herhangi bir "k" sayısının dış çarpım olarak tanımlanabilir ve bazen bir "k"-bıçak olarak adlandırılır. Burada "k"-inci dış güç olarak bilinen bir geometrik uzay "yaşamaktadır".Oluşan "k"-bıçağının büyüklüğü, bu vektörler tarafından gerilmiş paralelotopun hacmini veren, üç boyutlu olarak vektörlerin skalar üç çarpımı büyüklüğü olarak, yüzleri verilen vektörler "k" boyutlu paralelyüz hacmidir. Hermann Grassmann sonrası dış cebir veya Grassmann cebiri olan dış çarpım ürünü cebirsel sistemdir.Dış cebir geometrik soruları cevaplamak için bir cebirsel ortam sağlar. Bıçaklar somut geometrik yoruma sahipken örneğin, dış cebir nesneleri net bir kurallar kümesine göre manipüle edilebilir.Dış cebir sadece k-bıçak olmayan nesneleri içerir, ancak k-bıçakların toplamı; Böyle bir toplam, bir k-vektör olarak adlandırılır. k-bıçaklar, bu vektörlerin basit çarıpımları olduğu için, cebir elemanları basit olarak adlandırılır. Herhangi bir k-vektörünün sıralaması bir toplamı olan basit elemanlarının küçük sayısı olarak tanımlanır. Bu cebirin herhangi iki ögesini çarpmak mantıklı olur böylece dış çarpım, tam bir dış cebire kadar uzanır. Bu çarpım ile donatılmış, dış cebir ki herhangi bir α, β, γ öğe için demektir birleşmeli cebir dir."k"-vektörlerinin "k"-çarpımları toplamı olduğu anlamına gelen, "k"-derecesi vardır. Farklı derecelerde ögeleri ile çarpılır olduğunda, polinomların derece çarpımı kadar derece ekleyebilirsiniz. Bu dış cebirin bir kademeli cebir olduğu anlamına gelir.Kesin bir anlamda, bir genel kurulum olarak bilinirliği ile verilen, dış cebir vektörleri üzerinde bir alternatif çarpımı destekleyen en büyük cebir ve kolayca, tensörler gibi bilinen diğer nesneler açısından da tanımlanabilir.Dış cebirin tanımı sadece geometrik vektörleri alanlar için mantıklı değildir, ama bu tür vektör alanları ve fonksiyonlar gibi diğer vektör gibi nesneler içinde mantıklıdır. Tam bir genellik içinde,dış cebir değişmeli halka üzerinde modüller için tanımlanmış, ve soyut cebirin ilgi duyulan diğer yapılar içinde olabilir. Bu dış cebir, diferansiyel geometriyi kullanan alanlarda temel olan diferansiyel formların cebiri gibi görünen en önemli uygulamalardan birini bulur ki bu genel yapılarından biridir. Diferansiyel formlar sonsuz paralelkenarlar (ve daha yüksek-boyutlu cisimler) sonsuz-küçük bölgelerini temsil eder, ve böylece calculus'den çizgi integrallere genelleştirilerek bir şekilde yüzeyler ve yüksek boyutlu manifoldlar üzerinde entegre edilebilir matematiksel nesnelerdir.Dış cebirin ayrıca cebirin kendisini uygun bir araç olarak oluşturan birçok cebirsel özellikleri vardır. Bir vektör alanı dış cebri birleşimli vektör uzaylarının lineer dönüşümleri ile belli bir şekilde uyumlu olduğu anlamına gelen, vektör uzaylar üzerinde funktorün bir türüdür.Dış cebirin kendi dual uzayı da bir çarpıma sahiptir, yani bir bicebir örneklerinden biridir ve bu ikili çarpım dış çarpım ile uyumludur. Bu ikili cebir tam  "V" çoklu doğrusal formları alternatif cebir ve dış cebir ve çift iç çarpım ile arasında verilen eşleştirmedir.
Kartezyen düzlem R birim vektörlerin bir çifti bir tabanları ile oluşan bir vektör uzayıdır

Varsayalımki

R içinde verilen vektörlerin bir çiftidir, bileşenlerin içinde yazılır. Burada bir teklik paralelkenar yüzlerinden ikisi olarak v ve w var.Paralelkenarın "bölge"si standard determinant formülü ile veriliyor:

v ve wnun dış çarpımı şimdi düşünülebilir:

Burada dış çarpım için dağılma kanunu ilk adımdır, ve son olarak dış çarpım olduğu gerçeğini de alternatif olarak kullanır, ve özel olarak .Bu son ifadedeki katsayının matrisin tam determinantı olduğunu unutmayın .Bu pozitif veya negatif olabilir gerçeğinin sezgisel anlamı vardır bu v ve wyi tanımlayan paralelkenarın köşeleri gibi bir saat yönünün tersine veya saat yönünde anlamına odaklı olabilir.İşaretli bölgenin mutlak değeri sıradan alanı ve işaret yönünü belirler: Bu tür bir alan paralelkenarın "işaretli bölgesi" olarak adlandırılır
Bu katsayı gerçeği işaretli bölgesi bir tesadüf değildir. Aslında, bir bir cebirsel yapı olarak bu alanı aksiyomatize çalıştığında dış çarpım işaretli bölge ile ilgili olması gerektiğini görmek nispeten kolaydır. Bir vektörleriv ve w, çifti tarafından belirlenen paralelkenarın işaretli bölgesi temsil etmesi durumunda ayrıntılı olarak, bu durumda A, aşağıdaki özelliklere uygun olmalıdır:


Son özelliği hariç tutulmak üzere, dış çarpım bölge olarak aynı resmi özellikleri sağlamaktadır.Belli bir anlamda, dış çarpım herhangi bir "standart" seçilmiş paralelkenarının karşılaştırılması gereken bir paralelkenarın alanını sağlayan nihai özelliği genelleştirmektedir (burada,e ve e tarafı ile). Diğer bir deyişle, iki boyutta çarpım dış bölgenin bir temele formülasyonunu sağlar. Diğer bir deyişle, iki boyutta dış çarpım bölgenin bir "taban bağımsız" formülasyonunu sağlar.

R içindeki vektörler için,dış cebir çapraz çarpım ve üçlü çarpım yakın ilişkilidir

ve

dir

Burada {e ∧ e, e ∧ e, e ∧ e} Üç boyutlu uzaydaki taban Λ(R)dır.Katsayılar yukarıdaki üç boyutlu vektörlerin çapraz çarpımının olağan tanımı içinde aynıdır,tek fark dış çarpım sıradan bir vektör değildir , bunun yerine 2-vektörüdür.

Üçüncü bir vektör getirerek

Üç vektörlerin dış çarpımı

Burada e ∧ e ∧ e tek boyutlu uzay için taban vektör Λ(R)dür.Skalar katsayısı üç vektörlerin üçlü çarpımıdır

Üç boyutlu her çapraz çarpım ve üçlü çarpım hem geometrik ve hem de cebirsel yorumları kabul ediyor.Çapraz çarpım bir vektör olarak karşılaştırılabilir,bu u ve v herikisine dik ve böylece büyüklük iki vektör ile belirlenen paralelkenarın bölgesine eşittir. Bu u ve v sütunları ile matrisin minörlerinin oluşturduğu vektör olarak karşılaştırılabilir,u, v nin üçlü çarpımları,ve w geometriksel bir (işaret) hacimdir. Cebrik olarak, bu u, v, ve w sütunlarının matrisinin determinantıdır.Üç boyutlarda dış çarpım benzer karşılaştırmalar için sağlanır. Aslında, ortogonal tabanın pozitif yönlendirilmiş varlığında, dış çarpımın yüksek boyutlara bu kavramları genelleştirilmiştir.
bir "K" alanı üzerinde bir "V" vektör uzayı üzerinde Λ("V") dış cebri formunun tüm ögeleri ile üretilen iki taraflı ideal "I" ile tensör cebirinin bölme cebiri olarak tanımlanıyor,böylece . Sembolik olarak,

Λ("V") nin ögelerinin iki dış çarpım ∧ şöyle tanımlanıyor

burada mod I olağan şekilde tensör çarpımı yapmak anlamına gelir ve o zaman sıfır olan ideal içinde tensör cebrinin her elemanı açıklanır.

Dış cebir "V" nin ögeleri üzerinde "karşıtlılığın",her için anlamı . şu varsayım için,eğer aşağıdaki dış çarpımlar "V "nin üzerinde ayrıca karşıtdeğişmeli ise

Dolayısıyla

Tersine,aşağıdaki bu çarpımın karşıtdeğişmeliliğinden şu çarpım karşıtlıdır,'K" olmadıkça karakteristik iki var.

Daha da geneli, eğer "x", "x", ..., "x" 'V" nin ögeleridir, ve σ [1...,"k"] tamsayılarının bir permutasyonu, ise

sgn(σ)'de permutasyonun işareti σ'dır. Yani bu yukarıda b işaretin fonksiyonudur

"V"nin "k"inci dış kuvveti,Λ("V") ifadesi, formunun ögeleri ile Λ("V") germenin vektör altuzayıdır

Eğer , ise α'nın bir "k"-vektör olduğu söyleniyor. Eğer, ayrıca, α,"V"nin "k" ögelerinin bir çarpımı olarak ifade edilebiliyorsa, çözünemez olduğu söyleniyor ise de Λ("V")'nın her ögesi çözünemez değildir. Örneğin,Rde aşağıdaki 2-vektör çözünemez değildir:

Eğer "V" nin boyutu "n" ve {"e"...,"e"} "V" 'nin bir taban kümesi ise
Λ("V") için bir tabandır. nedeni aşağıdadır: formun herhangi bir dış çarpımı
ardından her bir vektör "v" 'ler taban vektörleri "e"'nin bir doğrusal kombinasyonu olarak yazılabilir;Dış çarpımın çiftdoğrusallığı kullanılarak,bu taban vektörlerin dış çarpımları doğrusal bir kombinasyona genişletilebilir.Aynı taban vektörü birden fazla göründüğü herhangi bir dış çarpım sıfırdır;taban vektörleri doğru sırayla görünmüyor hangi bir dış çarpım iki taban vektörleri yer değiştirdiklerinde işaret değiştirerek, yeniden sıralanmış olabilir. Genel olarak, taban "k-"vektörlerinin sonuçtaki katsayıları baz "e"'nin açısından vektörler "v" tanıtım matrisinin minörleri olarak hesaplanabilir.

Λk (V) 'in boyutu taban elemanları sayılınca binom katsayısına eşittir:
Özel olarak, Λ("V") = {0} ,"k" > "n "için

dış cebirin herhangi ögesi "k"-vektörlerininbir toplamı olarak yazılabilir . Bu nedenle, bir vektör uzayı olarak dış cebir direkt toplamdır
(burada Λ("V") = "K" ve Λ("V") = "V") kuralı ile, ve bunun için bu boyut binom katsayılarının toplamına eşittir, bu 2dir

Eğer α ∈ Λ("V"), ise onu ayrıştırılamıyan "k"-vektörlerin bir doğrusal olarak α ile ifade etmek mümkündür:

burada her α ayrıştırılamaz, demekki

"k"-vektör'ün α'sı α.nın bir açılımı gibi "k"-vektörler çözünebilirlerin en küçüğüdür.Bu tensor rankının kavramına benzerdir.

Rank 2-vektörlerin çalışmaları içinde özellikle önemlidir .Bir 2-vektörün rankı α bir taban α'nın katsayılarının matrisinin rankı nın yarısı ile belirlenebilir.Böylece eğer "e" i "V "bir taban ,ise α teklik olarak ifade edilebilir

burada "a" = −"a" (katsayıların matrisi çarpık-simetriktir).Matris "a" nın rankı bunun için çifttir, ve form α'nın iki rankıdır.

karakteristik 0'da,2-vektör α rank "p" ancak ve ancak var

ve

bir kez daha çiftdoğrusallık çağrılırken,bir "p"-vektörü ile bir "k"-vektör dış çarpımı bir ("k"+"p")-vektördür. Sonuç olarak, bir önceki kısmın doğrudan toplam ayrışması şöyle

bir kademeli cebirin ek bir yapısı dış cebir verir. sembolik olarak

Ayrıca, dış çarpım serilenir karşıtdeğişmelidir, bunun anlamı eğer α ∈ Λ("V") ve β ∈ Λ("V"),ise

Dış cebir, kademeli yapı çalışmalarının yanı sıra, Bu tür dış cebir üzerinde bir kademeli modulü olanlar gibi dış cebirlerin üzerinde çalışmalar ek kademeli yapıları, (zaten kendi tonlamasını taşıyan bir modül).

Diyelimki "V" "K" alanı üzerinde bir vektör uzayıdır. Resmi olmayan, Λ("V") içinde çarpım is performed by manipulating symbols ve imposing bir dağılma kanunu, bir birleşme kanunu, ve "v" ∈ "V" için "v" ∧ "v" = 0 denkliği kullanılıyor. Resmi olarak, Λ("V") "daha genel" cebir içinde çarpım için bu kural tutar,"V'"nin üzerinde karşılıklı çarpım ile "V" içeren herhangi birimsel