【向量空间】
向量空间是可以缩放和相加的（叫做向量的）对象的集合
向量空间是现代数学中的一个基本概念，是线性代数研究的基本对象，是指一组向量及相关的运算即向量加法，纯量乘法，以及对运算的一些限制如封闭性，结合律。
在现代数学中，向量的概念不仅限于此，满足下列公理的任何数学对象都可被当作向量处理。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。
== 公理化定义 ==
给定域F，F上的向量空间V是一个集合，其上定义了两种二元运算：
* 向量加法  + : V + V → V，把V中的两个元素 u 和 v 映射到V中另一个元素，记作 u + v；
* 标量乘法  · : F × V → V，把F中的一个元素 a 和 V 中的一个元素u变为V中的另一个元素，记作 a ·u。
中的元素称为向量，相对地，F中的元素称为标量。
而集合V公理才构成一个向量空间（对F中的任意元素a、b以及V中的任意元素u、v、w都成立）：
前四个公理说明装备了向量加法的V是交换群，余下的四个公理应用于标量乘法。需要注意的是向量之间的加法“+”和标量之间的加法“+”是不一样的，标量与向量之间的标量乘法·和两个标量之间的乘法（域F中自带的乘法）也是不一样的。
简而言之，向量空间是一个F模。
===基本性质===
以下是一些可以从向量空间的公理直接推出的性质：
*零向量0是唯一的；
*对任意a ∈ F，a ·  0  0；
*对任意u ∈ V，0 ·u  0（0是F的加法单位元）。
*如果a ·u  0，则要么a  0，要么u  0。
*向量加法的逆向量v是唯一的，记作。也可以写成，两者都是标准的。
*对任意u ∈ V，1
*对任意a ∈ F以及u ∈ V，
== 例子 ==
对一般域F，V记为F-向量空间。若F是实数域ℝ，则V称为实数向量空间；若F是复数域ℂ，则V称为复数向量空间；若F是有限域，则V称为有限域向量空间。
最简单的F-向量空间是F自身。只要定义向量加法为域中元素的加法，标量乘法为域中元素的乘法就可以了。例如当F是实数域ℝ时，可以验证对任意实数a、b以及任意实数u、v、w，都有：
# ，
# ，
# 零元素存在：零元素0满足：对任何的向量元素v，，
# 逆元素存在：对任何的向量元素v，它的相反数就满足。
# 标量乘法对向量加法满足分配律：.
# 向量乘法对标量加法满足分配律：.
# 标量乘法与标量的域乘法相容：。
# 标量乘法有单位元：ℝ中的乘法单位元，也就是实数“1”满足：对任意实数v，。
更为常见的例子是给定了直角坐标系的平面：平面上的每一点都有一个坐标，并对应着一个向量。所有普通意义上的平面向量组成了一个空间，记作ℝ²，因为每个向量都可以表示为两个实数构成的有序数组。可以验证，对于普通意义上的向量加法和标量乘法，ℝ²满足向量空间的所有公理。实际上，向量空间是ℝ²的推广。
同样地，高维的欧几里得空间ℝn也是向量空间的例子。其中的向量表示为，其中的都是实数。定义向量的加法和标量乘法是：
，
可以验证这也是一个向量空间。
再考虑所有系数为实数的多项式的集合。对于通常意义上的多项式加法和标量乘法，也构成一个向量空间。更广泛地，所有从实数域射到实数域的连续函数的集合也是向量空间，因为两个连续函数的和或差以及连续函数的若干倍都还是连续函数。
===方程组与向量空间===
向量空间的另一种例子是齐次线性方程组（常数项都是0的线性方程组）的解的集合。例如下面的方程组：
如果和都是解，那么可以验证它们的“和”也是一组解，因为：
同样，将一组解乘以一个常数后，仍然会是一组解。可以验证这样定义的“向量加法”和“标量乘法”满足向量空间的公理，因此这个方程组的所有解组成了一个向量空间。
一般来说，当齐次线性方程组中未知数个数大于方程的个数时，方程组有无限多组解，并且这些解组成一个向量空间。
对于齐次线性微分方程，解的集合也构成向量空间。比如说下面的方程：
出于和上面类似的理由，方程的两个解和的和函数也满足方程。可以验证，这个方程的所有解构成一个向量空间。
== 子空间基底 ==
如果一个向量空间V的一个非空子集合W对于V的加法及标量乘法都封闭（也就是说任意W中的元素相加或者和标量相乘之后仍然在W之中），那么将W称为V的线性子空间（简称子空间）。V的子空间中，最平凡的就是空间V自己，以及只包含0的子空间。
给出一个向量集合B，那么包含它的最小子空间就称为它的生成子空间，也称线性包络，记作span(B)。
给出一个向量集合B，若它的生成子空间就是向量空间V，则称B为V的一个生成集。如果一个向量空间V拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称V是一个有限维空间。
可以生成一个向量空间V的线性独立子集，称为这个空间的基。若V={0}，约定唯一的基是空集。对非零向量空间V，基是V“最小”的生成集。向量空间的基是对向量空间的一种刻画。确定了向量空间的一组基B之后，空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中元素的线性组合。如果能够把基中元素按下标排列：，那么空间中的每一个向量v便可以通过座标系统来呈现：
这种表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是说，向量空间的基提供了一个坐标系。
可以证明，一个向量空间的所有基都拥有相同基数，称为该空间的维度。当V是一个有限维空间时，任何一组基中的元素个数都是定值，等于空间的维度。例如，各种实数向量空间：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中，  ℝn的维度就是n。在一个有限维的向量空间（维度是n）中，确定一组基，那么所有的向量都可以用n个标量来表示。比如说，如果某个向量v表示为：
那么v可以用数组来表示。这种表示方式称为向量的坐标表示。按照这种表示方法，基中元素表示为：
可以证明，存在从任意一个n维的-向量空间到空间的双射。这种关系称为同构。
== 线性映射 ==
给定两个系数域都是F的向量空间V和W,定义由V到W的线性变换（或称线性映射）为所有从V射到W并且它保持向量加法和标量乘法的运算的函数f：
所有线性变换的集合记为，这也是一个系数域为F的向量空间。在确定了V和W上各自的一组基之后，中的线性变换可以通过矩阵来表示。
如果两个向量空间V和W之间的一个线性映射是一一映射，那么这个线性映射称为（线性）同构，表示两个空间构造相同的意思。如果在V和W之间存在同构，那么称这两个空间为同构的。如果向量空间V和W之间存在同构，那么其逆映射也存在，并且对所有的，都有：
== 概念化及额外结构 ==
研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下：
* 一个实数或复数向量空间加上长度概念（就是范数）则成为赋范向量空间。
* 一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念则成为内积空间。
* 一个向量空间加上拓扑结构并满足连续性要求（加法及标量乘法是连续映射）则成为拓扑向量空间。
* 一个向量空间加上双线性算子（定义为向量乘法）则成为域代数。
== 参考文献 ==
* 《中国大百科全书》
* Howard Anton and Chris Rorres. Elementary Linear Algebra, Wiley, 9th edition, ISBN 0-471-66959-8.
* Kenneth Hoffmann and Ray Kunze. Linear Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-536797-2.
* Seymour Lipschutz and Marc Lipson. Schaum's Outline of Linear Algebra, McGraw-Hill, 3rd edition, ISBN 0-07-136200-2.
* Gregory H. Moore. The axiomatization of linear algebra: 1875-1940, Historia Mathematica 22 (1995), no. 3, 262-303.
* Gilbert Strang.  "Introduction to Linear Algebra, Third Edition", Wellesley-Cambridge Press, ISBN 0-9614088-9-8