urumlarda, hareketin ana türü ya çeviri ya rotasyon ya 
salınım ya da bunların herhangi bir kombinasyonudur.

Tarihsel olarak, hareketin denklemleri klasik mekanikte başlamıştır ve göksel mekanikle büyümüştür, çok büyük objelerin hareketini tarif ederken. Sonradan, hareket denklemleri, elektrodinamikte gözüktü, yüklenmiş parçacıkların hareketini tarif ederken, elekrik ve manyetik alan içindeki. Genel göreceliğin gelişiyle,
klasik hareket denklemleri değiştirildi. Tüm bu durumlarda, kuvvetler ve enerji değişimlerinden etkilenmiş olan parçacığın, yörüngesini uzay ve zaman koordinatları cinsinden içeren bir differansiyel denklem şeklinde ifade edildi. Gel görki, kuantum mekaniğinin denklemi dahi hareket denklemi olarak düşünülebilir, çünkü o denklemler dalga fonksiyonlarının kuantum durmunun nasıl davranacağını benzer olarak, parçacığın uzay ve zaman koordinatlarını kullanarak izah eden differansiyel denklemleriydi. Hareket denklemlerinin benzeşlerini vardır, fiziğin diğer dallarında da, göze çarpmak gerekirse dalgalar. Bu denklemler aşağıda açıklandı.

Hareket denkleminin genel anlamda kapsadıkları:

Differansiyel denklem, uygulamanın genel tanımıdır ve belirli bir durum için ayarlanabilir, çözüm tam olarak sistemin nasıl hareket edebileceğini herhangi tanımlar, başlangıç anından sonraki herhangi bir an için, sınır değerlerini kullanarak.

Newton mekaniğinde, hareket denklemi "M" genel formu olan ikinci dereceden olan adi diferansiyel denklemler halini alır, obje r konumundayken (detaylar için aşağıya bakınız)

t zaman ve fonksiyonların üstlerindeki noktaların anlamı; zamana göre türevleri o fonksiyonları.

Başlangıç koşulları "t" = 0 anı için verildi;

formula_2

Bir başka dinamik değişken ise parçacığın momentumudur. r yerine kullanılabilir olan (ama daha az yaygın bu kullanım), açıklamak gerekirse, momentumdaki ikinci dereceden adi diferansiyel denklem:

Çözüm r (veya p), bu hareket denklemi için, başlangıç değerleri dikkate alınarak yapılan, sistemin "t"=0 anından sonraki tüm zamanları içindir. Birden çok parçacık için, ayrı denklemler vardır her bir parçacık için (İstatistiksel mekanikte, bu birçok parçacığın istatistiksel topluluğu ile çelişir, ve çok parçacıklı sistemlerle, quantum mekaniğindeki - tüm parçacıkların tek bir olasılık dağlımı ile tanımlandığı). Bazen, denklem lineer olur ve kesin olarak çözülebilir. Gel görki genelde, denklem lineer değildir ve kaotik bir davraşın halinde olur, sistemin ne kadar duyarlı bir başlangıç koşuluna sahip olmasıyla değişir bu kaotiklik.

Genelleştirilmiş Lagrange mekaniğinde, genelleştirilmiş koordinatlar q ( veya genelleştirilmiş momenta p) genel konum (veya momentum) ile yer değiştirir. Hamiltonian mekaniğinde bu durum oldukça farklıdır, iki birinci dereceden denklem vardır, genelleştirilmiş koordinalar ve momentada:

q genelleştirilmiş koordinatların değişkenler grubu ve benzer olarak p genelleştirilmiş momentumun değişkenler grubudur. Başlangıç koşulları da aynı şekilde tanımlanmıştır.

Anlık pozisyondan r = r ("t"), anlık belirli bir an için zamanın değeri, anlık hız v = v ("t") ve ivme a = a ("t"), koordinattan bağımsız genel tanımları vardır;

Hız vektörünün her zaman hareketin yönüne doğru olduğuna dikkat etmek gerekir. Bir diğer deyişle, eğimli yörüngeye teğet vektörüdür. Detaya girmeden konuşursak, birinci derecen türevler eğimlerin teğetleriyle bağlantılıdır. Yine eğimli yörüngeler için, ivme vektörü yörüngenin eğrilik merkezine doğrudur. Tekrar, detaya girmeden konuşursak, ikinci dereceden türevleri eğrilikle ilgilidir.

Rotasyonelin analoğu açısal konum (bir eksene göre dönen parçacığın açısı) "θ" = "θ"("t"), açısal hız "ω" = "ω"("t"), açısal ivme "a" = "a"("t"):

ve 
Bu eksensel vektördür. Eksenin rotasyonuna paralel bir doğrultudadır. formula_8 r'" nin yönündeki birim vektördür ve formula_9 açıya teğetsel bir birim vektördür. Bu rotasyonel tanımlarda, açı belirlenmiş bir eksene göre herhangi bir açı olabilir. "θ'nın kullanımı gelenekseldir ve bunun polar koordinat sistemlerinde kullanılan "θ" olması gerekmez.

ω açısal hızıyla, herhangi bir eksen etrafında yörüngelenen, noktasal parçacıklar için geçerlidir, birazdan yazılacak olan denklemler:

r açısal konum, v parçacığın teğetsel hızı ve a parçacığın ivmesidir. Daha genel olursak, bu denklemler, dönüşün herhangi sürecinde, bir katı cismin herhangi bir noktası için de doğrudurlar.

Bu denklemler, lineer olarak ilerleyen parçacıklara uygulanır, üç boyutlu düzlemde düz çizgi üstünde sabit ivme ile ilerleyen parçacıklar için. Çünkü konum, hız ve ivme doğrudaş olduğundan (paralel ve aynı düzlemde olan) - sadece bu vektörlerin büyüklükleri gerekli ve çünkü hareket düz bir çizgide olduğundan dolayı problem üçboyuttan bir boyuta etkili bir şekilde düşüyor.

formula_14 polar koordinatın birim vektörleridir. İvmedeki, (–"rω") merkeze doğru olan ve 2"ω"d"r"/d"t" coriolis etkisinden oluşan ivmelenmelerdir.

Hareketin özel durumları tanımlanırken, bu durumlar aşağıdaki tabloda kısaca anlatılmıştır. İki tanesi zaten yukarıda tartışıldı, bu durumlarda ya yarıçapsal ya da açısal bileşeni sıfırdır ve sıfır olamayan bileşeni hareketin tektik ivmelenmeyi tanımlar.

Üç boyutlu uzayda, denklemler küresel koordinatlarda olduğundan daha karışık ve hantal oluyor. ("r", "θ", "ϕ"), formula_15 birim vektörleriyle birlikte, sırasıyla konum, hız ve ivme.

Hareketin kinematik denklemi, basit harmonik hareket için olan, genel frekans ve periyod(bir devirin tamamlanma süresi) ile bağlantılıdır:

Birçok sistem yaklaşık olarak basit harmonik hareketi gerçekleştirir. Karışık harmonik salınım basit harmonik hareketin süperpozisyonudur.

Basit harmonik hareketin herhangi bir yönde oluşması mümkündür, neden olmasın:

ve bu denklem birden çok boyutlu harmonik salınım diye bilinir. Kartezyan koordinatlarda, konumun her bileşeni süperpozisyonudur, basit harmonik motion'nın. sinüslü biçiminin.

Basit harmonik hareketin rotasyonal analogu düz yolda dayanak noktasına veya eksene göre olan. açısal salınımdır.

"w" açısal frekansı salımın hareketinin, ama dikkat edin ki açısal hız değil.

Bu biçim (hiç değilse yaklaşık olarak) tanıımlanabilir, titreşim olarak. Karışık analog yine basit harmonik salınım süperpozisyonudur.

Hareket denklmeini vektör biçminde yazmak Newton'nun hareket yasalarını kullanarak basit olabilir, ama bileşenleri değişebilir karışık bir şekilde ve onları çözmek kolay olmayabilir. Genellikle soruyu tam olarak çözebilmemizi engelleyecek kadar değişkenlerin fazlalığına takılabiliriz, bu yüzden newtonun yasaları en etkili yöntem değildir, parçacığın hareketi anlamada. Dikdörtgen geometrisinin daha basit durumlarında, kartezyen koordinatların kullanımı çok güzel çalışırız, ama diğer koordinat sistemleri üzücü bir şekilde daha karışık olabilir.

İlk gelişme ve en ünlü olan gelişme Newton' un ikinci hareket yasasıdır. Bunu yazmanın birden çok yolu vardır, en çok kullanılanı;

p = p("t") parçacığın momentumu ve F = F("t") parçacığın sonuç olan harici kuvvettir, parçacık üstündeki - her durumda "t" zaman için kullanılmıştır. Bu yasa daha popiler bir şekilde şöyle kullanılır;

"m" sabit olduğundan dolayı, newton mekaniğinde. Gel görki, momentumun biçmi seçilebilirdir, çünkü rahatlıkla karışık sistemlere genelleştirilebilir, ve bu genelleştirmeye özel ve genel görecelikte dahildir, ve çünkü momentum korunabilir bir nicelik olduğundan dolayı; ki daha derin ve temel bir önem arz ettiğinden, pozisyon vektörüne göre veya momentumun zamana göre türevine göre.

Birden çok parçacık için;

p = "i". parçacığın momentumu, F = "j" parçacığı tarafından "i" parçacığına uygulanan kuvvet, ve F = soçun olan dış kuvvet. "i" parçacığı kendi kendisine bir kuvvet uygulamaz.

Katı cisimler için, Newton'nun ikinci yasası rotasyon için olan aynı biçimi alır translasyon için aldığındaki;

L açısal momentumdur, burada. Kuvvet ve ivmenin analog;

I burada eylemsizlik momentidir. Benzer şekilde, birden çok parçacık için, hareket denklemi yazılır bir parçacığın;

"L = açısal momentumudur "i". parçacığın, τ = "i". parçacığın torkudur ve τ"' = soçn olan dış torktur. "i" parçacığının kendi üstüne tork uygulayamaz.

Newton yasasının bazı örnekleri sarçakın hareketinin tanımlanmasında da kullanılır;

sönümlü, kararlı harmonik salınım için;

veya bir top havaya atılmış olan, hava akımı (rüzgar gibi) direnç gösteren kuvvetlerin vektör alanı ile tanımlanan R(r, "t") için;

"G" = yerçekimsel sabit, "M" = dünyanın kütlesi, ve A=R/"m" atılan cismin ivmesi hava akımına göre ve herhangi bir r pozisyonunda "t" zamanında. Newton'nun yerçekimi yasası kullanılmıştır. Atılan cismin kütlesi "m" nötürleşiyor işlemde.

Euler, Newton'nun yasalarına benzeş bir şekilde katı cisimlerin hareketi için yasalar geliştirdi.

Euler'in denklemlerini toplayıp sadece bir denkleme sığdıran denklemlerdir.

Eğer sistemde kısıtlamalar varsa üç boyutlu düzlemin tüm koordinatlarını kullanmak gereksizdir. Genelleştirilmiş koordinatlarq("t") = ["q"("t"), "q"("t") ... "q"("t")], "N" sistemin tüm serbestlik derecesinin toplamı, koordinat setlerinden herhangi birini sistemin konfigürasyonunu ark boyları ve açılar biçminde tanımlanmasında kullanılır. Hatır sayılır derecede yalınlaştırmalar vardır, hareketi tanımlarken, çünkü esas kısıtlamaların avantajıyla sistemin hareketini limitleyerek - mesela, birkaç koordinatta olan bir hareket minimuma indirgenmeye çalışabilinir, tüm koordinatları kullanarak tanımlanması yerine.

Genelleştirilmiş koordinatlar aşağıdakilere tekabül eder;


Lagrangian veya Hamiltonian fonksiyonu p" ve q"' değişkenlerini kullanarak kurulmuş bir sistemdir ve bunlar Euler-Lagrange veya Hamilton'nın denklemlerinin içine sokulmuştur, sistemin bir differansiyal denklemini elde etmek için. Bunlar koordinat ve momenta için çözülür.

Hareketin tüm klasik denklemleri, değişken prensibi tarafından elde edilebilinir.

sistemin konfigürasyon uzayında gideceği yol belirlenebilir, ve o yol en az hareketin olduğu yoldur.

Euler-Lagrange denklemleri şunlardır;

Lagrangian'da yerine koyduktan sonra, k