resel polarize ışığın çeyrek-dalga levhasını terkederek sola doğru hareket ettiğini düşünelim. Lineer polarize ışığın yatay bileşeni iki kere çeyrek dalgaboyu kadar gecikme yapsaydı, ki bu yarım dalgaboyu demek, sonuç giren ışığa dik açıda bir lineer polarize ışık olurdu. Eğer bu şekilde bir ortogonal polarize ışık yatay düzlemde döndürülse ve lineer polarizöre geri gönderilse açıkça geçerdi. Şimdi ise çeyrek-dalga levhasından zaten geçmiş olan ve geri döndürülüp dairesel polarizöre tekrar yönlenen dairesel polarize ışığı düşünelim. Yukarıda gösterilen dairesel polarize ışık bu ışık olsun. Bu ışık, lineer polarizöre ulaşmadan önce çeyrek-dalga levhasından ikinci kez geçecektir, yatay bileşeni ikinci kez çeyrek dalgaboyu kadar geride kalacaktır. Yatay bileşen iki defa çeyrek dalgaboyu kadar gecikse de, bir defa yarım dalgaboyu kadar gecikse de, ortaya çıkan lineer polarize ışığın oryantasyonu onun lineer polarizörden geçmesine izin verecek şekilde olur.

Eğer sağ rotasyonlu, saat yönünde dairesel polarize ışık soldan dairesel polarizöre yaklaşsaydı, onun da yatay bileşeni gecikmeye uğrardı, fakat ortaya çıkan lineer polarize ışık lineer polarizörün soğurma ekseninde polarize olacağı için geçemezdi.

Sağ rotasyonlu dairesel polarize ışığı geçirip sol rotasyonlu ışığı soğuran bir dairesel polarizör yapmak için dalga levhasını ve lineer polarizörü tekrar birbirlerine 90 derece yapacak şekilde döndürmek gerekir. Lineer polarizörün geçiş ve soğurma eksenlerinin yerlerini dalga levhasına göre ters çevirerek geçirilen ve soğurulan polarize ışığın hangi rotasyonda olacağı değiştirilebilir.

Homojen dairesel polarizör belli rotasyondaki dairesel polarizasyonu değiştirmeden geçirir ve diğerini bloke eder. Bu, lineer polarizörün belli açıdaki lineer polarize ışığı değişmeden tamamen geçirip ona dik olan tüm polarizasyonları engellemesine benzer.

Homojen bir dairesel polarizör iki çeyrek-dalga levhası arasına bir lineer polarizör sıkıştırmakla elde edilebilir. Özel olarak, önceki tanımlanan, dairesel polarize ışığı lineer polarize ışığa çeviren dairesel polarizörü alıp 90 derece döndürülmüş ikinci bir çeyrek-dalga levhasına ekleyebiliriz.

Genel olarak, iki dairesel polarizasyondan herhangi biri dairesel polarizöre girdiği zaman, birbirine dik olan bileşenlerden biri diğerine göre çeyrek dalgaboyu kadar gecikir. Bu da iki rotasyondan birinde dairesel polarizasyon yaratır. Çeyrek-dalga levhalarının arasına konan lineer polarizör öyle konumlanır ki bir lineer polarizasyonu geçirip diğerini geçirmez. İkinci çeyrek-dalga levhası bu kez lineer polarize ışığı alır ve önceki levhanın gecikmeye uğratmadığı diğer ortogonla bileşeni gecikmeye uğratır. Bu da iki bileşeni başlangıçtaki faz ilişkilerine geri getirir,seçilen dairesel polarizasyonu tekrar kurar.

Dairesel polarize ışığın hangi yönde geçtiği önemli değildir.





Akustik dalga denklemi

"Bu makale Wikipedia.org'da bulunan 'Acoustic-wave equation' makalesinin çevirisidir."

Fizikte akustik dalga denklemi, akustik dalgaların bir ortamda yayılımını düzenler. Denklemin biçimi ikinci dereceden kısmi diferansiyel denklemdir. Denklem, akustik basınç formula_1 ve parçacık hızı u nun gelişimini, konum r ve zaman formula_2 türünden fonksiyon olarak ifade eder. Denklemin basitleştirilmiş bir formu akustik dalgaları sadece bir boyutlu uzayda, daha genel formu ise dalgaları üç boyutta tanımlar.

Sesin madde içerisindeki davranışını tek boyutta tanımlayan dalga denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir,

formula_1 akustik basıncı(ortam basıncından değişimi), formula_5 ise ses hızını gösteriyor.

Hızın formula_5 sabit olduğu düşünüldüğünde, frekansa bağlı olmadan(dağılım olmayan durumda) en genel çözüm;

formula_8 ve formula_9 iki kere türevlenebilen fonksiyonlardır. İki hareket eden dalganın üst üste binmesi olarak görülebilir, (formula_8) pozitif x-ekseninde, (formula_9) ise negatif x-ekseninde formula_5 hızıyla hareket eder. Tek bir yönde hareket eden bir sinüs dalgası ise f veya g den birinin sinüsoid ve diğerinin sıfır olması ile elde edilir.

formula_14 dalganın açısal frekansını, formula_15 ise dalga sayısını verir.

Dalga denklemi lineerize edilmiş tek boyutlu süreklilik denkleminden, tek boyutlu kuvvet denkleminden ve hal denkleminden elde edilebilir
Hal denklemi(ideal gaz yasası):

Adiabatik(ısı almayan) işlemde, basınç P yoğunluğun formula_17 bir fonksiyonudur ve şu şekilde lineerize edilebilir;

"C" herhangi bir katsayı. Basınç ve yoğunluğu ortalama ve toplam bileşenlerine ayırırsak:

Akışkanlar için adiabatik hacim modülü;

Şu sonucu verir:

Yoğunlaşma, "s", verilen bir akışkan yoğunluğu için yoğunluktaki değişme olarak tanımlanır.

Lineerize edilmiş hal denklemi buna dönüşür:

P akustik basınç (P − P).

Süreklilik denklemi(kütle korunumu) tek boyutta şöyledir:

Denklem lineerize edilmeli ve değişkenler yine ortalama ve değişen bileşenlerine ayrılmalıdır.

Tekrar düzenleyerek ve ortam yoğunluğunun zamana veya konuma bağlı değişmediğine, aynı zamanda hız ile yoğunluğun çarpımının çok küçük bir sayı olduğuna dikkat ederek şunu yazabiliriz:

Euler’ın Kuvvet yasası(momentum korunumu) gereken sonunsur. Tek boyutta denklem:

formula_28 ileten, kayda değer veya gerekli türevdir, sabit bir noktadan ziyade ortamla beraber hareket eden bir noktadaki türevdir.
Değişkenleri lineerize edersek:

Küçük terimleri yok sayıp yeniden düzenlersek denkem bu hale gelir:

Süreklilik denkleminin zamana göre, kuvvet denkleminin ise konuma göre türevlerini alırsak:

İlk denklemi formula_33 ile çarpar, birbirlerinden çıkarır ve hal denkleminin lineerize edilmiş formunu yerine koyarsak:

Son hali şu olur:

formula_36 yayılma hızıdır

Feynman üç boyutta sesin ortamdaki dalga denklemini şöyle elde etmiştir:

formula_38 Laplace operatörü, formula_1 akustik basınç ve formula_5 sesin hızıdır.

Aşağıdaki çözümler farklı koordinat sistemlerinde değişken ayırma yöntemi ile elde edilmiştir. Bu çözümlerin zamana bağlı açık olmayan bir faktörleri vardır, formula_41,burada formula_42 açısal frekanstır. Açık zamana-bağlılık şöyle verilir:
burada formula_44 dalga sayısıdır.

Burada formula_47 iken Hankel fonksiyonlarına asimptotik yaklaşımlar şöyle verilir;

Seçilen Fourier kuralına bağlı olarak, bunlardan biri dışarı hareket eden, diğeri ise fiziksel olmayan içeri hareket eden dalgayı temsil eder. İçeri hareket eden dalganın fiziksel olmaması sadece r=0 da oluşan tekillikten ileri gelir; içeri hareket eden dalgalar mevcuttur.




Yer değiştirme akımı

Elektromanyetizmada yer değiştirme akımı elektrik yer değiştirme alanının değişim oranıyla tanımlanan bir niceliktir. Yer değiştirme akımının birimi akım yoğunluğu cinsinden ifade edilir. Yer değiştirme akımı gerçek akımlar gibi manyetik alan üretir. Yer değiştirme akımı hareketli yüklerin yarattığı bir elektrik akımı değil; zamana bağlı olarak değişim gösteren elektrik alanıdır. Maddelerde, atomun içerisinde bulunan yüklerin küçük hareketlerinin de buna bir katkısı vardır ki buna dielektrik polarizasyon denir.
Bu düşünce James Clerk Maxwell tarafından 1861'de yayınladığı makalesinde elektriksel parçacıklarının dielektrik ortamdaki hareketi bağlamında açıklandı. Maxwell yer değiştirme akımını Ampère Devre Yasası'ndaki elektrik akımı ile toplayarak değiştirdi. Maxwell, 1865'te, bir makalesinde, Dinamik Elektromanyetik Alan Teorisi, bu değiştirilmiş Ampère Devre Yasası'nı kullanarak elektromanyetik dalga denklemini elde etti. Bu çalışmanın elektrik, manyetizma ve optiği birleştirmiş olmasından dolayı, bu olay genellikle fizik açısından tarihsel bir dönüm noktası olarak kabul edilmektedir. Yer değiştirme akımı terimi, Maxwell denklemlerini tamamlayan oldukça önemli bir katkı olarak kabul edildiği gibi birçok fenomeni, özellikle de elektromanyetik dalgaların varlığını açıklamaktadır.
Elektrik yer değiştirme alanı şöyle tanımlanmaktadır:
burada
Bu denklemin zamana göre türevi, dielektrik olarak iki bileşeni olan "yer değiştirme akımı"nı vermektedir:
Sağ taraftaki ilk terim madde ortamında ve boş uzayda verilmiştir. Bu terim, gerçek yük hareketini içermek zorunda değildir, fakat tıpkı hareketli yüklerin yarattığı gibi bir manyetik alan katkısına sahiptir. Bazı yazarlar "yer değiştirme akımı" adını sadece bu katkı için kullanırlar.
Sağ taraftaki ikinci terim ise dielektrik madde içerisindeki her bir moleküle ait polarizasyondur. Dielektrik malzemenin tek tek moleküllerin | sağ taraftaki ikinci terim kutuplaşma elektrik kutuplaşma ile ilişkilidir. Polarizasyon, uygulanan elektrik alan içerisinde moleküllerin içerisinde yüklerin az bir miktar hareket etmesine neden olur. Artı ve eksi yüklü parçacıkların molekül içerisinde birbirinden uzaklaşmaları polarizasyon P durumunun şiddetlenmesine neden olur. Bir polarizasyon durumunun değişmesi de bir yük hareketine karşılık gelir ve bu yüzden bir akımla eşdeğerdir. 
Bu polarizasyon yer değiştirme akımıdır ve bu Maxwell tarafından ortaya atılmıştı. Maxwell, vakum ortamı için özel bir düzeltme yapmadı ve bu ortama bir madde ortamı gibi yaklaştı. Maxwell için, P etkisi basitçe D = "εε" E denklemindeki göreli geçirgenlik "ε" değişimiydi.
Yer değiştirme akımının modern açıklaması aşağıdadır.
Basit bir dielektrik malzemede temel denklem şunu sağlamalıdır:
Burada geçirgenlik "ε = ε ε", 
Bu denklemde, "ε", dielektrik polarizasyon hesaplanması içindir.
skaler değer açısından yer değiştirme akımı elektrik akısı cinsinden de ifade edilebilir.
"ε" cinsinden gösterimler sadece doğrusal izotropik malzemeler için doğrudur. Daha genel olarak "ε" yerine bir tensör kullanılabilir. Bu tensör elektrik alanına bağlı olabilir ve zamana bağlılık (dağılım) gösterebilir.
Doğrusal bir izotropik dielektrik için, polarizasyon P şöyle verilir: 
burada "χ" olarak bilinen dielektrik için elektriksel alınganlıktır.
Bazı etkileri deneysel gözlem ile kabul edilmiş olan yer değiştirme akımı, elektromanyetizma teorisi için mantıksal tutarlılık gerekliliklerini sağlamaktadır.
İki plakası arasından bir ortam bulunmayan kapasitörler düşünüldüğünde alındığında yer değiştir