kustiklerde, sinyal işlemesinde, resim işlemesinde, kuantum mekaniğinde ve ekonomi hesaplamaları gibi birçok alanda kullanılmaktadır.

Fourier serilerinin modern haline Joseph Fourier (1768-1830) getirmemişse de onun onuruna, trigonometrik serilerde yaptığı önemli buluşlar için, Fourier Serileri şeklinde adlandırılmıştır. İlk araştırmaları Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert ve Daniel Bernoulli yapmışlardır. Fourier bu araştırma ve sonuçlarını ısı sorularına uygulamıştır ve ilk sonuçları Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides adıyla 1807de ve Théorie analytique de la chaleur adıyla 1822 de yayınlamıştır

Modern bir bakış açısıyla bakıldığında Fourier'in sonuçları informaldir. Çünkü o 19. yüzyılda bu sonuçları hesaplarken fonksiyon ve integraller gerekli kesinlik gereksinimlerini karşılamıyordu. Daha sonraları Dirichlet ve Riemann Fourier'in bu denklemlerini modern hesaplamalarıyla formalliğe ve kesinliğe kavuştururlar.

Bu bölümde "ƒ"("x") gerçek değerli x'in fonksiyonudur. Bu fonksiyon genelde 2π ile periyodik alınır. Bir başka deyişle tüm x değerleri için: "ƒ"("x" + 2"π") = "ƒ"("x"). Bu şekildeki fonksiyonları veya daha basit 2π ile periyodik olan fonksiyonları sonsuz toplam serileri şeklinde olan fonksiyonlar cinsinden yazacağız. İlkin, Fourier'in yukarıda yaptığı gibi, sonsuz sin ve cos toplam serilerini [−"π", "π"] aralığında yazacağız ve ardından farklı formulasyonları ve genellemeleri tartışacağız

formula_2   P . periyodu ile bir periyodik fonksiyondur.Denkliğin kullanımı:

biz de bu eşdeğer formlarda fonksiyon yazabiliriz:

burada:

Eğer katsayılar (Fourier katsayıları olarak bilinir) aşağıdaki gibi hesaplanırsa:
2"π" ile periyodik olan ve [−"π", "π"] aralığında integrali alınabilen "ƒ"("x") fonksiyonu için,

ve

elemanları "ƒ"'in Fourier katsayıları olarak adlandırılır.

Böylece "Fourier seri'nin" "ƒ" için parçalı toplamı aşağıdaki gibi ifade edilir:

"ƒ" parçalı toplamları trigonometrik polinomlardır. Sonuç olarak "N" sonsuza yaklaştıkça "S" "ƒ", "ƒ" 'in gerçek değerine yaklaşır.

sonsuz toplamı "ƒ' 'in Fourier serisidir.

Fourier serileri her zaman uzaksak değildir. Hatta uzaksak olduğunda bile bazen "x"'in bazı "x" değerlerinde serinin toplamı orijinal fonksiyon değerinden farklı sonuç verebilir. Burada akla önemli bir soru gelmektedir: Hangi kurala göre harmonik analizde seri şekline getirip getiremeyeceğimize karar vereceğiz? Eğer fonksiyonun [−"π", "π"] aralığında integrali alınabiliyor ve değer sonsuzdan başka bir şey çıkıyorsa ve bu, tüm noktalarda oluyorsa Fourier serisi geçerlidir ve bulunabilir. Mühendislik uygulamalarında genelde fonksiyonda devamsızlık noktası olmadığı müddetçe fonksiyonun uzaksadığı varsayılır. Çünkü, mühendislikte karşılaşılan fonksiyonlar genelde matematikçilerin önerebileceği karşı-örneklere uzaktır ve daha iyi davranışlı fonksiyonlardır. Genel anlamda, Fourier serisi, "ƒ"("x") in türevinin karesinin (ki her yerde türevi olmayabilir) integrali alınabiliyorsa, "kesinlikle uzaksak"sar.

Fourier katsayılarını daha genel fonksiyon ve dağılımlar için de kullanmak mümkündür. Ancak böyle durumlarda uzaksama veya zayıf uzaksama daha çok ilgi merkezidir.

Şimdi çok basit bir denklemin Fourier açılımının denklemini görelim. Bir "testere-dişi" dalgası düşünün:

Bu durumda, Fourier katsayıları,

Şu kesindir ki bu Fourier serisinin "ƒ" in türevinin alınabildiği tüm "x" değerlerinde, toplamı orijinal "ƒ"("x") fonksiyonuna yaklaşır ve sonunda ona eşit olur. Bundan dolayı:

formula_13

"x" = π olduğunda, Fourier serisi 0 a eşit olur, ki bu "ƒ" in "x" = π deki sağdan ve soldan limitlerinin toplamının yarısına eşittir. Bu Fourier Serisi için Dirichlet teoreminde önemli bir noktadır.

Bakıyoruz ki Fourier serimizin açılımı "ƒ"("x") = "x" fonksiyonundan sadece azıcık daha karmaşıktır ve böyle bir serinin niçin kullanılabileceği de açıkçası hemencecik anlaşılacak bir şey değildir. Birçok uygulama alanı olmasıyla beraber biz Fourier serilerinin ısı denklemlerinin çözümündeki rolüne odaklanacağız. Örneğin, kenarları "π" uzunluğunda olan kare biçimindeki bir metal düşünün ve koordinatları ("x", "y") ∈ [0, "π"] × [0, "π"] olsun. Diyelim ki karenin 3 tarafı 0° derecede olsun ve "y" = π kenarı üzerinde sıcaklık denklemimiz "T"("x", "π") = "x" olsun, ardından sabit/dengeye ulaşmış ısı dağılımının,

Burada, sinh hiperbolik sinüs fonksiyonudur. 
Bu ısı denkleminin çözümü iki tarafın da formula_15 ile  Eq.1 çarpılmasıyla bulundu. Böyle bir denklemdeki Fourier serimiz her ne kadar basit de olsa ısı dağılımızın denklemi "T"("x", "y") kesinlikle havadan, basit bir denklem değildir. Burada "T" kapalı formlu bir ifade şeklinde yazılamaz. Isı problemlerinin bu şekilde çözülebilmesi ancak Fourier'in çalışmasıyla mümkün olabilmiştir.

Fourier serilerinin bir diğer kullanım alanı da Parseval teoremi'yle Basel problem'lerinin çözümüdür. Örnek genelleşir ve ζ(2"n") denklemini, "n"'in tüm pozitif tam sayı değerleri için çözmemiz gerekir.

Euler formülü'nü kullanarak,

Burada "i" kompleks sayıdır, ve daha genel olan şu denklemi verir:

Fourier katsayıları da aşağıdaki gibidir:

"a", "b", "c"
katsayıları da,

ve

gibi bağlantılıdır.

"c" inin gösterimi birkaç Fourier fonksiyonun katsayılarını belirlemek için yetersizdir. Bundan dolayı isteğe göre "ƒ" in değişmiş bir hali olan(bizim örneğimizde) "F" veya

formula_21 

ile değiştirilir. Aynı zamanda fonksiyonel gösterim genelde yerine koyma yöntemiyle yapılır.

Böylece:

Mühendislikte, "x" zamanı ifade ettiğinde katsayı dizisi Frekans domain gösterimi olarak adlandırılır. Fonksiyondaki kare parantezler fonksiyonun discrete(devamsız) frekans seti olduğunu ifade eder.

Aşağıdaki formül, uygun komplex değerli, "G"["n"] fonksiyonu

için, bütün R: da "τ" ile periyodik bir fonksiyondur.

Eğer fonksiyonumuzun karesinin integrali ["a", "a" + "τ"] aralığında alınabiliyorsa bu aralıkta, fonksiyonumuz yukarıdaki formülle ifade edilebilir. Eğer "g"("x") in integrali alınabiliyorsa Fourier katsayıları,

şeklinde olur.

Dikkat etmeniz gereken şu ki: ifade edilen fonksiyon "τ" ile periyodiktir. Böylece "a" rastgele b,r sayıdır ve en popüler değerler "a" = 0, ve "a" = −"τ"/2 dir.

Sıklıkla kullanılan bir diğer frekans domain gösterimi de Fourier serisi katsayılarını Dirac comb fonksiyonunu modüle etmek için kullanılır:

"ƒ" değişkeni sürekli bir frekans domain'i ifade eder. "x" değişkeni

"x" değişkeni saniye cinsinden olduğu yerlerde "ƒ" hertz cinsindendir. Testere dişi dalgasının "dişleri" 1/"τ'nin tam katlarındadır, ki bunlar "temel frekans"ın "harmonik"leri olarak adlandırılırlar. Orijinal "g"("x") fonksiyonu seri tanım fonksiyonunun ters Fourier dönüşümüyle elde edilebilir:

Periyodik bir fonksiyonun Fourier integrali yakınsak olmasa da,"G"("ƒ") fonksiyonu yaygın olarak Fourier dönüşümü olarak anılır.

Aynı zamanda [−"π", "π"]×[−"π", "π"] aralığında Fourier serilerini iki ("x" ve "y") değişkenli bir fonksiyon içinde tanımlayabiliriz :

Isı denklemleri gibi parçalı diferansiyel denklemlerin çözümü için kullanılmasının dışında, Fourier serilerinin bir diğer dikkate değer uygulaması da görüntü sıkıştırma alanındadır. Bilhassa, jpeg görüntü sıkıştırma standartları kosinüs temel fonksiyonlarını kullanan bir Fourier dönüşümü olan iki boyutlu ayrık kosinüs dönüşümünü kullanır.

Bu modern yaklaşıma oldukça yakın olan birkaç satırda Fourier'in yaptığı bu denklemler fizik ve matemetikte devrim niteliğinde etki bırakmıştır. Her ne kadar burada kullanılan trigonometrik denklem ve seriler daha önceleri Euler, d'Alembert, Daniel Bernoulli ve Gauss tarafından kullanılmış olsa da Fourier bu denklemlerin sıradan, karmaşık dalga çeşitlerinin de bu serilerle gösterilebileceğini gösterir.

Bu teorinin kullanımı daha önceleri epey karmaşık olan uzaksak seriler, fonksiyon uzayı ve harmonik analizinde önemli yenilik ve kolaylıklar getirmiştir.

Fourier bu çalışmasını 1807'de komiteye gösterdiğinde -ki komitede Lagrange, Laplace, Malus ve Legendre gibi önemli isimler vardı- ...yazarın bu denklemlere ulaşmadaki yolu karmaşıklıktan ve zorluktan tamamen uzak olup[...] onun analiz için sentezleri basitlik ve genellik bakımından şiddetli bir hayranlık uyandıracak seviyededir. diyerek yorumlarlar.

Fourier'in zamanından beri Fourier serilerinin konseplerini tanımlamak ve anlamak için birçok farklı yaklaşım keşfedildi. Bu keşiflerin her biri asıl teoriyi destekler ve konunun farklı noktalarına vurgu yapacak mahiyetteydi. Fourier bu orijinal çalışmayı yaparken henüz bilinmeyen, keşfedilmeyen birçok matematiksel işlevi olan denklemle daha sonraları çok güçlü ve seçkin yaklaşımlar keşfedildi. Fourier asıl makalesinde sadece gerçek değerli Sinüs ve kosinüs denklemlerini kullanmıştı.

Bunların en önemlisi kompleks değerli üstel fonksiyonlar dır ve e şeklinde ifade edilirler. Aynı zamanda komleks harmonikler olarak adlandırılır ve harmonik analizin temelidir.

Fourier serileriyle ilgili birçok transform da farklı yaklaşımlara ve fikirlere genişletilecek şekilde keşfedilmiş ve kullanılmıştır. Bunlardan en önemlileri Fourier dönüşümü ve Z-dönüşümüdür.

kare [−π, π]×[−π, π] içinde "x" ve "y" iki değişkenin fonksiyonları için Fourier serisi tanımlanabilir :
Isı denklemi gibi kısmi diferansiyel denklemlerin çözümü için kullanışlı olduğu bir yana kare üzerinde Fourier serisinin tek kayda değer uygulaması imaj baskısı içindedir. Özel olarak, jpeg imaj baskı standardında iki-boyutlu ayrık cos dönüşümü kullanılır,burda bir Fourier transformu cos taban fonksiyonları kullanılıyor.

Bravais kafesi formun vektörlerinin kümesi olarak tanımlanabilir:
Burada "n" tam sayıdır ve a üç doğrusal bağımsız vektörlerdir.Bazı fonksiyonlar varsayalım, "f"(r), böylece herhangi Bravais kafes vektör R: "f"(r) = "f"(r + R) için durum aşağıdakine uyar,bunun bir Fourier serisi yapılabilir.Fonksiyonun bu türü , örneğin,bu etkin potansiyel bir elektronu bir periyodik kristal içinde "hissedebilir". Bu potansiyelin bir Fourier serisi yapmak için yararlı ise Bloch teoremi uygulanıyor. Birincisi,kafesin koordinat-sist