tiksel olarak aşağıda bulunan formüllerde görülebilir.

Kirchoff kanunun farklı bir doğal sonucu daha bulunmaktadır. Yayma kuvveti asla birden büyük olamaz. Doğal olarak soğurma katsayısıda biri geçememektedir. Bu durum enerjinin korunumu yasasından gelmektedir. Denge durumunda, kara cisimden termal olarak daha fazla enerji yaymak mümkün değildir. Negatif ışıldanımda (lüminesansda), açıyla ve dalga boyuyla bütünleşik olan soğrulma cismin emisyonunu geçer. Fakat dışarıdan gelen bir kaynağa sahip olan yani termodinamik dengede olmayan sistemler bu kurula uymaz.

Kirchoff kanunu tanımlanmadan önce, iyi bir soğurucunun aynı zamanda iyi bir yayıcı, kötü bir soğurucunun kötü bir yayıcı olduğu deneysel olarak görülmüştü. Doğal olarak iyi bir yansıtıcı kötü bir emicidir. Bu nedenle termal battaniyelerde optik kaplama kullanılır.

Termodinamik dengede bulunan bir kara cisimde belirli bir miktarda enerji ile elektromanyetik radyasyon muhafaza edilir. Buradaki foton gazı Planck dağılımı enerjisine sahip olacaktır.

İkinci bir sistemi düşünürek, her ikisi de aynı sıcaklıkta bulunan; duvarları olan opak, biçimi bozulmaz ve dalga boylarına karşı yansıtıcı olmayan bir oyuk ile optik bir filtre boyunca muhafaza edilen karacisim aynı bağlantıya getirilebilir. Radyasyon bir sistemden diğerine geçebilir. Örnek vericek olursak, ikinci sistemde bir durum ele alındığında, dar frekans bandında λ kadar dalga boyu olan fotonun özkütlesi bahsettiğimiz birinci sistemden daha büyüktür. Eğer optik filtre sadece bu frekans bandında geçseydi, burada ikinci sistemden birinci sisteme kesin bir foton ve enerji transferi olurdu. Bu olay termodinamiğin ikinci kanununa ters düşmektedir. Çünkü termodinamiğin ikinci kanununda, aynı sıcaklıkta bulunan iki cisim arasında sıcaklık transferi olamıyacağı belirtilmektedir.

Sonuç olarak ikinci sistemde, her bir frekanda cismin duvarları karacisim rastegele dağılımında olduğu gibi enerjiyi hem soğurmak hem de yaymak zorundadır. Termal denge durumu için soğurganlık formula_1 duvar tarafından emilen enerjinin duvara gelen enerjiye oranıdır. Bu durum belirli dalga boyları için geçerlidir. Sonuç olarak emilen enerji formula_2 ye eşittir. Bu denklemde formula_3 kadar bir dalga boyunda ve formula_4 sıcaklığındaki karacisim radyasyonun yoğunluğuna eşittir. Termal dengeden bağımsız bir durumda duvarın yayma kuvveti yayılan enerjinin ışıma miktarına oranıdır eğer duvar kusursuz bir karacisimse. Sonuç olarak yayılmış enerji, formula_3 kadar bir dalga boyunda formula_6’ya eşittir. Bu denklemde formula_7 yayma kuvvetine eşittir. Termal dengenin sürdürülebilmesi için bu iki miktar birbirine eşit olmaklıdır veya boşluktaki foton enerjisi dağılımı sözü geçen kara cisimden sapmalıdır. Bu durum Kirchoff kanunu tanımlar.

Buna benzer fakat daha karmaşık delil olarak, kara cisim radyasyonu bütün yönlerde aynıdır (izotropik). Yayma kuvveti ve soğurma katsayısı eğer yöne bağlı olarak ele alınırsa, bu kavramlar birbirlerine her yönde eşit olmalıdır.

Ortalama ve toplam yayma kuvveti ve soğurma katsayısı verileri genellikle birbirinden farklı iki cisim için verilir. Örneğin beyaz boyanın soğurma kuvveti 0.16 iken yayma katsayısı 0.93’dür. Bu nedenle soğurma katsayısının ağırlığı güneş spektrumu için ortalanmıştır. Fakat yayma katsayısı cismin kendisi için ortlanmıştır. soğurma katsayısı kotası aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır:

Burada yayma kuvveti:

Bu denklemde formula_11 güneşin yayma spektrumu ve formula_6 boyanın yayma spektrumudur. Yukarıda belirttiğimiz formula_13 Kirchoff kanununa ters düşmesine rağmen formula_14 and formula_15 genellikle birbirine eşit değildir. Beyaz boya güneşsel (solar) radyasyona karşın oldukça güzeş bir yalıtkandır. Çünkü beyaz boya çok iyi bir yansıtıcıdır.

Uzun zamandır bilinen üzere karbon-karası kaplama herhangi bir cisme neredeyse siyah yapmaktadır. Bazı diğer cisimler belirli dalga boylarında nerdeyse siyahdır. Bu tip cisimler yüksek sıcaklıkta bulunamazlar.

Karbon karası kaplamada yeni bir gelişme karbon-nanotüplerde yaşanmıştır. Nano gözenekli materyaller vakumlu ortamda kırılma indisine sahip olabilirler. Örnek olarak sunabileceğimiz bir vakada kırılma indisi 0.045% olarak ölçülmüştür.

Termal radyasyonla karşılaşınca opak olan materyaller, sıcaklık radyasyonu için yapılan çalışmalarda kullanılabilecek değerli bir kavramdır. Planck yaptığı çalışmalar sonucundu bu tip materyaller için yapılan yakınlaştırmaların ilingesel olarak bir arayüz paylaşması gerektiği kanısına varmıştır. Bu materyaller arayüzlerini bitişik ortalarıyla paylaşırlar ki bunlar hava gibi oksijeni az olan maddeler olmaktadır. Bahsedilen arayüz herhangi bir cisim veya materyal olmamakla birlikte herhangi bir soğurma veya yayma yapmaz. Bu birbirine temas eden iki farklı ortamın matematiksel yüzeyidir. Bu nüfuz eden radyasyonun kırılmasıdır. Bu durum Helmholtz karşılıklığına prensibine uymaktadır. Opak cisim içinde bir cisim varmış ve bu cisim kendine ulaşan bütün radyasyonu emiyormuş gibi düşünülür. İçteki bu cisim ayrıca herhangi radyasyon yayılımı yapmaz. Bu durumda opak cismin materyali radyasyona göre siyah gibi davranır fakat gerçekçe içteki cisim ve arayüz asla kusursuz bir siyahlık göstermezler. Planck’ın modelinde, kusursuz siyah cisimler -ki kendisi doğada bulunmalarının imkansız olduğunu savunmuştur- kendilerinin opak içlerine ek olarak kusuruz iletim yapan ve yansıtmayan arayüzlere sahiptir.

Boşluğun etrafındaki duvarlar bütün dalga boylarında önemli miktarda radyasyon emen opak materyallerden yapılabilir. İç duvarların bütün bölgelerinin her dalga boyunda çok iyi birer emici olması çok önemli değildir. Emilen radyasyon dalga boylarının mesafesi farklı tipte materyallerin boşluğun iç duvarları boyunca kullanılarak sağlanabilir. Termodinamik dengede boşluk (kavite) radyasyonu tam olarak Plank kanununa uyar. Bu durumda termodinamik dengedeki boşluk (kavite) radyasyonu Kirchoff kanunun tam olarak uygulandığı termodinamik denge karacisim radyasyonu olarak ele alınabilir.

Deneysel çalışmalar için, kavite duvarlarının içindeki boşluk siyah yüzey için güzel bir yaklaşık olmaktadır. Fakat bu durum kusursuz bir Lambertian değildir. Buna ek olarak amacına ulaşabilmesi için neredeyse en doğru açıdan bakılması gerekemektedir. Bu tip kurulumların yapılması Planck Kanunu olarak da bilinen, Kirchoff’un evrensel fonksiyonunun matematiksel anlamına ulaşmak için oldukça önemlidir.

Planck’ın bir başka deyişi ise Kirchoff’un kusursuz kara cisimleri ile alakalıydı. Planck’a göre Kirchoff’un kusursuz kara cisimleri bulunduğumuz fiziksel ortamda var olamazlardı. Planck bunların kuramsal kurgular olduğunu öne sürüyordu. Kirchoff’un kusursuz kara cisimleri üzerinde oldukça ince bir katman bulunmaktaydı ve bu katmanlar emdikleri radyasyonu ne saçıyolardı ne de yansıtıyorlardı. Bu kara cisimler radyasyonu Lambert’in kosinüs kanununa göre kusursuz bir biçimde emiyorlardı




Standart solar model

Standart solar model (SSM), güneşi küresel bir gaz topu olarak ele alan matematiksel bir yaklaşımdır (derin iç kesimlerde tamamen plazmalaşmış hidrojen ile değişken iyonlaşma durumlarında). Teknik olarak simetrik küresel durağanımsı bi yıldız modeli olan bu model, yıldızsal yapıyı tarif eden basit fizik prensiplerinden elde edilmiş birçok diferansiyel denkleme sahiptir. Bu model, güneşin ışıklılığı, çapı, yaşı ve bileşenleri gibi iyi bilinen sınır koşullara bağlıdır. Güneş'in yaşı direkt olarak ölçülemez. Tahmini bir değer bulmanın yollarından biri en eski meteorların yaşını bulmak ve Güneş sisteminin gelişim modellerine bakmaktır. Günümüzdeki Güneş'in fotosferinin yapısı %74,9 oranında hidrojen ve %23.8 oranında helyumdan oluşmaktadır. Astronomide metaller denilen tüm ağır elementler ise %2den daha az bir kütleye tekabül etmektedir. Standart solar model yıldızsal gelişim teorisinin doğruluğunu test etmek için kullanılmaktadır. Aslında, iki serbest parametre olan helyum mevcudiyeti ve karışma uzunluğu (güneşteki ısı yayılımını modellemek için kullanılan) değerlerini bulmanın tek yolu SSMyi gözlemlenen güneşe "uygun" hale getirecek şekilde ayarlamaktır.

Işıklılık özelliğine yeni başlamış ve bunun büyük kısmını nükleer reaksiyonlardan alan, homojen bir yapıya sahip olduğu varsayılan bir yıldız sıfır yaşında (protostellar) olarak kabul edilir (dolayısıyla gaz ve toz bulutundan oluşma evresi ihmal edilir). SSMyi elde etmek için, sıfır yaşındaki yıldızsal solar kütle ("M") modeli, Güneş'in yaşına doğru evrilir. Sıfır yaşındaki solar modeldeki element ihtivası, ilk baştan itibaren mevcut olan meteoroidlerden tayin edilir. Bu bilgiler ışığında, sıfır yaş ışıklılığı tutarlı bir şekilde tahmin edildikten sonra (örneğin günümüz güneşinin ışıklılığı) bu bilgiler tekrarlanan prosedürlerle modelin doğru değerlerine yerleştirilir; sıcaklık basınç, yoğunluk modeli yıldızın sabit durumda olduğu varsayılarak yıldızsal yapı denklemleriyle çözülür. Bu model daha sonra sayısal olarak güneşin yaşına kadar ilerletilir. Güneşin ölçülmüş ışıklılığı ve yüzey ihtivası gibi değerlerden sapmalar hesaplanıp modelde düzeltmeler yapılır. Örneğin, helyum ve ağır metaller difizyon yoluyla güneşin fotosferine yerleşmiştir. Bunun sonucu olarak güneşin fotosferinde ilk halinde bulunan helyum ve ağır metallerin %87’si bulunmaktadır. Prostellar halindeki güneşin fotosferi %71.1 hidrojen %27.4 helyum ve %1.5 ağır metal içermekteydi. Ağır metallerin difizyon ile çökmesini hesaplamak için daha kesin bir metod gerekmektedir.

Hidrostatik denge denklemi gibi yıldızsal yapı diferansiyel denklemleri sayısal olarak entegre edilmiştir. Diferansiyel eşitlikler, fark denklemleri kullanılarak yaklaşık olarak bulunmuştur. Yıldız, küresel simetrik bir kabuk olarak düşünülmüşür ve sayısal entegrasyonlar durum denklemleriyle sonlu basamaklarda yapılmıştır ve basınç, opaklık ve enerji üretimi oranlarını yoğunluk sıcaklık ve ihtiva cinslerinden verir.

Güneşin merkezindeki çekirdek reaksiyonları hidrojen çekirdeklerini proton-proton zinciri ile helyuma dönüşmesi ve (diğer devasa yıldızlar kadar