nere form olsun,v, w in R içinde v, w için dejenere çiftdoğrusal form şöyle tanımlanır
R üzerine yüzeyötesi R içinde bu dejenere skaler çarpım izdüşüm mesafe ölçümleri.

v ve w vektörerinin Clifford çarpımı ile veriliyor
Unutmadan eksi işareti dördeylerle yazışmaları basitleştirmek için tanıtıldı.

R nin ortogonal birim vektörlerinin bir kümesi ifadesi olarak e, e, e ve e, ise Clifford çarpımı ilişkileri elde edilir
ve

Clifford cebrinin "C"ℓ(R,"d") genel ögelerinin 16 bileşeni var. çift dereceli kademeli ögenin doğrusal kombinasyonu çift alt cebir "C"ℓ(R,"d") genel öge 

ile tanımlanır.Taban ögesi dördey taban ögeleri "i", "j", "k" ve ikili birim "ε" olarak denkleştirilebilir
Bu yazışma "C"ℓ(R) çift dördey ile cebir "C"ℓ(R) yi sağlar.

Bunu görmek için, hesap
ve
e ve e nin değişikliği zamanın bir çift sayı alterne işareti, ve çift birim "ε" ile gösterilir ve dördey taban ögeler "i", "j", ve "k "ile sırabağımsızdır

Verilen bir vektör uzayı "V" ile yalnızca dış cebir Λ("V") ile kurulabilir, "V "herhangi bir ikinci derece biçiminden bağımsızdır.Burdan çıkıyor ki K karakteristik 2 daha sonra orada olmadığında bir doğal izomorfizm Λ("V") ve "C"ℓ("V", "Q") arasında vektör alanları olarak düşünülebilir (burada natura olmayabilir karakteristik iki izomorfizma, var). ancak ve ancak "Q" = 0 ise bu bir cebir izomorfizmasıdır .Q üzerine bağlı bir çarpma ile "V "üzerinde dış cebirin bir zenginliği olarak böylece Clifford cebiri"C"ℓ("V", "Q")(veya daha doğrusu, bir nicemleme, bakınız,giriş) düşünebiliriz(hala Q dış çarpımı bağımsız tanımlanabilir).

Q izomorfizm kurmak için kolay yol "V " için seçilen bir "ortogonal" taban {"e"} içindir ve onu bir tabana uzatmak için "C"ℓ("V", "Q") olarak yukarda tanımlanıyor. eşlemesi ile belirlenir
unutmayın eğer bu {"e"} tabanı ortogonal ise çalışır. bunun bir eşleme olduğu gösterilebilir ve ortogonal taban  seçimi bağımsızdır ve bu yüzden bir doğal izomorfizm veriyor.

Eğer "K" nın karakteristiği 0 ise,ve bir de antisimetrileştirme ile izomorfizm kurulabilir fonksiyonunun tanımı ile
burada toplam "k" elemanları üzerinde simetrik grup üzerinden alınır. Bu bağlamda "f" alternatif olarak bu bir teklik doğrusal eşleme uyarır.Bunun direkt toplamı eşlemeleri Λ("V") ve "C"ℓ("V", "Q") doğrusal bir eşleme arasında veriliyor . Bu eşlemenin  doğrusal  izomorfizm olduğu gösterilmiştir ve bu doğaldır.

Ilişkiyi görmenin daha sofistike bir yolu "C"ℓ("V", "Q") üzerinde bir filtreleme kurulumu içindir. Hatırlanacağı gibi tensör cebiri "T"("V") nin bir dogal süzmesi var: burada "F" derece ile tensörlerin toplamını içerir. Clifford cebri bu aşağı izdüşümü "C"ℓ("V", "Q") üzerinde bir süzme ile veriliyor.birleşimli dereceli cebir
dir.Λ("V") dış cebri için doğal izomorfiktir.Bu bağlamda süzülmüş bir cebir her zaman süzülmüş vektör alanları olarak süzülmüş cebir için izomorfunun asosise kademe cebirdir (tüm "k "için "F"içinde "F" nın tamamlayıcılarını seçerek ),herhangi bir karakteristik içinde(doğal olmamasına rağmen) bu iki çift bir izomorfizm sağlar.

Aşağıdakinde, varsayalımki karakteristik 2. değildir.

Clifford cebri Z-kademeli cebir (ayrıca supercebir olarak biliniyor). Yani, "V" üzerinde doğrusal gönderme "v" ↦ −"v" (başlangıç yardımıyla yansıma) ile tanımlanıyor."Q" karesel formu korunur ve böylece bir cebir otomorfizmi için Clifford cebri uzantılarının evrensel özellikleri ile

α: "C"ℓ("V", "Q") → "C"ℓ("V", "Q").

bağlamında α bir karmaşadır(yani. o denklik için kareler) "α' "nın pozitif ve negatif özdeğerleri içinde "C"ℓ("V", "Q") ayrışabilir.." "
burada "C"ℓ("V", "Q") = {"x" ∈ "C"ℓ("V", "Q") | "α"("x") = (−1)"x"}. Bu bağlamda "α" bir otomorfizmdir,bu aşağıda şöyledir
Bu üst-indis modulo 2 okunur,bir Z-kademe cebirinin kurulumu "C"ℓ("V", "Q") veriliyor. Altuzay "C"ℓ("V", "Q"),nin bir altcebir formuna "çift altcebir "denir.Altuzay "C"ℓ("V", "Q") "C"ℓ("V", "Q") (bu bir altcebir değildir).nin "çift kısım " olarak adlandırılır.Bu Z-kademe analizde ve Clifford cebiri uygulamasında önemli bir rol oynar. "α" otomorfizme "ana sönme" veya "kademeli sönme "denir. Bu ögelerin bu Z-kademe içinde saf sadece çift veya tek olduğu söyleniyor.

"Açıklama".karakteristikte"C"ℓ("V", "Q") nin 2 değildir vektör uzayı altında Λ("V") dışsal cebirin vektör uzayı altında yer alan kurallı izomorfizmden bir N-kademe ve bir Z-kademe devralıyor. Buna dikkat etmek önemlidir, bununla beraber, işte bu bir "yalnızca vektör uzayı kademesidir". Şöyle ki, Clifford çarpımı N-kademe veya Z-kademe sıralı değildir, yalnızca Z-kademe: örneğin eğer , ise , ama , içinde değildir. Ne mutlu ki, dereceleri doğal şekilde ilişkilidir: Z ≅N/2N≅ Z/2Z. daha fazla, the Clifford cebri Z-filtrelenmiştir: . Bir Clifford sayısının "derecesi" genellikle N-kademe içinde derecesine değinmektedir .

Bir Clifford cebrinin çift altcebiri "C"ℓ("V", "Q") bir Clifford cebri için kendine izomorfiktir. Eğer "V" bir vektörünün ortogonal direkt toplamı "bir" "Q"("a") normunun bir vektörünün ortogonal direkt toplamı ve bir "U "altuzayı ise "C"ℓ("V", "Q") ,"C"ℓ("U", −"Q"("a")"Q") için izomorfiktir burada −"Q"("a")"Q" , "Q "formu "U" ile sınırlanıyor ve −"Q"("a") ile çarpılıyor.Özellikle bu vurgu üzerine gerçekler şöyledir
negatif-tanım durumu içinde bu verilen bir "C"ℓ(R) ⊂ "C"ℓ(R) içermesi bu diziyi genişletir
aynı şekilde,yalnız karmaşık durum içinde gösterilebilirki "C"ℓ(C) nin çift altcebri "C"ℓ(C) için izomorfiktir

Burada ek otomorfizm "α "için bu iki anti-otomorfizmler Clifford cebrinin analizi içinde önemli bir rol oynar. Tensor cebri "T"("V") nden hatırlanacağı gibi birlikte alınan tüm çarpımlar içinde antiotomorfizmin bu derecesi tersine çevrilir :
bağlamında ideal "I" bu terslik altında değişmezdir, "C"ℓ("V", "Q") nun bu inen işlem bir antiotomorfizmine bir "devrik" veya "tersine" işlem denir, "x"ile ifade edilir.Devrik bir antiotomorfizm: ("xy") = "y x".dir. Devrik işlem Z-kademenin hiçbiri kullanılmaz, böylece "α" düzenlemesi ve devrik ile ikinci bir antiotomorfizm olarak tanımlanıyor,bu formula_45 "Cliffort birleşme" işlemi olarak adlandırılır
İki antiotomorfizmlerin, devriği daha temeldir.

Unutmadan bu tüm işlemlerin sönmeleridir,ögelerin üzerinde ±1 olarak hareket ettikleri görülebilir bu Z-kademe içinde saftır.Aslında, her üç işlem derecesi sadece modulo 4'e bağlıdır. İşte bu, eğer "x" saf "k "derece ile ise
burada işaretler aşağıdaki tablo ile veriliyor:
Eğer karakteristik 2 değil ise, "V" üzerinde karesel form "Q" "C"ℓ("V", "Q") (bu ayrıca "Q "ile ifade edilir)'nun hepsi üzerinde bir karesel form için genişletilebilir. Böyle bir uzantısının bir baz bağımsız tanımı 
burada ⟨"bir"⟩ "bir" (Z-kademe içinde parça kademe 0)ın skaler parçası ifadesidir.Yalnız gösterilebilir ki
burada "v""V" nin ögeleridir– bu denklik "C"ℓ("V", "Q").nun keyfi ögeleri için doğru "değil"dir.

birleşmeli simetrik çiftdoğrusal form on "C"ℓ("V", "Q") üzerinde birleşmeli simetrik çiftdoğrusal form şöyle veriliyor
Yalnız "V" için kısıtlı olduğunda bu orijinal çiftdoğrusal form için bu indirgemeyi  kontrol edebilirsiniz. Çiftdoğrusal form on all of "C"ℓ("V", "Q") nun tüm üzerindeki dejenere olmayan ancak ve ancak eğer "V "üzerinde ayrışmayandır

Bu devriği doğrulamak için zor değildir bu iç çarpıma göre sol/sağ Clifford çarpımının ekidir.Şöyle ki,
ve

Bu bölümde biz vektör uzayı "V"nin sonlu boyutlu ve "Q" nun çiftdoğrusal formunun tekil-olmadigini "K" üzerinde bir merkezi basit cebirin (sonlu boyutlu) bir bölüm cebri üzerinden "K "merkez ile bir matris cebiri oldugunu varsayiyoruz.Örneğin, gerçekler üzerinde merkezi basit cebir ya gerçekler veya kuaterniyonların üzerinde  matris cebirleridir.

Clifford cebiri yapısı aşağıdaki sonucu kullanılarak açıkça dışarı geçirilebilir. "U" için varsayalımki çift boyut var ve diskriminant "d "ile tekil-olmayan bir çift boyut var ve varsayalım "V" bir karesel form ile diğer vektör uzayıdır."U"+"V" nin Clifford cebri "U" nun Clifford cebirlerinin tensör çarpımı (−1)"dV "için izomorfiktir ve bu (−1)"d "ile çarpılan "V" uzayı ile birlikte karesel formdur,gerçekler üzerinde,şu özellikler vurgulanır
Bu formüller tüm gerçek Clifford cebiri ve tüm karmaşık Clifford cebiri yapısını bulmak için kullanılabilir;Clifford cebirlerinin sııflandırılmasına bakınız

özellikle,bir Clifford cebrinin Morita eşdeğeri sınıfı (onun gösterim teorisi: bunun üzerine modül kategorisinin denklik sınıfı) yalnızca işareti üzerinde bağımlıdır. Bu Bott periyodisitesinin bir cebrik formudur.

Clifford gruplarının sınıfı Rudolf Lipschitz tarafından araştırıldı.

Bu bölümde varsayalımki "V" sonlu boyutludur ve karesel form "Q" dejenere olmayandır

tersinebilir ögelerin grubu ile bir Clifford cebrinin ögeleri üzerinde bir hareket bükümlü bir birleşmenin terimleri içinde tanımlanabilir: "x" ile bükümlü birleşim "y" ↦ "x y α"("x"), eşlemeleri ile burada "α" "ana büzülme" yukarıda tanımlanıyor

Clifford grup Γ tersinebilir ögelerin kümesi olarak tanımlanıyor "x" işte bu hareket, altında "stabilize vektörler" "v" nin "V" içinde bunun tüm anlamı, elimizde olan:

Bu formül ayrıca "V" vektör uzay üzerinde tanımlanan Clifford grubunun bir hareketi norm "Q" koruyor ve böylece ortogonal grup için Clifford gruptan bir homomorfizm veriliyor. Clifford grubu, sıfırdan farklı norm "V" nin tüm "r" unsurlarını içerir, ve burada yansımalar karşılığı ile "V" üzerine hareket şu için "v " alınıyor.(Karakteristik 2 de bu yansımalar oldukça daha ortogonal transveksiyonlar denir.)

Clifford grup Γ, Γ ve Γaltkümelerinin ayrık birliğidir.iki altkümelerini burada Γ , "i". derecenin ögelerinin altkümesidir Γ alt kümesi Γ içinde indis'in bir alt grubudur

Eğer "V "kesin pozitif (veya kesin negatif ) kuadratik formu ile bir sonlu boyutlu reel vektör uzayı ise Clifford grup biçimine göre "V" ortogonal grup üzerine eşleşir (Cartan–Dieudonné teoremi ile) ve Çekirdek alan "K" sıfırdan farklı unsurdan oluşur.Bu tam diziler için açılan yol

Diğer alanlar üzerinde veya tanımsız formlarla, gönderme genel üzerinde değildir, ve hatalı spinor norm tarafından kapılır.

Keyfi karakteristik, spinor normun "Q" Clifford