bel kriteri veya Abel ölçütü olarak da bilinir) sonsuz bir serinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu test matematikçi Niels Abel'e ithafen bu şekilde isimlendirilmiştir. Abel testinin farklı iki çeşidi vardır – birisi gerçel sayıların serileriyle kullanılır; diğeri ise karmaşık analizdeki kuvvet serileriyle kullanılır.

Gerçel sayıların iki dizisi formula_1 ve formula_2,
şunları sağlarsa


o zaman,

serisi yakınsar.

Yine Abel testi olarak bilinen oldukça yakın ilişkili yakınsaklık testi sıklıkla bir kuvvet serisinin yakınsaklık çemberinin sınırı üzerindeki yakınsaklığını kurmak için kullanılır. Daha ayrıntılı olarak, Abel testi şunu ifade eder:

ise ve

serisi |"z"|  1 iken ıraksarsa, "n" > "m" için (yani başka bir deyişle çok büyük "n" 'ler için) {"a"} katsayıları sıfır limitine doğru monoton olarak azalan "pozitif gerçel sayılar" ise, o zaman "f"("z") 'nin kuvvet serisi birim çember üzerindeki "z" = 1 dışında her yerde yakınsaktır. Abel testi "z" = 1 olduğunda uygulanamaz; bu yüzden bu noktadaki yakınsaklık ayrı bir şekilde incelenmelidir. Abel testi aynı zamanda yakınsaklık yarıçapı "R" ≠ 1 olan bir kuvvet serisine basit bir "ζ" = "z"/"R" değişken değiştirmesiyle uygulanabilir.

Abel testinin kanıtı: "z" birim çemberin üzerinde bir nokta ve "z" ≠ 1 olsun. O zaman

olur; böylece, "p" > "q" > "m" olan herhangi iki pozitif tam sayı için

yazabiliriz. "S" ve "S" burada kısmi toplamlardır:

Ancak şimdi, |"z"| = 1 ve "a" 'ler "n" > "m" iken monoton olarak azalan pozitif gerçel sayılar olduğu için, ayrıca

yazabiliriz. Şimdi Cauchy yakınsaklık testini uygulayabiliriz ve "f"("z") 'nin kuvvet serisinin seçilmiş "z" ≠ 1 noktasında yakınsadığını söyleyebiliriz çünkü sin(½"θ") ≠ 0 sabit bir niceliktir ve "a", "q" yeterince büyük seçilerek verilmiş herhangi bir "ε" > 0 'dan daha küçük yapılabilir.






Almaşık seri testi

Matematikte almaşık seri testi (Leibniz testi, Leibniz kriteri veya alterne seri testi de denilir), sonsuz bir serinin yakınsaklığını göstermek için kullanılan bir yöntemdir. Gottfried Leibniz tarafından keşfedildiği için Leibniz ismiyle de atfedilir.

biçimindeki, bütün "a" 'lerin pozitif veya 0 olduğu bir seriye almaşık seri denilir. "a" dizisi 0'a yakınsarsa ve her "a", "a" 'den küçükse (yani "a" dizisi monoton azalan ise), o zaman seri yakınsar. Eğer "L", serinin toplamıysa yani

ise, o zaman

kısmi toplamı "L" 'ye

hatasıyla yaklaşır.

Bir serinin kısmi toplamları olan "S" 'lerin bu son koşulu seri almaşık olmadan da sağlaması gayet de mümkündür. Apaçık bir örnek için

serisi ele alınabilir.





Dini testi

Matematikte Dini ve Dini-Lipschitz testleri, bir fonksiyonun Fourier serisinin bir noktada yakınsadığını kanıtlamak için kullanılabilen oldukça kesin testlerdir. Bu testler, Ulisse Dini ve Rudolf Lipschitz'in arkasından isimlendirilmiştir.

"f", [0,2π] üzerinde bir fonksiyon, "t" bir nokta ve δ, bir pozitif sayı olsun. "t" 'deki yerel süreklilik modülüsü

ile tanımlanır. "f" burada periyodik bir fonksiyondur; yani "t" = 0 ise ve ε negatifse, o zaman şöyle tanımlarız: "f"(ε) = "f"(2π + ε).

Global sürekliklilik modülüsü (veya basitçe süreklilik modülüsü) ise

ile tanımlanır.
Bu tanımlarla esas sonuçları ifade edebiliriz.

"Teeorem (Dini testi): Bir f fonksiyonu bir t noktasında"

"eşitsizliğini sağlasın. O zaman, f 'nin Fourier serisi t 'de f(t) 'ye yakınsar."

Örneğin, teorem formula_4 iken tutar ama formula_5 iken tutmaz.

"Teorem (Dini-Lipschitz testi): Bir f fonksiyonu"

"ifadesini sağlasın. O zaman, f 'nin Fourier serisi düzgün bir şekilde f 'ye yakınsar."

Özelde, Hölder sınıfında yer alan herhangi bir fonksiyon Dini-Lipschitz testini sağlar.

Her iki test de kendi türlerinin en iyisidir. Dini-Lipschitz testi için, süreklilik modülüsü testini "o" yerine "O" ile sağlayan bir "f" fonksiyonu inşa etmek mümkündür; yani

olacak ve "f" 'nin serisi ıraksayacak şekilde. Dini testi, kesinlik ifadesi ise biraz daha uzundur. Şunu ifade eder:

olan herhangi bir Ω fonksiyonu için bir "f" fonksiyonu vardır öyle ki

ve "f" 'nin Fourier serisi 0'da ıraksar.





Dirichlet testi

Matematikte Dirichlet testi, bir serinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir ve matematikçi Johann Dirichlet'nin arkasından isimlendirilmiştir.

Gerçel sayıların iki dizisi, formula_1 veformula_2, verilsin. Bu diziler, "M" bir sabit iken aşağıdakileri sağlıyorsa

o zaman 
serisi yakınsar.

Dirichlet testinin bir sonucu

durumunda daha genel bir kullanımı olan almaşık seri testidir.

Bir diğer sonuç ise formula_1 'nin sıfıra giden azalan bir dizi olduğu her zaman formula_9 serisinin yakınsamasıdır.






Stolz-Cesàro teoremi

Matematikte, Stolz-Cesàro teoremi, bir dizinin yakınsaklığını kanıtlamak için kullanılan bir yöntemdir.

formula_1 ve formula_2 gerçel sayıların iki dizisi olsun. Varsayalım ki formula_3 pozitif, kesin artan ve sınırsızdır ve ayrıca şu limit vardır:

O zaman,

limiti de vardır ve formula_6 'ye eşittir.

Stolz-Cesàro teoremi, Cesàro ortalamasının bir genelleştirmesi gibi görülebilir ama aynı zamanda diziler için bir l'Hôpital kuralı olarak da görülebilir.

Teorem matematikçiler Otto Stolz ve Ernesto Cesàro'ya ithafen isimlendirilmiştir.





II. Yakub Bey

II. Yakub Bey 1387-1390, 1402-1411 ve 1413-1428 tarihleri arasında üç defa Germiyanoğulları Beyi oldu.

Dedesi Çahşadan Mehmed bin Yakub, annesi Germiyan emirlerinden Mübarizüddin Umur bin Savcı'nın kızı, babası Süleyman Şah, eniştesi I. Bayezid ve kardeşi Devlet Şah Hâtûn'dur. Dayısı I. Yakub Bey'in emirlerinden Yakub Bey bin Umur'dur.

Babası Süleyman Şah öldükten sonra 1387'de hükümdarlığa geçen II. Yakub Bey 1390 yılına kadar ülkeyi hiçbir savaşa sokmadan idare etti. Osmanlı Devleti'nin 1389'da Haçlılarla yaptığı I. Kosova Savaşı'na giden Osmanlı padişahı I. Murad'a diğer Anadolu beyleri gibi yardımcı asker gönderdi. Başta Karamanoğulları olmak üzere, I. Murad'ın bu savaşta ölmesinden yararlanmak isteyen diğer Anadolu beyleri gibi Yakub Bey de harekete geçti ve ilk olarak kız kardeşinin çeyizi olarak Osmanlı topraklarına katılan yerleri istilaya başladı. Yıldırım Bayezid Rumeli işini yoluna koyduktan sonra hızla Anadolu'ya geçti. Saruhan, Aydın ve Menteşe taraflarındaki olayları yatıştırdıktan sonra Karamanoğulları'nın üzerine yürüdü.

Eniştesinin iyi niyetlerle gelmediğini anlayan Yakub Bey, Yıldırım Bayezid'i bir takım hediyelerle karşıladı. Ancak Yıldırım onun bu hareketini samimi bulmadı ve kumandanı Hisar Bey ile birlikte tutuklatarak Rumeli'de İpsala Kalesi'ne hapsettiği gibi bütün Germiyan topraklarını da Osmanlı Devleti'ne kattı (1390).

Timurlenk'in 1392 ile 1396 yılları arasında Irak, Diyarbekir, Mardin taraflarını zapt edip batıya doğru harekete geçtiği anlaşılınca memleketleri Osmanlılar'ın eline geçen Anadolu Beyleri Timur'ın yanına gelerek memleketlerinin geri verilmesini istirham ettiler. Bu sıralarda Yakub Bey de bir çaresini bulup İpsala'dan bir hile ile kıyafet değiştirerek Şam taraflarına ve oradan da Timur'un yanına kaçtı (1399-1400). Yakub Bey, Yıldırım Bayezid'den şikayetçi oldu ve Timur'da onu teselli ederek memleketlerini iade edeceğini vadetti.

Timur Anadolu'ya geldiğinde Yakub Bey de beraberinde idi. Ankara Savaşı'nda Yıldırım'ın askerleri dağılmasına rağmen, kendisi vazgeçmedi ve Yakub Bey'in göstermesiyle esir edildi.
Timur, Anadolu Beyleri'nin memleketlerini kendilerine iade ettiği sırada Osmanlılar'a çeyiz olarak verilen yerler de dahil olmak üzere Germiyan memleketlerini de Yakub Bey'e iade etti. Yakub Bey'in ikinci hükümeti 1402 senesinde başlar. Ankara Savaşı'ndan sonra Timur Kütahya'ya gelmiş, ahalisine dokunmamış, yalnızca kurtuluş parası almış ve bir müddet orada kalmıştır.
Timur, Kütahya'da bulunduğu sırada Sarı Timurtaş Paşa'yı esir etmiş ve Kütahya Kalesi'nde toplanmış hazinelerine de el koymuştur. Daha sonra Timur'un adamları Bursa'yı yağmalamış; Seyyid Mehmedi Buharî, Molla Şemsüddin-i Fenari ve Mehmedi Cezerî gibi yüksek alimleri esir ederek Kütahya'ya getirmişlerdir. Bu kişiler ilim ve faziletlerinden dolayı hoş tutulmuşlardır.

Yıldırım Bayezid'in 1402 senesi Şaban ayında Akşehir'de vefatı üzerine naaşı Timurlenk tarafından oğlu Musa Çelebi ile beraber kayın biraderi Yakub Bey'e teslim edilmiştir. Yıldırım'ın naaşı sonradan kardeşi İsa Çelebi'ye karşı zafer ilan eden Çelebi Mehmed tarafından istenmiş, Yakub Bey de Musa Çelebi ile beraber cenazeyi göndermiştir.

Osmanlı şehzadelerinin mücadeleleri esnasında Yıldırım'ın büyük oğlu Emir Süleyman Çelebi, İzmir Beyi Cüneyd Bey'i yola getirmek istedi. Cüneyd Bey telaşa düşerek Konya ve Kütahya'ya kadar gelip Karaman ve Germiyanoğulları'ndan yardım istedi. Karamanoğulları otuz bin, Yakub Bey de on bin kişilik bir kuvvetle Cüneyd'e yardım ettiler. Cüneyd Bey'in de beş bin kişilik kuvveti vardı.
Emir Süleyman Çelebi Ayaslug'a (Selçuk) kadar sokuldu. Cüneyd, müttefikleri Karaman ve Germiyanoğulları'nın kendisini Emir Süleyman'a teslim edeceklerini zannederek geceleyin gizlice Emir Süleyman'a sığındı. Bu vaziyet üzerine Karaman ve Germiyan kuvvetleri telaşa düşerek bozuk düzenle geri çekildiler.

Yakub Bey memleketini kurtardıktan sonra şehzadeler mücadelesinin sonlarına doğru kız kardeşinin oğlu olan Mehmed Çelebi'yi destekleyici vaziyet almıştır. Şehzadeler mücadelesinin başlangıcında Yakup Bey, Karamanoğulları ile müttefik hareket etmiş; Eylül 1410'da Karamanoğlu Nâsıreddin Mehmed Bey'in ittifakından ayrılarak askerleri ile Çelebi Mehmed'e katılmıştır.

Yakub Bey'in Karamanoğulları ittifakından ayrılıp Osmanoğulları tarafını tutmasından dolayı Karamanoğlu Nâsıreddin Mehmed Bey, Germiyan memleketlerine saldırmış ve 1410 yılının son yarısında ilk saldırılarında bazı Germiyan şehirlerini kuşatarak yakmış sonra da çekilmiştir.

Karamanoğlu Nâsıreddin Mehmed Bey 1411 tarihinde tekrar mühim bir kuvvetle Yakub Bey üzerine yürümüş, bütün Germiyan memleketlerini elde etmiş ve Yakub Bey de kaçmıştı. Yakub Bey Karaman İstilası sebebiyle iki buçuk sene kadar memleketinden ayrı kalmak suretiyle ikinci defa hükümetinin başından ayrı