am diferansiyel formunu kullanabiliriz. Yani türevleri kullanarak yine işimizi analitik olarak kolaylaştırabiliriz.

Bu sayede direkt "δ"ryı kullanarak yaşayacağımız sorunları, genelleştirilmiş koordinatları kullanarak ve sanal küçük hareketlerin aslında diferansiyel (türev ile ilintili) olduğu gerçeğini kullanarak hareket denklemlerini çıkarmayı kolaylaştırabiliriz.

Unutulmamalıdır ki, burada zamana göre kısmi türevin yine küçük bir zaman artışıyla çarpımı yoktur. Burada artağan bir zamandan ziyade anlık bir zamandaki ufak-diferansiyel yer değiştirmeler söz konusudur dolayısıyla türevlemeler ve artışlar yer değiştirmeler cinsindendir.

D’alambert prensibinin birinci terimi, kısıtlayıcı olmayan N kuvvetlerinin diferansiyel "δ"r boyunca yaptığı sanal işi kapsar. Ve genel olarak bu terim [[genelleştirilmiş kuvvetler]] analojisiyle ifade edilebilir(genelleştirilmiş koordinatlar boyunca etkiyen);

dolayısıyla,

şeklinde ifade edilir.

Burada yapılan genelleştirilmiş koordinatlara yapılan dönüşümün yarısını içerir. Geriye, ivmeleri içeren terimin genelleştirilmiş koordinatlara dönüştürülmesi kalır. Bu hemen görülebilir değildir. Yukarıda bahsedilen Newton Yasalarının Lagrange formu, kinetik enerjinin genelleştirilmiş koordinatlara ve hızlara göre kısmi türevini kullanarak istenilen sonucu verebilir;

Bu sayede D’alambert prensibini istediğimiz şekilde genelleştirilmiş koordinatlarda şu şekilde yazabiliriz;

Dolayısıyla artık sanal yer değiştirmeler genelleştirilmiş koordinatlar cinsinden yapılabilir. "δq"ler birbirlerinden bağımsız ve sıfırdan farklıdır. Çünkü herhangi bir zaman anında belirli bir yer değiştirmeden bahsediliyor. Bu nedenle "δq"ların katsayıları sıfıra eşitlenebilir. Bu katsayılar da özellikle statik durumlar için genelleştirilmiş kuvvetler olarak adlandırılabilir. Bu sayede, esasen Lagrange denklemlerini veya genelleştirilmiş hareket denklemlerini elde etmiş oluyoruz.

Lagrange Denklemleri ; Euler-Lagrange Denklemleriyle karıştırılmamalı, burada enerji terimleri yerine genelleştirilmiş kuvvet terimleri yer alır.

Bu denklemler, kısıtlayıcı olmayan kuvvetler altında bize Newton’un yasaları ile aynı sonucu verir. Yukarıdaki denklemlerdeki genelleştirilmiş kuvvetler sadece "kısıtlayıcı olmayan kuvvetler"den türetilmiş ve kısıtlayıcı kuvvetler dışarıda D’Alambert’in sanal iş prensibi sayesinde bırakılmıştır ve ihtiyaç yoktur. D’Alambert prensibi kuvvetlerin korunumluluğu üzerinde geneldir. Bu kuvvetler D’Alambert prensibini sağladığı sürece korunumsuz olabilir.

[[Dosya:Least action principle.svg|250px|thumb|Sistemin değiştiği süre içerisinde genelleştirilmiş konum değişkeni q konfigurasyon uzayında belli bir patika izler (Çeşitli patika olasılıklarının bazıları figürde gösterilmiştir).Sistemin seçtiği yollardan biri (kırmızı olanı) durağan etkiler sonucu ortaya çıkmıştır ve sistemin [[konfigurasyon uzayı]]ndaki çok küçük değişimlerle tanımlanır (δ"S" = 0).]]

Korunumlu olmayan kuvvetler, pozisyon ve zamana ek olarak, korunum kavramının tanımı gereği hıza da bağlıdır. Dolayısıyla, pozisyona ve hızlara bağlı bir potensiyel enerji fonksiyonu tanımlamak mümkündür. Eğer genelleştirilmiş kuvvetler bir "V" potensiyelinden şu şekilde türetilebiliyorsa;

ve Lagrangian’ı "L" = "T" − "V" olarak tanımlayıp bunu Lagrange denklemlerine eşitlersek ikinci tip Lagrange denklemlerini veya Euler-Lagrange denklemlerini elde ederiz;

Ancak, Euler-Lagrange denklemlerinde korunumsuz kuvvetler, sadece onları ifade edebilecek bir potansiyel fonksiyonu bulunursa ifade edilebilir. Dolayısıyla Lagrange denklemleri potansiyel içermediği, kuvvet içerdiği için Euler-Lagrange denklemlerinden daha geneldir. Çünkü Euler-Lagrange denklemlerinde kuvvetleri korunumlu veya korunumsuz; potansiyel fonksiyonları olarak ifade etmeye çalışıyoruz. Ve böyle bir potansiyel bulunamazsa EL denklemleri o kuvvetleri kapsayamıyor.

Euler-Lagrange denklemleri [[değişim hesabı]] metotlarıyla bulunabilir. "Lagrangian fonksiyonunun değişimi" şöyle ifade edilebilir;

Bu tanım, "L"nin toplam diferansiyeline çok benzerdir. Ancak sanal yer değiştirmeler ve onların zamana göre türevleri sadece diferansiyel terimlerle yer değiştirir ([[Del işlemcisi|del operatörü]] ile, belli bir büyüklük olarak ifade edilirler). Ayrıca, sanal yer değiştirme’nin tanımına uyacak şekilde, zaman artışı bu tanımda yer almamaktadır. Onun yerine genelleştirilmiş koordinatların zamanda bir ana göre ifade edilir ve türevlerden ziyade diferansiyel terimlerin çarpımları kullanılır. Zaman göre uygulanan bir [[parçalı integral]] yöntemi genelleştirilmiş koordinatların türevlerini yani "δq"ı ∂"L"/∂("dq"/"dt") terimine dönüştürür. Diğer bir deyişle "d"("δq")/"dt"nın "δq"ya dönüşümü gerçekleştirilir. Buradan, bağımsız sanal yer değiştirmelerin Lagrangian fonksiyonunun türevi ile türetilebileceği ortaya çıkar;

Eğer "δq"("t") = "δq"("t") = 0 koşulu her "j" terimi için doğru oluyorsa, integrali alınmayan terimler sıfır olur. Buna ek olarak eğer δLin zamana göre integrali sıfır ise, δqj ‘ler bağımsız olduğu için, integralı sıfıra eşitlemenin tek yolu integrand’ın sıfır olması yani bağımsız genelleştirilmiş koordinat "δq'lerin katsayılarının sıfır olmasıdır. Burada, yukarıdaki figürde bahsedilen durağan etkiler altında, çok küçük değişimler sonucu alınan kırmızı yolun etkileri incelendiği için her durumda konfigurasyon değişimi sıfıra yakın olur (sanal yer değiştirme, diferansiyel yer değiştirme; "δq' çok küçük). Bu sonuçlardan, sistemin hareket denklemi ortaya konulabilir ve bu, [[Hamilton Prensibi]] ile şu şekilde özetlenebilir;

Bu duruma göre eğer sistem durağan etkiler altındaysa, Lagrangian’ın zamana göre toplamı sıfır olmaktadır. Eğer sistem üzerinde dinamik etkiler varsa, sistemin yukarıdaki hareket eğrisi kırmızıdan etkiye göre sapmakta ve mavi eğrilere gelmektedir. Bu durumda, Lagrangian’ın zaman göre integralı bize esasen dinamik etkileri verecektir. Dolayısıyla dinamik etkileri tanımlayan bir [[Aksiyon (fizik)|eylem]] ifadesini şu şekilde açıklayabiliriz;

"S", yani eylem; bir [[fonksiyonel]]dir (fonksiyonun fonksiyonu). Lagrangian fonksiyonunu "t"den "t"ye kadar alır ve [[Skaler (fizik)|skaler]] bir nicelik döndürür. [[Açısal momentum]], [zaman].[enerji], [momentum].[uzunluk] gibi terimlerin birimiyle aynı birime sahiptir. Bu tanıma göre Hamilton’un [[En Az Eylem İlkesi|minimum eylem prensibi]] "sanal iş", sanal-difreansiyel yer değiştirme gibi nicelikler arasındaki ilişki şöyle özetlenebilir;

Dolayısıyla, Hamilton Prensibi ve Lagrangian yaklaşımı; Newton mekaniğindeki anlayışı tamamen değiştirmiş oluyor. (Metotlar doğru uygulandığında, sonuçların birebir aynı olduğu unutulmamalıdır.) Parçacıklar üzerindeki kuvvetlerin çıktısı olarak ivmeleri düşünmek yerine, modelimizi en az eyleme sahip olan yola ve eylemlerin o yolu nasıl değiştireceğine göre tanımlayabiliriz. Elbette burada eylem ve enerji fonksiyonlarını (Lagrangian) uygun tanımlamak ve genelleştirilmiş koordinatları veya değişkenleri doğru seçmek gerekmektedir. Parçacıkların konfigurasyon uzayında başlangıç ve bitiş anlık zamanları ile o zamanlara karşılık gelen noktaları tanımlayarak bu yolları ifade edebiliriz. Hamilton’un türettiği ilkeler bazen [[En Az Eylem İlkesi|en az eylem ilkesi]] ile birebir tutulsa da, en az eylem ilkesinde hareket boyunca uygulanan eylemin durgun olması gerekmektedir. Hamilton prensipleri ile durgun olmayan dinamik eylemleri ve korunumsuz kuvvetleri de sistem modeline dahil etmemiz mümkündür ancak [[holonomik olmayan kısıtlar]]da çalışmamız yine mümkün değildir. Holonomik olmayan kısıtlar için ise D’Alambert’in [[sanal iş]] kavramından faydalanmamız gerekmektedir.

Lagrangian "L"nin kartezyen r koordinatlarında "N" parçacık için değişimini şu şekilde ifade edebiliriz;

Hamilton prensipleri, Lagrangian’daki genelleştirilmiş koordinatlar –sistemin davranışını tamamen tanımlıyor olması koşulu ile- bağımlı olsalar bile geçerlidir. Ancak kısıtların yine de holonomik olması gerekmektedir. Bu açıdan Hamilton prensipleri durum uzayı ifadeleri ile benzerlik gösterir.

Eğer seçilen genelleştirilmiş koordinatlar rler bağımsız değil ise sanal işte ve yer değiştirmede yaptığımız gibi δrnin katsayılarını sıfıra eşitlememiz mümkün değildir. Çünkü artık bağımsız yer değiştirmelerin sıfır olmayacağından emin olsak bile bağlıların sıfır olma veya onları oluşturacak kuvvetlerin olmaması ya da olması gibi bilinmezlikler ortaya çıkmaktadır. Bu sorunu, [[Lagrange çarpanı|Lagrange çarpanları]] metodunu kısıtları ifade edecek şekilde kullanarak çözebiliriz. Her kısıt denklemi "f"(r, "t") = 0yı bir Lagrange çarpanı "λ" for "i" = 1, 2, ...,"C" ile çarpabiliriz. Ve bu ifadeleri orijinal Lagrangian ifadeleri ile birleştirdiğimizde artık yeni bir Lagrangian tanımlamış oluruz;

Bunu, bağımlı olarak tanımlanmış koordinatları bağımsız koordinatlara çevirmek yerine onları tanımlayan fonksiyonu değiştirmişiz gibi düşünebiliriz. Böylece, özellikle komplike sistemlerdeki bağımsız koordinat seçimi probleminden kurtularak; hesaplamaya daha uygun bir metodoloji ortaya konmuş olur.

Lagrange çarpanları zamanın herhangi birer fonksiyonudur, ancak genelleştirilmiş r koordinatlarının fonksiyonu değillerdir. Dolayısıyla karmaşık fonksiyonlar oluşturmazlar(Çarpanlar, pozisyon koordinatları ile eşit düzeyde ifade bulmaktadırlar). Bu yeni Lagrangian, sistematik olarak koordinatlarımızın bağımsızlığı ve kısıtların ayrı ifadesi (ki bu iki durum birbirine yakından bağlıdır) sorunlarına çözüm bulabilmektedir. Dolayısıyla, yeni Lagrangian’ı Euler-Lagrange denklemlerine koyarak;

İfadesini kısıt denklemleri olarak elde edebiliriz. Ayrıca r cinsinden hareket denklemlerini Lagrange’in birinci tip denklemleriylede şu şekilde ifade edebiliriz;

Bu denklemlerde yeni Lagrangian’ın yukarıda bahsettiğimiz değişimini zaman göre integre edersek;

ifadesini buluruz ve temel aldığımız prensiplerden ötürü, uç noktaların ve ona bağlı anların sabit olduğunu her "k" için unutmamamız gerekir.("δr("t") = "δr("t") = 0) Çarpanlar, daha önceki metotlarda olduğu gibi "δ