rağı "0" ≤ arg("w") < "π" olacak şekilde "w"-düzleminin yukarı düzlemine gönderdiğini, ikinci yaprağı ise "π" ≤ arg("w") < 2"π" olacak şekilde "w"-düzleminin aşağı düzlemine gönderdiğini gözlemleyebiliriz.

Bu örnekteki dallanma kesiği gerçel eksen boyunca uzanmak ve hatta doğru olmak zorunda bile değildir. "z" = 0 noktasını sonsuz noktasına bağlayan herhangi bir sürekli eğri işimizi görecektir. Bazı durumlarda, dallanma kesiği sonsuz noktasından geçmek zorunda bile değildir. Mesela,

ilişkisini ele alalım. Burada "z" - 1 polinomu "z" = ±1 değerlerinde 0 değerini alır ve böylece "g" 'nin açıkça iki dallanma noktası olur. Düzlemi gerçel eksen boyunca, -1 'den 1 'e kadar, "kesebiliriz" ve "g"("z") 'nin tekdeğerli olduğu bir yaprak elde edebiliriz. Alternatif bir kesim ise "z" = 1 noktasından sonsuz noktasına kadar pozitif gerçel eksen boyunca gidilip sonra bu sonsuz noktasından "z" = -1 noktasına negatif gerçel eksen boyunca gidilerek yapılabilir.

Bu durum en kolay biçimde yukarıda açıklanmış stereografik izdüşüm kullanılarak görülebilir. Küre üzerinde, bu kesiklerden birisi ekvatordaki bir noktayı ("z" = -1) ekvatordaki başka bir noktaya ("z" = 1) bağlayacak şekilde boylam boyunca güney yarımkürede yolunun üstündeki güney kutbundan ("z" = 0) geçecek şekilde hareket eder. Kesiğin ikincisi ise kuzey yarımkürede yine boylam şeklinde gider ve yine aynı ekvator noktasını kuzey kutbundan (yani sonsuzdaki noktadan) geçecek şekilde birleştirir.

Bir meromorf fonksiyon
tanım kümesindeki sonlu veya sayılabilir sonsuz sayıdaki nokta dışında holomorf ve bu yüzden de analitik olan karmaşık bir fonksiyondur. Böyle bir fonksiyonun tanımlanamadığı noktalara meromorf fonsiyonun kutupları denilir. Bazen bütün bu kutuplar bir doğru üzerinde yer alırlar. Bu durumda, matematikçiler fonksiyona "kesik düzlem üzerinde holomorf" derler. Burada basit bir örneği var.

şeklinde tanımlanan gama fonksiyonunun (burada, "γ", Euler-Mascheroni sabitidir) 0, -1, -2, -3, ... noktalarında basit kutupları vardır çünkü "z" sıfır olduğunda veya negatif bir tam sayı olduğunda, sonsuz çarpımdaki paydalardan kesinlikle birisi 0 olmaktadır. Tüm kutupları negatif gerçel eksen üzerinde "z" = 0 'dan sonsuza kadar sıralandığı için, bu fonksiyon

"kesiği negatif gerçel eksen üzerinde "z" = 0 'dan sonsuza kadar uzanan kesik düzlem üzerinde holomorf"

olarak tanımlanabilir.

Aynı zamanda, Γ("z") başka bir şekilde

"-"π" < arg("z") < "π" olan ve "z" = 0 'ı hariç tutan kesik düzlemde holomorftur."

şeklinde tanımlanabilir.

Bu kesik karşılaştığımız dallanma kesiğinden hafifçe farklıdır çünkü aslında kesik düzlemden negatif gerçel ekseni "hariç tutmaktadır". Dallanma kesiği gerçel ekseni bir tarafta (0 ≤ "θ") kesik düzlemle bağlı tutarken, diğer tarafta ("θ" < 2"π") kesik düzlemden ayırmıştır.

Aslında Γ("z")'nin holomorf olduğu bir bölge yaratmak için, "z" = 0 'dan -∞ 'a uzanan tüm doğruyu kesmek gerekli değildir. Yapılması gereken tek şey, {0, -1, -2, -3, ...} sayılabilir sonsuz kümesini düzlemde delmektir. Ancak delikli bir düzlemde, kapalı bir kontür Γ("z")'nin kutup noktalarından birini ya da daha fazlasını çevreleyebilir ve bu da kalıntı teoremi ile sıfır olmayan bir kontür integrali verir. Karmaşık düzlem kesilerek Γ("z") 'nin holomorf olduğu sınırlı bir bölge yaratılmakla kalınmaz aynı zamanda Γ 'nın kesik düzlemdeki herhangi bir kapalı kontür integrali de 0'a eşit yapılır. Bu, bazı matematik argümalarında önemli olabilir.

Çoğu karmaşık fonksiyon sonsuz seriler veya sürekli kesirler ile tanımlanır. Bu sonsuz ifadelerin analizinin temelinde yatan düşünce, bu serilerin karmaşık düzlemde sonlu bir sayıya yakınsamaları için gerekli olan bölgeyi tanımlamaktır. Düzlemdeki bir kesik aşağıdaki örneklerde de görüldüğü gibi bu süreci kolaylaştırabilir:

sonsuz serisi tarafından tanımlanan fonksiyonu göz önüne alalım. Her karmaşık "z" sayısı için "z" = (-"z") olduğu için, "f"("z"), "z" 'nin çift fonksiyonu olacaktır. Böylece, analiz karmaşık düzlemin bir yarısında yeterli olacaktır. Seri

olduğunda tanımsız olduğu için, düzlem sanal eksen boyunca kesilir ve "z" 'nin gerçel kısmının 0 olmadığı yerde serinin yakınsaklığı kurulur.

Bu örnekte, kesik sadece uygunluk içindir çünkü sonsuz toplamın tanımsız olduğu noktalar korunmuştur ve "kesik" düzlem daha uygun "delikli" bir düzlemle değiştirilebilir. Bazı bağlamlarda, kesik gereklidir ve sadece uygun değildir. Mesela, sonsuz periyodik sürekli kesir olarak tanımlı

ele alınsın. "f"("z") ancak ve ancak "z", "z" < -¼ 'ü sağlayan negatif bir gerçel sayı olmadıkça sonlu bir sayıya yakınsar. Başka bir deyişle, bu sürekli kesir için yakınsaklık bölgesi kesiğin negatif gerçel eksen boyunca -¼ 'ten sonsuza kadar uzandığı kesik düzlemdir.

fonksiyonunun "f" 'nin tanım kümesini iki bağlantısız yaprağa bölerek nasıl tek değerli hale getirilebildiği yukarıda anlatılmıştı. Aynı zamanda, bu iki yaprağı tekrar "yapıştırıp", üzerinde "f"("z") = "z" fonksiyonun holomorf olduğu ve fonksiyonun görüntüsünün ("w" = 0 noktası dışında) tüm "w"-düzlemi olduğu bir Riemann yüzeyi oluşturulabilir. Bu, şu şekilde yapılmaktadır:

Kesik karmaşık düzlemin iki kopyasını düşünelim. Kesikler ise gerçel sayı ekseninde "z" = 0 'dan sonsuz noktasına uzansın. Bir yaprağın üzerinde 0 ≤ arg("z") < 2"π" tanımlayalım; böylece tanım gereği 1 = "e" = 1 olsun. İkinci yaprak üzerinde 2"π" ≤ arg("z") < 4"π" tanımlayalım; böylece yine tanım gereği 1 = "e" = -1 olsun. Şimdi ikinci yaprağı yukarıdan aşağıya çevirelim böylece sanal eksen ilk yaprağın sanal eksenin tersini göstersin ve gerçel eksenler de aynı yönü göstersin. Şimdi iki yaprağı "yapıştıralım" (böylece ""θ" = 0" etiketli birinci yaprağın üzerindeki kenar, ikinci yaprağın ""θ" < 4"π"" etiketli kenarına bağlı olsun ve ikinci yaprağın üzerindeki ""θ" = 2"π"" etiketli kenar birinci yaprağın üzerindeki ""θ" < 2"π"" etiketli kenara bağlı olsun. Sonuçta, üzerinde "f"("z")= "z" 'nin tek değerli ve holomorf olduğu ("z" = 0 hariç) Riemann yüzey bölgesi elde edilir.

"f" 'nin bu bölge üzerinde neden tek değerli olduğunu anlamak için, birim çember etrafında ilk yaprak üzerinde "z" = 1 'den başlayan bir döngü ele alalım. 0 ≤ "θ" < 2"π" olduğunda hala ilk yaprakta oluruz. "θ" = 2"π" olduğunda ikinci yaprağa geçeriz ve iki yaprağı birleştirdiğimiz ve bu yüzden başlangıç noktasında "θ" = 4"π" "θ" = 0 'a denk olduğu, "z" = 0 dallanma noktası etrafında ikinci bir döngü yapmak zorundayız. Başka bir deyişle, dallanma noktası etrafında "z" iki tam tur yaptıkça, "z" 'nin "w"-düzlemindeki görüntüsü sadece bir tur çemberi dolaşır.

Türevin formel tanımı

olduğunu gösterir. Bundan, "f" 'nin türevinin var olduğunu ve türevin Riemann yüzeyi üzerindeki "z" = 0 dışında her yerde sonlu olduğunu çıkarabiliriz (yani, "f", "z" = 0 dışında holomorftur).

Yukarıda tartışılan

fonksiyonu Riemann yüzeyi için oluşturulabilir? Yeniden, "z"-düzleminin iki kopyasıyla başlarız; ancak bu sefer her birisi gerçel doğru parçası boyunca, "z" = -1 'den "z" = 1 'e, kesilir – bunlar "g"("z") 'nin iki dallanma noktası olur. Bunlardan birisini yine yukarıdan aşağıya çeviririz ve böylece sanal eksenler ters yönlü olurlar. İki yaprağın karşılık gelen kenarları tekrar birleştirilir. "g" 'nin bu yüzey üzerinde tek değerli olduğu "z" = 1 merkezli birim yarıçaplı bir çember üzerinde döngü yapılarak doğrulanabilir. Birinci yapraktaki "z" = 2 noktasından başlanır ve "z" = 0 'daki kesikle karşılaşmadan çember etrafında yarım dönülür. Bu kesik bizi ikinci yaprağa gitmeye zorlar böylece "z", "z" = 1 dallanma noktası etrafında bir tam döngü, "w" ise bir yarım döngü yapmıştır. "w" 'nun işareti terse döndürülmüştür ("e" = -1 olduğundan) ve yolumuz bizi yüzeyin ikinci yaprağındaki "z" = 2 noktasına götürmüştür. Başka bir yarım tur daha yaptığımızda, "z" = 0 olduğu kesiğin diğer tarafıyla karşılaşırız ve son olarak başlangıç noktamıza ( birinci yapraktaki "z" = 2 noktasına) dallanma noktasının etrafında iki tam döngü yaptıktan sonra ulaşırız.

Bu örnekte "θ" = arg("z") 'yi etiketlemenin doğal bir yolu birinci yaprakta -"π" < "θ" ≤ "π", ikinci yaprakta "π" < "θ" ≤ 3"π" almaktır. İki yapraktaki sanal eksenler ters yönde hareket ederler böylece saat yönünün tersi anlamındaki pozitif rotasyon, kapalı bir kontür bir yapraktan diğerine geçerken, korunur (ikinci yaprak yukarıdan aşağıyadır). Bu yüzey üç boyutlu uzayda yaprakları "xy"-düzlemine paralel olacak şekilde gömülsün. O zaman yüzey içinde iki kesiğin birleştiği dikey bir delik oluşacaktır. Peki kesikler negatif eksen boyunca "z" = -1 'den sonsuza ve pozitif eksen boyunca "z" = 1 'den sonsuza ta ki kesikler birleşinceye kadar yapılırsa ne olur? Yine bir Riemann yüzeyi elde edilir ancak bu sefer "delik" yatay olur. Topolojik olarak bu iki Riemann yüzeyi birbirine denktir – ikisi de cinsi 1 olan yönlendirilebilir iki boyutlu yüzeylerdir.

Kontrol teorisinde, karmaşık düzlemin bir kullanımı ise 's-düzlemi'dir. Bir sistemin davranışını açıklayan denklemin (karakter denklemi) köklerini grafiksel olarak görüntülemek için kullanılır. Denklem normalde Laplace dönüşümünün parametresi olan 's' değişkenli bir polinom olarak ifade edilir. 's'-düzlemi denmesinin nedeni de budur.

Karmaşık düzlemin bir başka kullanımı ise Nyquizt durağanlık kriteriyle olmaktadır.

'z-düzlemi', s-düzleminin Laplace dönüşümü yerine z-dönüşümünün kullanıldığı bir ayrık-zaman versiyonudur.

Bu maddenin önceki bölümleri karmaşık düzleme karmaşık sayıların geometrik bir analoğu olarak davranmıştır. "Karmaşık düzlem"in bu tür kullanımı uzun ve matematiksel olarak zengin bir tarihe sahipse de, "karmaşık düzlem"in matematiksel kavram olarak kullanıldığı tek alan bu değildir. İhtimal dahilinde en az üç farklı anlam daha var:








SEAT Ibiza

SEAT Ibiza, İspanyol otomobil üreticisi SEAT tarafından 1984 yılından beri üretilen bir otomobildir. 30. yılında 5 milyon adeti geçmiştir ve SEAT'ın en çok satan otomobilidir. İsmini, İspanya adası İbiza'dan almıştır.

Tasarımı SEAT tarafından Italdesign, Karmann ve Porsche gibi ünlü firmalarla işbirliği ile yapılmış olsa