futbola mahalle aralarında başladı. Arkadaşlarıyla birlikte top peşinde geçirdiği zamanlardan sonra ise tıpkı onlar gibi bir kulüpte oynamaya başlama hevesiyle mahallesinin amatör takımı Garajlar Taç Spor için 10 yaşındayken kendi başına takımın başında olan İlhan Hocaya gitti ve "Ben de sizin takımınızda oynamak istiyorum" dedi. Burada 1 yıl oynadıktan sonra bir turnuvada kendisini beğenen ve transfer etmek isteyen Sakaryaspor'a geçiş yaptı. Zamanında Aykut Yiğit, Hakan Şükür, Oğuz Çetin, Aykut Kocaman ve Tuncay Şanlı gibi oyuncuları altyapısında bulunduran Sakaryaspor altyapısında 7 yıl boyunca forma giydi ve iyi hocalarla çalışmasının karşılığında da gelişimi sürdü. O süreçte Murat Balaban'ın başında olduğu takımda bir süre kadro dışı kalan oyuncu o süreçte Murat Balaban ile takımdan ayrı olarak tek başına çalıştı. Sezon sonunda haklı olduğu ortaya çıkınca da direkt olarak Süper Genç Takım'a alındı. Türkiye Şampiyonası'nda son iki maçta oynadı ve iyi bir performans gösterdi. 2009 yılına gelindiğinde ise ilk profesyonel sözleşmesini imzalama fırsatı bulurken henüz 18 yaşında olmasına rağmen A takıma çıkmayı ve hatta burada oynama şansı bulmayı da başardı.

Salih'in 2009-10 sezonunda profesyonel olduğu Sakaryaspor, o dönemlerde yaşadığı maddi zorluklardan ötürü genç takımından çıkan oyunculara daha çok güvenmişti. Türk Futboluna daha önce birçok önemli isim kazandıran yeşil-siyahlılar'ın o dönemki sürprizleri arasında 1988 doğumlu golcü oyuncu Mustafa Pektemek'le birlikte son dönemde en çok göze batan isimlerden biri olmayı başardı. İlk resmi sezonu olan 2009-10'dan itibaren formayı sırtına geçiren Salih takımıyla birlikte o sezon ilk resmî karşılaşmasına 30 Ağustos 2009 tarihinde Tavşanlı Linyitspor'a karşı oynanan 2. Lig karşılaşmasında çıktı. Salih ilk golünü ise 13 Eylül 2009 tarihinde "25' numaralı formasıyla Özcan Kızıltan tarafından şans buldu ve Beykoz ağlarına yolladı. Sezon boyunca ise Salih 2. ligde 27 maça çıkarken 2 gol kaydetmeyi de başardı. 
2010-11 sezonu öncesinde ise teknik direktör Murat Bölükbaşı yönetiminde ilk üçte bitirme parolasıyla çıkan Sakaryaspor'da Berat Çetinkaya ve Salih Dursun savunmanın temel yapıtaşını oluşturdu. 2. Lig Kırmızı Grupta o sezon ilk maçına "12" numaralı formasıyla 29 Ağustos 2013'te Belediye Vanspor karşısında çıktı. 2010-11 sezonunda 19'u ilk 11'de olmak üzere toplamda 20 kez sahaya çıkan genç Salih gol atma başarısı gösteremese de Sağ bek, ön libero, Stoper ve hatta Forvet oynayarak çok yönlü oyunuyla dikkat çekerken o sezon Sakaryaspor'la birlikte play-off'a kadar çıkma başarısı gösterdi. Play-off turunda ise Bugsaşspor ile karşılaşan Sakaryaspor, bu maçın normal süresini 1 - 1 tamamladı. Penlatılara giden karşılaşmadan galip gelen Şaban Yıldırım'ın takımı Sakaryaspor, Önder Özen'in çalıştırdığı Bugsaşspor'u 6-5 mağlup ederken, 1. Lig'e yükslen taraf olmuştu.
2011-12 sezonu Sakaryaspor açısından aslında pek de iyi geçmedi. Sezona Şaban Yıldırım yönetiminde çıkan Sakaryaspor'da sezon öncesinde birçok isim takımla anılsa da sadece bu isimlerden Mahmut Hanefi kadroya katıldı. Salih Dursun ise o sezon ilk lig tecrübesini Tavşanlı Linyitspor karşısında yaşadı. Salih "6" numaralı formasıyla ortasaha'da mücadele ederken takımı Lebent Demiray'ın golüyle sezonun ilk haftasında galip gelmiş oldu. Salih ilk 1. Lig golünü ise 8. haftada Adanaspor ağlarına yolladı ve takımı 1-1 berabere kaldı. Çok fazla iddialı olamadıkları Bank Asya Ligi'nde sezon içinde birkaç kez teknik direktör değişikliği yaşayan Sakaryaspor'da bu isimler değişti ancak hiçbir şekilde lige tutunamayıp sezon sonu bir alt ligin yolunu tuttu. Salih için ise bireysel anlamda her şey takımının kötü durumuna rağmen çok iyi gitti ve performansıyla aradan sıyrılarak kariyerinde önemli bir sıçrama yapmayı başardı. Bu sezonda tam 30 lig maçında forma giyerken birden çok mevkide oynayabilmesi, agresif ve hırslı yapısıyla birlikte dikkat çekti. Genellikle savunmanın önünde oynayıp defansif yönü ağırlıklı bir oyuncu olsa bile sezonu 9 golle tamamladı. Tabi, burada belli bir dönem santraforda oynamış olmasının da katkısı büyüktü. Salih yaptığı açıklamada; "O dönem takımın başında Yılmaz Vural vardı. Bana gol atamıyoruz seni santrafor oynatacağım dedi ve santrafor oynadığım 4 maçta 4 gol attım." Salih ayrıca sezonu 14 sarı kart - 2 kırmızı kartla bitirdi. Salih Dursun'un takımı küme düşse de gerek Forvet'teki gerek defans'taki gerek de Orta saha'daki performasıyla Süper Lig takımlarının da dikkatini çekti. Piyasası artan genç oyuncuyla o dönemde Kayserispor, Eskişehirspor ve Antalyaspor ilgilenirken Salih tercihini o sezon kadrosundan Nordin Amrabat ve Hasan Ali Kaldırım'ı yüksek maliyetle satıp bu oyuncuların yerine Grétar Steinsson, Pablo Mouche, Malik Fathi, Bobô ve Ertuğrul Taşkıran gibi daha az maliyetli ve genç oyuncuları kadrosuna katan Kayserispor'dan yana kullandı ve böylece Süper Lig macerasına doğru da ilk adımları attı.

2012-13 yaz transfer döneminde birebir olarak MP Antalyaspor'un başında bulunan Mehmet Özdilek'le konuşan daha sonra Eskişehirspor ile görüşen Salih için son olarak Kayserispor'un başındaki Shota Arveladze girdi. Shota Arveladze ve Süleyman Hurma'nın özellikle istediği Dursun, bu takımdan kendine daha az para teklif gelmesine rağmen bu takım ile 200.000 Euro bonservis bedeliyle 4 yıllık sözleşme imzaladı. Salih geldikten hemen sonra neden Kayserispor'u tercih ettiği sorulunca "Çünkü Şota benimle konuşurken, "Senin kaliteni biliyorum, kişisel olarak gelişimini sağlayabilirim" demiş ve bu da benim çok hoşuma gitmişti. "Hocam siz beni böyle değerlendiriyorsanız ve gelişimime katkı sağlayacaksanız gelirim" dedim. Hatta parayı bile konuşmadan Kayserispor'un teklifini kabul ettim." ifadelerinde bulundu. Hazırlık maçında ise Gaziantepspor karşısında ilk kez forma giyen Dursun, ilk resmi maçına ise 1. Lig'in son hafta sında kırmızı kart gördüğü için 2. haftada çıkabildi. 27 Ağustos günü oynanan Antalyaspor deplasmanında ilk maçına çıktı ve 78 dakika sahada kaldı ancak takımı 3-0 mağlup oldu. Salih ilk maçında göz doldurdu ve bu maçın ardından ilk 11'in vazgeçilmezi oldu. Salih Süper Lig'de ilk golünü ise 9 Aralık 2012 tarihinde Trabzonspor ile deplasmanda oynanan maçta attı. Bu gol ile takımını 1-0 öne geçiren oyuncu, maç boyunca ekili performans gösterse de takımının berabere kalmasına engel olamadı. 4 yıllık sözleşme imzaladığı Kayserispor'da da formayı direkt kapmayı başaran Salih'in formayı kapmasında o dönemde sağ bekteki oyuncuların sakatlıklarının da etkisi oldu. Sezonun ilk yarısını çok kötü geçiren Kayserispor, ikinci yarıda teknik direktörlüğe Robert Prosinečki'nin getirilmesiyle büyük bir çıkış yapıp 5. sıraya kadar yükselirken Salih de ilk 11'deki yerini sağlamlaştırmıştı. Kasım ayındaki sakatlığı 4 maçı, kart cezaları ise toplamda 5 maç kaçırmasına sebep olsa da 25 lig maçında forma giydi. Dinamik yapısı, sert oyunu ve özellikle duran toplarda sürpriz golleri kovalamasıyla dikkat çekerken sezonu da bir sağ bek olarak 3 golle tamamladı. Bu performansıyla birlikte Türkiye A2 millî futbol takımına da seçilen Salih'in saha içindeki oyununun yanında 28 Nisan 2013 günü Kadıköy'deki Fenerbahçe maçından sonra yaptığı açıklamalarda saha içinde Moussa Sow ve Dirk Kuyt'la yaşadığı diyaloğu mikrofonlara aktarması da çokça konuşuldu. Salih bu maçın ardından; "Sow ile Kuyt Galatasaray için oynuyorsunuz diye psikolojik baskı yaptı. Sow 'Galatasaray için oynuyorsunuz' dedi. Ben de Sen puan durumuna baktın mı' dedim." ifadelerinde bulundu. Sezonu toplamda 14 sarı, 1 kırmızı kartla bitirdi.
Robert Prosinečki yönetimindeki Kayserispor 2012-13 sezonunu ilk 5'te tamamlamış ve 2012-13 sezonunun ilk yarısındaki performansının tam aksine performans göstererek birden düşme potasında yükselmişti. 2013-14 sezonuna ise Robert Prosinečki yönetimindeki Kayserispor UEFA Avrupa Ligi'ne katılabilme parolasıyla çıktı. Sezon öncesinde ise kadrosunu Jajá, Mert Nobre ve Srđan Mijailović gibi önemli oyuncularla güçlendirdi. Salih Dursun o sezon ilk maçına Roberto Carlos yönetimindeki Sivasspor karşısında çıktı ve rakibini Sefa Yılmaz'ın golüyle 1-0 mağlup etti. Ancak bu maçın ardından takım tam 11 maç galibiyet alamadı. Salih Dursun ise bir önceki sezonki çizgisinin biraz altında kaldı. Ancak bir hafta sonra Çaykur Rizespor ile karşılaşan ve mutalak galibiyet parolasıyla çıkan Kayseri takımı rakibini 2-0 mağlup etti. Ayrıca deplasmanda oynanan bu maçın 28. dakikasında Salih, Pablo Mouche'nin serbest vuruştan ortasını gole çeviren isim oldu. İlkyarı itibarıyla Salih, 17 haftalık süreçte 2 kez kart cezası yaşarken geri kalan 15 maçta da forma giydi ve Çaykur Rizespor deplasmanında 1 de gol kaydetti. Devre arasının gelmesiyle ise Kayserispor teknik direktörü Robert Prosinečki ile yollarını ayırdı. Salih Dursun ise 6+0+4 kuralı ve takımın kadrosunun yaş ortalamasının bir hayli yüksek olması nedeniyle İstanbul kulüplerinden Galatasaray'ın dikkatini çekti. Transfer döneminin başlamasıyla ise takımın teknik sorumlusu Süleyman Hurma'da bu transferleri "G.Saray bu kez çok şık davrandı. Biz de kendilerine teşekkür ediyoruz. Oyuncuyla da görüşme izni verdik. Şu anda her şey olumlu gidiyor. Rakamlarda anlaştığımızda Salih G.Saray’a hayırlı olur. " sözleriyle doğruladı. Haftanın ilerleyen günlerinde ise Fanatik gazetesi Salih Dursun Galatasaray'da başlığıyla duyurduğu haberde Salih'in G.Saray formasıyla fotoğrafını yayınladı ve bu fotoğraf büyük yankı uyandırdı. Ancak daha sonra Salih; " “O fotoğraf ambargolu bir haberdi. 2 gün önce abilerimiz yanımıza geldiğinde rica ettiler. Onları kırmak istemedim. Transfer gerçekleşirse koyacaklardı, gerçekleşmezse koymayacaklardı. Ama yine de canları sağolsun. Şu anda her şey olumlu gidiyor." ifadelerinde bulundu. 

15 Ocak 2014 günü Galatasaray Kamuyu Aydınlatma Platformu (KAP)'a yaptığı açıklamada; Bucaspor'dan Umut Gündoğan,FC Basel'den Endoğan Adili ve Salih için görüşmelere başlandığını borsaya bildirdi. Kayserispor başkanı Recep Mamur ise Salih Dursun konusunda prensipte anlaşıldığını an