ntler için ve , burada çarpıma, Hamilton çarpımı () () denir, taban ögeler ve dağılımsal kanunun çarpımları ile tanımlanıyor.Dağılım kanunu onu çarpımın açılımı için olası yapar böylece bu taban ögelerin çarpımlarının bir toplamıdır. Bu aşağıdaki bağıntılarla veriliyor:
Şimdi taban elemanları kullanılarak elde etmek için yukarıda verilen kuralları çoğaltılabilir:
Hnın 1, "i", "j", "k" tabanları kullanılıyor dört katının bir kümesi olarak H yazmak için mümkün kılar:
ise taban ögeleri:
ve toplam ve çarpım için formüller:

bir karmaşık analizin fonksiyonları gibi, bir dördey değişkenin fonksiyonları kullanışlı fizik modelleri önerir.Örneğin, Maxwell tarafından tanıtılan orijinal elektrik ve manyetik alanlar bir dördey değişkenin fonksiyonları idi.

bir dördey veriliyor,
üstel 
olarak hesaplanıyor ve
bir dördeyin kutupsal çözülümünü aşağıdaki gibi yazabiliriz

burada açı θ ve birim vektör formula_24 ile tanımlanıyor:
ve
Herhangi birim dördey formula_27.olan kutupsal biçim içinde ifade edilebilir

bir keyfi (gerçek) üstel formula_28 için bir yükselen dördeyin kuvveti ile veriliyor:






Leprikon (film serisi)

1993 yılında "Leprikon" ile başlayan film serisi. Başrollerinde küçük katil bir cüce olan Leprikon vardır. Toplam 7 film çekilmiştir.





Alessandra Sensini

Alessandra Sensini (d. 26 Ocak 1970, Grosseto) İtalyan rüzgâr sörfçüsüdür. Altı kez olimpiyatlara katılmış ve bir altın, bir gümüş ve iki bronz madalya kazanmıştır. Aynı zamanda dünya şampiyonalarında 3 altın ve 2 gümüş, Avrupa şampiyonalarında ise 3 altın, 2 gümüş ve 2 bronz madalya alma başarısını göstermiştir. Sensini 3 farklı rüzgâr sörfü dalında (Lechner, Mistral ve RS:X2) mücadele etmektedir.





Kemal Ahmet Arû

Kemal Ahmet Arû (1912, İstanbul - 20 Aralık 2005), Türkiye’de şehirciliğin temellerini atan mimar ve kent plancısı.

1932 yılında Galatasaray Lisesi’nden mezun olduktan sonra 1937 yılında, bugünkü adı Mimar Sinan Güzel Sanatlar Üniversitesi olan, İstanbul Devlet Güzel Sanatlar Akademisi Mimarlık Bölümü’ne girdi. 1940 yılında bugünkü adı İstanbul Teknik Üniversitesi olan Yüksek Mühendis Mektebi’nde asistanlık görevine başladı. 1942-1946 yılları arasında Clemens Holzmeister’la birlikte atölye derslerini yürüttü. 1946 yılında Ord. Prof. Dr. Gustav Oelsner ile birlikte şehircilik kürsüsünde çalışmalara başlayan Arû, bugünkü Şehircilik Bölümü'nün altyapısının oluşturmasını sağladı.

1954 yılına kadar "Oelsner"’in asistanlığının yanı sıra Yıldız Teknik Üniversitesi ve İTÜ Maçka Teknik Okulu’nda dersler verdi. 1950 yılında profesör unvanı aldıktan sonra Şehircilik kürsüsünün başkanlığına seçilen Arû, 1954–1970 yılları arasında İTÜ Mimarlık Fakültesi’nde dekanlık yaptı.

1961–1962 yıllarında Stuttgart, 1963’te Berlin ve 1967’de Viyana Teknik Üniversitesi Mimarlık Fakültesi Şehircilik kürsülerinde konuk öğretim üyesi olarak çalışan Kemal Ahmet Arû, 1967-1982 arasında da İTÜ Mimarlık Fakültesi Şehircilik Enstitüsü başkanlığı yaptı.

Eğitim alanında yaptığı çalışmaları uygulama alanında hem katıldığı yarışmalarla hem de yaptığı işlerle pratiğe döken Arû’nun ulusal birçok yarışmada birincilik ödülü var.

93 yaşında vefat eden Arû, Türkiye’de kentsel tasarıma önem verilmesini sağladı. Kentsel tasarım ve şehir planlama ilkeleriyle kentsel çevreyi bütünlük içinde ele alan Arû, deneyimleri ile yeni nesillere yol göstermek amacıyla şehircilik alanında önemli çalışmalara imza attı.

23 Aralık 2005 günü, İstanbul Teknik Üniversitesi Taşkışla yerleşkesinde saat 10:00’da düzenlenen törenin ardından Teşvikiye Camii'nde kılınan öğle namazından sonra defnedildi.









Sanal bellek

Sanal bellek, fiziksel belleğin görünürdeki miktarını arttırarak uygulama programına (izlence) fiziksel belleğin boyutundan bağımsız ve sürekli bellek alanı sağlayan bilgisayar tekniğidir. Ana belleğin, "tekerin (ikincil saklama)" "önbelleği (cache)" gibi davranmasıyla; yani teker yüzeyini belleğin bir uzantısıymış gibi kullanmasıyla gerçekleştirilir. Ancak gerçekte, yalnızca o anda ihtiyaç duyulan veri tekerden ana belleğe aktarılıyor olabilir. Günümüzde genel amaçlı bilgisayarların işletim sistemleri çoklu ortam uygulamaları, sözcük işlemcileri, tablolama izlenceleri gibi sıradan uygulamalar için sanal bellek yöntemi kullanılmaktadır.

1980lerin DOS’u veya 1960ların anabilgisayar işletim sistemleri gibi daha eski işletim sistemlerinde bu işlev bulunmamaktadır. Gömülü sistemlerde ve bazı özel amaçlı bilgisayar sistemlerinde hızlı ve uyumlu tepki zamanı gerektiğinden genellikle sanal bellek kullanılmaz.

Sanal bellek kullanımının iki temel gerekçesi vardır:

Sanal bellek tekniğiyle, "Merkezi İşlem Birimi (Central Processing Unit)" bir “sanal adres (mantıksal adres)” üretir. Sanal adreslerin oluşturduğu kümeye “adres uzayı” denir. Yazılım ve donanımın birlikte çalışmasıyla bu sanal adres, ana belleğe ulaşmak için kullanılacak bir gerçek (fiziksel) adrese dönüştürülür. Bu işleme “adres dönüştürme” (memory mapping / address translation) denir. Gerçek adreslerin oluşturduğu kümeye ise “bellek uzayı” denir.

Sanal bellek, programların çalıştırılmak üzere yüklenmesinde “yerleştirme (relocation)” tekniğini kullanarak kolaylık sağlar. Yerleştirmede programın kullandığı sanal adresler, ana belleğe erişimden önce farklı gerçek adreslere yönlendirilirler. Bu işlem, programı yüklerken ana belleğin herhangi bir yerini kullanabilmemizi sağlar.

Sayfalama durgun sanal bellek sayfalarının ikincil bellekte(teker) saklanarak daha sonra ihtiyaç duyulduğunda ana belleğe yüklenmesi işlemini içerir.

Günümüzde kullanılan sanal bellek sistemleri "alanda yerellik"ten yararlanabilmek için programları belirli boyutlarda blok kümeleri şeklinde yerleştirirler. Bu belirli boyutlardaki blok kümeleri (öbekleri) “sayfa” olarak adlandırılır. Ana belleğin sayfalarla aynı boyutlarda bloklardan oluştuğu varsayılır. Bu varsayım “sayfa çerçevesi” (page frame) olarak nitelendirilir.

Ana bellekte kullanılan gerçek adres numarası, gerçek adresin üst bölümünü, sayfa eklemesi ise gerçek adresin alt bölümünü oluşturur. Sayfa eklemesindeki bitlerin sayısı sayfanın boyutunu belirler ve değişim göstermez. Sanal adreslerle adreslenebilen sayfa sayısı gerçek adreslerle adreslenen sayfa sayısı ile örtüşmek zorunda değildir; sanal sayfa sayısının gerçek sayfa sayısının üzerinde olması sınırsız boyuttaki bellek izlenimini yaratmada esas alınan noktadır.

Herhangi bir hatayla karşılaşılmadıkça olağan sanal adres dönüştürme işlemi şu şekilde yapılır:

codice_1

MVS, z/OS ve benzeri işletim sistemlerinde bazı kısımlar sanal=gerçek biçimine (virtual=real mode )sahiptirler; yani her sanal adres gerçek bir adrese karşılık gelmektedir.Bu kısımlar:


Sanal bellekte sayfalar, belleği dizinleyen bir tablo kullanılarak yerleştirilirler. Bu yapı “sayfa tablosu (page table)” olarak adlandırılır. Bellekte tutulan sayfa tablosu sanal bellek adresinin numarasına göre dizinlenmiştir ve ona karşılık gelen gerçek sayfa numarasını içerir. Her program, sanal adres uzayını, ana bellekteki bellek uzayına dönüştüren kendine ait bir sayfa tablosuna sahiptir. Sayfa tablosu, ana bellekte mevcut olmayan sayfaların kayıtlarını da tutabilir. Her sayfa tablosunda geçerli bit (1 veya 0 ) tutulur. Eğer bu bit mantıksal sıfıra eşit ise sayfa ana bellekte mevcut değil demektir ve “sayfa hatası (page fault)” oluşur. Eğer bit mantıksal bire işaret ediyorsa sayfa ana bellekte mevcut ve geçerli bir fiziksel adrese sahip demektir.


Eğer başvurulan veri o anda ana bellekte bulunamıyorsa sayfa ana bellekte mevcut değil demektir ve “sayfa hatası (page fault)” oluşur. Sayfa hatası çok yüksek bulamama gecikmesine neden olur. Sanal bellek sistemleri tasarlanırken bu durumun yaratacağı yükü engellemek için bazı önlemler alınabilir.


Sayfa hatası meydana geldiğinde, yönetim işletim sistemine bırakılır. Bu devir "kural dışı durum (hata) işleyişi (exception mechanism)" ile gerçekleştirilir. Yönetim işletim sistemine geçtiğinde, sayfayı bir sonraki sıradüzende (genelde teker) bulmalı ve istenen sayfayı ana bellekte nereye koyacağına karar vermelidir. Sanal adres tek başına sayfanın tekerin neresinde olduğunu belirtmek için yeterli olmadığından, sanal adres uzayında bulunan her sayfanın tekerde izini sürmek gerekir. İşletim sistemi bu işlem için her sanal sayfanın tekerde nerede saklandığını kaydeden veri yapıları yaratır. Bu veri yapısı sayfa tablosunda veya ayrı bir tabloda tutulabilir. İşletim sistemi aynı zamanda her gerçek sayfanın hangi uygulamalar ve hangi sanal sayfalar tarafından kullanıldığını takip etmek üzere ayrı bir veri yapısı daha oluşturur. Ana bellekteki tüm sayfalar kullanımdayken sayfa hatası oluşması durumunda, işletim sistemi bir sayfayı değiştirmek(takas yapmak) üzere seçmelidir. Sayfa hatalarının en aza indirilmesi amaçlandığından çoğu işletim sistemi yakın bir zamanda kullanılmayacağını varsaydığı bir sayfayı seçer. İşletim sistemlerin bu varsayımları geçmiş durum değerlendirmelerine dayanarak gelecek durumun tahmin edilmesine dayanır. Bu tahminlerde kullanılan algoritmaların başında "en uzun zamandır kullanılmayan"la değiştirme "(least recently used (LRU))" gelir. İşletim sistemi en uzun zamandır kullanılmayan sayfanın daha yakın bir zamanda kullanılan sayfadan daha az gerekli olduğu varsayımı yaparak uzun zamandır kullanılmayan sayfayı istenen sayfayla değiştirmek üzere seçer.

En uzun zamandır kullanılmayan yönteminin kusursuz ve eksiksiz olarak uygulanması veri yapısının her bellek başvurusunda güncellenmesini gerektireceğinden oldukça masraflıdır. Bunun yerine birçok işletim sisteminde hangi sayfaların yakın zamanda kullanılıp hangilerinin kullanılmadığına dair iz sürülür. İşletim sisteminin yükünü hafifletmek için donanımda başvuru biti (reference/use bit) tutulabilir. Bu bit sayfanın her kullanımında kurulur. İşletim sistemi belirli aralıklarla bu bitleri temizler ve hangi sayfaların kullanılıp kullanılmadığı bilgisinin kaydını tutar. Bu bilgi ışığında, işletim sistemi bir sayfa değiştireceği zaman en uzun zamandır kullanılmayan; yani başvuru bit