üyük manyetik alan), formula_25, formula_26 nün maksimum değerine yaklaşır ki bu da tüm parçacıkların uygulanan manyetik alanla aynı hizaya girmesi demek.

Parçacığın rastgele bir dönüşü(rastegel bir spin numarası) olduğunda, formül biraz daha karmaşık bir hal alır.
Düşük manyetik alanlar veya yüksek sıcaklıklarda, dönüş(spin) Curie yasasını

İfadesi ile takip eder. Buarada formula_28, toplam açısal momentum kuantum sayısını ve formula_29 is dönüşün g-faktörünü göstermektedir. (Öyle ki formula_30 manyetik momenttir.).
Bu daha genel formülü ve onun çıkarılışı için( yüksek manyetik alan ve düşük sıcaklığı da içeren haliyle) Brillouin fonksiyonu makalesine bakınız.
Dönüş sonsuza yaklaştıkça, mıknatıslanma formülü bir sonraki kısımda hesaplanan klasik değere yaklaşmaktadır.

Paramagnetonların(basit şekilde, paramanyetizmaya sebep olan parçacıklar), klasik bir biçimde, serbestçe dönen manyetik momentler olduğunu düşünürsek, alternatif bir yaklaşım da mümkündür. Böyle bir durumda, bu parçacıkların pozisyonlarını küresel koordinatlardaki açılarıyla belirlenebilir ve bir tanesinin enerjisi aşağıdaki formülle bulunur.

Buna bağlı ayrılım fonksiyonu:

Değerin açıya(formula_34) bağlı olmadığı gözüküyor. Bu sayede formula_35 değişimini yapabiliriz:

Şimdi, mıknatıslanmanın z koordinatındaki elemanının beklenen değeri(diğerleri açı üzerinden alınan integral itibarıyla, beklendiği gibi sıfıra gidecek) aşağıdaki formüldeki gibidir.

İşlemi basitleştirmek için, üstteki formül formula_14 nin türevi şeklinde yazılabilir

Çıkarımı devam ettirirsek:

Bu fonksiyon küçük formula_43 değerleri için tekilmiş gibi gözükebilir fakat değildir. Çünkü formüldeki tekil ifadeler birbirini götürür. Aslında, küçük değerler için bunun davranışı formula_44 dır. Böylece Curie sınırı halen geçerli olmakla birlikte, Curie katsayısı 3 kat daha küçüktür. Benzer şekilde, fonksiyon, argümanının yüksek değerleri için, formula_45 de doygunluğa ulaşır. Ters sınır da benzer bir şekilde düzelir.
Bu kavram, manyetik termometrelerin, ki çok düşük sıcaklıkların ölçümü bu aletlerle yapılmaktadır, temelini oluşturmaktadır.





Soliton

Matematikte ve fizikte, soliton sabit bir hızda yayılım gösterirken kendi şeklini koruyan ve kendi kendini güçlendiren tekil dalgalardır (dalga paketi ya da nabız dalgası).Solitonlar, boşluktaki dağıtıcı ve doğrusal olmayan etkilerin birbirini iptal etmesiyle oluşmuştur. (“Dağıtıcı etkiler” kavramı ile, dalgaların hızının frekansa göre değiştiği belirli sistemler kastedilmektedir.) Solitonlar, fiziksel sistemleri tanımlamak için kullanılan doğrusal olmayan dağıtıcı kısmi ayrımsal eşitlilklerin yayılma sınıfının çözümleri olarak bulunmuuştur.

Soliton terimi, ilk olarak 1834 yılında, İskoçya, Union Canal’da yalnız yaşayan John Scott Russell tarafından tanımlanmıştır. John Scott Russell, dalga deposu adlı olguyu tekrar üretmiş ve buna “çevrimli dalga” adını vermiştir.

Solitona kararlaştırılmış tek bir tanım bulmak oldukça zordur. Drazin & Johnson solitonlara şu üç özelliği atfetmişlerdir:

Daha resmi tanımlar vardır, ancak azımsanmayacak oranda matematik içerirler. Dahası, bazı bilim insanları soliton terimini bu üç özelliğe sahip olmayan bir olay olarak tanımlarlar (örneğin; doğrusal olmayan optikteki ‘ışık mermileri’, etkileşim anında enerji kaybettiklerinden soliton olarak adlanrılırlar.)

Saçılım ve doğrusal olmama kalıcı ve yeri belirlenmiş dalga biçimlerini üretebilmek için etkileşebilirler. Cam içinde hareket eden ışığın eğilimini ele alalım. Bu eğilimin, farklı frekanslardaki ışığı içerdiği düşünülebilir. Cam, dağılım gösterdiğinden farklı frekanslar farklı hızlarda hareket edecek ve bu yüzden zamanla eğilim değişime uğrayacaktır. Ancak, Kerr etkisi de doğrusal olmayan bir etkidir: belirli bir frekansta, maddenin kırılma özelliğine sahip dizini ışığın genliğine ya da dayanımına bağlıdır. Eğer eğilim gereken şekle sahipe, Kerr etkisi dağılım etkisini iptal eder ve eğilimin şekli zamanla değişime uğramaz; bu da solitonu oluşturur. Daha detaylı bilgi için optikte solitonlar araştırılabilir.

Çözülebilir birçok model, Korteweg- de Vries ve doğrusal olmayan Schrödinger, birleştirilmiş doğrusal olmayan Schrödinger ve sinüs- Gordon eşitlikleri dahil çok fazla çözüme sahiptir. Soliton çözümleri tipik olarak saçılım dönüşümü ve dönüşümün kararlılığın alan eşitliklerinin tam olma niteliklerinin tersinin hesaplamalarıyla elde edilebilir. Bu eşitliklerin matematiksel kuramı, matematiksel araştırma alanlarında oldukça ortada ve aktif bir konudur.

Severn Nehri de dahil bazı nehir olaylarının dalgası, bazı gelgit oyuklarını oluşturur bunlar dalgalı sıçrama yaparlar: çözümleri dizisi tarafından takip edilen dalga cephesi. Denizin altındaki içsel dalgalar gibi okyanussal piklonikleri yayan deniz yatağı yerbetimi tarafından başlatılmış örneklerde ise başka çözümler oluşur. Ayrıca, doğrusal geniş tüp bulutlarını üreten evirtim katmanları sıcaklığında gezinen ve basınç çözümlerine sahip olan Carpentaria Körfezi’nin gündüzsefası bulutu gibi atmosferik çözümler de vardır. Sinirbilimindeki en yeni ve henüz kabul edilmemiş olan çözüm modeli nöronları sinyallerin taşınmasını sağlayan basınç solitonları olarak açıklamaya çalışır.

Bir ilingesel soliton, aynı zamanda, “önemsiz çözüm” denilen ilingesel kusurun çürümeye karşı kararlı, kısmi ayrımsal denklemlerinin bir dizi olarak çözümüdür. İlingesel sabitlere göre soliton kararlılığının tam olma niteliği alan eşitliklerine göre daha fazladır. The constraints arise almost always because the differential equations must obey a set of boundary conditions, and the boundary has a non-trivial homotopy group, preserved by the differential equations. Ayrımsal denklemlerin sınır koşulları bir dizi şarta uymak durumundadır, çünkü kısıtlamalar ayrımsal denklemler tarafından korunmuş herhangi bir önemsiz olmayan homotopi gruplarına sahip değildir. Böylece, ayrımsal denklem çözümleri homotopi sınıflarına ayrılabilir .
Homotopi sınıflarında, herhangi bir çözüm haritası gösterecek devamlı dönüşüm yoktur Çözümler birbirlerinden kesinlikle ayırılır ve aşırı büyük kuvvetlerle bile karşılaşsalar kendi bütünlüklerini sağlarlar. İlingesel soliton örnekleri, kristal kafesteki altüst olmuş vidaları içerir, Dirac sicimi ve elektromanyetizmdeki manyetik tek kutbu, kuantum alan kuramındaki Skyrmion ve Wess Zumino Witten modeli, sıkıştırılmış madde fiziğindeki manyetik skyrmion, kozmik sicimler ve kozmolojideki bilgi alanı duvarlarını içerir.

1834 yılında, John Scott Russell kendi dönüşüm dalgalarını açıklar. Scott Russell’ın kendi sözleriyle keşif şöyledir:
Geminin hareketini gözlemlerken aynı zamanda bir çift atın dar kanalda hızlıca sürüklendiğini de gözlemliyordum, bot bir anda durduğunda – kanaldaki suyun kütlesi tekrar hareketi sağladı; şiddetli çalkaşlanma durumu geminin burun kısmında birikmişti, daha sonra bir anda su öbeği düzgünce geride kalmaya başladı ve bu da hızın küçülmesine ya da kanalda belirli belirsiz bir değişikliğe neden olmuştu. At sırtından onu takip ettim, ve hala dönerken saatte sekiz ya da dokuz mil oranında bir hızla onu solladım, asıl şekil otuz fit uzunluğunda ve bir fite bir fit yarı uzunluğundaydı. Yüksekliği giderek azalmıştı, ve bir ya da iki mil takipten sonra, kanalın dönemeçlerinde onu kaybetmiştim. Böylece, 1834 yılının Ağustos ayında, Dönüşüm Dalgası adını verdiğim tekil ve güzel olay hakkında ilk görüşmemi gerçekleştirmiş olmuştum.

Scott Russell bu dalgaların kuramsal ve pratik araştırmaları yapmak için biraz zaman geçirmiştir. Evinde dalga depoları inşa etmiş ve bazı anahtar özellikler keşfetmiştir:


Scott Russell’ın deneysel çalışmaları, Newton’nın ve Daniel Bernuolli’nin hidrodinamik kuramlarına göre farklılıklar göstermiştir. Scott Russell’ın deneysel gözlemleri su dalgası kuramlarının varlığı tarafından açıklanamadığından, George Biddell Airy ve George Stokes bu çalışmaları anlamakta güçlük çekmiştir. Çağdaşları ise bu kuramı genişletebilmek için girişimlerde bulunmuşlar ancak Joseph Boussinesq ve Lord Rayleigh’in 1870’li yıllarda yayımladığı kuramsal çözümlemelere kadar bu konuda herhangi bir başarı sağlanamamıştır. 1895’te Diederik Korteweg ve Gustav de Vries, Korteweg–de Vries eşitlikleri olarak bilinen ve tekli dalga ve periyodik knoydial dalga çözümlemeleri çalışmalarını yayımlamışlardır.

1965 yılında, Bell Laboratuvarlarından Norman Zabusky ve Princeton Üniversitesi’nden Martin Kruskal ilk olarak, sonlu fark yaklaşımını kullanarak Korteweg–de Vries eşitliklerindeki ortamın soliton davranışlarını ispat etmişlerdir. Ayrıca, bu davranışın Fermi, Pasta ve Ulam’ın çalışmalarını nasıl açıkladığını da göstermişlerdir.

1967 yılında, Gardner, Greene, Kruskal ve Miura ters saçılım dönüşümünü, KdV eşitliğinin analitik çözümü ile sağlamışlardır. Peter Lax’ın Lax çiftleri ve Lax eşitliğindeki çalışmaları da birçok bağlantılı soliton ve üretim sistemlerine kadar genişletilmiştir.

Dikkat edilmelidir ki, solitonlar tanımsal olarak; başka solitonların hız ve şekil olarak değiştirilmemiş hallerinin çarpışmasıyla oluşur. Yani, su yüzeyindeki tekli dalgalar tam olarak soliton değillerdir – iki adet tekli dalganın etkileşimi sonucunda genliklerinde küçük bir değişim olur ve titreşimli kalıntı ise geride kalır.

Solitonlar DNA ve proteinlerde oluşabilirler. DNA ve proteinlerdeki düşük frekanslı toplu hareketlerle alakalıdır. Son zamanlarda sinirbiliminde geliştirilmiş olan model, nöron sinyallerinin, solitonlar biçiminde davranışlar sergiledikleri söylemektedir.

Mıknatıslarda da değişik tiplerde solitonlar ve doğrusal olmayan dalgalar vardır. Bu manyetik solitonlar, klasik düzlemsel olmayan ayrımsal eşitliklerin kesin çözümleridirler. — manyetik eşitlikler; Landau- Lifshitz eşitliği, uzay-zaman Heisenberg modeli, Ishimori eşitliği, doğrusal olmayan Schrödinger eşitliği ve diğerleri…

İki solitonun birbirine bağlı halleri biyon ya da bağlı sistemlerin belirli aralıklarla sallandığı “ara” sistemleri olarak adlandırılabilir.

Alan kuramında, Biyonlar genellikle Born-Infeld modelinin çözümü ola