n olduğu bir yerde 3 boyutda bağımsız
salıngaçlar için 3 olası yön vardır. Dolayısıyla klasik bir katının öz ısısı
her zaman atom başına 3k’dır veya Kimya birimleriyle açıklayacak olursak bir
mol atom için 3R’dır.

Oda sıcaklığında, tek atomlu katılar yaklaşık olarak atom
başına 3k ile aynı öz ısıya sahiptirler. Fakat bu durum düşük sıcaklıklarda
geçerli değildir.  Daha düşük
sıcaklıklarda öz ısı da daha küçüktür ve sıfıra doğru gitmektedir. Bu bütün
materyal sistemleri için doğrudur ve bu gözlem termodinamiğin üçüncü yasası
olarak bilinir. Klasik mekanik üçüncü yasayı açıklayamaz çünkü klasik mekanikde
öz ısı sıcaklıktan bağımsızdır.

Klasik mekanik ve soğuk malzemelerin öz ısısı arasındaki
bu çelişkiyi 19.yüzyılda James Clerk Maxwell dikkate almıştır. 1906’da Albert
Einstein bu problemi atomic hareketin nicemlenmiş olduğunu ileri sürerek
yeniden çözmüştür. Bu kuantum kuramının mekanik sistemlere uyarlanmış ilk
uygulamasaydı.

Çok kısa bir süre sonar, Peter Debye katıların öz ısıları
hakkında ortaya nicel bir kuram sunmuştur.

Tek boyutlu problemlerin oldukça basittir. Herhangi bir formula_20" "enerjisinde, formula_21 momentum (devinim) değeri aşağıdaki formülle bulunabilir;

Momentumun (Devinimin) ortadan kaybolduğu yerde, klasik
dönüm noktaları arasındaki bütün formula_23 değerleri tümlenmiştir. Uzunluğu formula_24 kadar
olan bir kutudaki parçacık için bu integral en kolay halindedir ve formül şu
şekilde olur;

Bu formül bize momentumu da vermektedir;

Ve son olarak enerji seviyeleri

Eski kuantum kuramı ile kolayca çözülebilen bir başka husus ise pozitif (artı) yarı yoldaki doğrusal gerilimdir (lineer potensiyel). Buradaki olay girilemez bir duvara sabit ve sınırlı bir formula_28 kuvvetli parçacığı bağlamaktır. Bu husus kuantum mekaniksel işlemlerde çok daha zordur. Ayrıca diğer örneklerin aksine burada kısmen klasik cevaplar kesin olmayan yaklaşık cevaplardır ve büyük kuantum numaralarında daha kesin olmaktadır.

dolayısıyla kuantum durumu şu şekilde olur;

Bu denklem enerji seviyelerini açıklar;

F=mg özel durumunda ise parçacık dünyanın yerçekimi potansiyeli tarafından sınırlandırılmıştır. Ayrıca burada "duvar" olarak yeryüzü kastedilmektedir.

Bir başka basit sistem ise dönerdir. Bir döner, iki boyutta kütlesiz R uzunluğundaki sabit bir çubuğun ucunda M kadar kütle ihtiva ettiğinde, bu dönerin Lagrangian'ı;

olur ve bu denklem polar (kutuplu) formula_33, açısı ile eşlenik olan açısal momentumu formula_34 (devinimi)açıklar. Buna göre açısal momentum formülü formula_35. olarak tanımlanır. Eski kuantum durumu, açısal momentumun formula_33 açısının periyodu ile çarpılmasını gerektirmektedir. Burada formula_37 açısının periyodu Planck sabitinin birden fazla tam sayısıdır.

Bohr modelinde bu kısıtlama dairesel yörüngelerde bulunan enerji seviyelerini açıklamayı zorlamaktadır.

3 boyutta sabit bir döner formula_37 ve formula_40 açıları ile tanımlanabilir. Burada formula_33 açısı rastgele seçilen bir z eksenindeki eğime karşılık gelirken, formula_40 açısı ise x-y ekseninde bulunan döner açısına karşılık gelmektedir. Buna göre kinetik (devimsel) enerjinin Lagrangian'ı;

Bu durumda eşlenik momentum formula_44 ve formula_45 olur. formula_46 için hareket denklemi belirsizdir ve formula_47 bir sabittir;

olur ki bu da z bileşkesinin açısal momentumudur. Kuantum durumu formula_49 sabitinin integraline (tümlevine) dayanır çünkü formula_46 açısı formula_51 ile formula_52 arasında çeşitlilik gösterir;

Burada "m" manyetik (mıknatısal duygunluk) kuantum sayısı olarak anılır çünkü açısal momentumun z bileşkesi, z ekseni boyunca dönerin manyetik momentumudur. Bu eşitlik dönerin sonunda bulunan parçacığın yüklenmiş durumlarda geçerlidir.

3 boyutlu döner bir eksen etrafında döndüğü için toplam açısal momentum, 2 boyutlu dönerde olduğu gibi sınırlandırılmalıdır.İki kuantum durumunda toplam açısal momentumu ve formula_54 gibi katsayı olan z bileşkesinin açısal momentumunu kısıtlamaktadır. Bu durum modern (günümüz) kuantum mekaniğinde yeniden türetilmiştir. Fakat eski kuantum kuramı döneminde bu durum bir paradoks (özçelişki) oluşmasına yol açmıştır. Bu paradoks " "Rastgele seçilmiş bir z eksenine göre açısal momentumun yönü nasıl kuantize (nicemleme) edilebilir?""dir. Görülen o ki bu durum uzayda (boşlukda) bir yön çıkartmaktadır.

Bu fenomen bir eksen etrafında bulunan açısal momentumun kuantize edilmesi ""boşluk kuantizasyonu"" olarak adlandırılmıştır çünkü bu durum rotasyonel (dönüşsel) değişmezlik ile uyumsuz görünmüştür. Modern kuantum mekaniğinde açısal momentum aynı şekilde kuantize edilir fakat herhangi bir yöndeki açısal momentumun ayrık durumları diğer yönlerdeki durumların kuantum süper pozisyonudur (üstdüşümüdür). Dolayısıyla kuantizasyonun işlem süreci tercih edilen bir eksen çıkarmamaktadır. Bu nedenle ""boşluk kuantizasyonu"" ismi gözden düşmüş, onun yerine bu fenomen ""açısal momentum kuantizasyonu"" olarak anılmaya başlamıştır.

Hidrojen atomunun açısal bölümü sadece bir dönerden
(rotator) ibarettir ve bu bize kuantum numaraları olan formula_55 ve formula_56’yi verir. Arda
kalan tek değişken ise radial koordinatdır (yarıçapsal konsayı).  Toplam açısal momentum (devinimi) formula_24 kadar
olan sabit bir değer için ki bu klasik bir Kepler problemidir (kütlenin ve
enerjinin birimi iki sabiti soğurmak –absorbe etmek- için tekrar tanımlanmıştı),
Hamiltonyan şu şekilde olur:

Enerjiyi sabit bir değere oturtmak ve formula_21 radial momentumu
aşağıdaki gibi olur:

Bu yalın bir denklemdir ve bize formula_55 ile bağıntılı enerjiyi
tanımlayan formula_62" "kuantum numarasını
vermektedir.

Bu durumda enerjinin formülü aşağıdaki gibi olmaktadır:

Bu formül asıl kuantum sayısı formula_64'e karşılık gelen formula_62 ve formula_55"’'"nin toplamlarına dayanmaktadır". "formula_62 pozitif (artı) olduğu için herhangi bir formula_64" "değeri için formula_55" "değeri formula_64’den büyük
olamaz. Bu enerjiler Bohr modelinde yeniden tanımlanmaktadır. Fakat bu
tanımlamada yüksek değerlerde bazı belirsizliklere sahip olan kuantum mekaniksel
çarpanlar hariç tutulmuştur.

Kısmen klasik olan hidrojen atomu Sommerfeld modeli
olarak adlandırılır ve ayrık eğimlerde bu atomun yörüngeleri farklı ölçülerde
ve eliptik olur. Sommerfeld modelinin tahminine göre bir atomun manyetik
momentu ancak ayrık değerler alıcak bir eksen 
boyunca ölçülebilir. Bunun ışığında yapılan ölçümler sonucu elde edilen
bir sonuç rotasyonal değişmezlik ile çelişkili görünmüştür ama bu sonuç Stern-Gerlach
deneyi ile onaylanmıştır. Bohr-Sommerfeld kuramı kuantum mekaniğin gelişiminin
bir parçasıdır ve atomik enerji seviyelerinin manyetik alanlar tarafından
yarılma ihtimalini tanımlayabilmektedir. 

Arnold Sommerfeld atomik enerji seviyelerinin relativistik (göreli) çözümlerini türeten kişidir. Bu türetmeye elektrik potansiyeldeki (gerilim) enerji için relativistik denklemle başlamak gerekmektedir;

formula_72 değişimini yaptığımızda;

Momentum için formula_74, formula_75 eşitliğini elde ederiz ve birbirlerine oranı formula_76 olur. Bu durumda hareket denklemi (bkz. Binet Denklemi)

çözümüyle

Enberi noktasının (periapsis) açısal kayması devir başına şu şekilde olur;

Kuantum durumu ile ele aldığımızda

ve

Buradan enerjileri tanımlayabiliriz;

Bu denklemde formula_83 ince yapı sabitine denk gelmektedir. Bu çözüm Dirac denklemiyle aynıdır.

1905 yılında, Einstein kısa dalga boyları için kutu içinde kuantize olmuş elektromanyetik (akımmıknatısal) olan osilatörlerinin (salıngaç) entropisinin (dağıntı) bir gazın noktasal parçacıklarının entropisine eşit olduğunu belirtti. Noktasal parçacıkların sayısı kuantaların (nicem paketlerinin) sayısına eşittir. Einstein bu kuantaya erişilebilir nesneler, ışık parçacıkalrı gibi davranabileceğine kanaat getirdi ve foton (ışıncık) olarak adlandırdı. 
(bkz. sayfa 139/140).

Einstein'ın bu kuramsal argümanı termodinamiğe (ısıdevinimsel), durum numaralarını saymaya dayanıyordu ve tam olarak ikna edici değildi. Sonuç olarak Einstein'da ışığı hem parçacık hem de dalga olarak atfetmiştir. Daha açıkca formula_84 frekanslı (tekrarsıklık) bir durağan elektromanyetik dalga kuantize seviyesi;

ile her biri formula_86 enerjili "n" sayıda fotondan oluşmuştur. Einstein fotonların dalgalarla olan ilişkisini açıklayamamıştır.

Fotonlar enerji gibi momentumada sahiptir ve momentum formula_62 elektromanyetik dalganın dalga sayısı olmak üzere formula_88'ya eşit olmak zorundadır. Bu göreceliliğin gereğidir çünkü momentum ve enerji frekans ve dalga sayısı olmak üzere dört-vektör (yöney) oluşturur.

1924 yılında, Doktora adayı Louis de Broglie kuantum durumuna yeni bir yöntem önerdi. Elektronları da fotonlar gibi ilişkilere uyacak dalga şeklinde tanımlayabilmiştir;

veya dalga boyu formula_90 cinsinden yazıldığında;

Louis de Broglie sonrasında kuantum koşullarını şöyle belirtmiştir;

Klasik yörüngeyi takip eden dalga için faz değişimlerini sayar ve bu formula_52'nin tam katı olmasını gerektirir. Dalga boyu cinsinden, klasik yörüngeyi takip eden dalga boylarının sayısı tam sayı olmak zorundadır. Bu yapıcı girişimin şartıdır ve kuantize yörüngelerin sebebini açıklar. Madde dalgaları sadece ayrık frekans ve enerjilerde durağan dalga oluşturur.

Örneğin, bir kutuda hapsedilmiş bir parçacık için bir durağan dalga duvarlarının arasındaki mesafenin iki katı dalga boyunun tam sayı katı olmak zorundadır. Bu şart aşağıdaki denklemle ifade edilir;

Dolayısıyla kuantize momentum;

olur. Eski kuantum enerji düzeylerini yeniden oluşturur.

Bu geliime Einstein tarafından daha matematiksel bir formda verilmiştir. Einstein dalgalar için faz fonskiyonunu (işlevini) şöyle belirtir:""Hamilton dahi dalga mekaniğinin kısa dalga boyu limiti (sınırı) için tanımladığı bir denklemi, mekanik bir sistemde Hamilton-Jacobi denklemlerinin çözümüyle tanımlamaktadır. Bu fikirler Schrödinger denkleminin keşfine yol açmıştır.""

Eski kuantum kuramı sadece periyodik olan hareket açı değişkenlerine ayrılmış özel mekanik sistemler için formüle edilmiştir. Işınım salınımı veya emilimiyle ilgilen