S = Sabit yüzeyler bu ışık ışınlarına dik olmalıdır. Bu yüzeylere Dalga Cephesi denir. Şekil "ışınlar ve dalga cepheleri" bu ilişkiyi göstermektedir. Ayrıca bir ışık ışınına tanjant ve dalga cephesine dikey olan optik momentum p gösterilmiştir.
Vektör alanı formula_76 korunan vektör alanıdır. Gradyan teoremi daha sonra optik yol uzunluğuna (yukarıda verilen şekilde) uygulanabilir ve sonuç olarak
elde edilir ve A ve B noktaları arasındaki C eğrisi boyunca hesaplanan optik yol uzunluğu S, sadece A ve B uç noktalarının bir fonksiyonudur ve aralarındaki eğrinin şekli değildir. eğri kapalı ise, özellikle, bu başlar ve aynı noktada sona erer başka bir deyişle A = B olur böylece
formula_78 sonucuna ulaşılır.

Bu sonuç "optik yol uzunluğu" şekli gibi kapalı bir ABCDA yoluna uygulanabilir ve aşağıdaki denklem elde edilir,
Eğri doğru parçası AB için optik momentum p, AB eğrisi boyunca bir ds yer değiştirmesine diktir yani 
formula_80 Aynı şey CD doğru parçası için de geçerlidir. BC doğru parçası için optik momentum, yer değiştirme ds ile aynı yöndedir ve 
formula_81 
DA doğru parçası için, optik momentum p, yer değiştirme ds ile zıt yönde ve 
formula_82

Ancak integral yönünü tersine çevirerek integralin A'dan D'ye çekilmesi, ds yönü tersine çevirilirse elde dilen eşitlik formula_83 olur. Bunlar hesaba katıldığında 
formula_84
ya da
formula_85 sonuçlarına varılır ve bunları birbirine bağlayan ışın boyunca B ve C noktaları arasındaki optik yol uzunluğu SBC, A ve D noktaları arasındaki ışın boyunca optik yol uzunluğu SAD ile aynıdır. Optik yol uzunluğu, dalga cepheleri arasında sabittir.

Şekil "2D faz uzayı", üst tarafında iki boyutlu uzayda bazı ışık ışınlarını göstermektedir. Burada x2=0 p2=0 olduğundan ışık x1x3 düzlemi doğrultusunda artan x3 değerleriyle ilerlemektedir. Bu durumda, formula_86 ve p2=0 olduğundan ışınının yönü momentumun p1 bileşeni tarafından tamamen tanımlanır 
formula_87 P1 verilirse, p3 hesaplanabilir (kırılma indisi n değeri verilirse) ve bu nedenle p1, ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. Işının seyahat ettiği ortamın kırılma indisi \|{\mathbf {p}}\|=n. İfadesiyle belirlenir.

Örneğin, ışın rC x1 eksenini, xB konumunda ortalayan yarıçapı n olan bir çember üzerinde ucu bulunan optik bir momentum PC ile xB koordinatından kesmektedir. XB Koordinatını ve momentum pC'nin yatay koordinatını p1C, ışını rC'yi, x1 eksenini keserken tamamen tanımlar. Bu ışın daha sonra, şeklin alt kısmında gösterildiği gibi x1p1 uzayında bir nokta rC = (xB, p1C) ile tanımlanabilir. Uzay x1p1'e faz uzayı denir ve farklı ışık ışınları bu alanda farklı noktalardan temsil edilebilir.

Bu durumda, en üstte gösterilen ışın rD, alttaki faz uzayında bir nokta rD ile temsil edilir. rC ve rD Işınları arasında bulunan xB koordinatında x1 ekseni geçen tüm ışınlar, faz uzayında rC ve rD noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Buna göre, rA ve rB ışınları arasında bulunan xA koordinatında x1 eksenini geçen tüm ışınlar, faz uzayında rA ve rB noktalarını birbirine bağlayan dikey bir doğru ile temsil edilir. Genel olarak, xl ekseni xL ve xR arasında geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir R hacmi ile gösterilir. R hacminin ∂R sınırındaki ışınlara kenar ışınları denir. Örneğin, x1 ekseni koordinat xA'da, ışınlar rA ve rB, diğer ışınlar bu ikisi arasında bulunduğu için kenar ışınlarıdır.

Üç boyutlu geometride momentum 
with formula_89 P1 ve p2 verilirse, p3 hesaplanabilir (kırılma indisinin n değeri verilir) ve bu nedenle p1 ve p2 ışık ışınının yönünü belirlemek için yeterlidir. X3 ekseni boyunca ilerleyen bir ışın daha sonra x1x2 düzleminde bir nokta (x1, x2) ve bir yönde (p1, p2) tanımlanır. Daha sonra, dört boyutlu faz uzayı x1x2p1p2'deki bir nokta ile tanımlanabilir.

Şekil "hacim değişimi" (hacmin varyasyonu), A alanı ile sınırlanmış bir hacim V'yi gösterir. Zamanla, A sınırı hareket ederse, V hacmi değişebilir. Bilhassa,sonsuz küçük alan birimi dA dışa doğru işaret eden bir birim normali nı doğrultusunda v hızı ile hareket ettiğinde, hacim değişimine şu şekilde yol açar: :formula_90

Gauss teoreminden yararlanarak, uzayda hareket eden toplam V hacminin zaman içerisinde değişimi:
En sağdaki terim, hacim V üzerindeki hacim integrali ve orta terim, hacim V'nin sınır A'sı üzerindeki yüzey integralidir. Ayrıca, v, V noktalarının hangi hareket ettiği hızdır.
Optikte 
formula_21 zamanın rolünü üstlenir. Faz uzayında ışık ışını formula_93 “hızı” ile ilerleyen bir nokta formula_94 ile tanımlanır. Burada nokta formula_51’e göre türevi temsil eder.

formula_19 koordinatında formula_97 koordinatında formula_98 koordinatında formula_99 ve formula_100 koordinatında formula_101 üzerine yayılmış bir ışık ışını seti, faz uzayında formula_102 hacmini kaplar. Genel olarak, geniş bir ışın grubu Gauss teoreminin uygulanabileceği faz uzayında büyük bir hacim V yi kaplar,

Ve Hamilton denklemlerini kullanarak,
sonucuna varılır. Yani, 
formula_105 ve formula_106
Faz uzayında bir dizi ışın tarafından kullanılan hacim, x3 yönündeki optik sistemde ışık ışınları ilerledikçe korunan etendue olarak adlandırılır. Bu Liouville teorisine karşılık gelir ve bu da Hamilton mekaniği için de geçerlidir.
Bununla birlikte, mekanikte Liouville teoremi anlamı, eminin korunması teorisinden oldukça farklıdır. Liouville teoremi aslında doğasında istatistikseltir ve aynı özelliklere sahip, ancak başlangıç koşulları farklı mekanik sistemlerin bir topluluğunun zaman içindeki evrimini ifade eder. Her sistem, faz uzayında tek bir nokta ile temsil edilir ve teorem, faz uzayındaki noktaların ortalama yoğunluğunun zaman içinde sabit olduğunu belirtir. Buna bir örnek, konteynerde dengede mükemmel bir klasik gaz molekülü olacaktır. Bu örnekte 2N boyutlarına sahip olan, faz uzayındaki her nokta, N, molekül sayısıdır ve temsil eden noktaların yoğunluğunun istatistiksel bir ortalamasını almaya yetecek kadar büyük bir topluluk olan aynı kapların bir grubunu temsil eder. Liouville teoremine göre, tüm kaplar dengede kalırsa puanların ortalama yoğunluğu sabit kalır. [3]

Şekil "etendue korunumu" solda, x2 = 0 ve p2 = 0 olduğu diyagramsal iki boyutlu bir optik sistemi gösterir, bu nedenle ışık x3 değerleri artan x1x3 yönünde ilerler.
Noktanın x1 = xl noktasındaki optik giriş alanını geçen ışık ışınları giriş alanının (şekilin sağ alt köşesi) faz uzayında rA ve rB noktaları arasındaki dikey bir çizgi ile temsil edilen kenar ışınları rA ve rB arasında bulunur. Giriş alanını geçen tüm ışınlar faz uzayında bir bölge RI ile temsil edilir.

Ayrıca, noktanın x1 = x0 noktasındaki optik çıkış açıklığından geçen ışık ışınları, çıkış açıklığının faz uzayında rA ve rB noktaları arasında dikey bir çizgi ile gösterilen kenar ışınları rA ve rB arasında bulunur (sağ üst köşe şekli ). Çıkış açıklığından geçen tüm ışınlar, faz uzayında bir bölge RO ile gösterilir.

Optik sistemdeki etenduenin korunması, giriş alanındaki RI tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacmin (veya bu iki boyutlu durumda olan alanın) çıktı alanındaki RO tarafından işgal edilen faz uzayındaki hacim ile aynı olması gerektiği anlamına gelir.
Görüntülenen optikte giriş diyaframını x1 = xl'de geçen tüm ışık ışını x1 = x0 xI = m xO olarak çıkış deliğine doğru yönlendirilir. Bu, girişte bir büyütme m ile çıktıda bir görüntü oluşturulmasını sağlar. Faz uzayında, bu, girişteki faz uzayındaki dikey çizgilerin çıktıda dikey çizgiler haline dönüştüğü anlamına gelir. Bu, RO'da dikey çizgi rA rB'nin RO'da dikey çizgi rA rB'ye dönüştürüldüğü durumda olurdu.Görüntüsüz optikte amaç, bir görüntü oluşturmak değil yalnızca giriş ışık aralığından çıkış diyaframına tüm ışığı aktarmaktır. Bu, RI'nın kenar ışınları ∂RI'yi RO'nun kenar ışınlarına ∂RO dönüştürerek başarılır. Bu, kenar ışınları prensibi olarak bilinir.

Yukarıdaki Hamilton ilkesinde, ışığın x3 ekseni boyunca ilerlediği farz edildi, 
formula_19 ve formula_20 koordinatları formula_109 genelleştirilmiş koordinatlar rolünü alırken, x3 parametre σ rolünü üstlenir, yani parametre σ = x3 ve N = 2 dir. Bununla birlikte, genelleştirilmiş koordinatların kullanımı kadar, ışık ışınlarının farklı parametrizasyonları da mümkündür.

Bir ışık ışınının yolunun, σ'nın genel bir parametre olduğu 
formula_110 
olarak parametrize edildiği daha genel bir durum düşünülür. Bu durumda, yukarıdaki Hamilton ilkesine kıyasla, formula_111 ve formula_21 koordinatları, formula_18 genelleştirilmiş koordinatlarının N = 3 olduğu rolünü üstlenirler. Bu durumda optikte Hamilton ilkesinin uygulanması,

ve şimdi 
formula_116 
formula_117 
ve bu Fermat ilkesinin formuna uygulanan Euler-Lagrange denklemleri aşağıdaki sonucu verir,
burada k=1,2,3 ve L optik Lagrange’dır. Bu durumda da optik momentum şu şekilde tanımlanır:

ve Hamilton denklemlerinde P, yukarıda tanımlanan ve N = 3 için verilen 
formula_121 fonksiyonlarına karşılık gelen ifade ile tanımlanır
Ve k = 1,2,3 iken Hamilton denklemlerinin optiğe uyarlanmış hali,
burada formula_124 ve formula_125 olarak alınır. Optik Lagrange aşağıdaki gibidir,
ve açıkça parametre σ'ya bağlı değildir. Bu nedenle, Euler-Lagrange denklemlerinin tüm çözümleri ışık ışınları için mümkün olmayacaktır, çünkü türevleri optikte meydana gelmeyen σ üzerine L'nin açık bir bağımlılığa sahiptir.

Optik momentum bileşenleri aşağıdaki yoldan elde edilebilir,
burada formula_117 ve Lagrange ifadesi aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir,
L için bu ifadeyi Hamilton P ifadesi ile karşılaştırıldığında,
formula_130 sonucuna ulaşılır. formula_131’nın bileşenlerinden yararlanılarak optik momentum aşağıdaki gibi bulunur,
Başka şekilde seçilebilecek olsa da Optik Hamilton aşağıdaki gibi seçilmiştir: 

Hamilton mekaniğinde olduğu gibi Hamilton optik denklemlerini genelleştirilmiş koordinatlar formula_135 ve genelleştirilmiş momenta formula_136 ve Hamilton işlevi "P" açısından yazmak mümkündür:

burada optik momentum aşağıdaki şekilde verilmiştir:

ve formula_144, formula_145 ve formula_146 birim vektörlerdir.

Özel bir durum bu vektörlerin ortonormal baz oluşturduğunda görülür. Orthonormal ba