సమబాహు త్రిభుజం

జ్యామితి లో "సమబాహు త్రిభుజం" అనగా మూడు భుజాలు సమానంగా ఉన్న త్రిభుజం. సాంప్రదాయకంగా లేదా యూక్లీడియన్ జ్యామితిలో "సమబాహు త్రిభుజం" అనగా "సమకోణ త్రిభుజం" అని అర్థము. దానిలోని అన్ని అంతర కోణాలు సమానంగా ఉండి ప్రతి కోణం విలువ 60° ఉంటుంది. ఈ త్రిభుజాలు క్రమ బహుభుజులైనందిన వీటిని క్రమ త్రిభుజాలు అనవచ్చును.
ముఖ్య ధర్మములు
300px|thumb|సమబాహు త్రిభుజం
ఒక సమబాహు త్రిభుజం లోని ప్రతి భుజం కొలత a అయితే మనం పైథాగరియన్ సిద్ధాంతం ఉపయోగించి ఈ క్రింది విషయాలు కనుగొనవచ్చు. అవి:
 వైశాల్యం 
 చుట్టు కొలత 
 పరివృత్త వ్యాసార్థం 
 అంతర వృత్త కేంద్రం 
 త్రిభుజ జ్యామితీయ కేంద్రం దాని పరివృత్త కేంద్రము లేదా అంతర వృత్త కేంద్రము అవుతుంది.
 త్రిభుజం లోని ఒక భుజం నుండి ఉన్నతి .

అనేక పరిమాణాల విలువలు దాని ఉన్నతి ("h")తో సాధారణ సంబంధాలతో కూడి ఉంటాయి.ఉన్నతి అనగా ఏదైనా శీర్షం నుండి ఎదుటి భుజానికి గీయబడిన లంబం.
 వైశాల్యం 
 ప్రతి భుజం నుండి దాని కేంద్రానికి గల ఎత్తు. 
 దాని పరివృత్త వ్యాసార్థం 
 దాని అంతర వృత్త వ్యాసార్థం 

సమబాహు త్రిభుజంలో ఉన్నతులు, కోణ సమద్విఖండన రేఖలు, లంబ సమద్విఖండన రేఖలు, మద్యగత రేఖలు అన్నీ మిళితములు.
ఉపయోగించే పదాలు
ఒక త్రిభుజం ABC లో భుజాలు a, b, c లు, అర్థ చుట్టుకొలత s, వైశాల్యము T, బాహ్య వృత్త వ్యాసార్థాలు ra, rb, rc ( a, b, c ల స్పర్శరేఖలు వరుసగా ), R, r లు పరివృత్త, అంతరవృత్త వ్యాసార్థాలు . ప్రతి సమబాహు త్రిభుజం ఈ క్రింది ఎనిమిది వర్గాలలో ఏదైనా ఒక దానికి పాటిస్తుంది. ఈ క్రింది లక్షణాలు కూడా సమబాహు త్రిభుజానికి చెందినవే.
భుజములు

M. Bencze, Hui-Hua Wu and Shan-He Wu, "An equivalent form of fundamental triangle inequality and its applications", Research Group in Mathematical Inequalities and Applications, Volume 11, Issue 1, 2008, 

అర్థ చుట్టుకొలత
G. Dospinescu, M. Lascu, C. Pohoata & M. Letiva, "An elementary proof of Blundon's inequality", Journal of inequalities in pure and applied mathematics, vol. 9, iss. 4, 2008,  
Blundon, W. J., "On Certain Polynomials Associated with the Triangle", Mathematics Magazine, Vol. 36, No. 4 (Sep., 1963), pp. 247-248.
Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B., When less is more. Visualizing basic inequalities, Mathematical Association of America, 2009, pp. 71, 155.

కోణములు

వైశాల్యం
Cam McLeman & Andrei Ismail, "Weizenbock's inequality", PlanetMath,  .

పరివృత్త వ్యాసార్థము, అంతరవృత్త వ్యాసార్థము, బాహ్య వృత్త వ్యాసార్థాలు

Pohoata, Cosmin, "A new proof of Euler's inradius - circumrdius inequality", Gazeta Matematica Seria B, no. 3, 2010, pp. 121-123, .

సమాన కొలతలు
మూడు రకాల కొలతలు సమబాహు త్రిభుజాలలో ఒకే విధంగా ఉంటాయి.:Byer, Owen; Lazebnik, Felix and Smeltzer, Deirdre, Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, 2010, pp. 36, 39.
 మూడు ఉన్నతుల పొడవులు సమానము.
 మూడు మధ్యగత రేఖల పొడవులు సమానము.
 మూడు కోణ సమద్విఖండన రేఖల పొడవులు సమానము.

ఏకీభవించిన త్రిభుజ కేంద్రాలు
ప్రతి త్రిభుజ కేంద్రము దాని గురుత్వ కేంద్రం తో ఏకీభవిస్తుంది. వివిధ త్రిభుజ కేంద్రాలు ఒకే దగ్గర ఏకీభవిస్తే అది సమబాహు త్రిభుజం అవుతుంది. ఒక త్రిభుజం సమబాహు అగుటకు దాని పరివృత్త కేంద్రము, అంతరవృత కేంద్రము కూడా ఏకీభవిస్తాయి. ఉన్నతులు, గురుత్వ కేంద్రము కూడా ఏకీభవిస్తాయి..Yiu, Paul, Notes on Euclidean Geometry, 1998, p. 37,  It is also equilateral if its circumcenter coincides with the Nagel point, or if its incenter coincides with its nine-point center.Andreescu, Titu and Andrica, Dorian, "Complex Numbers from A to...Z", Birkhäuser, 2006, pp. 70, 113-115.

Six triangles formed by partitioning by the medians

For any triangle, the three medians partition the triangle into six smaller triangles.

A triangle is equilateral if and only if any three of the smaller triangles have either the same perimeter or the same inradius.Cˇerin, Zvonko, "The vertex-midpoint-centroid triangles", Forum Geometricorum 4, 2004: pp. 97–109.

A triangle is equilateral if and only if the circumcenters of any three of the smaller triangles have the same distance from the centroid.

జ్యామితీయ నిర్మాణము
200px|thumb|right|Construction of equilateral triangle with compass and straightedge
An equilateral triangle is easily constructed using a compass and straightedge. Draw a straight line, and place the point of the compass on one end of the line, and swing an arc from that point to the other point of the line segment. Repeat with the other side of the line. Finally, connect the point where the two arcs intersect with each end of the line segment

Alternate method:

Draw a circle with radius r, place the point of the compass on the circle and draw another circle with the same radius. The two circles will intersect in two points. An equilateral triangle can be constructed by taking the two centers of the circles and either of the points of intersection.

The proof that the resulting figure is an equilateral triangle is the first proposition in Book I of Euclid's Elements.
center

సమాజం, సంస్కృతిలో
Equilateral triangles have frequently appeared in man made constructions:
Some archaeological sites have equilateral triangles as part of their construction, for example Lepenski Vir in Serbia.

వైశాల్యం యొక్క సమీకరణ ఉత్పాదన
పైధాగరస్ సిద్ధాంతం ఉపయోగించి
The area of a triangle is half the base a times the height h,

thumb|150px|An equilateral triangle with a side of 2 has a height of  and the sine of 60° is /2.
The legs of the right triangle are half of the base and the height, while the hypotenuse is the side or base of the equilateral triangle. The height of an equilateral triangle can be found using the Pythagorean theorem

The equation can be rearranged to find the square of the height

The height is the square root of the equation. Thus

By substituting , the formula for the area of an equilateral triangle can be derived according to

త్రికోనమితి ఉపయోగించి
Using trigonometry, the area of a triangle with any two sides a and b, and an angle C between them is

Each angle of an equilateral triangle is 60°, so

The sine of 60° is . Thus

since all sides of an equilateral triangle are equal.

ఇవి కూడా చూడండి

మూలాలు

ఇతర లింకులు

Category:త్రిభుజాలు
Category:త్రిభుజాల జ్యామితి