ında devrimci çalışmalar yaptı. Temel cebir teoreminin ve ikinci dereceden karşıtlık yasasının ilk tatmin edici ispatlarını sundu.

Bu yüzyılda Öklidsel olmayan geometrinin iki biçiminin gelişimi gözlendi ve Öklid geometrisinin paralellik postülatı artık geçerli değildi. Rus matematikçi Nikolai Ivanovich Lobachevsky ve rakibi, Macar matematikçi János Bolyai birbirlerinden bağımsız bir şekilde hiperbolik geometriyi tanımlanmış ve bunun üzerinde çalışmışlardır. Bu geometride paralelliklerin benzersizliği artık geçerli değildi. Bu geometride bir üçgenin iç açılarının toplamı 180° ‘den küçüktür. Daha sonra 19. yüzyılda Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından Eliptik geometri geliştirildi. Bu geometride hiçbir paralel bulunamaz ve bir üçgenin iç açılarının toplamı 180° ‘den büyüktür. Riemann ayrıca Riemannian geometrisini de geliştirdi. Bu geometri üç tip geometriyi birleştiriyor ve büyük ölçüde genelleştiriyordu. Ve Bernhard Riemann ayrıca, eğri ve yüzey fikirlerini genelleştiren amanifold kavramını tanımladı. 19. yüzyılda soyut cebirin büyük bir bölümünün başlangıcı görüldü. Almanya’dan Hermann Grassmann Vektör Uzaylarının ilk versiyonunu sundu ve İrlanda’dan William Rowan Hamilton nonkomutatif cebiri geliştirdi. İngiliz matematikçi George Boole sayıları sadece 0 ve 1 olan ve günümüzde Boolean cebiri olarak adlandırılan bir cebir tasarladı. Boole cebri matematiksel mantığın başlangıç noktasıdır ve bilgisayar biliminde önemli uygulamalara sahiptir. Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann ve Karl Weierstrass kalkulusu daha titiz bir şekilde yeniden formüle etti. Ayrıca ilk defa, Matematiğin sınırları keşfedildi. bir Norveçli Niels Henrik Abel ve bir Fransız Évariste Galois dördüncü dereceden daha büyük polinom denklemlerin çözümü için hiçbir genel cebirsel yöntem olmadığını kanıtladı (Abel–Ruffini teoremi).

Diğer 19. yüzyıl matematikçileri, verilen bir küpün iki katı hacmindeki bir küpün kenarını oluşturmak ya da verilen bir dairenin alanına eşit bir kare oluşturmak amacıyla gelişigüzel bir açıyı üçe bölmek için yalnızca cetvel ve pergelin yeterli olmadığını ispat ederken bunu kullandı. Eski Yunanlardan beri matematikçiler tüm bu problemleri çözmek için boşuna uğraştı. Diğer taraftan, 19. yüzyılda geometrideki üç boyut sınırlaması parametre uzayı ve hiper-kompleks sayılar vasıtasıyla aşıldı.

Çeşitli polinom denklemlerin çözümleri ile ilgili Abel ve Galois ‘in yaptığı araştırmalar, grup teorisinin ve soyut cebirin ilişkili alanlarının daha da gelişmesi için zemin hazırladı. 20. yüzyılda fizikçiler ve diğer bilim adamları simetri üzerinde çalışmak için ideal bir yol olarak grup teorisini gördü. 19. yüzyılın sonlarında Georg Cantor küme teorisinin ilk temellerini kurdu. Bu teori sonsuzluk kavramının sıkı bir şekilde ele alınmasına olanak verdi ve neredeyse tüm matematiğin ortak dili haline geldi. Cantor'un küme teorisi ve matematiksel mantığın Peano, L. E. J. Brouwer, David Hilbert, Bertrand Russell ve A.N. Whitehead ‘in ellerinde yükselmesi matematiğin temelleri hakkında uzun soluklu bir tartışma başlattı. 19. yüzyılda bir dizi ulusal matematik derneği kuruldu: Londra Matematik Derneği (1865), Société Mathématique de France (1872), Circolo Matematico di Palermo (1884), Edinburgh Matematik Derneği (1883) ve Amerikan Matematik Derneği (1888). İlk uluslararası özel dernek Quaternion Society, bir vektör tartışması bağlamında 1899 yılında kuruldu.

1897 yılında Hensel p-sel sayıları ortaya koydu.

20. yüzyıl

20. yüzyılda matematik önemli bir meslek haline geldi. Her yıl, binlerce yeni matematik doktorası verildi ve hem öğretim hem de sanayide istihdam mevcut idi. Matematik alanlarını ve uygulamalarını kataloglama çabası Klein's encyclopedia ‘da yapıldı. Uluslararası Matematikçiler Kongresinde yapılan 1900 tarihli bir konuşmada David Hilbert 23 adet çözülmemiş matematik problemi listesi ortaya koydu. Matematiğin birçok alanına yayılan bu problemler 20. yüzyıl matematiğinin çoğu için merkezi bir odak oluşturdu. Günümüzde bunların 10 ‘u çözüldü, 7 ‘si kısmen çözüldü ve 2 ‘si hala açık. Geri kalan 4 tanesi, çözüldü ya da çözülmedi olarak ifade etmek için çok genel formüle edildi. Önemli tarihsel varsayımlar nihayet ispatlandı. 1976 yılında Wolfgang Haken ve Kenneth Appel dört renk teorisini kanıtlamak için bir bilgisayar kullandı. Andrew Wiles, başkalarının çalışmalarını geliştirerek 1995 yılında Fermat'ın Son Teoremini ispat etti. Paul Cohen ve Kurt Gödel süreklilik hipotezinin küme teorisinin standart aksiyomlarından bağımsız (ispatlanamaz ya da çürütülemez) olduğunu ispatladı. 1998 yılında Thomas Callister Hales, Kepler varsayımını ispatladı.

Görülmemiş büyüklükte ve kapsamda matematiksel işbirlikleri gerçekleşti. Buna bir örnek sonlu basit gruplarının sınıflandırılmasıdır ("enormous theorem” olarak da bilinir "). Bu teorinin ispatı, 1955 ile 1983 arasında yaklaşık 100 yazar tarafından yazılan 500 küsur dergi makalesi ve on binlerce sayfanın doldurulmasını gerektirmiştir. "Nicolas Bourbaki" takma adıyla yayın yapan Jean Dieudonné ve André Weil dahil olmak üzere bir grup Fransız matematikçi bilinen tüm matematiği tutarlı bir bütün olarak sergilemeyi denedi. Elde edilen birkaç düzine cildin matematik eğitimi üzerinde tartışmalı bir etkisi olmuştur.

Diferansiyel geometri Einstein onu genel görelilikte kullandığında kendini gösterdi. Matematiksel mantık, topoloji ve John von Neumann ‘ın oyun teorisi gibi matematiğin tüm yeni alanları matematiksel yöntemlerle cevaplanabilecek soruların türünü değiştirdi. Her türlü yapı aksiyomları kullanarak soyutlanmıştır ve bunlara metrik uzaylar, topolojik uzaylar gibi isimler verilmiştir. Matematikçiler yapmak gibi, soyut bir yapının kendi konsepti soyutlanmıştır ve kategori teorisine neden olur. Grothendieck ve Serre demet teorisini kullanarak cebirsel geometriyi değiştirdi. Poincaré ‘in 1890 'larda başladığı dinamik sistemlerin nitel çalışmasında büyük ilerlemeler sağlanmıştır. Ölçüm kuramı 19. Yüzyılın sonlarında ve 20. Yüzyılın başlarında geliştirildi. Ölçüm uygulamaları arasında Lebesgue integrali, olasılık teorisinin ve ergodik teorisinin Kolmogorov aksiyomatizasyonu bulunmaktadır. Düğüm teorisi büyük ölçüde genişletilmiştir. Kuantum mekaniği fonksiyonel analizin gelişmesine yol açmıştır. Diğer yeni alanlar şunlardır: Laurent Schwartz'ın dağıtım teorisi, sabit nokta teorisi, tekillik teorisi ve René Thom felaket teorisi, model teorisi ve Mandelbrot'un Fraktalları. Lie grupları ve Lie cebirleri ile birlikte Lie teorisi en önemli çalışma alanlarından biri oldu.

Abraham Robinson tarafından ortaya konan standart-dışı analiz, gerçek sayılar alanını sonsuz ve sınırsız miktarları içeren hiper-gerçek sayılara genişleterek limitler teorisinin lehine itibardan düşmüş kalkülüse sonsuz-küçük yaklaşımı düzeltti. Daha da büyük bir sayı sistemi gerçeküstü sayılar kombinatoryal oyunlar ile bağlantılı olarak John Horton Conway tarafından keşfedildi.

Bilgisayarların sürekli olarak gelişmesi, ilk olarak mekanik analog makineler ve daha sonra dijital elektronik makineler, seri üretimi & dağıtımı ve iletişimi kolaylaştırmak için endüstrinin gittikçe daha büyük miktarda veri ile başa çıkmasına olanak verdi. Ve bunun ile başa çıkmak için yeni matematik alanları geliştirildi: Alan Turing'in hesaplanabilirlik kuramı; karmaşıklık teorisi; Derrick Henry Lehmer'in ileri sayı teorisi için ENIAC kullanması ve Lucas Lehmer testi; Claude Shannon'un bilgi kuramı; sinyal işleme; veri analizi; optimizasyon ve yöneylem araştırmasının diğer alanları. Önceki yüzyıllarda matematiksel odağın çoğu kalkülüs ve sürekli fonksiyonların üzerinde idi, ancak bilgisayar ve iletişim ağlarının yükselişi ayrık kavramların öneminin artmasına ve grafik teorisi de dahil olmak üzere kombinatoriğin genişlemesine yol açtı. Bilgisayarların hızı ve veri işleme yetenekleri kalem ve kağıt hesaplamaları ile çok zaman alıcı olan matematik problemleri ile başa çıkılmasını sağladı. sayısal analiz ve sembolik hesaplama gibi alanlara. 20. yüzyılın en önemli yöntemlerinden ve algoritmalarından bazıları şunlardır: simpleks algoritması, Hızlı Fourier Dönüşümü, hata düzeltme kodları, kontrol teorisinden Kalman filtresi ve RSA genel anahtar şifreleme algoritması.

Aynı zamanda, matematiğin sınırlamaları hakkında derin sezgiler geliştirilmiştir. 1929 ve 1930 yıllarında doğal sayılar artı toplama ve çarpmadan biri ile ilgili formüle edilen tüm ifadelerin gerçekliği veya sahteliğinin karar verilebilir olduğu, yani bir algoritma ile tespit edilebilir olduğu ispatlandı. 1931 yılında, Kurt Gödel, doğal sayılar artı hem toplama hem de çarpmada durumun böyle olmadığını tespit etti. Peano aritmetiği olarak bilinen bu sistem aslında tamamlanamaz idi. (Peano aritmetiği, asal sayı kavramı da dahil olmak üzere sayı teorisinin büyük bölümü için yeterlidir.) Gödel ‘in iki eksiklik teorisinin bir sonucu şudur ki, Peano aritmetiği içeren herhangi bir matematiksel sistemde (tüm analiz ve geometri dahil olmak üzere) doğruluk mutlaka ispatı geçer (yani sistem içinde ispat edilemeyen doğru ifadeler vardır). Dolayısıyla matematik, matematiksel mantığına indirgenemez ve David Hilbert'in matematiğin tümünü eksiksiz ve tutarlı yapma rüyasının yeniden formüle edilmesi gerekir.

20. yüzyıl matematiğinin en renkli isimlerinden biri Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887–1920) idi. O, yüksek derecede kompozit sayıların özellikleri, üleşim işlevi & onun asimptotikleri ve mock teta fonksiyonları dahil olmak üzere 3000 ‘in üzerinde teoriyi varsayan veya ispatlayan Hint bir otodidakt idi. Ayrıca gama fonksiyonları, modüler formlar, ıraksak diziler, hipergeometrik diziler ve asal sayılar teorisi alanlarında önemli araştırmalar yaptı. Paul Erdős onunla işbirliği içinde çalışan yüzlerce kişi ile birlikte tarihteki tüm diğer matematikçilerden daha fazla makale yayınlandı. Matematikçiler, bir matematikçinin Erdős sayısına götüren Kevin Bacon Oyununa eşdeğer bir oyuna sahipti. Bu, matematiksel makalelerin ortak yazarlığı ile ölçülen, bir kişi ile Paul Erdos arasındaki "işbirlikçi mesa