m L-S bağlaşımındaki, H.N. Russell ve F.A. Saunders tarafından adlandırılan Russell-Suanders bağlaşımı gibi bir takım yakınlaştırmalarla daha kolay bir hale getirilebilir.





Elektromanyetizmanın eşdeğişim formülasyonu

Klasik manyetizmanın eşdeğişimli formülasyonu klasik elektromanyetizma kanunlarının(özellikle de, Maxwell denklemlerini ve Lorentz kuvvetinin) Lorentz dönüşümlerine göre açıkça varyanslarının olmadığı, rektilineer eylemsiz kordinat sistemleri kullanılarak özel görelilik disiplini çerçevesinde yazılma sekillerini ima eder. Bu ifadeler hem klasik electromanyetizma kanunlarının herhangi bir eylemsiz koordinat sisteminde aynı formu aldıklarını kanıtlamakta kolaylık sağlar hem de alanların ve kuvvetlerin bir referans sisteminden başka bir referans sistemine uyarlanması için bir yol sağlar. Bununla birlikte, bu Maxwell denklemlerinin uzay ve zamanda bükülmesi ya da rektilineer olmayan koordinat sistemleri kadar genel değildir.

Bu makalede tensörlerin uzaysal birleşenleri için (vektörler de dahil) SI birimleri kullanılmıştır, tensörlerin klasik kullanımı ve geleneksel Einstein toplamı ve Minkowski metriği (+1, −1, −1, −1) şeklindedir. Denklemlerin vakum koşullarına göre özelleştirildiği yerde, onlara Maxwell denklemlerinin toplam yük ve akım cinsinden formülasyonu olarak bakılabilir.

Arka plan bilgi maksadıyla, elektromanyetizmaya direkt olarak bağlı olmayan, fakat bu makalenin anlaşılması için yararlı olacak dört boyutlu vektörden üçünü sunuyoruz:

Sıralanan tensör analizlerindeki işaretler tensörler için geleneksel bir kullanımdır. Buradaki geleneksel kullanım Minkowski tensörüne tekabül eden +--- kullanımıdır:

Elektro manyetik tensör manyetik ve elektrik alanların bir eşdeğişimli antisimetrikmetrik tensörün içindeki kombinasyonudur. volt·saniye·metre cinsinden, alan kuvvet tensörü alanlar cinsinden şu şekilde yazılır:

ve dizinlerinin yükseltilmesinin sonucu

E 'nin enerjiyi gösterdiği yerde elektrik alan, B 'dir, ve "c" ışık hızıdır.

dört boyutlu akım vektörü elektrik akım yoğunluğu J ile elektrik yük yoğunluğunu ρ birleştiren kontravaryant dört boyutlu vektörüdür. amper·metre cinsinden,

şeklinde gösterilir.

volt·saniye·metre cinsinden, elektromanyetik dört boyutlu potansiyel bir eşdeğişimli dört boyutlu vektördür ve elektriksel potansiyeli (başka bir deyişle skaler potansiyel) φ ve manyetik vektör potansiyeli (başka bir deyişle vektör potansiyeli) A içerir, ve şu şekilde formüle edilir:

Elektromanyetik alanla elektromanyetik ilişki arasındaki ilişki bu denklemle gösterilir:

The elektromanyetik gerilim–enerji tensörü dört boyutlu mometum vektörünün akısı (yoğunluğu) olarak düşünülebilir, ve elektromanyetik alanların toplam gerilim–enerji tensörüne katkısı olan bir kontravaryant si tensördür. joule·metre cinsinden şu şekilde gösterilir

ve Maxwell gerilim tensörü in joule·metre cinsinden şu şekilde gösterilir

The elektromanyetik alan tensörü "F" elektromanyetik gerilim–enerji tensörünü "T" aşağıdaki formülle oluşturur:
η'nin Minkowski metrik tensörü olduğunu düşünürsek. Fark edilmesi gereken önemli bir nokta ise burada Maxwell denklemleri tarafından tahmin edilen
ilişkisini kullandığımızdır.

Vkum koşullarında (yahut mikroskopik denklemler için, makroskopik materyal tanımlarını içermeyen) Maxwell denklemleri iki tensör denklemi olarak yazılabilir.

İki homojen olmayan Maxwell denklemi,Gauss yasası ve Amper yasası (Maxwell denklemlerinin düzeltmeleriyle) ( +--- metriği ile) birleştiler :

homojen denklemler – Faraday'ın indüksiyon yasası ve Gauss'un manyetizma yasaları şunları oluşturmak için birleşirken:

"F" 'nin elektromanyetik tensör olduğu yerde, "J" dört boyutlu akımdır, ε Levi-Civita sembolüdür, ve indeksler geleneksel Einstein toplamına göre davranır.

İlk tensör denklemi β'nin her değeri için bir tane olmak üzere dört skaler denkleme karsılık gelir. İkinci tensör denklemi aslında 4 = 64 farklı skaler denkleme karşılık gelir, fakat yalnızca dördü birbirinden bağımsızdır. elektromanyetik alanın antisimetrikmetrisini kullanarak hem bir tanımlamayı indirgenebilir (0 = 0) hem de λ, μ, ν = bunlardan herhangi biri 1,2,3 or 2,3,0 or 3,0,1 or 0,1,2 haricindeki tüm gereksiz denklemleri eleyebiliriz.

Kısmi türev için antisimetrikmetrik tensör notasyonunu ve virgül notasyonunu kullanarak f (Ricci kalkülüsüne bakın), daha uygun ikinci bir denklem şu şekilde yazılabilir:

Kaynakların yetersizliğinde, Maxwell denklemleri suna indirgenir:

ve bu da alan kuvvet tensöründe yer alan elektromanyetik dalga denklemidir.

Lorenz ölçü koşulları Lorentz varyanssız ölçü koşullarıdır. (Bu diğer ölçü koşullarıyla karşılaştırılabilir Coulomb ölçü koşulları gibi; eğer bir eylemsiz referans sisteminde tutarsa genel olarak diğer eylemsiz referans sistemlerinde de tutar.)dört boyutlu potansiyel çinsinden aşağıdaki gibi gösterilir:

"q"yüklü hareket eden ve anlık hızı v olan bir parçacık üstündeki [[Dosya:Lorentz force particle.svg|200px|thumb|[[Lorentz kuvveti]] f ]. The electric alan E ve manyetik alan B uzay ve zamanda değişir.

Lorentz kuvvetine göre elektromanyetik (EM) alan elektrik yüklü maddelerin hareketini etkiler.bu yolla, elektromanyetik alanlar tespit edilebilir (parçacık fiziğindeki uygulamalar ile, ve doğal oluşumları ile Auroralarda olduğu gibi). Rölativistik formda, newton cinsinden Lorentz kuvvet alan kuvvet tensörünü şu şekilde kullanır.

Koordinat zamanı cinsinden ifade edilmiş "t" 'nin saniye cinsinden ölçüldüğü gösterim:

Hareketli referans sisteminde, bu alanlar dört kuvvet olarak adlandırılır

[[Dosya:Lorentz force continuum.svg|200px|thumb| Hareket halindeki sürekli bir yük dağılımında (yük yoğunluğu ρ) Lorentz kuvvetini (her birim üç boyutlu hacimdeki) f olarak gösterelim. üç boyutlu akım yoğunluğu J yük elemanı "dq" 'nun hacim elemanı "dV" 'nın hareketine karşılık gelir ve devamlılık süresince değişir.]]
Sürekli bir ortamda, üç boyutlu "kuvvet yoğunluğu" eşdeğişimli dört boyutlu vektörü oluşturmak için "güç yoğunluğuyla" birleşir, "f". Uzaysal kısım küçük hücreler (üç boyutlu uzayda) üstündeki kuvvetin hücrenin hacmiyle bölünmesinin sonucudur. Zaman bileşeni 1/"c" çarpı hücreye transfer edilen güçün hücrenin hacmine bölümüdür. Lorentz kuvvetinin yoğunluğu elektromanyetizmadan kaynaklanan kuvvet yoğunluğunun bir parçasıdır. Uzaysal bölümü şöyledir

Açıkça eşdeğişimli notasyonu şu şekle gelir:

Lorent kuvveti ve elektromanyetik enerji-gerilim tensörü arasındaki ilişki şöyledir

Devamlılık denklemi:
toplam yükün korunumunu açıklar.

Maxwell denklemlerini kullanarak, sıradaki elektromanyetik tensörü ve dört boyutlu akım vektörünü ilişkilendiren diferansiyel denklemi sağlayan gerilim–enerji tensörlerini görebilir (yukarıda tanımlandığı gibi)

yahut

Bu da lineer momentumun ve enerjini elektromanyetik etkileşimlerde korunduğunu ifade eder.

Burada verilen elektromanyetizma denklemlerini çözmek için, elektrik akımının nasıl hesaplandığıyla ilgili ek bilgiye ihtiyaç vardır, "J" Çoğunlukla, akımı farklı denklemlerle modellenen iki parçaya ayırmak gelenekselleşmiştir, serbest akım ve bağlı akım;

olduğu zaman

Maxwell's makroskopik denklemleri kullanılmıştır, ek olarak elektriksel yerdeğiştirmenin D ( coloumb·metre cinsinden) tanımları the definitions of the [[electric displacement]] ve manyetik şiddet H (amper·metre cinsinden):

M manyetizasyon (ampere·metre cinsinden) veP electriksel polarizasyon ( coulomb·metre cinsinden) olduğu .

Bağılı akım antikontravaryant manyetizasyon-polarizasyon tensörü (amper·metre) oluşturan P veM alanlarından türetilmiştir 

ve bağlı akım su sekilde belirlenir

Eğer elektriksel yerdeğiştirme tensörü "F" birleşirse D veH alanlarını aşağıda olduğu gibi birleştiren antisimetrikmetrik kontravaryant elektromanyetik yerdeğiştirme tensörü elde edilir (amper·metre cinsinden) :

Üç alan tensörü şu şekilde ilişkilendirilmiştir:

Bu da D veH alanlarının yukarıda verilen tanımlarına denktir.

Sonuç Amper yasası, 
ve Gauss's yasası, 

bir dnklemde birleştirirsek:

_{\text{free}} = \partial_{\mu} \mathcal{D}^{\mu \nu} 

The bound current vefree current as defined above are automatically veseparately conserved

Vakumlu bir ortamda alan ve yerdeğiştirme tensörleri arasındaki geleneksel ilişki şöyledir:

Antisimetri 16 denklemi sadece 6 bağımsız denkleme indirger. Çünkü "F" ifadesini 

Vakum koşullarında geleneksel denklemler Gauss-Ampère yasasıyla birleştirildiğinde şu sonuç açığa çıkar:

Elektromanyetik gerilim–enerji tensörü yerdeğiştirme cinsinden:

δ Kronecker delta olduğu yerde. Üst indeks η ile düşürüldüğü zaman, simetrik olur ve yerçekimi alanı kaynağının bir parçası olur.

Böylece akımı modelleme işini ikiye indirdik, "J" daha kolay modeller — serbest akımı modellemek, "J" ve manyetizasyonla polarizasyonu, formula_46. Örnek olarak, düşük frekanslı en basit malzemelerden anlık hareketli referans sisteminde yer alan bir tanesi buna sahip;

"u" 'nun maddenin dört boyutlu hızı olduğu yerde, ε ve μ maddenin geçirgenliğidir

Klasik elektrodinamik için Lagrangia (Lagrangian yoğunluğu) ( joule·metre cinsinden) şöyledir;

Etkileşim cinsinden, dört boyutlu akım diğer yüklü alanların elektrik akımlarını kendi değişkenleri cinsinden ifade eden pek çok terimin kısaltılması olarak anlasılmalıdır, dört boyutlu akımın kendisi temel bir alan değildir.

Elektromanyetik Lagrangian yoğunluğu için Euler–Lagrange denklemi formula_55 ilerleyen basamaklarda olduğu gibi gösterilebilir:

Not 
kare parantezlerin içindeki ifade 

İkinci terim

Bununla birlikte, hareketin elektromanyetik alan denklemi budur;
Görüldüğü üzere bu da yukarıdaki Maxwell denklemlerinden bir tanesidir.

Serbest akımları bağlı akımlardan ayırmak, başka bir deyişle Lagrangian yoğunluğunu yazmanın bir başka yolu aşağıdaki gibidir:

Euler–Lagrange denklemini kullanarak, hareket denklemleri için formula_62 ifadesi türetilebilir.

Rölativistik olmayan vektör notasyonunda denk ifade



Çeviri bu makaleden yapılmıştır http://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_formulation_of_classical_electromagnetism

[[Kategori:Elektromanyetizma]]
[