ğılıma uyan problemlerde olasılık bulmak için hazırlanmış referans tablosu bir sıra alt-tablodan oluşur ve her bir alt-tablo "n"/2 sayıya kadar değerle ile doldurulur. "k">"n"/2 olduğu için olasılık değeri şu formülün uygulaması ile

bulunur. Böylece aranan olasılık değeri (binom genellikle simetrik olmadığı için) tablolarda gösterilen değişik değerde "k" ve değişik değerde "p" kullanarak bulunur.

Yığmalı dağılım fonksiyonu bir tanzim edilmiş tam olmayan beta fonksiyonu kullanılması ile şöyle ifade edilebilir:

Ancak "k" 'in kesirsiz bir tam sayı ve

olması gereklidir.

Eğer "x" gerçek bir tam sayı değilse veya pozitif değerde değilse, bu ifade şu alternatif şekile getirilebilir

Eğer "k" ≤ "np" ise dağılım fonksiyonun aşağı kuyruk tarafı için yukarı sınırlar değerleri ortaya çıkartılabilir. Özellikle, önce Hoeffding'in eşitsizliği kullanılarak sınır değeri şöyle bulunur:

ve sonra Chernoff'un eşitsizliği kullanılarak şu sınır ortaya çıkartılir:

Eğer "X" binom dağılım gösteren bir rassal değişken ise, bu gerçek şöyle ifade edilir. "X" ~ B("n","p") ise, "X" in beklenen değeri

olur ve varyans değeri ise

olur.

Bu gerçeğin ispatı şöyle yapılabilir: Önce yalnız tek bir Bernoulli denemesi incelensin. Bunun sonucu ya 1 (başarı) veya 0 olabilir; bunların olasılıkları sırasıyla "p" ve 1 - "p" olur. Bu deneyin ortalamasının μ = "p" olduğu bilinmektedir. Varyans ise tanımına göre

olur. Şimdi "n" sayıda Bernoulli denemesi (yani genel bir binom dağılımı) ele aldındığı kabul edelsin. Eğer denemelerin her biri bağımsız ise, her bir denemenin varyansı diğer deneme varyanslarıyla birlikte toplamları alınırsa şu ifadeyi elde edilir:

"X" in mod değerini bulmak için bir tam sayı olan

ifadesi tanımlanır ve "X" in ("n" + 1)"p" değerinden daha eksik değerde veya ayni değerde en büyük tam sayı olduğu bilinir. Böylece hem "m" - 1 hem de "m" iki ayrı mod değeri oluştururlar.

Burada dikkat edilmesi gereken bir gerçek de binom dağılımının çift mod göstermesine rağmen her çift mod gösteren dağılımın bir binom dağılımı olmadığıdır.

Binom dağılım için ortalama ve varyans değerleri açıkca ilk tanımsal prensipler kullanılarak elde edilebilirler. Bu iki değerin ortaya çıkartılması için şu toplamlar kullanılır. Bu toplamlardaki terimlerin yerleri değiştirilerek binom olasılık kütle fonksiyonunun tümünde toplamın her zaman 1'e eşit olmasını sağlarız.

Bir ayrık rassal değişken için beklenen değer tanımını bir binom dağılım için uygulanir.

Bu seride "k"=0 indeksli birinci terimin değeri 0 'a eşittir; çünkü birinci faktör "k" sıfırdır. Bunu bertaraf edersek alt limiti "k"=1 'e indirgenmis olunur.

Faktör ifadelerinden "n" ile "k" faktörlerini çekip alırsak ve "p" için birinci üssü ayırılırsa; indekslerin yeniden tanımlanmasına hazırlanmış olur:

Yeni isim olarak "m" = "n" - 1 ve "s" = "k" - 1 kullanabilir. Bu işlem yapılması ile toplamın değeri değişmez, ama daha kolayca tanımlanan şu ifade ortaya çıkar:

Ortaya çıkan toplam bir binom dağılımının tümü için toplamdır (Olasılık kütle fonksiyonu ortaya çıktığı gibi ilk toplamdan bir sıra altdadır). Böylece

Varyans değeri şöyle tanımlanmaktadır:

(bak: varyans, 10. Varyans için hesaplama formülü):

Bu formülün kullanılışında görülmektedir ki "X" ifadesinin beklenen değerinin de hesaplanması gerekmektedir. Bu değer şu formüle göre bulununabilir:

Yukarıda ortalama formülünü elde etmeye çalışırken kullandığımız yöntemi kullanarak, "k" nin bir faktörünün değeri açığa çıkarıtılabilir ve böylece şu ifade elde edilir:

(tekrar, "m" = "n" - 1 ve "s" = "k" - 1). Bu toplamı iki değişik toplama ayırabiliriz ve her bir toplam ifadesi şöyle bulunur:

Birinci toplam yukarıda ortalama bulurken ortaya çıkardığımız ifadenin aynıdır ve "mp" değerine eşittir. İkinci toplam değer ise 1'e eşit olur.

Bu sonucu varyans için ifadenin içine koyarsak ve ortalama için ifadeyi de, yani (E("X") = "np") de, konulursa varyans için şu formülü elde edilir:

iLa

Eğer "X" ~ B("n", "p") ve "Y" ~ B("m", "p") iki bağımsız binom dağılımlı değişken iseler, o zaman "X" + "Y" toplam ifadesi de bir binom dağılımlı değişkendir. Bu toplam değişkenin dağılımı

olarak ifade edilir.

Eğer "n" yeterce büyük ise, dağılımın çarpıklığı çok bariz olmaz ve uygun bir süreklilik doğrulaması kullanılırsa, B("n","p") olarak tanımlanan bir binom dağılım yerine

ile tanımlanan bir simetrik normal dağılım çok iyi bir yaklaşık olarak kullanılabilir.

"n" değerinin yeter derecede büyük olup olmadığını tespit etmek için çeşitli amprik kurallar kullanılabilir. Bir amprik kurala göre hem "np" ve hem de "n"(1 - "p") 5'ten daha büyük olmalıdır. Fakat değişik istatistik otoriteleri değişik değerler de kabul etmektedirler; örneğin bazı kaynaklara göre gereken değerler 10'u aşmalıdır. Hangi değerlerin kullanılacağı arzu edilen yaklaşım dakikliğine bağlıdır. Çokca kullanılan diğer bir ampirik kural ise şu eşitlik ifadesinin

bulunup bulunmadığına dayanır.

Süreklilik doğrulaması operasyonunun kullanışı şu örnek ile gösterilebilir. Bir binom rassal değişken "X" için olasılığı, yani Pr("X" ≤ 8) değerini, bulmak istediği kabul edilsin. Eğer "Y" rassal değişkeninin normal yaklaşım ile verilen bir dağılımı varsa Pr("X" ≤ 8) değeri Pr("Y" ≤ 8.5) ifadesi ile yaklaşık olarak bulunabilir. Burada ikinci terime 0.5 eklenmesi (yani 8 yerine 8.5 kullanılması) süreklilik doğrulaması operasyonudur; eğer bu kullanılmasaydı, doğrulama yapılmamış normal yaklaşık değer daha az dakik sonuçlar vereceği bilinmektedir.

Büyük değerde "n" için doğru binom formülü kullanarak hesap yapılması çok büyük emek gerektirmekte olduğu için, özellikle bilgisayarların hemen el altında olmadığı günlerde, bu yaklaşım çok büyük zaman ve emek tasarrufu sağlamaktaydı. Normal dağılım ile yaklaşım ilk olarak 1733de Abraham de Moivre tarafından Şanslar için Doktrin adlı kitabında ortaya atılmıştır. Sonradan bu yaklaşımın kullanışı, B("n","p") "n" sayıda bağımsız ve tıpatıp ayni şekilde dağılım gösteren 0-1 değerli gösterge değişkeni olduğu için, merkezsel limit teoreminin bir sonucu olarak görülmektedir.

Örneğin, büyük bir anakütleden gelen "n" kişilik bir örnek alarak, bir cümle vererek bir belirli fikirin kabul edilip edilmediğini öğrenmek istediğimizi düşünelim. Bu fikri kabul edenler oranı, tabiidir ki kullanılan örneğe bağlı olacaktır. Eğer "n" sayıda kişi kapsayan birçok gerçekten rassal olan örnekleri tekrar tekrar bulunarak, bu fikri kabul edenlerin oranı ortalaması gerçek anakütle kabul edenler oranı olan "p" olan ve standard sapması

σ = ("p"(1 - "p")"n")

olan bir normal dağılım ile yaklaşım sağlanabilecektir. Örnek büyüklüğü olan "n" in büyük olma halinde yaklaşım sonucu iyi olacaktır, çünkü beklenen değerlerin bir oranı küçüldükce bilinmeyen "p" parametresini yaklaşım değeri daha dakik olmasını sağlamaktadır.

"np" çarpım ifadesi değişmeden kalırken, deneyleme sayısı sonsuzluk değerine yaklaşırsa, binom dağılımı Poisson dağılımına yaklaşım gösterir. Buna dayanarak, eğer n yeter derecede büyük ve ve p yeter derecede küçük ise, B("n","p") ile tanımlanan bir binom dağılımı yerine λ = "np" parametreli bir Poisson dağılımı yaklaşık olarak kullanılabilir. Bu yaklaşımını uygun olarak kullanılabilmesi için empirik olarak parametrelerin şu değerlere uyması gerektiği kabul edilmiştir: 


teriminin dağılım beklenen değeri 0 ve varyans değeri 1 olan bir normal dağılıma yaklaşır. (Bu Merkezsel limit teoreminin özel bir halidir.)







Düldül

Düldül, İslam halifesi Ali'nin katırıdır. Kır veya beyaz renkte olan ve genellikle dişi olduğu söylenen Düldül, Muhammed tarafından Ali'ye hediye edilmiştir. Daha sonraları klasik şövalye üçlemelerine (kahraman, kahramanın kılıcı, kahramanın atı) uygun olarak bir at şeklinde tasvir edilmiştir. Ali, Fars edebiyatı ile Türk edebiyatının klasik, tasavvufi, dini-destani metinlerinde genellikle Zülfikar adlı kılıcı ve Muhammed'in kendisine hediye ettiği Düldül isimli atıyla birlikte anılmakta ise de bu binek bir katırdır.
Kaynaklarda, Ali'nin savaşlarda ve özellikle savaş başlamadan önce yapılan mübârezelerde hasımlarını kılıcı Zülfikar ve Düldül'ün de maharetiyle alt ettiği belirtilir; bu sebeple edebî metinlerde bunlar onun âdeta ayrılmaz birer parçası olarak anılmıştır. Halk arasında Düldül güçlü, kuvvetli, çevik, zeki gibi anlamlarla özdeşleşmiştir.




Mustafa Kemal Atatürk'ün ölümü

Mustafa Kemal Atatürk'ün ölümü, sağlığı 1937 yılından itibaren bozulmaya başlayan Atatürk'ün bir yıl süren hastalığı sonrasında 10 Kasım 1938'de ölümü.

Mustafa Kemal Atatürk, 1938 başlarında iştahsızlık ve halsizlik hissetmeye başladı. Vücudunun çeşitli yerlerinde kaşıntılar meydana geliyor ve burun kanamaları güçlükle önleniyordu. Bu kaşıntıların Çankaya Köşkü'ndeki karıncalardan meydana geldiği öne sürüldü ve köşk ilaçlamaya alındı. Atatürk de özel bir kür tedavisi için Yalova Termal'e gönderildi. Termal Otel'de, 22 Ocak 1938 günü Atatürk'ü muayene eden Dr. Nihat Reşat Belger, karaciğer rahatsızlığından kuşkulandı ve Atatürk'e siroz teşhisi koydu. Doktor Belger'in mutlak surette perhiz yapmasını tavsiye ettiği Atatürk, Termal Otel'deki tedavisine bir süre daha devam etti, ancak doktorların bütün itirazlarına rağmen 1 Şubat 1938'de tedaviyi yarıda bırakarak Bursa'ya hareket etti.

Atatürk'ün sağlık durumunun ciddiyet göstermesi hükümeti de telaşlandırdı ve Başbakan Celâl Bayar, Avrupa'dan iki hekim getirilmesini önerdi. Atatürk o günlerdeki Hatay Sorunu yüzünden hastalığının dışarıda duyulmasının iyi olmayacağını düşündüğünü belirterek bunu reddetti ancak Türk doktorların kapsamlı bir muayene yapmasını kabul etti. 6 Mart 1938 günü beş doktor Çankaya Köşkü'nde Atatürk'e bir konsültasyon yaptılar ve siroz hastalığı teşhisini yinelediler. Atatürk'ün kesinlikle alkol almaması gerektiğini söyleyerek yoğun çalışma temposunu da biraz düşürmesini istediler. Atatürk bu önerilere olumlu yanıt verdi.
Bu muayeneden bir süre sonra Başbakan Celâl Bayar'ın tavsiyesi üzerine Paris Tıp Fakültesi'nden Prof. Dr. Noel Fissenger Ankara'ya davet edildi. Fissenger Atatürk'ü muayene etti ve diğer dokt