【幻方】
幻方，有时又称魔术方阵（其简称“魔方”现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及每一条主对角线的和均相等。通常幻方由从到的连续整数组成，其中为正方形的行或列的数目。因此阶幻方有行列，并且所填充的数为从到。
幻方可以使用阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数，如果填充数为，那么有
== 幻方简史 ==
《系辞》云：「河出图，洛出书，圣人则之。」在宋朝之前，洛书的记述只有文字。
九宫图实物最早发现于西汉，1977年中国考古学家在安徽阜阳县双古堆西汉古墓中发现汉文帝七年（前173年）的太乙九宫占盘，乃是中国汉代幻方的实物。东汉《数术记遗》也有记载。
后来陈抟以降认为河图洛书的洛书代表九宫图，为这个数，而行、列以及两对角线上各自的数之和均为15。
==杨辉纵横图==
杨辉纵横图
南宋数学家杨辉著《续古摘奇算法》把类似于九宫图的图形命名为纵横图，书中列举3、4、5、6、7、8、9、10阶幻方。其中所述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”，比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。
== 构造法 ==
根据构造方法的不同，幻方可以分成三类：奇数阶幻方、阶幻方和阶幻方，其中为自然数，阶幻方不存在。幻方构造法主要有：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法（基方、根方合成法）、镶边法、相乘法、幻方模式等。
=== 奇数阶幻方构造法 ===
Siamese方法（Kraitchik 1942年，pp. 148-149）是构造奇数阶幻方的一种方法，说明如下：
*把放置在第一行的中间。
*顺序将等数放在右上方格中。
*当右上方格出界的时候，则由另一边进入。
*当右上方格中已经填有数，则把数填入正下方的方格中。
*按照以上步骤直到填写完所有个方格。
（由于幻方的对称性，也可以把右上改为右下、左上以及左下等方位）
以下图阶幻方为例，填写在（第一行第三列）的位置上；应当填写在其右上方格即中，由于超出顶边界，所以从最底行进入，即；填写在的右上方格中；填写在的右上方格中，由于超出右边界，所以从最左列进入，即；填写在的右上方格中；应该填写的方格已经被所占据，因此填写在的正下方格中；按照上面的步骤直到所有数填入。
魔方阵不是唯一的，比如5阶魔方阵还可以是：
=== 偶数阶幻方构造法 ===
==== 阶幻方构造法 ====
对于阶幻方一般都用对调法，制作起来很容易。将它分割成个区块，再将其每一个区块的非主副对角线上的各个数关于中心对调即可。
如4阶幻方的排列法：
按如上图排列好，再将非主副对角线上的各个数关于中心对调，即成下图：
八阶幻方构造如下
即：
==== 阶幻方构造法 ====
=====加边法=====
以阶为例子，先排出阶的幻方，如上图，再将图中每一个数都加上，有下图：
在外围加上一圈格子，把和这些数安排在外圈格子内，但要使相对两数之和等于。对于这些数是：；。结果如下：
=====LUX法=====
在(4M+2)×(4M+2）个方格的适当格点上，先排出2M+1阶的幻方。在前M+1行的格点，全部标上「L」；在第M+1行的中间格点标上「U」，其余格点标上「L」；在第M+2行的中间格点标上「L」，其余格点标上「U」；在余下的M-1行的格点全部标上「X」。将格点上的数乘以4再减4，再按下面的规则加上1至4其中一个数，填入对应的格上：
4 1    1 4    1 4
L      U      X
2 3    2 3    3 2
例子：
68  65  96  93   4   1  32  29  60  57
17L     24L      1L      8L     15L
66  67  94  95   2   3  30  31  58  59
92  89  20  17  28  25  56  53  64  61
23L      5L      7L     14L     16L
90  91  18  19  26  27  54  55  62  63
16  13  24  21  49  52  80  77  88  85
4L      6L     13U     20L     22L
14  15  22  23  50  51  78  79  86  87
37  40  45  48  76  73  81  84  9   12
10U     12U     19L     21U      3U
38  39  46  47  74  75  82  83  10  11
41  44  69  72  97  100  5  8   33  36
11X     18X     25X      2X      9X
43  42  71  70  99  98   7  6   35  34
===编程语言参考实现===
===四阶幻方全解搜索(C/C++)===
#include
int a17,b17,m;
void s(int i)
{  /*搜索全部四阶幻方，C代码,运行时间7秒*/
int n=0,j=0;
while(++j
==== 奇数阶幻方算法的Java语言实现====
/** @author: contribute to wikipedia according GNU
* @description:用于创建奇数阶的幻方
*/
public class magic_squre_odd {
static int  matrix;
static int   n;
public static void magic_squre_odd_generate()
{ matrix = new intnn;
//所有的数初始化为0
matrix0(n-1)/2 = 1;
int x = 0,y = (n-1)/2;
//count:记住已经插入过的数
for(int count = 2; count=n，则y=y-n，x不变;continue
if(y>=n)
{
y -= n;
continue;
}
//循环判断是否该位置已经有数据，直到找到一个空位
//如果有数据，则移到x = x + 2;y = y - 1; continue
if (y=n){x-=n;continue;}
if (y
以下是本算法将n设置为11时得出的11阶幻方的构造结果：
68 81 94 107 120 1 14 27 40 53 66
80 93 106 119 11 13 26 39 52 65 67
92 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79
104 117 9 22 24 37 50 63 76 78 91
116 8 21 23 36 49 62 75 88 90 103
7 20 33 35 48 61 74 87 89 102 115
19 32 34 47 60 73 86 99 101 114 6
31 44 46 59 72 85 98 100 113 5 18
43 45 58 71 84 97 110 112 4 17 30
55 57 70 83 96 109 111 3 16 29 42
56 69 82 95 108 121 2 15 28 41 54
==== 阶幻方算法的Java语言实现 ====
/* * @author: contribute to wikipedia according GNU
* @description:用于创建4阶的幻方
*/
public class magic_square_4m {
/* 	 * @param args
*/
static int  matrix;
static int   n;
static void magic_squre_4m_generate()
{
//初始化matrix
matrix = new intnn;
//将matrix里的位置用数顺序排列
int ini = 0;
for(int i = 0; i
以下是本算法输出的结果：
对调之前的样子：
1_2_3_4_
5_6_7_8_
9_10_11_12_
13_14_15_16_
对调之后的样子：
1_15_14_4_
12_6_7_9_
8_10_11_5_
13_3_2_16_
== 研究价值 ==
知名华人数学家陈省身曾在数学演讲中说幻方只是一个奇迹，它在数学中没有引起更普遍深刻的影响，不属于“好的数学”。
对幻方的学习和研究一直局限于趣味数学本身，更接近数字游戏或文字游戏，缺乏与主流数学的联系(和璇玑图在中国诗歌中的地位有一些相似)。数学和物理中也有具有更多学术价值的特殊数字方阵，如推动了试验设计研究的拉丁方阵和已有应用的阿达玛矩阵，还有在量子力学中有重要价值的泡利矩阵及其推广版本盖尔曼矩阵。魔术方块则可以与群论建立联系(见魔方群)，可以作为抽象代数的入门教具，也是Computational group theory的研究案例之一，并非单纯的几何玩具。高性能的计算机诞生后，幻方、幻星、素数环(prime ring problem)等很多这类需要满足特殊规律的填数问题，只要所需的数字规模不大，都可以考虑通过深度优先搜索算法暴力求解和枚举。
== 艺术与流行文化 ==
* 德国画家与雕刻家阿尔布雷希特·丢勒曾在一幅名作《忧郁》(Melencolia I)的角落中画下一个幻方。这个著名的幻方图也被知名工程数学软件MATLAB加入自己的帮助文档中。