iki yaklaşım meydana gelir. Alttaki bir tane 10 ile genişleyen kulenin yerine geçen, üstteki 10 ile genişleyen ile aynı değildir (fakat elbetteki tüm üs kule, 10'dan farklı ve aynı adette sayı içerirse, benzer düşünce uygulanır).

Eğer kulenin yüksekliği büyükse, büyük sayılar için, bunu yerine çeşitli ifadeler uygulanabilir. Eğer yükseklik yaklaşık olarak verilirse, üsttekine bir değer verme mantıklı değildir. Bu yüzden, çift ok gösterimi kullanabiliriz. Örn, formula_39. Eğer çift oktan sonraki değerin kendisi çok büyük bir sayı ise, yukarıdaki işlemler bu değere tekrarlanarak uygulanabilir.

Örnekler:

Yukarıdakine benzer şekilde, eğer formula_46'un üssü tam olarak belli değilse, sağa bir değer vermek mantıklı değildir ve formula_46 üs gösterimini kullanma yerine, formula_48'un üssüne 1 ekleyebiliriz. Böylece örn, formula_49 elde ederiz.

Eğer formula_50'un üssü büyükse, bu üsse çeşitli ifadeler uygulanabilir. Eğer üs tam olarak belli değilse, aynı şekilde formula_50 üs gösterimini kullanma yerine üç ok operatörünü kullanılır. Örn, formula_52 olur.

Eğer üç oklu operatörün (işlecin) sağdaki argüman büyükse, yukarıdaki işlemler tekrar edilir. Örn, formula_53 sayısı (formula_54 ile formula_55 arasındadır). Bu işlem tekrarlanabilir. Böylece, üç oklu işlecin gücüne sahip olabiliriz.

Operatörleri (işleçleri) daha fazla oklarla devam ettirebilir ve şöyle yazabiliriz: formula_56.

Bu gösterimi, hiperişlem ve Conway dizisi ok gösterimi ile karşılaştıralım:
İlkinin avantajı, eğer "b" bir fonksiyon ise, bu fonksiyonun üsleri için doğal bir gösterim vardır (sadece "n" tane ok yazıldığında): formula_58. Örneğin:

ve sadece özel durumlarda uzun iç içe girmiş dizi gösterimi kısaltılır. "b" = 1 için:

"b" çok büyük sayı olduğunda genellikle, formula_61 şeklinde üslü bir seri "n"nin değeri azaltılarak yazılır (formula_62 tam sayı üsleridir). Sondaki bir sayı gösterimi belirtir. formula_62 gibi bir sayı çok büyük olduğunda, formula_64 değeri 1 azaltılır ve formula_65'in sağındaki her şey tekrar yazılır.

Sayıları yaklaşık olarak ifade etmek için, "n" nin değer azalış sıralarındaki sapmalara gerek yoktur. Örneğin, formula_66 ve formula_67. Beklenenin aksine elde edilen "x" sayısı çok büyüktür. "x" ve 10 "hemen hemen eşittir" (büyük sayıların aritmetiği için).

Artan okun üstindisi büyükse, bunun için özel ifadeler uygulanabilir. Eğer bu üstindis tam olarak belli değilse, işleci belli bir üsse yükseltmek veya netür bir değer olduğunu ayarlamak için hiçbir nokta yoktur. Basitçe sağda standart bir değer kullanabiliriz. 10'u formula_68 gibi yaklaşık "n" ile azaltırız. Daha fazla sayı kullanmanın avantajı için yukarı ok gösterimi artık uygulanmaz ve dizi gösterimini kullanabiliriz

Yukarıdaki işlem bu "n" için tekrar ve tekrar uygulanabilir. Böylece ilk okun üstindisinde formula_56 şeklinde bir gösterim elde edilir. Yoksa iç içe dizi gösterimi olmuş olacak. Örneğin:

Eğer derece, elverişlilik için çok büyük ise, bu derece sayısını yazıldığı yere sayısal bir gösterim kullanılır (birçok ok yazmak yerine ok üstindisi kullanma gibi). formula_72 = (10 → 10 → "n"), gibi bir fonksiyonu arttırarak bu derecelerin "f"nin fonksiyonel kuvveti olması sağlanır. formula_73 formunda bir sayı yazmamıza olanak verir. Burada "m" kesin ifade ve "n" ise ister kesin olsun ister olmasın tam sayıdır (örneğin: formula_74). Eğer "n" büyükse, onu kısaltmak için yukarıdakilerden birini kullanabiliriz. Bu sayıların en "uygunu" "f"(1) = (10→10→"m"→2) formundakilerdir. Örneğin, formula_75

Graham sayısı ile karşılaştırma: 10 yerine 3 sayısını kullanır ve 64 ok derecesine sahiptir. En üstte 4 sayısı vardır. Burada formula_76'dir. Ayrıca formula_77'dir.

Eğer formula_73'deki "m" bilinemeyecek kadar çok büyükse, (örn, "n" = 1 ve yukarı doğru tekrar "m"ye kadar giderse) sabit "n" kullanabiliriz. Örn, yukarı okların derece sayısı, üstindisli yukarı ok gösteriminde kendini ifade eder. "f" nin fonksiyonel üs gösterimini kullanma, "f"nin çarpım derecesini verir. formula_79 gibi bir fonksiyonu arttırma, bu derecelerin "g" gibi bir fonksiyonun derecesi olmasını sağlar ve formula_80 şeklinde yazılır. Buradaki "m" tam bilinen ve n de ister tam bilinsin ister bilinmesin bir tam sayıdır. (10→10→"m"→3) = "g"(1). Eğer "n" büyükse, onu kısaltmak için yukarıdakilerden herhangi birini kullanabiliriz. Benzer şekilde örn, "h" gibi bir fonksiyonu da arttırabiliriz. Eğer daha çok fonksiyona ihtiyaç duyulursa her seferinde yeni bir harf kullanmak yerine sayı kullanabiliriz. Örn, bir üstindis gibi. Böylece formula_81 formunda sayılar elde ederiz. Burada "k" ve "m" bilinen ifade ve n ister bilinsin ister bilinmesin bir tam sayıdır. Yukarıdaki "f" için "k"=1, "g" için "k"=2 kullanarak (10→10→"n"→"k") = formula_9 elde edilir. Eğer "n" büyükse formula_83 şeklinde, "k" nın içe doğru azaldığı iç içe formlar elde edilir. formula_84'nin üs serisinin içindeki argüman, "n" nin değerleriyle azalır.

"k" belirlenemeyecek kadar çok büyükse, ilgili sayı formula_85=(10→10→10→"n") olarak, yaklaşık bir "n" ile kısaltılır. formula_86=(10→"n") serisinden formula_87=(10→10→"n") serisine giden işlemin, sonraki formula_85=(10→10→10→"n") dizisine çok benzer şekilde gittiğine dikkat edin. Bir 10 elemanını dizi gösteriminde diziye eklemek genel bir işlemdir. Bu işlem tekrarlanabilir (önceki bölüme de bakınız). Bu fonksiyonun sonraki sürümlerini numaralandırmak için formula_89 fonksiyonu kullanılarak bir sayı belirlenebilir.

Çok büyük bir sayıyı Conway dizisi ok gösterimine yazmak için, bu dizi uzunluğu için sayının ne kadar büyük olduğunu açıklanmalıdır. Örneğin sadece dizideki 10 elemanını kullanma, başka bir ifadeyle onun 10, 10→10, 10→10→10, .. serisindeki konumunu belirleme. Hatta serideki konumu bile büyük bir sayı ise, bunun için aynı teknikleri uygulayabiliriz.


Aşağıdaki anlatımlar 10'dan başka 100 tabanlı değerleri açıklıyor.

formula_143, 10 tabanının üssü ikiye katlandı.

formula_144, yukarıdaki gibi.

formula_145, en yüksekteki üs, ikiye katlanmaktan çok az fazladır.


formula_164 sayısı için "n" deki bir birimlik değişmenin sonucu 10 faktör olarak değiştireceğine dikkat edin. formula_165 gibi bir sayıda, 6,2'de belirli şekilleri kullanarak tam yuvarlama, üssün doğruluk değerini 50 daha az veya 50 daha çok yapabilir. Benzer şekilde formula_166 faktörü çok büyük ya da çok küçük olabilir.

Aşırı büyük sayılarda göreceli hata da büyük olabilirken dikkate almak istediğimiz sayıların "büyüklüğüne yakın" bir hassasiyeti olabilir. Örneğin,

Göreceli hata,

Bu büyük bir hatadır. Yine de göreceli hatayı logaritmada göz önünde bulundurabiliriz. Bu sebeple 10 tabanındaki logaritmalar 10 ve 9'dur. Böylece logaritmadaki göreceli hata sadece %10 olur.

Eğer "a" ve "b" küçük göreceli bir hataya sahipse üstel fonksiyonların göreceli hataları oldukça büyüktür,

göreceli hataları büyüktür ve

daha büyük göreceli hataya sahip olacaktır. Sonraki soru şöyle olacaktır: hangi seviyedeki yinelenen logaritmada iki sayıyı karşılaştırabiliriz? Göz önünde bulunduracağımız bir hassasiyet vardır

"yakın büüklükte" olur. Bu iki sayı arasındaki göreceli hata büyüktür ve onların logaritmaları arasındaki göreceli hata yine büyüktür. Bununla beraber bunların ikinci yineleme logaritmalarındaki hata küçüktür:

Örneğin, analitik sayı teoreminde yineleme logaritmalarını karşılaştırma bunun gibidir.

Çok büyük sayılarında uygulanan olağan aritmetik işlemlere ait birkaç genel kural vardır:

Buradan:

Meşgul kunduz fonksiyonu Σ, herhangi bir hesaplanabilen fonksiyondan daha hızlı büyüyen bir fonksiyondur. Göreceli girdi değeri küçük olsa bile kendisi kocamandır. "n" = 1, 2, 3, 4 için Σ("n") fonksiyonu 1, 4, 6, 13'dür. Σ(5) bilinmiyor, fakat ≥ 4098 olarak tanımlanıyor. Σ(6), en az 4,6×10'dur.

Harvey Friedman da, herhangi hesaplanabilir fonksiyonlardan daha hızlı büyüyen serilerle ilgili birkaç çalışma yapmıştır.

Her ne kadar yukarıdaki tüm sayılar çok büyük olsa bile, yine de tümü sınırlıdır. Matematiğin belirli alanları sonsuz ve sonluötesi sayıları tanımlar. Örneğin elif sayısı, doğal sayıların sonsuz serisinin nicelliğidir ve elif-bir sonraki en büyük nicel sayıdır. formula_182, gerçellerin nicelliğidir. formula_183 önermesi süreklilik hipotezi olarak bilinir.

Aşırı büyük sayıların bazı gösterimleri:

Bu gösterimler aslında, tam sayılarla hızlı bir şekilde artar tam sayı değişkenlerinin fonksiyonlarıdır. Fonksiyonlardaki hızlı artma bile, tekrarlı bir şekilde, bu fonksiyonları argüman olarak büyük tam sayılarla uygulayarak kolayca elde edilebilir.




Gulfstream IV

Gulfstream IV (veya GIV), Gulfstream Aerospace tarafından ABD'nin Georgia eyaleti Savannah şehrinde üretilen bir iş jetidir. 1983 yılında üzerinde çalışmalara başlandı. İlk uçuşunu 19 Eylül 1985'te yaptı. Golfstream IV'ün üretimi 2003 yılında durdurulmuştur.

Türk Hava Kuvvetleri tarafından da kullanılmaktadır. 11. Hava Ulaştırma Ana Üs Komutanlığı'na bağlı 212. Filo'da 1 adet Gulfstream IV komuta kontrol uçağı olarak görev yapmaktadır. Ayrıca Türkiye Cumhuriyeti Başbakanlığı'na ait ATA uçağı da Gulfstream IV'tür.

Gulfstream IV birçok şirket, kişi ve kurum tarafından iş jeti olarak kullanılmaktadır.






Diario AS

Diario AS, İspanya'da yayımlanan günlük spor gazetesi. Gazetede daha çok futbol haberleri yer almaktadır.

Gazetenin kapağında, genellikle Madrid ekiplerinden Real Madrid ve Atlético Madrid ile ilgili haberler yer almaktadır.

Merkezi Madrid'de bulunan gazetenin, Barselona, Bilbao, A Coruña, Sevilla, Valensiya ve Zaragoza'da da büroları bulunmaktadır.





Parfait Mandanda

Parfait Mandanda (d. 10 Kasım 1989, Nevers), Kongo asıllı Fransız kaleci.

Mandanda, futbol hayatına 1999'da SM Caen'de başladı. 2001'de Ligue 1 takımlarından Bordeaux'nun altyapısına transfer oldu. 2008 yılında Bordeaux A takımına yükselme başarısı gösterdi.

2009'da AS Beauvais takımına kiralık olarak gitti. Bir sene sonra AS Beauvais takımına transfer oldu. 2010'da Altay'a transfer oldu. Bir sezon Altay'da forma giydi ve takımın sezon sonu 2. Lig'e düşmesinden sonra sözleşme gereği s