bulundurulabilir. Bu yapıyı oluşturmak için ω/ω gerçek olmayacak şekilde ω ve ω gibi bir çift kompleks sayı seçilir.ω ve ω' nin gerçek olmaması koşulu bu noktaların aynı doğrultuda olmadığını kesinleştirmek içindir. Daha sonar bu noktalar köşe noktaları 0 ve olan bir paralelkenar oluşturur. Paralelkenarın bu köşeleri tanımlanarak istenile kabartı oluşturulur. Bu şekilde elde edilen torilerin hepsi birbirlerine devamlı olarak dönüştürülebilecek şekilde eşittirler. Ancak, onları birbirlerinden ayırmamızı sağlayan fazladan bir yapıları vardır. Şöyle ki, bu şekilde oluşturulan tori karmaşık bir yapıyı sahiptir yani, bu kabartıya komşu herhangi bir nokta karmaşık bir düzlemdeki bir bölgeye benzeyecEğer, orijinal kompleks sayılar yerine onların ortak bir faktörle yeniden ölçeklendirilmiş hali W1’ ve W2’ kompleks sayı çiftini kullanırsak (λ gibi karmaşık bir sayı için ω'=λω ve ω=λω)Dolayısıyla tori koleksiyonunu yeniden ölçeklendirildikçe değişmeyen bir oran olan kullanarak parametrize etmek uygundur. Genelliğini kaybetmeden t parametresinın pozitif bir sanal kısmı olduğu varsayılabilir dolayısıyla düzlemin üst yarısındaki değerleri alır. Ayrıca, parametrelerin aynı kabartıya denk geldiği gösterilebilir.Eğer iki tori farklı t değerlerine sahipse o zaman birbirlerine eşit olmayan kompleks yapıları vardır. t parametresinin paralelkenarın karşı kenarlarınını belirlemek için oluşturulan kabartıun şeklini tanımladığı düşünülebilir. Yukarıda açıklandığı gibi ayna simetirisi topolojik sicim kuramının iki fiziksel kuramı olan A-model ve B-modelle ilişkilidir. Bu ikilikte topolojik B-model sadece uzay-zamanın kompleks yapısına dayanır. Dolayısıyla eğer kuramda uzay-zamanı bir kabartı olarak kabul edersek, kuram devamlı olarak sadece parametresine dayanır.
Kabartının geometrisinin bir diğer açısı kabartının boyutudur. Daha ayrıntılı olarak, kabartının görünümünü birim karenin karşı kenarlarını tanımlayarak elde edilen yüzey olarak söyleyebiliriz ve kabartının alanı bu karedeki alan unsuru ρ"dydx" ile belirtilir. Bu alan unsurunu kareye entegre ederek, kabartıya denk gelen ρ alanını elde ederiz. Bu konseptler daha yüksek boyutlara genellenebilir ve alan unsuru simplektik form kavramıyla genellenir. Simplektik form ile donatılmış uzay çalışmasına simplektik geometri denir.
Ayna simetirisinde, topolojik sicim kuramının A-modeli sadece uzay-zamanın simplektik geometrisine dayanan bir kuramdır. Dolayısıyla, eğer uzay-zamanı bir kabartı olarak kabul edersek, A-model devamlı olarak ρ parametresine dayanır.
Şu ana kadar karmaşık düzlemdeki paralel kenarın karşı kenarlarını tanımlayarak nasıl kabartı elde edilebileceğini gördük. Buna basit bir örnek olarak karmaşık sayılar ω ve ω gerek ve sanal ekseninde bulunsunlar.Bu durumda R ve R reel sayı olmaları koşuluyla ω= R ve ω= R
Kabartının simplektik yaoısının alan unsuur tarafından nasıl belirlendiğini açıkladık. Paralelkenarımızda formula_1 ve formula_2 koordinatlarını seçebiliriz böylece paralelkenarımızın her kenarının uzunluğu 1 olur. Daha sonra kabartımızın alan unsuru RR
"dxdy" olur ki bu birim kareye RR'yi entegre eder. Biz ρsimplektik parametresini çarpımı olarak tanımlarız.Şimdi bir fiziksel kuram için kabartının uzay-zamanı temsil ettiğini düşünelim. Bu kuramın temel objeleri kuantum mekaniğinin kurallarına göre uzay-zamanda yayılan sicimlerdir. Sicim kuramının temek ikiliklerinden biri T-ikiliğidir. Bu ikilik belirtir ki bir tanımdaki bütün miktarların ikili tanımda tanımlanması koşulu ile R çaplı çemberde yayılan sicim 1/R çaplı çemberde yayılan sicime eştir.Kabartı ayrıca iki çemberin kartezyen çarıpımı da olabilir. Bu demek oluyor ki kabartıtaki ekvatoral çemberin her noktası için bir boylamsal çember vardır.
Örneğin, bir tanımda sicimin momentumu ayrık değerler alıyor ve bu değerler ikili tanımda sicimin çember etrafında dolanma sayısına eşit oluyor. T-ikiliğini kabartıtaki boylamsal çembere uygulanmasıyla, uzay-zamanın farklı bir kabartı tarafından temsil edildiği eş bir tanım bulunur. 
Genel olarak, ayna simetrisi kompleks geometrideki roblemleri simplektik problemlere çeviren iki fiziksel kurama eştir. Kabartı burada iki boyutlu Calabi-Yau dağıtımlarını pekiştirmek için kullanılan ayna simetrisinin en basit örneğidir. Sicim kuramının uygulanmasında altı boyutlu Calabi-Yau dağıtımları göz önüne alınır. Bu altı boyutun karşılığı uzay-zamanın gözlenmeyen altı boyutudur.
Ayna simetrisi fikri R çaplı çemberde yayılan sicimin uygun birimlerle fiziksel olarak 1/R çaplı çemberde yayılan sicime eşit olmasının farkedildiği 1980lere dayanır. Bu fenomen T-ikiliği olarak bilinir ve ayna simetrisiyle yakından ilişkili olduğu anlaşılır. 1985teki bir kâğıtta Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger ve Edward Witten Calabi-Yau dağıtımını sicim kuramıyla yoğunlaştırarak parçacık kuramının standart modeline kabaca benzeyen bir kuram elde ederler. Bu gelişmenin ardından sicim kuramına dayalı parçacık fiziği için gerçekçi bir model oluşturma umuduyla birçok fizikçi Calabi-Yau kompaktifikasyonları üzerine çalışmaya başlar. Verilen fiziksel modelle Calabi-Yau dağıtımına denk benzersiz bir model oluşturulamayacağı anlaşılır. Bunun yerine iki Calabi-Yau dağıtımının aynı fiziği doğurduğu bulunur. 
Calabi-Yau dağıtımları ve Konform Alan kuramı arasındaki ilişki üzerine çalışan Brian Greene ve Ronen Plesser ayna ilişkisinin çözülmesi zor örneklerini bulurlar. Bu ilişki hakkındaki daha fazla kanıt Philip Candelas ve bilgisayar ile Calabi-Yau dağıtımları üzerine geniş çaplı araştırma yapan ve tahmin edildiği gibi ayna simetrisindeki çiftleri gören iki öğrencisinin çalışmalarından gelir.
Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green ve Linda Parks’ın ayna simetrisinin enumarativ geometrideki bazıları onlarca yıl çözülemeyen problemlerin çözümünde kullanılabileceğini göstermesiyle matematikçiler 1990larda ayna simetrisine ilgi duymaya başlamışlardır. Bu sonuçlar mayıs 1991de Berkeley, Californiada matematikçilere MSRI konferansında gösterilmiştir. Bu konferans sırasında Candelasın rasyonel dalgalar sayılırken bulduğu sayı Geir Ellingsrud ve Stein Arild Strømme adlı iki n-Norveçli matematikçinin görünüşte daha kesin yöntemlerle buldukları sayı ile uyuşmamıştır. Konferanstaki birçok matematikçi kesin matematiksel argümanlara dayanmadığı için Candelas’ın yönteminde bir hata olduğunu düşünmüşlerdir. Ancak daha sonar Ellingsrud ve Strømme kendi bilgisayar kodlarında bir hata olduğunu görmüş ve koddaki hatayı düzeltince Candelas’ın bulduğu cevap ile uyuşan bir sonuç almışlardır.
1990 yılında, Edward Witten sicim kuramının basitleştirilmiş bir sürümünü, topolojik sicim kuramını tanıttı ve fizikçiler topolojik sicim kuramı için ayna simetrisinin bir sürümü olduğunu gösterdiler. Topolojik sicim kuramı hakkındaki bu deyim genellikle matematik literatüründeki ayna simetirisinin tanımı denir. 1994’te Uluslararası Matematikçiler Kongresinde, matematikçi Maxim Kontsevich topolojik sicim kuramındaki ayna simetrisinin fiziksel fikrine dayanan yeni bir matematiksel varsayım sundu. Homolojik ayna simetrisi olarak bilinen bu varsayım iki matematiksel yapının denkliği olarak ayna simetrisini formülüze eder: Calabi-Yau dağıtımı üstündeki tutatlı bobinlerin türetilmiş kategorisi, Fukaya kategorisi ve onun aynası. Ayrıca 1995 civarında, Kontsevich beşinci dereceden üç bilinmeyenli rasyonel eğrileri sayma sorunu için genel bir formül veren Candelas’ın sonucunu analiz eder ve daha sonra kesin bir matematiksel varsayım olarak bu sonuçları yeniden formüle eder. 1996 yılında, Alexander Giventel Kontsevich’in bu varsayımını kanıtlamak için bir kâğıt yayınladı. Başlangıçta, birçok matematikçi bu yazıyı anlaması zor buldu, ve bu nedenle Givental’ın kanıtının doğruluğu ile ilgili şüpheler oluştu. Bunu izleyen yıllarda, Bong Lian, Kefeng Liu ve Shing-Tung Yau bir dizi bağımsız kanıtlar yayınladılar. İlk kanıtı yayınlayan üzerindeki bazı tartışmalara ragmen, bu kâğıtlar artık ayna simetrisini kullanan fizikçiler tarafından elde edilen sonuçların matematiksel bir kanıtı olarak görülüyor. 2000’de Kentaro Hori ve Cumrun Vafa T-ikiliğine dayanan ayna simetirinin başka bir fiziksel kanıtını buldu.




Boris Chirikov

Boris Valerianovich Chirikov, Sovyet ve Rus fizikçi. Hamiltonian Kaosu teorisinin kurucusu ve kuantum kaos teorisinin öncü destekçilerindendir. 1959’da, rezonansların çakışması için tahmin veren ve Hamiltonian dinamik sistemlerinde integrallenebilirlikden küresel kaosa geçişteki durumları destekleyen Chirikov Kriterini buldu.

Boris Chirikov Rusya’da Oryol şehrinde doğdu.1952’de Moscow Institute of Physics and Technology’den mezun oldu. Kurchatov Enstitüsü’nde Budker ile çalıştı ve 1959’da Budker ile birlikte Akademgorodok, Novosibirsk’de enstütü kurmak için Sibirya’ya taşındılar.(Şu an Budker Institute of Nuclear Physics). Rusya Bilim Akademisi’e 1983’de muhabir üye, 1982’de ise tam üye oldu.Akademgorodok’daki enstitüde yaşamının son günlerine kadar çalıştı. Olga Bashina adında bir karısı Galya Chirikova adında bir kızı vardır.

Boris Chirikov’un adı dinamik kaos ve istatistik mekaniği alanında temel sonuçların etkileyici tablosu ile ilişkilidir. 1959’ların erken döneminde, taslak makalede Hamiltonian sisteminde klasik kaosun meydana gelişi için kriterler önerdi.(Şu an Chirikov Kriterleri). Aynı makalede, Kurchatov Enstitüsü’nde elde edilen, açık ayna kapanları içindeki plazma tutulmasının kafa karıştırıcı deneysel sonuçlarını açıklamak için bu kriterleri uyguladı. Bu, kontrollü deneyde başarılı bir şekilde açıklanan ve bilgisayarlar kaosun simgelerini herkes için tanıdık yapmadan çok önce geliştirilen ilk kaos teorisidir.

Chirikov’un grubunun elde ettiği diğer sonuçlar: Fermi-Pasta-Ulam problemindeki güçlü kaosa geçişin analizi; Fermi hızlanma modeli için kaos sınırının türetilmesi; Alan-koruma haritalarında Kolmogorov-Sinai Entropisinin sayısal hesaplanması; Çok boyutlu Hamiltonian sistemlerde zayıf dengesizliklerin araştırılması; Boşluk fazlarıyla ayrılmış Hamiltonian sistemlerinde Poincaré tekrarlanmalarındaki g