amıştır. NSA, çok gizli bilgileri korumak için 384-bitlik anahtar boyutunu tavsiye etmektedir. Ancak, Ağustos 2015'te, NSA, ECC'ye yönelik kuantum hesaplama saldırılarıyla ilgili endişeler nedeniyle Suite B'yi yeni bir şifre paketi ile değiştirmeyi planladığını duyurdu.

Kriptografide eliptik eğrilerin kullanımı, 1985'te Neal Koblitz ve Victor S. Miller tarafından bağımsız olarak önerilmiştir. Eliptik eğri kriptografi algoritmaları, 2004'ten 2005'e kadar geniş kullanım alanına girmiştir.

Mevcut kriptografik amaçlar için, bir eliptik eğri, aşağıdaki denklemi sağlayan noktalardan oluşan sonlu cisim (gerçek sayılardan ziyade) üzerinde bir düzlem eğrisidir.

formula_1

Eliptik eğrinin grup işlemlerinin bulunduğu küme abelyen bir kümedir. Bu grubun yapısı, cebirsel çeşitliliğin altında yatan bölen grubundan geçmiştir.

formula_2

Birçok ayrık logaritma tabanlı protokol, formula_3 grubunun eliptik eğri ile değiştirilmesi sayesinde eliptik eğrilere uyarlanabilmiştir :


Ulusal Güvenlik Ajansı (NSA) 2005'te RSA konferansında dijital imza üretimi ve anahtar anlaşması için Eliptik Eğri Kriptolojisini özel olarak kullanan Suite B'yi duyurdu. SuitB, hem gizli hem de gizli olmayan ulusal güvenlik sistemlerini ve bilgilerini korumayı amaçlamıştır. 

Yakın zamanda, Weil ve Tate çifti gibi çeşitli eliptik eğri gruplarında çift yönlü eşlemelere dayalı çok sayıda kriptografik ilke tanıtılmıştır. Bu ilkelere dayalı şemalar, eşleme tabanlı imzalar, işaretleme, anahtar anlaşması ve proxy şifrelemenin yanı sıra verimli kimlik tabanlı şifreleme de sağlar.

Elipktik eğri kriptolojisini kullanmak için, tüm taraflar eliptik eğriyi tanımlayan alan parametreler adı verilen elemanlar üzerinde anlaşmalıdır. Cisim asıl durumda formula_4 sayısıyla, iki bileşenli durumda ise formula_5 ve formula_6 çifti ile tanımlanır. Eliptik eğriler, eşitliği sağlamak için sabit formula_7 ve formula_8 sayıları ile tanımlanırlar. Son olarak devirli alt-grup, üreteci olan G ile tanımlanır. Kriptografik uygulamalar için G nin mertebesi, formula_9 denklemini sağlayacak en küçük formula_10 değeri, genellikle asal bir sayıdır. formula_10, formula_12 alt-grubunun büyüklüğü olduğundan Lagrange Teoreminden formula_13 sayısı tam sayıdır. Kriptografik uygulamalarda kofaktör olarak adlandırılan bu formula_14 sayısı, küçük (formula_15) bir tamsayı olarak, tercihen formula_16, seçilmelidir. Özetle, asıl durum parametreleri formula_17 ve ikili durum parametleri ise formula_18 şeklindedir. 

Eğer alan parametrelerinin guvenilir bir üretici tarafından oluşturulduğunun garantisi yoksa, bu parametreler kullanilmadan önce mutlaka doğrulanmalıdır.

Alan parametrelerinin oluşturulması genellikle her katılımcı tarafından yapılmaz çünkü bu durum zaman alan ve uygulaması zor olan bir eğri üzerindeki noktaların sayısını hesaplamayı gerektirir. Sonuç olarak, bazı yetkili standardizasyon kuruluşları yaygın cisim boyutları için eliptik eğri parametreleri yayınlamışlardır. Bu gibi alan parametreleri genellikle "standart eğriler" veya "adlandırılmış eğriler" olarak bilinir; Adlandırılmış bir eğri, bir ad veya standart belgelerde tanımlanan benzersiz nesne tanımlayıcısı tarafından referans edilebilir: 


SECG test vektörleri de mevcuttur. NIST birçok SECG eğrisini onayladı, dolayısıyla NIST ve SECG tarafından yayınlanan özellikler arasında örtüşme vardır. Eliptik Eğri alan parametreleri, değer veya ad ile belirtilebilir. 

Eğer biri (yukarıda anlatılanlara rağmen) kendi alan parametrelerini oluşturmak isterse, altta yatan cismi seçmeli ve uygun sayıda noktaya sahip bir eğri bulmak için aşağıdaki stratejilerden birini kullanmalıdır:


Bazı eğri sınıfları zayıftır ve kesinlikle uzak durulmalıdır:


ECDLP'yi çözmek için bilinen en hızlı algoritmaların formula_22 adıma ihtiyaç duyması nedeniyle, cismin boyutunun güvenlik parametresinin kabaca iki katı olması gerekir. Örneğin, 128 bitlik bir güvenlik için formula_23 olacak şekilde formula_24 üzerinde bir eğri seçilmesi gerekir. Bu, 3072 bit açık anahtar ve 256 bit gizli anahtar gerektiren sonlu cisim kriptografisi (Örn: DSA) ile ve yalnızca özel anahtarın büyük olması gereken 3072 bitlik çarpanlarına ayırma kriptografisiyle (Örn: RSA) karşılaştırılabilir. Ancak işlemcinin gücü sınırlı olduğunda, şifrelemenin daha verimli olabilmesi için anahtar boyutu küçültülebilir. 

Şimdiye kadar kırılmış en zorlu ECC şeması asıl durum için 112-bit anahtar ve iki bileşenli durum için 109 bitlik bir anahtara sahipti. Asıl durum için bu, Temmuz 2009'da 200'ün üzerinde PlayStation 3 oyun konsolunu kullanarak kırıldı ve sürekli olarak çalıştırılmasına rağmen ancak 3,5 ay içinde tamamlanabildi. İki bileşenli durumda ise, Nisan 2004'te 17 ayda 2600 bilgisayar kullanılarak kırıldı.

Toplama kuralının yakından incelendiğinde, iki noktayı toplamak için formula_25 'da sadece toplamın ve çarpmanın değil, aynı zamanda tersinin de gerekli olduğunu göstermektedir. Ters işlem (verilen formula_26 için formula_27 olacak şekilde bir formula_28 bulmak) çarpma işleminden birkaç kat daha yavaştır. Neyse ki, bir eğri üzerindeki noktalar iki noktayı toplamak için ters işlem gerektirmeyen farklı koordinat sistemlerinde temsil edilebilir. Bu tür birkaç sistem önerisi: İzdüşümsel sistemde her nokta aşağıdaki ilişkiyi kullanarak üç koordinat formula_29 ile temsil edilir: formula_30 Jacobian sisteminde bir nokta üç koordinat ile de temsil edilir (X, Y, Z) ama farklı bir ilişki kullanılır formula_31 López-Dahab sisteminde ise ilişki: formula_32 değiştirilmiş Jacobian sisteminde aynı ilişkiler kullanılır ancak hesaplamalar için dört koordinat formula_33 saklanır ve kullanılır; ve Chudnovsky Jacobian sisteminde beş koordinat formula_34 kullanılır. 

Eliptik eğriler şifreleme, dijital imzalar, sözde rasgele üreteçler ve diğer görevlere uyarlanabilir. Ayrıca, Lenstra eliptik eğri faktörizasyonu gibi kriptografi uygulamalarına sahip olan birkaç çarpanlarına ayırma algoritmasında da kullanılırlar. 

NIST, 1999 yılında 15 eliptik eğri önerdi. Özellikle, FIPS 186-3'ün önerilen 10 sonlu cisim vardır:


NIST tavsiyesi, toplam 5 asıl eğri ve 10 iki bileşenli eğri içerir. Bu eğriler optimum güvenlik ve uygulama verimliliği için seçildi. 

2013 yılında New York Times Çift Eliptik Eğri Deterministik Rastgele Bit Üretiminin(veya Dual_EC_DRBG), algoritmaya ve önerilen eliptik egriye kasti bir zayıflık ekleyen NSA'in etkisinden dolayı NIST ulusal standartlari icerisine dahil edildigini yazdi. Eylül 2013'te RSA Security, müşterilerinin Dual_EC_DRBG'ye dayalı herhangi bir yazılımı kullanmaya devam etmelerini tavsiye eden bir karar yayınladı. Dual_EC_DRBG'nin "bir NSA gizli operasyonu" olarak ortaya çıkmasının ardından, şifreleme uzmanları, NIST'in eliptik eğrilerinin güvenliğiyle ilgili endişelerini dile getirerek, eliptik olmayan eğri gruplarına dayanan şifrelemeye geri dönüşü önerdiler.

Diğer çoğu ayrık logaritma sistemlerinin aksine (karesini almak ve çarpmak için aynı yöntemi kullanmanın mümkün olduğu), eliptik eğride toplama işlemi çift(P=Q) ve genel toplam (P ≠ Q) bakımından kullanılan koordinat sistemine göre kayda değer ölçüde farklılık gösterir. Bu nedenle, yan kanal saldırılarının etkisini, örneğin "fixed pattern window" yöntemini kullanarak, ortadan kaldırmak önem kazanır(bu metot işlem süresini uzatmaz). Alternatif olarak, eliptik eğriler ailesinin çift ve toplama işlemlerinin aynı anda yapılabildiği özel bir türü olan Edward eğrisi de kullanılabilir. ECC sistemleri için bir başka endişe, özellikle akıllı kartlarda çalışırken, arıza saldırıları tehlikesidir.

Kriptografik uzmanlar Ulusal Güvenlik Ajansı'nın kleptografik bir arka kapıyı en az bir eliptik eğri tabanlı sözde rasgele üretecinin içine yerleştirdikleri endişesini dile getirdiler. Eski NSA çalışanı Edward Snowden tarafından sızdırılmış olan notlar, NSA'nın Dual_EC_DRBG standardında bir arka kapı koyduğunu gösteriyor. Olası arka kapıya ait bir analiz, algoritmanın gizli anahtarına sahip olan bir rakibin şifreleme anahtarlarını yalnızca 32 bayt şifreli metinle elde edebileceği sonucuna varmıştır.

Güvenli bir şekilde uygulanması kolay olan ve arka kapı şansını en aza indirgemek için tamamen kamuya açık bir şekilde tasarlanan eğrileri kataloglamak için SafeCurves projesi başlatıldı.

Shor algoritması, olası bir kuantum bilgisayardaki ayrık logaritmaları hesaplayarak eliptik eğri kriptografisini kırmak için kullanılabilir. 256 bitlik bir modül (128 bit güvenlik seviyesi) ile bir eğriyi kırmak için yapılan son kuantum kaynak tahminleri 2330 qubit ve 126 milyar Toffoli kapısıdır. Buna karşılık, Shor algoritmasının RSA algoritmasını kırmak için kullandığı algoritma, 2048 bit RSA anahtarı için 4098 qubit ve 5.2 trilyon Toffoli geçit kapısı gerektirmektedir, bu da Eliptik Eğri Kriptolojisinin kuantum bilgisayarlar için RSA'dan daha kolay bir hedef olduğunu göstermektedir. Tüm bu rakamlar, şimdiye kadar yapılmış olan herhangi bir kuantum bilgisayarı fazlasıyla aşıyor ve bu derece güçlü bilgisayarların oluşturulmasının on yıl veya daha uzun bir süre olacağı tahmin ediliyor.

Ağustos 2015'te NSA, "uzak olmayan bir gelecekte" kuantum ataklarına dirençli yeni bir şifre paketine geçiş yapmayı planladığını duyurdu.“Ne yazık ki, eliptik eğri kullanımının büyümesi, kuantum hesaplaması üzerine yapılan araştırmada devam eden ilerlemenin gerçeğine karşı çarparak, kriptografik stratejimizin yeniden değerlendirilmesini gerekli kılmıştır.”

En az bir Eliptik Eğri Kriptolojisi şema planı (ECMQV) ve bazı uygulama teknikleri patentlenmiştir.


ECC'nin diğer açık anahtar kripto sistemlerine göre daha geç geliştirilmesine karşın güvenilirliğinin test edilebilmesi için yeterli süre geçmiş ve ECC birçol atağa karşın ayakta kalabilmeyi başarmıştır. ECC'nin diğer popüler açık anahtar sistemlerine karşı aynı güvenlik seviyesinde hem anahtar boyutu hem de hız olarak büyük avantajı olmasına rağmen ECC'yi ilgilendiren patentlerin hala geçerli olması sebebiyle dezavantajı da vardır. Yine de özellikle yüksek hızın çok önemli olduğu kablosuz sistemler gibi çeşitli sist