【三维点群】
几何学中，三维点群是三维空间中，任何一个固定原点的对称群。等价的说法是，其为球面的对称群。此类群皆为正交群的子群，即固定原点的全体等距同构组成的群，亦可视为全体正交矩阵的乘法群。本身则是全体等距同构的欧氏群的子群。
立体的对称群必由等距同构组成，反之，要分析等距对称构成的群，就是分析所有可能的对称。有界三维立体的全体等距同构，必存在共同的不动点，不妨设其中之一为原点。
立体的对称群，有时称为全体对称群作强调，用以突显与旋转群（或真对称群）的分别。立体的旋转群是其全体对称群与三维空间本身的旋转群之交。立体的旋转群等于全体对称群，当且仅当立体具手性。
三维点群在化学广泛用于描述分子的对称，及组成共价键的分子轨域的对称。此背景下，也称分子对称群。
有限考克斯特群是一族特殊的点群，仅由过原点的若干个镜射生成。阶考克斯特群是由个镜射生成，可以Coxeter–Dynkin diagram表示。Coxeter notation则改为用方括号和数字描述，并设有其他标记，用以表示旋转群或其他子群。
==群结构==
是直接欧氏群的子群，其元素皆是直接等距同构，即保持定向的等距变换。仅含保持原点不变的直接等距同构。
则是与点反演生成的群的直积：（此处点反演以其矩阵表示，即单位矩阵乘上。）
所以，三维空间中，藉点反演，可以得到直接与间接等距变换之间的一一对应，此外，中仅由直接等距变换组成的子群（必包含在中，亦与中含有点反演的子群一一对应。对应关系如下：
例如，若为，则为；若为，则为。（定义载于下文。）
若直接等距同构群有指数为的子群，则除以上含点反演的子群外，还有另一个对应的子群
含有间接等距变换，但不含点反演。式中与视为等同。举例为，而为。
换言之，是将中的变换，乘上得到。此群作为抽象群与同构。反之，任意对称群，若有间接等距变换，但无点反演，则可以将所有间接变换反演，而变成旋转群。等距群的分类（见下文）中，可以用此性质化简问题。
二维情况下，重旋转的循环群皆是和的正规子群。在三维中，固定旋转轴，则相应有绕该轴的重循环群，是绕该轴的全体旋转群的正规子群。此外，由于指数为的子群必正规，在中正规，也在中正规。此处是向添加过旋转轴的反射面生成，而则是向添加与轴垂直的反射面生成。
==固定原点的三维等距变换==
的等距变换中，固定原点的变换，组成正交群，简记为。其元素分类如下：
*子群中：
**单位（恒等变换）；
**绕过原点某轴的旋转，且角度不为；
**绕过原点某轴的旋转，且角度为；
*及以上变换但额外乘上点反演（将向量映去），即：
**点反演；
**绕过原点的某轴，作角度不为的旋转，后再作一次镜射，镜射面过原点，且与旋转轴垂直；
**关于过原点某平面的镜射。
后三种元素又称瑕旋转。（视乎定义，末一种未必算。）
连同平移变换的简介，见欧几里得群。
==共轭==
比较两件立体的对称类时，原点可以分别选取，即两件立体的中心不必相同。更甚者，两件立体具有相同对称类，意思是其对称群在中为共轭子群，即存在，使。
举例：
*两件立体各仅有镜射对称，即使并非关于同一镜面，仍属同样的对称类；
*同样，若各仅有三重旋转对称，即使轴向不同，仍属同样的对称类。
若立体的对称群有多条旋转轴或多个镜面，或两者皆有，则两个对称群同属一类，当且仅当有另一个旋转，将前一个对称群的整个结构，变换成后一个对称群。（此种旋转会多于一个，但不会是无穷多个。仅有一条旋转轴或一个镜面时，此种旋转方会有无穷多个。）按定义，上文的不必为旋转，也可以为镜射，然而，由于对称群的结构不具手性，祇需取为旋转。（但空间群则不然，有对空间群具有手性，因为有螺旋变换。）
==无穷等距变换群==
有许多无穷等距变换群，如绕任意轴转任意无理角度（即圈数或度数为无理数，或弧度数为的无理数倍）的旋转，所生成的无穷循环群；若加入绕同一轴的其他旋转，还可以组成许多非循环的交换群。取不共轴的旋转，则生成非交换群。一般而言，此等非交换群皆为自由群。仅有特别选取的旋转，方能得到有限群，否则一般皆是无穷群。
作为拓扑群的子群，上述无穷子群皆非闭子群。以下讨论的拓扑闭子群：
无标记特定点的球面，对称群为。
*整个是球对称群、
*相应的旋转群是、
*其他无穷等距变换群有五个，皆含有过原点的某轴，绕该轴的所有旋转，另外可以：
**添加或不添加过轴的各镜面反射，
**另添加或不添加过原点与轴垂直的镜面反射。（共四个）
**最后，若以上两种反射都无添加，则可以只添加两者的复合，相当于添加与原旋转轴垂直的轴上的旋转。（一个）
添加过轴的各镜面反射的群，不论有否添加过原点与轴垂射的镜面反射，称为两种圆柱对称性。注意若物理实体有无穷旋转对称，则亦必关于过轴的镜面对称。
此七个连续群，称为极限点群或居里极限群，得名自最早研究此种群的皮埃尔·居里。轴向群可以分成七列无穷序列，其极限给出五个轴向极限群（有两个重复），而、则不是轴向群的极限。国际记号中，此七个群记为，次序在下文明确给出。
==有限等距变换群==
三维空间的对称中，保持原点不动，等价于保持以原点为球心的球面。关于有限的三维点群，亦可参见List of finite spherical symmetry groups。
不别共轭之异，三维有限点群只有：
*个无穷列，此七类群中，每个群至多一条旋转轴有多于两重旋转。该些群皆是圆柱面的对称群（的有限子群），其中圆柱面有限长或无限长是等价的，有时称为轴向点群（axial point groups）或棱柱点群（prismatic point groups）。
*个其他点群，每个有至少两条至少三重的旋转轴；也可以等价写成有至少两条三重旋转轴，因为全部七个都有多条三重旋转轴。若数出其三重以上的旋转轴，所有可能组合有：
**条三重轴、
**条三重轴及条四重轴、
**条三重轴及条五重轴。
根据晶体学限制定理，仅得很少点群与离散translational symmetry相容：七列轴向点群中，有个；七个其他点群中，有个，合共个，称为晶体学点群。
== 七类轴向点群 ==
有七列轴向点群。每列有无穷多个群，各可用正整数标示。每列第个群，含绕某轴的重旋转，即旋转，故对应转一整圈，即不旋转。七列轴向点群中，四列无其他旋转轴（称），另三列有其他二重旋转轴（称dihedral symmetry）。该些群可以视为point groups in two dimensions添加轴向坐标和关于轴的反射而成，也与frieze group相关。 可以将轴向点群理解为带群的图案在绕柱面恰好重复次。
下表列出点群的几种记号：晶体学的赫尔曼–莫甘记号、分子对称性的Schönflies notation、orbifold notation、Coxeter notation。后三者不仅方便读出群的性质，还与群的阶数密切相关。轨形记号同时通用于wallpaper group与frieze group。晶体群的仅能取（晶体学限制定理），而若移除该限制，则可取任意正整数。七列轴向点群为：
对奇数，有抽象群同构及。
群（包括平凡群）及有手性，其他则无手性。
术语水平（horizontal, h）与竖直（vertical, v）描述反射面的方向，以旋转轴为竖直，故反射面水平即垂直于与旋转轴，反射面竖直即包含为旋转轴。相应下标用字母h和v。
最简单的非平凡轴向群皆同构于抽象群，但是的不同子群（即不共轭）：
*（等同）——点反演对称
*——二重旋转对称
*（等同和）——反射对称，生物学又称两侧对称（bilateral symmetry）。
七条圆柱形带上，印有不同图样，使各自的对称群等于七列轴向群中，取的情况。
第一组单轴循环群中，的阶为（二维情况同样适用），是由单一个角度为的旋转生成。若向此群加入一个与轴垂直的镜面（的反射），则生成，阶为。若不加入与轴垂直的镜面，但加入块通过轴的镜面，则得到，阶亦为。后者是正棱锥的对称群。具或的典型物体是螺旋桨。
若上述两种镜面皆加入，则水平镜面与竖直镜面相交得到条轴，而镜射的复合生成绕该些轴的旋转，故群不再单轴。新群的阶为，记为。其旋转子群为个元素的二面体群，仍有与主（重）旋转轴垂直的二重旋转轴，但不再有镜面。
注意，在二维，包括镜射，但镜射也可以视为将不辨前后之别的扁平物体翻转得到。但在三维，镜射与翻转不再相同：群有翻转但无镜射。
余下一类是（或），其有包含主旋转轴的竖直镜面，但没有水平镜面，取而代之的操作是先水平镜射，再旋转。是正棱柱和双棱锥的对称群。则是正角反棱柱的对称群，亦是正方偏方面体的对称群。最后，是稍稍扭过的正棱柱的对称群。
及较特殊，因为并无特别的主旋转轴：三条互相垂直的旋转轴皆为二重轴。是下节所有多面体对称群的子群，而则是多面体群与的子群。可以作为下列化学品的对称群：
*刀豆蛋白A等homotetramer、
*四个相同具手性配位基的四面体形配合物、
*四个同手性氟氯甲基的四(氟氯甲基)甲烷。
的元素，与Lipschitz quaternion的可逆元表示的旋转，有一对二的关系。
群由「先关于水平面作镜射，再旋转」生成。对于奇数，是等于前述两个操作分开执行，生成的群，阶为，故不必用到记号。然而，对偶数，两个群有差异，且仅有个元素。与类似，其包含若干瑕旋转，但不包含对应的旋转。
七列轴向群的元素仅有下列四对重复：
*及：阶数为，由独一个镜射生成。又称。
*与：阶数为，由独一个旋转生成。
*与：阶数为，由一个镜射与镜面上一条轴的旋转生成。
*与：阶数为，由一个镜射与一条垂直于镜面的轴的旋转生成。
是由独一个点反演生成的阶群，又记为。
此处「重复」是指作为的子群共轭，是强于作为抽象群代数同构的条件。例如，前一种意义下，有三个不同的阶群，但祇有一个阶抽象群。类似，也有与抽象同构。
群的构造亦可描述如下：
* 是由独一个元素生成，生成元亦称为，是绕轴转。群的元素是：（单位元），，对应旋转角。该轴视为竖直轴。
* 由独一个元素生成，其中是水平面的镜射。群的元素是的元素，另加。
* 由与反射生成。群的元素是的元素，另加。
* 由与竖直镜面的反射生成。群的元素是的元素，另加。
* 是由与绕水平面上某轴的旋转，其元素是的元素，另加。
* 由元素与生成。元素是的元素，加上与的额外元素，再加上。
* 由元素生成。其元素为的元素，再加上的所有额外元素。
取趋向的极限，则得到连续轴向群（或无穷阶轴向群）：
== 七个其他点群 ==
余下七个点群又称为高度对称或多面体对称，因为有多于一条旋转轴的重数大于二。下表中，表示一条重轴，即旋转角为，则表示同样旋转角的瑕旋转轴。所用记号，首先是字母表示的Schönflies notation，然后括号内为orbifold notation，然后为Coxeter notation及图，最后是赫尔曼–莫甘记号及倘有的简写。
相关的连续群有：
* 旋转群，即所有旋转的群，亦记作或。
* 正交群，所有旋转和镜射生成的群，亦记作或。
如无穷等距变换群一节所言，任何物理实体，若有对称性，则必有对称性。
== 轨形记号与阶 ==
若已知群的轨形记号，则可计算其阶数，等于除以orbifold的欧拉示性数。轨形的欧拉示性数是将减去轨形记号中，各符号特征数的总和：
*无或在之前的，值为；
*在之后的，值为；
*与计为。
此公式同样适用于wallpaper group与frieze group：对该等群，特征数之和为，所以阶数是无穷大。亦见wallpaper group条目。
== 反射考克斯特群 ==
三维反射点群又称为考克斯特群，能以Coxeter-Dynkin diagram表示，是交于同一个中心点的若干镜面反射生成的群。该些镜面将球面分割成球面三角形区域。若考克斯特群能以少于三个镜射生成，则该球面三角形退化，变成lune (mathematics)或半球面。在Coxeter notation，该些群是tetrahedral symmetry、octahedral symmetry、icosahedral symmetry、二面体对称。不可约群的镜面数是，其中是群的Coxeter number，而是反射方向的秩（维数），等于符号的下标。
== 旋转群==
有限旋转群，即的有限子群，仅有：循环群（正棱锥的旋转群）、二面体群（正棱柱或双锥体的旋转群）、（正四面体的旋转群）、（正八面体或正六面体的旋转群）、（正二十面体或正十二面体的旋转群）。
特别地，二面体群、等，是平面正多边形嵌入到三维空间后的旋转群。此种薄片也可以视为退化的正棱柱，或称为二面体，二面体群因而得名。
*若物体的对称类为，则旋转群为。
*若物体的对称类为，则旋转群为。
*若物体的对称类属其他七种多面体对称，则旋转群是相应无下标的群，即之一。
当且仅当物体有手性时，其旋转群等于整个对称群。换言之，手性物体就是对称群在旋转群列表中的物体。
用Schönflies notation、Coxeter notation，及括号内的orbifold notation表示，旋转群是：
== 旋转群与其他群的对应 ==
下列群有点反演：
*为偶数时，及、
*为奇数时，及（特别地，是仅由点反演生成的群，另有属于前项）、
*。
如上文所述，此种群与所有旋转群之间，有一一对应：
*（为偶）及（为奇）对应。
*（为偶）及（为奇）对应。
*分别对应。
下列群具有间接（不保定向）的等距变换，但无点反演：
*、
*为奇数时，及、
*为偶数时，及、
*。
上述各群分别对应一个旋转群及其指标的子群，使得该群是由的元素，加上经点反演后的元素得到，如上文所述：
*是的指标子群，对应。
*是的指标子群，为奇时对应，为偶时则对应。
*是的指标子群，为奇时对应，为偶时对应。
*是的指标子群，对应。
== 极大对称群 ==
离散点群中，和并非任何其他离散点群的真子群，故谓极大。其公共子群中，最大的是。由此，可以将二重旋转对称改成四重而得，亦可加入五重旋转对称而得。
类似地，有两个晶体学点群并非任何其他晶体学点体的真子群：与。视乎方向，其极大公共子群为或。
== 按抽象群同构分类 ==
下列若干个表，将前述诸群，按抽象群同构分类。
最小几个不能表示成三维对称群的抽象群为：阶的四元群、阶的、阶的dicyclic group，以及十四个阶群的其中十个。
下表中，「阶元素数」一列，数算三类等距变换子群的总数，是有助分辨抽象群类型的特征数，而该总数之内，各类等距变换子群的数目，则有助辨别属同一类抽象群的不同等距变换群。
=== 循环群 ===
重旋转对称的对称群为。其抽象同构类是循环群，亦可记作。然而，另有两列对称群同构于循环群：
*对于偶阶数，瑕旋转群（熊夫利记号），生成元为绕某轴的旋转后关于与轴垂直的镜面反射。也记为，由点反演生成。
*对于奇数，有阶数的群。该群有一条重旋转轴，另有与该轴垂直的镜射。换言之，群由两种变换生成，即绕轴的旋转，及该镜射。又可记作，仅由一个镜射生成。
故可总结出下表：（十个循环晶体学点群以粗体标出，其满足晶体学限制。）
=== 二面群 ===
二维二面体群有旋转和反射，但二维反射亦可视为在三维空间中，将不区分正反面的薄片翻转。
然而在三维，反射与翻转须作区分。以表示的对称群，有条二重轴，与重的主旋转轴垂直，但无反射。是正棱柱、正双角锥、正角反棱柱、方偏方面体的旋转群。若略作改动，如在每面加上相同的手性标记，或稍为改变形状，则可以使物体具有手性，从而令为其全对称群。
相应的抽象群类型是二面体群，亦可照样记为。但除外，还有三个无穷序列的对称群，同构于二面体群：
*，阶为，是正棱锥的对称群；
*，阶为，是正角反棱柱的对称群；
*对应奇数的群，其阶为。当时，等同，已于上文讨论，故此处可取。
注意有以下同构：
于是可以整理出下表：（有个晶体学点群用粗体标示，另写成等价的）
=== 其他 ===
的阶数为，同构于抽象群。在时，等同，已于上小节讨论，故本小节仅考虑的情况。
此系列的群可以整理成下表：（其中两个晶体学点群以粗体强调）
的阶数为，同构于抽象群。对于奇数，已于上小节讨论，故此处仅考虑阶数为的群，其抽象群类别为。（）
此系列的群可以整理成下表：（其中三个晶体学点群以粗体强调）
余下七个多面体群是：（其中五个晶体学点群以粗体强调）
== 基本域 ==
点群的基本域是锥体。若物体有给定的对称群，则指明物体的某一个基本域变换至哪个基本域，就足以确定该变换。另外，仅从该件物体在一个基本域内的形状，就足以确定整件物体的形状。若物体是曲面，则可由其被一个基本域截得的部分确定，该部分亦是（有边界的）曲面，下称「基本面」，延伸至基本域的径向边界面（即锥体的侧面）。但是，若基本面与其他基本面（即基本面在其他基本域的复制），两者的边界未能贴合，则需要添加径向的面或其他曲面，以使各基本面连接成一个整体。若基本面以反射面为界，则必然贴合。
基本面可以取为任意平面被基本域所截的部分，如此得到一个多面体，具有给定的对称群，如四角化菱形三十面体的每一个面，即为全二十面体对称的一个基本面。若调整该面的方向，则有时可以使相邻的若干个基本面共面，而合并成同一个面，得到具同样对称群的其他多面体，如正十二面体和正二十面体。若基本面的边界能够贴合，且基本面的法向量是在基本域内，则所得的多面体为凸多面体。
基本面也可以取为其他形状，不必在同一平面内，例如可取为若干个不同平面的区域连接而成的曲面。
== 二元多面体群 ==
考虑三维旋量群到旋转群的二重复叠投映。由于已是单连通，故为仅有的非平凡连通覆叠。
由子群的对应，与的子群（即旋转点群）之间有伽罗瓦连接：子群投映到，必为旋转子群，而反之，旋转子群的原像亦必为是的子群。注意可以等价描述成特殊酉群，或是单位四元数群，亦属李群，拓扑上同胚于三维球面。
有限点群的原像称为二元多面体群，记作，与polyhedral group对应，而名称则是相应点群的名称加上「二元」前缀，阶数为点群阶数的两倍。例如，icosahedral group的原像，便是binary icosahedral group。
二元多面体群为：
* : 正边形的binary cyclic group，阶数。
* : 正边形的binary dihedral group，阶数。
* : binary tetrahedral group，阶数。
* : binary octahedral group，阶数。
* : binary icosahedral group，阶数。
该些群能按ADE classification，而在二元多面体群作用下的商空间，是Du Val singularity。
对于不保定向的点群，情况较复杂，因为有两个Pin群，所以对应给定的点群，有两个可能的二元群。
注意前述「覆叠」仅是群的覆叠，而不是多面体空间的覆叠：球面本身单连通，并无非平凡覆叠。所以，并无所谓「二元多面体」覆叠原有的多面体。二元多面体群是旋量群的离散子群，所以若选定旋量群的表示，作用于一个向量空间，则该二元多面体群在该表示下，可能将某个多面体映到自身，例如在映射下，二元多面体群作用为旋转，与底下的（非二元）群是同一个多面体的等距变换，然而，在spin representation或其他表示下，二元多面体群可以作用在不同的多面体上。
二元多面体群不是projective polyhedra的对称群。球面确实覆叠射影空间（以及lens space），故可以考虑射影空间的密铺，视之为另一种「多面体」，即射影多面体，但是，考虑二元多面体群时，并非取多面体所覆叠的空间，而是取覆叠对称群的群，所以两件事不相同。