bu formülasyonu burada bu uygulamalar içinde daha doğal sıklıktadır ve tanjant vektörler veya 
kotanjant vektörler olarak yaşayan üzerinde bir koordinat uzayıdır (bir manifold).Bir "x" manifold üzerinde verilen bir yerel koordinat sistemi, koordinat sistemi için başvuru eksenleri vektör alanıdır

Bu koordinat yamasının her noktasında f = ("X"...,"X") çerçeveye açar.
Eğer "y" farklı bir koordinat sistemi ve

ise f' çerçevesi f çerçevesiyle koordinat ötelemesinin Jacobian matrisinin tersi ile ilişkilidir :

Veya, indisleri içinde,

Bir tanjant vektör bir vektör tanımı iledir ve bu formula_32 koordinat parçalarının bir doğrusal bileşimidir. Böylece bir tanjant vektör şununla tanımlanır

Böylece bir vektör çerçevenin değişme sırasıyla karşıtdeğişkinidir.Koordinat sistemi içindeki değişikliği altında, tek olan

Bu nedenle teğet vektörün bileşenleri ile dönüşümü

Buna göre, diğerine tek koordinat sisteminden bir karşıtdeğişinti vektörü üzerinden geçen bu yol içinde bu koordinat dönüşümü üzerinden bağlı "v" miktarda "n" in bir sistemi denir.

Bir vektör uzayında "V" içinde bir "K" alanı üzerinde bir çiftdoğrusal forum ile (burada metrik tensör olana başvurulabilir), burada eşdeğişkin ve karşıtdeğişkin vektörler arasında fark azdır,çünkü çiftdoğrusal forum sağlayan eşvektörler vektörler ile belirleniyor.Bu,bir "v" vektör eşsizce belirlenen tüm "w" vektörleri için bir eşvektör α yoluyladır
Karşıt olarak, her eşvektör α bu denklem ile bir eşsiz "v" vektör ile belirlenir.Çünkü eşvektörler ile vektörlerin bu kimliği, tek eşdeğişkin bileşenleri'nin veya bir vektörün karşıtdeğişkin bileşenleri olarak konuşabilir olan budur, bunlar, karşılıklı kullanılan bazlar aynı vektörün sade gösterimleridir

verilen bir "V" tabanı f = ("X"...,"X"), bu bir eşsiz karşılıklı tabandır ve "V" nin f = ("Y"...,"Y") gerektireni ile belirlenir.
Kronecker delta. bu tabanın terimleri içinde, herhangi "v" vektörü iki yollar içinde yazılabilir:
"v"[f] bileşenleri f tabanı içinde "v" vektörünün eşdeğişkin bileşenleridir, ve "v"[f] bileşenleri f tabanı içinde "v" nin eşdeğişkin bileşenleridir. Terminoloji bunun için tabanın bir değişimi altında sadeleştiriliyor,

Öklid düzlemi içinde, vektörlerin nokta çarpımını sağlayan eşvektörler özdeş olsun .Eğer formula_40 bir taban, ise formula_41 çift tabanıdır, aşağıdakiler için yeterlidir
Böylece, e ve e birbirine diktir,e ve e, ve "e ve e nin ve e ve e"',nin uzunluğu sırasıyla yine normalize edilir.

Örneğin, varsayalımki bizim e, e vektörlerimizin verilen bir tabanının bir çiftinin oluşturduğu birbiriyle 45° açı yapıyor, böylece e 2 uzunluğu var ve e 1 uzunluğu var.Daha sonra, aşağıdaki gibi ikili bir baz vektörleri verilmiştir:


Bu kurallar uygulanarak,
Böylece karşılıklılık esasına göre orijinal bazda gidiş içinde temel matrisin değişimi
nedeniyle
Örneğin, vektör

Üç boyutlu Öklid uzayda,ayrıca bir zorunlu olarak ne dikey ne de birim norm varsayımı değildir."E"ün verilen bir e, e e taban vektörlerinin kümesi açıkça çift taban olarak belirlenebilir.Karşıtdeğişken(dual) taban vektörleri:

e ve e çifti ortonormal değildir,bu hala karşılıklı ikilidir:

O zaman herhangi vektör v nin karşıtdeğişkin koordinatlaarı v nin nokta çarpımı ile elde edilebilir ve karşıtdeğişkin taban vektörleri ile:

aynı şekilde, v nin eşdeğişken bileşenleri v nin nokta çarpımından eşdeğişkin taban vektörleri ile elde edilebilir, viz.

İse v iki (karşılıklı) yolla ifade edilebilir, viz.

veya
elimizde yukarıdaki ilişkileri birleştiren ki
ve biz karşıtdeğişkin tabanına eşdeğişkin dönüştürebiliriz
ve

eşdeğişken koordinatların indisleri, vektörleri ve tensörlerin indisleri vardır.Eğer eşdeğişken taban vektörleri ortonormal ise bu eşdeğişkin taban vektörlerine eşdeğerdir, böylece bu eşdeğişkin ve karşıtdeğişkin koordinatlar arasında ayrıma gerek yoktur.

Daha genel olarak,bir "n"-boyutlu Öklid uzayı "V" içinde, eğer bir taban

karşılıklı taban ile veriliyor

burada "e" katsayısı matrisin tersinin girişidir

Yani, O zaman elimizde

Herhangi vektörlerin eşdeğişkin ve karşıtdeğişkin bileşenleri

yukarıdaki ile ilişkili olarak

ve

fizikte alanlar konusunda,eşdeğişken sıfatı sıklıkla değişken için bir sinonim olarak resmi olmadan kullanılır. Örneğin, Schrödinger denkleminin özel görelilik koordinat dönüşümleri altında yazılan formu tutmaz.Böylece, bir fizikçi Schrödinger denklemi eşdeğişken değil diyebilir. Buna karşılık, Klein-Gordon denklemi ve Dirac denklemi Bu koordinat dönüşümleri altında yazılı şeklini korur. Böylece, bir fizikçi bu denklemler "eşdeğişken" olduğunu söyleyebilirsiniz.

"Eşdeğişken"nin geneline rağmen,bu Klein-Gordon ve Dirac denklemleri değişmez olduğunu ve Schrödinger denkleminin değişmez olmadığını söylemek daha doğru olur. toplanırlık, belirsizliği kaldırmak için, değişmezliği değerlendirilir kılan dönüşüm gösterilmelidir.

Vektörlerinin bileşenleri karşıtdeğişken ve eşvektörler olanlar eşdeğişken olduğu için, vektörlerin kendileri de karşıtdeğişkin ve eşdeğişkin gibi eşvektörler olarak adlandırılır.

geri çekme - difeomorfizm altında karşıtdeğişkin ve eşvektörler - difeomorfizm altında eşdeğişkindir- Bu kullanım vektörleri beri ileri itme ancak yanıltıcı olabilir .

Bak Einstein gösterimi ayrıntıları için.

Eşdeğişir ve zıtdeğişir arasındaki ayrım tensörler ile hesaplamalarda özel önemli taşır, bunun için sıklıkla karışıkdeğişkin denir.Bunun anlamı hem eşdeğişkin ve hem de karşıtdeğişkin veya hem vektör ve hem de ikili vektör bileşenleri var.Bir tensörün değeri değişkin ve eşdeğişkin terimlerinin sayılarıdır, ve Einstein gösterimi içinde, eşdeğişkin bileşenlerin alt indisler varken karşıtdeğişkin bileşenlerin üst indisler vardır. İkilik eşdeğişkin ve karşıtdeğişkin arasına müdahele edildiğinde bir vektör veya tensör nicelik bileşenleri modern diferansiyel geometri kullanıl rağmen tensör gösteriminde serbest-indeks metotları daha felsefidir.

Tensör analizinde, bir eşdeğişkin vektör çeşitleri more veya bir karşıtdeğişkin vektör karşılığına karşılıksızlıktır.Uzunluklar için bağıntılar, alanlar ve vektör uzayı içinde nesnelerin hacimleri eşdeğişkin ve karşıtdeğişkin indisleri ile tensörlerin terimleri içinde verilebilir. Koordinatların basit açılması ve büzülmesi altında , karşılıklılık tamdır; karıştırılmış bir vektörün bileşenleri afin dönüşümü altında eşdeğişinken ve karşıtdeğişinken bağıntıları arasında gidiyor 
bir manifold üzerinde,tipik olacak bir tensor alanının iki türden çoğul indisler var.Yaygın olarak izlenen kural tarafından, eşdeğişken indisleri alt indisler olarak yazılıyor, oysa eşdeğişinken indisler alt indislerdir.Eğer manifold is donanım ile bir metrik, eşdeğişken ve karşıtdeğişken indisler birbirine çok yakından ilişki alır.Büzülme tarafından karşıtdeğişken indisler eşdeğişken indisler metrik tensör ile dönüşebilir.Terslik metrik tensörün tersinin (matris) büzülmesi ile olasıdır. Genel olarak, böyle bir ilişki bir metrik tensörde uzay içinde böyle bir ilişki olmadığını unutmayın.Ayrıca, daha soyut bir bakış açısıyla, bir tensör ya da türün bileşenleri basitçe "burada" ve seçilen koordinatlar üzerinde yalnızca hesaplanabilir kalıntılar böyle bağlı değerlerdir

Geometrik terimlerin içinde açıklama genel bir tensör karşıdeğişken indisleri gibi eşdeğişken indislerine sahip olmasıdır.Çünkü bu hem tanjant demet hem de kotanjant demet içinde diri parçalar olarak var.

Bir karşıtdeğişinken vektörü tek bu formula_67 dönüşümü gibidir, burada formula_68 ifadesi formula_69 uygun zamanında bir parçacığın koordinatlarıdır.Bir eşdeğişinken vektörü formula_70 dönüşümleri gibidir, burada formula_71 bir skaler alandır.

Buradaki kategori teorisi içinde olanlar eşdeğişkin funktorlar ve karşıtdeğişkin funktorlardır.Bir vektör uzayının ikili uzayı bir karşıtdeğişkin funktörün standart bir örneğidir.Çokludoğrusal cebirin bazı yapıları 'karışık' değişkindir, funktör olmaktan alıkoyan budur.

Geometride,aynı iç gönderme/dış gönderme ayrımı yapıların değişkenliğinin değerlendirilmesinde faydalıdır.Bir düzgün manifold "M" e bir tanjant vektör başlangıçta "M " içine düzgün bir eğri gönderme ve verilen bir "P" noktası aracılığıyla geçiyor. Bu bunun için "M" in düzgün göndermeleri sırasıyla eşdeğişkindir.Bir karşıtdeğişkin vektör,veya 1-form,reel eksene "M" den bir düzgün göndermeyle yapılan "P" yakınındaki aynı yoldur.Bu kotanjant demet içindedir, tanjant uzayının ikili uzayından inşa edilir "sırasıyla" "dx" "bileşenleri" tek- formun bir yerel taban eşdeğişkini olacak; ama tek-formlar ve genel içinde diferansiyel formun geri çekme düzgün göndermeleri altında karşıtdeğişkindir,uygulama için bu çok önemlidir ; örneğin bir diferansiyel form herhangi altmanifoldla "sınırlı" olabilirken,bu tanjant vektörler için aynı bir alan mantıklı değildir.

Eşdeğişkin ve karşıt-değişkin bileşenlerin dönüşümü koordinat dönüşümleri altında farklı yollar içindedir.Bir manifold üzerinde bir gönderimin manifoldun kendisi üzerine bir koordinat dönüşümü dikkate alınarak ,bir tensörün eşdeğişkin indislerinin dönüşüm özellikleri bir geri çekme ile ve karşıtdeğişken indislerinin dönüşüm özellikleri ise bir ileri itme ile veriliyor.







Cameron Monaghan

Cameron Riley Monaghan (d. 16 Ağustos 1993), Amerikalı bir aktör. Profesyonel kariyerine çocuk model olarak üç yaşında başladı ve yedi yaşında çocuk aktör oldu. Showtime kanalında yayınlanan komedi-dram dizisi "Shameless"taki Ian Gallagher rolüyle en bilinen rolünü elde etti. Bunun yanı sıra "Click" (2006) filminde Kevin O'Doyle, "Prom" (2011) filminde Corey Doyle ve "Vampire Academy" (2014) filminde Mason Ashford olarak yer aldı. Birçok televizyon projesinin kadrosuna dahil oldu.





Kamyoncu düğümü

"Kamyoncu Düğümü" insan elinin kuvvetini katlayarak ipi gerdirebilme işine yarayan düğümler düzenidir. 

Yandaki gerginliği katlama prensibi şemasında da görülebileceği gibi gerdirirken ipin ucu alttaki ağırlığın, ya da alt kancaya uygulanan kuvvetin yarısı kadar bir kuvvetle çekilir. Gerdirirken ana ipe, ucu çekme kuvvetinin üç katı, ya da alttaki ağırlığın bir buçuk katı bir kuvvet uygulanmış olur.