sıfır vektörü u ile eş yönlü olan birim vektörü u
Mutlak u,u vektörünün normunu (veya uzunluğunu) verir. Bu normalize vektör bazen birim vektörün eş anlamı olarak da kullanılır.
Bir kaynağın veya bir ilkenin elementleri birim vektör olmak üzere seçilebilir. Uzaydaki her vektör birim vektörün linear bileşenleri olarak yazılabilir. En çok rastlanılan kaynaklar Kartezyen,polar ve küresel koordinatlarıdır. Her biri,koordinat sisteminin simetrisine göre farklı birim vektörleri kullanır. Bu sistemler çok farklı içeriklere sahip oldukları için burada kullanıldıklarından daha farklı bir kullanıma rastalamak pek yaygın değildir.
Tanım olarak, Öklid geometrisi’nde iki birim vektörün nokta çarpımı basitçe aralarındaki açının cosinüsüdür. Üç boyutlu Öklid geometrisi’nde ise, iki dikey birim vektörün çapraz çarpımı diğer bir birim vektöre eşittir.
Birim vektörler, Kartezyen koordinat sisteminin eksenlerini ifade etmek için de kullanılabilir. Örneğin, üç boyutlu x,y,z eksenlerinde eş yönlü birim vektörün Kartezyen koordinat sistemi;

Bazen Versor’un koordinat sistemi olarak da bahsedilir.
Genellikle,standart birim vektör işaretlerinden( ) farklı olarak normal vektör işaretleri (i ya da ) ile gösterilirler.Birçok yerde i,j i, j, k, ve( formula_3 formula_4 ve formula_5)3D Kartezyen koordinat sisteminin versorları olarak varsayılabilir. Ayrıca bu işaretler formula_6, formula_7, formula_8, or formula_9, hat, şapkalı veya şapkasız olarak kullanılır.Kaynaklarda özellikle i,j,k başka bir niceliğe sahip olan bir karışıklığa sebep olabilir(örneğin,i,j,k gibi içerik sembolleri bir takımın elementleri,sırası veya çeşitlilik dizisi olarak tanımlanabilir).
Uzaydaki bir birim vektör i,j,k ‘nın çizgisel kombinasyonları olarak,kartezyen sembolleri ile ifade edildiğinde,bu üç bileşen kosinüs fonksiyonun yönünü olarak tanımlanabilr.her bir bileşenin değeri ayrı ayrı vektörle birim vektörün arasında oluşturdukları açının kosinüsüne eşittir.düzbir çizginin,çizginin bir kısmının,açısal eksenlerinin veya açısal eksenlerin bir parçasının tanımlamak için kullanılan methodlardan bir tanesidir.
Silindirsel simetri için uygun üç dikey birim vektör vardır.Bunlar;
formula_10 (ayrıca bunlar da kullanılabilir formula_11 ya da formula_12), noktanın simetri ekseninden olan uzaklığını gösterir.
formula_13,saat yönünü tersinde hareket ederse,hareket yönünün gözlemlenebildiğine karşılık gelmektedir.
formula_14,simetri ekseninin yönüne karşılık gelir.
Bunlar kartezyenin temeli olan formula_15, formula_16, formula_17 ile ilişkilendirilir.

formula_10 veformula_13 formula_25’nin fonksiyonları olduğunu belirtmek önemlidir ve sabit bir yönleri yoktur. Silindirik koordinatlarda türevleyerek ve integralini alarak,bu vektörleri çalıştırabiliriz.Daha eksiksiz bir açıklama için ,Jacobian matrix ‘e bakınız.fonksiyonunformula_26 türevleri şunlardır;

Küresel bir simetriye uygun birim vektörleri: formula_30, orjinden artan radyal uzunluğun yönü formula_31 "x"-"y" düzleminde saat yönünün tersi yönde gelen pozitif x ekseni artmaktadır;ve formula_32, z ekseni yönündeki pozitif gelen açı artmaktadır .Bozulmayı,çakışıklığı en aza indirmek için,polar açı genellikle formula_33 alınır.Sıklıkla formula_13 ve formula_32gösterilen,küresel koordinatlarda yazılmış herhangi bir düzen üçlü bağlamına dikkat etmek özellikle önemlidir.Amerikan fizik kongresinde de kullanılmıştır.Bu azimutal açı yaparak formula_36 silindir koordinatlar da bunun aynısı olarak tanımlanır.Kartezyen ilişkileri şunlardır:

Küresel birim vektörler hem formula_36 hem formula_41’a bağlıdır ve dolayısıyla beş tane sıfır olmayan türevleri vardır.Daha eksiksiz bir açıklama için Jakobien ‘ bakınız.Sıfır olmayan türevleri ;

Fizik ve Geometri boyunca meydana gelen birim vektörlerin ortak genel temaları:

Genellikle,koordinat sistemi benzersiz bir vektör numarası kullanılarak belirtilebilir.Bağımsız birim vektörleriformula_47 uzayın serbestlik derecesine eşittir.Sıradan 3 uzayı için;bu vektörler formula_48 ifade edilebilir.Bu sistemi tanımlamak ve ortonormal olmak için her zaman uygun olan denklemler;
formula_49

formula_50
δ Kronecker delta’dır("i" = "j" dir ve sıfırdan farklıdır) ve formula_51 Levi-Civita symbolüdür(permütasyon düzenlerinin bir tanesidir "ijk' ve eksi sıralı permütasyonu "kji".





GQ

GQ (önceden Gentlemen's Quarterly), ABD'de erkekler için yayımlanan aylık bir dergi. Moda, tarz, kültür, yiyecek, sinema, spor, cinsellik, müzik, seyahat, teknoloji ve kitaplar ile ilgili konulara odaklanmaktadır. ABD dışında 18 ülkede daha yayımlanmaktadır.











Rhythmic (liste)

Rhythmic, (ayrıca Rhythmic Airplay, Rhythmic Top 40 ve CHR/Rhythmic olarak da bilinir), "Billboard" tarafından rhythmic radyo istasyonlarındaki çalınma sayıları esas alınarak oluşturulan haftalık bir liste.

15 hafta
14 hafta
13 hafta
12 hafta
11 hafta







Green teoremi

Matematikte, Green kuramı basit, kapalı bir "C" eğrisi etrafındaki çizgi integrali ile "C" eğrisinin sınırlandırdığı "D" düzlem bölgesi üzerindeki çift katlı integral arasındaki ilişkiyi verir. Teorem adını matematikçi George Green’den almıştır ve daha genel hâli olan Stokes teoreminin iki boyuttaki özel durumudur.

"C" düzlemde saat yönünün tersi yönünde, parçalı olarak düzgün, basit ve kapalı bir eğri olsun, ve "D" de "C" eğrisinin sınırlandırdığı bölge olsun. Eğer "L" ve "M" ("x", "y")’ye bağlı, "D"’yi de içeren açık bir bölgede tanımlanmış ve aynı bölgede sürekli kısmî türevlere sahip fonksiyonlar ise, o zaman;
deriz ve burada integrasyon yolu "C" saat yönünün tersi yönündedir.

Fizikte, Green teoremi çoğunlukla iki boyutlu akış integrallerinin çözümünde kullanılır. Akış integrallerinde, bir hacim içinde bulunan herhangi bir noktadaki dışarıya akan akışkan toplamı çevreleyen alan etrafındaki toplam dışarıya akana eşittir. Düzlem geometrisinde, özellikle de alan incelemede, Green teoremi alan hesaplamak ve sadece çevre üzerinde integrasyon ile düzlem şekillerinin ağırlık merkezlerinin bulunmasında kullanılabilir.

Aşağıdaki ispat basitleştirilmiş "D" bölgesi için teoremin yarısının ispatıdır. "D" bölgesi 1. tip bir bölge olup, "D" bölgesinde "C" ve "C" dikey doğruları bulunmaktadır. (muhtemelen sıfır uzunlukta). Teoremin diğer yarısı için de benzer bir ispat vardır. Bu durumda "D" 2. tip bir bölge olup, "D" bölgesinde "C" ve "C" yatay doğruları bulunmaktadır. (gene muhtemelen sıfır uzunlukta). Bu iki kısmı birleştirerek, teorem 3. tip (hem 1. tip hem de 2. tip olan bölgeler olarak tanımlanmışlardır) bölgeler için ispatlanabilir. Daha sonra, "D" bölgesi 3. tip bölgeler kümesine ayrıştırılarak, özel hâlden genel hâle geçilebilir.

Eğer;

ve

eşitliklerinin doğru olduğunu gösterebilirsek, Green teoremi D bölgesi için türetilebilir. (1) denklemini 1. tip bölgeler için, ve (2) denklemini 2. tip bölgeler için ispatlayabiliriz. Green teoremi de 3. tip bölgeler için türetilebilir.

Varsayalım ki "D" 1. tip bir bölge ve böylelikle aşağıdaki şekilde tanımlanabilir, sağda resmedildiği gibi,

Burada "g" ve "g" ["a", "b"] aralığı üzerinde sürekli fonksiyonlardır. (1) denklemindeki çift katlı integrali hesaplayalım:

Şimdi (1) denklemindeki çizgi integralini hesaplayalım. "C" eğrisi 4 eğrinin birleşimi şeklinde yeniden yazılabilir: "C", "C", "C", "C".

"C" için "x" = "x", "y" = "g"("x"), "a" ≤ "x" ≤ "b" parametrik denklemleri kullanılabilir. Böylece,

"C" için "x" = "x", "y" = "g"("x"), "a" ≤ "x" ≤ "b" parametrik denklemleri kullanılabilir. Böylece,

"C" eğrisi saat yönünün tersi yönünde olduğundan ve "C" "b" noktasından "a" noktasına saat yönünde gittiğinden, "C" üzerindeki integral eksi ile çarpılmıştır. "C" ve "C" üzerinde "x" sabit kalır, ve şu anlama gelir;

Bu nedenle,

(3) ile (4) denklemlerini bir araya getirerek (1) denklemini 1. tip bölgeler için elde edebiliriz. Benzer bir yaklaşımla (2) denklemini 2. tip bölgeler için elde edebiliriz. Bu ikisini birleştirerek, 3. tip bölgeler için olan sonucu elde ederiz.
"xy"-düzlemindeki bir bölgeye uygulandığında, Green teoremi Kelvin-Stokes teoreminin özel bir durumudur.

İki boyutlu alana her zaman sıfıra eşit olan "z" bileşenini ekleyerek üç boyutlu alanı elde edebiliriz. F için vektör-değerli fonksiyon formula_10’i yazalım. Green teoreminin sol tarafıyla başlayalım:

Kelvin–Stokes Teoremi:

formula_13 yüzeyi formula_14 düzleminde birim normal vektörleri formula_15 yukarı yönde olan(pozitif "z" ekseni yönünde) bir bölgedir. Birim normallerinin pozitif "z" ekseni yönünde olmasının nedeni her iki teoremin tanımlanırının "pozitif yönlendirme" gerektirmesindendir.

İntegralin içerisindeki integral şuna dönüşür;
Böylelikle Green teoremi’nin sağ tarafını elde ederiz

Sadece iki boyutlu vektör alanlarını düşünürsek ,
Green teoremi diverjans teoremi’nin iki boyutlu hâline denktir:
Burada formula_18 iki boyutlu vektör alanı formula_19’te diverjansı ifade eder, ve formula_15 sınır üzerinde dışarı-yöndeki birim normal vektörüdür.

Bunu anlamak için, birim normal vektörü olan formula_15’ünü eşitliğin sağ tarafında düşünelim. Green teoremi’nde formula_22 vektörü eğri boyunca teğetsel yönde bir vektör olduğundan, ve C eğrisi sınır boyunca pozitif yönde(yani saat yönünün tersi yönünde) olan bir eğri olduğundan, dışarı yönlü bir normal vektörü bu vektörün 90° sağını gösteren bir vektör olur; örnek olarak formula_23 vektörü seçilebilir. Bu vektörün uzunluğu ds ile gösterilirse; formula_24 Böylece; formula_25

Green teoremi’nin sol tarafıyla başlayalım:
İki-boyutlu diverjans teoremini formula_27 ile uygulayarak Green teoremi’nin sağ tarafını elde ederiz.

Green teoremi çizgi integralleri tarafından alan hesaplama için kullanılabilir. Aşağıdaki ifade D’nin alanını verir:

L’yi ve M’yi aşağıdaki gibi seçmemiz şartıyla;

Alan aşağıdaki ifade ile bulunabilir:

Ayrıca aşağıdaki formüller de D’nin alanını veren diğer olası formüllerdir:




Ultramikrobakteri

Ultramikrobakteri, tipik bakteriyel hücrelere göre önemli ölçüde daha küçük olan, çapı 0,3-0,2 mikrometre olan bakterilerdir. Bu terim, ilk kez çapı 0.3 mikrometreden daha az olan ve deniz suyu