a_5 ve formula_6 iki gerçel değişkenin, mesela "x" ve "y"'nin gerçel değerli fonksiyonları olarak yorumlanabilir.

Karmaşık analizin basit kavramları çoğunlukla gerçel analizin üstel, logaritma ve trigonometrik fonksiyonlar gibi elemanter fonksiyonlarının karmaşık bölgelere genişletilmesiyle elde edilir.

Gerçel analizde olduğu gibi, "pürüzsüz" karmaşık bir fonksiyonun, örneğin "w" = "f"("z"), kendi tanım kümesi Ω'nın belli bir noktasında türevi olabilir. Aslında, türevin tanımı olan
ifadesi bir önemli fark dışında gerçel durumdakiyle aynıdır. Gerçel analizde, limite sadece bir boyutlu sayı doğrusu üzerinde hareket edilerek yaklaşılabilir. Karmaşık analizde ise limite iki boyutlu karmaşık düzlemdeki herhangi bir yönden yaklaşılabilir.
Eğer bu limit, yani türev, Ω'daki her "z" noktası için varsa, o zaman "f"("z") Ω üzerinde türevlenebilir denilir. Her türevlenebilir fonksiyon "f"("z") aynı zamanda analitik olduğu kanıtlanabilir. Bu sonuç gerçel sayıların gerçel değerli fonksiyonları için kanıtlanan teoremden daha güçlüdür. Gerçel sayılar kalkülüsünde, tanım kümesindeki her yerde birinci türevi olan ancak ancak aynı kümenin bir veya daha fazla noktasında ikinci türevi olmayan bir "f"("x") fonksiyonu oluşturabiliriz. Ancak, karmaşık düzlemde tanımlı bir karmaşık fonksiyon belli bir komşulukta türevlenebilir ise aynı komşulukta sonsuz kere türevlenebilir olmalıdır. (Kanıt için Holomorf fonksiyonların analitikliğine bakınız.)

"f"("z")'yi oluşturan iki gerçel fonksiyonun, mesala "u"("x", "y") ve "v"("x", "y")'nin, kısmi türevlerini hesaplamak için vektör analizinin metotlarının uygulanmasıyla ve Ω içindeki bir "z" noktasına doğru giden iki yolun göz önüne alınmasıyla, türevin varlığının

ifadesinin doğruluğunu getirdiği gösterilebilir.

Bu iki ifadenin gerçel ve sanal iki kısmı birbirine eşitlenerek, Cauchy-Riemann denklemlerinin geleneksel formülasyonu elde edilir:

Bu iki kısmi türevsel denklemi sisteminin ilk önce "x" 'e göre sonra da "y" 'ye göre türevi alınırsa aşağıdaki ifadeler kolaylıkla gösterilebilir:

Başka bir deyişle, karmaşık değişkenli türevlenebilir bir fonksiyonun gerçel ve sanal kısımları harmonik fonksiyondur.

"Ayrıca bakınız": Laplace denklemi

Holomorf fonksiyonlar karmaşık düzlemin açık bir altkümesinde türevlenebilir olan karmaşık fonksiyonlardır. Karmaşık türevlenebilirlik alışılmış gerçel türevlenebilirlikten daha güçlü sonuçlara sahiptir. Örneğin, gerçel türevlenebilir fonksiyonların hepsi sonsuz kere türevlenebilir değilken holomorf fonksiyonlar sonsuz kere türevlenebilirdir. Üstel fonksiyon, trigonometrik fonksiyonlar ve tüm polinomları da içermek üzere çoğu elemanter fonksiyon holomorftur.

"Ayrıca bakınız": analitik fonksiyon, holomorf demet ve vektör demetleri.

Karmaşık analizdeki sonuçlar birkaç gruba ayrılabilir. Her grubun sonucu birikimli bir şekilde kendi grubundaki ilişkin sonuçlardan faydalanan önemli sonuçlar içerse de; yine de bu her grubun birbiriyle belli temel sonuçlar vasıtasıyla bağlantısı vardır ve bazı önemli sonuçlar da bu ana grupları temel alan sonuçlardan oluşmaktadır.

Karmaşık analizdeki önemli merkezi araçlardan biri de eğrisel integraldir. Kapalı bir yolun sınırladığı alanın içindeki her yerde holomorf olan bir fonksiyonun bu kapalı yol üzerindeki integrali sıfırdır. Bu ifade Cauchy integral teoremi olarak da bilinir. Holomorf bir fonksiyonun bir daire alanı (disk) içinde aldığı değerler bu disk üzerinde belli bir eğri (yol) integrali vasıtasıyla hesaplanabilir. Bu ifade de Cauchy integral formülü olarak bilinir.

"Ayrıca bakınız": Morera teoremi

Eğrisel integraller karmaşık düzlemde çoğu zaman karışık gerçel integralleri çözmek ve belirlemek amacıyla kullanılır ve burada da kalıntı (rezidü) teorisi diğer teoriler arasında en kullanışlı olanıdır (Kontür integral metotları'na bakınız). Bir fonksiyon belli bir noktada bir "kutup" veya "tekillik" sahibi ise, yani, bu noktada fonksiyonun değerleri birden "patlıyorsa" veya sonlu bir değer almıyorsa, o zaman bu fonksiyonun bu noktadaki rezidüsü (kalıntısı) bu kutupta hesaplanabilir ve bu rezidüler fonskiyonla alakalı eğrisel integralleri hesaplamak için kullanılabilir. Rezidü teoremi'nin güçlü olan yanı da budur. Holomorf fonksiyonların esas tekilliklerin civarındaki davranışları ise Weierstrass-Casorati teoremi vasıtasıyla tanımlanır. Sadece kutuplara sahip olup ancak esas tekilliğe sahip olmayan fonksiyonlara meromorf fonksiyon denir. Laurent serileri, Taylor serileri'ne benzer olup, fonksiyonların tekillik civarındaki davranışlarını öğrenmek için kullanılırlar.

Tüm karmaşık düzlemde holomorf olan sınırlı bir fonksiyon sabit olmalıdır. Bu ifade Liouville teoremi olarak bilinir. Bu teorem karmaşık sayılar cisminin cebirsel kapalı olduğunu ifade eden Cebirin temel teoremi'nin doğal ve kısa bir kanıtına ulaşmak için kullanılabilir.

Holomorf fonksiyonların bir diğer önemli özelliği ise basit bağlantılı bir bölgede holomorf olan bir fonksiyonun değerlerinin tamamiyle daha küçük alt bölgelerdeki değerleriyle belirlenebilmesidir. Daha büyük bölgedeki fonksiyon daha küçük bölgedeki fonksiyonun değerlerinin analitik devamı olarak adlandırılır. Bu, ilk başta sadece sınırlı bir bölgede yakınsayan sonsuz toplamlar olarak tanımlanan Riemann zeta fonksiyonu gibi bazı fonksiyonların tanımlarının hemen hemen tüm karmaşık düzleme genişletilmesine izin verir. Bazen, doğal logaritma durumunda olduğu gibi, holomorf bir fonksiyonu karmaşık düzlemdeki basit olmayan bağlantılı bir bölgeye analitik olarak devam ettirmek imkânsızdır; ancak yine de yakın bir şekilde ilişkin olan ve Riemann yüzeyi adı verilen bir yüzeye devam ettirmek imkânı da vardır.

Bunların hepsi tek değişkenli karmaşık analizde geçerlidir. Ayrıca, kuvvet serileri gibi analitik özelliklerin aynı kaldığı; ancak açıkorurluk gibi çoğu geometri özelliğinin geçerli olmadığı birden fazla karmaşık boyutta karmaşık analizin çalışıldığı zengin bir çok değişkenli karmaşık analiz dalı da mevcuttur. Tek boyutlu karmaşık analizde belki de en önemli sonuç olan ve karmaşık düzlemdeki belli bölgelerde açıkorurluk ilişkisini ifade eden Riemann tasvir teoremi daha yüksek boyutlarda geçerli değildir.







Zundert

, Hollanda'nın Kuzey Brabant vilayetinde bir belediye ve kenttir. Vincent van Gogh'un doğum yeri olduğu için ünlüdür.

Zundert, ünlü ressam Vincent van Gogh'un doğum yeri ve çocukluğunda büyüdüğü yeridir. 30 Mart 1853'te, Zundert'ın ana caddesinde (Markt 29) küçük bir evde doğdu. Eski evi artık bulunmamaktadır çünkü korunabilmesi için çok fazla yıkıktı, fakat aynı yerde doğumunu kutlayan bir plaka vardır. Mayıs 2007'de Markt 29'daki evin ve komşu evinin tamiri başladı. 2008'de tamirden sonra Vincent'ın hayatını andıran bir müze ve galeri açılacakmış.





Bireysel psikoloji

Bireysel psikoloji, Alfred Adler tarafından geliştirilen, psikanalizden ayrı olarak daha çok toplumsallık ve bütünlüğe önem veren psikolojik kuram.

Yaşamın özünde saklı olan gelişme, çaba harcama, iş görme eğilimiyle kendini açığa vuran gizemsel yaratıcı gücü kavrama arzusu, belli bir alandaki yenilgiyi bir başka alanda sağlanacak başarıyla dengeleme isteğinden doğup çıkmıştır.

"Adler", başlarda Sigmund Freud'un izleyicilerindenken, daha sonra fikir ayrılığına düşerek kendini bireysel psikolojiyi geliştirmeye adamış, Aşağılık kompleksi, Üstünlük kompleksi gibi karmaşalar öne sürmüştür. Birçok bakımdan "Freud"'un kuramına karşı geliştirdiği kavramlar vardır. 'Ego' karşısında 'benlik' gibi.


"Adler", nevroz ve psikozun temel bir özelliği olarak ele aldığı "Mesafe Sorunu"nunda, bireysel psikolojinin pratik öneminden şöyle bahseder:
""Bireyin yaşam planı ve yaşam çizgilerinin yaşama karşı, topluma karşı, toplumdan prestij kazanmak için planlarından ve grup bilincinin doğasından saptanabilen kesinlik derecesinde aranmalıdır.""

"Adler", bireysel psikolojide daha çok üç unsur üzerinde durur; eski anılar (özellikle çocukluk yılları), ailedeki yeri (kaçıncı çocuk olduğu, tek mi, ikiz mi, kalabalık bir aile mi olduğu), düş yorumları. Bunun yanında insan, toplumdan bağımsız olarak bir insan değildir. Toplumla beraber ele alınarak değerlendirilmelidir. İnsan sürekli üstünlük kurma, aşağılık duruma düşürme gibi davranışların peşindedir.

Kendi öne sürdüğü kurala göre;""ruhsal bir eylemin ya da onun yaşam planının amacı tanınınca, o zaman onu oluşturan parçaların tüm hareketlerinin hem amaç hem de planıyla çakışacağını var sayılmaz.""

Çocuğun gelişim evrelerinde kalıtımsal eksik organlara, organik sistemlere ve iç salgılama bezelerine sahip olmanın yarattığı durumun; normal bir zayıflık ve çaresizlik duygusu aşırı ölçüde şiddetlenmiş ve derinden hissedilen bir aşağılık duygusuna dönüşmesidir. Zayıflık, hastalıklı olma, sakarlık, beceriksizlik, kekemelik, konuşma bozukluğu, yatağa işeme bozuklukları görülebilir. Bunlardan ötürü ceza gören, aşağılanan ya da dışlanan çocuk toplum içinde uyumsuz hale gelir.

Yalnız bu kenara itilme duygusu fazla uzun sürmez, aşırlı duyarlılık gelişir, ruh dengesi bozulur. Bu tür çocuklarda üstünlük kurma, sahip olma, ele geçirme, her şeyi bilme arzusu önplandadır. Soylu bir kökten geldiklerine, kahraman olduklarına, benzersizliklerine inanırlar. Hep bu ve bunun gibi çabaların peşindedirler. Ele geçiremedikleri, karşılayamadıkları her arzu için daha da hırslanırlar.

Bunlara göre "Adler" şunu dile getirir: ""Aktif ve pasif niteliklerin bir karışımının her zaman bulunmasına karşın, kızsı bir boyun eğme eğiliminin oğlansı bir meydan okuma türüne dönüşmesi de söz konusudur.""

"Adler"'e göre erkek; birey olarak doğuştan gelen bir üstünlüğe sahiptir. Buna bir eşitlik ilkesi değil de, toplumun ataerkil bir yapıya sahip oluşundan dolayı inanır. Buna göre bulunduğu çevre, ailesel faktörlerden dolayı kız çocuğun aşağılık duruma düşmesi, erkek olma isteği, cinsel nitelik yönünden yanlış anlayarak tercih değişikliğine neden olur. Bunun sebebini eksiklik duygusu olarak görür.

Erkek tarafından bu eksiklik duygusu yaşandığında, kişi gelecekte aşırı hassas, alıngan, şiddete dayanan bir yaşam s