(ପାଇ) ଉପରେ ବହୁ ପୁରାତନ କାଳରୁ ଅଧ୍ୟୟନ କରାଯାଇଛି ଏବଂ ଏହା ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା   ବିଷୟରେ ମଧ୍ୟ ସତ୍ୟ. ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା ଗୋଟିଏ ବାସ୍ତବ ସଂଖ୍ୟା ଯାହାକି ଏକ ଭଗ୍ନସଂଖ୍ୟା / , ରୂପରେ ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ ନାହିଁ,  ଏଠାରେ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ଓ ଶୂନ୍ୟ ଛଡ଼ା ଅନ୍ୟ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା । ମାତ୍ର ଗଣିତକୁ ଅଷ୍ଟାଦଶ ଶତାବ୍ଦୀ ଯାଏ ଅପେକ୍ଷା କରିବାକୁ ପଡ଼ିଥିଲା, ଯେତେବେଳେ ଜୋହାନ୍ନ ହେନ୍ରିକ୍ ଲାମ୍ବର୍ଟ ପ୍ରମାଣ କରିଥିଲେ ଯେ ଗୋଟିଏ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା । ଉନବିଂଶ ଶତାବ୍ଦୀରେ, ଚାର୍ଲ୍ସ ହର୍ମାଇଟ୍ ଏହାର ଆଉ ଗୋଟିଏ ପ୍ରମାଣ ଦେଇଥିଲେ ଯାହା ନିମନ୍ତେ ପାଥୁରି   ଛଡ଼ା ଆଉ କିଛି ପୁର୍ବସର୍ତ୍ତ ଜ୍ଞାନ ଦରକାର ନାହିଁ । ହର୍ମାଇଟ୍ଙ୍କ ପ୍ରମାଣର ସରଳୀକରଣ ମାରୀ କାର୍ଟରିଇଟ୍ କରିଥିଲେ. ସେମିତି ଅନ୍ୟ ଦୁଇଟି ପ୍ରମାଣ ଏୱାନ୍ ନାଇୱେନ ଓ ମିକଲୋଷ୍ ଲାଚୋୱିଷ୍ ଦେଇଥିଲେ । ୧୧୮୨ରେ, ଫର୍ଡିନାଣ୍ଡ ୱୋନ୍ ଲିଣ୍ଡମ୍ୟାନ୍ନ ପ୍ରମାଣ କରିଥିଲେ ଯେ ଯେ କେବଳ ଅପରିମେୟ ତା ନୁହେଁ, ଏହା ଟ୍ରାନ୍ସେନ୍ଡେନ୍ଟାଲ୍ ମଧ୍ୟ. ଲାମ୍ବର୍ଟଙ୍କ ପ୍ରମାଣ ୧୭୬୧ରେ, ଲାମ୍ବର୍ଟ ପ୍ରମାଣ କରିଥିଲେ ଯେ ଗୋଟିଏ ଅପରିମେୟ ସଂଖ୍ୟା । ଏଥିନିମନ୍ତେ ସେ ନିମ୍ନଲିଖିତ ଅବ୍ୟାହତ ଭଗ୍ନାଂଶ   ସମ୍ପ୍ରାସାରଣର ବ୍ୟାବହାର କରିଥିଲେ:     1   2 3   2 5   2 7     . {      {   {1-{  { ^{2}}{3-{  { ^{2}}{5-{  { ^{2}}{7-   }}}}}}}}.} ତା ପରେ ଲାମ୍ବର୍ଟ ପ୍ରମାଣ ଯେ ଯଦି ଶୂନ୍ୟ ଛଡ଼ା ଏକ ମୂଳଦ ସଂଖ୍ୟା ତା ହେଲେ ଏହି ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିଟି ଅପରିମେୟ । ଯେହେତୁ  ( /4) 1, ଆମେ କହିପାରିବା ଯେ /4 ଅପରିମେୟ ଏବଂ ତେଣୁ ଅପରିମେୟ  । ଏହା ଆହୁରି ସହଜରେ ପ୍ରମାଣିତ କରିହେବ । ହର୍ମାଇଟ୍ଙ୍କ ପ୍ରମାଣ ଏହି ପ୍ରମାଣଟି ର ବୈଶିଷ୍ଠ୍ୟ ବ୍ୟବହାର କରେ ଓ ଏହା ପ୍ରମିଣ କରେ ଯେ 2 ଅପରିମେୟ. ଅପରିମେୟତାର ବହୁ ଅନ୍ୟ ପ୍ରମାଣ ଭଳି,ଯୁକ୍ତିଟି ପରୋକ୍ଷ ବ୍ୟତିରେକୀ ପ୍ରମାଣ  ଦ୍ୱାରା କରାଜଯାଇଛି. ଧରନ୍ତୁ ନିମ୍ନଲିଖିତ କ୍ରମ   ଅଛି     0     0 ଫଂସନ୍ର ରୁ କୁ, ଓ ନିମ୍ନଭାବେ ନିର୍ଧାରଣ କରାଜଯାଇଛି: 0       ; {  {0}     ; ,}       +   : + 1     0   ; {          {+} : { +1}    {0}^     , ;} 0       ; {  {0}  {  {   } };}       +   : + 1         . {          {+} : { +1}  -{  {   ' } }.} ଆନୟନ ଯୁକ୍ତି  ରେ ପ୍ରମାଣ କରିହେବ ଯେ:       +   :   2 + 1  ( 2 + 1 ) !    2 + 3 2    ( 2 + 3 ) !  + 2 + 5 2   4    ( 2 + 5 ) !      {          {+} :    {  { ^{2 +1}}{ 2 +1}}-{  { ^{2 +3}}{2   2 +3}}+{  { ^{2 +5}}{2  4   2 +5}}    } ଏବଂ ଯେ:       +   :   1  ( 2 + 1 ) !    2 2    ( 2 + 3 ) !  + 4 2   4    ( 2 + 5 ) !      {          {+} :    {  {1}{ 2 +1}}-{  { ^{2}}{2   2 +3}}+{  { ^{4}}{2  4   2 +5}}    } ଓ ତେଣୁକରି:     2 + 1 . {     {  {   }{ ^{2 +1}}}.} ତେବେ: + 1   2 + 3 + 1           1  (   2 + 1 ) , {  {  { { +1} }{ ^{2 +3}}} { +1}  -{  {   ' } } -{  {1} }{    }   {  {   }{ ^{2 +1}}}   ,} ଯାହାକି ନିମ୍ନ ସହିତ ସମାନ: + 1    ( 2 + 1 )          ( 2 + 1 )     2   1   . {  { +1}   (2 +1)   -   '   (2 +1)   - ^{2} { -1} . ,} ଏହା ସହ 0    1      +  , ଯେ  ନିମ୍ନ ଭାବେ ଲେଖାହୋଇପାରେ   2       +   2       {     ^{2}   +    ^{2}   } , ଯେଉଁଠି ଓ ପୁର୍ଣସଂଖ୍ୟା ସହଗ ସହ ବହୁପଦି ଫଙ୍କ୍ସନ୍ ଓ ଯେଉଁଠି ର ଡ଼ିଗ୍ରୀ    2 ଠାରୁ ଛୋଟ. ବିଶେଷତହ,   2    ( 2 4 ) . {      {  {  }{2}}        {  {  ^{2}}{4}}   .} ହର୍ମାଇଟ୍ {   } ର ମିଳିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ଦେଇଥିଲେ, ଯାହାକି   2 + 1 2    0 1   1   2       . {     {  { ^{2 +1}}{2^  }}  {0}^{1} (1- ^{2})^     , .} : 1 2    0 1   1   2         2 + 1   . {  {  {1}{2^  }}  {0}^{1} (1- ^{2})^     , {  {   }{ ^{2 +1}}}   .} ଆନୟନ ଯୁକ୍ତି  ଦ୍ୱାରା, 0 ନେଇ.   0 1         0   {    {0}^{1}    , {  {   } } {0} } ଓ, ଆନୟନ ନିମନ୍ତେ,   +. ଯଦି 1 2    0 1   1   2         , {  {  {1}{2^  }}  {0}^{1} (1- ^{2})^     ,   ,} ତେବେ, ଓ  ' , ବ୍ୟବହାର କରି: 1 2 + 1  ( + 1 ) !   0 1   1   2   + 1     1 2 + 1  ( + 1 ) !     0 1   1   2   + 1      0 1   0 +   0 1 2   + 1     1   2         1   1 2    0 1   1   2         1     1 2    0 1   1   2               + 1   . {  {   &   {  {1}{2^{ +1}  +1}}  {0}^{1} (1- ^{2})^{ +1}    ,  & {  {1}{2^{ +1}  +1}}{   }  {  .  {0}^{1} (1- ^{2})^{ +1}{  {   } }   { 0}^{ 1}} ^{  ,0}+  {0}^{1}2  +1 (1- ^{2})^  {  {   } } , {   } [8 ]& {  {1} }  {  {1}{2^  }}  {0}^{1} (1- ^{2})^      ,  [8 ]& -{  {1} }  {    }   {  {1}{2^  }}  {0}^{1} (1- ^{2})^     ,    [8 ]& -{  {   ' } } { +1} .   }} ଯଦି 2/4 / ,ତାହେଲେ ର ଗୁଣକ ସବୁ ପୂର୍ଣସଙ୍ଖ୍ୟା ଓ ଏହାର ଦିଗ୍ରୀ    2  ସହ ସମାନ ବା ଛୋଟ,   /2   ( 2/4) ଗୋଟିଏ ପୂର୍ଣସଙ୍ଖ୍ୟା . ଅନ୍ୟ ଶବ୍ଦରେ:   2     2     2     + 1 2 2    0 1   1   2      ( 2 ) . {  {    & ^{    {   {2}}    }     {  {  }{2}}   & ^{    {   {2}}    }{  {   {    }   ^{ +{  {1}{2}}}}{2^  }}  {0}^{1} 1- ^{2}     {  {  }{2}}    , .   }} ଏହି ସଙ୍ଖ୍ୟାଟି 0ଠାରୁ ନିଶ୍ଚୟଭାବେ ବଡ଼; ତେଣୁ,   . ଅନ୍ୟ ପକ୍ଷରେ, ଟି ଯା ଏଠାରେ ଆସୁଛି ତା 1ରୁ ଛୋଟ ଓ     2     + 1 2 2  0. {    {       } ^{    {   {2}}    }{  {   {    }   ^{ +{  {1}{2}}}}{2^  }} 0.} ତେଣୁ ଯଦି ବଡ଼, < 1. ଅସଙ୍ଗତି