ş hız için, buna karşılık gelen bir genelleştirilmiş konjuge momentum vardır ve aşağıdaki şekilde ifade edilir;

Kartezyen koordinat sistemlerinde genelleştirilmiş momentum tam olarak lineer (doğrusal) momentuma karşılık gelir. Dairesel (kutupsal) koordinat sisteminde ise açısal hız ile ilişkilendirilen genelleştirilmiş momentum açısal momentuma karşılık gelir. Rastgele bir seçim ile tanımlanan genelleştirilmiş koordinat sistemleri her zaman sezgisel bir konjuge momentum karşılığına sahip olmayabilir.

Bu koordinata bağımlı formülasyonda açıkca görünmeyen bir durum vardır. Aynı simplektik (symplectic) manifoldlardaki farklı genelleştirilmiş koordinatlar, farklı koordinat yamalarından çokta farklı değillerdir (matematiksel formülasyonu aşağıda görünmektedir).

Lagranjiyenin Legendre dönüşümü olan Hamiltonyen şu şekildedir;

Eğer ki genelleştirilmiş koordinatları tanımlayan dönüşüm denklemleri 'den bağımsız ise ve Lagranjiyen 0, 1 veya 2. dereceden homojen bir fonksiyonun ürünlerinin toplamından oluşuyor ise, Hamiltonyen toplam enerji 'ye eşittir.

Hamiltonyen 'in tanımında gösterilen eşitliğin her tarafı bir diferansiyel denklem oluşturmaktadır:

Eşlenik katsayıları ve konjuge momentumun önceki tanımını bu denklemde yerine yazarak Hamilton mekaniğinin hareket denklemleri elde edilir. Bu denklemler aynı zamanda Hamilton mekaniğinin standart (canonical) denklemleri olarak da bilinir:

Hamilton denklemleri tane birinci dereceden diferansiyel denklemden oluşmasına karşın Lagrange denklemleri tane ikinci dereceden diferansiyel denklemden oluşur. Buna karşın Hamilton denklemleri, hareket denklemlerine açık bir çözüm bulmayı kolaylaştırmaz. Bir takım önemli teorik sonuçlar elde edilebilebilmesi Hamilton denklemlerinin sağladığı bazı avantajlardandır. Bu durum momentum ve koordinatların neredeyse simetrik role sahip bağımsız değişkenler olması ile mümkündür.

Hamilton denklemlerinin Lagrange denklemleri üzerindeki bir diğer avantajı ise simetri bulunan herhangi bir koordinatın çözüm denklemlerinin ihmal edilebilmesidir. Simetri bulunan sistemlerde yani Hamiltonyenin ortaya çıkmadığı koordinatlarda, bu sisteme karşılık gelen momentumlar korunur. Bu sayede problem koordinatdan koordinata indirgenmiş olur.

Lagrange ve Hamilton yaklaşımları, klasik mekanik teorisinde ve kuantum mekaniğinin formülasyonları için daha derin sonuçların zeminini oluşturmaktadır.

Hamilton denklemleri yukarıda da görüldüğü üzere klasik mekanikte tutarlı bir şekilde sonuç vermektedir ancak kuantum mekaniğinde aynı durum geçerli değildir. Bunun nedeni klasik mekanikte sistem içindeki bir parçacığın konum ve momentum bilgisinin anlık olarak herhangi bir anda kesin olarak bilinebilmesine karşın kuantum mekaniğinde bu durum söz konusu değildir. Buna rağmen denklemler genelleştirilerek klasik mekaniğe uygulandığı gibi kuantum mekaniğine de uygulanabilir. Poisson cebirin ve üzerindeki yapısı tekrar oluşturularak Moyal parantezleri cebirine çevirilebilir.

Özellikle, daha genel bir forma sahip Hamilton denklemleri şu şekildedir;

ve denklem içindeki , ve 'nun birer fonksiyonu iken ise Hamiltonyendir.

Elektromanyetik alan içerisinde bulunan yüklü bir parçacığın Hamiltonyeni, Hamilton mekaniğinin iyi bir illüstrasyonudur. Kartezyen koordinatlarda (örneğin ) relativistik olmayan klasik bir parçacığın elektromanyetik alan içindeki Hamiltonyeni aşağıdaki gibidir (standard birimler kullanıldığı takdirde);

ve denklem içerisindeki elektrik yükü, skaler elektrik potansiyeli, yönlü manyetik vektör potansiyelinin elemanlarıdır. Bu durum minimum etkileşim olarak adlandırılır.

Genelleştirilmiş momentum ise aşağıdaki gibi ifade edilir;

Hızların momentum cinsinden ifade edilmesinin ardından denklem yeniden düzenlenir ve;

Eğer ki momentumun tanımını ve hızın momentum cinsinden tanımını yukarıda bulunan Hamiltonyene eklersek, sonrasında ise sadeleştirme adımlarını yaparsak elde edeceğimiz sonuç;

Bu sonuç kuantum mekaniğinde sıklıkla kullanılmaktadır.

Relativistik yüklü bir parçacığın Lagranjiyeni şu şekilde tanımlanmaktadır;

Buna göre parçacığın toplam momentumu aşağıdaki gibidir;

bu denklem kinetik momentum ve potansiyel momentumun toplamı anlamına gelir.

Yukarıdaki denklemi hız için çözdüğümüzde elde edeceğimiz sonuç;

Böylece Hamiltonyen;

Bununla birlikte kuvvet denklemi elde edilebilir (bu denklem aynı zamanda Euler-Lagrange denklemine denktir):

aynı zamanda aşağıdaki eşitlik kolayca türetilebilir;

Buna denk olan bir başka Hamiltonyen tanımı aşağıdaki gibi gösterilebilir. Burada Hamiltonyen relativistik kinetik momentuma bağlı bir foksiyondur ,

Bu yöntem ile 'nin deneysel olarak ölçülememesine karşın deneysel olarak ölçülebilir. Bu hesaplamada Hamiltonyenin (toplam enerji) relativistik enerji (kinetik + durgun kütle) , ve potansiyel enerji toplamı olduğu göz önünde bulundurulmalıdır.

ÖNCEKİ BAŞLIK ==Lagranjiyen mekaniğinin yeni bir formülasyonu olarak==

Hamiltonyen bir sistem zaman üzerinde bulunan lif yumağı olarak anlaşılabilir. Fiberler , burada konum uzaylarıdır. Böylece Lagranjiyen üzerinde bulunan jet yumağı 'dir. Lagranjiyenin lif benzeri Legendre dönüşümlerinin alınmasıyla, zaman üzerinde çiftle yumak fonksiyonları oluşturulur. Burada 'de bulunan lif kotanjant uzayı 'dir. Doğal simplektik form ile donatılmış ve bu fonksiyon Hamiltonyendir.

ÖNCEKİ BAŞLIK ==Possion parantezi yoluyla quantum mekaniğine genellenmesi==

Simplektik manifold içerisinde herhangi bir düzgün (smooth) gerçel değerli fonksyion Hamiltonyen sistem tanımlamak için kullanılabilir. foksiyonu Hamiltonyen olarak bilinir ve enerji fonksiyonu olarak da kullanılır. Böylece simplektik manifold faz uzayı olarak da adlandırılır. Hamiltonyen, simplektik manifold üzerinde özel bir vektör alanı tanımlar ve bu alan Hamiltonyen vektör alanı olarak adlandırılır.

Özel bir çeşit simplektik vektör alanı olan Hamiltonyen vektör alanı, manifold üzerinde Hamiltonyen akışını oluşturur. Bu durum manifoldun tek parametreli dönüşüm ailesidir. Eğrilerin parametreleri genel olarak zaman olarak adlandırılır. Başka bir deyişle simplektikmorfizmin izotopisi özdeşlik ile başlar. Liouville teorem ile birlikte her bir simplektikmofizm, faz uzayındaki hacim formunu korur. Hamiltonyen akış tarafından oluşturulan simplektikmorfizmin bir araya gelmesi genellikle Hamiltonyen sistemlerin Hamiltonyen mekaniği olarak adlandırılır.

Simplektik yapı Poisson parantezlerini de üretmektedir. Possion parantezleri Lie cebiri yapıları manifoldları üzerindeki fonksiyonların uzaylarını tanımlar. Tanımlanan fonksiyon ile

Eğer ki gibi bir olasılık dağılımı tanımlarsak, bunun konvektif türevi 0 olarak gösterilir ve

bunun nedeni faz uzayı hızı 'nın diverjansının sıfır olmasıdır ve olasılık korunmaktadır. Bu durum Liouville teoremi olarak adlandırılır.

Simplektik manifold üzerindeki her bir düzgün (smooth) fonksiyon , simplektikmorfizmin tek parametreli bir ailesini meydana getirir. Eğer ki durumu sağlanır ise, korunur ve simplektikmorfizm bir simetri dönüşümüdür.

Bir Hamiltonyen birden fazla korunan nicelik içerebilir . Eğer ki simplektik manifold 2"n" boyuta sahipse ve sistemde "n" tane bağımsız fonksiyonumsu olan korunmuş nicelik var ise Hamiltonyen Liouville integral alınabilirdir. Liouville-Arnold teoremi, yerel olarak herhangi bir Liouville integral alınabilir Hamiltonyeninin, bir simplektomorfizm vasıtasıyla, korunan nicelikleri ile yeni bir Hamiltoniyene dönüştürülebileceğini ifade eder. koordinatlarının bu yeni formu aksiyon açısı koordinatları olarak adlandırılır. Dönüştürülen Hamiltonyen sadece 'a bağımlıdır. Böylece hareket denklemleri şu basit forma sahip olurlar;

Bu durum bazı fonksiyonları için tanımlanır. KAM teoremi tarafından yönetilen integre edilebilir sistemlerden küçük sapmalara odaklanan tam bir alan vardır.

Hamiltonyen vektör alanının integral alınabilir olması ile ilgili açık bir soru vardır. Genelde Hamiltonyen sistemler kaotikdir. Ölçüm konsepti, tamamlayıcılık, integral alınabilirlik ve durağan olma durumu yetersiz şekilde tanımlanır. Bu durumda, dinamik sistemlerin incelenmesi öncelikli olarak niteldir, nicel bir bilim değildir.

Önem arz eden özel durumlardan bir tanesi ikinci dereceden (quadratic) oluşan Hamiltonyenlerdir. Bu durumda Hamiltonyen aşağıdaki şekilde yazılabilir;

Denklemde bulunan , bazen kometrik olarak da adlandırılır ve konfigürasyon uzayı 'ya kotanjant uzayında fiber 'da düzgünce değişiklik gösterir. Bu Hamiltonyen tamamen kinetic kısımdan oluşmaktadır.

Riemann manifold veya yarı Riemann manifold göz önünde bulundurulduğunda, Riemann metriğin tanjant ve kotanjant demetleri arasında doğrusal izomorfizme yol açtığı görülür. Bu isomorfizm kullanılarak kometric tanımlanabilir. Koordinatlar içersinde kometriği tanımlayan matriks, metriği tanımlayan matriksin tersidir. Hamiltonyen için Hamilton-Jacobi denklemlerinin çözümü, manifoldlarda bulunan jeodezik ile aynıdır. Bilhassa, bu durumda gözlenen Hamiltonyen akış, jeodezik akış ile aynıdır. Bu çözümün varlığına ve varlığının oluşturduğu setin tamamlayıcılığına dair detaylı bilgi jeodezik makalesinde daha detaylı anlatılmıştır.

Kometriğin (cometric)'in dejenere olduğu durumlar aynı zamanda tersine çevrilemediği durumlardır. Bu durumlarda Riemann manifoldunu ve dolayısıyla metriği elde etmek olanaksızdır. Buna rağmen Hamiltonyen halen daha hesaplanabilir. Konfigürasyon manifold uzayı 'nun her bir noktası 'da dejenere halde bulunan kometriğin derecesi, konfigürasyon manifold uzayı 'nun boyutundan daha azdır ve bu durum Alt Riemannyen manifoldu olarak adlandırılır.

Yine bu durumdaki Hamiltonyen, Alt Riemannyen Hamiltonyen olarak adlandırılır. Her bir Hamiltonyen özgün olarak bir kometrik belirler ve aynı şekilde her bir kometrik özgün bir Hamiltonyen belirler. Buradan şu sonuç çıkarılabilir ki: her bir Alt Riemannyen manifold özgün olarak kendi Alt Riemannyen Hamiltonyeni tarafından belirlenir. Tersi de aynı zamanda geçerlidir: Her bir Alt Riemannyen manifold özgün bir Alt Riemannyen Hamiltonyene sahiptir. Alt Riemanyenn jeodezi