【初等群论】
在数学中，群  定义为集合 G 和叫做“乘积”并指示为中缀 "*" 的 G 上的二元运算。乘积服从下列规则(也叫做公理)。设 a, b 和 c 是 G 的任意元素。则:
*A1, 封闭性。 a*b 在 G 中；
*A2, 结合律。(a*b)*c = a*(b*c)；
*A3, 单位元。存在一个 G 中的单位元 e 使得 a*e = e*a = a。 G 的单位元 e 据下述定理 1.4 是唯一性的；
*A4，逆元。对于每个 G 中 a，存在一个 G 中的逆元 x 使得 a*x = x*a = e。a 的逆元 x 据下述定理 1.5 是唯一性的。
阿贝尔群还服从额外的规则:
*A5，交换律。a*b = b*a。
封闭性是二元运算定义的一部分，因此 A1 经常省略。
==细节==
*群乘积 "*" 不必然是乘法。加法也可以，很多更不标准的运算也行。
*在 * 是标准运算的时候，我们转而使用标准符号(比如对加法使用 +)。
*在 * 是加法或(除了乘法)任何交换运算的时候，0 通常指示单位元，而 -a 指示 a 的逆元。运算总是用非 * 的东西经常为 + 来避免混淆于乘法。
*在 * 是乘法或非交换运算的时候，a*b 经常写为 ab。1 通常指示单位元，而a -1 通常指示 a 的逆元。
*群  经常被称为“群 G”或简称“G”；但是运算 "*" 对于群的描述是基础性的。
* 经常念为“在 * 下的群 G”。在断定 G 是一个群的时候(比如在定理中)，我们说“G 是在 * 下的一个群”。
==例子==
G = {1,-1} 是乘法下的一个群，因为对于所有 G 中的元素 a, b, c:
A1: a*b 是 G 的一个元素.
A2: (a*b)*c = a*(b*c) 可以通过枚举所有 8 种可能(和平凡的)情况来验证。
A3: a*1 = a。因为 1 是单位元。
A4: a-1*a = 1。因此 a-1 指示逆元而单位元 1 是自身的逆元。
整数集 Z 和实数集 R 是在加法 '+' 下的群，对于所有 Z 或者 R 中的元素 a, b 和 c:
A1: 任何两个数相加产生同类的另一个数。
A2: (a+b)+c = a+(b+c)。
A3: a+0 = a。因此 0 是单位元。
A4: -a+a = 0。因此 -a 指示逆元而单位元 0 是自身的逆元。
实数集 R 不是乘法 '*' 下的群。对于所有 R 中的 a, b 和 c:
A3: 单位元是 1。
A4: 0*a = 0，所以 0 没有逆元。
实数集去除 0 即 R# 是在乘法 '*' 下的群。
A1: 任何两个 R# 的元素相乘产生 R# 的另一个元素。
A2: (a*b)*c = a*(b*c)。
A3: a*1 = a。因此 1 指示单位元。
A4: a -1*a = 1。因此 a -1 指示逆元。
==可替代的公理==
A3 和 A4 可以被替代为:
*A3’，左单位元。存在一个 G 中元素 e 使得对于所有 G 中的 a，e*a = a。
*A4’，左逆元，对于每个 G 中的 a，存在一个 G 中的元素 x 使得 x*a = e。
还可以替代为:
*A3’’，右单位元。存在一个 G 中的 e 使得对于所有 G 中的 a，a*e = a。
*A4’’，右逆元。对于每个 G 中的 a，存在一个 G 中的元素 x 使得 a*x = e。
这些看起来更弱的公理对天然的蕴含于 A3 和 A4 中。我们现在证明逆过来也是真的。
定理:  A1 和 A2 ，A3’ 和 A4’ 蕴含 A3 和 A4。
证明。假设给出了左单位元 e 和 G 中的 a，根据 A4’存在一个 x 使得 x*a = e。
我们欲证明的是 a*x = e。
根据 A4’存在 G 中的一个 y 有著:
所以:
这确立了 A4。
这确立了 A3。
定理: A1 和 A2，A3’’和 A4’’蕴含 A3 和 A4。
证明。类似上述。
==基本定理==
===单位元唯一===
定理 1.4: 群  的单位元是唯一的。
证明: 假设 e 和 f 是 G 的两个单位元。则
在讨论和比较不同的群的时候，eG 指示特定群  的唯一单位元。
===逆元唯一===
定理 1.5:  中每个元素的逆元是唯一的。
证明: 假设 h 和 k 是 G 的元素 g 的两个逆元。则
没有歧义性的，对于所有 G 中的a，我们指示 a 的唯一逆元为 a -1。
===拉丁方阵性质===
定理 1.3: 对于所有 G 中元素 a,b，存在唯一的 G 中的 x 使得 a*x = b。
证明。的确存在至少一个这种 x，因为如果我们设 x = a -1*b，则 x 在 G 中(通过 A1，闭包)并且:
* a*x = a*(a -1*b) (代换 x)
* a*(a -1*b) = (a*a -1)*b (结合律 A2)。
*(a*a -1)*b = e*b = b. (单位元 A3)。
*因此总是存在一个 x 满足 a*x = b。
为了证明这是唯一性的，如果 a*x = b，则
* x = e*x
* e*x = (a -1*a)*x
* (a -1*a)*x = a -1*(a*x)
* a -1*(a*x) = a -1*b
* 因此，x = a -1*b
类似的，对于所有 G 中的 a,b，存在唯一的一个 G 中的 y 使得 y*a = b。
===两次逆换回到起点===
定理 1.6: 对于所有群 G 中的元素 a，(a -1) -1 = a。
证明。a -1*a = a -1*(a -1) -1=e。(A4)
由定理 1.5知定理1.6成立。
===ab的逆元===
定理 1.7: 对于所有群 G 中元素 a,b，(a*b) -1 = b -1*a -1。
证明。(a*b)*(b -1*a -1) = a*(b*b -1)*a -1 = a*e*a -1 = a*a -1 = e。结论得出自定理 1.4。
===消除===
定理 1.8: 对于所有群 G 中的元素 a,x 和 y，如果 a*x = a*y，则 x = y；并且如果 x*a = y*a，则 x = y。
证明。如果 a*x = a*y 则:
* a -1*(a*x) = a -1*(a*y)
* (a -1*a)*x = (a -1*a)*y
* e*x = e*y
* x = y
如果 x*a = y*a 则
* (x*a)*a -1 = (y*a)*a -1
* x*(a*a -1) = y*(a*a -1)
* x*e = y*e
* x = y
===幂===
对于  和  我们定义:
定理 1.9: 对于所有群  中的 a，:
类似的如果 G 使用了加法符号，我们有:
并且:
==阶==
===群元素的阶===
群 G 中的元素 a 的阶是最小正整数 n 使得 an = e。有些它写为“o(a)=n”。n 可以是无限的。
定理 1.10: 其非平凡元素都是 2 阶的群是阿贝尔群。换句话说，如果所有群 G 中的元素 g 都有 g*g=e 成立，则对于所有 G 中的 a,b，a*b = b*a。
证明 1。设 a, b 是群 G 中任何 2 个元素。
由 公理 A1 可知 (a*b) 是群 G 的元素，所以 (a*b) 是群 G 的 2 阶元素
* a*b*a*b = (a*b)*(a*b) = e  ...(1) by 公理 A2
* a*b*b*a = a*e*a = a*a= e ...(2) by a,b都是群 G 的 2 阶元素
* a*b*b*a = a*b*a*b ...(3) by 式(1),式(2)两式皆等于e
* b*b*a = b*a*b  ...(4) by 定理 1.8
* b*a = a*b  ...(5) by 定理 1.8
因为群运算 * 是符合交换律的，这个群是阿贝尔群。
证明 2。设 a, h 是群 G 中任何 2 个元素。通过 A1，a*h 也是 G 的成员。使用给定条件，我们知道 (a*h)*(a*h) = e。因此:
* a*(a*b)*(a*b) = a*e
* a*(a*b)*(a*b)*b = a*e*b
* (a*a)*(b*a)*(b*b) = (a*e)*b
* e*(b*a)*e = a*b
* b*a = a*b。
因为群运算 * 是符合交换律的，这个群是阿贝尔群。
===群的阶===
群 G 的阶，通常指示为 |G| 或偶尔指示为 o(G)，在  是有限群的情况下是集合 G 中元素的数目。如果 G 是无限集合，则群  有等于 G 的势的阶，而且是无限群。
==子群==
G 的子集 H 被称为群  的子群，如果使用相同的算子 "*"，并限制于子集 H 内，H 满足群公理。因此如果 H 是  的子群，则  也是群，并在限制于 H 内，满足上述定理。子群 H 的阶是 H 中元素的数目。
群 G 的真子群是不同于 G 的子群。G 的非平凡子群(通常)是包含至少一个不是 e 的元素的 G 的真子集。
定理 2.1: 如果 H 是  的子群，则 在 H 中的单位元 eH 同一于 (G,*) 中的单位元 e。
证明。如果 h 在 H 中，则 h*eH = h；因为 h 必定也在 G 中，h*e = h；所以通过定理 1.4，eH = e。
定理 2.2: 如果 H 是 G 的子群，并且 h 是 H 的元素，则 h 在 H 中的逆元同一于 h 在 G 中的逆元。
证明。设 h 和 k 是 H 的元素，使得 h*k = e；因为 h 必定也在 G 中，h*h -1 = e；所以通过定理 1.5，k = h -1。
给定 G 的子集 S，我们经常想要确定 S 是否也是 G 的子群。一个手头的定理对无限群和有限群都是有效的:
定理 2.3: 如果 S 是 G 的非空子集，则 S 是 G 的子群，当且仅当对于所有 S 中的 a,b，a*b -1 在 S 中。
证明。如果对于所有 S 中的 a, b，a*b -1 在 S 中，则
* e 在 S 中，因为 a*a -1 = e 在 S 中。
* 对于所有 S 中的 a，e*a -1 = a -1 在 S 中。
* 对于所有 S 中的 a, b，a*b = a*(b -1) -1 在 S 中。
因此，满足了闭包、单位元和逆元公理，而结合律是继承来的，所以 S 是子群。
反过来说，如果 S 是 G 的子群，则它满足群公理。
* 如上所述，S  中单位元同一于 G 中的单位元 e。
* 通过 A4，对于所有 S 中的 b，b -1 在 S 中。
* 通过 A1，a*b -1 在 S 中。
两个或更多个子群的交集也是子群。
定理 2.4: 群 G 的子群的任何非空集合的交集是子群。
证明。设 {Hi} 是 G 的子群的集合，并设 K = ∩{Hi}。通过定理 2.1，e 是所有 Hi 的成员；因此 K 非空。如果 h 和 k 是 K 的两个元素，则对于所有 i，
* h 和 k 在 Hi 中。
* 通过前面的定理，h*k -1 在 Hi。
* 所以，h*k -1 在 ∩{Hi} 中。
因此对于 K 中的所有 h, k，h*k -1 在 K 中。接著通过前面的定理，K=∩{Hi} 是 G 的子群；并且事实上 K 是每个 Hi 的子群。
给定一个群 ，定义 x*x 为 x², x*x*x*...*x (n 次)为 xn，并定义 x0 = e。类似的，定义 x -n 为 (x -1)n。则我们有:
定理 2.5: 设 a 是群 (G,*) 的元素。则集合 { an: n 是整数 } 是 G 的子群。
证明。这种类型的子群叫做循环子群；a 的幂的子群经常写为 ，并称为 a 生成 。
==陪集==
如果 S 和 T 是 G 的子集，并且 a 是 G 的元素，我们写“a*S”来提及形如 a*s 的所有元素构成的 G 的子集，这里的 s 是 S 的元素；类似的，我们写“S*a”来指示形如 s*a 的元素的集合。我们写 S*T 表示形如 s*t 的元素构成的 G 的子集，这里的 s 是 S 的元素而 t 是 T 的元素。
如果 H 是 G 的子群，则 H 对于某个 G 中的 a 的左陪集是集合 a*H。右陪集是集合 H*a。
如果 H 是 G 的子群，则下面陈述而不带证明的有用定理对所有陪集都成立:
* 如果 x 和 y 是 G 的元素，则要么 x*H = y*H，要么 x*H 和 y*H 有空交集。
* 所有 H 在 G 中的左(右)陪集都包含相同数目的元素。
* G 是 H 的左(右)陪集们的不交并集。
* 那么 H 的不相同的左陪集的数目等于 H 的不相同的右陪集的数目。
定义群 G 的子群 H 的指标(写为“G:H”)为 H 在 G 中不同的左陪集的数目。
从这些定理，我们可以推导出重要的拉格朗日定理，它有关于群的子群的阶:
* 拉格朗日定理: 如果 H 是 G 的子群，则 |G| = |H|*G:H。
对于有限群，它可以重申为:
*拉格朗日定理: 如果 H 是有限群 G 的子群，则 H 的阶整除 G 的阶。
*如果群 G 的阶是素数，G 是循环群。