"rların katsayılarını sıfırlayacak şekilde seçilirse, karşılaştığımız çarpan problem sorunu çözülür ve kısıtlar ile bağlılık problemini içsel bir şekilde ifade etmiş oluruz. Böylece bağımsız olmayan genelleştirilmiş koordinatlar için uygun çarpanlarla (kısıtları ifade eden çarpanlar) hareket denklemini bulabiliriz.

Eğer bir korunumlu kuvvetin gradyanı sisteme bir potansiyel enerji "V" bazında etkiyorsa, ve bu V sadece rların birer fonksiyonu ise Lagrangian "L" = "T" − "V"nin denklemlere konulması ile;

elde edilir. Newton’un 2. Yasasının bu Lagrangian formunda, kinetik enerjinin türevi(negatif olarak denklemde yer bulmakta); "k" parçacığına etkiyen toplam kuvvete; potansiyel enerjilerin türevi de kısıtlayıcı olmayan kuvvetlere karşılık gelmektedir. Yani;

Ve bunu yukarıdaki temel denkleme koyduğumuzda, kısıtlayıcı kuvvetleri şöyle buluruz;

ve en temel denklemimize dönersek; birinci terim (pozisyona göre türevlenmiş) momentumun türevini ifade ederken diğer terimler ise kuvvetleri ifade eder ve sistemi çözmemizi sağlar. Burada hem kısıtlayıcı (ve belki sistemimizden boş yere enerji çekecek) kuvvetleri hem de diğer kuvvetleri ayrı olarak bulmamız da önemlidir. Bu sayede sistem optimizasyonu da yapılabilir.

Bazı durumlarda; Lagrangian, hareket denklemlerini çözmeye gerek kalmadan bize sistem hakkında bilgi verebilir. Bunu Lagrange’in ikinci tip denklemleri sağlar.

Bir sistem için Lagrangian fonksiyonu tekil değildir. Zira, sistemlerin özelliklerine göre de Lagrangian fonksiyonu farklı şekillerde tanımlanmalıdır. Lagrangian "L" sıfır olmayan bir çarpan "a" ile çarpılabilir ve rastgele bir "b" sabiti ile toplanabilir. Dolayısıyla yeni Lagrangian "aL" + "b" olacaktır ve bu fonksiyon, "L" ile aynı hareket tanımını gerçekleştirmektedir. Aynı zamanda Lagrangian, genelleştirilmiş koordinatlardan oluşan fonksiyonların kısmi olmayan, normal türevlerinden de etkilenmez.

Burada "L"′ ve "L" tamamen aynı hareketi tanımlarlar.

Lagrangian’ın tanımlandığı genelleştirilmiş koordinat setini yani "q"yu başka bir genelleştirilmiş koordinat seti "s"e çevirmek için kullanılacak [[nokta değişimi]] q = q(s, "t") uygulanırsa yeni Lagrangian "L"′ (yeni koordinat setinin bir fonksiyonu);

şeklinde ifade edilir. Ayrıca, [[zincir kuralı]] kısmi diferansiyellere uygulanırsa, Lagrange denklemlerinin bu tip bir noktasal dönüşüm altında değişmez olduğu görülür;

Bu sayede birçok denklem daha basit çalışabileceğimiz koordinat sistemlerine dönüştürülerek; hesaplama süresi azaltılabilir. Bu prosedür, [[Hamilton mekaniği]]ndeki [[kanonik dönüşümler]] ile aynı mantığı içerir. Hamilton
fonksiyonları da benzer şekilde, kanonik dönüşümlerden etkilenmezler.

Lagrangian’ın başka bir önemli özelliği ise, tanımladığı sistem içinde; dinamik davranış boyunca [[Korunum yasası|korunan özellikleri]] ifade etmesidir. Örneğin genelleştirilmiş momentum, "kanonik olarak genelleştirilmiş" koordinat "q"a eşleniktir ve şu şekilde tanımlanır;

Eğer, Lagrangian "L" "q"a bağlı değilse Euler-Lagrange denklemleri bize genelleştirilmiş momentumun "korunan" bir değer olduğunu söyler. Çünkü zamana bağlı türevi sıfırdır. Hareket de zamanın değişimiyle gerçekleştiğine göre momentumun hareket boyunca sabit kalması gerektiği sonucuna ulaşırız;

Bu, [[Noether teoremi]]nin özel bir halidir. Bu tip koordinatlar "devrî" veya "ihmal" edilebilir koordinatlar olarak tanımlanır. Örneğin sistem şeklinde bir Lagrangian’a sahip olabilir. "r" ve "z" burada doğru boyuncaki uzunluklar, "s" eğrisel uzunluk, " θ" ve "φ" ise açılardır. Lagrangian’da "z","s" ve "φ"nin bulunmadığına dikkat etmek gerekir. Ancak bu konumların hızları bulunmaktadır. Bu nedenle momentum değerleri;

olarak bulunur ve bunların hepsi korunan değerlerdir. Bu genelleştirilmiş momentumların birimleri tanımlandıkları koordinatlara bağlıdır. Örneğin "p" yönündeki doğrusal hareket momentumu, "p"de "s" boyuncaki doğrusal momentum, "p" ise ölçüldüğü düzlemdeki açısal momentumu ifade eder. Ancak karmaşık hareketlere sahip olan sistemlerde bu korunumlar hareketi kompleksleştirir.

Lagrangian’ın zamana göre [[toplam diferansiyeli]] alındığında çok genel bir sonuç elde ederiz;

Eğer bütün Lagrangian zamandan harici olarak bağımsız ise, Lagrangian’ın zamana göre kısmî türevi sıfırdır.() Dolayısıyla parantez içindeki terimi şöyle tanımlayabiliriz;

Bu terim, bütün hareket boyunca sabit kalmalıdır. Buradan da kinetik enerjinin genelleştirilmiş koordinatlara bağlı ikinci dereceden [[homojen fonksiyon]] olduğu sonucuna varabiliriz. Ayrıca, ek olarak potansiyel "V" de sadece genelleştirilmiş koordinatların birer fonksiyonu olup hızlardan bağımsız ise, direkt hesaplamayla veya Euler’in homojen fonksiyonlar için geliştirdiği teoremler ile;

sonucuna varılır. Bu durumlar altında, "E" sabiti şöyle tanımlanabilir;

Bu ise sistemin "[[Enerjinin Korunumu|toplam korunan enerjisine]]" karşılık gerekebilir. Sistem değiştikçe ve dinamik davranış gösterdikçe kinetik ve potansiyel enerjiler değişebilir ancak sistemin hareketi üzerindeki kısıt; toplam enerjisinin sıfır olmasıdır. Bu özellik hesaplamaları oldukça kolaylaştırmaktadır çünkü enerji yani E sanki sabit bir integrasyondaki herhangi bir sabitmiş gibi davranır. Ayrıca bu durumda, enerji ilişkilerinden hızların da integralini almak mümkündür. Ve bu, koordinatlar için yapılacak çözümlere kolaylık sağlar. İki durumda da (kinetik enerji veya hız) zamana bağlı olabilir; bu durumda simetri bozulur ve enerji korunmaz. Burada dikkat edilmesi gereken başka bir konu ise, [[Hamiltonian]]’ın Lagrangian ile [[Legendre dönüşümü]]ne bağlı olan ilişkisinden bu sonuç yine türetilebilir;

Aynı durumlar geçerli ise, Hamilton fonksiyonu sistemin korunan toplam enerjisine eşittir.

Eğer potansiyel enerji, genelleştirilmiş koordinatların zamandan bağımsız [[homojen fonksiyon]]u ise ve her pozisyon vektörü sıfır olmayan bir sabit ile büyütülürse, yani;

Ve zaman; bir beta faktörü ile büyütülürse, "t"′ = "βt", bu durumda hızlar vda "α"/"β" faktörü ile büyümüş olur(kinetik enerji de bunun karesi kadar). Tüm Lagrangian aslında aynı faktör ile büyütülür;

Uzunluklar ve zaman büyütüldüğü için, sistem parçacıklarının islediği yollar geometrik olarak benzer ama büyüklük olarak farklıdır. "t" zamanda alınmış "l" uzunluğu eğer orijinal yol ise, bu dönüşümlerle artık yeni bir "l′" olacak, zaman ise "t′" olacaktır ve bunlar şu şekilde tanımlanır;

Verilen bir sistem için iki alt sistem "A" ve "B" eğer ilişkili değilse sistemin toplam Lagrangian’ı;" and "L" for the subsystems:

olarak ifade edilir. Ancak parçacıklar ilişkiliyse bu mümkün değildir. Bazı durumlarda sistemin toplam Lagrangian’ını alt parçaların Lagrangian’ları ile ifade etmek çok işe yarar. Bazı daha genel sistemlerde ise ilişkinin olmadığı Lagrangianlar ile ilişki hakkında bilgi taşıyan başka bir Lagrangian "L" ile toplayarak sistemi modellemek mümkündür.

Özellikle mekanik ilişkilerin bulunduğu sistemlerde bu doğrusal özellik çok kullanışlıdır. Bu uygulama, fiziksel olarak da etkileşim göstermeyen Lagrangian’ların kinetik enerjiyle ilişkili; etkileşim içinde olanların ise potansiyel enerjiye karşılık geleceği gibi gerçeklenebilir. Önemsenmeyen etkileşimler için Lab sıfır alınabilir. Burada, potansiyel enerjinin daha önceki denklemlerde, sistemlerin koordinatlar boyunca nasıl kısıtlandıkları hakkında bilgi verirken kinetik enerjinin hareket hakkında bilgi verdiği konusu da tekrarlanmış oluyor. Elbette, iki parçacıklı bir sistem için tanımlanan bu yöntem, çok parçacıklı sistemlere genelleştirilebilir. Bu durumda her parçacık arası ilişkilerin ifade edilmesi gerekir.

Hamiltonian, Lagrangian’a [[Legendre dönüşümü]] uygulanarak bulunur. Dolayısıyla, orijinal değişkenler ile kanonik olarak eşlenik yeni değişkenler elde edilmiş olur. Dolayısıyla Hamilton mekaniğinde değişken sayısı ve diferansiyel denklem sayısı iki katına çıkar ancak dereceler bire indirgenir. Bu, durum uzayı ifadeleri ile de esasen oldukça paraleldir. Hamilton fonksiyonu aynı Lagrangian fonksiyonunun Lagrange denklemleriyle olan ilişkisi gibi [[Hamilton mekaniği]]nin temelidir. Klasik görüşe göre zaman bağımsız bir değişkendir ve hız ile pozisyon zamana bağlıdır. Bu değişkenler ise genelde durum-faz uzayında incelenir ve çevrimler, dengeler ve stabilite bu şekilde incelenir.

[[Analitik Mekanik#Routhian Mekaniği|Routhian mekaniği]]; Lagrange ve Hamilton mekaniklerinin bir hibrit formülasyonudur. Ancak çevrimsel koordinatlar haricinde hesaplama açısından pek etkili değildir.

Circa 1963’de Lagrangian fonksiyonlarının mühendislikte kullanımını önermiş ancak birkaç yıl sonra, [[dinamik sistem]]lerdeki üstünlüklerine rağmen mühendislik müfredatlarından çıkarılarak teorik dinamik alanına kaydırılmıştır. Zira, Lagrangian sadece makina mühendisliğinde değil, Elektrik Elektronik Mühendisliği; finans, ekonomi, biyoloji ve birçok diferansiyel değişimin olduğu alanda kendine yer bulmuştur. Zira bu alanlarda birçok yol-integral ifadeleri ve parabolik kısmî diferansiyel denklemler bulunmaktadır.

Lagrangian fonksiyonları birçok mühendislik problemine hızlı, yazılıma uygun ve rahat çözümler sunmaktadır. Ayrıca, normal mekanikle formülasyonu bile çok zor olan sistemleri hem felsefik olarak hem de dinamik olarak daha rahat formüle etmemizi sağlar. [[Robotik]], [[akışkanlar mekaniği]]nde akış modelleri, ([[Akışın Euler ve Lagrange spesifikasyonları]]), [[sinyal işleme]], [[nanoteknoloji]], [[süper bilgisayar]]lar, [[kimya mühendisliği]], [[inşaat mühendisliği]] gibi alanlarda kendine yer bulur. Lagrangian gibi enerji fonksiyonları özellikle "akış" kavramının etkin olduğu diferansiyel denklemlerde kendine yer bulur. Özellikle doğrusal olmayan sistemlerde akış konsepti önemlidir ve bunları çözmek için geliştirilen [[Lyapunov fonksiyonları]] da enerji temellidir.




[[Kategori:Lagrange mekaniği]]
[[Kategori:Temel fizik kavramları]]
[[Kategori:Dinamik sistemler]]
[[Kategori:Matematiksel ve kantitatif metodlar (ekonomi)]]



Sen Allah'ın Bir Lutfusun

Ebru Gündeş bu albümünü Bonus Müzik Prod. aracılığıyla 1998 yılınd