r küçük yörüngedeki gövde çapına göre çok büyüktür. Böylece, bazı uygulamalar için, şekil düzensizlik doğruluğu üzerinde önemli etkisi olmadan ihmal edilebilir.

Gezegenler değişen oranlarda döndürmek ve böylece nedeniyle merkezcil kuvvet biraz basık şekli alabilir. Böyle bir basık şekli ile yer çekimi çekim homojen bir kürenin bundan biraz sapma olacaktır. Bu olay yapay uyduların Dünya, düşük yörüngelerde özellikle oldukça belirgindir. Büyük mesafelerde bu oblateness etkisi ihmal edilebilir hale gelir. Onlar nokta kitleler olarak kabul edilir ise Güneş Sistemindeki Gezegen hareketleri yeterli hassasiyetle hesaplanabilir.

İki nokta kütlesi bazı atalet referans çerçevesi deneyimi yer çekimi kuvvetlerine kitleler ve ve pozisyon vektör ve göreli ile nesneleri:

formula_16 kütle 2'ye göre kütle 1 nispi konum vektörü:

formula_18 yöndeki birim vektör ve bu vektörün uzunluğu

Kendi kitleleri bölünerek ve ikinci denklemden çıkarılarak, Birinci objenin hız hareketinin ikinci objeye göre denklemini buluruz.

formula_19 yerçekim paremetresidir ve aşağıdakine eşittir.

Birçok uygulamada üçüncü ve daha basit bir çıkarım yapılabilir.

3. Merkezi gövde ile karşılaştırıldığında, yörüngedeki vücut kütlesi önemsizdir. Matematiksel olarak, m1 » m2,

μ = G (m1 + m2) ≈ Gm1.

Bu varsayım basitleştirilmiş iki beden sorunu çözmek için gerekli değildir, ancak özellikle uydular ve güneşin etrafında dönen gezegenlerin Dünya yörüngesinde birlikte hesaplanmalarını kolaylaştırır. Hatta Jüpiter'in kütlesi 1047 faktörü ile güneşin daha az, μ değerinde 0.096% bir hata teşkil edecek olan kayda değer istisnalar Dünya-Ay sistemi (81,3 kütle oranı), Plüton-Charon sistemi (8.9 kütle oranı) ve ikili yıldız sistemleridir.

Bu varsayımlar altında, iki gövde durumu, diferansiyel denklemler ile tamamen matematiksel olarak çözülebilir ve gezegensel hareket Kepler yasalarını takibi ile sonuçlanan yörüngeye "Kepler yörüngesi" denir. Güneş etrafındaki tüm Kepler yörüngelerinin yüksek doğruluk payı vardır. Küçük sapmaların nedeni gezegenler arasında çok zayıf yerçekimi konumlarıdır, ve Merkür durumunda genel görecelilik kurallarıdır.

Dünya'nın çevresindeki yapay uyduların yörüngeleri, adil bir doğruluk payıyla, Güneş'in çekim gücü, Ay ve Dünya nedeniyle Kepler yörüngelerinde minik değişiklikler olabilir. Hareket denklemi dikkate alınmaktadır (örneğin Güneş’in radyasyon basıncı ve atmosferik sürüklenme gibi) yerçekimsel olmayan yerçekimi kuvvetleri ile sayısal entegrasyon gerektiren yüksek doğruluk payı olan uygulamalarda, Kepler yörünge kavramları büyük önem taşımaktadır ve yoğun olarak kullanılır.

Kepler yörüngesinin altı parametre ile tanımlanabilirliğinden söz etmek gerekir. Üç boyutlu uzayda hareket eden bir nesnenin hareket bir konum vektörü ve bir hız vektörü ile karakterize edilir. Her vektörün üç bileşeni vardır, bu yüzden uzayda bir yörünge tanımlamak için gerekli değerlerin toplam sayısı altıdır. Bir yörünge (Kepler Elementleri olarak bilinen) ve pozisyon ve hızına bağlı olarak ölçülebilen altı elementten oluşur ki bunların üçü daha önce gösterilmiştir.Bu altı uygun elementten beş tanesi yörünge için değişmezdir. (iki sürekli değişen vektöre bir tezat niteliğinde olmak üzere). Kendi yörüngesinde içindeki bir nesnenin gelecekteki konumu tahmin edilebilir ve yeni konum ve hız kolayca yörünge elemanları ile elde edilebilir.

Bunlardan ikisi eksenin boyutunu ve şeklin belirler:

Üç tanesi yörünge alanının oryantasyonunu belirler:

Ve son olarak:
formula_29, formula_30 ve formula_31 sadece yörünge düzlemi içinde nesnenin hareketini tartışırken referans çerçevesinde yörünge yönünü tanımlayan açısal ölçümlerdir ve kesin olarak gerekli değildir. Burada tamamlanmışlık adına belitilmişlerdir ancak aşağıdaki ispatlar için gerekli değillerdir.

Herhangi bir merkez kuvveti altında yani r bir kuvvet paraleli ve hareket için, belirli bağıl açısal momentumu formula_32 sabit kalır:
formula_33
Pozisyonun çapraz ürünü vektör ve onun hızı olduğu için sabit kaldığından, aynı düzelmde bulunmak zorundadırlar. (formula_34’ye ortogonal). Bu vektör, fonksiyonun, bir düzlem eğrisi olduğu anlamına gelir. Denklemin kökeni etrafında simetri vardır, çünkü kutupsal koordinatlarda çözmek kolaydır. Bununla birlikte, bu denklem dikkat etmek önemlidir doğrusal ivmeye refere eder formula_35, açısalın karşıtı olarak formula_36 yahut radyal formula_37 ivmelenme. Bu nedenle, denklemi değiştiren kişinin dikkatli olması gerekir.Şimdi kartezyen koordinat sistemine formula_38 ve kutupsal birim vektörlere formula_39 düzlemi octoganelinde bakalım formula_34:

formula_41
formula_42 
Şimdi vektör formula_43 fonksiyonunu yeniden yazabiliriz ve diferansiyali şöyledir as:

formula_44

formula_45

formula_46

formula_47
Bu sıradan olmayan polar diferansiyel denklem verir:
^2 = - \frac {\mu} {r^2}|}} 
Bu denklemi çözmek için, öncelikle her zaman diferansiyel lineerini ortadan kaldırmak gerekir.Şuna ulaşırız:
formula_48

()’ün zaman diferansiyalinii aldığımız zaman, şuna ulaşırız:

() ve (}) denklemleri ’ın diferansiyellerini elememize izin verir.. In order to eliminate the time derivatives of formula_49’ın zaman diferansiyellerini ellimine etmek için uygun kısaltmaları bulmak bunun için de zincir kuralı kullanmamız gerekir.

formula_50

formula_51

formula_52

Diferansiyel denklem () değişken değişimi ile analitik çözülebilir

Bu verilenleri kullanarak, in ()’deki tüm zaman diferansiyelleri yoksayılabilir, ve bizi formula_53.
formula_50
() ve ()’da belirtilenleri formula_55 ve formula_56 için kullanarak

genel bir sonuca ulaşılır.
"e" ve formula_57’un başlangıçtaki "s" ve formula_58’n başlangıç değerlerinin integral sabitleri olursa, integralinin sabitini kullanmak yerine birim vektörleri kullanıma alınır ve seçilen yörünge alanındaki koordinat sistemini belirler, böylece sıfır değerini alır ve e is pozitiftir.Bu şu anlama gelir: ’in maksimum olduğu yerde sıfırdır ve böylece minimumdur. "p" parametresini formula_59 olarak tanımlarsak şu ortaya çıkar
Bu denklemi polar diferansiyel denklemini kullanmadan çözmenin bir diğer yolu şöyledir:formula_60‘yu bir birim vektör olarak tanımlayın, örneğin,formula_61 and formula_62 gibi . Burdan yola çıkarak

formula_63
Şimdi şunu değerlendiriniz

formula_64
(Üçlü vektör ürünü). Şunu dikkate alınız

formula_65

formula_66

Bu verileri bir önceki denkleme yerleştirdiğimizde

formula_67
İki tarafın da integralini alırsak

formula_68

Burada c" sabit vektördür. Bunu r"' ile birleştirmek ortaya ilginç bir sonuç çıkarır

formula_69

Burada formula_49 formula_71 ve formula_72 arasındaki açıdır. r’ye göre çözersek

formula_73 ise fokal uzunluğu formula_74 olan bir dairedir.
formula_75 ise bir aşağıdakine sahip bir hiperboldür.
Sonraki görsel, bir elipsi (kırmızı), bir paraboolü (yeşil) ve bir hiperbolü (mavi) gösterir.
Yatay çizgi üzerinde nokta odak noktasından sağa doğru çıkıyorsa nokta formula_76 odak noktasına olan minimum uzaklık formula_77 değerini alır (pericentre) .Elips için de odak uzaklığı maksimum değerini aldığı bir apocentre vardırformula_78. Hiperbol için formula_79 ’nın aralığı:

Bir parabol için aralık;

Diferansiyelin zinci kuralını kullanarak (),() denklemi ve "p"’nin tanımı formula_82 olmak üzere radyal hız elemanı şudur.
ve teğetsel bileşen olan (hız bileşeni formula_83)’ye dik ) 

Polar argümanı formula_79 ve zaman "t" arasındaki bağlantı elips ve hiperbolik yörüngeler için küçük değişiklikler gösterebilir.

Elips şeklindeki bir yörünge için, dış merkezli anomali olan "E"’ye geçeriz ve burdan

ve sonuç olarak.

açısal momentum "H" olmak üzere
Zamana göre entegrasyon olan "t" ile şu sonuca ulaşılır.

zaman varsayımını yaparak integral sabiti 0 olur.
p nin tanımı gereği 

şu şekilde yazılabiir
Hiperbolik bir yörünge için parametre yaratmak için hiperbolik fonksiyon kullanılır.

bu durumda şuna ulaşılır

açısal momentum "H" olmak üzere

Zamana göre entegrasyon olan "t" ile şu sonuca ulaşılır.

örneğin

"t"’nin hangi zamanda belirli bir gerçek anomaliye (formula_79) ne ulaştığını bulmak için, buna uyan parametre olan "E"’nin () ile zamana olan bağını hesaplaması, elips için () ile bağını ve hiperbolik yörünge için.

Dikkat ediniz ki () ve () bu aralıkta bir yer belirler. 
formula_86

Ayrıca bakınız: Merkez denklemi - analitik açılımlar

()ve ()’den edilinen elips yörünge için

ve buna göre

()’dan devam ettiğimizde şu sonuç çıkar
Dış merkezli anomalinin geometrik yapısını belirlemek için, açıkça vektörlerformula_88 ve formula_89‘nin x aksisiyle aynı yanda olmaları gerekir. Buradan yola çıkarak formula_90 ve formula_91 aynı çeyrek daireye sahiptir. Burdan yola çıkarak

ve

formula_92 vektörünün polar argümanlarınınve "n" "formula_93" örneğinde olduğu gibi seçilmiş olması gerekir.

formula_93nın sayısal hesaplaması için, standart ATAN2(y,x) fonksiyonunun, ( ya ikili DATAN2(y,x)), FORTRAN gibi programlama dillerinde kullanılması mümkündür.

Dikkate alınız ki bu aralıklar arasında alan vardır.

Hiperbolik bir yörünge için () ve ()dan yola çıkarak

and therefore that
ve sonuç olarak
formula_97 ve formula_98 aşağıdaki ifadeyi sağlayan aynı işarete sahiptir.
Bu ilişki gerçek anomali ve "E" parametresi arasında geçiş yapmak için uygundur. (burada E ()’e zaman yönünden bağlıdır.) Aralık arasındaki alana dikkat ediniz.

ve aşağıdaki bağla açıklanabilir.

()’ye bakarak, "P"’nin elips bir yörünge için yörünge periyodu

Kuvvet alanına potansiyel enerjinin ilgisi ()
(), (), () ve ()’ kadar kinetik ve potansiyel enerjinin özeti

ve formula_103 and formula_104

(), (), () ve ()’dan sonra sırasını takip eder.

aynı "r", formula_83 and formula_106 değerlerine sahip olan gerçek anomaliye sahip bir Kepler yörüngesi bulunur ve bu () ve ()’de gösterilmiştir.

Eğer bu Kepler yörüngesi aynı vektörlerine sahipse ve gerçek anomalisi () ve ()de tanımladığı gibi ise, Kepler yörüngesinin formula_107 vektörleri istenen değer olan formula_108’yi gerçek anomalisi formula_49 olmak üzere alır.

Standart atalet sabit koordinat sistemi formula_110 yörüngesel düzlemde (formula_111 per