X" içindeki ilk tam sayının "n" olmasının olasılığı, "s" değeri 1'e yaklaştıkça

log("n" + 1) − log("n")

ifadesine yaklaşır.

Benford'un savının şeklinin çok daha kesinlikle açıklanması eğer sayıların "logaritma" değerlerinin ayrık tekdüze dağılım gösterdiği varsayımının gerçekte doğruluğu ile mümkün olabilir. Bu demektir ki bir sayının 100 ile 1000 arasında (yani logaritma ile 2 ile 3 arasında) olması, 10,000 ile 100,000 (logaritma ile 4 ile 5 arası) olması ile aynı olasılıktadır. Birçok veri sayılar, özellikle gelirler, hisse senedi fiyatları, diğer borsa fiyatları gibi üstel büyüme gösteren değişkenler için bu pratik gerçeklere uygun bir varsayım olacaktır.

Bunun nasıl ortaya çıktığı için bir basit örnek verilebilir. Bir nesne miktarının "üstel bir oranda büyüme" göstermesi demek bu artış haddinin bir sabit olduğunu kabul etmektir. Eğer miktarın iki misline büyümesi bir yıl gerektiriyorsa, gelecek yıl da tekrar iki misli büyüme gösterecek demektir ve bu şekilde 3. yılda da ve diğer yıllarda iki kat artma devam edip duracağı varsayılıdır. Düşünelim; her yıl iki misli artış gösteren bir nesneyi ölçmek için başlama anının sayının 100'e geldiği zaman olduğunu kabul edelim. Bütün birinci yıl sayısının ilk rakamı 1 olacaktır. İkinci yıl için ilk rakam ancak ilk yedi ay için 2 olacaktır ve diğer beş ay 3 olacaktır. Üçüncü yılda ise sayının ilk rakamı 4, 5, 6 ve 7'yi aşacak ve takip eden rakamlardan daha çok uzaklaşmaya başlayacaktır. Dördüncü yılın hemen başlarında ilk rakam 8 ve 9 değerlerini geçecektir ve miktarın değeri 1000'i aştığı zaman bu süreç yeniden başlayacaktır.

Bu örnekten kolayca görülmektedir ki eğer miktar değeri bir yıl içinde rassal zamanlarda örnek alıp ölçülürse, örnek ölçülmesinde bulunan en olabilir ilk rakam değeri 1 olacaktır. Bunu takip eden ölçmelerde değer için daha büyük ilk rakamlar bulunması, değerin daha yüksek ilk rakamlara geçiş göstermesi dolayısıyla, çok daha az olabilirlilikte bulunacaktır.

Buna göre üstel olarak büyüme gösteren miktarların ölçülmesi sonucu ele geçirilen tabloların Benford'un savı kurallarına uymaları çok imkân dahilindedir. Ancak şunu da hatırlamalıdır ki birçok halde üstel büyüme şekli göstermeyen sayılar için bile Benford'un savı uygulanabilir.

Şuna dikkatin çekilmesi gerekir ki eğer eldeki sayılar çok değişik çeşitli dağılımlardan ortaya çıkartılmışlarsa, örneğin zeka testi sonuçları, kişilerin boyları gibi değişik normal dağılım gösteren değişkenlerse, bu sav geçerli olmayacaktır. Fakat, bu rakamlar ana kaynaktan değil diğer sayılarda karışık diğer bir kaynaktan elde edilmişlerse (örneğin anket sonuçlarını 'karışık' olarak veren bir makaleden) Benford'un savı tekrar geçerli olmaya başlayacaktır. Hill [1998] matematikle ispat etmiştir ki eğer bir araştırmacı "rassal" olarak bir sıra olasılık dağılımı seçerse ve sonra da seçtiği dağılıma uyan bir sayı seçerse, sonuç olarak ortaya çıkan sayılar için Benford'un savı uygulanabilir.

1972'de Hal Varian hazırladığı bir yazıda bu savın bir ülke çapında planlama projesi için sunulan sosyo-ekonomik verilerin listesinde bir hilebazlık yapılıp yapılmadığı hakkında incelemeye baz olabileceğini iddia etmiştir. Bu açıklamaya göre uydurma istatistik yaratıcılarının kullandıkları tek sayılar bir tekdüze dağılıma yaklaşık olacaktır. Böylece kullanılan verilerin ilk rakamının frekans dağılımı ile Benford'un savına göre çıkartılan beklenen bir dağılımı karşılaştırılması herhangi bir uyuşmazlık gösteren veriyi ortaya çıkaracaktır. Sonuç olarak bu uyuşmazlık gösteren verinin uydurma olabileceği çok mümkün görülecektir; fakat bu istatisksel sonuç zayıf bir delil olduğu için mümkün hilebazlığın ispat edilmesi için daha ince ve detaylı inceleme gerekecektir.

Bu görüş benzeri bir çalışma J.Nye ve C.Moul (2007) tarafından uluslararası makroekonomik verilerin incelenmesi ile yapılmıştır. Bu çalışmada Dünya Bankası tarafından toplanan uluslararası gayrisafi millî hasıla istatistikleri incelenmiş ve çok büyük bir kısmının bu sava uygun olduğu görülmüştür. Ancak küçük bir sayıda ülkeler için, genellikle gelişmekte olan ülkeler için, gayrisafi milli hasıla istatistiklerinin bu sava uymadığı ortaya çıkmıştır. Bu sonuç asıl orijinal sayıların bürokratik ve politik karışım ile değiştirildiğine bir inanılabilir gösterge olduğu iddiasını ortaya çıkartmıştır.

Son zamanlarda Benford'un savının bu türde araştırma için diğer pratik kullanış alanları olacağı anlaşılmıştır. Bunlar arasında büyük firmaların fiyatlama stratejilerini tekelcilik yapmadıklarını savunmak için sundukları fiyat listeleri, yıllık ve diğer periyodik muhasebe hesapları sunuları, vergiden düşülebilen masraflar için sunulan veriler, hasar sigortası talepleri, yeni ilaçlar için kliniksel denemeler, seçim masraflari bildirileri, milli seçim sonucları gibi konularda incelemelerin yapılması mümkün görülmektedir ve hatta bu konu türünde bazı pratik araştırmalarin sonuçları bilimsel eser olarak yayınlanmıştır.

Ancak, bu tür uygulamaların sonuçlarını incelemek dikkat gerektirmektedir. Bir grup pratik gerçek hayat örneği bu sava uygunluk göstermeyebilir; çünkü kullanılan veri kategorisinin içindeki sayıların dağılımı rassal olarak dağılımın çarpık kuyruğunda bulunmuş olabilirler.

Benford'un savının açıkladığı gerçeğin keşfedilmesi 1881'e kadar geri gider. O tarihte bir Amerikan astronomu olan Simon Newcomb astronomi hesapları yaparken kullandığı logaritma cetvellerini ihtiva eden kitapların başlangıcındaki sayfaların sonraki sayfalardan daha çok kullanılması dolayısı ile zarar gördüğünü gözlemlenmiştir. Bu çok kullanma belirtileri sırf sayfaların çok kullanılması şeklinde ise sadece sayfa uçlarında eski izleri görünmesi beklenmekteydi; halbuki herhangi bir sayfayı kullananların sayfanın içindeki sayı satırlarına da baktıklarını, satır takip ederken bıraktıkları parmak izleri görülmesi ile açıklanmıştır.

Ancak bu hikâyenin biraz abartıcı olduğu gerçektir. Çünkü logaritma cetveli kitapları sadece logaritma değerleri değil, antilogaritmaları ve çok kere üsler, kökler, sinuslar, kosinuslar ve benzeri trigonometri cetvelleri de ihtiva etmektedir. Bununla beraber, Newcombe'un yayımladığı makale birinci rakam dağılımları hakkında ilk açıklamayı ihtiva etmekte ve ikinci rakam dağılımı hakkında da bilgileri de kapsamaktadadır. Newcomb'un yazısında, N değerde herhangi bir sayının birinci rakamının log(N+1) değerde olacağı öne sürülmektedir.
Aynı gerçek 1938'de daha geniş alanlarda bulunan veri gruplarını inceleyen fizikçi Frank Benford tarafından da tekrar keşif edilmiştir. 1996'da Ted Hill bu sonucun karışık dağılımlara da uygulanabilineceğini ispat etmiştir.

Benford'un savı Amerikan televizyon şirketi CBSin hazırladığı NUMB3RS adlı bir televizyon serisinin "The Running Man (Koşan Adam)" adlı bölümü için temel kurgu aleti olarak kullanılmıştır.







Münir Hayri Egeli

Münir Hayri Egeli (d. 1903 İstanbul, Türkiye; ö.25 Ekim 1970), Türk Yazar, sinemacı, heykeltıraş.

Atatürk’ün isteği üzerine sinema öğrenimi görmüş, onu anlatan bir film çevirmiş; yine Atatürk’ün isteği ile roman, liberetto, piyes yazmış çok yönlü bir sanatçıdır.

1903 yılında İstanbul’da dünyaya geldi. 1919’da İstanbul Muallim Mektebi’nden mezun olduktan sonra 1922’de Sorbonne Üniversitesi Psikoloji Enstitüsü’nü tamamladı. Öğrenciliği sırasında Atatürk’ün emriyle Paris Türk Haberler Bürosu'nu kurdu ve idare etti.

Yurda döndükten sonra, Ankara Maarif Müfettişliği, Trabzon Lisesi Öğretmenliği, Tayyare Cemiyeti Neşriyat Müdürlüğü, Ankara Lisesi öğretmenliği, Kocaeli, Bolu, Balıkesir Maarif Müdürlüğü, İsmet Paşa Kız Enstitüsü Müdürlüğü, Millî Temsil Akademisi (Devlet Tiyatroları) ve Güzel Sanatlar Müdürlüğü, Polis Enstitüsü Öğretmenliği yaptı.

Sinema konusunda ihtisas yapmak üzere devrin cumhurbaşkanı Mustafa Kemal arafından Almanya ve Rusya'ya gönderildi. Bu arada Atatürk’ü anlatan bir belgesel film çevirdi. Türkiye Serinofil Derneği Kurucu Rejisi, Türkiye Film Sanatçıları Cemiyeti üyesi oldu.

1932’de Atatürk’ü sembolleştiren Bayönder adlı tiyatro oyununu, 1934’de anafikri Atatürk tarafından verilen Özsoy Operası’nı yazdı. Propaganda amaçlı yazılan “İnkılap Temsilleri” yazarlarından birisi oldu.

Plastik sanatlarla da ilgilenen Münir Hayri, 1933’de Millî Eğitim Bakanı Reşit Galip Bey’in isteği üzerine Atatürk heykeli yarışmasına katıldı ve Millî Eğitim Bakanlığı’nın takdirname ve “Atatürk’e En Çok Benzeyen Heykel” ödülünü aldı.

Atatürk'ün özel mektubu ile Arjantin, Almanya, İtalya ve Rusya, Hindistan, Pakistan, Kuzey Afrika ve Avrupa ülkelerine gitti. Pakistan’da “"Nilgün"” adlı filmi çevirdi. 1961 yılında “"Kolsuz Bebek"” adlı filmi Türk sinemasında çekilen birbirinden bağımsız üç öykülü ilk film oldu.



Sinematurk.com Münir Hayri Egeli sayfası




Thurii

Thurii – (Yunanca: Θούριοι (Tourioi), bazı Latin yazarlar ve Ptolemy tarafından Thurium (Θούριον =Tourion), aynı zamanda bir süre Copia ve Copiae ve bazen de Turios olarak yazılmıştır; İtalyanca: Thurio – Magna Graecia bölgesinin bir şehri olan ve Taranto Körfezinde yer alan, bir zamanlar zenginliğiyle ünlü Sybaris kenti yakınlarında, MÖ 445 yılı dolaylarında bir Atina kolonisi olarak kurulan kent. Günümüz İtalya'sının Calabria yönetim bölgesinde bulunan Cosenza ili, Corigliano Calabro yerleşim bölgesinin Thurio adlı frazione'sinde yer alır.

Ünlü tarihçi Herodot yaşlılığında Thurii adlı bu Yunan koloni'sine çekilmiş ve kendisine "Tarihin Babası" olma ününü kazandıran eserini burada yazmıştır. Herodot MÖ 424 yılında ölmüştür.




Ege Tanman

Ege Tanman (d. 26 Şubat 1998, Bursa), Türk oyuncu.

"Kınalı Kar" adlı dizide Efe rolünü oynadı. Çağan Irmak'ın "Babam ve Oğlum" filmindeki Deniz rolüyle tanındı. Ardından, 2008'de "Çocuk" isimli filmde Hayko Cepkin ve Tuba Ünsal ile başrolleri paylaştı. 2007-2010 yılları arasında "Bez Bebek" dizisinde yer aldı. Şubat dizisinde 7 bölüm oynamıştır.Leyla ile Mecnun dizisi ile daha büyük kitle tarafından tanınmıştır. Aynı zamanda DJ'lik yapmaktadır.






Dalga





Hereti

Hereti (Gürcüce: ჰერეთი), Gürcistan’ın tarihsel ve coğr