ign="center" colspan="4" | "Geçersiz ya da boş"

! align="center" colspan="4" | Adaylık
! align="center" colspan="6" | Sonuçlar
! align="center" colspan="2"| 
! align="center" | Parti
! align="center" | Aday
! align="center" | Oy sayısı
! align="center" colspan="4" | Toplam
! align="center" colspan="4" | "Geçersiz ya da boş"

! align="center" colspan="4" | Adaylık
! align="center" colspan="6" | Sonuçlar
! align="center" colspan="2"| 
! align="center" | Parti
! align="center" | Aday
! align="center" | Oy sayısı
! align="center" colspan="4" | Toplam
! align="center" colspan="4" | "Geçersiz ya da boş"

! align="center" colspan="4" | Adaylık
! align="center" colspan="6" | Sonuçlar
! align="center" colspan="2"| 
! align="center" | Parti
! align="center" | Aday
! align="center" | Oy sayısı
! align="center" colspan="4" | Toplam
! align="center" colspan="4" | "Geçersiz ya da boş"

! align="center" colspan="4" | Adaylık
! align="center" colspan="6" | Sonuçlar
! align="center" colspan="2"| 
! align="center" | Parti
! align="center" | Aday
! align="center" | Oy sayısı
! align="center" colspan="4" | Toplam
! align="center" colspan="4" | "Geçersiz ya da boş"

! align="center" colspan="4" | Adaylık
! align="center" colspan="6" | Sonuçlar
! align="center" colspan="2"| 
! align="center" | Parti
! align="center" | Aday
! align="center" | Oy sayısı
! align="center" colspan="4" | Toplam
! align="center" colspan="4" | "Geçersiz ya da boş"

! align="center" colspan="4" | Adaylık
! align="center" colspan="6" | Sonuçlar
! align="center" colspan="2"| 
! align="center" | Parti
! align="center" | Aday
! align="center" | Oy sayısı
! align="center" colspan="4" | Toplam
! align="center" colspan="4" | "Geçersiz ya da boş"




Ararat (brendi)

ArArAt , 1887'den beri Yerevan Brandy Company tarafından üretilen brendi. Ermenistan'da yetiştirilen beyaz üzümlerden geleneksel yöntemlerle üretilir. 





Åbo Akademi Üniversitesi

Åbo Akademi Üniversitesi (Fince: "Åbo Akademi"; İsveççe: Åbo Akademi), Finlandiya'nın Turku (Fince " Åbo " ' şehrine eğitim veren devlet üniversitesidir. Finlandiya'da İsveççe eğitim veren tek yüksek öğretim kurumudur. Sadece Turku'da değil Vaasa, Jakobstad, Helsinki ve Åland'da kampüs ve binaları vardır. 1981'e kadar vakıf kurumu olan üniversite, bu tarihten sonra devlet üniversitesine dönüşmüştür.

Üniversite'nin dört ana fakültesi bulunmaktadır.




Stokastik süreç

Stokastik süreç, Stokastik işlemi (veya rastgele süreç), zaman veya mekana göre değişen/evrilen olguları tanımlamak için kullanılan bir olasılık modelidir. Daha kapsamlı olarak, olasılık teorisinde, stokastik süreç, değişimi rastgele bir varyasyona bağlı olan bir değişken tarafından temsil edilen bazı sistemlerin gelişimini yansıtan bir zaman dizisidir. Bu, belirleyici süreç anlamına gelen deterministik sürecin (veya deterministik sistemin) olasılıkçı muadilidir. Sadece tek yönlü olarak değişebilen bir süreci tasvir etmek yerine (örneğin, sıradan bir diferansiyel denklemin çözümünde olduğu gibi) bir stokastik veya rastgele süreçte, bazı belirsizlikler vardır. Hatta başlangıçtaki durum (veya başlangıç noktası) biliniyor olsa dahi sürecin gelişebileceği/değişebileceği bazı (çoğunlukla sonsuz) yönler vardır. Birçok stokastik süreçte, bir sonraki duruma veya konuma geçiş, yalnızca mevcut duruma bağlıdır ve işlemin önceki durumlarından veya değerlerinden bağımsızdır.

Ayrık zamanın basit formunda, sürekli zamanın aksine, stokastik süreç rastgele değişkenlerin bir dizilimidir. (Örneğin, ayrık zamanlı Markov zinciri olarak da bilinen Markov zincirine bakın.) Çeşitli zamanlara karşılık gelen rastgele değişkenler tamamen farklı olabilir, tek şart bu farklı rastgele niceliklerin hepsinin aynı uzayda değerler almasıdır (fonksiyonun değer kümesi). Bu rastgele değişkenleri bir veya birkaç deterministik argüman argümanın rastgele fonksiyonları olarak modellemek bir yaklaşım olabilir (çoğu durumda, zaman parametresi). Bir stokastik sürecin farklı zamanlardaki rastgele değerleri bağımsız rastgele değişken olabilse de, birçok genel olarak kabul görmüş durumda karmaşık istatistiksel bağımlılık sergiler.

Stokastik süreçlerin tanıdık örnekleri arasında borsa ve döviz kuru dalgalanmaları; Konuşma gibi sinyaller; Ses ve video; Bir hastanın EKG, EEG, kan basıncı ya da sıcaklığı gibi tıbbi veriler; ve Brown hareketi veya rastgele yürüyüşler gibi rastgele hareketi sayabiliriz.

Bir genelleme yaparsak, rastgele alan, değişkenlerin zaman yerine bir topolojik uzayın terimleri ile parametrelenmesine izin verilerek tanımlanır. Rastgele alanlara örnek olarak statik görüntüler, rastgele arazi (peyzaj), rüzgar dalgaları ve heterojen bir malzemenin bileşim varyasyonları gösterilebilir.
Verilen bir olasılık kümesi formula_1 ve ölçümlenebilir bir kümede formula_2 (S,değerli bir stokastik süreç, formula_3 ’daki S değerli rastgele değişkenlerin toplamı, tamamen T("zaman") ile endekslenmiş toplamıdır. Bir stokastik X süreci,
formula_4

her formula_5 'nin formula_3 içinde S değerli bir rastgele değişken olduğu bir toplamdır. S kümesi bundan sonra işlemin durum kümesi olarak adlandırılır.

X, S değerli bir stokastik süreç olsun. Her sonlu sıralamada, formula_7, k değişkenler grubu formula_8 formula_9 formula_10 daki değerleri alan bir rastgele değişkendir. Buna, X 'in sonlu boyutsal dağılımı denir.

Uygun topolojik kısıtlamalar altında, bir stokastik süreci tanımlamak için uygun "tutarlı" sonlu boyutlu dağılım koleksiyonu kullanılabilir ("Yapı" bölümünde Kolmogorov eklentisine bakın).

Stokastik süreçler, ilk olarak 19. yüzyılın sonlarında finansal piyasalar ve Brown hareketini anlamaya yardımcı olmak için titizlikle incelenmiştir. Brown hareketinin matematiksel temelini ilk defa Thorvald N. Thiele, 1880'de yayınlanan en küçük kareler metodu üzerine yazdığı bir yazıda tanımlamıştır. Bunu, 1900'de diğer çalışmadan bağımsız olarak Louis Bachelier tarafından yazılan, hisse senedi ve opsiyon piyasalarının stokastik analizini sunduğu "Spekülasyon teorisi" doktora tezi izlemiştir. Albert Einstein (1905 tarihli bir çalışmasında) ve Marian Smoluchowski (1906), sorunun çözümünü, atomlar ve moleküllerin varlığını dolaylı olarak doğrulamak için bir yol olarak fizikçilerin dikkatine sundular. Brown hareketini tanımlayan denklemleri daha sonra Jean Baptiste Perrin'in 1908'deki deneysel çalışmasıyla doğrulanmıştır. Einstein'ın makalesinden bir alıntı, bir stokastik modelin temellerini açıklıyor:

"Her partikülün diğer tüm parçacıkların hareketlerinden bağımsız bir hareketi gerçekleştirdiği açıkça görülmelidir; aynı zamanda, farklı zaman aralıklarında bir ve aynı parçacığın hareketleri zaman aralıkları çok küçük seçilmedikçe bağımsız hareketlerdir."

Gözlemlenebilir zaman aralıklarına kıyasla çok küçük olan bir zaman aralığı τ tanıtıyoruz, ancak yine de o kadar büyük ki, iki ardışık τ zaman aralığında, parçacık tarafından yürütülen hareketler birbirinden bağımsız olan olaylar olarak düşünülebilir ".
Ölçüm teorisi aracılığıyla olasılık teorisnin sıradan aksiyomazisyonunda sorun, tüm işlemlerin uzantısının ölçülebilir kısmının sigma cebirini inşa etmek ve sonra üstüne kesin bir ölçü koymaktır. Bu amaç için geleneksel bir şekilde kullanılan yöntem Kolmogorov uzantısı’dır.
Kolmogorov uzantısı, aşağıdaki dizinler boyunca sürmektedir. Bütün işlemlerin uzantısı üstüne olasılık ölçümünü kabul edersek; formula_11 var olur, sonra kesin boyutsal olasılığının rastgele çeşitlere bağlantısını özelleştirmek için formula_12 kullanılır. Şimdi n-boyutsal katkısından, formula_13 için (n-1) boyutsal marjinal boyutsal katkısını çıkarabiliriz. Açıkca işleyebilirlik boyutuna dikkat edelim ki, ismen, bu marjinal olasılık katkısı tam şişimiş stokastik süreçten gelen olarak aynı sınıftadır, bir gereksinim değildir. Eğer stokastik süreç Wiener süreciyse (ki olay alan marjinaller artış sınıfının tüm gaussça katkılarıdır) ama bütün stokastik süreçler için genel değildir, sadece bu gibi koşullarda elde dilir. Bu koşul, olasılık yoğunluğu açısından açıklandığında sonuç Chapman−Kolmogorov eşitliği olarak adlandırılır.

Kolmogorov uzantı teoremleri, Chapman−Kolmogorov işleyeblirlik koşulunu tatmin eden kesin boyutsal olasılık dağılımları verilen ailesi ile stokastik sürecin var oluşuna garanti eder.

Kolmogorov aksiomatizasyonunu hatırlarsak ölçüm setleri olasılık olan setlerdir ya da bir başka deyişle olasılıksal cevapları olan sorulara evet /hayır cevabı veren setlerdir. Kolmogorov uzantısı, formula_14’nin ölçülebilir kısımlarında yatmaya kısıtlanan kesin birçok koordinatın bulunduğu yerde formula_15 fonksiyonlarının bütün ölçülebilir setlerinin bildirimiyle başlar. Diğer bir deyişle, birçok koordinatın çoğundaki değerlere bakılarak f ile ilgili evet/hayır cevabı verilebilinirse, o zaman, O olasılık cevabı olur.

Ölçüm teorisinde eğer ölçülebilir setlerin koleksiyon sayısına sahipsek o halde hepsinin birleşim ve kesişimleri ölçülebilir settir. Amacımız için bu, olasılıksal cevabı olan sayılabilen birçok kordinata bağlı olan evet/hayır soruları anlamına gelir.

İyi haber şu ki Kolmogorov uzantısı oldukça izafi kesin boyutsal katkıları ile stokastik süreci olanaklı kılar. Hem de rastgele bir sıralama ile sorulduğunda, kişinin alabileceği yalnızca bir muhtemel cevap vardır. Kötü haber şu ki fonksiyonla ilgili net sorulara sürekli net olasılık cevabı yoktur. Kişi, fonksiyonla azıcık ilgili olan sayılamaz birçok değere bağlı sorular olduğunu ümit eder, ama gerçekten kötü haber şu ki neredeyse hesapların tüm konsepti bu türdür. Örneğin;
Tamamı fonksiyonun birçok sayılamayan değerinin bilgisini gerekirir. Tek çözüm stokastik sürecin bölünmesini gerektirir.

Bir başka deyişle, birkaç sayılabilir koordinat vardırki seti formula_16 değerleri bütün "f"’in rastgele fonksiyonlarını belirtir.

Kolmogorov devam teoremleri, sürekli modifikasyonu olan artışlarının anları üzerine kesin zincirsel tahmini eden süreçleri garanti eder ve bundan dolayı bölünebilirler.

Verilen olasılık uzamı formula_17 bir filtreleme formula_3 üzerine sigma-cebirinin koleksiyonun