rali veya kontür integrali almak karmaşık düzlemdeki yollar boyunca belli integralleri bulmak için kullanılan bir yöntemdir.

Kontür integralinin karmaşık analizin bir metodu olan kalıntı hesabıyla yakın bir ilişkisi vardır.

Kontür integrallerinin bir kullanımı da halihazırdaki gerçel değişken yöntemleriyle bulunamayan gerçel eksendeki integralleri bulmaktır.

Kontür integrali yöntemleri şunları içerir:


Bu integralleri veya toplamları bulmak amacıyla, bir yöntem veya bu yöntemlerin bir kombinasyonu veya çeşitli limit alma süreçleri kullanılabilir.

Dolaysız yöntemler, integralin, çok değişkenli hesaptaki integralleri hesaplamaya yarayan yöntemlere benzer yöntemlerle hesaplanmasını içerir. Bu da şu yöntemleri kullanmamız anlamına gelmektedir:

Karmaşık analizdeki temel sonuçlardan birisi de "z" in birim çember "C" etrafındaki (veya 0 etrafındaki herhangi bir Jordan eğrisi boyunca) integralinin 2πi olmasıdır. Şimdi
integralini bulalım.

Bu integrali bulmak için, kontür olarak γ("t") = "e", "t" ∈ [0, 2π] ile parametrize edebileceğimiz |"z"| = 1 birim çemberini kullanıyoruz. γ'("t") = i"e" olduğunu gözlemleyip, bunu da "z" için yerine koyarsak

elde ederiz ki bu da integralin değeridir.

İntegral teoremlerinin uygulanması genelde kontür integrallerini bir kontür boyunca bulmak için kullanılır. Bu da gerçel değerli integralin hesaplanmasının bir kontür integralini hesaplamayla aynı zamanda yapıldığı anlamına gelir.

Cauchy integral teoremi veya kalıntı teoremi gibi integral teoremler, genellikle şu yöntemde kullanılır:


Bu integrali bulmak için karmaşık değerli, "i" ve -"i" noktalarında tekillikleri olan

fonksiyonuna bakıyoruz. Bununla birlikte, gerçel değerli integrali çevreleyecek kontürü de seçmek istiyoruz; böylece solda gösterilen ve uzattığımızda tüm gerçel ekseni içerecek ("a" sonsuza gidecek) yarım çemberi seçiyoruz. Bu kontüre "C" diyelim.

Şimdi, ilerlemek için kullanabileceğimiz iki adım var: Cauchy integral formülü veya kalıntılar yöntemi.


olur ve bu yüzden

olur. Eğer "t" > 0 ise, o zaman

Bu yüzden, eğer "t" > 0 ise, o zaman

"i" yerine -"i" 'yi dolanan bir yay durumundaki benzer bir tartışma eğer "t" < 0 ise, o zaman 

olduğunu gösterir ve sonuç olarak şunu elde ederiz:

Trigonometrik fonksiyonları içeren integrallere belli yerine koymalar yapılarak bu integraller karmaşık değişkenli rasyonel fonksiyonların integrallerine dönüştürülebilir ve böylece yukarıdaki teknikler integrali bulmak için kullanılabilir.

Örnek olarak şu integrali ele alalım:

"z" = "e" yerine koymasını yapabilmeyi arıyoruz.

Şimdi, şunları hatırlayalım:

ve

"C" 'yi birim çember alarak ve yerine koymayı yaparak şunu elde ederiz:

Cauchy integral formülünü kullanıyoruz. Paydayı çarpanlarına ayıralım:

O zaman göz önüne alınması gereken tekillikler 3i ve -3i 'de olur. O zaman integral şu hale gelir:

Burada "C", 3i etrafındaki küçük çemberdir ve "C", -3"i" etrafındaki büyük çemberdir. Şimdi formülü uygulayabiliriz:

Yukarıdaki yöntem, formula_33 ve formula_34 'nun polinom olduğu

tipindeki bütün integrallere; yani trigonometrik terimler halindeki rasyonel fonksiyonların integrallerine uygulanabilir.

Burada yapılan hile formula_36, formula_37 yerine koyması yapmaktır. Bu yüzden

elde edilir. Bu yerine koyma formula_39 aralığını birim çembere gönderir. Dahası,

ve
olur ve böylece yerine koyma işleminden formula_42 değişkenli bir formula_43 rasyonel fonksiyonu ortaya çıkar ve integral
haline gelir ki bu da birim çember içindeki formula_45'nin kalıntılarının toplanmasıyla hesaplanır.

Sağdaki resim bunu şimdi hesaplayacağımız

için göstermektedir. Birinci adım şudur:

Yerine koymayla

elde edilir. Bu fonksiyonun kutupları formula_49 ve formula_50 'dedir. Bunlardan formula_51 ve formula_52 birim çemberin dışında yer alırken (kırmızı ile gösterilmiştir ancak ölçekli gösterilmemiştir), formula_53 ve formula_54 birim çemberin içinde yer alır (mavi ile gösterilmiştir). Karşılık gelen kalıntıların her ikisi de formula_55 'ye eşittir böylece integralin değeri 
olur.

integraline bakalım. Şu karmaşık integrali formüle ederek başlayabiliriz:
Yine ilişkin kalıntıları elde etmek için Cauchy integral formülü veya kalıntı teoremini kullanabiliriz. Ancak, burada dikkat edilmesi gereken nokta "z"="e" olmasıdır böylece "z" 'nin dallanma kesiği vardır. Bu da seçtiğimiz "C" kontürünü etkiler. Normalde, logaritma dallanma kesiği negatif gerçel eksen olarak tanımlanır; ancak, bu da integralin hesabını biraz daha karışık hale getirir. Bu yüzden, dallanma kesiğini pozitif eksen olarak alıyoruz.

O zaman, orijinde ε yarıçaplı bir çemberle başlayan, bu çemberden uzayarak pozitif gerçel eksene oldukça yakın ve paralel olan ancak eksene dokanmayan sonra da saat yönünün tersi yönde ufak çemberden daha büyük yarıçapta bir döngü (neredeyse tam bir çember) yapıp tekrar pozitif eksene parallel bir şekilde (ancak bu sefer negatif eksen yönünde) ufak çemberle birleşen ve "anahtar deliği kontürü" adı verilen kontürü kullanalım.

"z" = -2 ve "z" = -4 büyük çemberin içindeler. Bunlar kalan iki kutuptur ve integrandın paydasını çarpanlara ayırarak elde edilebilir. "z" = 0 'daki kutuptan orijin etrafında tur yapılarak kaçınılmıştır. 
γ, ε yarıçaplı ufak çember, Γ ise "R" yarıçaplı büyük çember olsun. O zaman,

"z" = "e" olduğu için, dallanma kesiğinin üzerindeki kontür üzerinde, γ boyunca argumentte 2π kazanılmıştır ( Euler Özdeşliğiyle, formula_60 birim vektörü temsil eder ki bu yüzden log olarak formula_61 'ye sahiptir. "z" 'nin argumentinden de kastedilen bu formula_62'dir. 1/2 katsayısı ise bizi 2 çarpı formula_62 yazmaya zorlamaktadır.); böylece 

integralini bulmaya çalışalım. Bu integrali bulmak için
fonksiyonunu incelememiz lazım. formula_43 'yi inşa edeceğiz öyle ki formula_68 aralığı üzerinde dallanma kesiği olacak (resimde kırmızı ile gösterilmiştir). Bunu yapmak içinse, logaritmanın iki tane dallanmasını seçiyoruz; yani

ve

formula_71 'ün kesiği bu yüzden formula_72 aralığı olurken, formula_73 'ün kesiği formula_74 aralığı olur. Bu ikisinin çarpımının yani formula_43'nin kesiği formula_68 olur çünkü formula_43 aslında formula_78 boyunca süreklidir. Bunun nedeni ise, formula_79 iken, kesiğe üstten yaklaşırsak, formula_43'nin şu değeri almasıdır:
Alttan yaklaşırsak, formula_43 şu değeri alır:
Ancak, formula_84 olduğu için kesiği geçerken bile süreklilik vardır. Bu da resimde formula_71 ve formula_73'te kullanılan logaritmanın argumentine karşılık gelen değerlerin etiketlendiği iki yönlü siyah çember ile gösterilmiştir.

Burada resimde yeşil renkle gösterilen kontürü kullanacağız. Bunu yapmak için, kesiğin hemen üstünde ve altında yer alan doğru parçaları boyunca formula_43'nin aldığı değerleri hesaplamamız gerekir. Üst parça boyunca, formula_43'nin aldığı değer şudur:
Alt parça boyunca yine formula_43'nin aldığı değer şudur:

O zaman, formula_92'nin üst parça boyuncaki integrali limitte formula_93 olurken, alt parça durumunda ise formula_94 olur.

Eğer limitte iki yeşil çember üzerinde alınan integrallerin değerinin sıfır olduğunu gösterebilirsek, o zaman aynı zamanda Cauchy kalıntı teoremi ile formula_94'nın değerini de elde etmiş oluruz. Yeşil çemberlerin yarıçapını formula_96 ile gösterelim ve formula_97 olsun. formula_98 iken ML-eşitsizliğini uygulayalım. Soldaki formula_99 çemberi için şunu elde ederiz:
Benzer bir şekilde, sağdaki formula_101 çemberi için şunu elde ederiz: 

Şimdi Cauchy kalıntı teoremini kullanarak aşağıdaki eşitliği elde ederiz:

Logaritmanın önceki dallanmasını kullanarak aşağıdaki ifade açıktır: 
Resimde kutup mavi ile gösterilmiştir. O zaman, değer de 
şeklinde sadeleşir.

Sonsuzdaki kalıntı için ise şu formülü kullanıyoruz:

Yerine koyarak,
ve
eşitliklerini elde ederiz. Burada kullandığımız gerçek ise, logaritmanın ikinci dallanması için formula_109 olmasıdır. Sonra, binom açılımını kullanarak

elde ederiz. Sonuç ise,
olur.
Son olarak, formula_94'nın değeri ise şu olur:
yani







Aziziye Sirto

(Yunanca: Αζιζιές Συρτός) (Aziziyes Syrtos) Müziği Sultan Abdulaziz ait sirto. Hicaz makamındadır. Kıbrıs adasında hem Türkler hem de Rumlar tarafından oynanmaktadır.





MS Sea Diamond

MS Sea Diamond, Louis Hellenic Cruise Lines şirketi tarafından işletilirken 6 Nisan 2007'de Yunanistan'ın Santorini adası kıyısında kayalıklara çarparak batan yolcu gemisi.

1986'da Birka Line şirketi için Finlandiya kamu şirketi Valmet'in Vuosaari şehrindeki tersanesinde inşa edilmiştir. İnşaatı sonrasındaki ilk ismi MS Birka Princess'di ve Birka Line'ın Stockholm ve Aland Adaları arasındaki yolcu taşıma hattında hizmet verdi. Yaz aylarında Baltık Denizi limanları arasındaki daha geniş çaplı seferler de yaptı. 1999'da Almanya'daki Lloyd Werft tersanesinde kapsamlı genişletme ve tasarım yenileme işlemlerinden geçti. Yenileme sonrasında hizmete alındığı Stockholm-Turku-Tallinn ve Stockholm-Mariehamn seferlerinin beklenen ticari başarı yakalayamaması üzerine 2006 başında satışa sunuldu ve Şubat 2006'da Kıbrıs'da yerleşik Louis Cruise Lines şirketine 35 milyon Amerikan doları (29.4 euro) fiyatla satıldı. Güvertesine bir yüzme havuzu eklendikten sonra Malta bandırası altına alındı ve mülkiyeti Elona Maritime Ltd. şirketine ait oldu. Kayıtlı olduğu liman ise Pire limanıydı.

MS Diamond 5 Nisan, 2007'de yerel saatle saat 16:00'da Santorini adası kalderasında, kıyıya son derece yakın, iyi bilinen ve iyi işaretlenmiş volkanik kayalar kümesine çarptı ve su almaya başlayarak yan yattı. Çoğunluğu ABD vatandaşı ve 60 kadar da Kanadalı'dan oluşan yolcu kitlesi üç buçuk saat içinde güvertedeki iplerden indirilerek tahliye edildi. Tahliye sonrasında iki Fransız yolcunun kayıp olduğu görüldü. Gemi aldığı suların etkisiyle 6 Nisan 2007'de saat 7:00'de önce alabora oldu, sonra tamamen battı. Bu noktadaki deniz tabanının neredeyse tamamen dik bir volkanik çöküntüden oluşması nedeniyle, kıç tarafı 60 metre kadar derinlikteyken, pruvanın 180 metrede olduğu belirtilmekte, daha da derine kayması ihtimali enkazın kurtarılmasına ilişkin halen süregelen tartışmaları daha kar