erji içinde aşağı ya da yukarı kaydırması (dolayısıyla g(E)yi kaydırması) gerekir.

Bir katıda, atomların sonsuz enerji seviyesi olması gibi, sonsuz sayıda izinli bant vardır. Ancak, bantların çoğunun çok yüksek enerjisi vardır ve genelde sıradan durumlarda dikkate alınmazlar. Tam aksine çekirdek orbitalleri ile ilişkilendirilen (1s elektronları gibi) çok düşük enerji bantları vardır. Bu düşük enejili çekirdek bantları da her zaman elektronla dolu oldukları ve bu yüzden etkisiz oldukları için genelde dikkate alınmazlar.
En önemli bant ve bant aralıkları—elektronik ve optoelektronikle ilgili olanlar—Fermi seviyesi yakınında olanlardır. Bu bant ve bant aralıklarına maddeye bağlı olarak özel isimler verilmiştir:

“Ansatz” periyodik kristal örgüdeki elektron dalgalarını, Bloch dalgalarını genellikle ışığın kırılmasının dinamik teorisi ile işlenerek kullanılmasıyla çözüldüğü bir özel durumdur. Her kristal, Bravais örgüsü ile karakterize edilebilen periyodik bir yapıdır, ve her Bravais örgüsü için üç ters örgü vektörü (b1,b2,b3) içeren bir set ile periyodikliği kapsayan bir ters örgüye karar verilebilir. Şimdi, doğrudan örgü ile aynı periyodikliği paylaşan herhangi bir periyodik potansiyel V(r), sadece sıfır olmayan bileşenlerinin ters örgü vektörleri ile ilişkilendirildiği Fourier serisine genişletilebilir:

 K = m1b1 + m2b2 + m3b3 herhangi tam sayıdan oluşan (m1,m2,m3) seti için.

Bu teoriden yola çıkılarak belirli bir maddenin bant yapısını tahmin etmeye yönelik girişim yapılabilir, ancak elektronik yapı hesaplamaları için başlangıçtan beri olan çoğu metotlar, gözlenmiş bant boşuluğunu tahmin etmede başarısızdır.

Bu yaklaşımda elektronlar arası etkileşimler tamamen yok sayılmıştır. Aynı zamanda bu yaklaşımda Bloch teoremi kullanılmasına izin verilmiştir. Bu da periyodik potansiyelde olan elektronların dalga fonksiyonları ve dalga fonksiyonlarında komşu ters örgü vektörleri arasında sabit faz değişimine kadar periyodik olan enerjileri olduğunu gösterir. Periyodikliğin sonuçları matematiksel olarak aşağıdaki Bloch dalga fonksiyonunda gösterilmiştir:

formula_6 kristal ögü üstünde periyodiktir, yani,

Burada n göstergesi n’inci enerji bandını gösterirken, k dalga fonksiyonu elektronun hareket yönüyle, r kristaldeki pozisyon, R ise atom yeri ile alakalıdır.

Bu model metaller gibi komşu atomları küçük olan maddelerde çok daha iyi işler. Bu tip maddelerde atomik orbitallerin örtüşmesi ve komşu atomlardaki potansiyel göreceli olarak büyüktür. Bu durumda elektronun dalga fonksiyonuna (modifiye edilmiş) düzlemsel dalga ile yaklaşılabilir. Aluminyum gibi metallerin bant yapısı boş örgü yaklaşımına daha yakındır.

Kısmen serbest elektron yaklaşımına tamamen ters olarak, kristaldeki elektronların bileşen atomların toplanması gibi davranmasıdır. Bu sıkı bağlanma modeki zamana bağlı tek elekton Schrödinger dekleminin ,çözümüne atomik orbitallerin [5] lineer kombinasyonu ile yaklaşılabileceğini varsayar.

katsayıları çözüme en iyi yaklaşımı vermek için seçilmiştir. n atomik enerji seviyesini ve R atom yeri’ni ifade eder. Daha doğru bir yaklaşım, bu fikrin Wannier fonksiyonuna uygulanmasıyla yapılır:

formula_10 Bloch dagasının periyodik kısmı ve integral Brillouin alanı üzerindedir. Burada n kristaldeki n’inci enerji bantını gösterir. Wannier fonksiyonları atomik orbitallerdeki gibi, atom yerinin yanında yer alır, fakat Bloch fonksiyonlarıyla tanımlandığında kristal potansiyele dayalı çözümlerle daha kesin iişkilendirilirler. Farklı atom yerlerindeki R Wannier fonksiyonları ortogonaldir. Wannier fonksiyonları n’inci enerji seviyesi için Schrödinger çözümü oluşturmada kullanılabilir:

Bu model atomik orbitallerle kaomşu aromlar arasında sınırlı örtüşme olan maddelerde iyi işler. Örneğin Si, GaAs, SiO2 ve elmas gibi maddelerdeki bant yapıları sp3 orbitallerine dayandırılan sıkı bağlanma Hamiltonian’ı ile çok iyi bir biçimde tanımlanabilir. Geçiş metallerinde karışık Sıkı Bağlanma(SB)- Kısmen Serbest Elektron(KSE) modelleri daha geniş KSE iletim bantları ve daha dar gömülü SB d-bantlarını tamınlamada kullanılır. Wannier fonksiyonlarının atomik orbital kısmının radyal fonksiyonları psödopotansiyel metotlarla kolayca hesaplanır. KSE, SB veya birleşimi KSE-SB bant yapıları hesaplamaları ve bazen psödopotansiyel metotlara dayalı dalga fonksiyonlarına genişletilmiş halleri, sıklıkla daha ileri hesaplamaların ekonomik başlangıç noktası olarak kullanılır.

Bu yaklaşımın en basit formu örtüşmeyen kürelerin atomik pozisyonda toplanmasıdır(kek kalıbı olarak anılır). Bu bölgelerin içinde bir elektron tarafından deneyimlenen potansiyel, çekirdeğe göre küresel simetriye yakındır. Kalan ara bölgedeki görülen potansiyel yaklaşık olarak sabittir. Potansiyelin atom-merkezli küre ve ara bölge arasında sürekli olmasına zorlanır.

Korringa, Kohn ve Rostocker tarafından değişken uygulamalar önerilmiştir, ve sıklıkla bunşar KKR model olarak adlandırılır.

En son fizik literatüründe, elektronik yapıların ve bant grafiklerinin büyük çoğunluğu yoğunluk-fonksiyonel teorisi (YFT)-model değil teori olarak adlandırılır- kullanılarak hesaplanır.
YFT-hesaplamalı bantlar birçok durumda deneysel olarak ölçülmüş, örneğin açı-çözümlenmeli ışılyayım spektroskopisi(ARPES) ile, bantlarla uygunluk sağlar. Özellikle bantın şekli YFT ile genel olarak çok iyi üretilir. Ama aynı zamanda YFT bantlarında deney sonuçlarıyla karşılaştırıldığında sistematik hatalar vardır. YFT özellikle yalıtkan ve yarı iletkenlerdeki bant boşluklarını yaklaşık 30-40% kadar daha az tahmin eder.

Genel olarak YFT’nin sadece temel hal özelliklerini (örn. toplam enerji, atomik yapı vb.) tahmin eden bir teori olduğuna, ve uyarılmış hal özelliklerine bu teori belirlenemeyeceğine inanılır. Bu bir kavram yanılgısıdır. Bu Hohenburg-Kohn teoreminin temelidir. Ancak pratikte bir maddedeki temel halde uyarılmış hale geçen elektronların enerjilerini haritalayan bilinen bir işlevsel yoktur. Böylece, literatürde YFT bant grafiği olarak geçen aslında YFT Kohn-Sham enerjilerinin temsilidir (yani; hiç fiziksel yorumlaması olmayan, hayali etkileşimsiz bir sistemin enerjileri, Kohn-Sham sistemi). Kohn-Sham elektronik yapısı gerçekle, bir sistemin yalancı parçacıklı elektronik yapısı ile karıştırılmamalıdır.

Dolayısıyla, prensipte, YFT’ye dayalı Kohn-Sham bir bant teorisi değildir, yani bant grafikleri ve bantların hesaplanması için uygun bir teori değildir. Pratikte genelde zor olsa da, temelde zamana bağlı YFT gerçek bant yapısını hesaplamada kullanılabilir. Ünlü bir yaklaşım ise Hartree-Fock exact exchange’in bir kısmını içeren hibrit fonksiyonlarının kullanılmasıdır; bu, yarıiletkenlerde tahmin edilen bant boşluklarının önemli ölçüde gelişmesidir, fakat metallerde ve bant aralığı geniş maddelerde daha az güvenilir sonuçlar verir.

Elektron- elektron etkileşimi çok kütleli etkisini içeren bantları hesaplamak için Green’in fonksiyon metodu denilen yola başvurulabilir. Hatta bir sistemin Green fonksiyonunu bilmek, sistemin hem temel (toplam enerji) hem de uyarılmış halinin gözlenebilmesini sağlar. Green foksiyonunun kutupları, katıların bantı, yalancı parçacık enerjileridir. Green fonksiyonu, sistemin kendi enejisi biliniyorsa Dyson denklemini çözerek hesaplanabilir. Katılar gibi gerçek sistemler için, kendi enejileri çok kompleks bir miktardır ve genellikle problemi çözmek için varsayımlara ihtiyaç vardır. Bu varsayımlardan biri GW yaklaşımıdır, öz enerjiyi Σ = GW matematiksel formunda alır; G Green fonksiyonu, W ise dinamik olarak gösterilen etkileşimdir. Bu yaklaşım bant grafikleri hesaplamasını (ve ayrıca spektral fonksiyonlar gibi ötesinde miktarlar) ele aldığında daha geçeri hale gelir ve aynı zamanda ab inito yolu ile tamamen formülize edilebilir. GW yaklaşımı yalıtkanların ve yarı iletkenlerin bant boşluklarını deneylerle uygun olarak sağlar ve böylece sistematik YFT yetersiz tahminini düzeltir.

Kısmen serbest elektron yaklaşımı elektron bant yapısının çoğu özelliğini tanımlayabilse de, bu teorinin bir sonucu, her birim hücre için aynı sayıda elektron sayısını tahmin etmesidir. Eğer elektron sayıları tek ise, her birim hücrede bir çiftleşmemiş elektron bulunmasını bekleriz, ve böylece değerlik bandı tam olarak dolmamış olur ve maddeyi iletken yapar. Ancak CoO gibi maddeler, bu sonuca doğrudan zıt olarak, birim hücrelerinde tek sayıda elektron olmasına rağmen yalıtkandır. Bu tip maddeler Mott yalıtkanı olarak bilinir, ve bu çelişkiyi açıklamak için ek olarak elektron-elektron etkileşimlerinin de detaylandırılması gerekir. Hubbard modeli bu etkileşimleri dahil eden ortalama bir teoremdir.

Bant yapılarını hesaplamak teorik katı hal fiziğinin önemli bir konusudur. Yukarıda bahsedilen modellere ek olarak diğe modeller şunları içerir:


Bant yapısı kompleks sayılar olan dalga fonksiyonlarına genellenmiştir, ve bunun sonucunda yüzey ve arayüzleri ile ilgili olan, kompleks bant yapıları olarak adlandırılırlar.

Her model bazı tip katıları çok iyi, bazılarını ise çok zayıf bir biçimde tanımlar. Kısmen serbest elektron modeli metaller için iyiyken, ametaller için yetersiz kalır. Sıkı bağlanma modeli iyonik yalıtkanlar,metal halojenürler gibi (örn.NaCl) için oldukça kesin sonuç verir.

Gerçek uzayda bant yapılarının Fermi seviyesine göre nasıl değiştiğini anlamak için, genel olarak bant grafiği çizilir. Bu grafikte dikey eksen enerjiyi, yatay eksen ise gerçek uzayı temsil eder. Yatay çizgiler enerji seviyelerini, bloklarsa eneji bantlarını gösterir. Yatay çizgiler eğimli ise, seviyenin veya bandın enerjisi uzaklıkla değişir. Grafiksel olarak, bu durum kristal sistemde bir elektrik alanın bulunduğunu gösterir. Bant grafikleri, birbirileriyle temas halindeyken farklı maddelerin birbirine karşı genel bant yapısı özelliklerini anlamada kullanışlıdır.






Frank Pingel

Frank Pingel Mortensen (d. 9 Mayıs 1964; Vejlby) Santrfor mevkinde görev almış Danimarkalı eski millî futbolcudur. Sarı boğa lakaplı futbolcu Fenerbahçe ile TSYD Kupasında çıktığı ilk maçta sakatlanarak futbol kariyeri sonlanmıştır.

Pingel kariyer