e göre, koordinat yüzeyleri ilişkiler tarafından tanımlanmaktadır:

formula_4    formula_5,

Bu yüzeylerin kesişimi koordinat çizgilerini ifade etmektedir. Seçilen bir noktada, o noktadaki koordinat çizgilerinin kesişim tanjantı temel vektör dizilerini {e, e, …, e} olarak tanımlamaktadır. Bu da :

Bu değerler birim uzunlukta birimboylandırılabilir. Daha fazla ayrıntı için curvilinear koordinatları inceleyiniz.
Koordinat yüzeyleri, koordinat çizgileri ve temel vektörler koordinat sisteminin bileşenleridir. Temel vektörler her noktada dik ise, koordinat sistemi dik bir koordinat sistemi olarak ifade edilir.

Koordinat sisteminin bir diğer önemli de onun metric gergisidir. Bu da kendi koordinatı bağlamında koordinat sistemindeki yay uzunluğu olan ds’yi belirlemektedir:

Tekrarlayan altimler toplanmaktadır.

Bu ifadelerden de anlaşılacağı gibi, bir koordinat sistemi matematiksel bir yapı olmakla birlikte aksiyomatik bir sistemin parçasıdır. Koordinat sistemleri ve fiziksel hareket arasında hiçbir zorunlu bağlantı yoktur ( veya herhangi bir ilişki boyutu bulunmamaktadır. ). Ancak koordinat sistemleri koordine olarak zamanı içerebilir, ve hareketi betimlemek için kullanılabilir. Bu nedenle, Lorentz dönüşümleri ve Galile dönüşümleri koordine dönüşümler olarak ifade edilebilir.

Bir gözlemci çerçevesi, genellikle fiziksel bir gözlemci çerçevesi, bir gözlemci çerçevesi, ya da sadece bir çerçeve olarak tanımlanır ve gözlemci ya da gözlemcinin hareket durumuna ilişkin fiziksel bir kavramdır. Biz burada Kumar ve Barve tarafından ifade edilen görüşü benimsemekteyiz: bir gözlemci çerçevesi yalnızca onun hareket durumuna göre tanımlanmaktadır. Ancak, burada bir görüş birliği yoktur. Özel görelilikte ayrım bazen bir gözlemci ve bir çerçeve arasında yapılır. Bu bakış açısına göre bir çerçeve, zamansal vektöre dik uzayımsı vektörler kümesinin ortonormal sağ el olarak kullanımı için bir gözlemci ve bir koordinat kafesidir. Bu kısıtlı görünüm burada kullanılmamaktadır ve evrensel görelilik tartışmalarında bile kabul edilmez. Genel görelilikte koordinat sistemlerinin genel kullanımı yaygındır (bkz: örneğin, yalıtılmış bir alan dışında kütleçekimi alanı için Schwarzschild çözümünün kullanımı).

Gözlemci çerçevesinin iki türü vardır: İvmelenen ve İvmelenmeyen. Bir ivmelenmeyen gözlemci çerçevesi tüm fizik yasalarının basit biçimleriyle aldığı şekilde tanımlanmaktadır. Özel görelilikte bu çerçeveler Lorentz dönüşümleri ile ilgilidir, bunlar da hızla denklemdirilmektedir. Newton mekaniğinde, daha kısıtlı bir tanım Newton’un birinci yasasının geçerliliğini gerektirmektedir; bununla da bir Newton ivmelenmeyen gözlemci çerçevesi, serbest bir parçacığın sabit bir hızda düz bir çizgide hareket ettiğini ya da durduğunu belirtmektedir. Bu çerçeveler Galile dönüşümleri ile ilgilidir. Bu göreli ve Newton dönüşümleri Poincaré grubu ve Galile grubunun temsilleri açısından genel boyut alanlarında ifade edilmiştir.

İvmelenmeyen çerçevenin aksine bir ivmelenen gözlemci çerçevesinde, gözlemlerin açıklanabilmesi için kurgusal güçlerin çağrılması gerekmektedir. Buna yönelik bir örnek olarak, Dünya'nın yüzeyinde bir noktada merkezi olan gözlemci çerçevesi verilebilir. Bu gözlemci çerçevesi Dünya'nın merkezi etrafında yörüngelenmiştir, bu da Coriolis kuvveti, merkezcil kuvvet ve çekim kuvveti olarak bilinen kuvvetleri devreye sokmaktadır.

Bir gözlemci çerçevesinin bir başka yönü de çerçeveye eklenen ölçüm cihazının rolüdür (örneğin saatler ve çubuklar). Bu soru burada ele alınmamaktadır, ve nicem mekaniğinin özel ilgisine sahiptir, bu alanda gözlemci ve ölçüm arasındaki ilişki halen tartışılmaktadır. (Bkz. Ölçüm problemi). Fizik deneylerinde, laboratuvar ölçüm cihazlarının sahip olduğu gözlemci çerçevesi genellikle laboratuvar çerçevesi olarak ya da basitçe “lab çerçevesi” olarak adlandırılmaktadır. Buna bir örnek de bir tanecik hızlandırıcı için parçacıkların hareketsiz olduğu algıçlardaki çerçeveler olacaktır. Bazı deneylerdeki lab çerçevesi ivmelenmeyen bir çerçevedir, ancak mutlaka öyle olması gerekmemektedir. (Örneğin birçok fizik deneylerinde Dünya yüzeyindeki laboratuvar ivmelenmeyen gözlemci çerçevesi değildir.) Parçacık fiziği deneylerinde, hesaplandıkları yerde lab çerçevesinden parçacıkların enerjilerini ve momentumlarını dönüştürmek kullanışlıdır, bazen sadeleştirilen ölçümlerde momentum çerçevesinin merkezine “COM (center of momentum -frame) çerçevesi” denir, çünkü potansiyel olarak COM çerçevesi içinde mevcut olan kinetik enerji yeni parçacıklar yapmak için gerekecektir.

Bu bağlamda, saatler ve çubuklar düşüncede gözlemcinin ölçüm cihazlarını tanımlamak için kullanılmaktadır, uygulamada ise vakumun doğasına bağlı olan çok daha karmaşık ve dolaylı metrolojilerle yer değiştirir ve standart modele göre çalıştırılan, kütleçekimi zaman genişlemesinin düzenlenmesi için gerekli olan atomik saatleri kullanmaktadır. (Bkz. Ikinci, metre ve kilogram).

Aslında, Einstein saat ve çubukların yalnızca uygun ölçüm aletleri olduğunu hissetmişti ve onların atom ya da moleküller gibi daha temel varlıklarla değiştirilmesi gerektiğini düşünmüştü.

Günlük yaşamda yaygın bir durum düşünün. İki araç bir yol boyunca ilerliyor, ikisi de sabit hızlarla hareket ediyor. Bkz Şekil 1. İlk anda, aralarında 200 metre mesafe bulunuyor. Öndeki araç 22 m/s hızla hareket ederken arkadaki araç ise 30 m/s hızla hareket ediyor. Eğer arkadaki aracın öndekini yakalama süresini bulmak istersek, düşünmemiz gereken üç farklı gözlemci çerçevesi bulunmaktadır. İlk olarak, araçları yol kenarından gözlemleyebiliriz. Buradaki" gözlemci çerçevesine" S diyelim. Biz burada yolun kenarında duruyoruz ve ikinci arabanın bizi geçtiği anda bir dur-saatini çalıştırıyoruz, yani bu çalıştırma işi de aralarındaki mesafe "d" = 200 m olduğu zaman gerçekleşmektedir. İki araba da hızlanmadığı için, onların konumlarını aşağıdaki denklemlerden hesaplayabiliyoruz, burada "t" süre sonunda aracın konumunu belirtmektedir ve yine t süre sonunda ikinci aracın konumunu belirtmektedir.

Bu denklemlerde t=0 anında birinci araç yolun 200 m aşağısındayken ikinci aracın bizim yanıbaşımızda olduğu varsayılmaktadır. Biz durumundaki zamanı hesaplayabiliriz. Böylece formula_9 olarak varsayımda bulunup t’yi ;

olarak hesaplayabiliriz.

Alternatif olarak, biz ilk arabada bulunan gözlemci çerçevesi "S′" yü seçebiliriz. Bu durumda, ilk araç sabitken ikinci araç arkadan hızıyla yaklaşmaktadır. İlk aracı yakalayabilmesi için gerekli olan zaman olacaktır ve bu da 25 saniye olacaktır. Uygun gözlemci çerçevesi seçildiğinde problemin ne kadar kolay çözüldüğüne dikkat ediniz. Üçüncü uygun gözlemci çerçevesi ikinci arabaya göre gerçekleştirilebilir. Bu da az önce tartışılan çerçeveye benzerlik göstermektedir, bu durumda ise ikinci araç sabit iken ilk araç 8 m / s hızla geriye doğru gelmektedir.

Burada karmaşık bir şekilde hareket edilirken dönen ve hızlanan gözlemci çerçevesi seçilebilirdi, ancak bu seçim problemi gereksiz yere daha da zorlaştırılacaktır. Ayrıca şu da bilinmelidir ki, bir koordinat sisteminde gerçekleştirilen ölçümleri başka koordinat sistemlerine çevirmek mümkündür. Örneğin kol saatinizin yerel saate göre 5 dakika daha önde olduğunu düşünebilirsiniz. Eğer bu durumun farkında iseniz, birileri size saati sorduğunda saatinize bakıp gördüğünüz süreden 5 dakika eksik olan saati söylemeniz gerektiğini bilirsiniz. Bir sistem hakkında bir gözlemcinin yaptığı hesaplamalar gözlemcinin gözlemci çerçevesine bağlıdır (örneğin otobüs saat 3’te varıyorken siz 3’ü 5 geçe vardığını düşünebilirsiniz).

İki gözlemcinin sadece yönünü içeren basit bir örnek için, bir kuzey-güney doğrultulu yolda iki insanın birbirine karşılıklı olarak durduğunu varsayalım. Bkz Resim 2. Bir araba güneye doğru onları geçmektedir. Doğuya bakan kişi için, araba sağa doğru hareket etmektedir. Ancak batıya bakan kişi için, araba sola doğru hareket etmektedir. Bu tutarsızlığın sebebi bu iki kişinin de sistemi araştırırken farklı gözlemci çerçevesi kullanmasından kaynaklanmaktadır.

Göreceli hareketteki gözlemcileri içeren daha karmaşık bir örnek için, Alfred’i düşünelim, bu varsayımda kişi kendini sağdan sola doğru geçen bir arabayı yol kenarından izlemektedir. Onun gözlemci çerçevesinde, Alfred durduğu noktayı orijin olarak, yolu x ekseni olarak ve yönü de önünde duran y ekseni olarak tanımlamaktadır. Ona göre, araba pozitif x ekseni yönünde v hızı ile x ekseni boyunca hareket etmektedir. Alfred'in gözlemci çerçevesi bir gözlemci ivmelenmeyen çerçevesi olarak tanımlanmaktadır, çünkü hızlanmamaktadır (burada Dünya’nın dönüşü ve yer çekimi ihmal edilmektedir).

Şimdi ise arabayı kullanan Betsy’i düşünelim. Betsy, gözlemci çerçevesini seçerken, durduğu noktayı orijin olarak tanımlamaktadır, sağ tarafındaki yönü pozitif x ekseni olarak, ve önündeki yönü ise pozitif y ekseni olarak tanımlamaktadır. Bu gözlemci çerçevesinde, durağan olan Betsy’dir ve onun etrafındaki Dünya da dönmektedir – örnek olarak o Alfred’i geçmiştir ve onu v hızıyla negatif y ekseni boyunca ilerliyor görmektedir. Eğer kuzeye doğru sürüyorsa, kuzey taraf pozitif y ekseni yönüdür; eğer doğuya sürüyorsa doğu, pozitif y ekseni olacaktır.

Son olarak, ivmelenen gözlemcilere ek olarak, Candace’in arabasını hızlandırdığını düşünelim. Onu geçtiği zaman, Alfred onun ivmesini hesaplamak isterse negatif x yönünde a ivmesiyle gittiğini gözlemleyecektir. Candace’in ivmesi sabit olarak varsayılırsa, Betsy’nin hesaplayacağı ivme ne olur? Eğer Betsy’nin hızı v sabit ise onun gözlemci çerçevesi ivmelenmeyen olacaktır, ve gözlemci çerçevesinde kendi ivmesini de Alfred ile aynı olarak hesaplayacaktır, negatif y yönünde a ivmesi ile. Ancak, eğer negatif y yönünde A ivmesi ile hızlanıyorsa (diğer bir deyişle, yavaşlıyorsa), Candace’in ivmesini negatif y yönünde a′ = a − A olarak hesaplayacaktır – ve bu ölçümün değeri Alfred’den biraz daha düşük olacaktır. Benzer şekilde, pozitif y-yönünde hızlanıyor ise (hızlanıyorsa), Candace’in ivmesini negatif y yönünde a′ = a + A olarak hesaplar – bu da Alfred’in değeri