【实数的构造】
在数学里，实数系统可以透过不同方式被定义。其中，基本方法通过一些公理将实数系统定为一个完备的有序数域。通过集合论公理，可以证明基本方法中给定的公理是绝对的，即是说如果有两个模型都符合那些公理，那么这两个模型必然是同构的。这样的模型须是从更基础的对象构建而成的，而多数的模型的建立都是借助于有理数域。
==基本方法==
一个实数系统由一个集合，当中的两个不同元素 0 和 1 ，上的两种二元运算  （分别叫做加法与乘法），以及上的一个二元关系（即序关系）构成。
而且这个模型符合以下性质：
#  是一个域。即
#* （加法与乘法的结合性）
#* （加法与乘法的交换性）
#* （乘法对加法有分配律）
#* （存在加法单位元）
#* （存在乘法单位元）
#* （存在加法逆元）
#* （存在乘法逆元）
#  是一个全序集。即
#* (自反性)
#* 若  且 ，则有（反对称性）
#* 若 且,，则有（传递性）
#*  或（完全关系性）
# 上的两个运算 均与序关系相容。即
#* ,若则（加法下保持次序）
#* ,若  且，则（乘法下保持次序）
#  序关系符合戴德金完备性: 若的一个非空子集有上界，那么也有上确界。换言之，
#* 若  是 的一个非空子集，而且有上界，那么有一上确界，使得对的任何上界，均有
有理数域 符合前三条公理，也就是说是一个有序域（同时还满足阿基米德性，所以是一个阿基米德有序域），但 不符合最后一条公理。所以戴德金完备性这一点在实数的定义中是不可或缺的。戴德金完备性蕴含了阿基米德性质。若有两个模型符合公理1-4的话，它们必然是同构的，所以在同构意义下只有一个戴德金完备的阿基米德有序域。
附注：当我们说符合以上公理的两个模型：  和 是同构时，即是指存在一个保持运算和序的双射。
确切地说存在满足
* 是一个双射
*  及 .
*  及
*  当且仅当
===塔斯基实数公理===
另外一种公理化实数的方法由阿尔弗雷德·塔斯基提供，只需要如下所示的8条公理以及4个基本概念：一个称之为实数集的集合（记作）、一个称之为序的二元关系（记作）、一个称之为加法的二元运算（记作）和常数。
序相关公理 ：
*公理一：如果成立，那么不成立，即“”为非对称关系。
*公理二：如果成立，那么存在使得与同时成立，即“”在实数集稠密。
*公理三：“”满足戴德金完备性，即对所有，如果对所有以及均满足，那么存在使得对所有以及并且有以及，总有与成立。
加法相关公理 ：
*公理四：。
*公理五：对所有与，总存在满足。
*公理六：如果成立，那么或成立。
常数相关公理
*公理七：；
*公理八：。
==模型的具体构造==
===柯西序列===
首先我们需要一个定义。设是一个有理数列，如果对于任何正有理数，存在一个正整数使得对于所有的整数，都有，则称为有理数的柯西序列。
有理数集配备上度量（即一般的绝对值）后便是一个度量空间。而透过一个叫作完备化的过程，可以往度量空间加进新点，从而使得度量空间中的所有柯西序列都收敛到某点。
以下说明实数集可定义为对于度量的完备化。（关于在其他度量下的完备化，参见p进数。）
记为由有理数的柯西序列组成的集合。定义两个柯西序列的加法和乘法为：
运算得到的序列依然会是柯西序列。
称两个柯西序列是等价的，如果它们之间的差收敛到0。这样便在上定义了一个等价关系。以表示包含序列的等价类。
设为包含所有等价类的集合，然后也在上定义加法和乘法：
同样地，这两个运算是良好定义的。
可以证明是一个域。我们可以把嵌入到——只要把有理数对应于便可。
实数大小的比较也是透过在柯西序列上的定义而达成的：
称一个实数是正的，即，当且仅当存在自然数和正有理数，使得对一切有 。称当且仅当。
较难推导的是的完备性，具体可以参考。
常用的小数记法可以自然地理解为柯西序列，比如说， 的记法意味著  是柯西序列 的等价类。等式则断定了序列 和是等价的，即它们之间的差收敛到。
把作为的完备化有一个好处，那就是这种方法并不限于此例；对于其他度量空间也是适用的。
===戴德金分割===
实数可定义为有理数集上的戴德金分割，即是有理数集的一个划分，其中都非空，而且A的每个元素都小于B的任意元素。为方便起见，不妨把划分以其下组 来代表，因为给定了  就唯一确定了 。所以直观上，实数能被所代表。
具体而言，一个实数是 的符合以下条件的一个子集：
#  是非空集合
#
#  是向下封闭的，即：
#  没有最大元。也就是说，不存在，使得对任何有
* 记 为所有实数的集合，也就是说它包含了所有上的戴德金分割。然后在上定义这样一个全序：
* 有理数可以嵌入到里，透过把 对应于集合。  因为有理数在有理数集内是稠密的，所以这个集合没有最大元，并满足上述的各条件。
* 加法：
* 减法： ，其中 代表在里的补集，即
* 负号是减法的特例：
* 乘法的定义较不直观：
** 若 ，那么
** 若 和  中有一个是负的，可以透过这定义式，把, 转化为正数的情况，再采用上面的定义来计算。
* 类似地定义除法为：
** 若，则
** 若 和  中有一个是负的，可以借助  的定义式，把 换成非负数，以及把换成正数，再采用上面的定义来计算。
* 上确界：如果的非空子集 有上界的话，那么可以证明便是其上确界。
以下示范如何以戴德金分割代表根号2：设。
首先，对于任何自乘小于2的正有理数 ，都存在一个大于x的有理数 ，而且有 。选择 便可。所以我们证明了 是一个实数。
要证明成立，只需指出如果是小于2的有理数，那么存在正的  ，且 。
这种方法的好处是每个实数都对应于唯一的分割。
===小数记法===
西蒙·斯蒂文 首先提出了以小数来代表一切数（即现今的实数）的想法。具体地，可以将无限小数展开式作为实数的定义，然后规定像0.9999... 和1.0000... 这样的两种展开式是等价的，再形式化地定义好四则运算和大小次序。这种方法跟柯西序列和戴德金分割这两种构造是等价的，而且它还给出了明确的Modulus of convergence。这种方法不限于十进制，其他的进位制也是适用的。
用小数来构造的好处是，这跟我们对于实数的基本印象相符。一个证明“完全有序域的所有模型都同构”的标准做法便是，说明任意模型都同构于这个模型，因为我们可以系统地给每个元素建立小数展开式。
===超实数===
首先，透过超滤子从有理数构造出超有理数域*Q 。此处的超有理数之定义为两个超整数的比。考虑由*Q里所有有界（或者说有限）元素所组成的环B。 B 有著唯一的极大理想 I，即无穷小量。商环 B/I 给出了实数域 。 注意B 并不是*Q的一个内在集合。
此外，这种构造在自然数集上使用了非主超滤子，而其存在性是依赖于选择公理的。
这个极大理想 I保持了*Q本身的次序。所以形成的域是一有序域。完备性的证明跟柯西序列一节中的论证类同。
===超现实数===
每个有序域都可以嵌入到超现实数系统内。而实数组成了一个符合阿基米德性质的极大子域（意味著没有实数是无穷大量）。这种嵌入方式并不是唯一的，尽管有标准的一种方式。
===透过整数集（欧多克索斯实数）===
一个较不为人知的构造方法只需用到整数的加法群。 这种方法已由IsarMathLib project正式验证了。  Shenitzer和Arthan将此构造称为欧多克索斯实数。
设为一函数，若然是有限集，则称f为殆同态。称两个殆同态 是 几乎相等的，如果集合是有限集。如此便在殆同态上定义了一等价关系。实数被定义为各个等价类，可简单记为f。实数的加法，对应于殆同态的加法运算；实数的乘法，则对应于殆同态的复合运算。最后，称，若 是有界的，或者 在上无限多次取正值。这样便在实数上建立了全序。