ibi, denklemin sağ tarafı sıfır olduğunda, denklem uygulamalı matematikte özfonksiyon çözümü olarak bilinen apaçık olmayan bir çözümü var kabul edilir, Fizikte ise 'doğal mod' çözümü şeklindedir ve elektrik devrelerinde ise 'sıfır-giriş çözümü' şeklini alır. Bu fiziksel disiplinler geniş bir yelpazeyi kapsayan bir kavramdır.Doğal modu içeren rezonansın en yaygın fiziksel örnekleri, yaylı çalgılar rezonans titreşim modları (1D), vurmalı çalgılar (2D) ya da eski Tacoma Narrows Bridge (3D) yı içerir. Yayılma doğal modları ise, fiber optik modları, solitons and Bloch dalgalarıdır. Sonsuz homojen medyalar koordinat sistemine bağlı olarak, Helmholtz denklemine dikdörtgen, yuvarlak ve küresel harmonik çözümleri kabul eder. Bu yazıda çalışılacak olan yayılma gösterecek düzlemsel dalgalar, herhangi bir medyada bulunan yayılma gösteren basit bir dalga türü olacaktır.
Bu durum ile , Helmholtz denklemi arasında çarpıcı bir benzerlik vardır ve şu şekilde ifade edilebilir

Bir kare matris A'nın özdeğeri/özvektörü için genel denklem

özellikle skalar laplace operatörü ve matris A, şahsi fonksiyon/vektörlerinin lineer operatörleridir. ( İkinci denklemdeki eksi işareti, tüm amaçlar için önemsizdir, ancak birinci denklemdeki artı işareti önemlidir.) Sırasıyla bu iki denklem için özfonksiyon ve özvektör çözümleri, fonksiyon7vektörü içeren bir dikey set oluşturmak göz önünde bulundurulduğunda verimli olabilir. İlgilenen okuyucular diğer farklı türdeki dikey özfonksiyonları içeren Legendre polinomları, Chebyshev polinomları ve Hermite polinomları gibi başlıkları araştırabilirler.
Matris konusunda, özdeğer lambda, matrisin determinantı sıfıra eşitlenerek bulunabilir. Örneğin, matrisin tersinin olmadığı yeri bulma gibi. Sınırlı matrisler sınırlı sayıda özdeğere/ özvektöre (sınırlı bölgelerde) sahiptirler, ancak lineer operatörler, sayılabilir sayıda sınırsız özdeğere/özvektöre veya bağımsız bölgelerde sayılamayacak sayıda sınırsız ( sürekli) çözüm spektrumuna sahip olabilirler.
Periyodik hacim bantlarındaki sayım gibi bazı fizik uygulamalarında, frekans ve dalga sayısı fonksiyonları gibi matris elemanlarının çok karmaşık olduğu , ve matris çoğu frekans ve dalga sayısı kombinasyonu için tekil değil ancak belirli özel kombinasyonlarda tekil olduğu gibi durumlarla karşılaşılır. Matrisin determinatının hangi kombinasyonda sıfır olduğu tespit edilerek, ortamın yayılma özellikleri belirlenebilir.frekans ve dalga sayısı arasındaki bu tip ilişkiler, dağılım ilişkileri olarak bilinir ve bazı fiziksel sistemlerin dağılım ilişkileri birçok farklı türde kabul edebilir. Elektromanyetizmadan bir örnek vermek gerekirse, sıradan çok sayıda dağılım ilişkilerini kabul eden bir dalga kılavuzu, her biri, dalga kılavuzunun özel bir moduyla ilişkilendirilir. Her bir dalga kılavuzunun yayılım modu Maxwell denklemlerinden özfonksiyon çözümü olarak bilinir (veya özmod çözümü). Uzay boşluğu da bu özmod çözümlerini kabul eder (daha yaygın olarak düzlem dalgalar diye bilinir), ancak verilen bir frekanstaki ayrım için, uzay boşluğu sürekli bir, dalga kılavuzu ayrı bir mod spektrumu olan modal spektrumu kabul eder. Bu durumda, dağılma denklemi ünite 1.2'deki gibi lineer hale gelir.

üç boyutku konfigürasyon uzayında öklid metrik denklemi ile benzerlik gösteren ayırma durumu, (yayılan düzlemsel dalgalar için) dikdörtgensel koordinatlarda k uzayında üç boyutlu k vektör kavramını önerir:

küresel kooridnat sistemi için

Bu küresel koordinat sistem ilişkileri bir sonraki bölümde kullanılacaktır.
k-uzay kavramı özellikle kristalografisi ve yarı iletken malzemelerin band teorisi gibi periyodik hacimleriyle çalışmada, mühendislik ve fizik gibi birçok disiplinlerin merkezidir.

Denklemin analizi ( fonksiyonun spektrumunu hesaplamak)

denklemin sentezi ( fonksiyonun kendi spektrumunu yeniden oluşturmak)

not: normalize faktörü açısal frekans ne olursa olsun (radyan cinsinde):formula_52 olarak ifade edilir. Fakat basit frekans kullanıldığında (döngü) bu ifadeye eşit değildir.

Bir optik sistemi, bir giriş düzlemi, bir çıkış düzlemi ve bu ikisi arasında f olarak giriş düzleminden alınan görüntüyü çıkış düzleminde g görüntüsüne çeviren bir bileşenden oluşur . Çıkış görüntüsü giriş görüntüsünün optiksel müdahele ile evrimleştirilme sonucu oluşan hali h ( odaklı optik sistemlerinde nokta-yayılma fonksiyonu olarak bilinir) dır . Dürtü yanıtı benzersiz optik sistemin giriş-çıkış davranışı tanımlar. Geleneksel olarak, sistemin optik ekseni Z-ekseni olarak alınır. Bunun bir sonucu olarak, iki görüntü ve dürtü yanıtı enine koordinatlar x ve y'nin bileşenleridir.

Bir optik görüntüleme sisteminde dürtü yanıtı, giriş düzlemine yerleştirilen ideal bir matematiksel nokta ışık kaynağı tarafından oluşturulan çıkış düzlemidir (genellikle eksen üzerinde). Uygulamada, tam bir dürtü yanıtı belirlemek için bir doğru nokta kaynağı için gerekli değildir. Bu nedenledir ki, sistemin bant genişliği dışında kalan herhangi bir kaynağın bant genişliği önemli değildir.( hatta optik sistem tarafından yakalanmayanların bile), bu nedenle dürtü yanıtı belirlemek için gerekli değildir. Kaynağın sadece optiksel sistemin bant genişliği (açısal) kadar bant genişliğine sahip olması yeterlidir.
Optik sistemler genellikle iki farklı kategoriden birine girer. Birincisi olağan odaklı giriş düzlemi nesne düzlemi olarak adlandırılan ve çıkış düzlemi görüntü düzlemi olarak adlandırılan optik görüntüleme sistemidir. Görüntü düzlemdindeki alanın yüksek kalitede bir üretim yapan bir alan olması arzu edilir. Bu durumda, optik sisteminin dürtü yanıtı 2B delta fonksiyonu tahmin etmek istenirse, aynı lokasyonda( lineer olarak ölçeklendirilmiş lokasyonda) çıkış düzleminde, giriş düzlemindeki dürtünün lokasyonuna tekabül edecektir. Havadar bir fonksiyona benzeyen gerçek itki, yarıçapı kullanılan ışığın dalga boyunun mertebesinde olan fonksiyona benzer.Bu durumda, dürtü yanıtı tipik olarak bir nokta dağılım fonksiyonu olarak adlandırılır, bu yüzden nesne düzlemde ışığın matematiksel noktası görüntü düzleminde bir Airy fonksiyonu içine yayılır.
İkinci tip, önemli bir özelliği giriş yüzey alanı ve merkezi izole edilmiş optik görüntü işleme sistemidir. Bu sistemde, sistemin dürtü yanıtı bu özelliği yakın bir kopyası (resim) olarak istenen ve giriş yüzey düzleminde aranan, ve bundan dolayı giriş düzlem alanına karşı darbe cevabının konvolüsyon çıkışı düzleminde parlak bir nokta üretecek şekilde konumlandırılmış sistemlerdir. Bu bölümün konusu optik görüntü işleme sisteminin bu ikinci türüdür. Bölüm 5.2 de , bu bölümde tarif edilen optik görüntü işleme operasyonlarının bir donanım uygulaması sunulur.

girdi düzlemi bütün noktalarının geometrik yeri z=0 olarak tanımlanan düzlemdir. Böylece giriş görüntüsü f için

çıktı düzlemi bütün noktalarının geometrik yerinin z=d olarak tanımlanan düzlemdir. Böylece çıktı görüntüsü g;

örneğin :

dikkatli bir okuyucu şunu not edecektir ki; yukarıdaki integral zımnen kabul eder ki itki yanıtı giriş düzlemindeki ışığın impuls (x',y') pozisyonunun bir fonksiyonu değildir. ( bu durum olmasaydı, bu tür bir konvolüsyon mümkün olmazdı.) Bu özellik vardiya değişmezliği olarak bilinir (Scott [1998]). Hiçbir optik sistemi ideal olarak , ışığın matemaitksel nokta optik ekseninden uzağa taranan ve sapmaları sonunda itki yanıtı düşen (odaklanmış görüntüleme sistemlerinde koma olarak bilinen ) mükemmel değişmeyen vardiyaya sahip değildir. Yüksek kaliteli optik sistemlerinde, çoğu zaman giriş ve çıkış düzlem koordinatları arasındaki tek farkın fonksiyonu olarak dürtü yanıtı kabul edilir böylece bir mahsuru olmadan yukarıdaki denklem kullanılabilir.

Ayrıca, bu denklem ünite büyütmesini de varsayar. Büyütme mevcut olduğunda, denklem (4.1) ;

temelde dürtü yanıt işlevi fonksiyonu x' dan x=Mx' formundan hm() büyütülmüş formuna çevirir.

iki boyutta uzantı, nedensellik zaman alanında bulunması farkı dışında önemsizdir, ancak uzaysal alanda böyle değildir. Nedensellik şu anlama gelir ki, bir elektrik sisteminin t' anında uygulanan impulsundan dolayı oluşan h(t-t')etkisi, t-t'<0 olacak şekilde bütün t ler için sıfır olmalıdır.
Sistemin kıvrım temsilinin elde edilmesi, Dirac delta fonksiyonlarının döndürme amcını kullanarak giriş sinyallerini temsil eden bir tren üzerindeki darbe fonksiyonlarının süperpozisyonları gibidir.

Daha sonra, söz konusu sistemin, doğrusal olduğu, iki farklı girişlere bağlı sisteminin çıkış girişinde sistemin bireysel çıkışlarının tamamı bireysel olarak eklendiği takdirde söylenebilir. Böylece optik sistemi ne bir doğrusal olmayan malzeme ne de aktif bir cihaz içerebilir. ( Son derece doğrusal aktif cihazlar hariç).Tek bir delta fonksiyonu girdisi için, sistem çıktısı, sistem impuls tepkisi olarak tanımlanır h(t-t'). ve bizim linear yaklaşımımız ile genel girdi fonksiyonunun bir sistem çıktısı ürettiğini söyleyebilir ve şu şekilde ifade edebiliriz:

burada h(t-t') t' anında uygulanan delta fonksiyonun impulsu. Bu da yukarıdaki denklemin nereden geldiğini açıklamaktadır. Kıvrım denklemi çok kullanışlıdır çünkü delta fonksiyon girdisinde tepkiyi bulmaktan daha kolaydır. Aynı zamanda impuls tepkisi genellikle sistemin liyakat rakamlarıyla ilgili bilgi verir. Birçok lensde, nokta yayılma fonksiyonu (PSF) değerlendirme amacıyla liyakat rakalamları kullanımı oldukça yaygındır.

Aynı mantık Huygens-Fresnel prensibi veya impulse tepkisinin Green's fonksiyonu olarak tanımlandığı Stratton-Chu formülü arasındaki ilişkide de kullanılmıştır.Doğrusal optik sistemin uzaysal alan çalışması bu açıdan Huygens-Fresnel ilkesine benzerlik göstermektedir.

Yukarıdaki son denklem Fourier dönüşümüne uğrar ise şu hale gelir;

burada;

G(w) çıkış sinyalinin spektrumudur
H(w) sistem transfer fonksiyonudur
F(w) giriş sinyalinin spektrumudur 
(4.1) de olduğu gibi, Fourier daha verimli hale getirilmek için:

Sistem trasnfer fonksiyonu H(w)dir. Optiksel görüntülemede bu fonksiyon daha çok optiksel transfer fonksiyonu olarak bilinir. (Goodman).
Bir kez daha yukarıdaki Abbe sinüs koşulu tartışmasından not edilmelidir ki,