群

context: zh_tw: 抽象群的現代概念是從多個數學領域發展出來的。群論的最初動機是為了求解高於 4 次的多項式方程。十九世紀法國數學家埃瓦里斯特・伽羅瓦，擴充套件了保羅・魯菲尼和約瑟夫・拉格朗日先前的工作，依據特定多項式方程的根（解）的對稱群給出了對它的可解性的判別準則。這個伽羅瓦群的元素對應於根的特定置換。伽羅瓦的想法最初被同代人所拒絕，只在死後才出版。更一般的置換群由奧古斯丁・路易・柯西專門研究。阿瑟・凱萊的《On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1》（1854 年）給出有限群的第一個抽象定義。幾何是第二個系統性的使用群，特別是對稱群的領域。這類群是菲利克斯・克萊因 1872 年的愛爾蘭根綱領的一部分。在新型的幾何如雙曲幾何和射影幾何形成之後，克萊因利用群論以更連貫的方式來組織它們。索菲斯・李進一步發展了這些想法，在 1884 年創立了李群的研究。對群論有貢獻的第三個領域是數論。一些阿貝爾群結構在卡爾・弗里德里希・高斯的數論著作《算術研究》（1798 年）中被隱含地用到，並被利奧波德・克羅內克更明顯地用到。1847 年，恩斯特・庫默爾發展了描述用素數做因數分解的理想類群，使證明費馬大定理的早期嘗試達到了高潮。把上述各種來源融合成一個群的統一理論是從卡米爾・若爾當的《Traité des substitutions et des équations algébriques》（1870 年）開始的。瓦爾特・馮・迪克（1882 年）給出了第一個抽象群的現代定義的陳述。在二十世紀，群在費迪南德・格奧爾格・弗羅貝尼烏斯和威廉・伯恩賽德的開拓性著作中獲得了廣泛的認識，他們研究有限群的表示理論，還有理查德・布勞爾的模表示論和 Issai Schur 的論文。赫爾曼・韋伊、埃利・嘉當和很多其他人推進了李群和更一般的區域性緊群的理論。它的代數對應者 —— 代數群的理論，由克勞德・舍瓦萊（從 1930 年代晚期開始）和後來阿爾曼德・波萊爾和雅克・蒂茨的重要著作奠基。芝加哥大學於 1960-61 年舉辦的 “群論年” 活動促使群論家們以丹尼爾・格倫斯坦，約翰・格里格斯・湯普森和瓦爾特・法伊特為基礎展開合作。在大量其他數學家的幫助下，他們完成了有限單群的分類。這項工程，不論是從證明長度來說還是從參與人數來說，其浩大程度超越了之前一切的數學成果。簡化此證明的研究還在進行中。群論在當下仍是一個活躍的數學分支，並仍在對其他分支產生重大影響。
qas: question: zh_tw: 這項研究的目標是什麼？
en: What is the goal of the research?
answers: zh_tw: text: 簡化此證明

context: zh_tw: 有時在由陪集形成的集合上可以賦予一個滿足群公理的運算而使之成為商群或因子群。這僅在子群是正規的時候才可行。給定任何正規子群 N，商群定義為
qas: question: zh_tw: 當一個子群的陪集得到群公理時會發生什麼？
en: What happens when a subgroup's set of cosets get group law?
answers: zh_tw: text: 使之成為商群或因子群

context: zh_tw: 很多數系統，比如整數和有理數享有自然給予的群結構。在某些情況下比如對於有理數，加法和乘法運算二者都引發群結構。這種系統是叫做環和域的更一般的代數結構的前身。
qas: question: zh_tw: 一般代數結構的兩個例子是什麼？
en: What are two examples of general algebraic structures?
answers: zh_tw: text: 環和域

context: zh_tw: 阿貝爾群包括有限生成阿貝爾群的基本定理的研究是非常成熟的；對這個事態的反映是很多有關群論的概念，比如中心和交換子，描述了一個給定群不是阿貝爾群的程度。
qas: question: zh_tw: 哪一個詞最適合說明這些群的生成方式？
en: What single word best describes how these groups are generated?
answers: zh_tw: text: 有限

context: zh_tw: 有限對稱群比如馬蒂厄群被用於編碼理論中，它又用於傳輸資料的糾錯和 CD 播放器中。另一個應用是微分伽羅瓦理論，它刻畫有已知形式的不定積分的函式，給出何時特定微分方程的解有良好表現的群論判定標準。在群作用下保持穩定的幾何性質在幾何不變數理論中研究。
qas: question: zh_tw: 馬蒂厄群是何種型別的群？
en: What type of group are Mathieu groups?
answers: zh_tw: text: 有限對稱群

context: zh_tw: 由所有可逆的 n 乘 n 的帶有實數元素的矩陣構成。它的子群被稱為矩陣群或線性群。上面提及的二面體群例子可以被看作（非常小的）矩陣群。另一個重要矩陣群是特殊正交群 SO (n)。它描述了 n 維的所有可能旋轉。透過尤拉角，旋轉矩陣被用於計算機圖形學中。表示理論是對群概念的應用並且對深入理解群是很重要的。它透過群作用於其他空間來研究群。一類廣泛的群表示是線性表示，就是說群作用線上性空間中，比如三維歐幾里得空間 R3。G 在 n - 維實向量空間上的表示簡單的是從群到一般線性群的群同態
qas: question: zh_tw: 群對何種空間型別起作用？
en: What type of space does the group act upon?
answers: zh_tw: text: 向量空間

question: zh_tw: 這個例子可以被看作是多大的矩陣群？
en: What size matrix group can the example be seen as?
answers: zh_tw: text: 非常小的

context: zh_tw: 。對換表示式中的 "+" 和 "−"，也就是置換方程的兩個解可以被看作（非常簡單的）群運算。類似的公式對於三次方程和四次方程也有，但是對於五次方程和更高次的方程就不普遍性的存在。與多項式相關聯的伽羅瓦群的抽象性質（特別是它們的可解性）給出了那些多項式的所有解都可用根式表達的判定標準，就是說這些解可以類似上面公式那樣只使用加法、乘法和方根來表達。這個問題可以使用域論來處理：考慮一個多項式的分裂域就把問題轉移到了域論的領域中了。現代伽羅瓦理論把上述型別的伽羅瓦群推廣到了域擴張，並透過伽羅瓦理論基本定理建立了在域和群之間的嚴格關聯，再次凸顯了群在數學中無所不在。
qas: question: zh_tw: 相似的公式，在什麼程度不存在？
en: At what degree do similar formulae not exist?
answers: zh_tw: text: 五次方程和更高次

context: zh_tw: 上面討論的二面體群是 8 階有限群。r1 的階為 4，這是它生成的子群 R（見上）的階。反射元素 fv 等的階是 2。如拉格朗日定理所述這兩個階都整除 8。上面的群 Fp× 有階 p − 1。
qas: question: zh_tw: 根據此定理，這兩個階數要除以幾？
en: What number do both orders divide according to the theorem?
answers: zh_tw: text: 8

context: zh_tw: 數學家們常常為尋求一種數學物件的完備分類（或列表）而努力。在有限群的領域內，這個目標迅速引出了一系列困難而意義深遠的數學問題。根據拉格朗日定理，p 階有限群（p 為素數）必定是迴圈（阿貝爾）群 Zp。p2 階群也被證明是阿貝爾群。但這一命題並不能推廣到 p3 階群，如上面的非阿貝爾群 ——8 階二面體群 D4 所示，其中 8 = 23。可以利用計算機代數系統來給較小的群列表，但沒有對一切有限群的分類。一箇中間步驟是有限單群分類。如果一個非平凡群僅有的正規子群是平凡群和它自身，那麼這個群叫做一個單群或簡單群。若爾當 - 赫爾德定理說明單群可以作為建構有限群的 “磚塊”。有限單群列表是當代群論的一個主要成就。1998 年的菲爾茲獎得主理查・伯切德斯成功地證明了所謂怪獸 - 胡言亂語猜想。該猜想指出了最大有限簡單散在群 ——“怪獸群” 與一種來自經典複分析和絃理論（一種被認為統一了對許多物理學現象的描述的理論）的物件模函式之間的驚人而深刻的聯絡。
qas: question: zh_tw: 什麼是喬丹 - 霍德理論的成就？
en: What was considered a major achievement in the Jordan-Holder's theorem?
answers: zh_tw: text: 有限單群列表

question: zh_tw: 什麼是數學家的願望之一？
en: What is one of the Mathematicians desires?
answers: zh_tw: text: 完備分類

context: zh_tw: 很多群同時是群和其他數學結構的例子。用範疇論的語言來說，它們是在範疇中的群物件，這意味著它們是帶著模仿群公理的（叫做態射的）變換的物件（就是說其他數學結構的例子）。例如，所有群（如上面定義的）也是一個集合，所以群是在集合範疇中的群物件。
qas: question: zh_tw: 所有的群也稱為什麼？
en: What is every group?
answers: zh_tw: text: 集合