PL9fwy3NUQKwZHPs6l8Fr-st-8cVJxmVek/XjWoXKhuE-o.srt

1
00:00:21,090 --> 00:00:26,570
إذن في المحاضرة هذه إن شاء الله هنحل بعض التمارين

2
00:00:26,570 --> 00:00:35,250
للـ homework اللي تابع لـ section ثلاثة واحد وثلاثة 

3
00:00:35,250 --> 00:00:44,390
اثنين فأزملتكم سألوا عن ال .. نحن نحل السؤال 13

4
00:00:44,390 --> 00:00:46,030
section ثلاثة واحد

5
00:00:49,430 --> 00:01:15,310
نكتب السؤال على اللوحة section

6
00:01:15,310 --> 00:01:25,990
السؤال 13 section ثلاثة واحد أنا 

7
00:01:25,990 --> 00:01:31,150
عندي b is real number أكبر من صفر أصغر من واحد

8
00:01:31,150 --> 00:01:36,010
وبينا 

9
00:01:36,010 --> 00:01:40,990
نثبت show أن الـ limit

10
00:01:44,880 --> 00:01:53,020
للـ sequence اللي الحد العام تبعها n في b to n لما 

11
00:01:53,020 --> 00:02:03,560
n تؤول إلى infinity يساوي صفر والكتاب جايب لكم

12
00:02:03,560 --> 00:02:08,840
use الـ binomial theorem كما في مثال 3-1-11 الجزء

13
00:02:08,840 --> 00:02:16,010
develop حاولتم تستخدموا نفس أسلوب البرهان تبع

14
00:02:16,010 --> 00:02:20,350
المثال اللي استخدمنا فيه الـ binomial theorem

15
00:02:20,350 --> 00:02:28,550
فهتصلوا للنتيجة فهي البرهان نشوف

16
00:02:28,550 --> 00:02:32,170
كيف نستخدم الـ binomial theorem في الوصول إلى 

17
00:02:32,170 --> 00:02:40,300
المطلوب أنا عندي من الفرض صفر أصغر من b أصغر من

18
00:02:40,300 --> 00:02:48,300
واحد هذا يؤدي أن واحد على b أكبر من واحد

19
00:02:48,300 --> 00:02:55,500
وبالتالي هذا يؤدي أن واحد على b سالب واحد أكبر

20
00:02:55,500 --> 00:03:08,230
من صفر إذا نأخذ let let a خليني أعرف عدد a على أنه 

21
00:03:08,230 --> 00:03:13,850
العدد الموجب واحد على b سالب واحد طبعا هذا عدد

22
00:03:13,850 --> 00:03:20,110
موجب حسب ما شفنا وهذا

23
00:03:20,110 --> 00:03:28,210
يؤدي أن العدد لو حليت المعادلة هذه في b فهيطلع

24
00:03:28,210 --> 00:03:38,250
b يساوي واحد على واحد زائد الـ a وبالتالي 

25
00:03:38,250 --> 00:03:49,150
so by الـ binomial باستخدام

26
00:03:49,150 --> 00:03:59,120
الـ binomial theorem أنا عندي واحد زائد a الكل أس n

27
00:03:59,120 --> 00:04:09,300
يساوي واحد زائد n في a زائد نصف n في n سالب واحد

28
00:04:09,300 --> 00:04:17,800
في a تربيع زائد وهكذا تمام

29
00:04:17,800 --> 00:04:24,890
إلى آخر حد طبعا هيكون a to n هذا بالضبط زي ما عملنا 

30
00:04:24,890 --> 00:04:31,950
في مثال ثلاثة وبالتالي

31
00:04:31,950 --> 00:04:42,090
هذا يؤدي من هنا هذا

32
00:04:42,090 --> 00:04:51,620
المجموعة بيطلع أكبر من أو يساوي نصف n في n سالب

33
00:04:51,620 --> 00:05:00,000
واحد في a تربيع يعني أنا أخذت بس الحد الثالث من

34
00:05:00,000 --> 00:05:05,120
المجموعة دي المجموعة طبعا مجموعة أعداد موجبة كلها 

35
00:05:05,120 --> 00:05:10,180
فالمجموعة دي بالتأكيد أكبر من أو يساوي الحد الثالث

36
00:05:10,180 --> 00:05:14,740
في a تربيع هذا صحيح مافيش مشكلة تمام

37
00:05:17,950 --> 00:05:33,450
وبالتالي إذا n في b أس n إيش بيساوي؟ بيساوي n على

38
00:05:33,450 --> 00:05:43,480
واحد زائد a الكل أس n صح؟ هذه b فـ b أس n يساوي واحد

39
00:05:43,480 --> 00:05:50,900
على واحد زائد a to n وأضرب في n فبيصير هيك طيب

40
00:05:50,900 --> 00:05:58,560
من هنا مقلوب واحد زائد a الكل أس n هيطلع أصغر من أو

41
00:05:58,560 --> 00:06:09,580
يساوي مقلوب العدد هذا إذا هذا أصغر من أو يساوي n

42
00:06:14,820 --> 00:06:20,480
على n في 

43
00:06:20,480 --> 00:06:28,380
n سالب واحد في .. في n سالب واحد في a تربيع على

44
00:06:28,380 --> 00:06:38,980
اثنين وفي عندنا كمان n العكس

45
00:06:38,980 --> 00:06:39,600
العكس

46
00:06:46,180 --> 00:06:55,020
هي عندي n ومقلوب هذا بيطلع اثنين n في n سالب واحد

47
00:06:55,020 --> 00:07:01,760
في a تربيع تمام؟ إذا هذا إيجى من هنا الآن بختصر الـ

48
00:07:01,760 --> 00:07:12,620
n مع الـ n فهدا بيطلع اثنين على n سالب واحد في a

49
00:07:12,620 --> 00:07:14,040
تربيع تمام؟

50
00:07:16,500 --> 00:07:23,140
الآن هذا الكلام صحيح لكل n أكبر من واحد طبعا ممنوع

51
00:07:23,140 --> 00:07:27,100
نأخذ n يساوي واحد لأن في الحالة هذه بيصير في قسمة

52
00:07:27,100 --> 00:07:31,780
على صفر لأن لكل الأعداد الطبيعية n أكبر من واحد n

53
00:07:31,780 --> 00:07:36,980
في b to n بيطلع أصغر من أو يساوي اثنين على n سالب

54
00:07:36,980 --> 00:07:44,420
واحد في a تربيع الآن تعالوا نثبت أن الـ limit للـ

55
00:07:44,420 --> 00:07:46,240
sequence هذه يساوي صفر

56
00:07:50,790 --> 00:07:57,390
هنستخدم تعريف epsilon capital N لـ limit إذن let 

57
00:07:57,390 --> 00:08:02,090
epsilon let 

58
00:08:02,090 --> 00:08:12,830
epsilon أكبر من صفر be given

59
00:08:12,830 --> 00:08:19,210
Archimedean property by Archimedean property حسب

60
00:08:19,210 --> 00:08:25,750
خاصية أرخميدس يوجد نقدر نلاقي عدد طبيعي capital

61
00:08:25,750 --> 00:08:34,530
N ينتمي إلى N يعتمد طبعا على إبسلون بحيث أن مقلوب 

62
00:08:34,530 --> 00:08:41,590
capital N أصغر من a تربيع في إبسلون على اثنين

63
00:08:49,130 --> 00:08:54,230
الـ a تربيع عدد موجب إبسلون على اثنين عدد موجب إذا هذا 

64
00:08:54,230 --> 00:09:00,830
عدد موجب الـ Archimedean property بتقول لأي عدد 

65
00:09:00,830 --> 00:09:05,450
موجب زي هذا بقدر ألاقي عدد طبيعي capital N مقلوبه

66
00:09:05,450 --> 00:09:09,250
وأصغر من العدد الموجب وبالتالي capital N هذا زي ما

67
00:09:09,250 --> 00:09:13,510
أنتم شايفين مرتبط بإبسلون بالمتباينة هذه وبالتالي 

68
00:09:13,510 --> 00:09:18,970
capital N هذا depends أو يعتمد على إبسلون okay إذا

69
00:09:18,970 --> 00:09:22,510
هذا من الـ Archimedean Property طب ليش أنا اخترت

70
00:09:22,510 --> 00:09:29,930
هذا العدد عشان نخلي المسافة بين xn و 0 أصغر من إبسلون

71
00:09:29,930 --> 00:09:38,290
فركبناها أو ركبناها عشان نصل لإيه الهدف هذا تعالوا 

72
00:09:38,290 --> 00:09:46,950
نشوف إذا hence وبالتالي hence بناء على ذلك لو أخذت 

73
00:09:46,950 --> 00:09:57,950
n أكبر من capital N هذا يؤدي أن n سالب واحد أكبر

74
00:09:57,950 --> 00:10:08,270
من أو يساوي capital N وهذا يؤدي أن absolute n في b

75
00:10:08,270 --> 00:10:16,690
to n سالب صفر إيش هذا بيساوي؟ بيساوي n في b to n لأن

76
00:10:16,690 --> 00:10:26,710
هذا عدد موجب ومن هنا من هنا n في b to n أصغر من أو

77
00:10:26,710 --> 00:10:33,690
يساوي اثنين على n

78
00:10:33,690 --> 00:10:40,750
سالب واحد في a تربيع وهذا 

79
00:10:40,750 --> 00:10:42,390
أصغر من أو يساوي

80
00:10:50,580 --> 00:11:00,000
هذا أصغر من أو يساوي واحد على capital N في اثنين

81
00:11:00,000 --> 00:11:11,660
على a تربيع يعني

82
00:11:11,660 --> 00:11:19,140
أنا من هنا من واحد على n سالب واحد مقلوب n سالب

83
00:11:19,140 --> 00:11:27,000
واحد هيطلع أعظم أو يساوي مقلوب capital N وهذا

84
00:11:27,000 --> 00:11:33,400
عبارة عن واحد على n سالب واحد اثنين على a تربيع

85
00:11:36,970 --> 00:11:42,010
فمقلوب n سالب واحد أصغر من أو يساوي مقلوب capital N

86
00:11:42,010 --> 00:11:51,630
في اثنين على a تربيع تمام؟ شفتم من أين أتيت؟

87
00:11:51,630 --> 00:11:58,690
طيب أنا من هنا من هنا واحد مقلوب capital N أصغر من

88
00:11:58,690 --> 00:12:09,470
a تربيع في إبسلون على اثنين ضربت اثنين على a تربيع

89
00:12:09,470 --> 00:12:13,630
إذا شوفتم ليه أخذت n هنا a تربيع في إبسلون على 

90
00:12:13,630 --> 00:12:19,210
اثنين عشان أختصر a تربيع مع a تربيع واثنين مع

91
00:12:19,210 --> 00:12:26,870
اثنين ويبقى إبسلون إذا

92
00:12:26,870 --> 00:12:35,170
ماذا أثبتنا؟ أثبتنا أن لأي given إبسلون عدد موجب

93
00:12:35,980 --> 00:12:42,520
يوجد capital N تعتمد على epsilon بحيث لكل n أكبر

94
00:12:42,520 --> 00:12:48,260
من capital N طلع عندي المسافة بين الحد العام للـ

95
00:12:48,260 --> 00:12:51,900
sequence اللي هو n في b to n والـ limit المنشودة اللي 

96
00:12:51,900 --> 00:12:57,860
هي صفر المسافة بينهم طلعت أصغر من epsilon إذا حسب 

97
00:12:57,860 --> 00:13:03,100
تعريف epsilon capital N للـ limit هذا معناه أن الـ

98
00:13:03,100 --> 00:13:06,720
limit بما أن هذا صحيح لأي epsilon، epsilon was

99
00:13:06,720 --> 00:13:11,540
arbitrary إذاً هيك ممكن أثبتنا إن limit n في b to

100
00:13:11,540 --> 00:13:16,760
n as n tends to infinity يساوي صفر وهو المطلوب

101
00:13:16,760 --> 00:13:22,640
okay تمام؟ إذاً

102
00:13:22,640 --> 00:13:27,950
هنا استخدمنا الـ binomial theorem ساعدتني في الوصول

103
00:13:27,950 --> 00:13:33,590
للمتباينة هذه والوصول للمتباينة هذه اللي احنا 

104
00:13:33,590 --> 00:13:42,730
استخدمناها في البرهان سهلة البرهان تمام بفهم 

105
00:13:42,730 --> 00:13:45,970
الخطوة هذه أقول أن الـ limit يعني آخذ الـ limit 

106
00:13:45,970 --> 00:13:49,750
للتربيع أقول أن واحد على n ناقص الواحد ماهي close

107
00:13:49,750 --> 00:13:55,840
to zero إذا الـ limit المقدار من أين المتباينة؟ هذه؟

108
00:13:55,840 --> 00:14:02,160
بنفع آه بنفع يعني أنت عندك هنا ممكن واحد يستخدم الـ

109
00:14:02,160 --> 00:14:08,980
sandwich أو الـ squeeze theorem فبدل ما نستخدم

110
00:14:08,980 --> 00:14:15,680
تعريف epsilon capital N نيجي نقول أن الآن أنا 

111
00:14:15,680 --> 00:14:25,150
عندي هذه n في b to n طلعت أصغر من أو يساوي اثنين على

112
00:14:25,150 --> 00:14:31,450
n سالب واحد في a تربيع وطبعا بالتأكيد هذا أكبر من 

113
00:14:31,450 --> 00:14:35,390
أو يساوي صفر لأن الـ n عدد موجب والـ b to n عدد موجب

114
00:14:35,390 --> 00:14:43,530
وهذا صحيح لكل n أكبر من واحد الآن هذا عبارة عن 

115
00:14:43,530 --> 00:14:47,410
sequence هي الحد العام تبعها لما n تؤول إلى infinity

116
00:14:47,410 --> 00:14:52,230
مقلوب n سالب واحد تؤول إلى infinity وبالتالي مقلوبها 

117
00:14:52,230 --> 00:14:55,990
تؤول إلى infinity في ثابت موجب اثنين على a تربيع

118
00:14:55,990 --> 00:15:01,570
عفوا لما n تؤول إلى infinity المقام بيروح لـ infinity

119
00:15:01,570 --> 00:15:07,110
وبالتالي مقلوبه وبيروح لـ صفر تمام؟

120
00:15:16,990 --> 00:15:22,190
إذن هذه الـ sequence تؤول إلى 0 نهايتها 0 وهذه الـ

121
00:15:22,190 --> 00:15:26,970
constant sequence 0 نهايتها 0 إذن by squeeze 

122
00:15:26,970 --> 00:15:30,410
theorem limit الـ sequence هذه يساوي 0 وبلاش 

123
00:15:30,410 --> 00:15:35,350
نستخدم تعريف epsilon capital N لكن هذا السؤال في 

124
00:15:35,350 --> 00:15:39,750
section 3-1 ما كناش واخدين الـ squeeze theorem فلازم

125
00:15:39,750 --> 00:15:43,770
نحلها على طريقة باستخدام الـ definition لكن لو 

126
00:15:43,770 --> 00:15:48,910
في الامتحان وممكن ما تفرقش أنت متعلم الـ definition 

127
00:15:48,910 --> 00:15:52,630
ومتلم الـ squeeze theorem واستخدم أي طريقة 

128
00:15:52,630 --> 00:15:58,330
تعجبك okay تمام في

129
00:15:58,330 --> 00:16:01,010
أسئلة ثانية في حد عنده أي سؤال ثاني في section 

130
00:16:01,010 --> 00:16:07,890
ثلاثة واحد وثلاثة اثنين تفضلي في أي section ثلاثة

131
00:16:07,890 --> 00:16:10,510
واحد طيب ماشي الحال

132
00:16:50,410 --> 00:17:09,310
السؤال عشرة section ثلاثة واحد السؤال هذا بيقول if

133
00:17:09,310 --> 00:17:20,060
limit sequence xn يساوي x والـ x هذا أكبر من

134
00:17:20,060 --> 00:17:24,880
الصفر then

135
00:17:24,880 --> 00:17:29,340
then

136
00:17:29,340 --> 00:17:36,780
there exist يوجد capital N عدد طبيعي أو capital M

137
00:17:36,780 --> 00:17:48,170
natural number عدد طبيعي such that xn أكبر من الصفر

138
00:17:48,170 --> 00:18:08,950
لكل n أكبر من أو يساوي m لت

139
00:18:08,950 --> 00:18:13,250
y أكبر من الصفر be given

140
00:18:17,620 --> 00:18:23,600
خذ أي إبسلون أكبر من الصفر إذن 

141
00:18:23,600 --> 00:18:30,900
إبسيلون على اتنين برضه بيطلع عدد موجب طيب

142
00:18:30,900 --> 00:18:38,880
احنا فرضنا ان limit xn بيساوي x إذن since xn 

143
00:18:38,880 --> 00:18:44,960
converges to x وهي إبسيلون على اتنين عدد أكبر من 

144
00:18:44,960 --> 00:18:54,480
الصفر إذا يوجد M عدد طبيعي يعتمد على 

145
00:18:54,480 --> 00:18:58,840
إبسيلون عدد

146
00:18:58,840 --> 00:19:05,140
طبيعي بحيث أنه لكل N أكبر من أو يساوي M

147
00:19:05,140 --> 00:19:33,800
تطلع المسافة من xn إلى x أصغر من إبسيلون على اتنين طيب

148
00:19:33,800 --> 00:19:34,980
أنا ال epsilon هذا

149
00:19:37,520 --> 00:19:44,200
ممكن آخده أنا عندي من الفرض x أكبر من 0 فممكن آخد

150
00:19:44,200 --> 00:19:49,640
ال epsilon هذا بيساوي x بيساوي

151
00:19:49,640 --> 00:19:56,480
x أنا

152
00:19:56,480 --> 00:20:04,400
ممكن آخد ال epsilon بيساوي x أو حتى x على 2 أو x على 2

153
00:20:04,400 --> 00:20:10,380
هذا بالتأكيد الإبسيلون هذا هو عدد موجب اعتبره هو 

154
00:20:10,380 --> 00:20:15,660
given وبالتالي

155
00:20:15,660 --> 00:20:20,580
أنا أخذت الآن إبسيلون = x عدد موجب إذا x على اتنين عدد

156
00:20:20,580 --> 00:20:26,270
موجب وأخذت إبسيلون عبارة عن x على اتنين فاعتبر هذا given

157
00:20:26,270 --> 00:20:31,070
إبسيلون إبسيلون معطى مُسبقا فحسب التعريف بما أن x

158
00:20:31,070 --> 00:20:34,390
in converges to x إذا يوجد عدد طبيعي يعتمد على

159
00:20:34,390 --> 00:20:38,710
إبسيلون بحيث لكل n أكبر من أو يساوي M

160
00:20:38,710 --> 00:20:45,730
المسافة هذه أصغر من إبسيلون الآن عوض عن إبسيلون

161
00:20:45,730 --> 00:20:54,490
بيساوى x على 2 فهذا يؤدي الآن فك ال absolute value

162
00:20:54,490 --> 00:21:03,070
فبيطلع عندي xn - x أصغر من x على 2 وأكبر من -x

163
00:21:03,070 --> 00:21:08,570
على 2، مظبوط؟

164
00:21:08,570 --> 00:21:15,370
طيب

165
00:21:15,370 --> 00:21:17,790
لو أخذت هذا الجزء من المتباينة

166
00:21:20,790 --> 00:21:28,770
فبيصير عندي xn أكبر من وادي x على الناحية التالية

167
00:21:28,770 --> 00:21:38,050
أكبر من x - x على 2 وبالتالي

168
00:21:38,050 --> 00:21:46,710
إذا أنا عندي هي xn أكبر من x على 2 وهذا أكبر من 

169
00:21:46,710 --> 00:21:57,210
الصفر تمام؟ وهذا صحيح إذا طلع عندي xn أكبر من الصفر

170
00:21:57,210 --> 00:22:07,170
وهذا صحيح لكل n أكبر من أو يساوي M وهو

171
00:22:07,170 --> 00:22:12,630
المطلوب تمام إذا هنا استخدمنا تعريف epsilon M

172
00:22:12,630 --> 00:22:19,690
وهنا استنتجنا إن لازم xn يطلع أكبر من الصفر لكل

173
00:22:19,690 --> 00:22:32,210
n أكبر من أو يساوي M تمام واضح البرهان طيب

174
00:22:32,210 --> 00:22:34,110
في أي أسئلة تانية؟

175
00:22:37,830 --> 00:22:48,330
section ثلاثة اثنين مين

176
00:22:48,330 --> 00:22:54,390
عنده سؤال أي سؤال في أي section ثلاثة اثنين ثلاثة

177
00:22:54,390 --> 00:23:03,070
اثنين سبعة عشر

178
00:23:03,070 --> 00:23:05,150
section ثلاثة اثنين

179
00:23:40,180 --> 00:23:44,200
أنا في عندي هنا sequence of positive real numbers

180
00:23:44,200 --> 00:23:55,680
إذا xn حدودها موجبة بقى لكل n such

181
00:23:55,680 --> 00:24:00,560
that limit ل

182
00:24:00,560 --> 00:24:11,550
xn زائد واحد على xn لما n تؤول إلى infinity بيساوي عددًا

183
00:24:11,550 --> 00:24:20,550
أكبر من واحد والمقلوب show اثبت في الحالة هذه أن

184
00:24:20,550 --> 00:24:25,750
ال sequence

185
00:24:25,750 --> 00:24:30,170
xn is

186
00:24:30,170 --> 00:24:34,350
unbounded is not bounded

187
00:24:38,480 --> 00:24:46,100
and hence not

188
00:24:46,100 --> 00:24:53,460
convergent لأن لو كانت convergent بتطلع bounded

189
00:25:13,370 --> 00:25:17,190
يعني من الشرط هذا ممكن نثبت أن ال sequence

190
00:25:17,190 --> 00:25:21,290
increasing متزايدة

191
00:26:05,950 --> 00:26:08,750
أه ..

192
00:26:31,500 --> 00:26:38,240
ممكن نعمل برهان بالـ ... بالتناقض نفترض

193
00:26:38,240 --> 00:26:48,640
أنها bounded وممكن نصل لتناقض من تعريف الـ ... هنا

194
00:26:48,640 --> 00:26:56,680
ال sequence هذه of quotient convergent لعدد L أكبر

195
00:26:56,680 --> 00:27:00,220
من واحد ممكن باستخدامه

196
00:27:02,850 --> 00:27:14,250
باستخدام تعريف ال convergence زائد أو

197
00:27:14,250 --> 00:27:18,390
ممكن من الفرض هذا نثبت أنه ال sequence unbounded

198
00:27:18,390 --> 00:27:22,870
أو ممكن بالتناقض إما باستخدام تعريف epsilon

199
00:27:22,870 --> 00:27:29,600
N من ال convergence هذانعمل برهان بالتناقض

200
00:27:29,600 --> 00:27:35,560
لنصل إلى حاجة يعني تتناقض مع الفرض اللي هنا على أي 

201
00:27:35,560 --> 00:27:40,540
حال أنا هأسيب في حد يحل السؤال هذا طيب أنا هأسيبكم

202
00:27:40,540 --> 00:27:45,320
تفكروا فيه وتقرؤوا برهان شوفوا برهان أنا في

203
00:27:45,320 --> 00:27:49,380
البرهان النظرية هذه اللي كنت قلت لكم اقرؤوا

204
00:27:49,380 --> 00:27:54,650
فحاولوا إنكم تستفيدوا من البرهان تبع النظرية اللي

205
00:27:54,650 --> 00:27:57,930
كانت بتقول إن لو كانت ال limit هذه بيساوي L أصغر من

206
00:27:57,930 --> 00:28:03,370
واحد فبتطلع ال sequence convergent للصفر فإقرأوا

207
00:28:03,370 --> 00:28:08,710
البرهان تبع النظرية هذه وشوفوا كيف يعني النظرية

208
00:28:08,710 --> 00:28:12,750
هذه أثبتت وشوفوا لو كان ال L أكبر من واحد كيف

209
00:28:12,750 --> 00:28:17,450
بيطلع البرهان إيش اللي بيخلي البرهان هذا يبطل صحيح

210
00:28:18,870 --> 00:28:23,230
أه فعيدوا قراءته وحاولكم تحلوه وإذا ما حلتوهوش

211
00:28:23,230 --> 00:28:27,290
يعني المرة الجاية ممكن نحله مع بعض أه ماشي الحال

212
00:28:27,290 --> 00:28:30,470
فإقرأوا

213
00:28:30,470 --> 00:28:35,150
برهان النظرية اللي سيبنا قلنا لكم برهانها موجود

214
00:28:35,150 --> 00:28:38,030
في الكتاب وبدي إنكم تقرأوا تفهموا هل قرأتوا 

215
00:28:38,030 --> 00:28:45,010
البرهان؟ حاولوا تقرأوا إيه حاولوا تتعملوا إيه تشوفوا

216
00:28:45,010 --> 00:28:50,070
وين في البرهان الـ L أكبر من واحد بتخلي البرهان

217
00:28:50,070 --> 00:28:55,050
يبطل صح وين المشكلة وشوفوا 

218
00:28:55,050 --> 00:28:58,210
إذا كانوا تقدروا تحلو ولا لأ إذا أنا هأسيبكم 

219
00:28:58,210 --> 00:29:02,610
تفكروا فيه مرة تانية وتحاولوا تحلوه إذا ما عرفتووش

220
00:29:02,610 --> 00:29:09,110
ممكن نحله مرة تانية أو في المرة القادمة نعم مين

221
00:29:09,110 --> 00:29:13,190
اللي بتحكي هذه ما حدش لو سمحت تحكي إلا غير ترفع

222
00:29:13,190 --> 00:29:18,790
يدها الأول وبعدين تكلم طيب إذا هذا السؤال 

223
00:29:18,790 --> 00:29:22,510
هنسيبكم يتفكروا فيه مرة تانية في أي أسئلة تانية

224
00:29:22,510 --> 00:29:26,710
section ثلاثة اثنين أو ثلاثة واحد

225
00:29:45,050 --> 00:29:50,450
في حد عندها سؤال في نفس

226
00:29:50,450 --> 00:29:55,770
ال section نعم فالقاعدة ما أعطينا sequence إنه احنا

227
00:29:55,770 --> 00:29:59,390
نشوف إذا هي تتقارب ولا تتباعد استخدمت ال ratio test

228
00:29:59,390 --> 00:30:04,310
نعم طلعت ال limit بتساوي واحد واحنا الشرط إن تكون

229
00:30:04,310 --> 00:30:09,790
ال limit أقل من واحد صح فالقاعدة هذه بتطلع تطلع ال

230
00:30:09,790 --> 00:30:12,430
limit ل sequence لو معطينيها تساوي صفر

231
00:30:15,730 --> 00:30:21,110
لأ لازم يكون أصغر من واحد ما بتساويش الواحد معناته

232
00:30:21,110 --> 00:30:26,150
ال test بيفشل لأ هي تساوي واحد إذا بالتساوي واحد

233
00:30:26,150 --> 00:30:33,430
ارجعي لهي تمرين 16 بقول إذا كانت ال limit بالتساوي

234
00:30:33,430 --> 00:30:38,710
واحد فممكن 

235
00:30:38,710 --> 00:30:41,650
تكون ال sequence convergent أو divergent يعني هذا

236
00:30:41,650 --> 00:30:46,920
ال test ال ratio test بيفشل هي في سؤال 16 هتجيب

237
00:30:46,920 --> 00:30:52,480
بمثالين أول شيء إذا كانت ال limit هذه بالتساوي واحد 

238
00:30:52,480 --> 00:30:59,740
فهتجيب بمثالين ال limit تبع ال quotient تبع كل 

239
00:30:59,740 --> 00:31:03,220
واحدة بالتساوي واحد لكن واحدة convergent واحدة

240
00:31:03,220 --> 00:31:08,140
divergent وبالتالي ال test هذا بيفشل إذا كانت ال L

241
00:31:08,140 --> 00:31:12,420
بالتساوي واحد أما لو كانت ال L أصغر من واحد فال

242
00:31:12,420 --> 00:31:16,400
sequence xn بتطلع convergent للصفر إذا كان ال L 

243
00:31:16,400 --> 00:31:21,740
أكبر من 1 فال sequence بتطلع divergent okay تمام

244
00:31:21,740 --> 00:31:30,340
هذا هو ال ratio test فهل جبت أمثلة؟ كويس ممتاز طيب

245
00:31:30,340 --> 00:31:36,220
إيش دخل دي؟ دي معناته بدك تستخدم طريقة تانية غير

246
00:31:36,220 --> 00:31:43,260
ال ratio test صحيح لأن حسب سؤال 16 ال test بيفشل

247
00:31:43,260 --> 00:31:48,320
إذا كانت limit ال ratio ال ratio test بيفشل إذا

248
00:31:48,320 --> 00:31:53,020
كانت limit لل ratio بتساوي واحد وبالتالي بدك تبحث

249
00:31:53,020 --> 00:31:54,300
عن طريقة تانية

250
00:32:12,840 --> 00:32:31,940
طيب في أسئلة تانية في

251
00:32:31,940 --> 00:32:35,300
section ثلاثة واحد وثلاثة اثنين في عندكم أي سؤال

252
00:32:35,300 --> 00:32:42,490
ما فيش أسئلة لسه مش دارسين مش محاضرين كانت واحدة بس

253
00:32:42,490 --> 00:32:51,430
للدراسة وهم اللي بيسألوا الأسئلة والباقي مستمع طيب

254
00:32:51,430 --> 00:32:54,930
بتحبوا نرجع لأسئلة chapter اثنين في أسئلة في

255
00:32:54,930 --> 00:33:01,130
chapter اثنين إذا

256
00:33:01,130 --> 00:33:10,470
في عندكم أسئلة في section اثنين

257
00:33:10,470 --> 00:33:11,010
أربعة

258
00:33:26,250 --> 00:33:35,710
السؤال هذا يعني في الكتاب أعطيكم hint كيف

259
00:33:35,710 --> 00:33:41,790
يعني تحلوه موجود في نهاية الكتاب فحاولوا تقرأوا إيه

260
00:33:41,790 --> 00:33:46,530
تقرا ال hint هذا وتستفيدي منه وتشوفي يعني هذا

261
00:33:46,530 --> 00:33:54,780
أكيد هساعدك في حل السؤال شفتيه قبل هيك؟ طيب طلعي

262
00:33:54,780 --> 00:33:59,360
خلف الكتاب فيه hint أو إرشادات لبعض التمارين

263
00:33:59,360 --> 00:34:06,680
بيعطيكي يعني طريقة مقتضبة للحل أو بيحط رجلك على طريق 

264
00:34:06,680 --> 00:34:12,840
الحل فحاولي تقرأي إيه وتستفيدي منه وإذا فهمتي

265
00:34:12,840 --> 00:34:19,640
الإرشاد هذا ممكن تحلي السؤال أنتِ وزميلاتك تطلعوا 

266
00:34:19,640 --> 00:34:23,580
على الإرشادات هذه تبعت التمرين أو بعض الحلول 

267
00:34:23,580 --> 00:34:28,240
المختصرة وحاولوا تستفيدوا منها وتفصلوها وتكتبوا

268
00:34:28,240 --> 00:34:35,340
الحل بطريقة واضحة وكاملة فهأسيبكم

269
00:34:35,340 --> 00:34:42,440
تقرؤوا الإرشاد وتحاولوا تستفيدوا منه أي أسئلة

270
00:34:42,440 --> 00:34:49,980
تانية في section 2 4 2 3 2 2 إن واحد الجزء اللي

271
00:34:49,980 --> 00:34:56,460
داخل الامتحان، في عندكم أي سؤال فيه؟ منين في عندها

272
00:34:56,460 --> 00:35:00,260
سؤال؟

273
00:35:00,260 --> 00:35:07,020
في أسئلة كتير حلوة ومهمة ويا بدوا إنكم مش مدرسين

274
00:35:07,020 --> 00:35:08,680
ولا حتى مستعدين للامتحان

275
00:35:16,700 --> 00:35:20,800
في أي أسئلة في chapter 2 أو chapter 3 الجزء الداخل

276
00:35:20,800 --> 00:35:21,960
في الامتحان

277
00:36:04,610 --> 00:36:11,090
فيش أسئلة؟ طيب

278
00:36:11,090 --> 00:36:15,390
أنا هأحل لكم يعني كمان سؤالين واحد من section ثلاثة 

279
00:36:15,390 --> 00:36:21,070
واحد وواحد من ثلاثة اثنين

280
00:36:21,070 --> 00:36:28,670
خليني 

281
00:36:28,670 --> 00:36:29,830
أحل السؤال

282
00:36:46,350 --> 00:36:58,770
يعني مثلا يعني

283
00:36:58,770 --> 00:37:04,090
مثلا السؤال الخامسة

284
00:37:04,090 --> 00:37:10,530
السؤال

285
00:37:10,530 --> 00:37:16,320
الخامسة الفرع دي section تلاتة واحد use definition

286
00:37:16,320 --> 00:37:25,660
use definition of limit to

287
00:37:25,660 --> 00:37:33,880
establish أنه

288
00:37:33,880 --> 00:37:37,800
ال limit لإن

289
00:37:37,800 --> 00:37:44,970
تربية سالب واحد على اتنين انتر بيه زائد تلاتة ال

290
00:37:44,970 --> 00:37:52,850
sequence اللي حد العم تبعها الكاسر هذا بيساوي نص و

291
00:37:52,850 --> 00:37:56,410
بيثبت ان ال sequence هذي convergence و نهايتها نص

292
00:37:56,410 --> 00:38:00,390
بيستخدم ال definition ماهو ال definition المقصود

293
00:38:00,390 --> 00:38:06,700
في هنا اللي هو تعريف epsilon capital N لل limit أو

294
00:38:06,700 --> 00:38:21,360
للنهاية تعريف epsilon capital N طيب أنا

295
00:38:21,360 --> 00:38:27,300
في النهاية في نهاية المطاف تعريف epsilon capital N

296
00:38:31,470 --> 00:38:36,710
عايزني أثبت أن المسافة بين xn اللي هو انتر بيها

297
00:38:36,710 --> 00:38:42,510
سالب واحد على اتنين انتر بيها زائد تلاتة سالب نص

298
00:38:42,510 --> 00:38:47,270
بدنا هذا يكون أصغر من أي given epsilon عدد موجب

299
00:38:47,270 --> 00:38:53,950
لكل n أكبر من أو يساوي capital N حيث capital N عدد

300
00:38:53,950 --> 00:39:00,410
طبيعي هنجيبه ويعتمد على ال epsilon فنشوف مع بعض هذا

301
00:39:00,410 --> 00:39:07,410
إيه من الآخر طيب إذا هنا solution إذا بقول أنا

302
00:39:07,410 --> 00:39:12,490
عايز في النهاية absolute value سالب واحد على

303
00:39:12,490 --> 00:39:17,970
اتنين انتر بيه زائد تلاتة سالب نص بسأل نفسي متى

304
00:39:17,970 --> 00:39:24,570
هذا بيكون أصغر من أي epsilon موجب هذا بكافئ

305
00:39:27,220 --> 00:39:34,160
الـ absolute value بين واحد المقامات هي اتنين في

306
00:39:34,160 --> 00:39:40,260
اتنين انتر بيه زائد تلاتة و بيصير عندنا اتنين

307
00:39:40,260 --> 00:39:46,720
انتر بيه سالب اتنين تضرب هذا في اتنين سالب اتنين

308
00:39:46,720 --> 00:39:53,680
انتر بيه موجبة بتلاتة لان هذا المقدار اللي فوق

309
00:39:53,680 --> 00:39:55,580
بيبقى اصغر من epsilon

310
00:39:58,630 --> 00:40:02,730
طيب أنا عندي اتنين in تربيع و هاي سالب اتنين in

311
00:40:02,730 --> 00:40:07,450
تربيع بيروحوا مع بعض و عندي سالب اتنين و السالب

312
00:40:07,450 --> 00:40:10,630
تلاتة بطلع خمسة يعني دلوقتي بصير absolute سالب

313
00:40:10,630 --> 00:40:16,330
خمسة على اتنين في

314
00:40:16,330 --> 00:40:19,230
اتنين in تربيع زائد تلاتة

315
00:40:24,890 --> 00:40:31,830
بدي هذا يكون أصغر من epsilon طيب

316
00:40:31,830 --> 00:40:38,990
هاد عبارة عن خمسة هاد

317
00:40:38,990 --> 00:40:48,570
عبارة عن خمسة على اتنين اتنين انتر بيه زي

318
00:40:48,570 --> 00:40:49,370
التلاتة

319
00:40:52,780 --> 00:41:02,080
متى بيكون هذا أصغر من epsilon هذا

320
00:41:02,080 --> 00:41:09,220
بكافئ هذا

321
00:41:09,220 --> 00:41:15,900
بكافئ ان اقول واحد متى بيكون واحد على اتنين انتر

322
00:41:15,900 --> 00:41:30,390
بيه زائد تلاتة أصغر من اتنين على خمسة إبسلون طيب

323
00:41:30,390 --> 00:41:35,550
إذا

324
00:41:35,550 --> 00:41:42,470
أنا ممكن أستخدم ال Archimedean property إذا هنا

325
00:41:42,470 --> 00:41:49,690
let epsilon أكبر من الصفر

326
00:41:51,720 --> 00:41:57,880
نبدأ بـ epsilon أكبر من الصفر تعريف epsilon capital N

327
00:41:57,880 --> 00:42:02,160
بيقول ابدا بـ epsilon أكبر من الصفر و جيب capital N

328
00:42:03,440 --> 00:42:07,880
بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من epsilon لكل N

329
00:42:07,880 --> 00:42:15,440
أكبر من أو يساوي capital N بحيث أن المسافة بين XN

330
00:42:15,440 --> 00:42:17,600
بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من epsilon لكل N

331
00:42:17,600 --> 00:42:17,940
أكبر من أو يساوي capital N بحيث أن المسافة بين XN

332
00:42:17,940 --> 00:42:20,660
و X أصغر من epsilon لكل N أكبر من أو يساوي capital N

333
00:42:20,660 --> 00:42:21,360
بحيث أن المسافة بين XN و X أصغر من epsilon لكل N

334
00:42:21,360 --> 00:42:23,640
أكبر من أو يساوي capital N بحيث أن المسافة بين XN

335
00:42:23,640 --> 00:42:28,200
و X أصغر

336
00:42:28,200 --> 00:42:35,040
من epsilon لكل N أكبر من أو يساوي capital N بحيث

337
00:42:35,040 --> 00:42:43,620
choose it choose طبعا

338
00:42:43,620 --> 00:42:51,500
by Archimedean property capital

339
00:42:51,500 --> 00:43:01,200
N عدد طبيعي بحيث انه واحد على اتنين في capital N

340
00:43:01,200 --> 00:43:07,820
تربيع زائد تلاتة أصغر من اتنين على خمسة epsilon

341
00:43:07,820 --> 00:43:20,180
ممكن

342
00:43:20,180 --> 00:43:26,070
ألاقي capital N عدد طبيعي ممكن 2 في n تربيع زائد

343
00:43:26,070 --> 00:43:32,170
تلاتة طبعا تلاتة مش epsilon واحد على اتنين n

344
00:43:32,170 --> 00:43:41,290
تربيع زائد تلاتة اصغر من اتنين على خمسة epsilon الان

345
00:43:41,290 --> 00:43:46,770
اذا لو اخدت small n اكبر من او يساوي ال capital N هذا

346
00:43:46,770 --> 00:44:00,110
بيقدي انه واحد على اتنين n تربيع زائد تلاتة او بلاش

347
00:44:00,110 --> 00:44:09,230
absolute اه بيقدي ان absolute طيب

348
00:44:09,230 --> 00:44:16,750
هذا بيقدي ان الكلام هذا اصغر من أو يساوي واحد على

349
00:44:16,750 --> 00:44:25,510
اتنين capital N تربيع زائد تلاتة وبالتالي هذا

350
00:44:25,510 --> 00:44:31,390
بيقدي ان ال absolute value ل n تربيع سالب واحد على

351
00:44:31,390 --> 00:44:42,670
اتنين n تربيع زائد تلاتة سالب نص طلع هذا

352
00:45:09,580 --> 00:45:16,580
خمسة على اتنين

353
00:45:16,580 --> 00:45:20,140
في اتنين n تربيع زائد التلاتة

354
00:45:28,400 --> 00:45:34,680
وهذا هيطلع أصغر من أو يساوي خمسة على اتنين في اتنين

355
00:45:34,680 --> 00:45:42,000
capital N تربيع زائد تلاتة ومن هنا هذا أصغر من

356
00:45:42,000 --> 00:45:47,320
خمسة

357
00:45:47,320 --> 00:45:54,280
على اتنين ضرب اتنين على خمسة في epsilon اللي هو

358
00:45:54,280 --> 00:45:55,160
بيطلع epsilon

359
00:45:59,840 --> 00:46:03,560
إذن هذه لأي epsilon أكبر من صفر لجيت فيه capital N

360
00:46:03,560 --> 00:46:08,200
مرتبطة لـ capital N هي في epsilon depends on epsilon

361
00:46:08,200 --> 00:46:12,280
بتعتمد على epsilon بحيث لكل n أكبر من أو يساوي

362
00:46:12,280 --> 00:46:17,920
capital N طلع absolute xn minus x أصغر من epsilon

363
00:46:19,350 --> 00:46:24,350
طبعا إذا هذا حسب تعريف by definition of epsilon

364
00:46:24,350 --> 00:46:29,770
capital N of limit بطلع عندي limit n تربيع سالب

365
00:46:29,770 --> 00:46:34,750
واحد على اتنين n تربيع زائد تلاتة لما n تؤول

366
00:46:34,750 --> 00:46:37,830
infinity بساوي نص

367
00:46:44,620 --> 00:46:48,560
بالمثل ممكن نحل باقي التمرين اللي هي الفروع A وB

368
00:46:48,560 --> 00:46:54,940
و C باستخدام التعريف فحاولوا تتدربوا على التمرين

369
00:46:54,940 --> 00:47:02,700
هذه و تحلوا أسئلة زيها في حد عنده أي سؤال تاني في

370
00:47:02,700 --> 00:47:07,260
هذا ال section طيب

371
00:47:07,260 --> 00:47:12,220
نحل كمان سؤال في section تلاتة اتنين

372
00:47:27,570 --> 00:47:34,750
في انكم أي سؤال في section تلاتة اتنين اخر

373
00:47:34,750 --> 00:47:35,250
سؤال

374
00:47:57,080 --> 00:48:03,480
هي سؤال واحد وعشرين section تلاتة

375
00:48:03,480 --> 00:48:13,760
اتنين suppose

376
00:48:13,760 --> 00:48:24,980
افترضي ان ال sequence xn converge إلى x و ال

377
00:48:24,980 --> 00:48:33,200
sequence yn و yn is such that is a sequence

378
00:48:33,200 --> 00:48:40,900
such that for any epsilon for

379
00:48:40,900 --> 00:48:46,240
any epsilon أكبر من الصفر يوجد

380
00:48:46,240 --> 00:48:53,780
m بحيث يوجد عدد m such that

381
00:48:56,580 --> 00:49:06,460
absolute xn minus yn أصغر من epsilon لكل N أكبر من

382
00:49:06,460 --> 00:49:14,260
أو يساوي capital N فالسؤال

383
00:49:14,260 --> 00:49:19,060
does it

384
00:49:19,060 --> 00:49:22,820
follow هل

385
00:49:22,820 --> 00:49:34,030
ينتج من ذلك هل ال sequence yn تطلع

386
00:49:34,030 --> 00:49:44,210
convergent فنشوف

387
00:49:44,210 --> 00:49:44,930
مع بعض

388
00:49:53,440 --> 00:49:59,260
كمان مرة اندي two sequences واحدة xn واحدة yn

389
00:49:59,260 --> 00:50:04,280
ال sequence xn مُعطى انها convergent to some x

390
00:50:04,280 --> 00:50:08,880
إلى عدد ما x ال limit تبقى تاكس و ال sequence yn

391
00:50:08,880 --> 00:50:14,600
بتحقق الشرط هذا وهو

392
00:50:14,600 --> 00:50:19,600
انه لأي epsilon أكبر من صفر في عدد طبيعي حتى هذا

393
00:50:19,600 --> 00:50:27,790
عدد طبيعي المفروض يكون بنسميه capital N بحيث انه لكل

394
00:50:27,790 --> 00:50:31,810
n أكبر من أو يساوي capital N المسافة بين xn و yn

395
00:50:31,810 --> 00:50:35,510
أصغر من epsilon هل هذا بيقدم ال sequence yn

396
00:50:35,510 --> 00:50:40,870
convergent؟ هنشوف الآن أن فعلا تطلع ال sequence yn

397
00:50:40,870 --> 00:50:46,130
convergent ونهايتها هي نفس نهاية ال sequence xn

398
00:50:46,130 --> 00:50:51,270
لأن هنا الإجابة yes

399
00:50:53,550 --> 00:51:01,270
and yn converge to x لكن

400
00:51:01,270 --> 00:51:07,570
هذا بيده برهان اذا

401
00:51:07,570 --> 00:51:11,370
to see this

402
00:51:11,370 --> 00:51:16,610
نبدأ

403
00:51:16,610 --> 00:51:18,610
بـ epsilon أكبر من الصفر

404
00:51:36,810 --> 00:51:44,450
let by hypothesis من الفرض من

405
00:51:44,450 --> 00:51:50,820
الفرض من ال hypothesis أنا عندي absolute xn minus

406
00:51:50,820 --> 00:51:54,860
yn أصغر

407
00:51:54,860 --> 00:52:03,700
من epsilon أكبر من أو يساوي صفر وهذا صحيح لكل n أكبر

408
00:52:03,700 --> 00:52:10,440
من أو يساوي capital M وهذا

409
00:52:10,440 --> 00:52:15,380
الكلام صحيح لكل epsilon أكبر من الصفر

410
00:52:24,820 --> 00:52:36,980
فمن هنا فمن

411
00:52:36,980 --> 00:52:45,680
هنا بهدف بيقدي ان ال limit ل xn minus yn لما n

412
00:52:45,680 --> 00:52:49,420
تؤول infinity بساوي صفر

413
00:52:54,150 --> 00:52:58,570
مش شرط هذا أنا

414
00:52:58,570 --> 00:53:03,950
عندي ال ..

415
00:53:03,950 --> 00:53:08,010
ما معناه ان limit ال sequence هذه بساوة صفر؟ معناه

416
00:53:08,010 --> 00:53:16,620
لأي epsilon أكبر من الصفر يوجد capital M عدد طبيعي

417
00:53:16,620 --> 00:53:21,840
يعتمد على epsilon بحيث أنه لكل n أكبر من أو يساوي

418
00:53:21,840 --> 00:53:28,860
capital N هذا بيقدي أن absolute xn minus yn minus

419
00:53:28,860 --> 00:53:34,700
الصفر أصغر من epsilon هي معنى ان limit ال sequence

420
00:53:34,700 --> 00:53:40,740
للفرق بساوي صفر ايش معنى هذا لأي epsilon أكبر من 

421
00:53:40,740 --> 00:53:46,660
سفر يوجد  M يعتمد على N عدد طبيعي يعتمد على

422
00:53:46,660 --> 00:53:51,020
ال epsilon بحيث لكل N أكبر من أو يساوي M

423
00:53:51,020 --> 00:53:55,540
المسافة بين الحد العام لل sequence و limit اللي هي 

424
00:53:55,540 --> 00:54:00,140
سفر أصغر من epsilon هذا الكلام هي متحقق هنا هي

425
00:54:00,140 --> 00:54:04,850
متحققة تمام؟ إذا هذا بنحصل عليه وبالتالي limit xn

426
00:54:04,850 --> 00:54:14,070
minus yn بساوي سفر ومنها الآن أنا عندي ال yn ممكن

427
00:54:14,070 --> 00:54:20,870
كتبتها على صورة yn 

428
00:54:20,870 --> 00:54:32,610
سالب xn موجب xn وهذا بيساوي سالب Xn سالب Yn زائد Xn

429
00:54:32,610 --> 00:54:40,630
تمام؟ إذا ال limit ل Yn as n tends to infinity

430
00:54:40,630 --> 00:54:49,110
بيساوي limit الطرف اليمين ف limit Xn سالب Yn 

431
00:54:49,110 --> 00:54:56,410
مضروبة في سالب واحد بيطلع برا ال limit زائد limit

432
00:54:56,410 --> 00:55:03,770
xn لما n تقول لإنفينيتي وهنا 

433
00:55:03,770 --> 00:55:08,770
لسه احنا مثبتين هذا عبارة عن سالب limit sequence

434
00:55:08,770 --> 00:55:16,570
xn minus yn بالساوية سفر، سالب واحد في سفر 

435
00:55:19,990 --> 00:55:26,850
زائد limit xn اللي هي x تمام اذا limit ال sequence 

436
00:55:26,850 --> 00:55:32,370
yn تطلع بالساوي x اذا 

437
00:55:32,370 --> 00:55:37,210
هنا اثبتنا ان ال sequence yn تطلع convergent وال

438
00:55:37,210 --> 00:55:44,210
limit تبعتها بالساوي x تمام البرهان هنا اعتمد على 

439
00:55:44,210 --> 00:55:49,890
انه من الفرض انا عندي المثال لأي epsilon هذا الفرض

440
00:55:49,890 --> 00:55:57,390
معناه ان limit ال sequence xn minus yn بالساوي

441
00:55:57,390 --> 00:56:04,290
سفر وهذا اللي ساعدنا في الحل وهذا ناتج هي من تعريف 

442
00:56:04,290 --> 00:56:09,190
epsilon N لل limit هذا هو البرهان