995:712). Krauss ve Wang, insanların açıkça belirtilmiş olmasa da bazı noktalara ilişkin standart varsayımlarda bulunduğunu ileri sürdü (2003:10). Bu meseleler matematiksel açıdan önemli olsa da, bu etmenleri ele alırken dahi neredeyse tüm insanlar hâlâ, açılmamış iki kapının olasılığının eşit olduğunu ve dolayısıyla kapı değiştirmenin bir şeyi değiştirmeyeceğini düşünür (Mueser and Granberg, 1999). Bu "eşit olasılık" varsayımı, derin şekilde kökleşmiş bir sezgidir (Falk 1992:202). İnsanlar öyle olsa da olmasa da, olasılıkların o anda mevcut tüm bilinmeyenler arasında eşit şekilde dağıldığını güçlü biçimde düşünme eğilimindedir (Fox and Levav, 2004:637).

Monty Hall problemi açısından kökleşmiş bir diğer nokta ise, zaten bilinmekte olan bilgilerin ortaya çıkarılmasının olasılıkları etkilemeyeceğine duyulan inançtır (Falk 1992:207). Bu yöndeki sezgi, sunucunun bir kapıyı açmasının, yarışmacının en başta 1/3 olan arabayı bulma olasılığını değiştirmeyeceğini öne süren çözümlerin de temelini oluşturur. Tam problem için bu sezgi, seçimi değiştirmenin 2/3 olasılıkla kazandıracağı doğru sonucuna götürür; ancak, doğru yanıtın bu olmadığı kısmen değiştirilmiş problemlerde de götüreceği sonuç aynıdır (Falk 1992:207).

According to Morgan et al. (1991) "The distinction between the conditional and unconditional situations here seems to confound many." That is, they, and some others, interpret the usual wording of the problem statement as asking about the conditional probability of winning given which door is opened by the host, as opposed to the overall or unconditional probability.
These are mathematically different questions and can have different answers depending on how the host chooses which door to open when the player's initial choice is the car (Morgan et al., 1991; Gillman 1992). For example, if the host opens Door 3 whenever possible then the probability of winning by switching for players initially choosing Door 1 is 2/3 overall, but only 1/2 if the host opens Door 3. In its usual form the problem statement does not specify this detail of the host's behavior, nor make clear whether a conditional or an unconditional answer is required, making the answer that switching wins the car with probability 2/3 equally vague. Many commonly presented solutions address the unconditional probability, ignoring which door was chosen by the player and which door opened by the host; Morgan et al. call these "false solutions" (1991). Others, such as Behrends (2008), conclude that "One must consider the matter with care to see that both analyses are correct."

Yarışmacının ilk turda arabalı kapıyı seçmesi için 3'te 1 şansı vardır. Sonra Monty Hall seçilmeyen iki kapıdan içinde keçi olduğunu bildiği birini rastgele olmayan şekilde açar. Eğer yarışmacı başlangıçta arabalı kapıyı seçmişse (başlangıçta şansı 1/3) geriye kalan kapıda bir keçi olacaktır. Eğer yarışmacı keçili kapıyı seçmişse (başlangıçtaki şansı 2/3) geri kalan kapıda bir araba olacaktır.

Buradaki kritik nokta Monty'nin bir kapıyı rastgele seçmediğidir - yarışmacı tercihini yaptığında Monty içinde keçi olduğunu bildiği bir kapıyı seçer. Bunun anlamı Monty'nin seçiminin, başlangıçta arabanın yarışmacının kapısının ardında olma olasılığını etkilemeyeceğidir. Yarışmacıya kapıyı değiştirip değiştirmeyeceği sorulduğunda, hala başlangıçta arabalı kapı seçilme olasılığı 3'te 1 ve keçili kapı seçilme olasılığı 3'te 2'dir. Ancak şimdi Monty diğer kapılardan birini açar ve açtığı kapıda araba bulunamaz, yani yarışmacının kapısında keçi bulunma olasılığı 3'te 2 ve kalan kapıda araba olma olaslığı da 3'te 2'dir.
Bu Monty'nin kapısını rastgele seçmesi ve arabayı açığa çıkarması ihtimalinin var olmasından farklı bir senaryodur. Bu durumda keçinin açığa çıkması, yarışmacının başlangıç seçimininin araba olması olasılığını 2'de 1'e yükseltecektir. Bu farklılık orijinal problemin, vos Savant'ın 2006 Kasım'ındaki köşesinde görülen değiştirilmiş versiyonu ile karşılaştırılması ile ispatlanabilir. Bu versiyonda Monty Hall hangi kapıda arabanın saklandığını unutur. Kapılardan birini rastgele seçer ve keçi açığa çıktığında rahatlar. Yarışmacıya kapısını değiştirip değiştirmeyeceği sorulduğunda vos Savant doğru bir şekilde yanıtlar "Eğer sunucu bilmiyorsa, değiştirmeniz ya da değiştirmemeniz hiçbir şey farkettirmez. Eğer sunucu biliyorsa değiştirin" (vos Savant, 2006).

Another way of looking at the situation is to consider that if the contestant chooses to switch then they are effectively getting to see what is behind 2 of the 3 doors, and will win if either one of them has the car. In this situation one of the unchosen doors will have the car 2/3 of the time and the other will have a goat 100% of the time. The fact that Monty Hall shows one of the doors has a goat before the contestant makes the switch is irrelevant, because one of the doors will always have a goat and Monty has chosen it deliberately. The contestant still gets to look behind 2 doors and win if either has the car, it is just confirmed that one of doors will have a goat first.

Aynı problemde kapıların sayısının üç yerine 1.000.000 olduğunu düşünmek, çözümü kavramayı kolaylaştırabilir (vos Savant 1990; Nesin 2009). Bu durumda ardında keçi olan 999.999 kapı ve ödül bulunan bir kapı olur. Yarışmacı bir kapıyı seçer. Daha sonra sunucu diğer 999.998 kapıyı açarak keçileri gösterir - sunucunun ilk kapıdan başlayarak 1.000.000 kapılık sırayı takip ettiğini, her birini açtığını, yalnızca yarışmacının seçtiği kapı ile başka bir kapıyı daha atladığını düşünelim. Ardından sunucu yarışmacıya açılmamış diğer kapıyı seçme şansı olduğunu söyler. Ortalama 1.000.000'da 999.999 olasılıkla diğer kapı ödüle açılır, zira 1.000.000'da 999.999 olasılıkla yarışmacının ilk seçtiği kapının ardında keçi vardır. Akılcı bir yarışmacı kapıyı değiştirmelidir. Sezgisel bakılırsa, yarışmacı, bir milyon kapı içinden doğru olanı seçmeyi başarma olasılığını sorgulamalıdır. Örnek, seçimi değiştirerek başarı sağlama olasılığının (1 eksi ilk seçimde doğru kapıyı seçme olasılığı) her sayıda kapı için eşit olduğunu ortaya koymak için de kullanılabilir. Ancak unutulmamalı ki, bu örnek, sunucunun ödülün nerede olduğunu bildiği varsayımına ve ödülü saklayan kapıyı açmaması gereğine dayanır. Eğer yarışmacı ilk seçiminde ödülü saklayan kapıyı bulmayı başarmışsa, sunucu açmayacağı diğer kapıyı rastgele seçer.

Bu örnek, sunucunun ödülün yerini "bilmediği" ve kapıları rastgele açtığı tam tersi bir durumu açıklamakta da kullanılabilir. 1.000.000'da 999.999 olasılıkla yarışmacı en başta yanlış kapıyı seçecektir, ödül diğer kapılardan birinin ardındadır. Eğer sunucu ödülün yerini bilmeksizin kapıları rastgele açıyorsa, aralarında yeni bir seçim yapılacak son iki kapıya (yarışmacının seçimi ile diğer kapı) gelmeden, büyük olasılıkla ödülü saklayan kapıyı açacaktır. Bu durum bir başka yarışma programı olan "Deal or No Deal"a benzer. Bu programda yarışmacı numaralandırılmış bir çantayı seçer ve daha sonra diğerlerini her defasında bir tane olmak üzere açar.

Stibel ve diğerleri (2008) çalışan zihin talebinin Monty Hall problemi sırasında zorlandığını ve bunun, insanların seçimlerinin iki eşit olasılıklı seçeneğe dönüşerek çökmesine yol açtığını öne sürdü. Ayrıca seçeneklerin (kapıların) sayısının yedinin üzerine çıkmasının insanlardaki seçimi değiştirme eğilimini artırdığını; ancak, yine de çoğunluğun hâlâ başarı şansını hatalı olarak yarı yarıya gördüğünü ortaya koydu.

Yapılan araştırmalara göre, keçi seçme ihtimaline aslında arabayı kazanma ihtimaline eşittir. İlk seçilen kapı keçi olması kaidesiyle her halükarda araba kazanılır. Bu da kazanma ihtimalinin 2/3 olduğunu ispatlar.

Seçimi değiştirme stratejisinin gerçekten ortalama üçte iki olasılıkla kazandıracağını ispatlamanın basit bir yolu da, yarışmayı oyun kartlarına uyarlamaktır (Gardner 1959b; vos Savant 1996:8). Alelâde bir desteden üç kart, üç kapıyı temsil eder. Maça ası gibi bir 'özel' kart arabayı saklayan kapıyı, iki kırmızı ikili gibi iki sıradan kart da, keçileri saklayan kapıları temsil eder.

Şu yöntem defalarca tekrarlanarak oyunun birçok devresi uyarlanabilir: Yarışmacının ilk seçimini temsil eden kart yarışmacının önünde ters şekilde durur. Daha sonra en az biri kırmızı ikili olan iki karta bakan sunucu, kırmızı ikili olan bir kartı açar. Eğer sunucunun elinde kalan kart Maça ası ise, bu, yarışmacının seçimini değiştirerek kazanacağı bir devredir. Eğer sunucunun elinde kalan kart kırmızı ikili ise, bu, yarışmacının ilk seçiminde ısrar ederek kazanacağı bir devredir.

Büyük sayılar yasasına göre bu deney, kazanma olasılığını yaklaşık olarak ortaya koyar ve deneyi yeterli defa tekrarlamak yalnızca yarışmacının seçimini değiştirerek üçte iki olasılıkla kazanacağını değil, bunun nedenini de gösterir. Yarışmacıya bir kart dağıtıldıktan sonra, değiştirmenin kazandırıp kazandırmayacağı "zaten bellidir" ve Maça ası, üçte iki olasılıkla sunucunun elindedir.

Bu ikna edici değilse, benzetme, kartlardan biri yarışmacıya verilmek ve kalan 51'i sunucuda kalmak üzere tüm bir desteyle de yapılabilir (Gardner 1959b; Adams 1990). Bu durumda Maça ası 52'de 51 olasılıkla sunucudadır ve kaç Maça ası olmayan kart açılırsa açılsın, onda kalmaya devam eder.

vos Savant'ın öne sürdüğü bir başka benzetmede, sunucu kapıları temsil eden üç kupadan birinin altında arabayı temsil eden bir madeni parayı ya da deniz kabuklarının altında bir bezelyeyi saklar.

The version of the Monty Hall problem published in "Parade" in 1990 did not specifically state that the host would always open another door, or always offer a choice to switch, or even never open the door revealing the car. However, vos Savant made it clear in her second followup column that the intended host's behavior could only be what led to the 2/3 probability she gave as her original answer. "Anything else is a different question" (vos Savant, 1991). "Virtually all of my critics understood the intended scenario. I personally read nearly three thousand letters (out of the ma