ramlama probleminin tanımlanması için en uygun ve alışılmış olan şekline "standart şekil" adı verilmektedir. Bu standart şekilde bir doğrusal programlama problemi üç özel parçadan oluşmaktadır:

Her doğrusal program problemi bir genel standart doğrusal program problemine (yani kanonik şekile) dönüştürülebilir. Matematiksel olarak bir genel standart doğrusal program problemi basitçe bir şekilde şöyle ifade edilir:


veya


veya 

Bu problem kolaylıkla matris şekline dönüştürülebilir: 

Doğrusal programlama diğer şekiller de alabilir. Bunlardan birkaç örnek verelim: minimizasyon problemleri; değişik şekillerde (formula_30 veya = halinde) verilen kısıtlamalar; negatif değişken kapsayan problem vb. Bütün bu değişik şekiller uygun dönüşümler kullanılarak standart forma dönüştürülebilirler.

Simpleks algoritmasını kullanıp çözüm bulunmaya başlanmadan önce doğrusal programlama problemlerinin "eklenmiş şekile" dönüştürülmeleri gerekir. Bu şekil için (≤ şeklinde) eşitsizlik halinde olan her kısıtlama bir negatif olmayan belirtisiz gevşeklik değişkeni eklenmesi ile eşitlik haline donüştürülür. Bu halde, doğrusal programlama problemi şu şekli alır:

Burada "x" yeni olarak ortaya çıkartılan "gevşeklik" değişkenleridir ve "Z" maksimum değeri bulunacak amaç değişkenidir.

Her dogrusal programlama problemi (ki buna "asılsal (primal)" problem adı verilir) belirli dönüşümler yapılarak bir diğer ikincil (dual) probleme çevrilebilir. Bu "ikincil" problem "asılsal" probleminin en iyi optimal değeri için bir üst sınır temin eder. Matris şekille "asılsal" problem standart şekilde şöyle ifade edilir:

Bu asıl belirtilme şekli olan "asılsal" problemine karşıt "ikincil" problem matris olarak şöyle yazılır:

Görüldüğü gibi "asılsal" problemde değişkenler "x" vektörüyle, "ikincil" problemde ise "y" vektörü ile ifade edilmektedir.

İkincillik kuramına iki genel fikir temel olmaktadır. Birine göre ikincil (dual) probleminin tekrar ikincil problemini ortaya çıkartırsak, bunun "asılsal" problemi olacağı gerçeğidir. İkinci ana fikir ise, bir "asılsal" doğrusal programlama problemi için her bir uygun çözümün bunun "ikincil" problemin amac fonksiyonunun en iyi optimal değerine bir sınır getirdiğidir. "Zayıf ikincillik teoremi", bir ikincil problemi için herhangi bir uygun çözümde bulunan amaç fonksiyonu değerinin, bu uygun çözümde asılsal problemi için amaç fonksiyonu değerinden her zaman daha büyük veya eşit olacağını önerir. "Güçlü ikincillik teoremi" ise eğer asılsal problemi için en iyi optimal çözüm , x* olarak bulunursa, o halde ikincil problem için de bir en iyi optimal çözum, y*, bulunduğunu ve bu iki optimal çözüm arasında şu bağlantı olduğunu
önerir.

Bir doğrusal programlama problemi sınırsız veya uygunsuz bulunarak çözümsüz olabilir. İkincillik teoremine göre, eğer asılsal sınırsız ise, o halde "zayıf ikincillik teoremi"ne göre, ikincil problem uygunsuzdur. Aynı şekilde, eğer ikincil problem sınırsız ise, asılsal problem uygunsuz olacaktır. Ancak hem asılsal ve hem de ikincil problemlerinin uygunsuz olmaları da mümkündür.

Eğer sadece birincil problem için en iyi optimal çözüm biliniyorsa, ikincil problem için bir en iyi optimal çözümün elde edilmesi "tamamlayıcı gevşeklik teoremi"ni kullanmak suretiyle mümkün olur. Bu teorem şunu önerir:

x = (x, x, . . ., x) birincil problem için olanaklı bir çözüm ve y = (y, y, . . . , y) ise ikincil problem için olanaklı bir çözüm olduğu kabul edilsin. (w, w, . . ., w) birincil problem icçin gevşeklik değişkenler ve (z, z, . . . , z) du bunlara karşıt ikincil problem için gevşeklik değişkenleri olsunlar. Bu halde x ve y kendileri için yukarıda anılmış problemler için en iyi optimal sonuç olmalariı, ancak ve ancak 
xz = 0, for j = 1, 2, . . . , n,
wy = 0, for i = 1, 2, . . . , m.
şartları gerçekleşirse ortaya çıkar.

Bu nedenle, eğer birincil problemdeki i'inci gevşeklik değişkeni sıfıra eşit değilse, ikincil problemde i'inci değişken değeri sıfıra eşit olur. Benzer şekilde, eğer ikincil problemdeki j'inci gevşeklik değişken sıfıra eşit değillerse, birincil problemde j'inci değişken değeri sıfıra eşittir.

Geometrik olarak, doğrusal kısıtlayıcılar olanaklı yöre adı verilen bir içbükey polihedron belirtirler. Hedef fonksiyonu da doğrusal olduğu, yani bir konveks fonksiyon olduğu, için her yöresel en iyi optimum noktası, otomatik olarak, global en iyi optimal noktası olur. Bu öneri Karush-Kuhn-Tucker teoremininin uygulanmasına göre gerçekleşir. Hedef fonksiyonunun doğrusal olması en iyi optimal çözümlerin sonlu noktalar setinin bir konveks kabuğudur ve çok defa tek bir noktadan oluşur.

En iyi optimal çözüm noktasının bulunamadığı iki özel hal bulunmaktadır. Birinci özel halde, kısıtlamalar birbirleri ile tamamiyle çelişme halindedirler (Tam çelişme halindeki iki doğrusal kısıtlamaya örnegin x ≥ 2 ve x ≤ 1 olabilir). Bu halde olanaklı yöre boştur ve hiçbir çözüm bulunmadığı için en iyi optimal sonuç da yoktur. Bu halde, doğrusal programlama problemine "olanaksız" problem adı verilir.

Doğrusal programlama problemlerinin pratik olarak çözümlenmesi için ilk kullanışlı algoritma George Dantzig ve Rand Corp. özel araştırma ekibinin ortaya attığı simpleks algoritmasıdır. Bu algoritma kısıtlamalardan ortaya çıkan düzeyleri birçok değişirli polihedron (iki değişkenli problemde "uygunluk alanı") olarak görmekte ve bu polihedronda kesişme noktalarını yani polihedron köşelerini (iki değişkenli problemde kısıtlama çizgilerinin kesişme noktalarını) birer mümkün çözüm olarak görmektedir. Bundan sonra bir köşeden başlayıp bu köşeyi tayin eden kenarlar takip edilerek amaç fonksiyonun iyileşmesini sağlayan kenarlar teşhis edilmekte; bunlardan amaç fonksiyonuna en iyi sonuç çıkaracak kenar takip edilip bir diğer polihedron köşesi bulunmaktadır. Bu yeni bulunan polihedron köşesi de aynı usul kullanılarak daha iyi bir başka köşeye gidebilme imkânı aranmaktadır. Eğer elde bulunan bir polihedron köşesinden daha iyi amaç sonuç sağlayan bir köşeye gitme imkânı yoksa, bu son köşe optimum çözum olarak kabul edilmektedir.

Genel olarak çok büyük sayıda değişkenli ve çok büyük sayıda kısıtlamalı pratik doğrusal programlama problemlerinde bu polihedron üzerinde köşeden köşeye gidiş yönteminin, eğer köşeden köşeye gidişlerin "dalgalanma"larını önlemek için özel itina gösterilirse, etkin ve global bir optimum sonuç çıkartmakta olduğu eldeki kullanma tecrübelerinden bilinmektedir. Fakat matematikçiler bilmektedirler ki bu çeşit yinelemeli (itiratif) çözüm çok büyük sayıda (hatta, üssel olarak artan sayıda) köşe incelemesi gerektirebilmektedir. Önceleri bilgisayar kullanarak bu çeşit yinelemeli çözüm problemlerinin sonlu bir zaman döneminde çözümlenemeyeceği (yani bu problemin P-karmaşıklık sınıfına dahil olduğu) şüphesi ortaya çıkmıştı. Fakat bu soruna yanıt, 1979'da "Leonid Khachiyan" adlı bir Sovyet Rus matematikçisi tarafından geliştirilen ve lineer proglamlama için ilk en-fena-halde-polinom-zaman algoritması olan elipsoid yöntemi'nin ortaya atılması ile açıklığa kavuşturulmuştur. Buna göre, "n" tane değiskeni olan ve "L" girdi "bit"leri ile enkodlanabilen bir problemin çözümlenmesi için, bu Khachiyan algoritması için "O(L)" sayısal rakamlı "O(nL)" aritmetik operasyon yapılması gerekmektedir. Bu çözümleme algoritması ("Arkadi Namirovski" tarafından önerilen "konveks optimizasyon" bulunması için kullanılan elipsoid tekniğinin), "Naum Shor" ve "D. Yudin" tarafından geliştirilmiş şekli ile uygulanmaktadır.

Fakat bu yeni algoritma doğrusal programlama üzerinde yeni matematiksel araştırmalara ilham kaynağı olmuş ve matematikçiler polihedronun sınırlarında dışından köşe köşe araştırmaya dayanan "dişsal çözüm"ler arama yerine polihedronun içinden gidişle en iyi dış koşeyi bulmaya dayanan "içsel nokta yöntemleri"ne dayanan algoritmalarla pratik cözüm usulleri geliştirmişlerdir. 1984'te "N.Karmarkar" bir "içsel nokta yöntemi" olarak doğrusal programlama problemlerinin çözümü için Karmarkar Algoritması'nı ortaya atmıştır. Bu algoritma ile Khachiyan'ın teorik en-kötü-hal-polinom sınırı formula_37 ifadesine düşürülmüştür. Böylece simpleks algoritmasına nazaran pratik çözüm performansında gelişmeler ortaya çıkmıştır.

Uy

Dogrusal programlama pratik gercekte orta donem veya uzun donem optimizasyon problemlerinin (yani yoneylem arastirmasi terimlerini kullanirsak ozel sektor veya devlet sektoru kurumlarinin taktik ve strategi problemlerinin) cozulmesi icin uygulanmaktadir. Bu tip problemlerin bulunup uygulanma alanlari cok genistir ve girdi planlamasi, uretim planlanmasi ve idaresi, insan kaynaklari planlanamsi, dagilim planlamasi ve idaresi, pazarlama planlamasi , finansman idaresi ve kontrolü alanlarinda ozellikle etkin sonuclar ortaya cikarirlar. Ozellikle buyuk tarim uretimi, ormancilik, sanayi sektoru; fabrika uretimi; petrol, gaz, elektrik, nukleeer gibi enerji uretimi ve dagilimi; kara nakliyat vasitalari, demiryolu ve hava nakliyati, telekomunukasyon, finansman saglama vb kesimlerde kullanilmaktadir.




Ambrosius Theodosius Macrobius

Ambrosius Theodosius Macrobius Roma İmparatorları Honorius ve Arcadius döneminde (395–423) yaşayıp, eserler vermiş olan Romalı Dilbilgisi uzmanı ve Neoplatonist filozof.

Macrobius (kendisinin de belirttiği gibi) Romalı değildir ancak Afrika ya da Yunan kökenli olduğuna dair kesin deliller de yoktur. Eserlerinde Yunan yazarlardan daha çok Latin yazarlarla içlidışlı olduğu görülür ve sık sık Yunan yazarları hatalı tercüme etmiştir. Bir ihtimale göre Codex Theodosianus'da 399-400 arası Hispanya'da Praetorian prefect'i, 410'da Afrika'da prokonsül'ü ve 422'de lord chamberlain olarak bahsedilen kişiyle yine 430 yılında İtalya'da praetorian prefect olarak görev yapmış olan Theodosius, Macrobius ile aynı kişilerdir. Adı geçen tarihlerde bu yüksek makamlara ancak Hristiyanlar seçilebiliyordu ve Macrobius'un eserlerinde onun Hristiyan olduğuna dair bir kanıt olmadığından erken dönem yazarlar onun Hristiyanlığının ve üstlendiği yüksek görevlerin gerçekliğini sorgulamışlardır. Günümüz bilimi onun yazdıkları