na işaret eder.

Sonuç 2 bunu daha farklı bir biçimde ortaya koyar ve, merkezcil kuvvetin, P yörünge periyodu olan, (1/P)*R ile orantılı olduğunu gösterir.

Sonuç 3 eğer P R ile orantılı ise, merkezcil kuvvetin R’den bağımsız olacağını gösterir.

Sonuç 4 eğer P R ile orantılı ise, merkezcil kuvvetin 1/R ile orantılı olacağını gösterir.

Sonuç 5 eğer P R ile orantılı ise, merkezcil kuvvetin 1/(R) ile orantılı olacağını gösterir.

Bir açıklama Sonuç 5 ilişkisinin (yörünge periyodunun karesi yörünge büyüklüğünün küpüne orantılı) Güneşin çevresinde yörüngelerindeki gezegenlere ve Jüpiter’in yörüngesindeki Galile uydularına uygulandığının gözlemlendiğine işaret eder.

Teorem 3 yok denecek kadar küçük doğru parçası oranları içeren, başka bir geometrik limit argümanı kullanarak, merkezcil kuvveti dairesel olmayan bir yörüngede değerlendirir. Kanıtlama, yörünge eğriliğinin sanki sonsuz küçük arklardan yapılmış gibi değerlendirilmesi ve herhangi bir noktadaki merkezcil kuvvetin hız ve lokal sonsuzküçük arkın eğriliğinden değerlendirilmesine kadar iner. Bu konu Pricipia’da Kitap 1 Önerme 6 olarak tekrar ortaya çıkar.

Bir sonuç belli bir yörünge biçimi ve merkez için merkezcil kuvvetin belirlenmesinin nasıl mümkün olduğunu gösterir.

Problem 1 çekim merkezinin dairenin çevresi üzerinde olduğunu varsayarak, bir dairesel yörünge durumunu inceler. Bir açıklama yörüngedeki bir cismin böyle bir merkeze ulaşması halinde, tanjant boyunca sapacağına işaret eder (‘Principia’, Önerme 7)

Problem 2 çekim merkezi kendi merkezinde olan bir elipsi inceler ve merkezcil kuvvetin bu konfigürasyonda hareket üretmesi için yarıçap vektörüyle doğrudan orantılı olacağını bulur. (Bu materyal Principia’da Önerme 10, problem 5’dir)

Problem 3 yine elipsi inceler ama bu durumda çekim merkezi odak noktalarından birindedir. "Bir elipsin yörüngesinde dönen bir cisim: Elipsin bir odak noktasına yönlenen merkezcil kuvvet yasası gerektirir." Burada, Newton bu konfigürasyonda hareket üretecek merkezcil kuvvetin yarıçap vektörünün karesiyle tersine orantılı olacağını bulur. (Tercümesi: ‘Bu nedenle merkezcil kuvvet karşılıklı olarak L X SP olup, (karşılıklı olarak) uzaklığın iki katı oranındadır [yani karesi]...’). Bu Principia’da Önerme 11’dir.

Bir açıklama Problem 3’ün gezegen yörüngelerinin Güneşin bir odak noktasında yer aldığı elipsler olduklarını kanıtladığına işaret eder. (Tercümesi: ‘Bu nedenle, her birlikte Kepler’in varsaydığı gibi, büyük gezegenler, Güneşin merkezinde bir odak noktası olan elipsler halinde yörüngede dönerler, ve yarıçapları (vektörleri) Güneşe doğru çizildiğinde, (Latince: ‘omnino) zamanlara orantılı alanları tariflerler’.) (Bu sonuca, Teorem 1 Sonuç 5'te dikkate alınan, yörüngesel dönemin karesi ile yörünge boyutunun küpü arasında gözlemlenen oransallığın ilk gerçek olarak alınmasından sonra varılmıştır.) (Bu sonucun inandırıcılığına ilişkin bir tartışma aşağıda belirtilmiştir.) Problem 3’ün konusu Principia’da Problem 6, Öneri 11’dir.

Teorem 4 yarıçap vektörünün karesine tersine orantılı bir merkezcil kuvvet ile, belli bir ana ekseni olan eliptik bir yörüngedeki cismin dolanım zamanının, o ana eksenle çapı aynı olan dairesel bir yörüngedeki cisim için de aynı olduğunu gösterir (Principia Önerme 15.)

Bir açıklama bunun gezegen elipslerinin ve odak noktalarının yerlerinin dolaylı ölçümlerle belirlenmesini mümkün kılacağına işaret etmektedir.

Problem 4 merkezcil kuvvetin ters kare yasası durumu için, yörünge elipsinin, belli bir başlama pozisyonu, hız ve yön için nasıl belirleneceğini inceler. Newton burada, hızın yeterince yüksek olması halinde, yörüngenin artık elips olmayacağına, bunun yerine parabol veya hiperbol olacağına dikkat çeker. Ayrıca, özkirişin hesaplanan büyüklüğüne dayalı olarak, yörüngedeki cismin merkeze en yakın yaklaştığındaki uzaklığa oranla, eliptik durum ile diğerleri arasındaki ayrım için geometrik kriterleri tanımlar. (‘Principia’ Önerme 17.)

Bir açıklama kuyrukluyıldız yörüngelerinin tanımlanmasına imkan vermesi ve yörüngelerin eliptik olması halinde bunların dönemleri ve dönüşlerinin tahminini mümkün kılmasının bu gösterimin bonusu olduğuna dikkat çeker. Bunun uygulanmasındaki bazı pratik zorluklar da tartışılmıştır.

Son olarak, herhangi bir ortamdan gelen sıfır dirence dayalı önerme serilerinde, Problem 5, doğrusal bir çizgiye doğru düşen veya çekim merkezinden fırlayan bozulmuş bir eliptik yörüngeyi tartışır. (Principia Önerme 32.)

Bir açıklama atmosferik direncin sıfır kabul edilebilmesi halinde, Problem 4 ve 5’in atmosferdeki roketlere veya ağır cisimlerin düşüşüne nasıl uygulanacağını gösterir.

Son olarak, Newton, ilk önce bir düz çizgide direncin eylemsiz hareket üzerindeki etkilerini dikkate alarak (Problem 6), ve sonra da (Problem 7) direnç ile tek biçimli merkezcil bir kuvvetin homojen bir ortamda merkeze doğru/merkezden uzak hareket üzerindeki birleşik etkilerini dikkate alarak, atmosferik direncin mevcut olduğu durumun sonuçlarını genişletmeye çalışır. Her iki problem de hiperbolik yapılar kullanılarak gerometrik olarak ele alınır. Bu son iki ‘Problem’ Principia’nın 2. Kitabında Öneri 2 ve 3 olarak tekrar yer alır.

Son bir açıklama, Problem 6 ve 7’nin atmosferdeki roketlerin hareketlerinin yatay ve düşey bileşenlerine nasıl uyarlanabileceğini gösterir (bu durumda yer yuvarlağını ihmal ederek.)

‘De Motu’ içinde bazı noktalarda, Newton, uygulamada zıt görüşleri de kanıtlanmış kabul edilerek temel alınan bazı hususları esas almaktadır. Bu husus özellikle ‘Problem 3’e ilişkin olarak ortaya çıkmaktadır. Newton’un tüm yazılarındaki gösterim biçimi yer yer oldukça kısadır; bazı adımların tartışmasız veya aşikar kabul edileceğini varsaydığı görülmektedir. ‘De Motu’da, Principia’nın ilk basımında olduğu gibi, Newton, zıddın kanıtlarının genişletilmesi için özellikle bir dayanak belirtmemiştir. Burada zıddın kanıtı, teklik bir ilişki bulunduğundan aşikar olmasına dayanmaktadır, yani belli bir düzende, sadece tek bir yörünge, belirli ve belirtilen bir kuvvet/hız/başlama pozisyonu grubuna karşılık gelir. Newton, yaşamı boyunca yapılan bu çeşit eleştirilere cevap olarak, Principia’nın ikinci baskısına, Önerme 11-13’e Sonuç olarak bu çeşit bir ifade eklemiştir.[7]

Bu genişletmelerin zıddına ne kadar uzak olduğu ve ilişkili teklik ifadelerinin tartışmasız ve aşikar olup olmadığı sorusu üzerine önemli bir bilimsel tartışma mevcuttur. (zıdların gerçek olup olmadığı, veya Newton tarafından belirtilip belirtilmediği hakkında bir öneri yoktur, tartışma Newton’un kanıtlarının tatminkar olup olmadığı üzerinedir.)[8][9][10]

Edmund Halley’in 1684’te Newton’u ziyaretinin detaylarını sadece otuz kırk yıl sonraki hatıratlardan biliyoruz. Bu hatıratların birine göre, Halley Newton’a ".. diyelim ki Güneş’e doğru çekim kuvveti ona olan uzaklıklarının karesinin tersi olsun, sence gezegenlerin eğrisi ne olurdu." diye sormuştur.[11]

Bu sorunun başka bir versiyonu otuz yıl kadar sonra Newton’un kendisi tarafından verilmiştir: Halley’in kendisine "Gezegenlerin kendi orblarında Güneş hakkında nasıl bir şekil tanımladıklarını bilmeyi kanıtım için çok arzu ederdim" [12] demişti. Her ikisi de eski hatıralardan üretilen bu farklı raporlar ışığında, Halley’in tam olarak hangi kelimeleri kullandığını bilmek zordur.

Bazen, Newton’un Halley’in sorusundan farklı bir soruya cevap vermiş olduğu ileri sürülür ancak bu noktada kesin bir şey söylemek mümkün değildir.

Newton, 1686’da, 1679/80 yıllarında Robert Hooke ile yaptığı yazışmaların 1679/80 yıllarında gök cisimlerine ilişkin araştırmalarını genişletme konusundaki ilk teşvik olduğunu kabul etmiştir.[13]

Hooke 1679 Kasım’ında Newton’a yazarak kendisinin Kraliyet Derneğinin yazışmalarını yönetmek üzere görevlendirildiğini bildirmiş ve karşılıklı yazışmaya başlamışlardır.[14] Hooke, bu görevi nedeniyle dernek üyelerinden araştırmalarıyla ilgili bilgi almak veya diğerlerinin araştırmaları hakkındaki görüşlerini öğrenmek istiyordu. Hooke, Newton’un ilgisini uyandırmak için kendisine çeşitli konular hakkında ne düşündüğünü sordu ve bir liste vererek, "Tanjant tarafından doğrudan hareketli ve merkezi cisme doğru çekim hareketli gezegenlerin gökyüzü hareketlerinin birleştirilmesi", ve "Benim esneklik yasaları ve sebeplerine ilişkin hipotezim", ve gezegenlerin hareketlerine ilişkin Paris’ten yeni bir hipotez (Hooke geniş bir biçimde tarif etmişti), ve ulusal araştırmaların yapılması veya iyileştirilmesi çabaları, Londra ve Cambridge arasındaki enlem farkı ve diğer hususlardan bahsetti. Newton, düşen bir cismi kullanarak Dünya’nın hareketinin belirlenmesiyle ilgili olarak "benim kendi düşüm" şeklinde bir cevap vermişti. Hooke Newton’un düşen bir cismin nasıl hareket edebileceğine ilişkin fikrine karşı çıkmış ve aralarında kısa bir yazışma olmuştur.

Daha sonra, 1686’da Newton’un ‘Principia’sı Kraliyet Derneğine sunulduğunda, Hooke aralarındaki bu yazışmalar nedeniyle, ‘Principia’da yer alan Newton’un bazı görüşleriyle ilgili kendisine pay çıkardı, ve Newton’un ters-kare çekim yasası fikrini kendisine borçlu olduğunu söyledi. Ancak, Hooke Newton’un ters kare yasası temelinde kanıtladığı eğriler ve yörüngeler için herhangi bir pay iddiasında bulunmamıştı.[15]

Bu hususu Halley’den duyan Newton, Halley’e yazdığı mektuplarında Hooke’un iddiasını reddetti ve sadece tek bir kez ilgi uyandıran bir durumun söz konusu olduğunu kabul etti.[15] Newton, Güneşten gelen uzaklığa ters kare orantılı bir çekim kuvveti bulunduğunu öneren (ancak kanıtlanmamış) Ismaël Bullialdus ile gezegenlerin elips hareketlerine neden olan yerçekimi veya manyetizm gibi Güneşe doğru bir yönelim olduğunu öneren (yine kanıtlanmamış) Giovanni Alfonso Borelli gibi bazı diğer kişilerin daha önceki çalışmalarını kabul etti ancak Hooke’un iddia ettiği hususların, ya Newton’un kendisi, veya Bullialdus ve Borelli gibi kendisinden daha öncekilerden kaynaklandığını, ama Hooke’dan kaynaklanmadığını söyledi. Wren ve Halley, Hooke’un daha önce ters kare yasası kapsamında gezegen hareketlerinin bir türevine sahip olduğunu idd