ısımları

şeklinde olan uygun katsayıların olduğu

ifadesi anlamına gelir. Bu yüzden,

olur ki bu da "f" 'nin Fourier seridir.

"u" ve "v" nicelikleri durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akımın iki boyutta yatay ve dikey bileşenleri olsun. Akımın sıkıştırılamaz olmasının koşulu,

olmasıdır ve akımın dönmez olmasının şartı da

olmasıdır. Bir ψ fonksiyonunun diferansiyeli

olarak tanımlanırsa, o zaman sıkıştırılamama şartı bu diferansiyel için integrallenebilme koşulu olur: Sonuçtaki fonksiyona akış fonksiyonu adı verilir çünkü bu fonksiyon akım çizgileri boyunca sabittir. ψ'nin birinci türevi

ile verilir ve sıkıştırılamama şartı ψ 'nin Laplace denklemini sağladığını gösterir. ψ 'ye eşlenik olan harmonik φ fonksiyonuna hız potansiyeli denilir. Cauchy-Riemann denklemleri

ifadesini verir.

Bu yüzden her analitik fonksiyon düzlemde durağan sıkıştırılamaz, dönmez bir akışkan akıma karşılık gelir. Gerçel kısım hız potansiyeli olurken sanal kısım akış fonksiyonu olur.

Maxwell denklemleri'ne göre, iki uzay boyutunda yer alan ve zamandan bağımsız olan bir elektrik alanı ("u","v"),

ifadesini ve ρ'nun yük yoğunluğu olduğu

ifadesini sağlar.

Birinci Maxwell denklemi

diferansiyeli için integrallenebilme koşuludur. Böylece elektrik potansiyeli olan φ

ifadesini sağlayacak şekilde inşa edilebilir.

İkinci Maxwell denklemi o zaman Poisson denklemi olarak ifade edilen

denklemini verir.

İki boyutta kullanılana benzer olarak, Laplace denklemi elektrostatik ve akışkan akımının üç boyutlu problemlerinde de kullanılabilir.

Laplace denkleminin temel çözümü, Dirac delta fonksiyonu formula_41'nın formula_42 noktasında toplanmış bir birim kaynağı gösterdiği

denklemini sağlar. Hiçbir fonksiyon bu özelliğe sahip değildir ancak yine de bu, integralleri uzay üzerinde birlik olan ve desteği (fonksiyonun sıfır olmadığı bölge) bir noktaya küçülen bir fonksiyonlar limiti olarak düşünülebilir. Temel çözümün tanımı bu yüzden, "u" 'nun Laplasyeninin kaynak noktasını çevreleyen herhengi bir hacim üzerinde integrali alındığında, o zaman 

olduğunu gösterir.

Laplace denklemi koordinatların rotasyonuyla değişmez kalır ve bu yüzden bir temel çözümün, sadece (kaynak noktasından uzaklığı gösteren) "r" 'ye bağımlı olan çözümler arasından elde edilebileceği beklenir. Hacim kaynak noktası etrafında "a" yarıçaplı bir top olarak düşünülürse, o zaman Gauss diverjans teoremi

ifadesini verir. O zaman takip eden ifade ise, kaynak noktası etrafında "r" yarıçaplı bir küre üzerindeki

ifadesidir ve bu yüzden

olur. Benzer bir hesap ise iki boyutta

olduğunu gösterir.

Bir Green fonksiyonu da bir "V" hacminin "S" sınırındaki uygun şartı sağlayan temel bir çözümdür. Örneğin, formula_49 ,

ifadelerini sağlayabilir.

Eğer "u", "V" üzerinde Poisson denkleminin herhangi bir çözümüyse

olur ve "u", "S" üzerinde "g" sınır değerlerini alır. O zaman aşağıdaki eşitlikleri veren (diverjans teoreminin bir sonucu olan) Green özdeşliğine başvurulabilir:

"u" ve "G" gösterimleri "S" üzerindeki normal türevleri ifade etmektedir. "u" ve "G" 'nin sağladığı şartlar bağlamında, bu sonuç

haline gelir.

Bu yüzden, Green fonksiyonu "f" ve "g" 'nin formula_55 noktalarındaki etkisini açıklar. "a" yarıçaplı kürenin içi düşünüldüğünde ise, Green fonksiyonu yansıtma yoluyla elde edilebilir (Sommerfeld, 1949): Kürenin merkezinden ρ kadar uzaklıkta olan "P" kaynak noktası,

uzaklıkta bulunan bir "N" noktasına yarıçapsal doğru boyunca yansıtılır.

Unutulmaması gereken nokta "P" küre içindeyse, "N" 'nin küre dışında olması gerektiğidir. O zaman Green fonksiyonu "R" 'nin "P" kaynak noktasına uzaklığı ve "T" 'nin yansıtılmış "N" noktasına olan uzaklığı gösterdiği

ifadesi tarafından verilir. Green fonksiyonu için olan bu ifadenin bir sonucu ise Poisson integral formülüdür. ρ, θ, ve φ, "P" kaynak noktası için küresel koordinatlar olsun. Burada θ dikey eksenle olan açıyı göstermektedir. (Amerikan matematik gösterimine uymaz ancak standard Avrupa ve fiziksel uygulamalarına uyum gösteren bir gösterimdir) O zaman, küre içindeki Laplace denkleminin çözümü

olarak alınırsa

tarafından verilir.

Bu formülün basit bir sonucu ise şudur: "u" harmonikse, o zaman "u" 'nun kürenin merkezindeki değerleri, "u" 'nun küre üzerindeki değerlerinin ortalama değerleridir. Bu ortalama değer özelliği ise ivedilikle sabit olmayan bir fonksiyonun maksimum değerini kürenin içinde alamayacağı sonucunu verir.






Ahmet Abi'nin Vapuru

Ahmet Kaya'nın 1995 yılının ilk aylarında Kanal D'de yayınlanan Talk Show programı. Cumartesi günleri yayınlanmıştır ve toplam 13 bölüm sürmüştür. Bu 13 bölüm boyunca Zülfü Livaneli, İbrahim Tatlıses, Arif Sağ, Serdar Ortaç gibi ünlü kişileri konuk olarak almıştır. Programında Yusuf Hayaloğlu ile birlikte şiir klipleri çekip yayınlamıştır.




Okinawa Muharebesi

Okinawa Muharebesi (Japonca: 沖縄戦 Okinawa Sen), Pasifik Savaşı'nın son aşamasında 1945 yılında Okinawa Adalarına çıkarma yapan Amerika Birleşik Devletleri ile Japon İmparatorluğu arasında meydana gelen savaştır.

Bu muharebe Japonya'da sivillerin de öldürülmüş olduğu en büyük kara savaşı ve Amerika ile Japonya arasındaki son büyük çatışma olmuştur. Deniz harekâtları 18 Mart 1945'te, Kara savaşı Amerika'nın çıkarma harekatıyla 1 Nisan'da başlamıştır. Müttefik kuvvetler 1 Nisan 1945'te Yontan ve Kadena havalanının bulunduğu yere çıkartma yapmıştır. Adanın %80'i sadece 15 günde alınmıştır. Japonlar bu muharebe sırasında Kamikazeleri çok kullanmıştır. Yamato savaş gemisi bu muharebede batmıştır. Deniz piyadeleri bu savaşın kazanılmasında önemli rol oynamış olup Shuri Kalesi gibi çok önemli noktayı ele geçirmiştir. 23 Haziran'da Japonların örgütsel direnişinin tükenmesiyle bitmiştir. Amerika'nın kullandığı kod adı "Buzdağı harekâtı (Operation Iceberg)" olup hedefi Japonya'nın ana yurduna saldırmak için gerekecek hava ve lojistik üssülerini elde etmesiydi. Bu muharebeyle beraber Pasifik Cephesi'ndeki Amerikan zaferi kesinleşmiş oldu.






Harmonik fonksiyon

Matematiğin matematiksel fizik alanında ve rassal süreçler teorisinde bir harmonik fonksiyon, R'nin "U" gibi açık bir kümesi üzerinde "f" : "U" → R şeklinde tanımlı, Laplace denklemini, yani

denklemini sağlayan iki kere türevlenebilir bir fonksiyondur. Bu denklem aynı zamanda

olarak da yazılmaktadır. Bunun haricinde bariz bir şekilde daha zayıf olan bir tanım daha vardır. Aslında, bir fonksiyon ancak ve ancak zayıf harmonikse, harmoniktir.

Harmonik fonksiyonlar aynı zamanda Laplace-de Rham operatörü formula_4 kullanılarak herhangi bir Riemann manifoldunda da tanımlanabilirler. Bu bağlamda, bir fonksiyonsa eğer
formula_5
ise "harmonik" denilir.

formula_6 denklemini sağlayan ve A formula_7 olan bir fonksiyona "altharmonik" adı verilir.

İki değişkenli harmonik fonksiyon örnekleri şunlardır:

"n" değişkenli harmonik fonksiyon örnekleri şunlardır:

Üç değişkenli harmonik fonkisyonların örnekleri formula_8 alınarak aşağıdaki tabloda verilmiştir. Harmonik fonksiyonlar tekillikleri tarafından belirlenirler. Harmonik fonksiyonların tekil noktaları aşağıda elektrostatik terminolojisi kullanılarak "yük" ve "yük yoğunluğu" olarak açıklanmıştır ve böylece karşılık gelen harmonik fonksiyon bu yük dağılımlarından dolayı elektrostatik potansiyeline oranlı olacaktır. Aşağıdaki her fonksiyon bir sabit ile çarpıldığında, döndürüldüğünde ve/veya fonksiyona bir sabit eklendiğinde yine başka bir harmonik fonksiyon verecektir. Her fonksiyonun tersi (burada ters, görüntüler metodu anlamında kullanılmıştır) küresel "ayna"da orijinal tekilliklerin görüntüsü olan tekilliklere sahip başka bir harmonik fonksiyonu verecektir.

Açık bir "U" kümesi üzerindeki harmonik fonksiyonlar kümesi Laplace operatörü Δ'nın çekirdeği olarak düşünülebilir ve bu yüzden R üzerinde bir vektör uzayıdır: Harmonik fonksiyonların toplamları, farkları ve bir katsayıyla çarpımları yine harmonik fonksiyondur.

"f" eğer "U" üzerinde harmonikse, o zaman "f" 'nin bütün kısmi türevleri yine "U" üzerinde harmoniktir. Laplace operatörü Δ ve kısmi türev operatörü bu fonksiyonlar sınıfında değişmeli olurlar.

Değişik yollarla, harmonik fonksiyonlar holomorf fonksiyonların gerçel analoglarıdır. Bütün harmonik fonksiyonlar analitiktir; yani yerel olarak kuvvet serileri olarak ifade edilebilirler. Bu, Laplasyen'in de büyük bir örneği olduğu eliptik operatörlerin genel bir gerçeğidir.

Yakınsak bir harmonik fonksiyonlar dizisinin düzgün limiti yine harmoniktir. Bu doğrudur çünkü ortalama değer özelliğini sağlayan sürekli herhangi bir fonksiyon harmoniktir. (formula_9, 0) × R üzerinde formula_10 şeklinde tanımlanmış dizi ele alınsın. Bu dizi harmoniktir ve sıfır fonksiyonuna düzgün bir şekilde yakınsar. Bununla birlikte, kısmi türevler sıfır fonksiyonuna (yani sıfır fonksiyonunun türevi olan sıfır fonksiyonuna) düzgün bir şekilde yakınsamaz. Bu örnek, limitin harmonik olduğunu tartışırken ortalama değer özelliğini ve sürekliliği göz önüne almanın önemini göstermektedir.

Holomorf herhangi bir fonksiyonun gerçel ve sanal kısmı R üzerinde harmonik fonksiyonlar verecektir. Tersine, R 'deki bir bölgede "u" gibi harmonik fonksiyonu alıp "u" 'nun "v" harmonik eşleniğine götüren ve "u+iv" 'nin holomorf olduğu bir operatör mevcuttur. "v" burada gerçel bir sabite kadar iyi tanımlıdır. Bu gerçek uygulamalarda, özellikle Hilbert dönüşümünde iyi bilinen bir gerçektir. Ayrıca, tekil integral operatörleri ile bağlantılı olarak matematiksel analizde de basit bir örnektir. Geometrik olarak, "u" ve "v" 'nin , temelde yatan holomorf fonksiyonun sıfırların uzağında "dik yörünge"ye sahip olmak bağlamında ilişkileri vardır; "u" ve "v" 'nin sabit olduğu kontürler birbirlerini dik açı ile keserler. Bu bağlamda, "u" potansiyel fonksiyon olursa ve "v" akış fonksiyonu olursa, o zaman "u+iv" de karmaşık potansiyel olur.

Harmonik fonksiyonların bazı önemli özellikleri Laplace denklemindeb çıkarılabilir.

Harmonik fonksiyonlar sonsuz kere türevlenebilirler. Aslında, harmonik fonksiyonlar gerçel analitiktir.

Harmonik fonksiyonlar şu maksimum ilkesini sağlarlar: Eğer