teorem bu durumun doğru olduğu bir sayı sistemi olduğunu kanıtlar. Asıl sorulması gereken soru bu sayı sisteminin ne olduğu ve özelliklerinin neler olduğudur. 
Bu tip tek boyutlu doğrusal sıralanmış bir sayı kümesi oluşturmak için birçok yöntem vardır ancak esas olarak iki farklı yaklaşım vardır:
1960’ta Abraham Robinson ilk yaklaşıma bir cevap ortaya atmıştır. Genişletilen kümeye hipergerçekler denir ve mutlak değerce herhangi bir pozitif gerçek sayıdan daha küçük değerlere sahip sayılar içermektedir. Yöntem karmaşık görülebilir ancak ZFC küme kuramının evreninde sonsuz küçük sayıların var olduğunu kanıtlar. Gerçek sayılar standart sayılar olarak, yeni gerçek olmayan hipersayılar ise standart dışı olarak adlandırılır.
1977’de Edward Nelson ikinci yaklaşıma bir cevap ortaya atmıştır. Genişletilen belitlere Dahili Küme Teoremi adı verilir. Bu sistemde dilin sonsuz küçükleri ile ilgili durumları açıklayabilecek duruma gelene kadar genişletilmesi esas alınmıştır. Gerçek sayılar standart veya standart dışı olabilirler. Bir sonsuz küçük herhangi bir standart gerçek sayıdan daha küçük mutlak değere sahip standart dışı bir sayıdır.

İngilizce vikipedi




Ağırlıksızlık

Ağırlıksızlık ya da ağırlığın yokluğu aslında dışarıdan uygulanan kuvvetler, genellikle yerden koltuktan yataktan vb. uygulanan temas gerektiren kuvvetler, sonucu oluşan baskı ve gerilmenin yokluğudur. Sezgilere aykırı bir şekilde düzgün kütleçekimsel kuvvet tek başına gerilmeye ve baskıya neden olmaz ve b tip bir kuvvetin bulunduğu ortamda serbest düşüşte olan bir cisim g- kuvveti algılamaz ve ağırlıksız hisseder. Bu ayrıca sıfır g- kuvveti olarak adlandırılır.
Cisimler kütle çekimi dışındaki kuvvetlere maruz kaldığında, santrifüjde ya da dönen bir uzay istasyonunda ya da roketleri ateşlenen bir uzay mekiğinde, kuvvet cismin eylemsizliğini bastırdığından ağırlık hissi oluşur. Bu tip durumlarda, ağırlık hissi, kütleçekimsel alan sıfır dahi olsa baskı durumu ile oluşabilir. Bu tip durumlarda g kuvveti hissedilir ve cisimler ağırlıksız değildir.
Kütleçekimsel alan düzgün olmadığında serbest düşüşteki bir cisim gelgitsel kuvvetler hissedecektir ve cisim baskısız değildir. Bir karadeliğin yanında bu tip gelgitsel kuvvetler çok güçlü olabilir. Dünya göz önüne alındığında bu tip kuvvetler oldukça küçüktür. Özellikle de küçük boyutlu cisimler için. Örneğin insan vücudu veya bir uzaymekiği için. Ve bu durumlarda genel ağırlıksızlık hissi korunmuş olur.Bu durum mikroyerçekimi olarak da bilinir ve yörüngede dolanan uzay mekiklerinde oldukça yaygındır.

Newton mekaniğinde ağırlık kavramı mühendisler tarafından iki farklı şekilde yorumlanır.

Toparlamak gerekirse ilk tanımın daha baskın olduğu iki farklı ağırlık tanımına sahibiz ama ağırlıksızlık tipik olarak ağırlığın yokluğu ile değil kuvvetle birlikte olan baskının yokluğundan kaynaklanır. Bu aşağıda tasarlanan ağırlıksızlık algısıdır.

Bir cisim tamamen baskısızdır ve sıfır ağırlık uygular, tıpkı düzgün yerçekimsel alanda serbest düşüşteki gibi cisim üzerindeki tek kuvvet ağırlık olduğu zamanki gibi. Alt simgeler olmadan kulağa tuhaf gelen bir sonuç elde edilir. “ Cisme uygulanan tek kuvvet ağırlığı olduğu zaman cisim ağırlıksızdır.” Newton’un kafasına düşen elma bu durumu anlatmak için kullanılabilir. Bir elma yaklaşık 1N ağırlığındadır. Bu ağırlığın düşüş boyunca ağırlık) sabit olarak kabul edilir ancak düşüş sırasında ağırlık sıfırdır. (Hava direnci yok sayılmıştır ve elma üzerinde herhangi bir baskı yoktur.) Bu bir insana kütleçekimi kuramını oluşturtacak kadar yeterli büyüklüktedir. Elma Newton’un kafasına çarptığında Newton’un hissettiği çarpma şiddeti elmanın düştüğü yüksekliğe ve çarpma anında 1N’dan birkaç kat fazla olabilme ihtimali olan ağırlık’ye bağlıdır. Bu, bahsi geçen harika insana kütleçekim kuramını bulduracak kadar yeterli büyüklüktedir. Aşağıya doğru inerken elma serbest düşüştedir ve kütleçekimi alanı düzgün olduğundan herhangi bir müdahale hissetmemiştir.


Baskıyı ağırlığın belirleyicisi olarak kullandığımız bu tartışma boyunca cismin iki parçası tarafından birbirleri üzerinde oluşması mümkün olan baskı bu durumla alakalı değildir. Alakalı olan baskılar sadece cisme uygulanan dış kuvvetler tarafından oluşturulanlardır.
Ağırlıksızlığın anlamı ve kullanılması günlük yaşantımızda tecrübe ettiğimiz ağırlık hissinin sadece yerçekimi tarafından değil yerçekimine karşı koyan diğer mekanik kuvvetler sayesinde de oluştuğudur. Düz bir şekilde serbest düşüş yapan ya da serbest düşmenin karmaşık bir birincil yörüngesinde (azaltılmış yerçekimi uçağı ya da uzay istasyonunun içi) bulunan bir cisim ağırlık hissini oluşturan kuvvetleri algılayamadıklarından ağırlıksız hisseder.
Yukarıda anlatıldığı gibi ağırlıksızlık 1. Cisim üzerine uygulanan bir kuvvet olmadığında 2. Düzgün kütleçekiminin tek başına etkin olduğu durumlarda ortaya çıkar. Tamamlanmışlık açışından 3. Olarak ufak bir şartın eklenmesi gerekir. Bu, cisim üzerine etkiyen kuvvetin kütleçekimi olmadığı ama cismin kütlesi boyunca eşit olarak dağılan bir kuvvet olduğu durumlar içindir. Düzgün elektrik alanda bulunan elektrik ile yüklenmiş bir cisim, düzgün yüklenmiş, bu duruma örnek olarak verilebilir. Elektrik yükü bu durumda kütleçekiminin yerine geçer. Bu durumdaki bir cisim üzerine herhangi bir baskı olmayacaktır ve bu nedenle cisim ağırlıksız olarak kabul edilecektir. Birçok havaya yükselme etkisi bu kategoriye (en azından yaklaşık olarak) girecektir. 
Serbest düşüşteki bir cisim ( tanıma göre hiçbir aerodinamik kuvvete sebep olmayan) dünyanın yüzeyinin yakınlarında yüzeydeki bir koordinat düzlemine göre yaklaşık olarak 10 ms-2’lik bir ivmeye sahip olur. Eğer cisim serbest düşen bir asansörün içindeyse ve asansörden herhangi bir itme veya çekmeye maruz kalmıyorsa asansöre göre ivmesi sıfır olacaktır. Diğer bir taraftan eğer cisim üzerine asansör tarafından kuvvet uygulanıyorsa serbest düşen asansöre göre bir ivmesi olacaktır. Yerçekimi nedeniyle olmayan bu ivmeye özgün ivme denir. Bu yaklaşımda özgün ivme sıfır olduğunda ağırlıksızlık meydana gelir.
Ağırlıksızlık, düzgün olmayan kuvvetlerin etkisinde hissedilen etkinin tersidir. Bunlara:

gibi durumlar örnek olarak verilebilir.

Gelgitsel kuvvetler kütleçekimsel alanın düzgün olmadığı zamanlarda ortaya çıkar. Bu tabii ki bir kuraldır ve kesin konuşmak gerekirse sonlu hacme sahip serbest düşüş yapan tüm cisimler gelgitsel kuvvetlerin etkisinde kalır. Bunlar cismin tek bir noktasını düşündüğümüz durumlar dışında eylemsiz hareketle ortadan kaldırılamayacak şeylerdir. Dünya serbest düşüştedir ama gelgitlerin varlığı onun düzgün olmayan bir kütleçekimsel alanda olduğunu belirtir. Bu düzgün olmayan alan ay ve dünya yüzündendir. Güneşin oluşturduğu kütleçekimsel alan aydan dolayı oluşan alandan daha büyüktür ama aydan dolayı oluşan gelgitsel kuvvetle karşılaştırıldığında oluşturduğu gelgitsel kuvvet oldukça küçüktür. Bunun nedeni aradaki mesafelerdir. Dünyanın ağırlığı(1) temelde güneşin çekim kuvvetinden dolayıdır. Ama gelgitlerle görülen baskı ve deformasyon ayın yakınındaki düzgün olmayan çekimsel alandan ötürüdür. Bölgelerin alanlarının çekime uğrayan kütlenin kuvvet kaynağı arasındaki mesafe ile ilişkili olduğu düşünülürse düzgün olmayan çekimsel kuvvet varsayımı güzel bir yaklaşıma sahip olur. Bundan dolayı bir insan Dünyanın yarıçapına göre çok ufaktır ve yüzeyde bulunan bu insan için oluşan alan neredeyse düzgün olan bir alandır. Alan tam anlamıyla düzgün olmayan bir alandır ve mikroçekim denilen fenomenden sorumludur. Karadeliklerin yakınlarındaki cisimler de çok fazla oranda düzgün olmayan çekimsel alan etkisi altında kalırlar.

Tüm eylemsiz referans çerçevelerinde ağırlıksızlık meydana geldiğinde, Newton’un birinci hareket yasasına referans çerçevesinde bölgesel olarak uyulur. Çerçevenin içinde ( Örn. Yörüngede dolaşan bir gemi ya da serbest düşüş yapan bir asansör) üzerinde kuvvet olmayan cisimler çerçeveye göre olan hızlarını korurlar. Başka bir şeyle temas halinde olmayan cisimler serbestçe süzülürler. Eğer eylemsiz yörünge yerçekiminden etkilenirse referans çerçevesi çekim alanının dışından ivmelenen bir çerçeve olarak görülür. Ve bu çerçevenin içindeki cisimler bir kuvvetin etkisi altındaymış gibi görünür. (Sözde yer çekimi) Daha önce de bahsedildiği gibi sadece yerçekimi etkisi altında olan cisimler onun etkilerini hissetmezler. Bu nedenle ağırlıksızlık sadece özel eliptik bir rotayı takip eden uçağın içinde kısa zaman aralıklarında hissedilir. Ancak bu rota sıklıkla parabolik uçuş ile karıştırılır. 
Sıfır-G ,“Sıfır Yerçekimi”, İvmeölçerler
Sıfır-g ağırlıksızlık anlamına gelen alternatif bir terimdir ve serbest düşüşteki bir asansörde gözlemlenebilir. Sıfır-g, yerçekiminin yokluğundan farklıdır. Çünkü evrendeki her yerde kütleçekimi olduğundan bu imkânsızdır. “Sıfır-kütleçekimi” gelgitsel etkileri yok saydığımızda etkili ağırlıksızlık anlamında da kullanılabilir. Mikroçekim, ağırlıksızlığın var olduğu ama g- kuvvetinin cisim gelgitsel kuvvetlerden dolayı baskı yarattığı durumları belirtmek için kullanılır. İvmeölçerler sadece g-kuvvetini yani ağırlık(2)’yi (= kütle x özgün ivme) tespit edebilirler. Serbest düşüş ile bağlantılı ivmeyi tespit edemezler.
İnsanlar ağırlıklarını kişinin üzerinde durduğu ya da oturduğu destekleyici cismin yüzeyinden kişiye uygulanan normal kuvvet sayesinde fark ederler. Bu kuvvetin yokluğunda kişi serbest düşüşte olacaktır kendini ağırlıksız hissedecektir. Ağırlık hissine yol açan şey tepki kuvvetinin insan vücuduna iletimidir ve vücudun dokularındaki bileşke sıkıştırma ve gerilimdir.
Yaygın Bir Kavram Hatası
Yörüngede dolaşan uzay araçları için genel olarak düşünülen şey yerçekimsiz ortamda çalıştıklarıdır. Einstein’ın genel göreliliği açısından bu durum biraz anlamlı gelse de Newton fiziğinde bu kanı teknik olarak yanlıştır.

Uzay araçları yörüngesinde döndükleri gezegenin uyguladığı çekim kuvveti sayesinde yörüngede kalırlar Newton fiziğinde astronotlar tarafından hissedilen ağırlıksızlık hissi yerçekimi ivmesinin sıfır olmasından değil serbest düş