ığı objektif bir değer olarak gören ve "relatif çokluluk" olarak tayin eden frekansçı (en:frequentist) ekolüne bağlı olan istatistikçiler ile sübjektivist (veya Bayes tipi) ekolüne bağlı olan istatistikçiler arasında bu teoremin pratikte nasıl kullanılabileceği hakkında büyük bir fikir ayrılığı bulunmaktadır. Frekansçı ekolüne dahil olanlar olasılık değerlerini rastgele olaylarda meydana çıkma çokluluğuna göre veya anakütlenin altsetlerinin tam anakütleye orantısı olarak saptanması gerekeğini kabul etmektedirler. Bunlara göre yeni kanıtlar karşısında olasılık değerinin değişme imkânı yoktur. Bu nedenle frekansçı ekolü için Bayes teoremi sadece koşulluluklar arasında ilişkiyi gösterir ve bunun pratikte kullanılma gücü küçüktür. Hâlbuki sübjektivist ekolüne göre olasılık gözlemcinin sübjektif belirsizlik ifadesidir. Bu nedenle olasılık değeri sübjektif olup, yeni kanıtlar geldikçe değiştirilebileceğine inanmakta ve böylece Bayes teoremini istatistik bir incelemenin temel taşı saymaktadırlar.

Bayes teoremi bir stokastik süreç sırasında ortaya çıkan bir rastgele olay "A" ile bir diğer rastgele olay "B" (eğer B için kaybolmamış olasılık varsa) için koşullu olasılıkları ve marjinal olasılıkları arasındaki ilişkidir, yani

Bayes teoremi formülü içinde bulunan her bir terime özel isimler verilmektedir:

Bu şekildeki Bayes teoremini, fazla matematiksel olmadan, sezgiye dayanarak şöyle açıklayabiliriz: Bayes teoremi eğer "B" gözlemlenmis ise, "A" gözlemi hakkındaki inançların ne şekilde güncelleştirilebileceğini ortaya çıkartır.

Bayes teoremi olabilirlilik terimleri ile de şöyle ifade edilebilir:

Burada "L"("A"|"b") terimi verilmiş sabit "b" için "A"nin olabilirliğidir ve "L"("A"|"B")/"P"("B") orantısına bazan "standardize edilmis olabilirlilik" veya 
"normalize edilmiş olabilirlilik" adı da verilir. Böylece 

ilişkisini kullanarak Bayes teoremi ortaya çıkartılır. Bu sonucu sözcüklerle şöyle de yazabiliriz:

Daha uygun sözcüklerle 

Bu teoremi ispat etmek için koşullu olasılık tanımından başlanır. "B" olayı bilinirse "A" olayının olasılığı şöyle verilir:

Aynı şekilde "A" olayı verilmiş ise "B" olayının olasılığı şudur:

Bu iki denklem yeniden düzenlenip birbirlerine birleştirilirse,

ifadesi bulunur. Bu lemma bazen olasılıklar için "çarpım kuralı" olarak anılmaktadır.

Her iki taraf da P("B") (eğer sıfır değilse) ile bölünürse, ortaya çıkan şu ifade Bayes teoremidir:

Bayes teoremi çok kere daha ek kavramlar eklenerek, sanki daha "süslü" olarak, ifade de edilir.
Bunun için önce şu ifade kullanılır:

Burada "A" (çok kere "A olmayan" olarak ifade edilen) "A" olayının tamamlayıcısı olur. Bu Bayes teoremi formulüne konulunca Bayes teoremi için yeni alternatif bir formül elde edilir:

Daha genel olarak, {"A"} olay uzayının bir bölüntüsünü oluşturduğu göz önüne alınca, bu bölüntü içinde bulunan herhangi bir "A" için şu ifade elde edilir:

Toplam olasılık yasası maddesine de bakınız.

Bayes teoremi çok daha düzgünce bir olabilirlik orantısı olan λ ile göreceli olasılıklar oranı veya bahis oranı olan
"O" terimleri ile şöyle ifade edilir:

Burada 
"B" verilimişse "A" olayının "göreceli olasılıklar oranı" veya "bahis oranı" ;
"A" kendi bahis oranı ve
"olabilirlik orantısı" olur.

Bayes teoreminin sürekli olasılık dağılımlarına uygun olan bir şekli de vardır. Olasılık yoğunluk fonksiyonları tıpatıp olasılık olmadıkları için bu şeklin ispatı biraz daha karmaşıktır. Bu şekilde Bayes theoremi bir limit işlemin geliştirilmesi sonucu ile ortaya çıkarlar..

Buna benzer olan bir diğer ifade de toplam olasılık yasası için şöyle ortaya çıkartılabilir:

Aynı genel aralıklı hâl gibi bu formülde bulunan parçalara da özel isimler verilmiştir:

Dikkat edilirse burada biraz alışılmış notasyon karışıklığı kavramına kendimizi kaptırdık. Burada her bir terim icin "f" notasyonu kullanıldı ama gerçekte bunların hepsi değişik birer fonksiyonlardir. Burada verilen hali ile fonksiyonların birbirinden değişik oldukları ancak içlerinde bulunan terimlerin farklı olmaları ile anlaşılabilmektedir.

Olasılık uzayında verilmiş olan iki mutlak sürekli olasılık ölçümleri formula_18 
formula_19 ve bir sigma-cebiri formula_20 olsun. Bu halde formula_21-ölçülmeli rassal değişken formula_22
için soyut Bayes teorem şöyle ifade edilir:

Bu formülasyon şekli Kalman filtreleme tekniğinde Zekai denklemleri bulmak için kullanılır. Bu şekil ayrıca finansman matematiği içinde numeraire değişmesi tekniklerinde uygulanır.

İkiden daha fazla değişken kapsayan problemler icin de Bayes teoremine benzer teoremler oluşturulabilir. Örneğin

Bu Bayes teoreminin ve koşullu olasılık tanımlamasının üzerine birkaç işlem yaparak ortaya çıkarılabilir:

Bu çalışmalar için uygulanacak genel strateji ortak olasılık için parçalama ile çalışmaya başlayıp ilgimizi çekmek istemediğimiz değişkenleri entregrasyon ile marginalize etmektir. Uygulanan parçalama şekline göre, bazı entegrallerin 1e eşit olup parçalama ifadesinden düşmeleri sağlanma imkânı bulunabilir; eğer bu özellik ve imkân kullanilabilirse gereken hesaplamalar çok önemli şekilde azaltılabilir. Örneğin, bir Bayes tipi şebeke için verilen spesifikasyon dolayısıyla, (geri kalan değişkenler verilmiş olurlarsa) herhangi bir değişken için koşullu olasılık, birkaç değişkenli ortak dağılımın faktorize edilmesi ile belirlenir ve bu nedenle sonucun özellikle basit bir form alması sağlanmış olur. (Markov battaniyesi maddesine bakınız.)

İki tabak dolusu bisküvi düşünülsün; tabak #1 içinde 10 tane çikolatalı bisküvi ve 30 tane sade bisküvi bulunduğu kabul edilsin. Tabak #2 içinde ise her iki tip bisküviden 20şer tane olduğu bilinsin. Evin küçük çocuğu bir tabağı rastgele seçip bu tabaktan rastgele bir bisküvi seçip alsın. Çocuğun bir tabağı diğerine ve bir tip bisküviyi diğerine tercih etmekte olduğuna dair elimizde hiçbir gösterge bulunmamaktadır. Çocuğun seçtiği bisküvinin sade olduğu görülsün. Çocuğun bu sade bisküviyi tabak #1 den seçmiş olmasının olasılığının ne olacağı problemi burada incelenmektedir.

Sezgi ile, tabak #1de sade bisküvi sayısının çikolatalı bisküvi sayısına göre daha fazla olduğunu göz önüne alınırsak incelenen olasılığın %50den daha fazla olacağı hemen algılanır. Bu soruya cevap Bayes teoremi kullanarak kesin olarak verilebilir.

Önce soruyu değiştirip Bayes teoremi uygulanabilecek şekle sokmak gerekmektedir: Çocuğun bir sade bisküvi seçmiş olduğu bilinmektedir; o halde bu koşulla birlikte tabak #1den seçim yapması olasılığı ne olacaktır?

Böylece Bayes teoremi formülüne uymak için "A" olayı çocuğun tabak #1den seçim yapması; "B" olayı ise çocuğun bir sade bisküvi seçmesi olsun. İstenilen olasılık böylece Pr("A"|"B") olacaktır ve bunu hesaplamak için şu olasılıkların bulunması gerekir: 
İki tabak arasında tercih olmayıp seçimin eşit olasılığı olduğu kabul edilmektedir.

Şimdi bu açıklanan tüm olasılık değerleri Bayes teoremi formüne konulabilir:

Böylece çocuğun sade bisküvi seçimi bilindiğine göre tabak #1'den alma olasılığı %60'dır ve sezgimize göre seçtiğimiz %50'den daha büyüktür.

Koşullu olasılıkları hesaplarken her bir bağımsız değişken için her mümkün sonucun ortaya çıkma sayısını veya her sonucun relatif çoklulukunu gösteren basit bir tablo hazırlamak konuyu daha iyi anlamaya yardımcı olabilir. Bisküvi örneği için bu yöntemin kullanışını gösteren tablolar şöyle verilmiştir:

Sağdaki tablo, sol taraftaki tablo içindeki her bir hücre elemanını toplam bisküvi sayısı (yani 80) ile bölerek elde edilmiştir.

Yeni bir uyuşturucu madde testinin değerlendirilmesinde de Bayes teoremi yardımcı olabilir. Bu testin bir uyuşturucu madde sınamasında %99 kesin sonuç verdiğini kabul edelim; yani bu test bir uyuşturucu madde kullanan için %99 defa doğru olarak pozitif sonuç verecek ve uyuşturucu madde kullanmayan için negatif sonucu da %99 defa verecektir. Bu olasılıkların yüksek oluşu bu testin nispeten hatasız olduğu sonuç çıkarabilir; ancak Bayes teoremini kullanırsak bu düşüncemizin pek doğru olmadığı ortaya çıkacaktır.

Bir iş yeri çalışanlarını heroin kullanıp kullanmadıklarını sınamak istediğini ve çalışanlardan yüzde yarımının (%0,5) eroin kulladığını kabul edelim. Aradığımız netice, bir çalışan için bir test yapıldıktan ve pozitif sonuç alındıktan sonra bu çalışanın gerçekte eroin kullanıcısı olma olasılığının ne olduğunu bulmaktır.

"E" bir eroin kullanıcı olma olayı ve "N" eroin kullanıcı olmama olayı olarak gösterilsin. "+" test, pozitif sonuç göstermesi olayını belirtsin. Bu halde şunları bilmemiz gerekmektedir:
olsun; çalışanlardan yüzde yarımı (%0.5) eroin kullanıcısı olduğuna göre bu olasılık 0.005 olarak ifade edilebilinir. 

Bu bilgileri sıraladıktan sonra sınamada pozitif sonuç vermiş bir çalışanın gerçekte eroin kullanıcısı olması olasılığı şöyle bulunur:

Test yüksek oranda "+" sonuç vermesine rağmen, genel olarak eroin kullanımı çok düşük olduğundan, pozitif testli bir çalışanın gerçekte eroin kullanıcısı olması olasılığı %33 olur. Test için konu alınan olay ne kadar nadir görülmekte ise testteki pozitif sonuçların hatalı pozitif olmaları olasılığı o kadar artacaktır. Bu uyuşturucu madde sınamasında testin tekrarlamanın neden gerektirdiğini de açıklamaktadır. Aynı örnek AIDS testi ve diğer testler için de geçerlidir.

Bayes Teoreminin uygulanmaları için çok defa Bayes tipi olasılık konusunun altında bulunan felsefeyi, yani belirsizlik ve inançların dereceler ıskalası bulunduğu hakkındaki açıklamaları, kabul ederiz. Bu örneğinden başka işlemlere tabi tutulmuş örnekler Bayesci çıkarım analizinde de bulunabilir.

Bir değişken olan "A"'nin marjinal olasılık dağılımını önsel olasılık dağılım veya daha basite "önsel" olarak tanımlayalım. "B" "verisi" verilmiş olduğu halde "A" için koşullu dağılıma sonsal olasılık dağılım veya "sonsal" adı veriyoruz.

Bir referandum yapılması halini ele alalım. Bu refarendumda bir soru sorulduğu ve sadece buna "evet" veya "hayır" olarak verildiğini düşünelim. Bu refarendum sonucu için büyük bir anakütlede "evet" yanıtına oy veren kısmının toplama oranının r olduğunu kabullenel