ya karşılık gelir) kapalı bir gruptur. İki noktadan başlanarak çizilebilen, sonlu mertebeye ("finite order") sahip açılar, ya ikinin katına sahip olanlar, ya da ikinin bir katı ile bazı Fermat sayılarının çarpımı olanlardır. Bunlara ilaveten, sonsuz mertebeli, yoğun bir çizilebilir açılar kümesi de mevcuttur.

Öklid düzleminde bir noktalar kümesi verilirse, bunlardan biri 0, bir diğeri 1 olarak adlandırmak için seçilirse, ayrıca bir de herhangi bir doğrultu seçilirse, kümedeki diğer noktalar bir karmaşık sayılar kümesi olarak değerlendirilebilir.

Bir noktalar kümesinin bu şekilde bir karmaşık sayılar kümesi olarak yorumlarsak, sadece pergel ve çizgilik ile çizilebilen noktaların kümesi, orijinal noktaları da kapsayan ve, karmaşık eşlenik ve karekök işlemleri için kapalı olan, en küçük alandır (anlamda muğlaklık olmaması için, karmaşık argümanı π'den küçük olan karekök kastedilir). Bu alanın üyeleri, orijinal noktalar için toplama çıkarma çarpma bölme kompleks argüman ve karekök işlemleri ile ifade edilebilecek bir formüle karşılık gelir; buların düzlemdeki noktaların yoğun, ama sonlu sayılı bir alt kümesi olduğu görülebilir. Bu altı işlemin her biri bir pergel ve çizgilik işlemine karşılık gelir. Böylesi bir formülden yola çıkarak, her bir aritmetik işleme karşılılk gelen çizim işlemini kullanarak, her bir noktayı elde etmek için gereken çizim adımları belirlenebilir. Bazı noktaları elde etmek için bilinen daha kestirme çim yöntemleri, aritmetik işlemlerdeki kestirmelere (kısa yollara) karşılık gelir.

Buna denk olarak (ve herhangi iki noktanın seçilmesine gerek olmadan), herhangi bir doğrultu seçilirse, bir noktalar kümesinde herhangi iki çift nokta arasındaki farklar oranına karşılık gelen karmaşık oranlar, bu noktalar kümesi tarafından belirlenir. Pergel ve çizgilik tarafından bu oranlar kümesi kullanılarak çizilebilen oranların kümesi, orijinal oranları içeren, karmaşık eşlenikler ve kerekökler için kapalı olan, en küçük alan ile tipatıp aynıdır.

Örneğin, bir "z" noktası veya oranının (yukarıda belirtilen iki bakış açısı da kullanılabilir) gerçel kısmı, sanal kısmı ve modulusu çizimle elde edilebilir, çünkü bunlar şu şekilde ifade edilebilir:

Küpün iki katına çıkarılması ve açının üçe bölünmesi için kübik denklemlerin çözümü olan oranlar gerekir. "Çemberin karesinin bulunması" ise bir aşkın oran gerektirmektedir. Bunlar, yukarıda tanımlanan alanlar içinde yer almamaktadır, dolayısıyla pergel ve çizgilik ile bunların çizimi için bir çözüm mevcut değildir. (Bir "φ" açısının üçte birinin bulunması probleminin istisnası, "φ"/6π'nın bir rasyonel sayı olması ve bu rasyonel sayının paydasının, ikinin bir katı ile bazı Fermat sayılarından birinin çarpımı olmasıdır).

Bu problemlerin en meşhuru olan "Çemberin karesinin bulunması", verilen bir çember ile aynı alana sahip olan bir karenin çizimidir, sadece pergel ve çizgilik kullanarak.

Çemberin karesinin bulunmasının imkansızlığı kanıtlanmıştır, çünkü bu problem aşkın bir oran, yani formula_6, üretilmesine karşılık gelir. Çizgilik ve pergel kullanılarak sadece bazı cebirsel oranlar
üretilebilir. Bunlar tamsayılardan başlanarak sonlu sayıda toplam, çıkarma, çarpma, bölme ve karekök işlemiyle elde edilenlerdir. Bu yüzden "çemberi karelemek" terimi, "imkansızı yapmak" anlamında kullanılır.

Çizgilik ve pergel kullanma sınırlaması olmazsa, çeşitli geomterik ve cebirsel yöntemlerle problem kolaylıkla çözülebilir, nitekim antik çağlarda birçok kere çözülmüştür.

Küpün iki katına çıkarılması: sadece pergel ve çizgilik kullanarak, kenar uzunluğu verilen bir küpün iki katı hacimli başka bir küpün kenarını çizilmesi problemidir. Bu problemin çözümü imkansızdır, çünkü 2'nin küp kökü, cebirsel olmakla birlikte, tamsayılardan başlanarak toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve karekök alma yoluyla hesaplanamaz. Rasyonel sayılar üzerinden 2'nin küpköküne karşılık gelen minimal polinom denklem 3. derecedendir. Ancak, pergel ve üzerinde iki işaret olan bir cetvel kullanılarak bu problem çözülebilir.

Açının üçe bölünmesi: sadece pergel ve çizgilik kullanarak, verilen herhangi bir açının üçte biri olan bir açı çizilmesi problemidir. Genel hâliyle bu problem imkansızdır. Örneğin, π/3 radyan (60°) bölünemez ama 2π/5 radyan (72° = 360°/5) üçe bölünebilir.

Bazı düzgün çokgenler (örneğin bir düzgün beşgen) pergel ve çizgilikle kolayca çizilebilir; diğerleri kolayca çizilemez. Bu durumdan şu soru ortaya çıkar: bütün düzgün çokgenler pergel ve çizgilik ile çizilebilir mi?

Carl Friedrich Gauss 1796'da düzgün bir n-gen'in pergel ve çizgilik ile çizilebilmesi için "n"nin tek sayılı asal çarpanların ayrık Fermat sayıları gerektiğini gösterdi. Gauss bu şartın ayrıca gerek şart olduğunu da öne sürdü ama buna bir kanıt göstermedi. Gereklilik 1837'de Pierre Wantzel tarafından kanıtlandı.

Pergel ve çizgilikle çizimi çok karmaşık veya imkansız olan şekiller için yaklaşık çizim yolları mevcuttur. Bu çizimler, amaçlanan çizimin yaklaştırımlarıdır. Bu tür çizimlerin örnekleri arasında, pi sayısının yaklaşık çizimi, çemberin yaklaşık karelenmesi, düzgün yedigenin yaklaşık çizimi ve düzgün dokuzgenin yaklaşık çizimi sayilabilir.

Mohr–Mascheroni teoremine göre, eğer bir şey çizgilik ve pergelle çizilebilirse, sadece pergelle de çizilebilir, eğer verilen ve elde edilecek bilgiler ayrık noktalardan oluşuyorsa (yani çizgi ve çember değil). Sadece çizgilik kullanarak karekök almak mümkün değildir, bu yüzden çizgilikle çizilemeyen bazı şeyler pergelle çizilebilir. Ama (Poncelet–Steiner teoremine göre) pergel ve çizgilik ile çizilebilen her şey, eğer bir çember ve merkezi verilirse, sadece bir çizgilik kullanılarak da çizilebilir.

Arşimet ve Pergeli Apollonius çizgilik (işaretsiz cetvel) yerine, üzeri işaretli cetvel kullanarak yapılabilecek çizimleri gösterdiler. Bir doğru parçası, iki doğru (veya çember) ve bir noktadan başlayarak, bu yolla, verilen noktadan geçen ve her iki doğruyu kesen, ve kesim noktaları arasındaki uzaklığın verilen doğru parçasına eşit olan bir dogru çizmek mümkündür. Yunanlar buna neusis ("eğilim", "temayül", "sınırında olmak") adını vermiştir, çünkü çizilen doğru, noktaya "temayül" eder. İşaretli cetvelli çizimlerde, bulunacak bir uzaklığın verilen bir uzaklığa oranı eğer üçüncü veya dördüncü dereceden bir denklemin çözümü ise, bu uzaklık çizim yoluyla bulunabilir. Dolyısıyla, eğer işaretli cetvel ve neusis'e izin verilirse, açını üçe bölünmesi (bakınız Arşimet'in üçe bölme yöntemi) ve küpün iki katına çıkarılması mümkündür. ancak çemberin karelenmesi hâlâ imkansızdır. Bazi düzgün çokgenler, örneğin yedigen, bu yöntemle çizilebilir ve John H. Conway bunların bazılarının çizimini nasıl yapıldığını göstermiştir ancak 11-gen ve sonsuz sayıda başka düzgün çokgen hâlâ imkansızdır.

Eğer bir açıyı üçe bölücü sanal bir aracın olduğu varsayılır ve kullanımına izin verilirse, çizilebilecek tüm çokgenlerin bir listesi verilmiştir (bunların arasında yedigen, 13-gen, ve 19-gen vardır). Bir açı-üçe-bölücüsü, çizgilik ve pergel kullanarak çizilebilecek p-genlerin sayısının sonsuz olup olmadığı, p'nin asal sayı olması hâlinde, henüz cevabı bilinmeyen bir sorudur.

Origaminin matematiksek kuramı, pergel ve çizgilik çizimlerinden daha güçlüdür. Huzita–Hatori aksiyomlarını tatmin eden katlamalar ile bulunabilen noktaların kümesi ile, pergel ve işaretli cetvel kullanılarak bulunabilecek noktalar kümesi aynıdır. Dolayısıyla, origami ile üçüncü ve dördüncü dereceden denklemlerin çözümünü bulmak, ve klasik problemlerden ikisini çözmek mümkündür. .

İşaretli cetvele dayanan "neusis" yöntemi veya origami yöntemi, çizilebilir sayılar alanını genişletir. Bu genişlemiş alanda, karmaşık sayıların sadece karekökleri değil, küpkökleri de bulunur. Yukarıda bahsedilen, çizilebilir noktalara karşılık gelen aritmetik formüllerin bu genişlemiş alanda karşılıkları vardır, böylece formüllerde küpkökler de yer alır. Bu genişlemiş alanda çizilebilen yeni noktaların oluşturduğu alan genişlemesindeki noktaların derecesi, ikinin bir kuvveti ile üçün bir kuvvetinin çarpımıdır.

Simon Plouffe, çizgilik ve pergel kullanarak bazı sayıların ikili sayı sistemindeki bitlerinin hesaplanmasının mümkün olduğunu göstermiştir.

Felice Feliciano pergel ve çizgilik ile harf tasarımı yapan ilk kişi olmuştur. 1463'de, Roma yazıtlarındaki alfabeyi geomterik olarak yaratılabileceğini göstermiştir. Latin alfabesindeki aş harflerin bir kare ve çember kullanılarak çizilebildiğini gösteren yapıtı Vatikan Kütüphanesinde bulunmaktadır. Pergel ve çizgiliği tipografiye uygulayan diğer Rönesans sanatçıları arasında Francesco Torniello Francesco ve Luca Pacioli sayılabilir.

Luca Pacioli sanatta altın oranın kullanımı üzerine "De Divina Proportione" (İlahi Oran) adlı eserini yayımlamıştır (1509); altın oran pergel ve çizgilik ile elde edilebilen bir oranıdır.

Albrecht Dürer İtalya'da perspektif konusunu çalıştıktan sonra "Pergel ve Çizgilik ile Çizim Hakkında İnceleme" ("Underweysung der Messung, mit dem Zirckel und Richtscheyt") adlı eseri yazmıştır. "Insan orantıları Hakkında Dört Kitap" (1532-1534) adlı eserinde geometrinin insan bedeninini çizimine uygulamıştır. "Adem ve Havva" adlı tablosundaki insan figürlerinin oranlarının estetik mükemelliğini sağlamak için pergel ve çizgilik kullandığını belirtmiştir.

Eflatun, diğer sanatlar arasında inşaat zenaatının yerinin ayrı olduğunu belirtmiştir, çünkü kullanılan araçların (pergel, düzkenar, gönye, çekül ve ip-ve-kazik) ölçümlerde bilimsel bir doğruluğa olanak vermektedir.

Roma mimarisinde bazı yapılarını planlarının pergel ve çizgilik olmadan çizilememiş olduğu barizdir. Günümüze yazılı eseri kalmış ilk Romalı mimar, MÖ 1. yüzyılda yaşayan, "De Architectura"nın yazarı Vitruvius'dır. Vitruvius, bu eserinin birinci cildinde, pergel ve düz çizgilerin doğru kullanımı sayısinde boş bir sahanın toprağının üzerine şekillerin çizilebildiğini belirtmiştir. Pergel ve çizgilik Orta Çağ mimarları tarafından da kullanılırdı. 13. yüzyıl Fransız mimarı Villard de Honnecourt'ın pergel ve çizgilik kullandığı bilin