k ,elektrik ,manyetizma ve aerodinamik içerir.

atom spektrumları teorisi ( ve daha sonra , kuantum mekaniği ) ve lineer cebir matematiksel alanları ile neredeyse eş zamanlı olarak geliştirilen , operatörleri'nin spektral teorisi , ve daha geniş operatör cebiri , fonksiyonel analiz . göreli olmayan kuantum mekaniği'nin Schrödinger operatörlerini içerir ve atom ve molekül fiziği ile bağlantıları vardır.
Kuantum bilgi teorisi başka bir yandaldır.

özel ve genel görelilik teorileri oldukça farklı bir tür Matematik gerektirir.
kuantum alan teorisi ve diferansiyel geometri 'nde grup teorisi önemli bir rol oynamıştır 
Bu , ancak topoloji ve fonksiyonel analiz , yavaş yavaş desteklenen kozmolojik ve matematiksel tanımı hem de kuantum alan teorisi olaylarıdır.

İstatistiksel mekanik teorisi faz geçişleri içeren ayrı bir alan oluşturur .
Bu Hamilton mekaniği ( ya da kuantum sürümü ) dayanır ve yakından ilişkili olduğu daha matematiksel ergodic teorisi ve bazı bölgelerinde olasılık teorisi . 
Kombinatorik ve fizik , özellikle istatistiksel fizik arasındaki etkileşimleri vardır artmaktadır.




Nokta çarpım

Matematikte, nokta çarpım, sayıl çarpım veya skaler çarpım, değer olarak iki vektör alan ve sonuç olarak skaler bir değer döndüren işleme denir.

a = ["a", "a", … , "a"] 
b = ["b", "b", … , "b"]
şeklinde gösterilen a ve b vektörlerinin nokta çarpımı şu şekilde bulunur:

Örneğin, a=[3,-2,5] ve b=[-1,-4,2] için
a.b= (3 x -1) + (-2 x -4) + (5 x 2) = -3 + 8 + 10 = 15 sonucunu verir.




Tanjant teoremi

Trigonometride tanjant teoremi üçgenin üç kenarının uzunluğu ve açıların tanjantları arasındaki ilişki hakkında bir teoremdir.




Doğrusal denklem dizgesi

Doğrusal denklem dizgesi, birkaç tane aynı tip değişkenleri içeren birkaç tane doğrusal denklemlerin oluşturduğu topluluktur. Örneğin:

formula_1

Burada üç çeşit değişken formula_2, formula_3 ile formula_4 bulunur ve bu üç değişken üç ayrı doğrusal denklem içindedir ve böylece doğrusal denklemler (sistemi) dizge elde edilir.

Bir doğrusal dizgenin çözümü bilinmeyen değişkenlere, tüm doğrusal denklemleri aynı zamanda tatmin eden, reel sayıların tahsis edilmesidir. Yukarıdaki denklemler dizgesi için çözüm kümesi bulunur ve bu 
olur.

Doğrusal denklem dizgeleri mühendislik, fizik, kimya, bilgisayar bilimi ve ekonomide pek çok uygulama alanı bulur.

n bilinmeyen değişkenli m sayıda doğrusal denklemden oluşan bir doğrusal denklen dizgesi genel olarak şöyle yazılabilir:

formula_6

Burada formula_7 n-tane bilinmeyen "değişken"dir. formula_8 bu değişkenlerin "katsayı"larıdır. Her katsayının altında bulunan ilk sayı denklem sayısına ve ikincisi değişken tipinin sayısına tekabül eder; örneğin formula_9 üçüncü denklemdeki birinci değişken formula_2'in katsayısıdır. formula_11 terimleri ise her denklem için "sabit" terimleri verir.

Çok kere katsayılar ve bilinmeyen değişkenler reel sayılardır. Fakat ileri matematikte bunlar karmaşık sayılar, tam sayılar, polinomlar ve hatta soyut cebirsel yapılar bile olabilirler.

Bu genel doğrusal denklemler dizgesini uygun bir şekilde ifade edilmesi vektörler halinde olur: Bu ifade şeklinde her bir değişken bir doğrusal bileşimde bir ağırlık olarak bir sütun vektör ile ifade edilmektedir.

Vektör denklemine aynen tekabül eden ve matriks kullanılarak ifade edilen genel doğrusal denklemler dizgesi şu şekilde ifade edilir:

burada "A" "m"×"n" matrisi, x içinde "n" tane ifade bulunan bir sütun vektörü ve "b" içinde "m" tane sabit ifade olan bir "sütun vektörü" olur.

Bir doğrusal denklem dizgenin çözümü, bilinmeyen değişkenlere (yani değişkenlerine) tüm doğrusal denklemleri aynı zamanda tatmin eden reel sayısal değerler tahsis edilmesidir. Tüm mümkün çözümlerin bir matematiksel kümesine çözüm kümesi adı verilir.

Bir doğrusal denklem dizgesi için üç ve sadece alternetif mümkün sonuç ortaya çıkabilir:

İki değişkenden (formula_2 ve formula_3) oluşan bir dizge için her bir denklem formula_2 ve formula_3 eksenli dikdörtgen kordinat sıstemi grafiği içinde bir doğru ile gösterilir. Bir çözüm dizgedeki tüm denklemleri tatmin etmesi gerektiği için, çözüm kümesi bu doğruların kesişme noktasıdır veya tek bir doğru ya tek bir nokta 
ya da boş küme olarak görülür.

Üç değişkenli bir dizge için her doğrusal denklem üç boyutlu bir uzayda bir düzlem olurlar ve çözüm kümesi bu düzlemlerin kesişmesidir. Böylece çözüm kümesi ya bir düzlem, ya tek bir doğru, ya tek bir nokta ya da boş küme olur. 
"n" sayıda değişken halinde, her bir doğrusal denklem bir n-boyutlu uzayda bir hiperdüzlem olarak ortaya çıkar. Çözüm kümesi bu hiperdüzlemlerin kesişmeleridir ve n-ye kadar herhangi bir boyutta düzlük olabilir.

Genel olarak, bir doğrusal denklemler dizgesinin sonucunun ne olabileceği, denklemler sayısı ile bilinmeyen değişkenler sayısı arasındaki bağlantılar tarafından belirlenir:
Aşağıdaki gösterimler iki değişkenli halde ortaya çıkabilmesi mümkün üçlü sonucu göstermektedir:

Verilen gösterimede; birinci dizgenin sonsuz sayıda çözümü bulunur; yani bunun noktaları mavi renkli doğru üzerindedir. İkinci dizgede tek bir çözüm bulunur; yani iki doğrunun kesişme noktası çözümdür. Üçüncü sistemde bulunan üç doğrunun ortaklaşa hiçbir noktaları bulunmaz.

Fakat şunu unutmamak gerekir; bütün bu sonuçlar sadece genellikle doğrudur. İki denklemeli ve iki değişkenli bir dizgenin hiçbir çözümü olmaması mümkündür; bu hal her iki doğru birbirine paralel ise ortaya çıkar. Üç denklemle iki değişkenli bir dizgenin çözümü olması mümkündür; bu hal eğer üç doğru birbiriyle tek noktada kesişirlerse ortaya çıkar. Genel olarak; bir doğrusal denklemler dizgesi beklenenden değişik davranış göstermesi eğer denklemler "doğrusal olarak bağımlı" iseler veye iki veya daha çok sayıda denklemlerin "tutarsız" olmaları halinde ortaya çıkar.

Bir doğrusal denklem dizgesinin denklemleri "bağımsızlık" niteliği, dizgede bulunan denklem eşitliklerinin hiçbiri denklemden cebirsel olarak çıkartılaması halidir. Eğer denklemler bağımsızlarsa, her bir denklem değişkenler hakkında yeni bilgi kapsamaktadır, ve bu denklemlerden herhangi birinin ortadan kaldırılması çözüm kümesinin boyutunu artır. Doğrusal denklemler için mantıksal bağımsızlık doğrusual bağımsızlık özelliğiyle ile aynıdır.

Örneğin, şu denklemler 
bağımsız değildirler; çünkü ikinci denklem birinci denklemin 2 ile çarpımı ile elde edilmiştir ve eğer bu iki denklem için grafik çizilirse iki doğru üste çakışıp tek bir doğru görüntüsü verirler.

Daha karmsaik bir örneğin için verilen denklemler dizgesi şu olsun:

Bu üç denklem dizgesi bağımsız değildir, çünkü üçüncü denklem ilk iki denklemin birbirine toplkamından elde edilmiştir. Gerçekten bu üç denklemden herhangi ikisinden üçüncü denklem çıkartılabilir ve bu üç denklemden herhangi tek bir tanesi ortadan kaldırılırsa çözüm kümesi hiç değişmeden aynı kalır. Bu üç doğru için grafik üçü de tek bir noktada kesişen üç doğru şeklindedir.

Bir doğrusal denklemler dizgesi denklemleri, eğer bir ortak çözüm varsa, "tutarlı" olur; aksi halde "tutarsız" olur. Eğer denklemler tutarlı iseler; denklemlerden bir çelişkilik ortaya çıkartmak imkanı bulunur; örneğin ifadesi gibi.

Örneğin şu denklemler

tutarsızdır. Bir çözüm bulmaya çalışmak için, söylenmeden anlaşılan "bir çözüm vardır" varsayımını yapmaktayız. Diğer bir ifade ile, birinci denklemmde bulunan formula_2 değerinin ikinci denklemde bulunan formula_2 değeri ile aynı açıkça olduğunu açıkça söylemeden varsaymaktayız (ve aynı şekilde ve aynı zamanda her iki denklemde de formula_3 aynı varsayımı yapıyoruz.) (formula_25 ıcın ikame ediliebilirlik özelliğini uyguluyarak olarak bir denklem buluruz ve bu da yanlış bir ifadededir. Bu hatalı ifade dizgenin bir çözümü olduğuna dair yaptımız varsayım ile çelişmektedir ve bundan dolayı varsayımımızın yanlış olduğu sonucu çıkmaktadır; yani doğrusal denklemler dizgesinin "hiçbir çözümü bulunmaz". Bu denklemlerin 
formula_26 düzeyindeki grafikleri birbirine parallel iki doğru halindedir.

Üç doğrusal denklemli dizgede, bu dizgedeki herhengi iki denklem birlirleriyle tutarlı olmalarıyla beraber, denklemlerin tutarsız olmaları mümkündür. Örneğin şu denklemler tutarsızdır:

Birinci ile ikinci denklemin birbiriyle toplamaları ile 
elde edilir ve bu üçüncü denkelmeden çıkartılırsa sonuç

olur. Dikkat edilirse bu denklemlerden herhangi bir iki denklemli dizgenin bir ortak çözümü vardır. Aynı olgu her türlü sayıda denkelemler dizgesinde de oluşabilir.

Genel bir sonuç olarak, eğer bir doğrusal denklemler dizgesindeki denklemlerin sol tarfındaki ifadeler doğrusal olarak bağımlı olursa ve sabit terimler bağımlılık bağlantısını tatmin etmiyorlarsa, tutarsızlık ortaya çıkar. Eğer bir doğrusal denklemler dizgesinin sol tarafındaki ifadeler doğrusal olarak bağımsızlarsa, bu dizge her zaman tutarlı olur.

Aynı değişkenleri kullanan iki değişik doğrusal denklemler dizgesinin birbirleriye denk olması için ikinci dizgede bulunan denklemlerin her birinin, birinci dizgede bulunan denklemlerden cebir kullanılarak hesaplanıp elde edilebilmesi gerekir ve bunun aksinin de doğru olması gereklidir. Birbirine denk dizgeler değişken değerleri hakkında birbirine tıpatıp aynı bilgileri vermektedirler. Özellikle, eğer iki dizgenin tıpatıp aynı çözüm kümesi bulunuyorsa iki doğrusal denklemler dizgesi birbirlerine denktirler.

Bir doğrusal denklem dizgesini çözümlemek için birkaç değişik denklem çözümleme algoritması bulunur.

Eğer çözüm kümesi sonsuz değilse, genellikle bu küme olarak ve küme notasyonu kullanarak ifade edilir. Örneğin 2, 3, 4 olan çözüm kümesi 
formula_29
olarak yazılır.

Eğer sonsuz sayıda çözüm bulunuyorsa bunu küme olarak ve küme notasyonu kullanarak ifade etmek çok güç olur. Tipik olarak değişkenlerden bazıları "bağımsız" (veya özgür veya parametre) olarak kabul edilirler ve herhangi bir değer alabilirler. Geride kalan değişkenler bağımsız değişkenlerin değerlerine bağlı olurlar.

Örneğin şu dizgeye ele alalım:

Bu dizge için çözüm kümesi şu denklemeler ile ifade edilebilir:

Burada formula_4 bağımsız değişkendir; formula_2 ve form