-11 sezonu öncesi antrenmanlara geri dönüp, hazırlık maçlarında görev alsa da sezon boyunca sadece iki kez kadroya girip, yine formayla tanışamadı. Sadece 4 maçta hazırlık amaçlı Trabzonspor A2 forması giydi. Bir yıl daha sözleşmesi olmasına rağmen, mart ayında sözleşmesi feshedildi. İki sezonluk bu dönemde bir lig ikinciliği, bir Türkiye Kupası ve bir Süper Kupa gördü.

2011-12 sezonunda 2. Bundesliga ekibi FSV Frankfurt'a transfer oldu. 15 Temmuz 2011'de 1. FC Union Berlin ile oynanan maç ile iki yıl ara verdiği profesyonel futbola geri döndü. 30 Temmuz 2011'de Kickers Emden'i uzatmalarda 5-1 yendikleri DFB-Pokal birinci tur maçında ilk golünü kaydetti. 27 Ağustos 2011'de ise Karlsruher SC'yei 4-0 yendikleri maçta ilk lig golünü atmanın yanında, iki de asist ile yıldızlaştı. Son hafta dışında oynana 33 maçın hepsinde, 26'si ilk 11 olmak üzere, oynayan futbolcu 5 gol 7 asist yaptı. Sonraki sezon ise geçirdiği bilek burkulması nedeniyle ilk yarıda sadece 5 maça çıkabildi. Ancak bu maçlarda da 4 asist yapmayı başardı. İkinci devre ise futbola tekrar geri döndü.

Millî takım olarak Türkiye 'yi seçen Zafer, ilk kez 7 Şubat 2007 'de "Gürcistan U-21" takımıyla yapılan maçta millî olmuştur. İlk golünü ise 24 Mart 2007 tarihinde "İsviçre U-21" takımına atmıştır. U-19 Avrupa Şampiyonası elemelerinde forma giymiştir.





Patagium

Patagium, veya uçma derisi, -zarı ya da -membranı bazı omurgalılarda gelişmiş, genelde kemikten desteği olmayan, kanat gibi kullandıkları uçma derisi.

Her omurgalı sınıfında patagium geliştirmiş türler vardır. Bu uçma derisi ile gerçekten aktif uçabilen yaşayan tek tür yarasalardır, bütün diğerlerinin patagiumları sadece pasif şekilde ağaçtan ağaca uçurtma gibi süzülmeye veya paraşüt gibi kullanmaya yeterlidir. Çoğu türler süzülürken kanat çırpma hareketleri ile uçtukları mesafeyi az miktarda uzatabilirler. Patagiumun hangi vücut kısmından gelişmiş olması ve yapısı türden türe farklıdır.

Memelilerde dört ayrı patagium şekli tanılır:

Yarasalar (Chiroptera): Ön ayakların uzamış kemikleri desteğini oluşuturduğu, Epidermis ve Corium derisi ile kaplı uçma derileri vardır.

Abalı memeliler (Dermoptera): Pro-, Plagio- ve Uropatagium

Uçan sincaplar (Pteromyinae): Plagiopatagium; Pro- ve Uropatagium çok küçük.

Düzensiz kuyruklugiller (Anomaluridae): Plagio- ve Uropatagium.

Uçar kuskusgiller (Petauridae): Ön ve arka bacaklar arasında üzerinde postlu uçma derileri (Plagiopatagium).

Uçan dragon ("Draco volans"; Agamidae): Kaburga kemiklerinin uzantıları ile gerebildiği uçma derisi vücudunun yan taraflarındadır. Yassı vücudunun erodinamik yapısı ve dümen olarak kullandığı kuyruğu sayesinde aşağıya doğru süzülürken 8 metre ilerliyebilir.

Uçan balıklar (Exocoetidae): Büyük göğüs yüzgeçleri ile suyun içinde hızlanıp, sudan fırlayarak 1 m - rüzgar yardımı ile 10 m kadar yükselip havada süzülebilirler.

Endonezya uçan kurbağası (Rhacophorus): Ön ve arka bacaklarının parmakları arasında gerilen uçma derileri bulunur. Bir ağaçtan atlayınca uçma derilerini gerip havada süzülerek ilerler. Uçma derileri parmaklarında bulunduğu için, gelecekte bu türden yarasalar ve kuşlar gibi aktif ve kontröllü şekilde uçabilecek yeni türlerin oluşabilmesi mümkündür.




Cauchy-Riemann denklemleri

Matematiğin bir dalı olan karmaşık analizde Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann'a atfen Cauchy-Riemann denklemleri olarak adlandıran denklemler, türevlenebilir bir fonksiyonun açık bir kümede holomorf fonksiyon olması için gerekli ve yeterli şartları sağlayan kısmi diferansiyel denklemlerdir. Bu denklemler sistemi ilk defa Jean le Rond d'Alembert'in 1752 yılındaki çalışmasında ortaya çıkmıştır. Daha sonra, 1777 yılındaki çalışmasıyla Leonhard Euler bu sistemi analitik fonksiyonlarla ilişkilendirmiştir. Cauchy ise bu sistemi 1814'teki çalışmasındaki fonksiyonlar teorisinde kullanmıştır. Riemann'ın fonksiyonlar teorisi üzerine olan doktora tezinin tarihi ise 1851'dir.

Bir gerçel değerli fonksiyon çifti "u"("x","y") ve "v"("x","y") için yazılan Cauchy-Riemann denklemleri aşağıdaki gibidir:

ve

Genelde "u" ve "v" çifti, karmaşık değerli bir "f"("x" + i"y") = "u"("x","y") + i"v"("x","y") fonksiyonunun gerçel ve sanal kısımları olarak alınır. "u" ve "v", C 'nin açık bir kümesinde sürekli şekilde türevlenebilir bir fonksiyon olsun. O zaman, "f"="u"+i"v" ancak ve ancak "u" ve "v" Cauchy-Riemann denklemlerini ((1a)'yı ve (1b)'yi) sağlarsa, holomorftur.

Cauchy-Riemann denklemleri çeşitli yollarla genelde tekrar formüle edilirler. Birincisi,

karmaşık formunda yazılabilirler.

Bu formda, denklemler yapısal olarak Jakoben matrisinin, formula_4 ve formula_5 olacak şekilde,

formunda olmasına karşılık gelir. Bu formdaki bir matris bir karmaşık sayının matris temsilidir. Geometrik olarak, böyle bir matris her zaman homotetisi olan bir rotasyonun 
bileşkesidir ve bilhassa açıları korur. Sonuç olarak, türevi sıfırdan farklı, Cauchy-Riemann denklemlerini sağlayan bir fonksiyon düzlemdeki eğriler arasındaki açıyı korur. Yani, Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun açıkorur gönderim olması için olan koşullardır.

Denklemler bazen tek bir denklem olarak yazılır:

Burada, türev operatörü formula_8

olarak tanımlanmıştır.

Bu formda, Cauch-Riemann denklemleri ""f", formula_10 değişkeninden bağımsızdır" olarak yorumlanabilir.

Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun karmaşık türevli (veya holomorf) olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur (Ahlofors 1953, §1.2 ). Daha ayrıntılı bir şekilde,

"z" ∈ C karmaşık sayısının fonksiyonu olsun. O zaman, "f" 'nin "z" noktasında karmaşık türevi eğer limit varsa

olarak tanımlanır.

Eğer bu limit varsa, limit reel eksen veya sanal eksen boyunca "h" → 0 alınarak hesaplanabilir ve her iki durumda da aynı sonucu vermelidir. Reel eksen boyunca yaklaşılırsa

elde edilir. Diğer taraftan sanal eksen boyunca yaklaşılırsa

elde edilir. İki eksen boyunca alınan türevlerin eşitliği

ifadesini verecektir. Fark edilirse bu, "z" noktasındaki (2) nolu Cauchy-Riemann denklemidir.

Tersine, "f":C → C, R 'de türevli olarak algılanırsa, o zaman "f" ancak ve ancak Cauchy-Riemann denklemleri sağlanırsa karmaşık türevlidir.

Cauchy-Riemann denklemlerinin diğer temsilleri diğer koordinat sistemlerinde de ortaya çıkmaktadır. Sürekli şekilde türevlenebilir bir "u" ve "v" fonksiyon çifti için (1a) ve (1b) sağlanıyorsa, o zaman formula_16 'nin birim dik ve pozitif yönlü olduğu herhangi ("n"("x","y"), "s"("x","y")) koordinatı için de

eşitlikleri sağlanır. Sonuç olarak, özellikle, "z"="re" olarak verilen kutupsal koordinatlar sisteminde, denklemler

halini alır.

"f" için bu iki denklem birleştirildiğinde

elde edilir.

Homojen olmayan Cauchy-Riemann denklemleri, R 'nin açık bir altkümesinde verilmiş α("x","y") ve β("x","y") için, bilinmeyen iki gerçel değişkenli bir "u"("x","y") ve "v"("x","y") fonksiyon çiftinin iki denkleminden oluşur:

Bu denklemler genellikle bir denklemde toplanırlar ("f"="u"+i"v" ve φ=(α+iβ)/2)

Eğer φ, C ise, o zaman herhangi sınırlı bir "D" bölgesinin kapanışında φ sürekli olduğu sürece, homojen olmayan denklem "D" 'de açık olarak çözülebilir. Aslında Cauchy integral formülü kullanılarak her ζ ∈ "D" için

ifadesi elde edilir.

"f" = "u"+i"v", "f" : R → R fonksiyonu olarak karmaşık değerli, türevlenebilir bir fonksiyon olsun. O zaman Goursat teoremi, "f" 'nin açık karmaşık bir Ω bölgesinde ancak ve ancak fonksiyon Cauchy-Riemann denklemlerini sağlarsa analitik olacağını ifade eder (Rudin 1966, Teorem 11.2). Özelde, "f" 'nin sürekli türevliliği varsayılmak zorunda değildir (Dieudonné 1969, §9.10, Al. 1).

Goursat teoremi 'nin varsayımları önemli bir ölçüde zayıflatılabilir. "f"="u"+i"v" açık bir Ω kümesinde sürekliyse ve "f" 'nin Ω'da "x" ve "y" 'ye göre kısmi türevleri varsa, o halde "f" holomorftur (ve bu yüzden analitiktir). Bu sonuç Looman–Menchoff teoremi olarak bilinir.

"f" 'nin Ω üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini sağlaması varsayımı çok önemlidir. Bir noktada Cauchy-Riemann denklemlerini sağlayan ancak analitik olmayan bir fonksiyon inşa etmek mümkündür (mesela "f"("z") = "z"/|z|). Benzer bir şekilde, aşağıdaki örneğin de gösterdiği gibi, Cauchy-Riemann denklemlerinin yanında (süreklilik gibi) bazı ek varsayımlara da ihtiyaç vardır (örnek Looman 1923, sf. 107'dedir.):

Cauchy-Riemann denklemlerini sağlar ancak "z"=0 noktasında sürekli değildir.

Yine de, bir fonksiyon açık bir küme üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini zayıf bir anlamda sağlıyorsa, o zaman fonksiyon analitiktir. Daha kesin bir anlamda (Gray Morris 1978, Teorem 9),


Cauchy-Riemann denklemlerinin çok karmaşık değişkenlere uygun genelleştirmeleri de vardır. Kısmi diferansiyel denklemleri önemli bir "artık belirtilmiş sistemleri"ni oluştururlar. Çoğu zaman formüle edildiği gibi

"d-bar operatörü" holomorf fonksiyonları imha eder. Bu doğrudan

alınarak şu genelleştirmeyi yapar:






Balkan Cephesi





1989 İtalya Bisiklet Turu

1989 İtalya Bisiklet Turu 22 etap içeren bu tur, 1989 yılı 17 Mayıs-10 Haziran tarihlerinde yapıldı. Tur Fransız bisikletçi Laurent Fignon tarafından kazanıldı.

72.'si olan bu tur, toplam 3.623 km mesafeli ve hız ortalaması 38,747 km/saatti.





1990 İtalya Bisiklet Turu

1990 İtalya Bisiklet Turu 1990 yılı 18 Mayıs-6 Haziran tarihlerinde yapıldı. Tur İtalyan bisikletçi Gianni Bugno tarafından kazanıldı. Gianni Bugno "Kırmızı mayo" yu ilk etaptan son etaba kadar elinde tutmuştu.

73ncisi olan bu tur, 3.450 km mesafeli ve hız ortalaması 37,609 km/saat olup; 21 etap içeriyordu.





1991 İtalya Bisiklet Turu

1991 İtalya Bisiklet Turu 1991 yılı 26 Mayıs-16 Haziran tarihlerinde yapıldı. Tur İtalyan bisikletçi Franco Chioccioli tarafından kazanıldı.

74.'sü olan bu tur, 3.715 km mesafeli ve hız ortalaması 37,03 km/saat olup; toplam 21 etap içeriyordu.





1987 İtalya Bisiklet Turu

1987 İtalya Bisiklet Turu 22 etap içeren bu tur, 1987 yılı 21 Mayıs-13 Haziran tarihlerinde yapıldı. Tur İrlandalı bisikletçi Stephen Roche tarafından kazanıldı. 1986 İtalya Bisiklet Şampiyonluğunu elinde tutan Roberto Vi