ımından önce,bu yörüngeyi bulmak oldukça kompleks matematiksel işlemler gerektiriyordu ve sadece sınırlı sayıda dinamik sistem için çözüm üretilebiliyordu.Sayısal yöntemleri kullanabilen elektronik hesaplama makineleri dinamik sistemlerin yörüngelerini belirleme hesaplamalarını basitleştirdi.

Basit dinamik sistemler için,yörüngesini bilmek yeterliydi ancak pek çok dinamik sistem sadece yörüngesiyle analiz edilemeyecek kadar komplekstir.Yörüngelerin bilinmesinin yetersiz kalmasının sebepleri:


Pek çok kişi dinamik sistemlerin kurucusu olarak Henri Poincaré'yi görür. Poincaré, "New Methods of Celestial Mechanics"(gök mekaniğinde yeni yöntemler) (1892–1899) ve "Lectures on Celestial Mechanics"(gök mekaniği üstüne dersler) (1905–1910) isimli iki adet monografi yayınladı.Bu kitaplarda üçlü sistemler(hareketleri) üstündeki çalışmalarının sonucunda elde ettiği yöntemleri hatasız bir şekilde uyguladı ve çözümleri üstünde daha detaylı çalışmalar yaptı(frekansları,yörüngelerin denklikleri,asimptotları vb).Bu kağıtlardaki çalışmalara göre(Poincare'in yineleme teorisini de içeriyorlardı)herhangi bir sistem yeterli bir zaman geçtikten sonra,yeterli ancak ölçülebilir zaman,ölçümün başladığı o ilk pozisyonuna çok yakın bir yere dönüyordu.

Aleksandr Lyapunov pek çok,önemli,yaklaşım yöntemleri geliştirdi.1899 yılında geliştirdiği bu yöntemleri,adi diferansiyel denklem kümelerinin kararlığının hesaplanmasını mümkün kılıyordu.Dinamik sistemler için modern kararlılık teorisini üretmiştir.

1913 yılında, George David Birkhoff'un Poincaré'nin "son geometrik teorisini,üçlü sistemdeki özel bir durum için,kanıtlaması ismini dünyaya tanıttı.1927 yılında,şimdi ergodik teorem olarak bilinen ve ortaya atmış olduğu en uzun ömürlü çalışması olan "Dynamical Systems" i yayınladı.Ergodik hipotezden edilmiş fiziksel sezinin ve matematiksel hesaplamayla kombine olması,en azından prensipte,istatistiksel mekaniğin temel sorununun çözümünü oluşturuyordu.Ergodik teori aynı zamanda dinamikten esinlenmeler de içerir.

Stephen Smale 'in de büyük katkıları olmuştur.İlk katkısı at nalı haritası(ayrıntılı bilgi için bkz Horseshoe map)ile dinamik sistemlerde kayda değer çalışmalar yapmıştır.Ayrıca başkalarının pek çok kez baş vurduğu bir araştırma programı da yapmıştır.

1964 yılında Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky,kesintili(bkz discrete dynamical system)dinamik sistemlerin periyotları üstünde çalışması sonucu Sharkovsky teorisini geliştirmiştir.Teoremin çıkarımlarından birine göre,sayı doğrusundaki, kesintili bir dinamik sistem eğer üç adet periyot noktası barındırıyorsa diğer her periyotlarda da periyodik nokta bulundurmak zorundadır.

Dinamik bir sistem çokkatlı bir uzay(lineer uzanan,"M" diye adlandırılan, gelişim/evrilen fonksiyonlar Φ kümesini içeren uzay) katmanındaki noktanın tekrar o katmana("t" geçen zamanı ifade ederken,t ∈ T)dönüşünü gösteren bir harita olarak düşünülebilir.Fonksiyonlardaki lineerlik kavramı,kullanılan uygulamalara ve çokkatlıların tiplerine göre değişiklik gösterir ."T" kümeleri için birden fazla seçim olanağı olabilir. "T" gerçek sayılar kümesi olarak alındığında, dinamik sistem akışkan olarak nitelenebilir(bkz "flow"); eğer "T" sadece pozitif gerçek sayılar kümesi olarak alındığında,dinamik sistem "yarı akışkan" olarak nitelenir."T" tam sayı kümesi olarak alındığında kaskat(cascade,şelale,ardışık kelimelerine karşılık gelri) ya da bir plan,sadece pozitif tam sayılar olarak alınırsa yarı kaskat olarak nitelendirilebilir.

 Φ ile gösterilen gelişim fonksiyonu genelde hareket için yazılmış diferansiyel denklemin bir çözümüdür;

Bu denklem,faz uzayında, "x" (herhangi bir ilk konum demektir)dan başlayıp "x"("t") yi izleyen yörüngenin zamanının türevini verir(üstünde noktayla gösterilmiş,türev)."v"("x") ile gösterilen "vektör alanı" ,"M"in bu alanın her noktasında(faz uzayının her noktasında) dinamik sistem için hız vektörünü oluşturduğu lineer bir fonksiyondur(Tabii ki,bu hız vektörleri M faz uzayında/uzay katmanındaki herhangi bir vektör değil herhangi bir x noktası için "TM" ile gösterilen eğim uzayında bulunan vektörlerdir-eğim uzayından kasıt,eğimi oluşturan ögelerin meydana getirdiği uzaydır-).Verilen Φ lineer fonksiyonundan otonom bir vektör alanı türetilebilir.

"v"("x") için ne yüksek dereceli türevlere ne de zaman parametresini kullanmaya gerek vardır çünkü bu çokluklar sistemleri çok boyutlu uzayda açıkladığımız zaman ortadan kalkarlar.Adi diferansiyel denklemlerin dışında kalan diğer diferansiyel denklem türleri de gelişim kuralını ifade etmek için kullanılabilir:

denklemi kompleks karışıklıklardan dolayı ifade edilmesi güçleşen mekanik bir sistemin farklı bir gösterimine örnektir.

Lineer dinamik sistemler basit fonksiyonlar ya da sınıflandırılmış yörüngeler kullanılarak rahatlıkla ifade edilebilen dinamik sistemler sınıfıdır.N boyutlu Öklid uzayındaki uzay katmanları(nın herhangi biri) N tane vektör ile gösterilebilir.Lineer sistemler üsttünde çalışmak mümkündür çünkü,çakışma prensibine uyarlar;eğer "u"("t") ve "w"("t") vektör alanı için olan diferansiyel denklemi sağlarlarsa(ilk konumu sağlamaları şart değildir) bunların toplamı da sağlar "u"("t") + "w"("t").

Bir akış için(sıvının akışı) Φ("x") vektör alanı,uzay katmanındaki bir konum için, afin fonksiyonudur,
bu denklemde A matris,b sayıların oluşturduğu vektör,x ise konum vektörüne karşılık gelir.Bu sistem çakışma prensibi(lineerlik) kullanılarak çözülebilir.
"b" ≠ 0 with "A" = 0 olması durumunda bu denklem "b" yönündeki bir doğru denklemidir.

"b" sıfır ve "A" ≠ 0 iken,orijin akıştaki bir denge noktasıdır ve eğer "x" = 0 ise yörünge sabit kalır.Bundan farklı ilk konumlar için bu hareket denklemi;matrisin ,"x" ilk konumu için, üslü fonksiyonu kullanılarak oluşturulabilir.

"b" = 0 iken,"A"nın eigen değerleri uzay katmanının yapısını belirler."A"nın eigen değerleri ve eigen vektörleri kullanılarak ilk konumun denge noktasına doğru yaklaşacağı ya da uzaklaşacağını hesaplamak mümkündür.

"A" ≠ 0 olduğu durumlarda iki farklı ilk konum arasındaki mesafe üssel olarak değişir,ya üssel olarak yaklaşır ya da üssel olarak uzaklaşırlar.Lineer sistemler,yaklaşma durumlarında,ilk konumlara oldukça hassas bir şekilde bağlıdırlar(ufak değişiklikler bile sonuçları değiştirir).Lineer olmayan sistemlerde bu(gerekli ancak yine de yeterli gelmeyen) kaotik teori için de gerekli şartlardandır.

Kesintili-zaman, afin dinamik sistemleri matris diferansiyel denklemi ile gösterilir(ayrıntılı bilgi için bkz;matrix difference equation):
"A" bir matrisi ,"b" ise bir vektörü gösteriyor.Devamlı olan durumlarda ,koordinatların dğişimi "x" → "x" + (1 − "A")"b" denklemdeki "b" yi ortadan kaldırır.Yeni koordinat sisteminde,orijin haritada belli bir noktadadır ve lineer sistemin çözümleri;"A""x" ile gösterilir.
haritanın çözümleri artık eğrilerle değil,uzay katmanlarından atlayan noktalarla gösterilir.Yörüngeler(haritanın üstündeki noktalar toplamının oluşturduğu),eğriler veya lifler şeklinde düzenlenir.

Devamlı olan durumlarda(devamlı fonksiyon gibi)olduğu gibi, "A"nın eigen değerleri ve vektörleri uzay katmanının yapısını belirler.Örneğin, "u" "A"nın eigen vektörü olsun,birden küçük eigen değeri için,"α" "u" noktalarından geçen doğrular("α" ∈ R) haritadaki sabit eğrilerdir.Bu doğrudaki noktalar sabit değerlerdir.

Kesintili dinamik sistemlere daha çok örnek için bkz(List of chaotic maps,).

Dinamik sistemlerin niteliksel özellikleri koordinatlarda lineer değişimler olsa bile değişmez(bu açıklama bazen "nitelik" kavramının tanımı olarak görülür):vektör alanındaki "yalnız bir nokta"("v"("x") = 0 olduğu nokta)lineer değişimler sonucu yine tek bir nokta olarak kalacaktır;periyodik yörünge,uzay katmanındaki bir döngü/düğümdür ve bu uzay katmanındaki lineer dönüşümler sonucu yine aynı döngü olarak kalacaktır.Dinamik sistemlerde uzay katmanındaki tek noktalar ve döngüsel yörüngelerin yakınları yeterince iyi anlaşılabilmektedir.Dinamik sistemler üstündeki kapsamlı çalışmalar gösteriyor ki;koordinatlardaki değişimi(değişimler spesifik olarak bilinmese de hesaplanabilir olduğu zaman) kullanarak dinamik sistemlerin analizleri çok daha kolay oluyor.

Uzay katmanının küçük parçacıklarının akışı çok basit formlara indirgenebilir.Eğer "y" "v"("y") ≠ 0 denkliğini sağlayan bir noktaysa,o halde "y"nin çevresindeki vektör alanının birbirine paralel ve aynı büyüklükte geçen vektörler olmasını sağlayacak bir koordinat değişikliği yapılabilir(bu değişiklik vardır).Bu düzenleme teoremi olarak bilinir.

Düzenleme teoremi der ki;tek noktalardan uzaktaki bir paketin içindeki noktanın dinamikleri bir doğruyu meydana getirir.Bu paket bazen başka paketlerle birleşerek büyüyebilir,ve bu çözüldüğünde,tüm uzay katmanı "M" için uzay integrallenebilirdir.Çoğu durumda bu paket tüm uzay katmanını dolduramaz.Vektör alanında tek noktalar olabilir("v"("x") = 0 olduğunda)veya paketler bir noktaya yaklaşırken git gide küçülebilir.Bu genelin doldurulamayışı için daha sağlam bir neden,yörüngelerin paketten çıktıktan sonra(belki diğer paketlere uğradıktan sonra) yine aynı yerine dönmesi olabilir.Eğer yörünge bir döngüye girerse,bu vektör alanını "düzenlemek" tüm paketler için düzenlemek imkansız olur.

Genel olarak,periyodik bir yörüngenin çevresi için düzenleme teoremi kullanılamaz.Poincaré periyodik yörüngenin yakınlarının üstünde hesaplama yapılabilmesi için bir dönüşüm formülü geliştirdi .γ yörüngesinde bir "x" noktası seçin ve uzay katmanındaki o noktaya yakın noktaların "v" ye dik olduğunu görün("x" iken). Bu noktalara,"S"("γ", "x") Pontcare kesiti(ayrıntılı bilgi için bkz,Poincaré section) denir.Şimdi akış bir haritayı gösteriyor,Poincaré haritasını "F" : "S" → "S","S"den başlayıp "S"e dönen noktalar için.Her noktanın dönmesi için farklı farklı zamanlar geçecektir ancak geçen zamanlar ilk konumdan başlayana yakın olacaktır("x").

Periyodik yörünge ile Poincare kesitinin kesiştiği nokta Poincare haritasında belirli bir noktaya karşılık gelir("F").Doğrusal yer değiştirme sonucu bu noktanın "x" = 0 a denk geleceği var sayılabil