in x e herhangi bir bağlılığı yoktur. İlk terimde x'e bağlı olmayabilr ve sabit olabilir. Sabit terim -kx² olarak gösterilir. Benzer ber yol ile y ve z denklemeri için de değişken ayırma yöntemi ile fx, fy, fz olmak üzere 3 differansiyel denklem elde edilir.

Bu üç diferansiyel denklem de sinüs kosinüs veya karmaşık üstel olmak üzere üç tane aynı çözümü vardır. Biz karmaşık üste basitlik kesine dayanarak, yaygın kullanım olan FT gösterimi ile uyumlu olarak ve sinüs ve kosinüs fonksiyonları için ayrılmaz çift katlı integral üstel karmalıkarı ile yolumuza devam edeceğiz. Sonuç olarak, Eu için temel çarpım sonucu için:

üstel olarak bozunan veya yayılan düzgün düzlemsel dalga sonucunu homojen dalga denklemi için elde etmiş oluruz. - işareti +z yönünde yayılan veya bozunan dalga için kullanılır ve + işareti ise -z yönünde yayılan veya bozunan dalga için kullanılır. ( bu durum ejωt zaman bağımlılığına dayalı mühendislik süresi kuralına dayalıdır.) Bu durum gösterir ki, düzlemsel dalga yayılımı radikal değerin altında kaldığı zaman pozitiftir ve üstel bozunma söz konusu olduğunda ise negatiftir ( pasif medyada, düzgün yayılmaz ve bozunmayı göstermek için bir kök ile sıfır olmayan bir sanal kısım mutlaka seçilmelidir ancak büyüklük için söz konusu değildir.)
Helmholtz denklemi için çarpım sonucu aynı zamanda silindirik ve küresel koordinatlar ile ve verimli silindirik ve küresel harmonikler ( bu tür kooridnat sistemleri günümüzde çok nadir kullanılmaktadır ) ile de elde edilebilir.

Kartezyen koordinatlarda homojen elektromanyetik dalga denkleminin genel çözümü olarak mümkün olan tüm temel düzlem dalga çözümleri ağırlıklı süperpozisyonlar oluşturularak elde edilebilir

Daha sonra

sonra

bu düzgün dalga spektrumu, Fourier optiğinin temeli olan elektromanyetik alanın gösterimidir. ( Bu değinilen nokta ile yeterince güçlü vurgulanmış olmaz), çünkü, z=0 olduğu zaman denklem basit bir şekilde alan ve onun düzlem dalga içeriği arasındaki Fourier dönüşümü haline gelmektedir. ( İsmi bu yüzden 'Fourier Optiği'dir.)
Bundan ötürü

ve

Bireysel düzlem dalga bileşenlerinin tüm uzaysal bağımlılığı üstel fonksiyonlar yoluyla açıkça tarif edilmiştir. Üstellerin katsayıları Fourier analizi ve Fourier dönüşümlerinde, sadece parçalı dalga sayıları olan kx ve ky birer fonksiyonudur.

düzlemsel dalgalar bozulmaya başladığından dolayı, daha küçük bir dalgaboyuna sahip nesnesel bir düzlem şeffaflığı içinde herhangi bir parçalı frekans görüntü düzlemine taşınamayacaktır. Çünkü bu konsepte tekabül eden düzlem dalgaları yayılamayacaktır. Litografinin elektriksel dalıyla bağlantı kurulduğunda, bu fenomen kırınım sınırı olarak bilinmekte ve tedricen entegre devrelerde neden ışığın giderek artan dalga boylarınad daha ince gravür özellikleri içermesi gerektiğinin sonucudur.

Aşağıda gösterildiği gibi Helmholtz denklemini temel çarpım sonucu için bu form kullanılılr

burada

k dalga vektörü ve

k dalga sayısıdır. Daha sonra, paraxial yaklaşım kullanılarak,şu şekilde kabul edilir

veya yaklaşık olarak

Burada görülen açı dalge vektörü ve z ekseni arasındaki açıdır.
Sonuç olarak,

ve

Helmholtz denklemi içerisine bu ifade eklendiğinde paraxial dalga denklemi elde edilir.

burada,

kartezyen koorinatlarda gösterilen, laplace operatörüdür.

ana makale: Fraunhofer kırınımı

Yukarıdaki denklem, uzak bir alandaki noktada (x,y,z) doğrusunu söylemek gerekirse sadece vektör (x,y,z) ye paralel yayılan ve düzlemi faz cephesine teğet olan düzlemsel dalga bileşenini (kx, ky, kz) göstermek için, asimptotik olarak değerlendirilebilir. Bu işlemin matematiksel detayları Scoot [1998] veya Scoot [1990] kaynaklarında bulunabilir. Yukarıdaki denklem üzerinde sabit bir faz entegrasyonu gerçekleştirmek suretiyle

açık bir şekilde bu saha (x, y, z)bileşenlerinin, (x, y, z)nin spektral bileşenleri ile doğrudan orantılı olduğunu gösterir. Burada

ve

Başka bir şekilde ifade etmek gerekirse, , herhangi bir düzlemsel alan dağılımının radyasyon paterni olan FT kaynak dağılımının (burada aynı denklem Green fonksiyonu yaklaşımı kullanılarak geliştirilmiştir , Huygens-Fresnel prensibi bakınız). Unutulmamalıdır ki bu bir düzlem dalga DEĞİLDİR, birçok farklı şekilde düşünülebilir. Radyal bağımlığı (hem büyüklük hem faz açısından) ve yerel büyüklüğü FT olan küresel dalgası düzlemsel dağılımlı bir açıyla konumlanır. Düzlemsel dalga spektrumu hakkında uzak mesafelerde bir dalga gibi davrandığını söylemek yersizdir.

uzak mesafeler için, uzaysal ve açısal band genişliği arasında bir bağlantı kurmak için yukarıdaki denklem çok kritiktir. Unutulmamalıdır ki, uzak mesafelerden kasıt, ıraksak veya yakınsak ve faz merkezi güzel tanımlanmış bir küresel dalgadır. Uzaysal ve açısal band genişliği arasındaki ilişkiyi bilmek ince lenslerin alçak geçirgen filtrelerini anlamak açısından oldukça gereklidir. Ayrıca bölüm 5,1,3 e uzak alan tanımları için bakmak faydalı olacaktır. 
Açısal band genişliğinin anlaşıldığını kabul edersek, bir optik bilim adamı parçalı alanların ve ışık optiğinin tek başına anlaşılamacağı konusundan bir anlayışa sahip olmak için hızlıca mekansal ve spektral aralıklarında ileri geri zıplamalar yapabilir. Örneğin, ilk lensin kenar açısını ( bu açı sistemin bandgenişliğinin temelini oluşturmaktadır. ) geçmiş bir kaynak işlenmek üzere bir sistem tarafından algınlanamayacak.
Bir kenar notu olarak, elektrıomanyetizma ile ilgilenen bilim adamları sabit faz integrasyonunu içermeyen uzak alanlardaki elektrik alanı hesaplamak için alternatif yeni yollar geliştirmişlerdir. Geliştirdikleri konsept 'hayali manyetik akımlar' bilinmekte ve genellikle M sembolü ile temsil edilmekte ve aynı zamanda;

olarak tanımlanmaktadırlar.

Bu denklemde, birim vektör z yönünde ve hesaplamanın yapıldığı alandan uzaklık yarım birim kabul edilmiştir. Hayali manyetik akımlar electrik alanlardan iki kat daha uzakta elde edilirken, uzak görüntülü olmak için herhangi bir bir elektrik akıma izin verilen sonsuz düzlemsel arayüzleri kabul eden eşdeğerlik prensibi ile de manyetik akımlar elde edilir. Daha sonra ise yayılan elektrik alan , elektrik akımı tarafından yayılan magnetic alan hesabına benzer bir şekilde magnetik akım üzerinden hesaplanır. Bu yol ile, durağan faz fikirlerini düşünmeksizin, parçalı elektirk alanlar için bir vektör denklemi elde edilir.

Fourier optiği, görüntü sistemleri dizaynı ve analizi için kullanılan kamera, teleskoplar ve mikroskoplarda kullanılan temel ışık optiğinden farklıdır. Ray optiği günlük hayatta sürekli karşılaştığımız optiğin ilk türlerinden biridir; kavramsallaştırmak ve anlamak için gayet basit ve optiksel cihazların çalışma prensibi hakkında bir anlayış kazandırma amaçlıdır. Ne yazık ki, ışın optiği genel sistemler üzerinde odaklanmamış Fourier optik sistemleri üzerindeki operasyonları açıklamaz. Işın optiği dalga optiğinin bir alt çalışma alanı olduğundan dolayı sınırlı uygulanabilirliğe sahiptir. Işın optiğinin ne zamanlarda geçerli ve ne zamanlarda geçerli olmadığını bilmeliyiz ve burası geçerli olmadığı zamanlardan bir tanesi. Mevcut görevimiz için, Maxwell denklem çözümlerini kapsayan optiksel sistemleri anlayabileceğimiz bir şekilde, optiksel fenomen anlayışımızı genişletmemiz gerekir.Bu daha genel olan dalga optiği Fourier optik araçlarının çalışmasını açıklar.
Bu bölümde, Maxwell denklemlerine tamamen bir geri dönüş yapmayacağız, ancak homojen Maxwell denklemlerinin entegrasyonu ile geliştirilmiş Halmhotz denklemleri çalışacağız. Bu denklem ile, Uzay boşluğunda sonsuz düzgün düzlemsel dalgaların nasıl bir alan sonucunu içerdiğini göstereceğiz. Bu düzgün düzlemsel dalga formları Fourier optiğini anlamanın temelini oluşturmaktadır.
Düzlemsel dalga spektrumu konsepti Fourier optiğinin temel buluşudur. Düzgün düzlemsel dalganın ve bulunan bir dalga bileşinin spektrumdaki faz yüzündeki her bir teğeti düzlemsel dalga spektrumudur. Teğet noktasındaki optiksel alanın büyüklüğü, düzlemsel dalga bileşeninin büyüklüğüdür. Tekrar, bu durum sadece uzaklığın = 2 D2 / λ şeklinde tanımlandığı ve D nin maksimum lineer değişken optik kaynağı değişkeni olduğu ve λ nın dalgaboyunu temsil ettiğinde geçerlidir. (Scoot 1989). Düzlemsel dalga spektrumu periyodık ızgaraların ayrışmaları olarak addedilir, ancak gerçekte durum şudur ki, hiçbir fiziksel alet yoktur ki sonsuz doğru çizgi spektrumları üretebilsin çünkü spektrumlarlar süreklidir.
Elektrik sinyalleri konusunda olduğu gibi, bant genişliği de bir görüntünün ne kadar ince ayrıntılı olduğunun ölçüsüdür; daha fazla, daha ince detay geniş bir bant genişliğini temsil eder. Dc elektrik sinyalleri sabittir ve titreşim hareketi yapmazlar; bir düzlemsel dalga x-y düzleminde sabit değere sahip optiksel eksene paralel şekilde yayılım gösteri ve bu yüzden elektrik sinyalinin DC bileşinine benzerlik gösterir. Elektrik sinyallerindeki bant genişliği sinyalin spektrumundaki en yüksek ve en düşük frekansı farkına tekabül eder. Optiksel sistemmler söz konusu olduğunda ise bant genişliği aynı zamanda uzaysal frekans içeriği anlamına gelmektedir ( uzaysal bant genişliği), ancak ikinci bir anlamı daha vardır. Aynı zamanda düzlemsel dalgadan ne kadar uzakta eğildiğini de belirtir ve böylece bu tür bant genişlikleri genellikle açısal bant genişliği olarak da tanımlanır. Açısal bant genişliği daha kısa atım sayıları üretmek için daha fazla frekans bant genişliği kullanır, ve optiksel bir sistemde daha keskin noktalar için de daha fazla açısal bant genişliği kullanır. ( bkz: noktasal yayılma fonksiyonu).
Düzlemsel dalga spektrumu, dikdörtgen koordinatlarda, homojen elektromanyetik dalga fonksiyonlarının özfonksiyon veya ' doğal mod' çözümü olarak doğar. ( bkz: Elektromanyetik radrasyon, dalga fonksiyonlarını Maxwell'in denklemlerinden elde edilişi, veya bkz: Scoott [1988]). Frekans etki alanında, mühendisliğin kabul ettiği zaman bağlılığı, elektromanyetik dalga denkklemi, Helmholtz denklemi olarak bilinir ve aşağıdaki şekle bürünür:

Burada,"u" = "x", "y", "z" ve "k" = 2π/λ dalga sayısıdır.

Diferansiyel denklemlerde, matris denklemlerinde olduğu g