eemstede), Hollandalı fizikçi.

Büyükbabası düşünür, babası Johannes Bosscha Sr. (1797-1874) tarih ve dilbilim profesörüdür. Johannes Jr. 1844'te Amsterdam'daki bir latin okuluna yazılmış ve daha sonra Leiden Üniversitesi'ne girmiştir. Doktora çalışmasını galvanometre konusunda yapmıştır.




Fermi enerjisi

Kuantum mekaniğinde fermi enerjisi, genelde mutlak sıfır sıcaklığında etkileşimde olmayan fermiyonlardan oluşan bir kuantum sistemi içerisinde, en yüksek ve en düşük seviyede dolu vaziyetteki tek parçacık durumları arasındaki enerji farkını temsil eden bir konsepttir. Bir metalde en düşük dolu durum genelde iletken bandın altı olarak alınırken, bir fermi gazında bu durumun sıfır kinetik enerjisi olduğu kabul edilir.

Fermi enerjisi terimi, bazen farklı ama yakından ilişkili bir konsept olan ‘Fermi düzeyi’ (elektrokimyasal potansiyel) yerine de kullanılmaktadır. Fermi düzeyi ve Fermi enerjisi hakkında, en azından bu makalede de kullanılan küçük kilit farklar vardır;

Mutlak sıfırdaki bir metal içerisindeki Fermi enerjisi, en yüksek doldurulmuş tek parçacık durumunun enerjisi olduğundan, bir metal içerisindeki Fermi enerjisi, sıfır derecedeyken Fermi düzeyi ve en düşük doldurulmuş tek parçacık durumu arasındaki enerji farkıdır.

Quantum mekaniğinde, fermiyonlar olarak bilinen bir grup parçacıklar(elektronlar, protonlar ve nötronlar gibi), Pauli dışlama prensibine uyarlar. Bu, iki fermiyonun aynı kuantum durumunu dolduramayacağını ortaya koyar. Etkileşim içerisinde olmayan idealleştirilmiş bir fermi gazı, durağan tek parçacık durumuna göre analiz edilebileceğinden, bu sayede iki fermiyonun aynı kuantum durumunu dolduramayacağını söyleyebiliriz. Bu durağan durumlar tipik olarak enerjide farklı olacaktırlar. Tüm sistemin temel halini bulmak için, boş bir sistem ile başlayıp birer birer parçaları ekleyerek sıralı bir şekilde en düşük enerjili doldurulmamış durağan durumlar doldurulmalıdır. Bütün parçacıklar içeri konulduğu zaman, Fermi enerjisi en yüksek doldurulmuş durumdur.

Bunun anlamı şudur ki bir Fermi gazın içerisindeki tüm olağan enerjileri bu gazı neredeyse sıfır dereceye kadar soğutarak çıkartmış olsak bile, fermiyonlar yine de yüksek hıza yakın hareket ederler. En hızlı olanlar Fermi enerjisine eşit olan bir kinetik enerjiye karşılık gelen bir hıza sabittirler. Bu, Fermi hızıdır. Elektronlar sadece sıcaklık Fermi sıcaklığını geçtiğinde belli bir şekilde mutlak sıfır hızından hızlı hareket etmeye başlarlar.
Fermi hızı, metallerin katı hal fiziği ve süper iletkenler konularındaki en önemli konseptlerdendir. Bu aynı zamanda tıpkı düşük sıcaklıktaki helyumun( hem normal hem süper sıvı 3He) konusunu içeren kuantum sıvılarında da çok önemli bir değer olduğu gibi, aynı zamanda nükleer fizikte ve beyaz cücelerin çekimsel çökmeye karşı nasıl stabil bir şekilde durduğunu anlamada da önemlidir.

Etkileşim içerişinde olmayan fermiyonların sisteminin fermi enerjisi, sistemin yalnızca bir parça eklendiğinde temel hali enerjisindeki artışından o parçacığın potansiyel enerjisinin çıkarılmış halidir. Buna aynı zamanda her bir fermiyonun temel haldeki maksimum kinetik enerjisi de denebilir. Sıfır derecedeki iç kimyasal potansiyele aynı zamanda Fermi enerjisi de denebilir.

L uzunluklu ve tek boyutlu sonsuz kare, tek boyutlu bir kare kutunun modelidir. Kuantum mekaniğinde standart bir model-sistem olan bu modelde tek bir parçacık için çözümü iyi bilinir. Seviyeler tek bir kuantum numarası n ile gösterilirken enerji seviyeleri bu denklem ile bulunur;

formula_1

Eo kutunun içerisindeki potansiyel enerjidir.
Şimdi ise kutu içinde bir parçacık yerine, dönüşleri 1/2 olan fermiyonlardan oluşan N sayıda parçacıklar olduğunu varsayalım. Bu durumda en fazla iki parçacığın aynı enerjisi vardır ör. Her iki parçacık da E1 enerjisine sahip olabilir, diğer bir ikisi de E2 enerjisine(ve bunun gibi). İki parçacığın da aynı enerjiye sahip olabilmelerinin sebebi, kendilerini her bir enerji düzeyi için iki duruma getiren 1/2 dönüş(yukarı) veya -1/2 dönüş(aşağı) dönüşlerine sahip olmalarıdır. Toplam enerjinin en düşük olduğu( temel haldeyken) dizilimde, n=N/2 ye kadar olan tüm enerji seviyeleri doldurulmuş ve diğer daha yüksek enerjili seviyeler de boş durumdadır.

Fermi enerjisi referansı E0 olarak tanımlandığında, Fermi enerjisi:

formula_2

Elektron sayısı çift rakam olduğunda N, tek olduğunda ise (N-1) kullanılır.

Üç boyutlu izotropik durum aynı zamanda Fermi küresi olarak da bilinir.

Şimdi yanal uzunluğu L olan üç boyutlu kübik bir kutu düşünelim( sonsuz kareye bakınız). Bu, bir metal içerisindeki elektronları tarif etmede çok iyi bir yaklaşımdır. Bu durumlar nx, ny ve nz olarak üç kuantum sayısıyla isimlendirilir. Tek bir parçacık enerjileri:

formula_3

n, n, n pozitif sayılardır.

Bunlar, aynı enerjiye sahip çeşitli durumlardır. Örneğin formula_4.Şimdide dönüşleri 1/2 olan N sayıda, etkileşim içinde olmayan fermiyon koyalım. Bu durumda Fermi enerjisini hesaplamak için, N’nin büyük bir sayı olduğu durumu ele alalım. Eğer formula_5 adlı bir vektör alırsak, o halde her bir kuantum durumu ‘n-boşluktaki’ bir noktayı temsil eder ve bunların enerjisi şu denklemle verilir:

formula_6

formula_7,bir öklit uzunluğu olan formula_8’ nin karesini temsil eder. Enerjisi E + Edan az olan durumların enerjisi, n, n, n sayılarının pozitif olduğu bir n-boşluğundaki bölgede bulunan formula_9 yarıçaplı bir kürenin içerisindeki durumların sayısına eşittir. Temel haldeyken bu sayı, sistemdeki fermiyonların sayısına eşittir.

formula_10

İki tane dönüş durumunun olması sebebiyle katsayı iki denklemde yine mevcuttur.1/8 katsayısının olmasının sebebi ise bu kürenin yalnızca 1/8’inin n’nin her zaman pozitif olduğu bölgede bulunmasıdır. Bu sayede:

formula_11

ve sonuç olarak Fermi enerjisi:

formula_12

Bu denklem de Fermi enerjisi ve hacim başına düşen parçacık sayısı arasındaki ilişkiyle sonuçlanır (L 'yi V ile değiştirdiğimizde:)

formula_13

N sayısında fermiyon içeren bir kürenin toplam fermiyon enerjisi:

formula_14

Bu sebeple, bir elektronun sahip olduğu ortalama enerji:

formula_15

Bu konuyla ilişkili bir değer de,formula_16 nin Boltzmann sabiti ve formula_17 nin de Fermi enerjisi olduğu,formula_18olarak tanımlanan Fermi sıcaklığıdır (formula_19).Bu kontekstde tanımlanan bir diğer değerler de, Fermi yüzeyindeki bir fermiyonun sırasıyla Fermi momentumu (formula_20,) Fermi hızı (formula_21) momentum ve grup hızıdır.(Bu değerler Fermi yüzeyinin küresel olmadığı durumlarda tam olarak tanımlı değildir).Yukarıda verilen kuadratik ayrılma ilişkileri durumunda:

formula_22
formula_23

Denklemlerdeki me, elektronun kütlesini temsil eder.
Fermi momentumu aynı zamanda formula_24 şeklinde de ifade edilebilir (formula_25 fermi yarıçapını temsil eder ve aynı zamanda fermi dalga vektörü olarak isimlendirilir)

Durum öz kütlesini, d boyutlarında adlı bir hacim integrali bulabiliriz:

formula_26

Ardından kaç tane parçacık olduğuna bakarak, Fermi enerjisini bu formülü çıkarmak için:

formula_27 şu şekilde yazabiliriz: formula_28

Metallerde elektron taşıma yoğunluğu sayısı yani formula_29 10 and 10 electrons/m³, arasında değişiklik göstermektedir. Ayrıca bu yoğunluk, herhangi bir katı maddenin tipik yoğunluğu olarak kabul edilmektedir. Bu yoğunluk, Fermi enerjiyi üretir.

formula_30

Beyaz cüceler olarak bildiğimiz yıldızların bizim güneşimize kıyaslanır bir kütleleri ve yüzlerce katında yarıçapları vardır. Yüksek yoğunluklarının anlamı ise elektronların artık tek bir çekirdeğe bağlı olmamaları ve bunun yerine dejenere elektron gazı oluşturmalarıdır. Bir beyaz cüce içerisindeki elektronların öz kütle numarası 10 electrons/m³ sırasındadır. Bunun anlamı, Fermi enerjisinin gelecek denkleme eşit olmasıdır:

formula_31

Başka tipik bir örnek ise çekirdek içerisinde bulunan parçacıklardır. Çekirdeğin yarıçapı kaba bir şekilde:

formula_32

A, nükleonların sayısını temsil etmektedir.

Bu sebeple çekirdek içerisindeki nükleonların öz kütle numaraları da:

formula_33

Fermi enerjisi sadece aynı tip fermiyonlara uygulandığı için, bulunan bu öz kütle ikiye bölünmelidir. Bunun sebebi çekirdekte bulunan nötronların, protonların Fermi enerjisi veya başka bir şeyi etkilemiyor olmasıdır. Bu sebeple çekirdeğin Fermi enerjisi yaklaşık olarak:

formula_34

Çekirdeğin yarıçapı bu değerlere yaklaşık değerleri kabul ettiğinden, tipik Fermi enerji değeri genelde 38 MeV olarak verilir.




Lambert kosinüs yasası

Optikte, Lambert kosinüs yasasına göre, ideal dağınık bir şekilde yansıtılan yüzeyden veya ideal dağınık bir ısıtıcıdan gözlemlenen radyant yoğunluğu veya parlaklık yoğunluğu, gözlemcinin görüş yeri ve yer arasında kalan teta açısı ile doğru orantılıdır. Bu yasa ‘kosinüs emisyon yasası’ ya da ‘Lambert emisyon yasası’ olarak da bilinmektedir. Ayrıca, bu yasa 1760 yılında Johann Heinrich Lambert'ın ‘Photometria’ adı kitabı yayınlandıktan sonra isimlendirilmiştir.

Lambert yasasına uyan bir yüzey ‘Lambertian’ olarak ifade edilir ve bu yüzey ‘Lambertian yansıması’ nı sergiler. Böyle bir yüzey, hangi açıdan bakılırsa bakılsın, aynı ışınıma sahiptir. Bu, insan gözünün aynı görünür parlaklıkta olduğu anlamına gelmektedir. Hangi açıdan bakılırsa bakılsın, açının hep aynı olmasının sebebi, belirli bir alanın ögesinden yayılan enerjinin, gözlemlenen alanın görünür boyutu olarak da ifade de edilebilen emisyon açısının kosinüsü tarafından azaltılmasıdır. Sonuç olarak, parlaklık hep aynıdır.

Bir alanın ögesi, dış bir kaynak tarafından aydınlatılması sonucunda yayılım yaptığı zaman, o bölgeye düşen parlama, aydınlanmış olan kaynak ve normal arasındaki açının kosinüsünü ile orantılı olacaktır. Bir lambertian saçıcısı, bir lambertian emitorü olan aynı kosinüs kuralına göre, saçılım yapacaktır. Bu durum, yüzeyin parlaklığı, normal ile aydınlatma kaynağı arasındaki açıya bağlıyken, normal ile gözlemci arasındaki açıya bağlı değildir olarak ifade edilebilir. Örneğin, eğer Ay bir Lambertian saçıcısı olsaydı, gözlem yapan kişinin beklentisi, Ayın terminatöre doğru saçtığı bu parlaklığın, güneş ış