ir.Haritanın Taylor serileri ile gösterilişi;"F"("x") = "J" • "x" + O("x"), yani koordinatlardaki bir değişikliğin ,"h" ,sadece "F"nin lineer kısmının basitleşmesine neden olacağı tahmin edilebilir;

Bu birleşim denklemi olarak bilinir.Bu denklemin geçerli olduğu koşulların bulunması,dinamik sistemler üstündeki araştırmalarda en önemli önceliklerden biri olmuştur.Poincaré ilk olarak tüm fonksiyonların analiz edilebilir olduğunu varsayarak yaklaşmış ve rezonans olmama koşulunu keşfetmiştir.Eğer"λ", ..., "λ" sayıları "J" nin eigen değerleriyse,ve eigen değerlerinden biri lineer olarak(iki veya daha fazlasının)kombine edilmiş haliyse bu sayılar birbirinin rezonansı olmalıdır."λ" – ∑ terimleri (diğer eigen değerlerinin katları)"h" fonksiyonunda payda da yer alırsa,rezonans olmama koşulu aynı zamanda küçük bölen problemi olarak da bilinir.

Birleşim denkleminin sonuçları olabilmesi,"J"nin eigen değerlerine ve "h"nin derecesinin bir olmasına bağlıdır(lineer olması için)."J"nin herhangi özel bir simetriye sahip olmasına gerek olmadığından,"J"nin eigen değerleri karmaşık sayılar olabilir."j"nin eigen değerleri birim çember üzerinde olmadığında,"F" üstündeki sabit "x" noktaları sabit hiperbolik noktalar olarak adlandırılır ve eigen değerleri çember üzerinde olmasının yanı sıra karmaşık sayılar olurlarsa "eliptik " olarak adlandırılır.

Hiperbolik olduğu durumda, Hartman–Grobman teoremi lineer haritadaki sabit "J" • "x" noktasının komşuluğunun devamlı olduğu fonksiyonu verecek olan şartları ortaya koyar.Hiperbolik durum aynı zamanda yapısal kararlılığa da sahiptir.Vektör alanındaki küçük değişiklikler Poincare haritasında sadece küçük değişiklikler yaratacak ve bu küçük değişiklikler "J"nin eigen değerlerinde ufak değişiklikleri meydana getirecek(karmaşık sayılar düzleminde) ki bu yeni eigen değerlerinin görünümü yine hiperbolik bir şekle sahip olacak.

Kolmogorov–Arnold–Moser (KAM) teoremi eliptik noktanın komşuluğunun davranışını açıklar.

Gelişim haritası(ya da ondan türetilen vektör alanı) Φ μ gibi bir parametreye bağlı olduğu zaman uzay katmanının yapısı da bu parametreye bağlı olur.Belli bir "μ" değerine ulaşmadan,bu parametredeki değişimler uzay katmanında bir değişiklik yaratmazlar.O nokta aşıldıktan sonra uzay katmanı ölçülebilir bir şekilde değişir(değişim gözlemlenecek bir şekilde) ve dinamik sistemde bir çatallanma meydana gelir.

Bifurkasyon teorisi,uzay katmanının yapısı(özellikle sabit noktalar(bakzfized point,periyodik yörüngeler ya da sabit yumrular(bkztorus için)ve "μ" parametresi için davranışını/değişimini inceler.Çatallanma noktasında,yapı kararlılığını değiştirebilir,yeni yapılar oluşturmak üzere bölünebilir ya da diğer yapılarla birleşebilir.Taylor serileriyle yaklaşımları kullanarak ve koordinat değişikliği nedeniyle eksik kalan(yok olan) parametreleri anlayarak dinamik sistemlerdeki çatallanmaları sınıflandırmak mümkün olabilir.

"F" ailesine ait bir hiperboliğin "x" noktasındaki çatallanmaları "DF"("x") ile sistemin çatallanma noktasındaki ilk türevi alınarak hesaplanabilir.Haritada ,"DF"nin eigen değerlerinin bir çember üstünde olması orada çatallanma olacağını gösterir.Bir akışta eigen değerleri sanal eksen üstünde olduğunda çatallanma olur.Daha fazla bilgi için bkz Bifurkasyon teorisi

Bazı çatallanmalar uzay katmanında oldukça karışık yapıların meydana çıkmasına sebep olurlar.Öreğin;Ruelle–Takens senaryosu periyodik bir çatallanmanın bit yumruya,yumrunun da oldukça karmaşık bir çekiciye dönmesini anlatır(ayrıntılı bilgi için bkzstrange attractor,Ruelle–Takens scenario).Başka bir örnekle,Feigenbaum'un periyod çiftleşmesi sabit bir periyodik yörüngenin çifter periyodik çatallanmalara ayrıldıını anlatır(ayrıntılı bilgi çin bkz,period-doubling bifurcation).

Pek çok dinamik sistemde,hacmin(v boyutlu bir hacim) uzay katmanından bağımsız olacağı bir koordinat ekseni seçmek mümkündür.Bu Newton'un kanunlarına dayandırılarak üretilmiş sistemlerde mümkündür(kooridantlar konum ve momentum olacak şekilde bir koordinatlar ekseni,ve hacmin birimi(konum) × (momentum) birimleri cinsinden belirtildikçe).Akışta "A" kümesinden bir alt küme Φ("A") fonksiyonuyla işleme sokulur ve uzay katmanından bağımsızlı şu denklikle gösterilir;

Hamilton mekaniğinde koordinatlar bilindikçe genel(çalışmalar için elverişli)bir momentum değeri,hacimden(akış sırasında hacmin korunan sistemler için) bulunabilir.Hacmin Liouville hesaplaması ile bulunabilir(ayrıntılı bilgi için bkz,Liouville measure).

Bir Hamilton sisteminde,her çeşit kozum-momentum değerini bulmak(ilk şartlar bilindiği takdirde) mümkün değildir.Çünkü enerji korunumu sadece ilk şartlardaki enerji miktarı ile eşit olan durumlar için uygulanabilirdir. Ω adlı enerji kabuğundaki enerji miktarıyla aynı olan enerjiler o uzay katmanının alt kümeleridirler.Enerji katmanının hacmi Liouville hesabıyla bulunur ve gelişim şartları altında korunurdur.

Akışlarda hacimleri korunan sistemlerde,Poincaré,Poincaré yineleme teorisini ortaya koydu.Bu teoreme göre;bir uzay katmanının sonlu bir Liouville hacmine sahip olduğunu ve "F"nin hacim korunumlu bir uzay katmanı haritası ve "A"nın da uzay katmanının alt kümesi olduğunu var sayın.O halde (neredeyse)her bir "A" noktası tekrar "A" noktasına sonsuz sıklıkta döner.Poincaré'nin yineleme teorisi Zermelo tarafından Boltzmann'nın çarpışan atomların oluşturduğu dinamik sisteminden entropinin arttığı yönündeki çıkarımına itiraz etmek için kullanıldı.

Boltzmann'ın çalışmasına yöneltilen sorulardan biri,ortalama zaman ve ortalama uzayın arasındaki eşitlik olma ihtimaliyle ilgiliydi(ergodik hipotez olarak adlandırdığı).Hipoteze göre zamanın uzunluğu(vektörel)nun "A" bölgesinde katettiği miktar;
vol("A")/vol(Ω) idi.

Ergodik hipotezin istatistiksel mekaniğin gelişimi için temel taş olmadığı ve ergodik benzeri diğer serilerin ilişkili fiziksel sistemlerin genel görünüşünü(çıkarım yapılabilecek görünüş)kısıtladığı ortaya atıldı.Koopman ergodik sistemlere fonksiyonel analiz kullanarak yaklaştı."a" uzay katmanındaki her bir sayıyla(örneğin;ani basınç veya ortalama yükseklik) ilişkilendirilmiş olan bir fonksiyon olsun.Gözlemlenebilir değerleri başka bir zaman,gelişim fonksiyonu φ,kullanarak ölçülebilir.Bu da bizi transfer operatörüne getirir ;"U"

Lineer operatör("U")ün dağılımının özellikleri üzerinde çalışarak Φ 'ın ergodik özelliklerini sınıflamak mümkündür.Koopman yaklaşımını kullanarak(akışın gözlemlenebilir bir fonksiyonu olduğu durumlar için),sonlu boyutlu lineer olmayan bir katman için geçerli bir problemde, Φ fonksiyonu "U"yu içeren sonlu-boyutlu bir harita ile ifade edilebilir.

Liouville hesabı,sadece enerji kabuğu(Ω)nun ortalama hesaplamları kullanıldığında geçerlidir(ayrıntılı bilgi için bkz,equilibrium statistical mechanics).Bir yönerge boyunca olan zamanın ortalamasının uzayın ortalamasının(vektörel) eşdeğer oluşu Boltzmann faktörüyle ölçülür(bkz, Boltzmann factor exp(−β"H")).Bu fikir Sinai,Bowen ve Ruelle(SRB hesabı) gibi bilim insanları tarafından daha büyük sistem sınıfları için(korunmayan sistemlerde dahil) genellenmiştir.SRB hesabı kaotik sistemler için Boltzmann hesabı yerine kullanılmıştır.

Basit lineer olmayan denklemler ve hatta parçalı lineer sistemler bazen öngörülmemiş davranışlar sergileyebilir,rastgele davranır gibi,temelde tanımlı fonksiyonlar olsalar bile.Bu rast gele gibi görünen davranış kaos olarak adlandırılır.Anosov kaotik sistemler olarak adlandırılan bu sistemlere benzer davranışlar sergileyen dinamik sistemler tanımlamıştır(yüksek kesinliklerle,ayrıntılı bilgi için bkz,Hyperbolic systems).Hiperbolik sistemlerde eğim uzaylarının esas yörüngeye dik olduğu sistemler iki kısma ayrılabilir;yörüngeye yakınsak noktalar içerenler(kararlı çokkatlılar) ve yörüngeye ıraksak noktalar içeren(karasız çokkatlılar)ler.

Matematiğin bu dalı dinamik sistemlerin uzun dönem davranışlarını araştırır.Yani sadece spesifik bir kısmına odaklanmak o dinamik sistem için genel çözümler üretmemize yardımcı olmaz(bu yüzden bu dal böyle soruları sormak yerine) ancak sistem uzun bir dönem sonra kararlılık kazanacaksa bu dinginlik konumları hangi zamana denk gelir ya da uzun dönem davranışı sergileyen bu sistem kendisinin ilk şartlarından bağımsız mı hareket eder(gibi sorularla uğraşır)?

Karmaşık sistemlerin kaotik davranışından bahsetmediğimize dikkat edin.Meteoroloji karmaşık sistemler hatta kaotik davranışlar sergileyen sistemler üstüne uzun zamanlar boyunca çalışma yapmıştır.Koss teorisi hep şaşırtıcı olmuştur çünkü dikkat edilmeyen önemsiz sistemlerin dahi kaos içerdiği görülmüştür.Lojistik harita tek ikinci derece polinom dinamik sistemdir,atnalı haritası parçalı lineer sistem bir örnektir(ayrıntılı bilgi için bkz,horseshoe map,logistic map).

Dinamik sistem bir değişkenler grubudur formula_10, formula_11 birçok katlıyı gösterir(Banache veya Öklid uzayındaki) , formula_12 ise zamanın tanım kümesidir(pozitif gerçek sayılar tam sayılar vb ile gösterilebilir) ve "f" ise "t" → "f" ile veya "f" gösterilen gelişim kuralı(formula_13 iken)ve çokkatlının diferansiyelidir(ayrıntılı bilgi için bkz,diffeomorphism).Yani f zamana bağlı formula_14nin kendi katlarına bağlı değişiminin haritasıdır.Başka bir deyişle,"f"("t") bir diferansiyellenebilir morfizmadır(formula_14 nin tanımlı olduğu her zaman,"t"değeri çin).

Dinamik sistem formüllerle tanımlanabilir; sigma-cebirinde denkliğin korunduğu dönüşümler buna bir örnek olabilir("X", Σ, μ, τ dörtlüsü kullanılarak). Diyelim ki, "X" bir matematiksel küme, ve Σ ise sigma-cebiri "X" ile olan,(ayrıntılı bilgi için bkz,sigma-algebra) sonuç olarak ("X", Σ) ikilisi ölçülebilir bir uzay katanıdır. μ de sigma-cebiri ile ilişkilendirilmiş sonlu bir hesaplanma olsun ve ("X", Σ, μ) üçlüsü olasılıksal uzayı oluşturur(ayrıntılı bilgi için bkz, probability space). Bir haritaın τ: "X" → "X" adlı ölçülebilir bir fonksiyonu sadece σ ∈ Σ nun formula_16 olduğu koşullarda vardırve bir haritanın korunur denkliği/hesabı her σ ∈ Σ için sadece formula_17 olduğunda vardır.Yukarıdakileri kombine edersek korunur denkliği/hesab