iği içinde geçerlidir
 · . Böylece "p" güç integrallenebilir fonksiyonların kümesi, ile birlikte bu fonksiyon  · , bir yarınorm'lu vektör uzayıdır, formula_32 ile ifade edilir.
Bu standart bir şekilde bir normlu vektör uzayı içine yapılabilir; biri sadece bölüm uzayı alır sırası ile · ' nin çekirdeği'dir durum bu iken herhangi ölçülebilir fonksiyon "f" için, bizim "f" = 0 var,yalnız ve yalnız "f" = 0 hemen hemen her yerde,  · 'in çekirdeği bağlı değildir "p",

Bölüm Uzayda, iki fonksiyon "f" ve "g" ayrı ayrı eğer "f" = "g" ise hemen hemen her yerdedir. sonucu normlu vektör uzayının, tanımından, 
"p" = ∞ için, the space "L"("S", "μ") uzayı aşağıda tanımlanmıştır. Tüm ölçülebilir fonksiyonların seti ile başlarız "S" den C ye (veya R ye) temelde sınırlıdır, yani ölçümü sıfır olan bir küme ile sınırlanmış. Yine iki tür fonksiyonlar ayrıştırlırsa bu hemen hemen her yerde eşittir. Bu kümeyi gösterelim "L"("S", "μ"). "L"("S", "μ") içindeki "f" , bu zorunlu üstünlük uygun bir norm olarak sunulmaktadır:

Daha önce olduğu gibi, elimizdeki

bazı "q" < ∞ için "f" ∈ "L"("S", "μ") ∩ "L"("S", "μ")ise,

1 ≤ "p" ≤ ∞, "L"("S", "μ") için Banach uzayıdır. Gerçek şu ki "L" "tam" dır sık sık "Riesz-Fischer teoremi "ne başvurulur. Tamlık Lebesgue integral için yakınsama teoremleri kullanılarak kontrol edilebilir.Temel ölçüm aralığı "S" anlaşıldığı zaman, "L"("S", "μ") genellikle kısaltılmıştır "L"("μ") veya sadece "L". Yukarıdaki tanımlar Bochner uzayı'na genellenebilir.
"p" = 2; ise ℓ gibi uzay, bu uzay "L" yalnızca bu sınıfın Hilbert uzayı'dır.Karmaşık durumda,iç-çarpım olarak "L" tanımlanırsa,
Ek iç çarpım yapısı uygulamaları ile daha zengin bir teori sağlar, örneğin, Fourier serileri ve kuantum mekaniği. 
"L" içindeki fonksiyonlara integrallenebilir kare fonksiyonlar denir," 'karesi integrallenebilir fonksiyonlar veya " 'toplanabilir kare fonksiyonlar- ama bazen bu koşulları ,Riemann integrali böyle bir anlamında diğer bazı anlamda karesi integrallenebilir işlevleri,için ayrılmıştır .

Eğer karmaşık-değerli fonksiyonlar kullanıyorsak, "L" uzayı noktasal çarpım ve birleşme ile bir birleşmeli C*-cebri'dir.Birçok ölçüm uzayları için,tüm sigma-sonlu olanlar dahilinde,bu aslında bir birleşmeli bir von Neumann cebri'dir."L" nin ögesiyle çarpımı herhangi "L" uzayı üzerinde bir sınır operatör tanımlar.

ℓ uzayı (1 ≤ "p" ≤ ∞) "L" uzayının bir özel durumudur,"S" ise, N pozitif tamsayı kümesidir ve "μ" ölçüsü N in sayılabilir ölçüm 'üdür. Daha genel olarak, "L" uzayının sayılabilir ölçüm sonuçlarının kümesi ile "S" beraber düşünüldüğünde ℓ("S") ile ifade edilir. örneğin, ℓ(Z) uzayı tam sayılarla indislenmiş uzaydır ve öyleyse bir uzay olarak "p"-norm tüm tam sayılar üzerinde bir toplamları ile tanımlanır ℓ("n") uzayı, burada "n" ögeli bir kümedir,R ile "p"-norm olarak yukarda tanımlanmıştır.Herhangi bir Hilbert uzayı olarak, her "L" uzayı doğrusal uygun bir için izometrik ℓ("I"),burada özel olarak "L"nin bir keyfi Hilbertyen tabanının "I" kümesi önemlidir

"L"("μ")'nin çift uzayı (sürekli doğrusal tüm fonksiyonellerin uzayı) 1 < "p" < ∞ için "L"("μ") ile doğal bir izomorfizm idi.,burada "q"  1/"p" + 1/"q" = 1 sağlar, "g" ∈ "L"("μ") ile "κ"("g") yi ilişkilendiren fonksiyonel  ∈ "L"("μ") tanımı ile aşağıdadır.

Aslında "κ"("g") si iyi tanımlanmış ve sürekli Hölder eşitsizliği aşağıdadır. "κ" göndermesi "L"("μ")'den "L"("μ") ye doğrusal gönderme içindedir,Hölder eşitsizliği ile bir izometrisi sıradışı durumdur.Bunu (Radon–Nikodym teorem'i ile göstermek de mümkündür, bkz) bu herhangi "G" ∈ "L"("μ") bağıntısı ile gösterilebilir:yani,bu "κ" "üzerinde"dir. böylece "κ" üzerinde ve izometrik ve bir Banach uzayı'nın bir izomorfizm'idir . Birlikte bu (izometrik:şekil değiştirme yok) izomorfizmi hatırlayın,basitçe söylemek gerekirse  "L" nin çifti "L" 
""dir""  ise 1 < "p" < ∞, "L"("μ") uzayı yansıtılabilir. Diyelimki "κ" yukarıdaki gönderme ve diyelimki "κ" doğrusal izometri olsun
karşılığı "L"("μ") den "L"("μ")üzerinedir

"L"("μ")'dan "L"("μ") 'ya, bir düzen ile elde edilir "κ" ile "κ"'nın birbirlerinin tersidir.Devrik (veya eşlenik),"L"("μ") nin sıklığı ile kanonik gömme "J"  kendi ikinci sıra duali içine,dahası, "j" göndermesi üzerinedir, iki üzerine izometrinin uyumu olarak,ve bu yansıtılabilirliği kanıtlıyor.

Eğer ölçü "μ" olarak "S" sigma-sonlu ise "L"("μ") dualdir "L"("μ")'ya izometrik izomorftur(daha doğrusu, "κ" haritası"p" = 1 karşılar bir izometridir "L"("μ")'dan "L"("μ")) üzerinedir.

"L"'nin bu çifti zekicedir.("L"("μ"))'nin ögesi ayrıştırılabilir ile sınır işareti "sonluluk" toplamsal ölçüsü olarak "S" bu mutlak süreklilik ile sırası "μ" yedir,daha detay için bak ba uzayı.Biz seçimin aksiyomu varsayarsak, "L"("μ") içinde bazı önemsiz durumlar dışında bu uzay çok daha büyüktür.Ancak, Zermelo-Fraenkel küme teorisi nispeten tutarlı uzantıları vardır ve "ℓ"nin duali "ℓ"dir.Bu, Shelah'nın bir sonucudur.Eric Schechter'in dersleri içinde Analizin el kitabı ve temelleri'dir

Halk dilinde olan bir terim, eğer 1 ≤ "p" < "q" ≤ ∞, "L"("S", "μ") ise daha yerel tekil olan işlevler içerir, "L"("S", "μ") elemanları ise daha yayılmış olabilir. (0, ∞) yarım satırı üzerinde Lebesgue ölçümü düşünün."L" içindeki sürekli bir fonksiyondur,0'a yakınsa havaya uçurmak gerekir ama sonsuza doğru yeterli oranda hızlı çürüme gerekir. Öte yandan, "L" içindeki sürekli fonksiyonlardır,hiç çürümeye gerek yok ama şişirmeye izin verilir.Kesin bir teknik sonuç şudur:


Özellikle,bağlı olan etki alanı" S" ise sonlu ölçü, (Jensen eşitsizliği'nin bir sonucu)

"L" uzayının anlamı "L" içinde kesintisiz gömülüdür.Demek ki,kimlik operatörü sınırlı doğrusal harita "L" dan "L" ye'dir. Yukarıdaki eşitsizlik görünen sabit en uygunudur, "I" : "L"("S", "μ") → "L"("S", "μ") is kesin olarak

"f" = 1 a.e.[μ].eşitlik durumu tam olarak ne zaman elde ediliyor?

1 ≤ "p" < ∞ Bu bölüm boyunca. olduğu kabul edilmektedir
Diyelimki ("S", "Σ", "μ") be bir uzay uzunluğudur.Bir "integrallenebilir basit bir fonksiyon" "f"  olarak "S"  formunun biridir
burada "a" skalerdir ve "A" ∈ "Σ"  sonlu ölçü idi,"j" = 1, …, "n" için.integral'inin yapısı tarafından,"L"("S", "Σ", "μ") içinde integrallenebilir basit fonksiyonların vektör uzayında yoğundur.

Dahası "S"  bir metriklenebilir topolojik uzay ve "Σ"  dır.Bu Borel "σ"–cebri'dir, yani,"S"  alt kümesinin daraltılmış "σ"–cebrinin açık kümesi'ni içeriyor.

Varsayalımki "V" ⊂ "S" bir açık küme ile "μ"("V")  0 için, burada bir kapalı küme "F"  vardır ve bir açık küme "U"  dur böylece

Bu "S"  sürekli "φ" var olduğunda aşağıdaki şöyledir

Eğer açık kümelerin sonlu ölçüde artan dizisi tarafından karşılanabilir ("V") "S"  var,ise "p"–integrallenebilir sürekli fonksiyonlar uzayının "L"("S", "Σ", "μ") içindeki yoğunluktur,daha doğrusu, açık kümelerin bir "V" dışında kaybolan sınırlı sürekli fonksiyonları kullanılabilir.

Bu özellik geçerli olduğunda "S" = R ve eğer "μ" Lebesgue ölçüsü ise,sürekli ve tıkız desteklenen fonksiyonlar uzayı "L"(R) yoğundur. Benzer şekilde,integrallenebilirlerin uzayı "basamak fonksiyonu"  dur. "L"(R) içindeki yoğunluktur.Bu uzay sınırlı aralıkların göstergesinin fonksiyonlarının doğrusal süresi "d" = 1 ise, sınırlı dikdörtgenlerin "d" = 2 ise ve daha genel olarak sınırlı aralıklarının çarpımları ise; Genel fonksiyonları çeşitli özellikleri "L"(R) içindedir.İlki (bazen basamak fonksiyonlar için) sürekli ve tıkız desteklenen işlevler için kanıtlandı,sonraki tüm fonksiyonlara yoğunluk tarafından genişletilmiştir.Örneğin,ötelemenin sürekli olduğu "L"(R) şeklindede kanıtlanmıştır aşağıdaki anlamda:her "f" ∈ "L"(R),için

"t" ∈ R ise 0'a gider, burada formula_46 formula_47 tarafından çevrilen fonksiyon olarak tanımlanır.

"L" uzaylar yaygın olarak matematik ve uygulamalarında kullanılır.

Fourier dönüşümü için gerçek çizgi(sırası ile. periyodik fonksiyonlar için, cf. Fourier serisi) haritaları "L"(R) ya "L"(R) (resp. "L"(T) ya ℓ), burada 1 ≤ "p" ≤ 2 ve 1/"p" + 1/"q" = 1. Bu,Riesz-Thorin interpolasyon teoremi'nin bir sonucudur ve Hausdorff-Young eşitsizliği ile hassas yapılır.

buna karşılık eğer "p" > 2, Fourier dönüşümü "L"haritası içine olmuyor

Hilbert uzayı birçok uygulamanın merkezindedir, kuantum mekaniği'nden rassal hesabı'na kadar. Bu "L" ve ℓ her iki uzay Hilbert uzayıdır.aslında seçilen bir Hilbert tabanın,ℓ("E") tüm Hilbert uzayları için izometrik olduğu görülür burada "E" uygun bir önem düzeyi olan bir kümedir.

İstatistikde, bu, ortalama, medyan ve standart sapma olarak merkezi eğilim ve istatistiksel dağılım ölçüleri "L" ölçümleri açısından tanımlanır ve merkezi eğilim ölçüleri varyasyonel sorunlara çözüm olarak karakterize edilebilir.

Diyelimki ("S", "Σ", "μ") bir ölçü uzayıdır. eğer 0 < "p" < 1, ise "L"("μ") aşağıdaki tanımlanabilir: ölçülebilir böyle fonksiyonların vektör uzayı "f" böylece

Daha önce olduğu gibi, p-norm'u tanıtabiliriz  "f"  = "N"("f"), 
ama || · || bu durumda, üçgen eşitsizliği doyurucu değildir, ve yalnızca bir kuazi-norm tanımlıyor.
("a" + "b") ≤ "a" + "b" eşitsizliği, "a" ≥ 0 için değeri ve "b" ≥ 0 implies that 

ve böylece fonksiyon
bir "L"("μ") bir metrik ve sonuç olarak tam metrik uzaydır doğrulama ailevi duruma benzer ise "p" ≥ 1 dir.

"L" çerçevesi içerisinde bir "ters Minkowski eşitsizliği "uygundur böylece "u" ve "v" için in "L"

formula_51

Bu sonuç kullanıcıya Clarkson eşitsizliğini sağlar, which are in turn used to establish the tektip dışbükeylik of "L" uzayının 1 < "p" < ∞ için .

0 < "p" < 1 "L" uzayı için bir F-uzayı şudur:o bir tam öteleme-değişmezi metrik sırasıyla vektör uzayı için süreklilik operasyonu olduğunu kabul eder o ayrıca yerel sınır gibidir daha çok "p" ≥ 1 durumu gibidir. Bir F-uzayının prototip örneğidir ;en mantıklı ölçüm uzayı için,yerel dışbükey değildir: ℓ içinde veya "L"([0, 1]), her açık dışbükey küme 0 fonksiyon içeren "p"-sözde-norm için sınırlıdır; bu nedenle 0 vektör dışbükey komşuluğun bir temel sistemine sahip değildir.Özel olarak, bu pozitif ölçümün sonlu kümelerinin parçalarının bir sonsuz ailesi dahilinde ise "S " ölçüm uzayı doğru ölçülebilir.

"L"([0, 1]) içi