bir genellemesidir. Bessel fonksiyonları sin veya cos fonksiyonlarındaki grafiklere kabaca benziyor,salınımdaki bu bozunma 1/√"x" la orantılı (ayrıca asimptotik formları aşağıda),büyük "x" lar için asimptotiklik hariç kökleri olmasına rağmen genelde periyodik değildir. (Taylor serisi olduğunu gösterir −"J"("x") "J"("x")'nin türevidir,−sin "x" ın cos "x" ın türevi olmas gibi;daha geneli,"J"("x") nin türevi aşağıda kimliği tarafından "J"("x") terimleri içinde ifade edilebilir.)

Tam sayı olmayan α lar için fonksiyonların Jα (x) ve J-α (x) doğrusal bağımsızdır ve bu nedenle denklemin iki çözümü vardır.Diğer taraftan, tam sayı dereceli α için, aşağıdaki ilişki (negatif tam sayı argümanlar için Gamma fonksiyonun sonsuz değerler aldığını unutmayın) geçerlidir:
Bu iki çözüm artık lineer bağımsız olduğu anlamına gelir. Bu durumda, ikinci bir lineer bağımsız çözüm daha sonra aşağıda anlatıldığı gibi, ikinci tür Bessel fonksiyonu olarak tespit edilir.
Diğer tanım ,formula_4'in tam sayı değerleri için Bessel fonksiyonun,integral gösterimi mümkündür:

Diğer integral gösterimi:

Bu, Besselin kullandığı yaklaşım ve fonksiyonun bu tanımdan türetilen çeşitli özellikleri vardır ve belki tam sayı-olmayan değerler (formula_7 için)ile tanımı genişletilebilir.

veya formula_9 için tarafından
Bessel fonksiyonları genelleştirilmiş hipergeometrik serisi terimleri cinsinden ifade edilebilir 
Bessel-Clifford fonksiyonu Bessel fonksiyonların geliştirilmesi ile elde edilmiştir.
Bessel fonksiyonu formula_12 ve keyfi olarak seçilen parametre formula_13 olmak üzere Laguerre polinomları cinsinden ifade edilebilir

"Y"("x") ile gösterilen Ikinci türden Bessel fonksiyonları, bazen "N"("x") yerine gösterilebilir, Bessel diferansiyel denkleminin çözümleridir. ("x" = 0 ,kökenli bir tekillik var ).Bunlara Heinrich Martin Weber anısına bazen Weber fonksiyonları ve ayrıca Carl Neumann anısına Neumann fonksiyonları denir.

α tam sayı değilse, "Y"("x") fonksiyonu ile "J"("x") arasında şu ilişki vardır:

Bu durumda"n" tam sayı olarak alınırsa, α bir tam sayı değilse bu tanımla limit alınırsa 'n' şu eğilimdedir:

Buna karşılık gelen bir integral formülü vardır(formula_17 için),

Bessel denklemi ne zaman ikinci lineer bağımsız çözüm olarak "α"tamsayısı "Y"("x") için gerekli bir tam sayıdır. . ama "Y"("x") bundan daha fazla anlama sahiptir, bir 'doğal' eşi 
"J"("x") ifadesi kabul edilebilir. Ayrıca aşağıda Hankel fonksiyonları için alt bölüme bakın
α bir tam sayı olduğu zaman,Ayrıca,birinci tür fonksiyonları için durum benzerdi,ve aşağıdaki ilişki geçerlidir:

"J"("x") ve "Y"("x")'nin her ikisi de holomorfik fonksiyon'dur of "x" on the karmaşık düzlem'de negatif gerçek ekseni kesip. Eğer α bir tam sayıdır ise, Bessel fonksiyonları"J" "x" 'ın tam fonksiyon'udur. eğer "x" sabit ise,Bessel fonksiyonları α için tam fonksiyon'dur.
Bessel denkleminin için iki doğrusal bağımsız çözümleri için diğer önemli bir formülasyon" 'Hankel fonksiyonları"'dır. 
"H"("x") and "H"("x"), tanımları için :

Burada "i" sanal birim'dir. Bu lineer kombinasyon ayrıca Üçüncü tür Bessel fonksiyonları olarak da bilinir; bunlar Bessel diferansiyel denklemi iki lineer bağımsız çözümlerdir.Fonksiyonun ismi Hermann Hankel anısınadır. Birinci ve ikinci tür Hankel fonksiyonların önemi teorik gelişme yerine uygulamada yatmaktadır. Lineer kombinasyonu bu formları asimptotik formüller veya entegre gösterimleri gibi, çok sayıda basit görünümlü özellikler taşır. formula_22Hankel fonksiyonları sırasıyla, silindirik dalga denkleminin dışa ve içe yayılan silindirik dalga çözümleri ifade etmek için kullanılır (ya da tersi, bağlı frekans). sinyal mutabakatı için

bir önceki ilişkileri kullanılaraki şu şekilde ifade edilebilir :

eğer "α" bir tam sayı ise,limiti hesaplanır. Aşağıdaki ilişkiler geçerlidir, "α" bir tam sayı veya
değil:

Hankel fonksiyonları için aşağıdaki integral gösterimleri kabul edilir

Burada kontur boyunca integrasyon gösterimi integrasyon sınırlarıdır bunun için aşağıdakiler seçilebilir: −∞ dan 0’a negatif gerçel eksen boyunca, 0’dan ±iπ ‘ye sanal eksen boyunca, ve ±iπ ‘dan +∞±iπ ‘a gerçek eksene paralel bir kontur.

Uygulamalı matematikte,Kelvin fonksiyonları "Ber"("x") ve "Bei"("x") sırasıyla gerçel ve sanal kısım'dır;

burada "x" gerçeldir, ve "J"("z"), 
Birinci tür Bessel fonksiyonu yerine ν 'dir. Aynı şekilde,Ker("x") fonksiyonu ve Kei("x") gerçel ve sanal kısımları sırasıyla, 
formula_31, 
burada formula_32 ise ν ikinci tür modifiye Bessel fonksiyonu yerinedir.

Fonksiyon adı William Thomson, 1.Baron Kelvin anısınadır.

"x" karmaşık değişken ve çift değer için Bessel fonksiyonudur,ve önemli özel bir durum bu tamamen sanal değişkendir. Bu durumdaki, Bessel denklemi çözümleri birinci ve ikinci tür modifiye Bessel fonksiyonları olarak adlandırılır (veya zaman zaman hiperbolik Bessel fonksiyonları ),herhangi bir eşdeğer alternatifleri: tarafından

Burada gerçek değerler için gerçek ve pozitif değişkenleri "x" olarak seçilmiştir.Seri açılımı için "I"("x")'dır,böylece buna benzer "J"("x"), ancak alternatif olmayan (−1) faktorüdür.
"modifiye Bessel denklemi" için iki lineer bağımsız çözümleri:
"I"("x") ve "K"("x") dir

Sıradan Bessel fonksiyonlarının aksine, gerçek bir bağımsız değişken fonksiyonları gibi osilasyonu olan değil, "I" ve "K" sırasıyla katlanarak büyüyen ve eksilen fonksiyonlardır. Normal Bessel fonksiyonu gibi "J", fonksiyonu "I" sıfıra gider "x" = 0 ve α > 0 için sonludur "x" = 0 , α = 0 için. benzer olarak, "K" "x" = 0 da ıraksar .

Modifiye Bessel fonksiyonları için iki integral formülü ( formula_17 için):

Modifiye Bessel fonksiyonları formula_39 ve formula_40 hızlı yakınsaklık için temsil edilebilir. integral 

ikinci türden değiştirilmiş Bessel fonksiyonu ayrıca artık nadir isimler tarafından anılmıştır:

Helmholtz denklemi'ni değişkenlere ayırma ile küresel koordinatlarda çözerken, radial denklem formuda vardır:

Bu denklemin iki lineer bağımsız çözümüne" 'küresel Bessel fonksiyonları"' denir."j" ve "y",ve sıradan Bessel fonksiyonları ile ilişkilidir "J"
ve"Y" by:

formula_46 ifadesi formula_47 ifadesi gibidir veya η; bazı yazarlar bu fonksiyonlara" 'küresel Neumann fonksiyonları"' diyor.

Küresel Bessel fonksiyonları(" 'Rayleigh Formülleri"') olarak da yazılabilir:

İlk küresel Bessel fonksiyonu formula_50 sinc fonksiyonu (normalize edilmemiş)küresel fonksiyonlar olarak da bilinir. İlk birkaç küresel Bessel fonksiyonları:
ve

Genel eşitlikler
(en büyük tam sayının toplamının üst sınırı az veya eşit (n +1) / 2 olarak anlaşılır); Laguerre polinomları formula_60 çok terimli (bkz. Bessel polinomu)) ve diğer gösterimler kullanan kapalı bir formu ile sağlanmaktadır.

Küresel Bessel fonksiyonlarının üreteç fonksiyonları var 

Aşağıda formula_64 herhangi bir formula_65 için formula_66
Hankel fonksiyonların küresel analogları da vardır:

Aslında, buradaki yarım-tamsayı'lı Bessel fonksiyonu için kapalı formun basit ifadesidir trigonometrik fonksiyon'lar standart terimlerin yerine kullanılırsa Küresel Bessel fonksiyonu denir.özellikle negatif olmayan "n" tam sayısı için :

ve burada karmaşık eşlenik formula_71 dır the of this (gerçel kısım için formula_72). Bu aşağıdaki, örnek için , that formula_73 ve formula_74,ve benzeri.

Küresel Hankel fonksiyonları küresel dalga yayılımı ile ilgili problemlerde görülür, for example in elektromanyetik alana ilişkin çok kutuplu açılım.

Riccati–Bessel fonksiyonları küresel Bessel fonksiyonlarından sadece biraz farklı:

Bu diferansiyel denklem uygundur:

Bu diferansiyel denklem, ve nde, bir küre tarafından yayılan elektromanyetik dalgalar sorununda ,Riccati–Bessel çözümleri olarak ortaya çıkar Mie saçılımı'olarak bilinen çözümleri içeren baskı Mie (1908) anısınadır. Bakınız Du (2004)son gelişmeler ve referanslar için .

Bessel fonksiyonunun negatif olmayan α için aşağıda asimptotik formu vardır.Küçük bağımsız değişkenler için formula_80,bir elde:

burada formula_83 Euler–Mascheroni sabiti (0.5772...)dir ve formula_84 ifadesi gama fonksiyonu'dur. büyük bağımsız değişkenler formula_85,bu olur

(α=1/2 için Bu formüller hassas olarak doğrudur; bakınız yukarda küresel Bessel fonksiyonu.)Bessel fonksiyonu'nun diğer tipinin Asimptotik formu aşağıda doğrudan ileri doğru yukardaki ilişkiden.örneğin,büyük formula_85 için modifiye Bessel fonksiyonu 
alınır:

Benzer şekilde, formula_91 olduğunda son ifadeler hassas olarak doğrudur .

Küçük bağımsız değişkenleri için formula_80 alındığında:

Bessel fonksiyonlarına uygun bir çarpım teoremi

burada formula_96 ve formula_97 rastgele karmaşık sayılar olarak alınabilir.benzer bir formu için şu verilebilirformula_98 ve benzeri

Başlangıçta Besselin kendisi negatif olmayan n tam sayıları için, "J"("x") = 0 denkleminin "x" çözümleri sayısının sonsuz sayıda olduğunu kanıtladı. "J"("x") fonksiyonları aynı grafik üzerine çizildiği zaman,"x" = 0 'sıfır hariç farklı "n" değerleri için denk gibi görünüyor.Bessel fonksiyonlarının Bourget hipotezi olarak bilinen bu fenomenini inceleyip gösteren ondokuzuncu yüzyıl Fransız matematikçisinin ismine atfedilmiştir 
Özellikle "J"("x") ve "J"("x") fonksiyonları, "n" ≥ 0 ve "m" ≥ 1 gibi herhangi bir tam sayı durumu dışında "x" = 0 hariç başka hiçbir ortak sıfır olmadığını belirtiyor.Hipotez 1929 yılında Carl Ludwig Siegel tarafından kanıtlandı.Watson, pp. 484–5








Damien Perquis

Damien Perquis (d. 10 Nisan 1984 Troyes), defans mevkiinde oynayan Fransa doğumlu Polonyalı futbolcudur. La Liga ekiplerinden Real Betis takımında oynamaktadır.

2008 yılında Polonya millî futbol takımında oynamak istediğini açıklayan futbolcu belgeleri eksik olduğu için ancak 1 Eylül 2011'de Polonya başbakanı Bronisław Komorowski'nin özel izniyle Polonya vatandaşlığı alabilmiştir. Bu tarihten birkaç gün sonra 6 Eylül 2011 tarihinde Almanya'ya karşı oynanan maçta ilk kez millî formayı giymiştir.





Acıkuyu, Akçakale

Acıkuyu, Şanlıurfa ili Akçakale ilçesine bağlı bir mahalledir.

Şanlıurfa il merkezine 66 km, ilçe merkezine 16 km uzaklıktadır. Mahallede karasal iklim görülmektedir. Köy h