【环 (代数)】
环（Ring）是由集合R和定义于其上的两种二元运算（记作  和  ，常被简称为加法和乘法，但与一般所说的实数加法和乘法不同）所构成的，符合一些性质（具体见下）的代数结构。
环的定义类似于交换群，只不过在原来「+」的基础上又增添另一种运算「·」（注意我们这里所说的 + 与 · 一般不是我们所熟知的四则运算加法和乘法）。在抽象代数中，研究环的分支为环论。
== 定义 ==
为集合，  和  为定义于其上的二元运算（一种二变数函数）。以下依照二元运算的惯例，将运算结果  和  分别简记为  和  。
被称为环，若它满足：
# 为交换群 ，即：
#* 结合律：对所有的  有
#* 单位元：存在  ，对所有的  有    （可由上面的性质证明这样的  是唯一的， 这样的  称为加法单位元）
#* 反元素：对所有的  存在  使    （可以由上面的性质证明这样的  是唯一的，通常简记为  并称为  的加法反元素)
#* 交换律：对所有的  有
# 为幺半群，即：
#* 结合律：对所有的  有
#*单位元：存在一个单位元使得对于任意的有（部分定义并不要求此条）
# 乘法对于加法满足分配律，即对所有的  有：
##
其中  常会被暱称为加法；类似的  会被暱称为乘法，因为取  （实数系），  为普通的实数加法且  为普通的实数乘法的话，显然为环。而此时加法单位元显然为实数  ，所以有时会偷懒的将一般环的加法单位元  简写为  。
所以惯例上仿造实数乘法把  简写为   ；而且因为实数乘法优先于实数加法，所以也会规定  是  的简写。此外还会仿造实数减法，会把  简写为  。
值得注意的是，在1960年代以前，多数抽象代数的书籍并不将乘法单位元列入环的必要条件中；而1960年代后的书籍则更倾向将乘法单位元列入环的必要条件中。那些不要求乘法单位元为环的必要条件的作者，可能会把包含乘法单位元的环给称为「单位环」；与之相对地，那些要求乘法单位元为环的必要条件的作者，可能会把不包含乘法单位元的环给称为「伪环」。
== 基本性质 ==
为环，则对所有  有：
I.
证明：
#  （单位元）
#  （式1等号两边于左侧同乘 ）
#  （分配律）
# （式2 + 式3）
#  （式4等号两边于右侧加 ）
#  （以反元素化简式5）
可调换  和  的顺序， 仿上证明  。
II.
证明：
#  （加法交换律、分配律、加法逆元素）
#  （ 上面的性质I ）
故   的确是  的加法反元素，仿上可证明  也是  的加法反元素。
== 环的相关概念 ==
=== 特殊的环 ===
幺环
若环R中，(R, ·)构成幺半群。即：∃1∈R，使得∀a∈R，有1·a=a·1=a。则R称为幺环。此时幺半群(R, ·)的幺元1，亦称为环R的幺元。
交换环
若环R中，(R, ·)还满足交换律，从而构成交换半群，即：∀a，b∈R，有ab=ba，则R称为交换环。
无零因子环
若R中没有非0的零因子，则称R为为无零因子环。
* 此定义等价于以下任何一条：
** R\{0}对乘法形成半群；
** R\{0}对乘法封闭；
** R中非0元素的乘积非0；
整环
无零因子的交换幺环称为整环。
例：整数环，多项式环
唯一分解环
若整环R中每个非零非可逆元素都能唯一分解，称R是唯一分解环.
除环
若环R是幺环，且R\{0}对R上的乘法形成一个群，即：∀a∈R\{0}，∃a-1∈R\{0}，使得a-1·a=a·a-1=1。则R称为除环。
* 除环不一定是交换环。反例：四元数环。
* 交换的除环是体。
主理想环
每个理想都是主理想的整环称为主理想环。
单环
若幺环R中的极大理想是零理想，则称R为单环。
商环
质环
== 例子 ==
* 集环：非空集的集合R构成一个环，当且仅当它满足以下几个条件中任何一个：
** R对集合的并和差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∪F∈R，E-F∈R；
** R对集合的交和对称差运算封闭，即：∀E，F∈R ⇒ E∩F∈R，E△F∈R；
** R对集合的交，差以及无交并运算封闭。
这样得到的集环以交为乘法，对称差为加法；以空集为零元，并且由于∀E∈R，E∩E=E·E=E，因此它还是布尔环。
* 整数环是一个典型的交换且含单位环。
* 有理数环，实数域，复数域都是交换的含单位元环。
* 所有项的系数构成一个环A的多项式全体AX是一个环。称为A上的多项式环。
* n为正整数，所有n×n的实数矩阵构成一个环。
== 环的理想 ==
考虑环(R, +, ·)，依环的定义知(R, +)是阿贝尔群。集合I ⊆ R，考虑以下条件：
# (I, +) 构成 (R, +) 的子群。
# ∀i ∈ I，r ∈ R，有i·r ∈ I。
# ∀i ∈ I，r ∈ R，有r·i ∈ I。
若I满足条件1，2则称I是R的右理想；
若I满足条件1，3则称I是R的左理想；
若I满足条件1，2，3，即I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的双边理想，简称理想。
=== 示例 ===
* 整数环的理想：整数环Z只有形如{nZ}的理想。
=== 基本性质 ===
* 在环中，(左，右，双边)理想的和与交仍然是(左，右，双边)理想。
* 在除环中，(左，右)理想只有平凡(左，右)理想。
* 对于环R的两个理想A，B，记。则由定义易知：
*# 若A是R的左理想，则AB是R的左理想；
*# 若B是R的右理想，则AB是R的右理想；
*# 若A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。
=== 相关概念 ===
真（左，右，双边）理想
若R的（左，右，双边）理想I满足：I是R的真子集，I称为R的真（左，右，双边）理想。
极大（左，右，双边）理想
环R及其真（左，右，双边）理想I，I被称为R的极大（左，右，双边）理想，若不存在R的真（左，右，双边）理想J,使得I是J的真子集。
* 若 I 是极大（左，右）理想，又是双边理想，则 I 是极大理想。
* 极大双边理想不一定是极大（左，右）理想。
生成理想
环R，A ⊆ R，定义=RA+AR+RAR+ZA，则易知：
* 是环R的理想，并且是R中所有包含子集A的理想的交,即是R中包含子集A的最小理想。
称为由子集A生成的理想，A称为的生成元集。当A是有限集时，称为R的有限生成理想。
* 下面是生成理想的几种特殊情况：
*# 当R是交换环时，=RA+ZA
*# 当R是幺环时，=RAR
*# 当R是交换幺环时，=RA
* 同一个理想，其生成元集可能不唯一。
主理想
由环R中单个元素生成的理想称为R的主理想。即，设a ∈ R，则称为R的主理想。
素理想
真理想I被称为R的素理想，若∀理想A，B ⊆ R，AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I 或 B ⊆ I。
素环
若环R的零理想是素理想，则称R是素环(或质环)。无零因子环是素环。在交换环R中，真理想 I 是素理想的充分且必要条件是：是素环.
半素理想
环R的真理想I，若∀理想A，A2 ⊆ I ⇒ A ⊆ I。则称 I 是环R的半素理想。
* 半素理想是一类比素理想相对较弱条件的理想，因为素理想是半素理想，但半素理想未必是素理想。
* 除环的零理想是极大理想。在有单位元的环中，如果零理想是其极大理想,称这种环是单环。除环是单环，域也是单环。反之则不对，即存在不是除环的单环。
* 定理1 在整数环Z中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
* 定理2 设R是有单位元1的交换环。理想 I 是R的极大理想的充分且必要条件是：商环是域。
* 定理3 设 I 是环R的左理想，则 I 是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在 I 中的左理想J都有。
== 有关环的其它概念 ==
* 零因子 （zero divisor）：零因子
设b是环中的非零元素，称a为左零因子，如果ab=0；同样可以定义右零因子。通称零因子；