açısal momentumun karesinin özfonksiyonları ile ortaktır ve azimutal eksen ile ilgili dönmelerin üreteçleridir:

Bu operatörlerdeki değişme, ve R üzerinde normal dağılıma sırasıyla kare-integrallenebilir "f" fonksiyonunun Hilbert uzayı üzerinde yoğun tanımlanmış öz-eşleniktir:
Daha ötesi, L bir pozitif işlemcidir.

Eğer "Y" ,L'nin bir ortak özfonksiyonu ve "L", ise
ile tanımlanır.Bazı gerçek sayılar "m" ve λ için. Burada "m" aslında bir tam sayı olmalıdır, "Y" için periyodik bir sayı ile koordinat φ içinde 2π ile eşit bölen periyot olmalı. dahası, yine
ve "L", "L", "L" nin her biri öz-eşleniktir, bu aşağıda şöyledir λ ≥ "m".

Bu "E" ile bu ortak özuzayı, ve yükseltgen ve indirgen işlemciler tanımı ile ifade
İse "L" ve "L" ile L değişme, ve "L", "L", "L" ile üretilen Lie cebri özel doğrusal Lie cebridir,değişmelilik ilişkileri ile
Böylece (bu bir "operatörü yükseltmek"tir) ve (bu bir "indirgeyici işlemci"dir). Özel olarak, yeterince büyük "k" için sıfır olmalı, çünkü λ ≥ "m" eşitsizliği önemsiz olmayan ortak her özuzayın içindekini tutmalı. Diyelimki "Y" ∈ "E" bir sıfır olmayan ortak özfonksiyon olsun, ve diyelimki "k" en küçük tam sayı olsun böylece
ise, yine
bu aşağıda şöyledir
Böylece pozitif tam sayı için λ = ℓ(ℓ+1).

Birkaç farklı normalleştirmeler Laplace küresel harmonik fonksiyonları için yaygın kullanım içindedir.Bölüm boyunca,Biz bu standart yöntemi kullanıyoruz (bak asosiye Legendre polinomları)

Rodrigues'in aşağıdaki formül ile verilen doğal normalleştirme ki şudur: Sismolojide, Laplace küresel harmonikleri (bu kurallar bu yazı içinde kullanıldı)

olarak genel tanımıdır. Kuantum mekanik içinde ise: 

ortonormal olan şudur.

burada δ Kronecker delta ve "d"Ω = sinθ "d"φ "d"θ dır. Bu olasılığın normalize olmasını sağlar,çünkü bu normalleştirme kuantum mekaniğinde kullanılır, örnegin

Condon-Shortley faz kuralı tutarlılık için burada kullanılmıştır. Karşılık gelen ters denklemler

Gerçek küresel harmonikler bazen "tesseral küresel harmonikler" olarak biliniyor. Bu işlevler yukarıda karmaşık olanlar aynı ortonormalite özelliklere sahiptir."m" > 0 harmonikler ile cos tip'inin olduğu söylenir, ve böylece sine tip'inin "m" < 0 ile . Bunun nedeni olarak Legendre polinomları açısından işlevleri yazılarak görülebilir

formula_40

Aynı sinüs ve kosinüs faktörler de kartezyen gösterimi ile ilgilidir, aşağıdaki alt bölümde görülebilir.

kadar gerçek küresel harmoniklerin listesi için bakınız burada ve formula_41 içeriyor , bunun yukarıdaki denklemlerin çıkışı ile uyumlu olduğu görülebilir.
Hidrojen atomu için analitik çözümlerden bilindiği gibi, dalga fonksiyonunun açısal kısmının özfonksiyonlarının küresel harmonikleri bulunmaktadır.
Ancak, manyetik şartlar olmaksızın göreli olmayan Schrödinger denkleminin çözümleri gerçek hale getirilebilir.Programlar daha sonra karmaşık cebir kullanmak gerekmez gibi gerçek formlar yoğun, kuantum kimyası için temel fonksiyonlarında kullanılan budur.İşte, bu gerçek fonksiyonlar, karmaşık olanları olduğu gibi aynı alanı kapsayan dikkat etmek önemlidir.

Örneğin olarak küresel harmonik tablosundan görülebileceği gibi, olağan "p" işlevleri (formula_42) karmaşıktır ve eksen yön karışımı, ama gerçek versiyonlar aslında sadece "x", "y" ve "z".

Kartezyen koordinatlar içinde normalize küresel harmonikler ifadesi aşağıdadır (Condon-Shortley fazı):
ve 'm" = 0 için:
Burada

ve
formula_48 için bu 
ya indirgenir

formula_50, formula_51, ve formula_52 için biz yukarıdakilerden açıkça listelenmiş şu bağıntıları elde ederiz: 
Bu burada ve burada listelenmiş fonksiyon ile bu kabul doğrulanabilir .

Gerçek küresel harmonikler formuna yukardaki denklemler kullanılıyor,formula_55 için bunun olduğu görülmektedir yalnızca formula_56 terimleri (kosinus)içeriyor ve formula_57 için yalnızca formula_58 terimleri (sinüs) içeriyor:

ve "m" = 0 için:

bir "f" fonksiyonunun toplam kuvveti kare fonksiyonun integrali olarak işaret işleme literatüründe tanımlanıyor, bu domenin bölgesi ile bölünür.Gerçek birim-kuvvet küresel harmonik fonksiyonların ortonormalite özellikleri kullanılıyor, bu birim küre üzerinde tanımlanan bir fonksiyonun toplam gücünü doğrulamak için basitçe Parseval teoreminin bir genellemesi spektral katsayılarla ilişkilidir:

burada

açısal kuvvet spektrumu olarak tanımlanıyor.Benzer bir şekilde, bir iki fonksiyon arasında çapraz güç tanımlayabilirsiniz

burada

çapraz-kuvvet spektrumu olarak tanımlanıyor. Eğer fonksiyonlar "f" ve "g" have bir (yani spektral katsayılar "f" ve "g" sıfırdır) ortada sıfır var, ise sırasıyla "S"(ℓ) ve "S"(ℓ) fonksiyon'ların değişken için ve ℓ derecesi için eşdeğişken katkısını gösterir. Bu yaygın e (çapraz-)kuvvet spektrum formunun bir kuvvet kanunu ile iyi yaklaşıklıktır

Eğer β = 0,spektrum eş kuvvet her derecesine sahip olarak "beyaz"dır.Eğer β  0 ise, spektrum "mavi" olarak adlandırılıyor."S"(ℓ)nin büyüklüğünün derecesi üzerinde durum son kesit içinde "f"nin diferansiyellenebilirliklerinin derecesine göredir .

Ayrıca orijinal fonksiyonunun "S"(ℓ)in asimtotik terimleri içinde "f" orijinal fonksiyonunun türevlenebilir özellikleri anlaşılabilir. Özel olarak, eğer "S"(ℓ) ℓ → ∞ olarak ℓ'nin herhangi kesirli fonksiyonu daha hızlı çürüyorsa, "f" sonsuz türevlenebilirdir. Ve dahası "S"(ℓ) üstel bozunma ise "f" küre üzerinde aslında gerçek analitiktir.

Diferansiyellenebilirlik için "S"(ℓ) in büyüklüğü ile ilişkili durumları Fourier serisinin katsayılarının büyümesi ndeki analog sonuçlara benzer ise genel teknik olarak Sobolev uzayının teorisi kullanılıyor. Özellikle eğer
ise "f" Sobolev uzayı "H"("S") içindedir. Özel olarak,Sobolev gömme teoremi "f"
şartıyla tüm "s"ler için sonsuz türevlenebilir anlamına gelir.

formula_1 Laplace küresel harmonikler burada "düğüm çizgileri" göz önüne alınarak görselleştirilebilir, şöyle ki, burada formula_69, küre üzerinde noktaların kümesi veya karşıt olarak burada formula_70. dir formula_1nin düğüm çizgileri çemberin oluşumudur: bazıları enlemlerdir ve diğerleri boylamlardır. Enlemsel ve bağımsız boyuna tarifi içinde formula_1nin sıfırlarının sayısının sayılması ile her tipinin düğüm çizgilerinin sayısı belirlenebilir. Enine yönünde için, asosiye Legendre polinomlarının sanal ve gerçek bileşenleri her ℓ−|"m"| sıfırlarına sahiptir,oysa, uzunlamasına yön için,trigonometrik sin ve cos fonksiyonları 2|"m"| sıfırlara sahiptir.

Eğer küresel harmonik derece "m" (sol-üst resim) sıfır ise, küresel harmonik fonksiyonlar boylam bağlı olmayan, ve zonal olarak adlandırılır. Bu gibi küresel harmonikler zonal küresel fonksiyonların bir özel durumudur Eğer ℓ = |"m"| (Şekilde sağ alt) ise, burada enlem içinde sıfır geçidi yoktur, ve fonksiyonlar sektörel olarak adlandırılır. Diğer durumlar için, küre denetleyicisi fonksiyonları, ve bu tesseral olarak adlandırılır.

Daha genel ℓ derecesinin küresel harmonikleri are Laplace tabanı formula_1nın böyle olması gerekmez, ve burada nodal(düğümsel) kümeler oldukça genel bir tipi olabilir.

İlk birkaç ortonormalize edilmiş Laplace küresel harmonik(=salınan) için analitik bağlantılar kullanılan Condon-Shortley faz kuralı:

Klasik küresel harmonikler üç-boyutlu Öklid uzayı içerisinde birim küre "S" üzerinde fonksiyonlar olarak tanımlanıyor . Küresel harmonikler yüksek-boyutlu Öklid uzayı R için genelleştirilebilir olarak aşağıdadır. Diyelimki P "n" değişkenleri içinde ℓ derecesinin homojen polinomlarının uzayını ifade eder.Şöyle ki, bir "P" polinomu P içinde şunu sağlıyor.

Diyelimki P nin altuzayı ifadesi A tüm harmonik polinomlarının oluşturuyor; bu katı küresel harmoniklerdir.Diyelimki H birim kürenin üzerindeki fonksiyonların uzayını ifade ediyor 
A dan sınırlandırılarak elde edilir.

aşağıdaki özellikler uyar:




yüksek boyutlar içinde küresel harmoniklerin bir ortogonal tabanı değişkenlerin ayrılmasının metodu ile tümevarım ile inşa edilebilir,küresel Laplasyen için Sturm-Liouville problemi çözümü ile
burada φ "S" üzerinde bir küresel koordinat sistemi içinde eksenel koordinattır.Bir işlem gibi sonuçtur
burada |ℓ| ≤ ℓ ≤ ... ≤ ℓ indisleri karşılar ve özdeğer −ℓ(ℓ + "n"−2)dır.Çarpım içindeki foksiyonlar Legendre fonksiyonunun terimleri içinde tanımlanıyor
H uzayı ℓ derecenin küresel harmoniğinin bir (SO(3))nokta çevresinde dönmelerin simetri grubunun bir gösterimi ve SU(2) çift örtüktür. Aslında,iki-boyutlu küre üzerinde dönme hareketi, ve böylece ayrıca fonksiyon düzeni ile H üzerinde
ψ için bir küresel harmonik ve ρ bir dönme ve H gösterimi SO(3)ün bir indirgenemez gösterimidir.

Hnın ögeleri Anın ögelerinin küre için sınırlandırılmış olarak ortaya çıkar:üç-boyutlu öklid uzayı R üzerinde ℓ derecenin homojen harmonik polinomlarıdır.ψ ∈ A nin polarizasyonu ile, burada formula_95 indisler üzerinde teklik şartı ile belirlenen simetrik katsayılardır,
Durum that ψ be harmonik is tensör formula_95 onaylanması için eşdeğerdir ve indislerin her çifti üzerinde bağımsız iz olmalı. Böylece SO(3), H nin indirgenemez gösterim olarak ℓ derecesinin simetrik tensörlerinin izsizlik uzayı için izomorfiktir.

Daha genel olarak, yüksek boyutlar içinde tutan analog durumlar: "n"-küre üzerinde küresel harmoniklerin H uzayı izsiz simetrik ℓ-tensörler için karşılık gelen SO("n"+1)nin indirgenemez gösterimidir. Bununla birlikte, oysa SO(2)nin ve SO(3) ün her indirgenemez tensör gösterimi bu türündür,yüksek boyutlar içinde özel ortogonal gruplar ek bir indirgenemez gösterimleri var ve bu tutum içinde ortaya çıkmaz .

özel ortogonal grupların have ek spin gösterimleri var ve tensör gösterimleri değildir, ve "tipik olarak" küresel harmonikler değildir. bir istisna SO(3)ün spin gösterimidir: strictly speaking these are çift örtü SU(2) ve SO(3)ün çift örtünün gösterimidir. sırayla, SU(2) birim kuaterniyonların grubu ile özdeştir, ve 3-küre ile ile bu çakışma,3-küre üzerinde küresel harmoniklerin uzayı SO(3)ün belli dönmesidir,kuaterniyonik çarpım ile harekete göre.

İki-kürenin açı koruyucu simetrileri Möbiüs dönüşümleri PSL(2,C)'nin grubu ile tarif edilmektedir.Bu grup ile ilgili olarak, küre genel Riemann kürenin eşdeğeridir.G