kapsayan bir alt küme olduğunu iddia eden bir çözümün doğruluğu için O(n) zaman yeterlidir. Bu çözüm için iç içe iki tane döngü içerisinde düğümler arasındaki ilişkiyi izlemek yeterlidir.

Köşe Örtme={(G,k)| G, k tane düğümlü bir köşe örtme alt kümesine sahip bir graftır.}} Buna göre;

birer köşe örtme alt kümesine sahip olan graflardır.

Bir problemin NP-Tam olduğunu ispat etmek için, daha önce NP-Tam olduğu bilinen bir problemin bu probleme polinom zamanda indirgeniyor olduğunu ispat etmek yeterlidir.

Bunun için 3SAT probleminin NP-Tam olduğunun bilinmesinden yola çıkarak 3SAT < köşe örtme(Vertex Cover) ispat edilmesi halinde köşe örtme probleminin de NP-Tam olduğu ispatlanmış olur.

Bunun için öncelikle 3SAT probleminin her bir şart cümleciğinin k tane terim ile gösteriliyor olduğunu bilmek gerekmektedir. Örneğin;

f=(x OR x OR x)AND(!x OR !x OR !x)AND(!x OR x OR x)

şeklinde verilmiş 3SAT problemine uygun bir formülü graf şekline çevirmek gerekmektedir. Böylece bir 3SAT problemi graf haline çevrilmiş olur. Yukarıda verilmiş formülün graf haline çevrilmesi esnasında şu yol izlenmektedir.

Önce şart cümlecikleri içinde geçen terimler ile o terimlerin "DEĞİL" leri arasında bir kenar oluşturacak şekilde graf çizilmeye başlanır. Daha sonra şart cümleciklerini de grafa ekleyerek aynı terimleri birbirine bağlayarak graf oluşturulur. Buna göre m terim sayısı, l şart cümleciği sayısı olarak düşünülürse, 2m+3l tane düğümden oluşan bir graf ortaya çıkar. Verilen grafın içinden tüm köşeleri örtme bir düğüm alt kümesinin eleman sayısını da m+2l olarak farzedelim.

Buradaki örnekte k=8 olarak bulunur.

Bundan sonraki adım ise, köşe örtme algoritmasını gerçekleyecek ve bu koşulları olumlu olarak mantıksal doğrulanabilir sağlayacak bir karşılanabilirlik ifadesi çıkarılır. Bunun için önce grafta terimlere "doğru" karşılık gelecek kısımları seçilir. Daha sonra bu seçimin ardından, şart cümleciklerinin içinden öylesine ikişer tane düğüm seçilir ki, hem grafın kenarlarının tamamı kapsanabilir olur hem de formülde verilen şart cümleciklerinin her birisi mantıksal doğrulanabilir olur. Bunun için eğer;
x "YANLIŞ" , x "DOĞRU" seçilirse, o zaman yukarıdaki terimlerden !x ve x seçilip 
aşağıdaki şart cümleciklerinden de taralı kısımların seçilmesiyle, graftaki tüm köşe örtme olmasının yanı sıra, x ve x değerlerinin şart cümlecikleri içerisinde yerine konulmasıyla da şart cümleciklerinin her birinin mantıksal doğrulanaiblir olduğu görülür. Tüm bu işlemlerin yapılması polinom zamanda gerçeklenebildiğinden, 3SAT problemini polinom zamanda köşe örtme problemi haline dönüşebildiğinden köşe örtme problemi de NP-Tam sınıfındadır.

(x OR x OR x)=(YANLIŞ OR YANLIŞ OR DOĞRU) =DOĞRU

(!x OR !x OR !x)=(DOĞRU OR YANLIŞ OR YANLIŞ)=DOĞRU

(!x OR x OR x)=(DOĞRU OR DOĞRU OR DOĞRU)=DOĞRU

Böylece yukarıdaki tüm şart cümlecikleri mantıksal doğrulanabilir olmasının yanı sıra, graf üzerinde 8 tane düğümün seçilerek tüm

köşeleri örten bir alt küme bulunmuş olur.

Buna göre oluşan grafın son hali aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi olmaktadır.





Petroglif

Petroglif (Yunanca "Petra", kaya ve "glyphein", oymak'tan fr. gelir) kaya üzerine yontulmuş, çizilmiş veya boyanarak yapılmış arkeolojik resim sanatına petrograf denir. Petroglif, piktograf ile karıştırılmamalıdır.




TQBF Problemi

Boolean Formülü içerisinde; boolean değişkenleri, sabitler {0,1} ve işlemler {formula_1, formula_2, formula_3} içeren formüllerdir. Bu formüller, formula_4(bütün hepsi) ve formula_5 (en az bir) belirleyicilerinin eklenmesiyle daha genel bir yapıya sokulabilir. formula_6 ifadesi bütün "x" değişkenleri için "Q" formülü doğrudur anlamı taşımaktadır. Benzer bir şekilde; formula_7 ifadesi ise bazı "x" değişkenleri için "Q" formülü doğrudur anlamı taşımaktadır.

Örnek olarak, doğal sayılar kümesinde formula_8 ifadesi doğrudur. Çünkü, bütün doğal sayıların bir fazlası sayının kendisinden büyüktür. Fakat, formula_9 ifadesi doğal sayılar kümesi için yanlıştır. Çünkü; hiçbir doğal sayının iki katı 3'e eşit değildir. Ancak biz örek uzay olarak doğal sayıları değil de gerçek sayılar alınsaydı bu ifade doğru olurdu.

Boolean formüllerin belirleyicilerle gösterilmesine, "belirleyici boolean formülü" denir. Burada kullanılan uzay {0,1} den oluşur. Örnek olarak:

formula_10
ifadesi bir "belirleyici boolean formül" dür. Burada "Q" ifadesi doğrudur. Fakat; formula_11 ile formula_12 ifadeleri yer değiştirseydi "Q" yanlış olurdu.

Eğer bir "belirleyici boolean formülde" bütün değişken isimleri belirleyici listesinde yer alırsa buna "tamamen belirlenmiş boolean formül" denir. "Tamamen Belirlenmiş Boolean Formüllere" cümle denir ve formülü işleme sokarsak daima doğru ya da yanlış sonuç üretir. Yukarıdaki örnek bir "tamamen belirlenmiş boolean formüldür". Çünkü, bütün değişkenler ("x","y") belirleyici olarak yer alır. Eğer formula_13 ifadesini çıkarsaydık, yukarıdaki örnek "tamamen belirlenmiş boolean formül" olmazdı.

TQBF problemi bir "tamamen belirlenmiş boolen formül" ün doğru ya da yanlış olduğunu belirleyebilmektir. Bunun için şöyle bir dil tanımlanır.

TQBF PSPACE-complete'dir.

TQBF'in bir PSPACE-Complete olduğunu göstermek için, cümle içindeki değişkenlere değer atan bir formül bulup tekrarlayan bir şekilde değişken değerlerini inceleyip formülün doğru ya da yanlış olacağı bulunur.

PSPACE de tanımlı bütün A dillerinin TQBF e indirgendiğini göstermek için, polinomial yer ile sınırlı A ya ait bir Turing makinesi ile başlayacağız. Daha sonra, boolean formül ile kodlanarak ve A diline ait makina ile çalışacak bir kelime ile polynomial zamana indirgemeye çalışacağız. Şöyle ki, formül ancak ve ancak makina gönderilen kelimeyi kabul ederse doğru olacak.

Burada formülü oluştutmak için Savitch Teoremi kullanacağız. Yaratılacak yeni formül, ana formülü parçalara bölecek ve her bir belirleyiciyi formülde yerine koyarak daha küçük formüller yaratacak.

TQBF i belirleyen bir polinomsal yer algoritması oluşturacağız.

T=  verisini kullanan bir "tamamen belirlenmiş boolean formül".


T algoritması TQBF i belirler.

Bu algoritmanın yer karmaşıklığını analiz ettiğimizde şunu gözlemleriz: Formül, içerisindeki değişken sayısı kadar çağrılır. Her seviyede sadece bir değişken değerini tutarız. Bu yüzden toplam kullanılacak yer formula_16, m = toplam değişken sayısı, dır. Buradan "T" nin Lineer zamanda bittiğini gözlemleriz.

A, M Turing Makinesi tarafından formula_17 polinomsal yerde tanımlanan bir dil olsun. Şimdi A'dan TQBF e Polinomsal zaman indirgemeye çalışacağız. Bu indirgeme için bir 'w' kelimesi kullanılsın. Söyle ki; "Q" ancak, M makinası 'w' yi kabul ettiğinde doğru olsun.

"Q" yu nasıl oluşturacağımızı göstermek için daha genel bir problemi çözülür. c ve c iki tane değişken listesi olsun. ve t>0 olan bir sayı. Öncelikle Q formülü kurarız. Eğer c ve c yi doğru bir şekilde kurarsak; formül, M makinası c den c ye en fazla t stepte giderse doğru olur. Bu durumda, Q, formula_18 alırız. Böylece "M" "n" verisi üzerinde en fazla formula_19 değişik konfigürasyona sahip olur. Burada formula_20 ve "t" 2 nin katı olacak şekilde alalım.

Eğer t=1 ise, Q kolayca oluşturulabilir. Böyle bir durumda, ya c c ye eşittir ya da c den c ye M makinasında bir step vardır.

Eğer t>1 ise, Q formülü tekrarlarla kurulur. Şöyle ki:

Q = formula_21m[
Qformula_1Q ]

m bu arada "M" ye ait bir konfigurasyonu temsil eder. formula_21m: formula_21 x...,x in kısaca yazılmış halidir. formula_25 ve x...,x m yi kodlayan değişkenlerdir. 
Q nin yaratılması şunu belirtir: M makinası c den c ye en fazla t stepte gider. Ve eğer m ara stepi varsa, şöyle ki M c den m e t/2 stepte gidsin ve m dan c e t/2 stepde gidsin. Bu durumda, Q ve Q formülleri oluşturulabilir. Fakat bu şekilde genel formülü çıkarmaya kalkarsak, çıkacak formül çok uzun olur. Çünkü, her tekrarda biz formülü 2'ye bölüyoruz. Ve her step geçtikten sonra genel formül 2 ye katalanıyor. Başlangıçta t=formula_19 aldığımız için exponential bir formül ortaya çıkar.

Formülün boyutunu kısaltmak için formula_21 in yanına bir de formula_28 ekleriz. Şöyle ki:

Q = formula_21m formula_28 (c,c) formula_31 {(c,m),(m,c)} [Q]

Yeni değikenlerin eklenmesi, iki tekrarlayan formülü teke indirdi. formula_28 (c,c) formula_31 {(c,m),(m,c)} ifadesiyle, c ve c değişkenleri sırasıyla c,m veya m,c değerleri alabilir. Ve Q] her iki durumda da doğrudur.

Q, formula_18 nin uzunluğunu hesaplarken şunu söyleyebiliriz: tekrarlayan her step genel formüle bir eleman ekler bu yüzden formülün tamamı lineer uzunluktadır.

Toplam uzunluk ise:formula_35 dır. Tekrarlardaki step sayısı: log(formula_19), formula_35 dır. Bu yüzden sonuç formülü: Oformula_38 dır.





John Buckley

John Buckley, Leeds doğumlu (d. 1945 - ) İngiliz heykeltıraş. Headington, Oxford'da yaptığı "Untitled 1986" adlı eseri (daha yaygın ve bilinen ismi ile "The Shark House" (Köpekbalığı evi) veya "Headington Shark") ile ünlenmiştir. Nagazaki'ye atom bombası atılmasının 41. yılı, bir evin çatısına dik biçimde girmiş bir köpek balığı ile temsil edilmiştir. 9 Ağustos 1986'da kamuya açılan heykel, başlangıçta yerel bir radyo aracılığıyla topluma duyurulmuştur. Radyonun o tarihte sunuculuğunu yapan ve heykele ilişkin anonsu geçen Bill Heine aynı zamanda evin sahibidir.

Radyo anonsu: ""Köpekbalığı, etkisiz, kızgın ve umutsuz biçimde bir deliğe saplanmış tamamen edilgen birini ifade etmektedir. O, nükleer silahsızlanma kampanyaları, nükleer güç, Çernobil ve Nagazaki ile ilgili bize bir şeyler söylemektedir""

Resmi kurumlar tarafından yerleşim alanında can güvenliğini tehdit etmesi ve yerleşkelerin biçimlerine ilişkin yasal prosedürün heykelin bir çatı üzerinde durmasına uygun olmaması dolayısıyla çeşitli tartışmalar yaşanmıştır. Fakat eser, halkın desteğini kazanmış ve merkezi hükümet tarafından esere ilişkin yasal izinler sağlanmıştır.

Fiberglasdan yapılmış olan heykel 203 kg. ağırlığındadır.

John Buckley, kısa adı MAG (Mines Advisory Group) olan insani yardım amaçlı bir sivil toplum örgütünün yöneticiliğini yapmaktadır. Kuruluş, karamayı