ütlelerin pozisyonları ise,

olarak ifade edilebilir.

"θ" ve "θ" belli bir referansa göre sarkaçların açısını ifade eder. Her sarkaç, kısıtlardan ötürü birer koordinatla ifade edilebilir. Çünkü bu kısıtlar mekansal koordinatları (2 tane) birbirine bağlar.

3 boyutlu bir örnek olarak, küresel eksenlerde hareket eden sarkaç örnek verilebilir. Sarkacın uzunluğu "l" ve sarkaç her yönde serbestçe sallanacak şekilde ağırlığının etkisine bırakılmış durumdadır. Bu durumda, hareket kısıtlanması şu şekilde ifade edilebilir;

Kütlenin pozisyonu ise daha önce s ve θ değişkenlerinin kullanıldığı gibi genel koordinatlarda şu şekilde ifade edilebilir;

ve burada ("θ", "φ") çifti küresel kutup açılarını ifade eder çünkü kütle bir kürenin yüzeyinde hareket edermişçesine davranır aynı zamanda küresel koordinatlarda tanımlanabilir ve aynı bu durumda olduğu gibi, yarıçapın sabit olduğu bir kürenin denklemi de kısıtımızı ifade eder. Böylece 3 koordinat yerine 2 koordinat bilgisi yeterli olmaktadır.

Özellikle sarkaç gibi sistemler, salınım hareketi yaparlar çünkü yükleme, pozisyon değişkeni olan açının sinüsel bir fonksiyonudur. Böylece basit harmonik osilatörler Lagrange mekaniği ile yine rahatça analiz edilebileceği anlaşılabilir. Ayrıca, bu tip enerji metotları denk sistemler bulmak, çoklu serbestlik dereceye sahip sistemlerin analizi gibi problemlerde ciddi işe yaramaktadırlar çünkü yazılımsal olarak adapte edilebilmeleri kolaydır. Dolayısıyla, bağlanmış harmonik osilatörler (çift sarkaç, üçlü sarkaç gibi) özellikle Lagrange dinamiği metotları ile incelenir.

3 boyutlu uzayda yer alan "N" partikül için, pozisyon vektörleri 3 değişkenli vektör fonksiyonları olarak şöyle ifade edilebilir;

Dolayısıyla, her bir parçanın net pozisyonunu bilmek için 3"N" kadar koordinata ihtiyacımız vardır. Zaten bir vektör uzayında da bir noktanın genel ifadesi r = ("x", "y", "z"). fonksiyonu ile yapılır.Bu partiküllerden herhangi birisi veya birkaçı holonom kısıtlara tabii tutulursa, kısıt ifadesi "f"(r, "t") = 0 şeklinde yazılabilir. Ve bu, herhangi bir anda partiküllerin pozisyonları birbirlerine bağlanmaya başlar ve bağımsız olmaktan çıkarlar. Eğer sistemde "C" kadar kısıtlayıcı var ise, bunların her birinin fonksiyonel ifadesi için,

Fonksiyon eşitlikleri kullanılır ve her bir denklem bir koordinat ihtiyacını eler. Dolayısıyla bağımsız koordinatların sayısı "n" = 3"N" − "C" kadardır. Unutulmamalıdır ki bağımlı koordinatlar kullanılarak yapılan hesaplar modeli karmaşıklaştıracaktır.

Dolayısıyla, partikülleri veya sistemi tanımlamamız için "n" tane koordinata ihtiyacımız bulunmaktadır. Her pozisyon vektörü istenilen "n" elemanlı genelleştirilmiş koordinat setine dönüştürülebilir. Ve uygun bir şekilde q = ("q", "q", ... "q") olarak ifade edilebilir. Dolayısıyla pozisyonlar şu şekilde ifade edilebilir;

Böylece, pozisyonlar, genelleştirilmiş koordinatların fonksiyonu olarak karşımıza çıkar çünkü pozisyon değişkenlerini herhangi bir sete dönüştürebiliriz.

Genelleştirilmiş koordinatların birinci türevine genelleştirilmiş hızlar denir ve her partikül için hız vektörlerinin dönüşümleri;

Burada unutulmamalıdır ki hız, pozisyonun toplam diferansiyelidir. Veya basitçe "r" olarak tanımladığımız fonksiyonun zamana göre türevidir ve "q" da zamana bağlı olduğu için zincir kuralı kullanılır.

Önceki örneklerde, biri eğer her kütlenin hareketini partikül olarak inceleyecek basitleştirmeler yapabiliyorsa, Newton mekaniği zamana bağlı olarak değişen kısıtlayıcı kuvvetlerin (partikülleri kısıtlanmış hareket patikasında tutmaya yarayan kuvvetler) zamana göre değişimi ile uğraşmayı gerektirir (telin küreye uyguladığı kuvvet, çekme kuvvetinin sarkaca aktardığı kuvvet gibi).Aynı problem için Lagrange mekaniği, bizim partikülün aldığı yola bakarak uygun bir genelleştirilmiş koordinat seçmemize dayanır. Bu seçimlerdekii koordinatlar "bağımsız" olmalıdır ve hareketi tamamen karakterize edebilmelidir. Hareketin tamamen serbest olduğu koordinatlar seçilirse, kısıtlayıcı denklem ve kuvvetlerin işin içine girmesine gerek kalmaz. Örneğin "x"-"y" düzleminde tel üzerindeki bir kürenin hareketi her an tanjantlara dik olarak kısıtlanmıştır ama tek bir "s" koordinatı seçilirse, zaten o koordinat yolun ve hareketin kendisini tanımladığı için ve hareketin olmadığı yerlerde sıfır olduğu için ekstra kısıt ifadelerine gerek kalmaz. Böylece, kısıtların partiküller üzerindeki direkt etkisi hesaplanmadan daha az denklem çözülerek sistem modellenebilir.

Lagrange mekaniğindeki temel nicelik Lagrangian fonksiyonudur. Bu fonksiyon, sistemin dinamik davranışı hakkında önemli bilgiler barındırır. Ancak, her fiziksel sistem için tek bir Lagrangian ifadesi türetmek mümkün değildir. Esasen, Euler-Lagrange denklemlerini fiziksel yasalarla uyumlu bir şekilde türetebilecek her fonksiyon Lagrangian olarak ele alınabilir. Ancak yine de, bazı gruplanabilecek sistemler için genel Lagrangian ifadeleri oluşturmak mümkündür.

Örneğin, görelilik etkilerin ihmal edilebileceği sistemler için Lagrangian;

olarak ifade edilebilir. (mekanikte en sık karşılaşılan ifade budur, ancak bunun tüm sistemler için genel bir ifade olmadığına dikkat edilmesi gerekir. Farklı fiziksel yasaların da işin içine girmesiyle değişmesi gerektiğini unutmamak gerekir.) Burada "T", sistemin total kinetik enerjisini ve "V" ise potansiyel enerjisini ifade eder. Lagrangian’ın birimi, seçilen enerji birimleriyle aynıdır.

Kütleleri "m", "m", ..., "m" olan "N" parçacıktan oluşan bir sistem için toplam kinetik enerji her bir parçacığın kinetik enerjisi toplanarak bulunabilir. (Enerji metodlarındaki toplanabilme özelliği bu açıdan çok güçlüdür.) Her parçacığın enerjisi sistemin hareketine göre şöyle tanımlanabilir;

Burada, işaretlerin doğru verilmesi için noktasal çarpım kullanılmıştır. Yani kinetik enerji ne olursa olsun pozitif bir ifadedir. Bu ifadeye göre, kinetik enerji sadece hızların yani v terimlerinin bir fonksiyonudur. Kinetik enerji r'ya yani parçacıkların pozisyonlarına ve zamana bağlı değildir. Dolayısıyla "T"(v, v, ...) olarak ifade edilebilir. Ancak, yukarıdaki genelleştirilmiş koordinat ve hız ifadeleri göz önüne alındığında, özellikle zamana bağlı bir değişim söz konusu ise; genelleştirilmiş koordinatlar çerçevesinde ifade edilen kinetik enerji genelleştirilmiş hızlara, koordinatlara ve pozisyon vektörleri zamana bağlı çarpanlar içeriyorsa zamana bağlıdır. Yani "T" = "T"(q, "d"q/"dt", "t") olarak daha doğru bir şekilde ifade edilebilir.

Potansiyel enerji "V" ise sistemdeki parçacıkların birbirleri ile olan ilişkilerini yansıtır. Başka bir deyişle, bir parçacığın diğer tüm parçacıklara ve dış etkilere göre ne kadar enerjisi olduğunu ifade eder. korunumlu kuvvetlerin etkisinden ötürü oluşan potansiyel enerji, sadece parçacıkların pozisyonlarına bağlıdır yani "V" = "V"(r, r, ...)’dir. Korunumlu olmayan kuvvetler için de uygun potansiyel enerji fonksiyonları türetilebilir. Ancak bu durumda işin içine hızlar da girmek zorundadır. Yani korunumsuz kuvvetler için "V" = "V"(r, r, ..., v, v, ...) olarak ifade edilebilir. Ayrıca dış bir fiziksel alan veya kuvvet zamana bağlı olarak değişiyorsa potansiiyel enerji de bundan etkilenecektir. Dolayısıyla en genel haliyle; "V" = "V"(r, r, ..., v, v, ..., "t") olacaktır.

Eğer potansiyel ve kinetik enerjilerden biri veya ikisi de zamana açık bir bağlılık gösteriyorsa (zamanla değişen kısıtlar, etkiler, çarpanlar veya sistem parametreleri) Lagrangian da zamana açık bir şekilde bağlı olacaktır. Yani "L"[q,"dq/"dt","t") olacaktır.Eğer potansiyel enerji ve kinetik enerji zamana göre değişmiyorsa bu durumda, Lagrangian, "L"(q, "dq/"dt") formunda olacaktır ve zamana açık bir bağlılık göstermeyecektir. Ancak zamana göre türev alındığı için zamana örtülü bir şekilde bağlı olacaktır. İki durumda da Lagrangian’ın zamana örtülü olarak bağlı olacağı kesindir (Genelleştirilmiş koordinatlar kullanılırsa).

Lagrangian’a ek olarak ayrıca, disipatif yani hareket süresince enerjiyi o an sistem içinde dönüştürülemez şekilde harcayan sistem elemanlarını göz önüne alarak çeşitli fonksiyonlar türetmek de mümkündür.

Göreli-mekanikde, "L" daha derin bir şekilde analiz edilip doğru ifade edilmelidir. Bunun için relativistik Lagrange mekaniğine bakılabilir. (Enerji ifadeleri artık daha farklı olacak ve dönüşümler, zamana bağımlılık farklı bir yapı gösterecektir.)

Newton mekaniğinde, hareket Newton Yasaları ile ifade edilir. Newton’un ikinci yasası F = "m"a her parçacığa uygulanır ve 3 boyutta hareket sahibi olan"N" parçacıklı bir sistem için 3"N" tane adi diferansiyel denklem pozisyonların bulunması için çözülür(ivmenin iki kere integrali alınarak).

Lagrange mekaniğinde ise, Lagrangian fonksiyonu hareket denklemlerini türetir. Hareket denklemleri, kısmi türev içerse bile, denklemler yine de genelleştirilmiş pozisyon koordinatlarında çalışan adi diferansiyel denklemlerdir. Ayrıca zaman göre toplam türev ifadesi,"d"/"dt" örtülü türev alınmasını gerektirebilir.

İki çeşit hareket denklemi vardır. Biri kısıtlayıcı kuvvetleri ve hareketlerin kısıtlarını ifade eden denklemlerini işin içine katarken, diğeri bunları modellemenin dışında tutarak sadece kısıtlayıcı olmayan ve hareket sağlayan kuvvetleri genelleştirilmiş koordinatlarda inceler. Bu ifadeleri Lagrangian’a koyup gerekli denklemleri çözerek, sınır ve ilk değerleri katarak (hız ve pozisyon) parçacıkların pozisyonlarını zamana göre çözebilir ve sistemin zamana göre hareketini, değişimini bulabiliriz.

3 boyutlu uzayda "N" parçacıktan oluşan ve "C" tane holonomik kısıta maruz kalan bir sistemin kısıtları yukarıda belirtildiği üzere, "f"..., "f" gibi fonksiyonlarla ifade edilebilir ve sistemin dinamiği, Lagrangian "L"(r, "d"r/"dt", "t")'a bağlı olarak birinci tip Lagrange denklemleri ile şöyle ifade edilebilir;

formula_12

burada "k" = 1, 2, ..., "N" her bir parçacığı ifade eder ve bu denklemler sisteme dahil olan her eleman veya parçacık için çözülmek üzere bir denklem sistemi oluşturur. Ayrıca, her bir kısıtlayıcı denklem "f" için birer Lagrange çarpanı "