【超复数】
超复数是复数在抽象代数中的引申，通常是实数域上某个有限维的单位代数的元素。19世纪后期对超复数的研究，成为现代群表示论的根基。
此种代数举例如下：
*4维度：四元数、双复数、分裂四元数
*8维度：八元数、复四元数
*16维度：十六元数
==历史==
19世纪，实数系和复数系之外的若干数系，如四元数系、双复数系、分裂四元数系、复四元数系、八元数系，成为数学文献中完善的概念。超复数是涵盖该些数系的概念，吸引学者研究和分类。
分类工作始于本杰明·皮尔士的1872年文章〈线性结合代数〉，并由其子查尔斯·桑德斯·皮尔士接续。重要的是，二人认定幂零元和幂等元皆对分类有用。凯莱－迪克森构造利用对合，从实数系开始，生成复数系、四元数系、八元数系。赫维兹和弗罗贝尼乌斯证明超复数的若干限制：赫维兹定理断言有限维的实composition algebra仅得实数系、复数系、四元数系、八元数系，而弗罗贝尼乌斯定理断言，实associative division algebra仅得、、。1958年，Frank Adams考虑H-空间（有具单位元的连续乘法的拓扑空间）的霍普夫不变量，发表推广的结果，该结果仍将维数限制在1、2、4、8。
矩阵代数对研究超复数系帮助很大。首先，矩阵提供新的超复数系，例如实矩阵组成的代数（同构于分裂四元数）。很快，矩阵方法解明其他超复数系，因为该些超复数系也可以用矩阵及其运算表示。1907年，约瑟夫·韦德伯恩证明，满足结合律的超复数系可表示为方阵代数或其直积。NoteTag|1=埃米尔·阿廷其后推广韦德伯恩的结果，定理因而得名阿廷-韦德伯恩定理。此后，结合代数成为较常用来称呼超复数系的术语，例如韦德伯恩在爱丁堡大学的学位论文标题便用了此术语。然而，也有不可结合的数系，例如八元数系和双曲四元数系，也算是另一类的超复数。
汤马士·霍金斯（Thomas Hawkins）解释，超复数是研究李群和群表示论的踏脚石。例如，1929年，埃米·诺特发表〈超复量与表示论〉。1973年，Isaiah Kantor和索洛多夫尼科夫（A. S. Solodovnikov）出版关于超复数的德文教科书，该书于1989年翻译成英文。
详细介绍全盛期的超复数研究，包括数学家Theodor Molien和Eduard Study的贡献。关于超复数至近世代数的过渡，Bartel van der Waerden在《代数史》有三十页专论超复数。
==定义==
定义超复数为实域上某个有限维代数的元素，而该代数要有单位，但无需可结合或可交换。 该些元素可以写成一组基的线性组合，其中系数为实数，而基的大小称为该代数的维数。若可行，一般将基正规化，即选取使。下节先考虑二维超复数（即）。
==二维实代数==
关于二维实代数有以下定理：14,15在同构意义下，实域上的二维单位代数恰有3个：复数系、双曲复数系、二元数系。于是，实域上的所有二维单位代数皆可结合和可交换。
下段简述定理的证明。
因为给定的代数是二维，可选一组基。因为代数对乘法封闭，的平方仍是代数的元素，故可写成线性组合：
其中为实系数。
运用常见的配方法，两边减走并加上，得：
所以，其中是实数。
取决于此实数值，分别有三种情况：
#若，则上式变成。于是，可视为二元数的基中的幂零元。
#若，则有。双曲复数的标准基满足，故若除以正实数（其平方与平方相等），得到的结果即可视为。
#若，则有。平常复数的标准基满足，故若除以正实数（其平方与平方互为相反数），得到的结果即可视为。
从而定理成立。
复数系是以上三个二维实代数中唯一一个域。若代数具有1的非实平方根（如双曲复数），则也有幂等元和零因子（因为），故此种代数必不为除代数。然而，此种性质有时很有用，例如双曲复数适用于描述狭义相对论的劳仑兹变换。
《数学杂志》在2004年的某版中，称二维实代数为「广义复数」（generalized complex numbers）。四个复数交比的概念也可以推广到其他二维实代数。
==高维例子（有多于一条非实轴）==
===克里福代数===
克里福代数是由赋有二次型的向量空间所生成的单位结合代数。在实域上，其等价于可以定义对称纯量积，正交化该二次型，以得到基，满足：
:
由乘法封闭性，该向量空间的基相乘得到个Multivector，即，皆为克里福代数的元素，且组成该代数的基（不同于原向量空间的基），可视为一个超复数系的基。与原向量空间的基不同，该代数的其他基元素不一定反交换，而是取决于将两个因子对调时，会交换的简单因子（即）有奇数对抑或偶数对。所以，，但。
若不允许（即二次型非退化），则余下的克里福代数可记为，表示其为个满足的简单基元和个满足的简单基元生成的代数，而括号内的指明此为实域上的克里福代数，即元素的系数为实数。
该些代数称为Geometric algebra，组成有规律的一族。该族代数适用于描述转动、相位、自旋，因此在古典和量子力学、电磁学、相对论方面很有用。
此族代数包括：复数系、双曲复数系，四元数系、分裂复四元数系、分裂四元数系（二维空间生成的自然代数）、（三维空间生成的自然代数，也是包立矩阵生成的代数）、。
代数可以视为代数的偶子代数，从而可用作描述中的旋转。因此，复数密切关系二维空间的旋转，四元数密切关系三维空间的旋转，双曲复数密切关系1+1维时空的双曲旋转（洛仑兹变换），余可类推。
虽然八维或以上时，凯莱-迪克森结构和分裂复数构造的乘法不可结合，任意维数的克里福代数皆可结合。
1995年，Ian R. Porteous有关克里福代数的书中，论及「子代数的辨认」。其命题11.4总结超复数的情况：
设为实结合代数，且具有单位元。则
* 生成（实子代数），
* 若是任何满足的元素，则其生成的二维子代数与同构（复子代数），
* 若是任何满足的元素，则其生成的二维子代数与同构（此处是实二元组的集合，其上的乘法是逐个分量相乘。该代数与双曲复代数同构），
* 若，且反交换，则生成的四维子代数同构于（四元数代数），
* 若，且反交换，则生成的四维子代数同构于（元素为实矩阵，或分裂四元数），
* 若，且两两反交换，则其生成的八维子代数同构于（分裂复四元数代数），
* 若，且两两反交换，则其生成的八维子代数同构于（元素为复矩阵，亦可视为复四元数或包立代数）。
超出该些古典代数的延伸，见Classification of Clifford algebras。
===凯莱－迪克森构造===
撇除实数系、复数系、四元数系不计，其他克里福代数皆含有平方为的非实数，故不能为除代数。凯莱－迪克森构造是另一个扩展复数系的方法，其给出维数为的数系，该些数系的基满足：所有非实的基元两两反交换，且。在8维或以上时（即），该些代数不可结合，而在16维或以上时（即），该些代数有零因子。
此构造得到的前几个代数是4维的四元数系、8维的八元数系、16维的十六元数系。随维数上升，其代数结构的对称性逐一失去：四元数乘法不可交换，八元数乘法不可结合，而十六元数的范数不具积性。
凯莱－迪克森构造的某些步骤中，若插入额外的符号，则得到composition algebra中的「分裂代数」，而非除代数：
分裂复数系：有基，满足，
分裂四元数系：有基，满足，
分裂八元数系：有基，满足，。
与复数系不同，分裂复数系并非代数闭，甚至包含非平凡的零因子和幂等元。与四元数系类似，分裂四元数系亦不可交换，但同时还含有幂零元。分裂四元数与二阶方阵的代数同构。分裂八元数系不可结合，也含有幂零元。
===张量积===
两个代数的张量积仍为代数，如此可构造更多超复数系。
作为例子，取2维实代数（复数系）、4维实代数（四元数系）、8维实代数（八元数系），分别与作张量积，依次得4维的双复数系、8维的复四元数系、16维的复八元数系。
===其他例子===
* 多重复数：其组成复域上的维向量空间。
* composition algebra：赋有二次型的代数，其中二次型与乘法可互换次序。