ifade edilebilir:

ve eğer metal para için bu iki sonuç eşit olabilirlikli ise o zaman bu rassal değişken için bir olasılık kütle fonksiyonu bulunur ve şöyle ifade edilir:

Bazen daha kolaylık sağlamak için bu haldeki değerler olarak ("yazı" veya "tura" kategorileri yerine) sayılar şeklinde olan bir rassal değişken tanımlanabilir. Bunu formula_3 reel rassal değişkenini kullanarak ve bunu şu şekilde tanımlayarak yapabiliriz:

ve eğer metal para için bu iki sonuç için her iki taraf eşit olabilirlikli ise o zaman olasılık kütle fonksiyonu şöyle ifade edilir:

Bir rassal ayrık rassal değişken kavramı kullanılması için diğer bir örneğin, hileli olmayan bir zar atılması ve düşen zarda üste gelen nokta sayısını görme şeklindeki deneyidir. Bu halde en basit açıklama, olası sonuçlar olan {1, 2, 3, 4, 5, 6} sayıları setinin "örnek uzayı" ve zar atınca gelen sayı X'in de rassal değişken şeklinde yapılabilir. Bu halde

Bir sürekli rassal değişken için bir örnek sonunda belli bir yöne yönelip kalan bir döner ibreli aletin ibresi ele alınabilir. Bu örneğinde rassal değişken tarafından sonuç değerler yönlerdir. Bu yönler ayrık olarak Kuzey batı, Doğu güney doğu vb. şekilde ifade edilebilirler. Fakat genellikle örnek uzayını bir rassal değişkene eşlendirilmesi yapılırken reel sayılar kullanmak daha kullanışlı olacaktır. Bunu başarmak için döner ibresini son durma yönünü Kuzey'den olan saat yönündeki açısının derece birimi ile ifade edebiliriz. Böylece rassal değişken [O, 360] aralığında herhangi bir sayı şekilde ifade edilir ve her bir mümkün sayının açıklığı rasgelirliği "eşit olasılıklı"dır. Bu halde rassal değişken X= ibre duruş açısı olur. Herhangi bir belirli sayının olasılığı 0 olur ama bir sayısal aralık için bir pozitif olasılık sayısı verilebilir. Örneğin, [0,180] arasında bir sayının gelme olasılığı ½ olur. Bu halde olasılık kütle yoğunluk fonksiyonu demeyiz ama X için olasılık yoğunluğu 1/360 olur. (0, 360) alt-seti icin olasılık bu setin ölçüsünü 1/360 ile çarpma ile elde edilir. Genel olarak, bir belirlenmemiş sürekli rassal değişken seti için olasılık yoğunluğun verilmiş set üzerinde entegrasyonunu bulmak suretiyle elde edilir.
Karışık ayrık ve sürekli rassal değişken için örneğin bir matal parayı atmak ile eğer para "yazı" gelmişse bir döner ibreli aletin ibresini döndürmek şeklinde verilebilir. Bu deneyin sonucunun matematiksel ifadesi şöyle olur: Eğer para atış "tura" gelirse X= -1; aksi halde X döner ibreli aletin ibresinin durduğunda gösterdiği yönün Kuzeye göre saat yönündeki açı değeridir. Bu ikili deney için rassal değişken değerinin -1 olma olasılığı ½ olur; diğer aralıklar için rassal değişken değerleri bir önceki deneyin sonuçlarının yarısına eşittir.

Bu halde, formula_8 bir olasılık uzayı olsun. O zaman, bir rassal değişken olan "X" formel bir tanınımla 
ölçülebilir fonksiyonu olur.

Bir yığmalı dağılım fonksiyonunu belli bir rassal değişkeni ile birlikte olduğunu düşünmek bir değişkene bir değer tahsis etmenin bir genelleştirilmesidir. Eğer yığmalı dağılım fonksiyonu sağdan sürekli bir Heaviside basamak fonksiyonu ise, o halde rassal değişken bu sıçrama için "1" olasılık değerini alır. Genel olarak, yığmalı dağılım fonksiyonu değişkenin belirli değerinde ne olasılık göstereceğini tanımlar.
Eğer 
olasılık uzayında tanımlanmış bir rassal değişken olan 
bilinmekte ise, şu şekilde soru sorulabilir: 
Bunu aynı anlamda 
olarak sorabiliriz veya matematiksel ifade ile kısaca formula_14 olarak yazabiliriz.

Bir reel değerli rassal değişken olan "X"in çıktılarının bütün değerlerinin olasılıklarının hepsinin kaydı yapılırsa "X" için olasılık dağılımı ortaya çıkar. Olasılık dağılımı "X"i tanımlamak için kullanılan belirli bir olasılık uzayını "unutur" ve sadece "X" çeşitli değerlerinin olasılığını kaydeder. Bu türlü olasılık dağılımı her zaman şu yığmalı dağılım fonksiyonu tarafından ele geçirilebilir:

ve bazen de ele geçirme bir olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılarak gerçekleştirilebilir. Ölçüm kuramında rassal değişken olan "X"i Ω üzerindeki "P" ölçüsünü R üzerinde bir "F" ölçüsüne "ileri itmek" için kullanırız.

Teorinin altında bulunan Ω olasılık uzayı rassal değişkenlerin varoluşlarını garanti etmek için , bazen de onları inşa etmek için bir teknik gereçtir. Pratikte çok defa Ω uzayı tümüyle bir tarafa bırakılır. Doğrudan doğruya R üzerine reel doğrunun tümüne 1 ölçü değeri tahsis eden bir yeni ölçü koyulur. Yani rassal değişkenler yerine olasılık dağılımları doğrudan doğruya kullanılır.

Bir rassal değişkenin olasılık dağılımı, çok kere pratikte anlanması ve uygulanması kolay olan küçük sayıda parametreler ile nitelendirilir. Örneğin, sadece "ortalama değer" olan λ değerini bilmek Poisson dağılımını bilmek için yeterlidir. Ortalama kavramı matematik teoride bir rassal değişkenin beklenen değeri olarak, yani E["X"] olarak ifade edilir. Genellikle E["f"("X")] ifadesi "f"(E["X"]) ifadesine eşit değildir. "Ortalama değer" bilinince, bu ortalama değerin "X" tipik değerlerinden ne kadar fazla uzaklıkta olduğu sorusu hemen akla gelir ve bu soruya yanıt bu rassal değişkenin standart sapması ve varyansı ile bulunur.

Matematik kuramı içinde bu (genelleştirilmiş) momentler problemi olarak bilinmektedir: Bilinmekte olan bir sınıf rassal değişkenler olan "X" için, E["f"("X")] ifadesindeki beklenen değerler ile rassal değişken "X"in dağılımını tam olarak nitelendiren bir {"f"} fonksiyonlar koleksiyonu bulunması istenmektedir.

Eğer "X" rassal değişkeni Ω üzerinde bulunursa ve "f" ölçülebilir fonksiyon R → R ise, bu halde de "Y" = "f"("X") de Ω, üzerinde bir rassal değişken olacaktır. Buna neden ölçüculebilir bir fonksiyonun kompozisyonu da ölçüulebilir olmalıdır. Bizi bir olasılık uzayi olan (Ω, P) den (R, dF)ye gitmemize izin veren yordam "Y" için dağılımı bulmak için de kullanılabilir. "Y" için yığmalı dağılım fonksiyonu

olur.

"X" reel değerli bir sürekli rassal değişken olsun ve "Y" = "X" olsun. O halde,

Eğer "y"<0, o halde

ve bu nedenle

Eğer "y" ≥ 0 ise, o zaman

olur ve bundan dolayı

formula_21 bir rassal değişken olsun ve yığmalı dağılımı şöyle ifade edilsin

Burada formula_23 sabit bir parametredir. Şimdi şu rassal değişkene,
yani formula_24 bakılsın. O zaman

Bu son ifade formula_26in yığmalı dağılımı terimleri ile şöyle hesaplanabilir:

Rassal değişkenlerin birbirlerine eşitliliği kavramı birbirlerinden değişik anlamları olan çeşitli şekillerde açıklanabilir. Bu değişik şekiller şöyle sıralanabilir: iki rassal değişkenin eşitliliği; nerede ise kesinlikle eşitliği; ortalama olarak eşitliliği; dağılım içinde eşitliliği. Bu sıralama değişik eşitlilik kavramının tarifinin artan teorik sıkılığına göre (en çok bağlayıcı tanımdan en zayıf tanıma doğru) yapılmıştır. Bu değişik eşitlilik kavramların ayrıntılı tanımları aşağıda verilmektedir.

İki rassal değişken "X" ve "Y" eğer aynı dağılım fonksiyonuna sahip iseler; yani

ise, "dağılım içinde eşitlilik" gösterirler

Birbirine eşit moment üreten fonksiyonu olan iki rassal değişken de aynı dağılımı gösterir. Örneğin, bu çeşit eşitlilik bazı fonksiyonların eşit olup olmadıklarını kontrol etmek için kullanılır bir yöntem olabilir.

Dağılım içinde eşitlilik göstermeleri için rassal değişkenlerin aynı olasılık uzayında tanımlanmalarına gerek yoktur. Dağılım içinde eşitlilik kavramı, olasılık dağılımları arasında bulunan uzaklık kavramı ile şöyle ifade edilen yakın bir ilişkisi bulunmaktadır:

Bu tanımlama Kolmogorov-Smirnov sınaması için temel teoriyi sağlar.

İki rassal değişken "X" ve "Y" için, eğer |"X" - "Y"| nin p-inci momenti sıfır ise; yani

ise "p-inci ortalama için eşitlilik" kavramı tanımı ortaya çıkar.

"p"-inci ortalama eşitlilik kavramı aynı zamanda her "r"<"p" için "r"-inci ortalama için eşitlilik anlamını içerir.

Daha önceki eşitlik tanımına benzer olarak, bu kavrama göre de iki rassal değişken arasında bir uzaklık ilişkisi şu ifade ile açıklanabilir:

İki rassal değişken "X" ve "Y" birbirine "nerede ise kesinlikle eşitliliği" sadece ve sadece iki değişken için birbirinden farklı olma olasılığı sıfır olursa, yani

olursa ortaya çıkar:

Olasılık kuramının pratik kullanılması için bu tanımlama ve bu kavrama gore iki olasılık değişkeninin birbirine eşitliliği hiç olmazsa diğer eşitlilik kavramları kadar kesindir.

Bu tanımlama şu uzaklık kavramı ile ilişkilidir:

Burada 'sup' ölçülme kuramı içindeki zorunlu üstünlük kavramını ifade eder.

Sonuncu tanıma göre ise, eğer olasılık uzaylarında fonksiyonlar olarak birbirine eşitlerse, yani

olursa, iki rassal değişken olan "X" ve "Y" birbirine "eşitt"irler.

Matematik istatistik analizinin büyük bir kısmı bazı rassal değişkenler serilerinin yakınsalama sonuçlarının geliştirilmesinden oluşmuştur. Örneğin, büyük sayılar yasası ve merkezsel limit teoremi maddelerine bakın.

Bir rassal değişken serisi olan "X"nin limitte bir rassal değişken olan "X"'e yakınsalaması değişik tanımlamalara göre değişmektedir; bunun için olasılık değişkenlerinin yakınsalaması maddesine bakın.





Kâmuran Akkor

Kâmuran Akkor; (d. 12 Ağustos 1947, İstanbul), Türk şarkıcı.

Klasik Türk müziği yorumcusu Gönül Akkor'un kız kardeşidir. 1947 yılında İstanbul'da doğmuştur. 1968 yılından başlayarak, Sezen Cumhur Önal'ın sözlerini yazdığı Aşk Eski Bir Yalan, Kime Niyet Kime Kısmet, Seni Beklerim Öptüğün Yerde ve Reyhan şarkılarının yer aldığı 45'lik plaklarıyla ülke çapında üne kavuştu. Sonraki yıllarda pop müziğini bırakarak Klasik Türk müziği yorumculuğu yapmaya başladı.

Müzisyen eşi Vasfi Uçaroğlu 2011'de hayatını kaybetti.




George Town (Penang)

George Town (), Malezya'nın Penang eyaletinin başkentidir. Şehir Penang Adası'nın kuzey doğusunda yer almaktadır. 1786 yılında, Kaptan Francis Light tarafından kurulmuş olup adını Britanya Kralı III. George'tan almaktadır, Nüfusu 2010 yılı itibarı ile 500,000'dir.

Malay Dilindeki ismi Tanjung olan şehir, 2007 yılında, Employment Conditions Abroad Limited (ECA International) tarafından iklim, hava kalitesi, altyapı, sağlık ve konut hizmetleri, güvenlik ve politika gibi unsurlar da göz ö