Cisim kuvveti, cismin hacmi veya kütlesindeki hareketi olan cismin harici kaynaklarından meydana gelen kuvvettir Özdeyiş, cisim kuvvetleri, yalnız iletişim kuvvetleri boyunca belirtilen cismin iç kuvvetlerinin farklı bölümleri arasındaki etkileşim, dış kaynakların bulundurulmasına bağlıdır.  Bu kuvvetler, kuvvet alanlarındaki cismin varlığından ortaya çıkar. Örneğin, manyetik alan, yerçekimi alanı veya hareket halindeki cisimlerin iç kuvvetleri. Sürekli cismin kütlesi, yayılmış olduğu varsayılarak, kütleden meydana gelen herhangi bir kuvvette yayılmış olarak kabul edilir. Böylece, cisim kuvvetleri, cismin tüm hacmi üzerinde sürekli varsayılan vektör alanları tarafından belirtilir, Cismin kuvveler, farklı yapı vektör alanları olan cismin kuvvet yoğunluğu  formula_38 (birim kütle) tarafından tanımlanabilir.

Yerçekimi kuvvetleri halinde, kuvvetlerin yoğunluğu, cismin kütle yoğunluğu formula_39 ve kuvvetin birim kütlesinin (formula_40) veya birim hacminin (formula_41). cinsinden belirtilmesine bağlı veya orantılıdır. Bu iki teknik  formula_42 denklemi ile maddenin yoğunluğu tanımlanır. Aynı zamandan elektromanyetik kuvvetin yoğunluğu, elektromanyetik alanın gücüne bağlıdır.

Sürekli cisme etkiyen toplam kuvvet:

Cisme etki eden cisim kuvveti ve temas kuvveti, belirli bir nokta ile ilgili moment kuvvetine karşılık gelen yoldur. Bu yüzden orijindeki toplam etkiyen dönme momenti formula_43 şöyle verilir:

Kesin koşullarda, materyallerin mekanik davranışlarının analizinde yaygın olmayan, O, diğer iki tür kuvveti içinde bulundurmak için önemli olur: bunlar, cismin momenti ve çift gerilmelerdir. (yüzey çiftleri, temas momenti ). Cismin momenti, cismin hacmine birim hacimde veya birim kütlede etkiyen momentlerdir. Çift gerilmeler, yüzeye birim alana uygulanan momenttir. Her ikisi de metallerin bozulma teorisi, bir katının üstündeki harici manyetik alan, materyallerin moleküler yapısının önemli kısımları ve katılaşmış dielektrik katının elektrik alanındaki hareketi için gerilim analizinde önemlidir.

Materyaller, özellikle kuvvet ile sağlanan momentin sergilenen cisim çiftleri ve çift gerilmeler, kutuplu materyallerdir.  Kutupsuz materyaller, sadece kuvvet momentinin materyalleridir. Süreklilik mekaniğinin klasik dallarında gerilmeler teorisinin gelişmeleri, kutupsuz materyallere göredir. 

Böylece, cismin içindeki dönme momentleri ve uygulanan bütün kuvvetlerin toplamı şu şekilde verilir;

Sürekli bir cismin yapılandırmasının içindeki bir değişim, yer değiştirmedir. Cismin yer değiştirmesinin iki bileşeni vardır; katı cisim yer değiştirmesi ve deformasyon. Katı cismin yer değiştirmesi eş zamanlı çeviri ve cismin şeklini ve büyüklüğünü değiştirmeden onun dönüşünden oluşur. Deformasyon, ilk veya bozulmamış yapıdan  formula_44 bir akıma veya bozulmuş yapıya olan cismin büyüklüğü ve şeklindeki değişmelerle açıklanır formula_18 (Şekil 2).

Sürekli cismin hareketi, yer değiştirmelerin sürekli zaman dizisidir. Böylece, materyal cisim farklı zamanlarda farklı yapılandırmaları işgal edecektir bu yüzden bir parçacığı bir dizi evrende bir yörüngeyi belirten noktaları işgal eder.   

Sürekli cismin hareketi veya deformasyonu boyunca devamlılık mevcuttur:

O, referans yapılandırma veya bütün sonraki yapılandırmalardan yararlanılan biçim olan başlangıç koşulları kolayca tanımlanabilir. Referans yapılandırma, işgal edilebilecek cisim olmak zorunda değildir. Çoğu zaman, formula_46 daki yapılandırma, referans yapılandırma olarak düşünülür, formula_47. Bileşenler formula_48 bir parçacığın konum vektörüne formula_49 ait bileşenler, referans yapılandırmaya göre alınan- referans koordinatı veya materyal denir.

Deformasyon veya katıların hareketi veya sıvıların uçuşu analiz edilirken, O, zaman içindeki yapılandırmanın devrimi ya da dizilerin tanımlanmasında önemlidir. Hareket için bir açıklama, referansal koordinat ya da materyal açısından yapılır ve materyal açıklaması veya Lagrange açıklaması denir.    

Lagrange açıklamada, parçacıkların konumları ve özellikleri madde veya referansal koordinat ve zaman cinsinden tanımlanır. Bu durumda, referans yapılandırma formula_46'daki yapılandırmadır. Referansın referansal çerçevesinde duran bir gözlemci, zaman niteliğinde uzayda hareket eden maddesel cisim gibi fiziksel özellikler ve konumdaki değişiklikleri gözlemler. Elde edilen sonuçlar, referans yapılandırma ve başlangıç zamanın seçiminin özgürlüğüdür formula_51. 

Bu açıklama, normalde katı mekaniği kullanıldı. Lagrange açıklamada, sürekli cismin hareketi. formula_52 fonksiyonunun haritalanması ile tanımlanır. (Şekil 2),

Ki başlangıç yapılandırmasının formula_51 şimdiki veya deforme edilmiş yapılandırmadan formula_54,üzerine şimdiki yapılandırmanın bir haritalanmasıdır, bunlar arasındaki geometrik ilişkiyi gösteren formula_55 bu parçacık formula_56, konum vektörü ile formula_49 deforme olmamış ve referans yapılandırmasından formula_51,zamanda şimdiki veya deforme edilmiş yapılandırması formula_54 ,formula_17  zamanda elde edilir. formula_61 bileşenlerine mekansal koordinat denir.

Fiziksel ve kinematik özellikler formula_62, ,termodinamik özellikler ve akışkan hız, ki bunlar maddesel cismin özelliklerini karakterize eden veya betimleyen özellikler, konum ve zamanın sürekli fonksiyonları olarak ifade edilir. formula_63.

Bir sürekliliğin herhangi bir özelliğinin maddesel türevi, formula_62 vektör, skaler veya tensor olabilen, hareketli sürekli cismin parçacıklarının belli bir grubu için bu özelliklerdeki değişimlerin zamana oranıdır. Maddesel türev, konvektif veya mevcut türev olarak da bilinir. Bu gruptaki parçacıklarla hareket eden bir gözlemcinin ölçüldüğü zamanda değişen özelliklerdeki oran olarak düşünebilir. 

Lagrange açıklamada, maddesel türev,formula_62 zamana bağlı kısmi türevdir ve konum vektörü formula_49 izamanla değişmeyecek şekilde sabit tutar. Böylece:

Ani konum formula_67  bir parçacığın özelliğidir ve onun maddesel türevi, parçacığın ani akışkan hızıdır formula_68. Bu yüzden, sürekliliğin akışkan hız alanı şu şekilde verilir: 
Aynı şekilde, ivmelenme alanı şu şekilde verilir:

Aynı şekilde, ivmelenme alanı şu şekilde verilir:

Lagrange açıklamadaki devamlılık, maddesel noktanın başlangıç yapılanmasından şimdiki yapılanması ile haritalanmanın mekânsal ve zamansal sürekliliği tarafından açıklanabilir. Sürekliliği karakterize eden bütün fiziksel nicelikler, bu yolla tanımlanır. Bu anlamda formula_69 and formula_70 fonksiyonları tek değerli ve süreklidirler, ne olursa olsun istenilen zaman ve uzaya göre sürekli türevler ile, genelde ikinci ya da üçüncü.

Süreklilik, halen başlangıç veya referans yapılandırmalarında bulunan x in konumlandırılmasındaki parçacığı bulunduran formula_69 nun tersi ile teyit edilir. Bu nedenle, hareketin tanımı mekânsal yapılandırma formula_51. yapılandırma ile yapılır, bu durumda mekânsal tanım veya Euler tanımı denir ve şimdiki yapılandırılma referans yapılandırma olarak ele alınır. 

Euler tanımı, şimdiki yapılandırmaya odaklanan d'Alembert, tarafından tanıtılır ki bu uzayda ilerleyen zamandaki oluşan herhangi bir noktaya verilen önem, uzay ve zamanda ilerleyen tekil parçacıklar yerine verilen önemdir formula_54,  Bu yaklaşım, uygun bir şekilde kinematik varlıklarda veya büyük ilgi, referans zamandaki akışkan cismin şeklinden ziyade yerine alınan değişimdeki hızdaki akışkan sıvının çalışmalarına uygulanır.

Matematiksel, Euler tanımı kullanılan bir süreklilik hareketi, fonksiyonun şekillendirilmesi ile açıklanır:

şimdi konumlanan parçacığa formula_28 şimdiki yapılandırma içinde formula_54 orijinal konumuna formula_20 başlangıç yapılandırmasının formula_51  takip sağlar. 

Bu ters fonksiyonların varlığı için gerekli ve yeterli koşullar, Jacobian Matrix ‘ın belirleyici faktörü, sıfırdan farklı ve sık sık Jacobian tarafından önerildi. Böylece;  

Euler tanımında, fiziksel özellikler formula_62 şu şekilde açıklanır:

Lagrange tanımındaki formula_79 ‘in fonksiyonel formu, Euler tanımındaki formula_80 ile aynı değildir

formula_81,in zincirleme kuralı kullanılan maddesel türevi,

Bu denklemin sağ el tarafındaki ilk terim, x konumunda oluşan formula_81 özelliğin değişim yerel oranını verir. 

Euler tanımındaki süreklilik, mekânsal ve zamansal süreklilik ve akış hızı alanının sürekli diferansiyellenebilirlik tarafından ifade edilir. Bütün fiziksel özellikler, her bir anlık zamanda, şimdiki yapılandırmadaki, konum vektörünün formula_67 bir fonksiyonu olarak bu yolla tanımlanır.

Deforme ve deforme olmayan yapılandırmalardaki parçacığın konumunu bulunduran vektöre formula_84 yer değiştirme vektörü denir ve Lagrange tanımında  formula_85, ile Euler tanımında formula_86, şeklinde ifade edilir.

Yer değiştirme alanı, bir cismin içindeki bütün parçacıklar için yer değiştirme vektörlerinin hepsinin vektör alanlarına denir ki bu deforme ve deforme olmayan konfigürasyonlara bağlıdır. Bu, deformasyonun analizinde ya da yer değiştirme açısından bir sürekli cismin hareketini uygun olarak yapar. Genel de, yer değiştirme alanı, maddesel koordinatlar ile ifade edilir:  

Ya da mekânsal koordinatlar cinsinden:

formula_87 birim vektörleri formula_88 ve formula_19,  ile mekânsal ve maddesel koordinat sistemleri arasındaki mesafenin kosinüsüdür.  

formula_90 ile formula_91 arasındaki ilişki şu şekilde gösterilir:

Şunu biliyoruz

dolayısıyla:

Bu, sonucu formula_92, ve uzaklık kosinüsü Kronecker deltası olan deforme ve deforme olmayan konfigürasyonlar için koordinat sistemi yaygın olarak ekler.

Böylece elimizde bunlar var:

Ya da mekânsal koordinat cinsinden:

Sürekli mekanik, belirli bir uzunluk ve zaman ölçekleri için sürekli olarak yaklaşılan materyallerin davranışları ile uyuşur. Denklemler, kütle momentum ve enerji için denge yasaları içeren bazı materyallerin mekaniğini yönetir. Kinematik bağıntı ve yapıcı denklemler, hüküm denklemlerinin sistemini tamamlamak için gereklidir. Termodinamiğin ikinci yasasını gerektirerek uygulanabilen yapıcı bağıntıların biçimindeki fiziksel kısıtlamalar, her koşulda yerine getiril