文章題や、読書感想文は無理だが...。", "title": "具体的な使い方" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "例えば、分数の足し算 1/2 + 1/3 を計算させたいとしよう。 maximaは、command lineモードと batchモードで使うことが出来る。長い式を書くときなどは式の書き変えができないと書くのが大変だが、 command lineモードのmaximaでは、実際に式の書き変えができない。そのため多くの場合にbatchモードを使うことになると思う。まずcommand lineモードでは、", "title": "具体的な使い方" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "と打つ。すると、maximaが起動し", "title": "具体的な使い方" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "と表示されるので、(iはinputの略)", "title": "具体的な使い方" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "とかく。 (最後の;を忘れるとあまりおもしろくないことが起こるので注意すること!) 上手く書きこめば、", "title": 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"Note:maximaは指数eの値を知っている。 (実際には通常のコンピューターはこの値を計算できるようになっているはずである。 )", "title": "具体的な使い方" }, { "paragraph_id": 41, "tag": "p", "text": "maximaは、微積分をサポートする。", "title": "具体的な使い方" }, { "paragraph_id": 42, "tag": "p", "text": "", "title": "具体的な使い方" }, { "paragraph_id": 43, "tag": "p", "text": "", "title": "具体的な使い方" }, { "paragraph_id": 44, "tag": "p", "text": "note: maxima は微分法をサポートする。", "title": "具体的な使い方" }, { "paragraph_id": 45, "tag": "p", "text": "", "title": "具体的な使い方" }, { "paragraph_id": 46, "tag": "p", "text": "", "title": "具体的な使い方" }, { "paragraph_id": 47, "tag": "p", "text": "maximaは行列の演算をサポートする。", "title": "具体的な使い方" }, { "paragraph_id": 48, "tag": "p", "text": "", "title": "具体的な使い方" } ]	Maxima > 具体的な使い方	<small> [[Maxima]] > 具体的な使い方</small> ---- == 具体的な使い方== ===ソフトの使い方=== 数式処理システムなので、計算させる数式がないと使い道もない。例えば、数学の教科書があれば、計算させたい式がみつかるだろう。 <!-- よく使われる計算式に対応する maximaの関数のうちの多くを、文書の中に書いたつもりだがどうだろうか? --> もちろん夏休みの宿題も簡単だ。:-) 文章題や、読書感想文は無理だが...。例えば、分数の足し算 1/2 + 1/3 を計算させたいとしよう。 <!-- (これが出来ない人間はこれからきっと増えて来るんだろう...) --> maximaは、command lineモードと batchモードで使うことが出来る。長い式を書くときなどは式の書き変えができないと書くのが大変だが、 command lineモードのmaximaでは、実際に式の書き変えができない。そのため多くの場合にbatchモードを使うことになると思う。まずcommand lineモードでは、 $maxima と打つ。すると、maximaが起動し (%i1) と表示されるので、(iはinputの略) (%i1) 1/2 + 1/3; とかく。 (最後の;を忘れるとあまりおもしろくないことが起こるので注意すること!) 上手く書きこめば、 (%o1) 5 - 6 と表示される。(oはoutputの略) よって、答は5/6だと分る。 batchモードでは、まず計算させたい内容をファイルに書き出す。例えば、aaaというファイルを使うとする。 (Linuxは拡張子をつけないファイルを使うことがある。実際問題として maximaは拡張子を使ってファイルを判定するのでは無いようなので、ここでは何とつけても差し支えない。) つまり、好きなエディタを使ってaaaを編集するのである。しかし、もちろんこのように書くのが好きな人間もいるだろう。 $cat >>aaa 1/2 + 1/3; [Ctrl-d] 何にせよaaaの用意が出来たなら、 $maxima -b aaa と打てばよい。結果は標準出力に表示されるだろう。結果が長くなった場合には $maxima -b aaa > bbb とすると、結果の式が bbbに書きこまれるので、後からゆっくり読むことが出来る。 ===初等的な数学に対する使用例=== ====小学校==== maximaは分数の足し算を行うことができる。 command: 3/5 + 1/5; maximaは異なる分母の計算を正しく行なうことが出来る。 command: 1/5 + 1/3; maximaは分数のかけ算を行なうことが出来る。 command: 1/5 * 2/3; maximaは分数の割り算を行なうことが出来る。 command: 1 / (1/2); command: 1 / (2/3); (かっこは省略できない。) ====中学校==== Maximaは正負の数が混じった四則演算を行なうことが出来る。 command: -3 + 4; command: -34; command: 1(-1)(-1); Maximaは文字式の四則演算を行なうことが出来る。 command: x+x; command: x+y; command: x+3y+4y; command: 2x * 3y; command: x 2x; or command: x2x; maximaは方程式も扱える。 command:solve([x+3=4],[x]); command:solve([2x=1],[x]); maximaは2元方程式も扱える。 command: solve([x+2y = 1, 2x+y = 3],[x,y]); maximaは平方根の値を任意の桁まで求めることが出来る。 command:bfloat(sqrt(3)); Maximaは式の展開と因数分解を行なうことが出来る。 command:expand((a+b)(c+d)); command:factor(a^2-b^2); maximaは二次方程式も扱うことができる。 command:solve([x^2-1=0],[x]); ==== 高等学校 ==== maximaは複素数をサポートしている。 command: %iがiに対応する。 Note:maximaは指数eの値を知っている。 (実際には通常のコンピューターはこの値を計算できるようになっているはずである。 ) command:bfloat(%e); maximaは、微積分をサポートする。 command:diff(f(x),x); command:integrate(f(x),x); command:integrate(f(x),[x,a,b]); note: maxima は微分法をサポートする。 command: diff(f(x)+g(x),x); command: diff(af(x),x); command: diff(f(x)g(x),x); command: diff(1/f(x),x); maximaは行列の演算をサポートする。 command: A:matrix([a,b],[c,d]); command: B:matrix([e,f],[g,h]); command: A + B command: A.B (行列の積) command: A^^-1 (逆行列) [[Category:Maxima\|くたいてきなつかいかた]]	null	2015-08-08T11:27:56Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/Maxima/%E5%85%B7%E4%BD%93%E7%9A%84%E3%81%AA%E4%BD%BF%E3%81%84%E6%96%B9
2,102	珠算乗算	数学>珠算>乗算一桁の掛け算は足し算と九九さえ出来ればできる。例題.123456×7= まず123456を置く。次に1を払って1×7=7を一桁離れた所に置く。ここで掛け算の結果が二桁になったときは、一の位を一桁離れたところに置く。次に2を払って2×7=14を置く。このとき繰り上がりがあることに注意。以下同じ作業を繰り返す。こうして出た864192が答えである。最初に一桁離して置いたので位が二つずれていることに注意。特に一の位が0になるときに間違いやすい。まずは9×123をやってみよう。掛けられる数が三桁なので三桁離して9×1=9を置く。最初のうちは掛ける数は残しておくほうが良い。次に9×2=18を置く。最後に9×3=27を置く。これで答が1107だと分かる。次に987×123をしてみよう。さきほどやったように9×123をする。次にこの上から8×123をする。次の計算で桁を間違えないように。三桁離した所が一の位なので、1×8=8は今0が立っている位である。 7×123は省略するので自分でやってみよう。答えは121401となった。数字が長くなると読みづらい。そこで三桁ごとにコンマを打つ。コンマを打つときには算盤上の点が目安となる。次は割り算をやってみよう。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "数学>珠算>乗算", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "一桁の掛け算は足し算と九九さえ出来ればできる。", "title": "一桁を掛ける" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "例題.123456×7=", "title": "一桁を掛ける" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "まず123456を置く。", "title": "一桁を掛ける" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "次に1を払って1×7=7を一桁離れた所に置く。ここで掛け算の結果が二桁になったときは、一の位を一桁離れたところに置く。", "title": "一桁を掛ける" }, { 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次に1を払って1×7=7を一桁離れた所に置く。ここで掛け算の結果が二桁になったときは、一の位を一桁離れたところに置く。 < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< > < > < >< > ================================================ < > < >< >< > < > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< >< >< > < >< > < >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< > 7 2 3 4 5 6 次に2を払って2×7=14を置く。このとき繰り上がりがあることに注意。 < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< > < > < >< > ================================================ < >< > < >< > < > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< > < >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< > < >< >< >< >< >< > +1 4 3 4 5 6 以下同じ作業を繰り返す。 < >< >< >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< > < >< > < >< > ================================================ < >< >< > < > < > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< > +2 1 4 5 6 < >< >< >< >< >< > < > < >< > < >< >< >< > < >< > < > < >< > ================================================ < >< >< >< > < > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< > < > < >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > +2 8 5 6 < >< >< >< >< >< > < >< > < >< > < >< >< >< > < >< > < > < > ================================================ < >< >< >< > < > < >< >< >< >< >< >< > < > < >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< > +3 5 6 < >< >< >< >< >< > < >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< > < > ================================================ < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < > < >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< > < > < >< >< >< >< >< >< > +4 2 こうして出た864192が答えである。最初に一桁離して置いたので位が二つずれていることに注意。特に一の位が0になるときに間違いやすい。 ==複数桁を掛ける== ===一桁×複数桁=== まずは9×123をやってみよう。 < >< >< >< >< > < > < > =================== < > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < > 9 掛けられる数が三桁なので三桁離して9×1=9を置く。 < > < >< >< > < > < > < > =================== < > < > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < > < >< >< > < > 9 9 最初のうちは掛ける数は残しておくほうが良い。次に9×2=18を置く。 < >< > < >< > < > < > < > =================== < > < > < > < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< > < >< >< >< > < >< >< >< >< > < > +1 8 9 最後に9×3=27を置く。 < >< >< > < >< >< > < > =================== < >< > < > < >< >< >< >< > < >< >< > < >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > +2 7 これで答が1107だと分かる。 ===複数桁×複数桁=== 次に987×123をしてみよう。 < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< > ================================================ < >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< > 9 8 7 さきほどやったように9×123をする。 < >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< > < >< >< >< > < > < >< > ================================================ < >< > < > < >< > < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > 1 1 0 7 8 7 次にこの上から8×123をする。次の計算で桁を間違えないように。三桁離した所が一の位なので、1×8=8は今0が立っている位である。 < >< >< >< >< >< >< >< > < >< > < >< >< >< > < >< > < >< > ================================================ < >< >< >< > < >< > < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > +8 8 7 < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< > < >< > ================================================ < >< > < > < >< > < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > +1 6 8 7 < >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< > < >< >< >< > < > < > ================================================ < >< > < > < > < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< > < >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > +2 4 7 7×123は省略するので自分でやってみよう。 < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > ================================================ < >< >< >< > < > < >< >< >< >< >< > < > < >< > < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< > 答えは121401となった。 ==コンマを打つ== 数字が長くなると読みづらい。そこで三桁ごとにコンマを打つ。 123456789→123,456,789 1099511627776→1,099,511,627,776 コンマを打つときには算盤上の点が目安となる。次は[[珠算_除算\|割り算]]をやってみよう。 [[Category:珠算\|しようさん]]	null	2006-12-12T15:27:40Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%8F%A0%E7%AE%97_%E4%B9%97%E7%AE%97
2,103	珠算除算	数学>珠算>除算 789÷3をやってみよう。 7÷3=2あまり1である。そして逆に3×2をして6を出す。商2を一桁離した先に立て、3×2=6を払う。次に18÷3=6でちょうど割り切れる。商6を一桁離した先に立て18を払う。最後に9÷3=3でちょうど割り切れるので商3を一桁離した先に立て9を払う。余りがなくなったのでここで終わりである。余りが出るようなら小数点以下も続けてかまわない。次に5535÷45をやってみよう。まず55÷45=1あまり10である。商1を立て、45×1=45を払う。次に103÷45=2あまり13である。商2を立て、45××2=90を払う。最後に135÷45=3で割り切れる。商3を立て、45×3=135を払う。これで商は123と分かる。割り算は少し暗算や勘を働かせることが必要になるので、最初のうちは間違いが多い。そこで、自信の無い商が出たら再び掛け直すことをお勧めする。もちろんa÷b=cならc×b=aである。割り算ができたら開平もやってみよう。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "数学>珠算>除算", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "789÷3をやってみよう。", "title": "一桁の割り算" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "7÷3=2あまり1である。そして逆に3×2をして6を出す。", "title": "一桁の割り算" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "商2を一桁離した先に立て、3×2=6を払う。", "title": "一桁の割り算" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "次に18÷3=6でちょうど割り切れる。商6を一桁離した先に立て18を払う。", "title": "一桁の割り算" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "最後に9÷3=3でちょうど割り切れるので商3を一桁離した先に立て9を払う。", "title": "一桁の割り算" }, { 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>< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< > ================================================ < >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > 7 8 9 7÷3=2あまり1である。そして逆に3×2をして6を出す。商2を一桁離した先に立て、3×2=6を払う。 < >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< > ================================================ < > < >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > 2 -6 次に18÷3=6でちょうど割り切れる。商6を一桁離した先に立て18を払う。 < >< >< >< >< >< >< > < >< > < >< >< >< >< >< >< > < > < > ================================================ < >< > < > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > 2 6 -1 8 最後に9÷3=3でちょうど割り切れるので商3を一桁離した先に立て9を払う。 < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < > ================================================ < >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > 2 6 3 余りがなくなったのでここで終わりである。余りが出るようなら小数点以下も続けてかまわない。 ==複数桁で割る== 次に5535÷45をやってみよう。 < >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < >< > < > ================================================ < > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< >< > 5 5 3 5 まず55÷45=1あまり10である。商1を立て、45×1=45を払う。 < >< >< >< >< >< >< >< >< > < >< >< >< >< >< >< > < > 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>< >< >< >< >< >< >< > 1 2 3 -1 3 5 これで商は123と分かる。 ==検算== 割り算は少し暗算や勘を働かせることが必要になるので、最初のうちは間違いが多い。そこで、自信の無い商が出たら再び掛け直すことをお勧めする。もちろんa÷b=cならc×b=aである。割り算ができたら[[珠算_開平・開立\|開平]]もやってみよう。 [[Category:珠算\|しよさん]]	null	2006-12-12T15:27:12Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%8F%A0%E7%AE%97_%E9%99%A4%E7%AE%97
2,105	振動と波動	本項は物理学振動と波動の解説です。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "本項は物理学振動と波動の解説です。", "title": "" } ]	本項は物理学振動と波動の解説です。はじめに 1粒子の振動単振動速度に比例する抵抗力がある場合の単振動強制振動複数粒子の振動 2粒子の場合複数粒子の場合多粒子の場合連続極限への移行波動方程式の性質 1次元の波動方程式 2次元平面中の波 3次元空間中の波	{{Pathnav\|メインページ\|自然科学\|物理学\|frame=1\|small=1}} 本項は物理学振動と波動の解説です。 * [[振動と波動/はじめに\|はじめに]] * [[振動と波動/1粒子の振動\|1粒子の振動]] [[振動と波動/1粒子の振動#単振動\|単振動]] [[振動と波動/1粒子の振動#速度に比例する抵抗力がある場合の単振動\|速度に比例する抵抗力がある場合の単振動]] ** [[振動と波動/1粒子の振動#強制振動\|強制振動]] * [[振動と波動/複数粒子の振動\|複数粒子の振動]] [[振動と波動/複数粒子の振動#2粒子の場合\|2粒子の場合]] [[振動と波動/複数粒子の振動#複数粒子の場合\|複数粒子の場合]] [[振動と波動/複数粒子の振動#多粒子の場合\|多粒子の場合]] [[振動と波動/複数粒子の振動#連続極限への移行\|連続極限への移行]] * [[振動と波動/波動方程式の性質\|波動方程式の性質]] [[振動と波動/波動方程式の性質#1次元の波動方程式\|1次元の波動方程式]] [[振動と波動/波動方程式の性質#2次元平面中の波\|2次元平面中の波]] ** [[振動と波動/波動方程式の性質#3次元空間中の波\|3次元空間中の波]] {{DEFAULTSORT:しんとうとはとう}} [[Category:振動と波動\|*]] {{NDC\|424}}	2005-06-04T09:17:34Z	2024-03-16T02:55:36Z	[ "テンプレート:Pathnav", "テンプレート:NDC" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%A8%E6%B3%A2%E5%8B%95
2,106	振動と波動/はじめに	振動と波動 > はじめにこの項では波動現象を表わす方法を学ぶ。波動現象の導入のために力学的な振動を用いるが、振動という現象は力学的なものに限らず、他分野でも現われる。特に、電気回路における振動(コンデンサとコイルなどを用いる)は重要な応用である。また、この分野は高等教育の波動に当たる。初学者は該当教科書が理解の助けとなるため学習に行き詰まったら参照をお願いしたい。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "振動と波動 > はじめに", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "この項では波動現象を表わす方法を学ぶ。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "波動現象の導入のために力学的な振動を用いるが、振動という現象は力学的なものに限らず、他分野でも現われる。特に、電気回路における振動(コンデンサとコイルなどを用いる)は重要な応用である。", "title": "はじめに" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "また、この分野は高等教育の波動に当たる。初学者は該当教科書が理解の助けとなるため学習に行き詰まったら参照をお願いしたい。", "title": "はじめに" } ]	振動と波動 > はじめに	<small> [[振動と波動]] > はじめに</small> ---- ==はじめに== この項では波動現象を表わす方法を学ぶ。波動現象の導入のために力学的な振動を用いるが、振動という現象は力学的なものに限らず、他分野でも現われる。特に、電気回路における振動(コンデンサとコイルなどを用いる)は重要な応用である。 <!-- とはいえ、これらは物理学というよりは --> <!-- 工学 _電気回路" 等で扱われるだろう。 --> また、この分野は高等教育の[[高等学校_物理#波動\|波動]]に当たる。初学者は該当教科書が理解の助けとなるため学習に行き詰まったら参照をお願いしたい。 {{DEFAULTSORT:しんとうとはとうはしめに}} [[Category:振動と波動\|0]]	2005-06-05T02:47:26Z	2024-03-16T02:56:33Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%A8%E6%B3%A2%E5%8B%95/%E3%81%AF%E3%81%98%E3%82%81%E3%81%AB
2,107	振動と波動/1粒子の振動	物体が力を受けるときの運動を考える。このとき運動方程式は、で表される。変数k を、k = m ω の関係を使ってωに置き換えると、が得られる。この式は、定数係数線形2階微分方程式であるので簡単に解くことができ、解は、となる。ここでA , B は任意定数であり、これらを決めるためには2つの初期条件が必要だが、ここでは特に、t = 0 で、とするとで表される。よって、この式の解はとなる。この運動を単振動、ωを固有角振動数と呼ぶ。次に力がで与えられる場合を考える。第2項は、速度に比例した力である。この様な力は空気抵抗などに見られる。この場合の運動方程式はとなる。これも定数係数の2階微分方程式なので解けるのだが、ここでは具体的に計算する。まず、と仮定する。これを運動方程式に代入するとが得られ、a はで与えられることが分かる。ここで、抵抗力の係数であるγが小さい数であるとするなら、根号の中身は負になり、この解は複素数によって与えられる。実部をとると一般解はとなる(A , B , α, βは任意係数)。この解で、係数 exp(-γt /2) は粒子の運動が抵抗力を受けて時間的に減衰していく様子を示している。一方の項は、この物体がωに近い角振動数で振動していることを示している。この振動を減衰振動と呼ぶ。物体が単振動の力に加えて、周期的な外力を受けている場合を考える。このとき、となる(外力の大きさを表すパラメータとして、ここでは、後の計算を簡単にするために、パラメータをml という形に置いた)。このとき運動方程式は、となる。この式は、定数係数2階常微分方程式に加えて、右辺に関数項が加わった形をしている。このとき特別な解の形を予測して、この方程式の特解を求めることが出来る。ここでは、解をと仮定する。これを運動方程式に代入するとが得られる。よって、は、この方程式の特解となる。左辺の線形方程式に対する一般解を加えると、この方程式全体に対する解は、と表される。この式は、2つの部分に分かれている。まず後半のの部分は、物体が外力を受けていても、単振動と同じ角振動数の運動を繰りかえすことを表しており、次に前半のの部分は、外力と同じ角振動数 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} の周期的な運動が引き起こされることを表している。この式を見ると、ω = ω0 のとき、x (t ) の値が無限大になるように見える。実際、系の固有角振動数ωと外力の角振動数ω0 が近いとき、物体にきわめて大きな振動が引き起こされることが知られている。この現象を共鳴と呼ぶ。共鳴の場合にx が無限大になるという結果がでたのは、もちろん物理的におきることではなく、上の解法(特に特解として仮定した形)が不十分だったことを意味する。正しい解を求めるには解として仮定する形をより広げなければならないが、それとは別に物理的によりわかりやすい方法もある。アイデアは「上の解法で得た解はωとω0 が少しでも違えばうまくいく。一方、パラメータを連続的に変えると現象も(多分)連続的に変わるはずだから、ω = ω0 の場合というのは、ω0→ω の極限として得られるはずである。だから上の解でその極限を取れば共鳴の場合の正しい解も得られる。」ということである。但し、上の解で単純にその極限をとってももちろんうまくいかない。係数A , B が意味を失うからである。そこでA , B の代りに常にはっきりした物理的意味を持つ量、すなわち初期条件(t = 0 でのx , dx /dt の値)を使って上の解を書き直し、その上でω0→ω の極限を取る。t = 0 でx (0) = X , dx (0)/dt = V とするとになるので解はとなる。こうした上でω0→ω の極限を取ると、極限は確かに存在して次のようになる: 特に重要なのは第2項で、cosにt が掛かっている点である。振動の振幅が時間に比例して増大していくのである。この結果から共鳴の本質が分かる。つまり共鳴では外力から与えられるエネルギーが蓄積されていくというのが本質で、そのため振幅が時間とともに果てしも無く大きくなっていくのである(一休さんの有名なエピソードで、お寺の鐘を指一本で大きく動かすというのがある。正確な周期で指で押すことを続けると共鳴により少しづつエネルギーが蓄積されて最後には大きな振動になる)。なお、上の解法では現象のパラメータ変化に対する連続性を前提としている。この前提はたいてい成り立つが、どんな場合でもとまではいかない。今の場合にどうかを確認するには得られた解を元の微分方程式(でω0 = ωとしたもの)に代入すればよい。確かに解になっていることが分かる。また、ω0 がωに近づくにつれ振動のグラフがどう変わって行くかを見るのも興味深い。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "物体が力", "title": "単振動" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "を受けるときの運動を考える。このとき運動方程式は、", "title": "単振動" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "で表される。変数k を、k = m ω の関係を使ってωに置き換えると、", "title": "単振動" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "が得られる。この式は、定数係数線形2階微分方程式であるので簡単に解くことができ、解は、", "title": "単振動" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "となる。ここでA , B は任意定数であり、これらを決めるためには2つの初期条件が必要だが、ここでは特に、t = 0 で、", "title": "単振動" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "とすると", "title": "単振動" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "で表される。よって、この式の解は", "title": "単振動" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "となる。この運動を単振動、ωを固有角振動数と呼ぶ。", "title": "単振動" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "次に力が", "title": "速度に比例する抵抗力がある場合の単振動" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "で与えられる場合を考える。第2項は、速度に比例した力である。この様な力は空気抵抗などに見られる。この場合の運動方程式は", "title": 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B = \frac {v _0} \omega </math> で表される。よって、この式の解は :<math>\begin{align} x(t) &= x _0 \cos \omega t + \frac {v _0} \omega \sin\omega t \\ &=\sqrt{x_0^2+\left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2}\cos(\omega t-\theta),\quad \tan\theta=\frac{v_0}{x_0\omega} \end{align}</math> となる。この運動を'''単振動'''、ωを'''固有角振動数'''と呼ぶ。 ==速度に比例する抵抗力がある場合の単振動== 次に力が :<math> f(x,\dot{x}) = -kx - m\gamma \dot x </math> で与えられる場合を考える。第2項は、速度に比例した力である。この様な力は空気抵抗などに見られる。この場合の運動方程式は :<math> \begin{align} m\ddot x(t) + m\gamma \dot x(t) + kx(t) &=0\\ \therefore\quad\ddot x(t) + \gamma \dot x(t) + \omega^2 x(t) &=0 \end{align} </math> となる。これも定数係数の2階微分方程式なので解けるのだが、<!--結果が独特なので、-->ここでは具体的に計算する。まず、 :<math> x(t) = e ^{at} </math> と仮定する。これを運動方程式に代入すると :<math> a^2 + \gamma a + \omega^2 = 0 </math> が得られ、''a'' は :<math> a _\pm = \frac 1 2 ( -\gamma \pm \sqrt{\gamma ^2 - 4 \omega^2} ) </math> で与えられることが分かる。ここで、抵抗力の係数であるγが小さい数であるとするなら<!-- そうでないときの計算 -->、根号の中身は負になり、この解は複素数によって与えられる。実部をとると一般解は :<math> \begin{align} x(t) &= A e^{i a _+ t} + B e^{i a _- t}\\ &= e^{-\gamma t/2 } \{\alpha \sin (t\sqrt { \omega^2 - \gamma^2 / 4} ) + \beta \cos (t\sqrt {\omega^2 - \gamma^2 / 4} ) \} \end{align} </math> となる（''A'' , ''B'' , α, βは任意係数）。この解で、係数 exp(-γ''t'' /2) は粒子の運動が抵抗力を受けて時間的に減衰していく様子を示している。一方 :<math> \alpha \sin (t\sqrt { \omega^2 - \gamma^2 / 4} ) + \beta \cos (t\sqrt {\omega^2 - \gamma^2 / 4} ) </math> の項は、この物体がωに近い角振動数で振動していることを示している。この振動を'''減衰振動'''と呼ぶ。 ==強制振動== 物体が単振動の力に加えて、周期的な外力を受けている場合を考える。このとき、 :<math> f(x,t) = -kx + m l\sin \omega _0 t </math> となる（外力の大きさを表すパラメータとして、ここでは、後の計算を簡単にするために、パラメータを''ml'' という形に置いた）。このとき運動方程式は、 :<math> \begin{align} m\ddot x(t)+ m \omega ^2 x(t) &= ml \sin \omega _0 t\\ \therefore \quad \ddot x(t)+ \omega ^2 x(t) &= l \sin \omega _0 t \end{align} </math> となる。この式は、定数係数2階常微分方程式に加えて、右辺に関数項が加わった形をしている。このとき特別な解の形を予測して、この方程式の特解を求めることが出来る。ここでは、解を :<math> x(t) = C \sin \omega _0 t </math> と仮定する。これを運動方程式に代入すると :<math> \begin{align} & (- C \omega _0 ^2 + \omega^2 C )\sin \omega _0 t = l \sin \omega _0 t\\ & \therefore \quad C = \frac l {\omega^2 - \omega_0^2 } \end{align} </math> が得られる。よって、 :<math> x(t) = \frac l {\omega^2 - \omega_0^2)}\sin \omega _0 t </math> は、この方程式の特解となる。左辺の線形方程式に対する一般解を加えると、この方程式全体に対する解は、 :<math> x(t) = \frac l {\omega^2 - \omega_0 ^2}\sin \omega _0 t + A \sin \omega t + B \cos \omega t </math> と表される。この式は、2つの部分に分かれている。まず後半の :<math> A \sin \omega t + B \cos \omega t </math> の部分は、物体が外力を受けていても、単振動と同じ角振動数の運動を繰りかえすことを表しており、次に前半の :<math> \frac l {- \omega _0 ^2 + \omega^2 }\sin \omega _0 t </math> の部分は、外力と同じ角振動数<math>\omega _0</math>の周期的な運動が引き起こされることを表している。この式を見ると、ω = ω<sub>0</sub> のとき、''x'' (''t'' ) の値が無限大になるように見える。実際、系の固有角振動数ωと外力の角振動数ω<sub>0</sub> が近いとき、物体にきわめて大きな振動が引き起こされることが知られている。この現象を'''共鳴'''と呼ぶ。共鳴の場合に''x'' が無限大になるという結果がでたのは、もちろん物理的におきることではなく、上の解法（特に特解として仮定した形）が不十分だったことを意味する。正しい解を求めるには解として仮定する形をより広げなければならないが、それとは別に物理的によりわかりやすい方法もある。アイデアは「上の解法で得た解はωとω<sub>0</sub> が少しでも違えばうまくいく。一方、パラメータを連続的に変えると現象も（多分）連続的に変わるはずだから、ω = ω<sub>0</sub> の場合というのは、ω<sub>0</sub>→ω の極限として得られるはずである。だから上の解でその極限を取れば共鳴の場合の正しい解も得られる。」ということである。但し、上の解で単純にその極限をとってももちろんうまくいかない。係数''A'' , ''B'' が意味を失うからである。そこで''A'' , ''B'' の代りに常にはっきりした物理的意味を持つ量、すなわち初期条件（''t'' = 0 での''x'' , ''dx'' /''dt'' の値）を使って上の解を書き直し、その上でω<sub>0</sub>→ω の極限を取る。''t'' = 0 で''x'' (0) = ''X'' , ''dx'' (0)/''dt'' = ''V'' とすると :<math>A=\frac{1}{\omega}\left(V+\frac{l\omega_0}{\omega_0^2-\omega^2}\right),\quad B=X</math> になるので解は :<math>\begin{align} x(t) &= \frac l {- \omega _0 ^2 + \omega^2 }\sin \omega _0 t + \frac{1}{\omega}\left(V+\frac{l\omega_0}{\omega_0^2-\omega^2}\right)\sin \omega t+X \cos \omega t \\ &= \frac{l}{\omega(\omega_0+\omega)}\frac{\omega\sin \omega_0t-\omega_0\sin\omega t}{-\omega_0+\omega}+ \frac{V}{\omega}\sin \omega t+X \cos \omega t \end{align}</math> となる。こうした上でω<sub>0</sub>→ω の極限を取ると、極限は確かに存在して次のようになる： :<math> x(t) = \frac{l}{2\omega^2}(\sin \omega t-\omega t\cos\omega t)+ \frac{V}{\omega}\sin \omega t+X \cos \omega t </math> 特に重要なのは第2項で、cosに''t'' が掛かっている点である。振動の振幅が時間に比例して増大していくのである。この結果から共鳴の本質が分かる。つまり共鳴では外力から与えられるエネルギーが蓄積されていくというのが本質で、そのため振幅が時間とともに果てしも無く大きくなっていくのである（一休さんの有名なエピソードで、お寺の鐘を指一本で大きく動かすというのがある。正確な周期で指で押すことを続けると共鳴により少しづつエネルギーが蓄積されて最後には大きな振動になる）。なお、上の解法では現象のパラメータ変化に対する連続性を前提としている。この前提はたいてい成り立つが、どんな場合でもとまではいかない。今の場合にどうかを確認するには得られた解を元の微分方程式（でω<sub>0</sub> = ωとしたもの）に代入すればよい。確かに解になっていることが分かる。また、ω<sub>0</sub> がωに近づくにつれ振動のグラフがどう変わって行くかを見るのも興味深い。 <!-- TODO --> <!--\gamma の値をいれて計算し直した場合 --> <!-- 特解の計算がわりあい面倒かも...。 --> <!-- 抵抗力を入れた場合の計算 --> <!-- 今回は特解を求めるために --> <!-- A sin \w _0 t + B cos \w _0 t --> <!-- と置く必要がある。 --> {{DEFAULTSORT:しんとうとはとういちりゆうしのしんとう}} [[Category:振動と波動\|いちりゆうしのしんとう]]	2005-06-05T02:52:08Z	2024-03-16T02:57:39Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%A8%E6%B3%A2%E5%8B%95/1%E7%B2%92%E5%AD%90%E3%81%AE%E6%8C%AF%E5%8B%95
2,109	振動と波動/複数粒子の振動	質量m1 , m2 の2つの質点が、バネ定数k のバネによってつながれている2自由度系を考える。このとき、バネの方向にx 軸を取り、バネが動かない状況になっているときの質点m1 の座標をx1 、質点m2 の座標をx2 とすると、運動方程式が得られる。座標を導入する。式(1.1)をm2 倍したものから、式(1.2)をm1 倍したものを引くと、が得られる。ここで、と置いた。式(2)は単振動の方程式であり、v1 , v2 をそれぞれ質点m1 、質点m2 の速度とすると、この解はv1 = -v2 のように単振動を行ない、その角振動数は、で与えられることが分かる。また、運動方程式(1.1), (1.2)を足し合わせると、が得られる。ここで、である。これから、2物体の運動がx , X を使った座標で表され、X については自由な質点と同じ運動をすることが分かる。このとき2物体の場合において、上で定義されたX を重心座標、x を相対座標と呼ぶ。同じ問題を更に多くの粒子を扱うときのやり方で書くことも出来る。式(1.1), (1.2)で与えられる運動方程式は、定数係数連立2階常微分方程式であるので通常の仕方で解くことが出来る。その方針にしたがって、 (a1 , a2 は定数)とおく。このとき運動方程式は、もしくは、と書くことが出来る。ここでa1 = a2 = 0 はこの方程式の解であるが、それ以外の解があるときが成り立つことが必要である(線型代数では、このような方程式を固有方程式と呼ぶ)。これを解くと、よって、よりとなる。これは、上で求めた値と一致している。結局2物体の場合では、線型代数の固有方程式が容易に求められるということが言える。粒子の数がさらに多い多自由度系の場合も、上で求めた方法を用いることが出来る。特に重要なのは、全ての質点が同じ質量m を持っており、バネ定数k のバネでつながれている場合である。質点がN 個あるN 自由度系を考える。n 番目の質点の座標をun とすると、運動方程式は、となる。これは、N 元連立定数係数2階常微分方程式であるので、やはり解くことが出来る。 (an は定数)とおくと、が得られる。これを行列の形で書くと、となる。この方程式を解くには一般にはこの行列の固有方程式を解かねばならない。幸いにもこの場合には固有ベクトルの形が知られており、それは、 (dは任意の実数)となる。実際を計算すると、第k 行目についてとなり行列をかけた後の値も、sin kd ×(定数) の形をしていることがわかり、確かにこのベクトルは、与えられた行列の固有ベクトルとなる。前節でN 行N 列の大きな行列の固有ベクトルが簡単に求められたことを見た。実際にはこのことは上で見た行列の性質によっている。この性質を具体的に見るために、粒子の数がきわめて多く、粒子が連続的に分布していると見た場合を考える。 2階微分を離散的な量に直すことを考える。x を離散化してxi - 1 , xi , xi + 1 などとしたとき、近似的にと書けることに注目すると、となる。分子の ui + 1 - 2ui + ui - 1 は運動方程式(3)の右辺にも現れており、これが2階微分を表していることが分かる。式(3)に代入すると、v をある定数としてが得られる。この方程式を波動方程式と呼ぶ。後に分かることだが、波動方程式は物体の運動を通じてエネルギーが伝搬して行く様子を表す方程式となっている。ここから先は、この方程式の性質を見て行く。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "質量m1 , m2 の2つの質点が、バネ定数k のバネによってつながれている2自由度系を考える。このとき、バネの方向にx 軸を取り、バネが動かない状況になっているときの質点m1 の座標をx1 、質点m2 の座標をx2 とすると、運動方程式", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "が得られる。座標", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "を導入する。式(1.1)をm2 倍したものから、式(1.2)をm1 倍したものを引くと、", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "が得られる。ここで、", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "と置いた。式(2)は単振動の方程式であり、v1 , v2 をそれぞれ質点m1 、質点m2 の速度とすると、この解はv1 = -v2 のように単振動を行ない、その角振動数は、", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "で与えられることが分かる。", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "また、運動方程式(1.1), (1.2)を足し合わせると、", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "が得られる。ここで、", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "である。これから、2物体の運動がx , X を使った座標で表され、X については自由な質点と同じ運動をすることが分かる。", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "このとき2物体の場合において、上で定義されたX を重心座標、x を相対座標と呼ぶ。", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "同じ問題を更に多くの粒子を扱うときのやり方で書くことも出来る。式(1.1), (1.2)で与えられる運動方程式は、定数係数連立2階常微分方程式であるので通常の仕方で解くことが出来る。その方針にしたがって、", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "(a1 , a2 は定数)とおく。このとき運動方程式は、", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "もしくは、", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 14, "tag": "p", "text": "と書くことが出来る。ここでa1 = a2 = 0 はこの方程式の解であるが、それ以外の解があるとき", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 15, "tag": "p", "text": "が成り立つことが必要である(線型代数では、このような方程式を固有方程式と呼ぶ)。これを解くと、", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 16, "tag": "p", "text": "よって、", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 17, "tag": "p", "text": "より", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 18, "tag": "p", "text": "となる。これは、上で求めた値と一致している。結局2物体の場合では、線型代数の固有方程式が容易に求められるということが言える。", "title": "2粒子の場合" }, { "paragraph_id": 19, "tag": "p", "text": "粒子の数がさらに多い多自由度系の場合も、上で求めた方法を用いることが出来る。特に重要なのは、全ての質点が同じ質量m を持っており、バネ定数k のバネでつながれている場合である。", "title": "多粒子の場合" }, { "paragraph_id": 20, "tag": "p", "text": "質点がN 個あるN 自由度系を考える。n 番目の質点の座標をun とすると、運動方程式は、", "title": "多粒子の場合" }, { "paragraph_id": 21, "tag": "p", "text": "となる。これは、N 元連立定数係数2階常微分方程式であるので、やはり解くことが出来る。", "title": "多粒子の場合" }, { "paragraph_id": 22, "tag": "p", "text": "(an は定数)とおくと、", "title": "多粒子の場合" }, { "paragraph_id": 23, "tag": "p", "text": "が得られる。これを行列の形で書くと、", "title": "多粒子の場合" }, { "paragraph_id": 24, "tag": "p", "text": "となる。この方程式を解くには一般にはこの行列の固有方程式を解かねばならない。幸いにもこの場合には固有ベクトルの形が知られており、それは、", "title": "多粒子の場合" }, { "paragraph_id": 25, "tag": "p", "text": "(dは任意の実数)となる。実際", "title": "多粒子の場合" }, { "paragraph_id": 26, "tag": "p", "text": "を計算すると、第k 行目について", "title": "多粒子の場合" }, { "paragraph_id": 27, "tag": "p", "text": "となり行列をかけた後の値も、sin kd ×(定数) の形をしていることがわかり、確かにこのベクトルは、与えられた行列の固有ベクトルとなる。", "title": "多粒子の場合" }, { "paragraph_id": 28, "tag": "p", "text": "前節でN 行N 列の大きな行列の固有ベクトルが簡単に求められたことを見た。実際にはこのことは上で見た行列の性質によっている。この性質を具体的に見るために、粒子の数がきわめて多く、粒子が連続的に分布していると見た場合を考える。", "title": "連続極限への移行" }, { "paragraph_id": 29, "tag": "p", "text": "2階微分", "title": "連続極限への移行" }, { "paragraph_id": 30, "tag": "p", "text": "を離散的な量に直すことを考える。x を離散化してxi - 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\ddot x _2 ) = -k (x _1-x _2) ( m _2 + m _1)\\ &m _1 m _2 \ddot x = -k x ( m _2 + m _1)\\ &\therefore \quad \mu \ddot x = -k x \qquad (2) \end{align} </math> が得られる。ここで、 :<math> \mu := \frac {m _1 m _2}{m _1 + m _2 } </math> と置いた。式(2)は単振動の方程式であり、''v''<sub>1</sub> , ''v''<sub>2</sub> をそれぞれ質点''m''<sub>1</sub> 、質点''m''<sub>2</sub> の速度とすると、この解は''v''<sub>1</sub> = -''v''<sub>2</sub> のように単振動を行ない、その角振動数は、 :<math>\omega_0= \sqrt {\frac k \mu} </math> で与えられることが分かる。また、運動方程式(1.1), (1.2)を足し合わせると、 :<math>\begin{align} & m _1 \ddot x _1 +m _2 \ddot x _2 = 0\\ & (m _1 + m _2 )\frac {m _1 \ddot x _1 +m _2 \ddot x _2}{m _1+m _2} = 0\\ &\therefore \quad M \ddot X = 0 \end{align}</math> が得られる。ここで、 :<math>M := m _1+m _2</math> である。これから、2物体の運動が''x'' , ''X'' を使った座標で表され、''X'' については自由な質点と同じ運動をすることが分かる。このとき2物体の場合において、上で定義された''X'' を重心座標、''x'' を相対座標と呼ぶ。 <!-- この部分は"古典力学"に入れるべきかも知れません。 --> <!-- Xはn個の物体に対して定義できる。 --> <!-- 定義は、 --> <!-- X = \frac { \sum _ i m _i x _i } {\sum _i m _i} --> <!-- となる。 --> <!-- 参考 --> <!-- 2つの物体の運動はこの様に重心座標 --> <!-- ラグランジアンを2座標で分離できることは --> <!-- 必要だろうか? --> 同じ問題を更に多くの粒子を扱うときのやり方で書くことも出来る。式(1.1), (1.2)で与えられる運動方程式は、定数係数連立2階常微分方程式であるので通常の仕方で解くことが出来る。その方針にしたがって、 :<math>\begin{align} x _1(t) &= a _1 e^{i\omega t}\\ x _2(t) &= a _2 e^{i\omega t} \end{align}</math> （''a''<sub>1</sub> , ''a''<sub>2</sub> は定数）とおく。<!--(虚数単位iを加えるのが慣用的である。)-->このとき運動方程式は、 :<math>\begin{align} - m _1\omega^2 a _1 =& -k (a _1 - a _2)\\ - m _2 \omega^2 a _2 =& k (a _1 - a _2) \end{align}</math> もしくは、 :<math>\begin{align} (- m _1 \omega^2 + k) a _1 - k a _2 =& 0\\ -k a _1 + (k - m _2 \omega^2) a _2 =& 0 \end{align}</math> と書くことが出来る。ここで''a''<sub>1</sub> = ''a''<sub>2</sub> = 0 はこの方程式の解であるが、それ以外の解があるとき :<math> \begin{vmatrix} - m _1 \omega^2 + k& - k \\ -k & k - m _2 \omega^2 \end{vmatrix} = 0 </math> が成り立つことが必要である（線型代数では、このような方程式を固有方程式と呼ぶ）。これを解くと、 :<math>\begin{align} m _1 m _2 \omega^4 + k ( -m _1 -m _2) \omega^2 &= 0\\ \omega^2 ( m _1 m _2 \omega^2 - (m _1 + m _2)k ) &=0 \end{align}</math> よって、 :<math> \omega^2 = 0, \frac k \mu </math> より :<math> \omega = 0, \pm \sqrt{ \frac k \mu} </math> となる。これは、上で求めた値と一致している。結局2物体の場合では、線型代数の固有方程式が容易に求められるということが言える。 ==複数粒子の場合== <!-- 3つの粒子を使った場合を例に取って基準座標の導入。 --> ==多粒子の場合== 粒子の数がさらに多い多自由度系の場合も、上で求めた方法を用いることが出来る。特に重要なのは、全ての質点が同じ質量''m'' を持っており、バネ定数''k'' のバネでつながれている場合である。図質点が''N'' 個ある''N'' 自由度系を考える。''n'' 番目の質点の座標を''u<sub>n</sub>'' とすると、運動方程式は、 :<math>\begin{align} m \ddot u _n &= - k( u _n - u _{n-1} ) + k( u _{n+1} -u _n ) \\ &= k( u _{n+1} -2u _n + u _{n-1} ), \\ \ddot u _n &= \omega _0^2( u _{n+1} -2u _n + u _{n-1} ) \qquad (3) \end{align}</math> となる。これは、''N'' 元連立定数係数2階常微分方程式であるので、やはり解くことが出来る。 :<math> u _n = a _n e^{i\omega t} </math> （''a<sub>n</sub>'' は定数）とおくと、 :<math> -\omega^2 u _n = \omega _0^2( u _{n+1} -2u _n + u _{n-1} ) </math> が得られる。これを行列の形で書くと、 :<math> \begin{pmatrix} -2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} &1 & & & 0 \\ 1 &-2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} &1 \\ &1 &-2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} & \ddots\\ && \ddots & \ddots & 1\\ 0&&&1 &-2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_1^2 \\ u_2^2 \\ u_3^2 \\ \vdots \\ u_N^2 \end{pmatrix} = \boldsymbol{0} </math> となる。この方程式を解くには一般にはこの行列の固有方程式を解かねばならない。幸いにもこの場合には固有ベクトルの形が知られており、それは、 :<math> \begin{pmatrix} u_1^2 \\ u_2^2 \\ u_3^2 \\ \vdots \\ u_N^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin d \\ \sin 2 d \\ \sin 3 d \\ \vdots \\ \sin N d \\ \end{pmatrix} </math> （''d''は任意の実数）となる。 <!-- TODO --> <!-- 固定端と自由端と置いたときの dの値。 --> <!-- (後に、連続極限を取ったとき --> <!-- (�rac 1 {v^2}\frac {\partial^2 {}}{\partial^2 t } - \frac {\partial^2 {}}{\partial^2 x } )u(x,t) = 0 --> <!-- の定常解が、\sin �rac x l などで与えられることによる。 --> 実際 :<math> \begin{pmatrix} -2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} &1 & & & 0 \\ 1 &-2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} &1 \\ &1 &-2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} & \ddots\\ && \ddots & \ddots & 1\\ 0&&&1 &-2 + \frac{\omega^2}{ \omega _0^2} \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \sin d \\ \sin 2 d \\ \sin 3 d \\ \vdots \\ \sin N d \\ \end{pmatrix} </math> を計算すると、第''k'' 行目について :<math> \sin (k-1) d + \left(-2+ \frac {\omega^2} {\omega _0^2}\right) \sin kd + \sin (k+1) d = 2 \sin kd \left(2\cos d - 2 + \frac {\omega^2} {\omega _0^2}\right) </math> となり行列をかけた後の値も、sin ''kd'' ×(定数) の形をしていることがわかり、 <!-- よって、 --> <!-- �egin{align} --> <!-- �rac {\omega^2} {\omega _0^2}& = 2 - 2\cos d \ --> <!-- & = 4 \sin ^2 �rac d 2 --> <!-- \end{align} --> <!-- よって、 --> <!-- �e --> <!-- \omega^2 = 4 \omega _0^2 \sin ^2 �rac d 2 --> <!-- \ee (?) --> 確かにこのベクトルは、与えられた行列の固有ベクトルとなる。 ==連続極限への移行== 前節で''N'' 行''N'' 列の大きな行列の固有ベクトルが簡単に求められたことを見た。実際にはこのことは上で見た行列の性質によっている。この性質を具体的に見るために、粒子の数がきわめて多く、粒子が連続的に分布していると見た場合を考える。 2階微分 :<math> \frac {\partial^2 {u}}{\partial^2 x } (x) </math> を離散的な量に直すことを考える。''x'' を離散化して''x''<sub>''i'' - 1</sub> , ''x<sub>i</sub>'' , ''x''<sub>''i'' + 1</sub> などとしたとき、近似的に :<math>\begin{align} u'(x+h) &\sim \frac {u(x _{i+1)}-u(x _{i})} h\\ u'(x) &\sim \frac {u(x _{i})-u(x _{i-1})} h \end{align}</math> と書けることに注目すると、 :<math>\begin{align} u''(x) &\sim \frac {u'(x+h) -u'(x) } h\\ &\sim \frac 1 h \left( \frac {u(x _{i+1)}-u(x _{i})} h-\frac {u(x _{i})-u(x _{i-1})} h \right) \\ &= \frac {u(x_{i+1}) - 2u(x_i) + u(x_{i-1})} {h^2} \end{align}</math> となる。分子の ''u''<sub>''i'' + 1</sub> - 2''u<sub>i</sub>'' + ''u''<sub>''i'' - 1</sub> は運動方程式(3)の右辺にも現れており、これが2階微分を表していることが分かる。 <!-- 微小な範囲はどうする? --> <!-- mを質量密度にするとhは1つ消えるけれどあと1つは? --> <!-- k to ヤング率の定義? --> 式(3)に代入すると、''v'' をある定数として :<math> \left(\frac 1 {v^2} \frac {\partial^2 {}}{\partial^2 t } - \frac {\partial^2 {}}{\partial^2 x } \right) u(x,t) = 0 </math> が得られる。この方程式を波動方程式と呼ぶ。 <!-- ここでは、力学的な物体の運動を通して --> <!-- この方程式を得たが、これ以外にも波動方程式を --> <!-- 得るいくつかの方法が知られている。 --> <!-- (とはいえ流体力学も元を辿れば古典力学か...。) --> 後に分かることだが、波動方程式は物体の運動を通じてエネルギーが伝搬して行く様子を表す方程式となっている。ここから先は、この方程式の性質を見て行く。 {{DEFAULTSORT:しんとうとはとうふくすうりゆうし}} [[Category:振動と波動\|ふくすうりゆうしのしんとう]]	2005-06-05T03:06:21Z	2024-03-16T02:58:43Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%A8%E6%B3%A2%E5%8B%95/%E8%A4%87%E6%95%B0%E7%B2%92%E5%AD%90%E3%81%AE%E6%8C%AF%E5%8B%95
2,110	珠算見取算・読上算・伝票算	数学>珠算>見取算・読上算・伝票算見取算とは、加減算を筆算のような形で並べた、のようなもので計算する種目である。これを、左に何も書いていない数字は足し、「-」が書いてある数字は引き、合計を出す。読上算とは、見取算を試験官が読上げ、それを計算する種目である。この時、独特の用語が使われる。「願いましてはxxx円也、xxx円也、・・・xxx円では。」という具合である。引き算をする場合は、「引いてはxxx円也」と言う。この場合、次に「加えてxxx円也」と言うまでは全て引き続ける。 7桁(何百万)の計算をしているときに急に3桁(何百)になるという読上算ならではの引っ掛けもある。しかし、百万と百のような紛らわしい数の区別をつけるために、大きい方(この場合は百万)の数を言う前に「大きく」等を付けることもある。「百三十五円也、大きく百八十万千三十五円也」という具合である。伝票算とは、一辺だけ留めてある横13cm縦8cmの冊子(これを伝票という)を使って計算する種目である。伝票には1枚につき5つの数字が書かれており、裏は白紙である。これを、1枚毎に足すのではなく、1枚のうち1つ目なら1つ目、3つ目なら3つ目の数字同士を足す。上の図で分かるだろうか。実際には綴ってあるので左手でめくり、右手で計算しなければならない。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "数学>珠算>見取算・読上算・伝票算", "title": "" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "見取算とは、加減算を筆算のような形で並べた、", "title": "見取算" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "のようなもので計算する種目である。これを、左に何も書いていない数字は足し、「-」が書いてある数字は引き、合計を出す。", "title": "見取算" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "読上算とは、見取算を試験官が読上げ、それを計算する種目である。この時、独特の用語が使われる。", "title": "読上算" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "「願いましてはxxx円也、xxx円也、・・・xxx円では。」", "title": "読上算" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "という具合である。", "title": "読上算" }, { "paragraph_id": 6, "tag": "p", "text": "引き算をする場合は、「引いてはxxx円也」と言う。", "title": "読上算" }, { "paragraph_id": 7, "tag": "p", "text": "この場合、次に「加えてxxx円也」と言うまでは全て引き続ける。", "title": "読上算" }, { "paragraph_id": 8, "tag": "p", "text": "7桁(何百万)の計算をしているときに急に3桁(何百)になるという読上算ならではの引っ掛けもある。", "title": "読上算" }, { "paragraph_id": 9, "tag": "p", "text": "しかし、百万と百のような紛らわしい数の区別をつけるために、大きい方(この場合は百万)の数を言う前に「大きく」等を付けることもある。", "title": "読上算" }, { "paragraph_id": 10, "tag": "p", "text": "「百三十五円也、大きく百八十万千三十五円也」", "title": "読上算" }, { "paragraph_id": 11, "tag": "p", "text": "という具合である。", "title": "読上算" }, { "paragraph_id": 12, "tag": "p", "text": "伝票算とは、一辺だけ留めてある横13cm縦8cmの冊子(これを伝票という)を使って計算する種目である。伝票には1枚につき5つの数字が書かれており、裏は白紙である。これを、1枚毎に足すのではなく、1枚のうち1つ目なら1つ目、3つ目なら3つ目の数字同士を足す。", "title": "伝票算" }, { "paragraph_id": 13, "tag": "p", "text": "上の図で分かるだろうか。実際には綴ってあるので左手でめくり、右手で計算しなければならない。", "title": "伝票算" } ]	数学＞珠算＞見取算・読上算・伝票算	[[数学]]＞[[珠算]]＞見取算・読上算・伝票算 ==見取算== 見取算とは、加減算を筆算のような形で並べた、 45 23 -62 -81 59 74 -18 36 97 --- のようなもので計算する種目である。これを、左に何も書いていない数字は足し、「-」が書いてある数字は引き、合計を出す。 ==読上算== 読上算とは、見取算を試験官が読上げ、それを計算する種目である。この時、独特の用語が使われる。「願いましてはxxx円也、xxx円也、・・・xxx円では。」という具合である。引き算をする場合は、「引いてはxxx円也」と言う。この場合、'''次に「加えてxxx円也」と言うまでは全て引き続ける。''' 7桁(何百万)の計算をしているときに急に3桁(何百)になるという読上算ならではの引っ掛けもある。しかし、百万と百のような紛らわしい数の区別をつけるために、大きい方（この場合は百万）の数を言う前に「大きく」等を付けることもある。「百三十五円也、大きく百八十万千三十五円也」という具合である。 ==伝票算== 伝票算とは、一辺だけ留めてある横13cm縦8cmの冊子(これを伝票という)を使って計算する種目である。伝票には1枚につき5つの数字が書かれており、裏は白紙である。これを、1枚毎に足すのではなく、1枚のうち1つ目なら1つ目、3つ目なら3つ目の数字同士を足す。 ------- ------- ------- ------- ------- \| 123 \|->\| 678 \|->\| 135 \|->\| 246 \|->\| 111 \| =1,293 \| 234 \|->\| 789 \|->\| 357 \|->\| 468 \|->\| 222 \| =2,070 \| 345 \|->\| 890 \|->\| 579 \|->\| 680 \|->\| 333 \| =2,827 \| 456 \|->\| 901 \|->\| 791 \|->\| 802 \|->\| 444 \| =3,394 \| 567 \|->\| 12 \|->\| 913 \|->\| 24 \|->\| 555 \| =2,071 ------- ------- ------- ------- ------- 1枚目 2枚目 3枚目 4枚目 5枚目答え上の図で分かるだろうか。実際には綴ってあるので左手でめくり、右手で計算しなければならない。 [[Category:珠算\|みとりさんよみあけさんてんひようさん]]	2005-06-05T08:13:44Z	2024-03-18T17:49:02Z	[]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%8F%A0%E7%AE%97_%E8%A6%8B%E5%8F%96%E7%AE%97%E3%83%BB%E8%AA%AD%E4%B8%8A%E7%AE%97%E3%83%BB%E4%BC%9D%E7%A5%A8%E7%AE%97
2,114	振動と波動/波動方程式の性質	波動方程式は偏微分方程式であるので、これを解くために境界条件を定めねばならない。1次元の波動方程式を考えると、 ξ = x + v t , η = x − v t {\displaystyle \xi =x+vt,\eta =x-vt} とするとき、を用いると、より、となる。この解は、で与えられる(f , g は任意の関数)。この解のうち、x + v t に依存する関数は速度v で -x 方向に移動する波に対応し、x - v t に依存する関数は速度v でx 方向に移動する波に対応する。この関数を完全に決めるには例えば、波をつたえる物体のt = 0 での位置と速度が全ての点x で知られていればよい。例えば、かつ、速度はt = 0 かつ全てのx で0とおいたとき、に代入すると、が得られ、時刻t での関数u の値は、となる。時間依存性が位置によらずに決まる波を、定在波と呼ぶ。(?)このとき、のように、解のx , t に対する依存性を分離できる。これを波動方程式に代入すると、と変形できる。ここで、最後の式の左辺はt だけの関数であり、右辺の式はx だけの関数であるので、どちらの値も定数に等しいはずである。この定数を、-ω /v とおくと、となり、解を得る(A , B は任意定数)。一方、X についても同様にを得ることができ、解を得る(A , B は任意定数)。特に、x = 0, x = l でu (t , x ) = 0 となる場合を考える。これは、物体の端が固定されている場合に対応するので固定端と呼ばれる。このとき、x = 0 でu = 0 からB = 0 が得られる。また、より、 (n は整数)となり、が得られる。n = 0 は全く波が起きていない状況に対応し、n = 1 は節が1つだけの波が起きている状況に対応する。n > 1 は、節がn 個の波に対応する。全ての点の時間依存性が同一なのでT (t ) を決めるにはある一点での振動のある時刻での位置と速度を与えればよい(実際にはある時刻で両方を与える必要はなく、違う時刻で1つずつ与えてもよい)。例えば、t = 0, x = l /2 で、u = 0, ∂ u ∂ t = a {\displaystyle {\frac {\partial {u}}{\partial {t}}}=a} (a は定数)が与えられたとすると、について、B = 0, ωA = aまたはA = a /ωが得られる。よって、この方程式の解はとなる。 2次元平面中で、ある方向をx 方向と取り、それと垂直な方向をy 軸と取る。x 軸とy 軸をつけかえても方程式が変わらないことに注目すると、波動方程式はとなる。 2次元平面中での固定端の定在波は、2つの整数を使って表わされること(変数分離)。2つの整数をm,nとしたときのm = 1,n=1の時などの図。 3次元平面中で、ある方向にx 軸を、それと垂直な方向にy 軸を取り、それらが順に右手の親指、人差し指、中指に対応するようにz 軸を取る。それぞれの軸をつけかえても方程式が変わらないことに注目すると、波動方程式はとなる。 (f はr , t だけの関数。Δ はラプラシアン。)(?)このとき、与えられた波動方程式は、となるが、ここで r f (r , t ) についてはこの式は通常の1次元の波動方程式に対応する。よってこの方程式の解として (u , v は任意の関数)を得る。これらは球対称な波を表わすことから、球面波と呼ばれる。光の場合で考えると分かりやすい。光の速度cは、角速度や周波数とは無関係である。なお、この、波における速度Aωを、位相速度という。位相速度は、情報を伝える速度ではない。実際に情報を伝えられる速度のことを群速度という。なお、また、ある波動が、複数個の正弦波を、足し合わせたり引き算したりしないと、数式で表現でないと場合、そのような波動を「分散のある」波動という。つまり、分散のある波動の、情報を伝えられる速度のことを、群速度という。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "波動方程式は偏微分方程式であるので、これを解くために境界条件を定めねばならない。1次元の波動方程式", "title": "1次元の波動方程式" }, { "paragraph_id": 1, "tag": "p", "text": "を考えると、 ξ = x + v t , η = x − v t {\\displaystyle \\xi =x+vt,\\eta =x-vt} とするとき、", "title": "1次元の波動方程式" }, { "paragraph_id": 2, "tag": "p", "text": "を用いると、", "title": "1次元の波動方程式" }, { "paragraph_id": 3, "tag": "p", "text": "より、", "title": "1次元の波動方程式" }, { "paragraph_id": 4, "tag": "p", "text": "となる。この解は、", "title": "1次元の波動方程式" }, { "paragraph_id": 5, "tag": "p", "text": "で与えられる(f , g は任意の関数)。この解のうち、x + v t に依存する関数は速度v で -x 方向に移動する波に対応し、x - 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\frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} \right) u(x,t) = 0 </math> を考えると、<math>\xi = x + vt, \eta = x -vt</math> とするとき、 :<math> \begin{align} \frac{\partial{{}}}{\partial{x}} &= \frac{\partial{\xi}}{\partial{x}} \frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} + \frac{\partial{\eta}}{\partial{x}} \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}}\\ &= \frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} + \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}},\\ \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} &= \frac{\partial{\xi}}{\partial{t}} \frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} + \frac{\partial{\eta}}{\partial{t}} \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}}\\ &= v\left(\frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} - \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}}\right) \end{align} </math> を用いると、 :<math> \begin{align} \frac 1 {v^2} \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} &=\frac 1 {v^2} v^2 \left(\frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} - \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}}\right)^2 - \left(\frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} + \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}}\right)^2\\ &= \left(\frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} - \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}}\right)^2 - \left(\frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} + \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}}\right)^2\\ &= -4 \frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}} \end{align} </math> より、 :<math> -4 \frac{\partial{{}}}{\partial{\xi}} \frac{\partial{{}}}{\partial{\eta}} u(x,t) = 0 </math> となる。この解は、 :<math> \begin{align} u(x,t) &= f(\xi ) + g(\eta)\\ & = f(x+vt ) + g(x-vt)\\ \end{align} </math> で与えられる（''f'' , ''g'' は任意の関数）。この解のうち、''x'' + ''v t'' に依存する関数は速度''v'' で -''x'' 方向に移動する波に対応し、''x'' - ''v t'' に依存する関数は速度''v'' で''x'' 方向に移動する波に対応する。この関数を完全に決めるには例えば、波をつたえる物体の''t'' = 0 での位置と速度が全ての点''x'' で知られていればよい。例えば、 :<math>u(x,0) = a(x) = \begin{cases}1&-l<x<l \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}</math> かつ、速度は''t'' = 0 かつ全ての''x'' で0とおいたとき、 :<math> u (x,0) = f(x)+g(x),\qquad \frac{\partial{{}}}{\partial{t}} u(x,0) = v (f(x) - g(x) ) </math> に代入すると、 :<math> f(x) = g(x) = \frac 12 u(x,0) = \frac 12 a(x) </math> が得られ、時刻''t'' での関数''u'' の値は、 :<math> u = \frac 12 ( a(x+vt) + a(x-vt) ) </math> となる。図 === 定在波 === 時間依存性が位置によらずに決まる波を、定在波と呼ぶ。(?)このとき、 :<math> u(x,t) = X(x) T(t) </math> のように、解の''x'' , ''t'' に対する依存性を分離できる。これを波動方程式に代入すると、 :<math> \begin{align} \left(\frac 1 {v^2} \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} \right) u(x,t) &= 0\\ X\frac 1 {v^2} \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} T - T \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} X &= 0\\ \frac 1 T \frac 1 {v^2} \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} T - \frac 1 X \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} X &= 0\\ \frac 1 T \frac 1 {v^2} \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} T &= \frac 1 X \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} X \end{align} </math> と変形できる。ここで、最後の式の左辺は''t'' だけの関数であり、右辺の式は''x'' だけの関数であるので、どちらの値も定数に等しいはずである。この定数を、-ω<sup>2</sup> /''v''<sup>2</sup> とおくと、 :<math> \begin{align} \frac 1 T \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} T &= -\omega^2\\ \frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} T + \omega^2 T&= 0\\ \end{align} </math> となり、解 :<math> T(t) = A \sin (\omega t ) + B \cos (\omega t) </math> を得る（''A'' , ''B'' は任意定数）。一方、''X'' についても同様に :<math> \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} X + \frac 1 {v^2} \omega^2 X= 0 </math> を得ることができ、解 :<math> X(x) = A \sin \left(\frac \omega v x \right) + B \cos \left(\frac \omega v x\right) </math> を得る（''A'' , ''B'' は任意定数）。特に、''x'' = 0, ''x'' = ''l'' で''u'' (''t'' , ''x'' ) = 0 となる場合を考える。これは、物体の端が固定されている場合に対応するので固定端と呼ばれる。<!-- (note: 微分方程式で境界条件が与えられる問題を、固有値問題と呼ぶ。)(?) -->このとき、''x'' = 0 で''u'' = 0 から''B'' = 0 が得られる。また、 :<math> X(l) = A \sin \left(\frac \omega v l \right) </math> より、 :<math> \frac\omega v l = \pi n </math> （''n'' は整数）となり、 :<math> \omega = \frac {\pi nv} {l } </math> が得られる。''n'' = 0 は全く波が起きていない状況に対応し、''n'' = 1 は節が1つだけの波が起きている状況に対応する。''n'' > 1 は、節が''n'' 個の波に対応する。図全ての点の時間依存性が同一なので''T'' (''t'' ) を決めるにはある一点での振動のある時刻での位置と速度を与えればよい（実際にはある時刻で両方を与える必要はなく、違う時刻で1つずつ与えてもよい）。例えば、''t'' = 0, ''x'' = ''l'' /2 で、''u'' = 0, <math> \frac{\partial{u}}{\partial{t}} = a </math> （''a'' は定数）が与えられたとすると、 :<math> T(t) = A \sin (\omega t ) + B \cos (\omega t) </math> について、''B'' = 0, ω''A'' = ''a''または''A'' = ''a'' /ωが得られる。よって、この方程式の解は :<math> u(t,x) = \frac a \omega \sin (\omega t) \sin \left(\frac {\omega _n} v x \right) ,\qquad \omega _n = \frac {\pi v n} {l } </math> となる。 ==2次元平面中の波== ===2次元空間中の波動方程式=== 2次元平面中で、ある方向を''x'' 方向と取り、それと垂直な方向を''y'' 軸と取る。''x'' 軸と''y'' 軸をつけかえても方程式が変わらないことに注目すると、波動方程式は :<math> \frac 1 {v^2}\frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{y}^2} = 0 </math> となる。 *TODO 2次元平面中での固定端の定在波は、2つの整数を使って表わされること（変数分離）。2つの整数をm,nとしたときのm = 1,n=1の時などの図。 == 3次元空間中の波 == === 3次元空間中の波動方程式 === 3次元平面中で、ある方向に''x'' 軸を、それと垂直な方向に''y'' 軸を取り、それらが順に右手の親指、人差し指、中指に対応するように''z'' 軸を取る。それぞれの軸をつけかえても方程式が変わらないことに注目すると、波動方程式は :<math> \frac 1 {v^2}\frac{\partial^2{{}}}{\partial{t}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{x}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{y}^2} - \frac{\partial^2{{}}}{\partial{z}^2} = 0 </math> となる。 === 球面波 === :<math> \Delta r = \frac 1 r \frac{\partial^2{{}}}{\partial{r}^2} (rf ) </math> （''f'' は''r'' , ''t'' だけの関数。Δ はラプラシアン。）(?)このとき、与えられた波動方程式は、 :<math> \frac 1 {v^2}\frac{\partial^2{{f }}}{\partial{t}^2} - \frac 1 r \frac{\partial^2{{}}}{\partial{r}^2} (rf ) = 0 </math> となるが、ここで ''r f'' (''r'' , ''t'' ) についてはこの式は通常の1次元の波動方程式に対応する。よってこの方程式の解として :<math> f(r,t) = \frac 1 r u(r+ vt ) + \frac 1 r v(r-vt) </math> （''u'' , ''v'' は任意の関数）を得る。これらは球対称な波を表わすことから、球面波と呼ばれる。<!-- 外に出て行く波と中にはいって来る波にそれぞれ名前があったような...。 --> == 位相速度と群速度 == [[ファイル:Wave group.gif\|thumb\|400px\|水深が深い水の表面の水面波における、周波数分散を持つ波束（波群）を表したもの。<span style="border-bottom:solid 2px red;">赤点は'''位相速度'''</span>で動き、<span style="border-bottom:solid 2px lime;">緑点は'''群速度'''</span>で動いている。このように水深が深い場合には、水面では位相速度は群速度の二倍になる。図の左から右に動く間、赤点は緑点を二回追い越す。<br>波束の後方(の緑点)で新しい波が出現し、波束の中心に向かって振幅が大きくなり、波束の前方(の緑点)で消えているように見える。水面の重力波においては、ほとんどの場合、水粒子の速度は位相速度よりもずっと小さい。]] 光の場合で考えると分かりやすい。光の速度cは、角速度や周波数とは無関係である。なお、この、波における速度Aωを、'''位相速度'''という。位相速度は、情報を伝える速度ではない。実際に情報を伝えられる速度のことを'''群速度'''という。なお、また、ある波動が、複数個の正弦波を、足し合わせたり引き算したりしないと、数式で表現でないと場合、そのような波動を「分散のある」波動という。つまり、分散のある波動の、情報を伝えられる速度のことを、群速度という。 {{DEFAULTSORT:しんとうとはとうはとうほうていしきのせいしつ}} [[Category:振動と波動\|はとうほうていしきのせいしつ]] [[カテゴリ:微分方程式]]	2005-06-08T11:10:02Z	2024-03-16T02:59:26Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E6%8C%AF%E5%8B%95%E3%81%A8%E6%B3%A2%E5%8B%95/%E6%B3%A2%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F%E3%81%AE%E6%80%A7%E8%B3%AA
2,115	物理数学I	本項は物理学物理数学I の解説です。	[ { "paragraph_id": 0, "tag": "p", "text": "本項は物理学物理数学I の解説です。", "title": "" } ]	本項は物理学物理数学I の解説です。解析学 1変数の計算多変数関数の微積分数列の収束線形代数行列の定義と特別な行列逆行列の一般形 2次形式行列の対角化微分方程式微分方程式の定義微分方程式の解法解の一意性線形微分方程式ベクトル解析ベクトル関数の定義テンソル代数多変数関数の積分直交座標系でないときの計算複素解析の前までを物理数学Iの範囲とする。	{{Pathnav\|メインページ\|自然科学\|物理学\|frame=1\|small=1}} 本項は物理学物理数学I の解説です。 * [[物理数学I 解析学\|解析学]] [[物理数学I 解析学#1変数の計算\|1変数の計算]] [[物理数学I 解析学#多変数関数の微積分\|多変数関数の微積分]] ** [[物理数学I 解析学#数列の収束\|数列の収束]] * [[物理数学I 線形代数\|線形代数]] [[物理数学I 線形代数#行列の定義と特別な行列\|行列の定義と特別な行列]] [[物理数学I 線形代数#逆行列の一般形\|逆行列の一般形]] [[物理数学I 線形代数#2次形式\|2次形式]] [[物理数学I 線形代数#行列の対角化\|行列の対角化]] * [[物理数学I 微分方程式\|微分方程式]] [[物理数学I 微分方程式#微分方程式の定義\|微分方程式の定義]] [[物理数学I 微分方程式#微分方程式の解法\|微分方程式の解法]] [[物理数学I 微分方程式#解の一意性\|解の一意性]] [[物理数学I 微分方程式#線形微分方程式\|線形微分方程式]] * [[物理数学I ベクトル解析\|ベクトル解析]] [[物理数学I ベクトル解析#ベクトル関数の定義\|ベクトル関数の定義]] [[物理数学I ベクトル解析#テンソル代数\|テンソル代数]] [[物理数学I ベクトル解析#多変数関数の積分\|多変数関数の積分]] [[物理数学I ベクトル解析#直交座標系でないときの計算\|直交座標系でないときの計算]] 複素解析の前までを[[物理数学I]]の範囲とする。 ==関連教科書== [[物理数学II]] [[Category:物理学\|ふつりすうかく1]] [[Category:数学\|ふつりすうかく1]]	2005-06-09T12:57:32Z	2024-03-16T06:15:11Z	[ "テンプレート:Pathnav" ]	https://ja.wikibooks.org/wiki/%E7%89%A9%E7%90%86%E6%95%B0%E5%AD%A6I