k da bilinir) tekrarlı uygulamalar için “üç ok” işlecini tanıyalım:

ardından 'dört ok' işleci:

ve böyle devam eder. Genel kural, bir formula_14 ok işleci, (formula_15) ok işleç serisinin sağına doğru yayılarak gider. Sembolik olarak,

Örnekler:

formula_17

formula_18

formula_19 gösterimi, "n" tane ok kullanarak formula_20 şeklinde ifade etmek yaygın bir şekilde kullanılır.

formula_21 gibi bir ifadede, üs olan formula_3'yi taban sayısı olan formula_23'nın üstindisi olarak yazmak, üstel gösterim olarak bilinir. Fakat programlama dilleri ve e-posta — gibi birçok ortam — iki boyut düzeni desteklemez. Bu tür ortamlar için insanlar formula_24 şeklinde lineer gösterim geliştirdi. Yukarı ok "kuvvetin artışı"dır. Eğer karakter yukarı ok içermezse, onun yerine ^ düzeltme işareti kullanılır.

formula_21 şeklindeki üstindis gösterimi, genelleştirme için kendini iyi ifade etmez. Bundan dolayıdır ki Knuth, çizgisel gösterim olan formula_24 şeklinde bir gösterim üretti.

Bilinen üslü gösterimi kullanarak formula_27 yazmaya kalkışmak üslü kule oluşturur.

Eğer "b" bir değişken (veya çok büyük sayı) ise üslü kule, şu örnekte olduğu gibi, noktalar kullanarak yazılır ve kulenin yüksekliği belirtilir:

Bu gösterime devam edersek, formula_30 ifadesi, üslü kule yığınları ile yazılabilir. Her birinin açıklaması, bir diğerinin üzerine yazılır.

Tekrar eğer "b" bir değişken veya çok büyük sayı ise, yığın, nokta kullanılarak ve onun yüksekliğini belirtilerek yazılır.

Daha da arttırırsak, formula_33 ifadesi, üslü kule yığınlarından oluşan birkaç sütun olarak yazılır. Her bir sütun, yığındaki üslü kulenin sayısını açıklar:

Daha genel bir ifadeyle:

Bu, formula_19'yi herhangi bir "a", "n" ve "b"nin tekrarlı üssünün tekrarlı üssü olarak ifade eder.

formula_37 şeklindeki tetrasyon gösterimi, bu diyagramları daha basit yapmamızı sağlarken diğer yandan geometriksel ifadede çalışabiliriz (bu "tetrasyon kuleleri" olarak adlandırılır).

Son olarak dordüncü Ackermann sayısı formula_41 şöyle ifade edilebilir:

Çok büyük sayılarda Knuth yukarı ok gösteriminin çarpım okları elverişsiz kalır. Bunun yerine "n" ok işleci olan formula_43, (ve okların değişken sayısını açıklamak için) veya eşdeğeri olan hiperişlemler kullanılır.

Bazı sayılar öyle büyüktür ki gösterimler bile onları ifade etmekte aciz kalır. Graham sayısını buna örnek gösterebiliriz. Bunlar için Conway dizisi ok gösterimi kullanılabilir. Üç elemanlı bir dizi, diğer gösterimlerle eşdeğerdir. Fakat dört veya daha fazla elemanlı diziler daha kuvvetlidir.

Küçük sayılar için Knuth ok gösterimi, büyükleri için de Conway dizisi veya hiperişlemlerin kullanılması tavsiye edilir.

formula_45 tam sayı ve formula_46 olması şartıyla, yukarı ok gösterimi normalde şöyle tanımlanır:

Tüm yukarı ok işleçleri (formula_24 şeklindeki normal üstel gösterim de dahil), sağa birleşmedir. Örneğin, iki veya daha fazla işleci içeren ifadede işlem sağdan sola doğru yapılır. Örneğin; formula_49 formula_50, örneğin
formula_51 burada, formula_52 iken diğer tarafta: formula_53

Görüldüğü gibi işlemleri sağdan sola doğru yapmanın geçerli bir nedeni vardır. Eğer soldan sağa doğru işlem yapsaydık, formula_54 şöyle olurdu;
formula_55. Böylece formula_56 gerekli yeni bir işlem olmazdı.

formula_57'i hesaplama, sonsuz bir tablodaki terimleri yeniden belirleyebiliriz. formula_58 sayılarını en üst satıra koyduk (1, 2, 4, 8, 16... şeklinde devam eden satır). Tablodaki bir sayıyı tanımlamak için, tam solundaki sayıyı alın, ardından önceki satırdaki istenen sayıyı bulun. Bulunduğunuz yer size sayının değerini verecektir.

Yukarıdaki tablo Ackermann işlevi ile hemen hemen aynıdır.

formula_59'ni hesaplama:

formula_60 sayılarını en üst satıra koyduk. ablodaki bir sayıyı tanımlamak için, tam solundaki sayıyı alın, ardından önceki satırdaki istenen sayıyı bulun. Bulunduğunuz yer size sayının değerini verecektir.

formula_61'yi hesaplama;

formula_62 sayılarını en üst satıra koyduk. Tablodaki bir sayıyı tanımlamak için, tam solundaki sayıyı alın, ardından önceki satırdaki istenen sayıyı bulun. Bulunduğunuz yer size sayının değerini verecektir.

2 ≤ "n" ≤ 9 için formula_61 sayılarının sayısal sırası "m" nin en belirgin sayı olduğu sözlüksel sıralamadır. Böylece bu 8 sütunluk sayılar için, sayısal sıralama basit satırdan satıradır. 97 sütunluk sayılar için aynı uygulama 3 ≤ "n" ≤ 99'dir ve ve eğer "m" = 1 'den başlarsak 3 ≤ "n" ≤ 9.999.999.999 olur

Knuth oklarından farklı olan Goodstein [1947] gösterim sisteminde hiperişlem dizisini kullandı. Bu gösterimde, negatif olmayan tam sayılar sistemini oluşturmak için formula_64 kullandı. formula_65 gibi üstindisleri, formula_64 gibi süper işleçlerle ilişkilendirdi. Bunu "n" tamsayısının "kesin kalıtsal temsili" olarak adlandırdı. "k" seviyesi ve "b" tabanı, sadece "k" hiperişlemleri ve sadece 0, 1, ..., "b"-1 dijitlerini kullanarak ifade edilebilir:


Bu bölümün kalan kısmında, hiperişlemleri ifade etmek için üstindislerin yerine formula_71 gibi ifadeler kullanılacak.
Yüksel seviye işleçler kullanılarak gereksiz parantezlerden sakınılabilinir.

seviye-1 ifadeleri formula_72 şeklinde forma sahiptir;

seviyel-2 ifadeleri formula_73 şeklinde forma sahiptir;

seviye-3 ifadeleri formula_74 şeklinde forma sahiptir;

seviye-4 ifadeleri formula_75 şeklinde forma sahiptir;

ve böylece devam eder.

formula_76 gibi örnekler çıkartılarak ifadeler kısaltılabilir. Örneğin 6 sayısının seviye-3 taban-2 ifadesi, formula_77'dır. Bunun kısaltılmış hali, formula_78 olur.

Örnekler:
266 sayısının 1, 2, 3, 4 ve 5 seviyelerindeki eşsiz taban-2 ifadesi şöyledir:






Sergi-i Umumi-i Osmani

Sergi-i Umumî-i Osmanî (), 27 Şubat 1863 -1 Ağustos 1863 tarihleri arasında İstanbul'da düzenlenen bir fuardır.

İstanbul'un en merkezî alanlarından biri olan At Meydanı'nda gerçekleştirilmiş; gerek devlet erkânı, gerek yerli halk, gerekse yabancı ziyaretçiler sergiye büyük ilgi göstermiştir.

19'uncu yüzyılın ortalarında tüm dünyada sergiler ve fuarlar düzenlenmesi bir akım hâline gelmişti. Batı'da sık sık örneklerine rastlanan sergiler bu tarihte Osmanlı İmparatorluğu'nda da ilgi görüyordu. 1851 ve 1862 yılında Londra'da; 1853'te New York'ta; 1855'te Paris'te düzenlenen uluslararası fuar ve sergiler dünya çapında büyük ilgi görmüştü. Abdülmecit'in padişahlığı döneminde, Osmanlı İmparatorluğu Londra ve Paris'teki fuarlara katılmış, ancak ulaşım masraflarını gerekçe göstererek New York Fuarı'na gitmemeyi tercih etmiştir. Abdülmecit'in ölümünden sonra Osmanlı tahtına geçen Abdülaziz de, kültürel etkinliklere olan özel ilgisi nedeniyle sergilerle ilgilenmeyi sürdürmüştür. Abdülaziz yönetiminde İstanbul'da iki uluslararası fuar yapılması öngörülmüştür. Bunlar içinden 1863 yılında, Abdülaziz'in hükümdarlığının 3. yılında düzenlenen Sergi-i Umumî-i Osmanî başarıya ulaşırken; 1894'te yapılması düşünülen fuar, İstanbul'da büyük can ve mal kaybına neden olan bir deprem meydana geldiği için iptal edilmiştir.

1863 sergisinin amacı, Osmanlı ekonomisine rekabet gücü kazandırmak, ülkede üretilen malların kalite, çesit ve fiyatlarını görmek, üreticilerin sorunlarını tespit etmek ve basarılı olanları ödüllendirmek idi. Sergi, dönemin Maliye Nazırı Mustafa Fazıl Paşa tarafından organize edildi. Komitede Mustafa Fazıl Paşa’nın yanında Hariciye Teşrifatçısı Kamil Bey, Sadrazam Fuat Paşa’nın oğlu Nazım Bey, Ticaret Müsteşarı Server Efendi ve devlet ricalinden Agaton Efendi bulunmaktaydı. Başlangıçta sergide sadece yeni ürünlerin teşhiri düşünüldüyse de, sonradan Avrupa’dan gönderilecek, yeni icat olunmuş makine ve aletlerin de sergilenmesinin faydalı olacağı kanaatine varıldı. Böylece, bu yeni icatların Osmanlı tebası tarafından kullanılması teşvik edilmek istenmiştir.

Sergi, o dönemde “At meydanı” olarak anılan Sultanahmet Meydanı'nda kurulan geçici binalarda yürütüldü. Sergi binası olarak 3,500 metrekare büyüklüğünde, dikdörtgen planlı, 3 anıtsal kapıya sahip özel ve geçici bir yapı inşa edilmiştir. Sergi binası kendi içinde 13 ana bölüme ayrılmıştı. Sergi binasının yapımı için Fransız mimar Marie Augustin Antoine Bourgeois görevlendirildi; yapının iç düzenleme işlerini Leon Parvillé yürüttü.

22 Aralık 1862 tarihinden başlayarak gazetelerde Sergi-i Umumî-i Osmanî Nizamnamesi yayınlanmış ve serginin tanıtımı yapılmıştır. Osmanlı coğrafyasındaki tüm idarecilere resmî yazılar gönderilerek serginin duyurusu ve daveti yapıldı.

Batı'da düzenlenen fuarlar örnek alınarak düzenlenen sergi, benzerlerine oranla daha küçük bir etkinlikti. Büyük ölçüde Osmanlı İmparatorluğu'nun tarımsal ve sınaî sorunlarına çözümler bulmaya; bu sektörleri geliştirmeye yönelik bir programı vardı. Sergide Osmanlı ülkesinin değişik yörelerinden ve yurtdışından getirilen tarım ve sanayi ürünlerinin yanında çeşitli makinalardan oluşan toplam 10 bini aşkın örnek sergilendi.

Sergi 27 Şubat 1863 tarihinde büyük bir törenle açıldı. Törende Sultan Abdülaziz de hazır bulundu. Devletin en önemi bürokratları padişaha eşlik etti. Sergiye padişah Abdülaziz ile birlikte Sadrazam Yusuf Kâmil Paşa, Hariciye Nazırı Âli Paşa, Serasker Fuad Paşa ve Mısır Hıdivi İsmail Paşa da katılmıştır. Abdülaziz ilk gün 4 saat boyunca sergiyi gezmiş ve ilgilendiği konularla ilgili stantlarda durarak yetkililerden bilgi almıştır. Abdülaziz'in daha sonraki günlerde de sergiyi ziyaret ederek ilgisini sürdürdüğü bilinmektedir.

Sergi salonu, kendi içinde 13 ana bölüme ayrılmıştı. Bu ana bölümler içinde tarım ürünleri, el sanatları, tekstil ürünleri, sanayi ürünleri, maden ürünleri, deri ürünler, mobilya, halılar, çalgılar vardı. Bir bölümde mimari çizimler, çizimler, karakalem çalışmalar, haritalar, baskılar ve kitaplar sergileniyordu. Tüm bunlar içinde en büyük bölüm tarıma ayrılmıştı. Sergilenenler arasında en ilgi çeken ürün topluluğu, Osmanlı ülkesinin dört bir yanından getirilen 212 tür buğdaydı.

27 Şubat 1863-1 Ağustos 1863 tarihleri arasında, açık olduğu 5 ay boyunca sergiyi 150 bin kişi ziyaret etmiştir. Yalnızca yerel ziyaretçiler değil, Avrupa'dan da konuklar ağırlanmıştır. Serginin yap