ısal olmama ihtimalleri de vardır. Bu örneklerin de gösterdiği gibi, rastgele yürüyüş modelinin birçok bilim dalında uygulama alanı mevcuttur; ekoloji, psikoloji, bilgisayar bilimleri, fizik, kimya, biyoloji ve ekonomi bunlara örnektir.

Rassal yürüyüş bahsi geçen alanlarda gözlenen birçok süreci açıklamakla beraber kaydedilmiş stokastik aktiviteyi açıklamak için de temel bir model sunar. Daha matematiksel bir uygulama olarak ise pi sayısına, ajan tabanlı modelleme çerçevesinde, rassal yürüyüş kullanılarak yapılan yaklaşım örnek olarak verilebilir. Rastgele Yürüyüş ilk defa 1905 senesinde Karl Pearson tarafından ortaya konmuştur.

Rastgele yürüyüşler, ilginçtir ki, çeşitli şekillerde farklılık gösterebilirler. Rassal yürüyüş teriminin kendisi genelde Markov zincirlerinin veya Markov süreçlerinin özel bir kategorisini belirtir, ancak zamana bağımlı rassal yürüyüş süreçlerinin birçoğu özelliklerini belirten bir niteleyici ile birlikte anılır. Rastgele yürüyüş (Markov olsun ya da olmasın) çeşitli uzaylarda yer alabilir: yaygın olarak incelenenler arasında graf (çizge), tam sayılar ya da gerçek doğru, düzlem ya da yüksek boyutlu vektör uzayları, eğimli yüzeyler ya da daha yüksek boyutlu Riemann manifoldları ve sonlu, sonlu üretilmiş veya Lie grupları verilebilir. Ayrıca zaman parametresi de manipüle edilebilir. En basit bağlamda yürüyüş, ayrık zamanda doğal sayılar üzerinde indislenmiş rastgele değişkenlerin sıralanışıdır formula_1. Bununla birlikte adımların rastgele zamanlarda atıldığı rassal yürüyüşler tanımlamak da mümkündür ve bu durumda formula_2 her zaman "t ∈ [0,+∞)" olarak tanımlanmalıdır. Lévy uçuşu, Brown hareketi ve difüzyon modelleri özel durumlar ya da limitler içeren rassal yürüyüş modelleridir.

Rassal yürüyüş, Markov süreçlerini anlamak için bilinmesi gereken temel modeldir.

Örgü üzerinde gerçekleşen rassal yürüyüş en bilindik modellerden birisi olup düzenli bir örgüde her adım belirli bir olasılık dağılımına göre atılır. Basit bir rastgele yürüyüşte adımlar ancak bulunulan bölgeden içinde bulunulan örgüyü oluşturan komşu bölgelere atlanarak oluşturulabilir. Yerel olarak sonlu bir örgüde gerçekleştirilen basit simetrik bir rastgele yürüyüşte, bulunulan bölgeden komşulardan herhangi birine geçiş olasılığı aynıdır. En iyi incelenmiş rassal yürüyüş örneği d-boyutlu tam sayı örgüsündedir (bazen hiperkübik kafes olarak da adlandırılır) formula_3.

Eğer durum uzayı sonlu boyutlarla sınırlıysa, rastgele yürüyüş modeli basit sınırlandırılmış simetrik rastgele yürüyüş olarak adlandırılır ve geçiş olasılıkları uzayın konumuna bağlıdır, çünkü kenarlar ve köşe noktalarında hareket sınırlıdır.

Tam sayılar kümesinde tanımlı formula_4 bir sayı doğrusu üzerinde 0'dan başlayarak her aşamada +1 veya -1 eşit olasılıkla gerçekleştirilen hareket rastgele yürüyüşün basit bir örneğidir.

Bu yürüyüş aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi tasvir edilebilir. Bir gösterge sayı doğrusunda sıfıra yerleştirilir ve hilesiz madeni para çevrilir. Tura gelirse gösterge bir birim sağa taşınır. Yazı gelirse gösterge bir birim sola hareket ettirilir. Beş atıştan sonra gösterge artık 1, -1, 3, -3, 5 veya -5'te olabilir. Beş atıştan üçünün tura ve ikisinin yazı gelişi, sıradan bağımsız olarak, göstergeyi 1'e getirir. Toplamda 1’e ulaşmanın 10 farklı (üç tura ve iki yazı ) -1’e ulaşmanın 10 farklı (üç yazı iki tura), 3’e ulaşmanın 5 farklı (dört tura ve bir yazı) -3’e ulaşmanın 5 (dört yazı ve bir tura) 5’e ulaşmanın 1 (beş tura) ve -5'e ulaşmanın 1 yolu vardır (beş yazı). 5 atışın olası sonuçlarını gösteren illüstrasyon için aşağıdaki şekle bakınız.

Bu yürüyüşü resmi olarak tanımlamak için birbirinden bağımsız değişkenler alın. formula_5. Bu değişkenlerden her birisi eşit %50 olasılığa sahip olan 1 ya da -1 değerlerinden oluşsun. formula_6 olsun ve formula_7 şeklinde tanımlansın. {formula_8} serisi formula_4 üzerinde tanımlı basit bir rastsal yürüyüşü ifade edecektir. Bu seri -1 ve 1 değerlerinden oluşan ve adım büyüklüklerinin bire eşit olduğu toplam sonucu verecektir. formula_10 Olasılığında formula_11 sıfırdır. Bu, yazı-tura atışları arttıkça ortalamanın sıfıra yaklaştığını anlatır. Buna göre sonlu eklenme özelliği:

Bağımsız rastsal değişkenler kullanılarak ve formula_13 kabulü yapılarak benzer bir hesaplama :

formula_15 sonucuna göre n adım sonrasında beklenen ötelenme miktarı formula_16 mertebesinde olmalı ve:

Bu sonuç şunu göstermektedir: karma durumlarda yayılım büyük formula_18 değerleri için etkisizdir.

Sonsuza kadar gitmesine izin verildiği takdirde bir rastgele yürüyüşün kaç kere sınır çizgisinden geçmesi beklenir? formula_4 içindeki basit bir rassal yürüyüş her noktadan sonsuz defa geçer. Bu sonuç kesişen seviyeler fenomeni (level-crossing phenomenon) ve sarhoş yürüyüşü(gambler’s ruin) gibi birçok isimle anılır. Sarhoş yürüyüşü isminin verilme nedeni ise basitçe kumarbazın (gambler) cebinde bulunan kısıtlı para ile bu paraya kıyasla sonsuz miktarda fazla denebilecek paraya sahip bankaya karşı oynadığı kumarı en sonunda kaybetmesi durumundan gelir. Kumarbazın parası (sarhoş yürüyüşü olarak tanımlanan nokta) rastgele yürüyüş ile modellendiğinde de görüldüğü üzere bir noktada sıfıra ulaşacaktır ve oyun bitmiş olacaktır.

"a" ve "b" nin pozitif tam sayılar olduğunu varsayarsak; bir boyutta ve 0 dan başlayarak b sayısı üzerinden geçen yahut 0 dan başlayarak "-a" sayısı üzerinden geçen basit bir rastgele yürüyüşün içerdiği beklenen adım sayısı "ab" dir. Yürüyüşün "b" sayısının üzerinden "-a" sayısından önce geçtiğinin olasılığı ise ,bu rastgele yürüyüşün martingale olasılık teorisi gözönünde bulundurularak, formula_20 şeklinde gösterilir.

Yukarıdaki hesaplamlarda bahsedilen sonuçların bazıları Pascal üçgeni’nin özellikleri kullanılarak türetilebilir. "n" tane +1 veya -1 adım içeren birbirinden farklı rastgele yürüyüş sayısı 2 şeklinde gösterilir. Basit bir rastgele yürüyüşde bu adımların atılma olasılığı birbirine eşittir. "S" in k sayısına eşit olması için rastgele yürüyüş içerisindeki +1 adımların, -1 adımların sayısınının üzerine çıkarılması ve böylece k nın çıkarılması gereklidir. formula_21 durumunu sağlayan rastgele yürüyüş sayısı ("n" - "k")/2 şeklinde gösterilir ve "n" izin verilen hareket sayısıdır. Bu durumda formula_22 gösterimi de kullanılabilir. Anlamlı bir sonuç elde etmek için "n" ve "k" çift sayı olmalıdır. Bu nedenle formula_21 olasılığı formula_24 kombinasyonuna eşittir. Pascal üçgeninin girdilerini faktöriyel cinsinden ifade ederek ve sonrasında faktöriyel hesaplaması için Stirling formülünü (Stirling’s approximation) kullanarak büyük "n" değerleri için yaklaşık sonuçlar elde edilebilir.

Eğer uzay özlük için formula_4+ ile kısıtlanmışsa rasgele bir yürüyüşün beş atışa sahip herhangi bir sayı üzerine ineceği yolların sayısı {0,5,0,4,0,1} şeklinde gösterilebilir.

Pascal üçgeni ile olan bu ilişki, "n" in küçük değerleri için gösterilmiştir. 0 adımda ise tek ihtimal sıfırda kalacaktır. Ancak 1 adımda sonucun -1 veya +1 olma ihtimali söz konusudur. 2 adımda sonucun +2 ye veya 0 noktasına geri dönme ihtimali vardır. Aynı şekilde -1 noktasından atılan bir adımda ise adımın -2 ye veya 0 noktasına geri dönme ihtimali vardır. Bu nedenle -2 noktasına gitmek için 1 ihtimal, 0 noktasına gitmek için 2 ihtimal, +2 noktasına gitmek için 1 ihtimal vardır. Aşağıdaki tablo basitçe bu hesaplamayı göstermektedir.

Merkezi limit teoremi ve tekrarlanan logaritma yasası (the law of iterated logarithm), formula_4 içindeki basit bir rastgele yürüyüşün önemli davranışsal yönlerini tanımlar. Özellikle "n" (her sıradaki sayılar ile orantılı olarak) arttıkça olasılığın normal dağılıma yakınsadığı görülür.

Doğrudan bir genelleme olarak, kristal örgü içerisinde rastgele bir yürüyüşü göz önünde bulunduracak olursak, merkezi limit teoremi ve büyük sapma teoremi (large deviation theorem) saptamak olasıdır.

Herhangi bir tek boyutlu rastgele yürüyüş Markov zinciri (Markov chain) açısından incelenebilir. Markov zincirinin belirlediği üzere uzay formula_27 şeklinde tanımlanmış olsun. formula_28 değerini sağlayan "p" sayıları için adımın ilk durumdan son duruma geçiş olasılığı "P" aşağıdaki şekilde gösterilir;




Rastgelelik

Rastgelelik, olaylarda belirli bir paternin veya öngörülebilirliğin olmama halidir. Rastgele olaylardan, sembollerden ya da adımlardan oluşan bir dizi, herhangi bir mantıksal kombinasyona ya da paterne uyumluluk göstermez. Tekil rastgele olaylar tanımları gereği öngörülemezlerdir. Ancak çoğu durumda, farklı sonuçların oluşum sıklığının çok sayıdaki olaylar kümesine dağılımı tahmin edilebilir. Örneğin, iki zar atıldığında, tekil bir atışın sonucu tahmin edilemezken; toplamda 7 gelmesi, 4 gelmesinden iki kat daha sık olacaktır. Bu açıdan bakıldığında rastgelelik, tesadüften ziyade bir sonucun belirsizliğinin ölçümüdür ve de olasılık, bilgi entropisi ve şans kavramlarında uygulanır.




Wynee

Wynee, ayrıca Winee veya Winée olarak da okunmakta, Batı gemileriyle birlikte  Hawaii Adaları'ndan ayrılarak yurt dışına gezmeye çıkan ilk yerli Hawaii'lidir. İngiliz Hawaii'ye giden yolda ölmeden önce Kolombiyası ile Çin'i gezdi.

Wynee, Hawaii'nin adalarındandır ve Avrupalı kâşifler tarafından "Owyhee" olarak bilinmekteydi. İngiliz gemisi "Imperial Eagle"'da Yüzbaşı Charles William Barkley'nin karısı olan Frances Hornsby Trevor Barkley'in hizmetlisi ya da hizmetçisi olarak işe alınarak 1787 yılında Batı gemileriyle yolculuğu çıkarak yurt dışına çıkan ilk Yerli Hawaii'li olmuştur. Barkley, muhtemelen Hawaii dilinde kadın anlamına gelen "wahine" kelimesini yazmaya çalışırken "Wynee" olarak kaydetti. Pasifik Kuzeybatısı ardından Çin'e seyahat etti.

Barkley'ler onu Avrupa'ya götürmeyi amaçladı ancak Wynne eve dönmek istedi ve bu yüzden Portekiz'in Macao kolonisinde kaldı. Kanton'da, Kaptan John Meares'ın gemisi "Felice Adventurero"'ya Hawaii'ye geri dönmek için Kauai adasından ali'i (yüksek şef) sınıfın bir üyesi olan dostu Hawaii'li "Tianna" (Kaiana)  ile hazır bulundu. Onlarla birlikte seyahat eden iki Hawaili daha vardı. 5 Şubat