insinden ifade edildiğinde bu durumda belirli bir şiddete bağlı herhangi özgün bir güç olmaz. Güç basit olarak sinyalin karesiyle hesaplanır. Çünkü bu her zaman sinyalin empedansa verdiği asıl verilen güçle orantılıdır. Belirtilmiş herhangi bir güç veya enerji olmamasına rağmen biri spektral güç yoğunluğu için birim olarak V Hz (Voltajın karesi kere frekans) kullanırken diğeri spektral enerji yoğunluğu için V s Hz (voltajın karesi kere süre(saniye) kere frekans) kullanır.

Bazen biri spektral şiddet yoğunluğuyla karşılaşabilir ki bu spektral güç yoğunluğunun kare köküne eşittir. Voltaj sinyalinin spektral şiddet yoğunluğunun birimi V Hz(voltaj kere frekansın karekökü) olarak kullanılır. Eğer spektrumun şekli sabitse bu kullanışlıdır.Çünkü spektral şiddet yoğunluğundaki (ASD) çeşitlilikler sinyal seviyesindeki çeşitliliklerle doğru orantılı olacaktır.Fakat matematiksel olarak spektral güç yoğunluğu tercih edilir çünkü sadece bu durumda grafik altındaki alan asıl gücün bütünüyle frekans ya da belirtilmiş bant aralığında kullanıldığında anlamlı olur.

Rastgele yapılan titreşim analizlerinde spektral güç yoğunluğunın ivmelenmesi için sıklıkla  Hz (yerçekimi ivmesinin karesi kere frekans) formülü kullanılır.

Matematiksel olarak sinyal veya bağımsız değişkenler için fiziksel boyutların kullanılmasına gerek yoktur. İlerleyen tartışmalarda "x(t)"in anlamını belirtilmemiş kalacak.Fakat bağımsız değişken, zaman o olarak kabul edilecektir.

Spektral enerji yoğunluğu, sinyalin veya zaman serilerinin enerjisinin frekansla nasıl dağıtıldığını açıklar. Burada enerji terimi genelleştirilmiş sinyal sürecinin algısında kullanılır. Buna göre sinyalin enerjisi formula_2 ;
formula_8 ‘ile gösterilir.

Spektral enerji yoğunluğu geçici olaylar için uygundur.Örneğin,toplam enerjisi sınırlı olan sinyal gibi titreşimler.Bu olayda Parseval’ın Teorisi, sinyalin enerjisi için bize Fourier dönüşümü cinsinden yeni bir ifade verir.
formula_9

Buradaki formula_11 Hz(Hertz) ‘ yi ifade eder,saniyede yapılan devir sayısı.Genelde kullanılan cinsi açısal hızlı olanıdır formula_12.Sağ tarafın integrali bize sinyalin enerjisini verir.formula_13‘in intregralinin alınmış hali sinyalin birim frekanstaki enerjisini tanımlayan yoğunluk fonksiyonu olarak yorumlanabilir.Bunun ışığında bir sinyalin spektral enerji yoğunluğu formula_2

Fiziksel bir örnek olarak bir sinyalin spektral enerji yoğunluğunu ele alırsak, elektriksel darbenin potansiyeli formula_16 empedansın formula_17 iletim hattı boyunca yayılır ve bu hat sonuna bağlanan direçle sonlandırılır.Böyle bütün darbe enerji dirence aktarılır ve hiç biri geri yansıtılmaz.Ohm Yasası ile formula_18 zamanda dirence aktarılan güç formula_19 ‘ ye eşit olur.Böylece sistemin toplam enerjisi formula_19 ’nin zamana bağlı integralinin alınmasıyla bulunur.Spektral enerji yoğunluğu formula_1 nun formula_22 frekansındaki enerjisini bulmak için frekansa ilginin yakın olduğu iletim hattı ile direnç arasına sadece dar aralıklı frekansları geçiren dalga geçirici filtre konulmalıdır ve sistemin alıcıdan geçen dağılmış toplam enerjisi formula_23 hesaplanır.Spektral enerji yoğunluğunun değeri formula_24olarak tahmin edilir.Güç formula_19 olarak (birimi V Ω),enerji formula_23 olarak (birimi V s Ω = J) olarak alındığında spektral enerji yoğunluğu formula_27 nun birimi J Hz olur(Joule kere frekans).

Spektral Güç Yoğunluğu
Yukarıda belirtilen spektral enerji yoğunluğuyla iligi tanımlar geçici dalgalar(darbe-sinyaller gibi) için uygundur ve Fourier dönüşümü sinyaller genellikle bulunurlar.Tüm zaman boyuncaki sürekli sinyaller için örneğin sabit süreçte bir tanesi mutlaka spektral güç yoğunluğu (PSD) olarak belirtilmelidir.Bu sayede önceki örnekte de olduğu gibi sinyalin gücü ya da zaman serilerinin belli bir frekans boyunca nasıl dağıtıldığını anlayabiliriz.Burada güç,fiziksel bir güçtür ya da daha sık olarak sinyalin karesiyle özdeşleşmiştir ve ayrıca soyut sinyaller için kolaylık sağlanır.Örneğin istatistikçiler fonksiyonun zamana bağlı değişimini "x(t)" (veya başka bir bağımsız denklem üzerine) çalışıyorlar ve elektrik sinyalleriyle analoji(iki farklı şey arasındaki benzerlik veya benzerliklerden hareket edilerek birincisi için dile getirilenlerin diğeri için de söz konusu olduğunu ileri sürme) kullanıyorlar(diğer fiziksel süreçler arasında da).Sistemde herhangi bir fiziksel güç içeren bir şey olamasa bile geleneksel olarak güç spektrumuna denk gelir.Eğer herhangi biri "x(t)" ) ile takip eden fiziksel voltaj kaynağı oluşturursa ve uç bölümleri 1 ohm ‘luk bir dirence maruz bırakılırsa dirençteki anlık dağıtılmış güç "x" watt olarak ifade edilir.

Bir sinyalinformula_2bütün zaman aralığı boyunca ortalama gücü "P" ortalama zaman ile verilir:

Örnek olarak durağan süreçlerde sonsuz enerji bulunmasına rağmen sınırlı güç bulunabilir.Bütün bunlardan sonra enerji gücün integral alınmış halidir ve durağan(sabit) sinyal sonsuz zaman diliminde süreklidir. Bu yüzdendir ki spektral enerji yoğunluğunu yukarıda belirtilen durumlardaki gibi kullanamayız.

Herhangi bir sinyalin formula_2 frekans bileşenlerini kontrol ederken herhangi bir sinyalin hesaplanması sıradan bir Fourier Dönüşümü’ne benzer formula_31 .Fakat çoğu Fourier Dönüşümü’yle ilgili sinyaller aslında hiç var olmamışlardır.Çünkü bu karmaşıklık kesik Fourier dönüşümüyle formula_32 daha iyi çalışır.Fourier dönüşümünde sinyalin sadece [0, "T"] kapalı aralığında integrali alınır.

Ve sonrasında spektral güç yoğunluğu

Olarak ifade edilir.Buradaki E beklenen değeri belirtir.Sonra elimize aşağıdaki gibi bir fonksiyon geçer.

En son halinde (sabit/durağan gelişigüzel süreçte değişkenler ile formula_36 değişiklik yapılabilir ve integralin limitiyle sonsuza yaklaşır.Sonuç olarak elde edilen spektral güç yoğunluğu formula_37 olur ve bu sinyalin otokorelasyon(, çoklu regresyon analizinde hata teriminin birbirini izleyen değerleri arasında ilişki bulunması hali) fonksiyonu Fourier’in dönüşümleriyle karşımıza çıkabilir.Fonksiyondaki otokorelasyonun istatistiksel tanımı formula_38 (veya daha genel olarak "X(t)"in karmaşık bir değerde olduğu durumlarda formula_39 olarak tanımlanır).

formula_40‘ın her koşulda integrallenebilir olduğu durumlarda :

Çoğu yazar spektral güç yoğunluğunu bu formülle tanımlarlar.

Verilen bir frekans aralığındaki formula_42 veya formula_43 sinyalin gücü frekans aralığının integralinin alınmasıyla hesaplanabilir. formula_44 eşitliği söz konusu olduğundan eşit miktarda güç pozitif ve negatif frekanslara dağıtılabilir.Aşağıda belirtilen formda ikinin katıyla hesaplanır.Budenli ufak tefek faktörler kullanılan toplama bağlıdır.

Daha genel olarak benzer teknikler zaman değişkenli spektral yoğunlukların tahmin edilmesinde kullanılabilir.Bu durumda kesik Fourier dönüşümü yukarıda belirtilen sınırlı zaman aralığında (0, T) T’nin limitinin sonsuza yaklaştığını söyleyemeyiz.Bu düşük spektral kapsamına ve düşük çözünürlüğe sebep olur.Çünkü 1/T’ den düşük frekanslar örnek olarak denenmemiştir ve frekansların, 1/T’nin katsayılarının bir tam sayı olmamasına sebep olur.Sadece tek zaman dizisi kullanarak tahmin edilen spektral güç yoğunluğu çok fazla gürültülü olacaktır.Fakat bu hafifletilebilirdir. Eğer beklenen değeri (yukarıdaki denklemde) kısa süreli spektra (tafy) büyük sayılar (veya sonsuz) kullanarak istatistiksel birliğe göre hitap edecek şekilde spesifik bir zaman aralığında "x(t)" gerçekleştirilen değerlendirmelerle yapılabilir.

Spektral güç yoğunluğunun bu tanımı ayrık zaman formula_46 olarak genelleştirilebilir.Yukarıda formula_47 sınırlı bir aralıklıla birlikte farklı zamanlarda formula_48 toplam periyod ölçümü formula_49 için bir sinyal örneği belirlemiştik. Daha sonra tek bir spektral güç yoğunluğu tahmini için integrasyondan ziyade toplama ile elde edilinebilinecektir.

Daha önceden, asıl spektral güç yoğunluğunu N ( ve böylelikle T) sonsuza yaklaştığında elde edebiliriz ve beklenen değer resmen uygulanmış olur.Gerçek Dünya uygulamasında biri tipik olarak ortalama spektral güç yoğunluğunun tek bir ölçümünde fiziksel süreç boyunca yapılan denemelerde bir tane fazladan daha kesin tahmini teorik spektral güç yoğunluğu elde etmek için bireysel çalışmalar altında gerçekleştirilir.Bu ölçülen spektral güç yoğunluğuna bazen periodogram(spektral yoğunluk tahmini) adı verilir.Bu periodogram ortalama zaman aralığı sonsuza yaklaşırken doğru spektral güç yoğunluğunu tahmini değerlerin sayısıyla birleştirir.

Eğer iki sinyalde spektral güç yoğunluğunu etkilerse çapraz spektral yoğunluk benzer bir şekilde hesaplanabilir.Bunun için spektral güç yoğunluğunun otokorelasyonla bağlantılı olması gerekir ve böylece çapraz spektral yoğunluk çapraz korelasyonla bağlantılı olur.

Çapraz korelasyon,sinyal sürecinde iki seri fonksiyonun birbirine bağlı olan gecikmelerin benzerliklerinin hesaplanmasıdır.Aynı zamanda nokta çarpım olarak ya da içler çarpımı olarak da bilinir.

Spektral yoğunluk tahmininin amacı bir dizi zaman örneklerinden rastgele sinyallerin spektral yoğunluklarının tahmin edilmesidir.Sinyal hakkında neyin bilindiğine bağlı olarak tahmin teknikleri parametrik ve parametrik olmayan istatiksel yaklaşımlar içerir ve zaman alanı veya frekans alanı analizlerine dayalı olabilir. Örneğin yaygın bir parametrik teknik gözlemleri otogresif modele uyarlar. Otogresif, istatistik ve sinyal sürecinde sıradan bir sürecin tipinin gösterilmesidir. Örneğin,doğada kesin değişken zaman sürecini tanımlar. Yaygın parametrik olmayan teknik ise periodogramdır.

Spektral yoğunluk çoğu zaman Fourier değişken teknikleri kullanılarak tahmin edilir.Örneğin Welch metodu da bunlardan biridir. Welch metodu standart periodogram spektrum(tafy) tahmin metodunun geliştirilmiş halidir. Bu metot tahmini güç tayfındaki gürültüyü frekans netliğini düşürülmesiyle azaltır.Fakat diğer teknikler de(örneğin:maksimum entropi metodu) kullanılır.


Bir sinyalin güç spektrumunun ve konseptinin kullanımı elektrik mühendisliğinde temeldir. Özellikle elektronik iletişim sistemlerinde, bunlar radyo iletişim, radarlar ve bunla