En İyi Rap/Sung İşbirliği kategorisinde ödül kazanmıştır.

CD single
MTV Ultimate Mashups Presents: Numb / Encore - iTunes EP
!Ülke
!Sertifika





Hermit polinomları

Matematik'te,Hermite polinomları olasılık içinde Edgeworth serisi olarak ortaya çıkan bir klasik ortogonal dizi'dir; kombinatorik içinde, bir örneği umbral hesap'a uygun bir Appell dizisi'dir.Gaussian dördün sayısal analizinde; ve Fizik'te kuantum harmonik osilatör'ün özdurum'larını verir . Ayrıca Gaussian gürültü'nün nonlineer işlemleri ile bağlantılı olarak sistem teorisinde kullanılmaktadır. tarafından daha önce incelenmiş olmasına rağmen adını veren Charles Hermite (1864)'tir.

Hermite polinomlarının normalleştirilmesinin iki farklı standart yolu vardır:

("olasılıkçıların' Hermite polinomları")dır., ve

("fizikçilerin' Hermit polinomları")dır. Bu iki tanım tam olarak eşdeğer "değil"dir; ya da diğer bir yeniden ölçeklendirme

Burada Hermit polinomal dizisinin farklı bir varyansı vardır,varyansın ürünleri aşağıdadır.
standart kaynaklarda gösterim olarak "He" ve "H" ve Abramowitz & Stegun. 
Bu "He" polinomlar bazen "H" ile ifade edilir, özelliklerde olasılık teorisinde,çünkü

olasılık yoğunluk fonksiyonu için normal dağılım ile beklenen değer 0 ve standart sapma 1'dir.

Ilk on bir olasılıkçı 'Hermit polinomları:

ve ilk on bir fizikçi 'Hermit polinomları:
"H" polinomunun derecesi "n" dir. olasılıkçı' versiyon "He" nin başkatsıyısı 1, fizikçi' versiyon "H" nin başkatsayısı 2dir.

"H"("x") ve "He"("x") "n" = 0, 1, 2, 3, ... için "n"inci-derece polinomlardır. Burada "ağırlık fonksiyonu" nun ortogonal polinom'ları sırasıyla (ölçüm)

veya

dır., 
eğer "m" ≠ "n".ayrıca,

veya

olasılıkçı polinomları standart normal olasılık yoğunluk fonksiyonu açısından böylece ortogonaldir.

(olasılıkçı veya fizikçi)Hilbert uzayı'nda ortogonal bazdaki bir formu karşılayan fonksiyonun Hermit polinomları

önceki bölümde tanımlandığı gibi Gauss ağırlık fonksiyonu w (x) de dahil olduğu İntegral tarafından verilen iç çarpım

"L"(R, "w"("x") d"x") için ortogonal temelde bir "tam" ortogonal sistem'dir.Bir ortogonal sistemi için "tamlık", sistemdeki tüm "ƒ" ∈ "L"(R, "w"("x") d"x") fonksiyonlarının sadece 0 fonksiyonuna ortogonal olmasıdır..Hermite polinomların lineer açıklıklı tüm polinomların alanı olduğundan,(fizikçi durumu için) "ƒ" den elde edildiğini gösterilmesi gerekir.

her "n" ≥ 0 için,o zaman "ƒ" = 0. tam fonksiyon'u görebilmenin tek olası yolu

her "t" için gerçek anlamda aynı şekilde ortadan kaybolur.Aslında "F"(i"t") = 0 "ƒ"("x") exp(−"x")'ın Fourier dönüşümü 0'dır,bu nedenle hemen hemen heryerde"ƒ" 0 'dır. yukarıdaki eksponansiyel bir azalma ile diğer ağırlıkların tamlık kanıtı geçerli varyantıdır.Hermit durumu içinde,tamlık anlamına geldiği kanıtlanmasıda ayrıca mümkündür (bakınız ""tamlık ilişkisi"" aşağıda).

Aslında Hermit polinomlarının bir eşdeğer formülasyonu "L"(R, "w"("x") d"x") için ortogonal bazdır Hermit "fonksiyonları"nın (aşağıya bakınız) tanıtımı, ve Bu Hermite fonksiyonları söyleyerek bir "L"(R) için ortonormal bazdır.

Olasılıkçı' Hermit polinomlarının çözümü olan diferansiyel denklem
burada λ bir sabittir.,sınır koşullarına sahip olan" u" polinomları sonsuzda sınırlı olmalıdır. Bu sınır koşulları ile,λ yalnızca bir non-negatif tam sayı olduğunda denklemin çözümü vardır, ve yukarda genel bir ölçekleme, "u"("x") = "H"("x") tarafından verilen benzersiz bir çözümdür.Bir özdeğer problemi'nin yeniden yazılan diferansiyel denklemi
Diferansiyel operatör "L"nin özfonksiyonu'nun çözümüdür . Bu özdeğer problemi Hermite denklemi olarak adlandırılır, aynı zamanda denklemle yakından ilişkili ayrıca kullanılan terim bu denklem için kullanılmasına rağmen
'Hermite polinomlarının fizikçi çözümleridir.
Daha genel sınır koşulları ile, Hermite polinomları daha genel analitik fonksiyon kullanılarak elde edilip genelleştirilebilir λ için "H"("z") bir karmaşık indekstir bir kontur integral terimleri içinde açık formül verilebilir.

Hermite polinomları dizisi ayrıca özyineleme'den elde edilir

Hermite polinomları bir teşkil Appell dizisi teşkil eder,diğer bir deyişle Bu eşitliği içeren bir polinom dizisi vardır

veya özdeşlik,

(Bu son iki eşitliğin denkliği açık olmayabilir, ama rutin bir deneme ile eşitlik kanıtlanabilir).
Bu Hermite polinomları da karşılayacak olan şu yineleme ilişkisi

"H"("x") ve "H"("x") ön polinomları ile birlikte bu son ilişki ile, uygulamada polinomlar hızlı bir şekilde hesaplanabilir.

Aşağıdaki Turan eşitsizliği'dir:

Daha ötesi,aşağıdaki çarpma teoremi dahilinde:

Fizikçi' Hermit polinomlarının açık ifadesi yazılabilir

"n" çift fonksiyon değerleri için

"n." tek değerleri içindir.Burada iki denklem birleştirilerek belki bir zemin fonksiyonu elde edilebilir:

olasılıkçı' Hermite polinomları "He" benzer formülü var,2"x" 'ın kuveti (√2)"x" ile ilgili kuvvet ile değiştirilerek belki bundan elde edilebilir, ve 2 taplamı tarafından tam çarpım toplamı 
benzer bir formül olasılıkçı 'Hermite polinomları "He" ile ilgili, (√2)"x" kuvveti ile 2"x" kuvveti değiştirilmesi, ve 2-n / 2 ile çarpılması suretiyle elde edilen 2 toplamı tarafından tam çarpımı ile temin edilebilir.
üstel üreteç fonksiyonu tarafından verilen Hermit polinomları

Bu eşitlik bütün "x", "t" karmaşık değerleri içindir , ve "x" 'ın Tam fonksiyon "z" → exp(−"z") (fizikçiler durumu) Taylor açılımı yazılarak ile elde edilebilir.
(fizikçi) Cauchy's Integral Formülü tarafından kullanılan üreteç fonksiyonu Hermite polinomlarından türetilerek yazılabilir

Bu sum formula_55 içinde kullanılıyor,bir rezidü hesabı kullanılarak geri kalan entegral değerlendirilir ve istenilen üreteç fonksiyonuna ulaşılır.

Eğer "X" bir normal dağılım'la bir rastgele değişken birlikte standard sapma 1 ve beklenen değer μ ise

Asimtotiklik,formula_57 ile sonsuza gitme eğilimindedir, açılımı
geçerlidir.
Değerlendirilmesi daha geniş bir yelpaze ile ilgili bazı durumlarda,için bir faktör dahil edilmesi gereklidir

Bunu daha basitleştirilmiş için,limit içinde Stirling' yaklaşımı kullanılabilir
Bu açılım yazışma ilkesinin limit klasik yaklaşımı ile uyumlu olan kuantum harmonik osilatör dalgası fonksiyonunun çözümü için gerekir. 
Hassas bir yaklaşım,sıfıra yakın köşesi bu düzensiz aralıklar göz önüne alınmalıdır , formula_61 için yerine koymada formula_62dan yararlanılır, birlikte bunun için tektip yaklaşım

tekdüze ve geçiş bölgesi için benzer yaklaşımlara sahiptir.özellikle, eğer formula_64 için formula_65 ise
eğer formula_67 ile formula_68 için karmaşık ve sınırlı ise
burada formula_70 ilk tür Airy fonksiyonu'dur.

Laguerre polinomları Hermite polinomlarının özel bir durumu olarak ifade edilebilir.

Hermite polinomları parabolik silindir fonksiyon'ları ile ifade edilebilir.

burada formula_74 Whittaker konfluent hipergeometrik fonksiyonu'dur. 
Aynı şekilde,

burada formula_77 Kummer konfluent hipergeometrik fonksiyonu'dur.

Fizikçilerin 'polinomları Hermite fonksiyonları olarak tanımlanabilir.
Bu fonksiyonları ağırlığı fonksiyonunun kare köküdür ve uygun biçimde ölçeklenerek , 
elde edilen birbirine dik fonksiyonları:

ve bu "L"(R) formu ortonormaldir. Bu gerçek Hermite polinomları için karşılık gelen ifadeye (yukarıya bakınız) eşdeğerdir.
Hermite fonksiyonları Whittaker fonksiyonu ile yakından ilişkilidir (Whittaker and Watson, 1962) formula_80:

ve böylece parabolik silindir fonksiyonu ile de ilişkilidir.Hermite fonksiyonlarına karşı gelen diferansiyel denklem:

Bu denklem bir kuantum mekaniği harmonik osilatörü için Schrödinger denklemi'ne eşit bir denklemdir,böylece bu fonksiyonların özfonksiyonları vardır.

Aşağıda Hermit polinomlarının özyineleme ilişkisi,Hermite fonksiyonlarına uyar

yanı sıra

Aşağıda Hermite fonksiyonlarını karşılayan ilişkisi Harald Cramér

gerçek "x" için,burada "K" sabit ve 1.086435'dan küçüktür.

sürekli Fourier dönüşümü'nün özdeğerler kümesi Hermit fonksiyonu formula_86dur.Burada,üreteç fonksiyonunun fizikçi versiyonu alınır ve exp(−"x"/2) ile çarpılır. şunu verir

Fourier dönüşümünün birimsel gösterimi seçimi, sol tarafının Fourier dönüşümü tarafından verilen

Sağ tarafında Fourier dönüşümü tarafından verilen

sol- ve sağ-tarafta verilen dönüşüm versiyonunun "t" katına eşit

Hermit fonksiyonu formula_91 burada "L"(R)'nin ortonormal bazında diyagonalleştirilmiş Fourier dönüşüm operatörüdür.Fourier dönüşümünün birim versiyonu seçimi durumunda özdeğer'ler  (−"i") dir.

Hermite polinomları içinde "He"("x") varyansı 1 için,"x" katsayısının mutlak değeri(sırasız) "k" tekil ve ("n" − "k")/2 (sırasız) çiftlerinin içinde "n"-üyeli küme bölümlerinin sayısıdır. Katsayılarının mutlak değerlerinin toplamı tekil ve çift bölümlerin toplam sayısını verir,ve sözde telefon numarası olarak adlandırılır

Bu rakamlar,aynı zamanda Hermite polinomların özel bir değer olarak ifade edilebilir

Hermite polinomlarının okunması için Christoffel–Darboux formulü 

Ayrıca, aşağıdaki özdeşlik dağılım duyarlılığıdır.

burada "δ" Dirac delta fonksiyonu'dur, ("ψ") the Hermite fonksiyonudur, ve R'de "y" = "x" doğrusu için Lebesgue ölçümü'nün gösterimi "δ"("x" − "y")'dir ,böylece yatay eksen izdüşümünün normalizasyonu olağan Lebesgue ölçümüdür.Mehler's formülü içinde"u" → 1 için bu özdeşliğin dağılımsal özelliği aşağıda ,−1 < "u" < 1 olduğunda geçerli:

aşağıdaki sıklıkta eşdeğerlik belirtilmektedir

Gaussian ölçümü için yoğunluk R de ("x", "y" → "E"("x", "y"; "u") dir., eğer "u" 1 yakınlığındaysa, "y" = "x" doğrusu çevresinde çok yoğun,ve sıklıkla bu hat üzerinde serpilmiştir.. Aşağıda

"ƒ", "g" sürekli ve sıkışık destekliyse,Hermit fonksiyonundan "ƒ"gösterimi ile yararlanılabilir, "L"(R) içinde vektörler serisinin toplamı, yani

"E"("x", "y"; "u") için yukarıdaki eşitlik kanıtlamak için,Gaussian fonksiyon'un Fourier dönüşümü'dür. birkaç sıra sonra,

sonra Hermite polinomu olarak ifade edilir

"H"("x") ve "H"("y")'in gösterimi ile ve tek bir ifade olduğu görülür.

ve bu yerine koyma gerçekleştirildikten sonra tekrar Gauss çekirdeğinin Fourier dönüşümü kullanılarak, istenilen sonucu gösterilebilir.

Mehler formulünün